/
Текст
СБОРНИК
ИСТОРИЧЕСКИХ
. Задач
п о
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
г. н. ПОПОВ
СБОРНИК
ИСТОРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Второе издание
ОНТИ
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНОЙ И ЮНОШЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1938 ЛЕНИНГРАД
В этой книге читатель найдет ин-
тересные исторические задачи по ариф-
метике, алгебре и геометрии, создан-
ные народным творчеством древних егип-
тян, вавилонян, греков, римлян, китай-
цев, индусов, евреев, арабов, а также
великими европейскими учеными старого и
нового времени. Разбирая эти задачи и
решая их с помощью составителя книги,
читатель усвоит важнейшие вехи в исто-
рическом развитии математики с древней-
ших времен до наших дней.
Живой и наглядный характер задач,
отражающих культурный уровень, эконо-
мический быт и идеологию создавших их
народов, пробудит в юном читателе интерес
к более глубокому изучению истории мате-
матики. Разъяснения, фактические справки,
указания и библиография, подобранные
составителем книги, дают для этого
надежную руководящую нить. Школьные
преподаватели и специалисты по матема-
тике также найдут в этой книге много
ценного и свежего материала.
Редактор Н. А. Мещеряков. Технический редактор О. Залышкина. Корректор
В. Плесков.- Заставки и концовки худ. Е. Хомзе. Обложка худ. И. Тененбаума.
Сдано в производство 29/VI 1937 г. Подписано к печати 13/1 1938 г. Уполномоч.
Главлита № Б-28008. Тираж 20000. Формат бумаги 82x110/32- Уч.-авт. л. 10,85.
Печ. л. 131/2- Количество печ. знаков в 1 печ. л. 34 500. ОНТИ № 21. Заказ Na 96.
Индекс НПб—10—3. Цена 2 р. 40 к., переплет 60 к.
Набрано в 1-й Образцовой типографии ОГИЗа РСФСР треста «Полиграфкнига»,
Москва, Валовая, 28.
Отпечатано с матриц в 4-й типографии ОНТИ НКТП СССР «Красный Печатник»,
Ленинград, Международный пр., 75а. .
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие к первому изданию . ................... . . • 3
Задачи
Вавилон ...................................... *........... 5
Египет ..................................................... 8
Греция ..... ................................................ И
Рим......................................................... 18
Китай...................................................... 20
Индусы...................................................... 22
Евреи . ................................................... 27
Арабы...................................................... 30
Западная Европа
VIII—XV века........................................ 36
XVI век............................................. 42
XVII век...............................................47
XVIII век..............................................51
XIX век................................................ 56
Ответы и решения с историческими указаниями
Вавилон................................................... 66
Египет.................................................. 67
Греция.................................Г Ч................70
Рим . ................................................... 89
Китай................................................... 93
Индусы................................................. 95
Евреи .................................................... 105
Арабы......................................................108
Западная Европа
VIII-XV века......................................... 121
XVI век............................................136
XVII век.......................................... 152
XVIII век............................................165
XIX век............................................184
Указатель имен и названий..................................217
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагая вниманию преподавателей, учащихся и всех люби-
телей математики свой труд, я считаю необходимым предпослать
пользованию им несколько слов, поясняющих его цель и на-
значение. Это не систематический задачник, где для практики
в каждый отдел обычно включают значительное количество од-
нотипных задач. Это и не сборник математических развлечений.
Самое заглавие вскрывает до некоторой степени идею этого по
существу нового задачника, основная цель которого — познако-
мить с „эволюцией* задачи как таковой.
Ограничиваясь областью арифметики, алгебры и геометрии,
я стремился сделать материал доступным всем, кто знаком
с элементарной математикой, даже не в полном объеме школ
II ступени.
Что касается решений, то они даны в подробностях для
наиболее замысловатых ' задач, при чем нередко указывается не
только обычное, современное решение, но и то, которое было
предложено самим автором, иногда сложное, а чаще всего ори-
гинальное и остроумное. Считаю эти указания полезными
в смысле ознакомления с историческим ходом развития приемов
и методов, практиковавшихся различными народами в разные
эпохи. Помимо этого, смотря по важности затронутых вопро-
сов, я везде давал исторические справки о происхождении ме-
тодов и сведения о деятельности того или иного математика.
Вкрапливание в преподавание такого рода сведений, пола-
гаю, должно повышать интерес к изучению математики и спо-
собствовать закреплению пройденного.
Большинство задач впервые появляется в нашей популярной
литературе. Многое заимствовано из первоисточников или из
специальных монографий, рассеянных по периодическим изда-
ниям.
Г. Н. Попов
Вавилон
ТАБЛИЦА ГИЛЬПРЕХТА
1. На этой клинописной таблице помещены делители и част-
ные числа, которое по шестидесятиричной системе, бывшей
в ходу у вавилонян, записано так:
6О8_ро.6О7.
Выразить это число по десятичной системе.
1-я таблица Сенкере
2. На этой таблице помещены квадраты чисел от 1 до 60,
выраженные по шестидесятиричной системе.
Вот пример записи:
1-21 есть квадрат 9
2-1 » и 11
2-49 W 13
3-45 » 15
4-16 » м 16
25-21 39
Вб*4 „ „ 58
Проверить справедливость этой записи.
2-я таблица; Сенкере
3. На этой таблице помещены кубы чисел от 1 до 32, вы-
раженные по шестидесятиричной системе. Вот пример записи:
2-5 есть куб 5
3-36 „ . 6
5-43 * . 7
8-32 . „ 8
1-8-16 , 16
9*6’8 „ 32
Проверить справедливость этой записи.
Таблица Гинкса*
4. На этой таблице имеется ряд чисел, записанных по ше-
стидесятиричной системе: 1*36; 1-52; 2-8; 2» 24; 2*40; 2-56;
3- 12; 3-28; 3-44; 4.
Показать, что эти числа представляют арифметическую про-
грессию, и записать ее по десятичной системе.
5. Показать, что среднее арифметическое двух чисел и сред-
нее гармоническое их составляют с самими числами геометри-
ческую пропорцию.
Примечание. Средним гармоническим двух чисел называется
отношение среднегеометрического к среднеарифметическому двух
чисел.
6. Земельная мера у вавилонян называлась ган и равнялась
1800 шарам.
Выразить в шарах
п 1 । 2 1 ,3
I) — гана-к — гана; 2) — гана 4-~ гана;
о 1 о о 1 о
3) 1 ган — гана;
оо
4) В разности 20 ган — (1 ган 4--^-гана) целую часть вы-
разить в ганах, дробную — в шарах.
7. Разделить прямой угол на три равные части.
i 8. За длину окружности вавилоняне принимали периметр
вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти
приближение для тг, которым пользовались вавилоняне.
9. Для определения площади четырехугольника вавилоняне
брали произведение полусумм противоположных сторон. Выяс-
нить, для какого типа четырехугольников эта формула точно
t определяет площадь.
Египет
Задачи из Московского папируса
Из коллекции Голенищева
10. Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если
ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верхнего 2.
11. Определить длину сторон прямоугольника, если известно
их отношение и площадь фигуры.
Задачи из Кахунского папируса
12. Отношение чисел равно 2:1-^ , сумма ' квадратов 400*
Л/
Найти эти числа.
13. Разложить объем в 120 куб. локтей на 10 частей высо-
той каждая в 1 локоть с прямоугольным основанием, стороны
* 3
которого относились бы, как 1: — .
Задачи из Берлинского папируса
14. Если тебе будет сказано: разделить 100 квадратных
3
локтей на 2 неизвестные части и стороны одной взять за
сторону другой, дай мне каждую из неизвестных частей (т. е.
разбить площадь в 100 кв. локтей на 2 квадрата, стороны ко-
X 1 3\
торы$ относились бы как 1:~1.
Задачи из папируса Райнда
15. В первых восьми таблицах этого папируса приводятся
примеры деления числа 2 на нечетные числа от 3 до 99, при
чем получаемые дроби представлены в виде сумм так называе-
мых „кантьем", т. е. дробей с числителем, равным единице,
напр.:
2 1,12 1.12 1,1
5 ~~ 3 15 ’ 7 “ 4 28 : 9 " 6 18 И Т‘ Д'
Показать, что дробь вида
вить в виде суммы двух кантьем.
2^4-1
всегда
можно
предста-
ла
16. х4--^-=19; х4-тг—16; х4--^==15; х-\~~=2\.
1 7 1 2 1 4 1 5
17. Две трети в прибавлении (к неизвестному), -$ в отня-
о
тии, 10 остается (т. е. к неизвестному прибавлено две трети
его и от полученной суммы отнята ее треть. Остаток равен 10).
18. 3х4- х — 1 ; Зл?4~4- *4“ V х ~ !•
о ОО
19. 100 хлебов — на 10 лиц, 50 — на 6, 50 — на 4. Какова
разность (т. е. 50 хлебов разделить поровну между 6-ю, а 50
между 4-мя и найти разность между полученными частными)?
20. Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновели-
* ' 8
кого квадрата, брали за сторону последнего диаметра круга.
Найти отсюда приближенное значение для тг.
21. Для вычисления площади равнобедренного треугольника
египтяне брали половину произведения основания на боковую
сторону. Вычислить в процентах, как велика ошибка на примере:
Основание 4, боковая сторона 10.
22. При вычислении площади равнобокой трапеции египтяне
брали произведение полусуммы оснований на боковую сторону.
Вычислить в процентах погрешность на примере:
Нижнее основание 6, верхнее 4, боковая сторона 20.
23. В одной из зада*? для первого члена убывающей арифме-
тической прогрессии дается выражение, представляющееся в со-
временной символике следующей формулой:
а = ~ -(«-D J ,
где а — первый член, S—сумма членов, п — число членов, d—•
разность. Показать, что формула эта совершенно правильна.
24. Смотри, теперь приходит пастух с 70 быками. Сказано
счетчиком скота этому пастуху рогатого скота: „Сколько скота
приводишь ты из своего многочисленного стада?* Ему сказано
пастухом: „Я привожу тебе две трети от трети скота; определи
его мне, сочти его мне, я хочу найти, я хочу сосчитать*.ч
25. „У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по
семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя,
из каждого колоса может вырасти по 7 мёр зерна. Как велики
числа этого ряда и как велика их сумма?* (Задача реконструи-
рована по Родэ.)
Задачи из Акмимского папируса
26. Некто засеял 7 артабов, другой 8, третий 9 и с них
' взято налога
о 3\
т. е. 3 — . Сколько составит седьмая,
4 /
восьмая/ девятая (т. е. доля семи, доля восьми, доля девяти,
иначе говоря: как велик налог, взятый с каждого)?
27» Некто взял из сокровищницы . Из того, что осталось,
1 <5
Л 1
другой ВЗЯЛ ,
оставил же он в сокровищнице 150. Мы хотим
узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
28. В Акмимском папирусе площадь круга, окружность
которого есть среднее арифметическое двух данных окружностей,
принимается за среднее арифметическое их площадей. Показать,
что это неправильно, и найти, как велика ошибка в процентах,
при чем радиусы данных кругов г = 5;/? — 10.
Греция
Задачи, приписываемые Пифагору
29. Сумма любого числа последовательных нечетных чисел,
начиная с единицы, есть точный квадрат.
30. Всякое нечетное число кроме единицы есть разность двух
квадратов.
31. , Правило Пифагора для вычисления сторон прямоугольного
треугольника основано на тождестве:
(2л + I)2 4- (2 л2 + 2 л)2 = (2л2 + 2л -|- I)2.
Вычислить, пользуясь этим тождеством, стороны прямоуголь-
ных треугольников для л=1, 2, 3, 4, 5.
Так называемое „правило Платона*
32. Если принять за один из катетов четное число 2/?, то
другой катет будет р2—1, а гипотенуза Проверить
и вычислить стороны треугольников для р = 2, 3, 4, 5.
Задачи Евклида
Из трактата „Начала*
33. На данной конечной прямой АВ построить равносторон-
ний треугольник.
34. Разделить прямолинейный угол на две равные части.
35. Построить параллелог^ам, стороны которого наклонены
под данным углом, так, чтобы он был равновелик данному тре-
угольнику.
36. В данный круг вписать треугольник, равноугольный дан-
ному треугольнику.
87. К двум прямым найти третью пропорциональную.
38. К трем прямым найти четвертую пропорциональную.
89. К двум прямым найти среднюю пропорциональную.
40. Разделить прямую АВ в точке И на такие две части,
чтобы ббльшая была средней пропорциональной между всей
прямой и ее меньшей частью.
41. В данный круг вписать правильный пятиугольник.
42. В данный круг вписать правильный пятнадцатиугольник.
43. ‘ Вписать в больший из двух данных концентрических
кругов правильный многоугольник с четным числом сторон, ко- (
торый не касался бы меньшего круга. i
44. Квадрат, построенный на стороне вписанного пятиуголь- i
ника, равен сумме квадратов сторон, вписанных в тот же круг
правильных шестиугольника и десятиугольника.
Из арабской рукописи трактата Евклида „О делении фигур".
45. Разделить пополам площадь, ограниченную дугой окруж-
ности и двумя пересекающимися прямыми.
• Задачи Архимеда
Из трактата „О квадратуре параболы0
46. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии:
Из трактата „О шаре и цилиндре*
47. Поверхность шарового сегмента равна площади круга,
имеющего радиусом прямую, которая проведена от вершины
сегмента к окружности, служащей ему основанием.
48. Цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а
3
высотой — диаметр этого шара, имеет объем, равный-у объема,
А
3
и поверхность, равную поверхности шара.
Из трактата „Леммы*
49. Если две окружности касаются в точке Е и диаметры
АВ и CD параллельны, то точки А, Е и D лежат на одной
прямой.
12
L
50. Пусть АВС полукруг. Из точки В опущен на диаметр
АС перпендикуляр BD и на отрезках AD и DC как на диа-
метрах описаны два полукруга AFD и DHC. Площадь AFDHCB
полученной секирки (арбелон) равна площади круга диаметра DB.
51. Если круг описан около квад- q
рата, а другой в него вписан, то опи-
санный круг вдвое больше вписанного.
52. Пусть АВ диаметр круга и CD
хорда, к нему не перпендикулярная. f
Если из концов диаметра опустить на J ' V
хорду перпендикуляры АЕ и BF, то / 0 "
отрезки CF и DE равны. Черт. 1.
53. Если в круге хорды АВ и CD
пересекаются в точке Е под прямым углом, то сумма квадратов *
отрезков АЕ, BE, СЕ, DE равна квадрату диаметра.
54. Если к окружности из внешней точки провести одну
секущую через центр, а другую так, чтобы внешний отрезок
равнялся радиусу окружности, то угол между секущими будет
измеряться одной третью большей из дуг, заключающихся между
его сторонами.
*
Из трактата „О таре и цилиндре*
55. Найти шар, имеющий объем, равный объему данного
конуса или цилиндра.
56. Отрезать от шара плоскостью такой сегмент, чтобы от-
ношение его объема к объему конуса, имеющего основание и
высоту сегмента, было данное.
\ Из трактата „О спиралях*
67. Найти сумму квадратов п первых чисел натурального
ряда.
Задача Герона
Из трактата „Диоптра*
58. Определить площадь треугольника, если даны три его
стороны:
1) #=13; 6=14; с=15; 2) а = 5; 6=12; с=13.
Задача Гипсикла
59. Доказать, что в арифметической прогрессии с четным
числом членов сумма членов второй половины превышает сумму
членов первой на число, кратное квадрату половины числа
членов.
Задачи Дамасция
Из дополнений к „Началам* Евклида, книга XV.
60. В данный куб вписать тетраэдр.
61. В данный тетраэдр вписать октаэдр.
62. В данный куб вписать октаэдр.
Задача Никомаха
63. Показать, что если разбить ряд всех нечетных чисел на
группы так, что число членов в каждой будет возрастать
как ряд натуральных чисел, то сумма членов каждой группы
будет равна кубу числа членов.
Задачи Диофанта Александрийского
Из трактата „Арифметика*
64. Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы боль-
шая часть от первого деления была вдвое более меньшей части
от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
была втрое более меньшей части от первого деления.
65. Найти два числа,.сумма которых 20, а произведение 96,
63. fx-j-y — 10,
+>2 = 68.
67. Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало
/И
среднее на данную часть I — I наименьшего, чтобы среднее пре-
наименьшее превосходило число 10 на данную часть ( — ) сред-
\ о J
него числа.
68. Найти два числа, отношение которых 3, а отношение
суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.
69. Найти 3 числа, если дано, что произведение сумму
первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на
второе 27, а суммы второго с третьим на первое 32.
70. Найти три числа так, чтобы произведение любой пары
их, увеличенное их суммой, равнялось бы соответственно
8, 15, 24.
71. Некто купил вина двух сортов, из коих мера первого
стоит 5 драхм, а второго 8. За все вино он заплатил извест-
ное число драхм, которое есть число квадратное. Число это,
будучи прибавлено к 60, также дает квадрат. Корень ква-
дратный из этого последнего числа равен числу купленых мер
вина. Требуется узнать, сколько заплачено за каждый сорт вина.
72. На? и два числа, произведение которых, сложенное
с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.
73. Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых
двух были квадратами.
74. Катет прямоугольного треугольника есть точный куб,
другой катет представляет разность между этим кубом и его
стороной (т. е. первой степенью), а гипотенуза есть сумма куба
и его стороны. Найти стороны.
Задачи Ямвлиха
75. Решить систему:
х+^ = 2(2-4-и),
х z — 3(j/ + и),
— 4(у + ^).
76. Решить систему:
! 5 / I \
= у +
4
x + ^=-g О+«),
5
х + “ = -4 (У + 2)-
Задачи Метродора
Надгробная надпись на>могиле (эпитафия) Диофанта
77. Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве,
двенадцатую в юности; после седьмой части, проведенной в без-
детном супружестве, и еще 5 лет у него родился сын, умерший
по достижении половины числа лет жизци отца, после чего
Диофант прожил только 4 года. Скольких лет Диофант умер?
78. Корона весит 60 мин и состоит из сплава золота, меди,
2
олова и железа. Золото и медь составляют вместе — , золото и
О
3 3
олово — , золото и железо -g- общего веса. Определить вес
каждого металла в отдельности.
Эпиграммы
Задачи в стихах из „Anthologla Qraeca"
79. — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько ученикор
посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает ма-
тематику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молча-
нии и, кроме того, есть еще три женщины.
80. Найти три числа, из которых первое, прибавленное
к третьей части третьего, равно второму, а второе, прибавлен-
ное к третьей части первого, равно третьему. Третье же больше
первого на 10.
81. Бассейн получает воду из 4 труб. Первая наполняет его
в день, вторая — в два дня, третья — в три, а четвертая —
в четыре. Требуется узнать, во сколько времени наполнится
бассейн, если все четыре трубы открыть одновременно.
82. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встре-
тили 9 муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-
наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой
из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько было
плодов у каждой из граций до встречи с музами?
83. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного
веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. „Чего ты жалуешься, —
сказал мул,—если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша
станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один свой мешок,
наши грузы только сравняются “. Сколько было у каждого?
84. — Хроноса вестник, скажи, какая часть, дня миновала?
— Дважды две трети того, что прошло, остается.
Примечание. У древних день делился на 12 часов.
85. Вот Полифема циклопа изЯмеди статуи отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на-диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
И в настоящее время влагу уста изливают.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краев через три дня переполнить.
Оку — достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоем скоро ли могут наполнить?
86. Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: -
„Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!“
„Яблок я нес с Геликона немало,—Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть. взяла
Терпсихора,
С частью седьмою Эрато стремглав от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю*.
Задачи Паппа Александрийского
Из трактата „Математический сборник*
87. Показать, что во всяком треугольнике параллелограм,
построенный на одной стороне треугольника внутри его и име-
ющий две другие вершины вне треугольника, равновелик сумме
двух параллелограмов, построенных на двух других сторонах
треугольника так, что стороны их, параллельные сторонам тре-
угольника, проходят через верщины первого параллелограма.
88. Показать, что в кругах площади подобных сегментов
относятся, как квадраты хорд, служащих им основаниями.
89. Дана точка D на биссектрисе угла. Провести через эту
точку прямую линию так, чтобы отрезок ее внутри угла имел
данную длину.
Рим
Задачи Эпафродита
Из отрывка в Арцерианском кодексе
90. Найти число всех деревьев, рассаженных в пятифутовом
расстоянии друг от друга на прямоугольном участке земли,
стороны которого 120 фут. и 70 фут.
91. Суммировать кубы чисел натурального ряда.
Примечание. Основываться на задаче Никомаха (см. № 63).
Из отрывка, приписываемого Эпафродиту и Витрувию-Руфу.
92. Дан прямоугольный треугольник со сторонами 9, 12, 15.
Найти диаметр круга, вписанного в этот треугольник.
Задачи Марка Юния Нипсуса
Из Эрфуртского кодекса
93. Нипсус дал правило для определения вместимости бочек
1’1/Д) +A +
по формуле: ---- ) • А где Н—высота оочки,
a Do, Dv D2 — диаметры, измеренные в нижней, средней и
верхней ее части.
Показать, каким значением тс пользовались римляне, при-
нимая объем бочки за объем цилиндра той же высоты, с диа-
метром, равным среднему арифметическому из диаметров указан-
ных трех сечений.
Из Арцерианского кодекса
94. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 фут.,
а площадь 150 фут. Определить катеты.
95. Стороны треугольника 6, 8, 10. Найти его площадь (по
формуле Герона).
Задача Юния Модерата Колумеллы
Из трактата „О сельском хозяйстве"
96. Если сторона правильного треугольника а, то Колумелла
j 1 1
дает для его площади формулу я2-(- а2. Верна ли эта фор-
и 10
мула и как велика погрешность (в процентах) при определении
площади треугольника по этой формуле?
Задача из Шартрской рукописи
97. Определить высоту треугольника, основание которого 15,
а боковые стороны 14 и 13.
Китай
Из трактата „Девять отделов искусства счета*
98. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроли-
ков. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и
94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
99. Несколько купцов хотят сообща купить товар. Если
каждый даст на покупку 8 кашов, то окажется 3 каша лишних.
Если же каждый даст по 7 кашов, пехватит четырех кашов.
Сколько купцов и какова стоимость товара?
100. 5 волов и 2 барана стоят 10 таэлей, а 2 вола и 8 ба-
ранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят" отдельно вол и баран?
101. Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя
ворами некоторое количество риса. Общее количество его было
неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го
риса, во второй-— 1 шинг 4 го и в третьей—1 го. Пойманные
воры показали! 1-й, что он отсыпал рис из 1-й бочки с по-
мощью лопаты, второй—что он пользовался деревянным башмаком,
а третий — миской, при чем они соответственно брали из 2-й и
3-й бочек. Лопата, башмак и миска найдены на месте преступ-
ления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг
9 го, башмака—1 шинг 7 го, миски — 1 щинг 2 го.
Требуется узнать, скоЛько похитил каждый вор. При этом
известно, что 10 го=1 шингу; 10 шингов=1 тау; 10 тау =
= 1 ши.
Из трактата „Начала искусства вычисления*
102. Найти число, которое при делении на 3 дает в остатке 2,
при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 7 снова 2.
103. В середине квадратного озера со стороной 10 футов
растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть
тростник, вершина достигает берега. Как глубоко озеро?
Из трактата * Девять отделов искусства счета*
104. Бамбуковая трость в 10 футов вышины надломана. Если
пригнуть верхнюю часть к земле, то вершина трости будет
отстоять от корня на 3 фута. Какой длины надломленная часть?
Три задачи из трактата „Начала искусства вычисления"
105. Определить стороны прямоугольного треугольника, если
известны площадь и периметр.
106. Даны периметр и площадь прямоугольника. Найти
стороны.
107. Вписать круг в прямоугольный треугольник.
Из трактата „Чеу-пей" и комментария Конфуция к классиче-
ской книге „И-кинг*
108. Доказать, что удвоенная сумма квадратов катетов прямо-
угольного треугольника без квадрата их разности равна квадрату
их-суммы.
Задача Суань Шу
109. Имеются два сорта чая. 3 фунта первого смешаны
с 6 фунтами второго, после чего оказалось, что фунт смеси
стоит 3 дяо (30 коп.). После этого еще смешали 12 фунтов
первого сорта с 4 фунтами второго, при чем оказалось, что фунт
смеси стоит 3 ~ дяо. Сколько стоит фунт первого и второго
Л»
сорта?
Задача Дай Шу
«in w / 1 г 1 г 1 \ ab
110. Упростить: ( — 4--hr Н-------тгп—•
г \аЪ 1 ас Ьс) —
Примечание. Обе задачи предложены в 1908 г. на выпускном
экзамене филологического факультета (И-сио-гуань) Бейпинского уни-
верситета.
Индусы
Задачи из „Бахшалийской" рукописной арифметики
111. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше пер-
вого, третий — втрое больше второго, четвертый — вчетверо боль-
ше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?
112. Путник в первый день проходит две единицы пути, а
в каждый следующий день тремя единицами более. Второй пут-
ник проходит в первый день три единицы пути, а в каждый
следующий — двумя единицами более. Когда первый догонит вто-
рого?
113. Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия И
обращается в полный квадрат.
Задачи Апастамбы
Из сборника „Сулеа-сутра*
114. Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных
квадратов.
115. Построить квадрат, равновеликий разности двух данных
квадратов.
Примеры Бодгайаны
Из сборника „Су леа-сутра*
116. Бодгайана строит прямые углы, на сторонах которых
отложены соответственно отрезки: (3, 4), (12, 5), (15, 8), (7, 24),
(12, 35), (15, 36). Если соединить концы отрезков каждой пары,
получим ряд прямоугольных треугольников. Вычислить их ги-
потенузы.
22
Правило КатиаЙаны
Из сборника „Сулва-сутра"
117. Катиайана говорит, что надо разделить диаметр круга на
15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата,
равного (приблизительно) кругу. Определить приближение для тг,
получающееся в этом случае, и оценить в процентах ошибку
(ограничиваясь 3 десятичными знаками тг).
Задачи Ариабхатты
Из трактата „Ариабхаттиам*
118. (Правило XXX). Два лица имеют равные капиталы, при
чем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой цен-
ности и известного числа монет. Но как число вещей, так и
суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
119. (Правило XXXI). Два светила, находящиеся на данном
расстоянии (d) друг от друга, движутся одно другому навстречу
с данными скоростями (v и ^). Определить точку их встречи.
120. (Правило XX). В этом правиле Ариабхатта словесно
дает выражение для числа членов арифметической прогрессии,
которое определяется формулой:
1
У
, . — 2а 4- /(г — 2ар -f- 85г
1+----------------------к..., . ;.....................
где п — число членов, а — первый член, г — разность прогрессии
и S—сумма всех членов. Проверить справедливость этой фор-
мулы.
121. (Правило XXI). Определить число ядер треугольной
кучи.
Задача Парамадисвары
Из комментариев к трактату „Ариабхаттаам*
122. Найти число, которое, будучи умножено на 3, а затем
разделено на 8, увеличено на 6, после чего из него извлечен
квадратный корень, отнята единица и результат возведен в квад-
рат, даст 4.
Задача Сридхары
Из трактата „Сущность вычисления"
123. Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба,
одна трать на цветах силиндха. Утроенная разность последних
двух чисел направилась к цветам кутая. И осталась еще одна
пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная чудесным ароматом
жасмина и пандануса. Скажи мне, очаровательная, сколько всех
пчел?
Задачи Брамагупты
Из трактата „Усовершенствованное учение Брамы*
124. Два аскета живут на выступе крутой горы, на высоте h
на расстоянии от соседнего селения в т раз ббльшем. Один
аскет, чтобы достичь селения, спускается с горы, потом идет
прямой дорогой. Другой в это время поднимается на неко-
торую высоту х и оттуда уже направляется к селению. Если
оба они при этом делают один и тот же путь, спрашивается:
на какую высоту поднялся второй аскет?
125. Зная высоту свечи, высоту гномона (вертикального
шеста) и расстояние между их основаниями, найти длину тени,
бросаемой гномоном.
128. Найти высоту свечи, зная длины теней, бросаемых гно-
моном в двух различных положениях, при условии, что дано
расстояние между гномонами.
127. Показать, что произведение двух сторон треугольника,
деленное на длину перпендикуляра, опущенного на третью сто-
рону из противоположной вершины, равно диаметру описанного
круга.
128. В четырехугольнике, диагонали которого взаимно пер-
пендикулярны, корень квадратный из суммы квадратов двух про-
тивоположных сторон равен диаметру круга, описанного около
этого четырехугольника.
Примечание. Воспользоваться задачей № 53.
129. Квадрат хорды, перпендикулярной к диаметру, деленный
на учетверенный любой отрезок диаметра и сложенный с тем же
отрезком, равняется диаметру.
130. Меньший из отрезков диаметра, пересеченного перпенди-
кулярной хордой, равен полуразности диаметра и корня квадрат-
ного из разности квадратов диаметра и хорды.
Задачи Бхаскара Акариа
Из трактата „Венец астрономического умения*
131. Если некоторое число умножить на 5, от произведения
отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому
111
' последовательно — и — первоначального числа, то полу-
о 2 4
чится 68. Как велико число?
132. Преобразование корней.
Показать, что:
10 pZ24 pZ40 }Z60 = pZ 2 -j~ j/” 3 —j— |Z5.
133. Из пучка цветов лотоса взяты одна третья, пятая
и шестая части, соответственно принесенные в жертву богам:
Шиве, Вишну и Солнцу. Одна четверть досталась Бавани. Остав-
шиеся 6 лотосов даны глубокочтимому учителю. Сосчитай мне
быстро число всех цветов.
134. Некто сказал своему другу: „Дай мне 100 рупий, и я
буду вдвое богаче тебя", на что последний ответил: „Если ты
мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя*.
Спрашивается: сколько было у каждого?
135. Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части
их резвился в лесу, остальные двенадцать кричали на вершине
холмика. Скажи мне: сколько было всех обезьян?
136. Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел
к кусту жасмина. Восемь девятых роя остались дома. Одна пчел-
ка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке
лотоса, куда он попал вечером, привтеченный приятным ароматом,
и не может оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи
мне число пчел роя.
137. Найти число, обладающее тем свойством, что оно, бу-
дучи умножено на 12, по прибавлении к своему кубу равняется
ушестеренному квадрату самого себя, увеличенному тридцатью
пятью (решается элементарно).
138. Решить уравнение: х4— 2х2— 400х = 99Э9 (решается
элементарно).
139. Найти прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза
выражалась бы тем же числом, что и площадь.
140. Бхаскара говорит, что если диаметр круга 2000, то
сторона правильного вписанного в круг треугольника будет 1732—
13
квадрата 1414—, шестиугольника 1000 и восьмиугольника
765^. Проверить справедливость этого утверждения.
141. Если D — диаметр шара, то есть мера объ-
Z £t 1 £
ема шара. Определить, при каком значении тг справедливо это
предложение.
142. Найти высоту кругового сегмента, если известны диаметр
круга и основание сегмента.
143. 30 балок в 12 пальцев толщины, 16 ширины и 14 локтей
длины стоят 100 нишка (монета). Что стоят 14 балок в 8 пальцев
толщины, 12 ширины и 10 локтей длины?
144. Решить в рациональных числах уравнение:
ах by с = ху.
Современная индусская задача
145. Трое друзей имели обезьяну. Они купили некоторое ко-
личество плодов мангового дерева и спрятали их. Ночью один
из друзей захотел полакомиться, пошел в кладовую и
отделил себе третью часть, но при этом оказалось, что один
плод лишний, и он отдал его обезьяне, а свою часть съел.
Спустя несколько времени пришел второй и не подозревая, что
первый свою часть уже взял, разделил остаток на три равные
доли, при чем опять оказался один плод лишний, и он дал его
обезьяне и сам съел свою часть. Наконец, пришел третий и
также поделил остаток на три равные доли, при чем опять один
лишний плод отдал обезьяне, а сам съел свою часть.
На другой день утром все трое пришли в кладовую и поде-
лили между собой оставшиеся плоды поровну, при чем опять
один лишний плод отдали обезьяне.
Определить наименьшее количество плодов, которое удовле-
творяет указанным выше условиям распределения.
Евреи
Задача из трактата „Бава-Батра"
Талмуд
146. Пять дворов расположены один за другим, соединены
проходами, но выход в переулок общий. Расходы по
содержанию дворов распределены так, что живущие на заднем
дворе принимают участие в расходе по всем 5 дворам, живущие
в следующем — по 4 дворам и т. д. Наконец, живущие в перед-
нем дворе принимают участие в расходе только по этому послед-
нему. Какая часть расходов падает на каждый двор?
Задача из трактата „Охалот"
Талмуд
147. В этом трактате сказано, что периметр квадрата, опи-
санного около круга, на четверть его больше окружности этого
круга. Определить приближение для тг, которым в данном случае
пользовались евреи.
Задача из трактата „Менахот*
Талмуд
148. Определить сумму шестидесяти первых чисел натураль-
ного ряда. '
Задача Маймонида
Черт. 2.
149. На участке площадью 64 кв. ладони
(8-8) вспаханы 13 гряд (на чертеже заштри-
хованы): по три гряды в 1 кв. ладонь в каж-
дой наружной полосе, а 13-я в виде квад-
рата, полученного от соединения _середин
сторон квадрата abed. Определить, какая
часть занята под посев.
Задача Ибн-Эзры
Из трактата „Книга о числе*
150. Если диаметр круга единица, то длина нити, охваты-
g
вающей окружность, выражается целым с дробью: 3 -|- gg 4"
, 34 . 17 . 8 _
+ Определить, до какого десятичного знака
' 602 1 608 604
точно это приближение для п.
Задачи Савасорда
Из , Liber embadorum*
151. Решить уравнение х2-|-4х = 77.
152. Системы квадратных уравнений:
/x4"J = 14
\ ху = 48
153.
/х24"3'г==а2
I ху = Ь
/Х2-(-/!= 13
( ху = 6.
х*-{-у2*=а'
х —у =Ь
155 I х+у=а
Задачи Абен-Дреата
156. Какое число, будучи придано к девяти, дает свой уше-
стеренный корень?
28
157. Какое число, будучи сложено со своим удесятеренным
корнем, дает 89?
158. Какое число равно своему утроенному корню, сложен-
ному с четырьмя?
Задача Леви бен-Герсон
4
Арабы
Задачи из Алгебры Магомет ибн-Муса Альхваризми
160. Решить квадратные уравнения:
1) 5x2 = 40*. 3) 10х=х2-|-21. 5) х*4~20= 1Ц х.
2)^х2 = 100. 4) х2 = 12x4-288. 6) х«4- ~ х= 19.
У 12 12
161. В* равнобедренный треугольник с боковой стороной 10
и основанием 12 вписать квадрат.
162. Определить отрезки, на которые делит основание АС
перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины В тре-
угольника АВС, если даны его стороны: АВ—15; ВС— 13;
ДС=14.
163. Найти объем усеченной квадратной пирамиды, высота
которой 10, а стороны верхнего и нижнего оснований соответ-
ственно 2 и 4.
Задачи Ал-Кархи
Из трактатов „Кафи-фил-Гисаб* и „А л-Фак ри*
164. Перемножить: (Зх2 -|-2х -f—4) • (2л;2 —Заг —|—5). -
165. Правило Ал-Кархи для извлечения квадратного корня по
приближению. Если а2 — наибольший квадрат, содержащийся в
данном числе N, а г—избыток, то
/дг=/а24-г=а4-^рр, если г<2а4~1.
30
Объяснить, каким путем Ал-Кархи мог вывести это правило.
Оценить погрешность, вычислив j/415 обычным способом с точ-
ностью до 0,001. -'J
166. 1) /о2 + 4а-J-4. 2)_ /4а2 —4а+“1.
167. Сложить: |/2 4~ j/18, пользуясь тождеством:
4- Уь = У(У^+УьУ
168. Найти число, которое от умножения на 3 4~ l/5" дзет еди-
ницу.
169. х2 4-Юх = 39.
170. 1) х4 4-5х2=126. 2)х44-24=10х2.8)х4===2х24-8.
4) хв = Зх34“40. 5) х7 = Ьхъ 4~ ^8.
171. Решить систему:
х24~.У2—<г3;
хг ~у2*
ху—10.
172. Найти последний член и сумму 20 членов прогрессии:
3, 7, 11, 15...
173. Найти сумму первых десяти чисел натурального ряда.
174. 1) х24-5 = у2. 2) х2— 10 = у2.
175. Решить систему:
х2 4“ 4"1 ~ >2;
х24-2х4-2=^2.
176. Найти квадратное число, равное сумме квадратов двух
чисел.
177. Решить уравнение xa-\-ya — za +1.
( пг — \2 I
178. Если а — тп, то показать, что числа I —~— 1 -\~а и
(т 4-’«\2
I —75— I —а всегда квадратные,
\ £ f
179. На двух противоположных берегах реки стоит по пальме.
Вышина одной 20 локтей, другой 30. Ширина реки 50 локтей.
На вершине каждой из пальм сидит по птице. Обе птицы видят
в реке рыбу и летят по прямой линии к ней, одновременно
достигая поверхности воды в точке на прямой, соединяющей
31
корни пальм. Определить длину путей, которые пролетели
птицы, и определить место их встречи.
180. Найти стороны прямоугольника, коего площадь численно
равна сумме периметра и диагонали, а основание в 3 раза боль-
ше высоты.
181. Найти площадь прямоугольника, основание которого
вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
182. Найти диаметр круга, площадь которого равна 100.
183. Определить сторону вписанного в круг правильного две-
н ад цатиу гольн и ка.
Ал-Кархи дает словесное выражение, по которому:
Проверить справедливость этого выражения.
Задача из трактата Табита ибн-Корры
184. Если числа: р = 3-2л—1; ^ = 3‘2Л“1 — 1 и г —
= 9.22л~1—1—простые, показать, что числа А и В будут
дружественные, если A — 2n'p-q, а В = 2Л’Л Применить
к частному случаю п = 2.
Примечание. Дружественными называют пару чисел, облада-
ющих тем свойством, что первое равно сумме всех делителей второго,
а это последнее равно сумме всех делителей первого.
Задачи Ал-Кухи
185. Разделить 10 на такие две части, чтобы сумма, состав-
ленная из суммы квадратов этих частей и частного от деления
большей части на меньшую, давала 72 (решается элементарным
путем).
186. Построить круг, касающийся двух данных прямых, чтобы
центр лежал при этом на данной прямой.
Задачи Абул-Вафы
Из трактата „О геометрических построениях*
187. Доказать, что центр круга, вписанного в правильный
многоугольник, есть точка пересечения биссектрис двух углов
многоугольника.
188. Составить квадрат из двух квадратов, стороны которых
неизвестны.
189. Разделить данный квадрат на 2 квадрата при условии
что сторона одного из них дана.
190. Построить квадрат, втрое превосходящий данный.
Задачи Авиценны
191. Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1
или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1.
192. Если число, разделенное на 9, дает в остатке 2 или 7,
то квадрат его при делении на 9 дает в остатке 4.
193. Если число, деленное на 9, дает в остатке 1, 4 или 7,
то куб его, деленный на 9, дает в остатке 1.
194. Если число, деленное на 9, дает в остатке 2, 5 или 8,
то куб его, деленный на 9, дает в остаткс>8.
195. Если число, деленное на 9, дает в остатке 3 или 6, то
куб его кратен 9.
Задача из арабской рукописи Лейденской библиотеки
196. Дан квадрат ABCD со стороной
ЛВ = 10, разделенный пополам линией
ZE, параллельной АВ. Отсечь секущей,
проходящей через вершину Л, треуголь-
ник KTZ, площадь которого была бы в
данном отношении к площади данного
квадрата. (Отношение 2:25.)
'Задача Гассана ибн-Гайтема
197. Дан неправильный четырехуголь-
ник. Узнать, можно ли описать около
него окружность, не измеряя углов.
Задачи Ал-Кальсади
Из трактата „Раскрытие тайн науки Го'бар*
198. Доказать, что
199. В выражении----™ сделать знаменатель рациональным.
т + ип
3 Н. Ош*
33
200. Правило Ал-Кальсади. Если а2 — наибольший квадрат,
содержащийся в числе, а г — остаток, то
если т^а. Если же г> а, то дается более точное значение:
]/ а^-{- г= а
£±1
2а 4-2'
Выяснить путь, которому следовал арабский математик в уста-
новлении этого правила.
201.
1) х2 -1- Юх —56.
2) х24-20=12х.
8) х2-(-8х = 20.
4) х2-|-16 = 8х.
б) 6х24-12х = 90.
•/ 6) 4х2 4- 48 = 32х.
7) Зх2 —36 = 32х —х2.
8) Зх2= 12x4-63.
9)
Задачи Омар-Хейама
202. л;2 4" Ю* —39 (решить геометрически).
203. 4-42-= 14-.
х2 х 4
Задачи Бега-Эддина
Из трактата „Сущность искусства счисления"
204. Разделить число 10 на 2 части, разность которых
есть 5.
205. Требуется найти число, которое, будучи умножено само
на себя, сложено с двумя, затем удвоено, вновь сложено с тремя,
разделено на?5, наконец, умножено на 10, в результате дает 50.
206. Найти число, которое будучи увеличено двумя третями
самого себя и единицей, дает 10.
Примечание. Обе последние задачи решаются методом инвер-
сии или, иначе, методом обратных действий.
207. Заиду обещана награда в виде бблыпей из двух частей,
дающих в сумме 20, произведение же этих частей 96. Как
велика награда?
208. По данным: высоте h и радиусам г и /? верхнего и ниж-
него оснований усеченного конуса найти высоту соответствую-
щего полного конуса.
209. Одна третья часть длины рыбы застряла в болоте, одна
четверть погружена в воду, а три пяди находятся над поверх-
ностью воды. Определить длину рыбы.
210. Шест торчит в пруде и выходит над поверхностью воды
на 5 локтей. Он наклоняется, при чем нижний конец остается
неподвижным до тех пор, пока верхний не коснется воды.
Определить длину шеста, если известно, что расстояние между
местом выхода шеста из воды в первоначальном положении
и местом, в котором верхний конец касается воды при наклоне-
нии, равно 10 локтям.,
211. Разделить число 10 на такие 2 части, что если к каж-
дой прибавить корень квадратный из нее и полученные суммы
перемножить, то получится данное число.
Примечание. Задача возможна в смысле деления числа десять
на целые части только при условии, что „данное" число, значение кото-
рого автором не указано, равно 24 (если требовать, чтобы оно было
рациональным).
Западная Европа
VIII—XV век
Задачи Алкуина
£12. Разделить сто мер пшеницы между 100 лицами так,
чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каж-
дое дитя меры. Сколько мужчин, женщин и детей?
213. Три наследника получили 21 бочку: 7 — полных, 7 — на-
литых до половины и 7 — пустых. Разделить наследство так, чтобы
каждый из наследников получил столько же вина, сколько и бочек.
Задача из рукописного сборника „Задачи для изощрения ума"
214. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах
от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кро-
лик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать со-
бака, чтобы догнать кролика?
Задача Герберта
215. По данной площади прямоугольного треугольника и его
гипотенузе найти катеты.*
Задачи Леонардо Фибоначчи из „Книги абака" |
Задача о двух людях
216. Один говорит другому: „Дай мне 7 денариев, и я буду j
в 5 раз богаче тебя*. А другой говорит: „Дай мне 5 денариев,
и я буду в 7 раз богаче тебя*. Сколько у каждого?
за
217. Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семи
мулов, каждый мул несет по семи мешков, в каждом мешке по
семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи
ножнах. Сколько всех предметов?
Задача из соч. Леонардо Фибоначчи „De mode solvendl quaes-
tiones avium et siniilium*
218. Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц
за каждые 3 воробья заплачена 1 монета, за каждые 2 горлицы —
также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты.
Сколько было птиц каждой породы?
Задача Иоанна Палермского
219. Три человека имеют некоторую сумму денег, при* чем
часть первого составляет половину, второго — треть и третьего —
шестую часть всей суммы. Желая сберечь часть денег, каждый
берет из общей суммы сколько может унести, после чего первый
отдает на хранение половину, второй — треть, а третий — одну
шестую из того, что он нес. Через несколько времени они
берут эти деньги обратно, и каждому приходится получить 4г
о
всей суммы, бывшей на хранении. Сколько денег было у каждого?
Задачи на системы уравнений из „Книги абака"
220. 'х-[-у= 10 ху 3 2' 221. 'x-j-y = 10 X 1 1~2з" (хА-у=\2
222. { х-\-у= 10 х2 = 32у. 223. ; ХУ-^Л 1 (х-у 2-
х -|- у ==10 ' х-{-у — 10
224. (- ioV )\ +10 X ^ = 122^-. 225, / ** у(х—у) =24.
226. \х у /5.
' х -]- у -f- z — 10
хг—уг
227.
Задачи из „Практической геометрии* Леонардо Фибоначчи
228. Зх 4 /х2 + Зх = 20.
229. Зх 4- 4 |/х2 — Зх = х2 4- 4.
230. x-j-j/x" 4-/2х 4-j/5x2' = 10.
231. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в од-
ной точке.
232. Вписать в равносторонний треугольник квадрат, чтобы
одна из его сторон лежала на основании треугольника.
233. Доказать, что квадрат диагонали прямоугольного парал-
лелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Задачи Иоанна Палермского, решенные Леонардо
234. Найти квадратное число, которое, будучи увеличено или
уменьшено на 5, оставалось бы все-таки числом квадратным.
р4-/*24-У2 = 16 J ху—J = 42
235’Ь-у = 2. 236- i x-j = 2.
oq7 / /x24-J2 —х = 2 238. / x + /*2 +J2 = ’
Лй1' \x— y = 2. \x> = 48. 2
239 4 x+J' + 1/x2 4-J2 = 24 240 ( xj—x = 40
(x—y—2. ’ (x— y = 2.
Задача из немецкого рукописного сборника ХШ века
241. В Кельне было три брата, имевших 9 сосудов с вином.
Первый сосуд был емкостью в 1 кварту, второй содержал
2 кварты, и каждый следующий одной квартой больше, так что
последний сосуд содержал уже 9 кварт. Требуется разделить
вино поровну между тремя братьями, не смешивая содержимого
сосудов.
Задачи Иордана Неморария
Из трактата „О данных числах*
38
242.
— «2
Z
z и == 12
^ = 11.
и 2
243.
х ’"V’.y === 1 $
— = 3
z
z 4-и = 9
у — и = 2.
244.
х-\-у — 12
х_____3
~z 2
£-|-И = 10
ч _y.« = 36.
245.
/ х:____ у
"y~~~z
х 4- z = 34
. у 4- Z == 24.
246.
Л = z
у *
х z = 25
х-\-у = 28.
247.
' х4'У'1"г4"Иж35
х z
у'^'й
х—у = 5
< z — и = 2.
х+б~4 ^+г+“)
j4-6 = -|(-*+'24-«)
^4-6 = ^.(x4-j4-«)
к4-6 = х4-з> 4-г.
Из трактата *0 треугольниках*
250. Из всех треугольников с общим основанием, вписанных
в круг, равнобедренный обладает наибольшей площадью.
Задачи Региомонтаиуса (Иоганн Мюллер)
251. 16х2 + 2000 = 680х.
252. = 25.
10—х 1 х
253. Найти число, которое при делении на 17, 13 и 10 дает
соответственно остатки 15, 11 и 3.
Из трактата „О треугольниках*
254. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в од-
ной точке. *
255. В треугольнике разность двух боковых сторон 3, высота
10 и разность отрезков основания, образуемых подошвой вы-
соты, 6. Найти стороны.
256. Найти радиус круга, описанного около треугольника,
если даны его стороны.
г
I
Задача Кампано из Наварры
Из комментариев к латинскому переводу с арабского „Начал*
; Евклида
257. Показать, что поверхности вписанных в один и тот же
шар правильных додекаэдра и икосаэдра относятся между собой,
как их объемы.
Задачи Орезма
п 1
1 / 1 \ т 1 1 f л п \тп
258. (ат)~”; \аЧ (апЬ)*> (апЬт}™\ .
Задачи из анонимной итальянской рукописи XIV в.
259. х3 = ахi 2 Ьх. 260. х4 = ах2-|-^
Задачи Видмана
261. По данным трем сторонам прямоугольного треугольника
определить радиус окружности,' вписанной в этот треугольник.
| * 262. Вписать в данный полукруг наибольший квадрат.
> 263. Стороны треугольника 13, 14, 15. Приняв последнюю
। сторону за основание, найти высоту и отрезки основания.
! 264. Дан равносторонний треугольник. Определить радиусы
вписанной и описанной окружностей.
j 265. Если h—высота треугольника, b—основание, х — мень-
ший из его отрезков, то радиус описанного круга по Видману
j выражается формулой:
I
| Проверить справедливость этой формулы.
Задача из Мюнхенской рукописи Фредерича
266. 43x4-41 =39^4-33 = 352 4-25 = 31и +17.
i Задача из немецкого алгебраического рукописного трактата
из Мюнхенского собрания
267. х j/x2 — х = 2,
i
।
Задача из собрания примеров на латинском языке из той же
рукописи
268. Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому
работнику 5 (монет), у него останется 30, а если 7, то нехва-
тит 30. Спрашивается, сколько у него работников?
Задачи И. Шюке из трактата 1484 г.
269. Зх2 -J- 12 = 12х. 270. Зх2 + 12 = ЗОх.
271. Зх2-|~12 = 9х. ' 272. 144 4>х2 = 36х.
273. 6х4-}-24 = 2х2. 274. 32х5Ц-8х= 192х2.
275. 1728х3 = 51264хв. 276. 12 4-6х3= 144х*.
277. 243 4~ 2х10 = 487х5.
278. /12х — х2 4- 1 = j/36 — х2.
279. /4х2 4-4x4- 2х 4-1 = 100.
х 4- у 4- z = 12
280. 2x4-.y4-4-*=l2- 281. £
282. (х 4" у 4- %::== 12 14x4-3x4-2.2 = 36.
/ *4- у 4- 12
\8х 4- 5у 4- 3z — 60.
Задачи из немецкого рукописного трактата 1481г. из Дрез-
денского собрания
283. Перемножить: 4х — 5 и 2х — 3.
4 5
284. Как велико число, равное произведению -=• его на —
о о
того же числа?
Задача из алгебраической латинской рукописи из Дрезден-
ского собрания'4
285. Число 10 разделить на две такие части, чтобы после Л
умножения первой на 5 и деления полученного произве-
10
дения на вторую часть получилось -н- .
о
Задачи из немецкого рукописного трактата
из Мюнхенского собрания
286. В расстоянии 6 футов от берега ручья стоит дерево
высотой 20 футов. Спрашивается: на какой высоте должно над-
ломиться дерево, ^чтобы вершина его коснулась берега?
287. Лестница длиной 13 футов наклонно приставлена к стене,
нижняя часть ее при этом удалена от стены на 5 футов. На-
сколько спустится она по стене, если ее основание отодвинуть
еще на 7 футов? z
XVI век
Задача Бувелля
288. Показать, что всякое совершенное число (кроме 6)
имеет вид 9п -|- 1.
Задача Ретикуса
289. Если стороны остроугольного треугольника а, £, с. а пер-
пендикуляр, опущенный из вершины угла, противоположного
стороне а, разбивает эту сторону на отрезки, из которых мень-
ший есть р, то
а ___ с — b
а— 2р *
Задача Лука де Бурго (Пачиоло)
’ 290. Перемножить: ( ^/27 3). ( р/27 -|- $/з).
291. Чему равно (//40+ 6 + /)/40—б)2. '
292. Найти число, которое, будучи умножено на 5, дает
столько, сколько его квадрат, сложенный с четырьмя.
293. Решить уравнение
х4±2хЗ-}-Зх*~1-2* — 81 600 = 0
(решается элементарно).
294. Дается радиус (4) вписанного в треугольник круга и от-
резки 6 и 8, на которые точка касания делит одну сторону
треугольника. Найти две другие стороны.
295. По данным сторонам треугольника и взятым на двух из
них точкам определить длину прямой, соединяющей эти точки.
296. По данным площади и разности сторон прямоугольника
найти его стороны.
297. Вписать в треугольник два равных круга, чтобы каждый
касался двух сторон и чтобы они соприкасались между собой.
298. Определить диаметр круга, касающегося двух сторон
данного треугольника и имеющего центр на третьей стороне.
42
‘ 299. Найти стороны треугольника с площадью, равной 84,
если известно, что они выражаются тремя последовательными
целыми числами.
300. Вписать в данный круг 3, 4, 5 или 6 кругов, равных
между собой, касающихся данного и в то же время последова*
тельно касающихся один другого.
301. Сумма квадратов двух чисел 20, а произведение 8.
Найти эти числа.
Задачи Г. Шрейбера (Грамматеус)
302. Перемножить 6х— 8 и 5х— 6.
303. Зх2 = 27. 2х2 + х = 55. 2х2 4-18 = 1 Ъх.
304. 2x3=128. 305. 5x4 = 20 480.
Задачи из трактата „Учение о целых числах и дробях*1
306. По данному катету и сумме двух других сторон прямо-
угольного треугольника определить эти стороны.
307. Дана гипотенуза и сумма катетов. Найти катеты.
Задачи Адама Ризе
вого
308. Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю пер-
1 1
пришлась — этой суммы, на долю второго у, а на долю
третьего 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
309. 26 персон издержали вместе 88 монет, при чем каждый
мужчина тратил 6, женщина 4, а девица 2 монеты. Сколько
было мужчин, женщин и девиц?
310. Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в от-
дельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум
другим: „Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю
лошадь*. Второй говорит первому и третьему: „Дайте мне по
одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь*. Наконец,
третий говорит первым двум: „Дайте мне только по четверти
ваших денег, и лошадь будет моя*. Теперь спрашивается,
сколько денег было у каждого?
311. 3х2 = /36х2? Эх24-21 =24х.
Задача из „Тайны чисел" Бунгуса
312. Всякое простое число, кроме 1, 2 и 3, имеет форму
6 /724-1.
Задачи Кристофа Рудольфа
313. Некто согласился работать с условием получить в конце
гола одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев пре-
кратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во
сколько ценилась одежда?
314. Разделить |/216 на р/Тб.
315. Решить систему уравнений: х—у = а\ ху~Ь.
Задачи из ,,Coss“ Рудольфа в обработке Стифеля
Я16 /(*+Ж*2+3'2) = 539 200
01°- — У) (Х2 _уз) —; 78 400.
417 (xy-\-x-\-y = b73
U2+j2 — х— j = 1716.
Я1Я /(х+^)(х2-^) = 675
61 в- \(х — ^)(x2+j2) = 351.
Задачи М. Стифеля
319. Если написать прогрессию тг 4, 8, (16, 32),...,(22л, 22Л+1)>
то всякая пара чисел, стоящая в скобках, дает совершенное
число, если умножить большее из чисел этой пары, уменьшен-
ное единицей, на меньшее.
Примечание. При условии, что 22^+i — 1 есть число простое.
Стифель упустил это из виду.
п 3 4х*
320. Сложить: — х и .
2 оХ®
nnt п 9х* + 8х2 з
821. Вычесть: —z—х---------тгх.
6х8 2
.. 9х4,' + 8х2 Зх
822. Умножить: —+х— • 7-.
6х8 2
олл г. 27х5 + 24х5 Зх
823. Разделить: ---------- на — .
12х8 2
27x5+ 24х8
824. Сократить: ---.
12х8
825. Перемножить: (6х2 + 8х— 6) (2Х2 — 4).
326. Решить уравнение: х2 = 12х— 36.
327. Решить уравнение:
216+ /41 472— 18х /648х3 = 0
(первый в истории математики пример уравнений с нулем во
второй части).
328. Показать, что /16 4- /8 = / /4096 4- / /64-
329.( /12-1-/64-/12-/6) • ( /12+/64-/12— /б).
330. Выразить через радиус описанного круга сторону пра-
вильного пятиугольника и его диагональ.
Задача Жана Бютео
331.
< . 1 . 1
х + 14
j4-l.r4--i-s = 8
г^~~5Х~^"5 -уг==8.
Задача Педро Нунеца
832. Разделить: 12х8 1Зх2 + 27х 17 на 4х 3.
Задачи Петра Рамуса
333. Умножение многочленов:
1) (7х2 —4х)«9х
2) (8х2 + 9) .(7х2 4-4)
334. Перемножить: (р/ 8 — р/ 2) • ( р/ 7 — р/з).
Задачи Н. Таргалья
335. Пользуясь одним раствором циркуля и линейкой раз-
делить прямую на любое число равных частей.
336. На данном отрезке АВ построить с помощью данного
раствора циркуля (не равного АВ) и линейки равносторонний
треугольник.
Задачи Д. Кардано
337. Перемножить: (5 4~ у/ — 15) (5 — р/— 15).
338. -—г1 = ?
х — 1
339. Решить уравнение:
13x2 = х4 + 2х8'4~ 2х Ц- 1.
340. Найти построением положительный корень уравнения:
х24"6х = 91.
341. Построить общую касательную к двум данным окруж-
ностям.
Задачи Бенедиктуса
842. Решить систему:
'х--\-у==а
y-[-z = b
z-[~x — c.
Приняв a, b, с за стороны треугольника, истолковать корни
этой системы геометрически.
343. По двум данным линиям найти третью, чтобы ее произ-
ведение на сумму ее с первой из данных линий равнялось квад-
рату второй данной линии.
Задачи Кристофа Клавия
344. Решить уравнение:
4х4-18 12х — 58, ,
х 2
345. Провести из внешней точки касательную к окружности.
Задачи Виет^
346. Решить уравнение х24~Р*4~<7 —0 подстановкой
x—y-\-z и определяя z (пользуясь его произвольностью)
так, чтобы получить неполное квадратное уравнение (т. е. не со-
держащее первой степени неизвестного).
347. Если дано кубическое уравнение:
х2 — (а 4» ь с) х2 4- (ab 4~ ас 4~ be) х — abc,
то а, b и с — корни этого уравнения.
Проверить на уравнениях.
1) х3 —6х24-Их —6 = 0,
2) х8*—4х2 —4х+16 = 0.
348. Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, то
выражает гипотенузу, а если а — катет и с — гипоте-
нуза, то у/с2 — а2 выражает другой катет. Пользуясь этим,
построить: 5, а11, яу/13, flj/17, а^/26, ар/34.
349. Решить уравнение:
ах . ах — ас
т + ^Г~ = “'
350. Решить уравнение:
у* 4~ 2#3д/8 — aQ.
Задачи Бомбелли
851. Показать, что
^24- /—ill4- /2 — /^Ш -= 4.
852. Решить уравнение:
№=15x4-4
XVII век
\ Задачи Т. Гарриота
853. Перемножить: (х 4“ Ь) (х 4~ с) (х — d).
354. Решить уравнение:
Ъ2 = — Зх + х»
Задачи А. Жирара
355. Xs —13x4“ 12. 356. х4 — 4х4-3 = 0
(обе задачи решаются элементарно).
357. Перемножить: |/ 5 • |/4.
Задача Кеплера
858. Решить уравнение:
5х — 5х8 + х5 = 0.
Задачи С. Стевина
359. Перемножить: 2х3— 4х2Ц~Зх и
Примеры на умножение и деление многочленов.
360. 1) 2) 6х»у: -
' у2 ' 22
861. 1) /Зх-/2х»
2) /3-х-/2.х«
3) //Зх«4-/2^.//5^ 4-/4х.
862. ( /5+/3 4- /5-^/3 )2 == ?
. 863. Решить уравнение:
х9 — Зх6 4" 5х8.
364. Решить уравнение:
х8 =• 6х-|~ 40.
Задача Валлиса
365. Показать алгебраически и геометрически, что из прямо-
угольников одинакового периметра квадрат имеет наибольшую
площадь.
Задачи из трактата „Чародей-математик"
366. Даны три сосуда в 3, 5 и 8 единиц объема. Первые два
пустые, а третий полный. Разделить путем переливания содержи-
мое третьего сосуда на две равные части.
367. Существуют ли на свете два человека с одинаковым чис-
лом волос на голове?
Задачи Декарта
868. у* — .у 4-8 = 0.
369. >3 —9у2-|-26у — 24 = 0.
370. — 4х3 — 19х2 + 106х — 120 = 0.
Задачи Эразма Бартолина
Из обработки лекций ван-Скоутена по геометрии Декарта
371. Перемножить: 4а8-|“3а2 — 2а 4“ 1 н °2 — 5а 4" 6.
872. (5-х) (Х2-1-12).
378. Решить уравнение:
pZ^8 3^р/ -g2 — За2
Задачи Фермй
374. Показать, что если 5 есть сумма бесконечно убывающей
„ S
геометрической прогрессии: -4- av а2, av...t то ~--= -Д.
О — 6Zj Пд
Из письма к Робервалю
375. Проверить, что
б (нч- 2*+з<_+... 4- «*)=(4«;+:2)
-~(124-2*4-..,4-л2).
376. Доказать, что если целое чис-
ло W не делится на простое число
то Л^"1— 1 кратно р.
377. Разделить данное число на та-
кие две части, чтобы произведение их
имело наибольшую величину (решить
элементарно).
378. На диаметре АВ полукруга
АМВ строим прямоугольник, высота
которого АС равна стороне вписанного
в круг квадрата. Если соединить верши-
ны Си D с произвольной точкой М по-
лукруга прямыми СМ и DM, пересекаю-
щими диаметр в точках Е и F, то будем иметь: АЕ2 -j“ &Е2 —
*=АВ2.
Задача Томаса Строда
379. Построить среднюю пропорциональную между двумя
данными линиями без описывания окружностей и проведения
перпендикуляра.
Задача Паскаля
880. Найти общий признак делимости на произвольное
число.
4 н. г. Подо» 49
Задачи Баше де-Мезирака
381. Рота пехоты подходит к берегу реки, но оказывается,
что мост сломан, а брода нет. У берега два мальчика играют
в челноке, но таком маленьком, что в нем может переправиться
только один взрослый или двое детей. Спрашивается, как с по-
мощью этого челнока может вся рота переправиться на другой
берег?
382. Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно
отвесить на весах любое целое число фунтов от 1 до 40 при
условии, что при взвешивании гири можно класть на обе чашки
весов.
383. Трое имеют известную сумму экю каждый. Первый дает
из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого.
После него второй дает двум другим столько, сколько каждый
из них имеет. Наконец, и третий дает двум другим' столько,
сколько есть у каждого. После этого у какого оказывается по
8 экю. Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале?
Задачи Озанама
384. Семеро друзей собрались к обеду, но между ними
возник церемонный спор, кому и с Кем садиться. Чтобы прекра-
тить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть
за стол как придется, но с условием, чтобы вновь собраться на
другой день и затем в следующие дни обедать вместе, при чем
каждый раз садиться по-разному до тех пор, пока не будут ис-
пробованы все возможные комбинации. Спрашивается, сколько
раз придется им обедать вместе для этой цели?
Примечание. Озанам дает ответ: 5040 раз. Прав он или оши-
бается?
385. Трое хотят купить дом за 26 000 ливров. Они услови-
лись, что первый даст половину, второй — одну треть, а тре-
тий— одну четверть. Сколько даст каждый?
Задачи Лейбница
386. 1) Показать, что т5 — т делится на 5.
2) Показать, что т1— т делится на 7.
887. Показать, что j/1 4-|/_3 _|V1 —/ —3=V%
Задачи Ньютона
Из трактата „Всеобщая арифметика
388. 1) Перемножить двучлены:
2) Разделить:^4 — 3 ~ а2>2 4- %&У-----Haj/2— 2ау + а2.
А
Из трактата „Начала"
389. Через данную точку Р провести пряму ю ВС
так, чтобы ее отрезки РВ и PC, отсекаемые
заданными по положению прямыми АМ и AN,
находились в данном друг к другу отношении.
390. Расположить вершины треугольника, по
виду и величине равного заданному, так, чтобы
каждая из них лежала на одной из трёх заданных
непараллельных прямых.
XVIII век
Задачи Маклорена
391. Решить систему:
х 4- у + z —
х—у = 4,
х—z — 6.
392. Преобразовать:
^20
^4-^2*
393. Несколько человек обедали вместе и по счету должны
уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при
себе денег, поэтому каждому из остальных пришлось уплатить
на 10 шиллингов больше, чем приходилось на их долю. Сколько
человек обедало?
394. Решить уравнение: —19х3 —216.
51
4*
Задачи Ламберта
895. Показать что всякий нечетный квадрат, уменьшенный
единицей, всегда делится на 8.
398. Если нечетный квадрат, некратный 9, уменьшить на
единицу, результат разделится на 24.
Задача Вариньона
397. Если две смежные стороны параллелограма и диагональ,
выходящую из той же вершины, спроектировать на какую-нибудь
прямую, то проекция диагонали будет равна сумме или разности
проекций сторон.
Задача Клеро г
398. На неограниченной прямой, соединяющей два источника'
света, найти точку, равно освещенную обоими источниками.
Задача Симсона
399. Показать, что если из произвольной точки окружности,
описанной около треугольника, опустить на его стороны перпен-
дикуляры, то их основания лежат на одной прямой.
Задача Моавра
400. Показать, что всякое возвратное уравнение нечетной
степени имеет корень —1 и при почленном делении обеих
частей уравнения на х 4-1 дает опять-таки возвратное уравнение
степени на единицу меньшей.
Задача Гольдбаха
401. Доказать, что при а и b целых и положительных сумма
всех дробей вида -—г* имеет пределом единицу.
Задача Джиованни Чева
402. Если через вершины А, В, С
треугольника АВС и произвольную точ-
ку О его плоскости проведены прямые,
встречающие стороны АВ, АС, ВС
соответственно в точках Ср Вг и Др
определяя на каждой из них два от-
резка, то произведения каждых трех
отрезков, не имеющих общей вершины,
равны между собой: ДС1-ВЛ1«СВ1=з
«=: А Вг • С A j • ВСг
Задача Чеппля
403. Показать, что если а, Ь, я— стороны треугольника,
а А* и г — соответственно радиусы кругов описанного и вписан-
ного, то
_ а-Ь-с
К'Г " 2(а-|~ Ь 4- с)*
Задача Лежандра
404. Определить площадь вписанного в круг четырехугольника
по данным сторонам a, b, с, d.
Задачи Эйлера
405. Преобразовать
8 — 5/2
8 — 2/2'
406. Рационализировать _у= /(a-\-bx}{c-\-dx) подстанов-
ко.й (а 4- bx) z„
407. Рационализировать j/а2 Ц- bx -J- сх2 подстановкой
y^a-^-xz.
408. Найти число, четвертая степень которого, деленная на
половину самого числа и увеличенная на 14-s^-, равнялась бы 100.
409. Каждый из нескольких купцов внес в общее дело 100 раз
столько рублей, сколько было купцов. Они отправили в Венецию
доверенного, получавшего с каждой сотни рублей число рублей,
вдвое большее/шсла купцов. Спрашивается: сколько было купцов,
если доверенный получил 2662 рубля?
410. Некто продает свою лошадь по числу подковных гвоздей,
которых у нее 32. За первый гвоздь он просит 1 пфенниг, за
второй 2, за третий 4, за четвертый 8 пфеннигов и всегда
за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается,
во сколько он ценит лошадь?
411. Определить рациональные значения для х и у в уравнении:
X? ==у*.
412. Показать, что в треугольнике расстояние центров опи-
санной и вписанной окружностей есть среднее пропорциональное
между радиусом первой и избытком его над диаметром второй.
413. Показать, что если N\ и N2 — числа взаимно простые,
k—число целых чисел, меньших ZV2h первых сним, то N*—1
кратно ЛГ2.
414. Если р — число простое, а т —какое-нибудь целое число,
то tnp— т кратно р.
415. Если А—число ребер, F—число граней и 5—число
вершин сомкнутого многогранника, то показать, что всегда:
416. Произведение двух чисел, из коих каждое есть сумма
четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов.
417. Доказать правильность тождества:
418. Если предположить, что человеческий род размножился от
6 человек и что двести лет спустя число людей возросло до
миллиона, спрашивается: на какую часть должно было увеличи-
ваться население ежегодно?
Задача Мальфатти j
419. Дан треугольник. Требуется построить три окружности
так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей
и двух сторон треугольника; ’
Задача Маскерони I
420. С помощью только одного циркуля требуется по трем I
данным отрезкам я, Ь, с построить четвертый пропорциональный. ।
421. Из произвольной, взятой на данной окружности О, точки I
Л, принятой за центр, описываем радиусом ОА дугу, которая в I
точке В пересечет окружность. Из В тем же радиусом опишем Я
дугу, пересекающую окружность в точке С. Из С тем же радиусом |
опишем дугу, пересекающую окружность в точке D. Из точек I
А и D радиусами AC, DB описываем дуги, которые пересекутся |
вне окружности в точке Е. Из В радиусом BE описываем дугу, |
которая в точке F пересечет полуокружность АВ CD. Показать,
что хорда AF будет иметь длину, приблизительно равную <
длине четверти окружности. Найти точность приближения.
Задача Софи Жермен
422. Показать, что число вида п4 4* 4 есть составное (п^> 1 )♦
Задачи Лагранжа
423. Если три простых числа образуют арифметическую
прогрессию, то разность этой прогрессии делится на 6 (исклю-
чение представляет случай, когда одно из этих чисел есть 3).
424. Проверить тождество:
(Л2 + ^2 + с-2) (А* + В* 4- Cf) - (ААх + ВВ, + CCJ* =
=*= {АВ1 _ Л1В)2 + (Л С1- AQ2 + (вс, - в,су.
425. Дано уравнение: ах1 4- 4 ^4"а — ®- По-
, 1 4
казать, что подстановкой у?=.х-у~ можно свести решение
э^гого уравнения к решению двух квадратных уравнений, корни
которых и будут корнями данного.
Задачи Безу
426. Работнику объявили, что он будет получать по 24 су
за каждый отработанный им день при условии удерживать по
6 су за каждый прогульный день. По истечении 30 дней оказа-
лось, что ему ничего не пришлось получить. Спрашивается:
сколько дней он работал?
427. Решить систему:
5х 4- Зу — 65,
2у—г ===11,
Зх 4г — 57.
428. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал
ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процен-
тов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму
он ее купил?
429. Из точки вне данного круга провести секущую так,
чтобы внутренняя часть ее имела данную длину.
Задача Рейно
430. Некто, умирая, оставил завещание, согласно которому
старший сын получает из полного наследства 100 франков
и десятую часть остатка, второй — 200 франков и десятую часть
нового остатка, третий — 300 франков и десятую часть нового
остатка и так далее до последнего. При этом доли всех сыно-
вей должны быть- равными. Найти размер оставленного наслед-
ства, число сыновей и долю каждого.
Задачи Франкера
431. Из а карт составляют b кучек, при чем в каждой с
очков. 1-я карта каждой кучки считается за И очков, если она
туз, 10 очков — если фигура или десятка, и т. д. Прочие карты
считаются за одно очко. Если, составивши кучки, будем иметь
в остатке d карт, требуется определить сумму х очков одних
первых карт.
432. Разбить на две дроби дробь знаменатель которой d
есть произведение двух чисел а и Ь. не имеющих общего дели-
I п 58 \
теля ( —
433. Несколько человек должны заплатить 800 франков за
производство судебного дела. Но у троих нет денег, и поэтому
остальным приходится к своей доле добавить по 60 франков.
Сколько всех участников в платеже судебных издержек?
434. Сколько раз пробьют часы в продолжении 12 часов,
если они отбивают и получасы?
435. Через точку пересечения двух окружностей провести
прямую, чтобы часть ее, заключенная внутри окружностей, имела
данную длину.
XIX век
Задачи Лакруа
436. Что стоят Io jg локтя материи, если один локоть
стоит 42 ливра 17 су 11 денариев?
Примечание. Ливр — старинная французская монета; один
Ливр 20 су; 1 су =12 денариев.
437. Один фонтан наполняет бассейн в 2-у часа, другой —
3
в 3— часа. Во сколько времени оба фонтана, действуя вместе,
наполнят бассейн?
56
438. Сколько километров проедет путешественнике 17 дней,
тратя на это по 10 часов в день, если он уже проехал в 29 дней
112 километров, находясь в пути 7 часов каждый день?
439. Восставить перпендикуляр в конце прямой, не продол-
жая* ее за этот конец.
440. Описать окружность, проходящую через две данные точки
и касающуюся прямой, данной по положению.
441. Описать окружность, проходящую через данную точку
и касающуюся данного круга в данной на нем точке.
442. Преобразовать данный неправильный пятиугольник в рав-
новеликий четырехугольник.
4г
Задача Мейера Гирша
443. Доказать, что в прямоугольном тетраэдре квадрат площади
грани, лежащей против прямого трехгранного угла, равен сумме
квадратов площадей трех остальных граней.
Задачи Люилье
444. Если г — радиус ' круга, вписанного в треугольник,
а '’р г8— радиусы вневписанных кругов, то показать, что
Г Г1 Л гз
445. Если Q есть площадь треугольника, то показать, что
Задачи из „Курса математики" Аллеза, Билли, Пюиссана и Будро
446. Желая определить среднюю дальность полета снаряда
из некоторого артиллерийского орудия, сделали 100 пробных вы-
стрелов и нашли, что
18 выстрелов дали дальность 632 метра
25 „ в „ 628 метров
53 выстрела „ „ 620 „
4 „ , 640 .
Какова средняя дальность?
447. 600 учеников занимают четырехэтажный корпус учебного
заведения. В первом помещается учеников вдвое более, чем
в четвертом. Число учеников, размещенных во втором и третьем
этажах, равно числу учеников в первом и четвертом этажах,
5
а в одном третьем число их составляет — того, что есть во
втором. Сколько учеников помещается в каждом этаже?
448. Полк кирасир покупает некоторое количество лошадей
за 11250 франков. Полк драгун покупает пятнадцатью лошадьми
более за 16000 франков. Каждая драгунская лошадь на 50 фран-
ков дешевле кирасирской. Определить число лошадей каждого
типа и их стоимость.
449. Извлечь корень квадратный из многочлена:
16^ +4а2 — 12^4- 9£2 — 24^+ 16с2. .
450. Суммировать:
. 1 । . 1 , м 1 । 1 l 1 I
а) ‘2+*4 *)^ + '9+27 + -
, 1 , 1 , 1 ,
С) 4+Тб + б4 + -
451. По данному периметру правильного вписанного в круг
многоугольника найти периметр одноименного описанного много-
угольника.
452. Сумма трех сторон прямоугольного треугольника 156 мет-
ров. Площадь равна 1014 квадратным метрам. Найти стороны.
Задачи Гарнье
453. Даны две хорды и их расстояния от центра. Найти хорду,
стягивающую дугу, равную разности дуг, соответствующих дан-
ным хордам, и ее расстояние от центра.
454. Показать, что вопрос о вписывании в круг правильного
семиугольника приводит к составлению кубичного уравнения.
Задача Гаусса
455. Показать, что произведение двух целых положительных
чисел, из которых каждое меньше простого числа р, не делится
на р.
Задачи Коши
2 2jc
456. Разложить дроби --—- и ——- на сумму двух дробей
X ' "“ 1 Xй 1
А , В < '
вида -----г -4---г-г.
X— 1 1 x-j-1
457. Если а~ ~ (h-= ..., то численная величина каж-
bi bt
дой дроби равна:
/«! + fl2 + •
458. Если перемножить между собой два целых числа, из
которых каждое есть сумма двух квадратов, то полученное про-
изведение будет также состоять из суммы двух квадратов.
Задачи Штейнера
459. Если соединить точку Е пересечения диагоналей трапе-
ции с точкой F пересечения ее непараллельных сторон, то боль-
шее основание разделится пополам линией EF.
460. В плоскости чертежа дана окружность; опустить из
данной точки перпендикуляр на данную прямую с помощью
только прямых линий.
461. Из всех треугольников того же периметра и основания
равнобедренный имеет наибольшую площадь.
462. На прямой даны три точки G, D, F, из которых D
лежит посредине между двумя остальными; нужно при помощи
только линейки провести через произвольную точку Н прямую,
параллельную данной.
Задача Бинэ
463. Решить систему уравнений:
z 4~ ау я2х 4» а* = 0,
z + by 4“ 4~ — $>
Z 4~ су 4“ С2Х 4- = 0.
Задачи Бурдона
464. Число состоит из трех цифр; сумма этих цифр равна 11;
цифра единиц вдвое больше цифры сотен. Если прибавить
к искомому числу 297, то получается число, написанное теми
же цифрами, как у искомого, но в обратном порядке. Какое
число имеет эти свойства?
465. Найти четыре члена геометрической' пропорции по изве-
стной сумме 2S крайних, сумме 2SX средних и сумме их квад-
ратов 4 С2.
Задача, предложенная комиссией Парижской академии
(Коши, Лиувилль, Штурм и Араго) феноменальному вычислителю
Анри МондЗ
466. Каковы два квадратных числа, разность которых 133? х
Задачи Монферрье
467. Разделить данное число р на такие две части, чтобы
сумма частных от деления первой на т, а второй на п равнялась
данному числу qt
468. Решить уравнение:
Xе Зх5 4~ 2х4 — 2х2 — Зх — 1=0.
469. Решить уравнение:
(решается элементарным путем).
470. Решить уравнение:
—с. ' ,---
Задача, носящая название „задачи Пуассона*
471. Некто имеет двенадцать пинт вина и хочет подарить из
него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два
сосуда, один в 8, другой в 5 пинт; спрашивается: каким обра-
зом налить шесть пинт в сосуд в восемь пинт?
Задача Лебега
472. Решить в целых числах систему:
2х4-3.у 4- 7.2=131,
2х 4- Зд/ 4"~ 3# = 140.
Задачи Шлёмильха
473. Решить кубическое уравнение
х8 4- ах2 4- Ьх 4- С 0,
если корни его составляют:
1) арифметическую прогрессию;
2) геометрическую прогрессию;
3) гармонический ряд. ,
474. Показать, что при п 2 имеет яесто неравенство:
12.22.32.4*. ..п2> л".
Задачи Бертрана
476. Доказать, что
1/204-14/2+1/20— 14/2 =в4-
476. Доказать, что
2 4-/3 2 —/3
/2 4-/2 4-/ 8 Ф/^-1Л2-/3
477. Доказать, что
478. Решить уравнение:
illi.il
(ai + xS)3— (аУ4~*3)2-
479. Решить уравнение:
480. Чему равно основание системы логарифмов, в которой 6
есть логарифм 729?
Задача Бахвитца
481. Показать, что всякое целое число, представляющее
сумму*трех квадратов, может быть представлено в виде суммы
квадратов четырех дробей. ♦
Задача из „Сборника математических задач* ,
482. Три крестьянина Джон, Питер и Алексис пришли на
рынок со своими женами Мэри, Китти и Дженни. Узнать, кто
на ком женат, если известно, что каждое из этих шести лиц
заплатило за каждую купленную вещь столько пенсов, сколько
вещей им куплено. Каждый мужчина истратил на 63 пенса больше
своей жены. Кроме этого, Джон купил 23 вещами больше Китти,
а Питер 11 вещами больше Мэри.
Задачи Каталана
483. Из точки А вне окружности провести секущую так,
чтобы она разделилась окружностью пополам.
484. В данный круг вписать шесть правильных пятиугольник
ков так, чтобы центр одного совпал с центром данного круга,
а каждый из остальных пяти имел одну вершину на окружности.
485. Разбить данный правильный шестиугольник на 7 пра-
вильных шестиугольников и 12 равносторонних треугольников.
486. Отсечь плоскостью сегмент от шара так, чтобы объем
его был в данном отношении т к соответствующему сфериче-
скому сектору.
Задача Нейберга
487. Около данного четырехугольника описать четырехуголь-
ник— подобный другому данному четырехугольнику.
Задача Бретшнейдера
488. Бретшнейдер дает для тг построение, точное до пятого
десятичного знака: — j/146, если принять радиус окружности
за единицу; построить это приближение, /
Задачи Желена
489. Какое число следует прибавить к каждому из
членов
дроби —,
чтобы получить дробь, равную
490. Пять разбойников отняли у прохожего .кошелек, напол-
ненный дукатами. Самый сильный из них взял 81 дукат, каждый
из 4 остальных неодинаковую сумму. Вследствие неравного раз-
дела возник спор, и пришедший в то время атаман приказал/
чтобы тот, кто взял больше всех, удвоил каждому из остальных
число его дукатов и чтобы то же самое сделал затем захвативший
второе по величине количество дукатов, потом захвативший
третье, четвертое и пятое. В результате оказалось, что каждый
из 5 разбойников получил одно и то же число дукатов. Узнать,
сколько дукатов было в кошельке и сколько из них каждый
захватил вначале.
Задачи из „Трактата по геометрии" Э. Руше и Ш. Комберусса
491. Найти отношение объемов, получаемых при последовч*
тельном вращении параллелограма около каждой из двух смеж-
ных сторон.
492. Объемы, получаемые от вращения прямоугольника
около каждой из его сторон, соответственно равны а куб. м и
Ъ куб. м. Найти длину диагонали прямоугольника.
493. Высота усеченного конуса 3 метра, а радиусы его
оснований 1 и 2 метра. Разделить объем на три части, про-
порциональные числам 2, 3 и 7, двумя плоскостями, параллель-
ными основаниям.
Задачи из курса „Элементы математики" Р. Бальтцера
494. Построить треугольник по данному углу, противоле-
жащей стороне и сумме двух других сторон.
495. Система уравнений 2-й степени:
ах + by — f
ex2 + dy2 — g.
496. Система уравнений:
X2 =
x-^y—xy*
497. Показательное уравнение:
Задача Штурма
498. Из А выезжает курьер и в первый день проезжает
10 лье, а в каждый следующий — на — лье больше. Спустя три
дня другой курьер выезжает из города В, расположенного за горо-
дом А в 40 лье, и едет в том же направлении, при чем в первый
2
день проезжает семь лье, а в каждый следующий — на — лье
о
больше. Через сколько дней после выезда первого оба курьера
встретятся?
Задача Маннгейма
499. Через точку Р проводят прямую, встречающую данные
перпендикулярные прямые ОХ и OY в точках А и В. Затем
из Р восставляют перпендикуляр к АВ, встречающий прямые
63
ОХ и OY в точках Аг и Bv Из точек Аг и В} опускают
перпендикуляры на ОР, отсекающие на прямой АВ отрезок
А%ВГ Доказать, что ЛВ=«зЛаВа.
Задача Кэзи
500. В плоскости треугольника найти точку, сумма квадратов
расстояний которой от сторон треугольника была бы минимальной.
Задачи из „Journal de Mathgmatiques elementaires", par M. Vuibert
601. У торговца заведомо неверные весы. Первому покупа-
телю он отпускает один фунт товара с одной чашки весов. Второму
покупателю он отвешивает один фунт того же товара на другой
чашке, думая, что он при этом компенсирует неточность .отве-
шивания. Спрашивается, выгадал в действительности торговец
или остался в убытке?
502. Доказать, что при всяком целом значении п число
Л(Л2—Л) (л2— 5л-{” 26) кратно 120.
Задача из „Journal de Mathgmatiques Speciales"
603. Найти треугольник, стороны которого а, b и с и пло-
щадь 5 выражаются четырьмя последовательными целыми числами.
Задача из „^Education mathdmatique"
604. Доказать, что при р целом и положительном выра-
жение 42р—32р—.7 кратно 84.
Задача из „Supplemento al Periodlco di Matematica"
605. Решить систему уравнений*
х 4~.У 9,
L+L + L = ,.
X 1 у 1 Z
ху xz -\-yz = 27.
Задача из „Mathesis*
508. Решить в целых числах неопределенное уравнение:
X4 у4 — и2 w2 12.
Задачи, предложенные Оксфордской испытательной комиссией
при поступлении в университет
507. 1) Дано, что а — х1\ Ь—хт; с = хп. Выразить дробь
ap-b^ ap*bq г—-
----- степенью х. Если х = 3, а дробь —-— = 1/243, показать,
cr---r cr v
что lp-\-tnq— пг — 2~.
£
2) Чашка, имеющая вид полушария, наполнена водой, а за-
тем наклонена на угол 45°. Доказать, что выльется около 88%
воды»
Задача, предложенная при испытаниях на степень баккалавра
во французской школе
508. Четверть круга АОВ вращается около радиуса ОВ.
На каком расстоянии ОР от центра О надо провести прямую
PD, параллельную прямой ОА, чтобы кольцо, описанное отрез-
ком CD, отсекаемым между хордой АВ и окружностью, имело
данную площадь тш. Найти maximum этой площади при изме-
нении расстояния ОР от 0 до ОВ = а.
5 Н. Г. Пепоя
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С ИСТОРИЧЕСКИМИ УКАЗАНИЯМИ
Вавилон
Древний* Вавилон оказал огромное влияние на развитие
цивилизации. Благодаря раскопкам, в которых в XIX веке при-
нимали участие экспедиции из Европы и Америки, найден ряд
интереснейших памятников вавилоно-ассирийской письменности
в виде глиняных табличек, испещренных особыми клинописными
знаками. Ученым удалось их расшифровать, при чем выяснилось,
что вавилоняне уже за 3000 лет до нашей эры обладали сло-
жившейся культурой. Они производили астрономические наблю-
дения, имели разработанную систему мер (метрологию) и не-
которые навцки в решении геометрических вопросов практиче-
ского характера, а прй счете пользовались так называемой
„сексагезимальной4 системой нумерации, основанием которой
является число 60. По этой системе всякое число представляется
по схеме:
а • 60" + • 60"-1 -|-... + ап_ъ• 603 4» ап_2 • 60* +
-Нд-гбо+«„. 1 - \
но ввиду того, что между 60 и 3600 (т. е. 602 * 4) интервал слиш-
ком велик, они для практического удобства вставляли промежу-
точную единицу: 600 = 60-10.
1. 195 955 200 000 000.
2. 1.21=-1-604-21= 81=92.
2-1 = 2-60 4- 1 = 121 = И2 и т. д.
8. 2- 5 = 2-604- 5 = 125 = 5».
3-36 = 3-604-86 = 216 = 68 и т. д.
4. В десятичной системе будем иметь прогрессию:
-т-96, 112, 128, 144...
5. Йели даны два числа а и Ь, то их среднее гармоническое
2аЬ а-4-& 2ab t
есть: —f—г» Очевидно, что а: —— =—г—т<Ь.
а^Ь 2 а-\-Ь
6. 1) 800 шар. 2) 900 шар. 3) 1750 шар.
4) 18 ган 1200 шар.
7. Английский ассириолог Смит упоминает о найденной им
табличке, содержавшей решение этой задачи.
Поскольку вавилоняне умели строить равносторон-
ний треугольник, задача разрешалась легко: если
на стороне ОА прямого угла ЛОВ построить такой
треугольник АОС, ясно, что угол ВОС составит
одну треть прямого. Тогда для решения задачи
остается только разделить угол АОС пополам.
8. Так как сторона шестиугольника равна
радиусу, то 2тг7? = 6/?, откуда тг = 3.
9. Если назвать пары противоположных сторон четырехуголь-
ника а, b и с, то площадь
сc-j-d
S~~ 2 ' 2 '
Черт. 7.
При а — Ь и c = d четырехугольник превращается в прямо-
угольник и S— а»с.
Египет
Вторым древнейшим культурным центром древности на ближ-
нем Востоке является Египет. В XIX веке ученым удалось рас-
шифровать сохранившиеся памятники египетской письменности
в виде целого ряда надписей на камне и так называемых „па-
пирусах*— свитках (в виде ленты) из особого писчего материала
растительного происхождения. Из математических папирусов
одним из древнейших (эпоха Среднего царства) является „Мо-
сковский* из "коллекции Голенищева, хранящейся в Пушкинском
музее искусств. Расшифровкой его занимался русский египтолог
проф. Тураев. Задача 10 замечательна тем, что она показывает,
как высоко стояли геометрические знания Египта за 2200 лет
до нашей эры. К той же эпохе (XII династия) относятся Кахунские
папирусы, затем Берлинский „6619“ с задачами на квадратные
уравнения. Особенно ценен по богатству материала так называемы^
папирус Райнда, хранящийся в Британском музее и расшифро-
ванный проф. А. Эйзенлором в 1877 г.
10. По формуле объема усеченной пирамиды
О
будем иметь:
V=А (16 4- 4 + /16.4) = 2 (16 4- 4 + 8) = 56.
и
Любопытно решение египетского математика. Приводим текст
папируса, насколько его удалось расшифровать.
„Задача решить пирамиду (сбоку приложен чертеж) как если
бы было сказано: 4 внизу, 2 наверху. Делай как делается: квад-
рат 4 дает 16. Удвоенное 4 дает 8. Делай как делается: квад-
рат 2 дает 4. Сложи 16, сложи 8, сложи 4, что дает 28. Делай
как делается: возьми одну треть от 6, что составит 2. Делай
как делается: возьми 28 дважды, что составит 56. Это есть 56.
Ты найдешь это правильным*.
11. Если стороны прямоугольника хи у, то задача сводится
к решению системы уравнений:
х т _ — = — и ху — S. у п
Перемножение даст: о ТП « —-S. п
12. Задача сводится к решению системы:
х:^=2:1 *24.3,2 —400.
Египетский математик рассуждает так: пусть первое число есть 2,
1 15
тогда второе 1 Сумма их квадратов 6—. Корень' равен — .
х & Т" Л
Но корень из 400 есть 20, т. е. в 8 раз больше, следова-
тельно, первое из искомых=2* 8= 16, а второе = 1-у 8= 12.
13. Одна часть = 12 куб. локтей. Площадь основания 12 кв.
3
локтей. Если отношение сторон 1: —, то измерения прямоуголь-
ного основания 4 и 3;
14. Задала сводится к системе уравнений:
х\у~ 1: —; х2 4-.У2 = Ю0.
Нетрудно видеть, что л: = 8; _у = 6.
1б- от={п+1} =0+етт):(й+п=
__ 1 1
“«4-i+(n4-i)(2n4-i)'
16. 16 10 12, 171.
О О Л
17. Уравнение будет:
х + ^-х — lfx-|-lx)=10; х = 9.
О о \ о /
18,Л = Тб’Х==53‘ 19' 4‘6*
• / 8 \2 тг//2
20. Так как (^rd) — —то тг = 3,16-
21. Если основание равнобедренного треугольника Ь, боковая
bh
сторона с, a высота /г, то в действительности площадь
&
Ясно, что S1^>S. При #=4, с = 10 имеем:
// b \2
1 — —j ==0, 98; т. е. ошибка равна 2 процентам.
&
22. Если нижнее основание трапеции а, верхнее Ь, боковая
сторона с, высота Л, то (см. задачу 21) обычное выр!жение пло-
щади трапеции будет 5=———•/?, а по египетскому способу
2/
5,=
(д 4" &)c
, или <S=S1-
ясно.
2
23.
24.
25.
Имеем:
2ап = 25 Ц- (п— \)dn9
2ап — (п— 1) dn — 25,
п\2а — (п—1)0=25.
315 быков.
7, 49, 343, 2401, 16807, сумма 19607.
3 1 13
26. С первого взято 1 — , со второго 1 —, с третьего 1
4 32
21
27. В сокровищнице было 172 —. В папирусе дробная часть
32
1 , 1 . 1 . 1
представлена в виде суммы кантьем:
28. При г = 5 и /?=10 ошибка около 11°/0.
Греция
Математика греков достигла своего расцвета к III веку до
нашей эры (Александрийский период). От этой ^г£охи сохранился
до нашего времени ряд трактатов по математике (Евклида, Архи-
меда, Аполлония). Наши сведения о предшествующем периоде
основаны преимущественно на сообщениях позднейших авторов,
не всегда достоверных. Хотя вплоть до VI века нашей эры продол-
жают появляться более или менее значительные работы по мате-
матике, но ни по содержанию, ни по строгости изложения они
не могут сравниться с произведениями Александрийского пе-
риода.
Греческие математики довели до большого совершенства логи-
ческое построение математики, особенно геометрии. Лишь в XIX
веке это логическое построение было поднято на более высокую
ступень. Греки довели до высокого совершенства тригонометрию
(преимущественно сферическую, развитие которой вызвано было
потребностями астрономии). Теоретическая механика (в частности
статика, гидростатика, учение о машинах) подверглась' разработке*
строгими математическими методами. Греки достигли больших
70
успехов в решении задач, ныне относящихся к области высшей
математики (интегрального исчисления). Здесь были созданы ме-
тоды, забытые в позднейшее время и вновь разработанные лишь
в XVII веке западно-европейскими математиками.
У греков мы находим также развитое учение о конических
сечениях, по фактическому материалу .мало отличающееся от со-
временного.
Греки положили начало методам алгебры; однако, хотя в этой
области ими был решен ряд трудных проблем, но метода столь
же развитого, как в перечисленных выше областях, мы у них
не находим.
С именем Пифагора (VI век до нашей эры) связан ряд мало-
достоверных сообщений. В частности так называемая „теорема
Пифагора* была несомненно известна народам древнего Востока,
от которых греки могли заимствовать и ее доказательство.
. 29. Напишем прогрессию: -4-1, 3, 5, 7, ... (2/г-|-1), где
членами будут нечетные числа. Очевидно, их будет /г —1. Сумма
их, найдется по формуле:
В пифагорейской школе это положение
доказывалось на частных примерах геометри-
чески. Квадрат из л2 клеток (на чертеже
из 25) можно представить состоящим из
клетки 1, к которой последовательно при-
кладывают „гномоны* из 3, 5, 7, 9 и т. д.
клеток, так что получаем для данного случая:
14-34-54-74-9= 0-+9)’.5 =25 = 52.
Л!
30. Очевидно, что 2л-|“ 1 ==(п-[-1)2 — п2 (легко доказать
геометрически).
31. По правилу Пифагора за меньший катет принимаем не-
четное число 2п -|-1. Если возвести его в квадрат, вычесть
единицу и остаток разделить пополам, получим больший катет:
4*/22 Г 4-/2
- (2«4-1)2 = 4«2-|-4л4-1, - У -- = 2л»4-2я.
Прибавив к полученному результату единицу, найдем гипо-
тенузу 2п2 4- 2п -|- 1. Напр., если меныпий катет 3, то боль-
ШИЙ ~ = Л 4, а гипотенуза 4 1 — 5. Указанное тож-
дество дает:
для п — \ соответственно 3, 4, 5
л = 2 „ 5, 12, 13
» л = 3 , 7, 24, 25
» л = 4 . „ 9, 40, 41
л = 5 ' , 11, 60, 61.
Платон (42£ )—348 до н. э.), один из основателей идеа-
диетической философии. Как и Пифагору, Платону приписывали
ряд математических открытий и создание новых методов доказа-
тельства.
32. Правило Платона легко найти, удврив числа, которые
брал Пифагор.
Для р = 2 будем иметь 4, 3, 5
w р = 3 9 „ 6, 8, 10
„ Р = 4 „ „ 8, 15, 17
„ р — 5 9 „ 10, 24, 26.
Евклид Александрийский (Ш в.)—знаменитый геометр древ-
ности, давший в своем классическом трактате „Начала* систе-
матическое изложение основ геометрии. Сочинение это состоит
из 13 книг, 14-я и 15-я присоединены розднее. Книги 5, 7, 8,
9 и 10-я содержат арифметику древних. 1, 2, 3, 4 и 6-я посвя-
щены планиметрии, 11, 12 и 13-я — стереометрии. Едва ли есть
другая книга по математике, которая пользовалась бы большей
известностью и распространением. Она переводилась на все
языки и выдержала со времени изобретения книгопечатания до
500 изданий.. Кроме „Начал*
Евклид написал „Три книги о
поризмах*, небольшой трактат
„Данные* и дошедший до нас в
арабском переводе трактат „О де-
лении фигур*.
33. Предложение I первой кни-
ги. Из точки А как из центра
радиусом АВ, равным данному
отрезку, опишем круг BCD. Из
точки В как из центра тем же
Черт. 9. ' радиусом оцишем круг’ АСЕ. Точ-
ку С пересечения обоих кругов соединим пря-
мыми с точками А и В. Треугольник АВС —
искомый.
34. Дан угол ВАС. Возьмем на стороне АВ
произвольную точку D и отложим на стороне
АС отрезок АЕ~ AD. Соединив точки D и Е>
построим на DE равносторонний треугольник
DEF. Точку F соединяем с вершиной угла А.
Прямая AF делит угол пополам. Доказательство
усматривается из чертежа. ®
35. Дан треугольник АВС и угол D. Де-
лим ВС в точке Е пополам и строим при точ-
ке Е угол, равный D. Через С проводим ли-
нию CG [| FE, а через точку А—линию АО |] ВС.
грам ECFG — искомый.
Черт. 10.
Параллело-
36. На окружности данного круга берем произвольную точку А
и проводим в ней касательную Off. Строим £НАС— £Е
и Точки В и С соединяем. Треуголь-
ник ЛВС—искомый.
37. Пусть АВ и АС данные линии, взятые так,
что составляют произвольный угол. Продолжим АВ
так, чтобы BD—AC. и через точку D проведем
DE, [| ВС. Тогда:
AB.BD — АС-.СЕ,
но
BD — AC,
следовательно, АВ\АС=АС\СЕ. Черт. 13.
38. Пусть даны отрезки а, Ь, с. На стороне произвольного
угла отложим DG = a и от точки О отрезок ОЕ — Ь, а на
другой стороне угла — отрезок DH—с. Соеди-
ним точки G и Н и проведём через точку Е
линию EF параллельно
GH. Отрезок HF— иско-
мый.
39. Отложим на пря-
мой один за другим от-
резки АВ и ВС, равные А
данным. На АС как на
Черт. 14. диаметре опишем полу- Черт. 15.
круг. Из точки В восста-
вим перпендикуляр до встречи с окружностью в точке £>. Ли-
ния BD — искомая.
40. Предложение XI книги второй гласит: разделить прямую
АВ в точке Н на такие две части, чтобы прямоугольник, за-
ключенный между целой прямой’ АВ и одной
из ее частей, был равен квадрату, построенному
на другой ее части.
Построение Евклида. Построим на прямой
АВ квадрат ABCD, разделим АС в точке Е
пополам и соединим В с Е. Продолжим АС
до точки F так, чтобы BE = FE. Построим
на AF квадрат AFGH и продолжим GH до
встречи с DC в точке К. Прямая АВ и будет
разделена так, что
Черт. 16.
□ АН=АВ-ВН.
Действительно: назовем НА=х и ЛВ = а, тогда ВЦ==а — х;
так как Л2?=у,то FE — x-\-~ = BEy но BE2 =АВ2 4-^В’2,
или
откуда
л2 д;2
Х2 Г =
*4 ‘4
х2 = а2 — ах — а (а — х).
У Евклида доказательство дается из других соображений.
41. Известно, что равнобедренный треугольник, основанием
которого служит сторона вписанного в круг правильного
десятиугольника, а боковая сторона есть радиус этого круга,
74 - /
имеет центральный угол в 36°, а углы
при основании вдвое большие. Евклид
строит такой треугольник, а потом в дан
ный круг вписывает треугольник ЛСО,
равноугольный уже построенному (см. за-
дачу 36). Делим углы ADC и ACD
пополам. Проводим СЕ и BD до встречи
с окружностью в точках В и Е. Со-
единяя Л с В, В с С, А с В, D с В,
получим искомый пятиугольник.
42. Впишем в данный круг равносто-
ронний треугольник Л DC и равносторонний
пятиугольник ABKGF. Разделим дугу ВС
в точке В пополам и соединим точки С и
стороной искомого пятнадцатиугольника.
ВЛ — ~ всей окружности, дуга ЛВС=
О о
1 1 2
дуга ВС=~——~ окружности, а
О О 10
Черт. 17.
В. Прямая ЕС будет
Действительно: дуга
ее, следовательно,
дуга ВС=у дуги
ВС=~ окружности.
Черт. 19.
43. Предложение XVI книги двенадцатой. Проведем диаметр
BD и в точке Q пересечения с меньшей из окружностей про-
ведем касательную Л С. Разделим пополам полуокружность BAD
и будем продолжать это деление, пока не дойдем до такой
части HD, которая меньше AD. Опустим из точки Н перпен-
дикуляр НК на диаметр, продолжим до точки В. Так как
HF [] ЛС, а последняя касается круга, то HF не будет его
касаться, тем более не будут его касаться HD и DF. HD бу-
дет сторона искомого многоугольника.
44. Предложение X книги тринадцатой. Евклид геометри-
чески доказывает, что а2 = а2Л~а2* но а- = i/10— 2т/5,
□ iu 1 о о 2 *
а10=— j/ 5— 1 j и аб = /?, где /? — радиус описанного круга.
Следовательно, имеем:
5(10-2/5)=^(/5-ip+^ = 5(6-2/5) + /?2.
т: т' тг 9
Сокращая на /?2, получим:
10 —2/5__ 6 — 2/5 ,6 — 2/54-4
4 ~ 4 ‘ 4
45. Эта задача находится в арабской рукописи, найденной
ориенталистом математиком Бёнке в Парижской библиотеке.
В ней Евклид назван автором трактата
„О делении фигур". Комментатор Ев-
/ улХ клида Прокл упоминает об этом сочи-
/ гл X. нении, но до второй половины XVI ве-
/ ул X. ка этот трактат был неизвестен. В
/ \Н X. 1563 г. Д. Ди случайно напал на араб-
f/_______uV________Хд скую рукопись того же заглавия, хотя
X. м имя Евклида в ней не упоминается.
X.____\ Проведем хорду ВС. Из середины D
£ восставим .перпендикуляр DE до ветре-
Черт. 20. чи с окружностью. Соединим А и D.
Ломаная ADE, очевидно, делит пло-
щадь АВЕС пополам. Проведем FD || АЕ и соединим Е с Е.
Прямая FE разделит данную площадь пополам.
Архимед из Сиракуз (287 — 212 до н. э.)—гениальный
физик и математик древности, ряд сочинений которого дошел до
нас. У Архимеда мы находим замечательные трактаты механиче-
ского содержания („О равновесии плоских фигур", где дана теория
рычага и вычисляются центры тяжести ряда фигур; „О плавающих
телах", где доказан закон, называемый и поныне „законом Архи-
меда". Этот закон затем применяется к исследованию условия рав-
новесия тел, плавающих в жидкости). Архимед дал строго изло-
женный метод вычисления числа п и показал, что оно заклю-
7в
чено между 3—• и 3-- („Измерение круга*). В сочинении
71 70 >
„Псаммит* (Исчисление песчинок), Архимед дает метод определения
междупланетных расстояний, совершенно безукоризненный по
идее. В этом же сочинении он предлагает десятичную систему
нумерации (греки пользовались очень несовершенной системой
нумерации). В ряде работ Архимед решает задачи, принадлежащие
к интегральному исчислению. Стремясь к логической безупречности
рассуждения, он ведет доказательства довольно тяжелым способом.
Но в одной из работ („Послание к Эратосфену*) Архимед
рассказывает о своем методе решения этих задач, который по
существу является методом интегрального исчисления.
46. Так как lim 5=—^—, то при а = 1 и q — -- имеем
1—q 4
4
Пт S—^~. Интересно доказательство самого Архимеда: надо
о
найти сумму членов бесконечно убывающей прогрессии а Ц- b
4-£‘4~^если знаменатель Имеем:
+ (4- + т + у + • =
\ о о о / \ о ]
+ (c+|) + (d+y) +---=y6+Jc+yflr+---=s
= (4£> -|— 4с -|— Ad —|— .. •) = (я b с d -|—...),
3 3
/отсюда
1
=—а
3
b ~|— с —d
и
ci —b с —d —...
4 *
“ за’
47. Известно, что поверхность сегмента равна 2тг7?-77, где
/? — радиус шара, Н—высота. Если b — прямая, соединяющая
вершину сегмента с окружностью основания, то — сле-
довательно, 5=тг^2с
48. Объем цилиндра!
3/4 \ 3
уц • 2/?= 2п/?з = у (у = у уш.
Поверхность цилиндра (полная) Sy = 2тг/? • 27? -["* 2п7?2=
3 3
= 6тт7?2=-^.4я7?2=у5ш.
49. Пусть АВ || CD. Про-
ведем линию центров ООг
и соединим точку Е с точка-
ми Л и D. Тогда / АО£==
= / DOXE и треугольни-
ки АСЕ и DOXE— равно-
бедренные, следовательно,
/^£O=2D£Or'Ho °°1“
прямая, следовательно, ED
есть продолжение АЕ.
50. Назовем площадь арбелона 5. Легко видеть, что
тг
5=-g- [Л С2 — (A D2 -J- CD2)],
а у/ z; площадь впи-
тт • ^4 • СП
но AC—AD 4- CD, следовательно, S=—; так как
4
RD*
AD*DC—BD\ то S=ir-
4
51. Если сторону квадрата обозначить через 2а, то радиус
вписанного круга а, радиус же описанной
санного круга тта2, а описанного 2тта2.
52. Проведем диаметр ТИМ [[ CD. Ясно,
что / 1 ==^/2; сдедовательно, ДЛО/7^
^£\ВОК, т. е. НО —О К* Опустим из
центра на хорду CD перпендикуляр OL.
Тогда DL = LC. Но EL — HOn LF=OK,
следовательно, EL — LF, откуда DE = CF.
53. Решение Архимеда. Прове-
дем диаметр AF и хорды' AC, AD, CF
и BD. Так как / AED прямой, то
он равен / ACF. Но / ADC =
78
следовательно, в треугольниках
ADE и AFC CAF = / DAE. Поэ-
тому дуга CF равна дуге BD, а сле-
довательно, CF^BD. Но Z>£'2~]-5£,2 =
= №(1), АД24-С£2 = АС2(2)и АС24-
-\-CF*=&AFK Подставляя значения CF2
и АС2 из (1) и (2) в последнее равенство,
будем иметь:
DE2 4- BE2 4- АЕ2 4- СЕ2 == AF2.
54. £ВОА=^/ВАО=а, если АВ=г.
Но ^/СВО=2а как внешний по отно-
шению к треугольнику АОВ. Треугольник ВОС равнобедренный,
следовательно, / ВСО=2а. Но / COD — внешний по отношению
к треугольнику А ОС, следовательно,
/СОО = ^сло + /лсо = а +
4“ 2л в Зл.
Да
Черт. 24.
тг '
55. Объем конуса . г2Л#гсли ра-
о
/ диус шара /?, то r2ft=s=47?3, и, с ледова-
п п
тельно, /?=Т/ —.
х 3 Г 3------
Объем цилиндра кг2/г, Следовательно, = 1 /
56* Усегм =Е= У сект. — У конуса,
Если отношение есть п, то ЗЛ — Q~hn и 7? —Z?(3 — я), сле-
довательно, п должно быть меньше 3.
57. У Архимеда эта задача решена в следующей форме.
„Если взяты линии в каком угодно количестве и каждая превос-
ходит следующую на избыток, равный мень-
шей из всех, и если взяты в том же числе,
как первые, другие линии, из которых каж-
дая равна большей из линий первого ряда,
то сумма всех квадратов на линиях, равных
большей, сложенная с квадратом на большей
и сложенная с площадью, заключенной между
меньшей из линий и линией, составленной
из всех неравных линий, равна утроенной
Черт. 26. сумме квадратов, построенных на неравных
линиях*. В современных обозначениях это
предложение может быть записано следующим образом: приняв
за единицу длины длину меньшей из всех прямых, мы получим
тождество:
it* -j-п? —[- (1 4~ 2 3 я)===
= з (р 4- 22+32 +.. .*4- л2).
Это тождество легко привести к такому виду, который дает
ответ на формулированный в зад. 57 вопрос. Именно, суммируя
арифметическую прогрессию 1 4~2 4“ 34~* • •~hzz, мы получим:
„2 (п4-1) + ^41^==:3 (12 + 22 + 32 +--- + и2)>
At
ь-ыуж
122® —1~ З8... 4- + 1 y+J-) .
Это тождество можно получить непосредственно, напр.,
используя тождество:
п8 _ (Л _ 1)3 — 3«2 _ Зп .
Давая п значения 1, 2, З./.n, получим:
1з_о8 = 3-12 —3-1 + 1,
2« —1»==3.22 —З-2-j-l,
Зз —23 = 3.32 — 3-.3+ 1,
л8 — (л — 1)з = з’л2-З-л-f- 1.
Сложение даст:
«8 = 3(12 + 22 +32 + ... +п2) —3(1+2+3 + ... +/?) + «.
Обозначив искомую сумму квадратов чисел через получим:
? Определяя Sn и упрощая, найдем:
_«(»+ 1) (2«4-1)
Sft 6
Герои Александрийский (II век до н. эры); в его книге
„Диоптра" впервые приводится известная из курса геометрии
формула для выражения площади треугольника, если даны его
стороны:
__]/~д + £ + с а + & — с а + с — b Ь-\- с — а
△ — 2 2 2 2 ‘
Герои дает сложное, но своеобразное доказательство этой
формулы.
58. Ответ: 84; 30 (второй треугольник — прямоугольный).
Гипсикл Александрийский (150 л. до н. эры), геометр,
которому принадлежит XIV книга „Начал" Евклида (о свойствах
правильных многогранников). Задача 59 находится в сочинении
„Анафорикос".
59. Р е ш е н и е. Имеем арифметическую прогрессию из чет-
ного числа (2п) членов: а/г, + а2д.
Сумма членов первой половины
/г.
&
Сумма членов второй половины
но an = ax-\-dn — d; an+i = at -\-dn; a2n= al-\-2dn— d,
поэтому sa==(2fll + 3rf„_rf)A
£
и
S2— $1 = у[2a! + — d — 2a1— dn-[-d] = ~ 2dn = d-n2.
6 H. Г. Попов $1
Дамасций (VI век). Ему приписывают составление XV книги
„Начал" Евклида.
60. Решение. Проведем во всех шести квадратах диагонали
АС, ЛЕ, СЕ, АН, ЕН, СН, тогда треугольники АЕС, АНЕ,
АНС, СНЕ-—равносторонние. Следовательно, AEEIC есть тетраэдр,
вписанный в куб, так как его вершины суть вершины куба.
61. Разделим ребра тетраэдра пополам в точках E,F,G,H,
L и соединим эти точки между собою двенадцатью прямыми
FE, FK, FQ, FL и т. д., которые, очевидно, равны друг другу.
Все восемь треугольников, основания которых FG, GH, НК, KF,
а вершины находятся в Е и L —> равносторонние. Следовательно,
тело EL есть октаэдр, вписанный в тетраэдр, так как его вер-
Черт. 29.
шины лежат на серединах ребер тетраэдра.
62. Возьмем середины квадратов К, L, М, N, Q, К и
соединим эти точки двенадцатью прямыми KL, LM, КМ,
Q/И, и т. д., тогда тело RQ будет ок-
таэдр. Все восемь треугольников, ос-
нования которых KL, LM, MN, NK и
вершины коих-/?, Q, равносторонние. А
потому тело RQ есть октаэдр, вписанный
в куб, так как его вершины лежат в цен-
трах граней куба.
Никомах из Геразы (I век). Его
трактат „Введение в, арифметику" пред-
ставляет первой из дошедших до нас
руководств по арифметике, которое в свое
время служило учебником и образцом аналогичных трактатов
в позднейшие эпохи в Зап. Европе.
63. Решение.
1 +(3 + 5) 4-(7 4-9 + 11) -J- (13 4-15 + 17 4-19)4-...
е
Сразу видно при разбивании на группы, что
1 = Р
8 = 2»
27 = 33
64 = 43 и т. д.
Общее доказательство: до первого числа я-й группы
берется
1 -1~ 2 -|- 3 . -4-(л— 1)= - ( п—)
А
нечетных чисел.
п(п-------1) / 1
~—-—'-ое нечетное число равно п (п— 1) —1, следовательно,
Zj
первое число л-й группы будет п(п —
В n-й группе п чисел; n-е число этой группы равно
л2— я1 4~2(/г—1) = п2-~|-л — 1,
следовательно, сумма членов я-й группы равна
(/г2 — /г —[— 1 /г2 -|— /г — 1) п —пз9
в 2
Диофант Александрийский (II — III век нашей эры), знамени-
тый греческий математик. Из 13 книг его трактата „Арифме-
тика “ до нас дошло только шесть^Он первый из греков ввел
некоторые сокращенные обозначения — шаг к символической
записи математической мысли. Методы решения задач у Дио-
фанта крайне остроумны и своеобразны, но общих приемов нет.
Он занимается преимущественно алгеброй и арифметикой, чем
отличается от* предшествовавших ему ученых, главным образом
работавших над геометрией.
64. Решение Диофанта. Положим, что меньшая часть
от второго деления есть х. Тогда большая часть от первого
деления будет 2х. Меньшая часть от первого деления 100 — 2х,
а большая часть от второго деления 300 — 6х. Обе части от вто-
рого деления должны составлять 100, следовательно, 300 — 5х =
= 100, откуда х==40.
0* 83
65. РешениеДиофанта. Пусть 2л — разность обоих чи-
сел. Тогда большее 10л, меньшее 10 — л. Произведение
100 — л2 = 96; л2 —4 и л=2. Искомые числа 12 и 8.
66. Решение Диофанта.
Пусть
^y=d.
2
Сложение даст х = 5 -|- d, вычитание у = 5 — d\ (5-]~dQ24~
_|_(5 —йГ)2 — 68; 50 4~2rf2 = 68; 2^=18; <Z = 3; х = 8; у =2.
Обычное решение:
__х2 Ц-д/2 2*У ==Ю0
=68
2ху = 32
х2-\~у2— 2ху — (х—j>)2 = 36; х—у = 6.
Затем комбинируем с х-\-у—10,
67. Задача сводится к решению системы:
1 1 1n 1
x-y—-^z’ y—z=Yx’ z~10== з’-У:
откуда х = 45; у = 37-^-; г = 22-^-
68. *=3;
Возводя
получим:
почленно в квадрат обе части первого уравнения,
4 = 9 „ ^ф?=10.
уЪ у%
Сравнение со вторым уравнением дает:
10y2 = 5(x+j/),
2>2 = х4~У,
но х = 3у, следовательно, 2у2 = 4иу; у —2; х — 6.
84
69. Задача сводится к решению системы:
(х 4-jz) z = 35,
(x4-z)j/ = 27,
(y + ^)x = 32,
откуда
х = 4; у = 3; z = 5.
70. Получаем систему:
ху 4" х -{-J/ = 8,
yz -|- У 4“ z = 15,
xz + х 4“ £ = 24,
И 7 17
х==^;у==У;г==з--
71. Имеем уравнения:
5х 4” 8у = л2; п2 4~ 60 = т2\ т — х 4-.У,
где х и у — числа мер вина обоих сортов.
60 = т2 — п2 = (т 4- п) (т — п).
'Можно положить:
т л = 20; т — л = 3,
тогда
11 1 о 1 л 11 а 1
от = ц_;л = 8-;^ = 4-; х = 6^.
72. РешениеДиофанта. Пусть первое число 8х. Тогда,
приняв второе равным х2 — 1, мы выполним одно из требова-
ний, так как произведение этих чисел 8х8 — 8х, сложенное
с 8х, составит 8х3, т. е. куб некоторого числа. Необходимо,
чтобы это же произведение, сложенное со вторым числом, со-
ставило куб некоторого числа, т. е. чтобы 8х34~*2— Зх—1
было кубом. Полагая, что это выражение равно (2х—1)3 =
= 8х3 — 12х24”6х—1, и решив уравнение, найдем:
14
*“13 ’
Следовательно:
« 14 112
первое число 8 • — = , а второе
1о 1о
14\* _ 27
13/ *“169’
Во втором условии Диофант выбирает число так, что в по-
лучаемом кубичном уравнении уничтожаются члены с кубами
неизвестного в обеих частях уравнения.
73. Решение Диофанта. Пусть сумма всех трех чисел
будет х2 -J- 2х -Н 1 = (хI)2-
Пусть 14- II = х2, тогда III = 2х 4~ 1.
Пусть II 4- Ш = (х—1)2 = х2— 2x4-1, тогда I найдется
вычитанием из общей суммы х24“2х4~1 суммы П4-П1, равной
х2 — 2%4“1* Получим I = 4х. Следовательно, II =х2—4х. Те-
перь! 4~III — 6х4- 1 должнобытьквадратом. Пусть 6х4~1 —121,
тогда х=20, 1 = 80; 11 = 320; 111 = 41.
74. Решение Диофанта. Пусть гипотенуза есть х3 4" х9
а катет х8— х.
Тогда второй катет будет:
/(х8 4- х)2 — (х3 — х)2 =2х2,
но 2х2=х8, следовательно, х = 2, гипотенуза 10, первый ка-
тет 6, второй 8.
Ямвлих (IV век,) — один из комментаторов Никомаха.
75. Решение. Вычитая почленно из 1-го уравнения 2-е,
имеем:
у — z~2z-\-2u— Зу—3zZ, или 4у — 3z =— и.
Вычитаем из 1-го уравнения 3-е: у — u — 2z -\-2и — 4у — 4г,
или 5у4”2г = 3я. Теперь имеем систему:
4у 4“ и — 3*
5у — Зи = — 2г*
Уравнивая коэфициенты при z, найдем 23jz — 7zz = 0, откуда
23
й = у у; если у = 7, то и —23 и z — 17. Из 1-го уравнения
х=73.
76. Прием, аналогичный приему предыдущей задачи.
х=229; j/=149; *=131; «=121.
Метродор (время жизни неизвестно) — автор задач в стихах
(гекзаметр), вошедших в рукописные сборники, имевшие боль-
шое распространение.
77. Задача сводится к составлению уравнения:
у * 4- 4- у х 4- 5 4- ~ х + 4 = X,
откуда №=84.
78. Золото и медь составляют 40 мин, золото и олово 45,
золото и железо 36. Если сложить, то тройное количество
золота, олово, медь и железо составят 121 мину. Следовательно,
двойное количество золота равно 61 мине, и ординарное
30,5 мины. Тогда легко найти, что меди было 9,5 мины,
олова 14,5 мины, железа 5,5 мины.
Греческая Антология— „Anthologia Graeca“ —арифмети-
ческий сборник, содержащий 48 задач, условия которых написаны
в стихотворной форме. В X - XIV веках они были в большом
хбду и служат прототипом „Recreations math£matiques“.
79. Составляем уравнение:
1 I 1 । 1 io
— x-j- — — х*
откуда х = 28. Можно решать, как и следующие задачи, ариф-
метически.
80. Система уравнений:
x-\-~z=y, (1)
.У 4- 4 x=z, (2)
О
z — ЛГ=1О, (3)
Из (1) и (2): 2х —г, следовательно, из (3) х — 10; гг —20;
О
О
12
81. Ответ: в-г дня. 82. Число, кратное 12.
20
83. У мула 7 мешков, у ослицы 5. 84. 5-|-дня.
85. В дня. 86. У Эрота было 3360 плодов.
Папп Александрийский (300 — 370) — автор ценного трактата
„Математический сборник* в восьми книгах. Первые две
утрачены. Благодаря этому сочинению мы получаем возможность
составить представление о ряде математических работ греческих
авторов, непосредственно до нас не дошедших. Папп не только
превосходный комментатор, хорошо изучивший авторов, но
и последний великий греческий математик.
87. Ясно, чтоДА'С'В' = Д АВС (данному); параллелограмы
АА'СС и ВВ'С'С равновелики данным параллелограмам ADEC
и BFQC, так как их высоты и основания со-
~ С* ответственно равны. Если от фигуры АА'С'В'В
отнять треугольник А'СВ') то останется па-
\ раллелограм АА'В'В. Если отнять треуголь-
ник АВС, равный треугольнику Л'В'С', то
останется сумма параллелограмов АА'СС' и
A В ВВ'СС или равновеликая ей сумма парал-
лелограмов ADEC и BFCG. Очевидно, это
Черт. 30. предложение есть обобщение теоремы Пифа-
гора.
88. Пусть площади секторов k и kv сегментов S и
треугольников ОВС и О1В1С1— соответственно Д и Др радиу-
сы кругов г и гр основания сег- _
ментов а и av В^^^^ЬС
Треугольники подобны, поэтому ®
Д:ДХ == а2:^2 ^г2:/^2, но k\kx — 'и *
= г2:гх2,следовательно, Д:Д1=Л:Л1, g 1
или &:Д = /г]:Д1 (1). Так как
S = k — Д и — kx -г Др то Черт. 31.
= й — Д:АХ — Дх;
но из пропорции (1) имеем:
k — Д___Aj *
—Д~ “ Д1 ’
или
k — Д Д а2
kx—
следовательно, 5: — а2: ах1.
88
89. Пусть отрезок ВС—искомый (в смысле направления).
Построим £\АВС в произвольном положении. Мы имеем осно-
вание, противолежащий угол и биссектрису. Опишем на данном
отрезке ВХС1 дугу, вмещающую
данный угол, и восставим из се-
редины Ех хорды ВХСХ перпен-
дикуляр EXFV Теперь задача све-
лась к тому, чтобы из середины
дуги провести такую хорду,
часть которой за хордой ВгС} рав-
нялась AD. Треугольники ЕХГ\ОХ
и XAJ\HX подобны, и поэтому
FjDj — •^1^1» а так
как F141 = F1D14-A1D1, то, сле-
довательно, FXDX2 «4^ =
= /7^ -EJy = С^2 (так как C1F1 есть катет прямоугольного тре-
угольника //jCjFp не обозначенного на чертеже). Положив
E1E)l—xi A1D1 — bi С^—с, имеем: x2-[-xb = c2. Отсюда
легко строится х. Засекая радиусом F1Di=x дугу, найдем
точку Dp соединив F^ и Dp продолжаем FlD1 до пересечения
с окружностью в точке Треугольник AlBlCi построен.
Остается на стороне данного угла отложить АВ — А1В1 и
провести BD.
Рим
Арцерианский кодекс — рукопись, ныне хранящаяся в Воль*
фенбюттельской библиотеке и называемая по имени Арцериуса,
владельца ее (в конце XVI века). Написана она, вероятно,
в VII, может быть, даже в VI веке. Она содержит ряд отрыв-
ков, принадлежащих римским писателям-геометрам, воспитав-
шемся главным образом на сочинениях Герона Александрийского,
что ясно из содержания большей части этих отрывков. Римляне
были трезво практичны, и математическим наукам придавали зна-
чение постольку, поскольку им необходимо было вести торговые
и хозяйственные отчеты или межевать землю. Из среды римских
граждан не вышло ни одного хоть сколько-нибудь выдающегося
математика.
Эпафродит — один из римских геометров, которому, кроме
чисто геометрических задач, принадлежит еще несколько сочинений
89
о свойствах чисел, не имеющих, впрочем, самостоятельного зна-
чения.
120 70
90. Решение Эпафродита. -=- = 24 и-— = 14, сле-
5 5
довательно, по основанию участка рассажено 25, а по высоте
15, а всего 25*15 = 375 деревьев. Частные 24 и 14 выражают
число промежутков, следовательно, деревьев в каждом ряду на
одно больше. Вообще, если измерения участка а и Ь, а проме-
жуток равен d, то число деревьев на участке;
*
91. Надо показать, что
1»-|_2»4-38-Ь ... 4-z;8 —
I I
Эпафродит основывается на задаче Никомаха (задача 63). Так кай
куб числа п выражается суммой последовательных нечетных чи-
сел, из которых последнее будет zz2 —[—/г—1, то
1_|^8-|-5 4- ... + = 18 4-28 4-... 4-д8,
но левая часть этого равенства есть арифметическая прогрессия,
. r П(П 4- 1)
у которой ^ = 1, б/ = 2 и число членов равно - J.
At
Следовательно, сумма равна:
i-l-zz24-n —1 /2(^4.1) гд(п-4 ОТ3
2 2~ “ I 2 J ’
Обычно вычисляют сумму кубов, основываясь на тождестве:
/г4 — (п — I)4 = 4/г8 — 6/г2 4~ 4п — 1. Изменяя последовательно
значение п, начиная с единицы, получим ряд тождеств, аналогич-
ных тем, которые получаются при суммировании квадратов
(см. задачу 57). Сложение их даст:
/г4 45— 1 )(2п 4-1)4- 2п(п 4-1) — л,
откуда по упрощении
Гп(Л41)]а
L «
Витрувий Руф — римский геометр.
92. Решение: AB = AE-\-R; AE = AD,
BC=zFC^R; FC^DC,
следовательно,
Л#4-ВС==2/?4-ЛС,
откуда
2R = AB-{-BC— AC.
В данном случае
2/? = 9-|-12—15 = 6.
Эрфуртский кодекс — рукопись позднего происхождения
(может быть, XI века), представляющая собрание отрывков,
иногда более полных, чем Арцерианский кодекс: в нем имеется
ряд стереометрических задач, которые отсутствуют в древ-
них списках.
Марк Юний Нипсус (жил не позже II века). Римский писа-
тель-геометр.
93. Если —"Ь—2 = л то ^2Н выражает объем
3 14
Л *D2H
цилиндра, который определяется формулой —-—, следовательно,
TV 11 22
"4 =14’ 0TIW ir=y.
94. Решение Нипсуса. Мы укажем ход его вычислений,
пользуясь современными обозначениями. Пусть Ъ и с — катеты,
•Д— площадь и а —данная гипотенуза. Имеем:
а2 = b2 с2
4Д = 2Ьс.
Сложение и вычитание дают:
откуда
а2 4-4Д = (£-f-c)’
а2 — 4Д = (Z> — с)2,
ь 4 /^2 4”
b— £ = j/а2 -—4Д.
Сложение приводит к
/д24-4Д 4- /а2 —4Д
Затем Нипсус вычисляет с не вычитанием, как сделали бы
мы, а по формуле
с — Ь— (Ь — с),
зная b и Ь — с.
При данных числовых значениях
6~|-с = /Т225==35
Ь — с= /25 = 5,
откуда 6 = 20, с =15.
95. РешениеНипсуса
Д =//>(/> — a) — (/> —с) = /12-6-4-2 = 24.
Проще было бы, конечно, взять половину произведения
катетов.
Юний Модерат Колвелла (I век) в своем сочинении
„О сельском хозяйстве44, касаясь землемерия, указывает земель-
ные меры и решение девяти геометрических задач с числовыми
данными.
96. Если а — сторона правильного треугольника, то его пло-
г—
щаДь Д = — |/3, Если приравнять это выражению, данному
26 1
Колумеллой, то получим, что /3 = —, или 3 = 3-——= 3,00(4).
4
Погрешность —%.
AJ I
Шартрская рукопись (на пергаменте, хранится в библиотеке
города Шартра) XI века, содержит ряд отрывков из сочинений
римских землемеров.
97. По формуле Герона площадь треугольника равна 84. С дру-
гой стороны, она равна-Ц-Д где 6 —искомая высота. Следова-
тельно, л = 11—.
Китай
Китайские летописцы относят начало истории своей страны
к 2637 году до н. э., ко времени третьего по счету императора
Хоанг-Ти. Однако, первые следы развития культуры Китая заходят
не далее 1500 лет, а точные исторические сведения начинаются
с 841 г. до н. э. К числу важнейших изобретений в области
математики относится китайская счетная доска для быстрого
счисления и мгновенного выполнения четырех арифметических
действий с большими цифрами, вплоть до одиннадцатизначных.
В XVIII веке это изобретение проникло в Россию в измененном
виде конторских счетов. Математические знания китайцев изло-
жены в энциклопедии, носящей название—„Лей-шу сан-тцай
Ту-гуй“ в 120 книгах. Большое издание этой энциклопедии
в XVIII веке заключало в себе 78 тысяч таблиц, отпечатанных
с резных досок. Теоретической разработки проблем математики
и механики в китайской литературе не встречается.
«Сами китайцы считают свою культуру весьма древней; осно-
вываясь на свидетельствах своих летописцев, они склонны думать,
что культура эта создавалась вне всяких иноземных влияний.
Подобная уверенность объясняется тем, что все заимствованное
в глубокой древности из Вавилона, а позднее из Индии и от
арабов в области математики в китайской переработке, действи-
тельно, утрачивало почти всякое сходство с первоисточником.
В дошедших до нас памятниках их математической литературы
оригинальна именно внешняя сторона, форма, но не содержание.
Единственная область, в которой проявилась их самостоятель-
ность, это — неопределенный анализ. С XIII века начинает сказы-
ваться влияние европейцев.
Трактат „Киу-Чанг“ („Девять отделов искусства счета*).
Если верить летописям, то это древнейший китайский математи-
ческий трактат, начало составления которого положено за 2637 лет
до н. э. Он содержит ряд вопросов по землеизмерению, мет-
рологии, измерению объемов, действия со степенями и корнями,
задачи арифметические, на уравнения и геометрические, глав-
ным образом с применением теоремы Пифагора.
98. Если бы в клетке были только фазаны, то число ног
было бы 70, а не 94. Следовательно, 24 ноги лишних принад-
лежат кроликам по 2 на каждого. Ясно, что кроликов было 12
и, следовательно, фазанов 23.
99. 7 купцов, 53 каша.
100. Составляем систему уравнений:
5х-|- — Ю; 2х4-8у = 8.
7 5
Вол стоит 1-д- таэла, баран таэла.
Трактат „Девять отделов искусства счета" представляет
комментарий, написанный в середине XIII века, к более древнему
трактату (начало VIII века) „Таен лии-шу “.
101. Из условий задачи следует, что
л
19 х 4-1 = 17у 4-14 = 12z 4- 1,
где х—число раз отсыпания риса лопатой,
у— „ „ „ „ башмаком,
z— „ « » миской.
12г 1
Так как 19х = 12г, то х — -гтг ; х, у и z — обязательнейшие- i
19 з
ла целые. Следовательно, можно положить, что z — 19я. Отсюда j
получаем* неопределенное уравнение с двумя неизвестными
17у13—228я. Наименьшее значение я, при котором у будет
целым, есть я= 14; х=168; у =187; г = 266.
1-й похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го |
2-й „ 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го ]
8-й „ 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.
В каждой бочке было рису 3 ши 1 тау 9 шингов 3 го.
Трактат „Начала искусству вычисления“напечатан в 1593 г.
Содержит ряд статей и задач по арифметике, геометрии и алгебре,
причем много вопросов заимствовано из „Киу-Чанг“.
102. Имеем систему: Зх 4” 2 = 5у 4 3 = 7г 4“ 2, отсюда
7z
3x — 7z и Наименьшее значение г — 3, тогда х —7
о
и у —4. Искомое число есть 23; следующее возможное значе-
ние 128 и т. д.
103. Глубина озера 12 фут.
9 I
104. Надломленная часть 5—- фута.
г и
105. Пусть а, с — стороны, р— периметр, Д— площадь.
Тогда /? = а 4“ ^4^’ с2 = аа4~^2 и я# = 2Д.
94
i
Из 2-го и 3-го равенств (а -|- #)2 — 4Л 4" £2> (р—£)2 — 4ДЦ-^,
откуда
р2 — 4Д
С~ 2р ’
Зная с. имеем а~\-Ь—р— с и ab — 2Д. Значения а и b
определяем как корни квадратного уравнения.
106. Если а и Ъ — стороны прямоугольника, периметр 2/?,
площадь 5, то ab — S и а ~|~ b —р, откуда найдем а и b как
корни квадратного уравнения.
107. Центр круга — в пересечении биссектрис двух углов
треугольника.
Трактат „Чеу-пей“— один из древнейших (около 1100 лет
до н. э.), написан в разговорной форме и касается свойств
прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.
108. Тождество 2 (л2Ц-/?2)—(а—Z>)2 почти очевидно.
Китайцы доказывали его геометрически. Возьмем квадрат ABCD из
49 клеток (черт. 34.). Тогда очевидно, что
A EFH 4- КСОМ 4- HNQD 4«
4- BKLE — MLNF — ABCD,
или
2AEFH+ 2HNbG — MLNF= ABCD
2(42 4- 32) — (4 — З)2 = (4 4- 3)2.
109.16 фунтов второй смеси стоят 56
дяо. Если первой смеси взять вчетверо боль-
ше, то она будет стоить 108 дяо, причем
в ней будет число фунтов 1-го сорта то
же, что и во второй смеси, а число фунтов
2-го сорта — на 20 больше. Так как при Э'
на 52 дяо, то фунт 2-го сорта стоит 2,6 дяо, легко видеть, что
фунт 1-го сорта стоит 3,8 дяо.
110 с + 6+д_______________________ 1
abc (а 4-б4~£) (л— Ь— с) с(а —Ь — с)*
Индусы
Древнейшие из дошедших до нас математических сочинений
индусов относятся к III — IV векам нашей эры. У старинных
индусских авторов мы находим сведения преимущественно из об-
95
стоимость больше
ласти арифметики и алгебры. Работы индусов в этой области
оказали большое влияние не только на ближайших соседей инду-
сов, но через посредство арабов — и на европейцев.
Арифметика из Бахшали. Рукопись на березовой коре без
имени автора, найденная при раскопках в северо-западной
Индии. Она представляет неполную копию, сделанную в VII
или VIII веке с более тсревнего памятника (III или IV века).
Некоторые задачи своими условиями напоминают задачи Диофанта.
111. Анонимный автор решает задачу по правилу так назы-
ваемого „ложного положения". Если бы первый дал 1, второму
пришлось бы дать 2, третьему 6, четвертому 24, а всем вместе 33.
Но они дали 132, т. е. вчетверо больше, следовательно, и каждый
дал вчетверо больше: первый 4, второй 8, -третий 24 и чет-
вертый 96.
112. В конце второго дня.
113. По условию имеем: ДГ4~5 = н2 и W—11==^ откуда
16 — и? — v2 (и -j- v) (и — v), следовательно, получаются две
комбинации:
’’ 2} « = 5; « = Зи«=20,
П) и 4- v — 1 б"!
и— v — 1/
17
2
15 1
v = — и N—Q7--.
2 4
„Сулва-сутра“, или „Правила веревки"—сборники правил,
касающихся постройки жертвенников, их формы, размеров и ори-
ентации. В настоящее время известно
3 таких сборника. Авторы их — Бод-
гайана (VI или VII век до н.
э.), Катиайана и Апастамба (IV
или V век).
114. Правило Апастамбы:
„Отрезать стороной ЕС меньшего
квадрата ECFQ часть большего
(ABCD), т. е. прямоугольник НВСЕ.
ДиагЛаль его BE дает столько же,
сколько дают его измерения, т. е. стороны данных квадратов" (черт.
35). В этих словах мы видим формулировку теоремы Пифагора.
Квадрат, построенный на BE, будет равен сумме данных квад-
ратов.
Об
115. Второе правилоАпа-
стамбы: „Отрезать стороной ЕС
отнимаемого квадрата часть (прямо-
угольник НВСЕ) от большего и про-
вести большую из сторон НЕ отре-
занной части до встречи с другой
стороной ВС. Отрезок КС— иско-
мый44 (черт. 36). Ясно, что КС2
= КЕ2 — ЕС2 = АВ2 — ЕС2.
116. 5, 13, 17, 25, 37, 39.
117. Если диаметр круга Z), то —
2
, следовательно,
< 676
П — 225 ’
или тг = 3,00(4), т. е. меньше истинного 3,141...
Погрешность около 4,3°/0.
Ариабхатта (род. в 47о г.), астроном и математик, автор
трактата „Ариабхаттиам44, написанного в первой половине VI века
и состоящего из 4 частей. Вторая часть, изложенная крайне
сжато в виде правил, касается арифметики, алгебры, геометрии
и тригонометрических таблиц.
118. Решение. Пусть у 1-то а вещей и т монет,
у 2-го b вещей и р монет.
Если х — ценность вещи, то ах -|- т = Ьх -|-р, откуда
р— т
а — b
х —
119. Эта задача есть, в сущности, родоначальница наших пре-
словутых задач о „курьерах44. Ясно, что до встречи одно светило
, d — х
пройдет путь х в “ времени, а другое путь а — х в —,
х d — х vd
следовательно, — =------ , откуда х = ;— .
'Vi v
гг о п(а-\-1) п[2а-\-г(п—1Л
120. Так как 5=з=^—----------------<1,
Л
то 2S^2an-\-rn2—rn, или n2r — n(r — 2a)— 2S = 0.
Решение этого квадратного уравнения дает:
п г —2д± / (г —W+85r
7 Н. Г. Попов
97
Если отбросить отрицательный корень и упростить, получим:
л = 1| 1 I ~2а+ /(/—2а)2 + 8^1
2 L ’ г J •
121. Эта задача представляет суммирование так называемых
/г(п + 1)
треугольных чисел вида: .
НапишехМ натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 . . .
Ряд треугольных чисел будет:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...
Ясно, что сумма двух рядом стоящих чисел всегда пред-
ставляет точный квадрат. Обозначая любое треугольное число
символом Г, будем иметь:
гя4-т„._1=«2
Tn_14-7'n_2 = («-l)2
Т’з + ^2 =32
+ Тх =22.
Назовем сумму Тх -f- Т2 4~ Ts 4~ • • • 4" Тп через 2Я, тогда
сложение предыдущих равенств даст:
Гя+2(Т„_14- г„_2 + ... + ту 4- Л = .
=«2 4- (п—1)3 4-.. • 4-32 4- 22>
или
2Л4-2л-(Л4-гя) = 5я- 1,
где Sn — сумма квадратов натуральных чисел,
22 =5.- ! + , + + + П +
(Гх = 1), или
__/Ф* 1)(2^ 1) 4~ "Р~ U
*— 6
_ п(п+1)(2д-[-4)
6
У п(п 4“ 1)(п + 2)
л. —-——————1 ,
Например,
10.11-12
6
220.
2ю
Парамадисвара, индусский математик, о котором известно
только, что он комментировал сочинение Ариабхатт^.
122. Метод обратных действий заключается в том, что к иско-
мому подходят, производя действия над числами в порядке,
обратном тому, какой указан в условии задачи, при чем, оче-
видно, и все действия заменяются обратными. Иногда этот прием
называют „методом инверсии"
/4 = 2; 2-|-1вЗ; 32 = 9; 9 — 6 = 3; 8-6 = 15; ^=5.
О
. Сридхара — автор трактата „Ганита-сара“, или „Сущность
вычисления". Бхаскара-Ачариа часто на него ссылается и даже
заимствует от него задачи. Время жизни с точностью не уста-
новлено, но во всяком случае в промежутке VI—X веков.
123. Составляем уравнение:
± х4-| х4-3 4-1 =х,
откуда х=15.
Брамагупта, знаменитый индусский математик (род. в 598 г.).
Его астрономический трактат „Брама-спутта-сидданта“ состоит
из 20 книг. Из них книга XII содержит арифметику, а XVIII —
алгебру. В арифметической части ряд глав посвящен разбору
интересных геометрических вопросов. Алгебраическая—занимается
по преимуществу уравнениями первой и второй степеней как
определенными, так и неопределенными.
124. Если искомая высота х, то
х 4“ j/ (х -|-* ^)2 + w2^2 — 4“
Перенося х в правую часть и возводя в квадрат, по упро-
щении будем иметь:
х(т + 2) — hm,
откуда
hm
XlE=z 4 $ *
7* .
99/
125. Из подобия треугольников (черт. 37)^ имеем:
h hd
126. Легко видеть, что
d
(черт. 38),
х—h
откуда
r 4“ 4~ *0
F b
Черт. 39.
127. Треугольники BCF и ВАЕ п®-
добны (черт. 89) (последний треугольник
получается, если из вершины В провести
диаметр BE и соединить точки А и Е). Из
ис
подобия их а: h ==» BE: с, откуда — = BE.
128. Эта задача легко решается на осно-
вании леммы Архимеда (задача 53).
Действительно (48рт. 40):
где D — диаметр, но
т2 4" Р2 — а2
q2 4~ л2 =
следовательно,
a2 + b2 — D2;
х
точно так же:
т2 q2 = с2
Д2 р2 — ^2,
следовательно,
c\+d2 = D2.
129. Так как
MN2
МК2 — ~-=^а-Ь — а(О — а),
где D — диаметр (черт. 41), то
ЛТ/У2
-й----Ua2=aZ);
4 1
деля на а, получим:
MN2 .
4а ’
130. Это вытекает из зависимости
4aD — 4а2 = Л!№,
полученной в предыдущей задаче. Вычитая обе части почленно
из Z)2, получаем:
D2 — 4aD + 4а2 = D2 — MN2
(D — 2a)2==D2 — MN2
D—2a— / D* — M№
«== "J (D— j/Z)2 —Af^).
; Бхаскара-Акариа (род. 1114 г.), знаменитый индусский
математик (приставка „акариа" означает „мудрец41, „ученый"),
автор трактата „Сидданта-сиромани". Введение к нему содержит
арифметику — „Лилавати", что буквально означает „прекрасная",
и алгебру — „Виджа Ганита" (вычисление корней).
131. Решение Бхаскар ц. Если бы искомое число рав-
нялось 3, то по условию 3* 5 15, одна треть от 15 равна 5.
Так как 15 — 5=^10, то если разделить 10 на 10, получим
единицу. Если прибавить к ней , -i- и -i- от 3, будем иметь
О & 4
, , , . 3 . 3 17 17
1 + 1 -f- тг 4--Т-, т. е. — , но должно быть 68, т. е. в 68: — =
2 4 4 4
= 16 раз больше, следовательно, искомое число 3*16 = 48.
132. • у Ю4-/24 4-/40-|-]/бб==
j/* 2 Ц- 3 -|~ 5 —2 / 2 • 3 2 / 2 • 5 4~ 2 / 3 • 5 =
«=в]/(/2 +/3 4-/5)2 = /2 4-/3 4-/5.
133. Составляем уравнение: 4~ ~т 4~ 4“ 4г 4~6=х, от-
о 4 О О
куда х=120.
134. Если у первого было х, а у второго у, то
х-[~ Ю0 = 2 (.у — 100)
Ю = 6(х — 10),
откуда
х = 40; j=170.
Но решение Бхаскары оригинально: пусть у первого 2х—100,
а у второго аг —100, что удовлетворяет первому условию. Тогда:
6(2х—110)=*4-110,
откуда х = 70, следовательно, у первого 140—100 = 40, у вто-
рого 70 —100 = 170.
/ 1 \2
135. Уравнение будет I — х \ -{- 12 = х, откуда хг — 48;
х2 = 16.
Уравнение, готовое к решению, имеет вид: х2 — 64х -|-
-[-768 — 0, но Бхаскара пишет х2 — 64х = — 768 и прибавляет
к обеим частям по 322:
х2 _ 64x + 322 = — 768 + 1024
(х —32)2 = 256
х — 32 = /256=16 и^ = 48.
В данном случае, говорит Бхаскара, отрицательные единицы
первой части таковы, что единицы второй части меньше их,
а потому последние можно считать и положительными и отри-
цательными, и получаем двойное значение х: 48 и 16.
102
136. Решение Бхаскары. Пусть число пчел роя 2х2.
g
Тогда корень квадратный половины этого числа есть х,.а —
и
16 ,
всего роя равны — х2, следовательно,
2x2 ==х + тг*2 + 2;
У
2х2— 9х=18; х=6 и 2х2 — 72.
137. Уравнение:
х34-12х = 6х24-35.
Решение Бхаскары:
х3+ 12х — 6x2=35.
Вычитаем по 8:
х8 —6х24~ 12х —8 = 27
(х —2)3 = 27
х —2 = 3 и х = 5.
Для нахождения двух других корней (которые Бхаскара не
да$т) мы решим это уравнение несколько иным (но также эле-
ментарным) путем:
х3 —6х24-12х —35 = 0,
х8 — 5х2 — х2 4- 5х 7х — 35 = 0,
х2 (х — 5) — х (х — 5) + 7 (х — 5) = 0,
(х —5)(х2 —х-4-7) = О,
откуда либо х — 5 = 0, и, следовательно, хх = 5, либо х2— х4~
4-7 = 0, откуда легко найти х2 и х8.
138. х4 — 2х2 — 400х = 9999
х4 — 11 х3 4-11 х3 — 121 х2 4-119х2 — 1309х 4~ 909х—9999 = 0
х3 (х—11)4-11х2 (х— 11)4-119х (х—11)4-909 (х—11) = 0
(х —11) (х3 4-Их2 4- 119x4-909) = 0,
отсюда х — 11=0 и, следовательно, xt = 11 — корень, кото-
рый дает Бхаскара. Но имеем, кроме того:
х8-{-11№+ 119л: 4-909 = 0
X3_j_9x2_|_2№4-18x-|- 101x4-909 = 0
№ (л: 4-9) 4-2л: (x 4-9).101 (x4-9) = 0
(x-f- 9) (x2 4- 2x 4- 101) = 0,
следовательно, x3 = —9 и x2 4~ 2хЦ- 101 = 0, откуда найдем
МНИМЫк корни Xg И х4.
139. Бхаскара пользуется тождеством:
[(/я2 4- л8) х]2 == [(т2 — л2) х]2 4- (2/п/гх)2
и принимает (т2-{-п2)х за гипотенузу, а (т2— я2)х и 2тпх
за катеты. Тогда nd условию: (т2 4~ л8) х == tnn (т2 — п2) к2, еле»
цовательно,
140. Ограничимся указанием для треугольника. Его сторона
в данном случае равна 1000'j/З, но уЗ =к 1,73205, следова-
тельно, 1000* 1,73205 =» 1732,05.
... ‘ р2 . 1 D2 itD2 тг 1.11л
141. Имеем V + или _==_4__._1»
откуда
тс =
142. Пусть диаметр равен d; основание сегмента АВ = а.
Искомая высота DC=h (черт. 42). Тогда ——h(d—h)—hd— h2.
Получаем квадратное уравнение:
2
143. 16 — нишка.
о
144. Уравнение ах 4~ by 4~ с = ху может быть преобразовано
так: с — ху— ах — by.
Прибавляем по ab\
ab-\~c = xy — ах — by
или
ab-\-c—y (х—Ь) — а(х — Ь)^(х — Ь)(у — а).
Бхаскара заключает, что в случае рациональных х и у надо
взять;
х = Ь-\~п
У = а-\
ab-^-c
П *
145. Эта задача предложена одним индусом профессору
Дельбо.
Решение: Пусть х — число плодов, доставшихся утром
каждому. Тогда Зх-|- 1 есть то, что осталось на утро. Третий
» 1 3
взял (Зх-|"1), следовательно, он нашел (Зх4’Ь + 1*
Второй взял
первый взял
, а нашел
8
27*+19 , .
ИЛИ -------= Зх ч-
о
, что должно быть числом целым. Наименьшее
значение х, удовлетворяющее этому условию, будет 7. Следова-
тельно, первый взял 26 плодов и 1 дал обезьяне, второй взял
17 плодов и 1 дал обезьяне. Третий взял 11 плодов и 1 дал
обезьяне. Утром каждый получил по 7 плодов, т. е. все вместе 21,
и одшГдали обезьяне. Все число плодов: 26 -|- 17 -j- И -4-2Т 4"
4-4 = 79.
Евреи
Научные знания древних евреев складывались под влиянием
Вавилона и Египта.
Влияние первого особенно сказалось в еврейской метроло-
гии. Первоначальные геометрический сведения носили узко прак-
105
тический характер обмера полей, определения емкости сосудов
и т. д. Арифметические знания были необходимы для ведения
хозяйственной отчетности. Основным памятником раввинской
письменности является „Талмуд* (т. е. учение, изъяснение), со-
здававшийся в промежутке от 300 г. до н. эры до 500 года.
Это — своего рода огромная энциклопедия, где в целом ряде
трактатов имеется много сведений по астрономии, матема-
тике и метрологии. Значительное число ученых, переводчи-
ков и комментаторов в области точного знания работало при
дворах калифов в позднейшие эпохи расцвета арабского влады-
чества. Средние века дали также несколько имен. В новое время,
когда математическое творчество стало общечеловеческим достоя-
нием, еврейская математическая мысль растворялась обычно в
сфере той национальности, с которой евреи были связаны тер-
риториально.
146. Эта задача заимствована из трактата „Незикин44, — по-
следней части обширной Бавы-Батры, — касающегося вопросов
постройки, земельных наделов, продажи полей, устройства гроб-
ниц и т. д.
Решение. Если дворы одинаковы, то ясно, что на пятый
двор падает 5 долей всех расходов, на четвертый 4 и т. д.
Следовательно, всех долей 15. Поэтому пятому двору п^йсодится
1 4 12
платить — , четвертому — , третьему , второму -т-=- и пер-
о 15 О 10
вому общей суммы.;
147. Трактат „Охалот“ (Шатры) содержит ряд геометриче-
ских вопросов. В данной задаче, если назвать сторону квадрата
5, а окружность С, будем иметь 4S—C—S, т. е. С=35;так
как 5 равно диаметру вписанного круга, то 2тт/? = 6/?, следо-
вательно, я = 3.
148. Трактат „Менахот" („Приношение") содержит данные
из метрологии и арифметические расчеты.
Ясно, что ах = 1, ая = 60, п = 60 и d— 1, следовательно,
сумма
5=(в0 + 1)60 = 1830
л
149. Моисей бен-Маймон (Маймонид), выдающийся ученый
(1135—1204) из Кордовы. Эта задача взята из комментариев
к трактату „Килаим* (разнородное, смесь). '
Юб
Ясно, что в наружной полосе (в окаймлении) засеяно 12 кв.
ладоней. Квадрат abed содержит 36 кв. ладоней. Следовательно,
13-я гряда составляет его половину 18 кв. ладоней, а всего,
15
следовательно, засеяно 30 кв. ладоней, т. е. участка.
О/
150. Ибн-Эзра Авраам бен-Меир (1093—1167), один из
ученейших раввинов, родом из Толедо. После него остался ариф-
метический трактат, впервые разобранный, хотя весьма неясно,
Теркемом. ♦
Прйближение для тг, данное Ибн-Эзрой, точно до второго
десятичного знака. Оно больше истинного.
• Савасорда, известный под именем Авраам Иудей из Барсе-
лоны (начало XII века). Его работы легли
ской геометрии* Леонардо Пизанского.
151. xt = 7; х2 ——11 (у Савасорды
решено геометрически).
152. Обычное решение: г2 —
в основу „Практиче-
/Г
— 14г48 = 0; откуда zx— 8; г2 = 6.
Савасорда строит прямоугольник ABDC=
= 48 и линию CF=14 (черт. 43). .За-4
тем строит на последней квадрат KCFH.
Ясно, что С¥7£В = 48, а весь квадрат
/fCF/7=196, следовательно:
KABQ + BDFE = 100 = х2 +^2,
С
i____jy
ОУ?
х.
Черт. 43.
но 2ху = 96 и (х—j/)2==4, откуда х—^ = 2, тогда легко
найти х и у. Так же решается и вторая система.
153. Удвоив второе уравнение почленно, имеем:
(х 4-j)2 = а2 + 26, (х — у)2 = а2 — 26,
следовательно,
х = а2 4-26 и х—у = \/'а2 — 2Ь;
отсюда найдем х и у. Для числового уравнения х = 3; д/ = 2.
154» Второе уравнение возводим в квадрат:
х2 4~^2 — 2ху = 62,
следовательно,
а2 — Ь2 = 2ху, 2а2 — Ь2 — (х 4“У)2» * -\~У = К2 а2 — 62,
отсюда найдем х и у.
155. Из второго уравнения (х-]-у)(х—у) — Ь2 получим
№
х- v — — ; дальнейшее очевидно.
а
Абен-Дреат, испанский раввин XII века, принявший хри-
стианство под именем Иоганн Испанец. Автор трактата „Книга
алгоризма44, представляющего извлечение из „Алгебры44 арабского
математика Альхваризми.
166. х2-|~9 = 6х; х = 3.
157. x2-j-10x=39; ^ = 3; х2 = —13.
158. х2 = 3x4-4; *х = 4; х2 =-—1.
Levi ben Gerson (1288—1344) из Авиньона.
19 R
159, ,= 17- ,= 17g.
Арабы
На основе возросшего экономического могущества арабов
в промежутке IX—XIII веков создалась арабская наука. В эту
эпоху арабы были передовым культурным народом. От них в
первую очередь заимствовали научные, в частности, математиче-
ские знания, европейцы. Сами арабы, усвоив все то, что было
сделано греками и индусами, значительно продвинули вперед ряд
отделов математики, преимущественно алгебру и тригонометрию.
В области алгебры арабы отчасти следовали грекам, решая*,
например, уравнения путем геометрических построений, но они
первые попытались перейти от риторических или опАательных
приемов к символическим. Им принадлежит постановка и обрат-
ного вопроса — приложения алгебры к геометрии. Особенно
значительны их успехи в области тригонометрии.
Магомет ибн-Муса Альхваризми (IX век), автор трактата
„De Algebra et almuchabala44 (830 г.), первого по времени из
дошедших до нас арабских трактатов по алгебре. Кроме того,
ему принадлежит трактат по арифметике.
160. 1) х = 8; 2) х = 6; 3) хх = 7; х2 = 3; 4) хх = 24;
9
х2 ——12; 5) хх = 9; х2 = —; 6) хх=12; х2 =—19.
Все примеры Муса решает геомет-
рически. Он знает, что уравнению удо-
влетворяют два значения, но пользуется
только , одним. Уравнение (5) приведено
без решения.
161. Высота ВО = /ВО2—ОС2=
=/100 — 36 = 8; ДВОВслДЛВС
(черт. 44).
Если DE — x, то х:(8 —х)= А
4
= 12:8; 26х = 96; х = 4-=-.
5
162. Пусть ОС~х (черт. 45), OS2—169 — х^;
ЛО2 = (14 —х)2=196 —28х-|-х2;
ОЕР = 225 — ЛО2 = 225 — 196 + 28х — 0 — 29 -}- 28х — х2.
следовательно, 169 — x2 = 29-j~28x— х2; 140 = 28х; х — 5.
ЛО = 9; ОВ = /169 — 25=12.
$
F
Черт. 46.
163. Пусть сечение пирамиды—трапеция ABCDt где DC—2,
АВ = 4, £F = 10 (черт. 46). Дополним трапецию до треуголь-
ника DSC. Высота SE =10 (из подобия треугольников ABS
и DSC). Объем усеченной пирамиды найдется как разность пол-
ной пирамиды и надстроенной:
Тот же результат, очевидно, получим и по обычной формуле:
V=y(B + ^ + /^) = y(16 + 4 4-8).
Ал-Кархи (XI век), автор двух трактатов „Кафил фил Хи-
саб* („Все известное в арифметике*) и „Ал-Факри*— обширное
сочинение по алгебре. В первом трактате много внимания уде-
лено и геометрии.
164. Ответ: 6х4 4~ 1 Зх3 4-29х24-22x4» 20.
165. Если а2 — наибольший квадрат, содержащийся в данном
числе N, то пусть /ДГ =j/a2-[-г—а-^х, где х<1. Тогда
a24-^ = «34-2ax4~x2> или г = 2ах х2 — х (2а х), откуда
__ г ‘
Х 2а 4-х*
Ал-Кархи заменяет в знаменателе х на единицу и получает: '
__ г г
Х 2а 4~ 1 < 2а 4“ * ’
/415 = 20,371; *
по Ал-Кархи:
____ 15 15
15 = 20 + 2720+ 1 = 20 + fl = 20’366-
166. 1) а + 2; 2) 2а—1.
167. /Т + /18 = /(/'2 +/18)2 _ /2 + 18 + 2/зё=
= /20 + 12 =/32 = 4/2’.
Формула
/а + /^ = /(/а + /b )2 = /а + b + 2/ab
встречается в X книге , Начал “ Евклида, а также у индусов.
ПО
168. Ал-Кархи полагает:
х(3-[-/5)=1; Зх4-х/5 = 1; 3x-)-/5F^ 1;
/5x2=1— Зх; 5х2 = (1 — Зх)2 = 1 — 6х4"9х2;
, 3 4- /5
4х2 — 6х-{-1=0; х =----.
3__>/5
Ал-Кархи берет корень х2 =-—за искомое (xj>1).
Обычный прием:
• _ 1__________3 —/5 _ 3 —/5
Х“3_|_/5~"(3_/5)(з _j_/5) ~ 4
169. Ал-Кархи ищет число, которое, будучи прибавлено к
^4-Юх, дало бы с ним полный квадрат. Такое число есть 25.
Тогда
Х2^10^4-25 = (х + 5)2 = 39 +25 = 64; *4-5 = 8 и х = 3.
Он называет этот способ „методом решения наподобие Диофанта*.
170. 1) Подстановка x2=z приводит к квадратному урав-
нению г2 4“ 5г =126; гх = 9; г2 =—14; отсюда найдем х.
' 2) г24~24=10г; гх = 6; г2 = 4.
3) г2 = 2г 4-8; г3=4; г2 =— 2.
4) Подстановка х3 = г дает г2 = Зг 4~ 40; г! = 8; г2 = — 5,
5) Сокращаем на х3; х^ — Ьх2-\-с и т. д.
10 100
171. Решение Ал-Кархи: v =—; г = —тогда
г х х3
о . 100 10 000
* 4- х2 X® ’
10 000 = ЮОх4 4- х8; х4 = — 50 /12 500;
» Х=|/ГУ /12500^50.
Это же решение встречаем и у Леонардо Пизанского в „Книге
абака*.
172. «,„=19-4 + 3 = 79; 5„ = И424? = 820.
.73. ,„^<1+М = 55.
174. 1) Ал-Кархи полагает: у = х -{- 1, следовательно, _у2с=
==х’ 4 2х 1, тогда х2 4- 5 = х2 -f- 2х 1; 2х = 4 и х = 2;
У =
2) Ал-Кархи полагает: у = х — 1, следовательно,
_у2 = х2— 2x4-1,
тогда х2— 10=х2—2x4-1; 2,r= 11; х = 5у = 4 .
175. Ал-Кархи полагает: z = pGc2—-v —1 ,
XV
/ 1 ,_________\2
тогда х24-2х4-2 = 1 х24**4~ 1 ) =
у А / $
= х2 4~ х 4~ 1 4~ -^2 4“ х 4- 1 ;
х -1- т = /*24-х4- 1; х24--|-х4-^==х24-х4-1;
1 7 7 .. г----— 13 '17
2Х~16: Х==Т; >' = /^ + ^4-i=g ; г=г
176. Надо решить уравнен^!: х2 4-J2 =Д2. Ал-Кархи по-
лагает:
_у = х4-1; z — nx — 1. *
х2 4- х2 4- 2х 4-1 — п2х2 — ^пх +1; х(п? — 2) = 2 (и 4" 1) и
2(/г4-1). (д 4-1)2 4-1. и(» + 2)
я2 —2 ’ . и2 —2 ’ у п2 — 2 '
177. Алмчархи полагает: х = ту, z=any. Тогда
тауа +уа — па^^уа+1-, ya{ma-\-\} — na+iya*1,
откуда:
та 4~ 1
na+i
179. Решение Ал-Кархи: положи равным х расстояние
места встречи от корней большей из пальм, возвысь в квадрат,
получишь х2. Прибавь к этому 900, т. е. квадрат высоты боль-
шей пальмы, и положи эту сумму равной квадрату 50 — х, т. е.
2 500-|-х3—100х, увеличенному на квадрат высоты другой
пальмы 400:
х2 + 900 = 2500 4- х2 — 1 ООх + 400,
получишь х = 20. Расстояние точки встречи от корней меньшей
пальмы 30. Прямая, которую пролетала каждая птица, будет
/1300= 10/13.
180. Если высота х, то основание Зх, площаД Зх2. Сумма
периметра и диагонали 8х 4" xj/10. По условию
__ 2 1
Зх2 = 8х + х/10; х = 24 + //10.
О О
Основание Зх===8 4"J//T0‘ i
181. Если ширина х, то длина 2х. Тогда площадь 2х2.
а периметр 6х. По условию 2х2 = 6х, следовательно, х = 3,
182. РешениеА л-К архи: пусть диаметр х, квадрат его х2<
1 , 1 1 гх
Отнимаем ^- + -=-•-0 квадрата диаметра. Остаток
7 ( I
К 1 1
3. ^ + /4^=100; ^ = 127
/ / Z
3 _ 1400
11“ 11 ‘
Г.. ™12 <лА 400
Обычное решение: ~~ — 100: а2 = — : следователь-
г 4 тг
400 1400 22 11
но, ---ИЛИ п=т“* Итак, если ц квадрата диаметра
считать площадью круга, то получается архимедово приближе-
ние для л.
183. Построив чертеж, читатель легко найдет, что
8 Н. Г. Понов
113
Табит ибн-Корра (836 — 901), известен как переводчик
сочинений Евклида, Архимеда, Аполлония и Птоломея на араб-
ский язык. До нас дошел один из оригинальных трудов его,
посвященный изучению различных свойств чисел.
184. Делители числа А будут 1, 2, 22,..., 2Л, сумма их,
очевидно, есть 2Л+1—1, затем p(2zz+1 — 1) будет сумма делите-
лей, содержащих р; q(2n+1— 1) будет сумма делителей, содер-
жащих q, наконец, pq(2n—1) — сумма делителей, содержащих
pq> следовательно, полная сумма делителей
Если подставить значения р и q> то после упрощений получим
число В.
Ал-Кухи, Вайдшан ибн-Рустам (X век), занимался преиму-
щественно геометрией.
185. Вопрос сводитсй к решению уравнения:
*
Г^==72,
или
2х8 4-27x4- 10 = 20х*.
Впервые это уравнение решено арабским математиком Абул-
Джудом (XI век). Сам Ал-Кухи^е сумел его решить, хотя оно
решается элементарно:
2х8 — 20x2 4- 27х 4- 10 = 0
2х8 —4х2— 16х24-32х — 6x4-10 = 0
ix2(x—2) —16х(х —2) —5(х —2)=0 '
(х — 2)(2х2— 16х — 5) = 0
х— 2 = 0, откуда х, = 2 и 2х’- — 16х — 5 = 0
8 4-/74
Jr ——ZZZLX-----
Л 2,3 2
186. Очевидно, центр искомого круга лежит в пересечении
данной прямой с равноделящей угла, образуемого данными пря-
мыми. Если прямые параллельны, центр находится в середине
отрезка, отсекаемого параллелями от данной прямой.
114
Абул-Вафа, замечательный , арабский математик X века
(940—998), переводчик и комментатор греческих геометров.
Из многочисленных его трактатов до нас дошли только отрывки.
187. Проводим биссектрисы двух углов и из точки их пере-
сечения опускаем перпендикуляры на стороны. Дальнейшее
ясно.
188. Наложим один данный квадрат на другой (ABCD на
AGFE). Продолжаем ВС и CD др пересечения со сторонами
Черт. 47.
большего квадрата в точках и N и соединим их с точкой Л.
Получаем два равных прямоугольника ADME и ABNG и ма-
ленький квадрат MFNC. Прямоугольники
лями АМ и AN на равные треугольники.
Катеты их будут сторонами данных квад-
ратов, a CN—сторона маленького квад-
рата равна разности этих сторон. Распо-
лагаем (черт. 47) около этого квадрата че-
тыре прямоугольных треугольника, катеты
которых равны сторонам квадратов. Полу-
чим квадрат, равный сумме двух данных
квадратов, стороны которых неизвестны.
189. Дан квадрат Л BCD (черт. 48). Опи-
шем на его сторонах, как на диаметрах, по-
луокружности. Возьмем хорды АЕ =BF=
't='CG = DH, равные данной стороне. Оче-
разбиваются диагона-
Черт. 48.
D
вйдно, линии AEF, BFG, CGH, DHE прямые. (Действительно,
угол ADE равен углу BAF, так как дуга АЕ равна дуге BF.
С другой стороны, угол ADE равен углу ВАЕ^ ибо треугольник
ADE прямоугольный; следовательно, <£ BAF =? ВАЕ.) Эти
8*
Ш
линии образуют маленький квадрат EFGH и четыре равных
прямоугольных треугольника AED, BFA, BGC, DHC. Из четы-
рех этих треугольни-
ков и квадрата HEFG
а на основании преды-
ДУЩей задачи получим,
что требуется.
ук Ш Л 190. Берем три
У/ (равных данному) квад-
ц-—рата и первые два де-
с у лим диагоналями по-
полам (черт. 49). По-
лученные равнобедрен-
Черт. 49. ные прямоугольные тре-
угольники a, b, ct d
прикладываем гипотенузами к сторонам третьего квадрата так,
чтобы каждая вершина последнего совпадала с вершиной не бо-
лее как только одного треугольника. Если вершины треуголь-
ников соединить прямыми, получим искомый квадрат.
Авиценна (ибн-Сина), философ, врач и математик (980—1037).
В Лейденской библиотеке хранится рукопись его трактата по
арифметике. 4
191. Пусть N=9A4~1> тогда
№ = 81А2 + 18^4-1=кр.-9 + 1.
Пусть ^ = 96-|~3, тогда
N* = 8162 4- 1446 4- 64 = 9 (962 4-16^4-7)4-1.
192. Пусть W=9/?4~2, тогда №= 8162 4-366 4-4 =
==кр. 9-ти4~4; пусть тогда Аг12=81624”
4- 12664-49 = 9(9624~146 4- 5)4-4. f
193. Пусть М=96 -Цр1 > тогда АГ8 = (96)8 4~ 3 • (9 6)2 4~3.9£ 4
4~1=кр. 9-ти 4-1; пусть /^=96 4" 4, тогда Д^ = (9£)з 4/
4-3- (96)2.44-3-96.16464 = кр,9-ти4- 1; пусть ^ = 96 4-7,
тогда Aff — (9^) з з. (9£)2. 7 4- 3.96• 49 4- 343 = кр. д.ти 1.
194. W=964-2; Д/8 = (96)3 4“ 3 • (96)2.24-3«96-44-8 =
8= кр. 9-ти 4~ 8 и т. д.
195. W=964-3; ^ = (96)84-3.(96)2-З4-3.96-94-27 =
= кр. 9-ти и т. д.
Арабская математическая рукопись Лейденской библио-
теки п° 168 одержит ряд интересных задач. Предлагаемая за-
дача разобрана знаменитым ориенталистом Бенке.
116
198. Пусть KZ = x\ TZ=y, х:у = ВК'АВ==(х-{-Ъ)Лд-,
10x=_yx-|-’5y; xy = KZ-TZ=^ 16 (так как 100 — 2:25);
5_y-}~ 16= Юх, y = 2x— 3-i ; xy=2xz— 3-^- x = 16.
xa = 8-4-l-|x; x2 —|x —8 = 0; x =-Ji 8 =KZ.
TZ = — 16 — 80 40 = 40(3/6—2) ==
4 . 6/6 44-6/6==,24-3/6~ 60
3 + ~g“
4 Z3T
== (3/g-2).
О
Гассан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.), даровитый арабский
геометр, следовавший в своих работах методам древних греков
(например, в трактате
„О геометрических из-
вест н ых “). / ^ххХ^*********^ 4
197. Решение. I
Дан четырехугольник / I
ABDC. Продолжим DC /
до точки G. Отложим / 1^4
ВК=СН и В1=СТ. £_____________________________I \
Если окажется, что Q
ТН=К1, то четырех- Черт. 50.
угольник вписывается
в Ъкружность (ибо тогда ACD — 180°). В против-
ном случае — не вписывается. (Эта задача помещена в вышеупо-
мянутом трактате в рукописи 1104, хранящейся в Парижской
библиотеке.)
Ал-Кальсади, Абдул Гассан Али-бен Мухамед, родом из Гре-
нады (XV век), автор трактата „Раскрытие тайн науки Гобар*,
содержащего основы арифметики и алгебры. „Гобар* означает
по-арабски „пыль*, и ученый ориенталист Бёнке полагает, что
это название присвоено искусству вычисления потому, что арабы
производили выкладки на доске, посыпанной песком.
198. Обычно
,
откуда легко получается выражение Ал-Кальсади.
199. й(от_— /”) _а(/п - /л)
(т -|- j/ ri) (т — у/ п) тч — п
200. Пусть п = а2 4“г- Если г а, то автор считает у/а2 4~г
равным ’ Если г^>а, он дает более точное значение:
/ fl2+r= а + £Й’
т. е. Ал-Кальсади знает, что при г>а
/----- , r4~ 1 । г
/а2 4-г<а 4"2а-|-2<'а'^2^ '
Действительно:
2аг -}- 2а < 2ar -j- 2г,
или
I г+1 . , Г
а+ 27+2<а + ^-
_____ Г-|— 1
С другой стороны: ./ ач _|_ r < a -J- -——
г 1 2,а 2
п , о I (>+1)2 , 2а(г-4-1)
а2 4- Г 0$ -k TH ।—оТо Ч-о i—q"’1*"
1 1 (2а 4~ 2)2 2а -|- 2
г(2а-|-2)2<2а(г1) (2а -f-2) + (г + I)2.
После упрощений:
2(г —2а)<(2а —r)2 + 1,
но это неравенство имеет место при г 2а, а если г^> 2а, т. е.,
по крайней мере, г = 2а -}~ 1, тогда п — а* г — а2 4~ 2а -f” 1 =
= (а4-1)2и, следовательно, а не будет наибольшим квадратом,
содержащимся в п.
201. 1) х1 — 4; х2 = — 14; 2) = 10; х2=2; 3) х\ = — 10;
х2=~Ц-2; 4) х = 4; 5) ^=3; x2 = — 5; 6) х^~ 6; х2 = 2;
118
7^ агх з== 9; х2==— 1; 8) XjSxxT; x2==— 3; 9) тождествен с при-
мером 5.
Омар Хейам (XI век), один из виднейших арабских мате-
матиков, автор трактата „Об алгебраических доказательствах*,
в котором он дает способы геометрического построения корней
кубичного уравнения.
202. Решение Омар-Хейама: „Квадрат и десять кор-
ней равны тридцати девяти. Умножь половину корней саму
на себя. Произведение это придай к числу (т. е. к 39), из
корня квадратного вычти половину числа корней. Остаток будет
равен корню квадрата:
Геометрическое решение: пусть квадрат будет ABCD (х2), уве-
личенный на десять корней (Юх), он равен тридцати девяти. Де-
сять корней представятся в виде прямоугольника CDEF (черт. 51).
Прямая DE—Y0. Разделим ее в точке К пополам. Произведе-
ние ЕА на ЛО, равное прямоугольнику ABFE, прибавленное
Е К D А
10 г
г
Черт. 51.
.к квадрату DK, будет равно квадрату АК [(10 Ц-*) * 4~ 25 33
5)2]. Но квадрат DK (25) известен, а также известен
прямоугольник ABFE, выражающий данное число (39). Следова-
тельно, квадрат АК и линия АК будут известны (х-{-5),
а когда вычтем DK из АК, то остаток AD будет известен.
1 5
203. Решение Омара: г» — ; я22г == —-;
X т
Q 9 3 1
^4-2^4-!== j: - г-Н-=
следовательно, х==2.
Бега Эддин (XVI век), иранский математик, автор тракта/а
„Коласатал-Хисаб* („Сущность искусства счисленйя.“), до начала
XIX века служившего руководством при изучении математики
в школах Индии и Ирана.
204. Пусть меньшая часть ху бдльшая 5-j-x. Тогда пр усло-
вию 2x4-5=10; 2х = 5 и х = 2^~.
50 —
205. = 5.5 = 25; 25 — 3 = 22; 11 — 2 = 9; /9 = 3.
2 5 2
206. х4-—х4-1 = 10; —х = 9; х = 5 —.
О и О
Но Бега Эддин решает по правилу „чашек весов* (regula
falsi), встречающемуся в сочинениях ибн-Эзры, ибн-Албанна,
Ал-Кальсади. Сущность метода заключается в следующем: пусть
дано уравнение ах 4-^ = 9. Подставим произвольные значения
zt и z2 вместо х. Будем иметь агг 4" # = и az2 Ъ = £2.
Величины kx и k2 назовем погрешностями уравнения. Легко ви-
деть, что
а(х — ^) =— Ар
а(х —г2) = —62;
k. k9 х — z<’ A.
следовательно:---1— =------— , откуда -------1 = 4-.
х — zt х — z2 x — z2 k2
Разности x — zt и x — z2 называют погрешностями подстано-
вок. Из последнего равенства:
k2 — k< ’
2
Бега Эддин полагает = 9. Тогда 94-^-,94“^ = ^6 (погреш-
2
ность ^ = 6); потом г2 = 6; 6 4“V*^~ И; вторая по-
< $
грешность А2=я1; тогда:
Ь9—6-6 27
х —— < л — •
Р—6 5
207. Обычное решение: Пусть бдльшая часть х. Тогда
меньшая 20 — х. По условию х (20 — х) = 96, или х2 — 20x4"
4-96 = 0; х = 10± /100 —96 = 10±2; х, = 12; х2 = 8. Но
120
решение Бега Эддина проще: положи одно А
число 10 4-х, тогда другое 10 — х. /\
Их произведение 100 — х2 = 96, откуда / х\
х2 = 4 и х = 2, следовательно, 10 -j-x= 12, /г \
10 —х = 8. р \
208. Дополнив данный усеченный конус / Л \
(черт. 52), имеем x*.r~(x-\-h)\R, откуда / \
rh . Rh [_R________________\
х=------ следовательно, х -н h = ~. *--------------—®
R — г 1 R — г
Это выражение было известно еще Ал-Кархи. Черт. 52.
209. Имеем уравнение:х4~ 4- х4~3 — х, или
О т
Xx_|__Lx4_3 — х = 0.
Пусть длина рыбы 12, тогда — — 2. Возьмем еще за длину
рыбы 24, тогда kr ——7. По правилу:
г _ 24»( —2) —( —7)» 12_36 £
— 2 — ( — 7) “ 5 = 5 ’
210. Решение Бега Эддина. Пусть часть шеста под
водой х, длина всего шеста 5 4~х. После наклонения она будет
гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами х и 10.
Следовательно, (х 4“ 5)2— 100 4-х2, или 10х = 75 и х = 7~.
1 2
Длина всего шеста 12 ~ локтей.
211. Имеем систему: х4“^= 10; (х4~ у/х) (у 4“ j/j)=24.
Нетрудно видеть, что для удовлетворения условия, поставленного
в примечании к задаче, можно только принять:
х4“12;_у4“ У/3' = 2,
что дает х = 9 и у = 1.
Западная Европа
VIII—XV век
В раннее европейское средневековье математика принижается
до уровня собирания рецептов практического характера, не обос-
нованных никакими доказательствами, если не считать доказа-
тельством ссылку на авторитет того или иного автора древности.
121
Такое состояние математики обусловлено было общей застой-
ностью общественной жизни, крайне низким уровнем раз-
вития производительных сил.
С оживлением экономической жизни Западной Европы начи-
нается и подъем математики. Арабы, с которыми столкнулись
европейцы в борьбе за торговые пути, оказали сильное влияние
на развитие европейской математики, и первыми странами, в ко-
торых математика получила новый толчок к развитию, были как
раз те, которые первыми вступили на путь международной
торговли (Испания, Италия). В XI — XII веках арабская ученость
усваивается европейцами; на латинский язык (международный
язык ученых того времени) переводится в тот период много
арабских сочинений, а также и сочинения греческих авторов,
переведенные ранее на арабский язык.
Алкуин (735—804), основатель так называемой „Палатинской®
школы (в Туре), принимавший участие в- основании университе-
тов в Париже и Павии. В его сочинениях по арифметике мы
встречаемся с типом задач, впоследствии составивших то, что
французы называют „Recreations mathdmatiques" („Математиче-
ские развлечения “), и в ближайшие ко времени Алку ина века
пользовавшихся большой популярностью. Рукописные сборники
подобных задач распространялись в большом количестве. Такова,
например, рукопись из библиотеки ‘ монастыря в Рейхенау
(около 1000 г.) под названием „Задали для изощрения ума".
212. Имеем систему: За;—-у z — 100 и х Ю0.
&
Исключаем г:
200 — 6л-—-4у — 100 — х—у; 100 — 5х-[~3у»
или 20 —х + Так как у — целое, то оно должно быть
/ о
кратно 5, например 5я, тогда у~5и и 20 — откуда
х = 20 — Зя. Ясно, что и может принимать значения 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6. Сообразно с этим получаем 7 решений:
Мужчин х — 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2.
Женщин у —0, 5, 10, 15, 20, 25, 30. 1
Детей г = 80, 78, 76, 74, 72, 70, 68.
Алкуин дает только одно решение: 11, 15, 74.
213. Так каку каждого должно быть по 3— бочки вина,
то ясно, что возможны два решения:
У 1-го У 2-ГО у 3-ГО у 1-го У 2-ГО у 3-ГО
Бочек полных 3 3 1 2 2 3
„ полуполных .... 1 1 5 3 3 1
„ пустых 3 3 1 2 2 3
214. С каждым прыжком собака выигрывает 2 фута, следова-
тельно, все расстояние в 150 футов она покроет 75 прыжками.
Герберт (930—1003), архиепископ Реймский, впоследствии
папа Сильвестр II, автор двух арифметических сочинений
(„Вычисления с помощью абака“ и „О делении чисел*).
215. Если х и у — катеты, а — гипотенуза, Д— площадь,
имеем: ху = 2Д; х2-\-у2 — а?.
Решение Герберта:
2ху — 4Д
х2 +^2 = а2.
Сложение и вычитание дают:
(х 4" Д')2 — а2 Ц- 4А; х 4~У — j/л2 + 4Д,
(х—ву)2 = а2 — 4Д; х—у — j/а2 — 4Д.
(О
(2)
Из (1) и (2) находим:
у _ /а2 4- 4Д 4- — 4Д
/а2 4- 4Д — /а2 — 4Д
2
Леонардо Фибоначчи из Пизы (родился в 1180), автор двух
трактатов: „Книга абака* (1202) и „Практическая геометрия* (1220).
Первый написан под сильным влиянием арабской математической
литературы, второй есть переработка „Liber embadorum* Сава-
сорды, правда, расширенный. Сочинения Леонардо пользовались
большой популярностью.
216. Вопрос сводится к решению системы:
х + 7 = 5(у-7); у 4- 5 = 7 (х-5);
2 14
откуда х = 7—=
217. Всего 117 649 предметов. См. зад. 25.
218. Имеем систему: х y~^-z==30*f ~ х 4“ 2г—30,
о 2
где х — число воробьев, у — число горлиц и z—число голу-
бей. Исключаем Z'. 10х-|-9у=180 и ^ = 20— ^х. Для х
единственное значение 9. Следовательно, j/ = 10 и я=11.
219. Иоанн из Палермо, магистр, придворный математик,
предложивший эту задачу Леонардо Фибоначчи на турнире.
Пусть t — общая сумма. 1-й уносит х, 2-й—у, 3-й — z.
Тогда имеем систему:
t х , 1 / х ( у । 2 \
“2 — 2Г+ "3 \7 + '3 +"б )
t 2 . 1 / х . у , z \
—__—у + - - 4-у -J-—)
t 5 . 1 / х । у . z \
— 4-—-t-_ J.
Решая эту систему, найдем наименьшее значение у = 13
и / = 47, откуда z—1 и х = 33. Доля первого 23 4*, второго
2 5 2
15-д , третьего 7 Задача имеет три решения..
220. х = 4; у = &. 221. х = 7; у = 3. 222. х = 8; у.= 2.
223. х = 9; j/ = 3. 224. х = 6; у = 4. 225. х = 8; .у =2.
226. Решение Леонардо. Исключаем у и получаем:
Х2 4- 50000 — 200 = Юх,
откуда х = 5 — у/ 225 — /50 000.
Возможно и дальнейшее упрощение:
х=15—/125, >=/125 — 5.
у X
Леонардо дает и другой способ. Пусть —= г. Тогда—=»
х , У
= j/5 —z* Так как — — то г(у/5— <г)=1 и z =
/5 . 1 _ . 10 —х 10 —х
л г тг• Дальшеу=\0—xnz— отсюда---------=
4 2 хх
= 4“Дает •*===! 5—/125.
227. Решение Леонардо (с помощью ложного поло- .
имения). Он полагает 2=1. Тогда
/5 . 1
4 + у;
л=]/]/|+4-
Вместо 10 теперь сумма неизвестных равна
5=1/ ]/l+4+jZ 5+4+1-
Затем он берет пропорцию: 5: 10 — 1: z, откуда 5г =10.
Подстановка 5 дает: 2 = 5— j/3125— 50 и т. д.
228. 4 |/х2 — Зх = 20 — Зх; возводим обе части в квадрат;
по упрощении получаем:
100
7х24«72х—400 = 0; хх = 4; х2 =----
229. Леонардо полагает у = j/x2 — Зх, тогда
4у —у* 4 и у = 2;
из уравнения 4 = х2 — Зх находим х.
230. х (1 + /5)+ j/x(l+ |/2) —10 = 0. Получается
квадратное уравнение, решение которого не представляет ника-
кого труда.
231. Проводим две медианы Да и ВЬ, и пусть О есть точка
их пересечения (черт. 53). Соединим точ-
ки а и b. £\aOb<zr> /\АОВ\ Оа\аЬ=±
— АО'. АВ, но ab = / АВ> следова-
тельно:
Оа = + до.
Z
Если провести медианы Сс и Да,
то для точки их пересечения Ох опять
получим Оха — ~ ОХД.
232. I) Пусть квадрат DEFH — искомый (черт. 54)? Сторона
его DE — x. DE:BK—АС:ВО*, если АС~а, то ВО~~ j/3,
отсюда
х — а (2 /3 —3).
откуда
2) Решение построением. Соединим точку Е с Л, предполо-
жив, что искомый квадрат построен. Через произвольную точку в
линии АЕ проведем^ || DE и ef [| EF. Так как de: DE—Ae:AE =
— ef: EF, то' из равенства DE и EF
следует de — ef т. е. фигура efhd—
квадрат. Отсюда построение: взяв
произвольный квадрат defh, соеди-
няем А с точкой е и продолжаем
Ае до встречи с ВС в точке Е. Че-
рез Е проводим ED ]] de, DE — сто-
рона искомого квадрата.
233. Пусть АВ=р\ BC=q\
Bb — r (черт. 55). Из прямоугольного
треугольника ABD:
DB2—p2-]-q2,
Из прямоугольного треугольника DBb:
DB2 + Bb2 = Db2 = р2 4- q2 4- А
234. Реш е н и е Л е о н а р до.
Пусть искомое число х2, тогда
по условию:
х2 4* 5 = и х2 — 5 =
откуда
д2 _ v2 — J о = (и 4* (и —~
1440 80-18
“ 144 122 ’
Полагая
, 80 18
И «-^=19’
Черт. 55.
находим!
49 31
«—12и о— 12,
откуда
Проверка:
41
*“12
235. х = 8; _у = 6. 236. х = 8; .у = 6.
237. х=8; j> = 6.__ _________________
238. хУ4* х2 + J'2 = 24; j/x2+.V2 = 24— (x-j-J').
Возводя в квадрат, найдем: х-1-у =14; затем по сумме
н произведению находим л = 8 и_у = 6.
239. х = 8; у = 6. 240. х=8; у = 6.
м I 9) 9
241. Решение. Всего вина было =45 кварт, еле-
&
довательно, каждый брат должен получить по 15 кварт. Задача
сводится к определению числа комбинаций девяти чисел натураль-
ного ряда по три так, чтобы сумма всегда равнялась 15. Из
этих девяти чисел, как известно, можно составить простейший
магический квадрат:
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Примем суммы, стоящие в вертикальных столбцах, за одно из
решений. Так как братьев трое, то может быть шесть комбина-
ций. Но можно взять суммы горизонтальных столбцов. Тогда
получим еще шесть решений, а всего, следовательно, 12 решений.
Иордан Неморария (конец XII века, умер в 1237 г.), автор
целого ряда сочинений по арифметике, алгебре и геометрии.
Особенно важное значение имеет алгебраический трактат
„О данных числах*. Он первым в средние века обозначает
величины буквами.
242. Из 2-го уравнения x — 1z\ из 4-го д/ = 1-уя; первое
уравнение дает тогда 2^4“ 1-4 # = 20. Комбинируем с третьим:
£
x-j-«=12 и легко находим: z = 4; а = 8; у — 12; х = 8.
243. Из 2-го уравнения х — 3z, тогда 1-е дает 3^-^~_у=15.
Сложение 3-го и 4-го дает z-\-y — И, откуда 2z — 4, следова-
тельно 2 = 2. Далее находим: у = 9; х = 6; и~1.
244. х — 6; у — 6; z — 4; и = 6.
245. х = 25; ^=15; г = 9.
246. х=16; ^==12; г = 9.
247. х —15; у— 10; z — fy и —4.
248. х=1; у= 19; г = 25; и = 28.
249. х = 2; ^=14; z = 24; и = 34.
250. Площадь треугольника равна —,
£
следовательно, наибольшая площадь будет
при наибольшей высоте. Ясно, что точка
В — вершина равнобедренного треугольни-
ка АВС— наиболее удалена от основания.
Иоганн Мюллер, прозванный по месту
рождения (в Mons Regius—Кёнигсберге)
Региомонтаном (1436—1476), один из вы-
дающихся немецких математиков, особен-
но известный своими работами по тригонометрии и переводами
классиков, греческой математики.
251. г^85±5/209
4
„„„ ,Л „ , 100 - , Г 8
252. 10х = х2_|_ х = 5_р/ 21_#
Но Региомон-
тан дает также и другое решение,
х
полагая ----
10—х
। 1 о. 25 1 /621
^+7=25;^»v-]/ т
берет корни со знаком минус.
В обоих случаях
—у. Тогда
Региомонтан
253. Вопрос приводится к решению системы:
17х+15= 13^4-11 = 10^4-3.
Наименьшие значения: x = 64;_y = 84; ,2 = 110*
При этом искомое число есть 1103.
Эта задача была предложена Региомонтаном астроному Биан-
чини. Последний путем подбора нашел два решения: 1103 и 3313.
128
Черт. 57.
ТЬгда Региомонтан указал, что Af.r ,.,.g
1103 — наименьшее значение, а
последующие получаются прибав-
лением 17’13’10 = 2210, так что
второе значение будет 1103 4"
4-2210 = 3313 и т. д.
254. Проведем через вер-
шины данного треугольника АВС
(черт. 57) параллели сторонам,
противоположным этим вершинам.
В полученном треугольнике MNP
точки А, В и С—середины сто-
рон MP, MN и PN Перпенди-
куляры в этих точках к сторонам
треугольника MNP пересекутся в
для данного треугольника они будут высотами.
255. Пусть 4C-4B = FC=3; Л/)=10; DC—BD =
=ЕС—6; BD=BC~6 — ^—3 (черт. 58).
Если ВС—х, то BD=~— 3. Далее,
Zf
одной точке; вместе с тем
А С—АВ =3 = 4 = 4 (DC—BD),
2 Л
AD* = AC* — DC* = AB* — BD*, откуда AC* —AB* = DC* —
— BD2, или (АС— АВ) (АС+АВ) = (DC— BD) (DC-\- BD).
Сокращая на АС—АВ, получим:
АС-\-АВ = 2х, АВ = 2х —АС~2х — АВ — 3,
Черт. 58.
или
Q
2ЛВ = 2х —3; АВ = х — у.
Теперь
1 х*
АВ* = х* — Зх 4- 2 BD2 -3x4-9.
х*
Но Л4-£02=100 4-^-— Зх-|-9 = Л^ =
=*2 —3x4-24
9 Н. Г. Попов
129
отсюда
100+ = х2 — ~ ; Зх 2 = 427;
— 1 /^27
Х~ ]/ 3 ’
Теперь легко найти АВ и АС.
256. Пусть стороны треугольника АС—Ь, ВС—а, АВ=^с
(черт. 59). Высота h = BE неизвестна. Проведя диаметр BD>
имеем из подобия треугольников ABD и ВЕС:
$ cb*c = 2R*h,
f Л гч где R — искомый радиус.
/ У/ \\ Зная три стороны, мы можем вычи-
I \ 1 слить площадь Д треугольника. Но тогда
Vz / V bh А
t/C 2 —А’
откуда
-------- А = 2А.
Черт. 59. b *
* 47?Д _ abc
следовательно, подстановка даст ас — -г- , т. е. R- —г .
b 4Д
Кампано из Наварры (конец XIII века), известен своим ла-
тинским переводом с арабского „Начал" Евклида вместе с до-
полнениями, т. е. XIV и XV книгами, из которых первая при-
писывается Гипсиклу, а вторая—Дамасцию. Именно благодаря
этому труду, снабженному комментариями (напечатан в 1482 г.),
распространилось в Европе знакомство с Евклидом. По поводу
задачи 257 Кампано говорит, что предложение это было уже
известно Аристею и Аполлонию.
257. Поверхность додекаэдра, как известно, есть
2/?2/10(5—/5),
икосаэдра:
2/?2(5/3— /15).
Точно так же объем додекаэдра:
4 /30(3 4- /5),
а икосаэдра
2 .——
/104-2/5.
Достаточно приравнять отношения поверхностей и объемов,
* чтобы путем простых преобразований убедиться в справедли-
вости этого равенства.
Орезм, Николай (умер в 1382 г.), автор сочинения „ Algorismus
proportionum*. Ему наука обязана понятием дробного показателя.
1
258.
т £ JL 2 JL
ап ; ат ; abn ; ат • b п
259.
260.
Уравнение приводится
x2 = z; z2 — az-}-b.
ат
~т •
Ьп
квадратному: х2 — ах-\-Ь.
Иоган Видман Эгер (конец
XV века), автор трактата по
арифметике, третья часть ко-
торого посвящена геометрии.
Видман — первый, открыв-
ший чтение курса алгебры
с университетской кафедры
(в Лейпциге).
261. Пусть стороны тре-
угольника АВС даны
(черт. 60): гипотенузаДС—Ь\
катеты АВ —с и ВС—а. Ясно, что, вписав в треугольник
окружность радиуса г, будем иметь:
к
AB—AE-\-r BC^CF-Yr,
или
но
AE — AD и CF=CD.
Сложение дает:
АЕ 4- CF= AD + DC = А С = b>
следовательно:
с Ц- а — b 4“ 2г,
откуда
а-А-с— b
131
262. Если сторона искомого квадрата х, а радиус данного
полукруга г, то
г2 5
Г? = Х*+~ = 4х*,
1 4 4
или
4г* , 4
— ==х*, т. е.—г:х = х:г,
о о
следовательно искомая сторона построится как среднее пропор-
циональное между радиусом и его
Черт. 61.
OPNM 'подобен DKOF, так как в
четырьмя пятыми.
Можно, конечно, по-
строить эту сторону, исходя
из чисто геометрических со-
ображений, пользуясь мето-
дом подобия. Пусть квадрат
FDEN—искомый (черт. 61).
Проведем диагональ DO в
прямоугольнике DFOK и из
произвольной точки ееЛ/ про-
ведем NP |] АВ и NM |) DF.
Полученный прямоугольник
них основание равно половине
высоты. Отсюда вытекает построение: строим прямоугольник
OPNM, в котором Р0 — 2М0, и соединяем TVc центром О. Про-
должив ON до встречи с окружностью в точке D, проводим
DE || АВ. DE — сторона искомого квадрата.
263. Если высота Л, а отрезки основания т и 15 — т.у то
13* = Л24-т*
14* = Л* + (15 —w)*.
Вычитая почленно, найдем: 196—169 = 225 — 30/п,
следовательно, т = 6 ;
о
2
тогда 15 — т = 8-=-;
о
*.= 169 -{'¥)’ =
\ О /
32-98 64-49
15
25 25 ’ Черт. 62.
следовательно,
. »=¥=i>4-
О о
264. Пусть сторона треугольника а (черт. 63). Тогда ясно,
R eft eft
что г = —, кроме того, /?2 = г2_|_ — = _f откуда
3/?2 = а2;
7?2 = —;
К 3 ’ 1/3 3
R___д j/3
2 “ 6
О
ь
Черт. 64.
Черт. 63.
265.
£2
Из чертежа (черт. 64) видно, что г2 —у2 -р — .
Дальше
г2 =
\ 2
— х)
следовательно,
^+-4
откуда
2hy
и
2 #2
' 4
— X
2h
Значит
266. Имеем: 43х4~8 = 39у; 39у-|-8 = 35z; 35г-|-8 = 31«
или: 43x-f- 16 = 35z=31«—8, и следовательно, 43х-|-24=31«.
43x4-24
U~~ 31 ~
+ 1 + 2%-Г
12х—7 = 31/
х- ЗИ + 7
12
12
= 2/ 7/р где
/=12/! —1; х = 31Г1 — 2;
« = 43/j — 2; у
31-43/, о
35
_ 31.43/1
39 ’
и г=±=
Чтобы z и у были целыми, необходимо, чтобы = 39 «35 (по
крайней мере). Тогда
х = 31-39-35 —2
^ = 31-35-43 — 2
2 = 31-39-43 — 2
^ = 35-39-43 — 2,
267. j/x2— х = 2—х; х2— х — 4 -|-х2 — 4х; Зх = 4;
4
Х~ “3 ’
268. Если дать каждому на две монеты больше, разница
оказывается в 60 монет, следовательно, работников было 30.
Шюке, Николай (умер в 1500 г.), французский математик,
автор трактата „Le Triparty ей la science des nombres* (1484),
в котором впервые применяются нулевые и отрицательные по-
казатели.
269. Два равных корня (х = 2). 270. x = 54z j/21.
271. Корни мнимые. Шюке называет их невозможными.
272. х = 18 ± 6 у/ 5; у Шюке х = 18 ± у/180»
273. z — x2; корни мнимые.
' 274. z = x®, z = . 275. z = x«.
276. г = x4. 277. г = х5. 278. Возводим в квадрат:
12х —х24~ 1 4-2/ 12х—х2=36 —х2
2/12х —х2 = 35 — 12х.
Опять возводим в квадрат:
4 (12х —х2) = 1225 —840x4-144х2,
или
148x2-888x4-1225 = 0.
279. /4х24-4х = 99 —2х
4х2 / 4Х ~ 992 _|_ 4*2 __ 4Х. 99
4х(14-99) = 992
•280. z = 2х; у = 12 — Зх. у будет целым и положитель-
ным при х=1, 2, 3, 4."
. 281. х=0, 2, 4; _у=12, 7, 2; г = 0, 3, 6.
282. х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; _у=12, 10, 8, 6, 4, 2, 0;
z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
283. (4х— 5)(2х — 3) = 8х2 — 22x4-15. Интересно что
в рукописи вычисление ведется так:
4х-2х = 8х2
3-4х=— 12х
5-2х=—Юх.
тых его
284. В рукописи сказано: пусть число будет п. Четыре пя*
Пять шестых его будут — л. Произведем
о
4
составит л.
о
5
ние — п на — л равно
о о
2
числу, т. е. — я2=я. По форме урав-
6
нения ах2 — Ьх будет
1-Я = |«2,
4
5
, 1
откуда число равно 1^.
135
285. Первая часть равна 4, вторая равна 6. Действительно
4-5 10
6 ~ 3 *
286. На высоте 9^ фута. 287. На 7 футов.
XVI век
х Шарль Бувелль (конец XV и начало XVI века), автор
сочинения по геометрии, выдержавшего ряд изданий (с 1503 г.
по 1608 г.) на латинском- языке; был даже французский пере-
вод (1542 г.).
288. Общий вид совершенного числа 4*(4**2—1). Число 4*
при делении на 9 дает остатки 4, 7 или 1; 4**2 — 1 при деле-
нии на 9 дает соответственно остатки 7, 4 или 1. Произведения
этих чисел дают такие же остатки при делении на 9, как 28
и 1, т. е. единицу.
Бувелль высказал это предложение в 1510 г. Доказательство
его дано Антонио Катальди в 1603 г. *
Ретикус из Виттенберга (1514 —1576) известный своими
трудами по тригонометрии и составлением тригонометрических
таблиц.
/К 289. Так как (черт. 65)
/ \ № = с* — (а — p)* = b*— р*9
* V то
\ с2 — № = (а—р)2—р*9
У \ (<? + *) (с — Ь)~(а — р+р)
У ___\ (а — р — р),
' а-p р или
(с + *) — Ь) — а (а—2р)9
Черт. 65.
следовательно: а ____с — b
с-]-Ь а — 2р *
Лука Пачиоло, де Бурго (1445 —1514?), автор в свое время
весьма распространенного трактата „Summa de Arithmetica,
Geometria, Proportion! et Proportionalita* (написан в 1494 г.);
в первой части изложена арифметика и алгебра, во второй —
геометрия. Второе издание вышло в 1523 г.
136
290. /48+ 6 у_ Пачиоло; упрощая, получим 4/з + 6.
291. - /46-]-/34 + 2/Т564.
292. + + 4 = 5х,
у Пачиоло x = j//'(4У-4+4; ^=4; ха=1.
293. х* + 2 х» + 2№ + я* + 2х + 1 = 81601;
(х2 + * + 1)2= 81601;
х2 + х +Г — /81601 = 0;
. х = -4±|/” + /81601 =
=-4±//»тво1^4-
294. Ясно (черт. 66), что AD — 6 и ЕС— 8; пусть BD=^
=ВЕ~х. С одной стороны,площадь треугольника:
д=лос-4-лов+вос=
= [14.4 + (64-х)4 +
—|— (8 —|— х)4] - = 56 4“
Периметр
2р — 2х + 12-|- 16; р — х 4
следовательно,
д=/(Т+й)
откуда
14 + х= /Зх(х+14); (14+х)« =
и
х = 7;
х«6-8,
= 3х(х +14); 14 + х = Зх
следовательно, ЛВ=13; ВС= 15.
295. Указание. Пусть даны стороны а, b и с треуголь-
ника и отрезки п и /п, которые известны, раз точки /V -и /И
даны (черт. 67); ЛШ== х.
Если площади треугольников
АВС и ДУШУ назовем соответствен-
. . Д, пт
но Д и Др то , откуда
найдется ДР
Но
Л1== (р — х) (Р — П) (р — т),
х-\-п-\-т
где р — —Нг2— • Отсюда нахо-
дится X.
296. РешениеПачиоло: пусть а2 — площадь прямоуголь-
ника и d — разность сторон. Большая сторона тогда
£
d . о
меньшая х---—.следовательно, х2— — = а2, откуда х =
4
/^2
— 4” я2; это проще, чем
известные.
297. Указание. Вписываем
касающийся сторон угла А (черт.
обе стороны принимать за не-
круг произвольного радиуса,
68), и строим касающийся
этого круга и стороны АС такой же второй круг. Проводим
ко второму кругу касательную MN, параллельную ВС. Соеди-
няем Ох с точкой М и проводим из В линию ВК параллельно
MOV Точка О встречи этой прямой с биссектрисой АОХ
угла А есть центр первого из искомых кругов.
298. Геометрически задача решается очень просто, так как
центр искомой окружности лежит в пересечении биссектрисы
угла А с противоположной стороной (черт. 69). Опустив пер-
пендикуляр из точки О на АВ, найдем радиус ОЕ.
* Указание. Чтобы вычислить радиус по трем сторонам
треугольника АВС, можно поступить так. Пусть ОС=х.
Тогда (а — х):х = с:Ь, от-
куда найдется х. Затем пло-
щадь треугольника АОС вы-
b-r x-h
ражаетея двояко: — и
&
следовательно, xh — br, от-
куда г = —. Высоту л мож-
но, как известно, найти по
сторонам а, b и с.
209. Пусть стороны бу-
дут х—1, х, х±1. Периметр равен Зх, следовательно,
/ Зх® (х + 2) (х —2).
— ]/ 16 ’
84 = /3 (х2 —4); 3362=х2 • 3 (х2 — 4);
336-112 =х< —4x2,
или
Х4 — 4Х2_336.112 = 0.
Если х2 = г, то z2— bz — 336*112 = 0;
г = 2±2/1 ±336-28 = 2 ±194.
Годен корень
zx = 2 ± 194=196; х = 14.
Следовательно, стороны тре-
угольника 13, 14, 15.
300. Ограничимся указа-
нием, как вписать три круга.
Разделим круг на три равных
сектора (черт. 70). Центр
круга лежит на равноделящей
угла<Л4О±. Точка В есть
точка касания. Продолжаем
касательную в точке В до встречи с продолженным радиусом ОХМ
в точке А. Проводим равноделящую угла BAOV Точка О пере-
сечения двух равноделящих будет центром искомого круга.
301. Решение Пачиоло. Пусть сумма чисел и и v есть
х, а их разность где х и у — искомые. Тогда:
х2 +^2==2(«2 + ^)
и xy — tfi— v2; я2-]--у2 = 10
и «2— ^2 = 8,
откуда «2 = 9 и « —3; ^2=1 и ^=1,
следовательно,
* ч
Шрейбер, Генрих (Грамматеус) из Эрфурта (умер в 1525 г.),
преподаватель математики Венского университета, автор сочи-
нения „Книга счислений* (1518).
302. 30x2-76x 4-48.
303. , _ . —1-4-21 15 + 9 х = ±3; х= =—; х =—==—. 4 4
304. 305. 306. *1 = 4; х28=—2 (1+Z/3). х4 = 4096; х2 = /4096 = 64; х = 8. Эта книга по арифметике (Учение о целых числах
и дробях) вышла в Лейпциге в 1507 году.
Пусть дан катет а и сумма другого катета с гипотенузой
5=6 4-с.
Так как с2 —а24бг,
то c* = (S—b)'
дает #4.62 = 52462 —256,
откуда 25 *
807. Аналогично: дана гипотенуза с и сумма катетов $=а + &.
Так как с» = а2 4-62
и*
^ = ^4^4-2л£,
то 52—сз = 2а&,
откуда . 53 — С2 »4- 2 •
По сумме и произведению можно найти а и Ь.
Ризе, Адам (1492—1559), известный немецкий математик,
преподаватель в Аннаберге, автор алгебраического трактата
„Die Coss* (1524).
Алгебраистов немцы называли „коссистами*. Слово „косе*—ис-
порченное итальянское „Cosa*—вещь, потому что этим словом обозначали
неизвестное.
308. Ответ: 28 флоринов.
809. 10 решений; из х 4^ 4 £ = 26
и
6х 4 4у 4" = 88,
получим:
2x4j=18,
откуда
у = 18— 2х,
следовательно,
2x^18
и
х^ 9,
т. е.
х= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
у=18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0
г = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
Если исключить случаи я = 0, j=0, то 8 решений.
810. Пусть у 1-го х, у 2-го у, у 3-го z.
Тогда
« + 4- (У + ^) = 12,
У 4" з" (х '-}-£)= 12,
+ v (*+.У) = 12.
Решение системы не представляет труда:
311. 1) х=2; 2) хх = 7; х2=1.
312. „Тайны чисел* Бунгуса вышла в 1559 году. Представим
ряд натуральных чисел так:
6л, 6л 1, 6лЦ~2, 6л -}~3, 6л 4- 4, 6л Ц-5,
где л может быть равным 0, 1, 2, 3. Из этого ряда только
6л 4-1 и 6 л-]-5 могут быть простыми. Но 6л 4- 5 = 6л 4-
4-6 — 1=6(л4-1) — 1 = 6& — 1, следовательно, простые чис-
ла имеют вид 6/л±1.
Обратное предложение неверно.
Кристоф Рудольф (von Jauer), автор популярнейшего алге-
браического трактата „Coss*.
313. Ответ: 9— флорина.
' о
314. Решение Рудольфа:
/216 :/16 = /2164: 163 =/2176782336:46656 =
12/.----б/.---- зг —
= /531441 =/729=/27 = 3.
3Z-- 4Z—
Действительно: у 216:у 16 = 6:2 = 3*
315. Решение Рудольфа: из 1-го уравнения х~а-\-у',
подставляя во второе, получаем:^ —Ь\ «у24-а-У— Ь=0.
„Coss* Рудольфа была обработана и дополнена Стифе лем
(см. ниже) в 1552 году.
316. Указание. Делим 1-е уравнение на 2-е:
х2 4-у2_ззт
(х—у)2 49 ’
откуда 674ху = 288х2 4- 288^2,
или * 98ху = 288(х—у)2; (х—у)2^ 49 _^х у 2. ху 144 у * х 9 х . у 337 у "Т" х 144 ’
пусть X — —Z. У
тогда 144z2 —337^4-144 = 0,
откуда 16 Z~~ 9 *
Теперь легко найдем: х = 64; у = 36.
317. х = 40; у = 13.
318. Приводим подлинное решение.
Перемножаем
(х 4~у) (х2—у2) = Xs х2У — ХУ2 —У3 = 675;
(х —у) (х2 4-У2) — Xs — х2у 4- ХУ2 —У3 = 351;
675 _ 25.
следовательно, 351~~13:
- (х3 4- х2у — ху2 —у3) 13 = (х3 —х2у -|- ху2 —у6) 25;
38х2у — 38ху2 == 12х3 — 12у3;
38ху(х—У) — 12 (х—у) (х2 4~-ЧУ 4" .У2) 5
3-|-ху = х24-ху4-у2;
4-i-ху — х2 4- 2ху 4-?2;
рЛ 4^-Ху = х+у, (1)
А- ху—х2—2ху 4* у2;
^ХУ = Х~У’ (2)
143
сложим (1) и (2):
(хЦ-ух) (х« — ух*)=675; -|-х.|-х» = 675/
№ = 729; х = 9; y — Q.
Стифель, Михаил (1486—1567), знаменитый немецкий
математик, автор пользовавшегося большой известностью
трактата „Полная арифметика* (1544, Нюрнберг). Ему, между
прочим, принадлежит идея логарифма числа.
319. По Стифелю число вида (22я+1— 1)*22я будет совер-
шенное (при условии, указанном нами в примечании к задаче).
Действительно, положив 2n — kt получим евклидовскую форму
совершенного числа: (2**1— 1)-2\
820.
822.
9х44-8х2
6*3 •
27x5 + 24x8
12x3
823.
321. 4х«
Зхз
9x44-8x2
6x3 *
324. --*** 24 . 325. 12№ 16х» - 36x2 — 32х + 24.
326. х= 6. 327. х = 4 (1 4- /2).
328. ]//4096=/4096 =1^64 =4;Ку/64 = /4 = 2;
4-|-2 = 6; /16 = 4; ^8 = 2; 44-2 = 6.
829. 24-{-- j/552. Можно упростить: 2(12 -р j/138).
830. Пусть ЛО = /?; АВ = а6; АС = а10 =
OD — h (черт. 71).
Имеем:
а108=2/?.(/?-й),
откуда
4
но а* 10 — 21/5
4 . 16
/?2- _
V=7 (10 — 2/5),
следовательно,
‘ Я /---------7=
. «5=у/10 — 2/5.
Диагональ
d = /4/г2—а210=Л /ЮН-2 /5.
С-
Черт. 71.
Бютео, Жан (1492—1572), ученый французский монах, автор
трактата„Logistica" (1559).
331. х=11; у = 4; 2 = 5.
Нунец Педро (1492—1577), португальский математик, изве-
стный своими исследованиями кривой локсодромы. Профессор
университета в Коимбре.
332. Зх2 4-24-х4- 5 Д . Остаток 1^.
1 4 16 16
Рамус, Петр (Pierre de la Ратёе) (1515—1572), профессор
Парижского университета, математик и один из первых по вре-
мени историков математики. Автор трактата „Scholarum mathe-
maticarum" („Математические чтения").
333. 63х3 —36х2; 56л:4 4-95^4-36.
334. /56- /24— /144- /6.
Упрощение дает: /14— /б.
Тарталья, Николай (1499—1557), знаменитый итальянский
математик и механик, давший формулу для выражения корней куби-
10 Н. Г. Попов
в науке под именем формулы Кар-
дана. Важнейшее произведение
Тартальи „Generale trattato" содер-
жит изложение арифметики, алгеб-
ры, геометрии и конических се-
чений.
335. Из концов данного отрез-
ка АВ (черт. 72) опишем данным
раствором циркуля окружности и
проведем через точки А и В пря-
мые АМ и BN под углом в 60°
145
к линии АВ. Отложив п раз (на чертеже —4 раза) радиус,
концы отрезков С и D соединим с В и А. Точки деления со-
единяем параллелями (А£) и СВ). Отрезок, АВ при этом раз-
делится на п равных частей (в
с
в
А
' Черт. 73.
данном случае — на четыре).
336. Из конца А данного от-
резка АВ (черт. 73) данным раст-
вором циркуля делаем засечку D,
а из точки В такую же с другой
стороны (в точке С). Строим на AD
д и ВС равносторонние треуголь-
ники. Точка Е их пересечения бу-
дет третьей вершиной равносто-
роннего треугольника АВЕ.
Кардан, Джеронимо (1501—1576), итальянский математик,
опубликовавший в своем сочинении „Великое искусство или об
алгебраических правилах* (1545) впервые решение кубических
уравнений, хотя основная формула заимствована им у Тартальи.
Там же Кардан излагает и решение уравнений 4-й степени по
способу, открытому его талантливым учеником Лодовиго Фер-
рари. Кардан первый ввел в алгебру действия с мнимыми коли-
чествами.
837. (54-//15) (5 —Z/15)==25 —/2.15 =
= 25 —(—1). 15 = 25 4-15 = 40.
338. х<4-х»4-х24-х4-1.
339. Прибавляем к обеим частям по Зх2:
16x2 = х*-|-2x3 + Зх2 4-2х 4-1;
16х2 = х4 4~2х8 4" 2х2-l-x2 4~2х-|-1 =(х2 4-х 4" 1)2;
4х=х2 4” 4~ 1 *
х2 —Зх4-1=0; х=4±^’
У Кардана только эти два корня. Остальные находятся из
уравнения:
— 4х = х2-|-х1; х2-|~5х-4-1 =0;
-5± /21
х— 2
340. Решение Кардана: пусть квадрат FD (черт. 74)
есть х2, следовательно, его сторона FH—X. DG = DB = 3
(половине коэфициента при х). Построим квадрат AFEC.
Прямоугольник AD равен прямоуголь- р
нику DE, т. е. равен Сумма ква-
драта FD и двух этих прямоугольников
равна х2-|-6х, что, по условию, равно 91.
Малый квадрат ВССО = 9, следовательно,
Н___£
квадрат
AFEC= 100. Следовательно,
ЛСх=10; но ДС=х-|-3> откуда х = 7.
Обычный прием:
G
В С
— _34-Ю; хх = 7; х2==—13. Черт. 74.
341. Кардан первый дал полное решение этой задачи. Пер-
вый случай. Касательная по одну сторону линии центров. Из
центра О окружности большего радиуса (черт. 75) описываем
окружность радиусом равным R — г. Из точки О1 проводим к ней
касательную ОХД. Точку А соединяем с О и продолжаем ОА до
встречи с окружностью радиуса R в точке В. Через В провоз
дим ВС [] АОг\ ВС—искомая касательная.
Во втором случае, когда общая касательная пересекает
линию центров, из Ох проводим вспомогательную окружность
радиусом равным (черт. 76).
Бенедиктис, Джиованни Бенедетти (1539—1590), итальян-
ский математик, автор трактата „Diversarum speculationum mathe-
10* 147
maticarum" (Турин, 1585). Особенность его изложения состоит
в том, что он иллюстрирует выводы алгебры геометрически.
342. Сложение первых двух уравнений дает:
но
следовательно,
£ Точно так же:
у х = д + с~. z _ b 4-С —а
У \ в 2 ’
2/1 К Бенедетти дает и геометрическое
х \ ’ / \ толкование: возьмем треугольник со
/ \ сторонами а, Ь, с (черт. 77). Если
м ni" г % о вписать в него круг, то в точках ка-
сания стороны разобьются на отрезки,
Черт. 77. Так что х-\-у — а; y-^z = b;
z-]-x = c.
343. Если искомое х, а данные а и Ь, то по условию
х(х Ц- а) = b2, или х2 4- ax — b2t т. е. уравнение *2-й степени.
148
Отсюда
Бенедетти дает построение корня (черт. 78):
строим прямой угол и на сторонах его
отложим АВ = а и ВС — b. Разделив в
точке О линию АВ пополам, соединим
точки О и С. Из О радиусом АО опишем
дугу, встречающую ОС в точке Е. Отре-
зок СЕ~х.
Клавий, Кристоф (1537—1612), преподаватель математики
в Риме, автор трактата по алгебре (1609) и издатель „Начал*
Евклида с комментариями.
344. Xj = 6; =:: 2" •
345. Дана точка А и окружность О (черт. 79). Соединяем ее
с центром и на прямой ОА как на диаметре опишем окружность.
Точку В ее пересечения с данной окружностью соединяем с А.
Линия АВ будет искомой касательной. Интересно, что в 1899 г.
на Мюнхенском съезде математиков было дано построение каса-
тельной, как новое, но оказалось принадлежащим Евклиду.
Пусть А — внешняя точка. Опишем из О радиусом АО окруж-
ность и проведем ВАг перпендикулярно АО (черт. 80). Точку Аг
соединим с О. Точку Bt пересечения АгО с данной окружностью
соединим с А. АВг—искомая касательная.
Доказательство почти очевидно (из треугольников АОВ1 и
А^ОВ).
Виета» Франсуа (1540—1603), знаменитый французский ма-
тематик, труды которого содействовали успехам алгебры и три-
гонометрии. Благодаря ему алгебра, от синкопированной (т. е.
основанной на обозначениях в виде сокращений) перешла к сим-
волической форме. Сам Виета обозначал неизвестные гласными
буквами, а известные — согласными. Особенно много ему обязана
теория уравнений. Главнейшие его труды „In artem analyticam
isagoge" (1591) и „De aequationum recognitione et emendatione*
(1615).
346» Дано уравнение:
x2 -J- Px + 4 — °*
Пусть
Тогда
x2 = j>2 4- 2уг z2,
следовательно, уравнение примет вид:
_у2 _j_ 2yz -|-«2 -\-ру -\-pz -f- q *= 0;
у2 4-j (2.? 4-/0+г2 -i-pz 4- q—o.
Выберем z так, чтобы коэфициент при у в первой степени ис-
чез, т. е. чтобы 2z-\-p равнялось нулю. Тогда Z —— При
z
этом выражение:
г.+^+,=£_£+?=,-^,
и, следовательно, уравнение принимает вид:
откуда
х —у z.
следовательно,
3,47. Действительно, пусть х — а.
Тогда
а3— (а -|- b 4- с)а2 -{- (яф 4“ ас 4“ а —
а3 — а2 — а2Ь — а2с 4~ а2Ь 4~ а<2>с 4" а^с ~ а^е
Получаем тождество abc = abc.
Первое из уравнений имеет корни 1,2,3.
Второе: —2, 4“ 2, -]~4.
348. По теореме Пифагора (черт. 81) д
с = у/ а2 4“ Ь2,
и
b = у с2 — а2,
Черт. 81.
следовательно, зная а и например, можно
не только вычислить с, но определить ее размер построением.
Таким образом, можно по данной величине а построить а 5.
Для этого преобразуем:
/ 5 а2 == / а2-|-4а2 = / а2 + (2а)2,
т. е. а у 5 есть гипотенуза прямоугольного треугольника с ка-
тетами а и 2а.
Точно так же:
а /П = /ТТа2’= /36а2 —25а2 = у/(6а)2 —(5а)2;
а /13 = /Тз'а2 = /4а2_|_9а2= /(2а)2 + (За)2;
а /17 = /ТТо2 = /а2+ 16а2 = /а2-|-(4а)2;
а /26 = /26а2'= /а2 + 25а2 = /а2-|-(5а)2;
« /34= /34а2 = /9а2-|-25а2 = /(За)2 Ц- (5а)2
350. Полагаем:
у> —z; 22 + 2№_ав = 0; z = — //>®4-а6.
Зная zx и 2г2, получим два кубичных двучленных уравнения:
jS^Zp Js = z3.
Бомбелли Рафаэло (1530 — ?), итальянский математик, автор
трактата по алгебре (на итальянском языке) „L'algebra parte mag-
151
giore deH’Aritmetica divisa in tre Hbri* (1572). В этом сочине-
нии впервые обнаруживается ясное понимание значения мнимых
количеств. Кроме того, Бомбелли значительно усовершенствовал
алгебраическое знакоположение.
351. 2 4*/—121~ = f/24-HZ = /8-4-12/ — 6— / =»
«= |/2з4-3-22/4-3-2— |/(24-/)з = 24-/;
|Л2 — /—121 = /2—11/ = /8— 12Z —6-р/ =
= ^23 —3-22./4-3-2/2 —/з = /(2 —/)« = 2 — г,
следовательно,
/24-П/ 4-^2—11/=24-/4-2 —г==4.
352. х3 —4х24-4х2—16X-J-X—4 = 0;
х2 (х — 4) 4~ 4х (х — 4) 4- (х — 4) = 0;
(х — 4)(х24-4х4-1) = 0;
Xj — 4; х28 = — 2 4;/ 3 .
XVII век
Гарриот, Томас (1560— 1621), английский алгебраист, автор
трактата „Практика аналитического искусства11, вышедшего уже
после его смерти (1631). Ему были известны соотношения между
коэфициентами и корнями уравнения.
353. х» 4- х2 (Ь 4- с — d) 4- x(bc — bd — cd) — bed.
354. X2 —4х2 4-4x2 — 16x-j-13х —52 = 0;
х2 (х — 4)4х (х —4) 4-13 (х—4) = 0;
(х—4) (х24-4х4-13) = 0;
Xj = 4; х2;8 = — 2 + /3.
Жирар, Альберт (1590—1632), фламандский математик,
автор книги „Новые открытия в алгебре” (1629). Он признает уже
отрицательные и мнимые корни и высказывает мысль, что всякое
уравнение имеет столько корней, сколько единиц в наибольшем
показателе при неизвестном,
15?
355. х3 — 4х24-4x2 — 16x4-Зх— 12== 0;
х2 (х —4) 4-4х (х—4) 4-3 (х — 4) = 0;
(х —4) (х2 4- 4х 4- 3) = 0;
Xj = 4; х2=— 1; х3 = —3.
356. х4 — х3 4~ х3 — х2 4~ х2 — х — Зх 4- 3 = 0;
xi(x-'l)-\-x2(x—V)-\-x(x— 1) — 3(х — 1) = 0;
(х—1) (х? 4-х24-х — 3)=0; Xj = l;
х3 — х24-2х2 — 2х4-3х—3 = 0;
х2(х — 1)4- 2х(х— 1)-|-3 (х—1)=0;
(х—1) (х24-2й;4-3) = 0; х2=1; хм==— 1±//2.
357. у"2000.
Кеплер, Иоганн (1571 —1630), знаменитый астроном, открыв-
ший законы движения планет, носящие его имя. Кеплер был
также крупнейшим математиком своего времени. Он является
одним из основателей современного исчисления бесконечно малых.
Зад. 358 заимствована из сочинения „О доказательстве гармони-
ческих чисел “(1619).
358. х4 — 5х2 + 5 = 0
Стевин, Симон (1548 — 1620), голландский инженер, которого
можно по справедливости считать изобретателем десятичных дро- ’
бей (трактат* „La Disme“, 1585).
A v3
359. 4х7 — 2xe — 6хБ 4~ Эх4. 360. 1) 2) Зх2^г2.
361. 1) /бх3;
2) /б-х3;
з) у/15^4- /Т2Х3-!- /Тох3-]-
Последний пример упрощается:
15 —р 2х Зх -(— х Юх ~(— 2х -рЛ 2 =
= )Лх(/5^4-2)(/3^4- /2).
362. 10 4-/88.
Упрощение:
10-f-2j/22.
363. ' Xе—Зх3 —5 = 0;
Xs = z; z2— 3z— 5 = 0.
3±i/29
g~~ 2
364. Xs —6x—40 = 0;
x3 — 4x2 4- 4x2 — 16x 4- 1 Ox— 40 = 0;
x2(x—4)4-4x (x—4)4-10(x —4) = 0; Xj = 4;
x2 4- 4x 4- 10 = 0; x2j8 = — 2 ± i /6.
Валлис, Джон (1616—1703), видный английский математик,
главнейший труд „Arithmetica infinitoriim* (1655). В другом со-
чинении „Трактат по алгебре* он первый сделал попытку геоме-
трического представления мнимых величин. Валлис является
одним из основателей анализа бесконечно малых.
365. Эту задачу можно решить несколькими способами вполне'
элементарно.
1-й способ. Если одна сторона прямоугольника х, то дру-
гая /? — х, где р — полупериметр.
Площадь
х(р — х) = £,
или
х2 — px-\-S— 0,
откуда
Очевидно, для действительных значений х необходимо:
П2
и наибольшее значение S—--.
4
При этом х = ~.
л»
2-й способ. Пусть одна
^_а
2
сторон “-{-$>
4
тогда другая
2
Площадь -------аI 2 *. Ясно, что наибольшее значение будет при
4 р2
а=0, т. е.4 когда площадь равна — и стороны между собой равны.
3-й способ. Примем сумму неравных сторон (полупериметр)
прямоугольника за диаметр полукруга (черт. 82). Возьмем какие-ни-
будь два отрезка АС и ВС. Если восста-
вить перпендикуляр CD, то ДС*СВ =
= DC2, т. е. площадь прямоугольника со
сторонами АС и СВ равновелика квад-
рату со стороной CD. А так как наиболь-
шая величина перпендикуляра (полухор-
ды) есть радиус, то, очевидно, максимум
площади прямоугольника достигается
при совпадении точки С с центром
полукруга, т. е. когда отрезки АС и СВ равны между собой.
Сборник „Чародей-математик* издан в Кельне в 1651 г.
и содержит ряд довольно интересных задач типа „математических
развлечений*.
366. Задача имеет два решения:
I — сосуд в 8 единиц объема, II — в 5 и III — в 3 единицы.
367. Очевидно, людей на свете больше, чем волос на голове
у одного человека. Пусть наибольшее число волос п. Отберем
п человек с различным числом волос от одного до л, тогда
у я-[~ 1-го человека будет п волос или меньше.
Декарт, Рене (1596—1650), знаменитый ^французский фило-
соф и математик; творец координатного метода. Его трактат
„Геометрия* вышел в 1637 году. Декарт способствовал успехам
теории уравнений и один из первых стал обозначать неизвестные
последними буквами латинского алфавита, отдавая предпочтение
букве z. Его имя присвоено всем известному „правилу знаков*
и алгебраической кривой 3-го порядка (так называемый „декартов
лист*). Декарту принадлежит так называемый способ неопреде-
ленных коэфициентов, имеющий различные применения.
368. —8) —(у— 8) = 0;
(У —8)0*—1) = 0;
Л=8;д8=±1.
869. .у3 —2у2 —7_у24-14у4-12у —24 = 0;
У8 (у — 2) — 7у (у — 2) 4- 12 (у — 2) = 0;
(у —2)(у3 —7_у-|-12) = 0;
Л = 2; у2 = 4; у8=3.
870. х4 — 4х3 — 1 Эх2 4~ 76х 4~ ЗОх — 120 = 0;
х3 (х — 4) — 19х (х—4) 4-30 (х —4) = 0; х, = 4.
Xs —19x4-30 = 0;
—3x2-{-Зх2-9х—10x4-30 = 0;
х2(х — 3)4-3х(х — 3) — 10(х — 3) = 0; х2 = 3.
х2 4- Зх — 10 = 0; х8=2; х4 =— 5.
Бартолинус, Эразмус (1625—1698), профессор математики
в Копенгагене.
371. 4а8—17а44-7а34~29а2—17а-|“6'
372 (5~Х) <*2+12> <5 ~
/х24-12 /х24-12 • /х2-|- 12
= (5 —х). /х2 4-12.
873. Возводим в квадрат обе части уравнения:
г2 4* За2 . гг — За2 Гzi — 9а4 az2
- ( _ 2 у
z* az1 f z* — 9a4,
~2~~b~~V 4 ;
г4 I aM az* z* 9a41
4 + '#2 1T~"4 4"5
babz* — 4a2?4 = 9a4#2;
4#г4 — 4a^4 —
л 9a3#2
z* =------?
4# — 4a
Ферма, Пьер (1601 — 1665), знаменитый французский мате-
матик, много сделавший для создания метода бесконечно малых,
один из творцов современной теории чисел и теории вероятно-
стей. Еще до опубликования „Геометрии" ДекартаФермй, напи-
сал „Введение в изучение плоских и телесных мест". В этой
работе, опубликованной лишь после смерти Ферма, основные
идеи аналитической геометрии развиты гораздо сйстематичнее,
чем у Декарта.
374. Известно, что , откуда
1-q
S—а.——^---------а,= , следовательно, .
1 1—^ 1 1—q S—at а2
375. Ферм4 в письме к французскому математику Робервалю
(1602—1675) от 4 ноября 1636 г. дал указываемое правило сум-
мирования четвертых степеней чисел натурального ряда.
Известно, что сумма четвертых степеней от 1 до п выра-*
жается равенствам:
54 = /г4+(л — 1)4+ ... 4-24 4-14=а
“Аж (2«-|-1) (3«2 Ч-Зл — I).
0*0
Отсюда
5$4 = у (я 4-1) (2л -Ь 1) (3«2 4- Зя — 1).
Правая часть этого равенства должна тождественно равняться
выражению, данному Ферма. Так как
' 12 .O2J- _|_й2_«(й+1)(2« + 1)
I2 2й -j- . . . Гг =----------$-------- ,
то
(4„ 2 _ «(” + 1) (2« + 1)
L 2 J 6
s== (2^ + U^+1)2 _ /sfo+W”+*)
2
6
“ п (п 4- 1) (2п 4-1) _ 1) =
==П (п 4-1) (2п 4- 1)--g-------.
Примечание. Сумму четвертых степеней последовательности
чисел 1, 2,...д можно вычислить, пользуясь тождеством:
Л5_(л_1)5==5^_юлз + Юд2 —5л+ 1,
полагая последовательно
п = 1, 2, 3, . . . , п.
376. Это так называемая „теорема Ферма*.
Решение. Числа, кратные N> суть, очевидно:
М 2М 32V, ...,(/? — 1)М
делим их на р:
2N=q2p + r2,
3W=?8/?4-r8,
(p-\)N=qp_1p’-\-rp_i.
Перемножение дает:
1.2.3...(д— 1)-№~1 = кр. р-\~г^г3., .гр_}.
Но второе слагаемое суммы в правой части равенства есть
1-2.3... (р—1)(ибо среди/?—1 чисел rv r2, ...,rp_v меньших
/?, не может быть равных). Следовательно,
1-2.3. ..(/>—1)(№-1—1)=== кр. р\
так как. 1*2«3...(/>—1) на р не делится, то ясно, что
М7”1 — 1 делится на р.
377. Пусть число N. Если одна часть л:, другая W—х. Их
произведение x(N—х) должно быть наибольшим. Вопрос при-
N
водится к задаче 865. Итак, х — — . Проверить это,на числе 10.
лг *
378. Продолжим хорды МА и МВ (черт. 83) до встречи в
точках G и Н с продолжениями СО. Угол М — прямой, следо-
вательно, треугольники АОС и BDH подобны:
BD~~DH’
но BD—AC,
следовательно, 2GC- DH= 2АС* = CD*.
Отрезки GC, CD, DH
пропорциональны АЕ, EE, FB,
поэтому 2AE-BF—EF*.
Но AF-\-BE = AB EF, 159
следовательно,
AF2 4- ВЕъ 4- 2AF- BE=АВ* 4- 4- 2АВ • EF,
ИЛИ
AF* + BE2 + 2AF-BE = АВ2 + 2(АЕ • BF АВ -EF).
Тождество *
(л с) (Ь —1~ с) = &b —|— (fz —|— b —|— с)с,
при
АЕ = а, EF—c, FB — b,
дает: х-
af-be=ae-bf+ab-ef,
откуда
AF2 + BE2 = AB2.
379. Строд, Томас, (конец XVII века) упоминает об этом по-
строении, не указывая, впрочем, кому оно принадлежит.
На произвольной прямой откладываем от произвольной точки А
данные линии АВ — а и АС=Ъ (черт. 84). На этой же прямой
в обратном направлении откладываем
от точки В длину BD = b и радиу-
р сом, равным Ь, описываем дуги из
/ \ точек D и С. Прямая АЕ, соединяю-
/ \ \ щая точку пересечения этих дуг с
/ х \ точкой А, и будет средней пропор-
/ v циональной между а и Ь. Действи-
!______\ тельно: равнобедренные треугольники
U д ВС АЕ& и подобны, следовательно
Черт. 84. а:АЕ = АЕ'.Ь.
Паскаль, Блэз (1623—1662), знаменитый французский мате-
матик, известный своими исследованиями свойств циклоиды, а так-
же конических сечений. В его маленьком трактате „Опыт о
конических сечениях* находится замечательная лемма, известная
под названием „паскалева шестиугольника*. Вместе с ФермД он
разделяет славу создания теории вероятностей.
380. В своем трактате „Особенности делимости чисел*
Паскаль говорит: пусть при делении 10 на число А получается
остаток при делении 10rt на А — остаток г2, при делении
10г2 на А — остаток г3 и т. д. Если данное число (например,
четырехзначное) будет MCDU, где Л/, CfD и U—цифры тысяч,
160
сотен, десятков и единиц, то общий признак делимости этого
числа на А следующий: если
делится на Л, то на Л делится и число MCDU.
Действительно, пусть
Ю —л^-f-z-j,
10/-,==Л^ + г8,
тогда
U -]- Dr! 4“ Сг% 4" Мг8 ~
= и+ D (10 - АЯ1) + С(10г1 - Aq.) + М (10r2 — AqJ
= U+ 10D +-1 ОС (10 - AqJ 4- 1 ОМ (Ю^—AqJ — кр. А =
=^4-102)4- lOOC-f-lOOAf (10 — AqJ — кр. А~
= (7+ 102)4“ 1006*4* Ю00Л1 —кр. А.
Баше де Мезирак (1581 — 1638), французский математик, из-
вестный своим способом решения неопределенных уравнений
первой степени в целых числах, автор комментариев к „Арифме-
тике" Диофанта и популярнейшего „Сборника математических
развлечений" „Recueil de Problemes plaisants et delectables, qui
se font par les nombres" (1-е издание вышло в Лионе в 1613 г.).
381. Решение. Дети переправляются на другой берег. Один
из них там остается, а другой возвращается с лодкой. Потом
переезжает один солдат и посылает обратно лодку с мальчиком.
Снова дети едут на противоположный берег и т. д., пока вся
рота не будет перевезена.
382. Решение задачи основано на свойствах троичной системы
счисления, с помощью которой можно выражать любые числа;
так как число 40 — 27 4~ 9 4 3 4“ 1 — З3 4“ З2 4“ 3 4~ 1, то по-
мощью четырех гирь весом в 27, 9, 3 и 1 фунт, как нетрудно
убедиться проверкой, можно отвесить любой груз в пределах
сорока фунтов. Достаточно взять любой груз и выразить его по
троичной системе: например,
23 = 27 —(34-1); 31=27 4-34-1
и т. д.
383. Вопрос приводится к системе уравнений:
х—^^~z = 2,
3j>— х — г = 4,
7z— х—> —8,
11 Н. Г. Попов
161
откуда
x^13;j/ -7; z = 4.
Озанам, Жак (1640 — 1717), французский математик,
автор „Курса математики44 в 4 томах и сборника задач
„Математические и физические развлечения44 (2-е издание
вышло в 1788 г.).
384. Задача сводится как будто к определению числа пере-
становок из семи элементов:
Р7 = 7«6‘5‘4« 3-2.1 = 5 040.
Так решил и Озанам, но он ошибся. Озанам рассматривает все
места как совершенно различные. И это было бы правильно, если
бы семь человек сидели, скажем, на одной длинной скамейке
с одной стороны стола, предполагая последний прямоугольной
формы. Но если они усаживаются кругом стола (хотя бы и
прямоугольного, а не круглого), т. е. так, что последний из
усевшихся оказывается соседом первого, то относительное
положение обедающих не изменится, если по данному знаку каж-
дый из них пересядет на соседний стул вправо. Так как гости
могут подобным образом пересаживаться шесть раз вправо, то
Озанам, считая их за различные, нашел семь прямолиней-
ных перемещений, тогда как в действительности здесь будет
только одно круговое. Следовательно, число обедов должно
сократиться до 720. Но если принять во внимание, что вместо
пересаживания вправо все могли бы пересесть влево, то число
различных перемещений уменьшится вдвое, т. е. будет равно 360.
Это и есть правильное решение задачи. Озанам высчитал, что
гости должны обедать вместе около 14 лет. Оказывается, что в
действительности им для этой цели пришлось бы собираться
ежедневно только в течение одного года.
385. Так как 4- 4~4~ 4-4- = и это составляет 26 000,
2 3 4 12
то — Равна следовательно, первый дает 12 000, второй
8 000, а третий 6 000 ливров.
Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1646— 1716), знаменитый
философ и математик. Лейбница наряду с Ньютоном часто
называют автором анализа бесконечно малых. Это верно в том
смысле, что эти гениальные ученые систематизировали идеи
и результаты, полученные их предшественниками, и, введя
162
единообразие в методы и обозначения анализа, создали целост-
ный, практически удобный и мощный аппарат. Они также обо-
гатили анализ рядом новых важнейших достижений. Многие
символические обозначения Лейбница удержались в науке до сих
пор, так например, знаки интеграла и диференциала принад-
лежат ему. Он работал по исследованию свойств кривых (напри-
мер, цепной линии), по разложению функций в ряды, наконец,
от него берет начало идея определителей.
386. 1) — т —-1) — т (т2—1) (тп2—[—1).
Пусть т = 2k, т. е. четно. Тогда т2 + 1 — 4&2 4z 1; если т
не делится на 5, то возможны формы этого числа 5/гЧ- 1 и
5/гЧ-2: т2 дает 25п2 + 10п 4“ 1 и 25/г2 + 20я 4“ 4, т. е.
т2 ~ кр. 54“ 1 или кр. 5— 1, следовательно, либо ш24* 1> либо
т2— 1 делится на 5. Аналогично убедимся в этом при т нечетном.
2) т1— m = —\) — т(т3—1)(т84~1)-
Пусть m = 2k, т. е. четное. Для т, если оно не делится на 7,
возможны формы 7п 4- 11 7n4z2, 7п + 3. Но ш3 во всех этих
случаях будет равно кр. 7 + 1. следовательно, либо яг3—1,
либо т* 4- 1 делится на 7.
387. У1 4-г /3 — у =
Аналогично:
Следовательно, сумма равна:
Ньютон, Исаак (1642 — 1727), величайший ученый всех
времен, профессор университета в Кембридже и с 1703 г.
президент Лондонского королевского общества. Главнейшим
трудом его являются „Математические начала естественной
И* 163
философии* (1687), разделенные на три книги. В первой
излагаются общие начала механики и законы движения. Во
второй исследуются вопросы, связанные главным образом/с
сопротивлением движению. В третьей изложены законы планетных
движений. Давши математическое выражение закона тяготения,
Ньютон заложил таким образом фундамент небесной механики.
Огромное значение для истории математики имеют работы
Ньютона по созданию исчисления бесконечно малых fcM. выше
заметку о Лейбнице). Кроме того, он исследовал свойства
различных кривых и внес усовершенствования в теорию
уравнений. Перу Ньютона принадлежит трактат „Всеобщая
арифметика“(1707), где символика и самое изложение мало чем
отличаются от современных.
888. 1) —За
С
2ах
с
a?b
с
2) У>4-2ау—у.
889. От данной точки Р (черт. 85) проводится к одной из дан-
ных прямых АВ какая-либо прямая PD и продолжается в сторону
другой прямой ДСдо точки Е так, чтобы отношение РЕ к PD
следовательностыо
равнялось данному. Пусть ЕС параллельна
AD, тогда, проведя СРВ, получим
РС.РВ— PE.PD.
390. Решение Ньютона. Даны пря-
мые АВ, АС и ВС( черт. 86) и требуется рас-
положить данный треугольник DEF так, что-
бы вершины его D, Е и F лежали соответ-
ственно на прямых АВ, АС, ВС. Опиши
около DE, DF и EF три сегмента DRE,
DQF, EMF, вмещающие углы, соответственно
равные ВАС, АВС, АСВ. Эти сегменты
надо описывать по такую сторону пря-
мых DE, DF и EF, чтобы последователь-
ность букв DRED была одинаковой с по-
ВАСВ*, DGFD — одинаковой с АВС А и
EMFE — с АСВА. Эти сегменты дополняются до кругов. Пусть
первые два пересекаются в точке G, и пусть Р и Q их центры.
Проведя PG и PQ, возьми Ga так, чтобы
Ga.AB-PG.PQ.
Из точки G радиусом Ga опиши круг, пересекающий первый
круг DRE в точке а. Проведи затем aD, пересекающую второй
круг DFG в точке Ь, и аЕ, пересекающую третий круг в точке с.
Остается построить фигуру ABCdef, равную и подобную фигуре
abcDEF, и задача будет решена. Действительно, проведем Fc,
пересекающую aD в некоторой, пока еще неопределенной, точке л,
и соединим aG, bG, QG, QD, PD. По построению угол EaD~
—~САВ, а угол acF—АСВ, поэтому треугольники апс и АВС
имеют соответственно равные углы. Следовательно, угол апс или
FnD равен углу АВС, а следовательно, и углу FbD, что пока-
зывает, что точка п совпадает с точкой Ь.
Угол GPQ, равный половине угла GPD при центре, равен
углу GaD при окружности, и угол GQP, равный половине цен-
трального угла GQD, равен дополнению до двух прямых угла
GbD при вершине, следовательно равен углу Gba, и треуголь-
ники GPQ и Gab между собой подобны, откуда Ga\ab~
— GP\PQ—Ga:AB (по построению).' Поэтому ab — AB и
треугольники abc и АВС, о которых доказано, что они подобны,
вместе с тем и равны. Так как сверх этого вершины D, Е и F
треугольника DEF лежат на сторонах ab, ас, Ьс треугольника abc,
то можно построить фигуру ABCdef, равную и подобную
фигуре abcDEF, и задача будет решена.
XVIII век
Маклорен, Колин (1698—1746), профессор университета
в Эдинбурге, математик, известный своими трудами но выс-
шему анализу (.Трактат о флюксиях”) и особенно нсследо-
ваниями свойств кривых, главным образом третьего порядка. Его
имя обычно связывают с разложением функций в ряд по степе-
ням аргумента, хотя ряд этот был известен и до него, и был
им только впервые опубликован. Его трактат по алгебре, из
которого мы приводим 4 задачи, богат содержанием и мало чем
отличается от учебных курсов алгебры позднейшего времени со
стороны символики.
391. Решение Маклорена Он складывает почленно все
три уравнения и получает Зг —36, откуда X — 12, тогда из
2-го и из 3-го г = 6.
V"20 _ ^20 ^164-2-1-^4 _
392. з /—— з у— з у—•— зу—— зу - , з у—
j/4 — j/2 4 — Y2 V16 4~ 2 j/4
* ^20(21^2 4-24-^4) __ 2^40 4-2]^20 4-^80 _
“ (^4-^2) (2^2 + 2 4-^4)" 2 “
= 2^5 4-^20 4-^10.
393. Пусть обедало х человек. Легко состави1ь уравнение
™ |;у ю,
х — 2 х
откуда
х2— 2х = 35.
Маклорен решает так:
х2 —2x4-1 =36
(х—1)2 = 36; х—1 = + 6; хх — 1 или х2 = — 5.
Второй корень не годен,
394. Пусть 4
х8 = г, г2—* 19г —216 = 0.
Решение Маклорена:
г2—19г
361
4
216 4-4
1 4
1225
4 •
19
2
35
2
194-35
—==— = 27 или — 8,
£
следовательно, х ( = -^2) равен 3 или — 2.
Ламберт, Иоганн Генрих (1728—1777), выдающийся немец-
кий математик, член Берлинской и Мюнхенской академий, глубокий
знаток геометрии, работавший по исследованию свойств кониче-
ских сечений и теории перспективы. Ему наука обязана дока-
зательством несоизмеримости числа тг.
395. Есди 10а-|-2>— нечетное число, то (10а-|“£>)2 тоже не-
четно, а (10а 4“^)2—1==(10а-|~£—1) (ЮаЦ-1). Оба эти
множителя четны, при чем, если первый есть 2&, то второй
2&-J-2, следовательно произведение имеет вид 2k*2(k-^-1) =
— но из ДВУХ последних множителей один также
непременно четный.
396. Указание. Всякий нечетный квадрат либо кратен 9,
либо дает при делении на 9 в остатке 1, 4 или 7. Если отнять
единицу, то получится число либо кратное 9, либо при делении
на 9 дающее в остатке 3 или 6. Во всех этих случаях оно
будет делиться на 3. С другой стороны, всякое нечетное число
имеет вид 4л ±1. Его квадрат 16л2 ± 8л1- Если отнять
единицу, получим число 8л (2л +1). т« е* кратное 8, следова-
тельно, будучи, кроме того, кратным 3, оно разделится на 24.
Вариньон, Пьер (1654—1722), в свое время мало оценен-
ный выдающийся французский математик, один из первых озна-
комивший Францию в своих сочинениях с анализом бесконечно
малых. Главнейшие труды его относятся к механике, где ряд
теорем носит его имя. В трактате „Новая механика * он при-
меняет теорию моментов к определению условий равновесия всех
простых машин.
397. Из трактата „Проект новой механикиПроекти-
руем стороны АВ, ВС и диагональ АС параллелограма ABCD
(черт. 87) на прямую ху.
пр. АВ — аЬ;
пр. BC=zbc\
пр. Х25-f- пр. BCtssab -^Ьс — асх
но
пр. АС—аС)
следовательно,
пр. ДВ4~пр. ВС—пр. АС.
с
Аналогично:
пр. АВ^аЬ;
пр. AD — a(b
следовательно,
пр. AD — пр. АВ —
ad — ab — bd — пр. BD.
Клеро, Алексис Клод
(1713—1765), знаменитый
французский математик,
18-летним юношей был избран в члены Парижской академий наук
за свои исследования о кривых линиях двоякой кривизны. Его
курсы алгебры и геометрии, особенно последний, и сейчас пред-
ставляют немалый интерес.
398. Эта задача, впервые опубликованная в „Алгебре" Клеро,
перешла на страницы учебников под названием задачи об источ-
никах света. Пусть расстояние между источниками А и В равно d.
Расстояние искомой точки С (равноосвещенной) от источника А
есть х. Тогда расстояние до другого источника В — d — х.
Из физики известно, что сила света обратно пропорциональна
квадрату расстояния освещаемого предмета от источника света.
Если 1-й источник силой в а свечей, а 2-й в b свечей, то
а b
х2 (d — x)*'
откуда
х2 {а — Ь) — 2adx ad? — О,
и
х d\f а
|/ y/b
а — b
так что
Задача эта весьма удобна для исследования. Ограничимся ука-
занием его хода:
при d^>0 1) a^>b
2) аСЬ
3) а = 6
при ^ = 0 1) а=^Ь
2) а = £
Симсон, Роберт (1687 — 17b8),
английский математик, профессор
университета в Глэзго, работавший
в области геометрии.
399. Дан треугольник АВС
(черт. 88 ). Из точки М опускаем пер-
пендикуляры AfCp MBV на его
стороны. Соединим с At Вг с Сх и
точку М с вершинами Л и С. Так как
точки М, А, В, С лежат на одной
окружности, то ^МАСг~ ,/МСВ,
из чего ясно, что X 1 — </2. Точ-
ки С, М, Ах лежат на одной ок-
ружности и потому X 1 — X СВ} Ар
так как и точки Cx,'Af, Вр А лежат
X 2 = X АВ, С,. Из равенства углов АВ}Сг и AjBjC заключаем,
что ВХАТ и ВгСг составляют одну прямую. Ил.еет место и
обратное предложение.
Таким образом описанная около треугольника окружность
есть геометрическое место точек, обладающих тем свойством,
что основания перпендикуляров, проведенных из любой точки
окружности к сторонам треугольника, лежат на одной прямой,
которую принято называть „прямой Симсона*.
Моавр, Абрагам (1667—1754), французский математик, уче-
ник Озанама, живший долгое время в Англии и бывший членом
Лондонского королевского общества. Работал в области теории
рядов и теории вероятностей. Ввел в алгебру так называемые
возвратные уравнения. С его именем в элементарной алгебре
связаны формулы, касающиеся возведения в степень и извлече-
ния корня из комплексных количеств. Они имеют применение в три-
гонометрии и при решении двучленных уравнений.
400. Возьмем уравнение 5-й степени:
$х5 bx* -f- cr8 4“ ex? bx -f- а «= 0.
IQ?
Ясно, что при х =—1 имеем:
— а-\-Ь— с 4“£ — Ь-\-а — 0,
следовательно, х =— 1 есть корень уравнения. Если левую часть
уравнения разделить на лг —[— 1, то получим:
ах4 (b — а) х8 -|- (с -|- а — 5) х2 (Р — а) х -f- а.
Гольдбах, Христиан (1690—1764), немец по происхождению,
живший и работавший в России, секретарь и член Петербург-
ской академии наук, в изданиях которой помещен ряд его ме-
муаров по математике. Большой исторический интерес представ-
ляет его ученая переписка с Эйлером.
401. Будем давать b различные значения, начиная с единицы.
Тогда искомая сумма представится в виде
1 _!- .1. 1 ,
Давая а всевозможные значения, начиная с единицы, мы предста-
вим эту сумму так:
Таким образом весь ряд состоит из бесчисленного множества
убывающих геометрических прогрессий. Сумма членов первой
прогрессии равна , второй и т. д. Следовательно, ряд
напишется так:
JL _[_ _L _i_ J_ ।
1-2 ' 2-3^3-4^ ’
1.11 111 11
Н0 1-2-1 2’2-3 2 3:3-4“3 ТИ Т‘д”
следовательно, ряд перепишется:
1
pj , что в пределе
при и=оо даст единицу.
Чева, Джиованни (1648 — 1734), итальянский геометр
и инженер-гидравлик, доказавший в своем трактате „De lineis
JJ7Q
Сумма первых п его членов равна 1
rectis se fnvicem secantibus, statica constructione" теорему задачи
402, основываясь на началах статики.
402. Так как треугольники АОВ и АОС имеют общее основа-
ние АО, то площади их относятся, как их высоты или как отрез-
ки BAV САХ\ аналогичное имеет место для треугольников ВОС
и ВОА и треугольников СОА и СОВ. Поэтому
AOB-.AOC=BA1:CAV
BOC\BOA = CB1\ABV
СОА'.СОВ —АСг\ВСг.
Перемножение дает:
VA^AC^BA'-CB^AB^CA^BCv
откуда
АСг-BAt • СВГ = АВХ • CAVBCV
403. Автор этой книги — английский математик Chapple. Она
вышла в 1746 г.
Известно,' что /? = —- и г~— =—-— следователь-
4Д р а-\-Ь-[-с
abc
НО, R-r—
Лежандр, Адриан Мари (1752—1833), знаменитый француз-
ский математик, написавший ряд капитальных трудов в области
интегрального исчисления, теории чисел. Ему принадлежит идея
и первая разработка приемов вычисления вероятнейших резуль-
татов совокупности наблюдений известных в науке под именем
„способа наименьших квадратов". В 1794 г. вышло классиче-
ское руководство „Элементы геометрии", которое обычно кла-
дется в основу систематических курсов элементарной геометрии.
Со стороны применяемых им методов
характерен отказ от метода пределов,
который Лежандр считал неподходящим
в изложении начал науки. Со стороны
формы доказательств следует отметить
уклонение от манеры Евклида и ши-
рокое пользование аналитическим аппа-
ратом.
404. Пусть диагонали четырехуголь-
ника ABCD (черт. 89) будут АС=х;
BD~y. По теореме Гиппарха, назы-
ваемой также теоремой Птоломея, имеем:
ху «ze ас -f- bd.
Кроме того:
х___dd~\-bc
у ab-\-cd '
Отсюда
/~^ас 4“ bd^ad^Scj
|/ ab -j- cd
(ас —bd) (ab -j— cd)
У |/ ad be
Если радиус описанного круга будет /?, то по отношению к
треугольнику АВС (со сторонами а, b и х) имеем:
__ abx
у/(а-\-Ь-\-х) (а-\-Ь—х) (а-\-х— Ь) (Ь-\-х—а)
abx
~~ |/(2а^4-аг-4-62—
abx
(Ла Jp ’
Подстановка значения х дает:
(ас 4- bd) (ad 4- be) (ab cd)
(a-\-b-\-c—d) (a-\~b-}-d—c) —b) —аУ
A л abx A я cdx
но площадь £\АВС==^~~- и /\ADC—--~~ t следовательно.
4£) 4/J ♦
♦) Это равенство можно доказать так. Площадь KABD = а пло-
4/?
щадь A BCD —^(см. задачу 256). Отсюда площадь ABCD == .
4/?
Точно так же площадь ДЛВС > площадь AACD и площадь
4/< 4/?
4Z?
Сравнивая оба полученных для площади ABCD выражения, найдем, что
х___ad 4- be
У ~~ab 4- й’
площадь четырехугольника ABCD равна
Подставляя сюда значения х и /?, найдем:
- И + х.
S= Ф (a-\-b-\-d—с) (a-\-c^-d—b) (£—j—с—[—г/—a).
p- a b ~4~ c 4- d
Полагая полупериметр —1-------~----*— равным p; окончательно
найдем: •______________________
5= / (p — a)(p — b)(p — c)(p — d).
Это замечательное соотношение было известно еще индусам.
Полагая d ~ 0, найдем известную формулу Герона для площади
треугольника △ = Vр{р — я) (р— b) (р— с).
Эйлер, Леонард (родился в Базеле в 1707 г., умер в Петербурге
в 1783 г.), швейцарец по происхождению, один из величайших
математиков, необыкновенно плодовитый и решавший труднейшие
проблемы с изумительной легкостью и виртуозностью. Ученая
деятельность его тесно связана с Петербургской академией наук,
издания которой украшались мемуарами Эйлера, самого неуто-
мимого из ее членов. Эйлер прожил в России в общей сложно-
сти более 30 лет. Теория чисел, учение об уравнениях, геометрия,
тригонометрия, анализ бесконечно малых, механика, астрономия
в равной мере обязаны гению Эйлера, все труды которого
поражают богатством и глубиной идей, разнообразием методов
и преобразований, остроумием и оригинальностью доказательств
и множеством удачных обозначений, навсегда закрепившихся
в науке. Перу его принадлежит прекрасный учебник „Полное
введение в алгебру*, 1770 г.
403. (8-3/2НЗ+ 2^/2) = + _
405. Возведя в квадрат получаем, что сЦ- dx — (a-j- bx}z\
откуда c — az2 X bz2 — d ’
а -\-Ьх
следовательно, у — (а ~ bx)z —
be — ad
te*^d*
(be — ad)z
~bz2 — d
407. Возведя в квадрат получаем, что
а2 + Ьх + сх* — а2 -}- ^axz -|- x2z2>
откуда
b — 2az
Х~ zP — c ’
, bz — az2 — ас
следовательно, а ч- xz —-------------.
z2 — с
408. Пусть искомое число х, тогда по условию
2x8-1-144- = 100
4
о 343 7
или х3 =т= , откуда х— .
о Z
409. Пусть купцов было х. Каждый внес 100х, и весь капи-
тал 100а;2. Прибыль на капитал 2х3 = 2662, откуда л;3 = 1331,
следовательно, х = 11.
410. Ответ: 4 294 967 295 пфеннигов.
хах или ах — ха; а — х*-1,
1
если положить ----- = /г,
а— 1
411. Пусть = ах, т. е. (ах)* =
1 . а
откуда х — аа~* , тогда у — аа~};
получим а
J, следовательно,
п
412. Пусть АВС—треуголь-
ник, вписанный в окружность цен-
тра О, радиуса /? (черт. 90). Точка
/—центр вписанной окружности,
ее радиус IE —г. Линия DD}—
диаметр, перпендикулярный к ВС.
Проведем через центры О и
I диаметр FQ описанной окруж-
ности, соединим точку С с точ-
ками Z), и докажем, что рас-
стояния DC и DI равны. Дей-
ствительно, так как центр вписан-
ной окружности лежит в пере-
сечении биссектрис, то / CID =
А4-С A -4- С
==—2~ > , следовательно, DC=DI. Прямо-
угольные треугольники A EI и DrCD подобны, поэтому
IA: г =* 2R: CD = 2/?: ID,
или
M./D = 2/?.r,
HO
M-/D = /F./O = (/? + <?/) (/? — 01),
следовательно,
/?2—0/2 = 2/?-r,
откуда
0/2 = /? (/? — 2r).
413. Пусть числа простые с N2 и меньшие суть
а, у,.. .,М— 1.
Тогда
^а = кр. W24->i
?У=«кр. N2 + r3
М (W2— 1; — кр./Va Н-гЛ.
Перемножение дает:
/V).а- Р...(/V8 — 1) = кр. /V2 + г/2.. ,г4;
и так как r^r^. . .rk=a-$.. .(N2—1) = Л,
то A-(Nkt — 1) = кр. N2.
Но А первое с Nv следовательно, N*— 1 должно делиться на
414. Если р— число простое, то коэфициенты разложения
(х-{~а)р суть целые числа, содержащие, кроме первого и по-
следнего членов, множитель р. В знаменатели коэфициентов,
представляющие факториалы от 2! до р— 1!, число р не входит,
поэтому
тр^\\-\-(т—1)р=14-кр. р-\-(т— 1)р;
вычитая по т, имеем:
тр— т — (т— 1)р — (tn — 1) -1- кр. р.
Далее
(/и — +(^ -2)р> = 1 4-кр-/>4-(т — 2)*,
следовательно,
тР — т — (т — 2)? — (т — 2) Ц- кр. р » ...
... = 1р — 1 4- кр. р — кр. р.
415. Вынем из многогранника несколько смежных между
собой граней и назовем такую фигуру „открытым* многогран-
ником. Для него имеет место равенство:
Д4-1 (I)
Действительно, оно справедливо для фигуры с одной гранью,
представляющей многоугольник, имеющий п сторон. Для этого
случая F— 1, а число вершин Sh число ребер А равно /г, сле-
довательно, равенство (1) справедливо. Покажем, что если оно
будет справедливым для некоторого числа F граней, то оно
останется таковым, если к открытому многограннику прибавить
еще одну грань. Пусть эта грань будет m-угольник и пристав-
лена к остальным р сторонам так, что эти р сторон совпадают
со сторонами других граней, а т— р сторон остаются свобод-
ными. Тогда ясно, что совпадут р-4-1 вершин последней грани
с вершинами предыдущих граней. Обозначим число граней, ре-
бер и вершин нового открытого многогранника через А, Af, С.
Очевидно, будет
F' = F-+-1,
так как в новом многограннике одной гранью больше. Подобно
этому
А'— А — р
и, наконец, S' = S-\-m —
Итак, если имеет место равенство
X4-1=F4-S,
то числа F, А' и S' также удовлетворяют ему, т. с.
x'4-i==r+s',
следовательно, равенство это всегда справедливо.
Допустим теперь, что в открытом многограннике сущест-
вует только одно отверстие, получившееся от удаления одной
176
грани. Это удаление не уменьшает ни числа ребер, ни числа
вершин, только число граней делается на единицу меньше. По-
этому в равенство Л1 S надо подставить вместо F
число F—1, и получим А -2 =
416. Возьмем тождество:
Выполнив вычитания, освободимся от знаменателей:
(Ь — d)(a — c)~(b — с) (а — d) (с — d)(a — b)\ (1)
пусть теперь:
g_=—г4~< G +
r-^si9 р — qi 9 рх—qxi
Сделав замену в тождестве (1), найдем:
(р2 + V24-г2+О (pH я]+г]+4) ==
= (PPi 4~ ЯЯ\ + rrt 4- ssJ2 4- (pqx 4* rst — qpt — srtf 4-
4" (Pri + s?i “* Я3\ — rp^ 4- (psx 4" ЯГ1 — SP\ — rqj*.
417. В правой части произвести указанные действия.
418. Эта задача находится в „Введении в анализ бесконечно
малых*. Решение Эйлера: „Положим, население ежегодно увели-
чивалось на i-свою часть, тогда по истечении 200 лет получим;
х
/1 _1_ v\200
.6=1 000000;
1
14-х /1 000 000\200
отсюда —— =^-------------j , а потому
t 14- х 1 , 1 000 000
"~^=200 — = °'0261092’
следовательно,^^" ~ и 1 000 000 = 61 963х, откуда
х 1 000 000
х приблизительно равно 16. Таково было бы размножение людей,
если бы ежегодный прирост выражался одной шестнадцатой
частью населения, что не может считаться слишком большим.
12 н. г. Попов м 177
Если бы, однако, человеческий род возрастал в такой пропорции
в течение 400 лет, то число людей должно было бы дойти до
166 666 666 666. Такого населения не мог бы выдержать весь
земной шар*.
Мальфатти (1731—1807), итальянский геометр, имя кото-
рого присвоено разбираемой задаче, так как он первый решил^ ее.
419. Положим, задача решена. Пусть точка О — центр
вписанной в треугольник окружности радиуса г (черт. 91). Ра-
диусы кругов К и L обозначим соответственно через ' и гг
Из точек К, О, L
опустим на сторону АВ перпендикуляры и таким путем найдем
точки D, Е, F. Пусть AE — s;BE—t\AD — x\BF—y. Если
проведем KG Ц Л В, то £О = г2— гх и
KQ == + = 2
хг
Из подобия треугольников ADK и АЕО имеем: гх = —; точно
s
так же г2= --(из подобия треугольников BFL и ВЕО). Кроме
того, AB = AD-\-DF-\-FBf следовательно, х \-у
==а-|-/, или, подставляя значения г/2:
2г _
x+j+7^’Zx-5'=ir+'-
Если опустим перпендикуляры на сторону ВС из точек А, О, М
и положим РС=и и QC=2r, то получим аналогично:
2г
*+г н- «•
Точно так же и для третьей стороны АС:
____
Z -|~ X -(-7= у ZX = и 3.
у us
Следовательно, получаются три уравнения с тремя неизвестными
х, у, z. Сам Мальфатти дал решения чрезвычайно сложным
. путем:
2х = 5 -J-t и — г уХ г2 *4“ 2 — j/ г2 — у/ г2—
2y = s4-/-J-a — г — / г2-|~? + /г2 4-7* — /ТЯН^
2z=zS-\-t-\-U — r— |/ /'3«4-$2—j/r24-72+ V г2 + к3*
Но геометрическое построение величин х, у и z очень просто,
потому что
^r^s^OA,
Построим
~ (О А 4- ОВ 4- ОС — s—t — и 4- г) = т,
А
тогда х = О А — т,
у — ОВ — т9
z — OC — т.
Чисто геометрическое решение этой
задачи дал Штейнер в 1826 г.
Маскерони, Лоренцо (1750 -1800),
итальянский математик, профессор
университета в Павии.
420. Описываем две концентри-
ческие окружности из центра О и
делаем АА1 — ВВ1 (черт. 92). Тогда
Д AOAt Д BOBV поэтому
△ ЛОВооД откуда: АО:
Черт. 92.
iOA1—AB:AiB1.
Следовательно, если описать концентрические окружности ра-
диусами а и Ь9 сделать отрезок АВ равным с и отрезки
AAV ВВг равными одному и тому же произвольному отрезку,
то отрезок АхВг и будет искомым.
, 13е
179
ЭД
Примечание. Если отрезок с так велик, что не может служить
хордой окружности (ОЛ), то берем отрезок ~>где/г—целое. При этом
х
построится не х, а —.
421. Пусть радиус окружности есть
единица. Из прямоугольного треугольни-
ка АОЕ (черт. 93), в котором АЕ—АС=^
— yf 3 и ЛО — 1, найдем ОЕ= 2.
Но ОМ ===-*—-, следовательно,
— / ч
ЕО — ОМ—ЕМ— —
£
Так как ВМ=-^-, то из прямоуголь-
кого треугольника ВМЕ получаем:
Пусть AF—x. В четырехугольнике ABFD имеем: АВ—\\
AD — 2; BF—ВЕ— /З — р/6; /4—х\ BD = /3;
АЕ—х.
По теореме Гиппарха:
1- /4 —х2-{-2. /з — /б = х /3,
откуда по упрощении
Х2_х / 9 — 3 /б-( /6 — 2)=0;
положительный корень этого уравнения:
Xj=y (/9 — 3 /6 4- /14- /б) = 1,5712...,
а длина четверти окружности радиуса, равного единице, будет:
J-= 1,5707.
Погрешность меньше 0,0006 радиуса.
180
Жермен, Софи (1776—1831), женщина-математик. За мемуар
о колебании упругих пластинок удостоена премии Парижской
академии наук. Работала главным образом в области геометрии
и теории чисел. а
422. Выражение /г4 4 разлагается в произведение:
(я2 4- 2/г 4-2) (я2 — 2/г 4- 2).
Лагранж, Жозеф Луи (1736—1813), один из величайших
математиков всех времен, имя которого связано с успехами ана-
лиза бесконечно малых, высшей алгебры, теории рядов, теории
чисел, механики и астрономии. Его по справедливости можно
наряду с Эйлером считать творцом вариационного исчисления и
аналитической механики. Его методы отличаются необычайной
точностью и общностью, идеи — глубиной, приемы вычисления —
изяществом. Изложение его, ясное и блестящее, может служить
образцом для писателей-математиков. Сочинения его изданы в XIV
томах под редакцией Серре и Дарбу. Первые семь томов содержат
его специальные исследования, томы VIII—XIV посвящены его
трактатам и переписке с различными учеными (Даламбером,
Кондорсе, Лапласом и Эйлером).
423. Пусть разность чисел есть d, а самые числа р — d, р,
p-\-d, где р имеет форму 6^4;1, причем р — d и p-\-d—х
нечетны, a d может быть только четным и будет иметь вид
6/г±2 или 6я.
1) Если d = 6«4“2 ир = 6/и4~Ь то простые числа будут:.
6 (т— п) — 1, 6 (т 4~ п) 4- 3.
Этот случай невозможен, так 'как последнее из этих чисел —
составное.
2) Если d^6n-±-2 и р~~6т — 1, числа будут:
6 (пг— п) — 3; 6m— 1, 6(#z4-«)4“l>
где первое число кратно 3 (если т— л—1, то числа равны 3;
12/z4~7)- Итак, d не может быть равно 6п 4*2.
3) Если d = 6n — 2 и р ~ 6^4-1, числа будут:
6 (т— л) 4*3; 6/^ 4-1; 6(w 4“/2)-^Г,
где первое составное (если т — п, числа: 3, 6/п —|— 1, 12zn — 1)
и при р — 5т— 1
6 (т --- п) 4- 1» 6/п — 1, 6 (т 4- л) — 3, $
где» третье число составное. Итак, d не может быть равным
6л Ч~2 и равняется только 6л, а при л = 6/л + 1 числа будут:
6(/л — л)±1, 6л ± 1, 6 (т + п) ± 1.
424. Произвести в левой части тождества указанные действия.
А2А2, B2B2t (УС2 пропадут.
425. Делим на х2:
ах* + bx с -J- = О,
Л л
так как у2 — х2-]—„ 4- 2, то
✓ I v2 1
а (у2 — 2)-j-£y-[-c = 0. -
Это уравнение дает два корня и уг Тогда х-]-—=у1 дает Xj
X
. 1
и х2, а х + —=у2 дает х3 и х4.
Безу, Этьен (1730—1783), французский математик, известный
своими исследованиями по общей теории алгебраических уравне-
ний (1779). Его именем называется способ решения системы
уравнений в элементарной алгебре (способ произвольного множи-
теля) и теорема о делимости целого многочлена на разность
.между главной буквой и корнем этого многочлена. Безу написал
целый ряд учебных руководств, бывших в свое время весьма
популярными.
426. Составляем уравнение 24х = 6(30— х), откуда х = 6.
427. х = 7; у =10; * = 9.
428. Если лошадь куплена за х пистолей, то он теряет при
х2 х^
продаже следовательно, х — -—===24, откуда хх = 40,
г, = 60. 100 100
429. Проводим в данном круге
(черт. 94) хорду Л42У, имеющую
данную длину. Описываем из центра
данйого круга окружность, касаю-
щуюся MNy и из точки А проводим
к этой окружности касательную А С.
Она будет искомой секущей.
Этот прием решения — кон-
аруктивиый.
Помощью приложения алгебры к геометрии задача решается
так: пусть радиус круга г, Л/С=а, СВ^ж d (черт. 95). Тогда,
обозначив секущую Л С через х, имеем:
откуда
х (х — d) — a
X?— dx — а (а 2г) = О,
Построение ясно.
Рейно, А., французский ма-
тематик-педагог, автор целого
ряда учебных руководств, при-
нимавший участие в поздней-
шей обработке курсов Безу.
430. Пусть все наследство
х франков. Первый по усло-
вию получает
100 4-1(х-100)=1х+9°.
Черт. 95.
9
Остаток будет “X — 90. Второй получает
Но доли первого и второго равны, следовательно,
1 9
Гох + 9О = 171+тйх,
откуда х = 8100. Доля каждого при этом 900 франков, всех
сыновей 9.
Франкер (1773—1849), французский математик, профессор
BFacult£ des sciences* в Париже, автор „Полного курса чистой
математики*, весьма распространенного и переведенного на русский
язык.
431. Ьс есть полная сумма очков всех кучек. Если отнять
карты, считающиеся за очко, то остаток будет х, но число
этих карт равно а — d без числа карт, считаемых больше чем
за очко, т. е. а~d—b, Следовательно:
— (а —d —£)£ (г 1) -\-d—
— га
41
432. Полагаем -- = откуда ах-\-Ьу~п', для дан-
ного случая ^ = 77=11-7, следовательно, а—\\ и Ь — 7.
Получаем неопределенное уравнение 11 л; —7j/= 58; x=7t— 3;
у = 13—11/; при условии решения в целых числах /—1,
л о П 58 4 . 2
х = 4 и у = 2. Следовательно,— = •
лоо - 800 800
433. Составляем уравнение —г-=--60, где х —число
X —J— О X
участников в платеже. х2-|- Зх= 40, откуда х = 5;
434. Получаем прогрессиюн-2, 3, 4,...
Сумма ее будет:
a+i^-90
2 — уи.
435. На линии центров ООГ (черт. 96) как на диаметре опишем
полуокружность и радиусом, равным половине данной длины, из
центра Oj делаем засечку, встречающую полуокружность в точке А,
Нерт. 96.
Соединив точки О1 и Л,
проводим через точку М
пересечения данных окруж-
ностей линию NP параллель-
но Л Op NP— искомая секу-
щая. Действительно, если
ОК^РМ и O^L^MN, то
К есть середина хорды РМ
и Z, — середина хорды MN,
следовательно, KL— полови-
на PN, но KL равна А Ог рав-
на половине данной длины.
XIX век
Лакруа, Сильвестр Франсуа (1765—1841), известный фран-
цузский математик, в 17 лет бывший уже преподавателем,
а в 1799 г. назначенный профессором Политехнической школы.
В свое время заслуженной славой пользовался его трехтомный
капитальный трактат по диференциальному и интегральному
исчислениям. Он является автором целого ряда пользовавшихся
большой популярностью учебных руководств по элементарной
математике. 11
436. Ответ: 678 ливров 5 су 9— денария.
1Ь
437. Ответ: в 1 — часа.
438. Искомое число километров равно
112*17-10
29*7
439. Из произвольной точки О
вне прямой АВ радиусом ОА
описываем окружность (черт. 97),
точку D встречи ее с прямой АВ
соединяем с центром О и продол-
жаем до встречи с окружностью
в точке С. Эту точку соединяем
с точкой А. Линия АС будет
перпендикуляром к АВ.
, 440. Пусть дана прямая PQ и
вне ее — точки А и В (черт. 98).
Соединив А и В, продолжим АВ до встречи с прямой PQ в точке С.
.. На ВС опишем как на диаметре полуокружность. В точке А вос-
ставим перпендикуляр AD н
радиусом DC из точки С
опишем дугу, встречающую
прямую PQ в точке М. Это
и будет точка касания иско-
мого круга к прямой PQ.
Дальнейшее ясно.
441. Дан круг с точкой
В на нем и точка А вне
круга (черт. 99). Центр иско-
мой окружности, с одной стороны, должен лежать на перпенди
куляре в середине АВ, с другой,
следовательно, он лежит в их
пересечении (точка С\).
442. Дан неправильный пя-
тиугольник ABCDE (черт. 100).
Проводим диагональ ЕС и через
вершину D — линию FD парал-
лельно ЕС до встречи с про-
должением стороны АЕ. Четы-
рехугольник ABCF удовлетво-
ряет задаче.
Мейер, Гирш, немецкий ма-
тематик. Эта задача впервые
дана в его „Sammlung geo-
на продолжении линии ОВ,
D
А
Черт. 100.
в плоскости ABC. OB перпендикулярно АО.
Площадь грани
metrfschen Aiifgaben*
в 1807 г. Это, так
сказать, теорема Пифа-
гора в пространстве.
443. При указанных
на черт. 101 обозна-
чениях имеем: ОЕ пер-
пендикуляр к АВ
в плоскости АОВ; СЕ
'перпендикуляр к АВ
AOB^
n.m
2
с-ОЕ
2
откуда
ОЕ==х~.
с
Из треугольника СОЕ*.
се» =«/»+ о^2=/2-f-
с* ’
но с2 ==/№-(-л2, следовательно,
СЕ* =
Площадь
с*
АВС=^.
2
следовательно, квадрат ее равен '
АВ*-СЕ* с*(1*т*^1*п*^-п*т*) 1*т* . Рп* . п*т*
4 “ 4-с* ~“Г+ 4 + 4 ’
но квадрат площади грани
(1т\' Рт*
СОВ={ — \ = ——,
\ л» / Ч
квадрат площади грани
и квадрат площади грани
лов=№)’=п^'
\ 2 / 4
откуда и получаем при сложении требуемое.
Люилье, Симон Антуан (1750—1840), известный француз-
ский математик, получивший в 1786 г. премию Берлинской
академии наук за трактат „Элементарное изложение начал высших
исчислений", в котором он указывает, что соответственным обра-
зом развитый метод древних позволяет установить на строгих
основаниях анализ бесконечно малых. Ему принадлежат прекрас-
ное сочинение „Элементы геометрического анализа" и ряд мемуаров
по теории рядов и теории многоугольников и многогранников.
444. Площадь Q треугольника может быть выражена так:
_Г1^4-С—й)
2
откуда 1 ЬА~с— а Г.“ 2Q ’ (1)
аналогично * 1 а4~с — b (2)
г» 2Q ’
1 а- — с (8)
rt~~ 2Q ’
наконец 1 а b —[— с r~ 2Q (4)
сумма (1), (2) и (3) дает.
a-j-b 4- с_ 1
2Q ~7
445. Перемножаем равенства (1), (2), (3) и (4) предыдущее
вадачи:
1 (а4-с) (а 4~ — с) (в 4- е — ЬЦЬ-j-c — а)
\6Q* •«' 1
। у
НО
Q = ~ j/(a 4* 6 4“ (а 4~ (л + ^ — 4) с — а)>
следовательно,
1 _ W _ 1
W» 16Q*
откуда
Аллез, Билли, Пюиссан и Будро — французские математики,
написавшие коллективный труд „Gours deMath&natiques* для воен-
ных школ по поручению Беллавеня. Он вышел в 1813 г.
и содержит арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию,
аналитическую геометрию и механику.
А'п 18 • 632-1-25 • 6284-53• 6204-4• 640
446. Средняя дальность-------!-------!.
447. Называя число учеников 1-го, 2-го, 3-го и 4-го этажей
х, у, zt и, имеем:
х 4-J, 4» z и — goo,
х = 2и,
у 4-^ —х -\-ик
5
г = -7У'
2(х4~ ^) = ООО; х 4“ = ^00 = 3zz, следовательно, и~ 100 и т. д.
448. Если кирасирских лошадей х, то драгунских х4~15- •
11250 16000 „
Стоимость первых--------- вторых . По условию
х 15 4" %
11250 16000 , еп
-—=:^+Т5 + 50'
Авторы решают так: после упрощения
х2 4-1 Юх = 3375
прибавляют по 55s:
(х +55)2 = 6400,
откуда х = 25.
449. Ответ: 2а —34-{-4с. 450. а) 1; Ь) у ; с) у .
188
. <31
451. Если периметр вписанного л-угольника р9 описанного
одноименного Р, а радиус круга г, то
* 452. Имеем: |/ 4/z2 r2— p2 x-\-y-\-z = 156, (1)
xy — 2028, (2)
z2 = x2-}-yz; (3)
отсюда
(х Ц-_у)2 e х2 = z2 4~ 4056 — (156 — я)2,
или
4056 = 1562 —312г,
откуда z = 65;
следовательно, х + у = 91.
По сумме и произведению находим:
х = 39; j = 52.
Гарнье, Жан Гильом (1766—1840), французский математик,
педагог, профессор Политехнической школы, автор целого ряда
курсов элементарной и высшей математики. Его „Элементы
геометрии“ вышли в 1813 г.
453. Пусть (черт. 102) £‘(7 = 2а; FG=2c; ОД = #; OB = d\
CF—r=\.
^EDIzry^OAI,
^EDIzo^OBF,
следовательно,
ДОД/с/зДОВР,
OB:OF=(M:OZ,
откуда ___rb__ b~
d~ d
(так как r=l) и
OB\FB ~ОА\АЦ
откуда _cb__cb
Al~~d~ d ’
EI—EA — AI=a
cb___ad — be
~d~-' d ’
Кроме того:
OF\ OB — EI'.ED‘, OF-.FB — El: ID,
OB’EI d ad—be ad — be . ,
ED — —7y^~ ---7— =-----— ad—be,
OF r d r
FB-EI c ad—be c
:D=-OF- = y—d—dl-,“‘-6e>-
b c
OD^OI-YlD^^^~(ad~ be) bd.
потому что
ED —ad—be.
следовательно,
EF=2(ad — be).
Если центр О — внутри треугольника EFG. то надо Ь изменить
на — Ь\ тогда будем иметь:
и
OD = ас — bd.
ED — ad-\-bc
EF-2(ad~\-bc).
Если центр на стороне EG. то # = 0, £4=s a »1; OD = c
и EF—2d.
454. Пусть в равнобедренном треугольнике АВС (черт. 103)
каждый из углов при основании А С втрое
больше угла В при вершине. Так как
+ и 4 = С—32?, то
о
7 В —2d и B=* — d. Дуга АС=^
4 я 2тг . _
== -у • ’ Тв е* АС будет сторо-
I a I
ной правильного вписанного в круг
семиугольника. Пусть прямые CL и СМ
делят угол Сна три равные части ACD.
DCE. ЕСВ. Треугольники ACD и АВС
подобны и CD — CA. Опустим из С
перпендикуляр СР на АВ. Пусть АВ=?а и AC—CD = x.
AD
Тогда a'.x^x'.AD, следовательно, AD — — ,AP--^-==^.
190
Треугольник СЕВ равнобедренный, т. е. ЕС—BE. Треуголь-
ник АСЕ также равнобедренный (АЕ = АС=х). Тогда
СЕ=*ВЕ*=АВ — АЕ = а—х.
Но
= — 2-АЕ-АР = 2 АО — 2-АС-АР,
или
1*2 t
(д —х)« = 2х* —2х-
' ' 2а
X®
а2 — 2ах 4- х2 = 2х2-----,
1 а
и, следовательно, вопрос об отыскании стороны семиугольника
х приведен к уравнению третьей степени:
х8 — ах2 — 2а2х а3 = 0.
Но с помощью циркуля и линейки, т. е. чисто геометрическим
Апутем, эта задача неразрешима.
Гаусс, Карл Фридрих (1777—1855), знаменитый немецкий
математик, особенно известный своими исследованиями по теории
чисел, результаты которых изложены в его замечательном трак-
тате „Disquisitiones Arithmeticae* (1801). Гауссу принадлежит
также первое строгое доказательство основного положения выс-
шей алгебры, что всякое уравнение имеет по крайней мере один
корень
455. Пусть р — простое число, а — какое-нибудь число, мень-
шее р; требуется показать, что при Ь, меньшем р, произведе-
ние ab не разделится на р. Возьмем ряд чисел b, ct dt ...,
из которых каждое меньше р, и допустим, что ab, ас, ad, ...
делятся на р. Пусть b есть наименьшее из чисел b, с, d, ...
и никакое другое число, меньшее Ь, не дает при умножении
на а произведения, кратного р. b <^р и если разделить р на Ь,
то в частном пусть будет т, а в остатке Ьх, т. е. p — bm-\-bx
и Ьг—р — Ьт. Следовательно, abx — ар — abm. Мы допустили,
что аЬ кратно р, следовательно, abm кратно р, точно так же
ар делится на р, в таком случае abx должно делиться на р,
следовательно, кроме чисел b, с, d,... существует еще число Ьх,
меньшее Ь, произведение которого на а делится на р, что
- противоречит предположению.
Коши, Огюст Луи (1789—1857), знаменитый французский
математик, профессор Политехнической шкоды, факультета наук
191
и „Collfcge de France". Он написал более семисот, мемуаров по
различным отделам анализа, геометрии, физики и астрономии.
Ему обязана своим развитием теория функций комплексного
переменного. При необычайной плодовитости и богатстве идей
Коши не успевал детально обработать своих исследований,
оставляя это на долю своих последователей. Заслуженной извест-
ностью пользуются его трактаты „Курс анализа" и „О диференци-
альном и интегральном счислениях".
456. 1) Полагаем
2 = А В
X2---1 ~~ X--1 X 4’ 1 ’
Приводя'к одному знаменателю, имеем:
Ах + А + Вх — В ~2,
+ В=2.
Раз левая и правая стороны равенства должны быть тожде-
ственно равны при произвольном х, то
Л-В = 2,
следовательно,
2Л = 2
и
Л =1; В = — 1.
Таким образом:
2 1 1
X2—1 X— 1
2) Пусть
2х _ А д_ В
х2 — 1 — х — 1 х Ц- 1 ‘
Тогда 2х = Ах -\~А 4-Вх — В,
или 2х = х(А В) 4~ А — В,
следовательно, А 4- В 2,
Л —В = 0,
‘ откуда 2Л = 2
и Л = 1; В=1.
Таким образом 2х __________ 1 , 1
X2--- 1 х — 1 х 1 •
457. Так как - ^-==...,
Ьх ьг
то а,2 а<? а32 а,2 -|- а22 4“ аа2 "I- • • •
bi2 ~ W ~ V ~^12 + ^2 + й82+---*
Извлекая корень, получим:
oJL_ а,2_ ___ |/+ а32-Ь * • •
]/^12Н“^22“Ь^з2+• • •
458. Возьмем четыре комплекса, попарно сопряженных:
а Ы) а —— dj —b,t^ a, —- b,i.
Перемножая каждую пару сопряженных комплексов, найдем
в произведении всех четырех
(Я2+&2) +^2).
Если помножить первый на третий и второй на четвертый, то
общее произведение представится в виде:
[aat — bb, -{-* (a^i + &ai) Л laai — ЬЪ, ~ (a^i + ai^) Л»
или (аа, — bb,)2 -{- (db, 4“ £д1)2,
следовательно,
(а2 + b2) (а,2 + b2) = (аа, — bb,)2 + (ab, + a,b)*.
Если же перемножить первый и четвертый и второй с третьим,
то получим (а24~^2) (^ 4" ^i2) — (aai 4"^1)24" (ai^ — db,)2.
Штейнер» Яков (1796—1863), известный немецкий матема-
тик, один из творцов новой геометрии, основы которой разра-
ботаны им в классическом произведении, где он трактует
свойства алгебраических кривых и поверхностей, исключительно
пользуясь геометрическими методами.
459. Из черт. 104 видно, что:
AG\GB^DH\HC
и
AG\GB = HC-.DH.
Перемножение дает:
AG3:GB2==1,
откуда
АО = GB.
13 Н, Г. Honor
на прямую .
начерченной.
(черт.
460. Пусть требуется из точки М опустить перпендикуляр
►). Окружность предполагается уже
Соединяем точку М с концами пря-
мой АВ, Пусть прямые АМ и ВМ
встречают окружность в точках At
и Bv Проводим прямые АВг и АгВ.
Если теперь точку С их встречи
соединить с точкой М, то МС будет
искомым перпендикуляром. Действи-
тельно, углы AAtB и ABtB прямые,
следовательно, АГВ и АВ{ служат
треугольнику А МВ высотами, а.
третья высота должна пройти через
точку их пересечения С.
461. Пусть ADB — неравнобед-
ренный треугольник (черт. 106), при-
чем AD DB = АС-}-СВ, Треуголь-
ники АСВ и ADB имеют общую
часть АЕВ, следовательно, для доказательства предложения
достаточно показать, что треугольник BED меньше треуголь-
ника АЕС. Но если отложить на ЕА и ЕС соответственно
EF—EB и EG — ED, то остается показать, что точка F упа-
дет между А и Е, а точка О — между С и Е. Точка_ Е упадет
между А и Е, так как угол fj, равный углу а, больше угла у,
следовательно, ЕА > ЕЕ. Далее, если Q падает между Е и С,
то FG -\-GE<iFC-\-CE, или по прибавлении к обеим частям
неравенства по АЕFE\
A F + FG 4- G Е + FE < A F + FC + СЕ 4~ ЕЕ\
но EG = ED\ EG = BD
и
ЕЕ—ЕВ,
а потому
AD 4- DB С AF-\- FC+ СВ,
или
АС4- СВ < AF4- FC + СВ,
откуда А С < АЕ 4” FC.
Это неравенство очевидно, и, следовательно, справедливо, что
точка G лежит между С и Е.
462. Проводим прямые QH и FH (черт. 107). Возьмем на GH
произвольную точку А и проведем прямые AD, AF. Через точку С
пересечения, прямых FH и AD и через О проводим прямую GCI,
пересекающую AF в точке /. Линия HI есть искомая параллель/
Бинэ, Жан Филипп (1786 — 1856), французский астроном,
профессор Политехнической школы. Его работы относятся
преимущественно к области анализа,
теории уравнений, теории вероятностей
и механики.
463. Решение Бинэ. Данные /1 \
уравнения выражают своим составом, / I \
что обращается // I \//
трижды в нуль при подстановке вместо Г/Л
U количеств а, Ъ и с, следовательно, / \
он делится на произведение /
(И—а) (И—b) (U—с), при чем частное I •
равно единице, потому что первый член D
делителя есть (А Получаем тождество: Черт. Ж
Т/8 + xU* +yU+ z=(U—a)(U—b) (U— с),
или
778 -\-xU* -\-yU-\-z=^LF — (а 4 b-\-c)U* 4»
4- (ab 4~ ас 4~ be) U — abc,
откуда
х = —(а 4-^4-^),
у = ab 4- ас 4- Ьс>
z = -~ abc.
Бурдон, Луи Пьер (1799—1854) французский педагог-мате-
матик, автор распространенных курсов по элементарной матема-
тике. Его „Элементы алгебры41 выдержали более 20 изданий,
„Элементы арифметики* —до 40 изданий.
464. Вопрос сводится к решению системы:
(х 4- У 4" z — И
{ z ==2jv
! 100x4-1 Оу 4-г 4-297== 100г 4-1 Оу 4-х.
х = 3; j> = 2; z = 6. Искомое число 326.
465. Пусть пропорция будет u\x^y\z,
тогда по условию
и-^~г — 23*> x^ry~2Sl\ и* 4%24-у2 4-^ = 4С2,
ta* 195
Решение Бурдона. Пусть uz — p, тогда, комбинируя
с уравнением имеем и и z как корни квадратного
уравнения, выраженные через р. Аналогично ху =рилг-|-,у = 25'1
дает х и у в зависимости от р. Подставляя в уравнение
^Ц-Х2 -4-j2 4-^ = 4C2,
найдем
p^S^S* — С2,
затем подстановкой найденного значения р получим х, у, z, и.
Примечание. Без указанного искусственного приема решение
ведет к весьма сложным вычислениям.
466. Мондё Анри, сын крестьянина из селения около го-
рода Тура. В 1840 г. он будучи еще мальчиком был представлен
президенту Парижской академии наук, знаменитому француз-
скому математику Понселе. Собравшиеся члены академии задали
мальчику два вопроса: чему равен квадрат 756 и сколько минут
в 52 годах. Он немедленно дал правильные ответы. После этого
была организована комиссия, в состав которой, как сказано,
вошли виднейшие математики. Доклад об испытании был состав-
лен к заседанию 14 декабря 1840 г. Огюстеном Коши. Когда
Мондё предложили эту задачу, то он сейчас же дал ее ре-
шение: 66 и 67. Тогда ему указали, что есть решение в более
простых числах. После момента размышления он сказал, что
второе решение: 6 и 13. Способ Мондё основан на примене-
нии тождества:
X2 —J2 — (х — у)2 2у (у — х) = (х — у)2 4- 2у (х — у),
т. е. вопрос сводится к тому, чтобы из числа 133 вычесть
такой квадрат, чтобы остаток делился на удвоенный квадратный
корень. Испытывая квадраты 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., видим,
что только 1 и 49 удовлетворяют этому условию:
1^ = 6.
2 * 14
Обычный путь таков:
(х^у) (x—j/>== 1-133 = 19-7.
Монферрье, французский математик, автор ряда учебных кур-
сов по математике, издавший в 3 томах „Dictionnaire des scien-
ces mathematiques pares et appliquees“ (2-е издание вышло
в 1838 г.).
467. Составляем систему:
Х-\-у = р,
откуда
х^т(пд—р). п(р — тд)^
п— т * У п — т
Например, если
р==:17; /?2 = 8; п = 4; 7 = 5,
. то
х = 9; у — 8.
468. Нетрудно видеть, что уравнению удовлетворяет значе-
ние хх = 1.
Поэтому, деля на х—1, получим:
х5 4- 4х4 б*8 + 6х2 4~ 4х 1 = О,
(х*4-1)4-4х (х*4-1)+бх2(х4-1) = 0,
откуда
х2 = 1
и
X4 _|_ 3Х8 4.Зх2 4- 8x4- 1 0.
Это уже обычное возвратное уравнение 4-й степени. Деля на
х2 и делая подстановку х Ц-— 2, легко найдем:
х
__ з / 5 ± /—2 — 6 /5 .
Х3,4 — 4 ’ .
__ — 3— /5± /-24-6 /5
Х5Л — 4
469. х4 44-4x3 + 4x2 — 7x2 ~Тх — 28х — 28 = 0;
хз(х4.1)44x2 (х 4 1) — 7х (х4 1) — 28 (х -4- 1) = 0; Xj = — 1.
х3 4" — ^х — 28 — 0;
х2 (х 4) — 7 (х 4” 4) «= 0;
= — 4; х2™7==0; x^i^±:y/l.
Igf с
470. Пусть bx=z\ az=c\ z 1ga~ 1gс, откуда z — ~^— m\
, v i , , lg m
теперь bx — nv3 л; lg £ = lg л/z, следовательно, x—^—^ t. e.
X =----t~~
lg^
Пуассон, Симон Дени (1781—1840), знаменитый француз-
ский математик, работавший по преимуществу в высших обла-
стях математики. Кроме значительного числа специальных иссле-
дований, относящихся к анализу, теории уравнений, механике
и астрономии, он написал двухтомный „Трактат о механике".
471.’По поводу этой задачи Араго рассказывает, что она
решила судьбу Пуассона, так как, заинтересовавшись ею, он тем
самым открыл свое призвание и всю жизнь посвятил математике.
Мы уже видели подобную задачу (336). Эта имеет также 2 решения:
12 8 5
12 0 0
4 8 0
4 3 5
9 3 0
9 0 3
1 8 3
1 6 5
6 6 0
12 8 5
12 0 0
7 0 5
0 7 5
0 8 4
8 0 4
8 4 0
3 4 5
3 8 1
11 0 1
11 1 0
6 1 5
6 6 0
За подробностями теоретического характера можно обратиться
к книге В. Аренса „Математические игры".
Лебег, В. А., французский математик, профессор факультета
наук в Бордо. Эта задача взята из его „Упражнений по числен-
ному анализу", посвященных неопределенному анализу и теории
чисел (1859 г.).
472. Сразу найдем г —9 и 2х Ц- 3j = 68, откуда обычным
путем: у = 0, 2, 4,..., 22. Всего 12 решений
Шлбмильх, Оскар (1823—1901), известный немецкий матема-
тик, имя которого связано с выражением остаточного члена
ряда Тэйлора. Автор весьма полезного курса высшей математики.
473. Известно, что между корнями хр х2, х2 и коэфициен-
тами а, Ь, с уравнения 3-й степени х3 -|- ах2 -|- bx 4- с=з=0 су-
ществует зависимость:
О)
+ (2)
с = XjX2xg. (3)
1) Если корни составляют арифметическую прогрессию, то
имеем лишнее условие:
Xj х2 = х2 х3, (4)
тогда из (1)
из (1) и (3)
откуда
Если найденные корни подставим в (2), то получим условие,
которому должны удовлетворять коэфициенты для того, чтобы
кубическое уравнение имело корни, представляющие арифмети-
ческую прогрессию. Это условие будет:
2a34-27f к
—S—=л
Наоборот, раз имеется такая связь между коэфициентами, корни
уравнения будут членами арифметической прогрессии.
* 2) Если корни уравнения представляют геометрическую про-
грессию, то добавляется условие:
Xj. х$ == х2. Vg, (5)
199
Из (5) и (3) следует:
Зг— з>—
х2 — у— с* хгх& = / с2; (6)
из (1):
Подставляя xv х2, х3 во (2), находим условие:
Ь — аус,
при котором корни кубического уравнения образуют геометри-
ческую прогрессию. Обратно, при наличии этого условия корни
непременно будут членами геометрической прогрессии.
3) Если корни представляют гармонический ряд, то прибав-
ляется условие:
или
2XiXb==x2(Xi4-x8). (8)
из (2) и (8) получим:
b
XjXg =— , (9)
а из (3):
Подставляя в (8), найдем:
= 00)
Из (9) и (10):
Подставляя xv х2, х3 в (1), получаем условие:
2#3 । 27с
—пТ-------------------------— а»
9Ьс
при котором корни представляют гармонический ряд.
474. Полагая п >> р 1 и умножив на р обе части неравен-
ства, имеем:
или
пр + п ^>р2 4" р 4~
откуда
(«—/>)(/> + 1)>я.
Полагая р последовательно равным 0, 1, 2,..(п— 1), получим:
п* 1 — п,
(п~ 1) 2>л,
(п — 2)*3^>п,
(п — 3) • 4 >> п,
2*(п— 1)>д,
1.«=/г.
Перемножая, получим:
12.22.32...п2>/г\
Бертран» Жозеф (1822—1900), знаменитый французский
математик, бывший уже в 17 лет доктором математики, автор
классического трактата по диференциальному и интегральному
исчислению. На русский язык переведены его курсы арифметики
и алгебры. На последнем воспитался целый ряд поколений.
475. Возводим в куб:
204-14/24-20—14/24-
' - 4-3 (20 4-14/2)2 (20 — 14/2) 4-
+ 3 (204-I4/2) (20—14/2)2 =
= 40 4- 12 /400 — 392 = 40 4- 24 = 64.
Другой прием:
3 .-------------—— 3----------------------
/204-й/2 = / 8 4- 124-12 /24-2/2 =
= //34-3-2-(/2>4-3-2=-/24-(/2)8 = 24-/2. (1)
Н. Г. Попов 201
Аналогично:
|^20—14j/2= 2 -j/2.
(2)
Сумма (1) и (2) = 4.
476. Преобразуема
_/3±1
~ /2
На основании этого данное выражение примет вид:
(2 4-1<3)|/2 (2-/з)/2
2 + (/34-1) + 2-(/3-1)‘
ИЛИ '
(2+/3) (3-/3) +(2-
6
477. Указание. Возвести обе части в куб.
478. Указание. Возводим сначала в куб, потом в квадрат;
тогда будет легко определить х.
479. Поделив обе части уравнения на )/1 — х^> получим:
Положив
приведем уравнение к виду:
г. е.
z2— z— 1 =0.
Дальнейшее ясно.
480. Основание равно 3.
Бахвитц — немецкий математик.
481. Пусть ЛГ= 42 4"-S2С*2* Умножим ДГна сумму других,
трех квадратов:
(Л24-В2 4-С2) (а2 + ^4-с2) =
= (Аа + ВЬ-}- Сс)2 4- (АЬ — Ва)2 4- (Вс - СЬ^ 4- (Са — Л с)2,
откуда
д2 В2 4- С2 - + + , (АЬ — Ва)2
~ а2_|_#8_|_С2 Т^д2_|_^2_]_с2
{Вс — СЬ)2 , {Са — Лс)2
+ а2_р2_|_с2 + Д2 £2 _|_ С2 •
Если положить
а==х2-^-у2— z2, b — 2xz, c = 2yZ;
то получим:
л, , [Да + В^+Сср , Г АЬ — Ва ]« ,
А 4-В -|-С — д.2 г2 J +[х2_|_у2_|_г2.1 +
Г Bc—Cb I2 . Г Са — Ас ~12
* Lx2 4-y24“2f2J * Lc24,j'24'2f2-*
482. Пусть каждый мужчина купил х вещей, следовательно,
заплатил за них х3 пенсов. Каждая женщина купила у вещ^й
и заплатила у2 пенсов. По условию
X2--у2 — _^_j,) (Х-у) — 63.
При этом х и у числа целые, следовательно, возможны три ком-
бинации:
63-1 = 21-3 = 9.7.
Имеем:
1) х4-у=63; 2) х4-у = 21; 3) х4~у = 9;
х—у=1; х—у = 3; х—у = 7;
’ 1) х=32; у = 31; 2) х = 12; у = 9; 3) х = 8; у=1.
Разность 23 может быть между 32 и 9, следовательно,
#32 вещи куплены Джоном, 9 — Китти, разность 11 может быть
между 12 и 1, следовательно, Питер купил 12 вещей, а Мэри —
одну. Наконец, Алексис купил 8 вещей, а Дженни — 31. Ясно,
что женой Джона была Дженни, Питера—Китти и Алексиса —
Мэри.
Каталан, Эжень (1814—1894), бельгийский математик, наряду
с работой в области высшей математики уделявший много внимания
элементарной. Весьма ценны его „Математические заметки1* (3 тома).
14* 203
Приводимые здесь задачи взяты из книги „Теоремы и проблемы
’Элементарной геометрии".
483. Пусть АС—искомая секущая (черт. 108). Соединим Сс О
и, продолжив СО до встречи с ок-
ружностью в точке D, соединим
последнюю с данной" точкой А.
В треугольнике ACD точка В —
середина АС и точка О — середи-
на CD. Следовательно, линия ОВ
параллельна AD и равна ее поло-
вине. Следователе но, AD равна
диаметру данного круга. Отсюда
построение. Из точки А засе-
каем дугу радиусом, равным диаметру данного круга, и проводим
диаметр DC. Точку С соединяем с А. Линия АС—искомая.
484. Пусть радиус данной окружности (черт. 109), ра-
диус C\Z)=r, апофема ОР—ОХР—а, тогда
R — r^2a. В правильном пятиугольнике
следовательно, /?=уг(з_^_ /б),
откуда 1 .
/•=2-7? (3-/5).
Это выражение легко построить.
Сторона правильного десятиугольника,
вписанного в данный круг:
Черт. 109.
Черт. 110.
/?
— 1),
следовательно, г -ф* d — /?, т. е.
г есть меньшая часть радиуса
данного круга, разделенного
крайнем и среднем отношении.
Но ООх = 2а — R— r — d, т. е.
расстояние между центрами О и
О1 равное стороне десятиугольника,
вписанного в данный круг.
485. Указание. Достаточно
разделить стороны АВ, ВС, АР,
CD (черт. 110) каждую на три
равные части и провести линии 1, 2, BE, 3, 4 параллельно AF,
линии la, 5# параллельно ВС, наконец, 4с, 6d параллельно АВ.
486. Пусть радиус шара /? (черт. 111), радиус основания
сегмента у, высота его х. Тогда, согласно условию:
следовательно, после замены у2 равенство (1) перепишется так:
или
- Зх(2/? — х) 4- х2 = 4R2m,
х2 — 3xR Ц- 2R2m = 0.
Нейберг, Иосиф, бельгийский математик, профессор универси-
тета в Льеже, автор прекрасного курса „Анализа бесконечно
малых*.
487. Пусть дан четырехугольник ABCD (черт. 112), и около
него требуется описать четырехугольник MNPQ, подобный дру-
Черг 112.
тому данному четырехугольнику tnnpq. Вершины Q и W должны
лежать на дугах AQD и BNC, вмещающих углы mqp и тпр.
Если Е и F— пересечения диагонали QN с продолжениями этих
цуг, то, найдя их, решим задачу. Но £MQN—£niqti и
/ MNQ = / тпд, которые известны. Берем произвольные точки
(Qj и на окружностях и строим XAQXE — £mqn и
/ BN^F— / тпд. Раз найдены точки Е и F, фигура MQP$
определена.
Бретшнейдер, немецкий историк математики, главным
образом греческой. Его монография „Геометрия и геометры до
Евклида44 (Лейпциг, 1870) есть в русском переводе.
488. Так как 146 = 113 52, то вопрос сводится к построе-
нию выражения
13/1124-52
50
Делим диаметр АВ (черт. 113) на 10 равных частей и на
1 2
продолжении его откладываем ВС — — АВ и CD — АВ. На
касательной в конце А диаметра откладываем от А длину радиуса
АМ. Тогда гипотенуза МС будет изображать /1124-52.
тельно, из подобия треугольников
MS:MF=MR:MA, но
Опишем радиусом МС
дугу из М, пересекаю*
щую касательную в /?.
Из М проводим вто-
рую касательную MS,
строим прямоугольник
AMFD и проводим.^
параллельно диагонали
AF. Длина касатель-
ной MS—2n. Действи-
AMF и RMS имеем:
13
MF~-=-,
5
а
следовательно,
1 Q ___
MS= —/146 = 2п
ZD
с точностью до пяти десятичных знаков.
Желен, Е., педагог-математик, автор
ментарных курсов.
489. К числителю и знаменателю надо
490. Указание. По окончании раздела
нескольких эле-
прибавить по 7.
1
у всех по — сум-
□
1 е 6
мы, следовательно, до удвоения у четырех по , у 5-го — ;
1 л 11
перед вторым удвоением у первых трех по ~ , у 4-го , у
' <ы\)
. 6 1 о
5-го ; перед третьим удвоением у первых двух по — , у 3-го
21 л 11 е 6 , 1
jp., у 4-го . у 5-го —г; перед четвертым удвоением у 1-го 57,--
*гМ ггМ OV
п 41 „ 21 11 е 6
У 2-го у 3-го у 4-го $$, у 5-го ; перед пятым удвое-
, 81 _ 41 , 21 . 11 _ 6
нием У 1 "го jgQ» У 2-го , у 3-го , у 4-го , у 5-го .
Но при этом у первого 81 дукат, следовательно, всего было 160
дукатов.
Руше, Е. и Комберусс, Ш. — французские математики, сов-
местно работавшие по составлению курсов и учебных руководств,
пользующихся заслуженной известностью.
491. О т в е т. Отношение объемов равно отношению смежных
сторон.
492. Если измерения прямоугольника х и у, то
равна
диагональ
Так как по условию ттх2^ — а и тгу2х = £>, то
Z—А.
х а
41)
Перемножение объемов дает it2x3j/s = а#, откуда
3/^
^ = 1/ F2
(2)
Из (1):
у*
х2 а2
у2 -\-х2 _а2^-Ь2
“^2
* или
(3)
Перемножение (1) и (2) дает:
Подставляем в (б) и находим
493. Пусть объемы искомых частей vv v2. так что
Черт. 114.
t»i:uj:^ = 2:3:7.
Полный объем v — 7nt значит,
7 7 49
~ тг; v2 — — тг; v3 = тг.
I 6 2 4 3 12
Треугольники АСВ и DEB (черт. 114)
подобны, следовательно:
А С\ ВС = DE\BE.
или
1:3=^-!):^,
где f\ = DK и = Отсюда hx — 3 — 1).
Объем
°1= Тп = Т,(г1 + 1+''1)’
откуда
+ 1 3(Г1 — 1) (г 2 4- 1 4- Г1),
или
Аналогично найдем г2 и Л2.
Бальтцер, Рихард, немецкий математик-педагог, курс кото-
рого „Элементы математики“ пользовался _в Германии огромной
популярностью.
494. Пусть EF (черт. 115) —данная сумма, /CFE— данный.
Строим ромб EFCH, так что / HFE — —£СРЕ. Описываем из Е
радиусом, равным данной стороне,
Дугу, пересекающую диагональ HF в
точках I и /г Проводим /К и
параллельно FC. Треугольник EIK
и Е1хКг—искомые (два решения).
495. у^-^ ,
cxi + ^(f — axp = gt
v __ adf± b b*c) g— cdf*
jfid -}- b2c
Если радикал обозначим через /?, то
__adfzt.bR t bcf^t aR
a2d b2c * a2d -|- b2c *
496. Из 1-го уравнения x2 +>2 Ц- 2xy = Зху,
или (x 4-j/)2 = 3xy.
Подстановка из 2-го уравнения дает (л:-|~7)2 — 3(x-f-y)=s0.
Теперь имеем системы:
Дальнейшее ясно.
1) хХу = 0,
ху^= 0.
2) х 4-у — 3,
ху = 3.
497. (a^b\gx)\gx — \gc\ пусть lgx=_y, тогда
by2 -\~ay — lg£ — 0.
Найдя у, легко найдем х.
Штурм, Яков-Карл (1803—1855), родом из Швейцарии,
автор важной теоремы высшей алгебры, носящей его имя. Автор
двухтомного курса анализа, до сего времени не утратившего
своего научно-педагогического значения.
498. Решение Ш ту р м а. Искомое число дней х. Путь,
пройденный первым курьером, есть сумма членов арифметичес-
х —— 1
кой прогрессии, крайние члены которой 10 и 10-|-------—, т. е.
/ол I 1\* (794-х) х D
она равна! 20 ------— )— , или -------. Второй курьер на-
\ "Г / ** о
ходится в дороге до встречи с первым х — 3 дня и проезжает
I (-V —4)-2] х —3
“г 3 ] ‘ 2 ’
или
(17 х) (х— 3) ^be
3
По условию
(79 + х)х 4 (17-f-x) (х-3) (1)
8 3
или
5х2— 125 хЦ-Ф52 = 0, (2)
откуда
х1 = 5,72. . .,х2= 19,27...
Предполагалось, что х — число целое, следовательно, корни урав-
нения как бы не отвечают условию. Но можно показать, что
целые части корней (5 и 19) означают, что были две встречи:
одна по истечении 5, вторая 19 дней.
Во-первых, если а есть путь первого курьера, а b — путь
второго, увеличенный на 40 лье, то, полагая, что первый нахо-
дится в пути целое число х, а второй целое число *х — 3 дней,
имеем тождество:
5*2 _ 1 25х 4- 552 = 24 {Ь — а).
(3)
Это очевидно, так как уравнение (2) выведено из (1) пере-
меной знаков у всех членов и умножением их на 24. Подставим
теперь в левую часть 2-го уравнения вместо х сначала 5, потом
6, так как меньший корень 5,72... содержится между этими
числами; тогда результат первой подстановки 0, а второй 0.
Но в силу тождества (3) разность b—а всегда имеет одинаковый
знак с трехчленом 5х2—125х-]-552; следовательно, в конце
5-го дня аа в конце 6-го дня а"^>Ъ. Итак, первая встреча,
как и было сказано, имела место между пятым и шестым днем.
Подобно этому докажем, что вторая встреча имела место через
19 дней. Возможность этой второй встречи легко понять, так
как второй курьерЛувеличивая свою скорость более первого,
встретит его, будучи сначала перегнан первым. Это подтверждается
исследованием, в конце скольких дней оба курьера имеют оди-
наковую скорость. Найдем число дней 13, содержащееся между
5 и 19. .
Маннгейм, известный французский геометр.
499. Предложение будет доказано, если доказать, что середины
прямых АВ2 и ВА2 (черт. 116) совпа-
дают, так как тогда АА2 — ВВ2 и сле-
довательно, АВ — А2В2. Углы АОВХ и
АРВХ— прямые, поэтому четырех-
угольник ОРАВХ есть вписанный
в круг диаметра АВХ, следовательно,
перпендикуляр к хорде ОР этого
круга в ее середине М пройдет через
центр* круга, т. е. пересечет АВХ в
ее середине (точка К), а так как
перпендикуляры ВХВ2 и КМ к ОР
параллельны, то прямая МК пересечет
и прямую АВ2 в ее середине /.
Аналогично по отношению к че-
тырехугольнику OBPAV вписанному
в круг диаметра АХВ убеждаемся,
что перпендикуляр МК, будучи параллелен прямой АХА2
и проходя через середину диаметра АХВ, (как перпендикуляр,
восставленный из середины хорды, ОР), встречает отрезок А2В в
его середине. Но отрезки АВ2 и А2В лежат на одной прямой,
следовательно, середины этих отрезков совпадают.
Кэзи, английский математик, профессор университета в Ир-
ландии. Автор интересной книги „Новейшая элементарная гео-
метрия*, переведенной на французский язык.
500. Пустьх, у, z — расстояния произвольной точки (в пло-
скости треугольника) от его сторон а, b и с. Воспользуемся
тождеством Лагранжа: ч
(х2 -|~У + г2) (а2 -у = (ах + by 4- cz)* 4- (ay — bx)* 4-
4- (bz—су)2 4“ —az)2-
Так как ax -|- by 4-6* = 2S, где 5 — площадь данного треуголь-
ника, то x24_J'24‘z2 будет minimum, как легко видеть, при
условии
оу — Ьх = О,
bz — су^Ъ,
сх — az — 0,
т. е. когда
X у Z
а~~~ b с '
Примечание. Определяемая этими условиями точка находится
в пересечении симедиан треугольника и называется точкой Лемуана.
501. Задача основана на том, что сумма двух взаимно обрат-
ных дробей ^>2.
Действительно: пусть а и b — два неравных числа, напри-
мер: а^> Ь, тогда
а — £>0;
(а — Z>)2>0;
с2 .^^2_2а^>0;
а24-#2>2а£;
а . b
b ' а
2.
Пусть теперь плечи весов т и а, груз товара на левой чашке
весов х, а на правой у. Тогда
JV-77Z= 1-/Z,
у.п— 1 -ш,
откуда
п т х^ — = —. т п
Сумма х 4-у ~~ 4“ — 2, т п
следовательно, 212 торговец остался в убытке.
502. Можно преобразовать данное выражение так:
л(«2 _ 1)(Я2 —5л 4-26) = (л — 1) п(п 4- 1 )[(«2 — 5л 4- 6) 4- 20]=
= (л — 1) л(л 4- 1 )[(л — 2)(л — 3) 4- 20] =
= (л — 3)(л — 2)(л - 1) л(л 4-1)4- 20(л — 1) п(п 4- 1).
Первое слагаемое, как произведение пяти последовательных це-
лых чисел, кратно произведению 1 •2-3-4-5= 120, а произве-
дение (л—1)л(л4~1) трех последовательных целых чисел крат-
но произведению 1 • 2 • 3 = 6; все второе слагаемое, следова-
тельно, кратно 120.
503. Пусть стороны искомого треугольника х — 1, х, X 4~ 1 >
а площадь х 4- 2, тогда
|/ Зх(х -р 2)(х — 2)х = 4(х 4- 2);
Зх2(х2—4)=16(х4-2)2;
Зх2(х — 2) = 16(х4-2);
Зх8 - 6х2 — 16х — 32 = 0;
Зх3 — 12х2 4- 6х2 — 24х 4~ 8х — 32 = 0;
Зх2(х — 4) 4- 6х (х — 4) 4- 8 (х — 4) == 0;
(х — 4)(3х2 4- 6х 4- 8) = 0;
•*1 = 4; х2 8
Удовлетворяет только значение хх, следовательно, стороны тре-
угольника 3, 4, 5, а площадь 6. Очевидно, треугольник прямо-
угольный.
501. Так как разность четных одинаковых степеней 42^ — З2^
кратна сумме оснований (4 3), то данное выражение кратно 7.
Кроме того:
42Р __ 32Р _ 7 = 42р _ 4 _(32Р 3)=4(42^~1 — 1)— 3(32^“’1-(-1).
Так как 42Р~1 — 1 кратно (4 — 1), т. е. кратно 3, а Э2^"*1-)- 1
кратно (3—1), т. е._ кратно 4, следовательно, все выражение
кратно произведению 3*4=12.
505. Второе из данных уравнений можно представить в ваде:
yz-^-xz-\-xy
xyz
Подстановка ив 3-го уравнения дает хуз = 27.
Теперь имеем:
х —9,
ху xz + yz ~
xyz — 27,
следовательно, х, у и z — корни кубического уравнения
и8 — 9и2 * 4- 27 и — 27 = О,
или (и— 3)8г=0, откуда и — 3, и, следовательно,
х ^у = z = 3.
506. Указание. Это уравнение решается с помощью то-
ждества Е. N. Barisien’a:
а<4-^4-(^ + ^)4 = (^ + ^ + ^)2 +
4- аРЬ2 + а\а 4- Ь)* 4» Ь*(а + 6)2>
следовательно, если
и = а2 ab 4“ £2,
w — a(a-\-b),
t — b(a-\-b),
то
х —а; у — b\ z^a -]-b.
507. 1) а? = х^; b^ = x^m; сг — хгп,
следовательно,
а^*Ь^
_ z=t xpl +mq -nr
Cr
Если
5
ЗР/+т?-лг_ j/243 — з2,
TO
pl 4“ mQ — nr ^=z2 ~ .
2) При наклонении чаши (положение II, черт. 117) вода не
выльется из сегмента ЛВС, объем которого
и /? = 0B\ следовательно:
£
О \ Z / \
_п/?з (3 — 2 /2) (4+ /2)
3 4
Объем полушара равен тг/?3. Объем
сегмента в процентах
выразится:
х= I00- V”™- ^100.(12-8/24-3 /2-4) =
у полу шара 8
= у(8-5/2) = 114°/0>
3
т. е. выльется воды 88---%.
о
508. Пусть 0Р = х; тогда из &POD:
PD' — a2— х2.
По условию
kPD2 — ъРС2
или
PD2— РС2 = т}
но
PC— РВ — а — х;
следовательно,
а2 — х2 — (а — х)3 — т\
2 ах — 2х2 = т;
2х2 — 2ах ~|~ т — 0;
а +)/ а2 — 2m
Так как х<а, то годны оба корня. Ясно, что, вообще
й2
говоря, а2 — 2m > 0, т. е. m , но при а2 — 2т —Q т при-
Л
а3
нимает наибольшее значение т — что соответствует значению
а
Т
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA