СПРАВОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
В.Ф. ЗАЙЦЕВ, А. Д. ПОЛЯНИН
СПРАВОЧНИК
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
2003

УДК 517.9
ББК 22.1
3 17
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным урав-
уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. —
416 с. - ISBN 5-9221-0287-7.
Справочник содержит более 3000 дифференциальных уравнений с частными про-
производными первого порядка и их решения. Приведено много новых точных решений
линейных и нелинейных уравнений. Особое внимание уделяется уравнениям общего вида,
которые зависят от произвольных функций. В целом справочник содержит в несколько
раз больше уравнений с частными производными первого порядка и точных решений,
чем любые другие книги.
В начале каждой главы кратко описаны основные методы решения соответствующих
типов дифференциальных уравнений и приведены конкретные примеры их применения.
Исследуются как гладкие, так и негладкие и разрывные решения. Рассмотрены урав-
уравнения, которые встречаются в дифференциальной геометрии, нелинейной механике, га-
газовой динамике, геометрической оптике, теории волн, теории оптимального управления,
дифференциальных играх, химической технологии и других приложениях. В дополнении
излагается метод обобщенного разделения переменных.
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей
вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной
математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.
Ил. 14. Библиогр. 95 назв.
Справочное издание
ЗАЙЦЕВ Валентин Федорович
ПОЛЯНИН Андрей Дмитриевич
СПРАВОЧНИК ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Оригинал-макет: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.09.02. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 34,5. Уч.-изд. л. 39.
Тираж 3000 экз. Заказ № 7183
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука».
121099 Москва, Шубинский пер., 6
3SBN 5-9221-0287 ™7
785922 102872
ISBN 5-9221-0287-7
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
© В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 		12
Некоторые обозначения и замечания 		13
1.	Уравнения, содержащие одну частную производную		14
2.	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + д(х, у)-^- = 0		15
2.1.	Предварительные замечания		15
2.1.1.	Метод решения		15
2.1.2.	Задача Коши (задача с начальными данными)		15
2.1.3.	Конкретные примеры 		16
2.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		17
2.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по х и у 		17
2.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у		18
2.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат целые степени х и у 		21
2.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат дробные степени х и у 		22
2.2.5.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 		23
2.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		31
2.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		31
2.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	32
2.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		36
2.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		36
2.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		37
2.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		37
2.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		38
2.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	39
2.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		39
2.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		39
2.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	40
2.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		42
2.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		42
2.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		43
2.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		45
2.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		46
2.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	47
2.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		48
2.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		48
2.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		50
2.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		51
2.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		52
2.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции х		53
2.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные и степенные функции ...	53
2.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные и экспоненциальные
функции 		55
2.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные и гиперболические функции	56
2.8.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные и логарифмические
функции 		57

Оглавление
2.8.5.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные и тригонометрические
функции 		57
2.8.6.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции и их производные	58
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов		59
2.9.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные
функции у		59
2.9.2.	Коэффициенты уравнений содержат одну произвольную функцию сложного
аргумента 		60
2.9.3.	Коэффициенты уравнений содержат несколько произвольных функций		62
3. Линейные уравнения вида /(ж, у) -4^- -\- д(х, у) -^- = h(x, у)		65
3.1.	Предварительные замечания		65
3.1.1.	Методы решения 		65
3.1.2.	Задача Коши		66
3.1.3.	Конкретные примеры 		66
3.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		67
3.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по х и у 		67
3.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у		68
3.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции		69
3.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 		70
3.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		71
3.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		71
3.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	72
3.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		73
3.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		73
3.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		73
3.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		74
3.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		74
3.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	75
3.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		75
3.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		75
3.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	76
3.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		77
3.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		77
3.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		77
3.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		78
3.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		78
3.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	79
3.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		79
3.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		79
3.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		80
3.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		80
3.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		81
3.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		82
3.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 		82
3.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные
функции у		83
3.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных
аргументов 		84
3.8.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	85
4.1. Линейные уравнения вида /(ж, у) -4^- + д(х, у) -^- = h(x, y)w		87
4.1. Предварительные замечания		87
4.1.1.	Методы решения 		87
4.1.2.	Конкретные примеры 		88

Оглавление
4.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		89
4.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по х и у 		89
4.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у		90
4.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции		91
4.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 		91
4.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		93
4.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		93
4.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	94
4.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		94
4.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		94
4.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		95
4.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		95
4.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		96
4.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	96
4.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		97
4.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		97
4.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	97
4.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		98
4.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		98
4.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		98
4.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		99
4.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		99
4.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	100
4.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		101
4.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		101
4.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		101
4.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		102
4.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		102
4.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		103
4.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 		103
4.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные
функции у		105
4.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных
аргументов 		105
4.8.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	106
5. Линейные уравнения вида /(ж, у)-§^ + д(ж, у)-§^- = ^(ж, y)w + ho(x, у) .	108
5.1.	Предварительные замечания		108
5.1.1.	Методы решения 		108
5.1.2.	Конкретные примеры 		109
5.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		ПО
5.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по х и у 		ПО
5.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у		111
5.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат квадратные корни х и у		112
5.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 		113
5.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		115
5.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		115
5.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	115
5.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		116
5.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		116
5.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		117
5.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		117
5.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		118
5.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	118

6	Оглавление
5.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		119
5.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		119
5.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	119
5.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		120
5.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		120
5.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		121
5.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		121
5.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		122
5.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	123
5.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		123
5.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		123
5.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		124
5.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		124
5.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		125
5.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		125
5.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 		125
5.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные
функции у		127
5.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	128
6. Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y, z)-^j- + h(x,y,z)-^- = О	129
6.1.	Предварительные замечания		129
6.1.1.	Методы решения 		129
6.1.2.	Задача Коши (задача с начальными данными)		130
6.1.3.	Конкретные примеры 		130
6.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		131
6.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z 		131
6.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, z 		134
6.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степени х,у, z		137
6.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х,у, z 		138
6.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		140
6.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		140
6.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	141
6.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		143
6.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		143
6.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		144
6.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		144
6.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		145
6.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	145
6.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		146
6.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		146
6.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	146
6.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		147
6.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		147
6.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		147
6.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		148
6.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		148
6.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	149
6.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		149
6.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		149
6.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		150
6.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		150
6.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		151

Оглавление
6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 		151
6.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции ж 		151
6.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных
переменных		152
6.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	153
7.	Линейные уравнения вида Д-§^- + /2-§^ + /з ^ = Q, /* = /*(ж, y,z) ...	156
7.1.	Предварительные замечания		156
7.1.1.	Методы решения 		156
7.1.2.	Конкретные примеры 		157
7.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		158
7.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по ж, у, z 		158
7.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у, z 		159
7.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степени х,у, z		160
7.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х,у, z 		161
7.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		162
7.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		162
7.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	163
7.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		164
7.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		164
7.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		165
7.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		165
7.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		166
7.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	167
7.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		167
7.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		167
7.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	168
7.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		168
7.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		168
7.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		169
7.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		170
7.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		170
7.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	171
7.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		172
7.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		172
7.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		172
7.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		173
7.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		173
7.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		173
7.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции ж 		173
7.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных
переменных		175
7.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	176
8.	Линейные уравнения вида Д-§^- + /2-§^ + /3-§f = gw, fi = fi(x, у, z) .	178
8.1.	Предварительные замечания		178
8.1.1.	Методы решения 		178
8.1.2.	Конкретные примеры 		179
8.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		179
8.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по ж, у, z 		179
8.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у, z 		180
8.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степени х,у, z		182
8.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени ж, у, z 		182

8	Оглавление
8.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		184
8.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		184
8.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	185
8.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		186
8.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		186
8.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		186
8.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		187
8.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		188
8.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	188
8.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		189
8.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		189
8.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	189
8.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		190
8.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		190
8.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		190
8.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		191
8.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		192
8.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	192
8.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		193
8.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		193
8.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		193
8.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		194
8.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		194
8.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		195
8.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 		195
8.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных
переменных		197
8.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	198
9. Линейные уравнения вида /i-§^?-+/2-§^-+/з -ff =giw + g0, fi = fi(x,y,z)	200
9.1.	Предварительные замечания		200
9.1.1.	Методы решения 		200
9.1.2.	Конкретные примеры 		201
9.2.	Уравнения, содержащие степенные функции		201
9.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по ж, у, z 		201
9.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, z 		202
9.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степени х,у, z		203
9.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х,у, z 		203
9.3.	Уравнения, содержащие экспоненциальные функции		206
9.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 		206
9.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции	206
9.4.	Уравнения, содержащие гиперболические функции		207
9.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус		207
9.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 		208
9.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 		208
9.4.4.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс		209
9.4.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . .	210
9.5.	Уравнения, содержащие логарифмические функции 		210
9.5.1.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		210
9.5.2.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции	211

Оглавление	9
9.6.	Уравнения, содержащие тригонометрические функции 		211
9.6.1.	Коэффициенты уравнений содержат синус		211
9.6.2.	Коэффициенты уравнений содержат косинус 		212
9.6.3.	Коэффициенты уравнений содержат тангенс 		213
9.6.4.	Коэффициенты уравнений содержат котангенс		213
9.6.5.	Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции	214
9.7.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 		214
9.7.1.	Коэффициенты уравнений содержат арксинус 		214
9.7.2.	Коэффициенты уравнений содержат арккосинус		215
9.7.3.	Коэффициенты уравнений содержат арктангенс		215
9.7.4.	Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 		216
9.8.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		216
9.8.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 		216
9.8.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных
переменных		217
9.8.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	218
10.	Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными		221
10.1.	Методы решения 		221
10.1.1.	Линейные однородные уравнения		221
10.1.2.	Линейные неоднородные уравнения		221
10.1.3.	Задача Коши		222
10.2.	Конкретные уравнения		222
10.2.1.	Уравнения, содержащие степенные функции 		222
10.2.2.	Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 		225
10.2.3.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		227
11.	Квазилинейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + #(ж, у)-^- = h(x, у, w)		229
11.1.	Предварительные замечания		229
11.1.1.	Методы решения		229
11.1.2.	Конкретные примеры 		230
11.2.	Уравнения, содержащие произвольные параметры		231
11.2.1.	Коэффициенты уравнений содержат степенные функции		231
11.2.2.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции		232
11.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции		234
11.2.4.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		234
11.2.5.	Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические функции 		235
11.3.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		235
11.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции одной
переменной		235
11.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	237
12.	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^f- + д(х, у, w) -^2?- = h(x, у, w)	239
12.1.	Предварительные замечания		239
12.1.1.	Методы решения		239
12.1.2.	Задача Коши. Теорема существования и единственности 		240
12.1.3.	Качественные особенности и разрывные решения квазилинейных уравнений	242
12.1.4.	Обобщенные решения квазилинейных уравнений		251
12.2.	Уравнения, содержащие степенные функции 		254
12.2.1.	Коэффициенты уравнений линейны по w		254
12.2.2.	Коэффициенты уравнений квадратичны по w		257
12.2.3.	Коэффициенты уравнений содержат другие степени w		259

10	Оглавление
12.3.	Другие уравнения, содержащие произвольные параметры		261
12.3.1.	Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции		261
12.3.2.	Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции		262
12.3.3.	Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 		265
12.3.4.	Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические функции		266
12.4.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		268
12.4.1.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции независимых
переменных		268
12.4.2.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции зависимой
переменной		271
12.4.3.	Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных	275
13.	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по
производным 		277
13.1.	Предварительные замечания		277
13.2.	Уравнения, содержащие произвольные параметры		277
13.2.1.	Уравнения вида %Цг%$- = f(x,y,w) 		277
13.2.2.	Уравнения вида/(ж, 2/, ^)|^|^+р(Ж, 2/, ^)|^ = h(x,y,w)		279
13.2.3.	Уравнения вида f{x,y,w)^^- + g(x,y,w)j^ + h(x,y,w)j%- = s(x,y,w)	280
13.2.4.	Уравнения вида ^ + f(x,y, w)(j^J = g(x,y,w)		283
13.2.5.	Уравнения вида ^ + f{x,y,w){^J + g^x.y.w)^- =h(x,y,w) 		289
13.2.6.	Уравнения вида f (x, у, w) (j^J + g(x,y,w)(^fJ =h(x,y,w)		292
13.2.7.	Уравнения вида /(ж,y)(^fJ + g(x,y)j^j%- = h(x,y,w)		296
13.2.8.	Другие уравнения		299
13.3.	Уравнения, содержащие произвольные функции 		302
13.3.1.	Уравнения вида %%-%$- = f(x,y,w) 		302
13.3.2.	Уравнения вида f{x,y)^^-+g{x,y)^- = h(x,y,w) 		304
13.3.3.	Уравнения вида/(ж, 2/)|^+^(ж,2/, w;)(^J = h(x,y,w)		305
13.3.4.	Уравнения вида ^ + /(ж, у, w)(^J + g(x,y,w)j%- = h(x,y,w) 		309
13.3.5.	Уравнения вида f(x, y,w)(^J + g(x,y,w)(^J = h(x,y,w)		311
13.3.6.	Уравнения вида (^J + f(x,y, w)^-^- = g(x,y, w)		314
13.3.7.	Другие уравнения		316
14.	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида . . .	318
14.1.	Предварительные замечания		318
14.1.1.	Методы решения		318
14.1.2.	Задача Коши. Теорема существования и единственности 		322
14.1.3.	Обобщенные вязкие решения и их приложения 		324
14.2.	Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных . . .	329
14.2.1.	Уравнения вида ^(^J = f(x,y,w)		329
14.2.2.	Уравнения вида /(ж, у, w)(-^r)s + g(x, y,w)-^- =h(x,y,w) 		330
14.2.3.	Уравнения вида /(ж, y,w)(j^)s + g(x,y,w)(^LJ = h(x,y,w)		331
14.2.4.	Уравнения вида /(ж, у, w)(-^)s + д(х, у, w)-%%--%$- =h(x,y,w) 		332
14.2.5.	Другие уравнения		333
14.3.	Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры		334
14.3.1.	Уравнения содержат четвертые степени по производным		334
14.3.2.	Уравнения, содержащие радикалы с производными		336
14.3.3.	Уравнения содержат произвольные степени производных 		336
14.3.4.	Уравнения более сложного вида		339

Оглавление	11
14.4.	Уравнения, содержащие произвольные функции независимых переменных		340
14.4.1.	Уравнения содержат одну произвольную степень производной 		340
14.4.2.	Уравнения содержат две и три произвольные степени производных 		343
14.5.	Уравнения с произвольной зависимостью от производных		345
14.5.1.	Уравнения содержат произвольные функции одной переменной 		345
14.5.2.	Уравнения содержат произвольные функции двух переменных 		347
14.5.3.	Уравнения содержат произвольные функции трех переменных 		350
14.5.4.	Уравнения содержат произвольные функции четырех переменных 		352
15. Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными		354
15.1.	Предварительные замечания		354
15.1.1.	Квазилинейные уравнения 		354
15.1.2.	Нелинейные уравнения		356
15.1.3.	Обобщенные вязкие решения		362
15.2.	Квазилинейные уравнения 		364
15.2.1.	Уравнения с тремя переменными 		364
15.2.2.	Уравнения с произвольным числом переменных 		367
15.3.	Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя
переменными		369
15.3.1.	Уравнения содержат квадраты одной или двух производных		369
15.3.2.	Уравнения содержат квадраты трех производных		373
15.3.3.	Уравнения содержат произведения производных по разным переменным . .	374
15.3.4.	Уравнения, содержащие квадраты и произведения производных 		376
15.4.	Другие нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие параметры . . .	376
15.4.1.	Уравнения третьей степени относительно производных		376
15.4.2.	Уравнения, содержащие корни или модули производных		377
15.4.3.	Уравнения, содержащие произвольные степени производных 		378
15.5.	Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	380
15.5.1.	Уравнения квадратичные по производным		380
15.5.2.	Уравнения со степенной нелинейностью по производным		385
15.5.3.	Уравнения с произвольной зависимостью от производных		387
15.5.4.	Нелинейные уравнения общего вида		388
15.6.	Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными 		391
15.6.1.	Уравнения квадратичные по производным		391
15.6.2.	Уравнения содержат степенные функции по производным		393
15.7.	Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие
произвольные параметры		394
15.7.1.	Уравнения квадратичные по производным		394
15.7.2.	Уравнения со степенной нелинейностью по производным		396
15.8.	Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие
произвольные функции		397
15.8.1.	Уравнения квадратичные по производным		397
15.8.2.	Уравнения со степенной нелинейностью по производным		401
15.8.3.	Уравнения содержат произвольные функции двух аргументов		402
15.8.4.	Нелинейные уравнения общего вида		403
Дополнение. Метод обобщенного разделения переменных		407
Д.1. Предварительные замечания 		407
Д.2. Решения с обобщенным разделением переменных. Рассматриваемые классы
уравнений 		407
Д.З. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирова-
дифференцирования 		408
Д.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления . . .	409
Д. 5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным разделением переменных .	412
Список литературы 		414

ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка встречаются в
различных областях науки и многочисленных приложениях (в дифференциальной геометрии,
аналитической механике, газовой динамике, геометрической оптике, теории фильтрации, гидро-
гидродинамике, теории волн, теории оптимального управления, дифференциальных играх, химиче-
химической технологии, экологии и др.).
Точные решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений играют важную роль
в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и про-
процессов в различных областях естествознания. Эти решения могут использоваться в качестве
«тестовых задач» для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических,
приближенных и численных методов.
Справочник содержит более 3000 дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка и их решения. Приведено много новых точных решений линейных и нели-
нелинейных уравнений (значительная часть решений получена путем «пересчета» соответствующих
результатов, полученных авторами в последнее десятилетие в области обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений). Особое внимание уделяется уравнениям общего вида, которые зависят от
произвольных функций. Остальные уравнения содержат один или более свободных параметров
(фактически в книге рассматриваются сразу целые семейства дифференциальных уравнений),
значения которых можно фиксировать по усмотрению читателя. В целом справочник содержит
в несколько раз больше уравнений с частными производными первого порядка и точных реше-
решений, чем любые другие книги.
В начале каждой главы кратко описаны основные методы решения соответствующих типов
дифференциальных уравнений и приведены конкретные примеры их применения. Рассматрива-
Рассматриваются как классические (гладкие), так и обобщенные (негладкие и разрывные) решения задачи
Коши для нелинейных уравнений, которые возникают теории волн, теории оптимального упра-
управления, дифференциальных играх и других приложениях.
В книге имеется дополнение, где описан новый метод построения точных решений нелиней-
нелинейных уравнений с обобщенным разделением переменных. Этот метод основан на исследовании
соответствующих функциональных и функционально-дифференциальных уравнений, которые
содержат неизвестные функции разных переменных. Приведены примеры использования мето-
метода обобщенного разделения переменных для построения точных решений нелинейных уравне-
уравнений.
Расположение уравнений внутри всех разделов отвечает принципу «от простого к сложно-
сложному». Это существенным образом облегчает работу с материалом. Обширное оглавление помо-
поможет читателю находить искомые уравнения.
Для максимального расширения круга потенциальных читателей с разной математической
подготовкой авторы по возможности старались избегать использования специальной термино-
терминологии. Поэтому некоторые результаты описаны схематически и упрощенно (опущены детали),
чего вполне достаточно для их применения в большинстве приложений.
Авторы благодарны А. И. Журову за неизменную и многообразную помощь при написании
этой книги и признательны А. А. Меликяну за полезные замечания и обсуждения разд. 14.1
и 15.1. Авторы особо признательны А. Мусье (A. Moussiaux) за тестирование ряда решений.
Авторы надеются, что справочник окажется полезным для широкого круга научных работ-
работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в области приклад-
прикладной математики, механики, физики, теории оптимального управления и химической технологии.
Авторы

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ
1.	При записи исходных дифференциальных уравнений с частными производными первого
порядка независимые переменные обозначаются через х, у, z (или xi, ..., хп), а искомая
функция — через w.
2.	В приведенных решениях (интегралах) произвольные постоянные интегрирования обо-
обозначаются С, Со, Ci, Сг, ...
3.	Иногда используются краткие обозначения для частных производных:
dw	dw	dw	dw
wx = ——, wy = ——, wz = ——, pk = ——.
ox	oy	oz	oxk
4.	Производная функции одной переменной / = f(x) обозначается f'x = df/dx.
5.	Все уравнения содержат произвольные функции / = /(ж), д = д(у), h = h(w),
F(x,wy), ... или свободные параметры а, Ь, с ... Относительно этих функций и параметров
обычно предполагаются выполненными следующие предположения (в тексте нижесказанное
специально не оговаривается):
(а)	/ = /(ж)> 9 = 9(у)^ h = h(w), F(x,u), ... являются непрерывно дифференцируемыми
действительными функциями действительных аргументов;
(б)	свободные параметры а, 6, с, ... могут принимать любые действительные значения, при
которых рассматриваемое уравнение и его решение имеет смысл. Например, если решение
содержит комбинацию —^-, то предполагается, что а ф 2.
2 — а
6.	В решениях комбинации вида (fk(x) = 	хк+1 обычно можно доопределять при
/с ~\~ 1
к = — 1 по правилу: <p-i(x) = In |ж|. Это связано с тем, что такие комбинации появляются в
результате интегрирования степенной функции: (fk(x) = / хк dx. Для краткости, решение при
к = — 1 часто опускается.
7.	В решениях комбинации вида ф\(х) = —еХх обычно можно доопределять при Л = О
Л
по правилу: фо(х) = х. Это связано с тем, что такие комбинации появляются в результате
интегрирования экспоненциальной функции: ф\(х) = / е х dx. Для краткости, решение при
Л = 0 часто опускается.
8.	Общие решения многих линейных и квазилинейных уравнений описываются с помощью
произвольной функции Ф одного или нескольких аргументов. Функция Ф считается непрерывно
дифференцируемой по всем аргументам; в тексте это, как правило, не оговаривается.
9.	В главах 12-15 не приводятся особые решения. Процедура их построения достаточно
проста, поскольку не требует решения дифференциальных уравнений (см. разд. 14.1.1 и 15.1.2).
10.	При ссылках в тексте на конкретные уравнения запись вида «7.8.3.5» означает «урав-
«уравнение 5 из раздела 7.8.3».
11.	Для вычисления неопределенных интегралов, встречающихся в решениях дифференци-
дифференциальных уравнений, полезно использовать справочники И. С. Градштейна, И. М. Рыжика A975)
и А. П. Прудникова, Ю. А. Брычкова, О. И. Маричева A981, 1983).

1. Уравнения, содержащие одну частную
производную
Уравнения с двумя независимыми переменными, содержащие одну частную производную,
можно рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения для функции w(x,y),
где у (или ж) играет роль параметра. Решения линейных уравнений такого вида приведены ниже.
> Обозначение: Ф = Ф(г)—произвольная функция аргумента z.
Общее решение: w = / /(ж, г/) dx + Ф(г/). При интегрировании г/ рассматривается как
параметр.
2.	? = ,(.,,).
Общее решение: w = f(x,y)dy + Ф(ж). При интегрировании х рассматривается как
параметр.
dw о, ч
3.	— = f(x,y)w.
Общее решение: ги = Ф(г/)ехр / /(ж, у) dx . При интегрировании у рассматривается как
параметр.
Он? х/ Л
4.	-^— = f{x,y)w.
Общее решение: ги = Ф(ж) ехр / /(ж, г/) с?г/ . При интегрировании ж рассматривается как
параметр.
5.	-^- = /(ж, 2/)t^ + g(x, у).
ох
Общее решение:
и; = Е(х, у) [ф(у) + I -g^ dx], Е(х, у) = ехр [J f(x, у) dx].
При интегрировании у рассматривается как параметр.
6.	-^- = /(ж, y)w + g(x, у).
Общее решение:
w = Е(х, у) [Ф(ж) + I ^0^ dy\, Е(х, у) = ехр [J /(ж, у) dy\.
При интегрировании ж рассматривается как параметр.

2. Линейные уравнения вида
= О
2.1. Предварительные замечания
2.1.1. Метод решения
2.1.1-1. Характеристическое уравнение.
Рассмотрим линейное однородное уравнением с частными производными первого порядка с
двумя независимыми вида
f(x,y)—+g(x,y)— = 0.	A)
дх	ду
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
dx _ dy
f(x,y) g{x,y)
называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнению в частных производ-
производных A). Интегральные кривые уравнения B) называются характеристиками.
Замечание 1. Считаем, что переменные х иу принадлежат области G. Пусть в этой обла-
области функции /(ж, г/) и д(х, у) имеют непрерывные частные производные по обоим аргументам
и выполняется условие /2(ж, у) + д2(х, у) ф 0. Тогда через каждую точку области G проходит
одна и только одна характеристика.
2.1.1-2. Формула для общего решения.
Пусть общее решение характеристического уравнения B) дается формулой
Е(х,у) = С,	C)
где С — произвольная постоянная. Тогда общее решение уравнения A) имеет вид
w = Ф(=),	D)
где Ф = Ф(?) —произвольная функция. Левая часть формулы C) !Е(ж,г/) называется главным
интегралом уравнения в частных производных A).
Замечание 2. Для краткости далее в главе 2 часто будем приводить только главный
интеграл. Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой D).
2.1.1-3. Физическая интерпретация.
Уравнение A) описывает стационарное распределение концентрации вещества в плоском потоке
(без учета диффузии). При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям х и у
задаются функциями /ид.
(•) Литература к разделу 2.1.1: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986).
2.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными)
2.1.2-1. Классическая задача Коши.
Формулировка классической задачи Коши: требуется найти решение w = w(x,y) уравнения A),
удовлетворяющее условию
w = h(y) при х = жо,	E)

16	Линейные уравнения
где Ну) —известная функция.
Решение задачи Коши можно получить из формулы для общего решения D), в которую
следует подставить исходные данные E). В результате имеем выражение
Ну) = фB(жо,2/)),
позволяющее определить функцию Ф.
2.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши.
Пусть х и у — пространственные координаты, w — концентрация. Считается, что распределение
концентрации описывается стационарным уравнением переноса A) и в начальном сечении
х = хо задан профиль концентрации E). Требуется найти w = w(x, у) в потоке за начальным
сечением (при х ^ хо).
Возможна и другая нестационарная интерпретация задачи Коши. Пусть х — время, у —
пространственная координата, w — концентрация (/ = 1). Считается, что распределение
концентрации описывается нестационарным уравнением переноса A) и в начальный момент
времени х = хо задан профиль концентрации E). Требуется найти w = w(x, у) в последующие
моменты времени (при х ^ хо).
2.1.2-3. Обобщенная задача Коши.
Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение w = w(x,y) уравнения A),
удовлетворяющее начальным условиям
x = h1(O, y = h2(O, w = h3(O,	F)
где ? — параметр (а ^ ? ^ /3), a hk(?) — заданные функции.
Геометрическая интерпретация: требуется найти интегральную поверхность уравнения A),
проходящую через линию F), заданную параметрически.
Решение обобщенной задачи Коши можно получить из формулы для общего решения D),
в которую следует подставить исходные данные F).
Замечание 1. При формулировке задачи Коши A), F) считается, что плоская кривая
x = hi(?),y = /i2(?) ни в одной точке не касается характеристик, т. е. выполняется неравенство
Замечание 2. Если кривая х = /&i(?), у = /&г(?) является характеристикой, то:
1)	при /&з(?) Ф const задача Коши не имеет решения,
2)	при /&з(?) = const задача Коши имеет бесконечное множество решений.
(•) Литература к разделу 2.1.2: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986).
2.1.3. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	,„.
ау—-+Ъх—-=0.	G)
ох	оу
Общее решение соответствующего характеристического уравнения
dx _ dy
ay Ьх
имеет вид Ьх2 — ау2 = С. Поэтому общее решение исходного уравнения с частными производными
выражается через произвольную функцию Ф сложного аргумента с помощью формулы
w = Ф(Ьх2 -ау2).	(8)
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw dw
дх	ду

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	17
Общее решение характеристического уравнения
dx dy
аех ~ b
имеет вид ау-\-Ъе~х = С. Поэтому общее решение исходного уравнения с частными производными дается
формулой
w = Ф(ау + Ье~х).
Пример 3. Требуется найти решение задачи Коши для уравнения G) с начальным условием
w = у2 при х = 1.	(9)
Подставляя в общее решение (8) начальные данные (9), получим
у2 = ф(Ь - ау2).
Ь-и
Отсюда определяем функцию Ф(и) = 	. Подставляя эту зависимость в (8), находим решение задачи
а
Коши
6A - ж2) + as/2
w =
Пример 4. Требуется найти решение уравнения G), удовлетворяющее начальным условиям в параме-
параметрическом виде
ж = ?, у = ?, w = ?4.	A0)
Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой (8). Учитывая начальные условия A0),
отсюда имеем
?4 = Ф(с?2), с = Ь-а.
Определяем конкретный вид функции Ф(и) = (и/сJ. Подставляя эту зависимость в (8), находим решение
задачи Коши
Ь — а
Полученное решение справедливо при а фЬ. При а = Ь прямая линия у = х = ? (на ней задаются
начальные данные) является характеристикой; в этом случае рассматриваемая задача Коши не имеет
решения.
2.2. Уравнения, содержащие степенные функции
2.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у
1.	a	h b	 = 0.
dx dy
Общее решение: w = Ф(Ьх — ay), где Ф — произвольная функция.
® Литература: Э. Камке A966).
2.	а^ + (ЬЖ + с)^=0.
дх	ду
Главный интеграл: S = \Ьх2 + сх — ау.
_	dw t	ч dw
3.	_ + (oa; + 6j/ + c)_=o.
Главный интеграл: S = (абж + 62?/ + а + Ьс)е~
.	dw , Он? _
4.	аж—	h^2/^— = 0.
дх	ду
При а = Ъ — уравнение коноида. Главный интеграл: S = |ж| Ы~а-
® Литература: Э. Камке A966).
_	Он? , Огу _
5.	ау—	h bx—— = 0.
Главный интеграл: Е = Ьх — ау .
® Литература: Э. Камке A966).
2 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

18
Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х,у)-т^- = О
6-
7.
8.
y^ + iy + a)w =
Главный интеграл: S = х — у + а\п\у + а\.
(ау + Ьх + с)-^- - (by + kx + s)-^- = 0.
ox	oy
Главный интеграл: S = ay + кх + 2(bxy + су + sx).
(сцх + Ьгу + ci) —
ox
+
+ c2)—— = 0.
oy
Главный интеграл определяется решениями вспомогательной системы алгебраических
уравнений для параметров s, A, //, а, /3, 7-
(ai - s)F2 - s) = a2bi,	A)
aiA + a2// = sA, 6iA + 62//= s//,	B)
cia + С2/З — S7 = ciA + C2//,	C)
(ai — s)a + аг/3 = As, b\a + F2 — s)f3 = //s.	D)
Случай 1: (ai — 6гJ + 4a2^i / 0. Уравнение A) имеет два различных корня si и S2,
которым соответствуют два набора решений системы B): Ai, /ii и Аг, //2-
7.7. Если ai&2 — «2^1 / 0, то si / 0 и S2 / 0. Главный интеграл имеет вид
„ _ \s1(X1x + fi^) +\1с1
1.2. Если ai&2 — «2^1 = 0, то si = s = ai + 62 и S2 = 0.
Главный интеграл при А2С1 +//2C2 / 0:
s s^^^Мl
/X2C2
Главный интеграл при А2С1 +//2C2 = 0:
А1С1
Случай 2: (а\ — 6гJ +4a2^i = 0. Уравнение A) имеет двойной корень s = у(
а система B) дает значения А и //, не равные нулю одновременно.
2.1. Если s / 0, то находим 7 из C) и выбираем не равные нулю а и /3, удовлетворя-
удовлетворяющие соотношениям D). Главный интеграл имеет вид
S = In |8
С1А
2.2. Если s = 0, то &2 = —ai. Главный интеграл имеет вид
— 2а\ху — Ь\у2
(•) Литература'. Э. Камке A966).
с2/х
2.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по а: и
1.
2.
ох
h
=0.
Главный интеграл: S = -|-аж + убж + еж — г/.
arctg
1°. Главный интеграл при 4ас — б2 > 0:
2ау
V4ac - б2
2°. Главный интеграл при 4ас — Ъ2 < 0:
?, = х —

3.
2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	19
Частный случай уравнения 2.8.1.1 при f(x) = а, д(х) = Ъх2 + сх.
4. —— + (аху + Ъх2 + сх + ky + s)—^- = 0.
Главный интеграл: S = г/ехр(— уаж — &ж) — / {Ъх + сх + s) exp(— -|-аж — &ж) с/ж.
5. ^+(И_..^*
„	„	ехр(аж2)	/" . 2ч dx
Главный интеграл: ^ =	——*¦	\- / ехр(аж )—^-.
ж(ж?/ ~~аж +1) У	ж2
6. ^. + (ya_eV+a)^- = 0.
Частный случай уравнения 2.2.5.4 при п = 1.
Частный случай уравнения 2.2.5.5 при п = 1.
8- ^ + (У2+а^-а6я;-ь2)^=0-
С/Ж	^2/
Частный случай уравнения 2.2.5.6 при п = 1.
9.	J^ + fc(aa; + bt, + CJi^=0.
аж	ау
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при f(z) = kz2.
10.	ж^	22	^
Частный случай уравнения 2.2.5.20 при 6=1.
\ B + бжт/ + сх2 + )
11. ж—	\- (ау2 + бжт/ + сх2 + 2/)-г— = 0.
ох	оу
Частный случай уравнения 2.2.5.21 при п = 1.
12. (аж + с)-^ + [а(ат/ + 6жJ + /3(ау
аж
Главный интеграл:
/ —	—, v = ay + Ъх.
J av2 +[3v + >y + be/а	У
av2 +[3v + >y + be/а
Ь ^1/ = 0.
дх	ду
2 ^гу	2 ^гу
13. аж	Ь ^1/ 	 = 0
д	д
Главный интеграл: S =	.
by ax
14. (ож2 + Ъ)— - [у2 - 2ху + A - а)х2 -Ь]—=0.
ох	оу
г [ dx 1
Главный интеграл: ^ = — / —	1
J ах2 + b у —
c2)|
oy
1.
ах2 + b у — х
15. (а1Х2 + bix + ci)-^- + (a2i/2 + b2y + c2)-|^- = 0.
ox	oy
dy
_ „ f dx	f
Главный интеграл: ^ = / 	^	/
J axx2 + bxx + cx J a2
y2+b2y

20	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(х, у) -|^ = О
16. (х - а)(х -Ь)^-[у2 + к(у + х- а)(у + Х-Ь)]^=О.
ох	оу
1°. Главный интеграл при а фЬ\
„ _ у + к(у -\- х — а) ( х — а
" у + к{у + х-Ъ)\х-Ъ) '
2°. Главный интеграл при а = Ь:
- а)
O, кф-1.
л / и' л / ~1ш
17.	(а1У2 + 6x7/ + ci)-^- + (а2х2 + 62ж + с2)-^- = 0.
ох	оу
Главный интеграл: S = yai^/3 + \b\y2 + ci|/ — \a2XZ — \Ъъх2 —
18.	у (ах + 6) -^ + (а?/2 - еж) -^- = 0.
аж	оу
г	~ (ах + ЬJ
Главный интеграл: ^ = -^—	-—.
сх2 + by2
19.	(у + )^( + у)
ох
Главный интеграл: S = уа^/3 + -|-сх3 +
20.	2	2^	^
ох	у
Частный случай уравнения 2.9.1.2 при f(x) = bx2, g(y) = ay2.
21. (aj/2 + Ьх2)^ + 2ЬхУ^= О.
Главный интеграл: ^ =
22.	2 2^
Главный интеграл: S = а?/3 — Ьх3 + 3(х2у — сх).
23. (Ат/2 + Вж2 - а2В)—^- + (С?/2 + 2Вху)—^- = О
Главный интеграл:
Н = (ж - а)# + 2аБ / ——-
J v(Avz
Е dv
{Av2 -Cv-B)'
(Av2 -Cv-B).
(Ai;2 + Б) dv 1
24.	,_„ , „„ , ^f ^ , __ ^
Частный случай уравнения 2.9.1.2 при /(ж) = 6ж2, р(г/) = ау2 + с^/.
2	\ 9w	/2	2	^1У
25.	(Аху-\-Вх -\-кх)	\- (Dy + Еху + Fx + ку)	 = 0.
Главный интеграл:
~ _ у 7 С	V dv		_ у_
^~Х	J (A- D)v2 + (В - E)v - F ' V ~ 1с
{Av-

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	21
26. (Аху + Аку + Вх2 + В&ж) — + ГС?/2 + Г>жт/ + k(D - В)у\ — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
-г	—	г, v = -H—,
v[(C-A)v + D-B] '	х + к '
+ )
где Д = ех[у р[(
27. (Ay2 + Bxy + Сх2 + кх) ^- + (Dt,2 + ?жу + Fx2 + ky)^-= 0.
аж	оу
Главный интеграл:
" = rV 4- А- У	—		7; = ^
J AvZ + {B-D)vi + {C-E)v-F'	x'
(Av2
28.	(At/2 + Bxy + Cx2)^- + (Dt/2 + Яжт/ + Fx2)^- = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
„ _ f	(Av2 + Bv + C) dv	ul I I	- У-
29.	(A?/2 + 2Bxy + Г)ж2 + a)— - {By2 + 2.Ожт/ - Ex2 - 6)— = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S = Ал/3 — ?^ж3 + 3(Bxy2 + Dx2y + ay — Ъх).
30.	B/2	2^^
Главный интеграл: S =	Ь In Iг/1.
ж-?/
31. (жД /2)^ + (l//i /з)^
ay
Уравнение Хессе. Введение однородных координат х = ?г/?ь 2/ = ^з/^i приводит к
следующему уравнению с тремя независимыми переменными для w = w(?i, ?2, ?з)-
где gn = an?i + bn^2 + сп?з (^ = 1, 2, 3). О решении этого уравнения см. 6.2.1.21.
® Литература: Э. Камке A966).
2.2.3. Коэффициенты уравнений содержат целые степени х и у
1. ^ + (У2 + te2y - a2 - абж2)^ = 0.
ох	оу
Частный случай уравнения 2.8.1.3 при f(x) = Ъх2.
2.
Уж	" "	' dy
Частный случай уравнения 2.8.1.1 при f(x) = ах2, д(х) = Ьх3 + с.
dw , 2	1 3\ dw
дх	ду
Частный случай уравнения 2.8.1.2 при к = 3, f(x) = ах2, д{х) = 6.

22
Линейные уравнения вида f(x,yL^ + д(х,уL^- = О
4.
dx ' v"™^ ' ~/?7 dy
Главный интеграл:
= О.
v(av2 + bv + 1)
-In
5.
6.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /B) = Azs.
dw	Г 4 3	/» 2	\	1 dw
х	\- \ах у -\- (ох — 1)у + сх\	 = 0.
оу
Главный интеграл:
dv
av3 + 6v + с
7- ж" ^ + («ж^" + Ьху + с) |^ = °-
2—— + (ах2 у2
ох
Главный интеграл:
dv
ж"
2
-In Id
. , ч OW	,	2 , \ OW	_
+ 6)	(аху + с)	 = 0.
Главный интеграл: S = \ах2у2 +Ъу + сх.
8.
Главный интеграл: S = аж^/ + -|-Ьг/ + \сх .
> Сл/. также уравнения из разд. 2.2.5 при целых значениях степеней.
2.2.4. Коэффициенты уравнений содержат дробные степени х v\ у
dw , , /— , ,ч dw
—
=0.
Главный интеграл: S = г/ехр(— -|-аж3^2) —b exp(—-|-аж3^2) dx.
2.
Частный случай уравнения 2.8.1.2 при к = у, /(ж) = а-у/ж,
3. —	h (ay/xy + bxy/y)—— = 0.
с/ж	с/2/
Частный случай уравнения 2.8.1.2 при к = у, /(ж) = а-у/ж,
4.
dw
—	h Ал/ах + Ъу + с —— = 0.
ох	оу
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при f(z)= Ay/z.
5. х
dw
+
+ cx
dw
h («2/ + ^V 2/ + cx ) ^
ож	ay
1°. Главный интеграл при а / 1:
= 0-
H = In |
2°. Главный интеграл при а = 1:
(a — l)u + Ьуи2 + с

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	23
6. (ах + Ьл/у ) —— - (су/х + ау) —— = 0.
Главный интеграл: S = аж^/ + -|-fo/3'2 + -|-сж3 .
7- ^^J?" + ^^l	Е
Главный интеграл: Е = ———	——^- — а Ах + уJ — аАх + у).
L х — у J
® Литература: Э. Камке A966).
> См. также уравнения из разд. 2.2.5 при дробных значениях степеней.
2.2.5. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у
Главный интеграл: Е = уе~ах —Ь xke~ax dx.
Главный интеграл: Е = у ехр(	—хк+1 \—Ь I хп ехр(	—xk+1 j dx.
3. —— -
Главный интеграл: S = F(x,y), где F(x,y) = С — общее решение специального
уравнения Риккати г/J. = а^/2 + 6жп. Об этом уравнении см. справочники Э. Камке A976)
и В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
4. *L + B/2 + апх—1 - а2х2п)^- = 0.
ох	ду
1°. Главный интеграл при п ф — 1:
+ /^dx, ?7 expf
?/ - ахп J	\ n + 1
2°. Главный интеграл при п = — 1, а ф — \\
Ху + а + 1
Bа + 1)(ж?/ — а)
3°. Главный интеграл при п = — 1, а = — \\
2
1п|
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
5. -^ + (у2 + ажп?/ + аж")-^ = 0.
ох	оу
1°. Главный интеграл при п ф — 1:
-+ [ x~2Edx,
. га + 1
2°. Главный интеграл при п = — 1, а / 1:
3°. Главный интеграл при п = — 1, а = 1:
Н= ——
ху+1

24	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(х, у) -|^ = О
6- ^ + (У2 + ах"у - аЬх" - Ь2)^- = 0.
ох	оу
1°. Главный интеграл при п ф — 1:
у — b V	га + 1	/ У	V	га + 1
2°. Главный интеграл при п = — 1:
^а„2Ъх	г
ге2Ьх dx.
у -Ь
Главный интеграл:
Н = 1п
av2 + (га + l)v + Ь
дх	ду
1°. Главный интеграл при п + m / — 1:
S = Д + а [ xnEdx, Е = expf	—	xn+m+1).
у - bxm	J	Vn + ra+1	/
У
2°. Главный интеграл при п + т = — 1, m
у — Ьхт 2аЪ — т
3°. Главный интеграл при п + т = — 1, т = 2ab:
Е =	\- а\пх.
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
Главный интеграл:
s_ х-п-^Е	, | 1} fx~n-2Edx^	E-C:.p(	a	Хп+т+Л.
xnJrly — \	J	'	Vn + m + 2	/
Ож	ду
1°. Главный интеграл при т,п ф — 1:
2/ + с	У	V га + 1	га + 1
2°. Главный интеграл при п = — 1:
х~2ас
Е = -г— exPl
Vm + l	/ J	PVm + l
3°. Главный интеграл при т = — 1:
^	хъ	( 2ас n+i\ , /" n+& / 2ac n+i\ ,
?, = 	ехр	ж^ +а / ж ^ ехр	ж^ Ыж.
2/ + с V п + 1	J J	V n + 1	/
Qijj г г? 2		in diju
11.	1- ож 7/ — аж Fж + c)y -\- bmx		 = 0.
дх	ду
1°. Главный интеграл при пф —1,т + пф — 1:
Н =	ha/ хпЕ dx, Е = ехр (	1	J.
у - Ьхт -с	J	Vn + ra + 1	га + 1 /
2°. Главный интеграл при п = — 1, т ф 0:
S = 	—	ехр(—хт) + a [ хас-х ехрf—хт) dx.
у - Ьхт - с V га /	У	Vra /
3°. Главный интеграл при пф —1,т = —1 — п:
Н= 	^	expf-^^xn+1) +a /xa&+riexpf-^^xn+1)dx.
2/-6ж~Г1-1-с Vn + 1	/	У	Vn + 1	/

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	25
12- %г- - [апх^у2 - схт(ахп + Ь) + схт] — = 0.
ох	оу
1°. Главный интеграл при тф — 1, т + п ф — 1:
„	Е	Г хп~1Е	/ асхш+п+1 Ъсхш+1
" (аж™ + 6)[(ажп +6)?/ -
2°. Главный интеграл при т = — 1, п ф 0:
_ Г хп~1Е	/ асхш+п+1 Ъсхш+1 \
1] аПУ (ажп+6J Ж'	~6ХР\т + п + 1 га + 1 /
rf.bc	/ nr \	f	/ nr \ ™&c+n—1
Jb	I AС n\	I	I AС n\ Jb
—y- exp—x	— an I exp—x -	—
¦1	V n J	J	V n J (axn + bJ
3°. Главный интеграл при п ф —1,т = —1 — n:
rac+n— 1
^ =	-г	=- exp	x — an	— exp	x ax.
(axn + b) [(axn + b)y - l]	V n )	J (axn + bJ	V n )
дх	ду
1°. Главный интеграл при тф — 1, п-\- к ф — 1:
Н = 	— + а / жп.Б с/ж, ?7 = ехр (	жп+ +1 + -
2°. Главный интеграл при т = —1,п-\-кф — 1:
— х Е , f Ъ+п i-i т i-i / 2ас те.
^ = 	тг + а / х ^ Е с/ж, ?; = ехр 	ж
?/ — еж70	j	V п + /с + 1
3°. Главный интеграл при т/ —1,п + А; = — 1:
—	ж2ас	/ ^	m + l^	f 2ac+n	( Ь
Н = 	— ехр(	ж 1 + а / ж	ехр
4°. Главный интеграл при m = —1, п + к = —1, 2ас + Ъ ф к:
-Ь-к)хк 2ас+Ъ-к
"~ Bас + 6- к)(у - схк)
5°. Главный интеграл при т = —1, п + к = —1, 2ас + b = к:
хк
+ а 1п ж.
у - <
Главный интеграл:
^ [	dv	,	те_|_1
1=1 = / —W~(—7Т\—ГГ ~ 1п \х ' v = ж у-
J av5 + (n + l)v + о
дх	ду
1°. Главный интеграл при п + 2т / — 1:
аб2	у^+Ог
2°. Главный интеграл при п = — 2т — 1:
2а />?<**, ?7 = expf
У	V
Заб2 + т
3°. Главный интеграл при п = —2т — 1, т = — Заб2:
—- + 2а1п|ж.

26	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-^- -\- д(х,у)-т^- = О
1°. Главный интеграл при к ф — 1, п + 2т / — 1:
2с fc + i	баб2	п+2га+1
2а I xnEdx,
J
. к + 1	п + 2т + :
2°. Главный интеграл при А; = — 1, п + 2т ф — 1:
баб2
2а / xn+2c?;2 ^ж, ?;2 = ехр (-
J	\
п + 2т + 1
3°. Главный интеграл при к ф — 1, п + 2т = — 1:
?-6a&2J
-2а [ хп Qah2 Ei dx, Ei = ехр
. fc + 1
4°. Главный интеграл при А; = п + 2т = — 1, с / Заб2 + т:
™2(с — За& )	л	2 ч
г-^, 	 ^	.	а	2{с — 2>аЪ—т)
с — ЗаЬ2 — т
5°. Главный интеграл при к = п + 2т = —1, с = 3afr2 + m:
S= , Ж,т^,о +2а1п|ж|.
17.
Главный интеграл:
18. ^1 _|_
Главный интеграл:
Vn + ^^ V + 6
тп — тг — тптг. тг ¦ » „тп\ ^^ 	 t
-ln
х\, у = ух >
^ 1 I I	f	dv	-rn-l
1 ' J avn - (m + l)v + 6 '	^
19.
6»ж	" ' ~ оу
Частный случай уравнения 2.8.1.2 при /(ж) = Ъхш', д(х) = ахп.
20.
7 02/
1°. Главный интеграл при ас > 0:
/ас
2°. Главный интеграл при ас < 0:
6 _+„У /а „-ь.Л _жь
с У)
b л ах ъу — yj—ac ъ
—;	1П	-г	 / ~~ х •
2v— ас ax~by + yj—ac
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
21. ж	1- \ау + (п + Ьхп)у + еж ^l	 = 0.
1°. Главный интеграл при п ф 0:
„_ /*	а
" ~ У av2 +
	ж , v = ж |/.
- 6v + с п
2°. Главный интеграл при п = 0:
У а?/2 + by + с
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	27
22.	х— + (ахпу2 +Ъу + ex'71)— = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
^ f	dv	.	п
?. = /	111 Ж,	V = X у.
J av2 + F + 7i )v + с
23.	^	22+2
х + {аху+туаЬх)
дх	ду
1°. Главный интеграл при т + п ф 0:
5	+a[XEdX, Е ехР(
у - Ьхш	J	\ т + п
2°. Главный интеграл при т = — п:
"~ 2b(y-bxm)
24. ж^ + [ж^ + (™-«)з, + Ж2™]^=0.
Главный интеграл: S = arctg(xn~m?/) —
n + m
(•) Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
25. a;jg- + [oa;2V + (terl-«)t/ + c]|^=
Главный интеграл:
ZO. X	 -\- \CiX	у -\- KOX	— Ti)y -\- CX 	 = U.
дх	ду
1°. Главный интеграл при п + т ф 0:
Г dv xn+rn
п = / —	, v = х у.
J av2 + bv + с п + т
2°. Главный интеграл при п + т = 0:
„ [ dv	n
я = / —	тж, v = х у.
J av2 -\-bv -\- с
27. ж— + (ау3 + ЗаЪхпу2 - Ъпхп - 2аЬ3ж3т1)— = 0.
Ож	ду
Главный интеграл:
Е	.Л/*-1„,	„	/ Зо6_2
п
— + 2а [x-'Edx, Е = екр(-—х2п).
пJ	J	\ п	/
28. «Ц. + [ах2п+1у* + (Ьх - п)у + с*1""] ^ = О.
Главный интеграл:
dv	n
— ж, v = х у.
av3 + bv + с
f)ill	г	I О Q	In dill
Ож	Oy
Главный интеграл:
1 n
	Ж ,	V = ;

28	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
1°. Главный интеграл при п ф 1:
dv	xn~1	у
2°. Главный интеграл при п = 1:
Н= /"—^—г -1п|ж|,
31. ^.^^ + {^^[(i + 2n)x + an]|/ - nx2n(x + a)}-^- = 0.
ox	ay
Главный интеграл:
a — v~n
32.	?,— + {[aBn + fc)a> + Цж^!/ - (а2пж2А; + абж*5 - ф2"-1}— = 0.
Ож	Оу
Главный интеграл:
-к™ , [ Edv	-n	к
z, = х Е — ак —	, v = х у — ах ,
J nv2 — bv — с
ГП	( 7 f	VdV	\
где ?/ = ехр -А; / —	 .
V J nv2 — bv — с J
33.	хBаху + b)-^- - [a(rn + S)xy2 + b(rn + 2)y - еж™] -^- = 0.
Главный интеграл: S = сжт+2 [сжт — 2(m + l)y(axy + 6)].
34.	ж2Bажт/ + b)	Dax2y2 + Збжт/ — еж2 — к)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S = (еж2 + кJ — 4сх3у(аху + Ь).
дх	ду
1°. Главный интеграл при т ф 1, п ф 1:
2°. Главный интеграл при т = 1, п ф 1:
Е Ь\п\х\ +
П — 1
3°. Главный интеграл при m ф 1, п = 1:
т- 1
4°. Главный интеграл при т = 1, п = 1 см. в 2.2.1.4.
® Литература: Э. Камке A966).
Ож	Оу
1°. Главный интеграл при п ф 1:
а\п\у\.
a(l — n)
2°. Главный интеграл при п = 1, am ф Ъ:
, /	г	ат — Ъ
am — b
3°. Главный интеграл при п = 1, а?тг = 6:

2.2. Уравнения, содержащие степенные функции	29
37. ах	\- (уп + Ъхгпу)	 =0, п ф 1.
Ож	Оу
1°. Главный интеграл при т ф к — 1:
-Fx-kdx	F=	(l~n)b „rn-k + l
а(т + к - 1) '
2°. Главный интеграл при т = к — 1, (п — 1)Ъ ф та:
(п—1)Ь	„ 	 -|	(п — 1)Ь — та
(п — 1N — та
3°. Главный интеграл при т = к — 1, (п — 1)Ь = ?тга:
(та-1)Ь п - 1
2 == 'Т, о, ij	—I— 	 }д д™
а
38. ж(аж'г + 6)-^- + [ажпу2 + (/3 - апхк)у + т^"™] -^- = 0.
Главный интеграл:
S = х~кЕ
2 ^ ч,
av2 + (/5 + bn)v + 7
где ?7 = ехр Г/сб / —-——-——	1.
L J av2 + ([3 + bn)v + >y I
39. (у + Ахп + а)—- (пАхп-1у + кх™ + Ь)— = 0.
СЖ	^2/
Главный интеграл: Е = у2 -\	хш+1 + 2(Ахпу + ау + Ъх).
40. (у + ахп+1 + Ъхп)— + (апхп + схп-г)у— = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
-v2 — Fга + с)и + 6с
[f	v dv	1
где ?7 = ехр - / —-—-—	.
L J nvz — (bn + c)v + be J
41.	ж^аж71;*/ + 6) — - ГаCп + т)хпу2 + 6Bn + m)y - Ax™ - Cx~n] — = 0.
Ож L	^2/
Главный интеграл: Н = (Axn+rn + СJ - 2A(n + m)x2n+rny(axny + 6).
	diV	 diV
42.	(ехж -|- 6ж -|- жт/)	 -|- (ex -\- bxy -\- у )	 = 0.
Ож	ду
Главный интеграл:
Н = —!—(ау - сх)п~2 + f(y + b)(av - с)п~3 dv, v = У-.
ТЬ A	J	X
43.	(ay + ож + сху)	1- (fc?/ + bxy + ст/ )	 = 0.
Ож	Оу
44.
Главный
уах -\-
Главный
интеграл:
1=1 1 (hr
n — 2
ЬХ +С)^ +
интеграл:
_ Г Edx
^ J axn + Ьхш
-ау)п
(су2-
I
+ с
-2 [ (к
J
- bxm~1y
хЕ
ху + 1'
— av]
)n-s(b + cv)
vn
Е
= ехр[-/
dv, v
= 0.
(Ьхш +
х(ахп + Ь
_ 2/
X
2с) dx
•ж™ + с)

30	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
45.	{ахп + Ъх™ + с)— + (аж71-2?/2 + Ьж™?/ + с) — = 0.
Ож	#2/
Главный интеграл:
/* жп-2?аж Е _, Г/" Bажп+6жт)ож 1
^ = а /	1	, ?7 = ехр / -^-	-—- .
У ахп + Ьхш + с у — х	IJ х(ахп + Ьхш + с) J
46.	(сьх -\- их -\- с)	 -|- (сх.х у -\- /Зх у — сх.\ ж -|- /3\х )	 = 0.
дх	ду
Г xkEdx Е _ / /* /Зх8-2а\хк _\
^ = а /	1	, i? = ехр / —	с?ж .
J ахп + 6жт + с у + Л	VJ ажп + 6жт + с /
47.	Ж(ажп + бж^ + с)— - [s»fct/2 - (ажп + Ъх™ + с)у - sA*fe+2l — = 0.
дх	ду
тп	„ у — ху/\	(п /Т f	xk dx	\
Главный интеграл: ^ = 	-= ехр 2sv Л / 	 .
у + ж\/Л	V	У аж™ + 6жт + с /
48.	(ахп + Ъхк + с) — +\(ахп + Ъхк + с)у2-ап(п-1)хп-2-Ък(к-1)хк-2] — = 0.
дх L	J ду
Главный интеграл:
+ Г
1-1 + Ъкхк-Х] J (axn
" (ахп + Ьхк + с)[(ажп + Ьхк + с)?/ + апж71 + Ькхк~х\ J (ахп + Ьхк + сJ '
49. (сьж71 -|- Ь^/71 -|- ж)	-|- iax уп -\- /Зхтпуть тп -\- у)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
-га _ \)Vn + l — av	x
„ _ 1 n-ip_ f	Edv	Л._У
n — 1	J OLVn~k + f3vn~rn — bvn
_, [,-, \ f (bvn -\- a) dv	1
где E = exp A — n) I 	:	 .
Lv	JJ avn~k + /3vn-m - bvn+1 - av J
Главный интеграл:
„	1 n-2jp f	(Bv + A)E dv	у
" ~" n - 2 X	J avn~k + fiv71-™ - bvn+1 -av' V ~ x '
„ Г. . f (bvn + a)dv	1
где Е = exp B — n) I 	—r—	—	 .
L	J Oivn~^ + j3vn~rn — bvn~i~ — av J
/ m	, n	\ dw	, к , и n — 1	a\ dw
^j A •	¦ \JU \M	I \J 4jLj	i jj ¦	i f_Jt вЛх	i (_д f €/tAs	\M I r—' /	^^^~ ^-' •
Ож	Oy
Главный интеграл:
S = a(p(y) + at/^x) + bxny -\- sy -\- /3x,
где
		при	m ф —1, . , ч I 	 при к Ф —1,
m + 1 F ^	^(ж)= < /c + 1
In |г/1	при	m = —1,	[ln|x| при A; = — 1.
Главный интеграл:
" n + m-1	У vrn(bvn-k - av) '
где ?7 = exp a(l — n — m) / —^3^	 .

2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	31
53.	х(ахпут + а)^?.- у(Ьхпут + /3)-^- = О.
ох	оу
Главный интеграл:
„_ (уахь)А (уахC)в	Л_т/3-па	_ тЬ - па
ы — 	~\~	•< где J\. — 	. Jd — 	.
А	В	а/3 -Ьа	а/3 - Ьа
54.	x(anxkyn+k + в)—- y(bmxm+kyk + в)— = О.
ох	оу
Главный интеграл: S = akyn + bkxm — s(xy)~ .
55. (axnym + Ах2 + Вху)^- + (bxhyn+m-h + Аху + Ву2)^- = О.
дх	ду
Главный интеграл:
" n + m-2	J vm(bvn-k - av) '	ж'
где Е = exp [aB - n - m) /	^	1.
L	J bvn~k — av J
56. (ax"iT + bxyk)^- + (ays +/3)^=0.
дх	ду
Главный интеграл:
2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
2.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
1.	*?_	еЛ.в1?_=0_
дх	ду
Главный интеграл: Е = Ху — аеХх.
2.	% + (ae + b)%O.
дх v	ду
Главный интеграл: S = А(Ъж — ?/) + аеХх.
3.	-??- + (ае*'' + Ь)-7Г- = 0.
дх у	ду
Главный интеграл: S = А(Ъж — ?/) + In Ъ + ae y |.
4.
+ (ае+ 6)О
дх х	ду
Главный интеграл: ^ = е	у Н
5. в«+(ае*,,+/'-	^)_вю.=
дх х	ду
Главный интеграл: S = е~ y?J + aA / е Edx, где ?7 = ехр( —е7Ж j.
6. ае	h beRy	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S = —е~^у	е~Хх.
F	Cb	Ха

32	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(х, у) -|^ = О
dx.
т.	„Г се^х + d
Главный интеграл: ^ = у — —
У J аеХх + b
8.	(ae- + b)^ + (ce- + d)^=O.
Главный интеграл: S = \j3{dx — by) — d/3\n\ae х + b| + 6А1п|се у + с?|.
9.	(ae- + b)|| + (ce-+d)^=O.
Главный интеграл: Н = /3\(dx - by) + c\e0x - а/ЗеХу.
10.	(аех* + Ъеру) ^- + аАеЛж ^ = О.
Главный интеграл: Н = аеХх~у	—е(C~1)у.
Р1
еХх
11. (ае Х+Ру -\- с/л)	(Ье^х^~^у + сЛ)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл: Н = _^e(/3~^ + _J__e^-A> - се~Хх~^'.
2.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
дъи , о \т. "?"?\т»ч дио
1.	h (?/ + аЛе - а е )	 = 0.
Главный интеграл:
S =	\- I E dx, _ _.^ .
?/ - аеЛж У	V А
2.	1- [т/2 + by + л(Л — 6)е ж — а2е2 ж]	 = 0.
Главный интеграл:
^	Е	Г	f 2а х
у — аеХх J	V Л
3. 	-|- (у -\- ас у — аЬс — Ь )	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
¦^ _ Е	[Ed	Е— BЬ 4- — Лж>1
^ у — b J	'	V	А/
4.	(т/2 — ахеХху + аеЛаз)	 = 0.
аж	ду
Главный интеграл:
Е
х(ху — 1)
дх	ду
Главный интеграл:
+ 6
— х, v = е г/.

2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	33
6. ^L + [ае> V + Ьце^ - а62е<л+2^] *± = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
—	+a feXxEdx,
- be^x	J
7. —	h (aeXxy2 + by + ce Xx)—— = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
dv	\x
— x, v = e г/.
av2 + (b + A)v + с
дх	ду
Главный интеграл:
Н = 	^-^- +а / eXxEdx, E = e
dW	г ДЖ 2	LtJC	(/Lt —Л)ж ^^
аж	^ ду	'
Главный интеграл:
— + /'eXxEdx,
\х	J
Главный интеграл:
10. «w _ гАел- а _ аем= + oe(^-A)^ ^
Ож L	dy
E
- А Г eXxEdx, E = exp(-e^ - 2Аж)
ож	ay
Главный интеграл:
ж - X)y + се»"] — = 0.
ay
Главный интеграл:
S = f
J
av2 -\- bv -\- с fi + A
13. ^-+[е-(х/2]^
Главный интеграл: S =	1	e ж.
14.	^ + (ae^y2 + bnx	abex)
ox	oy
Главный интеграл:
H =	+ a / eXxEdx, E = exp Bab f xneXx dx).
у — bxn	J	\ J	J
15.	^L + (e^y2+	x
' ау
Главный интеграл:
Е
+ feXxEdx, Е = expf—2— xn+1 - 2\х).
J	\n+l	/
3 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

34	Линейные уравнения вида f(x,y)-r^- -\- д(х,у)-т^- = О
16. ^- + (АелV + ахпех"у - ахпе2Х°!) — = 0.
аж	оу
Главный интеграл:
Е = е Xf +Л / eXxEdx, Е = ехр fa / хпе~Хх dx).
у-еХх	J	V J	У
Главный интеграл:
Н =	+ a /'eXxEdx, Е = ехр (аЬ f xneXx dx) .
у-Ъхп	J	'	PV J	J
dx ^aX У	€	axe ) ^ — .
Главный интеграл:
H = 	^— + a / xnEdx, E = exp (lab f xneXx dx).
у - beXx	J	\ J	У
19. 	-|- (сьхпу -\- \y — ab xne ж)	 = 0.
dx	dy
Главный интеграл:
S =	ha/ xnE dx, E = exp (Xx + 2ab / xneXx dx).
y-beXx	J	V	J	У
20.	— + (axny2 - abxneXxy + b\eXx)— = 0.
ox	dy
Главный интеграл:
"	E	i	f П i~i J	7-1	( V f П Xx j \
2, =	\- a x E dx, E = exp [ab x e dx).
у — bxn	J	V J	У
21.	E2L -\- \axny2 - axn(beXx + c)y + b\eXx] ^- = 0.
Fit*	L	-I Лч»
аж
Главный интеграл:
+а [xnEdx,
J
у — ЪеХх —с
ехр {-^—xn+1 +ab [ xneXx dx] при п ф -1,
хас ехр (аб / 	dx )	при п = — 1.
22. *?- + [oxne3AV + (ЬЖ"еЛо! - Л)» + схп] — = О.
аж	ау
аж
Главный интеграл:
5=/
J
2 I ^
avz -\- bv -\- с
23. -^ + [oeA«(j, - te" - cJ + bnx"] — = 0.
аж	ay
Главный интеграл: S =	1	eXx.
у — bxn — с X
24. -*?. ( 2 2оАел.» _ eVA.')fl!l = 0
дх х	ду
Главный интеграл:
?/ — аеЛж"
-^ + Г Edx, E = ехр ha Г eXx2 dx).

2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	35
25.
Главный интеграл: S = arctg — ?/ехр(—\Хх2) — аЪ I ехр(—\Хх2
26.	ZOL + (ахпу2 + Хху + аЬ2хпех<") — = 0.
дх v	#2/
Главный интеграл: S = arctg — ехр(—-|-Аж2) — аЪ хп ехр(-|-Аж2) dx.
27.	— + (ае2Хху3 + beXxy2 + су + de~Aa3)— = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
dv	\х
-ж, v = e j/.
Н= Г ¦
dw
- '6abe ~y~ -\- су — Zabe ~ -\- be)
Главный интеграл:
28. — + (аеХху3 + ЗаЪеХху2 + су - 2аЪ3еХх + 6с) — = 0.
аж	aw
е
2СЖ?;
+ 2а | e^x+2c)xEdx, Е = ехр (-
(?/ + 6J
^q	*^"у . / Ааз 2 ¦ .	¦ .^ ^te Аазч «^ "у 	 ^
Ож	Оу
Главный интеграл: S = arctg —^	аб / хк~1еХх dx.
Ъхк J
dw	г 2тг Лж 2 . /, п Хх	ч .	Лж! dw
аж	ау
Главный интеграл:
[ 9 dv	Г хп-хеХх dx, v = хпу.
J av2+bv + c J	'	у
31. y^2L + еХх \Bа\х + а + Ъ)у - еХх(а2\х2 + аЪх - с)] — = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
/vEdv	-\x
—_	 у = е у — ах,
Xv2 - bv - с '	*
где E =
~~	\х dw	m dw
32. ае —	h by —— = 0.
дх	ду
1	l-m
1°. Главный интеграл при т ф 1: Е = 	2/ m H	е
6A — га)	Ла
2°. Главный интеграл при т = 1: S = — In Ы Н	е~ ж.
6	Ла
33.	(аеу + Ъх)^- + -^- = 0.
дх ду
1°. Главный интеграл при 6/1: S = же~&у	еA~&)у.
2°. Главный интеграл при 6 = 1: S = хе~у — ау.
34.	(сьхпе у -
' дх
Главный интеграл:
Н = -^-х1-пЕ -a J e{x-»)yEdy, Е = ехр [б(п - 1) Г уше-^ dy\.

36	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
35.	(ахпут
Главный интеграл:
E=-^Ixn-1E + aJym-kEdy, Е = ехр[б(п - 1) j y~keXy dy\.
36.	(ах у + Ьху )—	h е у^— = 0.
аж	оу
Главный интеграл:
Н = -^—хх-пЕ -a f yme-XyEdy, Е = exp [b(n - 1) /" уке~Ху dyj.
2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
2.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1.	\- ash(\x)	 = 0.
дх	v ' ду
Главный интеграл: Е = Ху — ach(Xx).
dw ,
+
дх
Главный интеграл: S = a/ix — ln|th(-|-//?/)|.
3. — + \у2 -а2 +а\ sh( \х) - a2 sh2 (АжI — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
S = 	^—— + / Edx, E = exp\^8h(\xj\.
у - ach(Xx) J	LA	J
дх	ду
Главный интеграл:
S = 	——-——^- + А / sh(Ax) exp[^- chBAx)l dx.
у - ch(Xx)	J	L z	J
дх ^	ду
Главный интеграл:
Е
h(Xx)[sh(Xx)y - ch(Xx)]
s.
dw	_ , >. dw
дх	ду
Главный интеграл: S = a/iln|th(yA#)| — Aln|th(-|-/ii/)|.
7. sh( W) ^ + a sh(Аж) ^- = 0.
Главный интеграл: S = Ach(//?/) — a//ch(Ax).
2.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
дх	v ' ду
Главный интеграл: S = a sh(Ax) — Ху.

2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	37
dw	, лdw
Главный интеграл: S = аХх — 2 arctg(e y).
dw	">	*2	*2	~i dw
dx	dy
Главный интеграл:
Е
ch(Ax) [ch(Xx)y - sh(\x)]
4. 2— + {[a-\ + ach(\x)]y2 +a + \-ach(\x)\— = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
где
2(а-Л)
г г	-.
expla / ch(Ax) th(^-Ax) с/ж I.
с	/ п , и ,т ^ OW	k dw
5. (аж +6жсЬ т/)—	\-у —— = 0.
Главный интеграл:
Н = х1~пЕ + (п - 1)а /" |/"fc^ dy, E = exp [b(n - 1) f y~k chm у dy^.
6. (ажп + Ъх ch™ у) — + chfe (\у) — = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
7.	(ая;71 ут + bx)^+ chfc (Atf) -^ = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
S = x'-nE + (n- l)a f V^L, E = exp[b(n - 1) f *!!—].
V	; J chk(\y) '	PL v	;i ch*(Aj/)J
8.	сЬ(М2/)^-+асЬ(АЖ)-|^=0.
Главный интеграл: S = //ash(Ax) — Ash(/ii/).
2.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
0.
ду
Главный интеграл: Е = Ху — а\п[сЬ(Аж)].
Он? ,
2.	_+оШ(л„)
Главный интеграл: S = аХх — ln|sh(Ai/)|.
3.	^ + [»а + аА - «(« + А) th2(A*)] 4^ = °-
аж	ау
[сЬ(АЖ)]2а/Л , Г г , /х ч12а/Л ,
Главный интеграл: ^ = -—-—^-—— + / сЬ(Аж)	dx.
у — ath(Xx) J L	J

38	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
4. Ш+ \у2 + ЗаА - А2 - а(а + А) Ш2(АЖI — = О.
дх	ду
Главный интеграл:
[ch(A*)]2a/A	| Г [ch(A*)]2a/A
^ —	h
sh2(Xx)[y — ath(Xx) -\- Xcth(Xx)] J sh2(Ax)
5.	(axn + bx th™ y) —^- + yk —^- = 0.
Главный интеграл:
H = ж11^ + (n - 1)а / 2/"fc?; d^, ?; = exp [b(n - 1) Г у~к th77
6.	(axn + te th-1 y) ^ + thfe (Ay) — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
и	1	— = еХР \Ь(П — 1) / 	г
thfc(A2/)	FL V	УУ thfe(A2/)
7.	(ах™ у™ + 6ж)-^^ + thte(A?/)—— = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
[ = expm(n —
thfc(As/)
1°. Главный интеграл при к ф 1:
Е = х1~пЕ + (n- l)a Гy~kEthm ydy, E = exp
2°. Главный интеграл при к = 1:
1—' / ~~Ь\1 — п , /	-1 \ / (n-l)b-l i-i n
?, = (^ж|/ J + (n — IJa / 2/	tn
2.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
+acth(A*H.
дх	ду
Главный интеграл: S = Ху — a In sh(Ax) |.
2.	Ц +
Главный интеграл: S = аАж — 1п[сЬ(Лг/)].
3.	^. + Гу2 + ол - а(а + A) cth2 (АхI — = О.
дх	ду
т-	-	[sh(Ax)l2a/	/"г 1 /\ М2а/Л ,
Главный интеграл: ^ = ——-—^-—- + / sh(Ax)	ax.
4.	^L + [у2 + ЗаЛ - Л2 - а(а + Л) cth2(A^)l — = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
Г 1 /л \1 2а/Л	„ г 1 /л \"| 2а/Л
„ = 	[sh(Aa;)] 	 /* [sh(Aa;)]
J
J
сЬ2(Аж)

2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции	39
2.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
1. *?- + a sh(АЖ) ch(цу) ^=0.
ох	оу
Главный интеграл: S = 2Aarctg(eMy) — ацсЪ.(Хх).
2.	Ь « сЬ(Лж) sh(/x?/)	 = 0.
ох	оу
Главный интеграл: S = Л In |th(y/ii/) | — a/ish(Xx).
3. *?. + [у2 _ 2А2 th2 (Ax) - 2A2 cth2 (Ax)] — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
„_	sh2{\x)ch2{\x)
¦ +
fsh2(Xx)ch2(Xx)dx.
у - Xth(Xx) - Acth(Ax)
4. ^L + Г^2 + л(а + 6) - 2а6 - a(a + Л) th2(A«) - b(b + A) cth2(A«)l — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
„ [sh(AaQ] А [сЦХх)] А	г	vilTfW* 4i #¦ ,
~ — -—-—	—-—-—- + / sh(Ax) a ch(Ax) a dx.
x) J L	J L	J
ж
X
у — ath(Xx) — bcth(Xx)
Главный интеграл: S = /3ch(Xy) — aXsh(f3x).
6. [axn cli^^Xy) + bx] —^- + shfe(/3?/)—— = 0.
Главный интеграл:
2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
2.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
,.
2.
Главный интеграл: Е = у — bx — а \п (Хх) dx.
Главный интеграл: S = х — I
dy
а\пк(Ху)+Ъ
3. —— -
Главный интеграл: Е = а \пк(Хх) dx — ——
Главный интеграл:
f dz	, л
^ = х — 	г—, ^ = х + А^.

40	Линейные уравнения вида /(ж, г/) -|^г + д(х, у) -|^ = О
2.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
Главный интеграл: S = 	xn+1 — j —г
Р	71+1	J \nk
Ч^у)
Главный
интеграл: S = 	у1 п — a \nk(Xx)dx.
1 — п	«у
[ e{2h~a)xEdx, E = exp[ax\n(f3x)].
3. ??L+[y2 + а 1п@х)у - аЪ 1п(/3ж) - Ъ2] ^- = 0.
Главный интеграл:
еBЪ-а)хЕ
у — Ь
Главный интеграл:
г _2	г /"
У '	\- J
nJtl I + b I + 6)
х(ху + 1)
5. -^- + (ахпу2 - abxn+1y In ж + 6 In ж + 6) -^- = 0.
Главный интеграл:
Е
у — bxlnx J	Ln + 2
Главный интеграл:
Н =	Ц- - (п+ 1) Г x~n~2Edx,	Е = ехр[а Г хп+1 (\п х)т dx].
y-x~n-v J	I J J
dw _|_ Г /i \n 2 i , rn-1 ,2 гггг/,	чп"! ^^ _ n
Ож ^	* dy
Главный интеграл:
Е
a [(\nx)nEdx, Е = ехр[2а6 Гхт(\пх)п dx].
у — Ьхп
duo г	о	j_i	-, Qin
Ож	Оу
Главный интеграл:
Н =	ha / (In x)nE dx, E = exp afr / ж (In x)n+1 dx .
у — bxlnx	J	I J	J
О 	 I л / Jj^ Ж) A/ 	 UX 	 СI I UTIX		 — Q
dx L V J V	7	J ay
Главный интеграл: S =	ha/ (lnx)fc dx.
Ю. — + [a(lnx)ny2 +6Aпж)ТГ1?/ + 6сAпж)ТГ1 -ас2Aпж)п]— = 0.
Главный интеграл:
Н =	ha f(\nx)nEdx, E = expj f[b(\nx)m - 2ас(\п х)п] dx\.

2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции	41
П. x^ + (ay + blnx)
оу
Главный интеграл:
? = 1пж— / —	, v = ау + Ь\пх.
J av2 + Ь
12. х^- + [ху2 - А2х 1п2(/3х) +А]^-=0.
Главный интеграл:
13. а,— + [ху* _ A2xln2k(f3x) + кАЫк-\13х)\— = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
у-А1пк(/Зх)
14.
¦ Г Edx, Е = ехр\2А Г \пк(fix) dxj.
дх v "	' ду
Главный интеграл:
Е
Ixn-x
2/ — Ь In ж
15.	х^- + [а 1пт(\х)у2 + ку + ab2x2k lnm(Aaj)l — = 0.
ох	оу
Главный интеграл: S = arctgf ^^ J — ab хк~х 1пт(Лж) dx.
16.	Ж^+[ОЖ"(Х/	2]^
Главный интеграл: S =	1	жп.
?/ + Ь In ж п
17. ж— + [аж2т1Aпж)у2 + (ftx^lnx-nb + clnxl— = 0.
аж
Главный интеграл:
S = / —	/ жп~ In ж с/ж,
J av^ + bv + с J
18.	ж* -^ + (at," In ж + by lns x) — = 0.
аж	оу
Главный интеграл:
Е = у1~пЕ + (п-1)а Г х~кЕlnm xdx, Е = ехр[b(n - 1) Г х~к \п хdx\.
19.	(a In x + 6) — + [у2 + c(ln жO1?/ - Л2 + ЛсAп жO1] — = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
Е	Г Edx	_	Г /* c(lnx)n-2Al ,
^ =	Ь / 	, ?7 = ехр / —^	 dx.
у + Л У a In ж + о	Lj a In ж + о J
20. (а1пх + Ь)— + [(\пх)пу2 + су - \2(\пх)п + с\]— = 0.
аж	ау
теграл:
„	Е	Г (\nx)nEdx	_	Г Г с-2ЛAпж)п , 1
^ =	h /	, Е = ехр / 	^	}— dx .
у -\- X J a In ж + о	U a In ж + о	J
аж
Главный интеграл:

42	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
21. х2 Щах) — - \х2у2 Щах) + ll — = О.
дх	ду
„	„	ж	f dx
Главный интеграл: ?i = 	=	=	/
\п(ах) \ху\п(ах) — 1 У
\п(ах)[ху\п(ах) — l] J 1п2(аж)
уп +
Главный интеграл:
22. In (Аж)	1- (ay + от/In ж)	 = 0.
ож	Оу
lnfc(Ax)
гуп In771 ж + 6^
Главный интеграл:
Е dx
ff = ехр
Г,
хр Ь
L
23. lnfe (Аж) — + (ат/71 In7" х + to/) — = О.
Ож	Оу
= ехр
Г.,
2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
2.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
Главный интеграл: Е = у — Ьх — а / sinfc(Ax) dx.
2.
Главный интеграл: Е = х —
J a si
dy
asink(Xy) + b '
dw . fe / . n/ \ dw
3.	\- asm (Аж) sin (/лу)	 = 0.
Главный интеграл: Е = a / sinfc(Ax) dx — .
4.	-
Главный интеграл:
E = x — 	г—, ^ = ж + A^.
У l + aAsinfc^'	^
5. _^ + \y2 _ a2 + aA sin(Аж) + a2 sin2 (АжI — = 0.
dx
Главный интеграл:
?/ + acos(Ax)
+ Edx, E = exp Г	 sin(Ax)l.
6.	-^- + [y2 + a 8т(/3жJ/ + ab sin(f3x) - b2] — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
H = —	\- f Edx, E = exp \-2bx - — cos(/fo)l.
у + b J	I	13	J
7.	_^!_+ [y2 + ax sin™(bx)y +a sin™(bx)]— = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
S = ^—-+ [x~2Edx, E = exp\a f xsmm(bx)dx].
x(xy + l) J	'	FL У	v y J

2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	43
8. E2L + [\sm(\x)y2 + Asin3(Aa;)]— = 0.
Главный интеграл:
Е
+ А / Е sin(Ax) dx, E = exp [\ cosBAx)].
у + cos(Ax)
9.	2—^- + {[А + а — asin(\x)]y2 + А — а — asin(\x)}—— = 0.
Главный интеграл:
S=	71	i—^Н— / \X-\-a—asm(Xx)\Edx, E=	—- exp — sin(Ax) .
у — tg(yAx + ^тг) 2J L	J	1 — sin(Ax)	LA	J
10.	— + {[A + asi^fA^)]?/2 + A-a + asin2(A«)}— = 0.
dx	oy
Главный интеграл:
E
+ [\X + a sin2 (ЛжI ?7 dx, E = —^—- exp [— cosBAx)l.
J L	J	smz(Xx)	L 2A	J
у + ctg(Ax)
Ож	Oy
Главный интеграл:
?7
k+1(xk+1y-
xk+1(xk+1y
1 (sin х
12. ^L + [asinfe(A^ + v)(y- bxn - сJ + у - bxn + bnx71'1 - c] — = 0.
ож	ay
Главный интеграл
: S =	\- a ex sin (Лж + /i) с?ж.
2/ - focn - с у
13. X^HL + \a s\nrn(\x)y'2 + ky + ab2x2k sinTri(A^)l — = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S = arctgf —— ) — ab x -1 sinm(Ax) dx.
14. [a sin(A«) + b\	1- [у2 + с sin(/xa?O/ — fc2 + ck sin(/j,x)]	 = 0.
Ox	(-*У
Главный интеграл:
f Edx	_,	Г/ csm(ux)-2k . 1
/ ——-——-, ?7 = exp / 	гтгА——dx\.
J asm(Ax) + o	LJ asm(Ax) + o J
E	f Edx
+ /
у-\-k
2.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
аж L	v 7 J ay
Главный интеграл: Е = у — bx — a / cos (Xx) dx.
dy
Главный интеграл: S = х — I
acosk(Xy) + b
3. ^L + a cosfe (\x) cos71 (w) — = 0.
дх	ду
dw
= u.
dy
Главный интеграл: Е = a cos (Xx) dx — I

44	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х,у)-т^- = О
4. ^L+^
ох
Главный интеграл:
Г	dz	z = x + \
J 1 + aAcosfc z
5. Jt?-+ [y2 - a2 + oAcoe(Ax) + a2 coea(Ax)l — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
E
у — asm(\x)
+ / Edx, E = exp	cos(Ax) .
6. Ш+[\ cos(\x)y2 + A cos3 (Ax)] — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
E
у — sin(Ax)
+ A I Ecos(\x)dx, E = exp[-yCosBAx)].
7. 2— + {[Л + а + асо8(Лж)]?/2 + Л - а + acos(Ax)}— = 0.
ox	ay
Главный интеграл:
S=	/ 1 л ч +
y-tg(^Xx) 2
8- "^ + {[Л + acos2(\x)]y2 + Л - a + a со82(Лж)}-^- = О.
ox	ou
— / |"A+a+acos(Ax)l?;dx, ??=-	тг^ ехР ~"^ cos(Ax) .
2 J l	n	l + cos(Ax) ^L A	J\
Главный интеграл:
Е
/ [A + a cos2 (ЛжI ?7 с/ж, Е= 	^	exp [—— cosBAx)l.
J L	V yj	cos2(Ax) PL 2A V yJ
9. (oxn»m + te)^ + cos11 (Ay)-^ = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
= eXp
, E = eXp\b(nl) [%
cosk(\y)	ly	'J cosk(\y)
\b(n-l)
10. (axn + bxcosmy)— +yk— = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
E = x1-nE + a(n-l) I'y~kEdy, E = ехр[б(п - 1) Г
11. (axn + 6ж cos™ y) — + cosfe (Ay) — = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
S = x1-"B + a(n-l) I
V	' J
h , B = exp[b(n1) / T 1 ¦
cosk(\y) '	PL v	' J cosk(\y) J
12. @1" cos у + te) — + cosfe (Xy) — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
+ а(п-1)[соат»Е*у, E = exp\b(nl)[gT
cosk(\y) '	FL v	'J cosk(\y)

2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	45
2.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
Главный интеграл: S = у — Ъх — а I tgfc(Aж) с/ж.
2.	1- [a tgfe (\у) + Ь]	 = 0.
Главный интеграл: S = ж — / —
У at
itgfe(A2/)+b'
Главный интеграл: S = a / tg (Лж) с/ж — / ctgn(/jJy) dy.
i-2a/A
т-	—	COs(Ax)	Гг /л ч-|-2а/Л,
Главный интеграл: ^ = —	^-—	\- I С08(Аж)	dx.
у — atg(Xx) J L	J
5. -^- + [у2 + Л2 + ЗаЛ + а(Л - a) tg2(A«)] -^- = 0.
Главный интеграл:
sin2(Хх) [у — a tg(Xx) + X ctg(Xx)] J	sin2(Ax)
6.	1- \y2 + ажtgfeF«O/ + atgfe(foc)l	 = 0.
dx	oy
Главный интеграл:
/ x~2Edx, E = exp[a f xtgk(bx) dx].
J	L J	J
x(xy + '.
Главный интеграл:
Edx
8. .?g_ + [atg71^)^2 - ab2 tgw+2(Aa0 + 6Atg2(A^) + ЬА] ^- = 0.
Главный интеграл:
E
	\-a f Etgn(Лж) с/ж, E = exp |~2at> / tgn+1 (Лж) dx\.
9.	1- a tg (Аж + ia) (y — bx — с) -\- у — bx + бпж ~ — с 	 = 0.
dx	oy
ex	f	к
Главный интеграл: S =	ha / ex tg (Лж + ц) dx.
у -bxn - с J
10. Ж^ + [atgm(Ax)y2 + fey + a62^2fetg^(A^)]^ = 0.
аж	ay
Главный интеграл: S = arctgf — х~ку) — ab xk~x tgm(Ax) с/ж.

46	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
11.	[a tg(\x) + Ь] ^- + [у2 + с t%(nx)y -k2 + ck tg(»x)] -^ = 0.
Главный интеграл:
E	Г Edx	Г Г ctg(fjix) - 2к . ~\
я =	h / 	, E = exp / — v y	с/ж .
?/ +/с У atg(Ax) + 6	Ly atg(Ax) + 6 J
12.	(as"» + te) ^ + tgfe (At,) -^- = 0.
Главный интеграл:
V	; J tg*(Aj/)'	PL v	;i tg*(As/)
13.	(ax" + tetg™w)-^-+tffc-^=O.
Главный интеграл:
, E = exp[b(n - \) jy~k tgm у dy\
14. (oa;+6a;tg2,)^+tg(A2,)^
ay
Главный интеграл:
15. (oa;"tg'"t/ + ba;)-^+tfe^
ox
Главный интеграл:
2.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
Главный интеграл: S = у — Ьх — a I ctg (\x)dx.
т. Г dy
Главный интеграл: ^ = х — \ 	j——	.
J a ctg^ (Xy)-\-b
duo	l>	Лчи
д 	 I ?» с^р* (ж -
Главный интеграл:
dz
4- ^ + [j/2 + aA + a(A - о) ctg2 (Хх)] -^ = 0.
аж	ау
т-	- [sin(Ax)]~ a/	/"г • /л м-2а/л ,
Главный интеграл: ^ = —	h / sm(Ax)	ax.
Р	2/ + actg(Ax) У L V J}
ох	оу
Главный интеграл:
Г • /л \~\—2а/\	/» Г • / л \"| —2а/Л
„ = 	[81П(АЖ)]		 + /* [81П(АЖ)]
J
s2(Xx)[y — Xtg(Xx)-\-actg(Xx)] J cos2(Ax)
J

2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	47
6- ^~ + [У2 - 2а ctg(a*)y + б2 - а2] ^ = О.
ох	оу
т-	—	sin~2(foc)	1 ,, v
Главный интеграл: ^ =	—	ctg(bx).
у — actg(ax) + bctg(bx) b
7.	ctg(Ax) -^ + a ctg(/j,y) -^- = 0.
Главный интеграл: S = a//ln|cos(Ax)| — Л In cos(/ii/)|.
8.	ctg(tiy) -^- + a ctg(Ax) -^- = 0.
Главный интеграл: S = a//ln|sin(Ax)| — Л In sin(/ii/)|.
9.	ctg(W)^+actg2(Aa;)|^=0.
Главный интеграл: S = Aln|sin(/ii/)| + a//ctg(Ax) + aXfix.
10.	ctgB/ + a) -^ + с ctg(« + 6) -^- = 0.
ож	ay
Главный интеграл: S = с In | sin (ж + Ь)| — In | sin (г/ + a)|.
11.	ctg(Ax) ctg(/x?/)-^- + a-^- = 0.
Главный интеграл: S = Aln|sin(/ii/)| + a//ln|cos(Ax)|.
12.	ctg(A«) ctg(/x?/) —— + a ctg(i/#) —— = 0.
ox	oy
Главный интеграл: Е = a/i ———- dx — ln|sin(/ii/)|.
J ctg(Ax)
2.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1. ^- + a sinfe (Ax) cos- (W) ^. = 0.
Главный интеграл: Е = a sin (Аж) dx — 	. В частном случае a = 1, А; = 1,
Р	J	У J	J cosn (/iy)	У
п = — 1 имеем S = //cos(Ax) + Asin(/ii/).
2. ^-+[у2 -ytgx + a(l - a) ctg2 x] ^- = 0.
ox	oy
1°. Главный интеграл при а ф -|-:
2
„ (sinx)~2a cos ж
-(sin жI
у + a ctg ж	1 — 2а
2°. Главный интеграл при а = -|-:
„	cos ж	,
^ = 	i	Ь In sin ж
?/ sin ж + тг cos ж
Главный интеграл: S = arctg f —?/ cos m ж j — 6 / cosm ж dx.
4.	1- (t/2 + my ctg ж + b2 sin771 ж)	 = 0.
ox	oy
Главный интеграл: S = arctg ( —у sin~m x) — b sinm ж с/ж.

48	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
5- -F- + [У2 - 2А2 4§2(АЖ) - 2А2 с4ё2(АЖ)] ^ = О.
т-	—	sin2(Ax) cos2(Ax)	,1	1./лЧ /лЧ /о\\
Главный интеграл: ^ = 	v / \	—;—- -\	х	sm(Ax) cos(Ax) cosBAx).
у — Actg(Ax) + Atg(Ax) 8	8A
Главный интеграл:
Я=	_	+ Г Edx, E= [cos(Ax)]~^[sin(Ax)]~~.
	1- Л sin( Лх)у -\- a cos (Лх)у — a cos \Лх) 	 = U.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
" cos(Ax) [ycos(Xx) — l]
8.	\- ГА sin(\x)y2 + a sin(\x)y — a tg(Aa?)l	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
" cos(Ax) \ycos(\x) — l]
9.	1- [Asin(A«O/2 + axn cos(\x)y — axn]	 = 0.
Ox	i-*y
Главный интеграл:
E
E=exp [a /хП cos(Ax) H •
" cos(Ax) [?/cos(Ax) — l]
10.	E2L + ГАеЛж cos(a?/) + BeM<B sin(a|/) + АеЛж1 — = 0.
дх L	J Oy
Главный интеграл: S = tg — exp (	емж ) — a A I exp (Xx	e^x ) dx.
2	\ ц J	J \	ii J
11.	sinrl+1 Bx) — + (ay2 sin2" x + b cos2" jb) — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
[*0n1, v = ytgnx.
2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
2.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
+ [aarcsin(A^) + 6]	= 0.
ох	ду
Главный интеграл: Е = у — Ьх — а / arcsin (Xx) dx.
2. -^- -+
dy
Главный интеграл: Е = х —
aarcsirr(A?/) + b

2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	49
3.	1- k arcsin71 {ах + by + с)	 = 0.
Главный интеграл:
а + ok arcsin" v
4.	1- а arcsin (Аж) arcsin71 (fty)	 = 0.
Ох	оу
Главный интеграл: Е = a arcsin (Лж) dx — /
J	J
arcsinn (/лу)
5.	\- [у2 + A(arcsin x)ny — а2 + aA(arcsina?)Tl]	 = 0.
(ух	(уу
Главный интеграл:
е-2а
Н= в ^^ + f e~2axEdx, ?; = exp[A /(arcsinж)пс/ж].
6.	Ь [?/2 + Лж (arcsin жO1 т/ + A(arcsin жO1]	 = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
Е
х(ху + 1)
+ х 2Edx, Е = ехр А / x(arcsinx)n dx .
7. ^L _ [(fc + 1)Ж^2 _ A(arcsin хПа>+1 j, - 1I -^ = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
E
	(ife + 1) f x~k~2Edx, E = exp\\ f xk+1(sncsmx)ndx\.
xk+1{xk+1y-l)
8. — + rA(arcsin x)ny2 + ay + ab - 62A(arcsin x)n] — = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
H = —^
у + b
9. — + [Afarcsin x)ny2 - bАж771 (ar^csin жO1?/ + bm^! — = 0.
ox	oy
[ еах(arcsin x)nEdx, E = exp[-26A /(arcsin ж)n с/ж1.
J	I	J	J
Главный интеграл:
E
+ Л /(arcsin x)nE dx, E = ехр [ьЛ / xm(arcsin ж)п
у — bx11
10. — + [Afarcsin x)ny2 + Ьгих™'1 - Xb2x2rn(arcsin жO1! — = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
E
у — Ьхш
+ Л / (arcsinx)nEdx, E = ехр|~2&Л / жт(arcsinx)n dx\.
J +	]
П. _^!_ + [Atarcsin»)^^ - ажт - бJ + ашж]- = 0.
ох	оу
Главный интеграл: S =	Ь А / (arcsin x)n dx.
F	2/ - ахт -Ь	J V	У
12. ж— + [Afarcsin жO1?/2 + ку + АЬ2ж2А;(агс8т жO1! — = 0.
аж	ау
Главный интеграл: S = arctgf —^тг) — А6 / xfc-1 (arcsin ж)п с/ж.
4 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

50	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + д(х,у)-^- = О
дх ^ У\^>у; ду
2.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
дх L	-1 ду
Главный интеграл: Е = у — bx — a / arccosfc(Ax) dx.
2. -^- + Га arccosfe(A?/) + 61 — = 0.
дх	ду
Главный интеграл: Е = х —
dy
a arccosfc (Ху) + Ь
3.	\- к arccos71 (ax -\-by -\- с)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
^ = /	x, v = ax + by + c.
J a -\-bk arccos72 v
4.	1- a arccos (Аж) arccos71 (/лу)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл: Е = а / arccosfc(Ax) dx — I
5.	\- \у2 + A(arccos x)ny — а2 + aA(arccos жO1]	 = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
"~ 2/ + а J C
6. —	\- \у2 -\- Аж(агссоз х)пу -\- A(arccos жO1] —— = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
S
x(xy
+ / х~2Е dx, Е = ехр А / x(arccos x)n dx .
J	'	FL J v	y J
7. JiffL_ [(fc + l)a;fet/2-A(arccosa;)rl(a;fe+1?/-l)]-^^ = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
?7
хк+1{хк+1у-1)
(ife + 1) / x~k~2Edx, E = ехр [А [ xk+1 (arccos ж)п
8.	-^ + ГА(агссо8 х)пу2 + ау + аЪ - Ъ2 A(arccos жO1! -^^- = 0.
аж	ау
Главный интеграл:
S =	Ь А / еах (arccos x)nEdx,	E = ехр -2ЬХ / (arccos ж)п dx .
9.	-^- + [A(arccos жO1?/2 - 6АжТТ1(агссо8 жO1?/ + Ьгаж™] — = 0.
Главный интеграл:
Е =	Ь А / (arccos x)nE dx,	Е = ехр 6А / жт(arccos ж)п с/ж .
2/ - Ьхт J V У	L j l У J
10.	1- A(arccos ж) 7/ + Ьтх ~ — \Ь	ж (arccos ж) 	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е =	Ь А / (arccos x)nE dx,	Е = ехр 2ЬХ / жт (arccos ж)п dx \.
у-Ъх™ J	I J J

2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	51
J + атх™'1]
П. E2L + ГЛ(агссо8 х)п(у - ах™ - ЪJ + атх™'1] — = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S =	Ь А / (arccosx)™ dx.
у - ахш -Ь	J
12. Х*Ш- + [A(arccos x)ny2 + ky + A62^2fe(arccos жO1] — = 0.
Ох	оу
Главный интеграл: S = arctgf ^^ J — \Ъ I xk~1(aiccosx)n dx.
2.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
Главный интеграл: Е = у — Ьх — а / arctgfc(Ax) с/ж.
2.
Главный интеграл: Е = х — I
dy
aarctgfc(A?/)
3. -^ + fcarctgTl(a^ + by + с)— = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
а + 6/с arctgn v
ж,
4.	1-a arctg (Аж) arctg (иу)	 =0.
дх	ду
Главный интеграл: Е = a arctg (Аж) dx — / 	^
5.	\- [у2 + A(arctg х)пу — а2 + aA(arctg жO1]	 = 0.
Главный интеграл:
Н = -——^ + fe~2axEdx, ?; = ехр[А ГUrctg x)n dx].
у+а J	I J	\
6.	\- [у2 + Aж(arctg х)пу + A(arctg жO1]	 = 0.
Главный интеграл:
+ х~2Е dx, Е = ехр Г А / x(arctg ж)п с/ж!.
E
х(ху + 1)
7.	(fe + 1)ж т/ — A(arctg ж) ix ^ у — 1)\	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
8. — + [Afarctg жO1?/2 +ay + ab- b2Afarctg жO1! -^^- = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
H = —^ + A /еаж(arctg x)nEdx, E = exp[-26A /(arctg ж)п с/ж].
у + b	J	I	J	J

52	Линейные уравнения вида f(x,y)-rp- + д(х,у)-тр- = О
дх ^ У\^>у; ду
dw	г /	ч7г 2	m/	\n	m — li ^^
9.	1- [A(arctg x) у — bXx (arctg x) у + огаж J	 = 0.
Главный интеграл:
H =	ЬА [(<irctgx)nEdx, E = exp\bX Г хш(urctg x)n dx].
у — bxm	J	L J	J
dw	г	*2	1	*2 *2	n dw
10.	1- Afarctg ж) 7/ +6шж ~ — \b x (arctg ж) 	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
у -Ъх"
+ А Г(arctg x)nEdx, ? = exp[26A Г xm(<irctgx)
11.	^- + [A(arctg х)п(у - ах™ - ЬJ + аш^] ^- = 0.
Главный интеграл: S = 	—	\- X / (arctg ж)п с/ж.
12.	ж— + [A(arctg х)пу2 + ку + A62ж2fe(arctg жO1! — = 0.
Главный интеграл: S = arctg (—— J — Xb xk~x(arctg x)n dx.
2.1 А. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
dw г	к / л. \ 11 dw
1.	\- a arcctg (Аж) + о 	 = 0.
дх L	* К ' } ду
Главный интеграл: Е = у — Ьх — а / arcctg (Аж) dx.
2.
т. Г dy
Главный интеграл: ^ = ж — / 	т-—	.
J aarcctg^fA?/) + b
3. ^L + к arcctg71 (ож + by + с) — = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
S = /
J
а + Ьк arcctgn v
ж,
4.	1-a arcctg (Аж) arcctg (fiy)	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл: S = a / arcctg (Аж) с/ж — /
5.	\- [у2 + A(arcctg x)ny — a2 + aA(arcctg жO1]	 = 0.
arcctgn
(ух
Главный интеграл:
e~2ax
Edx, ?; = exp[A /(arcctg ж)п
l J
6.	1- \y2 + Aa?(arcctg x)ny + Afarcctg жO1]	 = 0.
Ож	Oy
Главный интеграл:
+ / x~2E dx, E = exp A / x(arcctg x)n dx .
J	I J	J
x(xy + 1)

2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции х	53
7. —— — \(к + 1)хку2 — Afarcctg х)Г1(хк^1у — 1I —— = 0.
Главный интеграл:
Е
—— - (к + 1) Г x~k-2Edx, Е = ехр[л /V+1 (arcctg ж)п
хк+1{хк+1у
8. -^- + [A(arcctg x)ny2 + ay + ab - 62A(arcctg x)n] ^- = О.
С/Ж	&У
Главный интеграл:
„ _ еахЕ
+ Л Г eax(<ircctgx)nEdx, Е = ехрГ-26Л /(arcctg ж)п с^ж!.
9. -^ + [A(arcctg жO1?/2 - ^«^(arcctg жO1?/ + Ьгаж™] — = О.
С/Ж	&У
Главный интеграл:
Е
+ Л [(ancctg x)nEdx, E = ехрГ&Л f xmCncctgx)n dx\.
у — Ьх11
Ю. — + [A(arcctg х)пу2 + Ьтж" - \Ъ2х2гп(arcctg жO1] — = 0.
Главный интеграл:
S =	Ь Л / (arcctg x)nE dx, Е = exp 26A / жт (arcctg ж)п dx \.
у - Ьхш	J	I J	J
11.	1- Afarcctg ж) (т/ — ах —о) -\- атх		 = 0.
ох	оу
Главный интеграл: S =	Ь А / (arcctg x)n dx.
F	у- ахт -b	J У	6 '
12. ж— + rA(arcctg х)пу2 + ку + ХЪ2х2к(arcctg жO1! — = 0.
ох	оу
(у	\	С	h	Л
—^J — Xb х ~ (arcctg ж)п с/ж.
2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции ж
> Обозначения: f = /(ж), д = д(ж), /г = h(ж) — произвольные функции, а, Ъ, k, n, A —
произвольные постоянные.
2.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и степенные
функции
Главный интеграл:
e~Fg(x) dx, F = I /(ж) dx.
Главный интеграл:
Н = e~Fy1~k -(I-к) [ e~Fg(x) dx, F = A - k) f /(ж) dx.

54	Линейные уравнения вида f(x,y)-r^- -\- д(х,у)-т^- = О
Главный интеграл:
Н =	— + [ e2axEdx, E = expf [ fdx).
у - a J	\J	J
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
4.	\~ {у ~\~ xfy ~\~ /)	 — О-
Главный интеграл:
/_2	/ Г	\
х Edx, Е = expf / xfdx).
Е
х(ху + 1)
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
дх	ду
Главный интеграл:
- ^+1(^+1^-1) l/€+ } J X
Главный интеграл:
Н = в Е + / eaxfEdx, E = ехрBЪ [fdx].
у — b J	V J	/
•	I i ¦ \M	\JU vLj я \M I \Jh ш €/tAs	I ^^^^^^^^^ ^^^~ \_/ •
Главный интеграл:
	h [fEdx, E = exp(a [ xnfdx).
xn J	\ J	J
E
у — axn
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
Главный интеграл:
H =	h [ fEdx, E = exp [la [ xn j
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
9.
Главный интеграл:
Н = —	h / fEdx, E = ехр [Baf + g)dx.
у - a J	J
Главный интеграл:
Н=—Е +\ fEdx,
у — ахп J
11.	\- \fy — axngy + апхп~ -\- а х п(д — /)]	 = О
Главный интеграл:
— +[fEdx, ? = exp|a [xnBf-g)dx]
1С	J	L J	J
E
у — ax11

2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции х	55
12. x^L
ох
1°. Главный интеграл при а > 0:
2°. Главный интеграл при а < 0:
—) + д/jof /xn~1fdx.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
13. x^.+ [x^fy' + (axnf-n)y + bf]^-=O.
Главный интеграл:
1=1 = / ^^	ГТ ~ / х fdx' v = x у.
J v2 + av + 6 J
2.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные
и экспоненциальные функции
= 0.
- ~ ¦ " ' оу
Главный интеграл:
Н = —	—,	Ь Г e~XxEdx, E = expfa ft
ау-\-\е~Хх J	\ J
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
2- 4?-
Главный интеграл:
H = 	^—+ Г fEdx, E = exp(a ГeXxfdx).
у — аеХх J	V J	/
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Oil? I /jj 2 - х Лж	2 2Лжм #W
3. —	h (/?/ +аЛе -ае f)—— = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
Н= 	^^+ [fEdx, Е = ехрBа feXxfdx).
у - аеХх J	\ J	J
ox	оу
1°. Главный интеграл при а > 0:
2°. Главный интеграл при а < 0:
Н = Arthf6 ХУ) + л/Й [eXxfdx.
V у/|а| /	J
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
°
Главный интеграл:
Н=	^x^;+[fEdx> E = e*p\[(aeXx+b)fdx\.
у — аеХх — Ъ J	IJ	J

56	Линейные уравнения вида /(ж,г/)-о^- + д(х,у)-тр- = О
ду
Главный интеграл:
^_ f	dv	f f( \r1	_ \x
^-i — / ~	~	/ J \X J (XX,	V — 6
J vz + av + b J
1. ^ + (fy2 +9У + a\ex* - aex°>g - a2e2X°>f) -^ = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
S =	h / fEdx, E = exp / Bae x f -
у - aeXx J	IJ
Главный интеграл:
E	f-ix,
a f eXxBf - g)dx].
J	J
у - aeXx
Главный интеграл:
H= 	^т^-+ //?7с/ж, ?; = expf2a [ еХх* fdx).
у — аеХх J	\ J	/
1°. Главный интеграл при a > 0:
Н = arctgf6 *y) - y/R f eXx2fdx.
2°. Главный интеграл при а < 0:
H = Arthf e~X*y) + у/Ц f' eXx2 fdx.
V y/\a\ J	J
Главный интеграл:
H = е"ЛуЕ + Л / /(ж)?7 с/ж, ?7 = ехр [л Г д(х) с/ж].
(•) Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
2.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные
и гиперболические функции
Главный интеграл:
Н = 	Е , ч + Г fEdx, ?; = exp[2a Г fch(\x)dx\.
y-ach(Xx) J	I J	J
Главный интеграл:
Е
у — ath(Asc)
/ /?; с/ж, Е = ехр [2а / / th(Ax) с/ж].

2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции х	57
3. -^- + \fy2 - a(af + A) cth2(A#) + а\] ^- = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
у — acth(Xx)
- f fEdx, E = exp ha Г f cth(Ax) dx].
2.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные
и логарифмические функции
1. —— - [ay2 In х - аху(\п х - 1)/ + /] -^- = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
Е	Г Elnxdx	„
жAпж — 1)[аж?/Aпж — 1) — 1]
2. —	\- \fy2 — ах(\п x)fy + a In ж + а] —— = 0.
дх L	J Oy
Главный интеграл:
Е
+ / fEdx, E = exp fa / ж/ In x dx j.
у — ах In х
Главный интеграл:
Т?	Г	/Г	\
Е =	Ь / х~ fEdx, Е = ехрBа / х~ flnxdx).
у — а\пх J	V J	/
Главный интеграл: S =	h / —^- dx.
у + a In x J x
у + а 1п х
2.8.5. Коэффициенты уравнений содержат произвольные
и тригонометрические функции
1.	—— + [\sin(\x)y2 + / cos(\x)y — /]—— = 0.
Главный интеграл:
„	Е	С sin(Ax) ,	\ Г г /\ \ j 1
я = 	:—гт	:—:	г + А / 	?-——Edx, Е = ехр / / cos(Ax) с/ж .
cos(Ax)[cos(Ax)?/ — 1J	J cos^(Ax)	IJ	J
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
2.	— + [/з/2 -a2/ + aAsin(A#) + a2 f sin2(A«)] — = 0.
Главный интеграл:
Е =	Ь fEdx, Е = ехр -2а / f cos(Ax) с/ж .
y + acos(\x) J J	'	PL J J V У J
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
3.	-^- + Г/?/2 - a2/ + aAcos(A#) + a2 f cos2 (\х)]-^- = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
Е
у — asin(Xx)
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Г fE dx, E = exp ha Г f sin(Ax) dx].

58	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
4. -^- + [fy2 - a(af - Л) tg2(\x) + a\] ^- = 0.
Главный интеграл:
+ Г fEdx, E = ехр\2а Г f tg(Ax) dx\.
Е
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
5. 	-|- I^т/ — ayaf — Л) ctg (Аж) -|- а\\	 = 0.
Главный интеграл:
Н = 	—.—- + Г fEdx, Е = ехр [-2а /" /ctg(Ax) dx].
?/ + actg(Ax) J	L J	J
2.8.6. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции и их
производные
Главный интеграл:
fgdx).
У-9
Главный интеграл:
Главный интеграл: S =	Ь \ gdx.
У-f J
4. —— -
Главный интеграл:
S=	г-	+ [-№-
f(fy + 9) У Р9 '
Главный интеграл:
Н = ^-^+ Г f'xEdx,
6. _^_ _
f > dy
Главный интеграл: В = /(//+/,} + /
7. 9Ц +
Главный интеграл:
f	dv	f , 2 ,	2/

2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов	59
h-K]^-= 0.
8.
Главный
dw I
дх \
Главный
интеграл:
- f2(a9 + bK
интеграл:
2 + (9 +
ys+ fL
f
3/ft2
¦-У
у +.
f F
J -^
\-fhs
1 dw
lay
S = / —	^—	In |ap + b\, v =
J vs - av + 1 a
2/
f(a>9-
Главный интеграл:
"*
e2g>)_OW_ _ Q
1°. Главный интеграл при а > 0:
S = arctgf—— J — у/а I feg dx.
2°. Главный интеграл при а < 0:
Н = Arth(-^J-
Главный интеграл:
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных
аргументов
2.9.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и
произвольные функции у
'¦
„	„ С dx	f dy
Главный интеграл: ^ = /	/ ——
J /О) J g(y)
® Литература: Э. Камке A966).
Главный интеграл: S = f(x)e~y — I e~yg(y) dy.
Главный интеграл:
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).

60	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
4. [f(y) + атхпу™-г} ^- - [д(х) + апх^у™] ^- = О.
Главный интеграл: S = / f(y) dy + / д(ж) с/ж + ахпут.
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
5. [е"/(у) + с/3] |^ - [е^3(Ж) + са] ^ = 0.
Главный интеграл: S = / e~^y f{y) dy -\- I e~axg{x) dx — се~аж~ .
(•) Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
2.9.2. Коэффициенты уравнений содержат одну произвольную функцию
сложного аргумента
1. ^ + f(ax + by + c)^=0, ЪфО.
ох	оу
Главный интеграл:
2. *?. + /()
дх	\х ) ду
Главный интеграл:
dv
3. ^L+[f(y + axn + b)-anxn-1]^- = O.
Главный интеграл:
" J f(v)
Главный интеграл:
Н = [ 	^	 _ in |ж| v = хпу™.
J v[mf(v)+n]	' '	у
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
Главный интеграл:
"= / 	1 и *( \	х ' v = ax +Ъу .
J an + bmjyv) n
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Огу	—Лж /?/ Лж \ ^^
Главный интеграл:
[ dv	xx
У f(v)+\v '	У'
Главный интеграл:
v\XvfTv)
^v	iii	Xv
- - \n\x\, v = е ух.

2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов	61
dv
8. ? + ,„.-,-,? = а
Главный интеграл:
v[a + mf(v)]
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Главный интеграл:
* J v\
dv
п + af(v)]
-In
х\, v = xneay.
Ю. ^ + е^-^Пае^ + Ъе*)^- = 0.
Главный интеграл:
Пйм-Т^' —«"+^-
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Главный интеграл:
——- -х, v = у + аеЛж + 6.
12.	ажт/	h а/(ж е у) — пу\	 = 0.
дх L	ду
Главный интеграл:
"	П	1 /" -1П,	П (XV	п	ГП/*^]
* = уЕ	v Edv, v = xneay, E = ехр\— / ——- .
а У	L a2 J vf(v) J
13.	mx(lny)-^-+ [yf(xnyrn) -nylny]-^- = 0.
ох	оу
Главный интеграл:
,-J-fv-^Edv, v = xnym, E =
т J
m J vj[v)
14. ^[	2]|^
дх L v
Главный интеграл:
— ж, г; = г/ + atgx.
Главный интеграл:
Г evdv
z, = / ——	ж, v = \х + ту.
dw	;
Главный интеграл:

62	Линейные уравнения вида f(x,y)-r^- -\- д(х,у)-т^- = О
2.9.3. Коэффициенты уравнений содержат несколько произвольных
функций
1.	тх^- - [пу - xykf(x)g(xny™)] "f^ = °-
Главный интеграл:
/1 — к — т Aq>	Г пA — к)
V т —^-Х т /(Ж) С/Ж,	V = X у .
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
2.	iT-g- - [ахп + 9(x)f(y"+1 + а^1)] ^ = О.
Главный интеграл:
Н= f -^- + {n + l) [g(x)dx, v = yn+1+axn+1.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
1 ['(?)+-*Ч
Главный интеграл:
g{v)-vf(v)
где Я = ехр а /	v	.
4. [/(аж + 6?/) + Ъхд(ах + 6?/)] —— + [h(ax + 6?/) - ахд(ах + 6?/)] —— = 0.
Главный интеграл:
Е = хЕ- f f{v)Edv , v =
J af(v) + bh(v) '
^	[if q(v) dv 1
где Я = ехр -Ь / .,'hhf л •
L J a/(v) + 6/i(v) J
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
5. [/(аж + 6?/) + Ьуд(ах + 6?/)] —— + [h(ax + 6?/) - ауд(ах + 6?/)] —— = 0.
Главный интеграл:
h(v)Edv
« = аХ + ЬУ
Главный интеграл:
~ -к тр , 7 /"	g(v)E dv	n ш
^ = х Е + А;т / —=—^^^	=-, v = х у ,
У vn/W +mh(v)]
где ?7 = exp<^ A; /	/ v 	—-y- k
I J v[nf(v)+mh(v)\ J
7. x[f(xnym)
Главный интеграл:
^ = У E -kn
где ?7 = exp<^ A; /	v. 	—-y- k
L J v[nf(v) +mh(v)\ J
g(v)Edv	n m
T' v = xy ,
J

2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов	63
8. х [sf(xnym) - mg(xhys)] ^+y [ng(xhys) - kf(xnym)] -^ = О.
ох	Оу
Главный интеграл:
„ С dv	f dz	k s	n гп
- = / —т\ - / ., v , v = х у , z = х у .
J vg(v) J zf(z)
Здесь fx и fy —частные производные функции / = f(x,y) по переменным хну.
Общее решение: w = Ф(/(ж, г/)), где Ф = Ф(^) —произвольная функция.
® Литература: Э. Камке A966).
10. /(х, »)—-»(«,„)— = О, где ^ = ^-.
Главный интеграл:
S= Г f(xo,t)dt+ Г g(t,y)dt,
Jy0	Jxq
где ж о и |/о — произвольные постоянные.
11. х^- + [xf(x)g
Главный интеграл:
-- ff(x)dx, v = xne
(v) J
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
12.	m— + [mykf(x)g(eOLXyrn) - осу] — = 0.
Главный интеграл:
E = v rn ——	m / f(x) exp —	-x dx, v = eaxym.
J	g(v)	J	I m \
® Литература: A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A996).
13.	[/(ож + by) + beXyg(ax + 6?/)] —— + [/г(ож + by) - aeXyg(ax + by)] —^- = 0.
Главный интеграл:
E = e~Xyl
af(v) + bh{v)
где # = ехр Л /	! ;	.
L J a/(v) + 6/i(v) J
14. [/(as + b») + bea"g(ax + by)] ^- + [h(ax + by) - aea^g(ax + by)] ^- = 0.
Главный интеграл:
где E = exp a / /v	.
L J af(v) + 6/i(v) J
15. x [f(xneay) + ayg(xneay)] -f^ + [h(xneay) - nyg(xneay)] ^- = 0.
Главный интеграл:
^ = yE — / —=	^^	=-, v = x e y,
У У v[n/(v) + a/i(v)]
^	( f	q(v) dv
где E = exp<^ n / —=—^^
Fl У v[n/(

64	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- + д(х,у)-тр- = О
ду
16. [f(ea"ym) + mxg(e"<°ym)] || + y[h(ea*ym) - axg(ea*ym)] ^ = О.
Главный интеграл:
Г	f(v)Edv	v-e^rn
~	J v[af{v)+mh{v)\ '	У '
где Я = exp^ -m /	JV	к
17.	ж	\- \xyf(x)g(x In y) — ny In y\	 = 0.
дх	ду
Главный интеграл:
E= /-7T- fxnf(x)dx, v = xn\ny.
J g(v) J
18.	ж [f(xnyrn) + mg(xnyrn) In y] — + ?/[^(ж71;*/™) - ng(xnyrn) In y] — = 0.
Главный интеграл:
~ = Е\П - f	Hv)Edv	v _ xn rn
где ?7 = exp^ n /	;	Г7ТГ Г
ХЗ'. Ju J I «/^ f^ I ^^ 11L4J \Ju у I 111 «/• 	 ^^ f^ V ь/ / "'i/v l/ /		 —
Главный интеграл:
^ = ?J In ж — / —=—^-^^	=-, v = x у ,
J v[nf(v) +mh(v)\
{f q(v) dv	"]
—m / —p	^	=- >.
J v[nf(v) + m/i(v)J J
20.	cos у	1- [/^)g(sin ж sin ?/) — ctg ж sin у I	 = 0.
ox	oy
Главный интеграл:
S = / ——	/ /(ж) sin ж с/ж, г> = sin ж sin у.
J g[v) J
21.	sin 2ж —	\- [sin 2ж cos2 yf(x)g(tg xtgy) — sin 2y] —— = 0.
ож	ay
Главный интеграл:
S = / —^- - / /(ж) tg ж с/ж, v = tg ж tg 2/.
22.	ж	1- [ж cos2 yf(x)g(x2ri tg ?/) — n sin 2yl	 = 0.
ox	dy
Главный интеграл:
E= [ -^-- [ x2nf(x) dx, v = x2n tg y.
J g(v) J
23.	-^- + [cos2 yf(x)g(e2x tg y) - sin 2yl -^- = 0.
Ож	Oy
Главный интеграл:
/Yt^ /7t	?? — p iff ii
J yJb) ax, U — e ^& у•

3. Линейные уравнения вида
3.1. Предварительные замечания
3.1.1. Методы решения
3.1.1-1. Структура решения неоднородного уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение первого порядка с двумя независимыми пере-
переменными вида
^	y)-^- = h(x,y)	A)
оу
Общее решение неоднородного уравнения A) можно представить в виде суммы
w = w + wo,
где w — любое частное решение этого уравнения, wo — общее решение соответствующего
однородного уравнения (при h = 0).
3.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть известно частное решение и(х,у) (главный интеграл) соответствующего однородного
уравнения
ди	ди
f(x,y)—+g(x,y)— = 0	(иф const).
Переходя вA)отж, у к новым переменным ж, и = и(х,у), получим
/(ж,гр =7г(ж,ц),	B)
где /(ж, и) = /(ж, |/), h(x, и) = /г(ж, ?/) — коэффициенты исходного уравнения A), записанные
в переменных ж, и.
Уравнение B) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными для w = w(x) с параметром и. Его общее решение имеет вид
w= — '—-с1х + Ф(и),	C)
где Ф — произвольная функция, при вычислении интеграла и рассматривается как параметр. Для
нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в формуле C) после интегрирования
перейти к исходным переменным ж, у. Поэтому, если частное решение соответствующего
однородного уравнения известно, то решение неоднородного уравнения A) всегда может быть
найдено в квадратурах.
3.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы.
Если известны два независимых интеграла
ui (ж, у, w) = С\, и2 (ж, у, w) = С2	D)
характеристической системы
dx	dy	dw
f(x,y) g(x,y) h(x,y) '
то общее решение неоднородного уравнения A) имеет вид
Ф(и1,и2) = 0,	F)
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
5 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

66	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + д(х,у)Л^- = h(x,
3.1.1-4. Использование вспомогательного однородного уравнения.
Пусть ? = ?(ж, у, w) —интеграл вспомогательного линейного однородного уравнения с тремя
независимыми переменными
f(x,y)^-+g(x,y)^- + h(x,y)-^-=O.	G)
дх	ду	dw
Тогда интеграл w(x,y) исходного неоднородного уравнения A) можно получить путем разре-
разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения
относительно w.
О решении уравнений вида G) см. разд. 6.1.
3.1.2. Задача Коши
3.1.2-1. Формулировка задачи Коши.
1°. Классическая задача Коши. Требуется найти решение w = w(x,y) уравнения A), удовле-
удовлетворяющее начальному условию
w = ср(у) при х = 0,	(8)
где ср(у) —заданная функция.
2°. Обобщенная задача Коши. Требуется найти решение w = w(x, у) уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям
(9)
где ? — параметр (а ^ ? ^ /3), a hk(?) — заданные функции.
Геометрическая интерпретация: требуется найти интегральную поверхность уравнения A),
проходящую через линию (9), заданную параметрически.
Классическую задачу Коши A), (8), можно представить в виде обобщенной задачи Коши
A), (9), записав начальное условие (8) в параметрическом виде:
A0)
3.1.2-2. Решение задачи Коши.
Процедура решения задачи Коши A), (9) состоит из нескольких этапов. Сначала определяются
два независимых интеграла D) характеристической системы E). Затем для определения посто-
постоянных интегрирования С\ и С2 в интегралы D) подставляются начальные данные (9):
C2.	(И)
Исключая из D) и A1) постоянные С\ и Сг, имеем
ui(x,y,w) = tti(Jn(f),MO>U3(O)>	пу\
u2(s,y,ti;)=tt2(M0,M0,M0)-
Эти формулы представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши A), (9).
Исключив из формул A2) параметр ?, можно получить решение в явном виде.
3.1.3. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим неоднородное уравнение
dw	dw
+ b
Частное решение этого уравнения w ищем в виде функции, зависящей только от переменной х. В результате
имеем
w=—ln\x\.	A3)
а

3.2. Уравнения, содержащие степенные функции	67
Общее решение w0 соответствующего однородного уравнения при с = О, полученное с помощью
характеристического уравнения (см. разд. 2.1.1), дается формулой
),	A4)
где Ф = Ф(и) —произвольная функция.
Общее решение исходного неоднородного уравнения с частными производными дается суммой
решений A3) и A4):
w = — 1
a
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw dw	2х
аех—-+Ъ—- = се2ху.
ох	оу
Частное решение соответствующего однородного уравнения при с = 0 определяется формулой (см.
пример 2 из разд. 2.1.1):
и = ау + Ье~х.
Переходя в исходном уравнении от ж, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований для
функции w = w(x,u) получим
dw с _ be
ox az	az
Интегрируя это уравнение (г* рассматривается как параметр), имеем
с	be
w = -^-ехи	—х + Ф(и).
а2	а2
где Ф = Ф(и) — произвольная функция. Учитывая зависимость и = ау-\-Ье~х, находим решение исходного
неоднородного уравнения
w = —еху + -^-A - х) + Ф(ау + Ье~х).
а	а2
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
dw	dw 1
дх	ду
с начальными условиями
ж = ?, 2/ = $, w = e-	A6)
Два независимых интеграла соответствующей характеристической системы
dx dy dw
~Г ~ ~V ~ ~b~
имеют вид
у-ах = С1, w-bx = C2.	A7)
Подставив в A7) начальные данные A6), получим A — а)? = С1? ^2 — Ы; = С2. Исключая из этих
алгебраических уравнений параметр ?, найдем связь между постоянными С1 и С2:
A-OJ
Заменив здесь Сг и С2 на левые части равенств A7), после выделения w получим решение задачи Коши
A5), A6) в явном виде:
у - ах ( у - ах \2
w = bx - Ь—	Ь —	 •
1-а V 1- а /
3.2. Уравнения, содержащие степенные функции
3.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у
dw , , dw
1. а	\- Ъ	 = с.
дх	ду
Уравнение цилиндрической поверхности. Две формы представления общего решения:
w = —х + Ф
a
® Литература: Э. Камке A966).
w = —х + Ф(Ъх — ay), w = —у + Ф(Ъж — ау).
a	b

68	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- -\- д(х,у)-тр- = h(x,y)
ду
dw	dw
2- а-д^+Ь-8^=аХ+Ру + ^
Общее решение: w = —x2 + —x -\	у2 + Ф(Ъх — ay).
2a	a	2b
dw	dw	~
3. ax	\- b	 = ctx + py + 7.
аж	9у
Общее решение: w = —ж + — In |ж| Н	у2 + Ф(а?/ — 6In |ж|).
dw	dw
т. ах ~~г~ ох — с.
аж	ау
Общее решение: w = — In Ы + ФFж — ау).
а
,	л аи? .	л Он?
5. (ах + 6)	1- (ст/ + а)	 = аж + рт/ + 7-
аж	dy
Общее решение:
а	а2	ее2	^
dw	dw
ГЛГ	Р	, аХ + 7	аа	3 , ^/г»7	2\
Общее решение: г^ = —х -\	у	—у + ФBож — ау ).
a	b	3b2
7.	ау	1- Ьх	 = с.
dx	dy
Общее решение: w = —-== \т\уаЬх + ау + Ф(ау2 — Ьх2).
Vab '
8.	ат/	1- 6ж	 = сх + &з/.
Ож	Оу
гл/- Ькх-\-асу	, 2 7 2\
Общее решение: ги = 	— + Ф (ау —Ъх).
3.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по а: и у
Огу . dw	2 1 2
1. а	\- о	 = сх + ат/ + &жт/ + гг.
Ож	Оу
Общее решение:
w = —— \ЪBас — Ък)х -\-2а dy + 3abx(kxy + 2п)] + Ф(Ъх — ау).
.	Огу , , dw	2 , , 2
2. аж	Ь о?/	 = сх -\- ау
dx	dy
Общее решение:
—	(hex2 + ady2) + — In |ж| + ——ху + Ф(|жГ&/а2/) при а + Ъ ф О,
2ао	а	а + о
—	(еж2 — dy2) Л	(кху + п) In |ж| + Ф(ху)	при а + 6 = 0.
2а	а
dw , , Oitf
3. ау	\- Ьх	 = сху + d.
dx	dy
Общее решение: w = —х2 -\	-== \т\уаЬх + ау + Ф(ау2 — Ьх2).
2а	у/аЬ
2а

3.2. Уравнения, содержащие степенные функции
69
4.
2 dw	2 dw	2	2
	\- by 	 = сх + ш/ + &жт/ + пж + шу + s.
dx	ду
Общее решение:
с	s
w = — x		,
a	ax ax — by ax — by
dy2 + kxy ^
ах
У
fi	f/i	/ от	 hit \
+ — In |ж| + — In \y\ + Ф (	°У )
a	b	V xy /
5.
Общее решение:
2а - 1 ж
-^—h
при аф\,
Ъ— \n\x\ +Ф(|ж| 1/2у) при а = \.
2 ^^У	, 2 dw	2 , ,
6. ay	1- ож 	 — сх + а.
ох	оу
Частный случай уравнения 3.8.1.14 при /(ж) = а, д{х) = 6ж2, h{x) = еж2 + с/.
_	2 ^^У	Oil?	2 , , 2
7. ат/ —	\- Ьху—— = сх + ау .
ох	оу
Общее решение:
ас + bd	с ау — Ьх
w = 	х	\
аЬ	Ь V	Ь
3.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции
1	dw . dw
l	+
Общее решение: г^ = a\Jx2 + ?/2 + Ф ( — j.
Oil? , , Oil?	2 . > 2 . >
2. аж	\- by	 = cxy -\- dx у + к.
dx	dy
Общее решение: w =
	 dx2y
a + 26 "^ 2a+ 6
сху*
_ Он? Огу	2 . ,
3. ау	\- Ьх	 = сх у + а.
Общее решение: w = —х -\
За
I /
inWabx
+ Ф(аг/ — Ьх
4. (аж + Ь)-^" + (СУ + rf)^- —
ох	оу
Общее решение:
u> = — —ж	,
a V 3	2a
5.
2 а ш	а ш	2 /
Ж 	 -p Ж7/	 ^ 7/ (аж -p (
dx	dy
Общее решение: w =
(ах + Ьу)у2
з ^^у
6. аж	\-
аж
dw
= сх + а.
r	2cx + d
Общее решение: w =	h Ф
2аж2
axz - byz \

70
Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х^у)-^- = h(x,y)
3.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у
dw	dw	п	т
1. а	\- о	 = сх + dy .
dx	dy
Общее решение: w = Ф(Ьх — ау) +
.	dw	dw	rt
2- a^ + b^- = cxy-
-xn+1 +
, m + 1
Общее решение:
c[a(n + 2)?/ - bx]xn^
—-x(l — In |ж|) H	2/ln 1Ж1 + '
bc (л ,1
-^-A +ln
Ь(т
)	при п ф —1, —2;
— a^/) при n = —1;
при п = —2.
3.
Общее решение: w = — (ж2 + ?/2) + Ф( —).
.	dw
4. аж—	Ь
ох
dw
ay
Общее решение:
— сх у .
an + bm
хпуш + Ф(\у\а\хГъ) при
при an + 6т = 0.
5.	ax—	h by-^— = схП + ^2/^
dx	dy
Общее решение: w = 	xn -\	уш + Ф(уах~
an	bm
6.	rnx-^- + m/-|^- = (axn + 6?/Tri)fe.
ож	ay
Общее решение: u> =
тпк
7. ах" — + Ьут — = схк + dys.
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.2.4. Общее решение:
а(к-п
_xk-n+l +
d
b{s-m
-2/
s-m + l
a(l-n) 6A -m)
8.
— + Ъх™у— = cxkys + d.
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.4.3 при /(ж) = ахп, g(x) = bxm, h(x,y) = cxkys + с/.
9. аж" -^- + (Ьж!/ + ca;fc) -^- = яж" j/4 + d.
d
dx
ca;fc) -^- =
ay
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = ажп, gi(x) = 6жт, ро(ж) = схк,
h(x,y) = sxpyq +d.
Ю. ах
—
Ox
ly) — = sxpyq + d.
iy
Частный случай уравнения 3.8.4.5 при f(x) = ахп, gi(x) = сх1, go (ж) =
=sxpyq
л л	к OW	п dw	m
11. ау	Ь Ъх 	 = сх + d.
dx	dy
Частный случай уравнения 3.8.1.14 при /(ж) = а, д(х) = bxn, h(x) = схт + с/.

3.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
71
3.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
3.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
Л	dw , dw	\x
1. а	Ь Ь	 = се +
дх	ду
еХх
Общее решение: w = —еХх-\	е^у + Ф(Ьх - ау).
аХ	oil
аХ
2.
дх	ду
Общее решение:
еах+Cу + Ф(Ъх - ау) при аа + ЪC ф О,
c
-хеах+Cу + Ф(Ьх - ау)	при аа + ЪC = 0.
a
3.
4.
5.
дх
ду
е~ х
Общее решение: w =	е~ х + Ф(и), где и = Ь/Зе~Хх
аХ
вх dw
Общее решение: w =
= с.
и
ФО), где ^ = а/
Введем обозначение: и = —ef3y	еах.
рЬ	аа
Общее решение:
аG — а)	L	' аG — 2а)
± \хе-Ру _ Ш-(ах + 1)е~ах] + Ф(и)
a L	аа2	J
_С_[ах-0у _^	^
v> аа L	аа
при 7 / а, 2а,
при 7 = а,
при 7 = 2а.
6.
дх
ду
Введем обозначение: и = —е у	еах.
(ЗЬ	аа
1°. Общее решение при 7 ф си, 7 Ф %&, 7 /
)х _|_ ф(^).
2°. Общее решение при j = а:
а L	аа2
3°. Общее решение при 7 = 2а:
4°. Общее решение при 7 = За:
аа L 2
^.(аж _ 1I е"Л + Ф(«).
аа	J
.ea«-^ + ^( _ зу\ + ф(м)
а2а2 V	2/J

72	Линейные уравнения вида /(ж, у) 4^ + р(ж, у) 4^- = h(x, у)
дх ^ у\^>у; ду
_	ax dw	ву dw	-уж	и,у
ч	CLG 	 ~~r~ uG	 — CG ~~\~ SG
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) =аеах, g(y) = be^y, h\(x) = се7Ж, /12B/) = se^y.
дх х	ду
Частный случай уравнения 3.8.4.6 при f(x) = ае^, pi (ж) = Ъе1Х, до (ж) = с,
9. ав^335 ^^ + (Ье-*" + сеХу)^ = se»"+*v + к.
дх	Оу
Частный случай уравнения 3.8.4.6 при /(ж) = ае^х, gi(x) = 6е7Ж, до(х) = с,
Л(ж,г/) = se»x+5y + jfe.
Ю. ae^335 ^ + Ье^в+^ ^^ = ce»"+Sv + fe.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 3.8.4.6 при /(ж) = ае^х, gi(x) = 0, go (ж) =
h(x,y) = ce»x+6y + к.
11. ae y	\- beR 	 = ceT + d.
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.1.16 при /(ж) = a, g{x) = be^x, h{x) = се7Ж + d.
3.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
л	dw	dw	\х	и,у
1. а—	\- Ь-—- = суе + кхе^у.
дх	ду
Общее решение: w = —еХх (у	) Н	е^у (ж	) + Ф(Ьх — ау).
аХ \ аХ / bfi \ bfi /
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.1.4 при /(ж) = ахк.
dw
Частный случай уравнения 3.8.1.6 при /(ж) = beXx, g{x) = се^х.
4. -g- + («вА"» + Ьв"-„")-^- = се"-.
Частный случай уравнения 3.8.1.12 при /(ж) = 1, pi (ж) = аеЛж, дъ(х) = ^е^33, /г(ж) =
5.	Ь (ож + Ьх е у)	 = сер .
аж	ау
Частный случай уравнения 3.8.1.13 при /(ж) = 1, pi (ж) = ахк, рг(ж) = 6жп, /г(ж) =
Огу	Огу	Хх
6. ж	h У	 = ахе
дх	ду
r\r	aX	\x + uy . ^( У \
Общее решение: w = 	e ^y + ФI — I.
Xx + uv	\ x /
Xx + цу
7.
Общее решение: w = -^-eXx + — e™ + ф( ^ ).
Лж	//?/	V ж .

3.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	73
8.	ах —	\- be у —— = схп + s.
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.1.13 при f(x) = axk, gi(x) = 0, рг(ж) = 6, /г(ж) = сжп + s.
9.	ft?/ 	-|- бе 	 = се -|- s.
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.1.14 при f(x) = а, д(х) = 6еЛж, /г(ж) = се^х + s.
Частный случай уравнения 3.8.1.12 при f(x) = аеХх, gi(x) = 0, #2(ж) = 6, /ь(ж) = сжп +s.
Частный случай уравнения 3.8.1.16 при f(x) = а, д{х) = 6xfc, /г(ж) = се^х + s.
3.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
3.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1. а—	\- 6—— = csh(Xx) -\- ksh(/j,y).
дх	ду
с	к
Общее решение: w = — сЬ(Лж) -\	ch(fiy) + Ф(Ьх — ау).
ал	oil
dw . dw	u / \
дх	ду
Общее решение:
- сЬ(Лж + пу) + Ф(Ьх — ау) при а\-\-Ьи ф 0,
aX + bfi
С
—х sh(Ax + //^/) + Ф(Ьх — ау)	при аЛ + b/i = 0.
3. ж—	h 2/-^— = «ж sh(Aa? + цу).
ox	oy
A1*	f II \
Общее решение: w = 	ch(Ax + /iy) + Ф ( — ).
Лж + /iy	\ х /
4. а	|-6sh (Лж)	 =csh (//ж) + s sh (py).
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, pi (ж) = 0, go(x) = 6shn(Ax)
5. o-l^ + bshn(\y)-^- = cShm(»x) + sshk(f3y).
ox	oy
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = bshn(\y), h\(x) = cshm(//x),
h2(y)=S8hk(/3y).
3.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
1. а	\- Ъ	 — с сЬ(Аж) + к сЪ(/лу).
дх	ду
с	к
Общее решение: w = — sh(Ax) H	sh(//?/) + Ф(Ъх — ау).
аХ	b/i

74	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(ж, у) -|г- = /г(ж, у)
dw , , dw	, /, , ч
2. а—	Ь Ь^— = ссЬ(Лж + /лу).
дх	ду
Общее решение:
с
w=l a} + b»
sh(Ax + ау) + Ф(Ьх — ау) при аХ + Ъа ф О,
—х ch(Xx +/iy) + Ф(Ьх — ау)	при аЛ + 6//= 0.
3. ж—	Ь 2/^— = «ж сЬ(Лж + /лу).
ох	оу
Общее решение: w = 	sh(Ax + ay) + Ф ( — ).
\х + uv	\ х J
4. а-^ + бсЬ'^ж)-^- =cch™(/^) +schk(f3y).
ох	оу
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) =
5.
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = а, р(г/) = bchn(\y), h\(x) = cchm(//x),
3.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
1.	а— + Ь— = с!Ь(Лж) + kth(ij,y).
ох оу
с к
Общее решение: w = — 1п[сп(Аж)] -\	ln[ch(/ii/)] + Ф(Ьх — ау).
2.	о,-^- + Ь-^- — с!Ь(Лж + /лу).
ох оу
Общее решение:
	In ГсЬ(Аж + ну)] + Ф(Ьх — ау) при а А + b/i / 0,
aX + bfi
—х th(Ax + fiy) + Ф(Ъх — ay)	при аХ + b/i = 0.
a
3.	ж—	h 2/-^— = «ж 1Ь(Лж +
ож	ау
Общее решение: w = 	In ГсЬ(Аж + ау)] + Ф ( — ).
Аж + ш/ L	J	V ж /
Xx + /iy L v	^^/J	\x.
4.	а	|-oth (Лж)	 = cth (/^)-|-sth (py).
дх	ау
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = a, gi(x) = 0, .до(ж) =
dw
5.	а
аж
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) = a, g(?/) = bthn(Xy), h\(x) = cthm(^),
3.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1. a^HL + b!tL = с с!Ь(Лж) + fc cth(/x?/).
дх	ду
Общее решение: w = — In sh(Ax)| -\	ln|sh(//|/)| + Ф(Ъх — ay).
аХ	' b/j, '	'

3.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции	75
dw , , dw	,, /, , ч
2. а	\- Ь	 — ccth(\x + ay).
дх	ду
Общее решение:
	ln|sh(Ax + ау)\ + Ф(Ьх — ау) при аА + Ьа ф О,
аА + 6/х '	'
—ж cth(Ax + //^/) + ФFж — ау)	при аХ-\- bfi = 0.
а
3. ж	Ь 2/	 = ах cth(Aa?
ох	оу
Общее решение: w = 	ln|sh(Ax + ay) I + Ф ( — ).
\x + ay '	' \ ж /
Аж + /x?/
4.	а_?^ + ЬсИ1п(\х)-^- = ccth^i/jix) + scthk(f3y).
ox	oy
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) = bcthn(Xx),
h(x,y) = ccthm(fix) +scthk(f3y).
5.	a— -\-bcthn(\y)-^- = ccth^i/jix) +scthk(f3y).
ox	oy
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = bcthn(\y), h\(x) = ccthm(//x),
3.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
1.	а	\- Ъ	 — csh(\x) + kch(ij,y).
Ox	oy
с	к
Общее решение: w = — ch(Ax) Н	shi/iy) + ФСЬх — ау).
аХ	bfi
2.	а— + 6— = 1Ь(Лж) + к cth(ij,y).
ох оу
1	к
Общее решение: w = 	ln|ch(Ax)| -\	In sh(fiy)\ + Ф(Ъх — ay).
а\ '	* b/j,	'
Oil?	, Oil?	U/\ \ I I J.U/	\
ox oy
Общее решение: w = — ch(Ax) H	ln|ch(/ii/)| + Ф(Ьх — ay).
aX	o/x '	'
4. a-^	^
Общее решение: w = — ch(Ax) + Ф(гб), где гб = b/ix — 2а arctg (th -^— ).
аА	V 2 /
5. а	1- bsh(ay)	 = сЬ(Лж).
дх	ду
Общее решение: w = — sh(Ax) + Ф(и), где и = b/ix — а In th	 .
аА	2
3.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
3.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
Общее решение:
Г+/1 [1п(Лж + (Зу) - 1] + Ф(Ьх - ау) при аА ф -Ь/3,
аА ~г ufj
—х 1п(Аж + /Зу) + Ф(Ьх — ау)	при аА = —Ь/3.
а

76	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(ж, у) ^- = /г(ж, ?/)
2.
3.
4.
dw
дх
Общее
Общее
аж
а«?
~ду~
решение:
+ 61п(А
решение:
с
w = —ж
а
+ Ып"(
= с1п(Лж) + к\п(/3у).
w = —ж[1п(Аж
ду
[lnG^) — 1] + Ф
дио
/XtJL j	 — С 111
) - 1] + jy[\n(/3y) - 1] + Ф(Ъх
= clnG«).
'(гб), где и = 6ж[1п(Аж) — 1]
'"(/хаО+вЬ'Ч/Зз/).
a/ dy
/ *
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, до(х) =
5. o^ + 61n(A2/)^
ох	оу
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) = а, д(у) = 61nn(A|/), h\(x) = clnm(//x),
6. olnn(A*)— + Ыпк(/3у)— =
ох	оу
Общее решение:
-a /
с [ 1птGж) , , , ч	, [ dx
w= — л п) ' dx + $(u), где гл = ^ '
lnfc(^) '
3.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
аж
Общее решение: w = 	xn+1 -\	/in (A|/) dy + Ф(Ъж — а^/).
а(п + 1) 6 J
Ож Оу
Частный случай уравнения 3.8.1.3 при /(ж) = Ъ, д(х) = сжп, /г(ж) = 81п/г(Аж).
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) = бгп^Аж), д(у) = lnn(/3|/).
Частный случай уравнения 3.8.1.6 при /(ж) = Ьхп, д(х) = с1п/г(Аж).
5.	аж	1- by	 = xk(n\nx -\- mlny).
ох	оу
Частный случай уравнения 3.8.3.5 при f(u) = 1пгб.
6.	ах	\- Ьуп	 = с1птгг(Лж) + s In (/Зу).
дх	ду
Общее решение:
С Г —к m	s f -n I	Ь	i —к	CL	i-n
. ^	^.^.^ y, ..~ j v^-^^	и I &	\l a J a '	\ / 1	17	1

3.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	77
3.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
3.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
л	dw , dw	• /л \ i i • / \
1.	а	\- Ъ	 = csm(Xx) + ksm(ij,y).
dx dy
с	к
Общее решение: w =	cos(Ax)	cosi/iy) + ФСЬх — ay).
аХ	bfi
dw , , dw	. / ^ , \
2.	a	\- b	 = csm(\x + /лу).
dx dy
Общее решение:
w= \ с
	cos(Ax + fiy) + Ф(Ьх — ay) при аХ + b/i ф О,
aX + bfi
—x sin(Xx + fiy) + Ф(bx — ay)	при aX + bfi = 0.
a
_	dw	dw	. ,л	v
3.	x	\- у	 = ax sin(Aa? + /лу).
dx dy
Общее решение: w =	совГАж + ay) + Ф ( — ).
Аж + fiy	\ x J
4.	a	\-bsim71 (Xx)	 = csin^i/ix) + s sin (/3y).
dx	K J dy	va* / i	vy-y/
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, до(х) = бвт^Аж),
h(x,y) = С8тт(/хж) + ssinfc(/32/).
5. a-^- + bsin^iXy)-^- = csin^ifjix) + ssink(f3y).
dx	dy
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = bsmn(Xy), h\(x) = csinm(//x),
/i2B/) =ssmk(f3y).
3.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
л	dw , Он?	/\ \ i i / \
1.	a	\- b	 = ccos(Xx) + kcos(ij,y).
dx dy
с	к
Общее решение: w = — sin(Ax) H	sin(/ii/) + ФFж — аг/).
aX	bii
.	Огу , , dw	/Л . ч
2.	а	1- о	 = ccos(Xx -\- /лу).
dx dy
Общее решение:
с
w=
I
sin(Ax + цу) + Ф(Ьх — ау) при аХ-\- bfi ф 0,
—x cos(Ax + /jy) + Ф(Ьх — ay)	при аХ + b/i = 0.
a
a
_	Oil?	Oil?	/x
3. ж	1- 7/	 = ax cos(A« +
Ож dy
Общее решение: w = 	sin(Ax + ay) + Ф ( — ).
Xx + ш/	\ ж /
Аж +
4.	a	1- 6cosTl(A«)	 = ссобгп(/лх) + s cos (/3y).
cfx	&У
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, ^о(ж) = bcosn(Xx),
h(x,y) = ccosm(fix) + scosk(/3y).
5.	a^HL + b cos71 (\y) — = ccosm(^) + scosk@y).
dx	dy
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) = а, р(г/) = 6cosn(A|/), hi(x) = ссо8т(/хж),

78	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(ж, у) -|г- = /г(ж, ?/)
3.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
dw	dw
1. а—	Ь Ь—— = ctg(Xx) + ktg(iJ,y).
ox	oy
Общее решение: w =	ln|cos(Ax)|	ln|cos(//?/)| + Ф(Ъх — ay).
aX '	' b/i '	'
.	dw , , On?	, /л
2- °^ + 6^ = cts(Aa; +
Общее решение:
ln|cos(Ax + fiy) | + ФFж — ay) при аХ-\- bfi ф О,
—x tg(Ax + цу) + Ф(Ъх — ay)	при аХ-\- bfi = 0.
a
aA + 6//
3. ж—	Ь 2/^— = «ж tg(A« +
Общее решение: w =	In I cos (Аж + fiy)\ + Ф( — ).
Xx + ?ш	V x J
. x .
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = a, gi(x) = 0, до (ж) = ?^п(Аж)
5.
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = а, р(г/) = 6tgn(A^/), /ii(x) = ctgm(//x),
3.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
1.	а	Ь b	 — cctg(A#) + kctg(ij,y).
dx dy
Общее решение: w = — 1п|8т(Аж)| Н	ln|sin(//|/)| + Ф(Ьх — ay).
clX	of!
dw , , dw	, /, , ч
2.	a	1- 6	 = cctg(A# + /it/).
Общее решение:
	In 8т(Аж + /iy) I + Ф(Ьх — ay) при aX + b/i ф 0,
с
—ж <^(Аж + //?/) + ФСЬх — ay)	при aA + b/i = 0.
a
3- *-^+»-^=a«ctg(Ax + MW).
Общее решение: w = 	кфтГАж + ay) I + Ф ( — ).
Аж + /x?/	\ ж /
4. ci	 -
A^)^
ay
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, до(х) = 6ctgn(Ax)
5. a^
ox
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = bctgn(Xy), h\(x) = cctgm(//x),

3.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	79
3.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
dw , dw	• /\ \ i	/ \ I #
1.	а	\- о	 = sin(Aa?) + ccos(/j,y) + к.
dx оу
к	1	с
Общее решение: w = —х	cos(Ax) -\	sm(fiy) + Ф(Ьх — ау).
а	ал	о/1
2.	а—	\- b-—- = tg(\x) + csin(ij,y) + к.
ох оу
Общее решение: w = —х	ln|cos(Ax)|	cosifiy) + Ф(Ьх — ay).
а	аХ '	' Ь/х
_	Он? , dw	. / л \ / \ .
3.	а	1- 6	 = sin(Aa?) cos(/xt/) + с-
аж	ау
Общее решение:
' С	COS(\X — fly)	COS(Лж + fJ>y) . -ж-/,	ч	л ,, / п
—ж	^-^	^-L + ФFж — аг/)	при а\±Ьи Ф О,
а	2(a\-bfi)	2(a\ + bfi)
—х -\	sin — {Ъх — ay)	 + Ф{Ъх — ау) при аХ — bfi = О,
а	2а i a	J	2(аА + Ьн)
—х	sin — (Ъх — ау)	 + Ф(Ъх — ау) при аА + bfi = О.
К а	2а I a	J	2(аА — Ьн)
.	dw . , . / ч dw	/х ч
4.	а	1- bsml/jLy)	 = cos(Aa?) + с.
дх	оу
Общее решение: w = —х -\	sin(Ax) + Ф(и), где и = b/ix — a In tg(y//|/) |.
а	аХ
5.	а—	Ь btg(^y)—— = sin(A«) + с.
аж	ау
Общее решение: w = —ж	cos(Ax) + Ф(и), где гб = h\ix — a In sin(/ii/)|.
а	аА	'
6.	а-^- + btg(fiy)-^- = ctg(Ax) + с.
Общее решение: ги = —ж	ln|sin(Ax)| + Ф(и), где гб = 6//ж — a In sin(/ii/)|.
о,	аХ
3.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
3.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
л	dw	dw	. x	.у
1. а	\- о	 = carcsin	\- к arcsin —.
дх	ду	А	/3
Общее решение:
с (	х	/	\ к /	у	/	\
= — (х arcsin	Ь у А2 — х2 ) -\	(у arcsin — + л//32 — у2 ) + Ф(Ьх — ау).
а V	А	/ b \	C	/
2. а	1- Ь	 = carcsin(Aa? + /Зу).
dx dy
1°. Общее решение при аХ-\-ЪC ф 0:
с Г	/	1
- (Хх + (Зу) arcsin(Ax + (Зу) + у\ — (Хх + (ЗуJ + Ф(Ъх — ау).
2°. Общее решение при аА + ЪC = 0:
w = —х arcsin(Ax + /Зу) + Ф(Ъх — ау).
а

80	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х^у)-^- = h(x,y)
_	dw	dw	• /\ i /a \
3. ж	\- у	 = ах агсз1п(Аж + /Зу).
dx	dy
Общее решение: w = ax arcsin(Ax + /Зу) +
л/1 (Хх
] + ф (
Аж + /??/ -I	V х
ф (^ Y
4. а	\- 6агсз1п7г(Аж)	 = сагс81пГ71(/хж) + sarcsinfe(/3?/).
dx	dy
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, до(х) = baicsinn(Xx),
h(x,y) = carcsinm(//x)
5. а	1- b arcsinn (\y)	 = carcsin^f/xa?) + s arcsin (/3y).
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при /(ж) = а, д(у) = Ъarcsin™(Xy), h\(x) =
= carcsinm(//x), /12B/) = sarcsinfc(/3|/).
3.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
л	dw	dw	x	у
1.	а	\- о	 = carccos	\- к arccos —.
дх	ду	А	/3
Общее решение:
w = — (х arccos	у А2 — х2)-\	[у arccos	у/'j32 — у2 ) + Ф(Ьх — ау).
а V	А	/ b \	C	/
2.	а	1- b	 = с arccos(Аж + /Зу).
дх ду
1°. Общее решение при аХ + ЪC ф 0:
w = Сх иа \{Хх + /Зу) arccos(Ax + /Зу) - y/l - (Хх + /ЗуJ} + Ф(Ъх - ау).
ал + op L	J
2°. Общее решение при аХ + Ъ/3 = 0:
w = —х arccos(Ax + /Зу) + Ф(Ьх — ау).
а
3.	х	1- т/	 = ах arccos (Аж + /Зу).
дх ду
Общее решение: w = ах [arccos(Ax + /Зу) - л/1 (Хх + (ЗуЩ + ф /^_\
L	Аж + (Зу J	V ж /
4.	а	1- b arccos71 (Аж)	 = с arccos™ (/лх) + s arccosk(/3y).
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) = 6arccos™(Аж),
h(x,y) = carccosm(//x) + s arccos k(f3y).
5.	а	1- 6 arccos71 (At/)	 = с arccos771 (//ж) + s arccos (f3y).
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = 6 arccos™(A^/), /ii(x) =
= carccosm(//x), /12B/) = sarccosfc(/3|/).
3.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
л	dw	dw	x	у
1. а	\- b	 = carctg	1- к arctg —.
дх	ду	А	/3
Общее решение:
w = -\x arctg ^ - А 1п(А2 + ж2I + A L arctg 1L-1. ln(/92 + у2)] + Ф(Ъх - ау).
а I	\ 2	JoL	р 2	J

3.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	81
2.	а>^г~ + Ъ-^~ = carctg(Aa? + f3y).
ox оу
1°. Общее решение при а\ + ЪC / 0:
w = аЛ^ [(Хх + /fy) arctg(Ax + /fy) - 1 ln[l + (Хх + /fyJ] } + ФFж - а?/).
2°. Общее решение при аЛ + ЬC = 0:
и> = —ж arctg(Ax + /Зг/) + Ф(Ьх — ау).
а
dw , dw	,. . л \
3.	ж—	h У-^— — ах arctg(A« + /Зу).
ох оу
Общее решение:
w = ax{axctg(\x + fly) -	\	f
I	2(Лж
\ \п\х +
2(Лж + /5?/) L	(Хх
4. а	Ь barctg^fAa?)	 = carctg^f/xa?) + s arctg1* (f3y).
ox	oy
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) = 6arctgn(Ax),
/г(ж,|/) = carctgm(//x) + sarctfc
5. a-|^
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) =a,g(y)=barctgn(Лг/), /ii (ж) = сarctgm(//ж),
3.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
л	dw , Он?	ж .	,2/
1.	а	1- о	 = carcctg	1- k arcctg —.
дх	ду	X	/3
Общее решение:
w = -\x arcctg 4- + 4 ln(A2 + ж2I + Т I» arcctS 1 + 4 ln^2 + У2 А + Ф(-Ьх ~ а^)-
2.	а—	1- 6—— = carcctg(A« + /Зу).
ох оу
1°. Общее решение при а\ + ЪC / 0:
arcctg(Ax + (Зу) + 1 ln[l + (Хх + /З^/J] ) + Ф(Ъх - ау).
2 L	J J
™ л ! ^ {(Лж + ^2/) arcctg(Ax + (Зу) +
аХ + bC I	2
2°. Общее решение при аЛ + 6/3 = 0:
= —х arcctg(Ax + (Зу) + Ф(Ьх — ау).
а
dw , dw	,, . л \
3. ж	1-2/	 = «ж arcctg(Аж + (Зу).
ох	оу
Общее решение:
w = axLicctg(Xx + (Зу) +	Х	In [ж
I	2{Хх + /5?/) L
2(Аж + (Зу) I	(Хх + (ЗуJ J J	V ж
V
4. а	Ь Ь arcctg71 (Аж)	 = с arcctg™ (//ж) + sarcctgfe(/3?/).
ох	оу
Частный случай уравнения 3.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, ^о(ж) = Ъarcctg72(Аж),
h(x,y) = carcctgm(//x)	fc
5. а	\- Ъ arcctg71 (\у)	 = с arcctg771 (/ax) + s arcctg (/Зу).
дх	ду
Частный случай уравнения 3.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = Ъarcctg72(Xy), h\(x) =
= carcctgm(//x), /12B/) = s aicctgk (f3y).
6 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

82	Линейные уравнения вида f(x,y)-^-\-g(x,y)-^-=h(x,y)
3.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
3.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
1 dw .dw
1. а	\- Ъ	 = f (ж).
dx	dy JK }
Общее решение: w = — / f(x) dx + Ф(Ьх — ay),
a J
® Литература: Э. Камке A966).
dw	dw
rx
Общее решение: w = / (у — ах + at)f(t) dt + Ф(у — ах), где хо —любое.
3- -0^ + а"^" — f(x)y2 + й'(ж)?/ + fr(as).
Общее решение:
^ = (р(х)у2 + ф(х)у + х(ж) + Ф(з/ — аж),
где
Ф) = J /0*0 ^, <ф(х) = J [д(х) - 2аф)] dx, Х(?) = J [h(x) - аф(х)] dx.
v . dw о, \ к
— \ Qj	 ^ jix)y .
с	dy
fX	к
Общее решение: w = / (у — ах + at) f(t) dt + Ф(у — ах), где хо —любое.
Jxq
dw	dw _ о/ \ \у
Общее решение: w = еНу~ах) Г f(x)eaXx dx + Ф(у - ах).
Общее решение: w = / д(х) dx + Ф(и), где и = е~аху — / f(x)e~ax dx.
.	dw	dw
4- -^ + a-^
Частный случай уравнения 3.8.2.3 при h(y) = ук.
Общее решение:
где и =
при к = 1.
Общее решение: u> = by + (с — afr) In \у + а| + Ф(и), где гг = (г/ + а) ехр — / 	 .
L J f(x) J
Общее решение:
/д(х) 7	/ _z	/" же~2 7 \	f dx
-—— dx + $[e у -а -—— dx), где - -
/(ж)	V	J /(ж) У

3.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	83
И. ^(Ж)"^Г + [яЛх)У + 9о(х)]-^- = h2(x)y2 + hi(x)y + ho(x).
Общее решение:
w = (p(x)y -\-ipyx)y-\-xyx)-\-Я>\и), u = e y— I e —^-ax,
J	f
где
S	CLX,	kjt ^= Cjr^Xj ^= /	CLX,
G К -2go<p ^ x{x) = J К-д,ф
U' f^^E: + [9i(v)y + 92(x)yk]—^- = h(x).
dx.
Общее решение: w = —^- dx + Ф(и), где
J J\x)
dx.
13.
Общее решение: w = / ; { dx + Ф(и), где
J f(x)
и = e~XyE(x) + Л f Q2;X} E(x) dx, E(x) = exp [л f 9l;} dx].
/ f(x)	L / fix) -I
14. /(ж]_
Общее решение: гу = Ф(и) + / —^- [и + ?7(t)] fc+1 <it, где
f(t)
и = ук+1 - Е(х), Е(х) = (к + 1) Г ^Щ- dx, хо —любое.
J J\x)
Замена z = yk+1 приводит к уравнению вида 3.8.1.11:
Лаг* )	 —I— ( I? —I— 1 ) fi-i (Т] у —I— Л(п ( т* ) 	 — ll <~> (Т) 21
16. /(ж)е y-^- + 9(x)— = h(x).
Общее решение:
где жо —любое.
3.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции ./• и
произвольные функции у
Общее решение: w = — f(x)dx-\	I g(y)dy + Ф(Ъх — <
a J	b J

84	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х^у)-^- = h(x,y)
dw dw _е / \ / \
2. 	 ~\~ а	 — f \^)9\У)-
ГХ
Общее решение: w = f(t)g(y — ах + at) dt + Ф(у — ах), где жо —любое.
Jx0
dtv г	1 dtv
dx	dy
Общее решение:
w= I g(x)h(eaxu + eax Г f(x)e~ax dx^j dx + Ф(и), и = е~аху- Г f(x)e~ax dx.
При интегрировании и рассматривается как параметр.
Общее решение:
/to
Преобразование ?, = I , I dx, 1} = ух~к приводит к уравнению вида 3.8.2.3:
где F@ = A - к)±±Ц-, G@ = ^fr, Я(Ч) = А(у).
J2\X)	J2\X)
fi(x)gi(y)—	h /2(^)^2B/)-^— = 1гг(хIг2(у).
Преобразование ? = /	с/ж, т/ = /	cfa/ приводит к уравнению вида 3.8.2.2:
J ДО)	J 92{y)
Частный случай уравнения 3.8.4.7 при h(x, у) = hi(x) + /1-2B/).
3.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
сложных аргументов
Общее решение:
	 / /(^) d^ + Ф(Ъх - ау) при аа + ЪC / О,
—xfiptx + /Зг/) + Ф(Ь
а
где 2 = ах + /Зг/.
.	dw	dw	?( у
—xfiptx + /Зг/) + Ф(Ьх — ау)	при аа -\-bf3 = О,
а
Общее решение: w = xf( — j + ф( — J.
(•) Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).

3.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	85
dw	dw ?( 2 . 2ч
Общее решение: w = Фу — ) -\	/ /(?)—, где ? = х2 + у2.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
Общее решение: т = ф(^-) +xf(^\ + - [g@^, где ? =
ах	h bv	 = ж t(x v ).
dx ^ y dy	JK y }
Общее решение:
1 Г и	/ an-\-bm m \
—	х ~ fix а и а ) dx + Ф(и) при an / —bm,
—xkf(xnym) + ФО)	при an = -bm, к ф О,
а/с
—	f(xnym) In |ж| + Ф(гб)	при an = —bm, к = О,
- а
где 16 = уах~ь'. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
гаж—— + пу^г~ = f(axn + ^2/^)-
аж	ау
Общее решение: ги = ФB/тж"п) + -^— I f(g) — , где f = ажп + 6^m.
ж —	\- ху—— = у f{OLX + /Зу).
ох	оу
Общее решение: w = —	—-—Г / zk~2f(z) dz + ф(—\ где
x[olx Ч~ иУ) — /	V х /
/(ж) Он? flf(y) Огу
Общее решение:
w = Ф(и) + fh(O^f, где «=
3.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
dw	dw	„, Л
L ^^ + о^- = /(ж'2/)-
/•ж
Общее решение: w = /(t, ?/ — аж + at) dt + Ф(^/ — ах), где жо —любое.
ж0
Ож	Оу
Общее решение:
1 f 1	1/а &/а\
г^ = — / —fix, и ' х ' ) dx -\- Ф(и), где гб = '
a J х
При интегрировании гб рассматривается как параметр.

86	Линейные уравнения вида f(x^y)-^- -\- д(х,у)-тр- = h(x,y)
ду
^(ж)"^" + 9(х)у-^~ = Нх> У)-
ох	оу
Общее решение:
JI^ldx! где и=_|,
При интегрировании и рассматривается как параметр.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
4. ^(ж)"^" + [9i(x)y + go(x)]-j^- = h(x,y).
Общее решение:
w = Ф(и) +
	с/ж, и =
/
где G = ехр ( / — dx), Q = G —	. При интегрировании и рассматривается как
\J f /	J fG
параметр.
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
5. f(x)—— + [#1(ж)з/ + до(х)ук]-^- = h(x,y).
При А; = 1 см. уравнение 3.8.4.3. При к ф 1 замена ? = 2/lfc приводит к уравнению вида
3.8.4.4:
® Литература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
6- /(*)-§J + [fli(*) +9о(Ж)еЛа]-|^ = h(x,»).
Замена ^ = е~Лу приводит к уравнению вида 3.8.4.4:
fi(x)gi(y)-^ + f2(x)g2(y)-j^- = h(x,y).
Преобразование ? = / , ! dx, ц = / ^ с?г/ приводит к уравнению вида 3.8.4.1:
J /iW	J 92\У)
dw dw	, .	. .	h(x,y)
+	=^(f*7) ГДе F(^V) =

4.1. Линейные уравнения вида
f(x, у)%+ д(х, У)% = Цх, y)w
4.1. Предварительные замечания
4.1.1. Методы решения
4.1.1-1. Структура решения.
Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка с двумя независимыми перемен-
переменными вида
f(x,y)-^- +g(x,y)-^- = h(x,y)w.	A)
Общее решение уравнения A) можно представить в виде произведения
w =
где w — любое нетривиальное частное решение этого уравнения, wq — общее решение соот-
соответствующего «укороченного» уравнения (при h = 0).
4.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть известно частное решение и(х, у) (главный интеграл) соответствующего «укороченного»
однородного уравнения
+0(ж,г/)-^ =0	(иф const).
dx	ду
Переходя в A) от ж, у к новым переменным ж, и = и(х,у), получим
/(ж, и) -^ = h(x, u)w,	B)
где /(ж, и) = /(ж, у), h(x, и) = h(x, у) — коэффициенты исходного уравнения A), записанные
в переменных ж, и.
Уравнение B) можно рассматривать как линейное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение для w = w(x) с параметром и. Его решение имеет вид
w = ф(и) exp / -=Ь	'- dx ,
[J f(xu) J
где Ф — произвольная функция, при вычислении интеграла и рассматривается как параметр.
Для нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в последней формуле после
интегрирования перейти к исходным переменным ж, у.
4.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы.
Если известны два независимых интеграла
щ (ж, у, w) = C\, U2 (ж, у, w) = С2	C)
характеристической системы
dx	dy	dw
f(x,y) g(x,y) h(x,y)w '
то общее решение неоднородного уравнения A) имеет вид
Ф(и1,и2) = 0,
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
D)

88	Линейные уравнения вида /(ж,?/)-Ф^- + д(х, у)-^г~ = h(x,y)w
4.1.1-4. Сведение к неоднородному уравнению.
Замена ? = In \w\ приводит к линейному неоднородному уравнению
f(x,y)^-+g(x,y)^- = h(x,y),
дх	ду
которое рассматривается в разд. 3.1.1.
4.1.1-5. Задача Коши.
Задача Коши для уравнения A) формулируется также как для «укороченного» уравнения при
h = 0 (см. разд. 2.1.2). Ее решение можно получить из формулы для общего решения, в
которую подставляются исходные данные. Можно использовать также метод, который основан
на подстановке исходных данных непосредственно в интегралы C) характеристической системы
D) (этот метод описан в разд. 3.1.2).
4.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw , 2
+ ay—- = by2w.	E)
дх	ду
Частное решение этого уравнения w ищем в виде функции, зависящей только от переменной у. В результате
имеем
w = ехр(—- у2).	F)
Общее решение w0 соответствующего «укороченного» уравнения при 6 = 0, полученное с помощью
характеристического уравнения (см. разд. 2.1.1), дается формулой
«,0 = Ф(уе-а%	G)
где Ф = Ф(и) —произвольная функция.
Общее решение исходного уравнения с частными производными E) находится путем умножения
решений F) и G):
w = ехр(	у2 \ф[уе~ах).
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	л _
+	=beAxyw,
+ау
ох	ду
которое отличается от уравнения E) только правой частью. Частное решение и(х,у) соответствующего
«укороченного» уравнения при 6 = 0 можно получить из формулы G), полагая в ней, например, Ф(и) = и:
и = уе-ах.
Переходя в исходном уравнении от ж, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований для
функции w = w(x,u) получим
дх
Интегрируя это уравнение по переменной х (и рассматривается как параметр), имеем
_ / ехр [-^е(а+лН Ф(и) при Л ф -а,
— \ L а + Л	-I
у ещ)(Ъих)Ф(и)	при Л = —а,
где Ф = Ф(и) —произвольная функция. Учитывая зависимость и = уе ах, находим решение исходного
уравнения
ехр(—Ь—уеХх)ф(уе-ах) при Л ф -а,
ещ>(Ъухе~ах)ф(уе~ах)	при Л =—а.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
dw	dw	/r_
— +a—=bw.	(8)
дх	ду

4.2. Уравнения, содержащие степенные функции	89
Два независимых интеграла соответствующей характеристической системы
dx _ dy_ _ dw_
1	a bw
имеют вид
у-ах = С1, we~bx = C2.	A0)
Поэтому общее решение рассматриваемого уравнения выражается через произвольную функцию двух
аргументов Ф(у — ax,we~bx) = 0. Разрешив эту зависимость относительно второго аргумента, получим
решение в явном виде
w = е х^{у — ах), где Ф(м) —произвольная функция.
Пример 4. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (8) с начальным условием
w = (f(y) при х = 0.	A1)
Сначала представим начальное условие A1) в параметрической форме (см. разд. 3.1.2):
х = 0, у = ?, w = v@-	A2)
Подставим начальные данные A2) в интегралы A0) характеристической системы (9). В результате получим
значения постоянных интегрирования: С1 = ?, С2 = <?(?)• Подставляя эти значения в формулы A0),
находим решение задачи Коши (8), (И) в параметрическом виде
у — ах = ?, we~bx
Исключая отсюда параметр ^, получим решение решение задачи Коши (8), A1) в явном виде
w = ebxip(y — ах).
4.2. Уравнения, содержащие степенные функции
4.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х w у
л	dw , , dw
1. а	\- о	 = cw.
дх	ду
Две формы представления общего решения:
w = ехр( —х )Ф(Ьх — ay), w = ехр( —у)Ф(Ьх — ау).
V а /	V Ь /
dw , dw
2- а~^ + у-^- =bw
Общее решение: w = ||/|&Ф(||/|ае~ж).
® Литература: Э. Камке A966).
_	dw	dw
Дифференциальное уравнение для однородных функций порядка а.
Общее решение: w = хаФ(у/х).
® Литература: Э. Камке A966).
/ dw , dw \
4. х а	Ъ	 = cyw.
V dx	dy J	У
Общее решение: w = exp< —j- [(Ьж + a^/) In ж — Ьж] ^ФFж + ay).
dw , dw
5. x	\- у	 = axw.
dx	dy
Общее решение: w = еахФ (— ).
, .	ч dw , , ч Он?
Дифференциальное уравнение конической поверхности с вершиной в точке (а, 6, 0).
Общее решение: ги = (ж — а)Ф (	).
V х — а /

90
Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х,у)-т^- = h(x,y)w
_
7.
dw
(?/ + аж)— -f
Общее решение:
dw
= bw
±±[ 2 /\	Y
2 J v2+ (a-l)v + a J'
где ? = у2 + (а - 1)жг/ + аж2, г; = г//ж.
4.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у
л	dw	dw ,2 2 ч
L а^ + ь^- = (ж -y)w-
Общее решение: w = ехр 	(bxs — ays) \Ф(Ьх — ay).
L Зао	J
2 dw ,	dw , 2
2. ж	1- аху	 = by w.
dx	dy
при a=Y-
Общее решение:
h	2
expf-	- — )Ф(х~ау) при аф\,
V	2а — 1 х /	z
/г/2 ч _
exo I n 1ti ж I Ф( ж
V	ж /
2 Oil?	, 2 dw	/	ч
3.	аж	1- by 	 = (ж + cy)w.
Общее решение: w = х1'аус' Ф(	).
\х у J
4.	ж2	\- ау2	 = (Ьх2 + сху + dy2)w.
Эх
ду
Общее решение: w = ехр (
„2
+ абж?/ — 6ж2 сху
In
ау — х
2 ¦ 2\
ху
2 dw	2 #™
5.	у -?— + аж -^— =
Общее решение: w = ехр (еж -\	у\ф(ах —у)-
6.	ху—	h ay2—— = (Ьх -\- су -\- d)w.
дх	ду
Общее решение:
A - a)d - abx
а(а-1)У
ехр f	hcjln|x|	Им ) ПРИ а = 1-
_
7.
8.
+ о)—
ох
2 , ч dw
— Ьх)—— = ayw.
оу
Общее решение: w; = (х + ?/)Ф	h a In 	—
V х + ?/	ж I /
х(ку — х + а)	у(кх — у + а)	 = 6(т/ — ж)к;.
Ож	Оу
Общее решение: w; = (ж + ?/ — а)ьФ (	— ).
V ху /

4.2. Уравнения, содержащие степенные функции
91
4.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции
- )Ф(Ьх — ay).
л	dw , dw , з , , Зч
1.	a	\- b	 = (ex + ay )w.
dx	dy
Общее решение: w = ехр (
dw , dw	Г^—<	о
2.	x—	h У^— = Q>VX + У w
ox oy
Общее решение: w = ехр (a\Jx2 + y2 j Ф ( — j.
_	2 dw	dw	2 / , i \
3.	ж	\- axy	 = у (ax + by)w.
dx	dy
Общее решение: w = ехр
(ах
4.
/	1- аху2 —— = (Ьху -\- сх + dy -\- k)w.
ох	оу
Общее решение:
Ь	[	^	d	С 1 / -а ч	/1
ж ехр	Ф(ж v) ПРИ а Ф ~1?
К/с \ с d ~\
	h Ь) In х\-\	Ф(ху)
ху J у у J
5.
	Ь &ж2т/	 = (any2 + bmx2)w.
дх	ду
Общее решение: ги = хпутФ(ау2 — Ъх2).
при а = — 1.
6. ж —	1- ат/ —— = ж Fж + cy)w.
dx	ду
Общее решение: w = ехр
' X*	X
— -« + —
У	У
4.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у
a	\- b	 = (ex
dx	dy v
Общее решение: w = Ф(Ьх — ау)ехт>\—	-хп+ -\	гУш+ •
L а(п + 1)	Ь(т + 1)	J
.	dw	dw	г
2. а	Ь о	 = еж
аж	ау
Общее решение:
ехр
с[а(п + 2J/ -
при п / —1, —2;
a2(n + l)(n + 2)
[be с	"I
-—-жA — 1пж)Н	2/1пж\Ф(Ьх — ау) при n = — 1;
а2 а	J
ехр —-A + Inx)	—\Ф(Ьх — ау)	при п = — 2.
La2	аж J
3.
dw	dw
+
2 , 2чfe
Общее решение: w = ехр — (ж2 + у2) \ф( — j.

92	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- -\- д(х,у)-т^- = h(x,y)w
.	dw	dw	n rn
4. ах	\- by	 = сх у w.
dx	dy
Общее решение:
exp(	хпут^Ф(уах~ъ) при an + Ът /О,
expf—хпут In ж )ф(уах~ ) при an + Ът = 0.
Ож	Oy
Общее решение: w = ехр (	хп -\	ут ) Ф (уах~ ).
V an	bm J v	'
6.	тж	1- ny	 = (axn + by™) w.
Общее решение: w = ехр[^^(ажп + ^m)fc] Ф^ж1).
_	n Oil?	r^ Oil?	.	fe I J S\
7.	аж	1- от/ 	 = (еж + ay )w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.4. Общее решение:
[ОПТ Ti~\~ L fjll^ ТТЬ~\~ л. "|
"Г,	TV + 77	TV \®(u)i u =
а(к — n + 1) b(s — m + l)J
b(s-m + 1) J v y'	a(l-n) 6A - m) '
8.	аЖп— + bx^y— = (cxhys + d)w.
dx	dy v	y
Частный случай уравнения 4.8.4.3 при /(ж) = ахп, д(х) = 6жт, h(x,y) = cxfc?/s + <i.
9.	ажп— + (бж^т/ + схк)— = (sxpyq + d)t^.
dx v	' dy x	'
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при /(ж) = ахп, gi(x) = 6жт, до(х) = c
Ю. ажп— + Ъх^у1*— = (cxpyq + s)ti>.
аж	ay
Частный случай уравнения 4.8.4.5 при /(ж) = ажп, pi (ж) = 0, до(х) =
h(x,y) = сжР2/9 + s.
11. ау	\- Ьх 	 = (еж + s)iu.
Ож	dy х	;
Частный случай уравнения 4.8.1.14 при /(ж) = а, д(ж) = bxn, h(x) = сжт + s.
12. х [ж" + Bп - l)Wn] -^ + X/ [»п + Bп - 1)хп] -^ = fcn(:Crl + yn)w.
ox	oy
Общее решение: w = (хп - уп)кФ ( ^ ~ уП^ ).
V	ху /
13. х [(« - 2)»п - 2хп] ^+У [2Уп - (п - 2)*п] ^ =
= {[а(п - 2) + 2Ь]уп - [2а + Ь(п - 2)]xn}w.
Общее решение: w = хау Ф (	_ ^ ).
V х2у2 /

4.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	93
4.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
4.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
1. a^L + b^L = ce
дх	ду
Общее решение:
expf	еах+ру)ф(Ъх-ау) при аа + ЪC ф О,
V	аа -\-bf3	/
ехр(—хеах+^у )Ф{Ъх — ау)	при аа + b/З = 0.
V	а	/
.	dw	dw /
2. а	\- Ъ	 = (с
дх	ду
Общее решение: w = ехр( —е х -\	е^у ) Ф(Ьх — ау).
\ аХ	bfi /
лж dw , ву Он?
3. ае	h Ьеру	 = cw.
дх	ду
Общее решение: w = ехр(- — е~хЛф(Ь[Зе~Хх - а\е~
dw , вх dw
	h Ьер
дх	ду
.	\у dw , вх dw
4. ае у	h Ьер 	 = cw.
д	д
Общее решение: w = ехр[ С^Х ~ Ху\ ]ф(а(З
F	L а{ЗехУ - ЬХеCх J V
~ Ху\ ]ф(а(ЗеХу -
_	ЛЖ ^^	, вх dW	-uy
5.	ае	Ь ^ер 	 = ceiVw.
дх	ду
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = аеЛж, gi(x) = 0, .до(ж) = be133", h(x, у) = се1У.
,	Лж ^1У . , /3-и ^^	/ -уж ,	Sv\
6.	ае	Ь ^еру	 = (сет + se y)w.
дх	ду v	7
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при /(ж) =аеХх, g(y) =be^y, h\{x) =се7Ж, /12B/) =seSy.
7. ае"* -^ + (Ье^ж + ceA«) -^ = Eе"ж + fee5" + р) w.
дх	Оу
Частный случай уравнения 4.8.4.6 при /(ж) = ае^х, gi(x) = 6е7Ж, до(х) = с,
8. ае^"-^ + (бе^ + сеЛ^)^ = (se^+^ + fe)w.
дх	#2/
Частный случай уравнения 4.8.4.6 при /(ж) = ае^, gi(x) = 6е7Ж, ро(ж) = с,
9. ае^335 ^ + Ъе^+Ху *?- = (ce^Sy + k)w.
дх	ду v	y
Частный случай уравнения 4.8.4.6 при /(ж) = ае^, pi (ж) = 0, до (ж) = beJX,
h{x,y) = ce»x+5y + к.
Ю. аеХу^- + бе^335^ = (се^ + k)w.
дх	ду v	y
Частный случай уравнения 4.8.1.15 при /(ж) = а, д(ж) = be^x, h(x) = семж + к.

94	Линейные уравнения вида f(x,y) -|^г + д(х, у) -|^ = h(x, y)w
4.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
л	dw , dw / \х , , uv\
1.	а	\- b	 = (eye + kxe^y)w.
dx dy
Общее решение: w = exp —e x (y	) H	e^y (x	) Ф(Ьх — ay).
L aX V аЛ / b/i V h\i J \
dw	dw	\x
2.	ж	\- у	 = axe
dx dy
Общее решение: w = exp(———eXx+»A Ф f-V
_	Oil?	Oil?	/	\x	,	М7.ч
3. ж	h 2/	 = (aye + bxe^y)w.
ox	oy
ox
Общее решение: г^ = exp 	е Н	е^у Ф — .
V Хх	цу ) V х )
.	и dw	ху dw / п ч
4.	аж	1- бе у	 = (еж + s)w.
dx	dy v	y
Частный случай уравнения 4.8.1.13 при f(x) = axfc, pi (ж) = 0, #2 (ж) = fr, ^(ж) = сжп + s.
_	и dw	\x dw / ixjb , \
5.	ат/	1- be 	 = (ce^ + s)w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.1.14 при f(x) = a, g{x) = beXx, h{x) = ce^x + s.
,	лж dw	и dw / n , \
6.	ae	1- Ьт/ 	 = (еж + s)w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.1.12 при f(x) = аеХх, gi(x) = 0, #2(ж) = Ь, h{x) = сжп +s.
_	\v dw , ^ On? / ixjb , \
7.	ae y	\- bx 	 = (ce^ + s)w.
dx	dy v	/
Частный случай уравнения 4.8.1.15 при f(x) = а, д(ж) = bxk, h{x) = семж + s.
4.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
4.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1.	а—	\- 6—— = ГсзЬ(Лж) + к sh(ij,y)]w.
dx dy
[с к	~\
— сЬ(Лж) Н	ch(/ii/) Ф(Ьх — ау).
аХ b/j,	J
dw , , dw	, ,. , ч
2.	a	1- b	 = сзЬ(Лж + fjiyjw.
dx dy
Общее решение:
[с	1
exp 	ch(Ax + /jy) ФСЬх — ay) при аЛ + b/i ф О,
I aX-\- bfi	J
exp —#sh(A# + m/) Ф(Ьж — ш/)	при aX + bu = 0.
la	J
3. ж—	1- y—— = аж зЬ(Лж + /jLy)w.
dx	dy
Общее решение: w = exp 	ch(Ax + /iy) Ф ( — ).
L Аж + ay	J \ ж /
4. a+ 58ь(Лж)
Ож	dy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, pi (ж) = 0, до(х) = 6s
h(x,y) = csh.m(fjLx) + sshk(f3y).

4.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	95
5. а— + bshn(\y)— = [csh^i/jix) + sshk(f3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = bshn(Xy), h\{x) = с sh171 (fix),
h2(y) = sshk(/3y).
4.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
1. а	\- Ъ	 — \с сЬ(Аж) + k ch(/i7/)l w.
dx oy
[с к	~\
	sh(Ax) -\	sh(//?/) Ф(Ьх — ay).
аХ bii	J
dw , , dw	, /, , v
2. a	\- b	 = ссЬ(Лж + /jLy)w.
ox	oy
Общее решение:
[с	1
	sh(Ax + /jy) \Ф(Ьх — ay) при а\ + b/i ф О,
aX-\- bfi	J
exp — жсЬ(Лж + ay) \Ф(Ьх — ay)	при аХ + ba = 0.
La	J
_	dw	dw	,,л	v
3.	ж	\- у	 = ax сп(Лж + iiy)w.
dx dy
Общее решение: w = exp 	sh(Ax + ay) Ф ( — ).
L Xx + \iy	\ \ x J
4.	a	1- bc\in(\x)	 = ГссЬТ|г(/хж) + schk(/3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, до(х) =
h(x,y) = cch
5. a_^!_ + ^ch^^)-^- = [cchm(/ix)
С/Ж	&У
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = a, g(?/) = bchn(Xy), h\(x) = cchm(//x),
h2(y) = schk(f3y).
4.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
1.	a^L + b^L = ГС1Ь(Лж) + kth(tj,y)]w.
ох оу
[с к	~\
— Inch(Ax) Н	Inchi/iy) ФСЬх — ау).
аХ b/j,	J
dw , dw	. ,, , ч
2.	a	1- 6	 = с!Ь(Лж + iJ,y)w.
dx dy
Общее решение:
exp 	In ch(Ax + ay) Ф(Ьх — ay) при a A + ba ф 0,
L aX + bfi	J
exp —xth(Ax + fiy) \Ф(Ьх — ау)	при аХ + bfi = 0.
La	J
_	Oil?	Oil?	,, /л	.	ч
3.	ж	1- у	 = аж1Ь(лж + /Jtyjw.
dx dy
Общее решение: w = exp 	In ch(Ax + fiy) Ф ( — ).
L Xx + ay	J V x J
Xx + /лу
dw
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, до(х) =
4. a^HL + bthn(Ax)— = [cth7"^) + sthk(f3y)]w.
Ox	&У

96	Линейные уравнения вида /(ж, г/) -|^- + д(х, у) -|^ = h(x, y)w
5. а— + fcth^Ay)—
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, р(г/) = 6thn(A?/), h\(x) = cthm(//x)
4.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1.	а	\- Ъ	 = ГссИ1(Аж) + к cth.(/jLy)]w.
дх ду
Общее решение: w = expf — ln|sh(Ax)| -\	ln|sh(/ii/)| )Ф(Ьх — ay).
.	dw . , dw	,, /Л . v
2.	a	\- b	 = cctn(\x + iiy)w.
дх ду
Общее решение:
expf	ln|sh(Ax + fiy)\ )Ф(Ъх — ay) при аХ + b/i / 0,
V a A + b/i '	v
[c	,	\1 /
—xcthfAx + fiy) \Ф(Ьх — ay)	при aX + bfi = 0.
a	J
_	Oil?	Oil?	,, /x	.	ч
3.	ж	1- 7/	 = ax cth(A« + iiy)w.
дх ду
Общее решение: w = exp (	In I sh(Xx + ay) I ) Ф ( — ).
\ Xx -\- fiy '	4 \ x J
4.	a	|-frcth (Аж)	 = ccth (u,x)-\-scth (f3y)\w.
дх	ду L	J
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) =
w= / --• ¦ "^
5. aJ^+bcthn(\y)— = [ccth^iijix) -\-scthh(/3y)]w.
дх	ду
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = bcthn(Xy), h\(x) = ccthm(//x)
4.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
1.	а	\- Ъ	 = \csh(\x) + к ch.(/jLy)]w.
дх ду
[с к	~\
— ch(Ax) Н	sh(//|/) Ф(Ьх — ау).
аХ oil	л
2.	а— + Ь— = [th(A«) + kcth(/j,y)]w.
дх	ду
Общее решение: w = ch1/aX(Xx) ъЪк/ъ»(цу)Ф(Ъх - ay).
_	dw	i / \ #™ t i /л \
3.	\-ash(iiy)—— = och.(\x)w.
дх	ду
Общее решение: w = exp — sh(Ax) Ф f afix — In th	 j.
—— + ash(ijiy)—— = bth(\x)w.
ox	oy
Общее решение: w = ch ' (Аж)Ф (afix — In th	 j.

4.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции	97
5. ash(Xx)	\-bch(iJ,y)	 = w.
дх	ду
Общее решение: w = th1/aA (^)<S>Baarctg(th -^-) +-^ ln
cth
6. ath(Xx) —	\-bcth(iJ,y)—— = w.
дх	ду
Общее решение: w = sh1/aA(Az)<S>(chaA(/^) sh~bfJ>(Xx)).
4.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
4.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
dw , Он?	1 /\ I /о \
1.	а	\- о	 = с1п(Лж + py)w.
ох оу
Общее решение:
ехр Г <Хх + М Aп(Лж + ру) _ 1I ф(рх _ ау) при аЛ ф _ьд
—х\п(\х + Ру)\Ф(Ьх — ау)	при а\= —Ь/3.
a	J
2.	а— + 6-^- = Гс1п(Лж) + k\n(f3y)]w.
дх	ду
Общее решение: w = ехр —х(\п(Хх) — 1) -\	у(\п(/3у) — 1) ФFж — ау).
3.	а^ + 51п-(Аж)-^ = ГсЬ^^ж) + s\nk(f3y)]w.
дх	ду
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) = 61nn(Ax),
h(x,y)=c\nm(nx)+s\nk(l3y).
4.
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = b\nn(\y), h\(x) = c\nm(fj,x),
1п(рт/)	\- а\п(Хх)	 = bw\n(/3y).
дх	ду
Общее решение: w = е жФ(гб), где гб = ax[l — 1п(Лж)] + у\\п(/3у) — 1].
дио к дио
о» ft in. (/\ж )	 ~\~ о in. [fjy)	 — с in (^х )iv.
Общее решение:
... \с Г 1птGж) ] , Г dx	Г dy
w = Ф(и) ехр — / 	^—^- dx , где и = b	а / —т-^—
Lay \пп(Хх) J	У lnn(Ax)	У \п*(Cу)
4.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
Общее решение: w = Ф(Ьх — ау) ехр 	хп+1 -\	/in (Xy) dy .
L а(п + 1)	Ь У	J
а(п + 1)
2 е™ :|ш [2
аж	ау
Частный случай уравнения 4.8.1.3 при f(x) = 6, д(ж) = схп, h(x) =
7 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

98	Линейные уравнения вида f(x, 2/)-§f- + д(х, у)-щ- = h(x, y)w
3. J*l + а— = blnfe(Aa;) lnn(/3y)w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.2 при /(ж) = b\nk(Xx), g(y) = \nn(f3y).
Частный случай уравнения 4.8.1.6 при /(ж) = bxn, д(х) = с\пк(Хх).
5.	аж	1- 6г/	 = ж (п\пх-\-m\ny)w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.3.4 при f(u) = In гг.
6.	ах	\- Ьуп	 = ГсЫ^Аж) + sIn (j3y)]w.
dx	dy
Общее решение:
w = Ф(и) ехр — / х~к 1пт(Аж) dx -\	/ у~п \п (/Зу) dy\, и -
-к \-п
4.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
4.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
л	dw , dw	• /\ I \
1.	а	\- b	 = сз1п(Аж + uy)w.
dx dy
Общее решение:
- cos (Xx + цу)\ф(Ьх — ау) при аХ + b/i / О,
ехр —хsin(Хх-\-ау)\Ф(Ьх — ау)	при аХ + Ьа = 0.
La	J
2.	a	1- 6	 = Гсзт(Аж) + к sin(/j,y)]w.
dx dy
[с к	~\
	сов(Аж)	cos(m/) \Ф(Ьх — ay).
аХ bfi	J
_	dw	dw	• /л , \
3.	ж	\- у	 = ax 81п(Аж + uy)w.
dx dy
Общее решение: w = ехр	сов(Аж + ay) \ф( — ).
L Xx + цу	J V x /
4. a_^!_ +581п-(Лж)-^- = [csinm(txx) -\-ssink(/3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) =
h(x,y) = csin	fc
Oil?	. n/. ч Oil?	г . m/ ч ,	• fe//o \1
5. a	h^sin (Ay)—— = с sin (fix) + s sin (рг/) \w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при /(ж) = a, g(y) = 6sinn(A^), /ii(^) = csinm(/^)
4.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
dw , , dw
а	\- b	 =
dx dy
Общее решение:
л	dw	dw	/л , \
1. a	1- b	 — ccos(Ax + /Jtyjw.
dx dy
[c	-i
	sin(Ax + ay) Ф(Ьх — ay) при аХ + ba ф 0,
aX + bfi	J
exp —ж cos (Аж + fiy) \Ф(Ьх — ay)	при аХ + bfi = 0.
La	J

4.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	99
dw , , dw г	/^ \ ¦ » / \i
2.	а	\- Ъ	 — \ccos(\x) + kcos(ij,y)\w.
dx ду
[с к	~\
	sin(Ax) -\	sin(//?/) Ф(Ьх — ау).
аХ bu	J
_	dw	dw	/л , \
3.	х	\- у	 = ах cos(Aa? + /Jiy)w.
dx oy
Общее решение: w = exp 	sin(Ax + ay) Ф ( — ).
L \x + uv	\ \ x J
4. a^L + Ьсой^Лж)— =
Ож	ду
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, go(x) = 6cosn(Ax),
h(x,y) = ccosm(//x) + scosk(f3y).
5. a-^-^bcos^iXy)-^- = [ccosrn(fj,x)-\-scosk(f3y)]w.
ox	oy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = a, g(?/) = bcosn(\y), hi(x) = ccosm(//x),
h2(y) = scosk(f3y).
4.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
dw , , dw
1. а	\- b	 =
dx	dy
Общее решение:
expf	ln|cos(Ax + ау)\ )Ф(Ьх — ау) при аХф —Ьа,
\ аХ + bu	'
—хtg(Ax + цу) \Ф(Ьх — ау)	при аХ = —Ь/л.
a	J
2.	а	Ь b	 = \ctg(\x) + кtg(iJ,y)]w.
dx dy
Общее решение: w = expf	ln|cos(Ax)|	ln|cos(m/)| )Ф(Ьх — ay).
V aA '	' bu	'
3.	x-
dx * dy
Общее решение: w = exp f	In I cos(Xx + ay) I) Ф f — ).
V Аж + uy	v V ж /
dw	п/л \ dw	Г	m/ \	fe/^j \1
4. a	\- 6tg (Лж)	 = ctg (их) + stg \py) \w.
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, ^о(ж) = btgn(Xx),
h(x,y) = ctgm{!J,x) + stgk(f3y).
5. a-^- + btg"(Aj/)-^ = [ctgm(»x) +stgk(f3y)]w.
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = 6tgn(A|/), hi(x) = ctgm(//x),
4.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
1. a—	h b-—- = cctg(\x + /J,y)w.
ox	oy
Общее решение:
expf	ln|sin(Ax + ay)\ )Ф(Ьх — ay) при а\ф—Ьа,
\ aA + bu '	v
exp —xctg(Ax + fiy) \Ф(Ьх — ay)	при аХ =—bfi.
la	J

100	Линейные уравнения вида /(ж, у) -|^- + д(х, у) -|^ = h(x, y)w
dw , , dw г , /^ \ ¦ > , / \i
2.	а—	Ь ^^— = [с ctg(Aa?) + к ctg(/j,y)\ w.
ox oy
Общее решение: w = ехр(	In sin(Ax) I H	In sin(fiy) I ) Ф(Ъх — ay).
V	aX	* Ьц	v
dw , dw	, /, , v
3.	x—	h V-^— = ax ctg(Aa? + /Jtyjw.
ox oy
Общее решение: w = ехр (	In I sin(Ax + ay) I ) Ф ( — ).
V	Xx + fiy '	v V x /
4.	a-l^- + bctgtl(Aa;)-|^- = [cctg^) + s ctgfc(/3i/)]w.
ox	oy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go (ж) = bctgn(Xx),
5. a|^- + Ъс^{\у)^ = [cctg™(»x) + sctgk(f3y)]w.
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = 6ctgn(A?/), h\(x) = cctgm(//x),
4.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
dw	dw
1.	1- а	 = [b sin(Aa?) + к cos(/xt/I w.
dx	dy
Общее решение: w = ехр 	singly)	cos(Ax) Ф(ах — у).
L afi	X	J
2. —	\- a—— = \b sin(A#) + к tg(/x?/)l w.
ox	oy
Общее решение: w = ехр	cos(Ax) cos 'а^(/1у)Ф(ах — у).
dw	dw
dx	dy
Общее решение: w = cos~&/A(Аж)Ф (a/ix — In tg — J.
dw , ч dw , .
4.	\- atg(/j,y)	 = bw sm(\x).
Общее решение: w = ехр	cos(Ax) Ф (a/ix — In singly) | j.
5.	sin(Aa?)	\- a	 = bw cosily).
dx dy
Общее решение: w = ехр 	sin(fiy) Ф (Xy + b In ctg	 ).
I a/i	J V	2 1/
dw	dw
6.	ctg(Aa?)	\- a	 = bwtg(iJ,y).
Общее решение: w = со$~ь/а^(/1у)ф(Xy + 61n|cos(Ax)|

4.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	101
4.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
4.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
л	dw	dw (	х	у \
1.	а	\- о	 = с arcsin	\- k arcsin — w.
dx	dy \	Л	/3 J
Общее решение:
w = ехр — (х arcsin — + д/А2 — х2 ) -\	(у arcsin — + д//32 — у2 ] Ф(Ьх — ау).
I а \	X	/6\	р	/J
dw , , dw	. /л , ^ \
2.	а	\- о	 = carcsin(Aa? + py)w.
dx dy
1°. Общее решение при aX-\-bf3 ф 0:
т _1_ /Р/.Л _1_ V	V^^
L
аЛ + 6/5	v	*У	аЛ + 6/5
2°. Общее решение при аХ + ЪC = 0:
w = ехр —х arcsin (Аж + /Зу) \Ф(Ьх — ау).
la	J
3. х	\- у	 = ах arcsin(Aa? + /3y)w.
dx	dy
Общее решение: w = ехр ах arcsin(Ax + /Зу) + ах—	— Ф ( — ).
L	Хх + /Зу J V х )
4.	а	1- frarcsin71 (Лж)	 = Гсагсз1пТГ1(/хж) + sarcsin (/3y)]w.
дх	ду L	J
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, .до(ж) = 6arcsin™(Аж),
h(x,y) = carcsinm(//x) + s arcsin k(f3y).
5.	a	\- 6 arcsin71 (At/)	 = [c arcsin™ (//ж) + s arcsin (/3y)]w.
cfx	oy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = a, g(y) = barcsin72(Xy), h\{x) =
= carcsinm(//x), /12B/) = sarcsinfc(/3|/).
4.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
л	dw , Он? /	ж .	у \
1.	а	Ь о	 = с arccos	\- к arccos — w.
дх	ду V	Л	/ЗУ
Общее решение:
w = ехр — (х arccos	у А2 — ж2 ) Н	(у arccos	\/ft2 — у2 ) Ф(Ьж — аг/).
La V	Л	/ b \	/3	/ J
2.	а	1- 6	 = сагссоз(Аж + /3y)w.
дх ду
1°. Общее решение при aX + bf3 / 0:
Г
= ехр
L
arccos(Ax + ^) - -У-	v ^уу ФFж - ау).
ал + op	J
ГГ arccos(Ax + ^)
ал + ор	ал + op
2°. Общее решение при аХ + bf3 = 0:
гу = ехр —ж arccos (Аж + /Зу) Ф(Ьх — ау).
la	J
_	dw	dw	, , л \
3. ж	1- у	 = ax arccos (Аж + /Зу) w.
дх	ду
Общее решение: w = ехр ах arccos(Ax + /Зу) — ах—	^— Ф ( — ).
L	Лж + ву J V х /

102	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + д(х,у)-^- = h(x,y)w
4.	а	\- b 8Lrccosn (\х)	 = Гс arccos™ (//ж) + s arccos ({3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, до(х) = 6arccos™(Аж),
h(x,y) = carccosm(//x) + s arccos k{j3y).
5.	а	\- frarccos71 (At/)	 = Гсarccos^(//ж) + sarccos (j3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = Ь arccos72(Ху), h\(x) =
= carccosm(//x), /12B/) = s ducccosk (fly).
4.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
Он?	Огу /	ж	, 2/ Л
1.	а	\- о	 = с arctg	\- к arctg — w.
dx	dy V	Л	/3 )
Общее решение:
w = expj ^- \x arctg у - у 1п(Л2 + ж2)] + у [?/ arctg -^ - — 1п(/32 +1/2)] }фFж - а?/).
2.	а	1- 6	 = carctg(Aa? + /3y)w.
dx dy
1°. Общее решение при aX + bf3 / 0:
2°. Общее решение при аХ-\- b/З = 0:
ги = ехр —х arctg(Ax + /Зу) Ф(Ьх — ау).
l a	J
dw , dw	,, . л \
3. ж	Ь 2/	 = «ж arctg(Аж + py)w.
dx	dy
Общее решение: w = ехр{аж arctg(Ax + 0y) - пХ In \х2 + Ж	1 }ф (—).
L	2(Лж + (Зу) L	(Лж + (ЗуJ J J \ ж /
4. а-^- + 6 arctg71 (Аж)-^- = Гcarctgrrl(/xж) + s arctgfe(/3?/)l^.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, pi (ж) = 0, до(х) = 6arctgn(Ax),
M»,2/) = carctgm(//x) + sarctfc
5. а-|^ + b arctg71 (Ay) -^ = [carctgTTl(^) +
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при /(ж) =а,д(у) =baictgn(Xy), h\(x) =carctgm(//x),
= sarctgfc (f3y).
АЛЛ. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
dw	dw (	х	у \
1. а	\- b	 = carcctg	\- к arcctg — }w.
dx	dy V	Л	C J
Общее решение:
2. а	1- b	 = carcctg(Aж + Cy)w.
dx	dy
1°. Общее решение при aX + bC / 0:
c(\x + [3y
2°. Общее решение при аХ + bC = 0:
w = exp — xarcctg(Ax + (Зу) Ф(Ьх — ay),
la	J

4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	103
_	dw	dw	,	ч
3.	х	\- у	 = ах arcctg(Aa? + /3y)w.
dx dy
Общее решение:
w = ехр{аЖ arcctg(Az + (Зу) + ^ ру) Ь [х2 + {Хх^уJ] }* (f) •
4.	а	\- barcctgn(\х)	 = [carcctgTri(/xa?) + sarcctg (j3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.4.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go(x) = 6arcctgn(Ax),
h(x,y) = carcctgm(//x) ¦
5. а	\- b 8Lrcctgn (\y)	 = TcarcctgTri(/xa3) + s arcctg (/3y)]w.
dx	dy
Частный случай уравнения 4.8.2.4 при f(x) = а, д(у) = Ъ arcctg™ (Ху),
= carcctgm(//x), h2(y) = sdLicctgk(/Зу).
4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
4.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
Л	dw .dw	f ч
Общее решение: w; = ехр — / f(x) dx \Ф(Ьх — ay).
dw	dw
Общее решение: w = ехр / (у — ax + at)f(t) dt \Ф(у — ax), где жо —любое.
LJxq	-I
Общее решение:
где
(р(х) = I f(x) dx, <ф(х) = I [д(х) - 2а(р(х)] dx, х(х) = I [Цх) - аф(х)] dx.
.	dw	dw х, ч и
Общее решение: w = ехр / (у — ax + at) f(t) dt \Ф(у — ax), где xo —любое.
dw	dw
6-
Общее решение: w = ехр [еЛ(у"аж) Г f(x)eaXx dx} Ф(у - ax).
Общее решение: w = ехр / g(x)dx\<&(u), где и = e~axy — I f(x)e~axdx.
7. ^+[y + f()]^g()y
Частный случай уравнения 4.8.2.3 при h(y) = yk.

104	Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + д(х,у)-^- = h(x,y)w
Общее решение:
dx
где и =
9.
Общее решение: w = (у + а)с а е уФ(и), где и = (г/ + а) ехр — / ——-
Общее решение:
dx
w = ехр | / ^ ч аж | Ф ( е у — а \	ах ), где 2 =
11. /(ж)—	\- [gi{x)y -\- до{х)\ —— = \h-2\x)y -\- hi(x)y + ho(x)\w.
Общее решение:
где
^dx,	G = G(x) = I ^dx,
dx, X(x)=
12. /(aO-§|- + [gi(x)y + g2(x)yk]^- = h(x)w.
Г f h(x) 1
Общее решение: w = ехр / —— da; ФЫ, где
U /(ж) J
13. /(ж)	1- [gi(x) + дъ(х)е J	 = h(x)w.
Общее решение: г^ = ехр / —— с(ж ФЫ, где
LJ /(ж) J
и = е~ХуЕ(х) + Л [ Щ^-Е(х) dx, Е(х) = ехр Гл Г 9l^ dx\.
Общее решение: w = Ф(и) ехр< / —— [и + ?7(t)] fc+1 c/t к где
и = ук+1 - Е(х), Е(х) = (к + 1) Г ^Щ- dx, x0 —любое.
J J ух j
\ duo	duo
Общее решение:
где жо —любое.

4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	105
4.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и
произвольные функции у
Л	dw , dw г „, v
L ^6	[/(*)
.	dw . dw
2- ^^ + °^
Общее решение: и> = ехр — / /(ж) dxH	/ g(y) dy Ф(Ьх — ay).
dw . dw j»/ \ / \
^^ + °^- = /(a;)sB/)w-
Общее решение: w = ехр / f(t)g(y — ax + at) d? Ф(?/ — аж), где жо —любое.
Uxq	-I
Замена w = d=ew приводит к уравнению вида 3.8.2.3:
Общее решение:
dx+ [dyU([dx [
f{x)	J g(y) У\ \J f(x)	J g(y)
5- /i(*)-^- + [Mx)y + Mx)yh]^- = g(x)h(y)w.
Преобразование (, = I . . dx, ri = y1~k приводит к уравнению вида 4.8.2.3:
J 1ЛХ)
^ + [A - k)n + F@] -^ = G(?)H(r,)w,
где F@ = A - к)-Щ, G@ = -%&-, H(V) = h(y).
J2\X)	J2\X)
6. fi(x)gi(y)-^ + f2(x)g2(y)-^- = h1(x)h2(y)w.
Преобразование ? = /	dx, r\ = /	cfa/ приводит к уравнению вида 4.8.2.2
/i (ж)^1 (?/) -^- + /2 (ж)^2 (?/) -^- = [Аи (ж) + fr2 (?/)] w.
Частный случай уравнения 4.8.4.7 при /г(ж, у) = h\(x) +
4.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
сложных аргументов
л	dw , Он?	„, I /о \
1. а—	h b—— = /(аж + /З?/)^.
аж	ay
Общее решение:
ехр 	 / f(u)du\Q(bx — ay) при аа + 6/3 / О,
L аа + 6/5 J	J
ехр —ж/(аж +/Зг/) Ф(Ьж — аг/)	при аа + 6/3 = О,
La	J
где 16 = ах + /%•

106	Линейные уравнения вида /(ж,?/)-|^- + д(х,у)М^- = h(x,y)w
.	dw	dw
2- x-^+y-^- = x
Общее решение: w = ехр ж/ (— J Ф (— J.
2 , 2ч
Общее решение: w = Ф ( — J exp — / /(?) — , где
= x2 + у2.
dx	dy
Общее решение:
ехр — х ~ fix а и а. \ стФ('м) при ап ф —Ьт;
ехр Г—xkf{xnym)\&(u)	при ап = -Ьт, к / 0;
L ak	J
ехр — f(xnym) In ж \Ф(и)	при ап = —Ьт, к = 0,
v L a	J
где гб = уах~ъ. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
5. тж	\- пу	 = f(ax + от/ )к;.
аж	ау
Общее решение: w = Ф(|/тж~7г) ехр 	 / /(?)—, где ?
L ТЬТП J	^ J
2 dtv	dtv	ia
Общее решение:
Общее решение:
Ы[|м0] где и =
4.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
Общее решение: ги = ехр / f(t,y — ах + at) dt \Ф(у — ах), где ж о—любое.
\-Jx0	-I
.	dw	dw х, ч
аж"о^ + y~dy~ = ^X' y^W'
Общее решение:
w = e*v\- [ —f(x,u1/axh/a)dx\$(u), где и = yax~b.
L a J x v	y J
При интегрировании и рассматривается как параметр.
3* f^lJx~ + 9^y~dV = h(x' y^w'
Общее решение:
w = Ф(ц)ехрП v ' у cfaj, где и=-^, G = ехрП jdxj.
При интегрировании гб рассматривается как параметр.

4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	107
4. ^(Ж)~^Г + [di(x)y + 9о(х)]-^- = h(x,y)w.
Общее решение:
h(x,uG + Q) I	y-Q
Jdx\ u= JL^—
где G = exp( / — dx), Q = G —	. При интегрировании и рассматривается как
\J f /	J fG
параметр.
dw г	/ \ ki dw
f(x)^	Ь I9i(x)y + 9o(x)y J—— = h(x,y)w.
ox	oy
При к = 1 см. уравнение 4.8.4.3. При к ф\ замена ? = уг~к приводит к уравнению вида
4.8.4.4:
6. /(ж)-^-
Замена z = е~Лу приводит к уравнению вида 4.8.4.4:
7. /i (ж)91 (j/) -^- + /2 (ж)д2 (j/) -^- = h{x, у)w.
2 dx, г] = /	cfa/ приводит к уравнению вида 4.8.4.1:
ЛО)	J 92(у)
dw dw	(i. л
+ F(€) где
гтЧ^т
f2(x)9i(y)

5. Линейные уравнения вида
f(x, у)%. + д(х, у)% = hi (ж, y)w + ho(x, у)
5.1. Предварительные замечания
5.1.1. Методы решения
5.1.1-1. Структура общего решения.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными в
общем случае имеет вид
^^ 1(x,y)w + h0(x,y).	A)
f(x,y)^\g(x,y)^ h1(x,y)w + h0(x,y).
ох	оу
Частный случай hi = 0 рассматривается в разд. 3.1, a ho = 0 — в разд. 4.1.
Общее решение линейного неоднородного уравнения A) можно представить в виде суммы
любого частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного
уравнения (при ho = 0).
5.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть известно частное решение и(х, у) (главный интеграл) соответствующего «укороченного»
однородного уравнения
f(x,y)^+g(x,y)^ = 0	(и ф const).	B)
Переходя в A) от ж, у к новым переменным ж, и = и(х,у), получим
f(x,u)—— = hi(x,u)w + ho(x,u),
dx
где f(x,u) = /(ж, у), hi(x,u) = hi(x,y), ho(x,u) = ho(x,y) — коэффициенты исходного
уравнения A), записанные в переменных ж, и.
Уравнение B) можно рассматривать как линейное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение для w = w(x) с параметром и. Его решение имеет вид
w = E\ _PV J	\-Ф(и)\, E = exp / -1 v J dx ,
где Ф — произвольная функция, при вычислении интегралов и рассматривается как параметр.
Для нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в последней формуле после
интегрирования перейти к исходным переменным х, у.
5.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы.
Если известны два независимых интеграла
ui (ж, у, w) = Ci, U2 (ж, у, w) = С2	C)
характеристической системы
dx	dy	dw
f(x,y) g{x,y) h1(x,y)w +
то общее решение неоднородного уравнения A) имеет вид
Ф(и1,и2) = О,
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
D)

5.7. Предварительные замечания	109
5.1.1-4. Использование вспомогательного однородного уравнения.
Пусть ? = ?(ж, у, w) —интеграл вспомогательного линейного однородного уравнения с тремя
независимыми переменными
/(х,у)^+д(х,у)^+[к1(х,у)т + ко(х,у)]-^=0.	E)
Тогда интеграл w(x,y) исходного неоднородного уравнения A) можно получить путем разре-
разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения
относительно w.
О решении уравнений вида E) см. разд. 6.1.
5.1.1-5. Задача Коши.
Задача Коши для уравнения A) формулируется так же, как для «укороченного» уравнения при
hi, ho = 0 (см. разд. 2.1.2). Ее решение можно получить из формулы для общего решения, в
которую подставляются исходные данные. Можно использовать также метод, который основан
на подстановке исходных данных непосредственно в интегралы C) характеристической системы
D) (этот метод описан в разд. 3.1.2).
5.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw 1	,„
—	Ьа—- = bw + c.	F)
дх	ду
Частное решение этого уравнения w ищем в виде константы. В результате имеем
® = -f	C7)
Общее решение w0 соответствующего однородного уравнения при с = 0 дается формулой (см. пример 3
из разд. 4.1.2):
ыо = еЬхФ(у-ах),	(8)
где Ф(и) —произвольная функция.
Общее решение исходного неоднородного уравнения с частными производными F) находится путем
сложения решений F) и G):
w =	Ь еЬхФ(у — ах).
b
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	/rk4
—	Ь a—- =bw + cxy,	(9)
ох	оу
которое отличается от уравнения F) только неоднородным членом. Частное решение и(х,у) соответству-
соответствующего «укороченного» уравнения при b = с = 0 дается формулой
и = у — ах.
Переходя в уравнении (9) от х, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований для функции
w = w(x,u) получим
dw	о
= bw + асх + сих.
дх
Интегрируя это уравнение по переменной х (и рассматривается как параметр), имеем
w = еЬхФ(и) - —х2 - -4"Bа + bu)(bx + 1).
b	b6
где Ф = Ф(и) — произвольная функция. Учитывая зависимость и = у—ах, после некоторых преобразований
находим общее решение уравнения (9):
w = -—-(b2xy + abx + by + 2а) + еЬхФ(у - ах).
Ъ6

110	Линейные уравнения вида /(ж, у)~^г + 9(%, у)~^~ = hi(x, y)w + ho(x, у)
5.2. Уравнения, содержащие степенные функции
5.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у
л	dw .dw
1. а	\- о	 = cw + а.
dx	dy
Общее решение: w =	\- есх'аФ(Ъх — ау).
с
dw , .ч dw
Дифференциальное уравнение конической поверхности с вершиной в точке (а, Ь, с).
Общее решение: w = с+ (х — а)Ф(	).
V х — а /
® Литература: Э. Камке A966).
3. (ах + 6)	1- (еж + d)	 = a.w + /3.
Общее решение:
-— + (аж + Ь)а/аФ(а(сх - ау) + (ad - be) In |аж + b\) при а / О,
_ А + еаж/&Ф(сж2 + 2dx - 2Ъу)	при а = 0.
4. (аж + 6)-|^ + (су + d)-^ = aw + Д
Общее решение:
_ А + (аж + Ь)а/аФ((ах + Ьус/а(су + d)) при а / 0,
w=
5. (ах + 6) —— + (су + d) —— = olw + /Зж + 72/-
ох	оу
1°. Общее решение при а / 0, а / а, с / а:
а(а — а)	а(а — с)
2°. Общее решение при а / 0, а = а, с / а:
-^	7	-^ + (аж + 6) 7 Ф((аж + 6) 7 (c?/ + d)).
az	a[a — с)
3°. Общее решение при а / 0, а = с = а:
Ь)Ф((ах + Ь) ' (cy
^ =	Ь) + Р(ау + d)] In \ax + Ь| | , ^ | ь\ф(°>У + <1\
а2	\ ах + b J
4°. Общее решение при а = 0, с / а:
ад = _7(«» + Ь) _ /3(«y + d)	+ е**/ъф,{ + d)e-c*/by
а2	а(а - с)	v	y
5°. Общее решение при а = 0, с = а:
А	+ ес,/Ьф (( + d)e-cx/b)
b	v	7
+
be2	b

5.2. Уравнения, содержащие степенные функции	111
6. (ах + Ь)	1- (еж + dy)	 = a.w + /3.
Ож	Оу
1°. Общее решение при а / 0, а / d:
гу = - — + (аж + Ъ)а/аФ([с(</ж + 6) + </(</ - а)?/] (аж + b)~d/a).
2°. Общее решение при а / 0, а = а7:
/(Ьс~п2у с In |аж +
а	\ ах + Ь
3°. Общее решение при а = 0:
?	/	d(cx + dy)] e~dx/b).
6. (aix + а0)—	h {Ъъу + бхж + &o)-r— = (с2у + ci« + co)w + fc22/ + А31Ж + k0.
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = а\х + ао, gi(x) = 62, ро(ж) = Ьгж + bo,
h(x, у) = С2у + С1Ж + со, F(x, у) = Л^22/ + kix + А?о.
7. ат/—	\- (Ьгх + &о)-г— = (cix + Со)^ + six + s0.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при k = l, fi(x) = а, /2(ж) = bix-\-bo, g(x) =
5.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у
dw	dw	~
1.	а	\- о	 = cw + (эху + 7-
dx	dy
Общее решение: w = — —	 [(еж + а) (су + Ь) + аб] + есж/аФFж — а?/).
ow	dw
2.	а—	h о—— = cw + ж(/3ж + 72/) + <*.
аж	оу
Общее решение:
6 1	/
гу =	 [/3(сх + а) + 7(сж + а)(су + Ь) + а(а/3 + Ь*у)] + есж/аФFж - аг/).
ее6
dw	dw _	2 | , 2 |
Ож	Оу
Общее решение: ги = аж2 + by2 — с + хФ(у/х).
.	dw , аги	//О	\ I с
4. аж	Ь ^>2/	 = cw + ж(/3ж + 72/) + о.
dx	dy
1°. Общее решение при с / 2а, с / а + Ь:
w = -- + —^х2 +	1	ху + жс/аФB/|жГ&/а).
с 2а-с	а + 6-с ^	Vi/| ' }
2°. Общее решение при с = 2а, а фЬ\
w - -— + —ж2 In ж1 - 7 жг/ + ж2Ф^1жГ&/а>1
с а	а — Ъ	v	'
3°. Общее решение при с = а + Ь, а ф Ь:
д	E 2 7
с а — 6	а
4°. Общее решение при с = 2а, а = Ь:
ф(—V
V х /
w =	Ь —
с а

112	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + 9{Х^У)^~ — hi(x,y)w + ho(x, у)
5.	ay—	V (b2X2 + bix + bo)—— = (c2X2 + c\x + co)iu + s2x2 + s-^x + s0.
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при к = 1, /i(x) = a, /2(ж) = Ъ2х + frix + 60,
д(х) = С2Ж2 + С1Ж + Со, /&(ж) = S2^2 + Si Ж + So.
6.	ау2-^- + (бхж2 + Ы^- = (ci^2 + со)^ + S!X2 + s0.
аж	ау
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при к = 2, /i(x) =a, /2 (ж) =6ix2+6o, g{x) =cix2-\-co,
2
луч
h(x) = six2 + so.
7. (ахж + а0)
аж
co)w + fc222/2 + к12ху
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = сцх2 + ао, gi(x) = 1, до(ж) =
/г(ж, у) = с2у + С1Ж + со, F(x, г/) = к22у2 + A;i2x2/ + А?цж + к0.
8. (а1Ж2+а0)—	\-(b2y2+bixy)—— = (с2у2+cix2)w+s22y2+s12xy+snx2+s0.
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.5 при к = 2, /(ж) = а\х2 + ао, pi (ж) = Ь\х, до(х) = 62,
h(x, у) = с2у2 + cix2, F(x,у) = S22|/2 + si2xy + snx2 + s0.
5.2.3. Коэффициенты уравнений содержат квадратные корни х и у
1. аж—	Ь by—— = olw + /Зу/ху + 7
аж	ау
1°. Общее решение при 2а ф а -\-Ь:
2°. Общее решение при 2а = а -\- Ь:
w = ^-ф^ In |
3°. Общее решение при а = а = —6:
хФ(ху).
2. аж—	h by—— = Xy/xyw + /Зжт/ + 7
аж	ау
1°. Общее решение при Ъ ф —а:
Р(а + Ь) , / 2А
+ехр(
y/xy2Д2 +ехр(^y/xy)${x у).
2°. Общее решение при Ь = —а:
ги =
Л
-ехр(—л/ж?/ In ж )<
V а	/
3. ат/	1- 6ж	 = a.w + /Зу/х + 7-
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при & = 1, /i(x) = а, /2 (ж) = Ьх, д{х) = а,
4. ат/	\- Ьу/х	 = aw -\- Зу/х -\- 7-
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при к = 1, fi(x) = а, /2(ж) = Ьл/х, д(х) = а,

5.2. Уравнения, содержащие степенные функции	113
.— Qw		dw	~
5.	а\/х	\- Ьу/у	 = olw + (эх + *уу + "•
dx	dy
Общее решение:
' 2а
а
у— dw	у— dw	у—
6.	аух	\- Ьу/у	 = olw + р\/х + 7-
аж	aw
Общее решение: гу = — ^—^	V + ехр
а	2а2	V а
7. ау/у—	h bVx—— = olw + /3V« + 7.
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при к = 1/2, /i(x) = а, /2 (ж) = Ь-у/ж, р(ж) = а,
5.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у
dw , dw	* п т
1.	a	\- b	 = cw + kx у .
Ож dy
Две формы представления общего решения:
w = ехр( — х) \Ф(Ьх — ау) -\	—- / хп(Ъх — и)ш ехр(	х) с/ж ,
\ а / L	am+1 У	V а / J
/ с \ Г	k f т	п / с \ "I
где и = Ьх — ау. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
.	dw	dw	n rn
2.	а	\- у	 = bw + еж у .
dx dy
Общее решение:
w = yb \ф{уае~х) + с [ угп-ъ-1(а\пу- \пи)п dy^, где и = уае~х.
При интегрировании и рассматривается как параметр.
dw	dw	п т
3.	ж	\- у	 = axw -\- Ъх у .
dx	dy
Ф(—J + Ьх шуш / хш е ах dx .
\ X У	J	-I
Ж	1- у	 :
dx	dy
Общее решение:
w ^= схр I а д/ х "т" 2/ ) У; I ) ~т~ ох у 1х	схр I ах \у ± ~\~ и I ax .
V	J I \ х J	J	\	J \
При интегрировании и рассматривается как параметр.
_	dw	, dw	n m	,	к s
5. аж—	\- by—— = сх у w + рх у .
dx	dy
1°. Общее решение при an + bm ф 0:
bs Г bs-\-ak — a / q	rn ап-\-Ът \
ф(х,у) = pX a yS / X	a	exp (	U « Ж «	) б/ж,
У	V an + от	/
где и = уах~ъ. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

114	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + 9{Х^У)^~ — hi(x,y)w + ho(x, у)
2°. Общее решение при an + Ът = 0:
w = ехр(-хпуш In ж) [ф(г/аж~ь) + ф(х, j/)],
{ak — bs / с	Ът	\
р&~ ж а ?/sexp(	ж « ?/т ) (A; In ж — 1) при к ф 0,
урж а ?/sexp(	ж а ?/т J (In ж)	при к = 0.
6. аж-	h by—— = (cxn + pyrn)w + qxkys.
ox	oy
Общее решение:
= I X	а	eXD	16 а Ж а С1Ж ,
J	\ an Ът	) J
где и = уах ъ. При интегрировании и рассматривается как параметр.
7. х2	\- аху	 = by2w + cxnyrn'.
ох	оу
1°. Общее решение при а ф 1/2:
w = ехр(^т т-) [ф{х~ау) + ™-атут1*ат+п-2М-^Ьти2х2а-1) 4
где it = x~ay. При интегрировании it рассматривается как параметр.
2°. Общее решение при а = 1/2:
— (hy2 \&( -1/2	2схпут
\ пг*	/	{пт I Qt> 	 Q 1 т* 	 hiii^
\ Jo	'	\ lib \^ Zj 11	aj J Ju	U'U
аж ay
Общее решение:
где it = г//ж. При интегрировании и рассматривается как параметр.
9.	аХп^-+Ьхту^- =cxpyqw + sx-'ys +d.
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.3 при /(ж) = ахп, д(ж) = Ъхш, h(x,y) = cxpyq,
F(x,y) = sx1y5 +d.
10.	ажп— + (бж^т/ + еж1") — = s«pi/qw + d.
дх v	^2/
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = ахп, gi(x) = 6жт, ,до(ж) = схк,
h(x,y) = sxpyq,F(x,y) = d.
11.	ax	h bx у 	 = cw + sxp?/g + d.
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.5 при /(ж) = ахп, gi(x) = 0, go(x) = bxm, h(x,y) = с,
F(a;,?/) = sxpyq+d.
12.	a^-?!l+te--?!l=Cfl, + sa.-
ож	ay
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при fi(x) = a, /2 (ж) = bxn, g{x) = с, /г(ж) = sxm.

5.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	115
5.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
5.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
а dx	dy ~ ^Св	se )w
Общее решение:
w = ехр (	е х -\	е^у ) Ф(Ьх — ау) -\	/ ехр (vx	е х	е « ) dx ,
V аХ	bfi / L	a J	\	аХ	b/i	/ J
где и = Ьх — ау. При интегрировании и рассматривается как параметр.
2. а	-I- Ъ	 = сеах w -\- ke^x
dx	dy
1°. Общее решение при аа + bf3 ф 0:
	еах+ру \ I ффх _ ау^ _|	/ ехр 7^	е	a	\dx>,
аа -\-Ьр / L й J L аа + op J J
где и = Ьх — ау. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
2°. Общее решение при аа + b/З = 0:
w = ехр(-хеах+[3у)ф(Ъх - ау) +	^	.
3. аеЛаг^ + бе^335^ = ce™w + se^+^.
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) =aeXx,gi(x) = 0,go(x) =beCx, h(x,y) =ce7y,
S
4.	ae^^ + Fe^ + ce^)^ = sw + fee
дх х	ду
Частный случай уравнения 5.8.3.6 при f(x) = ae^, pi (ж) = Ъе1Х, ро(ж) = с, h(x,y) = s,
5.	ae^335 ^^ + Fe^ + ceXy) ^ = se^5yw + k.
dx v	^2/
Частный случай уравнения 5.8.3.6 при f(x) = ae^, pi (ж) = Ъе1Х, go (ж) = с,
й(ж,г/) =se^+<5y,F(a;,2/) = A;.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.3.6 при /(ж) = аеCх, gi(x) = 0,go(x) = Ъе1Х\ h(x,y) = ceay,
F(x,y) = ke»x+Sy +d.
7.	ae y	h ^жр 	 = cw + se7 .
Ож	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.12 при fi(x) = a, /2(ж) = bx133", g(x) = с, h(x) = se7X.
о	Лу dw	вх dw	-yX
8.	ае у	\- bxR 	 = сеП w + s.
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.1.12 при fi(x) = a, /2(ж) = Ьх133", д(х) = се7Ж, h(x) = s.
5.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
1.	Ь (ае у + 6ж )	 = сад + ке1 .
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при f(x) = 1, gi(x) = аеЛж, до(х) = 6жп, h\{x) = с,
/го (ж) = /се7Ж.

116	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + 9{Х^У)^~ — hi(x,y)w + ho(x, у)
2.	1- (ае у + 6ер )	 = cw + кеп .
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при /(ж) = 1, gi(x) = аеЛж, до(ж) = be13*, h\(x) = с,
h0 (x) = ке1Х.
3. *И + {ае*»у + Ье/*«) *И = cw + fc**\
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при /(ж) = 1, pi (ж) = аеХх, go(x) = fre^, h\{x) = с,
/&0(ж) = А;жп.
4.	h (ае у + 6ж )	 = cw + fce7 .
аж	оу
Частный случай уравнения 5.8.1.10 при /(ж) = 1, pi (ж) = Ьхк, до(х) = a, h^ipc) = с,
/ii (ж) = 0, /го (ж) = А;е7Ж.
_	OW	OW	\x-\-uv	i » vx
5. ж	1- у	 = axe	w -\- be
дх	ду
Общее решение:
/ ах \х+иу\ Г^( У \ , 7 f Г а (\+ии)х~\ dx ~\
w = ехр 	е ^у )< Ф( — ) + о / ехр\г/х	еу ^ ' — >,
V ЛХ + LLV	/ К \ X У	J	L	A + LLU	Ax)
где и = у/х. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
, dw dw / \х , i u,y\ i ^ж
6. ж	Ь 2/	 = [aye -\- bxe^y)w + се .
Общее решение:
w = ехр(^еЛж + ^-е"») ГфГ-^) +с /ехрГ^	е	е
\Аж	fiy / I \ х / J	\	А	/ш	/ ж
где 16 = у/х. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
_	и dw , лж Огу	вж
7. ау	\- be 	 = w + cep .
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при fi(x) = а, /2(ж) = ЬеХх, д{х) = 1, /г(ж) = се^х.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при /(ж) = аеЛж, pi (ж) = Ь, до(х) = 0, h\{x) = 1,
/го (х) =сеХх.
9.	ае у	\- Ъх 	 = w -\- ceR .
Ож	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.12 при fi(x) = a, /2(ж) = Ъхк, р(ж) = 1, /г(ж) = се^3".
10.	ae y	\- beR 	 = w -\- ex .
Ож	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.12 при fi(x) = a, /2(ж) = be133", g(x) = 1, /г(ж) = схк.
5.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
5.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1. а— + 6— = сш + зЬ'8(Лж) s
аж	ay
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при /(ж) = sh (Аж), g(y) = shn(f3y).
dw . Огу	rfc/\ \	u^/zqx
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.1.1 при /(ж) = вп^Аж), д(у) = shn(^).

5.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	117
3. a^-+b^-
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при /(ж) = с\ sh™1 (Xix), g(y) = С2 shn2
Р[Х) = Si Shfc	*
4.	ash™(A«)—+bsh™(/^) — = cshk(vx)w
ож	ay
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = ashn(\x), gi(x) = 0, go(x) =
h(x,y) = cshfc(z/x), F(x,y) = pshs(/3?/).
5.	азЬ'ЧЛж)— +6shTri(/x«)-^ = с shh (vy)w + pshs(f3x).
dx	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = ashn(\x), gi(x) = 0, go(x) = 6shm(//x),
Л(ж,г/) = cshk(vy), F{x,y) =pshs(/3x).
5.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
1.	a^HL + ЬЁЕ. =cw + chfe(A^) chn@y).
(ух	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = chfc(Ax), g(y) = chn(f3y).
2.	a— + 6— = cchfe(A^)^ + schn@x).
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.1.1 при f(x) = chfc(Ax), g(y) = chn(/3x).
3.	a-f^- + b-?^- = [ci ch (\lX) + c2 ch (Аз»)] w + Sl chfel (/31Ж) + s2 chfc2 (/Sap).
ox oy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = a ch™1 (Aix), р(г/) = C2 chn2(A22/),
р(ж) = si chfci @lX), q(y) = s2 chfc2 (fay).
4.	ж	1- 7/	 = ax сЬ(Лж + fiyjw + b ch(i/x).
ox oy
Общее решение:
ax sh(Ax + fiy) 1 Г / у \ .,/",/ ч / ash[(A + fiu)x] \ dx 1
^^^ Ф — + b / chfi/ж) exp	^	 ' J — ,
Г
w = exp
где и = у/х. При интегрировании 16 рассматривается как параметр.
k(
5. асЬТ1(Лж)-|^-+6сЬТГ1(/хЖ)-|^- = cchk(vx)w + pchs@y).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = achn(\x), gi(x) = 0, go(x) = bch.m(/ix),
h(x,y) = cchk(vx), F(x,y)=pchs(f3y).
6. a ch (Аж)	|-6ch (/ax)	 =cch (i/y)w + pen (рж).
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = achn(Ax), pi (ж) = 0, ро(ж) = ЬсЪ.т
h(x,y) = cchk(isy),F(x,y) =pch.s{f3x).
5.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
L «-S- + ^=- + tbfc(A*)th-O»).
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при /(ж) = thfc(Ax), д(у) = thn(/3|/).
Oil?	- dW	Л к / \ \	Л П / гэ \
2. а	 -|- и	 ^ с th (\x)iv -\- s th (ож).
dx	dy	v / |	vm /
Частный случай уравнения 5.8.1.1 при f(x) = thfc(Ax), ^A/) = thn(f3x).

118	Линейные уравнения вида f(x, у)-§j- + g(x, у)-f^ = hi(x, y)w + ho(x, у)
3. а^-+Ь^-=
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = c\ th™1 (Aix), g(?/) = C2 thn2(A2?/),
p(x) = si thfci (^ж), q(y) =
A)
4. ath(A#)
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = athn(Xx), gi(x) = 0, go(x) =
Л(ж,1/) = cth*(«/x), F(x,y) =
5. oth"(Aa;)—+ 6th(/xa;)— = cthfc(i/j/)w + pths(/3a;).
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = athn(\x), gi(x) = 0, go(x) =
), F(x,y)=pths(f3x).
5.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1.	а— + Ь— = сад + cthfe(A«) cth71^).
Ож	Оу
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = cthfc(Ax),
2.	а-^- + 6-^- = ccthk(\x)w + scth71^).
Ож	Oy
Частный случай уравнения 5.8.1.1 при f(x) = cthfc(Ax),
3.
ox oy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ cthni (Xix), g(y) = С2 cthn2
р(х) = Sl cthfci (Pix), q(y) = s2 cthfc2 (^2y).
4.	acthfA^)+6cth(/x«)
dx	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = acthn(Ax), gi(x) = 0, .до(ж) = 6cthm(//x),
Л(ж,г/) = ccthfc(i/x), F(x,y) =pcths(f3y).
5.	acth^fA^)-^-+6cthTri(/x«)-^- = ccthh(vy)w+pcths(l3x).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = acthn(Ax), gi(x) = 0, ^о(ж) = bcthm(/ix),
h(x,y) = ccthk(vy), F(x,y) =pcths(f3x).
5.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
1. а— + 6— = ад + a shfe(A^) + С2 сЪп(/Зу).
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = cishfc(Ax),
2.
^ + b^=cte + sh(Ax)ch
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = shfc(Ax), g(y) = chn
3. a	1- 6	 = сад + fcth(Aa?) + scth(/x?/).
dx	dy
Общее решение:
w = есх/а{ф(Ъх -ay)-^- ^ [scth(^-(x - t) - w) - kth(\t)\e-ct/a di}.

5.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции	119
.	dw , . /л v dw	ill/ \
4. а	\-bsh(\x)	 = cw + к сЩ/лу).
dx	dy
Общее решение:
w = есх/а
а | Г ch \^у + -^ (ch(At) - сЬ(Лж))] е"с?/а dt + Ф (aAj/ - 6 сЬ(Лж))}.
5. ashn(\x)— +bchrn(ij,x)— =cchk(vx)w+pshs([3y).
дх	оу
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = ashn(\x), gi(x) = 0, go(x) = ЬсЪ.ш(/1х),
h(x,y) = cchk(vx), F(x,y)=pshs(/3y).
6. at\in{\x)— + bcthrn(/j,x)— = с thk(vy)w +pcths(/3x).
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = athn(Xx), gi(x) = 0, go(x) = bcthm(fix),
Л(ж,г/) = cthk(vy), F(x,y) =
5.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
5.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
1. aJ^ + b*L =CW + \nk(\x) \nn(f3y).
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при /(ж) = \пк(Хх), g(y) = \nn(f3y).
aJ^+b— = c\nk(\x)w + slnn@x).
Ox	i-*y
Частный случай уравнения 5.8.1.1 при /(ж) = \ак{\х), д(у) = 1пп(Cх).
3. а^-+Ь^- = [Cllnt
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ In™1 (Xix), g(y) = С2 \пП2(Х2у),
р(х) = Sl lnfci (/3lX), q(y) = s2 lnfc2
4. а1п(Лж)	\- b\n(ij,y)—— = cw + к.
ох	оу
Общее решение:
dy
w = —
к , , . . [с f й 1	v Г dx	Г
	h Ф(и) ехр — /	, и = Ь	-а
с	I a J 1п(Лж) J	У 1п(Лж)	У
5. а1пп(Аж)^ +61птИ-^ = c\nk(vx)w +p\ns(f3y) + q.
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = а\пп(Хх), gi(x) = 0, до(х) =
M»,2/) =clnfc(i/	^
Л)
6. аЬ^Лж)	+ 6ЬИ^
аж	оу
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = а\пп(Хх), gi(x) = 0, до(х) =
h(x,y) = c\nk(isy), F(x,y)=p\ns(Cx)+q.
5.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
f	?	+ с2 ln
аж	ау
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = cixfc, g(|/) = С2 lnn

120	Линейные уравнения вида f(x, у)-§j- + g(x, у)-f^ = hi(x, y)w + ho(x, у)
2.	а^- + Ь^
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = хк, д(у) = \nn(f3y).
_	и dw	n dw	rn, & \
3.	ax	\- bx 	 = cw + s In (f3x).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при f(x) = ахк, gi(x) = 0, до(х) = bxn, h\{x) = с,
/io(x)=slnm(^).
4.	ажп^ + &2/fe-|^- = cw + slnm(/3a0.
Частный случай уравнения 5.8.3.5 при /(ж) = ахп, gi(x) = 0, до(х) = 6, h(x,y) = с,
F(x,|/) = slnm(^x).
5.	axfe— + Ып(А0
Частный случай уравнения 5.8.1.7 при f(x) = ахк,д\(х) = 0, до(х) = b\nn(\x), h\(x) = c,
ho(x) = sxm.
6.	ayk^L+bxn— = cw+ s In™ (f3x).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при fi(x) =a, /2(ж) =bxn, g(x) =c, h(x) =s\n.m(f3x).
7.	аук— +Мпп(Лж)— = cw + sxm.
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.1.11 при fi(x) =a, /2(ж) =b\nn(Xx), g(x) =c, h(x) = sxm.
5.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
5.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
1.	а—	\- 6—— = cw + к sin(A# + /лу).
dx dy
Общее решение:
w = есх/аФ(Ьх - ау) -	[(аЛ + bfi) cos(Ax + fiy) + csin(Ax + цу)].
2.	a— + 6— = w + ci sinfe(A^) + c2 sin71^).
Ож dy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = cisinfc(Ax),
q(y) = c2sinn (f3y).
3.	a_^!_ + b— =cw + sinfe(A^) sinn@y).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = sinfc(Ax), g(y) = smn(f3y).
.	dw	dw	1 1 • /\ 1 \
4.	аж	1- от/	 = cw + fc sin(A« + /лу).
dx	dy
Общее решение: w = xc/a \- Г r(a+c)/a sin (At + fitb/aX-b/ay) dt + Ф(Ж-&/а2/I.
_	dw	dw	• /\ 1 \ 1 l • / \
5.	ж	\- у	 = ax sin(Aa? + iJ,y)w + b sin(i/a?).
Ож	Oy
Общее решение:
w = exp	—— cos(\x + LLy)\ < Ф( — ) +b / sin(Vx)exp(—-— cos\(\+uu)x] ) dx \,
L \х-\-цу	\ V \xJ J	W+fiu L	J/ J
где и = |//ж. При интегрировании и рассматривается как параметр.

5.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	121
6.	asinn(Xx)	\-bsin™(/лх)	 = csink(vx)w + psin (f3y).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = asmn(\x), gi(x) = 0, go(x) =
h(x, у) = csink(i;x), F(x, y) = psins(f3y).
7.	asinn(\x)	\-bsin™(fix) —— = csink(vy)w -\- psins(Cx).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = asinn(Ax), gi(x) = 0, go(x) =
h(x,y) = csmk(vy), F(x,y) = psins(/3x).
5.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
1.	a	\- b	 = cw + fc cos(A« + uy).
dx dy
Общее решение:
k
w = есх'аФ(Ъх — ay) -\—	— \(aX + b/i) sin(Ax + /iy) — ccos(Ax + /iy)].
c2 + (aX + bfiJ
2.	a— + 6— = w + ci cosfe(A^) + c2 cosn(f3y).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, g(y) = 1, р(ж) = ciCOSfc(Ax),
= C2COSn(/3|/).
_	Oil?	, Oil?	fe/лч	тг/.эч
3.	a	b&	 = ciu + cos (Лж) cos (f3y).
ox oy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = cosfc(Ax), g(y) = cosn(/3y).
.	dw	dw	. /x , ч
4.	аж	1- от/	 = cw + fc cos(Ax + /лу).
ox	oy
Общее решение: w = xc/a \- Г Г(a+c)/a cos(At + ptb/ax-"/ay) dt + Ф(аГь/в!/I.
Oil?	Oil?	/\	I	\	l U	<	\
5.	x	1- 7/	 = ax cos(Ax + tiy)w + 6 cos(i/«).
Общее решение:
= exp
L
<! Ф( — ) +6 / cos(i/x)exp(	— 8тГ(А+//гб)ж1 ) dx \,
-I L \xJ J	V Х-\-ци L	/ J
sin(A# + m/) ! Ф( ) +6 / cos(ix)exp(
LXx+tiy	-I L \xJ J	V Х-\-ци
где гб = у/х. При интегрировании 16 рассматривается как параметр.
6. acosTl(A«)	\-bcos™(/ах)	 = ccos (vx)w + pcoss(/3y).
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = acosn(Ax), pi (ж) = 0, go(x) = b cosm (/ix),
h(x,y) = ccosk(vx), F(x,y) =pcoss(f3y).
5.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
dw , On?
a—	h b——
ox	oy
Общее решение:
л	dw , On?	i i j. /\ i
1. a—	h b—— = cw + k tg(A« +
ox	oy
2. a-^
дх
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(х) = citgfc(Ax),
)

122	Линейные уравнения вида f(x, у)-§j- + g(x, у)-f^ = hi(x, y)w + ho(x, у)
3. a^ + b^=cw + tgk(Xx)tg(fy)
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = tgfc(Ax), g(y) = tgn (f3y).
4. a-^- + btgfay)—^- = ctg(\x)w
ож	oy
Общее решение:
w = |cos(Ax)| a — / |cos(A#)| tg(i/#)cfo; + Ф(Ь/1Х — aln |sin(/ii/)|) .
5. аж-^ + Ъу^г- = cw + k tg(A« +
ож	oy
Общее решение: w = xc/a \— Г t~{a+c)/a tgl\t + [ith'ax~h!ay) dt +
\- a Jo
6. a tgn (Ax) -^ + Ь tg™ (/«jb) -^ = с tgfe (vx)w+p tgs (/3t,).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = atgn(Ax), gi(x) = 0, ^о(ж) =
7. atgTl(A^)-|^+6tgTri(^)-^- =ctgh(vy)w+ptg8(/3x).
dx	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = atgn(Xx), gi(x) = 0, go(x) =
), F(x,y)=ptgs(f3x).
5.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
1.	a—	h ^^— = cw + fc ctg(A« + /лу).
ox oy
Общее решение:
w = есх/а{ф(Ъх - ay) + A jf* ctg [(a + ^)* + ^(y - ^)] e~ct/a dt}.
2.	a-^ + b^- =w + Cl ctgfe(A^) + c2 ctgn(f3y).
ox oy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = cidgk(Xx)
q(y) = c2ctgn(j3y).
3.	o-5?- + b-5?-=cte + ctg'l(Aa!)ctg
d	d
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = ctgfc(Ax), д(у) = ctgn(/3|/).
a	\- bctg(f
ox
Общее решение:
4. a	\- bctg(fiy)	 = cctg(\x)w + kctg(isx).
ox	oy
— / |sin(Ax)|~c ctg(i/x) dx + Ф(Ьцх + aln \cos(/iy)\) .
w + fc ctg(A« + //?/).
Общее решение: w = xc/a \— Г Г{а+с)/а ctglXt + [ith>ax~h>aу) dt + Ф(ж"ь/а2/I.
La Jo	-I
асЬёп(Хх)-^-+Ьаёт(^х)^- =cctgk(vx)w+pctgs(f3y).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = actgn(Xx), gi(x) = 0, go(x) = 6ctgm(//x)
5. аж	1- by	 = cw + fc ctg(A« +
Ож	dy
7. actg(A^)|+^ctg(^)|
oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = actgn(Xx), gi(x) = 0, go(x) = 6ctgm(//x),
h(x,y) = cctgk(vy),F(x,y) =pctgs(f3x).

5.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	123
5.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1.	а	\- b	 = w + с\ sin (Аж) + С2 cos7l(/3?/).
дх ду
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(х) = asmk(Xx),
q(y) = c2cosn(f3y).
2.	а	\- b	 = cw + sin (Аж) cosn(j3y).
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = sinfc(Ax), g(y) = cosn(f3y).
_	Oil?	-	.	f	v Oil?	•	/\	\	II	/	\	I
3.	a	\- bsin(fjLy)	 = сз1п(Аж)к; + kcos(isx) + s.
аж	оу
Общее решение:
w = exp(	cos(Ax)) — (s+kcos(isx)) expf— cos(Xx))dx + Q(bLLX — a\n tg—y ) .
4.	a	1- bsin(u,y)	 = С81п(Аж)к; + fctg(I/ж) + s.
Ож	Oy
Общее решение:
u> = exp(	cos(Ax)j — Hs-\-ktg(iyx)) expf— со8(Аж)|с/ж + ф( bfix — a In
On?	/ ч On?
5.	a	1- &tg(/x?/)—— = ctg(\x)w + fcctg(I/ж) + s.
аж	ay
Общее решение:
w = \cos(Xx)\~° — / (s + kctg(iyx))\cos(Xx)\c dx + Ф(Ьцх — a In|sin(//?/) |) .
6.	a sin (Аж)	ho cos (их)	 = ccos (i/x)w-\-p sin (By).
v ' dx	v ' dy	\ > \ и \н»>
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = asinn(Ax), gi(x) = 0, go(x) = bcosm(/ix),
h(x,y) = ccosk(vx), F(x,y) =psins(f3y).
7.
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = atgn(Xx), gi(x) = 0, ^о(ж) = 6ctgm(//x),
Мж,?/) = ctgfc(^), F(x,y) =pctgs(/3x).
5.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
5.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
1.	а	\- b	 = w + ci arcsin (Лж) + С2 arcsin^f^?/).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = ci arcsinfc(Ax),
q(y) = c2dLrcsmn(f3y).
2.	a	1- 6	 = cw + агсэт^Аж) arcsin71 (/3?/).
ож	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = arcsinfc(Ax), g(y) = arcsin™(/З^/).
On? , , dw г	./^\,	. /^ \i
3.	a	\- b	 = \ci агс81п(А1ж) + C2 arcsin(A2у) \w +
ox oy
+ si arcsin71 (/3iж) + s? arcsin (fay).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ arcsin(Aix), g(y) = с2 arcsin(A22/),
р(х) =	fc

124	Линейные уравнения вида /(ж, у)-|^ + д(ж, у)^- = hi(x,y)w + ho(x,y)
4. а	\- Ъarcsin7™(/ах)	 = carcsin (ux)w -\-р 8Lrcsinn (/Зу).
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = a, д\(х) = 0, go(x) = 6arcsinm(//x),
h(x,y) = carcsinfc(i/x), F(x,y) = p duccsmn (fly).
5. а	1- 6arcsinTri(/xa3)	 = carcsin (vy)w + parcsinTl(/3a?).
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = a, gi(x) = 0, ^о(ж) = 6arcsinm(//x),
h(x,y) = cdLicsmk(vy), F(x,y) =
5.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
1. а	Ь 6	 = w -\- ci arccosfe(Aa?) + C2 arccosn(/Зу).
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = с\ arccosfc(Ax),
7
2.	а	1- b	 = cw + arccosfe(Aa?) arccosTl(/37/).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = arccosfc(Ax), g(y) = arccosn(/3y).
_	Oil?	, dw	г	/л\.	/л\1.
3.	a	ho	 = ci arccos(Ai#) + C2 arccos(A2y) ъи +
ox oy
s
+ si arccosTl(/3i«) + S2 arccos
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ arccos(Aix), g(y) = с2 arccos(A2|/),
р(ж) = si arccosn(/3ix), g(|/) = S2 arccosfc(/32|/)-
4. a	1- 6arccos™(//ж)	 = carccos (vx)w + parccos71 (/3y).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = a, pi (ж) = 0, до(х) = 6arccosm(//x),
h(x,y) = carccosfc(^x), F(x,y) = p aiccosn(f3y).
5. а	1- 6arccos™(/лх)	 = carccos (i/y)w + parccos71 (/3x).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = a, gi(x) = 0, go (ж) = 6arccosm(//x),
h(x,y) = caLrccosk(vy), F(x,y) =
5.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
1.	а	\- b	 = w + ci arctgfe(Aa?) + С2 arctg7l(/3?/).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = ci arctgfc(Ax),
q(y) =c2arctgn(/3|/).
2.	a-^- + b^- = cw + arctgfe(A«) arctg71^).
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = arctgfc(Ax), g(y) = arctgn(/3|/).
—
3. a—	h ^>-^— = [ci arctg(Ai«) + c2 arctg(A22/)lt^ +
ож	ay
+ si arctg71^^) + s2 arctgfe(/322/).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ arctg(Aix), д(у) = С2 arctg(A2|/),
р(ж) = si arctgn(/3ix), q(y) = s2 arctgfc(/32y).

5.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	125
4. а	\- 6arctgTri(/xa?)	 = carctg (vx)w + sarctgTl(/3?/).
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, до (ж) = barctgm(/i#),
5. а	1- 6arctgTri(/xa?)	 = carctgfe(i/7/)i(; + s arctgTl(/3«).
ож	ay
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = a, pi (ж) = 0, go (ж) = b arctgm (fix),
5.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
1. а	\- b	 = w + ci arcctgfe(A«) + С2 arcctg^f^y).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = 0, д(у) = 1, р(ж) = с\ arcctgfc(Ax),
2.	а	\- b	 = cw + arcctg (Лж) arcctgTl(/3?/).
dx	dy
Частный случай уравнения 5.8.2.1 при f(x) = arcctgfc(Ax), д(у) = arcctgn(/3y).
3.	а—	h b—— = \сг arcctg(Ai«) + c2 arcctg(A22/)lt^ +
ox oy
+ si arcctg71 (/3iж) + s2 arcctgfe(/322/).
Частный случай уравнения 5.8.2.4 при f(x) = с\ arcctg(Aix), д(у) = с2 arcctg(A2|/),
р(ж) = si	fc
4. a arcctgTl(A«)	1- b arcctgrn{iix)	 = с arcctg (vx)w + parcctgs(/3?/).
Ож	Oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при /(ж) = a arcctg72(Лж), д\(х) = 0, до(х) =
gm(//x), h(x,y) = carcctgfc(^x), F(x,y) = p dLicctgs(f3y).
5. a arcctg71 (Аж)	1- 6arcctgrrl(/xж)	 = carcctgfe(i/7/)i(; + parcctgs(/3ж).
ox	oy
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при f(x) = a arcctg72(Аж), gi(x) = 0, до(х) =
), h(x,y) = carcctgfc(^), F(x,y) =
5.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
5.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
1.	а— + 6— = /(ж)ад + д(х).
Общее решение:
w = ехр — / fix) dx\ < Ф(Ьх — ay) -\	/ д(х) ехр	/ fix) dx\ dx\.
I a J	J I	a J	I a J	JJ
2.	a— + b— = (cy + k)w + f(x).
Общее решение:
w = exp< —— [2a(cy + k) — bcx] >< Ф(Ьх — ау)-\-
JxQ
где жо —любое.
- Г ехр{--^- [2а(су + fc) + Ьф - 2х)] }S@ dt\,
Ci J Хп	^	¦"^	^	'

126	Линейные уравнения вида /(ж,г/)-§^г + д(х,у)-^- = hi(x,y)w + ho(x,y)
3. a—	h b^— = f(x)yw + 0(ж).
ож	ay
Общее решение:
w = F(x, и) \ф(и) + — / -^rl, u = bx-ay,
L	a УЖо F(t,u) J
где F(x,u) = exp —- / (br - u)f(r) dr \.
L а ^ж0	-1
4. аж-	h by—— = f(x)w + #(ж).
ож	оу
Общее решение:
Г 1 Г fix) dx 1 Г ^ / _&/a ч 1 /" о(ж)	Г 1 /" fix) dxl , 1
гу = exp — / -^-^	 Фж 'у) -\	/ -^^-exp	/ -^-^	 dx}.
I a J x J I v	' a J x	I a J x J J
/(ж)"^ + (a?/ + ^~d^ = cw + g(x).
Общее решение:
Общее решение:
7. f(x)~^— + [(жJ + ^(ж)]
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при h(x, у) = hi (ж), F(x, у) = /го(ж). Общее решение:
где
Н(х) = exp / —* dx , G(x) = exp —
о	_e/ \ Ow i Г / \ i	/ \~\ OW	и ( \	i и ( \ i и ( \
«. J\x)—	г 1^1(^J/ + #о(ж)| —— = h2(x)w -\- hi(x)y -\- По(х).
ох	оу
Частный случай уравнения 5.8.3.4 при h(x,y) = h^ipc), F(x,y) = h\(x)y + ho(x).
9. f{x)	h [fl'i {x)y H~ 9o{x)y ]	 = h,2(x)w -\- hi (x)yn -\- ho(x).
Частный случай уравнения 5.8.3.5 при h(x,y) = h,2(x), F(x,y) = h\(x)yn + /го(ж).
10. f(x)	\~ [9i\x) ~\-9o{x)e I	 = ri2(x)w-\-hi(x)e -\-ho(x).
дх	ду
Частный случай уравнения 5.8.3.6 при h(x,y) = /^(ж), F(x,y) = hi(x)e/3y + ho(x).
Общее решение:
«; = Ф(м)С(:г,И) + С(х,И) Г-Лк + Ш'^т^т, u = yk+1-F(x),
^T dt\, x0— любое.
где
,u) = exp\ Г J^L[u+F(t)]~^T dt\,

5.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	127
Общее решение:
w = Ф(и)и(х, и) + Gix.u) I 	F	^^—=	, и = е у — Fix),
Jx f (t)\u -\- F(i)\G(t и)
где
к жо—любое.
5.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции ж и
произвольные функции у
1.	а-^- + 6-^- = сад + f(x)g(y).
Общее решение:
w = есх/а \ф(Ъх -ау) + - Г f(t)g ( Щ " х) + ау ) e~ct/a dt],
L	a JXQ	V	a	J	J
где жо —любое.
2.	а—	\- b—— = cw + xf(y) + yg(x).
ox oy
Общее решение:
w = есх/а{ф(Ъх -ay) + j^ fx{atf( ^ " ^ + ^ ) + [Ь^ " ж) + аУ]^(*)}е"С*/а ^
3.	а-^- + b-^- = f(x)w + g(x)h(y).
Общее решение:
w = F(x)[<b(u) + 1 ? Щ-д(^-±) dt\ u = Ъх-ау,
где F(x) = expl— / /(ж)с?ж|.
4.	a-j^- + 6-^- = [/(ж) + g(y)]w + р(ж) + q(y).
Общее решение:
w = ехр [— / /(ж) dx+ j g(y) dy\ |Ф(Ьж - а?/)
где и = Ьх — ау. При интегрировании гб рассматривается как параметр.
5. ах	1- by	 = cw + f(x)g(y).
Общее решение:
w = хс/а \ф(х-ь/ау) + - Г t-{a+c)/af(t)g(tb/ax-b'ay) dt].
x0
Общее решение:
где

128	Линейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + 9{Х^У)^~ — hi(x,y)w + ho(x, у)
5.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
y\ fx
tJ + / j
X '	JXr)
dw	dw
Общее решение:
w = ex{
где xo —любое.
dw , dw „, ч	t ч
2. AЖ	 -\- by	 ^ j (ж. y)w -\- о (ж. 7/).
Общее решение:
w = exp\- ( -fix, u1/axb/a)
L a J x v	y
+ 1 / -g(x, u1/axb/a) exp[-- / -fix, u1/axb/a) dx] dx\,
где гб = yax~b. При интегрировании 16 рассматривается как параметр.
^	^ Нх> V)w + ^(ж^ У)-
ох	оу
Общее решение:
где G = С(ж) = ехр /	dx , if (ж, и) = ехр / ——	-dx . При интегрировании
IJ f(x) J	LJ f(x) J
()
рассматривается как параметр.
Общее решение:
и-/ \Гл/ \ , /" ^(ж' wGf + Q) л 1
ги = Я(ж,гО Ф(и)+ / h \ „,—^т~ dx L
L	У f(x)H(x,u) J
где
(ж) б?ж
' = Q(x) = G{x) j j&
При интегрировании гб рассматривается как параметр.
5. ^(ж)"^" + [flfi(«J/ + flfo(«)?/fe]-^- = h(x,y)w + F(x,y).
При А; = 1 см. уравнение 5.8.3.3. При к ф 1 замена ? = г/1"*5 приводит к уравнению вида
5.8.3.4:
6. /И|^ + fei(«) +9o(x)eXy]^- = h(x,y)w + F(x,y).
Замена z = e~Xy приводит к уравнению вида 5.8.3.4:

6. Линейные уравнения вида
6.1. Предварительные замечания
6.1.1. Методы решения
6.1.1-1. Характеристическая система. Структура общего решения.
Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка с тремя
независимыми переменными вида
+ g(x,y,z) + h(x,y,z) — = 0.	(I)
Если известны два независимых интеграла (интегральный базис)
ui(x,y,z) = Ci, u2(x,y,z) = С2	B)
характеристической системы
dx _ dy _ dz
f(x,y,z) g(x,y,z) h(x,y,z) '
то общее решение уравнения (I) имеет вид
w = Ф(иии2),	D)
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разд. 6.2 - 6.8, часто будет указан только
интегральный базис. Общее решение этих уравнений можно получить с помощью формулы D).
6.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть известен один интеграл u(x,y,z) = С системы C). Переходя от ж, у, z к новым пере-
переменным ж, у, и = u(x,y,z), получим линейное однородное уравнение в частных производных
первого порядка с двумя независимыми переменными ж, у:
f(x,y,u)— +g(x,y,u)— =0,	E)
ох	оу
в которое и входит как параметр. Функции f(x,y,u) и ~д(х,у,и) получаются из f(x,y,z) и
д(х, у, z) с помощью перехода к переменным ж, г/, и. О решении уравнений E) см. разд. 1.2.
6.1.1-3. Физическая интерпретация.
Уравнение A) описывает стационарное распределение концентрации вещества в трехмерном
потоке (без учета диффузии). При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям
ж, у, z определяются соответственно функциями /, д, h.
(•) Литература к разделу 6.1.1: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
9 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

130	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-%%- + g(x,y,z)-^j- +h(x,y,z)-^- = О
6.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными)
6.1.2-1. Классическая задача Коши.
Требуется найти решение w = w(x,y,z) уравнения A), удовлетворяющее условию
w = (f (у, z) при х = хо,	F)
где (р(у, z) —известная функция.
Начальное условие F) удобно представить в параметрическом виде:
х = х0, y = ?i, z = &, w = <p(fi,f2),	Fa)
где ?i, ?г — параметры.
6.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши.
1°. Стационарная интерпретация задачи Коши. Пусть ж, у, z — пространственные коорди-
координаты, w — концентрация. Считается, что распределение концентрации описывается стационар-
стационарным уравнением переноса A) и в начальном сечении х = хо задан профиль концентрации F).
Требуется найти w = w(x, у, z) в потоке за начальным сечением (при х ^ хо).
2°. Нестационарная интерпретация задачи Коши. Пусть х — время, у и z — пространственные
координаты, w — концентрация (/ = 1). Считается, что распределение концентрации описыва-
описывается нестационарным уравнением переноса A) и в начальный момент времени х = хо задан
профиль концентрации F). Требуется найти w = w(x,y,z) в последующие моменты времени
(при х ^ хо).
6.1.2-3. Процедура решения задачи Коши.
Для решения задачи Коши подставляют начальные данные Fа) для независимых переменных
в интегралы B) характеристической системы C) и добавляют к полученным выражениям
последнее равенство Fа):
ttiOco,fi,60 = Ci, и2(хо,?иЬ) = С2, w = ip(Zub).	G)
Затем из первых двух уравнений G) выражают ?i и ^2 через С\ и Сг и подставляют их в правую
часть последнего равенства G). В результате находят зависимость
w = ^(Ci,C2).	(8)
Подставляя сюда вместо С\ и Сг левые части интегралов B), получают решение задачи Коши:
w = ip(ui(x,y,z),U2(x,y,z)).	(9)
6.1.2-4. Обобщенная задача Коши.
Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение w = w(x,y,z) уравнения
A), удовлетворяющее начальным условиям
Ы, У = Ы^ъЫ, z
где ^i, ^2 —параметры (ai,2 ^ ^1,2 ^ Pi,2), а ^(^1,^2) —заданные функции.
Метод решения обобщенной задачи Коши аналогичен методу, описанному выше в
разд. 6.1.2-3.
(•) Литература к разделу 6.1.2: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986).
6.1.3. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw	,.,_.
— +а—+Ъх—-=Ъ.	A0)
ox	oy	oz
Характеристическая система
— = ^L = —	(И)
1	a bx

6.2. Уравнения, содержащие степенные функции	131
может быть записана в виде двух независимых уравнений: у'х = а и z'x = bx. Их общие решения дают
интегральный базис
Поэтому общее решение уравнения A1) имеет вид
w = Ф(?/ — ах, z —^Ьх2"),
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw
—— +ах—— +by—— =0.	A3)
dx	dy	dz
Запишем характеристическую систему в виде двух уравнений
dx_ _ dy_	dx_ _ dz_
1 ax	1 by
Общее решение первого уравнения дается формулой
„. 1 nJ2> — г1	пм
У — ~2~ах — i^i-	v1-^/
Выразим отсюда у через х и подставим полученное выражение во второе уравнение A4). В результате
имеем
Интегрируя, получим z — ЬСхх — -^-абж3 = С2. Исключая отсюда Сг с помощью равенства A5), находим
второй интеграл
z-bxy+ \abxz = C2.	A6)
Общее решение уравнения A3) является произвольной функцией двух аргументов A5) и A6):
w = Ф(у —|-аж2, z — Ьху + -^-абж3).
Пример 3. Требуется найти решение задачи Коши для уравнения A0) с начальным условием
w = Aynzrn при х = 1.	A7)
Запишем начальные данные A7) в параметрическом виде
х = 1, у = ^, z = Z2, w = AtfZ™,	A7a)
а затем подставим их в интегралы A2) характеристической системы A1). В результате имеем ?-,_ — а = Сг,
^2 —2~^ = ^2- Выразив отсюда ^1 и ^2 через С1 и С2 и подставив их в последнее равенство A7а), получим
w = А(С1 + а)п (С2 + \Ъ)Ш.
Заменив С1 и С2 левыми частями равенств A2), находим решение задачи Коши
w = А(у - ах + а)п (z - \bx2 + \Ь)Ш.
6.2. Уравнения, содержащие степенные функции
6.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z
л	dw , , dw , dw _
1.	а	h b	h с	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = Ьх — ay, U2 = ex — az.
® Литература: Э. Камке A966).
dw	dw	dw
2.	—	h ax—	h by—— = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = ax2 — 2y, U2 = 3z + bx(ax2 — 3y).
dw , , dw , dw Л
3.	a—	Vby—	Vcz—— =0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = \y\ae~bx,
(•) Литература: Э. Камке A966).

132
Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,z)-^j- + h(x,y,z)-^- = О
4-
6.
_
7.
8.
9.
dw	dw	dw
Интегральный базис:
_ 2 2	_ \ (by + л/abz) exp(—л/abx)
1^ bycos(^\ab\ x)
при ab > О,
| x) при afr < 0.
® Литература: Э. Камке A966).
5. ж
On? , , dw л
h bz—— = 0.
d
dx	ду	dz
Интегральный базис: и\ = \x\a/y, U2 = |ж| /z.
® Литература: Э. Камке A966).
On?	On?	On?
ж —	h a*^	h by—— = 0.
Ож	Oy	Oz
Интегральный базис:
|л/а&
= by — az , U2 =
(by — Vabz)
при afr > 0,
W — ab
/	yf—abz \
exp — arctg	 при ab < 0.
V	by J
+ /3?/ +
= 0.
® Литература: Э. Камке A966).
ж	\- (ax + fa/)	\- (q
С7Ж	Oy	u/z,
Частный случай уравнения 2.1.2.21 при s\ = 1, S2 = 6, S3 = 7.
Огу х	. /. dw	dw
dx	V dy	dz
= 0.
Интегральный базис:
dw
дх
1-
= ay + 6z, U2 = x exp (	).
V ay + bz J
\ dw	,	Л On?
)_+a(oW-ba!)— =0.
Частный случай уравнения 6.2.1.21 при si = 1, S2,3 = ±л/2-
Интегральный базис:
ui = [а?/ + (л/2 - l)bz] \х\~^, и2 = [ay - (л/2 -
Частное решение: w = а2у2 — 2abyz — b2z2.
10. b2cy	\- а2сх	ab(ax + by)	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = ах + by + cz, U2 = а2ж2 — b2y2.
11. cz—	h ox + 6?/)—	h ox +
ox	oy
Частный случай уравнения 6.2.1.21.
1°. Интегральный базис при а фЬ\
+
oz
= 0.
и\ = z — х — у,
и2 =
2acz
(b — с — р)(ах + by)
г 2 . /, w , » \ / , » \2
[acz + (Ъ - с)(ах + by)z - (ах + by)
2acz + (b — с + p)(ax + by)
где р2 = 4ac + F - cJ / 0.
2°. Интегральный базис при а = b:
г/	\	i Г / 1 1 \ cw- ax 1
Ul = z — x — у, U2 = Ыж + г/) + c^ exp	1	 .
l\ а с J z — x — у J
® Литература: Э. Камке A966).

6.2. Уравнения, содержащие степенные функции	133
.. ,2 dw	2 dw . ,2 dw _
12. 6 cz	а еж	h a6 v	 = 0.
d	d '	y 0
а еж
dx	dy
Частный случай уравнения 6.2.1.21 при si = —1, S2 = у (l + г-у/З), S3 = у (l — iy/3).
В.
тт ^^ ж + а 2/ + Ь
Интегральный базис: щ = 	, U2 = 	•
z + с	г + с
14.	2bc(ax — by)	ac(ax — by — cz)	ab(ax — by — Scz)	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.2.1.21 при s\ = О, S2 = 2, S3 = 4.
15.	bc(y - z)-^- + ac(z - ж)—^- + а6(ж - y)-^- = 0.
ож	ay	oz
Интегральный базис: и\ = ax + Ъу + cz, U2 = ax2 + by2 + cz2.
16.	bciby - 2cz)— + acCcz - аж)— + а6Bаж - ЗЬу)— = 0.
ож	ay	oz
OO	OO	OO
Интегральный базис: и\ = Заж + 2by + cz, U2 = a x + b у + с z .
17.	2bc(by — cz)	acDax — Sby — cz)	1- SabDax — by — Scz)	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.2.1.21. Интегральный базис:
(8ах - ЪЬу - 3czJ
u\ = Зах — ЗЬу — cz, U2 =
2ах — by — cz
ч.« / .	\ dw , ,	ч dw , , „ ч,	ч dw Л
18. (ax + y-z)—-(x + ay-z)— + (a- 1)(» - ж)-^- = О.
Частный случай уравнения 6.2.1.21 при si = О, S2,3 = ±д/(а + 3)(а — 1). Один из
интегралов: г^1 = х + у + z.
(•) Литература: Э. Камке A966).
19. 26сCаж - 26т/ + cz)— - 2асBаж - ЪЬу + Scz)-^- +
+ abBax - 6by + llcz)	 = 0.
Частный случай уравнения 6.2.1.21 при si = ЗаЬс, S2 = 6abc, S3 = ISabc.
Интегральный базис:
_ Bах + 2Ъу + czJ	_ Bах -by- 2czf
2ах — by — 2cz '	ах — 2by + 2cz
20.	(Ах + су + bz)^- + {ex + By + az)^- + {bx + ay + Cz)^-= 0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 6.2.1.21, где s — корень кубического уравнения
(А - s)(B - s)(C -s)- [a2(A - s) + Ь2(В - s) + с2(С - s)] + 2abc = 0.
(•) Литература: Э. Камке A966).
21.	(сцж + 6i7/ + ciz + di)—	h («2Ж + b2y + c2^ + d2)—	h
ож	ay
+ (а3ж + 6з2/ + c3z + d3)^- = 0.
az
Вид интегрального базиса зависит от решений вспомогательных алгебраических уравне-
уравнений
\ — s Ъ\	с\
U2	Ь2 — S	C2
аз	Ьз сз — s
= 0,	A)

134	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-%%- + g(x,y,z)-^j- +h(x,y,z)-^- = О
ai + f3a2 + 7«з = as,
bi + /%2 + 763 = /3s,	B)
ci + /3c2 + 7C3 = 7s,
и величины коэффициента
D = adi + f3d2 +7*.	C)
Сначала находят корни s кубического уравнения A), затем соответствующие решения
а, C, 7 линейной системы B). Далее вычисляется коэффициент D C). Возможны следу-
следующие случаи.
1.	Если s = D = 0, то один из интегралов имеет вид
и\ = ах + /Зу + 7^5
а второй можно получить, используя преобразование, указанное в разд. 6.1.1-2.
2.	Если уравнение A) имеет два отличных друг от друга и от нуля корня si, S2, то из
системы B) найдутся два набора чисел ctk,Pk,Jk (к = 1, 2) не равных нулю одновременно
в каждом наборе, и один из интегралов будет
Ui = (a^ + ^y + ^z + Djs^ ^
(а2х + C2у + >y2z + D2/s2)si
3. Если уравнение A) имеет три различных корня si, S2, S3 не равных нулю, то
интегральный базис имеет вид
= {^ ^y ^^ j^ u = {^
1 {а2х + C2у + Ъг + D2/s2)si ' 2 (ск3ж
Если имеются кратные или нулевые корни, то можно взять Uk ф const и использовать
преобразование, указанное в разд. 6.1.1-2.
® Литература: Э. Камке A966).
6.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, z
1. —	h (aixy + Ьгх2 + ci«) —	\- (а2ху + Ь2х2 + с2ж) —— = 0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.1.4 при fi(x) = а±х, /2 (ж) = Ъ\х2 + cix, pi (ж) = агж,
2
С^ ¦ /	¦ » 2 ¦	\ ^^ ¦ /	¦ » 2 ¦	\ ^^	^
2.	—	h (сцжт/ + Ьгх + С1Ж) —	\- (a2xz + о2ж + с2х) —— = 0.
аж	ay	C72;
Частный случай уравнения 6.8.1.5 при /i(x) = а±х, /2(ж) = Ъ\х -\- с\х, gi(x) =
^2(ж) = Ь2Х2 + С2Ж.
3.	-^— + [агху + бхж + cix) —	\- (a2yz + Ъ2у + с22/) -^- = 0.
Частный случай уравнения 6.8.2.2 при fi(x) = а±х, f2(x) = Ъ\х2 + cix, pi (у) =
= Ъ2у2 +с2у.
4.	—	Ь (ai«7/ + 61?/ ) —	h (а2ж^ + b2z ) —— = 0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.1.8 при к = т = 2, /i(x) = aix, /2 (ж) = bi, pi (ж) = а2х,
д2(х) = Ъ2.
dw , dw	dw _
5.	a	h «z	xy	 = 0.
dx	dy	У dz
Интегральный базис:
В качестве второго интеграла можно использовать также функцию и2 = х2-\-2а dLictg(z/y).
® Литература: Э. Камке A966).

6.2. Уравнения, содержащие степенные функции	135
,	dw	dw , 2 . , 2 ч dw _
6.	ex—	h су—	h (ax + by )—— = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: и\ = ax2 + fo/2 — 2cz, 1^2 = ?//ж.
7.	cz-^- — aBax — b)y-^- + aBax — b)z-^- = 0.
ож	ay	02
Интегральный базис: и\ = ?/?, U2 = ax (ax + b) — cz.
2 #W	Oil?	,2 2 dw
8.	аеж	аежт/	by 	 = 0.
дх	У ду	У dz
Интегральный базис: и\ = ху, U2 = 3acxyz — b2ys.
2 dw	2 dw	2 #w
9.	ax —	h ^2/ —	h cz —— = 0.
дх	ду	dz
Любые две функции (из трех)
11	11	11
U\ =	, U2 =	—, U3 =
6?/ аж	С2; 6?/	аж cz
образуют интегральный базис.
® Литература: Э. Камке A966).
in l 2 #ги	2 ^^у	, dw _
10.	абж	Ь cz	h 2abxz	 = 0.
dx	dy	dz
о	о
тт	- г	Х	г.	CZ
Интегральный базис: и\ = —, U2 = by	.
z	Зах
лл	и	dw i 2 2 dw	f	. Oil?
11.	bcxy	1- a ex	byBax + cz)	 = 0.
Ож	Oy	dz
Интегральный базис: и\ = a2x2 — by2, U2 = x(ax + cz).
.. ,	dw . 2	0^ . ,2 2 О^У	_
12.	bcxy—- + с 7/z—— + b2y2—- = 0.
ож	ay	az
тт	- г	т2222	by + CZ
Интегральный базис: и\ = о у — с z , U2 = 	•
X
Интегральный базис: i6i = —, U2 = 	•
® Литература: Э. Камке A966).
. , 2 dw	dw	dw _
14.	by	axy	\- cxz	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = ax2 + by2, U2 = ycza.
л r	dw	dw f	л dw _
15.	cxz	\- 2axy	Bax + cz)z	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = x(ax + cz), U2 = xyz.
ли	dw	dw	dw
16.	axz—	1- ayz—	1- bxy—— = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: и\ = —, U2 = a^2 — bxy.
x
л„	dw	dw . /, 2	\ ^^ ^
17.	cxz	cyz	\- (by — ax)	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = xy, U2 = 2ax + by2 + cz2.
л о	dw	dw t 2 . , 2 ч dw
18.	cxz—-	cyz—-	1- (ax + от/ )—— = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: и\ = xy, U2 = ax2 — by2 — cz2.

136	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,z)-^- + h(x,y,zL^ = О
19. xz^+yz^ + {ax2+ay2+bz2)^=0.
ox	oy	oz
2 +y2) + (b-l)z2
Интегральный базис: и\ = —, U2 =	r•
x	(x2 +y2)b
® Литература: Э. Камке A966).
20. 2cxz— + 2cyz — + (cz2 - ax2 - by2)— = 0.
дх	ду	dz
TT „ ax2 + by2 + cz2	ax2 + by2 + cz2
Интегральный базис: и\ = 	, U2 =
х	у
dw	dw	dw
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = ax2 —by2, U2 = cz2 —by2.
22.	bc(x2 — a2)	\- c(bxy + acz)	1- b(cxz + aby)	 = 0.
dx	dy	dz
тт » r by + cz by — cz
Интегральный базис: и\ = 	, U2 = 	•
x — a	x + a
® Литература: Э. Камке A966).
23.	bxiby + с)	1- (&22/2 — асж)	1- b2yz	 = 0.
dx	dy	dz
„ - г ax — с л
Интегральный базис: и\ = 	, г^2 =	Ь In
йж + 6?/	ax + by
ах -\-by
24.	жFт/ — cz)	1- ?/(cz — аж)	1- z(ax — by)	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = ax + by + cz, 1^2 = xyz.
25.	a(W + 0)(z +f)^L-b(x + a)(z + 1)^-c{x + a)(y + /3)^ = 0.
Интегральный базис: i^i = Ь(ж + aJ + aB/ + /3J, U2 = с(ж + aJ + aB + 7J.
26.	bc(acxz + b2y2)— + ac(bcyz - 2a2x2)— - abBabxy + c2z2)— = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = 2acxz — b2y2, U2 = а2ж2 + bcyz.
27.	a{y2 + z2)^+x{bz^	^
Интегральный базис: u\ = x2 + y2 + z2, 112 = 2aaictg(y/x) + b\n(y2 + z2
® Литература: Э. Камке A966).
28. b(by + cz)	ажFт/ + 2cz)	\- abxz	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = z(by + cz), U2 = ax2 -\-b2y2 — c2z2.
29. (foX-f1)^-+(foy-f2)^-+(foz-fa)^-=O, U = an+bnx+cny+dnz.
ox	oy	oz
Уравнение Xecce (n = 0, 1, 2, 3).
Введение однородных координат х = ?/т, 2/ = tj/t, z = ^/r приводит к уравнению
с линейными коэффициентами, но с четырьмя независимыми переменными для функции
w = ги(т,?,77,С):
dv	dv	dv	dv
где ди = аит + bu{; + сиг] + du?. О решении этого уравнения см. 10.2.1.12.
® Литература: Э. Камке A966).

6.2. Уравнения, содержащие степенные функции	137
6.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z
2 duo /22 \ duo , ч 2 duo
1. 2о xz	\- by(b z + 1)	\- axy(bz + 1) 	 = 0.
Интегральный базис:
bz — axy
(bz — axy + IJ
axy
,	U/J 	 \JUJu U	л	\JUJu U	_L	_L - I I
Ul=bz- axy, u2 = —	———tt ln -7-—Г ~ -^ГГ—^ТГ:.	——^V ~ T7 ln 1Ж1-
bz
1	1
-l)(bz-аху + 1) 2
2. bcxy2-^- + 2bcy3^- + 2(c?/z - аж2J— = 0.
Интегральный базис: и\ = —, U2 = у exp (	—— ).
V	V cvz — ax2 J
_	2 #w	2 ^гу	2 ^гу _
3.	bey z	\- acxz	abxy 	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = ax2 + cz2, U2 = by3 + cz3.
4.	^(bj,2 - cz2)— + y(cz2 - a*2)— + z(ax2 - by2)— = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = ax2 + by2 + cz2, 1^2 = xyz.
5.	МЗаж2 + by2 + c*2)— - 2аЖ(аж2 + cz2)— + 2abxyz— = 0.
TX „ - ax2 + 6?/2 + cz2 2ax2 + 6?/2
Интегральный базис: и\ = 	, U2 = 	^	•
z	z2
6. Ь[о(оЖ+Ьг,1)а;+6?/]+о[Ь(оа;+6?/1)?/аЖ] + 2о6г
дх	ду	dz
Преобразование ах = ?, by = г] приводит к более простому уравнению этого вида при
a = 6 = 1. Интегральный базис:
exp ( 2 arctg — ), U2 = z exp ( 2 arctg — ).
V	ax J	\	ax J
ax J	\	ax .
тт	~ г	3 3
Интегральный базис: и\ = xyz, U2 =
b2y2 a2x2 '
8. ax2 (abxy — c2z2)	1- axy(abxy — c2z2)	1- byz(bcyz-\-2a2x2)	 = 0.
дх	ду	dz
у	a2bx2y -\-b2cy2z + ac2xz2
112 =
2 2
у					 ..n^rrv^
Интегральный базис: и\ = —, U2 =
x	yz
9.	x(cz^ — by4)	\- у (ax4 — 2cz4)	1- zBby4 — ax4)	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = ax4 + by4 + cz4, U2 = x2yz.
10.	ж— + i;— + а^ж^Ту2 — = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = у/х, U2 = a^Jx2 + у2 — z.
® Литература: Э. Камке A966).
Интегральный базис: i6i = г//ж, U2 = xa x (z + д/ж2 + ?/2 + z2 ).
® Литература: Э. Камке A966).

138	Линейные уравнения вида /(ж, у, z) -^- + #(ж, у, z) -тр- + /г(ж, у, z) -^- = О
.. /-Z—;	~ dw . /—z—;	 dw , /—z—;	~ .	/—z—;	 ч dw _
12. z^/y2 + z2	\- az^/x2 + z2	[x^/y2 -\- z2 -\- ay^/x2 + z2 )	 = 0.
dx dy	dz
Интегральный базис:
су	су су су су
и\ = г , U2 = aarcsin(x/r) — arcsin(i//r), где	г = ж + г/ + ^ .
® Литература: Э. Камке A966).
Интегральный базис:
1 (у - z)Vf(x) ~+
где /(?) = aet + ast + a4t + a^t + аг? + ait + ao-
xyz(y - z)(z -x)(x -у)
® Литература'. Э. Камке A966).
х у z
х у z
6.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z
dw	п т dw и v и, \ dw
dx	dy	dz
1°. Интегральный базис при т ф 1, п ф — 1:
1.
1 fc
ку гг
n+i
= 1 —
v I kui -\	ж
V	п + 1
dx
кф|-Ь f xu(kui +
при Л = 1.
При интегрировании г^1 рассматривается как параметр.
2°. Интегральный базис при т = 1, п ф — 1:
i6i = In |г/|	жя, s = n + 1;
- 1-А
	ж J / ж ехр(	ж Jc/ж при А т^ 1,
In p — ог/р exp (	ж ) /ж expl	ж ) с/ж при А = 1.
\ s У J	\ s У
3°. Интегральный базис при m / 1, п = — 1:
1 к
к
)м
	Ъ I xu (kui + аЫп |ж|)^/л с/ж при А ф 1,
_ j 1 — Л У
In |z| — 6 / хи {ku\ + aA;ln |ж|)м с/ж при А = 1.
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
4°. Интегральный базис при т = 1, п = — 1:
U\ = X
U2 =
1 - Л a/x + г/ + 1
„1-А
1 -Л
In И-
— Ьу^х ам
+ Z/+1
k In |^| — Ьу^х~а^ In |ж| при А = 1,
при А ф 1, а/1-\-is ф — 1;
при А / 1, a/i + I/= — 1;
при А = 1, а/1-\-is ф — 1;

6.2. Уравнения, содержащие степенные функции
139
2. Ц- + (агх^у + Ьгх™*)^- + (а2х^у + Ь2^2) Ц = 0.
Частный случай уравнения 6.8.1.4 при fi(x) = сцж™1, /2 (ж) = hix™1, pi (ж) = п2ХП2,
3.
= 0.
Частный случай уравнения 6.8.1.5 при fi(x) = a\xni, /2 (ж) = 6ixmi, pi (ж) = а2ЖП2,
4. ^ + (ахх» + Ь1Х^)^- + (a,yn>z + Ь2у™>)^- = 0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.2.2 при fi(x) = a\xni, /2(ж) = &1Жт1, gi(y) = п2у
5. —	\-(aix1y
ox
гу 1)—	\-(a2x2z
oy
z2)——=0.
oz
Частный случай уравнения 6.8.1.8.
,	гь dw , m dw	i dw _
6. ах	\- by	\- cz 	 = 0.
dx	dy	dz
1°. Интегральный базис при п ф 1, т ф 1:
a i_m
-у
7.
с	1 —те	а	1 —Z	7 / -1
ж —:	7z при / / 1,
1 -n
1 -i
1 -га	1 -гга '
2°. Интегральный базис при m = / = 1:
С V~n-aln
\-n
при / = 1.
= x~c/az,
= 1 1-n
x-b/ay
ж1 n—aln|?/| при п ф 1,
при n = 1.
ft?/ 	 -|- Ьх 	 -|- cz 	 = 0.
dx	dy	dz
1°. Интегральный базис при пф — 1, т ф — 1:
5	п + 1	^	m + l
га + 1
m + l
6(m + 1) n+i m + l
+ 1 1"
	Щ
а	\
с/ж
при / ^t 1;
Л6(т + 1) n+i m + l ]-"^+Г ,	т.,	, -,
—^	^ж	u\\	dx — a\n\z\	при / = 1.
a(n + l)	a	J	' '
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
2°. Интегральный базис при пф — 1, т = — 1:
с^/ехр	-ж?г+1 / ехр —	-хп+1\ dx	—zx~l при I Ф 1;
L а(п + 1)	\ J	L a(ra + 1)	J	1 — I
c^/exp	-жп+1 / ехр —	-xn+1 \ dx — a In \z\	при / = 1.
L a{n + 1)	-I J	L a{n + 1)	-I
3°. Интегральный базис при п = m = — 1:
U2 = <
(a
сж?/1п I ж
az i-i
1 -/
a
l-l
zvl при //1, a+ 6/0;
при l ф 1, a + 6 = 0;
(a + b)cxy — a2 In \z\ при / = 1, a + b ф 0;
. cxyln \x\ — a In \z
при / = 1, a + 6 = 0.

140	Линейные уравнения вида f(x,y, z) -|^- + g(x,y,z) -|^ + h(x, у, z) -fj- = О
Интегральный базис: и\ = xyz, U2 = xn + yn + zn.
® Литература: Э. Камке A966).
6.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
6.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
а dx	S ~dy CS ~dz ~
Ь	С е@у dy
Интегральный базис: и\ = —еах — ay,	U2 = olz — с \ 	. При интегрировании
a	J ay + w1
и\ рассматривается как параметр.
.	dw , «ж dw	-fz dw _
2.	a	h be	h ce. 	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = —eax — ay, U2 = ex -\	e~lz.
a	7
_	dw	ву dw	~z dw _
3.	a	\- beRV	\- ce1' 	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = bx -\	e~Cy, U2 =	e~Cy -\	e~lz.
C	C	7
4.	1- (Aieaix + Bie"ix^~ y)	1- (A2ea2X + ^e^283''' )	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.8.1.10 при /i(x) = AieaiX, /2(ж) = Sie'3', gi(x) = A2ea2X,
_	о,ж Oil?	ey Oil?	^г dw	_
5.	ae	\- beRy	\- ce1 	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: щ =	e~ax -\	e~l3y', u2 =	e~/3y -\	e~lz.
aa	bC	bC	cy
,	ev dw , «ж dw	^z dw _
6.	aepy	h be	\- ce1 	 = 0.
dx	dy	dz
тт	« r	1 OCX , 1 /3t/	^2/ аЖ	1
Интегральный базис: и\ =	e -\	e y, U2 =
/	/аж - aaePv
7. (ax + a3e")-!^ + (bx + b2e^)^ + (Cl + c2e^)^ = 0
ox	oy	oz
Интегральный базис:
Ul = -L- [ax - ln(ai + a2eax)] --±-[f3y - \n(h
CLQl	OfJ
CL-^Ql
= 	\ax - ln(ai + a2eax)]	[72 - ln(ci
аа	c7
8. еРЦаг + o2ea05)-^ + e^^bx + 62e^)-^ + ce^+^^ = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис:
ui = — \n(ai+a2eax)	— \n(bi+b2e/3y), u2 = — \ах-Ыа1+а2еах)\ + — e
a2a	bi/3	ага L	J cy

6.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	141
6.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
Л	ах dw	ву dw	^z dw _
1.	aye	h beRy—	\- ce1 —— = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: i^i =	е Н	—е , г^2 =	е у Н	е .
2.	ахе	Ь Ь?/еР1У	h cze^ 	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис:
^-(y-1e-^+ I'у^е^ dy),
Ьр V	J	>
(	[)-L(z-ie-<z+
аа V	J	/ су V
3.	Ц + [у2 + ае"(сс - ае")] -§^ + [z2 + 6z + ce^(/3 - 6 - се'3*)] ^ = 0.
Интегральный базис:
IE2 dx, Е* = exp (^fe^ + Ьх).
J	ч р	/
4. -g- + [t/2 + Ь» + «е-(а - 6 - ае~)] ^ + [z2 + ce^(z - fc) - fe2] -g- = 0.
Интегральный базис:
И1 =	^7+[Eldx> Е1=екр(—еах+Ъх),
у - аеах J	\ a	J
«2 = -^- + [ Е2 dX,	Е2 = ехр^е'3* + 2кх).
z — к J	"
5- ж + № + Ьу + ае™{у ~ь) ~ ^ W + {г ~c(xz ~ 1)е"х] 1st = °-
Интегральный базис:
у + J
x(xz —
6.
Интегральный базис:
= J
/ х~
J
x(xy-l) ¦ J --" - —La
dv
E = ехр[-^-(аж - 1)еН ,
l1	J
v2 +f3v + b
7.
дх v ^	y ay
Интегральный базис:
——	—--ж,	v = e у
av2 + av + b
u2 =	+d f e^Edx, E = exp
z-ce^-	J

142	Линейные уравнения вида f(x,y, z) -|^- + g(x,y,z) -|^ + h(x, у, z) -§j- = О
dw г о,ж 2 _|_ /Зж//з _ i, («+/з)Жч1 ^гу / 2 -уж , , , , -7ж\ ^гу _
Интегральный базис:
J cv2 + (<i + 7)^ + /с	'
w2 = 	7г- +Ъ I eaxEdx, E = exp
9. ^- + (ае-V + Ьу + се—) ^- + [e^z2 + de^(z + /Зе"^)] ^- = О.
СЖ	^2/	ct z
Интегральный базис:
—
+ (b + а) и + с
/dv	ax
—	—-—¦	ж, v = e 2
av2 + (b + а) и + с
10. -g- + [е-»3 + aye'3- + aae'"-"] ^ + [7e^*3 + bes*(z + e"^)] -g- = 0.
Интегральный базис:
щ = 	^	+ [еахЕ1Aх, Ег = exp( — e0x-2ax),
у+ ae~ax J	\ P	J
U2 = __^__+7 ?elxE2dx, E2=exp(jeSx -2lxy
Интегральный базис:
til	I (xx 7—17	-L	-L *yx
u\ =	\- a e Edx, u2 = 	j	\	e7 ,
+ ~ax	J	-be~Sx 7
where ?7 = expf—eCx — 2ax
til	I (xx 7—17
=	\- a e Edx, u2 =
y + e~ax	J	z
e 2ax\.
12. x^ + {aiey+f3y + a1bixe)^
oy
2nz2eXx + (b2xneXx - n)z + ceXx] *?- = 0.
Интегральный базис:
—77 —а\Ь\ I х еахdx, и2=	/ хп е хdx, v = xnz.
13. -Ц- + (aie^-W + bxe^-j,")-^. + (aae*»"* + 62e^-^)^ = 0.
Частный случай уравнения 6.8.1.8 при fi(x) = a\eXlX, /2(ж) = bie^lX, gi(x) = а2вА2Ж
14. -Ц- + (ахе-» + bie^-»fc) -^- + (а3е"»- + Ь2е^-+Лг) -Ц- = О.
Частный случай уравнения 6.8.1.9 при /i(x) = aie^133, /2 (ж) = 6ie7lX, pi (ж) = а2е^2Х
15. ^L + (а1Ж- + blx™eXy) ^ + (a2^fe + Ьх'е**) — = 0.
дх х	' ду v	y Oz
Частный случай уравнения 6.8.1.10 при /i(x) = aixn, /2(ж) = bixm, gi{x) = а2хк,
g2(x) = b2XS.

6.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
143
16. (ахпеХу + Ъху™)— + е"" — +
Интегральный базис:
Ul = х1-пЕ1 + а(п -1) Г e{x~^v
и2 = z1 kE2 ¦
17. -g- + (у2 +
Интегральный базис:
(cylzh + dypz)^- = 0.
dz
lidy, Ei =exp[6(n-l)^m.
Г /	4 f V
dy, Ei = exp a(/c — 1) / ye
	\- (ce~2 z2 + 2/3xz + 62c
= О.
=	—5- + Edx, E = exp f 2a / еаж
Зж с/ж.
Интегральный базис:
ui = arctgf—e~ax у) — ab / e~ax dx, U2 = arctgf—e~lx z) — cd / x^e1
6.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
6.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
dw	dw	i /\ \ &w п
1. а	Ь Ь	Ь csh(\x)	 = 0.
дх	ду	V ' dz
Интегральный базис: ui = Ъх — ay, U2 = a\z — cch(Xx).
2.
3.
Интегральный базис: ui = 6/Зж — a In
th-
= a\z — cch(Xx).
a_ + bsh(f3y)— + cshGz)— = 0.
Интегральный базис: ui = 6/Зж — a In
th-
? U2 = С7Ж — a In
th
-fZ
4. a sh(A^) — + b sh(f3y) — + с shGz) — = 0.
Ож	Oy	Oz
Интегральный базис:
ал
5. ash(/3?/)	|-frsh(Aa?)	\-cs.
dx	dy
Интегральный базис:
ui = b/3 ch(Xx) - aXch(f3y),
dx
U2 = —~ In
aA
oz
= 0.
= c\X\7J ¦
y/[b/3ch(\x) -u^2 -a2A2
При интегрировании ui рассматривается как параметр.
2sign(a)
6. a sh(/3y) — + b sh(A«) — + с sh(A«)
дх	ду
shGz) — = 0.
dz
Интегральный базис: и\ = — ch(Ax)	ch(/3y), U2 = — ch(Ax)	In
aA	op	aX	cy
= 0.
с/ж.

144
Линейные уравнения вида f(x,y,zL^+g(x,y,zL^+ h(x, у, zLff- = О
6.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
л	dw	dw	, , Q v dw
Интегральный базис: и\ =bx — ay, U2 = a/3z — cs
2. о-^ + б ch(/3*) ^ + с сЬ(АЖ) ^ = О.
ox	dy	dz
Интегральный базис: и\ = а/3?/ — 6sh(/3x), U2 = a\z — csh(Xx).
3. e^- + bd.(ft)^ + ссЬ(АЖ)^ = О.
Интегральный базис: i6i = 6/Зж — 2a arctg
4.
Интегральный базис: и\ = bf3x — 2a arctg
Ry
th
= aXz — csh(Xx).
, U2 = С7Ж — 2a arctg
5. о сЬ(АЖ)—+ 6chG3i,)-?H.+cchG*)— = 0.
Ож	dy	dz
Интегральный базис:
= 	arctg(eAx)	arctg(e/3y)
Qj\
arctg (еЛж)	arctg (e7Z).
6. a ch(f3y) — + 6 сЬ(Лж) — + с chGz) — = 0.
Ож	ay	az
Интегральный базис:
m = b/3 sh(Xx) — a\sh(/3y),
dx
— 2 sign(a) arctg(e7Z).
2A2
To	о ч о
u±]2 + a2A2
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
6.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
л	dw	dw	f Л dw
L °^ + 6^ + *ь()
2.
Интегральный базис: ui = bx — ay, U2 = cjx — aln|shG^)|.
Интегральный базис: и\ = а/Зу — b In sh(/3x)|, U2 = aA^ — cln|sh(Ax)|.
dw , , , / ^ 4 On? , ,. ,. ч dw _
+ 6th(/3) + th(A)	0
Интегральный базис: i6i = 6/Зж — aln|sh(/3i/)|, U2 = aA^ — с1п|сЬ(Лж)|.
4.
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — aln|sh(/5i/)|, 162 = С7^ — aln|shG^)|.
5. a th( Ax) -^ + b Щ/Зу) -^ + с thGz) -^ = 0.
ож	ay	az
„ R	shaX(/3y)	shA
Интегральный базис: щ = bQ\ ; , ^2 =
shbf3(Xx)	sh

6.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
145
6. a th(/3y) — + Ь 1Ь(Лж) — + с thG*) — = 0.
аж	ау	az
Интегральный базис:
= cryf cth{ Arch1/aA [Ul ch&/3 (Xx)] }dx-
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
6.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1. a^L + b^L + ccth{Xz)^L = 0.
dx dy	v ' dz
Интегральный базис: и\ = Ьх — ay, U2 = сХх — aln[ch(A^)].
dx	dy	dz
Интегральный базис: и\ = aCy — 61n[ch(/fo)], U2 = aXz — с1п[сп(Аж)].
aJE^L + bcth(fiy) — + ссШ(АЖ)^ = О.
dx	dy	dz
Интегральный базис: щ = ЪCх — aln[ch(/5i/)], U2 = aXz — cln|sh(Ax)|.
2.
4.	a ^ -,	v^^y Qy
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — a In [ch(/5i/)], гб2 = сХх — a In [c
din	(jijo	(jijo
5.	a cth(A#)	h & cth(/3y)	\- с cthfrz)	 = 0.
dx	dy	dz
Интегральный базис: i6i =
, U2 =
6. a cth(/3i/) — + 6 cth(A^) -^ + с cthfrz) -^ = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис:
= cry Г th| Arsh1/aA [ui sh&/3 (Xx)] } dx - a In [(
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
6.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
dw	/ ч dw	/ ч dw
1.	ash(Xx)	\-bsh(/3y)	|-cchG^)	 = 0.
v ' dx	v ' dy	v' dz
Интегральный базис:
1	Xx	1	f3y	1
U\ = 	 In th	In th 	 , U2 = 	 In
aA	2	bf3	2	aA
dw	duo	duo
2.	a sh(A#)	h b ch(/3y) —	\- с ch(jz) —— = 0.
dx	dy	dz
th
-—-arctg(e7").
Интегральный базис:
aA
-Aarctg(e.
U2 = —~ In
aA
	aictgte1
3 1 / /Э \ I L 1 / Л \	I
a sh(/3y)	\-bsn(\x)—	\-cs
Интегральный базис:
11	1	*?
= — ch(Ax)	ch(/5i/), гб2 = — ch(Ax)	arctg(e7Z)
aA	bC	аХ	су
10 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

146	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^-+g(x,y,z)-^j- + h(x, у, zLff- = О
4.	асЪШу)	\-bth(\x)	|-cch G2)	 = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис:
ui = bf3\n\ch(Xx)\ - aXsh(fiy),
u2 =c|A|7 / A	f	== -2sign(a)arctg(e7").
«/ у [6/5In |ch(Aa;)| — u-^]2 + a2A2
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
5.	a cth(/32/) — + b th(A^) — + с thGz) — = 0.
ож	oy	oz
Интегральный базис:
ил = 	гтг1	, Uo, = СТ
ch ^(Аж)
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
6.	a cth.(fly) —^- + b th(A#) —— + с cthG^) —— = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис:
Ul = Ih^ixl) ' и2 = с/У
При интегрировании г^1 рассматривается как параметр.
6.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
6.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
dz
Интегральный базис: и\ = Ъх — ay, U2 = cy[l — \п(/3у)] +b
ln(Xz)
2. a^- + b\n(/3x)^- + c\n(\x)^- = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: и\ = bx[l — \n(f3x)~\ + ay, U2 = cx[l — 1п(Аж)] + az.
3. а	\- b\n(f3x) \п(\у)—	1- с1п(/хж) \n(jz)--— = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: и\ =bx[l — 1п(/3ж)] +a / —-—-, U2 =cx[l — In (//ж)] +a /
ln(Aj/)
4. a 1п(/3ж)	\- b \n(\y)	1- с In^z)	 = 0.
f dx f dy f dx	f dz
Интегральный базис: и\ = 0 /	a / 	, U2 = с	a / —-—
У ln(/to)	У ЩХу)	J ln(Cx)	J lnfrz
6.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
1. ^ + аж-^^ + 61П^(ЛЖ)^^ = 0.
дх	ду	к J dz
Интегральный базис: и\ = у	xn+1, U2 = z — b / \пк(Хх) dx.
п + 1	У

6.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
147
dw
= 0.
2.	^ + [ay + clnfe(A*)]^ + [bz
Интегральный базис: ui=ye~ax —с / In (Xx)e~ax dx, U2=ze~ x—s / \nn(f3;
3.	ax^+by^L + [с1п"(Аж) + sln"^»)]-^. = 0
x)e-bxdx.
Частный случай уравнения 6.8.3.4 при f(x,y) = с\пп(Хх) +
4.	ах 1п(Лж) —— + by In(f3y) —— + cz ln(jz) —— = 0.
ож	ay	az
Интегральный базис: и\ = 61п|1п(Лж)| — aln|ln(/3i/)|, U2 = с1п|1п(Лж)| — a In |InG2;) |.
5.	ax 1п(Лж) — + by \n(/3y) — + cz \n(\x) — = 0.
дх	ду	Qz
Интегральный базис: и\ = 61п|1п(Лж)| — aln|ln(/5i/)|, U2 =
6. ажAпж)
ox
Интегральный базис:
\l-7l
dw . /л 4fe dw _
	\- cz(\nz) 	 = 0.
oy	oz
1 -п
(In ж)
1 -m
1 -п
(In ж)
l-k
6.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
6.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
dw	dw	. , ч dw
1. а	\- b	\- csm('yz)	 = 0.
dx ^ dy ^	w } dz
Интегральный базис: и\ = Ьх — ay, U2 = cjx — a In
9
(Jiil	(Jiil	(Jiil
2> «-^+Ь*ш(/Зу)-^+свш{Хх)—=0.
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — a In
_	Oil? .--//OX ^^
3. a-^— + 6 sin@y) —
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — a In
= 0.
= aXz + ccos(Ax).
— a In
.	Oil? , - • /ж \ • /о \ ^^ ,	^^	г»
4. a	1- osin(A«) sm(/3y)	1- с	 = 0.
dx	dy dz
aX
Интегральный базис: и\ = ex — az, U2 = cos(Ax) -\	In
bf3
dtV	• ?x /	• m r\ \ dtV	• k /	• I	\ dtV
5. a	\- 6 sin (Аж) sin (/3y)	1- с sin (llx) sin ('jz)	 = 0.
dx	v J	v y/ dy	v^ J v ' J dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) = а, /2 (ж) = bsinn(Xx), g(y) = sinm (/3y),
/з(ж) = csmk(/ix), h(z) = sinzG^).
6.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
л	dw	dw	, Л dw _
1. a	\- b	\- ccos(Az)	 = 0.
dx	dy	v J dz
Интегральный базис: и\ = Ьх — ay, U2 = cXx — aln|tg(yA^ + -|-) |.
10*

148	Линейные уравнения
вида
2. а	1- bcos(Bx)	1- ccos(\x)	 = 0.
dx	v J dy	v ' dz
Интегральный базис: и\ = af3y — bsm(/3x), U2 = aXz — csin(Ax).
a	1- bcos(/3y)	1- ccos(\x)	 = 0.
dx	ду	dz
Интегральный базис: и\ = bCx — aln|tg(-|-/3?/ + -|-) |, U2 = aXz — csin(Ax).
a	1- bcos(f3y)	\- ccos(Az)	 = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис: u\ = hj3x — aln|tg(y/3|/ + -|-) |, гб2 = c\x — aln|tg(yA^ + -|-) |.
a_^!_ + 6cosTl(A«) cosm(/3i/)— + ccosfe(^) coszGz)-^- = 0.
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) = a, /2 (ж) = 6cosn(Ax), g(y) = cosm(/3|/),
6.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
л	dw	dw
Интегральный базис: ui = bx — ay, U2 = сАж — aln|sin(A^)|.
Интегральный базис: и\ = а/5г/ + 61n|cos(/3x)|, U2 = aA^ + cln|cos(Ax)|.
3> a"o^ + bts(/3j/)"%" + ctg(Aa:)"a7 = o-
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — aln|sin(/3i/)|, U2 = aA^ + cln|cos(Ax)|.
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — aln|sin(/5i/)|, U2 = сАж — aln|sin(A^)|.
5. MVtg(Ax)-52-+Ai/tg(Mw)-55-+Afitg(i/z)-52-=O.
ож	ay	az
„ -	sin(Ax)	sin(/x?/)
Интегральный базис: и\ = —^—-, ^2 =	.
sin(/x?/)	sin(^2;)
6.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
dw , , dw , , ,. ч dw
Интегральный базис: и\ = bx — ay, U2 = cXx + aln|cos(A^)|.
Интегральный базис: и\ = af3y — 61n|sin(/3x)|, U2 = aXz — cln|sin(Ax)|.
dw , , / ^ ч вгу ,	/» \ ^^ ^
+ bt(^) + tCA)^- = 0.
Интегральный базис: и\ = bf3x + aln|cos(/3|/)|, U2 = aXz — cln|sin(Ax)
4. a	1- bctg(f3y)	1- cctg(Az)	 = 0.
Интегральный базис: и\ = bf3x + aln|cos(/3|/)|, гб2 = cXx + a In cos(Az)

6.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	149
5. /XI/ ctg(A#) —— + \v ctg(fiy) —— + \fi ctg(i/z) —— = 0.
ox	oy	oz
TT	„	cos(Ax)
Интегральный базис: и\ =
, u2	.
cos(^y)	cos(^)
6.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1.	aJ^ + 6J^ + Tcsin-CA^) +5008^/3^I ^- = 0.
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 6.8.3.1 при /(ж, г/) = csinn(Ax) + scosk(f3y).
(Jiil	(Jiil	(Jiil
2- <*-^+bsin(f3y)—+cCoS(\x)—=0.
Интегральный базис: и\ = bf3x — a In tg —
3.
— csin(Ax).
sinn(Ax) с/ж, U2 = z — b cos (/Зж) с/ж.
4. *?-+ocosn(Ax)—Ч-Ьвш"^)— =0.
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 6.8.2.2 при Д(ж) = 0, /г(ж) = асо8п(Аж), gi(y) = О,
5. а— + btg^y)— + cctg(\X)— = 0.
Интегральный базис: и\ = 6/Зж — aln|sin(/5i/)|, U2 = aA^ — с1п|8т(Аж)|.
Частный случай уравнения 6.8.2.2 при fi(x) = 0, /2(ж) = ас^^Аж), pi (г/) = О,
6.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
6.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
1. а	\- Ъ	\- carcsinTl(Aa?) arcsin (/3z)	 = 0.
Ox	oy	Oz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) =a, /2 (ж) =6, /з(ж) =caicsmn(\x),g(y) = 1,
h(z) =arcsinfc(^).
2. а	\- b	\- с arcsin71 (Аж) arcsin™ (f3y) arcsin G2)	 = 0.
Ож	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.3.2 при /(ж, г/) = с aicsinn (\x) aicsin™ (f3y), g(z) =
3. а	\- b arcsin71 (Аж)	1- с arcsin (8x)	 = 0.
Ож	v J dy	v J dz
Интегральный базис: и\ = ay — b / arcsin72 (Аж) с/ж, и2 = az — с arcsinfc (/Зх) с/ж.

150	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,zL^j- + h(x,y,zLff- = О
4. a	h barcsin (Лж)	\- carcsin (pz)	 = 0.
dx	v ' dy	v ' dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) =a, /2 (ж) =6arcsinn(Ax), /з(ж) = 1, д(у) = 1,
5. а— + barcsin71^)-^ + carcsinfe(/3z)-|^ = 0.
аж	ау	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.5 при f(x) = а, р(г/) = Ъ arcsinn(Лг/), /г(^) = с arcsinfc (/3^).
6.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
Oil?	, Oil?	тг/лч	fe//o\ ^^	гл
1. а	h о	h carccos (Лж) arccos Cz)	 = 0.
dx	dy	v J	K J dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) =a, /2 (ж) =b, /з(ж) =carccosn(Ax),<g(|/) = 1,
2. а	\- Ъ	Ь с arccos71 (Лж) arccosrri(/37/) arccos (jz)	 = 0.
(ух	i-*y	if z
Частный случай уравнения 6.8.3.2 при /(ж, г/) = carccosn(Ax) arccosm(/%), g{z) =
3.	a	\- barccos (Лж)	1- carccos (рж)	 = 0.
Интегральный базис: и\ = ay — hi arccos72 (Аж) dx, U2 = az — с arccos (/3x) dx.
4.	a	1- 6arccos (Лж)	1- carccos (pz)	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) =a, /2 (ж) = Ъ arccos72 (Аж), /з(ж) = 1, д(у) = 1,
h(z) =	fc
5. a	1- 6arccos (Лт/)	1- carccos (pz)	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.5 при /(ж) =а,д(у)=Ьarccos™(Лг/), h(z) = сarccosfc(/3^).
6.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
1.	а	h Ь	h carctg (Лж) arctg (f3z)	 = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x) = a, /2 (ж) =6, /з(ж) =carctg7г(Aж), д(у) = 1,
h(z)= arctg* (/Зг).
2.	o-l^ + Ь-^- + carctg^CA*) arctg фу) arctgfeG^)-^ = 0.
аж	оу	oz
Частный случай уравнения 6.8.3.2 при /(ж, г/) = сап^^Аж) arctgm(/3|/), p(^) =
3. а^- + 6агс1ё-(Лж)|^ + carctgfe(^)^ = 0.
Интегральный базис: и\ = ay — b / arctg71 (Аж) с/ж, U2 = az — с arctg (/Зж) с/ж.
о— + barctg^CAa;)-^- + Carctgfe(/3z)-^- = 0.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при f\(x) =a, /2 (ж) =6arctg7г(Aж), /з(ж) = 1, д(у) = 1,
5. а^- + 6агс1ё-(Л2/)^ + carctgfe(/3z)^ = 0.
аж	оу	oz
Частный случай уравнения 6.8.2.5 при /(ж) = а, д(у) = 6 arctg71 (Лг/), h(z) =

6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	151
6.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
1.	a^L + b^L + CarcctgTl(A^) arcctgfe(/3z)— = 0.
ох	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x)=a, /2 (ж) =Ь, /з(ж) = с arcctg71 (Аж), g(y) = l,
h(z) = arcctgfc (f3z).
2.	a-^- + b^- + carcctg^Aa?) arcctg™ (/fy) arcctgfeGz)-^- = 0.
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.3.2 при f(x,y) = carcctgn(Ax) arcctgm(/^), g(z) =
3.	a	\- 6arcctgTl(Aa?)	1- carcctg (/3x)	 = 0.
дх	ду	dz
Интегральный базис: и\ = ay — hi arcctgn(Ax) dx, U2 = az — с arcctg (/3x) dx.
4.	a^- + barcctgn(\x)-^- + carcctgfe(/3z)-^- = 0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 6.8.2.6 при fi(x)=a, /2(ж) =6arcctgn(Ax), /з(ж) = 1, р(г/) = 1,
5. а-^- + 6 arcctg71 (Лу)— + carcctgfe(/3z)-^- = 0.
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 6.8.2.5 при f(x) =a,g(y)=barcctg™(Лг/), /г(^) = сarcctgfc(
6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
6.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
Интегральный базис: и± = у — / /(ж) с/ж, г^2 = ^ — / р(ж) dx.
И + /(ж)(?/ + o)l7 + 9(ж)(г + b)^ = °
Интегральный базис: щ = In \у + а\ — / /(ж) с/ж, U2 =\n\z + b\ — / р(ж) с/ж.
Интегральный базис: щ = уе~ах — / f(x)e~ax dx, U2 = ^е~&ж — / g(x)e~bx dx.
2-
4- ^¦+[fi(x)v + Mx)]^-
Интегральный базис:
mi = yF(x) - J h (x)F(x) dx, F(x) = exp [- f /i (ж) dx],
M2 = z - ф)у + I [Мх)ф) - g2{x)} dx, ф) = F{x) I ^M. dx.
Интегральный базис:
Ul = yF(x) - J' /2 (ж)^(ж) с/ж, ^(ж) = exp [- J /1 (ж) с/ж],
u2 = zG(x) - / g2(x)G(x)dx, G(x) = exp I- / pi (ж) с/ж I,

152	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,z)^- + h(x,y,z)^f- = О
6- -f^- + [f2(x)y + h(x)z + fo(x)] ^ + [дг(х)у + 9l(x)z + go(x)] ^J- = 0.
Один из интегралов имеет вид
ui = (р(х)у + %j)(x)z + х(ж),
где функции ц>(х), ф(х), х(х) определяются путем решения системы линейных обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
4>х + hv + дъф = О,
Фх + fnp + giip = О,
Хх + /о<? + #о^ = 0-
Эта система интегрируется в квадратурах, например, при #2 = 0 (или /i = 0). В этом
случае надо интегрировать последовательно, начиная с первого (или второго) уравнения.
В общем случае интегрирование системы сводится к решению линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка, которое является следствием первых двух
уравнений.
Общее решение рассматриваемого уравнения можно найти с помощью метода, опи-
описанного в разд. 6.1.1-2.
7.	*?_ + г 2 _а2+ aXsh{Xx) _ а2 sh2(Aa;)l ^_ + /(ж) shGz)_^ = 0.
ox	oy	oz
Интегральный базис:
и\ = / fix) dx	In th — , U2 =	\- I E dx, E = exp — sh(Ax) .
J	7	2	y-ach(Xx) J	LA	J
1°. При к ф 1, m ф 1 преобразование ? = ух~к\ ц = z1'171 приводит к уравнению вида
6.8.1.5:
2°. При к ф 1, т = 1 замена ? = 2/lfc приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
^L + {l-k)[Mx)Z + Mx)]^. + z[gi{x)+g2(x)]%L=0.
3°. При А; = т = 1 см. уравнение 6.8.1.5.
+ / ч лг ^ «^ п
Q2\X)e I	 = и.
Преобразование ? = у1~к, г] = e~Az приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
в| ( )[/()? /()]g [7()Ч72(х)]^ = 0.
10. ^- + [Л(х) + Л(х)е^] ^ + [^(х) + Ы*)^'] ^ = О-
Преобразование ? = е~Ху, т/ = e-/3z приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
6.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
разных переменных
dw	dw г	, х , х-, dw
1. х	h 2/	\-[z + f(x)giy)]	 = 0.
dx	dy L v /yvy/J dz
Интегральный базис:
ui = —, гб2 =	/ x~2f(x)g(u\x)dx.
X	X J
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.

6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	153
2- Ц + [Мх)у + Мх)] ^ + [gi(y)z + My)] -§J- = О.
Интегральный базис:
т = yF(x) - J f2(x)F(x) dx, F(x) = exp [- J /i(x) cb],
u2 = zG(x,ui) - / g2(t,ui)G(t,ui)dt, G(x,m) = exp - / gi(t,u\)dt .
ж,гб1) =gi(y),c/2(x, u\) =g2(y) (у выражается через х nui из первого интеграла),
xo —любое.
3. -g- + [у2 - a2 + a\sh(\x) - а2 8Ь2(АЖ)] ^ + f{x)g{z)^- = 0.
Интегральный базис:
Ul= f f(x)dx- f -^-, u2 = 	^^
У	J g(z)	у - ach(Xx)
Интегральный базис:
k
fg(y)dy-(k + l)u1] k+1 dy.
При интегрировании и\ рассматривается как параметр.
5- /(*)-^-+в(»)-^+Л(*)-5Г=О.
Интегральный базис:
_ Г dx	Г dy	_ Г dx	Г dz
Ul~ J ~j(x) " У ~^у)' U2~ J ~j(x) " У т^у
Л(ж)"^ + h(x)g(y)— + /з(ж)Л(*)— = О.
Интегральный базис:
7. с
Интегральный базис:
u\ = 	спGж)	ch(py), U2 = — / /i (x) dx — ——-.
а7	b/3	a J	J /2(^)
6.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
dw	dw ?( ч dw
Интегральный базис:
П ?( a(t-y) \ .
ui = bx — ay, U2 = bz — I j ( x -\	-, 11 dt, yo —любое.
ho v	b	J
dw , , dw
Интегральный базис:
, Г dz	ry ?{ ait-у) \ ,
u\ = bx — ay, U2 = b ——	/ f [x -\	-, t dt.
J 9(z) Jyn V	b	J

154	Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,z)-^j- + h(x,y,z)-^- = О
_	dw	dw . г . л/ чП dw
3- x-a^ + yw + [z + нх>уя-ёг = °
Интегральный базис:
т = —, U2 = —— / fit, —t)t~2dt, xo—любое.
х	х JXq \ х /
® Литература: Э. Камке A966).
dw	dw „, л Он?
4. ax__+bl,__ + /(a.,1,)__=o.
Интегральный базис:
= жV
Уо
dw	dw ?( \ / \ dw
dx	dy	'	dz
Интегральный базис:
u\ = хъу~а, u2 = i
lit+ [д(жJ/ +
Интегральный базис:
a	7	fV i-l/?/ -alb,alb ,\
, u2 =bz- t f[xy ' t ' ,t)
JVn
- / /2 (ж)^(ж) dx, F(x) = exp [- J /1 (ж) с/ж],
ui) — / h(t,ui)G(t,ui)dt, G(x,ui) = exp — / g(t,ui)dt .
ix0	L ^ж0	-I
Здесь ^(x,t6i) = g(x,y), h(x,ui) = h(x,y) (у выражается через х и гб1 из первого
интеграла), жо—любое.
7- || + [/!(*)» + Мх)ук] ^ + [д(х, y)z + h(x, y)zm] ^ = О.
1°. При к ф 1,т ф 1 преобразование ? = у1"*, ?? = z1-m приводит к уравнению вида
6.8.3.6:
где ^(х.О^вСа;^1^), Л(а:,0 = h(x,^).
2°. При А; ф 1, ?тг = 1 замена ? = 2/1/г приводит к уравнению вида 6.8.3.6:
3°. При к = m = 1 см. уравнение 6.8.3.6.
8. 	~|~ j i (ж) у -\- j 2 (x) 7/ 	-|- о (x. 7/) -|- h (ж. у) в 	 ^ 0.
Ож	Oy	^2;
Преобразование ? = y1-k, r\ = e~Az приводит к уравнению вида 6.8.3.6:
—— + A - A;)[/i(x)? + /2(x)]—— - X[g(x^)r]-\-h(x^)]—— = О,
l _	l
9.	1- [fi(x) + /2(ж)еЛу]	1- [#(ж, t/)z + Л-(ж, y)zk]	 = 0.
Преобразование ? = e~Xy, 77 = zx~k приводит к уравнению вида 6.8.3.6:
где д(х,?)=д(х,-±\п?), Цх,?,) = h(x, -±

6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	155
Ю- Ц- + [Л(*) + Мх)е*]^-+ [g(x,y) + h{x,v)e?'}%L = 0.
Преобразование ? = е~Ху, 77 = e~Cz приводит к уравнению вида 6.8.3.6:
где g(x,(,) = g(x,-j^ln(,), h(x,?) = h(x, -±
11. /i(*)ffi(w)-§|- + Л(»ЬЫ-^- + [fci(*,w) + fca(«,»)«m] ^J = 0.
Преобразование ? = / ^ ^ с/ж, 77 = / , , c/|/ приводит к уравнению вида 6.8.3.7
J Л О)	</ ^Ы
при /i = 0, /2 = 1, & = 0:
12. Д^д^,,)^. + /3(Я)№(»)-^- + [hx^.w) + h2(x,y)eXz]-^- = 0.
Преобразование ? = /	с/ж, т/ = /	cfa/ приводит к уравнению вида 6.8.3.8
J Л О)	./ 92(у)
при /i = 0, /2 = 1, А; = 0:
"НТ + ^~+ /li(^7?) + /l2(?,^)e —- =0,
где fett,,) = -АтТТ- ^«'") = ТГТТТ-

7. Линейные уравнения вида
/dw | о dw _|_ о dw 	 л
7.1. Предварительные замечания
7.1.1. Методы решения
7.1.1-1. Характеристическая система. Общее решение.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка с тремя
независимыми переменными вида
/	ч dw , .	ч dw , ,	ч dw	,	ч	,
/i(ж, у, z) — + /2(ж, y,z)— + /з(ж, y,z)— = g(x, у, z).	A)
Если найдены три независимых интеграла
ui(x,y,z,w) = Ci, u2(x,y,z,w) = С2, u3(x,y,z,w) = Сз,	B)
характеристической системы
б?ж _ d?/ _ б?2; _ dw;	. .
fi(x,y,z) f2(x,y,z) f3(x,y,z) g(x,y,z)'
то общее решение уравнения A) имеет вид
Ф(гб1,гб2,гбз) = 0,	D)
где Ф — произвольная функция трех аргументов.
7.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Пусть ui(x,y,z), U2(x,y,z)—интегральный базис соответствующего «укороченного» одно-
однородного уравнения
? (	\ du , ? /	ч du ? .	л du
/i(ж, j/, г?)-— + /2(ж, 2/, г) — + /з(ж, y,z)—= 0.
аж	а?/	а2;
Переходя от х, у, z к новым переменным ж, i^i = ui(x,y,z), u2 = и2(х,у, z), приходим к
уравнению с разделяющимися переменными
f1(x,u1,u2)-^- =д(х,т,и2),	E)
которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции
w = w(x) с параметрами щ, и2. Коэффициенты полученного уравнения /1? ~д, получаются из
/i,p результате подстановки в них новых аргументов.
Решая уравнение E), находим
/ -T
У f1
1; 2\ с?ж	F)
-TV	\ с?ж.
Здесь Ф — произвольная функция, при вычислении интеграла и\ и и2 рассматриваются как
параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в формуле F) после
интегрирования перейти к исходным переменным х, у, z.
7.1.1-3. Структура общего решения.
Если известен интегральный базис щ, и2 соответствующего однородного уравнения (при д = 0)
и частное решение w(x,y,z) исходного неоднородного уравнения, то общее решение может
быть найдено по формуле
w = w + Ф(гб1,гб2),	G)
где Ф — произвольная функция.

7.1. Предварительные замечания	157
7.1.1-4. Задача Коши.
Задача Коши для линейного неоднородного уравнения A) формулируется так же, как для
соответствующего однородного уравнения (см. разд. 6.1.2). Ее решение можно получить путем
подстановки начальных данных в интегралы B) характеристической системы C).
7.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw	,
	h a	h ox	 = cxz.	(o)
dx	dy	dz	W
Характеристическая система
dx dy dz dw	,
1	a bx cxz
имеет три независимых интеграла (о первых двух интегралах подробности см. в примере 1 из разд. 6.1.3):
у-ах = С1, z- —х2 = С2, w- —z2 = С3.	A0)
Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид
/	Ь 9	с 9\
Ф(у — ax,z	х , w	z ) = 0,
V	2	26 /
где Ф — произвольная функция трех аргументов. Разрешая это равенство относительно w, получим
решение в явной форме
с 2 /	Ь
W ~ 26 Z	[У ax,z 2 .
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw	,
	h ax	\-by	 =kcosx.	A1)
dx	dy	dz
Частное решение этого уравнения w ищем в виде функции, зависящей только от переменной х. В результате
имеем
w = к sin х.
Интегральный базис соответствующего однородного уравнения (при к = 0) указан в примере 2 из
разд. 6.1.3. Поэтому общее решение уравнения A1) дается формулой
w = к sin х -\- Ф(у —^аж2, z — Ьху + уабж3).
Пример 3. Требуется найти решение задачи Коши для уравнения (8) с начальным условием
w = Ауп + Bzm при х = 1.	A2)
Запишем начальные данные A2) в параметрическом виде
а затем подставим их в интегралы A0) характеристической системы A1). В результате имеем
Исключив отсюда параметры ?х и ?2 •» получим
Заменив Clf C2 и С3 левыми частями равенств A0), находим решение задачи Коши

158
Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi(x-> У-> z)
7.2. Уравнения, содержащие степенные функции
7.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z
dw	dw	dw	s
1. a—	h b—	h c—— = ax + fly + 7Z + S.
dx	dy	dz
Общее решение: w = —x2 -\	y2 -\	z2 -\	x + Ф(Ьх — ay, cy — bz).
2a	2b	2c	a
.	dw .	dw . , dw
2- ~^+azw+ v~^ = cx+s-
Общее решение: w = у еж2 + sx + Ф(иг, 112), где
— az
I (Ьг/ + л/aS^) ехр(—\fa~bx)	при аб > О,
I bycos(^\ab\ х) + л/\аЬ\ zsm(^\ab\ x) при аб < 0.
3.	—— + (сцх + ао)^- + (bix + Ы^- = аж + /32/ + 1* + Я-
аж	оу	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = а\х + ао, д(х) = 6ix + 60, /1г(ж) = /3,
hi(x) = 7» ho(x) = аж + ^.
4.	—— + (а2у + ахж + «о)^- + (&2?/ + Ьгх + Ьо)^- = с2у + ci* + сож + s.
аж	ау	С72;
Частный случай уравнения 7.8.1.4 при fi(x) = <32, /г(ж) = aix + ао, gi(x) = 62,
д2(х) = 6ix + 60, fi2{x) = С2, /ii(x) = ci, /го(ж) = сож + s.
5. —	Ь
аж
)^	V (bz
ay
Частный случай уравнения 7.8.1.3 при f(x) = к\х + ко, д(х) = six + so, h(x) = cix + со.
Огу	Огу	Огу	»
6. аж-	h от/—	\- cz—— = ах -\- /Зу -\-jz -\- о.
ох	оу	oz
а в 7 S	( Ыа z a \
Общее решение: w = —х + — у + — z -\	In |ж| + Ф -^т5 —г~ •
a	b	с	а	V \х\ь \х\с J
_ dw	dw
7. ж—	h az—
Общее решение: w = с In |ж| + ФA11,112), где
8.
——
ox
u2=
oy
•(-
by
при ab > О,
	) при ab < 0.
'17 /
Общее решение: w = — In |ж| + ФA61,162), где
и\ = [ay + (л/2 — 1N2] |ж| , 1/-2 = [ay —
Частное решение: w = — In \x\ + Ф(а2у2 — 2abyz — b2z2).
ab ' ' \	/
9. (сцж + а0)^-
ох
bo)^- + (ciz + с0)—— = аж
оу	oz
1°. Общее решение при aibici /0:
] |ж
V2
+ b0\ci \
; + c0|&i A

7.2. Уравнения, содержащие степенные функции
159
2°. Общее решение при а\Ь\ ф 0, с\ = 0:
3°. Общее решение при а\ ф 0, Ь\ = с\ = 0:
= -5-ж + -4-У
аг	2b0
2c0
-aiW, co2/ - boz).
4°. При а\ = b\ = c\ = 0 см. уравнение 7.2.1.1.
7.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у,
2.
3.
4.
S.
dw	dw	dw	2 . Q 2 .
a—	\-b—	\-c——=ax +f3y +j
ox	oy	oz
Общее решение: гу = —ж Н	1/ -\	z -\	х + Ф(Ьх — ау, су — bz).
За	36	Зс	а
^	^	+ Ьо)-^- = скж + /Зт/ + -yz + <5.
аж	ay	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при /(ж) = а\х2 + ао, g(x) = 6ix2 + bo, Нъ(х) =
hi(x) = 7» ho(x) = аж + ?.
—
h («2/ +
+ ко)—
ay
+
+ so)—— =
az
+ c0.
Частный случай уравнения 7.8.1.3 при /(ж) = к\х2 + ко, д(х) =six2+so, h(x) = c\x2 +co.
—	h (а2жт/ + а1Ж2 + а0)—	\- (Ь2ху-\-Ьгх2 -\-Ь0)—— = с2у + ciz + сож + s.
аж	ay	az
Частный случай уравнения 7.8.1.4 при /i(x) = п2Х, /2(ж) = aix2 + ао, gi(x) = 62Ж,
д2(х) = 6ix2 + 60, h,2(x) = С2, /ii(x) = ci, /го(ж) = сож + s.
5. аж—	h ^2/^	Ь cz—— = ж(аж + /Зу +
аж	ay	az
1°. Общее решение при Ъ / —а, с / —а:
2
w = —ж
2а
-жг/-
7
а + Ь"~ ' а + с
2°. Общее решение при b = —а, с / —а:
ж^ + Ф(ж|г/|
-а/Ь	^ -а/с
с)-
1	'У
гу = —ж(аж + 2f3y\n. |ж|) -\	:
3°. Общее решение при Ь = с = —а:
w = —ж [аж + 2(f3y + 7^) In |ж|] + Ф(ху, xz).
6. аж
dw , Он?	Он?
	1- ожт/	1- cxz
ox	oy	oz
1°. Общее решение при b ф а, с ф а:
= ax
х V Ъ — а с — а
2°. Общее решение при b = а, с ф а:
3°. Общее решение при а = b = с:

160	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi{x-, У-, z)
_	2 dw . ,	Oil? .	2 ^^	. 2
7. аж	\- bxy	\- cz 	 = ky .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при а ф 2b:
Bb - a)x
2°. Общее решение при а = 2b:
ky2 In \a
8 2 OW , , 2 0^ i 2 0^
пт 	 -U nil 	 -\- oy
dx	dy	dz
Общее решение: w = 	In
ax — by
У
V x ух z /
9. ax*^L +Ьу^+ cz*%- = а*2 + /Зу
дх	ду	dz
x у x
2
_ -	а	в	7 ^/'fr ас а \
Общее решение: w = — жН	|/Н	z + ФI	,	).
а	6	с	V х у х z /
7.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z
л	dw , Он? , , dw
Общее решение: w = y^2?/^ — \xz(az + 6^/) + у^абж4 + Ф(у — аж, ^ — Ьх).
.	Огу	Огу	Огу , з , 2
2.	а—	Ь ^^	h с—— = Азж + S7/ .
дх	ду	dz
Общее решение: w = —х -\	у + Ф(Ьх — ay, ex — az).
4а	За
dw , , dw , dw , , /—
3.	а	\- by	\- cz	 = кх + s^/x.
dx	dy	dz
Общее решение: w = —x2 + — xs/2 + Ф(\у\ае-Ьх, \z\ae~cx).
dw	dw	dw	y—
4.	—	h az—	h by—— = cVx + s.
dx	dy	dz
Общее решение: w = -|сж3/2 + sx + Ф(иг, ггг), где
2	2	I (^2/ + л/abz) exp(—^/abx)	при аб > О,
?/ 	 CLZ	U2 -— л		-
1 6/cos(^/|a6| х) + д/|аЬ| ^sin(^/|a6| х) при аб < 0.
2 #w	2 ^гу	2 dw
5.	аж	1- by	\- cz 	 = kxyz.
dx	dy	dz
Общее решение:
w = wo(x,y,z) + Ф(	—-,	1,
V ах by ax cz /
где wo = wo(x, у, z) —частное решение, которое определяется по формуле
^ = /гж ^Г	ах\п(ах)	by\n(by)	cy\n(cy)	]
(ах — Ьу)(ах — cz) (by — ax)(by — cz) (cz — ax)(cz — by) .

7.2. Уравнения, содержащие степенные функции
161
7.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z
dw , dw	dw _ n - m	и
Общее решение:
a
w =
-xn+1+
b(m
+ ФFж — a|/, еж — az).
2.
3.
dx
dy
dz
Общее решение: w =
a(n
On? ,	On? , , dw	r
—	h az—	h by—— = ex
dx	dy	dz
Общее решение: w = 	xn+1
ck
), где
_ »2 2 _
by cos(
) ехр(—л/а
.	dw	dw	dw	n , & ™
4.	ax	\- by	\- cz	 = a.x + /3y
dx	dy	dz
Общее решение: w = 	xn -\	ym + — z
an	bm	ck
_	dw	dw , dw	n
5.	x	\- az	\- by	 = ex .
dx	dy	У dz
Общее решение: w = —xn + Ф(u\,U2), где
при ab > 0,
| x) при ab < 0.
= by — az , U2 =
i	при ab > 0,
(— arctg	) при ab < 0.
V	by J
6. abx	1-
dx
7.
)	1- a(ay — oz)	 = ex .
dy	dz
Общее решение: w = 	xn + Ф A61,162), где
abn
Ul = [ay + (л/2 - l)bz] \x\~^, u2 = [ay - (л/2 + l)bz] \x
Частное решение: w = 	xn + Ф(а2у2 — 2abyz — b2z2).
abn	v	y
dw	n т dw	ъ
—— -\-ax у —— + bx
dw
~dz
fa
= ex .
Общее решение:
{
w = ф(m, u2) + < k + 1
[ cln |ж|
при к ф —1,
при к = — 1,
где i6i, ^2 —интегральный базис однородного уравнения 6.2.4.1.
8.
Частный случай уравнения 7.8.1.4 при fi(x) = a\xni, /2 (ж) = Ь\хШ1, pi (ж) =
?2(ж) = 62жт2, Л2(ж) = c2xk2, hi(x) = dxk\ ho(x) = 0.
9.
Ъ2Х
= C2X 2
fei
h Oil у + О1Ж )h («2Ж Z + Ъ2Х )
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.5 при fi(x) = a\xni, /2 (ж) = 6ixmi, pi (ж) =
02(ж) = 62жт2, Л2(ж) = c2xfc2, /ц(ж) = ахк\ ho(x) = 0.
11 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

162
Линейные уравнения вида /i -|^ + /2 -|^ + /3 -fj- = #, /г = /г (ж, ?/,
10.
11.
Частный случай уравнения 7.8.1.7 при /i (х) = а\хП1, f2(ж) = bi,gi(х) = агж™2, д2(ж) = 62,
/&(ж) = cxs.
Частный случай уравнения 7.8.3.6 при fi(x) = a\xni, /2(ж) = Ь\, gi(x,y) = а2уп<2,
92{х,у) = b2, h(x,y,z) = cixSl +c2yS2.
dw	dw
+
dw
d^^ +y d^
Общее решение: w = Ф(гб1, и2) + гуо(ж), где
Л^~^—9	/ \ Г (Ъ/п)хп при п / 0,
= алух2 + у2 — z, wo(x) = < 1' '. ^ ' '
|^61пж при п = 0.
dw , dw
dw
13. ж—	Ь 2/—	h (« - ал/х2 +у2 + z2) —— = Ъхп.
ox	oy	oz
Общее решение: w = Ф(гб1, и2) + гуо(ж), где
= —, и2 = \х
х
_ ( (b/n)xn при п ф 0,
(^ 6In |ж| при n = 0.
7.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
7.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
dw
\x dw	px dw
\ be
dw	\x dw	px dw	~yX
1.	\- ае	\- be 	 = се .
Ож	^2/	dz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = аеХх, д(х) = be13*, h2(x) = 0, h\(x) = 0,
/го (ж) =се7Ж.
2. ^1+аеАж —
Ож	dy
dw
~dz~
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при /i (ж) = 0, f2 (x) = аеХх, д\ (х,у) = 0, д2 (х,у)= Ье^у,
h(x, у, z) = се1У + se^z.
3.	Ь «е у	h bepy	 = се1 + se^ .
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 7.8.3.9 при fi(x) = 0, /2 (ж) = a, pi (ж, 2/) = бе^, д2(х, у) = 0,
4.
dx x	J dy
Частный случай уравнения 7.8.1.9 при
= Aieai;c, /2 (ж) = l?ie^i;c, pi (ж) = A2ea2X,
5. аеаж
Ож	dy
Общее решение:
се '
dz
а(Л —
где щ =
1 -а
—
op
, и2) -\	х
а
1 _
12 = -^е
при Л ф а,
при Л = а,
1
С7

7.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
163
,	ву dw	ах dw	^z dw	\х
6. aeRy	\- be	\- ее1 	 = ke .
d	dy	d
dw	ах dw
	\- be
dx	dy
Общее решение:
dw

dz
eXx dx
' .	л ka f e dx	. , л ,
Ф A11,112) Н	/ 	 при	Л Ф а, Л Ф 0;
V	J bC J eax + aaux F ^	^
ПРИ	A = а / 0;
при	Л = 0,
к -
Ф(и\,и2)	е 1Z
С7
1 ах . 1 /3v
где гб1 =	е Н	е , г^2 =
аа	Ь/3	b/3eax -
рассматривается как параметр.
(Зу — ах	1 _7г
1	е • При интегрировании и\
су
7. (ох + а2е"ж)-^ + (Ьг + Ь2е^)^- + (Cl + с2е^)-^ = fcx
аж	ау	С72;
А*	1 / к	к \
Общее решение: w = ФA11,112) Н	-х -\	( —	 ) ln(ai + а2важ), где
а^	а. V а2 а^ /
И1 = _!_ [а!С - b(oi + а2еах)] --±-\ру- 1п(б! + Ьге'3»)],
^2 = 	Гаж - ln(ai + а2еах)]	\jz - ln(ci + с2е7гI.
аа L	J с7
8.
Общее
ay
/с к	к ( к	к
\(
/с к	к ( к	к \
решение: w = Ф(ш, и2) -\	——х -\	— ( —	— ) ln(ai + a2eax), где
а^	ol V а2 q>i_ /
= — 1п(а1+а2еаж)	— \n(bi+b2e/3y), и2 = — \ax-\n(ai+a2eax)] + — е
аа	бр	аа	су

у
7.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
аж
Ь
dw	m dw	Л
—	h bx —— = се
ay	az
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) =axn, g(x) =Ьхш, h2(x)=ceXx, hi(x) = keCx,
ho(x) =selx.
~	dw	\x dw	rn dw	n	px	^x
2.	1- ae	\- bx 	 = ex у + keR z + sen .
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x)=aeXx, g(x)=bxm, h2(x)=cxn, hi(x) = keCx,
ho(x) = seJx.
~	dw	\x dw , dw
3.	h ae	h ^1/
dx	dy	dz
. ex	~yX
= kep z + se7 .
Частный случай уравнения 7.8.1.4 при /i (x) = 0, f2 (x) = аеЛж, pi (x) = 6, ^2 (ж) = h2 (x) = 0,
hi (x) = ke^x,h0(x) = selx.
dw
.	dw
4.	h
dx
dy
, гтт, dw	\x , /3^
h b^ 	 = ce + keRV +
dz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = 1, д(у) = a^/n, /1B;) = bz™, ip(x) = сеЛж,
dw	ву dw	т dw	\x	n	~z
5.	\- aeHy	\- bz 	 = ce + ky + se1 .
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = 1, д(у) = ае^у, h(z) = 6^m,
и*

164	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi(x-> У-> z)
6.	Ц + [у2 + Ьу + ае-(у -b)-b2]^- + [z2 + c(xz - 1)е""] -§J- = fee**.
Общее решение: w = —е ж + Ф(гб1, гбг), где щ, U2 —интегральный базис однородного
А
уравнения 6.3.2.5.
7.	-Ц- + [у2 + ае^(Ж + 1)] |^
Общее решение: w = —е ж + Ф(гб1, ггг), где щ, U2 —интегральный базис однородного
А
уравнения 6.3.2.6.
-)l	= fceA"
8.	+ (у +
Общее решение: г^ = —е ж + Ф(гб1, ггг), где щ, U2 —интегральный базис однородного
А
уравнения 6.3.2.7.
9.	ig- + (aie^-tf + 6ie* V)-§^ + («2eA-z + b^^'zm)^ = ex'.
Частный случай уравнения 7.8.1.7 при fi(x) = aieAlX, /2 (ж) = ^le^133, pi (ж) = п2ех<2Х,
g2(x) = b2eCix,h(x) = cxs.
10. |^ + (axe^-y + 6ie^-yfc) ^ + (aae^e + fee^^^) ^ = cxs.
Частный случай уравнения 7.8.1.8 при fi(x) = a\e^lX, /2(ж) = 6ie7lX, gi(x) =
р2(ж) = b2e^x,h(x) =cxs.
11.	\- (aix -\- bix e y)	\- 02Ж + 62Ж eR )	 = ex .
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 7.8.1.9 при fi(x) = aixn, /2(ж) = bixm, gi(x) =
g2(x) = &2жг, /i(^) = cxs.
7.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
7.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
л	dw	dw , Он?	1 fe/л \ ,
1.	—— + a—- + 6—— = с sh (Лж) + s.
Ож	ду	dz
Общее решение: w = Ф(з/ — аж, z — bx) + с / sh (Лж) с/ж + sx.
2.	а— + 6-^- +csh(A«)-^- = ksh(/3y) +ssh(jz).
дх	ду	dz
Общее решение:
~ ~ Г sh[-^(ch(Ax) - ch(Xt)) - 7*1 dt,
a Jo l ал	J
где ui = bx — ay, U2 = aXz — cch(Xx).
w = Ф(иии2) + 4*
op
3.	hash (/Зж)	bbsh (Лж)	 = csh GЖ) + s.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = ashn(f3x), g(x) = bshk(\x), \i2 (x) = 0,
fa (x) = 0, h0 (x) = с shm Gж) + s.
4. a-f^ + bsh(f3y)^- +	|^
ож	oy
Общее решение: w = ФA11,112) + — / sh<J7^ + — ГсЬ(Лж) — ch(At)l \ dt, где
a Jo ^	aA	J
= 6/Зж — a In
2
, гб2 = aXz — cch(Xx).

7.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	165
5. o1sh(Aia;)^+b1sh(/3i!/)^
ox	oy
= а2 ehna(Aaaj) + 62 ehm*(fay) + с2
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = а\ sh™1 (Xix), g(y) = 61 shmi (
h(z) = Cl shfci (jlZ), <p(x) = a2 sh (А2ж), ^(j/) = 62 shms (/ЗД, *(*) = C2 sh^2 (l2z
7.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
Л	dw	dw , Он?	i fe/л \ ,
1.	h «	h &	 = cch (Аж) + s.
Ож	ду	dz
Общее решение: w = Ф(г/ — аж, ^ — Ьж) + с / ch (Лж) с/ж + еж.
2. а-г^- + ^-^— + ссЬ(Лж)—— = kch(/3y) + schG^).
ox	oy	oz
Общее решение:
-?r sh(f3y) + - Г ch[^(ch(At) - сп(Аж))
op	a Jo L ал
где ui = bx — ay, u2 = a\z — с8Ь(Лж).
	\- a ch Cx)	\- осп (Аж)	 = cch Gж) + s.
дж	ду	dz	v '
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при /(ж) = achn(/3x), g(x) = bchfc(A#), h2(x) = О,
/&х(ж) = 0, ho(x) = ссЬтGж) + s.
4.	а	\- о сп(/3у)	\- с сп(Аж)	 = к chl'jz).
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(и1,и2) + — / chj7? + — fsh(At) — sh(A^)l \ dt, где
a Jo I	aX	J
iii = bCx — 2a arctg th	 , u2 = aXz — с8п(Аж).
5.	а	\- bch(f3y)	h cchGz)	 = рсЬ(Аж) + q.
dx	dy	dz
Общее решение: w = ФA11,112) H	ж -\	8Ь(Аж), где т = bCx — 2a arctg
a	aX
и2 = с7ж — 2а arctg th —
6. 01
= а2 ch712 (Л2ж) + Ь2 ch7 (/32y) + с2 chfe
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = сц chni (А1Ж), р(г/) = bi chmi
h(z) = a chfci Gi^), ф) = a2 ch^ (А2ж), <ф(у) = b2 chm2 (^22/), x(z) = c2 ^
7.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
л	dw	dw , dw	. fe/x ч
1.	—— + a—— + 6—— = cthfc(Ax) + s.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / th (Аж) с/ж + еж.
2.	a	h b	h cthGz)	 = kth(\x) + sth(/3?/).
ож	dy	dz
k	ч
Общее решение: w = Ф(гб1,гб2) Н	1п[сп(Аж)] -\	1п[сЬ(/5г/)], где т = 6ж — аг/,
о,А	ор
гб2 = с7ж — aln|shG^)|.

166	Линейные уравнения вида /l-fj- +/2^- + /з"§f- =9, fi = fi(x,y,z)
3.	®Н- + а thn (/Зх) ^- + bthk(\x)—=c th
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = athn(f3x), д(х) = bt\ik(Xx), h^ix) = 0,
/ц(ж) = О, /го (ж) = cthmGx) + s.
4.	a_^ + 6th(/3)	+th(A)
Общее решение:
w = Ф(иии2) + — Г thtjz + -^ Tin |сЬ(Лж)| - In |ch(At)|l ) dt,
a Jo L	aA	J
где i6i = 6/Зж — aln|sh(/3i/)|, и2 = a\z — c\n[ch(Xx)].
5. a_?^ + bth(/3y)— + cthGz)— =
ox	oy	oz
Общее решение: w = ФA11,112) + —1п[сп(Аж)], где щ = 6/Зж — aln|sh(/3i/)|,
иг = cjx — aln|shG«)|.
6. a th( Ax) -^ + Ь th(/3j/) ^- + с thGz) -5^- = fc.
ож	ay	c'^
Общее решение:
^ = Ф(щ^2) + А
7. ax th()|j	^	||
= a2 th712 (Л2ж) + b2 th^2 (/322/) + c2 thfe2
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = а\ th™1 (Aix), р(г/) = bi thmi
/i(^) = a thfci G1^), ^(ж) = a2 th (Л2ж), ^(j/) = b2 thm2 (/32?/), x W = fc
7.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1.	\- a	h b-—- = ccth (Лж) + s.
ож	oy	oz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / cthfc(Ax) с/ж + sx.
2. a— + 6— + ccthGz)-^- = kcth(\x) +scth(f3y).
ox	oy	oz
к
ч
к ч
Общее решение: w = ФA11,112) H	ln|sh(Ax)| -\	ln|sh(/5i/)|, где и\ — Ьх — ay
Qj\	UJJ
U2 = сух — a In [chG^)].
3. ltL+a cth71 (/Зж) — + b cthfe (Лж)— = с cth7" Gж) + s.
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = acthn(f3x), g(x) = 6cthfc(Ax), /12 (ж) = О,
/i! (ж) = 0, h0 (x) = с cthm (jx) + s.
4. a^ + fccth^)^ +сс1Ь(Лж)|
ож	oy	oz
Общее решение:
w = Ф(и1,и2) + — Г cth\jz + ^- [In |sh(At)| - In |sh(Ax)|l ) dt,
a Jo	I	aA	J
где ui = bf3x — a\n[ch(/3y)], 112 = aXz — c\n\sh(Xx)\.

7.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
167
5.
—
dx
dy
—
dz
Общее решение: w = ФA11,112) + —ln|sh(Ax)|, где щ = bf3x — aln[ch(/3i/)],
ОА
г^2 = сух — a In [
6. aicth(Aix)-?1+bicthmiC9i»)-^-+cicth">1Gi*)-?1 =
аж	oy	oz
= а2 cth712 (Л2ж) + Ъ2 cth™2 (/32у) + с2 cthfe2 G2^).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = а\ cthni (Aix), р(г/) = bi cthmi (/5ii/),
/г(^) = a cthfcl G1^), у?(ж) = a2 cth^2 (Л2ж), ^(j/) = b2 cthm2 (^2J/), x(^) =
7.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
oy
— = scWn(f3x) + kshl(<yy).
2.
3.
Частный случай уравнения 7.8.3.1 при f(x,y) = cshn (Xy), g(x, y) = s сЪ.ш (f3x)-\-к shl(jy).
*L +айГ(Лж)— + бсь^(/3Ж)-^- = schfeG^).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = ashn(\x), g(x) = ЬсЪ.ш((Зх), h2(x) = 0,
hi(x) = 0, ho(x) = schk(jx).
dw	,П	^^	^гУ	fe
-^—+ach
^)—+ 6sh ЦЗу)— =ssh
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = achn(Ax), gi(x,y) = 0,
?2(ж,2/) = Ъ*Ът(Ру), h(x,y,z) = sshk(jz).
4. _^_ +athw(A«)— +bcthrn(f3x)— = scthkGx).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = ath.n(\x), g(x) = bcthm(f3x), h2(x) = 0,
hi(x) = 0, ho(x) = scthk(jx).
5.
Общее решение: гу = ФA11,112) H	ln|sh(Ax)|, где
аХ
= —— In
aA
162 =
aA
	-In
C7
7.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
7.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
dw	dw	dw	fe, Л
1. —	h a—	h ^^— = с In (\x) + s.
Ож	dy	dz
Общее решение: w = Ф(г/ — ax, z — bx) + с / In (Аж) с/ж + sx.
Общее решение: w = ФA11,112) H	ж[1п(Аж) — l], где
/d
——

168	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi(x-> У-> z)
3. itL + a In71 (/Зж) — + 6 lnfe (Лж) — = с In7" Gж) + s.
Ож	Оу	Oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при /(ж) = а\п.п(/3х), д(х) = 61nfc(Ax), h,2(x) = 0,
/и (ж) = 0, h0 (х) = с lnm (jx) + s.
4. -^ +а1пЛ(Лж)-?^ + Ып™(/32/)-|^ = c\nhGy)
ож	ay	az
5.
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = а\пп(Хх), gi(x,y) = О,
32(х,у) = b\nm(j3y), h(x,y,z) = с\пкAУ) + sin'(jiz).
= o2 In712 (\2x) + b2 In2 (/32y) + c2 lnfc2 (таг).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = ai lnni (Xix), g(y) = bi lnmi (fry),
h(z) = Cl lnfci G1*), <р(ж) = a2 lnn2 (Л2ж), ^(j/) = 62 lnm2 (fry), x(z) = c2 lnfc2 G2г).
7.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
1. а-^- + Ъ^- + схп \nk(\y)-^- = sy™ 1п'(/3ж).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.3.1 при f(x,y) = схп \пк(Ху), д(х,у) = sym \nl(f3x).
2.	1- ахп	\- Ъх™	 = су lnfe (Лж) + sz \nl (/Зж).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = ахп, д(х) = bxm, 1i2(x) = c\nk(Xx),
3.	-^- + a In71 (Лж) -^- + Ъу™ -^- = с \пк (/Зж) + s \nl (jz).
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /г(ж) = а\пп(Хх), д\(х,у) = О,
д2(х,у) = Ьуш, h(x,y,z) = clnfc(/3x) + s\nl(jz).
4.	aln"(Ax)^ + z^- +blnh(f3y)^- = ex™ + SlnG2/).
Частный случай уравнения 7.8.2.2 при f(x) = а\пп(Хх), д(у) = b\nk(f3y), Ji2(x) = сжт,
^iB/) = s\n(<yy).
dx	dy	dz
Общее решение:
'—	-(\nx)s~n+1 при s+l/n,
/с
— lnllnxl	при s + 1 = n,
a
где
Ul a(n - 1)	b(m - 1) ' ^2 a(n - 1)	c(/ - 1)
7.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
7.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
dw	dw , dw
л	dw	dw , dw	. fe/x ч
1.	h a	h Ь	 = с sin (Лж) + s.
Ож	dy	dz
Общее решение: w = Ф(^/ — ax, z — bx) + с / sinfc(Ax) с/ж + sx.

7.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	169
2.	а	1- о	\- csinG^)	 = ksm(a.x) + ssin(p7/).
/с	s
Общее решение: w = Ф(и1,и2)	cos(ax)	 cos(/3y), где
аа	op
и\ = Ъх — ay, u2 = cjx — a In tg —
3. 	 -|- d sin (Лж)	 -|- о sin (рж)	 ^ с sin (/уж).
дх	к ' ду	у ' dz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = asinn(Xx), g(x) = 6sinm(/3x), h2(x) = 0,
4.	\- a sin (Лж)	h Ь sin (/3?/)	 = с sin G3/) + s sin (/xz).
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = asinn(Ax), gi(x,y) = 0,
), h(x,y,z) = csink(jy) -\-ssin1 (/iz).
5. a	1- 6 sinfp?/)	\- с sin(A«)	 = к sinGz).
ox	oy	oz
Общее решение:
w = Ф(т, U2) -\	/ sin< 7^ H	Tcos(Ax) — cos(At)! \ dt,
a Jo I	aX L	J J
где u\ = 6/Зж — a In
tg
, U2 = aXz + ccos(Ax).
6. 01 einB1(Aia!)|^ + bi вти'№1()^ + ci sinfel Glz)-|^ =
ож	ay	az
= a2 sin712 (Л2ж) + b2 sin7 @2y) + c2 sinfe2 G2z).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = а\ sinni (Aix), р(г/) = bi sinmi (/9iy),
h(z) = a sinfcl G1^), tp(x) = a2 sin712 (Л2ж), ф(у) = b2 sinm2 (^2J/), xO) = c2 sin^2 G2^).
7.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
1.	h a	h Ь	 = с cos (Лж) + s.
дх	ду	dz
Общее решение: w = Ф(г/ — аж, ^ — Ьж) + с / cos (Лж) dx + sx.
2. а	1- 6	\- ccos(/3z)	 = к соз(Лж) + s cosily).
ox	oy	oz
к	s
Общее решение: w = Ф(и1, и2) Н	sin(Ax) H	sinG1/), где
a\	67
ui = bx — ay, u2 = с/Зж
Oil?	п/л \ ^^ , .	fe/л \ #W	r^. ч
3.	h« cos (/Зж)	h^cos (Лж)	 = с cos GЖ) + s.
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f{x) = acosn(f3x), g(x) = 6cosfc(Ax), h2(x) = 0,
/ii (ж) = 0, h0 (x) = с cosm GЖ) + s.
4.	1- a cos71 (Лж)	1- 6 cosm (/3?/)	 = с cosfe G7/) + s cosz (/xz).
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = acosn(Ax), gi(x,y) = 0,
g2(x,y) = bcosm(f3y), h(x,y, z) = ccosk(jy) + scos1 (fiz).

170	Линейные уравнения вида /l ^ + /2-fjr + h^t = #' fi = fi(x,y,z)
5. a	\- bcos(f3y)	h ccos(Ax)	 = к cos^jz).
dx	dy	dz
Общее решение:
w = Ф(щ, u2) -\	/ coss 7^ -\	[sin(At) — sin(Ax)] > dt,
a Jq	L	aX	j
где u\ = bf3x — a\n\sec(f3y) + tg(/3y)\, U2 = aXz — csin(Ax).
6. ai cos х(Л1ж)—	h^icos ^/Зх?/)—	\- a cos	^
ож	ay	az
= a2 cos712 (Л2ж) + b2 cosTO2 (/322/) + c2 cos*52 G2*).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = ai cos™1 (Aix), р(г/) = bi cosmi (fry),
h(z) = a cosfcl (jiz), tp(x) = a2 cos™2 (А2ж), ^(j/) = 62 cosm2 (fry), x(z) = c2 cos^2 (j2z).
7.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
Общее решение: г^ = Ф(|/ — ах, z — Ъх) + с / tg (Xx) dx + sx.
2.	о-^- + 6-^ + ctg^z)-^- = fctg(Ax) + stgGw).
ож	ay	az
Общее решение:
гу = Ф(и1,и2)	 ln|cos(Ax)| - -— ln|cosG2/)|,
aX '	' &7
где ui = Ьх — ау, и2 = с/Зж — aln|sin(/3^)|.
3.	^ + a tg" (/3Ж) -^- + Ь tgfe (Ах) ^- = с tg
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = atgn(f3x), д(х) = btgk(Xx), h2(x) = О,
h1(x) = 0, ho(x)=ctgm(jx) + s.
4. ^- + atg^A»)^ + btg™(f3y)^- = ctgkGy)	z
ож	ay	az
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, f2(x) = atgn(Ax), gi(x,y) = 0,
), h(x,y,z) = ctgk(	l
5. a1tg()|^g(/?/)|^gG^
= a2 tg712 (Л2ж) + b2 tg7 (/322/) + c2 tgfe2
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = ai tg™1 (X\x), g(y) = 61 tgmi (fry),
h(z) = a tgfci G1^), ^(ж) = a2 tg™2 (А2ж), ф(у) = b2 tgm2 (fry), x(z) = c2 tg*2 (l2z).
7.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
л	dw	dw
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / ctg (Аж) с/ж + sx.
dw , On? ,	, ч dw , /» \ .	/ ^ \
2. a—	h ^^	h cctgG^)—— = kctg(\x) + sctg(/3?/).
ож	oy	oz
Общее решение:
w = <&(ui,u2) +
w = <&(ui,u2) + —-ln|sin(Ax)| + -^-
где u\ = bx — ay, u2 = С7Ж + a In

7.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	171
3.	-^ + a ctgn @х)^-+Ь ctgfe (Ах) -^ = с ctgm G3) + S.
аж	ау	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = actgn(f3x), д(х) = bctgk(\x), h2(x) = О,
/ii (ж) = О, /го О) = с ctgm GЖ) + s.
4.	^ +actgri(A^)|^ + 6ctgm(/fy)-||- = cctgfeG2/)
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /г(ж) = actgn(Ax), gi(x,y) = 0,
#2(ж, г/) = bctgm(/fy), h(x,y,z) = cctgk(<yy)+sctgl(/iz).
5. a-^-
Общее решение:
гу = Ф(^1,^2) + — f ctgG^+ — [ln|sin(At)| - In |sin(Ax)|l 1 cfa,
a Jo	L	aX	J
где ui = b/3x + a\n\cos(/3y)\, U2 = aXz — cln|sin(Ax)|.
6. oictg^^	'S?
+bictg(i3iW)^
x	oy
= o2 ctg (Aax) + b2 ctg™2 ОЗау) + с2 ctgfe2 G3*).
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = ai ctgni (Aix), р(г/) = bi ctgmi (/3iy),
h(z) = Cl ctgfci G1^), ^(ж) = a2 ctg^ (А2ж),
7.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1.	h« sin (Аж)	h^cos (/Зх)	 = с sin GЖ) + s.
аж	ay	oz
Частный случай уравнения 7.8.1.1 при f(x) = asinn(Ax), р(ж) = 6cosm(/3x), /г2(ж) = О,
h\ (х) = 0, /го (х) = с sinfc G^) + s.
+	71 (А)	+ b i7" @)
2. — + a cos71 (Аж) — + b sin7" @y)— = с cosfe G3/) + s sinz (/xz).
ож	ay	02
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при /i(x) = 0, /2(ж) = acosn(Ax), gi(x,y) = О,
), h(x,y,z) = ccosk(jy) + ssin1 (fiz).
3. ^- +асо8тг(Аж)^ +6tg^(/32/)^ = ccosfeG2/)
ож	ay	az
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = acosn(Ax), gi(x,y) = О,
#2(ж, j/) = 6tgm(/fy), h(x,y,z) = ccosk(
аж	ay	oz
b2 sin7 (/322/) + c2 cosfe2
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = сц sinni(Aix), д(у) = bi cosmi (fry),
h(z) = a cosfcl G1^), у?(ж) = a2 cos™2 (А2ж), ^(j/) = 62 sin™2 (fry), x(z) = c2 cos^2
5. ax tg^|^
= a2 ctg712 (Л2ж) + b2 tg7 (/32?/) + c2 ctgfe2
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = а\ tg™1 (Aix), 0B/) = 61 ctgmi (/5iy),
/i(^) = ci ctgfci G1^), ^(ж) = a2 ctg^2 (А2ж), ^(y) = b2 tgm2 (^2y), x W = c2 ctgfc2 G2^).

172	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi(x-> У-> z)
7.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
7.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
dw	dw	dw	. fe. л
1.	\- a	\- b	 = carcsin (Лж) + s.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / arcsinfc(Ax) dx + sx.
dw , dw , dw ,	./* \,,	./^ \,,	./^ \
2. ai	1- a2	h аз	 = Oi arcsin(Ai«) + 62 arcsin(A22/) + ^з arcsin(A3^).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = ai, g(y) = a2, /1B;) = аз, <^(ж) =
ix), ф(у) =
3.	a	ho	h carcsin (Лж) arcsin (pz)	 =sarcsin (jx).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /2 (ж) = 6, fs(x) = с arcsin™ (Аж),
/4(ж) = sarcsinmGx), д(у) = 1, /г(^) = 3ncsink(f3z).
4.	а	\- Ъ	\- с arcsin71 (Лж) arcsin™ (/Зт/) arcsin ('jz)	 = s.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.3.2 при f(x,y) = carcsinn(Ax) arcsinm(/3?/), g(z) =
= arcsinfcG^), h(x,y) = s.
_	dw	,	• Ti/x ч ^^	• fe//o \ ^^	. m/ ч
5.	a	1- о arcsin (Лж)	1-с arcsin (pz)	 = s arcsin GЖ).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /г(ж) = 6arcsinn(Ax), /з(ж) = 1,
), д(у) = 1, /г(^)	fc
6. а—	1- barcsin71 (\y)—	1- carcsinfe(/3z)—— = s.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x)=a, g(y)=bduccsmn(\y), h(z)=cduccsmk(f3z),
ф) = s, ф(у) = x(z) = 0.
7.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
л	dw	dw	dw	fe/x Л
1.	\- a	\- b	 = carccos (Лж) + s.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / arccos (Лж) dx + sx.
_	dw , dw , dw ,	/л\.1	/л\.1
2. ai	\- a,2	h «з	 = Oi агссоз(Л1ж) + b% arccos(A2?/) + 03 агссо
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при f(x) = а\, д(у) = аг, /i(^) = аз,
= b\ arccos(Aix), ф(у) = &2 arc() ()	()
3. а	1- 6	\- с arccos71 (Лж) arccos (/3z)	 = s arccos771 GЖ).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /2(x) = 6, /з(ж) = carccosn(Ax),
/4(ж) = загссо8тGж), р(г/) = 1, /г(^) = arccosfc(f3z).
4. а	1- 6 arccos71 (Лж)	1- carccosfe(/3z)	 = s arccos771 ('ух).
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /г(ж) = 6arccos72(Аж), /з(ж) = 1,
5. а	\- 6arccos (\у)	\- carccos (pz)	 = s.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) =а,д(у) =bdLiccosn(\y), h(z) =carccosfc(/3^),
<р(х) = s, ф(у) = x(z) = 0.

7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	173
7.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
dw	dw	dw	k, л
L ~ъ + °^- + b^7 = carctg (Аж) + s-
Общее решение: w = Ф(?/ — ax, z — bx) + с / arctg (Аж) с/ж + sx.
2.	ai—	h«2-	has-r- = 6iarctg(Ai«) + b2 arctg(A2?/) + 63 arctg (A3 2).
ож	ay	az
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = ai, g(y) = a2, /i(z) = as, ip(x) =
= bi arctg(Aix), ф(у) = b2 arctg(A2|/), xO) = b3 arctg(A3^).
3.	a^HL +6— + carctg71^) arctgfe(/3z)— = s arctg™Gж).
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /2 (ж) = 6, /з(ж) = с arctg™ (Аж),
/4(ж) = sarctgm^), g(y) = 1, /г(^) = arctgfc(/^).
4.	а_^!_ + ъ— + carctgTl(A«) arctg™^) arctgfeGz)-^- = s.
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 7.8.3.2 при f(x,y) = caictgn(\x) aictgm(f3y), g(z) =
= arctgfcG^), h(x,y) = s.
5.	a	\- barctg71 (Аж)	1- carctg (/3z)	 = s arctg™('jx).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = а, /2(ж) = 6arctg7г(Aж), /з(ж) = 1,
/4(ж) = заг(^тGж), д(у) = 1, /г(^) = сarctgfc(f3z).
7.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
Л	dw	dw	dw	- fe/\ \ 1
1.	1- a	1- о	 = carcctg (Аж) + s.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) + с / агсс^^Аж) с/ж + еж.
2.	ai—	h«2-r	\-a3-—- = Ьг аrcctg(Alж) + b2 arcctg(A22/) + b3 arcctg(A3^).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 7.8.2.1 при /(ж) = а\, д(у) = а2, h(z) = аз, ^р(х) =
= Ь\ arcctg(A^), ф(у) = b2 arcctg(A22/), xiz) = ^з arcctg(A3^).
3.	а	Ь ^>	Ь carcctg7г(Aж) arcctgfe(/3z)	 = sarcctgтrlGж).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = a, f2(ж) = 6, /з(ж) =
/4(ж) =	fc
.	dw	, Oil?	,тг/Л\	, m/д \	^fe/ \ ^^
4. а	Ь о	Ь carcctg (Аж) arcctg (py) arcctg (jz)	 = s.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.3.2 при /(ж, г/) = сагсс^^Аж) arcctgm(/^),
fc), h(x,y) = s.
5. а—	\- barcctg71 (Аж)—	1- carcctgfe(/3z)--— = sarcctg™GЖ).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 7.8.2.3 при fi(x) = a, f2(x) = 6arcctg?г(Aж), /з(ж) = 1,
/4(ж) = sarcctgmGж), д(у) = 1, /г(^) = carcctgfc(/3z).
7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
7.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
> В разд. 7.8.1 иногда будет указываться только частное решение w рассматриваемого
неоднородного уравнения и базис и\, и2 соответствующего однородного уравнения. Общее
решение рассматриваемого уравнения дается формулой w = w + ФA11,112), где Ф(и\,и2) —
произвольная функция двух переменных.

174	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9, fi = fi(x-> У-> z)
1.	—— + f(x)—— + д(х)^- = h2(x)y + hx(x)z + Л0(ж).
ox	oy	oz
Общее решение:
w = H2(x)y +H!(x)z +Ho(x) - f(x)H2(x)dx - / g(x)Hi(x) dx + Ф(щ, гг2),
где Я/,(ж) = / hk(x)dx (к = 0, 1, 2); щ = у - f(x)dx, и2 = z - g(x)dx.
2.	-^- + f(x)(y + a)— + flf(«)(z + b)— = h(x).
Общее решение:
w = / /г(ж) dx + Ф(гб1, ггг), i^i = In \y + a| — / f(x) dx, u2 = In \z + 6| — / р(ж) с/ж.
~dx~ + ^ay + f^~dV + [ + ^(ж)]"о7 = (ж)'
Общее решение:
гу= / h(x)dx + $(ui,u2), u\ =ye~ax- / f(x)e~axdx, u2 = ze~hx - I g(x)e~hx dx.
4. "^-+ [Л
Частное решение:
гу = <р(ж)г/ + ^(ж)^ + / [ho(x) - f2(x)(p(x) - д2(х)ф(х)] dx,
Интегральный базис щ, и2 соответствующего однородного уравнения см. в 6.8.1.4.
5. j^+[Mx)y + Mx)]^- + [g1(x)z + g2(x)]^=h2(x)y + h1(x)z + h0(x).
Частное решение:
w = (fi(x)y + ф{х)г + I [ho(x) - fi{x)if{x) - д2(х)ф(х)] dx,
ф) = F(x)J ^^dx, F(x) = exp [- j Д (x) dx],
ф(х) = G(x)J^^dx, G{x) = еуч>\-j9l{x)dx\
Интегральный базис и\, и2 соответствующего однородного уравнения см. в 6.8.1.5.
6-	^+ [У2 - а + a\sh(\x) - a2 sh^A*)] ^ + f(x) shGz)^ = g(x).
ox	oy	oz
Общее решение: w = / g{x) dx + Ф(гб1, и2), где
m = / fix) dx	In th — , u2 =	—- + / E dx, E = exp — sh(Ax) .
J	72	у — ach(Xx) J	LA	J
7-	-g- + [fi(x)y + f2(x)yk]^- + [gi(x)z + g2(x)z™]j?. = h(x).
1°. При к ф 1, m ф 1 преобразование
? = у1~к, r] = z1-m, W = w-fh(x)dx
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
2°. При к ф 1, т = 1 преобразование ? = у1-к, W = w — h{x) dx также приводит к
уравнению вида 6.8.1.5.
3°. При к = т = 1 см. уравнение 7.8.1.5.

7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	175
8- || + [fi(x)y + M*)yk]^ + [9i(x) + 92(х)ех*]^- = h(x).
Преобразование
? = y1-k, т] = е~х\ W = w-fh(x)dx
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
if	^	+9*(х)е*']%- = h(x).
Преобразование
? = е~Ху, rj = e~0z, W = w-fh(x)dx
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
7.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
разных переменных
Общее решение:
где
dx	Г dy	_ Г dx	Г dz
J	U2	J
_ Г dx	Г dy	_ Г dx	Г
~ J TivT ~ J ~Щ' U2~ J TivT ~ J
2. f(X)^ + z
Общее решение:
w= / г; / dx + /
J f(x)	Jyo
У
; / dx + /
f(x)	Jyo J2G(t) - 2G(y)
где
dt
G(y)= [g(y)dy, Ul=G(y)-^, U2= [J^-
J	2	J f(x) Jy
y/2G(t) - 2G(y) + z2
Общее решение:
dz
h{z)
Частный случай уравнения 7.8.3.5 при gi(x,y) = gi(x), #2(ж,2/) = giiy), h(x,y,z) =
5. |^ + [fi(x)y + /2(x)t/fc]-^-	^
Частный случай уравнения 7.8.3.6 при gi(x,y) = gi(y), g2(x,y) = ^(ж), h(x,y,z)

176	Линейные уравнения вида /i -f^ + /2 -§^ + /з -fj- = S, /г = /г (ж, 2/, г)
6- || + [/i(*)t/ + /2(ж)/]|^ + Ы*) + 32B/)еАг]-|^ = Ы(х)
Частный случай уравнения 7.8.3.7 при д\(х,у) = pi (ж), д2(х,у) = ^2B/), h(x,y,z)
Частный случай уравнения 7.8.3.8 при д\(х,у) = gi(y), д2(х,у) = ^(ж), h(x,y,z)
8. f^ + [fi(x) + /2(Ж)еЛ*]|^ + [^(х) +^(у)в^]^. = Нг(х)
Частный случай уравнения 7.8.3.9 при gi(x,y) = gi(x), g2(x,y) = д2(у), h(x,y,z)
7.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
Общее решение: гу = $(u\,U2) Л	/ д\х -\	—, t) dt, г
Ъ Jyo V	Ъ J
ui=bx — ay, U2 = bz — / f(x-\	-,t)dt, yo—
Л/о V	Ь	J
i	y, 2	/ f(,), yoлюбое.
Л/о V	Ь	J
-	Oil?	Oil?	^^
2.
Общее решение: гу = ФA61,162) H	/ h(x-\	-,t)dt, где
b Jyo \	b	J
m = bx — ay, U2 = b /	/ f(x-\	, t) dt, yo — любое.
J g(z) Jyo V	6	)
_	On?
3. x—
g(z) Jyo
гл^	*f	\ i H ( Xt Л dt
Общее решение: w = «?A61,162) + / g\—,t)—, где
Jy0 ^ У J t
У0 V У
У	z
161 = —, 162 =
ж	У Jyo~ ч У
( xt \ dt
/(—,tb' 2/0—любое.
v У J tz
4.	ax—	\~by—	\- f(x,y)g(z)—— = h(x,y).
ox	oy	oz
1 ГУ
Общее решение: w = ФA11,112) H	/ t~1h(xy~a'bta'h', t) dt, где
b Jyo
Ul = xby'a, u2=b f -^— - Г t-1i(xy-alhtalh, t) dt, yo —любое.
J 9(z) Jy0
5.	-^ + [h(x)y + /2 (x)] -^- + [gi(x,y)z + g2(x,y)]-j^- = h(x,y,z).
Общее решение:
rx _
w = ФAб1,112) + / h(t,u\, 162) dt,
JxQ
где
wi = yF(x) - J /2 (x)F(x) <fc, F(x) = exp [- J /1 (ж) dx],	A)
112 = zG(x,iii) - g2(t,ui)G(t,ui)dt, G(x,m) = exp - / pi(t,^i)dt. B)
Jx0	L JXo	J
Здесь^1(ж,1г1) =gi(x,y),g2(x,ui) =g2(x,y), h(x,ui,u2) = h(x,y,z) [в этих функциях
переменная у должна быть выражена через ж, i6i из равенства A), а переменная z должна
быть выражена через ж, т, U2 из равенства B)], хо — выбирается произвольно.

7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	177
6- ^ + [h(x)y + f2(x)yk]^- + [gi(x,y)z + g2(x,y)zm]^ = h(x,y,z).
вание ? = у1~к,
^- + (I -m) [
1°. При к ф 1, т ф 1 преобразование ? = у1~к, г] = ^1-т приводит к уравнению вида
7.8.3.5:
1	1 _	1	1
где ?1 (ж,О =^i(x,O-fc ), 02(ж,О =02(ж,^ I-* ), h(x,^r]) = й(ж,? i-* ,771-™
2°. При А; / 1, m = 1 замена ? = 2/1/г приводит к уравнению вида 7.8.3.5.
3°. При к = m = 1 см. уравнение 7.8.3.5.
7- -g- + [/!(*)» + M*)V"]^- + Ых,у) +да(х,у)еХя]^- = h(x,y,z).
Преобразование ? = у1~к, rj = e~Az приводит к уравнению вида 7.8.3.5:
где ffi(*>?)= 51Ы^5). 92A,?)=Р2AС,^), iife^lE^x,^,-
8. |^- + [/i(x) + /2(ж)еЛа]^ + [si^wjz + satx,»)^]-^ = h(x,y,z)
Преобразование ? = е~Лу, ц = ^1-fc приводит к уравнению вида 7.8.3.5:
1
где 01,2(ж,?) =01,2(ж,--^-1п?), h(x^,rf) = h(x, -у- ln?,7/ i-fe ).
9. |^ + [/i(x) + /2(ж)ел^]|^ + fei(x,t/) +02(x,y)e/3*]-|i =
Преобразование ? = e~Xy, 77 = e-/3z приводит к уравнению вида 7.8.3.5:
где 31,2B:,^) = 3i,2 (ж, -^-)
/i(a!)fli(»)-^ +/2(ФЫ^ + [h1(x,y)+h2(x,y)zm]^- = h3(x,y,z).
/f (x)	Г	а (у)
2) J	dx, 77 = /	, { dy приводит к уравнению вида 7.8.3.6
ЛО)	J	02 Ы
при /i = 0, /2 = 1, & = 0:
где
11. fi(x)gi(y)^- + fc{x)g2{y)^- + [^i(«,?/) + ^2(ж, 2/)еЛг] —— = h3(x,y,z).
ox	oy	oz
Преобразование ? = /	dx, n = /	cfa/ приводит к уравнению вида 7.S3.7
при /i = 0, /2 = 1, А; = 0:
|г + ^ + ^«'") + Ъ(?,т1)еХ']^ = hs(x,y,z),
где
12 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

8. Линейные уравнения вида
Л-Цг + f*W + f*l? = 9W, fi = ft(x, у, z)
8.1. Предварительные замечания
8.1.1. Методы решения
8.1.1-1. Характеристическая система. Общее решение.
Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка с тремя
независимыми переменными вида
fi(x,y,z)-^ + f2(x,y,z)-^- + f3(x,y,z)-^ = g{x,y,z)w.	A)
Если найдены три независимых интеграла
ui(x,y,z,w) = Ci, U2{x,y,z,w) = С2, u3{x,y,z,w) = Сз	B)
характеристической системы
(л>Х			Сиу			CLZ			Сиш	//1\
fi(x,y,z) f2(x,y,z) f3(x,y,z) g{x,y,z)w'
то общее решение уравнения A) можно записать в виде
где Ф — произвольная функция трех аргументов.
8.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Если известен интегральный базис щ = и\ (ж, у, z), U2 = 1^2 (ж, 2/, z) соответствующего «укоро-
«укороченного» однородного уравнения
fi(x,y,z)-^ + f2(x,y,z)-^- + fs(x,y,z)-^- = 0,	D)
то переход от х, у, z к новым переменным х, щ, и2 приводит к линейному уравнению
J1(x,ui,u2)-^- =g(x,ui,u2)w,	E)
ox
которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции
w = w(x) с параметрами ui,U2. Коэффициенты уравнения f x, ~д получаются из /i, g в результате
подстановки в них новых аргументов.
Решая уравнение E), находим
Г [ д(х,и1,и2) 1
\ / ^\ 1; 2\ dx\.
F)
Здесь Ф — произвольная функция, при вычислении обоих интегралов и\ и и2 рассматриваются
как параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в формуле F)
после интегрирования перейти к исходным переменным х, у, z.
8.1.1-3. Структура общего решения.
Если известен интегральный базис щ, и2 соответствующего «укороченного» уравнения D) и
нетривиальное частное решение w(x,y,z) исходного однородного уравнения, то общее решение
может быть найдено по формуле
w = и)Ф(и1, и2),	G)
где Ф — произвольная функция.

8.2. Уравнения, содержащие степенные функции	179
5.1.1-4. Задача Коши.
Ь 9	/ С о\
у — ах = С1, z	х =С2, w ехр (	z ) = С3.
Задача Коши для линейного однородного уравнения A) формулируется так же, как для соот-
соответствующего однородного уравнения при д = 0 (см. разд. 6.1.2). Ее решение можно получить
путем подстановки начальных данных в интегралы B) характеристической системы C).
8.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw
—	h a—	h bx—— = cxzw.	(8)
ox	oy	oz
Характеристическая система
dx dy dz	dw	,
1	a bx cxzw
имеет три независимых интеграла (о первых двух интегралах подробности см. в примере 1 из разд. 6.1.3):
Ь_
2~ ~z' ---V 26'
Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид
/ b о /с 9\\
Ф(у - ax,z	ж ,wexp	zl = О,
где Ф — произвольная функция трех аргументов. Разрешая это равенство относительно w, получим
решение в явной форме
- ( с Л (	Ъ
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw
—— + ах—— + by—- = kexw.	A0)
ox	oy	oz
Частное решение этого уравнения w ищем в виде функции, зависящей только от переменной х. В результате
имеем
w = ехр(/сеж).
Интегральный базис соответствующего «укороченного» уравнения (при к = 0) указан в примере 2 из
разд. 6.1.3. Поэтому общее решение уравнения A0) дается формулой
w = ехр(кех)Ф(у —|-аж2, z — Ьху + уабж3).	A1)
Пример 3. Требуется найти решение задачи Коши для уравнения A0) с начальным условием
w = F(y,z) при х = 0.	A2)
Положим в формуле для общего решения A1) х = 0 и учтем начальное условие A2). В результате имеем
Ф(у, z) = e~kF(y, z). Подставив это выражение в A1), получим решение задачи Коши
w = ехр[/с(еж — 1)] F(y —|-аж2, z — Ьху + -т^-аЬх3).
8.2. Уравнения, содержащие степенные функции
8.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по ./-, у, z
dw	dw	dw ,	~
1. a	\- b	\- с	 = (a.x + By + 'jz + o)w.
dx	dy	dz v	'
—x -\y2 + z2
2a
dw	dw	dw
+ + b
Общее решение: w = exp(—x2 -\	y2 + — z2 -\	х)Ф(Ьх — ay, cy — bz).
V 2a	26	2c	a J
Общее решение: w = ехр (у еж2 + бх)ФA11,112), где
. о 2	I (by + л/abz) exp(—^/abx)	при ab > 0,
ui = 6|/ — az , гб2 = s	/ /	- ч i	 / у
\ by cos(^\ab\x) + ^\ab\z sin(^\ab\x) при afr < 0.
12*

180
__ „ p dw I ? dw I ? dw	?	? (	\
Линейные уравнения вида /i -^—\- J2~q	г J3~q^~ = 9wi Ji = Ji\X, У-, z)
3. —— + (сцж + «о)^- + (bix + Ы^" =
ox	oy	oz
f3y + j z + S)w.
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = а\х + ао, д(х) = Ь\х + bo,
hi(x) = 7? ho(x) = аж + ?.
4. —	\- (a2y -\- сцх -\- a0)—	\- (b2y
ox	oy
b0)—— = (c2y
oz
¦ CqX + s)w.
Частный случай уравнения 8.8.1.4 при fi(x) = а2, /2(ж) = а\х + ао, gi(x) = 62,
#2(ж) = bi^ + Ьо, h,2(x) = С2, hi(x) = ci, ho(x) = сож + s.
5. -? + («1,-
^— = (С1Ж + со)ги.
oz
Частный случай уравнения 8.8.1.3 при /(ж) = к\х + &о, р(ж) = S\x + so, Мж) = ах + со.
аж—— + Ъу-^- + cz—— = (аж + /Зт/ + ^z + ?)ги.
Ож	ду	dz
Общее решение: w = \х 6/а ехр(—х -\	у + —^]Ф( ^^^ 	\
\а	Ъ	с / V х ь хс/
7. ж—	h az—
dx	dy
dz
= cw.
Общее решение: w = |ж|сФA61,162), где
7 2	2
= by — az , 162 =
при a6 > 0,
х/^Ь
(— arctg	) при ab < 0.
V	by J
8.	abx	\- b(ay + 6z)	1- а(ау — bz)	 = cw.
dx	dy	dz
Общее решение: w = |ж|с^а *ФA11,112), где
Ul = [ау + (л/2 - l)bz] |x|"^, w2 = [а?/ - (л/2 + 1)Ь] |ж
тт	I \с/(аЪ) л^ ( 2 2 г» 7	72 2\
Частное решение: w = |ж| /v ;Ф(а у — 2abyz — bz).
9.	(ахж + а0)—	\- (ргу + Ьо)-г	h (ciz + с0)—— = (аж + /Зу -
ox	oy	oz
1°. Общее решение при aibia /0:
[Ql в 7 1 / е OlCLci (ЗЬг) 7СП ^ '
— х -\	у -\	z -\	( о	— ) In
CLi Ь^ С^ CLi V CLi Ь^ C^ /
2°. Общее решение при а\Ъ\ ф 0, а — 0:
L а1 Ь1 2с0	с0 V а1 b1
3°. Общее решение при сц / 0, Ь\ = а = 0:
Г ft	C 2	72	^- (Я	OLUq
L а^^	26О	2с0	с0 V	а^^
4°. При ai = bi = а = 0 см. уравнение 8.2.1.1.
aix
±ML\
8.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, z
z2 + ^)гу.
Огу , dw	dw , _ о ^2
1. а	Ь ^>	h с	 = (Лж + Qy
dx	dy	dz v
Общее решение: w = expf—x3 + — y3 + — z3 -\	x )Ф(Ьх — ay, cy — bz).
V 3a	36	3c	a /

8.2. Уравнения, содержащие степенные функции
181
2-
4г
ox
oz
S)w.
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = а\х2 + ао, д(х) = Ъ\х2 + bo, h,2(x) = /3,
hi(x) = 7» ho(x) = Хх -\- 5.
3. —	h («2/ +
ox
+
—
oy
h (b^ +
+ so)—— =
oz
+ co)w.
4.
Частный случай уравнения 8.8.1.3 при f(x) = k\x2 + ko, g(x) =s\x2 +so, /i(x) = c\x2 +co.
b(	+ 2+)h(^ + 62 + 6)
ox
oz
Частный случай уравнения 8.8.1.4 при fi(x) = агж, /2(ж) = aix2 + ао, gi(x) =
^2(ж) = b\x2 + 60, /1г(ж) = С2, /ii(x) = ci, /го(ж) = сож + s.
Он?	Огу	Огу . , /э ,
5. ах—	\- by—	\- cz—— = х(\х + /Зу +
ox	oy	oz
1°. Общее решение при b ф —а, с / —а:
2°. Общее решение при 6 = —а, с / —а:
w = expl"—ж(Лж + 2/Зу\п \х\) -\
~т~ с
3°. Общее решение при Ъ = с = —а:
ги = ехр| —х [Хх + 2(/Зг/ + jz) In
6. ах2	\- bxy	\- cxz	 = (Аж + /Зу + *yz)w.
ox	oy	oz
1°. Общее решение при b / а, с / a:
, x\z\~a/c)
, xz).
2°. Общее решение при Ь = а, с ф а:
w = \х ехр — ( —
L ж V а
3°. Общее решение при а = b = с:
¦In |я| ,
_	2
7. аж
= ехр
2 ^Ъ!
1 .., / Ж Ж \
Ф —, — .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при а / 2b:
2
= fc?/ w.
B6 - a)x
2°. Общее решение при а = 26:
/ ky2 In ж \ / ж с а\
= exp(—	 Ф (-г-,	).
V аж / \ у2 x z J
2 ОгУ . 2 ^^	2 ^^
8.	ах	\- by	\- cz 	 = kxyw.
дх	ду	dz
глг ( кху ах \\ж/ b а с а\
Общее решение: w = ехр 	In — Ф	,	.
V ах — by	у I/ \ х у х z /
9.	ах2	\- by2	\- cz2	 = (Аж2 + /Зу2 + iyz2)w.
Общее решение: w = ехр —х -\	у + — z Ф	,	.
\ a	b	с / \ х ух z /

182
__ „ p dw I ? dw I ? dw	?	? (	\
Линейные уравнения вида /i -^—\- J2~q	г J3~q^~ = 9wi Ji = Ji\X, У-, z)
8.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z
dw , dw , , Он?
1. —	h a —	h ^^— = жугги.
ож	dy	dz
Общее решение: w = ехр[-|-ж2?/? — -|-ж3(а? + by) + -j^abx ]Ф(г/ — аж, г — Ьж).
_	OW , , OW , OW	/, ч	2\
2. a	h Ь	h с	 = (кх + sy )w.
dx	dy	dz v	y
Общее решение: ги = ехр( —ж4 Н	у3 ) ФFж — ау, сх — az).
V 4а	За /
Огу	Огу	Огу /
3. а	\- by	\- cz	 = (кх +
дх	ду	dz v
Общее решение: w; = exp(—ж2 -\	ж3/2 )ф(\у\ае~Ьх, zae~cx).
V 2а	За / v	'
.	On? .	On? . , On?
4.	1- az	\- by	 =
dx	dy	dz
s)iu.
Общее решение: w = ехр(-|-сж3/2 + бх)ФA11,112), где
>у + л/ab z) ехр(—\fa~bx)
— az , 162 =
2 ^гу	2 #ги	2 ^гу
5. ах —	h ^2/ —	h cz —— = kxyzw.
dx	dy	dz
при ah > О,
| ж) при аЪ < 0.
Общее решение:
где
wo(x,y,z) = еэ
аж1п(аж)
	—,
ax by ax cz
by\n(by)
- +
+ ¦
q/ln(q/)
(аж — by)(ax — cz) (by — ax)(by — cz) (cz — ax)(cz — by)
8.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени ./-, у, z
dw	dw	dw / n a
Общее решение:
w = ехр
Г л хпл
L а(п + 1)
Ь(т + 1)
¦vm+1 +
С(к
.	Он?	Огу	Огу /л n , ^
2. а—	bfo/^	l-cz—— = (\х +f3y
ox	oy	oz
Общее решение: w = ехр —
L a
-ж^+1+
Он? ,	dw , , Огу	п
3.	h «^	\- by	 = ex w.
dx	dy	У dz
Общее решение: ги = ехр(	хп+1 ]Ф(гб1,гб2), где
V п + 1	/
,2 2	J fe + л/а^^) ехр(-л/а6ж)
wi = Ь?/ - az , w2 = < У ( д-^r v ; /р^т у
I D2/cos(y aD x) + у aD ^^
dx
dw
~ду~
dw
Ф(Ьх — ay, ex — az).
ae~cx).
при afr > 0,
| ж) при ab < 0.
Общее решение: w = expf —жп + -^-j/m + JUfeW-|Ml iill).
V an	6m	ck J \ \x\b \x\c J

8.2. Уравнения, содержащие степенные функции
183
_	dw	dw	dw	n
5. ж	\- az	\- by	 = ex w.
dx	dy	dz
Общее решение: iu = exp(—xn )фAб1, и2), где
a (by — vabz)	при ab > 0,
expf —arctg	1 при ab < 0.
у 2	2
= by — az , 162 =
|ж|
Ы
dw
On?	,	л On?	,	л dw	n
6. аож	\- b(ay + 6z)	1- a(ay — bz)	 = ex w.
дх	ду	dz
Общее решение: г^ = ехр(	xn )Ф A61,162), где
V abn J
Ul = [ay + (л/2 - l)bz] \x\-^, u2 = [ay - (л/2 + l)bz] \
Частное решение: w = expf ——хп)ф(а2у2 — 2abyz — b2z2).
_	dw	n rn dw	„ u, \ dw	и
7.	\- ax у	\- bx y^z 	 = ex w.
dx	dy	dz
Общее решение:
I exp(	x +1 )ФAб1,162) при k ф — 1,
w = < \/c + l	/
t |ж|сФAб1,162)	при k = — 1,
где ui, 162 —интегральный базис уравнения 6.2.4.1.
8. -f^- + (alXni у + Ьгх1)-^ +	f^
ож	ay
Частный случай уравнения 8.8.1.4 при fi(x) = a\xni, /2 (ж) =
92{х) = b2xm2, h2(x) = c2xk\ hi(x) = cixk\ ho(x) = 0.
i (ж) =
Oil?	/	ni , и rn1\ 9W
9.	\-(aix гу-\-Ьгх 1)
dx v	y aw
)— = (С2Ж
10.
11.
1z)w.
(ж) = агж^2,
Частный случай уравнения 8.8.1.7 при /i (ж) = а1ЖП1, f2(ж) =b\,g\(ж) = агж™2, р2(ж) = Ъ2,
h(x) = cxs.
Частный случай уравнения 8.8.1.5 при fi(x) = а1ЖП1, f2(x) = &1Жт1,
(ш с\ I "ш I ^^^ шшс\ "ш	^ шй с\ I О1^ I ^^~ f^ с\ "ш ^ шй л I О1^ I ^^^ /^ 1 О1^ -1- шй г\ I О1^ I ^^^ I I
Частный случай уравнения 8.8.3.6 при fi(x) = а1ЖП1, /2(ж) = bi, gi(x,y) = а2уП2,
g2{x,y) = b2, h{x,y,z) = axSl + c2yS2 +c3zSs.
и n
= ож к;.
Общее решение: w = и)о(х)Ф(и1, и2), где
У
i6i = —,
+ 2/ — z, wo (ж) =
13. ж—	\- у—	\- (z — ауж2 + у2 -\- z2 ) —— = bx w.
dx	dy	az
Общее решение: w = 1^о(ж)ФAб1, 162), где
161 = —, 162 = |ж|а 1(^+л/ж2
, wo(x)=
при п/0,
при п = 0.
?п/п) при п/0,
при п = 0.

184	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9W> fi = /г (ж, у, z)
8.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
8.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
л	dw	\х dw , вх dw	-уЖ
1.	\- ае	\- be 	 = се r w.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при /(ж) = аеХх, д{х) = be^x, h2(x) = 0, h\(x) = О,
dw	\x dw .
2.
dx
dy
dw
dz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при /i (ж) = 0, /2 (ж) = аеЛж, д\ (ж, г/) = 0, ^2 (ж, г/) = бе^^,
h(x,y,z) =се1У +se»z.
3.	h ае у	h
dx	d
= (се
dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.3.9 при fi(x) = 0, /г (ж) = a, pi (ж, 2/) = бе^, #2 (ж, 2/) = О,
4.
+ (А1е + В1е)
dx x	J dy
Частный случай уравнения 8.8.1.9 при Д(ж) = Aieai;c, /2 (ж) = B\eUlX, pi (ж) = А2еа2Ж,
5. ае
dx	dy
Общее решение:
w =
где m =	e
aa
h
dw

dz
= ке w.
exp —	-е(л а)ж Ф(гб1,гб2) при Л / а,
L а(Л — а)	J
ехр(—
V а
при Л = а,
b{3
6. ae 	-|- be 	-I- ce 	 ^ ke vo
dx	dy	dz
Общее решение:
expf
где ui =	e H	e^%
рассматривается как параметр
7. (ai + CL2eax)	1- Fi + i
/e dx \
	 Ф(^1,^2) при Л ф а, Л ф 0;
еах + ааих /
(к \
—у)Ф(и1,и2)	при Л = а ф 0;
6 /
expf	e~7Z)ф(и!,и2)	при Л = 0,
/5?/ — ах
^- -\	е 1Z. При интегрировании щ
:аж — аае"У су
оу
[к 1 / к к \	~\
—^х -\	( —	— ) ln(ai + а2еах) , где
ах а V а2 ах /	J
= 	\ах — ln(ai + а2важI
i fj
u2 = 	\ах - ln(ai + а2еах)]	\jz - ln(ci
aa L	J c7

8.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции	185
8. ePv(al+a2eax) —+eax(bl+bzetSv) — +cetSv+'1*—
dx	dy	dz
[1с 1с 1с / 1с 1с \	~\
1 3 х -\	 ( —	 ) ln(ai + а2еах) , где
а1 а V а2 а^ /	J
Ul = — \п(сц+а2еах)	— \n(bi+b2e/3y), и2 = — \ах-\п(а1+а2еах)] + — е~7\
a2OL	Ь1C	а1а	с~)
8.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
Л	dw	n dw	, т dw	/ Хх , , вх ,	-ух\
1.	h аж	Ь ^ж 	 = (се у + kep z + se7 )ги.
Ож	ду	dz х	'
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f (х) = ахп, д(х) =Ьхш, h2(x)=ceXx, hi(x) = keCx,
h0 (ж) =se7X.
2.	1- ае	\- Ъх 	 = (сх у -\- keR z -\- sen )w.
dx	dy	Qz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f[x) =aeXx, g(x) =bxm, h2(x) =cxn, h\(x) = ke^x,
ho(x)=se^x.
3. —	h ae —	h by—— = (kep z + se1 )w.
dx	dy	dz v	/
Частный случай уравнения 8.8.1.4 при fi(x) = 0, f2(x) = aeXx, gi(x) = b,g2(x) = h2(x) = 0,
hi(x) = ke^x,h0(x) = selx.
.	dw	n dw	, m dw	/ Xx , i 0v i	-yz\
4.	1- ay	\- bz 	 = ice -\- keRV -\- se1 )w.
dx dy dz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = 1, д(у) = ауп, h(z) = bzm, (f(x) = ceXx,
_	dw	в-ц dw	, m dw	/ Asb , i n ,	-yz\
5.	1- aepy	\- bz 	 = ice + ky + seT )ги.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = 1, д(у) = ae^, /г(^) = bzm, ip(x) = сеЛж,
UW	г 2 _|_ , _|_ olx /	i\	»21 t^ j_ Г 2 _|_ /	i \ /3aj1 *'«' 	 » Ajc
Общее решение: гу = ехр f —еХх ) Ф(щ ,112), где щ, и2 —интегральный базис уравнения
6.3.2.5.
dx	dy	dz
Общее решение: w = ехр( — еХх \ф(и\,и2), где щ, и2 — интегральный базис уравнения
6.3.2.6.
dw	/ ах 2 , , -ах\ dw	г вх 2 |	-уж/ _ , (/3+-7)aj4i ^^ _ , Аж
Ож v	' dy L	A dz
Общее решение: u> = ехр ( —е х \ф{и\ ,и2), где щ, и2 —интегральный базис уравнения
V А	/
6.3.2.7.
9. -^- 4
Частный случай уравнения 8.8.1.7 при fi(x) = aieAlX, f2(x) = frie^, pi (ж) = a2eX2X,
^, h(x) =cxs.

186	Линейные уравнения вида /i-§f- + /2-f^ + /з-fj- = gw, fi = fi(x,y,z)
10. -Ц- + (axe" V + Ь1в™ V) -§^ + (а3ел" + Ь2е-=+Лг) Ц = «c't*.
Частный случай уравнения 8.8.1.8 при fi(x) = а\е^1Х, /2 (ж) = 6ie7lX, pi (ж) = аге^233,
д2(х) = b2el2X, /г(ж) = cxs.
п. *?. + /1Я!„ + 6ia,-eAV) e« + , h + ь^е
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.9 при fi(x) = а\хп, /г (ж) = 6ixm, pi (ж) =
^2(ж) = b2xl, h(x) = cxs.
8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
8.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1.	—	h «^	h b—— = csh (/Зж)^.
ож	ay	C72;
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — Ъх) ехр с / shn(/3x) с/ж .
2.	а—— + Ъ—— + csh(A«)—— = [fe sh(/3?/) + s s
ox	oy	oz
Общее решение:
w = Ф(и1,и2)ехр\^-сЦ(Зу) - - Г sh\-^-(ch(Xx) - ch(Xt)) - jz] dt\,
L op	a Jo L ал	л )
где u\ = bx — ay, u2 = aXz — cch(Xx).
3.	\-ash (fix)	bbsh(Aa?)	 = csh ('jx)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = ashn(f3x), g(x) = 6shfc(Ax), h2(x) = 0,
hi(x) = 0, ho(x) = csh
dw	, л dw	i /л \ #™ i i/ \
4. a	\- bsh(ny)	\- csh(Ax)	 = ksh('jz)w.
дх	v ' ду	v ' dz	v '
Общее решение:
{к fx ( су	\ ~]
— / shG^H	\ch(Xx) — ch(Xt)\ ) dt >,
a Jo \ aX L	J/ J
где u\ = bf3x — a In th	 , u2 = aXz — cch(Xx).
dx	dy	dz
= [a2 sh712 (Л2Ж) + 62 sh777 (fey) + C2 shfe2 G2^)] w.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ shni (Aix), р(г/) = bi shmi (/9iy),
), у?(ж) = a2 shn2 (Л2ж), ^(j/) = 62 sh™2 (/32y), x(z) = °
8.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
1.	Ь a	h b	 = cch Fx)w.
дх ду dz	v^ 7
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) ехр с / chn(f3x) dx\.
2. a^- + b^- + cch(Xx)-^- = [kch(f3y) +
ож	oy	oz
Общее решение:
w = Ф(«1, и2) exp{ A- sh(/3y) + - Г chf-^ (ch(At) - сЬ(Аж))
где ui = bx — ay, u2 = aXz — csh(Xx).

8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	187
3. J*l + achn(/3x)— + bchk(\x)— = cchmGx)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = achn(f3x), g(x) = bchk(Xx), h2(x) = 0,
hx(x) = 0, ho(x) = cch
4. a	1- 6 ch(/3?/)	h с сЬ(Лж)	 = fc chHz)w.
ox	oy	oz
Общее решение
w =
где и\ = bj3x —
-ФЫ,и2)е
2а arctg th
2
a Jo V аХ
9 и2 = aXz — csh(Xx)
5. аг ch4\lX)^ + 6x ch (fay)^
oy
= [a2 chn2(\2x) + b2 ch™2(f32y) + c2 chk2(j2z)]w.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ ch™1 (Aix), ^(i/) = 6i chmi (/3i^/),
Мг) = ci chfci G1^), ф) = a2 ch^ (Л2ж), ф(у) = b2 chm2 (/32?/), x(z) = c2 ch^2 G2^).
8.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
Л	dw	dw , dw	,*n,a ч
1.	—	ha-	\-b——=cth (f3x)w.
ox	oy	oz
Общее решение: w = Ф(у — ax, z — bx) exp с / thn (/3x) dx .
2.	a— + 6-^- + cth(/3z)—
Ож	ду	dz
Общее решение: w = chk'aX(\x) chs'&7G1/)ФA61,162), где
ui=bx — ay, 112 = c/3x — a\n\sh(/3z)\.
3.	®H. + a th" (/Зж) — + 6 thfe (Аж) — = с th Gx) w.
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = athn(f3x), g(x) = 6thfc(Ax), h2{x) = 0,
/ц(ж) = 0, Ло(ж) =
4. a_^!_ + ъ th(/3y) — + с 1Ь(Лж) — =
ож	ay	02
Общее решение:
/ thf7^ + — [Ь 1сЬ(Лж)| - In |
a Jo ^	aA
где ui = bf3x — a\n\sh(f3y)\, u2 = a\z — c\n\ch(\x)\.
5. a_^!_ + b th(f3y) — + с thGz) — =
Ож	Oy	Oz
Общее решение: u> = ch 'a {\x)${u\,U2), где
i6i = ЪCх — a In sh.(Cy) |, гб2 = С7Ж — a In |shG^) |.
6. 01 th(Aix)^ + bi th(/3iJ/)^	^
ox	oy	oz
= [oath"a(Aax) + b2 th™2 (/32J/) + c2
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при /(ж) = ai th™1 (Xix), g(y) = 61 thmi (/3iy),
h(z) = ci th*i Gi«), V(x) = a2 thn= (A2x), VB/) = b2 thm^ (/322/), х(г) = С2 fc

188	Линейные уравнения вида /i -|^f- + /2 -|^ + /3 -§j- = gw, /г = fi (ж, ?/, г)
8.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
dw	dw	dw	,, n//g ч
1.	\-a	\-b	 = ccth Cx)w.
dx dy dz	yH }
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) ехр с / cthn (f3x) dx .
2. a— + Ь— + с cth(/3z) — = [fe cth(A^) + s cthG?/)l ™.
Общее решение: w = |sh(Ax)| ^a |shG?/)|s' 7Ф(гб1, ггг), где
ui = bx — ay, U2 = с/Зж — a In [ch(/3^)].
3)
3.	^L + acth(i3»)	+ bcth(Atf)
ож	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = acth.n(f3x), g(x) = bcthk(\x), h,2(x) = 0,
hi(x) = 0,ho(x) =ccthm(jx).
4.	a	1- 6cth(/3?/)	1- ccth(\x)	 = kcth('jz)w.
ox	dy	dz
Общее решение:
w = Ф(и1,и2) ехр(— Г cth(V + — [Ь |sh(At)| - In |sh(Ax)|l>) dt\,
I a Jo	\	ал	J/J
где u\ = b/3x — a\n[ch(f3y)], U2 = aXz — cln|sh(Ax)|.
5.	a	1- 6cth(/3?/)	1- ccthGz)	 = kcth(\x)w.
dx	dy	dz
Общее решение: w = |sh(Ax)| a Ф{и\,и2), где
iii = bf3x — a In [ch(/3i/)], U2 = С7Ж — a In [
6. aicth(Aia;M+bicth(/3ij/M
oy
= [a2 cthW3
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ cthni (Aix), р(г/) = bi cthmi
/г(^) = a cthfcl G1^), у?(ж) = a2 cthn2 (А2ж), ^(j/) = b2 cthm2
8.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
1.	a^ + b^
ox	oy
Частный случай уравнения 8.8.3.1 при f(x,y) = cshn (Xy), д(х, у) =schrn(f3x)-\-kshl('yy).
2.	J*L + о Sh" (\x) — + Ъ chm (fix)— =s chfe (yx)w.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = ashn(Xx), g(x) = ЬсЪ.т((Зх), h2{x) = 0,
hi(x) = 0,ho(x) = schk(jx).
А) + bh7"^)
3.	+ асЬ^Аж)	+ bsh^)
dx dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = achn(Ax), gi(x,y) = 0,
02(ж, у) = 6shm(/fy), h(x,y,z) = sshk(jz).
4.	?^ + thTl(A)	+ bth7"^)	fe
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = ath.n(Xx), g(x) = 6cthm(/3x), h2 (x) = 0,
/ц(ж) = 0, ho(x) = scthk(jx).

8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
189
5. a sh(Aa?)	h b sh(/3y)	1- с shG^)	 = k ch(\x)w.
dx	dy	dz
Общее решение: w = |sh(Ax)| a Ф(и1,и2), где
аХ
In
б2 = 	In
аХ
	-In
C7
8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
8.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
Л
1.
dw	dw
dx
dy
dw

dz
= с In Fx)w.
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) exp с / \nn(f3x) dx\.
dw , , dw ,
2. a	h b	h
ox	oy
3.
4.
5.
)	 = s\nrn(\y)w.
oz
Частный случай уравнения 8.8.3.1 при f(x,y) = c\nn(f3x), g(x,y) = s\nm(Xy).
J^+oin-^-^+bln^Aa;)-^- =clnm(*yx)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = a\nn(f3x), g(x) = 61nfc(Ax), Дг(ж) = О,
/iiO) = 0, Ло(ж) = cln
+ a\n(Px)^ + b\n(\y)^
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = a\nn(f3x), gi(x,y) = 0,
g2(x,y) = Ыпк(\у), h(x,y) = clnmG:r).
+ bibC9i»M+ciln
ж	ay
= [a2 \nn2(\2x)
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = ai lnni (Aix), р(г/) = bi lnmi (fry),
h(z) = a lnfci G^), ^(ж) = a2 lnn* (Л2ж	k
8.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
л	dw	dw	гьл fe / Л ч dw	т i,a Л
1. а—	Ь Ъ—	\- ex In (\у)—— = sy In (f3x)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.1 при f(x,y) = схп \пк(Ху), д(х,у) = sy171 \nl(f3x).
2.	1- ах71	\- Ъх™	 = \су In (Лж) + sz In (/Зх)] w.
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = ахп, g(x) = bxm, h2(x) = c\nk(Xx),
hi(x) = s\nl(f3x),h0(x) = 0.
dw
dw
dw
3. -^ + a In71 (Ля;) — + 67/^ — = [с lnfe (
s lnz
4.
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при f\(x) = 0, f2(x) = alnn(Ax), gi(x,y) = О,
д2(х,у) = fo/™? /i(x,|/,^) = clnfc(/3x) + sWGz).
dw	dw	I?	dw г	п
Ож	Oy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.2 при f(x) = а\пп(Хх), д(у) = b\nk(f3y), h2(x) = сжт,
hi(y) =s\n(jy).

190	Линейные уравнения вида /i -|^f- + /2 -|^ + /3 -§j- = gw, /г = fi (ж, ?/,
5. ах(\пх)п— + byilny)™— + Cz(lnz)z — = &AпжM™.
Ож	Оу	dz
Общее решение:
{ехр[—	-(\пхУ~п+1\Ф(и1, и2) при s+1/n,
L a(s - п + 1)	J
(Inж) 'аФ(и1, и2)	при s + 1 = п,
где
—
а(п -
16 9 ==
8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
8.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
л	dw	dw	dw	. п, ч
1.	\-а	\-о	 = с sin (\x)w.
дх	ду	dz	v '
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — Ьх) ехр с / sinn (Xx) dx .
2. а	\- Ъ	\- с sin(Az)	 = \к sinG«) + s sin(/3y)] w.
дх	ду	dz
[к si
	cosG^)	cos(/3y)\, где
<27 Ьв	J
9
u\ = bx — ay, u2 = cXx — a In
3. —— + a sin71 (Лж) —— + b sin771 (fix) —^- = с sinfe
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = asinn(Xx), g(x) = bsinm(f3x), h2(x) = 0,
h\(x) = 0, ho(x) = с sir
4. -^ + a sin71 (Лж) -^ + b sin7" (/fy) -^ = [c sinfe G3/) + s sinz (»z)]w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = asinn(Ax), gi(x,y) = 0,
92{x,y) = bsmm(/3y), h{x,y,z) = csink(>yy)	^
5. a	1- b sin(/3y)	1- с зт(Аж)	 = к sinGz).
дх	ду	dz
Общее решение:
w = Ф(гб1, иъ) ехр<— / sinf7^H	[cos(Ax) — cos(At)] J dt >,
где i6i = fr/Зж — a In
ccos(Ax).
6. 01 einB1(Aia!)|^ + Ъх sinmi(ClV)^- + a sin
ox	oy
= [a2 sin712 (Aax) + 62 sin2 (/32J/) + c2 sinfc2 (таг)]
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ sin™1 (Aix),
h(z) = c\ sinfcl G1^), у?(ж) = a2 sin712 (А2ж), ^?(г/) = b2 sin
8.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
л	dw	dw	dw	n, „ Л
1.	\- a	\- b	 = с cos Cx)w.
dx dy dz	v J
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) ехр с / cosn(f3x) dx .

8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	191
2. а	1- b	1- с cos(/3z)	 = \k cos(Aa?) + s cos^y)] w.
дх	ду	dz
[k si
— sin(Ax) -\	sinG1/) , где
aX 67	J
u\ = bx — ay, U2 = cj3x — aln|sec(/3z) +	|
3.	\- a cos (рж)	|-6cos (Лж)	 = ccos ('jx)w.
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = acosn(f3x), g(x) = bcosk(\x), hz (x) = 0,
hi(x) = 0,ho(x) = ccosmGx).
4.	|-«cos (рж)	|-o cos (\y)	 = ccos G7/) + s cos (ijlz) \w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = acosn(f3x), gi(x,y) = 0,
g2(x,y) = bcosm(Xy), h(x, y, z) = ccosk(jy) + scos1 (fiz).
5.	a	1- 6 cos(/3y)	1- с соз(Лж)	 = k cos('jz)w.
дх	ду	dz
Общее решение:
w = Ф(гб1,гб2)ехр<[ — / cos \^z-\	— [sin(At) — sin(Ax)! ) dt i,
I a Jo	^	ал	J/J
где u\ = bj3x — a\n\sec(f3y) + tg(/3y)\, U2 = aXz — csin(Xx).
6.	aicos^!»)-!^ +b1coSmi(C1y)-^- +ClCosfelGi«)-?- =
ож	ay	oz
= [a2 соз^^Лгж) + b2 cosm2 (/322/) + c2 cos*52 G2*)] ги.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = ai cos™1 (Aix), ^B/) = 61 cosmi (f3iy),
h(z) = a cosfcl G1^), у?(ж) = a2 cos™2 (А2ж), ^(|/) = ^2 cos™2 (/32y), xl*)	^
8.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
л	dw	dw , dw
L	+ + b
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) exp с / tgn(/3x) dx .
2- ° lit + bl%-+ c tg(/3^ ^ = [fc tg(Aa;) + s
Общее решение:
г^ = cos(Ax)|	|cosGi/)| s
где ui = bx — ay, U2 = с/Зж — a
3. -g- + a tg" C9x) ^ + 6 tgfe (Ax) -g- =
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = atgn(f3x), g{x) = 6tgfc(Ax), /12 (ж) = О,
/ц(ж) = 0, ho(x) = ctg
4. a-^— + btg(f3y)—	h ctg(Лж)-^— = ktg(jz)w.
Общее решение:
w = Ф(гб1, г^г) ехр<— / tgG^H	[in |cos(Ax)| — In |cos(At) |] ) dt >,
I a Jo V	aA	J/J
где i6i = 6/Зж — a In | sin (/3?/) |, U2 = aXz + c\n\cos(Xx)\.

192	Линейные уравнения вида /i -|^f- + /г-§^- + /з-fj- = gw, fi = fi(x,y,z)
5. ai
= [o2 tg™2 (А2ж) + Ь2 tg™2 (fay) + c2 tgfc2 (-»«)]w.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ tg™1 (\\х), р(г/) = bi tgmi (fry),
h(z) = a tgfci G1^), <р(ж) = a2 tg (X2x), ^(j/) = 62 tgm2 (fry), x(z) = C2 tgfc2 G2*).
8.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
Oil?	Oil?	Oil?	j. ti/,3 x
L "a^ + °^- + b~e^ = c ctg (/3a;)w-
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) exp с / ctgn(/3x) dx .
2.	a-^ + 6-^- + с ctg(/3z) -^- = [fe ctg(A«) + s ctg(<yy)] w.
Общее решение: w = |sin(Ax)| |sinGi/)| 7Ф(гб1,гб2), где
m = bx — ay, U2 = cf3x + a In cos(/3z) |.
3.	-^ + a ctg" (/3s) -^ + b ctgfe (\x)^L=c ctg GaJ)i«.
ож	ay	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = actgn(f3x), g(x) = bctgk(\x), /12 (ж) = О,
hi(x) = 0,ho(x) =cctgm(jx).
4.	a^- + b ctg(f3y) —— + с ctg(A#) —— = к ctg(jz)w.
ox	oy	oz
Общее решение:
w = Ф(иии2) ехр(— Г ctgf7^ + -^ [In |sin(At)| - In |sin(Aa;)|l>) dt\,
I a Jo	\	aX	J/J
где ui = b/3x + a\n\cos(/3y)\, 112 = a\z — c\n\sin(\x)\.
5.	Olctg^^	fe^
= [o2 ctg(A2a;) + b2
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ ctgni (Aix), ^(i/) = 61 ctgmi (fry),
h(z) = a ctgfci G1^), ^(ж) = a2 ctgn2 (А2ж	fc
8.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1.	h« sin (Лж)	h^cos (/Зх)	 = с sin (~yx)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.1.1 при f(x) = asmn(\x), д(х) = bcosm(/3x), h2(x) = 0,
h\(x) = 0, ho(x) = csmk(jx).
2.	1-a cos (Лж)	|-6sin (py)	 = [ccos (/yy) + s sin (/jlz)\w.
Ox	oy	Oz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = acosn(\x), gi(x,y) = 0,
g2(x,y) = bsmm(f3y), h(x,y,z) = ccosk(jy) -\-ssin1 (fiz).
3. ^- + a cos- (Лж) ^ + ft tg™ (^y) ^ = [c cosfe Gy) + s tgz faz)] w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при fi(x) = 0, /2(ж) = acosn(Xx), gi(x,y) = 0,
g2(x,y) = btgrn(f3y), h(x,y,z) = ccosk(jy) + stgl(/jJz).

8.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	193
4. oisin51	?^	fe|^
[	с2 cosfc2G2^)]w.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при /(ж) = а\ sin (Aix), g(?/) = 6i cosmi (/3iy),
h(z) = a cosfcl G12), <р(ж) = a2 cos (Л2ж), ?/%) = b2 sinm2 (/ЗД, x(^) = c2 cos^2 G22).
5. aitg ^Aix)—— +6ictg 1@1y)—— +cictg G1^)^
ож	oy	oz
= [oa ctg (Aaaj) + 62 tg2 (/32y) + c2 ctgfc2 G2z)] w.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\ tgni (Aix), ^(i/) = 61 ctgmi (/3iy),
h(z) = a ctgfci G1^), ^(ж) = a2 ctg (\2x), ф(у) = b2 tgm2 (/32y), X(z) = c2
8.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
8.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
л	dw	dw	dw	- п,а \
1.	\- а	\- о	 = carcsin Cx)w.
дх	ду	dz	v '
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — Ьх) ехр с / arcsinn(/3x) dx .
2. ai	\-а>2	Ь^з
ож	ay	02
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = ai, р(г/) = a2, /i(^) = аз,
= Ь\ arcsin(Aix), ф(у) =
3. а	1- 6	\- carcsinTl(Aa?) arcsin (/3z)	 = sarcsinTriG«)i(;.
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /2(ж) = 6, /з(ж) = carcsinn(Ax),
/4(ж) =	fc
4.	а	\- о	\- carcsin (Аж) arcsin (py) arcsin (jz)	 = sw.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.2 при /(ж, г/) = с arcsin72 (Аж) arcsinm(/3|/), g(z) =
= arcsinfcG^), h(x,y) = s.
5.	a	\- barcsin71 (Аж)	1- carcsin (/3z)	 = яагсзт^^ж)!*;.
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /г(ж) = Ъarcsin™(Аж), /з(ж) = 1,
/4(ж) =	fc
6. а	1- 6arcsin (At/)	1- carcsin \pz)	 = sw.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x)=a, g(y)=baicsinn(\y), h(z)=caicsink(f3z),
(p(x) = s, ф(у) = x(z) = 0.
8.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
л	dw	dw	dw	n/ ч
1.	—	1- a—	1- o—— = carccos (f3x)w.
dx	dy dz
Общее решение: w = Ф(у — аж, z — Ьх) ехр с / arccos™ (/3x) dx .
2.	ai	\-а,2	\-о,з	= [
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = ai, g(y) = a2, h(z) = аз,
= Ъ\ агссо8(А1ж), ф(у) = Ъ2 arccos(A2^/),
13 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

194	Линейные уравнения вида /i -|^f- + /2 -|^ + /3 -§j- = pw, fi = fi(x,y,z)
3. а	1- 6	\- с arccos71 (Аж) arccos (/3z)	 = s arccos™ Gж)ги.
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = a, /2 (ж) = 6, /з(ж) = с arccos71 (Аж),
/4(ж) =	fc
4.	а	\- о	\- с arccos (Аж) arccos (ру) arccos (jz)	 = sw.
dx dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.3.2 при /(ж, г/) = с arccos™(Аж) arccosm(/3?/), 0B) =
= arccosfcG^), h(x,y) = s.
5.	a	\- о arccos (Аж)	1- с arccos (pz)	 = s arccos (/yx)w.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /г (ж) = 6 arccos™ (Аж), /з(ж) = 1,
/4(ж) =	fc
6. а	\- Ъ arccos71 (\у)	\- с arccos (/3z)	 = sw.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а,д(у) = 6 arccos™ (A?/), h(z) = с arccosfc {j3z),
<p(x) = s, ф(у) = x(z) = 0.
8.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
dw	dw	dw	п/„ ч
1.	\- a	\- b	 = carctg \px)w.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — ax,z — bx) exp с / arctg™(/Зж) dx\.
dw	dw	dw г	, \ , и	x/\ \ i и
2.	a\	\- a2	h 0,3	 = [bi arctg(A]^) + 62 arctg(A2?/) + 63 1
Ox	oy	Oz
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = а\, д(у) = а2, h(z) = аз, р(х) =
= Ъ\ arctg(Aiaj), ф(у) = b2 <nctg(\2y), х(*) = &з arctg(A3^).
3.	а— + 6— + carctg7г(Aж)arctgfe(/Зz)-^- = s arctg771 Gж)^.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = a, f2 (ж) = Ъ, /з(ж) = carctg?г(Aж),
ш = ¦
4.	а	\- b	\- carctg7г(Aж) arctgTri(/37/) arctg (jz)	 = sw.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.2 при /(ж, г/) = сап^п(Аж) arctgm(/^), g(z) =
= arctgfcG^), h(x,y) = s.
5.	a	\- barctg71 (Аж)	1- carctg (/3z)	 = s Eirctg™('jx)w.
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /г(ж) = 6arctg™(Аж), /з(ж) = 1,
/4(ж) = sarctgmGx), д[у) = 1, h(z) = сarctgfc(/3z).
8.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
л	dw	dw	dw	п, „ л
1.	\- а	\- b	 = carcctg (px)w.
dx	dy	dz
Общее решение: w = Ф(у — аж, z — bx) exp с / arcctgn(/^) dx .
2. ai —	\-a2 —	h«3-r— = [bi arcctg(Alж) +62 arcctg(A22/) +63 arcctg(A3^)l t^.
ож	ay	az
Частный случай уравнения 8.8.2.1 при f(x) = ai, ^B/) = «2, /i(^) = «з, у(ж) =
= bi arcctg(A^), ф(у) = &2 arcctg(A2?/), x(^)

8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	195
3.	а	\- Ъ	\- с arcctg71 (Аж) arcctg (/3z)	 = s arcctg™ Gж)ги.
дх	ду	Qz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /2 (ж) = Ъ, /з(ж) = carcctgn(Ax),
/4(ж) = sarcctgmGx), g(y) = 1, h(z) = arcctgfc(/^).
.	dw	, Oil?	,тг/л\	, m/д \	. h / \ ^W
4.	а	1- о	1- с arcctg (Лж) arcctg (рт/) arcctg (jz)	 = sw.
ox oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.3.2 при /(ж, г/) = carcctgn(Ax) arcctgm(/^), g(z) =
= arcctgfcG^), h(x,y) = s.
5.	a	\- b arcctg71 (Лж)	1- с arcctg (/3z)	 = s arcctg™ Gж)ги.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 8.8.2.3 при fi(x) = а, /г(ж) = Ъarcctg72(Лж), /з(ж) = 1,
/4(ж) = sarcctgmG^), g(y) = 1, /г(^) = сarcctgfc(f3z).
8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
8.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
> В разд. 8.8.1 иногда будет указываться только частное решение w рассматриваемого одно-
однородного уравнения и базис и\, U2 соответствующего «укороченного» уравнения с нулевой пра-
правой частью. Общее решение рассматриваемого уравнения дается формулой w = wQ(u\,U2),
где Ф(гб1, U2) — произвольная функция двух переменных.
1. -^- + f(x)-^- + #(Ж)-^Г = [h*(x)y + hi(x)z + ho(x)]w.
Общее решение:
w = ехр [Н2(х)у + #1(:ф + Но(х) - J f(x)H2(x) dx - J g(x)H1(x) dx\ Ф(иии2),
где
/f	f
hk(x)dx (k = 0, 1, 2); u\ = у — I f(x)dx, u2 = z — I g(x)dx.
2- ¦?¦+ /(ж)B/ + o)l^ + s(a;)(z + 6)J& = h(a;)w-
Общее решение:
w = exp / h(x) dx Ф(г^1, и2), ui=\n\y+a\— f(x)dx, u2=\n\z-\-b\— g(x)dx.
Общее решение:
w = exp\ h(x)dx№(ui,U2), ui = ye~ax— / f(x)e~axdx, u2 = ze~ x— g(x)e~ xdx.
4. -^ + [fi(x)y+f2(x)]^+[g1(x)y+g2(x)]-^-= [h2(x)y+hi(x)z+h0(x)]w.
Частное решение:
(ж)г/ + ip(x)z + / [ho(x) - f2(x)(p(x) - д2(х)ф(х)] dx\,
-J>i&Wx)dx, ^(X) = jhl{x)dx, F{x) = vv[- J h{x)dx\
Интегральный базис щ, и2 соответствующего «укороченного» уравнения с нулевой
правой частью см. в 6.8.1.4.
13*

196	Линейные уравнения вида /i -|^f- + /2 -|^ + /3 -§j- = gw, /г = fi (х, ?/,
Частное решение:
w = explip(x)y + ip(x)z + / [ho(x) - f2(x)ip(x) - g2(x)ip(x)] dx\,
V(x) = F(x) I ^^dx, F(x) = exp [- J h (x) dx],
tl>(x) = G(x) I Щ^-dx, G(x) = exp [- f 9l (x) dx].
Интегральный базис и\, U2 соответствующего «укороченного» уравнения с нулевой
правой частью см. в 6.8.1.5.
6.	E2L + \у2 -a2 +a\sh(\x) -a2sh2(\x)]— + /(x)shG«)— = g(x)w.
дх	ду	Qz
Общее решение: w = exp / g(x)dx\<&A11,112), где
ui = / f (x) dx	In th — , U2 =	\- I E dx, E = exp — sh(Ax) .
J	7	2	y-ach(Xx) J	LA	J
7.	-g- + [fi(x)y + f2(x)yh]^- + [gi(x)z + g2{x)z™]^L = h(x)w.
1°. При к ф 1, m ф 1 преобразование
? = y1-k, v = z1-rn, W = w;exp[- Г h(x) dx]
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
^- + A-к) [/iШ + f2(x)] ^- + A - т) [9l(x)V + 92(х)] ^- = 0.
2°. При к ф 1, m = 1 преобразование ^ = ^/1~fc,VF = ^ exp — / /г(ж) с/ж также приводит
к уравнению вида 6.8.1.5.
3°. При к = т = 1 см. уравнение 8.8.1.5.
8- -g- + [/i(x)tf + /2(ж)/]|^ + [31(Ж) +№t(x)ex-]^. = h{x)w.
Преобразование
^j/1-*5, T] = e~Xz, W = w;exp[- Г h(x) dx]
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:
^ + A - к)[h(х)? + h(х)] ^щ-- \[gi(x)ri + 32(^^ = 0.
9. -g- + [/i(*) + /2(^)еЛа]^ + [ffi(«) +S3(as)e^]-||. = h{x)w.
Преобразование
^ = е"Лу, r] = e-Cz, W = wexp[- Г h(x) dx]
приводит к уравнению вида 6.8.1.5:

8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	197
8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
разных переменных
Общее решение:
где
/dx f dy f dx f dz
	— / 	, u<? = I 	 — / 	.
f{x) .1 g(y)' .1 f{x) .1 h(z)
Общее решение:
w = exp /	dx + / ,
U f{?)	Jy0 VZG(t) - 2G(y)
где
G(y)= f g(y)dy, ui =G(y)-—, u2 = f -^- - Г t	dt
\UJ J У\У; У,	\yj 2 ,	J /(ж) J^ ^CW - 2G(y) + z2
3. fi(x)	h f2(x)g(y)	1- fs{x)h(z)	 = f4:(x)w.
Общее решение:
u> = exp / —	dx ФA61,162), u\ = / —	dx— I 	, 162= / —	dx— I ——-.
PL/ Д(Ж) J V	h	J Д(Ж)	J д(уУ	J Д(Ж)	J h(z)
Частный случай уравнения 8.8.3.5 при gi(x,y) = gi(x), g2{x^y) = g2(y), h(x,y,z) =
Частный случай уравнения 8.8.3.6 при gi(x,y) = gi(y), g2(x,y) = р2(ж), h(x,y,z) =
Частный случай уравнения 8.8.3.7 при gi(x,y) = pi (ж), g2(x,y) = ^2B/), h(x,y,z)
Частный случай уравнения 8.8.3.8 при gi(x,y) = gi(y), g2(x,y) = g2(x), h(x,y,z)
Частный случай уравнения 8.8.3.9 при gi(x,y) = pi (ж), g2(x,y) = ^2B/), h(x,y,z)

198	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = 9W> fi = /г (ж, у, z)
8.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
dw . dw м, ч Огу
Общее решение: w; = Ф A11,112) ехр — / р(жН	—,t)dt\, где
= Ьх — ay, U2 = bz — I f(x-\	, t) dt, yo — любое.
ui
2. а-^- + 6"^- + ffay)g(z)— = h(x,y)w.
Общее решение: w = ФA11,112) ехр — / h[x-\	-, t) dt , где
I b Jy0 \	b	/ J
т Г dz	fy e( a(t-y) \ .
ui=bx-ay, U2=b^^-—- f(x-\	, ,t)dt, y0—любое.
J 9(z) Ло V	b	J
dw dw г	. Л1 Он?	. .
3. ж-^— +2/-^	\-[z + f(x,y)]-^- = g(x,y)w.
Общее решение: w = ФA11,112) ехр / д(—,t)— , где
иУо V у J t \
_ у	_ z Гу / xt \ dt
ж'	у / V ту ' / t^ '
dw	dw „, \ / \ ®w иг \
axlte y~d	f(x,y)g(z)-^- = h(x,y)w.
Общее решение: w = ФA11,112) ехр — / t~1h(xy~a' ta' , t) dt , где
L b JyQ	J
Ul = xhy~a, u2 = b f -^— - Г t-1f(xy-a/hta/\ t) dt, yo —любое.
J 9\z) Jyo
5.	-^ + [h(x)y + /2(x)] -^- + [^i(«,7/)z + 5f2(«,7/)]-^- = h(x,y,z)w.
Общее решение:
w = Ф(гб1, г^г) ехр / h(t,iii,ii2)dt ,
1-«/ж0	-I
где
wi = yF(z) - I /2 (^)F(x) dx, F(x) = exp [- | h (x) dx\,	A)
U2 = zG(x,ui) — / (J2(t,ui)G(t,ui) dt, G(x, m) = exp — / ^i(t,i6i) dt . B)
Здесь gi(x, m) = gi(x,y),g2(x,ui) =g2(x,y), h(x, 111,112) = h(x,y,z) [в этих функциях
переменная у должна быть выражена через ж, и\ из равенства A), а переменная z должна
быть выражена через ж, т, U2 из равенства B)], хо —любое.
6.	-j^- + [fi(x)y + h(x)yk}-j^~ + [gi(xiy)z + g2(x,y)zrn]-^ = h(x,y,z)w.
1°. При к ф 1, m ф 1 преобразование ^ = з/1"^ 77 = ^1-m приводит к уравнению вида
8.8.3.5:
где ^1(ж,0 =pi(a;,f I-* ), ?2(ж,0 =р2(ж,^ I-* ), h(x,^,r]) = h(x,^~
2°. При А; / 1, ?тг = 1 замена ? = 2/lfc приводит к уравнению вида 8.8.3.5.
3°. При к = т = 1 см. уравнение 8.8.3.5.

8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	199
7.	1- [fi(x)y + f2(x)y ]	1- [#i(a?, y) + g2(x, y)e z\	 = h(x, y, z)w.
Преобразование ? = y1-k, r\ = e~Xz приводит к уравнению вида 8.8.3.5:
1	1	_	1
где gi(x,?) = дг(х,? 1-* ), д2(х^) = д2(х,^~к ), h(x,?,rj) = h(x,? ^к , -
8. |^ + [/i(x) + Л(*)еЛу] ¦§¦;¦¦ + fei(«,l/)^ + 92(x,y)zk]^ = h(x,y,z)w.
Преобразование ^ = е~Ху, г] = zx~k приводит к уравнению вида 8.8.3.5:
1
где G1,2(ж,О=01,2(ж,--^1п?), Л(ж,^,т/) = Л(ж,--^-lnf,7/1-
9.	-|J + [fi(x) + /2(ж)вл^]|^ + fei(x,i/) +^2(x,i/)e/3*]-|^ = h(x,y,z)w.
Преобразование ^ = e~Xy, т/ = e-/3z приводит к уравнению вида 8.8.3.5:
где ?1,2(ж,?) =01,2(ж,--^-1п?), h(x^,rf) = h(x, -у- lnf, -^- In7/).
10.	fi(x)g!(y)-^- + f2(x)g2(y)-^- + [^(х^у)+ h2(x,y)zrn]-^- = h3(x,y, z)w.
Преобразование ? = /	с/ж, 77 = /	cfa/ приводит к уравнению вида 8.8.3.6
./ Л О)	</ ^Ы
при /i = 0, /2 = 1, & = 0:
где АхК,,) = ^ТТТТ' Йя«'') s 7ТТТ
11.
/f (x)	Г а (у)
dx,	r\ = /	dy приводит к уравнению вида 8.8.3.7
ЛО)	J 92{у)
при /i = 0, /2 = 1, А; = 0:
п а- \	h1(x,y) г . .	h2(x,y) г (& . h3(x,y,z)
f()()	/O)<)	f()()

9. Линейные уравнения вида
/ifr + Л-^ + /з|г = 9iw + д0, fi = fi(x, у, z)
9.1. Предварительные замечания
9.1.1. Методы решения
9.1.1-1. Структура общего решения неоднородного уравнения.
Линейное неоднородное уравнение с тремя независимыми переменными в общем случае имеет
вид
fi(x,y,z) — + f2(x,y,z)— + h(x,y,z)— = gi(x,y,z)w + go(x,y,z).	A)
Частный случай g\ = 0 рассматривается в разд. 7.1, а до = 0 — в разд. 8.1.
Общее решение линейного неоднородного уравнения A) можно представить в виде суммы
любого частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного
уравнения (при до = 0).
9.1.1-2. Метод решения с помощью характеристической системы.
Если найдены три независимых интеграла
характеристической системы
dx	dy	dz	dw
fi(x,y,z) f2(x,y,z) fs(x,y,z) g
то общее решение уравнения A) имеет вид
Ф(и1,и2,из) = 0,
где Ф — произвольная функция трех аргументов.
C)
9.1.1-3. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Если известен интегральный базис и\ = и\(ж, у, z), и2 = U2(x, у, z) соответствующего «укоро-
«укороченного» однородного уравнения
/i(ж, y,z)— + /2(ж, y,z)—+ /3(ж, y,z)—= 0,	D)
аж	a?/	oz
то переход от ж, у, z к новым переменным ж, щ, г^2 приводит к линейному уравнению
/х(ж, щ, uz)-^r =9i(x,ui, u2)w +~go(x,U!,u2),	E)
которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции
w = гу(ж) с параметрами щ, и2. Коэффициенты полученного уравнения f1,~g1, ~g0 получаются
из /i, д\, до в результате подстановки в них новых аргументов.
Решая уравнение E), находим
I	J
f^u^uz) ЕУ	"^[J f^u^uz) r	F)
Здесь Ф — произвольная функция, при вычислении обоих интегралов щ и и2 рассматриваются
как параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения A) необходимо в формуле F)
после интегрирования перейти к исходным переменным ж, у, z.

9.2. Уравнения, содержащие степенные функции	201
9.1.1-4. Задача Коши.
Задача Коши для линейного неоднородного уравнения A) формулируется так же, как для
соответствующего однородного уравнения при д\ = до = 0 (см. разд. 6.1.2). Ее решение можно
получить путем подстановки начальных данных в интегралы B) характеристической системы
C).
Замечание. О теореме существования и единственности решения задачи Коши см.
разд. 10.1.2-5.
(•) Литература к разделу 9.1.1: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
9.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw
	h a	h bx	 = w + cy + z.	(/)
dx	dy	dz	У	W
В примере 1 из разд. 6.1.3 указан интегральный базис
и1 = у — ах, и2 = z —Ij-bx ,	(8)
соответствующего «укороченного» однородного уравнения (с нулевой правой частью). Переходя в урав-
уравнении G) от х, у, z к новым переменным х, и1, и2, получим
dw	! 9
—— = w + асх + -irbx + сих + и2.
дх
Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с параметрами и1 и
и2. Его общее решение дается формулой
w = ежФ(г*15 и2) —^Ьх2 — (ас + Ь)х — ас — b — си1 — и2,
где Ф — произвольная функция двух аргументов. Подставляя сюда их и и2 из (8), находим решение
уравнения G):
w = ехФ(у — ах, z — у bx2) — ас — b — bx — су — z.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	dw
— + ах— + by— = kexw + с.	(9)
дх	ду	dz
Частное решение этого уравнения w ищем в виде функции, зависящей только от переменной х. Из
обыкновенного дифференциального уравнения w'x = kexw + с получим
w = сехр(/сеж) / ехр(—kex) dx.
>щего однородного уравнения (при
ния (9) дается суммой wo+w:
w = ехр(/сеж)Ф(?/ - \ах2,z - bxy + -jabx3) + сехр(/сеж) / ехр(-/сеж) dx.
Общее решение w0 соответствующего однородного уравнения (при с = 0) указано в примере 2 из
разд. 8.1.2. Общее решение уравнения (9) дается суммой wo+w:
9.2. Уравнения, содержащие степенные функции
9.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по ./-, у, z
л	dw , dw	dw , , /о\ ,	,
1. а—	h Ь—	Ь с—— = (ах + P)w + рх + q.
дх	ду	dz
Общее решение:
w = — ехр —(ах + 2/3) < Ф(Ьх — ау, сх — az) + / (рх + q) ехр	(ах + 2/3) \ dx \.
a I 2a	JL	J	I 2a	JJ

202	Линейные уравнения вида /i -|^ + /2"§^ + /з"§7" = 9iw + go, /г = fi(x,y,z)
2. —	h «* —	Ь by—— = (ex + fc)w + рж + g.
ож	ay	az
Общее решение: w = ехр(усж2 + &ж) Ф(гб1,гб2)+ / (рж + д)ехр(—усж2 — &ж) cm,
(by + л/а6^)ехр(—л/абж)	при аЪ > О,
by cos(y — abx) + v — a6^sin(v— абж) при ab < 0.
где
. 2 2	I (by + л/а6^)ехр(—л/абж)	при аЪ > О,
ui=by -az , ^2 = <	1 v	у
3.	—— + (ахж + ао)^- + (bix + b0)^- = (ах + со)™ + six + s0.
аж	ay	az
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = aix + ao, р(ж) = b\x -\-bo, h(x) = c\x + co,
р(ж) = six + so.
4.	—	\- (Ьгх + &o)-r	h (ci?/ + Co)—— = aw + si# + s0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = Ъ\х + bo, g(y) = с\у + со, /&(ж) = s\x + so.
5.	—	h («2/ + fei« + ко)—	h (Ь^ + пгх + п0)—— = (ах + Со)^ + s±x + s0.
аж	ay	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.3 при f(x) = k\x + ko, д(х) = гцх + по, h(x) =
р(ж) = six + so.
6.	—	h («22/ + агх + a0)—	h (bsz + 622/ + 6i« + bo)--— =
ox	oy	oz
= (c3z + c2y + егх + co)^ + s3z + s22/ + si« + s0.
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при fi(x) = a2, /2(ж) = aix + ao, gi(x,y) = 63,
_	Oil?	,	Oil?	Oil?	.	, /O\	,	,
7. аж	1- 6ж	1- cz	 = (ax + /3)к; -\- рх -\- q.
ox	oy	oz
Общее решение: w =-xNaeax/a\$(bx-ay, x~cza) + /(рж + д)ж"(а+/3)/ае"аж/а с/ж].
8. аж	1- 6т/	1- cz	 = (аж + /3)w + рж
Ож	Oy	Oz
y
Общее решение: w = ^х0/аеах/а[ф(хьу-а, xcz~a) + j (px + q)x-{a+p)/ae-ax/a dx\.
_	On?	On?	On? . 1 1 \ 1	1
9. ж	1- az	\- by	 = (ex + fejit; + рж + q.
dx	dy	Qz
Общее решение: w = xkecx \ф(и\, иъ) + (px + q)x~k~1e~cx dx\, где
/^F?/ -y/abz)	при аб > 0,
{
xv ехр — arctg	 при аЪ < 0.
V by у
9.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ./-, у, z
1.	—	h (ахж2 + а0)—	h (&i«2 + b0)-—- = (ах + со)^ + Бгх2 + s0.
аж	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = а\х2 + ао, д(ж) = 6ix2 + 6o, /г(ж) =
р(х) = six2 + so.
2.	—	V (b\x +60)—	h (ay -\-Co)——=aw-\-s1x + s0.
аж	ау	az
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bix2 -\-bo, g(y) =ciy2 +co, /г(ж) = six2+sq.

9.2. Уравнения, содержащие степенные функции	203
3.	—	Ь (ау -\-kix2 + ко)—	\- (bz + nix2 +гг0)—— = (cix + co)w + si# + s0.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.3 при f(x) = к\х2 + &о, g(x) = nix2 + по, /г(ж) =
р(ж) = six + so.
4.	—	h (a,2xy + aix + ao)-	h (&з?/? + 62?/2 + Ьгх2 + &o)-r— =
ox	oy	oz
= (c3z + c2y + схж + co)w + si#2/
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при fi(x) = а2х, /г(ж) = aix + ao, gi(x,y) =
g2(x,y) = b2y2 -\-bix2 +b0, hi(x,y,z) = c^z + c2y + c\x + c0, h2(x,y,z)
_	Огу	Огу	Огу	2
5.	аж	1- ож	h cz	 = kxw + sx .
дх	ду	dz
Общее решение: w = e ж^аФ(бж — a^/, жс^~а)	^-(А;ж + а).
,	dw	dw	dw	2
6.	аж	\- by	h cz—— = kxw + s« .
ox	oy	oz
Общее решение: w = e х'аФ{х y~a, xcz~a)	^-(kx + a).
7.	аж	1- by	h cz 	 = (kx + s)k; + px + g.
ож	ay	oz
Общее решение: w = xfc/<1e-sa:/<1^f---, ---) + i
l\xyxz/a
9.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z
1. —	\- (агл/х + а0)—	h (biv^ + bo)-—- = cw + S!^/x + s0.
ож	ay	az
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = сцл/х + ao, д(ж) = Ь\у/х + Ьо, ^(ж) = с,
р(ж) = si^/ж + s0.
+ (б2 + Ъ)^ + (c?3 + с)at^ + Ж3
2. —— + (бхж2 + Ъо)-^- + (ci?/3 + со)—— = at^ + 51Ж3 + s0.
Ож	ay	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = Ь\х2 -\-bo, g(y) =ciys +со, /г(ж) = S
3.	Ь («2/ + кх )	\- (bz -\- пх )	 = cw + sx .
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.3 при f(x) = kxs, g(x) = пж3, h(x) = с, р(ж) =
h (	+ 3)\ (Ь\Ь3)	( \ ) \ 2 \ xz2
4.	—	h (а1жт/ + а2ж3)—	\- (Ьгуг-\-Ь2у3)--— = (сгг -\- c2y)w -\- sxx2y -\- s2xz2.
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при fi(x) = а±х, f2(x) = a2xs, gi(x,y) = biy,
g2(x,y) = b2ys, hi(x,y,z) = c\z + c2y, h2(x,y,z) = six2y + s2xz2.
_	з dw	з dw	з dw
5.	аж	\- by —	h cz —— = xw -\- kx -\- s.
ox	oy	oz
Общее решение: w = exp	Ф —	, —	\- as — k.
\ ax / V x2 y2 x2 z2 J x
9.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени ./-, у, z
л	dw	dw	dw	n	rn
1. a	h b	h с	 = kx w + sx .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при п ф — 1:
w = exp[	^-^xri+1l !ф(Ьх - ay, ex - az) + — / xm exp[	-^—xn

204	Линейные уравнения вида /i -^- + J2~^~ + /з~^7" = giw + до, fi = fi^il/i z)
2°. Общее решение при п = — 1:
хк^аФ(Ьх — ау, сх — az) -\	 при aim + 1) / к,
а(т + 1) — к
'аФ{Ьх — ау, сх — az) -\	х 'а In ж при а(т + 1) = к.
а
.	dw	dw	dw	n	rn
2. а	\- by	\- cz	 = кх w + sx .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при п / — 1:
w = Е(х)Ф(уае~Ьх, zae~cx) + —Е(х) / Х dx, Е(х) = ез
a	J E\X)
2°. Общее решение при п = — 1:
х*/аФ(»ве-Ьж, zae~cx) + 8Ж"'+1	при а(ш + 1) ^ fc,
CLyTTl ~\~ i-) л
хк/аФ(уае-Ьх, zae-cx) + -xk/a\nx при а(ш + 1) = к.
3.	1- az	1- 6t/	 = ex w -\- sx .
Ож	Oy	dz
1°. Общее решение при n ф — 1:
w = expf	жп+1 ) Ф(гб1,гб2) + s I хш expf	жп+1) с/ж ,
Vn+1	/L	j	Vn+1	/J
где
22	J (^2/ + л/abz) exp(—y^abx)	при ab > 0,
1 6|/cos(^/|a6| ж) + д/|аЬ| ^sin(^/|a6| ж) при ab < 0.
2°. Общее решение при п = — 1:
жсФ(>1, и2) -\	жт+1 при т + 1 ф с,
т + 1 — с
1, ^2) + вжс In ж	при т + 1 = с,
где i6i и 162 определены в п. 1°.
Он?	п Огу	™ Огу	fe	z
4.	h «ж	\- bx 	 = сх w -\- sx .
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = ахп, д{х) = bxm, h(x) = схк, р(х) = sx1.
ОгУ	тг dw	m dw	fe
5.	\- bx	\- су 	 = aw + sx .
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = 6жп, д(у) = с?/т, /г(ж) = sxk.
6.	1- (a?/ + /Зж71)	1- (bz -\- 'jxrn)	 = cxkw -\- sx1.
dx x	' dy v	' dz
Частный случай уравнения 9.8.1.3 при /(ж) = (Зхп, д(х) = 7^m? Мж) = c^fc' р(ж) = sxl•
7. —— -
8.
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при Д(ж) = а\хПх, /2(ж) = агж722, gi(x,y) = biymi,
д2(х, у) = Ь2уШ2, /fci(#, 2/, ^) = с, /1г(ж, |/, 2) = s\xykl + s2xk2z.
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при fi(x) = a\xXl, /2(ж) = а2ЖЛ2, gi(x,y) =
g2(x,y) = b^2, hi(x,y,z) = cix71, h2(x,y,z) = c2y12.

9.2. Уравнения, содержащие степенные функции	205
9	_i_
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при fi(x) = a\xXl, /2(ж) = а2ЖЛ2, gi(x,y) =
У2 I Х« tV J — (/2 u •, / ? 1\*луч ч *) ^ ) — Cs\Jb у Ft 2 I ^ 1 u * ^/ — 02^ •
10.	ж	1- ат/	1- oz	 =сж ги + Ь .
ox	oy	dz
Общее решение: w = expf—xn) \ф( —, —J +k xm-1 expf	xn) dx\.
лл	dw	dw , dw	n	. m
11.	ж	1- az	\- by	 = ex w + kx .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при п / 0:
—x ) ФAб1, 162) -\- к I x expl	ж I dx ,
n/L J \n/J
где
|ж| а (б|/ — yahz)	при аб > 0,
|ж|	ехр( —arctg	) при ab < 0.
\	by J
2°. Общее решение при п = 0:
) Н	ж при т ф с,
т — с
i + &жс In ж при т = с,
где i6i и it2 определены в п. 1°.
12. беж	\- c(by + cz)	1- 6F?/ — cz)	 = kxnw
Ож	Оу	Oz
1°. Общее решение при п / 0:
w = expf—жп) [ф(гА1,гА2) + — f x™'1 expf	—жп
V бсп / L	be J	\ ben
где
Ul = [by^(V2-l)cz]\x\-^, u2= [by - (л/2 ^ l)cz]\
2°. Общее решение при п = 0:
{-A. s
x be Ф(<М1, I62) H	жт при 6cm ф к,
bem -к
жтФAб1,162) H	жт1пж при Ьст = к,
be
где i6i и 162 определены в п. 1°.
13.	^	^	^	к	fe
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = b\xni, /2B/) = Ь2уП2, /з(^) =
Р1(ж) = axk\g2(y) = c2yk2, g3(z) = c3zk3.
^ л	Til #W	^2 Oil?	^o Oil?	fe	^
14. ахж х	Ь «2?/	h a3z 3	 = 6ж ад + еж .
Ож	Оу	Oz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при fi{x) = a\xni, /2(ж) = /з(ж) = 1, /4(ж) = Ьхк,
h(x) = схт, д{у) = а2»па, А(г) = а3гПз.

206	Линейные уравнения вида /i -|^ + /2"§^ + /з"§7" = 9iw + go, /г = /г (ж, г/, г)
9.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
9.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
л	dw	dw , Огу	вх . , \х
1.	Ь а	h Ь	 = серw + ке .
dx	dy	dz
1°. Общее решение при /3/0:
w = expf — е^х\ Ф(г/ — аж,? — Ьж) + & / ехр(Аж —~^е
2°. Общее решение при C = 0:
w = есхФ(у -ax,z- Ьх) -\	еХх.
Л — с
-	8W	вх 9W	, ЛЖ ^^	~ух	,	МЖ
2.	\- аер	h be 	 = се1 w + se* .
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = ае^х, g{x) =beXx, h{x) = се7Ж,р(ж) =
_	dw , дж Огу	Ату #ги	^
3.	Ь ^ер	h се у	 = aw + se
О	О	O
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = бе^, р(г/) = сеХу, /г(ж) = se7X.
.	Огу	дав ^гу , \z dw	. ~х
4.	\- аер	h be 	 = cw + ке1 .
Ож	Оу	Oz
Общее решение:
{есжФ(гб1,гб2) Н	е7Ж при с / 7»
7 - с
е7Ж [Ф(гб1,гб2) + А;ж]	при с = 7,
где щ = аеCх - /Зу, и2 = Ь\х + e~Xz.
dw	/	а-х ,	Лту\ ^^ , /» ixv , 1 Bz\ dw	„х
5. —	h (aie + a2e y)—	h bieMy + b2ep )—— = aw + c2e .
dx x	' dy v	y Oz
Частный случай уравнения 9.8.3.8 при Д(ж) = а\еах, /2(ж) = a2, gi(x,y) =
д2(х,у) = b2, hi(x,y,z) = a, h2(x,y,z) = с2еих.
6. ble	+ 62в	+ 63в	+	+	+
9ж	9j/	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = b\eXlX, /2C/) = Ьге^*, /з(^) = ЬзеЛзг,
3	с2е^\ д3(г) = с3е^г.
dx	dy v	y Oz
Частный случай уравнения 9.8.3.11 при fi(x) = aieaiX, gi(y) = е^1^, /2(ж) = аге0^,
p2(^) = e^^/г1(ж,?/)=6le^ж+^^/l2(ж,?/)=62eЖ+^^^l(ж,2/^)=cь^2(ж,?/^) =
9.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и
степенные функции
л	dw	dw	, Oil?	вж	. , гг
1.	h a	h Ь	 = cep w + &ж .
Ож	dy	dz
Общее решение: w = expf —e j \Ф(у — ax, z — bx) + к xn expf	e j с/ж .
On?	n On? , xx dw	^x , fe
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = ахп, д{х) = beXx, h(x) = се7Ж, р(ж) = sxk.

9.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	207
_	dw	вх dw	n dw	-yX
3.	\- beR	\- су 	 = aw + sen .
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = ЬеCх', g(y) = cyn, h{x) = seJX.
Л	dw i /	i	k\ dw /,	, ey-\-Xz\ dw	~yX
4.	—	h (aiy + a2xy ) —	h {bix + b2epy^ ) —— = aw + c2elf .
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.3.6 при fi(x) = ai, /2(ж) = агж, gi(x,y) = &1Ж,
92(х,у) = b2e/3y, hi(x,y,z) = сь h2(x,y,z) = с2е7Ж.
5.	—	h {aix + а2еАу) —	\- (b^z + 62epyzfe) —— = aw + c2.
Частный случай уравнения 9.8.3.7 при fi(x) = aix, /2(ж) = a2, gi(x,y) = bi,
g2(x,y) = b2eCy, hi(x,y,z) = cb h2(x,y,z) = c2.
6.	—	h aieM + a2eAy) —	\- {Ьгеиу + 62ерг) —— = сци + c2.
dx x	' dy v	y Oz
Частный случай уравнения 9.8.3.8 при /i(x) = aieMX, /2(ж) = аг, gi(x,y) =
g2(x,y) = b2, hi(x,y,z) = a, h2(x,y,z) = c2.
7.	|^ +	^	Л^	^	^ ^
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при fi(x) = a\eXlX, /2(ж) = а2вЛ2Ж, gi(x,y) =
Р2(ж,г/) = Ьзе^*, h^x.y.z) = ае^х, h2(x,y,z) = с2е^х.
_	Oltf . /	Лцс ,	Лож fe\ Oil? /, /31Ж , . вож тп\ Oil?	-
8.	—— + (aie г у-\-а2е 2 у )—— -\-(ЬгеР1 z+b2eP2 z )—— = c1el
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при fi(x) = aieXlX, /2(ж) = a2eX2X, gi(x,y) = Ъ\e^lX,
92(x,y) = b2e^x, h!(x,y,z) = ae^x, h2(x,y,z) = c2e^y.
9.	^ (AAV)^ (^^)^
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при fi(x) = a\eXlX, /2(ж) = а2вЛ2Ж, gi(x,y) =
i(x,y,z) = cie7lX, h2(x,y,z) = c2e^z.
Ю. ахе^-f^ + aae"^ + (bx^e^ + b2y™e™^z)^ = Clw + c2.
Ож	dy x	J dz
Частный случай уравнения 9.8.3.11 при /i(x) = 1, pi (г/) = a\e^y', f2(x) = аге^733, д2(у) = 1,
hi(x,y) = b!Xne^y, h2(x,y) = b2ymeux, ^x{x,y,z) = cb (f2(x,y,z) = c2.
9.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
9.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус
1. _^!_ + а— + 6— =cshTl(/3^)^ + fcshTri(A^).
Ож	Oy	Oz
Общее решение:
гу = Е(х)Ф(у -ax,z- Ьх) + А;?7(ж) /shm(Ax)-^-, ?7(ж) = ехр[с f shn(f3x) dx^.
.	dw	dw	, a л dw г , л п
dx	dy	K J dz L v y J
Общее решение:
/с	Г рсЬ(Лж) + дЛж 1 Г,,	ч f л / \ Г рсЬ(Лж) + дЛж 1 . 
гу = — ехр 	 < Ф(гб1, и2) -\- I snG^j ехр	ах >,
aLaAJL	J	L	aAJJ
где ui = bx — ay, u2 = с/Зж — a In th —

208	Линейные уравнения вида /i -|^ + /2"§^ + /з"§^ = giw + go, fi = fi(x, у, z)
3.	\-ash.n(/3x)	h^sh (Аж)	 = cw + s shTri(/x«).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = ashn(f3x), g(x) = 6shfc(Ax), /г(ж) = с,
р(ж) = sshm(//x).
4.	*L +bsy^^x)	+csl^Xy)
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bshn(f3x), g(y) = cshk(Xy), h(x) =
5. bx sh(\lX)^ + 62 sh(A2i/)^
oy
= aw + a shfel (/Згх) + c2 shfe2 (/322/) + c3 shfes @3z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ shni (Aix), /2B/) = 62 shn2
fc	fc	fc
9.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус
1. ^ + aJ^ + Ъ^ = cchn(f3x)w + kch™(\x).
дх	ду	dz
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у -ax,z- Ъх) + кЕ(х) f chm(Xx)-^-, Е(х) = ехр[с Г chn(fix) dx\.
2. a + b+cch(/3z)
У	Oz
Общее решение:
к	fpsh(Ax) + qXx 1 Г .	. /" . . Г psh(Ax) + дАж
гу = ехр|^J±J |ФО1^2) + / сЬGж)ехр|^^J±
J |ФО1,^2) + / сЬGж)ехр|^-^—^—J—-±—J dxf,
а *Ч	аА
где u\ =Ъх — ay, u2 = с/Зж — 2a arctg
3.	^«^^(/Зж)	|-6ch (Лж)	 =cw + schm(/ix).
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = achn(f3x), g(x) = 6chfc(Ax), /г(ж) = с,
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bchn(f3x), g(y) = cchk(Xy), h(x) =
= schm(fjx).
5. Ь1сЬ^^^
= aw + Cl chkl (f3lX) + c2 chfe2 (fay) + сз chfe3
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ ch™1 (Aix), /2B/) = 62 chn
/з(^) = b3 сЬ^(Лз^), pi (ж) = ci chfci(/^), Р2Ы = c2 chk^(f32y), gs(z) = c3 fc
9.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс
1. EUL + aE2!L + ъ— = cthn(f3x)w -j-kth^iXx).
дх	ду	dz
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у - ax,z -Ъх) + кЕ(х) f thm(Xx)-^-, Е(х) = ехр[с Г thn(f3x) dx].
J	H/ yX J	L J	J

9.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции	209
2. а— + Ь— + cth(f3z)— = [р th(\x) + q]w + kth(-yx).
ox	oy	oz
Общее решение:
w = ^ечх/а chp/oA(Aa;) [ф(«1, и2) + j e~qx/a ch-p/aX
) thGa;) dx],
где u\ = bx — ay, U2 = cj3x — a In
3. J*l + athn(/3x)— + bthk(\x)— = cw
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = athn(f3x), g(x) = bthk(\x), h(x) = c,
4. ^L + bthn(/3x)— + cthk(\y)— = aw + sthrn(lj,x).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bth.n(f3x), g(y) = cthk(\y), h(x) =
5. b! th™1 (\lX)^+b2 th (Л2у)^- + Ьз th (A3z)-^ =
ож	ay	az
= aw + ci thfel (/3ia?) + c2 thfe2 (/322/) + c3 thfe
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = b\ thni (Aix), /2B/) = 62 th
(A3*), 9i{x) = ci th^i^x), g2(y) = c2 thk* (p2y), gs(z) = c3
9.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс
1.	h«	\-Ъ	 =ccth (/3x)w + k cth (Лж).
ож	ay	az
Общее решение:
ги = Е(х)Ф(у-ах, z-bx)^kE(x) f cthm(Xx)^-, E(x) = exp[c / cthn(/3x) с/ж].
+ 6 +th(/3)
2.	+
ож	ay
Общее решение:
w = ±e«*/« sh"/eA(Aa;) [#(«i, м2) + | e"9^" sh-p/oA(Aa;) cthGa;) dx],
где u\ = bx — ay, 112 = cf3x — a\n[ch(f3z)~\.
3.
+ acth^)	+ 6cth(A^)	= cw
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = acthn(f3x), g(x) = bcthk(Xx), h(x) = c,
)
4. _^ + ьс1ЬТ1(/Зж)— +ccth(A?/)
Ож	ay	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bcth.n(f3x), g(y) = ccthk(Xy), h(x) =
5. bx cth^^i^)-^ + b* cthwa(A2i/)-^- + ^3 cth"8 (A3z) 4?1 =
ож	ay	az
= aw + ci cthfel (/3ix) + c2 cthfe2 (/З22/) + сз cthfe3 (/33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = b\ cthni (Aix), /2B/) = 62 cthn2(A2?/),
14 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

210	Линейные уравнения вида /i -f%- + /2-fjr + /з^ = #iw + po, fi = fi(x,y,z)
9.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические
функции
+ а + ft^ = Csh(i3»)w + fechm(A«).
аж	dy	dz
Общее решение:
= Е(х)Ф(у -ax,z- Ъх) + кЕ(х) f chm(Xx)-^-, Е(х) = ехр [с Г shn(#c) с/ж].
J	Е(х)	l J	л
w = Е(х)Ф(у -ax,z Ъх) + кЕ(х) f ch(Xx)-^-,
J	Е(х)
2. E2L + а— + 6— =
Ож	Оу	c)z
Общее решение:
/ -ax,z- Ъх) + А;,Е7(ж) / cthm (Лж) -^-, ?7(ж) = ехр [с Г thn (^ж) dx\.
3.	+ ЬсЬ(/Зж)	+csh(A?/)
О	Оу	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = bchn(f3x), g(y) = cshk(\y), h(x) =
= всЬт(//ж).
4.	^L + athw(/3«)— + 6cthfe(A^)-^- = cw + sthrn(txx).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = athn(f3x), g(x) = 6cthfc(Ax), h(x) = c,
pO) = sthm(//x).
5. ftx sh(Ai«)^ + ^2 ch(A22/)^
oy
= aw + Cl chfel {fax) + C2 shfc2 (fay) + сз shfe3 (f33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ь\ shni (Xix), /2B/) = 62 chn2(A2?/),
/зй = &з shn3(A3*), pi (ж) = ci chfci (/3ix), Р2Ы = c2 shfc2(/32?/), gs(z) = c3 sh^^^).
9.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
9.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
1.	\-а	\-Ъ-—- = с\п (/3x)w + k\n (Аж).
аж	оу	oz
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у -ax,z- Ъх) + кЕ(х) f \пт (Аж) -^-, #(ж) = ехр [с f\nn(f3x) dx].
2.	^L + alnn(/3a;)— + 61nfe(A^)-^- = cw + sin™ fax).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = a\nn(f3x), g(x) = b\nk(Xx), h(x) = c,
р(ж) = sin171 (fix).
3.	_?^ + blnn(l3x)^- +c\nk(\y)^- = aw + 81x1™ fax).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x)=b\пп(/Зх), д(у) = clnfc(Xy), h(x) = slnm(fix).
4.	a 1п(аж)	1- b \n(/3y)	1- сIn^z)	 = pw + q 1п(Аж).
dx	dy	dz
Общее решение:
q	\p f dx 1/ f	, f \n(Xx)	\ P f dx 1 \
w = — exp — / -——- Фи1,м2 + / —-—f ехр	/ ¦——- dx\,
a	I a J \n(ax) J L	J \n(ax)	L a J \n(ax) J J
где
Ui
f dx f dy f dx f d,
= о I 	 — a / 	, ii2 — с / 	— a j

9.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	211
5. b1ln(\1x)^+b2ln(\2y)^
oy
= aw + Cl lnkl(f3lX) + с2 lnfc2(/32?/) + с3 lnfc3(f33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ь\ In™1 (Aix), /2B/) = b2 lnn2(A2?/),
9.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и
степенные функции
1.	h«	\-Ъ	 = с In (/3x)w + kx .
аж	ay	az
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у -ax,z- bx) + kE(x) f -^— dx, E(x) = exp \c f \nn(fix) dx].
2.	h аж	h Ып (Лж)	 = сад + sx .
ож	ay	az
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = ажп, р(ж) = b\nk(\x), h(x) = с, р(х) = sx
3. *?	^'^
+ bb(i3a!)+c»atfl
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = b\nn(f3x), g(y) = cyk, h(x) = slnm(Ax).
4.	bx ln^tAi»)-!^ + Ь2 \ппЦ\2у)^- + 63 ]ппя(Хзг)^- =
ox	oy	oz
= aw + axhl + c2yh2 + c3zhs.
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = b\ lnni (Ai#), /2B/) = 62 lnn2(A2|/),
/зМ = &з 1ппз(Лз^), pi (ж) = axk\ g2(y) = c2yk\ gs(z) = c3^3.
5.	ажAпж)п— +6?/(ln?/)Tri-^- +cz(lnz)z— = ^Aпж)йад + р1пA/ж).
Ож	Oy	oz
Введем обозначение:
a(n-l)	b(m-l) '	a(n-l)	c(/ - 1) '
1°. Общее решение при s + 1 / n:
г^ = exp —	— s Ф(u\,u2) -\	/ —	— exp	— dx ?.
L a(s — n + 1) J I	a J x(\nx)n	L a(s — n + 1) J J
2°. Общее решение при s + 1 = n:
— Г	V С XwivX^	к —an	-\
w = (In ж) a s Ф(гб1, г^г) Н	/ 	(In ж) « dx >.
L	a J x	j
9.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
9.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус
1.	\- а	\- о	 = с sin (j3x)w + к sin (Лж).
Общее решение:
/dx	Г Г	1
sinm (Аж) ——, Е(х) = ехр с / sinn (/Зж) dx .
.С/ ^Ж J	L J	J
2.	h a sin71 (/За?)	h Ь sin (Лж)	 = сад + s sin771 (/хж).
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = asinn(/^), g{x) = &8т/г(Аж), /г(ж) = с,
14*

212	Линейные уравнения вида /i -|^ + /2"§^ + /з"§7" = 9iw + go, /г = fi(x,y,z)
3. — + Ь sin71 (/Зж) — + с sinfe (Ay) — = aw + s sin7
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = 6sinn(/3x), g(y) = csinfc(A?/), /г(ж) =
= s sin171 (fix).
4. a	\- bsin(f3y)	\- csmHx)	 = psm(fj,x)w + qsm(Xx).
ox	ду	dz
Общее решение: w = — exp	cos (fix) N Ф A61,162) +/ sin(Ax)exp —cos(/i#) dx >,
a I afi	J I	J	lafi	JJ
где i6i = hj3x — a In
2
, U2 = ajz + ccos(jx).
5. a	1- 6sin(/37/)	1- csinGz)	 = psin(ij,x)w
Ож	Oy	Oz
Общее решение: w = -exp	cos (fix) N Ф (ui,U2) + / sin(Ax)exp —cos(fix) \dx\,
где i6i = ЪCх — a In
, 162 = С7Ж — a In
6. 61 sin 1(\1x)—	h^2Sin 2(\2y)—	bbssin (A3^)
ox	oy	oz
= aw + a sinfel @ix) + c2 sinfe2 (/32y) + c3 sinfe3 (/33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ sinni (Xix), /2B/) = 62 sinn2(A2|/),
/з(^) = b3 sinn3 (A3^), pi (ж) = ci sinfci (^ж), p2(j/)	fc	fc
9.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус
1.	\- а	\- о	 = с cos (j3x)w + fc cos (Лж).
дх	ду	dz
Общее решение:
w = E(x)<$>(y-ax,z-hx) + kE(x) f cosm(Xx)^-, E(x) = exp [с Г cosn(f3x) dxj.
2.	1-a cosTl(/3«)	|-6cos (Лж)	 = cwj
Ож	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = acosn(f3x), g(x) = bcosk(Xx), h(x) = c,
3. J^L +6cosn(i9jB)-^ + ccosk(\y)^- = aw + scosmH.
ож	ay	02
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = 6cosn(/3x), g(?/) = ccosk(Xy), h(x) =
4. a	1- bcos(f3y)	\- ccos(jz)	 = pcos(/ix)w + qcos(Xx).
дх	ду	dz
Общее решение: w = — exp —sin(fix) \< ФA61,162) +/ cos(Ax) exp	sin(//x) dx >,
а 1ац	J I	J	l ац	JJ
где i6i = ЪCх — a\n\sec(Cy) + tg(/3i/)|, гб2 = С7Ж — aln s	|
5. a	1- bcos(/3y)	1	()
Ож	Oy
Общее решение: w = -exp —sin(fix) \\ Ф A61,162) +/ cos(Ax) exp	sin (fix) \ dx \,
a laii	J I	J	l aii	JJ
где i6i = b/3x — a\n\sec(f3y) + tg(/3y)\, U2 = a'yz — csin^x).
6. Ь1тев(А1х)|^ + Ьзсов(АаВ)|^
ay
= aw + ci cosfel (/3ix) + c2 cosfe2 (/322/) + c3 cosfes
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ cos™1 (Aix), /2B/) = 62 cosn2(A22/),
/з(^) = b3 cosn3 (A3^), ^i(ж) = a fc	^	fc

9.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции	213
9.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс
L	+	+ Ъ
1Г 1Г 1Г	f3x)w + ktg™(\x).
ox	oy	oz
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у - ax,z -Ъх) + kE(x) [ tgm (Xx)-^-, Е(х) = ехр[с ftgn(px)dx].
2. ^-+ atgn@x)^- + btgk(Xx)^- =cw + stgm(f**).
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = atgn(Px), g(x) = btgk(Xx), h(x) = c,
3. |^ + ft tg"(/te)-§^ + ctgfc(Ay)-^ = aw + stgr(lix).
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = btgn(f3x), g(y) = ctgk(Xy), h(x) =
4.	a—— + btg(f3y)-^- + ctgGz)—— = ptg(/j,x)w + qtg(\x).
ox	oy	oz
Общее решение: w = cos(/i#)| P afJ> №A11,112) + — / |cos(//x)|p a^ tg(Xx) dxL где
ui = bf3x — a In sin(/3i/)|, U2 = С7Ж — a In | sinG2;) |.
5.	a-j^- +btg(/3y)-^ +ctgG«)-^- = ptg(iJ,x)w + qtg(\x).
Общее решение: w = |cos(/i#)| a/x ФA11,112) + — / |cos(//x)|p tg(Ax) с/ж , где
|, 112 = a7^ + cln|cosGx)|.
6. Ьг tg (Aiaj) ^- + b2 tg (A2t,)-^ + 63 tg (A3^) -^ =
ож	ay	az
= aw + ci tgfel (/З1Ж) + c2 tgfe2 (/З22/) + сз tgfe
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ tgni (Aix), /2B/) = 62 tgn2(A2^/),
/3C) = 63 tg(Лз^), gi(x) = Cl tgfcl (plX), g2(y) = c2 tg^2(p2y), gs(z) = c3 tg^3(p3z).
9.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс
1.	—	ha-	\-b——=cctg (/3x)w + k ctg (Лж).
ож	ay	az
Общее решение:
w = E(x)$(y-ax,z-hx) + kE(x) f ctgm(Xx)-^-, E(x) = exp\c Г ctgn(f3x) dx].
2.	^.	^	fe^	™
oy
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = actgn(f3x), g(x) = bctgk(Xx), h(x) = c,
р(ж) = s ctg171 (fix).
3. ^ + ^ctg-(^)^ + cctsh(\y)^- = aw +
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = hctgn(f3x), g(y) = cctgk(Xy), h(x) =
= sctgm(fix).
4. a^ + bctg(/3y)^ + cctgGz)
ay	az
Общее решение: w = |sin(//x)|p Ф(гб1,гб2) H	/ |sin(//x)|~p ctg(Ax) dx , где
i^i = 6/Зж + a In I cos (Py) I, гб2 = c'yx + aln|cosG^)|.

214	Линейные уравнения вида /i -f%- + /2-fjr + /з^ = #iw + po, fi = fi(x,y,z)
5. «^- + bctg(/3y)—^- + cctgG«)——
ож	ay	oz
Общее решение: w = |sin(/i#)| a/x Ф^,^) + — / |sin(/i#)| p ctg(Ax) dx , где
iii = 6/Зж + aln|cos(/3i/)|, U2 = «7^ — с In | sin( |
6. 6lCtg(Aia;)^ + b2ctg(A22/)^
ay
= aw + Cl ctgfel (/З1Ж) + c2 ctgfe2 (/З22/) + сз ctgfe3 (f33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ъ\ ctgni (Aix), /2B/) = ^2 ctgn2(A2?/),
), gi(x) = a ctgfci (fax), g2(y) = c2 ctgfc2 (	fc
9.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные
тригонометрические функции
1. _^!_ + а— + 6— = с sin71 (/3«)w
О	О	0
Общее решение:
f smn(f3x) dx].
2. i^ + aJ^
ox	oy
Общее решение:
w = Е(х)Ф(у -ax,z- Ъх) + kE(x) f ctgm(Xx) -^-, ?7(ж) = exp [c / tgn(fix) dx].
3. EUL + b cos71 (/Зж) — + с sinfe (Ay) — = aw
Ож	Oy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = hcosn(j3x), g(y) = csink(\y), h(x) =
4.	-^ + a tgn (/3Ж) ^- + b ctgfe (Аж) -^ = cw + s tg"
ox	ay	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = atgn(Cx), g(x) = bctgk(\x), h{x) = c,
P(x) = stgm(px).
5.	6i sin (Aix) ^- + b2 cos (Aay) ^- + bs sin (Xsz) ^- =
ox	oy	oz
= aw + a cosfel @ix) + c2 sinfe2 (/32y) + c3 sin*53 (f33z).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при fi(x) = Ь\ sin711 (Aix), /2B/) = ^2 cosn2(A22/),
9.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические
функции
9.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус
1.	1-а	Ь о	 = carcsin (f3x)w + к arcsin (Аж).
аж	ау	oz
Общее решение:
и) = Е(х)Ф(у — ax,z — Ъх)+кЕ(х) /arcsinm(Ax) , Е(ж)=ехр с/ arcsinn(/3x) dx\.

9.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции	215
2.	1- aarcsin (Лж)	1- 6 arcsin™ (/Зж)	 = cw + s arcsin71 (/лх).
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = aarcsinfc(Ax), g(x) = 6arcsinm(/3x),
h(x) = с, р(ж) = s arcsin™ (//ж).
3.	\- b arcsin (Лж)	\- с arcsin (py)	 = aw + s arcsin (/лх).
dx	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = 6arcsinfc(Ax), g(y) = caicsmm(f3y),
h(x) = s arcsin™ (//ж).
4.	1- aarcsin (Лж)	1- 6 arcsin™ (/3z)	 = cw + sarcsin71 (/лх).
ox	oy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при f\(x) = 1, /2(ж) = aarcsinfc(Ax), /з(ж) = 1,
/4(ж) = с, /б(х) =
5.	1- aarcsin (\y)	1- о arcsin (рж)	 = cw + s arcsin (fix).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при /i (ж) = /2 (ж) = 1, /з (ж) = 6 arcsinm (/Зж), /4 (ж) = с,
/б (ж) = sarcsinn(/^), g(y) = aarcsinfc(A2/), h(z) = 1.
9.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус
1.	\-а	\- о	 = carccos (j3x)w + k arccos (Лж).
ox	oy	oz
Общее решение:
и) = Е(х)Ф(у — ax,z — bx)+kE(x) aiccos171 (\x) —^-, E(x) = exp\c aiccosn(f3x) dx\.
2.	1- a arccos (Лж)	1- о arccos (рж)	 = cw + s arccos (//ж).
ож	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) = аагссов^Аж), д(х) = 6агссо8т(/3ж),
Д(ж) = с, р(ж)
3.	\- Ъarccosfe(Лж)	1- carccosTri(/37/)	 = aw + sarccos71 (/лх).
дх	ду	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при /(ж) = багссов^Аж), g(y) = carccosm(/3|/),
4.	1- a arccos (Лж)	1- 6 arccos (pz)	 = cw + s arccos (/лх).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при fi(x) = 1, /2(ж) = аагссов^Аж), /з(ж) = 1,
/4(ж) = с, /б(ж) = sarccosn(/^), g(?/) = 1, h(z) =
5.	\- a arccos (Лт/)	1- о arccos (рж)	 = cw + s arccos (/лх).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при /i (ж) = /2(ж) = 1, /з(ж) = 6агссо8т(/3ж), /4 (ж) = с,
/б(ж) = sarccosn(/^), д(у) = aarccosfc(A|/), /г(^) = 1.
9.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс
1. ^L + а_^!_ + 6— = carctg71^)^ + fcarctg^p^).
аж	ау	Oz
Общее решение:
w = E(x)<$>(y-ax,z-hx)+kE(x) fsnctgm(Xx)^-, ?;(ж)=ехр[с Г<xrctgn(f3x) dx}.

216	Линейные уравнения вида /i -f%- + /2-fjr + /з^ = #iw + po, fi = fi(x,y,z)
2. ^L + aarctgfc(Aa;) — + b arctg™ @x) — = сю +
ож	ay	02
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при /(ж) =aarctgfc(Ax),g(x) = 6arctgm(/3x), /г(ж) =с,
р(х) =
3.	\- 6arctgfe(Aa?)	1- с arctQrn (/Зу)	 = агу + sarctgTl(/xa?).
Ож	Оу	Oz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = baictgk(\x), д(у) = carctgm(/3?/),
h(x) =
4.	1- aarctgfc(Aa?)	1- 6arctgTri(/3z)	 = cw
Ож	Oy	Oz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при fi(x) = 1, /2(ж) =aarctgfc(Ax), /з(ж) = 1,
/5(ж) =	() ()	()	()
5.	1- aarctg (At/)	1- barctg^f^a?)	 = cw +
Ож	ay	az
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при fi(x) = /2 (ж) = 1, /з(ж) = 6arctgm(/3x), /4 (ж) = с,
/5(ж) =	fc
9.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс
1.	1-а	|-о	 = carcctg (f3x)w + fc arcctg (Аж).
аж	ау	az
Общее решение:
/^) с/ж].
2.	1- aarcctgfe(Aa?)—	1- 6arcctgTri(/3«)--— = cw + s arcctg71 (/хж).
аж	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.1.1 при f(x) = aarcctgfc(Ax), д(х) = baicctgm(f3x),
h(x) = с, р(ж) = sarcctgn(//x).
3.	1- 6 arcctg (Аж)	1- carcctgrri(/37/)	 = aw + s arcctg71 (/ax).
dx	dy	Qz
Частный случай уравнения 9.8.2.1 при f(x) = 6arcctgfc(Ax), д(у) = carcctgm(/3|/),
Д(ж) = sarcctgn(//x).
4.	1- a arcctg (Аж)	1- 6arcctgrri(/3z)	 = cw + s arcctg71 (/хж).
dx	dy	dz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при fi(x) = 1, /2(ж) = aarcctgfc(Ax), /з(ж) = 1,
/4(ж) = с, /5(ж) = sarcctgn(//x), p(j/) = 1, ад = 6arcctgm(/^).
5. —— + aarcctgfe(A?/)	1- Ъ arcctg771 (/Зж)	 = cw + s arcctg71 Ых).
dx	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.2.3 при /i (x) = /2(ж) = 1, /з(ж) = 6arcctgm(/3x), /4 (ж) = с,
/5(ж) = sarcctgn(>x), д(у) = a arcctgfc(Ху), /*(» = 1.
9.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
9.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х
1- -^г + f(x)~^ + 9^~dV = h(x)w + р(ж)-
Общее решение: г^ = expf / /г(ж) dxj Ф(гб1, U2) + / р(ж) expf — / /г(ж) с/ж) с/ж , где
/с
f(x) dx, U2 = z — / р(ж) с/ж.
J

9.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
217
3.
1st + {у + a)f{x)W + {z + b)9{x)^7 = h{x)w + р(ж)-
Общее решение: w = exp f / h(x) dx) Ф(щ, u2) + / р(ж) ехр ( — / /ь(ж) с/ж) с/ж , где
и\ = In |г/ + a\ — I /(ж) dx, u2 = In \z + b\ — / д(ж) dx.
-g- + [ay + /(x)]-^- + [Ьг + fl(*)]-^ = Л(*)« + P(«).
Общее решение: w = exp f / h(x) dx) Ф(щ, иъ) + / р(ж) ехр ( — / ^(ж) с/ж j с/ж , где
Ul = ye~ax - [ f(x)e~ax dx, u2 = ze~hx - Г g(x)e~bx dx.
4.	^- + f{x)yk^- + 9{x)z™^ = h(x)w + p(x).
ож	ay	oz
Общее решение: w = expf / h(x) dx) \фA11,112) + / р(ж)ехр(— / h(x) dx) с/ж , где
ui = 	у — / /(ж) с/ж, 162 = 	2 ~m — / g(x)dx.
1 	 /С	У	1 	 ?Ti	ь/
5.	-^- + [/i(x)tf + /а(ж)рь]^. + [gi(x)z + g2(x)zm]^ = hi{x)w + h*(x).
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при gi(x,y) = gi(x), #2(ж,2/) = #2(ж), hi(x,y,z) =
= /ц(ж), h2(x,y,z) = h2(x).
6.
7.
|^ + [/i(x) + /2(ж)еЛ^]|^ + [<п(Ж) +g2(x)eCz}^ = hi(x)w + Ь2(х).
Частный случай уравнения 9.8.3.8 при gi(x,y) = gi(x), gz(x,y) = g2(x), hi(x,y,z) =
= hi(x), h2(x,y,z) = h2(x).
— + [y2-a2+a\sh(\x)-a2sh2(\x)]— + f(x)sh(jz)—=g(x)
ox	oy	oz
Общее решение: w = exp / g(x) dx\ < Ф(ш, u2) + / h(x) exp — / g(x) dx\ dx >, где
/ /(ж) dx	In
J	7
th —
2
, u2 =
y — ach(Xx)
+ E dx, E = exp — вЬГЛж) .
J	LA	J
9.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
разных переменных
dw
dw
dw
Общее решение: w = eax Ф(и, v) + e~axh(x) dx , где
u = y — F(x), v = z— g(u + F(t))dt, F(x) = f(x)dx, жо—любое.
Jx0	J
~дх~ + /(жJ/
Преобразование
1п|г/|	при к = 1,
приводит к уравнению вида 9.8.2.1:
dw ?( Л ^w
дх	d
In |
при m ^ 1,
при m = 1,
ж , рУ =

218	Линейные уравнения вида /i -|^ + f2^- + /з"§7" = 9iw + ро, /г = fi(x,y,z)
Общее решение:
где
4.	-g-+[/i(x)tf + /a(aS)]-^-
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при gi(x,y) = pi (ж), д2(х,у) = дч(у), hi(x,y,z) =
= /ц(ж), h2(x,y,z) = h2(y).
5.	|^ + [/i(x)l/ + /2(«)l/fc]-^- + [9i(v)z + 92(x)zrn]^- = h1(y)w + h2(z).
Частный случай уравнения 9.8.3.5 при gi(x,y) = gi(y), д2(х,у) = g2(x), hi(x,y,z) =
= hi(y),h2(x,y,z) = h2(z).
6.	|^ + [/i(x)y + Ы*)Ук]^ fe	Л]||
Частный случай уравнения 9.8.3.6 при gi(x,y) = gi(x), g2(x,y) = д2(у), hi(x,y,z) =
= /ц(ж), h2(x,y,z) = h2(y).
7. |^ + [/i(x) + f2(x)eXy] ^- + [^(y)z + 92(x)zk] *?- = h1(z)w + h2(y).
Частный случай уравнения 9.8.3.7 при gi(x,y) = gi(y), g2(x,y) = g2(x), hi(x,y,z) =
= hi(z), h2(x,y,z) = h2(y).
8. |^ + [/i(x) + /2(ж)еЛ^]|^ + [^(x) +g2(y)e^]^- = h1(x)w + h2(y).
Частный случай уравнения 9.8.3.8 при gi(x,y) = pi (ж), g2(x,y) = g2(y), hi(x,y,z) =
= /ц(ж), h2(x,y,z) = h2(y).
Общее решение:
J f1(x)E1(x)	J f2(y)E2(y)	J f3(z)E3(z) '
где
_ Г dx	[ dy	_ Г dx	Г dz
"J /iW "У /2ы' U2~J 1лх)~J l^(
9.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух
переменных
1. —— + а—— + 6—^- = F(x, у, z)w + G(x, у, z).
ox	oy	oz
Частный случай уравнения 9.8.3.4 при fi(x) = 0, f2(x) = a, pi (ж, 2/) = 0, д2(х, у) = 6.
Он? , dw , dw	, о/	\
2- x-^ + y-^- + z-^ = aw + /(ж'»'z)-
Общее решение:
где хо —любое.

9.8. Уравнения, содержащие произвольные функции	219
3. <*>я^- + ЬУ-^- + CZ-^T- — F(x, у, z)w + G(x, у, z).
ox	oy	oz
Замена x = ea^ приводит к уравнению вида 9.8.3.4:
dw т dw	dw л/ „< ч	„, flt ч
—- + by— + cz— = F(ea\y, z)w + G(ea*,y, z).
<9?	ду	dz
4. -^+[fi(x)y-\-f2(x)]-^-\-[g1(x, y)z+g2(x, y)] -^- = hx{x, y, z)w + h2(x, y, z).
Общее решение:
Я (ж, и, v) \ф(и, v) + Г h2(t>u>v} dt], Я (ж, и, v) = exp Г Г hi (t, u, v) dt],
L	JXQ H(t,u,v) J	IJXQ	J
w =
где
и =
yF(x) ~ f h (x)F(x) dx, F(x) = exp [- J /i (x) dx^,	A)
v = zG(x,u) — / g2(t,u)G(t,u)dt, G(x,u) = exp\— gi(t,u)dt\. B)
^ж0	I- ^ж0	-I
Здесь gn(x, и) = рте(ж, г/), hn(x, и, v) = hn(x, y, z) [в этих функциях переменная у должна
быть выражена через ж, и из равенства A), а переменная z должна быть выражена через
ж, и, v из равенства B)], хо —любое.
5. ^+[Mx)y + Mx)yh]^- [9(9y) 9
= hi(x,y,z)w + h2(x,y,z).
1°. При кф 1, пф 1 преобразование ^ = у1-к, rj = z1~n приводит к уравнению вида 9.8.3.4:
где <h,2(#,?) =01,2(ж,? !-fc ), ^1,2(^,^,77) = /ц,2(ж,^ !-fc ,77 1-™ ).
2°. При к ф 1, п = 1 замена ? = з/1"^ приводит к уравнению вида 9.8.3.4.
3°. При к = п = 1 см. уравнение 9.8.3.4.
"в^" [Л(ж)^ + ^2(ж)^ ]"^- + №(ж'?/) +92(х,у)е ]— =
= hi(x,y,z)w + h2(x,y,z).
Преобразование ? = i/1"^, ^ = e~Az приводит к уравнению вида 9.8.3.4:
где
= hi(x,y,z)w + h2(x,y,z).
Преобразование ? = е~Лу, г/ = zx~k приводит к уравнению вида 9.8.3.4:
1
где <71,2(ж,?) =^1,2(ж,-^-1п?), /ц,2(ж,?,г/) = /ц,2(ж, -^- ln?,r/ i-* ).

220	Линейные уравнения вида /i -|^ + /2"§^ + /з"§7" = 9iw + go, /г = fi(x,y,z)
Преобразование ? = е~Ху, ц = e-/3z приводит к уравнению вида 9.8.3.4:
где <г1,2(ж,?) =01,2(ж,--^-1п?), ^1,2(^,^,77) = /11,2(ж, --^ ln?, -^-
9. /o(x)|j+ [/i(x)y + /2(x)yfc]^
10.
= hi(x,y,z)w + h
Деля обе части данного уравнения на /о(ж), получим уравнение вида 9.8.3.4.
/f (x) f	Q (y)
2) J	dx, г] = /	, { dy приводит к уравнению вида 9.8.3.5
/i0*0 ^	^Ы
при /i = 0, /2 = 1, А; = 0:
где
11.
Преобразование ? = / 2 dx, n = /	cfa/ приводит к уравнению вида 9.8.3.6
J h(x)	J 92(y)
при /i = 0, /2 = 1, & = 0:
где М^^^
12. -^- + fi(x,y,z)-^ + f2(x,y,z)-? = g(x)w + h(x).
Общее решение:
dx, G(x) = e*p\ [g(x)dx\,
IJ	J
G(x)
где m, U2 —интегральный базис соответствующего «укороченного» однородного урав-
нения при р(ж) = /г(ж) = 0: —- + /Цж, ?/, ^)—- + /2(ж, ?/, ^)—- =0.
^ж	^?/	cte

10. Линейные уравнения с четырьмя и более
независимыми переменными
10.1. Методы решения
10.1.1. Линейные однородные уравнения
Рассмотрим линейное однородное уравнение с п независимыми переменными вида
A)
1°. Если известны (п — 1) независимых интегралов (интегральный базис)
u\{xi,...,xn) = Ci, u2(xi,... ,хп) = С2, ..., un-i(xi,...,xn) = Cn-i	B)
характеристической системы
dx1	_	dx2	_ _	dxn	,
fi(x1,...,xn) f2(x1,...,xn)	fn(Xl,...,xn) '
то общее решение уравнения A) имеет вид
W =
где Ф — произвольная функция своих аргументов.
2°. Пусть известен один интеграл и(х\, ..., хп) = С системы C). Переходя от xi,..., xn-i, xn
к новым переменным х\, ..., xn-i, и, получим линейное однородное уравнение в частных
производных первого порядка, у которого число независимых переменных меньше на единицу:
^2 fi(xi,... ,xn-i,u)-^- = 0,
г = 1	г
а величина и входит как параметр.
10.1.2. Линейные неоднородные уравнения
Рассмотрим общее линейное неоднородное уравнение с п независимыми переменными
П	д
^2fi(xi,... ,хп)—— = g(xi,... ,xn)w + h(xi,... ,хп).	D)
г = 1	*
1°. Если известны п независимых интегралов (интегральный базис)
ui(xi,...,xn,w) = Ci, u2(xi,... ,xn,w) = C2, ..., un(xi,...,xn,w) = Cn E)
характеристической системы
dx-i	dx^	dw
f1(x1,...,xn)	fn(x1,...,xn) g(x1,...,xn)w-\-h(x1,...,xn) '
то общее решение уравнения D) имеет вид
Ф(^1,^2,. • • ,Un) = 0,
где Ф — произвольная функция своих аргументов.
F)

222	Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными
2°. Пусть известен интегральный базис Uk = Uk(xi,X2, • • • ,хп), к = 1, 2, ..., п — 1, со-
соответствующего «укороченного» однородного уравнения, т.е. уравнения A). Переходя от
xi, X2, ..., хп к новым переменным х\,и\, ... ,ип-\, получим линейное уравнение
Ji(x,u)—— = ]j(x,u)w + h(x,u), x = xi,
ox
которое можно рассматривать как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение пер-
первого порядка для функции w = w(x) с вектором параметров и = {щ, U2,..., un-i}. Решая это
уравнение, находим
г-,Га:/-»\ f Ых.й) dx Л _,	[ f 'а(х.и) 7 I
Здесь Ф — произвольная функция, при вычислении обоих интегралов компоненты вектора й
рассматриваются как параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения D) необходимо
после интегрирования перейти к исходным переменным х\, ..., хп.
3°. Пусть д = 0. Если известен интегральный базис й соответствующего однородного уравнения
(при h = 0) и частное решение wq = wo(xi,..., хп) исходного неоднородного уравнения, то
общее решение может быть найдено по формуле
w = wo + Ф(й),
где Ф — произвольная функция.
10.1.3. Задача Коши
Формулировка задачи Коши: требуется найти решение w = w(xi,..., хп) уравнения D),
удовлетворяющее начальным условиям
XI = ?>l(fl,...,fn-l), • -., Хп = <Pn(?l,...,?n-l), W = ^n + l(fl,...,fn-l),	G)
где ?i,..., ?п-1 — параметры, a^(^,...,{n-i) — заданные функции.
Процедура решения задачи Коши D), G) состоит из нескольких этапов. Сначала опреде-
определяются независимые интегралы E) характеристической системы F). Затем для определения
постоянных интегрирования Ci, • • •, Сп в интегралы E) подставляются начальные данные G):
uk(<pi,...,<Pn,<Pn+i) = Ck, где срк = <Pfc(fi,...,fn-i), к = 1,...,п.	(8)
Исключая из E) и (8) постоянные Ci, • • •, Сп, имеем
Uk(xi,. ..,xn,w)= Uk((fi,. • •, <^n,<^n+i), к = 1,... ,n,	(9)
где <?>fc = ^fcC^ij • • • j ?n-i)- Формулы (9) представляют собой параметрическую форму решения
задачи Коши D), G). В некоторых случаях, исключая параметры ?i,..., ?п-ь удается получить
решение в явном виде.
(•) Литература к разделу 10.1: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson
A986), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
10.2. Конкретные уравнения
10.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции
dw , dw , , dw , dw л
1.	h a	h b	h с	 = 0.
OX2	UX3	OX4
Интегральный базис: u\ = ax\ — X2, U2 = bx\ — хз, из = cx\ — x^.
dw ,	dw , , dw ,	dw л
2.	—	h axi—	h bxi—	h СЖ1-	 = 0.
OXl	OX2	CJX3	OX4
Интегральный базис: u\ = X2 — \ax\, U2 = X3 — \bx\, из = X4 — \cx\.
dw	dw	dw	dw
3.	—	h «ж2—	h Ьжз-г	h сж4-— = 0.
dx\	dx-2	d	d
Интегральный базис: и\ = ax\ — In \x2\, U2 = bx\ — In |жз|, г^з = cx\ — In |

10.2. Конкретные уравнения	223
. а s dw	~,	s \ &w .
ОХ2
/Зх2 + 7жз) —	Ь cx/3j(cxxi + /Зж2 + ?ж4) —— = 0.
UXS	С/Ж4
Интегральный базис:
и\ = /Зж2 — 7жз — ^^4, гб2 = GЖ3 — 5x4)e~aXl,
us = (а7ж1жз — aSxiX4 — olx\ — Cx2 — 8x4 — l)e
5. СХ/З7Ж1—^+/37(/Зжз + 7Ж4)^-+а7(аж2 + 7Ж4)^-+а/3(аж2 + /Зжз)—— =0.
Интегральный базис:
6. /37<Н/Зж2 + 7жз + <^4)—	h а7^(аж1 + 7жз + ^ж4)—	Ь
/Зх2 + fe)-	\- схC^{сххг + /Зж2 + 7жз)-^— = 0.
Ожз	#Ж4
Интегральный базис:
8Хл
=
5Хл — JXn	,~	Ч3/	г,	,е\
, U2 = ——^	—, U3 = @X4 — OLXi) iaX\ + \ЗХ2 + 7Ж3 + 0X4).
5х ах
Ui	, U2
5х4 — ахх	5х4 —
_	dw	dw	2 dw ,	ч Он? _
7. Ж1Ж3—	h ж2жз—	h ж3—	h (Ж1Ж2 + аж3ж4)—	 = 0.
дх\	дх2	дхз	дх4
Интегральный базис:
х\~а —2- + (а — 1)ж4Ж;Га при а ф 1,
{
з
—		при а = 1.
8. G^жзЖ4 - а/Зж1Ж2)—	Ь а7Ж2Ж3—	h «7^3^	h а7«зЖ4^— = 0.
ОХ2
тт	- /-	Ж3	Ж4	(	^5ХоХ4 \	( Cx1 \
Интегральный базис: и\ = —^-, г^2 = —^-, г^з = ах±	^^ ехр —— .
х2	х2	\	(Зх2 ' V 7жз '
Х2	Х2
dw	dw	dw	dw
9. 3^6x2X3X4	\- ссудхгХзХ^	1- ск/З^Ж1Ж2Ж4	1- СК/З7Ж1Ж2Ж3—	 = 0.
dx\	dx2	dx3	dxi
Интегральный базис: и\ = ax\ — Cx1, ^2 = Cx1 — ix\, из = "yxl — 5x\.
n
10. Yl'
k=i
Дифференциальное уравнение для однородных функций порядка а. Общее решение:
хп хп
® Литература: Э. Камке A966).
и. ?{x-Xk)J?- = o, x = ±Xh.
k=l	h	k=l
тт	" r	X — UXV
Интегральный базис: uv =	—; v = 1, 2, ..., n — 1.
X - nxv+1

224
Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными
п	п
12. У^ ( dfeO + У^ CLklXl)
dw
dxk
= 0.
Пусть si, ..., sn — корни характеристического определителя
«11 — S	CL12	«13	• • •	«In
«21	«22 — S	CL22,	• • •	«2n
«31	«32	«33 — S ...	«3n
«nl	«n2	«n3	• • • «nn — »
Для каждого значения Si можно найти п чисел bij, не равных одновременно нулю, для
которых выполняются соотношения
п
2_^ajmbij = bimSi] т = 1, 2, . . . , П,
и число
1. Если Si = di = 0, то один из интегралов имеет вид
2. Если Si и Sj отличны друг от друга и от нуля, то один из интегралов имеет вид
i	~г Z^ °imXn
ir+JZ^m)'
Если все Si различны, то можно таким образом получить интегральный базис.
3. Если среди Si имеются кратные корни, то можно воспользоваться подстановкой,
понижающей число независимых переменных (см. разд. 10.1.1-2).
п	п
\—> dw	\—>
13. у ^(АрХк — Ah)	 = 0, где Ah = Q>ho + / j cikixi.
k=i	k	i=i
Уравнение Хессе. Введением однородных координат х\ = —^, Х2 = —^-, ..., хп = -Jk-
уравнение Хессе сводится к уравнению для w = w(^o, ?i, • • •, ?п) с п + 1 независимыми
переменными, но с линейными коэффициентами
где Вк =
1=0
О решении этого уравнения см. 10.2.1.12.
® Литература: Э. Камке A966).
14. ^ +
гьи dw
h	 = bw + с.
Частный случай уравнения 10.2.3.1 при fk(xi) =
= 6, h(xi) = с.
15.
i
+
dxk
+ C2.
Частный случай уравнения 10.2.3.2 при fk(xi) =
= Ci, h(xi) = C2.

10.2. Конкретные уравнения
k=l	"-	k=l
Частный случай уравнения 10.2.3.3 при fk(xk) = а&а
~d^ + ^ (bkXk-iXk + CkXk
Частный случай уравнения 10.2.3.5 при fk(---) = ЬкХ7^к1, дк(-• •) = Ск, hi(...) = si,
/i2(- • •) = S2.
10.2.2. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры
1.	h > «fee fe x -— = bw + с
дал ^	Oajfe
Частный случай уравнения 10.2.3.1 при fk(xi) = cikeXkXl, g{x\) = 6, h{x\) = c.
2.	y^^^
при
Общее решение:
+(
— — +exp(
	е пХп + Ф(гб1, гб2,..., ип-\)	при 6 = 0,
ап\п
где гбт = атАте~ пЖп — а^А^е" "гж"г; т = 1, ..., п — 1.
тг
3.	1- ^ (afee	+ 6fee feJCfe) —	 = ciw + C2-
Частный случай уравнения 10.2.3.6.
4.
Частный случай уравнения 10.2.3.2 при fk(xi) = bkeXkXl, g(x\) = ci, h(x\) = с2.
Частный случай уравнения 10.2.3.6.
6. > ah sh(\hXh)	 = bw + с.
Общее решение:
ь
"n П Ф(^1, ^2, • • • , Un—\) ПрИ
{\\пХп) + Ф(^1, ^2, • • • , Un-i) ПрИ 6 = 0,
где иш = ctha™Am (\\nXn) tha^An (yAmxm); m = 1, ..., п - 1.
7. —	h ^ ak ch(Afe«i)—	 = 6t^ + с.
С/Ж^
Частный случай уравнения 10.2.3.1 при fk(xi) = a,k ch(XkXi), g(xi) = 6, h(x\) = с.
15 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

226
Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными
п
8. У^ Ofech(Afea;fe)—— = bw + с.
ti	dXh
Общее решение:
	— arctgf
ап\п	V
th
, и2, • • •, un-i) при 6/0,
9.
10.
11.
12.
	arctgfth n n ) + Ф(гб1, it2,..., un-i)	при 6 = 0,
ап\п	V	2 У
где ггт = amAmarctg[th(yAn?n)] - атеАте arctg[th(yAm#m)]; т = 1, ..., п - 1.
)	fr +
= frw + с.
Частный случай уравнения 10.2.3.3 при fk(xk) = аи th.{\kXk).
6 +
Частный случай уравнения 10.2.3.3 при fk(xk) = dk
\- У ah sin(Afe«i)—	 = bw + с.
Частный случай уравнения 10.2.3.1 при fk(xi) = а& sin(AfcXi), i
> Лт. sinl A/.Tl I	 ^ Oil? -г- С
= 6, h(xi) = c.
Общее решение:
где ит =
-In
при
,гб2,... ,un-i) при 6 = 0,
(}Атжга); т = 1, ..., n - 1.
13. У^ аи cosiXkXh)	 = bw + c.
Общее решение:
[	]	2,... ,^n-i) при 6/0,
\n sec(\nxn)+tg(\nXn)\+&(ui,U2,... ,un-i) при 6 = 0,
где
14. У2 ak tg(Afe«fe)
fc=i
= bw + с
Частный случай уравнения 10.2.3.3 при fk(xk) =

10.2. Конкретные уравнения
227
10.2.3. Уравнения, содержащие произвольные функции
2.
3.
4.
= g(xi)w
Общее решение:
w =
где Urn =
+ ^
I fm+i(xi)dxi\ m = 1, 2, ..., n — 1.
= exp
l /
Общее решение:
w =
где um = ^m+i exp(—am+ixi) — / /m+i(^i) exp(—a
= bw + V gh(xh).
= expl /
; m = 1, 2,
., n — 1.
k=l
Введем обозначение:
k=i
dx
dx
1°. Общее решение при 6 = 0:
= Ф(И1,И2)... ,«„-!) + V / -^Ц-
^•' h\xk)
2°. Общее решение при Ь ^ 0:
0x1
-——
, Ж2, .
Перейдем от переменных хг,Х2,хз ... ,xn к переменным xi,U2,X3,- • • ,хп, где
- /
= exp
l- /
A)
В результате получим уравнение
dw
—	h
,Xk-l)\
dw
i,U2,...,Xk), B)
коэффициенты которого определяются следующим образом: fk(xi, ж2,..., Xk-i) =
f(	)
Уравнение B) аналогично исходному, но содержит уже меньшее число переменных
Ж1, хз • • •, хп (в преобразованном уравнении нет производной по гб2, поэтому гб2 можно
рассматривать как параметр). Последовательно используя преобразования вида A), можно
свести исходное уравнение с частными производными к линейному обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению первого порядка по переменной xi, коэффициенты которого
зависят от параметров гб2,..., ип.
15*

228	Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными
5.
Uxk
1°. Пусть аг, ..., ате не равны единице одновременно. Тогда преобразование ?& =
(А; = 2,..., п) приводит к уравнению вида 10.2.3.4:
r
дгк
где fk(xi,Z2, • • • ,^fc-i) = fk(xi,X2,. • • ,жте) и т. д.
2°. Пусть am = 1, а другие а^ ф\ {к ф т). Тогда преобразование zm = жт, ^/^ = хк~
(А; / т) приводит к уравнению вида 10.2.3.4.
6. —— + У2 [Д (Ж1, ж2,.. ., 35fc_i) + exp(AfcXfc)^fc(xi, ж2,... , xk] ^
ox ?^L
, xk-i)] ^
?^2	oxk
= hi(xi, Ж2, . . . , Xk)w + Il2(xi, X2,...,Xfc
Преобразование ^ = exp(—ХкХк) (к = 2,..., n) приводит к уравнению вида 10.2.3.4:
дх1 ^
1	к = 2
где Jk(xi,Z2, • • • ,^fc-i) = fk(xi,X2,. • • ,жте) и т. д.
п	т
)
= о, д = «feo + 2_
Методом Хессе (см. уравнение 10.2.1.13) можно добиться, чтобы первые п + 1 коэф-
коэффициента стали линейными. После введения однородных координат х\ = ?i/?o, •••>
жп = ^п/^о, получим уравнение
n	m	n
--">Ут)
к=0	^к	к = 1	Ук	1=0
Если, в частности, т = 1, ф\ = ^(г/i), то в характеристических уравнениях в качестве
независимого переменного может быть выбрано t = ——Ц-; при этом характеристиче-
^ ?>B/i)
i
ские уравнения образуют линейную систему: ?JJ.(?) = pfc (A; = 0,..., n).
(•) Литература: Э. Камке A966).

11. Квазилинейные уравнения вида
+ д(х, у)% = Цх, у, w)
11.1. Предварительные замечания
11.1.1. Методы решения
11.1.1-1. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Рассмотрим квазилинейное уравнение вида
f(x,y)-^+g(x,y)-j^- = h(x,y,w).	A)
Пусть известно частное решение и(х,у) (главный интеграл) соответствующего линейного
однородного уравнения
f(z,y)-^+g(x,y)-^ = 0 {иф const).
Переходя в A) от ж, у к новым переменным ж, и = и(х,у), получим
-j( , dw -г,	ч
/(ж,^)— = h(x,u,w),
где /(ж, и) = /(ж, у), h(x, и, w) = h(x, у, w).
Уравнение B) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для
w = w(x) с параметром и. Его решение после перехода к исходным переменным х, у приводит
к решению уравнения A).
11.1.1-2. Метод решения с помощью характеристической системы.
Если известны два независимых интеграла
щ (ж, у, w) = C\, U2 (ж, у, w) = С2
характеристической системы
dx	dy	dw
f(x,y) g{x,y) h(x,y,w) '
то общее решение уравнения A) имеет вид
Ф(и1,и2) = 0,
где Ф — произвольная функция двух аргументов.
11.1.1-3. Использование вспомогательного линейного уравнения.
Пусть ? = ?(ж, у, w) —интеграл вспомогательного линейного однородного уравнения с тремя
независимыми переменными
f(x,V)^+g{x,y)^+h{x,y,w)^ = b-	B)
Тогда интеграл w(x,y) исходного неоднородного уравнения A) можно получить путем разре-
разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения
C(x,y,w) = 0 (&#0)
относительно w.
О решении уравнений вида B) см. разд. 6.1.1.

230	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у) -^- + д(х, у) -тр- = h(x, у, w)
11.1.1-4. Уравнения, содержащие одну частную производную.
Рассмотрим уравнения специального вида
dw ?(	л	dw ?(	л
—— = /(ж, 2/, w) или —— = /(ж, у, w).
ох	оу
Так как в эти уравнения входит только одна частная производная -|^ (или -^-), то их можно
рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения для функции w(x,y), где у
(или х) играет роль параметра. Решения этих уравнений для многих конкретных функций /
приведены в справочниках Э. Камке A976), G. M. Murphy A960), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
A997, 2001).
11.1.1-5. Задача Коши.
Формулировка и процедура решения задачи Коши для уравнения A) с начальными данными
описаны в разд. 12.1.2.
(•) Литература к разделу 11.1.1: Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Н. Rhee, R. Aris,
N. R. Amundson A986), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A996).
11.1.2. Конкретные примеры
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw	2
—— + а—- = b(w + су) .	C)
dx	dy
Частное решение и(х,у) линейного однородного уравнения, соответствующего нулевой правой части,
имеет вид
и(х, у) = у — ах.
Переходя в C) от х, у к новым переменным х, и = и(х,у), получим уравнение
	 = b(w + асх + сиJ,	D)
dx
которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для w = w(x) с параме-
параметром и. Замена z = w + асх + си приводит D) к уравнению с разделяющимися переменными, которое
легко интегрируется. В результате находим решение исходного уравнения
w+cy	^z
——	 =х-\-Ф(у- ах),
Wq bz2 + ас
где Ф(и) —произвольная функция, w0 —произвольная постоянная.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
dw	dw	о
	h ax	 = bxw .	E)
dx	dy
Характеристическая система
dx dy	dw
1 ах bxw2
имеет независимые интегралы
2у - ах2 = Сх, Ьу+ — = С2.
w
Отсюда получим общее решение исходного уравнения в неявной форме:
ФBу-ах2, Ьу+—) = 0.
w
Разрешив это равенство относительно w, можно представить решение в явном виде:
а
ФBу- ах2) - by '
где Ф(и) —произвольная функция.

11.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	231
11.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
11.2.1. Коэффициенты уравнений содержат степенные функции
dw	dw	п	т
1. а	\- о	 = cw + sw .
dx	ду
Общее решение: а / 	 = х + Ф(Ьх — ау).
F	J cwn + sw™	V	УУ
2 4^ + fc4^ = (ax + **> + љà + *.
ox	oy
Замена v(x,y) = ax + by + cw(x, у) приводит к уравнению вида 11.2.1.1 при т = 0:
^L+k—=cvn+a + bk + cs.
дх	ду
dw	dw	n	rn к
3.	\- а	 = bx w -\- ex w .
дх	ду
Общее решение:
Гт-н/ \лч/	\ , (л 1 \ г./ \ f ХтAхЛТ^к	,-,/ ч	Г 6A - /с) n + i]
гу = [^(ж)Ф(г/ - ах) + сA - k)F(x) J -^~у\ , ^(ж) = ехр [ п + 1 ж J •
4. а— + 6— = cw + (/Зж71 + Лт/™)™*5.
Частный случай уравнения 11.3.1.3 при f(x) = f3xn, g(y) = A|/m.
Oil?	OW	^ ^ fe
5.	1- a	 = bx у w .
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.8 при f(x) = bxn, g(y) = уш, h(w) = wk.
6. аж	h bx	 = cw .
дх	ду
Общее решение:
— In |ж| + Ф(Ьх — ау) =
с , , , . х „	ч _ Г т^г^1 fe при А; / 1,
а
I In \w\	при А; = 1.
7. аж	1- от/	 = ск; .
Ож	Оу
Общее решение:
8. ат/	h bx	 = cw .
У дх ^ ду
Общее решение при аЬ > 0:
^w1 л при A; t 1,
In |гу|	при А; = 1.
С 1 I ГТ ,	I , х/ 2 , 2\	Г -Г-Г^1"^ ПРИ
InWabx + аг/ + Ф(а^ 6ж ) = < 1-/г
1 I ГТ , I
InWabx + аг/
'	' V	^ 11п|гу|	при к = 1.
dw , dw
9. ж vw + ту vw = к; — ayw2 — ж2 — т/2.
Ож	Оу
Общее решение: w + Jw2 — х2 — у2 = 	-Ф ( — ).
ха-1 \ х J
2 dw , 2 dw	2
ах	\- by 	 = cw .
dx	dy
Общее решение: w = —	h Ф (	)
с I ax	\ by ax J л

232	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у) -^- + #(ж, у) -тр- = /г(ж, у, w)
11. ах2	Ьх2	 = (w — Ьх — ауJ.
дх	ду v	y/
[(а + Ь)х + а?/]ФFж + ау) — ах(Ьх + а?/)
Общее решение: w = —	J	J v	J v	J
Ф(Ьх + а?/) — ax
12. (ж2 ±
(Ж ± a) + (j/ ± a)
dx	dy
Общее решение:
{a(x - у)
—т:		для верхнего знака,
а2 + ху
(х - а) (у + а)
	—	 для нижнего знака.
(х + а)(у -а)
13. (ху + а2) (х—— - У^~) = а(х2 + y2)w2.
Г aixp1 	ж^)	1 ~1
Общее решение: гу = —	^- + Ф(ху)
L2(xy + a2)	J
^ Огу	fe Огу	^
14.	аж	\- by 	 = cw -\- s.
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.11 при f(w) = cw171 + s.
п dw , k dw	m
15.	ay	h bx 	 = cw + s.
ox	oy
Частный случай уравнения 11.3.1.12 при f(w) = cwm + s.
16.	у2" (ая^ + by^-) = c(yaw - хь)\
\ ox	oy J
Общее решение: ф(-^, j/c/bexp( ^J_ ^ )) = 0.
1— + Ь2уП2— =aw + (axmi
17. bia^1— + Ь2уП2— =aw + (ax
ox	oy
Частный случай уравнения 11.3.1.17 при fi(x) = Ъ\xni, /2B/) = Ь2уП2, gi(x) =
11.2.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
л	dw , Он?	сго
1. а	Ь о	 = е
дж	Оу
Общее решение: w =	In Ф(Ъж — ay)	х\.
с I	a j
дх а ду
Общее решение: w =	In\е~ хФ(у — ах)	е .
Л L	C + ЬХ J
Ож	Оу
Частный случай уравнения 11.3.1.2 при /(ж) = fre^, g(x) = се7Ж.
Oil?	Oil?	, /, /Зав ,	-YT/ч Лги
4. а	Ь о	 = с + (fceM + se 7У)е
дх	ду	v	у
Частный случай уравнения 11.3.1.4 при /(ж) = /ге^, g(x) = seiy.

11.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	233
5. ад^д^
дх	ду
Общее решение:
-! 1п[ф(Ьж - ау)	ес(Лж+/3уI при Л ф -Ъ/З/а,
с L	а\ + bC	J
— (Ьх — ау)	In\Ф(Ьх — ау)	х при Л = —b/3/a.
а	с L	а л
dw	dw	cw
+ b
6. ax + by
Общее решение: w =	In Ф(|ж|ь|г/|~а)	In |ж| .
dw , , dw _ c(w+\x+Cy)
7. ax_+by— =
глг	1 i Гл/ \ c f ехр(сЛж + с/5ж6/а«-1/а) I	b _a
Общее решение: w =	In Фш	/	-ax , где и = х у
с I	a J	x	J
При интегрировании и рассматривается как параметр.
8. ау^ + bx^-
дх	ду
Общее решение: w =	In Ф (bx2 — ay2)	г-гт- / exp (cXx -\—— \/bx2 — u ) .	,
с L v	' a6'2 J	\	y/a	J y/bx2 — u\
где и = bx2 — ay2. При интегрировании и рассматривается как параметр.
9. аа.«*?_+ы,**?.=се^ + 8.
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.11 при f(w) = ceXw + s.
— + bxk— =ceXw
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.12 при f(w) = ceXw + s.
Ю. ауп— + bxk— =ce
дх	ду
а€ дх	ду ~ "
Общее решение: w = -— \п[ф(а\у + Ье~Хх) - ^е7/3у].
дх	ду
Общее решение: w =	1п[ф(б/Зе~Лж - аХе~^у) + —е~ЛяЧ.
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.14 при f(w) = celw + к.
Общее решение: w = --\п\ф(и) - ^^ ° f e{cX~a)x(bf3e~ax - и)~С1л//3 dx], где
с L	a	J	J
tt = bj3e~ax — аае~^у. При интегрировании 16 рассматривается как параметр.
/Зу dw	аж Он?
ае Ож	ду
Общее решение:
e-cw _ ^	(аа)с^/>
Ф(и) - —есХх	при C = cfjL,
аХ
где и = bf3eax — аае^у. При интегрировании и рассматривается как параметр.

234	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(ж, у) -|г- = /г(ж, у, w)
16. ае+Ь
дх	ду
Общее решение: w =	1п[ф(Ь/9е"аж + aae0v) - —у\.
17. Ъ^* — + Ь2е132У^- = aw + (ае^ + с2е^а)ел™.
dx	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.18 при fi(x) = Ь\е^х\ /2B/) = foe^', gi(x) = c\e
llX
11.2.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции
л	dw , Он?	1 fe/л \ ,
1. а	Ь Ь	 = cch (At^) + s.
аж	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.5 при f(w)= cchk(Xw) + s.
2.	a^L + b^()
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.5 при f(w)= cshfc(Au>) + s.
3.	а	1- b	 = cch(w + cxx + /3?/).
Ож ду
Частный случай уравнения 11.3.1.6 при f(u) = cch и.
.	dw	, Oil?	тг , fe/x ч
4.	а	Ь Ь	 = ex ch (At^).
дх	ду	к '
Частный случай уравнения 11.3.1.7 при /(ж) = схп, g(w) = chk(Xw).
5.	а	Ь ^>	 = ex sh (Агу).
дх	ду	v '
Частный случай уравнения 11.3.1.7 при /(ж) = сжп, р(гу) = shfc(Au>).
6.	аж	h ^2/	 = cth (Aw) + s.
Частный случай уравнения 11.3.1.9 при f(w)= cthk(Xw) + s.
7.	cm/	h ^ж	 = cth (\w) + s.
ож	ay
Частный случай уравнения 11.3.1.10 при f(w)= cthfc(Au>) + s.
8.	асЬп(Аж)— +bchrn([3y)— = chk
дх	ду
Частный случай уравнения 11.3.1.15 при /(ж) = асЬгг(Аж), д(у) = Ъс\\ш{13у),
h(w) = chk(jw).
11.2.4. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
dw	dw
1	+ Ь
Частный случай уравнения 11.3.1.5 при f{w)= clnfc(Au>) + s.
2.	a—	1- 6—— = c\n(w -\- cxx -\- /3y).
dx dy
Частный случай уравнения 11.3.1.6 при f(u) = с1пгб.
_	dw , dw	n , fe / л ч
3.	a	h b	 = ex In (Aw).
dx	dy	v '
Частный случай уравнения 11.3.1.7 при /(ж) = схп, g{w) = lnfc(

11.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	235
.	dw , dw	т fe/л \ ,
4.	ах	\- by	 = с In (Xw) + s.
dx	dy
Частный случай уравнения 11.3.1.9 при f(w) = c\nk(Xw) + s.
dw	dw	i fe/л \ ,
5.	ay	\- bx	 = с In (Xw) + s.
dx	dy
Частный случай уравнения 11.3.1.10 при f(w) = c\nk(Xw) + s.
6.	alnn(\x)-^- + blnm(f3y)^- = clnfeGW).
ox	oy
Частный случай уравнения 11.3.1.15 при f(x) = а\пп(Хх), g(y) = b\nm(f3y), h(w) =
= c\nk(jw).
11.2.5. Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические
функции
Л	dw	dw	kr\ \ ,
1.	а	\- b	 = с cos (\w) + s.
dx dy
Частный случай уравнения 11.3.1.5 при f(w)= ccosk(Xw) + s.
dw , dw	• fe/\ \ .
2.	a	\- b	 = с sin (\w) + s.
dx dy
Частный случай уравнения 11.3.1.5 при f(w)= csinfc(Au>) + s.
_	dw , dw	,	i /о \
3.	a	\- b	 = ccos(w + ax + /3y).
dx dy
Частный случай уравнения 11.3.1.6 при f(u) = с cos и.
dw , dw	n fe/x v
4.	a	\- b	 = ex cos (Xw).
dx	dy	v J
Частный случай уравнения 11.3.1.7 при f(x) = схп, g(w) = cosk(Xw).
dw	dw	n . fe/x ч
5.	a	\- b	 = ex sin (Xw).
dx	dy	v '
Частный случай уравнения 11.3.1.7 при f(x) = схп, g(w) = sinfc(Au>).
r	dw	dw	- fe/x \ i
6.	аж	1- 6t/	 = ctg (Xw) + s.
dx	dy
Частный случай уравнения 11.3.1.9 при f(w) = ctgk(Xw) + s.
Частный случай уравнения 11.3.1.10 при f(w)= ctgk(Xw) + s.
8. a cos71 (Xx) — + 6 cos7" (/3?/) — = cosfe Gгу) + с
Частный случай уравнения 11.3.1.15 при /(ж) = acosn(Ax), g(y) = bcos™(fly),
h(w) = cosfcGii>) + с.
11.3. Уравнения, содержащие произвольные функции
11.3.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
одной переменной
1.	1- а	 = f(x)w + g(x)w .
Общее решение:
ги1"*5 = F(x)$(y - ах) + A - k)F(x) Г J^- dx, F(x) = exp [A - к) Г f(x) dx}.

236	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у) -|^ + д(х, у) -|г- = /г(ж, у, w)
UW	UW 	 „, v	x v Лги
Общее решение:
™ _ р(х\ф(у — ах\ — XF(x) / —^- с/ж, F(x) = ехр —Л / fix) dx .
3. а	1- 6	 = cw + [/(ж) + дгB/)]к; .
Общее решение:
(aj) = ехр[—A-А;)ж], ?72(г/) = ехр[|-A
где ()
.	0117 . , Oil?	I Tj?/ \ i / \1 Лги
4. a— + ^-g— = с+ [/(ж) +flf(l/)]e .
Общее решение:
f е-*« = Ег(х)Ф(Ьх - ау) - ЬЕг(х) Г Щ^ - аЕ2(у) [
Л	J Е^х)	J Е2(у)
где Е\{х) = expf	х), Е2(у) = expf-—-у).
_	dw , dw ?( v
dx	ду	к '
^^	f dw	x .,.,-	N
Общее решение: / —-—- =	\- Ф(ох — ау).
J f[w) a
,	dw , Он?	„,	i л \
6. а—	h b—— = f(w + аж + /Зз/).
С/Ж ^2/
Замена и = w -\- ах + /Зг/ приводит к уравнению вида 11.3.1.5:
аЁ1_ + ъ— = f(u) + аа + 6/3.
_
7-
Общее решение: / 	 = — / fix) dx + Ф(Ьх — ау).
J g(w) a J
jjt+al? = f{x)9{y)h{w)'
/dw	fx
—;—r= / f{t)g{y — ax-\-at)dt-\-^{y — ax), где хо—любое.
h(w) Jx0
Огу	dw
dx	dy
Общее решение: /	= — In |ж| + Ф(|ж|ь|%/| а).
j T [w) a
10. ay—	h ^^— =
Общее решение: / —-—- = —-= \n\vabx + ay -\-Ф(ay2 — bx2), ab > 0.
J f[w) Vab '
п. ож _ + b2/ -
Общее решение:
/
dw	1	1_„, . ^ / ч	1
гб =
аA-п)	' v У'	аA-п)	6A -к)

77.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	237
Общее решение:
	п
[ dw	ffb ra + 1 fc+i \—-^+T	b ra + 1 fc+i n+i
а / —-—- = /	х — и)	dx, и =	х — у .
J f(w) J \a k+1	J	a k + 1	У
При интегрировании и рассматривается как параметр.
Л»	Хх dw , вх1 dw j,, v
13. ае	h be 	 = г (к;).
Ож	ду
Общее решение: / —^— =	е Лж + Ф(и), где и = аХе ^у -Ъве Хх.
J /(гу)	аЛ
Хту Он? , 0Х dw „, ч
dx	dy
Общее решение: Г -^- = С^Х ~ Ху"> +Ф(и), где и = ареХу - ЬХе^.
J f(w)	и
r	f dw	f dx	. л	f dx	f dy
Общее решение: / —— = / -—— + Ф(и), где и = / —— - / ——.
J hiw) J fix)	J fix) J giy)
15. f{x)?!
Преобразование ? = g(x)dx, r\ = f(y)dy приводит к уравнению вида 11.3.1.8:
<*0L + <*0L = F(?)G(ri)h(w), где
17. .МЖ)-^Г + ЛМу- = а'ш + [^1(ж) -
Общее решение:
где
18. fi(x)	h J2(y)	 = а -
Общее решение:
У f1(x)E1(x)	J f2yy )^2У
где
л f dx 1 rw\	Г \ /" Ф 1	f dx	f
-aA / —— , ?72(j/) = exp -аЛ / -rfrl u= / ТУТ ~ /
/2Ы
11.3.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
двух переменных
dw
L
Общее решение:
где 1(х,и) = С — общее решение обыкновенного дифференциального уравнения
их =д(х,и).

238	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у) -^- + #(ж, у) -тр- = /г(ж, у, w)
.	?t	л Oil?	,	л Oil?	,	\ 2 , , /	x	i и /	\
2.	f(x,y)—	h g(x,y)—— = h2(x,y)w + h1(x,y)w + ho(x,y).
ox	oy
Пусть известно частное решение u>o = ^о (ж, г/) данного уравнения. Тогда замена (, =w—wo
приводит к уравнению вида 11.3.2.3 при к = 2:
При hn = const (n = 0, 1, 2) частное решение гио рассматриваемого дифференциального
уравнения определяется путем решения квадратного уравнения h2wo + hiwo + ho = 0.
Если функции f и hn (n = 0, 1, 2) не зависят от ?/, то частное решение ищется в виде
Wo = Wo(x).
3.	j\x,y)	Ь<дж,2/)	 = hi(x, y)w + h2(x, y)w .
Замена ? = ги1"^ приводит к линейному неоднородному уравнению
которое рассматривается в главе 5.
Замена ? = e~Xw приводит к линейному неоднородному уравнению
dx dy
которое рассматривается в главе 5.
5.	/(ж, з/)	1- </(ж, з/)	 = h2(x, y)e w -\- hi (ж, у) -\- ho(x, y)e w.
Замена ? = eXw приводит к уравнению вида 11.3.2.2:
f(x,y)— +g(x,y)— = \h2(x,y)f + \hi(x,y)? + \ho(x,y).
dx dy
6.	/(ж, у)-?	h ^(ж, 2/)-^— = hi(x, y) ch(Ait;) + h2(x, y).
Используя формулу ch.(\w) = \{eXw + e~Xw), приходим к уравнению вида 11.3.2.5.
duo	duo
7.	/(ж, у)	1- #(ж, 7/)	 = hi(x, у) sh(Ait;) + h2(x, у).
Используя формулу sh(Au>) = \{eXw — e~Xw), приходим к уравнению вида 11.3.2.5.
8.	j^(ж. у)	 -|- о (ж. у)	 ^ h~L\X» y)vo In vo -\- h2 (ж. y)vo.
dx	dy
Замена w = e^ приводит к линейному неоднородному уравнению
f(x,y)—+g(x,y)— = hi{x,y)^ + h2{x,y),
ох	оу
которое рассматривается в главе 5.
duo , , ч duo
Замена w = е^ приводит к уравнению вида 11.3.2.3:
9. f(x,y)—— + g(x,y)—— = h1(x,y)w\nw + h2(x, y)w lnfe w.
ox	oy
10. /(ж, у)	\-д(х,у)	 = h(x,y)cp(w).
f dw
Замена ? = / —-—- приводит к линейному неоднородному уравнению
J (p{w)
Т у JL • и )	"Т~ (J у JL • и )	— ft у JL • (/ / 5
которое рассматривается в главе 3.

12. Квазилинейные уравнения вида
f(x, y,w)JH-+ д(х, y,w)j? = h(x, у, w)
12.1. Предварительные замечания
МАЛ. Методы решения
12.1.1-1. Характеристическая система. Общее решение.
Общее квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка с двумя незави-
независимыми переменными имеет вид
f(x,y,w)—+g(x,y,w)— = h(x,y,w)	A)
dx	dy
и часто встречается в различных приложениях (в механике сплошных сред, газовой динамике,
гидродинамике, теории волн, акустике, теории фильтрации, теории массо- и теплопереноса,
химической технологии и других областях). Частный случай f^=gfw=O рассматривается в
разд. 11.1.
Если известны два независимых интеграла
in (ж, у, w) = С\, и2 (ж, у, w) = C2	B)
характеристической системы
dx _ dy _ dw
f(x,y,w) g(x,y,w) h(x,y,w) '
то общее решение уравнения A) дается формулой
Ф(и1,и2) = 0,	D)
где Ф — произвольная функция двух аргументов. Разрешив D) относительно и\ или U2, решение
будем часто записывать в виде:
ик = Ф(и3-к),
где к = 1, 2 и Ф — произвольная функция одного аргумента.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	dw
—	Vaw^— = 1.
dx	dy
Два независимых интеграла характеристической системы
dx _ dy _ dw
1 aw	1
имеют вид
х w = Сг
Поэтому общее решение исходного уравнения дается формулой
Ф(х — w, 2у — aw2) = 0.
х — w = Сг, 2у — aw2 = С2.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
Характеристическая система
dw	о dw
—	h yw —	h aw = 0.
dx	dy
dx dy	dw
1 yw2	aw
имеет независимые интегралы
weax = Cl5 2aln|y| + w2 = C2
Отсюда получим общее решение исходного уравнения:
Ф(>еаж, 2а1п |у| + w2) = 0.

240	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
12.1.1-2. Сведение к линейному уравнению.
Пусть ? = ?(ж, у, w) —интеграл вспомогательного линейного однородного уравнения с тремя
независимыми переменными
f(x,y,w)— + g(x,y,w) — +h(x,y,w)— = 0.	E)
ox	oy	ow
Тогда интеграл w(x,y) исходного неоднородного уравнения A) можно получить путем разре-
разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения
C(x,y,w) = 0 (&#0)
относительно w.
О решении уравнений вида E) см. разд. 6.1.
12.1.1-3. Использование частных решений.
Пусть двухпараметрическое частное решение уравнения A) дается формулой
E(x,y,w,CuC2) = 0,	F)
где С\ и Сг — произвольные постоянные. Тогда решение уравнения A), имеющее функцио-
функциональный произвол, можно представить в параметрическом виде с помощью равенства F) и двух
уравнений
C2=F{Ci),	G)
ЭЕ д=, dFjC,) _
~дд;+ эс2 dCl - °'	(8)
где F = F(C) —произвольная функция (см. также разд. 14.1).
(•) Литература к разделу 12.1.1: Р. Курант A964), Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Е. Zauderer
A983), D.Zwillinger A998).
MA.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности
12.1.2-1. Рассмотрим две формулировки задачи Коши.
1°. Обобщенная задача Коши. Требуется найти решение w = w(x,y) уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям
z = fci(?), У = ЫО, w = h3@,	(9)
где ? — параметр (а ^ ? ^ /3), a hk(?) — заданные функции.
Геометрическая интерпретация: требуется найти интегральную поверхность уравнения A),
проходящую через линию (9), заданную параметрически.
2°. Классическая задача Коши. Требуется найти решение w = w(x,y) уравнения A), удовле-
удовлетворяющее начальному условию
w = (р(у) при х = 0,	A0)
где (р(у) —заданная функция.
Классическую задачу Коши удобно представить в виде обобщенной задачи Коши, записав
начальное условие A0) в параметрическом виде:
х = 0, !/ = ?, w = <p(Z).	A1)
12.1.2-2. Процедура решения задачи Коши.
Процедура решения задачи Коши A), (9) состоит из нескольких этапов. Сначала определяются
два независимых интеграла B) характеристической системы C). Затем для определения посто-
постоянных интегрирования С\ и С2 в интегралы B) подставляются начальные данные (9):
ui(hi(Z),h2(Z),hs(Z)) = Cu u2(h1(O,h2(O,hs(O) = C2.	A2)
Исключая из B) и A2) постоянные С\ и Сг, имеем
ui(x,y,w) =ui(/ii(f
Формулы A3) представляют собой параметрическую форму решения задачи Коши A), (9).
В некоторых случаях, исключая параметр ?, удается получить решение в явном виде.

12.1. Предварительные замечания	241
12.1.2-3. Теорема существования и единственности.
Пусть B5 о — область плоскости х,у, а B5 —цилиндрическая область пространства ж, у, w,
полученная из B5 о добавлением координаты w, причем \w\ < A\. Пусть коэффициенты
уравнения A) /, g, h — непрерывно дифференцируемые функции от ж, у, w в B5, а х = /&i(?),
y = h2(i),w = /&з(?) —непрерывно дифференцируемые функции ? для |?| < А2, определяющие
кривую С в 0 с простой проекцией Со в Eо, и такие, что (h[J + (/i'2) ф 0 (штрих обозначает
производную по ?). Считаем, что //г2 — p/fci / 0 на С. Тогда существует подобласть B5 о
области 0о, содержащая Со, в которой определена непрерывно дифференцируемая функция
w = w(x,y), удовлетворяющая дифференциальному уравнению A)ввои начальному условию
(9) на Со. Эта функция определяется единственным образом.
Важно отметить, что эта теорема носит локальный характер — существование решения
гарантируется только в некоторой, «достаточно узкой», заранее не фиксированной, окрестности
линии С (см. замечание в конце примера 3).
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа
dw	dw
с начальным условием
w = (р(у) при х = 0.	A5)
Сначала представим начальное условие A5) в параметрическом виде (9):
х = 0, у = ?, ™ = <Р(О-	A6)
Решая характеристическую систему
dx _ dy_ _ dw_
1 ~ w ~ 0 '	^ )
находим два независимых интеграла:
w = C1, y-wx = C2.	A8)
Используя начальные условия A6), определяем значения постоянных интегрирования Сг = <р(?),
С2 = ?. Подставляя эти выражения в A8), получим решение задачи Коши A4), A5) в параметрическом виде
A9)
B0)
Характеристики B0) представляют собой прямые линии в плоскости ж, у с углом наклона <р(?)> пересе-
пересекающие ось у в точках ?. На каждой характеристике функция w имеет одинаковое значение, равное <р(?)
(на разных характеристиках значения w в общем случае разные).
При <р'(?) > 0 различные характеристики не пересекаются, и формулы A9), B0) описывают однознач-
однозначное решение. В качестве примера рассмотрим начальный профиль
w1	при ? <С 0,
где w1 < w2 и е > 0. Из формул A9), B0) получим однозначное гладкое решение во всей полуплоскости
х > 0. В области, которую заполняют характеристики у = ? + w1x (при ? <С 0), решение постоянно:
w = w1 при ?//ж ^ wi-	B2)
При ? > 0 решение можно определить по формулам A9)—B1).
Посмотрим, во что перейдет указанное решение в предельном случае е —>¦ 0, который соответствует
кусочно-непрерывному начальному профилю
,2 при }>0, где «-1<^2-	B3)
Далее считаем, что ? > 0 [при ? ^ 0 справедлива формула B2)]. При ? = const т^Оие—)>0изB1) имеем
</?(?) = w;2- Поэтому в области, которую заполняют характеристики у = ? + ^2X (при ? > 0), решение
постоянно:
w = w2 при ?//ж ^> -ш2 (при е —>¦ 0).	B4)
При ? —>¦ 0 функция (^ может принимать любое значение между w1 и w2 в зависимости от соотношений
между двумя малыми параметрами е и ?, при этом первым слагаемым в правой части формулы B0) можно
пренебречь. В результате из A9), B0) находим соответствующую асимптотику решения в явном виде
w = у/х при w1 <C y/x <C w2 (при е —>¦ 0).	B5)
16 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

242	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -^- = /г(ж, у, w)
О УХ
У2
Рис. 1
Объединяя формулы B2), B4) и B5), получим решение задачи Коши для уравнения A4) с начальным
условием B3):
{w1 при у <С w1x,
у/х при wxx ^у ^ w2x,	B6)
-ш2 при у ^> -ш2ж.
Характеристики уравнения A4) при условии B3) и зависимость функции w от у показаны на рис. 1 (где
w1 = -у, w;2 = 2, ж0 = 1). В приложениях такое решение называют центрированной волной разрежения
(см. также разд. 12.1.3).
Замечание. При наличии участка с <^'(?) < 0 характеристики будут пересекаться в некоторой
области. В точке пересечения двух характеристик, задаваемых различными значениями параметра ?х и
?2? функция w согласно первой формуле B1) будет иметь два разных значения, равных ip(?i) и <^(?2)-
Поэтому в области пересечения характеристик решение будем многозначным. Этот пример демонстрирует
локальность теоремы существования и единственности. Более подробно эти вопросы рассмотрены в
разд. 12.1.3, 12.1.4.
(•) Литература кразделу 12.1.2: Р. Курант A964), Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Б. Л. Рожде-
Рождественский, Н. Н. Яненко A978), S. J. Farlow A982).
12.1.3. Качественные особенности и разрывные решения
квазилинейных уравнений
12.1.3-1. Модельное уравнение газовой динамики.
Рассмотрим квазилинейное уравнение специального вида*
—— + /О)—- = 0,
дх	ду
B7)
которое представляет собой закон сохранения количества вещества (или какой-либо другой
величины) и часто встречается в механике сплошных сред, газовой динамике, гидродинамике,
теории волн, акустике, теории фильтрации и химической технологии. Это уравнение использу-
используется для моделирования многих процессов диффузионного типа: адсорбция и хромотография,
Уравнения общего вида рассматриваются далее в разд. НАЛ.

12.1. Предварительные замечания
243
двухфазные течения в пористой среде, паводковые волны в реках, движение потоков транспорта
на улицах, течения жидких пленок по наклонной плоскости и др. Независимые переменные х и
у в уравнении A) обычно играют роль времени и пространственной координаты, w играет роль
плотности переносимой величины, a f(w) —ее скорости.
® Литература: И. М. Гельфанд A959), F. Helfferich, G. Klein A970), A. Jeffery A976), Дж. Уизем A977),
Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978), Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик A984), Н. Rhee,
R. Aris, N. R. Amundson A986), P. Bedrikovetsky A993), D. Logan A997), А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов,
А. Ю. Семенов B001).
12.1.3-2. Решение задачи Коши.
B8)
Решение w = w(x,y) задачи Коши для уравнения B7) с начальным условием
w = (р(у) при х = 0 (—оо < у < оо)
можно представить в параметрическом виде
Рассмотрим характеристические прямые у = ? + ^(^)х в плоскости ?/, ж при различных
значениях параметра ?. Наклон этих прямых определяется коэффициентом .F(?). На каждой
такой прямой искомая величина постоянна и равна w = <?>(?). В частном случае / = а = const
рассматриваемое уравнение является линейным, при этом решение B9) записывается в явном
виде w = (р(у — ах) и описывает бегущую волну с неизменным профилем. Зависимость / = f(w)
приводит к типичному нелинейному эффекту: искажению профиля распространяющейся волны.
Далее будем рассматривать область ж^Ои считаем*, что / > 0 при w > 0 и /^ >0.В этом
случае большие значения w распространяются быстрее, чем малые. Если начальный профиль
при всех у удовлетворяет условию (pf (у) > 0, то характеристики на плоскости у, ж, выходящие
из точек оси у в область х > 0, являются расходящимися прямыми, и решение существует и
однозначно при всех х > 0. В физике такие решения называют волнами разрежения.
Пример 4. На рис. 2 и 3 для иллюстрации показаны характеристики и эволюция волны разрежения
для уравнения Хопфа [при f(w)=WB B7)] с начальным профилем
4>{у) = — arctg(?/ - 2) + 2.
7Г
Видно, что решение является гладким при всех х > 0.
Посмотрим теперь, что произойдет если <рг (у) < 0 на некотором интервале оси у. Пусть у\
и у2 —точки на этом интервале. При у\ < у2 имеем f(yi) > /B/2). Из первого соотношения
B9) следует, что характеристики, выходящие из точек у\ иу2, пересекутся в «момент времени»,
равный
/Oi) - f(w2) '
Так как w имеет различные значения на этих характеристиках, то решение не может быть
непрерывно продолжено для х > ж*. Если <р'(у) < 0 на ограниченном интервале, то найдется
* Рассмотрение области х <С 0 заменой х = — х сводится к рассмотрению области х ^> 0. Случай / < 0
заменой у = — у сводится к случаю / > 0.
16*

244	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
Уравнение Хопфа
_ с начальным профилем C0)
Рис. 4
2.0-
1.5-
w
x = 0 0.5
i
1
i
.0 1.5
2.0
2
с
.5
7
/
Рис. 5
такое значение хш\п = min ж*, что в области х > жтт характеристики будут пересекаться, см.
2/1,2/2
рис. 4. Поэтому часть волны, где ее профиль является убывающей функцией от у, со временем
будет «опрокидывается». Время начала опрокидывания жтт определяется по формуле
где значение ?о находится из условия l^'f^o)! = max l^f^)! при J7'{(,) < 0. Формальное
продолжение решения в область х > хт[п делает это решение неоднозначным. Граница области
однозначности решения в плоскости у, х является огибающей характеристик и может быть
записана в параметрическом виде
Пример 5. На рис. 5 в качестве иллюстрации изображена эволюция уединенной волны с начальным
профилем
<р(у) =ch-2(у- 2) + 1,	C0)
которая описывается уравнением B7) с f(w) = w. Видно, что при х > xmin, где xmin = -|-\/3 « 1.3,
происходит опрокидывание волны.
12.1.3-3. Ударные волны. Условия на разрыве.
В большинстве приложений, в которых встречается рассматриваемое уравнение, искомая функ-
функция w(x,y) является плотностью некоторой среды и по своей сущности должна быть одно-
однозначна. В этих случаях вместо непрерывного гладкого решения приходится рассматривать об-
обобщенное (негладкое) решение, описывающее ударную волну, которая имеет вид «ступеньки».
При этом многозначная часть волнового профиля заменяется некоторым подходящим разрывом,
как показано на рис. 6. Следует подчеркнуть, что разрыв может образоваться при сколь угодно
гладких функциях f(w) и ip(y), входящих в уравнение B7) и начальное условие B8).

12.1. Предварительные замечания
245
Рис. 6
s(x)	у
линия разрыва ^
Рис. 7
Далее будем считать, что функция w(x,y) терпит разрыв на линии у = s(x) в плоскости
у, х. По обе стороны от разрыва функция w(x,y) является гладкой и однозначной; как и ранее,
она описывается уравнениями B9). Скорость распространения разрыва V выражается через
производную: V = sf. При этом должно выполняться соотношение
V=
= / f(w)dw,
C1)
W2 ~ wl
где индекс 1 соответствует значениям величин перед разрывом, а индекс 2 — после разрыва.
В приложениях соотношение C1) принято называть законом сохранения на разрыве (вывод
этого соотношения дан ниже в разд. 12.1.3-4).
Непрерывная волна опрокидывается и приводит к разрыву тогда и только тогда, когда
скорость распространения f(w) убывает с увеличением у, т. е. выполняется неравенство
f(W2)<V<f(w1).	C2)
Геометрический смысл условий C2) заключается в том, что характеристики, выходящие из оси
х (эти характеристики «несут» информацию о начальных данных) должны пересекать линию
разрыва, см. рис. 7. В этом случае разрывное решение будет устойчивым по отношению к малым
возмущениям начального профиля (т. е. соответствующее решение также мало изменится).
Положение точки разрыва в плоскости у, w можно определить геометрически, следуя
правилу Уизема: разрыв должен отсекать из профиля опрокидывающейся волны области с
равными площадями (на рис. 6 эти области заштрихованы). Положение точки разрыва можно
найти путем решения уравнений
s(x) =
= F(W2) -
?2 -<
C3)
Здесь w и Т определяются как функции ? по формулам w = <?>(?) и Т = f(w), функция F(w)
введена в C1), а индексы обозначают значения соответствующих величин при ?i и ?2- Уравнения
C3) позволяют найти зависимости s = s(x), ?1 = ?i(x), ?2 = ?2 (х). Можно показать, что из
последнего уравнения C3) следует условие на разрыве C1).

246
Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
2.0-
х = 0	0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Рис. 8
Пример 6. Для уравнения Хопфа, которое соответствует f(w) = w в B7), условие на скачке C1) с
учетом равенства F(w) = yw2 записывается так:
V =
w1 + w2
а система C3), определяющая положение положения точки разрыва, принимает вид
2	|2 - fi
где функция <р(?) задает начальный профиль волны.
На рис. 8 изображено формирование ударной волны, которая описывается обобщенным решением
уравнения Хопфа при f(w) = w и образуется из уединенной волны с гладким начальным профилем C0).
Большое число решений задачи Коши для уравнения B7), описывающих слияние и распад
разрывов, периодические волны и другие физические эффекты, приведено, например, в книгах
Дж. Уизема A977), Б. Л. Рождественского, Н. Н. Яненко A978), А. Г. Куликовского, Е. И. Свеш-
Свешниковой A998).
12.1.3-4. Использование интегральных равенств для определения обобщенных решений.
Обобщенные решения, которые описываются кусочно-гладкими (кусочно-непрерывными)
функциями, формально можно ввести путем рассмотрения следующего уравнения, представлен-
представленного в интегральной форме:
= 0.	C4)
Здесь D — произвольный прямоугольник в плоскости у,х; ф = ф(х,у)—любая «пробная»
функция с непрерывными первыми производными в D, которая обращается в нуль на границе
D, а функция F(w) определена в C1). Если w и F(w) непрерывно дифференцируемы, то
уравнение C3) эквивалентно исходному дифференциальному уравнению B7). Действительно,
если умножить уравнение B7) на ф и проинтегрировать по области D, то, интегрируя затем по
частям, получим C4). Обратно, интегрируя C4) по частям, имеем
dw dF(w)
~дх~	ду
\ф dydx = 0.
Поскольку это равенство должно выполняться для любой пробной функции ф, отсюда с
учетом соотношения F'(w) = f(w) получим исходное уравнение B7). Однако, уравнение
C4) имеет более широкий класс решений, поскольку допустимые функции w(x,y) не обязаны
иметь производные. Функции w(x,y), удовлетворяющие интегральному равенству C4) для всех
пробных функций ф, называются обобщенными (или слабыми) решениями уравнения B7).
Использование обобщенных решений удобно для описания разрывов, так как позволяет
автоматически получать условия на разрыве. Рассмотрим решение уравнения C4), непрерывно
дифференцируемое в двух частях Di и D2 прямоугольника D, которое имеет конечный разрыв

12.1. Предварительные замечания	247
первого рода на границе Г, разделяющей R\ и R2. Интегрируя в каждой из областей R\ и R2
по частям, из C4) получим
где [w] = W2 — w\ и [F(u>)] = F(w2) — F(w\) — скачки на Г. Криволинейный интеграл
по Г образован граничными членами интегралов по R\ и R2, возникающими в результате
интегрирования по частям. Так как полученное равенство должно быть справедливым для
всех пробных функций ф, отсюда следует, что уравнение B7) справедливо внутри каждой из
подобластей R\ и R2, и кроме того, должно выполняться равенство
[w] dy — [F(w)] dx = 0 (на линии Г).
Считая, как и ранее, что линия разрыва описывается уравнением у = s(x), получаем отсюда
условие на разрыве C1).
Следует отметить, что условия C2) не следуют из интегрального равенства C4), а выводятся
из дополнительного требования устойчивости решения.
12.1.3-5. Законы сохранения. Вязкие решения.
Укажем здесь другие способы введения обобщенных решений.
1°. Обобщенные решения можно ввести с помощью закона сохранения
wdy + F(w2) - F(wi) = 0,	C5)
при записи которого использованы краткие обозначения: w = w(x,y), wn = w(x,yn), где
n = 1, 2; функция F(w), как и C1), вводится по формуле F(w) = f(w) dw. Равенство C5)
считается выполненным для любых у\ и у2 и допускает простую физическую интерпретацию:
скорость изменения общего количества величины w, распределенной на интервале (г/i, 2/2),
компенсируется «потоком» функции F(w) через концы этого интервала.
Пусть w непрерывно дифференцируемое решение закона сохранения. Тогда дифференцируя
C5) по |/2, а затем полагая у2 = у, приходим к уравнению B7). Закон сохранения C5) удобен
тем, что он допускает и разрывные решения. Нетрудно показать, что в этом случае должно
выполняться условие на разрыве C1). Поэтому законы сохранения типа C5) иногда использу-
используется в качестве основы для определения обобщенных решений, см., например, Р. Курант A964),
Дж. Уизем A977), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978).
2°. Возможен также другой подход к определению обобщенных решений, связанный с рассмо-
рассмотрением вспомогательного уравнения параболического типа
dw ,, , dw	d2w
—— + /(гу)—- =?——, ?>0.	C6)
ox	oy oxz
При этом обобщенное решение задачи Коши B7), B8) (для финитного начального профиля)
определяется как предел решения уравнения C6) с тем же начальным условием B8) при е —»¦ 0.
В работах О. А. Олейник A957), И. М. Гельфанда A959) было показано, что рассмотренные
выше определения обобщенного решения приводят к одинаковым результатам.
Параметр е играет роль «вязкости» (по аналогии с вязкостью жидкости или газа), которая
«размазывает» разрыв, делая непрерывным профиль искомой величины w. Поэтому указанную
конструкцию, основанную на предельном переходе при е —»¦ 0, называют методом исчезающей
вязкости, а полученную предельную функцию — вязким решением. Уравнение C6) при малом
г нередко используется в качестве основы для численного моделирования разрывных решений
уравнения B7) [в этом случае нет необходимости в численной схеме специально выделять
область разрыва].
Пример 7. Для уравнения Хопфа A4) вспомогательное уравнение C6) имеет вид
dw	dw	d2w	,__ч
^-+™^-=?^-, ?>0	C7)
ox	oy	oxz

248	Квазилинейные уравнения вида f(x,y,w)-^- + д(х, y,w)-^- = h(x,y,w)
и является уравнением Бюргерса. Решение задачи Коши C7), B8) дается формулами [см. Е. Hopf A950),
Дж. Уизем A977)]:
у - г] г 1	1
	-exp \- — H(x,y,ri) \dri
X	1E,	C8)
где
) =
/ е
П	(v - пJ
H(x,y,r,)= <p(rj) dr}+ уу и .	C9)
Jo	?%
Рассмотрим асимптотическое поведение решения C9) при малых е, когда х, у, (f(y) фиксированы.
При е —> 0 основной вклад в интегралы, входящие в формулу C8), дают окрестности стационарных точек
функции Н. Эти точки определяются из условия равенства нулю частной производной: Н = 0. Отсюда
имеем
1^L = О-	D0)
X
Пусть г] = ?(ж,2/) —стационарная точка, т. е. функция ?(х,у) определяется неявно, как решение
алгебраического (или трансцендентного) уравнения:
1^ = 0-	D1)
х
Вклад окрестности стационарной точки г\ = ? в интеграл вида
Г Q(ri)exp\-^H(ri)]dV
J-OO	L Z?	J
при е —>¦ 0 определяется помощью метода перевала [см. М. В. Федорюк A977, 1987), Ф. Олвер A990)] и
равен:
Предположим сначала, что существует только одна стационарная точка ?(х,у), удовлетворяющая
уравнению D1). Тогда
y-ri
— oo X
D2)
Отсюда из формулы C8) получим
w(x,y) ~ ——— (прие^О),	D3)
х
где г] = ?(ж, у) определяется уравнением D1). Полученное асимптотическое решение можно переписать в
параметрическом виде
Видно, что оно точности совпадает с решением A9), B0), полученным путем решения задачи Коши A4),
A5) для уравнения Хопфа; при этом стационарная точка ? = ?(ж,?) соответствует характеристической
переменной.
Ранее было показано, что в некоторых случаях при достаточно больших х формулы D4) дают
многозначные решения и приходится вводить разрывы. В то же время решение C8) уравнения Бюргерса
C7) однозначно и непрерывно для любого х. Дело объясняется тем, что в таких случаях имеется сразу
несколько стационарных точек, удовлетворяющих уравнению D1), и надо несколько скорректировать
предыдущий асимптотический анализ. Пусть ?1 и ?2 — Две стационарные точки, удовлетворяющие
неравенству ?х < ?2. Каждая из них вносит свой вклад в решение, этот вклад определяется по формулам
D2). Учитывая сказанное, из формулы C8) имеем
:ы/Bе)
-+

12.1. Предварительные замечания	249
где Н(?п) = Н(х, у, ?те). Когда H(?i) ф Н(^2), наличие в экспонентах малого знаменателя е делает один
из членов преобладающим при е —>¦ 0. Отсюда следует, что
1 У-to
	^- при Я(Л ) > #(?>).
v х
В каждом из этих случаев справедливо решение D4), где либо ? = ?1? либо ? = ?2. Но выбор здесь
однозначен: и ?1, и ?2 являются функциями переменных ж и ?/, знак разности (^ = Н^-^) — Н(?2) определяет
выбор ?1 и ^2 в заданной точке ж, у. Переход от ?1 к ^2 происходит в тех точках, где
Из формулы C9) отсюда имеем
^^ [*	^^.	D6)
Г1
«/о
Поскольку и ?1? и ?2 удовлетворяют уравнению D1), то условие D6) можно записать в виде
2 (?) ?	D7)
Точно такое же соотношение получается путем решения задачи Коши A4), A5) для уравнения Хопфа (см.
пример 6). Отсюда следует, что асимптотическое решение удовлетворяет условию на разрыве C1). Таким
же образом можно показать, для него выполняется условие устойчивости C2).
Проведенный анализ показывает, что решение задачи Коши для уравнения Бюргерса при е —>¦ О
переходит в обобщенное решение задачи Коши для уравнения Хопфа, которое может иметь разрывы.
Отметим, что имеются также иные способы введения обобщенных решений, см., например,
М. G. Crandall, P.-L. Lions A983), А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin A995), A. A. Melikyan
A998), Б. П. Андреянов A999). Более подробную информацию об обобщенных решениях и
их приложениях можно найти, например, в цитируемой в конце этого раздела литературе (см.
также разд. 12.1.4).
Замечание. В конкретных задачах квазилинейные уравнения первого порядка часто явля-
являются следствием интегральных законов сохранения, имеющих ясный физический смысл. В этих
случаях обобщенные решения надо вводить, исходя из этих законов сохранения, см. например,
Дж. Уизем A977), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978). Полученные таким путем неглад-
негладкие обобщенные решения могут отличаться от обобщенных решений, описанных выше.
12.1.3-6. Формула Хопфа для обобщенного решения.
Приведем теперь общую формулу для обобщенного решения задачи Коши B7), B8), которое
описывает разрывные решения, удовлетворяющие условию устойчивости C2). Как и ранее
будем считать, что х ^ 0 и / > 0 при w > 0; fw > 0.
Рассмотрим функцию
Z(s) = min{ws - F(w)}, где F(w) = / f(w) dw.	D8)
Положим
H(x,y,rj)= f\(fj)dfj + xz(^^L).	D9)
Jo	\ x /
Эта непрерывная функция ц при фиксированных х и у. Можно показать, что при фиксированном
ж и за исключением счетного множества значений у функция D9) имеет единственный минимум
по г]. Обозначим положение этого минимума г\ = ?, где ? = ?(ж,г/). Устойчивое обобщенное
решение уравнения B8) с начальным условием B9) дается формулой
^±), vmZ{s) = ^.	E0)
х /	as
Формулы D8)-E0) были обоснованы в работах Е. Hopf A950), О. А. Олейник A954), P. D. Lax
A954).
Функцию Z = Z(s), заданную выражением D8), можно записать в параметрическом виде
= ws-f
s = f[w), Z = ws- / /О) dw.	E1)

250	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + #(ж, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
Отсюда получим параметрическое представление ее для производной Z = Z(s):
s = f(w), Z = w.	E2)
Положение минимума ц = ?(х,у) функции D9) находится из условия Hv = 0, что приводит к
следующему уравнению для определения функции ?:
=O.	E3)
Для иллюстрации использования приведенных формул рассмотрим два случая.
1°. Пусть алгебраическое (или трансцендентное) уравнение E3) в некоторой области перемен-
переменных ж, у имеет единственное решение ? = ?(ж,г/). Положим в равенствах E2) s = (у — ?)/ж,
а затем рассмотрим их совместно с уравнением E3). Исключая из них функции f(w) и Z,
получим решение задачи в параметрическом виде B9). В этом случае мы получили гладкое
(классическое) решение, описывающее волну разрежения.
2°. Пусть теперь алгебраическое (или трансцендентное) уравнение E3) имеет два решения ?i
и ?2, которые являются функциями переменных ж и у. В каждом из этих случаев справедливо
решение B9), где либо ? = ?i, либо ? = ?2- В каждой точке ж, 2/ выбирается то решение ?п
(п = 1, 2), которое обеспечивает минимум функции if (ж, г/, ?те), заданной формулой D9). В этом
случае мы получили разрывное (обобщенное) решение, описывающее ударную волну.
12.1.3-7. Задача о распаде произвольного разрыва.
•ганым начальным условием
E4)
= {;
Рассмотрим задачу Коши для уравнения B7) с разрывным начальным условием
' w\ при у < 0,
при |/ > 0.
Эта задача называется задачей о распаде произвольного разрыва. Ее кусочно-гладкое автомо-
автомодельное обобщенное решение для произвольной гладкой функции / = f(w) описывается фор-
формулой (знаки функции / и ее производной могут быть любыми):
w(x, у) = w(O = [ЗГЧО, ? = у/х,	E5)
где
ъ( \ — J SUP{#(^) I 9(w) ^ /(У), д выпукла вниз на [wi, w2]} при wi < w2;
| ini{g(w) | g(w) ^ /(^), g выпукла вверх на [w2, wi]} при W2 <w\.
Здесь обратная к монотонной на интервале (а,Ь) функции ?fi(w) функция [Я?] (О ПРИ не"
обходимости доопределяется константами по непрерывности в окрестности ±оо и на отрез-
отрезках, соответствующих разрывам ?fi(w). В точках, соответствующих промежуткам постоянства
Я?(гу), функция [Я?] (О доопределяется до непрерывной справа функции. Точкой в решении
E5) обозначена производная по ?.
Решение E5), E6) для гладких функций f(w) было получено И. М. Гельфандом A959). Эти
результаты обобщены на случай непрерывных функций f(w) Б. П. Андреяновым A999).
12.1.3-8. Задача о распространении сигнала.
В задаче о распространении сигнала и других физических приложениях ищут решение исход-
исходного уравнения со следующими условиями:
w = wo при х = 0 (начальное условие),
w = д{х) при у = 0 (граничное условие),
где wo — некоторая константа, а д{х) —заданная функция. Рассматривается область х > 0, у > 0,
где переменная х играет роль времени, а переменная у — роль пространственной координаты,
и считается, что f(w) > 0.
Характеристики этой задачи начинаются на положительной полуоси у и на положительной
полуоси х, см. рис. 9. На характеристиках, начинающихся на оси у, имеем w = wo. Поэтому
они представляют собой прямые у — аох = const, где ао = f(wo). Отсюда следует, что
w = wo при у > аох.	E8)

12.1. Предварительные замечания
251
линия разрыва .
характеристики
w =
Рис. '
Рассмотрим теперь характеристики, начинающиеся на оси ж, и предположим, что какая-
либо из них начинается в точке х = т. Решение уравнения B7) с граничным условием E7)
можно представить в параметрическом виде
У = б(т)(х-т), w = g(r),	E9)
где Q(т) = f(g(r)). Это решение можно связать с решением B9) задачи Коши B7), B8), если
положить
S = -tQ{t), <р(?)=д(т), Г(?)=б(т).	F0)
Это соответствует продолжению характеристик через точки у = 0, х = т до оси у и обозначению
точек пересечения через у = ?. При этом задача о распространении сигнала формулируется как
задача Коши.
Каждую область многозначности в решении E9) следует заменить разрывом. При выпол-
выполнении условия
в(+0) > ао, где ао = f(wo),
такая область возникает мгновенно, поскольку первая характеристика у = Q(-\-0)x находится
впереди последней характеристики у = аох невозмущенной области. В этом случае разрыв
возникает в начале координат, и выполняется соотношение
-Go = (w- wo)G
	— Г [G(f) - Go] dr.
x — T Jo
Здесь величины w, Q и G являются функциям г в области за разрывом и вычисляются по
формулам
w = g(r), g = f(g(r)), G = F(g(r)),
а индекс «ноль» соответствует значениям этих величин перед разрывом: w = wo, Go = f(wo),
Go = F(w0).
Формулы E9) описывают решение в возмущенной области за разрывом. Равенство F1)
позволяет найти величину т(х) в точке разрыва; подставив эту величину в формулы E9),
находим как местонахождение разрыва, так и значение w сразу за ним.
Если д(х) остается постоянной и равной wc, то при ас > ао, где ас = f(wc), решение
имеет разрыв, который распространяется с постоянной скоростью и разделяет две однородные
области с w = wc и w = wq.
(•) Литература к разделу 12.1.3: Е. Hopf A950), P. D. Lax A954), О. А. Олейник A957, 1959), И. М. Еель-
фанд A959), Дж. Уизем A977), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978), С. М. Dafermos A983), J. Smoller
A983), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson A986, 1989), А. И. Субботин A991), P. Bedrikovetsky A993),
A. I. Subbotin A995), А. А. Меликян A996), A. A. Melikyan A998), Б. П. Андреянов A999).
МАЛ. Обобщенные решения квазилинейных уравнений
12.1.4-1. Предварительные замечания.
В общем случае квазилинейное уравнение
dw „,
г\ ~\ J \ 5 о
ОХ
л dw	,	л
)—— =g(x,y,w)
ду
F2)

252	Квазилинейные уравнения вида f(x,y,w)-^- + д(х, y,w)-^- = h(x,y,w)
можно представить в эквивалентном (консервативном) виде
^- + -^-F(x,y,w) = G(x,y,w),	F3)
дх ду
где новые функции введены по формулам (wo — любое)
F(x, y,w)= / f(x, у, t) dt, G(x, у, w) = g(x, y,w) + — f(x, y, t) dt.	F4)
Jw0	Jw0 дУ L	J
Далее считаем, что функции fug непрерывны и имеют непрерывные первые производные.
Как было показано на конкретных примерах в разд. 12.1.2-12.1.3, характеристики уравнения
F2) в некоторой области могут пересекаться, что приводит к неоднозначности (и физической
неинтерпретируемости) решения. Поэтому вместо классического непрерывного гладкого реше-
решения приходится использовать обобщенное решение, описываемое разрывной функцией.
Будем рассматривать класс функций w(x,y) E /С, удовлетворяющих условиям:
1°. В любой ограниченной части полуплоскости х ^ 0 имеется конечное число линий и точек
разрыва; вне этих линий и точек функция w(x,y) непрерывна и имеет непрерывные первые
производные.
2°. На линиях разрыва у = у(х) существуют левые w(x,y — 0) и правые w(x,y-\-O) предельные
значения.
12.1.4-2. Обобщенное решение. Условия на разрыве и условия устойчивости.
Обобщенное решение можно ввести следующим образом. Пусть ф(х,у) Е С\ —непрерывная
финитная функция (обращается в нуль вне конечной части плоскости ж, у), имеющая непрерыв-
непрерывные первые производные. Умножим уравнение F2) на ф(х,у) и проинтегрируем полученное
выражение по полуплоскости О = {0^ж<оо, — оо < у < оо}. После интегрирования по
частям, имеем
%	]dydx + / ™@'^м°'у)dy = °-
Выражение для функции F(x, у, w) приведено в F4). Интегральное равенство F5) не содержит
производных от искомой функции и не теряет смысла для разрывных w(x,y). Функцию
w(x,y) E /С будем называть обобщенным решением уравнения F2), если равенство F5)
выполняется для любой финитной функции ф(х,у) Е С\.
Основные свойства обобщенного решения:
1°. В области, где решение w непрерывно дифференцируемо, уравнения F2) и F5) эквивалент-
эквивалентны.
2°. Пусть у = у(х) —уравнение одной из линий разрыва функции w(x,y). Тогда должно вы-
выполняться условие Гюгонио, выражающее скорость движения линии разрыва через параметры
решения до и после разрыва:
_ [F(x,y,w)] _ F(x,y(x),w2(x)) -F(x,y(x),w1(x))
[w]	ги2(ж) — w1(x)
Здесь использованы обозначения
V = г/(ж), wi(x) = w(x,y(x) - 0), w2(x) = w(x,y(x) + 0)
3°. При /^(ж, у, w) ф 0 условия устойчивости обобщенного решения по отношению к малым
возмущениям начального профиля (именно такие решения физически реализуемы) имеют вид
f(x,y(x),W2(x)) ^V^ f(x,y(x),wi(x)).	F7)
Геометрический смысл этих условий заключается в том, что характеристики, выходящие из оси
х (эти характеристики «несут» информацию о начальных данных), должны пересекать линию
разрыва, см. рис. 7. Условия F7) являются важными; они обеспечивают единственность и
допускают существование обобщенного решения.
Положения пп. 1° и 2° являются следствиями интегрального равенства F5), а условия п. 3°
являются дополнительными [они не выводятся из интегрального равенства F5)]. При отказе

12.1. Предварительные замечания
253
1	2
Рис. 10
4 у
от выполнения условий п. 3° можно строить различные решения, удовлетворящие положениям
пп. 1°,2°.
Пример 8. Рассмотрим задачу Коши для уравнения A4) с начальным условием B3).
Положим
при у < Vx,
ГдеУ=
w2

F8)
Эта функция постоянна слева и справа от линии разрыва у = Vx, на которой выполняется условие Гюгонио
F6) [поскольку здесь F(x, у, w) = yw2], и удовлетворяет начальному условию B3). Поэтому w является
обобщенным решением.
На рис. 10 показаны линия разрыва и характеристики, соответствующие решению F8). Видно, что
характеристики «выходят» из линии разрыва и не пересекают ось х. Поэтому решение F8) не является
устойчивым, оно не удовлетворяет условиям F7) и физически не реализуемо. Устойчивое решение данной
задачи было построено раньше и описывается формулой B6).
Если fw{x,y,w)—знакопеременная функция, то условия устойчивости обобщенного
решения несколько усложняются и записываются так:
F(x,y,wJ -F(x,y,w2)

F(x,y,
w* ~ W2
У = y(x), Wl < W* <
где w* —любое значение из интервала (wi, W2).
w* ~ wl
12.1.4-3. Законы сохранения. Вязкие решения.
Существуют также и другие способы определения обобщенного решения.
1°. При G = 0 обобщенные решения можно ввести с помощью закона сохранения
d
dx
w dy + F(x, 2/2, W2) — F(x, г/i, w\) = 0,
F9)
которое считается справедливым для любых у\ иг/2. При формулировке закона F9) были
использованы краткие обозначения: w = w(x,y), wn = w(x, yn), где п = 1, 2. Можно показать,
что гладкие решения закона сохранения F9) удовлетворяют дифференциальному уравнению
C3), а для разрывных решений выполняется условие на разрыве F6).
2°. Вместо уравнения можно взять вспомогательное уравнение второго порядка параболиче-
параболического типа
ди „,	ч ди	д2и	,	ч	/ гл\
— + f(x,y,u)—=e—+g(x,y,u)	(e > 0),
которое рассматривается с тем же начальным условием, что и уравнение F2). Обобщенное
решение задачи Коши для уравнения F2) определяется как предел: w(x,y) = \\ти(х,у).
Полученная таким образом функция w часто называется вязким решением. Важно отметить,
что для широкого класса функций / и g в уравнении F2) определения вязкого решения и
обобщенного устойчивого решения (см. разд. 12.1.4-2) эквивалентны.
Определение непрерывного (но негладкого) вязкого обобщенного решения, основанного на
пробных функциях и интегральных неравенствах, приведено разд. 14.1.3.

254	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
12.1.4-4. Конструктивный метод построения обобщенных устойчивых решений.
Рассмотрим задачу Коши для квазилинейного уравнения
%- + JL-F(X,y,W) = 0	G0)
с начальным условием
w = (f(y) при х = 0.	G1)
Считаем, что функция F(x,y,w) имеет непрерывные первые производные по всем аргументам
при ж ^ 0, — оо<2/<оои любых ограниченных w, и вторая производная Fww > 0. Пусть
функции (р(у) и (р'(у) кусочно-непрерывны при любых ограниченных значениях у.
Запишем характеристическую систему для уравнения G0):
у'х = Fw(x,y,w), wx = -Fy(x,y,w),	G2)
где Fw и Fy —частные производные функции F по аргументам w и у.
Пусть функции
у(х) = Y(x, т, ?, ч), w(x) = W(x, т, ?, ч)	G3)
являются решением системы G2), удовлетворяющим краевым условиям
у@) = V, У(т) = ?.	G4)
Здесь г], ? — произвольные числа, т > 0. Будем считать, что задача G3), G4) имеет единственное
ограниченное решение.
Обобщенное устойчивое решение задачи Коши G0)—G1) определяется формулами
w(x,y-0) = W(x,x,y,?-(x,y)),
w(x,y + 0) = W(x,x,y,?+(x,y)),
где через ^-(ж,г/) и ^+(ж,г/) обозначены точная нижняя и точная верхняя грани множества
значений {? = ?п}, при которых функция
I(x,y,O= [<p(fl)-W@,x,y,ri)]dri	G6)
принимает наименьшее значение при фиксированных значениях переменных ж, у (х > 0). Если
функция G6) принимает наименьшее значение при единственном значении ? = ?i, то ?_ = ?+
и формулы G6) описывают гладкое классическое решение.
Формулы G5)-G6) были получены О. А. Олейник A954), обобщение этих результатов
на случай уравнения F3) было дано в работе А. Н. Тихонова, А. А. Самарского A954).
Эти и другие конструктивные методы построения обобщенных решений излагаются в книгах
Б. Л. Рождественского, Н. Н. Яненко A978), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson A986).
(•) Литература к разделу 12.1 А: О. А. Олейник A954, 1957, 1959), И. М. Гельфанд A959), A. L. Hopf
A965), С. Н. Кружков A966), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978), P. L. Lions A982), М. G. Crandall,
P.-L. Lions A983), Н. Rhee, R. Aris, N. R. Amundson A986, 1989), А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin
A995), А. А. Меликян A996), A. A. Melikyan A998).
12.2. Уравнения, содержащие степенные функции
12.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по w
dw	dw
1.	\- aw	 = 0.
дх	ду
Уравнение Хопфа. Используется как модельное уравнение нелинейной теории волн и
газовой динамики, где независимые переменные х и у играют соответственно роль
времени и пространственной координаты.
1°. Общее решение:
Ф(ахи) — y,w) = 0 или у = axw + Ф(ги),
где Ф и Ф — произвольные функции.

12.2. Уравнения, содержащие степенные функции	255
2°. Решение задачи Коши с начальным условием
w = ip(y) при х = О
можно записать в параметрическом виде
При а > 0 и <?>'(?) > О эти формулы описывают классическое однозначное решение.
3°. Рассмотрим задачу Коши с разрывным начальным условием
w\ при у < О,
. W2 при у > 0.
Считаем, что а > 0, u>i > 0, W2 > 0.
Обобщенное решение w\ < W2'.
( w\	при у/х < Vi,
w(x,y) = < у/(ах) при Vi ^ |//ж ^ Vb, где Vi = аг^1, Уг = агуг.
[ гиг	при у/х > V2,
Это решение является непрерывным в полуплоскости х > 0 и описывает «волну разреже-
разрежения».
Обобщенное решение w\ > W2'.
Г w 1 при г//ж < V,	ЛТ 1 / , ч
<	F у// ^ ' где V = \a(w\ + w2).
[ w;2 при y/x>V,	2 v	y
Это решение терпит разрыв на линии у = Уж и описывает «ударную волну».
4°. В разд. 12.1.2-12.1.3 на примерах рассмотрены качественные особенности решений
уравнения Хопфа (в том числе явление опрокидывания и ударные волны). Там же приве-
приведены общие формулы, позволяющие строить разрывные решения при произвольном на-
начальном условии. Большое число решений задачи Коши, описывающих слияние и распад
разрывов, периодические волны и другие нелинейные физические эффекты, приведено в
работах, указанных ниже.
® Литература: Е. Hopf A950), P. D. Lax A954), О. А. Олейник A954, 1957, 1959), Р. Курант
A964), Дж. Уизем A977), Дж. Лайтхилл A981), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978),
А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова A998), А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов
B001).
dw ,	dw .
2.	h aw	 = Ь.
дх	ду
Общее решение: Ф(ги — bx, aw2 — 2Ъу) = 0.
_	dw	dw ,
3.	\- aw	 = ox.
дх	ду
Общее решение: у = axw — ^аЪх^ + Ф(уо — -|-6ж2).
dw ,	dw ,
4. —	h aw^~ = ЪУ
дх	ду
Общее решение: х = / —	=¦ + Ф(аги2 — by2), где у о —любое.
Jyo vab(t2 -y2) + a2w2
_ dw	dw
5.	\- aw	\- bw = 0.
дх	ду
Модельное уравнение нелинейных волн с затуханием (а, Ь > 0).
1°. Общее решение: Ф(аи> + by, webx) = 0.
2°. Решение задачи Коши с начальным условием w@, у) = f(y) записывается в параме-
параметрическом виде
у = е+уA-е-
® Литература: Дж. Уизем A977).

256	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
,	dw ,	л dw
6.	\- (aw + о)	 = cw + а.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = аги + 6, g(w) = cw + d.
	Ь (аги + Ьж)	 = 0.
аж	ау
Общее решение: у = ажги + ^Ьх2 + Ф(гу).
Общее решение: х = — In \aw + by\ + &(w).
о
9. —— + (w + ax + by + c) —— = 0.
ож	Oy
Общее решение: bx = ln|a + Ь(ги + аж + 6^/ + с) | + Ф(гу).
дх	ду
Общее решение:
J axw -\	х +1 + сх + Ф(гу) при А; / —1,
axw + 61п |ж| + сх + Ф(гу)	при А; = — 1.
Частный случай уравнения НАЛА при f(x) = Ъхк + с, д(ж) = рхп + д.
П. ^L + (aw + Ъхк + с)— = рж71 + q.
ох	оу
12.	^ + (oU, + b/ + c)^=0.
ох	оу
Частный случай уравнения 12АЛ.6 при /(г/) = &2/fc + с-
13.	^ + (««, + 6^)^=0.
аж	оу
Частный случай уравнения 12.4.1.5 при f(x) = Ъхк.
14.	h ажк;	 = bx.
dx	dy
Общее решение: Ф(аги2 — 2by, 2w — 6ж2) = 0.
Частный случай уравнения 12.4.1.7 при /(ж) = 6xfc.
	\- (axw + бт/к; + с)	 = 0.
дх	оу
Частный случай уравнения 12.4.2.17 при f(w) = аг^, g(w) = to, /г(г(;) = с.
(a-w)^ + @ + w)^=0.
Общее решение: Ф(ги, ж(гу + а) + г/(гу — а)) = 0.
(ai + a2w)—	h (bi + b2w
аж
1°. Общее решение при с = 0:
17.
18. (ai + a2w)—	h (bi + b2w)—— = с.
аж	оу
(	) 2/( агги)) = 0.
2°. Общее решение при с / 0:
2a\w — 2cx, b2W2 + 2b±w — 2су) = 0.

12.2. Уравнения, содержащие степенные функции
19.	(w — ay)	\- by	 = cw.
дх	ду
Общее решение: с(Ьх + ау) — bw = Ф{иоъу~с).
20.	[m(w — с) — п(у — 6I	\- [п(х — а) — l(w — с)]	 = l(y — b) — mix — а).
дх	ду
Уравнение винтовой поверхности и поверхности тел вращения.
Общее решение: Ф((ж — аJ + {у — ЬJ + (w — сJ, 1х + ту + nw) = 0.
21.	[Ъ(х + у) - с(х + ги)]-г^- + [с(у + w) — а(х + у)]~^~ = о,(х + w) — b(y + w).
ox	oy
Общее решение: Ф(ах + by + cw, xy + yw + жгу) = О.
22.	(y -aw)—	\-by-— = cw.
ox	oy
Общее решение: Ф[гпьу~с, aw + ex	у2) =0.
23.	[x(y + a) - w]-^- + [l-(y + aJ]^r- = (y + o)w - x.
ox	oy
Общее решение: Ф(ж + (г/ + a)w, x(y + a) + w) =0.
24.	(aw + ci ж*5) -2H- + (bw + c2yn) -^ = 0.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.1.16 при f(x) = c\xk, д(гу) = С2гуп.
25.	(aw + ci j/fe) ^- + (bw + c2xn) -^- = 0.
Частный случай уравнения 12.4.1.17 при /(г/) = ciiyfc, р(ж) = С2ЖП.
12.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ш
1.	1- (aw + оги + с)	 = s.
дх	ду
Общее решение: Ф(ги — sx, -|-аг(;3 + убги2 + сг^ — sty) = 0.
dw /2	\ ^г^	2
2.	1- (aiiy + b\w + ci)	 = a2tu + 62^ + C2-
Ож	Огу
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при /(ги) = a\w2 -\-biw-\-ci, g(w) = аг^;2 -\-b2w + C2.
3. -^- + (аг«;2 + 6г«; + еж + s)-^- = 0.
дх	ду
Общее решение: у = x(aw2 + bw + s) + усж2 + Ф(ги).
4.	1- (ак;2 + bw -\- су -\- s)	 = 0.
дх	ду
1	2
Общее решение: х = — In law; + to + су + si + Ф(ги).
с
5.	1- (a^w2 + aiiy + 62Ж2 + 61Ж + 60)	 = 0.
дх	ду
Общее решение: у = x(u2W2 + a\w) + убгж3 + \b\x2 + бож.
1 B +	+ 62 + bx + 6)= СЖ2
6.	1- (a2W2 + aiiy + 62Ж2 + bix + 60)	 = С2Ж2 + c\x + со-
ож	агу
Частный случай уравнения 12.4.2.10 при f(w) = (I2W2 + aiii;, р(ж) = бгж2 + &1Ж + Ьо,
h(x) = С2Ж2 + С1Ж + со.
17 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

258	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -|^ + д(х, у, w) -|^ = /г(ж, у, w)
7.	\- (a2w2 -\- aiw + b2x2 + Ьгх + bo)	 = c^w2 + ciw + cq.
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.11 при f(w) = u2W2 + a\w, g(x) = b2X2 + b\x + Ьо,
h(w) = C2W;2 + с lit; + со.
8-	4r^ + (a2^2 + aiw + ^22/2 + blV + 6oLr^ = °-
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при f(w) = C12W2 + aiit;, р(г/) = b2y2 + 6i2/ + &o-
9-	-^ + (^ + аж + 6?/ + cJ-^- = 0.
dx	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.8 при f(u) = (и + сJ.
Ю. -^ + [а2™2 + oiw + а0 + у(Ь2х2 + бхж + 60)] ^- = 0.
Частный случай уравнения 12.4.2.13 при /(гу) =
11. —	h Гаг'Ш2 + aiw + а0 + y(b2x2 + бхж + ЬоI -г— = с2ж2 + сгх + с0.
Частный случай уравнения 12.4.2.14 при /(ги) = a2^2 +ai^ + ao, g{x) = &2
Д(ж) = С2Ж2 + С\Х + Со.
12. —	h \y(a2w2 + ait^ + a0) + b2x2 + 6i« + Ь01 -г— = 0.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.15 при /(ги) = a2^2 +ai^ + ao, g(x) = бг
13.	1- (агж + агу + ao)w + @2Ж + b\y + 60 )г/; + С2Ж + ciiy + Co 	 = 0.
дх	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.17 при f(w) = a2W2 -\-b2w-\-c2, g(w) = a\w2 +b\w + ci,
h(w) = aow + bow + Co.
1°. Общее решение при ab > 0:
Ф( л/abw — 7arctg(y6/ax), аг^ + у/Зги — 72/) = О-
2°. Общее решение при аб < 0:
Ф ( \/—2ab w — 7 In	 , агу + у/Зги — 72/) = 0-
15.	ж(к; + аж)	\- y(w + агу)	 = к; — а жгу.
дх	ду
Общее решение: Ф(	Ь a In |г/|,	Ь ain Ы ) =0.
V ж	?/	у
16.	ах2(by — cw)—	h by2(cw — ax)—— = cw2(ax — by).
дх	ду
Общее решение: Ф(жгуги, abxy + bcyw + acxw) = 0.
2	\ OlU	/2	\ diV
17.	(aiit; + biw + ci)	1- (агк; + 62К; + сг)	 = 0.
дх	ду
л _ . _ .	л/Ч	tto^ H~ Ьо^ + Со
Частный случаи уравнения 12.4.2.1 при /(ги) = -^—	—.
a^w1 + bxw + с1
18.	(a\w + 61Ж + ci)	1- (агк; + b2y + C2)	 = 0.
аж	агу
Частный случай уравнения 12.4.2.23 при /(ж) = Ъ\х2, gi(w) = aitu2 + a, h(y) = &22/2,
Р2(гу) = <

12.2. Уравнения, содержащие степенные функции	259
19.	(caw2 + Ъгу2 + сг)-^- + (a2w2 + Ъ2х2 + с2)-|^- = 0.
ох	оу
Частный случай уравнения 12.4.2.24 при f(y) = &i?/2, 9i(w) = aiu>2 + ci, h(x) = 62Ж2,
g2(w) = a2^2 + C2.
20.	6F?/ + cwJ	a2x(by + 2cw)	 = a2xw.
ox	oy
Общее решение: Ф(и> (by + у + 2cw), а2х2 + Ь2у2 — bc2w2) = 0.
(ах2 — by2 — cw2)	\- 2аху	 = 2axw.
ох	оу
_. / ах2 + by2 + cw2 w \
Общее решение: Ф (	, — 1 = 0.
У
22.	by (Sax2 + by2 + cw2)—— — 2ax(ax2 + cw2)—— = 2abxyw.
ox	oy
( ax2 + by2 + cw2 2аж2 + by2 \
Общее решение: Ф	, 		= 0.
V	w	w	J
23.	b(a2xy — abyw — b2w2)	1- ab(bxw — axy — ay2)	 =
дх	ду
= a2 (axy + bxw + бт/к; + ay2 — ax2).
Общее решение: Ф(ах -\- ay -\- 2byw, ax +b w + 2а ху) = 0.
_.	/о , л»2 2\ ^1У ¦ 1 /.	2\ ^^ . 2/.	2\
24. жт/(а ху -\-2b w )	1- byw(byw — ах )	 = bw (byw — ах ).
дх	ду
глг	^( w b2w2 bxw	\
Общее решение: ФI —,	1	Ь ау ) =0.
V у ах	у	J
12.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени w
Общее решение: Ф(и>, у — aw х — Ьх) = 0.
При с = 0 см. уравнение 12.2.3.1. Общее решение при с / 0:
*( awk+1 .	\ _
Ф ( w — сх,	\-bw — су J =0.
3.	\- (aw + b)	 = cwn + s.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = awk + Ъ, g(w) = cwn + s.
dw , и . , ч Огу
4.	1- (ак; + 6ж)	 = 0.
дх	ду
Общее решение: у = axwk + \bx2 + Ф(ги).
5.	Ь (аги + 6?/)	 = 0.
дх v	y ду
Общее решение: х = — In |аги + 6у| + Ф(гу).
Частный случай уравнения 12.4.2.10 при f(w) = awk, g(x) = 6жп, h(x) = cixm + C2.
17*

260	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
dx ^aW	X ' dy ~ ClW
Частный случай уравнения 12.4.2.11 при f(w) = awk, g(x) = bxn, h(w) = ciwm + C2.
dx	dy
Частный случай уравнения 12.4.2.9 при f(w) = awk, g(x) = 6жп + с.
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при /(w) = au>fc, g(y) = 6|/n + с.
dx	dy
Частный случай уравнения 12.4.2.13 при f(w) = au>fc, g(x) = 6жп.
11.	-^ + (a«,fe + Ьхпу)^- = С1хт + са.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.14 при /(гу) = au>fc, р(ж) = 6жп, h(x) = cixm + сг.
12.	^ + («, + «^ + 6^ + 0)^ = 0.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.8 при f(u) = (и + c)fc.
13.	*?. + („„„,«• +б*»)-*! =о.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.15 при /(гу) = awk, д(х) = 6жп.
14.	E2L + (ax^fe + бт/^71 + с)— = 0.
Ож	Оу
Частный случай уравнения 12.4.2.17 при /(w) = awk, g(w) = ton, /г(г^) = с.
15.	1- axnyrnw 	 = 0.
dx	dy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при /(ж) = ахп, д(у) = ут, h{w) = u>fc.
Общее решение при п ф — 1, т ф 1:
1 — 771	П + 1
16. —— + ax^y^w*—^- — Ъхс.
dx	dy
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при /(ж) = ажп, д(?/) = ут, h{w) = г^к, р(х) = 6жс.
Ож	dy
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при /(ж) = ажп, д(?/) = ут, h{w) = г^к, p(w) = toc.
la w ) ox \c sw ) dy —
Частный случай уравнения 12.4.2.1 при f(w) =
а
19. (аж71 + blWk)— + (C3/m + b2ws)— = 0.
Частный случай уравнения 12.4.2.23 при f(x) = ажп, gi(w) = b\wk, h(y) =

12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры	261
20. (ауп + blWh) — + (сх™ + b2ws)— = 0.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.24 при f(y) = ауп, gi(w) = b\wk, h(x) = схт,
21.
Общее решение: / 	= х + Ф(у — кх), где и = ах + by + cw.
J cu~n + а + Ьк
^
22. (а + y/w — olx — /Зу) —^- + Ъ—^- = оса + /ЗЬ.
ох	оу
Общее решение:
Ф (су — bw, ay + 2by/w — ах — f3y) =0, где с = аа + /36.
23. (ai^ + ^iVl + ci^2)—- + (a22/ + b2A/l + c2^2)—— =0.
С/Ж	^2/
Частный случай уравнения 12.4.2.23 при /(ж) = а\х, gi(w) = &1л/1 + ciw2, h(y) = a2|/,
2,2	\ OW , t	, /	 Г^—I	—,	о	\ OW
24. (ж2 + w2 — a)	\- (xy + л/a — w2 л/ж2 + v2 + ^2 — °>)	 — 0.
v	' дх v	^2/
r	( xy + \/a — -ш2 ^ж2 + ?/2 + w2 — a \
Общее решение: Ф w, 	—-—	 = 0.
V	x2 + w2 — a	/
12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные
параметры
12.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции
Общее решение: у = x(aeXw + b) + Ф(ги).
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(ги) = аеЛи; + b, g(x) = cie^3" +
_	Oil?	. Лги , ,\ ^^	/Зту ,
3. —	\-(ае -\-Ъ)—— = с1еру-\-с2.
ох	оу
7.
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при f(w) = aeXw + b, g(y) = cie/3y + с
	h (ae w + 6)	 = cie + c2-
вж v	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при /(ги) = aeAu; + b, g(w) = cie^^ + <
	-|- (q,? -\- bx)	 ^ 0.
дх	ду
Общее решение: у = axeXw + \bx2 + Ф(ги).
Общее решение: ж = — In |аеЛи; + Ьг/| + Ф(ги).
6
Общее решение: г/ = axeXw -\	еCх + сх + Ф(ги).

262	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + #(ж, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
8.	%L + (аел- + Ье'3* + с)-^ = Sle"" + s2.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.10 при f(w) = aeA™, д(ж) = ЪеCх +с, h(x) = S\e^x +S2.
9.	^ + (ое*»+Ье^ + с) *?.=(,.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при f(w) = aeXw, g(y) = бе^^ + с.
Ю. *?- + (оеЛж+1/ги + Ье""-1-"") — = О.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.19 при f(w) = aeuw, р(гу) = 6ем™.
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при /(ж) = Аеах, д(у) = е&у, /^(гу) = е^.
Общее решение: ae~by + Abew+ax = Ф(ги), где аб / 0.
12. -^ + Ае^+ааз+ь^— = Весх.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при f(x) = Аеах, p(j/) = е&у, h(w) = ew,p(x) = Вес
13.
+ Ae	Be
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при /(ж) = Аеах, g(y) = eby, /г(г^) = e^,p(^) = Be
U. -*?- + (J4e™+a*+b{' + В) ^^ = О.
дх	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.8 при f(u) = Аеи + В.
15.	М(го + аех*)— + \(w + ae"»)— = AM(W2 - оае
аж	ay
Преобразование ^ = еХх, г\ = ему приводит к уравнению вида 12.2.2.15.
16.	(а1еЛ-+Ь1)^ + (а2е^ + Ь2)^=0.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.1 при /(ги) = 2 	—.
17.	(aieA- + bie-)-^- + (a2e^ + Ь2е™)^- = 0.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.23 при /(ж) = Ъ\еих, gi(w) = aieA™, g2(w) =
() =Ь2е1лу.
cw
18. (а1еЛ- + Ъ1е"у)^- + (а2в^ + Ъ2е»х)^- = 0.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.24 при /(^/) = bieuy, gi(w) = aieAu;,
12.3.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции
1.	Ь «гу	 = осЬ(Лж).
аж	ау
Общее решение:
= ахи-\	 сЬ(Лж) + Ф(и), где u = w
А	А

12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры	263
2.	^[()]
Общее решение: у = x[achk(Xw) + Ь] + Ф(ги).
3.	^L + \achk(\w) + 61— = a chn(/3x) + С2.
Ож	Oy
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(ги) = achfc(Au>) + 6, g{x) = ci chn(/3x) +
4.
AW)+6]^=cich
ay
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = achfc(Au>) + b, g(y) = ci chn(/3?/) + сг.
5.	*E. + [achfe(Aw) + 6] -^ = cchn(f3w) + s.
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = achk(Xw) + 6, g(w) = cchn(/^w;) + s.
6.	^L + [a chfe (Aw) + 6 ch™ (/Зж) + с] — = 0.
(ух	оу
Общее решение: у = axchk(\w) +b eh11 (/Зх) dx + ex + Ф(ги).
7.	-|^ + [achfe(A«>) + bchn(f3y) + с] ^- = 0.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при f(w) = achfc(A^), р(г/) = bchn(f3y) + с.
8.	±1 +achn(\x) chm(/3y) chk(nw)— = 0.
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при f(x) = achn(Ax), g(y) = chm(/3|/), /г(г^) =
= chk (/iw).
9. _?^ |achn(Ax) chm@y) chfe(/xt^)— = 6сЬсGж).
(/Ж	Су
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при /(ж) = achn(Ax), р(г/) = сЪ.т((Зу), h(w) =
= chk(fiw), p(x) = 6с
Ю. E2L +flchn(Ai) ch(/3i/) ch(/x^)|
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при /(ж) = achn(\x), g(y) = chm(/3|/),
= chk(/iw), p(w) = 6chc(
II.	h o,w	 = 6sh(A«).
dx	dy	v '
Общее решение:
у = ахи -\	— sh(Ax) + Ф(и), где и = w	сЬ(Аж).
А	А
12. ^L+roshfe(AW)+bl—=0.
Общее решение: у = x[ashfc(Au>) + b] + Ф(гу).
13.	±1 + [ashfe(Aw) + Ь] — = ci зЬ^С/Зж) + са.
аж	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(гу) = ashfc(Au>) + b, g(x) = с\ shn(/3x) + сг.
14.	-^ + [ashfe(Aw) + Ь] -5^- = ci sh"(/3tf) + с2.
С/Ж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = ashfc(A^) + 6, g(y) = ci shn(/^|/) + сг.

264	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -|^ + д(х, у, w) -|^ = /г(ж, у, w)
15.	E2L + [ashk(Xw) + 61— = a sh71 @w) + с2.
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = ashk(Xw) + b, g(w) = ci shn(/3u>) + C2.
16.	— + [a shfe (Aw) + 6 sh71 (/Зж) + с] ^- = 0.
ox	oy
Общее решение: у = ax sh (Агу) + b shn (f3x) dx -\- ex -\- Ф(гп).
17.	-^ + [a shfe (Aw) + 6 sh"(/Зу) + c] -^ = 0.
Ox	&У
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при f(w) = ashfc(A^), g(y) = 6shn(/3|/) + c.
18.	-^- + a sh71 (\x) sh7" (/3y) shfe (/xt^) — = 0.
dx	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при f(x) = ashn(Ax), р(г/) = shm(/3y), h(w) =
= shk (/iw).
19.	-^- + a sh71 (\x) sh771 (/3y) shfe (/xt^) ^- = b shcGж).
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при f(x) = ashn(\x), g(y) = shm(/3|/), /г(г^) =
= shk(/iw), p(x) = bshc(jx).
20.	— + a sh71 (Аж) sh771 (/3y) shfe (/xt^) — = 6 shcGгу).
Ож	ду
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при f(x) = ashn(Ax), ^(i/) = shm(/3y), h(w) =
21.	JE^+[ath(AW) + 6]
ож	ay
Общее решение: у = x[athfc(Au>) + b] + Ф(гу).
22.	— + [athfe(A«>) + b] ^- = ci thnOa!) + c3.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(ги) = athfc(Aw;) + Ъ, д(х) = ci thn(/3x) + сг.
23.	4^ + [a thfe(At^) + b]^-=a thn (f3y) + c2.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = athfc(A^) + b, д(у) = с\ thn (f3y) + С2.
24.	— + [athfe(At^) + 6]— = d th71 @w) + c2.
(/Ж	Су
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при /(гу) = athfc(Au>) + 6, р(гу) = с\ thn(/3^) + сг.
25.	— + [a thfe (Aw) + 6 th71 (/Зж) + с] — = 0.
аж	ау
Общее решение: у = axthfc(Au>) + 6 / thn(/3x) с/ж + еж + Ф(гу).
26.	EHL + [а cthfc (А«) + Ь] -|5- = 0.
аж	ау
Общее решение: у = x[acthk(Xw) + b] + Ф(гу).
27.	— + [acthfe(At^) + 6]— = ci cth71^) + c2.
аЖ	ау
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(гу) = acthfc(Au>) + 6, р(ж) = с\ cthn(f3x) + сг

12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры	265
28.	-^ + [acthh(\w) +b]-^=a cthn(f3y) + с2.
ох	оу
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при f(w) = acthk(Xw) + b, g(y) = c\ cthn(/3?/) + C2.
29.	— + racthfe(Aw) + bl — = a cthn (/3w) + c2.
Ож	Oy
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = a cthfc(Au>) + 6, g(u>) = ci cthn(/3u>) + сг.
30.	— + [a cthfe (Aw) + 6 cth71 (/Зж) + с] -^- = 0.
ox	oy
Общее решение: у = ax cth (Xw) + 6 / cthn(/3x) dx -\- ex -\- Ф(гп).
12.3.3. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции
1.	h clw	 = 61п(Аж).
дх	ду	к '
Общее решение:
у = ахи-\- \аЪх2\п.(Хх) — -^аЪх2 + Ф(и), где гб = w; + Ъх — Ьх\п(Хх).
г. ?+[.,„.(л., + ч?_а
Общее решение: |/ = x[a\nk(Xw) + b] + Ф(гу).
3.	-^+[а1пгг(Л^) + б]-^=с11п'г(/3Ж)+с2.
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(ги) = alnfc(A^) + b, g(x) = ci lnn(/9x) + сг.
4.	-|^+[alnfe(A«)) + 6]-^=c1ln"(/3t/) + C2.
дх L	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = alnfc(A^) + b, g(y) = c\ \nn(f3y) + C2.
5- 4r-
Ato) + 6]|Clln(/3to) + C2.
ay
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при /(гу) = alnfc(Au>) + 6, р(гу) = ci lnn(/^w;) + сг.
6.
аж	у
Общее решение: у = axlnfc(Au>) + \bx2 + Ф(гу).
7. ^[fe	]^
Общее решение: х = — In la In (Лгу) + by\ + Ф(гу).
8.	^L+[alnk(\w) + b In" (/Зх) + с] — = 0.
ox	oy
Общее решение: у = ax\nk(Xw) + / \nn(f3x) dx + ex + Ф(гп).
9.	^L + [alnfe(A^) + Ыпп@х) + с]— = Sl Щ/лх) + s2.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.10 при /(ги) = a\nk(Xw), g{x) = 61nn(/3x) + с,
10. |^+[()	(/2,)]^
Ож L	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при /(ги) = a\nk(Xw), g(y) = 61nn(/3|/) + с.

266	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
11.
Частный случай уравнения 12.4.2.8 при f(u) = А\пк и + В.
12.	E2L + a In71 (Лж) In7" (/Зу) lnfe (ixw) — = 0.
Ож	Oy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при /(ж) = alnn(Ax), р(у) = lnm(/3?/), /i(u>) =
= \nk(/iw).
13.	— +а1птг(ЛжIпттг(/3?/Iп'г(/х^)— = ЫпсGж).
Ож	Оу
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при /(ж) = а\пп(Хх), д(у) = lnm(/3|/), h(w) =
14. ^L
ox	y
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при /(ж) = alnn(Ax), g(y) = lnm(/3|/), h(w) =
15. [сц \nk(\w) + bi] —^- + [a2 In^^w) + b2] —^- = 0.
Частный случай уравнения 12.4.2.1 при f(w) = —^—
16. [ai lnfe(A^) + 6i lnm(i/x)] — + [a2 In (/Зги) + b2 \п(/лу)] — = 0.
С/Ж	^2/
Частный случай уравнения 12.4.2.23 при /(ж) = 6ilnm(z/x), gi(w) = ai
52(w) = a2 ln"(/3W
17. [oi lnfc(Aw) + bi lnm(vy)] ^- + [оа 1п"(^то) + Ь2 1п5(Мж)] -^ = 0.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.24 при /(г/) = bih^iyy), gi(w) = ai
92{w) = a2 1пп(^гу), h(x) = b2 \ns(fix).
12.3.4. Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические
функции
1.	\- aw	 = bcos(\x).
Эх	dy	K J
Общее решение:
у = ахи	— cos(Ax) + Ф(и), где и = w	sin(Ax).
А	А
2.	*a+[acoa{Xw) + b]
dx L	A ду
Общее решение: у = x[acosk(\w) + b] + Ф(ги).
3.	^L + [acosfe(A^) +Ъ]—=сг cosn(/3x) + с2.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(ги) = acosfc(Aw;) + b, g(x) = ci cosn(/3x) +
4.	4^ + [acosfe(A^) + b]^-=a cosn(f3y) + c2.
аж	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = acosfc(Aif) + b, g(y) = ci cosn(f3y) +
—
ay
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при /(ги) = acosfc(Aif) -\-b, g(w) = ci cosn(/3if) +c2.
5. _^!_ + [acosk(\w) +^—=0! cosn(/3w) + c2.
аж	ay

12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры	267
6.	— + [a cosfe (\w) + b cos71 (/Зж) + с] — = 0.
ox	oy
Общее решение: у = axcosk(\w) + b cosn (f3x) dx + ex + Ф(гп).
7.	— + [a cosfe (Aw) + 6 cos71 (/3y) + c] -^ = 0.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при /(ги) = acosfc(Au>), р(у) = bcosn(f3y) + с.
°
8. 4r- + a cosTl (Лж) cos (^) cos (»™IГ
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при f(x) = acosn(Ax), р(г/) = cos™(fly),
h(w) = cosk (/iw).
9.	1-a cosTl(Aa?) cosrri(/37/) cos (iaw)	 = bcosc(/yx).
dx	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при f(x) = acosn(Ax), р(г/) = cosm(/3|/),
Д(гу) = cosk(/iw), p(x) =
10. *0L+a cos71 (Аж) cos7" @y) cosfe (Mw) — = b cosc
ож	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при f(x) = acosn(Ax), р(г/) = cosm(/Зу),
h(w) = cosk(/iw), p(w) =
^	Oil?	Oil?
11.	h aw
аж	ду
Общее решение:
у — ахи	 sin(Ax) + Ф(и), где и = w -\	cos(Ax).
А	А
12.	+[4)+]
дх L	J Oy
Общее решение: у = x[asinfc(Au>) + Ъ\ + Ф(гу).
13.	— + [asinfe(A™) + Ь]—=а sinn(/3x) + с2.
Ох	&у
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при f(w) = asinfc(A^) + b, g(x) = ci sinn(/3x) + сг.
14.	-^ + [a sinfc(AW) + b] -^ = ci sin"(/3j/) + c2.
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = asinfc(A^) + b, g(y) = ci sinn(/3|/) + сг.
15.	— + [a sinfe(A^) + 6] — = ci sinn@w) + c2.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = asinfc(A^) + 6, g(w) = ci sinn(/3^) + сг.
16.	— + [a sinfe (Aw) + 6 sin71 (/Зж) + c] — = 0.
ож	ay
Общее решение: у = axsinfc(Au>) + b / sinn(/3x) с/ж + еж + Ф(ги).
17.	_^!_ + [asinfe(A^) + bsinw(i3t/) + c] ^- = 0.
ож	ay
Частный случай уравнения 12.4.2.12 при /(ги) = asinfc(Aw;), p(y) = bsmn(f3y) + с.
18.	*0L+a sin71 (Аж) sin771 (/Зу) sinfe faw) -^- = 0.
ox	oy
Частный случай уравнения 12.4.2.20 при f(x) = asinn(Ax), g(y) = sinm(/3|/), /г(г^) =
= sink (/iw).

268	Квазилинейные уравнения вида /(ж, гу, w) -|^ + д(х, гу, w) -|^ = /г(ж, у, w)
19.	E2L + а sin71 (Xx) sin7" (/Згу) sinfe (fiw) — = 6 sincGж).
аж	аг/
Частный случай уравнения 12.4.2.21 при /(ж) = asinn(Ax), д(гу) = sinm(/%), h(w) =
= sinfc(/m>), р(ж) = bsmc(jx).
20.	— + a sin71 (Лж) sin7" (/3?/) sinfe (/jlw) — = 6 sincGги).
Ож	Ог/
Частный случай уравнения 12.4.2.22 при f(x) = asinn(Ax), р(г/) = smm(f3y), h(w) =
fc), p(w) = 6sincGw;).
21.	^+[g()+]
Общее решение: у = x[atgfc(Aw;) + b] + Ф(ги).
22.	^L + [atgh(\w) +b]^=Cl tgn(f3x) + c2.
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при f(w) = atgk(Xw) + b, д{х) = c\ tgn(/3x) + сг.
23.	^ + [atgfe(AW) + b] |^ = Cl tg"C9W) + c2.
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при /(ги) = atgfc(Aif) + b, д(у) = ci tgn(/Зу) + сг.
24.	-^ + [atgh(Xw) +Ь]^=а tgn(f3w) + с2.
ох	оу
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = atgk(Xw) + 6, р(гу) = с\ tgn(f3w) + сг.
25.	-^ + [a tgfe (Ate) + 6 tg"(fix) + с] -^ = 0.
ож	ay
Общее решение: у = ax tgfc (Лгу) +6 / tgn (/3x) dx + ex + Ф(гу).
26.	H+[actgfe(AW)+b]!^ = 0.
Общее решение: гу = x[actgk(Xw) + 6] + Ф(гу).
27.	-^ + [actgfe(Ato) + Ь]-^ = Cl ctg"^) + са.
С/Ж	^2/
Частный случай уравнения 12.4.2.2 при /(w) = a ctg*!(Aw) + Ь, д{х) = с\ ctgn(f3x) + сг.
28.	-^ + [a ctgfc (Аго) + Ь] -^ = Cl ctgn (f3y) + c2.
cfx	&У
Частный случай уравнения 12.4.2.3 при f(w) = actgk(Xw) + b, д(у) = с\ ctgn(f3y) + сг.
29.	-^ + [actgfc(Ato) + Ь]-^ = ci ctg^^w) + с2.
С/Ж	&У
Частный случай уравнения 12.4.2.5 при f(w) = actgfc(At(;) +6, g(w) = ci ctgn(/3t(;) +C2.
30.	^- + [a ctgfc (Aid) + b ctg" (/Зж) + с] -^ = 0.
аж	агу
Общее решение: гу = ax ctg (Лги) + b / ctgn(/3x) dx + ex + Ф(ги).
12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции
МАЛ. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
независимых переменных
Общее решение:
у = ах [w - F(x)] + а Г F(x) dx + $(w- F(x)), где F(x) = Г f(x)dx.

12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции	269
.	dw	dw ?( л
2- -^ + aw-^- = fiv)-
Общее решение:
. fy	dz	, л/ n	, , 1 2
х = ± / —.	+ Ф(и), и = F(y)	aw ,
Jyo ^2aF(z) - 2au	У h	Kh J 2
где F(y) = J f(y)dy.
dw	dw	„,	л
3> -te+aw-e^ = f{y-bx)-
Модельное уравнение, описывающее нелинейные волны от движущегося источника (пе-
(переменные х и у играют соответственно роль времени и пространственной координаты,
Ь — скорость источника).
1°. Общее решение:
/у — Ъх j7 л
—.	+ Ф(и), и = F(y — Ъх)	aw2 + bw,
_0 у/б2 + 2aF(z) - 2au	V J	V	J 2
где F(z) = / f(z)dz; zq—любое.
2°. Решение со стационарным профилем:
w = b-[(b- wof - 2 j f(z) dz\ , i = y- Ъх,
где wo — постоянная интегрирования.
® Литература: A. L. Hoffman A967), Дж. Уизем A977).
.	dw г	„, v-i On?	. ч
Общее решение:
y = ax[w- G(xj\ + a Г G(x) dx + F(x) + Ф(w - G(x)),
где F(x) = J f(x)dx, G(x) = j g(x)dx.
5. <? + [aw
Общее решение:
yF(x) — aw / F(x) dx = Ф(ги), где F(x) = exp — / /(ж) dx .
6. ^ + [ow
Общее решение: х = /	\- Ф(ги).
Jy0 f(t) + aw
7. 	 -|- \Ciyw -\- f (х}\	 = 0.
Общее решение: yexp(-axw) — / /(t) exp(—atw) dt =
8. -^-
Полный интеграл:*
Общее решение уравнений 12.4.1.8-12.4.1.10 строится по формулам, указанным в разд. 12.1.1-3.

270	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = h(x, у, w)
где функции (р(х), ф(х) описываются формулами
ф) = G(x) [d - J G{x) dx]~\ G(x) = exp [J g(x) dx\,
ф(х) = S(x) [C2 + ||g. dx],	S(x) = G(x) exp [j ф) dx\.
dw	, ч dw	о
9.	1- f(y)w	 = aw -\- g(x)w -\- h(x).
dx	dy
Полный интеграл:
w(x, у) = ф) + Схф{х) exp [a J —У- j,
где С\ — произвольная постоянная, а функции ц>(х), ф(х) определяются из системы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
ф'х = [а<р + д(х)\ф.	B)
Уравнение Риккати A) интегрируется в квадратурах для многих функций д(х) и h(x),
например, при h(x) = 0, д(х) —любое. Подробности см. в книгах Э. Камке A976),
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A997, 2001).
Если имеется решение уравнения A), то уравнение B) интегрируются элементарно
(оно линейно относительно искомой функции ф).
лл dw ?( ч dw	, ч 2 , » / ч
10. —	f(y)w——=g(y)w +h(x)w.
ox	oy
Полный интеграл:
где
Н(х) = ехр [^ h(x) dx}, Щу) = exp {J ^- dy].
Преобразование
w(x, у) = H(x)u(t, z), z = yF(x) + Г g(x)F(x) dx, t=f F(x)H(x) dx,
где
F(x) = exp [ Г f(x) dx\, H(x) = exp[ Г h(x) dx\,
приводит к более простому уравнению вида 12.2.1.1:	аи	 = 0.
ОЪ	О Z
.. dw „, ч ^ dw	, ч
12.	1- f(x)w 	 = g(x)w.
dx	dy
Преобразование
f= / f(x)Gk(x)dx, u(?,y) = ——w(x,y), где G(x) = expU g{x)
приводит к более простому уравнению вида 12.2.3.1 (при Ъ = 0):	Ь и 	 = 0.
а?	оу
13. ^ + f{y)Wh^L=g{y)Wh+\
ох	оу
Преобразование
'I ~	п/ 4,Trfc/ Л ' иуЛ,!/) —	ШуХ,у),	1ДС ^t/,/ — УХр
приводит к более простому уравнению вида 12.2.3.1 (при 6 = 0):	Ь i6fc	 = 0.
dx	dr\

12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции	271
? + /(•)•»-¦?-.(.).
Преобразование
Z = I ПФХа{х) dx, u(S,y) = w(x,y)-G(x), где G(x) = J'g(x)dx,
приводит к более простому уравнению вида 12.3.1.1 (при Ъ = 0):	Ь е и	 = 0.
<9?	ду
Лги &W	, ч Лги
Преобразование
приводит к более простому уравнению вида 12.3.1.1 (при Ъ = 0):	Ь е w	 = 0.
16. [/(x)+atfl]-||-	^
Общее решение:
/dx	С
	/
/(ж) + aw У
/
/(ж) + aw У g(y) + bw
При интегрировании гу рассматривается как параметр.
17.	[/(у) + ate] -g- + [3(Ж) + Н ^ = 0.
Общее решение: (Ьж — аг/)гу + / д{х) dx — I f(y) dy = Ф(ги).
18.	/(:C,2/)Wfe-^-+g(a;,t/)U,fe-|^ = /ll(a;,2/)Wfe+1+/l2(a;,t/
При к ф —1 замена гб = wk+1 приводит к линейному уравнению
аж	а?/ /с + 1	/с + 1
которое рассматривается в главе 5.
При & = — 1 исходное уравнение приводится к линейному путем умножения обеих
частей на w.
12.4.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
зависимой переменной
1.	Ь f(w)	 = 0.
dx JV ' dy
Модельное уравнение газовой динамики. Встречается также в гидродинамике, теории
фильтрации, теории волн, акустике, химической технологии и других приложениях.
1°. Общее решение:
Ф(г/ — xf(w),w) = 0 или у = xf(w) + Ф(ги),
где Ф и Ф — произвольные функции.
2°. Решение задачи Коши с начальным условием
w = (р(у) при х = 0
можно записать в параметрическом виде
?/ =
где :F(O = /(*>«))¦

272	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + д(х, у, w) -тр- = h(x, у, w)
3°. Рассмотрим задачу Коши с разрывным начальным условием
/п ч Г w\ при у < О,
Считаем, что ж^0;/>0и/'>0 при w > 0; wi > 0 и и>2 > 0.
Обобщенное решение при w\ < W2'.
( w\	при у/х < Vi,
w(x,y) = < f~1(y/x) при Vi ^ г//ж ^ Vz, гДе Vi = /(^i), V2 = /(w2).
I W2	ПрИ ?//ж > Vb,
Здесь /-1 —обратная функция к /, т. е. f~1[f(w)) = w. Это решение является
непрерывным в полуплоскости х > 0 и описывает «волну разрежения».
Обобщенное решение при wi > W2'.
v Г wi при 2//ж < У,	т/
ж у) = <	г ы/	•> Где у_
'yj \w2 при y/x>V,	A
1	Г2 ,, ч ,
/ f(w)d
-w± JWl JK J
Это решение терпит разрыв на линии ?/ = Уж и описывает «ударную волну».
4°. В разд. 12.1.3 рассмотрены качественные особенности решений данного уравнения (в
том числе явление опрокидывания и ударные волны). Там же приведены общие формулы,
позволяющие строить обобщенные (разрывные) решения при произвольном начальном
условии. Большое число решений задачи Коши, описывающих слияние и распад разрывов,
периодические волны и другие нелинейные физические эффекты, приведено в работах,
указанных ниже.
® Литература: Е. Hopf A950), P. D. Lax A954), О. А. Олейник A954, 1957, 1959), Р. Курант
A964), Дж. Уизем A977), Дж. Лайтхилл A981), Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко A978),
А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова A998), А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов
B001).
Общее решение:
у= Г f(G(t)-G(x) + w)dt + <5>(w-G(x)), где G(x) = (g(x)dx.
Jx0	J
_	dw „, ч dw
Общее решение:
x = f\(G(t) - G(y) + F(w)) dt
где G(y) = / g(y) dy, F(w) = / f(w) dw. Функция ф = ip(z) задается параметрически
с помощью формул ф = —-—-, z = F(w).
f(w)
Модельное уравнение, описывающее нелинейные волны от движущегося источника (пе-
(переменные х и у играют соответственно роль времени и пространственной координаты,
а — скорость источника).
1°. Замена ? = у — ах приводит к уравнению вида 12.4.2.3:
dw . гх/ ч и dw
2°. Решение со стационарным профилем:
/ f(w) dw - aw = / д(?) d? + C, ? = у - ах,
где С — постоянная интегрирования.

12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции	273
_	dw „, ч dw	, v
Общее решение: у= , dw -\-Ф\х — / / N ).
J g(w)	\ J g(w) J
Общее решение: у = xf(w) + \ах2 + Ф(гу).
Общее решение: х = — 1п|а|/ + /(ги)| + Ф(гу).
8. ^ + /(w + aa; + 6j/)|^=0.
ох	оу
Замена и = w + ах + Ъу приводит к уравнению вида 12.4.2.5:
?+/(•>?-•+»/<•>•
Общее решение: |/ = xf(w) + / р(ж) dx + Ф(ги).
10. ^-+[/(«,)+fl(x)]^- = h(«).
Общее решение:
у = Г /(#(*) - Я(ж) + гу) dt + С(ж) + Ф(гу - Я (ж)),
где С(ж) = Г g(x)dx, Н(х) = f h(x)dx.
п. ^+ [/(,«) +
Общее решение:
J h(w)	JWQ	h(t)
,2.
ГУ
Общее решение: х = /
Jy0
13. °? + [fiw) + ]
Общее решение:
yG(x)-f(w) f G(x)dx = $(w), где G(x) = exp[- /p(ai) с/ж].
14. ^- + [f(w) +
Общее решение:
yG(x) - J G(x)f(H(t) - Я(ж) + w)dx =
где G(x) = exp — / g(x) dx , H(x) = h(x)dx.
18 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

274	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -|^ + д(х, у, w) -|^ = /г(ж, у, w)
15.	^
/•Ж
Общее решение: г/ехр[—ж/(гу)] — / g(?)exp[—?/(u>)] cfa = Ф(ги), где ж о—любое.
16.	Ц- + [*/(«) + У»(«)]-^=0.
Общее решение: ?/ + ж—;—^- Н	., ч = ехр[а(гу)ж1Ф(гу).
<?(w) <?2(w)	L J
^^ xf(w)-\-h(w) f(w)	г / xii/ \
Общее решение: ?/ H	, ч	+ о; \ = ехр а(гу)ж Ф(гу).
18.	|^ + [x^y^fiw) + x-W(ti,)] ^ = 0.
Преобразование ? = жп+1, г\ = 2/lm приводит к уравнению вида 12.4.2.16:
— + [^(гу) + rjG(w)\ — = 0, где F(w) = -у-^- /(гу), G(w) = -^-^-g(w
19.	^+^V(»)+^fl(«)]^=0.
Общее решение при Л/3 / 0:
e~0yF(x, w) + ^р(гу) /" F(t, гу) dt = Ф(гу), где F(x, w) = exp [—eXxf(w)].
20.	^. + /^
Общее решение: Ф(и,ии) = 0, где и = / ——— h(w) / f(x)dx.
J д{у)	J
21.	1- f(x)g(y)h(w)	 = р(х).
Общее решение:
/An,	fX	/	\	С
= / f(t)h[P(t) — Р(х) + w) dt + Ф[гп — Р(х)), где Р(х) = p(x)dx.
9{У) Jx0	J
22.	1- f(x)g(y)h(w)	 = p(w).
Общее решение:
С dw
¦ P(w) + x) dt + Ф[х — P(w)), где P(w) =
д(у)
23. [/(ж) + gi(w)]	h [/1B/) + #2A^)]	 = 0.
Общее решение: / 	 — / 	 = Ф(гу). При интегрировании w
рассматривается как параметр.
24. [/(у) + gi(w)] ^- + [h(x) + 92(w)] ^ = 0.
Общее решение: g2(w)x — gi(w)y + / /г(ж) dx — f(y) dy = Ф(гу).

12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции	275
12.4.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции
двух переменных
Общее решение: у = / f(t, G(t) — G(x) + w)dt + $(w — G(x)), где G(x)= I g(x)dx
Jx0	j
dw „, Л dw	, Л
Общее решение
. у= Г f(G(t)-G(w) + x,t) ш + ф(х_а(т)^ где G{w) =
Jwq	9\Ч
3. -^- + f(x,w)g(y,w)^- = 0.
дх	ду
Сх	fy dt
Общее решение: / f(?,w)d?= / —	-+Ф(ги), где Ф(ги) —произвольная функция,
Jx0	Jyo g(t,w)
хо и уо —любые.
4.	1- [/(ж, w) -\- yg(x, ги)]	 = 0.
Общее решение:
yG(x, w) - Г f(t, w)G(t, w) dt = Ф(гу), где G(x, w) = exp [- Г g(t, w) dt].
Замена z = г/1"*5 приводит к уравнению вида 12.4.3.4:
ох
дх	ду
Замена z = e~Xy приводит к уравнению вида 12.43А:
dw
Л[/(ж,гу) + ^(ж,гу)]
7. ^ + /(аж + Ь„№)^=0.
Общее решение при 6/0:
=0.
/z dt
	.	.— х, z = ax + by, с — любое.
a + bf(t,w)
8. *L + f(v
дх ' J \x' J ду
Общее решение: Ф(и, w) = 0, где и=	—	1п|ж|, с — любое.
Jc	f{t,W)-t
Общее решение:
Ф(и, w) = 0, где и= —г	=	lnbl, z = хпуш, с — любое.
Jc t[mf(t,w) + п\
Общее решение:
/Z ^
—	х, z = eaxy, с — любое.
_ f(t,w) + at
18*

276	Квазилинейные уравнения вида /(ж, у, w) -^- + #(ж, у, w) -тр- = /г(ж, у, w)
п. Ц + е-/(—,«)-? = <>.
Общее решение:
Ф(гб, гу) = 0, где и= —=	=	1п|ж|, z = жеау, с — любое.
Общее решение:
Ф(гб, гу) = 0, где и= —=	-;	ж, z = eaxym, с — любое.
Oil?	гг — i ау л/ п ау ч ^^У _
9ж	€ ^Х € '™' ду ~
Общее решение:
Ф(гб, гу) = 0, где и= —=	=	1п|ж|, ^ = хпеау, с — любое.
14. 	 -|- т/ j (ж. ти)о(в т/« 11?) — ^?/ 	 ^— О-
Общее решение:
Ф(и, w) = 0, где и = / —	/ /(ж, гу) ехр[аA — к)х] с/ж, г; = еаху.
J vkg(v,w) J
При интегрировании w рассматривается как параметр.
дх	в	«/ Vae	e ^ W> Qy ~
Общее решение:
Ф(гг, гу) = О, где и=	е , 2 = ае + ое , с — любое.
Ж~а^ + ^(Ж' ^^(Ж ' W^~nl~oV =
Общее решение:
I/ \	С dv	f f(x.w) т	г, 7/
ф(^, гу) = 0, где и = / —	 - / м ' ; dx, v = хпеу.
J vg(v,w) J x
При интегрировании w рассматривается как параметр.
17.	[f(y, w) + amxnyrn-1} -^ - [g(x, w) + anxn-xym] ^- = 0.
cfx	i-*y
Общее решение: Ф(гб, w) = 0, где и = / f(y,w)dy + / g(x,w)dx + ахпут. При
интегрировании и> рассматривается как параметр.
18.	[евв/(», to) + с/3] -^ - [e?vg(x, w) + ca] -^ = О.
аж	ау
Общее решение: Ф(и,гп) = 0, где и= е~ у f(y,w) dy-\- I e~axg(x,w) dx — ce~ax~ .
При интегрировании ^ рассматривается как параметр.
Общее решение: Ф(гб(ж, у, w),w) = 0, где и(х, у, а) = С — общее решение обыкновенно-
обыкновенного дифференциального уравнения у'х = /(ж, у, а) с параметром а. Решения большого числа
обыкновенных дифференциальных уравнений с различной правой частью, зависящей от
свободных параметров, можно найти в справочниках В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997,
2001); см. также Э. Камке A976) и G. M. Murphy A960).
20. fy(x,y,w)-?^- - fx(x,y,w)-?^- = 0.
Общее решение: Ф(и>, f(x,y,w)) =0.

13. Нелинейные уравнения с двумя
независимыми переменными квадратичные
по производным
13.1.	Предварительные замечания
1°. Общее нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными,
квадратичное относительно производных, имеет вид
о	о	dw	dw
/22Р + fi2pq + fnq + /2P + fiq + /0 = 0, p = ——, q = ——;
дх	ду	A)
	 т	(<y* 01 t)l^\	т-i 	 т-i (<y* 01 t)l^\	fY~i <yyi 	 1 Oe	L^ 	 0 10
nm — Jпт \*l t У t и~>) t J к — J к \^i У i fJJ) i	u^ in — -L5Z/5 Л — и, ±, Z/.
Такие уравнения встречаются в механике, геометрической оптике, дифференциальной геоме-
геометрии и других приложениях.
2°. Уравнение с квадратичной нелинейностью относительно производных A) является частным
случаем нелинейного уравнения общего вида F(x,y,w,p,q) = 0, методы решения которого
излагаются далее в разд. 14.1.1-14.1.3 (см. также разд. 15.1.1-15.1.3).
3°. Преобразование
? = ?(ж,г/), r] = r](x,y), w(x,y) = (p(x,y)u(^r]) + ф(х,у)	B)
где ^(х,у), г](х,у), ср(х,у), ф(х,у) —произвольные гладкие функции, приводит к уравнению
аналогичного вида для функции и(^г]). Преобразования вида B) можно использовать для
упрощения уравнений A) путем подходящего выбора функций ?, г], (р, ф.
13.2.	Уравнения, содержащие произвольные параметры*
13.2.1. Уравнения вида -f^--f^- = f(x,y,w)
dw dw _
dx dy ~
у
Полный интеграл: w = aC\x -\	\- C2.
® Литература: Э. Камке A966).
dw dw	, ,
Полный интеграл: w = у у ax2 + C\ + b / —	— + 1
® Литература: Э. Камке A966).
_	dw dw	, t ,	.
3. —	-— = аху + Ъх + су + s.
ох оу
Полный интеграл: w = у у ах2 + 2сх + С\ + / —^=^=^
. dw dw	k . , n
4.	= ax у + ox .
Полный интеграл:
Этот раздел написан совместно с Л. В. Линчук.

278 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
dw dw	n k , * т 2fc+l
5.	—	— = ах у +Ъх у .
ох оу
Частный случай уравнения 13.3.1.3 при f{x) = ахп, д{х) = Ъхш.
6.	*?- *?- = ахпеХу + Ъх™е2Ху.
dx ду
Частный случай уравнения 13.3.1.4 при f{x) = ахп, д{х) = Ъхш.
dw dw	n
7.	= aw -\- Ъх .
дх ду
/хп dx
	—.
{ах + Сгу
о	dw dw	а
8.	= bw .
дх ду
Полный интеграл: w =
C^expf&Ci^ H	J	при а = 2.
® Литература: Э. Камке A966).
9. _^_^ _ Axaybwcm
{2
Г—- (АС?^ + v + С2I 2"с при с / 2,
C^expfACiiH	)	при с = 2,
_ I 	 при а / —1,	_ I —	 при Ь ф —1,
при а = —1,	t 1П Ы при 6 = — 1.
10.
® Литература: Э. Камке A966).
Огу dw	bw2
dx dy	w + a
Полный интеграл в неявном виде: х + ЬС2у + С2 = Ci By/w + a + гб), где
л/^1п —, 	^ при а > 0,
а
I /		I w -\- a
I у — о- arctg W	 при а < 0.
Он? Огу
Ож dy
О	2—к	Я Я
Замена z = 	ги 2 приводит к уравнению вида 13.2.1.2:	= ху + а.
2 — к	дх ду
dw dw	k+i . , п 2k	i _l л
12.	= аги ^ + 6ж w , к ф \.
Замена u = w1~k приводит к уравнению вида 13.2.1.7:	=аA — кJи+Ъ{1 — кJхп.
дх ду
dw dw	Лги , , п 2Xvu
13.	= ае -\- bx e
dx dy
Замена и = e~Xw приводит к уравнению вида 13.2.1.7:	= а\2и + ЬХ2хп.
дх ду

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
279
13.2.2. Уравнения вида f(x,y,w)-^-^ + g(x,y,w)^=h(x,y,w)
л	dw dw , dw .
1.	h a	 = bw.
dx dy	dx
Полный интеграл: w = (by + C\) (x + C2	In \by + C\\ J.
dw dw , / , ч dw , ,	Л
2.
3.
Полный интеграл: w = C\y — Ьх-\- (ab + ЬС\ — c) In \x + a + C\ \ + Сг-
Oil? Oil? ,	/	, . \ ^^ ,	,	гл
Полный интеграл при а ф 0:
Ci) + -^ [aq/+ (as-cCi) In |aj/ + Ci|] + C2.
Полные интегралы при а = 0, с ф 0:
4.
dw dw	dw
Полный интеграл:
г^ =	аж|/	aCixH
2	?/
2, <P(V)={ V7
¦In
2/- V73
2/+ V3
5.
6.
7.
dw
dw
=0-
1
Полный интеграл: w =
Z
	Cix + 2b /
Z	J
Ук dy
ay2 + C
/жп da;
	г	h Сг-
ахк + Сх
dx dy
dx
с = 0.
Полный интеграл: w = ±(х -\	J y/Ci — 2by	yk+1 + Съ-
o	Oil? Oil?	fe Oil?	^
+
при Ci > 0,
при С\ < 0.
Частный случай уравнения 13.3.2.4 при f(y) = a^/fc, ^(i/) = byn, h(y) = c^/m, r(y) = s^/z
Полный интеграл:
_ Oil? Oil? ,	fe Oil?
dx dy	У dx
лл dw dw	x dw ,	, y _
10.	h «e	^6 = 0, 6 7= 0.
dx dy	dx	^
Полный интеграл: u> = 	(in \Ci + аеж| — x) + Ciy + C2.

280 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
лл dw dw	. dw	, _
11.	\-asmx	1-6 = 0, b ф 0.
dx dy	dx
Полный интеграл: ги =
2Ь
arctg
С\у
dw
Полный интеграл: ги = —— cos(Ax) -\	cos(ay)	\-
A	fi	Сх
л.	dw dw .	ч dw
13. а—	h (bx + су + st^)—— = 1, s
ож ау	аж
0.
Замена ^ = Ъх + су + sw — ac/s приводит к уравнению вида 13.2.3.14:
(zx — b)(azy + sz) = s2.
® Литература: Э. Камке A966).
14. ay———	\~w—	h^ = 0.
dx dy	dx
Полный интеграл: w = —	BC\x — Ъу2/а + Сг).
Другой полный интеграл при а = — 2:
— С\){С2У — Ь).
л_ dw dw t	ч Он?	,
15. a?/—	\-(Ъх + су + sw)—— = 1, а ф 0.
ож ay	ож
Полный интеграл:
при a + s/0;
при a + s = 0.
Здесь <?>(ж) = —\/2sx + C2 при 6 = 0. Если 6 / 0, то функция ш определяется неявно с
s
помощью выражения х = С2вЬ(р — sb~2(b(p + 1).
16. w	\- a	\- bw = 0.
dx dy	dx
Полный интеграл в неявном виде:
а+ л/а2 - 4ЬС, w
±aln
-a\nw = 2b(x + dy + C2).
13.2.3. Уравнения вида
dw dw	dw , , dw
1.	—a	\-b	.
dx dy	dx	dy
Полные интегралы:
где
= aC2
.	On? dw , On?
2.	ha
Ож ay	аж
Полный интеграл: w =
w = bx + ay ± y/C\x + ^abxy + C2,
гу = bx	^
dw

dy
C2.
2 (a + Cx
= 0, ab ф 0.
\- C\y + C2.

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
281
3.
5.
6.
7.
dw dw	dw	dw
	= ax	\- ay	.
dx dy	dx	ду
Четыре различных полных интеграла:
= ax(y + л/у2 + Ci) + C2,
= ay{x + уж2 + Ci) + C2,
-\	/ \fv2 + C\ dv) + C2, u =
.	dw dw .	dw . , dw _	, , _
4.	1- ay	\- ox	 = 0, ab ф 0.
dx dy	dx	dy
Полный интеграл:
Если ab > 0, то можно так определить числа а, /3, что а = ±а2, Ъ = =Ь/32, причем оба
раза берутся либо верхние, либо нижние знаки. Если положить и = /Зх + ау, v = (Зх — ау,
то получается уравнение вида 13.3.7.10: w\ ±uwu = w2, ±vwv. Таким образом приходим
к другому полному интегралу.
dw dw
dw
dw
Полный интеграл:
w = xy =F (x +
dx dy	dx	dy
Полный интеграл при а ф — 1:
w = xy±xy/(a + l)yz +
Полный интеграл при а = — 1:
± (ab - с) \п\у
+ъ
¦In
2ау
+ а\ + С2.
w = ху - Сix + ——г/ + С2.
dw dw
dw
Полные интегралы при а ф — 1:
w = x\y±J(a + :
w = ху ± уу(а + 1)ж2
Полный интегралы при а = — 1:
w =
а + 1
= xy±
С2.
С2.
8-
9-
Полный интеграл: г^ = — уж(аж + Ci =Ь д/С2 — 4с) — ^у{Ъу + Ci =F д/С2 — 4с) + Сг-
Полный интеграл: г^ = —аху -\- С\х -\	2/ + Сг-

282 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
лл dw dw . dw . , dw . 2 ¦ 2 ^	л	2,2
10.	\- ay	\- bx	\- ex + sy = 0, 4cs = a b .
Преобразование
bx2
9
Xx — X 1y	Xx + A
и = 	=——, v =
V2
a6
приводит к уравнению вида 13.2.6.4: z2, — z2 = 2abu2.
11. a
dw dw
dw , On?
dx У dy
dx dy
Полный интеграл: w = C\x + C22/ + C1C1C2.
dw dw , , / , , 4 dw	, , , ч On? , ,	л
12. —— —— + b(ax + by)—- + аож + ^2/)^— + abc = 0.
ож oy	ox	oy
Полный интеграл:
_ aClX + bCiy ± j(
±^(C!-c)\n
аж + ty
¦C2.
dw
Oil? dw	f	1 и \ dw	(	1 и \ dw 1 и	n
13. —	h Ь(аж + by)—	a(ax + O2/)-r	h «be = 0.
ox oy	ox	oy
Полный интеграл: w = Ci(by - ax) =F	BaC\x + 2bC\y - с + C() ' + C2.
On?
du?
Преобразование ж = 16, у = 1пг>, гу = cz + г> — агб приводит к уравнению вида 13.2.2.15:
dz dz
cv	h -
ди dv
/7 -. ч	п dz
(b + l)v + bcz]	 =
ди
® Литература: Э. Камке A966).
15. 2ж	к;	\- а	 = 0.
dx dy	dy	dx
000/0
\Х )
Полный интеграл в неявном виде: (aCiw + С\Х ) ' — -|-aCi (xw + a^/) =
On? dw	dw	dw	,
16. у	w	\- a	 =0, a 7= 0.
y dx dy	dx	dy	'	^
Три различных полных интеграла:
С2 , гу =
01
+ С2.
ax + Cx
17.
— — +5— + a— = 0.
Полный интеграл:
w = Ci (ах — by) — In \ax + i
1 + Cf
+
: Arth -
18.
dw
~ду~
Полный интеграл:
a)
У
1 arctg	 для верхнего знака,
С\ Arth	 для нижнего знака.

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
283
1ft ,	, ч dw dw	t	л Он?	,	л dw _
19. с(ож — by)	\- b(ax — cw)	1- a(cw — by)	 = 0.
dx dy	dx	ду
Общий интеграл в параметрическом виде:
) + АBи - v + 1)Ф'г(
х = 1
a
w = — Гжгб + yv — (и + г; —
с
у = I
-B« - и
= 	(и + v — IK.
uv
dw dw	( dw , dw \
20. w	= a[x	\-у	).
dx dy V dx U dy J
21. aw
Полный интеграл: w2 =
dw
{C\x + С2УJ + C3.
h
22.
Полный интеграл: u>2 = С1Ж2 + C22/2 + а
/ , ,\ 9w dw , , On? ,	dw
(a + b)w__+6j/_+aa;_
Полный интеграл: w = O3 —
(a + b)C1C2
+ С2У ).
13.2.4. Уравнения вида -f^- + f(x,y,w)(j%-J = g(x,y,w)
> Уравнения этого типа встречаются в механике, где переменная х играет роль времени, а
переменная у играет роль пространственной координаты.
dw
dw \2
)
=Ъу-
Это уравнение описывает свободное вертикальное падение точечного тела у поверхности
Земли {у — координата, направленная вниз, х — время, т = -^- — масса тела, g = 2ab —
ускорение свободного падения).
тт	»	^ , 2а fby + C1 \3/2 , ^
Полный интеграл: w = —Gix ± — I	— ] + Ог-
36 V а /
® Литература: А. П. Маркеев A990).
2.
Это уравнение описывает свободные колебания материальной точки массы т = 1/Bа)
в упругом поле с коэффициентом упругости к = 2Ь (у — отклонение от положения
равновесия, х — время).
3.
Полный интеграл: w = — С\х + С2 =Ь
® Литература: Ф. Р. Гантмахер A966).
dw\2 f fc
—	— dx + C2.
Он?	{ dw\2
Ож	V dy J
/с + 1
Частный случай уравнения 13.3.3.1 при /(ж) = Ъхк,
и> = — Cix
dw	{ dw\2	h
*• -dx-+a\-d^) =ЬхУ + сх
Частный случай уравнения 13.3.3.2 при f(x) = bxk,
= c^/n. Полный интеграл:
= сжп. Полный интеграл:
2abClXk+2	^2
(Л+ !)(* +2) -*Ci* +

284 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
Частный случай уравнения 13.3.3.3 при /(ж) = Ъхк, д(ж) = сжп, h(x) = вжт.
Частный случай уравнения 13.3.3.4 при /(?) = &?те. Полный интеграл:
гу = Cix + С2	^т(Ьж + су) ± -^— / у/4ас2к?п +Ъ2 - 4ac2Ci d?, ? = Ъх + q/.
2ас2	2ас2 J
7. —	^а(—— ) = Ъх +серу.
дх	^ ду J
дх	^ ду
Частный случай уравнения 13.3.3.1 при /(ж) = bxk, g(y) = се^у. Полный интеграл:
dy + с2.
/с + 1
8.	\- а (	) = be х + ее .
dx	\ dy J
Частный случай уравнения 13.3.3.1 при /(ж) = 6еЛж, д(у) = се^. Полный интеграл:
Л
_	., >
Ож ^ "' ^~ ' "~ "" ~^ '"'
Частный случай уравнения 13.3.3.1 при /(ж) = beXx, g(y) = c^/fc. Полный интеграл:
„, = -ClX + АеЛж + [ JfUJ^l. dy + С2.
Л	J V	CL
Частный случай уравнения 13.3.3.2 при /(ж) = Ьхк, д{х) =
11.	()
Частный случай уравнения 13.3.3.2 при /(ж) = ЬеХх, д(х) = се^33. Полный интеграл:
w = у({г° + Сг) + |е"- - |?-е2*' - ^е^ - «С?, + С2.
12. ^(^)^
аж	V ау /
Частный случай уравнения 13.3.3.2 при /(ж) = ЬеХх, д(ж) =
13.
Частный случай уравнения 13.3.3.4 при /(?) = А;е^. Полный интеграл:
С2	тг
2ас2
(Ьх + су) ±	 / \/Аас2ке^ + Ъ2 - 4ac2Ci d?, ? = Ъх + су.
2ас2 J
dw	( dw\2	h
14.	\- a 	 = bx w -\- ex .
dx	V dy /
Частный случай уравнения 13.3.3.7 при /(ж) = бж^, р(ж) = схп. Полный интеграл:
w = F{x){C, + С2у) + F{x)f[cxn - aClF\xj\ -^, F(x) = e

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	285
Л_ dw	( dw \2	k	вх
15.	\-а[	 = bx w + сер .
dx	\ dy )
Частный случай уравнения 13.3.3.7 при /(ж) = Ъхк, д{х) = се^х. Полный интеграл:
и; = F(x)(d + С2у) + F(x)j[ce?x - aC22F2(x)] -^, F(x) = ехр(^хк
Л, dw	( dw \2	\х	k
16.	\- а 	 = be w + сх .
дх	V ду )
Частный случай уравнения 13.3.3.7 при /(ж) = beXx, g{x) = схк. Полный интеграл:
w = F(x)(C
\2
С2у) + F(x)J[cxk - aClF2{x)} -^L-, F(x) = ехр(|
._	dw	( dw \2	, Ajb	,	вх
17.	h o, 	 = be w + ceR .
dx \ dy J
Частный случай уравнения 13.3.3.7 при f(x) = beXx, g{x) = ce^x. Полный интеграл:
w = F(x)(Ci + C2y) + F(x)J[ce0x - aC22F2(x)] -^-, F(x) = exp(|eAl).
18.	*?- + о (-^f = bw2 + cxkw + sxn.
dx	V dy )
Частный случай уравнения 13.3.3.8 при f(x) = схк, д{х) = sxn.
19.	*?- + о f—f = Ьго2 + Ca;feW + se"-.
Ож	^ dy /
Частный случай уравнения 13.3.3.8 при /(ж) = схк, д{х) = е^33.
20. ^L+a(
dx	^ dy
Частный случай уравнения 13.3.3.8 при /(ж) = сеХх, д{х) = е^х.
21. ^L + axfe (—) = bxnw +	у +
Ож	V dy /
Частный случай уравнения 13.3.3.9 при /(ж) = аж^, д{х) = 6жп, /г(ж) = cixm, s(x) = С2жг.
22.
+ ot
dx	2/
Частный случай уравнения 13.3.3.10 при /(г/) = a^/fc, р(ж) = С1ЖП, h{x) = С2Жт.
23.	h ae
dx	V dy J	"
Частный случай уравнения 13.3.3.9 при /(ж) = аеХх, д(х) = be^x, h(x) = с\е1Х,
24.	Ь ае' .
Ож	V dy
Частный случай уравнения 13.3.3.10 при f(y) = аеХу, д(ж) = cie^23, /г(ж) = <
25. ^+(^г+5)(^)
Частный случай уравнения 13.3.3.11 при /(ж) = ахк, д{х) = 6жп. Полный интеграл:
26.	+ (aaj» + te) f
О	v	y dy
Частный случай уравнения 13.3.3.12 при /(ж) = ахк, д(х) = bxn, h(x) = сжт, г(ж) = 0,
1

286 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
„. ? + („*, + *,(?)
Частный случай уравнения 13.3.3.11 при /(ж) = ахк, д(х) = ЬеХх. Полный интеграл:
x^(x)dx + Cu ф)=
28> i^r+ ^
Частный случай уравнения 13.3.3.13 при /(ж) = ахп, д(х) = Ъхш.
Эх У у	у ) v dy ) ~
Частный случай уравнения 13.3.3.14 при /(ж) = ахп, д(х) = bxm, h(x) = еж9, в(ж) = Sc
30.	1- А(аж + by) (	) = В(ах + by)n.
dx	\ dy /
Частный случай уравнения 13.3.3.17 при /(?) = A^fc, p(^) = 5^п. Полный интеграл:
г^ = С\х ¦
где ^ = ах -
Частный случай уравнения 13.3.3.17 при
Частный случай уравнения 13.3.3.11 при f(x) = аеЛж, д(ж) = бе^33. Полный интеграл:
w = ф)у - Ъ J e^xip2(x) dx + Ci, ф) = (у еХх + С2) ~\
Частный случай уравнения 13.3.3.11 при /(ж) = аеХх, д(х) = 6xfc. Полный интеграл:
w = ф)у -bjxkip2(x) dx + Ci, ^(ж) = (уеЛж + С2) "'•
34. ^ + (аеЛву + ^ж) (^] = ce^w + soe^.
ох	\ оу /
Частный случай уравнения 13.3.3.12 при /(ж) = аеЛж, д(ж) = бе^3", h(x) = се7Ж, г(ж) = 0,
s(x) =soe^x.
35.	^ + (ae^ +
dx v	y
Частный случай уравнения 13.3.3.15 при f(x)= аеCх\ д(х) = 6емж,
36.	|^ + (ав^ + Ьв^--2)(|^J = 0.
Частный случай уравнения 13.3.3.13 при /(ж) = аеЛж, р(ж) = Ъе^х.
37.	Ц + (ае* V + Ье'3^2'3-2) (|^J = ce^w + soe^.
Частный случай уравнения 13.3.3.14 при /(ж) = аеХх, д{х) = be^x, h{x) = се7Ж,

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	287
38. -*?
дх
{ахи ЬхПеху) (dw_\* = 0
дх v	J \ ду J
Частный случай уравнения 13.3.3.15 при f(x) = аж*5, #(ж) = Ъхп
39. *?- + (ae*- + ЬеЛ*+^) f-^f = cw
дх v	/ \ ду J
+ (ae + Ье) ff cw + oe.
дх v	/ \ ду J
Частный случай уравнения 13.3.3.16 при f(x) = ае^ж, #(ж) = be^x, /г(ж) = с,
^	+b (f	Л(+Ь)
40. -^ + Aeax+by (—f = БеЛ(аж+Ьу)
аж ^	Ui/У
аж	Ui/У
Частный случай уравнения 13.3.3.17 при /(?) = Ае^, р(^) = БеЛ^. Полный интеграл:
+ C2 + —°^е-*> ±—^- f e
где ^ =
41. ^L +
ox	V ay /
Частный случай уравнения 13.3.3.17 при /(?) = Ае^, g(^) =
42. — + (a2«fe2^ + ai^fel2/ + ao«fe°) f-^-J = Ьзж712™ + б^711?/ + boxn°
дх x	; \ ду J
43. —
аж
иж	\ иу /
Частный случай уравнения 13.3.3.19 при /т(ж) = ашхкгп, дш(х) = ЬшхПгп (т = О, 1, 2).
оги / л2ж |	Aijc |	лож\ / dw \2 _ , ^ж	, ?1Ж , ^qjc
Ож	V ду )
Частный случай уравнения 13.3.3.19 при /т (х) = агпеХгпХ, дш (х) =brnel3mX (m = 0, 1, 2).
л л ^^	fe ( dw \2
44.	aw 	 = 0.
дх	V ду )
Полный интеграл: w = 	(С\ х + С\у + Сг)
Он?	ь / Огу \2 /. эт . wA Огу
45.	aw 	 — (bx у + ex )	 = 0.
дх	V ду ) v *	;
дх	V ду ) v	; ay
Частный случай уравнения 13.3.3.24 при /(гу) = ai^fc, g{x) = 6жп, /г(ж) =
аж	V ду )
Частный случай уравнения 13.3.3.20 при f(x) = ахп, д{х) = Ьхш.
^^2
C7i«	\ Uy /
Частный случай уравнения 13.3.3.25 при f(y) = ayk, g{w) = г^п, /г(г^) =
._	Oil?	, тт, и ( dw \	k-\-2	m
48.	\- by w [	 = aw ^ + ex w.
дх	У	V ау /
Частный случай уравнения 13.3.3.21 при f(y) = byn, g{x) = сжт.
49.	—— + A(w + ax + by)k(——) = B(w + ах + byO1.
дх	V ду J
Частный случай уравнения 13.3.3.27 при f{u) = Аик, д{и) = Вип.
50.	^ + aeAa5wfe f ^f = be^w.
дх	\ ду )
Частный случай уравнения 13.3.3.20 при /(ж) = аеХх, д{х) = Ье^х.

288 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
51.	Ь аелуи .
дх	V ду
Частный случай уравнения 13.3.3.25 при f(y) = аеХу, g(w) = wk, h(w) = be/3w.
*1 + be^wk (^J = awk+2 + ce^w.
дх	\ ду J
Частный случай уравнения 13.3.3.21 при f(y) = beXy', g(x) = ce^x.
53. „ — • о
ду
Полный интеграл: w = — 1п[/5(аG?ж + С\у +
54 -йг
Частный случай уравнения 13.3.3.22 при /(ж) = ахк, д(х) = Ъхп.
дх	\ ду J
55. ^- - ae*x^pw ( -^- ] - Ъе1Х = 0.
ду
Частный случай уравнения 13.3.3.22 при f(x) = аеХх, д(х) = Ъе1Х.
56.	ae^w (	) — (beXxy + ce^33)	 = 0.
дх	^ ду J V ^	; ду
Частный случай уравнения 13.3.3.24 при f(w) = ae^w, g{x) = beXx, h(x) = семж.
Oil?	Лу+/3гу / ^1^ Л2 _ , -угу
Частный случай уравнения 13.3.3.25 при f(y) = аеХу, р(гу) = е^^, /&(ги) = 6е7и;.
Полный интеграл: w = \(т + 1) (	^ж Н	—г/ 2 + G2 )
L	\/с + 1	2 — п	/J
59.
Полный интеграл: w = Urn + 1) ( aCl xk+1 - -^-e 2 Л^ + ^2)] m+1 •
60.
Ож	* \ ду
о	о	1
Полный интеграл: w = (m + 1) (	^е ж Н	—у 2 + G2 J m .
L	\A	z — 71	/J
OX. 	 CLX XI €¦
ду
Полный интеграл: w = — lnf	—хк+1 -\	—у з~ + G2 ).
AV/c + 1	2-n^	/
62. 	 — ae х~1~ру-г7™ l	j __ q
дх	\ dv J
ду
Полный интеграл: w = - 1п(^Ь^еЛж - ^?lle-^v + C2V
7 V А	13	/
dw	-w + an + Ъу ( dw
дх S	V ду
Частный случай уравнения 13.3.3.27 при f{u) = Aeu, g{u) = BeXu.

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	289
13.2.5. Уравнения вида
> Уравнения этого типа встречаются в механике, где переменная х играет роль времени, а
переменная у играет роль пространственной координаты.
dw	{ dw\2	dw	h
1. -^	h a —— + b—— —ex + sy .
dx	\ dy J	dy
Полный интеграл: w = — dx-\-C2-\	x +1	y±— / y/4asyn + b2 + 4aCi dy.
k + 1	2a 2a J
.	On?	/ dw \2	On?	fe	ey
2.	ha 	 + b	 —ex + se .
аж	V ay /	ay
Полный интеграл: w = — dx-\-C2-\	x +1	г/±— / v 4ase^y + 62 + 4aCi с?г/.
/с + 1	2a 2a J
3. —^- +a(—^-) + 6—— = сеЛаг + syk.
dx	\ dy J	dy
Полный интеграл: w = — dx + C2 -\	e x	у ± — / y4asyk +b2 + 4aGi с?г/.
Л	2a	2a J
.	dw	( dw \2 , Oil?	Aje ,	/3tj
4.	h a (	) + b	 = ce + se .
ож	V dy )	dy
с \	b	If /
Полный интеграл: w = — dx + C2 -\	e x	у ± — / у Aase^y +b2 + 4aGi c?|/.
Л	2a	2a J
_	On?	/ On? \2	On?	fc
5. —	ha — +Ь^— = сж 2/
dx	^ dy J	dy
2
ha	+Ь^
dx	^ dy J	dy
Полный интеграл:
cBaC1 + b)xk+2
2)
dy *
Частный случай уравнения 13.3.4.2 при f(x) = cxk, g(x) = se^x.
7 ^^ _|_ ( dw \2 _|_ » dw _ \x	k
dx	V dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.2 при f(x) = сеХх, g(x) = sxk.
o	dw . ( dw \2 , udw	Xx	ex
8. —	ha —— +b—— =ce у + sep .
dx	\ dy J	dy
Полный интеграл:
V Л	/ f3	2Л3	Л2
dw , ( dw \2 t , dw	и . n
9.	h a 	 + b	 = ex w + sx .
Ож	V dy J	dy
Полный интеграл:
w = (Ciy+C2)F(x)+F(x) J[sxn -aClF2(x)-bCiF(x)] ^-,
1Л	Oil?	/ Oil? \2	Oil?	fe	вж
10.	h a 	 + b	 = ex w + seR .
Ож	^ dy J	dy
Полный интеграл:
w = (C1y+C2)F(x)+F(x) I[se^-aC21F2(x)-bC1F(x)] -^-y F(x) =
19 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

290 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
лл dw	( dw \2	dw	\x	k
11.	h ai	 + b	 = се w + sx .
dx	\ dy J	dy
Полный интеграл:
w = (Ciy + C2)F(x) + F(x) f\sxk-aC2F2(x)-bC1F(x)] -^-, F(x) = expf — eXx).
J L	J F(x)	V A /
dw . fdw\2 . ,dw	\x	.	/3aj
12. —	\-a[——) +b——=ce w + sep .
0ж	\ dy J	dy
Полный интеграл:
w = (Ciy+C2)F(x)+F(x) f [se^x-aC2F2(x)-bCiF(x)] -^-, F(x) = exp( — еЛж).
1<a a™ fc/ dw\2 n dw m
13.	\- ax 	 + bx 	 = ex .
dx	V dy J	dy
Полный интеграл: w = Ciy	— x +	— xn+ -\	хш+ + C2.
F	y jfe+1	n+1	m+1
14.	h ax 	 + bx 	 = ceH .
dx	\ dy J	dy
C2	hC
Полный интеграл: w = Ciy	— x +1	— xn+1 -\	e + C2.
л	dw	и ( dw \2 . u n dw	m	a „	u,
15.	1- ax 	 + bx 	 — ex w + px у + jx^.
dx	V dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.5 при f(x) = ахк, д{х) = bxn, h{x) = схт, р(х) = /Зхи,
s(x) = jx^.
= bxnw + c2xrn2y2 -
Частный случай уравнения 13.3.4.6.
dw	\х ( dw \2	fe On?	вх
17. —	h ае —— + 6ж —— = сер .
Ож	V dy J	dy
Полный интеграл: w = Ciy - ^—^еХх	^—xk+1 + — el3x + С2.
А	гь ~\~ 1	/э
18.	1- ае х (	) + be 	 = се~*х.
Ож	^ dy J	dy
т-г	s-ч	ClC? At	bCi RT	С ^T s-ч
Полный интеграл: w = Ciy	—e	-e^ -\	e7 + C2.
A	p	7
19.	1- ae x (	) + be 	 = ce^xw -\- ke"xy -\- me^x.
dx	V #2/ /	Oy
Частный случай уравнения 13.3.4.5 при f(x) =aeXx, g{x) =be^x, h(x) = ceJX,p(x) = keux
yjb) — lilt-
20 dw I fc / dw \2	n dw _ m
Полный интеграл:
и„.п — к + 1	i /•	.
^—r i ^—* wi/ ^_ *- I — к /То о„
If = — blX + Су2	± 	 / 1/ Л/О V
2a(n -/c + 1) 2a У У v
dw	kf dw \2 , n On? _ ^y
Ож	^ dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.7 при f(y) = аук, д(у) = 6|/n, Д(г/) = <

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	291
Полный интеграл:
ГТт-\-1	iO/n —fc + 1	1 /•	.
—	°-У	_±— / y-k^/b2y2n + Aasyk+l + 4aCV dy.
m + 1 2a(n — /c + 1) 2a J
2a(n — /c + 1)
23.	h ae y 	 + bepy	 = ce{V.
dx	V dy )	dy
Полный интеграл:
w = -Cix + C2- —	± — / e~Xy у/Ъ2е2Ру + 4асе(х+^У + ACiaexv dy.
2a(/3 — A) 2a J
24.	h ae y 	 + 6epy	 = ce1 + se^y.
Ож	V dy J	dy
+ 6e
dy J	dy
Полный интеграл:
r
w = -О1Ж + О2 + — e' -
lx
e	±
7	2a(/3 - Л) 2a
1 Г
— /
a У
25. -^ + А(аж + fa/Г -^ + В(аж + Ь?/)Т1-^- = С(аж + fa/)™.
Ож	V dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.9 при f(z) = Azk, g(z) = Bzn, h(z) = Cz™.
26. ^- + Аеаж+Оу -^- + Be^
dx	\ dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.9 при f(z) = Aez, g(z) = BeXz, h(z) = Cef3z.
27.	\- aw 	 + bw 	 = 0.
dx	V dy J	dy
/aC2wkdw
	 = С 2,.
Су + bC2wn
dw	„
= Сз-
**• - * ~~ > dy J * - dy
т-г s~i s~i f a
Полный интеграл в неявном виде: С\х + Съу + \
J C1
+ bC2eAw
k{ dw\2	n dw
\ dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.12 при f(w) = ai^fc, р(гу) = bwn, h{w) =
dw	к ( 9w у	n dw	m
2". 	 -|- aw I 	I -|- bw 	 = cw
dx	V dy J	dy
30.	—— — awk(——\ — (bxny + сжт)—— = 0.
dx	\ dy J K	' dy
Частный случай уравнения 13.3.4.13 при f(w) = aeXw', g{x) = bxn, h(x) = cxn
31.	^- + aex
	 = C3.
Cx + bC2wn
32	-U ae
dx	V dy J '	Oy
/•
Полный интеграл в неявном виде: dx -\- С2У + I
дж	\ dy J	dy
Частный случай уравнения 13.3.4.12 при f(w) = aeXw, р(гу) = be^w, /г(г(;) = се7™.
19*

292 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
~л dw	\w ( dw \2 t вх , -ух\ dw
34.	ае 	 — (bep у + се1 )	 = 0.
dx	V ду ) v	у	' ду
Частный случай уравнения 13.3.4.13 при f(w) = aeXw, g(x) = be^x, h(x) = ceJX.
35. -^ + A(w + ax + by)k (^f + B(w + ax + by)n ^- = C(w + ax + by)m.
ox	V oy /	ay
Частный случай уравнения 13.3.4.14 при f(z) = Azk, g(z) = Bzn, h(z) = G^m.
dx	V ду )	ду
Частный случай уравнения 13.3.4.14 при f(z) = Aez, р(^) = BeXz, h(z) =
13.2.6.
> Уравнения данного вида встречаются в механике, геометрической оптике и дифференци-
дифференциальной геометрии. В частности, уравнение (-§^г) + (~§^) = f(x>y) описывает двумерный
фронт волны при распространении света в неоднородной среде с переменным коэффициентом
преломления f(x,y).
Л	( dw \2	/ аи? \2
1. a 	 -\-Ъ(	 = с.
V дх )	\ ду )
Дифференциальное уравнение световых лучей {при а = Ь).
Полный интеграл: w = С\х + С2У + Сз, где aGi + ЬС\ = с.
Другой полный интеграл: 	 =	——\- —	^—.
с	a	b
( dw \2 , f dw \2
Это уравнение описывает параболическое движение материальной точки в пустоте (коор-
(координата х отсчитывается вдоль поверхности Земли, координата у отсчитывается по верти-
вертикали от поверхности Земли, а — ускорение силы тяжести).
Полный интеграл: w = С\х ± -^(а — С\ — 2ЬуK/2 + Сг.
(•) Литература: П. Аппель A960).
Полный интеграл при Ъ2 + ас2 ф 0:
Полный интеграл при Ъ2 + ас2 = 0:
= 1 Ъ = А;2 с = ±?;2
с /у , \2 Ci , С л Ь . «
При a = 1, Ъ = А;2, с = ±?;2 имеется также полный интеграл:
w = Щх + CiK/2 ± |Л(у Т CiK/2 + С2.
4.	("о^") +а("я^") = &1ж2 + &2?/2 + С1Ж + С22/ + S.
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
w = d= / yb\x2 + c\x + s — Ci dx ±

_
5-
13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	293
Пусть числа А, В, к\, к2 удовлетворяют следующей алгебраической системе уравнений
(к\ или к2 можно задать произвольно):
Ак\ + Вк\ = а, 2(А - В)кгк2 = Ъ, Ак\ + Вк\ = с.
Тогда преобразование ? = к\х + к2у, ц = к2х — к\у приводит к уравнению вида 13.2.6.4:
А >2 , В 2 , s
и2 _|_ и2 S ' 1.2 j. l2 '» ' л2 _|_л2 *
/ dw У ( dw У	2 .	2 /Q
\ дх J \ ду J
Преобразование, используемое для решения уравнения 13.2.6.5, приводит к уравнению с
разделяющимися переменными вида 13.2.6.4.
dw\2 , Г dw\2 , h
'• (?/+•(?)-
бж^.
Полный интеграл: w = Ciy + С2 ± / ybxk — аС\ dx.
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
w = ± / уахк + Ci с/ж ± / \/Ьуп + с — C\dy + С2.
(•) Литература: Э. Камке A966).
dw \2 / Он? \2 _	а
9 ,¦ ^ ^
К решению этого уравнения сводится задача о движении двух тел в небесной механике.
Переходя к полярным координатам х = г cos 6,y = r sin #, можно получить уравнение
с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
w = ± J Jh+?--^rdr + C16 + C2.
® Литература: П. Аппель A960), Р. Курант A964), Э. Камке A966).
Частный случай уравнения 13.3.5.4 при f(z) = azk.
dw
Частный случай уравнения 13.3.5.5 при f(z) = <
Частный случай уравнения 13.3.5.6 при f(z) = azk.
13. (——J + (——) = А(ах-\-by)k-\-B(bx — ау)п-\-s.
Частный случай уравнения 13.3.5.3 при f(z) = Azk, g{u) = Вип + s.
/ dw У f dw У
14. a(	) +b(	) = cw.
V dx J ^ V dy J
С	9
Полный интеграл: w =	— (С1Ж + C22/ + Сз) .
4(^0,0-^ -|- 0(^2)

294 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
2	2
=aw
Полный интеграл в неявном виде: х cos С\ -\- у sin Ci + С2 = =Ь /
_	У Vaw2 + 6
Отсюда, в частности, при а = 1, 6 = 0 имеем w = C2 ехр(ж cos С\ -\-у sin Ci).
Это уравнение описывает семейство сферических поверхностей радиуса а, центры кото-
которых расположены на плоскости ж, у.
Полный интеграл в неявном виде: (ж — C\f + (у — С2J + w2 = а2.
Другой полный интеграл:	—^—2^— + w2 = а2.
= awk.
Частный случай уравнения 13.3.5.7 при f(w)= awk.
2	2-fc
Замена и = 	w 2 приводит к уравнению вида 13.2.6.5:
Z 	 ГЬ
ди \2 / ди \2
2
=b
Полный интеграл: w =	\^-	h 2С\л/у + Сг.
20.	(|^) + Л(аЖ + by)" (^/ = В(аЖ + ЬуГ
Частный случай уравнения 13.3.5.15 при f(z) = 1, g(z) = A^fc, /г(^) = Bzn.
f dw\2 t ^ f dw \2 2
21.	a 	 +6t^ 	 =c.
Полный интеграл: bC\w = —aG2 + —^—^-(Cix + C22/ + Cs)
22.
23.
х ( dw ) + а (
Полный интеграл
2 / dw \2
Преобразование
и
dw\2
2/ dVL
у (—
= In ж,
_ In
Ь
V -
>х + су.
26ж + 2д/бж
' а
= wc.
= ln|/, ^ =
2cy + 2y/cy(cy-Ci) -
{
ez	при с = 2
приводит к уравнению вида 13.2.6.1: az2, + bz% = 1.

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры	295
24. (ж2 - а2) (-|^-J - (У2 ~ о2) (-|^-J = Ь(х2 - у2) + кх.
К этому уравнению сводится плоская задача о притяжении двумя равными неподвижными
точечными телами (переменные х и у играют роль эллиптических координат, а —
расстояние между телами).
/	/ ti'rY* I J/»rr* I i	/	/ tilt I i
Полный интеграл: w = ± / \	—- dx ± / \ —	^- dy + С2.
J V ж2 - a2	J \ у2 - а2
® Литература: В. И. Арнольд A974).
^^\2 , , w , ч/0™
^— -(y + ai)(y + a2)[
ox /	V оу
Полный интеграл:
су -
,	Г Сх + су - Ь^/у + аг , ^
При А; = у!7711 + Г7г2)? Ь = yI7711 "" 77г2) это Уравнение описывает плоское движение
точки с единичной массой под действием гравитационных сил, создаваемых массами
mi, ГП2, находящимися в точках (ж = =Ы,|/ = 0), где переменные х и у играют роль
эллиптических координат.
® Литература: Э. Камке A966).
26. 4y(a — x)(b — x)(c — x)[-j^-) - 4х(а - у)(Ь - у)(с - у) (-^-) =ху(х-у).
Это уравнение встречается при отыскании геодезических линий на эллипсоиде с полуося-
полуосями а, Ь, с. Полный интеграл:
® Литература: Э. Камке A966).
27. аа
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
Г сх™ + С1	Г syl+p-C1
/ л/	—^с?ж± / W-^—	 dy + C2.
J У ахк	У у	Ьуп
ги = ±
Знаки перед каждым интегралом выбираются произвольно независимо друг от друга.
28.
Это уравнение возникает при введении ортогональных геодезических параметрических
линий на единичной сфере. Полный интеграл:
w = Ciy + С2 ± / Wa - , . \9 dx.
J у	(sin жJ
® Литература: Э. Камке A966).
29. А(аЖ + 6j,)fe (||J + В(аЖ + Ы,)п (-^J = С(аЖ + Ь»)т.
Частный случай уравнения 13.3.5.15 при f(z) = Azk, g(z) = Bzn, h(z) = C^m.
)k
30. A(w + ax + by)k (-^-) + B(w + аж + б?/O1 f-^-f = C(w + аж + 6?
V ож /	V oy J
Частный случай уравнения 13.3.5.16 при f(z) = Azk, g(z) = Bzn, h(z) = Czm.

296 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
31. axw () + byw (
d	V dy
Частный случай уравнения 13.3.5.17 при fi(x) = ахк, gi(w) = wni, /2B/) = bym,
g2(w) = wn2, h(w) = сшПз + s.
V dx J	\ dy
Частный случай уравнения 13.3.5.15 при f(z) = Aez, g(z) = BeXz, /i(z) =
\ dx )	G	\~dy~) ~
Частный случай уравнения 13.3.5.16 при f(z) = Aez, g(z) = BeXz, -
34- ae l-ftrJ +6e kw) =ce +s-
Частный случай уравнения 13.3.5.17 при fi(x) = aeXlX, gi(w) = e^1^, /2B/) = beX2V,
g2(w) = e^2U;, /i(iy) = ce7u; + s.
13.2.7. Уравнения вида f(x,y)(^J +д(х,у)^^- = ^(ж,;*/,™)
Огу \2 . dw dw . , .
	I + a	\- ox + с?/ = 0.
Ож /	Ож ch/
1°. Полный интеграл при b ф 0:
a(aCi - 2Ъу) + С2.
2°. Полный интеграл при Ъ ф —ас.
- ЩЬ + ас){Ьх + су)}~3/2
W	26F +ас)	1262F +асJ
3°. Полный интеграл при Ъ = 0:
2'
4°. Полный интеграл при 6 = —ас:
С (^2/ CLXjX у\^ у i ^^i уу	^-^
"Ш = 	 — 	 + Су2-
2СХ	2асС1
(dw \2 dw dw
	] -|- о,	-|- оху = 0.
'	С
Полный интеграл: w = (х	) \ С\	у2	х In y/—ab у + \/а(аС\ —
V 2а / у	я	2у/—аЬ
( dw \2	Он? Огу
3. [	I -|- а	-\- bw = 0
V dx )	dx dy
dy
Полные интегралы:
_ (by + Сг)(у — ах + С2)
. ( dw\2	dw dw	и
d J	d d
( dw\2	dw dw
\ dx J	dx dy
Полный интеграл: u> =	—— \y — ax + a2c / 	— + C2 •
a2 I	J (by + C-lJ	J

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
297
2	dw dw	k _ n
Полный интеграл: w = ——(у — ax + C\) I	yk+1 + Сч).
a2	\ к +1	/
( dw\2 t , dw dw	2
6. а 	 +6	= cw .
\ dx J	dx dy
7-
Полный интеграл: w = Сз exp(Cix + С чу), где аС\ + ЬС\С2 = с.
2 t dw dw . (u . ,
Полный интеграл:
: + ас - 26
w =
az6
^ arctg W-l -
8.
9.
10.
On?
Полный интеграл: гу =
ax — 2
26?/ 2(c + C1)	/ 26?/
aC1
при 6/0,
при 6 = 0.
- + C2.
dw dw
Полный интеграл: W = 0°1у1-ах + С,)(Ып|
Oil? Oil?
Полный интеграл:
(in |ш/ + 6| —
— 6cln I a?/ + 6| + C2)
262
при а ф 0,
при а = О.
du? On?
Полный интеграл:
= --жfaCix - Ja2C?x2-4b) + Ci In |г/|	— In aCix + Ja?C\x> - 46
4 V	V	/	a^	V
._ / On? \2 . ax dw dw . , _
12. 	 H	\- b = 0.
\ dx J	у dx dy
Полный интеграл:
= --x(aCix - Ja2Cfx2-4b) + -dy2	— In aCix + Ja2C2x2 -4b
c2.
13.
dy
Полный интеграл:
¦ Arth ¦
аСЛ
2

298 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
( dw\2	a dw dw	b	n
14. 	 + у	\-х = 0.
V dx ) У dx dy
Полный интеграл:
г^	л с I	г^ пЛ — а
+ С2 при а ф 1,
а- 1
1
16
2 ' • 2 J У -' 	 ' ClXn\y\+C2 ПРИ а = 1-
Частный случай уравнения 13.3.6.10 при f(z) = azk, g(z) = bzn.
dw \2 ,	dw dw
. 	 +агу	^6 = 0.
V дх )	дх ду
Полный интеграл: w = —— + (	) (у — С\х + С2J .
а \ АаСх /
1 dx ) '	dx dy
Полный интеграл в неявном виде:
±b(Cix + С2у + С3) = Д + Сх In Д-С>1 , где Я2 =
( dw\2	dw dw	2	n
18. ж 	 + a	h by = 0.
Ci
ay
Полный интеграл: ги = -Cixe"y/a + ^-(|/2 - 2ay + 2a2)ey/a + C2.
f dw\2 . dw dw
ж 	 + a?/	= b.
\ dx J	У dx dy
Полный интеграл: w = 	y1/a + C\xy~1/a + C2.
Другой полный интеграл при a = 1:
/Abx + С2 - Сх
In
Полный интеграл: г^ = C\x(ay + b) -\	\- C2.
2C
, , ч , „w , ,	dw dw
Полный интеграл:
\[х	)у~1	у1 'а-\- С2 при а ф 1,
V a — 1 /	С1
"— - -У- - In \у\ + С2	при а = 1.
{ dw\2 , aw an?
22. к; 	 + a
\ dx J	dx dy
Полный интеграл: w =	(	^ ) {C\x — у + СУ
x2/3
-c2.

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
299
23
/ dw\2	dw dw
>. w[	 + aw	\-b = 0.
\ dx J	dx dy
[g^	-i 1/3	,
	 (y — C\X + С 2) -
4С-^ (а — C-|_) J
24. y(w2-\-a)(	) + bxw—	— = 4cx2y.
\ dx /	dx dy
Полный интеграл в неявном виде:
Г y/Ci{Ciw2 + bC2w + aCi) dw = \
C2y2) + C3.
13.2.8. Другие уравнения
/ dw \2	dw dw	dw
V dx )	dx dy	dx
Полный интеграл: w =	aC\x	(a2C2 — 4c/ — 4cx) — -^— y2 + C\y + <
_	/ dw \2 , dw dw	2 dw	2 ^
2.		 + a	h by —	ex = 0.
\ dx J	dx dy	dx
Полный интеграл:
3.
5.
6.
7.
8.
9.
2а '
w =	с
дх
dx dy
dy
3a '
= 0.
8v^
- 4cx2
+с2.
Полный интеграл: w = — In
с
bc(C1x — у ¦
( dw \2 , dw dw t . dw , On?
4.		 + в	h и	h С
V dx J	dx dy	dx	dy
Полный интеграл: w = G\x
= 0.
+ c
On?
/ dw \2 , dw dw x ,{ dw x dw \
	 + a	ЬЬ[ж	hi/	1=0.
V dx J	dx dy	\ dx * dy J
Полный интеграл: w = — ^7_ '. ^"^—Ь (
2A
dw dw
dw
dw
Полный интеграл: w = 	\ exp	^—— (y — C\x + C2) + cGi — g >.
p — bC1 L LC^fl- C-l)	J	J
/ On? \2 . Огу Огу , 2 #ги	Огу
	 + a	h ^>^	h сад	 = 0.
V	dx J dx dy	dx	dy
Полный интеграл: w = c< ЬС\ — exp —	 (C\x — у + Съ) \\
f dw \2 t dw dw t , { dw t dw \
	 + a	\-bw[x	\-у	 =0.
V	dx J dx dy	V dx y dy J
tt n Г Ь(Схх-уJ Л
Полный интеграл: г^ = 62 ехр —-—	— .
/ Он? \2 у &w &w _|_ a ^^ _ п
V	dx )	х dx dy x dy
Полный интеграл: w =	In \Cix + y\ + C4.

300 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
/ dw \2 ,	dw dw , , 2 dw
10. 	 + aw	\-bw	 = 0.
V	dx )	dx dy	dy
„ aw\n\w\-\-C-, у	„
Полный интеграл в неявном виде: 	!—!	— = —	х + С>2.
bw	C1
( dw \2 ,	dw dw , , / dw , dw \
11. 	 + aw	\-b[x	\-y	 = 0.
V	dx )	dx dy	\ dx У dy )
tt C\
Полный интеграл: w = —
aC1
fdw\2 , fdw\2 , dw , 2
\ dx J	\ dy J	dx
Полный интеграл в неявном виде:
+ Сц/ + С2 = 2(аС? + 1) /
dw	dw
) +b\
dy
Полный интеграл:
fdw\2	(dw\2	dw	dw
13. (—— I +o.[—-) +b—	\-c—	bd = O.
V dx /	V dy /	Ож	Оу
w = Ax + Ciy + C2, A = — Tj-6 + \\ b2 — 4d — 4cCi —
(dw \2 ( dw \2 dw dw
	 + b[	 + ex	\- sy	 = k.
dx J V dy J dx dy
Частный случай уравнения 13.3.7.10.
= k.
16.
Полный интеграл: w = — cxy + C\x + С2У + Сз, где aC2 + ЬС\ = к.
( dw \2	/ dw \2	/ dw	dw	\
a\	 + b[	 =c ж	\-у	w).
\ dx J	\ dy J	\ dx	dy	J
aC2 + ЬС2
Полный интеграл: w = C\x + С2У	—.
. , . . dw . , t u, dw
+{x + a^ + {v + b)-^- = w + c-
Полный интеграл: w = C\[x + a) + Съ(у + b) + C2 + C\ — c.
( dw \2 , / dw \2	dw dw
lo. I	I -\- I	I = a	.
V dx ) V dy )	dx dy
Полный интеграл: w = C\x + С2У + Сз, где С2 + G| = аС\Сч.
лл	( dw \2 , fdw\2lUdwdw
19. ж 	 + см/ 	 + 6	= 0.
V dx J	У dy J dx dy
Полный интеграл:
± CiJb2 - 4axy т \b\Ci Arth
dw t dw\2 2[f dw \2 t f dw \2 t Л
^ + У^-) -° [(-sr) +b^> +1]=a
Полный интеграл:
A , ж cos Cx + ?/ sin Cx ^
w = a Arch	—	 + С2.
a
Переходя к полярным координатам х = р cos 9,y = p sin 0, можно получить другую форму
полного интеграла:
I±I	C2, где а2 = 4^
4^
р2 - а2

13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры
301
21.
/ dw . dw Y	( dw Y , , ( dw Y ,
[ay	bx	 = a[	 +6 	 + ab.
V y dx	dy J	V dx J	V dy J
dw , dw \2 _ / dw
~d^~) ~ a\~dx~J ' ~V dy
Переходя к полярным координатам хл/b = pcos6, ул/а = psin^, получим уравнение с
разделяющимися переменными. Полный интеграл:
, где а2 = 92{С\ - 1) - С2.
dw
Переходя к полярным координатам х = pcosO, у = psinO, получим уравнение с
разделяющимися переменными. Полный интеграл (при 0 ^ а < 1):
а — С1
C2, где
23.
24.
(следовательно, должно выполняться условие р2 < С2).
( dw dw \2 , / dw . dw \2 ,
w (	1 + а (	1	1 = b.
V dx dy J V dx dy J
Полный интеграл:
w = —
V dx У dy J v	Jl \ dx J	\ dy J J
Общий интеграл в неявном виде:
ГЗ(С1Ж + С2^ + С3I
L 2(CX - C2) J
при
C2.
ay	г
— - 1 - arctg -f- = VI -
2)	6
25.
26.
где Ф(гу) —произвольная функция.
dw	dw \2 , ( dw x
Полный интеграл: w = 	— 1п(ж2 + у2) — С\ arctg	\- С2.
2а
( dw , Он?	\2	Огу Огу
V dx У dy	)	dx dy
dw , Он?	\2
h 	гу —а
dy	)	dx dy
Полный интеграл: w = C\x + С2У
2	fdw\2
Полный интеграл: w = Cix + С2|/ =Ь у аС2 + 6С| + с.
Он?	Огу
dx	dy
Полный интеграл:
dw , dw
dx J ' " V dy
= л/Chx + л/С2~у - А, где aCi + ЬС2 = A2.
28.
29.	(ж	\-у	w) =а(ж -\-у -\-w -\-lj
Полный интеграл в неявном виде:
(х - CiJ + (у - С2J + (w- СгJ = \а~2, где С2 + С\ + С32 = \а~2.
2 ( dw	dw	\2	2 ^гу
30.	ж ж	hi/	w) = ay 	.
V dx У dy	J	dy
Это уравнение описывает семейство конусов, вершины которых лежат на оси w. Полный
интеграл: w = — -
ау
С2х.

302 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
/ dw	\2 / dw	\2 2 2 Г/ #ги \2 _| / #ги А2 _|_ -il _ п
Полный интеграл: (ж — С\J + (г/ — С2J + w2 = —^-т—— (w / 0).
13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции
13.3.1. Уравнения вида -§r--§^- = f(x,y,w)
Полный интеграл: w = ±у\/2ах + Ci =Ь /
/2аж + Сх
dw	-/ ч , / ч
Полный интеграл:
w = ф)у + I 4&- dx + Ci, ф) = ± [2 I f(x) dx + С2]
Полный интеграл:
Полный интеграл:
w = ф)еХу + J-J Л dx + Ci, ф) = ± [у I g(x) dx + С2]
dw dw х
Полный интеграл: w = С\ \ fix) dx -\	/ д(у) dy + C2.
J	С^ J
dw dw	„,
Полный интеграл:
Л1	-| 1/2
Ci Н	/(^) dz + C2,
Полный интеграл:
X	Г 1	о	1/2
u> = Ci In — ± / — \С\ + ^/(^I «2; + Сг, ^ = ху.
у J z
У
ао.Ъ\
dw dw _ f(xayb)
dx dy	xy
Полный интеграл:
= Ci ln(xay-b) ±Jj [Cl + -^-/W]1/2 dz + C2, z = xay
xayb

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	303
dw dw _	„, v
fix) dx
Полный интеграл: w = (ах + С\)(у + Сг) + (аж + Ci) /
Полный интеграл:
гу = (р(х)у + ^(ж)>
где функции ср = <?>(ж) и ф = ^>(ж) определяются из обыкновенных дифференциальных
уравнений
wL =/(ж)^ + р(ж),	A)
4nl>'y=f{xI> + h{x).	B)
Точные решения уравнения Абеля A) для различных зависимостей f(x) и д(х)
указаны в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001). Уравнение B) линейно
относительно функции ф и интегрируется для любых функций f(x) и h(ж), если известна
фуНКЦИЯ if.
В простейших случаях решения уравнения A) имеют вид
(р(х) = g(x)dx + Ci	при h(x) = 0, g(x) — любая,
[Г	I 1/2
2 / /г(ж) dx + Ci I при д(х) = 0, /г(ж) —любая.
ЛЛ dw dw	fe+i . -/ ч 2fe
11.	= агу ^ + f(x)w .
dx dy	J v y
Замена гб = ги1"^ приводит к уравнению вида 13.3.1.9:
Замена и = е~Ли; приводит к уравнению вида 13.3.1.9:	= а\2и + Л2/(ж).
^ж ду
Полный интеграл в неявном виде:
dw dw
Полный интеграл в неявном виде:
9M	У
dw dw	1 ?( a, b\ / ч
Полный интеграл в неявном виде:
/dw	/~i л ( а —Ъ\ I [ 1 Г^2 , 1 п/ \1 1/2 1 , /~i	а Ъ
\/q(w)	J z L	ao	J
/д(/ш)
On? On?
Полный интеграл в неявном виде: / —-== = С\ \ /(ж) dx Л	/ g(y) dy + C2.
J y/h(w)	J	Сг J

304 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
13.3.2. Уравнения вида f(x,yL^-^- +g(x,y)-^- = h(x,y,w)
2-
_
5-
6-
_
dw dw
dw
Полный интеграл: w = -—аху2 - С\х + 2 Г ^у' dy	Ь С2.
dw dw
^-r s~< С q(x) dx	~
Полный интеграл: w = C\y — \ , \	h 02.
J f(x) + Cx
интеграл: ^ = d=fxH	J \JC\ — 2ay — / f(y) dy + C2.
dw dw
^^
Полный
dw dw
!te~d^
Полный интеграл:
гу = жу?(г/) + ф(у),
где функции у(г/) и ^(г/) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
4>4>у =
ч>Ф'У = д(у)Ф -
Уравнение Абеля A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то
решение уравнения B), которое линейно относительно ф, находится элементарно.
В простейших случаях решения уравнения A) имеют вид
4>(у) = I 9(у) dy
[Г
2 /
ПРИ Ну) = °5 9(у) —любая,
1/2
при
= 0, h[y) —любая.
dw dw
Полный интеграл:
w = -х(р(у)
C
> V{y) = f f{y)dy
„	f h(x) dx ^ f
Полный интеграл: w = / — , ч— Ci /
J C1- g(x)	J
dy
f(y)
+
Полный интеграл: u> = <^(ж) + ^(?/)? гДе функции ip(x) и ^(г/) определяются путем
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
[аЧ> + д1{х)]Ч>'х=Н{х),	A)
f(yWy+atp + g2(y) = 0.	B)
Уравнение Абеля A) может рассматриваться независимо, его разрешимые случаи описаны
в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001). Решение уравнения B), которое
линейно относительно ф, находится элементарно.

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	305
13.3.3. Уравнения вица f(x,y)j%r + g(x,y,w)(j%-J = h(x,y,w)
> Уравнения этого типа встречаются в механике, где переменная х играет роль времени, а
переменная у играет роль пространственной координаты.
dw , ( dw \2 о, ч
/Г I ( \ 4- С
f(x)dx + / \ ——	— dy + C2.
J У а
dw \2
Полный интеграл:
/ [р(ж) - а<^2(ж)] dx + Ci, <р(х) = / /(ж) dx + С2.
3. -|J + «(|^) = /И?/2 + ^(«)У + h(x).
Полный интеграл:
w = (f(x)y2 + ф(х)у + хО),
где функции у (г/), ^(у), х(у) определяются путем решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
2 /(ж),	A)
д(х),	B)
Х'х = -аф2 + к(х).	C)
Уравнение Риккати A) интегрируется в квадратурах для многих функций f(y). Подробно-
Подробности см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001). Например,
при f(y) = const можно взять частное решение (р = ул/7-
Если имеется решение уравнения A), то уравнения B) и C) интегрируются элемен-
элементарно (они линейны относительно искомых функций ф и %).
dw ^
Полный интеграл:
w = С\х + Сг	7г{Ьх + су) =Ь	— / д/4ас2 f (О + Ъ2 — ^ас2С\ d?, ? = Ъх + с?/.
2ас2	2ас2 У
Ож	V Оу /	V х
Частный случай уравнения 14.5.4.6. Характеристическая система обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений допускает первый интеграл
dw	dw	_ „	,
X~dx V~dy W ~ Ь
Используем метод Лагранжа—Шарпи (см. разд. 14.1.1). С помощью A) исключим произ-
производную -|^г из исходного уравнения. В результате получим уравнение
' dw \2 dw
ах'
/ dw \2 dw	„	rf У \ п
[—-) -у—— -\-w-\-Ci -xfl — 1 =0,
V он /	он	\ х /
dy J dy
которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение по пере-
переменной у с параметром х. Преобразование
w(x,y) = —Lxu2(?,x) + -Lxli2 + xf(ti)-c1, $=-2-,	B)
4a	4a	x
приводит к уравнению Абеля второго рода для функции и:
ищ±и=—/?(?),	C)
20 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

306 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
где х играет роль параметра. Постоянная интегрирования в общем решении уравнения C)
будет зависеть от х, т. е. Сг = Сг(ж). Эта зависимость можно найти путем подстановки
общего решения уравнения C) в интеграл A) с учетом соотношения B).
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001) описаны случаи, когда уравне-
уравнение C) интегрируется в квадратурах.
Замена w(x, у) = и(х, у) + / /(ж) dx приводит к уравнению вида 13.3.3.5:
ди	/ ди \2 / у \
дх	\ ду J	V х )
dw	( dw \2 „,
dx	V Оу /
Полный интеграл:
w = F(x)(d + С2у) + F(x) j\g{x) - aC22F2(x)] -^-, F(z) = exp [|/(*)<**].
8. -^- +
При 6 = 0 см. уравнение 13.3.3.7. Полный интеграл при 6/0:
Здесь функция ср = (р(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
4>' = b4? + f(x)ip + g(x),	A)
а функция ^(ж) выражается через <р(х) следующим образом:
ф(х) = ехр{| [2Ь^(а;) + f(x)] dx}.	B)
Уравнение Риккати A) может быть проинтегрировано в квадратурах для различных
/ и д, в частности, для д(ж) = 0 и произвольной /(ж) и для /(ж) = const, #(ж) = const.
Подробности см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
Полный интеграл:
= G(x) [у(р(х) + ф(х)], G(x) = exp П д(х) dxj,
w
где
?>(*) = Ci+ f -^fi- dx, ф) = C2+ f[s(x) - f{x)G2{x)V2{x)}
J (jt ( X )	J
G(x)
Замена ? = / —^^^^ приводит к уравнению вида 13.3.3.8.
/ —
J vl/i(
п. Ц + [№)„ + 9
Полный интеграл:
<ш = ф)у-J g(x)ip2(x)dx + Cu Ф)=[С2 + f f(x)dx\ \

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	307
12- -g- + [f(x)y + g(x)] (|^J = h(x)w + r(x)y + s(x).
Полный интеграл:
w = <p(x)y + ф(х).
Здесь функции ip(x) и ф(х) определяются путем решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
<p' + f(x)<p2=h(x)<p + r(x),	A)
ф'+д(х)ч?2 = Нх)ф + 8(х),	B)
где штрих обозначает производную по х.
Уравнение Риккати A) может быть проинтегрировано в квадратурах для многих
функций /(ж), h(x), r(x). Подробности см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева,
А. Д. Полянина A997, 2001). В частности, при г (ж) = 0 общее решение уравнения A)
имеет вид
ф) = Н(х) [Ci + f /(ж)Я(ж) dxj ~\ H(x) = ехр [ Г h(x) с/ж].
Уравнение B) линейно по ф и легко интегрируется (для известной (р):
ф(х) = С2Н{х) + Н(х) I [s(x) - д(х)^2(х)] -^.
Замена ^ = у2~к приводит к уравнению вида 13.3.3.11:
?)•-а
14. -g- + [/(*)»' + ЯМ!/"] {%)' = *(*)» + »(«)•
1°. В случае к ф 2 замена ? = ?/2~fc приводит к уравнению вида 13.3.3.12 при г (ж) = 0:
|| + B - feJ [/(*)? + 5(Ж)] (|^J = h{x)w + s(x).
2°. В случае к = 2 замена ? = In |г/|, приводит к уравнению вида 13.3.3.12.
Замена ? = е~Ху приводит к уравнению вида 13.3.3.11:
)*-а
"¦ ¦? + ^1Ы+»we
Замена ? = е~Ху приводит к уравнению вида 13.3.3.12 при г (ж) = 0:
= ft(x)t« + s(x).
Полный интеграл:
2Ь2/@
dw , „ ( у \ ( dw \2
Частный случай уравнения 14.5.4.6.
20*

308 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
19. -^ + [h{x)w + fi(x)y + /о(ж)] (-?^-) = 02(ж)ги + 0iO*Oy + ^о(ж).
Полный интеграл:
w = (р(х)у + ф(х),
где функции (р(х) и ^>(ж) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
<р'х + h(x)<p3 + fi(x)<p2 - д2{х)у - 91(х) = 0,	A)
Ф'х + [Ы*)<Р* ~ 92(х)]ф + fo(x)v2 - до(х) = 0,	B)
Уравнение Абеля A) может быть проинтегрировано в квадратурах для многих функций
fn(x) и дп(х), в частности, при /г(ж) = gi(x) = 0 и fi(x) = gi(x) = 0. Подробности см.
в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
Если получено решение уравнения A), то уравнение B) легко интегрируется, посколь-
поскольку оно линейно относительно ф.
™ dw г л/ \
20- -a^ + f{x)w
1°. Замена и = -A^-wk+1 приводит к уравнению вида 13.3.3.9:
ди ?( л / ди \2
2°. Преобразование
w(x, у) = G(x)v(z, у), z = I f{x)Gk+\x) dx, G{x) = exp [j g(x) dx],
приводит к более простому уравнению,	\- vk (	) =0.
dz V ду /
21. j^ + f(y)w»(-^-J=awk+>+g(X)w.
Замена и = -j^-wk+1 приводит к уравнению вида 13.3.3.10 при h(x) = 0:
/Ы (|^-) = а(к + 1Jч2 + (к + 1)д(х)и.
dw ,, N 3w ( dw \2
23.	/(iB)(
О	J V '\dy
Преобразование
w(x,y) = u(z,y) + G(x), z = I f(x)exp[/3G(x)] dx, G(x) = I g(x)dx,
r	®u 0u ( ди \2
приводит к более простому уравнению,	е I	) = 0, которое допускает полный
dz	V ду /
интеграл
/fo = 21n(Ci - у/З^/) -1п(С2 -^).
+ Ciy +
Преобразование
t = / <^2(ж) ^Ж5 ^ = ^(жJ/ + / h(x)(p(x) dx, (р(х) = ехР / ^(ж) ^
приводит к более простому уравнению вида 13.3.3.23:	f(w) (	) = О-
/

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	309
dw	. ч . ч / dw \2	. ч
Полный интеграл: х + С\ [ %- + [	*<%g{w)
J Vf(v) J l + Jl + ACl
26. ?-/(.).(,)«-)(?)*-•.
dy
dy
Полный интеграл в неявном виде: / h(w) dw = C\ f(x)dx + Ci /
J	J	J
+
dw	(	.{ dw\2	(
27. —	h f(w + ax + by) —— = #(w + аж
ож	V ay /
Полный интеграл:
w = — ax — by +
где
2bC2/(O"Ci±
Одну из констант Ci или С 2 можно положить равной единице.
28. А(ж)-^ + /20
Полный интеграл: w = f 9l(x\ Cl dx + f lM+?l. dy + C2.
Полный интеграл:
г^ = (р{х) ¦
Здесь
Функция ф(у) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением д(у)(ф'уJ =
= аф + ti2{y). Замена z = / —^^^ приводит его к уравнению, которое подробно
J V\9(y)\
обсуждается в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
13.3.4. Уравнения вида
> Уравнения этого типа встречаются в механике, где переменная х играет роль времени, а
переменная у играет роль пространственной координаты.
-u h dw
Полный интеграл:
/Ь	1 Г /
f(x) dx	у ± — / у 4ар(г/) + b2 + 4aCi dy.
2а	2а J
dw , ( dw
Полный интеграл:
w = ф)у + J [g(x) - скр2(х) - Ъф)] dx + Ci, ф) = J f(x) dx + С2.

310 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
Полный интеграл:
w = (C1y+C2)F(x)+F(x)j[g(x)-aClF2(x)-bClF(x)\^-), F(x) = exP[Jf(x)dx].
.	dw	, ч/ 0w\2	, ч dw
Полный интеграл: w = С\у + Сг + / [/г(ж) — C\f(x) — Cig(x)] dx.
_	dw „, x( dw \2
5. — + /(ж)("^
Полный интеграл:
где
ж) = Ci Я (ж) + Я(ж) / -^- с/ж, Я(ж) = ехр [ /" Л(ж) с/ж],
6. "^
Полный интеграл:
гу = (р(х)у2 + ^(ж)г/ + х(ж),
где функции (р(х), ф(х), х(х) определяются путем решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
*4 + 4/(ж)^2 + [291(х) - s(x)]<p- h2(x) = 0,	A)
ф'х + [4/(ж)у? + ^1(ж) - в(ж)]^ + 2#0(ж)^ - /ii(ж) = 0,	B)
Хх ~ s(x)X + !{х)ф2 + ^о(ж)^ - Ло(ж) = 0.	C)
Уравнение Риккати A) интегрируется в квадратурах для многих функций /(ж), д\ (ж), s(x),
/&г(ж), в частности, при Дг(ж) = 0 (остальные функции могут быть любыми). Подробности
см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
Если имеется решение уравнения A), то уравнения B) и C) интегрируются элемен-
элементарно (они линейны относительно искомых функций ф и %).
'• И + "»О+"»!? = ад-
J	2/Ы
2/Ы
dw , о, ч / dw \2
Полный интеграл:
h(x) dx + / -°^ ± WM + A^)r^ + 4C^ dy.
J	2/B/)
+ f( + b)() +5f(a« + &2/)^— = ^(«ж + fa/).
oy
При 6 = 0 см. уравнение 13.3.4.4. При 6/0 переходя от ж, у к новым переменным ж,
? = ах + fo/, получим уравнение вида 13.3.4.7:
9. __ + /(аЖ + 62/)( —)
-.3.4.4. При Ь ф 0 пе
гние вида 13.3.4.7:
МО]

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	311
+ [g2(x)w + gi(x)y + go(x)]	 = h2(x)w + hi(x)y + ho(x).
Полный интеграл:
w = (p(x}y + ^(ж),
где функции (р(х) и ^(ж) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
Уравнение A) интегрируется в квадратурах для многих функций fn(x), дп(х), hn(x), в
частности, при /г(ж) = 0, h\(x) = 0 и Д(ж) = —д2(х), /ii(x) = 0. Подробности см. в
книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
Если имеется решение уравнения A), то уравнение B) легко интегрируются (оно
линейно относительно гр).
д™ , о/ ч / dw \2 , , ч dw _
тт п , п , /* Clf{w)dw
Полный интеграл в неявном виде: С\х + С2у + \ —-—-—	 =
J Сг+ C2g(w)
Одну из констант С\, С2, или Сз можно положить равной ±1.
t v dw . , ч
Полный интеграл в неявном виде:
г , г , [	2Clf(w)dw
01Ж + С2у + / 	,	= Сз-
^ Сх + C2g{w) ± фС1 + C2g{w)]2 + 4C$f(w)h(w)
Одну из констант Ci, C2, или Сз можно положить равной ±1.
Преобразование
t = I (p2{x)dx, z = ip(x)y+ I h{x)(p{x)dx, tp{x) = exp[/ g{x)
приводит к более простому уравнению вида 13.3.3.22: —	f(w) ( —— ) =
ot	\ oz У
0.
14. —— + f(w + ах + Ьу)(——) + g(w + ax+ by)^- = h(w + ах+ Ьу).
ох	V ау /	ay
Замена и = w + ах + by приводит к уравнению вида 13.3.4.12:
Jf + /(«) (|^-J + [g(u) - 2bf (и)] |^- = Ци) - b2f(u) + bg(u) + a.
13.3.5. Уравнения вида f(x,y,w)(J?-J + д(х,у,ш)(^)* = h(x,y,w)
> Уравнения данного вида встречаются в механике, геометрической оптике и дифференци-
дифференциальной геометрии.
Полный интеграл: w = Ciy + С2 =Ь / у f(x) — Cf dx.
® Литература: Э. Камке A966).

312 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
_ / dw \2 / dw \2	, ч , ч
		р
у/(ж) + Ci dx ± / yg2(y) — C\ dy + C2. Знаки перед
каждым интегралом выбираются произвольно независимо друг от друга.
Преобразование ^ = ах -\- by, г] = Ьх — ау приводит к уравнению вида 13.3.5.2:
4- t) +(^) =fix +v)-
Уравнение Гамильтона для плоского движения точки под действием центральной силы.
Полный интеграл:
= Ci arctg - + С2 ± \ I y/zf(z) - Cl ^-, z = x2+y2.
® Литература: Э. Камке A966).
Полный интеграл:
w = C1(x2-y2) + C2±J y/f(z) - Wl dz, z = xy.
'¦ (^ + (^)*-с+л/с-л
Полный интеграл:
= Сгху + C2±\J y/f(z) - C\ dz,
w = Сгху + C2±\J y/f(z) - C\ dz, z = x2-y\
_
7-
Полный интеграл в неявном виде: / —-j= = ±д/(ж + CiJ + B/ +
•/ V/(^)
dw\2 r dw\2
Замена и = / —^^= приводит к более простому уравнению: I	1 + I	1 = f(x,y).
J \fg{w)	V ox / \ ду J
О решениях этого уравнения для некоторых типов правой части см. 13.3.5.1- 13.3.5.6.
Это уравнение описывает движение материальной точки в центральном поле сил, где х и
у — полярные координаты.
[ I	С2"
Полный интеграл: w = dy ± / \ fix)	\- dx + C2.
J V	ж2
® Литература: П. Аппель A960).
Полный интеграл: w = Ciy + С2 + / у g{x) — C2f(x)dx.

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	313
Полный интеграл: w = С\х + Съ + \ \ ——	— dy.
\ \
Полный интеграл в неявном виде: / д / —	—-—- dw = С\х + Съу + Сз-
Одну из констант С\ или Сг можно положить равной ±1.
2
=0-
Левую часть уравнения можно разложить на множители. Приравнивая эти множители
г	dw	/77	7 dw
нулю, получим два более простых уравнения: 	± д//(ж, у, w)	 = 0.
ох	ду
14.
Уравнение с разделяющимися переменными, встречается в дифференциальной геометрии
при изучении геодезических линий поверхностей Лиувилля. Полный интеграл:
fi(x)
Знаки перед каждым интегралом выбираются произвольно независимо друг от друга.
® Литература: П. Аппель A960), Э. Камке A966).
15. f(ax -\-by)^-^—) + g(ax -\-by)[^—) = h(ax + by).
Полный интеграл:
--ClX + C2 + J ——
16. f{iv -\- ax -\- by) (	) + 9(w ~h Q>& ~h by) (	) = h(w + аж
Полный интеграл:
w = —аж — by + <?>(?), ^ = Cix + C22/ + C3,
где функция 9? = <?>(?) определяется неявно
± yjc2f(v)h(v) + Clg(v)h(v) - (аС2 - ЬС^ f(<p)g(<p)
Одну из констант С\ или С2 можно положить равной ±1.
17. fl(X)gi(W)^J + My)g2{w)^J = h{w).
Полный интеграл:
Одну из констант С\ или С2 можно положить равной ±1.

314 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
13.3.6. Уравнения вида (^J + f(x,y,w)j%-j%- = g(x,y,w)
dw \2 , dw dw	p, ч
Полный интеграл: w = C\(ax — 2y) ± / ya2C2 + f(x) dx + C2.
.	/ dw \2	dw dw
2- () +
Полный интеграл: w = Ci(y — ax)	 / f(y) dy + C2.
azCx J
. ( dw\2	dw dw
Полный интеграл: w = by \Cl \y - ax + a2 f ^y' dy _ + C2].
a2 I	J (by + Cxy	J
. / dw\2	dw dw
4- () +
Полный интеграл: гу =	— / f(y) dy + С2 •
/ On? \2	On? dw
5- () +
6-
Полный интеграл в неявном виде: / —-== = С\х Л	—у + Сг-
^ vf(w)	aCi
f(w)
dw \2 , dw dw	ot \ t \
Замена z = —^^^= приводит к уравнению 13.3.6.1.
_ / Он? \2	dw dw
7- () +
Замена z = —-j^=^=- приводит к уравнению 13.3.6.2.
Полный интеграл: w = 2Cii/ + C2 + / —C\f(x) ± \/C2f2(x) — g(x) dx.
dw \2 t „, , dw dw
Полный интеграл: гу =	Lx ± — / л/cj — 4р(ж) + Ci /
2	2 J	J
/B/)
Полный интеграл: w = Cix + С2 — /	, N x dy.
J f(v)
Полный интеграл:
w = xcp(y)

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	315
где функции ip(y) и ф(у) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
pfy = g(y)tp + h(y),	A)
^ + г{у).	B)
Уравнение Абеля A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то
решение уравнения B), которое линейно относительно гр, находится элементарно.
В простейших случаях решения уравнения A) имеют вид
(f(y) = J j^r dy + d	при h(y) = 0, д(у) —любая,
= ±[2jj^dy + C1]1/2 при я(у) = 0, Цу)— любая.
dw dw	t ч . ч
Замена z = / —^^^^ приводит к уравнению 13.3.6.9.
Замена z = / —	приводит к уравнению 13.3.6.10.
14. (	) + /(&ж + by)	1- д(ах -
Полный интеграл в неявном виде:
dw	„	Г -aC1f(z)±Ja?ClP(z)-±ag(z)[a
где ^ =
15. (	) + f(w -\- ах -\- by)	\- g(w -\- ax -\- by) = 0.
V dx /	dx dy
Полный интеграл:
w = — ах — Ъу + p(z), z = С\х + С2У + Сз,
где функция if = ip(z) определяется неявно
•=/¦
А((р) ± y/A2((^) — 4C-L [С1 + (
ДО) = 2aCi + (аС2 + bCi)f((p).
Одну из констант С\ или Сг можно положить равной ±1.
16.
Полный интеграл в неявном виде:
= f\df(x) ± JclP(x)-h(x)\ dx-2d Г-^- + С2
J i	v	J	J g(y)
^= f\df(x) ± JclP(x)h(x)\ dx2d Г^
/<p(w) J i	v	J	J g(y)
2 , -, ч , ч dw dw
+/()()
Полный интеграл в неявном виде: / \ 	/ N dw = х + Ci / —-— + С2
i V Hw)	J f(y)

316 Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным
л	dw dw	t ч dw	, ч dw	, ч
L -ftT-eT + /(ж)^ + з(ж)~^"+ h{x) = °-
13.3.7. Другие уравнения
w
+ з
Полный интеграл: w = — — 	^- dx + dy + С2.
J С1 + /(ж)
/ Oil?	\ / dw
2-
/(ж) dx -\	/ д(у) dy + C2.
С]_ J
Полный интеграл: w = [Cigi(x) - fi(x)] dx + / I — g2(y) - /2B/) I dy + C2.
dw
Полный интеграл: w = —^ж-- f\g(x)- \l\g{x) + Ci]2+ Щх) ) dx + Ci [-^-
2	2 J I	v L	J	J	J /(?/)
dw \2	, ч dw dw	г \ dw u< \
Полный интеграл: w = Cix ± Г )fc[Th(x)dx - Г 2C>1 | ^(?/) dy + C2-
6- (^) + /(ж)^^7 + f(x)9iv)-^- =h(x)-
Полный интеграл: w = 2Ciy - f g(y)dy + Г \-Cif(x) ± ^Cfp(x) + h(x)~\ dx + C2.
dw dw	, ч dw	, ч dw
Полный интеграл:
w = — / | —Cif(x) — g(x) + y[Cif(x) + д(ж)]2 — 4Cih(x) — 4s(x) \ dx + Ciy + C2.
dw \2 , o/ \ dw dw , , ч On?
Полный интеграл: w = Cix - f °* + °ig{y) + s{y) dy + C2.
J C1f(y) + h(y)
ft fdw\2 fdw\2
Полный интеграл:
где ^ = ж2 +|/2.
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
/• -^1(ж)±л/^2(Ж) + 4/1(Ж)/11(Ж)+4С1/1(Ж)
: /	—	dx +
7
C2.
Знаки перед корнями выбираются произвольно независимо друг от друга.

13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции	317
Полный интеграл в неявном виде:
	dx.
I П~1 = ^1У + ^2 ~ /	2f ( )
/ dw \2 „ dw dw	? ч / Oitf \2 х	Огу ^ ч Огу
Полный интеграл:
J	2/ (ж)
ц. Л(.. + ь,,)(^) + ««. + ад^ + л,*. + ад(
При 6 = 0 см. уравнение 13.3.7.12. При 6/0 преобразование w(x,y) = u(?,x),?
приводит к уравнению вида 13.3.7.12:
[а2МО + аЪЫО +
= О.
..	. 2 , 2\[{ dw\ t f dw \1	( dw	dw
14. f{x +У)[{-д-) +(W) \ = (x-d^ + y-^--
Полный интеграл:
C fc2 arcsin
^2 + y2
Здесь Ф = Ф(^)—решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
^B^Ф'Ж - ФJ = /(^)[4^2(Ф/J + С|Ф2], где ^ = ж2 +|/2. В частности, при /(^) = ^ имеем
l
j) +9i(w)+g2(w)
Полный интеграл в неявном виде:
п , п , [	2F{w)dw
С\х + Съу + / 		- = С>з,
J G[w) ± y/G2(w) - 4F(w)h(w)
16.
где F(w) = C?fi(w) + CiC2f2(w) + C2Mw), G{w) = Cl9l(w)
)
-—)
аж +
Замена и(х, у) = w(x,y) + ax + by приводит к уравнению вида 13.3.7.15 для функции и.
gi(w + аж + &2/)-r	|-р2(^ + аж + ^2/)-^	h ^(^ + аж + 6т/) = 0.
ож	ay

14. Нелинейные уравнения с двумя
независимыми переменными общего вида
14.1. Предварительные замечания
14.1.1. Методы решения
14.1.1-1. Полный, общий и особый интеграл.
Общее нелинейное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми
переменными имеет вид
,	Л	dw	dw	,
F(x,y,w,p,q) = 0, где p = ——, q = ——.	A)
дх	ду
Такие уравнения часто встречаются в аналитической механике, вариационном исчислении,
теории оптимального управления, дифференциальных играх, динамическом программировании,
геометрической оптике, дифференциальной геометрии и других областях.
В этом разделе будем рассматривать гладкие решения w = w(x,y) уравнения A), имеющие
непрерывные производные по обоим аргументам (в разд. 14.1.3 будут рассмотрены негладкие
решения).
1°. Пусть известно частное решение уравнения A):
IV — ^-i[X. у. Ul. U2 J)	\^)
зависящее от двух произвольных постоянных С\ иСг. Двухпараметрическое семейство реше-
решений B) называется полным интегралом уравнения A), если в рассматриваемой области ранг
матрицы
м=A\ 1Х\ 1А	C)
равен двум [это справедливо, например, при ЕХ\ЕУ2 — ЕХ2ЕУ\ Ф 0]. В матрице C) Еп обозначает
частную производную по Сп (п = 1, 2), Ехп —вторую частную производную по аргументам х
и Сп, Еуп —вторую частную производную по аргументам у и Сп.
В ряде случаев полный интеграл удается найти методом неопределенных коэффициентов,
задав подходящим образом структуру частного решения.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	/ dw \ n
	 = а[	 +6.
дх	V ду )
Частное решение ищем в виде суммы w = С1у + С2 + Csx. Подставив это выражение в уравнение,
находим связь между коэффициентами С1 и С3: С3 = aCf + b. Отсюда получим полный интеграл:
w = С±у + (aCf + 6) ж + С2.
Полный интеграл уравнения A) часто записывается в неявном виде*
E(x,y,w,Ci,C2) = 0.	D)
2°. Общий интеграл уравнения A) можно представить в параметрическом виде с помощью
полного интеграла B) [или D)] и двух уравнений
C2=/(Cl),
дЕ,	дЕ, ?1 (п ч Л	E)
acT+aa:/(C7l) = 0'
В формулах B) и D) символом S обозначены разные функции.

14.1. Предварительные замечания	319
где / — произвольная функция, а штрих обозначает производную. Общий интеграл в опреде-
определенном смысле роль общего решения, зависящего от произвольной функции (вопрос о том, все
ли решения он описывает, требует дополнительного анализа).
Пример 2. Для уравнения, рассмотренного в первом примере, общий интеграл можно представить в
параметрическом виде с помощью соотношений
w = C1y+ (аС? + Ь)х + С2, С2 = /(CJ, у + апС^х + /'(CJ = 0.
Исключая отсюда С2 и переобозначая параметр С1 через С, удобно представить общий интеграл в более
наглядной форме
w = Су + (аСп + Ь)х + /(С),
3°. Особый интеграл уравнения A) находится без использования полного интеграла путем
исключения р и q из системы трех уравнений
F = 0, Fp = 0, Fq = 0,
где первое уравнение совпадает с A).
14.1.1 -2. Метод Лагранжа—Шарпи.
Пусть найден один первый интеграл
Ф(ж,2/,ги,р,д) = С\	F)
характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx dy	dw	dp	dq
F^ Fq pFp + qFq	Fx+pFw	Fy + qFw
где
,
tx - dx ' tv - dy ' *w " ^ ' ^ " dp ' ^ " dq '
Считаем, что интеграл F) вместе с уравнением A) можно разрешить относительно произ-
производных р, q:
р = <?iO,2/,w,Ci), q = (p2(x,y,w,Ci).	(8)
Первое уравнение этой системы можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное
уравнение с независимой переменной х и параметром у. Получив общее решение этого уравне-
уравнения, зависящее от произвольной функции ф(у), подставляют его во второе уравнение. В итоге
приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению для ф. Определив функцию ф(у)
и подставив ее в общее решение первого уравнения (8), находим полный интеграл уравнения
A). Аналогичным образом решение системы (8) можно начинать со второго уравнения, рас-
рассматривая его как обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменной у и
параметром х.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
о	dw	dw
ywp -q = 0, где р = -—-, q = -—-.
dx	dy
Характеристическая система G) в данном случае имеет вид
dx	dy	dw	dp	dq
2ywp	1	2ywp2 — q	yps	wp2 + yp2q
Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего отношения и получаем интегри-
интегрируемую комбинацию: dw/'(ywp2) = —dp/(yps). Отсюда находим первый интеграл р = C1/w. Разрешая
его вместе с исходным уравнением относительно р и q, получим систему
Общее решение первого уравнения имеет вид w2 = 2С±х + ф(у), где ф(у) —произвольная функция.
Подставляя это решение во второго уравнение системы, имеем ф'(у) = 2С2у. Поэтому ф(у) = С2у2 + С2.
В итоге получим полный интеграл в виде
2	22 C2.

320	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
Отметим, что полный интеграл уравнения A) является общим решением вполне интегри-
интегрируемого уравнения Пфаффа
dw = <pi(x,y,w,Ci)dx + <p2(x,y,w,Ci)dy,	(9)
в котором стоят функции (pi и if 2 из системы (8).
Замечание 1. Очевидным первым интегралом характеристической системы G) является
равенство F(x, у, w,p, q) = С, поэтому функция Ф, определяющая интеграл F), должна быть
отлична от F. Однако использование очевидного первого интеграла позволяет понизить порядок
системы G) на единицу
14.1.1-3. Построение полного интеграла с помощью двух первых интегралов.
Пусть найдены два независимых первых интеграла
характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений G). Считаем, что
функции F, Ф, Ф, определяющие уравнение A) и интегралы A0), удовлетворяют следующим
двум условиям:
/ТЧ YTY \	/F*	/F* i ^ /F*	/F*	/F* i ™ /F*
= 0, A1)
где J — якобиан функций F, Ф, Ф по переменным w,p,q, а [Ф, Ф] — скобка Якоби. В этом
случае равенства A) и A0) представляют собой параметрическую форму представления полного
интеграла уравнения A) (р и q рассматриваются как параметры). Исключив р и q из A) и A0),
а затем разрешив полученное выражение относительно w, можно получить полный интеграл в
явном виде w = w(x,y,C\, C2).
Пример 4. Рассмотрим уравнение
dw	dw
pq-aw = 0, где p = ——, q = ——.
<9ж	ду
Характеристическая система G) в данном случае имеет вид
dx dy dw dp dq
q	p 2pq ap aq
Приравнивая сначала первое и пятое отношение, а затем второе и четвертое, находим первые интегралы
q - ах = Сх, р - ау = С2.
Имеем F = pq — aw, Ф = q — ах, Ф = р — ах. Эти функции удовлетворяют условиям A1). Разрешая
уравнение и первые интегралы относительно w, получим полный интеграл в виде
w = —(ах + С1)(ау + С2).
14.1.1-4. Случай, когда уравнение не зависит явно от w.
Пусть исходное уравнение не содержит явно искомой функции, т. е. имеет вид
F(x,y,p,q) = 0.	A2)
1°. Если получено однопараметрическое семейство решений w = E(x,y,Ci), удовлетворяющее
условию Sx ф const, полный интеграл дается выражением w = ?(ж, г/, Ci) + Сг.
2°. Первый интеграл F) можно искать в форме Ф(ж, у,р, q) = Ci, аналогичной уравнению A2).
В этом случае характеристическая система G) записывается так:
dx _ dy _ dp _ dq
rp	rq	rx	ry
Соответствующее уравнение Пфаффа (9) принимает вид
dw = <pi(x,y,Ci)dx + (f2(x,y,Ci)dy
и может быть проинтегрировано в квадратурах. В результате имеем следующее выражение для
полного интеграла:
гу
/
2,	A3)
где константы хо и уо можно выбрать любыми.

14.1. Предварительные замечания	321
3°. Пусть уравнение A2) удается разрешить относительно р или q, например
р= -U(x,y,q).
Тогда дифференцируя обе части по у, можно получить квазилинейное уравнение относительно
производной q:
dq д ,	\ п	дт
ох оу	оу
Это уравнение проще исходного, его качественные особенности и методы решения описаны в
разд. 12.1.1-12.1.4.
14.1.1-5. Уравнение Гамильтона — Якоби.
Уравнение A), разрешенное относительно одной из производных
p + H(x,y,w,q)=0, где р = ——, q = ——,	A4)
дх	ду
принято называть уравнением Гамильтона — Якоби, а функцию 7i — гамильтонианом. Урав-
Уравнения вида A4) часто встречаются в различных разделах механики, теории управления и диф-
дифференциальных играх, где переменная х обычно играет роль времени, а переменная у — роль
пространственной координаты. Уравнению Гамильтона — Якоби A4) соответствует функция
F(x, y,w,p,q) = р -\-?{(x,y,w,q) в уравнении A).
Характеристическая система G) для уравнения A4) с учетом равенства р = — % сводится к
более простой системе, состоящей из трех дифференциальных уравнений
y'x=Hq, w'x=qHq-H, qx = -qHw -7iy,	A5)
которые не зависят от р (в левой части уравнений стоят производные по переменной х).
14.1.1-6. Преобразования Лежандра и Эйлера.
Будем считать, что функция w(x,y) дважды непрерывно дифференцируема в рассматриваемой
области.
1°. Преобразование Лежандра вводится так:
x = Wx, y = WY, w = XWx+YWY-W,	где W = W(X,У).	A6)
Обратное преобразование Лежандра имеет аналогичный вид
X = wx, Y = wy, W = xwx + ywy — w,	где w = w(x,y).	A7)
Переходя в уравнении A) к новым переменным A6), получим
F(WX, WY, XWx + YWY - W, X, Y) = 0.	A8)
Это уравнение иногда проще исходного уравнения A). Если W = W(X,Y) — интеграл
уравнения A8), то соотношения A6) дают параметрическое представление соответствующего
интеграла w = w(x,y) уравнения A).
Замечание 2. При использовании преобразования Лежандра отдельные интегралы могут
d(wxiwv)
пропадать, если в некоторой подобласти якобиан	f— тождественно равен нулю.
д(х,у)
2°. Прямое и обратное преобразование Эйлера имеют вид
x = Wx, y = Y, w = XWx-W,	где W = W(X,Y);	A9)
X = wx, Y = y, W = xwx — w,	где w = w(x,y).	B0)
Переходя в A) к новым переменным A9), получим следующее уравнение:
F(WX, Y, XWX - W, X, -WY) = 0,	B1)
которое иногда проще исходного. Если W = W(X,Y) —интеграл уравнения B1), то соот-
соотношения A9) дают параметрическое представление соответствующего интеграла w = w(x,y)
уравнения A).
Замечание 3. При использовании преобразования Эйлера отдельные интегралы могут
пропадать, если в некоторой подобласти вторая производная wxx (или wyy) тождественно равна
нулю.
(•) Литература к разделу 14.1.1: В. В. Степанов A958), Р. Беллман A960), Р. Курант A964), Э. Камке
A966), Л. Э. Эльсгольц A969), И. Г. Петровский A970), В. И. Арнольд A974), Е. Zauderer A983), J. Lewin
A994), D. Zwillinger A998).
21 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

322	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
14.1.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности
14.1.2-1. Постановка задачи и процедура построения решения.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения A) с начальными условиями
где ? — параметр (а ^ ? ^ /3), а /&&(?) —заданные функции.
Решение этой задачи осуществляется в несколько этапов:
1°. Сначала определяются дополнительные начальные условия для производных:
Р = Ро(О, Q = Qo(O-	B3)
Для этого решают алгебраическую (или трансцендентную) систему уравнений
F(hi@,h2(Z),h3(Z),po,qo) = 0,	B4)
Poh[(O + qoh'2@ - h'3@ = 0	B5)
относительно ро и до- Уравнение B4) получено в результате подстановки начальных данных
B2) в исходное уравнение A). Уравнение B5) является следствием зависимости w = w(x,y)
и формулы для дифференциала dw = pdx + qdy, где dx, dy, dw вычисляются по начальным
данным B2).
2°. Решается автономная система уравнений
dx dy dw dp dq
	 = 	 = 	 =	=	= ат,	(zo)
Fp	Fq	PFp + QFq	Fx+PFw	Fy+QFw
которая получена из G) путем введения дополнительной переменной т (играющей роль
времени).
3°. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:
ж = МО> 2/ = М0> ™ = M0> P = Po(O> Q = Qo(€) прит = 0,	B7)
которые получены объединением условий B2) и B3). В результате находим три функции
ж = ж(т,О> У = У(т,О> w = w(r^),	B8)
которые дают решение рассматриваемой задачи Коши в параметрическом виде (г, ? — параме-
параметры).
14.1.2-2. Теорема существования и единственности.
Пусть функция F = F(x,y,w,p,q), с помощью которой задается уравнение A), дважды
непрерывно дифференцируема по всем пяти аргументам (в рассматриваемой области), причем
Fp +Fq ф 0. Пусть функции hi (О? ^2 (О» ^з(О» определяющие начальные данные B2), дважды
непрерывно дифференцируемы по ?, причем (/iiJ + (h'2J ф 0. Считаем, что функции ро(О
и до (О' задающие дополнительные начальные условия B3), удовлетворяют системе B4)-B5).
Кроме того, считаем, что выполнено условие
А = Fpti2 - Fqh[ /0,
в котором фигурируют функции из B2), B3) и штрихом обозначены производные по ?.
При выполнении сделанных предположений, существует единственное дважды непрерывно
дифференцируемое решение уравнения A), удовлетворяющее начальным условиям B2), B3).
Замечание 1. Эта теорема носит локальный характер: существование единственного глад-
гладкого решения задачи Коши гарантируется лишь в некоторой окрестности линии, задаваемой
начальными данными B2) вместе с дополнительными условиями B3).
Замечание 2. Алгебраическая (или трансцендентная) система B4), B5) может иметь не-
несколько решений (см. пример 3 в конце этого раздела), что приводит к различным дополни-
дополнительным начальным условиям для производных B3). Каждое из этих дополнительных условий
будет порождать свое собственное решение задачи Коши A), B2).
Замечание 3. Для нелинейных уравнений глобальное решение задачи Коши A), B2)
может оказаться многозначным также из-за пересечения характеристик в плоскости х,у (см.
пример 1 в разд. 14.1.3). Подобная ситуация подробно обсуждалась в разд. 12.1.3-12.1.4, где
рассматривались квазилинейные уравнения.

14.1. Предварительные замечания	323
14.1.2-3. Задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.
Начальное условие для уравнения Гамильтона-Якоби A4) обычно формулируется в виде
w = (р(у) при х = L.	B9)
В данном случае решение задачи Коши сводится к решению характеристической системы A5)
с начальным условием
у = ?, w = <p(Z), q = <p'(Z) при x = L,	C0)
где штрих означает производную по параметру ?.
14.1.2-4. Примеры решения задачи Коши.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1. Требуется найти решение уравнения
dw	dw
aw=pq,	где р = ——, q = ——,	C1)
дх	ду
проходящее через прямую
х = 1, by = w.	C2)
Запишем уравнение прямой C2) в параметрической форме
х = 1, у = ?, w = b?.	C3)
Определим ро(О и #о(О из системы B4), B5), которая в данном случае имеет вид:
ab?=poqo, qo-b = 0.
Отсюда получим
р0 = а?, q0 = Ь.	C4)
Система B6) при F = pq — aw записывается так:
dx _ dy _ dw _ dp _ dq _	,
q	p 2pq ap aq
Ее решение дается формулами (сначала интегрируются два последних уравнения):
p = CieaT, q = C2eaT, ж=-^-еаг + С3, у = ^-еат + С4, w=^^e2aT + СЪ. C6)
Используя начальные условия [полученные из C3) и C4)]
х = 1, у = ?, w = Ь?, р0 = а^, % = Ъ при т = 0,	C7)
определим постоянные интегрирования в C6):
С1=а?, С2 = 6, С3 = 1	, С4 = С5=0.
а
Подставляя эти значения в C6), находим решение задачи Коши C1), C2) в параметрическом виде
х=— еаг + 1-—, у = ?еат, w = b?e2aT.
а	а
Исключая параметры (ит, получим решение в явном виде: w = (ах + b — а)у.
Пример 2. Получим теперь решение уравнения C1), удовлетворяющее начальному условию w = f(y)
при х = 0.
Запишем начальное условие в параметрической форме
х = 0, у = ?, w = №.	C8)
Система B4), B5) для определения ро(О и Qo(O имеет вид: af(?) = poqo, q0 — /40 — 0- Отсюда имеем
Ро = ая1г' 9о = /'(е)-	C9)
Общее решение характеристической системы C5) описывается формулами C6). Используя начальные
условия C8), C9), которые должны быть выполнены при т = 0, находим постоянные интегрирования
21*

324	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
Подставляя эти значения в C6), получим решение задачи Коши C1), C8) в параметрическом виде
а	I VsJ
Пример 3. Требуется найти решение уравнения
/ dw \ 2 / dw \ 2 2
Ь~ + Ь— =а2,	D0)
\ дх у \ ду у
проходящее через окружность
х2+у2 = Ь2, гу = О.	D1)
Введя параметр ?, запишем уравнение окружности так:
x = bsin?, y = bcos?, w = 0.	D2)
Уравнения для определения дополнительных начальных условий B4), B5) в данном случае имеют вид
Ро + Яо =а2> Ро cos ? - sin ?<?о = 0.
Отсюда получим
ро= easing, q0 = sacos?, где ? = ±1.	D3)
Система C1) при F = р2 + д2 — а2 записывается так:
Же_ _ dy_ _ dw _ _dp_ _ _dq_ _
2p ~ 2q ~ 2(p2+q2)	о ~ 0 ~ '	l ^
Ее решение дается формулами (сначала интегрируются два последних уравнения):
р = С1? q = C2, ж = 2С1т + С3, 2/ = 2С2т + С4, w = 2{С\ + С|)т + С5.	D5)
Используя начальные условия D2), D3), которые должны быть выполнены при т = 0, находим постоянные
интегрирования
Сг = easing, С2 = eacosf;, C3=bsin?, C4=6cos^, C5 = 0,	где е = ±1.
Подставляя эти значения в D5), находим решение задачи Коши D0), D1) в параметрическом виде
х = Bеат + b) sin?, у = Bеат + b) cos ?, w = 2a2r.
Исключая параметры (ит, запишем решение в более наглядном виде:
a2(x2+y2) = (ab±wJ.	D6)
Геометрическая интерпретация: формула D6) описывает два круглых конуса в пространстве (ж, у, w),
у которых в основании лежит окружность D1) и общая ось совпадает с ось w. Координаты вершин конусов:
w = ±а6.
Важно отметить, что решение D6) является многозначной функцией.
(•) Литература к разделу 14.1.2: В. В. Степанов A958), Р. Курант A964), Э. Камке A966), И. Г. Петров-
Петровский A970).
14.1.3. Обобщенные вязкие решения и их приложения
14.1.3-1. Предварительные замечания.
В разд. 14.1.1-14.1.2 изучались классические гладкие решения w = w(x,y), имеющие непре-
непрерывные производные по обоим аргументам. В теории оптимального управления, дифферен-
дифференциальных играх и некоторых других приложениях однако часто возникают задачи, решением
которых являются непрерывные, но негладкие функции, см., например, А. И. Субботин A991),
W. H. Fleming, H. M. Soner A993), A. I. Subbotin A995), А. А. Меликян A996), A. A. Melikyan
A998), М. Bardi, I. С. Dolcetta A998). Для описания и построения обобщенных решений такого
рода требуются другие подходы. Важно отметить, что для определения обобщенных решений
нелинейных уравнений общего вида A) и A4) не удается эффективно использовать наглядные
конструкции типа интегральных равенств и законов сохранения, которые часто встречаются в
теории квазилинейных уравнений (см. разд. 12.1.3-12.1.4).
Отметим, что негладкость решения может быть обусловлена различными причинами:
1) пересечением характеристик в плоскости ж, у (см. далее пример 1), 2) негладкостью началь-
начального условия, 3) негладкостью функций F и %, определяющих уравнения A) и A4).

14.1. Предварительные замечания	325
14.1.3-2. Вязкие решения, основанные на использовании параболического уравнения.
Решение задачи Коши для уравнения A4) с начальным условием
w = <р(у) при х = 0	D7)
можно аппроксимировать решением дифференциального уравнения с частными производными
второго порядка параболического типа
^+Н(х,у,и,^)=е^	(?>0)	D8)
дх	V	ду /	ду2
с тем же самым начальным условием D7). Известно, что для достаточно широкого класса
функций 7{ и ср задача Коши для уравнения D8) имеет единственное решение. В теории
уравнений Гамильтона — Якоби этот факт был использован для определения решения задачи
Коши A4), D7) как предела решения задачи D8), D7): w(x,y) = lim и(х,у) [см., например,
г—>0
С. Н. Кружков A966, 1975), М. G. Crandall, P.-L. Lions A983)]. Эту конструкцию, основанную
на предельном переходе при е —»¦ 0, как и в теории квазилинейных уравнений (см. разд.
12.1.3), называют методом исчезающей вязкости, а предельную функцию — вязким решением
уравнения Гамильтона — Якоби.
Метод исчезающей вязкости можно, например, реализовать путем численного решения
задачи D8), D7) при достаточно малых е [в этом случае нет необходимости искать особые
точки, в которых нарушается гладкость решения]. Однако этот метод очень трудно использовать
для построения аналитических решений, так как приходится рассматривать более сложное
уравнение с частными производными второго порядка.
14.1.3-3. Обобщенные решения, основанные на пробных функциях и неравенствах.
М. G. Crandall, P.-L. Lions A983), М. G. Crandall, L. С. Evans, P. L. Lions A984) предложили
обобщенные вязкие решения вводить с помощью интегральных неравенств. Этот подход не
связан с рассмотрением уравнений более высокого порядка и позволяет в некоторых случаях
получать обобщенное вязкое решение в аналитическом виде.
Определение. Непрерывная функция w = w(x,y) называется вязким решением задачи с
начальными данными A), D7) в слое 0 ^ х ^ L, если выполнены следующие условия [см.,
например, P. L. Lions, P. E. Souganidis A985), A. A. Melikyan A998)]:
1°. Функция w = w(x,y) удовлетворяет начальному условию D7).
2°. Пусть ф(х, у) —любая пробная непрерывно дифференцируемая функция. Если (ж°, у°) —
точка локального экстремума разности функций
w(x,y) -ф(х,у),	D9)
то в этой точке должны выполняться неравенства
F(x°) г/°, w°, фх, Фу) ^ О,	если (х°,у°)—точка локального минимума,
F(x°, у°, w°, фх, фу) ^ 0,	если (ж°,г/°)—точка локального максимума.
Проверке подлежат только те точки локального экстремума, которые находятся внутри рассма-
рассматриваемого слоя @ < х° < L).
Отметим, что необязательно должна существовать пробная функция ф(х,у), для которой
разность D9) имеет локальный экстремум. Однако, если такая функция существует, то должно
выполняться условие E0).
Если задача Коши имеет гладкое классическое решение, то оно совпадает с вязким обоб-
обобщенным решением.
В теории оптимального управления и дифференциальных играх помимо задач с начальными
данными встречаются также задачи с конечными данными, в которых решение уравнений A)
и A4) ищется в слое 0 ^ х ^ L, а искомая величина w задается на правом конце слоя при
х = L. Для этих задач в определении вязкого решения неравенства в E0) следует изменить на
противоположные. Задачи с конечными данными сводятся к задачам с начальными данными
путем введения вместо х новой независимой переменной z = L — х.
Отметим, что эквивалентные, но более сложные определения вязких минимаксных реше-
решений, использовались в работах А. И. Субботина A991), A. I. Subbotin A995).

326
Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
Рис. 11
14.1.3-4. Локальная структура обобщенных вязких решений.
Обобщенное решение w(x,y) состоит из регулярных и сингулярных точек. В некоторой
окрестности регулярных точек функция w(x,y) является решением в классическом смысле
(такие дважды непрерывно дифференцируемые решения обсуждаются в теореме существования
и единственности из разд. 14.1.2). Все нерегулярные точки относятся к сингулярным.
Пусть D — некоторая достаточно малая окрестность сингулярной точки (ж*, г/*). Обычно
встречаются ситуации, когда сингулярные точки образуют некоторую гладкую кривую Г,
которая проходит через (ж*, у*) и разбивает область D на две подобласти D\ и D2 (рис. 11). По
обе стороны от Г обобщенное решение w задается разными классическими решениями и\ ии2:
если ж,у G Di,
если ж, у G D2,
E1)
которые непрерывно, но негладко, сопрягаются вдоль общей границы. При переходе через Г
r r dw dw
производные обобщенного решения 	 и 	 терпят разрыв. Будем считать, что гладкие
дх	ду
составляющие обобщенного решения и\ и и2 гладко доопределены во всей рассматриваемой
области D. Тогда уравнение кривой Г, образованной сингулярными точками, можно записать в
виде равенства
дг(ж,2/) = О,	где д(х,у) = и2(х,у) — и\(х,у).	E2)
Градиент функции д, направленный по нормали к кривой Г, находится по формуле
у'	дх ' п ду
где еж и еу —направляющие векторы вдоль осей ж и у. Возможны две ситуации.
1°. Вектор Vg направлен из D2 в Di. В этом случае справедливы следующие утверждения,
см. A. A. Melikyan A998):
A)	Обобщенное решение в области D может быть записано в виде w = min[i6i, u2], см.
рис. 12.
B)	Не существует гладкой пробной функции ф(х,у) такой, что локальный минимум
разности функций D9) достигается в сингулярных точках, образующих Г.
C)	Для однопараметрического семейства пробных функций
ф(х,у) = \и2(х,у) + A - \)ui(x,y),	0 ^ А ^ 1,	E3)
максимум разности
достигается в точках ж, у Е Г.
max \w(x,y) -ф(х,у)]
x,y?DL
E4)

14.1. Предварительные замечания
327
вязкое решение
w = тт[ир и2]
Г
Рис. 12
Замечание. Для обобщенного решения типа w = min[i6i, U2] нет необходимости проверять
первое неравенство E0); второе неравенство E0) достаточно проверить только на однопараме-
трическом семействе пробных функций E3).
2°. Вектор Vg направлен из D\ в D2. В этом случае обобщенное решение можно представить в
виде w = max[i6i, U2] и надо проверять лишь первое неравенство E0) на однопараметрическом
семействе пробных функций E3).
14.1.3-5. Обобщение классического метода характеристик.
E5)
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби
dw	(	dw \
-—+?/[ ж, 2/,—-) =0,
дх	V	ду /
w = (f(y) при х = L.
Считаем, что функция 7i(x,y,q) является выпуклой по аргументу q для всех х Е @, L], у Е Я, а
функция %(ж, 2/, <?) непрерывно дифференцируема по ж, ?/, д, и существуют вторые производные
Пусть решение характеристической системы A5), удовлетворяющее условию C0), имеет
вид
у = У(я,О, w = W(x,?), q = Q(x,?)	E6)
Обозначим через {^п = ^п(х^у)} множество функций, полученных путем разрешения
первого равенства у = Y(ж, ?) из E6) относительно параметра ?. Индекс п указывает на число
таких функций.
Классический метод характеристик может быть использован для построения обобщенного
вязкого решения с помощью формулы
w(x,y) = max W(x,?)	E7)
для всех х Е @, L], у Е Я. Значению п = 1 соответствует классическое гладкое решение. Формула
E7) была получена S. Miricu A985) и Н. Н. Субботиной A991).
14.1.3-6. Примеры вязких (негладких) решений.
Ниже рассмотрены две задачи, которые встречается в теории игр, см. А. И. Субботин A991),
A. I. Subbotin A995).
Пример 1. Рассмотрим задачу с конечными данными для уравнения Гамильтона-Якоби
dw
дх
= 0
E8)

328
Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
Рис. 13
с начальным условием
w = у?/2 при х = L.
Решение ищем в области О <С х <С L.
Характеристическая система A5) для уравнения E8) с гамильтонианом 7i(x, y,w,q) = \/l
вид
i	q	i	1	/
л/1 + q2 ' Wx	л/TTq2 ' Qx
Начальные условия получим из C0) при (р(?,) = \?,2'-
у = ?, w = у?2, 9 = ? при х = L.
Интегрируя уравнения F0) с условиями F1), находим решение задачи Коши E8)-E9):
L-x
F1)
F2)
На рис. 13 в плоскости х,у изображены характеристики у(х,?) при L = 2 для значений параметра
? = 0, ±0.2, ±0.4,..., ±1.0. Видно, что характеристики пересекаются. В данном примере можно построить
локальное классическое решение задачи E8), E9). Однако его нельзя продолжить на весь рассматриваемый
слой 0 <С х <С L (т. е. не существует глобального классического решения). Обратим внимание на то,
что гамильтониан 7i = y/l + q2 уравнения E8) и функция, задающая начальное условие E9), являются
бесконечно дифференцируемыми функциями.
Вязкое решение задачи Коши E8), E9) имеет вид
у (ж, у) = max [qy + (L - х) л
qER
F3)
где 0 ^ х ^ L, ?/ — любое. Линии уровня этой функции изображены на рис. 14. Жирной линией показано
множество сингулярных точек, в которых решение недифференцируемо.
Пример 2. Рассмотрим задачу с конечными данными для более общего уравнения Гамильтона-Якоби
0 @ ^ х ^ L)	F4)
F5)
F6)
F7)
дх	V ду
с начальным условием общего вида
w = (f(y) при х = L.
Справедливы следующие два утверждения:
1°. Пусть гамильтониан удовлетворяет условию Липшица
|7-^(^2) — /H(q1)\ ^ C\q2 — <Zi| для любых q±,q2 G R,
а (р(у) —выпуклая функция. Тогда вязкое решение задачи F4), F5) имеет вид
w(x, у) = sup [qy + (L - x)U(q) - ip* (q)],
q?R

14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных	329
Здесь ip* — функция, сопряженная функции tp, т. е.
(p*(q) = sup [qx- (p(x)].
x?R
2°. Пусть гамильтониан 'H(q) является выпуклым и удовлетворяет условию Липшица F6), а функция
(f(y) —непрерывна. Тогда функция
w(x, у) = sup [<р(у + (L - x)t) - (L - х)П* (*)]	F8)
teR
является вязким решением задачи F4), F5). Здесь функция
U* (t) = sup [qt-U(q)]
q?R
является сопряженной функцией к гамильтониану 7i(q).
Первоначально различные формулы для обобщенного решения уравнения F4) с начальным условием
при х = 0 были получены Хопфом (Е. Hopf, 1965), который рассматривал область х > 0. Позже М. Bardi,
L. С. Evans A984) показали, что решения Хопфа являются вязкими решениями.
(•) Литература к разделу 14.1.3: Е. Hopf A965), С. Н. Кружков A966, 1975), P. L. Lions A982),
М. G. Crandall, P.-L. Lions A983), М. G. Crandall, L. С. Evans, P. L. Lions A984), P. L. Lions, P. E. Souganidis
A985), E. N. Barron, R. Jensen A987), H. Ishii A988), А. И. Субботин A991), M. G. Crandall, H. Ishii,
P. L. Lions A992), W. H. Fleming, H. M. Soner A993), A. I. Subbotin A995), А. А. Меликян A996),
A. A. Melikyan A998), M. Bardi, I. C. Dolcetta A998).
14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности
относительно производных*
14.2.1. Уравнения вида ^г{%J = f(x,y,w)
dw ( dw \2
h	+ ь
Полный интеграл: w = (ЗЬх + С\) \у -\	—— + С2.
I	462 J
dw ( dw \2	2
2. 	 	 = аху .
dx V dy )
(j y2	ax2
Полный интеграл: w = —	1	^- + C2.
3 dwfdw\2	^
Полный интеграл: w= (-^—хк+1+сХ'3у + Ъ [ x11 (-^—xk+1 +Ci)~2/3 dx + C2
4. ^(^J=a*V.
_аС1„к+1 ,	2
Полный интеграл: w = 	— x -\	у 2 + C2.
_ dw (dw\2	h
5. 	 	 = aw -\- bx .
dx V dy J
Полный интеграл: w = Bax + dI/2(y + C2) + bBax + dI/2 [	^ dx
J I
Этот раздел написан совместно с Л. В. Линчук.

330	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
6.
dw ( dw\2 k
	 	 = ax w -\-
dx V dy J
Полный интеграл:
где функция if (x) и ф(х)
ренциальных уравнений
Ьхпу + еж771.
w = у(р(х) 4
определяются путем
(р2(р'х = ахкср
(р2ф'х = ахкф
решения
+ Ьхп,
+ сжт.
системы обыкновенных диффе-
A)
B)
Уравнение A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то реше-
решение уравнения B), которое линейно относительно ф, находится элементарно.
Уравнение A) интегрируется в квадратурах, например, в следующих трех случаях:
а = О, Ь = 0 и к = п.
14.2.2. Уравнения вида /(ж,у, w)(j^K + g(x,y,w)-%± = h(x,y, w)
%
( dw \3 . dw
1.		 + a	 = b.
V dx J	dy
dy
Полный интеграл: w = (b + oCiI'3^ — C\y + C2.
dw

dy
/a«?\3 , dw
2.		 + a	 = bx.
V dx J dy
Полный интеграл: w = —(bx + aCi) — C\y + C2.
46
_ / dw \3	On?	fc
3. 	 + a	 = foe .
V dx J dy
Полный интеграл: w = (bxk + aCiI'3 с/ж — Ciy + C2.
/ dw \3 , On? , fe
Полный интеграл: w = aCix — a2Cfy -\	у +1 + C2.
a[k + 1)
3	Oil?	- r» ,	ггг
4-
Частный случай уравнения 14.3.3.3 при к = 3.
3	Oil?	»	гг .	ггг
+ 6 +с?/
Частный случай уравнения 14.3.3.4 при к = 3.
f dw\3 t dw
7.	^— +a2/^— = aw.
V dx J	dy
/7;
Полный интеграл: w = 	Bax + C2K + C
9a
Полный интеграл: ги = —— Bax + C2K + C\(y — b).
9a2
/ dw\*	dw
К 	 — аху	\- b = 0.
V dx J	dy
dy
Полный интеграл: w = —-—(aC\x — 6L/d + C\ In \y\ + Сч.
(C 6L/3

14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных	331
10. ^) + aXy^
V дх )	ду
3(аС1+6I/3 4/з Сг , п
Полный интеграл: w =	—	х '	— + 02-
4	у
3	з dw	2	2
~ay -W = bx ~cy ¦
Полный интеграл: w = — In \y\	Ц- + / (Ъх2 + CiI'3 dx + C2.
а	2ау2 J
( dw \3 ,	аи?
12. 	 +aw	 = 0.
V	дх )	ду
Полный интеграл: w = 	^-(Cix — у -\- С2) •
4C-L
._ / Он? \3	2 ^гу
13. 	 = aw 	.
V	дх )	ду
Полный интеграл: w = C2 ехр [±л/аС7(ж + Ciy)].
14.
Полный интеграл: w = 	 	—х з н	^ + С^2
2
2-fc
._ / On? \3	„^
15. 	 + ae 	 = 0.
V dx J	ду
Полный интеграл: w = 2 In 2 — ln(aCi) — 2 In |ж — Ciy + C21.
Переобозначая х ^ у, получим частный случай уравнения 14.4.1.10 при к = 3.
т /Зги / dw \*	diV	ic	r\
17. ау е I	I — 	 -|- by = О.
Переобозначая х ^ у, получим частный случай уравнения 14.4.1.11 при к = 3.
14.2.3. Уравнения вида /(ж,у, w)(-^K + g(x,у, w)(-^-J = h(x,у, w)
dw\3
Полный интеграл: w = аС\ х + аС\ у + Сг-
2.		 — a 	 = Ъх.
\ dx	У ду J
Полный интеграл: w = —{Ъх + аС\) + С\у + Сг-
46
_
3-
2	3 3/2
Полный интеграл: w = С\х ±	1=(Ъу + с + С\) 7 + Сг-
Полный интеграл: и> = ехр	—	^	— .

332	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
_	/ dw \3	/ dw \2	з,
5. а 	 + bw[	 = w \nw.
V дх )	\ ду )
Полный интеграл в неявном виде: w = ехр (к^а~1'2'х + С\) + (уЬ~ 2/ + Сг ) .
, / Он? \3	2 / dw \2 n
6.		 + aw 	 = 0.
V дх )	\ ду )
dw
~dy
Полный интеграл: w =
7.
ду
Полный интеграл: w = [a(l — k)(Cfx + Cfi/ + С2)] x~k •
тт »	f f bix +ci\1/3 j f (hvs ~ci ^1/2 j ^
Полный интеграл: w = [ —	— аж + / —	— ay + G<
14.2.4. Уравнения вида f(x^y^w)(-^-K + g(x^y^w)-^--^- = /ii
1 аж ду '
с3 + 6
Полный интеграл: w = С\х	у + Сг-
(Огу \3 dw dw
	 + a	= byw.
dx J dx dy	У
Полный интеграл: w = 	-(у2 + Gi)Fa2x — by3 — 3bCiy + С2).
12a3
f dw \3 t m dw dw . c
3. 	 + ат/	= бк; .
V dx /	Ож dy
Частный случай уравнения 14.4.2.14 при к = 3, п = 1,
4.	(	) -|- G&7/	= by71w -\- cxy™ -\- sy .
Полный интеграл:
w = хср(у)
где функции (р(у) и ф(у) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
aykifip'y = byncp + суш,	A)
аук<рф'у=Ъупф-<р3+8У1.	B)
Уравнение Абеля A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то
решение уравнения B), которое линейно относительно ф, находится элементарно.
В простейших случаях решения уравнения A) имеют вид
5. f^Lf + „е^вЦ*!
\ дх J	дх ду
Частный случай уравнения 14.4.2.14 при к = 3, п = 1, /(у) = aeAj/,

14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных	333
14.2.5. Другие уравнения
/ dw \3	dw , dw
V dx )	dx	dy
Полный интеграл: w = C\x	In \y\ + C2.
b
( dw \3 , , , , ч dw
Полный интеграл: w = С\х + Сгг/ + аG? + bCi +
t dw t u dw
Полный интеграл:
С?
у ь - Cixy ъ + C2 при 2b ф За,
w = < ™ ~ ои
— С\ In. |2/| - Cixy~2/S + C2	при 26 = За.
о
( dw \3	( dw \* _\_hdw \	i л _ п
V дж / ~а\"ау~У	~Ож~ ^	""
тт	»	^	2(ас2/ + аС3 + аб^ + adK/2
Полный интеграл: w = dx	—	\- С2.
За2с
( dw \3 , dw dw . , dw . dw . , _
5.		 +a	\-b	\-с	h d = 0.
\ dx J	dx dy	dx	dy
Полный интеграл: w = C\x	у + C2.
aC1 + с
( dw \2 / dw , \ ,, . ч On?
6.	h a = (б'Ш + с)	.
V dx ) V dy	)	dy
Полный интеграл в неявном виде:
bC2(Cix + C2y + С3) = ЛЯ + aC? In |Я - aCi|, где Я2 = 46С22^ + а2С? + 4сС22-
/ dw \3 , { dw \3
7. 	 Ч- а 	 = оги.
\ dx J	\ dy J
тт	»	2V/6b ,^ ,	, ^ чЗ/2
Полный интеграл: и> = —.	о (dx + 2/ + С2) •
9Va + С3
f dw\3 t ( dw\3
V dx /	^ dy J
тт	»	3Cfl 2/3	З/С^ + ЬЧ1/3 2/3 ,
Полный интеграл: w; = —^ж х	—	 у ' +
2	2 V a /
9. ()+a()
U/ ^ V d J dy
Полный интеграл: г^ = 		(dx + у + Сг) •
1А / dw\3 . dw f dw \2
10. 	 +a	 	 = frw.
V аж у dx \ dy J
Полный интеграл: w = 		^=(Cix + у + C2K'2.
Us
С2 ± л/с^ abC1
Полный интеграл: w = C\x	у + C2.
2aC1

334	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
fdw\2dw , fdw\2dw
12.	\- а 	 	 = bw.
\ dx J dy	V dy J dx
Полный интеграл: w = 		^={C\x + у + C2) .
9Л/С1(а + C-J
/ 0H7 , \3 , dwfdw\2
13.	к ги + а	 	 = 0.
V dx	)	dx \ dy J
Полный интеграл: w = exp	x % .
L 1 + (aCiI/6 J
л.	X ( dw \2 . 1 0117	t	. 0117
14. 	 +a 	 = (bw + c)	.
L V 0ж / J dy	dx
Полный интеграл: w = 	{C\x + C2y + СзJ Н	—.
Полный интеграл:
2
=0-
^(С1Х + у)-ъ/а-^ при 6/0,
_±J_ in \clX + y\ + C2 при 6 = 0.
a
/ Он? , dw	\3 t dw dw
16. (ж—	\~y—	w) +a—	— = 0.
\ дх	ду	)	дх ду
a
dw	\3 t dw dw
—	w) +a—	—
ду	)	дх ду
Полный интеграл: w = 27С±х + С2У +
14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные
параметры*
14.3.1. Уравнения содержат четвертые степени по производным
i	/ dw \4	01У ...
1. ^— = а,—	\-bx-\-c.
\ dx J	dy
Полные интегралы:
4 /, ^-v ч5/4 ^, ^, аС л х — Ьху — су (аСл —byM ~
w = —(fix + aCi + сM/4 + Ciy + С2, гу = 	^	 - -^—х ,7 У) + С2.
0117 , ,
Полный интеграл: w = '
2a
3.
Полный интеграл: w = (bx + aC\) dy — dy + C2-
f dw \4 _0ut_ _ fe
V 0ж /	dy
Полный интеграл: w = adx — a C\y Л	-у + '
a(k + 1)
Этот раздел написан совместно с Л. В. Линчук.

14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры	335
4	dw _	fe	n
Полный интеграл:
а(к + 1)
dw \ , dw , fe , п
Полный интеграл: w = (Ъхк + ad) dx — С\у -\	;	гУп+1 + ^2-
У v	7	a(n + 1)
\ дх J	ду
Полный интеграл: гу = 	(аС\х + a Ci у + Сг)
8.
з
3-fc
и ду
Полный интеграл: ги = 	 	—х 4 -^	!—у + G2
F	L 3 Vn + 4	l-my	J1
3
3-fc
Полный интеграл: w = ± — \ —2Ь -\-2db2 — 4d — 4aCf — 4cCi + Ciy + С2.
1 / Ж	\2	16	з
Полный интеграл: w = — (	\- Cij -\	(у + С2) •
k{ dw\* ( dw\2	dw
11. сш 	 = 	 + b	.
y V dx J \ ду J ду
Полный интеграл: w = C\x	/ Ib ± д/б2 + 4aCfyk J dy -\- C2.
Полный интеграл: ги = Dаж + CiI/4|/ + 6 / xfcDax + Ci)~3/4 ^ж + C2.
dw f dw\3	fe . , гг
13. —— I —— ) = ax y + bx .
dx V dy /
dy
Полный интеграл:
. .	dw f dw\3	k n
14. 	 	 = ax у .
dx \ dy J	У
aC3 fc+i 3	n+3
Полный интеграл: гу = 	— x -\	-у з + G2.
/c + 1	С^пЧ- З)
._	dw f dw\3	fe
15. 	 	 = ак; + 6ж .
dx \ dy J
Полный интеграл: w = (Зах + CiI/3(|/ + C2) + bCax + CiI/3 /" xkCax + C
i)/3

336	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
16. 	(	) = axnw + bx^y + ex .
Ож \ dy J
dw (
Частный случай уравнения 14.4.1.23 при А; = 3, /(ж) = ажп, д(ж) = 6жт, /г(ж) = сх1.
17. то* (*?.) (*?.)* = а V (
\ Эх ) \ ду )	V дх
2	\/ 1 ~^	о	2
Полный интеграл: w = —	(bx + aCiy ) + С2.
c
14.3.2. Уравнения, содержащие радикалы с производными
dw . I uf dw\2
-г— + Ja + b ^— =0
Ож у	^ ду /
Это уравнение встречается в теории оптимального управления и дифференциальных
играх, см. А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin A995).
Полный интеграл: w = С\у — у а + bCf х + С2.
См. также пример 1 в разд. 14.1.3, где рассматривается задача Коши для этого уравнения
при а = b = 1.
2.
Полный интеграл: w = Ciy + \x2 у с + кС2 — xya + ЬС2 + Сг-
Задача Коши для этого уравнения при Ь = к = 1,а>0,с>0 рассматривается в книге
A. A. Melikyan A998).
9ад , du?	,	f dw \2 t ,f dw
dx ^ У dy	V \ dx J ^ \ dy
Полный интеграл: w = C\x + С2У + yaC2 + 6C| + c.
14.3.3. Уравнения содержат произвольные степени производных
/du?\fe	dw _ и гъ
\ dx J a dy ~
Полный интеграл: w = / Fжп + aCiI^ dy — Ciy + C2.
f dw\k	dw_ _ гъ
V dx J	dy ~ У
Полный интеграл: w = aC\x — a ~ C\ у Л	гуп+ + ^2-
a(n + 1)
k	dw
+СУ
Полный интеграл: w = [(bxn + аСЛ1/к dx - Ciy +	ym+1 + C2.
J	a(m + 1)
dw \k , Огу
4-
Полный интеграл:
= x<p(y)+ C ym+1-- fipk(y)dy + C1, <p(y)= \
a[m + 1)	a J	a[n +

14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры	337
_ ( dw\k	п dw
5.		 — aw 	 = 0.
V dx )	dy
i-fc
тт	«	\ П — k -\- 1 / ~ , к — 1/^к , s-i \1 те —fc + 1
Полный интеграл: ги = 	\aC\x + а Сх у + Сч)
L 1 — /с v	7J
( dw\k	n т I dw
.		 — ax у w 	 = 0.
\ dx) y ay
Полный интеграл: гу = 	 	^ж fc -\	-у + С2
L 1 — /с\п + /с	1 — т	/ J
6
-fc+i
_ ( dw\k . п dw dw	rn	i	s
7. ^— +«?/ -^—^—=ЬУ w + cxy +dy.
V ож /	ож ay
Частный случай уравнения 14.4.1.18 при /(г/) = a^/n, р(г/) = 6^/m? M?/) = C2/Z' r(?/) = ^2/S-
y \ dx J	\ dy J dy
8
Полный интеграл:
Полный интеграл: w = C\x + C2	2/ ± — / д/б2 + 4aGf 2/n dy.
10. aWm«," f-^-) " - ^ + bi/sW = 0.
V dx J dy
Преобразование
(x, y) = G(y)u(x, z), z = aj ушСп+к-\у) dy, G(y) = exp
приводит к более простому уравнению вида 14.3.3.5: (	) — и~п	 = 0.
V дх /	dz
1	р	к
Полный интеграл: w = [а(к + 1)х + d] к+г y + b хп [а(к + 1)х + Ci] fc+1 dx +
._	dw ( dw\k	n m
13. 	 	 = ax у .
dx \ dy J	У
Частный случай уравнения 14.4.1.17 при f(x) = ахп, д(х) = bx11
dw ( dw \k
~dy
Полный интеграл: w = 	— xn+1 + -^—(	—^У к + Съ-
dw ( dw \k
. . dw ( dw\k	п
14. 	 	 = aw + bx .
dx \ dy J
Полный интеграл: гу = (акх + С\) к (у + G2) + 6(аА;ж + Ci) fc / хп(акх + Ci) fc
15.
ож V dy
Частный случай уравнения 14.4.1.23 при /(ж) = ажп, д(х) = 6жт, /г(ж) = сх1.
22 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

338
Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
1/: dw ( dw\k	dw . , .	n
16. ——(——) + a —	\-bx + c = O.
dx V dy )	dy
2c
17.
Полный интеграл: w = — "^ ' ^"^ ' ^ х + С\у + Сг-
Оги / Огу \ ^	dw .
с/ж V с/у '	ох
Полный интеграл: w =	—х -\- С\у -\- С2-
( dw dw \k	dw	dw
18.	=х	у	.
V dx dy /	dx	dy
Полный интеграл:
где R = у/АхуС\~2к
Полный интеграл:
w = C1 arctg | + C2 + I y/dB? -С1Щ-,
( dw	dw \k ( dw \2 / dw \2
20. (y—	\-x——) =(—— J —(——).
V dx	dy J V dx J V dy J
где R=
Полный интеграл:
x — у
+C<2' где Л=
21.
Полный интеграл: w = (b — adI' x + Cx у + CV
f dw\k ( dw\k
22- b^> +аЫ) =w-
dy
Полный интеграл: w = (l +
k
(ж + Сц/ + C2)l fc .
23. ажг
Полный интеграл: w = / 	— аж + / 	:—— ay + C2 •
F	У V аж™ /	J \ by1 J y
dw \ ^	/ / Огу \ ^ Огу
Частный случай уравнения 14.4.2.5 при f(y) = ауш, д(у) = 6|/г.
25. еах (
Полный интеграл:
dw
dw
приа = О.
26. а(	hcyl H-ftl	Нсж1 = еж
Частный случай уравнения 14.4.2.10 при /(ж) = схт, д(у) = s^/.

14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры	339
V dx J V dy
Полный интеграл: w = 	х к -\	1—у п -\- G2.
(ш + АО С?	п + /
28. ()(
V d ) \ ду
Частный случай уравнения 14.4.2.8 при /(ж) = ахт, g(y) = yl, h{w) = ws.
ду )	ду
Полный интеграл: w = С\у + С^п I (aCixm + Ъх ) ' dx + C2.
Частный случай уравнения 14.4.2.11 при /(ж) = 6жт,
14.3.4. Уравнения более сложного вида
Л	dw	( dw\
1.	а ехр Л	 = 0.
дх	*Ч ду )
Он?
Ож
Полный интеграл: w = aeAOlx + Ciy + С2.
Pit;
Ож~
dw	f dw\	k
2.	а ехр Л	) = ox .
dx	*4 dv J
Полный интеграл: w = Ciy + ае гх -\	x + + C2.
3.	_
Частный случай уравнения 14.5.1.6 при f(u) = ехр(Лгб), д(х) = Ьхк.
dw	( dw \ . ,
4.	а?/—	ехр —— ) + Ъху = 0.
ох	V ау /
Полный интеграл: w = —	\- y\n(Ciy) — у + С2.
dw	, /ж ^гу
Полный интеграл: w; = ash(\Ci)x + Ciy + С2.
dw	. /x dw \
5.	ash Л	 = 0
dx	V dy J
6.	вх8Ь(А
9	\ ду
Полный интеграл: w = Ciy + ash(AC<l) ^+1 + —— xn+1 + C2.
к + 1	n + 1
On?	. /. On? \
7.	aw sh Л	 = 0.
dx	\ dv J
dx	\ dy
Частный случай уравнения 14.5.1.10 при f(u) = ash(A^), C = 0.
dw	. {. dw \
8.	a In Л	 = 0.
dx	V dy )
dy
Полный интеграл: w = a\n(XCi)x + Ciy + C2.
_	Oil?	. /. ^117 \
9.	a In Л	 =
Ож	\ dy J
bxk.
Полный интеграл: w = Ciy + a\n(XCi)x -\	xk+1 + C2.
22*

340	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
дх	v ay
Полный интеграл: w = С1У + nln(*ci) д.Н-1 + —— ж"+1 + C2.
к + 1	n + 1
11.	aw In	= 0.
дх	\ w ду J
Полный интеграл: w = C\ exp [C2y + а 1п(АС2)ж].
12. —— - a cos f Л——) = 0.
дх	У ду J
Полный интеграл: w = acos(ACi)x + Ciy + C2-
13.	1- a cos (Л	) = bxky -\- cxn.
дх	\ ду /
Частный случай уравнения 14.5.1.3 при f(u) = acos(Xu), g(x) = bxk, /г(ж) = сжп.
14.	axksin(X	) — bxn	 = 0.
дх	V ду )	ду
тт » asin(AC1) fc+i 6CX n+i ~	~
Полный интеграл: w =	—х -\	—х + С\у + С2.
к + 1	п + 1
15.	(ахку + бж71) sinfA	) = 0.
дж v ^	' \ ду )
1/: dw • (\ dw\ и
16.	a sin Лж	 = о.
дх	\ ду J
Частный случай уравнения 14.5.1.7 при f{u) = sin(Ai6), g(x) = ахк, h(x) = 6жп.
Л
ду
Полный интеграл: w = 	cos(XCix) + bx — Ciy + 62-
AG-l
it Огу	. / Л
17
.	aw sin	= 0.
дх	\w ду J
Полный интеграл: w = C\ ехр [С2У + a sin(AG2)x].
> О решениях других нелинейных уравнений см. также разд. 14.4.1-14.4.2, где рассмотрены
уравнения общего вида, содержащие произвольные функции.
Л А А. Уравнения, содержащие произвольные функции
независимых переменных
14.4.1. Уравнения содержат одну произвольную степень производной
Полный интеграл: гу = — аС\х + / f(x) dx + Ciy + С2.
Л/'С-у4) _i_ с 1 i/fc
——	 dy + C2.
Полный интеграл:

14.4. Уравнения, содержащие произвольные функции независимых переменных	341
.	dw
4- ^ +
/(ж) с/ж + / |yw^ 4
C2.
Полный интеграл:
Полный интеграл:
где функция 9? = у (г/) описывается уравнением а((р'у)к + 9? — f(y)(fk = 0. В частном
случае /(г/) = const после разрешения относительно производной оно представляет собой
уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл:
w = G(x) [уу>(х) + ф(х)], G(x) = expI / g(x) dx\,
где
ф) = Cl+ f-^-dx, ф(х) = С2
dw	. 4/ dw\k , ч dw
Полный интеграл: w = Ciy + C2 — / [Ci f{x) + dg{x)\dx.
'¦ ?
Полный интеграл:
w = y<p(x) + I yk (x)g(x) dx + C\, ф) = [A - *) I f{x) d
x + C] ~
Преобразование
«;(x)») = G(x)ti(«)y)) z = I f(x)Gn+k-1(x)dx, G(x) = exP[J g(x)dx],
-	du n ( du \k ~ ^	i i -x
приводит к более простому уравнению	и I	1 =0. При п+к ф 1 это уравнение
oz	\ оу /
допускает полный интеграл
u=(C1y + Ck1\k-1z + C2)\ Л= к~1 .
v	'	п + к — I

342	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
П. E2L - f(x)efBw
Преобразование
w(x, у) = u(z, у) + G(x), z = J f(x) exp[f3G(x)] dx, G(x) = J g(x) dx,
r	du euf du\k _
приводит к более простому уравнению	е I	) =0, которое допускает полный
dz	V ду /
интеграл
"¦
Полный интеграл в неявном виде: / [/(гу)] к~х dw = С\х + С\у + Сг-
) Ы)+ fc(*)]-5r = о.
Преобразование
t = ?к (х) dx, z = <р(х)у + / h(x)(p(x) dx, <p(x) = exp I / g(x) dx\,
приводит к более простому уравнению вида 14.4.1.12:	f(w)(	) = 0.
dt	\ dz J
k , ч dw
Полный интеграл в неявном виде: /	—		dw = С\х + у + Сг-
J 1С1+ g{w) J
15.	^-/
Полный интеграл в неявном виде:
j[h{w)Y^dw = C\ I f(x)dx
16.	/(х)^(^)Ч
Полный интеграл: w = Ci 	rm	/ —	^-dx + C2.
J [g(y)]1/k J №
Полный интеграл: гу = Ciy	/ \f(x) =Ь у f2(x) + 4G^(ж) + 4/г(ж) с/ж + Сг-
1О / dw \к
Полный интеграл:
гу = х(р(у)
где функции у(г/) и ^(г/) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
pfy = g(y)tp + h(y),	(I)
^к + г{у).	B)

14.4. Уравнения, содержащие произвольные функции независимых переменных	343
Уравнение Абеля A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то
решение уравнения B), которое линейно относительно гр, находится элементарно.
В простейших случаях решения уравнения A) имеют вид
<f(y) = / 4тт dy + Cl	для ^B/) = ° д(у^ ~любое>
для #(г/) = 0 h(y)—любое.
1	г	к
Полный интеграл: w = [а(к + 1)х + Ci] k+1 y+ f(x) [а(к + 1)х + Ci] fc+1 с/ж + Сг.
Полный интеграл:
(ж) с/ж + С2]
Полный интеграл: w = C\ I f(x) dx H	/ [g{y)] dy + C2.
Полный интеграл: w = (акх + Ci) к (y + C2) + (akx + Ci)k /
22-
23. —
Полный интеграл:
где функция (р(х) и ф(х) определяются путем решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
Уравнение A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то реше-
решение уравнения B), которое линейно относительно ф, находится элементарно.
14.4.2. Уравнения содержат две и три произвольные степени
производных
V Ож / V ду /
—^-^	— с/ж + /		— dy -\- С2-
/(ж) J	У L ^(?/) J
2- /(ж)A^)+9{y)(i^T = aw+hi{x)+h2{y)-
Полный интеграл:
w = (p(x) + ф(у),

344	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
где функции ip(x) и ф(у) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений
f{x){<p'x)k-aip-h1{x) = C1,
Последние с помощью подстановок z = / |/(ж)| dx и t = / |#(г/)| п dy соот-
соответственно приводятся к уравнениям, разрешимые случаи которых указаны в книгах
В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
_
3-
Полный интеграл в неявном виде: / [/(ги)] п~к dw = С\Х + С\ у + Сг-
Полный интеграл в неявном виде:
^k dw = C?J[f(x)]~*dx + Ci j[g{y)}~^ dy + C2.
,	. ,fdw\	. .( dw\	dw
Полный интеграл:
w = x<p(y) + J g(y)vn(y) dy + Ci.
Zr при
(p(y) = C2 exp [y /(j/) c/j/]	при к = 1.
, , n( dw\k	, . kfdw\n	r. + fe
Полный интеграл:
«, = exp{ [A^l J[f(x)]-T dx + Cl] ^ + [^1 J[g(y)]-^ dy + C2] ^}.
7- -||(-|^)"+[/1И2/ + /2(Ж)](-|^)Г1 + /з(Ж)-||=91
Полный интеграл этого уравнения ищется в виде w = уср(х) -\- ф(х).
Полный интеграл в неявном виде:
Полный интеграл: w = Ciy + Cj"™7* f[Cif(x) + д(х)]1/к dx + C2-
(И 111	\ &	/ /9?/)	\ ^
S" + cy) +6(^7 + ca;) =/(ж)+9Ы-
Полный интеграл: w = -сху + J [-№L?l] V* da; + | [gB/)~Cl] Vn dy + C2.

14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных	345
11
Полный интеграл: u> = —аху + С™ / [/(ж)] с/ж Н	^- / [#(г/)] п dy + Съ-
Полный интеграл: и; = J[C?g[/k(x) - /i (ж)] dx + j]±-gUn(y) - /2(у)] dy + С2.
Уравнения этого вида встречаются в теории оптимального управления и дифференциаль-
дифференциальных играх (к = п = 2), см. A. A. Melikyan A998).
Полный интеграл: w = С\у + Съ — I /i(ж)ygi(х) + Cf + /2(ж) д/^2(ж) + С]2 с/ж.
[g{w)]l/k =С^+\-^Г)	]
Полный интеграл: w = Ciy + СГп//г f[C?f(x) + р(ж)]1//г с/ж + С2.
14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от
производных
14.5.1. Уравнения содержат произвольные функции одной переменной
+ f
дх ^ J V ду
Это уравнение встречается в теории оптимального управления и дифференциальных
играх, см. А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin A995).
1°. Полный интеграл: w = dy — f(C\)x + Сч.
2°. Дифференцируя уравнение по у, получим квазилинейное уравнение
	Ь f (и)	 =0,	и = 	,
дх J K J ду '	ду'
которое подробно рассматривается в разд. 12.1.3 (см. также уравнение 12.4.2.1).
3°. Решение задачи Коши с начальным условием w@, у) = ц>(у) записывается в параме-
параметрической форме
V = f «)* + ?, w=[U'(Q-№]x + <p@, где С = ?>'@-
См. также примеры 1 и 2 в разд. 14.1.3.
2-
Полный интеграл: w = dy — f(d)x + / g(x) dx + C2.
dw , „ ( dw \	, v , , / ч
Полный интеграл:
w = ф)у + J[h(x) - f((f(x))] dx + Ci, ф) = J g(x) dx + C2.

346	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
Полный интеграл:
w = (Сц, + С2)ф) + <p(x)f[h(x) - ПЪф))] ^|у, ф) = exp[fg(x)dx].
- -§|- + /(¦§¦¦¦¦) = »(*)«> + М*)» + s(x).
Частный случай уравнения 14.5.2.4 при F(x,u) = f(u) — s(x).
Полный интеграл:
w = ip(x)y + / f(tp(x))g(x) dx + Ci,
где функция <я(ж) определяется неявно с помощью выражения / / \ = ах +
7. ^-[^), + M
Полный интеграл:
гу = ч>(х)у + У* f(ip(x))h(x) dx
где функция у(ж) определяется неявно с помощью выражения / —— = / д(х) dx + C2-
J f(<p) J
8. -|^+ [gi(x)y + go(x)]f(^^) +h2(x)w + Нг(х)у + ho(x) = 0.
1°. Полный интеграл:
гу = (р(х)у + ^(жM
где функции if = <?>(ж) и ф = ^(ж) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями
^+?1(ж)/Ы + М^ + Ы*) = о,	A)
^ + 9o(x)f(<p) + Л2(ж)^ + ho(x) = 0.	B)
2°. При д\(х) = 0 общие решения уравнений A) и B) имеют вид
ф) = CiH(x) - H{x)j^±dx, Н{х) = exP[-Jh2(x)dx],
ф(х) = С2Н(х) - Н(х) Г М*) + До(*)
dw	p( 1 dw
	 — WJ\
dx	V w dy
Полный интеграл: w = C\ exp[C2?/ + f(p2)x\.
dw	( 1 dw\
9.	wf[	= 0.
dx	\ w dy /
dw	j. в dw \ _
dx	\ dy J
При f3 = — 1 см. уравнение 14.5.1.9. Полный интеграл при C ф — 1:
i
где функция у (ж) определяется неявно с помощью выражения х = /
П. *?_
dx
Полный интеграл:
где функция у (ж) определяется неявно с помощью выражения х = /

14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных	347
Преобразование
Гg(x)Hf3-\x)dx, H(x) = exp[ Г h(x) с/ж],
ду
приводит к более простому уравнению	и f[	) = О, которое путем разрешения
dz	\ и ду /
ди
относительно 	, можно записать в виде уравнения 14.5.1.10.
ду
Преобразование
w(x, у) = u(z, у) + H(x), z = J g(x) exp[0H(x)] dx, H(x) = J h(x) dx,
r	du ru ? f ди \
приводит к более простому уравнению	е /I 	) = 0, которое путем разрешения
dz	V ду /
ди
относительно 	, можно записать в виде уравнения 14.5.1.11.
ду
14
к — I	i	к
Полный интеграл: w = 	[/(Ci)] 1~к (х + C\y) к~х + Сч.
dw \2 , / dw \2
Полный интеграл: w = C\ arctg — + C2 + / Jf(C\)R2 — C\	, где R =
16.
Полный интеграл:
w = f [<p(Cigi(x)) - fi(x)] dx + 1[ф(С^д2(у)) - h{y)}
где (f — обратная функция к Ф, а ф — обратная функция к Ф.
14.5.2. Уравнения содержат произвольные функции двух переменных
dw „f dw
~dy
Полный интеграл: w = / F(x, C\) dx + C\y + C2.
(•) Литература: Э. Камке A966).
dw , ,_, / dw
~dy~
Полный интеграл: w = eax(Ciy + C2) - eax Г e~axF(x, Cieax) dx.
dw
а™ / аи? \
1.	F ж,	 = 0.
dx	V ' 02/ У
Яги , _. / Ягу \
2. —— + F ж, —— = aw.
Яж	\ dy J
3.
Полный интеграл:
¦C2) -<p(x) J F(x,Ci(p(x)) —?--, (p(x) = exp[y (

348	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
4. -^- + f(x, -^-) = g(x)w + h(x)y.
Полный интеграл:
w = уф) + ф(х),
где
ф) = С,С{х) + G(x) I |g- dx, G(x) = exp [j g(x) dx],
ф(х) = C2G(x) - G(x) I F(x, Ф))-^г-
dx	V x 1 dy
Частный случай уравнения 14.5.4.6.
,	dw	_ / 1 dw \
6.	wF ж,	= 0.
dx	\ w dy J
Полный интеграл: w = C\ exp\C2y + / F(x,C2)dx\.
dw	, х_/ dw
Переходя к новым переменным t= / g(x)dx, z = y+ h(x)dx, получим более простое
d-ш _, / dw \	л . _ _ .
уравнение	F u>, 	 =0, которое является частным случаем уравнения 14.5.3.4.
dt	\ dz /
Полный интеграл: w; =	/ Ыж) ± л/д2(х) + 4Р(ж, Ci) с/ж + С\у + Сг.
8-
9
' dx ' dy
Полный интеграл:
где Сз — произвольная постоянная, а постоянные Ci и Сг связаны соотношением
F(CuC2) = 0.
(•) Литература: Э. Камке A966).
du? , dw t ^{ dw dw \
10. W = ж	Ь 2/	h F[	,	 .
dx	dy	V dx dy J
Уравнение Клеро. Полный интеграл: w = С\х + С22/ + F(Ci, C2).
® Литература: Р. Курант A964), Э. Камке A966).
а™
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
w = ф) + ф(у) + Ci,
где функции ср = (р(х) и ф = ф(у) определяются из обыкновенных дифференциальных
уравнений
F1(x,<p'x)=C2, F2{y,ip'v) =C2.
(•) Литература: Э. Камке A966).

14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных	349
П. Д(„ ?) + Л(„ ?)+ — О.
Уравнение с разделяющимися переменными. Полный интеграл:
Здесь функции ср = <?>(ж) и ф = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями
где Сi —произвольная постоянная. Если а ф 0 в этих уравнениях можно положить С\ = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
13. л(Я!Л|)+«й(»Л|
\	д J	\	ду
Полный интеграл:
w(x,y) = (р(х)ф(у).
Здесь функции ср = (р(х) и ф = ^(г/) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями
где С — произвольная постоянная.
Полный интеграл:
w(x,y) = (р(х)
Здесь функции tp = ip(x) и ф = ^(г/) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями
е-^Fx (х, ^) = С, еЛV2 (у, ^) = -С,
где С — произвольная постоянная.
15. Fi ж,	— ) +F2h/,	-— =k\nw.
\ w дх /	V w ду /
ду
Полный интеграл:
гу(ж,?/) = (р(х)ф(у).
Здесь функции ср = <р(х) и ф = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями
где С — произвольная постоянная.
16.	\- yl
Полный интеграл:
w = (р(х)у — / F2 (ж, <^(ж)) dx + Ci,
где функция у (ж) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

350	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
dw t - ( dw \ t - ( dw\ x ^ ( dw\
17. -r— +wF1[x,-—) + yF2(x,—-) + F3 ж, —— = 0.
dx	\ dy J	\ dy J	\ dy J
Полный интеграл:
w = cp(x)y + ф(х),
где функции ср = (р(х) и ф = ^(ж) описываются системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
F2(x,<p)=0,	A)
F3(x,<p) = 0.	B)
Уравнение A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то реше-
решение уравнения B), которое линейно относительно гр, находится элементарно.
Fl(у'~^)w + wF2Уу'~te) + xFs
Полный интеграл:
w = х(р(у)
где функции (р(у) и ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
Fi(у, <р)<р'у + F2(y, <p)<p + F3(y, ^) = 0,	A)
^4B/, ^) = 0.	B)
Уравнение A) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то реше-
решение уравнения B), которое линейно относительно ф, находится элементарно.
19.
Полный интеграл: w = —axy + С\х + С2у + Сз, где F(Ci, C2) = 0.
20. f{^- + акхк-гуп, ®Н. + отоУ) = 0.
V дх	ду	/
Полный интеграл: w = —ахкуп + Ci# + C22/ + Сз, где F(Ci, C2) = 0.
Полный интеграл:
«; = -Ci arctg f + } / ^A. Ci) - С? -|- + C2j ^ = x2+2/2.
(•) Литература: Э. Камке A966).
14.5.3. Уравнения содержат произвольные функции трех переменных
dw ,
Замена
гу(ж, ?/) = G(x)u(x, у), G(x) = exp U g(x) dxj,
приводит к аналогичному уравнению, которое не зависит от и явно:
y,-?±)=0, где F(x,y,p) =-±-F(x,y,G(x)p).
ду /	^(ж) v	7
Отсюда следует, что исходное уравнение имеет полный интеграл следующей структуры:
w = CiG(x) + у?(ж, у, С2).
V дх ду
Полный интеграл: w = Ciy + (p(x,Ci) + C2, где функция 9? = <?>(ж, Ci) описывается
обыкновенным дифференциальным уравнением F(x,(p'x,C\) = 0.

14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных	351
3.	F(ax + 6y,—,—)=0.
При Ъ = 0 см. уравнение 14.5.3.2. Полный интеграл при 6/0:
w = С\х + <?>B, Ci) + C2, 2; = аж + by,
где функция 9? = (p(z) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением
F(z,aip'z+Cubip'z) =0.
_, / dw dw \
4.	Flw, ——, —— = 0.
V dx dy J
Данное уравнение описывает цилиндрические поверхности, направляющие которых па-
параллельны плоскости ж, у.
Частное решение ищем в виде
w = w(z), z = С\х + С2У,
где С\, С2 — произвольные постоянные. В результате приходим к следующему обыкно-
обыкновенному дифференциальному уравнению для функции w = w(z):
F(w,C1w'z,C2w'z) =0.
Разрешив его относительно производной, имеем w'z = f(w). Интегрируя последнее
уравнение, получим полный интеграл исходного уравнения с частными производными в
неявном виде:
dw
J 7(«o
® Литература: Э. Камке A966).
V	dx dy J
8-
При с = 0 см. уравнение 14.5.3.3. При с / 0 замена ем = ax+by+cw приводит к уравнению
л л г- ^ л -п ( ди а ди b \
вида 14.5.3.4: Flcu,	,	=0.
V дх с ду с /
6.
Полный интеграл:
w = —axy + Cii/ + <p(x) + C2,
где функция (р(х) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(x, (pfx, C\) = 0.
Преобразование ? = / ——-, rj = —— приводит к уравнению вида 14.5.3.4:
./ f(x)	J 9{y)
F^w.w^.w^) = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
Частный случай уравнения 14.5.4.3.
_, / dw dw	dw	dw \ ^
F[	, 	, w — x	у	 = 0.
V dx dy	dx	dy J
Уравнение Клеро {в неявной форме). Полный интеграл: w = С\х + С2у + Сз, где
постоянные С\, С2, Сз связаны соотношением F(Ci, С2, Сз) = 0.
® Литература: Р. Курант A964), Э. Камке A966).

352	Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида
10 „/ dw dw
Полный интеграл:
), где <p(y) = CiF(y)-F(y) Г -^-dy, F(?/) = exp[- f f(y)dy].
J г [У)	L J	J
Функция ф(у) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравне-
уравнения F(y, (р(у), ф'у + /(у)ф + h(y)) = 0.
dw dw	\ , dw _/ dw dw	\ __ / dw dw
Преобразование Эйлера x = Wx, y = Y, w = XWx — W, где W = W(X, Y) приводит
исходное нелинейное уравнение к более простому квазилинейному уравнению
F(Y,X,W)^- - G(Y,X,W)^- = H(Y,X,W).
Уравнения этого типа рассматриваются в главе 12.
® Литература: Э. Камке A966).
_, / dw dw \ , „ / dw dw \ __ / dw dw \	dw , On?
12. ajFln,	,	)+yG[u,	,	)=H[u,	,	), u = x	\-y	w.
\ dx dy J * \ dx dy J	\ dx dy J	dx У dy
Преобразование Лежандра x = Wx, y = Wy, w = XWx+YWy — W, где W = W(X,У),
приводит исходное нелинейное уравнение к более простому квазилинейному уравнению
^	,Y)^r = H(W,X,Y).
Уравнения этого типа рассматриваются в главе 12.
® Литература: Э. Камке A966).
14.5.4. Уравнения содержат произвольные функции четырех
переменных
_, / dw dw	dw \
1. F[x,—-,—-,w -у—-) =0.
V dx dy	dy J
Полный интеграл:
w = Ciy + <p(x),
где функция (р(х) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(x, (p'x, Ci, cp) = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
dw dw	dw
Полный интеграл:
где функция ip(y) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(y,Ci,(pfy,(p) = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
_	_ / dw dw dw , dw \ _
3. F [w, 	, 	, x	h У	 = 0.
\ dx dy dx У dy J
Полный интеграл:
w = ^@» ?, = Cix + C2y,
где функция <?>(?) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(<p, Сцр'^ С2<рГ?, ^) = 0.

14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных	353
/	. dw dw	dw	dw \ _
т*	S. I (JLJu I C/ c/ •	•	• ex/ чЛ/	%Л	I — U •
Полный интеграл:
w = C\x + С2У
где функция <?>(?) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(f, а^ + Ci, Ь^ + С2, <^ - ^9 = °-
Полный интеграл:
гу = (р(х, Ci) + ^(?/, Ci) + С2,
где функции (риф описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
F(x,v'x,C1) = 0, О(у,ф'у) = С1.
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения, кото-
которые легко интегрируются.
-п( у dw dw dw , dw	\ Л
6. F -^-, ——,—— ,ж—— +y—	w) =0.
\ x dx dy dx	dy	J
dy dx ° dy
Полный интеграл w = w(x, y, Ci, C2) можно найти путем разрешения уравнений
„dw , я.^ -.. _^	т?(У dw dw
( у dw dw „ \
V х dx dy /
dx	dy	V х dx dy
относительно производных -|^ и -|^ с последующим определением w методом
Лагранжа—Шарпи (см. разд. 14.1.1).
® Литература: Э. Камке A966).
23 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

15. Нелинейные уравнения с тремя и более
независимыми переменными
15.1. Предварительные замечания
15.1.1. Квазилинейные уравнения
15.1.1-1. Характеристическая система. Структура общего решения.
Общее квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка с п независимыми
переменными имеет вид
fi(xi,... ,xn,w)—	1	\- fn(xi,... ,xn,w)—— = g(xi, ...,xn,w)	A)
дхх	oxn
и часто встречается в теории массо- и теплопереноса, теории фильтрации, гидродинамике,
химической технологии и других приложениях.
1°. Если известны п независимых интегралов
ui(xi,... ,xn,w) = Ci, -.., un(xi,... ,xn,w) = Cn	B)
характеристической системы
dx1	_ _	dxn	_	dw
f1(x1,...,xn,w)	fn(x1,...,xn,w) g(x1,...,xn,w) '
то общее решение уравнения A) дается формулой
Ф(и1,...,ип) = 0,	D)
где Ф — произвольная функция п аргументов.
2°. Пусть ? = С(жъ • • • •> xni w) —интеграл вспомогательного линейного однородного уравне-
уравнения с (п + 1) независимым переменным
/i(xi,... ,xn,w)—	1	\- fn(xi,... ,xn,w)—	\-g(xi,... ,xn,w)^— = 0.
дхг	дхп	dw
Тогда интеграл w(xi,..., xn) исходного квазилинейного уравнения A) можно получить путем
разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения
С(ж1,...,жп,гу) = 0 (С /0)
относительно w.
15.1.1-2. Квазилинейные уравнения специального вида.
Для построения общих решений квазилинейных уравнений с тремя и более независимыми
переменными можно использовать следующий способ. Пусть известны общие решения двух
квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными:
Уравнение:	\- fi(x,y,w)	= 0 ^=> Общее решение: Ф(и1(х,у,/ш),/ш) =0.
дх	ду	,
лт	dw , .	v dw	r	/ .	v ч
Уравнение:	\- j2(x,y,w)	= 0 =^ Общее решение: Ф[и2\х,у,'ш),'Ш) =0.
дх	ду
Здесь Ф(и,гп) — произвольная функция двух аргументов. Тогда общее решение «составного»
квазилинейного уравнения с тремя переменными
dw , .	л dw , .	л dw	,
-—+ fi(x,y,w)— + f2(x,z,w)— =0	F)
ox	oy	oz

15.1. Предварительные замечания	355
будет даваться формулой
^(u1{x,y,w),u2{x,z,w),w) = 0,	G)
где Ф(гб, v, w) —произвольная функция трех аргументов. Сказанное легко обобщается на случай
«составного» квазилинейного уравнения с произвольным числом переменных.
Таким же образом рассматриваются два неоднородных уравнения E), в правой части
которых стоит одинаковая функция g(x,w). В этом случае, в качестве второго аргумента в
обоих решениях E) вместо w будет стоять некоторая функция (p(x,w). Тогда общее решение
неоднородного уравнения F) с правой частью g(x,w) будет описываться формулой G), где
вместо последнего аргумента будет стоять функция функция ip(x,w).
Указанный способ позволяет использовать результаты главы 12, где рассматривались раз-
различные квазилинейные уравнения с двумя переменными, для построения решений квазилиней-
квазилинейных уравнений с тремя и более переменными. Отметим, что общие решения в формулах E)
могут быть записаны виде, разрешенном относительно w или ик, например, ш(х, у, w) = Ф(и>)
[в таком виде часто записывались решения, приведенные в главе 12].
15.1.1-3. Задача Коши.
Рассмотрим две формулировки задачи Коши.
1°. Обобщенная задача Коши. Требуется найти решение w = w(xi,..., хп) уравнения A),
удовлетворяющее начальным условиям
xi = hi(€i,...,?n-i), •.., хп = un(fi,...,fn-i), w = un+i(fi,...,fn-i), (8)
где?&— параметры (к = 1,..., п—1), /im(?i,... ,?n-i)—заданные функции (т = 1,..., п+1).
Геометрическая интерпретация: в (п+ 1)-мерном пространстве xi,..., хп, w ищется реше-
решение уравнения A), проходящее через (п — 1)-мерное начальное многообразие (8).
2°. Классическая задача Коши. Требуется найти решение w = w(xi,... ,хп) уравнения A),
удовлетворяющее начальному условию
w = <р(х2,. • • ,хп) при xi = 0,	(9)
где (р(х2, • • •, хп) —заданная функция.
Классическую задачу Коши удобно представить в виде обобщенной задачи Коши, записав
начальное условие A2) в параметрическом виде:
xi = 0, #2=?i, •••, xn=?n-i, w = <p(?i,... ,?n-i).
15.1.1-4. Процедура решения задачи Коши.
Процедура решения задачи Коши A), (8) состоит из нескольких этапов. Сначала определяются
независимые интегралы B) характеристической системы C). Затем для определения постоянных
интегрирования Ci, • • •, Сп в интегралы B) подставляются начальные данные (8):
Uk(hi,... ,hn,hn+i) = Ck, где hk = /&fc(?i, • • • ,^n-i), k = l,...,n.	A0)
Исключая из B) и A0) постоянные Ci, • • •, Сп, имеем
Uk(xi,..., жте, w) = Uk(hi,... ,hn,hn+i), A; = l,...,n,	A1)
где /fcfc = ^fc(?i5 • • • j ?n-i)- Формулы A1) представляют собой параметрическую форму решения
задачи Коши A), (8). В некоторых случаях, исключая параметры ?i,..., ?п-ь удается получить
решение в явном виде.
15.1.1-5. Теорема существования и единственности.
Пусть коэффициенты квазилинейного уравнения A) /i,..., fn,g — непрерывно дифференциру-
дифференцируемые функции переменных xi,..., хп, w, a hi,..., hn,hn+i —непрерывно дифференцируемые
функции переменных ?i,..., ?п-ь Считаем, что выполнены неравенства:
д =
/о,
23*

356	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
где в функции fk = fk(xi,... ,xn,w) подставлены начальные данные (8). В этом случае суще-
существует единственное непрерывно дифференцируемое решение задачи Коши A), (8) [существо-
[существование решения гарантируется только в некоторой окрестности начального многообразия (8)].
(•) Литература к разделу 15.1.1: Р. Курант A964), Э. Камке A966), И. Г. Петровский A970), Е. Zauderer
A983), D.Zwillinger A998).
15.1.2. Нелинейные уравнения
15.1.2-1. Полный, общий и особый интеграл.
Общее нелинейное уравнение в частных производных первого порядка с п независимыми
переменными имеет вид
F(xi, ... ,xn,w,pi, ... ,рп) = 0, где рк = ——.	A2)
дхк
Такие уравнения часто встречаются в аналитической механике, вариационном исчислении,
теории оптимального управления, дифференциальных играх, динамическом программировании,
геометрической оптике, дифференциальной геометрии и других областях.
В этом разделе будем рассматривать гладкие решения w = w(xi,..., хп) уравнения A2),
имеющие непрерывные производные по обоим аргументам (в разд. 15.1.3 будут рассмотрены
негладкие решения).
1°. Пусть
w = E(xu...,xn,Ci,...,Cn)	A3)
является n-параметрическим семейством решений уравнения A2), где С\,..., Сп —произволь-
—произвольные постоянные. Функция A3) называется полным интегралом уравнения A2), если ранг ма-
матрицы
(Si Sn • • • Sin \
: : •. :	A4)
^П ^711 ' ' ' Zlnn /
почти во всех точках рассматриваемой области равен п. В матрице A4) S& обозначает частную
производную по С к, S/.m — вторую частную производную по аргументам С к и хт, где
к = 1,..., п; т = 1,..., п.
Полный интеграл уравнения A2) часто записывается в неявном виде*
S(xi, ... ,xn,w,Ci, ... , Cn) = 0.	A5)
В ряде случаев полный интеграл удается найти методом неопределенных коэффициентов,
задав подходящим образом структуру частного решения.
2°. Общий интеграл уравнения A2) можно представить в параметрическом виде с помощью
полного интеграла A3) [или A5)], который рассматривается вместе с п уравнениями
Сп =
+ ^	^	—— =0. т = 1, ...,п-1,
аст зсп	ас„,
где / — произвольная функция своих аргументов. Общий интеграл в определенном смысле
играет роль общего решения, зависящего от произвольной функции (вопрос о том, все ли
решения он описывает требует дополнительного анализа).
3°. Особый интеграл уравнения A2) находится без использования полного интеграла путем
исключения pi,... ,рп из системы, состоящей из (п + 1)-го уравнения
f = o,
где первое уравнение совпадает с A2).
В формулах A3) и A5) символом S обозначены разные функции.

15.1. Предварительные замечания	357
15.1.2-2. Метод разделения переменных. Уравнения специального вида.
Метод разделения переменных заключается в том, что полный интеграл ищется в виде суммы
функций различных аргументов. Опишем структуру полного интеграла некоторых классов
нелинейных уравнений, допускающих разделение переменных.
1°. Пусть функция F не зависит явно от искомой величины w, т. е. уравнение A2) имеет вид
F(xi,... ,#n,Pi, • • • ,Рп) = 0.
Тогда полный интеграл содержит одну аддитивную постоянную:
w = Н(ж1,. ..,xn,Ci,..., Cn-i) + Сп-
2°. Пусть уравнение не зависит явно от переменных xi,..., Хк и искомой величины w:
F(xk+i,... ,xn,pi,... ,pk,Pk+i, • • • ,Рп) = 0.
Тогда полный интеграл можно представить в виде
w = Cixi + • • • + СкХк + и,
где новая функция и определяется путем решения более простого уравнения с частыми
производными, зависящего (п — к) независимых переменных:
F(ajfc+i,...,ajn,Ci,...,Cfe,gfe+i,...,gn) =0, qm = —	.
охт
Функция и согласно п. 1° содержит аддитивную постоянную Сп.
3°. Пусть в уравнении можно выделить две группы переменных xi,... ,Хк и Xk+i, • • • ,хп,
после чего оно принимает вид
F(<pi(xi,..., xk,pi, • • • ,Рк), 4>2(xk+ii • • •, хп,рк+1,... ,рп)) = 0.
Тогда полный интеграл можно представить в виде суммы двух функций
которые определяются путем решения двух более простых уравнений
{dw1	1
	— при т = 1,.... /с,
дхш
-^- приш = А; + 1,...,п,
дхш
где С\ —произвольная постоянная, а С2 определяется из выражения F(Ci, С2) = 0.
4°. Пусть уравнение имеет вид
Fi(>i,..., хк,Р1, • • • ,Pk) + F2(xk+ii • • •, XniPk+u • • • ,Pn) = aw.
Полный интеграл можно представить в виде суммы двух функций
W = Wi(xi,. . . ,Xk) +W2(Xk + l,. • • ,Хп),
которые определяются путем решения двух более простых уравнений
	— при т = 1,... ,к,
дхш
dwi ПрИ т = k _|_ 1	п
дхш '¦"'
где С\ — произвольная постоянная.
5°. Пусть в уравнении можно разделить все переменные и представить его в виде
F(^i(aji,pi),^2(aJ2,P2),...,yn(aJn,Pn)) = 0.
Тогда полный интеграл можно представить в виде суммы
w = wi(xi,Ci) +w2(x2,C2) -\	\- wn(xn,Cn) + Cn+i,
где постоянные С\, С2, • • •, Сп связаны одним соотношением F(C\, C2, • • •, Сп) = 0, а функции
Wk = Wk(xk, С к) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений
dxk
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с разделя-
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.

358	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
6°. Пусть уравнение можно представить в виде
(Fi(xi,pi),X2,p2),X3,P3),...,^n,pn) = О,
где каждая функция Fk зависит от предыдущей функции Fk-i и «своей» пары переменных
Хк, Рк- Тогда полный интеграл можно представить в виде суммы
w = wi(xi,Ci) + w2(x2,C2,Ci) Н	Ь wn-i(xn-i,Cn-i,Cn-2) + wn(хп, Сп-1) + Сп-
Здесь функции Wk определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Fi(xi,w[) = Ci,
Fk(Ck-i,Xk,w'k) = Ск, к = 2,... , п - 1,
Fn(Cn-i,xn,w'n) = О,
где wk обозначает производную функции Wk по переменной Хк. Разрешив эти уравнения
относительно производных, получим линейные уравнения с разделяющимися переменными,
которые легко интегрируются.
7°. Для построения полных интегралов нелинейных уравнений специального вида с тремя и
более независимыми переменными можно использовать следующий способ. Пусть известны
полные интегралы двух нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными:
Уравнение:	\- F\ (ж, у, 	) = g(x)w => Полный интеграл: w = Si (ж, г/, Ci, C2).
ох	V	ду /
Уравнение:	\- F2 (ж, у, 	) = g(x)w =^ Полный интеграл: w = Нг(ж, у, Ci, C2).
аж	V	а?/ /
Тогда полный интеграл «составного» нелинейного уравнения с тремя переменными
¦^ + Fi [х, у, —) + F2 (ж, ,, —) = g(x)w
будет даваться формулой
w = Hi (ж, 2/, Ci, С2) + Н2(ж, ^, С3, С4),
где Ci, С2, Сз, ft — произвольные постоянные (две из этих постоянных могут быть объеди-
объединены в одну). Сказанное легко обобщается на случай «составного» нелинейного уравнения с
произвольным числом переменных.
Указанный способ позволяет использовать результаты глав 13 и 14, где были приведены
полные интегралы нелинейных уравнений с двумя переменными, для построения полных
интегралов нелинейных уравнений с тремя и более переменными.
15.1.2-3. Метод Лагранжа — Шарпи. Преобразование Лежандра.
В общем случае для построения полного интеграла нелинейного уравнения с частными произ-
производными A2) надо рассмотреть характеристическую систему обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений [см. далее систему B2)].
1°. Пусть найдены (п — 1) независимых первых интегралов характеристической системы:
ФДж1,... ,xn,w,pi,... ,рп) = Cj, j = 1,... ,n - 1.	A6)
Обозначим через [/, g] скобку Майера:
df dg
pk
ILJ?l	?/._iUVn (^_д9	df dg \
дхк дрк дрк дхк J {^Pk\dw dpk dpk dw J'
Будем считать, что интегралы A6) находятся в инволюции друг к другу, т. е. выполняются
тождества
[Фг,Ф,]=0, l^ij^n-l
для всех значений xi,... ,xn,w,pi,... ,рп. Пусть исходное уравнение A2) вместе с интеграла-
интегралами A6) можно разрешить относительно производных:
Рк = (fk(xi,... ,xn,w; Ci,..., Cn-i).	A7)

15.1. Предварительные замечания	359
Тогда полный интеграл уравнения A2) является общим решением вполне интегрируемого
уравнения Пфаффа:
п
dw = ^2<рк(х1,... ,xn,w; Ci,... ,Cn-i)dxk,	A8)
fc=i
в которое войдет еще одна произвольная константа Сп. Отметим, что можно интегрировать
непосредственно систему A7), аналогично тому как это делалось для уравнения с двумя
независимыми переменными (см. разд. 14.1.1).
Замечание 1. Соотношение F(x\,..., хп, w,pi,... ,рп) = С является очевидным первым
интегралом характеристической системы B2), поэтому функции Ф^- в интегралах A6) должны
быть отличны от функции F, задающей уравнение A2).
2°. Если исходное уравнение A2) не содержит явно искомой функции w, т. е. имеет вид
F(x\,..., xn,pi,... ,рп) = 0, то интегралы A6) тоже можно искать в аналогичной форме
Qj(x\,... ,хп,р\,... ,рп) = Cj. В этом случае правые части A7) также не зависят от w, т. е.
(рк = (fk(xi,..., хп] С\,..., Cn-i), а общее решение уравнения A8) дается формулой
где константы ж°,..., хп можно выбрать любыми.
3°. Пусть найдены п независимых первых интегралов Ф^- = Cj характеристической системы
обыкновенных дифференциальных уравнений и все эти интегралы находятся в инволюции друг
к другу, т. е. [Фг, Ф^-] = 0 для 1 ^ г, j ^ п. Разрешим равенства Ф^- = Cj относительно производных
рк = ifk(xi,..., хп, w] Ci,..., Сп) и подставим полученные выражения для рк в исходное
уравнение A2). В результате находим полный интеграл в неявном виде.
Отметим, что для поиска первых интегралов и точных решений нелинейных уравнений
первого порядка можно использовать методы группового анализа, см. например, П. Олвер
A989), В. В. Козлов A995), А. М. Виноградов, И. С. Красильщик A997).
4°. Будем считать, что функция w(xi,..., хп) дважды непрерывно дифференцируема по
всем переменным в рассматриваемой области. Выделим две группы независимых переменных
xi,... ,Xk-i иж/е,...,ж/г.В общем случае преобразование Лежандра вводится так:
X	X	= Xk—— H	bXn-	W;
дХ	дх
dXk	dXn	dXk	дх.„
при этом частные производные преобразуются по формулам:
dw _> д-ш	_,	dw ^r	dw ^r	_,	dW"
^^ = -Pi, ...,	 = -Pfc-i; —— =Xk, ..., -— = Xn, где Pm =
дхк-1	дхк	дхп	дХт
С помощью преобразования Лежандра уравнение A2) переходит в уравнение
F(XU ..., Xk-U Рк,..., Р„, XfcPfc + • • • + ХпРп - W, -Pi,..., -Pfc-i, Xfc,..., Х„) = 0.
которое иногда проще исходного уравнения.
Замечание 2. При использовании преобразования Лежандра отдельные интегралы могут
пропадать, если в некоторой подобласти якобиан — fc' * * *' п тождественно равен нулю.
d(xk,... ,хп)
15.1.2-4. Задача Коши. Процедура решения.
Различные способы задания начальных данных в задаче Коши для уравнения A2) описаны
в разд. 15.1.1-3. Для определенности будем рассматривать уравнение A2) с начальными
условиями общего вида (8). Будем считать, что функции F и hm (jn = l,...,n + 1),
определяющие уравнение A2) и начальное условие (8), дважды непрерывно дифференцируемы
по своим аргументам.

360	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Решение задачи Коши осуществляется в несколько этапов:
1°. Сначала определяются дополнительные начальные условия для частных производных
Pi =Plo(fl,...,fn-l), • -., Рп =Pno(fl,...,fn-l).	A9)
Для этого решают алгебраическую (или трансцендентную) систему уравнений
F(hi,... ,/fcn,/&n+i,Pio,- • • ,Pno) = 0,	B0)
%^=Е^о^ (* = l,...,n-l)	B1)
относительно рю,... ,Рп<э; /im = hm(?i,..., ?n-i)- Уравнение B0) получено в результате под-
подстановки начальных данных (8) в исходное уравнение A2). Уравнения B1) линейны относи-
относительно искомых функций рто и являются следствием зависимости w = w(xi,..., хп) и формул
dw v-^ &w дх™
для вычисления частных производных	= >	—, где все величины определяются
д€к ^ дхгп д?к
по начальным данным (8).
2°. Решается характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений
dxk dF	dw v^ dF	dpk	dF	dF	.
3°. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий:
Хк = hk(?i, • • • ,?n-i), гу = /in+i(^i,- • • ,^n-i), Pfc =Pfco(?i,---,?n-i) при г = 0, B3)
которые получены объединением условий (8) и A9); к = 1,..., п. В результате находим Bп+1)
функцию:
ж*. =xk(T,€i,...,?n-i), w = w(T,?i,...,?n-i), рк = Pk(r,?i,... ,fn-i). B4)
15.1.2-5. Теорема существования и единственности.
Пусть функция F = F(xi, ... ,xn,w,pi, ... ,Рп), с помощью которой задается уравнение
A2), является дважды непрерывно дифференцируемой функцией по всем Bп + 1) аргумен-
аргументам в рассматриваемой области, причем J2 ("^") ^ 0- Пусть функции hm(?i,... ,?n-i),
m=l,...,n+l, определяющие начальные данные (8), дважды непрерывно дифференцируемы
по всем ?i, а функции Pfco(^i, • • •, ^n-i), задающие дополнительные начальные условия A9),
удовлетворяют системе B0)—B1). Кроме того, считаем, что выполнено условие
Д =
OF	OF	OF
dp1	dp2	dpn
dh1	dh2	dhn
Ф 0,	B5)
в котором фигурируют функции из (8) и A9). При выполнении сделанных предположений
существует единственное дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения A2),
удовлетворяющее начальным условиям (8), A9).
Замечание 3. Эта теорема носит локальный характер: существование единственного глад-
гладкого решения задачи Коши гарантируется лишь в некоторой окрестности линии, задаваемой
начальными данными (8) вместе с дополнительными условиями A9).
Замечание 4. Алгебраическая (или трансцендентная) система B0), B1) может иметь не-
несколько решений, что приводит к различным дополнительным начальным условиям для про-
производных A9). Каждое из этих дополнительных условий будет порождать свое собственное
решение задачи Коши A2), (8).
Замечание 5. Для нелинейных уравнений глобальное решение задачи Коши A2), (8) может
оказаться многозначным также из-за пересечения характеристик. Подобная ситуация на более
простых уравнениях обсуждалась в разд. 12.1.3-12.1.4.

15.1. Предварительные замечания	361
15.1.2-6. Уравнение Гамильтона — Якоби. Приложения в механике.
Уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение A2), не зависящее явно от w и
разрешенное относительно одной из производных:
dw	(	dw	dw \
-—+H(xu...,Xm,t,-—,...,-	) =0.	B6)
Здесь по традиции использованы обозначения t = xnnm = n — 1. Уравнения вида B6) ча-
часто встречаются в различных разделах механики, теории управления, вариационном исчисле-
исчислении и дифференциальных играх, где переменная t обычно играет роль времени, а переменные
Ж1,..., Хт —роль пространственных координат. Уравнению Гамильтона — Якоби B6) соот-
соответствует функция F (х 1,. ..,xn,w,pi,... ,pn) =Рп + Щх1,... ,Жп,Р1, • • • ,Pn-i) в уравнении
A2). Функция % называется гамильтонианом.
Характеристическая система B2) для уравнения B6) сводится к более простой системе
i^.™, ^ = -f- (* = l,...,m)>	B7)
dt	дрк	dt	дхк
которая дополняется двумя уравнениями
^ 1>* %^
fc=l	k
Здесь было опущено одно уравнение dt/dr = 1, вместо которого использовано равенство
т = t + const. При записи первого уравнения B8) были сделаны простые преобразования с
учетом соотношений: F = рп +%, рп = —%.
Система B7) называется канонической системой дифференциальных уравнений. Если
функции Хк = Xk(t) и рк = Pk(t) являются решениями системы B7), то функции w = w(t) и
рп = pn(t) получаются из B8) простым интегрированием.
Во многих задачах механики и математической физики встречаются канонические системы
обыкновенных дифференциальных уравнений B8). Обычно эти системы сложно интегрировать
непосредственно. Нередко оказывается, что проще найти полный интеграл соответствующего
уравнения с частными производными B6) (например, методом разделения переменных, см.
разд. 15.1.2-2). После этого можно путем дифференцирования и исключения решить канониче-
каноническую систему дифференциальных уравнений.
Теорема Якоби. Пусть известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби B6):
w = Н(ж1, ...,xm,t,Ci,..., Сш) + Cm+i,	B9)
где Ci,..., Cm+i —произвольные постоянные. Тогда 2т-параметрическое семейство решений
канонической системы дифференциальных уравнений B7) задается неявно с помощью уравне-
уравнений	_	_
J^-=Bk, 4^=Pk	(k = l,...,m),	C0)
dCk	dxk
где В к — произвольные постоянные.
Выразив из первой группы уравнений C0) координаты xi,..., хш как функции перемен-
переменной t (и параметров С к, В к) и подставив полученные выражения во вторую группу уравнений,
найдем искомые функции Хк = Xk(t) и рк = Pk(t), зависящие от 2гп произвольных постоян-
постоянных С\,..., Ст, В\,..., Вш. Эти функции представляют собой общее решение канонической
системы B7).
Замечание 6. Нелинейное уравнение общего вида A2) может быть сведено к уравнению,
которое не зависит явно от неизвестной функции. Для этого надо искусственно увеличить на
единицу число независимых переменных, положив w = xn+i. После этого решение уравнения
A2) ищем в неявном виде: С(ЖЪ • • • ? хп+\) = const. Дифференцируя это равенство по
переменным Хк и учитывая, что хп+\ зависит от xi,... ,хп, имеем (Хк + Рк(хп+1 = 0, где
Рк = wxk- Выразим отсюда производные рк = —Схк/Схп+1, и подставим их в уравнение
A2). В результате получим уравнение с переменными xi,..., жте+1, которое не зависит явно
от неизвестной функции ?. Разрешив это уравнение относительно одной из независимых
переменных, приходим к уравнению вида B6).
(•) Литература к разделу 15.1.2: Р. Курант A964), Э. Камке A966), Ф. Р. Гантмахер A966), И. Г. Петров-
Петровский A970), А. П. Маркеев A990), В. В. Козлов A995), А. М. Виноградов, И. С. Красильщик A997).

362	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
15.1.3. Обобщенные вязкие решения
15.1.3-1. Предварительные замечания.
В разд. 15.1.1-15.1.2 изучались классические гладкие решения нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными. В теории оптимального управления, дифференциальных
играх и других приложениях часто возникают задачи, решением которых являются непрерыв-
непрерывные, но негладкие функции, см., например, А. И. Субботин A991), W. H. Fleming, H. M. Soner
A993), A. I. Subbotin A995), А. А. Меликян A996), A. A. Melikyan A998), М. Bardi, I. С. Dolcetta
A998). Для анализа таких ситуаций вводят обобщенные вязкие решения.
Отметим, что первоначально вязкие решения вводились как предел решения некоторой син-
сингулярно возмущенной задачи, полученной путем добавления к A) или A2) второй производной
(лапласиана), умноженной на малый параметр (малую «вязкость»), см. например, С. Н. Круж-
Кружков A966, 1975), P.-L. Lions A982), М. G. Crandall, P.-L. Lions A983). Для квазилинейных и
нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными такой способ определения вязких
решений описан в разд. 12.1.3, 12.1.4, 14.1.3.
15.1.3-2. Вязкие решения, основанные на пробных функциях и неравенствах.
Обобщенные вязкие решения удобно вводить с помощью пробных функций и интегральных не-
неравенств, см. например, М. G. Crandall, L. С. Evans, P. L. Lions A984), P. L. Lions, P. E. Souganidis
A985), A. A. Melikyan A998).
Определение. Непрерывная функция w = w(x\,..., хп) называется вязким решением задачи
с начальными данными A2), (9) в слое 0 ^ х\ ^ L, если выполнены следующие условия:
1°. Функция w = w(xi,..., хп) удовлетворяет начальному условию (9).
2°. Пусть ф(х\,..., хп) —любая пробная непрерывно дифференцируемая функция. Если
(ж° ..., ж°) —точка локального экстремума разности функций
w(xi,... ,хп) - Ф(х1,... ,хп),	C1)
то в этой точке должны выполняться неравенства
F(xl,... ,xn,w° ,ф1г,... ,ф1п) ^ 0,	если (ж?,... ,ж°)—точка минимума,
F(x\,..., ж°, у}о,ф1г,... ,фхп) ^ 05	если (ж°,...,ж°)—точка максимума.
Здесь ф°к —частная производная функции ср по переменной Хк, взятая в точке (ж° ... ,ж°).
Проверке подлежат только те точки локального экстремума, которые находятся внутри рассма-
рассматриваемого слоя @ < ж° < L).
Отметим, что необязательно должна существовать пробная функция ф(хг,... ,хп), для
которой разность C1) имеет локальный экстремум. Однако, если такая функция существует, то
должно выполняться условие C2).
Если задача Коши имеет гладкое классическое решение, то оно совпадает с вязким обоб-
обобщенным решением.
В теории оптимального управления и дифференциальных играх помимо задач с начальными
данными встречаются также задачи с конечными данными, в которых решение уравнения A2)
ищется в слое 0 ^ х ^ L, а искомая величина w задается на правом конце слоя при x = L. Для этих
задач в определении вязкого решения неравенства в C2) следует изменить на противоположные.
Задачи с конечными данными сводятся к задачам с начальными данными путем введения вместо
xi новой независимой переменной z = L — х\.
Отметим, что эквивалентные, но более сложные определения вязких минимаксных реше-
решений, использовались в работах А. И. Субботина A991), A. I. Subbotin A995).
15.1.3-3. Локальная структура обобщенных (вязких) решений.
Обобщенное решение w = w(xi,..., жте) состоит из регулярных и сингулярных точек. В не-
некоторой окрестности регулярных точек функция w является решением в классическом смысле
(такие дважды непрерывно дифференцируемые решения обсуждаются в теореме существования
и единственности из разд. 15.1.2). Все нерегулярные точки относятся к сингулярным.
Пусть D — некоторая достаточно малая окрестность сингулярной точки (жх,..., хп)- Обыч-
Обычно встречаются ситуации, когда сингулярные точки образуют некоторую гладкую гиперповерх-
гиперповерхности Г (размерности п — 1), которая проходит через (жх, • • •, хп) и разбивает область D на две

15.1. Предварительные замечания	363
подобласти D\ и D2. По обе стороны от Г обобщенное решение w задается разными классиче-
классическими решениями и\ и U2'.
,	,_(ui(xu...,xn) при (xu...,xn)eDu
v ' ' J \u2(xi,...,xn) при (xi,...,xn) e D2,
которые непрерывно, но негладко, сопрягаются вдоль общей границы. При переходе через Г
производные обобщенного решения	терпят разрыв. Будем считать, что гладкие составля-
дхк
ющие обобщенного решения щ и U2 гладко доопределены во всей рассматриваемой области
D [это всегда можно сделать, см. A. A. Melikyan A998)]. Тогда уравнение гиперповерхности Г,
образованной сингулярными точками, можно записать в виде равенства
i,... ,хп) = 0,	где g(xi,... ,хп) = u2(xi,... ,хп) - ui(xi,... ,хп). C4)
Градиент функции д, направленный по нормали к гиперповерхности Г, находится по формуле
п
Vg = Yj ("af2" ~ "af^)e^fc' где Gxk —направляющий вектор вдоль оси хк.
k=i
Возможны две ситуации.
1°. Градиент Х7д направлен из D% bDi.B этом случае справедливы следующие утверждения,
см. A. A. Melikyan A998):
A)	Обобщенное решение в области D может быть записано в виде w = min[i6i, U2].
B)	Не существует гладкой пробной функции ip(xi,..., хп) такой, что локальный минимум
разности функций C1) достигается в сингулярных точках, образующих Г.
C)	Для однопараметрического семейства пробных функций
ф(х1,... ,хп) = \u2(xi,... ,хп) + A - X)ui(xi,... ,хп),	0 ^ Л ^ 1	C5)
максимум разности функций C1) достигается в точках (ж1,..., хп) G Г.
Замечание. Для обобщенного решения типа w = min[i6i, U2] нет необходимости проверять
первое неравенство C2); второе неравенство C2) достаточно проверить только на однопараме-
трическом семействе пробных функций C5).
2°. Градиент Vд направлен из D\ в D2. В этом случае обобщенное решение можно представить
в виде w = max[i6i, U2] и надо проверять лишь первое неравенство C2) на однопараметрическом
семействе пробных функций C5).
15.1.3-4. Вязкие решения уравнения Гамильтона-Якоби. Формулы Хопфа.
Рассмотрим задачу с конечными данными для уравнения Гамильтона-Якоби вида
с общим начальным условием
w = (p(xi,... ,хп) при t = T.	C7)
Такие задачи встречаются в теории игр, см. L. С. Evans, P. E. Souganidis A984), А. И. Субботин
A991), A. I. Subbotin A995), A. A. Melikyan A998).
Для удобства будем использовать краткие векторные обозначения:
X = {Ж1, . . . , Жте}, <X,Z>= X1Z1 + • • • + XnZn, \\x\\ = д/<Х,Х>.
Справедливы следующие два утверждения [A. I. Subbotin A995)]:
1°. Пусть гамильтониан удовлетворяет условию Липшица
\ПР)-ПЧ)\^13\\Р-Ч\\ для любых p,qGi?n,	C8)
а <^(х) — выпуклая функция. Тогда вязкое решение задачи C6), C7) имеет вид
гу(х, t) = sup [< х, z > +(Т - t)U(z) - ^ (z)],	C9)
zERn
где ср* — функция, сопряженная функции ср, т. е.
<p*(z) = sup [<x,z> -(p(-x)].

364	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
2°. Пусть гамильтониан %{р) является выпуклым и удовлетворяет условию Липшица C8), а
функция <^(х) — непрерывна. Тогда функция
w(x, t) = sup [p(x + (Т - t)y) - (Т - t)H* (у)],	D0)
является вязким решением задачи C6), C7). Здесь функция
Н*(у)= sup [<p,y>
p?Rn
является сопряженной функцией к гамильтониану 7i(p).
Первоначально различные формулы для обобщенного решения уравнения C6) с начальным
условием при t = 0 были получены Хопфом (Е. Hopf, 1965), который рассматривал область
t > 0. В работе Later, M. Bardi, L. С. Evans A984) было показано, что решения Хопфа являются
вязкими решениями.
(•) Литература к разделу 15.1.3: Е. Hopf A965), С. Н. Кружков A966, 1975), P. L. Lions A982),
М. G. Crandall, P.-L. Lions A983), М. G. Crandall, L. С. Evans, P. L. Lions A984), P. L. Lions, P. E. Souganidis
A985), E. N. Barron, R. Jensen A987), H. Ishii A988), А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin A995),
M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions A992), W. H. Fleming, H. M. Soner A993), А. А. Меликян A996),
A. A. Melikyan A998), M. Bardi, I. C. Dolcetta A998).
15.2. Квазилинейные уравнения
15.2.1. Уравнения стремя переменными
л	dw х, ч dw	t ч dw	t ч
la ~dx~ + f{x'w)~dV +9{x>w)~^ = h{x)'
Общее решение: Ф(т,и2,из) = 0, где
г
и\ = w — Н(х), Н(х) = / h(x) dx,
и2=у- Г f(t, H(t) - H(x) + w) dt, u3 = z - Г g(t, H(t) - H(x) + w) dt.
J a	J a
При интегрировании w рассматривается как параметр, а выбирается произвольно.
.	dw ?( л dw	, л dw	t л
Общее решение: Ф(и1,и2,из) = 0, где
dw
h(w)
ui = x — H(w), H(w) =
U2 = у — / —-——	—	— dt, из = z — / —-——	—	— dt.
Ja	h(t)	Ja	h(t)
При интегрировании w рассматривается как параметр, а выбирается произвольно.
_	dw „, ч dw	, ч dw » / \» / \
3. -^— + f(x,w)—— +g(x,w)— = h1(x)h2(w).
dw
Замена х = / h\(x)dx приводит к уравнению вида 15.2.1.2. Замена w = —
J	_	J h2(w)
приводит к уравнению вида 15.2.1.1 для w.
dx	dy	dz
Общее решение: Ф(щ,и2, w) = 0, где
f м г \j f dy	f , ч f dz
ui = / fi{x,w)dx— / —	-, U2 = / T2\x,w)dx— I —	-
У	У g^y.w)	J	J g2{z,w)
При интегрировании w рассматривается как параметр.

15.2. Квазилинейные уравнения	365
5. — + h{x,w)gx{y,w)—	h [/2(ж,^) + zg2(x, w)\ — = 0.
Общее решение: Ф(щ,и2,'ш) = О, где
Ш = fi(x,w)dx- /
U2 = zG2(x,w) — / f2(x,w)G2(x,w) dx, С2(ж,гу) = exp — / рг(ж, гу) с?ж .
При интегрировании и> рассматривается как параметр.
6. — + Д (ж, w)#i B/, t^) —	Ь ^ /2 (ж, ги) + ^2 (ж, ги)J -^— = 0.
Замена ц = ?1-n приводит к уравнению вида 15.2.1.5:
^	^	[	w)]-^- = 0.
Замена ц = e-/3z приводит к уравнению вида 15.2.1.5:
+ /()()
+ /1(ж,гу)р1(г/,гу)^[/2(ж,гу) + г/р2(ж,гу)] — = 0.
8. -^- + [Д(ж,гу) +rai(a5,tu)]-^- + [/2(^,1^) + zg2(x,w)]-^- = 0.
Общее решение: Ф(гг1,гг2,г«;) = 0, где
^i = г/Gi (ж, w) - fi (ж, ^)Gi (ж, гу) с?ж, d (ж, ги) = exp I - / д\ (ж, гу) с?ж I,
U2 = zG2(x,w) — / /2(ж, w)G2(x, w) dx, G2(x,w) = exp — / р2(ж, гу) с/ж .
При интегрировании ги рассматривается как параметр.
9. -^- + [wVi^w) + Wffi(«,«»)]-^- + [znMx,w) + Zffa(x,te)]-g- = О.
Преобразование ^ = у1~к, r\ = ?1-n приводит к уравнению вида 15.2.1.8:
Ю. -^- + [eayf1(x,w)+g1(x,w)]^-+ [e^Mx, w) + g2(x, w)] ^ = 0.
Преобразование ? = е~ау, 77 = e-/3z приводит к уравнению вида 15.2.1.8:
-^- -a[fi(x,w) +?gi(x,w)]-^- -P[f2(x,w) -\-r]g2(x,w)]-^- = 0.
П. -|J + [?/fe/i(^^) + Wl(x,w)]-^. + [e**Mx,w)+g2(x,w)]^- = 0.
Преобразование ? = y1~k, r\ = e-/3z приводит к уравнению вида 15.2.1.8:

366	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
12. —— + f(cnx + bxy.w)^- + g(a2x + b2z,w)^- = 0.
ox	oy	oz
Общее решение: Ф(и1,и2,1и) = 0, где
ui=x-	f	+ b (&/0)
u2=x-
c2 a2+b2g(t,w)' "--¦>" ' — к»' г»»
ii, С2 —любые. При bi = 0 или 62 = О можно использовать формулы
^ рагх	^ ра2х
ui = у	/ f(t, w) dt, U2 = z	/ g(t, w) dt.
Q>1 Jc1	a2 Jc2
dw
Общее решение: Ф(и1,и2,ио) = 0, где
/у+ах	^	rz/x	^
—;	:	,	U2 = /	—:	г	1ПЖ
_г f(t,w) + a	Jc2 g(t,w)-t
ci, C2 — любые.
Общее решение: Ф(и1,и2,ии) = 0, где
Гу'х	dt	, 1	rz/x	^	tii
111 =	In Ж , U2 = /	In Ж ,
Ja f(t,w)-t	Jb g(t,w)-t
a, b — любые.
^^ 1 2/ *(ъптггг лтЛ OW	Z / fc ю л> ч С^7 _
Общее решение: Ф(и1,и2,ии) = 0, где
Пт	hv dt
ГПут dt	1 1
= /	In Ж , U2 =
Ja	t[mf(t,w) + ri\	Jb
111
In Ж
In Ж , U2 =
t[mf(t,w) + ri\	Jb	t\pg(t,w)
a, b — любые.
16.	*?. + e-«/(ase-«,w)^. + e/»-s(ase^, „)»!?. = 0.
ож	ay	oz
Общее решение: $(ui,ii2,w) = 0, где
re"y rft	1 1	fxeCz dt	111
Ul =	In Ж , U2 =	In Ж
JCl t[atf(t,w) + l]	'	JC2 t\J3tg(t,w) + l]	' '
ci, C2 — любые.
Oil?	olv 0/ ay \ dw	—Bx / 0x \ dw
17.	—	he у/(же y,t^)^	he p ^(^ep ,t^)^— = 0.
ox	oy	oz
Общее решение: Ф(и1,и2,ио) = 0, где
fxe<xy	dt	. .	fzeCx	dt
Ul = /	—	Щ Ж, U2 = /	—:	:	X,
JCl t[atf(t,w) + l]	' '	Jc2 g(t,w)+/3t
ci, C2 — любые.
л о	dw	о, ах к \ dw	, вх п \ dw
18- ~d^+Vf(e У ^)~^-+z9(e'3 z ,w)-^-=0.
Общее решение: Ф(и1,и2,ии) = 0, где
гахук dt	геCх*п dt
111 = I	х, U2 = /	х,
JCl	t[a + kf(t,w)]	JC2	t[j3 + ng(t,w)]
ci, C2 — любые.

15.2. Квазилинейные уравнения	367
Общее решение: Ф(и1,и2,'ш) = 0, где
[уе<хх	dt	fzeCx	dt
U\ = /	X, U2 = /	X,
JCl f(t,w) + at	Jc2 g(t,w)+pt
c\, C2 — любые.
Oil?	1 , k осу	ч #™	1 . n Rz	ч #™
Общее решение: Ф(гб1,гб2,г^) = 0, где
xheay	dt
ci, C2 — любые.
21. f(x,w)-^— + g(x,w)—	h h(x,w)-^- = 0.
Общее решение: Ф(гб1,гб2,ги) = 0, где
^dx U2 = z /
=У~ / ^7
J f(x,
f(x,w)	J f(x,w)
При интегрировании w рассматривается как параметр.
22. fix,w)^
Общее решение: Ф(иг,и2,'ш) = 0, где
/dy	f dx	f dz	f dx
g(y,w) J f(x,w)	J h(z,w) J f(x,w)
При интегрировании w рассматривается как параметр.
15.2.2. Уравнения с произвольным числом переменных
1. -z	V h{xuw)—	1	\- frb(xuw
dxi	8x2
Общее решение: Ф(и\, иъ,..., ип) = 0, где
u\=w -
, G(x) = / g(x) dx,
ик=хк- П fk (t, G(t) - G(xi) + w)dt, к = 2,..., n.
J a
При интегрировании w рассматривается как параметр, а выбирается произвольно.
.	dw .
~дхТ
Общее решение: Ф(и\, U2,..., ип) = 0, где
Ul=Xl-G(w),
g(w)
При интегрировании w рассматривается как параметр, а выбирается произвольно.
~дх~[ ^2(Х1'™^~дх~^	\~ frb(xi,w)-^—- = g{xr)h{w).
Замена х = / g(x\)dx\ приводит к уравнению вида 15.2.2.2. Замена w = /
J	J h(w)
приводит к уравнению вида 15.2.2.1 для w.

368 Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
4. -^- + f2(xuw)g2(x2,w)—^- -\	Ь fn(xi,w)gn(xn,w)—^- = 0.
OX	OX2	UXn
Общее решение: Ф(и>, U2,..., ип-\) = 0, где
ilk — / Jk\X]_i Ш I LLJL1 — I 	,	гъ — Z, . . . , II.
J	J gk{xk,w)
При интегрировании w рассматривается как параметр.
5.
^ + [f2(xi9w)+X2g2(xi9w)]\
ОХ\	ОХ2
Общее решение: Ф(и>, г^2,..., ип-\) = 0, где
ик =xkGk(xi,w)- / fk(xi,w)Gk(xi,w)dxi, Gk(xi,w) = exp|- / gk(xi,w) dxA.
При интегрировании w рассматривается как параметр; к = 2,..., п.
6.	~^~ + [x2Z2f2(x1,w) + «2^2(^1,^)]^^- Н	h
аж	аж
n(xi,w) + «^^(xijiu)]—¦— = 0.
Преобразование z\ = х\, Z2 = ж2~ 2, ..., zn = жп~ п приводит к уравнению вида 15.4.3.4:
7.	he2 2/2(ж1,ги) -
dXl	L	~ x ' 'J О»Ж2
+ [e /гг (xi ,w) -\- gn (xi, ги)J	 = 0.
Преобразование z\ = x\, z2 = е~а2Ж2, ..., zn = e~anXn приводит к уравнению вида
15.4.3.4:
dzl	a 2 Zl'W	Z2Q2 Zl'W dz2	пП П ZUW	ZnQn ZUW dzn
8. —	\- j2\a,2X\ + 62Ж2, iu)—	!-••• + jn{anxi -\- bnXn, w)—	 = 0.
OXl	OX2	OXn
Общее решение: Ф(гу, г^2,..., ип) = 0, где
ик =xi - / 		—-, ^ = afcxi + 6fcXfc при 6fc ф 0,
^cfc ak+bkfk(t,w)
Uk = Xk	/ fk(t,w)dt,	Zk = CLkXi	ПрИ 6fc = 0,
Ск — любые.
V Ж1 / аж2	V Ж1 / OXn
Общее решение: Ф(г^, U2,..., un) = 0, где
Pfc	dt	л	xk	r	7
k =	-TT+—ч—7-lnFi» ^ = —-, Ck— любые, fc = 2,...,n.
•'Cfe fk{t,W)-t	XX
Общее решение: Ф(и>, г^2,..., ип) = 0, где
Щ = —	—-———— -ln|xi|, Zi = x\ix7^i, Ci— любые, г = 2,...,п.

Общее решение: Ф(и>, и2,..., ип) = 0, где
l
15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 369
ПОИ) аоазо _/? / аоазо \ CfW . . а а» _/» / а-п хп \ ОН)	_
. —	\-е 2 2/2(ж1в 2 2,w)—	1	he п nfn(xie п n,w)—	 = 0.
ОХ\	0X2	ОХп
t[akth(lW) + l] Ь|Ж11' **=™акХк> «.-любые, fc = 2,...,n.
12.	-f^ + х3Ме°™ A\w)^- + -.. + xnfn{ea^x^,w)-^- = 0.
oxx	OX2	ОХп
Общее решение: Ф(и>, г^2,..., ип) = 0, где
Щ = —		—^Т~Ж1> 2?г = еа'Я!1ж^, Ci—любые, г = 2,...,п.
13.	—	\-е 2 1f2(x2e 2 S^)—	1	he ~ гfn(xne n 1,w)—	 = 0.
OXl	OX2	ОХп
Общее решение: Ф(ги, г^2,..., ип) = 0, где
ик =	-—,	Ж1, ^=xfceafc;Cl, cfc—любые, А; = 2,...,п.
i«*.-,.)i = о.
Общее решение: Ф(и>, и2,..., ип) = 0, где
иш= —	— — ln|xi|, zrn = x1meamXm, сш — любые, m = 2,...,n.
'	'	n	dxn
Общее решение:
2,из,. • • ,un,w) = 0, где ик = хк - / /,
При интегрировании и> рассматривается как параметр; к = 2,..., п.
16. /i(a?i,iu)—— + f2(x2,w)—^- -\	h frt(xrt,w)—^- = 0.
d	дх2	дх-гь
Общее решение:
Ф(и1,и2,...,ип-1,'ш) = 0, где ик =	Хк - / Хп •
J fk(xk,w) J fn(xn,w)
При интегрировании w рассматривается как параметр; & = 1,...,п— 1.
15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно
производных с тремя переменными
15.3.1. Уравнения содержат квадраты одной или двух производных
л	dw . dw . udw . ( dw\2 .
1.	\-a	\-b	he 	 = k.
dx	dy	dz	\ dx J
Полный интеграл: w = C\x + C2y + Csz + C4, где C\ + aC2 + bCs + cC\ = k.
dw ,	dw , , dw , ( dw \2
dw ,	dw t , dw t f dw \2
2.	h «ж	h ож	he 	 = fc.
Ож	dy	dz	\ dy J
h ожhe
dy	dz \ dy
Полный интеграл: w = Ciy + C2z - \(ad + ЬС2)х2 + (к - cC\)x + C3.
On? ,	On? , , On? , / dw \2
3. —	Vay—	Vby—	he —— = k.
dx	dy	dz	\ dy J
Полный интеграл:
w = adz + (C2e-ax - bCi)y + (k - b2cCl)x - ^Cide—' + ^le~2ax + C3.
a	2a
24 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

370	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
dw .	dw . , dw . / dw \2
4.	\-ay	\-bz	he 	 = k.
dx	dy	dz	\ dx J
dw ,	dw , , dw
^—\b
dy
Полный интеграл: w = dx + C2 In \y\ + СзИ + C4, где Ci + aC2 + 6C3 + cC? = k.
dw	dw , dw	( dw \2
5. 	 -|- az	 -|- by	 -|- с I	I =
dx	dy	dz	V dy J
Полный интеграл:
= (CieXx + C2e-Xx)y - j(CieXx - С2е~Хх)
j
(s - 2cCiC2)x - ^?le2Xx + ^?le~2^ + C3, A = Vab.
dw ,	dw , , dw t f dw \2
6. —	hfl^z-	\-bxy—	hef—— ) =
dx	dy	dz	^ dy J
Полный интеграл:
+ \кх2 + sx-c f[Ci ехр(Лж2) + С2 ехр(-Лж2)]2 dx + С3,
Он? 1 / dw \2 1 / Огу \2
Я4<1	1 / Я»м \2 1 / Я»м \2
7.
К этому уравнению сводится задача о движении материальной точки под действием
силы тяжести (где х — время, а у и z — продольная и поперечная пространственные
координаты, а — ускорение силы тяжести).
Полный интеграл: w = -С\х + С2у + С3 ± — BCi - С\ - 2az)s/2.
За
® Литература: Г. К. Суслов A946).
Оги 1 / Огу \2 1 / Огу \2	Л
К этому уравнению сводится задача о движении двух тел, притягивающихся по закону
тяготения Ньютона. Переходя к полярным координатам у = г cos 9, z = r sin 9, получим
уравнение с разделяющимися переменными:
dw 1 / dw \2 1 / dw \2 a
Полный интеграл:
w = -Cix -С29т J BCi + -у- - -^-) V2 ^ + С3.
® Литература: Р. Курант A964).
ft	On?	f dw\2 . ,f dw\2	. n
9. __+a(——) +6 ^— =ciu + fex .
dx	\ dy J	V dz J
Частный случай уравнения 15.5.1.2 при f(x) = с, g(x) = А;жп. Полный интеграл:
w = (Ci + C2J/ + Сз^)еС1 - -(oCl + 6Cf )e2cl + fceCI / xne~c
с	J
dx.
dw	Г dw \2 h( dw Y2 _	. г, /3aj
Ож	V #2/ ^	^ ^^; /
Частный случай уравнения 15.5.1.2 при f(x) = с, р(ж) = ке^х. Полный интеграл:
гу = (Gi + С2у + G3^)e	{аС2 -1- ^' л° А	с
с
dw\2	(dw\2
dy J	\ dz J
Частный случай уравнения 15.5.1.3 при f(x) = схп, д(х) = кхт.
Oil?	(dw\2	(dw\2	2 .	гг	, I
11.	1- ai 	 + «2 	 = bw + ex w + kx
dx	^ dy J	\ dz J

15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 371
dw , ( dw \2 , / dw \2 , , dw , , dw
12.	h«i 	 +«2 	 + Ьг	\-b2	 = 0.
dx	V dy )	V dz )	dy	dz
Полный интеграл: w = — (aiCi + a2C2 + bid + Ъ2С2)х + dy + C2z + Сз.
dw , ( dw \2	/ On? \2	On? , , dw
dy )	2\dz)	dy
Полный интеграл:
_|_ Г	1 -U (	Y -\- h	-U Ь	— П
Ож	\ dy J	\ dz J	dy	dz
>ал:
w; = y(fi(x) + Z(p2(x) - / [i
yp() p() [pl()	^2()] dx + C3,
где
^1(ж) = С1еЛж+С2е-Лж, сР2(х) = -^(С1еХх-С2е-Хх), \= ^Ъ~2.
b2
dw , f dw \2 t /a^\2 , /L	, , ^ dw t
+ (&	+ ^) ^	+	+ C2Z + C0.
Частный случай уравнения 15.5.1.17.
dw , f dw \2 t ( dw \2 , , k dw t , к dw
~5~- +ai ^~ +a2 ^— +bi« z—— +62Ж ?/——
Ож	\ dy J	\ dz J	dy	dz
Полный интеграл:
77, + 1	«/
где
~ k + 1 '
Oil?	/ Oil? \2	/ Oil? \2	uX ~ы	их ~ы	л
16.	h «i 	 + «2 	 + 6ieM z	h &2вм 7/	 = 0.
dx	\ dy J	\ dz J	~	' ~
dw t . 0X dw
dy J	\ dz J	dy	dz
Полный интеграл:
где
w = y<pi(x) + ^2(ж) - / [ацр\{х) + a2^2(^)] с?ж + С3,
= Ъ2 [С, ехр(Ле^) + С2 ехр(-Ле^)], Л =
= p\[-Ci ехр(Ле/3ж) + С2 ехр(-Ле/3ж)].
^гу , kfdw\2l,rifdw\2	m
17.	h аж 	 + Ьх [	 = ex w.
dx	V dy J	V dz J
Полный интеграл:
W
= ф)(Ci + C2y + C3^) - ф) (ф) (aCixk + 6C32^n) dx, ф) = exp (^^).
J	V 777/ -|- 1 /
Pit;	kfdw\2 , ^ _nfdw\2
dx aiX \ dy
Полный интеграл:
1O	dw I	h(dw\2	nfdw\2	m
18. —	h«i« ^— +«2Ж ——) =bw + ax y + c2xz.
dx	V dy J	\ dz J
w = ebx [ycpi (x) + zcp2(x) + ф(х)],
где
ipi(x) = Ci+ci [xme-bx dx, 4>2(x) = C2+c2 f xse~bx dx,
ф(х) = Cs- J ebx [а1Ж^?(ж) + а2ж>|(ж)] с/ж.
24*

372	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
dw	kfdw	\2	nfdw	\2	т
+	+ ) +Ь	+) =sx '
Полный интеграл: w = -cyz + Ciy + C2z- -^Lxk+1 - _^LX^ +
/c + 1	n + 1
x	X +
/c + 1	n + 1	m
Полный интеграл:
m + l
dy+ I J \ J dz.
21. —	h ai?/ ^— + a2z —— = bw +
dx	V dy J	\ dz J
dy
Частный случай уравнения 15.5.1.10 при fi(y) = а\ук', f2(z) = a2Zn, g{x) = сжт,
()
22. |^ + (aixfcly + ftx*) (|^) + (aaxfcay + 62Ж-) (||) = с1Ж^^ + c2xs
Частный случай уравнения 15.5.1.12.
23.
Частный случай уравнения 15.5.1.14 при f(u) = Аик, р(гг) = 5гбп, /г(гб) = Dum.
24.	h сге 	 + 6ер 	 = cw.
дх ^ V ду ) ^ \ dz )
Полный интеграл: w = decx + есх(С2у + С3^) - ^1еBс+л)ж - _^з_еBс+/3)ж.
с + Л	с + р
^с dw	Xx( dw\2	рх( dw \2
25\ ае	+ beR
dw	Xx( dw\2	рх( dw \2	1Х
.	\- ае 	 + beR 	 = се1 w.
дх	\ ду )	\ dz )
)dx, ф) =ехр(-е7а;).
ду
Полный интеграл:
26. %L
Полный интеграл:
где
= ebx [уф! (x) + z(p2(x) +
7 — 6	/x — b
ф(х) = C3 - J e2bx [aieA>2(x) + a2e/3xipl(x)] dx.
~n dw	\x ( dw	\2 . , зж/ dw	\2 1 -уж ,
27. —	h ae —	\- cz) + bep —	\-cy) = he1 + s.
dx	V Oy	/	V Oz	/
Полный интеграл: гу = -cyz + Ciy + C2^ - — C\eXx	C\e^x Л	elx + sx + C3-
A	P	7
On? , a / On? \2 , / dw \2 , ,
Ож	sin2 z \ dy J	\ dz J
К этому уравнению сводится задача о движении стержня, опирающегося на горизонталь-
горизонтальную плоскость и вертикальную ось (х — время, у и z — угловые координаты).
Л С2 b	Л1/2
С\	1	cos z) dz + С3.
sin2 г a	/
® Литература: А. П. Маркеев A990).

15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 373
Полный интеграл: х + i ц;т+1 _|	?-ws+1 = 	—у 2 _|	?_^ 2 + (
га + 1	s + 1	2 - /с	2 - п
30.	— + ayhwrn (—J + bz71™5 (—V* = cwq.
dx	\ dy J	\ dz J
Полный интеграл:
J 1 + yl + 4сгу«у?(гу) 2 — к	2 — п
где <p(w) = aCfwm
31.	ж	\-
dx	\ Uy J	\ Uz /
Полный интеграл: w = Ciy + C2z - aC>i + bC2 xi-k _^	с	x^-^+i + ^3
I — к	п — к -\-l
dw г dw\2 (dw\2 2
32.	к;	\- a 	 +6 	 = cw .
Ож	\ dy J	\ dz )
Полный интеграл: In |ги| = (с — aC\ — ЬС\)х + dy + C2z + Сз.
15.3.2. Уравнения содержат квадраты трех производных
i	(dw\2 ufdw\2 (dw\2
1. a 	 -\-b(	 +c 	 = 1.
\ dx J	\ dy J	V dz J
dy
л: w
(•) Литература'. Э. Камке A966).
Полный интеграл: w = Cix + С2У + C3Z + C4, где aC\ + 6C2 + cG| = 1.
Частный случай уравнения 15.5.1.23. Полный интеграл:
w = [ \/ахк + Сх dx + I у/Ъуп + С2 dy + / Vcz™ - Ci - С2 dz + С3.
(dw\2	.(dw\2	(dw\2	fe
V Ож /	\ dy J	\ dz J
Полный интеграл:
2 2=
2-kW
fci
4, где aCl + hCl + cCl = 1.
4 •¦»
Частный случай уравнения 15.5.1.23 при fi(x) = a\xkl, /2B/) = o>2yk2, /з(^) =
pi (ж) = blXn\g2(y) = Ъ2уп\ gs(z) = b3zb*.
5.
6.
Частный случай уравнения 15.5.1.24 при fi(x) = a\xkl, /2B/) = а2ук2, gi(x) =
&22Л, /11 (ж) = cixmi, h2(y) = c2ym^.
Частный случай уравнения 15.5.1.26 при fi(x) = a\xkl, /2B/) = a2yktl, /з(^) =
pi (ж) = blXn\g2(y) = Ъ2уп\ gs(z) = bszn\ h(w) = wm.

374	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
7. A(ax+by+c)h (^J +B(ax+by+c)n ( ^- ) +C(ax+by+c)m ( ^- ) +s = 0.
Частный случай уравнения 15.5.1.27.
CL\X W I 	 I -|- CL2V W I 	 ] -|- (I3Z W I 	 I = О1У
V Ож /	V Oy /	V dz /
Частный случай уравнения 15.5.1.28.
15.3.3. Уравнения содержат произведения производных по разным
переменным
dw	k(dw	\(dw	\
Полный интеграл: w = —byz + dy + C2z -\	xn+1	—-xk+1 + C3.
n + 1	к + 1
Полный интеграл: w = —62/^ + C\y + С2^ H	e^x + kx	C\C2eXx + C3.
p	Л
_	On? On? . On? On? . , dw . dw , n ,
3.	h a	\- by	\- cz	 = kx + s.
ож ay	Ож dz	dy	dz
Полный интеграл:
w = y<p(x) + гф(х) + / ——	-— dx + C3,
У (р(х) + аф{х)
где функции 9? = <?>(ж), ^ = Ф(х) определяются из автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
(ip -\- аф^)(р -\- Ь(р = 0, (ip -\- сьф^ф -\- сф = 0.
Общее решение этой системы при be ф 0 записывается так:
<р + a6Ci^c/& + bx = С2, ^ = cCi^c/&.
В вырожденных случаях имеем
(р = Ci, С\\п\ф\+аф + сх = С2 при 6 = 0;
ф = Ci, aC\ \n\(p\ -\- Lp -\- bx = С2 при с = 0.
Огу dw	dw dw , Огу	dw , тг
4.	1- a	1- 6z	\- су	 = kx + s.
аж dy	dx dz	dy	dz
Полный интеграл:
/кхп + s
——	—— dx + Сз,
у?(ж) + аф(х)
где функции 9? = (р(х), ф = ^(ж) определяются из автономной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
(if + аф)(рг + сф = 0, (</? + ат/О^ + ^^ = 0-
Общее решение этой системы при be ф 0 записывается так:
6с</ + cCi = (С2 + беж + а^J, с^02 = ^2 + Сх.
В вырожденных случаях имеем
ф = С\, ip2 + 2aCiip + 2cCix = С2 при 6 = 0;
= Ci, аф2 + 2CiV> + 2&Cix = С2 при с = 0.

15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 375
_	dw dw . , dw dw . . 2	~
Преобразование Лежандра (указано как прямое, так и обратное преобразование):
dW	dW	dW	__ dW ЛГ dW _ dW
Ж=^Г' ^=^' *=^' W = X^+Y^ + Z^~W]
dw ,r д-ш „ д-ш TTr	dw	dw	dw
X = —, Y = —-, Z=—, }у = ж-—+?/-—+? —	w,
ox	oy	oz	ox	oy	oz
переводит это уравнение в уравнение вида 15.3.1.6 (при к = 0):
, On? On? On? dw n и dw	rn fc+i
6. z	h o-V	= bx w	\- ex w ^ .
Решение в виде произведения двух функций одного и двух аргументов:
w = f(x)g(y,О, f = ay2 ~ z2.
Зависимость / = f(x) находится путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка
(bxnfk-1-C1)f'x+cxmfk=O,
которое интегрируется в квадратурах, например, при п = 0 или к = 1. Функция g = g(y^)
определяется формулами
где Ф = Ф(^) — произвольная функция. Чтобы получить полный интеграл, можно
положить Ф = С2, (постоянная С2 войдет в решение уравнения для /).
dw dw , , dw dw , dw dw .
7. a	\-b	\-с	= к.
dx dy	dx dz	dy dz
Полный интеграл: w = C\x + С2У + C3Z + C4, где aCiCz + bCiCz + CC2C3 = k.
® Литература: Э. Камке A966).
_	On? On?	On? On?	On? On?
8.	h л	h b	= cw.
dx dy	dx dz	dy dz
cC С	f	v	z	\2
Полный интеграл: w = —	^-^	 (x -\	1	\- Cs) •
F	4(CX + aC2 + b) \ C2 Cx	)
fe dw dw n dw dw m dw dw
9. az	\- by	\- ex	= 0.
dx dy ^ y dx dz ^ dy dz
w	z +	+
к -\-l	n + 1	m + 1
где dC2 + C1C3 + C2C3 = 0.
fe dw dw	n dw dw	m dw dw
10. aw	\- bw	\- cw	= 1.
dx dy	dx dz	dy dz
Полный интеграл:
Г \/aCiC2Wk + bCiCswn + сС2Сзи)ш dw = C\x + C2y + Csz + C4.
Одну из постоянных С\, С2, С2, можно положить равной единице.

376	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
15.3.4. Уравнения, содержащие квадраты и произведения производных
dw ,	fel / Он? \2 ,	k~ dw dw t	k%fdw\2 , n ,
1. __+anu1(—— ) + a2w2 —	—- +a3w3 ^— = 6tu + с
dx	\ dy J	dy dz	\ dz J
) + a2w
dy J	dy
Полный интеграл:
c? + 4(bwn + c)/(w)
где f(w) = a\C2wkl + а2С2Сзгпк2 + азС%гпкз. Одну из постоянных Ci, С2, Сз можно
положить равной ±1.
dw\2	k dw dw	n{ dw\2	г», dw dw
	 -f ож\ bxz	+ cxz
dx J	d
Полный интеграл:
( dw\2	k dw dw	n{ dw\2	г», dw dw	p
2. 	 -f ож	\- bxz 	 + cxz	= sxp.
V dx J dx dy V dy J dy dz
w = Ciy - "^ xk+1
1
CC]_A — 771)	c(n — 771 + 1
/ dw \2 . dw dw . dw dw . dw dw	& /,	dw . , dw
\ dx J	dx dy	dx dz	dy dz	\	dx	dy
Полный интеграл:
/	^F^1"" при
(ClX + c + Сз^
V	^	У \|1пгу|	при jfe = 1.
/ Огу \2 , / dw \2 , / dw \2 , , dw dw , , On? On? , , Огу Огу
4. ail——1 +ai —-) +«21^—) -^bi^-^--^b2^-^--\-b3—-—-=
\ dx J	\ dy J	\ dz J	dx dy	dx dz	dy dz
) +«21^) ^bi^^^b2^^\b3
dy J	\ dz J	dx dy	dx dz	dy
Полный интеграл:
w = { т(с±х + С*У + C^z + c±J ~ s/c ПРИ c Ф °'
^ ~ 1 Cix + C2|/ + C3^ + Ca	при с = О,
где постоянные С\, Сг, Сз связаны соотношением
2 i 2	b2dC3
{ dw\2 { dw\2 { dw\2	г . 2 . 2 . 2ч . -
Частный случай уравнения 15.5.2.3, см. п. 2° при к = 2 и /(г) = (ar + 6)с [при с = — 1
см. также Э. Камке A966)].
15.4. Другие нелинейные уравнения с тремя переменными,
содержащие параметры
15.4.1. Уравнения третьей степени относительно производных
л ( dw \3	и dw	n dw	m dw _
1. 	 — aw	bw	cw 	 = 0.
V dx )	dx	dy	dz
Полный интеграл: / —.	= x + dy + C2z + C3.
J Vaw;fc + ЬС^71 + cC2wm
. / dw\3	kfdw\2	n( dw\2	m( dw\2
2.		 — aw 	 — bw [	 — cw [	 = 0.
\ dx J	V dx J	V dy J	V dz J
Полный интеграл: /	ъ	ъ	 = х + Ciy + C2z + С3.
J awk + bC\wn + cC$wm

5-
15.4. Другие нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие параметры	377
3. -*?-*?-EH.
dx dy dz
Частный случай уравнения 15.5.2.1 при /(ж) = ахк, g(y) = yn, h(z) = zr
Полный интеграл: w = 	— х + -\	—у1'
C1C2(m
. dw dw dw	к п rn s
4. —— —	-—=axyz w.
Частный случай уравнения 15.5.2.2 при /(ж) = ахк, д(у) = ?/n, h(z) =
dw dw dw	( dw \2 , , / dw \2 , / On? \2
Преобразование Лежандра (указано как прямое, так и обратное преобразование):
x= 	, у = 	, z= 	,	w = X	\-Y	\-Z	W\
dX ' y dY '	dZ '	^X	^У	^Z
„ dw лг dw	dw	Tjr	dw	dw	dw
X = —-, Y =—-, Z=—-,	W = x—- + y—- + z—	w,
dx	dy	dz	dx	dy	dz
приводит к линейному уравнению 7.2.3.5:
Полный интеграл: w = —ayz + C\x + С2У -\	z + C3.
CC
dw ,	\f dw t	\ ( dw
Полный интеграл: гу = —axyz -\- C\x -\- С2У -\	2 + C3.
СХС2
( dw	\(dw . \ / dw	\ . dw dw dw
8.	aw	bw	cw = к	.
\ dx	J\dy	)\ dz	)	dx dy dz
Полный интеграл: In \w\ = С\х + С2У+С^+Са, где (Ci— a)(C2 — Ь)(Сз — с) = W1C2C3.
15.4.2. Уравнения, содержащие корни или модули производных
2.
dw i / . и (dw Y2 i
+/ + 6() +сE
у	y	dz
Уравнения этого вида встречаются в теории дифференциальных игр [см. например
А. И. Субботин A991), A. I. Subbotin A995)].
Полный интеграл: w = — Ах + С\у + C2Z + Сз, где А = д/а + ЬС\ + сG|.
Полный интеграл: w = — Аж + Ciy + Сг^ + Сз, где А = ai yj\ + 61 Cj + a2 д/l +
dw , / , , / Он? , , \2 , / dw
3. —— + \а + Ь —— + fcz +c(-_
dx \	\ dy	J	\ dz
Полный интеграл: w = —kyz — Ax + Ciy + C2Z + Сз, где А = д/а + ЬС\ + cG|.

378	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
dw
dw
dw	dw
= 0.
Уравнения этого вида встречаются в теории дифференциальных игр.
Точное аналитическое решение этого уравнения с начальным условием
w = тах{|?/|, \z\} при х = 2
было получено в работе А. М. Тарасьева A985). В области 1 ^ х ^ 2 это решение
описывается формулами
1,^3,^б} при <рг + (р3 ^ О,
w(x,y,z) = < тах{<?2,<?4,<?5} при ср2 + <^4 ^ О,
[	5, <?б}	при 9?i + 9?з ^ 0 и 9?2 + <^4 ^ О,
где
<^i = <pi(x,y,z) = х + у + 2z - \х2 - xz,
(рз = (рз(х, у, z) = 2 - х + z,
(р5 = ip5(x,y,z) = 2-(p3-2(l-(fi- (рзI/2,
<fk = (fk(x,y,z) = (fk-i(x,-y,-z), к = 2, 4, 6.
В тех точках (ж, г/, г), где происходит «склейка» различных функций срп и (рт, функция
w непрерывна, но может быть недифференцируемой.
В области 0 ^ х ^ 1 решение имеет более сложную структуру и описывается 12
различными функциями, шесть из которых задаются неявно.
® Литература: А. М. Тарасьев A985), А. И. Субботин A991).
dw	dw	dw
Уравнение типа Гамильтона—Якоби — Беллмана. Возникает в вариационном исчислении
и оптимальном управлении.
Считаем, что выполнено условие:
[f(
[f(,y,)yf(x,y,z) + zf3(x,y,z)] = tp(r), г = д/ж2 +у2
Решение задачи Коши с начальным условием
w = 0 при г = 0 (w > 0 при г > 0)
описывается формулой
Jo
Замечание. Результаты допускают обобщение для уравнения с любым числом неза-
независимых переменных.
® Литература: Л. Д. Акуленко A987).
15.4.3. Уравнения, содержащие произвольные степени производных
л	dw . ( dw \k . ,( dw \n	. rn
dx	\ dy J	\ dz J
Частный случай уравнения 15.5.2.4 при f(x) = с, g(x) = sx171.
dw\k	( dw\n	m dw
——) +a2 -— +Ьгх z—
dy J	V dz J	dy
Частный случай уравнения 15.5.2.5 при f(x) = хт.
Oil?	( dw\k	( dw\n	m dw	m dw
. —	\-ai(——) +a2 -— +Ьгх z—	\- b2x y——=0.
dx	V dy J	V dz J	dy	dz
_	dw	( dw\k	( dw \n	Xx dw	Xx dw
3. —	\-ai(——) +a2 -— -\-Ьге z—	\- b2e y—— = 0.
dx	V dy J	\ dz J	dy	dz
Частный случай уравнения 15.5.2.5 при f(x) = еХх.

15.4. Другие нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие параметры	379
4.	*?. + Oia (
dx	V dy
Частный случай уравнения 15.5.2.6 при fi(x) = aixni, /2(ж) = п2ХП2, g(x) =
5. —	h«ie x ^— +«2в 2 ^— = bep w + cie^1 ?/ + c2elf2 z.
dx	V dy J	\ dz J
dw
dy
Частный случай уравнения 15.5.2.6 при fi(x) = cneXlX, /2(ж) = а2еЛ2Ж,
/ii (ж) =С1е71Ж,/г2(ж) =с2е72Ж.
6. —	l-ai^1 —	h^ +а2ж2 —	h^2/ = ex .
Ож	V dy	/	\ dz	J
Полный интеграл: «; = -b
m + 1
- -*¦
Полный интеграл: w = — byz + Ciy + C2z -\	e	—C^e lX	— C22e 2X + C3.
fj	Ai	An
a™ , kf dw , , ^( dw
o.
dw	hf dw	\n f dw	\™
dx	^ dy	) \ dz	J
Полный интеграл: w = -byz + Сц/ + C2z -\	—xs+1 - aC?C™ хк+х + С3.
s + 1	/c + 1
*» ¦ ¦ ¦ =ce' .
Полный интеграл: гу = -byz + Ciy + C2z + —ef3x - —CiC™eXx + C3.
p	Л
f dw \к . ( dw \k ( dw \k ( dw	dw	dw \n
10. a 	 + b[	 + с 	 = [x	\-у	\-z
V dx J	V dy J	V dz J	V dx У dy	dz J
Полный интеграл: w = ——^ (aGi + bC2 + cC\) ™-fc (Cix + C2|/ + C3z) k~n + C4.
Одну из постоянных Gi, G2, Сз можно положить равной ±1.
Полный интеграл:
i
/ ( ——	—	—	) п т dw =
J V b1CYlwsi + b2C2lws2 +63Cf37'w;s3 /
Одну из постоянных Gi, G2, Сз можно положить равной ±1.
(dw\k fdw\n fdwy1
12. a 	 + b(	 + с 	 = 1.
V dx J	V dy J	\ dz J
Полный интеграл: w = Cix + C2y + C3Z + C4, где aGf + bC2 + cCJ1 = 1.
/ On? \fe	/ dw \n , ( dw \™>	dw	dw	dw _
a\dx)	V dy ) C\dz)	X dx V dy	dz ~ W
Полный интеграл: w = C\x + C2y + Сз^ + aC\ + 6G? + cC™.
dw , , \fei , ( dw t , \fe2	( dw t , \fes
Полный интеграл: w = —bxyz + Ci# + C22/ + Сз^ + G4, где ai^x + a2C22 + азС33 = с.

380	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Частный случай уравнения 15.5.2.9.
16.
dx J V dy J V dz
Частный случай уравнения 15.5.2.10.
/ dw \k f dw \n f dw Л777-	dw	dw	dw
Полный интеграл:
h -X- n -I- m — 1	fc+ra+m
+ +	(ClX + С2У + 0Z) k+n+rn-l + С
к + п + m
w Л771 , 9w ,
— 1 -I- л?	 -I- ii
dy
( dw \k ( dw \п ( dw Л771 , Он? , Он? , On?
18. a 	 	 	 + x	\-y	\-z	 = w.
\ dx J \ dv J \ dz J	dx У dy	dz
Полный интеграл: w = C\x + С2У + C3Z + aC\C2C™.
1ft f dw .	\k f dw t	\n ( dw	\™>
19' ("te" + a?/zJ VW + aajzJ ("eT + axy) = b
Полный интеграл: w = —axyz + Cix + С2У + C3Z + C4, где CiC%C™ = 6.
9«; ,	ni/ dw \fel / Oil? Y^l ,	rb-yf dw \fe2 / Oil? \ггг2
dx	\ dy J \ dz J	\ dy J \ dz J
Частный случай уравнения 15.4.3.3 при F(x,u,v) = aixniuklvmi + a2Xn2uk2vm2
21a ~ f ~*~ l dy J \dz ) l ~"~ Kdy J \dz )
Частный случай уравнения 15.4.4.4.
dx	1	V dy ) V dz )	2	V dy ) V dz ) ~
Частный случай уравнения 15.4.3.3.
15.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными,
содержащие произвольные функции
15.5.1. Уравнения квадратичные по производным
dw\2
Полный интеграл:
2 J I	i	J gi(y)	J g2(z
J gi(y)	J
Полный интеграл:
w = CiF(x) + (C2y + C3z)F(x) + F(x) f 9{x) ~^x) dx,
J	Г [X)
где
[/	^Л =
F(x) = exp[/ f(

75.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	381
dw , / dw \2 , / dw \2 , 2 . о, ч . / ч
-ftr + o4-eir) + °2U7J = biD + /(*)« + »(*)¦
При Ь = 0 см. уравнение 15.5.1.2. Полный интеграл при 6/0:
Здесь постоянные С\ и Сг связаны соотношением: а\С\ + агС! = Ъ. Функция ср = <^(ж)
определяется из обыкновенного дифференциального уравнения
<р' = b<p2 + f(x)v + g(x),	A)
а функция ф = ^(ж) выражается через функцию р(х) с помощью формулы
ф(х) = exp{J[2btp(x) + /(ж)] dx}.	B)
Уравнение Риккати A) интегрируется в квадратурах для многих функций / и д,
в частности при д(х) = 0, f(x) — любое, а также при /(ж) = const, д(ж) = const.
Подробности см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001).
dw , / dw \2 ,
Частный случай уравнения 15.5.1.17, п. 2°. Полный интеграл:
/V 2	2 1
w = yifiyx) + z(f2yx) — j \a\ipi\X) + a2(p2(x)j dx + Сз,
где функции ifi(x) и р2(х) определяются формулами
(fi(x) = Cib2exp[\ /"/(ж) с/ж] + С2&2ехр[-А /"/(ж) с/ж], Л =
у?2(ж) = -СхЛехрГл А /(ж) с/ж] +С2Аехр|"-Л А/(ж) с/ж].
	 Н~ ^1 (	) ~\~ ^2 (	) ~\~ Т[&)z	 ~\~ О\^)У	 ^— О*
Ож	V dy )	V О2; /	dy	dz
Полный интеграл:
w = y<fi(x) + Z(p2(x) - / \a\ip\(x) +а2^2(жI с/ж + Сз, <^2(ж) =	г^^"'
J	<дж) аж
где функция 9?i = cpi (ж) определяется путем решения линейного обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения второго порядка
dx
Полный интеграл: w = Ciea;c + eax(C2y + С3^) - еаж J eax [С|/(ж) + С32^(ж)] с/ж.
Полный интеграл:
w = ф)(С1 + С2у + C3z) - ф) I ф) [Clf{x) + Clg(x)] dx.
где (р(х) = ехр / h(x) dx .
8. —	1"^1(ж)("л—) ~'"^2(жН~я—) = 9(x)w ~\-hi(x)y-\-h2(x)z.
Полный интеграл:
w = G(x)[y(pi(x)
где
Л*(Я) dx,
G{x)
c) = C3 - J G(x)[h(x)<p\(x) + /2(ж)^(ж)] dx,

382	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Уравнения этого вида часто встречаются в механике, где переменная х играет роль
времени, а переменные у и z — роль обобщенных координат.
Полный интеграл:
If"
Преобразование ? = / —	, г\ = / —-j^=^= приводит к уравнению вида 15.5.1.3.
J Vl/iB/)l	J Vl/2(^I
Полный интеграл: w = —ayz + Ci|/ + Сг^ + / [/г(ж) — Cif(x) — Cf#(ж)] с/ж + Сз-
12. Ц + [Ы*)У + рх()] (|^) [М)
= a(x)w + 6(ж) + hi(x)y + /i2(«)z.
Полный интеграл:
w = <pi(x)y + <^2(ж)^ + ф(х),
где функции <^i(x), ^2(ж), ^(ж) определяются путем решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
4>к + fk(x)<p2k = а(х)<рк + hk(x), к = 1, 2;	A)
^	?	^2 = а(ж)^ + Ь(ж).	B)
Здесь штрих обозначает производную по х.
Уравнения Риккати A) интегрируются в квадратурах для многих функций fk(x),
hk(x), а(х), подробности см. в книгах Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина
A997, 2001). В частности, при hk = 0 решения уравнений A) описываются формулами
(fk(x) = A(x)\Ck + / A(x)fk(x)dxj , А{х) = ехр[ / а(ж
Уравнение B) линейно относительно ф и легко интегрируется (при известных
ф(х) = С3А(х) + А[х) Г[Ъ(х) - gi(x)<p\(x) - 92{x)vl{x)} -^-.
13. -§? + [M*)vh + Ы*)у2к (^J
= a(x)w + b(x).
1°. Пусть все к, п ф 2. Преобразование ^ = у2~к, rj = ^2~п приводит к уравнению вида
15.5.1.12:
l^ + ^-^/^ + Si^)^^
2°. Пусть имеется к = 2, п ф 2. Тогда вводим новые переменные ? = In |г/|, т/ = ?2~n.
В результате получим уравнение вида 15.5.1.12. Случай к ф 2, п = 2 рассматривается
аналогично.
Оги	/ Огу \2	/ dw \2
14. —	\-f(ax + by + cz)[——) + д(ах + Ъу + cz)[——) = h(ax + by + cz).
ox	V оу /	V az /
Полный интеграл:
С2у + С3^

75.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	383
где
G(|) = а + 2bC2f@ + 2cCsg@, Щ® = Ci + СЩ® + dg(O - h(?).
Одну из постоянных Сi, С2, Сз можно положить равной единице.
Полный интеграл: u> = —ayz + dy + C2Z + I [g(x) — C\C2f(x)\ dx + C3.
dw . * / \fdw\2 i * , ,dw dw
_ + /ll(x)(_j +д2(ж)____
= g(x)w + /in(a;)i/2 + h12(x)yz
Частный случай уравнения 15.8.1.10. Полный интеграл ищется в виде
w = (рц(х)у2 + (pi2(x)yz + (p22(x)z2 + ifii(x)y + ф2(х)г + фо(х).
Подставляя правую часть этого выражения в исходное уравнение с частными производ-
производными, для определения функций (fkm(x), фк(х) получим систему обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. Если все hk(x) = 0, то можно положить фк(х) = 0.
+ /()() +/()	+ /()() +Ь() + ()]	+
+ [g2i(x)y-\-g22(x)z]—— = s(x)w-\-h1(x)y-\-h2(x)z-\-ho(x).
Частный случай уравнения 15.5.4.5.
1°. Полный интеграл:
w = (pi(x)y + (f2(x)z + ф(х).
Здесь функции ipi(x), if2(x), ф(х) находятся путем решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Ч>\ + (Ри ~ s)^i + ^21^2 = hi,	A)
Ч>2 + #12<?1 + (^22 - S)(^2 = /l2,	B)
<ф' - 3<ф = h0 - fu<pl - fi2<pi<f2 - /22^2,	C)
где /ij = fij(x), gij = gij(x), hk = hk(x), s = s(x); штрих обозначает производную по ж.
После определения функций ср± = <^i (ж) и <^2 = <^2 (ж) из линейной системы уравнений
A) и B), решение уравнения C) находится по формуле
ф(х) = C3S + S J(ho - fn<pi -
2°. Рассмотрим частный случай: hi = 0, /12 = 0. Кроме того, будем считать, что
gu=aig(x) + s(x), gi2=a2g(x), g2i = а3д(х), д22 = а4д(х) + s(x), D)
где д = д(х), s = s(x) —произвольные функции, а а\, п2, аз, «4 — произвольные числа.
При этих условиях общее решение линейной однородной системы уравнений A), B) имеет
вид
<pi = С\ exp^Ai / gdxj + С2ехр(л2 / gdxY
E)
(f2 = -—	-Ciexp(\i / gdxj - —	^-Сгехр^Аг / gdx\
где Ai, A2 —корни квадратного уравнения (А + ai)(A + а4) — а2«з = 0.
3°. Пусть hi = hi(x), /i2 = h2(x) — произвольные функции, а функции дц = gij(x) опи-
описываются формулами D). В этом случае общее решение линейной неоднородной системы
уравнений A), B) можно получить методом вариации постоянных или с помощью детер-
детерминанта Вронского [см., например, G. M. Murphy A960), Э. Камке A976), D. Zwillinger
A998)].

384	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Замена г*, = 	wk+1 приводит к уравнению вида 15.5.1.7:
к + 1
Замена и = 	u>fc+1 приводит к уравнению вида 15.5.1.10 при h(x) = 0:
If+ /lB/) (I7J +/г(г) (IIJ =а(к + 1Jи2 +(fe
20. -? + /1Ы91(№)(^) + /2(,),2W(|f) = О.
Полный интеграл:
В произведениях функций /i^i и /2д2 полагалось, что /i,/2 ^ 0, а ^1,^2 могут быть
любого знака.
21. -? +
Полный интеграл:
где <^(гу) = Clg\(w
H +
[ dz [	2(p(w)dw
О2 / —у	+ / 	у
/ 7/^) J i + VTTW^
Уравнение Лиувилля. Встречается в задачах механики (х — время, у и z — обобщенные
координаты. Полный интеграл:
г , f C1f1(y) + h1(y) + C2 , , Г C1f2(z) + h2(z)-C2
w = -Gix+ / W	 ay + a 	—	 dz + G3.
® Литература: Е. Н. Березкин A968).
23. /^xJ^^ + Zad
Полный интеграл:
24
К частному случаю этого уравнения сводится задача о движении материальной точки,
притягиваемой двумя неподвижными центрами по закону Ньютона [см. П. Аппель (I960)].
Полный интеграл:
f	dx±[J
Знаки перед интегралами можно выбирать независимо.

75.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	385
25.	fl(x)^) + My)^J + Mz)(^Lj = aw + gi(x)+g2(y)+g3(z).
Частный случай уравнения 15.8.1.17 при п = 3.
26.	Д(з)(^)%/3(у)(|^)%/з(;О(-§|-)а= Ых) + Ыу) + gs(z)]h(w).
Замена и = / —.	приводит к уравнению вида 15.5.1.23:
У \/h(w)
fl{x) ©2 + Му) (^J + ш йгУ = 9l{x) + 92{у) + 9i{z)-
2	/ f)in \2	/ f)in \2
(г) in \2	/ f)in \2	/ f)in \2
-Ц-) +g(ax + by + cz){^-) +h{ax + by + cz)[^-) = k.
Полный интеграл:
w = Cix + C2y + Csz + (p(?) + Ca, ? = ax + by + cz,
где
Одну из постоянных Сi, С2, Сз можно положить равной единице.
28. /1(Ж)д1(
Полный интеграл:
29-
Одну из постоянных С\, Сг, Сз можно положить равной единице.
Полный интеграл: № = G1?/ + С2г + / h(x) ~ cic2^(x) dx + C^
J C1 + C2f(x)
Полный интеграл: w = 	 / h(x) dx + C\ \ y + C2 / /. + C3.
dw dw
Полный интеграл: w = C\ I h(x) dx	— / g(y) dy -\	— / f(z) dz + C3.
J	(^2 H~ 1 У	^2 "
15.5.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным
Л	dw dw dw „
Полный интеграл: w = C\ j f(x) dx + C2 / p(|/) c?|/ H	/ h(z) dz + C3.
J	J	С1С 2 J
dw dw dw
-te-b-0z- =
Полный интеграл:
25 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

386	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
_	( dw\ . ( dw\ . ( dw\	, 2 . 2 . 2\{dw.	dw	dw\k
1°. Переходя от переменных ж, у, z к сферическим координатам г, 0, ср по формулам
ж = г sin 0 cos ср, у = г sin 0 sin 9?, 2 = г cos 0,
приходим к уравнению
Полный интеграл этого уравнения ищется методом разделения переменных в виде суммы
функций, зависящих от различных переменных.
2°. Полный интеграл при к = 2:
/ —/ dr	+ / а С2 - -Щ- d6 + С2<р + С3.
У rA/r2ffr)-l У V : sin2 6»	^
4.	_|_
Полный интеграл:
w = CiF(x) + (С2у + C3z)F{x) + F{x) j[g{x) - aC%Fk{x) - bC%Fn(x)] -^-,
где F(x) = exp / /(ж) dx .
dw , ( dw \k , ( dw \n , , „, ч dw , , л/ ч dw
z+bf(x)y
Полный интеграл:
где
w = y(pi(x) + Z(p2(x) - / [ai^i (ж) + a2(p2 (x)] dx + C3,
y?i (ж) = С162 exp A / /(ж) с/ж + C2b2 exp —A / /(ж) с/ж , А =
(^2 (ж) = — CiAexp A / /(ж) с/ж + СгАехр —А / /(ж) <
7)Kfr) = ^(жI/; + ^1(жJ/ + h2{x)z-
Полный интеграл:
w = G(x)[yipi(x) + zip2(x) +ф(х)],
где
f
= C2
_
7-
ф(х) = C3 -j[h{x)Gk-\xL>\{x) + h{x)Gn-\x)vn2{x)} dx.
dw . „, ,( dw . \k ( ,( dw
Полный интеграл: w = —a^/^ + С\у + Сг^ + / [h(x) — Cif(x) — С?р(ж)] с/ж + Сз.
Полный интеграл: гу = — a^/z + Ciy + 62^ + / [р(ж) — Ci С?/(ж)] dx + C3.

75.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	387
Полный интеграл:
dz + Сз
dw\k
)
Частный случай уравнения 15.8.2.4.
15.5.3. Уравнения с произвольной зависимостью от производных
Полный интеграл:
f2(y)
2. ^- + WF(ay + ^)+ g(X)G(bz + ^-) = *(*)•
Полный интеграл:
«; = -f[F(Ci)f(x) + G{C2)g(x) - h(x)] dx - \ay2 - \bz2 + Ciy + C2z + C3.
1°. Полный интеграл при а / 1, 6 / 1:
«; = - J[F(C2)f(x) + G(Ci)g(x) - h(x)] dx + -^^~a + -^y1'" + C3.
2°. Полный интеграл при а = 1,Ь ф\\
w = - J[F(C2)f(x) + G(Ci)g(x) - h(x)] dx + d In \z\ + ^У~" + C3.
3°. Полный интеграл при а = 1, b = 1:
w = - f[F(C2)f(x) + G(Ci)g(x) - h(x)] dx + Ci In |*| + C2 In \y\ + C3.
1°. Полный интеграл при а ф 1:
w = - f[F(C2)f(x) + G(Ci)g(x) - h(x)] dx + -^-г1"" - -V + C2y + C3.
J	1 — a	2
2°. Полный интеграл при а = 1:
«, = - J[F(C2)f(x) + G(Ci)g(x) - h(x)] dx + d In \z\ - |y2 + C2y + C3.
Полный интеграл:
w = \ [ [~P(X) + л/р2(ж) - 4F(C2)f(x) - 4G(Ci)g(x) + Щх) ] dx -
y
25*

388	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
/ dw \2	.ч dw j,,	fa, &и
1°. Полный интеграл при а ф 1, 6 ф 1:
2°. Полный интеграл при а / 1, 6 = 1:
3°. Полный интеграл при а = 1, b = 1:
1°. Полный интеграл при Ь ^ 1:
- 4G(Ci)g(x) + Щх) ] dx
2°. Полный интеграл при 6=1:
W = \ I [~Р(Ж) + л/^2(ж)
15.5.4. Нелинейные уравнения общего вида
dw , _ / dw dw \
Ож	V ду dz J
Полный интеграл: w; = Ci?/ + C2^ + C3 — / F(x, Ci, C2) с/ж.
dw . ^f dw dw \
2. —— +F (ж, ——,—— )=aw.
dx	\ dy dz J
Полный интеграл: w = eax(Ciy + C2z + C3) - еаж / е"аж^(ж, Cieax, С2еаж) dx
On? dw
Полный интеграл:
где <р(х) = expI / g(x) dx\.
.	dw . _, / dw dw \
4. -^— + F^, —, — J =
Полный интеграл:
w = уф) ¦
где
ф) = C.Gix) + G[x) f ^f dx, ф(х) = C2G(x) + G[x) f ^M
J G(x)	J G(x)
(x,<p,tl>)-^, G(x) = exp[Jg(x)dx].

75.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции	389
5.	|^ + [fl2(x)y + f11(x)z + fio(x)] ^ + [f22(x)y + f21(x)z + /20(x)] ^| +
+ F[x, ——, ——) = g(x)w + hx(x)y + h2(x)z.
V ay oz /
Полный интеграл:
w = ypi(x) + Zip2(x) + ^(ж).
Здесь функции <^i(x), (р2(х), ф(х) находятся путем решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Ч>\ + (/12 - #)<?l + /22<^2 = hi,	A)
^2 + fll<Pl + (/21 - #)<^2 = /12,	B)
ф1 - дф = -fw<pi - /20^2 - F(x,<pi,<p2),	C)
где Д( = fij(x), g = р(ж), /ifc = hk(x); штрих обозначает производную по ж.
После определения функций ср± = ср± (х) и <^2 = <^2 (ж) из линейной системы уравнений
A) и B) решение уравнения C) находится по формуле
ф(х) = C3G -G / [fiotpi +/20^2 + F(x,(pi,(f2)] -J-, G = expN gdxj.
2°. Рассмотрим частный случай: /ii = 0, /12 = 0. Кроме того, будем считать, что
fn=aif(x), fi2=a2f(x)+g(x), /21 = а3/(ж) + р(ж), /22 = а4/(ж), D)
где / = /(ж), д = д(ж) — произвольные функции, a ai, a2, аз, «4 —произвольные числа.
При этих условиях общее решение линейной однородной системы уравнений A), B) имеет
вид
ф! = С\ expf Ai / f dx) + C2 expf A2 / / dx\
a2+Al^	(\ f tJ \	a2+A2^	(\ f*j\	^
(f2 =	-C\ expf Ai / f dx)	—C2 expf A2 / /dx),
где Ai, A2 —корни квадратного уравнения (А + аг)(Л + аз) — aia4 = 0.
3°. Пусть hi = hi (ж) и /i2 = /^2 (ж) — произвольные функции, а функции Д, = Д, (ж) опи-
описываются формулами D). В этом случае общее решение линейной неоднородной системы
уравнений A), B) можно получить методом вариации постоянных или с помощью детер-
детерминанта Вронского [см., например, G. M. Murphy A960), Э. Камке A976), D. Zwillinger
A998)].
6.	^— +wF ж, ——,—— +yG ж, ——,—— +
dx	V dy dz J	V dy dz J
( dw dw\	f dw dw\
V dy dz У	V dy dz У
Полный интеграл ищется в виде w = ip(x)y + ф(х)г + xi^-
dw , ^S dw ,	dw , \
7.	^— + Fix, —— + az, —— +ay) = 0.
Ож	\ dy	dz	J
r
Полный интеграл: w = —ayz + Ci?/ + ?2^ — / ^(ж, Ci, C2) с/ж + Сз.
8> ¦? + F(a;' 9l(j/)^ + hlB/)' S2(z)l7 + h2{z)) = °-
Полный интеграл:
С"^Ы	/ ^~y) dz-
9i(y)	J 92(z)
dw \2 , dw _ / On? dw
Полный интеграл:
^ [ [-
, Ci, С2) + л/^2(ж, Ci, С2) - 4<3(ж, Ci, С2) ] с/ж.

390	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
10 „ / dw dw dw
Полный интеграл: w = C\x + С2у + C$z + С 4, где первые три постоянные связаны одним
соотношением F(Ci, С2, Сз) = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
dw dw dw \ , dw , 9u; , On?
) +	^l	°
Пш ' ' ~ ' dy ' dz ) ' - dx ' » dy ' ~ dz
Полный интеграл:
w = <p(?) + C4, ? = С1Ж + C22/ + 1
где функция ср = <?>(?) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения
Одну из постоянных С\, ft, Сз можно положить равной единице.
w dw dw \ , dw , dw , dw
12.
Уравнение Клеро. Полный интеграл: w = С\х + С2у + C3Z + F(Ci, C2, Сз).
® Литература: Э. Камке A966).
13. -Р(ж, 	, 	, 	) + у	\- z	 = w.
\ dx dy dz ) * dy	dz
Полный интеграл: w = C2y-\-C3Z-\-(p(x), где функция ср(х) = ср(х, Ci, С2, Сз) определяет-
определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения F(x, (pfx, С2, Сз) = (р.
14.
Полный интеграл:
w = Cix + С2у + Сз + ^(^, Ci, С2), ^ = аж + by + с^,
где функция (р(х) = у (ж, Ci, С 2) определяется путем решения обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения
л _ _, / dw ,	dw ,	dw ,	\
15. F —	ha?/^, —	\-axz, —	\- axy) = 0.
\ dx	dy	dz	)
Полный интеграл: w = —axyz + Ciy + C^2^ + Сз^ + ft, где F(Ci, C2, C3) = 0.
F^ + by + cz
Полный интеграл:
(	,	dw dw dw \	dw	dw	dw
V	^	dx dy dz )	dx	dy	dz
w = С1Ж + C2y + C3Z + y(^)? ?, = ax + by + cz,
где функция 9? = <?>(?) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения
F(^ соре -\- С\, &^? ~1~ Сг5 с<^? + Сз) Ч~ ^^? ^ ^#
_, / Он? dw dw \
17. Ffiu, 	, 	, 	 =0.
V dx dy dz )
Полный интеграл:
где функция <?>(?) определяется путем решения автономного обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения первого порядка F((p, Ci<^, C2(p^ Сз^) =0.
® Литература: Э. Камке A966).
V	' dx ' dy dz
При k = 0 см. уравнение 15.5.4.14. При к ф 0 замена ?ж = ах + fo/ + cz + to приводит
(СУ U A СУП и СУП С* \
ки,	,	,	) =0.
ох к ду к dz к /

15.6. Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными	391
19. f[ dw dw
Полный интеграл: w = —ayz + C\y + C2z + (p(x) + Сз, где функция <?>(?) опреде-
определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
F(x, ipfx, Ci, C2) =0.
\ dx dy dz	dx У dy	dz J
dw dw dw dw , dw , dw
Полный интеграл:
w = <p(?), t; = C\x + С2У + C3Z,
где функция <р(?) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения первого порядка
	=0.
_./ dw _/ dw \ __/ dw
2L г(с()д(
Полный интеграл:
«; = ^(ж, Ci, C2) + ^(j/, Ci) + X(z, C2) + Сз.
Здесь функции ср, ф, х определяются путем решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
F(x,<p'x,Ci,C2)=0, G(y,i/>'y) = Ci, H(z,X'z) = C2.
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
л/_/тт/ dw \	dw \ dw \
Полный интеграл:
w = ф, Ci) + ф(у, С2, Ci) + X(z, C2) + Сз,
Здесь функции ip, ф, х определяются путем решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
Н(х,<р'х)=Си G(Ci,y,,/>'y)=C2, F(C2,z,X'z)=0.
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
® Литература: А. П. Маркеев A990).
15.6. Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми
переменными
> В этом разделе рассматриваются отдельные нелинейные уравнения с четырьмя независи-
независимыми переменными, содержащие произвольные параметры. Нелинейные уравнения, содержа-
содержащие произвольные функции, см. в разд. 15.8 при п = 4.
15.6.1. Уравнения квадратичные по производным
Полный интеграл:
w = CiF(xi) + {С2Х2 + С3Х3 + C4xa)F(xi) + F(xi) [ Sxf ~^Xl) dxu
где
Fix) = expf ——x^1), A = aC\ + ЬС\ + cCf.
Vn + 1	/

392	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
dw \2 . , / dw \2 , / dw \2 , 2 . т
) +4) + () =|ив +5Ж1№-
Частный случай уравнения 15.7.1.2.
dw , 1 / dw \2 , 1 / dw \2 ,	1	/ дги	дги \2
d	2с V дж2 / 2а V dx3 ' 2а sin2 ж3 V ^	0 /
Это уравнение описывает движение материального твердого тела с одной неподвижной
точкой в случае Лагранжа — Пуассона (х\ —время; Х2, хз, Х4—углы Эйлера; w —
функция Гамильтона; а = Ъ ф с — моменты инерции, к — произведение веса тела на
расстояние от центра тяжести до неподвижной точки).
Полный интеграл:
/
2aCi - 2akcosx3 - -С\ -
® Литература: Е. Н. Березкин A962).
dw	1 / dw \2	1 / dw \2	х	/ dw \2 a _
dXl ~2 V dx2 )	2х\ V dx3 )	2x\ sin2 хз V dx4 ) ~ ~^2~ ~
Это уравнение описывает движение планеты в центральном ньютоновском поле притя-
притяжения (xi —время, ж2 —радиальная координата, хз и ж4 —угловые координаты, w —
функция Гамильтона).
Полный интеграл:
a 2Ci + — -^dx2± к\С\	^
\/ х2 xi J \/ sinz
¦ с1хз.
® Литература: П. Аппель A960), Е. Н. Березкин A962).
_ dw	k( dw \2 . , п( dw \2 . т/ dw \2 q
5.	\- ахг 	 + Ьхг 	 + схг 	 = sx^w.
dXl	1\dx2 J	V dx3 J	V dx± J	г
Полный интеграл:
w = ip{Xl){Ci + C2X2 + Сзхз + Саха) - 4>{xi) f (p{xi)(aClx\ + ЬС\хпх + сС\х*?) dxu
где
= ехр(
(xl
\ q + 1
*¦ ?¦+«*¦(?)"+•-!•(?)*+•-*• (?¦)" =
Частный случай уравнения 15.8.1.5.
Частный случай уравнения 15.4.2.6.
8.
Полный интеграл:
w = (p(xi)(Ci + С2х2
где 9?(xi) = ехр(— е^
= ехр(— е

15.6. Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными	393
= о.
Полный интеграл:
2	и	2	h	2	/с
2	i	^Суо	о	^Суд	о
2 + rf;* +^t" =
10.	\-а2х^ w (	 +а3Жо ги 	 +а4Ж4 ад 	 = Ьад
V аж2 /	V ажз /	V аж4 /
Частный случай уравнения 15.8.1.15.
15.6.2. Уравнения содержат степенные функции по производным
2.
dw . L . ( dw у . ,( dw У . f dw у
dxi у	^ dx2 /	V dx3 /	V dxi /
Полный интеграл:
w = —Ax\ + C\X2 + С2Ж3 + С3Ж4 + C4, A = у A; + aC\
dw ,
Полный интеграл:
где А =
С7Ж1 ОХ2 UX3 С7Ж4
Полный интеграл: w = -^-xj+1 + -^-xj+1 + -^з_ж^+1 +	5-	-ха+\
F	/c + 11	n + 12	m + 13	^^^(s + l) 4
.	Он?	( dw . и	\fei	( dw . и	\fe2	( dw
\fei	( dw . и	\fe2	( dw . и	\fes
+a2 —	ЬЬж2ж4 +a3 I—	ЬЬж2ж3 = сжх .
/	V Ожз	/	V 0Ж4	/
Полный интеграл:
w = -Ьх2х3Х4 + Cix2 + С2хз + С3Ж4 - (aiCix + a2C2fc2 + а3Сз3)ж1 + —^ж?+1 + С4.
Частный случай уравнения 15.8.2.6.
6-
7.
Частный случай уравнения 15.8.2.7.
dw , , \fei , / 9и) , . \fe2	( dw y \fes	( dw y \fe4
ЬЬ	+a2 —	ЬЬжх +a3 —	Ьсж4 +a4 —	Ьсж3 =
J	V 0ж2	/	V Ожз	/	V 0ж4	/
dx\
Полный интеграл:
W = — ЪХ\Х2 — СХ3Х4 + ClXi + С2Ж2 + С3Ж3 + С4Х4 + С5,
где aiCf1 + a2C2fc2 + азСд3 + a4C^ = s.
dw \k( dw \n , , / dw \rn( dw \s , dw , dw , dw , dw
Полный интеграл: w = C\X\ + С2ж2 + С3х3 + С4ж4 + aCiC% + ЪС™С%.

394	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
ft	/ dw	\fei/ dw	\fe2	/ dw	\n^ f dw .	\n*
9. ai —	h Ьж2 ) ( —	h bxi I + a2 ( —	h сж4 I I —	h сж3 I = s.
Полный интеграл:
гу = — Ъх\Х2 — СХ3Х4 + Ci^i + С2Ж2 + С3Х3 + С4Ж4 + С5,
где aiCf1^2 +а2СзП1С4П2 = s.
9w , и \kl ( 9w .	\к2 , ( dw	\n^ ( dw
Полный интеграл:
w = —bxiX2 — СХ3Х4 + С1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Саха + Сь,
где агС^С*2 +а2С^Сп^ = s.
Частный случай уравнения 15.8.2.4.
dw
Полный интеграл:
h -L b -L b _ 1	fcl+fc2+fc3+fc4
C2 + fc3 + fc4	^ia;i + С,2Ж2 + Сзхз + Лж^
где A=(aC1fclC
/ dw \fel/ вгу \fe2/ dw \fe3/ вгу \ fe4 On? , dw , dw , dw
13. a(—— (—— I—— I—— +Ж1^	Ьж2-	h-жз-	г-ж4^—=ги.
V в	V в / V вжз / V вЖ4 /	в	в	в	в
Полный интеграл: w = С1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + С4Х4 + аС*1 С%2С*3 С*4.
( dw , \к± { dw , \к* { dw , , \к* { dw , , \ fe4
14. ( —	h «ж2 I I —	h axi 1 ( —	h Ьж4 ) I —	h &ж3 I =
V вЖ1	/ V вЖ2	/ V вжз	/ V вЖ4	/
Полный интеграл:
w = — ах\Х2 — Ъхзха + С\х\ + С2Х2 + С3Х3 + Саха + Сб,
где
15.7. Нелинейные уравнения с произвольным числом
переменных, содержащие произвольные параметры
15.7.1. Уравнения квадратичные по производным
dw , ( dw \2 .	. f dw
( dw \2 .	. f dw \2	k
-— +	\-aA^>	 =bw + cx1.
V Ож2 /	V dxn /
Частный случай уравнения 15.8.1.1 при j{x\) = b, g(xi) = cx\. Полный интеграл:
w = (Ci+ C2X2 + • • • + Cnxn)ebxi - -(a2Cl + • • • + anC2n)e2hxi + cebxi [ e~hxix\ dxu
b	J
dw , / dw \2 ,	, f dw \2 . 2 , fe
2.	h «2	 +	h «гг	 = 6^ + CX$W.
OXl	V С7Ж2 /	V OXn /
Частный случай уравнения 15.8.1.2 при f(x\) = cxj, p(xi) = 0. Полный интеграл:
w = ip(xi) + С\ф(х\) ехр(С2ж2 Н	h Cnxn).
Здесь постоянные Сг, • • •, Сп связаны одним соотношением а2С| + • • • + anG^ = b,
а функции (р(х) и ф(х) определяется формулами:
ф) = F(x)[cn+1 -bJF{x)dx[\ F(x) = e
^(ж) = expj 1\2Ьф) +схк] dx\.

15.7. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие параметры 395
dw ,	fe2 / dw \2 ,	,	и/ dw \2
Полный интеграл:
w = debxi + ebxi (C2X2 + • • • + CUn) - ebxij ebxi {a2C\x^ + • • • + anC2nx\n) dXl.
dw ,	k~ ( dw \2 t	,	hn f dw \2 . m
V аж2 /	V ажп /
Частный случай уравнения 15.8.1.4 при fi{x\) = агЖх*, p(xi) = bx™. Полный интеграл:
w = (p(xi)(Ci + С2Х2 -\	h СпХп) - <p(xi) / ^{х\){а2С\хк^ Л	У апС2пх\п) dxi,
где
5.
ОХ\	V ОХ2,
Частный случай уравнения 15.8.1.5 при fi(xi) =aix1i, g(xi) = /3, hi(xi) =Ь{Х™{. Полный
интеграл:
где
^	^ | ^1^* dxu к = 2,..., п;
dw ,	feo / dw
o.
Полный интеграл:
Л.н	/" I П. -Lh^m2	Г I П -\-Ъ X™n
	\	dxn.
a2xk22
7.
Частный случай уравнения 15.8.1.4 при fi(xi) = а^еЛ'Ж1, g(xi) = бе^331. Полный интеграл:
w = <p(xi)(Ci + С2Х2 + • • • + Cnxn) -<p(Xl) J ip(Xl)(a2CieX2Xl + • • • + anC2neXnXl) dxu
где <p(xi) = expf — е^жЧ.
—
8. |^^(
Частный случай уравнения 15.8.1.5 при fi(xi) = а^еЛ^Ж1, .g(xi) = с, hi(xi) = bie13^1.
k=2
Частный случай уравнения 15.8.1.9 при fk(xi) = a^x\h, g(x\) = ЬкХ^к, a(x\) = cix^1,
()	^
dw	\-^y	eh dw dw	.	v~^v	-yh
10. —	\- У CikmX-, m —	 = OW + >	CkmX-, TTlXkXm-
dX!	^	L	*~ *~	/ ^	1
Частный случай уравнения 15.8.1.10.

396	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
11	dw ,	к2 C( dw \2
П.	Ь2"!
\2
=
/
Замена г*, = 	ги приводит к уравнению вида 15.7.1.4:
ди	к2 ( ди \2	кп ( ди \2
12.
Частный случай уравнения 15.8.1.13 при fi(xi) = а,{Х™{, h(x\) = еж®.
= о.
Частный случай уравнения 15.8.1.14 при fi(xi) = а{Хгг, g%(w) = г^т". Полный интеграл
при ki ф 2, mi ф —1:
2	jl	9	h
m2+1 + jjj+anB-/cJ2C^mw+1 = Ci + 2 -^ + j	-^
^ + !
ЛА
Полный интеграл: w = У^	(ж/^ + С к ) ¦
*-^ 4:ak v	/
к = 1 к
® Литература: А. М. Виноградов, И. С. Красильщик A997).
15.	oix*1 (^f + • • • + anxt D^-Т = Ь1хТ1 +¦¦¦ + Ъпх™~.
V ОХ\ /	V ОХп /
Частный случай уравнения 15.8.1.16 при /(жг) = сцх{\ g(xi) = hiX™1.
16.	ax*}* (|^J + • • • + а„Ж^" (-?^J = (blX?i +¦¦¦ + bnx™")wP.
Частный случай уравнения 15.8.1.18 при /(жг) = а.{Х{\ g{xi) = hix™1, /&(ги) =
Частный случай уравнения 15.8.1.16 при f{xk) = акеХкХк, д{хк) =
18.
Частный случай уравнения 15.8.1.18 при f(xk) = акеХкХк, д(хк) = Ьк^кХк, /&(ги) = eJW.
15.7.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным
.	dw dw	dw
1. —	—	. .. —	 = хгх2 ...хп.
dx\ dx-2	dx-n
Полный интеграл в двух различных формах:
1 П~Х	1
те-1
(Ь) {w-СпТ = (^)П{х1-А)]\{х1-Ск).
fc = l
dw _	иг к?	кп т
Полный интеграл:
^		 	 ^i ki~\-l .	.	n—1 fcn_^ + l .	^	kn-\-l . ^-7

15.8. Нелинейные уравнения с любым числом переменных, содержащие произвольные функции 397
dw dw	dw	dw	dw	dw
~\	\~ Xr
dx\ dx2	dx-n	dx\	dx2	dxn
Полный интеграл:
n - 1
l
^ • • • Cn) i-» (Cixi + ¦¦¦ + Cnxn) »-i + Cn
Одну из постоянных Сi,..., Сп можно положить равной единице.
dw dw	dw	( dw	\ ( dw	\ ( dw
+1.
Полный интеграл: In \w\ = ^ CkXk + Cn-\-i, где произвольные постоянные Ci, • • •, Cn
связаны одним соотношением С1С2 ... Cn = (a>\C\ — 1)(а2С2 — 1)... (anCn — 1)-
Частный случай уравнения 15.8.2.7.
f dw \rn^ t ( dw
Полный интеграл:
ад = ^Ь,(ж, + СO;^Г, где Ьн =
^ 9ui , f dw \rn^ f dw \rn^ f dw
n
Полный интеграл: w = ^ CkXk + aCj7 G^2 ... C™n.
fc=i
> Полные интегралы других уравнений, содержащих произвольные параметры, можно полу-
получить используя результаты разд. 15.8, в котором рассмотрены уравнения, содержащие про-
произвольные функции.
15.8. Нелинейные уравнения с произвольным числом
переменных, содержащие произвольные функции
15.8.1. Уравнения квадратичные по производным
i	dw	( dw \2	f dw \2
Полный интеграл:
w = CiF(a;i) + (С2Ж2 + ¦ ¦ • + Cnxn)F{x{) + F(xi) f 9(xi)-bF*(xi) dxi)
где F(x) = expf" / f(x) dx\, b = a2C\ Л	h anC2n.
dw \2	2
1°. При 6 = 0 см. уравнение 15.8.1.1. Полный интеграл при 6/0:
w = ip(xi) + С\ф(х\) ехр(С2ж2 Н	Ь Cnxn).
Здесь постоянные Сг, • • •, Сп связаны одним соотношением: а2С| + • • • + апСп = Ь.
Функция (р = (р(х) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения
v' = bv2 + f(x)v + g(x),	A)
а функция ф = ^(ж) выражается через функцию (р(х) с помощью формулы
= ехр{| [2Ьр(а:) + /(ж)] da;}.	B)

398

15.8. Нелинейные уравнения с любым числом переменных, содержащие произвольные функции 399
Здесь функции ifk(xi) и ф(х\) определяются путем решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
4>к + fk(xi)(pl = a(xi)(pk + hk(xi), к = 2,...,щ	A)
Ф' + Е 9к{х{)ч>1 = а(Х1)ф + Ь(Ж1),	B)
к=2
где штрих обозначает производную по х\. Уравнения Риккати A) интегрируются в
квадратурах для многих функций fk(xi), hk(xi), а(х\) [например, при hk(xi) = 0], см.
книги Э. Камке A976), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997, 2001). Уравнение B) линейно
относительно ф и легко интегрируется (при известных ipk).
9- -J-J- + Е [М
1°. Пусть все тк ф 2. Преобразование ^ = хк~Шк (к = 2,..., п) приводит к уравнению
вида 15.8.1.8:
[Д (*i)& + ^(Ж1)] (^J = a(Xl)w
2°. Пусть имеется mi = 2. Тогда вместо переменной х\ вводим новую переменную
^i = 1п|жг|, а остальные переменные преобразуются как в п. 1°. В результате получим
уравнение вида 15.8.1.8.
k,m=2	k=2 m=2
k,m=2
Полный интеграл ищется в виде
п	п
W= ^2 Vkrn(xi)xkXm + У^
к,т=2	к=2
Подставляя правую часть этого выражения в исходное уравнение с частными производны-
производными, для определения функций ipkm(xi), ifk(xi), y>o(xi) получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Если все gk(x\) = 0, hk(xi) = 0, ho(xi) = 0, то можно
положить (fk(xi) = 0 и (fo(xi) = 0.
Е
k=2
Уравнение Лиувилля. Полный интеграл:
g
где постоянные Сг, • • •, Сп связаны одним соотношением: Сг + • • • + Сп = 0.
Отметим, что рассматриваемое уравнение описывает движение механической систе-
системы с голономными идеальными связями, когда кинетическая энергия Т и силовая функция
U имеют вид
[ЕA[Е ^Ц(^J]' и = Ем**)/Еи
к=2 дк{хк)	J	к=2	I к=2
Здесь xi — время, жг, • • •, хп — обобщенные координаты.
® Литература: Е. Н. Березкин A968), В. В. Козлов A995).

400
Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Замена и = 	wk+1 приводит к уравнению вида 15.8.1.4:
к + 1
ди
ди \2
13.
Замена гб = 	ги +1 приводит к уравнению вида 15.8.1.7 при h(x\) = 0:
/„(*„)
= a(fc + lfu2
Полный интеграл:
=o.
• • • + С
п f j^_
•/ Vfn(Xn
)
В произведениях функций /fc^fc полагалось, что Д ^ 0, а ^^ может быть любого знака.
Полный интеграл:
J
dxn
/
где
-\	\-
Полный интеграл:
где произвольные постоянные Ci,..., Сп связаны одним соотношением С\ + • • - + Сп = 0.
17.
Полный интеграл:
w = <pi(xi,Ci) -\	h <Рп(хп,Сп)-
Здесь функции срк = ?>к(хк, С к) определяются путем решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений fk(xk)((fkJ ~ а(Рк — 9к{хк) — 0, которые с помощью подстановок
грк = уолрк—дк{хк) сводятся к уравнениям Абеля второго рода для функций фк [инте-
[интегрируемые случаи этих уравнений описаны в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A997,
2001)].
18.
Замена и
= /
h{w)
ди
(ди
+ fn(xn)
приводит к уравнению вида 15.8.1.16:
ди
gn{xn)]h{w).

15.8. Нелинейные уравнения с любым числом переменных, содержащие произвольные функции 401
19. /iCi)ffiM (-^-J + • • • + /»(*»)»»(") (-?^J = h(w).
Полный интеграл:
C\9l (w) + • • • + C^W(W
20.
/	h(in\	I \f (<r "ll1/2	I \f (<r "ll1/2
«/ L	liywj	-i	j L«/1 v l/J	" L"/riV nJi
'I
Одну из постоянных Ci,..., Cn можно положить равной единице.
dw , „ dw ,	, „ dw	,	ч Г / dw \2 ,
Здесь переменная ал играет роль времени, г = ух\ + • • • + хп и /& = fk(xi, X2,... ,хп
(к = 2,..., п). Считается, что выполнено условие
1
г
Задача Коши о стабилизации системы к фиксированному моменту времени в слое
5* = {0^Ж1 ^Т<оо, — оо^ж/е <оо} характеризуется начальным условием
w = 0 при ал = Т, Ж2 = • • • = хп = 0.
Решение задачи Коши имеет вид
Г / /	чч 2/
w= g(t,h(t,xi,r))p (t,xi,r)dt,
JXl
где функции h = h(t,xi,r) ир = p(t,xi,r) определяются путем решения краевой задачи
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с граничными условиями
h = r при t = xi, h = 0 при t = T
(в которых величины г и ал играют роль свободных параметров).
® Литература: Л. Д. Акуленко A987).
15.8.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным
л	dw dw	dw
2-
Полный интеграл:
w = Ci / fi(xi)dxi-\	\-Cn-i / fn-i(xn-i)dxn-i + ——	 / fn(xn)dxn
dw dw	dw
Полный интеграл:
/ i/Г! ч = ^i fi(xi)dxi -\	hCn-i / /n-i(^-i)fc_i +
У ipL/n[w)	У	У
+ —	1—	 / fn{xn)dxn
Он?
V Ож1	вжтг—i /	V dx\	dxj^—i Oa3fe_|_i	dxn /
V Ож1	вжтг—i /	V dx\	dxj^—i Oa3fe_|_i
w	dw
В больших круглых скобках стоят произведения (п— 1) различных частных производных.
Полный интеграл:
Г
J h(xk
где произвольные постоянные С\,..., Сп связаны одним соотношением
С\ ... Cn-i + • • • + С\ ... Ck-iCk+i • • • Сп + • • • + Сг • • • Сп = 0.
26 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин

402	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
4-
Полный интеграл:
где ^...C*» =1.
kl ,
= Ci f [fi(Xl)]~fc dn + ¦¦¦ + Cn J [fnixn)]1^ dxn + Cn
Полный интеграл:
fcm
m(Xm) = M^	 / /m
6.
Полный интеграл:
где произвольные постоянные С\,..., Сп связаны одним соотношением С\ + • • - + Сп = 0.
-
Полный интеграл:
J L	/i(w)	J	У [/i(^i)]1/fc	У [/(ж)]1//г
Одну из постоянных С\,..., Сп можно положить равной единице.
ш.
Полный интеграл:
fk(xk) k=2
к=2
Полный интеграл:
где произвольные постоянные Сг, • • •, Сп связаны одним соотношением G2 + - • --\-Сп = 0.
15.8.3. Уравнения содержат произвольные функции двух аргументов
Полный интеграл:
w = (fi(xi,Ci) + (р2(х2,С2) -\	\- <рп(хп, Сп) + Cn+i, где Сп = -С\	Сп-\-
Функции if к = ?>к(хк, С к) определяются путем решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
fk(Xk'lbr)=Ck (fe = 1'-••-«)•
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
® Литература: Э. Камке A966).

15.8. Нелинейные уравнения с любым числом переменных, содержащие произвольные функции 403
dw \ (	dw \	(	dw
Полный интеграл:
w = (fi(xi,Ci) + <?2(ж2,С2) Н	\~ Рп(хп,Сп) + Cn+i, где Сп = ——;	•
С1С2 •• -Сп-1
Функции (fk = <pk(xk, С к) определяются путем решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
Г)
dxk J
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
® Литература: Э. Камке A966).
/ dw	dw	\	( dw	dw	\
^(lu "S	VcLiXi) + ... + fn[—	\-anyrt, —	h anxn) = 0.
dyi	J	\ dxn	dyn	/
3* ^(
V
Полный интеграл:
w = —aixiyi — • • • — anxnyn + A\X\ + • • • + Anxn + B\y\ -\	+ Bnyn,
где Ак и 5m — произвольные постоянные, связанные одним соотношением
/i(Ai,^i) + ... + /n(An,Bn) = 0.
А л { dw .	dw .	\ j. ( dw .	dw .	\ и
4. /i(—	\-а,гуг, —	\-агХг) .. . fn [ —	\- anyn, —	h anxn) = b.
\ dxi	dyi	J	\ dxn	dyn	/
Полный интеграл:
w = -aixiyi	 anxnyn + Aixi -\	h Anxn + Biyi -\	h Bnyn,
где Ак и Вш — произвольные постоянные, связанные одним соотношением
f1(AuB1)...fn(An,Bn) = O.
15.8.4. Нелинейные уравнения общего вида
1	dw	(	dw	dw
Полный интеграл: w = С\ + С2Ж2 + • • • + Спхп — / F(xi, C2, • • •, Сп) dx\.
dw , ,_, /	dw	dw
|^(	, ...,
i	2	dx
Полный интеграл:
dw , ,_, /	dw	dw \
2.	|-^(а51, -—, ...,	 =aw.
d	d	d /
4.
w = deaXl + eaXl(C2X2 + • • • + Cnxn) - eaXl J e~aXlF(xu C2eax\ ..., CneaXl)dXl.
dw	f	dw	dw \	( .
—	\-F[xi, ——, ..., —	I = д(хг)и).
dx\	V	dx-2	dxn J
Полный интеграл:
w = <p(Xl)(Ci + C2X2 + ¦¦¦ + CnXn) - v(xi) [ F(xuC2<p(xi), ¦ ¦ ¦, Cn<p(xi)) -p-r,
где <p(xi) = expl / g(xi)dxA.
+ F[	^	™
+ F[xi, r, ...,
OX\	V	OX2	OX
Полный интеграл:
W = X2y2{xi) H	h Xn<pn(xi) +
где
) + G(Xl) f ЩЦ- dxh к = 2,..., n;
= CiG(xi) - G(xi) J F(xh (f2,..., <pn) ^. , G(xi) = exp U g(xi) dx^ .
26*

404	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
~ ы	^,	dw	dw
k=2
Полный интеграл:
0u; \
J=0-
= (p(xi,Ci,... ,Cn)
где функции 9?, ^2, • • •, фп определяются путем решения нелинейной системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений
p2,. • • ,фп) = О,
ф'к +F(xi,ip2,. • • ,фп)фк + Gk(xi,ip2,. • • ,фп) = 0, к = 2,... ,п.
Штрих обозначает производную по жь
6.	—— + F(xi, ^?2(Ж2)^^- + Ф2(Х2), . . . , <?тг(Жтг)—^- + фгь(Хгь)) = 0.
V
Полный интеграл:
w= [с2-Ых2) dx2 + ...+ ГСп-фп(хп) ^ _ г С2) ^
7. F(|!L,...,*?.)= о.
V ОЖ1	ОХгг '
Полный интеграл:
w = С\х\ + ... + Спхп + Сп+ь
Здесь постоянные Ci,..., Сп связаны одним соотношением F(Ci,..., Сп) = 0.
® Литература: Э. Камке A966).
Полный интеграл:
где функция ср = (f(xi) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения F[x\1 ip', С2, • • •, Сп) = 0.
9.	Flа\Х\ + • • • + CLnXni 	j • • • j 	J — О-
Полный интеграл:
w = С\х\ Л	V Спхп + Сп+1 + (f(z), z = а\х\ Л	V апхП1
где функция ср = ip(z) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения
F(z, ai(p'z + Ci, ..., an(pfz + Cn) = 0.
Одну из постоянных С\,..., Сп можно положить равной единице.
_,/ dw	dw \ .	dw .	.	dw
10.	F[^,...,-—)+Xl— + ... + Xn—=0.
Полный интеграл:
w = (p(z) + Cn+i, z = C\x\ Л	h CnXn,
где функция 9? = (p(z) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения
F(Cnpfz, ..., Cn(pfz)+z(pfz =0.
Одну из постоянных Ci,..., Сп можно положить равной ±1.

15.8. Нелинейные уравнения с любым числом переменных, содержащие произвольные функции 405
f( dw	dw }	dw	+ dw — о
V dxi	dx-n )	Oaj	dx
Полный интеграл:
w = Cixi + ... + Ckxk + <p(z) + Cn+i, z = Ck+iXk+i H	h Cnxn,
где функция 9? = у (г) определяется путем решения обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения F(Ci, ..., Ck, Ck+i^'z, • • • 5 Сте<Й) + 2<^ = 0- ОднУ из постоянных
i,..., Ста можно положить равной ±1.
/ Он?	Огу \	Огу	Огу _
V дх\	дх-п )	дх\	дх-п
Уравнение Клеро. Полный интеграл: w = Cixi -\	+ Спхп + F(Ci, ..., Сп).
® Литература: Э. Камке A966), А. М. Виноградов, И. С. Красильщик A997).
Полный интеграл: и> = С2Ж2Н	hCnxn + <^(xi), где функция <^(xi) = <^(ж1, Ci,..., Сте)
описывается обыкновенным дифференциальным уравнением F(xi, <^', Сг, •••, Сп)=(р.
14. F( СЦЖ1
V
+ а^Жгг,	, . . . ,
dxi	дх-
Полный интеграл:
гу = Cixi + • • • + Спхп + ^(^), z = ai^i + • • • + апхп,
где функция 9? = <?>(;г) определяется путем решения обыкновенного дифференциального
уравнения F{z, anp'z + Ci, ..., an<p'z + Cn) + ^^ = (P-
15. Ffiu, -—, ...,	 = 0.
V dxi	dxn /
Полный интеграл:
w = <p(z), z = Cixi -\	h Cnxn,
где функция (p(z) определяется путем решения автономного обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения F((p, Ci(pfz,..., Cn(p'z) =0.
® Литература: Э. Камке A966).
1/:
1°. Полный интеграл:
w = <^(^), z
где функция ip(z) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав-
уравнения F(ip,Ci(pfz,...,CntPz) =G(zip'z).
2°. Пусть левая часть уравнения не зависит явно от w и является однородной функцией
степени к относительно производных, т. е. F(Api,..., Хрп) = XkF(pi,... ,рп), а функция
G линейна: G(?) = а?. Тогда полный интеграл дается формулой (Э. Камке, 1965):
\
Одну из постоянных С\,..., Сп можно положить равной единице.
17. F[aixi -\	Ь апхп + Ъи>,
= 0.
дхг ' ' дп
При 6 = 0 см. уравнение 15.8.4.14. При 6/0 замена Ьи = ai#i + • • • -\-апхп +hw приводит
к уравнению вида 15.8.4.16: F[bu.	—, ....	— ) = 0.
^	V ' дхг Ь ' ' дхп Ь )
dw
дхк
Здесь F представляет собой сложную функцию от п функций (fi,... ,(рп, каждая из
которых зависит только от одной пары гамильтоновых переменных Хк,Рк (к = 1,..., п).

406	Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными
Полный интеграл:
W = Wi(xi, С\) + W2(x2, С2) + • • • + Wn(xn, Сп) + Сп + 1-
Здесь постоянные Ci, С2, • • •, Сп связаны одним соотношением F(Ci, С2,..., Сп) = О,
а функции Wk = Wk(xk,Ck) определяются путем решения обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с
разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
® Литература: Э. Камке A966), А. П. Маркеев A990).
19.	F((f1(x1,lpp1), <?2(Ж2, V>P2), • • • , (Ргь(Хгь,фРгь)) = 0, 1p = 1p(w
Замена и = ф(гп) dw приводит к уравнению вида 15.8.4.18:
F(<pi(xi,qi),<p2(x2,q2),. .. ,<Pn(xn,qn)) = 0, где qk =
® Литература: Э. Камке A966).
20.	Fi(«i,... ,a?fe,pi,... ,pfe)
Полный интеграл можно представить в виде суммы двух функций
w = wi(xi,...,Xk) +w2(xk+i,... ,Жп),
которые определяются путем решения двух более простых уравнений
dw1

{

дх
при т = 1,..., к,
{
^ при m =
где С\ — произвольная постоянная.
21. Fi(«i,... ,«fe,pi,... ,pfe) + eXwF2(xk+ii..., ajnjpfe+i,... ,pn) = 0.
Полный интеграл можно представить в виде суммы двух функций
W = Wi(xi,. . . ,Xk) +W2(Xk + l,. • • ,Хп),
которые определяются путем решения двух более простых уравнений
( i	-1	7
-Лгу-, 77 /	ч Г1	о	ПРИ ^71=1, ••-,«,
а™2 ^ /	, ^	Яш —
е
е 2F2(xfc+i,... ,xn,gfc+i,... ,qn) = -
где С\ — произвольная постоянная.
dw
22. Fn(. . . ^3(^2(^1(Ж1,Р1),Ж2,Р2),ЖЗ,РЗ), . . . ,Хгъ,Ргъ) =0,
Полный интеграл:
г^ = w\(xi, С\) + w2(x2, С2, С\) -\	\-wn-i(xn-i, Cn-i, Cn-2) + wn(xn, Cn-i) + Cn-
Здесь функции Wk определяются путем решения обыкновенных дифференциальных урав-
^(Сп-1,а;п,^) = О,
где w'k обозначает производную от Wk по переменной хк. Разрешив эти уравнения отно-
относительно производных, получим линейные уравнения с разделяющимися переменными,
которые легко интегрируются.
® Литература: А. П. Маркеев A990), В. В. Козлов A995).

Дополнение
Метод обобщенного разделения переменных
Д.1. Предварительные замечания
Для простоты изложения будем рассматривать уравнения с частными производными с двумя
независимыми переменными ж, у и зависимой переменной w (одна из независимых переменных
может играть роль времени).
Интегрирование отдельных классов нелинейных уравнений с частными производными
первого порядка основано на поиске полного интеграла в виде суммы функций разных
аргументов (см. разд. 15.1.2-2):
w(x,y) = (p(x) + ф(у).	A)
Решение широкого класса линейных уравнений и задач математической физики базируется
на поиске точных решений в виде произведения функций разных аргументов (см., например,
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, 1972; А. Д. Полянин, 2001 а):
w(x,y) = <р(х)ф(у).	B)
Решения вида A) и B) будем называть решениями с обычным разделением переменных.
Простейшее обобщение решений A) и B) дается формулой
w(x, у) = (р(х)ф(у) + хО)	C)
(в правой части можно поменять местами переменные х и у). В частном случае х(х) = 0
формула C) переходит в решение B), а в случае р(х) = 1 —в решение вида A).
В последнее время было описано много нелинейных уравнений математической физики
разных типов второго, третьего и более высоких порядков, которые допускают точные решения
вида C) и другие решения с обобщенным разделением переменных, содержащие большее число
слагаемых, см. цитируемую ниже литературу.
(•) Литература к разделу Д.1: В. А. Галактионов, С. А. Посашков A994), В. А. Галактионов, С. А. Посаш-
ков, С. Р. Свирщевский A995), V. A. Galaktionov A995), S. R. Svirshchevskii A995), В. Ф. Зайцев, А. Д. Поля-
Полянин A996), А. Д. Полянин B001 Ь), А. Д. Полянин, А. И. Журов B002), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B002).
Д.2. Решения с обобщенным разделением переменных.
Рассматриваемые классы уравнений
Линейные уравнения математической физики с разделяющимися переменными допускают
точные решения в виде сумм
w(x,y) = (fi(x)ipi(y) + (р2(х)ф2(у) Н	\-(рп(х)фп(у),	D)
где Wi = (fi (х)ф{ (у) — соответствующие частные решения. При этом функции cpi (x) [и функции
Фг(у)] ПРИ разных значениях г не связаны друг с другом.
Многие нелинейные уравнения с частными производными первого порядка с квадратичны-
квадратичными и степенными нелинейностями вида
/1(жЫг/)П1[«;] + f2(x)g2(y)U2[w] + • • • + fm(x)grn(y)Urn[w] = 0,	E)
где П^ [w] — дифференциальные формы, представляющие собой произведения целых неотри-
неотрицательных степеней функции w и ее частных производных dxw, dyw также имеют точные ре-
решения и полные интегралы вида D). Такие решения будем называть решениями с обобщенным
Дополнение написано совместно с А. И. Журовым.

408	Метод обобщенного разделения переменных
разделением переменных. Для нелинейных уравнений, в отличие от линейных, функции ifi(x)
при различных значениях г обычно связаны друг с другом [и с функциями ipj(y)].
В общем случае после подстановки выражения D) в дифференциальное уравнение E) для
определения функций cpi = (fi(x) и ipi = ipi(y) получим функционально-дифференциальное
уравнение
#ipO«i(Y) + ф2(х)ф2(у) + • • • + ф*роф*(у) = о,	F)
где функционалы Фj(X) и Ф?(У) зависят соответственно от переменных х и у:
®АХ) = *J (X, (pi,(fu. ..,(fn, <fn),	G)
Далее в разд. Д.З и Д.4 будет описано два различных метода решения функционально-
дифференциальных уравнений вида F), G).
Замечание 1. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений в уравнение
F)-G) входят несколько функций (и их производных), зависящих от разных аргументов.
Замечание 2. Полные интегралы с обобщенным разделением переменных допускают
также некоторые нелинейные уравнения более сложного, чем E), вида (см. пример 1 в разд. Д.5).
Д.З. Решение функционально-дифференциальных
уравнений методом дифференцирования
Процедура решения функционально-дифференциальных уравнений состоит из трех последова-
последовательных этапов.
1°. Предположим, что Ф^ ф 0. Поделим уравнение F) на!^ и продифференцируем по у.
В результате получим уравнение такого же вида, но с меньшим числом членов:
!(y) = о,
Ф3{Х) = Ф,(Х), Ф,(У) = [Ф,-(У)/Ф*(У)];.
Продолжим аналогичную процедуру. .. В итоге приходим к двучленному уравнению с
разделяющимися переменными
Ф1(Х)Ф1(У) + Ф2(Х)Ф2(У) = 0.	(8)
Теперь надо рассмотреть две ситуации.
Невырожденный случай'. \Ф\{Х)\ + |Ф2(-Х^)| ф 0, | $i(T)| + |Фг(У)| Ф 0. Тогда решения
уравнения (8) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений:
$i(X) + СФ2(Х) = 0, С$1(У) - Ф2(У) = 0,
где С — произвольная постоянная. Предельному случаю С = оо соответствуют уравнения
Ф2 = 0, $i = 0.
Два вырожденных случая:
$i(X) = 0, Ф2(Х) = 0 =* $1,2 (У)—любые;
$1(У) = 0, $2(У) = 0 =^ Ф1,2 (X)— любые.
2°. Полученные решения двучленного уравнения (8) надо подставить в исходное функци-
функционально-дифференциальное уравнение F), чтобы убрать «лишние» постоянные интегрирования
[они появляются из-за того, что уравнение (8) получено из F) путем дифференцирования].
3°. Случай Ф/. = 0 надо рассмотреть отдельно (поскольку уравнение на первом этапе делилось
на Ф/е). Аналогично следует исследовать все другие случаи тождественного обращения в
нуль функционалов, на которые делились промежуточные функционально-дифференциальные
уравнения.
Замечание 1. Функционально-дифференциальное уравнение F) может не иметь решений.
Замечание 2. На каждом этапе число членов рассматриваемого функционально-диффе-
функционально-дифференциального уравнения можно понижать путем дифференцирования как по переменной у, так
и по переменной х. На первом этапе, например, можно предположить, что Фк ф 0. Поделив

ДА. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления	409
уравнение F) наФ^ и продифференцировав по х, получим уравнение такого же вида, но с
меньшим числом членов.
Пример. Рассмотрим уравнение с квадратичной нелинейностью
dw	( dw \2 , dw r. .	/г.ч
где /(ж) —произвольная функция, 6 т^ 0 — любое. Ищем точное решение уравнения (9) с обобщенным
разделением переменных вида
т = ф)+ф(х)в(у).	A0)
Подставив A0) в (9), после элементарных преобразований имеем
<р'х + ф'хв = {ав'у + Ъв)в'уф2 + Ъ<рфв'у + f(x).	A1)
Поделим обе части этого выражения на ф2, а затем продифференцируем по х и у. В результате получим
Разделяя переменные, приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям
вуУ = С^, (Ф'х/ф2)'х = ЬС^/ф)',,	A2)
где С1 — произвольная постоянная. Интегрируя их, имеем*
0 = exp(Cl2/), <р=-^-^-+С2ф.	A3)
Подставив A3) в A1), представим полученное выражение в виде полинома по степеням в = ехр(С1?/):
С,{аС1 + Ь)ф2в2 + ЬС^фЧ + f{x) - -±- {^)'х ~ С2ф'х = 0.
Чтобы удовлетворить этому равенству надо положить
JLr*L\'=nx).	A4)
С1К С2 0,
а	ЬСХ
Учитывая два первых соотношения A4) и вторую зависимость A3), проинтегрируем последнее уравнение
A4). В результате имеем
Ф) = J Дж) dx + С4, ф(х) = С3 ехр [--^- J ф) dx\,	A5)
где С3, С4 —произвольные постоянные. «Собирая» формулы A0), A3), A5), находим полный интеграл
уравнения (9):
w(x,y) = (р(х) + С3ехр	(p(x)dx\exip(	у), где (р(х) = f(x)dx + C4.
\- a J	J \ а /	J
Замечание. В вырожденном случае, что соответствует Сг = 0 в A2), получим
где С2, С3 —произвольные постоянные.
(•) Литература к разделу Д.З: А. Д. Полянин, А. И. Журов B002), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B002).
Д.4. Решение функционально-дифференциальных
уравнений методом расщепления
При уменьшении числа членов функционально-дифференциального уравнения F)-G) с по-
помощью дифференцирования возникают «лишние» постоянные интегрирования, которые на-
надо убирать на заключительном этапе. Кроме того, порядок полученного уравнения обыч-
обычно выше порядка исходного. Чтобы избежать этих трудностей решение функционально-
дифференциального уравнения удобно свести к последовательному решению функционального
уравнения стандартного вида и решению системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений (т. е. исходная задача расщепляется на две более простых задачи). Ниже дано краткое
описание основных этапов этого метода.
* Функция в определяется с точностью до произвольного растяжения и сдвига (эти элементарные
преобразования приводят к соответствующему изменению функций tp и ф).

410	Метод обобщенного разделения переменных
Случай четного числа слагаемых в уравнении F), к = 2s.
1°. На первом этапе рассмотрим уравнение F) как билинейное функциональное уравнение,
зависящее от двух переменных X и У, где Ф^(Х), Ф^У) — искомые величины. Это уравнение
можно решить, например, методом дифференцирования, описанным в разд. Д.З.
Можно показать, что билинейное функциональное уравнение F) имеет решение:
Фг(Х) = Сг1Ф8+1(Х) + Сг2Ф*+2рО + • • • + СгзФ28(Х) (г = 1, 2,..., s),
Ф,+г(У) = -СнФ1(У) - С2гФ2(У)	Cst*s(Y)	(г = 1, 2,..., s),	( j
которое содержит s2 произвольных постоянных CV/. Функции Ф8+1(Х), ..., Ф28(Х), Ф].(У),
..., Ф8(У), стоящие в правых частях равенств A6), задаются произвольно. Существуют также
вырожденные решения, зависящие от меньшего числа постоянных (см. ниже пример 1).
2°. На втором этапе подставим в решение A6) зависимости Ф{(Х) и Ф^ (У) из G). В результате
получим систему (обычно переопределенную) обыкновенных дифференциальных уравнений
для определения искомых функций (рр(х) и фд(у).
Случай нечетного числа слагаемых в уравнении F), к = 2s — 1.
1°. Функциональное уравнение F) в случае нечетного числа слагаемых к = 2s — 1 имеет два
различных решения, зависящих от s(s — 1) произвольных постоянных. Первое из них можно
получить из формул A6), положив Ф28 = 0 и отбросив последнее выражение для \I/2s. Второе
решение можно получить из первого с помощью переобозначений Ф^(Х) ^ Фг(У).
2°. Дальнейший анализ проводится для каждого из решений по той же схеме, что и для случая
четного числа слагаемых в уравнении F).
Замечание. Важно подчеркнуть, что используемое в методе расщепления билинейное
функциональное уравнение F) при фиксированном к является одним и тем же для разных
классов исходных нелинейных уравнений.
Пример 1. Приведем решения двух простейших функциональных уравнений вида F), которые пона-
понадобятся далее для решения конкретных нелинейных уравнений с частными производными.
1°. Функциональное уравнение
ФХФХ +Ф2Ф2 + Ф3Фз = 0	A7)
где все Ф^ — функции одного и того же аргумента, а все Ф^ — функции другого аргумента, имеет два
решения:
Ф1=А1Ф3 Ф2=А2Ф3; Ъ3 = -А1Ъ1-А2Ъ2
Ф1=А1Ф3, Ф2=А2Ф3;
где А1? А2 —произвольные постоянные. Функции в правых частях равенств A8) считаются произвольны-
произвольными.
2°. Функциональное уравнение
ФФ -|-ФФ -|- Ф Ф -I- Ф Ф = О	A9)
где все Ф^ — функции одного и того же аргумента, а все Ф^ — функции другого аргумента, имеет решение
ф1 = А1Ф3 + А2Ф4, Ф2 = А3Ф3 + А4Ф4,
зависящее от четырех произвольных постоянных Ат [см. решение C0) при s = 2, Сп = Аг, С12 = А2,
С21 = А3, С22 = А4]. Функции в правых частях равенств B0) считаются произвольными.
Уравнение A9) имеет также два других решения, зависящих от трех произвольных постоянных:
Ф: = А:Ф4, Ф2 = А2Ф4, Ф3 = А3Ф4, Ф4 = -А1Ф1 - А2Ф2 - А3Ф3;
Ф1=А1Ф4, Ф2=А2Ф4, Ф3 = А3Ф4, Ф4 = -А1Ф1-А2Ф2-А3Ф3.
Пример 2. Рассмотрим уравнение со степенной нелинейностью
dw	( dw
? а(^ ) +f(x)w>	B2)
дх	V ду /
где f(x) — произвольная функция. Ищем точное решение уравнения B2) с обобщенным разделением
переменных вида A0). Имеем
<р'х - f(x)<p + [ф'х - /(х)<ф]0 - афк(9'у)к = 0.	B3)

ДА. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления	411
Это уравнение можно представить в виде функционального уравнения A7), где
^ = <р'х - f(x)<p, Ф2=ф'х-}{х)ф, Ф3 = -афк- Ф1=1, Ф2 = 0, *3 = Юк- B4)
Подставив выражения B4) в первое решение A8), получим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для определения функций ср = (р(х), ф = ф(х), 9 = 9(у):
B5)
(О'у)к = -А1-А2в,
Эта система легко интегрируется, поскольку второе уравнение представляет собой уравнение Бернулли,
третье (после разрешения относительно производной) — уравнение с разделяющимися переменными, а
первое — линейное уравнение относительно ср. В частности, при А1 = — 1, А2 = 0 имеем
= C1F(x) + aCkF(x) [[Fixtf^dx, ф = C2F(x), 9 = у, где F[x) = ехр[ Г f(x) dx\,
ая формулу A0), получим пол
С2у + аС\ [[Fix)]1"-1 dx}
С1, С2 —произвольные постоянные. Учитывая формулу A0), получим полный интеграл уравнения B2) в
виде
Пример 3. Рассмотрим уравнение с квадратичной нелинейностью (9). Как и ранее, ищем реше-
решение с обобщенным разделением переменных в виде A0). В результате приходим к функционально-
дифференциальному уравнению A1), которое можно представить в виде функционального уравнения A9),
где
Ф1=(р'х-/(х), Ф2=ф'х, Ф3 = -ф2,	Ъ4 = -Ъ(рф;
Подставив эти выражения в B1), приходим к переопределенной системе обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений для определения функций tp = (f(x), ф = ф(х), 9 = в (у):
4>'х ~ /0*0 = -AV>2 - A2b<pip, ф'х = -А3ф2 - A4b<pip,
(a9fy + Ь9)9'у = -А1 - А39, 9'у = -А2 - А49.	{ }
Исследуем случаи, когда последние два уравнения для 9 совместны. Исключив из них производную 9'
получим
А4(аА4 - Ь)92 + BаА2А4 - А2Ь + А3H + А\а + А1 = 0.
Чтобы это равенство удовлетворялось тождественно для всех 9, все коэффициенты квадратичного много-
многочлена должны равняться нулю:
А4(аА4 - Ь) = 0, 2аА2А4 - А2Ь + А3 = 0, А%а + Ах = 0.
Эта алгебраическая система уравнений для Ап имеет два решения
А4 = 0, А3 = А2Ь, Аг = —А2а, А2—любое	(решение!),
А4 = Ь/а, А3 = —А2Ь, А1 = —А2а, А2—любое	(решение 2),
которые порождают два различных совместных решения двух последних дифференциальных уравнений
B6):
9 = — А2у + С1	(решение 1),
9 = С1 ехр (	у)	А2	(решение 2).
V а / о
Соответствующие решения двух первых уравнений B6) определяются выражениями
(р(х) =	\С2-\—-1п|ж + С-|| + / f(x)(x-\-C1)dx\, ф(х) =
х-\-Сл L Ьг	J	-I
(решение 1),
л	и'2 г>	г>
J\<yOb	Г О I	1	/
(р(х) = —— ф(х)-\-Р(х), ф(х) = С1ехр	/ F(x) dx , i^(x) = / f(x)dx-\-C2 (решение 2),
о	L й i	J	i
где C-l , C2 — произвольные постоянные.
Две последние группы решений для 9(у) и (р(х) и ф(х) вместе с формулой A0) дают два различных
полных интеграла уравнения (9) (в другом порядке и других обозначениях эти интегралы выписаны в
примере из разд. Д.З).
(•) Литература к разделу ДА: А. Д. Полянин, А. И. Журов B002), А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев B002).

412	Метод обобщенного разделения переменных
Д.5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным
разделением переменных
Для построения полных интегралов нелинейных уравнений с частными производными первого
порядка можно использовать следующий упрощенный подход. Как и ранее решения ищутся в
виде конечных сумм D). Предположим, что система координатных функций ф%(у) описывается
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Наиболее
распространенные решения таких уравнений имеют вид
фг{у) = у\ фг{у) = 6Х{У, фг(у) = 8т(оцу), фг{у) = COS(#J/).	B7)
Конечные последовательности этих функций можно использовать для поиска точных решений
с обобщенным разделением переменных вида D), где Xi,ai, C% рассматриваются как свободные
параметры. Вторая система функций ifi(x) определяется путем решения соответствующих
нелинейных уравнений, получаемых подстановкой выражения D) в рассматриваемое уравнение.
Указанный подход не имеет той общности, которой обладают методы, описанные в
разд. Д.2— Д.4. Однако явное задание одной системы координатных функций фг(у) резко упро-
упрощает процедуру построения точных решений [при этом отдельные решения вида D) могут быть
потеряны]. Важно отметить, что подавляющее большинство известных к настоящему времени
точных решений (с обобщенным разделением переменных) уравнений с частными производ-
производными, задаются координатными функциями вида B7) (обычно при п = 2).
Пример 1. Рассмотрим уравнение
dw	/ dw \	/ dw \	,__ч
+ F() + G()°	B8)
где F(x, и) и G(x, и) —произвольные функции двух аргументов.
Полный интеграл ищем в виде
т = ф)у + ф(х),	B9)
что отвечает простейшей последовательности ф^у) = у, ФъЫ) = 1 ПРИ ^ = 2 в формуле D). Подставив
B9) в B8), после перегруппировки членов имеем
[<pfx + F(x, ^)] у + [ф'х + G(x, ^)] = 0.
Чтобы удовлетворить этому равенству при любых значениях у, надо приравнять нулю оба выражения
в квадратных скобках. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
определения функций ср = (р(х) и чр = ф(х):
(p'x+F(x,(p) = 0, ф'х+С(х,(р) = 0.	C0)
Поскольку общее решение второго уравнения [при известной ср = (р(х)] описывается формулой
построение полного интеграла уравнения B8) сводится к решению первого уравнения C0).
Пример 2. Уравнение с квадратичной нелинейностью
()	2 + f()w	C1)
()
ox v oy /
при а > 0 допускает полные интегралы вида
w = (f(x) + ip(x)
Здесь функции ср = <р(х) и ф = ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
первого порядка
ч>'х = ~а(Р2 + /OV>
ф'х = [f(x) - 2аф\ф,
первое из которых является уравнением Бернулли, а второе — линейно относительно ф. Интегрируя их
последовательно, получим
(f(x) = F(x) \сх+а [ F{x) da;] X, F(x)=exp[f f(x) dx\,
ф(х) = C2 e*p[J[f(x) - 2аф)] dx],
где Сi, С2 — произвольные постоянные.

Д. 5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным разделением переменных	413
Замечание 1. При a < 0 полный интеграл уравнения C1) ищется в виде
w = (р(х)
Замечание 2. Для любого а полный интеграл уравнения C1) можно искать в виде произведения
функций разных аргументов w = U(x)V(y), где U = U(x) и V = V(y) описываются уравнениями
U'x-f(x)U = C1U\
(ytf-aV* = C1V.
Эти уравнения легко интегрируются, поскольку первое представляет собой уравнение Бернулли, а второе
(после разрешения относительно производной) — уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 3. Уравнение
аж	\ оу /
допускает полный интеграл с обобщенным разделением переменных вида w = (р(х)у2 + ip(x)y + х(ж).
> Большое количество конкретных нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка, допускающих полный интеграл с обобщенным разделением
переменных, приведено в главах 13-15.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Айзеке Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967.
Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. —М.: Наука, 1987.
Андреянов Б. П. Метод исчезающей вязкости и явное решение задачи Римана для скалярного
закона сохранения. // Вестник МГУ, сер. мат. и мех., 1999, № 1, с. 3-8.
Аппелъ П. Теоретическая механика, т. 2. Динамика системы. Аналитическая механика.—М.:
Физматлит, 1960.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1974.
Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной
механики. —М.: Эдиториал УРСС, 2002.
Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных
пластах. — М.: Недра, 1984.
Беллман Р. Динамическое программирование. —М.: Изд-во иностр. литер., 1960.
Березкин Е. Н. Лекции по теоретической механике. —М.: Из-во МГУ, 1968.
Виноградов А. М., Красильщик И. С (ред.). Симметрии и законы сохранения в математической
физике. — М.: Факториал, 1997.
Галактионов В. А., Посашков С А. Точные решения и инвариантные пространства для нели-
нелинейных уравнений градиентной диффузии. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1994,
т. 34, № 3, с. 374-383.
Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С Р. Обобщенное разделение переменных для
дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. // Диф. уравнения,
1995, т. 31, №2, с. 253-261.
Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике.—М.: Физматлит, 1966.
Гелъфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. // Успехи мат. наук, 1959,
т. 14, № 2, с. 87-158.
Градштепн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука,
1975.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными
производными: Точные решения. — М.: Международная программа образования, 1996.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным
уравнениям.—М.: Факториал, 1997.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —
М.: Физматлит, 1995, 2001.
Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого
порядка. — М.: Наука, 1966.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —М.: Наука, 1976.
Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд-во
Удмуртского гос. университета, 1995.
Кружков С Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений со многими независимыми
переменными. // Мат. сборник, 1966, т. 70, № 3, с. 394^-16.
Кружков С Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби of the eikonal type. // Мат.
сборник, 1975, т. 27, с. 406^46.
Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих средах. —М.: Моск. лицей,
1998.
Куликовский А. Г., Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного
решения гиперболических систем уравнений. —М.: Физматлит, 2001.
Курант Р. Уравнения с частными производными. —М.: Мир, 1964.
Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. — М.: Мир, 1981.
Маркеев А. 77. Теоретическая механика.—М.: Наука, 1990.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	415
Меликян А. А. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого поряд-
порядка. // Доклады РАН, 1996, т. 351, № 1, с. 24-28.
Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. —М.: Мир, 1989.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.—М.: Наука, 1990.
Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. //
Доклады АН СССР, 1954, т. 95, № 3, с. 451^54.
Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Успехи мат.
наук, 1957, т. 12, № 3, с. 3-73.
Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для
квазилинейного уравнения. // Успехи мат. наук, 1959, т. 14, № 2, с. 165-170.
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. —М.: Наука, 1970.
Полянин А. Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и мате-
математической физики. // Доклады РАН, 2000, т. 375, № 4, с. 476^80.
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит,
2001а.
Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье — Стокса с обобщенным разделением пере-
переменных.// Доклады РАН, 2001 Ь, т. 380, № 4, с. 491^96.
Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в матема-
математической физике и механике. // Доклады РАН, 2002, т. 382, № 5.
Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениями математической физи-
физики.— М.: Физматлит, 2002.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. —
М.: Наука, 1981.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. —
М.: Наука, 1983.
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к
газовой динамике. — М.: Наука, 1978.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы,
1958.
Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона- Якоби. — М.: Наука, 1991.
Субботина Н. Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнения Гамильтона-
Якоби-Беллмана. // Доклады АН СССР, 1991, т. 320, № 3, с. 556-561.
Суслов Г. К. Теоретическая механика. — М.: Гостехиздат, 1946.
Тарасъев А. М. Об одной нерегулярной дифференциальной игре. // Прикл. математика и
механика, 1985, т. 49, № 4, с. 682-684.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейных уравнений первого
порядка. // Доклады АН СССР, 1954, т. 99, № 1, с. 27-30.
Тихонов А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.—М.: Мир, 1977.
Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Наука, 1977.
Федорюк М. В. Асимптотики: Интегралы и ряды. —М.: Наука, 1987.
Элъсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Bardi М., Dolcetta I. С Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman
Equations. — Boston: Birkhauser, 1998.
Bardi M., Evans L. С On Hopf s formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations. Nonlinear
Anal. Theory, Meth. and Appl., Vol. 8, № 11, pp. 1373-1381, 1984.
Barron E. N., Jensen R. Generalized viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations with time-
measurable Hamiltonians. // J. Different. Equations, 1987, Vol. 68, № 1, pp. 10-21.
Bedrikovetsky P. Mathematical Theory of Oil and Gas Recovery. — London: Kluwer Acad. Publ., 1993.
Crandall M. G., Evans L. C, Lions P.-L. Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi
equations. // Trans. Amer. Math. Soc, 1984, Vol. 283, № 2, pp. 487-502.
Crandall M. G., Ishii П., Lions P.-L. User's guide to viscosity solutions of second order partial
differential equations. // Bull. Amer. Math. Soc, 1992, Vol. 27, № 1, pp. 1-67.
Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. Trans. Amer. Math.
Soc, 1983, Vol. 277, № 1, pp. 1^2.
Dafermos С М. Hyperbolic systems of conservation laws. In: Systems of Partial Differential
Equations. —Dordrecht: D. Reidel, 1983, pp. 24-70.

416	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Evans L. С, Souganidis P. E. Differential games and representation formulas for solutions of Hamilton-
Jacobi-Isaacs equations. // Indiana Univ. Math. J., 1984, Vol. 33, № 5, pp. 773-797.
Farlow S. J. Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. —New York: John Wiley &
Sons, 1982.
Fleming W. H, Soner H. M. Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. — New York:
Springer-Verlag, 1993.
Galaktionov V. A. Invariant subspace and new explicit solutions to evolution equations with quadratic
nonlinearities. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1995, Vol. 125A, № 2, pp. 225^48.
Godlewski E., Raviart P.-A. Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation
Laws. — New York: Springer-Verlag, 1996.
HelfferichF., Klein G. Multicomponent Chromatography: Theory of Interference.—New York: Marcel
Dekker, 1970.
Hoffman A. L. A single fluid model for shock formation in MHD shock tubes. // J. Plasma Phys., 1967,
Vol. 1, pp. 193-207.
HopfE. The partial differential equation щ + uux = [iuxx. II Communs. Pure and Appl. Math., 1950,
Vol. 3, pp. 201-230.
HopfE. Generalized solutions of nonlinear equations of first order. // J. Math. Mech., 1965, Vol. 14,
pp. 951-973.
Ishii H. Representation of solutions of Hamilton-Jacobi equations. // Nonlinear Anal. Theory, Meth.
and Appl., 1988, Vol. 12, № 2, pp. 121-146.
Jeffery A. Quasilinear Hyperbolic Systems and Waves. — London: Pitman, 1976.
John F. Partial Differential Equations. —New York: Springer-Verlag, 1982.
Krasovskii N. N, Subbotin A. I. Game-Theoretical Control Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1988.
Lax P. D. Week solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation. //
Communs. Pure and Appl. Math., 1954, Vol. 7, pp. 159-193.
Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves
[reprint from the classical paper of 1957], Philadelphia, SIAM, 1997.
LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. — Boston: Birkhauser, 1992.
Lewin J. Differential Games.—Berlin: Springer-Verlag, 1994.
Lions P.-L. Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. — Boston: Pitman, 1982.
Lions P.-L., Souganidis P. E. Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity
solutions of Bellman's and Isaacs' solutions. // SIAM J. Control and Optimization, 1985, Vol. 23,
№ 4.
Logan D. Non-linear Partial Differential Equations. —New York: CRC Press, 1997.
Melikyan A. A. Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and
Differential Games. — Boston: Birkhauser, 1998.
Miricu a S. Extending Cauchy's method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations. // Stud.
Cere. Mat, 1985, Vol. 37, № 6, pp. 555-565.
Moussiaux A. CONVODE: un programme REDUCE pour la resolution des.equations differentielles. —
Bruxelles: Didier Hatier, 1996.
Murphy G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions. —New York: D. Van Nostrand,
1960.
Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbuch der linearen Differentialgleichungen. — Heidelberg: Spectrum
Akad. Verlag, 1996.
Rhee H, Aris R., Amundson N. R. First Order Partial Differential Equations, Vol. 1. —New Jersey:
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1986.
Rhee H, Aris R., Amundson N. R. First Order Partial Differential Equations, Vol. 2. — New Jersey:
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
Serre D. Systemes de Lois de Conservation, Tome I et II. — Paris: Diderot, 1996.
Smoller J. Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. —New York: Springer-Verlag, 1994.
Subbotin A. I. Generalized Solutions of First Order PDEs: the Dynamical Optimization Perspective. —
Boston: Birkhauser, 1995.
Svirshchevskii S. R. Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables
in nonlinear equations. // Phys. Lett. A, 1995, Vol. 199, pp. 344-348.
Zauderer E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. —New York: John Wiley & Sons,
1983.
Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. — Boston: Academic Press, 1998.