ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ТЕЛА В ПОТОКЕ
| З.П.Случановская~~]
Кафедра аэромеханики и газовой динамики
МГУ им. М. В. Ломоносова1
1. Цель работы
Целью проведения задачи является определение профильного со-
противления тела в потоке путем измерения давлений в окрестности
обтекаемого тела.
Способ определения профильного сопротивления бесконечно длин-
ных цилиндров, обтекаемых плоскопараллельным потоком вязкой не-
сжимаемой жидкости основан на теореме импульсов. Способ применим
и для определения сопротивления в различных сечениях крыла; может
быть распространен на осесимметричные течения и на дозвуковые тече-
ния. В силу этого он находит применение в лабораторных и натурных
исследованиях.
2. Определение профильного сопротивления
При обтекании тела потоком на каждый элемент поверхности дей-
ствует аэродинамическая сила. Система этих сил может быть приведена
к главному вектору сил и к главному моменту их относительно центра
приведения. Проекция главного вектора сил на направление скорости
невозмущенного телом набегающего потока называется полным лобо-
вым сопротивлением тела.
Элементарную аэродинамическую силу, действующую на элемент
поверхности тела da можно разложить на силу давления pda и силу
трения тda . Силы давления направлены по внутренним нормалям к
элементам поверхности, силы трения лежат в касательных плоскостях к
рассматриваемым точеам поверхности. Равнодействующая R всех этих
поверхностных сил представляет полное аэродинамическое воздействие
1 Незначительные изменения в оригинальный текст и рисунки были
внесены В.В. Измоденовым.
50
на тело. Составляющая силы R, направленная в сторону, обратную
движению тела относительно среды, называется лобовым сопротивлени-
ем X; составляющая, перпендикулярная направлению скорости движе-
ния тела в плоскости симметрии, - подъемной силой У ; в случае несим-
метричного течения имеется еще боковая сила Z.
Если тело движется равномерно, прямолинейно и поступательно, то в
соответствии с принципом Галлилея, движение может быть обращено,
путем придания среде и телу равной и противоположно направленной
скорости. В частности, при обтекании неподвижного тела равномерным
плоским потоком вязкой жидкости со скоростью в обращенном дви-
жении интеграл проекций элементарных сил давления по всей поверхно-
сти тела в направлении оси X дает сопротивление давления.
= £ pcos(n,V„)da	(1)
то есть часть лобового сопротивления, обусловленную давлением. Если
Pq - статическое давление в невозмущенном потоке, то вместо р обычно
рассматривается величина (p-p<j), так как интеграл (1) распространяется
на замкнутую поверхность, то интеграл (1) будет равен интегралу
-Tg = £ О - pQ)cos{n, VJda	(1)
Аналогично находится сопротивление трения
хтр=£ tc°s^ v^da	<2>
представляющего часть лобового сопротивления за счет трения.
Для таких тел, как крыло конечного размаха компонента Xg лобо-
вого сопротивления может быть представлена в виде суммы индуктивно-
го сопротивления Хиидукт, возникающего силе из-за краевых эффектов,
связанных со срывом потока в кромке крыла, и сопротивления давления
Xg 9 существующего у крыла в плоском потоке.
Сумму сопротивлений трения, Хтр, и давления, Xg, называют
профильным сопротивлением и понимают под этим обычно сопротивле-
ние профиля, вычисленное на единицу длины тела бесконечного удлине-
ния.
Определение локальных поверхностных сопротивлений, суммарно-
го лобового сопротивления и его частей существенно для технических
51
характеристик летательных аппаратов (радиуса действия, скорости поле-
та и др.) Теоретическое и вычислительное определение аэродинамиче-
ских сил пока встречает трудности в большинстве случаев. В связи с
этим разработаны экспериментальные методы определения аэродинами-
ческих сил. Так, составляющие равнодействующей аэродинамических
сил R : лобовое сопротивление X, подъемная сила Y, боковая сила Z
и их моменты определяются в аэродинамических трубах на специальных
весах. Этот способ дает суммарные силы, тогда как бывают нужны силы
локальные в точках на поверхности или в сечениях. Известны способы
экспериментального определения сил по измерениям на поверхности
обтекаемого тела местных давлений или трения.
В настоящей задаче определяется сопротивление тела в сечении (на
единицу размаха), если известны скорости потока или давления на по-
верхности, ограничивающей объем жидкости или газа, включающий
обтекаемое тело.
2.	К теории способа: теорема импульсов
Как известно, теорема общей механики о количестве движения системы
материальных точек состоит в том, что изменение количества движения
ограниченной системы материальных точек равно импульсу сил, прило-
женных к системе, или изменение количества движения системы в еди-
ницу времени равно сумме внешних сил, действующую на эту систему:
(з)
at
Для жидкости, принимаемой за континуум, теорема записывается в инте-
гральной форме:
dK d
— = — Vdm =2 F.	(4)
dt dt J
Выделим в движущейся жидкости некоторый объем, ограниченный про-
извольной поверхностью S, и применим к жидкости, заключенной
внутри S, теорему о количестве движения. Жидкая поверхность будет
перемещаться с течением времени и изменять форму. Но количество
жидкости, содержащееся в ограничивающей поверхности, должно со-
храняться и состоять из одних и тех же частиц. Количество движения
жидкого объема будет изменяться во времени, так как частицы жидкости
52
будут занимать новые положения и приобретать в них другие значения
скоростей, а также потому, что поле скоростей зависит от времени.
Если движение жидкости установившееся, то изменение количества
движения массы жидкости внутри ограничивающей поверхности S'
вызывается только перемещением поверхности. Так за элемент времени
dt поверхность S переместится в положение S . При движении жид-
кой поверхности происходит перенос количества движения через непод-
вижную поверхность. Сквозь элементарную площадку dS в элемент
времени dt протекает объем жидкости dSVndt и переносится в едини-
цу времени количество движения, равное pdSVnV, где й - внешняя
нормаль к dS. Следовательно, изменение количества движения в еди-
ницу времени, обусловленное перемещением жидкой поверхности S,
выразится геометрической суммой количеств движения, протекающих в
единицу времени через неподвижную поверхность:
(5)
Таким образом, при установившемся течении изменение за единицу вре-
мени количества движения жидкого объема равно количеству движения,
перенесенному в единицу времени через контрольную поверхность (тео-
рема Эйлера).
Если в рассматриваемом объеме жидкости, ограниченном поверх-
ностью S, находится неподвижное твердое тело с поверхностью Т , то
по доказанной теореме количество движения, протекшее в единицу вре-
мени через контрольную поверхность S' 4- Т, равно сумме сил, равно
сумме сил, действующих извне на массу жидкости в объеме Q, заклю-
ченную между телом и поверхностью S'. На выделенный объем дейст-
вуют массовые силы, например тяжести pg, силы давления pdS и
трения fdS, приложенные к контрольной поверхности тела, и, наконец,
посторонние силы, передающиеся телу извне через державки, поддержи-
вающие тело в потоке и обтекаемые им. Уравнение будет иметь вид, если
расписать правую часть в (3)-(5),
£ 7 pVydS “ ~г pdS + £ fdS ч- £ pgda 4-	(6)
53
Во многих случаях массовыми силами, например силами тяжести в воз-
духе, можно пренебречь по сравнению с силами давления и другими.
Потока количества движения через поверхность Т здесь нет вследствие
ее непроницаемости; интегралы от сил pdS и fdS по поверхности Т
дадут равнодействующую аэродинамическую силу R или противопо-
ложную ей по знаку силу - силу воздействия тела на жидкость —R; си-
лами трения по контрольной поверхности 5 можно пренебречь, если
выбрать ее границу там, где нет больших градиентов скорости по норма-
ли к этой поверхности. Тогда уравнение (6) примет вид
со
Последним членом V. F правой часто, выражающим аэродивамиче-
скую силу поддерживающих тело приспособлений в потоке, обычно
пренебрегают в сравнении с величиной R или исключают другим путем.
3.	Определение коэффициента профильного сопротивления модели
крыла
При обтекании цилиндра (крыла) большого удлинения плоским по-
током вязкой несжимаемой жидкости со скоростью у *, перпендикуляр-
ной оси цилиндра, в тонком пограничном слое у поверхности тела ско-
рость потока изменяется от нуля на стенке тела до величины скорости
при обтекании его жидкостью без трения. Эта скорость асимптотически
стремится к скорости у* при большем удалении от тела вдоль нормали
к его поверхности. Пограничные слои, сходящие с верхней и нижней
поверхностей цилиндра, сливаются у задней кромки профиля в спутной
зоне. За цилиндром образуется завихренное течение, профиль скоростей
которого имеет впадину (рис. 1). Вследствие вязкости спутное течение
размазывается: при удалении от цилиндра впадина становится широкой и
мелкой.
Определим лобовое сопротивление X элемента цилиндра (крыла)
единичной длины, применяя теорему импульсов, в проекции на ось X
(рис. 1). Проведем в потоке жидкости прямоугольную контрольную по-
верхность, внутри которой будет находиться тело. Одну плоскость
X = Сх поверхности расположим на большом расстоянии перед цилин-
54
дром так, чтобы для всех ее точках проекции скорости у} на ось X не
отличались от величины скорости у^.
Рис. 1. Контрольные поверхности перед крылом (1), за крылом вблизи (3) и на
большом расстоянии (2). Показаны также: система координат (х-у), крыловой
профиль, трубка тока, имеющая сечения dybdy2 и dy3 , а также характерный
профиль скорости за крылом.
Вторую плоскость х = С2 возьмем далеко за цилиндром; здесь проек-
ции скорости на ось X зависят от координаты у, то есть У2(У) • Д®е
другие плоскости у = С3 и у = С4, параллельные вектору скорости
уф, проведем так далеко от цилиндра, что они будут находиться в не-
возмущенном потоке. Поскольку контрольная поверхность расположена
на значительном расстоянии от тела, то предполагается, что давление на
поверхности всюду одинаковое.
Найдем количество движения, протекающее в единицу времени че-
рез контрольную поверхность в направлении оси X. Объем, проходящий
через площадку единичной толщины в направлении оси Z, т.е. dy} • 1
первого сечения за элемент времени dt, равен V}dtdy (где Vx = У*)9 и
количество движения, перенесенное в единицу времени через всю полосу
плоскости, выразится интегралом — J У\У^у}. Здесь стоит знак минус,
так как положительной взята внешняя нормаль к поверхности. Через
вторую плоскость в единицу времени протечет количество движения,
55
равное — ^^2^2 • Массовыми силами можно пренебречь, давление на
контрольной поверхности всюду одинаково, т.е. р2 = рх, поэтому бу-
дем иметь одну силу воздействия тела на жидкость —X . На основании
закона равенства действия и противодействия получим силу с которой
жидкость действует на тело,
А’ ’ = { Р^124^1 - { р^22ф2	(8)
Так как производить опытные измерения во втором сечении, находя-
щемся далеко за цилиндром, трудно или даже невозможно, проведем еще
одно сечение на близком расстоянии от задней кромки профиля, пример-
но равном половине хорды крыла. И с помощью уравнения неразрывно-
сти для струйки
= pV2dy2 = pV3dy3	(9)
выразим скорости второго сечения через измеренные скорости в треть-
ем. Теперь
(10)
Причем интегрирование производится в той части сечения 8 , где скоро-
сти отличны от скорости .
По теории размерности и подобия сила сопротивления выражается через
безразмерный коэффициент, зависящий от чисел Рейнольдса, Маха и др.
в виде
(11)
где b - хорда крыла. Из равенства выражений (9) и (10) коэффициент
профильного сопротивления на единицу размаха крыла (цилиндра)
=2( —(1-—)Ф3>	(12)
X^proj Ду рг V рг	v '
Помня, что статическое давление Р2 принято равным Р{ и предполагая,
что течение в спутной струе от сечения 3 до сечения 2 происходит без
потерь, напишем формулы для полных давлений:
56
1 TZ2
P„i=Pi+j/^
Pnl = Pl + ^PV2 = Pl + |p^22 = P»3	(’3)
1 TZ2
Ряз=Рз + 2рГз
Тогда скорости в соответствующих сечениях представятся выражениями:
л)
VP
/2
Г2 = J—(P«3“Pl)	(14)
VP
Б
Г3=.-(рлз-Рз)
Ур
Подставим эти выражения скоростей в (11), получим окончательно
г
^X.prof
= 2 f	-Рз.(1 _ 1Р>!з_.Рь)^з
J\Pnl-P! УРт-
(15)
Отсюда видно, что для определения Сх prof требуется знать полные и
статические давления в первом и третьем сечениях.
4.	Описание установки
Модель крыла или другое тело устанавливается в центре рабочей
части трубы. Перед моделью и за ней ставятся трубки Пито-Прандтля
для измерения полных и статических давлений. Первая трубка помеща-
ется на возможно большем расстоянии от передней кромки модели. Вто-
рая укрепляется в координатнике на расстоянии нескольких долей хорды
от задней кромки профиля. Координатник фиксирует положение трубки
в плоскости контрольной поверхности, то есть координату у. Полные и
статические давления от обеих трубок Пито-Прандтля подключаются к
бачкам манометров, вторые колена которых оставляются открытыми.
57
Величина коэффициента профильного сопротивления зависит от поло-
жения тела в потоке; поэтому модель монтируется в аэродинамической
трубе в заданном положении, характеризуемом углом установки (атаки)
а , углом скольжения Р. схема установки показана на рис 2.
Рис. 2. Соединения манометров с трубками и их расположение при определении
профильного сопротивления.
5.	Порядок выполнения работы
В рабочей части аэродинамической трубы монтируются: модель,
координатник, трубки Пито-Прандтля. Датчики давления соединяются с
манометрами. Для ведения записей заготавливается таблица, в нее вно-
сятся: данные условий опыта и характеристики манометров. Перед
включением аэродинамической трубы необходимо проверить правиль-
ность подсоединений манометров и надежность крепления деталей. Ра-
58
бота выполнятся при заданном режиме = const. Чтобы найти преде-
лы изменения полного давления в кильватерной струе по сечению 3,
производится пробное перемещение задней трубки Пито-Прандтля попе-
рек струи. В зависимости от желаемого числа экспериментальных точек
устанавливается величина шага (по давлению). Шаг надо брать мельче
там, где большее изменение давления. После этого трубка в сечении 3
располагается вблизи одной из границ кильватерной струи. Это будет
первая точка. В таблицу записываются отсчеты, взятые одновременно по
четырем манометрам и координатнику. Затем производятся измерения в
других точках спутной струи. При этом трубка Пито-Прандтля переме-
щается каждый раз настолько, чтобы уровень жидкости в манометре
изменялся примерно на одну и ту же величину (шага). Если обнаружатся
явно выпавшие точки, производятся повторные измерения.
6.	Таблица записи и обработки данных
Формула коэффициента профильного сопротивления (14) разверну-
та в таблице в порядке последовательности операций вычисления. Для
каждой экспериментальной точки, определяемой координатой у, вы-
числяются разности давлений по показаниям манометров. Например, для
к-ой точки у = I мм находятся разности:
Рп1-Ра=(^~КЖг^па1,
Pi-Pa=(h2~ ^yk^sina^
Pm -Pa=(fh- h^kysina^
Рз~ Pa =	- h40)k4/sina4.
Далее вычисляются разности рп[ — рх, рп3 — р3 , рп3 — рх к т.д.; нако-
нец, определяется величина подынтегральной функции в данной точке.
Аналогично производятся вычисления для всех точек. Графическим
интегрированием находится величина интеграла. С этой целью строится
график Ф(^3) (по двум последним столбцам таблицы). Площадь, огра-
ниченная кривой и осью абсцисс, вычисляется по правилу трапеций или
другим способом. Таким образом, коэффициент профильного сопротив-
ления на единицу длины модели крыла на данном угле атаки при опреде-
ленном числе Re будет равен:
59
C =2F___________-___—
^.prof	’
^.чч в MM
где а и P - масштабные коэффициенты по осям Ф и у3. Число Рей-
нольдса вычисляется по средней скорости возмущенного потока
йе=^=^
V V
Средняя скорость потока находится по формуле:
(16)
2
где р — р0	, р0 = 0.125	- плотность воздуха при В=
760 мм. рт. ст. и Т =15° С,
д_ В(273°+15°)
760(273°+4^)
В литературных ссылках [5], [6] можно найти указания на многие иссле-
дования по применениям этого метода и его модификациям, в частности
в газодинамических течениях.
Литература
1.	Кочин, Н.Е., Кибель, И.А., Розе, Н.В., Теоретическая гидромеханика.
М., Гостехиздат, 1955 (гл.П, парагр. 13).
2.	Попов, С.Г., Некоторые задачи и методы экспериментальной аэроме-
ханики. М., ГИТТЛ, 1952
3.	Прандтль, Л., и Тигьенс, О., Гидро- и аэромеханика, т. 1, М.-Л., ГТТИ,
1933.
4.	Седов Л. И., Механика сплошной среды, ч. 1 и 2, М., "Наука", 1970.
5.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, М., Изд-во иностранной ли-
тературы, 1956.
6.	Современнное состояние аэродинамики больших скоростей. Под ред.
Л. Хуорта, М., Изд-во иностр, лит-ры, 1956.
60
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И ВЫЧИСЛЕНИЯ
Условия опыта: Барометрическое давление
I РпХ~Рх)'
С х проф
В=
а
(• РпЗ~Рз
'урп1-р1
мм рт. ст., Температура t=
°с, РпГРат ~ (hrhl0) у ki 1 sin
Кинематический коэффициент вязкости
V = см2/сек
sin а
Модель (тело): Хорда bs мм.
sin а
PrPam-{hrh2o)yk{ ^sina
РпЗ-РатЛЬгЬзо)^
Рз-Рат *(hrh40) J ki
Угол атаки а =
Тарировочные коэффициенты трубок
Пито-Прандтля -	> £2 =
Число Рейнольдса
	РпГрат	РГрат	РпЗ~Рат	Рз~Рат
манометр №	1	2	3	4
sin a				
у г/см3				
к				
ho				
				
№	Уз	hi	л?	hi	h4	hrh10	h?~ ^20	hi- hw	hi-hM
	ММ	ММ	мм	ММ	ММ	мм	мм	ММ	ММ
									
61
									
									
									
									
									
РпГ Рат	Рг Рат	РпЗ~ Рат	Рг Рат	PnFPl	РпЗ~Рз	РпЗ’Р!
кГ7м2	кГ/м2	кГ/м2	кГ/м2	кГ/м2	кГ/м2	кГ/м2
						
						
						
						
						
						
1рпз-РзЛ1 VAi-A 1 A1-P1J	
	
	
	
	
	
	
62