С. М. Львовский
Что не так?
Математические парадоксы и софизмы
Москва Издательство МЦНМО 2019


УДК 51(07) ББК 22.1 Л89
Львовский С. М.
Л89 Что не так? Математические парадоксы и софизмы.—М.: МЦНМО, 2019. —56 с.: ил.
ISBN 978-5-4439-1372-8
В первой главе брошюры собрано 25 занимательных примеров ошибочных математических и логических рассуждений; читателю предлагается найти в этих рассуждениях ошибки, а затем свериться с разбором ошибок, приведенным во второй главе.
Для всех интересующихся математикой, начиная со школьников.
ББК 22.1
Научно-популярное издание
Сергей Михайлович Львовский
ЧТО НЕ ТАК?
Математические парадоксы и софизмы
Подписано в печать 23.11.2018 г. Формат 60 х 90 Мб- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 3,5. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-08-04.
Отпечатано в типографии ООО «Принт сервис групп».
Тел./факс (499) 785-05-18, E-mail: 35652640mail.ru, www.printsg.ru. 105187, г. Москва, ул. Борисовская, д. 14, стр. 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга». Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio0mccme.ru
ISBN 978-5-4439-1372-8
© Львовский С. М., 2019 © МЦНМО, 2019


Памяти Виталия Арнольда
Предисловие
Он хотел взглянуть на прыщик, который вчерашнего вечера вскочил у него на носу; но, к величайшему изумлению, увидел, что у него вместо носа совершенно гладкое место!
Н. В. Гоголь. Нос
Парадокс, согласно толковым словарям, — это утверждение, противоречащее здравому смыслу. Софизм — это рассуждение, кажущееся логичным, но скрывающее ошибку.
В этой брошюре собраны 25 математических и околоматематиче- ских парадоксов и софизмов. В главе 1 приводятся ошибочные рассуждения со странными выводами1}. Обсуждения софизмов с разъяснениями, где спряталась ошибка, вынесены во вторую главу, чтоб не лишать читателя удовольствия поискать ошибки самостоятельно. Иногда при анализе софизмов в главе 2 кроме самого указания на ошибку приводится краткое обсуждение смежных вопросов.
Софизмы, собранные в книжке, довольно разнородны: в некоторых из них ошибка сразу бросается в глаза, в других ее обнаружить непросто, а кое-какие из парадоксов возникли в ходе научных исследований и были в свое время предметом размышлений ведущих математиков. Но большинство софизмов и парадоксов из этой брошюры были когда-то сочинены специально, для развлечения, и давно вошли в «математический фольклор».
Многие софизмы, обсуждаемые в этой брошюре, заимствованы из двух книг: замечательной книги Я. С. Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах» [5] (первое издание ее вышло в 1953 году, и после этого она несколько раз переиздавалась) и вышедшей в 1920 году в Петрограде переводной книги [6] В. Литцмана и Ф. Трира «Где ошибка?» (перевод с немецкого; в этой книге софизмы приведены без разъяснений, в надежде, что читатель разберется в них сам). Впрочем, целый ряд софизмов, приведенных в книге Дубнова, есть уже у Литцмана и Трира (см. выше про математический фольклор). В некоторых случаях я воспроизводил фрагменты из [5] и [6] весьма близко к тексту (такие случаи мною отмечены), в других случаях изложение Дубнова или Литцмана—Трира было подвергнуто
1} Обычно эта странность бросается в глаза, но в некоторых случаях надо немного подумать, чтобы понять, что доказанное утверждение неверно.


4
Предисловие
переработке, порой — серьезной. Для софизмов, в книгах [5] и [6] не представленных, указать точный источник я не берусь.
Я попытался сгруппировать софизмы по темам, а также расположить их более или менее в порядке возрастания подготовки, необходимой для их понимания. Для нескольких последних софизмов требуется знакомство с началами математического анализа (первого семестра вуза с математической специализацией хватит с большим запасом), для остальных достаточно школьной программы.
Обсуждения софизмов не менее разнородны, чем сами софизмы: иногда все обсуждение укладывается в две строчки, иногда оно растягивается на несколько страниц.
Приступая к самостоятельному поиску ошибок, полезно иметь в виду, что неправильные рассуждения бывают неправильны по- разному. Бывает, что рассуждение и само неправильно, и «доказывает» ерунду, но бывает и так, что с помощью неверного рассуждения приходят к верному выводу, а ошибка в рассуждении сам этот вывод не компрометирует (из неверного утверждения 2 4-2 = 5 вытекает верное утверждение 2 + 2 > 3; в главе 1 есть менее грубые примеры). Иногда после обнаружения в доказательстве ошибки от него вообще ничего не остается; иногда в неверном доказательстве присутствует «рациональное зерно», и тогда после исправления ошибки оказывается, что действительно кое-что доказано (но не то, что было заявлено); бывает и так, что рассуждение, ведущее к нелепому выводу, ошибок вовсе не содержит, а парадокс получился оттого, что мы неправильно понимали, что именно доказано.
Я благодарен Ю. Н. Торхову, убедившему меня написать эту книжку. При работе над ней мне были полезны беседы с И. Р. Высоцким о современной школьной программе по стереометрии. Блогер mtsyr с платформы live journal. com напомнил мне про софизм с интегрированием по частям. В. Л. Львовской я обязан ценным обсуждением парадокса «Учебная тревога».


Глава 1
Формулировка софизмов
Первые несколько софизмов будут относиться к школьному курсу алгебры (или, если угодно, алгебры и начал анализа). Большинство из них несложные, а начнем мы и с совсем простого.
Формулировки софизмов 1-4 взяты из книги [6], иногда с небольшими изменениями.
1. 	4 = 5, или Тождественные преобразования
Исходя из не вызывающего сомнений равенства —20 = —20, проведем следующие преобразования:
2. 	Если а > Ъ > 0, то а > 2Ь, или Работаем с неравенствами
Пусть а>Ъ (а и Ъ — положительные числа). Из неравенства
—20 = —20;
16 — 36 = 25 — 45;
16 - 36 + ^ = 25 - 45 +
4 = 5.
а>Ъ
(1)
следует, что
а-Ъ>Ъ2
и дальше, если обе части неравенства уменьшить на а2,
а-Ъ - а2 >Ъ2 - а2.
Поделив на (Ь — а), получаем:
а>Ь + а.


6
Софизмы
Если сложить это, уже само по себе удивительное, неравенство с (1), мы получим:
2a > 2b -Ь а,
а отсюда
а > 2Ъ.
3. 	4 = 8, или Решаем системы уравнений
Рассмотрим следующую систему уравнений:
( 2х + у = 8,
Решим эту систему. Для этого подставим выражение для х из второго уравнения в первое:
2(2-|)+у = 8,
4 - У + У = 8,
4 = 8.
Итак, 4 = 8, как мы и обещали.
4. 	1 = — 1, или Логарифмы отрицательных чисел
Для произвольного числа а проведем следующие преобразования:
2lna = In (а2) = In (—а)2 = 21п(—а),
или
In а = 1п(—а).
В частности, если прологарифмировать тождество
(-1)2 = 1,
то легко получим:
21n(-l)=lnl = 0.
Из равенства ln(—1) = 0 можно сделать замечательный вывод:
е° = -1;
так как левая часть этого равенства равна единице, отсюда вытекает равенство
1 = -1.
Теперь перейдем к софизмам геометрическим. Среди них будут и довольно сложные.


Софизмы
7
5. 	64 = 65, или Разрезаем и складываем
Если равенство 4 = 5 мы доказывали алгебраически, то равносильное ему равенство 64 = 65 мы докажем геометрически.
Именно, рассмотрим квадрат со стороной 8 (см. рис. 1а, где мы для наглядности разграфили его на квадратики размером 1x1) и разрежем его, как показано на том же рисунке, на два прямоугольных треугольника с катетами 3 и 8 и две трапеции с прямым углом и с основаниями 3 и 5. Из этих двух треугольников и двух трапеций можно сложить прямоугольник с основанием 13 и высотой 5, как показано на рис. 16. Поскольку разрезание фигуры на части и складывание этих частей по-иному площади не меняет, площадь квадрата, то есть 8 • 8 = 64, равна площади прямоугольника, то есть 5 • 13 = 65, что и требовалось доказать.
Рис. 1. 64 = 65 (геометрическое доказательство)
Рекомендуем читателю вырезать из клетчатой бумаги квадрат 8x8, разрезать его как на рис. 1а и попробовать сложить из получающихся частей прямоугольник 5 х 13.
6. 	Простое доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°
Обычно то, что сумма углов треугольника равна 180°, доказывают, «собирая» все три угла вместе, как на рис. 2.
При таком подходе приходится как-то обосновывать равенства наподобие ZPAB = ZABC или равносильные равенства вроде ZQAB + + /.ABC = 180°. Евклид, не сумев вывести это последнее равенство из более очевидных утверждений, вообще принял его за аксиому — и, как было выяснено много позже, ничего лучше на этом пути придумать нельзя.
А мы вот сейчас предложим доказательство очень простое и не опирающееся ни на какие неясные предположения.


8
Софизмы
РА Q
Рис. 2. Сумма углов треугольника равна 180°: одно из традиционных доказательств. На рисунке PQ || ВС
Итак, предположим, что сумма углов треугольника равна х градусов; наша задача показать, что х = 180. Для этого возьмем произвольный треугольник ABC и разобьем его на два треугольника отрезком, выходящим из вершины, как показано на рис. 3.
С
Рис. 3. Сумма углов треугольника равна 180°: новое доказательство
Обозначая углы цифрами (см. тот же рисунок), имеем
Zl + Z2 -Ь Z6 — х,
Z3 + Z4 + Z5 —х.
Складывая эти равенства, получаем, что
Z1 -Ь Z2 -Ь Z3 -Ь Z4 Z5 -Ь Z6 — 2х.
Поскольку Zl + Z2 + Z3 + Z4 равно сумме углов треугольника ЛВС, то есть х, а сумма углов Z5 и Z6 равна 180°, получаем, что х + 180 = = 2х, откуда х = 180.
7. 	Сумма углов сферического треугольника
Сейчас мы докажем, что сумма углов любого сферического треугольника (треугольника, образованного дугами больших кругов на сфере) равна 180°. Нижеследующий текст взят, с минимальными изменениями, из книги Литцмана и Трира [6].
Обычный вывод суммы углов плоского треугольника сводится к следующему (рис. 4): начертив треугольник ABC на плоскости, идут от Л до В; повернув около точки В на величину внешнего угла /3, следуют к С; сделав оборот в точке С на угол у, возвращаются


Софизмы
9
к А. Если возвращаются к исходному направлению от Л к В, т. е. делают еще поворот на угол а, то будет сделан полный оборот, т. е. 360°. Сумма внешних углов, следовательно, равна 360°. А так как внутренний угол и ему прилежащий вместе равны 180°, то сумма всех внешних и внутренних углов равна 540°; для внутренних же углов остается 180°.
Рис. 4. Сумма углов треугольника (еще одно традиционное доказательство)
В этой цепи умозаключений нигде нет предпосылки, что речь идет о плоскости. Поэтому мы вправе приложить их и к кривой поверхности. Если, например, точки А, В и С изберем на большом расстоянии друг от друга, — скажем, в удаленных точках пространства, занимаемого Германией, — то наше рассуждение не должно утратить своей логичности. А отсюда следует правильность заключения и для сферического треугольника, так же как и для начерченного на всякой другой кривой поверхности.
8. 	Все треугольники равнобедренные
При изложении и анализе этого софизма мы близко следуем Дубнову [5].
Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 5, 6а или 66); проведем биссектрису угла С, затем ось симметрии стороны АВ (т. е. прямую, перпендикулярную к АВ в середине М отрезка АВ, — серединный перпендикуляр) и рассмотрим различные случаи взаимного
С


10
Софизмы
расположения этих прямых; так как в рассуждениях участвуют только одна биссектриса и одна ось симметрии, мы разрешим себе называть их просто «биссектриса» и «ось».
Случай 1: биссектриса и ось параллельны или совпадают. Так как ось перпендикулярна к АВ, биссектриса тоже перпендикулярна к АВ, т. е. совпадает с высотой, а в таком случае треугольник ABC равнобедренный (СЛ = СВ).
Случай 2: биссектриса и ось пересекаются внутри треугольника ABC (рис. 5), пусть в точке N. Эта точка равноудалена от сторон угла ЛВС; опустив из нее перпендикуляры NP и NQ соответственно на СВ и С А, имеем NP = NQ. Но точка N в то же время равноудалена от концов отрезка АВ, т. е. NB = NA. Прямоугольные треугольники NPB и NQA равны по катету и гипотенузе, следовательно, ZNAQ = ZNBP. Прибавляя к этим равным углам равные между собою (как углы при основании равнобедренного треугольника ANB) углы NAB и NBA, получим ZCAB = ZCBA, значит, треугольник ЛВС равнобедренный (именно, СЛ = СВ).
Случай 3: биссектриса и ось пересекаются на стороне АВ, т. е. в середине М этой стороны. Это означает, что в треугольнике ЛВС медиана и биссектриса, проведенные из вершины С, совпадают, а отсюда, как известно, следует, что этот треугольник равнобедренный (для доказательства можно, опять опустив перпендикуляры на АВ и АС, повторить — с упрощениями — рассуждения из случая 2).
Случай 4а: биссектриса и ось пересекаются вне треугольника ABC; перпендикуляры, опущенные из точки N пересечения на стороны СВ и С А, попадают на эти стороны (рис. 6а), а не на их продолжения. Как и раньше, получаем равные треугольники NPB
С
Р
а)
б)
Рис. 6


Софизмы
11
и NQA, а также равнобедренный треугольник ANB. Углы при основании АВ треугольника ABC равны теперь как разности (а не как суммы, в отличие от случая 2) соответственно равных углов.
Случай 46: биссектриса и ось пересекаются вне треугольника; перпендикуляры, опущенные из точки N пересечения на стороны СВ и СА, попадают на продолжения этих сторон (рис. 66). Те же построения и рассуждения приводят к выводу о равенстве внешних углов при вершинах А и В треугольника ABC. Отсюда сейчас же вытекает равенство внутренних углов Л и В, следовательно, СА = СВ.
9. 	Прямой угол равен тупому
При изложении этого софизма мы также близко следуем Дубнову [5].
Из концов отрезка АВ (рис. 7 или 8) проведем два равных между собой отрезка АС и BD, лежащих по одну сторону от прямой АВ и образующих с ней прямой угол DBA и тупой САВ; равенство этих углов мы и будем доказывать. Соединив С с D, получим четырехугольник ABDC, у которого стороны AC, BD, очевидно, не параллельны, равно как и стороны АВ, CD (в противном случае ABDC был бы равнобедренной трапецией с неравными углами при основании АВ). Для каждого из отрезков АВ, CD построим его ось симметрии. Так как отрезки не параллельны, перпендикулярные к ним оси также не параллельны и не сливаются, а пересекаются, пусть в точке N. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1: точка N лежит «выше» прямой АВ, точнее говоря — по ту же сторону от прямой АВ, по какую лежит четырехугольник ABDC (см. рис. 7, где точка N расположена внутри четырехугольника). Соединим эту точку со всеми вершинами четырехугольника; так как она одинаково удалена от концов отрезка АВ и одинаково — от концов отрезка CD, треугольники NAC и NBD равны по трем сторонам. Отсюда следует, что ZNAC = ZNBD. Прибавляя к первому углу угол NAB, ко второму — угол NBA и учитывая, что ZNAB = ZNBA


12
Софизмы
по свойству равнобедренного треугольника, приходим к равенству ZCAB = ZDBA.
Случай 2: точка N лежит на АВ, т. е. служит серединой отрезка АВ. Предыдущее доказательство упрощается — равенство ZCAB = = ZDBA получается сразу из равенства треугольников NAC и NBD.
Случай 3: точка N лежит «ниже» АВ, т. е. не по ту сторону от прямой АВ, по какую лежит четырехугольник ABDC (рис. 8). Снова из равенства треугольников получается ZNAC = ZNBD, но теперь от этих углов надо отнять углы NAB и NBA, равные между собою, и снова получится ZCAB = ZDBA.
10. 	Прямоугольник, вписанный в квадрат
При изложении этого софизма (но не его анализе) мы следуем Дубнову [5].
Сейчас мы докажем следующую теорему:
Прямоугольник, вписанный в квадрат, есть также квадрат.
Точнее: если прямоугольник MNPQ (рис. 9) вписан в квадрат ABCD так, что на каждой стороне квадрата лежит одна из вершин прямоугольника (у нас — М на АВ, N на ВС, Р на CD, Q на DA), то последний также есть квадрат.
Для доказательства опустим перпендикуляры PR и QS из Р и Q соответственно на АВ и ВС. Эти перпендикуляры, из которых каждый равен стороне квадрата ABCD, равны между собой. Они служат катетами в треугольниках PRM и QSN, где гипотенузы также равны между собой как диагонали прямоугольника MNPQ; отсюда следует равенство треугольников (затемненных на чертеже), а затем и равенство углов: ZPMR = ZQNS.
Рассмотрим теперь четырехугольник MBNO (на рисунке обведен утолщенными линиями; О — точка пересечения диагоналей прямо-


Софизмы
13
D PC
Рис. 9. Прямоугольник MNPQ вписан в квадрат ABCD
угольника MNPQ); у него внешний угол при вершине N равен внутреннему при вершине М, значит, сумма двух внутренних углов при вершинах М и N равна 180°. Такою же должна быть сумма внутренних углов при вершинах В и О, но один из них (угол В) — прямой, следовательно, и угол О прямой, т. е. диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, а этим признаком среди прямоугольников характеризуется квадрат — доказательство завершено.
Итак, теорему мы доказали. А теперь объясните, почему эта «теорема» неверна, найдите ошибку в ее доказательстве и подумайте, как можно исправить ее формулировку, чтобы она стала верной.
11. 	Новый признак равенства треугольников
Всем известны признаки равенства треугольников «по двум сторонам и углу, лежащему между ними», «по стороне и двум прилежащим к ней углам» и «по трем сторонам». А вот мы сейчас докажем признак равенства по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них:
Если в треугольниках ABC и А1В1С1 имеем АВ = АгВъ АС = АгСг и ZC = ZCb то А ЛВС = ДЛ^С^
Докажем это утверждение. Заметим, что, не ограничивая общности, можно считать, что Л = Лъ В = Въ а вершины С и Сг лежат по разные стороны от прямой АВ (так как всегда можно заменить треугольник Л1В1С1 на равный ему треугольник, расположенный указанным выше способом) — см. рис. 10. Заметим, что для доказательства равенства треугольников ЛВС и АВСг нам достаточно устано¬


14
Софизмы
вить, что ВС = ВСг (после этого равенство будет вытекать из признака равенства треугольников по трем сторонам). Соединим теперь точки С и Сг отрезком и рассмотрим три случая.
С С
а) б)
Рис. 10
Случай 1: прямая ССг пересекает сторону АВ в ее внутренней точке (рис. 10а). По условию, треугольник АССг равнобедренный, так что ZACQ = ААСгС; с другой стороны, ZACB = ZАСгВ по условию. Вычитая эти два равенства, получаем, что АВССг = /.ВСгС, откуда треугольник ВССг равнобедренный и ВС — ВСЪ что и требовалось.
Случай 2: прямая ССг пересекает продолжение стороны АВ за точку В (рис. 106). Рассуждение то же, с тем отличием, что вычитание надо проводить в обратном порядке: из равенства ZACCj —ZACjC вычесть равенство Z.ACB = ААСХВ.
Случай 3: прямая СС2 пересекает продолжение стороны АВ за точку А (сделайте рисунок самостоятельно). Рассуждение опять- таки аналогичное, но на сей раз равенства ААССг = ZAQC и ZACB = = ААСгВ надо не вычесть, а сложить.
Итак, теорему мы доказали. А теперь объясните, почему эта «теорема» неверна, найдите ошибку в доказательстве и заодно подумайте, как можно исправить формулировку теоремы, чтоб она стала верной.
12. 	Все прямые параллельны
Нам будет удобнее доказывать не буквально это красивое утверждение, но следующий факт, ему эквивалентный:
Если из точек А и В выпустить два луча по одну сторону от
прямой АВ (рис. 11), то эти лучи не пересекаются.
^Действительно эквивалентный, как нетрудно проверить. Ошибки в рассуждении начнут появляться позднее.


Софизмы
15
Для доказательства разделим отрезок АВ пополам и на лучах AQ и ВР отложим точки Аг и Вг соответственно, для которых ААг = ВВг =
= |АВ. На протяжении отрезков ААг и ВВ1 пересечение лучей AQ и ВР произойти не может, т. е. отрезки ААг и ВВг не могут иметь общей точки. Действительно, если бы существовала такая общая точка (обозначим ее К), то получился бы треугольник АКВ, у которого сумма двух сторон АК -1- КВ меньше третьей стороны АВ или равна ей, а это невозможно. Далее, отрезок ААг и луч ВгР также не могут иметь общей точки по той причине, что эти отрезок и луч лежат по разные стороны от прямой А1В1. Аналогичное рассуждение показывает, что отрезок ВВг не может иметь общих точек с лучом AQ. Стало быть, точка пересечения лучей AQ и ВР (если она вообще есть) не может лежать ни на отрезке ААЪ ни на отрезке ВВг.
То, что мы к этому моменту установили, можно переформулировать следующим образом:
Если лучи AQ и ВР пересекаются, то их точка пересечения
является также точкой пересечения лучей A2Q и ВгР.
Применим теперь к «уменьшенным» лучам тот же прием, что мы применили к лучам AQ и ВР: отложим на лучах А^и ВгР точки А2
и В2, для которых АгА2 = ВгВ2 = ^А1В1. После этого то же рассуждение, что выше, показывает, что на отрезках АгА2 или ВгВ2 искомая точка пересечения лежать также не может, так что все сводится к задаче о пересечении лучей A2Q и В2Р. Теперь аналогичным образом отложим точки Л3 и В3 и т. д. (можно, если угодно, оформить это рассуждение с помощью математической индукции). В итоге получаем,


16
Софизмы
что ни на одном из отрезков ААЪ АгА2,... точка пересечения лучей встретиться не может, то есть что ее нет вообще.
Теперь приведем два софизма, связанных с методом математической индукции.
13. Все числа равны
Чтобы доказать это поразительное утверждение, переформулируем его следующим образом.
Пусть п — натуральное число. Тогда в любом наборе из п чисел все числа равны.
Докажем выделенное курсивом утверждение индукцией по п.
База индукции: п = 1. В наборе, состоящем из одного числа, все числа, естественно, равны, так что при п — 1 наше утверждение верно.
Переход от п к п + 1. Пусть для всех наборов из п чисел наше утверждение доказано; покажем, что тогда оно верно и для наборов из п +1 числа. Рассмотрим какой-нибудь набор из п + 1 числа; занумеруем входящие в него числа номерами от 1 до п + 1.
По предположению индукции, в наборе из чисел с номерами 1, 2,..., п — 1, п все числа равны; осталось проверить, что число номер п + 1 равно всем числам с меньшими номерами. Для этого заметим, что числа с номерами 1, 2, ..., п — 1, п -f 1 также образуют набор из п чисел. По предположению индукции все они равны; в частности, число номер п + 1 равно числу номер п — 1, и тем самым всем числам с номерами от 1 до п. Все доказано.
14. Все люди лысые
Это утверждение мы также докажем по индукции. Именно, мы докажем индукцией по п, что
Если количество волос на голове у человека равно п, то он
лысый.
База индукции: п = 0. Тот, у кого ни одного волоса на голове нет, бесспорно, является лысым, так что при п = 0 доказываемое утверждение верно.
Переход от п к п + 1. Пусть мы доказали, что всякий, у кого на голове п волос, является лысым. Если лысому человеку добавить один волос, то лысым он от этого быть не перестанет. Стало быть, всякий, у кого на голове п + 1 волос, также является лысым.


Софизмы
17
В нескольких следующих софизмах математики не так много, а то и совсем нет, но во всех них важную роль играет логика.
15. 	Парадокс учебной тревоги
Однажды командир Н-ской роты объявил солдатам следующее:
— В один из рабочих дней на следующей неделе в 5 часов утра у нас будет учебная тревога. Чтобы приблизить обстановку к боевой, эта тревога будет для вас неожиданной: пока ее не объявят, вы не будете знать, что она состоится именно в этот день.
Вечером того же дня рядовой Петров объяснял своим товарищам:
— Я все понял: никакой тревоги не будет, нам только голову морочат! Вот смотрите. В пятницу эту тревогу объявить не могут: ведь тогда уже в четверг вечером мы будем знать, что тревога будет именно в пятницу — другого-то дня не остается! А нам ведь объявили, что нам до последнего момента будет неизвестно, в какой день будет тревога, так что пятница исключается. Но могут ли объявить тревогу в четверг? Тоже нет! Ведь если в первые три дня тревоги не будет, то мы уже в среду вечером будем знать, что тревога будет в четверг или пятницу, а так как в пятницу ее объявить не могут, остается только четверг, и мы опять узнаем дату тревоги заранее, неожиданности не будет. Значит, остаются только понедельник, вторник и среда, но тут мы рассуждаем точно так же: в среду объявить тревогу невозможно, ну и так далее. Так что обойдемся без тревоги.
Рассуждение рядового Петрова всех убедило. Однако же в среду в пять утра по казарме разнеслось: «Рота, подъем! Тревога!». Как вы понимаете, для всех, включая рядового Петрова, это оказалось полной неожиданностью, так что все случилось в соответствии с тем, что объявил командир роты. Но где же тогда ошибка в рассуждениях рядового Петрова?
16. 	Парадокс брадобрея
Мы снова в той же Н-ской роте, о которой шла речь в предыдущей истории. На сей раз командир роты приказал рядовому Петрову каждое утро брить всех своих сослуживцев, кроме тех, кто бреется самостоятельно. При этом тех, кто бреется сам, рядовому Петрову брить категорически запрещено. Спрашивается, кто теперь будет брить самого Петрова? Бриться сам, не нарушая приказа, он не может, ведь брить тех, кто бреется сам, Петрову запрещено. Если его будет брить кто-то другой, то это также будет нарушением приказа: ведь тех, кто не бреется сам, брить обязан именно рядовой Петров. Как разрешить это противоречие?


18
Софизмы
17. 	Парадокс Уайтхеда—Рассела
Как известно, одно из основных понятий современной математики — понятие множества. Это понятие нельзя определить, исходя из более простых, можно только описать, что это такое. Можно говорить, например, о множестве всех треугольников на плоскости, или о множестве всех точек, лежащих на данной прямой, или о множестве, состоящем из чисел 5,11 и 168, или о множестве всех натуральных чисел (это множество часто обозначают буквой N, именно таким шрифтом), или о множестве всех положительных чисел, не превосходящих 7 (это множество в школе обозначают (0; 7]), ... —из этих примеров общий принцип должен быть ясен.
Напомним еще, что если нечто входит в множество X, то это нечто называется элементом множества X (например, элементы множества N — натуральные числа и только они). Два множества совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов.
Назовем множество ординарным, если оно не является своим собственным элементом, и экстраординарным, если оно своим элементом является. Все множества, о которых мы говорили до сих пор, являются ординарными: скажем, (0; 7] —множество ординарное, потому что оно состоит из чисел, а интервал — не число. Но экстраординарные множества тоже представить себе можно: например, множество вообще всех множеств — это тоже множество, а значит, оно является собственным элементом и тем самым экстраординарно.
Рассмотрим теперь множество всех ординарных множеств (обозначим его буквой X). Это множество может быть либо ординарным, либо экстраординарным, третьего не дано. Если, однако, X — ординарное множество, то X обязано быть собственным элементом (ведь X как раз и состоит из ординарных множеств), но тогда выходит, что X экстраординарно. Полученное противоречие показывает, что ординарным множеством X быть не может. Если же, напротив, X экстраординарно, то X своим элементом не является, но это означает, что X ординарно, и мы опять получили противоречие. Выходит, что X не является ни ординарным, ни экстраординарным. Как быть?
18. 	Парадокс Берри
Натуральные числа можно задавать в том числе и с помощью обычных фраз русского языка. Например, фраза «Наименьшее натуральное число» задает число 1, а фраза «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной три и четыре» задает число 5. (Мы хотим, чтобы число задавалась однозначно: скажем, фраза «Двузначное число в десятичной системе» не годится, потому что под это определение подходит не одно, а 90 чисел.)


Софизмы
19
Фразами, состоящими, скажем, не более чем из ста букв г\ можно задать лишь конечное количество натуральных чисел: ведь количество любых (в том числе и бессмысленных) наборов не более чем из ста букв — конечное число, значит, конечно и число фраз не более чем из ста букв, однозначно задающих какое-то натуральное число. Стало быть, какие-то натуральные числа задать фразой, состоящей не более чем из ста букв, заведомо невозможно; среди таких чисел есть наименьшее. Рассмотрим теперь такую фразу:
Наименьшее натуральное число, которое нельзя задать фразой не более чем из ста букв.
Эта фраза однозначно задает некоторое натуральное число, и в ней всего 85 < 100 букв. Мы пришли к противоречию: натуральное число, которое нельзя задать фразой из ста или менее букв, оказалось задано фразой всего из 85 букв! Как быть?
Для понимания следующих ниже софизмов требуется некоторое знакомство с началами математического анализа.
19. 	п = 2, или Волны
В изложении этого софизма (но не при его обсуждении) мы близко следуем книге [5].
На отрезке АВ как на диаметре построим полуокружность (рис. 12); затем разделим отрезок АВ пополам и на каждой половине как на диаметре построим по полуокружности, располагая их по разные
Знаки препинания и пробелы мы тоже считаем буквами.


20
Софизмы
стороны от АВ. Эти две полуокружности составят волнообразную линию, длина которой от Л до В равна длине первоначальной полуокружности, т. е. —•АВ; действительно, каждая меньшая полуокружность вдвое короче большей, так как имеет диаметр, вдвое меньший. Теперь разделим отрезок АВ на четыре равные части и построим волнообразную линию, состоящую из четырех полуокружностей, с преж- тс
ней суммой длин АВ. Будем продолжать этот процесс неограниченно, деля отрезок АВ на 8, 16,... равных частей и строя на них полуокружности, поочередно расположенные с одной и с другой стороны прямой АВ.
Получится последовательность волнообразных линий, все более приближающихся к отрезку АВ и стремящихся к нему в том смысле, что наибольшее из расстояний точек каждой волнообразной линии от прямой АВ (это наибольшее расстояние, очевидно, равно радиусу полуокружностей, составляющих линию) стремится к нулю по мере удаления от начала последовательности (на рис. 12 изображена полоса между двумя параллелями к АВ: как бы ни была узка эта полоса, найдется в нашей последовательности такое место, начиная с которого все волнообразные линии на всем своем протяжении от А до В будут целиком умещаться внутри полосы). Но длина у всех волнообразных линий одинакова и равна ^АВ; такова же должна быть
к
длина предела этих линии, т. е. отрезка АВ. Из равенства АВ = АВ находим п = 2.
20. 	In 2 = 0, или Бесконечные ряды
При изложении этого софизма мы близко следуем книге [6].
Как известно,
1п2=1-| + |-| + |-... (3)
Соберем отдельно положительные и отрицательные члены:
1п2= (l + | + | + -) - (I + I + I + -). (4)
или
1п2= [(l + | + § + •••) + (| + | + | + -)] ~2(.1 + \ + 1 + •••)• Раскрыв круглые скобки, получим: ln2=(l + i + i + i + i + ...)-(l + i + i + i + i + ...), т. е. In 2 = 0.


Софизмы
21
То же интересное равенство можно получить и другим способом. Именно, умножим обе части равенства (3) на 2. Сокращая дроби с четными знаменателями, получим следующее:
21п2 = 2—1 + | —| + | —| + | —... (5)
Собрав в правой части дроби с одинаковыми знаменателями и произведя их вычитание, получим, что
21п2 = 1- 2 + з_4 + 5- *--’ то есть 2 In 2 = In 2, откуда In 2 = 0.
21. 	\ — или Степенные ряды
Как известно, сумма S членов геометрической прогрессии с первым членом, равным а, и знаменателем q выражается формулой
Полагая в этой формуле а — 1, q = —х, получаем:
Y^ = 1-x + x2-x3 + x4-... (6)
(знаки чередуются). Собственно говоря, эту формулу нетрудно вывести и непосредственно. Именно, избавляясь в (6) от знаменателя (то есть умножая обе части равенства на 1 +х), получаем:
1 = (1 + х)(1-х + х2-х3 + х4-...) =
= (1 - х + х2 - х3 + х4 - ...) + (х - х2 + х3 - х4 + ...).
Ясно, что при раскрытии скобок все слагаемые, кроме 1, взаимно уничтожатся, так что получится верное равенство 1 = 1, что и доказывает тождество (6). Подставляя теперь х = 1 в это тождество, получаем, что
1-14-1-1 + 1-... = (7)
Не будем, однако, останавливаться на этом результате. Именно, нетрудно убедиться, что выполнено еще и такое тождество:
. , 1, 2 =1-х + х3-х4 + х6-х7 + ... (8)
1+л: + х2
(если п ^ 0 делится на 3, то в правую часть хп входит с коэффициентом 1, если п ^ 0 при делении на 3 дает остаток 1, то хп входит


22
Софизмы
с коэффициентом —1, а больше ничего в правой части нет). Это тождество проверяется так же, как (6): умножая обе части на 1 + х + х2, имеем
и легко видеть, что в правой части все слагаемые, кроме 1, сокращаются: если п = 3/с, где к— целое положительное, то хп в первой строке сокращается с — хп в третьей строке, если п = Зк + 1, то —хп в первой строке сокращается с х11 во второй строке, и наконец, слагаемые вида — x3fc+2 из второй строки сокращаются с хзк+2 из третьей строки.
Подставляя теперь х = 1 в формулу (8), получаем, что
Далее, аналогичным образом можно получить и тождество
подставляя в него х = 1, получим, что
Сопоставляя три выражения для суммы 1 — 1 + 1 — 1 + ..., получаем
22. 	1 = 0, или Интегрирование по частям
Как известно, формула интегрирования по частям гласит, что
1 = (1 + х + х2) (1 - х + х3 - х4 + х6 - х7 + ...) =
= 1 -х + х3 -х4 + х6 -х7 + ... + + х - х2 + х4 - х5 + X7 - х8 + ... + + х2 - х3 + х5 - х6 + X8 - х9 + ...,
(9)
111
искомое равенство - = - =
Применим ее к такому интегралу, как § dx/x. Принимая во внимание, что
, полагая ^ = а, х = и.
имеем:
Сокращая, получаем искомое равенство 1 = 0.


Софизмы
23
& а/2
23. 	я = —д— % 3,77, или Асимптотика
Прежде чем перейти к основному рассуждению, напомним, что площадь, ограниченная эллипсом с полуосями а и Ь, равна nab. В самом деле, такой эллипс получается из круга радиусом а растяжением в Ь/а раз (будем считать, что b > а) вдоль одной из осей. Поскольку при растяжении в к раз вдоль оси площадь умножается на к, площадь, ограниченная этим эллипсом, равна па2 • (b/a) = nab.
Перейдем теперь к сути дела. Пусть к > 1, и рассмотрим эллипс, получающийся преобразованием (х; у) —> (х; ку) из окружности радиуса 1 с центром в точке с координатами (0,1). В силу сказанного выше площадь, ограниченная этим эллипсом, равна пк, так что площадь части плоскости, лежащей внутри эллипса и ниже прямой у = к, равна S3 = пк/2.
Рис. 13. Сплошная линия — нижняя половина эллипса, пунктирная линия — парабола
Посмотрим, как будет выглядеть наш эллипс при больших к
(рис. 13). Уравнение окружности радиуса 1 с центром в точке (0; 1)
имеет вид х2 + (у — I)2 = 1, так что уравнение эллипса имеет вид
х2+й-1) =1-
Преобразуем его к виду
х2 + ^-У2~1 -2у + 1 = 1. (10)
Заметим, что при росте к множитель стремится к нулю быстрее, 1
чем £, так что им можно пренебречь. Отбрасывая слагаемое с этим множителем, имеем
х2 - £ • 2у + 1 = 1, (11)


24
Софизмы
или, что равносильно, у — кх2/2. Итак, при к —► оо наш эллипс стремится к параболе с уравнением у = кх212. Стало быть, площадь S3 при к —> оо асимптотически эквивалентна площади Sn — площади части плоскости, заключенной между параболой у = кх2/2 и прямой у = к (напомним, что две величины, зависящие от к, называются асимптотически эквивалентными при к —> оо, если их отношение стремится к единице при к —» оо).
Однако площадь Sn легко вычисляется:
Sn=2kV2- f ^dx = 2kV2-^ = ^.
-у/2
Стало быть, 4/с л/2/3 при к —> оо асимптотически эквивалентно S3 = = пк/2, откуда л = 8у/2/3.
24. 	п = 4, или Площадь сферы
При изложении этого софизма мы почти дословно воспроизводим текст Дубнова [5], но при его обсуждении отойдем от книги [5] довольно далеко.
Рис. 14
Рассмотрим полусферу (рис. 14) с центром О, «экватором» q и «полюсом» Р (это означает, что радиус ОР перпендикулярен к проходящей через О плоскости экватора q). Разделим окружность q на очень большое число п равных частей и соединим Р со всеми точками
деления посредством дуг больших кругов (каждая дуга — ^ «меридиана»); тогда полусфера разделится на п очень узких сферических треугольников, из которых каждый ограничен малой дугой экватора и двумя дугами меридианов (несколько таких треугольников изображено на чертеже; один из них — РАВ — выделен штриховкой). За счет ничем не ограниченного увеличения числа п делений можно сделать эти сферические треугольники сколь угодно узкими


Софизмы
25
(«тоньше паутинки»), а «бесконечно узкий» искривленный треугольник можно распластать или, как говорят, «развернуть» на плоскость с сохранением всех размеров (т. е. длин, углов, площади). Получится
(равнобедренный) плоский треугольник, у которого основанием слу-
. 2nR
жит распрямленная дуга длинои , а высотой — распрямленная
п „ nR ,
дуга, равная четверти окружности, т. е. длинои (см. заштрихованный треугольник на рис. 14 слева). Площадь такого треугольника
1 2nR TlR 1 2г»2 ^
есть • ~2~ = 2п > следовательно, общая площадь всех тг
треугольников, заполняющих полусферу, равна ^тг2Я2, а площадь всей сферы будет n2R2. Сопоставляя это равенство с общеизвестной формулой, согласно которой площадь сферы радиуса R равна 4тгЯ2, получаем искомое равенство п — 4.
25. 	Парадокс воронки
Рассмотрим бесконечную воронку следующей формы (рис. 15). Сначала берем цилиндрический сосуд радиусом и высотой 1 (без
Рис. 15


26
Софизмы
крышки, но с дном), затем проделываем в дне концентрическое отверстие радиуса 1/2 и прикрепляем к нему цилиндрический сосуд радиусом 1/2 и высотой 1, затем в дне этого сосуда проделываем концентрическое отверстие радиуса 1/3 и прикрепляем к этому отверстию цилиндрический сосуд радиусом 1/3 и высотой 1 — и так далее до бесконечности (на п м шаге добавляется сосуд радиуса 1 /п и высоты 1).
Заметим, что площадь поверхности этой воронки бесконечна. В самом деле, бесконечна даже ее боковая поверхность: боковая поверхность цилиндра радиуса 1/п и высоты 1 равна 2я/п, так что после п шагов построения боковая поверхность воронки будет не меньше, чем
(как говорят, «ряд расходится»).
С другой стороны, объем, заключенный внутри этой воронки, напротив, конечен. В самом деле, объем цилиндра радиусом 1/п и вы-
неограниченно: нетрудно установить, например, что каждая из этих сумм меньше 2. Вот как это делается:
но для наших целей такая точность не требуется).
Итак, мы установили, что поверхность воронки бесконечна, а ее объем конечен. Однако эти два утверждения друг другу очевидным образом противоречат! В самом деле, коль скоро объем воронки конечен, мы можем мысленно заполнить всю воронку конечным количеством краски, и при этом вся внутренняя поверхность воронки автоматически окажется окрашенной. Однако если поверхность можно окрасить конечным объемом краски, то площадь этой поверхности очевидным образом конечна, что противоречит нашим вычислениям. Как быть?
-1 ■ 1 , 1 , . 1 но суммы 1+2 3 гг с Ростом п возрастают неограниченно
сотой 1 равен 4г, так что сумма объемов первых п цилиндров равна


Софизмы
27
Если вас шокируют разговоры об окраске не существующих в природе бесконечных воронок, то же самое противоречие можно получить, ограничиваясь предметами конечного размера. Именно, обозначим через Fn воронку (на сей раз конечную), получающуюся в результате соединения первых п цилиндрических сосудов с радиусами
1, ..., Согласно нашим вычислениям, полная поверхность этой
воронки больше, чем 2п ^1 + ^ -I-1 + ... + и тем самым с ростом
п может стать сколь угодно большой, а вместимость любой воронки Fn не превосходит 2. Выходит, что воронки данного вида со сколь угодно большой поверхностью можно выкрасить с помощью одного и того же ограниченного объема краски, и опять получаем противоречие.


Глава 2 Анализ софизмов
Анализ софизма с тождественными преобразованиями (1)
Если квадраты двух чисел равны, из этого еще не следует, что и сами эти числа равны.
Анализ софизма с неравенствами (2)
Если, как мы условились, а > Ь, то Ъ — а < 0. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять, чего мы возмутительным образом не сделали.
Анализ софизма с системами уравнений (3)
Вдумаемся, какой смысл имели наши действия с подстановкой выражения для х в первое уравнение и последующими упрощениями. Раз мы делаем выводы из каких-то равенств, мы тем самым предполагаем, что равенства, на которые мы опираемся, верны. Тем самым мы доказали не немыслимое равенство 4 = 8, а следующее более слабое утверждение:
Если существуют числа хиу, удовлетворяющие обоим уравнениям системы (2) на с. 6, то 4 = 8.
Однако существование таких чисел вовсе не самоочевидно: у произвольной системы уравнений решений может и не быть. Более того, наши выкладки как раз и показывают, что их нет, раз из предположения об их существовании следует неверный вывод. Таким образом, мы доказали не немыслимое равенство 4 = 8, а гораздо более скромное утверждение: у системы уравнений (2) нет решений.
Анализ софизма с логарифмами (4)
Согласно принятому в школе определению, натуральный логарифм числа а — это такое число х, что ех — а. Поскольку ех > 0 для всякого действительного числа х, логарифмов в смысле этого определения у отрицательных чисел нет, так что, каким бы способом мы ни распространяли определение логарифма на отрицательные числа, описанному выше определению эти «обобщенные логарифмы» удовлетворять никогда не будут. Стало быть, если даже ln(—1) = 0


Анализ софизмов
29
в смысле этого обобщенного определения, отсюда никак не следует, что е° = — 1, и противоречия не получается.
Теперь, когда софизм мы разобрали, стоит отметить, что вполне можно распространить логарифмическую функцию на отрицательные числа с тем, чтобы для положительных чисел «обобщенные логарифмы» совпадали с традиционными и сохранялось тождество In(ab) = In а + lnb: достаточно (и необходимо, как мы убедились в рассуждениях, составляющих софизм) положить
In (а) = 1п(-а) при а < 0.
Так, однако, делать не принято: если возникает нужда в «логарифме» отрицательного числа а в этом смысле, то пишут попросту In | а |. Логарифм же отрицательного (и вообще любого ненулевого комплексного) числа определяется как число (комплексное, вообще говоря) 2?, для которого ez — а. Такой логарифм определен не однозначно, логарифмы отрицательных чисел оказываются числами комплексными, и с тождеством In (ab) = In a + lnb тоже не все просто.
Анализ софизма «Разрезаем и складываем» (5)
Ошибка состоит в том, что из частей, на которые мы разрезали квадрат 8x8, прямоугольник 13 х 5 не складывается, вопреки тому, что, казалось бы, видно на чертеже.
Именно, точки Л, В и С на рис. 16 вовсе не лежат на одной прямой. «Угловой коэффициент» отрезка АВ (тангенс угла наклона к основа-
3
нию прямоугольника) равен g (чтобы попасть из Л в В, надо сдвинуться на 8 клеточек вправо и на 3 вверх), а угловой коэффициент 2
отрезка ВС равен - (5 вправо, 2 вверх). Эти два числа не равны: 3 2
g < -jr. Поэтому ABC — не отрезок, а ломаная, в которой вершина В лежит ниже отрезка АС. Аналогично проверяется, что ADC — тоже ломаная, причем D лежит выше отрезка АС. Стало быть, четыре части, на которые мы разрезали квадрат 8 х 8, в прямоугольник 13 х 5 не складываются: остается зазор в форме параллелограмма ABCD,


30
Анализ софизмов
но зазор настолько узкий, что его трудно заметить на чертеже (мы специально провели линии разреза потолще!) или при вырезании из бумаги.
После всего сказанного рекомендуем читателям еще раз посмотреть на известное доказательство теоремы Пифагора, также основанное на разрезаниях и складываниях (рис. 17). Может быть, и в нем есть обман?
Рис. 17. а2 + Ъ2 + 4S = с2 + 4S, где S — площадь прямоугольного треугольника с катетами а и Ь.
Анализ софизма с суммой углов треугольника (6)
Когда мы писали «предположим, что сумма углов треугольника равна х градусов», мы неявно подразумевали, что у каждого треугольника сумма углов равна х градусов; в частности, мы подразумевали, что сумма углов у всех треугольников одна и та же. Последнее утверждение, однако, тоже нуждается в доказательстве, которого мы не привели. А если допустить, что у разных треугольников сумма углов может быть разная, то мы не имеем права обозначать суммы углов в трех треугольниках ЛВС, ADC и BDC одной и той же буквой х, и все рассуждение рушится.
Таким образом, для «обычной» (евклидовой) геометрии наше рассуждение не дает вообще ничего. Тем не менее, кое-что мы все же доказали! Именно, наряду с «обычной» геометрией существуют и геометрии неевклидовы; в них тоже есть точки, прямые, отрезки и углы, свойства которых в основном похожи на свойства привычных нам прямых, отрезков и углов, но кое в чем и отличаются. Надо думать, в любой «разумной» неевклидовой геометрии должно быть верным свойство «если угол разделить на несколько частей, то его величина равна сумме величин этих частей». Посмотрев еще раз на рассуждение в примере 6, получаем, что мы доказали следующее утверждение.


Анализ софизмов
31
Если в неевклидовой геометрии (при любом разумном понимании этого термина) сумма углов у всех треугольников одинакова, то эта сумма углов равна 180°.
И действительно, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, но при этом у разных треугольников она может быть разной (как ни парадоксально это звучит, сумма углов тем меньше, чем больше площадь треугольника). Напротив, в сферической геометрии (в ней роль отрезков играют дуги больших кругов на некоторой фиксированной сфере) сумма углов треугольника всегда больше 180°, но и в ней у разных треугольников она разная (на сей раз тем больше, чем больше площадь треугольника). Неевклидовы геометрии, в которых у всех треугольников сумма углов одинакова (и тем самым равна 180°), тоже существуют.
Анализ софизма с суммой углов сферического треугольника (7)
Если в предыдущем софизме мы имели дело с неверным доказательством верного утверждения, то в данном случае не только доказательство ошибочно, но и само утверждение неверно: как мы отмечали при разборе предыдущего софизма, у любого сферического треугольника сумма углов строго больше, чем 180°. Например, у треугольника, высекаемого на сфере тремя попарно перпендикулярными плоскостями, проходящими через центр («одна восьмая от сферы»), все три угла прямые, так что сумма углов равна 270° — см. рис. 18.
Ошибка в рассуждениях, приводящая к неверному выводу, забавна тем, что в данном случае автор и не пытается ее замаскировать: неверно голословное утверждение «в этой цепи умозаключений нигде нет предпосылки, что речь идет о плоскости». На самом деле то обстоятельство, что треугольник лежит в плоскости, используется, когда мы складываем углы поворота направлений (углы а, (3 и у). Если треугольник сферический, а не плоский, то три эти поворота происходят в трех разных плоскостях (см., например, тот же рисунок 18), так что сложение углов лишено смысла.
Возвращаясь к случаю плоского треугольника, отметим еще, что тот интуитивно ясный (и верный в данном случае!) факт, что сумма трех углов поворота равна 360°, при более аккуратном доказательстве потребовал бы использования фактов о параллельных прямых наподобие упомянутых при формулировке софизма 6: чтоб получить


32
Анализ софизмов
в сумме 360°, необходимо снести три вершины углов в одну точку, и приходится, строго говоря, обосновывать, что при таком переносе углы не изменяются.
Рис. 19
Анализ софизма «Все треугольники равнобедренные» (8)
В нашем рассуждении не учтена возможность того, что из двух перпендикуляров NP и NQ один попадет на сторону треугольника ЛВС, а другой — на продолжение стороны (рис. 19). Если это
произойдет, то один из углов при основании АВ треугольника ABC окажется разностью двух углов, а другой будет смежным для суммы тех же углов — отсюда, разумеется, никаких выводов, относящихся к углам при основании, а значит, и к равенству боковых сторон, сделать нельзя. Итак, ошибка в доказательстве найдена. Собственно, если данный треугольник — неравнобедренный, то наше рассуждение как раз и показывает, что рассмотренные в нем случаи, представленные на рис. 5,6а и 66, невозможны.
Можно и напрямую установить, что в неравнобедренном треугольнике одна из точек Р и Q обязательно лежит на стороне треугольника, а другая — обязательно на ее продолжении. Действительно, пусть СА> СВ. Опишем около треугольника ABC окружность; так как равные вписанные углы опираются на равные дуги, биссектриса угла С должна пройти через середину N дуги АВ, на которую этот угол опирается. Но через ту же середину N должна пройти и ось симметрии хорды АВ. Таким образом, пересечение биссектрисы с осью происходит на описанной окружности, т. е. заведомо вне треугольника ABC. Перпендикуляры из N на СВ и С А попадут на эти стороны или на их продолжения в зависимости от того, будут ли острыми или тупыми углы NBC и NAC. Вместо этих вписанных углов будем рассматривать дуги, на которые они опираются. Так как мы предположили, что СА > СВ, имеем ^ СА > ^ СВ, а отсюда и из равенства ^ AN = ^ BN следует, что ^ CAN > ^ CBN. Это означает, что дуга CAN больше полуокружности, а дуга CBN меньше ее, следовательно, угол CBN тупой, а угол CAN — острый. Поэтому перпендикуляр NP попадает на продолжение стороны СВ, а перпендикуляр NQ — на саму сторону СА.
По ходу изложения софизма мы упомянули, что с помощью использованного в нем приема (опустить перпендикуляры на стороны


Анализ софизмов
33
С А и СВ) можно доказать и верное утверждение: если биссектриса угла С совпадает с медианой стороны АВ, то СА = СВ (случай 3). Теперь мы видим, что и это рассуждение оказывается скомпрометировано: мы опять не рассмотрели случай, когда один из перпендикуляров попадает на саму сторону треугольника, а другой — на ее продолжение. «Отремонтируйте» рассуждение для этого случая, показав, что в случае, когда биссектриса с медианой совпадают, такое все же невозможно.
Впрочем, тот факт, что треугольник, в котором биссектриса и медиана совпадают, является равнобедренным, проще всего доказать вообще без дополнительных построений, сославшись на теорему «Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам».
Анализ софизма «Прямой угол равен тупому» (9)
При рассмотрении случая 3 в нашем рассуждении мы молчаливо предполагали, что точки А и D лежат по разные стороны от прямой CN, что и отражено на рис. 8; но что же будет, если они расположены по одну сторону от этой прямой? Давайте посмотрим на рис. 20, этому случаю соответствующий.
Как видно, в этой ситуации, как и в нашем случае 3, выполнено равенство ZDBA = ZDBN — ZABN, но вот аналогичное равенство ZCAB — ZCAN — ZBAN уже места не имеет: вместо него выполнено соотношение
ZCAB = 360° - UCAN + ZBAN),


34
Анализ софизмов
из которого равенство углов САВ и DBA не выводится. Стало быть, ошибка в нашем рассуждении состоит в том, что мы забыли рассмотреть случай, представленный на рис. 20, а само это рассуждение на самом деле доказывает, что только этот случай и возможен.
Как и в случае с софизмом «Все треугольники равнобедренные», убедиться в последнем утверждении можно и напрямую. Именно, давайте достроим прямоугольный треугольник ABD до прямоугольника ABDE. Оси симметрии отрезков АВ и DE совпадают (обозначим эту ось симметрии через I), так что точки D и Е симметричны относительно прямой I. Далее, из равенств АС = BD (по построению) и BD = АЕ вытекает, что АС = АЕ, а из установленного нами равенства треугольников ACN и BDN вытекает, что и NC = ND = NE, так что точки С и Е симметричны относительно прямой NA.
Стало быть, треугольник NAC можно получить из треугольника NBD с помощью последовательного выполнения двух симметрий: сначала относительно прямой I (в результате чего получится треугольник МАЕ), а затем относительно прямой NA. Как известно, композиция двух симметрий относительно пересекающихся прямых — поворот относительно их точки пересечения, так что треугольник NAC получается из треугольника NBD в результате поворота относительно точки N, откуда и следует, что точки А и D лежат по одну сторону от прямой CN.
Анализ софизма «Прямоугольник, вписанный в квадрат» (10)
Во-первых, давайте убедимся, что теорема неверна, то есть что в квадрат можно вписать прямоугольник, квадратом не являющийся. Это очень просто: если взять на сторонах AD и CD квадрата ABCD точки Q и Р соответственно, находящиеся на одинаковых расстояниях от прямой АС, а затем отразить точки Q и Р симметрично относительно прямой АС (при этом получатся точки М и N), то четырехугольник MNPQ будет, очевидно, прямоугольником (это вытекает из того, что прямые АС и BD являются осями симметрии квадрата — а стало быть, и четырехугольника MNPQ), причем ясно, что квадратом прямоугольник MNPQ, вообще говоря, не будет (кроме случая, когда точки Р и Q выбраны в серединах сторон исходного квадрата) — см. рис. 21.
Тот же рисунок 21 подсказывает нам, где спряталась ошибка в доказательстве: мы наивно считали, что из двух проекций — точки Р на АВ и точки Q на ВС — одна (Я) лежит на стороне четырехугольника MBNO, а другая (S) — на продолжении его стороны; иными словами, что из двух равных углов ZOMR и ZONS один является внутренним, другой — внешним для четырехугольника MBNO. В ситуации как на рис. 9 это действительно так, и в этом случае наш прямоугольник


Анализ софизмов
35
D а-х Р х С
а-у
Q
у
N
Ъ
S
У
А М Ъ R х В
Рис. 21
действительно является квадратом: если принять, что имеет место конфигурация на рис. 9, то все наши дальнейшие рассуждения совершенно корректны, но если и точка R, и точка S обе попадают на стороны прямоугольника MBNO (как на рис. 21), то наше рассуждение с суммой противоположных углов уже не проходит.
Более того, нетрудно показать, что если имеет место конфигурация рис. 21, то у вписанного прямоугольника стороны обязательно параллельны диагоналям квадрата, как в нашем контрпримере. В самом деле, как и в предыдущем случае, легко видеть, что затемненные треугольники PMR и QNS равны; если мы еще установим, что BR = BS, то треугольник BMN окажется прямоугольным равнобедренным, откуда ZNMB = 45°, так что сторона MN прямоугольника параллельна диагонали АС, что и требовалось.
Чтобы установить это равенство, положим BR = х, BS = у; если еще положить b = MR = NS и обозначить сторону квадрата через а, то имеем
tgZNMB = £if, tg
Поскольку, однако, MNPQ — прямоугольник, имеем MN || QP, откуда ZNMB = ZQPD. Стало быть,
b + у _ а - у'
Ь + х ~ а — х ’
избавляясь от знаменателей и упрощая, получаем
ау — хЪ —ах - уЪ <=> у (а + Ь) = х(а + Ь), откуда у = х, что и требовалось.


36
Анализ софизмов
Теперь понятно, что теорема в исправленном виде могла бы выглядеть, например, так:
Если прямоугольник вписан в квадрат так, что одна из сторон первого не параллельна ни одной из диагоналей второго, то этот прямоугольник есть квадрат.
Или, равносильно, так:
Если прямоугольник с неравными сторонами вписан в квадрат, то стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.
Анализ софизма «Новый признак равенства треугольников» (11)
Во всех трех случаях мы доказывали, что треугольник ВССг равнобедренный, и выводили из этого искомое равенство треугольников. Эти рассуждения абсолютно корректны, но только в случае, когда ВСС1 действительно является треугольником, иными словами — когда прямая ССг не проходит через вершину В. Если, однако, вершина В лежит на отрезке ССг (этот случай мы не рассмотрели), то о треугольнике ВССг говорить не приходится и рассуждение рушится. Более того, легко видеть (см. рис. 22), что в этом случае треугольники ABC и АВСг равными быть и не обязаны: они будут
равны, если В — середина отрезка ССг, но мы можем выбрать точку В в произвольном месте стороны ССг — основания равнобедренного треугольника АСС1.
Забавно, что всего один забытый «вырожденный» случай порождает большое семейство контрпримеров к доказываемому утверждению.
В нашем рассуждении мы упустили и еще один вырожденный случай, когда прямая ССг проходит через вершину А. При этом, однако, контрпримера не получается: треугольник ССгВ равнобедренный и ВА — его медиана, так что треугольники ABC и АВСг действительно равны.
Исправить формулировку нашей неверной теоремы можно, например, следующим образом.
Предположим, что в треугольниках ABC и А1В1С1 стороны АВ и АгВг являются наибольшими, и пусть, кроме того,
АВ = АгВь АС = АгСг и ZC = /Сх. Тогда ААВС = АА^С^
В самом деле, при выполнении этих условий ситуация на рис. 22 уже невозможна: один из углов ААВС и ААВСХ обязан быть тупым


Анализ софизмов
37
или прямым, но угол в треугольнике, прилежащий к наибольшей стороне, может быть только острым.
В исправленном виде новый признак равенства треугольников выглядит менее эффектно (на одном дыхании его не произнесешь), но зато он верен!
Анализ софизма «Все прямые параллельны» (12)
Наши рассуждения красивы, но в них содержится даже не одна, а две разные ошибки.
Вспомним, что наше доказательство основывалось на следующих двух утверждениях.
1) Отрезок ААг не пересекается с отрезком ВВг, отрезок А1А2 не пересекается с отрезком ВгВ2 и т.д.
2) Отрезок ААг не пересекается с лучом ВгР, отрезок АгА2 не пересекается с лучом В2Р и так далее (а также серия аналогичных утверждений, в которой лучи меняются ролями).
Утверждения из серии 1), которые мы выводили из так называемого неравенства треугольника (сумма двух сторон треугольника больше третьей), абсолютно верны, а вот про утверждения из серии 2) этого не скажешь. Например, при доказательстве того, что ААг не пересекается с лучом В:Р, мы пользовались как само собой разумеющимся фактом тем, что эти отрезок и луч лежат по разные стороны от прямой А1В1, при доказательстве следующего утверждения — тем, что отрезок А1А2 и луч В2Р лежат по разные стороны от прямой В2Р... На самом же деле эти оставшиеся недоказанными утверждения не всегда верны. На рис. 23 представлен как раз такой случай: ААг и ВгР лежат по одну сторону от прямой АгВ1} АХА2 и В2Р также лежат по одну сторону от прямой А2В2. Правда, А2А3 и В3Р лежат от прямой А3В3 по разные стороны, но к этому времени лучи AQ и ВР уже успевают пересечься.
Итак, ошибка обнаружена: доказательство того, что произвольные два луча в одной полуплоскости не пересекаются, оказалось неверным. Но не может ли, тем не менее, найтись пара пересекающихся лучей AQ и ВР, для которых все же верно, что ни ААЪ ни АгА2, и вообще ни один из отрезков Ап Ап+1 не пересекается с целым лучом ВР? Казалось бы, если такие лучи найдутся, то мы для них снова получим парадоксальное утверждение об отсутствии пересечения лучей AQ и ВР?
Ответ на первый вопрос положителен: если ZQAB = ZРВА, то из симметрии равнобедренного треугольника очевидно, что все отрезки ААЪ АгА2 и т. д. не пересекаются с лучом ВР (а также все отрезки ВВг, ВгВ2 и т.д. не пересекаются с лучом AQ) — см. рис. 24. Тем не


38
Анализ софизмов
менее из этого по-прежнему не вытекает, что лучи AQ и ВР не пересекаются, поскольку в своем рассуждении мы не учли еще одного обстоятельства. Именно, ниоткуда не следует, что отрезки ААЪ А1А2,... заполняют весь луч AQ. А если они луч не заполняют, то ничто не мешает лучам AQ и ВР пересечься в точке, ни в один из этот отрезков не входящей! На рис. 24 изображена именно такая ситуация: все вышеуказанные отрезки лежат на участке от А до точки пересечения лучей AQ и ВР, причем сама эта точка ни в одном из названных отрезков не лежит.
Можно (и несложно) показать, что в ситуации, изображенной на рис. 24, объединение отрезков ААЪ АгА2 и так далее есть интервал прямой между точкой А и точкой пересечения лучей, причем точка А


Анализ софизмов
39
в этот интервал включается, а точка пересечения лучей — нет. Лучи пересеклись, чудом ускользнув от погони!
Анализ софизма «Все числа равны» (13)
С базой индукции тут все в порядке, а вот в индукционном переходе спрятана ошибка: переход от п к п + 1 проходит во всех случаях, кроме перехода отп = 1кп = 2. В самом деле, для нашего рассуждения существенно, что в наборе из п + 1 числа есть число с номером п + 1, число с номером п и число с номером от 1 до п — 1. Мы только что перечислили три разных номера, так что при переходе от п к п + 1 необходимо, чтобы п + 1 было не меньше 3, то есть п ^ 2; при п — 1 ничего не получится!
Даже без указания конкретной ошибки наше рассуждение вызывает сильные подозрения еще в одном месте: совершенно непонятно, зачем нужно произвольное п в утверждении «в любом наборе из п чисел все числа равны». Казалось бы, для доказательства того, что все числа равны, достаточно проверить это утверждение при п = 2, а коль скоро доказываем мы по индукции, утверждения про случай п> 2 в этом никак не помогут: ведь в процессе доказательства по индукции мы выводим случай п > 2 из случая п — 2, а не наоборот.
Мораль: проверяя свое доказательство по индукции, обязательно проверьте и самые первые индукционные переходы. А если при этом обнаружите ошибку, не очень расстраивайтесь: такие промахи встречались даже у выдающихся математиков.
Анализ софизма «Все люди лысые» (14)
Конечно, от этого софизма можно попросту отмахнуться, заявив, что в математике нет понятия «лысый». Но рассуждение, приводящее к нелепому выводу, все равно налицо, и с ним стоит разобраться.
В этом софизме, как и в предыдущем, ошибка спрятана в индукционном переходе, но ошибка эта не математическая. Дело в том, что точного определения понятия «лысый» не существует: человек лыс постольку, поскольку он кажется лысым другим людям. При этом есть много случаев, когда разные люди воспримут одного и того же человека по-разному: кто-то как лысого, кто-то нет. Хуже того, даже один и тот же наблюдатель, если ему дважды продемонстрировать одну и ту же шевелюру, может один раз сказать «лысый», а другой раз — «пожалуй, все же не лысый», и эти ответы могут зависеть не только от количества волос, но и от много чего другого: от настроения наблюдателя, от освещения, от того, кто или что находится рядом с «испытуемым»... Из сказанного вытекает, что наше ключевое утверждение «если лысому человеку добавить один волос, он останется лысым»


40
Анализ софизмов
неверно по причинам, с количеством волос не связанным: возможно, этот наблюдатель при повторном предъявлении счел бы лохматым того, кого он недавно назвал лысым (или наоборот), независимо от добавления дополнительной волосинки.
Кроме этого, есть и еще одно соображение. Когда мы, оставаясь в рамках математики, доказываем, что некоторое утверждение верно для всех натуральных п, мы подразумеваем следующее: чтобы установить, что утверждение верно, скажем, для п = 1 ООО ООО, надо провести 999999 умозаключений. Именно, доказав «базу индукции» (утверждение верно для п — 1) и «шаг индукции» (если утверждение верно для к, то оно верно и для к + 1), надо еще, чтоб добраться до нужного нам п — 1000000, провести следующие рассуждения:
Утверждение верно для п = 1; если утверждение верно для п—к, то оно верно и для п = к + 1. Значит, оно верно и для п — 2.
Итак, утверждение верно для п = 2; если утверждение верно для п — к, то оно верно и для п = к + 1. Значит, оно верно и для п = 3.
Ну хорошо, утверждение верно для п = 3; если утверждение верно для п — к, то оно верно и для п = k + 1. Значит, оно верно и для п — 4...
Принцип математической индукции гласит, что, поскольку теоретически провести все эти рассуждения всякий раз возможно, из «базы» и «шага» индукции вытекает, что утверждение верно для всякого п.
Но все сказанное относилось к математике, где принципиальной возможности провести требуемые рассуждения достаточно. Однако понятие «лысый», как мы выше отмечали, к математике не относится: чтобы заключить, что некто является лысым, необходим человек- наблюдатель. У взрослого человека, не являющегося лысым, насчитывается порядка ста тысяч волос, и невозможно представить наблюдателя, который реально проделает сто тысяч умозаключений, подобных приведенным выше.
Анализ парадокса учебной тревоги (15)
Про этот софизм немало написано (см., например, [4, гл. 8]); приведем два варианта объяснения того, в чем состоит ошибка рядового Петрова.
Первое объяснение состоит в том, что Петров ошибся уже на первом шаге своего рассуждения. На самом деле тревогу в пятницу объявить вполне можно, и она при этом действительно будет неожиданной: ведь те, кто проведут для себя рассуждение, аналогичное рассуждению Петрова, будут уверены, что уж в пятницу-то тревоги точно


Анализ софизмов
41
не будет, а для тех, кто о завтрашнем дне не задумывается, тревога окажется неожиданностью в любом случае. Тем более несостоятельны опирающиеся на этот первый вывод умозаключения о возможности объявить тревогу раньше пятницы (если с понедельника по среду тревоги не было, то можно задать такой неприятный вопрос: «Если вы считаете, что теперь внезапно объявить тревогу невозможно, то скажите, вы ее предсказываете на четверг или на пятницу?»).
Чтобы лучше понять, что происходит, давайте зададимся вопросом, что понимал под неожиданностью рядовой Петров. Судя по ходу его рассуждений, он считал, что событие не является неожиданным, если его можно точно предсказать заранее. Но дело в том, что тревогу в любом случае объявляет человек, а действия человека точно (с математической точностью, как говорили в старину) предсказать невозможно. Можно (по крайней мере, теоретически) предсказать действия компьютерной программы, если известен ее исходный код и исходные данные; в целом ряде случаев можно с большой точностью предсказать природное явление (скажем, солнечное затмение). Но человек, в отличие от компьютеров и небесных тел, наделен свободой воли. Применительно к нашему случаю всегда есть, например, возможность, что с понедельника по четверг тревогу не объявляли, а в пятницу в четыре утра военнослужащий, отвечающий за мероприятие, передумает и его перенесет.
Есть и другое объяснение ошибки рядового Петрова, если угодно, не с логической, а с житейской точки зрения. Дело в том, что иногда одни и те же слова имеют разное значение при их использовании в логических (в том числе математических) рассуждениях и в обыденной речи. Например, если жена сказала мужу: «Купи, пожалуйста, колбасу или сыр», а муж купил и то и другое, то согласно пониманию слова «или», принятому в логике, все в порядке, но в жизни вполне можно представить ситуацию, когда при этом окажется, что просьба не выполнена (если, скажем, при этой покупке тратятся последние деньги)1}.
В нашем случае это различие значений слова в двух типах речи относится к слову «неожиданный». Разумеется, командир вовсе не имел в виду, что солдаты не смогут заранее найти дату тревоги с помощью логических рассуждений. Смысл его речи был много проще: «На следующей неделе объявят тревогу, будьте готовы; в какой день — секрет».
2) Встречается и непонимание этого различия «в другую сторону», когда словам из логических рассуждений пытаются придать обыденный смысл. Вот хрестоматийный пример. Мальвина задает Буратино задачу: «Предположим, что у вас в кармане два яблока. Некто взял у вас одно яблоко. Сколько у вас осталось яблок?». Буратино отвечает: «Два. Я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись».


42
Анализ софизмов
Анализ парадокса брадобрея (16)
С чисто логической точки зрения ответ очень прост: не всякий приказ можно выполнить, и данный приказ, в частности, относится к тем, которые при буквальном понимании выполнить невозможно, так же, как невозможно выполнить приказ пробежать километр за минуту. Данный конкретный невыполнимый приказ примечателен тем, что аналог рассуждения, доказывающего его невыполнимость, встречается и в математике. См. парадокс Уайтхеда-Рассела, идущий в этой книжке под номером 17.
Можно также добавить, что и к этой ситуации относится замечание о различии значений слов в реальной жизни и в логических рассуждениях (см. выше обсуждение парадокса с учебной тревогой). Если бы в настоящей армии солдат, получивший такой приказ, был всегда выбрит, то его начальники не обязательно стали бы интересоваться, как ему удалось выполнить противоречивый приказ, а если бы он явился на утреннее построение небритым, то никакие рассуждения не спасли бы его от наказания. Так что в реальной жизни выполнить «приказ о брадобрее» в принципе можно(что выгодно отличает его от вышеупомянутого гипотетического приказа пробежать километр за минуту).
По поводу выполнимых и невыполнимых приказов см. также главу 10 книги [9].
Анализ парадокса Уайтхеда—Рассела (17)
В данном случае (в отличие, скажем, от нашего софизма номер 1) рассуждения, приводящие к противоречию, совершенно корректны. Если корректные рассуждения приводят к противоречию — значит, мы доказали несуществование или невозможность чего-то. Чего именно в данном случае? В объяснениях, что такое множество, мы молчаливо предполагали, что любой набор чего угодно можно считать множеством (кроме этого, мы вообще ничем не пользовались),— вот такого предположения, стало быть, делать и нельзя. Значит, надо либо вообще отказаться от использования понятия «множество» — но это чрезвычайно неудобно, и математики на такое не согласны, —либо разработать «технику безопасности» для работы с множествами, не позволяющую прийти к противоречиям. В эту технику безопасности должен, очевидно, войти и запрет на образование произвольных множеств из чего угодно. При этом «очень большие» множества (пусть и не такие большие, как множество
^По крайней мере если речь идет не о роте (больше сотни человек), а об отделении (десяток).


Анализ софизмов
43
всех множеств) в математике бывают нужны, так что просто так запретить образование очень больших множеств все же нельзя.
К 20-м годам прошлого века непростая работа по выработке этой техники безопасности была проделана: были сформулированы аксиомы теории множеств. С тех пор математики научились использовать понятие множества так, чтобы в противоречия не впадать (а заодно и в аксиомы не вникать). Цитируя книгу [2],
...под здание математики подвели новый (и довольно прочный) фундамент, но большинство жильцов про это до сих пор не знают.
(Возможно, точнее было бы сказать так: что фундамент есть, все знают, но большинство не знает, из чего он построен.)
Про парадоксы теории множеств и то, как с ними бороться, можно прочитать в книгах [3] (популярное изложение, рассчитанное на школьников) и [1] (изложение, рассчитанное на чуть более подготовленных читателей); в последней книге можно найти ссылки на формальные изложения аксиоматической теории множеств.
Анализ парадокса Берри (18)
Можно и от этого парадокса отмахнуться, как от парадокса «Все люди лысые», сказав, что «фраза русского языка» — не математическое понятие, но интереснее разобраться в вопросе содержательно. К тому же в данном случае, в отличие от случая с лысыми, наши рассуждения можно (с помощью теории алгоритмов) переформулировать так, чтобы они использовали только математические понятия. Мы этой переформулировкой заниматься не будем, а сразу перейдем к сути.
Чтобы наши рассуждения действительно приводили к противоречию, нужно, чтобы фраза «Наименьшее натуральное число, которое нельзя задать фразой не более чем из ста букв» действительно однозначно задавала некоторое натуральное число. На первый взгляд так оно и есть, но давайте посмотрим на нее повнимательнее.
Как именно можно было бы найти число, задаваемое этой прекрасной фразой? Наиболее очевидный способ такой. Сначала выпишем все наборы не более чем из 100 букв (человек с такой задачей не справится, но достаточно мощный компьютер — вполне, не сейчас, так в будущем). Теперь переберем получившиеся «фразы»; при этом бессмысленные фразы, фразы, не задающие натурального числа (например, «Девичья фамилия жены Льва Толстого»), или фразы, задающие натуральное число, но неоднозначно (все то же «Двузначное число в десятичной системе») будем отбрасывать, а если очередная фраза однозначно задает натуральное число, выпишем это натураль¬


44
Анализ софизмов
ное число на отдельный лист. Пусть наибольшее из выписанных натуральных чисел равно N. Если все числа от 1 до N — 1 также выписаны, возьмем число N + 1, а если не все, то возьмем наименьшее из невыписанных чисел от 1 до N — 1; это и будет искомое наименьшее натуральное число, которое нельзя задать фразой не более чем из ста букв.
Итак, чтобы при таком подходе найти «наименьшее число, которое нельзя задать фразой не более чем из ста букв», нам надо иметь способ по любой фразе выяснить, задает ли она, причем однозначно, некоторое натуральное число. Но то, что такой способ есть, тоже надо доказывать, а мы этого не сделали — здесь и спряталась ошибка в нашем рассуждении! Более того, если бы можно было по каждой фразе выяснить, задает ли она однозначно некоторое натуральное число, то мы пришли бы к противоречию. Стало быть, такого способа нет. Итак, рассуждение, приведшее нас к парадоксу Берри, на самом деле к парадоксу не ведет, а доказывает следующее утверждение:
Не существует способа, позволяющего по любой заданной
фразе русского языка выяснить, задает ли она однозначно
некоторое натуральное число.
Подчеркнем, что мы доказали несуществование именно общего способа. Для многих конкретных фраз выяснить, задает ли она натуральное число, вполне можно: ясно, что фраза «У попа была собака» натурального числа не задает, а фраза «Наименьшее четное натуральное число» задает число 2. Но вот общего способа нет!
Если еще вдуматься, доказанное утверждение перестает казаться таким уж удивительным. Дело в том, что среди вопросов «Задает ли такая-то фраза натуральное число?» встречаются и нерешенные математические проблемы. Вот всего лишь один (из многих) пример. Посмотрим на такую фразу: «Наибольшее простое число, остающееся простым после прибавления двойки». Она либо задает однозначно некоторое натуральное число, либо нет. Если задает, это означает, что количество простых чисел р, для которых р + 2 также простое, конечно. Если не задает, это означает, что число пар из простых чисел вида (р, р + 2) (такие пары называются «простые числа-близнецы») бесконечно. Но дело в том, что на сегодняшний день никто не знает, конечно или бесконечно количество пар простых близнецов! Существует гипотеза, что это количество бесконечно, и специалисты по теории чисел склонны считать, что она верна, но пока что это не доказано. Если бы был способ по любой фразе узнать, задает ли она натуральное число, то этот способ заодно позволял бы с ходу решить эту и другие нерешенные проблемы. Так ли неожиданно, что такого способа нет?


Анализ софизмов
45
Как мы уже говорили, рассуждения, ведущие к парадоксу Берри, можно формализовать таким образом, что они превратятся в утверждения о математических объектах. Если провести такую формализацию, то доказанное нами утверждение о несуществовании общего способа узнать, задает ли данная фраза натуральное число, перейдет в утверждение, близкое к так называемой «теореме о неразрешимости проблемы остановки».
Анализ софизма «Волны» (19)
В рассуждении, приведшем к странному выводу, мы неявно опирались на следующее утверждение:
Если последовательность кривых ^ Кп стремится к кривой К, то длина кривых Кп стремится к длине кривой К.
При этом понятию «последовательность кривых Кп стремится к кривой К» в нашем рассуждении был придан абсолютно точный смысл (по крайней мере применительно к тому интересующему нас случаю, когда кривая К — отрезок). Однако эта корректность формулировки маскирует то неприятное обстоятельство, что никаких обоснований утверждения, выделенного курсивом, приведено не было! А если оно не доказано, то мы никак не можем опираться на него в рассуждениях, в частности — не можем ему доверять больше, чем проделанному нами прямому подсчету длин кривых.
Рис. 25
В нашем рассуждении все кривые, стремящиеся к отрезку АВ, были одной и той же длины (отличной от длины отрезка). Нетрудно построить пример и похлеще, когда длина этих кривых, например, неограниченно возрастает. В самом деле, если рассмотреть соединяющую точки А и В пилообразную ломаную из п звеньев, все вершины которой находятся на данном расстоянии d от прямой АВ (рис. 25), то длина каждого из звеньев, кроме первого и последнего, очевидно, не меньше 2d, так что длина всей ломаной не меньше, чем 2d(n — 2). При каждом фиксированном d, сколь бы мало оно
^Отрезки (а также ломаные, о которых пойдет речь далее)—тоже частные случаи кривых.


46
Анализ софизмов
ни было, можно выбрать п таким образом, чтобы 2n(d — 2) (а тем самым и длина ломаной) было сколь угодно большим. Если, скажем, в качестве Кп выбрать «пилу», вершины которой отстоят от прямой
АВ на расстояние d = - и количество звеньев которой равно п2, то длина ломаной Кп будет не меньше, чем
(п2 - 2) • - = п -
v J п п5
и ясно, что с ростом п эта величина стремится к бесконечности.
Анализ софизма с логарифмом двух (20)
Ряд в правой части равенства (3) на с. 20, как говорят, сходится: последовательность его «частичных сумм»
1 1-1 1-1 + 1 !_! + !_! 1-1+ + 1 1, 1 2, 1 2 3’ 2 3 4’ 2 3 4 5’
имеет предел (и этот предел равен In 2: в этом, собственно, и состоит смысл равенства (3) с бесконечной суммой в правой части). А вот равенство (4) смысла уже не имеет, так как ряды
1 . 1 , 1 , 1 1 1 . 1 1 3 5 И 2 4 6
расходятся: их частичные суммы предела не имеют. Мы всегда можем выписать равенство, аналогичное (4), «на уровне частичных сумм»: скажем, ничто не мешает сказать, что
(и аналогично для любой частичной суммы ряда (3)), но перейти к пределу в этом равенстве не получится: в левой его части будет стоять последовательность, имеющая предел, а в правой — разность двух последовательностей, предела не имеющих, так что применить теорему о пределе разности не удастся. Этим опровергается первое из наших доказательств равенства In 2 = 0.
А чем же неверно второе доказательство? Само по себе равенство (5) сомнений не вызывает; ошибка таится в фразе «собирая в правой части дроби с одинаковыми знаменателями»: чтоб эти дроби собрать (т. е. поставить рядом две дроби со знаменателем 3, две дроби со знаменателем 5, две дроби со знаменателем 7 и т.д.), надо переставить слагаемые в бесконечной сумме в правой части (5), получив из нее что-то вроде


Анализ софизмов
47
Но при этом ниоткуда не следует, что сумма получившегося ряда с переставленными членами будет такой же, как у ряда исходного. В конечных суммах от перемены мест слагаемых сумма не меняется, но для «бесконечных сумм» (радов) это уже не так: вообще говоря, после перестановки членов ряда его сумма может измениться, а то и сходящийся ряд может перестать быть таковым. В нашем примере имеет место первый случай: сумма из 2 In2 превращается в In2, но противоречия это не дает, так как никто и не обещал, что сумма не изменится.
Отметим еще, что есть важный случай, когда члены рада (бесконечной суммы) произвольным образом переставлять можно: так будет, если сходится не только сам ряд, но и рад, составленный из модулей его членов (такие рады называют абсолютно сходящимися). К раду в правой части равенства (5) это, увы, неприменимо.
Анализ софизма со степенными рядами (21)
Если ограничиться лишь опровержением рассуждения, приводящего к нелепым выводам, то все будет просто и скучно: в любом учебнике написано, что формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q верна только при |q| < 1, так что при q = — 1 ее применить не получится, а дальнейшие рассуждения с 1/(1 + х + х2) и прочим в том же духе лишены смысла, так как используют несуществующее понятие «сумма бесконечного количества слагаемых».
Все это так, но кое-что осмысленное в наших некорректных рассуждениях все же есть. Оказывается, «многочлены бесконечной степени» (бесконечные суммы, в которых первое слагаемое — константа, второе слагаемое — константа, умноженное на х, третье слагаемое — константа, умноженная на х2 и т. д.) можно и складывать (попросту приводя подобные члены), и, что интереснее, умножать. Для такого умножения надо опять-таки раскрыть скобки и привести подобные члены, причем эта операция корректна, так как для нахождения коэффициента при каждом х11 в произведении надо произвести лишь конечное число сложений и умножений. Такие «многочлены бесконечной степени» называются формальными степенными рядами, и равенства наподобие
1 = 1 — х + х3 — х4 + х6 — х7 + ...
1+ X + X2
для формальных степенных радов абсолютно корректны. Но вот подставить в такие тождества число вместо х так просто уже не получится: для этого нужно, чтобы число было достаточно малым по модулю (число 1 в наших примерах, увы, не таково).


48
Анализ софизмов
Анализ софизма с интегрированием по частям (22)
В рассуждении мы проигнорировали то обстоятельство, что «неопределенный интеграл» § /(*) dx определен не однозначно, а с точностью до прибавления константы (если функция / определена на интервале; если / определена на объединении нескольких интервалов, то с точностью до прибавления нескольких констант, на каждом интервале своей). Поэтому одинаковые выражения § ^ в левой и правой частях не обязаны означать одну и ту же функцию: эти функции могут отличаться на константу. Если вспомнить об этом, то
после «сокращения» на § ^ мы получим не нелепое равенство 1 = 0, а более скромное утверждение «1 — константа», с которым спорить не приходится.
Для контроля такого рода рассуждений с неопределенными интегралами полезно переходить от неопределенных интегралов к определенным: формула интегрирования по частям тогда примет вид
ъ ъ
^u(x)v/(x)dx= u(x)v(x)\ba — ^u'(x)v(x)dx.
а а
Подставляя u(x) = 1/х, и(х) =х, мы получим тривиальное равенство
а а
не ведущее ни к какому противоречию.
Анализ софизма с эллипсом и параболой (23)
В этом рассуждении мы злоупотребили неформальными правдоподобными соображениями. Именно, мы заявили, что эллипс (точнее, его нижняя половина) и парабола достаточно близки при больших к, откуда сделали вывод о близости площадей. При этом вывод о близости кривых мы сделали из того, что близки левые части задающих их уравнений (10) и (11) — см. фразу «при росте к множитель
^ стремится к нулю быстрее, чем jr, так что им можно пренебречь». Однако близость кривых из так понимаемой близости уравнений вовсе не следует — по крайней мере, утверждение о близости кривых (точнее, единственно нужное нам утверждение о малости площади, заключенной между кривыми) нуждается в доказательстве, которое в нашем рассуждении отсутствует.
Более того, как доказывать эту малость площади — совершенно непонятно. Действительно, если точка с координатами (х, /с) лежит


Анализ софизмов
49
на параболе с уравнением
х2-\-2у + 1 = \,
то легко видеть, что х = ±л/2, а если точка с координатами (х, /с) лежит на эллипсе с уравнением
*2 + Р • У2 - I ■ 2у + 1 = 1,
то столь же легко заметить, что х = ±1. Таким образом, при у, близком к к, «зазор» между эллипсом и параболой с ростом к не уменьшается, но остается равным л/2 — 1 (рис. 26). Как в таких условиях сделать вывод о близости площадей, неясно, а явное вычисление, проделанное нами в процессе формулировки софизма, показывает, что этой близости и нет.
Остается добавить, что утверждению «кривая, зависящая от параметра /с, стремится к тому-то и тому-то при к —> оо» во многих случаях придать точный смысл можно. Есть предел при к —> оо и у нашего семейства эллипсов, получаемых растяжением окружности х2 + (у - I)2 = 1 вдоль оси ординат в к раз. Правда, пределом этим будет не парабола, а «удвоенная прямая» — взятая дважды ось ординат.
Анализ софизма с площадью сферы (24)
Этот софизм взят нами из книги Я. С. Дубнова [5]; вот как в той же книге он разъясняется (текст воспроизведен с минимальной редактурой).
Рис. 26. Сплошная линия — нижняя половина эллипса, пунктирная линия — парабола


50
Анализ софизмов
Перед нами злоупотребление такими не имеющими математического смысла выражениями, как «очень большое число», «очень узкий треугольник», «малая дуга», «бесконечно узкий треугольник», которые уместны, когда мы стремимся наглядно описать геометрическую фигуру... но совершенно непригодны как орудие доказательства или для вывода формулы. Прямая ошибка состоит в утверждении, будто бесконечно узкий треугольник можно развернуть на плоскость, т. е. заменить плоским треугольником с теми же длинами сторон, теми же углами и той же площадью, что у сферического. На самом деле никакой сферический треугольник (как бы мал он ни был) не может быть в указанном смысле развернут на плоскость; это видно уже из того, что сумма углов плоского треугольника всегда равна 180°, а у сферического всегда больше 180°. В нашем примере у сферического треугольника РАВ углы Ли В прямые; если бы такой треугольник мог быть развернут на плоскость, то получился бы плоский (равнобедренный) треугольник (рис. 14 слева) с прямыми углами при основании.
Взятые в кавычки словосочетания точного математического смысла действительно не имеют, но человеку с минимальным опытом это и так ясно. А в своей содержательной части приведенные выше аргументы уязвимы для критики.
Именно, представим себе конус с радиусом основания R, высотой
h и образующей I = \/R2 + h2. Если Р — вершина конуса и q — окружность основания, то можно повторить почти дословно рассуждения из нашего софизма:
Разделим окружность q на очень большое число п равных частей и соединим Р со всеми точками деления посредством образующих конуса; тогда боковая поверхность разделится на п очень узких криволинейных треугольников, из которых каждый ограничен малой дугой основания и двумя образующими. За счет ничем не ограниченного увеличения числа п делений можно сделать эти сферические треугольники сколь угодно узкими («тоньше паутинки»), а «бесконечно узкий» искривленный треугольник можно распластать или, как говорят, «развернуть» на плоскость с сохранением всех размеров (т. е. длин, углов, площади). Получится (равнобедренный) плоский треугольник, у которого основанием служит распрямленная дуга длиной 2nR/n, а высотой — образующая конуса, имеющая длину I. Площадь такого треугольника есть
1 2nR , _ nRl
2 ‘ п 2п ’


Анализ софизмов
51
следовательно, общая площадь всех п треугольников, заполняющих боковую поверхность, равна ^2nRl = nRl.
Получился ответ, который можно найти во всех учебниках. Между тем к приведенному выше рассуждению можно предъявить в точности те же претензии, что к софизму 24: у маленького треугольника, развернутого на плоскость, также будут два прямых угла, что невозможно; и если узкий треугольник, вырезанный из поверхности конуса, можно развернуть на плоскость точно, то неясно, почему узкий треугольник, вырезанный из поверхности шара, нельзя развернуть на плоскость «приближенно» с тем, чтобы при стремлении количества маленьких треугольников к бесконечности погрешность этого приближения стремилась к нулю? В конце концов, кусочки боковой поверхности конуса, которые мы разворачиваем на плоскость, тоже не настоящие треугольники, но это ничему не мешает.
Почему же одно из двух совершенно аналогичных рассуждений дает верный ответ, а другое — неверный? Чтобы это понять, приходится задаться основополагающим вопросом: что такое, собственно говоря, площадь поверхности?
Ответ на этот вопрос непрост, и в рамках школьной программы невозможно его дать без весьма серьезных умолчаний и «огрублений». Мы попробуем сказать кое-что на этот счет, не претендуя ни на полноту, ни на математическую строгость.
В большинстве современных школьных учебников площадь поверхности для каждой из (немногих) поверхностей, встречающихся в школьной программе, определяется по-своему: для цилиндра — то как площадь развертки на плоскость, то как предел площадей боковых поверхностей вписанных призм, для шара — как предел площадей поверхности описанных многогранников и т. д. Понятно, что при таком подходе об общем определении речи быть не может. А вот в ранних изданиях учебника А. В. Погорелова (см., например, [7]) общее определение, пусть и не вполне формальное, было. Вот как рассуждал Погорел ов.
Представим себе, что поверхность, площадь которой мы хотим определить, сделана из жести. Давайте покрасим эту поверхность краской и одновременно покрасим плоскую металлическую пластинку площадью 1см2. Тогда отношение площади поверхности к площади пластинки равно отношению объемов краски, затраченных на покраску (мы предполагаем, конечно, что толщина слоя краски одна и та же), так что это отношение равно площади нашей поверхности в квадратных сантиметрах. Далее, продолжает Погоре- лов, попробуем выразить ту же мысль в математических терминах. Для малого h рассмотрим область пространства, занятую точками,


52
Анализ софизмов
отстоящими от поверхности на расстояние не более ft (с одной стороны), — это аналог слоя краски толщиной ft. Обозначим через Vh объем этого слоя краски. Если поверхность плоская, то, очевидно, Vh = Sh, где S — площадь этой плоской поверхности. Если поверхность неплоская, то Vh, строго говоря, не пропорционально ft (на участках, где поверхность выпукла, потребуется больше краски, где вогнута — меньше), но отношение Vh/h при ft, стремящемся к нулю, будет тем не менее стремиться к некоторому пределу, и этот предел мы назовем площадью поверхности.
Вот как работает это определение для площади сферы радиуса R. В этом случае Vh — часть пространства, заключенная между концентрическими сферами радиусов R и R + ft. Пользуясь формулой объема шара г\ имеем
Vh = ^n(R + hf ~^nR3, откуда после упрощений получаем, что
j- = ^n-(3R2 + 3Rh + h2').
При ft, стремящемся к нулю, второе и третье слагаемое в скобках
4 7 о
стремятся к нулю, так что предел равен ^ тс • 3R = 4nR , и мы получаем знакомую формулу.
Для площади поверхности в пространстве, заданной более или менее произвольным уравнением, можно, исходя из вышеописанного определения, получить формулу (в которой участвуют производные и интегралы); из этой формулы, в свою очередь, выводится такое важное следствие:
Если одну поверхность можно преобразовать в другую так, что при этом не изменятся длины всех кривых, лежащих на исходной поверхности, то и площади этих поверхностей равны.
Оказывается, что при развертке конуса на плоскость длины кривых действительно сохраняются, так что площадь поверхности конуса равна площади его развертки. А вот никакой, сколь угодно малый, участок сферы развернуть на плоскость с сохранением длин нельзя, и можно проверить вычислением, что при использующейся в софизме замене участков сферы на плоские треугольники погрешность
^Что такое объем, мы здесь не обсуждаем; в любом случае это понятие более простое, чем площадь поверхности.


Анализ софизмов
53
к нулю не стремится. Только пройдя это долгий путь, можно сказать, что мы проанализировали софизм.
Подведем итог нашего обсуждения. Опровергая рассуждение, ведущее к нелепому результату, мы натолкнулись на противоречие уже в собственных рассуждениях; чтобы устранить это противоречие, пришлось вернуться назад и дать более строгое определение понятию, которое казалось интуитивно ясным.
Вот как можно доказать, что никакой участок сферы нельзя развернуть на плоскость с сохранением длин всех кривых (нижеследующее доказательство мне сообщил Л. Г. Рыбников). Если бы такая развертка была возможна, то, как можно показать, отрезкам прямых на плоскости соответствовали бы дуги больших кругов на сфере (дело в том, что и отрезки на плоскости, и достаточно короткие дуги больших кругов на сфере задают кратчайшее расстояние между двумя точками). Поэтому равностороннему треугольнику на плоскости будет соответствовать равносторонний треугольник на сфере, составленный из дуг больших кругов. Нетрудно показать, что в равностороннем сферическом треугольнике все углы равны; поскольку, однако, сумма углов сферического треугольника всегда больше 180° (см. выше обсуждение софизма 6), углы равностороннего сферического треугольника больше, чем 60°.
Заметим теперь, что на плоскости можно разместить шесть равных равносторонних треугольников с общей вершиной так, чтобы они не перекрывались (рис. 27). Если бы развертка участка сферы на плоскость была возможна, то такая конфигурация равносторонних треугольников соответствовала бы шести неперекрывающимся равносторонним треугольникам на сфере, опять с общей вершиной. Это, однако, невозможно: как мы выяснили в предыдущем абзаце, каждый из углов в равностороннем сферическом треугольнике больше 60°, так что сумма шести углов при вершине получается больше 360° и уложить треугольники без перекрытий нельзя.
Доказательство более простого факта — невозможности отображения участка сферы на плоскость с сохранением всех длин кривых и всех углов между кривыми — можно найти, например, в книге Д. Пойа «Математическое открытие» [8, гл. 14, п. 12] (можно также попробовать доказать этот факт самостоятельно — это не очень сложно). Про трудные вопросы, связанные с определением
^Разумеется, Я. С. Дубнов все сказанное выше прекрасно понимал, а о возникающих в этом месте трудностях не упомянул сознательно, чтобы не переусложнять брошюру, предназначенную для школьников.


54
Анализ софизмов
Рис. 27
различных понятий в школьном курсе математики, рассказывается в книжке [10].
Анализ парадокса воронки (25)
Мы объясним ошибку в рассуждении, относящемся к случаю бесконечной воронки, предоставив читателю произнести соответствующие правильные слова применительно к случаю последовательности конечных воронок.
Итак, ошибка заключается в утверждении «Если на покраску поверхности достаточно конечного объема краски, то площадь этой поверхности конечна». Это было бы верно, если бы толщина слоя краски была постоянна или, по крайней мере, все время не меньше некоторой постоянной величины h > 0. Однако же наша воронка бесконечно сужается (диаметр цилиндра номер п равен 2/п), и поэтому покрыть ее внутреннюю поверхность слоем краски, по толщине не меньшим данного h > 0, невозможно: в какой-то момент этот слой перестанет в воронке помещаться. Значит, рассуждение, доказывающее конечность площади поверхности, ошибочно, и остается вернуться к выводам, полученным в результате вычислений: площадь бесконечна, объем конечен, противоречия нет.
По поводу площади поверхности и мысленного окрашивания см. также анализ софизма 24.


Литература
1. Верещагин Н. К, ШенъЛ. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 2017.
2. Верещагин Н. К., ШенъЛ. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. М.: МЦНМО, 2017.
3. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: МЦНМО, 2017.
4. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972.
5. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. М.: Физ- матгиз, 1961. (Популярные лекции по математике; Вып. 11).
6.Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? Математические парадоксы / Перев. с нем. Петроград: Науч. кн. изд-во, 1920.
7. Погорелое Л. В. Геометрия. Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1985.
8. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1976.
9. де Сент-Экзюпери Л. Маленький принц (любое издание).
10. 	Шенъ Л. О «математической строгости» и школьном курсе математики. М.: МЦНМО, 2011.


Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Формулировка софизмов 5
1. 4 = 5, или Тождественные преобразования 5
2. Если а > b > 0, то а > 2b, или Работаем  с неравенствами 5
3. 4 = 8, или Решаем системы уравнений 6
4. 1 = -1, или Логарифмы отрицательных чисел 6
5. 64 = 65, или Разрезаем и складываем 7
6. Простое доказательство того, что сумма углов треугольника
равна 180° 7
7. Сумма углов сферического треугольника 8
8. Все треугольники равнобедренные 9
9. Прямой угол равен тупому 11
10. Прямоугольник, вписанный в квадрат 12
11. Новый признак равенства треугольников 13
12. Все прямые параллельны 14
13. Все числа равны 16
14. Все люди лысые 16
15. Парадокс учебной тревоги 17
16. Парадокс брадобрея 17
17. Парадокс Уайтхеда—Рассела 18
18. Парадокс Берри 18
19. π = 2, или Волны 19
20. ln2 = 0, или Бесконечные ряды 20
21. 1/2 = 1/3 = 1/4, или Степенные ряды 21
22. 1 = 0, или Интегрирование по частям 22
23. π = 8sqrt(2)/3 = 3,77, или Асимптотика 23
24. π = 4, или Площадь сферы 24
25. Парадокс воронки 25
Глава 2. Анализ софизмов 28
Литература 55