RELIABILITY:
MANAGEMENT, METHODS
AND MATHEMATICS
David K. Lloyd and Myron Lipov
Space Technology Laboratories, Inc.
Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
1962

ДАВИД К. ЛЛОЙД и МИРОН ЛИПОВ
НАДЕЖНОСТЬ
ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ,
МЕТОДЫ,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Перевод с английского
И. Н. КОВАЛЕНКО -и Г. А. РУСАКОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Я. П. БУСЛЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА—1964

УДК 621.3.019
iB книге рассматриваются задачи, связанные с тео-
теорией надежности, вскрываются оон'овные источники не-
ненадежности и описываются методы улучшения качества
продукции. Кроме тоге, освещаются вопросы, связанные
с производством, контролем -и эксплуатацией изделий,
излагаются специфические заколы распределения, ис-
используемые в теории надежности, а также инженерные
методики, .посвященные решению конкретных задач.
Книга является фундаментальным руководством
для широкого круга специалистов, занимающихся тео-
теорией и практикой надежности.

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга американских авторов Д. К. Ллойда и
М. Лилова «Надежность: организация исследования, -ме-
-методы и математический аппарат» (привлекает* к себе вни-
внимание то многим (причинам. В первую о-чередь необхо-
необходимо отметить свойственную ей доступность изложения
материала. В большинстве случаев для -'понимания сути
вопроса вполне можно обойтись элементарными сведе-
сведениями как по математическим методам, так и по суще-
существу технических приложений. Детальное рассмотрение
постановки задач, «подробное изложение методов расчета
и иллюстрация их на общеизвестных, иногда даже быто-
бытовых примерах делают книгу по'нятной инженерам и тех-
техникам самых различных-тспециаль-ностей. Это тем более
существенно, что в -настоящее время нет учебников по
проблеме надежности, а иногда представляет трудность
даже составление программ подготовки специалистов по
надежности.
Книга снабжена достаточным количеством таблиц,
графиков, рисунков и вспомогательных иллюстраций,
помогающих практически ориентироваться в проблеме
надежности.
Заметный интерес представляет материал, связанный
с оценкой надежности механических систем. В силу ис-
исторически сложившихся обстоятельств большинство
опубликованных в настоящее время работ относится
к радиоэлектронному оборудованию и аппаратуре. Рас-
Рассмотрение таких объектов, как турбогенераторы, жид-
жидкостные реактивные двигатели, реактивные двигатели,
работающие на твердом топливе, и т. д., позволяет рас-
распространить известные результаты и а весьма широкий
класс существующих и разрабатываемых систем.
5

Весьма полезным, с нашей точки зрения, представ-
представляется ознакомление читателя с принятой в США орга-
организацией работ по надежности, с особенностями сбора,
передачи и обработки информации об отказах различ-
различных систем и их элементов. По 'вполне понятным при-
причинам некоторые конкретные рекомендации авторов ока-
оказываются неприемлемыми для сложившейся в Совет-
Советском Союзе практики разработки сложных систем. Одна-
Однако эти случаи не требуют каких-либо комментариев,
так как они становятся очевидными при сколько-нибудь
критическом отношении к существу рассматриваемых
проблем.
Нельзя также согласиться с утверждением авторов
о роли второй мировой войны и войны в Корее, а также
последующих военных приготовлений в ускорении тех-
технического прогресса и с рядом других относящихся сю-
сюда высказываний. Можно предположить, что подобное
впечатление возникло у авторов в связи с многочислен-
многочисленными примерами анализа надежности различных средств
.вооружения.
Несмотря на эти замечания, упомянутые выше досто-
достоинства делают книгу Ллойда и Липова полезной совет-
советскому читателю.
Перевод гл. 4—12 выполнен И. Н. Коваленко, осталь-
остальную часть книги перевел Г. А. Русаков. Переводчики
руководствовались источником «Теория надежности в об-
области радиоэлектроники. Терминология» (Изд-во АН
СССР, 1962).
Я. Я. Бусленко

Моим родителям, Гарри и Дорис
Д. К. Л.
Моей жене, Сусан-Ли
М. Л.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
В книге предпринята попытка ознакомить читателя
с развивающейся методологией надежности. Перед ее
написанием возникло много проблем, а именно: насколь-
насколько исчерпывающими должны быть сведения и как широ-
широка должна быть аудитория, для которой будет предна-
предназначаться эта книга.
Надежность — сравнительно новый предмет, постоян-
постоянно развивающийся и распространяющийся на все новые
отрасли науки и техники, причем область использования
ее не является четко ограниченной и твердо установлен-
установленной подобно школьной алгебре или элементарной стати-
статистике. Более того, большая часть публикуемых работ по
надежности используется лишь при решении частных за-
задач и представляет ограниченный интерес и возможно-
возможности использования. Следовательно, объем теории надеж-
надежности как предмета еще точно не определен. Мы
попытались решить эту проблему, представив основные
понятия и рассуждения, касающиеся данного предмета,
включив в качестве разделов основные статистические
методы, принципы организации взаимодействия
с целью передачи информации и вопросы исследования
и оценки надежности. Эти разделы в настоящее время
составляют основу методологии надежности. Читатель
найдет в книге общий подход к решению возникающих
перед ним задач по оценке надежности, а не сами реше-
решения. Каким образом он выберет необходимый метод из
ряда частных примеров, будет зависеть от его способно-
способности разобраться в приведенной методологии, от типа
рассматриваемого оборудования, а также от тех частных
ответов на основные вопросы по надежности, которые он
считает относящимися к своей задаче и применимыми
в не,й.
7

Для кого предназначена книга? Поскольку до бе на-
написания не существовало упорядоченного и исчерпы-
исчерпывающего представления о предмете, авторы полагали,
что основное изложение должно быть довольно обшир-
обширным и книга должна предназначаться главным образом
для инженеров, занимающихся вопросами надежности.
Поэтому основной упор был сделан на теорию вероят-
вероятностей и математическую статистику с соответствующим
преломлением применительно к вопросам надежности.
Однако книга не является явно выраженным учебником
но теории вероятностей или статистике, хотя эти предме-
предметы представляют, возможно, самый важный инструмент,
находящийся в распоряжении инженера-специалиста по
надежности.
Авторы считают, что книга представляет интерес не
только для инженеров, занимающихся вопросами на-
надежности, но также для руководства 'промышленными
предприятиями, так как в его обязанности входит уЬта-
новление объема и эффективности работ по исследованию
надежности при организации производства. Отношение
руководства к 'надежности в свою очередь зависит от
понимания ее влияния на организацию производства,
возможности исгтрльзоващщ^ методов оценки надежности
ндэтатГ^пр^ектирования1л разработок, а также стат^
Стичес^кой методологии, особенно в ее приложении к до-
договорным обязательствам.
Это означает, что каждый из этих вопросов должен
рассматриваться и с нетехнической точки зрения.
Книга предназначена также для инженеров-проекти-
инженеров-проектировщиков, разработчиков, испытателей, производствен-
производственников и представителей отделов технического контроля,
которые в той или иной мере участвуют в процессе
производства на различных описываемых здесь этапах.
Опыт показывает, что если они освоят имеющиеся ме-
методы оценки надежности и осознают, как это поможет
им в работе, то всегда можно будет заручиться их одоб-
одобрением, оценкой и, что самое главное, личным участием
в использовании этой методологии.
Книгу смогут использовать студенты математических
и инженерных профилей, которые усвоили курс элемен-
элементарной математической статистики. Во II разделе они
найдут изложение и ориентацию методов теории вероят-
вероятностей и статистики, несколько отличающиеся от тех,
8

которые имеются в большинстве учебников по мате-
математической статистике. В соответствующих местах в
текст включены упражнения различной степени труд-
трудности, однако педагог может по своему усмотрению
опустить те разделы и упражнения, которые окажут-
окажутся более доступными лишь при повторном чте-
чтении.
Как это следует из всего сказанного, стиль, уровень
и глубина изложения материала настоящей книги весь-
весьма разнообразны, за что авторы, однако, не приносят
извинений. Надежность стала слишком широким шред-
метом, с которым соприкасаются люди, имеющие весьма
различную техническую подготовку. Существуют разные
степени трудности, проблем 'надежности — от «слишком
математических» до «практических в житейском смыс-
смысле». Это должен учитывать инженер, занимающийся на-
надежностью, чтобы способствовать преодолению барьеров
технической связи, так часто встречающихся в настоя-
настоящее время в инженерной практике.
Часть статистических методов, приведенных в книге,
появляется в подобной литературе впервые. Некоторые
из них созданы авторами, остальные помещены чс любез-
любезного разрешения отдельных специалистов, занимающих-
занимающихся этими вопросами. Нам особенно хотелось бы выра-
выразить признательность нескольким авторам, которые
великодушно разрешили воспользоваться значительны-
м.и частями их работ, а именно: Эпштейну Б., Гарне-
ру Н. Р., Хартвигсену Д. Е., Будне Т. А., Бокс Г. Е. П.,
за существенный вклад в разделы 10-й и 13-й глав. Кро-
Кроме того, .мы благодарны О. Л. Девису и д<р. за разреше- .
ние перепечатать табл. 11.21 из книги «Проектирование^
и анализ промышленных экспериментов». -
Мы должны также отметить полезный вклад продол-
продолжительных и часто полемических обсуждений вопросов
надежности, проведенных совместно с нашими коллега-
коллегами в лабораториях космической технологии и с пред-
представителями подрядчиков, работающих по программам
разработок баллистических ракет и космических систем
ВВС.
Техническое содержание рукописи просмотрено Шоэ-
ром Е. М. и Эйдемиллером Р. Л., членами Технического
штаба фирмы «Лаборатории космической технологии,
Инкорпорейтед», которым мы чрезвычайно благодарны.
9

Однако авторы несут всю ответственность за любые воз-
возможные технические ошибки.
Наконец, мы желаем вырази-ть нашу искреннюю
благодарность мисс Рутанн Крикшанк, которая перепе-
перепечатала большую часть рукописи, а также миссис Карол
Минз и миссис Колин Конуэй, помогавшим ей в работе.
Д. К. Л.
м. л.

ВВЕДЕНИЕ
ВОЗРАСТАЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
В последние годы проблема исследования надежно-
надежности приобретает все большее значение. Она ставится на
первое место при разработке большинства мощных си-
систем вооружения, и в скором времени это отразится и
на развитии всей промышленности страны. Промышлен-
Промышленные круги начинают понимать, что reliability is everybo-
everybody's business (надежность — дело каждого). В настоя-
настоящее время организуются конференции по теории и прак:
тике исследования надежности, создаются отделы, от-
ответственные за надежность выпускаемо^ продукции,
пишутся программы и методики оценки надежности,
требования по надежности появляются в технических
заданиях и контрактах. Что же привело к возникнове-
возникновению этого понятия? Что сейчас так сильно изменилось
по сравнению с недалеким прошлым? Ответ надо искать
в техническом прогрессе, свидетелями которого мы яв-
являемся на протяжении последних двух-трех десятилетий.
В свою очередь, значительную роль в ускорении этого
процесса сыграли вторая мировая война, война в Корее
и последующие военные приготовления. Однако войны
не только ускорили развитие техники, но еще ярче про-
продемонстрировали важность надежности. В ходе войны
выявлялись последствия ненадежности—мы учились на
неизбежном в невыгодных для нас условиях, мы учились
на горьком опыте.
Ненадежность сказывается на стоимости, на времен-
временных затратах, а также психологически — в виде неу-
неудобств—и в определенных случаях грозит безопасности
и

отдельных людей или даже всей страны. Обычно потери
за счет ненадежности представляют собой не только
стоимость выходящего из строя изделия, но также и стои-
стоимость связанного с ним оборудования, которое портится
или разрушается в результате отказа, что определяется
взаимодействием элементов в сложных системах. Напри-
Например, отказ полупроводника в радиоприемнике обычно
приводит iK небольшим затратам на его замену, в ре-
результате отказа такого же 'полупроводника в баллисти-
баллистической ракете могут не разделиться ее ступени, что при-
приведет к потере всей дорогостоящей ракеты/ Конечно,
подобные примеры слишком очевидны. Менее очевидным
примером может служить стоимость профилактических
работ. Необходимость иметь подготовленный персонал
для постоянной проверки оборудования, даже если ре-
результаты ненадежности не так уж существенны, обхо-
обходится очень дорого. К тому же за любой элемент, кото-
который нуждается в замене, необходимо -платить, а это
должно включать в себя транспортные расходы, равно
как и стоимость связи и организацию снабжения. Если
мы будем иметь в два или три раза больше элементов,
чем это требуется теоретически, чтобы надежность была
равна 100%, то стоимость компенсации ненадежности
станет излишне высокой (если, конечно, все функции
стоимости не были оптимизированы).
' Затраты времени нередко являются следствием нена-
ненадежности, а в промышленности это почти всегда приво-
приводит к денежным затратам. Например, в больших вычис-
- лительных устройствах существует понятие простоя для
поиска и устранения неисправностей. При эксплуатации
пассажирских самолетов устранение механических или
электронных неисправностей, которые влекут за собой
задержки вылета, может привести к штрафу за наруше-
нарушение графика перевозок и к затратам на организацию
ночлега и дополнительное питание пассажиров.
Классическим примером .психологического эффекта
ненадежности являются запуски -печальной памяти спут-
спутников «Авангард». Соединенные Штаты, остро пережи-
переживая успехи России, запустившей «Спутник-1», попыта-
попытались вступить в соревнование, используя для этого 'почти
неиспытанную ракету, которой 'пришлось работать почти
на пределе своих возможностей. Неудачи и последовав-
последовавшие за этим уныние и потеря престижа были очень
12

серьезны*. В области коммерции частые или нежела-
нежелательные неудобства, возникающие из-за ненадежности,
сказываются на интересах как потребителя, так и произ-
производителя. К 'примеру, компания, производящая телеви-
телевизоры или автомобили, которые постоянно находятся
в ремонтной мастерской, обнаруживает, что покупатели
обращаются за покупками в другое место. Неудобство
состоит не только в том, что покупатель не может вос-
воспользоваться приобретенным изделием, но и в том, что
он попадает в зависимость от .работников мастерских.
Наконец, вероятно, наиболее важным следствием не-
ненадежности является ее влияние на безопасность стра-
страны, которая зависит от ее ресурсов, промышленного по-
потенциала, состояния технологии в военной промышлен-
промышленности, подготовленности и военного бюджета. Надеж-
Надежность касается в основном последних двух пунк-
пунктов. Сама_по себе^надежность непосредственно не улуч-
шает.сосхр^яния~во»енной тезсники,_однако ее методология
может уведичить.демпы ^прогресса, К подготовленности
же она имеет непосредственное отношение. Обыч-
Обычно при рассмотрении количества ракет на стартовых
площадках, количества самолетов в распоряжении 'ко-
'командования стратегической авиации или числа радио-
радиолокационных станций мы подразумеваем в действитель-
действительности физическое число, а не эффективное. Отсюда, если
надежность системы вооружения равна 50%, то эффек-
эффективное число имеющихся в наличии средств равно поло-
половине действительного. Часто это обстоятельство упуска-
упускают из виду, что равносильно допущению стопроцентной
надежности систем вооружения, тогда как на самом де-
деле страна подготовлена лишь наполовину. Главное,
иногда бывает неизвестно, какие именно системы воору-
вооружения обладают такой пятидесятипроцентноп эффек-
эффективностью, а это означает невозможность развернуть
средства вооружения и произвести ответный удар, эф-
эффективный на 100%'. Этот пример подчеркивает важ-
важность того, что надежность должна быть большой или
близкой к 100%, особенно в тех случаях, когда ракета
предназначена для использования в качестве средства
для запуска человека в космос. С другой стороны, важ-
важно знать уровень надежности, чтобы планировать в эф-
* Третья попытка запустить спутник «Авангард» 7 марта
1958 г, через 3 месяца после первой попытки, увенчалась успехом.
13

; фективных, а не в действительных числах. По различ-
различным шричинам (из-за возможностей производства, общей
стоимости, тактико-технических характеристик и т. д.)
с точки зрения национальной экономики, стратегии и
безопасности система вооружения с 50нпроцентиой на-
надежностью может оказаться предпочтительнее, чем си-
система с 90-процентной надежностью. Для принятия та-
такого решения требуется глубокое понимание надежности
и сравнение усилий и затрат, требующихся для достиже-
достижения любого желаемого уровня надежности.
Обычно бюджет накладывает ограничения на разра-
разработку того или иного изделия или системы (кроме, ко-
конечно, тех исключительных случаев, когда фактор време-
времени играет решающую роль). Доля надежности в бюд-
бюджете стала в 'некотором смысле спорной. Вначале
обеспечение надежности обходится дорого, так как при
этом требуется проведение определенных дорогостоящих
работ (организованного и эффективного планирования,
испытаний, подготовки и передачи сообщений), причем
возможности немедленно продемонстрировать выгоды по
сравнению с начальными расходами нет. Однако как
только заканчивается этот начальный период, достигну-
достигнутая более высокая надежность приносит свои плоды:
ракета не взрывается, не разрушается испытательный
стенд и т. д. Но поскольку мы не можем представить и
непосредственно ощутить то, что не произошло, очень
трудно выявить экономию за счет надежности, а это
часто приводит к выделению недостаточных средств на
работы по повышению надежности.
Таким образом, надежность представляет собой важ-
важную проблему. Возникает вопрос, нельзя ли применить
известные решения и считать эту проблему не пред-
представляющей особого интереса?
К сожалению, панацея от ненадежности отсутствует.
Нельзя ожидать, что надежность какого-либо изделия
будет равна единице, если на нее влияют такие факторы,
как действия оператора, четкость организации системы
передачи информации о надежности, степень понимания
роли надежности и требования, превосходящие суще-
существующие возможности производства. Однако в настоя-
настоящее время, пользуясь имеющимися в нашем распоряже-
распоряжении средствами, уже можно получить решение этой про-
проблемы, хотя бы в первом приближении.
14

Цель предлагаемой книги как раз и состоит в рас-
рассмотрении некоторых существующих методов; выбор же
и применение наиболее эффективных методов для реше-
решения частных задач возлагаются на инженера, занимаю-
занимающегося надежностью, и техническое руководство.
0.1. ПРИЧИНЫ НЕНАДЕЖНОСТИ
Частных случаев проявления ненадежности много,
однако их первопричиной можно считать трудность сов-
совмещения динамической сложности разработки систем с
требованиями срочности выполнения работ и ограничен-
ограниченными возможностями бюджета.
0.1.1. Возможности эксперимента
За последние несколько десятилетни в результате
двух войн наши технические возможности настолько
возросли, что мы сейчас в состоянии создавать такие
сложные системы и отдельные изделия и приборы, какие
раньше существовали лишь в научном воображении.
Например, основные законы движения были известны
в течение нескольких веков, а значит, и имелся матема-
математический аппарат для обеспечения космических путеше-
путешествий; однако только сейчас такое путешествие стало
реальным. Давно имелась возможность оперировать
с двоичными числами, но лишь после изобретения раз-
различных электронных приборов появилась возможность
создать цифровое вычислительное устройство, которое по-
позволило достигнуть огромных успехов при выполнении
сложных и утомительных арифметических вычислений.
Однако то, что является возможным и осуществи-
осуществимым, не обязательно надежно. Приборы и системы недо-
недостаточно совершенны, и в различных условиях они ра-
работают неодинаково. Наши общие сведения о каком-ли-
каком-либо изделии могут оказаться недостаточными, так что
при помещении его в определенную среду, о которой мы
имеем мало сведений, происходят отказы. Другими сло-
словами, мы работаем в пределах наших технологических
знаний. Конечно, при наличии времени мы бы приобре-
приобрели и систематизировали знания так, чтобы положение
изменилось. Этому служит процесс обучения. Характер-
Характерные примеры наблюдаются в ракетных программах,
в ходе разработок которых отказы становятся все менее
частыми. Если бы эта эволюция происходила естествен-
15

ным путем, проблема надежности так бы остро не воз-
возникала. Однако существующая крайняя необходимость
не дает нам возможности уделять достаточно времени
и внимания всем этим вопросам. Эволюционный процесс
вступает в конфликт с «революционной» атмосферой.
Вместо того чтобы использовать время на эксперимен-
экспериментирование, синтез и применение знаний, мы разрабаты-
разрабатываем все новые и новые системы и приборы. Мы исклю-
исключаем возможность повторения некоторых ошибок, но
вместо них обычно появляются другие ошибки за счет
отличия новых систем и условий их эксплуатации. •
0.1.2. Сложность оборудования
Сложность является не только свойством самой фи-
физической системы, но также и процессов, необходимых
для ее создания. Рассмотрим сначала физическую си-
систему- Обратимся к системе, для успешной работы кото-
которой требуется (за некоторыми исключениями, рассма-
рассматриваемыми позже), чтобы все ее подсистемы, составные
части и элементы также работали успешно. Эта взаимо-
взаимозависимость приводит нас к теории вероятностей. Она
в своем простейшем виде утверждает: вероятность ус-
успешной работы системы определяется вероятностью то-
того, что все элементы системы работают успешно.
Математически это может быть сформулировано сле-
следующим образом: вероятность успешной работы систе-
системы, т. е. надежность системы, равна произведению ве-
вероятностей успешной работы каждого ее элемента, т. е.
произведению надежноетей этих элементов, при условии
что они статистически независимы. Это правило, обычно
называемое правилом перемножения *, позволяет сделать
заключение о том, что, чем сложнее система, тем ниже
ее надежность.
Другим проявлением сложности, приводящим к не-
ненадежности, является взаимодействие подсистем. Это
взаимодействие может определяться воздействием окру-
окружающей среды (например, вибрация двигателя вызыва-
вызывает отказы электронного оборудования) или функциональ-
функциональным взаимодействием, когда выходные параметры одно-
одного элемента могут превысить технические условия на
входе сопряженного с ним другого элемента. Последнее
* См. § 9 2. Математический вывод правила перемножения.
16

входит в круг запросов, решаемых при конструировании
системы, и тем не менее может служить причиной нена-
ненадежности. Сложность требует .параллельных разработок.
Мы добиваемся усовершенствований во многих отраслях
сразу и поэтому часто не имеем достаточно сведений о
пределах возможностей отдельных частей и компонен-
компонентов, хотя в то же время знаем, что неправильное пове-
поведение любого компонента может отрицательно повлиять
на поведение так или иначе связанного с ним соседнего.
Таким образом, при создании системы или ее отдель-
отдельных частей -может выявиться столько непредвиденных
обстоятельств и неучтенных взаимосвязей, что конструк-
конструктор в начальном 'проекте не в состоянии всех их охва-
охватить и каким-либо образом учесть. Он сможет сделать
это со временем, но при этом будет вынужден пройти
весь процесс познания, о котором уже упоминалось вы-
выше, с его непременными ошибками и неудачами.
0.1.3. Сложность организации
Кроме физической сложности системы существуют
связанные с ней и не менее важные трудности. Сложная
система требует хорошо организованного руководства,
которое в свою очередь нуждается в эффективной систе-
системе связи. Если собрать вместе все сведения, касающиеся
использования какого-либо типа оборудования во все-
всевозможных условиях его применения, и правильно ин-
интерпретировать, то можно значительно снизить интен-
интенсивность его отказов. Этого можно достигнуть правиль-
правильным его использованием, изменением его отдельных
компонентов и с помощью резервирования. Однако из-за
ограничений нашей системы связи невозможно произво-
производить полный обмен данными. Более того, существует
проблема передачи частной и секретной информации.
Это 'приводит к тому, что мы должны постигать все на
собственном опыте, а не полагаться на чей-то другой.
Не менее серьезной, чем отсутствие информации, являет-
является проблема неправильной интерпретации фактов полу-
получателем, который может находиться вдалеке от места их
происшествия. В результате это приведет к напрасной
трате времени и денег до тех пор, пока естественный
процесс познания не вернет нас в правильное русло
истинного прогресра.
2—1113 17

0.1.4. Ошибка оператора
Рассмотрим очень важный раздел надежности, посвя-
посвященный ошибке человека. Отказы при этом возникают
не из-за непонимания оператором того, что он делает
(при условии, конечно, что он прошел соответствующую
подготовку), а попросту из-за его невнимательности или
забывчивости.
Обычно руководства, учебники и инструкции пред-
предопределяют правильную последовательность операций,
которой необходимо следовать при техническом обслу-
обслуживании и при работе. Тем не менее по мере знакомства
с инструкцией обслуживающий персонал иногда пренеб-
пренебрегает ею, в результате чего обычно пропускается неча-
нечаянно какая-либо операция или нарушается их последова-
последовательность. Кроме того, из-за недостатка времени при
выполнении каких-либо внеплановых работ могут быть
неправильно подключены провода, в машине могут быть
забыты инструменты и т. д. и т. п., что, естественно,
приводит к отказам.
Но хотя вмешательство человека может привести к
отказу, его отсутствие нанесет, вероятно, еще больший
ущерб. Способность человека управлять процессом ра-
работы представляет собой почти незаменимый фактор
с точки зрения принятия решения. Его знания и опыт
позволяют предусмотреть или изменить возможные си-
ситуации и компенсировать ухудшение условий. Однако в
поисках все более высоких скоростей, сокращения вре-
времени ,и оптимальных конечных результатов человек поч-
почти полностью запрограммировал свои действия при рабо-
работе с современными сложными системами. Например, пи-
пилот современного высокоскоростного реактивного само-
самолета является менее абсолютным хозяином положения,
чем был пилот вчерашних значительно менее скоростных
винтовых самолетов. Он не может достаточно быстро
принять решение, так как факторов, которые необходимо
учесть и проанализировать, слишком много и они очень
сложно взаимосвязаны. Поэтому большая часть работы
должна выполняться за него высокоскоростными авто-
автоматическими вычислительными устройствами.
Таковы основные причины ненадежности. Большую
часть отказов можно отнести к общим случаям, рас-
рассмотренным выше. Необходимо особо рассматривать
так называемый внезапный отказ. Внезапный отказ
18

нельзя объяснить как отказ за счет неустановленной
причины, поскольку мы должны осознавать различие
между действительным существованием причины и на-
нашими способностями связать ее с определенным влия-
влиянием на отказ. Если внезапный отказ относится к собы-
событию, которое является случайным во времени, тогда
определение можно считать достоверным.
Тщательный анализ отказов позволит исключить их
причины и уменьшить интенсивность отказов до допу-
допустимых пределов, а их последствия свести к минимуму.
0.2. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ НЕНАДЕЖНОСТИ
Нет оснований 'полагать, что темпы прогресса и
сложность наших систем вдруг начнут снижаться. Это
означает, что факторы, определяющие ненадежность, не
станут менее значительными. Поэтому мы вправе ожи-
ожидать решения некоторых основных вопросов этой про-
проблемы. Таким образом, определенные задачи должны
решаться сразу же по мере их возникновения. Наши
• планы должны предусматривать получение максимума
информацииjia наблюдение и в то же время учитывать
„тот факт, что в ходе выполнения программы разработки
свойства, присущие данной системе, будут подвергаться
г непрерывным изменениям. В настоящее время уже име-
ч ются и развиваются выборочные планы и техника после-
последовательного экспериментирования и производства, ко-
v торые обладают необходимыми динамическими свой-
свойствами. Некоторые из этих методов описываются в дан-
данной книге.
0.2.1. Резервирование
Одно из основных требований надежности состоит
в том, чтобы пытаться создать систему настолько про-
простой, насколько это позволяют тактико-технические тре-
требования. Хотя это правило может показаться очевидным,
ему в действительности не всегда следуют. Мы должны
стремиться согласовывать цели с нашими возможностя-
возможностями; 'причем с точки зрения надежности цели должны
быть немного ниже воображаемых возможностей. В тео-
теории надежности для этого вводится понятие резервиро-
резервирования. Резервирование может принимать различные фор-
2* 19

мы. Одна из них -состоит в выполнении расчетов с боль-
большим запасом. Другой метод заключается в создании
запасных вспомогательных составных частей. Наиболее
простым примером может служить система, для успеш-
успешной работы которой требуется безотказная работа толь-
только одного из ее нескольких элементов. Это означает
следующее: чем больше имеется запасных частей, тем
выше вероятность того, что какой-нибудь элемент, а зна-
значит, и вся система, будет работать безотказно. В теории
надежности эта зависимость является математической
противоположностью правилу перемножения, о котором
говорилось в п. 0.1.2. Повышая надежность за счет ре-
резервирования, мы в то же время усложняем конструк-
конструкцию и увеличиваем ее вес, что в конечном счете ограни-
ограничивает возможности применения этого метода.
0.2.2. Организация производства
Проблема отказов, возникающих 'при взаимодействии
элементов в системе, относится к области организации
производства. При .планировании испытаний и проекти-
проектировании необходимо проявлять такую тщательность, что-
чтобы составные части, будучи удобными в обращении и
эксплуатации по отдельности, могли быть без особого
труда объединены в систему. Если же составные части
разрабатываются слишком разобщенно и не испытыва-
ются в системе, то их конструкция оказывается, как пра-
правило, неприемлемой с точки зрения требований системы.
! С другой стороны, если составные части собираются
в систему на слишком ранней стадии разработки, то
происходит слишком много отказов по неизвестным при-
причинам и в результате испытаний этой системы будет по-
получено ничтожное количество полезных сведений. Стати-
Статистическое экспериментирование поможет получить оценки
функционального влияния и воздействия окружающей
среды на изменение поведения составляющих элементов
как в результате отдельных испытаний элементов, так
и внутри системы в целом.
-После установления пределов изменения параметров
составляющих элементов можно оценить степень пере-
перекрытия их слабых областей и недостатки системы в це-
целом, а затем выбрать удобное время для объединения
элементов в систему.
20

0.2.3. Контроль со стороны руководства и организация
взаимодействия по обмену информацией
Организационная сложность делает контроль необ-
необходимым для эффективной координации, анализа и рас-
распространения технических знаний, формируемых в раз-
различных подгруппах. Вопросы создания и проверки
органов управления, необходимых для достижения опти-
оптимальной организации, входят в компетенцию организа-
организации производства и науки о руководстве. Та часть руко-
руководства, которая занимается одубликованием "данных
о§ отказах, их "предотвращением и различными вопро-~
сами, связанными с исследованием надежности, состав-
составляет "группу надежности. Все, что могло способствовать
отказу или привело к ^ему, должно быть обязательно
учтено. В этом отношении в сложных организациях пло-
хая^связь представляет собой^ основную ои^тстъ;^ио^
этому группа надежносги ,?ама_ должна "решать" этот
вШ]Тбс7ТТри плохой связи могут появиться ^следующие
недостатки: 1) неполный объем информации, т. е. со-
сообщаются не все относящиеся к делу сведения; 2) со-
сообщаются все данные, но не все они попадают к соот-
соответствующим ответственным и компетентным лицам;
3) неправильно истолковываются (интерпретируются)
данные; 4) данные неправильно обрабатываются в пер-
первоисточнике. Наличие любого из этих недостатков или
какого-либо их сочетания может способствовать появ-
появлению отказов и поэтому H^OTcyT^BHj^Heo^^p^ojn^:
стоянно контролировать. Поскольку "получение, переда-
передача, интерпретация данных о надежности, последующие
решения и мероприятия составляют весь спектр дея-
деятельности при разработке системы, очень важно, чтобы
группа надежности была осведомлена обо всем, что ка-
касается полезной информации.
В обязанности ей также вменяется пересмотр, изме-
'. нение и постановка при необходимости новых вопросов,
/требующихся для того, чтобы свести к минимуму труд-
юности .проблемы связи.
г Возьмем частные определения связи, о чем уже
| упоминалось ранее. Можно контролировать полноту
| охвата информации только точным определением типа
! передаваемых данных, а также 'подчеркивая важность
^сообщений о каждом явлении при исследовании события.
Для того чтобы ответственные заинтересованные лица
21

получали информацию, необходимо определить каналы
передачи, частоты и распределение сообщений. Словом,
должен быть обеспечен эффективный и хорошо органи-
организованный сбор и анализ данных и создана система со-
сообщений. Интерпретация данных до некоторой степени
зависит от аналитических возможностей конструкторско-
конструкторского бюро; однако объем информации, 'полученной из на-
наблюдений, а также ее достоверность могут быть значи-
значительно повышены за счет использования эффективных
испытательных средств.
Повышение уровня знаний и использование всякого
рода консультаций позволяют применять при планирова-
планировании испытаний и обработке результатов лучшие методы
научных исследований и статистической методологии
так, что в процессе разработки накапливаются конкрет-
конкретные и реальные сведения.
0.2.4. Конструирование и осведомленность
в вопросах надежности
Контроль ошибок оператора .производится различным
образом. Можно пытаться спроектировать систему так,
чтобы ее сборка, эксплуатация и техническое обслужи-
обслуживание были предельно просты. Это касается области
конструирования и выходит за пределы рассматривае-
рассматриваемых в этой книге вопросов.5 Однако преподавание на-
/ дежности и сообщения об ошибках оператора очень нуж-
нужны, потому что тогда больше ответственности и понима-
понимания будут проявлять все, кто участвует в выполнении
^программ конструирования и производства. В наш век
массового производства и чрезвычайно больших и слож-
сложных программ, средний рабочий может думать, что его
вклад незначителен. Следствием этого является небреж-
небрежность в работе, которая приводит к ошибкам, а иногда
и к отказам. Здесь большую роль должны сыграть спе-
\ циальные кинофильмы, плакаты и лекции о надежности,
в которых показано, как все эти недостатки можно пре-
предотвратить.
Итак, мы (Предложили, как можно изучать, контро-
контролировать или предотвращать ненадежность. Эти общие
методы представляют собой основу для развития мето-
методологии по надежности. Несмотря на то, что теория на-
надежности все еще не является полностью определенным
22

предметом, уже существуют отдельные методы, которые
при правильном использовании могут значительно по-
повысить надежность любой системы и ее составных час-
частей.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Lambert J. S. Air force electronic reliability program. IRE
Trans. Reliability and Quality Control, 1958, v. 14, September,
p. 17—21.
О с h H. G. and T i n u s W. C. Systems engineering for usefulness
and Reliability. IRE Trans. Military Electronics, 1959, v. 3, January,
p. 8—12.
Schlager, Kenneth J. Systems engineering—key to modern
engineering. IRE Trans. Engineering Management, 1956, v. EM-3,
July, p. 64—66
Soucy, Chester LA broad survey of the military electronic
equipment reliability problem and its controlling factors. Proc. 1956
Electronic Components Symposium, Washington, D. C, 1956, May
1—3, p. 8—23.
Sparling, Rebecca H. Testing in the guided missile indus-
industry. ASTM Bull., 1956, v. 218, December, p. 52—56.

РАЗДЕЛ I .
РУКОВОДСТВО,
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА
И ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ
Объем специальных знаний, необходимых для иссле-
исследования отдельных и вместе взятых составных частей
сложной системы, становится не под силу небольшим
организациям. Следовательно, по мере технического
усложнения систем должна также расти и совершенст-
совершенствоваться организация. Это приводит к возникновению
новых проблем. Они не менее сложны, чем многие тех-
технические, с которыми нам приходится встречаться, т. е.
проблемы руководства и эффективности независимых
в организационном смысле групп, отвечающих за от-
отдельное, но функционально связанное оборудование. Это
очень сильно сказывается на работе группы надежности,
поскольку кроме решения научных проблем ей прихо-
приходится уделять внимание техническим вопросам руковод-
руководства. В связи с этим в настоящем разделе рассматрива-
рассматриваются занимаемое положение и эффективность различных
групп надежности в организации, основанные на опыте
работы различных компаний.
Многосторонняя деятельность при выполнении широ-
широкой технической программы должна быть организована
таким образом, чтобы не опустить ни одного относяще-
относящегося к делу вопроса. Надежность как раз является тем
предметом, который стремится учесть все возможные
упущения. В результате возникли методы, которые со-
составляют особый вид деятельности по оценке надежно-
надежности. Они рассматриваются во второй главе этого раз-
раздела.
25

Третья глава посвящена проблеме передачи-данных,
жизненной связи в цепи технических мероприятий. Без
соответствующей информации и без правильной орга-
организации передачи информации наши попытки в какой-то
мере становятся напрасными, особенно когда речь идет
о надежности, где неэффективная связь может привести
к громадным затратам как времени, так и денежных
средств. Поэтому здесь подробно рассматривается систе-
система передачи данных о надежности, которая успешно ис-
используется в довольно крупной организации при созда-
создании очень сложной системы.

ГЛАВА 1
РУКОВОДСТВО И ОРГАНИЗАЦИЯ
1.1. ОТВЕТСТВЕННОСТЬ РУКОВОДСТВА
Руководство несет основную ответственность за все
важнейшие решения и политику, 'проводимые компа-
компанией или предприятием. Правильность решений руко-
руководства отражается на качестве 'произведенной продук-
продукции и на удовлетворении потребителей. Надежность яв-
является качественной характеристикой продукта, такой,
как технические характеристики, тип, удобство в экс-
эксплуатации, экономическая характеристика и тГ д. Одна-
Однако надежность отличается от этих свойств в главном:
она не является очевидным атрибутом, более того — это
самое труднодоступное для понимания качество. Оно
может иметь много различных толкований'и нуждается
в большом числе квалифицирующих определений. Ру-
Руководство, обычно, принимает правильные решения,
большей частью касающиеся других свойств, основы-
основываясь на опыте и их понимании, тогда как надежность
часто остается для него загадкой.
Теория надежности, как предмет, достаточно точно
еще не определена. О ней можно судить, как о 'простой
статистической оценке численного значения надежности,
или рассматривать ее в качестве пособия для руковод-
руководства всей программой разработок. Как мы увидим да-
далее, это и не то и не другое; это ряд методов, создан-
созданных для предотвращения ненадежности и оценки воз-
возможностей исключения необходимости решения предва-
предварительно запланированных проблем.
Теория и практика надежности охватывает настоль-
настолько широкое многообразие видов деятельности, что ее
27

эффективность очень сильно зависит не только от спо-
способностей работников, но также и от занимаемого ими
положения в организации. Группа надежности, состав-
составленная из способных людей, но входящая в отдел пред-
предприятия и находящаяся на положении такого отдела,
который не имеет авторитета или достаточного веса,
•представляет собой непозволительную роскошь. Как это
ни абсурдно, руководство очень часто именно так и по-
поступает с группой надежности. Работники группы на-
надежности должны привлекаться к составлению контрак-
контрактов или предложений. Однако на практике иногда
•определенная часть руководства стремится ограничить
усилия личного состава группы надежности. Это мож-
можно предотвратить, позволив ей занять 'подобающее по-
положение внутри организации. Поскольку вопросы на-
надежности связаны со многими видами деятельности
в процессе выполнения программы разработки и экс-
эксплуатации, одна из главных задач руководства состоит
в установлении наиболее эффективного распределения
обязанностей, а также степени ответственности и власти,
которой будет обладать личный состав группы надежно-
надежности. Таким образом, главной и настоятельной проблемой
является проблема положения группы -надежности
в компании или на предприятии.
Одним из следствий многообразия выполняемых ра-
работ может быть «конфликт ответственностей». Группа
надежности, .как это станет понятным из последующих
разделов, несет ответственность за многие участки ра-
работы, эту ответственность нельзя сразу отделить от от-
ответственности других существующих групп. Даже
в тех случаях, когда имеется двойная ответственность и
они теоретически как бы дополняют друг друга, как
в нашем случае с надежностью, все равно существует
потенциальная проблема руководства. Всегда принятию
непрошенного совета оказывается естественное сопро-
сопротивление, как и произведению замены в уже утвержден-
утвержденной системе. Очень часто в начале работы группы на-
надежности возникают именно оба этих 'положения. На-
Например, естественно, что отдел контроля качества не лю-
любит, когда изменяют или расширяют его систему сбора
данных, так же, как и отдел планирования испытаний,
когда ему напоминают о том, что он не полиостью ис-
использует возможности статистического экспериментиро-

' вания. Исследование надежности — это не просто еще
один отдельный вид работ в дополнение к конструиро-
конструированию, производству, контролю качества, испытанию
; и т. д.; исследование надежности — это дисциплина, ко-
которая входит составной частью во все виды этих работ
и даже угрожает вмешательством.
Финансирование группы надежности составляет
основную дилемму руководства. Правильное отношение
к группе надежности может привести к созданию мето-
методов, обеспечивающих значительную экономию средств;
и как раз здесь 'признание руководства и достижения
группы надежности должны искать основу для взаимно-
взаимного уважения и выгоды. С другой стороны, руководство
сталкивается с конфликтом между достаточно высокой
стоимостью широкой программы исследования надежно-
надежности и последствиями выпуска продукции с неудовлетво-
неудовлетворительной надежностью. Проблема стоимости продукта
для сбыта определенно является одной из наиболее
трудноразрешимых. Во многих случаях 99-процентная
надежность продукта оказывается недостаточной, а по-
повышение ее ведет к увеличению затрат на про-
программу исследования надежности. Кроме того, сущест-
существуют такие очевидные затраты, как заработная плата
инженеров, занимающихся надежностью, и технических
работников. При ограниченном понимании вопросов
«технологии» надежности у руководства, естественно,
может возникнуть вопрос, почему оно должно выплачи-
выплачивать эту заработную плату, когда имеются инженеры-
конструкторы и кадры, обеспечивающие контроль каче-
качества, которые, как полагают, обязаны «заботиться о на-
надежности». Однако основные затраты возникают из необ-
необходимости установить гарантию надежности, а не
средств, расходуемых в виде заработной платы. Повы-
Повышение гарантии требует увеличения числа испытаний,
которые также должны обеспечиваться оборудованием,
средствами и обслуживающим 'персоналом. Затем ре-
результаты этих 'испытаний должны быть определенным
образом организованы и проанализированы, -а это тре-
требует создания и содержания дорогостоящих систем сбо-
сбора и обработки данных. Поэтому руководство рассма-
рассматривает надежность как дорогостоящее излишество,
а ее включение в организацию как добавочное услож-
усложнение. Таковы очевидные возражения, вызывающие не-
29

желание руководства поддержать деятельность группы
надежности.
Руководство вправе задать вопрос: «Если мы долж-
должны платить вышеуказанные суммы за организацию ра-
работ (по исследованию надежности, то что же мы полу-
получаем и стоит ли она этого?». Понятие «организованная
деятельность по исследованию надежности» использует-
используется здесь потому, что любое руководство обычно заяв-
заявляет, что оно производит надежное оборудование. Далее
могут следовать вопросы: «Зачем нам нужна группа на-
надежности? Неужели наши инженеры-конструкторы недо-
недостаточно квалифицированы, инженеры-испытатели недо-
недостаточно компетентны, а технология производства не-
неправильно контролируется?» Ответ будет: «Нет». Техни-
Техника и процессы производства недостаточно одинаковы,
чтобы всегда обеспечивать успех. Если бы это было так,
то не существовало бы необходимости выделять поня-
понятие надежности/
Надежность — это новая методология, одна из мно-
многих, появляющихся в различных областях науки и тех-
техники. Она не является очевидным качеством, к тому же
доказательство ее достоинств не может быть получено
немедленно. Однако достоинства надежности можно про-
продемонстрировать. Примером может служить статистиче-
статистическая модель (§ 12.6.6), с помощью которой мы умень-
уменьшаем объем выборки при определенной 'Программе ис-
испытаний, избегая, лишних расходов, а также -возмож-
-возможной неправильной интерпретации информации. В каче-
качестве другого примера можно взять случай отказа, за-
зафиксированный эффективной системой сообщений об
отказах, которая предотвратит последующие расходы,
вызываемые подобными отказами, и позволит со-
сократить затраты, выделенные на замену разрушен-
разрушенных образцов.
Группа надежности должна убедить руководство
в своей эффективности и в возможности большой эко-
экономии денежных средств и времени. Военное руководство
кроме всех этих факторов рассматривает еще один —
безопасность. Безопасность и надежность настолько
близки друг к другу, что их можно считать чуть ли не
синонимами, и, возможно, по этой причине военные
признали важность надежности. Формой 'признания яв-
являются требования по надежности в технических зада-
30

ниях при заключении контрактов. Это самый верный
способ стимулирования «интереса» к предмету.
Руководство должно поставить группу надежности
в наиболее эффективное положение на предприятии по
отношению к выполняемой программе. Этот вопрос рас-
рассматривается в последующих разделах. Однако наибо-
наиболее убедительным средством признания является раз-
раздельное финансирование соответствующей деятельности
группы надежности. Руководство обязано признать эво-
эволюцию надежности как основного предмета, как одно из
следствий развивающейся техники.
1.2. ПОЛОЖЕНИЕ, ЗАНИМАЕМОЕ ГРУППОЙ НАДЕЖНОСТИ
НА ПРЕДПРИЯТИИ
Каково наиболее эффективное положение группы на-
надежности на предприятии? Ответ на этот вопрос нахо-
находится в прямой зависимости от выполняемой 'програм-
'программы и получен на основе опыта работы во многих орга-
организациях. Рассмотрим в общих чертах преимущества и
недостатки различных положений, занимаемых группой
надежности.
Составим перечень мероприятий, за которые группа
надежности либо несет полную ответственность, либо
принимает в них участие в качестве советчика. В пере-
перечень мероприятий входят:
1) оценка надежности;
2) распределение надежности с точки зрения конст-
конструкции;
3) пересмотр конструкции;
4) контроль конструкции;
5) пересмотр технического задания, материалов и
процессов обработки;
6) контроль поставщика;
7) планирование, проведение и анализ испытаний;
8) накопление запаса сведений о надежности;
9) системы передачи сообщений о надежности и об
отказах;
10) математический и статистический аппарат для
исследования надежности;
11) распространение знаний о надежности;
12) внутренняя координация деятельности по иссле-
исследованию надежности.
31

В 'простейшем случае организацию предприятия
можно представить в виде следующих отделов:
1) руководство;
2) конструирование;
3) испытания;
4) производство;
5) контроль качества;
6) продажа и контракты.
Из этого перечня видно, что деятельность группы на-
надежности касается работы основных отделов предприя-
предприятия. Казалось бы, ответственность за надежность мож-
можно поделить между соответствующими отделами. Одна-
Однако это совершенно невозможно. Во-первых, в настоящее
время надежность представляет собой самостоятельный
предмет со своими методиками, с которыми большин-
большинство инженеров незнакомо. Поэтому надежность тре-
требует постоянного внимания и правильного осмыслива-
осмысливания, чего нельзя достичь в этих условиях. Во-вторых,
при таком подразделении будут ослаблены возможно-
возможности координации функций системы и выяснения техни-
технических подробностей. Передача вопросов надежности
инженерам-конструкторам или специалистам по кон-
контролю качества возвращает нас к первоначальному по-
положению, которое явилось 'причиной возникновения
проблемы надежности.
Итак, лучшие результаты получаются, когда за на-
надежность отвечает отдельная группа. Необходимо ре-
решить, куда поместить ее, учитывая, что она должна
быть независимой и достаточно авторитетной, координи-
координировать или охватывать все вышеуказанные виды дея-
деятельности и быть достаточно эффективной. Рассмотрим
некоторые преимущества и недостатки размещения груп-
группы надежности в одном из отделов предприятия.
Когда группа надежности выполняет руководящую
роль, она обладает достаточным авторитетом для того,
чтобы требовать действий, направленных на утвержде-
утверждение надежности, но не обладает способностью оценки
стоимости предпринятого действия. Само руководство
тоже недостаточно обеспечено, чтобы решать техниче-
, ские и более мелкие .вопросы, которых должна касаться
группа надежности. Нагромождение этих обстоя-
обстоятельств приводит к ненадежности. Таким образом, хотя
и существует настоятельная необходимость в том, чтобы
32

руководство ближе вникало в деятельность группы на-
надежности, оно недостаточно близко к непосредственным
рабочим проблемам.
Когда группа надежности входит в состав конструк-
конструкторского отдела, ее преимущество состоит в -непосред-
-непосредственном контакте с инженерами-конструкторами и раз-
разработчиками, которые раньше всех принимают на себя
ответственность за обеспечение высокой надежности си-
системы. Однако эти взаимоотношения становятся недо-
недостатком, когда группа надежности перестает быть неза-
независимой в своих критических суждениях. Другим недо-
недостатком может оказаться ее неэффективность из-за не-
неправильного отношения к группе надежности руковод-
руководства конструкторским отделом, которое по каким-либо
причинам незнакомо или несогласно с методологией
группы. К тому же при вступлении программы разра-
разработок в фазу 'производства иногда нарушается его не-
непрерывность, что невозможно правильно проконтроли-
проконтролировать группой надежности, являющейся частью кон-
конструкторского отдела.
Довольно часто группа надежности размещается
вместе с группой контроля качества, так как некоторые
считают, что возможности последней могут удовлетво-
удовлетворить 'потребности группы надежности. Это не совсем пра-
правильно. Организация сообщения данных, контроль по-
поставщика, статистическое обслуживание и ,некоторые
другие функции выполняются группой контроля каче-
качества; но пересмотр конструкции, планирование испыта-
испытаний и т. д. не входят в обязанности этой группы. Груп-
Группа контроля качества играет слишком 'пассивную pojib.
Наиболее же важным вкладом группы надежности яв-
является усовершенствование конструкций и улучшение
условий эксплуатации с целью повышения уровня на-
надежности. Контроль качества, напротив, большей частью
связан с поддержанием существующего уровня. Одна-
Однако он составляет существенную часть надежности.
Итак, результаты работы группы надежности, пред-
представляющей собой подгруппу одного из существующих
отделов предприятия, либо будут неточными из-за не-
неполного охвата всех видов деятельности, либо, если
группа попытается все охватить, это вызовет конфликты
между различными отделами, что опять же скажется на
результатах.
3—1113 33

1.3. НЕЗАВИСИМАЯ ГРУППА НАДЕЖНОСТИ
Из изложенного выше следует, что группа надежно-
надежности в идеальном случае должна быть организационно
независима от всех других главных групп, но при этом
руководство должно гарантировать тесное взаимодей-
взаимодействие с каждой из них. Тогда группа надежности смо-
сможет работать весьма эффективно и достаточно подробно
рассматривать все технические аспекты своей работы.
Поскольку руководитель группы должен будет доклады-
докладывать высшему руководству о своей работе, нельзя пре-
пренебречь его авторитетом. Эффективность группы будет
также зависеть от способностей ее личного состава, в ко-
который должны «входить как инженеры, так и технические
специалисты. Ввиду того, что группе самостоятельно при-
придется участвовать во всей многообразной деятельности
предприятия (от пересмотра проекта до сообщений об
отказах при полевых испытаниях), для организации об-
обширного и тесного взаимодействия потребуется хоро-
хорошая координация. Координация и объединение много-
многосторонней деятельности будут зависеть от рода работ,
возложенных на группу надежности, от размеров груп-
группы, от способностей ее личного состава. Например, член
группы надежности, 'пересмотрев план испытаний или
программы наблюдений, может обнаружить целесооб-
целесообразность статистического планирования испытаний. Ес-
Если он не способен сам спроектировать испытания, он
должен иметь достаточный авторитет, чтобы приказать
группе статистического обслуживания, контроля качества
или кому-нибудь другому составить приемлемый план.
Таким образом, если группа надежности достаточно
велика и самостоятельна, чтобы выполнять всю требую-
требующуюся работу, или же мала, но, уподобляясь руковод-
руководству, распределяет, направляет и координирует свою
особую деятельность в других технических группах, чле-
членам ее необходимо иметь большой опыт и высокое об-
образование. Обладая этими качествами, группа должна
нести полную ответственность за деятельность пред-
предприятия по программе исследования и оценки надежно-
надежности.
1.4. СПОСОБНОСТИ ЛИЧНОГО СОСТАВА
Группа надежности должна состоять из людей, хо-
хорошо подготовленных в следующих областях знаний:
1) проектировании систем и исследовании операций;
34

2) деталях машин;
3) составлении ,и пересмотре технических заданий и
материалов;
4) организации производственных операций и кон-
контроля качества;
5) планировании и проведении испытаний;
6) проектировании и анализе статистических экспе-
экспериментов;
7) сборе данных, оценке, анализе и доводке;
• 8) руководстве проектом и координации работ;
9) математической статистике, теории вероятностей.
Более подробное описание 'приложения этих знаний
помещается в следующих главах.
1.5. ФИНАНСИРОВАНИЕ ГРУППЫ НАДЕЖНОСТИ
Надежность — это внутреннее свойство, которое раз-
развивается по мере разработки системы. Можно, следова-
следовательно, доказать, что фонды надежности входят в стои-
стоимость разработок всей программы. Однако наиболее
эффективным способом поддержки группы надежности
явится отдельный бюджет, потому что только тогда она
приобретает необходимую ей самостоятельность. Кроме
заработной платы и вспомогательных средств нужно вы-
выделить определенные фонды на технические нужды, что
позволит группе надежности проводить независимые
испытания специально для исследования надежности.
Независимая и высокопроизводительная группа на-
надежности, выполняющая все перечисленные виды дея-
деятельности, является наиболее эффективной и может быть
создана руководством для борьбы с ненадежностью.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
'Be a'ton G N. Putting the r and d reliability dollar to work.
Proc. 5 th National Symposium, IiRiE Reliability and Control in Elec-
Electronics, January 12—14, 1959, p. 65—72.
Cohen J. and Okun A. M. Organizing for reliability. IRE
Trans. Reliability and Quality Control, 1957, PGRQC-9, January,
p. 1—8.
Good e, Harry H. The analogy between the problems of sys-
systems engineering and management. Chem. Eng. Progress, 1959, v. 55,
January, p 48—50.
Kuehn R. E. Organizing for reliability. Proc. 3rd National Sym-
Symposium on Reliability and Quality Control in Electronics (IRE),
Washington, 1957, D. C. January 14—16, p. 123—125.
3* 35

ГЛАВА 2
ЗАДАЧИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ
И ВЫПОЛНЕНИИ ПРОГРАММЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАДЕЖНОСТИ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе более детально рассмотрен перечень
мероприятий по выполнению программы надежности и
выяснены .проблемы, с которыми нам придется встре-
встретиться при составлении такой программы.
Деятельность группы надежности можно подразде-
подразделить на два вида: 1) направленная на повышение на-
надежности продукта и 2) используемая при определении
надежности и ее оценке как скрытой характеристики
продукта. Последнее не менее существенно, чем преды-
предыдущее, 'поскольку без количественной меры, которой из-
измеряется эффект производственной деятельности, не мо-
может существовать объективного пути к познанию эффек-
эффективности ее применения.
2.2. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
Надежность прибора является его качеством, кото-
которое, однако, не может измеряться непосредственно.
В действительности, за исключением нескольких рас-
рассматриваемых ниже тривиальных случаев, она не может
быть измерена вовсе. Мы ограничиваемся лишь ее оцен-
оценкой. Надежность определяется как вероятность успеш-
успешной работы прибора в том режиме и при тех условиях,
которые определяет потребитель.
2.3. НАДЕЖНОСТЬ КАК ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПОНЯТИЕ
Вероятностный смысл надежности очевиден. Для на-
нахождения вероятностей необходимо применять теорию
статистических оценок во всех случаях, за исключением
36

таких, когда имеется полная совокупность. Например,
в 1957 г. надежность стартовых ракетных ускорителей
самолетов была равна 99,9%. Эта цифра представляет
собой 'просто отношение всех успешных запусков ко всем
предпринятым попыткам. В этом утверждении не де-
делается попытка предсказать, что может случиться
в 1959 г. или, если бы в 1957 г. была использована толь-
только половина ракет, какова была бы надежность осталь-
остальных. Вероятность вводится тогда, когда мы пытаемся
делать утверждение о совокупности, основываясь на
наблюдениях, полученных 'при одной выборке, или по
части совокупности, или когда мы пытаемся предсказать
заранее исход событий.
Когда мы делаем предсказания, статистическая тео-
теория позволяет связывать степени достоверности с лю-
любой оценкой надежности, которую мы можем задать.
Так, мы можем быть на 50% уверены, что истинная на-
надежность будет выше или в пределах определенных вы-
выбранных значений. С другой стороны, мы можем поже-
пожелать быть более точными в 'предсказании, т. е. уверен-
уверенными на 90% или на 99% и более. Мы никогда не мо-
можем быть уверенными на 100%, за исключением тех
случаев (подобно указанным выше тривиальным слу-
случаям), когда имеем полные данные о нашем изделии.
В этом случае мы просто измеряем надежность, а не
предсказываем ее. Однако чем большую достоверность
мы желаем получить при наших прогнозах, при неизмен-
неизменном объеме исследуемой выборки, тем более осторож-
осторожными должны быть наши предсказания. Это означает,
что доверительные «пределы надежности» в наших пред-
предсказаниях должны быть уже или шире. Или, наоборот,
если мы желаем остаться выше или внутри этих зара-
заранее заданных пределов, как, например, при подтверж-
подтверждении контрактного значения, то должны быть подготов-
подготовлены к тому, чтобы произвести большую выборку. Для
иллюстрации этих положений рассмотрим следующий
числовой пример *.
Предположим, что мы испытали 50 изделий и при
этом имели два отказа. Что можно сказать о надежно-
надежности этого образца? Одна оценка будет составлять 96%,
* В примере приводятся цифры, получеиные из рис. П.З и П.5
(см. приложение, табл. П.1—П.9, рис. П.1—Ш1).
37

другая 90%, третья. 84%. Любому читателю, незнакомо-
незнакомому со статистикой, наличие трех различных значений
надежности (в действительности же существует бес-
бесчисленное множество значений), оцениваемых по на-
нашим наблюдениям, может показаться странным. Однако
ничего странного здесь нет. Требуется только знать ос-
основные пра-вила и понимать, что представляют собой
эти оценки. Первая величина (96%)—это просто от-
отношение успехов к общему числу испытаний. Второе и
третье значения надежности являются доверительными
границами, т. е. нижними границами истинной надеж-
надежности. Во втором случае мы 'на 90% уверены, что истин-
истинная надежность выше 90%. В третьем случае мы на 99%
уверены, что истинная надежность больше 84%.
Как мы уже указывали, чем выше доверие, тем осто-
осторожнее становятся наши утверждения. Первая величи-
величина (96%)—точечная оценка надежности, а это озна-
означает, что она не может иметь связанного с ней довери-
доверительного уровня. Она могла бы представлять собой
истинную надежность, если бы, например, 50 изделий со-
составляли полное количество произведенных изделий
такого вида и за все время из них отказали бы только
два. Но если мы предположим, что это наблюдение ока-
оказалось только выборкой возможно из тысячи подобных
изделий, мы можем задаться вопросом: «Что же непра-
неправильного в нашей точечной оценке? Почему бы нам всегда
ею не пользоваться?» Ничего неправильного в точечной
оценке нет, однако она не является достаточно показа-
показательной. Точечная оценка одинакова при одном отказе
в 25 испытаниях или при двадцати отказах в 500 испы-
испытаниях, т. е. обе группы цифр дают оценку в 96%. Оче-
Очевидно все-таки, что у нас больше уверенности в утверж-
утверждении, сделанном по результатам 500, а не 25 или 50
наблюдений. Статистическая теория обеспечивает нас
этой уверенностью <в количественной форме. Тогда при
двадцати отказах в 500 испытаниях мы можем утверж-
утверждать с уверенностью в 90%, что истинная надежность
больше, чем 95%, а при одном отказе в 25 испытаниях
и с той же уверенностью в 90% мы можем утвер-
утверждать, что истинная надежность больше, чем только
85%.
Оценка надежности допускает большое число стати-
статистических вариантов. Ни одна из приведенных цифр не
38

является несостоятельной, но из этих простых упраж-
упражнений становится очевидным, что, когда мы выбираем,
оцениваем или каким-либо образом приводим численные
значения надежности, мы должны хорошо осознать как
их статистический смысл, так и их практическое прило-
приложение с точки зрения количества и стоимости испыта-
испытаний.
2.4. НАДЕЖНОСТЬ КАК ФУНКЦИЯ КРИТЕРИЯ УСПЕХА
В нашем определении надежности приведены слова
«успешная работа». Что же под этим подразумевается?
Если мы имеем часть оборудования, которая в течение
заданного промежутка времени безотказно работает, и
если это время не равно времени работы, заданному за-
заказчиком,'то является ли это испытание успехом? Это
не отказ. А если это успех, то полный ли? Если нет, то
не нужен ли некоторый связанный с ним весовой коэф-
коэффициент для подстановки в формулу надежности? На-
Например, какова будет степень успеха при часовой рабо-
работе вычислительного устройства, которое должно рабо-
работать в течение только двух минут? Или какова вероят-
вероятность успеха для ракетного двигателя, который при ис-
испытаниях безотказно работаете течение20 сек, а в усло-
условиях эксплуатации он должен работать в течение 2 мин?
Какова вероятность успеха в тех случаях, когда при
проведении испытаний мы не можем полностью модели-
моделировать влияние окружающей среды, которая будет
оказывать воздействие на изделие в реальных усло-
условиях?
Критерий успеха и его конечное использование мы
можем рассмотреть на примерах. Ракетный двигатель,
сообщающий ракете даже 99% общего импульса, необ-
необходимого для выведения спутника на орбиту, приводит
к «полному отказу. Или ракетный двигатель, сообщаю-
сообщающий 99% общего импульса тяги, необходимого для до-
доставки боевой части к месту назначения, может разру-
разрушить цель на 50%. Мы видим, что существует необхо-
необходимость четко определить понятие «успешной работы»,
т. е. следует проявлять осторожность 'при выборе основ-
основных правил для успеха и отказа при любом испытании
и связывать их с различными режимами работы. Одна-
Однако тут нет причины отказываться от установления не-
39

скольких критериев для оценки данных в зависимости
от различных конечных требований. Например, можно
оценить вероятность взлета ракеты без преждевремен-
преждевременного взрыва. Второй оценкой может служить вероят-
вероятность 'поражения цели. Каждая из этих цифр важна, но
не менее важно знать, о какой (цифре идет речь. Это не
понятно до тех пор, пока не станут известными основ-
основные критерии.
2.5. НЕПРЕДСТАВИТЕЛЬНЫЕ ОБРАЗЫ И ИСПЫТАНИЯ
Следующей отличительной чертой оценки надежно-
надежности является интерпретация результатов испытаний не-
непредставительных (нерепрезентативных) изделий. В про-
процессе выполнения программы разработок всегда проис-
происходит изменение изделий (или их образов) и, тем не ме-
менее, мы обязаны оценить, насколько хорош «аш про-
продукт и как быстро он совершенствуется. Таким образом,
нам следует обсудить использование результатов испы-
испытаний систем 'и предварительных сборок, в которых име-
имеются элементы, нехарактерные для окончательного ва-
варианта. Аналогичным образом определяют, какую вы-
выгоду можно извлечь из испытаний отдельных элементов
и как связаны результаты частных испытаний с резуль-
результатами испытаний полноразмерных образцов.
Кроме того, мы должны рассмотреть возможность
использования данных, полученных при испытаниях, спе-
специально проводимых до отказа или с отказами за счет
ошибок обслуживающего персонала или неисправностей
в средствах испытаний.
Таковы некоторые основные проблемы оценки на-
надежности. Совершенно очевидно, что большое внимание
необходимо уделять выбору соответствующих данных,
правильному толкованию результатов и применению
наиболее подходящих статистических методов оценки
надежности. На многие вопросы можно ответить, поль-
пользуясь статистическими методами, или тщательно контро-
контролируя информацию о надежности на основании здравого
смысла, или принимая произвольные решения. Однако
любой ответ должен' соответствовать определенным ус-
условиям. В связи с этим в частных примерах III раздела
книги обсуждению этих проблем уделяется большое вни-
внимание.
40

2.6. ПРИМЕНЕНИЕ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
ПРИ ЗАКЛЮЧЕНИИ КОНТРАКТОВ
Можно видеть, что наибольшие трудности при оценке
надежности возникают не при ее определении, а при
выборе критериев и статистических методов оценки.
Поэтому, когда надежность -выступает в качестве требо-
требования при заключении контракта, значение различных
критериев резко повышается.
. Можно считать, что оценка надежности используется
двояко. Во-первых, она используется как относительная
мера и, применяя ее в ходе выполнения программы раз-
разработки, мы можем измерять рост надежности, т. е. она
служит в качестве меры увеличения -при последователь-
последовательном применении определенного критерия. Например,
нам -интересно было бы знать, что надежность за -прош-
-прошлый месяц возросла на 5% 'по сравнению с .предыду-
.предыдущим месяцем, когда она равнялась 3%. Во-вторых,
оценка надежности используется как абсолютная мера.
Мы можем пользоваться тем же критерием для оценки
абсолютной величины надежности, но эта величина аб-
абсолютна только в пределах допущений этого критерия.
Следовательно, если критерий неправильный, то и абсо-
абсолютная величина не достоверна. В случае относитель-
, ной меры при наличии неточности критерия метод мож-
можно рассматривать как первое приближение. Однако удо-
удовлетворение контрактного требования к надежности
должно подтверждаться абсолютной оценкой, 'поэтому
основные правила и статистический метод оценки долж-
должны быть полностью и тщательно определены.
Статистические методы служат повышению точности
определения надежности, но надо также осознавать их
возможности. Прежде всего, оценка не может быть
точнее, чем данные, на которых она основывается. Кро-
Кроме того, если изделие действительно лишено надежно-
надежности, то никакая статистическая обработка не изменит
этого. Например, если надежность прибора равна 90%,
никакое количество испытаний не докажет, что она рав-
равна 95%. При любом статистическом выборочном методе
существуют определенные вероятности наблюдения
надежности, равной 95% или более или какой-либо дру-
другой заданной величине.
На первый взгляд, "кажется странным, что в то вре-
время, как мы никогда не можем быть уверены на 100%.
41

в способности подтвердить определенную надежность,
мы иногда на 100% гарантируем неспособность ее под-
подтвердить. Это может иметь большое значение. Напри-
Например, очень важно сознавать, что при наличии выборки
в 20 изделий при доверительном уровне в 90% невоз-
невозможно продемонстрировать минимальную надежность,
равную 95% (см. рис. П.З). Лучший результат, который
возможен при этой выборке, даже при всех успешных
испытаниях, при доверительной границе в 90%,—это ми-
минимальная надежность, превышающая 89%. Если бы мы
были совершенно несведущими в статистике, мы мо-
могли бы согласиться по контракту сделать невозможное.
Такое положение иногда ставит людей, незнакомых со
статистикой, в неудобное положение. Однако этого мож-
можно избежать, если мы будем рассматривать статистику
как средство для оценки вероятностей статистического
подтверждения (при наблюдении) такого события, как
k успехов при п испытаниях. Можно вычислить -вероят-
-вероятности наблюдения этого события для различных гипоте-
гипотетических значений истинной надежности. Технические
возможности создают истинную величину надежности
прибора; наши же статистические методы позволяют
только оценивать эту присущую ему характеристику.
Чем выше возможное значение надежности, тем боль-
больше, конечно, вероятность удовлетворения требований или
тем меньше риск их неудовлетворения. Эти вероятности,
вычисляемые статистическими методами, в терминоло-
терминологии контроля качества называются оперативными ха-
характеристиками. Можно только выдвинуть гипотезу, вы-
вычислить и предсказать вероятности удовлетворения до-
договорных требований. Действительная вероятность удо-
удовлетворения этих требований соответствует нашим ин-
инженерным возможностям и тому, как они обеспечены и
организованы.
2.7. ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
НАДЕЖНОСТИ
Одной из задач надежности является нахождение
наиболее эффективного способа привлечения к ней вни-
внимания независимо от того, упоминается ли она в дого-
договоре или нет. Наиболее важной задачей является дости-
достижение максимального уровня надежности агрегата или
системы, за которые несет ответственность организация.
42

Это о^ачает, что если организация представляет собой
службу войск, то основное внимание необходимо уде-
уделять надежности всей системы вооружения. Если же
мы имеем дело с небольшим 'предприятием, то это мо-
может быть просто надежность миниатюрного вычисли-
вычислительного устройства.
На следующем этапе необходимо узнать, какие тре-
требования предъявляет надежность системы к подсисте-
подсистемам и составным частям.
Эти требования также необходимо увязать с возмож-
возможностью их удовлетворения, для чего следует одновремен-
одновременно пересмотреть взаимозависимость составных частей
системы с точки зрения надежности, их действительную
и потенциальную или ожидаемую надежность, а также
объем и правильность планируемой программы разра-
разработок. Методами для выполнения этого исследования
являются распределение надежности, пересмотр конст-
конструкции с точки зрения надежности, обзор существующих
сведений по надежности, обзор вопросов испытаний и
экспериментирования. По ходу выполнения программы
разработки эти задачи постоянно переоцениваются, и,
кроме того, осуществляется деятельность, необходимая
для повышения эффективности выполнения программы.
Последнюю составляют: контроль производства, кон-
контроль при продаже, сообщение данных по надежности
и соответствующий контроль, координация деятельности
по оценке надежности и информация, анализ надежно-
надежности и обучение. Ниже приводится более подробное опи-
описание этих вопросов.
2.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ
Понятие распределения требований к надежности
подразумевает процесс .подразделения задачи исследо-
исследования надежности системы на задачи исследования на-
надежности подсистем и составных частей] Математически
этот вопрос освещается в гл. 9 и приложении П.9; мы
же допустим, что нам достаточно иметь только пред-
представление об этом, чтобы рассмотреть его приложения.
Это распределение означает проверку согласования тре-
требований по надежности, установленных для каждой под-
подсистемы, с текущим состоянием разработки, предпола-
предполагаемыми усовершенствованиями, объемом испытаний и
денежными средствами, отпущенными на разработку.
43

После объединения требований к надежности Состав-
Составных частей взаимозависимость их надежностей долж-
должна быть в состоянии удовлетворить требования к на-
надежности системы в целом. Распределение играет огром-
огромную роль на первом этапе разделения системы на ее
основные подсистемы. Часто требуется производить рас-
распределение требований к надежности именно на этом
этапе, поскольку каждая из основных подсистем обыч-
обычно создается различными предприятиями. Кроме того,
желательно в каждый договор вносить требования в ви-
виде численных значений надежности. Такое положение
может создаться, например, при производстве системы
вооружения МКБР (межконтинентальной баллистиче-
баллистической ракеты). Вся система должна иметь определенную
надежность, которая согласовывается с требованиями
к разработчикам надежности силовых установок, систе-
системы управления и т. д. Далее может производиться деле-
деление и этих подсистем на основные составные части, к ко-
которым также предъявляются требования по надежности.
Если система силовой установки состоит из нескольких
ракетных двигателей, то мы можем предъявить требова-
требования к каждому двигателю в отдельности и аналогичным
образом поступать с другими системами.
Распределение требований к надежности приобретает
огромное значение, если возникает потребность в под-
подтверждении этих чисел (или числовых эквивалентов).
Одно дело, решая задачи оценки назначений подсисте-
подсистемы, показать важность этой подсистемы или опреде-
определить объем необходимых работ, и совершенно другое
дело, когда речь идет о выполнении договора. Причина
заключается в том, что распределение имеет свои огра-
ограничения. Как это часто бывает на практике, математи-
математические выкладки основываются на допущениях о ста-
статистической независимости и на виде математической
модели, описывающей взаимосвязь между составными
частями и системой. На более поздних этапах сборки не-
независимость и модель могут оказаться очевидными;
а на первых этапах модель может быть <и не определена
и необходимость допущения о статистической независи-
независимости может отсутствовать. При распределении наличие
независимости не обязательно, хотя в этом случае ма-
математически задача значительно усложняется. Можно
видеть, что эти доводы применимы, только лишь когда
44

мы имеем дело с числовыми значениями надежности^
полученными при отдельных испытаниях составных ча-
частей или подсистем. Когда же речь вдет об испытаниях
подсистем как части испытаний системы в целом, мате-
математические и статистические взаимосвязи учитываются
автоматически и всякие прерогативы отсутствуют. На-
Например, совершенно справедливо (хотя, может быть, и
не всегда осуществимо) требовать, чтобы воспламени-
воспламенитель при испытаниях ракетного двигателя показывал
99,9%-ную надежность, где величина 99,9% 'получена
в результате распределения требований к надежности
полностью снаряженного двигателя. С другой стороны,
нет оснований утверждать, что мы подтверждаем эту
надежность во время испытаний воспламенителя, кото-
которые проводятся независимо от двигателя. Причиной это-
этого в нашем примере является отсутствие сведений о сте-
степени «взаимодействия» между воспламенителем и то-
топливом. Обычно мы пытаемся установить пределы взаи-
взаимодействия с помощью технических заданий, которые,
однако, не всегда достаточно точно определяют систе-
систему. Это замечание всегда относится к тем системам,
которые^обладают сильной внутренней взаимозависи-
взаимозависимостью (например, рш^дые^^^
к^ Обычно электронное оборудование обладает
"слабой взаимозависимостью, а жидкостные ракетные
двигатели представляют собой нечто среднее.
Физическое строение системы также играет важную
роль при определении того, насколько подробно мы
должны подразделять систему. Электронное оборудова-
оборудование, к примеру, часто состоит из многих повторяющих-
повторяющихся элементов, таких, как одинаковые лампы и печатные
схемы. К тому же функциональные влияния и воздей-
воздействие окружающей среды обычно не велики. Следова-
Следовательно, в этих условиях имеет смысл оцени-
оценивать или подтверждать надежность элемента, так как
в процессе оценки одного элемента мы получаем ин-
информацию, относящуюся ко всем другим элементам
этого типа. Совсем другое дело — пример с жидкостным
ракетным двигателем. Здесь имеется большое число со-
совершенно различных составных элементов, которые к то-
тому же испытывают воздействие высокой температуры и
вибраций, возникающих при работе системы. Даже если
бы мы могли установить задачи тю исследованию на-
45

дежности составных элементов, трудность подтвержде-
подтверждения заданного высокого значения надежности каждого
отдельного элемента >и моделирования воздействия окру-
окружающей среды делают эту задачу практически неосуще-
неосуществимой. Как же можно пользоваться методами распре-
распределения, учитывая эти соображения?
Мы видели, что «при определенных обстоятельствах
можно установить конечные уровни надежности подси-
подсистем или элементов, которые могут быть подтверждены
с помощью достоверных результатов испытаний. Когда
же эти уровни нельзя подтвердить с достаточным обо-
обоснованием либо из-за несоответствия условий испытаний
реальным, либо из-за недостатка испытываемых образ-
образцов, эти отдельные значения все равно оказываются по-
полезными, характеризуя относительное состояние разра-
разработок различных составных элементов. Последнее осу-
осуществляется путем сравнения относительной величины
интенсивности отказов или неисправностей (в процен-
процентах) с интенсивностью отказов или неисправностей, по-
полученных при распределении требований к надежности
(где мы статистически преобразовали конечные значе-
значения надежности в соответствующую меру отказов).
Кроме того, следует сравнить интенсивности отказов
любого одного элемента в различных окружающих
условиях. Распределение требований к надежности за-
заставляет нас тщательно составлять расписания испыта-
испытаний на различных этапах для того, чтобы определить
степень достоверности и объем информации, которые
мы можем получить в процессе их проведения. Следова-
Следовательно, станет ясно, достаточно ли правильно мы орга-
организовали и финансировали наш план испытаний, и если
нет, то как мы должны изменить этот план в связи со
всем сказанным выше и в п. 12.6.1.
2.9. ПЕРЕСМОТР КОНСТРУКЦИИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ
На начальной стадии, когда группе надежности тре-
требуется составить представление о системе, она должна
просмотреть предложенную конструкцию с точки зре-
зрения надежности ее основных узлов и элементов. Для
того чтобы это сделать, необходимо исследовать раз-
различные типы узлов с целью определения их достоинств
с точки зрения эксплуатационных качеств, веса, надеж-
46

ности, стоимости и т. д. Например, можно сравнивать
системы насосной подачи топлива с вытеснительными
системами подачи топлива, турбогенераторные источни-
источники питания с химическими источниками электрической
энергии, жидкостные ракетные двигатели с ракетными
двигателями на твердом топливе, сменный блок одного
типа с блоком другого типа, одного изготовителя вычи-
вычислительных устройств с другим. С помощью такого
сравнения мы проводим предварительное исследование,
чтобы получить приближенную оценку предполагаемой
надежности системы.
Затем структура обсуждаемой системы пересматри-
пересматривается более подробно. Проведение аналитических ис-
исследований позволит судить об использовании понятия
резервирования. Это понятие включает использование
деталей с измененными выходными характеристиками,
установление коэффициентов безопасности в критиче-
критических случаях и там, где это возможно, наличие парал-
параллельных систем. Мы также обеспечиваем достаточную
гибкость конструкций, чтобы она допускала последую-
последующие модификации, и пригодность этих модифицирован-
модифицированных конструкций и запасных деталей для замены в слу-
случае возникновения трудностей в ходе выполнения про-
программы. При использовании совершенно >новых кон-
конструкций следует убедиться в том, что о>ни значительно
лучше, чем стандартные или готовые изделия, для этого
требуется сравнить новую конструкцию с приблизитель-
приблизительно такими же конструкциями, об отказах которых у нас
накоплен опыт. Мы пересматриваем новую конструкцию
для того, чтобы отметить, какие виды отказов были
исключены за счет изменения или исключения отдель-
отдельных ее частей. Нельзя забывать об оценке (при анализе
и обсуждении конструкции) возможных видов отказов
за счет появления любых новых конструкций. Что-
Чтобы удостовериться в учете требований легкости и
простоты технического обслуживания, группа надежно-
надежности должна потребовать осуществления координации
работ со стороны инженеров-консультантов по эксплу-
эксплуатации.
Пересмотр конструкции с точки зрения надеж-
надежности— деятельность очень важная, но она ни в коей
мере не является дублированием работы конструктора.
Конструктор стремится ориентироваться на новые кон-
47

струщии и формы и не задумывается о «вероятности».
Как мы уже указывали во введении, не всякая осущест-
осуществимая конструкция обязательно надежна.
Стремление конструктора получить наилучшие тех-
технические характеристики вполне естественно; однако
если им руководит стремление к изменениям и сказы-
сказывается недостаток опыта или отсутствие возможностей
учиться, то сначала появляются дорогостоящие отказы,
которые не всегда можно себе позволить. Оптималь-
Оптимальность характеристик очень часто связана .с низкой
надежностью. Следовательно, необходимо с помощью
определенных методов оценить тактико-технические тре-
требования независимо от самого конструктора. Только та-
таким путем мы сможем получить наиболее эффективную
систему.
2.9.1. Примерный перечень вопросов для пересмотра
конструкции с точки зрения надежности
1. Является ли данная деталь стандартным изделием
или она разрабатывалась специально для выполнения
определенного назначения?
2. Одну или более функций выполняет это изделие?
3. Сколько в нем содержится критических частей и
характеристик?
4. Можно ли использовать вместо него существую-
существующее стандартное изделие? Если нет, то почему?
5. Нельзя ли соответствующим образом изменить
стандартное изделие для этой цели? Как могут эти из-
изменения повлиять на его тактико-технические характе-
характеристики и работу?
6. Должно ли это изделие использоваться на пределе
его прочности или технических возможностей?
7. Если это стандартное изделие, то используется ли
оно в уже изученных условиях и при номинальных ре-
режимах работы? Каковы допустимые пределы изменения
тактико-технических характеристик и в каких окру-
окружающих условиях изделие может нормально ра-
работать?
8. Какие проблемы возникали 'при использовании
подобных или иеполпоразмерных конструкций? Есть ли
основания полагать, что эти проблемы возникнут и при
/использовании данной -конструкции? Что может быть
сделано для их исключения?
48

9. Какими -были предшествующие тишы отказов?
' Какие ожидаются новые типы отказов? Почему они раз-
различаются?
10. Какова история отказов этого изделия? Являет-
Является ли оно критическим изделием, т. е. приведет ли его
отказ к отказу системы?
11. Какие шаги надо предпринять при применении
этого изделия или лри проектировании системы, чтобы
исключить эти типы отказов?
12. Что нужно сделать, чтобы не допустить возник-
возникновения новых типов отказов?
13. Каково' ожидаемюе или оцениваемое численное
значение надежности изделия?
14. Достаточно ли это для того, чтобы удовлетворить
требованиям распределенной надежности?
15. Есть ли возможность ввести понятие резервиро-
резервирования и использовать изделие 'при ограниченных значе-
значениях характеристик?
16. Является ли это изделие полностью взаимозаме-
взаимозаменяемым подобным изделием, получаемым от другого из-
изготовителя? Если нет, то чем юно отличается с точки
зрения отказов?
17. Что известно о сроке хранения, о заданной нара-
наработке или циклах, т. е. сколько времени или циклов ра-
рабочего или нерабочего состояния может накопиться без
значительного уменьшения надежности или вообще не
окажет влияния на надежность?
18. Установить методы проверки и испытаний для
видов отказов, указанных в п. 9.
19. Если изделие представляет собой впервые соз-
созданную конструкцию, то каковы ее критические недо-
недостатки? Как обеспечивается возможность внесения из-
изменений на наиболее ранних этапах, когда эти или дру-
другие недостатки проявятся во время испытаний?
20. Достигнута ли максимальная простота при кон-
конструировании? Учтена ли возможность предотвращения
ошибок оператора, таких, как неправильное включение
(смена полюсов), неправильная сборка и т. д.?
21. Согласовано ли оно физически и функционально
с сопряженными изделиями, т. е. возможен ли уход ха-
характеристик изделия за пределы допусков его «соседей»,
согласованы ли их допуски и посадки? Повлияет ли
4—1113 49

установка (монтаж) изделия на его характеристики или
надежность?
22. Учтены ли физические признаки, которые могут
неблагоприятно повлиять на технические характеристи-
характеристики или надежность, т. е. существуют ли особые случаи,
которые могут привести к повреждению частей или ко-
короткому замыканию? Достаточно ли надежно изготов-
изготовлено изделие, чтобы противостоять вибрациям, воздей-
воздействию различной температуры, влажности, пыли и т. д.?
23. Как можно изменить конструкцию для того, что-
чтобы увеличить надежность? Как это может 'повлиять на
тактико-технические характеристики, стоимость, вес,
пригодность, режимы работы, ремонтопригодность, на-
надежность эксплуатации и т. д.?
24. Удовлетворяет ли конструкция изделия или си-
системы требованиям по легкости производства, сборки,
технического обслуживания и проверки?
25. Не ожидается ли появление новых проблем при
контроле качества и при сбыте?
26. Учтены ли факторы погрузки, транспортировки,
упаковки и прочих условий, отличные от заданных усло-
условий эксплуатации?
2.10. ЗАПАС ЗНАНИЙ О НАДЕЖНОСТИ
Группа надежности в процессе пересмотра конст-
конструкции должна собирать информацию по надежности
конструкций и форм различных типов. По мере разви-
развития программы разработки при выполнении программы
испытаний будет поступать дополнительная информа-
информация. Группа надежности организует эту дополнительную
информацию и объединяет ее с имеющимися данными,
-в результате чего образуется запас сведений о надеж-
надежности, необходимый инженерам по надежности и кон-
конструкторам для анализа.
Этот запас сведений должен содержать перечень ти-
типов отказов, причин и последствий этих отказов. Кро-
Кроме того, должна быть приведена характеристика окру-
окружающих и других условий, при которых происходит от-
отказ. Необходимо различать независимые и зависимые*
* Под зависимым понимается отказ, возникающий в составной
части в результате отказа, произшедшего где-то в другом месте, т. е.
зависимый отказ вызывается независимым, а не происходит сам по
себе.
50

отказы. Желательно, чтобы приводились различные ме-
методы испытаний ослабленных элементов. Должны быть
приведены параметры, служащие для измерения надеж-
надежности, а также основные правила, которые определяют
успех и отказ и их взаимосвязь с надежностью. По воз-
возможности необходимо получить оценки интенсивности
отказов и виды распределений отказов, соответствую-
соответствующих этим отказам. Примеры такой информации о на-
надежности представлены в п. 3.12.1.
2.11. ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ И АНАЛИЗ
В начале .программы разработки 'пересматриваются
все планы испытаний и проверяются режимы, чтобы
убедиться в том, что программа сбалансирована и на-
настолько всеобъемлюща, насколько это было возможно
сделать. Основная идея испытаний должна быть оче-
очевидна из плана испытаний, и единственное, что нужно
проверить, — это действительно ли выбран наиболее
эффективный путь к достижению" заданной надежности
в пределах ограничений по времени и стоимости.
Таким образом, мы сможем увидеть, на что сделан
основной упор: на испытания элементов, испытания не-
полноразмерных изделий или испытания системы; под-
подходит и достаточна ли поступающая информация и не
слишком ли много испытаний, которые могут привести
в тупик. Далее, группа надежности определяет, своевре-
своевременно ли в программе затрагиваются вопросы о воз-
воздействии окужающей среды и о процессе производ-
производства.
В тех случаях, когда из-за дороговизны, разруши-
разрушительной природы испытаний, несовершенства испыта-
испытательных средств или по другим причинам испытания
проходят в условиях, далеких от реальных, нужно искать
другие методы обеспечения гарантий. С целью 'проверки
возможности компенсации этих несовершенств необхо-
необходимо пересмотреть методы проверки. Исследуются ме-
методы испытаний без разрушения, и 'затем может быть
проведен анализ отказов, выявляющий их доступность
и достаточность, после чего для них устанавливается
стандартный порядок проверки. При оценке -планов ис-
испытаний определяются эффективность статистических
методов, достоверность критериев проверок и соответст-
4* 51

вие объемов выборок требованиям программы. Эти ме-
мероприятия рассматриваются по порядку в главах, по-
посвященных проведению экспериментов и испытаний
(гл. 12 и далее).
2.12. КОНТРОЛЬ ПРОИЗВОДСТВА И ПЕРЕСМОТР
ТЕХНИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ, МАТЕРИАЛОВ И ОБРАБОТКИ
Эти функции являются контролирующими в процессе
превращения металла в готовую конструкцию. Путем
пересмотра технических заданий на систему и ее эле-
элементы определяется их согласование, т. е. не ^превышает
ли развиваемая мощность какого-либо элемента потреб-
потребляемую мощность функционально связанных с ним со-
соседей. Для гарантии того, что статистическое построе-
построение предельных допусков составных частей не приведет
к несовершенству системы, технические задания прове-
проверяются на «напряженность». Определяются размеры,
веса, давления, токи, времена и допуски, являющиеся
критическими по отношению к отказам различных типов.
Выбор материалов и процессов производства прове-
проверяется для того, чтобы убедиться в соответствии ис-
используемого материала и выборочных планов требова-
требованиям надежности. Потребляемые лри обработке мощно-
мощности исследуются с целью определения оптимальности их
сочетания. Развиваемые мощности пересматриваются
для проверки воспроизводимости и согласования.
Проверяются чертежи конструкций, а их копии по-
помещаются на хранение в центральную картотеку. После
утверждения макета конструкции может быть состав-
составлен главный перечень элементов системы. В нем содер-
содержатся те элементы, которые, по мнению инженеров, от-
ответственных за их производство, и группы надежности,
являются в любой заданный момент времени самыми
надежными. Каждому элементу системы в этом перечне
соответствует только один вариант конструкции. Но зато
должны быть представлены все элементы без исключе-
исключения. Назначение перечня состоит в том, чтобы в любое
время иметь возможность дать полную характеристику
наиболее надежной системы. Кроме того, он позволяет
•проверять любые пробные конфигурации и устанавли-
устанавливать наличие в них опытных или устаревших элементов
и возможность появления отказов по их вине. Постоян-
Постоянно поддерживается запись всех указаний о коиструк-
52

тИ'Вных изменениях и того, как это сказывается на на-
надежности. Главный перечень периодически просматри-
просматривается и обновляется. Его полезность описывается
в п. 16.2.2. С помощью такого контроля мы можем уста-
установить, что является несовершенным — основная конст-
конструкция, отдельные детали или процесс производства.
2.13. КОНТРОЛЬ ПОСТАВЩИКА
Организации, поставляющие отдельные элементы,
оцениваются по техническим способностям удовлетво-
удовлетворять требованиям тактико-технических заданий. При опре-
определенных обстоятельствах, когда позволяют возможно-
возможности и стоимость, от них можно потребовать подтвердить
номинальные значения полной надежности или надеж-
надежности отдельных узлов, полученные в результате рас-
распределения, или обеспечить в случае их отсутствия ис-
исходные данные о надежности поставляемой продукции.
Группа надежности подрядчика должна быть представ-
представлена в комиссии, инспектирующей торговые операции,
в состав которой входят также представители конструк-
конструкторской группы, контроля качества и группы снабже-
снабжения. Эта комиссия оценивает программу продающей
организации, определяя, какое внимание уделяется во-
вопросам надежности. При необходимости (если компании
небольшие) головной подрядчик должен помочь органи-
организовать программы исследования надежности продающих
организаций и руководить ими. Группа надежности
должна просмотреть все заказы на снабжение, чтобы
убедиться в том, что требования -к надежности не слиш-
слишком завышены по стоимости.
В целях контроля конструирования и процессов про-
производства подрядчика и продающей организации испы-
испытания составных элементов на надежность и качество
должны проводиться по заданному образцу, после чего
можно будет убедиться в том, что все элементы и техно-
технология их производства удовлетворяют тактико-техниче-
тактико-техническим требованиям к системе.
2.14. СИСТЕМА СООБЩЕНИЯ ДАННЫХ О НАДЕЖНОСТИ
И ОТКАЗАХ
Средством для получения запаса сведений о надеж-
надежности является система сообщения данных о надежности
и об отказах. Этот вопрос подробно рассматривается
53

в гл. 3. Группа надежности, анализирующая данные и
ответственная за них, должна в самом начале програм-
программы создать такую систему, чтобы ценный опыт не про-
пропал. Эти данные должны включать сведения о всех усло-
условиях, относящихся к надежности изделия, временах и
циклах, окружающих условиях, типе, конфигурации, виде
испытания и т. д. Группа надежности отвечает за соз-
создание предельно простой и недорогой системы сообще-
сообщения, которая в то же время охватывает весь объем ин-
информации о надежности. Это означает четкое установ-
установление возможностей обобщения оборудования, описы-
описываемого системами данных, а также стадий разработки
этого оборудования. Организация потока информации
и определение совершенства окончательной доработки
тоже входит в обязанности группы надежности. Созда-
Создаются определенные методы контроля полноты данных.
Большое внимание требуется уделять правильному тол-
толкованию данных. Донесения о надежности и сводки
должны периодически составляться в виде, доступном
для руководства и инженерно-технического состава.
Также периодически должны распределяться донесения
о состоянии программы надежности. Вся информация
о надежности и об отказах должна размещаться в кар-
картотеке сведений о надежности и быть легко доступной.
2.15. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
Из всех данных должна извлекаться максимальная
польза. Анализ данных преследует цель выявления ма-
математической модели. В результате подобных исследо-
исследований получают оценки надежности, строят кривые ро-
роста надежности и корреляции информации, поступаю-
поступающей из различных источников, и определяют различные
формы и этапы разработки.
Распределение надежности и исследования надеж-
надежности конструкций, а также статистическое эксперимен-
экспериментирование входит в круг вопросов, решаемых с помощью
математических и статистических методов. Эти методы
рассматриваются в разделе II.
2.16. ВНУТРЕННЯЯ КООРДИНАЦИЯ
Поскольку надежность охватывает большое количе-
количество взаимосвязанных функций, необходимо осущест-
осуществлять строгий надзор за деятельностью всех групп и
54

отделов, вносящих свой вклад в исследование надеж-
надежности. Таким образом, координация играет важную роль
в ликвидации отставания руководства, конструирования,
испытаний и производства от состояния надежности раз-
различных составных частей и всей системы в целом. Более
того, она гарантирует использование всех возможных
средств повышения надежности. Для разрешения всех
вопросов, касающихся надежности, должны быть про-
просмотрены все официальные отчеты о работе, положе-
положения договоров, расписания и планы выполнения про-
программ. Методы обеспечения координации различаются
в зависимости от видов деятельности, однако во что бы
то ни стало необходимо обеспечить точный контроль,
который гарантировал бы факт установления коорди-
координации.
Подпись является наиболее эффективным средством
удостоверения того, что группа надежности ознакоми-
ознакомилась с тем или иным документом или деятельностью.
Членство в комитете представляет собой еще один офи-
официальный метод, который обеспечивает представителю
группы надежности возможность координации всей дея-
деятельности по исследованию надежности. Другие методы
(личные контакты или просто неофициальные обсуж-
обсуждения) обычно являются неудовлетворительными, так
как этому часто препятствуют смена личного состава
или недостаток времени.
Таким образом, между группой надежности и осталь-
остальными отделами обязательно должна устанавливаться
официальная и согласованная рабочая взаимосвязь.
2.17. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗНАНИЙ О НАДЕЖНОСТИ
При распространении знаний о надежности следует
учитывать два основных обстоятельства. Прежде всего
нужно помочь понять значение надежности и осознать
последствия ненадежности. Это можно сделать с по-
помощью фильмов, лекций и плакатов, выполненных в об-
общедоступной форме, с которыми знакомят весь личный
состав. Вторая задача обучения надежности включает
описание методологии надежности на более высоком
техническом уров-не. Например, инженерам можно объ-
объяснить понятия из теории вероятностей, а вопросы -ста-
-статистического синтеза и анализа экспериментов — со-
сотрудникам, занимающимся планированием испытаний.
55

Подобным же образом конструкторам может быть пока-
показана ценность получения всей соответствующей инфор-
информации от эффективной системы сообщений об отказах.
Личному составу, не занимающемуся непосредственно
вопросами надежности, не обязательно и даже не нуж-
нужно вникать слишком глубоко в технические подробности
этих предметов. Однако очень важно объяснить сотруд-
сотрудникам, как эта методология может помочь им избежать
принятия неверных решений, лучше разобраться в том
оборудовании, с которым они работают. Эта деятель-
деятельность имеет большое значение, но надо отметить, что
при часто встречающемся отношении к надежности вся
тяжесть доказательства желательности этой деятельно-
деятельности ложится на группу надежности.
2.18. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОД. ПЛАН ПРОГРАММЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Мы рассмотрели некоторые проблемы и мероприя-
мероприятия, связанные с подготовкой и выполнением програм-
программы исследования надежности. Целенаправленность этой
деятельности будет меняться в процессе выполнения про-
программы, а также в зависимости от типа и степени совер-
совершенства рассматриваемого оборудования. <Как показал
опыт, очень ценно в начале выполнения программы раз-
разработки сформулировать мероприятия по исследованию
надежности в виде плана программы надежности. Этот
план служит по меньшей мере четырем целям. Во-пер-
Во-первых, этот подробный документ представляет собой цецное
упражнение по организации подхода группы надежности
к решению проблемы. Во-вторых, в процессе координа-
координации он позволяет личному составу группы надежности
судить о содействии, которое могут оказать другие от-
отделы, о поддержке руководства, а также о возможности
«продать» свой вклад в программу разработки. В-треть-
В-третьих, подробный план программы надежности можно рас-
рассматривать как документ, который устанавливает по-
порядок ответственности и описывает деятельность группы
надежности и соответствующую деятельность по иссле-
исследованию надежности в других отделах. В-четвертых, он
представляет собой важный договорный документ, ко-
который должен объяснить агентству закупок или заказ-
заказчику частные подробности внутренней программы на-
надежности, так как она связана с определенным его обо-
56

рудованием или системой, и -позволить получателю
определить ее соответствие.
Программа работ по исследованию надежности
должна:
1) установить требования к надежности системы;
2) определить испытания, основные правила и ста-
статистические методы подтверждения надежности;
3) описать состав, технические возможности, орга-
организацию и ответственность группы надежности;
4) определить положение группы надежности, эф-
эффективность и официальные взаимоотношения внутри
предприятия или организации;
5) перечислить все планы и режимы проверок для
всех состояний оборудования.
6) описать цели, объемы выборок и состояние раз-
разработки оборудования при этих различных проверках;
•7) дать определение, какие конечные цели, пресле-
преследуемые распределением требований к надежности, будут
подтверждены, и охарактеризовать условия подтверж-
подтверждения;
8) подробно описать деятельность в интересах на-
надежности при оценке, анализе и усовершенствовании
продукта производства в соответствии с подзаголовками
этой главы.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
BrownR. W. Reliability and the component engineer. Elec. Mfg.
1957, v. 60, 5, November, p. 126—135.
Connor J. A. A systematic plan for predicting equipment re-
reliability. Proc. 1956 Electronic Component Symposium, 1956, May,
p. 233—235.
D a v i s о n W. R. Latent reliability—an approximation method.
National Convention Trans., ASQC, 1959, p. 99—103.
Dertinger E. F. and Pertschuk D. W. Current military
reliability specifications. IRE Trans. Reliability and Quality Control,
1958, v. 14, September, p. 6—8.
D г e s t e F. E., A reliability handbook for design engineers. Elec-
Electronic Engineers, 1958, v. 77, June, p. 508—512.
Garbarino H. L. Selection of reliability levels in equipment
design. IRE. Trans. Industrial Electronics, 1958, v. IE-5, April,
p. 76—81.
Gottfried P., Schneider L. L. and Xavier M. A. Uti-
Utilization of component part reliability information in circuit design.
IRE Trans. Reliability and Quality Control, 1958, v. 14, September,
p. 60—68.
Jacquemard F. С Start quality control at the source. Mill
and Factory, 1957, v. 60, February, p. 104—106.
57

Lamb J. J. RACER—A proposed rating system for electronic com-
components and devices. IRE Trans. Reliability and Quality Control, 1956,
PGRQC-6, February, p. 1—10.
Leubbert W. F. A systems approach to electronic reliability.
Proc. IRE, 1956, v. 44, April, p. 523—528.
L u s s e r R. Components—key to reliability. Military Electronics,
1957, v. 3, 3, September, p. 38—42.
Ordemann F. A. How to design reliable computers. Electro-
Electronic Equipment, 1956, v. 4, June, p. 22—25.
R u t h e r F. J. and S m i t h L. D. Proof of reliability. Proc. IRE
National Conference on Aeronautical Electronics, Dayton, Ohio, 1958,
May, p. 449—453.

ГЛАВА 3
ОРГАНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ О НАДЕЖНОСТИ
3.1. СБОР, ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
О НАДЕЖНОСТИ
Эта деятельность является самой важной частью про-
программы надежности. Хорошо организованная система
сбора, анализа, распространения сведений и оконча-
окончательной обработки -информации о надежности представ-
представляет собой один из основных аппаратов, который ис-
использует группа надежности. Следовательно, организа-
организации этой системы необходимо уделить много внимания.
С одной стороны, слишком малый объем или недосто-
недостоверность информации делают ее почти бесполезной;
с другой стороны, мы можем создать такое количество
бумаг, одна только проверка которых займет все наше
время. Систематизация информации является не само-
самоцелью, а служит на всех этапах средством обеспечения
деятельности конструкторов и руководства необходимой
и достоверной информацией для успешного осуществле-
осуществления программ разработки и производства.
Порядок обращения с информацией удобно подраз-
подразделить на три этапа: 1) сбор; 2) распределение; 3) ана-
анализ, сообщение и окончательная обработка.
3.2. СБОР (ТИП И ОБЪЕМ ИНФОРМАЦИИ)
При создании любой формы системы сообщения дан-
данных возникают следующие вопросы:
Какого вида данные следует собирать и почему мы
желаем их получить? Этот вопрос можно уточнить: ка-
59

кой тип данных имеет для нас значение и как мы соби-
собираемся их анализировать?
Насколько широкую и подробную желаем мы иметь
информацию, не опасаясь перегрузиться массой дан-
данных? Каков минимум данных, требующийся для удовле-
удовлетворения наименьших нужд? Что является мерой един-
единства процессов, форм и т. д., если мы имеем дело со
многими разными типами изделий, с приборами разной
сложности и большим числом изготовителей? С одной
стороны, форма может быть удобна для передачи инфор-
информации об отказах электронной аппаратуры и непримени-
неприменима для гидравлических, механических и других приборов.
Или, если используется универсальная форма, то воз-
возможно, что в случае ее применения для определенного
типа приборов она не будет оптимальной.
Другим вопросом подобного типа, который требует
пояснения, является: как глубоко мы собираемся вни-
вникать в программу разработок системы или ее составных
частей, используя предложенную систему данных? На-
Например, желаем или можем мы получить ту же инфор-
информацию от составных элементов, участвующих в отдель-
отдельных испытаниях, какую мы могли бы пожелать от них
при испытаниях системы? Собираемся ли применить
определенные системы данных к опытным конфигура-
конфигурациям или только к продуктам производства, предна-
предназначенным для поставок? Собираемся ли мы получать
данные по всем 100% произведенных элементов, или хо-
хотим иметь по ним только выборочные данные, или же
нам требуется иметь дан.ные по каждой новой партии
продуктов производства (например, по каждой партии
определенных радиоламп)? Будет ли каждый элемент
идентифицирован со своей партией и конечной произ-
производственной единицей? Как много данных и какого типа
необходимо записать, чтобы истории .непредвиденных со-
событий, которые впоследствии вдруг приобретут значе-
значение, не были утеряны? Какими методами должны мы
пользоваться для обеспечения гарантии точности и до-
достоверности данных, так как выводы не могут быть
более полными и точными, чем данные, из которых они
получаются? Должен ли специалист по надежности пе-
периодически проверять сотрудников отдела контроля каче-
качества, как эффективно они выполняют технические усло-
условия процесса сборки?
60

Ответы на многие из этих вопросов определяются
стоимостью и трудностью сбора информации (либо во-
вообще ,не смогут быть получены). При автоматических
методах сортировки сравнительно просто отобрать все
виды «наиболее интересных» затабулированных данных.
С другой стороны, при обработке информации вручную
очень важно значительно ограничить ее объем и еще
больше внимания уделить обсуждению того, какие дан-
данные подлежат сбору.
3.2.1. Формы сообщений об отказах
Формы сообщений об отказах не должны быть слож-
сложными, чтобы лица, заполняющие эти формы, не могли
неправильно толковать их. Для этого таблицы заполня-
заполняют по образцу и подобию типовой формы донесения об
отказе/(табл. 3.1, § 3.5). Там же необходимо предусмот-
предусмотреть соответствующее место для примечаний, так как
не всю информацию можно подразделить -на категории.
Все, кому придется пользоваться этими формами, долж-
должны четко представлять, когда их следует использовать.
Здесь играет большую роль программа изучения на-
надежности. Если формы заполняют различные люди, то
противоречия неизбежны. Их можно избежать, выделив
одного члена группы надежности для того, чтобы он пе-
пересмотрел все формы и убедился в правильности их за-
заполнения. Кроме того, сравнивая большое число форм,
используемых для различных назначений и различными
людьми, можно определить, вся ли требующаяся инфор-
информация передается добросовестно.
3.2.2. Отказы из-за ошибок оператора
Отказы из-за ошибок оператора с развитием процес-
процесса конструирования приобретают все большее значение,
вплоть до того, что этот источник неприятностей часто
становится наиболее значительным из всех. Поэтому
обязательно обо всех подобных отказах составлять до-
донесения, как и о тех, которые происходят из-за неточ-
неточностей изготовления. Термин «ошибка оператора» подра-
подразумевает здесь не только такие ошибки, как неправиль-
неправильная установка частей .и т. д., т. е. ошибки за счет явной
невнимательности, но также и неисправности, вызван-
вызванные недостатками контрольных операций при производ-
61

стве, проверках и эксплуатации. Можно сослаться на
многочисленные примеры, когда требования инструкций
о Стандартных режимах работы (СРР) и Стандартных
режимах проверки (СРП) оказываются настолько несо-
несовершенными или недостаточными, что измерения крити-
критических состояний не производятся или из-за отсутствия
четких определений выполняются такие действия, кото-
которые приводят к последующим отказам. В результате,
если сборщик предоставлен сам себе, в приборе могут
оказа1ъся «жучки», скрученная проводка; две нормаль-
нормальные детали могут быть при сборке установлены друг
возле друга так, что при тепловом расширении про-
произойдет разрушение одной из них; вместо одной петли
из толстого провода могут быть смонтированы две -пет-
-петли из тонкого провода; кондиционные материалы могут
удовлетворить требованиям стандарта, хотя сравнение
с чертежом выявило бы их неприемлемость.
Отказы могут также быть вызваны отсутствием кон-
контроля за обновлением инструкций по СРР и СРП и Ука-
Указаний об изменениях в конструкции, чертежах и т. д.,
а также плохой организацией распределения этой ин-
информации среди ответственных исполнителей в целях
предотвращения использования устаревших деталей и
методов проверки. Ввиду того что предупредить все не-
непредвиденные обстоятельства, которые могут вызвать
отказы, невозможно, с самого начала следует пересмот-
пересмотреть все технологические процессы и все изменения вно-
вносить сразу же по обнаружении несоответствия. Для
этого надо настоять на составлении донесений обо всех
ошибках оператора и воспрепятствовать естественному
стремлению расслабиться, как только расчетная часть
проблемы приблизится к концу.
3.3. РАСЧЕТ РАССЫЛКИ ДАННЫХ
Следующая задача состоит в том, чтобы убедиться
в правильности отсылки данных нужным людям. Для
этого следует составить расчет рассылки и установить
количество необходимых копий. Последнее требование
определяется наличием достаточного количества листов
копировальной бумаги или воспроизводимой формы.
Обычно в получении хотя бы одного экземпляра копии
заинтересованы следующие исполнители: составитель
донесения; отдел надежности; инженер, ответственный
62

за изделие, о котором получена информация; отдел,
к которому относится эта информация (контроля каче-
качества, технического обслуживания и т. д.); центральная
картотека информации; одна копия должна остаться
с оборудованием до тех пор, пока его местоположение
не будет окончательно определено. Это распределение,
конечно, зависит от типа передаваемой информации и
более подробно рассматривается на частных -примерах
в § 3.6.
3.4. АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИИ, СОСТАВЛЕНИЕ ДОНЕСЕНИЙ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЙ КОНТРОЛЬ
После расчета рассылки данных следует произвести
анализ информации или убедиться, что он уже произве-
произведен. Некоторые исследования могут быть начаты оди-
одиночными сообщениями. В других случаях направление
необходимых исследований может быть определено либо
по достаточно большому числу донесений, либо из свод-
сводных донесений. В некоторых случаях отдел надежности
может непосредственно производить анализ или прини-
принимать в нем участие в качестве члена комитета. Однако
обычно анализ должен производить инженер-разработ-
инженер-разработчик. В этом случае отдел надежности обязан обеспечить
контроль за выполнением анализа и получение копий
законченного донесения. Составление донесений пред-
представляет одну из самых важных обязанностей группы
надежности. Она обеспечивает соответствующей необхо-
необходимой информацией весь инженерно-технический состав
и руководство. Следовательно, вероятность неправиль-
неправильного толкования должна быть сведена к минимуму. Это
очень важное требование, особенно когда речь идет
о сообщении числовых данных. Поэтому, если приводят-
приводятся числовые значения надежности, то тут же должно
быть описание того, как они получены, или по меньшей
мере сделана соответствующая ссылка. Кроме того, мо-
могут возникнуть следующие вопросы: были ли эти дан-
данные получены в результате испытаний при разработке,
опытной эксплуатации, испытаний отдельных частей или
системы? Что можно сказать об окружающих условиях?
Однородные или представительные данные? Каков был
объем выборки? Какие были сделаны допущения отно-
относительно формы распределения отцдзов? Таков далеко
не полный перечень вопросов, включающий некоторые
63

из наиболее важных соображений, которые требуется
обязательно учесть. Если этих сведений нет, можно не-
неверно истолковать данные и сделать 'неправильные вы-
выводы.
Следующая трудность состоит в том, что существует
привычка вырывать из контекста численные значения
надежности. В связи с этим целесообразно упорядочить
метод оценки и сообщения значения надежности, при-
приводя, по возможности, только одну цифру (например,
при нижней доверительной границе в 90%) и исключая
таким образом всякую путаницу.
3.5. ПРИМЕР СИСТЕМЫ СООБЩЕНИЯ ДАННЫХ
Данный пример приблизительно соответствует систе-
системе сообщения об отказах и надежности, удовлетворяю-
удовлетворяющей требованиям сложной организации. Эта организа-
организация осуществляет процесс разработки и производства
большой и сложной системы вооружения, состоящей из
множества типов оборудования, включающего электри-
электрические, электронные, механические, гидравлические си-
системы и системы, работающие на горячем газе. Эти си-
системы и подсистемы, находящиеся на различных стадиях
разработки и сборки, производятся различными пред-
предприятиями. Несмотря на то, что представленный метод
частный, описываемые идеи, формы и методики легко
видоизменить применительно к большинству, если не ко
всем подобным ситуациям.
Основной формой системы сообщений является доне-
донесение об отказе (табл. 3.1), которое составляется сразу
же после возникновения отказа оборудования. При этом
отказ представляет собой неспособность оборудования
удовлетворить техническим требованиям или техниче-
техническому заданию в то время, как это оборудование про-
проверяется на безотказность работы или приемлемость или
от него ожидают получить удовлетворительные техни-
технические характеристики без дополнительных наладок и
переделок*. При специальных испытаниях (типа испы-
испытаний до отказа) эта форма не используется. С другой
* Это определение позволяет сообщать об отказах, которые бы-
были замечены в процессе .работы, а также об условиях, которые при-
привели бы к отказу, если^бы была разрешена эксплуатация этого обо-
оборудования.
64

стороны, непредусмотренный вид эксплуатации может
вызвать необходимость заполнения этой формы доне-
донесения. Для каждой подсистемы должен быть определен
уровень сборки. (Понятие подсистемы относится к обо-
оборудованию — подсистема вычислительного устройства,
подсистема двигательной установки, подсистема управ-
управления и т. д.)
Данная форма применяется для подсистем, готовых
к выпуску с завода или находящихся в близком к этому
состоянию. Она также применима для составных эле-
элементов, которые успешно прошли приемку, но не могли
быть собраны в агрегат. Уровень распределения, соот-
соответственно которому заполняется форма донесения об
отказе, согласовывается с каждым изготовителем, при
этом сведения должны быть достаточно исчерпывающи-
исчерпывающими. Обычно это не представляет проблемы для отка-
отказов в условиях опытной эксплуатации, так как они про-
происходят в замкнутой системе, но в заводских условиях
донесения об отказах оказываются недостаточными, если
полнота сведений о них точно не установлена. Например,
будут составляться донесения об отказах, обнаружен-
обнаруженных при работе турбонасосного агрегата, -который прове-
проверяется отдельно от собранного ракетного двигателя, а об
отказах печатной схемы, не прошедшей еще контроль ка-
качества, донесения составляться не будут. Донесения об
отказах, возникающих при испытаниях оборудования
в рабочих условиях при приемно-сдаточной проверке или
на заводе-поставщике при проверке окончательной сбор-
сборки при приемных (испытаниях, представляются по этой
форме. О наведенных отказах в этих донесениях iHe со-
сообщается, однако сведения должны появляться в более
подробных технических отчетах. О других отказах, не
предусмотренных ситуациями, указанными выше, инфор-
информация может сообщаться в форме донесений группы
контроля качества. Форма этих донесений может быть
идентичной или подобной основной форме донесения
об отказах. Донесение состоит из * одного основного
экземпляра и нескольких копий или репродукций. Ин-
Информация заносится в отдельные графы формы в виде
условных обозначений или в виде записи. Большинство
названий граф не нуждается в объяснении. Однако вви-
ввиду того, что форма очень подробна, а объем информа-
информации, которую необходимо туда занести, изменяется в за-
5—1113 65

Таблица 3.1
ДОНЕСЕНИЯ ОБ ОТКАЗЕ
I» Номер донесения
LA 00W
2. Номер исходного
донесения
3. Средства сообщен;
LM-9749
Tin ракеты,модель
„Минербп А
5. Серийный номер
ракеты
нет
Тип оборудованы,конструк-
оборудованы,конструкция модвля,номер модели
XY-5U
7. Серийный но-
номер модели
0F-J
8. Заводской номер отка-
отказавшего изделия
№ LV
Серийный домер отказав-
отказавшего изделия
S405.21
10. Наименование отю
завшего изделия
II. Производство отказавшего
иаделня
ABC
12. Условное обозначение отказавшего
нет
13. Заводской номер следу-
вяего arpeitfra в сбор-
1920 LV
Серийный номер сле-
следующего агрегата в
сборке
S 105.21
15. Наименование следу-
пае го агрегата в
сборке
16. Производство следующего
агрегата в сборке
ABC
17. Условное обозначение следующего
агрегата в сборке
нет
18. Код отказа
НА
19. Производственный нифр
отказавшего изделия
62т
20. Заводской
номер за-
замены
нет
21 .Серийный
номер за-
замены
нет
22.Номер
WS-fJ5A
22,а. Название системы
„Минерба"
23. Дата отказа
л9вь20 шест 02 тол 6
Наработка
Отказам, изделие
Подсистема
Система
Часы
Мину-
Минуты
нет
Секун-
Секунды
Вкл-выкл
Расч.эн.
(сутки)
[.бремя обнаружения неисправности 124,б.Время на снятие я замена (до
Число дздея 2 Чистых часов2,0Человеко-часов 8Д дес яиа)
[Чистых часов ^^Человеко-часов
нет
25. Отказ обнаружен иди произошел при:
1) D стендовые исп. 5) D контроль
2) JJ осмотр(ияспекция) 6) Q эксплуатация
3) D хранение 7) О произв. исп.
<О О транспортировка 8) О предзап.пров
26. Причина (повод) для донесения
1) D отказ детали S) D ошибка
2) D заданная нара- ПРИ исп#
ботка 6) D неправн-
3) D истечение времени *
) D др. непрабильная
установка
27. Ремонт или перемещение
1I3 ремонт на месте 5) Q отбраковка
2) О ремонт и уставов- 6)О остановка
ка заново для ремонта
3) D регулировка 7) Q отправл.на
4)И анализ рембаз*
6) Q повторные
испытания
28. Замена
1)D идент.деталь
2) D деталь-заме-
деталь-заменитель
3)Н не требуется
*)D отсутствует
23. Коды крнт.
сост.
1) D приори-
приоритет *
Опасное»
2Щпрно?и-
32. Описание неисправности при испытании согласно ТЗ SOP'178 номер партии
Номер испытываемого оборуд. Температура при исп.сух. 2k С в лаян. °С
Т"П ий ^ статич*-ч1 ^ пРивмнь»е Н др.ааводск.проверка ОТК
D летные I D при разработке О тарификац. Q качества D на возд.охр.
среды
32А. Замечания конструктора или контролера в момент отказа:
критич.О главн. Ш второст. О Требуется анализ Да И Нет О
Ответственность: повт.исп.Опроизв. D констр.а контр, поста-
гаче-• новкаО
стваО

Обнаружена утечка растворителя б каналах /V-/ и Ns2
устройства Выключения двигателя
О1 ^3. К?о сообщает СМШ Отдел м группа ОТК Телефон J4 77
I Каналы протирались насухо через час в течение
| четырых часов, однако утечка не уменьшилась
Полнясь ДЖОНС Отдел и группа Производство Телефон 2Ь87
34. Анализ отказа произведен Да Ш
НетО
88. Детали,замененные при ремонте:
п/п
Шифр рем,
работ
Название
детали
нет
Номер
детали
35. Годен к использованию Да Ш
после ремонта Нет D
Серийн.
номер
Условн.
обозн.
Шифр
обнар.
36. Окончательное отремонтирован El
перемещение забракован О
исключен О
Ответ-
Ответствен.
Поставщик
Номер конверта
37. Отремонтирован:
Она рем.баэе
ИЗна производстве
Ов полевых условяях
Шифр постав-
поставщика
Класс
материала
37А.Наработка при пе*»
ределках и повтори,
испытаниях
Вкл-выкл.
Чист.час. Мин.
Сек.
Секретный
шифр
Примечание
Человеко-часы
на ремонт
Человеко-часы на Человеко-часы на
повторные испыт. отыскание неиспр.
3,5
нет
8,0
39А. Ремонт произвел:
Подпись бpai/Н Отдел и группа ПрОизШ- Телефон
стбо 2Ш
<¦!. Дата получе-
получения
20026
**2. Дата оконча-
окончания ремонта
20026
Примечания С ПОМОЩЬЮ ШПриЦп б HUHd/lbl ОтСвШ
горизонтально установленного дбигателя был
бледен этилобый спирт. Затем дбигатель был
устаноблен б вертикальное положение для того,
.чтобы осбободить и бысушить эти каналы.
46. Нсмер донесения об анализме отказа
Контроль качества: Принято Да D Нет D
Производство: Принято Да D Нет D
Номер донесения (производства)
5. Влияние на расписание (план) Потеря 2Ь ЧпСОб
43. Окончательные подписи:
Представитель отдела Главного конструктора
Представитель группы надежности ^_
Представитель отдела контроля качества (разработчик)
Представитель контроля качества (ВВС)

висимости от места использования, отдел надежности
должен подготовить в качестве руководства для соста-
составителя донесения перечень номеров ячеек и видов
информации. Она будет вноситься в форму при определен-
определенных проверках .или на испытательной станции. Осталь-
Остальная информация может быть внесена специально выде-
выделенным для этой цели представителем отдела надеж-
надежности. Эти мероприятия полезны также и потому, что
они направлены на улучшение согласованности сооб-
сообщений.
3.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОНЕСЕНИЙ ОБ ОТКАЗАХ
Форма донесения (рис. 3.1) используется при выпол-
выполнении программы от стадии опытно-конструкторских
разработок и в течение всего периода эксплуатации.
Распределяются эти донесения в соответствии с тем, кто
является их составителем. Существует три основные
организации-инициатора этих донесений:
Необходимое корректирующее действие
Площадка 1
заводская
_1
Площадка 2
полигонная
Донесения лоб" отказах
К состави-
составителю [перво-
[первоисточнику)
~ L
Конечное
место-
местоположение
для
злмыкания
цикла
F "->
Г 13
* Копия
на картоне
Прикрепля'
ется к
оборудова-
оборудованию
>\ з\
Центральная
картотека
информации
о надежности
3
\з-*-отчет оо~ анализе
I отказа
Ответственный
инженер
Йнализ отказа
по
необходимости
Рис. 3.1. Распределение экземпляров донесений об отказах,
составленных на главных производственных и испытательных
площадках подрядчика.

1. Разработчик, наблюдающий отказы собственного
оборудования на своих испытательных- площадках как
заводских, так и полигонных. Диаграмма прохождения
информации об отказах показана на рис. 3.1.
2. Разработчик, ответственный за проведение испы-
испытаний, или головной, составляющий донесения об от-
Упраблянхцее или корректирующее действие
1
Ксостаби-
телю(перво-
источнику)
Картотека
информации
о надежнос-
надежности головного
разработ-
разработчик—
При к реп ля -
ется к
оборудова-
оборудованию
Корректи-
Корректирующее
действие
Группа надеж-
надежности разра-
разработчика, ответ-
ответственного за обо
рудование, и цен-
центральная карто-
картотека информа-
ими
(Экземпляр 3)
LA
Ответственный
инженер
Анализ отказа
при
необходимости
Ри.с. 3.'2. Распределение зчсземитлярсхв донесений об откавах, со'ста'в-
лен'ньих головным подрядчикам для оборудовал и я других подряд-
подрядчиков.
казах оборудования другого подрядчика в заводских
условиях или на полигоне. Диаграмма прохождения ин-
информации об отказах показана на рис. 3.2.
3. Персрнал технического обслуживания или эксплу-
эксплуатации, составляющий донесения об отказах на своих
рабочих местах. Диаграмма прохождения информации
для этого случая не приведена; она очень похожа на
предыдущую (рис. 3.2), но в ней дополнительно преду-
предусматривается анализ данных с точки зрения снабжения
и перевозок.
69

3.7. НАЧАЛО АНАЛИЗА ОТКАЗОВ
Донесения об отказах сразу же после их получения
пересматриваются и в необходимых случаях дополня-
дополняются представителем группы надежности. Этот сотруд-
сотрудник должен иметь полное представление о замкнутой
системе, чтобы судить о последствиях отказа для этой
системы и устанавливать его критичность. Он также
проявляет инициативу в назначении корректирующего
действия. Одним из методов может служить впечатыва-
впечатывание в донесение об отказе штампа «действие» ,и переда-
передача его вместе со всей соответствующей информацией
ответственному инженеру. Другой метод состоит в за-
заполнении формы запроса о корректирующем действии
(табл. 3.2). В каждом случае должна быть указана дата
представления ответа.
Форма запроса о корректирующем действии может
быть использована и при других обстоятельствах, на-
например, при накоплении или росте частоты отказа, ко-
который имеет значение в массе, а не единственном числе;
другие обстоятельства возникают при пересмотре кон-
конструкций с точки зрения надежности, когда обнаружи-
обнаруживаются граничные области и потенциальные слабые
места, или шосле пересмотра технических заданий и про-
проверки удовлетворения требований надежности. Следо-
Следовательно, запрос о корректирующем действии должен
подаваться при возникновении любой задачи, связанной
с надежностью, вплоть до составления расписаний и
прочих мероприятий руководства.
3.8. КОНТРОЛЬ, АНАЛИЗ И КОРРЕКТИРУЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ
Позитивная форма контроля является обязательной
для обеспечения уверенности в том, что действие будет
произведено. Настоятельность и приоритет будут ме-
меняться от -проблемы к проблеме, однако координатор
надежности должен установить состояние запроса о кор-
корректирующем действии в течение трех дней с момента
его подачи или быстрее, если он очень важен. Кроме
того, группа надежности составляет еженедельный от-
отчет, в котором перечисляется количество открытых проб-
проблем, относительная срочность их решения и промежуток
времени, когда они будут еще открыты. Этот отчет, об-
70

Таблица 3.2
Образец запроса группы Надежности о корректирующем
действии
ЗАПРОС ГРУППЫ НАДЕЖНОСТИ О ДЕЙСТВИИ №
Дата 20.01.6 Дата представления ответа 25.01.6
Кому: Фамилия Отдел Местопо- Дей- Ана- Инф.
ложение ствие лиз
отказа
Хиггинс Р. Констр.
Кокс Л. Произведет.
От кого: Рассела К-
Надежности-
X
X
X
Если проверяется «Действие», возвратите один экземпляр
этой формы, записав на ее обороте предложения или уже
подготовленное описание корректирующего действия в группу
надежности в течение дней. Если проверяется «Дейст-
«Действие» и «Анализ отказа», производите любые необходимые ла-
лабораторные исследования отказавшего изделия с учетом всех
особых 'назначений, указанных в настоящем документе запра-
запрашивающим инженером, занимающимся надежностью.
Описание проблемы
'(Включить все сведения об истории, донесении об отка-
отказах, связанные случаи и т. д.).
См. прилагаемое донесение об'отказе LA 00498 (табл. ЗЛ).
Отказы этого ти.па 'ранее we встречались.
Этот запрос надежности о действии несет информацию,
касающуюся проблемы, влияющей на надежность системы еоо-
:ружения.
Предполагается 'познакомить соответствующий персонал
с необходимостью определенного корректирующего действия и
обеспечить 'средства для координации и (регистрации этого дей-
действия. Последующая информация может быть лолучета от
инженера, занимающегося надежностью, который выслал этэт
запрос.
71

разец которого йоказай й табл. 3.3, поступает во бее
контрольные и наблюдательные органы.
Цикл замыкается после завершения анализа отказа
и возвращения отчета об анализе отказа в группу на-
надежности к координатору донесений об отказах. Пример
заполнения формы, соответствующей донесению об от-
Таблица 3.3
Образец отчета о состоянии проблем надежности
ОТЧЕТ О СОСТОЯНИИ ПРОБЛЕМ НАДЕЖНОСТИ
Открытые проблемы к началу месяца Дата
Добавились новые проблемы Система
Завершены решения проблем за этот период
Еще открыты общие проблемы
Средняя продолжительность существования
открытых проблем. .
Номер
проб-
проблемы
Номер
эле-
элемента,
дета-
детали,
узла
Номер
доне-
донесения
об от-
отказе
Дата
Опи-
Описание
проб-
проблемы
Число кри-
критических
отказов
за этот
месяц
за
6 ме-
месяцев
Кор-
ре кти-
рую-
щее
дей-
действие
Расчет-
Расчетная эф-
фектив-
фективность
Отмет-
Отметка о
закры-
закрытии
про-
проблемы
казе (табл. 3.1) и запросу о корректирующем действии
(табл. 3.2), показан <в табл. 3.4. Не каждое донесение об
отказах требует подробного анализа, но все формы со-
сообщений об отказах должны быть «замкнуты».
Типы отказов, причины отказов и необходимые кор-
корректирующие действия приведены в табл. 3.5.
3.9. ДОНЕСЕНИЕ О НАРАБОТКЕ
Несмотря на то что донесение об отказе или неис-
неисправности влечет за собой корректирующее действие,
а следовательно, и быстрое уменьшение интенсивности
отказов, оно не может охватить все вопросы, в частно-
частности, в нем ни слова не говорится о вероятности успеш-
успешной работы. Нас же интересует, сколько времени или
72

Таблица 3.4
Образец составления отчета об анализе отказа
1. Общее Донесение об отказе М LA00498
(табл. 3.1)
Прикрепл.
Средство ЛВС Запрос надежности о действии
№ 187 (табл. 3.2)
•Местоположение L. А. Дата анализа 1 февраля 196—
Страница 1
2. Идентификация изделия Изготовитель ABC
Наименование Номер детали 1234LV
Серийный номер S103.21 Тип или модель „Минер-
„Минерва Аи
3. История Предварительный анализ отсутствует
4. Методы и техника анализа Визуальный осмотр
5. Результаты, заключения и действия
Исследовалась проблема утечки растворителя из кана-
каналов включения двигателя. Установленная причина утечки
заключается в неправильном согласовании и подгонке кла-
клапанов канала отсечки тяги. Клапаны канала отсечки
тяги были переконструированы, и теперь все неплотные
соединения у обнаруженные при воздушных испытаниях,
должны быть залиты смесью, состоящей из 60д/о актива-
активатора и 40% „С. 7". Переделанные клапаны канала отсечки
тяги будут готовы 5 марта 196 Технические условия
S. О. Р. 179 были пересмотрены для того, чтобы учесть
внесенные изменения.
6. Подпись производящего анализ Хиггинс
дата 16 февр. 196—
73

Таблица 3.5
Примеры отказов, анализа и корректирующих действий
(для передачи сообщений)
Название и номер
элемента, блока или
агрегата
Вид отказа
Причина отказа
Корректирующее действие
Гелиевый стартовый
клапан 2-456792
Предохранительное
уплотнение топ-
топливного насоса
3-43491А
Блок клапанов; рабо-
рабочий двигатель; ге-
гелиевый 34-01114-27
Медленная скорость
спада давления
Растрескивание мем-
мембраны уплотнения
топливного насоса в
спиральном шве
Клапаны с № 109,
907-0060 не откры-
открылись. Клапан № 398
не закрылся
Давление газа, запер-
запертого в полости пру-
пружины, препятствует
полному открытию
клапана
Плохая
сварки
техника
Клапаны № Ю9 и 398
отказали из-за корро-
коррозии в трубопроводах
двигателя. Клапан
№ 907-0060 отказал
из-за выхода из строя
микровыключателя
№ 2
В осевом стержне рассверлено от-
отверстие для стравливания давле-
давления. Передняя полость у тарель-
тарельчатого клапана удлинена для
более быстрого открывания кла-
клапана. На 0,2 мм увеличен ход
якоря электромагнита для разви-
развития большей открывающей силы
Установлен лучший контроль за про-
процессом производства. Произведен
перерасчет уплотнения для полу-
получения уверенности в концентрич-
концентричности мембран и правильности
прогиба на испытательном стенде
На клапан нанесено защитное по-
покрытие, препятствующее проник-
проникновению влаги в клапан, что вы-
вызывало коррозию. Установлены
приборы для определения элек-
электрических нагрузок на выключа-
выключателях клапанов

Продолжение табл. 3.5
Название и номер
элемента, блока или
агрегата
Причина отказа
Корректирующее действие
Скоростной интег.
гироскоп 9-12345-0
Электромагнитный
клапан 31-07398
Батарея
Зажим Мармана
32403-130
Двигатель вращения
испытывает воздей-
воздействие избыточных
токов
Не работает электро-
электромагнитный клапан
По сигналу батарея
не была приведена
в действие
Зажимной Т-образный
болт вышел из строя
Произошло замыкание
статора на корпус
Неправильное покрытие
и смазка толкателей
электромагнитного
клапана
Малая мощность пиро-
запала из-за недоста-
недостаточности взрывного
заряда
Зажимной Т-образный
болт был перегружен
Поставщик произвел испытания пе-
перенапряжения на статорах, умень-
уменьшил максимальный выброс тока
при повороте статора и изменил
нормы проверок статора; произве-
произведена переподготовка личного со-
состава по вопросам пайки
Предъявлены требования контроля
производства для обеспечения
правильного покрытия и смазки
толкателей электроклапанов
Поставщик производит флюороско-
пию всех пирозапалов для опре-
определения наличия достаточного за-
заряда
Для существующих зажимных при-
приспособлений величина крутящего
момента была уменьшена с
2,535 кгм до 1,725 кгм
^ Примечание. Эта информация извлечена из донесений об отказах и соответствующих им сообщений об анализе
ел отказов.

сколько циклов может выдержать прибор перед тем, как
произойдет отказ, а также подробности условий ра-боты
прибора. Информационная система, предназначенная
для сбора этих сведений, называется регистрацией нара-
наработки. Регистрацию наработки можно рассматривать как
важное средство решения вопросов предсказания или
оценки надежности, но не для предупреждения отказов
или исправлений подобно системе сообщений об от-
отказах.
Донесения об отказах составляются для любых эле-
элементов, как только происходит отказ, а система сооб-
сообщений о наработке применяется только для систем, счи-
считающихся критическими в смысле времени или циклов
наработки. Это непрерывная контрольная система, кото-
которая обходится очень дорого и, следовательно, несмотря
на ее жизненную важность, она должна применяться
лишь для тщательно отобранного числа элементов.
3.10. ЖУРНАЛ УЧЕТА НАРАБОТКИ
Основным документом является журнал учета нара-
наработки. Для каждого основного агрегата предусматри-
предусматривается отдельный журнал. В каждом агрегате обычно
содержится некоторое число критических по времени
наработки элементов, причем некоторые из них могут
быть заменены в процессе накопления наработки агре-
агрегата. Таким образом, требуется найти метод, который
позволит следить за наработкой агрегатов так же, как
и за историей тех элементов, которые испытывали
или будут испытывать воздействия окружающей среды,
отличающихся от тех и в добавление к тем, которые
испытывает сам агрегат. Например, большое значение
имеет такая информация, как объем стендовых испыта-
испытаний, испытаний элементов на пригодность и т. д., кото-
которые может пройти элемент до сборки. Форма записи
информации для определенного типа элементов показа-
показана в табл. 3.6.
Первая страница или часть журнала содержит
справочную информацию: номер агрегата, тип, модель
установки и, если известен, номер обозначения в систе-
системе. В следующем разделе содержится сводка об исто-
истории отказов агрегата. Образец такой страницы пока-
показан в табл. 3.7.
76

Таблица 3.6
Название
элемента
Деталь 1
Деталь 2
Образец
История до монтажа
элемента в сборку
Серийный
номер 1234
Время 180 сек
Полное
число
циклов 1
Общее число
отказов 0
Условия
эксперимен-
экспериментов производст-
производственные стен-
стендовые испы-
испытания на воз-
воздействие
окружающих
условий
Серийный 2345
номер
Нуль
заполнения журнала
учета наработки
Режим работы (опыт работы) при использовании в сборке
первое
Время 160 сек
Циклов 1
Условия испытания
экспери- нри нор-
ментов: мальных
условиях
Время 160 сек
Полное
число циклов 1
(То же, что и в
второе
Время 56 сек
Полное
число
циклов 1
Общее
число
отказов 1
Донесение
об отказе
№ 7683
предыдущем)
третье
Снят для ана-
анализа отказа
Заменен деталью
с серийным
№ 2345
\
Общий (полны*)'
опыт по?леггшо-
гбкратного
использования
Число 2
элементов
Полное
время 558 сек
Полное
число
циклов 3
Полное
число
отказов I

Таблшуа 3.7
Образец формы истории агрегата /
Отказ
Тип
элемента
Серийный
номер
элемента
Наработ-
Наработка в
сборке
Число
циклов
в сборке
Номер
донесения
об отказе
Замечания об
окружающих
Условиях
1-Й
2-й
3-й
В колонках «Время в сборке» и «Число циклов
в сборке» указываются накопленные время и число цик-
циклов. В остальной части журнала содержатся истории
каждого из критических по времени элементов, кото-
которые уже находились или только что появились в сборке.
З.П. МЕТОД СБОРА ВРЕМЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ
Информацию, требующуюся 'иметь в каждом отдель-
отдельном элементе по мере проведения различных стендо-
стендовых испытаний, испытаний на воздействие внешних
условий, испытаний в сборке, переделок и повторных
испытаний и т. д., записывают на (карточке, которая
прикрепляется к данному изделию и обновляется всякий
раз при отказе или изменении места установки (или
окружающих условий). После того как элемент мон-
монтируется в узел, карточки с него снимают и помещают
в плотный конверт, специально для этого прикреплен-
прикрепленный к агрегату. Спереди в конверте могут содержаться
два первых раздела уже описанного журнала учета на-
наработки, а затем подробности из истории элементов
(табл. 3.6). Когда элемент переставляют или совсем
снимают с агрегата, его карточку тоже переставляют
или вынимают из конверта, причем информация обнов-
обновляется и в конверте и на карточке.
Поскольку информация, содержащаяся в журналах
учета наработки, предназначена для непрерывной оцен-
оценки надежности (вообще говоря, она может стать призна-
признаком действия только благодаря системе сообщений об
отказах), вовсе не обязательно рассматривать специаль-
специальную систему прохождения информации. Эти данные пе-
периодически просматриваются группами, ответственными
за надежность элементов и узлов, в целях усовершенст-
усовершенствования соответствующих проектов. Примерный тип
78

Образец сводного отчета об отказах элемента
Таблица 3.8
Подсисте-
Подсистема
Управ-
Управление
Скорост-
Скоростной
гироскоп
Скорост-
Скоростной
гироскоп
Элемент
3-х степ.
гиро-
гироскоп
Ско-
Скоростной
гироскоп
Ско-
Скоростной
гироскоп
Номер
блока
Р583060
0010-1
Р583060
001-5,-6
Р583060
001-7,-8,-9.
Отказ обнаружен
при испытаниях
Заводск.—на \
воздействие >
окруж. среды;
Заводск.—ла-1
борат. /
Полигон.—др.
Полигон.— \
—предзаггуск. \
пров. /
Заводск.—на
воздействие
окруж. среды
Заводск.—ла-
борат.
Полигон.—др.
Полигон.—
предзапуск.
пров.
Заводск.—на
воздействие
окруж. среды
Нара-
Наработка
(час)
или
число
циклов
142
168
126
120
Число (
за
Крит.
1
0
2
0
ггказов
текущий месяц
главн.
3
0
4
2
втор.
10
0
4
14
ПОЛИ.
14
0
10
6
Число
действ.
еди-
единиц
4
16
4
2
Нара-
Наработка
(час)
или
число
циклов
372
2 261
521
214
Число^оисазов за
последние t
крит.
15
12
12
5
главн.
26
26
18
10
> мес.
вто-
рост.
35
62
34
16

связи, составляемой по этой информации, лредст&влен
в табл. 3.8. В методах, описываемых в других разделах
книги, указывается, как можно с помощью этих Данных
дать оценку надежности.
3.12. ЦЕНТРАЛЬНАЯ КАРТОТЕКА ИНФОРМАЦИИ
О НАДЕЖНОСТИ I
По мере поступления информации из таки^ источни-
источников, как текущие донесения об отказах, журналы учета
наработки, испытания на воздействие окружающих
условий, испытания в процессе 'конструктивных разрабо-
разработок, она должна быть соответствующим образом орга-
организована, чтобы обеспечить запас знаний и опыта для
конструкторов и инженеров по надежности. Для эле-
элементов каждого типа, которые имели отказы при нор-
нормальных или отличных от нормальных условиях нагру-
жения, в картотеке заводится карточка, в ней приво-
приводится по возможности следующая информация:
1. Критические расчетные и производственные конст-
конструктивные особенности.
2. Виды отказов.
3. Причины отказа.
4. Нагрузка при отказе.
5. Методы обнаружения или испытания.
6. Рекомендации необходимых предупредительных
или корректирующих действий.
7. Типы распределений отказов.
8. Оценки надежности для различных приложений.
9. Головной разработчик и дополнительные источ-
источники.
Несмотря на то что большая часть этой информации
может быть хорошо известна личному составу, близко
связанному с оборудованием, она представляет собой
ценный источник знания проблем надежности, конструк-
конструктивных особенностей и т. д. для настоящих и будущих
систем, в которых используются те же самые или подоб-
подобные элементы при подобных или совершенно других
условиях.
3.12.1. Примеры информации о надежности
в центральной картотеке
Ниже приведены примеры заполнения карточек ин-
информации о надежности.
60

Образец информационного листка
\ о надежности
Агрегат 'Дренажный и перепускной клапан Поставщик
Заводской номер
(поставщика)
Чертеж №\ Техническое задание №
Агрегат последующей стадии сборки
Подсистема Наддув
Конструктивные особенности:
Дроссельный клапан с пневматическим управлением.
Критические характеристики
1. Утечка.
2. Открывание и закрывание.
3. Забивание льдом при низких температурах.
4. Качество материала диафрагмы.
Виды отказов
1. Утечка.
3. Неправильное закрывание или открывание.
2. Не действует из-за замерзания или механических повреждений.
Из опыта отказов
1. Утечка.
2. Процесс открывания и закрывания не соответствует требова-
требованиям ТЗ.
3. Не действует из-за замерзания, -механических повреждений или
попадания инородных тел.
Методы контроля
1. Проверка выбора материалов.
2. Контроль производства диафрагм.
3. Контроль чистоты обработки.
4. Контроль габаритных размеров и поверхностей.
Запас прочности
Предельное давление равно 1,3 номинального давления.
Оценка интенсивности отказов — 25 циклов.
Действия для удовлетворения повышенных требований на-
надежности
1. Исследовать возможности использования различных материа-
материалов для диафрагм.
2. Исследовать новую конструкцию уплотнения.
3. Исследовать единый фильтр.
4. Усилить контроль процессов производства и сборки.
5. Переделать клапан с целью исключения явлении конденсации.
Примечание. Настоящий пример является типовым, и приводимая
информация не претендует на всесторонний охват.
6—1 ИЗ 81

Образец информационного листка о надежности
Агрегат Сопло ракетного двигателя Поставщик
Заводской номер
(поставщика)
Чертеж № Техническое задание № [
Агрегат последующей стадии сборки Система управления век-
вектором тяги
Подсистема Силовая установка
Конструктивные особенности
Легковесная конструкция должна проработать 100 сек без нару-
нарушения баллистических характеристик.
Критические характеристики
Поворотное сопло; щелевой зазор.
Виды отказов
1. Заедание или большой момент за счет различного расширения
в щелевом зазоре.
2. Заедание или большой момент за счет догорания частиц твердого
топлива в щелевом зазоре.
3. Растрескивание сопловых вкладышей за счет различного тепло-
теплового расширения и сжатия материалов.
4. Слиппаж (буксование) или эжекция соплового вкладыша.
5. Эрозия материала в критическом сечении.
6. Разгорание выпускного конуса (соплового раструба).
Из опыта отказов
1. Высокие значения крутящего момента нарушают работу сило-
силового привода.
2. Сильная эрозия графитового соплового вкладыша.
3. Растрескивание соплового вкладыша.
4. Оплавление соплового вкладыша при обтекании потоком газа
с высокой температурой.
5. Расплавление маслосгонного кольца потоком газов высокой
температуры, что приводит к возникновению больших моментов.
Методы контроля
1. Правильный выбор конструкции и материалов с соответствую-
соответствующими коэффициентами теплового расширения.
2. Защита зазора с помощью маслосгонных колец и „резервных*
уплотнений, изменение конструкции топливного заряда с целью
получения соответствующих характеристик потока.
3. Правильный выбор материалов.
4. Выбор конструкции для более прочной .посадки" соплового
вкладыша.
5. Выбор материалов для обеспечения эрозионного барьера.
6. Более высокие требования при контроле качества графитовых
покрытий внутренней поверхности соплового раструба (выпуск-
(выпускного конуса).
82

Варианты замены и предложения
Неподвижные сопла с использованием дефлекторов, поворот-
поворотных сопловых насадок.
Неподвижные сопла с использованием впрыскивания жидкого
топлива.
Примечание. Пример является типовым, и приводимая информация не
претендует на всесторонний охват.
Образец информационного листка о надежности
Агрегат Батарея первичных элементов с автоматической акти-
активацией
Поставщик Заводской номер
(поставщика)
Чертеж № Техническое задание №
Агрегат последующей стадии сборки Бортовая электрическая
система
Подсистема
Конструктивные особенности
Высокое выходное напряжение, серебряно-цинковый гальванический
элемент с активацией от системы давления, малый вес.
Критические характеристики
Время выхода на режим, время активации и успешное возбужде-
возбуждение элементов.
Виды отказов
1. Отсутствие возбуждения.
2. Замедленное возбуждение.
3. Недостаточное выходное напряжение за счет влияния темпера-
температуры.
4. Утечка.
5. Слишком короткое время выхода на режим.
Из опыта отказов
1. Низкое напряжение на выходе при холодных испытаниях.
2. Несоответствие времени возбуждения или отсутствие возбужде-
возбуждения.
3. Разрушение корпуса.
4. Просачивание едкой жидкости через трещины или швы.
Методы контроля
1. Термостатический регулятор для поддержания температуры ба-
батареи в заданных пределах.
2. Улучшение изоляции корпуса батареи.
6* 83

3. Наддув обеспечивается сжатым газом, с помощью поршня, газо-
газогенератора и редуктора.
4. Использование инертных материалов для предотвращения проса-
чавания едкой жидкости.
Варианты замены и предложения
Возбуждение самотеком (под действием собственной тяжести).
Возбуждение разрежением в полости элемента.
Примечание. Пример является типовым, и приводимая информация не
претендует на всесторонний охват.
3.13. ЗАЯВЛЕНИЕ ПЕРЕД ИСПЫТАНИЕМ
Рассмотрим методы обеспечения достоверности дан-
данных (подробно об этом говорится в разделе III). Осо-
Особенно это необходимо на начальных стадиях разработ-
разработки, когда производится большое количество экспери-
экспериментов. Не желательно смешивать отказы, возникающие
в элементах в условиях эксплуатации, с отказами экспе-
экспериментальных образцов или испытываемых при ненор-
ненормальных условиях, например при наблюдении пределов
изменения потребляемых и развиваемых мощностей,
крайних значений окружающих условий, эксперимен-
экспериментальных процессов и т. д. Таким образом, требуется
знать все обстоятельства, которые могут отличать про-
проведенные испытания от нормальных испытаний по про-
программе. Это можно получить, описывая назначение (за-
(задачу) испытания и перечисляя отклонения в заявлении
(см. рис. 14.1; 16.1) перед началом испытания. Необхо-
Необходимо подчеркнуть, что цель этого мероприятия состоит
не в том, чтобы усомниться в полноте охвата вопросов
или ограничить деятельность инженера-разработчика
или испытателя, а в том, чтобы помочь ему выделить
влияние условий проведения эксперимента. Следова-
Следовательно, заключения на основе этих данных станут более
достоверными и оценки надежности более близкими
к действительности.
3.14. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВОДКИ ПО НАДЕЖНОСТИ
И ОТКАЗАМ ДЛЯ РУКОВОДСТВА ПРОЕКТОМ
и конструкторов
Эти сводки периодически, обычно ежемесячно, вы-
выпускают члены группы надежности. Они информируют
инженерно-технический состав и руководство о состоя-
состоянии надежности системы или элементов с точки зрения
84

Образец сводки сообщений об отказах системы
Таблица 3.9»
Наимено-
Наименование
подсисте-
подсистемы
Управ-
Управление
Корпус
Номер
ракеты или
серийный
номер
В-5
В-б
В-5
Местополо-
Местоположение
системы
AR
A6R/AR
AR
Отказ обнаружен
при
Контрольная
проверка
Другие испыта-
испытания
Контрольная
проверка
Другие испыта-
испытания
Контрольная
проверка
Другие испыта-
испытания
Нара-
Наработка или
число
циклов
10 час
20 час
40 час
36 час
X
X
Полное число
отказов
Крит.
1
0
2
3
0
0
глав.
2
3
3
3
1
0
вто-
рост.
4
12
5
16
2
3
Число
включений
в этом
месяце
16
18
22
13
X
X
Число
отказов при
включении
крит.
2
1
1
0
0
0
глав.
— о о о о о

оо
Таблица 3.10
Образец сводного отчета об отказах системы двигательных установок
номер
Серийный
двигателя
02014
02014
02014
02019
02019
Номер испыта-
испытания
546
549
552
513
516
Номер испыта-
испытательного стенда
Е-1
В-9
Е-1
AR
Е-1
АР
G-4
G-4
Дата испытаний
3
5
9
2
20
Результаты
У
У
0
и
и
Продолжительность
испытания
расчетн.
8/12/12
8/10/10
7/156/66
7/40/20
действит.
9/12/13
8/10/12
7/156/4
0/0/0
Температура
окружающей
среды, t°
15
18
29
24
Отказы (включая обнаружен-
обнаруженные после испытания)
время
167
0
название
детали
Маги-
Магистраль.
ГГ—
топл.
бак
номер до-
донесения
0189
0124
тип
отказа
Констр.
Операт.
Описание отказа,
выводы и замечания
Приемные испытания;
модифицированный дви-
двигатель
Не затянута колпач-
ковая (глухая) гайка в
магистрали к топливно-
топливному клапану газогенера-
газогенератора (ГГ), что вызвало
пожар и выход оборудо-
оборудования из строя
Нечаянно нарушены
технические условия
прежде, чем температу-
температура в газогенераторе до-
достигла заданного значе-
значения (ошибка оператора)
Объявлен неприемле-
неприемлемым; проверка допусти-
допустимых пределов

удовлетворения конечных или каких-либо промежуточ-
промежуточных требований. Например, в одном сообщении может
быть указана вероятность полностью успешной работы,
т. е. работы в полном соответствии техническим зада-
заданиям; другая же оценка может дать вероятность успеха
типа некатастрофического отказа, например, способ-
способность совершить полет без внезапного взрыва, т. е. не
требуя соблюдения определенных допусков тактико-тех-
тактико-технического задания. Каждая из этих оценок будет полу-
получена путем применения совокупности различных основ-
основных правил. Необходимо обратить внимание на то, чтобы
все это было доступно приемщикам сообщений. Свод-
Сводки должны быть довольно полными, но без лишних по-
подробностей, чтобы получить достаточную информацию
для вычисления достоверных оценок надежности.
Кроме того, в сводках следует соблюдать четкую
идентификацию для того, чтобы можно было обращать-
обращаться к классификации испытаний и в случае необходимо-
необходимости по ходу исследования их переклассифицировать.
Примеры трех различных типов сводок о надежности
приведены в табл. 3.9, 3.10 и 3.8. В табл. 3.9 представ-
представлена сводка о поведении основных подсистем, испыты-
испытываемых внутри системы, в табл. 3.10 — о поведении ти-
типичной основной подсистемы, испытываемой отдельно
или как части полной системы; в табл. 3.8 — типичная
сводка об отказах элемента.
Четвертым очень важным видом сообщений является
сообщение о состоянии проблем надежности (табл. 3.1).
Это сообщение аналогично тем, которые ежемесячно
рассылаются всем сотрудникам, занимающимся кон-
контролем (§ 3.8), однако в нем перечисляются только кри-
критические проблемы.
3.15. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДОКЛАДЫ ВЫШЕСТОЯЩЕМУ
РУКОВОДСТВУ О СОСТОЯНИИ НАДЕЖНОСТИ
Эти сообщения еще более ограничены, чем рассмот-
рассмотренные в § 3.14, на которых они основаны. Следует ор-
организовать не только выдачу текущих оценок надеж-
надежности и количества критических отказов, но и свести
периодические оценки в таблицы или представить их
в виде графиков, чтобы проиллюстрировать относитель-
относительный рост надежности на различных этапах выполнения
программы надежности.
87

3.16. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СООБЩЕНИЯ О НАДЕЖНОСТИ
Рассмотренные сообщения передаются в соответст-
соответствии с определенными планами; однако на группу на-
надежности возлагаются и другие обязанности, посколь-
поскольку существует много специальных исследований, кото-
которые требуется проводить и о которых необходимо иметь
сведения. Анализ таких вопросов, как исследование мо-
моделей отказов, изучение связи между результатами
опытной эксплуатации и испытаний, пересмотр проектов
с точки зрения надежности, рекомендации для внесения
изменений в конструкцию, теоретические исследования
проектируемых новых систем и т. д., — все эти исследо-
исследования выпускаются в дополнение к тем сообщениям и
отчетам, которые выполняются по программе. Другими
словами, сообщения о надежности не ограничиваются
просто пассивной записью и систематизацией событий
и информации, но и включают более определенную дея-
деятельность и конструктивный анализ.
В заключение заметим, что методы сообщений и ме-
мероприятия, описанные в этой главе, были разработаны
для удовлетворения нужд частной программы. Опреде-
Определенные форматы, мероприятия и приводимые ситуации
могут оказаться не совсем подходящими для какой-либо
заданной организации; но тем не менее подобные идеи
и те же основные принципы позволяют предъявлять ана-
аналогичные требования к большинству систем сообщения
данных о надежности и об отказах.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Culbertson J. E. and Vorhees H. A. Control charts and
automation applied to analysis of field failure data. Proc. 2d National
Symposium on Quality Control and Reliability in Electronics, Wa-
Washington, D. C, 1956, January 9—10, p. 18—46. (available* from Insti-
Institute of Radio Engineers, 1 E. 79th St., New York 21, N. Y.).
Dertinger E. F. Quality control and reliability in guided mis-
missile production. Rutgers Quality Control Conference Proceedings,
ASQC, 1956, p. 85—99.
Eaton W. R. Achieving reliability through integrated quality
control. American Society Quality Control, 4th All-Day Conference,
Dayton Sect., 1960, v. 5, March, p. 13.
M a t о s о f f H. I. Corrective action in a quality control program.
Industrial Quality Control, 1956, v. 12, January, p. 8—12.
Warner W. Д. Benefits of time recording for producer and
consumer. National Convention Trans. ASQC, U959, ip. 597—602.

РАЗДЕЛ П
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
НАДЕЖНОСТИ
Наши знания о каком-либо изделии могут предста-
представить какую-нибудь ценность только в том случае, когда
имеется возможность количественной оценки данного
изделия. К сожалению, надежность устройства представ-
представляет собой характеристику, которую невозможно изме-
р'Ить подобно тому, как измеряются выходные характе-
характеристики или физические параметры устройства. Тем не
менее надежность можно измерять количественно. Это
означает, что суждения типа «это изделие очень на-
надежно» можно заменять более точными суждениями,
например, «с достоверностью 95% надежность изделия
превосходит 90%». На основании эксперимента для ха-
рактеризации качества надежности находятся числен-
численные оценки. Это становится возможным благодаря ме-
методам математической статистики и теории вероятно-
вероятностей, которые позволяют сопоставлять наблюденные,
прошлые, события с будущими подобными им события-
событиями и делать относительно этих последних статистиче-
статистические выводы. Оценки надежности используются затем
так, как если бы это были результаты точных измере-
измерений; следовательно, можно делать выводы о точности
этих оценок, как и в случае прочих параметров. Таким
образом, теория оценки надежности представляет собой
исключительно важный раздел теории надежности.
Однако роль математики в вопросах надежности
отнюдь не сводится к роли измерительного инструмента.
Она также доставляет важный аналитический аппарат,
который с большим успехом применяется для более эф-
89

фективного планирования испытаний как в процессе
конструирования системы, так и при ее приемке. На
примерах будет показано, насколько надежность можно
повысить даже посредством простой перестройки рас-
расположения элементов, обеспечив необходимое резерви-
резервирование, рассчитанное на основании математических
формул. Будет изложен также статистический выбороч-
выборочный метод; читатель увидит, что применение этого ме-
метода позволяет, с одной стороны, сокращать число испы-
испытаний, а с другой,—'получать более достоверную и цен-
ценную информацию. При разработке и конструировании
одним из наиболее важных факторов является инфор-
информация. Если нам удастся сократить время и снизить
стоимость ее добывания, повысить ее достоверность и,
таким образом, уменьшить вероятность неправильных и
дорогостоящих решений, это будет весьма ценно и по-
полезно.

ГЛАВА 4
МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ И ИХ АНАЛИЗ
(НЕМАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ)
Настоящая глава является введением в следующие
главы, в которых будут рассмотрены специальные ста-
статистические методы, имеющие применение в области на-
надежности.
В гл. 2 и 3 уже отмечалось, насколько важно иметь
полные и достоверные исходные данные. В этой главе
мы покажем, каким образом исходным данным придает-
придается статистическая интерпретация; будет также показано
.использование методов теории надежности при конструи-
конструировании систем.
4.1. ВИДЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
Рассмотрим виды исходных данных, на которых мо-
может основываться исследование надежности. Из самого
определения надежности можно видеть, что мы имеем
дело с оценкой вероятности того или иного события.
Можно основываться на том, что смысл самого события
однозначно определен даже в том случае, когда это
определение в какой-то степени произвольно. Например,
интересующее нас событие может заключаться в исправ-
исправной работе какого-то изделия в течение Т сек при окру-
окружающей температуре 6°F или в попадании снаряда
в определенном радиусе от цели и т. д. Если в нашем
распоряжении имеется выборка результатов экспери-
эксперимента, по которым можно непосредственно судить о на-
наступлении интересующего нас события, то после этого
уже сравнительно просто делаются статистические вы-
выводы о всей совокупности (конечно, в предположении,
что выборка была представительной).
91

Рассмотрим, в каком виде будут получаться исход-
исходные данные в приведенных выше примерах.
Во втором примере исходными данными могут быть
просто количество успехов и неудач (отказов) и соот-
соответственно количество попаданий в заданную площадь
и количество промахов. С другой стороны, исходные
данные, относящиеся к первому примеру, будут иметь
более количественную природу. Они могут, например,
быть представленными .в таком виде: «Оборудование
отказало через 500 час исправной работы при темпера-
температуре —60° F».
Использование такой информации зависит от мате-
математической модели, выбранной для описания поведения
устройства; по этой модели делаются выводы о буду-
будущем поведении системы. Следует отметить, что, несмот-
несмотря на сходство приведенных двух видов информации,
между ними имеется весьма существенное различие.
Данные в виде успехов или отказов, не доставляю-
доставляющие никакой информации, помимо факта выполнения
или невыполнения критерия удачи (или неудачи), назы-
называются качественными данными.
Данные, доставляющие дополнительную информацию
какого-либо специального вида (например, факт безот-
безотказной работы на протяжении того или иного отрезка
времени), называются количественными данными.
Иногда желательно отбрасывать дополнительные ко-
количественные данные или использовать их только
с целью классификации результата эксперимента как
успеха или неудачи (т. е. подобно качественным дан-
данным). Подобный подход иногда необходим, несмотря на
то, что он разрушает информацию. Например, нам мо-
может быть неизвестна математическая модель, которая
позволила бы использовать количественные данные
в качестве информации о надежности.
Другой причиной служит наличие нескольких пара-
параметров, доступных измерению, между которыми может
существовать связь, известная лишь приближенно. Если
при этом с надежностью связано несколько параметров,
то в силу сложности вычислений использование подроб-
подробной информации зачастую невозможно или нецелесооб-
нецелесообразно. В таком случае делается качественный вывод
(ycnes или отказ); -при этом для успеха требуется, что-
9?

бы «количественные характеристики лежали в заданных
пределах.
В тех же случаях, когда благодаря опыту или в ре-
результате анализа самих данных имеется уверенность
в подчинении количественных характеристик известно-
известному, тем более простому математическому закону, эти
данные можно с успехом использовать при оценке на-
надежности; такая модель позволяет получать более точ-
точные оценки.
Очевидно, рассмотрение количественных данных ве-
ведет к более эффективному использованию информации;
данное положение обосновывается и математическим
путем. Это особенно существенно в случае дорогостоя-
дорогостоящего эксперимента и ограниченного объема выборки;
имеющихся данных невозмржно^даключить о согласова-
согласовании предполагаемой модели с действительностьнх_-ДКЬ--
j6bie, на первый взгляд, точные ^бдениСмогут лишь иска-
исказить' картину.^Оценки надежности, основанные на каче-
*ствённых"данных, лишены указанного недостатка; к со-
сожалению, трудно сформулировать общие правила, когда
пользоваться качественными, а когда количественными
данными.
В гл. 5 дается обзор некоторых элементов математи-
математической статистики и теории вероятностей в том объеме,
в котором они понадобятся в следующих главах. Поня-
Понятия выборочного пространства, случайных величин и
функций распределения излагаются в таком плане, чтобы
связанные с ними вероятностные соотношения и обозна-
обозначения можно было использовать в качестве аппарата
в алгебраических выкладках, связанных с разными ста-
статистическими моделями.
4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
По виду исходных данных обычно можно заключить,
какой из двух классов распределений вероятностей дол-
должен использоваться для оценки надежности. Этими
классами являются дискретные и непрерывные распре-
распределения. Если надежность рассматривать как параметр,
то, как правило, этот параметр не будет явно входить
в распределение. Исключение составляет биномиальное
распределение, для которого q=\—р представляет
вероятность успеха в одном испытании. В этом случае,
93

т. е. когда единичное испытание определяет интересую-
интересующее нас событие, мы имеем дело с непосредственным из-
измерением надежности. В общем случае, однако, надеж-
надежность следует рассматривать как некоторую функцию
параметров математической модели и перед тем, как
производить какую-либо статистическую оценку надеж-
надежности, необходимо пройти несколько предварительных
этапов. Первый этап — установление типа распределе-
распределения вероятностей, описывающего явление отказа. Вто-
Второй этап — оценка параметров, однозначно определяю-
определяющих закон распределения. Наконец, последний этап —
это совместное использование данных о распределении
вероятностей и полученных оценок параметров этого
распределения с целью получения оценки надежности.
Рассмотрим более подробно все три этапа. Первая
задача состоит в определении вида модели, т. е. в уста-
установлении общего закона возникновения отказов. Напри-
Например, представим себе, что если бы мы могли построить
некоторую функцию всей совокупности наблюдений или
очень большой выборки, то мы получили бы кри-
кривые 'надежности, описывающие поведение устройства.
Кривые надежности можно составить для боль-
большого количества функций: например, число отказов
в зависимости от времени использования устройства,
число отказов в зависимости от числа циклов или от
величины напряжения. Существует также много спосо-
способов получения выборочных данных. Так, наблюденными
данными могут быть наработки между отказами, -количе-
-количество отказов в фиксированном количестве опытов, коли-
количество успехов до первого отказа, общая наработка на
отказ и т. д.
Важно заметить, таким образом, что кроме истин-
истинных характеристик отказов устройства модель отказов
также определяется методом получения выборочных
данных. Примером первого фактора, т. е. действия
характеристик отказов, может служить тот хорошо изве-
известный факт, что так называемые «случайные отказы»
часто следуют показательному распределению, в то вре-
время как «постепенные отказы» часто можно характери-
характеризовать нормальным распределением.
Примером второго фактора — влияния метода полу-
получения выборочных данных — служит то, что для оценки
надежности по такой информации, как «один отказ в п
94

испытаниях», можно пользоваться биномиальным рас-
распределением. Это распределение становится непримени-
неприменимым, если известно, что испытания велись до первого
отказа. Подобные два примера наблюдений, хотя (исход-
(исходны по виду, взяты из двух совершенно различных опы-
опытов. В последнем случае для модели отказов следует
взять геометрическое распределение (§ 6.4).
Модели такого рода могут быть построены из общих
соображений, т. е. при помощи математического опре-
определения вероятности событий, которое наблюдается, или
эмпирически; в последнем случае наблюдаемой картине
отказов для устройства конкретного типа приписывается
тот же характер, что и в ранее наблюдавшихся случаях.
Тем не менее, как в случае теоретической, так и в слу-
случае эмпирической модели используемые наблюдения сле-
следует проверять на соответствие с выбранной моделью.
В результате проверки наблюдений может оказаться,
что в данных имеются искажения или изменился харак-
характер выборочного плана. В последнем случае также мо-
может потребоваться изменение модели для получения
более точного соответствия с имеющимися данными или
для более правильного описания изменившегося зако-
•на, связанного с событием, которое должно наблю-
наблюдаться.
Методика пригонки кривых к распределениям веро-
вероятностей не излагается подробно в книге, однако мате-
материал гл. 6 поможет соответствующим специалистам опи-
описывать законы наблюденных или ожидаемых отказов.
В тех случаях, когда из общих соображений модель
получить нельзя или нет уверенности, что наблюдения
следуют определенному закону, можно построить мо-
модель лишь в процессе проб и ошибок. Эта задача иногда
облегчается различными приемами (нанесением данных
на бумагу, разграфленную специальным образом, пре-
предварительным преобразованием данных), но следует
иметь в виду, что только полная информация может до-
доказать представительность выбранной модели. Понятно,
что эта задача возникает всегда при пригонке кривых
и никогда не является свойственной только .надежности.
Большинство используемых распределений вероят-
вероятностей содержит один, два и в редких случаях три пара-
параметра, полностью определяющих вид кривой распреде-
распределения, ее расположение и другие характеристики. По-
95

скольку свойства таких распределений общеизвестны и
многие из них табулированы, можно делать выводы от-
относительно наблюденных данных, основываясь на на-
нашем знании этих распределений.
Поэтому в гл. 6 приведены различные свойства наи-
наиболее полезных из изученных распределений и их при-
применения к надежности.
После установления общего вида модели, т. е. когда
принято, скажем, распределение Вейбулла, гамма-рас-
гамма-распределение, распределение Пуассона или какое-нибудь
другое, приступают к следующей из отмеченных выше
задач — к задаче однозначного определения распреде-
распределения при помощи параметров. Это сталкивает нас с за-
задачей оценки и связанными с ней статистическими ме-
методами.
4.3. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ НАБЛЮДЕНИЙ
Когда нужно оценить какой-либо параметр посредст-
посредством наблюдения или эксперимента, мы сталкиваемся
с тем обстоятельством, что оценка сопряжена с некото-
некоторой ошибкой или неопределенностью. Например, ;в слу-
случае хороших данных, если в N='10 Независимых испы-
испытаниях 9 успехов и 1 неудача, оценкой истинной вероят-
вероятности R успеха будет 0,9. Однако истинная вероятность
успеха может быть любым числом между 0 и 1; так,
если бы Д была равной 0,1, то происшедшее событие
все же имело бы хотя и малую, но положительную ве-
вероятность. Однако правдоподобно, что R лежит вблизи
0,9; с большой степенью вероятности можно сказать, что
R больше 0,75 или что R лежит между 0,75 и 0,95.
Рассмотрим также пример количественных данных.
Если произведено N независимых испытаний на долго-
долговечность и средняя наработка- на отказ оказалась рав-
равной, скажем, 600 сек, то правдоподобно, что истинное
среднее время исправной работы близко к 600 сек.
При этом чем больше N, тем большей будет уверен-
уверенность в представительности средней наработки на отказ
в качестве оценки истинного значения.
Мы сталкиваемся также с вопросом о точности оцен-
оценки. Знание соответствующего распределения вероятно-
вероятностей и общей теории выборочного метода позволяет со-
сопоставлять оценкам параметров распределений довери-
доверительные пределы.
96

44. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ И ОЦЕНКА
НАДЕЖНОСТИ
В гл. 7 рассматриваются виды оценок параметров
распределений и свойств этих оценок.
Кроме того, важно рассмотреть различные статисти-
статистические приемы получения оценок параметров в терминах
выборочных наблюдений.
Функция надежности, определяемая как вероятность
наступления успеха, получается в результате суммиро-
суммирования или интегрирования по части выборочного прост-
пространства, определяющей осуществление успеха. Функция
надежности зависит от параметров распределения. Так
как в общем случае нам известны не сами параметры,
а только выборочные оценки с определенным разбро-
разбросом, то необходимо исследовать, как эти оценки и харак-
характеристики их разброса использовать для получения оце-
оценок надежности и доверительных пределов. В соответ-
соответствии с этим основное содержание гл. 7 и 8 составляет
оценка параметров и ее связь с оценкой надежности;
в гл. 8 эти вопросы рассматриваются применительно
к распределениям, описанным -в гл. 6.
4.5. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ.
РЕЗЕРВИРОВАНИЕ И ЕГО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
До сих пор мы говорили об оценке'надежности от-
отдельного изделия. Пока оно является отдельной компо-
компонентой или комплексом компонент, его можно рассма-
рассматривать как обособленный элемент. Однако представляет
интерес также взаимосвязь надежности элементов и
влияние этой взаимосвязи на надежность системы.
Если нам дана система, состоящая из элементов
с известной точно или с высокой достоверностью надеж-
надежностью, важно знать, насколько ненадежность элемен-
элементов снижает надежность системы.
Пусть, например, имеется система из двух элементов
с надежностями R\ и /?2. Равна ли надежность системы
произведению R\ на /?2, их- среднему арифметическому,
минимуму или еще какой-то функции от R\ и /?2? Ответ
будет зависеть от функциональной связи между элемен-
элементами и вероятностных характеристик их функционирова-
функционирования в системе. Подобная связь представляет структур-
7—1ПЗ „ 97

Ную надежность системы. В гл. 9 представлены различ-
различные типы структур.
Зная структуру системы, группа надежности может
внести важный вклад в анализ проекта и построение
того или иного изделия. Непосредственным примером
является понятие резервирования, идея которого заклю-
заключается в том, чтобы часть элементов системы могла за-
заменять один или большее число отказавших основных
элементов. Например, два запальника, служащие для
воспламенения горючего в ракетном двигателе; для вос-
воспламенения достаточно, чтобы сработал хотя бы один
из них. Здесь структурная модель дает возможность
подсчитать для проектировщика вероятность успешного
воспламенения или решить обратную задачу: опреде-
определить, сколько резервных запальников необходимо, что-
чтобы обеспечить заданную вероятность успешного вос-
воспламенения.
Аналогичная задача возникает и в случае количест-
количественных параметров. Представим себе ситуацию, когда
для безотказной работы устройства необходимо, чтобы
выходной параметр находился выше фиксированного
уровня. Хотя расчетное значение выходного параметра
может удовлетворять этому условию, в общем случае
будет существовать разброс зпачейий выходного пара-
параметра, вследствие чего возможен отказ. Можно подсчи-
подсчитать вероятность такого события, а следовательно, и ве-
вероятность успеха. Группа надежности также может
установить для выходного параметра уровень в зави-
зависимости от степени разброса, что окажется существен-
существенным для обеспечения заданной вероятности безотказ-
безотказной работы. В данном случае имеется фиксированный
уровень, превышение которого связано с отказом. Одна-
Однако уровень не обязательно остается постоянным. Напро-
Напротив, критический уровень сам по себе может представ-
представлять случайную величину с каким-то законом распреде-
распределения. Примером может служить колебание давления
в камере ТРД, сравниваемое с колебанием прочности.
В этом случае разрывное давление является случайной
величиной.
Если напряжение, вызванное давлением, превосхо-
превосходит прочность, тогда происходит отказ. Применение ана-
анализа надежности с учетом давления и прочности дает
инженеру, занимающемуся надежностью, метод оценки
98

вероятности отказа. Это позволяет предъявлять инже-
инженеру-проектировщику требования к параметрам и обос-
обосновывать различные допуски, чтобы предотвратить от-
отказы недопустимой интенсивности.
4.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В том случае, когда результаты получены по раз-
раздельным испытаниям элементов, помимо статистической
задачи стыковки результатов испытаний возникает так-
также задача правильного истолкования результатов.
Например, изделие, собранное из элементов различных
видов, может обладать свойствами, которые нельзя
определить или выразить в виде функций сходных
свойств отдельных элементов. Так, две системы, во всем
подобные или даже идентичные с точки зрения количе-
количества и видов элементов, могут быть по-разному «упа-
«упакованы». В одной из них под влиянием 'внешней вибра-
вибрации возникнут большие внутренние ускорения, что при-
приведет к отказу элементов, не рассчитанных на такие
условия. В другой системе те же самые внешние условия
не будут оказывать такого действия, так как приняты
предупредительные меры, уменьшающие влияние внеш-
внешней вибрации. Взаимодействие подобного типа наблю-
наблюдается также в случае, когда два элемента, поставлен-
поставленные в систему, создают условия (например, колебание
температуры), при которых может возникнуть внезап-
внезапный отказ одного из них или даже всей системы; .в то
же время каждый элемент в отдельности выполняет
требуемые от него функции.
Примером подобной ситуации служит питание газо-
газовой тепловой турбины. Генератор вырабатывает горя-
горячий газ в камере сгорания, после чего струя газа на-
направляется через сопло к лопастям турбины, приводя
ее в движение. Лопасти турбины насажены на вал вме-
вместе с генератором переменного электрического тока.
Сам по себе газогенератор может быть годным к выпол-
выполнению своей функции — обеспечению на выходе доста-
достаточной производительности. Турбина сама по себе также
может .быть приведена в действие холодным газом, оказы-
оказывающим достаточное давление. Когда же эти две подси-
подсистемы собраны в один агрегат, то горячий газ, поступаю-
поступающий из газогенератора, может проникнуть в оболочку
вала и расстроить смазку подшипников, что приведет
7* 99

к определенному результату. 'Понятно, что при расчете
ведущей подсистемы турбины должна быть обеспечена
нечувствительность к подобному взаимодействию.
Встречается также и «полезное» взаимодействие.
Может случиться, что определенные отклонения пара-
параметра какого-то элемента увеличивают вероятность
безотказной работы другого элемента или создают бо-
более облегченные условия. В [1] приведено интересное
описание полезных взаимодействий в электронном обо-
оборудовании.
Если нужно предсказать или оценить надежность не-
некоторой сложной системы, то следует по возможности
оценить имеющиеся взаимодействия, так как они могут
оказать решающее влияние на надежность всей систе-
системы. В качестве начального шага рекомендуется спроек-
спроектировать систему таким образом, чтобы обезопасить ее
от вредных взаимодействий, а также пока не использо-
использовать и полезных. Однако задача распределения и пред-
предсказания надежности при учете в модели всевозможных
взаимодействий становится весьма сложной в математи-
математическом отношении. Трудности, которые здесь могут встре-
встретиться, рассматриваются в [2]. Упрощенной моделью, по-
полезной для многих целей, служит так называемая мо-
модель последовательной системы из независимых элемен-
элементов; для нее надежность системы определяется как про-
произведение надежностей элементов. Эту модель следует
рассматривать в качестве первого приближения к более
усовершенствованной модели, в которой упомянутые
взаимодействия уже учитываются.
Более того, с точки зрения рекомендованного проекта
с исключенным взаимодействием,.предполагающего!опре-
взаимодействием,.предполагающего!определенную независимость или отсутствие взаимодействия,
для уже имеющегося оборудования предположение о не-
независимости становится более неприемлемым.
4.7. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫБОР И ПОДТВЕРЖДЕНИЕ
НАДЕЖНОСТИ
Инженеры-конструкторы и руководящие работники
часто опасаются, что надежность связана с очень боль-
большим числом испытаний, служащих для подтверждения
ее уровня.
100

Часто для получения необходимой достоверности вы-
высокой надежности нужно произвести большое число
испытаний или циклов. Но, с другой стороны, если по-
положиться на интуицию инженера, то это тоже может
обойтись очень дорого. Например, стоимость подтверж-
подтверждения надежности предохранителя взрывателя мала по
сравнению с риском последствия его отказа тгри уста-
установке снаряда.
Отсюда следует, что очень важно внимательно под-
подходить к планированию и целям испытаний; при этом
испытания нужно рассматривать не обособленно, а как
часть всей программы разработки.
\ Первой функцией испытаний является получение до-
достоверной информации для последующего этапа и, если
это необходимо, для улучшения проекта. Методики, слу-
служащие для оптимизации решения подобной задачи, из-
излагаются в гл. 12 и 13. Однако на различных этапах
осуществления программы разработки возникает необ-
необходимость проводить проверку и оценку надежности при
жестко контролируемых условиях; это необходимо, что-
чтобы получить истинную картину эффективности и надеж-
надежности, не усложненную умозрительными выводами, свя-
связанными с методом испытаний, условиями и непредста-
непредставительными ситуациями. В некоторых случаях необхо-
необходимые этапы испытаний заканчиваются подтверждением
требуемой надежности. Из табл. П.1 (см. приложение)
видно, что минимально необходимое число испытаний
для получения достаточно достоверного вывода должно
быть довольно большим.
Но в этой таблице обосновывается только один вид
выборочного 'плана: N испытаний с допустимым числом
отказов, равным нулю. В гл. 10 исследуются различные
разновидности выборочного метода, а также приводится
ряд практических рекомендаций, полезных при выборе
определенного плана. Подробные выкладки приведены
только для планов, основанных на биномиальных испы-
испытаниях и предположении о показательном распределе-
распределении времени безотказной работы. Помимо нормального
распределения, которое везде широко используется (см.
литературу к гл. 10), а также упоминавшегося показа-
показательного распределения существует несколько выбороч-
выборочных планов, основанных на других распределениях. По-
Показательное распределение играет определенную роль
101

в статистике надежности; но его часто используют без
достаточных оснований. В [3 и 4] показано, что вслед-
вследствие принятия гипотезы о показательности распреде-
распределения, в то время как истинное распределение — типа
Вейбулла, возникают значительные ошибки.
4.8. ПРЕДСКАЗАНИЕ И ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Оценка надежности применяется к исследованию по-
повышения надежности. Надежность, по самой своей 'при-
'природе, связана с предсказанием; в настоящей книге под
предсказанием мы будем понимать будущую проекти-
проектируемую надежность, не основанную непосредственно на
текущих наблюдениях. Значения надежности, получен-
полученные непосредственно по текущим и предыдущим на-
наблюдениям, будем называть оценками надежности.
Связь между предсказанием и оценкой надежности
вводит нас в предмет повышения надежности.
Известно, что при осуществлении программы раз-
разработки на протяжении определенного времени надеж-
надежность, вообще говоря, возрастает. Однако возникает воп-
вопрос о скорости подобного возрастания и о том, приведет
ли оно, в конце концов, к выполнению заданных требо-
требований. Представляется правдоподобным, что надеж-
надежность устройства возрастает благодаря последователь-
последовательности шагов, соответствующих изменениям в конструк-
конструкции элементов, которые служили источником отказов, а
также улучшениям в процессе конструирования. К^оли^
чество и частота подобных шагов будут различными для
разного оборудования. Например, крупные твердотоп-
твердотопливные ракетные двигатели с относительно небольшим
количеством составных частей, создание которых, однако,
связано с решением больших инженерных задач, харак-
характеризуются небольшим-количеством весьма существенных
скачков кривой повышения надежности. Напротив, жид-
котопливные ракетные двигатели, состоящие из значи-
значительно большего количества частей, характеризуются
более высоким начальным уровнем надежности, кото-
который изменяется затем уже значительно медленнее. Ре-
Результаты испытаний, из которых получается величина
надежности, колеблются случайным образом около ис-
истинной надежности, и если информации не слишком
много, то точки, по которым затем нужно строить кри-
кривую повышения надежности, могут обладать значитель-
102

ным разбросом. Эти точки будут также «чувствительны-
«чувствительными» к методу, используемому при оценке. Так, скользя-
скользящее среднее, построенное по сотням точек, будет менее
«устойчивым», чем то, которое 'построено по 200 точкам.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы по инфор-
информации подобного вида построить кривые и попытаться
определить, какие факторы вносят существенный вклад
в повышение надежности. Этот вопрос рассматривается
в гл. 11.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
A. М. A. Ache son. The whole is not the sum of its parts. Proc.
4 th National Simposium on Reliability and Quality Control in Elec-
Electronics, IRE, Washington, .D. C, 1958r 6—8 January. Ом. Ф. И. Б е-
л о в, Ф. С. Соловейчик. Вопросы .надежности радиоэлектронной
аппаратуры. Госэнергаиздат, 1961.
2. J. R. Rosenblatt. On prediction of system performance from
information on component performance. Proc. Western Joint Computer
Conference, 1957, February, p. 85—94.
3. M. Z e 1 e n. Factorial Experiments in life testing. Technomet-
rics, 1959, v. 1, p. 269—288.
4. M. Z e 1 e n and M. C. D a n n e m i 11 e r. Are life testing pro-
procedures robust? Proc. 6th National Symposium on Reliability and
Quality Control in Electronics, IRE, Washington, D. C, 1960, January,
№ 11—13, p. 185—189.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
L i p о w M. Recent advances in rocket reliability concepts. Jet
Propulsion, 1958, v. 28, June, p. 373—377.
L u s s e r R. Predicting reliability. Publication of research and
development division, ordnance missile laboratories, redstone arse-
arsenal, 1957, October.
Wilson B. J. Analyzing missile electric system reliability and
industry, 11956, September, № 26, p. 206—213.
Y u e h, John iH. A developmental approach to reliability in mis-
missile system equipment, IRE Trans. Reliability and Quality Control,
1956, PGRQC-8, September, p. 44—54.

ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей главе дается элементарный обзор основ-
основных сведений из теории вероятностей и математической
статистики. Цель этого обзора состоит в том, чтобы под-
подготовить математический аппарат, необходимый при
исследовании моделей отказов и их применении к зада-
задачам оценки надежности. Сюда включены только самые
основные понятия и применения теории вероятностей и
математической статистики, имеющие непосредственное
отношение к материалу следующих глав. Читатель, же-
желающий углубить свои знания, может обратиться к имею-
имеющейся литературе, например {1—7].
Понятие выборочного пространства дается в § 5.2.
Выборочное пространство представляет собой множе-
множество всех возможных исходов эксперимента и может
быть дискретным (например, успех и неудача) или не-
непрерывным (например, множество действительных чи-
чисел некоторого интервала, соответствующих возможным
результатам измерения выходного параметра).
В § 5.3 кратко описаны соотношения между подмно-
подмножествами выборочного пространства (множествами
исходов или событиями). Понятия случайной величины
и распределения вероятностей для дискретных и непре-
непрерывных выборочных пространств вводятся в § 5.4 и 5.5.
Понятие случайной величины является по существу
очень простым; использование его делает терминологию
теории вероятностей более наглядной. В § 5.5 и 5.6 пред-
представлены функции распределения в случае дискретных
104

и непрерывных распределений. § 5.7 и 5.8 посвящены
некоторым аналогичным аспектам распределений веро-
вероятностей в связи с моментами и моментными производя-
производящими функциями. В § 5.9 представлены двумерные и
многомерные распределения вероятностей. В § 5.10
даются некоторые понятия и применения выборочного
метода. Существенной частью текста являются приме-
примеры и упражнения. Мы советуем читателю всегда убеж-
убеждаться в их понимании, прежде чем переходить к сле-
следующему материалу.
5.2. ВЫБОРОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этом параграфе дается обзор основных понятий
теории вероятностей, начиная с понятий выборочной
точки, события как множества выборочных точек и вы-
выборочного пространства, под которым понимается мно-
множество всех возможных выборочных точек или исходов.
В действительности понятие события включает в себя
все эти три понятия в том .смысле, что событие есть мно-
множество выборочных точек. Оно может состоять из одной
точки, части или всех выборочных точек. Для удобства
рассматривается и такое абстрактное множество, кото-
которое не содержит ни одной выборочной точки; иногда его
называют невозможным событием *. Событие, содержа-
содержащее все выборочные точки, называется достоверным
событием.
Выборочные пространства могут содержать конечное,
счетное или несчетное множество выборочных точек.
В первых двух случаях говорят, что выборочное про-
пространство дискретно, в последнем случае оно называет-
называется непрерывным. Примером конечного выборочного про-
пространства может служить пространство, состоящее из
двух исходов: успеха и неудачи. Приведем пример дис-
дискретного выборочного пространства со счетным множе-
множеством точек. Монета бросается до тех пор, пока не вы-
выпадет герб (Г). Выборочное пространство можно изо-
изобразить как
о1==/:,
ог=нг\
105

поскольку перед тем, как выпадет герб, мыслимо любое
число выпадений надписи (Я). (Логически можно допу-
допустить, что герб не выпадет ни разу; это событие мы обо-
обозначим через Оо.) Мы видим, таким образом, что выбо-
выборочное пространство дискретно.
Примером непрерывного выборочного пространства
может служить пространство, состоящее из всех точек
(действительных чисел) некоторого' интервала. Так,
время безотказной работы устройства, вообще говоря,
может равняться любому вещественному числу. Множе-
Множество всех положительных вещественных чисел образует
выборочное пространство в случае опыта, в котором мы
«запускаем» устройство в момент / = 0 и отмечаем мо-
момент его отказа. Понятно, что в этом случае выборочное
пространство будет несчетным *.
Для понимания следующих параграфов читателю бу-
будет полезно все время представлять себе один или не-
несколько примеров выборочных пространств, событий и
выборочных точек. Один из таких примеров использует-
используется в табл. 5.1. В п. 5.3.3 подробно разобран пример,
иллюстрирующий все положения § 5.2 и 5.3. Однако при
первом чтении этих параграфов понадобится лишь очень
простой пример, который будет приведен в конце их. Мы
настоятельно рекомендуем литературу [6, 7], где можно
найти более детальное изложение и дополнительные
примеры.
5.2.1. Действия с событиями
Пусть А, В, С,... обозначают множества или сово-
совокупности выборочных точек выборочного пространства Q.
Подобные множества были определены в § 5.2 как со-
события. Любому событию Л, т. е. „Л произошло", сопос-
ставляется событие „Л не произошло", называемое про-
противоположным событием или дополнением к событию Л.
Другими словами, дополнение к Л — это множество то-
точек О, не содержащихся в Л. Чтобы выразить, принад-
принадлежность выборочной точки х множеству Л, пишут х?А.
Для обозначения выражения „событие Л содержится в со-
* Интуитивно лучше всего представлять себе непрерывное про-
пространство, как прямую, или плоскость, или я-мерное пространство.
Несчетность же множества точек данного вида пространств является
лишь частным свойством, не связанным с физическими представле-
представлениями (Прим, перев.)
106

бытии В* употребляется другой символ А о В. Послед-
Последнее означает, что наступление события Л влечет за со-
собой событие В. Отношение А с 5 эквивалентно утверж-
утверждению, что из х?А следует х?В. Далее, коль скоро
A(zB и В о А, то А и В должны совпадать, т. е. А=В.
Две основные операции, которые можно производить
с множествами, называются объединением и пересече-
пересечением. Событие AUB называется объединением событий
А и В; его смысл — наступление хотя бы одного из со-
событий А и В (возможно, и обоих вместе). Вместо
этого можно сказать, что если х?А или х?В (или то
и другое), то x?AUB; обратно, если x?AVB, то либо
х?А, либо х?В (либо то и другое). Событие А[\В назы-
называется пересечением А и В; его смысл — совместное на-
наступление событий А и В. Таким образом, из того, что
?А и х?В, следует, что х?А[\В, и если х?А[\В, то
и х?В.
Назовем события А и В несовместными, если А и В
не содержат общих точек, т. е. наступление одного из
этих событий исключает наступление другого. Символи-
Символически это обозначается
0, E.1)
чгде символом 0 обозначено событие, не содержащее ни
одной выборочной точки.
Заметим, что различные выборочные точки (исходы)
всегда несовместны. В табл. 5.1 показаны некоторые
свойства событий и соотношения между ними, в спра-
справедливости которых читатель может убедиться либо
«алгебраически», либо на примере.
Докажем для примера соотношение F) из табл. 5.1,
т. е.
АЩВ(\С) = (ЛиЯ)п(ЛиС). E.2)
Пусть х—выборочная точка, содержащаяся в АЩВ[\С).
Тогда х?А или х?В[\С. В первом случае x?AUB
и x?AUC, откуда следует, что х принадлежит пересе-
пересечению (AUB) и (ЛЫС). Если же х?В(\С, то х содер-
содержится как в В, так и в С. 'Значит, х будет содержаться
в AVB и ЛЫС, а следовательно, и в (AUB)[\(A[\C), как
и в предыдущем случае. Таким образом, мы показали,
что
A U (В п С) С(Л U В) п (Л U С). E.3)
107

Таблица 5.1
Номер
п/п.
1
2
3
4
5
Свойство или
соотношение
(А) = А
А[\А = А
А{]А = А
А[\В = В[\А
AUB=BVA
А[\(В(\С) =
= (ЛПД) п С;
Л U (BUC) =
= (AUB) U С
^n(BUC) =
=(А[\ВЩА[\С)
Формулировка свойства
или соотношения
Дополнение допол-
дополнения А есть само А
(закон инволюции)
Пересечение (объе-
(объединение) А с самим
собой есть опять А
(свойство идемпотент-
идемпотентности)
Коммутативный за-
закон для пересечения и
объединения событий.
Может быть обобщен
на пересечение (объе-
(объединение) произвольно-
произвольного количества событий
Ассоциативный за-
закон для пересечения
(объединения) собы-
событий. Круглые скобки
можно перемещать
произвольным образом
при любом количестве
событий
Дистрибутивный за-
закон пересечения по от-
отношению к объедине-
объединению. Отметим анало-
аналогию с действиями над
действительными чис-
числами, если [\ и U по-
понимать как обычное
умножение и сложение
Проверка на примере
Пусть 2 — множе-
множество исходов при
бросании игральной
кости, т. е. Q — {1,
2, 3, 4, 5, 6}; тогда
положим Л = Л, 2\
В = {2, 3, 4}, С =
= {2, 4, б}, Л=_{3,
4, 5, б\; значит, (^4)=
-{1.2}-А
(ЯПО = {2, 4},
Ап(ВПС) = {2\;
(АПВ) ={2};
(АПВ)пС = {2\;
(BUC)={2, 3,4,6};
AU(BUC)={\, 2, 3,
4, 6};
(Либ) = {1, 2, 3, 4}
(AVB)uc = n, 2, з;
4, 6}Х
ЛП(ВиС) = {2};
(АпВ) U (АпС) =
= {2}П{2} = {2}
108

Продолжёние табл. 5.1
Номер
п/п.
6
7
8
% 9
10
Свойство или
соотношение
АщваС) =
=(AVB)(\(AUC)
AV(AaB) = A
A(\(AUB) = A
1с[В=='А{}В
AVB = А[\В
 = 2
2 = 0
Лп^ = л
лио = л
ЛШ = 2
Формулировка свойства
или соотношения
Дистрибутивный за-
закон объединения по
отношению к пересече-
пересечению. Отметим, что ве-
вещественные числа не
обладают аналогичным
свойством
Законы погашения
Законы двойствен-
двойственности
Дополнение невоз-
невозможного события есть
достоверное событие,
т. е. дополнение собы-
события, не содержащего
ни одной выборочной
точки, есть событие,
содержащее все выбо-
выборочные точки (и на-
наоборот).
Свойства событий 0
и 2. Заметим, что если
0 и 2 интерпретировать
как действительные
числа 0 и 1 соответст-
соответственно, а [\ и U как
обычное умножение и
сложение, то все соот-
соотношения, кроме пос-
последнего, будут иметь
аналогию.
Проверка на примере
Ж1(ВпО={1.2, 4};
(AUB) П (ЛиС) =
= {1, 2, 3, 4}п{1, 2,
4, 6} = {1, 2, 4}
{1, 2}U{2}={I, 2}
{1,2}П{1,2, 3, 4} =
-{1. 2}
ЛпВ = {1,3, 4, 5, 6}
AUB = {3, 4, 5, 6} U
U{1, 5,6} =
= {1, 3, 4, 5, 6}
AUB = {5, б};
ЛП6 = {3, 4,5, б}п
П{1, 5, 6} = {5, 6}
-
109

о.
11
Свойство или
соотношение
' AVA=Q
Аг\А = 0
Продолжение
Формулировка свойства
или соотношения
Соотношения для до-
дополнений. Первое ут-
утверждает, что должно
произойти либо само
событие, либо его до-
дополнение. Второе ут-
утверждает, что событие
и его дополнение не-
несовместны
Проверка на
{1. 2}П{3.
табл. 5.1
примере
4, 5, 6) =
3
Обратное утверждение, т. е.
GA\J(B[\C)
E.4)
устанавливается тем же путем. Отсюда следует, что оба
события эквивалентны.
Подобным же образом устанавливаются и остальные
соотношения.
Упражнение 1. Показать, что если АО В, то А [\В = А, ъ
наоборот.
Упражнение 2. Показать, что если А С В, то A U В = В, и
наоборот.
5.3. ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ
^Вероятностью события Л называется сопоставленное
этому событию неотрицательное число, обозначаемое
Р(А) и обладающее следующими свойствами, которые
рассматриваются как определяющие аксиомы:
Если
л=л1ил2и...
и Ai — попарно несовместные события, т. е.
то
Эти свойства являются основными для исчисления ве-
вероятностей. В частности, последнее соотношение озна-
по

чает, что вероятность должна быть вполне аддитивной;
это означает, что вероятность события, которое являет-
является счетным объединением взаимно несовместных под-
событий, равна просто бесконечной сумме вероятностей
этих подсобытий. (Примером этого может служить рас-
распределение Пуассона E.22)). В том случае, когда под-
события не обязательно несовместны, равенство заме-
заменяется неравенством в широком смысле:
Результат, который предлагается установить в следую-
следующем упражнении, показывает, что в общем случае мож-
можно писать и равенство, если учесть вероятность пересе-
пересечения событий. Обобщение на произвольное количество
событий дается в [1], стр. 88—90*.
Упражнение 1. Показать, что Р (A U В) = Р (А) + Р (В)—
-Р(А[\В).
Это соотношение можно объяснить методом „подсчета" вы-
выборочных точек. Действительно, выборочные точки, входящие
в AU В, — это точки А (в число которых входят точки пересе-
пересечения А и В) плюс точки, содержащиеся в В (также содержащие
пересечение А П В). Таким образом, точки А[\В считались
дважды, а поэтому их следует вычесть. На этом примере видна
определенная эквивалентность понятий „число" и „вероятность".
Может случиться, что каждая из N выборочных точек наделена
вероятностью 1/W; в этом случае количество выборочных точек,
содержащихся в любом событии, деленное на N, численно равно
вероятности этого события. Для сравнения приведем математи-
математическое доказательство рассматриваемого соотношения.
Имеем
А = (А [{В) V(A[\ В),
(AUB) = (A [\~B) U (А п В) U (А п В).
Первое тождество получено при помощи A1) табл. 5.1 и комму-
коммутативного закона C) из той же таблицы: BUB = Q. Затем, по-
поскольку A = A[\Q [A0) табл. 5.1], имеем
* См. также Б. В. Г н е д е н к о. Курс теории вероятностей.
Физматгиз, 1961, гл. 1, упражнение 20. (Прим. перев.)
Ш

Далее, согласно дистрибутивному закону [E), табл. 5.1] мы убеж-
убеждаемся в справедливости первого тождества. Остальные два тож-
тождества устанавливаются аналогичным образом.
События, взятые в скобки в каждой из строк, несовместны;
стало быть, их вероятности просто складываются:
P(B)=P(A(\B)+P(Af\B),
Требуемый результат получается уже чисто алгебраически.
Результат следующего упражнения постоянно при-
применяется при исследовании надежности. Этот резуль-
результат состоит в следующем. Если известно, что событие В
должно наступить, коль скоро наступило событие Л, то
вероятность события А не превосходит вероятности со-
события В.
Например, если электронная схема обязательно от-
отказывает при отказе некоторой лампы, то вероятность
второго события будет меньше или равна вероятности
первого; ведь схема может отказывать и по другим
причинам.
Упражнение 2. Пусть А и В — события выборочного про-
пространства 2. Показать, что если А^В, то
Р(А)<Р(В).
Прежде всего, если А = В, то Р (А) =Р (В). Если же А является
собственной частью В, т. е. существуют точки В, не содержа-
содержащиеся в Л, обозначим через S событие, состоящее из всех таких
точек. Тогда B = AUS, где согласно определению А и S несов-
несовместны. Значит, P(B)=P(A) + P(S). Требуемое неравенство
следует из того, что Р (S) ^ 0.
Иной способ доказательства состоит в следующем. Обозна-
Обозначим 5 = A UB. Тогда S и А несовместны и В = A U 5. Действи-
Действительно, соотношения
S[\A = (А[\В)[\А = А(\ (А п Я) =
= (А[\А)п'В = 0[\В = 0
доказывают несовместность 5 и А, а соотношения
вторую формулу. Остальная часть доказательства остается той
же. Рекомендуем читателю расписать все доказательство шаг за
шагом, всякий раз замечая, какое правило из табл. 5.1 исполь-
используется.
112

5.3.1. Условная вероятность
Понятие условной вероятности вводится следующим
образом.
Пусть Я, А — события выборочного пространства Й.
Предположим, нам известно, что наступило собы-
событие Я. Чему равна вероятность наступления события Л?
Эта вероятность обозначается символом P(AfH) и опре-
определяется формулой
ЯУ^Я) E.5)
(за исключением того случая, когда Р(Я)=0). Смысл
формулы E.5) состоит в следующем. Чтобы найти
условную вероятность А при условии, что наступило со-
событие Я, необходимо просуммировать вероятности всех
выборочных точек, общих для Л и Я, и разделить полу-4
ченную сумму на вероятность события Я. Таким обра-
образом, вероятности, сопоставленные всем событиям, вхо-
входящим в Я, согласно определению вероятностей в пер-
первоначальном выборочном пространстве умножаются на
ЦР(Н)
Очень часто бывает известна условная вероятность
события А при условии, что наступило то или иное из
взаимно несовместных событий. Как вычислить безус-
безусловную вероятность события Л? Будем считать, что на-
наступление события А—это «успех», а Яь Я2,..., Нп —
несовместные события, которые могут привести к успе-
успеху. Будем считать также, что
я1ияаи...ияп=о,
т. е. по крайней мере одно из событий Я непременно
должно наступить (в силу взаимной несовместности
в любом случае может наступить лишь одно из собы-
тий Я). Тогда
=(лпя1)и...и(лияп).
В силу несовместности событий (ЛпЯх)... мы будем
иметь
Р (Л) =%Р {АПН{) = ?/> (А | Hi) P (Hi). E.5а)
i i
8—1113 ИЗ

Упражнение 1. Запускается космическая ракета с целью
попадания на Луну (событие //i), откуда она может доставить
информацию о радиации на Луне (событие Ai). Из-за ненадеж-
ненадежности ракета может выйти на устойчивую орбиту вокруг Земли
с большим эксцентриситетом; в этом случае можно добыть до-
довольно полную информацию о радиационном поясе Ван Аллена
(событие А2). Возможен, конечно, и такой случай Н3, когда ра-
ракета не оторвется от Земли (из-за ненадежности). Запуск будет
считаться успешным, если наступит одно из событий: Ах или А2.
Чему равна вероятность успеха?
По формуле E.5)
Р(А и А 1Н\
Г {Ai U А2 | ni) =
Р ЩА
Р[(А1[\Н1)У(А2дН1))
Но А2 П Нг = 0, т. е. попадание на Луну и доставление хорошей
информации о радиационном поясе Ван Аллена — события несов-
несовместные.
Следовательно,
Аналогично
Р (Ах\1 А2\ Н2) = Р (А2\ Н2).
Наконец,
Таким образом, (из 5.5а) получаем
р (Л, U Аг) = Р (Аг | Нг) Р (Я,) + Р (А% \ Н2) Р (Н2).
Приемлемыми значениями этих вероятностей для 1962/65 г.
могут быть
P(Ht) = 0,70 и
При этих значениях получается Р (Ai U А2) = 0,7975.
Упражнение 2. Электронное устройство состоит из двух
подсистем А и В. Каждая из них проходит предварительный кон-
контроль исправности. Результат 100 контрольных проверок пока-
показал, что подсистема А отказывала 10 раз. Подсистема В отказы-
отказывала, когда А работала, 15 раз. Обе подсистемы отказывали вместе
в пяти случаях.
а) Чему равна оценка условной вероятности отказа А при
условии отказа В1
Ответ: 1/4.
б) Чему равна оценка вероятности отказа Л, сочетаемого
с исправной работой J5?
Ответ: 5/100.
* P(Ai\H1) будет, по всей вероятности, меньше, чем
Р(А2\Н2) из-за возможности повреждения аппаратуры в момент
прилунения.
114

5.3.2. Независимость событий
Два события А, Н называются независимыми, коль
скоро Р(А |//) = Я(А), т. е. в том случае, когда инфор-
информация о наступлении события Н не изменяет вероятности
наступления А. Из формулы E.5) видно, что независи-
независимость можно выразить также равенством
Р(А[\Н) = Р(А)Р(Н)*. E.6)
Если А1У... ,Ап —события, то они называются попарно
независимыми, если при любых 1ф]
Я (А, П Л) = Я (А.) Я (А,). E.7)
Этого тем не менее недостаточно для независимости
таких событий, как, например, Ai[\Aj и Ak, где 1ф\фк.
Для того, чтобы такая независимость имела место, необ-
необходимо ввести некоторое дополнительное соглашение,
а именно соглашение о независимости в совокупности.
Мы скажем, что события А19... ,ЛП независимы в сово-
совокупности, если при любом наборе индексов 1 < /
E.8)
Теоретический пример будет приведен в § 5.4. Из не-
него видно, что события Аи А2 и Л3 попарно независимы,
так что первое уравнение системы E.8) выполнено; одна-
однако последнее уравнение не выполняется, т. е.
- Р (Л П At П Л) ф Р (А) Р (Л2) Р (А,).
5.3.3. Пример (исследование надежности батарейного
источника питания космического корабля)
В космическом корабле батарея должна включаться
после срабатывания воспламенителя (небольшого взрыв-
взрывного детонатора), который воспламеняет заряд твердого
* Последнее определение более 'строго. Действительно, если
Р(Л) — Р(Н)=0, то мы не в состоянии проверить формулу Р(Л/Н) =
=Р(А) или Р(Н1А) = Р(Н), так как в этом случае левая часть дан-
данных формул не определена (Прим. перев )
8* 115

химического топлива. Газы, образующиеся при горении,
заставляют поршень двигаться в цилиндре, выдавливая
таким образом жидкий электролит в корпус батареи и
смачивая пластины. Как только происходит смачивание,
возникает электродвижущая сила, необходимая для ра-
работы различных органов управления космического ко-
корабля. Два воспламенителя соединяются параллельно,
причем при срабатывании любого из них воспламеняет-
воспламеняется топливо. Поршень может заклинить сразу же на на-
начальном участке, где-нибудь в середине цилиндра или
он пройдет без помех всю заданную длину. В последних
двух случаях электролит будет либо не полностью вы-
выдавлен и частично смочит пластины, тогда электродви-
электродвижущая аила будет меньше либо электролит будет вы-
выдавлен полностью, что создаст достаточную э. д. с.
Бывают случаи, когда для успешного управления ко-
кораблем достаточно и этой ограниченной выходной мощ-
мощности.
Событие S, состоящее в том, что на выходе будет
получена достаточная мощность, зависит от появления
следующих событий: А\ и А2—срабатывания хотя бы од-
одного из двух воспламенителей; В—воспламенения топлив-
топливного заряда in нормального горения; Су — нормального
прохождения поршня «по всей длине цилиедра; С2 — за-
заклинивания поршня посредине цилиндра; D\—полного
выталкивания электролита и выдачи полной мощности;
D2 — частичного вытал,кивания электролита и выдачи
неполной мощности; Ех—требуется полмая мощность;
Е2 — необходима только неполная мощность.
Таким образом, событие 5 можно записать следующим
образом:
Поскольку событие Сх влечет за собой Dx и аналогично
С2 влечет за собой D2, мы будем иметь
Qn^-C, и C2flD2 = C2. E.10)
Следовательно, из соотношения E.9) можно исключить
Dv D2\ далее, можно выделить выражение \(АХ UA2)[\B].
116

После этих преобразований E.9) приобретает следующий
вид:
S = [(Л, U А2) П В] П {[С, n (Е, U Еш)\ U [С, П Еш]}. E.11)
Использовав соотношения табл. 5.1, последнее выраже-
выражение можно преобразовать к виду
^fl^n^]. EЛ2)
Мы видим, что выражения в скобках, связанные симво-
символом объединения в соотношении E.12), обозначают не-
несовместные события, поскольку Cl[\Ci = 0, El[\E2 = 0.
Следовательно, при подсчете вероятности Р(S) вероят-
вероятности этих событий просто складываются. Чтобы опреде-
определить вероятность успеха P(S), предположим сначала,
что Ах и А2 статистически независимы и обладают той
же самой вероятностью Р(А).
Тогда
= Р(А)B-Р(А)).
Далее, из физических соображений естественно ожидать,
что событие В (воспламенение и горение) более вероятно
в том случае, когда вместо одного запальника сработают
оба. Необходимо знать P(B\A1U А2). Однако вместо
этой величины в нашем распоряжении может оказаться
величина вероятностей Р(В \ Ахп Д), Р(В\АХ[\ А2),
Р (В | Аг п Д). Поскольку все три условия в этих вероят-
вероятностях несовместны, то определение по ним Р(В\А1ИА2)
не представляет труда.
Вероятности событий Сх и С2 зависят от события
(AXUА2)[\В. Следовательно, нам необходимо знать ве-
вероятности
Замечание. События Сг и С2 несовместны, а значит, они
' не являются независимыми (за исключением того случая, когда
одна или обе вероятности Р(Сг)% Р(С2) равны нулю). (См. сле-
следующий пример).
117

События Ех и Е2 должны быть статистически незави-
независимыми от всех остальных событий.
Предыдущее замечание относится также к Et и Е2У
поскольку их следует рассматривать как несовместные.
Таким образом, вероятность каждого из событий, за-
заключенных в скобки в E.12), например первого из них,
можно записать следующим образом:
[2P(A)-P(A2)][P(B\A1VA2)]X
X [Р {С, | (A, U А2) п В}} [Р (Е,)]. E.13)
В гл. 9 будут рассмотрены более общие структурные
модели, а также приведены дополнительные примеры.
Упражнение. Несовместные события Ct и С2 независимы
тогда и только тогда, когда справедливо соотношение
т. е. когда выполняется указанное событие*. Прежде всего, по-
поскольку
С, п С2 = 0, то Р (С, п С2) = 0.
Докажем необходимость („только тогда"). Пусть Си С2 незави-
независимы. Тогда
Р(С1[\С2)=Р(С1)Р(С2) = 0,
откуда следует, что один или два сомножителя обязаны рав-
равняться нулю. Докажем достаточность („тогда"). Допустим, что
либо P(Ci) = 0, либо Р(С2) = 0, либо и то и другое. Пусть
/>(d) = 0, Я(С2)>0. На основании формулы E.5)
гиг \п\ P(Cj П ^г) /с
Р (Сг | С2) = -pJcT) • E-14)
Но правая часть E.14) есть нуль.
Значит,
и Сь С2 оказываются независимыми по самому определению не-
независимости. Если поменять местами С\ и С2, доказательство
останется тем же. Остается один случай, когда Р(С1) = Р(С2) =
= 0. В этом случае
= 0.0 = 0, E.15)
т. е. по E.6) Ci и С2 независимы.
* Имеется в виду, что если какая-либо формула справедлива,
то ее можно считать «происшедшим событием». Например, можно
в этом смысле считать, что имеет место «событие» {(а+6J=а2+
+2ab + b2}. (Прим. перев.)
118

5.4. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Распределения вероятностей употребляются с целью
описания структуры выборочного пространства исходов
опыта.
По-видимому, наиболее простой пример распределе-
распределения вероятностей возникает при рассмотрении выбороч-
выборочного пространства, состоящего из двух исходов: успеха
E) и неудачи (F) *. Предпочтительнее иметь дело с чис-
числами, а не с буквами. В соответствии с этим противо-
противопоставим букве S число 0, а букве F — цифру 1. Приняв
во внимание, что вероятность, соответствующая всему
выборочному пространству, равна 1, сопоставим собы-
событию 5 вероятность q > О, а событию F—вероятность
/7=1—q. Тогда естественно вероятности q и р сопоста-
сопоставить непосредственно числам 0 и 1.
То, что мы сделали, является, по существу, отобра-
отображением выборочного пространства на действительные
числа, при котором вероятности выборочных точек пере-
переходят в вероятности действительных чисел. Функция,
осуществляющая подобное отображение, в общем слу-
случае называется случайной величиной. Обозначим слу-
случайную величину в приведенном примере через X. Тогда
^(S) = 0= если наступает S, то Х = 0, \
X (F) = 1 = если наступает F, то X = 1 J
и, поскольку
p~l-qy E.17)
мы будем говорить, что
= 0) = q, \
= 1) = р=1-д. I EЛ8)
д.
Заметим, что мы не требуем обязательно взаимно
однозначного соответствия. Например, вообразим себе
выборочное пространство состоящим из трех исходов:
S, F\ и F2, где F\ и F2 обозначают два вида неудачи.
Предположим также, что
=P2 и pi+p2=p.
* Начальные буквы английских слов «success» и «failure»; по-
последнее переводится также как «отказ». (Прим. перев.)
119

Тогда можно рассмотреть соответствие
. X(S) = 0,
X(F1VF2) = l, j EЛ9)
при котором E.18) также будет выполняться. Тем не
менее, отправляясь от нового выборочного пространства
@,1), мы уже не сможем его однозначно отобразить на
первоначальное пространство. Все, что можно сде-
сделать,— это отобразить число 1 снова на множество F\
и F2. Таким образом, выражение «Х=1» дает информа-
информацию лишь ,о том, что произошло либо Т7!, либо F2i либо
F\ совместно с F2y т. е. произошла неудача одного вида
или обоих видов одновременно. Однако можно построить
и иное соответствие. Если важно различать виды не-
неудачи, то можно, например, положить
Г E) = 0, Y(F1) = lf Y(F2) = 2 E.20)
с соответствующими вероятностями 1— р\—р2, Р\ и /?2-
В этом случае соответствие уже взаимно однозначно.
В приведенных примерах мы имеем дело с дискрет-
дискретными распределениями вероятностей на конечном выбо-
выборочном пространстве. Примером дискретного распреде-
распределения вероятностей, в котором выборочное простран-
пространство бесконечно, может служить схема бросания монеты
(§ 5.2). Определим случайную величину X посредством
соотношения X(Oj)=j. Если допустить, что
то мы будем иметь
' :\ f J_ \J : i о
Легко видеть, что сумма всех вероятностей составляет 1.
Одним из наиболее важных дискретных распределе-
распределений является биномиальное распределение (§ 6-2). Это
двухпараметрическое распределение с параметрами п
и р, где п — любое натуральное число, а р — любое ве-
вещественное число от 0 до 1. Биномиальное распределе-
распределение записывается следующим образом:
f = 0, I, 2,...,п.
120

В настоящей книге всюду параметру р приписывает-
приписывается смысл неудачи (отказа) в отдельном испытании,
п обозначает общее число испытаний. Вероятность лю-
любого сочетания исходов (неудачи или успеха) в произ-
произвольной группе из k < n испытаний будет неизменной,
каковы бы ни были результаты остальных испытаний.
Это обстоятельство может служить отправной точкой
определения независимости испытаний; в подобной си-
ситуации будем говорить, что испытания независимы.
Смысл формулы E.21) заключается в том, что ве-
вероятность равенства X = f при п испытаниях дается вы-
выражением в правой части. Возможными значениями X
являются все целые числа от 0 до п. Чтобы вывести
формулу E.21) из определения X, введем в рассмотре-
рассмотрение выборочное пространство всех возможных исходов
как множество наборов и букв S я F (выборочных то-
точек): E, S, ..., S), (F, 5, ..., S), .E, F, ..., S) и т. д. до
(F, /\ ..., F). Случайная величина X отображает на f
множество возможных выборочных точек, содержащих
ровно f символов F (f — целое неотрицательное число).
Вероятность, соответствующая любой выборочной точке
с / неудачами и (п—/) успехами, есть pfqn~K Посколь-
Поскольку всего таких точек
(п\— nl
то общая вероятность, сопоставленная целому неотрица-
неотрицательному числу f, есть
То, что вероятность любого исхода (S,..., F,..., F9 S)
с / неудачами есть
является следствием независимости. Вспомнив, что от-
отдельные выборочные точки представляют собой несов-
несовместные события, мы приходим к E.21).
Пример, При п = 1 получается распределение, уже рас-
рассмотренное ранее:
Упражнение. Каким будет распределение случайной ве-
величины Y = Xjnt где Л'имеет биномиальное распределение E.21)?
121

П р й м ё р. Пусть Xi и Х2 имеют одно и то же биномиаль-
биномиальное распределение с параметрами р и л = 1.
Пусть также
где / = 0,1; ? = 0,1. Показать, что сумма Л\ + Х2 имеет биноми-
биномиальное распределение с параметрами /?, п = 2.
Легко видеть, что событие ^, + А'г = 0 равносильно событию
Xi = 0, ^2 = 0. Следовательно,
Событие Xi + Х2 = 1 равносильно событию
К*. = о) п № = D] Щ(*. = 1) п № = 0)].
Так как события, обозначенные квадратными скобками, несов-
несовместны, то их вероятности складываются.
Следовательно,
Подобное же рассуждение показывает, что
Р(Х1 + Х2 = 2)=рК
Таким образом, вообще
^)W, f = 0, 1, 2.
Обратим внимание на то, каким образом в этом примере исполь-
использовалось соотношение
Р К*. = /) п № = Щ = Р {X, = /) Р № = k).
Это соотношение в точности является определением независимости
двух дискретных случайных величин (/ и k пробегают всевоз-
всевозможные значения соответственно Х\ и Х2).
Упражнение. Воспользовавшись определением условной
вероятности п. 5.3.1, показать, что
Р [(Хг = /) | (Х2 = k)] = P (X, - Я,
тогда и только тогда, когда Хх и Х2 независимые случайные ве-
величины.
Указание. Воспользоваться соотношением
(Х2 = k)] P(X2 = k) = P [(Хг - /) Q (Х2 я k)].
Упражнение. Записать условие независимости в совокуп-
совокупности для п дискретных случайных величин.
Использовать определение независимости в совокупности со-
событий, приведенное в п. 5.3.2.
122

Пример Покажем, что возможен такой случай, когда Хх
и Х2\ Xi и Х3\ Х2 и Х3 независимы и, тем не менее, Хи Х2 и Х3
зависимы.
Пусть каждой из точек A,0,0), @,1,0), @,0,1), A,1,1) сопоставлена
вероятность 1/4. Прежде всего, в общем случае
а также
k
и
р (Х2 = k, Х3 = п) = 2^р (^i = /> ^2 = ^, А', = п).
Аналогично
и т. д. Мы находим далее, что
Подобное же равенство справедливо и для остальных сочетаний
(Xlt Xt) и (Х2, Х9).
Суммируя, получаем
) * ^ 01
а следовательно,
= /, ^Г2 = к) = Я(А-, = /) Р(Х2 = k) = (j)wm(i);
аналогично и для всех остальных сочетаний (Хи Х3) и (X2t X3).
Однако мы имеем, например:
1, Х2 = 1, *3 = О ф Р (Xi = О Р (Х2
~ 8*
123

При изучении непрерывных случайных величин и рас-
распределений вероятностей нам придется снова возвра-
возвратиться к понятию независимости. Другим важным дис-
дискретным распределением является распределение Пуас-
Пуассона.
Л = ^±, Я>0; У = 0, 1,2,... E.22)
00
Упражнение 1. Показать, что V Р (X = j) = 1 (см. § 6.5).
7=0
Упражнение 2. Показать, что формула
= j) = q3-*p, /=1, 2,...,
где q, /?>0 и p-{-q = \y задает распределение вероятностей (это
распределение носит название геометрического распределения).
Упражнение 3. Пусть X обозначает число независимых
испытаний с постоянной вероятностью неудачи /?, которое необхо-
необходимо произвести до первой неудачи. Показать, что X имеет гео-
геометрическое распределение.
Упражнение 4. При тех же условиях найти распределе-
распределение числа испытаний до k-й неудачи.
Ответ:
где /! = *, Л+1,... (см. § 6.4).
5.5. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Мы рассмотрели некоторые наиболее важные дис-
дискретные распределения вероятностей, которые далее бу-
будут употребляться в этой книге. Здесь же мы дадим
определение и приведем некоторые примеры непрерыв-
непрерывных распределений вероятности.
Если мы будем производить какие-либо измерения
(например, длины стержня, веса двигателя ракеты, вы-
выходного напряжения трансформатора и т. п.), то в ре-
результате получится некоторое множество действитель-
действительных чисел, например 2,53; 2,58; 2,50 и т. д. Измеритель-
Измерительный прибор, который мы используем, может быть гра-
градуирован таким образом, что в результате измерений
все время будут получаться дискретные числа. Однако
легко представить себе, что шкала измерения неограни-
неограниченно измельчается, так что результатами измерений
124

длины стержня могут быть числа 2,530663..., 2,579149...,
2,504116... и т. д. Другими словами, можно представить,
что длина может принимать любые значения из неко-
некоторого интервала действительных чисел а<х<Ь. Это
и есть пример непрерывного или несчетного выбороч-
выборочного пространства согласно определению § 5.2.
При любом способе повышения точности измерения
на каждом конечном этапе повышения точности всегда
будут пробелы, т. е. интервалы, состоящие из чисел, не
принадлежащих выборочному пространству. Поэтому
выборочное пространство на практике всегда дискрет-
дискретно*. Таким образом, понятие непрерывного простран-
пространства используется исключительно с целью удобства.
Вместе с тем следует заметить, что это удобство весьма
существенно: в том случае, когда мы имеем дело с «ко-
«количественными» измерениями подобного типа, дости-
достигается значительное упрощение в описании структуры
выборочного пространства.
Если рассматривать непрерывные выборочные про-
пространства как предельный случай дискретных, то мы
обнаруживаем, что, хотя в допредельном случае отдель-
отдельная точка может иметь положительную вероятность,
в пределе вероятность каждой отдельной точки стано-
становится равной нулю**. Тем не менее, если выборочное
пространство есть множество точек интервала а<х<6,
мы должны принять, что вероятность, соответствующая
всему пространству, равна единице. Это приводит к опре-
определению плотности вероятности; для вычисления вероят-
вероятностей при непрерывном выборочном пространстве ис1
пользуется операция интегрирования. Определение плот-
плотности вероятностей (на оси-я) состоит в следующем:
f(x) является плотностью вероятностей, если она инте-
интегрируема,
f(x)>Of — оо<д;<оо,
]f(x)dx=l.
—00
* И, стало быть, не является плотным во множестве действи-
действительных чисел.
** О разрывных функциях распределения см. § 5, 6.
125

Выражение f (х) dx называют элементом плотности
в точке х\ он равен вероятности, соответствующей ин-
интервалу (х, x-\-dx). Вероятность, заключенная в интер-
интервале а<^х<Ь, определяется интегралом
\f(x)
dx.
В случае непрерывного распределения интервалам
a<x<b, a<x<ib, a<\
соответствует та же самая вероятность
к) dx.
В случае разрывного распределения следует разли-
различать интервалы указанных типов: их вероятности не обя-
обязательно совпадают.
Теперь полезно дать определение случайных величин,
как и в случае дискретных распределений. Однако мы
уже не будем строить понятие случайной величины, ис-
исходя из отображения какого-то нечислового непрерыв-
непрерывного пространства на интервалы. Вместо этого в каче-
качестве исходного выборочного пространства будет взято
множество всех вещественных чисел.
Будем говорить, что случайная величина 5 принадле-
принадлежит интервалу (а, Ь), коль скоро а<?^6*.
Будем также говорить о плотности вероятностей ?,
например, f (х), в том смысле, что
и, стало быть**,
ь
Р (а < Л < b) = J/ (х) dx. E.23)
* Общепринятое обозначение интервалов: (а, Ь)^а < х < Ъ\
(a, b) = a<Cx^b; [а, Ь) = а<ьХ<Ь\ [a, b]=:a<sx<ib.
** См. приведенное выше замечание по поводу различных
видов интервалов,
126

Упражнение 1. Пусть
f (х) = Хе
Посредством интегрирования от —оо до + оо следует показать,
что f (х) — плотность (это плотность известного показательного
закона распределения).
Упражнение 2. Использовав вид плотности предыдущего
примера, вычислить F (х) ^ Р (? < х), считая, что случайная вели-
величина ? имеет в качестве плотности f (x).
Функция F(x) = P(t<x) называется функцией рас-
распределения*. Одномерная функция распределения F(x)
обладает следующими свойствами:
1) 0<F(x)<l\
2) F(—oo) = 09 F(oo) = l;
3) F(x) не убывает по х\
4) F(x) непрерывна по х справа в любой точке, т. е.
UmF(x-\-h)=F(x)
Л->0
(А>0)**.
Далее, в том случае, когда F'{x)=f(x) существует и не-
непрерывна при всех х***, f(x) является плотностью ве-
вероятностей и
F(x)= l
Важность свойства 4) будет выяснена, когда в § 5.6
рассмотрим функции распределения для дискретных
распределений.
Хорошо известным примером плотности вероятности
является нормальная плотность, задаваемая формулой
f (х) = Bw V1/2 exp [-(x- rtV&«],
о; а>0, —оо<[л<оо. E.24)
* В отечественной литературе принято понимать под функцией
распределения Р(%<х), а не Р(?< х). (Прим. перев.)
** Последнее свойство принимается в качестве соглашения.
Можно было бы определить F(x) как непрерывную слева.
*** Непрерывность при всех х не обязательна для выполнения
данного свойства, но здесь не будет рассматриваться этот вопрос
(см. [5], стр. 169).
127

Это двухпараметрическое распределение с параметра-
параметрами ци а, где (л оказывается средним, а а — стандарт-
стандартным отклонением случайной величины с плотностью
f(x) *. Если определить нормированную случайную ве-
величину т] посредством формулы
то ч\ будет обладать нормальной плотностью
9(д:) = B«Г1/2е-Л E.26)
где у(х) — нормированная нормальная функция распреде-
распределения, определяемая формулой
Р(ч<х) = Ф{х) = B*Г1/2 j e~umdu. E.27)
—00
Как для <р(л;), так и для Ф(;с) составлены [подробные
таблицы [10], § 6.10.
5.6. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СЛУЧАЕ
ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Для любой случайной величины ? с дискретным рас-
распределением
P<t = Xt)=Pi, * = Ь 2,...,
где
функция распределения F(x) определяется как
F (х) = Р $ < х) = J] Р (? = ЛО. E.28)
Например, если % обладает биномиальным распределе-
распределением с я = 1, то
, 0<*<1, E.29)
, 1<д:<оо#
* Будем говорить также, что распределение обладает средним
ц и стандартным аткло:нен.иам а (!эти понятия определены в § 5.7).
128

Эта функция распределения показана на рис. 5.1. Заме-
Заметим, что
= F(b) — F(a)
при всех а и Ь\ однако, например,
при всех а и Ь. Так, при а = у, Ь —
НО
Вообще, если точке х0 соответствует положительная ве-
вероятность ро = РA=хо), то F(x) при прохождении этой
точки слева направо испытывает «скачок» величины ро.
Обратно, если F(x) в точке х0 терпит разрыв (согласно
F(x)=0,x<0
Рис. 5.1.
определению справа она обязана оставаться непрерыв-
непрерывной) и величина скачка равна рОу то точка х0 обладает
положительной вероятностью Р{1=Хо) =р0. Таким обра-
образом, в случае дискретного распределения функция рас-
распределения представляет собой ступенчатую функцию.
Пример. Как следует записать бесконечный ряд для функ-
функции распределения F (х) общего дискретного распределения E.28)?
Ответ. Пусть в (х — xi)* — единичная ступенчатая функция,
определенная равенствами
в (X — Xi) =
* Эту функцию обозначают также буквой Е. (Прим. перев.).
9—1113 129

Тогда
00
F{x) = ? />($ = *,) = ^] Pi,{x-Xi), E.31)
где
00
Заметим также, что е (дг) представляет собой функцию рас-
распределения, для которого вся вероятность сосредоточена в точке
х = 0.
5.7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ И МОМЕНТЫ
Пусть 5 — случайная величина с плотностью f(x).
Тогда, если g (?) — некоторая функция от 5, то математи-
математическим ожиданием g(i) называется выражение вида
= Е \g E)] = J fir (x) f (x) dx. E.32)
—00
В случае дискретного распределения интеграл заменяется
суммой, и мы имеем соответственно
Е [* (Щ = ]>> (*,) Я E = Xi). E.320
Если g-(E) = En, то an = E(g) называется п-м начальным
моментом случайной величины 6 (или распределения
с плотностью / (х)). При п = 1 получается среднее или
математическое ожидание случайной величины 6:
?(fir)=?(e)=i*. E.33)
Упражнение 1. Показать, что среднее, соответствующее
нормальной плотности, дается формулой E.24).
Весьма полезно рассматривать п-й момент по отно-
отношению к среднему или /г-й центральный момент, который
по аналогии определяется как
цп = Е [(? - f*)»] = J (* - ц)» / (x)dx. E.34)
—00
130

При п = 2 выражение E[(i — ц.J] называется дисперсией 5,
или сокращенно var?, ja2, или чаще о2*. Корень из дис-
дисперсии
называют стандартным отклонением случайной вели-
величины 5.
Упражнение 2. Показать, что параметр а для случайной
величины g с плотностью E.-24) является стандартным отклоне-
отклонением.
Упражнение 3. Показать, что <х2 = ц2 + с2.
Упражнение 4. Показать, что если ? обладает сред-
средним р. и стандартным отклонением а, то у случайной величины
Y] = (? — jx)/c среднее — нуль, а стандартное отклонение — еди-
единица.
Упражнение 5. Пусть функция распределения F (х) опре-
определена формулой
F (х) = *— [ в—'e-^rfa F.35)
r(«)J
при л: > 0, <х>0» Х>0. Найти среднее и дисперсию случайной
величины, обладающей этой функцией распределения. Использо-
Использовать тот факт, что преобразование Лапласа функции fi есть
со
а также соотношение
5.7.1. Неравенство Чебышева
Если известны все моменты распределения, то при
весьма общих предположениях можно показать, что за-
заданным набором моментов обладает только единствен-
единственное распределение (см. [5], стр. 176). Однако уже пер-
первые два момента, E(Q=\i и var|—a2, дают много ин-
* В отечественной литературе принято обозначение D%. (Прим.
перев.)
9* 131

формации о распределении. Это видно из неравенства
Чебышева
Я(|5_ц|>Ь)<-1-, k>0, E.36)
справедливого для любой случайной величины | со сред-
средним \х и стандартным отклонением а. Здесь мы дока-
докажем это неравенство лишь в случае существования
плотности /(*); однако на самом деле оно справедливо
в любом случае ({5], стр. 182) *.
Доказательство. Пусть /С>0. Тогда (х—\*
при х>\*--\-^К и при х<р — УЖ. Имеем
oo
J
Поскольку второй интеграл ^0, то
*> l*(x-vL{x)dx+ °] (x-r)*f(x)dx.{5.38)
-oo V
Так как в интервалах
(-оо, р-УК) и
то правая часть E.38) не увеличится, если заменить
в обоих интегралах (х — \iJ на /С. Следовательно,
а2 > КР E < [х - /Я) + /СР (Е > р + YK)=KP{$— vJ ^ /С).
Поскольку собь1тие (S — |хJ^/С равносильно событию
^, то мы получим
Положив /C=&V, придем к формуле E.36).
* Наиболее простое доказательство неравенства Чебышева дает-
дается в книге М. Лоэва «Теория вероятностей». Изд-во иностранной ли-
литературы, 1962, стр. 19. (Прим. перев.)
132

Более тонкое неравенство (принадлежащее Гауссу)
состоит в том, что если / (х) непрерывна и имеет одну
вершину (вершиной называется точка i = x0, в которой f(x)
достигает максимума), то
±: E.39)
где z2 = <з2 + (х0 —
Если хо = \ь, то
что уточняет неравенство Чебышева. Однако неравен-
неравенство E.39) можно использовать не всегда.
Пример. Пусть ? имеет нормальную плотность. Сравните
верхнюю границу вероятности P(\k — ^|^2с), полученную из не-
неравенства E.39), с вероятностями, взятыми из таблицы нормаль-
нормального распределения (см. § 6.10).
Ответ. Из E.39) верхняя граница получается -д-= 0,11 П. Из
таблиц [10] для нее получается значение 0,0455.
'Почему в этом случае можно использовать неравенство E.39)?
5.8. МОМЕНТНАЯ ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
Моментная производящая функция используется с целью
получения общих формул для моментов случайной вели-
величины (моментов распределения). Моментная производящая
функция (м. п. ф.) случайной величины 5 с плотностью f(x)
определяется равенством
ф @ = Е (е'*) = J e'*f (x) dx. E.40)
—оо
Из этой формулы получаем
(x)dx = l, E.41)
-оо
оо
§f(x)dx = a1 E.42)
— ОО
и вообще
оо
j'nf(Jc)rfj: = en. E.43)
133

Если существуют моменты ао= 1, а1э а2,... , ап,..,, то
<]>(/) можно записать в виде бесконечного ряда
п
Тогда
Имеем
Таким
р и м е р 1.
е«
образом,
Пусть
f(*) =
Ф@
00
= 0 ;
4
0
1
t 2j (л
л=0
я=0
1,ля остальных х.
t^dx— t .
00
+ 1)! Zjn+l
1
E.45)
п\'
^РГ E-46)
Пример 2. Пусть f (л:) — нормальная плотность, определен-
определенная E.24); тогда
00
ф @ = g/L. f e«x e-C/2) IU-W/'1' dje. E.47)
Положим
(х — ц)/а = v, dx = adv.
Тогда
00
ф@ = eW+^"^L- j е-<"-">2/2Л = e«+'"S"- E.48)
—00
Положим теперь ц = 0. Тогда <xn = [j,n, отсюда получим
S
^^^j /2«\ Bя)!
00
а \п /г! /п
134

Следовательно,
(j.n = 0, n=l, 3, 5,...,
' « = 2.4,6,... E.49)
ПримерЗ. Показать, что если т] = я? + 6 иф(?) =
то
?(е^) = еь«ф(аО. E.50)
Таким образом, м. п. ф. нормированной нормальной плотности,
определенной E.26), есть е 2.
В случае дискретного распределения м. п. ф. (см. E.32'))
дается выражением
^Х ^). E.51)
Пример 4. Биномиальное распределение, определенное
E.21), обладает м. п. ф.
п
Ф @ = Jj ( П. ) (ре*)*Яп-* = (д + Р*г)п. E.52)
Упражнение. Какой вид имеет м. п. ф. распределения Пуас-
Пуассона E.22)?
Ответ.
Вычислить среднее и дисперсию.
Упражнение. Найти м. п. ф. показательного распреде-
распределения, задаваемого формулой
{} E.53)
10, дг<0. '
Ответ.
Из E.50) получаем также м. п. ф. распределения слу-
случайной величины ?/#, где п — любая постоянная:
135

Справедливо следующее свойство. Если случайные вели-
величины независимы и обладают м. п. ф. ф2@, то сумме
соответствует м. п. ф.
В частности, если все Х\ одинаково распределены, то
где ф(О = Фг(О при всех *.
Например, мы можем найти распределение случайной
величины
где все Х{ обладают одним и тем же показательным
распределением вида E.53). В этом случае случайная ве-
А
личина б обладает плотностью вида
J
E.54)
0, jc<0,
что можно показать непосредственно, обратив м. п. ф.
при помощи методов обратного преобразования Лапла-
Лапласа. Однако эти методы выходят за рамки нашей книги.
Но можно показать, что iMO является м. п. ф. распре-
распределения E.64). Для этого понадобится лишь прямое пре-
преобразование Лапласа, выкладки с которым более просты.
Между м. п. ф. и плотностью существует определен-
определенное взаимно-однозначное соответствие. Если тем или
136

иным способом удалось определить м. п. ф. интересую-
интересующей нас случайной величины, причем оказалось, что
ее м. п. ф. совпадает с м. п. ф. известного распределе-
распределения, то распределение первой случайной величины будет
совпадать с последним. Теоретическое исследование за-
задачи единственности показывает, что м. п. ф. не всегда
достаточны для указанной цели, поскольку они суще-
существуют не у всякой случайной величины. Поэтому вводят
характеристические функции (х. ф.), определяя их
как ?(e'v), где i = -\-Y—\ (см. [5],гл. 10)*.
Упражнение 1. Показать, что м. п. ф. распределения
E.54) равна ф2 (t) = ( 1 ——] . (Воспользоваться соотношением
>
0
для преобразования Лапласа).
Упражнение 2. Распределение вероятностей суммы k не-
независимых пуассоновских случайных величин с параметром X
является также распределением Пуассона с параметром kX. Обоб-
Обобщить этот результат на тот случай, когда Xit i-= I, 2,. . ., k, раз-
различны.
Упражнение 3. Применить м. п. ф. к биномиальному рас-
распределению. Показать, что если vb v2,. . . ,vft — независимые би-
биномиально распределенные случайные величины с 'параметрами
(nit /?), то Vv* обладает биномиальным распределением с пара-
метрами
5.9. ДВУМЕРНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Двумерные распределения вероятностей возникают
тогда, когда мы хотим выразить вероятность одновре-
одновременного осуществления двух событий, т. е. вероятность
того, что произойдет как одно, так и другое событие.
Например,
* Если в формуле E.40) допустить для t комплексные значения,
то характеристическую функцию можно определить как ty(it).
(Прим. перев.).
137

Как легко видеть, в случае независимости F и г послед-
последнее выражение можно записать в виде произведения
P(F1<F<F2).P(r1<r<r2).
Совместная функция распределения случайных величин
5ц ?2> • • •»%п определяется формулой
F (х„ х„...,хп) = Р & < х» К < хш,..., ln < хп)\ E.55)
Она обладает следующими свойстзами:
1. F(x\y #2, . •., хп) не убывает и непрерывна справа
по каждой переменной.
2. Если любую совокупность переменных, скажем
xky ..., хПу устремить к +оо, то предельное значение
обеих частей E.55) будет функцией распределения (на-
(называемой безусловной)
lim F(xiy x2i...,xn) = G(xli...,xh_1) и
G(xl9.. .9xh^) = P^<xl9.. .,?*-!<**-!). E.56)
Если же все переменные х19..., хп -> +°о, то F -> 1.
3. Если какая-либо из переменных х19... ,хп-+ —©о,
то F-+0*\
Перечисленные выше свойства представляют непосред-
непосредственное обобщение соответствующих свойств одномерной
функции распределения. Чтобы вычислить вероятность
события
мы поступим следующим образом. Имеем
E.57)
* В'место символа »[)" мы будем употреблять в подобных обо-
обозначениях запятую.
** Свойств 1, 2 и 3 недостаточно для того, чтобы данная
функция F(xi, х2, ..., хп) была функцией распределения; необходи-
необходимо добавить условие согласованности. iB случае, когда F(xu x2> .. .,
хп) дифференцируема, последнее сводится к 'неравенству
d*F{xu *2, ...,хп)
fa fa fa ^0, которое должно вьшолнятыся для всех
х\, х2, ..., хп. (Прим. перев.),
138

-Р(Ь„ аж)-
a2).
E.58)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что на рис. 5.2
b бй
вероятность, заключенную
(включая вероятность гра-
граr\<b2) представляет собой
в „юго-западном" квадранте
ниц) с вершиной (Ь1У 62).
P(t<bl9 r\<a2) дает ве-
вероятность юго-западного
квадранта (с вероятностью
границ) с вершиной (Ьи
а2). Аналогичный смысл
имеет и следующий член
Р(^а1У tj<62). Наконец,
последний член „возвра-
„возвращает" вероятность, со-
содержащуюся в юго-запад-
юго-западном квадранте (с вероят-
вероятностью границ) с вершиной (а1У а2), так как эта вероят-
вероятность была вычтена дважды: вторым и третьим членами
E.57),
Если записать
где А1Э Л2>0, то E.58) принимает вид
Рис 5.2.
19 y)-[F{x, y + h2) - F (x, у)]. E.59)
Разделив E.59) на hky мы получим, что в случае суще-
существования частной производной d2F/dxdy в точке (х, у)
при /г, k -> 0 левая часть стремится к плотности вероят-
вероятностей в точке (х, у). Таким образом, мы приходим
к определению плотности в случае двух величин 5, tj,
в терминах их совместной функции распределения:
f(x, У) =
Аналогично при h измерениях
дхду'
дххдх2... дхп *
E.60)
E.61)
139

Две случайные величины йазыв&ются независимыми, если
их совместную функцию распределения можно предста-
представить в виде
F(x, y) = Fl(x)Ft{y)t E.62)
где
Р ( y\ — Нтп F ( y n\
F2(*/) = lim F(x, yj,
а:->+оо
т. е. Fx (x) и F2 (у) — (безусловные) функции распределе-
распределения случайных величин 6 и г\ соответственно. Уравне-
Уравнение E.62) можно взять в качестве определения независи-
независимости двух случайных величин ? и v\. Аналогично выра-
выражение для п случайных величин ?1Э S2, ...,6я в случае
их независимости будет иметь вид
f E-63)
где Fj (Xj) — безусловная функция распределения.
Применив условие независимости к E.58), будем иметь
= [Ft (b,) - Л (a,)] [F2 (b2) - F2 (аш)]. E.64)
Формула E.64) показывает, что в случае независимости
Р (Л, Л) = Я (Л) Я (/,), E.65)
где /ь /2 — полуинтервалы вида а<?<6. В точности
так, как при обычном умножении, E.65) сохраняет
смысл не только для интервалов, но и для любых точеч-
точечных множеств, которым приписана вероятность. Мы уже
использовали E.65) в том случае, когда каждый из
Л, /2 состоял из одной точки. Это свойство сохраняется
также в том случае, когда Л, /2 обозначают конечные
или счетные множества точек в случае дискретного вы-
выборочного пространства.
Пример. Пусть X mY независимы и биномиально-распре-
биномиально-распределены с параметрами п = 2 в каждом случае и соответственно
/?! и /72. Чему равна вероятность того, что ни одна из этих слу-
случайных величин не будет равна нулю?
140

Ответ.
Р (X ф О, У ф 0) = А {X ф 0) Р2 (У ф 0) =
= [1 -Р, (Л" = 0)] [I -Я2 (У = 0)] = A -<??) A -<?!).
Если совместная плотность существует, то в общем слу-
случае
F (х, У) = j j f (t, u) dudt. E.66)
—00 —00
Формула E.66) утверждает, что двойное интегрирова-
интегрирование совместной плотности по заштрихованной области
дает совместное распределение ? и ч\. (Безусловное) рас-
распределение получим, положив в E.66) у—юо:
^(х)= J dt[ j f (t, u)du] = jjWdt E.67)
—00 —00 —00
(аналогично и для F2 (у)). В E.67) ft (x) представляет собой
(безусловную) плотность ?:
JЛ. E.68)
—00
Аналогично
Uy)=]fV,y)dt E.69)
—оо
— (безусловная) плотность -ц.
В случае независимости величин ? и yj применение
E.60) и E.62) дает
f() h{)h{y). E.70)
5.9.1. Условные распределения
Предположим, что случайная величина приняла значе
ние из интервала #<*!<# + ?• Условная вероятность
того, что Ь<х, будет при этом условии равна
x y+k -
[ j f(t, a) dudt
z^-Л E.72)
y+k v '
f f2(u)du
у
141

или
y+k х
ty u) dt\
. E.73)
~ir \ tAu)da
У
Если теперь положить k —> 0, то правая часть E.73) перей-
перейдет в
X
\ fit, y)'dt
и мы получим
X
dt
J f (^ У)
^|, = у) = г»7_ • E.74)
Последнее выражение называется условной функцией рас-
распределения I при условии, что 7} = у.
В случае независимых 5 и т]
так что E.74) принимает вид
E.75)
и вероятность события Кх не изменяется при любых
гипотезах относительно т\, как и должно быть при неза-
независимости.
Возвратимся к уравнению E.74). Продифференцировав
его по х, мы получим плотность 6 при условии ч\ = у:
Упражнение 1. Показать, что уравнение E.74) опреде-
определяет функцию распределения.
142

Упражнение 2. Найти f (у\х) по f i (х) и f (x, у).
Упражнение 3.
/ 2(х + у — 2ху), 0<*<1, 0<#<1,
\ 0 для всех остальных (л*, у).
Найти безусловную плотность, совместную и условные функции
распределения. Какой вид имела бы совместная плотность, если
бы величины были независимы, но с темы же безусловными плот-
плотностями?
Упражнение 4. Показать, что аналогом E.68) для ди-
дискретных распределений будет (в случае двух распределений)
равенство
%>xit *) = </;)• E.77)
5.9.2. Ковариация
В гл. 7 и 8 при оценке надежности, связанной с рас-
распределением вероятностей (в частности, с распределе-
распределением времени безотказной работы), мы будем использо-
использовать оценки параметров одномерных распределений ве-
вероятностей. Если в исходное распределение входят два
(или более) параметра, их оценки следует рассматри-
рассматривать как случайные величины, поскольку эти оценки
являются функциями от наблюдений (см. § 5.10). В об-
общем случае эти случайные величины не независимы.
Оценка надежности сама будет функцией оценок пара-
параметров; чтобы найти ее дисперсию, необходимо вычис-
вычислить ковариацию (меру степени зависимости) оценок
параметров. В следующем параграфе представлены
основные формулы для вычисления ковариации и коэф-
коэффициента корреляции (безразмерной ковариации). Рас-
Рассмотрим две случайные величины ? и т] с совместной
плотностью f(x, у). Ковариация случайных величин I и
ц определяется как
cov E, -г)) = J J (х - р.) (у - ц„) f (х, у) dxdy, E.78)
где /:($) = цх, ?(yj) = ^ — средние соответственно 5 и -ц.
Для дискретных распределений употребляют аналогичную
формулу
^^ = Хич = У}). E.79)
143

В любом случае ковариацию можно записать через
математические ожидания
cov F, i) = E [F - ця) (, - Ив)]. E.80)
Выражение E.80) можно упростить, раскрыв скобки:
cov (S, tq) = ? [Syj — ixxtj — р.^ -J- ft^l = E (Ц) — P*l\- E.81)
Упражнение 1. Использовав E.78) или E.79), вывести
E.81) из E.80).
В том случае, когда 5 и tj независимы, (q)№fy/
так что cov (S, т]) = 0. Однако в общем случае ковариация
может быть как положительной, так и отрицательной.
Упражнение 2. При помощи E.78) и E.70) показать, что
?(!••/)) == Е (?) Е (iq) ^=цхцу, если $ и yj — независимые случайные
величины (обратное не всегда верно; см. [1], стр. 222).
Коэффициент корреляции р(Е, г\) определяется так:
рМ=^?ЦУЬ E.82)
F var 5-varTQ
Можно показать, что — 1 <р< 1 [см. [5], стр. 263—264].
Если p=rhl, то говорят, что между величинами $ и -ц
существует полная корреляция. Более точно, $ можно
с вероятностью 1 представить в виде линейной функции tj
(и наоборот) тогда и только тогда, когда p = dzl.
Упражнение 3. Найти коэффициент корреляции случайных
величин 5 и t| с совместной плотностью
2(х + у— 2ху),
О для остальных (х, у)
[см. упражнение, помещенное перед E.77)].
Упражнение 4. Найти дисперсию а\ + 6iq, где а и b — по-
постоянные.
Ответ:
var (a% + br\) = a2 var $ + b2 var yj If 2 а& cov E, iq).
144

Упражнение 5. Найти дисперсию Svj, предполагая, что ?*
и т]2 некоррелированы.
Ответ:
var (S, т)) = р?х var т) + \>?у var S + var I var т) —
— cov(?, т)J — 2н.я|ху cov (S, vj).
5.10. ТЕОРИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Выборка связана с тем, что в процессе повторения
случайного опыта появляется последовательность на-
наблюдений или измерений. Понятие случайного опыта
основано на понятии выборочного пространства, которое
было введено в § 5.1 как множество всех возможных
исходов опыта.
Пусть | обозначает исход случайного опыта. Если,
например, опыт заключается в бросании одной монеты,
то мы предварительно договариваемся, что выборочное
пространство будет состоять только из двух исходов:
выпадения герба (Г) и надписи (Я). Значение понятия
«случайный опыт» состоит в том, что до опыта мы не
знаем, какой будет исход опыта. Однако существуют
вполне определенные, хотя, возможно, неизвестные, ве-
вероятности любого исхода опыта (см. § 5.3). Таким об-
образом, величина g является функцией опыта; мы будем
говорить, что это случайная функция или чаще случай-
случайная величина, поскольку до опыта невозможно с опреде-
определенностью сказать, какое значение она примет. Как бы-
было показано в § 5.4, всегда можно случайную величину ?
считать действительным числом, построив отображение
(Г, Я) на числа 0 и 1 соответственно. Тогда, например,
вместо выражения «монета упала гербом вверх» можно
говорить «наблюденное значение ? равно 0».
5.10.1. Простой случайный выбор—случайная выборка
Процесс простого случайного выбора имеет свое
определение. Рассмотрим сначала серию п случайных
опытов (п бросаний монеты, п измерений диаметра
стержня и т. п.) *. Исходы можно представить себе как
* Двумерная случайная величина (например, диаметр и длина
стержня) будет рассматриваться, как два < наблюдения на каждом
шаге опыта. Заметим также, что речь идет об одной случайной ве-
величине. Все п случайных опытов состоят в одном и том же; не мо-
может быть такого, чтобы в первом опыте бросали монету, во вто-
втором — игральную кость и т. д.
10—ШЗ ч 145

серию действительных чисел хи х2, ..., хп: в первом
опыте мы наблюдаем 1=хи во втором 1=х2 и т. д. Сле-
Следовательно, Хи %2, ..., хПу если их рассматривать до опы-
опыта, очевидным образом связаны с «порождающей» слу-
случайной величиной g*.
Будем считать, что имеется процесс простого случай-
случайного выбора, если выполнены следующие два условия:
1) вероятность любого отдельного исхода (например,
выпадения герба) не меняется от опыта к опыту и
2) случайные величины хи ..., хп независимы в совокуп-
совокупности (см. § 5.9). Говорят также, что множество наблю-
наблюдений хи ..., хп образует простую случайную выборку
(или, короче, случайную выборку).
« Случайные величины х{ находятся к случайной вели-
величине ? в том отношении, что они имеют с ней одно и то
же распределение вероятностей. Таким образом, основная
функция распределения F(x) = P(i<x) = P(Xi<x); i —
= 1,...,/г (см. § 5.4).
Существует много других видов выборочной про-
процедуры, которые можно найти в учебниках по прикладной
статистике: последовательная выборка, цензурирован-
ная выборка, расслоенная выборка, целевая (purposive)
выборка, выборка по группам и др. В частности, в [8] и
[9] можно найти описание приемов, употребляемых для
достижения случайности, а также описание перечислен-
перечисленных видов выборок. С первыми двумя видами выборок
мы познакомим читателя в гл. 10.
* Мы будехМ также употреблять термины: основная случайная
величина, основная совокупность, основное распределение и г. д.
Употребляется также выражение «генеральная совокупность».
(Прим. перев.)
И6

5.10.2. Эмпирическое распределение
Ьсюду в этой главе речь будет идти только о про-
простом случайном выборе. Определим эмпирическое рас-
распределение (или выборочное распределение) как рас-
распределение вероятностей, которое получилось бы, если
бы каждой точке х\, ..., хп была приписана вероятность
ио
0
1
п
in
V,
1 1
1 i
хг хз
п i
• • • L
1
| |
1 1
1 1
1 |
.1 1
И
• - х,
1—1
1
*77
Рис. 5.4.
1//1. Это распределение, очевидно, дискретно, а следова-
следовательно, его функция распределения ступенчата; она
имеет скачки величины \\п в каждой из точек х\, • •., хп
(см. § 5.6). На рис. 5.4 дан вид эмпирической функции
распределения F*(x) случайной выборки.
Заметим, что наблюдения xl9...9xn у нас расположены
в порядке возрастания1: хх <х2<.. .<хп. Аналитически
функцию F*(x) можно выразить формулой
E.83)
в которой
= — оо, хп+1 =
С другой стороны, если v обозначает число наблюдений,
не превосходящих х, то
F*(x)=±. E.84)
1 Не обязательно, чтобы в процессе наблюдения величины | они
следовали в том же порядке.
10* 147

Таким образом, F*(x) является частотой события
в п опытах; вероятность этого события составляет F{x)y
где F(x)—функция распределения основной случайной
величины |. Очевидно, F*(x), будучи функцией исходов
опытов, сама является случайной величиной. Важность
F*(x) состоит в том, что при больших выборках
(я—+оо) F*\(x) при любом фиксированном х сходится по
вероятности к F(x). Смысл указанного свойства в том,
что, взяв достаточно большую выборку, можно с веро-
вероятностью, произвольно близкой к единице, определить
основную функцию распределения с произвольной сте-
степенью точности. Сформулированное утверждение дока-
доказывается в п. 6.22. К сожалению, в общем случае высо-
высокая точность требует очень большого количества наблю-
наблюдений (см. п. 6.2.2, 6.2.3).
5.10.3. Выборочные моменты
Отвлечемся на время от случайной природы вели-
величин Xj и будем считать F*(x) фиксированной. Вслед-
Вследствие E.32) и замечания в начале п. 5.10.2
(Хг)\ E.85)
Отсюда следует, что если g(i^) = T^k7 то k-и началь-
начальный выборочный момент равен
аъ = Е (т1*к) = —Л.л:.. E.86)
i
Аналогично k-и момент относительно среднего или k-и
центральный момент
тк = Е [(т^ — a^k] = — y](xi — ai)k- E.87)
Будем различать выборочные моменты и моменты
основного распределения, используя для первых латин-
латинские буквы (aky /72ft, ...), а для последних — греческие
(ад, (ift, ...). Выборочное среднее получается по форму-
формуле E.86) при /г = 1. Его обычно обозначают через т или х.
1 Здесь ц* понимается как случайная величина с функцией рас-
распределения F*(x). Суммирование производится от 1 до п.
148

Выборочная дисперсия дается выражением т2 по фор-
формуле E.87); ее обычно обозначают через s2. Выпишем
эти формулы *:
1S< E-88)
E.89)
Вспомним теперь, что наблюдения являются случайны-
случайными величинами с общей функцией распределения F(x),
свойственной основной случайной величине g, средним \х
и дисперсией а2 (см. § 5.7). Тогда выборочные моменты
E.86) — E.89) сами будут случайными величинами, как
функции случайных величин Х\, ..., хп. Очевидно, рас-
распределения вероятностей выборочных моментов одно-
однозначно определяются основной функцией распределе-
распределения F(x). Далее, выборочные моменты сами обладают
моментами, однозначно определяемыми той же функ-
функцией. Мы рассмотрим только первые два момента
[?(•) и var(-)] выборочных моментов х и s2. В ([5],
гл. 27) можно найти способ вычисления любых момен-
моментов выборочных моментов произвольного порядка **.
Прежде всего отметим три свойства математического
ожидания. Первое из них состоит в том, что математиче-
математическое ожидание суммы любого конечного числа случай-
случайных величин, независимых или зависимых, равно сумме
их математических ожиданий. Это свойство в общности,
достаточной для наших целей, получается из формул
E.32) и E.32/) применением элементарных свойств ин-
интеграла (или суммы) (интеграл суммы равен сумме
интегралов). Второе свойство состоит в том, что мате-
математическое ожидание произведения любого конечного
числа независимых в совокупности случайных величин
равно произведению их математических ожиданий. Это
* Иногда смешивают выборочную дисперсию E.89) с несмещен-
несмещенной оценкой дисперсии а2 основного распределения. Несмещенная
оценка а2 обозначается через s12 (гл. 5—9), причем s'2=[n/n—l]s2
(см. также п. 7.4.4).
** См. И. В. Дунин-Барковский и Н. В. Смирнов.
Теория вероятностей и математическая статистика в технике (об-
(общая часть). Гостехиздат, 1955. (Прим. перев.)
149

Следует из тогб, что многомерный интеграл можно пред-
представить в виде повторного интеграла ([5], стр 173). Третье
свойство констатирует, что при умножении случайной
величины на постоянную математическое ожидание так-
также умножается на эту постоянную, Данное утверждение
также следует из свойств интегралов и сумм. Мы обо-
обозначим перечисленные свойства соответственно С7, С2
и СЗ.
Упражнение. Показать, что: а) математическое ожидание
постоянной равно этой же постоянной, б) дисперсия постоянной
равна нулю.
Из уравнения E.88) при помощи С1 и СЗ получаем:
Е (л) = 4- J[? (Xi) = ^ = ji. E.90)
Это показывает, что математическое ожидание выбороч-
выборочного среднего равно среднему основного распределения.
По определению второго центрального момента
(§5.7),
) = Е[(х — \»)*]. E.91)
• В силу С1, СЗ (пункт (а) последнего упражнения)
и формулы E.90)
— 2?Е (Зс) + ^2 = Е (х2) — 2ц.2 + [х2 = Е 0?) — ц2. E.92)
Теперь остается найти Е(х2). Имеем
s E-93)
E-94)
/—1
Kj
В силу С5, для первой суммы в скобках имеем
= /г(^2 + а2). E.95)
150

Вторая сумма состоит из п (п, —1)/2 произведений
2
где / и / различны (все слагаемые вида х2 вошли в пер-
первую сумму); поэтому хг и Xj независимы. Но тогда
в силу С2 Е(XiXj) = E(Xi)E(Хэ) = р-\*. = р2. Суммируя,
получаем
2П (П 1) 2 ,
Учитывая коэффициент l/п2 за скобками и СЗ, придем
к выражению
= P2+ir. E.96)
Окончательно, учитывая E.92) и E.96),
var ?) = -?. E.&7)
Таким образом, дисперсия среднего случайной выборки
равна одной л-й дисперсии основного распределения.
Очевидно, при достаточно большом д разброс х можно
сделать сколь угодно малым. Следствие этого свойства
выборочного среднего дается в п. 7.2.2.
При помощи подобных же выкладок можно показать
(см. [5], стр. 347—348), что
E(s*) = ^o\ E.98)
^ E.99)
Если F(x) — нормальная функция распределения со сред-
средним ja и дисперсией о2, мы находим, что р,4 = 3а4 [см.
формулу E.49)]. В данном случае var(s2) сводится
к 2з*(п—\)/п2.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В. Феллер. Введение ib теорию вероятностей и ее прило-
приложение. Изд-во иностранной литературы, 1964.
2. Е. Р а г z e n. Modern probability theory and its applications.
John Wiley and Sons, Inc., New York, 1960.
151

3. A. M. Moo d. MTioduoti'on to the theory of statistics. McGraw-
Hill Book Company, Inc., New York, 1950.
4. A. H. В о w к e r and G. J. L i e b e r m a n. Engineering sta-
statistics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1959.
'5. Г. Крамер. Математические методы статистики. Изд-во ино-
иностранной литературы, 1948.
6. G. В i г k h о f f and S. MacLane. A survey of modern alge-
algebra. The Macmillan Company, New York, 1947, ch. IK
7. J. G. К e m e n y, H. M i г к i 1, J. L. S n e 11 and G. L. Thomp-
Thompson. Finite mathematical structures. Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N. J., 1959, ch. 1—3.
8. F. E. С г о x t о n and D. J. С о w d e n. Applied general sta-
statistics, 2d ed. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1955.
9. W. E. D e m i n g. Some theory of sampling. John Wiley and
Sons, Inc., New York, 1950.
10. Tables of normal probability functions. National Bureau of
Standards. Applied Mathematics Series, 23, 1953.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
H о е 1 P. G. Introduction to mathematical statistics. Second Edi-
Edition. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1954.
S i e g e 1 S. Nonparametric statistics: for the behavioral Sciences,
McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1956.
Uspensky J. V. Introduction to mathematical probability.
McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1937.

ГЛАВА б
МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Как было выяснено в гл. 5, меры (вероятности) та-
таких событий, как события «устройство функционирует
исправно», «время безотказной работы устройства пре-
превосходит Г», «выходной параметр (параметры) устрой-
устройства лежит (лежат) в заданных пределах» и т. п., а так-
жэ сочетаний подобных событий определяются распре-
распределениями вероятностей. Все три перечисленных собы-
события можно выразить как простое событие «успеха» и
назвать их вероятность «надежностью». Однако при
определенных законах отказов для различных целей
можно оценивать не само событие «успеха», а какие-
нибудь связанные с ним события. Почти тривиальным,
но очень характерным примером является оценка веро-
вероятности «успеха», как единица минус отношение числа
отказов к общему числу испытаний.
Другим примером, который уже не столь прост и
тривиален, может служить оценка, связанная с собы-
событием «время безотказной работы превосходит Г». Преж-
Прежде всего, мы можем интересоваться только двумя собы-
событиями: 1) устройство отказало ранее Т (неудача) и
2) устройство проработало время Т (успех). Подобная
ситуация в точности эквивалентна ситуации предыдуще-
предыдущего примера. Однако пространство можно расширить,
отмечая моменты времени, когда происходят отказы.
Чтобы иметь возможность использовать эту дополни-
дополнительную информацию для оценки вероятности события
153

«время безотказной работы больше Г», требуется дета-
детализировать функции распределения времени безотказ-
безотказной работы с соответствующим выборочным простран-
пространством {/>0}. Выбор подходящего распределения можег
оказаться сложной задачей, поскольку аналитический
вид распределения зависит от «механизма» отказов кон-
конкретного устройства. В результате большой эксперимен-
экспериментальной работы показано, что существует небольшое ко-
количество распределений вероятностей, возможность
применения которых почти универсальна. Особую важ-
важность для теории надежности представляет показательное
распределение времени безотказной работы. В настоя-
настоящей главе на основании правдоподобных математиче-
математических и физических предпосылок будут введены показа-
показательный и другие законы времени безотказной работы.
Одним из методов вывода подобных распределений
является использование интенсивности отказов. Вывод
основывается прежде всего на принципе нахождения
простейших функциональных видов интенсивностей от-
отказов. Основанием такого подхода служит то обычное
обстоятельство, что простые предположения позволяют
получать широко применимые результаты. Другая ис-
используемая модель связана с так называемым «процес-
«процессом рождения и гибели» (см. [1], стр. 434) *. Замеча-
Замечательно, что простое обобщение процесса чистой гибели
приводит к другому выводу показательного закона,
галша-распределению, а также комбинированному экс-
поненциально-гамма-распределению времени безотказ-
безотказной работы.
Почти все подобные распределения времени безот-
безотказной работы допускают определенную нормальную
аппроксимацию (см. § 6.10).
Нормальное распределение в очень общих случаях
применимо к описанию оперативных характеристик или
выходов устройств. В самом деле, если замечено откло-
отклонение от нормальности, то это рассматривается как слу-
случай определенной разладки; обычно находится причина
отклонения и оно устраняется. Таким образом, в широ-
широком классе случаев для оценки таких событий, как, на-
* По поводу процессов рождения и гибели см. М. Б а р т л е т т.
Введение в теорию случайных процессоз. Изд-во иностранной лите-
литературы, 1958. (Прим. перев.)
154

пример, «проводимость лежит в определенных преде-
пределах», применимо нормальное распределение.
iB тех случаях, когда конкретное математическое вы-
выражение распределения времени безотказной работы
или выходного параметра априори неизвестно либо его
использование трудно или неудобно, всегда можно вер-
вернуться к наблюдению «успехов» и «неудач». Подобная
модель является очень общей; она связана с биномиаль-
биномиальной схемой испытаний. Даже в случае такого по виду
простого распределения, как биномиальное, можно по-
показать, что выбор модели распределения зависит от схе-
схемы опытов, т. е. от выборочного пространства. Так, если
количество испытаний заранее фиксировано, можно при-
применять биномиальное распределение; однако, если опыт
производится до получения определенного числа отка-
отказов, следует применить отрицательное биномиальное
распределение.
Характерно, что в подобном случае, когда модель
распределения дискретна, обнаруживается примени-
применимость при определенных предельных соотношениях нор-
нормального распределения; последнее позволяет вычис-
вычислять «биномиальное» вероятности. Это еще раз говорит
об универсальности нормального закона.
Поскольку модели дискретных распределений пред-
представляют большую общность, опишем их в первой части
этой главы, а затем в параграфах, о которых уже упо-
упоминалось, займемся непрерывными моделями.
6.2. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Биномиальное распределение уже было введено
в § 5.4, где мы установили, что если» производится N не-
независимых испытаний с вероятностью неудачи (F) и
успеха (S) в каждом из них соответственно р nq=l—р,
то число у неудач в N испытаниях подчиняется биноми-
биномиальному распределению с параметрами N, р:
Очевидно, число успехов в /V испытаниях есть N—v. Так
как событие N—v = k эквивалентно событию v = N—к,
то эти два события имеют одинаковые вероятности. Та-
155

ким образом, в силу F.1) распределение числа успехов
в N испытаниях выражается формулой
>N~kq\ F.2)
т. е. мы заменим / в F.1) на N — k. Если обозначить
\ — N — v, то, использовав известное тождество
?) <б-з>
можно привести F.2) к виду
}Nk. F.4)
Таким образом, число успехов g подчиняется биноми-
биномиальному распределению с параметрами N, q.
Пр"й заданном значении р между 0 и 1 формулы
F.1), F.4) позволяют вычислять вероятность произ-
произвольного фиксированного числа неудач или успехов
в условиях опыта, сформулированных вначале этого па-
параграфа. Важно заметить, что N должно быть либо фик-
фиксировано в начале опыта, либо быть независимым от
результатов каждого испытания. Формулы F.1) или
F.4) не будут иметь смысла, если, например, мы реши-
решили бы проводить испытания до появления первой «не-
«неудачи».
В качестве примера представим себе, что нам извест-
известна надежность R = q управляемого снаряда; пусть она
равна 0,90. Чему равна вероятность того, что из 10 за-
запусков будет по меньшей мере 9 успешных? Событие Е,
которое нас интересует, представляет собой объединение
двух событий: «ровно 9 успехов» и «ровно 10 успехов».
Таким образом,
Р(Е) = Р [($ = 9) U F = 10)]. F.5)
Каждое из этих событий является точкой выборочного
пространства всевозможных исходов 10 испытаний. По-
Поскольку события несовместны, то вероятность их объ-
объединения равна сумме их вероятностей.
156

В силу F.4)
=-10 @,387) @,10) + 1 @,349) F.6)
или
= 0,736. F.7)
Если N велико, подобные вычисления становятся чрез-
чрезвычайно громоздкими даже в том случае, когда число
успехов ненамного отличается от N. Поэтому составле-
составлены таблицы сумм биномиальных вероятностей (см., на-
например, |[3]), которые в таких случаях приносят боль-
большую пользу.
6.2.1. Моменты биномиального распределения
Выше E.52) было показано, что моментная про-
производящая функция распределения числа неудач F.1)
равна
<М0 = (<7+/?е0" ' F.8)
Дифференцируя F.8) по / и затем полагая / = 0, мы
получим, как видно из результата § 5.8, среднее случай-
случайной величины v. Так,
F.9)
l = Npt F.10)
поскольку q-\-p=\.
Дифференцируя повторно и полагая f = 0, получаем
второй начальный момент
ф" (t) = N(q + ре*)"'1 ре* + N (N -1) (q + p^)N'2p2^
FЛ1)
и
ф" @) = Np + N(N— l)p2
или
2. F.12)
157

Стало быть, дисперсия или второй момент v относитель-
относительно среднего равен
var v = E (v2) — Е2 (v) = Npq. F.13)
Моменты высших порядков можно определить тем же
способом, однако выкладки сильно усложняются.
Среднее Np есть математическое ожидание числа не-
неудач при N испытаниях. В предыдущем примере, где
<7 = 0,9, а значит, р = 0,1, следует ожидать одной неудачи
при 10 запусках снарядов. Более общий факт состоит
в том, что при увеличении числа опытов N общее число
неудачных запусков, отнесенное к jV, будет в некотором
смысле сходиться к /7 = 0,1. Это является проявлением
теоретической закономерности, носящей название зако-
закона больших чисел.
Рассмотрим вывод этого закона.
6.2.2. Закон больших чисел
С целью установления закона больших чисел исполь-
используем неравенство Чебышева (п. 5.7.1), доказанное нами
лишь в случае непрерывных случайных величин, но
в действительности справедливое для любых распреде-
распределений, обладающих первыми двумя моментами. Будем
применять неравенство Чебышева к случайной величине
v/N, для которой E(v/N) ~p и var(v/W) =pq/N. Согласно
неравенству Чебышева в данном случае
^, FЛ4)
где k — произвольное положительное число. Положив
f получим
Из последнего неравенства видно, что для любых сколь
угодно малых е>0 и б>0 найдется такое N (равное
pq/e2d или следующему за ним целому числу), что на-
наблюдаемая частота v/N будет отличаться от р больше,
чем на е, лишь с вероятностью, меньшей б. В этом слу-
случае говорят, что случайная величина v/N сходится по
158

Ёероятности к постоянной р. Например, для наперед
фиксированных 6 = 0,01, 8 = 0,01 и /? = 0,1 при
вероятность отличия частоты от вероятности, большего,
чем 0,01, меньше 0,01.
В случае, когда р неизвестно, мы можем воспользо-
воспользоваться тем же неравенством, заметив, что всегда
<-^-; отсюда получается оценка N>l/4e2b.
6.2.3. Нормальная аппроксимация
Результат, выраженный формулой F.15), может
быть заменен более точным выражением, связанным
с предельной аппроксимацией биномиального распреде-
распределения нормальным распределением. Мы ограничимся
формулировкой этого результата *.
При больших N
\][(VM FЛ6)
где Npq должно быть больше, скажем, 25, а Ф обозна-
обозначает нормированную нормальную функцию распреде-
распределения
^| F.17)
Интересно численно сравнить F.16) с предыдущим
примером. Приравниваем правую часть F.16) величине
6 = 0,01 и находим N из таблицы нормального распре-
распределения ([2]; см. также § 6.10). Имеем
O,O1=2[1-<&(JL/JV)], F.18)
* Имеются и значительно более общие формы подобного пре-
предельного закона {см., например, W. iF е 11 е г. On the normal approxi-
approximation to the binomial distribution. Ann. math, statist., 16, A945),
Э19Э29]
159

откуда N получается примерно равным 5970. Хотя Npq =
= 5,4 намного меньше 25, мы может гарантировать, что,
скажем, 7000 наблюдений уже будет достаточно для
«близости» частоты неудач к истинному значению р =
= 0,1 в смысле F.15).
/ 6.2.4. Несмещенная оценка
Предыдущие выкладки показывают, что желатель-
желательный для практики результат, заключающийся в близо-
близости частоты неудач (успехов) к истинному значению не-
ненадежности (надежности), получает теоретическое обо-
обоснование. Таким образом, коль скоро число испытаний
достаточно велико, наблюдаемое отношение числа
неудач (отказов) к числу испытаний будет сколь угод-
угодно точной оценкой значения р. Можно показать, что оцен-
оценка v/N обладает некоторыми желательными свойствами,
которые требуются от оценок (см. § 7.2). В частности,
она является несмещенной, т. е. ее математическое ожи-
ожидание в точности равно значению оцениваемого параме-
параметра, каково бы ни было N:
F19)
ш-"и-^Р^Ч= F.20)
Np 1Г1 A
Окончательно
Elir)=P. F-22)
поскольку сумма в F.21) равна 1 как сумма вероятно-
вероятностей всех возможных исходов N—1 испытаний. Более
подробно вопросы, связанные с оценками, будут рас-
рассмотрены в гл. 7.
160

6.3. МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если опыт вида, рассмотренного в § 6.2, допускает
большее, чем 2, число исходов, мы приходим к некото-
некоторому простому обобщению биномиального распределе-
распределения. Допустим, что опыт состоит из независимых испы-
испытаний, каждое из которых может иметь k несовместных
исходов; вероятности /?ь ..., рк соответствующих исхо-
исходов не меняются от испытания к испытанию;
Пусть vi, V2, . .., Vft обозначают количества исходов при
N испытаниях, в которых произошло соответственно
1, 2, ..., k-e событие. Тогда
называется мультиномиальным распределением; это
будет совместное распределение случайных величин
k k k
Располагая общим мультиномиальным распределени-
распределением F.23), можно получить различные безусловные и ус-
условные распределения, а также коэффициенты корреля-
корреляции любой пары случайных величин.
Упражнение. Показать, что среднее и дисперсия v,- да-
даются формулами:
где gj = 1 — fj.
В качестве примера использования мультиномиального
распределения покажем, что
cov(vlf v2) = — Np1p2.
Сначала найдем безусловное распределение двумерной
величины (Vj, v2). С этой целью перепишем F.23) как
11—1113 161

n1!...nft.,!(/V — л, —...— nft_,)!
где
совместное распределение только vx,..., vft_j, поскольку
' F24)
/ = 1 /=1 7=1
Просуммируем сначала по всем возможным значениям
V».,:
У. х
i!... nh-2\(N
\(N — пх — .. . —
(N— /Zi — ...~/2ft-2 — AZfe
F.25)
F 26)
так как согласно известной формуле бинома Ньютона
F.27)
Сравнивая F.26) с F.24), мы замечаем, что они имеют
Тот же вид, с тем лишь отличием, что в F.26) не вхо-
входит vft-1. По индукции получаем
ч М ft fcj\Piptf
Р (Vl = п1У v2 = n2) = „lW(tf-„,-,,.), . F.28)
где
162

Поскольку
cov(vlf va) = ?(vlf v2)
мы должны найти ?'(v1v2).
гЛ^К = «1. *, = »,). F.29)
Сначала просуммируем по п2
\-Рг-рг)"-п^п> ,6щ
Можно переписать F.30) следующим образом*:
/2а=0
n,!(iV —л, —1)!
F.32)
Просуммируем теперь по t
N=2
Л—
- 2)!
F.33)
= p2PlN(N-\), F.34)
* Переходя от F.30) к F.31), мы заменяем нижний предел сум-
суммирования с 0 на 1, так как это слагаемое есть 0 благодаря наличию
множителя п2. Тогда п2[п2\ можно записать, как 1/(/г2—1)! Затем
подстановкой я2=/+1, изменяется индекс суммирования, после чего/
снова переобозначается на п2. Наконец, все выражение умножается
и делится на (N—rii—1)! Формула F.32) получается из F.31) при
помощи бинома Ньютона. Подобные же преобразования применяют-
применяются и для получения F 33); в этом случае верхний_предел суммиро-
суммирования заменяется, поскольку при \/(N—nx—2)!=0 при nx=N—\.
11* 163

откуда
cov(vlf v2) = N(N —
= -#AA. F.35)
что и требовалось доказать.
Коэффициент корреляции [см. E.82)] равен
или
Чтобы убедиться в том, что | р (vx, v2)|<l, заметим, что
поскольку А + А^Ъ-то рг<\—р2 и /?2<1—рх\ зна-
значит, /72/A — р2)< 1 Ъ р2/(\ —р1)<\. Из соображений
симметрии следует, что для получения cov(vb Vj) и
p(vt-, Vj) следует лишь заменить индекс У на i и 2 на /
в выражениях F.35) и F.36).
Одним из применений мультиномиального распреде-
распределения является нахождение распределения вероятностей
наименьшего (наибольшего) члена выборки, произве-
произведенной из непрерывной совокупности (см. п. 9.3.2). Дру-
Другое применение к вычислению надежности получается
следующим образом.
Предположим, что возможными исходами испытаний
на надежность могут быть не просто успех и неудача
(отказ), но сам отказ рассматривается как объединение
взаимно несовместных событий Fu F2, ..., Fn. Каждое
из событий Fj связано с определенным видом отказа.
Однако к определению Fj следует подходить осторожно,
следя за тем, чтобы каждому испытанию соответствова-
соответствовало не более одного Fj.
Для любой модели, в которой используется мульти-
мультиномиальное распределение, можно получить оценки
параметров /?ь ..., рк-\ в виде pj=Vj/N\ эти оценки
являются несмещенными и сходятся к истинным значе-
значениям pj, /=1, 2, ..., k—1. Случайные величины vj/N
также обладают предельным распределением, аналогич-
аналогичным F.16); это распределение — многомерное нормаль-
нормальное распределение. Подробности читатель найдет в ре-
рекомендованной литературе.
164

6.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим модель, в которой производятся биноми-
биномиальные испытания, но выборочное пространство отлично
от того, которое было принято в § 6.2. До этого коли-
количество испытаний было фиксировано заранее; наблюдае-
наблюдаемой случайной величиной было количество отказов.
В этом параграфе мы поступим наоборот — фиксируема
и будем производить независимые испытания до тех
пор, пока не произойдет с, отказов. Тогда количество v'
испытаний до с отказов будет случайной величиной
с распределением
где п = с, ? + 1,...; р и q обозначают вероятности от-
отказа (неудачи) и успеха в каждом отдельном испытании.
Чтобы вывести формулу F.37), заметим следующее.
Событие, состоящее в том, что с-к отказ произойдет
в п-м испытании, эквивалентно сложному событию: при
п—1 испытаниях произойдет с—1 отказов и в п-м испы-
испытании— еще один отказ.
Поскольку события независимы, то соответствующие
вероятности
(::¦:)¦
следует перемножить, что и дает F.37). Иногда удобнее
ввести новую случайную величину gsv—с\ | равна до-
дополнительному количеству испытаний сверх с, необхо-
необходимому для окончания опыта. Кроме того, | имеет
смысл количества успехов до с-го отказа.
Имеем
F-38)
165

или, принимая во внимание, что
fk + c —
¦c-l\_fk + c-l\
«qh, E.39)
где ? = 0', h 2,...
Можно показать ([1], стр. 61), что
где
f—c\ (— c)(— c— 1)... (— с —
Тогда уравнение F.39) принимает вид
*{-qY F = 0, 1, 2,...). F.40)
Распределение F.40) называется отрицательным би-
биномиальным распределением, так как правая часть
представляет собой общий член разложения по степе-
степеням q выражения рс{\—q)~c.
Заметим, что g (или v) можно рассматривать как
«время ожидания» до с-то отказа, если каждое испыта-
испытание занимает единицу времени, например, испытание
производится ежесекундно.
При с=\ формула F.39) имеет вид
k)=qkp; F.41)
это уже рассмотренное нами геометрическое распреде-
распределение.
166

k=0
6.4.1. Среднее и дисперсий
Среднее и дисперсию случайной величины проще
всего получить из формулы F.40). Имеем:
00
Е ®=S * G)ре {~l)hqh = F-42)
-?)* = F.43)
?№-аГс}= F.44)
F.45)
и окончательно
?(?) = —, F.46)
так как /7=1—q. Например, при р = 0,Ю и с=1 следует
ожидать 0,9/0,1=9 успехов или всего 10 испытаний до
первого отказа.
Дисперсия | получается из соотношения
E2{%). F.47)
Таким образом, нам нужно найти
°(- 1)V= F.48)
F.49)
167

Второе слагаемое в правой части F.49) согласно F.42)
и F.46) равно qc/p. Первое слагаемое составляет
(}ЧГе Я%Рсс^-A-д)^-1= F.50)
q)-*-= F.51)
c(c+\)q*
Таким образом, на основании F.47) получим
F.52)
^_^=^. F.53)
Следовательно, случайная величина S с распределением
F.39) или F.40) имеет математическое ожидание qc/p
и стандартное отклонение \fqcjp. Заметив, что случай-
случайная величина v = S -]— с имеет среднее с/р и стандартное
отклонение
6.4.2. Применение отрицательного биномиального
распределения
Пусть теперь необходимо вычислить вероятность то-
того, что до с-го отказа будет произведено не более п
испытаний (включая испытание, на котором наступил
с-\\ отказ). Эта вероятность получается из F.37) сум
мированием по v = c, c+'l, ..., п:
п
Р (У <П) = J] ^~[) p*qi-*. F.54)
i=c
Чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим события
и Хп^с, где Хп имеет смысл числа отказов в п испы-
испытаниях. Очевидно, эти события эквивалентны, а следо-
следовательно, имеют ту же вероятность. Вероятность послед-
последнего события есть
п
Р (*„>?) = ?Q/?^4 F.55)
j=c
168

поскольку Хп обладают обычным биномиальным рас-
распределением. В результате из F.54) и F.55) получает-
получается интересное тождество:
j=c
Располагая таблицей функции распределения бино-
биномиального закона, можно найти правую часть- F.56),
а стало быть, и левую.
Пример. Чему равна вероятность того, что до третьего от-
отказа необходимо произвести по меньшей мере 50 испытаний, если
/? == 0,1? На основании F.56) искомая вероятность Р равна сумме
50
г^1)^'040'9^^ F'57)
50
=SE/0)@'1)j (o'9Mo~j- F-58)
/=з
По табл. ([31, стр. 69) находим, что Р = 0,88827.
6.4.3. Несмещенная оценка р
Если р неизвестно, то его можно оценить из опыта,
в котором биномиальные испытания повторяются до по-
получения с-го отказа. В этом случае несмещенной оцен-
оценкой р будет
* с>1
где п — количество произведенных испытаний. При с=1
(геометрическое распределение количества испытаний)
несмещенная оценка Ихмеет вид
F-60)
Чтобы установить справедливость формулы F.60), обо-
значим р в зависимости от п как fn; потребуем, чтобы
169

0<fn<l. Тогда для того, чтобы р была несмещенной,
А
должно быть Е(р) = р, так что
fn4n'lP F.61)
ИЛИ
оо
l = y.fnqn-K F.62)
Формула F.62) должна представлять тождество отно-
относительно q, a fn должны быть постоянными, не завися-
зависящими от q. Вследствие этого, продифференцировав обе
части по q, получим
оо
~~ F.63)
л=0
Правая часть есть степенной ряд по q> сходящийся в ин-
интервале 0<|<7|<1, а следовательно, это регулярная
функция q. Таким образом, коэффициенты ее степенно-
степенного ряда определяются однозначно и в данном случае
они должны быть нулями. Следовательно, fn=0 при
п>2. Наконец, использовав F.61) или F.62), мы ви-
видим, что /i = l, откуда и получается F.60).
Формула F.59) устанавливается следующим обра-
образом. Имеем:
=р 2J [c-~-y-lqn-{c-l)- F-65)
п=с—\
Выражение под знаком суммы представляет вероятность
того, что до с— 1-го отказа произойдет п испытаний; та-
170

ким образом, сумма по всем возможным п равна 1. Сле-
Следовательно,
Е(р) = р, F.66)
что и требовалось доказать. Можно также доказать [4],
А
что /?, определяемое формулой F.59), является един-
единственной несмещенной оценкой р.
6.4.4. Предельные показательные распределения
и гамма-распределение
При помощи предельного перехода от геометрическо-
геометрического распределения можно перейти к показательному рас-
распределению (п. 6.8.1). В первом случае случайная вели-
величина представляет собой количество испытаний до пер-
первого отказа, во втором случае — время безотказной ра-
работы. Чтобы осуществить переход от одного к другому,
предположим, что испытания производятся со все боль-
большим и большим темпом. Если при этом вероятность от-
отказа в каждом испытании стремится к нулю, то время
до первого отказа также будет стремиться к нулю. Что-
Чтобы получить предельный процесс, заметим сначала, что
^ q>-lP = (l-p)n. F.67)
/=л + 1
Далее, введем новую величину z=ivM и предположим,
что pt=X&t, где Я — постоянная. Тогда элемент вероят-
вероятности случайной величины z будет равен
= Р (уД* >t) — P (vM > t + dt) — F.68)
= A — Ш)т — A— XU)m+dm = F.70)
= A — Ш)т* [1 — A —XAtf'% F.71)
171

При Д/->0 правай часть F.71) будет стремиться к
е~Х' [1 — 1 + Ш + о (dt)]. F.72)
Следовательно,
/ (/) dt = te~udt -f о(Л). F.73)
Окончательно, разделив обе части на dt и устремив dt
к нулю, получим
Яе-*, F.74)
т. е. плотность вероятности показательного закона.
Аналогично распределения количества испытаний до
ого отказа имеет в качестве предельного распределения
распределение с плотностью
Этот закон носит название гамма-распределения
(п. 6.9.2.1).
6.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Распределение, Пуассона — это пример дискретного
распределения на'бесконечном счетном выборочном про-
пространстве. Точками выборочного пространства будут
числа 0, 1, 2, ...; распределение Пуассона определяется
формулой
P(v = fl)= *леГ , /г = 0, 1, 2, ... F.76)
л! Я>0.
Поскольку
00
"А.еА=1, F.77)
формула F.76), очевидно, определяет собственное
распределение при любом положительном значении па-
параметра X.
В приложениях v обычно обозначает «число собы-
событий» в ситуации, когда имеется большое количество
источников возникновения события, однако каждый из
них приводит к событию лишь с малой вероятностью.
172

Например, много сотен элёментоб контура управлений
снаряда чувствительны к вибрации среды. Предполо-
Предположим, что «критические» пики ускорения возникают во
времени с определенной частотой б и что для любого
элемента существует малая вероятность р того, что ве-
величина ускорения будет больше «критического» уровня,
достижение которого приводит к отказу элемента. В фи-
фиксированном интервале / нам следует ожидать примерно
dpt отказов. Далее, если отказ одного или большего
числа элементов за время операции Т приводит к отказу
всего контура, то надежность контура управления опре-
определится вероятностью отсутствия отказов за время Т
R = e~^T. F.78)
Выражение F.78) представляет просто нулевой член
распределения Пуассона F.76).
Хотя приведенный пример несколько более сложен,
чем это необходимо для иллюстрации, заметим, что обе
величины (р и 6) можно определить в конкретных опы-
опытах; оба эти параметра различными способами умень-
уменьшают, что приводит к увеличению надежности. В общем
смысле формула F.78) выражает закон взаимодействия
элемента со средой, где внутренние свойства элемента
характеризуются параметром р, а свойства среды — па-
параметром б.
В п. 6.8.1 будет дана иная интерпретация формулы
F.78), связанная с введением случайной величины т —
времени безотказной работы. Отсюда получается, что
F.78) есть вероятность того, что т будет больше Т для
показательного закона распределения т. Величина бр
называется интенсивностью отказов; она равна обрат-
обратной величине к среднему времени безотказной работы.
Упражнение. Показать, что v, определенная формулой
F.76), имеет среднее X и стандартное отклонение VK
Воспользовавшись замечанием, приведенным после фор-
формулы F.77), мы, естественно, будем ожидать, что бино-
биномиальное распределение F.1) в пределе стремится к
распределению Пуассона, когда количество испытаний N
увеличивается, а вероятность р отказа в одном испытании
становится малой. -Для доказательства положим N -> оо',
173

/?-^0, йо так, чтобы Мр-+Л*. Тогда F.1) можно перепи-
переписать следующим образом:
F.79)
Далее,
Л ( \ 1 \N ~T~ 1) //> QA\
\f ) ~(tf — f)\~T(N+\— f)' [p.oV)
Поскольку
F.81)
(см. [5]), то
Это эквивалентно следующей записи:
F.83)
Значит, можно записать
F.84)
Следовательно, при JV—>со
P(v = f)-^^^. F.85)
Если наблюденные значения v в k незавиримых испыта-
испытаниях равны, соответственно v1 = nl, v2 = ^2, ..., vft = /^ft,
то несмещенной оценкой параметра Я будет
1 ^^ F.86)
* Как обычно, о (f (АО) обозначает функцию Л^, стремящуюся
к нулю быстрее, чем f (N), т. е. о (f (N))lf (N) -*0 при N-*oo.
Функция оA)-*0 при N -» со. Обозначение Np-*\ означает, что
p \IN + (\lN)
174

Упражнение 1. Группа надежности некоторого предприя-
предприятия получила отчеты об отказах клапанов за 10 рабочих дней.
Количество отказов было равно соответственно 3, 3, 2, 5, 4, 3, 2,
1, 3, 4. Чему равна оценка интенсивности отказов в расчете на
один день?
Ответ:
Упражнение 2. Найти оценку вероятности Ро того, что
за один день не произойдет ни одного отказа.
Ответ:
Упражнение 3. Пусть получена дополнительная информа-
информация, что в течение одного дня было в среднем N = 500 переклю-
переключений клапанов. Найти оценку вероятности безотказной работы
клапана при одном переключении.
Ответ:
X
R=\—p~.\ — ^ = 0,994.
Пример. Предположим, что в результате предыдущих ис-
А
пытаний была получена оценка R = 0,97. Тогда можно сделать
заключение, что 80% отказов не было доложено. Дальнейшее
исследование группы надежности может обнаружить что доло-
доложены только „безусловные- отказы, в то время, как в предыду-
предыдущих отчетах давались сведения как о безусловных, так и о „ча-
„частичных" отказах.
Упражнение 4. Считается, что управляемый снаряд функ-
функционирует безотказно, если не произойдет ни одного отказа его
многочисленных элементов, функционирование которых можно
считать независимым. Информация по 10 запускам показывает,
что количества отказов были соответственно 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2,
0, 1, 0.
Найти оценку вероятности безотказного функционирования
снаряда. Объяснить, в чем отличие этой модели от биномиальной
модели успехов и отказов.
6.6. ОБОБЩЕННЫЕ БИНОМИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ УСПЕХОВ
(ОТКАЗОВ)
В § 6.2 и 6.4 была показана важность выборочного
пространства при биномиальных испытаниях: оказалось,
что распределение модели зависит от того, какое взято
выборочное пространство, или от описания множества
возможных исходов оцыта. В том случае, когда количе-
175

ство испытаний заранее фиксировано, число отказов
(успехов), как было показано, имеет биномиальное рас-
распределение. С другой стороны, если число отказов за-
заранее фиксировано, то число испытаний имеет отрица-
отрицательное биномиальное распределение.
Сделаем теперь важное обобщение этой задачи пу-
путем следующей геометрической интерпретации последо-
последовательности биномиальных испытаний (рис. 6.1). Рас-
1 2 3
Число испытаний п
Рис. 6.1.
смотрим обычные прямоугольные координаты, в кото-
которых абсцисса обозначает количество испытаний, а орди-
ордината— количество отказов. Отправляясь от начала ко-
координат, отложим одну единицу вправо по горизонтали,
если результатом первого испытания был успех; в про-
противном случае откладывается одна единица вправо и
одна вверх. Так, точка 1, 0 соответствует случаю, когда
первое испытание было успешным, точка 1J (по диаго-
диагонали)— случаю отказа в первом испытании.
В результате второго испытания также откладывает-
откладывается одна единица вправо или одна вправо и одна вверх
в зависимости от того, был ли успех или отказ. При этом
точка, полученная после первого испытания, играет роль
начала координат. Таким образом, после двух испыта-
испытаний можно попасть в одну из трех точек: 2,2; 2,1 или
2,0. Продолжая этот процесс, можно попасть в любую
целочисленную точку заштрихованной области, включая
ее границы. Ломаная линия показывает траекторию, со-
соответствующую результату SFSSP ..., где S обозна-
обозначает успех, F — отказ.
176

Очевидно, существует (п j различных траекторий, при-
х
VL
ходящих в точку (п, /); каждой из них соответствует
/ успехов и п—f отказов. Прежде чем определять веро-
вероятности точек (п, f), мы обя-
обязаны договориться о виде
выборочного (пространства
в опыте, связанном -с 'биноми-
'биномиальными испытаниями.
Выборочное (пространство
определяется, если мы зада-
зададим на графике границу, так
что в случае, когда блуждаю-
блуждающая точка попадает ib 'какую-
либо точку границы, испыта-
испытания прекращаются. Это мож-
можно также (назвать правилом
остановки.
Например, если заранее фиксировано число испыта-
испытаний N, то граничные точки будут лежать на вертикаль-
вертикальной прямой n = N, 0<f<N (рис. 6.2) *.
На рис. 6.2 точки границы показаны кружочками.
Ввиду того, что точка (N, /) соответствует / отказам и
(N—/) успехам, вероятность этой точки
12 3... N
Число испытаний п
Рис. 6.2.
где р— вероятность отказа, а д=1—р.
* Очевидно, испытания не всегда имеют последовательный ха-
характер. Например, возможно испытание по группам. При этом тре-
требуется, чтобы результату (т. е. общему количеству отказов в груп-
группе) не могла соответствовать точка, лежащая за выбранной гра-
границей.
Неизменность вероятностей точек будет обеспечена только в том
случае, если мы возьмем объем группы не больше, чем минимальное
количество испытаний, необходимое для достижения границы из
точки, соответствующей началу группового испытания. Например, на
рис. 6.2, вероятности ,не изменятся, если мы сгруппируем все N ис-
испытаний (см. формулы после рис. 6.2). Однако если N=10, а мы
какшм-то образом достигли точки (п, f) = Ey2), то для пересечения
границы можно образовать группу максимум, из 5 испытаний. Для
плана рис. 63 в начале опыта можно сгруппировать максимум с ис-
испытаний Для плана рис. 6 4 это число равно 3.
12—1113 - 177

Если договориться, что опыт оканчивается при полу-
получении с отказов, точки границы будут выглядеть, как на
рис. 6.3, т. е. они будут лежать на горизонтальной пря-
прямой /=с, п^ с.
Граничным точкам в этом случае соответствуют ве-
вероятности
но отнюдь не
(п ^
cqn~c.
pcq
Это происходит вследствие
того, что точка (я, с) не достижима из соседней
слева точки (п—1, с), так как в этой точке опыт закан-
0 12 3
Число испытаний п
Рис. 6.3.
чивается. Таким образом, количество траекторий, прихо-
приходящих в ту или иную граничную точку (/г, с), равно
количеству траекторий, приходящих в точку (п—1, с— 1)
такие точки на рис. 6.3 отмечены крестиками).
На рис. 6.4 показано очень важное выборочное про-
пространство. Это пример последовательного выборочного
метода Вальда ([6], гл. 5). Нижняя граница на рисунке
может быть описана уравнением
F.87)
п = 2f + 5, f>09
а верхняя — уравнением
л=2/
178
3,
F.88)

Хотя вывод общей формулы для вероятностей, соответ-
соответствующих граничным точкам, представляет чрезвычайно
трудную задачу, мы можем тем не менее для каждой от-
отдельной точки определить эту вероятность, подсчитав,
123* 5676 9 iO 11
Число испытаний г*
Рис. 6.4.
сколько в нее приходит траекторий. Заметим сначала,
что число траекторий в каждую точку /г, / равно сумме
числа траекторий, приходящих в точки (п—1, /) и (я—1,
f—1). ПрИ этом нужно следить за тем, чтобы траекто-
|2-
i/
i/y
Q
t З/
2/ 3/
6/
О
9
10/
5/
/
19
15/
5/
i
34
го/
/
о
54
7Ь
/
Q
I
7k 7g
Ь S 6 7 8 9
Число испытанийt n
Рис. 6.5.
10 11
рии, идущие в интересующую нас точку границы, не
проходили через другие точки границы (в противном
случае опыт заканчивается еще до достижения рассма-
рассматриваемой точки).
В качестве иллюстрации на рис. 6.5 показано множе-
множество траекторий, идущих в точку {11,3) в случае выбо-
12* 179

рочного пространства, которое соответствует рис. 6.4.
Точка (//,3)—результат 3 отказов и 8 успехов, полу-
полученных в произвольном порядке, за исключением слу-
случаев, которые соответствуют прохождению через другие
точки границы. Количество возможных порядков или,
как мы говорим, возможных траекторий, приходящих
в точку 11,3, равно 74, это можно видеть из рис. 6.5.
Следовательно, вероятность, соответствующая точке
A1,3), есть 74pV.
Упражнение. Вычислить тем же способом вероятности
всех граничных точек при f<:5.
Заметим, что выборочные пространства, показанные
на рис. 6.3 и 6.4, состоят из бесконечного множества то-
точек. В этих случаях может возникнуть вопрос: могут ли
испытания продолжаться неограниченно долго?
Ответ заключается в следующем: подобным собы-
событием можно пренебречь, поскольку вероятность того,
что граница не будет достигнута ни за какое конечное
число испытаний, равна нулю. Вальд [6] установил этот
результат для более общих выборочных пространств,
подобных изображенному на рис. 6.4. В случае выбороч-
выборочного пространства (рис. 6.3) это свойство является не-
непосредственным следствием того факта, что P(v>n) -> О
при п -> оо [последнее утверждение доказывается при
помощи формулы F.18)]. Однако строгого доказатель-
доказательства мы здесь приводить не будем *.
6.6.1. Несмещенная оценка р
Метод подсчета траекторий можно использовать для
получения несмещенной оценки р [4]. С этой целью под-
подсчитаем количество траекторий, попадающих в задан-
заданную точку границы из точки A,1) и разделим его на ко-
количество траекторий, попадающих в нашу точку из
@,0).
* Для строгого доказательства требуется специальная теорема:
если Лп обозначают события, причем АгО Л2 О ... и если
00
Л = Г1Л„, то Р {Л) = Mm P (Лп) (см. [12], стр. 33). В нашем
случае ^4n = (v>/z), а Л — событие, состоящее в том, что „v>l,
v > 2, . . .", т. е. nv больше любого конечного числа".
180

Так, в примере, йоказайном на рис. 6.S, количество
траекторий, приходящих из точки (),/) в точку A1,3),
как легко видеть, равно 26. Следовательно, в том слу-
случае, если опыт заканчивается получением 3 отказов в 11
испытаниях, то несмещенной оценкой вероятности р отказа
будет /7 = ^2 = 0,351. Заметим, что это значение отлично
от того, которое получилось бы при использовании выбо-
выборочного пространства (см. рис. 6.2).
Упражнение 1. Подсчитать количество траекторий из
точки /, /, заканчивающихся при /<;5, в случае выборочного
пространства (рис. 6.4). Найти несмещенную оценку р для соот-
соответствующих точек границы.
Упражнение 2. Доказать, что в случае выборочного про-
пространства рис. 6.2 справедлива общая формула, согласно которой
несмещенная оценка есть р = f/N, а в случае выборочного про-
А
странства, взятого из рис. 6.3, р = (с — 1)/(п—1), если только
с>1. Заметим, что при с=\ и п > 1 не существует траекторий
из /, 1 в какую бы то ни было граничную точку; это находится
в соответствии с формулой F.60).
Общие методы, развитые в данном параграфе, долж-
Йы сделать для читателя ясным важность описания до
опыта множества возможных исходов, т. е. выборочного
пространства. Если этот этап не осуществлен, то невоз-
невозможно делать правильные выводы относительно значе-
значения /?, для оценки которого обычно и производятся би-
биномиальные испытания.
В гл. 10 описанные методы будут использованы для
контроля надежности.
6.7. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Модели подобного вида используются для оценки
таких событий, как, например, Е\ — «время безотказной
работы больше Г», где Т — требуемое или ожидаемое
время работы устройства, или Е2— «выходной параметр
лежит в заданных пределах». При этом вероятность лю-
любого такого события можно назвать надежностью
устройства. (В действительности «надежность» можно
было бы определить, как Р(ЕХ[\ Е2), т. е. вероятность
совместного осуществления обоих событий).
Временные характеристики отказов обычно связы-
связываются с отказами трех типов. Если устройство вводит-
вводится в действие в момент / = 0, то оно уже при этом может
181

быть в состояний отказа. Детская смертность (до и по-
после рождения) может служить хорошим примером для
понимания отказов первого типа. Мы назовем такие от-
отказы начальными. Вероятность начального отказа
устройства можно оценить долей дефектных устройств
в момент включения. Возможен и такой случай, когда
начальные отказы проявляются вскоре после момента
/=0. Например, для высококачественных электронных
ламп некоторых видов период «приработки» использует-
используется для отбраковки ламп, отказывающих в первые не-
несколько часов работы. После приработки лампы отказы-
отказывают со значительно меньшей интенсивностью, чем в на-
начальный период.
Другим примером, .в котором проявляются ранние
отказы, является следующее. Часто в полисы по страхо-
страхованию жизни, распространяющиеся на всех иждивен-
иждивенцев, не включаются новорожденные до достижения ими
двухнедельного возраста. Более того, типичные таблицы
смертности показывают, что до 10 лет ребенок может
погибнуть от врожденных или наследственных дефек-
дефектов; пережив этот возраст, ребенок будет почти застра-
застрахован от подобной смерти.
Пройдя начальный период, многие устройства вхо-
входят в режим постоянной интенсивности отказов, кото-
которая, как правило, ниже, чем в начальный период. Так,
люди в возрасте от 10 до 30 лет умирают обычно в ре-
результате случайностей. После этого периода начинают-
начинаются процессы изнашивания; возрастает смертность вслед-
вследствие старения. Период постоянной интенсивности отка-
отказов, будь это жизнь детей и. взрослых, электронных
ламп и т. п., называется периодом случайных отказов.
В этот период отказы обусловливаются действием не-
необычно жестких, непредвиденных и (или) непредотвра-
непредотвратимых внешних обстоятельств, возникающих в процессе
работы «устройства». Последний период называется пе-
периодом поздних отказов; он обычно связан с постепен-
постепенным изнашиванием материала, накапливаемым разру-
разрушением, усталостью и т. п.
В соответствии с этим мы имеем три типа отказов:
начальные, случайные и поздние. Каждый из них свя-
связан с определенным периодом работы устройства: на-
начальные отказы происходят в начальный момент или
вскоре за ним; случайные отказы происходят в проме-
182

жуточный период; наконец, имеются поздние отказы,
свойственные большинству, если не всем устройствам,
будь это человеческие существа или электромеханиче-
электромеханические устройства.
Прежде всего рассмотрим интенсивность отказов, до-
доставляющую общий подход к определению распределе-
распределений времени безотказной работы, в частности показа-
показательного распределения, распределения Вейбулла и рас-
распределения крайних значений. Далее мы приведем раз-
различные выводы распределений крайних значений, а так-
также их применения. Затем будет дана модель, основан-
основанная на обобщенном процессе чистой гибели, которая
ведет снова к показательному распределению, а также
к более общему распределению времени безотказной ра-
работы включающему в качестве частных случаев
показательное и гамма-распределение. В конце рассма-
рассматривается важное и общеизвестное нормальное распре-
распределение.
6.8. ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ
Интенсивность отказов h(t) определяется по задан-
заданному распределению времени безотказной работы как
(условная) плотность вероятности времени до отказа
при условии, что устройство не отказало до момента t.
Обозначим через fi(t) (безусловную) плотность вероят-
вероятности. Тогда f(t)dt будет представлять долю устройств,
включенных в момент / = 0, которые отказали в интерва-
интервале (t',t+ldt). С другой стороны, h(t)dt представляет со-
собой долю тех устройств, которые не отказали до момен-
момента t, но отказали в том же интервале (t, t+Ш). Легко
видеть, что h(t) и /(/) связаны соотношением
где
F(t)=(f(x)dx.
Действительно, по определению, h(t)
= h (t) dt. F.90)
Но
^^0^"^. F.91)
133

(Это общая формула, определяющая условные вероят-
вероятности). Но числитель правой части составляет
поскольку событие (t<C%<lt-\-dt) содержится в событии
(х>^). Ввиду того, что Я(х>^) = 1 — F(t), после сокра-
сокращения на dt мы убеждаемся в справедливости F.89).
Перед тем как перейти к изучению возможных видов
функции h (/), решим уравнение F.89) относительно f (t)
или F(t)y считая h(t) известной.
Имеем
dF =h(t)dt F.92)
\—F
или
или после подстановки
откуда
l—F(t) = [l—F @)] ехр Г— J h (x) dx\. F.93)
Дифференцируя, получаем
f(t) = [l-F@)] h(t)ехр Г- J h(x)dx\. F.94)
Из уравнения F.93) видно, что при / -^- оо должно быть
t
Г h (x) dx -* оо,
о
поскольку F(oo) = l. (Иначе ^(оо) не была бы собствен-
собственной функцией распределения.)
184

Значение F @) может быть любым числом между нулем
и единицей, т. е. F@)— это вероятность начального
отказа в момент / = 0*.
В последующих выкладках мы будем считать, что
Т7 @) = 0; это предположение позволяет записать F.93)
и F.94) в виде
F(t) = \— exp Г— J h (х) dx\ F.93')
f @ = А @ exp - Г А (х) dx . F.94')
6.8.1. Показательное распределение
Наиболее простой вид h (t) — это
= Я, Я>0, F.95)
где Я — постоянная. В этом случае, очевидно, уравнение
F.94') дает
f(t) = X(TXt, F.96)
т. е. плотность вероятности показательного распределе-
распределения. Постоянная Я имеет смысл параметра отказов,
а обратная ей величина равна среднему времени безот-
безотказной работы.
6.8.2. Распределение Вейбулла
В качестве дальнейшего примера рассмотрим другой
простой вид функции h(t), а именно
Л@ = а«—1, F.97)
где а>0, Я>0.
* Строго говоря, нам следовало бы везде употреблять обозна-
обозначение /7( + 0), т. е. Y\mF(t) при /->0 (*>0). F(—0) всегда можно
определить как тождественный иуль, «о F(+0) «e обязательно рав-
равна нулю. Таким образом, при решении уравнения ,F 93) непрерыв-
непрерывность не необходима.
185

В этом случае
f h(x)dx = Xta, F.98)
о
следовательно,
a«"-1e"x/". F.99)
Это плотность так называемого двухпараметрического
распределения /Вейбулла. Очевидно, показательное рас-
распределение является по отношению к распределению
Вейбулла частным случаем, соответствующим а=1
в формуле F.99).
Найдем среднее и дисперсию случайной величины т,
подчиненной закону Вейбулла F.99). Имеем
Положим f* = u
откуда
или
При п = 1
Е
При п = 2
Е (ъ*
Следовательно,
00
= ГаЯГ-1+ае
oJ
, тогда <xf'~xdt = di
Е<?
Еф)
¦(•») = «
00
«)=ГЯи"/ае-г
0
= r(-5-+i)
1 ИЛИ
я-п/".
F.100)
dt = ±u^du,
F.101)
F.102)
F.103)
Г2/а. F.104)
ИЛИ
186

Мы возвратимся к распределению Вейбулла
в п. 75.5, где рассматриваются методы оценки параме-
параметров. На рис. 6.6 показаны плотности вероятности за-
f(t)
U0
0.8
0.6
ОЛ
ол
0.8
2.0
Рис. 6.6. Распределение Вейбулла (формула F.99)]
при Я=1.
кона Вейбулла при А,= 1 и нескольких значениях пара-
параметра а. (Изменение параметра Я просто «сжимает» или
растягивает кривую; таким образом, X играет роль
«масштабного» параметра.)
Упражнение. Найти h (t) для распределения с плотностью
вероятности
где
da.
j=N 0
Доказать последнее соотношение.
6.8.3. Распределение крайних значений
Рассмотрим еще один вид интенсивности отказа
А(/) = ате7'. F.106)
Из уравнения F.94') легко получить выражение
f (t) = ay eT' e-a(eT'~1}. F.107)
187

Ниже будет показано, что эту плотность можно заменой
переменной преобразовать в нормированную плотность
вероятности крайнего значения. В п. 6.8.3.2 даются раз-
различные подходы и приме-
/W невия.
Ь00\г На рис. 6.7 ооказаны
плотности вида F.107)
при нескольких значе-
значениях а и 7=1 (Y — мас"
штабный (параметр).
1.75
U50
U25
1,00
0,75
0,50
0,25
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t
Рйс. 6.7. Распредление крайнего значения F.107) при у^\.
Как показано в [7], нормированное распределение край*
них значений дается формулой
р (g < х) =
Поскольку
то величины 5 и % можно связать уравнением
в котором а = (
Далее, если
Ч = (*-
то
188
, — оо<;с<оо. F.108)
F.109)
F.110)
F.111)
F.112)

Случайная величина ц называется приведенным или
нормированным крайним значением (по аналогии с нор-
нормированной нормальной случайной величиной). В [8]
имеется таблица распределения т).
6.8.3.1. ПРИМЕР ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ
В случае, когда h(t) имеет вид
й@=«М<; Pi. Р.. ¦-.). С6-113)
где а — неизвестный параметр, a Pi, р2, •. • — параме-
параметры, которые известны -(или считаются известными),
модели интенсивностей отказов сводятся к модели по-
показательного распределения с одним неизвестным пара-
параметром а. Это делается следующим образом. Вместо
выборочного пространства, совпадающего с осью вре-
времени т, вводится «псевдовремя»
при помощи которого определяется выборочное про-
пространство. Это преобразование сводится к показатель-
показательному распределению |. Действительно,
F.114)
где
/ЛМ=$\(*; Pi, Р„ ...)dx. F.115)
Так как Нг(х) возрастает по т, правая часть F.114) равна
Р (х<Н~1(и)), где Н1(Н~1(и))=и. Следовательно,
р^<и)=\ — е~аи , 0<я<оо, F.116)
т. е. показательной функции распределения.
В п. 8.5.1 этот упрощенный прием будет использован
для получения точных доверительных пределов надеж-
надежности в том случае, когда для описания модели отказов
189

взято распределение Вейбулла. Однако обычно парамет-
тры Pi, р2, •-. не удается определить точно, и их также
нужно оценивать по наблюдениям. В этом случае, как
мы покажем в § 8.5 и 8.6, для получения доверительных
пределов можно применить приближенные методы, осно-
основанные на нормальном распределении.
6.8.3.2. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРАЙНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
Модель отказов, приводящая к распределению край-
крайнего значения, описана в .[9]. Соответствующий вид от-
отказов связан с коррозией. В качестве примера берется
использование металлических труб как легкого строи-
строительного материала для камеры сгорания жидкостного
реактивного двигателя ракеты. -В этих трубах находится
жидкость (топливо), используемая для охлаждения ка-
камеры. Трубы должны иметь минимальную толщину, что-
чтобы обеспечивался достаточный теплообмен с охлаждаю-
охлаждающей жидкостью. Отказ наступает в том случае, когда
вследствие сгорания газа тонкостенные трубы прого-
прогорают, в результате чего жидкость попадает в камеру
сгорания. В этом случае, как правило, выходная харак-
характеристика двигателя ракеты снижается, что ведет к не-
нежелательным последствиям.
Сущность модели, которая рассматривается в дан-
данном случае, состоит в том, что на поверхности трубы
в начальный момент времени существуют углубления
различной глубины; каждое углубление может увеличи-
увеличиваться, пока не образуется отверстие. Чтобы описать
модель строго, мы предположим, что отказ наступает
в тот момент, когда в трубе образуется одно отверстие.
Если время образования отверстия пропорционально
разности между толщиной трубы и начальным углуб-
углублением, причем последнее подчинено показательному
распределению вероятностей, то в качестве модели вре-
времени безотказной работы мы будем иметь один из ви-
видов распределения крайнего значения. Это распределе-
распределение получается из следующих соображений.
Пусть D — толщина трубы, d\—начальное значение
?-го углубления (в момент t = 0). Пусть далее Х{ =
= k(D—tfi)—время до образования отверстия из /-го
углубления. Будем считать, что йх (/=1, 2, ..., N) —
190

случайная выборка из (урезанного) показательного рас-
распределения
е-х<* __ е\о
l — e~"XD
где F(d) — функция распределения d.
Тогда
е-^5г, o<t<kD.
F.118)
Если теперь х — время безотказной работы, то
-с = minx* (/ = 1, 2,..., N) F,119)
согласно принятому предположению о том, что отказ
наступает, как только образовалось хотя бы одно от-
отверстие. Легко видеть, что функция распределения зна-
значения случайной выборки объема N дается выражением
р (Х < t) = И @ = 1 — A — G (t)f, F.120)
где G(t) —функция распределения совокупности, из ко-
которой произведена выборка. Естественно предположить,
что количество углублений (N) очень велико; в то же
время легко убедиться в том, что при
F.121)
Подставив F.118), будем иметь
_ F.122)
Если положить
а=-^Ьг» FЛ23)
Ч = Т9 FЛ24)
то получим
H(t)^l— e-«(^-i), />о F.125)
и
F.125')
191

что представляет собой вид распределения крайнего
значения, полученный по интенсивности отказов п. 6.8*3,
В примере с камерой сгорания ракетного двигателя
можно указать в качестве показательных следующие
численные значения:
D = 2XW-дюйма, * = Ю7?
Я = 4ХЮ2 дюйлг1, ЛГ =
Когда Я1) = 8, тогда в F.117) можно пренебречь e~XD,
т. е. можно считать, что P(di^d)^e~'ld. Тогда вели-
величина 1/А будет приближенно равна средней глубине углуб-
углубления, которая в данном случае составляет 0,0025 дюйма.
Определим теперь продолжительность процесса горения,
при которой вероятность безотказной работы будет равна,
скажем, /? = 0^0:
[Щ^0-5'-1)] F.126)
или при /? = 0,50
0,693 = е4х1'0"'—1, F.127)
откуда
*« 13,200 сек. F.128)
При R^=0t95 подобные вычисления дают
/ ^ 1260 сек. ' F.129)
6.9. МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ
6.9.1. Вывод показательного распределения
Чтобы ввести читателя в более общее распределение
вероятностей времени безотказной работы, основанное
на процессе гибели с многими состояниями *, мы дадим
здесь вывод показательного распределения, в котором
используется процесс гибели с двумя состояниями.
Смысл понятия «процесс гибели» будет выяснен ниже.
Пусть имеется устройство, которое может пребывать
в двух состояниях: исправном состоянии Ех и состоянии
отказа Ео.
* Более подробно о процессах рождения и гибели см. [1], гл. 17.
192

Считается, что в начальный момент (при /=0)
устройство находится в состоянии Ех.
Обозначим через Р\((), Po(t) соответственно вероят-
вероятности того, что в момент t устройство находится в Е\
и Ео. Переход возможен лишь из Е{ в Ео. Если устрой-
устройство находится в состоянии EOf то оно в нем и останется.
Предположим, что выполняется следующее условие.
Если в момент t устройство находится в состоянии Ей
то вероятность перехода в состояние Ео в течение интер-
интервала времени (t,t+'h) приблизительно пропорциональ-
пропорциональна /г*. Тогда вероятность P0{t+]fi) нахождения устрой-
устройства в состоянии Ео в момент t+Ъ будет составлять сум-
сумму следующих двух вероятностей:
1) вероятности того, что в момент t устройство на-
находилось в состоянии Ео;
2) вероятности того, что устройство в момент t на-
находилось в состоянии Е\9 а в течение интервала (i,t+}h)
перешло в состояние Ео.
Тогда мы получим
Яв(^ + Л) = Л@ + Л@[*А + о(А)], F.130)
где Л — коэффициент пропорциональности, а о (Л) обо-
обозначает функцию от Л, для которой
(Л)
> 0 при h -> 0.
Можно F.130) переписать следующим образом:
-°Ж F.131)
Устремив h к нулю, получим
/>в@ = ЯЯ1@. F.132)
Подобным же образом вероятность P\(t+h) того, что
устройство в момент t+'h находится в состоянии Е\9 рав-
* То, что имеется в виду, выражено последним членом правой
части F.130).
13—1113 193

на вероятности того, что в момент / также было состоя-
состояние Ei и за время h не произошло изменения состояния:
рх (t + h) = Л @ A — Ш — о (А)) F.133)
или
= ЯЛ@+<*).. Fлз4)
Полагая й-»0, имеем
Pl(t) = -XPl(f). F.135)
Поскольку в момент ^ = 0 устройство находится в со-
состоянии ?\, то
.@) = 0. J
F.136)
Решая F.132) и F.135) при начальных условиях F.136),
мы находим
ро(/) = 1_е-х/, F.137а)
Я1(/) = е-х/. F.1376)
Полученному решению можно дать следующую интер-
интерпретацию: Po(t) есть вероятность состояния отказа в мо-
момент t. Следовательно, 1—Po(t) представляет вероят-
вероятность исправного состояния в момент t. P0(t)+P\(t) = l,
поскольку устройство может находиться только в одном
из двух несовместных состояний. Если ввести слу-
случайную величину т как время (ожидания) до отказа, то,
очевидно, будет
G0(t) = P{x<t) = P0(l)t F.138)
т. е. G(i) будет функцией распределения времени без-
безотказной работы т. Заметим, что выше мы рассматри-
рассматривали состояние как случайную величину; переменная /
представляла собой параметр распределения вероятно-
вероятностей состояний.
Можно прийти к F.138) несколько иным путем,
введя в рассмотрение случайную величину т по следую-
следующему принципу.
194

Пусть go(l) обозначает вероятность того, что пере-
переход устройства в состояние Е произойдет в интервале
времени (tJ+Ш). Тогда go(t) будет представлять со-
собой плотность вероятности времени безотказной рабо-
работы. Будем иметь
F.139)
так как для возможности перехода в состояние Ео за вре-
время от t до t -f- dt необходимо, чтобы в момент / устройст-
устройство находилось в состоянии Ev Разделив F.139) на dt и
положив dt -> 0, получим
Л@ = *Л@. F.140)
Использовав полученный ранее результат F.1376), имеем
go(f) = teTu, F.141)
что представляет плотность вероятности времени безот-
безотказной работы. Очевидно, в соответствии с F.138)
'.(«)<*« FЛ42)
является функцией распределения случайной величины т.
6.9.2. Вывод более общего распределения времени
безотказной работы
Рассмотрим более общую ситуацию, при которой
устройство в момент t может находиться в любом из
конечного числа N состояний. Как и прежде, Ео будет
обозначать состояние отказа, в то время как Еи ...,
EN — состояния безотказной работы. Переходы могут
происходить только таким образом: состояние
Ek(Kk<^N) достигается только переходом из состоя-
состояния ?ft+i; в состояние Ео можно перейти из любого со-
состояния. Попав в состояние ?<ь устройство в нем и оста-
остается. Этот (случайный) процесс показан на рис. 6.8 *
Стрелки на этой схеме обозначают направления перехо-
переходов; в направлении против стрелок переходы невозмож-
невозможны. Постоянные % и ji характеризуют вероятности пере-
переходов и будут сейчас определены. Более точно вероятно-
Вывод, подобный предлагаемому ниже, дается в [1], гл. 17.
13* ¦ 195

стный закон, управляющий рассматриваемым процес-
процессом, формулируемся следующим образом.
1. Если в момент t устройство находится в состоянии
EhB<k<N), то вероятность перехода в состояние
?fe_i в интервале \(\t, t+h) равна \%h+ o(Jh). Вероятность
перехода в этом же интервале в состояние Ео равна
|лЛ+'о(й). При k=l вероятность перехода (единственно
возможного.) в Ео за время от / до t+h равна
((fi)
QN-1m
. • . fr2 -
Рис. 6.8.
2. Вероятность двух и большего числа переходов
(например, из Eh в момент t в Ек-\ и затем в Ек-2...)
в интервале времени (t, t+h) представляет
o{h){2<k<N).
Обозначим через Pk(t) вероятность нахождения
устройства в состоянии Ек в момент t. Пусть Kk<N—1.
Тогда вероятность нахождения устройства в состоя-
состоянии Ек в момент t+h складывается из следующих веро-
вероятностей:
1) вероятности того, что в момент t устройство было
в состоянии Ек и в интервале времени (t, t+h) не про-
произошло перехода в другое состояние; эта вероятность
составляет
Ph(t)[l-Xh-vA-o{h)]i
2) вероятности того, что в момент / устройство было
в состоянии f?fc+i, и в интервале времени (/, t+h) про-
произошел один переход в Ек\ эта вероятность равна
196

3) вероятности того, что в момент t устройство было
в состоянии Eh+r, где 1г>1, и за время от t до i+h про-
произошло г изменений состояния; эта вероятность равна
Pk+r(t)-o(h).
Отсюда
= Ph (t) A-Я/г - ph) + Рк+1 (t) Xh + о (Л). F.143)
Разделив на ft и положив h ->• 0, выводим
1(t), F.144)
где Л = 1, 2,..., JV —1.
Аналогично
)- F.145)
Очевидно, возможно ставить самые различные началь-
начальные условия; однако если согласиться, что в момент
?=0 устройство находится в состоянии ENj то
Ph{0) = 0, Kk<N — l. F.146)
Перед тем как перейти к решению уравнений F.144) и
F.145) относительно Pk(t), введем случайную величи-
величину т, определив ее как время безотказной работы,
и найдем ее связь с этими характеристиками. Пусть
gtt(t) обозначает плотность вероятности т. Тогда веро-
вероятность того, что х (время до достижения состоя-
состояния Ео) придется на интервал (t, t+dt), будет равна
сумме следующих вероятностей:
1) вероятности того, что в момент t устройство нахо-
находится в состоянии Ek, а за этим последует один переход
в Ео в интервале (?, t+dt)\ эта вероятность равна
2) вероятности того, что в момент t устройство нахо-
находится в состоянии Ei и за время от •/ до t+dt произошел
один переход в Ео; эта вероятность равна
197

3) вероятности того, что в момент времени t устройст-
устройство находится в состоянии ErB<r<N) и за время от t
jiot-^h произойдет тB<т<г) переходов, в результате
которых устройство придет в состояние Ео. Эта вероят-
вероятность равна
Pr(t)-o(dt).
Таким образом,
N
g0 (t) dt = (Я -|- jx) P1 (t) dt -{-\b'S\Ph @ dt -\-o (dt). F.147)
/5=2
Разделив F.147) на dt и положив dt -> 0, получим:
\{t). F.148)
Вероятности Pk(t)> k=l, ..., N проще всего определить,
применив к уравнениям F.144) и F.145) с начальными
условиями F.146) преобразование Лапласа. Соответ-
Соответствующие выражения после подстановки в F.146) дают
/-u-u ;v-1
FЛ49>
k=0
Последнее выражение* представляет собой плотность
вероятности времени безотказной работы т. В общей мо-
модели остаются справедливыми формулы F.138) и
F.142). Из упражнения § 6.8.2 имеем
п/х7 ,А
* Формулу F.149) можно получить значительно проще. Дей-
Действительно, как легко видеть, g0 (/) = Р (min |$х + ?2 + • • • + ?ь,
t)\>f), где ?ь ^] — независимые в совокупности случайные вели-
величины, причем ?г показательно распределены с параметром X,
а 71 — с параметром р. Тогда g0 (t) = Я(?, + $2 + . . . + ?л > О'»
P(tj>/), после чего остается использовать E.54). (Прим. перев.)
198

Использовав этот факт, можно переписать F.149) как
F.149')
Заменив переменную интегрирования # = Ял;, мы находим,
что функция распределения G0(t):
t
Go@ = 1-е-1" [l - j x* e ^л-J , F.150)
о
поскольку, чтобы получить go(t), следует продифферен-
продифференцировать Go("/).
Следовательно, вероятность безотказной работы за
мя /
время
t
= e-« [l - J * е d^J. F.151)
о
Таким образом, в случае общей модели получается ком-
комбинированная интенсивность отказов, в которую входит
экспонента, характеризующая случайные отказы, и ха-
характеристика поздних отказов. Уравнение F.151) пока-
показывает, что вероятности событий «отсутствие случайных
отказов за время i» и «отсутствие поздних отказов за
время /» в формуле для вероятности отсутствия отказов
обоих видов за время / перемножаются.
6.9.2.1. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Перед тем как закончить рассмотрение этой общей
модели, рассмотрим интеграл в F.151), обозначенный
через P(N9 Xt). Это известное гамма-распределение, ко-
которое обычно записывают так:
P(N, Я0 = гщ j^-'e-^. F.152)
199

На рис. 6.9 показан вид плотности вероятности
dP(N, Xt)/dt при различных N и А,= 1. Можно убедиться
в том, что среднее \i = N/'k, а дисперсия e2 = N/X2. К гам-
ма-рашределению мы вернемся
в гл. 7 и 8 в связи ,с применением
к оценке надежности.
Возвращаясь к общей (модели,
мы обнаруживаем, что выражение
для go(]t) F.149') громоздко; однако
fit)
1,00
0Л5
0iZlb5618t
Рис. 6.9. Плотность вероятности гамма-распределения
go(t) и функцию распределения G0(t) можно находить
по таблицам Молина [10]. Если использовать обозначе-
обозначения Молина
0)=^- F.153)
F.154)
го можно показать, что обобщенная плотность вероятно-
вероятности времени безотказной работы F.149) примет вид:
A(O=e-|tf{^(AT-lf И) + И1-Я(ЛГ, «)]}• FЛ55)
Точно так же функция распределения F.150) будет
равна
Go@ = 1— е"*[1-Я(N; Щ. F.156)
Таким образом, вероятность безотказной работы за вре-
время t F.151) будет составлять
= е~|"[1— P(N, Щ.
F.157)
200

Интересно заметить, что в [11] предложено в качестве
выражения R(t)
[(Ц^)] F.157а)
где Ф (X) — нормированная нормальная функция распреде-
распределения
exp [-Yy8J *»*• F-1576)
Сходство F.157) и F.157а) не только в форме записи,
но также в том, что P(N№), гамма-распределение, мож-
можно аппроксимировать распределением в некотором 'Пре-
'Предельном смысле [см. также F.159) и § 6.10]. Недостаток
формулы F.157 а) в. том, что она не является собствен-
собственным распределением вероятностей в интервале оо</<оо,
поскольку нормальное распределение имеет «хвост», про-
простирающийся и на отрицательную часть оси t. Однако
этим можно пренебречь, коль скоро значение параметра
т достаточно велико по 'сравнению с ст.
Мы видим, что общая модель приводит к выражению,
в которое входит комбинированное показательное и
гамма-распределение; соответствующие вероятности
можно вычислить по F.157) и F.154). На рис. 6.10, 6.11
и 6.12 показаны некоторые примеры плотностей общего
распределения времени безотказной работы. Кривые
нормализованы при помощи соотношения
ago(at; Я/а, ф% N) = go(t; Я, ^ N). F.155a)
Таким образом, X всегда можно считать равным 1 и
плотности можно изобразить как двухпараметрическое
семейство, потому что при растяжении временной шка-
шкалы параметры и плотность преобразуются по формуле
F.155а).
* Формула F.157а) имеет весьма простой физический смысл.
Действительно, если действуют два независимых фактора, один из
которых приводит к отказу по показательному, а другой по нор-
нормальному законам, то вероятности безотказной работы следует пе-
перемножить и мы придем к F.157а). (Прим. перев.)
201

8
to
0,20
0J5
0%W
0,05
0
0,20
0.15
0,10
0,05
0
1
J
\
V
4
fi=aof
\
0.20\
0,15
0,10
005
J
1
>
\
^0,10
О 5 W 15 20
Рис. 6.10. График go{t) (N=6;
aw
0,05
0
0,10
0,05
0
0,10
0t05
\
/
У
/
/
/
у
\
>
\
\
N
\
\
4
fi=O.0f
ц=0,10
Ю 15
10
Рис. 6.11. График gQ(t) (Л^=20;
Я-1,0).
0,10
0,05
0
0,10
0,05
0
0,10
0,05
(
\
ч
' >
>
1
/*=ао5
\
\
ч
ч
/л=0,10
0 Ю 20 30 40
Рис. 6.12. График go(t) (N=20;

6 9.2.2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
Рассмотрим некоторые специальные и предельные
случаи плотности вероятности распределения времени
безотказной работы F.149):
1)!
2)!
3) !
4) 1
5)!
^>0, i = 0,
J* = 0, Я>0,
|а>0, Я>0,
l* = 0, Jl = $N,
л>0, X — &N,
N конечно;
N конечно;
ЛГ^оо;
где N велико, но фиксировано;
N -*¦ схэ.
Этим пяти случаям соответствуют следующие резуль-
результаты.
В случае 1 мы будем иметь показательную плотность
распределения (случайные отказы)*
ft(O = J*e"|tf. FЛ58)
В случае 2 будем иметь гамма-распределение вре-
времени безотказной работы (поздние отказы)
1
)ге-х'. F.159)
В случае 3 при N -> со плотность вероятности будет
стремиться к показательному распределению F.158) (слу-
(случайные отказы) в силу того, что с ростом N начало пе-
периода старения будет уходить в бесконечность. Это также
согласуется с интуитивным распределением модели, так
как, очевидно, при N -> oo невозможно, чтобы отказ про-
произошел после перехода через всю последовательность со-
состояний.
Рассмотрим случай 4. Будем считать Я пропорциональ-
пропорциональным N, чтобы допустить возможность перехода через всю
последовательность состояний даже в том случае, когда
* Ввиду того, что Х=0, из состояния EN невозможен никакой
переход, кроме перехода в состояние Ео. Эго означает, что можно
просто переобозначить EN как Ей после чего придем к уже изучен-
изученному процессу с двумя состояниями.
203

N велико. Полагая jx = O, Я = РЛ/', мы видим, что плот-
плотность g-0(/) приближается к нормальной плотности вероят-
вероятности со средним 1/р и стандартным отклонением 1/piV .
Таким образом, при большом, но фиксированном Л/, go(t)
будет приближенно нормальной плотностью.
В случае 5 плотность go(t) сходится к предельному
распределению, равному це** при ?<1/р, с резким „вы-
„выбросом" при t — 1/р. Вероятность, соответствующая ин-
интервалу 6<^<CVP» равна 1—е^; в точке выброса со-
сосредоточена вероятность е"^.
Почти очевидно, что нельзя ожидать получения пре-
дельиоц плотности вероятности, имеющей такой вид,
как в примерах (рис. 6.10—6.12), при N—+oo; чтобы
описать подобные распределения, необходимо по мень-
меньшей мере три параметра.
6.9.2.3. НАЧАЛЬНЫЕ ОТКАЗЫ
До сих пор при выводе моделей мы не учитывали
начальных отказов. Наиболее простой подход состоит
в том, чтобы учитывать вероятность а нахождения устт
ро;йства в момент /=0 в состоянии EN. Тогда начальные
условия F.146) заменятся следующими:
<1, F.146')
В результате получается, что go{t)y полученную из
F.149) или F.155), следует умножить на а. Таким об-
образом, мы просто определяем Р0@) = 1—а. Начальные
отказы «замедленного» типа, которые мы рассматривали,
A+yu
204
Рис. 6.13.

можно включить в модель, предположив, что коэффици-
коэффициент пропорциональности, соответствующий скачку из
состояния EN в Eq, равен ji + б, где 6>0. Это показано
Время
Рис. 6.14. Частота отказов как функция вре-
времени.
на рис. 6.13. В результате получилась кривая интенсив-
интенсивности отказов, общий вид которой изображен на
рис- 6.14. Однако выкладки очень сложны, и мы их здесь
опускаем.
6.9.2.4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
Чтобы раскрыть физический смысл параметров N, X
и [г, рассмотрим два примера.
1. В качестве примера возьмем автомобильную по-
покрышку. Ее можно представить состоящей из большого
количества тонких слоев резины. Когда колесо катится
,по дороге, слой резины может внезапно оторваться от
колеса. Если принять в качестве состояния покрышки
t любой момент i количество оторвавшихся к этому мо-
моменту слоев резины, то легко видеть, что условия пере-
перехода от любого состояния к следующему соответствуют
рассмотренной модели. При отрыве последнего слоя
происходит протирание покрышки. Однако можно так-
также представить, что колесо натыкается на гвоздь, вслед-
вследствие чего происходит лрокол шины, независимо от того,
сколько слоев резины стерлось. Последний случай соот-
соответствует 'предусмотренным в нашей модели переходам
из любого состояния в состояние отказа.
2. Второй пример, который имеет весьма общее при-
применение ко всем видам оборудования, подверженным
205

сильно действующим внешним условиям (транспорта*
ровке, падению, воздействию тепла, холода или же меж-
межпланетных условий), состоит в следующем. Внешние
условия можно разделить на две категории: 1) на-
настолько жесткие условия, что уже однократное их
действие вызывает отказ системы; 2) менее жесткие
условия, однократное действие которых не приводит
к отказу, но повторное действие вызывает отказ систе-
системы (возможно, различных видов). В этом случае пара-
параметр N следует интерпретировать как «сопротивление»
оборудования нежестким воздействиям или толчкам; от-
отказ наступает только в том случае, когда количество
толчков становится равным N. Параметр X имеет смысл
частоты наступления подобных толчков. Параметр \х
равен частоте толчков, приводящих к немедленному от-
отказу.
Хорошим примером может служить электрооборудо-
электрооборудование некоторых зондирующих спутников, запущенных
за несколько последних лет. Энергия спутника накапли-
накапливается в нескольких десятках батарей ^источником энер-
энергии служат несколько тысяч солнечных элементов, на-
насаженных на «гребное колесо»). Можно предположить,
что отдельные батареи могут выводитья из строя столк-
столкновением с микрометеоритами (что может служить ис-
источником и для других повреждений). В момент, когда
выведено из строя определенное количество батарей,
эффективная передача информации со спутника стано-
становится невозможной. С другой стороны, независимо от
количества исправных батарей может произойти внезап-
внезапный отказ цепи, служащей для передачи информации;
это приведет к тому же результату.
6.10. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Одной из наиболее важных моделей непрерывных
распределений является нормальное (гауссово) распре-
распределение. Оно уже встречалось нам, выступая в качестве
предельного случая для биномиального (дискретного)
распределения (п. 6.2.3) и (непрерывного) гамма-рас-
гамма-распределения (п. 6.9.2.2.). Для ясности напомним его оп-
определение. (Одномерная) случайная величина | назы-
называется нормально-распределенной (или имеющей нор-
нормальное распределение) со средним \х и стандартным
206

отклонением ст, если ее плотность вероятности дается
выражением
[l(y] -оо<л:<оо F.160)
в>0
Соответственно функция распределения ? имеет вид
. F.161)
—00
При ji = O и а=1 I называется нормированной нормаль-
нормальной случайной величиной с нормированными нормальны-
нормальными плотностью и функцией распределения.
Для обозначения этих-функций употребляются спе-
специальные обозначения
^^2/2, _оо<д:<оо F.162)
F.163)
График функции <р(х)—это колоколообразная кривая,
симметричная относительно прямой х = 0; ее максимум
достигается при х=-0 и равен l/J/^ic» 0,399 (рис. 6.15).
Очевидно, нормированная нормальная функция распреде-
распределения обладает необходимыми свойствами функций рас-
распределения (§ 5.5), а именно:
Ф(_оо) = 0; F.164)
Ф(+оо) = 1. F.165)
Ввиду симметрии <f>(x)
Ф(— х) = 1 —Ф(х). F.166)
207

Из F.166) находим, что при л; = 0 Ф@) = 1 — Ф@),
откуда Ф@)=у.
На рис. 6.16 показано поведение кривой Ф(х). Для до-
доказательства свойства F.165) заметим, что
00
ф (+<»)= 2 Г e-*'>2dx.
V 2я J
F.167)
Ф(х)
mm {
-0J99
0,5000 —
0,1581
0,0228
—0.8413
Рис. 6.15. Нормированная нор- Рис. 6.16. Нормированная нормаль-
мальная плотность ф(я). ная функция распределения Ф(*).
Далее перейдем к другой переменной, положив х2/2 = у,
откуда
=—^Х-=^ = \. F.168)
уп уп
При этом мы использовали известную теорему из теории
преобразования Лапласа, согласно которой
00
F.169)
а также то, что Г ( ~ ] =
Если | обладает нормальным распределением, то
вероятность, заключенную в интервале (а, 6), всегда
можно найти по таблицам нормированной нормальной
функции распределения.
208

Пусть ,|х — среднее, а а —стандартное отклонение |.
Тогда (?—\х)/а будет нормированной нормальной слу-
случайной величиной (§ 5.7). Следовательно,
^<Ц*<^-), F.170)
что равно Ф [ф — [л.)/о] — Ф [(а — p)/o].
Таблицы Национального бюро стандартов [2] содер-
содержат значения q>(#) F.162) и значения 2Ф(х) — 1, где
Ф(л;) определено равенством F.163) с точностью до 15
десятичных знаков.
6.10.1. Центральная предельная теорема
Как мы уже видели в двух частных случаях, нор-
нормальное распределение выступает в качестве предельно-
предельного закона для многих распределений вероятностей. Бо-
Более того (и, возможно, это наиболее существенно), -пре-
-предельное распределение любой достаточно хорошей функ-
функции -выборочного среднего и-ли выборочных центральных
моментов является асимптотически-нормальным при не-
неограниченном увеличении объема выборки безотноси-
безотносительно к виду закона распределения совокупности.
Этим мы воспользуемся в § 8.3 при решении задачи
о приближенном нахождении доверительных интервалов
для оценок надежности.
Читатель, вероятно, знаком с тем, что многие виды
ошибок измерений распределены приблизительно нор-
нормально. Теоретическое обоснование этой закономерности
содержится в знаменитой центральной предельной тео-
теореме.
Центральная предельная теорема применима вообще
в тех 'случаях, когда измерение или случайная величина,
которая нас интересует, представляет сумму большого
числа других случайных величин или «случайных эффек-
эффектов». Приведем наиболее простую форму центральной
предельной теоремы ([12], стр. 214).
Пусть 1и Ь, • •-, In — одинаково распределенные, не-
независимые в совокупности случайные величины с общим
средним \х стандартным отклонением а. Тогда, если
14—1113 209

то при п -> оо
( х~п? \ F.171)
Это означает, что 6 асимптотически-нормально с парамет-
параметрами (яр, о \f n). В частности, среднее х случайной вы-
выборки объема асимптотически-нормально с параметрами
Упражнение. Доказать последнее утверждение.
Как мы уже указывали, любая „хорошая" функция
/ (х) среднего х асимптотически- нормальна, т. е.
P{f(x)<x)~ Ф , * гУп ч . F.172)
(См. § 8.3).
Из F.172), например, можно вывести, что арксинус-
преобразование (п. 8.3.3) сводится к асимптотически-нор-
асимптотически-нормальной величине arc sin у р , т. е. нормальной (arc sin V р
l/ByN)). Понятно, что сама p = f/N асимптотически-нор-
асимптотически-нормальна (/7, Vpq/N). Аналогично оценка Я параметра Я
распределения Пуассона F.86), будучи выборочным сред-
средним, асимптотически-нормальна (Я, VXJN).
Более полное изложение нормального и других свя-
связанных с ним распределений читатель найдет во многих
литературных источниках, в частности в [12—14]. Эле-
Элементарно изложены свойства многомерного нормального
распределения. В [15] дается подробный обзор примене-
применений логарифмически-нормального распределения **.
* Выражение «асимтотичеокая нормальноють с параметрами
(а, Ь)» или просто «аошптотичеЮкая нормальность (а, 6)» означает
только то, что предельная функция распределения естьФ((л:—а) /Ь].
Отсюда не обязательно -следует, что среднее и Стандартное отклоне-
отклонения | сходятся к а и Ъ.
** См. Я. Б. Шор. Статистические методы анализа и контроля
«аче'ства и надежности. Иэд-во «Советское радио», 1962, (Прим.
перев.)
210

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения. Изд-во иностранной литературы, 1955.
2. Tables of probability functions. National Bureau of Standards»
Applied Mathematics Series, 1953, p. 23.
3. Tables of the cumulative binomial probability distribution.
Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1953.
4. M. A. Girshick, F. Mo s teller and L. J. Savage. Un-
Unbiased estimates for certain binomial sampling problems with applica-
applications. Ann. Math. Stat, 11946, v. 47, p. '13—23.
5. E. С. Т и т ч м а р ш. Теория функций. Гостехиздат, 1951.
6. А. Вальд Последовательный анализ. Физматгиз, 1960.
7. Е. J. Gumbe I. Statistics of extremes. Columbia University
Press, New York, 1958.
8. Probability tables for the analysis of extreme value data. Na-
National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 1953, v. 22.
9. B. Epstein. The exponential distribution and its role in
life testing. Ind. Qual. Control, 1958, XV, 6, December.
10. E. С Molina. Poisson's exponential binomial limit. D. Van
Nostrand company, Inc., Princeton, N. J., 1942.
11. W. A. G u n n. The reliability of complex systems. Western
Conference Proceedings, 1956, ASQC, August, p. 20—21.
12. Г. Крамер. Математические методы статистики. Изд-во
иностранной литературы, 1948.
13. S. S. W i I k s. Mathematical statistics. Princeton University
Press Princeton, N. J., 1943.
14. A. M. Mood. Introduction to the theory of statistics, McGraw-
Hill Book Company, Inc., New York, 1950.
15. J. A i t с h i s о n and J. A. Brown. The lognormal distribu-
distribution with special reference to its use in economics. Cambridge Uni-
University Press, 1957.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Acheson M. A. Life factors affecting acceptance procedures.
Proc. 2d National Symposium on Quality Control and Reliability in
Electronics, Washington, D. C, 1956, 9—10 January, p. 156—164.
Allen W. R. Inference from tests with continuously increasing
stress. Operations Research, 1959, v. 7, 3, June, p. 303—312.
Bartholomew D. J. Testing for departure from the exponen-
exponential distribution. Biometrika, 1957, y. 44, Pt. 1 and 2, June, p. 253—257.
^ Birnbaum Z. W. A statistical model for life-length of mate-
materials. J. Am. Stat. Assoc, 1958, v. 53, 281, March, p. 151—160.
Broadbent S. Simple mortality rates. Applied Statistics, 1958,
v. 7, 2, June, p. 86—95.
Cohen A. C. Estimating the parameters of a modified poisson
distribution. J. Am. Stat. Assoc, 1960, v. 55, 289, March, p. 139—143.
Cox D. R. The analysis of exponentially distributed life-times
with two types of failure. J. Roy. Stat. Soc, 1959, v. 21B, 2,
p. 411—421.
Davis D. J. An analysis of some failure data. J. Am. Stat
Assoc, 1952, v. 47, p. 113—150.
14* 211

Eldredge G. G. Analysis of corrosion pitting by extreme-
value statistics and its application to oil well tubing caliper surveys.
Corrosion, 1957, v. 13, January p. 51—60.
Flehinger B. J. and Lewis P. A. Two-parameter lifetime
distributions for reliability studies of renewal processes. IBM Journal
Research and Development, 1959, v. 5, January, p. 58—73.
Godfrey M. L. Theory of extremal values applied to tests. Ind.
Labs, 1958, v. 9, July, p. 9—12. 1958, August, p. 74—79.
Gumbel E. J. Statistician attacks extreme values in technical
problems. Ind. Labs., 1956, y. 7, December, p. 22—30.
К а о J. H. K. A new life-quality measure for electron tubes. IRE,
Trans. Reliability and Quality Control, 1956, PGRQC-7, April,
p. 1—11.
Raff M. S. On approximating the point binomial. 1956, v. 51,
June, p. 293—303.
S a i t о, К i n-i с h i r o. Maximum-likelihood estimate of proportion
using supplementary information. Bull. Math. Statistics (Japan), 1956,
v. 7, 1,2, December, p. 11—17.
S to Her D. S. A failure model for equipment undergoing com-
complex operation. Operations Research, 1958, v. 6, 5, September—October,
p. 723—728.
W о h 1 J. G. Dependability of military equipment: a systems
approach. Elec. Mfg, 1959, v. 63, March, p. 93—100, 153.

ГЛАВА 7
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
Часть I
7.1. ВВЕДЕНИЕ. ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ
В гл. 6 были описаны необходимые для дальнейшего
важные модели дискретных и непрерывных распределе-
распределений.
В этой и следующей главах изучаются задачи оценки
R; как будет обнаружено, R является некоторой опреде-
определенной функцией параметров распределения и получается
суммированием или интегрированием плотности вероят-
вероятности по выборочному пространству. Так, если Р(Кх) =
= F (х; 81Э 62,...) — функция распределения, зависящая
от параметров 819 62,..., а хх и х2 определяют событие
„успех", то R будет определяться выражением
-z7^; elf 62,...)=^(91, е2,...), G.1)
называемым функцией надежности, или надежностью.
7.1.1. Пример с нормальным распределением
Допустим, что xt и х2 — нижний и верхний допусти-
допустимые пределы данной рабочей характеристики ?, которая
обладает нормальным распределением со средним 6Х и
стандартным отклонением 02. Определим успех как собы-
213

тие, состоящее в том, что ? лежит в указанных преде-
пределах. Тогда, коль скоро xt и х2 известны,
^2
7.1.2. Пример с показательным распределением
В случае показательного распределения надежность
может быть, например, определена как вероятность без-
безотказной работы устройства на протяжении времени, боль-
большего Т. Имеем
Я^РЬ>Т) = Це-"°сН=[-е-<»]7=е-т. G.2)
Г
Если Т известно, то G.2) можно записать, как R(Q).
7.1.3. Пример с биномиальным распределением
Распределение вероятностей не обязательно будет не-
непрерывным. Так, в случае биномиального распределения,
если О обозначает вероятность безотказной работы одного
элемента, а надежность R определена как вероятность
безотказной работы по меньшей мере г элементов, то
^_} 6"-1 A-6) + ...+
коль скоро г и п известны.
7.1.4. Задача оценки R
Приведенные примеры снова подтверждают то обстоя-
обстоятельство, что надежность можно выразить в виде неко-
некоторой функции одного или нескольких параметров распре-
распределения. В общем случае R не выражается в явном ана-
аналитическом виде через плотность вероятности; кроме
того, истинные значения 0v 62,... бывают неизвестны.
Однако при подходе к задаче оценки R удобно сначала
рассмотреть задачу оценки параметров модели распреде-
распределения, которые все же входят явно.
214

Коль скоро подобные оценки 61? 02,... параметров 61Э
02,... получены, мы можем перейти к их использованию
для получения оценок надежности.
Таким образом, в настоящей главе мы изложим ос-
основные аспекты оценки параметров моделей распреде-
распределений. Этот материал является «классическим» в том
смысле, что его можно найти, и притом в более подроб-
подробном изложении, в рекомендованных учебниках по ста-
статистике. Однако здесь основное внимание будет уделено
специфическим распределениям, важным для исследо-
исследования надежности, а также для гл. 8.
7.2. СВОЙСТВА ОЦЕНОК
В § 5.10 были рассмотрены выборочные среднее и
дисперсия, дающие примеры наиболее универсальных
оценок. Выборочное среднее является в общем случае
наилучшей оценкой истинного среднего \i совокупности,
из которой произведена выборка. Оно дает оценку
центра распределения совокупности. Выборочная дис-
дисперсия при тех же условиях является оценкой рассеива-
рассеивания или дисперсии распределения совокупности а2.
Более обще можно сказать, что оценка — это функ-
функция выборки, «оценивающая» в том или ином смысле
функцию параметров распределения, из которого взята
выборка.
Будет ли оценка «хорошей» или «плохой», зависит от
того, какая берется функция выборки и какая функция
параметров распределения оценивается. От «хорошей»
оценки требуется, чтобы ора была «близкой» к истин-
истинному значению оцениваемой функции.
Напомнив, что выборочные значения являются слу-
случайными величинами (§ 5.10), а следовательно, и оценка
является случайной величиной, определим некоторые оп-
оптимальные свойства оценок.
7.2.1. Несмещенность
Оценка называется несмещенной, если
Это означает следующее. Если хх,..., хп — выборочные
значения, взятые из совокупности с плотностью (или функ-
215

цией распределения), которая является функцией пара-
параметра 0 (возможно, еще и других параметров), то в должна
быть функцией, математическое ожидание которой равно 6.
Тогда 8 является несмещенной оценкой 6.
Пример. лс;= 2х,//г является несмещенной оценкой р.. Дей-
Действительно, Е (х^ = р. и
- _ J_
Упражнение. Выборочная дисперсия, определяемая фор-
формулой
не является несмещенной оценкой а2.
Доказать это утверждение, использовав тот факт, что
Е (х^) = о2 + J*2. Какой будет несмещенная оценка (см. § 5.10)?
Пример. Проиллюстрируем предыдущий пример на биноми-
биномиальном распределении вероятностей (параметр и = 1)
Из совокупности производится выборка хи . . ., хп объема п
Xi могут быть единицами или нулями. Тогда х = У .-—- будет
равно числу единиц f в выборке, деленному на п. Поскольку
p, то х~~Л— несмещенная оценка р. В нашей обычной
интерпретации нулями обозначаются успехи, а единицами — от-
отказы; q и р обозначают соответственно вероятности успеха и от-
отказа. Тогда наблюденная доля отказов в выборке будет несме-
несмещенной оценкой истинной вероятности отказа р. Заметим, что
извлечение случайной выборки объема п из такой биномиальной
совокупности с формальной точки зрения то же самое, что и п
независимых испытаний с постоянной вероятностью р неудачи
в каждом испытании.
7.2.2. Состоятельность
Оценка 0 называется состоятельной, если для любого
е>0
(п обозначает объем выборки). Это означает, что за счет
увеличения объема выборки можно добиться сколь
216

угодно малой вероятности отклонения состоятельной
оценки от оцениваемого параметра больше, чем на за-
заданную величину, как бы мала она <ни была.
Пример 1. х — состоятельная оценка [х. Чтобы доказать
это, предположим, что существует дисперсия о2. (В действитель-
действительности это не обязательно; важно лишь существование среднего ц)
(см. [1], стр. 254)*. Применим неравенство Чебышева (п. 5.7.1);
_ 02
Но var x=— (§ 5.10). Следовательно,
а это выражение стремится к нулю при п-+оо.
Пример 2.
п
/=1
является состоятельной оценкой р. (хотя и смещенной). Заметим,
что последняя оценка асимптотически-несмещенная, т. е. при
л-»оо смещение стремится к нулю.
7.2.3. Минимум дисперсии
Третье важное желательное свойство оценки заклю-
заключается в том, чтобы она имела при любом объеме выбор-
выборки п минимально возможную дисперсию. Это приводит
к более сложным аспектам теории оценок. Заметим
только, что если подобные оценки существуют, то они
обычно получаются по методу максимального правдопо-
правдоподобия (см. [1], гл. 32, 33).
7.3. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК
Для целей настоящей главы 'понадобятся лишь мето-
методики получения оценок, обоснование которых зналитель-
но сложнее. Однако даже в рамках имеющегося аппа-
аппарата мы можем исследовать некоторые важные свойства
получаемых оценок.
* См. Б. В. Гнеде'нко. Курс теории вероятностей. Физматгиз,
1962, стр. 218. (Прим. перев.)
217

Метод максимального правдоподобия получения оце-
оценок, как правило, более прост и обычно дает лучшие
оценки, чем другие методы, например альтернативный
метод приравнивания выборочных моментов к моментам
совокупности. Сначала изложим в общих чертах метод
максимального правдоподобия, применив его затем к не-
нескольким примерам. Во многих случаях этот метод экви-
эквивалентен упомянутому альтернативному методу. Однако
метод приравнивания моментов в некоторых случаях
более прост с точки зрения вычислений. Оба метода да-
дают асимптотически-нормальные оценки: при стремлении
к бесконечности объема выборки распределение оценки
стремится к нормальному закону.
7.4. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
(ОДИН НЕИЗВЕСТНЫЙ ПАРАМЕТР)
Предположим, что имеется случайная выборка х19...,
хп из совокупности с плотностью f(x; 0). Здесь 0 обозна-
обозначает параметр распределения, который может быть сред-
средним распределения, что, конечно, не обязательно. Задача
А
состоит в отыскании такой функции b(xt,..., хп), чтобы
О была хорошей оценкой 6. С этой целью введем функ-
функцию
„; в). G.5)
Функция L, определенная равенством G.5), называется
функцией правдоподобия выборки.
Посмотрим, каким образом это определение приводит
к хорошей оценке 6. Прежде всего, правая часть G.5) по
виду совпадает с совместной плотностью вероятности п
независимых одинаково распределенных случайных вели-
величин. Таким образом, L можно рассматривать как априор-
априорную вероятность получения наблюдений хи ... хп. Од-
Однако, поскольку х19... хп рассматриваются как уже
полученные, L будет просто функцией неизвестного пара-
параметра 6, который мы хотим оценить. Метод максималь-
максимального правдоподобия состоит в нахождении значения 6
G.5), максимизирующем L. Идея, на которой основывается
этот метод, состоит в том, что максимизируется „вероят-
„вероятность получения наблюденного результата" на основании
приведенного выше формального соответствия. В этой ана-
218

логии мы пытаемся отыскать значение 0, при котором „наи-
„наиболее правдоподобно" получение (уже данного) результата
опыта.
Так как ? = logL является возрастающей функцией
L, то значение б, обращающее в максимум logL, также
максимизирует L. Обычно это значение 0 получается при
помощи решения уравнения правдоподобия
относительно 0. Полученное таким образом значение 0
А
обозначается 0, оно является функцией х19..., хп.
7АЛ. Применение к непрерывным распределениям
Пример. Предположим, что производится испытание на
долговечность и с этой целью поставлено на испытание п элек-
электронных ламп. Опыт прекращается, когда все лампы откажут.
Времена наработки до отказа обозначим tu . . ., tn. Пусть время
наработки до отказа имеет доказательное распределение с плот-
плотностью ^
О при
где параметр 0 представляет среднее распределения. Функция
правдоподобия L имеет вид:
п
[у22] G.6)
откуда
$ = _ п bg 9 — у VJ ti ' G.7)
Положив "ло* = 0 и решив уравнение G.8) относительно 0, полу-
А
чим для решения О выражение
п
i «-^
• •• G.9)
219

Упражнение. Продифференцировав G.8) и использовав
G.9), показать, что G.9) дает максимальное значение (?. Заметим,
что полученная оценка является средним выборки tlt . . ., tn. Та-
Таким образом, та же оценка получится, если приравнять выбороч-
выборочное среднее среднему совокупности.
Если каким-то образом определена оценка, ее можно
рассматривать как случайную величину, /поскольку она
является функцией исходов испытаний (х\, ..., хп)\ это
было отмечено в § 5.10. Таким образом, оценка обладает
функцией распределения, средним дисперсией и т. д.
Например, мы находим из E.54), что 6 предыдущего
примера имеет гамма-распределение.
Важно также заметить, что гамма-распределение
связано с известным ^-распределением. Чтобы показать
это, запишем на основании E.54)
Определим теперь х2 = 2/г6/0. Тогда
У)-Р(Ъ<-^Г)= G.11)
ву/2п
1
Сделав замену переменной интегрирования в G.12), полу-
получим
^p G.13)
что представляет функцию распределения х2 с 2п „сте-
„степенями свободы". Мы будем употреблять для данной
случайной величины обозначение j^n» чтобы показать ее
зависимость от параметра 2п.
Л А
Упражнение. В предыдущем примере Е @) = 0, т. е. 0—не-
02
смещенная оценка 0. Справедливо также соотношение var0 = —.
Установить эти соотношения двумя способами.
220

7.4.1.1. Частный пример
Следующий пример совсем иного рода, чем рассмот-
рассмотренные выше, поскольку в нем оценку максимального
правдоподобия невозможно получить путем дифферен-
дифференцирования функции правдоподобия. Предположим, что
I 0 в остальных случаях.
(Легко видеть, что f(x, 6) представляет плотность, по-
поскольку
00 0
—6о О
Имеем
L(xly..., хп\ 0)=(т ), G.15)
, / = 1, 2,..., п.
По виду G.15) мы замечаем, что L максимизируется при
наименьшем возможном значении 6, а также то, что 6 не
может быть меньше, чем наибольшее из Хи *=1, 2,..., п.
Таким образом, оценкой максимального правдоподобия
для 0 будет
5 = шахл:<. G.16)
Оценка максимального правдоподобия не всегда является
несмещенной*.
Рассмотрим снова предыдущий пример. Поскольку 8 —
максимальное значение выборки, то ее элемент вероят-
вероятности будет равен
> b)dy9
* Она даже не всегда «состоятельна (см п. 7.2.2 ). (См также
J. Neyman. Lectures and conferences on mathematical statistics
and probability. Graduate School, U. S. Department of Agriculture,
Washington, Second 'Edition, 119Э2, p. A89—A90.)
221

где f(y; 6) дается уравнением G.14), a F(y\ в), как обычно,
обозначает функцию распределения, соответствующую
плотности f(y; 6)*. Таким образом,
откуда
О
или
GЛ9)
А
Таким образом, в, определенная G.16), не является не-
несмещенной оценкой 6, однако V = п п 6 уже будет не-
несмещенной.
Упражнение. Показать, что
var0
7.4.2. Применение к дискретным распределениям
Метод максимального правдоподобия применим и к ди-
дискретным распределениям. Для этого вместо G.5) сле-
следует записать следующее равенство:
L(xu...,xn\ t) = P{i: = xl)...P{!: = xn), G.20)
где Р(? = Х{) зависит от параметра 6.
Пусть, например, С имеет биномиальное распределе-
распределение
0) = <7, G.21)
а р рассматривается как оцениваемый параметр. Тогда
п
?(¦*! хп\ p) = l\px.(\—py-*i =
= plxi(l—p)n~Yxi. G.22)
* Мы применяем зде<д> мультиномиальное распределение (§ 6.3).
222

(Вспомним, что Xi — это нули или единицы.) Следова-
Следовательно,
<? = (ZXi) log p + (n — Ъхд log A - /?),
откуда получаем
JM Q=g*— "-**. G.23)
d/? /? 1-/; v ;
Решив G.23) относительно р и обозначив решение через
А
ру будем иметь
Р = ?-. G-24)
Снова, как и в примере с показательным распределени-
распределением G.9), выборочное среднее оказалось оценкой макси-
максимального правдоподобия параметра (в данном случае
А
/?), который в действительности является средним рас-
распределения совокупности G.21).
Упражнение. Найти оценку максимального правдоподобия
параметра А. распределения Пуассона
к)= kx , * = 0, 1, 2, ....
Ответ.
Х=^. G.25)
где п — количество испытаний; ki — число событий в i-м испыта-
нии, / = 1, 2, . . ., п.
7.4.3. Дисперсия оценки максимального правдоподобия
На уравнении правдоподобия основан также весьма
удобный приближенный метод нахождения дисперсии
оценки 6. Точное значение дисперсии Е [0 — Е (б)]2 вычис-
вычисляется гораздо сложнее. При определенных условиях,
если после дифференцирования выборочные значения за-
заменить их математическими ожиданиями, мы получим
формулу
{дЧ1
Поскольку оценка максимального правдоподобия не
всегда является несмещенной, то такой метод дает точ-
223

ное значение дисперсии лишь в пределе при п, стремя-
стремящемся к бесконечности. В п. 7.5.4 мы увидим, что приве-
приведенное выражение представляет собой частный случай
формулы, по которой можно находить дисперсии и ко-
вариации для двух и большего числа оценок параметра.
Пример. Рассмотрим показательное распределение. Продиф-
Продифференцировав в G.8) по 9, получим
_ л _ 2 wi
~~1* ~? 2j G*26)
Заменив S
откуда
ti на Е Q
02(? п
С^), получим
var 0 =
83 i
IT'
/г '
G.27)
G.28)
то является также точным значением дисперсии.
7.4.4. Доверительные пределы для параметров
Как было указано выше, оценки максимального прав-
правдоподобия обычно сходятся к нормальному распределению
А
при увеличении объема выборки. Так, если 6 — оценка
максимального правдоподобия 6 при объеме выборки, рав-
равном п9 и
ТО
Р(г;<д:)-^Ф(;с)=-4=г- fe"/a/2^ G.29)
У 2« J
—00
при /г, стремящемся к бесконечности*.
Это позволяет находить приближенные доверительные
пределы параметров распределений по способу, который
мы ниже изложим.
* Пример п. 7.4.1.1. представляет исключение, поскольку
обычно var в = 0 (l/л2), а не 0A/я).
224

Пусть Y — установленный доверительный уровень. За-
Зададимся целью найти интервал значений 0, границы ко-
которого Сх и С2 являются функциями выборочных значе-
значений (т. е. Clf C2 — случайные величины) и который обла-
обладает тем свойством, что
Я(С1<0<С2) = Т, G.30)
каково бы ни было истинное значение 0.
Вследствие G.29)
1 _т)/2
L: <
V var0
где Ка определяется уравнением
G.31)
т. е. Ка является „нормальным уклонением, которое пре-
Л
восходится с вероятностью <ха*. Оценим теперь var6, ко-
которая обычно является функцией 6 и других параметров,
заменяя параметры их оценками, и обозначим полученную
оценку через V. Тогда событие в скобках в левой части
G.31) приближенно эквивалентно событию
Таким образом, б принадлежит интервалу ezt/C(l_ )/2V
с вероятностью, приближенно равной у. Заметим, что в урав-
уравнении G.31) можно было бы взять любую пару К9 и Кг
с тем условием, что ех -j- s2 = 1—у.
Пример. Пусть х и s2 обозначают среднее и дисперсию вы-
выборки из нормальной совокупности. Найдем приближенные довери-
доверительные пределы для jj.. Так как var х = <?2//г, то V = s2l(n— 1)
(используется несмещенная оценка о2). Следовательно, интервал
* Принят термин квантиль или 1—а — квантиль для опре-
определения /Са. (Прим. пере в.)
15—1113 225

содержат выборочное среднее ц с вероятностью, приблизительно
равной у. Если бы о2 была известным параметром, то вероятность
_ о
покрытия {J. интервалом х + К^__^у2 ~~7==- Т°1ШО равнялась бы f*.
Упражнение. Найти односторонний (нижний) доверитель-
доверительный предел для параметра R = 1 — р биномиального распределе-
А
ния, т. е. такое RL> что
Воспользоваться тем же нормальным приближением, но в данном
А
случае заменим var R = R A — R)jn выражением (п — f) ///г3, где
f — наблюденное число отказов.
Ответ.
G.32)
7.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ К РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ С ДВУМЯ
И БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
7.5.1. Оценка параметров нормального распределения
Метод максимального правдоподобия легко обоб-
обобщить на случай неизвестных параметров. Наиболее из-
известное применение относится к параметрам нормально-
нормального распределения. Поскольку
i_
fteb *) = <№) 2ехр[—?=?
— оо<л;<оо,
— ооО<оо,
G.33)
* При неизвестном с2 для определения доверительных преде-
пределов [х используется /-распределение Стьюдента. ц попадает в ин-
интервал 1с ± *(i_T)/2 c вероятностью, точно равной у» где /а —
значение уклонения стьюдентовской /-величины с п—I степенями
свободы, которое эта величина превосходит с вероятностью а.
См. А. Н. Bowker and G. J. L i e b e г m a n, Engineering, Sta-
Statistics, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, H. I., 1959, (табл. 3,
стр. 588).
226

то
G.34)
И
(? = log L = const—|-logo2—9o2"/I (*i — l^J.
Запишем теперь условия
Первое из них дает
"" с< —рь) = О. G.35)
Ввиду того, что о2 > 0, решение jx уравнения G.35) имеет
вид
- G#36)
Второе условие приводит к уравнению
решение которого sa = m2, имеет вид
s2=—(Xi — pJ. G.38)
[Заметим, что в G.38) появляется ц вместо |х, поскольку
G.35) и G.37) решаются совместно.]
Только что было показано, что s2 — смещенная оценка
о2, но [п/(п — 1)] 52 — несмещенная оценка. Заметим, что
ни 5, ни даже s^n(n — 1) не являются несмещенной
оценкой о (см. [1], стр. 484).
15* 227

7.5.2. Оценка параметров гамма-распределения
Другим примером, в котором также приходится оцени-
оценивать два параметра, является гамма-распределение с
плотностью, имеющей согласно F.159) 'следующий
вид:
f(x; Я, а) = ( Хт{а) ' *>°> \ G.39)
I 0, х<0. J
(а>0, Я>0).
Имеем
6 = an log Я — Л log Г (а) -f- (а — 1) S log x{ — XSxi9 G.40)
откуда
i = 0 G.41)*
__=_Г-_ЬЛ. = О. G.42)
Исследование уравнений G.41) и G.42) показывает, что
А А
совместное решение их относительно а и Я можно полу-
получить только методом проб и ошибок. В том случае, когда
а не слишком мало, скажем, a ^2, существует хорошее
приближение ЧР*(а), имеющее вид
ЧГ (•) ^ log («-4H / 1ч- G-43)
4 У ()
Например, при а = 2и 3 точные значения ^(а) со-
составляют соответственно 0,423 и 0,923, а значения, вы-
= ^71 g
ной Г-функции или просто пси-функцией.
228
называется логарифмической производ-

производчисленные по формуле G.43) равны 0,494 и 0,923*. Урав-
Уравнения G.42) и G.41) принимают следующий вид: •
Л
а=^-?х„ G.44)
Я = exp [W (а) — A/л) ? log xt]. G.45)
Уравнение G.45) можно упростить, положив
\= G.46)
G.47)
В G.46) мы использовали приближение е* » 1+*, спра-
справедливое при малых л;. Если ввести оценку тща г-»
то G.44) и G.45) примут вид
G.49)
Пример. Пусть распределение времени безотказной работы
электрогенератора имеет вид G.39). В семи испытаниях генерато-
генераторов получены значения наработок до отказа: 100, ПО, 150, 175,
185, 200 и 220 час**. Оценить параметры а и X. Имеем
~i—162.9 и exp [~
= (П*,) ~ 1//г= 0,00637.
* Относительно точных значений см. [2], стр. 16. (Заметим,
что в [2J Ч?(х) имеет смысл нашего Ф(х+\), так что ФB) =
= ФA) и т. д.
** Чи-сленные значения из эпого примера будут использованы
•в вычислении доверительных пределов (§ 8.5, '8.6); «при этом будет
использована аппроксимация нормальным распределением. Однако
нельзя ожидать, чтобы при таком малом объеме выборки, как 7,
нормальное распределение служило хорошим приближением; для
этой дели необходимо иметь минимум 50—100 наблюдений. Малая
выборка используется исключительно с целью иллюстрации, чтобы
читатель мог вникнуть в вычисления во всех деталях.,
229

Следовательно,
1
= -?+ 162.9X G.48')
А / А 1 \
XI w= г 1@,00637). G.49')
\^ 24ш J
При помощи методики, которая дается в приложении 7А или 7D*,
получаем следующие оценки:
? = 0,0841, ш= 13,20 или а = 13,70. G.50)
7.5.3. Метод приравнивания моментов
Посмотрим, как метод приравнивания моментов дей-
действует в случае использования данных предыдущего
примера. Среднее распределения с плотностью G.39)
равно
а его дисперсия
°2 = Т*- G.52)
Метод заключается в том, чтобы приравнять выбо-
выборочные среднее и (несмещенную) дисперсию к среднему
и дисперсии совокупности G.51) соответственно. Только
что было получено лг= 162,9. Выборочная дисперсия, ум-
умноженная для несмещенности на п/(п—1), равна
Таким образом, имеем два уравнения относительно а
и Я:
у =162,9, ? = 2032,
* Заметим, что проще решать уравнения G.48') и G.49'), как
А А
одно уравнение; задаваясь X, решаем относительно w, подставляем
в G.49') полученные 'новые значения X и т. д.
230

откуда получаем:
а = 13,06. G.54)
Эти оценки получены путем несложных вычислений, в то
время как оценки максимального правдоподобия G.50)
относительно сложны. Численные значения, полученные
обоими методами, несколько различаются, но не на-
настолько, чтобы можно было судить, какой из методов
лучше.
По теории оценки максимального правдоподобия бу-
будут лучшими при больших выборках; при увеличении
объема выборки их дисперсии стремятся ж наименьшему
достижимому значению*, но при малых выборках, по-ви-
по-видимому, не существует простого приема, на основании
которого можно было бы считать один 'метод 'предпочти-
'предпочтительнее другого.
7.5.4. Дисперсии и ковариации оценок максимального
правдоподобия
Приближенные значения дисперсий и ковариации
двух и большего числа оценок можно найти непосредст-
непосредственно из уравнений правдоподобия. Проиллюстрируем
этот метод на предыдущем примере с гамма-распреде-
гамма-распределением.
Сначала вычислим вторые частные производные (?
[из G.41) и G.42)]:
(В том случае, когда в какую-либо из вторых частных
производных входят выборочные значения, например 2д;г-,
* Можно показать, что в общих предположениях существует
минимальное достижимое значение дисперсии оценки и что диспер-
дисперсии оценок максимального правдоподобия при увеличении п сгре-
мятся к этому значению.
231

то они заменяются математическими ожиданиями, напри-
например /га/Я.)
Далее, образуем матрицу А
А =
Тогда матрица В, определенная как
G.59)
, Г vara cov(a, Я) |
L cov (а, Я) var Я J
cov (а, Я)
будет равна матрице, обратной к А, с обратным знаком*
В = -А-\ G.60)
Так, в примере с гамма-распределением
I П —О/2
L т ~^~~ J
* Описываемый метод получения дисперсий и ковариаций не-
несколько отличается от общепринятого (см. [4], стр. 212). В обычном
методе исходят из первоначальной плотности и находят математи-
математические ожидания
д2 log f . д* log f . d*\ogf
да* ' дк* ' дадХ »
усредненные по плотности. Математические ожидания подставляют-
подставляются затем в матрицу А, и находится обратная матрица с обратным
знаком. Каждый элемент делится на объем выборки п. Мы отсту-
отступаем от этого метода ввиду того, что в более сложных задачах, ког-
когда выборки объемов щ, п2, ..., получены из различных совокупно-
совокупностей с общими параметрами, нелегко найти я, соответствующее
обычному методу. С другой стороны, еслл уже составлено уравне-
уравнение правдоподобия, то повторно не представляет труда продиффе-
продифференцировать это уравнение- и поступить, как указано выше. В рас-
рассматриваемом примере оба метода приводят к тому же результату.
В других примерах (оценка параметров нормального распределения,
распределения Вейбулла) следует заменить такие значения, как
2(*<—ЦJ, появляющиеся во вторых производных функции правдо-
правдоподобия, математическими ожиданиями (например, па2) или же ре-
решить одно или несколько уравнений правдоподобия относительно
одних параметров, выразив их через другие.
Если имеется только один параметр (скажем, а), то В = —
— А — ((^(Е/да2)-1 снова с той оговоркой, что выборочные зна-
значения заменяются их математическими ожиданиями (см. п. 7.4.3).
232

Чтобы обратить эту матрицу, вычислим сначала опреде-
определитель А
? 1
пФ(а)
G.62)
Det А= от*а w -g=g(«g'(*)- 1)- G-61)
Тогда
__ ая —/2
1
"Det A
- ~Г
где матрица G.62) получена путем замены каждого эле-
элемента матрицы А его алгебраическим дополнением.
Далее, из G.60)
П 1 Г « \ I n ftQ -
Л [аф' (а)—1] у X X2iF'(а) J"
Значит,
А а
cov ^ *> = л[«ум-1Г G-66)
Можно показать, что Ф (а) ^ l/la — —) [например, Tf B)=
= 0,6449], в то время как
1/B—yW0,6667; W'C) = 0,3949, а
1/C-{)= 0,40000; ЧГD) = 0,2838;
1/D- 4) =0,2857 и т. д.).
Следовательно, аФ (а) — 1 ж 1/ Bа — 1). Тогда выра-
выражения G.64), G.65) и G.66) будут приближенно равны:
^, G.64')
^, G.65')
cov (а, Я)^ХBап~1). G.66')
233

Упражнение. Найти приближения дисперсий и ковариаций
х и s2, определенных формулами G.36) и G.38). Следует помнить,
что Е(.д^ — jx) и S(ATi — p.J после дифференцирования необ-
необходимо заменить математическими ожиданиями.
Возвращаясь к примеру с семью электрогенераторами,
мы можем найти приближенные значения стандартных
А А
отклонений оценок а и Я, подставив в формулы G.64') и
G.65') численные значения оценок G.50), полученных по
методу максимального правдоподобия. Так, а ~а = 13,70
и А~ А = 0,0841, откуда*
а также
(cov(a, Я)) = (ц'"о-*'п^.^ =0|317.
л л
Таким образом, коэффициент корреляции а и А прибли-
приближенно равен
В общем случае
РУ , 2а~1 . G.67)
И /2aBa-l) V У
Это выражение близко к 1 даже при сравнительно
малых а.
Снова подчеркнем то обстоятельство, что формулы
для дисперсий справедливы только при больших выбор-
выборках. В случае гамма-распределения (и распределения
Вейбулла) будет также присутствовать некоторая
ошибка за счет смещенности оценки (которая, однако,
исчезает при /&->оо). В результате мы приходим к вы-
выводу, что при малом объеме выборки дисперсия оцени-
оценивается весьма неточно.
* Символ < > обозначает численную оценку выражения, стоя-
стоящего в скобках.
234

7.5.5. Оценка параметров распределения Вейбулла
Плотность распределения Вейбулла была определена
в п. 6.8.2 с помощью формулы
/(/) = аЯ^1е~х/а, *>0, а>0, Я>0. G.68)
Применим к этой задаче метод максимального прав-
правдоподобия точно так же, как в рассмотренном случае
гамма-распределения. Логарифм правдоподобия будет
равен
1=1 /=i
G.69)
откуда
^=-?+Slogf,-AS^logf< = 0 G.70)
S=T-SC = O- G.71)
Обозначив решение через а, Я, мы можем переписать
G.70) и G.71) следующим образом:
i=Ar G.7a)
Щ
G.71')
При получении этих оценок полезно применить методику
приложений 7А и 7Б. В этом случае также проще за-
А А Л
даться а, вычислить Я из G.70'), затем пересчитать a
по G.7Г), подставив в это уравнение полученное значе-
А
ние Я. По всей вероятности, для выбора подходящего
начального значения а требуется некоторый опыт; но ите-
итерационный процесс, описанный в приложении 7А и 7Б,
почти наверное сходится к истинным значениям независи-
Л
мо от выбора начального значения а.
235

В качестве примера рассмотрим статистику наработок
до отказа электрогенераторов, • которую мы приводили
выше.
Мы имели tu . . . , /„ = 100, 110, 150, 175, 185, 200
и 220 час соответственно. Чтобы найти подходящее на-
А
чальное значение а, приравняем выборочное среднее ранее
найденному среднему распределения F.103):
162,9 = Я-1/0Т A + —Y * G.72)
Использовав G.72), G.70') и таблицы Г(х) (см. [5], стр. 193),
легко найти начальное значение а = 2,2. Применив затем
итерационный процесс, рассмотренный в приложениях
7А и 7Б, находим
а = 4,6690, Я = 3,04238 ХЮ1. G.73)
Чтобы -получить оценки дисперсий и ковариаций, по-
поступим так же, как и в случае гамма-распределения. Из
G.70) и G.71) находим:
~~ ь G.74)
G.75)
G.76)
На этот раз мы не будем заменять величины, содержа-
содержащие ti, их математическими ожиданиями, так как это
привело бы к неправильной оценке дисперсий (см. по-
последний абзац п. 7.5.4).
Подставляя оценки G.73) в G.74) — G.76), полу-
получаем:
236

Таким образом, матрица А принимает вид:
А _ Г — 194,9062 — 12,12624 X Ю" 1
"~ [ — 12,12624 X Ю" — 0,75626 X Ю22 J
Det A = 0,35406 X Юи.
Далее,
._, if О,75626ХЮ22 —12,12624X10""
Г О,75626ХЮ22 —12,12624X10"]
[—12,12624X10" 194,9062 J'
0.35406ХЮ22
(vara)*« 2,1360 ж 2,14,
(var А) ж 550,49 X Ю"" ~ 550 X Ю2,
(cov (о, А» д; — 34,249XlO-"st—34.2X10-".
В данном случае мы находим также, что
, * * ?.. —34,249X10-" —100
\Р\Л> )) ю-» УB,1360) E50,49) ~ '.
Таким образом, оценки а и А имеют сильную отрица-
отрицательную корреляцию. Интересно найти наименьшие воз-
возможные значения дисперсий, пренебрегая смещенностью
Л А
оценок а и Я. Это можно сделать, заменив в G.74) и
G.76) выражения, зависящие от выборочных значений, их
математическими ожиданиями. Пусть, например, мы долж-
должны найти по G.74) математическое ожидание Ef?logaf*.
Так как t{ — независимые случайные величины, справед-
справедливо равенство
Е (Щ log2 ti) = пЕ (<иа log2 x), G.77)
где % обладает плотностью вероятности вида G.68).
Далее,
% оо
Е (ха log2 %) = f <xXt2«~l log2 te~u*dt. G.78)
6
237

Этот интеграл можно взять, заменив t2a l на fi \ вычис-
вычислив затем (при помощи преобразования Лапласа) выраже-
выражение
продифференцировав полученное соотношение дважды по р
и, наконец, снова заменив р на 2а. Таким образом, полу-
получаем
Е (xa log2 т) = ^ [У B) + (ЧГ B) - log Х)>]. G.79)
Тот же метод используется для вычисления Е (Vх log z)\
здесь необходимо лишь одно дифференцирование по р.
Имеем
G.80)
Упражнение. Разобрать приведенный метод со всеми под-
подробностями. (Заметим, что *Р B) = 1 — Е, где Е — постоянная
Эйлера; ? = 0,577215665. Заметим также, что
Ф' B) = ^— 1 = 0,644934067. J
Если временно обозначить ЧГ B) — log Я через Д, то дис-
дисперсионная матрица случайных величин а и Я, взятых
именно в таком порядке, будет равна
AI-
. G.81)
Коэффициент корреляции р(а, Я) равен
* —А
238
+ Д2
G.82)

Если теперь оценить дисперсии и ковариации путем под-
подстановки оценок G.73) в матрицу — А, то №ы получим:
(var Я) ^ 489,3 X Ю2, G.83)
(cov (а, Я)) ж — 30,40 XW1,
Заметим также следующее. Если Я очень мало, то из
А
оценки Я следует, что Д будет очень большим, а тогда
из G.82) получается, что (р)^—1. Такие оценки значе-
значений дисперсий и ковариации представляют наименьшие
А А
возможные значения в предположении, что а и Я равны
нулю. Таким образом, ранее полученные оценки являются
приемлемыми и весьма точными. Заметим, что при непо-
непосредственных вычислениях необходимо удерживать не-
несколько дополнительных десятичных знаков, поскольку
А А
между а и Я существует сильная отрицательная корре-
корреляция.
Упражйение. Применить изложенные методы к распреде-
распределению крайнего значения (п. 6.8.3).
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Крамер. Математические методы статистики. Изд-во
иностранной литературы, 1948.
2. Е. J a h n k e and F. E m d e. Tables of functions. 4th ed., Dover
Publications, Inc., New York, 1945.
3. C. R. R a o. Advanced statistical methods for biometric rese-
research. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1952.
4. A. M. Mood. Introduction to the theory of statistics. McGraw-
Hill Book Company, Inc., New York, 1950.
5. H. B. Dwight. Tables of integrals and other mathematical
data. The Macmillan Company, New York, 1934.
6. F. A. Willers. Practical analysis. Dover Publications, Inc.,
1948.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Bartholomew D. J. A problem of life testing. J. Am. Stat.
Assoc, 1957, v. 52, 279, September, p. 350—354.
Chapman D. G. Estimating the parameters of a truncated Gam-
Gamma distribution. Ann. Math. Stat., 1956, v. 27, 2, June, p. 493—505.
239

Cohen A. C. Simplified estimators for the normal distribu-
distribution when samples are singly censored or truncated. Technometrics,
1959, v. 1, 3, August, p. 217—237.
Durand D. and Greenwood J. A. Aids for fiting the Gam-
Gamma distribution by maximum likelihood. Technometrics, 1960, v. 2, 1,
February, p. 55—56.
Hartley H. O. The modified Gauss-Newton method for the
fitting of non-linear regression functions by least squares. Technomet-
Technometrics, 1961, v. 3, 4, May, p. 269—280.
Herd G. R. Estimation of reliability functions. Proc. 3rd Na-
National Symposium on Reliability and Quality Control in Electronics
(IRE). Washington, D. C, 11957, 14—16 January, p. 113—122.
К а о J. H. K. A graphical estimation of mixed Weibull parame-
parameters in life-testing of electron tubes. Technometrics, 1959, v. 1, 4, No-
November, p. 389—407.
K'a'o' J. H. K- Computer methods for estimating Weibull para-
parameters in reliability studies. IRE Trans. Reliability and Quality Con-
Control, 1958, v. 13, July, p. 15—22.
Moore P. G. The transformation of a truncated Poisson distri-
distribution. Skand. Akt., 1956, v. 39, 1—2, p. 19—25.
Приложение 7А
Решение уравнений вида x=f(x)
Во многих случаях уравнение, определяющее оценку
максимального правдоподобия, невозможно решить не-
непосредственно и потребуется применение метода проб и
' ошибок. Если уравнение представим в виде x=f(x), где
/—известная функция х, существует чрезвычайно эф-
эффективный метод получения решения; этот метод допус-
допускает также «обобщение на «случай двух и большего
числа уравнений того же вида. В случае двух уравнений
последние выглядят следующим образом:
x = h(x, У),
Сначала рассмотрим случай одной переменной; об-
обобщение на две и большее число переменных будет сде-
сделано в приложении 7Б.
Пусть х=(? — корень нашего одномерного уравнения,
т. е.
Пусть, далее, Хо — начальное пробное значение корня ?.
Определим *i =•/(*<>). Предположим, что
240

Тогда
ИЛИ
*i = 5 +«РФ+ <>(•¦). GA.2)
Далее, пусть хх0 обозначает следующее начальное значе-
значение, которое мы используем. Определим его как линей-
линейную комбинацию первого пробного значения х0 и получен-
полученного значения хг
\ GA.3)
Но в силу GАЛ) и GА.2) из GА.З) получаем
х10 = А (С + в) + В [С + ./' (С) + О (в2)] GА.4)
или
4 = С (Л + Д) +1 [Л + ВГ (С)] + О (е*). GА.5)
Величины А и В находятся в нашем распоряжении. По-
Поскольку мы хотим, чтобы х10 было насколько возможно
ближе к корню С, потребуем, чтобы
А + 5 = 1, GА.6)
положим также коэффициент при е равным нулю:
А + др (С) = 0. GА.7)
Решим теперь GА.6) и GА.7) относительно А и В:
д = 7=7Щf GА'8)
Однако производная /'(?) не известна. Ее можно ап-
аппроксимировать, скажем, f (*o). Чтобы избежать необхо-
необходимости дифференцировать f(x), можно определить
x2=f(xi), откуда получается аппроксимация f'(x0) вы-
выражением (*2—#i)/(*i—*о). Использовав это выражение
16—1113 , 241

совместно с GА.8) в уравнении GА.З), окончательно
получим
\
- Х0-Х2 Х2 I 2ХХ + Хо + Х2 '
Таким образом, х01 можно взять в качестве новой на-
начальной пробы, после чего процесс повторяется. Сходи-
Сходимость обычно бывает очень быстрой, так как если ошиб-
ошибка предыдущего шага порядка е, то ошибка следующего
шага уже будет порядка O(s2). Однако при /'(?) = 1 про-
процесс сходится более медленнсх (если он вообще сходит-
сходится), так как в этом случае нельзя добиться того, чтобы
в GА.5) было А +В = 1 и в то же время исключалась
ошибка порядка 8*.
Пример. Вычислить квадратный корень произвольного числа.
Пусть Af>0 — заданное число. Мы хотим решить уравнение
x2 = N GA.10)
или в виде, требуемом для данного метода,
N
х = —. GА.11)
Пусть х0 — начальная проба. Тогда
Xi = N/xQt x2 = N/Xi = По-
Последовательно, из GА.9) получаем
2 — -
х0
К-И-+Л
GА-12>
Вообще, л-я итерация xffl равна**
Упражнение. Решить уравнение
x = 2sinx GA.14)
(из [6], стр. 223, корень ?= 1,8954942). Начать с точки * = 2.
* Этот результат известен под назъшием процесса Ай'ткена ((см.
F. В. Н i I d e b т a n d. Imtroduction to numerical analysis. New York:
McGraw-Hill Book Co, 1956, p. 445.
** Уравнение GАЛ13) можно назвать «счастливой случайностью»:
в общем случае невозможно получить такую -простую рекуррентную
формулу.
242

Приложение 7В
Решение п уравнений с п неизвестными
Предположим, что мы имеем систему п уравнений с п
неизвестными, которые необходимо определить, и что эти
уравнения можно представить в виде
Л .!.!'.".'.'.!'. GБ.1)
•С / \
Уравнения GБ.1) можно записать в матричном виде
X = f(X), GБ.2)
где X и f (X) п X 1 — матрицы (вектор-столбцы).
Пусть п X 1 — матрица С представляет решение, т. е.
7,(Сх,С«....С„)
У
/«&, С
GБ.З)
Пусть Хо обозначает п X 1—матрицу пробных значений,
причем
Х0 = С + е, GБ.4)
где
~ е.
GБ.5)
Положим также
Имеем*
GБ.6)
GБ.7)
* О(е2) обозначает я-Hlматрицу, все элементы которой имеют
порядок О(е2), где e=niax(8f).
16* 243

где J — пХп — матрица частных производных fг- по Xj,
вычисленных при Xj = Zj. Другими словами, Y — это обыч-
обычный якобиан. (Заметим, что Je— это п -}- 1-матрица,
поскольку /г-f- 1-матрица е умножается на п\п матри-
матрицы J). Например, при п = 2
i дх2
i dx2
где производные взяты при (лг1э xJ = (Z1,Zt).
Если положить
GБ.8)
GБ.9)
где А и В — п\п — матрицы, то мы будем иметь
Положим теперь
= 1 (тождественная матрица)
GБ.10)
A-f-BJ = O (нулевая матрица).
Вычитая, находим
B(I-JI,
где (I — J) —обратная матрица к матрице I — J.
Затем
так что
GБ.12)
Как и в случае одного уравнения с одним неизвестным,
частные производные матрицы J можно аппроксимировать,
положив Х2=/(Х!); затем, использовав подходящие раз-
разностные отношения, можно оценить dfjdxx и т. д.
244

Пример. Решить систему уравнений
+1629
@,00637).
Это именно та система уравнений, которая используется в п. 7.5.2
для получения оценок максимального правдоподобия в случае
гамма-распределения. Хотя в самом деле проще рассматривать
эту систему как одно уравнение, подставив первое уравнение
во второе с целью иллюстрации. Они будут рассмотрены отдель-
отдельно. В качестве начального вектор-решения положим Хо = L .
Тогда
х =Г 162'4
1 L 0,0066354
_ Г 0,58091 1
X2~L 1,03449 J-
Чтобы найти матрицы J, вычислим теперь оценки частотных про-
производных dfijdXy dfi/dy, df2jdx> df2ldy:
U(xu 9o) — fi(xO9 y0)
дх ^ Xi — x0
— Ул
_
OX . X\ — XQ
df2
oy
Следовательно,
откуда
__ Г 0 162,9 "I
— L 0,0063683 0 J'
Г Ь 162,9 1
L—0,0063683 1 J'
}__ Г—26,738 —4355,6 "I
= (I~J)== L—0,17028 -26,738 J
27,738 4355,6
27>738j.
245

Значит,
,_ Г27,738 4355,6 1 Г 1 1
°~" Ь, 17028 27,738j |_ 1 J
Г —26,738 —4355,6 1Г 162,4 1
L —0,17028 —26,738 J |_ 0,0066354 J
или
Х1_|" 4383,34 1 Г —4371,15 1
°~~ L 27,90828 J L —27,83089 J'
Новое приближение имеет вид
,_Г 12,19 1
°~" L 0,07739 J
Г 13>20 1
Так как решение получено , мы видим, что пер-
первое приближение дает замечательно точный результат (при ус-
условии, что мы отправлялись от значения Хо =
[12 2 1
Имеем:
_Г12,0433 1 __ Г 12,1631621
1 10.0777358 J И 2 "~L0,0767379_Г
_ Г 0 162,900241
L0,00636822 0 J'
__Г 1 —162,900241
~~ ~~ L—0,00636822 1 J*
_1 Г— 26,7490 —4357,41852
~( "" ) L—0,1703435 —26,7490
__ _г Г27,7490 4357,41852 1
- — (I— ) * [о,17О3435 27,7490 J#
Следовательно,
Х1_АГ12'2] в Г 12,0433 1 Г674,О59ОЗ
°~ I 0,077.1 + L0,0777358J [4,21486
Г —660,87365 1 = Г13,18538 1
[—4,13085 -J~L 0,08401 J*
Следующее приближение можно получить, использовав предыду-
предыдущие матрицы А и В, поскольку они уже довольно устойчивы.
В результате получим
13,1956 1
,084074]'
что при подстановке в исходные уравнения дает весьма хорошее
соответствие.
246
х-Г13'
X"Lo,(

ГЛАВА 8
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
Часть 2
8.1. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ И НАХОЖДЕНИЕ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ ПО ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ
Мы уже видели, что надежность можно выразить как
функцию параметров б1? 62, ... распределения. Методы
А А
получения оценок Ь19 62, ... этих параметров были опи-
описаны в гл. 7. Теперь мы исследуем вопрос о том, каким
образом связать эти два вида информации, чтобы полу-
получить доверительные пределы надежности и точечные
оценки. Другими словами, будут исследованы построение
А
и свойства функции надежности или оценки Rt=
=R(L L ...)¦
Рассмотрим сначала однопараметрическое распределе-
распределение, такое, как показательное. Для показательного рас-
распределения
R=e~™ (8.1)
является оценкой
R = e-T/e, (8.2)
А
где б — оценка 9.
А
Если в формуле (8.1) б — оценка максимального пра-
правдоподобия, то, как можно показать (см. упражнение
А
к § 8.2), R также будет оценкой максимального правдо-
правдоподобия, причем оценка надежности в (8.1) получается
просто путем подстановки оценки 9 параметра б в (8.2).
247

Если, далее, мы хотим сопоставить оценке на-
надежности доверительную границу, то это можно сделать,
вычислив доверительную границу для 6, т. е. 8С, и под-
подставив полученное значение в формулу (8.2); в резуль-
результате получится доверительный предел надежности Rc =
-TIBc
=е . ото всегда возможно в том случае, когда на-
надежность монотонно зависит от параметра, Чтобы убе-
убедиться в этом, заметим, что если У? (б) — возрастающая
функция б, а бс — нижний доверительный предел б, то
А А
события бс < б и R @С) < R @) эквивалентны. Однако если
бы R была убывающей функцией своего аргумента, то мы
получили бы верхний доверительный предел б, и тогда
для нахождения нижнего доверительного предела
А
R(b'cXR(fy понадобился бы верхний предел для пара-
А
метра 6, т. е. 6'с>б.
Если функция надежности зависит от двух или боль-
большего числа параметров, мы можем найти ее точечную
А
оценку R, просто подставив точечные оценки неизвест-
неизвестных параметров в функцию надежности. Однако в об-
общем случае, когда имеется более одного неизвестного
параметра, нельзя подставлять доверительные пределы
данных параметров непосредственно в выражение на-
надежности с целью получения доверительного предела
последней. Об этом см. в § 8.4.
8.2. МЕТОД ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
ДЛЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Рассмотрим два примера оценки надежности для од-
нопараметрических распределений.
Упражнение. Непосредственно показать, что в случае по-
показательного распределения времени безотказной работы оценка
максимального правдоподобия R имеет вид е~т^ , где 0 — оценка
максимального правдоподобия 0 G.9). (Указание: выразить плот-
плотность вероятности через R.)
Пример. В ТОО испытаниях произошло 10 отказов. Предпо-
Предполагая, что испытания подчиняются биномиальному закону, вы-
вычислим 90%-ный нижний доверительный предел R = 1 — р, где
р — вероятность отказа в каждом испытании. Будем различать
следующие два случая: а) до опыта согласились произвести 100
248

испытаний; б) до опыта решили производить испытания до тех
пор, пока не наберется 10 отказов.
Ответ, а) Используем приближенное равенство G.32), из
которого получаем RL = 0,862. В приложении 8А построены
верхние доверительные пределы для р=\—R, соответствующие
доверительному уровню по меньшей мере Y (здесь не требуется
никакой аппроксимации). Рис. П.З, дает RL — 0,85 (единица
минус верхний доверительный предел р). Здесь используется ме-
метод приложения 8А. Оказывается, что первый предел оптимисти-
оптимистически высок; однако это можно легко объяснить, поскольку рас-
рассматриваемые доверительные пределы получены на основании
двух различных методик. В случае, когда требуется принять ре-
решение с наименьшим риском, рекомендуется последний метод.
б) В этом случае можно воспользоваться результатами при-
приложения 8В и рис. П.З, откуда получается RL = 0,865. Нахожде-
Нахождение аналога G.32) представляет сложную задачу, так как Var/? —
очень сложная функция р (или R). См. связанную с этим задачу
33 из гл. 9 [1].
8.3. ОБЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ
ОЦЕНОК НАДЕЖНОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
Существует альтернативный метод оценки надежно-
надежности. Важное значение его объясняется тем, что он не
ограничивается однопараметрическими распределениями,
а может быть распространен и на многопараметриче-
многопараметрические распределения. Вначале рассмотрим альтернатив-
альтернативный метод только для однопараметрических распреде-
распределений.
А
Если можно найти среднее и дисперсию оценки R =
= i?@), то приближенные доверительные пределы
R(Q) получим, воспользовавшись общей закономерно-
закономерностью, согласно которой при большом объеме выборки
п R распределена по закону, близкому к нормальному.
Сначала будут даны общие формулы для среднего и
дисперсии, а также несколько примеров их применения.
8.3.1. Среднее значение функции надежности
В широких предпосылках математическое _ожидание
функции выборочного момента (такого, как х, s2, или,
в общем случае, оценок, имеющих вид функций сумм
249

от функций всех выборочных значений*) можно опре-
определить по следующей формуле ([2], стр. 345):
(8.3)
где G @) — некоторая функция в (в нашем случае — функ-
функция надежности), а 0 — соответствующий момент сово-
совокупности или значение параметра, причем требуется,
чтобы E@)-+Q (при #->оо)**.
Выражение О A/лг) является функцией от объема вы-
выборки п при п-+оо, стремящейся к нулю столь же
быстро, как 1/п.
Если, например, Ь = х9 выборочному среднему, и
G(x) = x2, то при больших п мы будем иметь
Е(х*)^р* (8.4)
(в действительности Е (х2) = р.2-[- а2//г; при /г-+оо это
выражение, очевидно, сходится к \ь2).
В качестве второго примера положим
G (х) = arc sin \Гх.
Тогда
Ц (arc sin у х) я^ arc sin Ур. (8.5)
8.3.2. Дисперсия функции надежности
А
Дисперсию функции G (б) можно, соответственно, найти
по следующей формуле ([2], стр. 345):
(--l^. (8.6)
* Это предложение означает, что G ==<?[?/ (•**)]; например,
G=^(SlogXiJ.
** В этом случае должно быть либо Е (9) = 8, либо Е @) =
=8/ (/г), где f (/г) = 1 + О A//2) при /2 -> оо, т. е. f (/z) —> 1 не мед-
медленнее, чем с указанной скоростью, иначе в формуле (8.3) нельзя
будет писать 0A//г).
250

Так, для предыдущих примеров при больших п справед-
справедливы следующие выражения дисперсии:
^)^^ (8.7)
var (arc sin / x) ^ j-^—, —. (8.8)
8.3.3. Примеры
Пример 1. Пусть x — f (ri), где f — число отказов в выборке
объема п, взятой из биномиального распределения G.21).
Тогда
G (х) = arc sin^ х = arc sin у —•
Найдем приближенное значение дисперсии G из уравнения (8.8).
Имеем
следовательно,
var arc sin V Trl^ltt* (8.9)
В этом примере дисперсия не зависит от параметра р
с точностью до членов порядка малости не ниже пГг12„
Использование функции arc sin j/7/я называется аркси-
арксинус-преобразованием биномиальной совокупности. Смысл
такого преобразования — получить оценку (arc sin j//?) со
„стабильной" дисперсией, т. е. когда дисперсия лишь
слабо зависит от р.
Пример 2. Найдем var 5 = var }/"s2, где s2 определена фор-
формулой G.38). Используем соотношение
var (s2) = —2 о4,
справедливое для того случая, когда выборка взята из нормаль-
нормальной совокупности [см. E.99) и последующие формулы].
Ответ.
vars=~2^~ +
251

В общем случае, когда основное распределение совокупности
произвольно
var s = ¦
([2], стр. 353). Ввиду того что для нормального распределения
ц.4 = За4, имеем
Таким образом, в частных случаях ошибка может быть меньшей,
чем в общем случае (8.6).
Пример 3. Найдем приближенные значения математического
ожидания и стандартного отклонения R, определенных формулой
(8.1), в которой 0 взята из G.9).
Ответ. ?(#)^е-г/9 =#
-г/1
/? log
Результат предыдущего примера и формула, следую-
следующая после G.31), могут теперь быть использованы
с целью получения приближенных доверительных пре-
пределов, например для R = e~T/Q. После соответствующих
выкладок получаем
где
г'*(^)= (8.10)
ay — доверительный уровень.
Если необходимо получить только нижний довери-
доверительный предел /? = е~г/е с тем же доверительным
уровнем у, следует положить С2=1; тогда
^-""H'-ife) (8Л1)
252

Пример 4. Точные доверительные пределы для R = е г/9
можно найти из соотношений G.11) — G.13). На основании G.11)
А п
случайная величина 2л0/0 обладает распределением х2/г. Пусть
Х2«; 1—т обозначает величину уклонения, достигаемую случайной
величиной х2 с 2/г степенями свободы с вероятностью 1 —7. Тогда
или
Р
[A "I
О И ft I
~? <
Таким образом, нижним доверительным пределом для 8 будет
2" 9/4; 1-т = 8е.
Из замечаний, помещенных после формулы (8.2), следует, что
представляет собой нижний доверительный предел R с довери-
доверительным уровнем 7- Этот же метод будет в п. 8.5.1, применен
к распределению Вейбулла и в п. 8.61 к гамма-распределению.
Упражнение. Сравнить нижние доверительные пределы,
полученные по формуле (8.11) и по формуле (8.14) (рассмотреть
численный пример: для нахождения значений х^. i_J2az можно вое-
пользоваться табл. П. 8).
8.4. ОБОБЩЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА
НА ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если G является функцией двух оценок параметров
скажем, G(Q, Я), то в широких предпосылках
E[Q(i A)] =
А А . ЛЛ \ О А /ЯП
var [G (9, Я)] = / °-ЦЛ var в + /22.
^ву \д\
A
В производные функции (8.16) следует подставить 6 =
= б, Я = Я, где ?@)^6, Я(Я)^Я, как и в однопара-
метрическом случае,
253

8.4.1. Примеры
Упражнение. Пусть х — выборочное среднее, s2 — выбо-
выборочная дисперсия случайной выборки из нормальной совокупности.
Положим
(8.17)
где ФB) — нормированная нормальная функция распределения
B*Г1/2
А
Найти приближенное выражение для var R. Использовать тот
факт, что х и s статистически независимы ([2], стр. 381—382)*.
От ве т.
var H^z-
где
Пример. Пятьсот 200-ваттных ламп испытываются до пол-
полного отказа. Предположим, что распределение времени безотказ-
безотказной работы приблизительно нормально со средним fx и стандарт-
стандартным отклонением а. В результате наблюдений получены значения
выборочного среднего
3f =4г >;^ = 1500 час
час-
и выборочной дисперсии
-gQ-V^* "" 150°J =
Найдем 90%-ный нижний доверительный предел вероятности /?
того, что лампа не откажет на протяжении 1200 час.
От в ет. Для оценки данной вероятности по формуле (8.17)
находим выражение
* Г. Крамер. Математические методы статистики. Изд-,во
иностранной литературы, 1948. Доказательство этото факта см. на
стр. 424. (Прим. перев.)
254

Из результата предыдущего примера получим после замены ц и
а их оценками х и s (О обозначают подобную „оценку" var R):
{watR)lJ2~VlI2= 0,00147.
Окончательно из п. 7.4.4 получаем приближенное значение
90э/о-ного нижнего доверительного предела для R
RL = 0,99865 — 1,282 @,00147) = 0,9968.
Более точные методы решения этой задачи, основываю-
основывающиеся на нормальном распределении, приведены в §8.7.
В следующих пунктах «приближенные и точные методы
будут применены к распределению Вейбулла, гамма-
распределению и распределению крайнего значения (по-
(последний пример отнесен к упражнениям). Несколько раз
для иллюстрации будет использован пример п. 7.5.2 с ре-
результатами испытаний на долговечность семи электро-
электрогенераторов.
8.5. ОЦЕНКА И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ R В СЛУЧАЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА
В качестве оценки вероятности R того, что ъу>Т
имеем выражение
XT"). (8.18)
Тогда в силу (8.15) и (8.16) получим
ЯГ) (8.19)
X {V log2r var a + var * +2Л log T cov (а* Щ. (8.20)
A -I / A~~
Оценки E(R) и у var/? можно получить, заменив всюду
в (8.19) и (8.20) а и Л их оценками G.73), а также
использовав значения дисперсий и ковариаций из п. 7.5.5.
Например, при Г =100 час имеем
' 1^0,936
(8.21)
255

Таким образом, 9О°/о-ный нижний доверительный предел
R будет равен
0,936 — Ко.ю @,065) = 0,936 — 1,282 @,065) = 0,853.
Следовательно, если требуемое время безотказной рабо-
работы составляет 100 час, то вероятность такого события
(надежность) будет равна по меньшей мере 0,853 (с до-
доверительным уровнем 90%).
8.5.1. Точный доверительный предел для R в случае
распределения Вейбулла
Если параметр а распределения Вейбулла известен,
то можно получить точные доверительные пределы R,
поскольку известно точное распределение оценки мак-
максимального правдоподобия
j=4°. (8.22)
Заметим прежде всего, что
= l-e"we, (8.23)
т. е. х имеет распределение Вейбулла.
Положим С = та, тогда
P(t;<y) = P(z*<y)=P(z< y]Ja) (8.24)
и из (8.23)
Я(С<у) = 1-е"Ч (8.25)
Таким образом, С или ха имеет обычное показательное
распределение.
На основании G.11) среднее выборки объема п из по-
показательно-распределенной совокупности обладает рас-
распределением, связанным с х2« Таким образом,
(8.26)
Следовательно, 2/гЯ/Я имеет распределение х2 с 2/г сте-
степенями свободы.
256

Использовав последнее замечание, получаем довери-
тельные пределы для Я, а следовательно, и для К — е
Пусть у?2п. в обозначает уровень, который превышается
случайной величиной, обладающей распределением х2
с вероятностью а. Тогда
*c?>xL: .-,)=!-т. <8-27>
Например, при 2лг = 14 и у = 0,90 по таблице распреде-
распределения х2 ([3], стр. 557) находим, что х2 = 21,064. Учи-
Учитывая замечание, помещенное после (8.26), будем иметь
PBf<xl,^)=4 (8.28)
\ х I
или
р{х<Щ^-)=Ъ (8.29)
Из формулы (8.29) следует, что *xL-i-t/^ представ-
представляет собой верхний доверительный предел Я, соответст-
соответствующий доверительному уровню у. Ввиду того что собы-
событие в скобках в (8.29) эквивалентно событию
ехр (-ХГ)>ехр[ - % '-* ). (8.30)
непосредственно получается '
= Т- (8.31)
Вернемся к рассмотренному примеру, предполагая, что
известно значение параметра а—4,669 [из формулы G.73)].
Поскольку А = 3,04238Х10-п, Г = 100, л = 7, X?
?4;o.io=
= 21,064, то нижним доверительным пределом RL (при
доверительном уровне 0,90) для вероятности R безотказ-
безотказной работы на протяжении 100 час будет
А Г C,04238X10-") A00*."»") B1.064I о (W
^ —ехР[ м J—е
(8.32)
17—1113 257

Таким образом,
RL = 0,905. (8.33)
Сравнение значения Rl с ранее полученным значением
0,853 для двухпараметрического распределения Вейбул-
ла иллюстрирует тот общий факт, что дополнительная ин-
информация (о параметре а) уточняет нижнюю границу/?.
Упражнение. Применяя результаты этого пункта и п.7.5.5
к распределению крайнего значения
') (8.34)
получить приближенные и точные доверительные пределы для R.
Подставить те же данные.
8.6. ОЦЕНКА И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ R В СЛУЧАЕ
ГДММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Оценка вероятности того, что наработка до отказа
будет больше Г, дается выражением
00 А А , *
л * ос а — 1 — ад:
R = А х Ае dx. (8.35)
? Г (а)
Если в этом интеграле произвести замену переменной,
получим
00 А
R= Ч ±— du. (8.36)
J Г (а)
Как мы видели в п. 6.8.2, данный интеграл можно
представить в виде суммы*
* Строго говоря, это не совсем так, поскольку индекс суммиро-
суммирования для этого должен быть целым числом; однако 'при дро^бных
значениях с хорошее приближение дает интерполяция для табл. II
Молина.
258

Таким образом, можно использовать табл. II Молина [4],
в которой табулированы значения функции*
00
ах е-»
х=с
Пусть Т = 100 час, а = ?7" «=@,0841) A00) = 8,41, с =
= ?=13,7.
По табл. II получаем (используя интерполяцию)
R = 1 _ 0,05924 = 0,941. (8.37)
А А
Чтобы получить дисперсию /?, где # дается формулой
(8.35), следует непосредственно использовать (8.16); од-
однако на этом пути возникают трудности, связанные
с оценкой окончательных выражений. Чтобы избежать
их, используем представление Эджворта гамма-распре-
гамма-распределения через нормальную функцию распределения ([2],
стр. 229):
А А -Ш Г А
Слагаемое 1—Ф[(ДГ—а)/г а] можно рассматривать как
нормальное приближение „хвоста" гамма-распределения,
причем нормальное распределение берется с тем же сред-
средним а/Я и стандартным отклонением у а/Я, что и гамма-
распределение. Последним поправочным членом в (8.38)
учитывается асимметрия гамма-распределения.
Пример. Используя (8.38) в качестве представления R, вы-
вычислим R при значениях о = 13,70, Л. = 0,0841, Г =100 (при этом
* И. В. Д у iH ни - Б а р к о в с к ий « Н. В. Смирнов. Теория
вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть).
Изд-во технико-теоретической литературы, 1955, табл. II. (Прим.
перев.)
17* 259

используются соответствующие таблицы нормальной функции рас-
распределения и плотности). Затем путем применения (8.16) к (8.38)
найдем формулу для Var/?, а также оценку var R, учитывая толь-
только нормальный член в (8.38).
Если определить р =(ХГ — а)/|/ а ^ то приведенные выше
А А А
оценки а и X дают р = — 1,43. Поскольку
R = 1 _ ф (р) + *-=± ф ()), (8.39)
3 V а
то из таблиц находим 1 — ф (р) = 0,9236, Ф (g) = 0,1435, откуда
R = 0,9236 + 0,0135 = 0,937, т. е. мы получили значение, довольно
близкое к (интерполированному) значению, соответствующему фор-
формуле (8.37). Из G.640 —G.66') находим
(8.40)
А А А
Подстановка заданных численных значений а, X, р дает
А I/O
V = (var R) ^ 0,00403 иУЧ 0,0635. (8.41)
Таким образом, 90%-ный нижний доверительный предел для R
равен
0,937 — /Со,ю @,0635) = 0,937 — 1,282 @,0635) = 0,856.
Интересно сравнить эти результаты с полученными ранее для
распределения Вейбулла.
8.6.1. Точный доверительный предел для R в случае
гамма-распределения
Если параметр а гамма-распределения известен, то
можно определить точные доверительные пределы для
параметра А, а также для вероятности R безотказной ра-
работы на протяжении времени Г.
Выпишем для удобства плотность вероятности гам-
гамма-распределения:
х t e /^>п 1
{
Т \«о/} (8-42)
:>
260

Тогда [по формуле G.42)] оценкой максимального
правдоподобия параметра аД=.р будет
Р=^Г- (8-43)
Можно показать (см. [2], стр. 505), что случайная вели-
А
чина 2/грЯ имеет х2-РаспРеДе«ление с 2/га степенями сво-
свободы. Из этого следует, что
РB^Л<х22„«:.-т = Г (8-44)
ИЛИ
Р (Х<$=*4=1)=1. (8-45)
V щ )
Таким образом, постоянная, стоящая в правой части не-
неравенства, заключенного в скобки, равна верхнему дове-
доверительному пределу для Я, который соответствует дове-
доверительному уровню у.
Теперь нужно из (8.45) получить доверительный
предел для Я, где
\т
По виду (8.46) очевидно, что R(kT) является убываю-
убывающей функцией X; это означает, что если U — верхняя
граница X, то R(UT) будет нижней границей R. Тогда
из (8.45) и (8.46) находим
p\r>r (TA?Ll^\ "L т. (8.47)
Таким образом, в случае гамма-распределения правая
часть выражения в квадратных скобках будет давать
нижний доверительный предел Л-события, состоящего
в том, что наработка будет больше Т.
В качестве примера снова возьмем статистические
данные по семи электрогенераторам; при этом, однако,
предположим, что а известна и равна 13,7. Данному
примеру соответствуют Т = 100, п = 7, р = 102,9.
261

Чтобы ПОЛУЧИТЬ xL:0J0==X?9If8;0f10» ИСП0ЛЬЗУеМ СВ°Й-
ство гамма-распределения, состоящее в том, что при
большом числе степеней свободы величина у 2/2 при-
приближенно нормальна со средним \/^2т— 1 и дисперсией 1
([2], стр. 251)*. Тогда, если /Cj обозначает нормальное
уклонение, превышаемое с вероятностью 1—у, то
— 1 (8.48)
или
Z«; i-7 ~ ^ (^i-T + V^tn—\y. (8.49)
При y = 0,90, /ra = 191,8 по формуле (8.49) получаем
Следовательно,
7*4»; i-т 100B17,2) _QrO
^ - 14A62,9) — y'°Z'
Теперь необходимо оценить /?, пользуясь формулой
(8.46). С этой целью вспомним замечания, следующие
за формулой (8.36), согласно которым нужно использо-
использовать табл. II Молина [4]. Значениями параметров в дач-
дачном случае будут а = 9,52, с=13,7. При помощи интер-
интерполирования получаем Р(с,а) =0,122. Таким образом,
нижний доверительный предел для R с доверительным
уровнем 0,90 будет
?L = 1—0,122 = 0,878. (8.51)
Это значение можно сравнить с результатами, следую-
следующими за формулой (8.41).
Как и следовало ожидать, нижний доверительный
предел @,856) для R в случае, когда нужно оценивать
два параметра, меньше значения RL = 0i878, полученного
* Более точное приближение ([3], стр. 556) получается, если счи-
считать, что х2т1пг)Ч3 нормальна со средним 1—2/9 т и дисперсией
2/9 т В нашем частном примере разница между этими двумя при-
приближениями мала.
262

fio формуле (8.51); использование дополнительной ин-
информации об основном распределении времени безот-
безотказной работы дает «более точную» оценку. Интересно
также сравнить нижний доверительный предел, получен-
полученный для тех же данных в условиях, когда принимается
распределение Вейбулла (8.33) и один параметр счи-
считается известным.
8.7. ОЦЕНКА И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ R
В СЛУЧАЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В п. 8.4.1 дан приближенный метод нахождения
оценки и доверительного интервала для
где Ф(х) —нормированная нормальная функция распре-
распределения (§ 6.10). Здесь мы покажем, как находить точ-
точные доверительные интервалы для /? = Ф[(|х—Т)/а]
в случае, когда для [д, и а имеются лишь выборочные
оценки. Как уже отмечалось, Т часто представляет тре-
требуемое время работы, хотя сужать его смысл до такого
случая не целесообразно. Например, можно определить
надежность как вероятность того, что результирующее
напряжение превысит заданный допустимый уровень.
На нижеследующих примерах покажем, как такие за-
задачи решаются с помощью односторонних толерантных
пределов (табл. П.9). Эти таблицы построены для ре-
решения обратной задачи: как по имеющейся выборке
вычислить толерантный предел при фиксированной доле
распределения
В рассматриваемой задаче предполагается, что толе-
толерантный предел задан, а долю распределения, соответ-
соответствующую превышению предела (например, долю изде-
изделий с временем безотказной работы, меньшим, чем не-
необходимо), следует найти по выборке. В каждом случае
доверительный уровень задается заранее.
Представляет также интерес оценка функции
263

равная вероятности того, что нормально-распределейная
случайная величина попадет между данными пределами
Т\ и Г2. Эти пределы часто соответствуют требованиям,
предъявляемым к рабочим параметрам, таким, как дав-
давление, концентрация смеси и т. д. Таким образом, необ-
необходимо выяснить, как находить приближенный нижний
доверительный предел для R.
Толерантные пределы строятся следующим образом.
Из нормально-распределенной совокупности (нара-
(наработки до отказа, выходных параметров и т. п.) произво-
производится случайная выборка объема п. Затем вычисляются
х и арифметическое значение квадратного корня из не-
несмещенной оценки дисперсии s' *.
Тогда односторонний толерантный предел дается
выражением х— /(У (или x-\-Ks!). Он обладает тем свой-
свойством, что с вероятностью \ по крайней мере A—а)-я
часть распределения будет сосредоточена в интервале (х—
— /Cs',-f-oo) или (—со, x-\-Ksr). Величина К называется
толерантным множителем; очевидно, она является функ-
функцией п, у и а.
В табл. П.9 представлены значения К
при я = 3A) 25 E) 50; Y = 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; «=0,25;
0,10; 0,05; 0,01; 0,001**.
8.7.1. Примеры
Следующие примеры иллюстрируют использование таб-
таблиц толерантных множителей.
Пример 1. Используем данные примера тт. 8.4.1, в котором
J = 1 500 час и
A00) = 101 час.
49
Чему будет равен нижний толерантный предел вида х — /(У»
обладающий следующим свойством: с вероятностью у = 0»90 ве*
роятность того, что время безотказной работы лампы превысит
* Величина s' = s Vn\(n— 1) ,_где s — корень из выборочной
дисперсии, т. е. s2 = A/л) 2(дг*—~хJ (эта оценка, как было пока-
показано, является несмещенной).
** Таблицы взяты из А. Н. В о w k е г, G. J. L i e b е г m а п. En-
Engineering statistics. 1959, p. 230—231. Table 8, 3.
264

найденный толерантный предел, будет равна по меньшей мере
1—а = 0,95. По табл. П.9 находим, что толерантный множитель
К =1,965; при 1—а = 0,95 нижний толерантный предел х — Ks'=
= 1 302 час. Последнее означает, что мы можем сделать вывод:
с вероятностью по меньшей мере 0,95 время безотказной работы
лампы превысит 1 302 час и достоверность подобного вывода
будет 90%. Это означает, что если бы мы повторили выборку
и вновь произвели соответствующие вычисления, то в резуль-
результате получился бы вывод, отличающийся лишь численным
значением нижнего толерантного предела. В случае решения
обратной задачи, решаемой в следующем примере, повторение
выборочной процедуры приведет к изменению только численного
значения вероятности превышения фиксированного нижнего
предела. В любом случае доверительный уровень @,90) равен
ожидаемой частоте правильных выводов в длинном ряде повторе-
повторений процедуры.
Пример 2. Используя выборочные данные предыдущего
примера, найти 90%-ный нижний доверительный предел вероят-
вероятности того, что время безотказной работы превысит (заданный)
срок в 1302 час.
Ответ. 0,95. Чтобы получить этот результат, вычисляется
значение К = A500—1302)/101 = 1,965; затем по табл. П.9 при
Y = 0,90 находим значение а, соответствующее значениям К =
=1,965, п = 50, В результате получаем а = 0,05, откуда требуе-
требуемый нижний доверительный предел 1 —а = 0,95. Если бы /С нельзя
было найти по таблице непосредственно, то для получения верного
значения пришлось бы применить интерполяцию. Это показано
в следующем примере.
Пример 3. Решим задачи п. 8.4.1 по способу, указанному
в предыдущем примере. В данном случае К = A500—1200)/101 =
= 2,97. Из табл. П.9 находим, что при ? = 0,90, п = 50 а лежит
между 0,01 и 0,001. Лучше всего применить следующий метод
интерполяции.
Из таблицы нормальной функции распределения [5] находим,
что значения Ка (уклонение для нормированного нормального'
закона, превышаемое с вероятностью а) при а = 0,01 и 0,001, будут
равны Ko,oi = 2,326 и /Co.ooi = 3,090. Соответствующие толерант-
толерантные множители будут 2,735 и 3,604. При помощи обычной линей-
линейной интерполяции Ка получаем 7Са = 2,326Х +3,090A—X), где
Х = C,604 —2,97)/C,604 — 2,735) = 0,73. Таким образом, /Са=2,532.
Из таблицы нормальной функции распределения находим <х=0,00567
и, стало быть, 1—а = 0,99433. Заметим, что использование нор-
нормальных ^уклонений с целью интерполирования вовсе не обяза-
обязательно. Оказывается, что Ка почти линейно зависит от log a;
имеется соответствующая таблица. Интересно сравнить значе-
значение 0,99433 с нижним доверительным пределом 0,9968, получен-
полученным в п. 8.4.1.
Упражнение. Следует рассмотреть данные предыдущего
примера, но при Г= 1350 час. Сравнить 90%-ные нижние довери-
доверительные пределы г/? = фГ(а — Л/а], полученные по методу этого
пункта ц п. 8.4Л.
265

Ответ. 0,881 и 0,889. Заметим, что приближенный метод
п. 8.4.1 снова оказывается несколько оптимистическим, как и
в предшествующем примере.
Способы нахождения точного доверительного интервала вида
?/), где # = ф[({х — Г)/а], изложены в [6].
8.7.1 Л. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ R
(ДВУСТОРОННИЙ ВАРИАНТ)
Решим задачу оценки вероятности того, что нормально-
распределенная случайная величина будет находиться
между двумя фиксированными пределами. Иначе говоря,
мы хотим построить доверительные пределы надежности
вида
Можно показать, использовав методы § 8.4, что нижний
доверительный предел на R получается при помощи сле-
следующих формул. Если задана
то можно вычислить выражение
где
?г- * eXPL^V ¦ Л i = h2.
Тогда
будет нижним доверительным пределом R, соответствую-
соответствующим доверительному уровню Y, где Кi_T — уклонение
нормированного нормального закона, превышаемое с веро-
266

йтйостью 1—Y» а V^:=<var#>1/2, где <var#>o6o
значает значение var/? при ja и а, замененных соответст-
соответственно, х и 5.
Пример. Допустимые пределы тяги в ТРД равны 20 000/6/ +
+ 3%, т. е. 19 400/6/ и 20 600/6/ представляют соответственно
нижний и верхний пределы. В результате испытания 12 двигате-
двигателей получены значения среднего jc = 19 900/6/ и стандартного от-
отклонения s = 250/6/. Чему равен 90%-ный нижний доверительный
уровень вероятности того, что в ракетном двигателе будут вы-
выполнены требования по тяге?
Согласно изложенному выше приближенному методу
л —Т2 — х 20 600—19 900 0Q
А2 = ~Т— = 250 = 2'8'
Л __Тг — х 19 400—19 900 оп
Д1 = __ = _ 2,0.
Таким образом,
R =: Ф B,8) — Ф (— 2,0) = Ф B,8) + Ф B,0) — 1 =
= 0,99744 + 0,97725 — 1 = 0,97469.
Далее, Фг = 0,05399, Ф2 = 0,00792 (из таблиц нормированной нор-
нормальной плотности вероятности). Затем вычисляем
V=(var^> = 0,000530 и V 2 = 0,0230,
откуда
?L = 0,9747 — 1,282 @,0230) = 0,9452.
Способ определения доверительного интервала для
читатель найдет в [6]; этот метод считается более точным, однако
он намного более сложен, чем описанный выше.
8.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ
БИНОМИАЛЬНОГО, ОТРИЦАТЕЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО
И ПУАССОНОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
В приложениях 8.А и 8.Б представлены методы по-
построения односторонних доверительных пределов для ве-
вероятности отказов р в случае биномиальной последова-
последовательности испытаний и интенсивности отказов X в слу-
случае распределения Пуассона.
267

Эти результаты Можно использовать p
нижних доверительных пределов надежности R в слу-
случаях, когда последняя является невозрастающей (обыч-
(обычно она строго убывает) функцией р. Например, если
надежность определяется как вероятность безотказной
работы последовательной системы (§ 9.2), где все п (не-
(независимых) подсистем обладают одной и той же веро-
вероятностью отказа р, то
R = (l — p)*. (8.52)
Если /?с — верхний доверительный предел р с доверитель-
доверительным уровнем у, то
?в = A-Л)Л (8.53)
будет нижним доверительным пределом R с доверитель-
доверительным уровнем у (это утверждение в общем случае уста-
установлено в § 8.1). Подобный же результат можно полу-
получить и для параллельной системы (§ 9.4), состоящей из
независимых п подсистем с одинаковой вероятностью
отказа р. В этом случае
Д=1— рп (8.54)
и R тоже будет убывающей функцией р. Очевидно так-
также, что можно исследовать случай смешанной последо-
последовательно-параллельной системы, состоящей из независи-
независимых подсистем с одинаковой вероятностью отказа р.
Вообще, если
R = f(p) (8.55)
представляет убывающую функцию /?, то
R*=>f(Pc) (8.56)
будет для R нижним доверительным пределом с довери-
А
тельным уровнем Y> коль скоро рс — верхний доверитель-
доверительный предел /?, соответствующий тому же доверительному
уровню.
В п. 9.2.1 и § 9.4 будут изложены методы нахождения
нижних доверительных пределов R в случае независи-
независимых последовательных и параллельных систем, когда
вероятности отказов подсистем не обязательно равны
одной и той же постоянной р.
268

ЙСПбЛЬЗОбАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В. Фелер Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения. Изд-во иностранной литературы, 1955.
2. Г. Крамер. Математические методы статистики. Изд-во
иностранной литературы, 1948.
3. А. Н. Bowker and G. J. L i e b e г m a n. Engineering statis-
statistics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., Г959.
4. E. С. М о 1 i n a. Poisson's exponential binomial limit. D. Van
Nostrand Company, Princeton, N. J., 1942.
5. Tables of normal probability functions. National Bureau of
Standards, Applied Mathematics Series 23, 1953.
6. G. J. R e s i n k о f f and G. J. L i e b e r m a n. Tables of the
non-central t-distribution. Stanford University Press, Stanford, Calif.,
1957.
7. C. R. В 1 у t h e and D. W. H u t с h i n s о n. Table of neyman-
shortest unbiased confidence intervals for the binomial parameter.
Biometrika., 1960, v. 47, pt. 3 and 4, December, p. 381—391.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Cohen А. С. Jr. On the solution of estimating equations for
truncated and censored samples from normal populations. Biometrika,
Ш57, June, v. 44, pt. il and 2, ip. 225—2Э6.
Connor W. S. 'Interpreting reliability by fitting theoretical disstri-
butions to failure data. 'Ind. Eng. Chem., 110F0, v. '52, p. 75A—76A, Feb-
February; 1960, v. 52, p. 71A—72A, April.
Crow E. L. Confidence intervals for a proportion. Biometrika,
1956, v. 43, pt. 3 and 4, December, p. 423—435.
Crow E. L. and Gardner R. S. Confidence intervals for the
expectation of a poisson variable. Biometrika, 11950, v. 46, ipt. 3 and 4,
December, p. 441—453.
Sarhan A. E. and Greenberg B. G. Tables for best linear
estimates by order statistics of the parameters of single exponential
distributions from singly and doubly censored samples. J. Am. Stat.
Assoc, 1957, v. 52, 277, March, p. 58—87
Walsh J. E., Asymptotic efficiencies of a nonparametric life
test for smaller percentiles of a gamme distribution. J. Am. Stat.
Assoc, 1956, v. 51, September, p. 467—480.
-Walsh J. Ё.,.Estimating population mean, variance and percen-
percentage points from truncated data. Skand. Akt. 1956, v. 39, 1—2,
p. 47—58.
Приложение 8А
Односторонние биномиальные доверительные пределы
В приложении доказывается, что C(F), определяемые
формулой (8А.1), представляют верхние доверительные
пределы биномиального параметра р. На рис. П.1—П.5
показаны значения C(F) при различных F и при объеме
выборки от 5 до 1000, а также при y = 0>50; 0,80;
269

0,90; 0,95 и 0,99. В этом случае система сводится к по-
последовательности N независимых испытаний, в которой
наблюдается число отказов. В результате можно сделать
следующий вывод: истинная вероятность р отказа систе-
системы не больше С. Если подобный вывод делается в целом
ряде испытаний, в каждом из которых наблюдается чис-
число отказов в последовательности независимых испыта-
испытаний, то в некотором смысле можно гарантировать, что
большинство выводов будут правильными. Это можно
осуществить, если фиксировать доверительный уровень
Y, 0<7<1 (обычно 0,90 или выше) таким образом, что-
чтобы при любом значении параметра р ожидаемая доля
правильных выводов в длинном ряде таких выводов была
равной или большей у. Если в каждом отдельном случае
мы будем знать, что вероятность истинности нашего вы-
вывода будет равна по меньшей мере р независимо от ис-
истинного значения /?, то из статистического смысла веро-
вероятности можно заключить, что гарантия, о которой го-
говорилось, будет иметь место.
Заметим, что значение р может быть разным для раз-
различных совокупностей, из которых производятся выбор-
выборки; объем выборки N также может быть переменным
(при этом предполагается, что он все же фиксируется
до опыта).
Очередные задачи решаются следующим путем.
Предположим сначала, что из совокупности с вероят-
вероятностью неудачи, равной (неизвестной) постоянной р, где
0</?<1, производится выборка объема N. Множество
возможных исходов состоит из всех возможных значений
числа отказов (неудач) @,1, ..., N); оно называется
выборочным пространством (§ 6.6). Рассмотрим теперь
следующее уравнение, определяющее величины
C(F)F 0 N
2 (?) (8А.1)
где 0<у<1- Теперь покажем, что C(F) представляют
верхние доверительные пределы для р.
Прежде всего, 0<С@)<СA)... <С(F)<С(F +
!)< <С(Л0 1
Чтобы убедиться в этом, нужно сначала показать, что
уравнение (8А.1) имеет единственное решение [за исклю-
270

чением случая F=N, в котором C(N) определяется
как 1]. Рассмотрим функцию
^w=fG)-*JA-x)N"/-
Имеем g-^ @) = 1; gF(l) = 0; далее,
V — F)xF(l—xf-F-l<0 при
Следовательно, gf(x) = l —Y>0 обладает единственным
корнем @<л;<[1). Однако при F = N левая часть (8А.1)
тождественно равна 1; в этом случае мы можем положить
C(N) = 1.
Чтобы установить неравенство C(F)<C(F-f 1), за-
запишем
g/(Z) = l-Y. (8A.2)
?,+,(П = 1-Т- (8А.З)
Задача состоит в том, чтобы показать, что У> Z. Имеем
s,+1 <X)=gP (У)+(Д,) ^f+1 A - Г)*-" = 1 - т
(8А.4)
ИЛИ
(К) = 1 - т - (Д,) Y™ A - ГУ"'-1. (8А.5)
Правая часть (8А.5) должна быть положительной и
меньшей 1 — Y- Если предположить, что Y<Z, то gF(Y)>
>gF(Z), поскольку gF{x) — невозрастающая функция х
(при0<х<1 строго убывающая). Но последнее нера-
неравенство противоречит (8А.2) и (8А.5), а также замечанию,
следующему за (8А.5). Таким образом, F>Z.
Теперь, чтобы доказать теорему, предположим, что р
(неизвестная вероятность отказа) лежит в интервале
[C(F), C(F + 1)], т. е. C{F)<P<C(F + l), где F =
= 0,1 /V — 1.
Пусть X обозначает число отказов в N испытаниях.
Покажем, что
(8А.6)
271

С этой целью заметим, что событие X = F-{-l или F-\-2
или ... или N эквивалентно событию C(X) = C(F-{-l)
или C(F-{-2) или ... или C(N), что, в свою очередь,
сводится к событию С(Х)^р. Значит (см. пример, пред-
предшествующий п. 5.3.1),
= F-\-\ или... или N]<P[C(X)>p]. (8A.7)
Левую часть (8А.7) можно записать так:
j(l-p)N~J'- (8A-8)
/=о
Но последняя функция не возрастает по р. Тогда, если
заменить р на C(F), выражение (8А.8) будет невозрастаю-
щим. Следовательно, учитывая (8А.7),
2 (f) ic w\j fl - с (F)]N4 < p fc {Х) > л- (8А-9)
1 2 (f)
Левая часть (8А.9) равна у независимо от F (см. 8А.1);
этим устанавливается требуемое неравенство (8А.6).
Правда, остается еще рассмотреть случай, когда 0<р<
<С@). Но в этом случае непосредственно очевидно, что
Р[С(*)^/7] = 1>Т> (8А.10)
так что (8А.6) справедливо независимо от истинного зна-
значения р. Этим доказательство завершается.
Заметим, что поскольку надежность R=l—/?, то
C(F), определяемое формулой (8А.1), можно использовать
для получения нижних доверительных пределов для /?.
Событие С(Х)^р эквивалентно событию 1 — C(X)<R,
следовательно, эти события имеют одну и ту же вероят-
вероятность. Значит,
а это говорит о том, что 1 — С (F) дают для R нижние
доверительные пределы (при доверительном уровне у).
272

Приложение 8Б
Точные односторонние доверительные пределы в случае
биномиальной схемы
8Б.1. Введение
В приложении дается метод вычисления точных верх-
верхних доверительных пределов для биномиального пара-
параметра. Результат состоит в том, что верхние доверитель-
доверительные пределы можно построить с точным доверительным
уровнем у, а не с условием > у (где у равна, например,
0,90).
Доверительные пределы последнего типа получаются
по методам приложения 8А. В любом случае рассмат-
рассматривается N независимых испытаний с вероятностью р
отказа в каждом испытании. Количество отказов обозна-
обозначается через F. Чтобы получить неточные пределы, сле-
следует обратиться к соответствующим вычислениям или
к рис. П.1—П.5, откуда получается верхний довери-
доверительный предел C(F; у), связанный с выводом*
Априорная вероятность правильности данного вывода
будет равна по 'меньшей -мере у.
Чтобы найти точные пределы, после получения F от-
отказов в N испытаниях производится дополнительное ис-
испытание. Оно осуществляется следующим образом. Из
равномерной совокупности извлекается число г@<г<
< 1)**. Тогда вычисляется (или находится по табли-
таблицам) C(F + r; у) и принимается, что
C(F-\-r; ч)>р. (8Б.2)
Априорная вероятность правильного вывода (8Б.2) точ-
точно равна у-_Интуитивно очевидно, что С всегда меньше
или равно С, поскольку выводу (8Б.2) соответствует не
большая достоверность, чем необходимо.
* В настоящем приложении обозначение U соответствует обо-
обозначению С приложения 8А.
** Можно воспользоваться для этого таблицей, например, трех-
трехзначных случайных чисел. -
1В—И13 273

В этом приложении будут изложены основы тео-
теории, а также график, иллюстрирующий один простой
пример (N=2; 7 = 0,50 и 0,90). В случае больших выбо-
выборок становится безразличным, какой метод использовать.
Изложенный метод, очевидно, может дать заметный эф-
эффект лишь в случае малых выборок.
8Б.2. Обоснование
Пусть X обозначает число отказов в N независимых
испытаниях с вероятностью р отказа в каждом из них.
Обозначим через г случайную величину, равномерно рас-
распределенную в интервале @,1);
0, z<0,
P(r<z)= г, 0<г<1, (8Б.З)
, z>\.
Нетрудно показать, что функция распределения Х-\-г имеет
вид*
р[хЦ1 -р)"~[х]{х-[х])> (8Б-4)
гдеО<л:<ЛГ+1.
На рис. 8Б.1 и 8Б.2 показано расхождение между
функциями распределения X и Х+r. Определим теперь
функцию С(х) как решение уравнения
4f )Cj Q -
= 1-Т. (8Б.5)
где 0<у<1- Мы видим, что посредством этого уравне-
уравнения С(х) определяется только при 1—^^НН1
* [х] — наибольшее целое число, не превосходящее хг например,
Ц,43]=1,BН2ит.д.
274

доопределим ее как 0 при ^<л:<1 — Y и как 1 при
iV + 1— y<x<N-\-l. Чтобы показать, что это можно
сделать, рассмотрим сначала уравнение (8Б.5) при 1— y<C
<*<# + 1—Y- Левая часть (8Б.5), как функция С.
будет больше 1 — ? при С = 0 и будет равна 0 при С=1.
Эта функция, далее, убывает при возрастании С от 0 до 1.
Рис. 8Б.2.
Приняв, что левая часть (8Б.5) убывает по С, мы по-
получим, следующее: при х из интервала 1— y<x<N+l—у
(8Б.5) имеет единственный корень С в отрезке 0<С<1.
Чтобы установить убывание левой части (8Б.5), продиф-
18* 275

ференцируеМ ее no G (заметим, 4fo все члены, кроме 6Д*
ного, после дифференцирования исчезают):
"Км
[Х]-С[а'1] A - C)N~м (х-[х]) - (8Б>6)
- [х]) d*i A - C)w-M-' (х - [х]) =
<0, так как(х — [х] — 1)<0. При выводе (8Б.7) из (8Б.6)
было использовано тождество
При 0<х<1 — yhN+1 — 4<x<N -{-I разность между
левой и правой частями (8Б.5) становится равной 0 только
в случае х = 1—у и x = N-\-l=4' Значит, можно про-
произвольным образом определить С(х) = 0 при 0<д:<1—у
и С(х)=1 при JV+1 —y<^<iV+l.
Докажем теперь, что С(х) не убывает по х (строго
возрастает при 1 — ^<C.x<iN-{-l — у). Действительно,
вспомним, что производная левой части (8Б.5) меньше 0.
Дифференцируя (8Б.5), на этот враз по х, получаем
где «.0) обозначает правую часть (8Б.7). Таким образом,
dC/dx>0.
Ввиду того что второе слагаемое левой части (8Б.8)
положительно, требуемое утверждение установлено.
Чтобы установить теперь основной результат, согласно
которому С(х) является верхним доверительным преде-
пределом р с доверительным уровнем, в точности равным у,
возьмем любое число р между 0 и 1; тогда для некото-
некоторого х из интервала 1— ^<x<N-\-.\— у будет р=С(х).
276

j=0
Событие X -f-1 ** яТэкЁйвалейтйо событию С (к -f r) ^
>С(л;), т* е. С(Х-\-г)^р. Следовательно,
Р{Х + г^х) = Р[С(Х + г)^р]. (8Б.9)
Далее,
(8Б.10)
Таким образом, на основании (8Б.9)
Р[С(Х + г)>р] = ч. (8Б.11)
Последнее говорит о том, что при любом значении р верх-
верхний доверительный предел, вычисленный по (8Б.4), будет
и так как р = С(х), то из (8Б.4) имеем
/
/
/
/
/
/
/
/
r
К
У
/
/
/
/
413 0 0,2 0,4 0,6 ОД W 1,2 1,4 If US 2.0 2,2 2,4 2,6 2А 3,0
Число отказов + случайное число п
Рис. 8Б.З. Точные верхние доверительные пределы для
биномиального параметра р при объеме выборки N=2
и доверительных уровнях у=0,50 и —лпл
„покрывать" р с той же вероятностью у [при Х +
и ^N-{-1 — Y получается соответственно С(А"+г) = 0 и 1].
На рис. 8Б.З вычерчен вид С(х) при N=2; у=0,50 и
0,90. В [7] имеются таблицы двусторонних доверительных
пределов для <у = 0,95, Y = 0,99 и #=2A) 24B) 50.
277

Приложение 8Ё
Верхние доверительные пределы для р в случае выборки
с отрицательным биномиальным распределением
В § 6.4 выборочное пространство было задано с отка-
отказами в переменном числе п испытаний; с задается зара-
заранее, и испытания производятся до тех пор, пока не набе-
наберется п отказов. В подобной ситуации можно, так же
как и в случае фиксированного числа испытаний, пока-
показать, что верхние доверительные пределы р при довери-
доверительном уровне у находятся посредством решения урав-
уравнения
00 /• 1\
(8В.1
относительно С. Однако сначала на основании резуль-
результатов приложения 8А, относящихся к биномиальным ис-
испытаниям с фиксированным числом испытаний, перепи-
перепишем (8В.1) в виде
_ :сA— Су-Ся=у (8В.2)
или
S ('ll)CcA-C)i"e = Tr. (8B.3)
Но с учетом (8.56), (8В.З) примет вид
f/I1) (8B.4)
или
/=0
Из уравнения (8А.1) следует, что верхний довери-
доверительный предел С может быть получен по рис. П.1—П.5,
если отождествить n—l=N9 c—l=F.
278

Для примера положим С=2.
Допустим, что второй отказ произошел в десятом испы-
испытании. Тогда верхний доверительный предел С дляр, со-
соответствующий доверительному уровню y = 0>90, на осно-
основании рис. П.З, где /7=1, jV = 9, будет равным С=0,37.
Если с=\ и отказ произошел в первом же испытании
(/х=1), имеем С=1,00.
Приложение 8Г
Верхние доверительные пределы для X в случае
распределения Пуассона
При использовании модели распределения Пуассона
(§ 6.5) верхние доверительные пределы для параметра
X строятся так же, как и в биномиальном случае. Пусть
в результате испытания произошло п событий, напри-
например п отказов, где п>0. Тогда верхние доверительные
пределы С для X, соответствующие доверительному уров-
уровню у, можно определить, решая уравнение
t='"T. 0Г.Ц
С этой целью можно использовать табл. II Молина [4],
поскольку в обозначениях этого автора
Р(с, а) =2^. (8Г.2)
Ввиду того что
следует приравнять а = Си c = n-fl> a затем по таб-
таблице найти значение а из условия Р (с, а) = у (если не-
необходимо, при помощи интерполирования).
В качестве примера примем у=0,90 и я=5. Тогда по
табл. II Молина С=9,275. Можно также использовать
рис. П.1—П.5; из них получим С, если вспомним, что
279

когда объем выборки N становится большим, а /? — ма-
малым, так что NP~X, биномиальное распределение при-
приближается к распределению Пуассона. Чтобы опреде-
определить С для рассматриваемого примера, следует исполь-
использовать рис. П.З, где 77 = 5, и считать значение абсциссы
при N насколько возможно большим. В данном случае
наибольшим будет N=1 000. Отсюда находим, что верх-
верхний доверительный предел для р при N=1 000 прибли-
приближенно равен 0,0093. Так как X~NP, то верхний довери-
доверительный предел для X будет составлять приблизительно
1 000 @,0093) =9,3, что очень хорошо согласуется со зна-
значением, полученным по табл. II Молина [4].
В общем, если, скажем, я>5, то рис. П.1—П.5 уже
можно не пользоваться.
Предположим теперь, что произведено К наблюдений
с соответствующими числами событий пи я2,..., Пк-
Тогда непосредственным методом будет решение урав-
уравнения
pi=1_Tt (8ГЗ)
?=0
поскольку известно, что
обладает распределением Пуассона с параметром /(А,.
Возьмем данные из примера § 6.5. Имеем /(=10, Hrij=
= 30. Если принять y=0,90, то для верхнего доверитель-
доверительного предела X [4] дает С=3,83. Предположим теперь,
что вместо этих данных взяты 2/г;=15, /(=5. Несмещен-
А
ная оценка X останется той же: А,=3, однако верхний
доверительный предел с доверительным уровнем 0,90
станет С=4,26; это иллюстрирует тот вполне естествен-
естественный факт, что при большем объеме выборки будет мень-
меньшая точность.
Если /ij=85 или более, а доверительный уровень
0,90, табл. II из [4] не может быть применена. Одна-

ко нетрудно доказать, *1то правильный верхний довери-
доверительный предел К дает формула
r, (8.г.4)
где / = S/Zj, так что можно' применять табл. П.8.
Упражнение 1. Доказать равенство (8Г.4). Указание:
см. 6.8.2 и G.13). Применить это равенство к рассмотренным при-
примерам.
Упражнение 2. Вывести следующую приближенную фор-
формулу для С:
где /С|_^ обозначает нормальное уклонение, превышаемое с вероят-
вероятностью 1 — Y- (Указание: см. стр. 262)

ГЛАВА 9
СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Модели надежности, которые рассматриваются в этой
главе, имеют целью установить связь между элементами
системы и их влиянием на работу этой системы. Эта
связь имеет два аспекта. Во-первых, следует рассмо-
рассмотреть выходную характеристику или качество отдель-
отдельного элемента и, во-вторых, функциональную связь во
множестве элементов, образующих в своей совокупности
«структуру» системы.
Наблюдения над выходной характеристикой могут
иметь качественный или количественный характер.
В случае качественных данных в результате операции
может быть лишь успех (S) или неудача (отказ, F).
Количественные же данные можно использовать по-раз-
по-разному. Прежде всего, мы можем фиксировать, попадает
ли выходной параметр в заданные пределы (например,
в пределы допусков), и соответственно классифициро-
классифицировать испытание как успех или отказ, т. е. количествен-
количественные данные в этом случае используются как качествен-
качественные. При этом выход может характеризоваться одним
параметром, определяющим надежность, или же не-
несколькими параметрами, возможно функционально свя-
связанными, но такими, что ни один из них сам по себе
нельзя отождествить с надежностью. В последнем слу-
случае событие «успех» формулируется как некоторое
условие для совокупности параметров. Далее, можно
собрать несколько наблюдений выходной характеристи-
характеристики и, минуя предварительную классификацию индиви-
индивидуальных наблюдений на успехи и отказы, при помощи
282

анализа переменных определить вероятность нахожде-
нахождения выхода в заданных пределах (как и прежде, это
могут быть пределы допусков). Наконец, может быть
и такой случай, когда для каждого отдельного элемен-
элемента нельзя указать независимых пределов, однако взаи-
взаимодействие характеристик элементов образует выход
системы, для которого имеет смысл говорить о допусти-
допустимых пределах. Выход системы может иметь как качест-
качественную, так и количественную природу, в зависимости
от этого его исследуют тем или иным способом.
Функциональная структура системы определяет за-
закон взаимодействия характеристик элементов, соглас-
согласно которому они функционируют определенным образом
и в определенной последовательности. Система может
быть построена таким образом, что для успешного ее
функционирования требуется исправное действие всех
элементов. В таком случае она называется последова-
последовательной системой. Есть такие системы, в которых при
отказе любого элемента найдется другой элемент, спо-
способный выполнить его функции. Система с подобным
свойством называется параллельной. Очень часто си-
системы обладают свойствами как параллельных, так и
последовательных. Нам необходимо исследовать дейст-
действие системы, основываясь на ее функциональной струк-
структуре, путем рассмотрения вероятностных соотношений
в случаях, когда характеристики элементов имеют коли-
количественный или качественный характер.
Важность исследования надежностной структуры со-
состоит в том, что она позволяет выявлять фактические
или потенциальные узкие места системы с точки зрения
надежности. Еще важнее, что таким образом есть воз-
возможность выработать методику устранения подобных
узких мест. Например, возможно подсчитать, сколько
требуется резервных элементов для обеспечения задан-
заданного уровня надежности системы. Далее, можно оценить
надежность системы, построенной из элементов с изве-
известной надежностью, или, обратно, каким образом, исхо-
исходя из требования к надежности системы, предъявить тре-
требования к надежности элементов. Из этого следует, ка-
каким образом распределить время и средства, идущие на
разработку и построение системы. Из излагаемых мето-
методик можно видеть также, каким образом устанавливать
допустимые пределы характеристик элементов, обеспе-
283

чивающие надежную работу системы, или переменные
пределы в зависимости от возможностей соседних эле-
элементов.
Этот анализ часто называют анализом надежности,
связанным с прочностью. Все эти исследования вносят
существенный вклад в методики оценки надежности.
9.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему, состоящую из двух или более
подсистем. Одна из самых простых моделей отказов
строится следующим образом. Пусть S обозначает со-
событие, состоящее в том, что система работает безотказ-
безотказно, a Sj, /=1,..., п,.. —события, состоящие в исправ-
исправной работе подсистем. Предположим, что 5 имеет место
тогда и только тогда, когда имеют место все Sj, т. е.
система исправна тогда и только тогда, когда исправны
все подсистемы. В этом случае систему называют по-
следовательно!*. Последнее соотношение можно выра-
выразить символом П, введенным в п. 5.2.1:
(9.1)
откуда
P(S) = P(Sl[XS2[i...nSn), (9.2)
с помощью соотношений п. 5.3.1 для условия вероятно-
вероятностей (9.2) можно переписать следующим образом1:
...nSn)= (9.3)
= Р (SJS, п.., П S») Р (SJS, п ... П 5«) P(S3 п-..fl S«)
(9.4)
и вообще
Р (S) = [П РPi/Si+i П . П Sn)] P(Sn). (9.5)
9.2.1. Независимые последовательные системы
Если предположить, что Sj независимы в совокуп-
совокупности, т. е. вероятность исправности /-й подсистемы бу-
будет одной и той же при любом сочетании событий, ка-
касающихся других подсистем, так что
284

формула (9.5) примет вид
/>(S) = n/>(Sj). (9.6)
Обозначив
получим
*<=fi*J. (9.7)
где /? обозначает надежность *. Таким образом, надеж-
надежность всей системы равна произведению надежностсй
подсистем. Это так называемое «правило умножения»
для независимых последовательных систем.
Если условие независимости не выполняется, но си-
система все же является последовательной, то любая из
формул (9.2) — (9.5) определяет надежность. Заметим,
что в (9.1) — (9.5) индексы можно переставлять местами.
Например, при п = 2 выражение
= [P(S1\S2)]P(S2), (9.8)
соответствующее (9.5), можно записать также в виде
= [P(S2\S1)]P(S1). (9.9)
Упражнение 1. Показать, что если />(S2/Si)<PE8),
то P(S1IS2)<.P(S1)f а также Р(ВД)<ЯИ, где Fj=~Sj.
Упражнение 2. Определим две случайные величины Xi
и Х2 следующим образом. X1=0(\)i если подсистема 1 находится
в исправном (неисправном) состоянии; аналогично ^Y = 0A), если
подсистема 2 исправна (неисправна). Определим P(^i=l), как
/?i = l—/?„ и Р(Х> = 1), как p2=\—R2. Пусть P(S/S) 5
Вычислить коэффициент корреляции (Х1} Х2).
Ответ.
От слова «reliability» ((англ.). (Прим. перев.).
28 5

Предположим, что система — последовательная. Какой будет
вид выражения для надежности системы R = Р (Л"х = О, Х2 = 0)*
через р?
Ответ.
R = ЯЛ + р /RXR2 A — Rx) (I — Я2). (9.11)
Упражнение 3. ч Доказать, что
1 1
AiA2 "Т" ^^ /\ ^^ AlA2 "у" ~T~• (У» 1 2)
На основании этого показать, что последовательная система
из двух подсистем не может иметь надежность большую, чем
1
ЯЛ+~» и что Для достижения этого предела необходимо,
чтобы R1 = R2 = 0,5.
Пример. Покажем, что
min(#,, Я.ХЯЛ + 4"- (9ЛЗ)
Пусть Ri=imin(Rlt R2), т. е. Ri<:R2. Нам нужно показать, что
1
#i<#i#2 + х» или> что то же»
Я1A-Я«)< j. (9.14)
Но для любого Я2 @ < Я2 < 1).
Я2A—Я2)<-4". (9.15)
Поскольку #i<#2, левая часть (9.15) не увеличится, если мы за-
заменим первый множитель R2 величиной Яь а это и доказы-
доказывает (9.14).
Упражнение 4. Доказать, что надежность последователь-
последовательной системы, состоящей из двух подсистем, не больше, чем ми-
минимум надежностей подсистем.
Указан ие. Выше было показано, что R=dRu Максимум 8Rt
достигается тогда, когда 5 равно своему максимальному значе-
значению, т. е. I. Но ввиду того, что Р(Хг = 0 | Х2 = 0) = bRxjR2 < 1,
из 5=1 следует неравенство R\<.R2. Таким образом, Rx =
= min(#i, Я2)> а стало быть, Я<т1п(#ь Я2).
Упражнение 5. Использовав соотношение
Si[\S2(\...[\Sn CSj, / = 1,2,..., л,
показать, что надежность любой последовательной системы не
больше, чем минимальное значение надежностей ее подсистем.
* Вместо знака Л использована занятая (см. § 5.4).
286

Ё § 9.3 будет рассмотрена модель «слабейшего зве-
звена», представляющая собой частный случай зависимой
последовательной системы. В этой модели достигается
максимально возможное значение надежности, т. е. на-
надежность системы равна минимуму надежностей под-
подсистем.
9.2.1.1. ПРИМЕР ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Лучшим примером последовательной системы слу-
служит многоступенчатый снаряд. Это группы подсистем
или элементов, одни из которых работают совместно,
другие — последовательно во времени, но важно то, что
для успешного пуска необходимо, чтобы каждая опера-
операция была произведена без отказа. Так, прежде всего
должна сработать первая ступень, затем должна про-
произойти расцепка, воспламенение и горение в двигателе
второй ступени и т. д. В данном случае все эти опера-
операции последовательные во времени; однако понятие по-
последовательной системы не следует связывать с времен-
временным чередованием событий. Например, первая ступень
сам.а по себе представляет последовательную систему.
Так, если она состоит из нескольких формирующих дви-
двигателей, то каждый из них должен работать безотказно;
это относится и к подсистемам, осуществляющим управ-
управление и контроль.
Вообще, если снаряд «расчленить» на ограниченное
число основных подсистем, которые можно предполо-
предположить статистически независимыми, то надежность этого
снаряда будет равна произведению надежностей основ-
основных подсистем.
9.2.2. Нижние доверительные пределы для надежности
независимых последовательных систем
Задача определения нижних доверительных пределов
надежности R независимых последовательных систем
равносильна задаче определения верхних доверительных
пределов вероятности отказа р (ненадежности), реше-
решение которой дано в § 8.1. Имея в виду содержание при-
приложения 8А, дадим следующую формулировку интере-
интересующей нас задачи:
на основании результатов испытаний подсистем, выра-
выражающихся числами отказов ft в Nj испытаниях для /-й
287

подсистемы (/ — 1, 2,..., k), найти такое множество чисел
CNx,...,Nft {fi>-"fh\ Y) ЧТО
р\р<сЫх Nk(flf...fы т)]>т. (9-16)
где р — истинная, неизвестная вероятность отказа си-
системы; у — доверительный уровень вывода о том, что
С — верхний доверительный предел для р. В том случае,
когда мы имеем дело с независимой последовательной
системой, (9.16) принимает вид
. (9Л7)
где fj — истинное, но неизвестное значение ненадежности
/-й подсистемы.
Один из методов построения C*N N (fl9 ...,fk, T)
с условием (9.17) дается формулой
где
ПТ,=Т (9Л9)
и число CN, (fj\ Yj) представляет верхний доверительный
предел для у^-й подсистемы с доверительным уровнем
>Yj> определенный, например, по методам приложений
8А, 8Б или 8В (гл. 8) или по какому-нибудь иному ме-
методу. Чтобы показать, что С* формул (9.18) и (9.19)
действительно удовлетворяет (9.17), очевидно, нужно
установить неравенства вида
Р { П A - Рз) > П [1 - С tffi V)]} > П Yr (9.20)
Событие [\{l—Pj>l —CNXfj] Ti)} включается в событие
288

(При & = 2 это утверждение равносильно следующему:
из 1—рх>\— Сг и 1—А^1—Ся следует, что
A — pt)(l — р2)'^ A — Cj)(l — С2), но обратное не всегда
верно.) Таким образом, вероятность первого события не
превосходит вероятности второго. Следовательно,
<Р{П A -Л)> fl [l-CN(f,; Ti)]}. (9-21)
Далее, предполагается, что испытания различных подси-
подсистем имеют независимые исходы; следовательно, вероят-
вероятность сложного события [левая часть (9.21)] равна про-
произведению вероятностей отдельных событий:
J I
= П Р [1 - Л > 1 - CN (ffi Tj)]. (9.22)
7=1
Но правая часть (9.22) не меньше величины
/=i
а тогда из (9.21) следует требуемое неравенство (9.20)#
Пример. Пусть k = 2, Y = 0,90, iV, = 50, fx = 2, tf2 = 100,
f2 = 3 (Mi и iV2 фиксированы до испытаний). Тогда
С*бо,1оо B,3; 0,90) = 1-[1 - С50 B; Yi)] [1 - С100 C; Y2)L
где Yi и Тг—'положительные числа, такие, что YiY2=s0,90. Таким
образом, Yi = Y2@,90I/2= 0,9487 будет удовлетворять этому тре-
требованию. Из рис. П.З и П.4 (при помощи интерполирования) или
из [1] находим
Сб0B; 0,9487) = 0,1200,
С100C; 0,9487) = 0,0761,
откуда
С*бО,1оо B,3; 0,90) = 0,188
и нижний доверительный предел надежности системы с довери-
доверительным уровнем 0,90 оказывается равным 0,813. Заметим, что
выбор Yi = Y2 в некоторой степени произволен. Возможно, что при
другом выборе 7ь Y2 с соблюдением условия YiY2 = 0>90 можно
достичь меньшего значения С*.
19—1113 289

Предлагаем читателю рассмотреть случай Yi— 1Д Y2 == 0,00
и наоборот.
Упражнение. Независимая последовательная система со-
состоит из двух подсистем типа А и двух подсистем типа Б. Под-
Подсистемы типа А обладают одинаковой надежностью; то же отно-
относится и к подсистемам типа Б. Подсистема типа А испытывалась
50 раз, причем было 2 отказа, Б—100 раз и было 3 отказа. Чему
равен нижний^90э/о-ный доверительный предел надежности системы?
Ответ.
RL = @,813J = 0,66.
9.2.3. Другой, более предпочтительный метод вычисления
доверительных пределов для последовательной системы
Изложенный выше метод является общим в том смы-
смысле, что его можно применять в случае различных объе-
объемов выборок для подсистем и доверительных пределов
подсистем, основанных на разнородной информации: на-
например, при биномиальных испытаниях может фиксиро-
фиксироваться количество испытаний или общее количество от-
отказов. Однако нижние доверительные пределы надеж-
надежности, получаемые по этому методу, можно значительно
уточнить при помощи иного метода, разработанного
Бьюлером 12] и Стеком [3]. Подробное доказательство
того, что этот метод дает лучшие доверительные преде-
пределы, очень сложно, и мы его приводить не будем; однако
Линдстром и Мадден нашли простой метод, который,
как показали авторы, дает почти такие же доверитель-
доверительные пределы, что и методы [2, 3], в том случае, когда
все Nj равны *. Метод состоит в следующем.
Вычислим
А
Тогда R будет точечной оценкой надежности независи-
независимой последовательной системы. Величина N(\—R) бу-
*Авторы произвели численное сравнение только при &»2,3
ввиду большой трудоемкости вычисления доверительных пределов
по методу [2, 3]. Однако есть основания считать, что приводимый
простой метод будет давать правильные доверительные пределы
также при больших k и неравных Nj, но для получения доверитель-
доверительного уровня требуется довольно большой объем вычислений с по-
помощью метода Монте-Карло.
290

дет представлять число отказов системы F в N испыта-
испытаниях. Тогда по рис. П.1—П.5 определим нижний довери-
доверительный предел, соответствующий произвольно выбран-
выбранному доверительному уровню у. Величина NA —R) не
обязательно будет целым числом; однако требуемый ре-
результат можно достичь интерполированием.
В том случае, когда Nj не равны, вычисляем
и значение Nm(l —/?), где Nm—минимальное из Nj. Чис-
Число Nm A — R) рассматривается как число отказов системы
в Nm испытаниях. Далее нижний доверительный предел
определяется так же, как и выше.
Пример. Пусть Л^! = Л/'а = 100, fi = 2, f2 = 3. Тогда R =
= @,98) @,97) = 0,9506.
Имеем F = 4,94 и по рис. П.З находим для 90%-ного нижнего
доверительного предела (с N =100, f = 4,94) значение 1—0,090 =
=0,910. Если #! = 50 вместо 100, тогда R = @,96)-@,97)=0,9312
и мы получаем F = 50 A — 0,9312) = 3,44.
Таким образом, по рис. П.З находим, что нижний 90°/о-ный
доверительный предел (с W=50, F = 3,44) равен 1—0,140=0,860
(вспомним, что предыдущий метод дал для этой величины значе-
значение 0,813).
То, что упрощенный метод позволяет находить пра-
правильные доверительные пределы надежности системы,
интуитивно подтверждается следующими рассуждения-
рассуждениями. Положим k — 2 (можно рассмотреть любое значе-
значение k). Сначала допустим, что Nl=\N2 = N. Две подси-
подсистемы испытывают автономно, причем наблюденные
числа отказов равны fx и /2. Тогда результаты N испыта-
испытаний (fi отказов и Af—/i успехов) одной подсистемы мож-
можно сопоставить с N результатами для другой подсистемы
(/2 отказов, jV—/2' успехов); при этом можно образовать
множество N пар, каждая из которых будет представ-
представлять результат «испытания системы». Описанное спари-
спаривание можно осуществить путем случайного выбора ре-
результатов испытаний. Легко сообразить, что величина
NA—[/?) будет математический ожиданием числа пар,
в которых произошел отказ хотя бы в одном случае. Это
19* 291

число (не обязательно целое) затем интерпретируется
так, как если бы это было наблюденное число отказов
последовательной системы в N испытаниях.
Если для определенности Ni<N2, то метод предпо-
предполагает, что в качестве эквивалентного числа испытаний
системы выбирается N{. Это естественно, поскольку при
помощи спаривания можно образовать лишь N\ различ-
А
ных пар. Снова Л^A—/?) представляет математическое
ожидание числа отказов системы.
Пусть, например, & = 2, N{ = 2, N2 = 3> fi=l, /2 = 2, т. е.
имеется две различные подсистемы А и В, причем А
испытывалась 2 раза и получен один отказ, а В — 3 ра-
раза и было 2 отказа. Перенумеруем испытания подси-
подсистем А: Аи А2у и подсистем В: Ви В2, В3. Ниже представ-
представлены возможные множества испытаний системы
/АгВЛ
\А2В2)
\АШВШ
Так,
\А2В2)
представляет два испытания системы, первое из которых
состоит из первого испытания А в сочетании с первым
испытанием В. Второе испытание системы состоит из
второго испытания А в сочетании со вторым испытанием
В; подобным же образом определены и остальные пять
множеств испытаний системы.
Теперь договоримся, что А{ — отказ и Ви В2 — также
отказы. Тогда получается следующая сводка результа-
результатов:
системы>
^ss) = 1 отказУ
292

AlB2\ /FF\ - o
a2B J = [SFJ - 2 0ТКаЗШ системы>
*3) =( CZ7 ) =2 отказам системы,
A*Bi/ \SFJ
/j [] 2 отказам системы.
= [or] =
Математическое ожидание числа отказов системы в
двух испытаниях равно
2+1 + 1 + 2 + 2 + 2 10
t — 6 —"'
l e. 1 j отказов в двух испытаниях системы. Но это
можно получить и непосредственно по формуле
1
откуда
Упражнение 1. Как определить Nm в том случае, когда
в системе имеется несколько идентичных подсистем? Проверить
полученный результат на системе с надежностью вида % = Щ.
Упражнение 2. Используя приближение нормальным рас-
распределением, вывести формулу для доверительных пределов на-
надежности независимой последовательной системы, основанных на
однотипных испытаниях рассматриваемого вида.
Часть ответа.
6 П$1.
н==Чы5 *
где Sj — число успехов в N j испытаниях ;-й подсистемы
= Nj — fj, где fj — число отказов);
293

где
-№)¦
Применить метод п. 7.4.4. Использовать полученную формулу
для определения 90/о-ного нижнего доверительного предела R при
Ответ. RL = 0,891.
На рис. П.6—П.И показаны нижние доверительные
уровни для надежности независимых последовательных
систем, состоящих из двух и трех подсистем
N1 = N2(=^N3) = Ny где 5<ЛГ<40;
доверительный уровень 7=0,50; 0,90; 0,95; при различ-
различных сочетаниях наблюденных отказов (F\, F2) или
(Fu F2, F3). Численные значения получены по методам
[2 и 3] и заимствованы из [4].
9.3. МОДЕЛЬ «СЛАБЕЙШЕГО ЗВЕНА»
Данная модель является примером последовательной
системы, для которой надежность системы равна наи-
наибольшему значению, достижимому в случае последова-
последовательных систем, а именно минимуму надежностей под-
подсистем (§ 9.2).
В случае последовательных систем можно записать
соотношение
F = F1UFtU...UFn, (9.25)
которое получается из (9.1) при помощи применения
операции дополнения (п. 5.2.1) к обеим частям этой
формулы: отказ системы наступает тогда и только тог-
тогда, когда отказывает одна или большее число подси-
подсистем. Дополнительное предположение, которое мы при-
примем, будет состоять в том, что, когда отказывает систе-
система, отказывает и некоторая «отмеченная» подсистема,
скажем первая.
Тогда наше предположение можно выразить фор-
формулой
F C/v (9.26)
294

Но поскольку Fx GFy то события F и Fx эквивалентны
и имеют одну и ту же вероятность, т. е.
P{F) = P(FX). (9.27)
Поскольку любое из Fj приводит к F, имеем также
FtOFi9 / = 2,...,л, (9.28)
а следовательно,
P(/?1)>P(Fj), / = 2,...,л. (9.29)
Окончательно
P(F)^P (Fx) = max P (F5) (9.30)
или
i. (9.31)
Результат, выраженный формулой (9.30) или (9.31),
не зависит от того, какая подсистема «отмечена». Оче-
Очевидно, эта система должна быть зависимой, поскольку
вероятность отказа отмеченной подсистемы при условии,
что отказала любая другая подсистема, равна 1. Если
вместо «отмеченной подсистемы» говорить о «слабейшем
звене», то мы видим, что механизм отказов нашей моде-
модели обладает свойствами механизма отказов цепи. Цепь
состоит из звеньев, одно (или несколько) из которых
является «слабейшим», т. е. его (их) «прочность» мини-
минимальна. Если напряжение превышает прочность одного
или нескольких звеньев, цепь разрывается. При разрыве
цепи всегда оказывается разорванным звено; с другой
стороны, разрыв любого звена ведет к разрыву цепи.
Таким образом, цепь представляет более конкретный
физический пример, где осуществляется рассмотренная
модель. Дальнейшие свойства модели цепи будут рас-
рассмотрены в п. 9.3.1.
Рассмотрим пример модели слабейшего звена. Исхо*
дя из общей причины отказа цепи, т. е. из того, что одно
из звеньев не выдерживает внешнего напряжения, мож-
можно поискать примеры, связанные с надежностью, в ко-
которых также наблюдается подобное обстоятельство.
Со спутника на орбите могут вестись наблюдения,
измерения и передача информации, которую специали-
специалисты группировки, противостоящей той, которая его за-
295

пустила, могут кйалифицировать как «нежелательную».
Один из методов выведения из строя спутника —
производство взрыва, т. е. мгновенное образование теп-
теплового потока в области его нахождения; вследствие
этого разрушаются некоторые виды аппаратуры, необ-
необходимой для наблюдений, измерений и передачи инфор-
информации. Если взрыв произойдет близко, то, вероятно, вся
аппаратура будет разрушена; если он слишком удален
для того, чтобы большая часть аппаратуры вышла из
строя, то отказывает лишь наиболее уязвимая, или «сла-
«слабейшая», аппаратура. Здесь наблюдается аналогия
с внешней силой, превосходящей минимальную проч-
прочность различных существенных компонент.
Внутренние проявления отказов, такие, как началь-
начальные, случайные и поздние, рассмотренные в § 6.7, носят
иной характер, чем в данном случае (конечно, при усло-
условии, что система остается работоспособной, пока внеш-
внешнее воздействие не достигнет критического уровня).
Вообще, если работа системы происходит при жестких
внешних условиях, помимо модели внутренних отказов
следует рассмотреть модель слабейшего звена.
9.3.1. Модель цепи
Модель цепи, которая будет здесь рассмотрена, пред-
представляет собой частный случай модели слабейшего зве-
звена § 9.3. Предположим, что «цепь» состоит из одинако-
одинаковых «звеньев», т. е. разрывное усилие всех звеньев под-
подчинено фиксированному распределению вероятностей.
Цепь разрывается, отказывает, коль скоро отказывает
слабейшее звено. Однако последнее событие зависит
только от разброса разрывных усилий, обусловленного
упомянутым распределением, т. е. от вероятности того,
что слабейшее звено будет обладать прочностью, мень-
меньшей, чем приложенное усилие; эту вероятность можно
вычислить.
Аналогично предполагается, что усилие, приложен-
приложенное к звену, обладает некоторым распределением ве-
вероятностей. Вероятность того, что звено не разорвется,
будет тогда равна вероятности того, что прочность пре-
превосходит приложенное усилие.
Если звенья собраны в цепь, то усилие, приложенное
ко всей цепи, будет также приложено к каждому из
296

звеньев (можно представить себе невесомую цепь с под-
подвешенным к ней грузом).
Рассматриваемая модель не ограничивается приме-
примером реальной или идеальной цепи. Представим себе вы-
вычислительную машину, содержащую много тысяч элек-
электронных ламп. Если к этой машине приложено сильное
ударное воздействие, то одна (или большее число) лампа
может отказать. Несмотря на то что номинально^ со-
сопротивление всех ламп ударному воздействию одно* и то
же, действительное сопротивление будет переменным
благодаря случайным колебаниям, присущим материа-
материалу и производственному процессу.
Ниже эта модель будет рассмотрена более подроб-
подробно. Прежде всего определяется надежность Ri отдельно-
отдельного звена. На основании предположения о том, что на-
надежность цепи равна надежности ее слабейшего звена,
определяется надежность i?n /г-звенной цепи. Затем
будет показано, что надежность цепи находится между
двумя пределами: п-п степенью надежности звена и ее
первой степенью. Будет ли равна надежность системы
одному из этих пределов или какому-нибудь промежу-
промежуточному числу, зависит от вида распределений прочно-
прочности и усилия.
Рассмотрим сначала «звено», существенной характе-
характеристикой которого является «разрывное усилие». Это
число, сопоставленное звену так, что коль скоро прило-
приложено усилие, большее или равное этому числу, про-
происходит отказ звена. Предположим, что «разрывное уси-
усилие» или «прочность» звена задается лишь посредством
распределения вероятностей. Будем считать, что сово-
совокупность прочностей звеньев обладает плотностью
f(x) и соответствующей (непрерывной) функцией рас-
распределения F(x), так что
F(b)-F{a)=$f(x)dx, (9.32)
а
представляет вероятность нахождения прочности звена
между а и b(a<b). Данное выражение можно интерпре-
интерпретировать обычным способом, рассмотрев бесконечную
совокупность звеньев, тогда F(b) —F(a) будет долей
таких звеньев, прочность которых лежит между а и Ь.
Подобным же образом представим себе, что усилие
297

определено посредством плотности g(у) и (непрерывной)
функции распределения G(y), так что
(9.33)
равно вероятности нахождения усилия между с и d (d>c).
Удобно ввести положительные случайные величины Х~
= прочности звена и Y = при-
примененному усилию. Тогда
P(X<x) =
P(Y<y) =
(9.34)
Рис. 9.1.
Будем считать, что X и У —
независимые случайные ве-
величины, определенные на
одном и том же выборочном
пространстве. Надежность
звена определяется как вероятность того, что звено не
разорвется, т. е. вероятность того, что прочность звена
больше приложенного усилия, или в символах
= P(X>Y).
(9.35)
Далее, величину P(X>Y) можно записать в виде интег-
интеграла от совместной плотности вероятности f(x)g(y) по
области, показанной на рис. 9.1 штриховкой. Таким
образом,
о у
или
Ri=]g(y)[i-p(y)]dy.
(9.36)
Очевидно, последнее выражение можно также запи-
записать следующим образом:
оо'д: оо
J>(X>Y) = J}/ (x)g(y) dydx= \f{x)G{x) dx. (9.37)
0 0

9.3.1 Прочность цейй
Теперь представим себе процесс образования «цепи»
из п «звеньев», которые выбраны из совокупности
с плотностью распределения прочности f(x). Это то же
самое, что взять случайную выборку Хи ..., Хп прочно-
стей звеньев из совокупности с плотностью вероятности
f(x). Прочность цепи равна
прочности самого слабого зве-
на, т. е. прочность Yn /г-звен-
ной цепи есть минимум из Хи
i=l, ..., п.
Задача состоит в том, что-
бы выразить распределение ве-
вероятностей Yn через f(x).
Пусть fn(y)—плотность вероятности Уп, и пусть, для
определенности, УП=ХЬ т. е. Х\ — минимальное из Хи
1=1, ..., п. Представив Хг как точки оси х, попадающие
в непересекающиеся интервалы или ячейки, мы можем
с помощью мультиномиального распределения (§ 6.3)
вычислить вероятность попадания Х\ в интервал (у, у+*
+dy), а Х2у ..., Хп — в область, лежащую справа от у.
Будем иметь
^^)'\ (9.38)
а стало быть,
Ы0/) = п[1-Р(у)]п-Ч0/)- (9.39)
Таким образом, функция распределения прочности #-звен-
ной цепи будет равна
(9.40)
У Fty)
с= Гп[\ — F@]n"V(f)dt^n j (l—u)n-ldu (9.41)
о о
(последнее выражение получено путем замены переменной
u = F(t), du=F'(t)dt = f(t)dt).
299

Таким образом,
f«(!/) = [-(l-«)tl!" = l-[l -F(y)Y'. (9.42)
Следовательно, для любого значения усилия У, обла-
обладающего плотностью вероятности g(y), вероятность то-
того, что прочность Уп превысит усилие У, приложенное
к цепи, на основании (9.36) будет составлять
](x)[l -Fn(x)]dx (9.43)
О
или, учитывая (9.42),
Rn=]g{x)[l-F(x)]ndx. (9.44)
Таким образом, надежность я-звенной цепи равна Rn-
9.3.2.1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Rn
Покажем теперь, что надежность /г-звенной цепи не
меньше, чем надежность отдельного звена, возведенная
в п-ю степень, т. е. Rtn.
Для большей ясности будем писать не Rh a Rx\ это
в самом деле так, поскольку при п= 1 (9.44) надежность
одного звена принимает вид (9.36). Таким образом,
нужно показать, что
Rn>K- (9-45)
Рассмотрим выражение
+ v{\-F{x)f+myg{x)dx, (9.46)
которое, очевидно, неотрицательно; в этом выражении
и и v —параметры, не зависимые от переменной интег-
интегрирования, v—натуральное число.
300

Если раскроем квадрат суммы, стоящей в фигурных
скобках, получим
И {и, v) = u2R^x + 2uvRv + a2/?v+1 > 0. (9.47)
Из теории квадратичных форм известно, что
#v_!#v+1>#!, (9.48)
откуда
R0R2 > R2i (9.49)
или, поскольку Rq=1 [это следует из (9.44), если потре-
потребовать, чтобы эта формула выполнялась и при /1 = 0],
R2>R\. (9.50)
Таким образом, требуемое неравенство справедливо при
п=2. Предположим теперь, что (9.45) справедливо при
некотором /г, 'и -покажем, что
1 • (9.51)
Это даст возможность сделать вывод, что
т. е. (9.45) будет установлено для любого п. Это обыч-
обычный метод математической индукции.
Положим в (9.48) v=l, 2,...,п. Тогда получим не-
неравенства:
#2</?2 v=1
3 2 4 (9.52)
*i
301

Почленно перемножив эти неравенства, получив
/??/?*.../?*< R?l R\ R\... R2n_xRnRn+1 (9.53)
ИЛИ
R,Rn<Rn^ ' (9.54)
Так как по предположению справедливо (9.45), мы будем
иметь
RARnl)<R1Rn<Rn+1 (9.55)
или
+х (9.56)
По индукции (9.45) справедливо при любых п.
Легко видеть, что верхний предел Rn равен Ru по-
поскольку подынтегральное выражение [1—F(-)]g(-)
в интеграле (9.36) всегда больше или равно подынтег-
подынтегральному выражению (9.44), а именно [l—F( • )]ng( • )•
Таким образом,
(9.57)
9.3.2.2. ДОСТИЖЕНИЕ ВЕРХНЕГО И НИЖНЕГО
ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ Rn
Верхнее и нижнее предельные значения Rn, задавае-
задаваемые формулой (9.57), достигаются при выполнении сле-
следующих свойств цепи:
1. Верхний предел Rn=Ri. Пусть звенья обладают
одинаковой прочностью, т. е.
°' X<S> (9.58)
1, ^
имеет место тогда, когда стандартное отклонение проч-
прочности звеньев равно нулю, так что вся вероятность со-
сосредоточена 'в точке x = s. )B этом случае (9.44) дает
(9.59)
Это выражение представляет вероятность того, что уси-
усилие не превзойдет уровня 5. Поскольку первая часть
302

(9.59) не зависит от я, надежность д-звенной цепи, оче-
очевидно, равна надежности каждого из (одинаково проч-
прочных) звеньев*.
2. Нижний предел Rn=Rxn. Чтобы получить это пре-
предельное значение /?п, проинтегрируем (9.44) по частям:
оо
?(*)[! —F{x)]n'1f(x)dx. (9.60)
Предположим теперь, что распределение усилия G(x)
сосредоточено в одной точке x=s.
В этом случае
R =#f[l F(x)]n~1f (x)dx (9.61)
или
Rn = [l—F(s)]n. (9.62)
Так как в случае, когда усилие может принимать
лишь одно значение, вероятность того, что прочность от-
отдельного звена больше приложенного усилия, будет
равна 1—F(s)y надежность цепи будет равна п-и сте-
степени надежности звена **.
9.3.3. Исследование прочности
Примем предположение, что f(x) и g(x) являются
нормальными плотностями вероятности с математиче-
математическими ожиданиями ти т2 и стандартными отклонения-
отклонениями 01 И G2.
Коль скоро тх и т2 велики по отношению к ох и о2,
то можно теоретически допустить отрицательные значе-
значения прочностей и усилий: все равно они будут иметь
пренебрежимо малые вероятности. Случайная величина 1 =
* Для равенства Rn = Ri не обязательно, чтобы F (х) имела вид
(9.58). Важно лишь то, чтобы функция случайной величины Y
вида Р /Yn < У} Р|КП>У} была с вероятностью 1 равна 0. (Прим.
перев.)
** Этот предел достигается также в более общем случае,
когда функция Я|ГП <У}Я{ГП> Г} случайной величиной Yn
С вероятностью 1 равна 0. (Прим. перев.)
303

= Х — Y также будет нормально-распределенной со сред-
средним тх— т2 и стандартным отклонением (о2{ -\-<з\ I/2. Нам
нужно найти
Имеем
[-4
dt. (9.63)
После замены переменной находим
(9.64)
где Ф — нормированная нормальная функция распределе-
распределения (§ 6.10).
Если Ш\ больше т2 и разность между ними неогра-
неограниченно возрастает, а о\ и в2 остаются фиксирован-
фиксированными, то Ф->1; это соответствует той физической
картине, когда при
средней прочности,
большой по сравнению
^определение усилия qq 1средним Русилием,
Распределение прочности надежность звена бу-
будет высокой. Данная
ситуация показана на
рис. 9.3. Чтобы вычис-
вычислить надежность 2-,
3-, ... /г-звенной цепи
при нормальных плот-
плотностях f(x) иg(#), тре-
требуется применение численного интегрирования.
Следующие упражнения связаны с задачей вычис-
вычисления надежности звена и иллюстрируют некоторые
практические аспекты модели прочности.
Пример. Произведено п испытаний на срабатывание твердо-
твердотопливного ракетного двигателя (ТРД), в каждом из которых за-
1яерялось максимальное значение давления в камере сгорания.
Разрывное давление для камер ракет, как известно, подчиняется
нормальному закону со средним тх и стандартным отклонением с1#
304
Рис. 9.3.

Найдем оценку и нижний доверительный предел вероятности того,
что' двигатель не взорвется, предположив следующее: максималь-
максимальное давление в камере сгорания распределено по нормальному
закону.
Пусть Xt Y — случайные величины, обозначающие соответ-
соответственно разрывное давление и максимальное давление в камере.
Нам необходимо получить оценку Rly заданной в виде (9.64).
Относительно распределения X известно, что оно (ть ох) нор-
нормально; параметры (т2, <*2) нормального распределения У не из-
известны, и их нужно оценить. Оценка Rt получится, когда мы под-
подставим выборочные среднее у и дисперсию s2, найденные ho наблю-
наблюденным значениям максимального давления в (9.64):
Ri=<P
— у
Чтобы найти нижний доверительный предел для Ru сначала вы-
вычислим дисперсию Ri приближенным методом (см. § 8.4). Заметим,
что у и s2 независимы, а стало быть, не коррелировали:
где Ф =
4
—нормированная нормальная плотность
вероятности.
А
Численная оценка var Rt
А
t, которую мы обозначим (var Rl)
или Vt может быть получена с помощью замены т2, сг2 во всех
случаях их оценками у и s. Тогда согласно методу п. 7.4.4 при-
приближенный нижний доверительный предел R^, соответствующий
доверительному уровню у, имеет вид
Так, при т1 = 800, ^ = 100, п = 20, у = 450, s = 25, Y = 0,90
имеем
Rt = Ф C,3955) ?ё 0,999658,
20—1113
_@,0012512J | 1
20
1 +
/100ч*
{25)
800 —450\2
-25—)
2 1+ -ое-
=б,1ббхю-8,
-305

откуда
V1/2^ 0,0002483.
Следовательно,
RL = 0,999658 — 1,282 @,0002483) = 0,99934.
Упражнение. Решить предыдущий пример с тем отличием,
что не максимальные, а разрывные давления составляют случайную
выборку объема т.
9.4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
Параллельной системой называется система, состоя-
состоящая из п подсистем и построенная таким образом, что
ее отказ происходит лишь в случае отказа всех подси-
подсистем, т. е. система исправна, если исправна хотя бы одна
подсистема. Легко показать, что все свойства, установ-
установленные в § 9.2 для последовательных систем, можно при
помощи двойственности .переформулировать как свойства
параллельных систем. Для этого нужно заменить Sj на
Fj, S на F и наоборот; однако следует заметить, что фор-
формула, дающая выражение надежности последовательной
системы, при параллельной системе будет давать нена-
ненадежность.
Упражнение 1. Сформулировать соответствующие свой-
свойства надежности параллельных систем, находящихся в двойствен-
двойственном отношении к формулам § 9.2.
Упражнение 2. Показать, что нижний доверительный пре-
предел надежности независимой параллельной системы можно найти,
вычислив
k
затем определив «эквивалентное число отказов" по формуле
F = tfm(l — R)t (9.66)
где Nm — минимальное из Nj9 и найдя доверительный предел по
рис. П.1— П.5 (или непосредственно по методу приложения 8А).
Упражнение 3. Показать, что
305

^ йи&ний доверительный предел надёжности независимых йараЛ*
дельных систем с доверительным уровнем
если CN(fj, Yj) — верхний доверительный предел ненадежности
;-й подсистемы, построенный по fj отказам из Nj испытаний
и доверительному уровню Yj.
Свойство .параллельных систем часто выражается ин-
инженерным понятием резервирование (избыточность).по-
(избыточность).поскольку в системе имеются резервные элементы, обес-
обеспечивающие ее исправную работу в условиях, когда
отказывает один или несколько основных элементов.
Следующий пример резервирования относится к тому
случаю, когда все элементы работают, но для успешного
функционирования системы требуется исправная работа
только некоторых из них. Мерой резервирования может
служить процентное отношение количества элементов, ко-
которые могут выполнять определенную функцию, к тре-
требуемому количеству элементов. В п. 9.4.1, 9.4.2 и 9.4.3
приведены примеры разнообразных применений резер-
резервирования.
9.4.1. Пример частично параллельной системы
Система .воспламенения ракетного двигателя вклю-
включает п отдельных воспламенителей, соединенных -парал-
-параллельно. Для уменьшения вероятности отказа конструк-
конструкция системы устроена таким образом, что даже при
отказе нескольких воспламенителей воспламенение про-
происходит. Однако из-за ограниченных габаритов системы
каждый воспламенитель сам по себе «мал», так что его
энергия может оказаться недостаточной для воспла-
воспламенения горючего. В действительности будет «акая-то
вероятность Р&<1 того, что при k исправных воспламе-
воспламенителях произойдет воспламенение горючего.
Пусть q обозначает вероятность исправной работы
отдельного воспламенителя; тогда вероятность Qk иметь
k исправных воспламенителей из общего числа п за-
записывается, как
Qk = f ^)qkpn'ki (9.67)
20* 307

где p=i—q. Следовательно, вероятность к того, что
произойдет -воспламенение, будет равна
Ль (9.68)
¦где Qh определены формулой (9.67).
Можно считать, что вероятности Ри возрастают по k.
Действительно, физически очевидно, что вероятность
воспламенения при k+\ воспламенителях больше, чем
при к.
Можно принять частное предположение, что / вос-
воспламенителей оказывается достаточным для воспламе-
воспламенения горючего, в то время как при исправной работе
/—1 воспламенителя оно никогда не происходит. В этом
частном случае
Тогда формула (9.68) примет вид
hpn~K (9J0)
Таким образом, безотказная работа системы эквива-
эквивалентна событию, состоящему в том, что исправны по
крайней мере / подсистем. При /= 1 система будет пол-
полностью параллельной, в остальных случаях — частично
параллельной.
На рис. 9.4 .представлены значения R, взятые из
(9.70), при л = 8 и / = 3; 4; 5; 6; 7; 8, где q изменяется
от 0,50 до 0,999. Например, если известно, что / = 4, а
надежность отдельного воспламенителя составляет q —
= 0,88, то надежность системы будет равна 0,999.
В общем случае, когда справедлива формула (9.68),
значения Р&. необходимо определять по результатам ис-
испытаний. Подробное рассмотрение наиболее рациональ-
рациональных способов организации подобного опыта выходит за
рамки настоящего параграфа; однако логично пред-
представить себе ряд серий испытаний системы с п воспла-
воспламенителями, где, скажем, в /-й серии ставится ]<п
308

исправных боспламенителей. Доля успешных воспламе-
воспламенителей используется для оценки Ру, после этого прово-
проводятся подобные же испытания, но уже с другим / и т. д.
Логично также применить метод «вверх и вниз». Важно
0,90
9.95
s
5 0,98
s
5
* 0,995
\
\ 0,998
\ 0,999
I 0.9995
0,9998
0f99S9\
/7=7
Jh
0,999 ОМ 0,995 0J9 0,98 Ш W 0t80
Надежность отдельного босцламенителя
0,50
Рис. 9.4. Надежность батареи из восьми воспламенителей как
функция надежности отдельного воспламенителя при условии,
что для успешного действия необходимо и достаточно наличие
хотя бы / исправных воспламенителей.
также заметить следующее. Мы предположили, что со-
событие «работает 1 воспламенитель» эквивалентно тому,
что его цепь не разорвана. Однако с физической точки
зрения возможно и следующее: когда работает достаточ-
достаточное число воспламенителей, отказавший воспламенитель
благодаря своему расположению вблизи работающих
может также сработать; тогда его энергия добавится
к энергии остальных. Здесь мы сталкиваемся с гсриме-
309

fibu возможности «взаимодействий, повышающего на-
надежность» (§ 4.6).
В этом случае значение Qh будет большим, чем зна-
значение, определяемое формулой (9.67). Более того, в
только что описанном способе испытаний эффект взаи-
взаимодействия можно выявить, преднамеренно поставив на
испытания исправные воспламенители с разорванной
цепью.
Упражнение. Рассмотрим систему, состоящую из двух
подсистем. Пусть х обозначает время безотказной работы системы,
т, и т2 — время наработки до отказов подсистем. Показать, что:
а) система будет последовательной тогда и только тогда,
когда T = min(i:b т2); б) система будет параллельной тогда и
только тогда, когда % = max (tj, z2).
Ответ, а) Событие т>^ означает безотказную работу си-
системы, когда t — некоторое требуемое время работы. Ввиду того,
что события [z > t], [min^i, ^2)>^]и [(*i >0 П (Х2 >0] эквива-
эквивалентны (первые два по определению, последнее же эквивалентно
им в силу простого алгебраического преобразования),
Ответ на пункт б) получается подобным же путем.
9.4.1.1. ПРИМЕР НЕНАГРУЖЕННОГО РЕЗЕРВА
Рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем.
Сначала включается 1-я подсистема, а 2-я находится
в запасе (в ненагруженном резерве). Если за время t
(t — необходимое время работы) 1-я подсистема отка-
откажет, то немедленно включается 2-я подсистема; в про-
противном случае она вообще не понадобится. Система от-
отказывает только в том случае, когда вторая подсистема
также откажет за время t (где t отсчитывается с мо-
момента включения 1-й подсистемы). Предположим, что
наработки до отказов х\ и Тг 1-й и 2-й подсистем — неза-
независимые случайные величины; другими словами, ве-
вероятность того, что 2-я подсистема проработает фикси-
фиксированное время, не изменится, если станет известным
время наработки первой системы. Чтобы определить на-
надежность системы, заметим следующее. Система отка-
отказывает в том и только в том случае, когда происходят
два события (u<X\<u+du) и Тг<^—и), где и — любое
фиксированное число между 0 и t. Вероятность первого
события равна fi(u)duy т. е. элементу вероятности слу-
случайной величины ti. Второе событие имеет вероятность
310

F2{t—и), где F2() —функция распределения т2. Ввиду
-фго что ti и t2 независимы, вероятность совместного
осуществления событий равна произведению их вероят-
вероятностей, т. е. fi(u)du-F2(t-^u).
Отказ может наступить в][любой момент и от 0 до t.
При различных и события (и < тх < и -\- du) П Сь <С t — #)
взаимно-несовместны; следовательно, вероятность отказа
системы получим, просуммировав повеем возможным значе-
значениям и. Это осуществляется при помощи интегрирования
по и от 0 до t, т. е.
t
Лотказа системы) = J F2 (t — й) f t (п) du.
Последнее выражение представляет вероятность собы-
события ti4;t2</, которое, очевидно, эквивалентно событию
отказа системы. Таким образом, если х обозначает на-
наработку до отказа системы, то
Заметим, что надежность подобной системы не мо-
может быть меньше надежности обычной параллельной
системы, поскольку для последней должно быть %\<t
и Тг</, но событие Ti+t2<tf, более узкое, чем событие
[(i\<t) fl (t2<^)]. Следовательно, вероятность первого
события меньше или равна вероятности последнего собы-
события, т. е. вероятность отказа системы с ненагруженным
резервом не больше, -чем вероятность отказа параллель-
параллельной системы.
Упражнение. В дублированной системе с ненагруженным
резервом наработки до отказа т,, т2 имеют показательные рас-
распределения с параметрами Хи Л2. Вычислить вероятность того,
что система проработает по меньшей мере время t (см. [10]).
9.4.2. Пример смешанной параллельно-последовательной
системы
В следующем примере рассматривается конструиро-
конструирование оптимального контура и комбинации датчиков
давления, используемых в датчике критического состоя-
состояния. Когда обнаруживается значительный перепад дав-
давления (в топливопроводе жидкотопливного ракетного дви-
двигателя, датчик реагирует на это, и переключатель раз-
размыкает цепь, с которой он связан.
311

Виды схем
ЧБ-ИЪ
П
Л.
Р2Ь = а [1 — A— ^J] + A — а) ^
= а^ B
=«7ж B -
- а) ^ =
/77
Рис. 9.5.
312

Датчик может отказывать в двух случаях:
1) при значительном перепаде давления цепь не раз-
размыкается (существует критическое состояние, но оно не
обнаруживается);
2) при отсутствии значительного перепада давления
цепь размыкается (критического состояния нет, но оши-
ошибочно считается, что оно имеется).
«В общем, датчик критического состояния отказывает
тогда, когда он либо не реагирует на существующее кри-
критическое состояние, либо ошибочно отмечает наличие
критического состояния, когда его нет. Если критическое
состояние отмечено (безразлично, истинное оно или лож-
ложное), т. е. цепь разомкнута, система дает сигнал задерж-
задержки пуска. Таким образом, отказ индивидуального датчи-
датчика давления может проявиться в том, что при наличии
критического состояния цепь не размыкается или при
отсутствии размыкается. Однако, если в цепи имеются
другие переключатели, отказ одного из них может и не
привести к отказу системы.
Иллюстрацией этого служит рис. 9.5, на котором
представлены всевозможные цепи, составленные при по-
помощи трех датчиков давления с переключателями; там
же показаны вероятности отказа той или иной цепи. На
рисунке также показаны общая /г-звенная последова-
последовательная схема и лг-звенная параллельная схема. Чтобы
вычислить (соответствующие вероятности отказа для каж-
каждой схемы, обозначим через а вероятность критического
состояния, q\ — вероятность отказа отдельного датчика
давления при критическом состоянии и через q% — ве-
вероятность отказа отдельного датчика при отсутствии
критического состояния.
Рассмотрим, например, схему Ъс.
Прежде всего заметим, что отказ может происходить
двумя несовместными способами:
1. Когда имеется критическое состояние (с вероят-
вероятностью а) и цепь остается замкнутой (незамеченное кри-
критическое состояние), если 1, 2, 3-й датчики отказали;
1-й и 2-й ошибочно не разомкнули цепи, а 3-й разомкнул;
1-й и 3-й не разомкнули, а 2-й разомкнул. Эти события несо-
несовместны, а их вероятности равны соответственно q\ ,
<7j(l—gO, gf(l—qj. Значит, вероятность незамеченного
критического состояния будет равна a [q\ -\-2q\(\— qt)].
313

2. Если критического состояния нет, а цепь разомк-
разомкнута (неправильная задержка пуска). Это событие сво-
сводится к осуществлению одного из пяти несовместных со-
событий: 1, 2 и 3-й датчики разомкнуты; 1-й и 2-й разо-
разомкнуты, а 3-й замкнут; 1-й и 3-й разомкнуты, а 2-й за-
замкнут; 2-й и 3-й разомкнуты, а 1-й замкнут; 1-й разо-
разомкнут, а 2-й и 3-й замкнуты. Соответствующие вероят-
вероятности составляют
я\ , я\ A - Яш), я\ О - Яш), я\ О - Яш), Я, A - ЯгУ.
Таким образом, вероятность ошибочной задержки пуска
составит
A - a) [q\ +3,7* A - q2) + qt A - q$\.
Следовательно, ввиду того что задержка и отсутст-
отсутствие задержки — события несовместные,
Я8С = a [fi +2q] (I - </,)] + A - а) [q\ +3^ A - <7a
или после упрощения
что соответствует рис. 9.5. Другие вероятности находят-
находятся подобным же образом. Заметим, что схема Зс экви-
эквивалентна схеме с двумя параллельными переключате-
переключателями 26. Стало быть, схема Ъс не дает преимуществ по
сравнению со схемой 26, поскольку для последней тре-
требуется меньшее число переключателей.
Если сравнить только схемы 1, 2а и 26, то легко ви-
видеть, что условие
равносильно неравенству
^Г^A-^) (9.71)
или
[^ ]'/2, (9.72)
q2 < 0,5 - [0,25 --1-^A-
314

Бели положить а = 0,Ю (это значение принимается во
всех последующих вычислениях), то получим области
оптимальности схем 2а и 26, как показано на рис. 9.6.
Среди схем 1, 2а, 26 первая нигде не оптимальна; соот-
1.00
0,99
0,98
0,97
0,96
0,03
0,02
0,01
\
ч
> <
/
<
> -^
> <
Р <Р
N
\
0,2
ОЛ
0,6
1,0
Рис. 9.6. Области оптимальности схем с двумя переключате-
переключателями: последовательной Bа) и параллельной BЬ)
(см. табл. 9.1).
ветствующая ей вероятность отказа больше или равна
вероятности отказа схем 2а или 26 во всей области
На рис. 9.6 показана вся область, где либо 2а, либо
26 дает минимальную вероятность отказа; однако наи-
наибольший интерес представляет область ^ < 1, q2 < 1:
на практике следует ожидать, что qx и q2 малы. В соот-
315

ветствии с этим рассмотрим только асимптотические
выражения, получаемые из (9.71) при цхл #2->0:
±-qv (9.73)
Это будет условием неравенства Р2а<Р2ъ-
На рис. 9.6 показана также линейная аппроксимация
(9.73) точной области оптимальности.
В случае трехзвенных схем необходимо сравнить
схемы 2а, 2Ь, За, 36, Зс, 3d. Это можно сделать так же,
как и выше, приняв, что Рга меньше или равна каждой
из вероятностей Р2а, Ръъ, Ръъ, ^зс, Ры и т. д.; <при этом
всякий раз следует удерживать лишь низшие степени
<7i и #2- Когда это будет проделано для каждой из шести
схем, мы получим оптимальные области, показанные на
рис. 9.7 (масштаб не отмечен). На рисунке видно, что
из всех рассмотренных схем только трехзвенные явля-
являются оптимальными в неперекрывающихся секторах, по-
покрывающих всю область*.
Рассмотрим численный пример. Пусть а = 0,10; qi =
= 0,01; #2 = 0,001. Тогда имеем
t-=ts7To- (°'01>2 ^ < таш@Л 0)*
откуда 0,0000111 <#2<0,00111, так что (#1,92) лежит
- в области, где оптимальной будет .схема Зс.
Из рис. 9.5 находим
Я3с = 0,10 @,0001) A,99)+ 0,90 @,0001) X
ХA +0,001 —0,000001)^0,0000199 + 0,0009009) =
= 0,0009208.
Значения вероятностей для других схем будут со-
составлять:
Я1 = 0,0019; Р2а = 0,0018; P2b = 0,0020;
Рза = 0,0027; Ль = 0,0030; Pzd = 0,0010.
Все они больше, чем Рзс.
* Этот и предыдущие результаты показывают, что чем больше
переключателей в цепи, тем более оптимальной становится схема.
Однако автор этого не проверял. Если это действительно так, то
для отыскания действительного оптимума, о котором идет речь, сле-
следует учесть дополнительное условие — ограниченность объема.
316

В силу того, что схема Ъе равносильна схеме из двух
параллельно соединенных 'переключателей, следует ожи-
Рис. 9.7. Области оптимальности схем с тремя
переключателями (см. табл. 9.1).
дать, что при добавлении дополнительных звеньев (при
четырех и большем количестве переключателей) улуч-
улучшения не будет.
Так как оптимальная схема зависит' от значений q\
и q2, возникает вопрос: как быть, если эти параметры
определены неточно? Если, скажем, оценка (<7ь #2) ле-
лежит в области Зс, в то время как истинное значение
(Чи Ч2)—в области 3d (рис. 9.7), то выбранная схема
оптимальной не будет. Эта задача не столь сложна, как
это может показаться на первый взгляд: ведь мини-
минимальная вероятность отказа при переходе через грани-
границы областей изменяется непрерывно. Значит, и ошибка
будет при фиксированном а непрерывной функцией
«расстояния» между истинным (#i, q2) и его оценкой.
Итак, задача целиком сводится к определению доста-
достаточного объема выборки и количества испытаний дат-
датчиков давления с переключателями, чтобы обеспечить
заданную точность оценок вероятностей отказа.
Упражнение I. Проверить утверждение, что минималь-
минимальная вероятность отказа непрерывна при переходе через границы
областей, показанных на рис. 9.7.
Упражнение 2. Исследовать влияние дополнительного
ограничения: отношение частоты ложных задержек пусков к ча-
частоте необнаруженного критического состояния должно быть
больше, чем Ю: I,
317

9.4.3. Пример исследования надежности проекта
Данный пример относится к электронной системе,
однако то же можно применить и в оборудовании дру-
других видов. Электронное оборудование выбрано для ил-
иллюстрации потому, что описанный вид предсказания
обычно используется на практике, а кроме того, здесь
можно ввести понятие условий применения деталей. Хо-
Хотя и при других видах оборудования не следует пре-
пренебрегать влиянием на надежность условий применения
деталей, обычно только при электронном и электроме-
электромеханическом оборудовании представляется возможным
собирать достаточную информацию и получать из нее
обоснованные аналитические зависимости. Дело в том,
что элементы оборудования неэлектронного типа по
большей части вырабатываются специально для кон-
конкретной системы с ее функциональной схемой и техни-
техническими условиями. В частности, это турбины, камеры
сгорания, газогенераторы и другие элементы жидкост-
жидкостных ракетных двигателей, а в твердотопливных — кор-
корпус, изолирующий слой, сопло и т. п. В этих и подобных
примерах информация об отказах элементов обычно
весьма ограниченна и относится лишь к данной конкрет-
конкретной системе. Следовательно, ее нельзя применять к
другим системам данного типа. С другой стороны, элек-
электронные детали очень часто являются стандартными,
серийными, и в системе обычно встречается большое
количество однотипного оборудования.
Резервирование, которое будет рассмотрено не-
несколько 'ниже, ни в какой мере не является исключи-
исключительным для электронного оборудования и может быть
применено при соответствующих условиях к исследо-
исследованию надежности проектов оборудования любых ви-
видов.
9.4.3.1. УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ
В большинстве случаев электронные системы и мон-
тажи состоят из совокупности электронных и электроме-
электромеханических деталей с известными интенсивностями от-
отказов. Факторами, определяющими эффект, получаемый
при сборке этих деталей в систему, являются: 1) на-
318

дежностная структура оборудования и 2) условия при-
применения деталей.
Существует большой опыт использования и большой
объем информации об отказах; все это обобщено и та-
табулировано в [5, 6].
Мы знаем, что интенсивность отказов детали при
стандартном электрическом режиме и в стандартных
внешних условиях, т. е. в лаборатории, бывает коррели-
коррелированной с интенсивностью отказов при другом элек-
электрическом режиме и при других внешних условиях. По-
Подобную корреляцию можно выразить посредством мно-
множителей, которые иногда называют коэффициентами ус-
условий применения и обозначают Кл. Для скорректиро-
вания интенсивности отказов, чтобы учесть электриче-
электрический режим и внешние условия применения той или
иной детали, следует умножить эту интенсивность на
Ка- Множители Ка, которые могут быть больше или
меньше единицы, также подробно табулированы (см.
список литературы к главе). Таким образом, прежде чем
использовать численное значение интенсивности отказов
той или иной детали, необходимо предварительно найти
условия ее применения. (Последнее можно осуществить
после того, как будет построен макет оборудования на
основании самой лучшей техники сборки. Для каждой
детали измеряются локальные условия, т. е. внутренние
условия, свойственные монтажу системы, особенно тем-
температура и вибрация. Таким образом, натурный макет
или монтаж элементов играет большую роль при вос-
воссоздании внутренних условий. Уровень второго факто-
фактора— электрической нагрузки — обычно становится из-
известным, если рассмотреть контур и исследовать функ-
функцию элемента во всем изделии.
Следует также принять во внимание внешние усло-
условия. Они определяются требованиями, предъявляемыми
к использованию системы. Под этим подразумевается,
что данное оборудование может использоваться в раз-
различных внешних условиях: в составе стационарного на-
наземного оборудования; оборудования снаряда при ста-
статических испытаниях; оборудования снаряда в полете;
оборудования спутника и т. д. Множители, служащие
приведению в соответствие этих последних видов внеш-
внешних условий к стандартным внешним условиям, назы-
называются коэффициентами вида использования и обозна-
319

чаются Кор- Значения Кор для различных условий
использования приведены в [5]. В качестве примера пред-
предполагается, что общее воздействие условий полета сна-
снаряда на оборудование характеризуется в 1000 раз бо-
более жесткими условиями (/СОр=Ю00) по сравнению
с однотипным оборудованием, используемым в обычной
лабораторной вычислительной машине. Если же его
поставить в определенное место в отсеке между ступе-
ступенями, например, непосредственно за соплом, то Кор бу-
будет еще большим.
Таким образом, чтобы установить интенсивность от-
отказов определенной детали, ожидаемую при ее исполь-
использовании в данной системе, необходимо осуществить
следующие этапы исследования.
1. Составить перечень деталей, указывая их назва-
названия 'и количество.
2. Определить стандартные интенсивности отказов.
3. Найти множители Ка при помощи соответствую-
соответствующего расчета, учитывающего уровни их электрической
нагрузки и действующих условий.
4. Выбрать подходящее значение множителя Кор-
5. Перемножить величины п. 2, 3, 4, в резуль-
результате чего получится интенсивность отказов при исполь-
использовании. Это и будет ожидаемой интенсивностью отказов
в конкретной части системы при данной схеме и данном
использовании системы.
Та же процедура осуществляется для всех частей
системы. Если детали данного вида применяются в си-
системе неоднократно, то указанную процедуру следует
проделывать каждый раз.
Часто в электронном оборудовании при предполо-
предположении о показательном распределении времени безот-
безотказной работы и отсутствии какого-либо резервирова-
резервирования надежность оценивают почти непосредственно. Это
можно сделать, сложив интенсивности отказов при ис-
использовании, соответствующие всем деталям; в резуль-
результате получится интенсивность отказов системы, из ко-
которой очевидным образом находится оценка надежно-
надежности (см. § 8.1). В приводимом примере (табл. 9.1)
дается иллюстрация данной методики: надежность инди-
индивидуального элемента (контрольного контура солнеч-
солнечного элемента) оценивается на основании интенсивно-
320

стей отказов его деталей. Тем не менее эту простую
методику невозможно применить, если оговоренные ус-
условия в действительности не выполнены; тогда следует
использовать только «укороченный» метод. «Общий»
метод оценки надежности системы состоит в использо-
использовании надежностей составных частей в соответствии
с надежностной структурой системы, учитывающей
эффект резервирования (избыточности); этот вопрос
будет рассмотрен в следующем пункте! Если оконча-
окончательная оценка покажет1, что общая надежность не удов-
удовлетворяет заданному требованию, можно применить ряд
мер, обеспечивающих повышение надежности. Так, ис-
используют более качественные детали, которые обладают
большей прочностью (т. е. меньшими значениями ко-
коэффициентов условий применения); можно также усо-
усовершенствовать монтаж, улучшив локальные условия;
наконец, можно применить резервирование.
9.4.3.2. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
Понятие резервирования легко уяснить себе при по-
помощи схематического представления (рис. 9.5, 9.9,
9.10 и 9.11); эффект резервирования виден из соответ-
Рис. 9.8. Простая последовательная система (резервирование отсут-
отсутствует). Структурная схема надежности.
Формула надежности
Rs = R1R2 • • • Rn
или R8 = Rn, если все Ri = R.
ствующих формул надежности. Важно заметить, что как
в выкладках этого пункта, так и в примере всей схемы
надежности основываются на независимых последова-
последовательных и параллельных системах. На рис. 9.8 и 9.9 по-
показаны схемы, которые рассмотрены в § 9.2 и 9.4.
Рис. 9.10 и 9.11 представляют непосредственное обоб-
обобщение первых двух моделей рис. 9.8 и 9.9. Предлагаем
читателю выписать формулы, соответствующие рис. 9.10
и 9.11, непосредственно по формулам, связанным
с рис. 9.8 и 9.9.
21-1113
321

Формулы надежности можно также получить непо-
непосредственно из схем надежностей структуры, использо-
использовав знаки пересечения п и объединения U (п. 5.2.1).
Так, по рис. 9.8. имеем
успех системы = [успех CJ щ [успех CJ U... п [успех Сп],
Rs = Р {[успех CJ n [успех С2][\...п [успех Сп]}
или, что то же, Rs = RXR2... Rn.
к*
Рис. 9.9. Простая параллельная
система с k—Л резервными элемен-
элементами.
Формула надежности
R> =1-A ~ Ri) A-Я.)... A-Я*)
или
#з=1— A— R)h, если все Ri=R.
Читатель может мысленно представить себе рис. 9.10,
как рис. 9.9, где каждый из элементов Си С2,..., Ck за-
заменен последовательной системой элементов (рис. 9.8);
после этого формула надежности становится непосред-
непосредственно очевидной.
В случае, показанном на рис. 9.9:
успех системы = [успех С,] U (успех С2] U...
...U[успех Cft];
/?*=/>{ [успех CJ n [успех С2] п • •. п[успехСА] } =
= 1 — Р {[успех Сх\ п [успех С2] П • • • П [успех Cft]} =
—
или
или
или
Успех С,
«2
Успех С2
К*
Успех СА
= 1 — Р [успех С,] Р [успех С2)...Р [успех Ck]
или
Rs = 1 — A _ Rt) (I - Rt)... A - Rh).
322

Рис. 9.11 можно представить себе, как рис. 9.8, где
каждый элемент (Сь С2,..., Сп) заменен параллельной
системой элементов (рис. 9.9); снова отсюда непосредст-
непосредственно получается вид формулы надежности.
Из приведенных примеров формул надежности (рис.
9.8—9.11) видно, что значение Rs теоретически может
быть изменено посредством выбора количества элемен-
элементов и способа их соединения. Прежде всего оказывает-
оказывается, что Rs можно заставить сколько угодно приблизить-
приблизиться к 1, просто взяв достаточно большое &. Однако обычно
этому препятствуют реальные условия. Примером мо-
может служить ограничение объема для авиационного
оборудования.
Другая проблема возникает в связи с тем, что ис-
использование резервных элементов приводит к слож-
сложности схемы и монтажа. Кроме того, иногда
или
или
Успех С„
^21
Успех C2f
Успех Ск1
и
и
и
Успех Cf2
и
^22
с
Успех Сгг
и
Rf<2
Успех Ск2
и
Успех С1п
*2л
Успех С2п
**„
Успех Скп
(Успех
^ ( всей
\?истемы
Рис. 9.10. Последовательно-параллельная система (резервирова-
(резервирование последовательных систем). Структурная схема надежности.
Формула надежности
Rs = [1— A — R11R12 • • • Rin) О —- R2W22 • • • R2n) • • •
. .. A — Rk \Rk2 •.. Rkn)]
или
или
21*
R8= 1 —A—/?i#8.. -Rn)k, если Rij = Rh
Rs == i — (i — Rn)k} если все д4j = R,
323

мо ввести специальные элементы, выявляющие отказы и
осуществляющие переключение с отказавших элементов
на резервные. Переключающие элементы также обла-
обладают конечной надежностью; при выводе формул для
надежности ее следует учитывать.
Успех С„
или
п21
или
Успех Cki
и
—
'Лп
УспехCf2
Успех С2г
Успех Ск2
и
и
I—УспехС1п
УспехС2л
Успех Скп
Рис. 9.11. Параллельно-последовательная система (поэлементное ре-
резервирование).
Формула надежности
R8 = [1 - A - Я») A - Я«) ..Л1- Rhi)] X
X [1 - A - Я») A - #22)... A - Ям)]...
... [1 - A - Rln) A - R2n).. /A - Я*„)]
или
я. = п-о-яо*] [1-о-:«¦)*•-•[!-о-«п)*ь
если Rir = Я^;
если все Rij = Rj, то
Только что рассмотренные четыре основные схемы
надежности—это наиболее простые из тех, которые
встречаются в практике. В п. 9.4.1 уже встречался при-
пример частично параллельной системы; при этом легко
обнаружилось, что данная схема может быть включена
в примеры рис. 9.10 и 9.11. Например, если при рассмот-
рассмотрении рис. 9.10 положить, что для работы системы
необходима исправная работа по меньшей мере г из k
параллельных звеньев, то вероятность такого события
на основании (9.70) будет равна
324

*. (9-74)
коль скоро /?jj = R2j =... = #ftj.
Мы хотим показать, что вообще, и в случае более
сложных схем резервирования, формулы надежности
можно составлять на основании простых моделей, ко-
которыми мы до сих пор ограничивались. Когда имеется
в нашем распоряжении формула для расчета вероят-
вероятностей состояний системы, можно поступить следующим
образом. Выпишем последовательность или множество
операций, которые должны быть выполнены для без-
безотказной работы системы; это можно сделать гфи по-
помощи схем, подобных тем, которые показаны на рис.
9.8—9.11. Обычно большинство систем состоит из ос-
основных подсистем, соединенных последовательно; при
этом в подсистемах иногда применяется резервирование
элементов или частей. Затем подобным же образом
можно установить структуру всех более мелких подраз-
подразделений в подсистемах. Этот процесс следует продол-
продолжать до тех пор, пока еще не достигнут тот уровень
разбиения системы, при котором уже нет дискретной
связи * типа успех — отказ между отдельным элементом
и окружающими его элементами. Тогда каждой ча-
части или элементу ставится в соответствие известное или
оцененное (из наблюдений либо аналитически) значение
надежности и по методам и формулам, подобным толь-
только что описанным и проиллюстрированным на следую-
следующем примере, определяется надежность системы.
9.4.3.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ПОДСИСТЕМЫ
КОНТРОЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ КОСМИЧЕСКОГО КОРАБЛЯ**
Оборудованием, рассматриваемым в, данном примере,
является система контроля температуры, которая слу-
служит составной частью космического корабля, предназ-
* В подобных случаях зачастую наблюдается взаимодействие
элементов одного из видов, рассмотренных в § 8.7, п. 9 3 3, § 9 5 и
далее.
** Этот пример основан на неопубликованных материалах
А. С. Рида.
325

наченного для научных исследований Луны. Корабль
состоит из движущей системы, системы ориентировки,
источника энергии, системы контроля за полетом, си-
системы связи и телеметрической системы, а также под-
подсистемы контроля температуры; все они образуют по-
последовательную систему.
Назначение подсистемы контроля температуры — ог-
оградить внутреннюю аппаратуру от крайних значений
температуры, которые возникнут во время полета и по-
после посадки на Луну; требуется обеспечить нормальный
температурный режим в пределах от 40 до 75°.
Метод контроля температуры во время полета и лун-
лунного дня основан на использовании равновесия излу-
излучения, ibo время лунной ночи — на использовании хими-
химиУспех по
меньшей мере
d6yxu3mpezL
Успех по
меньшей мере
двух из трех S
Успех определен-
определенных двух L и
отказ одного L
или
успех всех трех L
Успех определен-
определенных двух S и
отказ одного 5
или
t/cnex всех mpexS
Успех
-Н всей
\системы 1
Рис. 9.12. Структурная схема надежности подсистемы контроля
температуры при работе во время полета и лунного дня.
ческого источника. Контроль эмиссии излучения осу-
осуществляется при помощи насадок, которые открываются
и перемещаются согласно программе, задаваемой си-
системой контроля.
Энергия, необходимая для этого, получается от сол-
солнечной батареи через систему контроля, которая таким
образом участвует в двух операциях. Химический источ-
источник устроен довольно просто; он активизируется, когда
температура корабля падает до определенного значения
благодаря расходу тепла во время лунной ночи.
Схема подсистемы контроля температуры состоит из
трех солнечных батарей S (каждая из них собрана из
22 солнечных элементов), трех контрольных панелей С,
трех насадок L и химического источника; соответствую-
соответствующая схема резервирования показана на рис. 9.12.
326

Для успешного осуществления температурного ре-
режима необходимо иметь успех как во время полета и
лунного дня, так и во время лунной ночи. Рассмотрим
эти две операции отдельно.
Надежность, связанная с временем полета и лунным
днем. Для нормального питавия должна работать по
меньшей мере половина из 66 солнечных элементов. Это
означает, что должно работать не менее двух контроль-
контрольных панелей С, каждая из которых последовательно
соединена с солнечной батареей 5.
Далее, безотказная работа насадки L зависит от
безотказной работы связанной .с ней цепи контрольной
панели. Таким образом, если
Rc— надежность одной цепи контрольной панели С;
RL— надежность одной насадки для контроля темпера-
температуры L;
Rsi — надежность солнечной батареи 5 при отсутствии
отказов контрольной панели;
Rs2 — надежность солнечной батареи S при одной от-
отказавшей контрольной панели,
то структурная схема всей системы контроля темпера-
температуры будет выглядеть гак, как показано на рис. 9.12.
Этот рисунок позволяет непосредственно вывести фор-
формулу надежности (9.75), если вспомнить, что когда ра-
работают всего две цепи контрольной панели, то для без-
безотказной работы системы необходима безотказная ра-
работа связанных с ними солнечных батарей. Эго можно
выразить формулой
+ ЗЯ* A -RC)[R2L A -RL) + R3L)[Rl2(l -Rs) + RsSt],
(9.75)
которую легко свести к виду
RT = R*c[3R[-2R[} [3R*Si-2/?j +
\-Rc)RlR3Si, (9.76)
где RSi и Rs находятся следующим образом.
327

Обозначим через q вероятность безотказной работы
отдельного солнечного элемента. Тогда вероятность
безотказной работы по меньшей мере г из k солнечных
элементов будет равна
(9-77)
Для вычисления Rs необходимо найти вероятность
безотказной работы по меньшей мере 33 солнечных эле-
элементов из 66, т. е.
66
Ff)(l-<7)ee-f. (9-78)
Далее, Rs равна вероятности безотказной работы 33
солнечных элементов из общего числа 44:
44
OV*1-*>"¦'• (9-79)
Было известно, что q "приблизительно равно 0,97.
Тогда Rs и Rs , вычисленные по формулам (9.78) и
(9.79), почти равны 1. В этом] случае формулу (9.76)
можно приблизительно представить, как
RT = 3/?' R\ - 2/? R\ = R*c Rl C - 2RCRL). (9.76')
Значения Rc> Rl для 90-часового полета.
Значение Rc для 90-часового полета было получено
следующим образом. Перечень составных частей, интен-
интенсивности их отказов по каждому элементу и в целом
дается в табл. 9.1 (считалось, что время безотказной ра-
работы контрольного устройства распределено по показа-
показательному закону; надежность составных частей, связан-
связанных с панелью, принята равной 1 для периода полета,
посадки на Луну и операций на лунной поверхности).
Таким образом, по табл. 9.1 для предполагаемого
значения надежности цепи контроля панели находим
Rc (90 час) = ехр [— (90) @,818 X Ю)] =
= е-о,ооо73б = 0,999264. (9.80)
328

Таблица 9.1
Схема отдельной солнечной контрольной панели
Детали
Интенсивно-
Интенсивности отказов
отдельных
элементов,
%/1 000 час
0,018
0,0036
0,0015
0,002
0,015
0,001
0,001
0,005
0,020
0,050
<0,001
0,020
0,030
Коли-
Количество
деталей
20
14
22
23
1
8
1
1
2
1
1
6
3
Общая интен-
интенсивность от-
отказов деталей
данного вида,
%/1 000 час
0,360
0,050
0,033
0,046
0,015
0,008
0,001
0,005
0,040
0,050
0
0,120
0,090
Итого: 0,818
Транзисторы
Диоды
Сопротивления:
угольные
пленочные
проволочные
Конденсаторы
Танталовые (электролитиче
ские) конденсаторы:
твердые
фольговые
Трансформаторы и дроссели
Электродвигатели
Приводы
Предохранители
Реле
На основании прошлого опыта, можно видеть, что
установившаяся оценка уровня надежности одной си-
системы насадок для контроля температуры и ее чувст-
чувствительного активатора превосходит 0,995 при времени
работы, равном 90 час. Мы будем считать эту оценку
точной, т. е.
RL (90 шс) = 0,995. (9.81)
Подставив Rc и RL в формулу (9.76'), получим для
90-часового полета
RT (при полете) = @,999264J @,995J X
X [3 — 2 @,999264) @,995)],
RT (при полете) = 0,999902. (9.82)
Значения Rc, /?l для лунного дня. Модель
надежности насадок для контроля температуры и кон-
329

троля панелей на поверхности Луны в дневное время
будет такой же, как и для случая полета. Уровень на-
надежности одной системы насадок для 15 земных дней
C60 час) на основании тех же рассуждений, что и
в случае 90-часового полета, может быть принят рав-
равным RL C60 час) =0,98; это значение весьма досто-
достоверно. Использовав ранее вычисленную интенсивность
отказов (табл. 9.1), получим
Rc = exp[— C60) @,818 XlO)]=e°-oo295 = 0,99706.
Надежность солнечных элементов, как можно показать,
для 410 час весьма мало отличается от 1, так что снова
применима приближенная модель; по формуле (9.76')
находим
RT (день) = @,99706J @,98J [3 — 2 @,99706) @,98)]
или
RT (день) = 0,99845.
(9.83)
Надежность для лунной ночи. Для функционирования
системы на протяжении лунной ночи необходимо выб-
выбрать иную модель надежности. Ночью солнечная панель
или ее насадки, предназначенные для контроля темпе-
температуры, должны быть закрыты, чтобы не происходило
утечки тепла. Согласно конструктивному исполнению,
эти два элемента работают параллельно, т. е. насадка
резервирует соответствующую солнечную панель. Если
солнечная панель и насадка из-за отказов не закроют-
закроются, то из строя выйдут также соответствующие солнеч-
солнечные батареи, поскольку они не могут выдержать тем-
либо
Успех всех
трех С
либо
Успех любых
дбух из трех С
и отказ одного С
Успех хотя бы дбух
из трех С
Успех опре-
определенного L
Успех
определенных
двухв
Rr
Успех
всей
l системы ,
Рис. 9.13и Структурная схема надежности подсистемы контроля
температуры при работе во время лунной ночи.
330

пературы лунной ночи. Следовательно, во время лунной
ночи должны быть закрыты по крайней мере две сол-
солнечные панели, в противном случае произойдет * отказ
тепловой природы, который не позволит перейти к сле-
следующей операции при наступлении дня. После того как
операция закончена, химический источник активизирует-
активизируется термостатом, когда внешняя температура падает ни-
ниже определенного уровня.
Структурная схема надежности, соответствующая
операции во время лунной ночи без химического источ-
источника, показана на рис. 9.13.
Имеем
rt (ночь)=*; [(j) < A - *Si)+*;,]+
+B) ^ о -*с) *1*5.=*г [з/$ж -эд;,]+
A - Rc) RLRl = /? + 3tfc A - Rc) RL,
если /?c, RQ «1.
Для 360 час лунной ночи, положив, как и прежде, Rc =
= 0,99706 и #L = 0,98, будем иметь
RT (ночь) = 0,99354. (9.84)
Общая ожидаемая надежность солнечных панелей и на-
насадок, предназначенных для лунных операций, равна
произведению вероятностей безотказной работы, соот-
соответствующих дневному и ночному времени:
RT (лунные день и ночь) = @,99845) @,99354),
RT (лунные день и ночь) = 0,992. (9.85)
Толчки при взлете и посадке. Накопленный опыт го-
говорит о том, что при взлете и на активном участке
траектории не замечается какой бы то ни было нена-
ненадежности солнечных панелей или насадок контроля
температуры, так что в качестве достоверной оценки
надежности за этот период можно взять 0,9999. Чщ
касается толчков при посадке, то здесь можно принять
оценку надежности в 0,999.
331

Химический источник. Химический источник пред-
представляет собой весьма простое устройство, обладающее
достаточной надежностью. Можно полагать, что с уче-
учетом возможных опасностей во время полета и посадки
надежность этого устройства будет по меньшей мере
0,995.
Оценка надежности для всей операции системы кон-
контроля температуры. Оценка надежности для всей опера-
операции получается как произведение отдельных оценок на-
надежности, соответствующих полету, дневному и ночному
времени работы солнечной контрольной панели, наса-
насадок 'и солнечных батарей, а также вероятности безот-
безотказной работы химического источника. Следовательно,
RT (для полета, лунного дня и лунной ночи) =
= @,999902) • @,992). @,9999) • @,999). @,995) = 0,986.
9.5. ИЗМЕНЧИВОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
КАК ФУНКЦИЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОДСИСТЕМ
Представляет большую важность задача нахождения
распределения вероятностей одной, а возможно, и боль-
большего числа выходных характеристик системы, завися-
зависящих от входных переменных и «передаточных функций»
подсистем. Например, сопло ракетного двигателя раз-
развивает установившуюся тягу, которая представляет со-
собой функцию в основном независимых переменных*,
давления в камере рс и площади критического сечения
сопла At\ эта функция определяется соотношением
F = CFpcAu (9.86)
где CF — коэффициент тяги.
* Строго говоря, CF является функцией от рс и Аи а также
других переменных; однако она относительно нечувствительна к их
изменению при оптимальных условиях расширения. Далее, рс яв-
является, строго говоря, функцией At в том смысле, что уровень дав-
давления в камере при установившемся режиме определяется размером
площади критического сечения, но разброс давления в камере (от
одного ракетного двигателя к другому) происходит главным обра-
образам за счет разброса скоростей потока струи или скоростей возго-
возгорания.
332

Другой пример — результирующее увеличение ско-
скорости, сообщаемой капсуле, которая должна попасть на
Луну, последней ступенью твердотопливного ракетного
двигателя. В предположении, что движение происходит
в безвоздушном пространстве и гравитация отсутствует,
в соответствующей системе единиц справедлива фор-
формула
(9.87)
Величина Isp представляет удельный импульс си-
системы топливо—сопло, Wp — вес топлива,!^ — вес метал-
металлических частей ракетного двигателя -|-вес капсулы.
Важно, чтобы увеличение скорости было достаточ-
достаточным для достижения капсулой, отделившейся от ступе-
ступени ракеты, некоторой окрестности Луны. С другой сто-
стороны, это увеличение не должно быть большим, чтобы
небольшая капсула смогла выйти на лунную орбиту.
Таким образом, последняя ступень должна сообщить
капсуле строго определенное увеличение скорости. Из-
Изменчивость или неопределенность удельного импульса
ISp и весов Wp и WM приводят к изменчивости скоро-
скорости V. Возникает задача определения величины вибра-
вибрации V как функции от известных вариаций величин /sp,
Wv и WM\ это необходимо для решения обратной зада-
задачи: какими могут быть вариации последних величин,
чтобы скорость V не выходила за допустимые пре-
пределы?
Обычные требуемые или допустимые пределы для
одного или нескольких параметров можно выразить
с помощью вероятности: мы ожидаем, что допуски бу-
будут удовлетворены с определенной вероятностью. Это
можно сделать, если предположить, что все параметры
обладают нормальным распределением. Последнее пред-
предположение, сочетаемое с методом вычисления матема-
математических ожиданий и дисперсий функций нескольких пе-
переменных, дает весьма полезный и практический под-
подход к решению рассматриваемой задачи. Рассмотрим
теперь общую теорию.
333

9.5.1. Метод вычисления средних и дисперсий функции
нескольких переменных
В последующем изложении Y будет обозначать не-
некоторую выходную характеристику, представляющую
функцию нескольких случайных величин: Х\у Х2, ..., Хп.
Таким образом,
Y = H(Xl9 *,,..., Хп). (9.88)
Средние и стандартные отклонения Xj будут обозна-
обозначаться соответственно символами Xj и Oj. Предположим
также, что между Xj возможна корреляция; p{Xif Xj) =
= Pij. Однако следует заметить, что в большинстве
встречающихся на практике случаев коэффициенты кор-
корреляции можно считать равными нулю. Во всяком слу-
случае, это будет справедливо, если Xj попарно незави-
независимы.
Математическое ожидание или среднее значение вы-
выхода Y дается приближенной формулой
7 = Н(Х19 Т2, ..., Тп). (9.89)
Эта формула будет точной, если Н представляет ли-
линейную функцию Xj, т. е.
(9.90)
где aj — постоянные. Обычно чем больше уклонение Н
от линейной функции (гиперплоскости) в области изме-
изменения Xj, тем большая ошибка получается при приме-
применении формулы (9.89). Однако если функция Н обла-
обладает первыми частными производными в окрестности
точки (Х\, X2f ..., Хп), то в этой окрестности она будет
близка к линейной функции. Если к тому же стандарт-
стандартные отклонения, а стало быть, и интервалы изменения
случайных величин Xj настолько малы, что с высокой
вероятностью эти величины будут находиться в малой
окрестности их средних, формула (9.89) будет давать
хорошее приближение. Если предположить, что в интер-
интервалах -изменения Xj существуют и ограничены частные
производные функции Я второго порядка, то для ошиб-
334

ки формулы (9.89) можно указать грубую оценку, од-
однако здесь мы не станем этого делать.
Дисперсия Y может быть получена посредством раз-
разложения _Н в ряд Тэйлора в окрестности точки (Хг,
X2i ..., Хп)- При этом следует отбросить все члены, со-
содержащие производные второго и высших порядков или
произведения более, чем двух первых производных. По-
Полученное таким образом выражение для Y — Y возво-
возводится в квадрат и затем берется математическое ожида-
ожидание с учетом того, что E(Xj — Xj) — 0. В результате
получаем формулу
Все производные в (9.91) вычислены в точке (Х1У Х2, ...
..., Хп) и при взятии математического ожидания, о кото-
котором шла речь, рассматриваются, как постоянные. Отме-
Отметим сходство формул (9.89) и (9.91) с формулами (8.15)
и (8.16). Однако в последнем случае случайные величины
Xj рассматривались как выборочные статистики, полу-
полученные по случайной выборке объема п из фиксирован-
фиксированной совокупности. В данном случае имеет смысл гово-
говорить о том, что объем выборки увеличивается.
При я, стремящемся к бесконечности, выражения, со-
соответствующие (9.89) и (9.91), становятся точными.
В настоящей задаче, напротив, п фиксировано, так
что точность формулы (9.91) зависит в некотором смыс-
смысле от «гладкости» функции Н и величины стандартных
отклонений (Tj, а также, возможно, и от моментов Xj бо-
более высоких порядков.
Упражнение 1. Вывести формулы (9.89) и (9.91), следуя
очерченному методу.
Упражнение 2. При помощи формулы (9.91) показать,
что если Y = X<}X%, то
уагУ 2 С' , м *2 , ^rcov№, Xt)
а -=гт ¦+- ол "=тг -+¦ 2по — .
X2 Х\^ ХХ
Упражнение 3. Пусть Y = X2. Найти точное значение
математического ожидания У и ошибку в процентах, которая про-
происходит от его замены значением, получаемым в формуле (9.89)
335

Пример. Пусть Yl = Hl{Xly Х2), Y2 = H2(Xly X9). Чему
равна ковариация Yt и Y2y если Хи Х2 и Х3 независимы?
Согласно определению
cov(Y1Y2) = E[Y1-Y1)(Y2-Y2)].
Имеем
откуда
Математические ожидания последних трех слагаемых обра-
обращаются в нуль, откуда получаем
(9.92)
Упражнение 4. Пусть в предыдущем примере //, и Н2
зависят только от Х%. Чему будет равен коэффициент корреля-
корреляции У, и У2?
(dH1\(dH1\2
dX) {dX)'*
1\(dH1
\i) {dXt
Ответ. HYuYi)=
^x;j > \^dXl J
одногознака>
противоположных
знаков.
336

9.5.2. Нахождение допусков
Предположим теперь, что для каждой из независи-
независимых случайных величин и выходного качества нужно
установить допуски по отношению к их номинальному
или среднему значению. Мы будем предполагать, что
все величины распределены по нормальному закону и
допуск случайной величины X сводится к указанию та-
таких значений X—а, Х + а, что
Р(Х— а<Х<Х + а) = \ -а,
где а—некоторое малое число, скажем 0,10; 0,05; 0,01
и т. д. Вероятность а для всех величин, фигурирующих
в постановке задачи, одна и та же. Таким образом, если
мы укажем допуски для величин Хи Х2, ..., Хп п Y в та-
таком виде:
±a2i ..., Хп ±aniY±by
то это будет означать, что
^Х5 + щ) = ± (9.93)
для всех Xj (аналогично и для У). Из формулы (9.93)
получаем
и, поскольку (Xj — X j)/aj обладает нормированным нор-
нормальным распределением,
где Ка/2 — уровень, превышаемый нормированной случай-
случайной величиной с вероятностью а/2. При а = 0,10; 0,05;
0,01; 0,005 и 0,001 значения /Са/2 будут равны соответ-
соответственно 1,645; 1,960; 2,576; 2,807 и 3,291 (с точностью
до трех десятичных знаков).
Формула (9.95) позволяет выражать допуски через
стандартные отклонения и стандартные отклонения че-
через допуски.
22—1113 337

Пример. Рассмотрим выражение тяги, заданное формулой
(9.86). Обычные 99%-ные допуски (а = 0,01) имеют значения:
?с = 35,2
Л, = 890,4 сж2±
(предполагается постоянным, т. е. стандартное отклонение равно
нулю).
Из этих данных находим [см. (9.94)]
аРс 0,03
0,02
По формуле (9.89) и на основании упражнения 2 п. ?9.5.1 находим,
что значение of/F составляет
у = [0,000266 + 0,000060]1/2= 0,0181.
Таким образом, допуск для тяги равен B.576) @,0181) A00%)=4>66%.
Упражнение 1. Найти максимальные допуски для диа-
диаметра горловины сопла (в дюймах), если заданы только допуски
для давления рс и тяги F, соответствующие последнему примеру.
Чему будет равен максимальный допуск для диаметра горловины,
если вместо одного сопла используется четыре одинаковых сопла?
Упражнение 2. Вернемся к примеру с последней ступенью
ракеты, рассмотренному в начале этого параграфа. По заданным
допускам увеличения скорости, удельного импульса и веса горю-
горючего вычислить максимальный допуск веса металлических частей
ракеты вместе с капсулой. В качестве исходных значений можно
принять
/.,== 290+1%,
V = 3140 ±1,5% "
(всюду предполагается, что допуски 99/о-ные).
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Tables of the cumulative binomial probability distribution.
Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1953.
2. R. J. В u e h 1 e r. Confidence intervals for the product of two
binomial parameters. J. Am. Stat. Assoc, 1953, v. 52, p. 482—493.
338

3. G. P. Steck. Upper confidence limits for the failure proba-
probability of complex networks. Sandia Corporation Research Report, 1957,
December (obtainable from OTS, Department of Commerce, Wa-
Washington 25, D. C).
4. Space technology laboratories. Inc., Report ЛЬ TR-59-0000-00756.
Tables of upper confidence limits on probability of 1, 2 and 3 compo-
component serial systems, 1959, July.
5. J. H. В о 11 m a n. Instructions and data for failure and pre-
prediction. Bell Telephone Laboratories Report, 1957, 11 October.
6. RCA technical report 59-46-1. Reliability Stress Analysis for
Electronic Equipment, 1959, 15 January.
7. A. Albert. A measure of the effort required to increase relia-
reliability. Technical Report № 43, 1958, 5 November, Applied Mathematics
and Statistics Laboratory, Stanford University, Contract
№№ бопг-2'5140 (NR 342-022).
8. Г. Крамер. Математические методы стагист.шси. Изд-во
иностранной литературы, '1948.
9. Н. S. С а г s I a w and J. С. Jaeger. Operational methods in
applied mathematics, 2d ed. Oxford University Press, 1943.
10. L. A. A r о i a n and R. H. M у е г s. Redundancy considerations
in space and satellite systems. Proc. 7th National Symposium on Re-
Reliability and Quality Control, Philadelphia, Pa., 1961, 9—11 January.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Белов Ф. И., Соловейчик Ф. С. Вопросы надежности ра-
радиоэлектронной аппаратуры. Госэнергоиздат, 1961.
Bellman R. and Dreyfus S. Dynamic programming and the
reliability of multicomponent devices. Operations Research, 1958,
v. 6, 2, April, p. 200—206.
Brown H. B. The role of specification in predicting equipment
performance. Proc. 2d National Symposium on Quality Control and
Reliability, Washington, D. C, 1956, 9—10 January, p. 133—148.
Cohen G. D. Predicting performance failure. Machine Design,
1957, v. 29, 20, 3, October, p. 106—111.
Cox D. R. and Smith W. L. On the superposition of renewal
processes. Biometrika, 1954, v. 41, p. 91—99.
Creveling C. J. Increasing the reliability of electronic equip-
equipment by the use of redundant circuits. Proc. IRE, 1956, v. 44, April,
p. 509—515.
D i T о г о М. J. Reliability criterion for constrained systems. IRE
Trans. Reliability and Quality Control, 1956, PGRQC-8, September,
p. 1—6.
Drenick R. F. The failure law of complex equipment. J. Soc.
Indust. Appl. Math., 1960, v. 8, № 4, December, p. 680—690.
Firstman, Sidney I. The use of reliability estimates in the
design of missile prelaunch checkout equipment. Proc. 6th Joint Mili-
Military-Industry Guided Missile Reliability Symposium, 1960, 15—17
February, p. 2—147.
Gordon R. Optimum component redundancy for maximum sys-
.tem reliability. Operations Research, 1957, v. 5, 2, April, p. 229—243.
Howard W. J. Chain reliability: a simple failure model for
complex mechanisms. RAND Report № RM-1058, 1953, 27 March.
22* 339

К a h n L. В. A statistical model for evaluating the reliability of
safety systems for plants manufacturing hazardous products. Techno-
metrics, tl959, v. 1, 3, August, p. 293—307.
Krohn, Charles A. Improve circuit reliability. Electronic De-
Design, 1959, v. 7, 7, 1 April, p. 20—25.
McLean J. P. and Moskowitz F. Some reliability aspects
of systems design. IRE Trans. Reliability and Quality Control, 1956
PGRQC-8, September, p. 7—35.
Meltzer, Sanford A. Designing for reliability. IRE Trans.
Reliability and Quality Control, 1956, PGRQC-8, September, p. 36—43.
Moan О. В. Reliability of series-parallel combinations. Control
Eng., 1957, v. 4, April, p. 99—100.
iM о r r i s о n, S. James. The study of variability in engineering
design. Applied Statistics, 1957, v. 6, 2, June, p. 133—138.
Wagner D. H. Numerical reliability requirements (AGREE).
Proc. 3rd Natl. Symp. Reliability and Quality Control in Electronics,
IRE, 1957, January, p. 154—158.
Wehrfritz, Frank W. Uses of the propagation of errors
National Convention Trans., ASQC, 1956, p. 673—676.
W e 1 k e r E. L. and 'Bradley С. Е. A general method for
determining logistic requirements for a satellite system. Proc. 6th
Joint Military-Industry Guided Missile Reliability Symposium, 1960,
15—17 February, p. 2—351 to 2—378.
Whiteman I. R. Reliability starts with the design. IRE Proc.
5th Natl. Symp. on Reliability and Quality Control in Electronics,
1959, 12—14 January, p. 98—102.
Приложение 9А
Методика распределения значений надежности
В § 2.8 уже отмечалась важность задачи распределе-
распределения значений надежности. В приложении описана мето-
методика, которой можно следовать в процессе осуществле-
осуществления программы конструирования. В результате приме-
применения этой методики надежность увеличивается до тре-
требуемого предела.
Эта методика основана на одной теореме А. Альбер.-
та [7], которую мы разъясним ниже.
Предполагается, что на любом этапе осуществления
программы конструирования систему можно разбить на
некоторое число подсистем и исходить -из начальной
надежности каждой подсистемы, полученной, если это
возможно, в результате испытаний подсистем. Пусть
Ru #2, - •., #п обозначают надежности подсистем. Пред-
Предположим, что выполняется правило перемножения (9.7),
т. еГ надежность R системы имеет вид
340

Пусть R обозначает требуемую надежность системы,
причем # > R. Тогда требуется повысить хотя бы одно
значение Riy чтобы в формуле (9А.1) достигнуть значе-
значения R. С этой целью необходимо затратить некоторое
усилие, которое нужно каким-то путем распределить
между подсистемами. Величина усилия будет некоторой
функцией числа испытаний, количества людских ресурсов,
используемых для данной задачи и т. д. При весьма об-
общих предположениях относительно свойств подобной
функции усилий в [7] показано, что методика повыше-
повышения R до значения R сводится к следующему.
1. Надежности R19 R2, ..., Rn располагаются в неу-
неубывающем порядке. Для сокращения записи мы будем
считать, что их нумерация соответствует случаю, когда
i\l ^ /\2 *=* . . • ^* Атг» \ом\»?)
2. Каждая из надежностей R19 R2. ..., RKq увеличи-
увеличивается до одного и того же значения RQ\ надежности
RK+V •••, Rn не увеличиваются. Номер Ко выбирается
из следующего соображения.
/Со равен максимальному значению /, для которого
R
п+\
п
1//
(9А.З)
где
как
= 1 по определению. Значение RQ определяется
(9А.4)
R
Л+1
П R,
3. Очевидно, теперь надежность системы будет равна
/?, поскольку новая надежность равна
л+1
П
(9A.5)
341

Учитывая (9А.4), получаем, что новая надежность равна
Я. (9А.6)
Пример. Пусть Яг = 0,70, R2 = 0,80, R3 = ОД). Тогда R =
= 0,504. Требуемое значение надежности системы R = 0,65. Пред-
Предположим, что мы не стали выбирать /Со по формуле (9А.З), а про-
произвольно положили Ко = 1 и использовали формулу (9А.4). Тогда
мы получим
- Г* 0,65 I1/1
Rq ~ [ @,80) @,90) A,00) J ~~ °'903* (9А>7)
Имеем
R = 0,65 = @,903) @,80) @,90),
что и требовалось. Однако на основании теоремы можно заклю-
заключить, что усилие, необходимое для повышения надежности, рас-
распределено не оптимальным образом. Другими словами, приложено
большее усилие, чем это требовалось. Определим теперь Ко посред-
посредством (9А.З). С этой целью вычислим три величины:
I ~R V / ~R Y/2 / R \1/3
fl ^ \ RtRALoo) ) » Гг = l/?,(i,oo)) ' Гз = VTroor/ • (9A'8)
Имеем
г, = 0,903,
г2 = @,722)]/2 = 0,850,
г3 = @,65I/3 = 0,866.
Так как Ri<?rl9 ^?2<С^2» ^з>/*з. то Ко = 2; в этом случае наи-
наибольшее значение индекса j со свойством Rj < г,- равно 2. Далее,
учитывая (9А.4), ^ = @,65/0,90) =@,722I/2 = 0,850; это означает,
что усилия необходимо распределить следующим образом. На-
Надежность подсистемы № 1 нужно увеличить с 0,70 до 0,850, а
подсистемы №2 — с 0,80 до 0,850; надежность подсистемы № 3
нужно оставить на прежнем уровне. В результате надежность
всей системы будет равна 0,65 = @,850J @,90).
Когда процедура распределения (Л) —(С), проиллю-
проиллюстрированная на примере, завершена, результаты при-
примененных усилий через некоторое время следует прове-
проверить, Например, когда после первого предсказания на-
надежности, пройдет 6 месяцев, а надежность должна быть
обеспечена, скажем, через 18 месяцев, мы можем в ре-
результате повторных испытаний получить оценки R\=
= 0,80; #2 = 0,87; /?3 = 0,90 (используя предыдущий при-
пример). Действительно, вследствие различных причин
342

часть усилий могла быть приложена к повышению на-
надежности подсистемы 3, в результате чего ее надеж-
надежность должна повыситься, скажем, до 0,93, хотя в пер-
первоначальной программе такое повышение предусмотре-
предусмотрено не было. С другой стороны, могла увеличиться точ-
точность оценок надежности-. В этом случае методику рас-
распределения надежности следует применить повторно;
в результате получим другие требования к подсистемам
и другое распределение усилий для выполнения этих
требований. Через определенный период времени про-
программа должна повторяться и в случае необходимости
должно осуществляться перераспределение.
До этого мы не конкретизировали свойств функции
усилий, использованной в [7] для получения описанной
методики. Такую конкретизацию можно произвести сле-
следующим образом.
Прежде всего с каждой подсистемой связана одна
и та же функция усилий G{RU R{)f являющаяся мерой
усилий, необходимых для повышения надежности 1-й под-
подсистемы с Ri до Ri. Предположение о том, что функция
усилий для всех подсистем одна и та же, является не-
недостатком; тем не менее это дает хорошее первое при-
приближение к задаче. Остальные предположения сводятся
к следующему:
2. G(x, у) не убывает по у при фиксированном х и
не возрастает по х при фиксированном у. Например,
G@,35; 0,65) <G @,35; 0,75)
G@,25; 0,65) ^G @,35; 0,65).
3. Если x<y<z, то G(x,y)+G(y,z)=G(x, z). Это
означает, что величина усилий, необходимого для повы-
повышения надежности с х до г, равна сумме величины уси-
усилия для повышения на надежности с х до у и с у до г.
4. G@, x) обладает производной h(x), причем
xh(x) строго возрастает в интервале 0<л:<1.
Как показано в [7], в этих предположениях сущест-
существует единственное решение задачи, и оно дается проце-
343

дурой А—С, коль скоро требуется минимизировать вы-
выражение
Ri) (9A.9)
при условиях
ПЯ; = Я. (9А.10)
Единственное решение будет иметь вид
Ru i>KQi
где Ко определяется соотношением (9А.З), a Ro—соотно-
Ro—соотношением (9Л.4) [предполагается, что произведено упоря-
упорядочение вида (9А.2)].
Упражнение 1. Показать, что
G (xf у) =
У О,
удовлетворяет сформулированным требованиям к функции G (х, у).
Предположим, что мы ввели новое ограничение: limG(x, у) =
=+ °° @^х<^ 1). Является ли это ограничение разумным? Пока-
Показать, что функция
A —х
a log ^ ,
J
О,
удовлетворяет этому дополнительному ограничению.
Упражнение 2. Показать, что G (х, у) должна иметь
вид Н(у) — Н{х).
Указание. Установить, что
dG(x, у) ^dG@, у)
ду ду '
т. е. эта функция зависит только от у. Затем установить равен-
равенство G (х, лг) = О, исходя из первоначальных предположений. На
основании этих рассуждений вывести требуемый результат.
Упражнение 3. Доказать, что усилие, необходимое для
перехода от @,70; 0,80; 0,90) к @,903; 0,80; 0,90) больше, чем то
усилие, которое требуется для получения значений @,85; 0,85; 0,90).
В качестве функции усилий принять
344

Приложение 9В
Надежность системы с заменой элементов
В приложении показано, что надежность сложной си-
системы можно в некотором смысле описать показатель-
показательным распределением наработки до отказа.
Предположим, что имеется последовательная систе-
система с большим числом элементов, законы возникновения
отказов которых независимы (см. § 9.2). Все элементы
имеют одну и ту же функцию распределения F(t) нара-
наработки между отказами с плотностью f(t). Если какой-
либо элемент отказывает, он тотчас же заменяется но-
новым.
Элемент, который ставится взамен отказавшего, яв-
является новым, однако другие элементы б это время уже
имеют некоторую наработку, и, стало быть, их наработ-
наработка до отказа может быть меньше, чем у новых элемен-
элементов. В процессе работы системы отказывают все новые
и новые элементы; они также заменяются, так что си-
система всегда находится в «рабочем состоянии»; но в лю-
любой момент времени элементы будут обладать различ-
различным возрастом.
В начале работы системы, когда все элементы но-
новые (их возраст равен 0), надежность (вероятность от-
отсутствия отказов) будет функцией от t вида
где N — число элементов. Но если -в начальный момеут
времени возраст элементов положителен, формулу
(9Б.1) следует видоизменить так, чтобы учитывался
этот возраст. Если в некоторый момент времени t0 на-
наработки элементов составляют Х\ ..., Xn, to (условная)
вероятность того, что система проработает еще то мень-
меньшей мере / единиц времени, равна
R {t; t. | *lf ..., х„) = П
Здесь Xj представляют случайные величины, зависящие
от выбранного момента t0 и функции распределения F
наработки между отказами. Если будут известны плот-
345

ности вероятности наработок xjy g(Xj; t0), то безусловная
вероятность того, что система проработает еще время t,
будет равна
n
Я С; *,)= J...J/W; to\xu .'.., xN)Ug(xi;Qdxl...dxNt
О 0 /=1
(9Б.З)
что после подстановки (9Б.2) дает
; to) ^ [ll~i-FMl g {x; to) dxY* {9БА)
Ниже будет выведена формула для плотности g (х; t0)
(9Б.22). Здесь мы рассмотрим только предельное распре-
распределение возраста при t0 -> оо. Из формулы (9Б.22) и за-
замечания после (9Б.29) имеем
limg(x; /e) = izZWf (9Б.5)
где ji — средняя наработка на отказ, т. е. среднее рас-
распределение F.
Другими словами, если ©зять произвольный элемент
и посмотреть на 'возраст элемента, -который 'будет по-
поставлен на его место через длительное время, то >воз-
раст этого элемента будет 'находиться в интервале (х,
x + dx) с вероятностью приблизительно [1—F(x)]dx/\i.
[Правая часть (9-Б.5), очевидно, 'будет плотностью ве-
вероятности, так как ее интеграл в 'пределах от 0 до оо
равен 1]]. Подстановка (9Б.5) в (9Б.4) дает
00
R Ц; оо) = J-1 j [1 - F (X + Щ dx}". (9Б.6)
О
Рассмотрим теперь выражение
j-F^ + t)dx. (9Б.7)
О
346

Сделаем замену x-\-t = y; тогда dx = dy и (9Б.7)
примут вид
R^^LzIMdy (9Б.8)
t
или
оо ¦ t t
(УЬ.У)
(9Б.10)
Предположим теперь, что распределение F наработки
между отказами обладает дисперсией а2. Можно показать
(см. [8], стр. 256), что при у<р.
(Это неравенство справедливо для любой функции рас-
распределения F со средним ц, и дисперсией <з2).
Отсюда
\ау\ ,2. (9БЛ2)
о о
Интеграл в правой части (9Б. 12) можно преобразовать,
положив (\i — у)/е = х:
т 1 гЬ=?[агс1<т)->-'<^')]- (9БЛЗ)
/
Далее, поскольку
это выражение принимает вид
(9Б.14)
at т
¦ at
<-arctg
(9Б.15)
р*
Ll""pTJ
347

Так как arctgjc^x, то последнее выражение не превос-
превосходит
Следовательно,
R=l — jT+//, (9Б.16)
где
?¦->
(9Б.17)
Отсюда видно, что для фиксированного f, p, = aJ\f и <j =
= o(N)H будет ограниченной функцией более высокого
порядка малости, чем N'1. Поскольку при N->oo
ТО
R(t; co)^e~//a. (9Б.19)
Таким образом, для большого, но фиксированного N
будет
R(t; оо)~е^/1\ (9Б.20)
что и требовалось показать.
Если система содержит N{ элементов с функцией
распределения наработки между отказами F\, N2 эле-
элементов с соответствующей функцией F2 и т. д., то есте-
естественно ожидать, что
R(t; во) «ехр [-*(?+?¦+...)], (9Б.21)
где \ь1У ^2,...—средние распределений соответственно
F F
Ранее было указано, что предельная плотность ве-
роятторти возраста дается формулой (9Б.5). Можно
348

показать, что распределение возраста элементов в про-
-извольный момент t0 при условии, что в начальный мо-
момент элементы были новыми, выражается формулой
g(x; t9) = .
,u(to-x)(l-*F(x))t x<t0,
= /., (9Б.22)
P, x>t0,
где Ъ(х — /0) — дельта-функция Дирака, для которой
a u(t)—вероятность замены в момент / (это не плот-
плотность вероятности); u(t) удовлетворяет уравнению вос-
восстановления
и @ = / @ + $*{t-y)f (у) dy. (9Б.23)
о
Уравнение (9Б.23) можно интерпретировать следую-
следующим образом: u(t)dt есть вероятность какого-нибудь вос-
восстановления в интервале времени (t, t + dt), причем ни-
ничего не говорится о числе восстановлений до момента t.
С другой стороны, f(t)dt равна вероятности того, что
в интервале (t, t+dt) произойдет первое восстановле-
восстановление. Подынтегральное выражение в (9Б.23), умножен-
умноженное на dt, представляет вероятность того, что первое
восстановление произойдет между у и y + dy, после чего
произойдет восстановление в интервале времени (t—г/,
t—y + dt).
В результате интегрирования этого выражения по у
получится полная вероятность, включающая все воз-
возможные случаи восстановления в интервале (/, t + dt),
за исключением того случая, когда в этом интервале
восстановление произойдет впервые. Последний случай
учитывается первым слагаемым правой части (9Б. 23),
умноженным на dt.
Таким образом, разделив обе части на dt, получим
формулу (9Б.23).
Формулу (9Б.22) можно объяснить следующим обра-
образом. Вероятность того, что возраст элемента в момент U
лежит в интервале (л:, x + dx), равна вероятности того,
349

что элемент был заменен в момент to—х и он отказал
на протяжении времени х. Это справедливо при x<t0.
Поскольку предполагается, что в нулевой момент вре-
времени элемент был новым, плотность вероятности g(x;t0)
при x>t0 должна быть равна 0 (элемент не может иметь
возраст, превосходящий t0). При x—t0 использованное
выражение дает вероятность того, что 'элемент прора-
проработает ровно tf0 (в обозначении плотности).
Общая теория говорит о том, что 1ш1#(?) = 1Да; та-
ким образом, (9Б.5) следует из (9Б.22), если положить
/0-*оо. Чтобы установить соотношение lim и (t) e= 1Дл,
применим к (9Б.23) преобразование Лапласа:
7 i9 (9Б.24)
где
[ (9Б.25)
т. е. преобразованию Лапласа u(t).
Аналогично определяется и f(s). Уравнение (9Б.24) можно
переписать следующим образом:
sF(s)= sT{sl . (9Б.26)
Используем известную теорему о преобразованиях
Лапласа ([9], стр. 256), согласно которой
lim sh (s) = lim h (t), (9Б.27)
s->0 t
если h(s) — преобразование Лапласа h(t)*.
Ввиду того, что f (t) -> 0 при t -* с», из формулы
(9Б.27) получаем, что sf (s) -> 0 при 5 -* 0. Следова-
Следовательно,
lim [e-stf(t)dt = lf(t)dt=l. (9Б.28)
* См. В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные пре-
преобразования и операционное исчисление. Физматгиз, 1961. (Прим*
перев.\
350

Чтобы найти предел sf (s)j\ —f (s), продифференцируем
раздельно числитель и знаменатель. Получим
Km su (s) т= lim — 5 — L =
s+0 Г E) °°
(9Б.29)
Из (9Б.27) мы видим теперь, что и it) -*- 1/р при t -*- во.
Рассмотрим следующий пример.
Рис. 9Б.1.
Пусть f @ =
= l/jis, а значит,
-'^, тогда f (s) = l/0is + 1),
= l/i*. Из (9Б.22) имеем
If (л:; *,) =
1
0,
Эта плотность вероятности имеет вид, как на рис. 9Б.1.
„Пик" на рис. 9Б.1 сосредоточивает вероятность е~'о/1\
так что
В качестве второго примера положим
(9Б.30)
351

Имеем
откуда
^ '
1 (ps + 2J '
4 1 1
{as ((as + 4) jxs jas + 4
u(t) = — A—e ). (yb.ol)
Плотность вероятности возрастает, при x<C,t0 будет
равна
g(x; g = l(i_e^-*>*)e-2*/l'A + ^-V (9Б.32)
Подставив (9Б.32) в (9Б.4) [или непосредственно (9Б.5)],
мы найдем, что при tQ->oo
При малых tj\i
(9Б.ЗЗ)
(9Б.34)
Таблица 9Б.1
Относительная ошибка для обоих приближений
0
0
0
0
t
,5
,2
,05
+
0,
0,
о,
о,
2Г
552
804
900
950
e
0,
0,
о,
0,
2t
™
368
670
818
905
Ошибка,
—33
—17
—9,1
—4,7
0
0
0
0
t
e
,607
,818
,904
,9512
Ошибка,
+ 10
+1,7
+0,44
+0,13
Заметим, что е и приближает R лучше, чем е 2//|\ так
как в последнем случае ошибка при > 0 будет О (—А.
В табл. 9Б.1 показана относительная ошибка в процен-
процентах для обоих приближений.
352

Приведенные результаты в некотором смысле обос-
обосновывают использование показательного распределения
наработки между отказами для системы, состоящей из
большого числа элементов, возраст которых из-за пре-
предыдущих отказов и восстановлений смешан.
На результатах настоящего приложения основывает-
основывается выбор метода профилактики, т. е. правила замены
элементов с целью предотвращения или исключения от-
отказов. Можно исследовать также влияние соответст-
соответствующего периода профилактики или проверки функцио-
функционирования элементов. Однако если от устройства тре-
требуется непрерывная работа, то профилактическая за-
замена элементов приведет к тому же результату, что и
отказ элементов. В последнем случае желательно иметь
два или больше комплектов устройства (например, ком-
комплекты РЛС), чтобы в любой момент времени один из
них работал, но и в этом случае может случиться, что
все комплекты одновременно будут находиться в состоя-
состоянии отказа; вероятность такого события будет тем мень-
меньшей, чем больше число комплектов.
23—1113

ГЛАВА 10
ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ
С НИМИ РЕШЕНИЯ
10.1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей главе будут рассмотрены выборочные
планы для оценки выполнения требований по надежно-
надежности. Между этим вопросом и результатами гж 7 и 8,
касающимися оценки и доверительных интервалов, су-
существует тесная связь, Выборочные процедуры, кото-
которые рассматривались выше, основываются на случайной
выборке из качественных (успех, отказ) и количест-
количественных совокупностей (например, распределения нара-
наработки до отказа). В любом случае задача состояла в том,
чтобы оценить функцию параметров основного распре-
распределения, которой придается смысл надежности R; это
может быть, например, вероятность успеха или вероят-
вероятность того, что время наработки до отказа будет боль-
больше Т\ Точность оценки выражается при помощи дове-
доверительного предела, обычно нижнего одностороннего
А
предела Rl функции R\ в результате обработки наблю-
А
дений получается вывод: Rl<R. При этом фиксируется
априорная вероятность y (доверительный уровень) пра-
правильности статистического вывода (или же требуется,
чтобы эта вероятность была не меньше у) *.
* Здесь мы будем употреблять обозначения, которые введены
в §_J0.6 и последующих параграфах. Однако в § 10.3 символом
#2— 1— р2 '('как в обычной биномиальной выборке) обозначаемся
допустимое значение .на'дежмаота. Далее, .в § 10.3 Р обозначает ри'ск
ошибки, связанной с выводом R2<R- Следовательно, в этой главе
обозначения (RL, P) и (RLi 1— у) имеют один и тот же смысл.
354

Другими словами, в серии -выводов подобного рода,
основанных на наблюдениях выборок, можно ожидать,
что 1 ООу% (или не меньше 1 ООу%) выводов будет вер-
верными. С другой стороны, 100A—у) представляет риск
(в %) ошибочности любого такого вывода.
Если заранее условлено, что в случае вывода RL<R
производится некоторое действие А, то когда в действи-
действительности /?</?L, действие А может привести к серьез-
серьезным и даже опасным последствиям.
Точнее, мы должны дать значение RL и максималь-
максимальный риск ошибки, связанной с выводом RL<^R. Таким
образом, задача состоит в том, чтобы определить выбо-
выборочный план, сочетаемый с критерием, зависящим от
результатов наблюдений, согласно которому мы прини-
маем или не принимаем решение RL < R. Если подобное
соотношение в действительности не выполняется, то вы-
выборочный план должен обеспечивать, чтобы вероятность
решения RL<^R была равна или не превосходила задан-
заданной величины.
Другая, эквивалентная, постановка задачи формули-
А
руется следующим образом. Надежность RL должна {
быть продемонстрирована с достоверностью у. Вели-^
чина 1—у — это тот же самый максимальный риск. v
А
Будет показано, что задание Rr и у неоднозначно опре-~
деляет выборочный план. Этот вопрос рассматривается/
в § 10.3 и последующих параграфах настоящей главы. ^
В § 10.2 с весьма общей точки зрения рассматри-
рассматриваются биномиальные выборки; это обобщает резуль-
результаты § 6.6.
В § 10.4 представлен известный метод последователь-
последовательного анализа Вальда. В частности, оптимальное свой-
свойство метода Вальда (минимум среднего числа наблюде-
наблюдений) по существу вытекает из материала § 10.2.
В § 10.5—10.9 представлены выборочные планы,
основанные на распределениях времени безотказной
работы; основное внимание уделено при этом показа-
показательному распределению.
23* - 355

В значительной степени теория и приложения выбо-
выборочных планов, основанных на показательном распреде-
распределении, обязаны своим развитием Б. Эпстейну и М. Со-
белу A1]
В § 10.6 изучаются также выборочные планы, осно-
основанные на более общем распределении времени безот-
безотказной работы, рассмотренном в п. 6.8.3.1.
Выборочные планы, основанные на нормальном рас-
распределении, здесь не представлены; они обстоятельно
описаны <в литературе, особенно в [1—3].
10.1.1. Неслучайные факторы, влияющие на определение
выборочных планов
Вообще говоря, чем большие информации использу-
используются при -принятии решения или осуществлении ка.кото-то
действия, тем меньше вероятность ошибки.
Чтобы увеличить информацию, а следовательно,
уменьшить вероятность ошибки, можно увеличить объ-
объем выборки или число испытаний, на основании кото-
которых принимается решение. Однако представим себе, что
величина риска — это убыток, выраженный в долларах.
Если предположить, что наблюдения также обладают
стоимостью в долларах, попытка уменьшить риск не-
неверного решения до пренебрежимо малой -величины и
таким образом предотвратить возможный убыток све-
сведется на нет за счет стоимости наблюдений.
Стоимость — не единственный неслучайный фактор,
влияющий на определение выборочного плана. Перед
тем как задать любой план, следует учитывать реаль-
реальные особенности процесса. Учет их всегда ведет к су-
сужению допустимого множества выборочных планов.
Например, по типу испытуемого оборудования и методу
испытаний определяется, будет ли использоваться каче-
качественная или количественная информация. Конечно,
может быть определенная свобода 'выбора вида инфор-
информации. Например, -в случае, когда испытываемые изде-
изделия работают непрерывно, желательно замерять нара-
наработки до отказов; однако установка автоматического
устройства, которое фиксировало бы все эти величины,
может оказаться дорогостоящей или нецелесообразной.
Поэтому довольствуются подсчетом отказавших изде-
изделий через дискретные периоды (например, каждое утро).
356

Это изменяет выборочную модель. Характеристики отка-
отказов оборудования и сложность условий эксплуатации
могут быть такими, что невозможно приписать нара-
наработке до отказа какое-либо распределение; в этом слу-
случае наиболее реалистическим будет наблюдение успе-
успехов и отказов.
Дополнительные ограничения, сильно влияющие на
определение выборочного плана, исходят из того, ка-
каким образом возможно испытывать элементы и на-
насколько быстро нужно выдать результат испытаний. На-|
пример, в зависимости от того, имеются ли все изделия/
в готовом виде или они вырабатываются последователь-\
но, может оказаться более -или менее выгодным после- ]
довательный метод. С другой стороны, для обеспечения *
высокой достоверности может оказаться необходимым
больший объем наблюдений, чем получаемый -в резуль-
результате испытания отдельных элементов ,в порядке их по-
поступления.
Метод усечения выборки зависит от таких факторов,
как необходимость окончания испытаний к определен-
определенному сроку (например, при наличии расписания режима
работ); наличие ограниченного числа изделий, отпущен-
отпущенных на испытания; ограничение времени испытаний. Эти
факторы, типичные для техники, не являются единствен-
единственными.
Таким образом, существо задачи установления плана
испытаний на надежность состоит в том, чтобы с уче-
учетом ограничений, связанных с реальными условиями,
добиться в некотором смысле наименьшего риска не-
неправильных решений.
10.2. МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ, ОСНОВАННЫЕ
НА БИНОМИАЛЬНОЙ ВЫБОРКЕ
Рассмотрим методы принятия одного из двух возмож-
возможных решений на основании биномиальной выборки.
Одно решение состоит в том, чтобы принять изделие как
достаточно надежное для определенных целей; второе
решение, противоположное, состоит в том, чтобы забра-
забраковать изделие как недостаточно надежное.
Биномиальная выборка, или, как мы будем гово-
говорить, биномиальный выборочный план, состоит в испы-
357

тании совокупности изделий по одному; другими слова-
словами, производится последовательность испытаний, резуль-
результатом каждого из которых может быть успех или от-
отказ. Вероятность отказа в каждом испытании постоян-
постоянна и равна ру и результат любого испытания статисти-
статистически независим от результатов любых других испыта-
испытаний.
Испытания прекращаются по некоторому закону, и
в этот момент принимается одно из двух указанных
решений. Использовав установившуюся в данном вопро-
вопросе терминологию, скажем, что критерий выбора плана
выражается через параметр р=\—R — неизвестную не-
ненадежность испытываемых изделий.
Чтобы решить, принять изделие или забраковать,
прежде всего следует договориться о том, какие значе-
значения р допустимы и какие недопустимы.
В результате выбирается некоторое значение нена-
ненадежности рс, так что при р<рс желательно, чтобы вы-
выборочный план приводил к приемке изделия как доста-
достаточно надежного. Если же р>рс, то желательно, чтобы
он приводил к браковке изделия как недостаточно на-
надежного. Однако мы уже знаем, что ни один выбороч-
выборочный план в этом смысле не может быть безошибочным;
он всегда сопряжен с некоторой неопределенностью. Та-
Таким образом, решения о браковке изделий могут при-
приниматься и при р< рс точно так же, как решения
о приемке при р>рс- Если осуществляется какой-либо
из этих случаев, то, очевидно, решение будет ошибоч-
ошибочным.
Ясно, что опасность ошибки зависит от «расстояния»
р от рс. Если р в действительности намного меньше рс
и при этом в результате испытаний решается забрако-
забраковать изделие, то эта ошибка будет более серьезной, чем
в том случае, когда р лишь ненамного меньше рс. Так
же если р намного больше рс и мы в результате испы-
испытаний примем изделия, то это будет более серьезной
ошибкой, чем когда р лишь ненамного . превосхо-
превосходит рс.
Следовательно, чтобы выборочный план был эффек-
эффективным, он должен почти исключать серьезные ошибки.
Таким образом, при р <^ рс должна быть достаточно ма-
малой вероятность браковки, а при /? > рс — вероятность
приемки,
358

10.2.1. Оперативная характеристика
Выборочные планы, рассматриваемые ниже, харак-
характеризуются тем, что при р<рс и /?->0 вероятность бра-
браковки изделия также стремится к нулю. Характер этого
поведения выражается при помощи оперативной харак-
характеристики ОС L(p) плана рис. 10.1,а. Функция L(p)
определяется как вероятность того, что в результате вы-
выборочного плана изделие будет принято. ОС является
Ф)
Рис. ЮЛ.
Z,—вероятность приемки; р — вероятность отказа
мерой способности плана отделять надежные изделия
от ненадежных. Идеальным был бы выборочный план
с ОС, изображенный на рис. 10.1,6, поскольку для
всех р <рс этот план приводил бы к приемке изделий,
а для всех р>рс — к браковке их. Однако можно пока-
показать, что для достижения подобного «безошибочного» ре-
решающего правила необходимо сделать объем выборки
бесконечным. Если можно производить лишь конечное
число испытаний, то, вообще, чем круче функция ОС,
тем ближе соответствующий план к плану с минималь-
минимальной ошибкой. Но перед тем как выбрать план, необхо-
необходимо рассмотреть и другие критерии, связанные с до-
допустимыми ошибками неправильных решений; этот во-
вопрос рассматривается в § 10.3.
10.2.2. Общие свойства биномиального выборочного плана
Прежде чем перейти к вопросу о критерии, который
можно использовать для установления выборочного
плана, исследуем общие свойства подобных планов.
359

Наиболее общая схема биномиальной выборки описана
§ 6.6.
Выборочное пространство, или множество возмож-
возможных 'исходов выборки задавалось граничными точками
плоскости, где одна координата соответствует числу
испытаний, а другая—числу отказов. Чтобы опреде-
определить выборочный план с двумя возможными решения-
8
1
4 -
i
i Z.
/
/
€ТПП\
/ мпЯСЯ 6
/
/
/
А
Ыможная траек-
т,эаканчибак>- •
7 тмке приемки
364 траектории A15,3 F)^
78траекторииA2 S. 3F)^
12 траектории(f2 5, If)
1 траектория A2 S, OF)
Число испытаний
Рис. Ю.2.
15
X — граничные точки браковки; О— граничные точки приемки; 5 —
успех (с вероятностью q)\ F — отказ (с вероятностью р).
ми, следует разбить граничные точки на две группы.
Если после какого-то испытания достигается граничная
точка, принадлежащая первой группе, то принимается
решение забраковать изделие. При достижении точки
из второй группы решается принять изделие. Первую
группу граничных точек обычно называют критической
областью.
На рис. 10.2 показан биномиальный выборочный
план, где граничные точки, образующие критическую об-
область, отмечены крестиками.
Вероятность L(p) того, что в результате испытаний
по выборочному плану рис. 10.2 изделие будет принято,
можно найти, просуммировав вероятности, соответст-
соответствующие четырем «приемочным» граничным точкам. Эти
вероятности определяются по методу, описанному в §6.6.
В результате для ОС находим
L(p) = q1* + \2q12p + 78q12p2 + 364q"p*. (ЮЛ)
360

ио
0.8
\<К6
ЬОА
ол
s
ч
\
\
\
\
\
йЛ ОА 0,6 0,8
Число испытаний
Рис. 10.3.
На рис. 10.3 показан график L(p)y задаваемый
формулой A0.1).
10.2.3. Среднее число испытаний
Предположим, что точки критической области пла-
плана, показанного на рис. 10.2, сдвинуты произвольным
образом (если необходимо, можно к ним добавить еще
дополнительные точки, чтобы сделать границу замкну-
замкнутой), но с тем условием, что ни одна траектория, веду-
ведущая в точки приемки, не может быть прервана [см, на-
например, рис. 10.4,а и 10.4,6]. Тогда функция L(p) будет
по-прежнему определяться формулой A0.1), поскольку
вероятности достижения точек приемки остались неиз-
неизменными.
Чем же тогда будут различаться биномиальные выбо-
выборочные планы рис. 10.4,а; 10.4,6 и 10.2? Отличие будет
в количестве испытаний до принятия решения. В любом
из трех планов максимально возможное число испыта-
испытаний— 14. Однако при любом заданном р число испы-
испытаний будет иметь какое-то распределение. Так, интер-
интервал этого распределения для плана рис. 10.4,а будет
от 4 до 14.
361

].
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
у
/
/
/
/
(
5 10
число испытаний
15
А/
z
z
z
z
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
V
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/,
/
1
5 10
число испытаний
15
Рис. 10.4.
X — граничные точки браковки, О — граничные точки приемки
Сеткой показаны все траектории, идущие к границе приемки
362

Эту характеристику того или иного биномиального
выборочного плана можно описать, вычислив среднее
число испытаний до принятия решения как функцию р.
Эту функцию сокращенно обозначим ASN (average
sample number) (рис. 10.8).
Очевидно, из трех планов, показанных на рис. 10.2,
10.4,а и 10.4,6, второй обладает наименьшим ASN, т. е.
график этой функции будет лежать под графиками для
и
8 -
6 •
4 - у
/-
А
\—)
/
\—\
е—)
> j
;;
t
5 JO
Число испытаний
15
Рис. 10.5. Укороченный выборочный план.
других планов. Экономия наблюдений будет особенно
заметной при больших /?, так как, если изделие нена-
ненадежно, блуждающая точка, по всей вероятности, бы-
быстрее достигнет критической области.
Далее, возможно также на рис. 10.4,а сдвинуть точ-
точки приемки A2,0), A3,1) и A4,2) в точки A1,0), A2.1)
и A3,2) соответственно (точку A4,3), оставив без изме-
изменения); это также не изменит функцию L(p) A0.1). По-
Последнее, очевидно, потому, что если в процессе испыта-
испытаний достигнута какая-либо из точек A1,0), A2,1) или
A3, 2), то это уже гарантирует приемку изделия. По-
Подобные изменения (рис. 10.6) еще уменьшаю^ ASN,
давая большую экономию в числе наблюдении, чем
план, изображенный на рис. 10.4,а. План, изображенный
на рис. 10.5, называется укороченным выборочным пла-
планом и обычно заменяет выборку фиксированного объе-
объема, показанную на рис. 10.7.
363

Очевидно, укороченный выборочный план рис. 10.6
имеет меньшее ASN, чем все планы, изображенные на
рис. 10.2, 10.4 и 10.7.
ASN плана рис. 10.5 можно найти аналитическим пу-
путем через биномиальное распределение. ASN планов
/4
12
W
1
1»
л
/
/
/
/
/
/
/
/
/-
А
\
$
i—¦
г
г
15
Число испытаний
Рис. 10.6. Выборка постоянного объема.
/ — критическая область (граница браковки); 2 — допу-
допустимое число отказов для приемки F=3.
>f+/ -
l<
Число п
траекторий 6(f, F+1)
траекторий ь tf- 1tF)
[t' У
•
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
У
/
/
/
/
/
/
/
/;
/
У
/
(исло mi
tcny
/
/
/
три
/
/
шектор*
ектории
i
/
•
"')
-мг-
N-F
Число испытаний
Рис. 10.7.
364

рис. 10.2 и 10.4 удобнее N вычислять путем непосредст-
непосредственного суммирования пох ^сем граничным точкам ве-
вероятностей достижения данной точки, умноженных на
число испытаний до попадания в нее.
10.2.3.1. Формула для ASN в случае
укороченного выборочного плана
Вычислим ASN для общего укороченного выбороч-
выборочного плана, задаваемого максимальным числом испыта-
испытаний N и максимальным числом отказов F, при котором
изделия принимаются. (На рис. 10.6 N=14, F = 3.) Об-
Общий укороченный выборочный план показан на рис. 10.8.
/
/
/
г
/
3
Г*
— II -
0,2 0Л 0,6
Вероятность отказа
0J
Рис. 10.8.
/ — план рис. 10.6; 2 — план рис. 10.5; 3 — план рис. 10.11.
Рассмотрим точки браковки, координаты которых имеют
вид (/, F+\), где / пробегает значения от г + 1 до N.
Вероятность, соответствующая точке (/, F+1), равна
pF+igj-F-i^ умноженному на число траекторий, попадаю-
попадающих в точку (/, F+1). Последнее число равно числу
траекторий в точки (/—1, F), так как точка (/, F+1)
достижима только из точки (/—1, F).
Таким образом, вероятность, соответствующая
(/, ^+1), составляет
A0.2)
365

Поскольку число испытаний до достижения точки
(/, F+1) равно /, часть математического ожидания,
соответствующая точкам браковки, будет равна
С;
Для точек приемки, обращаясь к рис. 10.8, находим ана-
аналогично
и окончательно ASN t=Er-\-Ea.
Математические ожидания Ег и Еа можно теперь вы-
выразить через биномиальное распределение (§ 6.2); в ре-
результате мы сможем вычислить ASN из[1]. Введем обоз-
обозначение
п
В{п,р; X) = J^(ny\p<qn'>, (Ю.5)
j=X
что представляет собой «вероятность X или более отка-
отказов в п биномиальных испытаниях», т. е. «хвост» бино-
биномиального распределения. Чтобы найти Ег, используем
тождество F.56), обозначив его левую часть через Н:
Н^ %(}-l\pF+W-F-]^B(N, p; F+l\ A0.6)
Из этой формулы выводим
= Er-(F+l)B(N, p; F+l). A0.8)
q(dH/dq) можно найти непосредственно из A0.7).
Учитывая, что слагаемые, соответствующие / = /"-{-1,
366

равны 0, после некоторых, несложных преобразований би-
биномиальных коэффициентов\находим
\
q-rz=z
dq у
, р; F + 2), A0.10)
снова применяя A0.6). Из A0.8) и A0.10) получим
, р; F + 2) + (F + l)S(iV, p;
A0.11)
Чтобы найти Еа, заменим индекс суммирования
в A0.4): j = N — F-\-i, и положим f-\-l=N — F, в ре-
результате чего получим
A0Л2)
Правая часть A0.12) имеет тот же вид, что и A0.3)
для Ег, только вместо F стоит / и вместо р стоит q.
Из A0.11) находим
a=p(f + l) B(N, q; f + 2) + (f + \)B(N, q;
A0.13)
Далее, из формулы A0.5) легко заметить, что
В(п, q; X) = \-B(n, р; и-Х-\-\). A0.14)
По формуле A0.13), учитывая A0.4) и определение f,
получим
ll!LD, p; F)-(N~F)B(N, p;F+\),
A0.15)
367

откуда /
ASN = Er -\-Ea =——~-—[-?¦ "*" ' B(N, p\
1 Qi '/ Р v r
-{N-2F-l)B(N, р;Р+1)-{М-дГ)рВ(Ы9 р; F).
A0.16)
Выражение ASiV, даваемое формулой A0.16), можно
представить в более простом виде
p;
p; F + 1)], A0.17)
заметив, что
с г м; жду <io-i8>
Упражнение. Заметим, что тождество A0.18) следует из
того, что число непрерываемых траекторий в точку (Af+1, /)
равно сумме числа непрерываемых траекторий в точку (N, j) и в
точку (N, j — 1). Вывести A0.17) из A0.16) при помощи A0.5).
Функция ASN плана, показанного на рис. 10.5, зада-
задается формулой A0.17), где N=14, ^=3; она изображена
на рис. 10.8 сплошной линией.
Заметим, что для больших р математическое ожи-
ожидание числа сэкономленных испытаний является значи-
значительным; в то же время для выборки постоянного объ-
объема всегда требуется ровно 14 испытаний.
10.2.4. Усовершенствование укороченного выборочного
плана с целью его оптимизации
Выше мы рассмотрели ряд выборочных планов с од-
одной и той же ОС, но с различными ASN. Среди них
«наименьшим» ASN обладает укороченный выборочный
план. Поэтому среди рассмотренного множества пла-
планов он является наилучшим. Замечательно, что сущест-
существуют биномиальные выборочные планы, которые еще
больше уменьшают ASN и при этом функцию ОС остав-
оставляют почти неизменной. Если бы мы попытались сде-
сделать ASN еще меньшей, чем для укороченного плана,
368

оставляя максимально возможное число испытаний
неизменным (в нашем иллюстрированном примере этот
максимум составляет jV=14\to ОС изменилась бы
в сторону ухудшения, т. е. она стала бы более пологой.
Следовательно, значения L(p) йри р, меньших рс, но
близких к нему, рс уменьшились бы, а ее значения при
р больших, но близких к нему, увеличились. Если до-
допустить, что максимальное число наблюдений увели-
I
i/
i/
/_i
2
1
1
/
3
J
/
A
6
и
1
/
k
w
10
5
1
10
20
15
6
1
20
35
21
7
1
35
56
28
8
1
56
84
36
9
1
8k
120
U5
10
1
no
165
55
11
1
165
220
66
11
220
286
66
286
[286
5 W
Число испытаний
Рис. 10.9.
15
чится и даже станет равным бесконечности, то можно
добиться, как было сказано, чтобы ОС осталась почти
неизменной или даже улучшилась, a ASN уменьши-
уменьшилась *. Проиллюстрируем это положение. Сначала рас-
рассмотрим укороченный выборочный план, показанный
на рис. 10.6, а затем начнем его видоизменять, чтобы
уменьшить ASN.
На рис. 10.9 изображен снова выборочный план
рис. 10.6, причем показано, сколько траекторий приходит
в каждую точку.
Первым изменением будет перенос точки браковки
D,4) в C,3). На рис. 10.10 показан план, который по-
получается вследствие такого изменения; отмечено, сколь-
сколько траекторий приходит в каждую точку.
Единственное изменение ОС связано с сокращением
числа траекторий в точку приемки A4,3); вместо 286 оно
* Если допустить возможность неограниченного продолжения
испытаний, то становится важным распределение числа испытаний
до принятия решений (см. [5]).
24—1113 369

стало равным 285. Следовательно, если.?(/?) — ОС плана
рис. 10.9*, то L1(p) = L(p) — q11p3 будет ОС для плана
рис. 10.10. Таким образом, L1(p)<^L(p) при всех р, ма-
максимальное уменьшение равно 0,00069 и достигается при
о
/? = Т7=0,214. ASN также уменьшается при всех р на
величину р2(\—q11), которая при /?=1, очевидно, равна
12
1/
/1
2
1
/
3
3
1
3
6
1
/
3
9
10
5
1
9
19
15
6
1
19
34
21
7
1
34
55
28
8
1
55
83
36
9
1
83
119
45
10
1
119
m
55
11
1
m
219
66
11
219
285
66
285
285
5 10
Число испытаний
Рис. 10.10.
15
одному испытанию; при малых р эта величина намного
меньше и сводится к нулю, когда /7 = 0.
Упражнение. Показать, что уменьшение ASN в самом
деле равно р2 A — qu).
Чтобы уменьшить ASN также при малых значе-
значениях /?, сделаем следующее изменение. Переместим точ-
точку приемки A1,0) в плане рис. 10.10 ближе к началу
координат. По причинам, которые будут объяснены поз-
позже, новая точка приемки помещается в G,0). На
рис. 10.11 изображено это второе изменение укорочен-
укороченного выборочного плана рис. 10.9.
Оперативная характеристика L2(p) данного плана
изображена на рис. 10.11; она равна
p\ A0.19)
* L(p) была определена формулой (ЮЛ). Заметим, что L{p),
соответствующую рис. 10.5 или рис. 10.9, можно найти непосредст-
непосредственно, как
Цр) =q"+ U qllP+6Qqllffl+28Qql4fl. A0.1a)
(Показать, что A0.1) и A0.1а) совпадают.)
370

Таким образом,
A0.20)
) — q\ A0.21)
Можно подсчитать, что L2(p) отличается от L(p) не
больше, чем на 0,01 (когда р~0,3); ASN плана рис. 10.11
изображена на рис. 10.8 пунктиром. При /?>0,2 сред-
средняя экономия числа испытаний по сравнению с укоро-
укороченным планом составляет от 1 до 4.
6
\
1
у
/1
2
1
/
3
3
/
3
6
4
/
/
3
9
10
5
1
9
19
15
6
и
19
( )
21
7
1
34
55
28
7
55
83
35
7
83
118
42
7
118
160
k9
7 .
160
209
56
7
209
265
56
265
265
5 10
Число испытаний
Рис. 10.11.
15
Процесс усовершенствования укороченного выбороч-
выборочного плана можно продолжить, перемещая в направле-
направлении начала координат как граничные точки браковки,
соответствующие малой доле успехов, так и граничные
точки приемки, соответствующие малой доле отказов.
Рис. 10.12 иллюстрирует получаемый таким образом поч-
6
1
1/
1
2
1
3
3
1
Л
3
6
4
/
/
6
10
5
1
10
15
6
1
10 у
25
21
7
1
25
46
28
7
74
35
7
74
109
42
7
109 у
151
42
151
193
42
193
235
42
235
235
5 10
Число испытаний
Рис. 10.12.
15
24*
371

0,8
%0,6
I
0,2
\
\
\
1
у
\
\
\
\
\
\
\
\
0,1
0,<t 0,6
Вероятность отказа
Рис. 10.13.
У —см. рис. 10.12; 2 — см. рис. 10.5.
/
/
1
Ч;
2
к!
—
О ОЛ ОА 0.6 0.8 % КО
Вероятность отказа
Рис. 10.14.
/ — план рис. 10.15; 2 — план рис. 10.11; 3 — план рис. 10 12.
372

ти «оптимальный» план, ОС которого очень незначитель-
незначительно отличается от ОС укороченного плана (рис. 10.5 или
10.9), но зато ASN почти достигает минимально возмож-
возможного значения. На рис. 10.13 и 10.14 изображены ОС и
ASN для плана, показанного на рис. 10.12. В § 10.4 бу-
будет доказано, что план рис. 10.12 по существу эквива-
эквивалентен усеченному последовательному анализу Вальда
для биномиального параметра. Известно, что при опре-
определенных условиях неусеченный план Вальда является
оптимальным или почти оптимальным, где «оптималь-
«оптимальность» понимается в том смысле, что при заданной ОС
функция ASN настолько мала, насколько возможно.
10.3. КРИТЕРИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ БИНОМИАЛЬНОГО
ВЫБОРОЧНОГО ПЛАНА (ВЫБОРКИ ПОСТОЯННОГО ОБЪЕМА
ИЛИ УКОРОЧЕННОГО ПЛАНА)
В § 10.2 было оговорено, что эффективный выбороч-
выборочный план должен характеризоваться малой вероятностью
браковки при р < /7с и соответственно малой вероят-
вероятностью приемки при р ^> /?с. Это требование можно ис-
использовать для определения некоторого класса биноми-
биномиальных выборочных планов.
Выберем некоторое р\<рс и некоторое р2>Рс и по-
потребуем, чтобы вероятность браковки при р = р\ была не
больше <х, а вероятность приемки при р==р2 не пре-
превосходила р. а и ? — некоторые наперед заданные ве-
величины, по возможности малые; например а = 0,05, р =
= 0,10. Очевидно, это налагает условия на значения опе-
оперативной характеристики в двух точках ее области опре-
определения р\ и /?2.
Именно:
L(P) \-a,
Ввиду того что от ОС требуется убывание по /?*, при
p<pt !(/?)> 1—а, а при р>рЛ L(p)<$.
Применим теперь сформулированный критерий
к классу биномиальных выборок фиксированного объ-
* Достаточным условием этого является то, чтобы отношение
f/n для всех граничных точек приемки было меньше, чем для всех
точек браковки.
373

ема (см. рис. 10.7). Чтобы однозначно определить вы-
выборочный план такого рода, необходимо задать два па-
параметра: N — число испытаний и F— максимально допу-
допустимое число отказов в N испытаниях, при котором из-
изделия еще принимаются.
На основании A0.22) параметры N и F должны удо-
удовлетворять соотношениям
A0.23)
7=0
Знак неравенства в A0.23) употребляется потому,
что в общем случае невозможно найти такие целые
числа N и F, которые бы удовлетворяли A0.22); вместо
этого требуется, чтобы риск ошибки при p^Pi и /?</?2
был не больше соответственно аир. Например, можно
найти значения Nu F\ так, что L(p{) «несколько больше
1—a, a b(p2) несколько больше f5; тогда, возможно, зна-
значения Л^ + 1, F{ будут действительно удовлетворять <не-
равенства A0.23), так как L(p) —убывающая функция
N ори любом фиксированном р между 0 и 1.
Когда N -и F малы (скажем, N <20, F< 4), в общем
случае этого нельзя сделать, не предполагая, что L(p\) и
L(p2) также малы. Например, при а=р = 0,10, /?i = 0,13,
р2=0,41 условие Л^= 14, F = 3 дает L@,13) =0,9021,
6@,41) =0,1095; при tf=15, F = 3 имеем L@,13) =0,8796,
L @,41) =0,0785.
Первые значения хорошо согласуются с A0.22), но не
удовлетворяют неравенству A0.23).
Упражнение. На основании таблиц [4] найти параметры N
и F биномиального выборочного плана при /?i = 0,126, /?2=0,242,
ос = р = 0,10.
Ответ. N ^70% F = 12.
Чему будет равно среднее число испытаний в укороченном
плане, если истинная надежность равна 0,874 (= 1 — /?i)?
Из п. 10.2.3 уже известно, что ошибки обоих родов
(т. е. ошибочная приемка изделий с низкой надежно-
надежностью или браковка высоконадежных изделий) останут-
374

ся теми же, если выборку постоянного объема соответ-
соответствующим образом укоротить. Значит, при использова-
использовании критерия (/?i, a; p<i, P) оперативную характеристику
укороченного плана проще всего найти, рассмотрев план
с выборкой постоянного объема и пользуясь таблицами
[4]. Среднее число испытаний выражается формулой
A0.17); значения этой функции также можно найти по
таблицам [4].
Может случиться, что заданы только р2 и р. Это тот
случай, когда заказчик задается «минимально допусти-
допустимой» надежностью -/?2=1—Р2, которая должна быть
«подтверждена» производителем изделия с достоверно-
достоверностью v^l—Р- Например, если /?2=0,90, y = 0,90, to по
табл. П. 1 или из рис. П. 3 находим: выборка объема
N = 22 с условием jF = O дает такой метод испытаний, что
если в 22 испытаниях не произойдет ни одного отказа,
то требования по надежности будут удовлетворены.
Но рис. П. 3 показывает, что требуемому условию
удовлетворяет целое множество выборочных планов, на-
например,
{N, F) = B2,0), C8,1), E2,2), F5,3), G8,4)
и т. д. Если бы производитель платил за испытания
пропорционально их числу, то наиболее подходящим
был бы план с наименьшим N, а именно с N = 22. Одна-
Однако производитель должен учитывать возможность того,
что заданные требования не будут выполнены и он вы-
вынужден будет немедленно или через некоторое время
•возместить потребителю убыток.
В примере с N = 22y F = 0 для того, чтобы вероят-
вероятность подтверждения требуемой надежности составляла
по меньшей мере 90%, истинная надежность должна
быть 0,9952 или выше. Если производитель уверен в том,
что его 'изделия при использовании заказчиком будут
иметь 'надежность только 95%, он сделает вывод, что
вероятность выполнения заданного требования inpn ис-
испытании составит всего 32,4%.
Очевидно, в описанной ситуации производитель, если
он хочет, чтобы требуемые условия выполнялись с веро-
вероятностью 90%, использует план с большим числом испы-
испытаний.
В этом случае мы находим, что план должен харак-
характеризоваться параметрами pj.= 0,05, а=0,10, /?2=0,10,
375

Р = О,Ю; использовав приведенную выше методику
A0.22), шолучим, что Л^190, jF= 13 также удовлетво-
удовлетворяют дополнительным требованиям.
Если же необходимость постановки 190 испытаний,
возникшая ©следствие введения требования а = 0,10, свя-
связана с большими затратами производителя, то остается
единственный путь: увеличить истинное значение надеж-
надежности.
Упражнение. Показать, что если рх = 0,04, а = 0,10; р2=
= 0,10, р = 0,10, то этим требованиям удовлетворяют N^=117,
F = 7.
Каковы будут подходящие значения N и Т7, если рх = 0,03,
а = 0,10; /?2 = 0,10, 0 = 0,10? Вычислить в каждом случае среднее
число испытаний в укороченном плане, если R = 1—рх.
Если заказчик (например, (правительство) оплачи-
оплачивает стоимость испытаний, часто определяются не толь-
только /?2 и р, но и верхний 'предел числа испытаний. Произ-
Производитель должен либо выпускать продукт с достаточно
высокой надежностью, либо он вынужден будет платить
за дополнительные "испытания.
—¦... ч
10.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ БИНОМИАЛЬНЫХ
ПЛАНОВ ВАЛЬДА К ПОДТВЕРЖДЕНИЮ НАДЕЖНОСТИ
В in. 10.3.1 были .приведены некоторые примеры того,
какие следствия вытекают из требований к .подтвержде-
.подтверждению надежности в случае выборки постоянного объема
или укороченных выборочных планов. В настоящем «па-
«параграфе к этой задаче будут применены 'последователь-
'последовательные биномиальные планы Вальда.
Требования «к шлану такие же, как и в § 10.3, а имен-
именно (pi, a; p2, P). Используя оптимальный метод выбора
границы браковки (критической области) для выборки
постоянного объема, Вальд показал ([6], гл. 5)*, что
границы .приемки и браковки в случае более общего вы-
выборочного плана можно приближенно описать двумя па-
параллельными прямыми в плоскости «отказы — испыта-
испытания» с наклоном 5<1 **. Пример последовательного пла-
* Вместо обозначения (ро, Pi), употребляемого в цитированном
источнике, мы лишем (рь Рг).
** Последовательные выборочные планы Вальда имеют весьма
общие применения, выходящие за пределы биномиальной выборки.
См. по этому поводу ([6], гл. 3), и дальнейшие применения в гл. 7—9.
376

на Вальда показан на рис. 6.4. Формулы, определяющие
соответственно границу приемки и границу браковки
(я, On) и (п, гп), имеют вид *:
[]
log
log
log
log
Pi
Pi
log
P*
Pi
1 —
-log
1 —
1 —
-log
Pt
1 —
1 —
Pi
Pi
1 —
1 —
л
pi-
Рг
Pi-
,A0.24)
. A0.25)
Таблица 10.1
Граничные точки приемки и
браковки
Согласно описанию, 'приведенному в § 10.2, испытания
прекращаются решением о -прием.ке, если график (после-
(последовательности отказов
или успехов (я, /) впер-
впервые -попадает в какую-
либо из точек (п, ап)
в плоскости «отказы—
испытания». Аналогич-
Аналогично, если (я,/) = (я, г„),
то испытания прекра-
прекращаются и принимается
решение о браковке.
Постоянные ап, гп за-
зависят только от выбора
(Ри а;р2, Р),и их мож-
можно вычислить для про-
произвольного числа п до
•испытаний.
В табл. 10.1 шр'иве-
дены граничные точми
приемки >и .браковки
при числе испытаний,
не превосходящем 25,
для плана с (ри и; р2, р) = @,15; 0,10; 0,42; 0,10) эти
значения вычислены по формулам A0.24) *и A0.25).
* (Квадратньши скобками обозначено наибольшее целое число,
¦не 'превосходящее Ч'исла, стоящего в скобках.
Так, если в A0.24) выражение в скабках равно 3,25, то ап—3.
Если в A0.25) выражение в скобках равно —4,35, то —гпв —5
или гп=5.
377
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ап
ф #
0
0*
0*
0*
1
1*
1*
1*
• •
3
3
3
4*
4
4
4
5*
5
5
6*
п
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
2*
2*
3
3*
3*
3*
4
4*
4*
4*
5
6
6
6
7*
7
7
7
8*
8
8
9*
9
Примечание. Звездочками обозна-
обозначены недостижимые точки.

На рис. 10.15 дан вид граничных точек приемки.
Оперативную характеристику плана, показанного на
этом рисунке, можно получить из системы двух уравне-
уравнений*:
1 —
L<J>)=-
A0.26)
р=
=ъ) -
(й
A0.27)
Is
Ц
/
/
/
п
/
/
У
/
/
/
/
\
*
* >
т
ш
•
•
10 15 10
Число испытаний
25
Рис. 10.15. Последовательный биномиальный план Вальда.
/7,=0,15, а=0,Ю; р2=0,42, Р=0,Ю.
Чтобы найти L(p) как функцию р, следует выбирать
h от — оо до + со и затем по формулам A0.26) и A0.27)
вычислять соответствующие значения L(p) и р.
Упражнение. Показать, что по значениям
h = + оо, 1, 0, — 1, — оо
* Эти замечательные формулы для ОС являю-дся -частным слу-
случаем ,(для 'биномиальных выборочных иишнав) формул, выведен-
выведенных А. Вальдом в 1944 г., охватывающих более общие 'последова-
'последовательные выборочные шцаны Вальда.
378

получаются соответственно соотношения:
1@)= 1,
!(/>,) = 1-<»,
L(s) =
где s — общий „наклон" границ приемки и браковки, задаваемый
коэффициентом п в формуле A0.24). Указание. Следует найти
пределы A0.26) и A0.27) при h -* oo путем раздельного диффе-
дифференцирования числителя и знаменателя по h.
Коль скоро для некоторого Л>0 L(p) \и р найдены,
то для —h эти величины можно -найти намного 'проще,
чем по формулам A0.26) и A0.27). Для этого служат
формулы
где //, L(p')—координаты ОС, соответствующие —h.
Если ОС известна, то значения функции, показываю-
показывающей среднее число наблюдений, можно найти по следую-
следующей формуле:
L (P) log Tzra-[l - L (/>)] log YZTJ
ASN= r— \ A0.30)
В довольно общем случае, хотя и не всегда, максималь-
максимальное значение ASN достигается вблизи p=s; в этом
случае
379

Заметим, что логически .возможен и такой случай,
когда испытания .продолжаются неопраниченно долго,
никогда не заканчиваясь. Но как было замечено 'в §6.6,
вероятность такого события равна 0. Следовательно,
число v .испытаний, приводящих к .принятию решения,
обладает собственным распределением, т. е. событию
v = oo соответствует нулевая вероятность. Было также
установлено, что все моменты (среднее, дисперсия и т. д.)
Ь
/
у
/
/
J
L
5 ~ J0
Число испытаний
Рис. 10.16.
15
этого распределения существуют и конечны *. В частно-
частности, E(v)=ASN выражается формулой A0.30). В [5]
приведены трафики стандартного отклонения (корня из
дисперсии) случайной величины v для некоторых при-
примеров биномиальных выборочных планов. Эти графики
показывают, что .колебания числа испытаний могут быть
значительными, т. е. частные значения числа испытаний
до принятия решения, соответствующие плану Вальда,
могут с высокой вероятностью превосходить число испы-
испытаний в выборке .постоянного объема (§ 10.3), построен-
построенной по тем же рь а; /?2, р. Однако если сравнить ASN
плана Вальда с числом испытаний в выборке постоянно-
постоянного объема (или даже с ASN укороченного плана), то
всегда обнаруживается, что план Вальда характеризует-
характеризуется наименьшим средним числом испытаний до принятия
решения.
* С. Stein. A note on cumulaitive sums. Ann. Math. Statist.,
, v, 17, p. 498—499.
350

Упражнение 1. Вычислить ОС и ASN для плана Вальда;
задаваемого (параметрами (рь а; р2, р) = @,16; 0,10; 0,42; 0,110). -Вы-
-Вычертить их как функции от р. Сравнить с выборкой постоянного
объема, построенной по тем же значениям параметров.
Упражнение 2. Заменить план, показанный на р<ис. 10.15,
усеченным лла'ном, апраадичйв чи'сло испытаний !114-ю и юделав '(il4-C)
точкой приемки. Показать, что усеченный план будет таким, как на
рис. 10.16. Заметим, что данный план отличается от показанного
на рис. 10.12 только тем, что точкой границы приемки, ближайшей
к началу координат, будет ((б,0) вместо G,0).
Вычислить ОС и ASN для усеченного плана Вальда по мето-
методам § 10.2.
Приведенное упражнение иллюстрирует замечание,
сделанное ib «конце л. 10.2.4. Оно доказывает, что по-
построение «оптимального» усеченного биномиального
выборочного плана можно упростить, если отправляться
от (последовательного ллана Вальда с параметрами
(Рь а; р2, Р), который следует усечь и далее поступить
так, как в упражнении. Следует сначала задаться не-
сколыко меньшими а и р, чем требуемые, (поскольку
вообще в результате усечения обычного последователь-
последовательного ллана Вальда эти ош'ибки немного увеличиваются.
10.5. ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ, ОСНОВАННЫЕ
НА ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
Методы § 10.2—10.4 можно без изменения перенести
на тот случай, когда имеется подходящая модель, опи-
описывающая характеристики отказов устройства. В этом
случае существует функция распределения Р (т<<) =
= /r>(tf), вид которой может -быть -известен или неизвес-
неизвестен; эта функция может зависеть от одного или несколь-
нескольких .параметров, которые также могут быть известными
или неизвестными. Если требуемое время работы устрой-
устройства равно Т и (при этом -каждое испытание состоит
в проверке, проработало ли данное устройство время Г,
то, очевидно, в этом случае для (подтверждения надеж-
надежности применимы биномиальные выборочные методы.
Подчеркнем, что в данной главе еще .не использова-
использовалась информация о «форме» распределения времени
безотказной работы. Белл это мож.но сделать, т. е. если
мы знаем характеристики отказов лли можем сделать
относительно этих характеристик разумные предположе-
предположения, то следует ожидать, что подобная информация
улучшит выборочные методы. Другими словами, мы мо-
381

жем (повысить доверительный уровень или гарантируе-
гарантируемую надежность ил'и уменьшить объем выборки, необ-
необходимой для подтверждения заданного уровня -надеж-
-надежности. Когда известен вид -распределения времени без-
безотказной работы, возникают две смежные задачи:
1. Возможно л'и подтвердить заданную надежность,
если нельзя или нежелательно испытывать все изделия
в течение времени Г, а можно только какое-то время Т'?
2. Каким образом использовать информацию о на-
наблюденных наработках (поскольку интуитивно чувст-
чувствуется, что дополнительная информация может хотя бы
сэкономить некоторое количество испытаний и (при этом
не снизить требований к результатам испытаний)?
Решение обеих задач, очевидно, зависит от знания
аналитического вида распределения времени безотказ-
безотказной работы, а также некоторых параметров этого рас-
распределения. %
В следующих параграфах будут даны некоторые вы-
выборочные планы испытаний на надежность, основанные
на однопараметрическом показательном распределении
(п. 6.8.1).
В § 10.6 мы обобщим метод биномиальной выборки,
чтобы изучить случай, когда желательно испытывать
каждое изделие на протяжении времени •/, вообще гово-
говоря, отличное от требуемого времени работы Г. Будет
также показано, что те же методы можно применить
в случае, когда распределение времени безотказной ра-
работы имеет общий вид (см. п. 6.8.3.1). В § 10.7—10.9
рассматриваются выборочные планы испытаний на на-
надежность, в которых время испытаний может варьиро- '
ваться экспериментатором или использоваться информа-
информация о наблюденных моментах отказов. Однако в этих
случаях представленные методы, вообще говоря, приме-
применять нельзя, если основное распределение времени (без-
(безотказной работы отлично от показательного и имеет об-
общий вид, оговоренный в п. 6.8.3.1. Это обстоятельство
вызывает сожаление, поскольку оно ведет к необосно-
необоснованно широкому использованию показательного распре-
распределения, особенно в области электроники, в качестве ос-
основного распределения <прн оценке надежности и по-
построении выборочных планов. Хотя характеристики от-
отказов многих элементов следуют показательному закону
распределения, на некоторые из них этот закон не вли-
382

яет, и поэтому следует производить тщательную провер-
проверку правильности .предпосылок. Эпстейн * описывает ис-
испытания, целью которых является проверка указанного
предположения. Ошибки, к которым (приводит использо-
использование локазательного распределения в случае, когда
действительное распределение относится к типу распре-
распределений Вейбулла, исследовались Зеленом и Даннемил-
лером **. Однако если в качестве распределения времени
безотказной работы элемента можно принять (показа-
(показательный закон (как мы уже видели из приложения 9Б,
•при .некоторых условиях в случае сложной системы этот
зако'н допускает обоснование), то на этом основании
можно строить различные выборочные методы.
10.6. ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ ПРИ ВРЕМЕНИ
ИСПЫТАНИЯ, ОТЛИЧНОМ ОТ ТРЕБУЕМОГО ВРЕМЕНИ
РАБОТЫ
Основное требование состоит в том, чтобы устройство
проработало время Г; вероятность такого события опре-
определяет его надежность R. Если время безотказной рабо-
работы х имеет ^показательное распределение, то
R = *~TI\ A0.32)
где 0—средняя наработка на отказ или средняя «про-
«продолжительность жизни». В соответствии с принципом,
установленным в § 10.1, требуется определить нижний
доверительный 'предел RL с доверительным уровнем у,
т. е. требуется выполнение условия
A0.33)
Если выборочный план позволяет делать вывод о том
л
что RL<R с доверительным уровнем у, то мы будем
говорить, что надежность RL подтверждается с достовер-
достоверностью
* В. Epstein, Tests for the validity of the assumption that the
underlying distribution of life is exponential. Part I, Technometrics,
1960, February, v. 2, № 1, p. 83; part II, Technometrics, May 1960,
v. 2, '№ 2, p 167.
** M. Z e 1 e n, M. C. D a n n e m i 11 e r. The robustenss of life
testing procedures derived from the exponential distribution. Tech-
Technometrics, 1961, February, v. 3, № 1, p. 29.
383

Выборочный метод определяется следующим обра-
образом. На 'испытания ставится одновременно * N изделий;
через время i фиксируется число отказов. Если оно не
превосходит некоторого заданного предела F, то задан-
заданное значение надежности RL, -считается обеспеченным
с достоверностью у; в противном случае констатируется,
что .надежность не подтверждена.
Чтобы показать, как вычисляются параметры (Л/, F),
А
допустим, что RL — фиксированная надежность, которую
необходимо подтвердить с достоверностью у при длитель-
длительности работы Т. Тогда нижний доверительный предел 6L
среднего времени безотказной работы б с доверительным
уровнем у определяется, как показано в § 8.1, путем ре-
решения уравнения
А
e~T19L = RL A0.34)
А
относительно bL:
log —
ч
Далее, если выбрано время испытаний t, вероятность
отказа отдельного изделия за это время будет рв =
= 1 — е~~'/9. Следовательно, верхним доверительным пре-
А
делом рв с доверительным уровнем у является ри =
А
= 1—е~~ L. Мы находим, что к этой задаче можно при-
применить метод биномиальной выборки, так как все опре-
определяется значениями N и F; если происходит не более F
отказов, то согласно результатам приложения 8А (теперь
А
фиксированная) величина ри будет верхним доверительным
пределом рг
* Это делается для того, чтобы быстрее прийти к решению. Чи-
Читатель легко заметит, что изделия можно было бы испытывать по
одному, каждое на протяжении временя t (получится более дли-
телыное 'испытание); к такому плану (непосредственно применимы ме-
тоДы § 10.2—10.4. Здесь не рассматриваются испытания с заменой,
когда отказавшие изделия немедленно заменяют новыми и когда
среднее время испытаний становится еще меньшим (см. п. 10.7.2
и [9]).
384

Заметим, что (между описанной здесь биноминальной
выборкой и той, которая описана iB § 10.2, имеется су-
существенное различие. Оно состоит в том, что N изделий
ставятся на испытания одновременно. Выборочное про-
пространство состоит из множества наблюдений в момент
t\ 0, 1,2,..., jV, соответствующих возможному количеству
изделий, отказавших за время испытаний; однако не-
невозможно наблюдать траектории, т. е. последовательно-
последовательности успехов и отказов. Тем не менее все же можно вос-
воспользоваться геометрической 'интерпретацией биноми-
биномиальной выборки inpn шомощи плоскости «отказы—-испы-
«отказы—-испытания»: ниже будет показано, что возможно частично
укоротить рассматриваемый выборочный план.
Пример. Электронная лампа определенного типа должна
проработать 1 000 час, причем требуется, чтобы ее оперативная
характеристика за это время не вышла за допустимые пределы.
Заказчик требует, чтобы была обеспечена надежность 0,90 с до-
стоверностьк) 90%. На испытания поставлено 75 ламп; испытания
длятся 3 недели E00 час). Если предположить, что время безот-
безотказной работы распределено по показательному закону (считая
отказом выход параметра за заданные пределы), то какое следует
допустить максимальное число отказов F, при котором требуемая
надежность будет обеспечена с требуемой достоверностью?
Решение. Имеем #L = 0,90, T =1000, следовательно, на
основании A0.35)
1 000
Так как / = 500, то
ри = 1 _ е-500/9500 = 1 - е-°>5263 = 0,0513.
Из рис. П.З G = 0,90) находим F=U
Заметим, что если N и F не определены, то они находятся
в нашем распоряжении. Позлее мы еще вернемся к этому вопросу.
Для удобства в табл. П.2—П.6 представлены объемы
выборки N, соответствующие значениям F при задан-
заданных tjbL и у (см. табл. П.2—П.6 [7]). К тому же для
определения F и N кроме таблицы можно воспользоваться
рис. П.1—П.5 (подобно тому как в предыдущем примере
был использован рис. П.З).
Покажем теперь, как выборочный план можно час-
частично укоротить. Предположим, что за испытаниями
можно наблюдать (непрерывно, так что в любой момент
25—1113 385

из интервала @, t) известно, сколько до этого момента
произошло отказов. Тогда, коль скоро число отказов ста-
стало равным F+1, можно прекратить испытания и принять
решение, что требуемая надежность не подтвердилась.
Очевидно, это то же самое, что (переместить точки обла-
области брако-вки (N, /), где F+KJ<N, в точки (N—/ +
+ F+1, F+1), как это сделано в л. 10.2.3. Заметим, что
с точками приемки нельзя сделать соответствующего
укорачивания: какое бы малое время ни осталось до
коада испытания (/), всегда существует возможность
того, что даже все /V изделий откажут.
Интересно отметить следующие стороны описанного
укорачивания.
1. Те N—F—1 изделий, которые не отказали, имеют
такое же качество, как и новые, независимо от того,
сколько они проработали; это является следствием того,
что распределение времени безотказной работы — пока-
показательное. Таким образом, вследствие этого основного
предположения контроль не является разрушающим для
неотказавших изделий.
2. Укороченный ллан характеризуется случайной ве-
величиной %\ — временем до окончания испытаний. Х\ при-
принадлежит интервалу времени @, t). Математическое
ожидание времени испытаний, как показал Эпстейн *,
равно
F + 1
где />, = 1 —
Из A0.36) видно, что среднее время испытаний является
функцией истинной средней наработки изделия на от-
отказ 6.
* В. Epstein. Truncated life tests in «the exponential case.
Ann. Math. Stat., U954, v. Bi5, p. '595—'564, формулы i(.2O), 'A) и A0);
В. Epstein and M. S о b e 1. Sequential life teats in the exponen-
exponential case. Ann. Math. Stat.,'Г9Э5, v. 26, .p. 8l2—93, см. р. 86.
386

Для очень малых 9 следует ожидать быстрого окон-
окончания испытаний; если же 0 велико, то испытания скорее
всего займут все время t. Например, при F = 0 в A0.36)
будет отличен от нуля всего один член:
sN-1
A0.36')
К) - t.
При О -> 0 Ее (хх) -> 0; если же б -> оо, то Efa
так как lim(J(l — e~m) = t.
9->оо
До сих пор мы специально не занимались вероятностью
подтверждения надежности в том случае, когда истинная
наработка на отказ 6 намного больше, чем bL. В табл. 10.2
(см. [7]) представлены такие отношения 8 к 8L, что если
истинная наработка на отказ равна 6, а допустимое число
отказов взято равным F, причем требования характери-
характеризуются параметрами 6L и у = 0,90 (табл. П.5, рис. П.З),
то вероятность подтверждения надежности будет 0,95.
А
Оказывается, что отношение 8/8L практически независимо
от времени испытаний t, так что параметр t в табл. 10.2
не входит.
Таблица 10.2
F
0/0L
0
40
1
И
2
6,7
3
5,0
4
4,1
5
3.6
6
3.3
7
3,1
8
2,9
9
2,7
10
2,5
Табл. 10.2 можно использовать для однозначного опре-
определения плана из табл. П.5, рис. П.З (у = 0,90) при учете
дополнительной информации об истинной средней нара-
наработке в.
Пример. Пусть GL = 9 500 час, t = 500 час, z = 1 000 час,
Y=0,90. Предположим далее, что 0 примерно равно 47 500 час.
По табл. 10.2 находим, что при 0/0L = 5,0 F = 3. Далее из
рис. П.З. находим, что если при испытании W^rl30 изделий на
протяжении 500 час произойдет не более 3 отказов, то будет
обеспечена надежность 0,90 (соответствующая 9 500 час работы)
с достоверностью 90%. Вероятность подтверждения надежности
будет составлять 95%. Испытания на надежность, характеризую-
25* 387

щиеся параметрами F = 0, iV = 44, ? = 500, будут эквивалентными
только что рассмотренным, с тем лишь отличием, что для обеспе-
обеспечения 95%-ной вероятности подтверждения надежности необхо-
необходимо, чтобы истинная наработка на отказ составляла 46X9 500 =
= 437 000 час. Очевидно, если истинная наработка на отказ лишь
немногим больше минимально допустимого значения §L , для до-
достаточно высокой вероятности подтверждения надежности тре-
требуется весьма большой объем испытаний. В этом случае главным
фактором может оказаться стоимость, и необходимо принять
меры к тому, чтобы сбалансировать убыток вследствие большого
числа испытаний и убыток вследствие браковки.
10.6.1. Обобщение на частично известную интенсивность
отказов
Методы предыдущих параграфов могут быть рас-
распространены на такой случай испытаний на надежность,
когда основная функция распределения времени безот-
безотказной работы имеет вид
G(t; в) = 1 -ехр [-{Я(/; &, ра,...)]. A0.37)
где Рь fb,. •• — известные (или полагаемые известными)
параметры, а б—единственный неизвестный параметр.
Это обобщение было рассмотрено «в п. 6.8.3.1.
Пример. Предположим, что основная функция распределе-
распределения времени безотказной работы имеет вид
Р (х <: /) = pQ = 1 — е~*2/9, Г>0 (функция распределения Вейбулла),
где 0 > О— неизвестный параметр. (Показать, что средняя нара-
наработка на отказ р. = у j/d0.) Чтобы подтвердить требуемую на-
надежность 0,90 (Т =1000 1 час) с достоверностью у = 0,90 при
500-часовых испытаниях, найдем
§L = ^-т— = 9,5ХЮв,
log (\IRL)
откуда
ри=\—е ' L = 0,0260.
Если N— 150, по рис. П. 3 находим, что F—\. Мы видим, что
это более строгое требование, чем в случае показательного основ-
основного распределения (см. пример на стр. 385).
388

Упражнение 1. Использовав данные приведенного при-
примера, рассмотреть двухпараметрическое распределение Вейбулла
(п. 6.8.2)
Р(х<0 = Ре==1-е^8, *>0, 6>0,
для которого известно, что $=-сГ.
(В [8] представлено большое количество выборочных планов для
распределения Вейбулла времени безотказной работы*.
Упражнение 2. Применить результаты данного пункта к
распределению крайнего значения (п. 6.8.3).
10.7. ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ИНФОРМАЦИИ О НАРАБОТКАХ ДО ОТКАЗОВ
(ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)
10.7.1. Испытания до отказа всех элементов
В данном случае на испытания ставится выборка из
N изделий. Испытания заканчиваются, когда все они от-
кажут; ори этом записываются наработки до отказов
*/ь ..., tNy отсчитываемые от >мо*мента начала работы из-
изделия. Требуемое время работы изделия при его после-
последующем применении составляет Г. Желательно .под-
А
твердить надежность RL с достоверностью у. Каким дол-
должен быть объем выборки N <и какой следует принять
критерий для того, чтобы определить, удовлетворяют ли
изделия 'поставленным требованиям?
Метод решения этих задач основывается на формуле
(8.14). В наших обозначениях должно выполняться со-
соотношение
[?%1 A0.38)
* Планы [8] сформулированы таким образом, что требуется под-
подтвердить заданную наработку на отказ. Чтобы переформулировать
это требование как подтверждение надежности, необходимо выбрать
требуемую длительность работы Г и затем сопоставить надежность
средней наработке F.103) при <х^0 и X = -g>
389

где
N
N
ИЛИ
4-> X2N;1~l . A0.39)
1 2N log (\/RL)
Пример. Пусть RL = 0,90, у =0,90, Т = \ 000 час, N=-75.
Какой принять критерий для решения о том, обеспечена ли тре-
требуемая надежность?
Из A0.39) и по табл. П. 8. находим
2о1г~Т ^ 1&кп'10 = 1'155' l°g"Г- =0,10535,
откуда
х A,155)A000) __
""" 0,10535
Следовательно, если выборочное среднее наработок до отказов
больше 10 960 час, то требуемая надежность 0,90 будет подтверж-
подтверждена с достоверностью 90%.
По табл. П.7 можно найти нижние пределы для ста-
статистики б/Г при у = 0,80, 0,90, 0,95; ?L = 0,90, 0,95,
0,99, 0,995 и N = 5, 10, 15, 25, 50, 100, 250 и 500. Если
подходящее значение в табл. П.7 меньше, чем 6/Г, то
соответствующая надежность RL будет подтверждаться
с достоверностью у«
Пример. Предположим, что выборка объема W не фиксиро-
фиксирована, как в предыдущем примере, а требуется, чтобы при истин-
истинной надежности R = e~~T^ = 0,95 вероятность подтверждения
была 0,95. Какими должны быть объем выборки и критерий при-
принятия данного решения?
Обозначим через L@) вероятность прохождения контроля,
т. е. вероятность приемки при истинном значении 0. Тогда
[см. (8.12)] получим
0 ^ *2N; 1@) J — 1 — ^ F).
390

Значит, если R = е ^ и 1@) является фиксированной, то
будем иметь
В данном примере L@) = O,95, /? = 0,95. Значит, должны од-
одновременно удовлетворяться следующие два соотношения:
* 2
9 X2N;0,95
Г ^ 2М log A/0,95) ' (Ш.41а)
Г ^ 2Л^ log A/0,90) * U
Правая часть A0.41а) является возрастающей функцией N, а
A0.416)— убывающей функцией N (см. табл. П. 8); следовательно,
найдется такое единственное минимальное значение N, которое
удовлетворит обоим требованиям). В данном примере совместная
система неравенств A0.41а), A0,416) дает
A0.42)
log A/0,90) '0,10535
ПОСКОЛЬКУ log A/0,95) = 0,05219 = 2'054-
По табл. П. 8 находим, что требуемым объемом выборки будет
2N = 35 или TVs-18. Далее, критерием приемки будет
8^ Т Ы ==100° 010535 =1253°-
8^ Т Ы '0,10535 ==100° 0,10535
Мы обращаем внимание читателя на тот факт, что, хотя испыты-
вается меньшее количество изделий A8 вместо 75), для обеспече-
обеспечения требований по надежности наблюдения средняя наработка
должна быть большей.
10.7.2. Испытания до отказа г изделий (r<N)
В данном случае на испытания ставится также N
изделий. Испытания заканчиваются в момент, когда от-
отказывает r<N изделий, при этом записываются нара-
наработки отказавших элементов <ь..., tr, отсчитываемые
с момента начала испытания. Очевидно, подобный план
включает в качестве частного случая план, описанный
в п. 10.7.1. При решении задач § 10.6 применяется также
дополнительный прием; это немедленная замена отка-
391

завших изделий *. В этом случае число испытываемых
изделий 'постоянно равно N, в то яремя как три отсут-
отсутствии замены это число в случайные моменты времени
уменьшается, достигая, в конце концов, значения N—г +
+ 1. Польза подобного вида испытаний в там, что вывод
о надежности можно сделать быстрее, чем в случае, ког-
когда мы будем ждать отказа всех изделий. Разумеется,
это приемлемо лишь тогда, когда испытание дополни-
дополнительных изделий оправдывается сэкономленным време-
временем испытаний. «Дополнительные изделия» — это не
только те, которые ставятся взамен отказавших; чтобы
выполнить заданные требования по надежности, необхо-
необходимо увеличить также число N испытываемых изделий
по сравнению с тем случаем, жогда все изделия испы-
тываются до отказа.
Можно показать, что как при замене, так и без
нее [10] 2гбг N/6 имеет распределение х2 с 2г степенями
А
свободы, где г9г N — суммарная наработка (всех элемен-
элементов, отказавших и не отказавших) к моменту окончания
испытаний. Это означает, что к рассматриваемому случаю
можно непосредственно применить критерий оценки на-
надежности п. 10.7.1. Остается только в табл. П.7 заме-
заменить 0 величиной 0r N и вместо N взять г.
Пример. Пусть ?L = 0,90, Г =1000 час, г = 75, N^75.
Требования по надежности такие же, как и в первом примере
п. 10.7.1. Тогда если е^5 ^ > 10 960 час, то требуемая надежность
0,90 будет подтверждена с достоверностью 90%.
Исследуем теперь роль параметра N в приведенном
примере. В [11] показано, что среднее время ожидания
до г-го отказа (или время ожидания Х\ до принятия ре-
решения при испытании без замены N изделий) равно
* В [9] рассмотрен тот же метод испытания, что и в § 10.6,
с иной точки зрения; там разобран также случай замены, не охва-
охваченный § 10.6.
392

Соответственно для испытаний с заменой согласно [9]
?*oo=if. A0-44)
1. При испытаниях без замены можно определить сред-
среднюю экономию времени до принятия решения при любом
объеме выборки N^r по сравнению с объемом N = r.
Для этого следует вычислить отношение
(ia45)
Можно показать, что величину lSR хорошо приближает*
' <ia46>
Я*«~ log (г+ '/.) + * '
Упражнение. Каким должен быть в предыдущем примере
объем выборки N, чтобы по сравнению со случаем N = г = 75
снизить среднее время до принятия решения на 50%?
Ответ: tf = 81,6 =5г 82.
2. При испытаниях с заменой отношение средних дли-
длительностей ожидания будет равно
Упражнение. Исходя из того, что для выборочного плана
должны быть выполнены условия /?L = 0,90, y=0,90, T =1000 час,
N
* Cm. n. 11.3.2, где d = j ! -r ^log ( N + -j ) + E (E — no-
стоянная Эйлера, равная 0,577215665. . . ). При помощи этого вы-
выражения легко из A0.45) получить A0.46).
393

г = 75, вычислить среднее время ожидания до принятия решения
А
если 8 = 8^ = 9492 час, в случае испытаний с заменой и без за-
замены, взяв N = 75, 82, 100, 200 и 500.
Ответ.
N
75
82
100
200
500
Среднее время ожидания при испытаниях, час
с заменой
9 492
8 682
7119
3 560
1424
без замены
4,9014 (9492) = 46 524
2,3979 (9492) = 22 761
1,3715 (9492) = 13 018
0,4685 (9492)= 4 447
0,16234 (9492)= 1541
К этому упражнению можно сделать следующее за-
замечание. При заданном N не имеет смысла сравнивать
средние длительности ожедания, шоскольку в случае за-
замены испытываются N + r—1 изделий, а в случае отсут-
отсутствия замены — всего N изделий. Однако если предпо-
предположить, что неотказавшие изделия ничем не отличают-
отличаются от новых (как получается из теории), а следователь-
следовательно, ничего не стоит увеличить число одновременно испы-
испытываемых изделий или брать дополнительные изделия
для замены отказавших (скажем, вместо того чтобы
пускать их в продажу), то с точки зрения временных
характеристик предпочтительнее производить испытания
с заменой, ^поскольку в любом случае «тратится» г изде-
изделий.
Ниже приводится модель стоимости, предложенная
Эпстейном [12]. Она показывает, что: 1) как при замене,
так и в другом случае можно выбрать такое N, что стои-
стоимость испытаний сведется к минимуму, и 2) самый эко-
экономичный план без замены характеризуется стоимостью,
не превосходящей стоимости самого экономичного пла-
плана с заменой.
10.7.3. Модель стоимости для испытаний на надежность
(пример)
Предположим, что необходимо удовлетворить неко-
некоторым требованиям по надежности, причем можно ис-
использовать выборочные планы как с заменой, так и без
замены. Из заданных требований следует, что в обоих
случаях в конце испытаний должно быть г отказавших
394

изделий. Пусть NR обозначает число изделий, которые
ставятся на испытания в начальный момент и заменяют-
заменяются новыми в случае испытаний с заменой; NNR— число
изделий, которые ставятся на 'испытания в случае испы-
испытаний без замены. Далее, пусть С\ —стоимость единицы
времени ожидания окончания испытаний; С2 — стои-
стоимость постановки на испытание одного изделия. Тогда
математическое ожидание общей стоимости испытаний
с заменой согласно A0.44) будет равно
Л ^^ + г-1), (Ю.48)
а в случае испытаний без замены согласно A0.43)
ИЛИ
(Мы использовали приближение A0.46), где в каждом слу-
случае б равно истинной наработке на отказ.) Для каждого
метода в отдельности можно найти значение NR или NNRf
минимизирующее математическое ожидание общей стои-
стоимости, использовав обычные приемы нахождения наимень-
наименьшего значения функции. Для оптимального метода с за-
заменой получим
A0.50)
(при этом следует взять то из двух ближайших целых
чисел к правой части данной формулы, при котором CR
меньше).
Для оптимального метода без замены имеем
где также берется одно из двух ближайших целых чисел,
минимизирующее CNR.
395

Пример. Пусть С,= 1, С2=100, г =10, 9 = 1000. Тогда
NR= ]Q n NNR = l6. На основании A0.48) минимум математиче-
математического ожидания общей стоимости испытаний будет в каждом слу-
случае равен
CR = 1 000 + 1 900 = 2 900 A0.48')
и на основании A0.49а)
CNR = 932 + 1 600 = 2 532. A0.49а')
Таким образом, испытания без замены оказались более эко-
экономичными, чем испытания' с заменой. Докажем, что и в общем
случае CNR не может быть больше CR*.
Для упрощения записи положим
С» iu f
и будем обозначать оптимальные значения NR, CR} MNR , CNR со-
соответственно символами NR, CR; NNR , C^R .
На основании A0.48)
С7==тГ+^ + г-1- (Ю.52)
Затем определим
Целое число NRN не обязательно будет равно значению Af^ ,
минимизирующему CNR . Далее,
—г—^""с—» A0.53)
где CNR — математическое ожидание общей стоимости в случае
испытаний без замены при MNR = NNR . Использовав точную фор-
формулу A0.49) для CNR и определенное NNR , получим
С2
, . J 1 I
J 1
(если г>1, неравенство будет строгим; если г = 1, оно перейдет
в равенство).
* Это доказательство принадлежит (Рилею (J. D. 'Riley. Space
Technology Laboratories. Inc.)
396

При помощи A0.52) находим
С
-?2-<J- + r + IiR-\ = 7?. A0.55)
С2 Nr к С2
Тогда из A0.53) и A0.55) следует
Cnr<Cr> ' A0.56)
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если г=1, то, очевидно,
Замечание 2. При d = 0, С2 > 0 должно быть Л^=1,
%Д = Г и Cr = CS = Cnr-
Замечание 3. Если Ci]>0, С2 = 0, т. е. постановка изде-
изделий на испытания ничего не стоит, тогда оптимальные значения
Mr и ^nr Равны бесконечности, откуда получается, что CR и
CNR равны нулю.
Замечание 4. Во всех остальных случаях CNR <^ С^, т. е.
имеет место строгое неравенство.
10.8. УСЕЧЕННЫЕ И ЦЕНЗУРИРОВАННЫЕ ИСПЫТАНИЯ
НА НАДЕЖНОСТЬ
В этом случае любое изделие испытывается время,
не большее t. Если, скажем, / = е изделие отказывает
в .момент tj<ty то это время фиксируется. Если изделие
не откажет за время /, то это фиксируется как успех;
в любом случае немедленно выбирают новое «изделие и
ставят его на испытания. Процесс продолжается до тех
пор, 1пока 'не наберется г отказов. В результате получит-
получится информация в виде tu ..., ir и числа изделий, кото-
которые не отказали. Число г задается заранее; следова-
следовательно, общее число испытываемых изделий заранее не
известно, а является случайной величиной. Вре(мя •/ на-
называется 1Временем усечения. Этот метод называется цен-
зурированным, поскольку мы знаем только число тех
изделий, время безотказной работы которых превзошло
397

бы / *. В случае^показательного распределения времени
безотказной работы можно показать [13], что 2S/0 имеет
распределение %2 с 2г степенями свободы, где 5 — сум-
суммарная наработка всех изделий, отказавших и не отка-
отказавших, т. е.
, S = ?/, + (#-О'. A0.57)
а N — общее число изделий, участвовавших в испытании.
А
Если необходимо обеспечить требуемую надежность RL
с достоверностью у» причем требуемое время работы
составляет 71, для получения критерия можно поступить
так же, как и в п. 10.7.1. Так, из A0.39) путем замены О
величиной S/r и N величиной г находим, что этот крите-
критерий имеет вид
К2г, 1—Т
log
(t)-
Пример. Пусть /?L = 0,90, 7 = °»90» Г =1000 сек, г = 75.
Какой следует использовать критерий, чтобы решить, выполняется
ли заданное требование по надежности?
Из A0.58) и по табл. П. 8 (интерполируя) находим:
2 2
Х2г; 1-т _ Х150; 0,10 __
2г — 150 — ]>155>
log -^— = 0,10535,
* Альтернативный метод испытаний, в котором число испыты-
испытываемых изделий N фиксируется заранее, изложен в [14]. В этом
случае все N изделий можно испытывать одновременно; если какое-
либо изделие не отказало за время г, то его не рассматривают.
Число г наблюденных отказов и наработки tu ..., tr будут случай-
случайными. Этот пример находит применение в п. 12 6.7 в качестве осно-
основания случайно планируемого эксперимента. Недостатком этого ме-
метода является то, что чисто случайные эксперименты неосуществимы.
398

откуда
A,155) A 000)
S> 76 0 10535 =75 A0'96°) = 822000 сек-
Следовательно, если общая наработка (время ожидания до окон-
окончания испытаний) всех элементов больше 822000 сек, то требуе-
требуемая надежность 0,90 будет обеспечена с достоверностью 90%.
Как и в п. 10.7.1 и 10.7.2, по табл. П.7 находятся
А
нижние пределы статистики S/rT для значений
Y = 0,80; 0,90; 0,95; ?Л = 0,90; 0,95; 0,99; 0,995
и
г = 5, 10, 15, 25, 50, 100, 250 и 500.
Л
Если S/rT превосходит подходяще выбранное значение
А
из табл. П.7, то соответствующая надежность RL будет
подтверждена с достоверностью у.
Рассматриваемый метод может потребовать чрезмер-
чрезмерного времени до принятия решения. В этом, случае сред-
среднее время ожидания равно гб. Действительно, математи-
математическое ожидание случайной величины, распределенной по
закону х2 с 2г степенями свободы, равно 2г (предлагаем
читателю убедиться в этом, использовав формулу G.13)
и тот факт, что 25/6 обладает указанным * распределе-
распределением). Заметим, что время испытания одного изделия t
не входит ни в критерий, ни во время ожидания; таким
образом, выбор t является произвольным. Однако ниже
мы увидим, что его значение влияет на математическое
ожидание числа испытываемых изделий.
Снижение среднего времени ожидания достигается
путем одновременной постановки на испытания г изде-
изделий. Если все изделия откажут до 'момента t, испытание
заканчивается. В 'противном случае, если за это время
откажет лишь f{ изделий, то берется г—f\ изделий и они
ставятся на испытания также на время /. Если необхо-
необходимо, процесс повторяется, причем всякий раз на испы-
испытания ставится число изделий, равное разности между г
и накопленным числом отказов. Когда набирается г от-
отказов, испытания 'прекращаются. Можно показать, что
в этом случае сокращается среднее время ожидания до
окончания испытаний, а критерий остается неизменным.
399

Другим лутем снижения среднего времени ожищания
является прекращение испытаний в -момент, когда про-
произойдет выполнение критерия A0.58), если только это со-
событие (произойдет, или в момент, когда накопится г от-
отказов. Дополнительное время 'испытаний может лишь
увеличить значение SfrT сверх требуемого предела. Та-
Таким образом, 'план можно усечь решением о приемке
(т. е. когда выполняются требования по надежности), но
не решением о браковке, .противоположным условию
§ 10.6.
Математическое ожидание E(N) числа испытываемых
изделий легко подсчитать, заметив, что до г отказов
(в случае неусеченного плана) производят независимые
испытания с постоянной вероятностью неудачи (отказа)
р=*\—е~'/0. Таким образом, учитывая F.37), распреде-
распределением вероятностей N будет
а следовательно, в силу замечания, .помещенного 'после
F.53), математическое ожидание N будет равно
О0-60)
Теперь мы видим, что время испытания / определяет
число изделий, которые участвуют в испытаниях. При
больших i E(N) уменьшается, приближаясь к г (очевид-
(очевидно, это его нижний предел); если же t становится все
меньшим и меньшим, приближаясь к нулю, то, как вид-
видно из A0.60), математическое ожидание числа испыты-
испытываемых изделий стремится к бесконечности.
Ввиду того что время испытания t не влияет на вре-
время ожидания, то, очевидно, наиболее экономичным ме-
методом описанного типа будет такой, у которого t наи-
наибольшее. При /->оо нужно просто поставить на испыта-
испытания г изделий -и ожидать, -пока все они откажут (это
должно с вероятностью 1 произойти в какой-то конечный
момент времени). Но тогда целесообразно поставить
все г изделий на испытания одновременно. Последние
два плана обладают одним и тем же критерием подтвер-
подтверждения надежности; однако второй из них такой же,
400

как (и в in. 10.7.1, очевидно, потребует на'много (меньше
времени для истытаний.
Из результатов л. 10.7.2 известно, что, если чюстав'ить
на иопытан'ия больше, чем г изделий, и испытывать их
до накопления г отказов, мы лолучим дальнейшее сни-
снижение времени ожидания до выполнения необходимого
требования на надежность.
Ясно, что если можно выбирать Л каким угодно обра-
образом, то метод, описанный в настоящем 'параграфе, бу-
будет сравнительно неэффективным *. Его применение
имеет .смысл только <в том случае, когда t задается физи-
чески'ми условиями и одновременные 'испытания трудно
осуществимы или дорого стоят. Следующие два примера
иллюстрируют те случаи, когда может быть .применен
рассматриваемый метод. Второй ш этих примеров инте-
интересен в том отношении, что он показывает применимость
рассматриваемого метода в другой области, помимо ис-
испытаний на надежность.
Пример 1. Требуется испытать на надежность электронное
оборудование некоторого вида, необходимое для зондирования, с вре-
временем безотказной работы, распределенным по показательному за-
закону. Было решено использовать не стандартные источники питания,
на которые действуют колебания испытательной камеры и ее низкая
температура, а такие батареи, которые будут использованы в ра-
ракете. Это к тому же позволяет исследовать поведение параметров
батареи, а также совместное функционирование действия этих двух
видов оборудования. Но при этом сказалась следующая особенность:
расчетное время работы батареи короткое, поскольку не требовалось,
чтобы она продолжала работать после того, как произойдет зонди-
зондирование атмосферы (примерно за неделю); к тому же было лишь
ограниченное число батарей подобного типа. Вследствие этого все
испытания электронного оборудования пришлось ограничить .макси-
.максимальной длительностью в t час.
Пример 2. Чтобы испытать надежность снаряда, производит-
производится серия выстрелов по цели. Надежность определяется как вероят-
вероятность попадания в цель. Цель имеет форму круга радиусом а. Изме-
Измеряются расстояния от центра цели до точек попадания снаряда, если
они лежат внутри круга радиуса Ь. Что касается тех снарядов, ко-
которые не попадают в этот последний круг, то отмечается лишь их
общее количество **.
* Авторам неизвестно, до каких пределов групповые испытания
изменяют время ожидания в случае метода, описанного в настоящем
параграфе.
** Представим себе, что прямо над центром цели установлена
фотокамера с полем зрения, соответствующим радиусу Ь. Тогда
попадания в поле зрения будут сфотографированы так, что их мож-
можно измерить.
26—1113 401

Примем следующие предположения:
1) истинный центр нападения совпадает с центром цели (т. е.
отсутствует смещение);
2) ошибка прицеливания и ошибка отклонения снаряда от тра-
траектории независимы и обладают одним и тем же стандартным от-
отклонением а.
В этих условиях квадрат радиального расстояния от центра
цели будет иметь показательное распределение со средним 2а2 (см.
[15], стр. 236 или следующее упражнение).
Если далее - условиться, что решение о том, что требуемая на-
А
дежность Rl обеспечена с достоверностью у» принимается при по-
попадании г снарядов в зону наблюдения радиусом 6, то мы придем
к усеченному и цензурированному плану, описанному в настоящем
параграфе.
Упражнение 1. Пусть /?z, = 0,90, у—0,90, а=3 милям, 6 =
—2 милям, г=75 попаданиям в зону наблюдения радиусом Ь. Ка-
Какой вид будет иметь критерий обеспечения надежности?
Ответ. Аналогично A0.57) имеем
где dj — радиальное расстояние у -го попадания, a N — число сна-
снарядов, выпущенных до получения г попаданий в круг.
Из A0.58) получаем следующий критерий решения о под-
подтверждении требований по надежности:
"*
-т = 76C«) 1.155 _
°10535
Интересно заметить, что математическое ожидание числа вы-
выпущенных снарядов, которое вычисляется путем подстановки в
A0 60) 2а2 вместо 0 и б2 вместо t, будет равно
Чему будет равно математическое ожидание при а = 1 миле?
Ответ. E(N)^z 87.
Упражнение 2. Показать, что сумма квадратов двух не-
независимых нормально распределенных случайных величин с нуле-
нулевыми средними и стандартными отклонениями с имеет показатель-
показательное распределение со средним 2а2.
Решение. Сначала найдем распределение ?2, где ? — нор-
нормальная случайная величина со средним 0 и стандартным откло-
отклонением а. Для функции распределения имеем
х
402

Положим yj = ?2; тогда yj^O и событие г\^у, где г/^0, бу-
будет эквивалентно событию (—Vу =< ? <^#) значит,
). Следовательно,
+*7 *7
J е о/2т: J
с)/2гс
Функцию распределения т) получим, продифференцировав
по у:
ИЛИ
I 0,
Теперь найдем м. п. ф. (§ 5.8) случайной величины т). Имеем
г ±
i
2а»
Как было замечено в § 5.8, м. п. ф. суммы двух независи-
независимых одинаково распределенных случайных величин будет равна
(ф(/)J, откуда
(НО)'=2^
Но последнее выражение представляет собой м. п. ф. показатель-
показательно-распределенной случайной величины со средним 2а2.
10.9. ПРИМЕНЕНИЕ ВАЛЬДОВСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ПЛАНОВ ИСПЫТАНИЙ НА НАДЕЖНОСТЬ
ДЛЯ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
В § 10.4 было отмечено, что последовательные выбо-
выборочные планы Вальда имеют весьма общее применение,
выходящее за пределы биномиальной выборки. В [16]
26* 403

они (Применяются к ооследовательным испытаниям на
надежность в том случае, когда основное распределение
времени безотказной работы показательно. Из совокуп-
совокупности, характеризующейся функцией «надежности
#(/) = е-//е, A0.61)
где 6—истинная наработка на отказ, .производится слу-
случайная выборка (§ 5.10) объема N. Эти N изделий ста-
ставятся «а испытания и непрерывно в реальном .масштабе
времени наблюдаются общая наработка и число отка-
отказов. Как только удовлетворяется некоторый 'критерий,
описанный ниже, тотчас испытания прекращаются и при-
принимается решение, что требуемая надежность подтвер-
подтвердилась или не 'подтвердилась.
Как в § 10.7—10.10, можно попользовать испытания
как с заменой, так !и без замены. При испытаниях с за-
заменой 'постоянно испытывается TV изделий с немедленной
заменой отказавших изделий; -при испытаниях 'без заме-
замены этого не делают. В общем случае при испытаниях
с заменой среднее время до окончания испытаний будет
меньше, чем лри испытаниях без замены.
Если применить к последовательному плану настоя-
настоящего параграфа модель стоимости п. 10.7.3, то можно
обнаружить, что здесь наблюдается та же ситуация, что
и там: оптимальный план без замены характеризуется
математическим ожиданием общей стоимости, не прево-
превосходящим математическое ожидание общей стоимости
оптимального плана с заменой (см. п. 10.9.5). Однако
теоретически это положение обосновать трудно, посколь-
поскольку точные формулы для средних длительностей ожида-
ожидания весьма сложны.
Если .применять к выборочному плану настоящего
параграфа последовательный выборочный план Вальда,
то возникает еще дополнительная сложность. Может ока-
оказаться, что все N изделий откажут еще до того, как при-
принятый критерий позволит прийти к решению. В этом слу-
случае следует либо поставить на испытания большее чис-
число изделий, либо задаться (заранее) правилом усечения,
т. е. отдельным критерием прихода к одному из двух
вышеупомянутых решений.
Вопрос об усечении рассматривается в [16].
404

10.9.1. Требования к критерию выборочного плана
Требования к критерию рассматривались в § 10.3;
они записываются как (рь а; /?2, Р). Напомним, что
А
в -применении к испытаниям на надежность рг^1—Rl\
р=1—у. Величины pi^l—i/?i и а употребляются для
однозначного определения выборочного плана.
Можно установить, основываясь на общем (последо-
(последовательном методе отношения .правдоподобия Вальда
[6] или непосредственно по [16], что хорошим приближе-
приближением для границ принятия решения служат две парал-
параллельные (прямые в плоскости «суммарная наработка —
отказы», задаваемые уравнениями:
(граница приемки),
Q
V(t) = — h2-\-fs (граница браковки),
где V(t) —общая .наработка к моменту ¦/, которая за-
задается уравнениями A0.66) или A0.67) в случае испы-
испытаний с заменой «и без замены соответственно;
1 —а
nog —
*i = TZ^T' <10-63)
riog^
Г—7Г1 A0-64)
*«№.
A0.65)
Здесь Т обозначает требуемое время безотказной работы
изделия. Суммарная наработка V(t) в любой момент '/
будет равна
V(t) = Nt A0.66)
для испытаний с заменой и
J f)t A0.67)
405

для испытаний без замены, ij — это наблюденные нара-
наработки до отказов, отсчитываемые от момента постановки
на испытание N изделий; *о —0.
Величины Аь h2 и s зависят только от требований,
так что границы выборочного плана можно определить
в ваде графика в (Плоскости V{t), f до испытаний для
Надежность подтверждена
(область приемки)
Надежность не подтберждена
(область паковки)
Число отказоЗ f
Рис. 10.17. Последовательный план Вальда для испытаний на
долговечность.
любых значений V{t) и /, какие могут понадобиться. Та-
Такой график 'показан на рис. 10.17. Как только график
числа отказов по одной координате и суммарной нара-
наработки по другой в первый раз коснется или пересечет
какую-нибудь из двух границ, изображенных на
рис. 10.17, сразу же принимается соответствующее реше-
решение (см. п. 10.9.4, где приведен пример, относящийся
к рис. 10.17).
10.9.2. Свойства выборочного плана
Оперативную характеристику (ОС) последователь-
последовательного плана Вальда испытаний на надежность можно
найти из следующих выражений, которые сходны с при-
406

веденными в § 10.4 для последовательных биномиальных
планов Вальда:
A0.69)
В формулах A0.68) и A0.69) параметр h пробегает
все действительные числа от —со до +оо, как и
в § 10.4. Читатель может легко доказать, что значениям
А= + оо, +1, 0, —1, —оо соответствуют р = 0, ри /?se==
= l—e~TI\ p2 и 1.
Упражнение. Показать, что значениями L (р) в данных
пяти точках будет соответственно
log
ц
10.9.3. Среднее число отказов и среднее время ожидания
до принятия решения
Можно показать [16], что математическое ожидание
суммарной наработки связано с математическим ожи-
ожиданием E(f) числа отказов до принятия решения посред-
посредством соотношения *
где ti—время ожидания до принятия решения; /—
число отказов, необходимое для принятия решения; р —
* /обозначает случайную вели шну, равную числу отказов, ко-
которые произойдут до принятия решения, f обозначает просто число
отказов в любой момент времени, т. е. это абсциюса плоскости V(t),f.
407

истинная вероятность отказа (т. е. вероятность того, что
время безотказной работы изделия будет меньше Т).
Можно .показать также [16], что
A0.71)
52
= Pa = l — e
Чтобы «получить выражение для среднего времени до
принятия решения ER(x\) 'при любом р в случае 'испыта-
'испытаний с заменой, сначала перейдем в A0.66) к математи-
математическим ожиданиям (перейдя от i к ti): .
^[V(x1)]=iV^(T1). A0.72)
Следовательно, в случае испытаний с заменой ER{x\)
можно найти по формулам A0.70) — A0.72).
В случае отсутствия замены приближенная формула
[16] для среднего времени ожидания принимает вид
log
log
. A0.73)
Нетрудно показать, используя A0.73), что ENR(x1) больше
^#(Ti) приблизительно на А, где
A0.74)
Заметим, что математическое ожидание числа отказов
до принятия решения E(f) не зависит от того, исполь-
используются испытания с заменой или без замены. Это видно
из выражения данной величины.
В табл. 10.3 для различных наборов условий (р19 а;
р2У C) приведены следующие характеристики: параметры
Л,/7\ hJT, s/T последовательного плана Вальда; опера-
оперативная характеристика L (р) при р = ps = 1
408
e~T/s: мате-

матическое ожидание числа отказов E(f) при /7 =
pSi /?2, 1 [если /? = 0, то ?(/) = 0, откуда, понятно, сле-
сле?() 1 0 I L{)
pSi /2, [ / , (/) , у,
дует, что ?(/?) = 1; далее, при /7 = 0, plf р2, I L{p)
равна соответственно 1, 1—а, р, 0]; среднее время ожи-
ожидания в случае испытаний с заменой NER(i^jTy т. е.
отнесенное к требуемому времени работы Т и умноженное
на объем выборки N, при /7 = 0, /?1Э ps, p2 (если /7=1,
то ?'/?(х1) = 0*). Оценки среднего времени ожидания (нор-
(нормированные) в случае испытаний без замены можно полу-
получить, прибавив величину JVA/Г к соответствующему зна-
значению NER(xJ/T9 где А задается формулой A0.74).
10.9.4. Пример применения последовательного плана
Вальда к испытаниям на надежность
Пусть а = 0.05, а = 0,05; рш = 1 — #? = 0,10, р=1 —
_Y = 0,10, Г =1000 час. По табл. 10.3
находим:
hx = 41,6 X 1 000 = 41 600 час,
h2 = 53,5 X 1 000 = 53 500 час,
5 = 13,3X1000=13300 час.
Предположим, что на испытания на надежность от-
отведено 3 недели E00 час) и что решено применить испы-
испытания с заменой. По табл. 10.3 среднее время ожидания
(прикидочно равное максимальному значению .при р =
=ps) составляет
Е , , 167,2X1000
Это выражение следует (приравнять 500 час. Следова-
Следовательно, для того, чтобы иметь уверенность в .получении
решения в требуемое время, количество изделий, постав-
поставленных на испытания, должно составить
м 167,2ХЮ00
^ ~ 500 *
* При р=1 отказ произойдет не в какой-то момент из интерва-
интервала 0<t<T, а немедленно; действительно, показательное распределе-
распределение обладает тем свойством, что любому интервалу ?<т<оо соот-
соответствует положительная вероятность.
409

со
о
* S
н g
ф
О
Я
(в
н
2
р
о
S
t^" SOO(D OOOOOOO CO 00 OO .—i OOCMCMO
00 CD C7> *—* CD CO CO •—« Tf lO LO CD CM h-- t^» ^
^ COCMCMCM MQO)S CO CM CM <—< CM CO CO CM
II
II
II
II
^CDt^ in N Ю (M ЮСОСОЮ
ioo sotoo -*cood<N
OON CJC4(M^-> Ю —< CO О
^-^oo -«—..-.—. см^.^н^
"t tOOlO CO —• Ю 00 -<COO N
ooco^cm (NOJ't-H oo -4 oo ю ет>tooo^
.—.^¦^.-Г co'c-icMCM co"cocmcm см—^а>о
^н^,^,О COCMCM— -^COCOCM COCMCMCD
cocmcoo] ocx>a>F^ 5oimo)
OOOO —' О О О ^Г ,— ^-Г о
I
ев
ев
R
О
О
А
О ГМ 00 О O<N00O О CM 0
oooo oooo oooo oooo
СП CO CO ~ -^ —* CO CO f-н 00 — 00 ЮЮСОСО
CO О СО СО 9шт* О ^ CO t4*» CO CO CM ^^ CO ^"^ CO
CO CO CM CM t^t^LOlO «— — — »-» Ю Ю ^ "^
2
s ° • *
к — s о
ев
и
о
о
о
о
I
i
ев
P.
ев
С
OOOO OOOO OOOO OOOO
gg22 gg22 gg22 gg22
oooo o"ooo oooo oooo
S
о
- схем s со
I" -
м о
I! И
$ $
410

Математическое ожидание числа отказов определя-
определяется по табл. 10.3. Оно оказывается равным ?(/)=12,6
при p = ps= 1—e~T/s = 0,l 104. Значит, с достаточно вы-
высокой вероятностью для испытаний не потребуется боль-
большего ч'исла изделий, чем 350.
На рис. 10.17 данный план изображен графически.
Заметим, что реальное вр^мя t в случае плана с заменой
пропорционально величине суммарной наработки; чтобы
перейти к реальному времени, следует разделить сум-
суммарную наработку на объем выборки, равный в нашем
примере 335.
При использовании плана без замены реальное время
t получается путем вычитания из общего времени на-
наблюдения V(t) суммарной наработки до отказов и деле-
деления полученного выражения на число неотказавших из-
изделий; это видно из формулы A0.67).
Предположим, что в результате испытаний на на-
надежность получены следующие данные: /i = 100 час, t2 =
= 120 час, ^з=150 час, /4 = 220 час и до момента t =
= 283 час отказов больше не было. Тогда по A0.17) или
аналитическим путем можно показать, что решение о
подтверждении надежности 0,90 с достоверностью 90%
будет принято по истечении 283 час испытаний. В случае
использования плана без замены, но при тех же услови-
условиях решение о приемке будет принято через 284,6 час.
Упражнение. Доказать сформулированные утверждения.
Установить также общее свойство, согласно которому при фикси-
фиксированном числе отказов для достижения решения о приемке в
случае испытаний без замены требуется больший интервал отсут-
отсутствия отказов, чем в случае испытаний с заменой.
Указание. Пусть t^ и tN%— соответствующие длитель-
длительности времени до получения решения о приемке в случае испы-
испытаний с заменой и без замены.
• Суммарные наработки в рассматриваемый момент должны сов-
совпадать, т. е.
f
1=0
Из этого следует вывести неравенство
411

10.9.5. Модель стоимости
Как и в п. 10.7.3, можно определить среднюю стои-
стоимость испытаний с заменой и без замены, если принять
приближения последовательного плана Вальда. Мы сде-
сделаем численное сравнение только для p = Ps на основа-
основании плана, выбранного в п. 10.9.4; тогда нужно будет
найти оптимальные объемы выборки Nr и Nnr и соот-
соответствующие стоимости.
Пусть C1 = 100^55?if С2=100-^^. Для средней
J l час ' 2 изд. ^ ^
суммарной стоимости в случае испытаний с заменой и
без замены получим:
A0.75)
NR NR NNR. A0.76)
Значения, которые следует подставить в эти фор-
формулы, находятся по табл. 10.3:
(NR+l2fi—l) A0.75')
)+10М (Ю.760
где ENR{^1) определено формулой A0.73).
Предлагаем читателю убедиться в том, что_опти-
мальные объемы выборки будут равны Л^=41 и NNR=
= 47, а минимум математического ожидания общей стои-
стоимости, соответственно С^ = 9338 долл. и С NR =
= 8804 долл. Эти результаты согласуются с положе-
положением, высказанным в начале § 10.9.
Упражнение 1. Вычислить значения NRt NNRf CR и CNR
_ лдолл. ^ долл.
при d — 10 час , С2= 10 цзд и других данных, соответствую-
соответствующих приведенному примеру.
Упражнение 2. Сравнить характеристики последователь-
последовательного плана Вальда с заменой и плана п. 10.7.2 (также с заменой).
412

Использовать значения параметров /?i = 0,05, а = 0,05, /?2 = 0,10,
C = 0,10. Сравнить стоимости! Рассмотреть также случай испы-
испытаний без замены.
Упражнение 3. Критерий только что рассмотренного вы-
выборочного плана можно выразить посредством ограничений на
среднюю наработку на отказ, т. е. посредством задания парамет-
параметров 0,, а; 92, C. Преобразовать формулы A0.63) — A0.65), A0.68)—
—A0.71), A0.73) и A0.74) в выражения, определяемые через 0!
и 02 (см. [16]). Заметим, что требуемое время работы Т в подоб-
подобное выражение критерия выборочного плана испытаний на надеж-
надежность не входит. Заметим также, что подобное же преобразова-
преобразование можно осуществить применительно ко всем выборочным пла-
планам испытаний на надежность, рассмотренным в настоящей
главе.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н. Bowker and G. J. Lieberman. Engineering statis-
statistics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1959, p. 467—535.
2. G. J. Lieberman and G. J. Resnikoff. Sampling plans
for inspection by variables. J. Am. Stat. Assoc, 1955, v. 50, June,
p. 457—516.
3. G. J. Resnikoff and G. J. Lieberman. Tables of the
non-central t-distribution. Stanford University Press, Stanford, Calif.,
1957.
4. Tables of the cumulative binomial distribution. Harvard Univer-
University Press, Cambridge, Mass., 1955.
5. C. E i s e n h a r t, M. W. H a s t а у and W. A. W a 11 i s.
Techniques of statistical analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc,
New York, 1947, Ch. 6.
6. А. Вальд. Последовательный анализ. Физматгиз, 1960.
7. М. S о b e I and J. A. Tischendorf. Acceptance sampling
with new life test objectives. Proc. 5th National Symposium on Relia-
Reliability and Quality Control in Electronics, Philadelphia, 1959, 12—14
January, p. 108—118.
8. H. P. С о о d e and J. H. К- К а о. Sampling plans based on
the Weibull destribution. Proc. '5th National 'Symposium on Reliability
and Quality Control in Electronics, Philadelphia, 1961, 9—11 January,
p. 24—40.
9. B. Epstein. Truncated life tests in the exponential case.
Ann. Math. Stat., 1954, v. 25, p. 555—564."
10. B. Epstein. Testing of hypotheses. Wayne State Univ. Tech.
Report №3, 1958, 1 October [Выполнено по контракту USfe NR 2163@0),
NR 042018 для морского ведомства; этот доклад помещен также
в 112].
11. В. Epstein and M. Sobel. Life testing. J. Am. Stat.
Assoc, 1953, v. 48, p. 486—502.
12. Statistical techniques in life testing. PB171580, U. S. De-
partament of Commerce, Office of Technical Services, Washington 25,
D. C, 1961, July.
13. J. Nadler. Inverse binomial sampling plans when an expo-
exponential distribution is samples with censoring. Ann. Math. Stat., 1960,
v. 31, December, p. 1201—1204.
413

14. D. Mendenhall and E. H. Lehman Jr. An approxima-
approximation to the negative moments of the'positive binomial useful in life
testing. Technometrics, 1960, v. 2, May, p. 227—242.
15. Г. Крамер. Математические методы статистики. Из.д-во
иностранной литературы, 1948.
16. В. Epstein and M. Sob el. Sequential life tests in the
exponential case. Ann. Math. Stat., 1955, v. 26, p. 82—93.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Albert G. E. Accurate sequential tests on the mean of an
exponential distribution. Ann. Math. Stat. 1956, v. 27, June,
p. 460—470.
Bechofer R. A note on the limiting relative efficiency of the
Wald sequential probability ratio test. J. Am. Stat. Assoc, 1960, v. 55,
p. 660—663.
Breakwell J. V. Economically optimum acceptance tests. J. Am.
Stat. Assoc, 1956, v. 51, June, p. 243—256.
Burr I. W. Average sample number under curtailed or truncated
sampling. Ind. Qual. Control, 1957, v. 13, 8, February, p. 5—7.
С h e r n о f f H. and Lieberman G. J. Sampling inspection
by variables with no -calculations. Ind. Qual. Control, 1957, v. 13, 7,
January, p. 5—7.
Epstein B. Statistical developments in Life Testing. Proc. 3rd
National Symposium on Reliability and Quality Control, Washington,
D. С 1957, 14—»16 January, p. 106—112.
H a r t e r H. L. Circular error probabilities. J. Am. Stat. Assoc.
1960, v. 55, ,p. 723—731.
L i n d 1 e у D. V. Binomial sampling schemes and the concept of
information. 1957, v. 44, pt. 1,2, Biometrika, p. 179—186.
Moranda P. B. Eftect of Bias on estimates of the ciroular
probable error. J. Am. Stat. Assoc, 1960, v. 55, p. 732—735.
M о г i g u t i, Sigeiti Efficiency of a sampling inspection plan.
Reports of Statistical Applications Research, Union of Japanese Scien-
Scientists and Engineering, 1956, v. 4, 3, July, p 1—7.
S о b e 1 M. Statistical techniques for reducing the experiment
time in reliability studies. Bell System Techn. J., 1956, v. 35, January
p. 179—202.
Stevens С F. A sequential test for comparing component relia-
reliabilities. IRE Trans. Reliability and Quality Control, 1957, RQC-12,
November, p. 37—47.
Walsh J. E. Estimating future from past in life testing. Ann,
Math. Stat., 1957, v. 28, June, p. 432—441,

ГЛАВА 11
МОДЕЛИ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
Периодически оценивая надежность, мы получим
временную последовательность, по которой можно опре-
определить характер изменения надежности. С этой целью
необходимо исследовать кривые повышения (роста) на-
надежности.
Прежде всего мы имеем дело с текущей оценкой на-
надежности и знаем ее закон возрастания" к~ наблюдаемо-
наблюдаемому моменту времени. Спрашивается, можно ли экстра-
экстраполировать или распространить кривую роста на буду-
будущее? Если это так, то можно оценить установившийся
уровень надежности, по которому мы будем судить о вы-
выполнении заданных требований к надежности. Далее,
исследование роста надежности — это не только перио-
периодическая фиксация результатов. При помощи такого ис-
исследования можно находить источники повышения на-
надежности, что дозволяет более обоснованно подходить
к последующему планированию.
Так, можно определить, как на повышение надежно-'.
сти сказывается количество испытаний, стоимость, пе-'
ределки в системе, распределение обслуживающего nep-J
сонала, эффективность обработки информации об от-
отказах, количество и виды конструктивных изменений и
другие факторы. В результате можно более эффективно
использовать средства, рабочую силу и время.
Следует подчеркнуть, что учет надежности при кон-
конструировании системы играет первостепенную роль (см.
§ 12.5). В особенности это относится к исследованию
415

кривых роста для определенных видов оборудования.
Например, в случае жидкостного ракетного двигателя,
если вычертить кривую надежности в зависимости от
числа^ испытанней, мы обычно находим, что эта кривая
н'ачйнаетГ^выравниваться». Само <собой разумеется, что
это будет иметь место в том случае, когда надежность
стремится к единице; однако данное явление может на-
наблюдаться и тогда, когда надежность значительно мень-
меньше единицы. Другими словами, вследствие постоянных
испытаний, сбора информации об отказах, анализа, от-
отдельных технических усовершенствований по истечении
некоторого времени быстро достигается точка «прекра-
«прекращения роста».
Достигается предельное значение надежности. Если
это значение является недостаточным, тогда следует из-
изменить проект или общий принцип проектирования.
Обычно оказывается, что при осуществлении нового про-
проекта его надежность вначале ниже надежности преды-
предыдущего. Затем этот разрыв быстро преодолевается и,
в конце концов, устанавливается определенное, более
высокое значение надежности. Это значение зависит как
от возможностей, заложенных в проекте, так и от наше-
нашего умения исследовать надежность. Таким образом, пер-
первостепенную важность с точки зрения стоимости и вре-
времени представляет определение предельных значений
надежности и соответствующих точек «прекращения
роста».
Обычно приходится исследовать сложные системы,
подверженные постоянным переделкам; в результате
вполне закономерно, что точки кривой надежности будут
подвержены определенным колебаниям, которые объ-
объясняются как названной причиной, так и случайными
ошибками результатов испытаний. Эти колебания иска-
искажают истинный вид кривой роста надежности, а следо-
следовательно, уменьшают наши возможности определения
истинного уровня предельной и фактической надежности
системы.
В соответствии с этим ^настоящей главе на простых
моделях объясняются методы определения" кривых роста
^надежности и нахождения доверительных пределов для
оценок и экстраполяции. Рассматривается также неко-
некоторый класс математических моделей, при помощи кото-
которого можно описывать функции роста.
416

11.2. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ РОСТА НАДЕЖНОСТИ
Допустим, что испытывается некоторое устройство,
которое понадобится для определенного применения.
Применение это будет такого рода, что устройство либо
выполнит свои функции, либо откажет. Предположим,
>что устройство настолько простое, что возможен лишь
один" способ отказа, j* что усилия конструктора направ-"
^лены на выявление причиньГотказа и перестройку систе-
мы,Пкогда отказ вообще будет невозможен. Предполо-
Предположим далее, что любая переделка системы либо полно- х
стыо успешна, либо не изменяет вероятности отказа р.
Другими словами, в любой момент времени вероятность
отказа равна либо р, либо 0.
В описанной ситуации меры по повышению надеж-
надежности связаны с повторением действия (испытаниями)
устройства. Если в каком-либо испытании устройство
срабатывало безотказно, разработчик или конструктор
решает, что до следующего испытания никаких измене-
изменений делать не нужно, полагаясь на уже произведенные i
изменения. Если же устройство в каком-то испытании I
отказало, то у инженера существует вероятность а к
следующему испытанию устранить возможность отка- „
зов *. Чтобы придать нашей модели математическую
форму, обозначим через Pi (n) вероятность того, что в
момент, предшествующий п-му испытанию, устройство
еще ненадежно, т. е. находится в состоянии 1. Соответст-
Соответственно под Р,о (п) мы будем понимать вероятность абсо-
абсолютной надежности (состояние 0) в тот же момент вре-
времени.
Пусть известно, что перед первым испытанием
устройство находилось в состоянии 1, т. е. Р\{\) = \.
* Описанная модель не настолько тривиальна, как может пока-
показаться € первого взгляда. Бывает, что после внесения изменений 'не-
'некоторый элемент отказывает снова. Анализ отказов еще не решает
задачи. Это можно объяснить тем, что наши данные здесь ограни-
ограничены, а также и тем, что требования к системе (к виду материала,
весу, габаритам и пр.) ограничивают возможности «инженер-
«инженерно» решить задачу для того или иного элемента, не изменив сущест-
существенным образом конструкцию или характеристики системы. Приме-
Примером такого рода являются ранние разработки подвижного сопла
для ТРД. Горловина изготовлялась из различных материалов и раз-
различной формы, но отказ наступал настолько быстро, что невозможно
было установить его причину, пока не был найден выход в виде
нового существенного усовершенствования
27—ШЗ 417

Посмотрим, каким образом устройство может оказаться
в состоянии 1 перед п-ы испытанием. Это возможно
в двух несовместных случаях: 1) перед п—1-м испыта-
испытанием устройство находится в состоянии 1, и это испыта-
испытание проходит без отказа, вероятность такого события
равна
2) перед п—1-м испытанием устройство находится в со-
состоянии 1, в п—1-м испытании происходит отказ; после
этого производится неудачная попытка исключить воз-
возможность отказов. Вероятность этого события состав-
составляет
Поскольку вероятность пребывания в состоянии 1 перед
п-ы испытанием равна сумме вероятностей несовместных
событий, приводящих к данному событию, будем иметь
ли
ЯпA) = Я».1A)[1-М (И.2)
Подставив начальное условие Я1A) = 1, легко находим
по индукции, что
Я„A) = A-/*)»-*. A1.3)
Чтобы найти Яп@), заметим, что устройство может на-
находиться перед п-ы испытанием в состоянии 0, если
выполняется одно из двух условий: 1) оно уже было в
состоянии 0 перед п— 1-м испытанием; 2) оно было в
состоянии 1 перед п—1-м испытанием; в данном испы-
испытании произошел отказ, и после этого была устранена
возможность дальнейших отказов. Следовательно,
Я«@) = Яп.1@) + Яп.1A)./^ A1.4)
или на основании A1.3) (где необходимо взять п — 1
вместо п)
Р@) Р
Ввиду того что Pi)('l)=ll, Pi/@) =0 (так как в этот мо-
момент устройство находится в состоянии 1, то оно не
может находиться в -состоянии 0).
418

Последовательно полагая п = 2, 3,..., мы получим
*]= (П.6)
или
Яя@) = 1-A-/»)»-». A1.8)
Этот результат можно было бы получить и непосред-
непосредственно, заметив, что в любой момент времени устрой-
устройство находится в одном из двух состояний: 1 или 0. Так
как вероятность состояния 1 перед п-м испытанием дает-
дается формулой A1.3), то вероятность состояния 0 в этот
же момент времени будет равна A1.8).
Определим теперь надежность устройства Rn во вре-
время п-го испытания, как безусловную вероятность того,
что устройство не откажет при /г-м испытании. Указан-
Указанное событие может произойти двумя несовместными спо-
способами:
1. Перед п-м испытанием устройство находится в сос-
состоянии 0 [с вероятностью 1—A—ра)п~1].
2. Перед п-м испытанием устройство находится в
состоянии 1 и во время этого испытания не отказывает
[вероятность этого события равна A—pa)n-1(l—р)].
Таким образом,
/?» = 1 -A -ра)»-* + A -ра)"-\\-р) (Ц.9)
или
/?n = l-(l-/wO*-V. (НЛО)
Читатель может также легко убедиться в том, что если
вероятность пребывания устройства в начальный момент
времени в состоянии 1 равна р, т. е. Pi(l)=p, то
Rn = \-(\-paY'^p. A1.11)
Заметим, что если р<1, то надежность при п-м испыта-
испытании больше, чем в том случае, когда устройство находит-
находится в начальный момент в состоянии 1 с вероятностью 1.
27* 419

В описанном случае надежность возрастает по пока-
показательному закону. Это более наглядно видно из фор-
формулы
Rn = \-A^C{n-l\ A1.12)
где ,
А = $р; A1.13)
A1.14)
В § 11.3 указаны методы оценки параметров моделей
роста надежности.
11.2.1. Дальнейшие свойства описанной модели
Возникает вопрос, зависит ли результат любого
испытания от результатов прочих испытаний? Интуитив-
Интуитивно чувствуется, что завиаит. Мы покажем, что это дей-
действительно так. Данный результат может означать боль-
большее, а именно, что если априори выбрать кривую роста
надежности, например, в виде A1.12) и пытаться подо-
подобрать модель отказов, которая бы ей соответствовала,
то при этом следует осторожно подходить к предположе-
предположению о независимости испытаний. Подобная «осторож-
«осторожность» нужна лишь при экстраполяции и построении до-
доверительных пределов, в то же время оценки параметров
кривой роста можно находить, не заботясь о том, зави-
зависимы ли испытания.
Исследуем теперь вопрос о зависимости испытаний.
Пусть Тп — случайная величина, равная 1, если в п-ы
испытании был успех, и 0 в случае отказа; Vn — другая
случайная величина, которая равна 1, если перед п-м
испытанием устройство находилось в состоянии 1, и О,
если оно находилось в состоянии 0. Из A1.3), A1.8) и
A1.10) получим:
A1.15)
где
Д = 1 — /7а.
420

Найдем теперь совместное распределение Тт и Тп.
Для этого целесообразно ввести вспомогательную слу-
случайную величину Хп по следующему правилу.
Хп = 0, если перед п-м испытанием устройство нахо-
находится в состоянии 1 и во время этого испытания отка-
отказывает:
Хп = 1, если перед п-м испытанием устройство на-
находится в состоянии 1 и во время этого испытания не
отказывает;
Хп = 2, если устройство перед п-м испытанием на-
находится в состоянии 0 (следовательно, никакой отказ не
возможен);
Если определить формулой
условные вероятности (/, / = 0, 1, 2,...), то их можно
записать в виде матрицы
\\-о)р A_а)A-/7) а
р 1-/7 О
О 0 1
A1.17)
Так, например, pOi имеет вид pOi= (I—a) A—р). Чтобы
получить это выражение, заметим, что если перед п-м
испытанием устройство находится в состоянии Д и во
время этого испытания отказывает (Xn = 0)f то оно мо-
может оказаться в состоянии 1 и не отказать в /г+1-м ис-
испытании (Xn+i=l) только в том случае, когда его не
исправили (вероятность этого равна 1—а) и потом оно
не отказало (с вероятностью 1—р). Таким образом,
требуемая условная вероятность будет составлять
A—а)A—р). Другие элементы матрицы находятся по-
подобным же путем.
Упражнение. Доказать, что элементы матрицы Р имеют
вид A1.17).
421

Элементы pij матрицы Р называются переходными
вероятностями (за один шаг) однородной цепи Маркова
([1], стр. 340).
Каждый из них определяет вероятность перехода за
одно испытание из соответствующего «состояния i»
в «состояние /». Это не те состояния, которые использо-
использованы при определении случайной величины Vn\ ввиду
этого в случае Хп мы будем обозначать состояния ка-
кавычками.
|f Из теории цепей Маркова следует, что, возведя мат-
матрицу Р в /г-ю степень, мы получим вероятности пере-
перехода за k шагов р{*} ([1], стр. 347—348). р{^ обозна-
обозначают условные вероятности того, что наша «система»
через k испытаний после «состояния i» окажется в «со-
«состоянии /». Таким образом, р{*] есть условная вероят-
вероятность события Xn+k = j при условии Xn=-i.
Упражнение. Показать, что
[A—a)^A*-t A—а)A—р)А*-» 1 _ A-а) Д*-П
0 0 1 J
A1.18)
Указание. Использовать тот факт, что сумма вероятнос-
вероятностей, стоящих в любой из строк, должна равняться 1, так как, на-
например в случае второй строки, если система находится в «со-
«состоянии 1», то она должна либо остаться в нем, либо перейти в
«состояние 0» или в «состояние 2».
Рассмотрим теперь четыре события:
[(a) 7V=0, Гп = 0,
(г) Тп = 1, Тп = 1,
где /г < яг — 1.
Событие (а) наступает в том случае, когда перед
п-м испытанием устройство находится в «состоянии 1»
и во врем/i этого испытания отказывает; то же самое
происходит при испытании т. Таким образом, вероят-
422 /

ность события (а) равна произведению следующих двух
вероятностей:
или
Я(Гт = 0, Гп = 0) = /72A-а)Д--2. A1.20)
Вероятность события (б) равна произведению вероят-
вероятностей
откуда
-. A1.21)
Вероятйость события * (в) равна произведению вероят-
вероятностей
+ 1— A— а)Д™-"-1 = 1— /?A— в) A™-",]
откуда получаем
РG\» = 1, Гп = 0) = /?[Д"-1-/7A-а)Д^-2]. A1.22)
Наконец, вероятность события (г) равна произведе-
произведению вероятностей
плюс вероятность
(г
так что
]. A1.23)
423

Следовательно, совместное распределение вероятностей
(Тт, Тп) имеет вид:
A1.24)
где
Упражнение 1. Выписать вероятности Р (Гт = 0, 71я=0)
и т. д. в случае, когда п^т + \.
Упражнение 2. Проверить совместное распределение A1.24)
на непротиворечивость, показав, что сумма всех вероятностей
равна 1; найти также безусловное распределение Тт (или Тп).
Найдем теперь ковариацию Тт и Тп и попутно коэф-
коэффициент корреляции. Если п < m — 1, то
-2 A — а — Ап\ A1.25)
(l — jpA™-1)^ —рЬп~1). A1.26)
Значит, коэффициент корреляции равен
Упражнение 3. Вывести A1.25), A1.26) и A1.27) со всеми
подробностями. Воспользоваться тем, что TmTn=l тогда и только
тогда, когда Тт=\ и Гп= 1. Рассмотреть также случай \\
Если мы рассмотрим формулу A1.27), то обнару-
обнаружим, что коэффициент корреляции будет положительным
или отрицательным в зависимости от того, положитель-
положительно или отрицательно выражение 1—а—Дп. Поскольку
Д==1—ра больше, чем 1—а, но меньше 1, то при доста-
достаточно больших п коэффициент корреляции становится
положительным для всех т>п+1. Но при «малых»
п и при шу ненамного больших п, коэффициент корреля-
корреляции может быть отрицательным.
424

Прежде чем приступить к обобщению результатов
данного параграфа и § 11.2, вернемся снова к модели
§ 11.2. До сих пор предполагалось, что может быть толь-
только один вид отказов; однако можно рассмотреть следую-
следующее обобщение «испытаний». Допустим, что в качестве
п-то испытания рассматривается последовательность N
испытаний и что только в том случае, когда ни в одном
из них не произошло отказа, групповое испытание счи-
считается успешным. Если же в групповом испытании про-
произойдет хотя бы один отказ, то это считается отказом
группового испытания; -как и прежде, в этом случае су-
существует вероятность а «исправления» устройства к
следующей группе N испытаний, т. е. к п + 1-му группо-
групповому испытанию. Если вероятность отказа в любом ис-
лытании равна р', то вероятность отказа в групповом
испытании составит р=\—A—p')N. Это означает, что
мы должны только заменить в предыдущих формулах
р величиной 1 — {1—p')N.
Понятно, что построение модели роста надежности
с учетом возможности различных типов отказов связано
с большими трудностями. Однако и в этом «направлении
имеются некоторые результаты [2].
Этот и предыдущий пункты в некотором смысле
следует рассматривать как вводные в задачу пригонки
кривых роста надежности к упорядоченным группам
данных об отказах. Снова подчеркнем то утверждение,
которое было сформулировано в начале этого пункта: .
результаты испытаний могут быть весьма тесно коррели-
рованы или зависимы; это показано на очень простом
примере модели роста надежности § 11.2. Указанное об-
обстоятельство следует при возможности учитывать при
предсказании надежности и определении доверительных
пределов.
В следующем параграфе будет рассмотрена задача
пригонки кривой роста к наблюдениям отказов и успе-
успехов сначала по методу максимального правдоподобия, а
затем по методу наименьших квадратов. Для применения
метода максимального правдоподобия к зависимым на-
наблюдениям надлежит Задаться моделью, которая учиты-
учитывала бы корреляцию между группами наблюдений успе-
успехов и отказов.
Использовав результаты настоящего параграфа, мы
могли бы увидеть, как «выглядит» подобная модель.
425

Оказывается, что нам пришлось бы находить совместное
распределение всей совокупности случайных величин
Т\, ..., Tv, ...
В то же время нам пока известны только распределе-
распределения пар Тт, Тп.
Распределений этого последнего типа уже достаточно
для того, чтобы применить метол наименьших квадра-
квадратов: дисперсии оценок можно найти, рассмотрев только
математические ожидания произведений пар наблюде-
наблюдений. Другими словами, нам необходимо рассмотреть
лишь обычную корреляцию, а не какую-то более слож-
сложную зависимость. К сожалению, у нас нет возможности
вдаваться в подробности этой задачи.
11.3. ПРИГОНКА КРИВОЙ К МОДЕЛИ РОСТА НАДЕЖНОСТИ
Модель, которую мы рассмотрим, будет основывать-
основываться на 'следующих предположениях. Программа испыта-
испытаний состоит из N этапов. На каждом этапе производит-
производится определенное число испытаний изделий; в каждом
случае фиксируется только факт отказа или безотказной
работы.
Все испытания одного этапа производятся с изделия-
изделиями одной и той же надежности. Результаты этапа ис-
используются для улучшения изделий, поступающих на
следующий этап испытаний.
После выполнения всей программы испытаний (N эта-
этапов) желательно подобрать кривую роста для N групп
данных, о которых шла речь. Информация о ^-группе
(нумерация производится в хронологическом порядке)
фиксируется в виде числа испытаний п\ и числа успехов
в них 5а. Модель роста надежности может, к примеру,
иметь вид
**=*„—г» <п-28)
где Rk — истинная надежность изделий во время &-го
этапа испытаний; R^ — установившееся значение надеж-
надежности, достижимое при &->оо; а>0 характеризует ско-
скорость роста (он в данном случае носит „гиперболический"
характер).
426

11.3.1. Оценки максимального правдоподобия
Мы применим метод максимального правдоподобия
к оценке параметров R^ и а. Для &-го этапа мы будем
иметь
Предполагая, что результаты всех этапов статистически
независимы, получаем*
N N
I = Illfc = const П RShh{l-Rifh^h9 A1.30)
откуда
6 = log L = log const + SSft log (R — -?-
Уравнения правдоподобия примут вид
nk — Sk
-*¦
Уравнения A1.32) и A1.33) можно переписать так:
±
~ k
* Во всех случаях суммирование производится от 1 до W.
427

Последние уравйейия можйо решить лишь ме!чэдом проб
и ошибок. Для получения начальных значений а и R
положим, что 1 — R^ < a/k < 1.
Заменим также nk выражением /г = A/Л/J/гЛ. В этих
предположениях выражение, которое останется в знаме-
знаменателях обеих сумм, будет равно a/k, так как R^—
— a/k ~ R^ и 1 —R^ -\-a/k ^ a>/k\ остальные постоянные
сократятся, так что мы получим
R^-aN, A1.34)
- A1-35)*
Решение A1.34) и A1.35) дает
4п . (П.36)
^—Ci-N
—~-Ct-N
где
(^ — постоянная Эйлера, равная 0,577215665,..)
Пример. Оценим а и R^ в A1.36) и A1.37) на основании
данных, приведенных в табл. 11.1.
По формуле A1.38) находим С2^ 3,598; по форму-
формулам A1.36) и A1.37) получаем а = 0,782, fc =0,901.
* В п. 11.32 находятся оценки по методу наименьших квадратов;
их можно использовать вместо решения уравнений A134) и A1.35)
в качестве начальных значений.
428

Таблица 11.1
k
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
// = 20
"ft
10
8
9
9
10
10
10
10
10
И
10
И
12
10
10
10
10
10
10
10
5
5
6
7
6
7
8
7
6
7
9
10
9
8
7
8
9
9
10
9
SSfe = 152
*Sft
5
10
18
28
30
42
56
56
54
70
99
120
117
112
105
128
153
162
190
180
ZkSk = 1 735
Sh/nk
0,500
0,600
0,667
0,778
0,600
0,700
0,800
0,700
0,600
0,636
0,900
0,909
0,750
0,800
0,700
0,800
0,900
0,900
1,000
0,900
A
На рис. 11.1 показан график функции /?ft = 0,901 —
— 0J82/&, умноженной на Shjnh.
Более точные оценки аи R^ получаются следующим
образом. Вычислим знаменатели формул A1.32') и A1.33')
ио
0,8
Не: 0,6
<о? 0Л
0,1
' О
/
/
X X
х х
л1"
X
х—
XX
( Z
5 '10 15
Номер группы к
20
Рис. 11.1. График функции Rk=0,901—0,782/fc, умно-
умноженной на Sh/nk.
1 — первое приближение; 2 — второе приближение.
429

использовав начальные значения аи 7?^, найденные из
уравнений A1.34) и A1.35). В результате получим урав-
уравнения для оценок:
где
А @,901 - ^) @,099
Значения различных коэффициентов, фигурирующих в урав-
уравнениях A1.32") и A1.33"), получаются по табл. ИЛ:
Dknh
^=1389,
^ = 240,2,
Отсюда следует, что уравнения A1.32") и A1.33") будут
иметь вид
1067-= 1389^ —240,2а,
154,6 = 240,2/?^ —121,6а.
Решение этих уравнений дает второе приближение
а = 0,374, ?„ = 0,833.
430

Третье ^приближение, основанное на последних значениях
аи R^ будет иметь вид
а = 0,407, /^ = 0,831,
что указывает на быструю сходимость процесса.
11.3.1.1. ДИСПЕРСИИ И КОВАРИАЦИИ
На основании формул A1.32) и A1.33) вторые част-
частные производные К по i?x и а равны:
AL39)
' <IL40)
nh-Sk
Таким образом, оценки вторых частных производных
можно вычислить, подставив в A1.39) и A1.40) ранее
полученные оценки а и R^ с учетом табл. 11.1. Приняв
а = 0,39, /^ = 0,83, получим:
431

Считая #м первым параметром, а а вторым, получим
1155,2 184,40
J'
184,40 —69,95
46810,
откуда
_ А_, _ Г0.001494 0,0039391
[0,003939 0,02468 J
o, a)} (var a)
(Символ ( ) обозначает взятие оценки). Дисперсия Rh =
А А
= /?<„— а/Л находится следующим образом:
-^-(vara) ^-(cov^oq, a))
или
/ А \ r\ Am /1г\л i 0,02468 0,007878 ,< л АС\\
(var Rh) = 0,001494 + -^-г= L-r . A1.42)
Теперь можно найти нижний доверительный предел с
доверительным уровнем f (см. п. 7.4.4):
К k = &k- ^i-X<var /?*>. A1.43)
На рис. 11.2 показана оценка максимального правдо-
А А
подобия Rk, а также нижний доверительный предел RL k
А А
в зависимости от k при Y = 0,90, a = 0,39, ^=0,83. Те-
Теперь можно делать обоснованные выводы относительно
некоторой будущей k-й группы, основываясь на имею-
имеющейся информации и уравнении A1.43). Вывод будет
иметь следующий вид: „истинная надежность группы с
А
номером, скажем, &=40 принадлежит интервалу {RLtA0, l)e,
432

и этот вывод будет иметь достоверность у. Однако по-
подобные выводы не будут иметь оснований, если модель
не соответствует действительности или же модель верна,
но следующие данные будут взяты из совокупности с
иными значениями [постоянных RJ^h а. К тому же, мы
и
0,9
0,8
0,7
0,6
Л А
0,2
0,1
/
/
*/
+*•
\
if
=
¦¦¦
шшт
ттт
шва
¦¦¦
t Z Ъ Ь 5 f 7 8 9 10 11 11 1Ъ П 15 16 17 18 19 20
Номер группы к
Рис. 11.2. Оценка максимального правдоподобия Rk и
нижний доверительный предел Rlk в зависимости от k
при y=0,90, <z=0,39, ^оо=
/ — верхний 90%-ный доверительный предел; 2 — нижний
90%-ный доверительный предел; 3 — 80%-ный доверительный
интервал; 4— Rk = 0,83 - ^|? .
правомочны сделать только один вывод подобного рода;
группа k, которой он касается, должна выбираться зара-
заранее или по крайней мере быть независимой от произволь-
произвольных результатов испытаний. Мы не касаемся здесь воп-
вопроса о проверке истинности выбранной модели, хотя по-
подобное испытание в принципе осуществимо*.
11.3.2. Оценки по методу наименьших квадратов
Попытаемся теперь получить .оценки параметров R^
и а по методу наименьших квадратов. С этой целью ми-
минимизируем сумму квадратов Q отклонений наблюденной
* См. [3], стр. 321—322, где описывается проверка линейности
в задаче линейной регрессии, для которой х\ (наши Rk) распреде-
распределены по нормальному закону и центрированы линией регрессии.
28—1113 433

частоты успехов Sh/rik от мат ематического ожидания R^ —
— a/k по параметрам R^ и а. Имеем:
Мы получаем два уравнения, линейные относительно не-
неизвестных ^ив:
_eClf A1.47)
; аС2, A1.48)
где
r — V l • г —V1—
k
Решив A1.47) и A1.48) относительно R^ и а и обоз-
А Л >
начив решение через 7?^ и а, найдем оценки по методу
наименьших квадратов
П150)
Легко показать, что эти оценки являются несмещенными
(п. 7.2.1). Для этого нужно взять математические ожи-
ожидания обеих частей равенств A1.49) и A1.50) и исполь-
использовать соотношение
* Суммирование (ведется от 1 до N.
434

Численные значения Ct и С2 наиболее просто определить
формулами
2~~h k* ~ 6 ~ Г'
^^^ Л/ . I,.
где ? = 0,57715665 ... —постоянная Эйлера;
^- = 1,64493407...
Для дисперсий и ковариаций оценок ^ а а, полу-
полученных по методу наименьших квадратов, можно полу-
получить точные значения непосредственно по A1.49) и
A1.50). Однако соответствующие вычисления очень
сложны. Оценки, полученные по методу наименьших
квадратов, могут быть успешно использованы для на-
хождения хороших начальных значений оценок макси-
максимального правдоподобия. Тогда по методу итераций,
приведенному в п. 11.3.1, получаются почти точные зна-
значения. Вычислить опенки дисперсий и ковариаций так,
как это предлагается в п. 11.3.1, громоздко, но несложно.
Это все же проще, чем пользоваться точными формула-
формулами, о которых мы упоминали. Например, использовав
данные п. 11.3.1, получаем по методу наименьших квад-
квадратов, что
2^ = 0,802, ? = 0,248.
Эти значения гораздо ближе к полученным в п. 11.3.1
после второй итерации; следовательно, если исходить из
этих значений, понадобиться одна итерация.
Для модели можно брать и другие функциональные
выводы скорости роста надежности. Более общая модель
имеет вид
где / (k) — положительная, монотонно убывающая функ-
функция k. Чтобы найти оценки R^ и а по методу наимень-
наименьших квадратов, необходимо вычислить суммы
j f
28* 435

Для удобства в табл. 11.2 приведены приближенные
формулы для нескольких видов [(k)^ которые могут быть
использованы в модели.
Таблица 11.2
Приближенные формулы для
N N
f(k)
*-«
k-3
с
f l Y/2
f l \
1,2020569-
-1,460
)¦'
г
c2
\og(N + -j) + E
7I4 1 / IN
90*~ 3 \N + ~2J
5^=0,577215665,
^1,08232323,
^•% 1,64493407
^g^: 1,01734306
11.3,3. Краткие выводы о методах оценок
Пожалуй, самый простой метод получения оценок
параметров кривой роста надежности — это метод наи-
наименьших 'квадратов: уравнения, необходимые для того,
чтобы применить этот метод, решать обычно легче, чем
уравнения максимального правдоподобия. Для получе-
получения оценок дисперсий и ковариаций можно подставить
оценки, полученные по методу наименьших квадратов,
лрямо во вторые частные производные логарифмиче-
логарифмической функции шравдошодо'бия [например, A1.39) — A1.41) ].
Однако рекомендуется использовать оценки, полученные
fio методу наименьших квадратов, в качестве начальных
приближений метода максимального правдоподобия^;
дальнейшие приближения находятся путем итераций
(ср. п. 11.3.1).
436

В тех случаях, когда уравнения максимального прав*
доподобия решаются проще, чем уравнения метода наи-
наименьших квадратов, следует всюду пользоваться мето-
методом максимального правдоподобия. Это основывается
Тйа той общей закономерности, что методы максимально-
максимального правдоподобия имеют тенденцию к минимизации ди-
дисперсии оценок.
11.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Стоит прокомментировать содержание этой главы,
а также добавить несколько обобщающих замечаний;
в самом деле, приведенные методы еще не дают общего
подхода к задачам, связанным с ростом надежности.
11.4.1. Задачи, возникающие при отсутствии
независимости
В § 11.2 была рассмотрена очень простая модель
роста надежности, которую, как было "отмечено, можно
применять к последним этапам конструирования, где
большая часть задачи связана с отдельным элементом
или подсистемой. Далее эта модель была исследована
с тем, чтобы математически описать корреляцию резуль-
результатов испытаний; в результате было сделано заключе-
заключение: для достоверных выводов относительно будущей на-
надежности следует по возможности учитывать коррелиро-
ранность результатов испытаний. Но в§ 11.3предполага-
11.3предполагалось, что результаты испытаний независимы, а следова-
следовательно, некоррелированы. Это было сделано для
упрощения выкладок и сведения к минимуму алгебраи-
алгебраических преобразований.
Один из методов учета коэффициента корреляции
в оценке максимального правдоподобия п. 11.3.2 состоит
в следующем. Предполагается, что существует коэффи-
коэффициент корреляции, отрицательный для близко располо-
расположенных испытаний и положительный, стремящийся к
нулю для далеко отстоящих испытаний. [Это согласуется
с замечаниями по поводу формулы A1.27)] Затем при
вычислении дисперсий и ковариаций оценок параметров
кривой роста принятую корреляционную функцию ис-
используют при вычислении математических ожиданий
таких величин, как XSk/nk или (LSk/tikJ (ср. п. 5.9.2).
Построение модели для оценки данной корреляционной
437

функции представляется нам крайне сложным. Вероят-
Вероятно, наиболее приемлемый метод состоит в том, чтобы
приписать коэффициенту корреляции произвольные зна-
значения, а затем на основании опыта как-то их под-
подправлять.
11.4.2. Другие возможные виды моделей
В § 11.3 в качестве меры надежности было принято
отношение числа успехов к общему числу испытаний,
•j. е. это была биномиальная модель возникновения отка-
отказов. Вместе с тем индивидуальные испытания могут
заключаться в измерениях, скажем, нароботки до отка-
отказов. В этом случае (в предположении о показательном
распределении времени безотказной работы) подходя-
подходящей моделью роста надежности может служить
Я^е"^, A1.52)
где ак—некоторая заданная убывающая функция k с од-
одним или несколькими неизвестными параметрами; Г, как
всегда, обозначает требуемое время безотказной работы.
В этом случае для получения оценок неизвестных пара-
параметров, а через них и оценок для R\, можно также при-
применить метод максимального правдоподобия или метод
наименьших квадратов подобно тому, как это сделано
на примерах п. 11.3.1 и 11.3.2.
При решении задачи о предсказании надежности
необходимы совсем другие подходы. Здесь мы приведем
только один пример.
А
Пусть Rk обозначает оценку надежности при k-м ис-
испытании (например, k-e испытание может означать испы-
испытание изделий на цротяжении &-го месяца после начала
программы испытаний).
Обозначим через Xh оценку надежности тех изделий,
которые испытываются на протяжении k-vo испытания.
Тогда Rh определится, как
a)Rk_1. A1.53)
где а — подходящим образом выбранная постоянная меж-
между 0 и 1. Очевидно, что Rh — взвешенная оценка (теку-
438

щего) результата k-то испытания и результатов всех пре-
предыдущих испытаний.
Если а мала (скажем, а = 0,1), то предыдущие дан-
данные будут иметь большой вес. При больших а (скажем,
а = 0,9) большую важность представляют текущие дан-
данные. Величину а можно выбрать в зависимости от слож-
сложности конструируемого устройства, частоты изменения
схемы и других факторов.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения. Изд-во иностранной литературы, 1955.
2. Н. К. Weiss. Estimation of reliability growth in a complex
system with a Poisson-type failure. Operations Research, 1956, v. 4, 5,
October, p. 532—545.
3. A. M. Moo d. Introduction to the theory of statistics. McGraw-
Hill Book Company, Inc., New York, 1950.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Aye r M, Brunk E D, Ewing G. M, R e i d, W. Т. S i 1-
verman E. An empirical distribution function for sampling with
incomplete Information. Ann. Math. Stat., 1955, v. 26, p. 641—647.
Gabriel K. R. The distribution of the number of successes in
a sequence of dependent trials. Biometrika, 1959, v. 46, pt. 3, and 4,
p. 454—460.
M a n d e 1 J. Fitting a straight line to certain types of cumula-
cumulative data. J. Am. Stat. Assoc, 1957, v. 52, December, p. 552—566.
Noether G. E. Two sequential tests against trend. J. Am." Stat.
Assoc, 1956, v. 51, p. 440—450.
Wheeler R. E. A variable probability distribution function.
Specification, Rocket Motors, Aeronautical, Qualification Test.

ГЛАВА 12
ЭКСПЕРИМЕНТИРОВАНИЕ И ИСПЫТАНИЯ
12.1. ЦЕЛИ ИСПЫТАНИЙ
Испытать какой-либо объект — это значит поставить
его в такие условия, чтобы обнаружились его реальные
особенности. Однако испытания — это не отдельная опе-
операция, которую можно было бы выполнить на каком-то
этапе создания сложной системы; они представляют со-
собой непрерывную операцию, при помощи которой полу-
получается информация на всех этапах развития системы.
На каждом этапе получаются различные виды ин-
информации, поэтому вполне естественно, что применяются
различные методы испытаний.
Испытания могут служить разным целям. На началь-
начальном этапе в результате испытаний узнают, реализуема
ли та или иная схема, может ли быть использован опре-
определенный элемецт.
При дальнейшем развитии системы возникает во-
вопрос о том, какой вариант схемы является оптимальным
в смысле эффективности, надежности, стоимости, пове-
поведения при различных возмущениях и т. д.
Когда структура изделия становится более опреде-
определенной, нас могут интересовать более тонкие вопросы,
связанные с дальнейшим снижением стоимости, эксплуа-
эксплуатацией, использованием стандартных блоков и т. п.
Далее начинается этап испытаний различных ка-
качеств, целью которых является проверка системы на вы-
выполнение определенных требований по эффективности
и надежности.
Наконец, следует произвести полное испытание вну-
внутренних возможностей изделия при более жестких или
более разнообразных условиях, чем первоначальные.
440

Подобное испытание служит цели установить, что си-
система достаточно устойчива по отношению к более же-
жестким условиям, и, стало быть, можно удешевить ее
эксплуатацию, транспортировку и т. д. или же можно
расширить круг задач, решаемых системой.
12.2. МЕТОДОЛОГИИ ИСПЫТАНИЙ
В теории надежности существует несколько методо-
методологий испытаний, каждая со своими критериями; когда
на этом основании возникают разногласия, то это, как
правило, объясняется недопониманием функционирова-
функционирования испытываемого изделия, этапа, на котором нахо-
находится его создание, а также практического назначения
испытаний.
Остановимся на этих пунктах более подробно. Под
выражением «функционирование» понимаются функцио-
функциональные и физические связи элементов между собой и
в системе. В этой связи мы будем рассматривать толь-
только два уровня сложности оборудования: элемент и си-
систему. Эти понятия связаны: система представляет со-
собой функционально-определенный объект, состоящий из
взаимосвязанных элементов. Степень связанности — это
как раз один из тех факторов, которые определяют ме-
методологию испытаний. Примером двух противоположно-
противоположностей в этом отношении могут служить твердое ракетное
топливо и транзистор в электронной вычислительной
машине. Первое представляет собой значительно более
связанный элемент. Как то, так и другое необходимы
для работы системы; однако, испытания транзистора
имеют более определенный смысл в связи с его назна-
назначением в системе, чем испытания топлива. Топливо мо-
может взаимодействовать с топливным баком, с проклад-
прокладкой или, например, с соплом. Таким образом, необходи-
необходимо учитывать влияние на информацию, получаемую
в результате испытаний; взаимодействия с окружающим
оборудованием и вида использования данного элемен-
элемента; эти факторы в свою очередь оказывают влияние на
подход к испытаниям.
12.3. ИСПЫТАНИЯ СИСТЕМ И ЭЛЕМЕНТОВ
На метод испытаний также влияет уровень развития
системы. Одна система может быть собрана из стан-
стандартных отработанных элементов, другая же требует
441

специальной разработки каких-то особенных элементов.
В первом случае, когда поведение элементов хорошо
изучено и не предполагается создавать для них необыч-
необычные условия, большую часть испытаний составят испы-
испытания системы. Если же элементы—нового типа, то для
них необходимо организовать специальные испытания.
Испытания элементов составляют важную часть созда-
создания системы; именно на этом этапе испытываются раз-
различные типы элементов при условиях, варьируемых
в широких пределах: нужно убедиться, что из опреде-
определенного набора вариантов выбран наилучший и что при
функционировании в более крупной системе, когда зна-
значения параметров отклонятся от их номинальных значе-
значений, будет достигаться определенный эффект.
Одним из важных требований к испытаниям элемен-
элементов является правильное моделирование внешних усло-
условий системы, куда включаются входные характеристики
и изменения в элементах. Помимо этого, высокие тре-
требования к надежности отдельных элементов обусловли-
обусловливают необходимость большого числа испытаний для под-
подтверждения этой надежности. Таким образом, испыта-
испытания элемента больше служат цели повышения надеж-
надежности путем оптимального выбора, чем оценке абсолют-
абсолютного значения надежности.
Когда производятся испытания на уровне систе-
системы, то, очевидно, нет нужды моделировать внешние
условия.
В этом случае уже имеются допустимые требования
к надежности элементов системы, что облегчает опреде-
определение значения надежности (решение этой задачи, ко-
конечно, зависит от стоимости, а также от числа изделий,
которые можно испытывать). Одним из недостатков
преждевременного перехода к испытаниям системы яв-
является то, что в этом случае будет очень много необъяс-
необъяснимых отказов элементов, а это о'чень затрудняет иссле-
исследование статистики отказов. Другой недостаток заклю-
заключается в следующем: в условиях отказов большого числа
элементов остальные элементы будут подвержены боль-
большому числу включений, что, очевидно, сделает их режим
более жестким, чем в установившихся условиях; поэтому
получится искаженная картина образования отказов по
сравнению с той, которая наблюдалась бы при работе
системы в реальных условиях.
442

Испытания реакции системы на внешние условия
представляют самостоятельную важную проблему. На-
Например, когда испытывается большой ракетный двига-
двигатель при помощи создания соответствующих темпера-
температурных условий и вращательного движения, невозможно
воспроизвести все ускорения, действующие в полете.
Единственным путем исследования, например, послед-
последнего фактора является сравнение испытаний при полетах
с наземными испытаниями; но здесь опять мы стал
киваемся с тем обстоятельством, что разница в резуль-
результатах таких испытаний объясняется не одним разли-
различием в ускорениях. По возможности внешние условия,
которые нельзя воспроизвести при испытании всей си-
системы, следует компенсировать воссозданием подобных
условий при испытаниях элехментов. На этом пути мож-
можно, например, сделать более прочными или каким-либо
образом усовершенствовать элементы, чувствительные
к ускорениям.
При испытаниях системы в первую очередь следует
выяснить, насколько надежно работают элементы в си-
системе, а не ответить на вопрос, удовлетворяют ли эле-
элементы требуемым допускам. Не нужно уделять чрез-
чрезмерного внимания испытаниям элементов на допуски.
Допуски должны быть подчинены цели создания
надежной и работоспособной системы. Испытания си-
системы не исключают испытания элементов, но они помо-
помогают выявлять ненадежные элементы, которые в после-
последующем необходимо заменить или усовершенствовать.
Испытания системы служат цели реалистической оценки
надежности, а также улучшения основных элементов
путем систематического выявления слабых мест и по-
постановки требований. Это помогает правильно распре-
распределять усилия, направленные на повышение надеж-
надежности.
Частные задачи испытаний с течением времени ме-
меняются; однако главная цель остается одной и той же—
как можно более эффективное получение информации
с целью успешного и быстрого осуществления проекта.
Это должно быть выполнено оптимальным образом.
Следовательно, планирование любого частного испыта-
испытания должно быть согласовано с общей программой, что-
чтобы получаемая информация имела максимальную поль-
пользу применения на последующих этапах программы.
443

12.4. МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ
В дополнение к рассмотренным выше факторам сле-
следует добавить, что методы испытаний должны быть
эффективными в смысле выявления истинного поведе-
поведения оборудования.
Вернемся к нашему первоначальному определению
испытания — постановка объекта в условия, выявляющие
его реальные особенности. Несомненно, последним эта-
этапом испытаний должны быть натурные испытания; одна-
однако очевидно также то, что если этот последний этап не
подготовить как следует посредством соответствующих
испытаний на более ранних этапах, то в конце концов
может оказаться, что реальный характер изделия не
тот, который требовался. Чтобы исключить возможность
подобной ситуации, оборудование следует подвергнуть
некоторым или всем испытаниям, кратко описанным
ниже. Эти испытания позволяют выявить слабые места
оборудования, характеристики его поведения и природу
отказов.
12.4.1. Испытания на долговечность
Испытания на долговечность или на время безотказ-
безотказной работы, подробно разобранные в гл. 8 и 10 с точки
зрения оценки и обеспечения надежности, имеют также
другие важные аспекты. Нас интересует не только то,
когда отказало изделие, но также и то, за счет какой
части элемента или за счет какого элемента системы
произошел отказ. Кроме того, мы хотим раскрыть приро-
природу отказов, т. е. выяснить виды отказов (например, уход
параметра, неустойчивое поведение какой-нибудь харак-
характеристики, внезапные отказы и т. д.), а также механизм
отказов, причины отказов, обусловливаемые плохой кон-
конструкцией, неправильным использованием составных ча-
частей и т. д. Если критическим параметром изделия яв-
является время безотказной работы, то ответ на все эти
вопросы дается испытаниями на долговечность, вос-
воспроизводящими реальную картину отказов.
Многочисленные виды, электронного, электромехани-
электромеханического и гидравлического оборудования попадают в эту
категорию, коль скоро аппаратура работает непрерывно
или испытывается на протяжении большого' количества
444

циклов, но при этом включение и выключение не соз-
создают более жестких условий, чем при обычной работе.
В том случае, когда время безотказной работы распре-
распределено по показательному или какому-нибудь другому
простому закону, испытания на долговечность покажут,
насколько время безотказной работы оборудования
больше (или меньше), чем это требуется для его исполь-
использования. Это, в свою очередь, определяет, где прежде
всего нужно повысить надежность. Если время не яв-
является критическим параметром, тогда очень часто для
«исключения» отказов и раскрытия их природы и меха-
механизма оказываются более приемлемыми методы, кото-
которые будут описаны ниже.
12.4.2. Испытания на число циклов
Испытания этого вида аналогичны испытаниям на
долговечность. Использовать их имеет смысл тогда, ког-
когда включение и выключение являются более разруши-
разрушительными операциями, чем простое накопление времени
работы. Для испытаний данного вида важным
параметром является Т, равное среднему числу циклов
до отказа. В этом случае точечной оценкой надежности
будет R=l — A/Г). Этой формулой можно пользоваться
лишь в тех случаях, когда длительность цикла испыта-
испытаний равна длительности рабочего цикла изделия или же
время между включением и выключением оказывает пре-
пренебрежимо малое влияние на интенсивность отказов.
12.4.3. Граничные испытания
Граничные испытания играют важную роль в уста-
установлении надежности, однако применять их следует
очень осторожно. Так, например, во многих случаях
можно установить, что элемент (или система) с большой
степенью достоверности выдерживает значительно боль-
большее напряжение, чем то, которое может встретиться при
его (ее) использовании. Однако если последнее утверж-
утверждение окажется несостоятельным, т. е. изделие не вы-
выдержит повышенного напряжения, тогда эксперимента-
экспериментатор не будет знать истинного значения критического на-
445

пряжения. В таком случае в испытания следует ввести
процедуру, описанную в п. 12.6.7.3.
12.4.4. Испытания на влияние окружающей среды
Как показывает само название, испытания этого вида
служат для определения реакции изделия на различные
внешние условия. Обычно подобные испытания вклю-
включаются в программу испытаний качества*; часто их
организуют на стадии конструирования при меньшем
числе параметров и при ослабленных требованиях к ним.
Исследуя широкий диапазон внешних условий, мы
получаем большую уверенность в годности изделия, чем
при испытании того же количества оборудования в обыч-
обычных условиях. Однако, как было сказано выше, следует
избегать необычных или нереальных внешних условий,
так как результаты таких испытаний потом трудно бу-
будет использовать.
Испытания определяются не только теми условиями,
в которые ставится изделие, но также последователь-
последовательностью или порядком, испытаний. В этой и в гл. 13 опи-
описаны различные способы испытаний, при помощи кото-
которых можно более эффективно получать достоверную ин-
информацию.
12.5. НАУЧНЫЙ МЕТОД
Научный метод представляет собой аналитический и
методологический фундамент статистического экспери-
экспериментирования. Основания его методологии сводятся
к следующему:
1) выдвигается гипотеза, основанная на теории или
на опыте;
2) предлагается метод испытаний и производятся
наблюдения;
3) наблюдения сравниваются с ожидаемым поведе-
поведением, соответствующим исходной гипотезе;
4) подытоживается существенная информация и де-
делаются выводы;
5) вырабатывается более усовершенствованная гипо-
гипотеза;
* Об испытаниях качества см. MIL-R-25534A (USAF) Military
Specification, Rocket Motors, Aeronautical, Qualification Test.
446

6) повторяются этапы со 2-го по 5-й до тех пор, пока
гипотеза не будет достаточно усовершенствована и под-
подтверждена.
В типичном примере из промышленности осуществле-
осуществление этой методологии начинается с выработки проекта
системы, которая должна выполнять заданные функции;
это будет начальная гипотеза. Затем производятся испы-
испытания, проект совершенствуется, потом производятся
повторные испытания и так далее — до тех пор, пока
изделие не -будет удовлетворять всем требованиям и
обладать заданной надежностью. Время, за которое
будет решена задача установления соответствия конеч-
конечным условиям, зависит: от этапа I, определяемого спо-
способностями разработчика, ресурсами, которые можно
использовать, и требованиями к проекту; от эффектив-
эффективности этапов 2, 3, 4 и 5. Очевидно, большая часть дела
зависит от разработчика: чем точнее он сможет прибли-
приблизиться к конечным условиям, тем сильнее уменьшится
количество шагов между проектом системы и ее реали-
реализацией. Однако, как указывалось в предыдущих пара-
параграфах, современному сложному оборудованию свой-
свойственна такая неопределенность и взаимосвязь элемен-
элементов, что, как правило, в первоначальном проекте и пер-
первом макете всех их предвидеть просто невозможно.
Поскольку большинство таких случайностей проявляет-
проявляется при работе системы, их можно обнаружить в испы-
испытаниях (если только эти испытания эффективны и адек-
адекватны) еще до того, как система или элемент приобре-
приобретет устойчивую структуру.
На поздней стадии переработки будут уже дорого-
дорогостоящими и приведут к потере ценного времени.
12.6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ЭКСПЕРИМЕНТИРОВАНИЕ
Планирование и анализ результатов опытов имеют
один важный аспект. Это связано со степенью уверен-
уверенности, которой' обладают любые утверждения и гипо-
гипотезы, выведенные из выборочных наблюдений. Эта сте-
степень уверенности численно измеряется вероятностью, так
что можно делать объективные сравнения. Таким обра-
образом, решения принимаются на математической, а не на
субъективной основе, допускающей возможность раз-
различных толкований.
447

Планирование испытаний не менее важно, чем их
анализ, поскольку правильно составленный план позво-
позволяет делать обоснованные сравнения. В п. 12.6.5 будет
приведен пример, показывающий, как вследствие непра-
неправильно лоставленного опыта получаются неверные ре-
решения.
12.6.1. Факторы, учитываемые при планировании
испытаний
При планировании опытов или испытаний учитывают
большое количество факторов. Перечислим некоторые из
них.
1. Каковы цели испытаний?
2. Как будут (или должны) интерпретироваться ре-
результаты?
3. Как сопоставить информацию, получаемую в дан-
данном испытании, с предыдущими или последующими
испытаниями такого же или сходного оборудования?
4. Сколько изделий имеется в наличии и в каком
виде они могут поступать на испытания (партиями, по-
последовательно и т. д.)?
5. Количество видов факторов.
6. Количество уровней для каждого фактора.
7. Какие из этих факторов связаны, а какие можно
рассматривать как независимые?
8. .В каком виде необходимо получать информацию?
9. Является ли выборка однородной?
10. Является ли выборка,представительной для сово-
совокупности?
11. Являются ли испытания разрушающими?
12. Дорого ли обходится испытание изделий?
13. Насколько полный контроль осуществляется над
испытаниями?
14. Насколько сложным может быть план испыта-
испытаний, если учесть возможность:
'а) субъективных ошибок;
б) изменения графика доставки изделий на испы-
испытания;
в) влияния графика проведения сложных испытаний;
г) потери информации.
448

12.6.2. Элементы факторного анализа
Перед тем как выбрать план эксперимента, следует
обратить внимание на все факторы, перечисленные
в п. 12.6.1. Существует большое количество статистиче-
статистических методов, каждый из которых-состоит в том, что
факторам придаются значееия в определенной последо-
последовательности; при помощи этих методов получается обо-
обоснованное сравнение эффективности различных факто-
факторов. В этом и состоит первоочередная задача статисти-
статистического экспериментирования. Далее, коль скоро выбран
статистический план, то тем самым в значительной сте-
степени определяется и метод анализа результатов и тем
самым уменьшается вероятность их неправильного
объяснения.
Статистическое экспериментирование отличается от
классического и традиционного метода испытаний тем,
что с целью определения влияния факторов одновремен-
одновременно варьируется несколько факторов. Сущность тради-
традиционного метода исследования нескольких факторов со-
состоит в следующем: все факторы, кроме одного, остают-
остаются неизменными, а этот один фактор варьируется в опре-
определенных пределах. Эта процедура повторяется для
каждого фактора. Подобный метод не только не эффек-
эффективен, но и может привести к ошибочным выводам; при
этом методе невозможно достичь оптимального эффекта,
он также не позволяет выявить взаимодействие фак-
факторов.
Основой статистического экспериментирования яв-
является следующее: факторам придаются значения таким
образом, чтобы на основании эксперимента можно было
математически выразить их влияние и сравнить их меж-
между собой, а также оценить их действие при различных
случайных колебаниях. Чтобы получить более ясное
представление об этом, обратимся к некоторым простым
примерам, специально построенными для данной цели.
12.6.3. Простой пример*
Представим себе, что нам необходимо исследовать
эффект действия двух факторов А и В на некоторый вид
оборудования, обладающего некоторой доступной для
* Пример взят с любезного позволения проф. Ф. Мэссея из
его лекций (U.C.L.A., 1958).
29—1113 449

измерения характеристикой, на которую эти факторы
могут влиять. Фактор А имеет три уровня: Ль А2, Л3;
фактор В — два уровня: В\ и В2. Таким образом, обору-
оборудование может испытываться в шести возможных соче-
сочетаниях факторов (условиях). В табл. 12.1 представлены
три набора наблюдений, каждый из которых может быть
получен при испытании изделий при шести условиях.
В скобках записаны значения чистого эффекта *.
Таблица 12.1
@) @) (С
(-1) Я,
(+ О В2
Средние
по столбцу
4
6
4
6
4
6
5
а)
Средние
по строке
4
6
5 5 Общее
среднее
В,
А
4,
б,
1
4
6
А
4,
6,
2
4
6
А
4,
6,
з
4
6
5
б)
12.6.3.1. ТАБЛ. 12.1,а
3,5
5,7
4,4
5,7
3,5
6,6
5
в)
В данном случае видно, что различные уровни А не
оказывают влияния на результат, а фактор В оказы-
оказывает влияние. Средний эффект В\ на общее среднее ра-
равен (—1), В2 равен ( + 1). Эти значения записаны в таб-
таблице в скобках.
12.6.3.2. ТАБЛ. 12.1,6
В этом случае можно сделать тот же вывод, что и
из табл. 12.1,а; однако, полностью повторяя опыт, мы
стремились подтвердить этот результат. Представляется
* Чи.стый эффект фактора определяется 'как влияние этого фак-
фактора н-а основную характеристику; он щрои-оходит только за счет
наличия данного фактора. В чистый эффект не .включается дополни-
дополнительное «влияние, прюиэвоДимюе взаимодействием с другими факто-
факторами.
450

также, что ошибка измерения (иногда ее называют слу-
случайной или выборочной ошибкой) отсутствует, посколь-
поскольку все результаты в точности повторялись.
12 6.3.3. ТАБЛ. 12.1,0
Эта таблица показывает, что Вх и В2 дают тот же
средний эффект, что и в двух предыдущих примерах;
это относится и к Л. Однако в данном случае имеет
место большая ошибка наблюдений. Если произведен
всего 'один опыт, то, по всей вероятности, нельзя .сделать
вывод о том, что А не влияет на результат, а В дает
средний эффект от (—1) до ( + 1) на общее среднее.
Табл. 12.2 иллюстрирует изменчивость эффекта в том
случае, когда оба фактора А и В производят средний
эффект.
(+2) (-1) (-1)
At A2 Л3
Таблица 12.2
Ах А2 Аъ
(+ О В2
6
8
7
3
5
4
3
5
4
6,6
8,8
3,3
5,5
3,3
5,5
4 В,
6 В,
5,7
9,7
2,4
6,4
5,1
3,7
4
б)
4
s)
а)
12 6 3.4. ТАБЛ. 12 2,а
При воздействии А\ наблюденные значения по
сравнению с общим средним увеличиваются на (+'2);
при воздействии А2 и А3 эффект оказывается равным
(—1). Как и в табл. 12.1, В{ изменяет наблюденные
значения на (—1), а В2 — на ( + 1).
12.6.3.5. ТАБЛ.12.2,б
Здесь наблюдаются те же самые влияния; подтвер-
подтверждением этому служит повторение. Дисперсия ошибки
равна нулю.
12.6.3.6. ТАБЛ. 12.2,6
Уровни факторов А и В оказывают здесь тот же
средний эффект; однако «в данном 'примере замешана
ошибка наблюдений: ее можно заметить по разбросу
значений в клетках.
29* 451

В табл. 12.3 отражен еще один эффект. -В дополне-
дополнение к чистому (раздельному) эффекту А и В, отражен-
отраженному в табл. 12.2, мы имеем здесь эффект взаимодей-
взаимодействия АВ.
Аг А А
в.
в,
в.
5
9
7
-4,
4,6
8,10
2
6
4
а)
А
2,2
4,8
5
3
4
>».
4,6
1,5
4
6
5
5
6
Таблица 12.3
А А
4
6
5
5,5
9,9
2,2
6,6
5,5
3,3
(+2) (-1) (-1)
Ai А2 А3
4
в)
(-1) Вг
(+1) В2
12.6.3 7. TA5JJ. 12.3,а
(-1)
(+1)
(-1)
(+1)
(+2)
(-2)
0
0
о о
г)
Отличие, наблюдаемое между табл. 12.3,а и табл.
12.2,а, объясняется эффектом взаимодействия. В самом
деле, если данные табл. 12.2,а вычесть из данных
табл. 12.3,а, то получим данные табл. 12.3,г, т. е. значе-
значения эффектов взаимодействия.
12 6.3.8. ТАБЛ. 12.3,6
Здесь, как в 12.2,6 и 12.1,6, имеет место разброс
наблюдений.
12 6.3.9. ТАБЛ 12.3,0
В этом случае средние эффекты Л, В и АВ (послед-
(последнее обозначает взаимодействие) такие же, как и
в табл. 12.3,а и 12.3,6, однако здесь имеется разброс
наблюдений.
12.6.3.10. ТАБЛ. 12 3,г
Здесь мы видим оба эффекта А и В в отдельности,
т. е. чистые эффекты, а также эффект ззаимодей-
52

ствия АВ. Величины эффектов взаимодействия показа-
показаны числами в скобках в клетках. Взаимодействие при-
приводит к тому, что суммарный эффект А различен для
различных уровней В и наоборот.
Интересно отметить согласие между табл. 12.3,а и
первым набором наблюдений в табл. 12.2,в. Если бы
табл. 12.2,в не была повторена, то стало бы невозможно
отличить ошибки наблюдений от взаимодействия фак-
факторов.
12.6.4. Компоненты дисперсии
Приведенные примеры показывают, каким образом
факторы и их взаимодействие влияют на наблюденные
данные. Заметим, что значение в любой клетке являет-
является составным и справедливо следующее соотношение.
Наблюденный эффект равен общему среднему + чистый
эффект Л + чистый эффект Б + эффект взаимодействия
Л5+'случайное колебание. Символически это можно за-
записать так:
A2.1)
где
/=1, 2, 3; / = 1, 2 и
/ j
A2.2)
Формулу A2.1) можно переписать следующим обра-
образом:
(УН — rt = «f + 6j + (a6)»j + e<i-
Возведя обе части в квадрат и просуммировав по всем
/ и /, найдем
Заметим, что в силу условия A2.2) все попарные произ-
произведения обращаются в нуль,
453

Формула A2.3) утверждает, что
/Суммарная* / Дисперсии \ ,
(дисперсия ] = ( за счет *aKT°Pa M
за счет фактора
Л I
+
Дисперсия \ |
за счет фактора ) Г
в 1
Дисперсия за
счет взаимодейст-
взаимодействия АВ
Дисперсия
за счет ошиб-
ошибки наблюде-
наблюдений
A2.4)
Любую из этих дисперсий на практике можно вычис-
вычислить, пользуясь соответствующей формулой. Рассмотрим,
например, табл. 12.4. Важность формулы A2.3) или, что
то же, A2.4) состоит в том, что суммарную дисперсию
наблюдения можно разделить на дисперсии, обусловлен-
обусловленные различными факторами. После такого разделения
выборочные распределения вероятностей и теоремы дис-
дисперсионного анализа позволяют определять значимость
дисперсий, обусловленных чистыми эффектами и взаи-
взаимодействием по сравнению с дисперсией ошибки наблю-
наблюдений.
Таблица 12.4
Дисперсионный анализ в случае усовершенствованной
программы испытаний
Источник
изменчивости
Перепад
Колебание
температу-
температуры
Вибрация
Температу-
Температура горения
Ошибка
Общий
эффект
НС Л О
епеней
ободы
" Н ИЗ
>Т о о
2
2
2
2
9
17
Сумма квадратов (SS)
(Tl+T^+rl) /3—G2I'18
(/M+i$/3^V18
Получается путем вычи-
вычитания записанных выше
четырех SS из общей суммы
S (Ьжд. набл.J—G2/18
и
SSDI2
SST/2
SSVI2
SSF/2
SSEj9
/^отношение
9SSDI2SSE
9SST/2SSE
9SSVI2SSE
9SSF/2SSE
454

Фюрмулы для дисперсионного анализа приведены в табл. 12.4.
Читателям, не знакомым с дисперсионным анализом, рекомен-
рекомендуем [1—3], где этот предмет излагается с достаточной подробно-
подробностью. Здесь мы только объясним, как пользоваться табл. 12 4 Чи-
Число во второй колонке этой таблицы, называемое «числом степеней
свободы» и соответствующее тому или иному источнику вариации,
равно количеству отдельных слагаемых, которые можно выбрать про-
произвольно, когда выполняются определенные ограничения, связанные
с фиксированием общей суммы квадратов
Среднее значение квадрата, т е сумма квадратов, поделенное
на число степеней свободы, является оценкой определенной линейной
комбинации дисперсий факторов Отношение оценок дисперсий, по-
полученных на основании двух независимых выборок из нормальной
совокупности, обладает ^-распределением, зависящим только от чи-
числа степеней свободы каждой из выборок
В последней колонке табл. 12 4 приводится /^-отношение как
средний квадрат того или иного фактора, поделенный на среднеквад-
ратическую ошибку наблюдения. Если отношение выходит за пре-
пределы значения F, которое можно найти по таблице, задавшись до-
доверительным уровнем [1—3], начальное предположение несуществен-
несущественности дисперсии рассматриваемого фактора считается неверным,
т. е. значение вариации фактора отлично от того, которое имело бы
место, если бы присутствовала только случайная вариация Из это-
этого следует, что фактор действительно оказывает воздействие па по-
поведение изделия.
Таким образом, можно исследовать каждый источник вариации
с количественной стороны; в результате мы выясним, являются ли
эффекты взаимодействия и чистые эффекты существенными (при
выбранном доверительном уровне). Наконец (это в табл. 12.4 не по-
показано), можно получить оценки среднего эффекта и дисперсии для
каждого фактора и для взаимодействия. Это можно сделать чисто
арифметически, приравняв каждое число в колонке «средний квад-
квадрат» линейной комбинации соответствующих дисперсий, т. е ма-
математическому ожиданию квадрата. Этот очень полезный а'спект ди-
дисперсионного анализа в [1—3] не описывается; его можно найти
в статистической литературе, обычно под названием «компонент
дисперсии». Специальное исследование имеется во II части серии
из трех статей: «Fundamentals of analysis -of variance», проф.
Charles R. Hicks, помещенной в журнале «Industrial Quality Cont-
Control», 1956, September, № 13; в книге Henry Scheffer's «The analysis
of variance», опубликованной J. Wiley and Sons 1 st Edition, 1959,
точечные -и интервальные оценки компонент дисперсии (стр 228 и да-
далее); F. Lemus приводит пример оценки компонент дисперсии
<в статье «A mixed model factorial experiment in testing electrical con-
connectors», Industrial Quality Control, I960, December, № 17.
Таким образом, мы можем определить, имеется ли
определенное свидетельство взаимодействия или же
взаимодействия АВ невозможно выявить на фоне выбо-
выборочных ошибок. Аналогично можно сравнить дисперсию,
обусловленную А (или В) со случайным разбросом, что-
чтобы определить ее статистическую значимость. .
455

Рассуждения, которые мы только что провели очень
кратко, справедливы для любого количества факторов
и любого количества уровней. Однако, очевидно, при
возрастании количества факторов и уровней возрастает
также число возможных сочетаний результатов экспери-
эксперимента. Существуют многочисленные методики (см.
стр. 473), служащие для сокращения числа сочетаний,
которые необходимо наблюдать, но подробное рассмот-
рассмотрение различных методик эксперимента выходит за рам-
рамки настоящей главы. В литературе [1—3] описано и про-
проанализировано большое количество таких методик.
12.6.5. Пример нестатистического эксперимента
Мы уже знакомы со статистическим экспериментом
и с тем, что понимается под его анализом. Рассмотрим
теперь результаты испытания, которое не является ста-
статистическим экспериментом. Описываемое испытание
связано с определенным методом планирования, но в нем
не принято никаких соглашений относительно статисти-
статистических понятий.
Исходный план испытаний представлен табл. 12.5.
Было предложено испытать 24 изделия при 18 раз-
различных сочетаниях четырех основных видов внешних
условий: колебания температуры, вибрации, мгновен-
мгновенного перепада и температуры горения. Некоторые изде-
изделия подвергались колебанию температуры с —60° С,
другие — с +80° С; некоторые совсем не подвергались.
Дополнительные подробности читатель найдет
в табл.12.5. Внешние факторы и их уровни, при которых
производились испытания, были выбраны с учетом кон-
конструкции и условий функционирования издел-ия. Горение
во всех случаях было статическим.
Одно из достоинств данной программы состоит в том,
что изделие испытывается при нескольких различных
условиях. Однако программа имеет и недостатки. Во-
первых, испытания проводятся последовательно, не обра-
образуя единого целого. Оценить эту особенность только по
табл. 12.5 затруднительно. Та же самая информация
в упорядоченном виде заключена в табл. 12.6, где на-
наглядно показаны все возможные сочетания внешних
факторов и принятых уровней для испытаний. Теперь
очевидна недостаточность баланса и эффективно постро-
456

Таблица 12.5
Программа испытаний для предварительного
определения качества
(к
S-*
s?
о S
Es
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Испытания после
темперирования
изменения Т
з фяда
Г, °С~Т2 °С
—60Н-+80
+80-^+60
—60-f-+80
+80-—60
—50Ч-+80
+80н—60
Испытания нз
вибрацию при
Т зарядд =
=Т, °С
— 60
-1-80
—60
+80
—60
+80
-60
+80
—60
+80
—60
+80
—60
+80
—60
+80
Испытания
на удар при
Т заряда^
=7\ °С
—54
+74
—54
+74
—54
+74
—54
- +74
—54
+74
—54
+74
Испытания
при Т заряда,
°С (статиче-
(статическое горение)
—54
+ 65
+65
—54
+65
—54
+65
—54
+65
+65
—54
+65
—54
+65
—54
+65
—54
—54
+65
—54
+65
+65
—54
—54
енного плана. Величины в клетках в табл. 12.6 соот-
соответствуют нормам изделий в табл. 12.5.
Вторым значительным недостатком является то, что
программа испытаний в рассматриваемом виде не позво-
позволяет анализировать данные, если не прибегать к интер-
интерпретации, в сильной степени произвольной. Эффекты
действия внешних факторов, их дисперсии и их взаимо-
взаимодействие оказываются смешанными. Во время проведе-
проведения программы предварительных испытаний обычно из-
изделие впервые существенным образом соприкасается
с внешними условиями, и этот опыт используется в даль-
дальнейших испытаниях и при эксплуатации. Хотя предель-
предельные уровни внешних условий при предварительных
испытаниях не такие исключительные, как при после-
последующих, но и тогда достигается представительная
457

Таблица 12.6
Программа испытаний для предварительного определения
качества (те же данные, что и в табл. 12.5,
но представленные в другом порядке, чтобы показать
отсутствие баланса)
Испытания
на удар при
Т, °С
Не произво-
производились
—54
+74
j
Число
испытаний
Температура
статического
горения, °С
—54
+65
—54
+65
—54
+65
Темперирование заряда, °С (испытания после
нагревания — охлаждения заряда
-
-
24
9
7
8
19
6
-60
16
3
5
20
12
22
6
+ 80
17
4
6
13
23
21
6
18
-60Ч-+80
—
1
1
-60
10
14
2
+ 80
0
3
+80-;—60
—
2
1
-60
0
+80
11
15
2
3
Число испы-
испытаний
6
6
2
4
4
2
12
6
6
24
картина сочетания факторов, на основании которой уже
можно судить об ожидаемом поведении изделия.
Если все испытания прошли успешно, мы получаем
определенную уверенность в том, что при воздействии
внешних условий двигатель сработает безотказно; в этом
случае можно перейти к дальнейшей программе испы-
испытаний, рассчитывая на успех; можно планировать огра-
ограниченное производство изделий.
Однако, если при воссоздании внешних условии
произошел отказ, очень важно суметь определить част-
частные значения внешних условий, к которым изделие наи-
наиболее чувствительно. Рассмотренная программа испыта-
испытаний не позволяет этого сделать. Когда определены
458

внешние факторы, обусловливающие неудовлетворитель-
неудовлетворительное функционирование или недостаточное значение опе-
оперативной характеристики, мы можем принять .соответ-
.соответствующие меры к тому, чтобы добиться «нечувствитель-
«нечувствительности» к подобным внешним условиям. Это — главная
цель, которую следует иметь в виду при выработке и
использовании статистической программы испытаний.
Помимо этого, получаемые результаты можно исполь-
использовать для конструирования других подобных двигате-
двигателей и для лучшего выявления потенциальных возмож-
возможностей данного двигателя.
Теперь покажем аналитическим путем, что по пред-
предложенной программе внешние факторы оценить невоз-
невозможно. Предположим, что нам необходимо сравнить эф-
эффект, оказываемый на выход системы температурой го-
горения, если перепад отсутствует. По табл. 12.6 можно
было бы сравнить средний эффект при испытаниях, ре-
результаты которых записаны в 1-й строке, -с соответствую-
соответствующими значениями 2-й строки. С этой целью введем в
рассмотрение следующую математическую модель (без
взаимодействия):
где у— суммарный эффект (значение некоторого парамет-
параметра, например давления, удельного импульса, опи-
описывающего расположение изделия к успеху или
отказу);
|л—средний эффект (значение, которое можно полу-
получить, если внешние условия будут исключены);
t — эффект, оказываемый колебанием температуры на
поведение изделия;
v — эффект, оказываемый вибрацией на поведение из-
изделия;
d — эффект, оказываемый перепадом;
f — эффект, оказываемый температурой горения;
е — вклад случайного колебания значения у (т. е.
случайная ошибка).
При помощи этой модели можно выразить суммы на-
наблюденных значений соответственно по 1-й и 2-й строкам
следующим образом:
459

где индексы О, 1 и 2 (за исключением тех, которые отно-
относятся к ошибкам) обозначают нижний, средний и верх-
верхний уровни соответствующих факторов. Чтобы сравнить
действие указанных двух температур, возьмем разности
средних 1-й и 2-й строк:
Последний член правой части этой формулы, т. е. ошиб-
ошибка, при увеличении объема выборки, стремится к нулю;
'первый член является мерой изменения эффекта, произ-
производимого температурой горения (оценку которой мы хо-
хотим получить); второй член является мерой отклонения,
вызванного вибрацией. Очевидно, если вибрация
действительно присутствует, т. е. (v\—v2) не равно ну-
нулю, то она будет входить в разность средних соответ-
соответствующих строк, влияя таким образом на оценку откло-
отклонения, обусловленного температурой заряда. Подобное
явление, непонятное без математической модели, в ста-
статистике называется смешением. Оно практически при-
приводит к тому, что если разности строк оказываются
очень большими, то это воспринимается как эффект тем-
температуры заряда. Тогда в проект вносятся изменения,
имеющие целью уменьшить влияние температуры, в то
время как в действительности следовало бы обратить
внимание на вибрацию. Этот пример показывает значе-
значение систематического экспериментирования, которое
исключает ошибочные выводы и неправильные действия.
Для оценки эффекта, обусловленного внешними
условиями, можно сделать и другие сравнения, однако
они также будут почти всегда подвержены смешению,
если не получать должный контраст путем использова-
использования наблюдений из двух (отдельных) клеток. Однако
недостатки подобной процедуры состоят в том, что, во-
первых, вследствие малости выборки велика ошибка на-
наблюдения и, во-вторых, сравнение можно производить
не при общих, а лишь при частных условиях.
Еще одним 'недостатком этой программы является то,
что она дает недостаточную информацию для хорошего
измерения дисперсии при каждом рассматриваемом
4G0

уровне и факторе. Это весьма существенное ограниче-
ограничение, поскольку точные оценки предельных значений вы-
выходной характеристики, соответствующих заданным
требованиям, можно получить лишь в том случае, когда
LSL
USL
Рис. 12.1. Случай, когда температура горения не оказывает
заметного влияния на характеристику изделия.
имеются точные оценки' среднего и разброса влияния
каждого из факторов на характеристику двигателя.
Если указанные среднее и дисперсию можно найти, то
и в этом случае на основании строгих математических
выкладок § 8.7 можно показать, что существует некото-
некоторая неопределенность наших действий. Рассмотрим
рис. 12.1 и 12.2. На обоих рисунках средний эффект на-
LSL
Рис. 12.2. Случай, когда температура горения влияет на характе-
(ри'стику изделия. (Вероятность отказа соответствует густо за-
заштрихованной области под .кривыми).
461

ходитсй между допустимыми пределами (tJ$L и LSL);
однако ввиду случайных колебаний относительно этих
средних некоторая доля значений эффекта может выйти
за эти пределы (см. рис. 12.2), что ведет к ненадежности.
В ситуации, показанной на рис. 12.1, отказы невоз-
невозможны; но если разброс распределения станет больше,
то может появиться возможность отказов. Подобного
рода информация не получается из только что рассмот-
рассмотренной программы.
12.6.6. Программа статистических испытаний
твердотопливного ракетного двигателя
С учетом факторов планирования испытаний, изло-
изложенных в п. 12.6.1, была предложена иная программа.
На испытания отпущено 24 изделия; однако можно ви-
видеть, что требуемая информация, соответствующая че-
четырем внешним условиям, может быть получена при
18 испытаниях с горением, если только между внешни-
внешними условиями нет статистического взаимодействия.
Измеряемыми величинами были сила тяги, скорость воз-
возгорания, импульс, давление в камере и др. Выборка счи-
считалась однородной и обладающей нормальным распре-
распределением. Испытания были разрушающими, поскольку
испытывались достаточно дорогие твердотопливные ра^
кеты, и расход 20—25 изделий был обоснован. Испыта-
Испытания носили случайный характер; статистик находился
далеко от места испытаний. Вместо примера п. 12.6.5
был предложен план испытаний, который является
одним из наиболее простых и легко организуемых стати-
статистических методов (см. также п. 12.6.8). План испыта-
испытаний, показанный в табл. 12.7, был предложен в качестве
альтернативы к примеру табл. 12.6.
План представляется греко-латинским квадратом
3x3; принимается 9 различных наборов внешних усло-
условий, равномерно выбранных из пространства внешних
условий. Рассматриваемый план является сбалансиро-
сбалансированным. Он содержит еще один уровень температуры
( + 18° С) по сравнению с первоначальным планом испы-
испытаний. План построен таким образом, что представляет-
представляется возможным оценивать эффект действия каждого
фактора на характеристику изделия; при этом согласно
нашей модели считается, что взаимодействие либо отсут-
462

Таблица 12.7
Усовершенствованная программа предварительных
испытаний качества (без взаимодействия значимых
факторов)
Испытания на удар
при Т, °С
Не проводились
d0
—54° С
dx
+74° С
d2
Число испытаний
Сумма по всем
наблюдениям
Испытания после темпериро-
темперирования
-
to
2
*.fo
2
V2f2
2
6
To
-65--+80
ti
Vifi
2
V2fl
2
^ofo
2
6
7-1
+80-4—60
/t
У2/0
2
2
2
6
T2
ело испы-
ИЙ
к *
??
6
6
6
18
Сумма по
всем наблю-
наблюдениям
Do
Dt
D2
Суммарное
G
v0 — вибрация отсутствует; i^ —вибрация при Т заряда —6Э° С; v2 — вибра-
вибрация при Т заряда 80° С; Vo — сумма наблюдений при испытаниях на вибрацию
при vQ\ Vi — сумма наблюдений прч испытаниях на вибрацию при vx\ У2 — сумма
наблюдений при испытаниях на вибрацию при и2; /0 — испытание при темпера-
температуре —54° С; ^ — испытание при температуре +18° С; f2 — испытание при темпе-
температуре +65° С; Fo — сумма наблюдений при испытаниях +54° С; F, —сумма
наблюдений при испытаниях +18° С; F2 — сумма наблюдений пои испытаниях
при +65° С.
Примечание. Во всех случаях горение было статическим.
ствует, либо является малым по сравнению с чистым
действием. Этого нельзя предполагать до тех пор, пока
испытания не подтвердят, что взаимодействие в самом
деле отсутствует. Важным является возможность вычис-
вычислить разброс относительно средних значений характе-
характеристик. Следовательно, на основании вероятностях ме-
методов находятся оценки, показывающие (при заданном
доверительном уровне), как часто выходная характери-
характеристика будет находиться в заданных пределах с учетом
влияния температуры, вибрации и т. п. Если проект про-
проанализировать таким образом, то становится очевид-
очевидным, какие факторы являются определяющими для зна-
значения выходной характеристики (если таковые имеют-
имеются) и какие следует для них назначить допуски. Далее,
463

Таб
Фактор
Колебания температуры
Вибрация
Перепад
Температура горения
л и
ца
12.8
Уровни для
испытания
0
CD CD CD CD
l
CD CD CD CD
2
CD CD CD CD
на данном этапе в случае необходимости должно быть
проведено соответствующее изменение в проекте.
Чтобы повысить достоверность информации, полу-
получаемой в результате испытаний, желательно полностью
повторить опыт, хотя для этого требуется использовать
девять двигателей. На подобную процедуру уходит все-
всего 18 изделий, т. е. на 6 меньше, чем в исходной про-
программе; для сравнения
получаются следующие
количества наблюде-
наблюдений (табл. 12.8).
Коль скоро взаимо-
взаимодействие факторов пре-
пренебрежимо мало, эф-
эффект, оказываемый
каждым 'из четырех
факторов, определяет-
определяется .на 'основании опы-
опыта с такой же точ-
точностью, как если бы весь эксперимент служил только
для исследования этого отдельного фактора. В действи-
действительности, сравнения, производимые в предложенном
плане, являются более реалистичными, чем сравнения
в однофакторных экспериментах, так как они основаны
на средних эффектах при очень различных, но общих
условиях. Для оценки ошибки наблюдений имеется 9 сте-
степеней свободы.
Таким образом, при успешном осуществлении подоб-
подобной программы появляется высокая степень уверенности
в том, что двигатель будет действовать при всех воз-
возможных значениях внешних условий. В случае отсут-
отсутствия отказов в 18 испытаниях с достоверностью 95%
подтвердится надежность 85% (см. рис. П.4).
12.6.7. Пример статистического экспериментирования
с электронным оборудованием
Этот пример взят из программы разработки [5]. Он
показывает, как может измениться план испытаний и их
анализ, если учесть вид испытываемого оборудования,
ранее полученную информацию и требования к новой
информации. В данном случае ситуация такова, что
важно выяснить эффект взаимодействия факторов. Ана-
464

литический вид распределения времени безотказной ра-
работы известен. Ожидается, что наработка на отказ будет
зависеть от внешних условий. Наконец, время испыта-
испытаний ограничено, что необходимо учесть при выработке
плана испытаний.
Испытаниями на внешние условия было установлено,
что критической для системы является некоторая часть
электронного оборудования. Это потребовало проведе-
проведения некоторой переделки в проекте, после чего возникла
необходимость в исследовании характеристик наработки
при некоторых значениях внешних условий.
Условиями, эффект которых исследовался, были ви-
вибрация, влажность и колебания температуры.
Было известно, что распределение времени безотказ-
безотказной работы испытываемого оборудования показатель-
показательное. Однако время испытаний ограничено, так что испы-
испытания должны были через время Т прекратиться. В ка-
качестве показательных для внешних условий были вы-
выбраны следующие значения уровней:
Вибрация а0 ах а2
Влажность Ьо Ьг
Колебание температуры с0 сх
Таким образом, получилось ЗХ22=12 сочетаний
внешних факторов и уровней, и, поскольку требовалось
исследовать взаимодействие факторов и их чистые эф-
эффекты, было решено, что наиболее подходящим планом
испытаний будет простой факторный план с группами
из N изделий.
Эксперимент состоял в том, что каждая из 12 групп
по N комплектов оборудования ставилась в те или иные
внешние условия, соответствующие определенным уров-
уровням; испытания продолжались до момента отказа либо
до момента Т в зависимости от того, какой из них на-
наступал раньше. Для средней интенсивности отказов
(обратной величины к наработке на отказ) при различ-
различных сочетаниях внешних условий были получены сле-
следующие оценки.
Для любой комбинации внешних условий
{аи Ь5, ck)=(i, /, k) (i = 0, 1, 2; / = 0,1; ? = 0,1)
30—1113 465

из уравнения правдоподобия [5] можно вычислить
-¦ - "iik^Tr> 02.5)
где ttijh — число отказов до момента Т при сочетании
(/, /, k) внешних условий;
tijh—суммарная наработка элементов, отказавших при
сочетании (i, /, k).
Средняя интенсивность отказов определяется просто,
как число отказов, происшедших в ситуации (/, /, k),
поделенное на общее время, соответствующее всем изде-
изделиям, которые испытывались в данной ситуации, отка-
отказавшим или нет. Полученная статистика показана
в табл. 12.9.
Таблица 12.9
Оценки средней наработки при различных сочетаниях
внешних условий
Колебания
темпера-
температуры
Со
Ci
Вибрация
а0
Влажность
bo
А
Ь^ооо
А
^001
Ьх
А
{^010
А
fJ-oii
Влажность
bo
А
ЬЧо1
А
^110
А
а2
Влажность
bo
Н-200
^201
ьх
Р-210
A-2I1
12.6.7.1. УСТАНОВЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
ЭФФЕКТА ВНЕШНИХ ФАКТОРОВ
Табл. 12.9 подсказывает, что нужно использовать
метод дисперсионного анализа; однако можно показать
(см. [5]), что
следовательно, чтобы изменить соотношение между
средним и дисперсией, необходимо произвести преобра-
преобразование данных ([3], гл. 8.5). Если [iT велико, можно
использовать логарифмическое преобразование, если
\iT мало, можно перейти к квадратному корню. Тогда
табл. 12.9 заменяется таблицей преобразованных дан-
466

ных, после чего уже можно применить обычный метод
дисперсионного анализа. Таким образом выявляется
важность эффектов различных внешних условий и их
уровней, и мы получаем количественное основание для
планирования дальнейших усовершенствований. Помимо
этого, при помощи дисперсионного анализа находится
взаимодействие двух и большего числа внешних усло-
условий, которое классическим методом выявить невоз-
невозможно.
12.6.7 2. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
Поскольку известно, что время безотказной работы
распределено по показательному закону, знание \iijk —
интепсивностей отказов — полностью определяет распре-
распределение времени безотказной работы при внешних усло-
и
/и *
Минимальное
бремя работы
элемента
s
Рис. 12.3. Поверхность отклика на частоту колебаний (заштрихо-
(заштрихованная область соответствует ожидаемой области отказов).
еиях (/, /, k). Значит, согласно табл. 12.9 мы можем по-
построить поверхность отклика, подобную изображенной
на рис. 12.3, для случая вибрации. Этот рисунок по-
построен следующим образом. Для каждого уровня вибра-
вибрации берется среднее значение \к\ это дает оценку jjio ..
математического ожидания интенсивности отказов uq\
IV • =
30*
467

Аналогично оценками ах и а2 будут
Подобные оценки значений pimt для каждого уровня
вибрации представляют собой усредненные значения по
остальным измерениям пространства внешних условий.
Следовательно, для любой кривой наработки мы полу-
получаем более представительную выборку характеристик.
Этот метод отличается от обычного метода испытаний
на долговечность, при котором исследуется только
отдельный внешний фактор, если его уровни варьиру-
варьируются. Поверхность отклика для внешних условий можно
построить для любого фактора; графическим методом
обнаруживается, существует ли корреляция между
интенсивностью отказов и уровнями внешних условий.
Если от элемента требуется исправная работа в те-
течение времени t0, то вероятность такого события после
испытаний с уровнем вибрации а0 будет оцениваться
как
P(a0, *.)=J к..
Построение поверхности (рис. 12.3) проведено по шаб-
шаблону, так как уровни факторов были дискретными.
Однако если исследовано достаточное количество уров-
уровней и выведено уравнение регрессии между интенсив-
интенсивностью отказов и соответствующим внешним фактором,
скажем, в виде ii = g(a), где а обозначает уровень
вибрации, a \i — интенсивность отказов, тогда вероят-
вероятность безотказной работы на протяжении времени t0 при
уровне вибрации а* примет вид
12.6.7.3. НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
ПРИМЕНЕНИЯ ОПИСАННОГО МЕТОДА*
До сих пор мы имели дело с исследованием поведе-
поведения изделия и его надежности при внешних условиях,
варьируемых в определенном интервале. Однако не
* Это понятие развито в § 13.2.
468

всегда нужно исследовать поведение характеристик вс)
всем интервале, если в ходе испытаний выяснится, что
изделие действительно обладает высокой надежностью.
Обычно нас интересует нахождение областей отказов,
и, стало быть, мы хотим, чтобы некоторые изделия отка-
отказывали; следовательно, представляется естественным,
чтобы самые крайние сочетания внешних условий (на-
(например, a2b{c\) брались в первую очередь. Объясняется
это следующим: если не откажет ни одно изделие или
откажет очень немного изделий, то при крайних значе-
значениях внешних условий будет получена низкая интенсив-
интенсивность отказов; путем экстраполяции можно сделать вы-
вывод* о низкой интенсивности отказов при нормальных и
облегченных условиях. Например, если бы нам удалось
с высокой степенью достоверности сделать вывод, что
99% изделий проработают минимально необходимое
время при крайних значениях условий, то тем самым
уже без дальнейших испытаний дается достаточная га-
гарантия годности изделия. При дорогостоящем изделии
или испытании нецелесообразно тратить дополнительное
время и средства на то, чтобы при раздельном испыта-
испытании убедиться в годности изделия при наивысшем
уровне: все равно окончательное подтверждение надеж-
надежности оборудования будет осуществлено после полной
сборки системы.
Однако если в результате испытаний при крайних
условиях нельзя сделать положительного вывода, то
для подтверждения надежности необходимо исследовать
поведение характеристик изделия; теория граничных
испытаний здесь уже неприменима. Следовательно,
в этом случае нужно продолжать испытания, отходя от
крайних условий таким образом, чтобы всегда для рас-
рассматриваемой области можно было делать экстраполя-
экстраполяцию статистических выводов. Рассмотрим с целью
иллюстрации рис. 12.4 и пример с двумя внешними
условиями. В нем исследуются внешние условия двух
видов: А и В. Нас будут интересовать не только чистые
эффекты Л и В, но и их взаимодействие. В качестве вы-
выборки для испытаний мы возьмем усовершенствован-
* Если это необходимо, для экстраполяции используются коэф-
коэффициенты К а (см. п 9.4.3.1). Кроме того, можно применить инже-
инженерный подход, основанный на виде отказов и предыдущем сопо-
сопоставимом опыте.
469

ный элемент, теоретически рассчитанный на значения
внешних условий, при которых в предыдущих испытаниях
произошел отказ. Можно поступить следующим обра-
образом. Пусть условия, при которых в первоначальных
испытаниях произошел отказ, будут a2b3 (см. рис. 12.4).
Новое изделие испытывается при афА. Если испытание
пройдет успешно, возникнет достоверная гарантия того,
f
3
Ч
ai
V
ч,
3
Фактор внешних условии В
Рис. 12.4. Последовательное изменение пара-
параметров при испытаниях.
/ — направление возрастания жесткости условий; 2 —
направление изменения параметров в ходе испыта-
испытаний; 3— первая площадь испытания (a3b4); 4 — вто-
вторая площадь испытания (заштрихована), 5 —
третья площадь испытания (обведена жирной ли-
линией); 6 — направление возрастания жесткости усло-
условий.
что изделие сработает и при о^з, так как эти условия
более облегченные, чем афА. При необходимости удовле-
удовлетворить заданным требованиям по надежности и досто-
достоверности объем выборки нужно увеличить, пока эти тре-
требования не будут выполнены. Например, из табл. П.6
видно следующее: для обеспечения 95%-ной достовер-
достоверности того, что' изделие будет обладать средней нара-
боткой 6L при времени испытаний, равном 0L/2O, нужно,
чтобы в 60 испытаниях не было ни одного отказа. Иной
план испытаний допускает не более одного отказа
в 97 опытах (см. также § 10.6). Если же при а3Ь4 на-
надежность не подтвердится, мы расширяем область
исследования до аф3, афг и пъ^а, так что вместе с афА
образуется простой факторный план 2x2, на основании
которого можно оценить чистые эффекты, взаимодей-
470

ствия и вариации. Подобный процесс продолжается до
тех пор, пока экспериментатор не получит достаточную
информацию о внешних условиях, приводящих к отка-
отказам, или убедится в том, что при требуемых условиях
изделие работает безотказно.
12.6.8. Роль статистического экспериментирования
в надежности
Может быть, стоит закончить эту главу некоторым
замечанием предостерегающего характера. В настоящее
время статистическое экспериментирование является хо-
хорошо развитым; по нему накоплен большой опыт; но в то
же время его следует применять только как полезный
аппарат, служащий повышению надежности. Экспери-
Экспериментатор не должен пытаться подогнать поведение обо-
оборудования под статистическую модель — скорее на-
наоборот.
Перед тем как выработать план, требуется большая
работа по обоснованию. Обычно статистик не распола-
располагает таким подробным знанием аппаратуры, как инже-
инженер-конструктор, а значит, оба должны работать со-
совместно, чтобы на основании опыта конструктора у ста-
статистика была возможность выработать наиболее прием-
приемлемый план *.
Следовательно, целесообразно принимать настолько
простые планы испытаний, чтобы их можно было осу-
осуществить при перечисленных условиях. Поступая таким
образом, мы теоретически теряем часть информации;
однако, если у статистика нет возможности контролиро-
контролировать испытания и сопутствующие им условия, зачастую
в результатах первоначального плана становится очень
трудно разобраться. Например, стенд для испытаний на
влияние внешних условий поврежден или вышел из
строя на ранней стадии осуществления программы испы-
испытаний. Или, когда начались испытания, выяснилось, что
для них отпущено меньше изделий, чем предполагалось.
В учебниках по планированию эксперимента можно
найти метод анализа в случае пропуска данных, но он
связан с определенными ограничениями. В то же время,
если план испытаний будет сравнительно простым и
* Ом Del Priore F. R., Day В. В. The engineer and statis-
statistician can meet. Navord Report, '1953,' 4028.
471

произойдет подобное нарушение, то, как правило, удаст-
удастся сохранить'намного больше информации, чем в слу-
случае очень мудреного плана.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. О. L. D a v i e s. Design and analysis of industrial experiments.
Oliver and Boyd, London and Edinburgh, 1954.
2. W. G. С о с h r a n and G. M. Co x. Experimental designs, 2d
ed. John Wiley and sons, New York, 1957.
3. O. Kempthorne. The design and analysis of experiments.
John Wiley and sons, New York, 1952.
4. D. E. Hartvigsen and D. K- Lloyd. The application of
statistical test designs to qualification testing of rockets in guided
missiles. Proc. Western Regional Conference ASQC, San Francisco,
1957.
5. D. K. Lloyd. Multienvironmental life testing of parts and
components in rockets and guided missiles by statistical design. IRE
Trans. Reliability and Quality Control, 1958, December.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Acheson M. A. Quality acceptance practices in specifications.
Proc. 3rd National Symposium on Reliability and Quality Control in
Electronics, IRE, 1957, v. 14—16, January, p. 136—140.
Bailey N. T. J. Science, statistics and operational research.
1956, Research № 9, June, p. 202—207.
Ball L. W. Management use of laboratory testing to achieve
reliability. National Convention Trans., ASQC, 1956, p. 663—671.
В a t s о n H. C. Applications of factorial x2 analysis to experi-
experiments in chemistry. National Convention Trans., Am. Soc. Quality
Control, 1956, p. 9—23.
В о x G. 'h. P. 'Integration of techniques in process development.
National Convention Trans., ASQC, 1957, p. 687—702.
Brick ley R. L. and H or ton W. H. Statistical approach to r
and d problems. Elec. Mfg., y. 57, 1956, May, p. 88—94, 362.
Cleminshaw С Environment-functional tests: key to systems
reliability. Ind. Labs, 1958, v. 9, 8, August, p. 34—34.
D e r r E. H. Tests to failure boost sparrow i reliability. Space
aeronautics, 1959, v. 32,'1, July, p. 133—141.
Hill D., Voegtlen D. and Yueh J. Parts vs systems: the
reliability dilemma. IRE Trans. Reliability and Quality Control, 1956,
v. PGRQC-6, February, p. 27—38.
Kuzmin W. R. Experiments to expose marginal reliability
designs. Proc. 5th National Symposium on Reliability and Quality
Control in Electronics, IRE, 1959, 12—»14, January, p. 55—64.
L even bach G. J. Accelerated life testing of capacitors. IRE
Trans. Reliability and Quality Contril, 1957, v. RQC-10, June, p. 9—20.
Luebbert W. F. Achieving operational effectiveness and re-
reliability with unreliable components and equipment. LRE Convention
Record, 1956, Pt. VI, March, p. 41—49.
Z e 1 e n M. Problems in life testing: factorial experiments.
Trans, 13th Midwest Quality Control Conference, ASQC, 1958, Novem-
November, p. 21—33.
472

ГЛАВА 13
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАДЕЖНОСТИ
13.1. ВВЕДЕНИЕ
Располагая статистическими методами, мы имеем
возможность весьма эффективно получать достаточно
достоверные данные. Поэтому совершенно очевидно, что
эти методы играют существенную роль в любой про-
программе исследования надежности. Исследования некото-
некоторых статистических планов, появившиеся в литературе
по математической статистике, были доведены до высо-
высокой степени совершенства и нашли широкое примене-
применение в теории и практическом применении [1—3]. В при-
примерах предыдущей главы мы использовали два плана
этого типа (п. 12.6.6, 12.6.7). Однако, несмотря на ю,
что различные стандартные или классические статисти-
статистические планы очень ценны при решении отдельных во-
вопросов, они не подходят для всех тех случаев, с кото-
которыми мы встречаемся при исследовании надежности.
Причина заключается в том, что такие классические
планы, как факториалы, латинские квадраты, неполные
блоки и т. д., создавались и совершенствовались при
решении частных задач в сельском хозяйстве или биоло-
биологии. Кроме того, особенности организации промышлен-
промышленного производства требуют создания все новых и новых
планов, которые, кстати, уже начинают появляться в на-
научно-технической литературе*. В параграфах настоя-
* С <рядо'м BO.nipo.coiB, касающихся типов ситуаций и методов,
упоминаемых в этом,параграфе, можно более детально ознакомить-
ознакомиться, обратившись к первым пяти статьям журнала «Technometrics»
(v. 3, 3, August 19G1).
473

щей главы описываются некоторые наиболее важные
планы, которые применяются при исследовании надеж-
надежности.
Во введении (§ 0.1) рассматривались некоторые при-
причины ненадежности и те ситуации, которые ей способ-
способствуют. Уместно пересмотреть эти причины в свете
экспериментального планирования. Динамическая слож-
сложность процесса технической разработки характеризуется
обстоятельствами, которые следует относить больше
к области промышленного экспериментирования, а не
к другим, менее динамичным и более поддающимся
управлению и контролю областям научного исследо-
исследования.
Например, очень часто имеют место изменения про-
программ конструктивных разработок, которые практически
невозможно предусмотреть; так, нарушаются графики
производства и снабжения, аннулируются контракты,
возникает потребность выделять средства для выполне-
выполнения приорететных программ (с повышенной срочностью
исполнения), т. е. иногда возникает необходимость
проявлять большую гибкость, чем это обычно преду-
предусматривается в классических статистических планах.
Кроме того, при организации производства изделия или
наблюдения часто поступают последовательно, друг за
другом, и надо сказать, что и в этой области успехи
статистической методологии довольно скромны. После-
Последовательность поступления наблюдений имеет свои до-
достоинства и недостатки.
Достоинства состоят в возможности использовать
самую раннюю информацию и принимать решения,
прежде чем завершится полная выборка, т. е. появляет-
появляется возможность использовать эту информацию для изме-
изменения продукта производства. С другой стороны, когда
мы имеем дело с развивающейся программой разработ-
разработки, возникает проблема однородности последовательно
поступающих данных.
Следующая характерная особенность заключается
в том, что иногда на поведение изделия может влиять
очень большое число факторов, и мы сталкиваемся
с проблемой распознавания этих факторов на основании
испытаний небольшого числа дорогостоящих изделий.
Последнее еще больше осложняется, когда имеется воз-
возможность испытывать изделие только один раз из-за
474

того, что в результате испытания образец разрушается
или становится непригодным для дальнейшего исполь-
использования. Однако в настоящее время разработаны новые
статистические планы и методы, которые помога-
помогают решать некоторые из вышеупомянутых проблем, и
часть из них уже появилась в научно-технической лите-
литературе.
Ниже описываются пять типов проверки: 1) непре-
непрерывные экспериментальные планы; 2) испытания на
чувствительность; 3) произвольно сбалансированные
планы; 4) совершенствование операций; 5) исследование
поверхности отклика.
13.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ
В п. 12.6.7.3 рассматривался ряд вопросов, подробное
изложение которых приведено в работе Гарнера и Гарт-
вигсена «Программы непрерывной разработки и экспе-
экспериментальные планы» и в работе [4]. Необходимо отме-
отметить, что эти статистические планы основываются на
простом принципе, который заключается в таком выборе
отрезков полных факторных планов, чтобы их можно
было исследовать независимо друг от друга или объеди-
объединять друг с другом с целью увеличения объемов выбор-
выборки и чтобы позволить произвести более точные сравне-
сравнения. Такая ситуация возникает в программе разработки,
когда в разные моменты времени на различных этапах
проверки — осуществимости, контрольных и качества—
выделяется определенное количество изделий. Эти эта-
этапы следуют один за другим, а принятые решения о пе-
переходе к следующему этапу зависит от результатов пре-
предыдущего (или предыдущих) этапов. Кроме того, в на-
начале программы нам приходится встречаться в основном
с сильным воздействием некоторых факторов; и по ме-
мере их распознавания наша задача будет заключаться в
установлении значений любых (в том числе и незначи-
незначительных) эффектов. Эту задачу мы сможем решить,
если будем эффективно использовать все данные, вклю-
включая полученные при самых первых проверках. В рас-
рассматриваемом примере отрезки представляют собой
дробные факториалы, которые в сумме составляют пол-
полный факторный план.
475

13.2Л. Типичный анализ испытаний небольшого ракетного
двигателя*
Разрабатывается небольшой ракетный двигатель, от
которого требуется, чтобы он был надежным и безопас-
безопасным при работе в различных окружающих условиях.
Эти условия могут быть описаны с помощью следующих
факторов:
температуры - F;
старения Л;
колебания температуры Т\
вибраций У;
влажности Н\
ударных нагрузок 5.
Было решено исследовать по два уровня для каждо-
каждого фактора, а именно предельные границы их измене-
изменения, которые наблюдаются в условиях эксплуатации.
Поскольку есть достаточные основания полагать, чго
при этих граничных значениях катастрофические отказы
не ожидаются, проведение испытаний при промежуточ-
промежуточных значениях этих факторов было признано излишним.
Рассматривалось влияние окружающих условий на
основную переменную (давление в камере сгорания),
т. е. величина ее отклонения от номинального значения
под действием различных факторов. Вопрос, будет ли
изделие функционировать вообще, не ставился, по-
поскольку если бы при крайних значениях каких-либо
факторов происходили катастрофические отказы, то по-
появилась бы необходимость ввести испытания при проме-
промежуточных значениях факторов с целью определения
критических уровней эгих факторов. Тогда пришлось бы
основательно переработать изделие, а данный пример
до некоторого момента времени оставался бы неподхо-
неподходящим.
Как это везде принято, верхний предел фактора обо-
обозначается индексом 1, а нижний (или отсутствие этого
фактора) —индексом 0. Всего имелось 64 ракетных дви-
двигателя: 16 — для испытаний при разработке, 16 — для
* Перепечатано из неопубликованного начального варианта ра-
работы Щ Garner -N. lR., Hartvigsen D. IE. «Continuous develop-
development programs and experimental designs».
476

пробных или контрольных испытаний и 32 — для испы-
испытаний качества. Планом для испытаний при разработке
был выбран дробный факторный план-2~Х26. Он пред-
представлен в табл. 13.1 данными о давлении в камере сго-
сгорания в условных единицах.
Таблица 13.1
v.
v,
Mo
н.
«.
So
50
S,
So
Si
So
Si
План
испытании
при разработке
A
To
7,7
8,0
0
Tx
9,9
9,7
9,5
12,2
12,9
11,5
А
То
16,6
16,6
0
7*1
15,1
14,6
Аг
То
19,1
19,6
г,
18,2
18,4
Если мы предположим, что любые существующие
возмущения происходят за счет только чистых эффектов
факторов и что разность суммы квадратов можно
использовать в качестве оценки отклонения при экспе-
эксперименте, можно составить таблицу предварительного
дисперсионного анализа, основываясь только на резуль-
результатах испытаний при разработке (табл. 13.2).
Из таблицы видно, что температура заряда F сильно
влияет на давление в камере сгорания, если это не вы-
вызывается взаимодействиями более высокого порядка,
которые смешиваются с F. Аналогичное примечание
справедливо и для старения А. Остальные факторы не
оказывают сколько-нибудь значительного эффекта.
477

Таблица 13.2
Предварительный дисперсионный анализ испытаний
при разработке
1
2
3
4
5
6
Источник
изменчи-
изменчивости
F
А
Т
V
н
S
Предварительная
оценка изменчи-
изменчивости при экспе-
эксперименте**
Число
степеней
свободы
1
1
1
1
1
1
9
Сумма квад-
квадратов
201,64
33,64
0,06
0,16
1,82
0,16
12,71
Среднеквад-
Среднеквадратичное
значение
201,64
33,64
0,06
0,16
1,82
0,16
1,4122
/•'-соотноше-
ние
142,78*
23,83*
* Имеет значимость при 5%-ном уровне, где Fq 05=^' ^ для *» 9 степеней
свободы.
** Получена путем объединения всех эффектов, превышающих главные
эффекты.
Воспользовавшись односторонними толерантными
пределами, из табл. П.9 получим, что при объеме выбор-
выборки, равном 8, можно быть на 95% уверенным в том, что
Таблица 13.3
Суммы и средние значения результатов испытаний
при разработке
Уровни
F
А
Т
V
н
S
Общая сумма
Суммы
0
81,4
98,2
109,3
109,0
107,1
110,6
219,6
1
138,2
121,4
110,3
110,6
112,5
109,0
Средни©
0
10,17
12,27
13,66
13,62
13,39
13,82
13
,73
1
17,27
15,75
13,79
13,82
14,06
13,82
95% из совокупности двигателей, испытываемых при
высокой температуре Fu будут иметь давление в камере
сгорания меньше
17,27 + 3,19/1,4122=21,06—2 (см. п. 8.7).
478

Если этой информации Достаточно Для того, чтобы
перейти к пробным испытаниям без внесения конструк-
конструктивных изменений, то производим испытания 16 следую-
следующих двигателей в условиях, указанных в табл. 13,4,
и будем исследовать сводные результаты этих испыта-
испытаний. В рассматриваемом примере это как раз и произ-
Таблица 13.4
Результаты испытаний при разработке (в скобках)
и пробных испытаний
я.
я.
я,
я,
So
s,
So
s,
So
s,
So
S, '
fo
To
G,7)
8,9
8,8
(8,0)
r,
9,0
(9,9)
(9,7)
8,5
A,
To
(9,5)
11,1
12,9
A2,2)
T,
13,4
A2,9)
A1,5)
13,4
F,
Ao
To
A6,6)
16,0
16,2
A6,6)
T,
17,0
A5,1)
A4,6)
16,5
A,
To
A9,1)
19,4
19,9
A9,6)
T,
18,8
A8,2)
A8,4)
21,1
водится. Однако если бы было признано необходимым
внести какие-то конструктивные изменения, то резуль-
результаты, полученные в этом втором случае, должны были
бы сравниваться с результатами испытаний при разра-
разработке отдельно, чтобы определить эффективность этих
конструктивных изменений. Далее с помощью этих дан-
данных производится дисперсионный анализ (см. табл. 13.5).
Этот план помогает оценивать все чистые эффекты и
двухфакторные взаимосвязи. Исследуя только двухфак-
торную взаимосвязь FT, которая кажется нам наиболее
важной, мы найдем из табл. 13.6, что То против Т\ при
479

Таблица 13.5
Дисперсионный анализ результатов испытаний при
разработке и пробных испытаний
Источник изменчивости
F
А
Т
V
Н
S
FA
FT
FV
FH
FS
AT
AV
АН
AS
TV
TH
TS
VH
VS
HS
Пробные испыта-
испытания к испытаниям
при разработке
Эксперименталь-
Экспериментальное значение откло-
отклонения
Общий эффект
Число
степеней
свободы
9
31
Сумма
квадратов
6,72
534,01
Среднеквад-
Среднеквадратичное
значение
422,68
83,53
0,75
0,69
0,75
0,58
0,03
5,69
0,01
0,00
0,87
0,30
2,26
0,47
0,22
1,09
0,05
1,01
0,26
0,05
1,57
4,43
0,747
F-cooTHouie-
ние
565,84**
111,82**
7,62*
5,93*
* Имеет значимость при 5%-ном уровне для 1- и 9 степеней свободы.
*¦ Имеет значимость при 1%-ном уровне для 1 и 9 степеней свободы.
Fo составляет сумму квадратов G9,1J/8+(88,3J/8—
— A67,4J/16 = 5,29, а То против Тх при Л —сумму
A44,0J/8+A39,7J/8—B83,7J/16=1,15, а это свиде-
свидетельствует о тохМ, что взаимодействие вызвано колеба-
колебанием температуры при низкой температуре заряда F.
В то время как среднее давление в камере сгорания
при пробных испытаниях увеличилось, величина откло-
отклонения, наоборот, уменьшилась, т. е. улучшилась вос-
480

Таблица 13.6
Суммы и средние значения
результатов испытаний для оценки
взаимодействия факторов F и Т
т.
Суммы
Fo
79,1
88,3
Ft
144,0
139,7
Средние
9,89
11,04
Ft
18,00
17,46
производимое^. Таким образом, если бы все двигатели
работали при температуре F\, мы могли быть на 95%
уверены в том, что 95% ракетных двигателей имеют
давление в камере сгорания меньше, чем
17,73 + 2,91 /6Г747== 20,2 Ц*.
Таблица 13.7
Суммы и средние значения результатов
при
Уровни
F
А
Т
V
н
S •
Разработка
Пробные
Итого
разработке и
Суммы
0
167,4
199,7
223,1
' 223,2
223,1
227,1
• 219,6
231,5
45
1,1
пробных
1
283,7
251,4
228,0
227,9
228,0
223,4
испытании
испытаний
0
10,
12,
13,
13,
13,
14,
Средние
46
48
94
95
94
23
13,73
14,47
14
,10
1
17,
15,
14,
14,
14,
13,
73
71
25
24
25
96
Исходя из полученных данных, можно сделать сле-
следующие выводы:
1. Двигатель чувствителен к температуре его топ-
дивного заряда. Давление в камере сгорания растет
с увеличением температуры заряда.
* Толерантный фактор, используемый при вычислениях, выбран
из табл. П.9 для выборки с объемом, равным 10, поскольку число
степеней свободы для стандартного отклонения равно 9.
31—1113 481

2. Старение способствует увеличению давления в ка-
камере сгорания.
3. Двигатель чувствителен к колебаниям темпера-
температуры при низких температурах топливного заряда.
4. Давление в камерах сгорания пробных двигателей
слегка увеличилось по сравнению с давлениями в двига-
двигателях, проходивших испытания при разработке.
5. Оценка экспериментального отклонения составляет
@,747 ^V.
Ввиду того что критическое давление в камере сгора-
сгорания было равно 25 —-, чт0 значительно выше верх-
верхнего толерантного уровня в 23,4, являющегося 99%-ным
доверительным уровнем 99,9% двигателей, которые
испытывались при температуре заряда F\, мы приняли
решение перейти к следующему этапу проверок, т. е.
к испытаниям качества, без каких-либо переделок.
Таблица 13.8
Полный набор закодированных данных об испытаниях при
разработке, проверочных испытаниях и испытаниях
качества
#1
0
So
s,
5i
So
sl
So
Si
A
To
7,7
9,5
9,3
8,9
9,6
8,8
8,0
9,2
F
0
Tt
9,8
9,0
9,9
11,3
9,7
9,2
8,9
8,5
0
At
To
13,9
9,5
11,1
13,3
12,9
13,0
13,4
12,2
13,4
15,4
13,1
12,9
14,6
11,5
13,4
14,1
F
Ao
To
18,4
IB,6
16,6
18,0
16,2
17,5
19,3
16,6
Л
17,0
18,2
16,9
15,1
18,3
14,6
16,5
16,5
Аг
To
19,1
22,5
22,4
19,4
23,2
19,9
19,6
21,3
22,8
18,8
18,2
22,4
18,4
22,8
22,7
21,1
482

При испытаниях последующих 32 двигателей были
учтены остальные 32 сочетания факторов (окружающих
условий) полного факториала.
Окончательные результаты, включающие полученные
в ходе испытаний при разработке, пробные испытания и
испытания качества, приведены в табл. 13.8.
В габл. 13.9 и 13.10 приведены результаты диспер-
дисперсионного анализа. Основываясь на результатах анализа
Таблица 13.9
Общий дисперсионный анализ
Источник изменчивости
F
А
F
V
Н
S
FT
Испытания качества
к испытаниям при раз-
разработке и пробным
Экспериментальное
значение отклонения
Общая сумма
Число
степеней
свободы
1
1
1
1
1
1
1
1
55
63
Сумма
квадра-
квадратов
—
—
48,04
1138,53
Среднеквад-
Среднеквадратичное
значение
991,46
234,89
1,02
0,01
0,04
0,69
6,70
55,68
0,873
—
F-COOT-
ношение
1135,69
269,06
7,67
63,78
—
—
пробных испытаний и испытаний при разработке, было
решено исследовать только чистые эффекты и взаимо-
взаимодействие FT.
На основе всех этих данных можно сделать оконча-
окончательное заключение.
1. Давление в камере сгорания в большой степени
чувствительно к температуре топливного заряда. Сред-
Среднее значение давления при низкой температуре заряда
равно 11,09 ^г, а при высокой равно 18,97 '—„. Однако
СМ- СМй
это меньше, чем предполагалось вначале.
2. При старении давление в камере сгорания увели-
увеличивается, но изменение его оказывается меньше, чем
предполагалось вначале.
31* 483

3. Давление в камерах сгорания двигателей при
испытаниях качества выше, чем в камерах двигателей,
проходивших пробные испытания, в последних же оно
выше, чем давление в камерах сгорания двигателей,
проходивших испытания при разработке..
Таблица 13.10
Суммы и средние по всем испытаниям
Условия
F
А
т
V
н
S
Испытания ка-
качества
Испытания при
разработке и
проверочные
Уровни
суммы
0
355,0
419,6
476,9
480,4
481,8
484,3
510
¦ 451
1
606,9
542,3
485,0
481,5
480,1
477,6
,8
,1
средние
0
11,09
13,11
14,90
15,01
15,06
15,13
15,
Н,
1
18,97
16,95
15,16
15,04
15,00
14,93
96
10
4. Давление в камере сгорания становится слегка
чувствительным к колебаниям температуры, когда дви-
двигатели испытываются при низких температурах.
Однако эти изменения недостаточны, чтобы влиять
на надежность двигателя.
5. Давление в камере сгорания нечувствительно ко
всем остальным проверявшимся факторам окружающей
среды.
6. Экспериментальное значение отклонения равно
0,873 —-, т* е- стандартное отклонение равно 0,934^.
7. Если бы все эти двигатели испытывались в наи-
наихудших температурных условиях, т. е. при F19 в 99%
двигателей в течение 99°/0 времени давление было бы
меньше 22,82 —2.
см
Если эта надежность оказывается достаточной, про-
программа вступает в свою следующую фазу — массовое
производство.
484

Однако имеет смысл исследовать причины различия
между двигателями, которые изготавливаются на раз-
различных этапах и при необходимости вносить соответ-
соответствующие коррективы. Например, вполне возможно, что
различия происходят за счет недостаточного освоения
методов производства и контроля качества на началь-
начальных стадиях выполнения программы. Если это так, то,
вероятно, не обязательно предпринимать корректирую-
корректирующие действия.
13.3. ИСПЫТАНИЯ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
Часто мы сталкиваемся с проблемой определения
уровня какого-либо фактора, который является крити-
критическим, т. е. оказывает критическое воздействие на тех-
технические характеристики прибора. До этого уровня
можно ожидать, что работа будет успешной, а после
достижения его происходит отказ; здесь успех и отказ
определены как функционирование или нефункциониро-
нефункционирование испытываемого изделия.
Обычно мы считаем, что окружающие условия (или
определенные факторы) оказывают какое-то воздей-
воздействие на тактико-технические свойства изделия, в ре-
результате чего в определенном диапазоне условий, на-
например между двумя уровнями температуры, происхо-
происходят небольшие отклонения режима работы этого
изделия от номинального. Однако если этот диапазон
выбран очень большим, то часто могут происходить
радикальные изменения отклика. Причина кроется
в том, что физические или химические свойства изделия
при этом подвергаются таким изменениям, что его
свойства начинают резко отличаться от заданных. Так,
может прекратить работать диод при слишком низкой
температуре или электронно-лучевая трубка при опре-
определенном уровне вибрации, хотя никакие изменения их
характеристик, вплоть до достижения этого критическо-
критического уровня, не наблюдаются. Классическим примером,
который обычно приводится при обсуждении испытаний
на чувствительность, является исследование детонации
взрывчатого вещества при бросании его с различной
высоты. Проблема заключается в том, чтобы установить
метод нахождения среднего критического уровня, а так-
также оценить степень отклонения относительно этого сред-
485

частота
^х—•х—•х—х-«-х—х 6
•-Х—X-
-X—X 3
Итого 22
Рис. 13.1. Неэффективный
выборочный метод выявле-
выявления критического уровня.
него значения, после чего можно сделать вероятностные
заключения о надежности.
В отдельных случаях полученная информация мо-
может указать на необходимость создания искусственных
условий для защиты от критических обстоятельств или
на необходимость вообще отказаться от использования
того или иного изделия, которое вынуждено подвергать-
подвергаться воздействию фактора, .пре-
.превышающего определенный уро-
уровень.
Одна из проблем, с кото-
которой 'приходится часто сталки-
сталкиваться при .нахождении крити-
критического уровня, заключается
в следующем. В тех случаях,
когда мы выбираем фактор
при заданном уровне, а он не
влияет критически на работу
изделия (если это изделие од-
одноразового действия), то
нельзя узнать, насколько ве-
велик коэффициент критичности
фактора при этом уровне.
Рассмотрим случай с ракетным двигателем, рабо-
работающем на твердом топливе, который под воздействием
низких температур, взорвался сразу же после запуска.
Возможности произвести повторные испытания этого
двигателя нет, и, следовательно, нельзя узнать, на-
насколько была температура ниже критического уровня.
Совершенно другое положение наблюдается при
испытании жидкостного ракетного двигателя, когда при
определенной температуре замерзает и запирается
дроссельный клапан, в результате чего двигатель не за-
запускается. После оттаивания клапан будет вполне нор-
нормально функционировать и его можно испытывать еще
раз при более высокой температуре, и так будет про-
продолжаться до тех пор, пока не установится критическая
температура.
Если изделий достаточно много и они дешевы (что
бывает очень редко), то одним из способов получения
полезной информации будет испытание группы изделий
в диапазоне различных уровней и измерение соотноше-
соотношения изделий, работавших успешно и имевших отказы
486

в каждой группе. Результаты подобного эксперимента
выглядят так, как показано на рис. 13.1, где отказ обо-
обозначается крестиком (X), успех — нулем (О), a iji
представляет собой *-й уровень фактора у (температура,
соотношение компонент и т. д.). Из этих данных можно
обычным путем получить среднее (или медиану) и стан-
стандартное отклонение распределения успеха, при необхо-
необходимости преобразуя и нормализуя данные, чтобы полу-
получить возможность сделать обычные вероятностные
оценки. Однако этот эксперимент не очень эффективен,
поскольку, например, из шести испытаний при у$ не по-
получено никакой полезной информации (за исключением
того, что успехов при у$ не было вообще).
Обычно мы ожидаем, что успехи будут в тех слу-
случаях, когда уровни факторов значительно ниже крити-
критических, а отказы — когда уровни факторов значительно
выше критических уровней. Отсюда возникает необходи-
необходимость найти выборочный метод, который стремился бы
концентрировать испытания около критического уровня.
Описываемый ниже метод и обладает этим свойством.
В различных источниках его называют по-разному:
испытание на чувствительность, анализ Брюстона или
метод «вверх и вниз».
13.3.1. Методика испытаний на чувствительность
Перед испытаниями выбираются два числа: 1) уро-
уровень Ло фактора Я, при котором начинается испытание,
и 2) разница d0 уровней фактора Я между двумя по-
последовательными испытаниями. Методика испытаний
состоит в следующем.
Испыгывается первое изделие при й0. Если испыта-
испытание проходит успешно, уровень Я увеличивается до
ho + do и испытывается второе изделие. При успешных
результатах эта процедура увеличения фактора Я на
разницу (шаг) после каждого испытания повторяется
до тех пор, пока не произойдет отказ. Как только
произойдет отказ, следующее изделие испытывается при
уровне, который на один шаг d0 ниже уровня, соответ-
соответствующего последнему испытанию. Таким образом,
общее правило для каждого испытания состоит в том,
что, если последнее испытание было успешным, следует
увеличить уровень фактора Я на d0, и если при послед-
487

нем испытании произошел отказ, уменьшить уровень
фактора на d0. Последовательность испытаний может
быть представлена так, как это показано на рис. 13.2.
Первое испытание было успешным, поэтому второе изде-
изделие испытывалось при уровне ha+d0, а при этом испы-
испытании произошел отказ. Следующее испытание проводи-
проводилось при h0 и было успешным. Так продолжалось до
тех пор, пока не была исчерпана вся выборка. Очевид-
Очевидно, эта процедура автоматически концентрирует испы-
Нормапизобан-
ie данные
п;
Yso's
1.0
2.8
г,б
г,1*
гл
1,9
h$ - Uo
X О OO
о
XX
X О О X
ХОХ X ХО XXX
хоо хохоо оох
Итого
15
Рис. 13.2. Мето!Ц «вверх — вниз» при испытаниях на чувствитель-
чувствительность.
тания около критического уровня, и, таким образом,
средний критический уровень аппроксимируется медиа-
медианой, если распределение сильно не искажено (переко-
(перекошено). Важно также иметь меру отклонения, чтобы
можно было установить доверительные пределы, т. е.
мы значительно больше заинтересованы в получении
99%-ного доверительного предела, в качестве гарантии
того, что взрыв или какой-либо другой катастрофиче-
катастрофический отказ не произойдет, чем в получении 50%-ного
предела, или медианы. Кроме того, если полученные
данные упорядочены так, что они следуют какому-либо
известному распределению (например, нормальному),
то могут быть установлены более жесткие доверитель-
доверительные пределы. Следовательно, исходя из результатов пре-
предыдущих экспериментов, желательно заранее знать тип
распределения и уметь упорядочивать данные так, что-
чтобы они были нормально распределены. Тогда наша за-
задача будет состоять в том, чтобы определить оценки
параметров нормального закона распределения \i и а.
488

В настоящем примере данные рассматриваются как
результаты выборки из нормального распределения.
Наши действия заключаются в исследовании получен-
полученных данных и определении того, какие из крестиков (X)
и из нулей (О) имеют наименьшую общую частоту.
(Мы выбираем наименьшее число, чтобы исключить
смешение, которое может быть вызвано выбором Ао,
сильно отличающегося от критического значения, что
приводит к появлению слишком большого числа отказов
или успехов, прежде чем будет достигнута критическая
область.) Обозначим это число через N, а частоту этого
самого редкого из всех событий, возникающего при са-
самом низком уровне,— через п\ при следующем, более
высоком, уровне она будет равна П\ и так далее до п^ —
частоты события при самом высоком уровне, при кото-
котором наблюдается это событие. Тогда
Если h* — самый низкий уровень наименее часто встре-
встречающегося события, тогда оценка х для \i определяется
выражением
если используются нули;
Г?i
; = A*-f- d\ l—^r " , если используются крестики.
L J
Оценка для з получается из выражения*
k k
pL_
= 1,62CW -^ _-!=! (-0,030 .
Эта формула справедлива при ~^-> 0,533.
489

Таблица 13.11
Схема вспомогательных
вычислений
2
2
7
8
5
1
i
5
4
3
2
1
0
10
8
21
16
5
0
50
32
63
32
5
0
60
182
= 2,0 + 0,2 B,4 + 0,5) = 2,58;
= 1,б2-|-0,2 A,52 + 0,030) = 0,502.
Воспользовавшись в
качестве 'примера дан-
данными из рис. 13.2, со-
составим табл. 13.11 для
нулей (в этом случае
выбор не играет роли,
поскольку успехи и от-
отказы наблюдались оди-
одинаковое число раз).
При вычислении до-
доверительных интерва-
интервалов все действия до пе-
перехода к действитель-
действительным данным должны
производиться с норма-
нормализованными числами.
13.3.1.1. СТАНДАРТНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ СРЕДНЕГО
И ДИСПЕРСИЯ
Для определения уровня достоверности оценок \х и а
мы вычисляем их стандартные отклонения: соответ-
соответственно
На
=,, о.
где G и Я получены из рис. 13.3 и зависят от величи-
величины old. Так как обычно мы не знаем истинного значе-
значения а, необходимо воспользоваться его оценкой 5, имея
Gs
Hs
В данном примере-^-^0,50/0,20 = 2,5. Из рис. 13.3
находим, что G = 0,92, H =1,92; отсюда
5_=0,92Х—5—^0,09,
_192v0:502_ 019
490

G U И
ЗА
ЪЛ
5.0
1,8
2.6
2.1
2,0
U
1*6
иг
U О
0,8
\
1
\
\
\
\
\
\
\
1
1
1
1
\
\
\
\
\
\
У
/
0,2 0.3 ОЛ 0,50,6 0,8 1,0
2.0
Рис. 13.3. Кривая для оценки стандартных ошибок оценок среднего
значения и стандартного отклонения.
с
Зависимость G от -^ служит для получения оценок стандартного
(или среднего йсв'адрат-ичмаго) отклонения от среднего значения; зави-
с
симость Н от -j — для получения оценок стандартного отклонения
от стандартного отклонения.
Сплошная линия указывает на те величины, которые необходимо
использовать, если X совпадает с какой-либо высотой при испыта-
испытаниях. Пунктирная кривая указывает на величины для тех случаев,
когда* X расположен на равном удалении от двух высот. В осталь-
остальных случаях требуется линейная интерполяция.
13.3.1.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ДЛЯ р
Найденное значение s_ позволяет нам установить до-
доверительные пределы для х, чтобы получить верхнюю и
нижнюю границы значений ц. Например, 95°/о-ные дове-
доверительные пределы для jx равны 2,58 zt B,06) X @»09)»
т. е. xdz(t95O/ k) S-, где & = 24 и равно числу степеней
свободы, исходя из которых определены оценки, a
получено из двусторонней таблицы ^-распределения*.
* Величины t, используемые в п. 13.2.1.2—13 2.1.4, получены ю
таблицы С [1].
491

13.3.1.3. ПРОЦЕНТНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Ответ на вопрос, при каком уровне из строя выйдет
не более 5°/0 изделий, получается из выражения х—
— t9So/oksy где t95O/ok должно быть получено из односторон-
односторонней таблицы /-распределения с k степенями свободы.
В рассматриваемом примере это можно оценить как
2,58 - A,71) X @,50) = 1,72.
аз.з.1.4. уровень достоверности оценки
При желании ввести уровень достоверности в ответ
на заданный выше вопрос мы должны вычислить вели-
величину стандартного отклонения х— ^95%*5> котоРая равна
и связать односторонний доверительный уровень с оцен-
оценкой процентного (квантильного) предела. Так, например,
если мы желаем быть на 90°/0 уверены, что 95°/0 испы-
испытываемых изделий будет иметь число отказов больше
определенного значения ^95%/9о%> Т0ГАа
Я%о/о/9эо/о = 1,72 - 1,28 /0,092+A,71JХ@,19J= 1,30.
13.3.2. Особенности методики испытаний
на чувствительность
Итак, испытания на чувствительность представляют
собой весьма эффективный выборочный метод, однако
при интерпретации полученных результатов требуется
проявлять осторожность.
Причина состоит в том, что оценки основаны на прин-
принципе максимального правдоподобия и в ходе вычислений
используются некоторые приближения, которые при опре-
определенных условиях снижают точность оценок. Например,
при выборе шага d, если известно приблизительное зна-
значение о или имеется оценка о, величина шага d должна
492

быть выбрана близкой к д. ЁсЛй d больше За, то как
это видно из кривых, значительно снижается точность Я,
а следовательно, и ssG является возрастающей функцией
от —, поэтому, чем меньше величина d, тем точнее
оценка jx. Однако, если шаг достаточно мал, а выбран-
выбранный начальный уровень испытания невысок, то слишком
много наблюдений будет произведено напрасно, прежде
чем мы достигнем области медианы. Кроме того, когда d
меньше-^-, фактор Н становится очень большим; следо-
о
вательно, по возможности лучше всего выбирать значе-
значение d, лежащее между -^- и -|-. Этому методу прису-
присущи допущения о нормальности закона распределения
или о возможности нормализации данных, а это означает,
что, не убедившись в действительности этих положений,
нельзя делать достаточно достоверные утверждения.
В тех случаях, когда требуется в целях безопасности
сделать утверждение, скажем, с 99,9%'-ной вероят-
вероятностью, то данным методом лучше всего воспользо-
воспользоваться только для поиска и теоретического определения
уровня, а затем произвести подтверждение заданной
вероятности и надежности в этой точке.
13.4. СЛУЧАЙНО СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ПЛАНЫ
Довольно часто классическое статистическое экспе-
экспериментирование критикуют, называя слишком «топор-
«топорным». Оно якобы недостаточно хорошо оснащено, чтобы
удовлетворить динамическим требованиям промышлен-
промышленного производства. При определенных обстоятельствах
это может быть справедливо, но как часто эти требова-
требования являются результатом плохого планирования или
принятия неправильных решений! Тем не менее, поло-
положение таково, что мы не можем всегда гарантировать
то, что наши эксперименты находятся под неослабным
контролем и ограждены от внешних воздействий (изме-
(изменения расписаний, утраты вспомогательного оборудова-
оборудования и прочих непредвиденных обстоятельств). Другой
недостаток классических статистических экспериментов
заключается в том, что факторов, влияющих на поведе-
поведение изделия, настолько много, что описать его с по-
493

Мощью сочетаний всех этих факторов становится прак-
практически невозможно или нецелесообразно.
Правда, мы можем использовать дробные фактор-
факторные планы или какие-нибудь другие формы модифици-
модифицированного классического плана и таким образом значи-
значительно уменьшить объем выборки. Но тогда план ста-
становится слишком сложным или трудным для анализа,
особенно если возникают изменения, подобные упомя-
упомянутым выше. Эти доводы в различной степени верны
в зависимости от обстоятельств, соответствующих каж-
каждой ситуации. Недавно появились планы, которые учи-
учитывают в какой-то мере упомянутую негибкость класси-
классического плана и нестатистический технический подход
к вопросам экспериментирования. Они известны под
общим названием случайного баланса [6]. Эти планы
исключают многие возражения, выдвинутые против
классических планов, правда, ценой определенных по-
потерь. Все это сказывается на эффективности оценки и
особенно на доверительных утверждениях об эффектах
взаимодействия. Тем не менее, если ею пользоваться
осторожно и с достаточным пониманием, методика со-
составления случайно сбалансированных планов может
оказаться очень эффективным средством и ценным вкла-
вкладом в практику аналитического экспериментирования.
Возможно, наиболее ценным является ее применение
в качестве средства для отбора, «просеивания». Рассмо-
Рассмотрим состояние программы разработок на самой ранней
ее стадии, когда изделия производятся в небольших ко-
количествах, причем для проведения экспериментов выде-
выделяется по возможности в последовательном порядке
ограниченное число изделий. К тому же почти ничего
не известно о воздействии на оперативные характери-
характеристики изделия, отклик или его надежность многих фак-
факторов, таких, как окружающая среда, процессы произ-
производства, условия испытаний и т. д. При классическом
статистическом экспериментировании было бы весьма
трудно создать план, который учитывал бы все эти по-
положения.
Приведем наиболее простой и наглядный пример
приложения случайно сбалансированного плана.
Предположим, что Л, В, С, ..., М являются .исход-
.исходными факторами с уровнями аи *=1, 2, 3; bh /=1, 2, 3,
4, 5; ck, k=l, 2; ...; mp, p=l, 2, 3.
494

Выход или отклик
Пусть отклик r-го изделия будет обозначен через уг.
Тогда случайно сбалансированный план может быть
представлен в виде:
Выходные факторы
Л В С . . . М
У\ <- аъ Ьь d . . . т2
Уз *- cl\ Ьх с2 . . . тх
а2 Ь2 с
Уп
с2
т. е. изделие 1 испытывает воздействие 3-го уровня
фактора А (температура);
изделие 1 испытывает воздействие 5-го уровня фак-
фактора В (время обработки);
изделие 1 испытывает воздействие 1-го уровня фак-
фактора С (уровень влажности);
изделие 1 испытывает воздействие 2-го уровня фак-
фактора М (числовой оператор).
При составлении плана уровни фактора А записы-
записываются в соответствующей колонке, в случайном по-
порядке. Аналогичным образом заполняются колонки фак-
факторов Б, С, ..., М. Очевидно, любая матрица внутри ма-
матрицы пХМ также является случайно сбалансирован-
сбалансированным планом, так что этот план можно исследовать, не-
несмотря на отсутствие некоторых членов уг. (Отсутствие
здесь неприемлемо для нулевого или неопределенного
отклика, любой из которых может характеризовать
катастрофический отказ и должен включаться при лю-
любом иселедовании воздействия этих факторов). План же
можно расширить по мере поступления новых данных,
.просто добавляя случайные уровни факторов Л, В, ...,М.
Кроме того, поскольку п не зависит от М, можно
исследовать сколько угодно интересующих нас факто-
факторов независимо от числа изделий в выборке. Как видно,
это методика отличается гибкостью.
Предварительный анализ начинается графическим
представлением данных в виде диаграмм рассеивания
495

(рис. 13.4). Отклик Y наносится против каждого уровня
соответствующего фактора. Это позволит выявить, ока-
оказывает ли влияние тот или иной фактор или определен-
определенный уровень фактора на отклик. Однако в результате
мы получим только приближенную сравнительную
оценку, поскольку из-за смешения нельзя произвести
точно сбалансированное сравнение.
Первое сравнение производится путем проверки. Вме-
Вместо того, чтобы вычислять среднее арифметическое для
.it
I f
I 1 1
: JL : t l
T ! T f T
1 1 1 1 1
•
1 1 »
i
г
i i i
«3
В
м
Рис. 13.4. Типичная диаграмма рассеивания (поперечные черточки
указывают положение медиан).
каждого уровня, значительно быстрее и удобнее сравни-
сравнивать медианы. После нахождения того фактора, который
оказывает воздействие, можно рассчитать уровень зна-
значимости этого эффекта. Однако необходимо помнить,
что из-за утраты ортогональности (см. [1], стр. 587)
между -сравнениями проверка значимости оказывается
только приближенной.
Каждый исследуемый фактор рассматривается так
же, как и при анализе полностью рандомизированного
блока, т. е. путём сравнения вариаций между различ-
различными факторами и внутри однородных факторов, при-
причем в каждой классификации имеется неравное число
наблюдений. Например, при определении значимости
воздействия фактора А мы должны вычислить:
..V
\)
(сумма всех наблюденийJ i,}
49Р

i=\
/сумма всех наблюдений,
(фактор А при уровне А,
3) сумма квадратов отдельных наблюдений = 2а^.,
где г* — число наблюдений фактора А при уровне Аг и
пц — / наблюдение фактора А при уровне Л*.
В качестве, критерия значимости используется .F-при-
знак. Коэффициент i7 получается из табл. 13.12 как от-
отношение среднего квадратического фактора А к средне-
квадратическому внутри Л. Степени свободы, соответст-
соответствующие /^-признаку, равны 2 и Bг*— 3). Более подхо-
подходящими могут оказаться альтернативные критерии зна-
значимости, основанные на непараметрических методах.
В рассматриваемом примере как раз и используется не-
непараметрический метод {см. A3.2)].
Стандартное отклонение среднего получено из выра-
выражения
(W
V4 2
I
A3.1)
Таблица 13.12
Дисперсионный анализ для фактора А
Источник
изменчивости
Фактор А
Внутри факто-
фактора .А
Общий эффект
Число степе-
степеней свободы
2
(Sr<-3)
Bг* - 1)
Сумма
квадратов
B)-A)
C)-B)
C) - A)
Среднеква-
Среднеквадратичное
значение
B)-@
2
C) - B)
2г4—3
После определения тех факторов, которые оказывают
значимое воздействие, их отделяют от остальных дан-
данных, чтобы позволить выделить среди оставшихся сле-
следующие по значимости факторы. Это осуществляется
алгебраическим вычитанием эффектов этих значимых
32-1113 497

факторов и уровней. Таким образом, если в вышерао
смотренном примере А и С признаны единствен-
единственными двумя чистыми значимыми эффектами, нагс
Таблица 13.13
Таблица средних CX2)
следующий шаг состоит
в оценке их величин. Мы за-
заполняем таблицу 3X2 сред-
средних, -ка-к это ^показано
в табл. 13.13.
Сначала наблюдения по-
помещаются в своих соответ-
соответствующих ячейках. Вычис-
Вычисляются средние жаждой
ячейки и для каждого
уровня приводятся средние эффекты факторов А и С,
где А\С\ выбрано в качестве стандартного уровня:
Д: 0 = 0;
с,
А,
~Х\
А*
х2
As
*з
Х6
] = „*
Л:
__ „*
X,) —
Эффекты А и С теоретически можно исключить из от-
отклика уг уменьшением соответствующего эффекта, как
это объяснялось выше, на уровне входного фактора для
любого заданного наблюдения, т. е.
У г -а\ -+у\
Уг — <**з — С\ -+ у\
Уъ —с\-+у\
Уп
49?

Теперь мы имеем следующий ряд значений уг ({уг} =
= 1^), который также представляется в виде диаграмм
рассеивания и еще раз исследуется на наличие факторов,
оказывающих значимый эффект на работу изделия. Этот
процесс продолжается до тех пор, пока не останется
достаточно различимых чистых эффектов.
Как видно, данный пример дальше анализировать
очень трудно. Значимые взаимодействия сложно опре-
определять из-за смешения или отсутствия наблюдений или
неравенства объемов выборок, имеющих место для опре-
определенных сочетаний факторов. Причина заключается
в том, что возможны ЗХ5Х2Х ... ХЗ сочетаний, при-
причем наблюдается не более чем п из них (меньше в тех
случаях, когда случайно повторяется какое-либо сочета-
сочетание факторов).
Мы видели, как можно абстрагировать важные фак-
факторы, не накладывая каких-либо значительных ограни-
ограничений на проведение испытаний. Конструкция не оста-
останется недоработанной, если в какой-либо момент вре-
времени конфигурация изделия изменится или остановится
производство. Итак, зная значимые чистые эффекты
(и взаимосвязи в более сложных примерах), можно про-
продолжать исследовать эффекты этих факторов при более
упорядоченных условиях классического статистического
экспериментирования.
13.4.1. Многократно сбалансированные планы
Случайно сбалансированные планы приводят к слиш-
слишком большим расхождениям с действительностью, по-
поэтому прибегают к модификации планов с целью умень-
уменьшения дисбаланса (рассогласования).
Один из методов для этого заключается в том, чтобы
составить план, в котором в каждой колонке имеется
равное число уровней каждого фактора. Другой способ
следующий: выбирают подгруппы факторов в тради-
традиционных статистических планах, выделяют в случайном
порядке изделия для каждого плана и затем объеди-
объединяют несколько планов. В конечном итоге получается
случайный сбалансированный план с полной уравнове-
уравновешенностью внутри подгруппы. План этого типа назы-
называется многократно сбалансированным. Можно видеть,
что это своего рода полушаг в сторону классических
32* 499

в
с
D
Е
F
G
Н
, 4
. з
, 2
„ 2
. з
. з
. 4
планов, поэтому он не так гибок, как простые случайно
сбалансированные планы. Однако основное преимуще-
преимущество этого плана остается в силе: число исследуемых
факторов не зависит от числа изделий, предназначенных
для испытаний.
Рассмотрим, например, положение, когда:
фактор А имеет 3 уровня ах а2 а3,
Ьх Ъ2 Ь3 64,
„ сх с2 съ,
dx d2,
! \ /Г /з,
К h2 A8.
Здесь имеется 8 факторов и сгруппированное число
уровней, что дает 22х34Х42 = 5184 возможных сочетаний
факторов. Для нашего эксперимента имеется всего лишь
36 изделий. Можем подразделить факторы на три груп-
группы: Л, В, С; D, E, F\ G, Я; причем каждая группа со-
содержит не более 36 сочетаний.
Группа ABC имеет 36 сочетаний, группа DEF—12
и группа GH —12 сочетаний. Итак, ABC можно рас-
рассматривать как полный факторный план, повторяемый
однажды для 36 изделий, DEF — как полный факторный
план, повторенный трижды, GH — тоже как полный фак-
факторный план, повторенный три раза. Эти три плана
включают 36 изделий, каждому из которых соответст-
соответствует случайное сочетание факторов. Тогда на изделие 1
воздействуют факторы с уровнями;
ах Ьъ с3 в подплане ABC,
d2 е2 \г в подплане DEF,
g2 h3 в подплане GH
и аналогичным образом на изделия 2 — 36.
Многократно случайно сбалансированный план мо-
может быть записан так, как это показано в табл. 13.14.
Этот план исследуется так же, как и случайно сбаланси-
сбалансированный, однако здесь появляется еще возможность
анализировать факторы внутри подпланов более удоб-
удобными способами. Это означает, что благодаря уравно-
500

вешенности подплана эффекты взаимодействия факто-
факторов внутри подплана могут лучше оцениваться, чем
взаимодействие факторов, являющихся членами различ-
различных подпланов.
Таблица 13.14
Многократно сбалансированный план
с тремя подпланами: ABC, DEF, GH
Изделие
1
2
3
36
А
а2
ах
в с
b\ Сс\
Ьх с2
D
d2
d2
d2
E F
Mi
e2 fx
ex f3
e2 f2
G
§2
#2
^2
H
h\
В последнем случае обычно будет существовать не-
несбалансированность в числе наблюдений на каждое со-
сочетание факторов. Однако сравнения факторов внутри
подплана все еще не будут «чистыми», поскольку уров-
уровни факторов, внешних по отношению к этому подплапу,
не сбалансированы.
13.4.1.1. ПРИМЕР МНОГОКРАТНО СБАЛАНСИРОВАННЫХ
ПЛАНОВ*
В эксперименте участвовало 12 входных переменных
(источников вариаций). К испытаниям подготовлено
32 изделия и решено, что каждая переменная будет ис-
исследоваться только на двух уровнях. Это делается для
того, чтобы те факторы, которые окажут воздействие,
смогли далее исследоваться более тщательно с помощью
классических статистических планов.
Двенйдиать факторов, каждый из которых имеет по
два уровня, составляют общее число в 212 = 4096 сочета-
сочетаний факторов. Было решено разделить 12 факторов на
две группы по 6 переменных, причем каждая группа
составлялась как дробный факторный план вида
* Перепечатано .по разрешению Буд-не Т. А. из ра-боты «The ap-
applications of random balance designs».
501

/2 = 7з2. Дробные факторные планы были получены
путем смешения 5-факторной взаимосвязи с чистым эф-
эффектом. Изделия с 1 по 32 случайным образом соответ-
соответствовали 32-факторным сочетаниям в каждой группе.
Первый подплан содержит входные факторы А, В, С,
D, Ey F и второй подплан — факторы G, #, /, J, К, L.
Окончательные результаты эксперимента вместе с на-
наблюдениями представлены в табл. 13.15.
Анализ начинается с построения 12 диаграмм рассеи-
рассеивания, по одной для каждой переменной.
Таблица 13.15
Наблюденные экспериментальные значения Y\ и результаты
математической обработки У2> У3> F4
Номер
испытания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Уровни входных переменных
Л В С D E F
_+ + + __ +
-|- -]
__р -J, _) 1_
_)_ _j 1 1_
_|—| | |
-н + -
1—1
1 J_
_| 1
1 [-
_| |-
1 |_
_j 1 [- _|_
1 1
1_ -| 1_ _|_
_| 1
1- _]
1 1
1_ _{__!-_!_
_1 | | |
—1— |— | | | __|
—1— —| \- _|_
__i—+++
L |_
_| ^_ _| |__
_|_ _| |_ __|
_] Н + Н
+ + + +
G H I J К L
+ + + +
.
+ +
+ .+ — + + -
+ + + +
1 Ь —
--Н Ь
h + Н Ь
__| 1
_| 1
1 1
|_ _(- _| |_
1 1
"Т" i"
Ijll{l+ +l{l jjl
1 1
-1 | \- _|-
1 |- _[- _j-
f_—|^
_1 1
_j h + Н
|_ д|
_| у. _| [-
р _|-
1 |
Результаты
Ух
78
103
97
77
113
77
66
93
86
93
87
100
72
124
83
88
96
100
72
69
103
77
104
84
89
92
78
87
81
99
72
У*
103
92
99
91
102
90
91
105
99
82
100
89
97
113
96
101
97
100
84
ои
94
104
91
93
96
91
92
92
88
95
100
97
испытаний
Уз
103
100
99
99
102
98
99
105
99
90
100
97
105
113
104
101
97
100
92
Q4
102
104
91
101
96
99
100
100
96
95
100
97
У.
103
95
99
94
97
93
94
100
94
90
100
92
100
108
99
101
97
100
92
Q4
97
99
91
96
96
94
100
95
96
95
100
97
502

^120
'| 110
| 100
^ 90
I 80
I 70
* 60
- .13,0'.
; i
I
\У>\
^ ..
\5J\ I
r
И
g 100
90
1
ЛО-Х
+If-
* • •• ••
: • . •
.JJ-. uifi-% J.ef_: ^_j,
* : : .« : •
• • • •• • •
•• • •« •• x» •
_j i I
Рис. 13.5. Диаграммы рассеивания для Yx (только чистые эффекты).
Диаграммы показаны на рис. 13.5. Анализ этих диа-
диаграмм выявляет наличие значимых чистых эффектов.
Для проверки уровня значимости можно воспользовать-
воспользоваться методом дисперсионного анализа, описанным в § 13.4,
который в данном случае сводится к проверке крите-
критерия/ или к непараметрическим проверкам. Простой не-
непараметрический критерий существует и удобен в при-
применении, когда имеется два уровня каждого фактора и
равное число наблюдений для каждого уровня *. Если
* См. TukeyJ. W.Aquick, compact, two-sample test to duck-
worth's specifications. Technometrics, 1:1, February, 1959, p. 39.
503

g есть число наблюдений одной группы, большее, чем
число любых наблюдений второй группы, плюс число
наблюдений второй группы, которое меньше числа лю-
любых наблюдений первой группы (в обоих случаях имеет-
имеется по меньшей мере одно наблюдение), то вероятность
наблюденного или худшего «проскальзывания» прибли-
приблизительно имеет вид
/><*)= *§-.
A3.2)
Заметим, что приближение не зависит от числа наблю-
наблюдений п при каждом уровне. Это .верно при п &* 10.
Критические значения для двусторонних: 5,1- и 0,1%-ных
критериев значимости равны соответственно g~7, 10
и 14.
Как видно, факторы Л, D и G оказывают значимые
воздействия при расхождениях между медианами, рав-
равных соответственно 13,0; 14,5 и 19,5. Величины g для
Л, D и G равны 10, 8 и 10. Следовательно, используя
уравнение A3.2), находим, что уровни значимости рас-
расхождений факторов Л, D и G равны соответственно,0,01,
0,03 и 0,01.
Следующий шаг заключается в оценке влияния трех
значимых факторов и в. исключении их из наблюдений.
Из табл. 13.16 видно, что неуравновешенность сущест-
Таблица 13.16
Сгруппированные результаты однократных
наблюдений
G(+)
G(-)
А( + )
81
78
77
77
103
99
96
87
Л(-)
78
72
72
69
69
93
84
72
D(-)
А (+)
97
89
124
ИЗ
104
103
100
93
А(-)
88
87
86
83
77
100
92
86
504

вует за счет неравенства объемов выборок. Поэтому,
если эффекты для Л, D и G вычислялись просто как
арифметические разности между величинами, соответ-
соответствующими положительным и отрицательным уровням,
то будет иметь место смешение. Можно уменьшить влия-
влияние этого смешения, рассматривая средние значения.
Из табл. 13.16 можно составить табл. 13.17.
Таблица 13.17
Средние значения
результатов
D(+)
А( + )
78,25
96,25
сгруппированных
наблюдений
А(-)
71
83
40
00
D(-)
А(+)
93,00
100,17
84,
92,
20
67
Из этой таблицы находим
-=,10,60,
4
= -11,87,
¦ = —12,81.
Округлив эффекты до целых чисел, преобразуем ре-
результаты наблюдений Y\ из рис. 13.5, прибавляя к ним:
—11, когда ( + ) появляется в колонке Л;
+ 12, когда ( + ) появляется в колонке D;
+ 13, когда ( + ) появляется в колонке G.
Это дает нам ряд наблюдений Y2 (см. табл. 13.15).
Вся процедура повторяется снова.
Из наблюдений Y2 составляются 12 диаграмм рассеи-
рассеивания (рис. 13.6), в которых опять проверяются расхож-
расхождения между уровнями. В результате исследования диа-
диаграмм находим, что С является единственным оставшим-
оставшимся чистым эффектом, который имеет значимость. Следо-
Следовательно, теперь нам остается проверить эффекты взаи-
взаимодействия. Диаграммы рассеивания для эффектов
505

взаимодействия составляются аналогично Диаграммам
чистых эффектов. Знаки в двух колонках, соответствую-
соответствующие указанным на диаграмме взаимосвязям, перемно-
1110
I 90
I 80
-И у\ Г-г Ь-( 1-> г-Г
! : • : ? : : • • !
l
I 110-
I
И-fc :- ¦ : 5 i s t l ь r' ;
J i *
*"L
Phic. i13.6. Диаграммы рассеивания Y2 .(чистые эффекты).
жаются. Знак ( + ) или (—) определяет уровень ( + )
или (—) взаимодействия. Обычно не желательно и не
требуется наносить все взаимодействия первого порядка,
поскольку существует
путей выбора взаимодействия первого порядка из
A2 \
~~2~/
= 66 различных диаграмм рассеивания.
Мы можем избежать построения всех 66 диаграмм.
Упорядочим наблюдения Y2: если знаки эффектов взаи-
взаимодействия ( + ) и (—) хорошо рассеяны (диспергиро-
506

ваны), это указывает на то, что эффекты взаимодейст-
взаимодействия факторов незначительны. Однако если заметна тен-
тенденция одного знака группироваться вверху или внизу
ряда, то есть основания предполагать о существовании
эффекта взаимодействия. Уровни значимости могут
быть вычислены непосредственно из уравнения 13.2.
170
1
?
90
•-10. '6,0i -,о,5. us -.3,0 tt,5:
• i • • • ?
+АВ- +АН-' +AL- +D1 - +EF~ +EI-
3,0 3.5» 2,5} 9,0
1
L-F ?--, [-1 Рч :
|
I
Рис. 13.7. Диаграммы рассеивания Уг (выбранные взаимодействия).
Отобранные взаимосвязи показаны на рис. 13.7. Наблю-
Наблюдалось два вероятно значимых (эффекта) взаимодейст-
взаимодействия факторов JK и АН.
Расхождения между медианами С, JK и АН соответ-
соответственно равны 7,5; 9,0 и 6,0.
Мы собирались затем составить табл. 23, подобную
табл.. 13.16 и 13.17 для С ( + ), (—); //С( + ), (—); и
Л#~( + ), (—); однако обнаружили, что некоторые клет-
клетки таблицы будут не заполнены. Поэтому выбираем два
наиболее сильных эффекта С и JK и составляем табли-
таблицу 22, т. е. табл. 13.18.
507

Таблица 13.18
К оценке эффектов С и JK
С(+)
KJ( + )
96
94
92
91
91
—
—
JK(-)
113
105
104
103
102
101
100
100
99
95
91
С
Ж( + )
97
93
92
92
91
90
89
88
86
84
82
-)
Ж (-)
100
99
97
97
96
—
—
Снова для оценки эффектов С и JK используем сред-
средние, в результате чего получим таблицу 13.19, которая
Таблица 13.19
К оценке эффектов С и JK
С (+)
с (-)
в свою очередь дает
92,80
89,45
JK(-)
101,18
97,80
y[JK(+)-JK(-)] = _ 8K6.
Поскольку эффект С значительно меньше, чем любое
из ранее наблюденных расхождений, было решено пре-
преобразовать данные только для взаимодействия //С. Это
осуществлялось изменением содержимого колонки Y2
путем добавления к результатам наблюдения цифры 8,
когда оба знака при / и К совпадали.
В результате мы получили ряд модифицированных
данных К3 (см. табл. 13.15). Данные У3 опять были на-
508

Таблица 13.20
Найденные значимые факторы
и взаимосвязи
несены на диаграммы рассеивания (которые здесь не
приводятся) и было обнаружено, что с учетом поправ-
поправки для JK расхождение АН исчезло. Расхождения ме-
медиан оказались значительно меньше полученных при
предыдущей оценке. Наибольшими с точки зрения рас-
расхождения медиан явились расхождения эффектов фак-
фактора С и взаимодействия ЕН и GG, которые были соот-
соответственно равны 3,0; 4,5 и 3,0. После составления
табл. 13.18 CxGxEH было найдено, что только ЕН вы-
вызывает ощутимый эф-
эффект, равный 5,06. То-
Тогда значения У3 были
изменены 'путем до-
добавления (—5) к тем
наблюдениям, для ко-
которых совпадали знаки
при Е и Я.
Это дает нам ряд мо-
модифицированных дан-
данных Y±, показанных в
табл. 13.15, которые
опять-таки представле-
представлены в виде диаграмм
рассеивания, причем
стал заметным больший эффект, оказываемый фактора-
факторами / и С. При табулировании эффект фактора С оцени-
оценивался в 4 единицы, а фактора / — в 5 единиц.
Соответственно были видоизменены значения Y±.
При последующем построении диаграмм рассеива-
рассеивания не удалось выявить ощутимого эффекта, поэтому
был сделан вывод о том, что при данном анализе най-
найдены все значимые чистые эффекты и установлены все
эффекты взаимодействия. Найденные значимые факто-
факторы и взаимосвязи показаны в табл. 13.20.
Произведенный анализ позволяет дать ответ на во-
вопрос, какие факторы и взаимосвязи влияют на резуль-
результаты наблюдения. Метод определения величины эффек-
эффекта оставляет желать лучшего, поскольку, как показал
анализ, неуравновешенность приводит к утрате инфор-
информации и к внесению определенного смещения.
4 Однако очень важно знать, какие факторы влияют
на наблюдения, и для получения лучших оценок их ве-
величин мы можем обратиться к теории регрессии.
509
Перемен-
Переменная
G
D
Л
JK
ЕН
I
С
Оцениваемое
воздействие
13
12
—И
—8
—5
—5
4
Оценки по
уравнению
регрессии
15,9
12,1
-8,7
—10,1
-6,2
—5,1
4,9

Пусть имеется линейная зависимость
у г = ихц+Gxi! + Dxi2 + Ахи -f JKxu +
Тогда, воспользовавшись методом наименьших квадра-
квадратов для получения нормальных уравнений и решив их,
мы получим оценки по уравнению регрессии (см.
табл. 13.20) (необходимо заметить, что вообще проти-
противоположные значения в случайно сбалансированных
планах являются пеортогональными *, и поэтому при
оценке влияний G, D, Л, //С, ЕН, I и С по уравнениям
регрессии требуется рассчитывать обратные матрицы).
Как яЬствует из работы [8], для данного частного
примера, в котором все главные влияния являются несме-
несмешанными и ортогональными, мог быть применен более
эффективный план. Однако основная цель исследуемого
примера заключалась в том, чтобы показать методы
оценки вообще. Эти методы пригодны независимо от то-
того, существуют для данной программы сбалансирован-
сбалансированные планы или не существуют. Обычно, если сбаланси-
сбалансированный план существует, ему необходимо отдать пред-
предпочтение, но только не в тех случаях, когда он оказы-
оказывается пригодным за счет пренебрежения исследования-
исследованиями всех возможных факторов. Случайная уравновешен-
уравновешенность является в основном отборочным инструментом, и
соответственно этому должно быть его место при экспе-
экспериментировании в интересах исследования надежности.
Анализ сопровождается повторяющимися операция-
операциями сортировки, модификаций и упорядочения наблюде-
наблюдений. Для выполнения операций подобного типа очень
удобно использовать цифровые вычислительные маши-
машины, тогда методы исследования с помощью случайного
сбалансирования планов могут стать еще более эффек-
эффективными.
13.5. МЕТОД СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
В обычном процессе производства после выбора и
проведения той или иной операции приходится контро-
контролировать ее выполнение с помощью средств контроля
* См. W i I k s S S. Mathematical statistics. § 9.6. Princeton Uni-
University Press, 1950.
510

качества. Мы осуществляем зто путем тщательной Про-
Проверки соответствия уровней входных переменных опре-
определенным величинам (в заданных пределах их измене-
изменения). Кроме того, измеряем значения выходных пере-
переменных, чтобы оценить, случайными ли являются ожи-
ожидаемые отклонения и не выходят ли они из заданных пре-
пределов. Но хотя настоятельная необходимость проведе-
проведения такого контроля очевидна, совершенно ясно также,
что при этом сохраняется, если так можно выразиться,
«статус кво» выходных переменных. Это может быть
удовлетворительным только в тех случаях, когда про-
процесс согласно какому-то определению является опти-
оптимальным. Например, если наши выходные данные сви-
свидетельствуют о наличии (маргинальной) проблемы край-
крайних значений надежности, тогда, очевидно, требуется
каким-то образом повысить его надежность.
С другой стороны, если характеристики на выходе
удовлетворяют заданным требованиям, то, вероятно,
есть возможность усовершенствовать этот процесс с эко-
экономической точки зрения и повысить его эффективность,
не снижая качества выходного продукта.
Может оказаться, что входные уровни были пол}Гче-
ны при лабораторных экспериментах. Тогда, даже если
эти уровни были получены с помощью методов опти-
оптимального поиска (см. п. 13.6), может оказаться, что
оптимум, полученный в лабораторных условиях, не сов-
совпадает с производственным; т. е. по различным причи-
причинам оптимальные входные уровни при эксперименте
окажутся не совсем оптимальными в производственном
процессе. В этих случаях единственный путь получения
оптимума — обратиться непосредственно к производст-
производству, так как лабораторные исследования опять приведут
нас только к тем же уровням.
Вывод заключается в том, что для нахождения опти-
оптимального процесса мы должны ввести некоторые откло-
отклонения непосредственно в сам процесс производства, из-
измерить их влияние и пытаться достигнуть оптимума.
Сущность этой методики, которая здесь называется ме-
методом совершенствования операций [9], в принципе ана-
аналогична исследованию поверхности отклика, но отли-
отличается от него в деталях по следующим причинам.
Во-первых, поскольку мы имеем дело с процессом
производства, при котором изготавливается довольно-
511

таки удовлетворительное (после лабораторных экспе-
экспериментов) изделие, необходимо проявлять большую
осторожность, чтобы не снизить производительность.
Во-вторых, с психологической точки зрения будет
неправильно заявлять о том, что предлагаемый способ
явится всего лишь экспериментальным или что его тео-
теоретическая подоплека будет весьма сложна. Поэтому
при стремлении к оптимуму вносимые изменения не мо-
могут быть так велики или сложны, как при лабораторных
экспериментах. Однако это компенсируется тем, что, по-
поскольку процесс производства постоянно повторяется,
можно ожидать получения достаточного количества на-
наблюдений для произведения хороших оценок эффектов
и их стандартных ошибок. Поэтому мы станем воздер-
воздерживаться от изменения каких-либо переменных до тех
пор, пока не получим достаточного количества данных.
Суть метода заключается в том, чтобы внести заранее
заданное отклонение в каждый из входных факторов
нормального процесса. Это означает, следующее: теперь
вместо одного набора входных условий будет несколько
наборов входных условий по числу различных возмож-
возможных сочетаний факторов и их уровней. Выход (или от-
отклик) для каждого из этих входных сочетаний измеряет-
измеряется несколько раз до тех пор, пока не станет возможным
статистически различить преимущества и недостатки
каждого из них путем сравнения с результатами на вы-
выходе исходного процесса. Затем отбираются благоприят-
благоприятные уровни и процесс повторяется, пока не будет уста-
установлен оптимальный набор входных уровней.
Процесс испытания с учетом полного набора вход-
входных условий, т. е. с учетом всех условий и каждого по
одному набору называется циклом. Выполнение циклов,
повторяющееся до тех пор, пока не будет принято реше-
решение об изменении входных уровней, называется фа-
фазой.
Метод совершенствования операций лучше всего
объяснить на примере. Рассмотрим случай, в котором
выходная переменная (отклик) есть функция двух вход-
входных переменных (процентный состав и время). Однако
этот подход можно распространить до любого числа
входных переменных, а принятие решения может касать-
касаться нескольких выходных переменных. Например, техни-
технические характеристики, процентное содержание изделий,
512

успешно прошедших испытания, стоимость единицы из-
изделия и т. д. могут измеряться для каждой фазы и ряда
входных условий. Однако в данном примере для нагляд-
наглядности рассматривается отклик одного типа.
13.5.1. Пример*
Задача метода совершенствования операций состоя-
состояла в том, чтобы определить, может ли изменение вре-
времени обработки и процентного состава при изготовле-
изготовлении теплостойкого материала определенного типа улуч-
улучшить его способность противостоять воздействию задан-
заданного теплового тютока в те-
течение заданного промежутка
времени. ^*
Исходный процесс изго- ||
товления проводился при
p
•2
входных переменных суров- §[*§
чями, указанными на рис. 13.8 **
единицей. Было решено ъве- ' Прёт
сти положительные и отри-
• 5
цательные отклонения отис НР- ^^ГшГу^ш
ходных уровней как ио вре- проведения испытаний на пер-
мени, так и 1по процентно- вом этапе,
му составу. В результате
к этим двум входным факторам было получено допол-
дополнительно еще четыре сочетания. Они обозначены на
рис. 13.8 цифрами 2, 3, 4 и 5. Один цикл состоял из оди-
одиночного ряда наблюдений (для условий 1, 2, 3, 4 и 5).
Измеряемым параметром была величина эрозии мате-
материала под действием заданного теплового потока в те-
течение заданного промежутка времени. В табл. 13.21
в закодированном виде представлены наблюдения исход-
исходной толщины испытываемого образца минус величины
эрозии. Следовательно, мы собираемся найти те значе-
значения времени обработки и процентного состава, которые
соответствуют минимальной эрозии. В табл. 13.21 при-
приведены результаты, наблюдений для четырех циклов.
Поскольку эта операция повторяющаяся, для облегче-
облегчения обработки и объяснения результатов очень удобно
составлять стандартные рабочие карточки [10].
* Здесь используется методика, изложенная в работах [9] и [10].
33—1113 513

fe табл. 13.22, 13,23 и 13.24 показаны образцы рабо-
рабочих карточек для первого, второго и третьего циклов.
В первой карточке (табл. 13.22) содержится инфор-
информация о первом цикле, поэтому не все ряды заполнены.
Таблица 13.21
Результаты воздействия теплового
потока на испытываемый образец
Условие
Цикл
Цикл
Цикл
Цикл
1
2
3
4
¦
75,9
76,8
78,1
77,5
2
77,6
77,3
77,3
76,8
3
76,2
80,0
79,3
78,0
4
81,4
81,5
78,7
79,8
5
71,7
75,7
78,0
72,1
Вычисления средних и эффектов, по-видимому, не тре-
требуют объяснений. При расчете стандартного отклонения
и пределов изменения оши'бки необходимо помнить, что,
как только будет получено достаточно наблюдений
(к концу 3-го цикла), для оценки стандартного отклоне-
отклонения потребуется использовать величину размаха. При
этом пределы изменения ошибки будут отличаться в ±2
раза по сравнению со стандартным отклонением, т. е.
стандартное отклонение умножается на среднеквадра-
тическое из коэффициентов эффектов. Тогда пределы
для эффектов будут равны ± —.
Пределы ошибки для изменения в среднем равны
~1Бпуи* вычисление стандартного отклонения не может
быть начато, пока не закончатся два цикла. Оценка а,
т. е. 5, получается умножением наблюденного размаха
в цикле на коэффициент fk.ru полученный из табл. 13..25,
где п — число циклов, а к — число условий в цикле.
В данном примере оценка а, 'которая использовалась для
первых двух циклов, была получена из предыдущих све-
сведений о стандартном процессе.
В конце каждого цикла после обработки выходных
данных на рабочей карточке результаты помещаются на
информационном плакате. Эти плакаты по окончании
514

gg Таблица 13.22
* Рабочая карточка для вычислений по методу совершенствования операций для двух входных
переменных. Цикл п = 1. Отклик — толщина образца после испытания
Вычисление средних
Вычисление стандартного отклонения
Оперативные условия
(I) Сумма по предыдущему циклу
(II) Среднее по предыдущему циклу
(III) Новые наблюдения
(IV) Разница между (И) и (III)
(V) Новые суммы
(VI) Новые средние: уг
О)
75,9
75,9
75,9
B)
77,6
77,6
77,6
C)
76,2
76,2
76,2
D)
81,4
81,4
81,4
E)
71,7
71,7
71,7
Предыдущая сумма 5
Предыдущее среднее s
Новое s = размах X f*t n
Размах
Новая сумма s
Новое среднее =
(новая сумма s)
Вычисление эффектов
Вычисление пределов изменения ошибки
Время
Процентный состав
1 /— _ — _\
= ~2~ [уг + У$— У* — У*. J = — 5,
Время, умноженное на L_/V ¦ ~~ T "T
процентный состав ~ 2
~ 2 \^2 + Уз ~"?Г*""Уъ) ~~ Uj
^ + + +
Изменение среднего L/~ j_7 л.
эффекта ~ 5 ^2 + у* +
ел Используется предварительная оценка з = 1,6
Для нового среднего =
Для новых эффектов =
Для изменения среднего =

ел
55
Таблица 13.23
Рабочая карточка для вычислений по методу совершенствования операций для двух входных
переменных. Цикл п = 2. Отклик — толщина образца после испытания
Вычисление средних
Вычисление стандартного отклонения
Оперативные условия
(I) Сумма по предыдущему циклу
(II) Среднее по предыдущему циклу
(III) Новые наблюдения
(IV) Разница между (II) и (III)
(V) Новые суммы
(VI) Новые средние:
A)
75,9
75,9
76,8
-0,9
152,7
76,4
B)
77,6
77,6
77,3
0,3
154,9
77,4.
C)
76,2
76,2
80,0
—3,8
156,2
78,1
D)
81,4
81,4
81,5
—0,1
162,9
81,4
E)
71,7
71,7
75,7
—4,0
157,4
78,7
Предыдущая сумма 5 =
Предыдущее среднее 5 =
Новое 5 = размах Xf ft, n =1,29
Размах =4,3
Новая сумма s =1,29
(новая суммаs) ^
Новое среднее = ^ =1,29
Вычисление эффектов
Вычисление пределов изменения ошибки
Время
Процентный состав
Время, умноженное на
процентный состав
Изменение среднего
эффекта
— J2 — J^ J =
-1,0
— 2,3
Для нового среднего = —= о* = +2,3
у п
2
Для новых эффектов = —р= о*= + 2,3
уп
Для изменения среднего =
Используется предварительная оценка а = 1,6

Таблица 13.24
Рабочая карточка для вычислений по методу совершенствования операций для двух входных
переменных. Цикл /1 = 3. Отклик — толщина образца после испытания
Вычисление средних
Оперативные условия
(I) Сумма по предыдущему циклу
(II) Среднее по предыдущему циклу
(III) Новые наблюдения
(IV) Разница между (И) и (III)
(V) Новые суммы
(VI) Новые средние: уг
A)
152,7
76,4
78,1
—1,7
230,8
76,9
B)
154,9
77,4
77,3
0,1
232,2
77,4
C)
156,2
78,1
79,3
—1,2
235,5
78,5
D)
162,9
81,4
78,7
2,7
241,6
80,5
E)
157,
78,
78,
0,
235,
78,
4
7
0
7
4
5
Вычисление стандартного отклонения
Предыдущая сумма s
Предыдущее среднее s
Новое s = размахy(fk,n
Размах
Новая сумма 5
(новая сумма
повое среднее — i
=1,
=1,
—1
=4,
=2,
s) x
29
29
54
40
83
41
Время
Процентный состав
. Время, умноженное на
процентный состав
Изменение среднего
ел эффекта
Вычисление эффектов
1 /- - -
= ук +#4— У2 —
= ~2~ 1у2 + Уз — У* —
1 /- -
У*) =-0,5
F« — 4^ = 1,4
Вычисление пределов измерения ошибки
Для нового среднего =
Для новых эффектов =
Для изменения среднего
1,78
1,62
1,62
1,45

Значения констант fh, n
Таблица 13.25
Число
циклов,
п
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
0,63
0,72
0,77
0,79
0,81
0,82
0,83
0,84
0,84
0,84
0,85
0,85
0,85
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
l
3
0,42
0,48
0,51
0,53
0,54
0,55
0,55
0,56
0,56
0,56
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,58
0,58
количество сочетаний условий
4
0,34
0,40
0,42
0,43
0,44
0,45
0,45
0,46
0,46
0,46
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
5
0,30
0,35
0,37
0,38
0,39
0,40
0,40
0,40
0,41
0,41
0,41
0,41
0,41
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
0,42
6
0,28
0,32
0,34
0,35
0,36
0,37
0,37
0,37
0,37
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
0,38
7
0,26
0,30
0,32
0,33
0,34
0,34
0,35
0,35
0,35
0,35
0,35
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
в графе
8
0,25
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
к
9
0,24
0,27
0,29
0,30
0,31
0,31
0,31
0,32
0,32
0,32
0,32
0,32
0,32
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
10
0,23
0,26
0,28
0,29
0,30
0,30
0,30
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,32
0,32
0,32
0,32
0,32
любого цикла могут выглядеть, как табл. 13.26. Цель
этого плаката — представить в наиболее простой форме
те данные, которые будут использованы при принятии
решения об изменении процесса производства и вызвать
интерес к попытке усовершенствовать продукт производ-
производства.
Из результатов, записанных на рабочих карточках
первых трех циклов, мы видим, что процесс можно усо-
усовершенствовать, хотя данных для статистического под-
подтверждения этого к концу третьего цикла оказывается
недостаточно. Поэтому циклы повторяются до тех пор,
пока наличие реального эффекта не станет очевидным.
После этого можно принять решение о переходе ко вто-
второму набору входных условий и фаза считается завер-
завершенной. В следующей фазе могут исследоваться те же
факторы, но с другими уровнями или какие-либо другие
интересующие нас факторы.
Теперь рассмотрим возможность интерпретации ре-
результатов. Если изменение какого-либо эффекта превы-
превышает соответствующий предел ошибки, можно заклю-
518

Таблица 13.26
Информационный плакат
Фаза 1
Измеряется
Требуется
Средние результаты наб-
наблюдений
Эффекты с 95%-ными пре-
пределами изменения ошиб-
ошибки
Стандартное отклонение
Предварительная оценка
Последний завершенный цикл: 8
Остаточная толщина
Максимизация
Процентное 76,9 78,4
содержание 77,7
77,2 80,3
Время
Время +2,3+1,4
Процентное —1,1 ±1,4
содержание
СУТ _о,8±1,4
Изменение +0,4±1,2
среднего
1,4
1,6
Другие
откли-
отклики
чить, что воздействие этого фактора действительно имеет
место. Если предполагается, что отклик располагается
в плоскости, то изменение средней укажет форму по-
поверхности непосредственно в исследуемой области. На-
Например, при малом или равном нулю действительном
изменении средней поверхность будет приблизительно
плоской, а максимальный отклик будет, вероятно, на-
наблюдаться в направлении максимального наклона пло-
плоскости. Поэтому следующие исследования необходимо
производить именно в этом направлении. При отрица-
отрицательном изменении средней исходный процесс для ис-
исследуемых факторов можно считать близким к максиму-
максимуму ьв этой области. Если изменение среднего эффекта
положительно, это свидетельствует о вогнутости поверх-
поверхности, т. е. о необходимости перемещения в этой об-
области. Более подробное аналитическое исследование
поверхностей отклика можно найти в § 13.6.
519

Предположим теперь, что содержание плаката сви-
свидетельствует о наличии достаточного количества дан-
данных для того, чтобы можно было принять решение.
В этом случае решение будет, вероятно, приниматься ру-
руководителем производства совместно со специалистами
групп контроля качества, конструирования и надежно-
надежности, которые окажут помощь при объяснении результа-
результатов. В рассматриваемом примере наличие возможности
увеличения отклика имеет настолько большое значение,
что любое решение может быть принято даже по одно-
одному только измеряемому отклику, а о второстепенных
откликах, т. е. о тех, которые не влияют на технические
характеристики и надежность изделия, можно почти не
заботиться.
Подобные примеры встречаются в ракетостроении.
Ракетный двигатель на твердом топливе, вероятно, взор-
взорвется, если величина эрозии какой-либо части его кор-
корпуса превысит заданное значение. Разрушение самого
двигателя и вспомогательного оборудования приводит
к большим денежным затратам. В этом случае второсте-
второстепенные отклики (стоимость производства или вес), ве-
вероятно, не будут учитываться. Однако совершенно оче-%
видно, что во многих других ситуациях решение об усо-
усовершенствовании процесса путем выбора одного из наи-
наиболее эффективных сочетаний условий обработки будет
зависеть не только от увеличения основного отклика.
Это решение зависит и от увеличения (если оно проис-
происходит) стоимости или веса и т. п. Следовательно, инфор-
информационный плакат обеспечивает возможность контроли-
контролировать не только основные, но и все остальные отклики.
Обратимся опять к примеру. Из информационного
плаката видно, что время обработки оказывает положи-
положительное воздействие на отклик, а процентный состав—
отрицательное (хотя и не такое значительное). Кроме
того, оба изменения для среднего эффекта и эффекта
взаимодействия невелики, поэтому можно полагать, что
в данной области поверхность линейна. Если нам тре-
требуется двигаться в сторону максимального отклика
(т. е. минимальной величины эрозии), можно предста-
представить условия стандартного процесса 4 сочетанием
(рис. 13.8) и исследовать обласдъ вокруг этой точки.
Вообще говоря, установленного правила определения
разброса уровней фактора нет, но глубокое понимание
520

5
II
с
10 с
7<
-1
з
.л -с
>9
рассматриваемого процесса дает возможность приблизи-
приблизительно оценить его размах. В настоящем примере пред-
предложено использовать тот же разброс уровней времени
относительно условия 4, что и в предыдущей фазе. Одна-
Однако во второй фазе было решено расширить область из-
изменения процентного состава. Условия производства во
второй фазе представлены на рис. 13.9 цифрами 6, 7,
8, 9, 10.
Исследуются те уровни в сочетаниях процентного со-
состава и времени обработки, которые на рис. 13.9 услов-
условно обозначены цифрами
6, 7; 8, 9, 10. «Снова циклы
повторяются до тех пор,
пока эффекты факторов,
если они имеют место, не
станут различными, и фа-
фаза заканчивается.
Совершенно не обяза-
обязательно, что в каждой фа-
фазе будет одинаковое чис-
число циклов, так как по
мере 'приближения к опти-
оптимуму изменение эффек-
эффекта становится 'меньше,
а это для выявления изменения потребует произведения
выборки большего объема.
Однако не требуется вносить изменения в процесс
сразу же, как только воздействие превысит пределы
ошибки. Выше указывалось, что кроме основного откли-
отклика могут оказаться важными и другие отклики. К тому
же, поскольку любая модификация существующего
процесса или дополнение к нему обычно приводит сна-
сначала к увеличению затрат, даже если затраты будут оку-
окупаться впоследствии усовершенствованием продукта или
сразу же за счет того, что операция будет менее дорого-
дорогостоящей, имеет смысл в этих новых условиях процесс не
изменять. В [9] рассматривается пример оценки стоимости
работ при совершенствовании операций и обсуждаются
вопросы перехода к следующей фазе.
* Рассматриваемая методика предназначается для не-
непрерывной работы и составляет часть обычных произ-
производственных операций. Однако пользоваться ею необ-
необходимо осторожно. После выявления ее положительных
521
Время
Рис. 13.9. Координаты входных
переменных или новые условия
проведения испытаний на втором
этапе.

качеств обычно перестают обращать внимание на отри-
отрицательные. Как только устанавливается приблизитель-
приблизительный ряд оптимальных условий для заданного ряда фак-
факторов и перед тем, как исследовать их более точно, с по-
помощью методов § 13.6 следует проверить дополнитель-
дополнительные факторы. Может быть, эти дополнительные факторы
уже проверялись на начальных фазах и были отброше-
отброшены как имевшие второстепенное значение. Но после того
как основные факторы «исчерпались», возможно, что
какое-нибудь последующее увеличение отклика будет
изменяться за счет изменения менее значительных фак-
факторов и окажется важным. Чаще всего это происходит
в граничных областях надежности, где требуется иссле-
исследовать все возможности усовершенствования.
Особое значение при использовании метода имеет
тщательный выбор характерного отклика, т. е. установ-
установление того, что изменения, которые мы можем произ-
произвести, будут достоверными и что производимая проверка
окажется представительной для условий применения.
Если при заданных уровнях рассматриваемых факто-
факторов отклик не изменяется, то появляются возможности»
дальнейшего исследования. Одна из них состоит в уве-
увеличении диапазона изменения уровней факторов, когда
воздействие было мало по сравнению с отклонением за
счет ошибки. Другая возможность заключается в том,
чтобы исследовать совершенно другие или дополнитель-
дополнительные факторы, когда отклик может зависеть от этих фак-
факторов или от их взаимодействия с рядом исходных фак-
факторов.
13.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА
В § 13.5 излагались принципы поиска ряда входных
условий, которые оптимизируют выходные данные или
отклики.
Исследование поверхности отклика также касается
определения оптимального отклика, но этот метод на-
намного сложнее. Различие между этими двумя методами
объясняется их различными приложениями — метод со-
совершенствования операций применяется непосредствен-
непосредственно в процессе производства, тогда как исследование по-
поверхности отклика обычно является средством, которое
используется при проведении лабораторных исследова-
исследований. Следовательно, в последней методике отсутствуют
522

прежние ограничения (т. е., и что самое существенное,
требования простоты методов и сохранения непрерыв-
непрерывности роста производительности), и поэтому есть воз-
возможность применять более уточненные и эффективные
статистические способы для получения оптимального
ряда условий. Отклик можно рассматривать как зави-
зависимую переменную, а входные уровни — как ряд незави-
независимых переменных. Если допускается изменение вход-
входных переменных, то это означает, что можно определен-
определенным образом изменять поверхность отклика.
Таким образом, умея представлять мгновенную об-
область исследования (определяемую величинами вход-
входных переменных), мы сможем определить, в каком на-
направлении следует искать оптимум.
Область исследования может, следовательно, пере-
перемещаться в этом направлении до тех пор, пока не будет
достигнут и определен оптимум. Как видно, принци-
принципиальной разницы по сравнению с методом усовершен-
усовершенствования операций не существует. Однако, оценивая
функциональную зависимость переменных, т. е. форму
поверхности отклика, можно получить более подробное
представление об области исследования, в результате
чего7 можно выбрать более правильный путь к достиже-
достижению оптимума.
13.6.1. Геометрическое представление для случая
с двумя входными переменными
В качестве примера выбрана поверхность отклика,
определяемая только двумя входными переменными.
Однако этот способ можно распространить также и на
любое число входных переменных.
На рис. 13.10 показано, что определенное свойство
материала исследуемого образца зависит от двух усло-
условий обработки (от двух входных переменных). Предпо-
Предположим, что начальная область исследования находится
в углах заштрихованной области А\. Тогда будем иметь
четыре отклика, по одному на каждое сочетание.
'Мы имеем достаточно оснований допустить, что до
олтимума еще сравнительно далеко и что поэтому по-
поверхность отклика в этой исследуемой области можно
аппроксимировать плоскостью, т. е. y = bo + biXi + b2X2.
Действительная поверхность отклика неизвестна, и, сле-
523

, мы проверяем допущения (в данном случае
допущения о плоской поверхности) с помощью статисти-
статистической проверки согласия.
Плоскость, уравнение которой получается с помощью
метода наименьших квадратов, имеет определенный на-
наклон к плоскости Х\Х2. Поэтому, найдя эту линию наи-
Время о(Ура(Готки
Рис. 13.10. Контуры области поверхности как функции кон-
концентрации в процентах Х2 и времени Х{.
большего наклона и перемещая область исследования
в этом направлении, мы можем максимизировать ско-
скорость приближения к оптимуму. Эту операцию продол-
продолжаем до тех пор, пока не найдем, что плоскость или ли-
линейное уравнение уже не соответствует этой поверх-
поверхности.
После этого исследуется уравнение второго порядка
У =
A3.3)
чтобы оценить поверхность отклика в той же области.
Это может произойти, когда мы достигнем, например,
области Ап (см. рис. 13.10).
Если уравнение второго порядка дает хорошее согла-
согласие, то, пользуясь нашими'знаниями геометрии кониче-
конических сечений, мы сможем изучить форму этой поверх-
поверхности.
524

Для этого, преобразуй вышеуказанное урайнение
второго порядка A3.3) к каноническому виду
(см. п. 13.6.3.4), т. е. перенося начало координат в центр
конического сечения и сдвигая Х\ и #2 вдоль главных
осей Xi и Х2 конического сечения, получим уравнение
у-В0 = ВпХ\ + В2гХ\. A3.4)
Исследование этого уравнения позволяет получить
хорошее представление о поверхности отклика. Поэтому
рассмотрим уравнение A3.4) более подробно.
Оптимум =6о
У1
Рис. 13.11. Поверхность отклика при Вц, В22<0.
При 5ц, 2?22<0, уравнение A3.4) описывает семей-
семейства концентрических эллипсов с центром при Xi = 0 и
Х2 = 0. Если это рассматривать в качестве поверхности
отклика, т. е., изобразив третью ось у, как это показано
на рис. 13.11, из уравнения A3.4) можно видеть, что
максимальное значение у получается, когда Х1=^Г2=0
и равно Во-
Рис. 13.12. Поверхность отклика при ?ц>0,
В22<0.
525

Когда Ви и В22 имеют противоположные знаки, вы-
выражение A3.4) представляет собой гиперболоид; т. е.
форма поверхности отклика образует седло с мииимак-
Оптимум=Ь
Z
V
Рис. 13.13. Стационарный гребень, ?ц=0;
сом в точке у = В0 (рис. 13.12). В этом случае центр ко-
конического сечения не дает оптимального отклика для
обоих переменных, а является лишь только решением
при максимуме для Х2 и ми-
минимуме для Х\. Оптималь-
Оптимальный отклик для у, если он
вообще существует, можно
получить при перемещении
в сторону ±A"i при Х2=0.
Когда Вп равно нулю,
а В22 имеет отрицательный
знак, уравнение A3.4) опи-
описывает ряд прямых линий,
параллельных оси Х\. Одно-
Однозначный о'птимум отсутст-
отсутствует, так как любая точка на линии Х2 = 0 и у = В0 ха-
характеризует оптимум. Из рис. 13.13 видно, что это мож-
можно рассматривать как частный случай того, что изобра-
изображено на рис. 13.11 или 13.12.
Существует также еще одна поверхность, называе-
называемая восходящим гребнем, которую можно получить, если
уравнение A3.3) преобразуется к виду
Рис. 13.14. Восходящий
бень, В11=0.
гре-
Это уравнение параболы — кривой, центром которой яв-
является неопределенность на оси Х\. Вх характеризует
скорость увеличения отклика в направлении +Х\ прги
Х2 = 0. Эта поверхность показана на рис. 13.14.
526

13.6.2. Примеры использования метода
Прежде, чем описать механику исследования поверх-
поверхности, рассмотрим некоторые примеры.
Предположим, у нас имеется прибор, от которого
требуется высокая вероятность успешной работы. Изве-
Известно, что при нескольких его испытаниях отмечается
тенденция к сильному увеличению начальной интенсив-
интенсивности отказов; затем несколько меньшая интенсивность
отказов стабилизируется, а потом снова по мере накоп-
накопления наработки во время испытаний начинает прояв-
проявляться большая интенсивность отказов.
Данный тип модели отказов наблюдался для различ-
различных приборов и оборудования: для автобусов, легковых
автомобилей, ракетных двигателей и сложных электрон-
электронных приборов. Это происходит по различным причинам.
Погрешности производства и ошибки человека могут вы-
вызвать начальные «вносимые» («наведенные») отказы
с последующей более высокой инцидентностью отказов,
являющихся результатом отказов по изнашиванию. Мы,
конечно, пытаемся уменьшить вероятности этих отказов,
но все-таки очень важно при определенных обстоятель-
обстоятельствах установить момент времени, когда наступит мини-
минимум вероятности отказа.
Рассматривая в качестве прибора жидкостный ракет-
ракетный двигатель, можно опять столкнуться с подобными
же вопросами. Сколько включений и сколько секунд ра-
работы должны мы задать для двигателя при различных
калибровочных, оценочных и приемных испытаниях, что-
чтобы последующие огневые испытания имели наибольшую
вероятность успеха?
Очевидно, это будет иметь решающее значение, если
следующее огневое испытание окажется «боевой рабо-
работой» (как часть какой-либо системы вооружения или
космического корабля). Условия работы жидкостного
ракетного двигателя таковы, что большая доля отказов
происходит в начале испытаний; с увеличением же на-
наработки двигателя в результате изнашивания начнут
возникать отказы отдельных его элементов. Это озна-
•чает, что распределение отказов двигательной установ-
установки зависит как от числа ее включений, так и от наработ-
наработки (в секундах). Мы должны найти не только оптималь-
оптимальное число испытаний, но также и среднее время работы
при каждом испытании. В этом примере можно, следо-
527

вательно, составить программу проверки, в которой одна
входная переменная равнялась бы числу включений дви-
двигателя, а другая входная переменная представляла бы
заданную продолжительность испытания.
При этом каждый двигатель подвергается испыта-
испытаниям с заданным временем работы: первый двигатель
испытырается в течение 20 сек, второй — 40 сек и т. д.
В качестве отклика (который требуется максимизиро-
максимизировать) можно выбрать следующее: у равен полному чис-
числу включений, умноженному на суммарное время рабо-
работы в секундах. Следовательно, для оценки поверхности,
которая получается при исследовании указанной зави-
зависимости, можно воспользоваться методикой, изложенной
в настоящем параграфе.
В качестве другого примера может служить исследо-
исследование прочности образца твердого топлива на разрыв,
которая зависит от его химического состава и от време-
времени полимеризации (термообработки). Если в процессе
производства образца было выбрано слишком малое ко-
количество одного какого-нибудь химического компонента
и время термообработки бралось очень малым, то топ- ,
ливо будет слишком «мягким». В этом случае прочност-
прочностные характеристики топлива будут неудовлетворитель-
неудовлетворительными, так как топливо будет оползать при хранении.
Но при слишком большой концентрации определенного
компонента или продолжительном времени полимериза-
ции^топливо станет слишком хрупким, будет растрески-
растрескиваться при обращении с ним и при транспортировке,
а это, вероятно, может привести к отказу двигателя во
время работы. В этом примере отклик можно изобра-
изобразить процентным содержанием успехов при испытаниях
образцов топлива, которые подвергаются воздействию
условий, соответствующих испытаниям на ползучесть и
хрупкость, т. е. исследуются оба свойства, каждое из
которых считается в данном случае вредным.
Нет причины ограничиваться исследованием откли-
отклика только одного типа. Например, может возникнуть не-
необходимость максимизировать технические характери-
характеристики изделия определенного типа, не уменьшая при
этом надежности изделия и сохраняя его вес ниже како-
какого-то заданного уровня. И даже, более того, может по-
потребоваться оптимизация всех этих откликов. Однако
очень трудно максимизировать одновременно более однр-
528

го отклика, если неизвестны функциональные зависи-
зависимости или не установлены относительные важности не-
нескольких откликов. Именно поэтому требуется умень-
уменьшать множество откликов до одного и, таким образом,
получать один оптимум. Если эту зависимость или отно-
относительную важность нельзя определить, то выбирается
один отклик в качестве главного, он затем оптимизирует-
оптимизируется при наличии определенных ограничений, которые
налагаются «второстепенными» откликами.
13.6.3. Методика исследования
Если у есть отклик и Х\, х2,...—входные переменные
или факторы, то истинная поверхность отклика может
быть описана функцией
где я|) — не/которая функция Х{-х. Это уравнение может
быть записано в виде ряда Тэйлора относительно нача-
начала Xi'X.
... A3.5)
Считается, что в локальной области экспериментирова-
экспериментирования поверхность может быть представлена либо пло-
плоскостью, либо поверхностью второго порядка. Уравне-
Уравнения плоскости или конической поверхности оцениваются
методом наименьших квадратов по результатам наблю-
наблюдений из экспериментального плана. В различных рабо-
работах предлагалось много планов, которые удачно подхо-
подходили к этой форме исследований. Однако в задачи на-
настоящей книги не входит рассмотрение всех этих планов
(кроме наиболее простых типов). Подробные сведения
об этих планах читатель может найти в работах [1, 2].
Методы, используемые при нахождении оптимума,
довЪльно сильно различаются в зависимости от того,
каким уравнением можно описать экспериментальную
область — линейным или квадратным. Поэтому эти ме-
методы следует рассматривать отдельно, хотя на практике
они обычно дополняют друг друга.
34-1113 529

13.6.3.1. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ И МЕТОД БЫСТРЕЙШЕГО
ПОДЪЕМА
Пока из опыта не станет известно, что в области экс-
экспериментирования ожидается наличие оптимальных ус-
условий, первую область экспериментирования предпола-
предполагается аппроксимировать (р—1)-мерной плоскостью и
оценивать по уравнению A3.6) по п экспериментальным
точкам (откликам):
? biXit A3.6)
i=\
где br — суть оценки рг, полученные при минимизации
выражения (у—р0—2рг*гJ и решении нормальных*
уравнений. Затем определяется, дает ли уравнение A3.6)
хорошее согласие с действительностью, т. е. линейна ли
поверхность. Сначала мы вычисляем «наименьший квад-
квадрат отсутствия согласия»
Ъ(УЕ — УоУЯп—Р)> A3.7)
А
где уЕ — математическое ожидание у для заданного ряда
входных условий [см. A3.6)] и у0 — наблюденный отклик
при эксперименте при тех же входных условиях. Со-
Согласно выражению A3.7) отклонения происходят по двум
причинам: за счет отсутствия согласия и за счет ошибки
выборочного обследования. Поэтому, если имеется оценка
ошибки выборочного обследования, то с помощью F-npo-
верки можно определить, содержит ли выражение A3.7)
какое-нибудь отклонение за счет отсутствия согласия или
его величина определяется только ошибкой выборочного
обследования. В эксперименте оценки ошибки можно по-
получить путем добавления к плану, скажем, с наблюде-
наблюдений в его центре и вычислением суммы квадратов S2
для этого ряда с наблюдений. Несмещенная оценка дис-
52
Персии ошибки оказывается равной ——-. Необходимо от-
отметить, что эти дополнительные точки не влияют на зна-
значения коэффициентов Ь{ при Xi-x, хотя Ьо меняется. (Чи-
* Метод наименьших .квадратов ом «в A].
530

татель убедится в этом, решив сйачала нормальные урай-
нения без этих центральных точек, а затем — с ними.
^-соотношение можно составить в следующем виде:
Если эта величина превышает табличное значение
для /'-распределения при с—1 и при п—р степеней сво-
свободы при выбранном заранее уровне значимости, это
будет указывать на то, что уравнение поверхности имеет
плохое согласие с действительностью и требуется иссле-
исследовать уравнения более высокого порядка, используя
вышеуказанную ^-проверку до тех пор, пока не будет
наблюдаться хорошее согласие.
Если дисперсия ошибки известна и равна о2 (следова-
(следовательно, не требуется ее оценивать с помощью последую-
последующих наблюдений), тогда можно воспользоваться ^-про-
^-проверкой согласия, где
Если \п_ /(л — р) превышает значение величины, взя-
взятой из табл. П.8, которая соответствует п — р степеням
свободы и выбранному заранее уровню значимости, мы
заключаем, что это уравнение не адекватно. Если согла-
согласие хорошее, тогда^, Ь2У Ь3,..., bn являются оценивае-
оцениваемыми наклонам^ плоскости и мы следующим образом
можем приступить к продвижению по пути быстрейшего
подъема: bi — скорость изменения отклика относительно
Xi в закодированных единицах; к{ — число исходных еди-
единиц в закодированных единицах; тогда bi/ki — скорость
изменения отклика относительно фактора Xi в его исход-
исходных единицах. Составляется табл. 13.27.
Если координаты центра экспериментальной области
¦**1» •**»> •••, х*п выражаются в исходных единицах,
тогда параметры (или координаты) шагов подъема в пло-
плоскости имеют вид:
первый шаг **, + !; **а + ^>.•-,•**» +?^,
второй шаг х\ + 2; А"*2 + 2^.,... ,х*п + 2^\
и т. д.
34* * 531

Таблица 13.2?
Исходные данные дли метода быстрейшего подъема
Изменение
Отклика на закодирован-
закодированное Xi
Исходных единиц х{
Отклика
На единичное изменение хх
хх
1
хл . . .
ь2. . .
b2k2 . .
b2k2
bxkx '
Xn
. bnkn
bnkn
• • bxkx
Подставляя эти величины в закодированном виде
в уравнение
получим расчетную величину у для каждого шага, при-
причем любой из них, очевидно, лежит в плоскости. Теперь
нам требуется определить, на каком удалении от плоско-
плоскости экстраполяция будет соответствовать наблюденному
отклику в этой точке. Поскольку имеется несколько
предсказанных откликов для нескольких рядов предпо-
предполагаемых величин х, следующий шаг заключается в про-
проверке того, дает ли действительно какой-нибудь один
ряд предполагаемых значений х отклик, близкий к пред-
предсказанному. Если имеется плохое соответствие, тогда
мы возвращаемся назад по линии быстрейшего подъ-
подъема, наблюдая каждый ряд предполагаемых входов,
пока не установим то место, где при удалении от исход-
исходных уровней линейная зависимость начинает нарушать-
нарушаться. При этом необходимо проявлять осторожность, что-
чтобы не проверять соответствие предсказываемого и дей-
действительного откликов на слишком большом удалении
от исходных уровней; в противном случае исследование
может «переступить» через оптимальный отклик. Специ-
Специальные способы определения величины шага отсут-
отсутствуют, однако хорошее знание существа вопроса всег-
всегда позволит произвести грамотные оценки. Может ока-
оказаться, что некоторый консерватизм метода будет слу-
служить помехой. Если- для определения того момента,
532

когда произошло отклонение линейности •исходного
уравнения, потребуется значительное возвращение, то
необходимо иметь определенное число наблюдений, с по-
помощью которых можно будет оценить другое линейное
уравнение, получая новый ряд коэффициентов Ьи а зна-
значит, и новый 'путь быстрейшего подъема. Эта процедура
повторяется до тех пор, пока линейное уравнение не
сможет иметь хорошего согласия с результатами наблю-
наблюдений. Когда это произойдет, потребуется искать по-
поверхность более высокого порядка, которая будет иметь
хорошее согласие с данными наблюдениями.
13.6.3.2. ПРИМЕР ДЛЯ МЕТОДА БЫСТРЕЙШЕГО ПОДЪЕМА
(см. [11])
Производился эксперимент, при котором некоторый
критерий 'полезного использования продукта был ниже
50%'. Предполагалось, что этот к. п. д. можно повысить
по меньшей мере до 70 или даже до 80%'. При этом счи-
считалось, что он зависит от пяти входныхфакторов 5, Ru
Р, D, i?2- Во время экспериментов каждый из факторов
принимал значения, соответствующие двум уровням.
Фактор S представлял количество растворителя, /?j —
отношение первого химического компонента к базовому
компоненту, Р—(чистоту растворителя, D — время суш-
сушки, 7?2 — отношение второго химического компонента
к базовому компоненту. В табл. 13.28 приведены пре-
предельные значения уровней этих факторов, где (—1) и
Таблица 13.28
Предельные значения уровней входных факторов
s —
Ri—
P —
D —
R2 —
Входные факторы
растворитель
отношение первого компонента к ба-
базовому компоненту
чистота растворителя
время сушки
отношение второго компонента к
базовому компоненту
Уровни
-1
500
9,0
95
4
3,0
входных фак-
факторов
+ 1
550
9,5
98
5
3,5
533

( + 1) обозначают соответственно нижний и верхний
уровни.
Поскольку считалось, что процесс все еще далек от
оптимального, было решено -поверхность отклика для
первой области экспериментирования аппроксимировать
плоскостью. План, предусматривающий выборку 25 со-
сочетаний, был выбран равным lU дробного факториала.
При этом потребовалось произвести 8 наблюдений
G4Х25). Кроме чистых эффектов, никаких других зна-
значимых эффектов не ожидалось. Однако план был со-
составлен таким образом, чтобы эффект взаимодействия
высокого порядка, который может иметь место в дей-'
ствительности, не смешивался с какими-нибудь чистыми
эффектами.
План показан в табл. 13.29, где зависимость между
истинной переменной и х\ (закодированная переменная)
имеет вид:
5—525
25 '
#! — 9,25
: 0,25 '
Я —96,5
= 1,5
и —
2,
4,
5
3,
5
25
0,25
Числа в колонке у0 представляют собой наблюден-
наблюденные отклики, числа в колонке уЕ — математические ожи-
ожидания, которые получены из уравнения A3.9). Этот
Таблица 13.29*
Выборочный план для исследования поверхности отклика
Номер
экспери-
эксперимента
1
2
3
4
5
6
7
8
bo
х0
1
1
ьх
Xi
—1
—1
—1
]
1
1
1
1
b2
х2
—1
—1
1
1
—1
—1
1
1
bs
ха
—1
1
—1
1
—1
1
—1
1
b4
Xi.
— 1
1
—1
1
-Ь*
Хь
—1
1
1
—1
—1
1
1
—1
хгх2
1
1
—1
—1
—1
—1
1
1
1
— 1
1
— 1
— 1
1
— 1
1
УО
34,4
51,6
31,2
45,1
54,1
62,4
50,2
58,6
УЕ
36
49,6
33,2
43,6
52,6
64,6
48,2
60,2
• Таблица взята из работы Owen L. Davies. Design and analysis
of industrial experiments, 1954.
534

план составляется после объединения следующих тож-
тождеств (см. [1—3]):
чистый эффект д;4 = взаимодействию xtx2x3;\
чистый эффект хь = взаимодействию — x2xz.) '
Если бы план рассматривался как полный факто-
факториал для х1У х2, х$у то следующее уравнение регрессии:
\Х2Ха)"Тт Pi
содержало бы чистые эффекты и эффекты взаимодей-
взаимодействия х\, х2 и х3. Сначала с помощью метода наимень-
наименьших квадратов требуется оценить коэффициенты р,
а затем, учитывая тождества A3.8), — коэффициенты
при Хи *2> х$, ха и х5 следующего уравнения регрессии:
у = Ьо + Ьххх + b2x2 -f 63 *з +6i2 (Vi) + 6i3 О* Л) —
Однако если Ь\2 и 613 будут малы по сравнению с ко-
коэффициентами при линейных членах, ими пренебрегают,
поскольку они связаны с эффектами взаимодействия, ко-
которые не являются значимыми при выбранном удалении
условий эксперимента от оптимума. Таким образом, ре-
решая нормальные уравнения и пренебрегая коэффициен-
коэффициентами при членах, учитывающих взаимодействия более
высокого порядка, которые принимались во внимание
при оценках bi-x, мы получаем следующие зависимости:
р0 -* Ьо = 48,5, р12 -* Ь12 = 0,2, 1 Принимаются
р1-^61 = 7,9, [}13-*&13 = — 1,8, / равными нулю,
Р2 -* Ь2 = -2,2, р23 ^ —Ь% = 0,4,
в результате чего уравнение плоскости поверхности от-
отклика имеет вид:
;t5. A3.9)
Вычислив 2 (у0 — уЕJ, получим величину, равную 26,5.
Эта величина слишком велика, так как из предыдущих
535

вычислений известно, что дисперсия ошибки равна 0,5.
Происходит это из-за того, что действительно имеет ме-
место взаимодействие х\ и хг. Если бы при вычислении
2(Уо—УеJ были учтены взаимодействия хххъ и ххх2, тог-
тогда мы бы получили величину, равную 0,06, что свиде-
свидетельствовало бы о хорошем согласии. Если при провер-
проверке совпадение не было установлено, то в качестве ста-
статистической проверки отсутствия согласия лучше всего
воспользоваться ^-проверкой, а не F-проверкой, так
как мы производим проверку при известной дисперсии
(см. п. 13.6.3.1).
Возможно, эффект взаимодействия Х\Х$ действитель-
действительно имеет место. Однако он мал по сравнению с чистыми
эффектами #1X2*3. Следовательно, им можно было пре-
пренебречь и для вычисления линии быстрейшего подъема
использовать линейное уравнение.
Итак, теперь мы готовы двигаться вдоль линии бы-
быстрейшего подъема (табл. 13.30).
После выполнения 8-го шага при расчете подъёма
было решено произвести эксперимент № 9 при тех же
значениях лгг-, что и для 5-го шага, чтобы убедиться в со-
сохранении линейной зависимости. В результате экспери-
эксперимента наблюдался отклик, соответствующий 77%', срав-
сравнение которого с предсказанными 74,8%'свидетельствует
о близком их совпадении. Поэтому следующий экспери-
эксперимент № 10 производился для 7-го шага, при котором
наблюдался результат в 80%', а не предсказанные
85,2%. Отклик должен был быть наверняка меньше
100%', поэтому предполагалось, что отклик начнет ухо-
уходить от плоской поверхности подобно тому, как это про-
происходит в области 7-го шага. Однако для того чтобы
уточнить наличие переходной области, были произведе-
произведены эксперименты для 6-го и 8-го шагов. Результаты
наблюдений действительно свидетельствовали о наличии
кривизны поверхности, а это указывало на необходимость
учета членов второго порядка. При втором эксперимен-
эксперименте, произведенном с целью получения результатов на-
наблюдений для этой оценки, было решено, чтобы центр
плана соответствовал данным координатам 7-го шага,
разброс уровней факторов хг, х2 и хъ оставался тем же
самым, а разброс уровней факторов #4 и хъ слегка уве-
увеличился. Затем снова определялся оптимум, но уже дру-
другими методами, описанными
536

Результаты движения вдоль линии быстрейшего подъема
Таблица 13.30
ел
со
1
Основные исходные данные
и масштабные коэффициенты
Базовый уровень
Число исходных единиц в коди-
кодированной, ki
Изменение отклика на закодиро- '
ванную единицу, Ьг
Изменение исходной единицы,
Xi, biki
Изменение уровня на 10 единиц, хг
Шаги
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
хх
525
25
7,9
197,5
10
535
545
555
565
575
585
595
605
Х2
9,25
0,25
-2,2
—0,55
—0,028
*3
95,5
1,5
6,0
9,0
0,456
Величина х^х
9,22
9,19
9,17
9,14
9,11
9,08
9,06
9,03
96,0
96,4
96,9
97,3
97,8
98,2
98,7
99,1
х*
4,5
0,5
0,4
0,2
0,011
3,25
0,25
0,4
0,1
0,005
Расчетное
значение у
для 8 последовательных шагов
4,5
4,5
4,5
4,5
4,6
4,6
4,6
4,6
3,25
3,26
3,26
3,27
3,27
3,28
3,28
3,29
53,9
59,0
64,3
69,3
74,8
79,9
85,2
90,3
Наблюденное
значение
77
81
80
76

13.6.3.3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Метод быстрейшего подъема обеспечивает близкое
совпадение области экспериментирования с оптималь-
оптимальной или стационарной областью, но не позволяет найти
сам оптимум. В этот момент обычно необходимо «охва-
«охватить» область экспериментирования большим количе-
количеством наблюдений, гак как число коэффициентов, кото-
которые требуется оценить в уравнении более высокого по-
порядка, быстро растет с числом факторов, подлежащих
исследованию, что показано в табл. 13.31.
Таблица 13.ЗГ
Зависимость числа коэффициентов от количества факторов
Число констант, которые
оценить
Число фак-
факторов в экспе-
эксперименте
2
3
4
5
5
требуется
Порядок уравнения согласия
1
3
4
5
6
7
2
6
10
15
21
28
Число наблюдений в факторном
плане (каждый фактор имеет
2 уровня)
Порядок факториала
Полный
4
8
16
32
64 '
1/2
2
4
8
16
32
1/4
1
2
4
8
16
1/8
1
2
4
8
Можно видеть, что в определенных случаях даже
полный факторный план не обеспечивает достаточного
количества наблюдений для оценки уравнения регрес-
регрессии. Бокс и другие [1] предложили получать дополни-
дополнительные наблюдения в точках, равноотстоящих от цент-
центра факторного плана, с координатами исходных наблю-
наблюдений. На рис. 13.15 показан пример для двух факторов.
Подобные планы называются ортогональными состав-
составными планами.
В работах [1, ,2] приводятся примеры планов, которые
используются для наследования поверхности отклика,
причем при экспериментах могут учитываться факторы
при двух и более уровнях.
После получения достаточного количества наблюде-
наблюдений мы опять с помощью метода наименьших .квадра-
538

тов * оцениваем приближение второго порядка для у~
%2> • •.» хп)'.
(-W
К -/;
(и v
Это уравнение проверяется на согласие с помощью
метода /^-проверок (см. п. 13.6.3.1). Мы полагаем, что
можно найти уравнение второго порядка, которое удов-
удовлетворило бы поверхности локальной области оптимума
эксперимента. В против-
*юм случае потребовалось
бы оценивать кубические
уравнения или даже урав-
уравнения более высоких по-
порядков, однако их иссле-
исследование становится чрез-
чрезвычайно трудным. Пони-
Понимание существа «предмета
-может позволить (быстро
установить 'потребность
использования уравнений
более высокого порядка,
однако прежде всего не-
необходимо оценить область
(/1,0)
(t-f)
Рис. 13.15. Дополнительный фак-
факторный план.
Ф — центр дополнительных п{ наблюде-
наблюдений; ® — дополнительные наблюдения
к факторному плану 22.
эксперимента. Например,
-уравнение второго поряд-
порядка может не дать хороше-
хорошего согласия из-;за того, что
различие между уровнями факторов окажется слишком
велико, или, возможно, не все факторы, влияющие на
отклик, будут приняты во внимание. Все эт(и обстоя-
обстоятельства должны непременно учитываться, ибо в против-
противном случае ценность метода значительно снижается.
Затем уравнение A3.10) преобразуется к канониче-
каноническому виду (п. 13.6.3.4)
X2 A3.10а)
Свойства поверхности, определяемой этим уравне-
> ннем, являются более расширенными по сравнению
с рассмотренным в п. 13.6.1 двумерным случаем.
* О применении метода наименьших квадратов для согласова-
согласования •нелинейных функций регрессии см. Н а г 11 е у Н. Technometrics
v. 3, 2, May '1961, p. 269-^280.
539

Например, если все Вц отрицательны, то оценивае-
оцениваемая поверхность будет иметь максимум, равный Во
в центре эллипсоидов.
Если некоторые Вц положительны, то поверхность
определяется эллиптическими гиперболоидами, что сви-
свидетельствует о наличии минимаксов.
Если один или несколько коэффициентов Вц стре-
стремятся к нулю, то это указывает на наличие гребней
в направлении соответствующих осей Xit
После оценки коэффициентов 6г- из уравнения A3.10)
остается только привести это уравнение к каноническому
виду A3.10а).
13.6.3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Члены первого порядка уравнения A3.10) исклю-
исключаются перенесением начала координат в центр поверх-
поверхности. Положение центра определяется после дифферен-
дифференцирования правой части уравнения A3.10) по очереди по
каждому Х{ и приравнивания полученных выражений
нулю:
0 = Ьх + 2bnxt + b12x2 -f b13x3 +... + Ь1Пхп,
0 = b2 + btlxx + 2b22x2 + Ь2гхг +..
0 = bn + bnixx + bn2x2 -f bnixz +... +2bnnxn.
Обозначим решения этих уравнений через Х\8, x2s, x3s
и т. д. Тогда эти величины будут определять центр по-
поверхности и, кроме того, дадут стационарную величину
отклика у. Затем путем несложных преобразований на-
начало координат переносится в центр поверхности
что при подстановке в A3.10) дает
*1, A3.11)
К]
где В0 = Ь0-\-~2 ZbiXis (т. е. стационарная величина).
540

. Члены с двойным произведением в уравнении A3.11)
исключаются при повороте перенесенных координатных
осей относительно нового начала координат так, чтобы
они стали главными осями поверхности второго поряд-
порядка. Новые оси также ортогональны. В результате полу-
получим уравнение A3.10а), которое для удобства читателя
повторяется:
У — Во = ВпХх
где В a, i = 1,2,..., п
уравнения
22Х2
суть корни характеристического
0 =
Ьп —
1 h {'h
"TT&ia Ьс.* В -rri
-9- b2n ... Z?nn —В
A3.12)
a X{—линейные выражения в
X j = (X{ JCis),
так что
Xn = mn^*! + mn2x*2
minx*n,
mnnx*n, I
A3.13)
где /тгг-j — искомые величины, которые являются реше-
решениями п систем уравнений, / = 1,2,.. ,уп
фп — Вц) тг1 + 4" Ь1*т*г + • • • + т 6inWin =0
— В и) mi
iri =0
где /?гг — решения 5 из уравнения A3.12).
A3.14)
541

Эта система уравнений получается в результате под-
подстановки элементов определителя характеристического
уравнения A3.12) в качестве коэффициентов при т
в /-м ряду уравнений A3.13), где элементами в урав-
уравнении A3.12) являются Вц вместо В.
Решения уравнений A3.14) не позволяют получить
величины т в явном виде, и мы получаем только вели-
величины, пропорциональные их истинным значениям. По-
Последние же получаются с помощью дополнительных
условий ортогональности
ДЛЯ
1 = 1,2,...,/*.
Поскольку преобразование ортогонально, уравнение
A3Л5) позволяет нам выразить л;*2- через Xf.
*l = mllXl-\-m2lX%+...
*п =3 т1ПХх -\~ Ш2пХ2 -j- . . .-
A3.15)
13.6.3.5. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМУМА ПРИ НАЛИЧИИ
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА*
В процессе изготовления твердого ракетного топли-
топлива производилось смешивание определенного количества
пороха с растворителем, с последующей заливкой смеси
в определенную форму и высушиванием растворителя
в печи. Переменными при этом были: Т—температура в
печи, с — концентрация растворителя и t — время суш-
сушки. Рассматриваемый отклик оптимизировался относи-
относительно этих переменных. Начальные эксперименты поз-
позволили установить приблизительные значения этих вели-
величин для процесса производства: Г=167°С, с = 27,5% и
/=6,5 час.
Было решено произрести трехфакторный эксперимент
при двух уровнях для каждой переменной, что обеспечи-
* Перепечатано с разрешения G. Е. Р. В о х, Owen L. Da-
vie s. Editor of «Design and analysis of industrial experiments»,
published by Oliver and Boyd, Ltd., Edinbourgh, 1-st Edition, Ш54.
542

вало получение восьми из минимума десяти наблюде-
наблюдений, необходимых для оценки коэффициентов уравнения
поверхности второго порядка (см. табл. 13.31). Кроме
того, наблюдались еще семь других сочетаний, которые
приведены в табл. 13.33.
Если переменные закодированы с помощью следую-
следующих соотношений:
-167
с —27,5
2,5 :
; —6,5
1.5
то зависимости между уровнями в плане и исходными
единицами имеют вид, который показан в табл. 13.32.
Таблица 13.32
Зависимость между уровнями в плане
и исходными единицами
Уровни
факторов
в условных
единицах
—2
—1
0
1
2
Исходные единицы
темпера-
температура, Т
157
162
167
172
177
концен-
концентрация, с
22,5
25
27,5
30
32,5
время, t
3*5
5
6,5
8
9,5
В табл. 13.33 показаны отклики в зависимости от за-
закодированных уровней входных факторов.
Уравнение второго порядка
з,з
i=\
совпало * с результатами наблюдений. Отсюда оцени-
оцениваемое уравнение поверхности отклика в области экспе-
экспериментирования имеет вид
f 1,07*з — 1,54*, —
— 0,26*2 — О»68^ — 3,09*^ — 2,19*!*, — 1,21*2*3.
A3.16)
* Подробности об оценке коэффициентов см. в работе [1].
543

Таблица 13.33
Закодированные уровни экспериментальных
переменных и полученные результаты для
8 основных и 7 дополнительных экспериментов
Эксперимент
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
—1
—1
—1
—1
1
1
1
1
0
2
—2
0
0
0
0
хл
—1
— 1
1
1
— 1
1
1
1
0
0
0
2
—2
0
0
—1
1
—1
1
—1
1
—1
1
0
0
0
0
0
2
—2
Отклик
45,9
53,3
57,5
58,8
60,6
58,0
58,6
52,6
56,9
55,4
46,9
57,5
55,0
58,9
50,3
Сумма квадратов, полученная из разницы между на-
наблюденными величинами у и расчетными величинами,
была равна 24,6. Это соответствовало 5 степеням свобо-
свободы. Предварительная оценка экспериментальной ошиб-
ошибки уже имелась и была равна 1,5. Поэтому был сделан
вывод о том, что это уравнение второго порядка дает
достаточно хорошее согласие, поскольку величина
Х25=24,6/A,5J = 11 не является значимой при заданном
5%-ном уровне (см. табл. П.8).
Центр системы определен путем частного дифферен-
дифференцирования уравнений A3.16) по хи #2 и #з и решением
этих уравнений после приравнивания их нулю:
0=1,94 — 3,08*х — 3,09*2 — 2,19лу,
0 = 0,91 —3,09*! —0,52*, —1,21*.;
0 = 1,07 —2,19^ —1,21*, —1,36*,,
что дает
544
у,-=58,14.

Коэффициенты канонического разложения В
чаются из выражения
полу-
полуQ
Отсюда
(—1,54 —Л) -1,54 -1,10
— 1,54 (_0,26~5) —0,60
— 1,10 —0,60 (_0,68 — В).
Значения т^ при / = 1, 2, 3, / = 1, 2, 3 находятся при
решении трех систем уравнений, полученных из A3.14).
Их решения дают следующую ортогональную зависи-
зависимость между Xi и Х\\
X*
л:ж—0,061
0,751
0,307
0,585
*а-0,215
0,488
0,338
-0,804
0,444
—0,890
0,104
Тогда, например,
^=0,751 {х— 0,061)+0,488(х2 — 0,215)+0,444(jc3 — 0,499)
. или
{хг — 0,061) = 0,751^ + 0,307^2 + 0,585Х3.
Уравнение A3.16) в каноническом виде записывается
следующим образом:
у _ 58,14 = — 3,19^—0,07^ +0,78*1. A3.17)
Исследование этого уравнения показывает, что коэф-
коэффициент при Х22 близок к нулю, а поскольку коэффици-
коэффициенты при Вп и Bz3 противоположны по знаку, мы именем
•седловую точку. Однако коэффициент В33 к тому же
еще мал, так что поверхность представляет собой упло-
уплощенное седло. Минимакс наблюдается при ^ = 0, Х2=0,
*0
35—1113
545

Движение вдоль оси Х\ приведет к резкому уменьше-
уменьшению отклика. Но мы ожидаем увеличения отклика при
движении в любую -сторону вдоль оси Х3.
Таблица 13.34
Уровни экспериментальных
переменных и полученные результаты
для дополнительных экспериментов
Эксперимент
16
17
18
19
2
2
—1,
—1,
4
4
х,
—3
—3
2,6
2,6
0
0
о,
о,
7
7
Отклик
59,4
61,5
59,5
58,5
Соответственно этому были произведены четыре до-
дополнительных эксперимента (табл. 13.34, эксперименты
16—19), и выражение для канонического уравнения
A3.18) было получено заново:
у — 59,23 = -3,51 *J—ОДО* + 0,24^. A3.18)
Дополнительные наблюдения привели к небольшому
изменению в сторону максимума. Следовательно, так
как воздействия Х2 и Х3 были малы, можно сделать
вывод о том, что максимум получается три Х\ = 0 и при-
приблизительно равен 60. Этот отклик мог быть получен
для любой точки на плоскости Xi = 0, проходящей через
оси Х2 и ^з- Тогда любое сочетание х{, х2 и *з, удовле-
удовлетворяющее уравнению A3.19), дает максимум
0 = 0,751 (jc2 — 0,061) + 0,488 (jc2 — 0,215) +
,444 (jc3 — 0,499)
A3.19)
или в исходных единицах
32,76. A3.20)
Необходимо помнить, что уравнение A3.20) справед-
справедливо только в условиях эксперимента, так что при зна-
значениях Т, с и /, выходящих соответственно за щределы
546

157—177, 20—34 и 3,5—9,5, если даже они -и удовлетво-
удовлетворяют уравнению A3.20), отклик не обязательно будет
равен максимуму, равному 60.
В большинстве 'подобных случаев при выборе значе-
значений Г, с и t могут быть использованы рассуждения об-
общего характера. Так, например, время t может оказать-
оказаться ограничивающим фактором для процесса с точки зре-
зрения производственного потока. В этом случае устанав-
устанавливается минимальное время, равное 3,5, а вторая из
оставшихся переменных Тис выбирается на основании
каких-либо других соображений.
Методика, изложенная в этом параграфе, важна^ не
только для нахождения оптимального сочетания различ-
различных факторов, которые все вместе определяют отклик,
но также и для понимания основной теории самого про-
процесса (см. [13]). Вот почему в методику вводится мате-
математическое представление поверхности отклика. Напри-
Например, метод совершенствования операций обеспечивает
выбор оптимального набора входных переменных, и то,
что это осуществляется сравнительно медленно, при
этом не имеет значения; однако его методология не поз-
позволяет оценивать функциональные зависимости. Метод
же исследования поверхности отклика основан на допу-
допущении, что функциональные зависимости существуют и
известны и их можно аппроксимировать и оценивать.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. О. L. D a v i e s. Design and analysis of industrial experiments.
Oliver and Boyd London and Edinburgh, 1954.
2. W. G. С о с h r a n and G. M. Co x. Experimental designs, 2d
ed., John Wiley and Sons, New York, 1957.
3. O. Kempthorne. The design and analysis of experiments.
John Wiley and Sons, New York, 1957.
4. N. R. Garner and D. E. Hartvigs e-n. Experimental de-
designs in development, proof and qualification testing of rocket mo-
motors. Proc. Western Regional Conference ASQC, San. Diego, 1958,
August.
5. Statistical analysis for a new procedure in sensitivity experi-
experiments. Applied Mathematics Panel, National Defense Research Com-
Committee, AMP Report № 101,11IR, «SRGhP (№ 40, '1944, July.
6. F. E. Satterthwaite. Random balance experimentation.
Technometrics, 1959, v. 1, 2, May, p. 111—137.
7. Т. А. В u d n e. The application of random balance designs.
Technometrics, 1959, v. 1, 2, May, p. 139—155.
8. J. S. Hunter. Technometrics, 1959, v. 1, 2, May, p. 180—184.
9. G. E. P. Box. Evolutionary operation: a method for increasing
industrial productivity. Applied Statistics, 1957, v. 6, 2, p. 3—23.
35* 547

10. G. E. P. Box and J. S. Hunter. Condensed calculations
for evolutionary operations programs. Technometrics, 1959, v. 1, 1,
February, p. 77—95.
11. G. E. P. Box and К. В. Wilson. On the experimental at-
attainment of optimum conditions. J. Roy. Stat. Soc, Series B, 1951,
v. 13, 1, p. 18.
12. G. E. P. Box. Exploration and exploitation of response sur-
surfaces: some general considerations and examples. Biometrics, v. 10,
1, s. 8.
13. G. E. P. Box and P. V. Voule. The exploration and exploi-
exploitation of response surfaces: an example of the link between the fitted
surface and the basic mechanism of the system. Biometrics, 1955,
v. ILd. 287—322.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Anscombe F. J. Quick analysis methods for random balance
screening experiments. Technometrics, 1959, v. 1, 2, May, p. 195—209.
Box G. E. P. A basis for selection of a response surface design.
J. Am. Stat.-Assoc, 1959, v. '54, 287, September, p. 622—654.
Dickinson A. W. Computer program abstracts, response surfa-
surface evaluation @25). Chem. Eng. Progress, 1959, v. 55, September,
p. 86, 88.
Hunter J. S. Some statistical principles underlying evolutiona-
evolutionary operations. Proc. 2d Stevens Symposium, 63—75, and Chemical Di-
Division and Metropolitan Section, ASQC, 1195в, January. ,
Hunter J. S. Statistical methods for determining optimum con-
conditions. National Convention Trans. ASQC, 1956, p. 415—428.
К о e h 1 e r T. Evolutionary operations, some actual examples.
Proc. 2d. Stevens Symposium, p. 5—8.
Satterth w a i t e F. E. New developments in experimental de-
design. Proc. Rutgers Quality Control Conf., ASQC, 1956, p. 55—57.
S h a i n i n D. Use logical research methods for component spe-
specification. Automatic Control, il957, v. 6, June, p. 28—32.
Vaswani R. Sequential decisioning technique for optimization
of complex systems. J. Ind. Eng., 1956, v. 7, 4, July — August,
p. 174—178.
W h i d d e n P. Design of experiment in metals processing. Natio-
National Convention Trans., ASQC, '1956, p. 677—683.
W h i t e w e 11 J., C. Practical applications of evolutionary ope-
operations. National Convention Trans., ASQC, 1969, p. 603—©16.
Younden W. J. Engineering vs. classical test patterns. Ind.
Eng. Chem., 1956, v. 48, August, p. 59A—60A.

РАЗДЕЛ III
ПРИМЕРЫ ПРОГРАММ ОЦЕНКИ
НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ
В данном разделе рассматриваются три примера, от-
относящиеся к изделиям трех различных типов. Условия
применения и тактико-технические характеристики их
изделий очень различны, что обнаруживается в каждом
случае при решении определенных задач. К тому же в
в этих примерах, за исключением второго, вопросы ис-
использования специального оборудования, предназначен-
предназначенного для испытаний в целях исследования надежности,
не рассматривались.
Таким образом, информацию о надежности можно
было получить только в 'процессе испытаний при разра-
разработке того или*иного оборудования.
В качестве первого примера выбран мощный ракет-
ракетный двигатель, работающий на твердом топливе,, кото-
который находится в стадии конструктивной разработки.
При этом имеются два существенных момента, опреде-
определяющие объем и характер программы разработки и ис-
исследования надежности. Во-первых, ракетный двигатель
на твердом топливе может пройти огневые испытания
только один раз, а это в сочетании с высокой стоимо-
стоимостью материалов и производства означает, что число
испытаний натурных двигателей жестко ограничено. Во-
вторых, по своей природе ракетный двигатель на твер-
твердом топливе представляет простую, но многоэлементную
систему; значит, конструктивное изменение всего лишь
одного элемента часто влечет за собой соответствующие
изменения в конструкции многих элементов остальной
часги системы. Все это ведет к тому, чтобы изменения
549

конструкции элементов производились в группах. Сле-
Следовательно, программа состоит из четких, но перекры-
перекрывающих друг друга этапов, в ходе которых производят-
производятся и вносятся конструктивные изменения в натурный
двигатель.
Во втором примере описывается необходимая дея-
деятельность для того, чтобы в возможно короткий срок
усовершенствовать и'принять уже хорошо разработанное
турбогенераторное устройство, номинальный уровень
надежности которого уже был подтвержден. При этом
отдельные блоки исследуемой подсистемы могут испы-
тываться много раз.
В третьем примере рассматривается мощный жидко-
жидкостный ракетный двигатель, находящийся на стадии не-
непрерывного усовершенствования путем испытаний и из-
изменений как отдельных элементов, так и всей системы
в целом. Система достаточно сложна, однако взаимо-
взаимосвязь между элементами здесь значительно слабее, чем
в ракетном двигателе, работающем на твердом топливе,
а это означает, что элементы могут быть значительно
лучше отработаны каждый в отдельности перед испыта-
испытаниями в системе двигателя. Кроме того, могут быть вне-
внесены значительные изменения, которые совершенно не
скажутся на характеристиках других элементов. Другое
важное свойство программы испытаний состоит в том,
что двигательная установка может проходить несколько
огневых испытаний, не имея отказов в результате изна-
изнашивания. Продолжительность каждого такого испыта-
испытания имеет огромное значение с точки зрения измерения
надежности.
Подход к рассмотрению указанных примеров имеет
много общего, однако при определении конфигураций,
установлении приемлемости любого испытания, при вы-
выборе критериев для обсуждения или классификации ре-
результатов испытаний и при обеспечении полноты охвата
информации предусматриваются различные допущения.
Кроме того- методы оценки информации сильна разли-
различаются как за счет ограничений и условий испытаний
каждого типа оборудования, так и за счет различия
в интерпретации данных с целью оценки надежности.
Каждый пример является достаточно полным и рас-
раскрывает частное приложение общих методов, рассмот-
рассмотренных в предыдущих главах.
550

ГЛАВА 14
ПРОГРАММА ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ МОЩНОГО
РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ, РАБОТАЮЩЕГО
НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ, В ПРОЦЕССЕ
КОНСТРУКТИВНОЙ РАЗРАБОТКИ
14.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Рассматриваемый двигатель является более эффек-
эффективным с точки зрения размеров и конструкции по срав-
сравнению с любым предшествующим ракетным двигателем,
работающим на твердом топливе (РДТТ). Следователь-
Следовательно, имеется очень небольшой опыт, на основе которого
можно «судить о его надежности. Кроме того, из-за вы-
высокой стоимости и самой природы двигателя проводи-
проводилось либо очень мало огневых испытаний специально
с целью подтверждения надежности *, либо они не про-
проводились вообще (а каждый двигатель может пройти
только одно огневое испытание).
* Обычно в процессе выполнения программы разработки ракет-
ракетного двигателя существуют определенные моменты, в которых отме-
отмечается прогресс. Например, кульминация начальной программы ОКР
(опытно-конструкторских разработок) или предполетные оценочные
испытания, при которых выборка двигателей 'неизменной конструк-
конструкции подтверждает возможность вступления двигателя в фазу лет-
летных испытаний, в течение которой будет происходить дальнейшее
развитие программы опытно-конструкторских разработок. Через не-
некоторое время на основании результатов летных и статических
испытаний на этом этапе выбираются наиболее совершенная кон-
конструкция двигателя и более устойчивый процесс производства. Кон-
Конструкция фиксируется, и начинается выполнение программы ква-
квалификационных испытаний, чтобы подтвердить пригодность двига-
двигателя и средств производства к этапу массового производства. Пе-
Периоды программы, в течение которых производится несколько огне-
огневых испытаний однотипных двигателей (с неизменной конструкцией),
551

Поэтому назначение программы оценки надежности
состоит в том, чтобы в ходе выполнения программы
опытно-конструкторских разработок определить и из-
измерить те величины, которые характеризуют способность
двигателя надежно выполнять функции движущей силы
одно- или многоступенчатой ракеты при ее полете в за-
заданный район, т. е. в цель.
Для решения этих проблем требуется рассмотреть
три основные практические и статистические задачи:
1) связь между требованиями надежности двигателя
в программе предполетных опытно-конструкторских раз-
разработок и требованиями к эксплуатационной надежно-
надежности системы вооружения;
2) получение достоверной информации по надежно-
надежности в процессе опытно-конструкторских разработок, ког-
когда задачи испытаний отличаются друг от друга и кон-
конструкция двигателя непрерывно подвергается измене-
изменениям;
3) получение эффективных оценок надежности на
основании результатов ограниченного числа огневых
испытаний натурных двигателей.
14.2. РАССМОТРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
1. Основная задача для любого данного снаряда за-
заключается в том, чтобы он упал в районе заданной цели.
Эту задачу для одноступенчатой ракеты можно предста-
представить в виде требований к надежности ее двигателя,
а именно, для успешной работы ракеты не должны про-
вероятно, представляют возможность получить одновременно наи-
наиболее достоверные и представительные данные. Однако в эти пе-
периоды проходит огневые испытания довольно небольшая часть всех
испытываемых двигателей. Следовательно, одни только программы
предполетных оценочных испытаний и квалификационных испытаний
•не могут подтвердить удовлетворение высоких требований по надеж-
надежности, предъявляемых к ракетным двигателям, работающим на твер-
твердом топливе. Таким образом, чтобы обеспечить необходимый объ-
объем выборки, требуется использовать информацию из других 'Источ-
'Источников, данные статистических и летных испытаний на этапе ОКР.
В данной главе представлен метод оценки надежности, который
предусматривает 'использование информации только лишь с начала
и до -конца программы предполетных оценочных испытаний. Однако
этот метод € небольшими изменениями (в основном административ-
административного порядка) может быть применен к программам летных испыта-
испытаний «а этапе опытно-конструкторских разработок и квалификацион-
квалификационных испытаний (.испытаний качества).
552

исходить ни внезапные отказы, которые могли бы при-
привести вообще к невыполнению ее назначения, ни значи-
значительные изменения летно-тактических свойств, что
привело бы к большому промаху. В то же время оче-
очевидно, что при работе двигателя, когда внезапные отка-
отказы не возникают, а технические параметры лежат в за-
заданных пределах (при успешном функционировании
остальной аппаратуры ракеты), всегда будет иметь ме-
место разброс попаданий в район цели или около нее.
Сначала для оценки надежности могут быть использо-
использованы результаты только стендовых огневых испытаний,
поскольку в ходе развития программы еще отсутствует
возможность производить летные испытания. Поэтому
в течение данного периода невозможно полностью изу-
изучить влияние взаимодействия параметров двигателя ра-
ракеты и остальных ее систем. Таким образом, исходные
основные предпосылки, позволяющие формулировать
критерии успеха или отказа системы вооружения через
критерии успеха или отказа двигателя, могут быть осно-
основаны на эмпирических довольно-таки произвольных за-
зависимостях. Однако если четко установить основные
предпосылки, серьезно в них разобраться и найти им
точное приложение, то можно получить оценки надеж-
надежности, достоверные в рамках этих основных предпосы-
предпосылок. Следовательно, если надежность определяется как
вероятность успешной работы системы вооружения, то
надежность двигателя функциональной подсистемы си-
системы вооружения можно интепретировать как вероят-
вероятность успешной работы двигателя. В свою очередь эту
вероятность можно рассматривать как вероятность ра-
работы в пределах норм, указанных в техническом зада-
задании на данный двигатель. Итак, связь между системой
вооружения и двигателем определяется техническими
заданиями, которые, конечно, пересматриваются и уточ-
уточняются после получения результатов летных испытаний.
2. Численная величина надежности двигателя, кото-
которую можно ожидать или требуется подтвердить в со-
соответствии с договором, будет зависеть от степени со-
совершенства двигателя, от числа единиц, представленных
для испытаний, и от требований к надежности системы
вооружения в целом.
Приемлемость испытаний на этапе конструктивной
"разработки для оценки надежности зависит от достовер-
553

ности данных, а также от назначения и условий прове-
проведения испытаний, обеспечивающих получение этих дан-
данных. Как правило, сущность экспериментальных прове-
проверок отличается от сущности испытаний с целью иссле-
исследования надежности. Испытания на надежность обычно
требуют огромной однородной выборки двигателей с кон-
конструкцией, достаточно представительной для ее оконча-
окончательного варианта. На практике обычно невозможно
обеспечить производство большого числа дорогостоящих
двигателей специально для подтверждения надежности
системы. Дело в том, что даже если это удается сделать,
то к моменту завершения производства и испытаний ре-
результаты оценки надежности будут относиться к уста-
устаревшей конструкции, поскольку одновременные техниче-
технические испытания, весьма вероятно, приведут к ее даль-
дальнейшему усовершенствованию. Следовательно, в этой
программе надежность должна оцениваться по результа-
результатам технических испытаний на этапе опытно-конструк-
опытно-конструкторских разработок. Однако эти испытания обычно про-
проводятся с выборками небольшого объема, причем кон-
конструкции испытываемых изделий непрерывно изменяют-
изменяются. Поэтому требуется учитывать задачи технических
испытаний, отличать их цели от целей испытаний на на-
надежность и находить возможности их согласования, но
без ограничения исследовательской природы испытаний
на стадии разработок. „
Это осуществляется путем «отбора» технических ис-
испытаний, полезных с точки зрения исследования надеж-
надежности, с помощью правил подачи заявлений и определе-
определением степени репрезентативности конструкции двигате-
двигателя относительно ее летного варианта. Таким образом,
представительные данные можно получить и использо-
использовать для определения достоверной оценки надежности,
даже если двигатель и претерпевает изменения в про-
процессе опытно-конструкторских разработок.
В описанной процедуре подразумевается, что для
оценки надежности будут использоваться результаты
испытаний только натурных двигателей.
Программа разработки современных ракетных дви-
двигателей, работающих на твердом топливе, включает в се-
себя большое число опытных испытаний неполноразмер-
ных двигателей. Начальные исследования пригодности
новых составов топлива самым лучшим и наиболее эко-
554

йомически выгодным образом проводятся именно на
этих двигателях. Подобные исследования позволяют от-
ответить на вопрос, будет ли то или иное топливо удовле-
удовлетворять требованиям внутренней баллистики для натур-
натурных двигателей. Во многих случаях могут быть установ-
установлены точные масштабные прогнозы характеристик вну-
внутренней баллистики. Испытания неполноразмерных дви-
двигателей проводятся также с целью определения свойств
конструкций заряда и корпуса, изоляционных материа-
материалов, конструкций поворотных сопел и т. д. Однако меж-
между неполноразмерными и натурными двигателями суще-
существуют и такие различия, которые невозможно полно-
полностью учесть с помощью масштабных или корреляцион-
корреляционных коэффициентов. Например, эти различия могут воз-
возникать из-за недостатка знания механических свойств
натурных топливных зарядов (моделей и величин напря-
напряжений), которые непосредственно связаны с проблемами
растрескивания топлива и отклеивания от внутренних
стенок корпуса. Кроме того, любые частные проблемы,
связанные с особенностями процессов производства и
контроля качества натурных двигателей, могут быть ре-
решены только при испытаниях натурных двигателей.
Итак, несмотря на то, что техническая информация,
получаемая в ходе испытаний неполноразмерных двига-
двигателей, очень существенна для отработки функциониро-
функционирования и технических характеристик натурного двигате-
двигателя, наилучшим образом убедиться в удовлетворении
требований к конечному продукту можно лишь при
испытаниях натурных двигателей с достаточно предста-
представительными конструкциями.
3. Поскольку для испытаний выделяется только огра-
ограниченное число представительных натурных двигателей,
большое знагение приобретают статистические методы
получения оценок надежности. Статистические методы,
которые используются в настоящей программе, рассмо-
рассмотрены в п. 9.2.2.
14.3. ОПИСАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОГРАММЫ
Программа делится на четыре части:
1. Метод распределения систем на главные подси-
подсистемы.
2. Правила подачи заявлений.
555

3. Классификаций результатов испытаний в процес-
процессе опытно-конструкторских разработок с целью оценки
надежности.
4. Оценка надежности.
14.3.1. Распределение
В целях компенсации относительно небольшого чис-
числа испытаний натурных двигателей очень важно стре-
стремиться использовать все представительные данные. Это
достигается делением двигательной установки на три
главные подсистемы, причем испытание каждого двига-
двигателя оценивается с точки зрения поведения главных под-
подсистем. Таким образом, если при каком-либо испытании
двигатель в целом не является представительным ( отно-
относительно окончательного варианта его конструкции), это
не препятствует оценке надежности тех главных подси-
подсистем, которые по своей конструкции и по режимам ра-
работы оказываются достаточно представительными для
окончательного летного варианта. Рассматриваются три
главные подсистемы:
а) подсистема воспламенения топливного заряда;
б) подсистема внутренней изоляции (бронировки)
корпуса;
в) подсистема управления вектором тяги.
Оценка надежности двигателя производится по ре-
результатам испытаний главных подсистем (испытания
проводятся в условиях, аналогичных работе натурного
двигателя) и может начаться с первого же огневого ис-
испытания.
14.3.2. Приемлемость главных подсистем
Главные подсистемы, испытываемые при работе на-
натурного двигателя с точки зрения оценки надежности
должны подразделяться на приемлемые и неприемле-
неприемлемые. Чтобы определить при каком-либо огневом испы-
испытании натурного двигателя, какая из испытываемых под-
подсистем достаточно представительна с точки зрения ее
летной конфигурации (для использования при оценке
надежности), необходимо выбрать критерии, которые
смогли бы определить приемлемость этой подсистемы
(табл. 14.1).
556

Таблица 14.1
Главная подсистема
Характеристики приемлемости*
Подсистема А.
Топливный заряд—вос-
заряд—воспламенитель
Wp — вес топливного заряда лежит
в пределах + % согласно настоя-
настоящему техническому заданию на модель
Подсистема Б.
Внутренняя изоляция
(и бронировка) кор-
корпуса
1. Конструкция двигателя включает
о себя корпус и донную крышку, бро-
бронировку и изоляцию согласно отчету
о текущем весе и центровке (баланси-
(балансировке) двигателя (указанные веса соот-
соответствуют боевому варианту ракеты).
2. Вес топливного заряда заданный,
как и в подсистеме А
Подсистема В.
Управление вектором
тяги
1. Конструкция двигателя включает
в себя поворотные сопла (указанные
веса соответствуют весам поворотных
сопел боевого варианта ракеты).
2. Полетного веса агрегат силово-
силового привода сопла.
3. Вес топливного заряда заданный,
как и в подсистеме А.
4. При испытаниях двигателя
должна быть предпринята попытка
привести в действие силовой привод
сопел.
5. Предсказываемое время срабаты-
срабатывания не меньше указанного в техни-
техническом задании на текущую модель
(если только не испытывается отсечка
тяги)
¦ Характеристики, которые требуются для определения приемлемости
ракетного двигателя, работающего на твердом топливе, при оценке его надеж-
надежности на этапе разработки, могут быть указаны только в очень общих чертах.
В процессе конструктивных разработок отправными источниками для состав-
составления четко определенного образа создаваемой конструкции служат критерии
принципиальной схемы двигателя и режимы работы. В действительности раз-
разрабатываемый подобным образом двигатель имеет свое первое обоснованное
и законченное определение в техническом задании на двигатель, составленном
для предполетных оценочных испытаний. Но даже и в этом случае до завер-
завершения программы ППОИ характеристики внутренней баллистики с достаточ-
достаточной точностью оказываются неизвестными.
557

При испытаниях главные подсистемы, которые б
принципе признаны приемлемыми, должны оцениваться
с помощью следующих категорий: успех, отказ и исклю-
исключение. Однако отдельные изделия и результаты их испы-
испытания могут быть исключены и перед испытаниями. Наи-
Наиболее характерные основания для исключения изделий
из испытаний перечислены ниже.
Испытанию подлежат все главные подсистемы (А,
Б, В). Исключение до начала испытаний подлежит
утверждению головным разработчиком или руководите-
руководителем испытаний.
1. Главная подсистема не обладает необходимыми
характеристиками приемлемости.
2. В зависимости от назначения или условий прове-
проведения испытания определенная подсистема может быть
исключена из-за несоответствия параметров или харак-
характеристик при возникновении или из-за возможности воз-
возникновения неисправностей.
Например, если при проверке обнаруживаются такие
ракозины и трещины, которые наверняка приведут к не-
неисправности, то подсистему топливный заряд — воспла-
воспламенитель можно считать исключенной.
3. Если расчеты показывают, что характеристики
внутренней баллистики выходят за пределы, установлен-
установленные в техническом задании на текущую модель, а про-
проведение испытаний работы двигателя утверждено, то эти
характеристики исключаются. Перед официальной про-
программой предполетных оценочных испытаний (ППОИ)
это основное правило допускает максимум п исключе-
исключений. Это основное правило запрещает делать исключе-
исключения во время выполнения официальной программы
ППОИ.
4. Условные исключения:
а) подсистема должна быть исключена, если проис-
происходит отказ экспериментальной детали, которая так и
была обозначена в заявлении перед испытанием и впер-
впервые испытывается в натурном двигателе. Однако если
подсистема выходит из строя из-за отказа какой-либо
неуказанной в заявлении детали, то это будет класси-
классифицироваться как отказ;
б) подсистема должна быть исключена, если проис-
происходит отказ устаревшей детали, которая так и была обо-
обозначена в заявлении перед испытанием. Устаревшая де-
558

таль отделяется как деталь, используемая в испы-
испытываемой конструкции в целях экономии, но для кото-
которой уже предусматривается значимое изменение или кон-
конструктивное изменение по надежности (см. п. 14.4.1) *.
14.3.3. Правила подачи заявлений
Для выявления и обеспечения полноты данных необ-
необходимо определить назначение испытания и, применяя
основные правила приемлемости, установить возмож-
возможность использования результатов этого испытания для
оценки надежности. Это осуществляется с помощью за-
заявления определенной формы, которое должно быть со-
составлено перед каждым испытанием натурного двигате-
двигателя. Затем оно представляется руководителю программы
на утверждение. Типичная форма заявления представ-
представлена в табл. М.2. Необходимо заметить, что в заявле-
заявлении об исключениях должны быть указаны причины от-
отказов и приведены веские обоснования, а также ссылки
на донесения об отказах, на отчеты о проверках, на ука-
указания о технических изменениях и т. д. Например, если
деталь условно исключается из-за того, что она устаре-
устарела, то в форме должен быть приведен номер указания
о техническом изменении или номер новой детали и т. д.
Руководитель программы может устанавливать возмож-
возможное количество условных исключений.
Таблица 14.2
Форма заявления перед огневыми испытаниями
ЗАЯВЛЕНИЕ
А. Серийный номер двигателя FWE-23. Тип двигателя
// ступень ХМ-83. Исп. стенд G-8. Номер испытания 3,5FS-12.
Дата испытания 4 янв. 196 Технич. задан. SPR-4003.
Б. Какая из следующих главных подсистем приемлема
для оценки надежности?
Приемлема Неприемлема
1. Топливный заряд-воспламени-
заряд-воспламенитель (А) X
2. Внутренняя изоляция корпуса
(бронировка) (Б) I I I X
* В заявлении перед испытанием должны быть указаны причи-
причины всех исключений.
559

Продолжение табл. 14.2
3. Управление вектором тяги (В) X
В. Причины неприемлемости какой-либо главной под-
подсистемы:
Внутренняя изоляция не соответствует типу двига-
двигателя, предназначенного для эксплуатации в летных
условиях.
Г. Какие части, элементы и т. д. отсутствуют в испы-
испытываемой конструкции; указать причины:
Внешняя изоляция сопел
Д. Какие технические характеристики должны быть
исключены при оценке надежности (только испытания при
разработке)? Указать причины:
Е. Какие элементы или детали объявлены эксперимен-
экспериментальными или устаревшими (для условного исключения)?
1. Сопловые вкладыши объявлены эксперимен-
экспериментальными (новая деталь №3-157192; предыдущая де-
деталь № 3-157087), Это первое испытание с целью
определения, не приведет ли использование
сплава к меньшей эрозии.
2. Сопла № 1, 2 объявлены устаревшими (преж-
(прежняя деталь № 3-156863 используется вместо настоя-
настоящей детали М 3-156921). Деталь № 3-156921 была
введена как конструктивное изменение по надеж-
надежности в испытании № 3,5FS-10. Использование ста-
старой детали может привести к избыточному моменту
или к замедлению и остановке сопел. Старая деталь
применена из-за отсутствия новых деталей во время
сборки.
Ж. Примечание. Это шестые испытания при разра-
ботке, при которых используется топливо HLK.
3. Программа испытаний сопла (число циклов, углы от-
отклонения и период работы):
шесть циклов по ±3°> начинающихся на 5, 15,
. . . у 65 сек вперемежку с шестью циклами по ± 6°
«а 10, 20, . . . , 60 сек. начиная от нулевого времени
Подписи и утверждения:
Руководство программой -
Инженер-испытатель .
Дата Надежность.
560

14.3.4. Классификация результатов испытаний
Каждая главная* подсистема будет классифициро-
классифицироваться как успешно прошедшая испытания или испытав-
испытавшая отказ в зависимости от ее работы в 'процессе экс-
эксплуатации, от того, совершился ли успешный полет или
его постигла неудача. Исключение могут составить те
случаи, когда по не зависящим от подсистемы (внешним
по отношению к ней) 'причинам этой подсистеме вообще
не будет предоставлена возможность пройти испытания
(успешно или с отказом). Подробное описание основ-
основных правил классификации представлено в табл. 14.3.
Таблица 14.3
Основные правила классификации результатов испытаний
Подсистема топливный заряд—воспламенитель (А)
Успех
1. Подсистема А не выходит из строя и не
исключается и все характеристики лежат в преде-
пределах, указанных в техническом задании на данную
модель.
2. Подсистема безотказно работает в случае
выхода значений ее характеристик за пределы,
указанные в техническом задании, при условии,
что это отмечено в заявлении и утверждено до
испытания (см. стр. 559)
Отказ
36-1 ИЗ
1. Воспламенитель не сработал вообще или не
воспламенил топливный заряд.
2. Задержка воспламенителя больше макси-
максимальной величины, указанной в техническом за-
задании.
3. Выброс давления (тяги) при воспламенении
превышает значение установившегося давления
в камере сгорания (тяги).
4. Неустойчивое горение, т. е. пики давления
в камере сгорания (тяги)^10э/о от установив-
установившегося давления в камере сгорания.
5. Взрыв двигателя, который можно отнести
за счет топлива или воспламенителя.
6. Значения характеристик лежат вне пределов,
установленных техническим заданием на данную
модель, хотя в заявлении говорится о том, что они
не должны выходить за эти пределы
561

Продолжение табл. 14.3
Исключение
после испы-
испытаний
Успех
Отказ
Исключение
после
испытаний
Успех
Отказ
Подсистема топливный заряд—воспламенитель (А)
1. Испытания, при которых отказы происходят
из-за внешних относительно подсистемы А причин,
например из-за отказа другой главной подсистемы,
ошибок оператора, неисправностей вспомогатель-
вспомогательных средств и аппаратуры, при условии, что отказ
самой подсистемы А еще не произошел.
2. Отказ подсистемы за счет отказа устарев-
устаревшей или экспериментальной детали, что оговорено
в заявлении перед испытанием.
3. Испытания, при которых подсистема А не
выходит из строя, но не имеет возможности
удовлетворить заявленному назначению испытания
Подсистема внутренней изоляции (и бронировки) (Б)
1. Подсистема Б не выходит из строя и не
исключается
1. Прогар корпуса или донной крышки во время
нормальной работы
1. Испытания, которые приводят к отказу по
не зависящим от подсистемы Б причинам, напри-
например из-за отказов других главных подсистем, оши-
ошибок оператора, неисправностей измерительных
средств или аппаратуры, при условии, что отказ
самой Подсистемы Б до этого еще не произошел.
2. Отказ подсистемы Б из-за отказа устарев-
устаревшей или экспериментальной части, отмеченной в
заявлении перед испытанием.
3. Испытания, при которых подсистема Б не
выходит из строя, но и не имеет при этом возмож-
возможности удовлетворить объявленному назначению
испытаний
Система управления вектором тяги (В)
1. Подсистема В не выходит из строя, не
исключается и работает в соответствии с програм-
программой в течение всего времени испытания
1. Происходит заедание или заклинивание пово-
поворотных сопел или отклонение не соответствует
заданному по программе.
2. Наблюдается утечка газов или прогар в лю-
любой части узла поворота сопла.
3. Неисправность силового привода
502

Продолжение табл. 14.3
Подсистема топливный заряд—воспламенитель (А)
1. Испытания, которые приводят к отказам по
не зависящим от подсистемы В причинам, напри-
например из-за отказов других главных подсистем,
ошибки оператора, неисправностей измерительных
средств или аппаратуры, при условии, что отказ
Исключение самой подсистемы В до этого еще не произошел.
после 2. Отказ подсистемы В из-за отказа устарев-
испытаний шей или экспериментальной части, отмеченной
в заявлении перед испытанием.
3. Испытания, при которых подсистема В не
выходит из строя, но и не имеет при этом воз-
возможности удовлетворить объявленному назначению
испытаний
Примечание. Можно потребовать, чтобы на разработчика была воз-
возложена ответственность за получение (и подтверждение) численного значения
надежности. Чтобы не было противоречия со здравым смыслом, требования
к численному значению надежности не должны включать: 1) оборудование,
разработанное другими разработчиками-соисполнителями *, которое испыты-
вается вместе со всей системой двигателя; 2) промежуточные приспособления,
ответственности за функционирование которых лежит на двух или более
разработчиках-соисполнителях. Однако когда оборудование поставляется
разработчику (по двигателю) через торговую организацию или от другого
разработчика (завода-смежника) и не относится к категории 2, то это обору-
оборудование считается находящимся под ответственностью этого разработчика
с точки зрения удовлетворения любых требований к численному значению
надежности.
* Разработчиком-соисполнителем является один из нескольких разработ-
разработчиков, каждый из которых разрабатывает отдельную основную подсистему.
Однако ни один из них не несет полной ответственности за всю систему
вооружения.
14.4. ОТЧЕТЫ О СОСТОЯНИИ НАДЕЖНОСТИ И ОЦЕНКА
НАДЕЖНОСТИ
Отчет о 'состоянии надежности (см. табл. 14.4) со-
составляется сразу же после преобразования данных, по-
полученных при испытании. Затем, используя основные
правила и информацию, содержащуюся в форме заявле- •
ния, сотрудники группы надежности разработчика оце-
оценивают данные. Это делается после любого испытания
натурного двигателя для каждой главной подсистемы.
В колонке замечаний должно помещаться краткое опи-
описание отказа или причина исключения подсистемы, если
она подпадает под соответствующую категорию. Если
происходит отказ, который не может быть отнесен за счет
какой-нибудь определенной подсистемы, этот факт также
должен быть обязательно отмечен. При необходимости
36* 563

сл Таблица 14.4
2
Форма отчета о надежности
Дата испытания 4 янв. 196 г. Испытание № 3,5 ПП-12 Испыт. стенд G-8 Донесение об
испытании № 36
Тип двигателя // ступень ХМ-83 Серийный номер двигателя FWE-23 Номер техн. задания на
модель SPR-4003
Данные об испытании двигателя
Суммарный импульс, кг-сек Задержка воспламенения, сек-
Средняя тяга, кг Выброс тяги при воспламенении, кг-
Удельный импульс, кг* сек/кг Полезный вес топлива, кг
Макс—мин (кривая тяги во времени), кг Вес двигателя, кг
Скорость нарастания тяги, кг/сек Коэффициент заполнения -
Скорость убывания тяги, кг/сек Температура сгорания, °С_
Время работы, сек . Окружающие условия отн. влажность 60%
Среднее давление в камере сгорания, кг/см2 Топливный заряд подвергался темперированию

Продолжение табл. 14.4
Классификация результатов испытаний (заполняется сотрудниками
группы надежности)
Главная
подсистема
Исключение
перед испы-
испытанием
Отказ
характ.
искл.
характ.
не искл.
Успех
характ.
искл.
Все характ.
в норме
Замечания
X
Задержка воспламенения вы-
вышла за пределы, указанные
в ТЗ
X
См. форму заявления (табл.
14.2)
В
Дополнительные замечания-
Ответственный инженер
X
Эрозия < 2%. Величина мо-
момента в допустимых пределах
-Отдел и группа
-Дата

следует приводить также ссылки на донесения об отка-
отказах, на .сообщения о корректирующих действиях и т. д.
Отчеты о состоянии надежности, включающие информа-
информацию за определенный календарный месяц, могут быть
подобраны в хронологическом порядке и обобщены так,
как это показано в приведенном ниже примере. Затем,
пользуясь методами п. 14.4.2, можно получать и ежеме-
ежемесячно передавать точечные оценки надежности и ее ниж-
нижние доверительные пределы.
14.4.1. Представительные и текущие данные
Поскольку обычно испытания для оценки надежно-
надежности проводятся^ в небольшом количестве, каждая глав-
главная подсистема должна обязательно обладать высокой
надежностью. Однако в начале программы может про-
произойти сразу несколько отказов, в результате чего сово-
совокупная интенсивность отказов окажется настолько вы-
высокой (и не будет оснований не доверять этим данным),
что потребуется чрезмерно большое число успешных
испытаний, чтобы ее «поглотить». Это практически не-
неосуществимо, и подобная обработка данных в ходе вы-
выполнения программы разработки, предназначенной для
усовершенствования изготавливаемого изделия, оказы-
оказывается совершенно нереальной.
Если бы эти отказы были случайными или происхо-
происходили по неустановленным причинам, тогда было бы не-
неразумно отбрасывать начальные данные, поскольку эти
виды отказов характеризуют действительную надеж-
надежность и по существу указывают на то, что подсистема
недостаточно надежна. Однако начальные отказы обыч-
обычно не случайны, т. е. они имеют легко объяснимые при-
причины и в ходе программы разработки подлежат анализу
и корректирующим действиям.
Это корректирующее действие, называемое конструк-
конструктивным изменением по надежности, определяется как
модификация с целью исключения ранее наблюденного
отказа в натурном двигателе, которой должны подвер-
подвергаться все последующие двигатели. Данные, полученные
после конструктивного изменения по надежности, будут
рассматриваться как однородные, а начальные данные
отбрасываются как не являющиеся более представитель-
представительными для существующей конструкции. Данные, получае-
получаемые после внесения конструктивных изменений по на-
566

дежности, называются текущими данными. Решение
о том, что составляет конструктивное изменение по на-
надежности, подлежит утверждению со стороны руковод-
руководства программой и касается только той определенной
подсистемы, которая подвергалась модификации. Кроме
того, в ходе программы разработки могут производиться
конструктивные изменения не обязательно с целью по-
повышения надежности, а, например, для улучшения так-
тактико-технических характеристик и уменьшения веса.
Если эти изменения приводят к значимым конструктив-
конструктивным изменениям согласно взаимному соглашению меж-
между руководством программой и разработчиком, то дан-
данные, полученные после их внесения, будут-также счи-
считаться текущими данными.
14.4.2. Оценка надежности двигателя
14.4.2.1. МЕТОДИКА ОЦЕНКИ
Надежность двигателя вычисляется по результатам
испытаний главных подсистем. Как правило, по окон-
окончании каждого испытания возможна классификация
главных подсистем на успешно прошедшие испытания
(успех), вышедшие из строя (отказ) или подлежащие
исключению из рассмотрения (исключение). Однако
иногда происходят отказы всей системы, а вышедшую
из строя подсистему (или подсистемы) обнаружить не
удается. Поэтому желательно иметь возможность произ-
производить точную и полную классификацию каждого испы-
испытания, а неопознанный отказ, являющийся как-никак
отказом этой системы, должен обязательно учитывать-
учитываться при оценке ее надежности. В этом случае неопознан-
неопознанный отказ произвольно относят к главной подсистеме,
испытавшей наибольшее число отказов в выборке, по
которой оценивается надежность системы. Если после-
последующий анализ позволит правильно определить неопо-
неопознанный отказ, то оценки надежности должны быть пе-
пересчитаны.
Все оценки надежности двигателя, который ниже
будет рассматриваться в качестве примера, основывают-
основываются на текущих данных. Таким образом, приемлемые ис-
испытания должны подсчитываться для каждой главной
подсистемы и только до последних конструктивных из-
изменений по надежности или значимых конструктивных
изменений. Итак, метод оценки надежности заключается
567

в следующем: определяется число приемлемых испыта-
испытаний каждой главной подсистемы. Наименьшее из этих
трех чисел (N) характеризует количество проведенных
эквивалентных испытаний двигателей. Для вычисления
надежности двигателя требуется подсчитать число изве-
известных отказов, которые произошли при последних N ис-
испытаниях каждой подсистемы. Кроме того, те отказы,
характер которых не был установлен и которые не были
отнесены к какой-либо главной подсистеме, произвольно
добавляются к одной из этих подсистем, выбираемой
установленным выше порядком. В результате получает-
получается распределение отказов для заданного числа эквива-
эквивалентных испытаний двигателей, которое может быть за-
записано в виде (N\ /1, /2, /з), где f\, /2, /3 — числа отказов
отдельных подсистем, а /1+/2+/3 — общее число отказов
(включая неопознанные отказы) за период проведения N
эквивалентных испытаний двигателей. Минимальное зна-
значение надежности для (N; fu /2, /з), например, при
90%-ном доверительном уровне может быть получено
из рис. П.10.
14.4.2.2. ПРИМЕР ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
1. Этот пример иллюстрирует метод оценки надеж-
надежности двигателя. Метод табулирования результатов, как
это показано в табл. 14.5, признан достаточно удобным.
Таблица представляет собой обычную сводку, в которой
в хронологическом порядке приводятся признаки (или
классификации) результатов испытаний, получаемые из
донесений о надежности. В каждом испытании участву-
участвуют все главные подсистемы, но согласно основным пра-
правилам они могут быть приемлемы или неприемлемы для
оценки надежности (см. табл. 14.1). Результатом испы-
испытания каждой из подсистем А, Б и В может быть успех
(У), отказ (О) или исключение (в таблице обозначается
пропуском).
2. В рассмотренном выше примере главной подсисте-
подсистемой, которая характеризуется наименьшим количеством
приемлемых и неисключенных испытаний, является под-
подсистема В с пятью испытаниями, т. е. можно считать,
что испытывалось не больше пяти эквивалентных пол-
полностью снаряженных двигателей. Отсчитывая от испыта-
испытания 9 по 5 последних испытаний каждой главной подси-
подсистемы, находим, что подсистема А присутствовала и
568

Таблица 14.5
Номер испы-
испытания (в хро-
хронологическом
порядке)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Номер донесения о
надежности
Дата испыта-
ния
Результаты
Л R R
Add
У
О
У У*
О У*
у* у* о*
у*
у* у* у*
у* у* о*
у* у* у*
Подсистема
А
Б
В
Общее число
испытаний
8
6
5
Общее число
отказов
1
1
2
Число отказов в
5 последних ис-
дытаниях
1см. 14.4.2B)]
0
0
2
Номер
испыта-
испытания
1
2
3
4
5
6
7
8
Пояснения к таблице
Подсистема А приемлема. Успех. Б и В исключены
Подсистема Б приемлема. Отказ. А и В исключены
Подсистемы А и В приемлемы. Успех. Б исключена
Подсистемы А и Б приемлемы. А—отказ, Б—успех,
В исключена
Подсистемы А и Б—успех, В—отказ
Подсистемы А—успех, Б и В исключены
Все подсистемы—успех
Все подсистемы приемлемы, а отказ произошел
в подсистеме В
Все подсистемы А, Б и В—успех
569

была приемлема в испытаниях §, 8, 7, 6 и 5; подсистема
Б — в испытаниях 9, 8, 7, 5 и 4; подсистема В — в испы-
испытаниях 9, 8, 7, 5 и 3. Таким образом, при получении
оценки надежности двигателя для каждой из подсистем
должны использоваться только вышеупомянутые испы-
испытания, т. е. только те результаты из таблицы, которые
отмечены звездочками. За период испытаний этих пяти
эквивалентных полностью снаряженных двигателей под-
подсистема А не имела отказов, 'подсистема Б тоже не име-
имела отказов, а подсистема В имела два отказа (испыта-
(испытания 5 и 8).
3. Итак, используя обозначения из раздела 14.4.2.1,
информацию о надежности можно записать в виде 5;
О, 0, 2. Это говорит о том, что количество испытанных
двигателей эквивалентно пяти полностью снаряженным
двигателям и что при последних пяти испытаниях под-
подсистемы А и Б отказов не имели, а в подсистеме В про-
произошло два отказа.
В этом случае 90%-ный доверительный предел для
надежности, полученный из рис. П.10, равен 24,7%.
Точечная оценка надежности получается непосред-
непосредственно с помощью правила перемножения, т. е.
E-0)E-0) E--2) 3
14.5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В главе показано, как можно оценить надежность
ракетного двигателя, работающего на твердом топливе,
по результатам испытаний в процессе технической раз-
разработки, не ограничивая исследовательскую сущность
этих испытаний. Эти оценки могут быть получены, даже
если окончательный вариант исследуемой конструкции
или оборудования еще полностью не отработан.
Основные понятия и подход к решению частной зада-
задачи, рассмотренной в этой главе, можно использовать
при исследовании различных систем в тех случаях,
когда наблюдаются следующие обстоятельства:
1) требуется оценить надежность системы относи-
относительно ее окончательного использования;
2) система находится в состоянии непрерывной раз-
разработки с целью получения окончательного варианта
конструкции;
570

3) задачи испытаний меняются по ходу разработки
системы, а специальные испытания для оценки надежно-
надежности либо вообще не проводятся, либо проводятся в не-
небольшом количестве;
4) для испытаний выделяется ограниченное количе-
количество систем и система может испытываться ограничен-
ограниченное число раз (возможно, даже только один раз);
5) надежность оценивается с помощью только каче-
качественных признаков (успех—отказ).

ГЛАВА 15
ПРОГРАММА ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
ТУРБОГЕНЕРАТОРНОГО УСТРОЙСТВА
15.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Ранее накопленный опыт показал, что рассматривае-
рассматриваемое турбогенераторное оборудование обладало доволь-
довольно высокой надежностью. Однако с ним конкурировало
электрохимическое оборудование различного типа, кото-
которое имело даже более высокую надежность, но не явля-
являлось полностью удовлетворительным с точки зрения
веса. Было решено, что, если при определенном ограни-
ограниченном объеме работ турбогенераторную систему изго-
изготовят более надежной и она сможет подтвердить опре-
определенную заданную надежность, ее можно будет исполь-
использовать вместо существующего оборудования.
Для достижения этой цели требовалось решить сле-
следующие проблемы:
1. Получить достоверные данные о надежности
в ходе выполнения программы, когда цели испытаний
сильно изменяются, а образ и конструкция испытывае-
испытываемого изделия меняются незначительно.
2. Как можно раньше подтвердить, что требования
по надежности удовлетворяются, и, кроме того, устано-
установить статистический управляющий метод, согласован-
согласованный с этим методом подтверждения.
15.2. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ И ОСНОВНЫЕ
ПРАВИЛА
Если выборочная конфигурация хорошо определена,
то считается, что для оценки надежности изделия мож-
можно использовать все испытания при разработке за ис-
исключением лишь тех определенных испытаний, которые
572

проводятся с целью исследования влияния граничных и
крайне чрезвычайных условий на тактико-технические
характеристики этого изделия. Для контроля полноты
данных перед каждым испытанием заполняется специ-
специальная форма заявления. В этом заявлении устанавли-
устанавливается пригодность результатов данного испытания
в интересах исследования надежности. Кроме того,
в нем содержится основная информация, касающаяся
испытания и самого изделия, а именно: дата, серийный
номер изделия, условия проведения испытания .(вклю-
.(включаются использование экспериментального оборудова-
оборудования, проведение определенных мероприятий и окружаю-
окружающие условия).
Под успехом подразумевалась способность этого из-
изделия работать на всех режимах, указанных в техниче-
техническом задании, в течение времени и при условиях, задан-
заданных потребителем, а отказ характеризовался как неспо-
неспособность успешно работать при этих условиях. Исклю-
Исключение составляли те испытания, которые в специальном
заявлении были признаны неприемлемыми, и те, при ко-
которых происходил отказ изделия (или не давалось
возможности успешно работать) по независящим от
него (внешним по отношению к нему) причинам. Ре-
Результаты таких испытаний классифицировались как ис-
исключения и при оценке надежности не учитывались.
Условия проведения испытаний кроме оговоренных -
в форме заявления считались достаточно представитель-
представительными для условий эксплуатации этого устройства по-
потребителем. Это также относилось и к наработке при
каждом испытании, которую всегда желательно иметь
равной заданной наработке.
Предшествующий опыт начальных испытаний пока-
показал, что модель отказов не описывалась никаким про-
простым статистическим распределением наработки на от-
отказ. Было известно также, что каждое устройство долж-
должно пройти большое число испытаний, прежде чем воз-
возникнут отказы за счет изнашивания. Поэтому каждое
испытание рассматривалось как независимое при усло-
условии, что оборудование не «накопило» слишком много
испытаний. Следовательно, для оценки надежности
смогли быть использованы обычные методы биномиаль-
биномиальной выборки (§ 10.5). Оборудование, используемое в
программе оценки надежности, подвергалось определен-
573

ному числу испытаний, но не большому. То оборудова-
оборудование, которое подвергалось большому числу испытаний и
все еще продолжало испытываться, автоматически ис-
исключалось из программы оценки или подтверждения на-
надежности, но при этом оно служило для обеспечения ин-
информации об изнашивании и технической информации
вообще.
15.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПЫТАНИЙ
Испытания производились таким образом, что их ре-
результаты поступали последовательно и поэтому был вы-
выбран последовательный выборочный план. Поскольку
требования к надежности установлены весьма высокие,
ожидалось, что на испытание уйдет целый год (около
2 500 испытаний, чтобы повысить надежность по сравне-
сравнению с ее существующим уровнем и подтвердить удовле-
удовлетворение требований).
По двум 'причинам считалось также необходимьим из-
изменить обычный последовательный «план (§ 10.4):
1) ожидалось, что будет происходить и будет проверять-
проверяться только (повышение .надежности и 2) поскольку сово-
совокупность была (Неоднородна, потребовался метод исклю-
исключения данных о начальных и 'высоких интенсивностях
отказов- Эти две «проблемы были решены: 1) превраще-
превращением обычного двустороннего последовательного выбо-
выборочного стлана в односторонний и 2) включением в ме-
методику критерия значимости с целью определения веро-
вероятности расхождения интенсивностей отказов для двух
групп данных. Два этих метода заслуживают того, что-
чтобы их 'исследовали более -подробно.
Последовательный выборочный (план имеет преиму-
преимущество перед выборочным планом с фиксированным
объемом выборки -не только благодаря соответствию
способа получения данных, но и за счет необходимости
проведения в среднем меньшего количества испытаний
для подтверждения определенной надежности с задан-
заданной вероятностью.
Последовательный план обычно включает линию
приемки и критическую линию (линию отбраковки); од-
однако в настоящем примере критическая линия отбраков-
отбраковки была не обязательна. В данном случае возможность
непринятия исключалась, так как если бы оборудование
574

не смогло пройти границу -приемки, это лишь активизи-
активизировало бы деятельность при разработке, а изготовить
какое-либо третье устройство, которое могло бы сопер-
ничать ino свойствам, в имевшееся время представлялось
невозможным.
К тому же желательно было получить возможно боль-
больше данных об устройстве, поскольку были основания по-
полагать, что его можно использовать в космических систе-
системах, где вопрос 'выигрыша в весе «имеет решающее зна-
значение. Главный риск для существующей системы воору-
вооружения состоял в возможности .приемки устройства
с меньшей, чем это требовалось, надежностью. Это оз-
означало, что вероятность (р) приемки устройства с на-
надежностью, равной установленному минимуму или мень-
меньшей его, должна быть невелика, скажем 5%. В резуль-
результате был выбран последовательный биномиальный план
с использованием только границы приемки. Математиче-
Математическая сторона этого вопроса рассмотрена в приложении
15 А.
Другое важное заключение состоит в том, что метод
периодических сообщений о 'промежуточных оценках
надежности должен быть согласован с подтверждением
окончательных требований. Этот вопрос был решен пу-
путем создания семейства линий точно таким же образом,
как была /получена лииия приемки. Подробности метода
расчета кривых описываются в приложении 15А. Способ
•использования этого семейства линий для периодических
сообщений описывается в п. 15.4.3. Любое значение на-
надежности, полученное таким путем, должно было рас-
рассматриваться в качестве «индекса», который больше
имел значение как .мера сравнения с конечными требо-
требованиями выборки, а не как абсолютная оценка.
Это второе положение, касающееся проверки измене-
изменения интенсивности отказов, имеет также большое зна-
значение. Обычно при статистических проверках с целью
усовершенствования или изменения выходных характе-
характеристик изделия 'мы берем две или более серии однород-
однородных данных и сравниваем средние, 'используя стандарт-
стандартные статистические проверки, такие, как /-проверка или
/^проверка (допуская нормальное распределение). Де-
Делая это, мы в действительности проверяем расхождение
между изделиями, представленными в виде этих данных,
тогда как в нашем настоящем положении проверяем рас-
575

хождения между группами данных, которые характери-
характеризуют накопление изменений в изделии через определен-
определенные «промежутки времени. Строго говоря, с точки зрения
статистики 'мы должны прежде, чем объединять данные,
проверить устройство при каждом (изменении; однако,
имея ограниченные даиные о -каком-либо устройстве, не-
невозможно делать различия между отдельными измене-
изменениями, и (поэтому мы выдвигаем нулевую гипотезу: неиз-
неизменной остается (до тех пор, пока данные не (покажут
обратное) надежность изделия, а не само изделие. В бук-
буквальном смысле мы высказываем уверенность ib инже-
инженере-конструкторе и, полагаясь «а его опыт, утверждаем,
что, несмотря на небольшие .изменения в 'конструкции,
никакого уменьшения надежности «е ожидается. Мы вы-
вынуждены так поступить, .поскольку в сложной системе
каждое испытание 1или испытываемая система отлича-
отличаются друг от друга и можно утверждать по-разному
в зависимости от строгости критериев различия. Однако
если в изделии (происходит основное -изменение, то на-
надежность существенно нового изделия должна быть
подтверждена отдельно. Раошгца между основным и .не-
.неосновным (небольшим) изменениями часто оказывается
неясной, хотя, если изменение, вначале считавшееся не-
неосновным, сильно скажется .на надежности, это обнару-
обнаружится с помощью статистических методов, которые рас-
рассматриваются в л. 15.4.1. Данные, .полученные до мо-
момента внесения изменения, статистически значимого для
надежности, можно рассматривать как не являющиеся
более 'представительными для текущей конфигурации.
Все же данные лосле момента значительного изменения
считаются «текущими данными».
Это необходимо, так «как использование обычного по-
последовательного анализа в программе разработки может.
привести к тому, что более низкая надежность, выявлен-
выявленная по результатам начальных -испытаний, покажет, что
оборудование вообще (неудовлетворительно, т. е. удовле-
удовлетворение критерия приемки окажется совершенно неве-
невероятным.
Программа разработки предназначается для усовер-
усовершенствования несоответствующего определенным требо-
требованиям оборудования. Но ожидаемые и более многочис-
многочисленные начальные отказы могут привести к такой высо-
высокой (интенсивности отказов, что, если не будет обеслече-
576

но исключение самых ранних данных, мы не сможем
компенсировать начальную интенсивность отказов, (кото-
(которая /по ходу развития (программы разработок становит-
становится все менее <и менее (представительной.
Для компенсации низкой надежности изделий, испы-
испытываемых до AZi-ro опыта, (а) в «последующих п2 опытах
должно участвовать изделие со значительно большей
надежностью, чем это требуется вообще, «ли (б) для
Число опытов
Рис. 115.1. Влияние непредставительных данных:
/ — начало испытаний; 2 — значимое изменение интенсивности отказов; 3 —
следствие высокой начальной интенсивности отказов; 4 — улучшение за счет
более низкой интенсивности отказов; 5 — если начальные данные не исклю-
исключить, потребуется очень большое количество испытаний, прежде чем график
пересечет линию приемки.
пересечения линии приемки требуется иметь значитель-
значительно больше опытов с удовлетворительной надежностью,
чем это действительно необходимо. Таким образом, в об-
общих случаях использовать непредставительные данные
оказывается слишком невыгодно (рис. 15.1).
Методика определения текущих данных с -помощью
конструктивных изменений по надежности (см. п. 14.4.1)
считается неподходящей, так как при уже существую-
существующем высоком уровне надежности модификации могут
представлять собой только неосновные изменения кон-
конструкций. Кроме того, сами испытания и их число выби-
выбираются довольно-таки произвольно, так что найден-
найденные значения «изменяются, поскольку интенсивности от-
отказов зависят от 'выбранной совокупности данных.
37-1113 577

15.4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ*
По мере получения результаты .в хронологическом
порядке -наносились яа график, ,как обычно при последо-
последовательном анализе, в виде зависимости числа отказов от
числа опытов.
Тшшчные графики 'представлены на рис. 15.1 —15.5.
Данные (пересматриваются ежемесячно.
Число опытов
Рис. 15.2. Изменение интенсивностей отказов и отбрасывание
(исключение) данных:
/ — данные отбрасываются; 2 — новое начало текущих данных; 3 — линия
приемки; 4 — значимое изменение интенсивности отказов в совокупности;
5 — начало испытаний по программе исследования надежности.
Сначала (Производилась проверка того, все ли данные
за месяц или только их часть являлись однородными от-
относительно существующих текущих данных. Если это
так, о.ни объединялись и добавлялись к существующим
текущим данным. Если же было обнаружено значитель-
значительное изменение 'интенсивности отказов, устанавливался
точный опыт, при котором (со «статистической» точки
зрения) произошло изменение, и он рассматривался как
новое начало текущих данных (рис. 15.2). Рассмотрим
методы нахождения «ового начала.
* Значения надежности, 'используемые в настоящем параграфе,
невелики ino сравнению с теми, которые требовались в предыдущих
рав(делах плавы, так как они были специально шо(до!б'р'а(ны для про-
простоты и .наглядности 'Графического и расчетного материала.
578

15.4.1. Статистический критерий значимости изменения
(см. приложение 15Б)
Предположим, что у нас имеется график данных, по-
подобный приведенному на рис. 15.3. При проверке оказа-
оказалось, что точка Р соответствует моменту начала измене-
изменения интенсивности отказов. Требуется проверить значи-
значимость расхождения между соответствующими истинными
L Да^ые за один
несли,
[Начало текущих данных
число опытов
Рис. 15.3. Проверка изменения интенсивности отказов.
интенсивностями отказов в совокупностях, образованных
делящей точкой Я. Пусть между началом текущих дан-
данных и Р имеется f1 отказов в пг опытах и f2 отказов
в п2 опытах между точкой Р и последними данными.
Если h1 = — и /г2 —— (выбираем при необходимости
hx и h2 так, чтобы hx>h2), проверка производится вычис-
вычислением вероятности P(filt h2) расхождения, равного или
большего, чем \hx — h2\, т. е.
r=h
ос, л-
Если эта величина меньше а = 5%, или 1%, или любого
другого заданного уровня значимости, мы знаем, что
между интенсивностями отказов начальной и конечной
совокупностей происходит значимое -изменение. Очевид-
Очевидно, может (существо!вать несколько точек Р, каждая из
которых делит данные на две группы, представляющие
совокупности с значительно различающимися интеноив-
37* 579

ностями отказов. Теперь .мы .произвольно определяем
начало @) новых текущих данных (самую «свежую»
точку Р, т. е. крайнюю справа на рис. 15.dj) так, чтобы
P(huh2)<a. У
15.4.1 Л. ПРИМЕР
' Сначала исследовалась точка Рг для того, чтобы убе-
убедиться, не представляет ли она точку изменения. В этой
точке две наблюдаемые интенсивности отказов между О
43 13
и N равны соответственно -^ и То"- Вероятность получе-
получения этого или еще худшего расхождения равна 0,00335,
что имеет высокую значимость (при работе с риском
ПО 150 160 ПО 180 190 ZOO ' 110
Рис. 15.4. Проверка значимости изменений в точке Р\\
1 — начало предыдущего значимого изменения интенсивности отказов;
2 — разница наклонов характеризует расхождение интенсивностей отка-
отказов; 5 — 43 отказа, 92 опыта со времени изменения интенсивности отка-
отказов в предшествующей совокупности; 4 — 13 отказов; 59 опытов от Pi
до конца отчетного периода N.
а=1*/в). Ясно,
исследуется Яд-
равны 4| и 41
что это не крайняя точка, и поэтому
Наблюдаемые интенсивности отказов
Соответствующая вероятность равна
0,02815, что не имеет значимости при уровне в 1°/0
Таким образом, самое последнее изменение лежит в пре-
пределах от Рг до Р3. (Из рис. 15.4 видно, что точки зна-
значимого изменения не должны лежать справа от Я3,
поскольку наблюдаемые интенсивности отказов стано-
становятся более близкими.) Вероятность в точке Р2 (т. е. ^,
13\
•=И равна 0,01013, т. е. не имеет значимости; а путем
вычислений было найдено, что самое позднее изменение
580

интенсивности отказов в этой совокупности соответст-
соответствует 190-му опыту, «а один опыт раньше Р2- Если изме-
изменение не обнаруживается, данные необходимо рассмат-
рассматривать как однородные. Через определенные периоды
после добавления (новых данных с «помощью рассмотрен-
рассмотренной выше проверки определяются самые последние из-
изменения. Часто случается, что в «одном периоде наме-
намечается какая-то тенденция, но при этом нет достаточного
количества данных и «выявить изменение можно будет
только -после поступления новых данных. Возможно, но
очень редко, обнаружение двух или более изменений за
один период; в этих случаях 'изменение интенсивности
отказов должно быть очень велико.
Необходимо сделать предостережение: проверять .из-
.изменение интенсивности отказов следует ограниченное
число раз; если проверку производить после каждого
испытания, на уровне значимости статистической про-
проверки будет сказываться повторная выборка. Однако
если мы будем использовать проверку значимости с ред-
редкими интервалами, т. е. ограниченное число (раз, то это
не будет чрезмерно сказываться на уровне значимости.
Точное статистическое решение этого вопроса неизвест-
неизвестно, однако считают, что ценность возможности опреде-
определения точки для начала отсчета неизмеримо выше не-
небольших статистических погрешностей.
15.4.2. Подтверждение надежности
Определив, какая часть данных представляет собой
однородные текущие данные, необходимо установить
соответствующий критерий, чтобы решать, когда они
будут характеризовать достаточную надежность. Одно-
Односторонний последовательный приемочный план позво-
позволяет выполнить это требование. Начало последователь-
последовательного плана помещается в начало текущих данных, и,
когда график данных пересечет линию приемки, говорят,
что прибор подтвердил требования к численному значе-
значению надежности. Могут существовать некоторые допол-
дополнительные требования (при испытаниях на воздействие
окружающей среды и т. д.), которые задаются в виде
определенных соотношений в текущих данных. Если эти
дополнительные требования не были удовлетворены, то
испытания продолжаются в условиях воздействия окру-
581

жающей среды до тех пор, -пока требующиеся соотно-
соотношения не будут удовлетворены. Уравнения A5А.2) и
A5А.З) определяют зависимость положения линий при-
приемки от требований надежшеги.
15.4.3. Сообщения о надежности
-При составлении отчетов о состоянии надежности ис-
используется та же мера, которая служит для подтвер-
подтверждения (надежности при приемке. Удобно (пользоваться
прозрачным (планшетом с -нанесенным на него семейст-
семейством -прямых, отписываемых уравнениями 15А.1 и 15А.2
76%-ая \
надежность '
Число опытов и
отказов с начала
текущих данных
Высшая Нарт
надежность
при имеющихся данных
Число опытов с начала программы
Рис. 15.5. Использование семейства линий для отчета.
и соответствующих .последовательности 'промежуточных
значений надежности и тому же доверительному уров-
уровню, который использовался для определения линии при-
приемки. Начало планшета помещается в начало самых
поздних текущих данных; тогда линия, соответствующая
наибольшему значению надежности для этого графика
данных (при необходимости линия определяется с по-
помощью интерполяции), определяет ту «надежность, (кото-
(которая представляется для отчета. Так, например, согласно
рис. 15.5 сообщается надежность, равная 76% с вероят-
582

ноотью в 90%. Мы (не сообщаем какое-либо меньшее
значение надежности, пока не (произойдет изменение
в совокупности. Причина этого заключается в «примире-
«примирении» основной идеи последовательного анализа с на-
настоящей методикой, .поскольку при стандартной [последо-
[последовательной проверке -мы бы шрекратил-и выборку ири
пересечении линии надежности в 76%, имея заданное ко-
конечное значение надежности, равное 76%. Таким обра-
образом, 1при этом 'испытании изделие было бы атринято.
Обычно надежность (возрастает так, что график -стремит-
-стремится изогнуться к оси абсцисс. Это -семейство линий ис-
.пользуется для проверок в конце каждого отчетного пе-
периода.
15.5. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе было показано, как <при необходимости
можно видоизменить и (применить существующие общие
статистические (методы для того, чтобы обеспечить пра-
правильную оценку (надежности ори решении частных задач.
Иапользо'ванный в данном примере .последовательный
биномиальный выборочный .план с таким же успехом
мог быть основан на показательном (см. § 10.9), нор-
нормальном «ли других распределениях *, если бы 'имелось
достаточно оснований считать, что одно из этих распре-
распределений описывает кривую отказов оборудования. В слу-
случае -показательного распределения наработки до отказа
(как это часто допускается 'В электронике) границы при-
приемки и семейство прямых могут быть получены 'мето-
'методом, аналогичным указанному в приложении 15А. По
осям ординат и абсцисс должны откладываться соответ-
соответственно долговечность невосстанавливаемого элемента и
отказы (см. § 10.9). Подробности здесь не приводятся.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
П. J. С. P. 'Miller. Table of binomial coefficients. Cambridge
University Press, 1954.
2. A. H a 1 d. Statistical tables and formulas. John Wiley and Sons,
Inc., New York, 1952.
* «Последовательные выборочные планы, основанные на нор-
нормальном распределении, описываются в книге А. Вальда «Последо-
«Последовательный анализ». Физматгиз, 1960. (Прим. перев.)
583

3. А. X а л ь д. Математическая -статистика с техническими при-
приложениями. 1Изд-во гинострашюй литературы, 1956.
4. Tables of the cumulative binomial probability distribution. Har-
Harvard University Press, Cambridge, Mass, 1953.
ДОПОЛ НИ ТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
F a i r f i e 1 d J. H. A rapid method of comparing two percentages.
Industrial Quality Control, 1959, v. 16, 5, November, p. 20—21.
Page E. S. On problems in which a change in a parameter oc-
occurs at an unknown point. Biometrika, 1957, v. 44, pt. I and II,
p. 248—252.
R u t h e r F. J. Reliability via the component part. Military Elec-
Electronics, 1958, v. 5, 2, August, p. 12—15.
Приложение 15А
Линии односторонней выборочной приемки и отчетности
при оценке надежности
В обычных (Последовательных биномиальных выбо-
выборочных шланах имеются как линии .приемки, так и кри-
критические линии (см. § 10.4). Но поскольку наша цель со-
состоит в том, чтобы избежать решения об отбраковке,
желательно составить план без /критической границы,
т. е. с одной л'ишь границей приемки, как это -показано
на рис. 15А.1. Это можно сделать с помощью уравнений
из § 10.4, в которых «риск производителя» а устанавли-
устанавливается равным нулю. Подробности здесь не (Приводятся,
однако их можно найти в соответствующей литературе *.
Ниже описаны свойства -полученного плана.
При /><s функция L(p) становится равной единице,
а при /7>5 она связана с р следующим соотношением:
Р =
где h — координата точки пересечения линии приемки и
оси отказов, as —• наклон линии приемки.
* Statistical research group. Columbia University, Report № SRG,
p. 255.
Sequential analysis of statistical data: applications. Columbia Uni-
University Press, New York, 1945, Sees. B. 0933, B. 0935.
584

Итак, вероятность (принятия (решения (только прием-
приемки) равна единице три p<s. Однако при p>«s сущест-
существует определенная вероятность непринятия решения
вообще. Из технических условий, точнее, из требования
подтвердить надежность #ь=1—р * с вероятностью
Y^l—Р, 'может быть получено соотношение для олре-
деления двух констант s и h. Из уравнения 15А.1
р*=-
A5А.2)
— 1
S Наклон
Например, в качестве критерия .приемки может ока-
оказаться требование (подтвердить 98%-ную надежность
с вероятностью, равной 95%. Тогда/?* = 0,020 и р = 0,05.
Чтобы однозначно опре-
определить 5 и Я, необходимо
найти еще одну зависи-
зависимость между ними. Суще-
Существует несколько спосо-
6ОВ ПОЛучеНИЯ ЭТОЙ ЗаВИ-
симости. Один 'из них, ко-
которому в действительно-
действительности следуют при осуще-
осуществлении 'программы ис-
исследования надежности,
описывается в гл. 15. Его суть заключается в том, чтобы
установить, что при р=р*, заказчик должен пойти на
определенный риск Лр, состоящий в том, что прибор рас-
рассматривается 'как удовлетворяющий требованиям надеж-
надежности после 'проведения серии последовательных успеш-
успешных опытов. Тогда, второе выражение будет иметь 'вид
испытании
Рис. '15.А.1. План только с линией
приемки.
A5А.З)
поскольку число опытов к первому моменту при-
L 5
нятия решения о приемке (см. рис. 15А.1) . Произ-
Произвольно было принято, что Др приблизительно равно около
-j полного риска при приемке, когда р=р*, т. е. C/4.
585

Теперь для определения границы приемки можно решить
два уравнения A5А.2) и A5А.З), подставив /?* = 0,02, р =
= 0,05 и Др = 0,0125. Более того, тем же путем можно
построить семейство прямых, выбирая последовательность
промежуточных значений р*. В табл. 15А приводятся
отрезки на оси опытов (—— j и наклоны (s) семейства
этих прямых, соответствующие различным значениям р*.
Таблица 15А
Значения констант для построения семейства прямых
Интенсив-
Интенсивность от-
отказов, /?*
Надеж-
Надежность, °/о
Отрезок на
оси опы-
и
п
тов- —
Наклон, 5
0,40
60
8,58
0,2615
0,30
70
12,29
i
0,1909
0,20
80
19,64
0,1241
0,15
85
26,96
0,0920
0,10
90
41,59
0,0607
0,05
95
85,43
0,0300
98
216,90
0,01192
Приложение 15Б
Метод расчета изменения интенсивности отказов
Формула для вычисления вероятности того, что на-
наблюдаемое расхождение интенсивностей отказов в двух
группах опытов указывает на значительное изменение
интенсивности отказов в совокупности, приведена
в in. 15.4.1. Для удобства она (Приводится здесь вновь*:
- <15бл>
Вероятность P(h\, h2) может быть вычислена непо-
непосредственно с помощью таблиц биномиальных коэффи-
коэффициентов [1], или таблиц логарифмов биномиальных
коэффициентов (i[2], табл. XIV), или, если потребуется,
* Так как ( 2 1 = 0 при r>f1-|-f2, верхний предел
суммы можно записать в виде min (/гь f t + f2).
586

о помощью таблиц логарифмов факториалов ([2] табл.
XIII), которые определяют биномиальные коэффициен-
коэффициенты в формуле A5Б.1). Методы аппроксимации вероят-
вероятности P(hu h2) рассматриваются также в работе ([3],
стр. 706—711).
В настоящем приложении приводится пример точного
расчета P{hu Л2), в -котором используются таблицы би-
биномиальной функции распределения [4]. Чтобы пользо-
пользоваться этими таблицами, сначала умножаем и делим
члены уравнения 15Б.1 на р и 1—р с соответствующими
показателями степени
i-г)
A5Б.2)
Причина заключается в *гом, что таблицы в работе [4]
дают возможность рассчитать члены вида
\fi+h-'f)
просто путем подстановки расхождений в эти таблицы
п
В (/г, /?; х) = VJ ( п j pi A — р)п- К При пользовании эти-
ми таблицами необходимо сначала выбрать некоторое
фиксированное значение р. Обычно лучше всего исполь-
использовать выражение
так как при этом знаменатель в уравнении A5Б.2) бу-
будет близок к максимуму, а значит, будет обеспечено на-
наличие максимального количества значащих цифр. Пре-
Прекрасной иллюстрацией этой методики служит числовой
пример, схема вычислений для .которого приведена
в табл. 15Б.1.
587

Вычисление P(hlf h2)
Таблица 15.Б.1
г
A)
и
12
13
14
15
16
В B4; 0,30; г)
B)
0,07424
0,03139
0,01150
0,00363
0,00098
0,00023
д г B) =
= [ 24 \ @,30)г @.50J4~г
C)*
0,04285
0,01989
0,00787
0,00265
0,00075
В F0; 0,30,
26-г)
(*)
0,83789
0,90004
0,94323
0,97052
0,98612
0,99413
~дг D) = B5-г ) <о>зо25""г)х
х (О,70N°-B5-'')
E)*
0,06215
0,04319
0,02729
0,01560
0,00801
C) X E)
F)
0,002663
0,000859
0,000215
0,000041
0,000006
е = 0,003784
P(hlt h2) =
@,30J5 @,70M9 = В (84; 0,30; 25) — В(84; 0,30; 26) = 0,55998 — 0,46524 = 0,09474
2 X @,003784)
0,09474
= 0,0799^=8% (не имеет значимости при 5%-ном уровне)
* дг (/)—,содержимое ряда г, колонка /, минус содержимое ряда г + 1, колонка /.

ГЛАВА 16
ПРОГРАММА ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ МОЩНОГО
ЖИДКОСТНОГО РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ
НА ЭТАПЕ КОНСТРУКТИВНОЙ РАЗРАБОТКИ
16.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель этой (программы состоит .в измерении надежно-
надежности мощного жидкостного ракетного двигателя за время
его (превращения -из опытного образца в двигатель, при-
пригодный для использования в эксплуатации (для серий-
серийного производства).
Двигатель предназначен для работы в очень жестких
условиях, и 'поэтому, несмотря .на то, -что большая часть
проверок может проводиться при (испытаниях отдельных
его составных частей, основную долю работ и оконча-
окончательную доводку следует проводить при испытаниях дви-
двигательных систем в целом. Это означает, что конструк-
конструкция системы (или ее статистический образ) постоянно
изменяется и что во многих испытаниях участвуют си-
системы, содержащие экспериментальное оборудование
или работающие на нестандартных экспериментальных
режимах.
Следующая .проблема состоит в том, что при высокой
стоимости используемого топлива или при наличии ог-
ограниченных емкостей топливных баков испытательных
средств большая часть огневых испытаний проводится
при неполной продолжительности работы ракетных дви-
двигателей.
Основными задачами исследования являются:
1. Установление связи между техническими характе-
характеристиками двигателя на этапе опытно-.конструкторских
разработок и эксплуатационными требованиями.
х 589

2. Получение достоверных данных о надежности без
ограничения исследовательской сущности технических
испытаний.
3. Получение достоверных оценок надежности на ос-
основании результатов .испытаний с учетом того, что вре-
время работы некоторых ,из них отличается от времени ра-
работы при эксплуатации.
16.2. ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМ
Подход к решению задач, .перечисленных в л. 1 и 2
предыдущего параграфа, в основном тот же, что и при
решении (аналогичных проблем для ракетного двигателя
«а твердом топливе, описанных в гл. 14. Это означает,
что в качестве критерия при интерпретации требований
к системе вооружения исходя из требований к двигателю
используется техническое задание на модель двигателя.
Эти пределы получаются при моделировании условий
полета для различных систем ракеты на электронной вы-
вычислительной машине. Таким образом, работа двигателя
определяется как успех только в том случае, ког-
когда это приводит к успешному .полету ракеты; если же
в «результате работы двигателя шолет окажется неудач-
неудачным, т. е. ракета упадет в район, удаленный от цели
на расстояние больше заданного, то результат испыта-
испытания двигателя рассматривается как отказ (если это ис-
испытание не должно быть исключено). Основные (прави-
(правила классификации огневых испытаний приведены на
стр. 593—595.
16.2.1. Основные правила надежности
Было принято, что в интересах исследования надеж-
надежности может быть использовано большинство результа-
результатов испытаний при разработке. Исключения могли бы
составить испытания с преднамеренными внесениями
(вводом) неисправностей, испытания до отказа, испыта-
испытания пределов безопасности и первые проверочные или
калибровочные испытания и т. д. или испытания с вре-
временем работы менее 10 сек. Во всех случаях назначения
подобных испытаний должны быть предварительно
указаны в специальном заявлении перед испытанием.
Все испытания, которые попадают под эти категории,
независимо от их исхода должны быть исключены.
590

Пример формы заявления 'показан в табл. 16.1. Ми-
Минимальное ограничение по времени в 10 сек было вы-
выбрано потому, что в 'противном 'случае у двигателя не
оказалось бы достаточно времени, чтобы выйти на устой-
устойчивый режим работы, и это не смогло бы служить доста-
достаточно характерным примером.
Существует еще ряд причин, почему определенные
испытания должны быть исключены (при оценке надеж-
надежности.
В процессе выполнения программы разработки си-
система подвергается постоянным изменениям и модифи-
модификациям. Причина этого состоит в следующем. Несмотря
на то, что основные усовершенствования могут произво-
производиться (в процессе испытаний отдельных элементов,
окончательная доводка и подтверждение согласования
с системой должны происходить при испытании всей си-
системы двигателя в целом. Следовательно, систем<а будет
часто содержать экспериментальные элементы, а отказ
системы только за счет отказа экспериментального эле-
элемента не обязательно будет истинным отказом системы.
В этих случаях результаты испытания должны быть ис-
исключены. С другой стороны, полное исключение испыта-
испытания из-за того, что в нем участвовал какой-то экспери-
экспериментальный элемент, означает утрату ценной информа-
информации. Например, если бы испытание оказалось успешным,
информация об успешной работе всех остальных элемен-
элементов системы осталась бы неиспользованной. Это положе-
положение упрощается, если разрешить производить исключе-
исключения после испытаний при отказах элементов, объявлен-
объявленных экспериментальными (о чем имеется запись в за-
заявлении). Подобные доводы применимы для случаев
с устаревшими, изношенными и испорченными элемента-
элементами, которые могут быть использованы в 'конструкции
системы 1в целях экономии.
Этими условиями 'можно легко злоупотреблять, если
не будут обеспечены определенные формы контроля.
Один из способов контроля состоит в требовании, чтобы
в заявлении перечислялись только те компоненты, кото-
которые подпадают под одну из четырех вышеуказанных ка-
категорий. Вторым способом контроля является ограни-
ограничение количертва условно исключенных элементов до од-
одного главного (и трех второстепенных, «как это указыва-
указывается в основных правилах. Не обязательно заявлять обо
591

Таблица 16.1
ПРИМЕРНАЯ ФОРМА ЗАЯВЛЕНИЯ ПРИ
ВЫПОЛНЕНИИ ПРОГРАММЫ ОЦЕНКИ
НАДЕЖНОСТИ
Заявление для программы оценки надежности
Дата испытания
Модель двигателя Испытательный
стенд
-Номер
Серийный номер двигателя
1. Приемлемо ли испытание для оценки надеж-
надежности: | | да | | нет, почему
| калибровочные или первые
проверочные | | п. 2
испытание до отказа | | п. 4
границы безопасности j | превосходит
пределы п. 5
испытание при внесенной
неисправности j | другие
2. Заданная продолжительность работы
3. Окружающие условия при испытании
4. Назначенные тактико-технические характери-
характеристики выходят за пределы, указанные в тех-
техническом задании на модель
5. Элементы, отличающиеся от элементов основ-
основного перечня:
экспериментальные, устаревшие, изношенные и
испорченные
а) главный Почему?
б) второстепенный Почему?
в) второстепенный Почему?
г) второстепенный Почему?
Подпись и отдел лица, заполняющего форму
Заполняется группой надежности
Результат испытания:
успех | [ Действительное время
отказ | | работы при испытании
исключение | |
Замечания .
Подпись лица, ответственного за оценку надежности
Дата
592

всех элементах, относящихся к одной из этих условно
¦исключаемых категорий; однако отказ элемента п-риве-
дет к исключению испытания только в том случае, если
этот элемент указан в заявлении. Бели же о нем не бы-
было заявлено :и он выходит из строя, то испытание рас-
рассматривается как отказ системы. Это может привести
к тому, что «инженер-испытатель или конструктор будет
вынужден строить (предположения, учитывая только че-
четыре определенных элемента, а не те многие, которые
могут отказать; однако в этом -положении он может ис-
исключить все испытание, считая «конструкцию «слишком
экспериментальной». Если система двигателя содержит
больше 'потенциально (исключаемых элементов, чем один
главный (И три второстепенных, вовсе не обязательно
исключить испытание.
Основные правила классификации испытаний
для программы исследования надежности
Успех. Обычно это такое огневое испытание, кото-
которое 'могло бы (привести ik удовлетворительному полету
ракеты с точки зрения работы подсистемы двигателя.
1- В двигателе происходит успешное воспламенение,
запуск, устойчивая работа на установившемся режиме и
контролируемое выключение двигателя согласно техни-
техническому заданию на «модель.
2. Продолжительность работы двигателя равна за-
заданному времени работы с разбросом за счет выключе-
выключения двигателя в пределах ±5%, причем это время ра-
работы должно быть не менее 10 сек. Если продолжитель-
продолжительность работы двигателя превышает указанный допуск за
счет условий, внешних по отношению к двигателю, то
по 'специальному соглашению с руководством програм-
программы работа может классифицироваться и как успех (при
условии, что остальные требования классификации успе-
успеха будут удовлетворены).
Отказ. Огневое испытание двигателя обычно 'клас-
'классифицируется как отказ, если оно приводит к наруше-
нарушению нормального полета и если это испытание не может
быть классифицировано как исключение.
1. Тактико-технические характеристики не удовлетво-
удовлетворяют требованиям технического задания на модель.
38-ШЗ 593

2. Происходит непредусмотренное выключение дви-
двигателя за счет -каких-либо 'внутренних относительно это-
этого двигателя трихин, например, в целях предотвраще-
предотвращения разрушения.
Исключение. Огневое испытание может быть
классифицировано 1как исключение либо до, либо после
проведения испытания. Испытания, которые .классифи-
.классифицируются как исключение перед их проведением, так и
остаются исключенными независимо от исхода испытания.
В заявлении перед испытанием должны быть указа-
указаны все причины, на основании 'которых это испытание
классифицируется как исключение.
Исключение перед испытанием
1. Если огневое испытание предназначено для спе-
специального испытания при внесенной неисправности, ис-
испытания до отказа, испытания пределов безопасности,
служит в качестве первой проверки или калибровочного
испытания, или испытания с заданным временем работы
менее 10 сек, то подобное испытание должно быть ис-
исключено.
2. Если конструкция содержит больше эксперимен-
экспериментальных, изношенных, устаревших или испорченных ком-
компонентов, чем может быть условно исключено (один
главный элемент и три второстепенных), она может
быть, по усмотрению инженера-проектировщика, исклю-
исключена как непредставительная для наиболее надежной
конструкции, например, как это определяется главным
перечнем элементов (п. 16.2.2).
Исключение после испытаний
1. Огневое испытание может быть исключено, если
отказ происходит только лишь из-за использования но-
новых методов проверки, не предусмотренных в текущем
техническом задании на модель. Если результат испы-
испытания удовлетворяет требованиям успеха, это так и дол-
должно классифицироваться.
2. Огневое испытание должно быть исключено, если
при этом происходит отказ только лишь эксперименталь-
экспериментального, устаревшего, изношенного или испорченного эле-
элемента, который уже был условно исключен. Если резуль-
594

тат испытания удовлетворяет требованиям классифика-
классификации успеха, это испытание так и должно классифициро-
классифицироваться (определения эксперименальных, устаревших,
изношенных и испорченных элементов приводятся при
рассмотрении главного {перечня (ом. «п. 16.2.2)]. Количе-
Количество элементов, которые могут быть (перечислены в заяв-
заявлении шеред 'испытанием и использованы ib .качестве ос-
основания для исключения 'после испытания, ограничива-
ограничивается одним главным элементом и тремя второстепенны-
второстепенными, причем главными элементами могут быть камера
сгорания двигателя, турбонасосный агрегат или газоге-
газогенератор. Все остальные компоненты считают второсте-
второстепенными.
3. Огневое испыание должно быть исключено, если
отказ происходит за счет условий, внешних по отноше-
отношению к системе двигателя, например, «из-за неисправно-
неисправности средств, измерительной аппаратуры или из-за ошиб-
ошибки оператора, что 'препятствует 'выполнению задач испы-
испытания.
16.2.2. Главный перечень и исключаемые элементы
Необходимо дать определение понятию эксперимен-
экспериментальный. Возможно, это не лучшее слово, так как «в ши-
широком смысле его можно понимать как применяемое
к неокончательному варианту конструкции изделия.
Если мы будем использовать слово «эксперименталь-
«экспериментальный» в этом смысле, то из-за того, что обычно большин-
большинство элементов двигателя подвергается изменениям до
создания окончательного варианта его конструкции,
слишком много элементов двигателя или слишком мно-
много испытаний будет исключено. Это не позволит нам
оценить надежность двигателя, находящегося в стадии
отработки. Поэтому для определения понятия «экспери-
«экспериментальный» мы воспользуемся еще одним, третьим,
средством .контроля: главным перечнем элементов. Этот
перечень составляется в тот момент при выполнении
программы разработок, когда начинают ,испытыватьси
первые двигатели. Он должен включать элементы двига-
двигателя, которые, по мнению ответственных за их разработ-
разработку инженеров, к тому моменту времени являются наибо-
наиболее надежными. Для включения в перечень может быть
выбрана только одна конструкция каждого элемента, но
38* 595

зато .в /перечне должны быть представлены ©ее элемен-
элементы. В ходе развития программы разработки инженер
имеет право заменять любую конструкцию в главном
перечне, если он считает, что эта конструкция окажется
более надежной. Главный перечень должен быть теку-
текущим все время. Таким образом, экспериментальный эле-
элемент— это тот, который еще не появился в главном пе-
перечне. Но как только он туда попал, его уже нельзя ис-
исключать как экспериментальную деталь. Элемент, кото-
который уже появлялся в главном перечне, но был заменен
более надежной деталью, определяется как устаревший
элемент. Изношенный элемент — это тот, который уже
использовался при испытаниях в двигателе больше за-
заданного числа раз или свыше заданной наработки. Ис-
Испорченный элемент это тот, который испытал воздейст-
воздействие чрезвычайных условий, таких, как небрежное обра-
обращение, резкие перепады характеристик с выходом за
пределы, указанные в техническом задании, и который
из-за этого может выйпи из строя. Такой компонент воз-
возможно использовать только в случае крайней необходи-
необходимости.
Все эпи определения необходимо иметь в виду, так
как, зная наиболее надежную в данный момент конструк-
конструкцию, можно оценить ее способность работать в соответ-
соответствии с окончательными тактико-техническими требо-
требованиями.
16.2.3. Сфера деятельности при оценке надежности
В сферу деятельности при оценке надежности входят
результаты испытаний, используемые для оценки надеж-
надежности, результаты испытаний двигателей, которые про-
проводятся с целью опытно-конструкторских разработок на
испытательных площадках разработчика, огневых испы-
испытаний при приемке, квалификационных огневых испы-
испытаний, а также тех, которые проводятся в полигонных
условиях как часть испытаний ракетной системы, и лет-
летных испытаний. Совершенно очевидно, что летные испы-
испытания системы вооружения являются наиболее показа-
показательными и реалистичными, однако они сравнительно
ограничены, и, более того, при возникновении отказа
в полете бывает даже невозможно из-за отсутствия убе-
убедительных доказательств привязать причину отказа
596

к определенной системе, например, к силовой установке.
В большинстве случаев после испытаний почти невоз-
невозможно исследовать состояние ракеты, а информация,
записанная на кинопленку или передаваемая по телемет-
телеметрии, может оказаться недостаточной.
Кроме того, летное (испытание, как правило, это ис-
испытание дв'игателя одноразового действия; следователь-
следовательно, большая часть информации поступает от статисти-
статистических испытаний при опытно-конструктороких разра-
разработках и от наиболее официальных .квалификационных
испытаний и при приемке готовой продукции. Испыта-
Испытания на этапе опытно-конструкторских разработок прово-
проводятся на системах, содержащих экспериментальные,
устаревшие и другие части, тогда как наиболее офици-
официальные испытания проводятся на двигателях, собранных
почти -исключительно «из компонентов, имеющихся
в главном перечне. (Продолжительность огневых испыта-
испытаний, $а .исключением летных, не обязательно должна
быть равна полному времени работы двигателя; однако
каждый двигатель следует испытывать несколько раз.
Уменьшение продолжительности олневых испытаний про-
происходит либо за счет ограниченных возможностей испы-
испытательных средств, либо за счет дороговизны или огра-
ограничений по суммарной наработке двигателя перед его
непосредственной эксплуатацией.
16.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ
Как видно, вся эта информация очень разнородна.
Трудность частично преодолевается разделением данных
и сравнением результатов, скажем, летных и приемочных
испытаний. Другим средством упорядочения является
составление заявлений. Но основная проблема остается
нерешенной: различное время работы двигателя и влия-
влияние этого на интенсивность отказов. Хорошо известно,
что запуск и выключение оборудования этого типа ока-
оказывает на систему значительно более вредное влияние,
чем простое увеличение наработки: поэтому мы не мо-
можем, например, утверждать, что включение двигателя и
его работа в течение минуты эквивалентны одной трети
времени его работы при трехкратном включении. Также
неправильно приравнивать кратковременную работу
к работе в течение полного времени. Поэтому необходи-
597

мо найти какой-то весовой коэффициент, изменяющийся
от нуля до единицы, который мог бы учитывать неполное
время работы двигателя при огневых испытаниях. Это
позволит нам судить об отказах на эквивалентное ис-
испытание с полным временем работы. Важность этого за-
заключения очевидна, ибо в противном случае будут на-
наблюдаться большие расхождения при оценке надежно-
надежности. Если бы мы пренебрегли продолжительностью ра-
работы, т. е. приравняли бы вес кратковременного испы-
испытания к весу испытания с полным временем работы, то
любая оценка надежности сильно расходилась бы с дей-
действительной величиной; или же, если бы мы установили
вес, равный отношению продолжительности испытания к
полному номинальному времени работы двигателя, то
занизили бы значение надежности.
Было решено получать (весовые коэффициенты Wi не-
непосредственно 'из самих данных о проведенных испыта-
испытаниях. При этом Wi — некоторая величина, принимающая
значения от нуля до единицы и соответствующая любому
огневому испытанию с заданным временем работы 7V
Порядок рассмотрения статистического метода оценки
надежности для этого оборудования можно разделить
теперь на два этапа. На первом этапе рассматривается
метод оценки 'весовых коэффициентов. Второй этап за-
заключается в том, чтобы ответить на вопрос, как надо
применить эти весовые коэффициенты к полученным
данным, чтобы получить достоверные, несмещенные
оценки надёжности.
16.3.1. Весовые коэффициенты
Весовой коэффициент wiy связанный с любым огне-
огневым испытанием с заданным временем работы Ти опи-
описывается выражением
где Pi — вероятность отказа двигателя за счет тех отка-
отказов, которые происходили при его работе в течение вре-
времени Ti после включения; pk— вероятность отказа при
полном .времени работы. Величина е представляет со-
собой условную вероятность отказа при выключении, т. е.
при условии, что отказ не произошел перед выключением
598

двигателя. Таким образам, можно сказать, что (согласно
уравнению A6.1)) весовой коэффициент тг представляет
собой отношение вероятности отказа, определяемой от-
отказами «при включении, при работе или 'при выключении
двигателя за 'время Tif к 'вероятности отказа двигателя
за 'счет отказов при включении, работе или 1при (выклю-
(выключении за время Tk, 'которое определяется как полное
время работы двигателя *. Отношение к отказам лри вы-
выключении двигателя несколько отличается от отношения
к отказам при его включении и работе. Это 'происходит
по двум причинам. Вочпервых, .нам требуется отличать
отказы 1при включении от других «обычных» (стандарт-
(стандартных) отказов, которые происходят в (момент выключе-
выключения, <и, во-вторых, отказы три выключении могут и не
произойти, если обычный отказ уже завершил испыта-
испытание.
Для оценки Wi «ам потребуется следующий набор
определений:
Тг — заданное время работы /-й группы;
Ni — число огневых испытаний в i-й группе;
fi — число отказов при выключении в i-й группе;
fij — число стандартных отказов в f-й группе, произошед-
произошедших за промежуток времени G^_1Э Tj).
Затем в соответствии с вышеуказанными определе-
определениями в табл. 16.2 был занесен ряд предположительных
результатов испытаний. Для простоты вычислений уста-
устанавливаются следующие определения:
i
Hi=^ji—f. — у fa (т. е. число успехов в i-й группе);
/=i
k
- Fj = У frj (т. е. число стандартных отказов в /-й ко-
лонке);
0<=^ + Н5 + ^). A6.2)
* Wi может быть аналогичным образом определен как условная
вероятность отказа в момент времени Г* или до него при условии,
что отказ произойдет в момент времени Ть или до него.
599

С помощью следующих формул можно рассчитать
оценки максимума правдоподобия е и ^:
r=l r=\
Pi = Pt-i + Pt{l^Pl-l) при i=\,2,...,k,po = 0.
A6.3)
Затем эти величины подставляют в уравнение A6.1)
А А
для получения w{ оценки wi. Величина е, полученная из
A6.3), — просто отношение общего числа отказов при
выключении к полному числу огневых испытаний, 1при
которых не произошло ни одного стандартного отказа.
Вывод уравнений A6.3) приводится в приложении 16А.
16.3.2. Пример вычисления весовых коэффициентов
В качестве примера используем данные из табл. 16.2.
На основании выражений A6.1) ,и A6.2) произведем вы-
вычисления, как это показано в табл. 16.3.
Весовые коэффициенты должны оцениваться исходя
из достаточно большого количества данных, чтобы в раз-
различных ячейках имелось достаточно отказов для «полу-
«получения «стабильных» значений. Достаточными могут ока-
оказаться данные за девять месяцев или может потребо-
потребоваться минимум, скажем, в 30 отказов. Соответствующие
требования будут зависеть от интенсивности отказов
оборудования, а также от темпов -проведения испыта-
испытаний. Обычно весовые коэффициенты несколько меняют-
меняются 'при выполнении любой программы разработки, а по-
поэтому их необходимо периодически пересчитывать. Если
выпускаются емемесячные отчеты о 'надежности, то ве-
весовые коэффициенты вычисляются каждый раз перед их
использованием для обработки получаемых результатов.
После вычисления м привязки к испытанию весовой
коэффициент должен оставаться постоянным для этого
испытания, даже если вычисление весового коэффици-
600

Таблица 16.2
Пусть k = 6, Tk = 140
Группа
i
1
2
3
4
5
6
Заданное время
работы Ti
10
20
40
60
100
140
Число испы-
испытаний N{
162
27
26
1
10
126
Pi
@,10)
/и
20
fi
2
I21
/.1
0
1-
'о"
/б!
12
33
Число
A0,20)
• •
/22
0
f.
0
/32
0
/*2
0
/в.
0
/б2
0
2
отказов за
B0,40)
• •
• •
/за
0
/*.
0
fu
0
f63
5
5
промежуток
D0,60)
• •
• -
• •
/44
0
/4
0
и
0
/44
2
2
: времени (Т._г, Т.)
F0,100)
• •
• •
• •
• •
/ее
0
/5
0
/.5
4
4
A00,140)
• •
• •
• •
• •
• •
/.. 1 /в
1 |3
1
140
26
25
1
10
97

Таблица 16.3
1
2
3
4
5
6
33
2
5
2
4
1
140
26
25
1
10
97
U
2
0
1
0
0
3
Gi
352
177
149
118
115
101
A
Pi
0,0938
0,1040
0,1341
0,1487
0,1784
0,1865
p. + Ml-^)
0,1116
0,1216
0,1511
0,1654
0,1946
0,2025
0,551
0,600
0,746
0,817
0,961
1,000
e = 0,01967
ента ino более .поздним данным указывает на то, что его
значение для данной продолжительности работы изме-
изменилось. Это оказывается очень удобным как в прило-
приложениях, так in при вычислении.
16.3.3. Пример вычисления надежности с использованием
весовых коэффициентов
Весовые коэффициенты определяются и оценивают-
оцениваются «а основе большого количества данных с целью при-
приложения их к меньшей и более текущей группе данных
(см. (п. 16.3.5, § 16.4). Основания для определения
A6.1) 1можно сделать очевидными, применяя найденные
весовые коэффициенты к той же группе данных, гиз ко-
которой «они получены.
Этот метод применения состоит в том, чтобы оценить
надежность R как] R:
полное число отказов
A6.4)
Для данных табл. 16.1 с помощью -схемы расчета,
приведенной ib табл. 16.2, получим
R = \— E3/261,3) = 0,7972 « 79,7°/о.
А
Заметим, что численное значение R чрезвычайно близ-
близко к величине
(где & = 6), которая по определению является оценкой
602

вероятности отсутствия отказов (обычных или при вы-
выключении) R к моменту окончания или в течение пол-
полного времени работы Тк. В самом деле, если мы допу-
допустим, что весовые коэффициенты точно известны (а не
оцениваются приблизительно), будем иметь
А pi -f е A — рг)
Тогда [из уравнения A6.4) математическое ожидание R
будет равно
ГТТТ-^Т = A6'5)
[ph\+e(\ -ph)]
A6.6)
Таким образом, R будет несмещенной оценкой R.
Упражнение 1. Показать, что величина
i
является математическим ожиданием полного числа отказов.
Упражнение 2. Показать, что, если известны точные зна-
значения весовых коэффициентов, величина
Полное число отказов в /-й группе
также является несмещенной оценкой R. Сравнить численные зна-
значения оценок R и R', используя данные из табл. 16.1 и 16.2.
Упражнение 3. Рассмотреть следующие результаты ис-
испытаний (см. табл. 16.1).
Кратковременная
работа Тг
Полное время ра-
работы Т2
@,7\)
N
N
fu = f
fi = 0
(Т» Г.)
fi = 0
f22 = y
/ ^ A A
Показать путем алгебраических преобразований, что R=R'
I—р2 (заметим, что е = 0).
603

16.3.4. Использование весовых коэффициентов и оценка
надежности
Группа надежности каждый месяц выписывает в хро-
хронологическом порядке результаты испытаний на каждой
испытательной площадке. Типичная форма записи пред-
представлена в табл. 16.3. В списке приводятся двигатели,
находящиеся на стадии опытно-конструкторских раз-
разработок, и серийные двигатели, которые определяются
серийными номерами.
Поскольку эти двигатели имеют -одинаковую конст-
конструкцию, их можно свести в одну группу. Летные и дру-
другие полигонные испытания производятся с двигателями,
конструкция которых соответствует сравнительно более
поздним этапам разработки, и вдобавок ко всему, к ним
подходят совершенно по-другому, они испытываются
разными людьми, и, конечно, при летных испытаниях
двигатель работает (испытывается) в реальных усло-
условиях. Следовательно, эти данные должны анализиро-
анализироваться аналогичным образом, но отдельно от серийных
испытаний и испытаний при опытно-конструкторских
разработках, и при этом влияние различных факторов
будет оцениваться путем сравнения их оценок надеж-
надежности.
16.3.5. Тип статистической оценки
Наиболее показательной и полезной характеристикой
надежности принята подвижная средняя оценка надеж-
надежности.
Объем выборки из результатов 100 последних экви-
эквивалентных испытаний при полном времени работы счи-
считался достаточно болйшим для обеспечения удовлетво-
удовлетворительного уровня гарантии, но и не настолько всеобъ-
всеобъемлющим, чтобы включать слишком много начальных
непредставительных данных при разработке. Полная
двигательная установка состояла из нескольких двига-
двигателей, данные об одном из которых приведены
,в табл. 16.4. Следовательно, требовался постоянный
объем выборки, в результате чего последовательный
план не применялся.
Для получения оценки надежности двигательной
установки нужно объединить полученные надежности
вс§х этих двдгателей, а это значительно проще сделать
604

Таблица 16.4
Страница-
Ракетный двигатель
Хронология данных об испытаниях по программе оценки надежности,
конец месяца X—X—6Х
Номер
переч-
перечня
341
342
343
344
345
346
347
348
Номер испыта-
испытания, стенд
2.1—002
аЗ
3.2—051
ol
2.3—110
2.3—111
2.4—021
аз
3.2—052
а 1
2.1—003
аЗ
2.1—004
аЗ
Дата, серий-
серийный номер
двигателя
Х-Х-6Х
916
Х-Х-6Х
1408
Х-Х-6Х
1100
Х-Х-6Х
1100
Х-Х-6Х
910
Х-Х-6Х
1408
Х-Х-6Х
916
Х-Х-6Х
916
Тип ис-
испытаний
ОКР ,
п
ОКР
окр
ОКР
п
ОКР
ОКР
Заданное вре-
время работы;
действитель-
действительное время
работы
160
161
60
60
140
65
100
101
40
40
60
61
Весовой
коэффи-
коэффициент
1,00
0,82
1,00
0,96
0,75
0,82
Резуль-
Результат
У
У
и
о
У
У
и
У
Примечания
Все требования ТЗ удовлетво-
удовлетворены
Все требования ТЗ удовлетво-
удовлетворены
Заявленные испытания при на-
наличии неисправн. (см. сообщение
об отказах N—FR—95).
Внезапная отсечка подачи топ-
топлива в камеру сгорания (см. со-
сообщение об отказах N—FR—95)
Все требования ТЗ удовлетво-
удовлетворены
Все требования ТЗ удовлетво-
удовлетворены
Испытания до отказа см. фор-
форму заявления 347
Все требования ТЗ удовлетво-
удовлетворены
Примечание. ОКР-
П-
У-
- испытания при опытно-конструкторской разработке;
•приемные испытания (серийное производство);
•успех; О—отказ; И —исключение.
Итого; 6 приемных испытаний из 8.
1 отказ из 5,35 эквивалентных ис-
испытаний цои полном времени работы.

(и статистически допустимо), если результаты основы-
основываются на выборках одинаковых объемов, т. е. по 100
последним эквивалентам испытаний с полным временем
работы по каждому двигателю.
16.4. ОТЧЕТНОСТЬ О СОСТОЯНИИ НАДЕЖНОСТИ
Расчет надежности довольно прост. Каждому огне-
огневому испыта-нию, которое не исключается, соответствует
весовой коэффициент (табл. 16.4), зависящий только от
заданного времени работы при испытании. Для выбора
последнего испытания за отчетный период все весовые ко-
коэффициенты складываются в обратном хронологическом
порядке до тех пор, пока не будет достигнуто число, не
меньшее 100 (но и не большее 101). Затем подсчиты-
вается полное число испытаний за этот период, которые
классифицируются как отказы. Если это число равно f,
то точечная оценка надежности равна —Too * Д°веРи"
тельные пределы надежности можно получить с по-
помощью рис. П.1—П.5. Это число, характеризующее рост
надежности двигателя в пределах выбранных нами кри-
критериев и средств контроля, сообщается каждый месяц.
16.5. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
Кроме требований к отчетности существует требова-
требование подтверждения договорной надежности. Это можно
выразить в такой форме, что -вся двигательная установка,
состоящая, скажем, из трех ступеней, должна подтвердить
к июлю 196 X г. минимальную надежность в 90% с вероят-
вероятностью в 90%. Это означает (рис. П.З), что при 100 испы-
испытаниях каждой из трех ступеней должно лроизойти не бо-
более шести отказов. При составлении планов, если для
всех трех двигателей требуется одинаковая разработка,
эти шесть отказов могут быть поделены поровну между
двигателями, и тогда каждый из них будет иметь мгно-
мгновенное значение надежности в 98%. Если бы двигатели
каждой ступени изготовляли разные разработчики, то
перед каждым из них была бы поставлена цель добиться
получения 98%-ной точечной оценки или минимальной
надежности в 95% с вероятностью, равной 90%.
Если же все ступени изготавливаются одним и тем
же разработчиком, то необходимость предъявлять раз-
606

личные требования к двигателям каждой ступени отпа-
отпадает, поскольку очевидно, что разработчик имеет мень-
меньше шансов удовлетворить требования по каждой сту-
ступени, чем общие требования ко всей двигательной уста-
установке в целом.
К последним 100 эквивалентным испытаниям с пол-
полным временем работы, которые используются при пока-
показательной выборке, могут предъявляться дополнитель-
дополнительные требования. Например, определенная часть испы-
испытаний может проводиться специально с целью оценки
воздействия окружающей среды, может быть задано
определенное число огневых испытаний с полным вре-
временем работы и, кроме того, может 'накладываться огра-
ограничение по числу испытаний на каждый двигатель. По
возможности эти факторы должны вводиться в форме
статистического плана, но это не всегда возможно из-за
ограниченных возможностей расписания работ, измери-
измерительных и испытательных- средств. Однако подобное
сбалансированное статистическое подтверждение надеж-
надежности обеспечит дополнительную уверенность в резуль-
результатах. Если же конечные цели не будут достигнуты, то,
несомненно, должны быть выявлены соответствующие
причины.
Программа разработки должна предусматривать
возможно раннее включение испытаний на воздействие
окружающей среды, испытаний при нормальной работе
и в процессе производства с тем, чтобы можно было
измерить их влияние и принять соответствующие меры.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Barton H. A. and Thatcher A. G., Rocket engine reliability.
Ordnance, 1957, v. 41, 220, January — February, p. 722—726.
Приложение 16А
Уравнения максимума правдоподобия для рг и е
Вероятность отказа равна вероятности появления
одного из двух несовместимых событий: 1) обычного
отказа, т. е. не при выключении двигателя и 2) отказа
при выключении двигателя.
На рис. 16А.1 представлена модель отказов двига-
двигателя и соответствующие ей параметры.
607

Времена Ти Т2, ..., Гг_ь Гг, ..., Tk представляют со-
собой заданные продолжительности работы с соответст-
соответствующими вероятностями pi, одновременно являясь дис-
дискретными временными интервалами для классификации
наработки до отказов; pi определяется как вероятность
обычного отказа к моменту времени 7\- или в течение
сргмя горения
г • ¦ Тк-1 'К
Полное время
работы
Рис. 16.А.1. е — вероятность отказа при выключении
двигателя при условии успешной работы до этого
момента; рТ — вероятность обычного отказа до или
после момента времени Тг.
его для i"=l, ..., k. Величина е определяется как
условная вероятность отказа при выключении двигателя
(при том условии, что двигатель не отказал до момента
выключения). Отсюда вероятность отказа в момент вре-
времени Ti или до него равна Pi + e A—Pi). Теперь нам тре-
требуется оценить ft и е с помощью метода максимума
правдоподобия.
Во-первых, будем считать, что время работы Тг зада-
задано только для группы из Nr огневых испытаний. Если
при выключении двигателя наблюдается fr отказов, а за
T T f
промежуток времени
/ 1
— T
j_t
f
происходит fri отказов,
где / =
, г, тогда
является числом успехов в этой группе.
608

Функция правдоподобия задается с помощью вероят-
вероятности появления события (см. § 7.4 и 6.3), т. е.
Lr = Ц [A ~Рг){\ - e)fr [A -pr)e]frX
Hr\ frill fri\
Функция правдоподобия L для всех групп огневых испы-
испытаний равна
k
L=\\Lr. A6A.2)
r=l
Логарифмируя правую и левую части выражения A6А.2),
где (? = logL, мы получим
S = const + V (Яг + fr) log A - pr) +
k
ИЛИ
"^"H X frJloSiPj—Pj'i) A6A.3)
: = const + ?(tfr + /r) log A-j
г=\
-^-0, A6А.4)
39-1113 609

где
r=\
Параметры рг и е, максимизирующие (?
же характеризуют и L.
Дифференцируя К по /?г- и s, полунаем
, точно так
д/?г 1 — /?г ' /?г — /?г-1 Pi + 1 —
где *' = 1, 2,. . . ,
A6A.5)
Если принять
!=°. S-e. '-•¦2 *.
A6A.6)
то получим систему уравнений, которые решаются отно-
Л АЛ
сительно Pif.,.<, pk и s (величины /?* и в записываются
с „крышками* для обозначения того, что они являются
оценками истинных значений):
Fi+1 _
610
Pi—Pi-i Pi+i—Pi I—Pi
A
при i=l, 2,..., k—U P(,=0,
Ph—Pb-i 1— />ft
r=l
A6A.7)

Легко проверить,, что следующие решения:
Г=\
\ П. г '
7 '
при J = l, 2, ..., k\
A6A.8)
где
= yF.
удовлетворяют системе уравнений A6А.7).
Приложение 16Б
Дисперсии и ковариации рг и е
А А
А А
Для получения оценок дисперсий и ковариации /?г- и е
мы поступим так же, как и в п. 7.5.4. Из уравнений
A6А.5) и A6А.6) мы имеем
для f = lf 2,..., А — 1; и
r=l
39»
611

Смешанные частные производные имеют вид:
Ft
/=4-l
} A6Б.4)
Например, при k=2 матрица частных производных ста-
становится равной (после упорядочения plt p2 и е)
Нг
A
F2
Ft F2 Fj_
'p\ (P2 — P1J (P2 — P1)'
H2 + f2 F2
(Рг-PiJ
О
0-ЛI
О
0
о
f.-f-f.
Для получения оценок дисперсий и ковариаций
легче всего заменить р* и е в матрице А оценками
А
Pi (и е; тогда А становится числовой матрицей. В ре-
результате следующего шага находим отрицательное зна-
значение обратной матрицы А; элементы полученной матри-
матрицы являются (в том же порядке) искомыми оценками
дисперсий и ковариаций.
В качестве примера возьмем данные из п. 16.3.2.
Используя уравнения A6Б.1) — A6Б.4), получаем
А =
—23147
19223
0
0
0
0
0
19223
—24774
5519
0
0
0
0
0
5519
-14936
9383
0
0
0
0
0
9383
—13919
4535
0
0
0
0
0
4535
—19791
15242
0
0
0
0
0
15242
—15393
0
0
0
' *' (Г
0
0
0
— 15819
612

Обратную матрицу А-1 рассчитать нетрудно, однако
подробности вычислений здесь не .приводятся *.
В итоге мы получаем матрицу дисперсий и ковариаций
В = —А:
-0,00024159
0,00023888
0,00023085
0,00022698
0,00021904
0,00021689
0
0,00023888
0,00028764
0,00027797
0,00027331
0,00026374
0,00026115
0
0,00023085
0,00027797
0,00044373
0,00043628
0,00042102
0,00041689
0
0,00022698
0,00027331
0,00043628
0,00053376
0,00051508
0,00051003
0
0
0,00021904 0,00021689 0
0,00026374 0,00026115 0
0,00042102 0,00041689
0,00051508 0,00051003 0'
0,00070987 0,00070290 0
0,00070290 0,00076096 0
0
0
0,00006322_
По диагонали матрицы В располагаются по порядку:
А А А
оценки дисперсий р19.. .,/?в и дисперсии е. Остальные
элементы матрицы являются оценками ковариаций соот-
соответствующих оценок. Например, в 1-м ряду во 2-й колон-
колонке мы имеем** (covfo, p2)) = 0,00023888.
Заметим, что матрица В симметрична, как это и долж-
должно быть, поскольку (cov(/?i, Л)) = (соу(^, Pi)). Отме-
Отметим также, что (cov(e, jpi)) = 0, т. е. е и Pj не корре-
лированы.
Если требуется вычислить оценку коэффициента кор-
А А
реляции Pij между /?г- и /?j, используют следующую фор-
формулу:
и \— <cov(p,,
Например,
A6Б.5)
0,00023888
ИЛИ
0,00023888
"@,00024159-0,00028764I/2~~ 0,00026361
(р12) = 0,9062.
* Ом. Kemeny J. G. и дор. Finite mathematical structures,
Prentice-Hill, Inc., Englewood Cliffs, № 1, Ю59, p. 240—243.
** Знак < ... > означает числовую оценку величины в скобках.
613

В другом примере
, ч 0,00070290 0,00070290
<P) = -
X 5e @,00070987-0,00076096I/2 0,00073497
ИЛИ
(Ри> = 0,9564.
Предположим, что рассматривается р16, т. е. коэффициент
А
корреляции для „далеко разнесенных" /?*.
Мы имеем
(Ple) = °'00021689 г=0,б058.
@,00024159-0,00076096) 2
Этот результат указывает на то, что с увеличением
промежутков времени, при которых оценивается распре-
распределение наработки до отказа, коэффициент корреляции
стремится к уменьшению.
Дисперсии весовых коэффициентов W{ могут оцени-
оцениваться следующим образом *.
Поскольку
Р% ~т~ A —~ Pi) в т г / \ * /¦# г*т* гу\
^i-—~ ~=~^i\Piy Phy^/t' (lDJD.D)
TO
Значения (var pt), (cov {pu Pk)) и т. д. получают из ма-
матрицы В, а значения частных производных в уравнении
A6Б.7) из следующих выражений:
A A A A
/dUi \ A — e) [pi -f- A— pi) e] ,+ г*т* r\\
(-т^)= а а а > A6Б.9)
\dPk I [Ph + A —Pk) «]2 *
/ggL\, a p»-^ ^ . A6Б.10)
\ ^e / [/'ft +A — J^ft) e]
* Члены, содержащие ковариации (pit e) и (/?ft, в) отсутству-
отсутствуют, так как в этом случае они равны нулю (см. п. 9.5.1).
614

Например, найдем (уагшг). Из табл. 16.2 ^=0,0938,
= 0,1865fV=0,01967, тогда
\dPi
V A6Б.12)
\\др6 ) >Л
\2\ A6Б.13)
/№\2\ =
Я/ц №i\= 4,84b(-2,668)=-12,92. A6БЛ4)
дрг I \др6 I
Подставляя эти величины вместе с соответствующими
значениями дисперсий и ковариаций из матрицы В
в уравнение A6Б.7), получаем окончательно
(var^)^ 0,005798.
Упражнение. Найти (var w2),... (var доб). Заметим, что
(var шв) = 0.
* Ответ. 0,006086; 0,005853; 0,004937; 0,001451.
Поскольку Pk + A —Ph) 6 — вероятность того, что
устройство откажет в момент или в течение времени 7\
(полное номинальное время работы), мы можем найти
верхний доверительный предел этой величины по фор-
формуле (п. 7.4.4)
A6Б.15)
где
(var [pk + A - ph) As]> = A - e> (var ph) + A -phf (var s).
A6Б.16)
В рассматриваемом примере й==6; отсюда
(var \p% + A - А) е]> =0,0007732
(из табл. 16.2 и матрицы В);
615

—Л)e = 0,2025f и поэтому при у = 0,90 (ffOilo =
=1,282—стандартное нормальное отклонение, превышае
мое с вероятностью 0,10)
1 — RL ^=0,2025 + 1,282 X 0,02781 = 0,2382, A6Б. 17)
Результат, полученный в уравнении A6Б.17), означает,
что
^ = 0,7618 A6Б.18)
— 90%-ный нижний доверительный предел для вероят-
вероятности успешного удовлетворения требований к полному
времени работы.
Интересно сравнить указанную оценку и довери-
доверительный предел с результатами, полученными из урав-
уравнения A6.4). Мы имеем
¦• А полное число отказов /ice m\
1~R = tt&l = A6Б.19)
=^з- = 0,2028. A6Б.20)
Простая биномиальная дисперсия равна
М=& =0,0006188,
а квадратный корень из этой величины равен 0,02488.
Отсюда верхний 90%-ный доверительный предел вероят-
вероятности отказа равняется
1 —^=0,2028 + 1,282X0,02488 = 0,2347 A6Б.21)
или
R'L = 0,7653 A6Б.22)
— 90°/0-ный нижний доверительный предел вероятности
успешного удовлетворения требований к полному времени
работы. Два доверительных предела RL и R'u получен-
полученные из уравнений A6Б.18) и A6Б.22), очень близки, так
же как и точечные оценки надежности.
Кроме того, биномиальный доверительный предел
можно найти с помощью рис. П.З. При 53 отказах в 261
эквивалентном опыте с полным временем работы ниж-
нижний 90%-ный доверительный предел надежности равен
1—0,24=0,76.
616

ПРИЛОЖЕНИЯ^
Таблица П.1
Число испытаний без отказов в зависимости от
надежности и доверительного уровня
Надежность
. 0,9999
0,999
0,998
0,997
0,996
0,995
0,994
0,993
0,992
0,991
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,80
0,75
0,70 ,
0,65
0,60
0,50
Доверительный уровень, %
50
6932
693'
347
231
173
138
115
99
86
77
69
34
23
17
14
11
10
9
8
7
6
6
5
5
5
3
3
2
2
2
1
60
9163
916
458
305
229
183
152
130
114
101
92
45
30
23
18
15
13
11
10
9
8
8
7
7
6
4
4
3
2
2
2
70
12040*
1204'
602
401
301
241
201
174
150
134
120,
60
40
30«
24
20
17
15
13
12
11
10
9
8
8
6
5
4
3
3
2
80
16094
' 1609
805
537
401
321
267
229-.
200
178
Ш
80
53
39
31
26
-22.
? 19
тт*
15
14
13
12
11
10
7
6
5
4
4
3
?0
'23026
2303
J152.
768
575'
460
383
328
287
255
229
114'
76
57
45
37
32
28
25
22
20
18
17
16
15
11
8
7
6
5
4
95
29957
2996
1498
999
747
598-
498
427-
373
332
298
149,
99
74
58
49
42
36
32
29
^26
24
22
20
19
14
11
9
7"
6
5
99
46052
4605
2303
1535
1149
920
765
657
574
510
459
228
151
113
90
75
64
55
49
44
40
36
33
31
29
21
16
13
11
9
7
99,9
69078
6908
3454
2303
1723
1379
1148
985
860
764
688
342
227
170
135
112
96
83
74
66
60
54
50
46
43
31
24
20
16
14
10
617

Таблица П.2
Минимальный объем выборки для испытаний в течение времени t для обеспечения
средней наработки по меньшей мере 6L при доверительном уровне y = 75 %, где
допустимое число отказов равно F
р
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1,0
2
4
6
7
9
И
13
14
16
18
19
21
23
24
26
0.5
3
6
9
12
15
18
21
24
26
29
32
35
37
40
43
0,2
7
14
21
28
34
40
46
53
59
65
71
77
83
89
95
0,1
14
28
41
53
65
77
90
101
113
125
136
148
158
171
183
0,05
28
55
80
105
129
152
176
199
222
245
268
291
313
336
358
0,02
69
134
199
259
318
376
433
490
547
603
659
715
770
825
880
0,01
138
269
392
511
628
742
855
968
1,081
1,192
1,302
1,413
1,522
1,632
1,740
t/BL
0,005
278
539
785
1,022
1,255
1,485
1,712
1,937
2,161
2,383
2,604
2,825
3,044
3,262
3,480
0,002
694
1,347
1,961
2,555
3,138
3,712
4,280
4,843
5,402
5,957
6,510
7,061
7,609
8,156
8,700
0,001
1,387
2,693
3,921
5,110
6,275
7,423
8,559
9,685
10,803
11,914
13,020
14,121
15,218
16,311
17,400
0,0005
2,773
5,386
7,841
10,219
12,549
14,846
17,117
19,369
21,605
23,828
26,040
28,242
30,435
32,621
34,800
0,0002
6,932
13,464
19,602
25,547
31,373
37,114
42,793
48,422
54,013
59,570
65,099
70,603
76,087
81,552
87,000
0,0001
13,863
26,927
39,204
51,094
62,745
74,227
85,585
96,844
108,025
119,139
130,197
141,206
152,173
163,103
173,999
Примечания: 1. Необходимо отметить, что для входа в таблицу требуется только отношение / (времени испытания
для каждого изделия) к 0?.
2. Величина 1—7^эквивалентна максимуму риска потребителя при 0?.
3. Последние четыре или пять колонок включены в таблицу лишь из-за требования к объему выборки, и ожидается, что
их содержимое не будет использоваться без' проверки соответствия допущения о показательном распределении исследуемому
процессу.

Таблица П.З
Минимальный объем выборки для испытаний в течение времени t
А
для обеспечения средней наработки по меньшей мере GL при доверительном уровне
Y = 80%, где допустимое число отказов равно F*
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
1,0
2
4
6
8
10
11
13
15
16
18
20
22
23
25
27
0,5
4
7
10
13
16
19
22
25
28
30
33
36
39
41
44
0.2
9
16
23
30
36
42
49
55
62
68
74
80
86
92
98
0,1
17
31
45
57
70
83
95
107
- 119
131
143
155
167
178
190
0,05
33
61
88
ИЗ
138
162
187
211
234
257
281
305
328
351
374
0,02
81
151
217
280
341
401
460
520
580
636
692
750
805
862
918
0,01
161
299
428
551
672
790
906
1,038
1,154
1,268
1,382
1,495
1,608
1,720
1,831
0,005
339
619
878
1,126
1,370
1,609
1,844
2,076
2,307
2,536
2,764
2,990
3,215
3,439
3,662
0,002
846
1,547
2,194
2,815
3,424
4,021
4,609
5,190
5,767
6,339
6,908
7,474
8,036
8,597
9,155
0,001
1,692
3,093
4,388
5,630
6,848
8,041
9,217
10,380
11,534
12,678
13,814
14,947
16,072
17,193
18,310
0,0005
3,384
6,185
8,776
11,260
13,695
16,081
18,433
20,760
23,067
25,356
27,631
29,893
32,144
34,386
36,619
0,0002
8,459
15,463
21,939
28,149
34,238
40,201
46,082
51,900
57,666
63,390
69,077
74,733
80,360
85,964
91,547
0,0001
16,918
30,925
43,877
56,298
68,475
80,401
92,164
103,799
115,332
126,779
133,153
149,465
160,720
171,928
183,095
2
со
¦ См. примечания к табл. П2.

О)
о
Таблица П.4
Минимальный объем выборки для испытаний в течение времени t для обеспечения
средней наработки по меньшей мере 0L при доверительном уровне у = 85%, где
допустимое число отказов равно F*
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1.0
2
4
6
8
10
12
14
15
17
19
21
22
24
26
28
0.5
4
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
37
40
43
46
0,2
10
18
25
32
39
46
52
59
65
71
78
84
90
97
103
0,1
20
35
49
62
75
88
101
114
126
138
151
163
175
187
199
0.05
38
69
97
123
149
175
200
225
250
274
297
321
345
369
393
0.02
95
171
240
306
370
432
493
554
615
675
734
792
849
907
965
0.01
189
337
472
600
727
848
970
1,108
1,227
1,345
1,462
1,578
,693
,808
,921
0,005
400
698
971
1,233
1,485
1,732
1,975
2,216
2,453
2,685
2,923
3,155
3,386
3,616
3,844
0,002
999
1,745
2,428
3,081
3,771
4,329
4,938
5,538
6,132
6,721
7,306
7,886
8,464
9,038
9,605
0,001
1,998
3,490
4,855
6,161
7,421
8,658
9,875
11,076
12,264
13,442
14,611
15,773
16,927
18,076
19,219
0,0005
3,995
6,980
9,710
12,321
14,841
17,315
19,749
22,151
24,528
26,884
29,222
31,545
33,854
36,151
38,438
0,0002
9,986
17,450
24,275
30,802
37,103
43,287
49,372
55,377
61,320
67,210
73,055
78,862
84,634
90,377
96,094
0,0001
19,972
34,899
48,550
61,604
74,205
86,574
98,743
110,754
122,640
134,420
146,110
157,723
169,268
180,754
192,187
* См. примечания к табл. П.2.

Таблица П.5
Минимальный объем выборки для испытаний в течение времени t для обеспечения: — -—"
средней наработки по меньшей мере 0L при доверительном уровне 7=90°/о, где допустимое
число отказов равно F*
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1.0
3
5
7
9
11
13
15
16
18
20
22
23
25
27
29
0,5
5
9
12
15
19
22
25
28
31
34
37
40
42
45
48
0,2
12
20
28
35
42
49
56
63
70
76
83
89
95
102
108
0,1
24
40
55
69
83
97
ПО
123
136
149
161
174
187
199
212
0,05
47
79
109
137
164
190
217
243
269
294
319
344
369
393
417
0,02
116
195
266
333
398
462
528
589
648
709
770
830
888
947
1,007
0,01
231
390
533
668
798
927
1,054
1,178
1,300
1,421
1,541
1,660
1,779
1,896
2,013
0,005
461
778
1,065
1,337
1,599
1,855
2,107
2,355
2,599
2,842
3,082
3,320
3,557
3,792
4,026
0,002
1,152
1,946
2,662
3,341
3,997
4,638
5,267
5,886
6,498
7,103
7,704
8,300
8,891
9,479
10,064
0,001
2,303
3,891
5,323
6,681
7,994
9,275
10,533
11,771
12,995
14,206
15,407
16,598
17,782
18,958
20,128
0,0005
4,606
7,780
10,645
13,362
15,988
18,549
21,064
23,542
25,990
28,412
30,814
33,197
35,564
37,916
40,256
0,0002
11,513
19,450
26,612
33,404
39,968
46,374
52,661
58,855
64,974
71,030
77,034
82,991
88,908
94,790
100,640
0,0001
23,026
38,898
53,223
66,808
79,936
92,747
105,322
117,710
129,948
142,060
154,068
165,982
177,816
189,580
201,280
¦ См. примечания к табл. П.2.

ES
Таблица П.6
Минимальный объем выборки для испытаний в течение времени t для обеспечения средней
наработки по меньшей мере §L при доверительном уровне у=95°/о, где допустимое число
отказов равно F*
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
1,0
3
6
8
10
12
14
16
18
19
21
23
25
27
29
30
0,5
6
11
14
18
21
24
27
31
34
37
40
43
46
49
52
0,2
15
25
33
41
48
56
63
70
77
84
91
98
105
111
117
0,1
31
49
65
80
95
109
123
137
150
164
178
190
205
218
231
0,05
60
97
129
159
U39
217
245
274
299
327
353
379
405
431
457
0,02
149
236
314
386
456
527
597
656
722
785
846
908
971
1,034
1,095
0,01
298
473
630
775
914
1,052
1,183
1,315
1,444
1,571
1,697
1,821
1,945
2,067
2,189
0,005
600
949
1,260
1,551
1,831
2,103
2,369
2,630
2,887
3,142
3,393
3,642
3,889
4,134
4,378
0,002
1,498
2,372
3,148
3,877
4,577
5,257
5,922
6,575
7,218
7,853
8,482
9,104
9,722
10,335
10,944
0,001
2,996
4,744
6,296
7,754
9,154
10,514
11,843
13,149
14,435
15,706
16,963
18,208
19,443
20,669
21,887
0,0005
5,992
9,488
12,592
15,508
18,307
21,027
23,685
26,297
28,870
31,411
33,925
36,416
38,886
41,338
43,773
0,0002
14,979
23,720
31,479
38,769
45,768
52,566
59,212
65,741
72,174
78,526
84,811
91,038
97,213
103,343
109,433
0,0001
29,958
47,439
62,958
77,537
91,535
105,131
118,424
131,481
144,347
157,052
169,622
182,076
194,426
206,686
218,865
• См. примечания к табл. П.2.

Таблица П.7
Объем выборки и критерии для подтверждения надежности при заданном доверительной:
уровне —-
N
5
10
15
25
50
100
250
500
0,90
12,7
11,9
11,5
11,0
10,6
10,3
10,0
9,9
7=0,
0,95
26,1
24,4
23,6
22,6
21,8
21,1
20,5
20,3
80
0,99
133
124
120
115
111
107
104
103
0,995
267
249
241
231
223
215
209
207
7=0,90
0,90
15,2
13,5
12,7
12,0
11,2
10,7
10,3
10,1
0,95
31,2
27,7
26,1
24,6
23,0
22,0
21,1
20,7
0,99
159
141
133
125
117
112
107
105
0,995
319
283
267
251
235
225
215
211
7=0,95
0,90
17,4
14,9
13,9
12,8
11,8
11,1
10,5
10,2
0,95
35,7
30,6
28,5
26,3
24,2
22,8
21,6
20,9
0,99
182
156
145
134
123
116
НО
106
0,995
365
313
291
269
247
233
221
213
л f *
Примечания: 1. В методике исследований испытаний на долговечность в п. 10.7.1 при -=-Er ~
табличного зна-
значения надежность R^ подтверждается при длительном уровне 7« О5ьем выборки разеч N\ заданное время рзботы Т; tlt . . . ?# —
наблюдаемые наработки до отказов.
А А
2. Для методики из п. 10.7.2 заменить 9 и iV на вг$/у и г соответственно.
А \ А
3. Для методики из п. 10.8 заменить В и N на SJr и г соответственно.

Квантили (процентные точки) распределения
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
0,05
,0639
,001
,005
,016
,032
,050
,069
0,089
0,108
0,126
0,Н4
0,161
0,177
0,193
0,207
0,221
0,234
0,247
0,258
0,270
0,291
0,310
0,328
0,345
0,360
о,(
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,1
M157
001
008
023
042
064
085
107
128
148
167
184
,201
,217
232
,246
,260
,272
,285
,296
,317
,337
,355
,371
,386
,
0,
0,
о,
о,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0439
005
024
052
082
ИЗ
141
168
193
216
237
256
,274
,291
307
,321
,335
,348
,360
,372
,393
,412
,429
,445
,460
1.0
,0316
,010
,038
0,074
0,111
0,145
0,177
0,206
0,232
0,256
0,278
0,298
0,316
0,333
0,349
0,363
0,377
0,390
0,402
0,413
0,434
0,452
0,469
0,484
0,498
2,5
,0398
,025
,072
,121
,166
0,206
0,241
0,272
0,300
0,325
0,347
0,367
0,385
0,402
0,418
0,432
0,445
0,457
0,469
0,480
0,499
0,517
0,532
0,547
0,560
5,0
,0239
,052
,117
,178
,229
0,272
0,310
0,342
0,369
0,394
0,416
0,436
0,453
0,469
0,484
0,498
0,510
0,522
0,532
0,543
0,561
0,577
0,592
0,605
0,616
1
0,
0,
о,
о,
о,
0,
о,
0,
о,
0
о,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
016
106
195
266
322
367
405
436
463
487
507
525
542
556
570
582
593
,604
,613
,622
,638
,652
,665
,676
,687
г
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
>0
064
223
33^
412
469
512
546
574
598
618
635
651
664
676
,687
,697
,706
,714
,722
,729
,742
,753
,762
,771
,779
30
0,
0,
0,
о,
о,
о,
0,
о,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
148
356
475
549
600
638
667
691
710
727
,741
,753
764
,773
,78
,789
,796
,802
,808
,813
,82
,83
,83
,84
,85
624

Таблица П.8
/j/я (гДе я—число степеней свободы)
40
0,275
0,511
0,623
0,688
0,731
0,762
0,785
0,803
0,817
0,830
0,840
0,848
0,856
0*863
0,869
0,874
0,879
0,883
0,887
0,890
0,897
0,902
0,907
0,911
0,915
50
0,455
0,693
0,789
0,839
0,870
0,891
0,907
0,918
0,927
0,934
0,940
0,945
0,949
0,953
0,956
0,959
0,961
0,963
0,965
0,967
0,970
0,972
0,974
0,976
0,978
60
0,708
0,916
0,982
1,011
1,03
1,04
1,04
1,04
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,04
1,04
70
1,07
1,20
1,22
1,22
1,21
1,21
1,20
1,19
1,18
1,18
1,17
1,17
1,16
1,16
1,15
1,15
1,15
1,14
1,14
1,14
1,13
1,13
1,12
1,12
1,12
80
1,64
1,61
1,55
1,50
1,46
1,43
1,40
1,38
1,36
1,34
1,33
1,32
1,31
1,30
1,29
1,28
1,27
1,26
1,26
1,25
1,24
1,23
1,22
1,22
1,21
90
2,71
2,30
2,08
1,94
1,85
1,77
1,72
1,67
1,63
1,60
1,57
1,55
1,52
1,50
1,49
1,47
1,46
1,44
1,43
1,42
1,40
1,38
1,37
1,35
1,34
95
3,84
3,00
2,60
2,37
2,21
2,10
2,01
1,94
1,88
1,83
1,79
1,75
1,72
1,69
1,67
1,64
1,62
1,60
1,59
1,57
1,54
1,52
1,50
1,48
1,46
97,5
5,02
3,69
3,12
2,79
2,57
2,41
2,29
2,19
2,11
2,05
1,99
1,94
1,90
1,87
1,83
1,80
1,78
1,75
1,73
1,71
1,67
1,64
1,61
1,59
1,57
99
6,64
4,61
3,78
3,32
3,02
2,80
2,64
2,51
2,41
2,32
2,25
2,18
2,13
2,08
2,04
2,00
1,97
1,93
1,90
1,88
1,83
1,79
1,76
1,72
1,70
9Э.5
7,88
5,30
4,28
3,72
3,35
3,09
2,90
2,74
2,62
2,52
2,43
2,36
2,29
2,24
2,19
2,14
2,10
2,06
2,03
2,00
1,95
1,90
1,86
1,82
1,79
99,9
10,83
6,91
5,42
4,62
4,10
3,74
3,47
3,27
3,10
2,96
2,84
2,74
2,66
2,58
2,51
2,45
2,40
2,35
2,31
2,27
2,19
2,13
2,08
2,03
1,99
99,93
12,12
7,60
5,91
5,00
4,42
14,02
3,72
3,48
3,30
3,14
3,01
2,90
2,81
2,72
2,65
2,58
2,52
2,47
2,42
2,37
2,30
2,23
2,17
2,12
2,07
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40-1113
625

35
40
45
50
55
60
70
80
90
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
750
1000
5000
со
0,05
0,394
0,423
0,448
0,469
0,488
0,506
0,535
0,560
0,581
0,599
0.629
0,653
0,673
0,689
0,703
0,732
0,753
0,770
0,784
0,795
0,805
0,839
0,859
0,936
1
0,1
0,420
0,448
0,472
0,494
0,512
0,529
0,558
0,582
0,602
0,619
0,648
0,671
0,690
0,706
0,719
0,746
0,767
0,783
0,796
0,807
0,816
0,848
0,868
0,939
1
0,5
0,491
0,518
0,540
0,560
0,577
0,592
0,618
0,640
0,658
0,673
0,699
0,719
0,736
0,749
0,761
0,785
0,802
0,816
0,827
0,837
0,845
0,872
0,889
0,949
1
1,0
0,529
0,554
0,576
0,594
0,610
0,625
0,649
0,669
0,686
0,701
0,724
0,743
0,758
0,771
0,782
0,804
0,820
0,833
0,843
0,852
0,859
0,884
0,89#9
0,954
1
2,5
0,588
0,611
0,630
0,647
0,662
0,675
0,697
0,714
0,729
0,742
0,763
0,780
0,793
0,804
0,814
0,832
0,846
0,857
0,866
0,874
0,880
0,901
0,914
0,961
1
5,0
0,642
0,663
0,680
0,695
0,708
0,720
0,739
0,755
0,768
0,779
0,798
0,812
0,824
0,833
0,841
0,858
0,870
0,879
0,887
0,893
0,898
0,917
0,928
0,967
1
ю
0,708
0,726
0,741
0,754
0,765
0,774
0,790
0,803
0,814
0,824
0,839
0,850
0,860
0,868
0,874
0,887
0,897
0,904
0,911
0,916
0,920
0,934
0,943
0,974
1
20
0,795
0,809
0,820
0,829
0,837
0,844
0,856
0,865
0,873
0,879
0,890
0,898
0,905
0,910
0,915
0,924
0,931
0,936
0,940
0,944
0,946
0,956
0,962
0,983
1
30
0,862
0,872
0,880
0,886
0,892
0,897
0,905
0,911
0,917
0,921
0,929
0,934
0,939
0,942
0,945
0,951
0,956
0,959
0,962
0,964
0,966
0,972
0,976
0,989
1
Примечание. хп. а означает квантиль, где л—число степеней свободы,
Например:
3» *10; 0,95/10=0»394*
626

Продолжение табл. П.8
40
50
60 *т
70
80
90
97,5
99
.99,5
99,9
99,95
0,922
0,928
0,933
0,937
0,941
0,944
0,949
0,952
0,955
0,958
0,962
0,965
0,968
0,970
0,972
0,975
0,977
0,979
0,981
0,982
0,983
0,986
0,988
0,995
1
0,981
0,983
0,985
0,987
0,988
0,989
0,990
0,992
0,993
0,993
0,994
0,995
0,996
0,996
0,997
0,997
0,998
0,998
0,998
0,999
0,999
0,999
0,999
1,00
I
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,03
1,03
1,03
1,03
1,03
1,03
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,01
1,01
1,01
1,00
1,11
1,10
1,10
1,09
1,09
1,09
1,08
1,08
1,07
1,07
1,06
1,06
1,06
1,05
1,05
1,04
,04
1,04
1,04
1,03
1,03
1,03
1,02
,01
1,19
1,18
1,1
1,16
1,16
1,1
1,14
1,13
1,12
1,12
1,11
1,10
1,09
1,09
1,08
1,07
.07
1,06
1,06
1,06
1,05
1,04
1,04
1,021
1,3:
1,30
1,28
1,26
1,25
1,24
1,22
1,21
1,20
1,18
1,17
1,16
Ы
1,14
1,13
1,12
1,11
1,10
1,09
,09
1,08
1,07
1,06
1,02
1
1,42
1,39|
1,37
1,3
1,33
1,32
1,29
1.27J
1,26
1,24
1,22
1,20
М9|
1,18
1,17
,15
1,14
1,13
1,12
1,11
,11
1.09|
1,07
1,03
1
1,52
1,48
1,45
1,43
1,41
1,39
1,36
1,33
1,31
1,30
1,27
1,25
1,23
,22
,21
,18
,17
1,15
1,14
,13
1,13
1,10
1,09
1,04
1,6-
1,59
1,55
1,52
1,50
1,47
1,43
1,40
1,38
1,36
1,32
1,30
1,28
1,26
1,25
1,22
1,20
1,18
1,17
1,16
1,15
1,12
1,11
1,05
1,72
1,67
1,63
1,59
1,56
1,53
1,49|
1,45
1,4
1,40
1,36
1,33
1,31
1,29
1,28
1,25
1,22
,21
1,19
1,|
1,17
1,14
1,12
1,05
1
1,90
1,84
1,78
1,73
1,69
1,66
1,60
1,56
1,52
1,49
1,45
1,41
1,38
1,36
1,34
1,30
1,27
1,25
1,24
1,22
1,21
1,17
1,14
1,06
1
1,98
1,90
1,84
1,79
1,75
1,71
1,65
1,60
1,56
1,53
1,48
1,44
1,41
1,38
1,36
1,32
1,29
1,27
1,25
1,23
1,22
1,18
1,15
1,07
1
35
40
45
50
55
60
70
80
90
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
750
1000
5000
оо
который превышается с вероятностью а.
40*
627

Толерантные множители для
Коэффициенты К соответствуют вероятности у того, что по
(или больше х—Ks'), где х и s'—оценки среднего и стандартного
\ а,
п \
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
35
40
45
50
0,25
1,464
1,256
1,152
1,087
1,043
1,010
0,984
0,964
0,947
0,933
0,919
0,909
0,899
0,891
0,883
0,876
0,870
0,865
0,859
0,854
0,849
0,845
0,842
0,825
0,812
0,803
0,795
0,788
0,10
2,501
2,134
1,961
1,860
1,791
1,740
1,702
1,671
1,646
1,624
1,606
1,591
1,577
1,566
1,554
1,544
1,536
1,528
1,520
1,514
1,508
1,502
1,496
1,475
1,458
1,445
•1,435
1,426
7=0,75
0,05
3,152
2,680
2,463
2,336
2,250
2,190
2,141
2,103
2,073
2,048
2,026
2,007
1,991
1,977
1,964
1,951
1,942
1,933
1,923
1,916
1,907
1,901
1,895
1,869
1.Я49
1,834
1,821
1,811
0,01
4,396,
3,726
3,421
3,243
3,126
3,042
2,977
2,927
2,885
2,851
2,822
2,796
2,776
2,756
2,739
2,723
2,710
2,697
2,686
2,675
2,665
2,656
2,647
2,613
2,588
2,568
2,552
2,538
0,001
5,805
4,910
4,507
4,273
4,118
4,008
3,924
3,858
3,804
3,760
3,722
3,690
3,661
3,637
3,615
3,595
3,577
3,561
3,545
3,532
3,520
3,509
3,497
3,454
3,421
3,395
3,375
3,358
7=0,90
0,25
2,602
1,972
1,698
1,540
1,435
1,360
1,302
1,257
1,219
1,188
1,162
1,139
1,119
1,101
1,085
1,071
1,058
1,046
1,035
1,025
1,016
1,007
0,999
0,966
0,942
0,923
0,908
0,894
0,10
4,258
3,187
2,742
2,494
2,333
2,219
2,133
2,065
2,012
1,966
,928
1,895
,866
,842
1,820
,800
1,781
1,765
,750
,736
1,724
1,712
1,702
1,657
1,623
1,598
1,577
1,560
0,05
5,310
3,957
3,400
3,091
2,894
2,755
2,649
2,568
2,503
2,448
2,403
2,363
2,329
2,299
2,272
2,249
2,228
2,208
2,190
2,174
2,159
2,145
2,132
2,080
2,041
2,010
1,986
1,965
0,01
7,340
5,437
4,666
4,242
3,972
3,783
3,641
3,532
3,444
3,371
3,310
3,257
3,212
3,172
3,136
3,106
3,078
3,052
3,028
3,007
2,987
2,969
2,952
2,884
2,833
2,793
2,762
2,735
0,001
9,651
7,128
6,112
5,556
5,201
4,955
4,772
4,629
4,515
4,420
4,341
4,274
4,215
4,164
4,118
4,078
4,041
4,009
3,979
3,952
3,927
3,904
3,882
3,794
3,730
3,679
3,638
3,604
s'—корень квадратный из несмещенной оценки дисперсии (см. § 8.7).
628

Таблица П.9
нормальных распределений
крайней мере A— <х)-я доля распределения будет меньше x+JKs'
отклонения*, вычисленных из выборки объема п.
0,25
3,804
2,619
2,149
1,895
1,732
1,617
1,532
1,465
1,411
1,366
1,329
1,296
1,268
1,242
1,220
1,200
1,183
1,167
1,152
1,138
1,126
1,114
1,103
1,059
1,025
0,999
0,978
0,961
0,10
6,158
4,163
3,407
3,006
2,755
2,582
2,454
2,355
2,275
2,210
2,155
2.108
2', 068
2,032
2,001
1,974
1,949
Л,926
1,905
1,887
1,869
1,853
1,838
1,778
1,732
1,697
1,669
1,646
Г=0,95
0,05
7,655
5,145
4,202
3,707
3,399
3,188
3,031
2,911
2,815
2,736
2,670
2,614
2,566
2,523
2,486
2,453
2,423
2,396
2,371
2,350
2,329
2,309
2,292
2,220
2,166
2,126
2,092
2,065
0,01
0,552
7,042
5,741
5,062
4,641
4,353
4,143
3,981
3,852
3,747
3,659
3,585
3,520
3,463
3,415
3,370
3,331
3,295
3,262
3,233
3,206
3,181
3,158
3,064
. 2,994
2,941
2,897
2,863
0,001
3,857
9,215
7,501
6,612
6,061
5,686
5,414
5,203
5,036
4,900
4,787
4,690
4,607
4,534
4,471
4,415
4,364
4,319
4,276
4,238
4,204
4,171
4,143
4,022
3,934
3,866
3,811
3,766
7=0,99
0,25
2,849
2,490
2,252
2,085
1,954
1,854
1,771
1,702
1,645
1,596
1,553
1,514
1,481
1,450
1,424
1,397
1,376
1,355
1,336
1,319
1,249
1,195
1,154
1,122
1,096
0,10
4,408
3,856
3,496
3,242
3,048
2,897
2,773
2,677
2,592
2,521
2,458
2,405
2,357
2,315
2,275
2,241
2,208
2,179
2,154
2,129
2,029
1,957
1,902
1,857
1,821
0,05
5,409
4,736
4,287
3,971
3,739
3,557
3,410
3,290
3,189
3,102
3,028
2,962
2,906
2,855
2,807
2,768
2,729
2,693
2,663
2,632
2,516
2,431
2,365
2,313
2,296
0,01
7,334
6,411
5,811
5,389
5,075
4,828
4,633
4,472
4,336
4,224
4,124
4,038
3,961
3,893
3,832
3,776
3,727
3,680
3,638
3,601
3,446
3,334
3,250
3,181
3,124
0,001
9,540
8,348
7,566
7,014
6,603
6,284
6,032
5,826
5,651
5,507
5,374
5,268
5,167
5,078
5,003
4,932
4,866
4,806
4,755
4,706
4,508
4,364
4,255
4,168
4,096
629

Нижний
@,909) @,998) @J995)
1000
soo
доверительный предел /t
@,99) (ОМ) @,95) @,9)
@,8) @,5) @,0)
0,001 0,002
0,005 0,01 0,02 0,05 0,1 0.Z
Верхний доверительный предел р
0,5 %0
Р,ис. П.1. Верхний доверительный предел ненадежности (единица
минус нижний доверительный предел (надежности) при -числе опы-
опытов N, наблюдемных отказов F и4 доверительном уровне y=0,60.
630

Нижний .доверительный предел R.
@,95) @,9)
№99) @,998) @,995) @,9$) @,98)
500
200
100
@,8) @,5) @,0)
50
го
10
!
!!
1
и f=
?'
: г »
¦
1 ':'
Z :i
ДЦ I jj ¦' j ^
\\WL M; i =
шУЦЛГ1 s:: ;- :
>
# !
¦в
i JlllHlffl^ : : ~
; ftnlillib ¦ ' -
Ш1
:'-; Ш'
IB
Hjiiij:
1
ii
F=50
щ
пТТ 11 ППИшПГн
IIIII III
И; Illllllll;
¦
¦
1
- iiiiiimir ¦: ¦ :
¦
¦
__]
Til Им I 1 Hi
iiiiiiiiiiiim
H
¦
¦i
[niiiimm к щи i
ия
tt; Щ
Hi
11
0J)O1 0,002 0,005 0.01 0,02 0,05 0,1 0,1
Верхний доверительный предел р
0.5 1,0
Рис. (П.2. 'Верхний доверительный предел ненадежности ,(единица
ми'Н'ус нижний доверителуный предел надежнсхсти) при числе опы-
опытов N, наблюденных отказов F и до1зер.итель1НО1м уровне у^ОД)
631

@,999) @,998)
1000
Нижний доверительный предел ft
@,995) @,99) @,98) @,95) @,9) @,8) @,5) @,0)
0,001 0,002
0,005 0,01 0,02 0,05 0,1
Верхний доверительный предел р
Рис. |П.З. Верхний доверительный предел ненадежности (единица
минус нижний доверительный лредел надежности) при числе опы-
опытов N, наблюденных отказов F и доверительном уровне y = 090
632

@/999)
Нижний доверительный предел Я
(ОЖ) @.995) @,99) @,98) @,95) @,9) @,8)
@,5)
1
0.001
0,002 0,005 0,01 '0,02 0,05 0,1 0,2
Верхний доверительный предел р
0,5 1,0
Рис. П.4. Верхний доверительный .предел 'Ненадежное™ (единица
минус нижний доверительный тфе^ел надежности) при числе опы-
опытов N, наблюденных отказов F и доверительном уровне у=095\
633

Нижний доверительный предел R
@,999) @.998) @,995) @,99) @.98) @,95) @,9) @,8)
1000
500 Щ
ZOO
too
@,5) @,0)
I
50
го
to
щ
и
::| + Н F- 0
¦ 1111 ¦¦¦ ¦ --- ¦¦
¦И
iiiiii
mill
Р — Ц-П ШИПИ1 ¦ : - I - ¦
1
: Щ>\ Щ -; = -!i 5
; ! i lijiiiWi;:; Ь
im
1 1 1 НИШ ii
¦Я
= -i:: ¦' ¦ tmf: '
^ i ¦ ¦ ¦ ' гтттт'
~ 5; ¦';: : mff'
: ! j ! j : i Ц|Ц| : :
ДИт
::::::: : ffflff :
::::::: Щ \
jjiiiii ;1
ниш il l
¦
^ 1'
; 11-;;;
H|[}JH~ IE i i
н
mm
В
I:
;||; ::
|ШЦ}| i:i : :
Верхний доверительный предел р
0,2
0,5
Рис. П.5. Верхний даве/рителыный предел ненадежности (единица
минус нижний доверительный предел 'надежности) ори числе олы-
тов N, наблюденных отказов F и доверительном уровне у^Э
634

90
ВО
? 70
@,0)
A,0) A,1) A,0)
/ X
a,i) C,0) ал)
yjsja
:r::rs:ssr,::K:sv^:ri::!:i5iri:.-i:%2i:ri^5ii:?^P^-::::>';i::?2^:i::r:
ris??=:sr-s:sr-'s:rjr.5:'.2:ri!:irj:'::ri^i=r^iTir:r^2-'-s::?rriis:rp:i::?;i;s:
15 20 25
Число опытов
Рис. П.6. 50-л|роцентный нижний доверительный (предел надежности
системы -для наблюденных сочетаний отказов (последовательной си-
системы, состоящей из двух .подсистем. N опытов с каждой подсисте-
подсистемой. (Вое перестановки сочетаний отказов эквивалентны.)
635

woo
500
ZOO
100
4
Ч§ 50
Нижний доверительный предел И
@J999) @,998) @,995) @,9$) ЩВ) @,95) @,9) @,8) @,5) @,0)
го
ю
РЧ
Е F=Z '
\Ш /--5 11
ИИ If-7 '
; = = : f-;^
ми f=^?;
- - ¦ ¦ ¦ ¦ Щ
- ¦ ¦ ¦ ' 1 1111II IIII
пнин
¦ : :: : 11
: в ДШИЦ1 е | : : =с
i iЩЩ. = I t i =-
¦
I
IllUlllllli ¦¦ ¦'¦ \'-'z
-Л щШ;'
i
11
ИИ
I
¦ ^{ЦЦу ¦ t : =
;!Hii1i
Hi
if
';;; : ш
::;: i:
щц - - -
0,001 0,002 0t005 0,01 0,02 0,05 0,1 0,Z
Верхний доверительный предел р
0,5 1,0
Рис. П.7. 90-процентный нижний доверительный предел надежности
системы для наблюденных сочетаний отказов последовательной си-
системы, состоящей из двух подсистем. ./V опытов с каждой подсисте-
подсистемой. (Все перестановки сочетаний отказов эквивалентны.)
630

90
(О,о)
80
—(uo)
йО
-30
20
10
: i : =
г
. г:
¦X
- ^
Ш
t~-
i
1
ItJ
i
г = _
= = :
ми
Hill
- =
=
= = = i = ii= = i
=
i
=Й8
420.0)
10
15
20 25
Число опытов N
30
35
Рис. П.8. 95-процентный нижний доверительный предел надежности
системы для наблюденных сочетаний отказов последовательной си-
системы, состоящей из двух подсистем. N опытов с каждой подсисте-
подсистемой. (Все перестановки сочетаний отказов эквивалентны.)
637

(ОАО)
A,1,0) B,0,0) A,1,1)
(ЦО) (ЗуО,0)
50
I мш ш я шшшшшш?ш^л^л v ш5ш^'55 ?яй2?яЯ!^гш ¦^¦5и5^5^и55?я555иЯ55ш2?ив5'ш55^ш PSe^?^*^^"
@,0,0)
—(НЛО)
—A2,0,0)
—ШЛО)
—(М.0,0)
—A5.0,0)
—A6,0,0)
—(П.0,0)
—ШЛО)
—A9.0,0)
—ШЛО)
===============================================================:======
20 25
Число опытоб, hf
Рис. П.9. 50-процентный нижний доверительный предел надежности
системы для наблюденных сочетаний отказов последовательной си-
системы, состоящей из трех подсистем. (Все перестановки сочетаний
отказов эквивалентны.)

(оло)
ало)
10
15
20 25 30
Число опытов, N
3$
Ри-с. П. 10. 90-1процент1ный нижний доверительный предел надежности
си'стемы для наблюденньпх сочетаний отказов последовательной -си-
-системы, состоящей из трех подсистем. (Все перестановки сочетаний
отказов эмвиваленины.)
639

@.0.0)'
B,0,0)
A11)
2,1,0)
ЗАО
2,1,
ю
15
20 25 30
Число опытов, N
35
Рис. 1П.1Ш1. 95-1процентный нижний доверительный предел надежности
системы для -наблюденных сочетаний отказав то/следо-в-ательной си-
•стемы, .состоящей -из трех «подсистем. |AВ'се перестановки сочетаний
отказов эквивалентны.)
640

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анализ с точки зрения иа.деж-
«ости (reliability analysis)
46
— системы регулирования тем-
температуры космического ко-
корабля ^(of space vehicle tem-
temperature control system) 325
Арксинус-преобразование (arc-
sine transformation) 210,
250, 251
Асимптотическая нормальность
(asymptotic normality) ом.
.нормальная ап-проксимация
210, 218
Асимптотически несмещенная
оценка (asymptotically un-
unbiased estimator) 217
Ассоциативный закон (associa-
(associative law), см. табл. 5.1 108
Б
Безусловное распределение
(marginal distribution) 138,
140
— случайных величин для дис-
дискретного распределения (for
discrete distribution) 143
Биномиальное распределение
(binominal distribution) 93,
120, 128, 135, 214
— примеры 137, 140
41—1113
— отказов (of failures) 155
— среднее (mean) 157
— нормальная аппроксимация
(normal approximation) 159
— связь с отрицательным би-
¦ном'иальньгм распределени-
распределением (relation to negative bi-
binomial distribution) 169
— успехов (of successes) 156
—• дисперсии .(variance) 157,
158.
Биномиальные выборочные
планы (binomial sampling
plans)
— параметры (parameters) 360
— применение «при оценке на-
надежности турбогенератора
(turbo-generator) 573
—- граничн'ые точки (boundary
points of) 360
— критерии для планов с вы-
выборкой постоянного объема
или укороченных выбороч-
выборочных кланов (criteria for fi-
fixed sample size or curtalized
sampling plan) 373
— оптимальный план для за-
заданной функции оператив-
оперативной характеристики (opti-
(optimum plan for given opera-
operating characteristic function)
370
641

— с использованием модели
распределения времени без-
безотказной работы (time-fo-
failure model) 381
— последовательный план
Вальда (Wald sequential)
373, 376
Биномиальные доверительные
пределы (binomial confiden-
confidence limits) 269
— точные (exact) 273
Биномиальные коэффициенты
(binomial coefficients) 120,
367
Бюджет и надежность (budget
and reliability) 15
В
Вероятность (probability)
— свойство аддитивности (ad-
(additive property) 111
— условная вероятность (con-
(conditional) ИЗ, 122
— ошибки при принятии реше-
решения (of error in making de-
decision) 374
— одновременного осуществле-
осуществления двух событий 137
Вероятности состояния (state
probabilities) 193, 418
Весовой коэффициент (weigh-
(weighting factor)
— вычисление (computation)
59в
— определение 598
— пример вычисления 600
— приложения 39, 598
— дисперсия (variance of) 614
Взаимодействие элементов
(component interaction) 99
Внезапный отказ (random fai-
failure) 18, 19
Внешние факторы (environmen-
642
tal factors), см. факторы
внешних условий 465
— установление важности (es-
(establishing importance of) 465
Выборка случайная (sample
random) 145
Выборочная дисперсия (sample
variance) 149
— несмещенная оценка диспер-
дисперсии основного распределе-
распределения ((unbiased estcmator of
population variance), см»
дисперсия 149
Выборочное распределение
(sample distribution) 147
Выборочное среднее (sample
mean) 148
— как состоятельная оценка
истинного среднего совокуп-
совокупности (as consistent estima-
estimator for population mean) 215
— определение 148
— как несмещенная оценка ис-
истинного среднего совокуп-
совокупности (as unbiased estima-
estimator for population mean),см.
среднее 215, 216
Выборочные методы (sampling)
101, '145, 175, 354, 356
— биномиальные (binomial)
155, 357, 359
— укороченные (curtailed) 363
цензуированные (censored)
146, 391, 397
— частичное укорачивание
(partial curtailment of) 385
— целевая выборка (purposi-
(purposive) 146
—¦ для оценки выполнения тре-
требований по .надежности (for
reliability demonstration) 354
— последовательная 'выборка

(sequential) 1>46, 177, 376,
403, 574
— простая случайная выборка
(simple random) 146
— расслоенная выборка (stra-
(stratified) 146
— усечение выборки (trunca-
(truncation of) 357, 373, 381, 397,
404
Выборочные пространства
(sample space) 105, 145
— при биномиальных испыта-
испытаниях (for binomial trials)
175, 270, 360
— непрерывные (continuuos)
105, 124
— счетные (denumerable) 105
— дискретные (discrete) 105
— несчетные (non-denumerab-
le) 105
— выборочные точки (sample
points of), см. событие 105
Выборочный момент (sample
moment) 148
П
Гамма-распределение (gamma-
distribution) 137, 199, 228,
258, 260
— как предельная форма от-
отрицательного биномиально-
биномиального распределения (as limi-
limiting form of negative bino-
binomial distribution) 171
— связь с ^-распределением
(relation to Chi-square distri-
distribution) 220
— как специальный случай
плотности вероятности рас-
распределения времени безот-
безотказной работы (as a special
case of the generalized time-
to-failure distribution) 203
41*
Гамма-фувдщия (gamma-func-
(gamma-function) 131, 136, 172, 174,186,
19в, 199, 208, 220, 228, 236,
25S, 260
—• ссылка на та'блицы 236
Геометрическое распределение
(geometric distribution) 124,
165
— предельная форма (limiting
form of) 171
Главный перечень элементов
(master list of components)
52
— использование 595
Граница приемки (acceptance
boundary)
— для биномиальных выбо-
выборочных методов (или пла-
планов) (for binomial sampling
plans) 360
— для последовательного плч-
на Вальда (for Wald sequ-
sequential plan) 376
— для последовательного пла-
плана Вальда испытаний на
долговечность (for Wald se-
sequential life-test sampling
plan) 405
Граница браковки (rejection
boundary)
— для общей схемы бином'и-
альной 'выборки (биноми-
(биномиального выборочного пла-
иа) (for general binomial
sampling plan) 360—365
— для последовательного вы-
выборочного плша Вальда при
«испытаниях -на долговеч-
долговечность (for Wald sequential
life-test sampling plan)
376, 405
Граничные 'испытания (periphe-
(peripheral testing) 445
643

— при подтверждении надеж-'
иости (in demonstration of
required reliability) 469
— исключение испытаний в
программе оценки надежно-
надежности (exclusion of tests in re-
reliability evaluation pro-
program) 573
Граничные точки (boundary
points)
— биномиальных выборочных
планов (of binomial samp-
sampling plans) 360
Гре-ко-латинский квадрат (grae-
co-latin square) 473
— статистический талан испы-
испытаний ракетного дв'итателя
на твердом топливе (stati-
(statistical design for solid pro-
pellant roclet engine) 462
Группа надежности (reliability
group)
— деятельность (activities) 27,
31, 36
— эффективность (effectivity)
34
— необходимость официальной
координации 'работ с осталь-
остальными организационными
единицами предприятия
(need for formal coordina-
coordination) 54
— положение, занимаемое на
предприятии (position in or-
organization) 31
Группировка результатов испы-
испытаний (combining test re-
results)
*— справедливость (validity of)
89
Д
Данные (информация! (data)
— анализ (analysis of) 63
644
— анализ для оценки надеж-
надежности ЖРД (for reliability
evaluation of liquid rocket
engine) 597
— качественные .(attribute),
определение 92
— центральная картотека (cen-
(central file) 63
-- сбор (collection of) 59
— текущие (current), опреде-
определение 566
—• неправильная обработка
(deficient handling) 21
— расчет рассылки (distribu-
(distribution) 62
— толкование (interpretation
of) 37, 54, 63
— однородность (homogeneity
of) 63
— полнота ((integrity of) 54,
560
— тип данных, используемых
•при оценке надежности ЖРД
595, 597
— заявление перед испытанием
(pretest declaration) 84
— центральная картотека ин-
информации о надежности (re-
(reliability central file) 80
— примеры 81—84
— представительные, •репрезен-
•репрезентативные '(representative)
методы отбора (method of
control) 556
— (последовательные i(seguen-
tial)
достоинства (advantages)
475
недостатки (disadvanta-
(disadvantages) 475
--— необходимость преобразова-
преобразования l(need for transforma-
transformation) 466

— виды исходных данных 91,
92
— организация обмена (trans-
initlal) 21
Дагчик критического состояния
(abort sensing system) 311
Дельта-функция Дирака (Dirac
cielta-function) 349
Диаграмма раосеивания (scat-
(scatter diagram), см. случайно
сбалансированные планы 495
Дискретные распределения ве-
вероятностей (discrete distri-
distributions), см. распределения
вероятностей и функция
распределения 119
Дисперсионный анализ (analy-
(analysis of variance)
— для непрерывных экспери-
экспериментальных планов (in con-
continuous experimental designs)
477
— при определении компонен-
компонентов дисперсии (in determi-
determining components, of varia-
variation) 454
Дисперсия (variance)
—определение 131
— для арксииус-преобразова-
1ния биномиальной сово-
совокупности (for arcsine trans-
tormation) 251
— би.ном'инального распределе-
распределения (of binomial distribu-
distribution) 157, 158
— постоянной (of constant) 150
— функции (ofa function)
нескольких случайных
величин (of several random
variables) 334
— оценки однопараметриче-
ского распределения (ofa
single parameter estimator)
249
- оценок двухпараметриче-
ского распределения (of two
parameter estimators) 253
- гамма-распределения (for
gamma-distribution) 200
- выборочного распределения
(sample distribution) 149
- среднего случайной выборки
(of sample mean) 151
- — приложения (application)
217
- выборочного 1ста'ндартн'ого
отклонения *(of sample stan-
standard deviation) 217
- выборочной дисперсии (of
sample variance) 252
ч — для нормального распре-
распределения 151
- весовых коэффициентов (of
weighting factors) 614
-• линейной функции (of li-
linear function) 144
- оценки максимального прав-
правдоподобия (of maximum li-
likelihood estimator) 223
для многопараметриче-
ских распределений (for
multiparameter distributions)
231
- — для отрицательного би-
«омиашьного распределе-
распределения (for negative binomial
distributions) 223
- произведения (of product)
145
- функции -надежности (of re-
reliability function) 250
- — -при1 показательном рас-
распределении (exponential di-
distribution) 253
• — ш|ри гамма-распределении
(gamma-distribution) 259
645

при нюрмальном распре-
распределении (normal distribu-
distribution) 254, 266
'при распределении Вей-
булла (Weibull distribution)
255, 256
— оценок параметра роста на-
надежности (of reliability
growth parameter estima-
estimators) 431
Дистрибутивный закон -(distri-
-(distributive law), см. табл. 5.1
108, 1112
— пересечения по отношению
к объединению (of intersec-
intersection with respect to union)
108
— объединения по отношению
к пересечению (of union
with respect to intersection)
109
Доверительные пределы (con-
(confidence limits)
— naipa-мегра биномиального
распределения (on binomial
parameter) 226, 248, 267, 269
— в случае отрицательного би-
¦номиального распределе-
распределения (in negative binomial
sampling) 278
— точные (exact)
— — в случае биномиальной
схемы (on binomial parame-
parameter) 273
.применительно к .показа-
.показательному распределению (on
exponential reliability func-
function) 253
в случае гамма-распре-
гамма-распределения (on Gamma reliabi-
reliability function) 260
— — в случае (нормального
распределения (on normal
646
reliability function) 263, 266
в случае распределения
Вейбулла (on Weibull relia-
reliability function) 255
средней выборки из нор-
нормальной совокупности (on
mean of normal dustribu-
tion) 225
среднего времени безот-
безотказной работы (on mean
time-tofailure) 248
полученьые путем нор-
нормального приближения (ba-
(based on normal approxima-
approximation) 225, 226, 248, 249, 252,
254, 256, '257, 259, 265, 266,
267, 293, 433, 614—616.
— ограничения (limitations)
229
— параметра. распределения
Пуассона (on the Poisson
distribution parameter) 267,
279
вероятности удовлетво-
удовлетворения требования к полно-
полному времени работы двигате-
двигателя (on probability of mee-
meeting full duration require-
requirement) 615
— функции надежности (on re-
reliability function)
при показательном рас-
распределении (exponential di-
distribution) 258
при гамма-распределении
(gamma-distribution) 258
для независимой парал-
параллельной системы (of inde-
independent parallel system)
268, 306
Доверительные уровни (confi-
(confidence levels) 37, 96
Доверительный предел (сопП-

deuce coefficient) 252, 354
Донесение об отказах (failure
report form) 01, 64
— распределение (distribution
of) 68
— пример 66
Донесение о наработке (log of
operating time) 72
Допуски (tolerances) 337
— выражение через стандарт-
стандартные отклонения (standard
deviations) 337
Достоверность (assurance, sta-
statistical), ом доверительные
пределы и уровни 311
Единичная ступенчатая функ-
функция (unit step function), как
функция распределения (as
a distribution function) 129
ж
Жидкостный ракетный двига-
двигатель (ЖРД) (liquid propel-
lant rocket enqine)
— критерии для классифика-
классификации результатов испытаний
(criteria for test classifica-
classification)
успех, отказ, исключение
(success, failure, exclusion)
593
— программа оценки надежно-
надежности (reliability evalution
program) 589
Зависимость, статистическая
(dependence, statistical)
— опытов в модели роста на-
надежности (of trials in
growth model), см. незави-
независимость 420
Зависимость интенсивности от-
отказов от условий .примене-
.применения деталей (part applica-
application failure rates) 31'8, 327,
328
— ссылки на таблицы 318
Задачи, возникающие при ис-
исследовании, -надежности (re-
(reliability goals) 42
Закон больших ч,исел (law of
large numbers) 158
Закон двой-ствемнО'Сти (duali-
zation law), см. табл. 5.1 109
Закон инволюции (involution
law), см. табл. 5.1 108
Закон погашения (absorption
law), см. та'бл 5.1
Замена изделий (replacement
procedure)
'— при испытаниях и а время
безотказной работы (in life
testing) 384, 391
— в случае применения после-
последовательного выборочного
плана Вальда (in Wald se-
sequential) 404
Замена элементов (component
replacement) 345
Запрос группы надежности о
корректирующем действии
(reliability action request
form) (образец) 70
Запятая (comma)
— 'используется вместо симво-
символа пересечения (in place of
intersection symbol) 122, 138,
ч 284
Значимое конструктивное из-
изменение (significant design-
change) в программе под-
подтверждения надежности (in
reliability demonstration pro-
program) 567
647

и
Изменчивость (variability) чис-
числа опытов до .принятия ре-
решения (of number of trials
to reach dicision), см. дис-
дисперсия 380
Изношенный элемент (wornout
component), определение 596
Интенсивность отказов (hazard
function)
— определение 183
— показательное распределе-
распределение (for exponential distri-
distribution) 185
— распределение крайних зна-
значений (for extreme value di-
distribution) 187
— га мм а-распределение (for
gamma-distribution) 186
— пр-имеры 189, 190
— np-иложен'ия к испытаниям
на надежность (reliability
demonstration procedure) 388
— свойства (properties) 183
— распределение Вейбулла
(Weibull distribution) 185
Интенсивность отказов (failure
rate)
— пример расчета изменения
586
— пример определения значи-
значимого изменения (of search
for significant difference)
580
— проверка значимости рас-
расхождения между 1инт. огк.
в совокупностях, образо-
образованных делящей точкой 579
— проверка "изменения (test
for change in) 575*
Интервалы (intervals) типы
(types) 125, 126
Исключение (exclusion), испы-
648
таний, «еучет ях .результа-
.результатов при оценке 'надежности
(of tests from reliability
evaluation) 560, 573, 590
Испорченный элемент (dama-
(damaged component) определе-
определение 596
Испытания на надежность (life
testing)
— цензурированные (censored)
397
— при обобщенной функции
распределения времени без-
безотказной работы (based on
generalized time-to-failure
distribution) 388
— сокращение среднего време-
времени ожидания до принятия
решения (reduction of expec-
expected time to completion of
decision) 399
— усеченные '(truncated) 397
— до отказа всех изделий (un-
till all items fail) 309
— до отказа г изделий из N
(untill r out of N items fail)
391
—• приложения 444
Испытания (testing)
— неполноразмерных РДТТ
(subscale testing of solid
propellant rocket engines)
554—555
— планирование (planning of)
51
— предпосылки для (reasons
for) 441
— на чувствительность (sensi-
(sensitivity) 485
— последовательность (поря-
(порядок) (sequence) 446, 469
— систем (system) 441
— на время безотказной рабо-

ты, .на долговечность (time-
to-failure) 444
— цензурираванные (censored)
391, 397
— элементов (component) 441
— ;на число циклов (cycle-to-
failure) 445
— >на влияние окружающей
среды (environmental) 446
— факторы, учитываемые при
планировании 448
— граничные (peripheral) 445
Испытания отдельных элемен-
элементов (component testing)
— достоинства (advantages)
44-2
— (недостатки (disadvantages)
443
— в 'больших ЖРД (in large
liquid propellant rocket engi-
engines) 589
Испытания на влияние окру-
окружающей среды (environ-
(environmental testing) 446
— примеры 456, 462, 464,476
— как требование для под-
подтверждения .надежности (as
reliability demonstration re-
requirement) 606
Испытания на чувствительность
sensitivity testing), см. ана-
анализ по Брюстону (Bruceton
analysis) 485—493
— доверительные пределы
(confidence limits) 491, 492
— критический уровень (criti-
(critical level) 492
— оценка -среднего (estimator
for mean) 490
— оценка стандартного откло-
отклонения (estimator for stan-
standard deviation) 489
— выбор .начальных условий
(choice of initial conditions)
487, 490
— методика 487
— процентные пределы (per-
(percentage limits) 492
— стандартное отклонение
среднего .(standard deviation,
of mean) 40-1
— стандартное отклонение
'ставдарпного отклонения-
(standard deviation of stan-
standard deviation) 491
Испытания систем (system tes-
testing) 441—443
— достоинства (advantages)
441
— недостатки (disadvantages)
442
— fio -программе разработки
жидкостного ракетного дви-
двигателя (in liquid rocket en-
engine development program)
589
Исследование зависимости
между усилием и .прочно-
.прочностью звена (stress versus-
""» strength analysis)
. — необходимость 91
j Исследование надежности ба-
батарейного источника пита-
питания (battery reliability ana-
analysis) 115
Исследование -поверхш-сти от-
клика (response surface ex-
experimentation)
— примеры использования 527"
— срав-нен'ие с методом совер-
совершенствования операция
(comparison with evolutio-
evolutionary operations) 522
— определение оптимума (de-
(determination of optimum) 529
— примеры 542

— геометрическое представле-
представление для случая с двумя
входными переменными
(geometrical illustration for
two input variables) 523—526
— методика 529
— метод быстрейшего подъема
(method of steepest ascent)
530
пример 533
Каноническое уравнение (carto-
nical equation)
— преобразование к канониче-
каноническому виду (reduction to)
540
Классификация результатов ис-
испытаний (test results classi-
classification)
— основные правила дляЖРД
(ground rules) 593
— основные правила для РДТТ
(ground rules) 561
Козариация (covariance)
— определение 143—145
для непрерывных рас-
распределений (continuous dis-
distributions) 143
для дискретных .распре-
.распределений (discrete distribu-
distributions) 143
через математические
ожидания (interms of expec-
expected values) 144
— оценок (of estimators)
параметров гамма-рас-
гамма-распределения (gamma-distri-
(gamma-distribution parametrs) 231
параметров распределе-
распределения Вейбулла (Weibull dis-
distribution parameters) 235
распределения времени
650
безотказной работы (of ti-
nie-to-failure distribution)
612
максимального правдо-
правдоподобия (of maximum like-
likelihood estimators) 231
— при мультиномиальном рас-
распределении (in multinomial
distribution) 161
— для независимых случайных
величин (for independent
random variables) 144
Коммутативный закон (commu-
(commutative law) 108
— приложение 111
Контроль качества (quality
control) 28
— связь с исследованием на-
надежности 32, 33
Контроль поставщика (vendor
control) 53
Конструирование (human engi-
engineering) 22
Конструктивные 'изменения (de-
(design change)
— влияние на анализ экспери-
экспериментов (effect on analysis
of experiment) 479
— влияние на оценки надеж-
надежности (effect on reliability
evaluation) 566, 567, 576 ^
Конструктивное изменение по
надежности (reliability de-
design change), определение
566
Координация -работ с целью
повышения .надежности (co-
(coordination of reliability ef-
efforts)
— методы обеспечения (me-
(methods of ensuring) 55
Коррозия (corrosion), прило-
приложения распределения край-

«его значения '(application
of extreme value distribu-
distribution) 190
Коэффициент вида использова-
использования (operating mode factor)
319
Коэффициент корреляции (cor-
(correlation coefficient)
— определение 144
— оценок распределения вре-
времени безотказной работы
(of estimators of time-to-fai-
time-to-failure distribution) 613
— оценок (Параметра гамма-
распределен'ия (of gamma-
distribution parameter esti-
estimators) 234
— при мультиномиальном рас-
распределении (in multino-
multinomial distribution) 164
— свойства (properties) 144
— результатов испытаний в
модели роста надежности
(of success ratios during re-
reliability growth) 437
— двух характеристик подси-
подсистем (of two subsystem at-
attributes) 286
— оценок параметра распреде-
распределения Вейбулла (of Weibull
distribution parameter esti-
estimators) 238
Коэффициент условий приме-
применения Ka (application fac-
factor) 318
Критерии (criteria)
— для подтверждения надеж-
надежности (for reliability demon-
demonstration) биномиальная вы-
выборка (binomial sampling)
373—376, рис. П1— П5,
табл. П.1
— для оценки результатов ис-
испытаний на надежность,
долговечность (life testing)
384, 38?, 389, 398, 405, табл.
10.3, табл. П'2—П.7.-
— для общей оценки надеж-
надежности 84, 87
— общие представления о 38,
30
— оснозные правила для вы-
выбора и 56 Г, 1562, 571, 590, 593
Критерии классификации отка-
отказов (failure criteria)
— для ЖРД (for liquid propel-
lant rocket engine) 593
— для РДТТ (for solid propel-
lant rocket engine) 561
Критическая область (critical
region)
— для биноминальных выбо-
выборочных планов (for binomial
sampling) 360
Критические уровни внешних
условий (critical levels of
environment) 488
Л
Логарифмически-нормальное
распределение (lognormal
distribution) 210
M
Математика, ее роль в иссле-
исследовании надежности (Ma-
(Mathematics, its role in reliabi-
reliability) 89
Математическое ожидание (ex-
(expectation)
— свойства (properties) 149
Математическое ожидание (ex-
(expected value)
— для арксинус-преобразова-
арксинус-преобразования биномиальной сово-
совокупности (for arcsine trans-
transformation) 249—251
651

— постоянной (of constant) 150
— определение 130
— функции (of a function)
одной оценки (выбороч-
(выборочного момента) (of one esti-
estimator) 249
двух оценок (of two es-
estimators) 253
— произведения двух случай-
случайных величин -(of product of
two random variables) 144
— оценки «надежности (of re-
reliability estimator) 252
при -показательном рас-
распределении (exponential dis-
distribution) 252
при распределении Вей-
булла (Weibull distribution)
255—256
— — выборочного среднего
(of sample mean) 150
выборочной дисперсии
(of sample variance) 151
— суммы (of sum), см. сред-
среднее H50
Математчеокое ожидание вре-
времени испытаний (expected
test time) 386
— в укороченных планах ис-
испытаний на долговечность
(in curtailed life test) 385,
386
— при 'испытаниях на долго-
долговечность (in life lest)
без замены (nonreplace-
ment procedure) 392
с заменой (replacement
procedure) 391
Матрица (matrix)
— условных вероятностей (of
conditional propabilities) 421
— обращение (inverse of) 232
Матрица дисперсий и ковариа-
€52
ций (variance-covariance
matrix) 232, 233, 237, 612
Метод максимального правдо-
правдоподобия (maximum likeliho-
likelihood method) 218, 226
— приложения
к биномиальному распре-
распределению (to binomial dist-
distribution) 222
к показательному рас-
распределению (to exponential
distribution) 219
к гамма-распределению
(to gamma-distribution) 228
*-* •-• к «нормальному .распреде-
.распределению (to normal distribu-
distribution) 226
к распределению Пуассо-
Пуассона -(to Poisson distribution)
223
к распределению Вейбул-
ла (to Weibull distribution)
235
частный -пример 219
— использование пр-и оценке
надежности ЖРД (in esti-
estimation of liquid propellant
rocket engine reliability) 607
— использование при оценке
параметров роста надежно-
надежности (in estimation of reliabi-
reliability growth) 427
Многократно сбалансированные
планы (multiple balance de-
designs) 440—441
— достоинства (advantages)
499
— методика 499—501
— составление (construction
of) 500
— пример 501
Многомерное нормальное рас-

пределение (multivariate
normal distribution) 210
Модель отказов (failure mo-
model) 97, 153
— влияние метода получения
выборочных данных на (ef-
(effect of method of sampling
on) 94
—' кипы, определения (types,
determination of) 94, 95
Модели процесса гибели (death
process models) 192
Модель скорости роста надеж-
надежности (rate-of-growth model)
426
— выводы 435
Модель слабейшего звена (we-
(weakest-link-model) 294
— модель цепи как частный
случай (chain model, as par-
particular case of) 295, 296
Модель стоимости для испыта-
испытаний на надежность (cost
model for reliability demon-
demonstration) 394, 412
Модель цепи (chain model) 295,
296
Моментная производящая
функция (moment genera-
generating function) 133
— для биномиального распре-
распределения (for binomial dis-
distribution) 135, '137, 157
— в случае дискретного рас-
распределения (for discrete di-
distribution) 135
— применительно к пуассонов-
ским случайным величинам
(applied to Poisson random
variables) 135, 137
— обращение (inversion of)
136
—« квадрата нормально распре-
распределенной случайной вели-
величины i(of square of normal
variable) 402
— для суммы случайных неза-
независимых величин (for sum
of independent random vari-
variables) 136, 403
Моменты (moments) 130
— биномиального распределе-
распределения (of the binomial distri-
distribution) 157
— распределения (of a distri-
distribution) 137
— по отношению к среднему
(about the mean) 130, 131
— для нормального распреде-
распределения (for normal distribu-
distribution) 134
— начальные (ordinary) 130
— случайной величины (of a
random variable) 133
— выборочного распределения
(of a sample distribution)
133
k-ft центральный мо-
момент (k central moment) 148
k-й начальный момент
(k ordinary moment) Г48
— выборочных моментов (of
sample moments) 149
Мультиномиальное распределе-
распределение (multinomial distribu-
distribution), -приложения 161, 164,
222, 299
H
Надежность (reliability)
— финансирование мероприя-
мероприятий по исследованию (bud-
(budgeting) 15, 26, 35
— определение 36
для модели роста (for
growth model) 417, 420
653

— при конструировании (in de-
design) 415
— независимых последователь-
последовательных систем (of independent
serial systems) 286, 321
доверительные пределы
(confidence limits), рис.
П6—ПИ
— /г-ззенной цепи (я-link chain)
300
*— — верхнее предельное зна-
значение (maximum value) 302
нижнее предельное зна-
значение (minimum value) 302
— как новая методология (as
a new methodology) 30
— как вероятностное понятие
(as a probability concept) 36
— последовательной системы
(of serial system) 294
— — для модели слабейшего
звена (of weakest link)
— эффективность организации
исследования (organizatio-
(organizational effectivity) 27—35
— и тактико-технические ха-
характеристики (and perfor-
performance) 48
Научный метод (scientific me-
method) 446
— как фундамент статистичес-
статистического экспериментирования
(as basis of statistical expe-
experimentation) 447
Национальная безопасность
(national security) 30
— влияние последствий нена-
ненадежности (implications of
unreliability) 13
Начальный период (burn-in pe-
period) 182 .
Независимая параллельная си-
654
стема (independent parallel
system) 306, 321
— доверительные пределы
надежности (confidence
limits on reliability of) 268,
306
Независимые последовательные
системы (independent serial
systems) 284, 321
— доверительные пределы на-
надежности (confident limits
on reliability of) 268, 287,
294, рис. П6—П11
Независимость* (independence)
— определение с помощью
условных вероятностей
(conditional probabilities)
115
функций распределения
(distribution functions) 140
— — функций плотности веро-
вероятности (probability densi-
density functions) 141
случайных величин (ran-
(random variables) 122
— событий (of events) 115
— — в совокупности (mutual)
115, 146, 2-84
попарная (pairwise) 115
случайных величин (ran-
(random variables) 122
Неоднократные совокупности
(heterogeneous populations)
при оценке надежности (in
reliability evalution) 554
Непрерывные распределения
вероятностей (continuous
probability distributions) 124
Неравенство Чебышева (Tche-
bycheff's inequality) 131
— приложения 133, 158, 217
Несмещенная оценка (unbiased
estimator) 215

— биномиального параметра
(of binomial parameter) 160
— для обобщенных биномиаль-
биномиальных выборочных планов (in
generalized binomial samp-
sampling) 180
— для отрицательного бино-
биномиального распределения
(for negative binomial dis-
distribution) 169—.171
— единственность, однознач-
однозначность (uniqueness) 170, 171
—- для геометрического рас-
распределения (for geometric
distribution) 169—171
— дисперсии o-CHOBiHoro распре-
распределения (for parent distri-
distribution variance) 149
— связь с выборочной диспер-
дисперсией (relation to sample va-
variance) 149
— надежности для произволь-
произвольного распределения времени
безотказной работы (of re-
reliability, for arbitrary time-
failure distribution) 602—
604
Несовместные события (mutu-
(mutually exclusuve events) 313
— связь с независимостью (re-
(relation to independence) 117,
118
Нормальная аппроксимация
(normal approximation)
— биномиального распределе-
распределения (to binomial sampling)
159
— для вычисления доверитель-
доверительных пределов (for calculati-
calculation of confidence limits) 225,
226, 249, 253, 254, 255, 229,
259, 265, 267, 293, 432, 615
— гамма-распределения (to
gamma-distribution) 201, 203
— ограничения при малых
объемах выборки (limita-
(limitations for small sample size)
229
Нормальная плотность вероят-
вероятности (normal probability
density function) см. нор-
нормальное распределение 133,
207, 225
— нормированная 135
Нормальное распределение
(normal distribution) 206
210, 226, 263, 332, 304, 305,
356, 402
— центральная предельная тео-
теорема (central limit theo-
theorem) 209
— как предельный случай об-
общей модели распределения
времени 'безотказной рабо-
работы i(as a limiting form of a
generalized) (time-to-failure
distribution) 203
— средние отклонения (mean
deviation) 127
— свойства (properties) 207
— стандартное отклонение
(standard deviation) 128
— нормированное 133, 134, 207
— ссылки на таблицы 209
— толерантные пределы (tole-
(tolerance limits) 209
• односторонние (one-si-
(one-sided) 628—629 табл. П.9
Нормальная функция распре-
распределения (normal distribution
function), см. Нормирован-
Нормированная нормальная функциг
распределения 128
Нормальная функция распреде-
распределения (нормированная)
(standard, normal distributi-
655

on function) 128, 159, 201,
207, 224, 254, 263, 304, 305
Нормальное уклонение (normal
deviate) 225
Нор'мироаа-HiHoe .нормальное
распределение (standard
normal distribution) 206—209
Нормированное распределение
йрайн'их значений (standar-
(standardized extreme value distribu-
distribution) см. Распределение
крайних значений 188
Объединение событий (union of
events), см. события 107
Однородность данных (homo-
(homogeneity of data) 554, 581
Оперативная характеристика
(operating characteristic
function) 359
— определение 359
— примеры 361, 370
— 'Последовательного биноми-
биномиального плана Вальда (for
Wald seguential binomial
sampling plan) 378
Оптимальный отклик (optimum
response)
— определение методами co-
•варшемствава'ния операций
(from evolutionary operati-
operation) 511
— определение путем исследо-
исследования поверхности отклика
(from response surface ex-
experimentation) 522
Организация исследования на-
надежности
— положение, занимаемое
группой надежности (pla-
(placing of reliability group)
31
656
— независимость группы на-
надежности (independence of)
34
— деятельность в 'интересах
последов аеи я надежности
(reliability activities) 31, 32
Основная функция .распределе-
.распределения (underlying distribu-
distribution) 146
Ответственность (responsiliti-
es)
— конфликт ответственности
между группой исследова-
исследования надежности -и осталь-
остальными группами (conflict of
between reliability and exi-
existing groups) 28
— руководства (of manage-
management) 27—31
— группы наследования на-
надежности (of reliability
group) 21
Отдел планирования, испытаний
(test planning department)
28
Отказ (failure)
— определение 64
— анализ 61, 63, 65> 70
— формы сообщений (report
forms) 61
—• донесение, пример 66
— виды (modes of) 49, 80, 444
— внезапный (random) 18
— зависимый (secondary) 50
— за (счет «изнашивания»
(wearout) 92, 182, 199, 205
— за счет ошибки оператора
(due to human error) 61
— испытания до отказа, см.
испытания «а долговечность
— катастрофический в стати-
статистическом плане (catastro-
(catastrophic in statistical design)
476

— начальный (initial) 92, 182,
204,
—- обыч.ный (ordinary) 598,
607
— при вы-ключешги (shutdown)
598, 607
— случайный (chance) 93, 199,
205
— пр'ичина которого не уста-
установлена ((неопознанный)
(handling of unassignable)
19, 567
Отклонения -при эксперименте
(experimental variations)
449, 451, 453, 463, 477, 482,
484, 485, 530
Отрицательное биномиальное
распределение (negative bi-
binomial distribution) 165
— дисперсия (variance) 167
— связь с биномиальным рас-
распределением (relation to
binomial distribition) 169
Оценка (estimator) 213
— состоятельная (consistent)
213
— минимум дисперсии (mini-
(minimum variance) 216
— функции надежности (of re-
reliability function) 217
(при показательном рас-
распределении (for exponential
distribution) 248, 253, 247
— — при гамма-распределении
(for gamma-distribution)
258
при нормальном распре-
распределении (for normal distri-
distribution) 263, 266
.при распределении Вей-
булла (for Weibull distribu-
distribution) 255
— несмещенная (unbiased) 215
42—1113
— методы получения (methods
of finding) 217
— свойства (properties) 215
Оценка надежности (reliability
estimation) 92, 97
— при произвольном распре-
распределении времени безотказ-
безотказной работы (of arbitrary
time-to-failure distribution)
607
— и доверительные уровни
(and confidence levels) 38
— и 'предсказание надежности
(and prediction) 102
— и повышение надежности
(and reliability growth) 102
— РДТТ, методика 568
— турбогенераторного устрой-
устройства (turbogenerator) 572—
583
— мощного Ж'РД (large liquid
propellant rocket engine)
589—616
— как абсолютная мера (as an
absolute measure) 41
— как относительная мера (as
a relative measure) 41
Оценка «надежности (reliability
evaluation)
— и подтверждение надежно-
надежности (reliability demonstra-
demonstration) 575, 582, 606
— и заключение договора 41,
553, 606
— исключение испытаний (ex-
(exclusion of tests from) 560—
563, 590, 593
— в случае выборки из неод-
неоднородной совокупности (in
heterogeneous population)
' 554
— при наличии непредстави-
657

тельных да иных (non-repre-
(non-representative data) 40
Оценки максимального правдо-
подо'бия (maximum likeliho-
likelihood estimators)
— минимально достижимое
значение дисперсии (mini-
(minimum variance) 231
— параметров в модели роста
.надежности (of reliability*
growth parameters) 426
— дисперсии и ковариации
оценок в модели роста на-
надежности (variances and
covariances in reliability
growth model) 431—433
Оценки по методу наименьших
квадратов (least square es-
estimators)
— для параметров модели ро-
роста надежности (for relia-
reliability growth model parame-
parameters) 433
Ошибка оператора (human er-
error) 61
Ошибка (error)
— эксперимента, измерения,
случайная выборочная (ех-
perimential, measurement,
random sampling)
— риск, в выборочном плане
(risk of, in sampling plan)
355
— два рода (two kinds) 374
— отклонение (см. отклонения
при эксперименте)
П
Параллельно-последовательная
система (parallel-serial sy-
system) 311, 322
Параллельные системы (paral-
(parallel systems) 306, 321
658
— частично параллельные си-
системы (partially parallel sy-
system) 307—308
— резервирование (избыточ-
(избыточность» (redundancy) 307
Параметры (parameters)
— биномиального, выборочного
плана (of binomial sampling
plan) 373
— распределения (of distribu-
distribution)
—¦ — биномиального (binomi-
(binomial) 137, 156
крайних значений (ex-
(extreme value) 188
.нормального (normal)
131
Пуассома (Poisson) 137
времени безотказной ра-
работы (of time-to-failure)
203—204
Вейбулла (Weibull) 186
Передача информации о на-
надежности (reliability repor-
reporting) 59—88, 563—566, 606
— при (последовательном ана-
анализе (from sequential sam-
sampling computations) 576,582,
583
— форма отчета о надежности
(reliability report) РДТТ,
.пример 564
Пересмотр конструкции (design
review) 31, 35, 46
— и конструктор 48
примерный -перечень во-
вопросов для пересмотра кон-
конструкции с точки зрения на-
надежности (check list) 48
Пересмотр конструкции с точ-
точки зрения надежности (re-
(reliability design review)
46—50

Переходная вероятность (tran-
(transition probability) 193, 422
План программы 'исследования
надежности как руковод-
руководство к действию (reliabili-
(reliability program plan as a charter
of activities) 56
— содержание 57
Плотность вероятности (proba-
(probability density function)
— ompe деление 125
— для .распределения времени
безотказней работы (for
time-to:failure distribution),
194, 195
— для п случайных величин
(for n variables) 140
— нормальная (normal) 133,
207
— возраста (of age) 345, 346,
348
— .примеры 351—353
— свойства (properties) 126,
127
— связь с интенсивностью от-
отказов (relation to hazard
function) !183
— для двух случайных вели-
величин (in two variables) 141'
Поверхность отклика (response
surface)
— каноническое уравнение (the
canonical equation) 525
— аппроксимация (плоскостью
(repr. by linear equation)
'523
— аппроксимация уравнением
второго порядка (repr. by
quadratic equation) 524
Подвижная средняя оценка на-
надежности (moving average
reliability estimate) 604
Подтверждение надежности
42*
(reliability demonstration),
см. удовлетворение требова-
требований к надежности 70, 100,
354—412
использование биномиально-
биномиального выборочного плана (use
of binomial sampling plan)
357—389
¦ 'при показательном рас-
распределении времени 'безот-
'безотказной работы (for expo-
exponential distribution) 383, 389
при последовательных би-
биномиальных выборочных
планах В.альда (Wald sequ-
sequential binomial sampling
plans) 376
'при показательном распре-
распределении времени безотааз-
,ной работы (based on expo-
exponential time-to-failure distri-
distribution) 383—412
(применительно к более об-
общим распределениям (appli-
(applied to more general distribu-
distributions) 388
с использованием мето-
методов биномиальной выборки
(use of binomial sampling
methods) 382
при испытаниях до от-
отказа г изделий из N (cen-
(censored life test—г out of N
items faile) 301
при испытаниях до от-
отказа всех изделий (uncen-
sored life test — all items
fail) 3(89
при времени испытания, от-
отличном от требуемого вре-
времени работы (test time une-
unequal to required life of equ-
equipment) 383
659

— с использованием вальдов-
ских последовательных пла-
планов испытаний на надеж-
надежность (Wald sequential life
test) 403
— при времени испытаний, от-
личнюм от требуемого вре-
мен'и работы (test time une-
unequal to required time) 383,
598
— яри испытаниях на надеж-»
ность, основанных на време-
времени безотказной работы 381,
383, 597
— -при цензурированиях и усе-
че»ных испытаниях на на-
надежность для ... (censored
and truncated life test) 391,
397
— с усечением плана решени-
решением о приемке )(test trunca-
truncation by acceptance) 400
— модель стоимости для . ..
(cost model for) 394, 412
примеры 394, 412
— риск производителя при ...
(producer's risk in) 375
— для жидкостных ракетных
двигателей (for liquid pro-
pellant rocket engines) 45,
589
— для ракетных двигателей,
работающих на твердом
топливе (for solid propellant
rocket engines) 553
— управляемого снаряда (gui-
(guided missile) 401
— связь с распределением тре-
требований к надежности (re-
(related to reliability apportion-
apportionment) 44
— истинная величина надеж-
надежности (true reliability) 42
660
Показательное .распределение
(exponential distribution)
135, 185, 189, 192, 214, 247,
383, 402, 404
— при последовательном выбо-
выборочном плане Вальда (in
Wald sequential sampling
plan) 403
критерии (criteria) 405
модель стоимости (cost
model) 412
/параметры (parameters)
410
— — 'пример 409
— — вывод с использованием
процесса гибели (derivation
based on death process) 192
— для интенсивности отказоз
(hazard function for) 185
— моментная производящая
функция для ... (moment
generation function for) 136
— как предельная форма гео-
геометрического распределения
(as limiting form of geomet-
geometric distribution) 171
— как предельный случай об-
общей модели распределения
времени безотказной рабо-
работы (as a limiting case of ge-
general time-to-failure distribu-
distribution) 203
— 'как распределение суммы
квадратов двух нормально
распределенных случайных
•величин (as distribution of
sum of squares of two nor-
normal variables) 402
— роль в испытаниях на на-
надежность (при подтвержде-
Н'И'И надежности) (role in
reability demonstration) 382,
389, 398, 402

— урезанное (truncated) 191
— как частный случай общей
модели распределения вре-
времени безотказной работы
(as a special case of gene-
general time-to-failure distribu-
distribution) 203
— частный случай связи с ин-
интенсивностью отказав (rela-
(relation to particular form of the
hazard function) 189
По'парно независимые собы-
события (pairwise independent
events), см. независимость
115, 334 •
Последовательно - параллель-
параллельная система (serial-parallel
system) 322, 268
Последовательные биномиаль-
биномиальные выборочные планы
Вальда (Wald seguential bi-
binomial sampling plans)
— урашешя прямых для ли-
¦ний игриемки <и браковки
(acceptance and rejection li-
lines) 376
— функция, показывающая
среднее число испытаний
(average sample number)
379
— уравнение для получения
оперативной характеристи-
характеристики плана (operating charac-
characteristic function) 378
Последовательные системы (se-
(serial systems) 284, 321
— модель цепи (chain model),
296
— определение с помощью вре-
меми безотказной работы
«(in terms of time-to-failure)
310
— зависимые (dependent) 285,
287, 294
— независимые (independent)
100, 284, 321
— модель «слабейшего» звена
(weakest link) 294
Последоадгелыный анализ (se-
(sequential sampling) 177, 178,
376, 403
— достоинства (advantages)
574
— «при -показательном распре-
распределении времени безотказ-
безотказной работы (exponential di-
distribution) 404, '583
— при нормальном распреде-
распределении времени безотказной
работы (normal distribution)
583
— в программе оценки надеж-
надежности (in reliability pro-
program), icm. последователь-
последовательный выборочный план Валь-
Вальда 574
Последовательный план Валь-
Вальда для испытаний на на-
надежность (Wald sequential
life test)
— оперативная характеристика
(operating characteristic fun-
function) 406
— пример 409
— среднее время ожидания
(expected waiting time)
при испытаниях с заме-
заменой (replacement procedure)
408, 409
'при испытаниях без за-
замены (nonreplacement pro-
procedure) 408, 411
— среднее число отказов (ex-
(expected number of failures)
411
661

Правило остановки (stopping
rule) 177
Праъило перемножения (pro-
(product rule) 16, 20, 100, 286,
321, 324, 340, 570
Представление Эджвор.та (Ed-
geworth expansion) 259
Преобразование Лапласа (La-
(Laplace transform) 131, 136,
137, 198, 208, 350
Приемлемые подсистемы (ap-
(applicable subsystems)
— для оценки надежности (for
purposes of reliability eva-
evaluation) 556
— ракетного двигателя, рабо-
работающего на твердом топли-
топливе (of solid propellant rocket
engines) 556
Приравнивание моментов, ме-
метод (method of matching
moments) 230
Проверка на согласие (good-
ness-of-fit-test) при иссле-
даваиии поверхности откли-
отклика (for fitted response sur-
surface) '530, 534—539, 544
Проверка F (F-test)
—< использование три диспер-
chioihihom анализе (in analy-
analysis of variance) 466, 478,
480, 483
— использование в случайно
ic6 авансированных планах
(in random balance designs)
497
— .икшощьзшан'ие при исследо-
исследовании поверхности отклика
(in response surface experi-
experimentation) 531
Программа испытаний для
предварительного определе-
определения качества ,(цель) (рге-
662
gualification test program)
457
Пропуск данных (missing va-
values) 471
— влижние на результаты ис-
исследования случайно сба-
сбалансированного плана (ef-
(effect on -analysis of random
balance experiment) 495
Процесс Айлгкена (Aitken's 62-
process) 242
Пси-фу1нкция '(логарифмиче-
'(логарифмическая производная Т-функ-
ции) (psi-function) 228, 232,
238, 229
Р
Разбиение систем (system ap-
apportionment), -см. распреде-
распределение значений надежности
— при оценке надежности ра-
ракетного двигателя (in rocket
engine reliability evalution
program) 555
— методика 340
Ракетный двигатель (rocket
engine)
— допуски на тактико-техни-
тактико-технические характеристики (to-
(tolerances on performance pa-
parameters) 332, 338
— пример применения распре-
распределения, крайнего значения
в случае отказов из-за кор-
коррозии (extreme value distri-
distribution to corrosion of) 190
— на твердом топливе
—¦ — критерии для классифи-
классификации результатов испыта-
испытаний (criteria for test result
classifications) 563
—- — ^пример неотатиетическо-
го эксперимента (example
of poor test program) 456

программа статистиче-
ских испытаний (statistical
designed test program) 462
.программа оценки на-
надежности (test program)
561
—• — приемлемость результа-
результатов испытаний неполнораз-
мерных двигателей для
оценки надежности (appli-
(applicability of subscale testing)
554—555
— программа подтверждения
надежности мощного жид-
жидкостного ракетного двига-
двигателя (reliability demonstra-
demonstration program for liquid' pro-
pellant rocket engine) 589
— статистическое эксперимен-
экспериментирование (statistical experi-
experimentation) 476
Распределение Вейбулла (Wei-
bull distribution) 185
— примеры использования
383—389
— среднее (mean) 186
— дисперсия (variance) 186
•— Распределение вероятностей
(probability distribution)
— биномиальное (binomial) 93,
120, 135, 155, 214
— Вейбулла (Weibull) 96, 185,
255, 388
— выборочное (эмпирическое)
'(of sample) 147
— raMMa-(Gamma-) 96, 220,
228, 259
— геометрическое (geometric)
95, 124, 165
— двумерное (in two dimen-
dimensions) 137
— дискретное (discrete) 93,
119
— квадрата нормальной СЛУ"
чайной величины (of sQuare
of normal variable) 402
— крайних значений (extreme
value) 187, 239
— многомерное (in л-diitiensi-
ons) 138
— мультиномиальное (multino-
(multinomial) 161, 299
— непрерывное (continuous)
93, 124
— нормальное (normal) 94,
206, 213, 226, 255, 263, 304,
356, 4012
— основное (underlying) 148
— отрицательное биномиально6
(negative binomial) 165
—¦ 'показательное (exponential)
94, 124, 136, 214, 247, 383,
398, 402
— как предельная форМ'а 172
— Пуассона (Poisson) 90» 124>
135, '172, 279
— условное (conditional) 141
— хи-квадрат (chi-square) 2120,
398
— числа испытаний до ?-й не-
неудачи 124
— числа испытаний до Приня-
Принятия решения (of number of
trials to reach a decision)
361, 380
Распределение времени безот-
безотказной работы (time-to-fai-
lure distribution)
— обобщение 200
— примеры 203
— начальные отавы «замед-
«замедленного» типа (delayed) 204
— предельные случаи (limiting
cases) 203
вычисления с отохоть*0
таблиц Молина 200
663

— физический смысл парамет-
параметров модели (physical inter-
interpretation of parameter) 205
Распределение значений надеж-
надежности (reliability apportion-
apportionment) 43, 97, 340
— (применительно к РДТТ 556
Распределение крайних значе-
значений (extreme value distribu-
distribution) 187
— применительно к задаче о
коррозии (application to cor-
corrosion problem) 190
— пример интенсивности отка-
зюв (hazard function) 189
Распределение «прочностей»
звена (stress distribution)
297—298
Распределение Пуассона (Pois-
son distribution) 124, 137,
A72
— доверительный предел для
параметра, (confidence limit
on parameter of) 279
— как предельная форма би-
биномиального распределения
(as limiting form of binomi-
binomial distribution) 173
— моменгная производящая
функция (moment genera-
generating function) 135
— связь с показательным за-
законом распределения (rela-
(relation to exponential distribu-
distribution) 173
— стандартное отклонение
(standard deviation) 173
Раопре деление «разрывных
усилий»
— звена (strength distribution)
297—298
Распределение Стьюденга
664
(/-распределение) (Studeяt
/-distribution) 226, 491
Распределение хи-квадрат (Chi-
square distribution) 37, 2'57,
262, 398
— случайной величины (ran-
(random variable) 253
— проверка согласия (test for
goodness of fit) 531
Расчет рассылки данных (dis-
(distribution of data) 62, 68
Резервирование (redundancy),
см. структурные модели на-
надежности 19, 98, 99, 306,
307, 321, 325
Риск ошибки а и |3 (risks, a
and p) 374
Риск потребителя (customer's
risk) 375
Риск производителя (producer's
risk)
— связь с договорными обя-
обязательствами (relationship
to contractual obligations)
375
Рост надежности (reliability
growth) 41, 4I5
— взвешенные оценки (wei-
(weighed estimates) 439
— измерение с помощью (mea-
(measurement of)
оценок по методу наи-
наименьших квадратов (by least
squares estimation) 433
¦ оценок максимального
правдоподобия (by maxi-
maximum likelihood estimation)
427
— модель времени безотказной
работы (a time-to-failure
model for) 438
— отсутствие независимости

испытаний (non-indepen-
(non-independence of tests) 420, 437
- (простая 'модель (a simple
attribute model for) 417
¦ равливдие между ЖРД и
РДТТ (difference) 102
по "показательному закону
(exponential reliability
growth) 420
Свойство идемпотентности
(idempotent law) (табл. 5.1)
108
Система сообщения данных об
отказам (failure reporting
system) 53, 59—70, 84
Сложность \(-complexity)
— оборудования (of equip-
equipment) '16
— О'Р'га'н'изациданая (organiza-
(organizational) 17
— как источник «ненадежности
(as reason for unreliability)
12, 15
Сложность программы разра-
разработки (development program
complexity)
— в лиши а на статистическое
экспериментирование (effect
on statistical experimenta-
experimentation) 474, 475
Случайная величина (random
variable)
— оп-ределение 119
— как функция опыта (as
function of experiment) 145
— независимость (independen-
(independence) 122, 140
— нор'м-иров-анная (standardi-
(standardized) 128
Случайная выборка (random
sample) 145
Случайное варьмро'ван'ие (ran-
(random variation) 449
¦— в модели роста 'надежности
(in reliability growth), см.
эмопершентайшое отклоне-
отклонение 417
Случайно сбашансирован'ный
шлан (random balance de-
design)
— достоинства и недостатки
493, 499
— ^составление (construction of)
494
— как средство отбора, «про-
«просеивания» (as «screening»
tool) 494
— преобразование в много-
многократно сбалансированный
•плат (modification to multi-
multiple balance designs) 499
— проверка уршней значимо-
значимости (significance tests for)
497, 503
Случайность (randomness)
— 'приемы для достижения
i(procedures to achieve) 146
Случайный ошыт (random ex-
experiment) см. статистиче-
статистическое экспериментирование
145
Случайный отказ (chance failu-
failure) 1-82
Смещениная оценка (bias), см.
несмещенная оценка
— при оценке надежности (in
reliability estimate) 598
— стандартного отклонения (of
sample standard deviation)
227
— выборочной дисперсии (of
sample variance) 227, 230
События 105
665

— вероятности (probabilities)
ПО
— дополнение (complement of)
106
— достоверное (certain) 105
— невозможное (impossible)
405
— независимость (independen-
(independence) MS
— несовм-бсшые (mutually ex-
exclusive) 107, 117, 121, 161,
313
— объединение (union of) 107
— пересечение (intersection of)
108, 122, 138, 286
— свойства (properties) 108—
109
— совместное (joint) 138
— успех, примеры (success)
113, 153, 213
— эквивалентность (equivalen-
(equivalence) 110, 310
Совершенство ваше операций
(evolutionary operation)
— метод 510
— цикл, определение (cycle)
512
— пример 513
— 'информационный плакат (in-
(information board) 514, 519
— фаза, определение (phase)
512
— как стандартная процедура
(as a standard procedure)
— в процессе производства (in
manufacturing operations)
520
— рабочие карточки, примеры
(work sheets) 513, 515
Совместное распределение ве-
вероятностей (joint probabili-
probability distribution) 424
Совместная функция распреде-
666
ления (joint distribution
function)
— многомерное распределение
вероятности, свойства (п
random variables) 137
— двумерное распределение ве-
вероятности (two random va-
variables) 140
CoiB местные события (joint
events) 137
Солнечные элементы (solar
cells) 1206, 326
Сообщение данных о надежно-
надежности (reliability reports) 53,
84, 87
— .примеры
— — сводный отчет об отка-
отказах элемента (component
failure summary) 79
— — сводка сообщений об от-
отказах подсистем ракеты
(missile system summary) 85
—¦ —¦ сводный отчет об отка-
отказах системы двигателыных
установок (propulsion _ sy-
system summary) 86, 605
отчет о состоянии про-
проблем 'Надежности (reliabili-
(reliability problem status) 72
Соотношение для дополнения
(complement relation) 108
Состоятельная оценка (consis-
(consistent estimator)
— определение 216
— inp-имер 217
Среднее (mean) 130
— при биномиальном распре-
4 делении (of binomial distri-
distribution) 157
— функции нескольких пере-
переменных (of a function of se-
several variables) 334

— при гамма-распределении
(of gamma-distribution) 200
— при отрицательном биноми-
биномиальном распределении (of
negative binomial distribu-
distribution) 167
— оценки надежности (of re-
reliability estimator)
— — распределение Вейбулла
(Weibull distribution) 256
— функции надежности (relia-
(reliability function) 249
—• выборочное среднее (sam-
(sample) 148
Среднее число испытаний до
принятия решения (Average
Sample Number function)
— для укороченного выбороч-
выборочного плана (for curtailed bi-
nimial sampling plan) 365
— определение 363
— максимальное значение
(maximum value) 379
— метод вычисления (method
of computation) 365
— для последовательных бино-
биноминальных планов Вальда
(for Wald sequential bino-
binomial sampling plan) 381
Стандартное нормальнее укло-
уклонение (standard normal de-
deviate) 225, 338
Стандартное отклонение (stan-
(standard deviation)
— случайной величины (of ran-
random variable) 131
— связь с допуском (relation
to tolerance) 338
Статистическое эксперименти-
экспериментирование (statistical experi-
experimentation) 440—546
— простой пример (simple ex-
example) 449
отличие от классических ме-
методов испытаний (difference
from traditional testing met-
methods) 449
недостатки нестатистических
экспериментов, пример (соп-
seguences of not using) 456
потребность 'производства в
новых статистических пла-
планах (need for new) 473—474
• связь с «ручным методом
(relationship to the scienti-
scientific method) 446
¦ роль при 'исследовании на-
надежности (role in reliabili-
reliability) 471
непрерывные 'эксперимен-
'экспериментальные планы (continuous
experimental designs) 475
• — пример с (небольшим ра-
ракетным двигателем (small
rocket engine) 476
метод совершенствования
операций (evolutionary ope-
operations) 510
случайно сбалансированные
планы (random balance de-
designs) 493
исследования поверхности
¦отклика (response surface
exploration) '522
факторный план (factorial
design) 449, 464
¦ — использование дробного
— факторного плана (use
of fractional factorial de-
design) 477
при испытаниях на время
безотказной работы (time-
to-failure testing) 464
при исследовании электрон-
электронного оборудования
(electronic equipment) 464
667

— -при создании раке'тнюто дви-
двигателя на твердом топливе
462
— как средство для выявления
корреляции между интен-
интенсивностью отказов и уров-
уровнем внешних условий (as
means of obtaining correle-
tion between failure rate and
environmental level) 467
Стоимость (cost)
— -испытаний на надежность
(of reliability demonstration)
для потребителя (to cus-
customer) 375
— —¦ при выборочных планах,
без замены (for nonreplace-
ment sampling procedure)
394
для 'Производителя (to
producer) 375
отри выборочных планах
с заменой (for replacement
sampling procedure) 394
— и ненадежность (and unre-
unreliability) 15
Структурные модели надежно-
надежности (reliability structure mo-
models) 97, 282-353
— параллельные системы (pa-
(parallel systems) 306, 308
¦ смешанные (mixed)
311—318
частично-параллельные
(partial) 307
резервные (stand-by) 307
— последовательные системы
i(serial) 284, 308
независимые (indepen-
(independent) 284
— — модель слабейшего звона
(weakest link model) 294
668
модель цепи (chain mo-
model) 296
Структурные схемы надежно-
надежности (reliability structure dia-
diagrams) 312, 321, 322, 326,
330
Сходимость по вероятности
(convergence in probability)
— эмпирической функции рас-
распределения (of sample dis-
distribution function) 148
— часго!ы успехов (of success
ratio) 158, 159
Текущие данные (current data)
— определение 566
— njpn последовательном ана-
анализе (with sequential samp-
sampling) 578
Теория выборочного метода
(sampling theory) 145
Теория регрессии '(regression
theory)
— использование в случайно
сбалансированных планах
(use of in random balance
experimentation) 509—510
Толерантные пределы (табл.
П 9)'(tolerance limits)
— в случае нормального рас-
распределения, односторонние
(for normal distribution, one-
onesided) 263
— применительно к испыта-
испытаниям ракетного двигателя
477
У
Укороченный план испытаний
на надежность (curtailed li-
life test) 385
Уравнение восстановления (re-
(renewal equation) 349

Уравнение правдоподобия (li-
(likelihood equation) 219, 223
Уровень развития (level of de-
development)
— влияние на подход к испы-
испытаниям (effect of test philo-
philosophy) 441
Усечшие (truncation) 380, 403
— правила для пю'следователь-
1Н'ых выборочных планов
Вальда (испытаний на) на-
надежность (rules for, in Wald
sequential life test) 403,404
Усеченные и цензурированные
испытания
— на 'надежность (truncated
and censored life test) 397
— приложение для -подтверж-
-подтверждения надежности управляе-
управляемого снаряда (application to
guided missile reliability de-
demonstration) 401—402
Условия применения деталей
(part application) Э18
Условная вероятность (condi-
(conditional probability) 122, 141
— определение 113
— в модели роста (in growth
model) 421
— для последовательных си-
систем (for serial systems) 284
Успех (success)
— определение 39, 153
(для РДТТ (for so-
solid propellant rocket engine)
501—563
для ЖРД '(for liquid
propellant rocket engine)
590, 593
control subsystem) 326, 331
для -под-системы
ли-ронзан'ия температуры
космического корабля (for
space vehicle's temperature
устройства (for turbo-gene-
turbo-generator device) 573
— мр'птсф'ий (criteria) 39
Устаревший элемент 'системы
(obsolete component), опре-
определение 596
Учет наработки (operational ti-
time logging)
— сбор данных (collection of
data) 72, 76
—• примерные формы (sample
forms) 76, 78
Ф
Факторный план (factorial de-
design) 465
— 'при исследовании поверхно-
поверхности отклика (in response
surface experiment) 527
Финансирование мероприятий
по исследованию надежно-
надежности (reliability budgeting)
35
Фор'мы отчета о надежности
(declaration forms) 84
— стримеры
для ЖРД (for liguid
propellant rocket engine)
563, 564
для РДТТ (for solid pro-
] pcllant rocket engine) 592
Функция (надежности (reliabi-
(reliability function) 97
— определение 213
— оценка для (estimators for)
— — показательного распреде-
распределения (exponential distribu-
distribution) 247
гамма-распределения
(Gamma-distribution) 258
— — нормального раопределе-
669

ния (normal distribution)
254, 266
• 'распределения Вейбулла
(Weibull distribution) 255,
«256
— шримеры
— — с биномиальным распре-
распределением (binomial dis-
distribution) 214, 253
ic показательным распре-
распределением (exponential dis-
distribution) 214
с гамма-распределением
(Gamma distribution) 260
с нормальным распре-
распределением (normal) 213, 263,
266
Функция правдоподобия (like-
(likelihood function) 218, 219,
221, 223
— (log-likelihoor function) 607,
226, 1228
Функции распределения (distri-
(distribution functions) 127—130,
138
—¦ биномиальные (binomial)
128
— ^-распределение (chi-squa-
re) 220
— условные (conditional) 141
— непрерывные /(continuous)
H25, 184
— дискретные (discrete) 128
— распределения крайних зна-
чс!Н1ий (extreme value) 187
— гамма-распределение (Gam-
(Gamma) 199, 220
— в -случае дискретного рас-
распределения 129
— для более общего распреде-
распределения времени безотказной
работы (for general time-to-
670
failure distribution) 183, 195,
465
— связь с интенсивностью от-
отказов 183
Функция (кривая) роста на-
надежности (reliability growth
function) 425
— доверительные пределы
(confidence limits) 432
— выводы и обобщения 436
Функция усилий для повыше-
повышения надежности (reliability
effort function) 341
Характеристическая функция
(characteristic function) 137
Ц
Центральная картотека инфор-
информации о надежности (relia-
(reliability central data file)
— образцы информационных
листков
— — — «Батарейный источ-
источник питания» (battery) 83
— — — «Сопло ракетного дви-
1ателя» (nozzle) 82
— «Клапан» (valve) 81
Центральная предельная теоре-
теорема (central limit theorem)
'209
— 'приложения
— для ар'ксинус-преобразова
еия (to arcsine transforma-
transformation) 210
— к общей функции среднего
1выбор<к'и (to general func-
function of sample mean) 210
— для распределения Пуассо-
Пуассона (to Poisson distribution)
210
Цепи Маркова (Markoff chains)
422

Число испытаний (trials)
— в биномиальном выбороч-
выборочном плане (binomial samp-
sampling) 360
— «математическое ожидш'ие
¦числа испытаний до лри'ня-
тия решения (expected num-
number, to reach decision) 366
— с .пюследователыных выбо-
выборочных .планах Вальда (in
Wald sequential sampling)
377
Чистые эффекты (main ef-
effects) 450
Эйлера пюст-ошная (Euler's
constant) 393, 428, 436
Эквивалентные 'испытания с
полным временем .работы
(equivalent • full duration
tests) 598
Э к с п epiH'M ент а л ыню е з н ач ен и е
отклонения (ом. отклонения
.при эксперименте)
Э йоп ер и м е нт а л ь н ы й э л ем ент
системы ((experimental com-
component), определение 595
Элемент /плотно'сти вероятности
(probability density element)
126
Элемент системы (component)
— ишарчевный, определение
(damaged) 596
— экспериментальный, опреде-
определение ((experimental) 595
—• доработка в .процессе (Испы-
(Испытания в системе ^improve-
^improvement by system testing) 442
— устаревший, определение
(obsolete) 596
— изношенный, определение
(worn — out) 596
Эм'пиричеокая функция .распре-
.распределения (sample distribu-
distribution function) 147
— как случайная величина (as
a random variable) 148
Эффект (взаимодействия (inte-
(interaction effects)
— 'Пример .вычисления 483
Эффективность (effectivity)
— группы надежности (reliabi-
(reliability group's) 34
— с стратепическюй точки зре-
зрения (strategic) 13
Явление смешения (confoun-
(confounding effect) 460

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода • 5
Предисловие авторов 7
Введение. Возрастающее значение надежности 11
0.1. Причины ненадежности 15
0.1.1. Возможности эксперимента 15
0.1.2. Сложность оборудования 16
0.1.3. Сложность организации 17
0.1.4. Ошибка оператора , 18
0.2. Предупреждение ненадежности 19
0.2.1. Резервирование 19
0.2.2. Организация производства 20
0.2.3. Контроль со стороны руководства и организация
взаимодействия по обмену информацией 21
0.2 4. Конструирование и осведомленность в вопросах
надежности • 22
Дополнительная литература 23
Р аз де л I
Руководство, организация производства и передача
информации
Глава 1. Руководство и организация 27
1.1. Ответственность руководства 27
1.2. Положение, занимаемое группой надежности на пред-
предприятии 31
1.3. Независимая группа надежности 34
1.4. Способности личного состава 34
1.5. Финансирование группы надежности 35
Дополнительная литература 35
43-1113 673

Глава 2. Задачи и деятельность при планировании
и выполнении программы исследования надеж-
надежности 3G
2.1. Введение 36
2.2. Оценка надежности 36
2 3. Надежность как вероятностное понятие 36
2.4. Надежность как функция критерия успеха 39
2.5. Непредставительные образы и испытания 40
2.6. Применение оценки надежности при заключении кон-
контрактов 41
2.7. Задачи, возникающие при исследовании надежности 42
2.8. Распределение требований к надежности 43
2.9. Пересмотр конструкции с точки зрения надежности 46
2.9.1. Примерный перечень вопросов для пересмотра
конструкции с точки зрения надежности .... 48
2.10. Запас знаний о надежности 50
2.11. Планирование испытаний и анализ 51
2.12. Контроль производства и пересмотр технического
задания, материалов и обработки 52
2.13. Контроль поставщика . • 53
2.14. Система сообщения данных о надежности и отка-
отказах ., 53
2.15. Математическая и статистическая обработка .... 54
2.16. Внутренняя- координация 54
2.17. Распространение знаний о надежности 55
2.18. Заключение и вывод. План программы исследования
надежности 56
Дополнительная литература 57
Глава 3. Организация системы передачи информации
о надежности • . • 59
3.1. Сбор, обработка и представление информации о на-
надежности 59
3.2. Сбор (тип и объем информации) 59
3.2.1. Формы сообщений об отказах 61
3.2.2. Отказы из-за ошибок оператора 61
3.3. Расчет рассылки данных 62
3.4. Анализ информации, составление донесений и соот-
соответствующий контроль 63
3.5. Пример системы сообщения данных 64
3.6. Распределение донесений об отказах 68
3.7. Начало анализа отказов 70
3.8. Контроль, анализ и корректирующее действие . . 70
674

3.9. Донесения о наработке * . . 72
3.10. Журнал учета наработки 76
3.11. Метод сбора временной информации 78
3.12. Центральная картотека информации о надежности 80
3.12.1. Примеры информации о надежности в централь-
центральной картотеке 80
3.13. Заявление перед испытанием 84
3.14. Периодические сводки по надежности и отказам
для руководства проектом и конструкторов .... 84
ЗЛ5. Периодические доклады вышестоящему руководству
о состоянии надежности 87
3.16. Специальные сообщения о надежности 88
Дополнительная литература 88
Раздел II
Математический аппарат надежности
Глава 4. Модели надежности и их анализ (нематемати-
(нематематическое введение) 91
4.1. Виды исходных данных 91
4.2. Распределения вероятностей 93
4.3. Неопределенность наблюдений 96
4.4. Статистические оценки и оценка надежности .... 97
4.5. Структурные модели надежности. Резервирование
и его распределение 97
4.6. Взаимодействие элементов 99
4.7. Статистический выбор и подтверждение надежности 100
4.8. Предсказание и повышение надежности 102
Использованная литература 103
Дополнительная литература 103
Глава 5. Основы теории вероятностей и математиче-
математической статистики 104
5.1. Введение 104
5.2. Выборочные пространства 105
5.2.1. Действия с событиями 106
5.3. Вероятности событий ПО
5.3.1. Условная вероятность 113
5.3.2. Независимость событий 115
5.3.3. Пример (исследование надежности батарейного
источника питания космического корабля).... 115
5.4. Дискретные распределения вероятностей 119
43* 675

5.5. Непрерывные распределения вероятностей 124
5.6. Функции распределения в случае дискретных рас-
распределении 128
5.7. Математические ожидания и моменты 130
5.7.1. Неравенство Чебышева 131
5.8. Моментная производящая функция 133
5.9. Двумерные и многомерные распределения вероят-
вероятностен • ... 1 37
5.9.1. Условные распределения 141
5.9.2. Ковариация 143
5.10. Теория выборочного метода 145
5.10.1. Простой случайный выбор — случайная выборка 145
5.10.2. Эмпирическое распределение 147
5.10.3. Выборочные моменты 148
Использованная литература 151
Дополнительная литература 152
Глава 6. Модели дискретных и непрерывных распреде-
распределений 153
6.1. Введение 153
6.2. Биномиальное распределение 155
6.2.1. Моменты биномиального распределения 157
6.2.2. Закон больших чисел 158
6.2.3. Нормальная аппроксимация 159
6.2.4. Несмещенная оценка 160
6.3. Мультиномиальное распределение 161
6.4. Геометрическое и отрицательное биномиальное рас-
распределения 165
6.4.1. Среднее и дисперсия 167
6.4.2. Применение отрицательного биномиального рас-
распределения , 168
6.4.3. Несмещенная оценка Р 169
6.4.4. Предельные показательные распределения и гам-
гамма-распределение . . 171
6.5. Распределение Пуассона 172
6.6. Обобщенные биномиальные модели успехов (отка-
< зов) 175
6.6.1. Несмещенная оценка Р 180
6.7. Модели непрерывных распределений 181
6.8. Интенсивности отказов 183
6.8.1. Показательное распределение 185
6.8.2. Распределение Взйбулла , 185
6.8.3. Распределение крайних значений . 187
676

6.8.3.1. Пример интенсивности отказов 189
6.8.3.2. Пример на применение распределения крач-
него значения 190
6.9. Модели процесса гибели 192
6.9.1. Вывод показательного распределения 192
6.9.2. Вывод более общего распределения времени без-
безотказной работы 195
6.9.2.1. Гамма-распределение . • . 199
6.9.2.2. Предельные случаи общей модели распреде-
распределения времени безотказно'! работы 203
6.9.2.3. Начальные отказы 204
6.9.2.4. Физический смысл параметров модели .... 205
6.10. Нормальное распределение 206
6.10.1. Центральная предельная теорема 209
Использованная литература 211
Дополнительная литература 211
Глава 7. Оценка надежности. Часть 1 213
7.1. Введение. Функция надежности 213
7.1.1. Пример с нормальным распределением 213
7.1.2. Пример с показательным распределением .... 214
7.1.3. Пример с биномиальным распределением .... 214
7.1.4. Задача оценки R 214
7.2. Свойства оценок 215
7.2.1. Несмещенность 215
7.2.2. Состоятельность 216
7.2.3. Минимум дисперсии 217
7.3. Методы получения оценок 217
7.4. Метод максимального правдоподобия (один неизвест-
неизвестный параметр) 218
7.4.1. Применение к непрерывным распределениям . . . 219
7.4.1.1. Частный пример 221
7.4.2. Применение к дискретным распределениям . . . 222
7.4.3. Дисперсия оценки максимального правдоподобия 223
7.4.4. Доверительные пределы для параметров .... 224
7.5. Применение метода максимального правдоподобия
к распределениям с двумя и большим числом неиз-
неизвестных параметров 226
7.5.1. Оценка параметров нормального распределения 226
7.5.2. Оценка параметров гамма распределения .... 228
7.5.3. Метод приравнивания моментов 230
7.5.4. Дисперсии и ковариации оценок максимального
правдоподобия 231
677

7^5.5. Оценка параметров распределения Вейбулла . . . 235
Использованная литература 239
Дополнительная литература 239
Приложение 7А. Решение уравнений вида х = f (x) 240
Приложение 7Б. Решение п уравнений с п неизвестными . . 243
Глава 8. Оценка надежности. Часть 2 247
8.1. Оценка надежности и нахождение доверительных
пределов по функции надежности 247
8.2. Метод оценки надежности для однопараметрических
распределений 248
8.3. Общий метод нахождения приближенных оценок на-
надежности и доверительных интервалов 249
8.3.1. Среднее значение функции надежности 249
8.3.2. Дисперсия функции надежности 250
8.3.3. Примеры 251
8.4. Обобщение приближенного метода на двухпарамет-
рические распределения 253
8.4.1. Примеры 254
8.5. Оценка и доверительный предел для R в случае рас-
распределения Вейбулла 255
8.5.1. Точный доверительный предел для R в случае
распределения Вейбулла 256
8.6. Оценка и доверительный предел для R в случае
гамма-распределения 258
8.6.1. Точный доверительный предел для R в случае
гамма-распределения 260
8.7. Оценка и доверительный интервал для R в случае
нормального распределения 263
8.7.1. Примеры 264
8.7.1.1. Доверительные пределы для R (двусторонний
вариант) 266
8.8. Доверительные пределы для параметров биномиаль-
биномиального, отрицательного биномиального и пуассонов-
ского распределений 267
Использованная литература 269
Дополнительная литература 269
Приложение 8А. Односторонние биномиальные доверитель-
доверительные пределы 269
Приложение 8Б. Точные односторонние доверительные пре-
пределы в случае биномиальной схемы 273
8.Б.1. Введение 273
8.Б.2, Обоснование 274
678

Приложение 8В. Верхние доверительные пределы для р
в случае выборки с отрицательным биномиальным рас-
распределением 278
Приложение 8Г. Верхние доверительные пределы для X
в случае распределения Пуассона 279
Глава 9. Структурные модели надежности 282
9.1. Введение 282
9.2. Последовательные системы 284 ,
9.2.1. Независимые последовательные системы 284
9.2.1.1. Пример последовательной системы 287
9.2.2. Нижние доверительные пределы для надежности
независимых последовательных систем 287
9.2.3. Другой, более предпочтительный метод вычисле-
вычисления доверительных пределов для последователь-
последовательной системы 290
9.3. Модельi ясл_аб?Йшего звена." . . . . • J2S4/
9.3.1. Модель цепи 296
9.3.2. Прочность цепи 299
9.3.2.1. Предельные значения Rn ". 300
9.3.2.2. Достижение верхнего и нижнего предельных
значений Rn 302
9.3.3. Исследование прочности 303
т 9.4. Параллельные системы и резервирование 306/
9.4.1. Пример частично параллельной системы 07"
9.4.1.1. Пример ненагруженного резерва 310
9.4.2. Пример смешанной параллельно-последователь-
параллельно-последовательной системы 311
9.4.3. Пример исследования надежности проекта . . . 318
9.4.3.1. Условия применения деталей 318
9.4.3.2. Резервирование 321
9.4.3.3. Пример расчета надежности подсистемы кон-
контроля температуры космического корабля . . 325
9.5. Изменчивость характеристики системы, как функция
изменчивости характеристик подсистем 332 \
9.5.1. Метод вычисления средних и дисперсий функции
нескольких переменных 334
9.5.2. Нахождение допусков 337
Использованная литература 338
Дополнительная литература 339
Приложение 9А. Методика распределения значения надежности 340
Приложение 9Б. Надежность системы с заменой элементов 345
679

Глава 10. Испытания на надежность и связанные с ними
решения 354
10.1. Введение 354
10.1.1. Неслучайные факторы, влияющие на определение
выборочных планов 356
10.2. Методы испытаний на надежность, основанные на
биномиальной выборке 357
10.2.1. Оперативная характеристика 359
10.2.2. Общие свойства биномиального выборочного
плана 359
10.2.3. Среднее число испытаний 361
10 2.3.1. Формула для ASN в случае укороченного вы-
выборочного плана 365
10.2.4. Усовершенствование укороченного выборочного
. плана с целью его оптимизации 368
10.3. Критерии для построения биномиального выбороч-
выборочного плана (выборки постоянного объема или уко-
укороченного плана) 373
10.4. Применение последовательных биномиальных пла-
планов Вальда к подтверждению надежности 376
10.5. Испытания на надежность, основанные на времени
безотказной работы 381
10.6. Испытания на надежность при времени испытания,
отличном от требуемого времени работы 383
10.6.1. Обобщение на частично известную интенсивность
отказов 388
10.7. Испытания на надежность с использованием инфор-
информации о наработках до отказов (показательное рас-
распределение) 389
10.7.1. Испытания до отказа всех элементов 389
10.7.2. Испытания до отказа R изделий (R^ п) .... 391
10.7.3. Модель стоимости для испытаний на надеж-
надежность (пример) 394
10.8. Усеченные и цензурированные испытания на надеж-
надежность 397
10.9. Применение вальдовских последовательных планов
испытаний на надежность для подтверждения на-
надежности 403
10.9.1. Требования к критерию выборочного плана . . . 405
10.9.2. Свойства выборочного плана 406
10 9.3. Среднее число отказов и среднее время ожида-
ожидания до принятия решения 407
680

10.9.4. Пример применения последовательного плана
Вальда к испытаниям на надежность 409
10.9.5. Модель стоимости 412
Использованная литература 413
Дополнительная литература 414
Глава 11. Модели повышения надежности 415
11.1. Введение 415
11.2. Простая модель роста надежности 417
11.2.1. Дальнейшие свойства описанной модели. . . . 420
11.3. Пригонка кривой к модели роста надежности. . . 426
11.3.1. Оценки максимального правдоподобия 427
11.3.1.1. Дисперсии и ковариацчи 431
11.3.2. Оценки по методу наименьших квадратов. . . 433
11.3.3. Краткие выводы о методах оценок 436
11.4. Заключительные замечания 437
11.4.1. Задачи, возникающие при отсутствии независи-
независимости 437
11.4.2. Другие возможные виды моделей 438
Использованная литература ... 439
Дополнительная литература 439
Глава 12. Экспериментирование и испытания 440
12.1. Цели испытаний 440
12.2. Методология испытаний 441
12.3. Испытания систем и элементов 444
12.4. Методы испытаний 444
12.4.1. Испытания на долговечность 444
12.4.2. Испытания на число циклов 445
12.4.3. Граничные испытания 445
12.4.4. Испытания на влияние окружающей среды . . . 446
12.5. Научный метод 446
12.6. Статистическое экспериментирование 447
12.6.1. Факторы, учитываемые при планировании испы-
испытаний ^ 448
12.6.2. Элементы факторного анализа. . * 449
12.6.3. Простой пример 449
12.6.3.1. Табл. 12.1, а 450
12.6.3.2. Табл. 12.1, б 450
12.6.3.3. Табл. 12.1, в 451
12.6.3.4. Табл. 12.2, а 451
12.6.3.5. Табл. 12.2, б 451
12.6.3.6. Табл. 12.2, в 451
681

12.6.3.7. Табл. 12.3, а 452
12.6.3.8. Табл. 12.3, б 452
12.6.3.9. Табл. 12.3, в 452
12.6.3.10. Табл. 12.3, г 452
12.6.4. Компоненты дисперсии 453
12.6.5. Пример нестатистического эксперимента .... 456
12.6.6. Программа статистических испытаний твердо-
твердотопливного ракетного двигателя 462
12.6.7. Пример статистического экспериментирования
с электронным оборудованием 464
12.6.7.1. Установление относительной важности эффек-
эффекта внешних факторов 466
12.6.7.2. Оценка надежности 467
12.6.7.3. Некоторые практические аспекты применения
описанного метода 468
12.6.8. Роль статистического экспериментирования в на-
надежности 471
Использованная литература • 472
Дополнительная литература 472
Глава 13. Статистические планы для исследования на-
надежности 473
13.1. Введение 473
13.2. Непрерывные экспериментальные планы 475
13.2.1. Типичный анализ испытаний небольшого ракет-
ракетного двигателя 476
13.3. Испытания на чувствительность « 48
13.3.1. Методика испытанп'1 на чувствительность . . . 487
13.3.1.1. Стандартные отклонения среднего и диспер-
дисперсия 490
13.3.1.2. Доверительные пределы для р. 491
13.3.1.3. Процентные пределы 492
13.3.1.4. Уровень достоверности оценки 492
13.3.2. Особенности методики испытаний на чувстви-
чувствительность 492
13.4. Случайно сбалансированные планы 493
13.4.1. Многократно сбалансированные планы 499
13.4.1.1. Пример многократно сбалансированных пла-
планов 501
13.5. Метод совершенствования операций 510
13.5.1. Пример 513
13.6. Исследование поверхности отклика 522
682

13.6.1. Геометрическое представление для случая с дву-
двумя входными переменными 523
13.6.2. Примеры использования метода 527
13.6.3. Методика исследования 529
13.6.3.1. Линейное уравнение и метод быстрейшего
подъема 530
13.6.3.2. Пример для метода быстрейшего подъема
(см. [11]) 533
13.6.3.3. Уравнения второго порядка 538
13.6.3.4. Преобразование к каноническому виду . . . 540
13.6.3.5. Пример определения оптимума при наличии
поверхности второго порядка 542
Использованная литература 547
Дополнительная литература 548
Раздел III
Примеры программ оценки надежности и ее подтверж-
подтверждения
Глава 14. Программа оценки надежности мощного ра-
ракетного двигателя, работающего на твердом топ-
топливе, в процессе конструктивной разработки .... 551
14.1. Цели и задачи 551
14.2. Рассмотрение основных задач 552
14.3. Описание и порядок выполнения программы .... 555
14.3.1. Распределение 556
14.3.2. Приемлемость главных подсистем 556
14.3.3. Правила подачи заявлений 559
14.3.4. Классификация результатов испытаний 561
14.4. Отчеты о состоянии надежности и оценка надеж-
надежности 563
14.4.1. Представительные и текущие данные 566
14.4.2. Оценка надежности двигателя 567
14.4.2.1.Методика оценки 567
14.4.2.2. Пример оценки надежности 568
14.5. Заключение 570
Глава 15. Программа оценки надежности турбогенера-
турбогенераторного устройства 572
15.1. Цели и задачи 572
15.2. Условия проведения испытаний и основные правила 572
15.3. Статистические аспекты испытаний 574
15.4. Статистический анализ данных 578
683

15.4.1. Статистический критерий значимости изменения
(см. приложение 15Б) 579
15.4.1.1. Пример 580
15.4.2. Подтверждение надежности 581
15.4.3. Сообщения о надежности 582
15.5. Выводы и заключение 583
Использованная литература 583
Дополнительная литература • . . 584
Приложение 15 А. Линии односторонней выборочной приемки
и отчетности при оценке надежности 584
Приложение 15 Б. Метод расчета изменения интенсивности
отказов 586
Глава 16. Программа оценки надежности мощного
жидкостного ракетного двигателя на этапе конст-
конструктивной разработки 589
16.1. Цели и задачи 589
16.2. Обсуждение проблем 590
16.2.1. Основные правила надежности 590
16.2.2. Главный перечень и исключаемые элементы . . 595
16.2.3. Сфера деятельности при оценке надежности . • 596
16.3. Статистический анализ данных 597
16.3.1. Весовые коэффициенты 598
16.3.2. Пример вычисления весовых коэффициентов . . 600
16.3.3. Пример вычисления надежности с использова-
использованием весовых коэффициентов 602
16.3.4. Использование весовых коэффициентов и оценка
надежности 604
16.3.5. Тип статистической оценки 604
16.4. Отчетность о состоянии надежности 606
16.5. Подтверждение надежности 606
Дополнительная литература 607
Приложение 16 А. Уравнения максимума правдоподобия для
Pi и е 607
Приложение 16 Б. Дисперсии и ковариации pi и е 611
Приложения
Таблицы
Табл. П.1. Число испытаний без отказов в зависимости от
надежности и доверительного уровня 617
Табл. П.2. Минимальный объем выборки для испытаний в те-
течение времени t для обеспечения средней наработки по
меньшей мере 0L при доверительном уровне у — 75%,
где допустимое число отказов равно F - 618
684

Табл. П.З Минимальный объем выборки для испытаний в те-
течение времени t для обеспечения средней наработки по
меньшей мере 8^ при доверительном уровне у = 89%,
где допустимое число отказов равно F 619
Табл. ПА. Минимальный объем выборки для испытаний в те-
течение времени t для обеспечения средней наработки по
меньшей мере 0L при доверительном уровне у = 85%, где
допустимое число отказов равно F 620
Табл. П.5. Минимальный объем выборки для испытаний в
течение времени t для обеспечения средней наработки по
меньшей мере 0L при доверительном уровне у = 90%,
где допустимое число отказов равно F 621
Табл. П.6. Минимальный объем выборки для испытаний в
течение времени t для обеспечения средней наработки по
меньшей мере 0^ при доверительном уровне у = 95/о,
где допустимое число отказов равно F 622
Табл. П.7. Объем выборки и критерии для подтверждения
надежности при заданном доверительном уровне 623
Табл. П.8. Квантили (процентные точки) распределения x2nln
(где п — число степеней свободы) 624
Табл. П.9. Толерантные множители для нормальных распре-
распределений 628
Рисунки
Рис. П.1. Верхний доверительный предел ненадежности (еди-
(единица минус нижний доверительный предел надежности)
при числе опытов N, наблюденных отказов F и довери-
доверительном уровне у = 9,50 630
Рис. П.2. Верхний доверительный предел ненадежности (еди-
(единица минус нижний доверительный предел надежности)
при числе опытов N, наблюденных отказов F и довери-
доверительном уровне у = 9,80 631
Рис. П.З. Верхний доверительный предел ненадежности (еди-
(единица минус нижний доверительный предел надежности)
при числе опытов N, наблюденных отказов F и довери-
, тельном уровне у = 9,99 632
Рис. ПА. Верхний доверительный предел ненадежности (еди-
(единица минус нижний доверительный предел надежности)
при числе опытов N, наблюденных отказов F и довери-
доверительном уровне у = 9,95 633
Рис. П.5. Верхний доверительный предел ненадежности (еди-
(единица минус нижний доверительный предел надежности)
685

при числе опытов N, наблюденных отказов F и довери-
доверительном уровне Y = 0,99 634
Рис. П.6. 50-процентный нижний доверительный предел на-
надежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательной системы, состоящей из двух подсистем.
N опытов с каждой подсистемой. (Все перестановки соче-
сочетаний отказов эквивалентны) 635
Рис. П.7. 90-процентный нижний доверительный предел на-
надежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательной системы, состоящей из двух подсистем.
N опытов с каждой подсистемой. (Все перестановки со-
сочетаний отказов эквивалентны) 636
Рис. П.8. 95-процентный нижний доверительный предел на-
надежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательной системы, состоящей из двух подсистем.
N опытов с каждой подсистемой. (Все перестановки со-
сочетаний отказов эквивалентны) 637
Рис. П.9. 50-процентный нижний доверительный предел на-
надежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательное системы, состоящей из трех подсистем.
(Все перестановки сочетаний отказов эквивалентны) • . . 638
Рис. 17.10. 90-процентный нижний доверительный предел^на-
дежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательной системы, состоящей из трех подсистем.
(Все перестановки сочетаний отказов эквивалентны) . . . 639
Рис. П.П. 95-процентный нижний доверительный предел на-
надежности системы для наблюденных сочетаний отказов
последовательной системы, состоящей из трех подсистем.
(Все перестановки сочетаний отказов эквивалентны) . . . 640
Предметный указатель 641

ДАВИД К. ЛЛОЙД и МИРОН ЛИПОВ
Надежность. Организация исследования, методы,
математический аппарат
Редактор Я. Я* Гутчина Техн. редактор А. А. Свешников
Обложка художника В. И. Шаповалова
Сдано в набор 29/И 1964 г. Подписано к печати 15/VH 1964 г.
Формат 84ХЮ87з2 Объем 35,26 п. л. Уч.-изд. л. 34,86
Тираж 8100 экз. Цена в пер. N° 5 2 р. 54 к., № 7—2 р. 64 к.
Темплан 1964 г. № 25 Заказ 1113
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Шлюзовая наб , iO