9
угз
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
РЯДЫ
САМАРА
2007
КОНТРОЛЬНЫЙ листок
СРОКОВ ВОЗВРАТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ.
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики и информатики
< \
у
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЙ/
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
\ РЯДЫ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
\в качестве практикума по математике
Самара
Самарский
государственный
университет
№
Учебный фонд
Издательство «Самарский университет»
2007
УДК 517.2
ББК 22.161.1
И 73
Авторы-составители: Л.А. Сараев, Ю.В. Хохрякова,
Е.А. Ильина, В.С. Глушенков
И 73 Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
Ряды: практикум по математике / авторы-составители: Л.А. Сараев,
Ю.В. Хохрякова, Е.А. Ильина, В.С. Глушенков; Федер, агентство по обра-
зованию. - Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. - 40 с.
Практикум содержит варианты контрольных заданий и рекомендации к их
решению по курсу «Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
Ряды». Представлены основные методы вычисления неопределенных и опреде-
ленных интегралов. Рассмотрены способы интегрирования дифференциальных
уравнений первого порядка; уравнений высших порядков, допускающих пони-
жение порядка уравнения; изложена методика нахождения частных и общих ре-
шений линейных однородных и неоднородных уравнений.
Кроме того, детально разобраны основные приемы исследования на сходи-
мость положительных, знакопеременных и функциональных рядов.
Практикум содержит теоретические и практические вопросы для самостоя-
тельной подготовки студентов 2 курса гуманитарных специальностей всех форм
обучения.
УДК 517.2
ББК 22.161.1
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой прикладной математики
и информатики СамГТУ В.П. Радченко.
© Сараев Л.А., Хохрякова Ю.В.,
Ильина Е.А., Глушенков В.С., 2007
© Самарский государственный,
университет, 2007
© Изд-во «Самарский университет»,
оформление, 2007
Содержание
Программа курса «Интегральное исчисление. Дифференциальные
уравнения. Ряды»......................................... 4
Тематика контрольных работ............................... 6
Методические указания к выполнению расчетного задания.... 23
Библиографический список................................. 39
3
'	Программа курса
«Интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения. Ряды»
Лекции
Первообразная.
Неопределенный интеграл и его свойства. Примеры.
Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления опреде-
ленных интегралов.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами, их основные
свойства.
Несобственные интегралы от неограниченных функций, их основные
свойства.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Теорема существования и единственности решения за-
дачи Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейное уравнение первого порядка.
Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Уравнение Эйлера.
Однородные линейные дифференциальные уравнения. Понятие обще-
го решения.	-
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици-
ентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальная система дифференциальных уравнений.
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами.
Понятие о числовом ряде, члены ряда, частичные суммы. Положи-
тельные ряды, необходимый признак сходимости ряда.
Признаки сходимости, основанные на сравнении положительных ря-
дов.
4
Достаточные признаки сходимости положительных рядов (признак
Даламбера, радикальный признак Коши).
Интегральный признак Коши.
Знакопеременные ряды, теорема Лейбница.
Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость.
Функциональные ряды, точка сходимости, область сходимости, рав-
номерная сходимость.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ря-
ды Тейлора и Маклорена.
Практические занятия
Неопределенный интеграл. Использование таблиц интегралов.
Замена переменной интегрирования.
Методы интегрирования по частям.
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение
для вычисления определенных интегралов.
Замена переменной интегрирования.
Методы интегрирования по частям.
Несобственные интегралы.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейное уравнение первого порядка и уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянны-
ми коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Метод вариации произвольных постоянных.
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами.
5
Тематика контрольных работ
Задача 1
Вычислить неопределенные интегралы по частям.
1.	jxsin2xJx	16.	jln(x2+l)Jx
2.	J х cosxdх	17.	j x2ln(l+x)Jx
3.	J хе~х d х	18.	J x2 e~x d x
4.	J x3x dx	19.	j x3 dx
5.	jx3 lnx<Zx	20.	j x2 ax dx
6.	J xarctgx dx	21.	J x3sinxJx
7.	J xtg2x dx	22.	f x2 cos2 xdx
8.	J xcos2 xdx	23.	J In2 xdx
9.	J arccosx dx	24.	J sinlnxd x
10.	Jarctg-x/xdx	25.	J ex s'Axdx
11.	t arcsinx , I i	dx -J x+1	26.	
12.	J7i+x2	27.	r in3 x J 2 dx X
13.	farcsm-\/x . 1—.	dx J Jl-x	28.	j coslnxdx
14.	j x2 ex sinxd x	29.	J eaxcoswx dx
15.	r2 J	2 2dx (l+x2)2	30.	Y3 f 		- dx 41+Z2
6
Задача 2
Вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной.
1.	г х5 dx
	L3 з у а ~х
2.	fX^dx
	^х-1
3.	f 4л+3 , U-2)3
13.
X
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
7
23.
24.
25.
26.
r dx
27‘	^(x-i)
28.
29.
30.
f у/ ех -1 d х
elxdx
Задача 3
Вычислить определенные интегралы.
9
jA(x(l+Afx)Jx
4
xi
j(V^-l)2dx
х0
2л
J cos5x cosx dx
0
J x^-Jx^ — \dx
1
21n2	,
/• dx
•» x i
In2 e -1
л
12. Jsin5xtZx
0
8
я
!3.
Q cosx
r dx
14. j
j x +x
1
2 r 15' l^x

1 x
\ xdx
16-	f—I
0
21.
22.
Уз
J 7^7
1 V1-*
2
3r x2sin2x .
J" ~2 ;~dx
-3 x +1
7t
3
j cos3 x sin2x dx
0
V dx
17. f 2	,
jsec xdx
0
18. \ex+eX dx
0
dx
y/2ax
1
20. jxarctgxJx
-1
dx
29.	J-t=- (a>0,6>0)
3 /„4
n
4
25 г x+smx ,
I-------------a x
q 1+cosx
7Г
96	2
j ex cosx d x
0
4r 1+x
27.	J—t=-Jx
i
2
28. jtjx-'tfx'idx
1
j cos Inx dx
1
9
Задача 4
Найти общее решение уравнений с разделяющимися переменными.
1.	хуУ=1-х2	16.	xyJx+(x + l)Jy=0
2.	ху'+у=у2	17.	д/ y2 +ld x=x yd у
3.	yrtgx-y~a	18.	2x2yy'+y2~2
4.	ху'+у=у2	19.	(x2-l)y'+2xy2-0
5.	у'=Юх+у	20.	y'ctgx+y=2
6.	у'-ху2=2ху	21.	y'-y = 2x—3
7.	y’sinx=ylny	22.	(x+2y)y'=l
8.	2y'Jx=y	23.	(x2 +x)y'=2y+l
9.	х2 dy+(3-2xy)dx=0	24.	d y+ytgxd x=0
10.	у'=2-Jyln x	25.	xyy'=l—x2
11.	x3 У'=У(У2+Х2)	26.	y=(2y+l)ctgx 2	. 2
12.	г /	। v2	27.	,x +xy+yz
	у a +x =y		> -	2
			X
13.	y=Z±l	28.	. . x+y . x-y у +sin——=sin——
	X		2	2
14.		29.	, l-2x У У =
	1+x2		У
15.	v'4- ll~y2 0	30.	v-=	1+>’2
	У +J о		
	Vl-x2		xy(l+x)
10
Задача 5
Найти общее решение линейных уравнений или уравнений Бернулли.
1.	у'+2у=4х	16.	y'+2xy=2x^ y^
2.	,	~х2 у +2ху=хе	17.	i	2, xy +y=y mx
3.	у'+y=cosx	18.	x2/+xj+l=0
4.	у'+ау=етх	19.	xy'+y—ex=o
5.	х(у'~у)=(1 + х2)ех	20.	2ydx+(y2'—6x)dy
6.	y'-ytgx+y2 cosx=0	21.	xy'-4 j-x2 ^l~y-0
7.	у + у cos х =sin х cos х	22.	У'-У+У2 cosx=0
8.	xydy=(y2 +x)dx	23.	У(у2-х)=у>
9.	yd x=(y3 -x)dу	24.	(x+y2)d y=ydx
10.	(2х+1)У=4х+2у	25.	y'+2y=y2ex
11.	xy'-2y=2x^	26.	t 4 у =y cosx+ytgx
12.	2 2 t .	3 i X у y+yx =1	27.	xy2 y=x2+y3
	, l-2x ,		
13.	У+ 2 y-1	28.	xy'-2x -у/ y=4y
	X		
14.	ХУ y =x	29.	У+ y+y2-o
	x+1		x+1
15.	У'=^~2 О	Z	30.	Г 2 A J	x	3 J xdx=	у dy
11
Задача 6
Найти общее решение дифференциальных уравнений в полных диф-
ференциалах.
1-	(х2 — y}d x+xd y—Q
2.	Зх2 еу d х+(х?* еу —\)d у—9
4	2
X
dx+^-dy=0
x
4.	e~y dx+(l-xe~y )dy=0
5.	(e2x-y2)d x+yd y=0
6.	у dx-(4x2y + x)dy=0
7.	2xyd x+(x2 —y2)dy=0
8.	—dx+(y^+lnx)dy=O
x
9.	(3x2 + 2y)dx+(2x-3)dy=0
10.	(x2+31ny).ydx=xdy
11.	j(x+>’)fZx+(xj;+l)J>’=0
12.	y2dx+(yx-l)dy=0
13.	(x2-3y2)dx+2xydy=0
14.	(sinx+ey )dx+cosxd y=0
12
15.	2xtgv<7x+(x2-2sin v) d y=0
(	x
У 1 ХС1У
2	2	2	2
{x2+y2	)	x2+y2
17.	(2-9xy2)xJx+(4y2-6x3)yJy=0
18.	e~y d x-(2y+xe~y)d y=0
19.	(l+3x2siny)cZx-xctgyJy=0
20.	(2x+3x2 y)dx+(x3-3y2)d y=0
21.	2xcos2 ydx+(2y~x2 sin2y)cZ y=0
22.	2x^l+-Jx2 — у j dx-у/x2-ydy=0
23.	(l+_y2sin2x)dx-2jcos2x dy=0
24.
3x2(14-ln>>)Jx= 2j-— dy
25.	(xsin>+y)Jx+(x2 cosjy+xlnx) d y=Q
26.	(3x2 y-4xy2)dx+(x3-4x2 j+12.y3)Jj'=0
27.	(xcos2>+l)tZx-x2sin2>'d>=0
28.	^l+x-Jx2+y2 ^dx+^-l+y/x2+y2 ^ydy=0
29.	ey dx+(xey-2y)dy=0
30.	(x2 +y2 +l)dx + ydy=0
13
Задача 7
Найти общее решение дифференциальных уравнений, допускающих
понижение порядка.		
1- х2у"=у'2	16.	2^/-Зу2=4/
2. //=1	17.	У2+2у/=0
з. У=2уУ	18.	У'(х2+1)=2хУ
4. У(ех+1)+/=0	19.	>>/+1=у2
5- уУ=У2-У3	20.	2у"=3у2
6. 2>-у=/+у2	21.	у’=у"2
7. а2у"-у=1	22.	у=у+1
8.	уу"+у'2=\	23.	//=-1
9. 2хУ/=У2 + 1	24.	/-у3У=1
10. j*=x+sinx	25.	^/=у2-у3
11. уу"+у,2=1	26.	ху"+ху' 2-У = 0
12. 1+у,2=2уу"	27.	2У2=/И-1)
13. у"2+у'=ху"	28.	у"=—+х X
14. 2х/У=У2-1	29.	уу=у'2
15. хУ'=У1п— X	30.	у'+^-у'2=0 1-у
14
Задача 8
Найти общее решение линейных, неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
1.	2/+/-у=2ех	16.	y"+j;=sinx-2e х
2.	y"-7y+6y=sinx	17.	у"+3у'~4у = е~^х +хе~х
3.	у"-2у'-3у=е4х	18.	у"+2у'-3у=х2ех
4.	у"+у—4хех	19.	у"-4у'+8у=е2х +$т2х
5.	у'г+у'—2у=3хех	20.	y"-9y=e3xcosx
6.	У+y=4sinx	21.	у"-2у'+у=6хех
7.	y-3y' + 2y=xcosx	22.	у"+4у'+4у-хе2х
8.	у"-Зу'+2 y=sinx	23.	у"+y=xsinx
9.	у"-5у'+4у=4х2 е2х	24.	2у"+5у'=5х2-2х-1
10.	у -у=2е -х	25.	у"—4y'+4y=sin3 х
11.	у"-6у'+9у=2х2-х+3	26.	yff+y=-8cos3x
			3
12.	у"-2у' + 2у=2х	27.	— X 5у"-бУ+5у=е5 cosx
13.	у"—3у'+2у=2ех cos~	28.	У-3/-2у=9е2х
14.	2j/'+5 j/=cos2 х	29.	У"-4/+5У-2у=2х+3
15.	у"-3у'+2у=3е2х	30.	у” - 4у' + 4у = 8(х2 +е2х + sin2x)
15
Задача 9
Исследовать на сходимость числовые ряды, используя признаки Да-
ламбера (№1-6), Коши (№7-14), Лейбница (№15-24), сравнения (№25-30).
(2п+1!)
1 2
3.	tgi+2tg|+...+„tg^r+...
''v
2 2-5	2-5-...-(Зл-1)
4	-+-----+... +-------------+.
1 1-5	1-5-... -(4и-3)
2 2-3
-+------+ ...4
2 2-4
. 71	. . 71	2 • Л
6.	sin —+4sin—+...+w sm—+...
1 1 1
----1—-—+... ч--------1- ...
Ь2 in23 In" (и+1)
i ГгА2
+ ...+
l(2W+l)J
•21	-1
9. arcsinl+arcsin —+...+arcsin—+ ...
"3
10- 2 12
16
и.
1
1
1
12.
13.
14.
15.
21п22 31п33
.. ч-------------
(w+l)ln2(n+l)
1+1
1+12
1+2
1+22
1+п
<1+«2>
® 1 , «4-1
п=2
П п-1
1_____1
21n2 + 31n3
1
и1пи
1
З3
я+1	1
(2л-1)3
1
16.
«+1—!—+
2п-1
1	1	. . х и4-1	1
17-----------+...+(-1)л+1---------+...
In 2 1пЗ	v 7	1п(и-1)
sina sin2a	sinna
18. -—+——+...+——+...
1	4	w2
19.
1-11+..+(_1ги.±+.„
2 2 22	« 2n
20. 2--+...+(-l)"+1— +...
2	n
21. -l+-^-...+(-l)"4=+...
-V2	y/n
22.
+(-l)"+1— +...
2 4	In
17
oo	nM
24. Z <-1>”4Ц
„=1 и!
. 71	. 7t	. 7t
25	sin —+sm—+... +sm—+...
2	4	2"
_1_____1_+ t 1 t
1-2 3-23	(2n-l)-22n~1
oo i
S-T2-----
n=ln -4n+5
30.
18
Задача 10
Определить область сходимости функциональных рядов (№1-15); для
степенных рядов (№16-30) найти радиус сходимости и оценить поведение
рядов на концах интервала сходимости.
1.	х2	х”	+ ...	16.	О 2х+6х + ... +и	
	./V I — 1 « - 1	_ 22	п2				
2.	х2	хп		17.	-х	. —4х .
	Л 1	Г~~~ 1 ... 1	г— V2	“ I ... I		е	+ с + ... 
3.	2 1пх+1п х+... -	ь1п"х+...	18.	4	п2 х+х + ... +х	
4.	1+х+... +хп + .	-	19.	00 Е И = 1	х" и In2 И
5.	X х2	хп		20.	оо S П=1	fnx11
	1	/	 1 ... 1	/	 Г ... 2 2+д/2	h+tJ п				и!
6.	X	X2	хп	21.	оо S И = 1	О+1)2 хп
	1+х2 1 + х4	... 1	1 ... 1+х2"			2”
7.	1 1	1	22.	00	3 (п+1)4 х„ п\
	1+* 1+х2	. 1	1 ... 1+х"		Z И = 1	
8.	. X . X sm—+sm—+... 2	4	. X +sm—+... 2"	23.	00 Е П = 1	хп п^п-2)
9.	х 2х 4-	4-	4--	их	24.	00 S И=1	хп
	1	1 ... 1 X е е	<	еих ' 			2"(и + 2)
10.	sin2x	sin их и	25.	оо £ И=1	(х-2)"
	SlllX т  " --  г ., 22				(2 и-1)2"
11.	cosx cos2x 4-	-L	COS ИХ	26.	00 S п-1	(и +1)х"
	X е	е	еих			2" (и2 +1)
,-и2 X
19
12.	X 2 X	и х xtg—1-х tg—+ ... +х tg—+ 2	4	•	2й	
13.	ОС Z 71 = 1	1	Л.2п-1 (2и-1) (2и-1)!
14.	00 Z П=1	(п+3)" и2
15.	00 Z И = 1	п2 хп п+1
27.
28.
29.
30.
оо
z
И = 1
cos nx
ln(n+l) ^n+l
n+1
00
Z2"(x-1)"
n=l
oo
z
И = 1
Задача 11
Разложить в степенной ряд Тейлора следующие функции:
1.	у=1пх в окрестности точки xq=1
2.	y=yl х3 в окрестности точки хд = 1
1
3.	j=—в окрестности точки х0=3
х2
4.	y=sin^~- в окрестности точки xq =2
5.	j=chx в окрестности точки xq=0
6.	у=х2 ех в окрестности точки Хд = О
7	у=cos ( х+а ) в окрестности точки xq = О
20
8. у=ех sin х в окрестности точки хд = О
9.
jy=cosx chx в окрестности точки xq= О
10.
2х
у=е в окрестности точки хд = 0
11.
-г2
у=е в окрестности точки хд = 0
12.
У=
ех-1
- , (х=#0) в окрестности ТОЧКИ Хд =0
1 , (Х=О)
13.
3	3
„X —х
е -е ,	.
3	, (Х^Ц) в окрестности ТОЧКИ Хд=0
X
1	, (%=0)
14.
j=sin— в окрестности точки хд=0
15.
sinx	, лч
----,	(х=#0)	А
х	v 7 в окрестности ТОЧКИ Хд= 0
1	,	(х=0)
16.
J? = COS^ х в окрестности ТОЧКИ Хд =0
17 у = (х- tgx)cosх в окрестности ТОЧКИ Хд = 0
18. у-1п(10+х)в окрестности точки хд = 0
19. у = X In (1 + х ) в окрестности ТОЧКИ Хд = 0
21
20. y-yj 1+х2 в окрестности точки xg = О
21.	8-х3 в окрестности точки хд=0
У =..р-—— в окрестности ТОЧКИ Хд=0
yjl+x3
23 у=--= = в окрестности точки xq =0
Vi-х2
24 У~--------7 в окрестности точки хд =0
(1-х)3
25 У=------7 в окрестности точки хд =0
1+х2
Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции у=1п(1 + е) в
26.	п
окрестности ТОЧКИ Хд =0
2^ Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции j=~-eCOSA в окре-
стности точки Хд=0	.
по Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции y=cos” х в ок-
рестности ТОЧКИ Хд = 0
Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции >=-lncosx в
окрестности точки Хд = 0
30 Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции j=(l+x)x в ок-
рестности точки Хд =0
22
Методические указания к выполнению расчетного задания
Задача 1
Вычислить неопределенный интеграл по частям: j.r sin х dx.
Данный метод основан на использовании формулы интегрирования
по частям.
Формула интегрирования по частям имеет вид
\и dv = uv-]v du
где и = w(x), v = v(.r) - непрерывно дифференцируемые функции.
Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл
либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за и берется функция, которая при дифференцировании
упрощается (например: хп, Inx, arctg3x, arcsinx); за dv всегда выбира-
ется такое выражение, содержащее d х, из которого посредством интег-
|рирования можно найти v.
Решение.
Пусть и = х, dv — sinxdx, тогда du = (х) dx, v = jsinxtZx = -cosx. По
формуле интегрирования по частям получаем
и=х,
dv=sinxdx,
du-dx
г---cosx
=х(- cosx)- J(- COSx)c/x=
=-xcosx+ JcosxtZx = -xcosx+sinx+C.
Задача 2
„ f x + 2
Вычислить интеграл методом замены переменной: J-----— dx.
(х + З)2
Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид
^f(x)dx=	[p(t) ]ip'(t)dt= §F(f)dt
Новая переменная t связана co старой переменной х соотношениями
x-(p(f)
dx-(p'(t)dt
23
Смысл применения этого метода состоит в том, что новая переменная
подбирается таким образом, чтобы интеграл в правой части получился
проще, чем исходный и сводился к табличному.
Решение. Выполняем замену переменной x + 3 = Z. Дифференцируем
обе части равенства: dx — dt. Подставляем результаты в подынтегральное
выражение, находим полученный интеграл и возвращаемся к заданной пе-
ременой х:
\-^dt- \\dt=	fr2cZZ=lnkl-—+ С=1п|х + 3|+—— С.
t2 Jt2 t	1 1 -1	1	1 x + 3
Задача 3
g3
Вычислить определенный интеграл: f —,	.
J xVl + lnx
Для вычисления определенного интеграла используют формулу
Ньютона-Лейбница
b	b
\f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a).
а	а
Для интегрирования по частям применяется формула:
b	b b
judv = uv -$vdu.
а	а а
Если определенный интеграл преобразуется заменой x = (p(t) [или
t = у/ (х) ], то старые пределы X] = а и xj = b необходимо заменить но-
выми пределами /j = а и t^- Р, которые определяются из исходной под-
становки, т.е. из уравнений а = ф(а), b = <^(Д) [или а = у/ (а), Д = у/ (6) ]:
b	Д	Р
\f(x)dx=
a	a	a
24
Решение:
Проводим замену переменной в определенном интеграле: 1 + lnx=f.
, V 1
Дифференцируя обе части равенства, получаем dt = (1 + Inx) dx = —dx,
x
откуда dx = xdt. В определенном интеграле в отличие от неопределенного,
при замене переменной, необходимо найти новые пределы интегрирова-
ния:
3	/ 3 1
если х = 1, то t = l+lnl = l; если х-е , то t = 1+1пуе ]=1 + 3 = 4. То-
гда получаем
з	г	п
е	l+lnx=f, dx~xdt,
! xVl + lnx x = l->t=l, x = ei—>t=4
= jA=2^f=2(V4-7i)=2
Задача 4
Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными:
(д/ху + 4х )у' - у = О
Уравнение первого порядка Р (х, у) d х + Q (х, у) d у = 0 называется
уравнением с разделяющимися переменными, если функции Р и Q раз-
лагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:
/1(*)/2(У) dх + (х)^2 (У) dy = °-
В таком уравнении после деления левой и правой частей на
fl (>')' Ф1 (*) переменные разделяются:
h^Ldx+S2^Ldy=Q
Ф1(х)	/2(у)
После разделения переменных, когда каждое слагаемое левой части
уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл
уравнения находится по членным интегрированием:
ЛОО
^1(х)
^2 (У)
ЛОО
dx + j
25
Решение. Выразим производную через дифференциалы переменных:
у' =	, умножим обе части уравнения на d х и разложим коэффициент
dx
при d у на множители:
Далее разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части
J у +1	1
—dy-~dx = Q
у	у!х
и, интегрируя, находим общий интеграл
( 1
г "о 1
1
dy—fx % dx= С;
Задача 5
Найти общее решение линейного уравнения: у' - у ctg х = sin х.
Уравнение вида у' + Р(х) у -Q(x), где Р(х) и Q(x) известные функ-
ции от х, линейное (первой степени) относительно функции у и ее про-
изводной у' называется линейным.
Посредством замены функции у произведением двух вспомогатель-
ных функций у = и • у линейное уравнение сводится к двум уравнениям с
разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогатель-
ных функций.
Уравнение Бернулли у +Р(х)у = уп Q(x), отличающееся от линей-
ного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая
степень функции у, решается так же, как и линейное. Посредством под-
становки у = и • v оно также сводится к двум уравнениям с разделяющи-
мися переменными.
Решение. Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем
у = и • v; тогда у' = и' у + у' и и данное уравнение преобразуется к виду
u'v + v'u-uv ctgx = sinx
26
или
u'v+u(v- v ctgx) = sinx
Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять про-
извольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравне-
ния v - v ctg х = 0.
Тогда для отыскания и получим уравнение и' v = sin х.
Решая первое из этих уравнений, найдем г; разделяя переменные и
интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:
— = ctgx dx; lnv = msmx; v = smx.
v
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий
интеграл этого уравнения:
w'sinx = sinx; du-dx\ и-х + С.
Зная и и v, находим искомую функцию у:
p = w-v = (x + C)sinx
Задача 6
Найти общее решение дифференциального уравнения в полных диф-
ференциалах:
(2у-3) Jх + (2х + 3у2) dу = 0.
Если в уравнении 1-го порядка Р dx + Q d у = 0 коэффициенты Р и
дР dQ
Q удовлетворяют условию ---= —то его левая часть есть полный
ду дх
дифференциал некоторой функции м(х,у). Такое уравнение называется
уравнением в полных дифференциалах.
Записав такое уравнение в виде d и = 0, и найдя первообразную функ-
|цию и(х,у), получим общий интеграл этого уравнения, полагая
и(х,у) = С.
Решение. Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение
в полных дифференциалах:
Py=(2y-3)'y = 2-,Q'x=(2x-3y2)’x = 2-,P'y=Q’x
Z1
Затем находим неопределенные интегралы:
jP dx = j(2у-3) dx = 2xy-3x + p(y), считая у постоянной;
j£) dy= j(2х-3у2) d у = 2ху-у3 +ух(х), считая х постоянной.
Беря все известные члены из первого результата и дописав к ним не-
достающие члены, зависящие только от у, из второго результата, получим
функцию
О
w(x,y) = 2xy-3x + y ,
полным дифференциалом которой является левая часть данного диф-
ференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, по-
лучим искомый общий интеграл данного уравнения:
2ху-3х + у3 = С
Задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка:
(х-3)/ + у' = 0.
1) Уравнение и-го порядка j/”) = f (х) решается последовательным
интегрированием.
Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем уравнение
(л -1) -го порядка:
= J/(x) Jx + q = (х) + q
Снова умножая обе части на d х и интегрируя, получаем уравнение
( и - 2 ) -го порядка:
у(”~2) = j ср\ (х) d х + j q J х + С2 =	(х) + Q х + С2
ит. д.
После п -кратного интегрирования получаем общий интеграл у это-
го уравнения в виде явной функции от х и и произвольных постоянных:
28
у ^?и(х) + С|Х	+ С2 х	+... + си.
2) Уравнения 2-го порядка:
A) f(x,y',y”}^
и
Б) F(y,y',y") = O,
не содержащие явно функции у или аргумента х, преобразуются в
уравнения 1-го порядка посредством подстановки у' = р, откуда
„ dp	.
у =	- для уравнения А
dx
или
п dp	г
У ~	~ Для уравнения Б.
dy
Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции
t	и dp
у. Полагая у - р, получим у = и после постановки данное уравнение
dx
обращается в уравнение 1-го порядка:
(х-3)4£ + Р = О.
ах
_	dp dx
Разделяя переменные и интегрируя, найдем —— +--= 0;
р х-3
1п| р | + 1п| х - 31 = In С; |/>(х-3)| = С; /?(х-3) = ±С = С1.
г.	dy
Заменяя вспомогательную переменную р через ----, получим урав-
dx
нение (х - 3)— = Cj, решая которое найдем искомый общий интеграл:
dx
у = С11п|х-3| + С2.
Задача 8
Найти общее решение линейного, неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами:
ут + 4у' = 8е2х + 5ех sinx.
29
Линейным однородным уравнением называется уравнение
+ Р1У^^ + Р2 У^ + - + Рп-1 У' + Рп У = 0,(1)
все члены которого первой степени относительно функции и ее про-
изводных, а коэффициенты р\, Р2,  , Рп ~ известные функции от ар-
гумента х или постоянные.
Общий интеграл линейного однородного уравнения п-го порядка (1)
имеет вид
У = QУ1 + Q У2 + —+ СИ Уп->
где yi, У2, ... , уп - линейно независимые частные интегралы этого
уравнения.
Если все коэффициенты рг- линейного однородного уравнения (1) по-
стоянны, то его общий интеграл находится с помощью характеристиче-
ского уравнения
г" + я г"-1 + р2 гп~2 +... + рп_х г + рп = 0,(2)
которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем все ко-
эффициенты pj, заменить функцию у единицей, а все ее производные
соответствующими степенями г. При этом:
1)	если все корни q, Г}, ... , гп характеристического уравнения (2)
действительны и различны (однократны), то общий интеграл уравнения
(1) выражается, формулой
у = Схе^х + C2er2x + ... + С„ ег"х; (3)
2)	если характеристическое уравнение имеет пару однократных ком-
плексных сопряженных корней	= а - Р1> то в формуле (3) соответст-
вующая пара членов заменяется слагаемым
е ах (Ci cos fix + С2 sinу? х);
3)	если действительный корень г\ уравнения (2) имеет кратность
/с(г] =г2 = —= ri)> то соответствующие к членов в формуле (3) заменя-
ются слагаемым
е Г1‘Ж(С| + х + Cj х2 +...+х^ 1);
4)	если пара комплексных сопряженных корней гц = а ± уравне-
ния (2) имеет кратность к, то соответствующие к пар членов в формуле
(3) заменяются слагаемым
е<хх [(С1+С2 x+...+C/i-х^ l)cos/?x+(Cfc4j+Cfc+2 x+...+C2fc	^)sin/?x]
30
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой
 степени относительно функции и ее производных
У(w) + Р1 У(п~^ + Р2 У^ + - + Рп-1 У' + РпУ = Я(.х)> (4)
отличающееся от линейного однородного уравнения наличием в пра-
вой части некоторой известной функции q(x) от независимой перемен-
ной х.
Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен сумме
какого-либо его частного интеграла у^ и общего интеграла и соответ-
ствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при
?=о).
Для решения линейного неоднородного уравнения (4) с постоянными
коэффициентами pj вначале находится функция и, затем функция ур
Их сумма и дает общий интеграл у неоднородного уравнения: у = и + у\.
Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл
I у\ можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду пра-
вой части q (х) можно заранее указать вид частного интеграла yj, где не-
известны лишь числовые коэффициенты, и затем найти его без всяких
I квадратур в следующих простейших случаях:
1)	q(x) = emxP(x), где Р(х) - многочлен1,
2)	<7(x) = eax(^iCoshx+42sinZ>x),
3)	q (х) есть сумма указанных функций.
В этих случаях у\ есть функция, подобная q(x), т. е. отличается от
I q (х) только числовыми коэффициентами.
Но зсли число т (для случая 1) или числа а + Ы (для случая 2) явля-
ются корнями характеристического уравнения кратности к, то у\ отли-
чается от q (х) множителем х^.
Решение. Вначале находим общий интеграл и однородного уравне-
ния ут + 4у' = 0, соответствующего данному неоднородному уравнению.
□
Его характеристическое уравнение г +4г = 0 имеет корни q=0,
Г23=±2/, поэтому общий интеграл соответствующего однородного
уравнения есть
w = Cj +C2cos2x + C3sin2x.
1 В частности, если т = 0, то q(x) - многочлен; а хли Р(х) есть постоянная с (много-
член нулевой степени), то q (х) - показательная функция сетх.
31
Далее находим частный интеграл yj данного неоднородного уравне-
ния. Для правой части данного уравнения q (х) = 8 е2х + 5 ех sin х, согласно
указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), у\ есть функция, подобная q (х), т.е.
= Ае2х +ех (Bcosx + Csinx).
Для определения коэффициентов А, В, С находим производные
= 2Ле2х +ex[(5 + C)cosx+(C-P)sinx],
у'{ = 4Ле2* + 2ех (Ccosx-Bsinx),
jf = 8Л е2х + 2 ех [(С - В) cos х - (В + С) sin х],
подставляем у{ и у™ в данное уравнение:
16Ле2х + 2ex[(5 + 3C)cosx + (C-35)sinx] = 8e2x +5ех sinx
16Л = 8
< 2 (В + 3 С) = 0 из которой находим «
2(С-32?) = 5
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему:
А = -
2
в=-3-
4
С=-
4
Следовательно, у\ ~^е~Х + “6X(sinx - 3cosx),
1 о»: 1 х
y = u + yi = С] +C2cos2x + C3sin2x + — е +— е (smx-3cosx).
2	4
Задача 9
4-00	1
Исследовать на сходимость числовой ряд: z -- ----.
2”-1
Числовым рядом называется выражение
+<ю
«1 + я? + а3 + — + ап + — ~ Z ап> (1)
и=1
где числа q, а2> ... , ап, ... , называемые членами ряда, образуют из-
вестную числовую последовательность.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма п первых его
членов Sn = q + cq + «3 +... + ап при п -> +°с имеет предел.
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
32
Если же lim Sn не существует, то ряд называется расходящимся.
/1—>4-оо
I. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то
I	lim ап = 0.
И—
Достаточный признак расходимости для всякого ряда. Если же
lim ап Ф 0, то ряд расходится.
И—>+оо
Для числовых рядов с положительными членами (ап >0), при иссле-
довании их сходимости, употребительны следующие достаточные при-
знаки сходимости:
II. Признак сравнения. Если ряд с положительными членами
а\ + а2 + а3 + — + ап +... (а)
сравнить с другим рядом с положительными членами
bl+b2+b3+... + bn+... (Ъ)
сходимость или расходимость которого известна, и если, начиная с
некоторого номера п:
1) сп<Ьпп ряд (Ъ) сходится, то и ряд (а) также сходится;
2) ап > Ьп и ряд (Ъ) расходится, то ряд (а) также расходится.
При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнива-
ется или с бесконечной геометрической прогрессией
9	3	+°°
1 + ? + /+? +••• = Е?п,?>0>(2)
и=0
которая при q < 1 сходится, а при q > 1 расходится, или с расходя-
щимся гармоническим рядом
+00 1
= Z -.(3)
п
п=0
Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)
+00
Z ап = а1 + а2 + а3 + — (4)
и=1
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составлен-
ный из абсолютных значений его членов
4-00
S I ап |= | а11 +1 а2 | +1 а3 | + - (5)
п=1
33
। Знакопеременный сходящийся ряд (4) называется неабсолютно схо-
дящимся, если ряд (5) расходится.
Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
III.	Признак Даламбера. Если lim ^±1 = рь то при р<1 ряд схо-
дится, а при р > 1 расходится. При р = 1 вопрос о сходимости ряда ос-
тается нерешенным.
IV.	Радикальный признак Коши, Если lim	то при I <1
П—>°0
ряд сходится, а при I > 1 расходится. При I — 1 признак ответа на во-
прос о сходимости не дает.
V.	Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убываю-
щими членами an- f (п) сходится или расходится, смотря по тому, схо-
+00
дится или расходится несобственный интеграл J f (х) d х, где f (х) —
1
непрерывная убывающая функция2.
Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена
ап ~f(n) имеет смысл не только для целых положительных значений п,
но и для всех п, больших некоторого положительного числа т.
VI.	Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (знаки членов кото-
+°° _i
рого строго чередуются) £ (“0” “п ~ а1 ~ а2 + а3 ~ а4 +—, ап > 0 схо-
п=1
дится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к
нулю, т.е. если > «2 > а3 > —  и ап ~ 0 •
И—>+00
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно огра-
ничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом
ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередую-
щихся рядов:
Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда
суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения пер-
вого из отброшенных членов.
2 Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число из области оп-
ределения f (х).
34
Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсо-
1	1	1	1	.•	1
лютному значению, стремясь к нулю: 1> — > — > —	и hm -------= 0.
3 5 7	п—>-ко 2п — 1
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы
установить, сходится он абсолютно или неабсолютно, исследуем ряд с по-
V 1	„
ложительными членами У-------, составленный из абсолютных значении
2«-1
членов данного ряда.
Применяя интегральный признак
= —limln (2/? -1) =
заключаем, что ряд с положительными членами расходится.
Задача 10
+°° (-х)п
Определить интервал сходимости степенного ряда: 22 —  • 7—.
у!п
+00
Ряд 22 ип (х) = М1 (х)+ и2 (*) + м3 (х)+ • • • » члены которого являются
И=1
функциями от переменной х, называется функциональным.
При различных значениях х из функционального ряда получаются
различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расхо-
дящимися.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходит-
ся, называется его областью сходимости.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употреби-
тельными являются степенные ряды вида
22	= по + а1х + «2%2 + а3%3 + — (О
п=0
или более общего вида
4-°°	2	а
22 ап(х-хо)п =ао + а1(х-хд) + а2(х-хдС 4-а$(х-хоу 4-... (2)
я=0
35
Областью сходимости всякого степенного ряда является один ин-
тервал числовой оси, симметричный относительно точки х - 0 (для ряда
1) или х = Xq (для ряда 2), который может быть закрытым, открытым или
полуоткрытым.
Для определения области сходимости функциональных рядов обычно
вначале используется признак Даламбера, а затем те значения х, для
которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда (р = 1),
исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.
Решение. По известному члену ряда ип, заменяя в нем п через п +1,
находим следующий за ним член ип+\:
Далее, используя признак Даламбера, ищем предел
р = lim
Н—>+00
= lim
И—>4-00
х"*1З”'1^
з”-ЛТТх'!
|х| I п |х
=— hm J-------= —
3 л? —>+оо V П + 1	3
и определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше еди-
|х|
ницы, т.е. решаем неравенство — <1: | х | < 3; -3<х<3.
Согласно признаку Даламбера, при любом значении х из найденного
интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при | х| > 3 расходится.
Граничные точки х = ±3 этого интервала, для которых р = 1 и признак
Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.
3
При х = -3 получим числовой ряд с положительными членами £ -т=,
уп
который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармо-
ническим рядом	—. (Каждый член исследуемого ряда больше соответ-
п
ствующего члена гармонического ряда.)
3
При х = 3 получим числовой знакочередующийся ряд
уп
который сходится, согласно признаку Лейбница. (Члены этого ряда убы-
вают по абсолютному значению, стремясь к нулю.)
Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда яв-
ляется полуоткрытый интервал - 3 < х < 3.
36
Задача 11
Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: у = — при xq = -2.
х
Рядом Тейлора для функции f (х) в окрестности точки х0 называ-
I ется степенной ряд относительно двучлена х - xq вида
/(*о) + - *—(*-*о) + У (х~ хо)2 + - + ~—7^0- х0)п +....
1!	2!	п\
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая
в окрестности точки х0 имеет производные любого порядка. Однако этот
ряд будет сходиться в породившей его функции f (х) только при тех зна-
чениях х, при которых остаточный член Rn формулы Тейлора для этой
; функции при неограниченном возрастании п стремится к нулю.
При Xq = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независи-
мой переменной х:
т+Ш.х+Шх2+ +f^xn +
1!	2!	и!
который принято называть рядом Маклорена.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
а)	написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения
этой функции и ее производных при х = xq и подставить их в общее вы-
ражение ряда Тейлора для произвольной функции;
б)	исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для данной
функции и определить совокупность значений х, при которых получен-
ный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых lim Rn = 0).
и->+оо
Для многих функций, употребляемых в практических применениях ма-
тематического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью
совпадает с совокупностью тех значений х, при которых соответствую-
щий остаточный член Rn —>0, когда и—>+оо, т.е. для многих функций
каждая точка х сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости
этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих
функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего ос-
таточного члена Rn, что во многих случаях весьма затруднительно, иссле-
довать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.
37
Решение, а) Вычисляем значения данной функции и ее производных
при Xq = -2:
/(х) = х
-2
-3
Z*
II
/ч-2)=~4
22
.....	2!
-4
23
3!
24

и!
2
n+1
Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции,
получим
1_ 1 1!(х + 2) 2!(х + 2)2 3!(х + 2)3
п\(х + 2)”
2	221!
232!	243!
х + 2 (х+2)2 (х + 2)3 (х + 2)п
2п+1«!
22
23
2"
£
2
2
б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:
р- lim
И—>4-00
и =
2"
^«+1 _ |Х+ ^1 .
(х + 2)и+1
«И4-1 =-----------
2п+1
|х + 2|
р<1, если 1———1

2
Решая это неравенство, находим интервал -4<х<0. Границы этого
интервала исследуем особо. Подставляя в ряд х = -4, затем х = 0, получим
числовые ряды 1-1 + 1-1 + ... и 1 + 1 + 1 + 1 + ..., которые расходятся, так как
у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда lim ап ~ 0.
и—>+оо
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для
данной функции есть (-4; 0). Исследуя остаточный член Rn формулы Тей-
лора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале
полученный ряд сходится именно к данной функции.
38
Библиографический список
1.	Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.2. /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М., 1997. - 416 с.
2.	Гусак, А.Л. Высшая математика / А..А. Гусак. - Минск, 1998. - Т.1-2.
3.	Кремер, П.Ш. Высшая математика для экономистов / П.Ш. Кремер.-М.,
1999.-326 с.
4.	Щипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. - М., 1998. - 312 с.
5.	Красс, М.С. Математика для экономических специальностей /
М.С. Красс. - М„ 1999. - 352 с.
6.	Бугров, Я.С. Высшая математика / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М. -
Т.1-2.
7.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вту-
зов. -М.-Т.1-2.
39
Учебное издание
Сараев Леонид Александрович, Хохрякова Юлия Владимировна,
Ильина Елена Алексеевна, Глушенков Вячеслав Сергеевич
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
РЯДЫ
Практикум по математике
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка, макет Н.П. Бариновой
Подписано в печать 28.03.07. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсет-
ная. Усл.-печ. л.2,3; уч.-изд. л.2,5. Гарнитура Times.
Тираж 300 экз. Заказ №
Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Отпечатано ООО «Универс-групп»