МГУ - ШКОЛЕ
СООТВЕТС ТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА
И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ
Номере IIV НКТОВ учебника	Гема	Номера ia 1ач тетра 1и
1 3	Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом	1 -5
1	Параллельные прямые в пространств*	6
5	Параллельность тр» х прямых	7, 8
6	Параллельность прямой и плоскости	9 12
7	Скрещивающиеся Прямые	13 15
8, 9	Углы С СОНлПрлВТгННЫМИ сторонами. Угол между прямыми	16 20
10	Параллельные плоскости	21, 22
и	Свойства параллельных плоскостей	23
12, 11	Гетра «др	21 32, И>
13. 11	Пара пле юпипед	33-39, И
15	Перпендикулярные прямые в пространстве	12
16	Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости	11
17	Признак перпендикулярности прямой и плоскости	13. 15	17
18	Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости	18
19	Расстояние от точки до ПЛОСКОСТИ	49-52
20	Теорема о тр< х перпен ткулярих	53 —55
21	Угол Между прямой И ПЛ1И'КО(Тыи	56, 57
22, 23	Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плос- костей	58 60 62. 63
24	Прямоугольный параллелепипед	_ 61	
27	11оцятие м ногогранника	61 67
30	Призма	68 79
32	Пирами ха	80 —84
33	Правильная пирамида	85 87
34	Усеченная пирамида	88, 89
35	Симметрия в пространстве	90 -93
36. 37	Понятие правильного многогранника. Э м/менты симметрии правильных многогранников	91 101
38	Понятие вектора	102, 103
39	Равенство векторов	101 105
И)	Сложение и вычитание векторов	106 111
11	Сумма нескольких векторов	112
12	Умножение вектора на число	ИЗ 121
13, 11	Компланарны* в> кторы Правило параллелепипеда	122 -128
15	Разложение вектора по трем некомпланарным векторам	129-131
МГУ ШКОЛЕ
Ю. А. Глазков И. И. Юдина
В. Ф. Бутузов
Геометрия
Рабочая
тетрадь
10
Ч КЛАСС
Пособие для учащихся
общеобразовательных учреждений
Базовый и профильным уровни
4-е издание
Москва «Просвещение 2010
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Г52
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году
Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику *Геометрия,
10—11» авторов Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для организа-
ции решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с но-
вым учебным материалом.
Учебное издание
Серия «ЛАГУ — школе»
Глазков Юрий Александрович
Юдина Ирина Игоревна
Бутузов Валентин Федорович
ГЕОМЕТРИЯ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
10 класс
Пособие для учащихся
общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова. Младший редактор
Е. А. Андреенкова. Художники Е. В. Соганова^ О.П. Богомолова. Художественный
редактор О. П. Богомолова. Компьютерная верстка О. С. Ивановой. Компьютерная
графика А. Г. Вьюниковской. Корректоры О.Н. Леонова, А. В. Рудакова.
Отпечатано с диапозитивов, изготовленных издательством «Просвещение».
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 25.06.10. Формат 70 1001 1в.
Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4,67. Доп.
тираж 10 000 экз. Заказ .V 30371.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов,
ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ISBN 978-5-09-023707-9
Издательство «Просвещение», 2003
Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 200М
Все права защищены
Аксиомы стереометрии
Аг Через любые три точки, _____________________________
, проходит плоскость, и притом 
Af. Если две точки прямой лежат в плоскости, то 
 лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
______________________________, на которой лежат 
 этих плоскостей.
Вопрос. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей.
Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой?
Ответ. Да. Так как каждая точка принадлежит обеим плоскостям,
то эти плоскости по аксиоме имеют
3
Теорема L Через прямую и  точки
проходит плоскость, и притом 
Дано: прямая а,М$а.
Доказать:
а)	через прямую а и точку Л/ прохо-
дит плоскость;
б)	такая плоскость единственная.
Доказательство.
а)	Пусть Р^а, Q€a. Точки  не лежат на одной прямой,
поэтому через эти точки по проходит некоторая плос-
кость а. Так как Pg а и CJ g а, то прямая а лежит в плоскости а
 . Итак, плоскость а проходит через точку  и
6)	Допустим, что через прямую а и точку М проходит еще одна
плоскость р. Тогда точки  будут лежать и.
Следовательно, по плоскости а и 0 .
Таким образом, через точку и проходит
плоскость. Теорема доказана.
Теорема 2. Через две 
плоскость, и притом 
Дано: прямые а и ft, М G а, М G ft.
Доказать:
а)	через прямые а и & проходит плос-
кость;
б)	такая плоскость единственная.
Доказательство.
а)	Пусть Лг € ft, причем Лг и \1 —
прямые проходит
 точки, тогда по  через пря-
мую а и точку N проходит плоскость а. Так как две точки __ и __
прямой ft лежат в плоскости а, то по  прямая ft
____________________________. Итак, через прямые а и ft
проходит ___________________
б)	Допустим, что через прямые а и ft проходит еще одна
 р. Тогда точка _______________ и  лежат в этой
плоскости, поэтому, согласно , плоскости а и
Р . Таким образом, через пересекающиеся прямые
и проходит плоскость. Теорема доказана.
4
На рисунке изображен куб. Нлзовите:
а)	плоскости, в которых лежат пря-
мые АЕ, MN. ТР. РМх
б)	точки пересечения прямой Л/А с
плоскостью DCCP прямой СЕ с плоско-
стью ABD. прямой PW с плоскостью
вес,;
в)	прямые, по которым пересекаются
плоскости АВС и BXCXN. АХВХСХ и CDE-.
г)	точки пересечения прямых АР и
ЕСР DE и BjCp АТ и AXDX.
Ответ.
а)	Прямая NE лежит в плоскости DCCX. прямая MN лежит в плоско-
сти , прямая ТР лежит в плоскости, прямая РМ лежит
в плоскости
б)	прямая Л/А пересекает плоскость DCCX в точке __, прямая СЕ
пересекает плоскость ABD в точке____, прямая РЛ1 пересекает плос-
кость ВССХ в точке__________________
в)	плоскости АВС и В С N пересекаются по прямой ,
плоскости АХВХСХ и CDE пересекаются по прямой 
г)	прямые АР и ECj пересекаются в точке__, прямые DE и ВХСХ пересе-
каются в точке____________________________, прямые АТ и AXDX пересекаются в точке_
Две смежны» вершины и точка пересе-
чения диагоналей параллелограмма лежат
в п носкости а. Лежат ли две другие вер-
шины параллелограмма в плоскости а?
Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).
Решение. Пусть смежные вершины
В и С и точка О пересечения диагоналей
параллелограмма ABCD лежат в плоско-
сти а. Тогда по аксиоме прямые и ____________лежат в плоскости а.
и так как А С СО, D е ВО. то точки 
Ответ. 
5
3----------------------------------------------------------------
Точки Vf, Л, Р и Q не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые
MQ и NP пересекаться?
Ответ.Если бы прямые MQ и УР пересекались, то. соглас-
но , эти прямые лежали бы в плоскости, а по-
этому точки также лежали бы в этой плоскости, что про-
тиворечит _____________
На рисунке прямые а и b пересекают-
ся в точке Р. Докажите, что все прямые,
не проходящие через точку Р и пересе-
кающие прямые а и b в каких-то точках
X и Y, лежат в одной плоскости.
Доказательство. По 
__ через пересекающиеся прямые а и b
проходит некоторая плоскость а, при-
чем X € а и Y € а, так как прямые и и b
Поэтому, согласно ,
прямая Х5 лежит в плоскости а. Итак,
все рассматриваемые прямые лежат в
На рисунке точки А, В, С и D лежат в
плоскости а, а точка М не лежит в этой
плоскости. Пересекаются ли плоскости,
проходящие через точки А, В, М и D,
С, W?
Ответ. . Плоскости АВМ и
D( Л/ имеют общую ,
а потому, согласно,
они имеют,
т. е.___________________
6
Глава I
Параллельность прямых
и плоскостей
Параллельность прямых,
прямой и плоскости
На рисунке прямая РМ пересекает
плоскость а в точке Л/, NtPM, причем
MN : NP - 2 : 1, РРХ || УЛ\, NNX = 1 4 см,
Pj и Л\ — точки пересечения параллель-
ных прямых с плоскостью а.
а)	Докажите, что точки Л/, и Рх ле-
жат на одной прямой.
б)	Найдите длину отрезка РР .
Решени е.
а) Прямые VAj и РРХ задают некото-
рую плоскость, так как параллельные
прямые __________________________
_______________________ Обозначим
эту плоскость буквой р. Тогда по аксиоме  прямая VP лежит
и поэтому 5f € р, так как Плоскости
а и Р имеют общую точку Л/, а потому, согласно ,
пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки
Точки Af, А', и Р1 — общие точки
, следовательно, они лежат на одной
MN
б) ДЛ/AW ™ Д Л/РР , так как_____________, поэтому ----в
1	* 1	Л/Р 
2	___
т. е. —	---, откуда РР, =
- РРх
Ответ.
7
Лемма. Если одна из двух  прямых пере-
секает данную плоскость, то и
 эту плоскость.
Дано: а II ft, М — точка пересечения
прямой а и плоскости а.
Доказать: прямая b
Доказательство. Пусть |3 —
плоскость, в которой лежат параллель-
ные прямые а и ft. Так как W € a, V/ € |J,
то  плоско-
сти аир пересекаются по некоторой
прямой р, проходящей через
. Таким образом, в плос-
кости Р прямая р пересекает прямую а в точке , а потому она
и параллельную ей в некоторой точке
N, причем точка N € а, так как Итак, N — общая точка
прямой ____ и плоскости ___. Других общих точек с плоскостью а
прямая ft не имеет. Действительно, если предположить, что пря-
мая ft еще одну,
то, согласно , прямая ft будет целиком лежать в
, а значит, будет общей прямой
и потому совпадет . Но это невозможно, так как
по условию а II ft, а прямые аир Лемма доказана.
Вершина Q параллелограмма MNPQ лежит в плоскости а, а точки
М, N и Р не лежат в этой плоскости. Докажите, что прямые NM и NP
пересекают плоскость а.
Доказательство. Прямая PQ
пересекает плоскость а в точке Q, так как
Q € а, поэтому, согласно лемме о пересече-
нии плоскости параллельными прямыми,
прямая NM, параллельная, также
Прямая MQ пересекает
__________________________________, поэтому ________________________
прямая NP_________________________
, что и требовалось доказать.
8
Теорема (о трех параллельных п р я м ы х). Если две пря-
мые параллельны третьей, то они
Дано: а II с, b II с.
Доказать:
Доказательство. Нужно дока-
зать, что прямые а и Ь:
1) лежат в одной________________
2) не-------------------------
1) Пусть К — какая-нибудь точка на
прямой Ь. Плоскость, проходящую через
прямую а и точку К, обозначим буквой
а. Прямая b лежит в плоскости а, так
как если предположить, что она пересе-
кает плоскость а, то, согласно лемме
прямая с также будет пересекать плоскость а. Но а II с, поэтому и пря-
мая а будет, что невозможно,
так как прямая а лежит в . Итак, прямые а и b
лежат в одной плоскости.
2) Прямые а и Ь не пересекаются, так как в противном случае
через точку их пересечения проходили бы 
, параллельные  , что невозможно.
Итак, а || Ь.
Теорема доказана.
8
Точка D не лежит в плоскости АВС,
точки Е, F, G и К — середины отрезков
АВ, DC. ВС и АВ.
а) Докажите, что точки Е. F. G и К
лежат в одной плоскости.
б) Найдите периметр четырехугольни-
ка EFGK. если АС = 18 см, BD = 24 см.
Решение, a) EF — средняя линия
треугольника , поэтому
EF || и EF «: KG — сред-
няя _________________________________
и потому _________________________
9
Следовательно. EF II, т. е. точки Е, F, G и К лежат на параллель-
ных прямых, а значит, лежат в одной
б) Четырехугольник EFGK — параллелограмм, так как 
, причем EF =, ЕК “,
а потому PEFCK ----------------------------
О т в е т. б)
Сторона АВ треугольника АВС лежит
в плоскости а, а вершина С £ а, точки V!
и N — середины сторон АС и ВС. Дока-
жите, что прямая Л/Л II а.
Доказательство. Так как MN —
средняя линия , то
MN || АВ, а потому, согласно
_____________, Л/Л II а.
10
На рисунке т II а, Р С а. Докажите,
что в плоскости а существует прямая,
проходящая через точку Р и параллель-
ная прямой т.
Доказательство. Прямая т и
не лежащая  точка Р зада-
ют некоторую  р.
Так как Р€а и Р € р, то, согласно
, плоскости а и Р
 по некоторой прямой д, проходящей через
Докажем, что q — искомая прямая. Плоскость р
проходит через прямую т, параллельную ,
и пересекает по прямой д, следовательно,
11------------------------------------------------------------
Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по кото-
рой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она
параллельна этим плоскостям (задача 25 учебника).
10
Доказательство. На рисунке
плоскости а и Р пересекаются по пря-
мой а и b II а. Докажем, что b II а и b II р.
Прямая а лежит в плоскости a, a b II а,
следовательно, b II а по
. Аналогично, прямая а
лежит и,
поэтому
Итак, прямая b параллельна обеим
пересекающимся плоскостям___и_____
12---------------------------
Сторона АС треугольника АВС парал-
лельна плоскости а, а стороны АВ и ВС
пересекаются с этой плоскостью в точ-
ках М и Л’. Докажите, что треугольни-
ки АВ( и МВЬ подобны (задача 26 учеб-
ника).
Доказательство. На рисунке
плоскость АВС проходит через прямую
, параллельную плоскости а,
и пересекает ее по ,
следовательно, , а потому
2
Взаимное расположение прямых
в пространстве.
Угол между двумя прямыми
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если
одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пря-
мая в точке, 
, то эти прямые скрещивающиеся.
11
Дано: прямая АВ лежит в плоско-	/
сти а, прямая CD пересекает плоскость а,	______________f &
Ct a, Ct АВ.	/	"7
Доказать: прямые АВ и (D —
*С
I
Доказательство. Допустим, что
прямые АВ и CD не 	/
__ Тогда они	/
будут лежать в некоторой
р. Так как в этой плоскости будут лежать прямая АВ и точка С9 то
плоскость Р совпадет с , а значит, прямая CD
_________________________________________, что противоречит
Теорема доказана.
На рисунке изображен куб. Докажите,
что прямые:
а)	ДА, и BjCp
б)	AjDj и DC;
в)	АС и BDX —
являются скрещивающимися.
Доказательство.
а)	Прямая ВХСХ лежит в плоскости
BjCjDp а прямая пересекает эту плос-
кость , причем Aj t ВхСх9
так как, поэтому,
согласно _________________________
, прямые AAj и ВХСХ
являются__________________________
б)	
в) ------------------------------------------------------------------------------
/2
Прямые MN и PQ скрещивающиеся.
Докажите, что прям» и \Р так ке
скрещивающиеся.
Доказательство. Допустим, что
прямые MQ и NP не 
____________Тогда они лежат
в некоторой плоскости р. Так как X/ € р,
Nep и Pep, Q € Р, то, согласно
____________, прямые ___________
также будут_____________________
Но это противоречит условию. Значит,
прямые !MQ и NP_________________
Прямая с пересекает прямую а и не
пересекает прямую 6, параллельную
прямой а. Докажите, что b и с — скре-
щивающиеся прямые (задача 36 учеб-
ника).
Доказательство. Пусть прямые а
и с пересекаются в точке Л/. Прямые а и
b лежат в некоторой  Р,
так как Л/€а, поэто-
му М 6 р, но М Ь, так как Прямая с не лежит в плоско-
сти Р, так как в противном случае она пересекала бы ,
а по условию___________________________
Итак, прямая b лежит в плоскости р, а прямая с пересекает
 в точке Wife, поэтому, согласно 
______________________________________________, прямые Ь и с —
Теорема. Рели стороны двух углов соответственно сонаправ
лены, то такие углы 
Дано: углы О и Oj с соответственно сонаправленными сторонами.
Доказать: О = Z_Or
13
Доказательство. На сторонах уг-
лов О и О, отложим равные отрезки ОА
и OjAp ОВ и OjBp Четырехугольник
OOjAjA — параллелограмм, так как
________________________, поэтому
AAj ' ОО1 и АА1 Четырехуголь-
ник ОВВХОХ — ,
так как ,
поэтому ВВХ || ООХ и ВВХ —
Итак. ААХ II ООХ и ВВ. II ООР следова-
тельно, по теореме 
_____________________ ААХ 1_______
Кроме того, ААХ ВВХ, так как, поэтому
четырехугольник АВВХАХ — , и значит,
АВ Таким образом, АДОВ  по ,
поэтому Z.O »,_О,.
Теорема доказана.
16
Дано: четырехугольник ABCD — па-
раллелограмм. Z. BAD - 50°. ААХ II DDX и
ААХ DDX.
Найдите угол между прямыми AXDX
и CD.
Решение. Прямые AXDX и CD скре-
щивающиеся, так как прямая AXDX лежит
в плоскости, а прямая CD пере-
секает эту плоскость в , не
лежащей .
По условию ААХ II DDX и ААХ DDX, поэтому четырехугольник ADDXAX —
 и, следовательно, AD II AXDX. Кроме того, АВ || СВ,
так как Таким образом, через точку А
проходят прямые AD и АВ, соответственно 
скрещивающимся ___________________
Так как Z. BAD — 50 , то, согласно определению, угол между скре-
щивающимися равен
Ответ. _______
14
17-----------------------------
В пространственном четырехугольни-
ке ABCD АВ = CD. Докажите, что пря-
мые АВ и CD образуют равные углы с
прямой, проходящей через середины от-
резков ВС и AD (задача 4 7 учебника).
Доказательство. Середины отрез-
ков В(\ AD и АС < обозначим буквами W, Л
и Р. Так как отрезок МР — средняя
_____________________________ , то
МР II , и поэтому угол между прямыми АВ и MN равен углу
_________ Кроме того, РМ = “. Аналогично отрезок PN —
______________________________________, и поэтому PN ||
и PN -=-, а угол между прямыми CD и Л/Лг равен
Тик как АВ » CD, то РМ ~, т. е. треуголь-
ник PMN —Следовательно, Z. —
— А, а это означает, что угол между прямыми АВ и MN равен
углу между прямыми, что и требовалось доказать.
Дано: ALV || PQ, Уба, Q € а, V/V =
= 10 см, PQ = 6 см, NQ = 4 см.
а)	Докажите, что прямая МР пересе-
кает плоскость а в некоторой точке F.
б)	Найдите отрезок QF.
Решение.
а)	Прямые MN и PQ лежат в некото-
рой плоскости р, так как.
Прямые МР и NQ не параллельны, так
как в противном случае четырехуголь-
ник MNQP был бы__________________
и поэтому выполнялось
бы равенство MN в, что противоречит
, следователь-
но, прямая МР пересекает прямую AQ в некоторой точке F. Так как
NQ — линия пересечения плоскостей, то Гб а, и, значит,
прямая МР_______________________________________________________
б)	Так как PQ II Л/Л‘, то A PQF _____________ Следовательно,
QF PQ	____ 6
— в-----, т. е. --- в — , откуда Qf ______см.
NF _____ QF+4 10
Ответ, б) QF в __см.
15
Точки А, В, С и В не лежат в одной
плоскости. Медианы треугольников АВС
и CBD пересекаются соответственно в
точках Л/, и М,. Докажите, что отрезки
AD и МхМ2 параллельны (задача 89
учебника).
Доказательство. Середину отрез-
ка ВС обозначим буквой Е. Отрезки АЕ
и DE —  треугольников
 и , поэтому точки Мj и
М2 лежат на  и де-
лят их в отношении , считая от точки Е. Отсюда следует, что
EMj ем2
ЕЛ ______
—---. Таким образом, стороны ЕМ х и ЕМ, треугольника
ЕМХМ2 пропорциональны ,
а угол Е у этих треугольников —Поэтому
 и, следовательно,
20
На рисунке ВС II DEy A £ BCD. Дока-
жите, что плоскости АВС и ADE пересе-
каются по прямой, параллельной пря-
мым ВС и DE.
Доказательство. Обозначим плос-
кости АВС и ADE через аир. Прямая DE
не лежит в плоскости а, а прямая ВС не ле-
жит , так как в противном
случае эти плоскости совпали бы и тог-
да точка А лежала бы в плоскости BCD,
что
. Плоскости а и Р имеют общую
точку А и поэтому, согласно, имеют
т. е. пересекаются по некоторой  а. По условию DE II ВС и
так как DE не лежит в , то по признаку
___________________________________________ DE II а.
Итак, плоскость р проходит через прямую DE, параллельную плоско-
сти , и пересекает ее по Следовательно,,
а так как DE II ВС, то
16
3
Параллельность плоскостей
Теорема (признак парал-
лельности двух плоскостей).
Если две пересекающиеся прямые од
ной плоскости _____________________
_____________________ двум прямым
другой плоскости, то .imu плоскости
Дано: прямые а и Ь9 пересекающие-
ся в точке Af, лежат в плоскости а, пря-
мые а{ и bj лежат в плоскости р, а II ар
Ь || bv
Доказать: а II р.
Доказательство. Заметим, что
а || р, b || Р по признаку 
_______________________________. Теперь допустим, что
плоскости а и р не , а пересекаются по
 с. Тогда плоскость а проходит через пря-
мую а, параллельную плоскости _, и пересекает плоскость р по пря-
мой с. Следовательно, а II с. Но плоскость а проходит и
следовательно, b II с. Таким образом, через точку V проходят две пря-
мые , параллельные прямой_______________Но это невозможно, так как
по через точку М
Значит, наше допущение неверно и а II р.
Теорема доказана.
21-----------------------------------------------------
Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что
и третья сторона параллельна плоскости а (задача 52 учебника).
Доказательство. Пусть стороны АВ и АС треугольника АВС па-
раллельны плоскости а. Докажем, что и третья сторона ВС параллель-
на плоскости а. Так как АВ || а, то, согласно заданию 10, в плоскости
2 Iлазков
17
а существует некоторая прямая
Д1В1 || АВ. Аналогично существует пря-
мая АХС\ плоскости а, параллельная пря-
мой АС. Итак, две пересекающиеся пря-
мые АВ и АС плоскости АВС параллель-
ны двум прямым AjBj и плоскости
а, следовательно, _________________
_____________________, эти плоскости
, а потому прямая ВС
___________________плоскости а.
22-------------------------------------------------------
Точка F не лежит в плоскости тре-
угольника MNP, точки Е, К и Т лежат
на отрезках FM, FN и FP, причем
ЕЕ FK FT 2
FM ” FN FP 3 ’
а) Докажите, что плоскости ЕКТ и
MNP параллельны.
б) Найдите площадь треугольника
MNP, если площадь треугольника ЕКТ
равна 36 см2.
Решение.
а)	Д EFK ™, так как 
 »
поэтому ЕК || и ЕК =
Аналогично A KFT ~, так как
, поэтому КТ ||и КТ -
Итак, пересекающиеся прямые ЕК и КТ плоскости ЕКТ соответ-
ственно  плоско-
сти MNP, следовательно, эти плоскости
б)	А ЕКТ ~, так как _____________________________________
____________________________________________, и коэффициент
подобия к равен Поэтому SfKT: Suvp — _______ — , откуда
с _	„
*’ V.VF -------- ------------
Ответ, б)___________
18
23
На рисунке параллельные плоскости
аир пересечены прямыми MN и MF,
Pv Р2п Q — точки пересечения пря-
мых с плоскостями аир. Найдите Р{Р2,
если MPj :	-3 : 4 и QXQ2 = 72 см.
Ре ш е н и е.
1)	Пересекающиеся прямые MN и MF
задают некоторую у. Р} и
Р2 — общие точки плоскостей а и у, по-
этому прямая Р{Р2— 
, аналогично Q, и	-
— — »
поэтому прямая Q,Q2 —
Итак, параллельные плоскости а и Р
пересечены плоскостью у, поэтому, со-
гласно _____________________________
----------------, линии их
пересечения  , т. е.
р,р, I----------
2) Д Р1МРгс^>, так как , следовательно,
Л/Р.: AfQ. - Р,Р2 :-------Р.Р2 - ------------ - ---------
19
2)	По теореме косинусов для треугольника MNP имеем: МР1-
= , откуда МР =________см.
3)	Д MPQ равнобедренный, так как, а потому его вы-
сота ME является, т. е. РЕ ж см. Итак, в прямо-
угольном треугольнике МЕР гипотенуза , катет
, следовательно, ME =см.
4)	SVM? “ |	“ I ------см2 “ -----см*-
Ответ. 
Через середины ребер АВ и ВС тетраэд-
ра SABC проведена плоскость, парал-
лельная ребру SB. Докажите, что эта
плоскость пересекает грани SAB и SBC
по параллельным прямым (задача 69
учебника).
Доказательство. Пусть MNQ —
плоскость, проходящая через середины
М и N ребер АВ и ВС и параллельная
ребру SB. Плоскость SAB проходит че-
рез прямую SB, параллельную плоско-
сти , и пересекает ее по прямой
MQ, поэтому MQ . Аналогично
плоскость SBC проходит
и пересекает
, поэтому Итак,
MQ II SB и, поэтому , что и требовалось доказать.
26---------------------------------------------------------
В тетраэдре SABC точки М и К лежат на ребрах SB и ВС, а точка Т —
на продолжении ребра ВС. Постройте:
а)	точку пересечения прямых МК и SC;
б)	точку пересечения прямой ТМ и плоскости ASC.
Решение.
а)_____Прямая МК лежит в плоскости SBC, так как точки
______	, причем на ри-
сунке прямые МК и SC не параллельны, поэтому прямая МК пересекает
20
прямх ю SC в некоторой точке  .
Итак,  — точка пересечения пря-
мых МК и SC.
6)	Прямая ТМ лежит в плоскости BSC,
так как точки _______________________
_____________________. На рисунке пря-
мые ТМ и SC не параллельны, поэтому
прямая ТМ пересекает прямую SC в не-
которой точке, а так как прямая SC
лежит в плоскости ASC9 то и точка
g ASC. Следовательно, прямая ТМ
пересекает плоскость ASC в точке 
Точки V и \ расположены на гранях
ADB и ADC тетраэдра DAB( . Постройте
точку пересечения прямой MN с плоско-
стью АВС.
Решение. Поскольку точки D и М
лежат в плоскости ADB. то пря-
мая DM ____________________________
_________________ и пересекает ребро
Аналогично прямая DN пересекает
Точки F и К лежат в плос-
кости DMN, а потому и  лежит в
Так как на рисунке прямая MN не парал-
лельна прямой FK, то прямая MN пересекает прямую в некото-
рой точке Т. Прямая FK лежит в плоскости АВС, поэтому точка
 и, значит, прямая \IN пересекает плоскость 
в точке 
28
Точки А и В расположены на гранях SMN и SNP тетраэдра SMNP.
Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью SMP.
21
Решение. Поскольку точки А и А ле-
жат в плоскости SA/ЛГ, то прямая NA
и пересекает ________________________
__ Аналогично прямая NB
Итак, точки лежат в плоскости
ANB, а потому и лежит в
этой плоскости. На рисунке прямые АВ и
S
FK не параллельны, следовательно, прямая АВ пересекает прямую
в некоторой точке, и так как прямая FK лежит в плоскости SMP,
то и точка , а значит, прямая АВ пересекает плоскость
________в точке
29
На ребрах АС и ВС тетраэдра SABC
отмечены точки Р и К, а на продолже-
нии ребра SC — точка Т. Постройте се-
чение тетраэдра SABC плоскостью РКТ.
Решение. Поскольку точки Т и Р ле-
жат в плоскости, то прямая ТР
лежит  и пе-
ресекает ребро  в некоторой
Аналогично прямая ТК
лежит в плоскости и пересекает
ребро _________________________
Следовательно, сечением тетраэдра SABC
плоскостью РКТ является _______
Проведите указанные прямые и постройте искомое сечение.
30---------------------------------------------------------
В тетраэдре SABC точки D, Е и F являются серединами ребер SA, АВ
и ВС, АС “ 32 см, SB — 40 см, угол между прямыми АС и SB равен 90'.
а)	Докажите, что плоскость DEF проходит через середину Р
ребра SC.
6)	Найдите площадь четырехугольника DEFP.
22
Решение.
a)	EF — средняя линия треугольника
 , поэтому EF ||, и по
признаку ________________________
________________________ EF || ASC.
Плоскости ASC и DEF имеют об-
щую точку D и потому, согласно
, имеют общую прямую,
проходящую через точку__Обозначим
эту прямую буквой а. Так как плоскость
DEF проходит через прямую EF, парал-
лельную плоскости, и пересека-
ет эту плоскость по прямой __, то
а II_____ Мы получили, что AC II EF и а II EF, откуда следует по
________________________________________________, что а || АС.
Рассмотрим AASC. Точка D — середина стороны, прямая а,
проходящая через точку D, параллельна, следовательно, прямая а
пересекает сторону SC в точке Р — середине Тем самым мы дока-
зали, что плоскость DEF проходит через середину Р ребра
б)	Четырехугольник DEFP — параллелограмм, так как
, причем EF -, a DE
— , так как DE — средняя 
Рассмотрим угол DEF. Его стороны ED и EF соответственно парал-
лельны прямым BS и АС, угол между которыми по условию равен 90°.
Поэтому и Z. DEF , и, значит, параллелограмм DEFP является
Sn___ — DE •=_________________________см -см .
ULf Г
Ответ. 6)__________
31------------------------------------------------------------
На рисунке изображен тетраэдр KLMN.
а)	Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей че-
рез ребро KL и середину А ребра MN,
б)	Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F
отрезков LM, МА и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите пло-
щадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2
(задача 75 учебника).
23
Решение.
а)	Так как точки L и А принадлежат се-
кущей плоскости и грани тетра-
эдра, то секущая плоскость пересекается
с этой гранью по Анало-
гично секущая плоскость пересекается с
гранью KAIN по. Следо-
вательно, —
искомое сечение.
б)	Рассмотрим плоскости EFO и LKA.
EF || LK и ЕО 1| LA, так как 
Итак, две пересекающиеся прямые плоскости EFO соответственно па-
раллельны двум прямым плоскости , поэтому, согласно
плоскости EFO и Треугольники
EOF и LAK подобны, так как ________________________________
———  --------— ———-----------— — - —- —- ——-   —------ »
причем коэффициент подобия равен, так как По
теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем:
-------------• откуда	“------------- см"
—см2.
Ответ, б)см2.
32
Докажите, что отрезки, соединяющие
середины противоположных ребер тет-
раэдра, пересекаются и точкой пересече-
ния делятся пополам (задача 101 учеб-
ника).
Доказательство.
1)	Пусть Л/, N9 Р и Q — середины ре-
бер DA, DC\ ВС и АВ тетраэдра DABC.
Тогда отрезки MQ и NP — средние
	 >
и поэтому MQ || и MQ =,
NP ||и NP —Следовательно,
24
MQ II и MQ e, и, значит, четырехугольник MNPQ —
____________________________________, а отрезки МР и NQ — его
. Отсюда следует, что отрезки МР и NQ. соеди-
няющие середины противоположных ребер  и ,  и
тетраэдра DAB(\ пересекаются и точкой пересечения О делятся
пополам.
2)	Теперь рассмотрим отрезки NQ и EF, соединяющие середины про-
тивоположных ребер CD и АВ. BD и АС. Как и в п. 1, можно
доказать, что четырехугольник ENFQ — 
и, следовательно, его диагонали EF и NQ пересекаются
____________________________, т. е. в точке
Итак, точка О является серединой отрезков MP. bQ и EF. что и тре-
бовалось доказать.
На ребрах DDX и СС\ параллелепипе-
да ABCZZAjBjCjDj отмечены точки Р и F.
Постройте точку пересечения:
а)	прямой PF с плоскостью АВС;
б)	прямой BF с плоскостью AjBjCj.
Решение.
а)	Поскольку точки Р и F лежат в
плоскости DDjCp то прямая PF
——	------------------—  — »
и так как на рисунке прямые PF и
DC не параллельны, то прямая PF
пересекает прямую , а значит, и
_______________________ в некоторой
б)	Поскольку точки В и F лежат в, то прямая
	Прямые
ВС и ВХСХ также лежат в , причем эти прямые
 и прямая BF пересекает прямую  в точке
_____Поэтому прямая BF ________________________________________
А так как прямая ВХСХ лежит в плоскости AjBjCp то и точка ____ле-
жит в этой плоскости. Следовательно, прямая BF пересекает плоскость
IjBjCj в точке___
25
В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
точка F лежит на ребре AD, Т — внут-
ренняя точка грани CCXDXD.
а)	Через точку Т проведите плоскость а,
параллельную плоскости BXBF.
б)	Постройте линию пересечения
плоскости а с плоскостью AAXDX.
Решение.
а)	Проведем РТ\\ и PNII
Прямые РТ и PN задают
б)	Прямая NP — линия пересечения
плоскостей а и , причем прямая NP пересекает прямую AD в
некоторой точке Q, и так как прямая AD лежит в плоскости AAXDX, то
точка Q является общей точкой двух плоскостей а и AAXDX. Следова-
тельно, эти плоскости пересекаются по прямой QQX, проходящей че-
рез точку Q и параллельной прямой
Итак, QQX — линия пересечения плоскостей_____и
В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
точки F, Р и Е лежат на ребрах AD, ССХ
и DDX. Постройте сечение параллелепи-
педа плоскостью FPE.
Решение. Грани ADDXAX и CDDXCX
пересекаются с плоскостью FPE по от-
резкам  и Плоскость FPE
пересекает грань ССХВХВ по отрезку РК
прямой, проходящей через точку Р и па-
раллельной прямой грани AAXDXD,
так как грани ______________________
параллельны. На рисунке прямая РК
пересекает ребро ВВХ в некоторой точке_____Аналогично плоскость
FPE пересекает грань ААХВХВ по отрезку прямой, проходящей через
точку___и параллельной прямой грани , а ребро АВ в
некоторой ____________
Итак, пятиугольник FEP— искомое сечение.
26
36
В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX на
ребрах АВ и ВС отмечены точки \1 и Л.
а)	Построите сечение параллелепипе-
да плоскостью DXMN.
б)	Постройте линию пересечения се-
кущей плоскости и плоскости BDXBX.
Решение.
а)	Пусть прямая MN пересекает про-
должения ребер AD и DC в точках Р и Q.
Тогда прямые PDX и QDX пересекают реб-
ра в некоторых точках
Итак, искомое сечение — 
б)	Плоскости D MN и BDDX имеют общую точку, а потому по
аксиоме пересекаются.______________________________________________
37
а)	Постройте сечение параллелепипе-
да ABCDAXBXCXDX плоскостью AEFy где
точка Е принадлежит ребру ВСУ a F —
внутренняя точка грани DCCXDV
б)	Укажите точку пересечения диаго-
нали DBX параллелепипеда с секущей
плоскостью.
Решение.
а)	Пусть прямая АЕ пересекает продол-
жение ребра в некоторой точке________,
тогда прямая  лежит в плоскости
и пересекает ребра в некоторых точках
Итак, искомое сечение — ________________________________________
б)	Пусть прямые BD и АЕ пересекаются в некоторой точке Р. Тогда
прямые и лежат в плоскости DBBX и
27
а)	Постройте сечение параллелепипе-
да ABCDA1BxClDi плоскостью, проходя-
щей через точки Р, F и Af — середины
ребер ААр АХВХ и DC.
б)	Укажите точку пересечения диаго-
нали BDX с секущей плоскостью.
Решение.
а) Пусть прямая FP пересекает
Итак, искомое сечение —_________________________________________
б)--------------------------------------------------------------
39
Точка М лежит на ребре ВС паралле-
лепипеда ABCDAXBXC}DV Постройте сече-
ние этого параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точку М параллельно
плоскости BDCX (задача 115 учебника).
Решение. В плоскости ВВХСХ через
точку Л/ проведем прямую ME, парал-
лельную , ЕбССр а в плоскости
АВС через проведем прямую,
___________________________ и пересе-
кающую  в точке F. Плоскость
MEF параллельна плоскости 
по ________________________
Следовательно, искомое сечение — треугольник MEF.
28
40
Отрежьте по штриховой линии часть листа с разверткой и наклеите
ее на тонкий картон или плотную бумагу. Вырежите развертку, акку-
ратно согните по линиям и склейте. Вырежите и склейте развертку,
изображенную на следующей странице.
Получится две части тетраэдра, рассеченного плоскостью. Сложите
из них тетраэдр с сечением ABCD.
29

31

41
Отрежьте по штриховой линии часть чиста с разверткой и наклейте
ее на тонкий картон или плотную бумагу. Вырежите развертку, акку-
ратно согните по линиям и склейте. Вырежите и склейте развертку,
изображенную на следующей странице.
Получится две части параллелепипеда, рассеченного плоскостью.
Сложите ИЗ НИХ Параллелепипед с геЧением ARCDE.
3 Глазков
33

35

Глава II
Перпендикулярность прямых и
плоскостей
.1
Перпендикулярность прямой и
плоскости
42
В тетраэдр* МАВС ри^бра МА и В(
перпендикулярны, Р — точка ребра АВ,
причем АР : АВ 2 : 3, Q — точка ребра
АС и AQ : QC 2:1. Докажите, что
МА ± PQ.
Доказательство. A APQ ™ А АВС,
так как ________________________
________________________Поэтому
PQ II , и угол между прямыми МА
и PQ, т. е. МА J
Теорема (признак перпендикулярности
прямой и плоскости)
Если прямая перпендикулярна к двум 
прямым, ,
то она_________________________________________________
Дано: а ±р, а ± д, прямые р и q лежат в плоскости а и пересека-
ются в точке О (рис. а).
Доказать: а ± а.
Доказательство. Для доказательства перпендикулярности пря-
мой а и плоскости а надо доказать, что а ± т, где т —
Рассмотрим два случая.
1) Пусть О € а, I || т и О € I, прямая п пересекает прямые р, q и I в
точках Р, Q, L, ОА = ОВ (рис. б). Так как прямые р и q — серединные
37
и AQ —, и, следовательно, A APQ e Д BPQ по 
Поэтому AAPQ -Далее ДАРЬ
s Д BPL по_______________________________________________________
________________________________________________________, поэтому
AL “, а это означает, что Д ABL —
и его медиана LO является , т. е. LO LAB или ZJ__________________.
Так как I II т и /±а, то по лемме 
т J_____Таким образом, прямая а перпендикулярна к любой прямой
плоскости а, а это означает, что
2) Пусть О £ а (рис. в). Проведем ах II а, Ое аг Тогда а1 ± р и
ах ± q по лемме________________________________________________
_____________________________________________________________ и,
следовательно, ах ± а согласно_______________________________
Итак, одна из параллельных прямых а и а, перпендикулярна
, поэтому и вторая прямая
__________________________________, т. е. a J__Теорема доказана.
43-----------------------------------------------------------
Через точку О пересечения диагоналей ромба ABCD проведена пря-
мая ОМ, перпендикулярная к плоскости ромба, причем ОМ = 6 см,
АС = 16 см, BD = 4л/3 см. Найдите:
а)	расстояние от точки М до вершин ромба;
б)	расстояние от точки М до стороны DC.
38
Решение, а) Четырехугольник ABCD —
ромб, а отрезки АС и BD — его диагона-
ли, пересекающиеся в точке О, поэтому
ОА «=, ОВ —. Так как МО ±
± АВС. то МО ± и МО ±В
треугольниках АМС и BMD медиана МО
является и , поэтому эти
треугольники ,
т. е._________________________________
Из прямоугольного треугольника АОМ с
катетами 6 см и 8 см имеем: МА «
Из прямоугольного треугольника ВОМ находим: МВ «см.
Итак, МА МС -, МВ « MD «
б) В треугольнике DMC проведем МР1. DC и рассмотрим плоскость
МОР. Прямая DC перпендикулярна к двум пересекающимся прямым
и этой плоскости, следовательно, по 
_______________________________________DC J, а потому пер-
пендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частно-
сти D€± OP. ACOD прямоугольный, так как ,
„ CO'OD
(>Р — его высота, поэтому (>Р «	——- —  — 
Ответ, а); б)
На рисунке AF А.АВС. ВМ А АВС.
Докажите, что линия пересечения плос-
костей AFC и ВМС параллельна прямым
AF и ВМ.
Доказательство. Так как
AF ± АВС и ВМ ± АВС, то AF ||,
и, следовательно, AF II ВМС по
_________________________Плоскость
AFC проходит через прямую AF, парал-
лельную плоскости , и пересекает
эту плоскость. Следователь
но, линия пересечения плоскостей  параллельна прямой
. А так как AF || ВМ, то по______________________________________
 прямая ВМ также параллельна
39
Четырехугольник ABCD — квадрат,
О — точка пересечения его диагоналей,
ОМ ± АВС. Докажите, что:
a)	BD ± МА и BD ± МС;
б)	АС 1 МВ и AC ± MD.
Доказательство. Четырехуголь-
ник ABCD — квадрат, поэтому
AC J По условию МО ± АВС, сле-
довательно, МО J__и МО J
а)	Рассмотрим плоскость АМС. Пря-
мая BD перпендикулярна к двум пере-
секающимся прямым
этой плоскости, следовательно, по
BD J________ а потому прямая BD перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости, в частности BD J и BD J
б)	Рассмотрим плоскость BMD. 
46
В тетраэдре МАВС АВ = АС,
МВ = МС. Докажите, что BC±AV.
Доказательство. По условию тре-
угольники ВАС и ВМС —
с общим,
поэтому их медианы АН и МН. проведен
ные к, являются
___________________, т. е. АН J_и
Рассмотрим плоскость АМН. Так
как ВС ± АН и ВС J____________ то по
ВС L АМН. а потому прямая ВС перпендикулярна к любой
_________, в частности
ВС1______
40
47
Дан куб ABCDAlBlClDl. Докажите,
что диагональ куба B{D перпендикуляр-
на к диагонали АС его основания.
Доказательство. Так как грани
ААуВ'В и BBjCjC — квадраты, то
В(В J. ВА и BtB ± ВС. Следовательно,
В,В ± АВС по____________________
_ Рассмотрим плоскость
BJiD. Поскольку AC ± BD. так как
________________________, и АС ± В,В,
так как , то AC J по 
___________________________________________, а потому AC J
48
Докажите, что через каждую из двух
взаимно перпендикулярных скрещиваю-
щихся прямых проходит плоскос ть, пер-
пендикулярная к другой прямой (зада-
ча 137 учебника).
Доказательство. Пусть а и b —
скрещивающиеся прямые, причем а ± 6.
Докажем, что через прямую b проходит
плоскость, перпендикулярная к прямой
а. Возьмем на прямой b какую-нибудь
точку \t и проведем через нее прямую
параллельную прямой а. Так как а} II а и
а ± Ь, то а} J_Пересекающиеся пря-
мые at и Ь определяют некоторую плоскость а. Пусть прямая с проходит
через точку М и перпендикулярна к плоскости а. Тогда с J_ b и с J_
Пересекающиеся прямые Ь и с определяют некоторую плоскость р. По-
скольку ах ± b и fljXc, то UjJ_по 
___________________________________, а так как а II то a J____
Итак, плоскость р проходит через прямую b и перпендикулярна к
_ Аналогично доказывается, что через прямую а про-
ходит ____________________________________________________________
41
2
Перпендикуляр и наклонные.
Угол между прямой и плоскостью
49
Из точки Af к плоскости а проведены
перпендикуляр МО и две наклонные МА
и МВ, которые образуют со своими про-
екциями на эту плоскость Д МАО = 45°,
А МВО = 30 , угол между наклонными
равен 90 .
Найдите расстояние между основани-
ями наклонных, если проекция наклон-
ной МА равна V3 см.
Решение. МО ± а, поэтому
МО J и МО J ААЛТО прямоугольный и равнобедренный:
Д О = , ДА -» Д__________ = , АО « , следовательно,
МО =, AM =А ВМО прямоугольный: Д О =,
Д В =, МО =, поэтому МВ « 2-см.
ААЛ/В прямоугольный: Д V » , AM ж	9 ВМ
ж, поэтому АВ =«—см.
Ответ. см.
50----------------------------------------------------------
Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстояниях 1 см и
4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости а (задача
142 учебника).
Решение. Рассмотрим два случая:
1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости а;
2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости а.
1) Пусть отрезок АВ расположен по одну сторону от плоскости а (см.
рис. а), AAj ± а, ААХ = 1 см, ВВХ 1 а, ВВу = 4 см. Так как ААХ ± а и
ВВХ ± а, то AAj II, и поэтому четырехугольник АуАВВх —
. Проведем в ней среднюю линию РРр тогда РРХ II,
РРХ II, и так как ААХ ± а, то и РРХ J___________ Следовательно,
длина отрезка РРХ и есть искомое расстояние от середины отрезка
АВ до плоскости а, РРХ = ~ =  -
=см.
42
2) Пусть концы отрезка АВ расположены по разные стороны от плос-
кости а (см. рис. б) и пусть ААК и ВВ, — перпендикуляры к плоскости
a, AAt - 1 см, ВВ 1 см. Так как AAf ± а и ВВХ ± а, то AAt II, и
прямые ААр ВВр АХВХ лежат в одной Проведем через
точку Р — середину отрезка АВ — прямую, параллельную ВХВ. Тогда
по точки Рх и F пересе-
чения этой прямой с прямыми AjBj и AjB будут серединами отрезков
и, а отрезки PXF и PF — средними
_______________________________________РР=P.F - =
=—см.
Ответ.см или см.
51
Докажите, что концы данного отрезка
находятся на одинаковом расстоянии от
любой плоскости, проходящей через его
середину.
Доказательство. Пусть плос-
кость а проходит через середину Л/ от-
резка АВ, АА1 ± а, ВВ, ± а. Тогда
AM UB, £ АМАХ - Z. В МВХ и
43
Расстояние от точки Л/ до каж-
дой из вершин правильного треугольни-
ка АВС равно 4 см. Найдите расстояние
от точки М до плоскости АВС» если
АВ 6 см (задача 143 учебника).
Решение. Пусть МО — перпенди-
куляр к плоскости АВС, тогда расстоя-
ние от точки Л/ до плоскости а равно
Так как МО ± а, то МО ± ОА,
МО ±, МО ±А АОМ -  -  по
, следовательно, ОА — ОВ — ОС, т. е.
точка О равноудалена от_______________________________________
и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому
АО = — — (см), и из прямоугольного
треугольника АМО находим: МО —и (см)
в___см.
Ответ._____см.
Через вершину А прямоугольного тре-
угольника АВС с прямым углом С про-
ведена прямая AZ>, перпендикулярная к
плоскости треугольника. Докажите, что
треугольник CBD прямоугольный (зада-
ча 145 а учебника).
Доказательство. Из точки D к
плоскости АВС проведены перпендику-
ляр  и наклонная Прямая
ВС лежит в плоскости АВС и перпенди-
кулярна к проекции наклонной 
В
на эту плоскость, поэтому,
согласно ,
ВС ± DC , т. е. треугольник CBD_________________________________
44
54
Дан параллелепипед ABCDAxBxCxDv
основанием которого является ромб
ABCD, а боковое ребро перпендикулярно
к плоскости основания. Докажите, что
диагональ BXD параллелепипеда перпен-
дикулярна к диагонали АС его основания.
Доказательство. ВВХ ± АВС
, диагональ BXD — на-
клонная к плоскости ABC, BD — проек-
ция _____________________________
____________________, диагональ АС
• кит в плоскости ABC, AC ± BD9 так как 
Следовательно, согласно теореме 
АС ±______
55
Сторона ромба ABCD равна 12 см,
А А « 30°, AM ± АВ( , AM = 6 см. Найди-
те расстояние от точки W до прямой ( D.
Решение. Из вершины А ромба
ABCD проведем отрезок АН ± DC. Так
как /-А1Х' — — тупой, то основа-
ние Н перпендикуляра АН лежит на
продолжении луча . Таким обра-
зом, из точки М к плоскости АВС
проведены перпендикуляр МА и наклонная МН, при этом
прямая CD плоскости  перпендикулярна к проекции 
наклонной Поэтому, согласно 
, CD J________________________________ Итак, длина перпендику-
ляра МН и есть расстояние от точки____до прямой 
A AHD , Z. ADH __________________________, AD »,
поэтому АН в____см. А МАН, так как
и AM =, АН =__________см, поэтому МН =см.
Ответ.см.
45
56
Через точку А, удаленную от плоско-
сти а на расстояние <3 см, проведена
прямая, пересекающая плоскость а в
точке В. Найдите угол между прямой
АВ и плоскостью а, если АВ = 2 см.
Решение. Пусть отрезок АО — пер-
пендикуляр к плоскости а. Тогда АО “
—, прямая ОВ — проекция
---- -------- ...	---------- 9
а угол между прямой АВ и плоскостью а
равен Z.Из прямоугольного тре-
угольника АОВ находим: sin ААВО =-
Z. ABO =
Ответ.
57----------------------------------------------------------
В прямоугольном треугольнике АВС	Р
Z. С - 90 , АВ - 4>/3 см. Точка Р не ле-	I
жит в плоскости АВС и удалена от каж-	/ / I \
дой вершины треугольника на расстоя-	/
ние 4Ч 3 см. Найдите угол между пря-	>
С *------	' / °
мой PC и плоскостью ABC.	хЛ ~
Решение. Пусть РО — перпендику-
<х	jt
ляр к плоскости АВС. Поскольку отрез-
ки РА, РВ и PC — равные наклон-
ные, проведенные из  к , то их
проекции тоже , т. е. ОА —=, а потому точка
О — центр окружности, ________________________________________
 . Следовательно, точка О — середина
Так как АВ =, то СО « - »см.
2
Искомый угол ф между прямой и плоскостью есть угол
между --------------------------------------------------------,
т. е. ф = Z.А РОС прямоугольный, так как ,
PC =, СО =см, поэтому cos ф = —-
“Отсюда получаем, что ф =
Ответ. 
46
3
Двугранный угол.
Перпендикулярность плоскостей
58
К плоскости равнобедренного прямо-
угольного треугольника АВС с гипотену-
зой АВ « 12V3 см проведен перпендику-
ляр DC, равный 18 см. Найдите угол
между плоскостями DAB и С АВ.
Решение. Треугольники АВС и
ADB равнобедренные: Д АВС 
, а в Д ADB DA и, так
как эти стороны — 
 . Поэтому медианы CF и DF этих треугольников,
проведенные из вершин С и D к общему основанию , явля-
ются , н, следовательно, Z_ DFC — линейный угол
_____________________________, а значит, угол между плоско-
стями DAB и САВ равен Z______Д DCF прямоугольный, DC =•,
CF — -  —  см и поэтому tg A DFC —  —  я
—, откуда A DFC 
Ответ.
Катет АС прямоугольного треугольни-
ка АВС с прямым углом С лежит в плос-
кости а, а угол между плоскостями а и
АВС равен 60°. Найдите расстояние от
точки В до плоскости а, если АС = 5 см,
АВ — 13 см (задача 172 учебника).
Решение. Проведем перпендикуляр
ВО к плоскости а. Отрезок ВС — наклон-
ная к, отрезок
ОС — проекция наклонной  на , а прямая АС, ле-
жащая в плоскости а, перпендикулярна к наклонной ВС. Следователь-
но, согласно _____________________________________________________
AC ± ОС. Таким образом, A ВСО — линейный угол двугранного угла меж*
ду плоскостями а и АВС, и, значит, А ВСО =
А АВС прямоугольный: АС = , АС= , АВ — ,
поэтому ВС =
А ВСО прямоугольный: А О =, А ВСО =, ВС —
следовательно, ВО = см = см = см.
Ответ. см.
60
Через сторону АО ромба ABCD прове-
дена плоскость ADM так, что двугран-
ный угол В A DM равен 60 . Найдите сто-
рону ромба, если A BAD = 45° и рассто-
яние от точки В до плоскости ADM рав-
но |\3 (задача 176 учебника).
Решение. Проведем перпендикуляр
ВР к плоскости АОЛ/. Искомое расстоя-
ние от точки В до плоскости ADM равно
ВР. Проведем высоту ромба BE. Тогда по-
лучим, что из точки В к плоскости ADM
проведены перпендикуляр  и на-
клонная 
Следовательно, отрезок РЕ — проек-
ция на
Прямая АО, лежащая в плоскости ADM. перпендикулярна к наклон-
ной BE, а потому, согласно
, AD J, и А ВЕР — линейный
угол , т. е. А ВЕР — 
АВРЕ прямоугольный, так как , причем
А ВЕР -, ВР ~, поэтому BE •-
А ВАЕ прямоугольный: АЕ-, А А = , BE — 
следовательно, АВ —  — 
Ответ._________
48
61
Найдите измерения прямоугольного
параллелепипеда ABCDAXBX(\DX, если
его диагональ BDX = 24 см и составляет
с плоскостью грани DAA угол в 45 , а с
ребром DDX — угол в 6U .
Решение. Все грани прямоугольного
параллелепипеда — ,
поэтому BA J, В A J__________, и, сле-
довательно, BA ± DAAX. Прямая BDX пе-
ресекает плоскость DAAX в точке___, а
прямая Д£>1 — проекция  на эту
плоскость, поэтому Z. ADXB — это угол
между диагональю  и 
. По условию
Z. ADXB •Из прямоугольного треугольника ADXB. в котором
Z.A =, DXB = и Z. Dx *, находим: АВ = ADX =
«—см. Из прямоугольного треугольника BDXD% в кото-
ром Z. D , В£>1 =, . BDXD  по условию, получа-
ем: DXD — -= см. Из треугольника ADXD, в котором
Z. D , ADX = , DDX =, находим: AD *=см.
Ответ.________________________
Докажите, что любая точка прямой,
которая проходит через центр окружнос-
ти, описанной около многоугольника, и
перпендикулярна к плоскости много-
угольника, равноудалена от вершин этого
многоугольника (задача 200 учебника).
Доказательство. Пусть прямая а
проходит через центр О окружности,
описанной около многоугольника
Д1Л2...Ап, и перпендикулярна к плоско-
сти а этого многоугольника. Ясно, что
точка О равноудалена от вершин многоугольника, так как является
центром описанной около него окружности: ОА1 = ОА = ... ж <>Ап.
Пусть М — произвольная точка прямой а. отличная от точки О. Тогда
49
МО — перпендикуляр. МАр ЛМ2, .... МАг —.
проведенные из точки ____ к , а ОАр
ОА2, ...,ОАл— проекции наклонных на Так
как проекции равны, то равны и , т. е.
Таким образом, любая точка прямой а
равноудалена от ________________________________________________
63---------------------------------------------------
В треугольнике АВС АВ« 13 см,
ВС = 14 см, АС в 15 см. Точка Л/ удале-
на от прямых АВ, ВС и АС на
5 см. Найдите расстояние от точки М до
плоскости АВС, если известно, что ее
проекция на эту плоскость лежит внут-
ри треугольника.
Решение. Пусть МО — перпенди-
куляр к плоскости ДВС, a MN, МР и
MQ — перпендикуляры к прямым АВ,
ВС и АС. Требуется найти МО. По
теореме, _______________________________________________________
имеем: АВ ± ОЛТ, ВС J и AC J___________ Итак, из точ-
ки М проведены к плоскости АВС перпендикуляр МО и наклонные
MN, МР и MQ. По условию расстояния от точки А/ до прямых АВ, ВС
и АС равны, т. е. равны наклонные,  и________________ Следователь-
но, потому равны и их проекции на эту плоскость: 
Таким образом, точка О лежит внутри треугольника АВС и равноуда-
лена от, поэтому она является 
Радиус ON этой окружности найдем, используя формулу S = рг, где
S — площадь треугольника АВС, р — его ,
р в, г — ON. По формуле Герона S = -
=—см , следовательно, г ==(см) =см.
Итак, NO в____см.
Треугольник MON , поскольку_______________________________LABC,
и потому МО J Так как MN =, ON =, то из тре-
угольника MON находим: МО ==__________________см.
Ответ._____ см.
50
Глава III
Многогранники
Понятно многогранника.
Призма
64
Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изобра
женных на рисунке многогранников?
а) Тетраэдр
б) Параллелепипед
в) Октаэдр
Решение.
а) Тетраэдр DABC составлен из  граней. Он имеет 
ребер и  вершины. Диагональю многогранника называется
, соединяющий две , не принадлежащие
_____ У тетраэдра любые две вершины 
одной грани, следовательно, у него диагоналей,
б) 	составлен из 
граней. Он имеет  ребер,  вершин и  диагонали
(АСР -----------------).
в)NABCDS имеет
и_______________диагонали (АС,).
Параллелепипед разрезали на два многогранника Fx и F . Какой из
получившихся многогранников выпуклый и какой невыпуклый?
51
Решение.
а)	Многогранник Fy — параллелепи-
пед. Он расположен по одну сторону от
плоскости  его грани.
Следовательно, Fx — 
многогранник.
б)	Верхняя грань многогранника F
является невыпуклым 
, следовательно, F2 —
_____________________ многогранник.
Ответ.
Fj — многогранник,
F2 — многогранник.
66
Заполните пропуски в предложении:
В выпуклом многограннике сумма всех  углов при
его вершине 360°.
67-------------------------------------------------------
Выпуклый многогранник имеет 8 вершин. Докажите, что сумма
всех его плоских углов меньше 3200°.
Доказательство. Так как данный 
выпуклый, то сумма всех плоских  при 
его вершине меньше , следовательно, сумма всех его
плоских  при восьми вершинах 
360 •__—, а это 3200 , что и требовалось
доказать.
68
Заполните пропуски в определении призмы:
Многогранник, составленный из  многоуголь
ников А1А2...Ап и BjB2... Bz, расположенных в 
плоскостях, и___параллелограммов, называется
52
69---------------------------------------------
Какой из данных многогранников является призмой?
Решение.
а)	Грани ABCD и AiBlC\Dl многогранника равны
и расположены в параллельных . Остальные
 грани — параллелограммы. Следовательно, 
ABCDAxBiClDl призмой.
б)	Грань	многогранника  не является
. Следовательно, «тот многогранник
________________ призмой.
в)	У многогранника AB('I) нет граней, расположенных в
 плоскостях. Следовательно, этот много-
гранник  призмой.
г)	Грани АВ(' и АХВ.СХ  ABCAJl^ — равные
, расположенные в плоскостях.
Остальные ___ грани являются.
Следовательно, многогранник ABC A Ji 
призмой.
70-----------------------------------------------------------
Сколько граней, вершин и ребер имеет л-угольная призма?
Решение.
а)	л-угольная призма состоит из  лугольников
(призмы) и_________________параллелограммов (боковых),
т. е. имеет _ + ___ граней.
б)	У каждого основания л-угольной  имеется ______________
вершин, а всего у призмы  вершин.
53
в)	Каждое основание  призмы имеет _________________ сторон,
кроме того, имеется___боковых Следовательно, число всех
ребер равно___• 2 4-__—
Ответ, n-угольная призма имеет  граней, 
71----------------------------------------------------------
Высота призмы равна 5 см. Чему равно расстояние между плоско-
стями оснований призмы?
Решение. Основания призмы расположены в 
плоскостях, а расстоянием между параллельными плос-
костями называется от произвольной
одной из параллельных до другой плоскости.
Расстоянием от данной точки до плоскости называется длина
, проведенного из этой  к данной
Поскольку высотой призмы называется ,
проведенный из какой-нибудь точки одного к плос-
кости другого ____________________________ то длина высоты и
есть искомое между плоскостями оснований
Ответ._____см.
72---------------------------------------------------------
Докажите, что все боковые грани прямой призмы являются прямо-
угольниками.
Доказательство.
1) Прямой призмой называется , боковые ребра
которой  к основаниям. Но если прямая
перпендикулярна к плоскости, то по определению она 
к любой прямой, лежащей в этой________________ Сле-
довательно, боковые ребра прямой призмы 
к сторонам основания.
2) Каждая боковая грань призмы является ,
а параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендику-
лярны, является Следовательно, все боко-
вые грани прямой призмы — , что и требова-
лось доказать.
54
73
Докажите, что призма, две смежные
боковые грани которой — прямоугольни-
ки, является прямой призмой.
Доказательство.
Пусть боковые грани АВВХАХ и
ВССХВХ — прямоугольники (на рисунке
изображена часть призмы). Тогда прямая
ВВХ  к двум
пересекающимся прямым АВ и 
плоскости основания, следовательно,
ребро  перпендикулярно к основа-
нию призмы. Так как все боковые призмы параллельны,
а ребро ВВХ  к основанию призмы, то и все
боковые ребра к основанию,
а значит, призма является , что и требовалось
74
Постройте диагональное сечение пря-
мого параллелепипеда (т. е. сечение,
содержащее диагональ параллелепипе-
да и боковое ребро). Докажите, что пост-
роенное сечение является прямоуголь-
ником.
Решение.
1) Рассмотрим, например, сечение, со-
держащее диагональ AjC и ребро ААГ Се-
кущая плоскость AAjC имеет с плоско-
стью грани ABCD две общие точки__и
___, следовательно, эти плоскости пере-
секаются по прямой , а отрезок  служит стороной сечения.
Проведем этот отрезок.
Так как AAj ___СС’р то эти прямые лежат в плоскости сечения, а
значит, отрезки ААХ и — стороны сечения. Наконец, отрезок
— четвертая сторона Проведем этот отрезок.
Итак, искомое сечение — четырехугольник 
55
2) Так как боковые ребра параллелепипеда 
и , то четырехугольник ААХСХС —
Данный параллелепипед прямой, поэтому ребро ААХ 
к плоскости основания, следовательно, АД,_АС,
а потому параллелограмм ААХСХС является ,
что и требовалось доказать.
75----------------------------------------------------------
Основание прямой призмы — тре-
угольник АВС, в котором АВ = 41 ,
АС = 2, ВС = 3. Найдите двугранный
угол при боковом ребре ССГ
Решение.
1) Поскольку призма АВСАХВХСХ пря-
мая, то ребро CCj ________________
к плоскости АВС, а значит, АС_ССХ и
ВС___CCt (по _____________________
прямой, перпендикулярной к плоско-
сти). Следовательно, угол АСВ является
 углом искомого
двугранного угла АССХВ.
2) В треугольнике АВС АВ2 = АС2 4-  - 2•cos С
(теорема), т. е. (V? )2 -= ________________________ 4- __ - ____ ,
откуда cos С °  в ______________
Следовательно, Z.ACB =, т. е. двугранный угол АССХВ равен
Ответ._________
Диагональ АС основания прямой призмы ABCDAXBXCXDх равна 6 см,
а высота призмы равна 6>3 см. Найдите угол наклона диагонали АХС
к плоскости основания.
Решение.
1)	Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро
высоте
_______к плоскости
, т. е. ААХ = 6л/3 см.
и равно
56
2)	Поскольку прямая АА, 
	 к плоскости АВС,
то прямая АС является 
прямой АВС на плоскость АВ(\ и, следо-
вательно, угол наклона 
AjC к плоскости АВС равен углу
3)	Поскольку прямая АА, 
 к плоскости АВС, то
AAj ___ АС (по определению прямой,
________________ к плоскости).
Из прямоугольного треугольника АХАС
получаем: tgZ. А,СА e AAj :  =
=  :  -Следовательно,
САХСА = ________
Ответ. _______
Основание призмы — равнобедренный
треугольник АВС (АВ = ВС), а боковое
ребро BBj образует равные острые углы с
ребрами АВ и ВС. Докажите, что прямые
BBj и АС взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Докажем, что
проекция прямой ВВ{ на 
АВС перпендикулярна к прямой ,
тогда по теореме о трех 
получим: BBj__АС.
1)	Проведем перпендикуляр ВХН к
плоскости , тогда прямая ВН —
 прямой ВВ} на плос-
кость АВС.
2)	Пусть BjVf ±ЛВ, ВХК ± ВС. Так как по условию задачи В ВА я
я Z., то Д ВХВМ = А(по гипотенузе и острому),
следовательно, ВМ_____ВК.
3)	ВХМ J и отрезок ВХН —к плос-
кости АВС, следовательно, \1Н ± АВ как проекция наклонной 
на плоскость АВС (по обратной теореме о трех).
Аналогично КН______ВС.
57
4)	A BMH_____A BKH (по катету и ), следова-
тельно, . МВН А_________, т. е. отрезок ВО —
треугольника АВС.
5)	Так как треугольник АВС равнобедренный, АС — его
, то биссектриса ВО является треуголь-
ника, т. е. ВО J, и, следовательно, ВВХ _______АС, что и требова-
лось доказать.
78-----
Боковое ребро правильной треуголь-
ной призмы равно 4 см, а сторона осно-
вания — 6 см. Найдите периметр сече-
ния, проходящего через ребро АХВХ и
точку Л/ — середину ребра АС.
Решение.
1) Основания призмы расположены в
______________________ плоскостях,
следовательно, секущая плоскость пере-
секает плоскости АВС и АХВ С\ по
______________________ прямым. Про-
ведем через точку М прямую т,  прямой АВ.
Обозначим точку пересечения прямых т и ВС буквой К.
МК || ДБ, АВ ______AjBp следовательно, МК______А^. Проведем от-
резки АХМ и____________________________________. Четырехугольник — искомое сечение.
2) Периметр четырехугольника АХВХКМ равен АХВХ ++
4- ЛМР где ЛХВХ =__см и МК =_____см (МК — линия
треугольника АВС). Найдем длины отрезков АХМ и ВХК. По определе-
нию правильной призмы ее основание —  тре-
угольник, а боковые ребра к плоскости АВС.
Следовательно, AM =____см и AAt____АВС.
Из прямоугольного АА^АА/ находим: АХМ = «Jaa/ +	=
+ з2 = х  = -------- (см).
Аналогично из прямоугольного ВВ.К
получаем: ВХК = __ см.
Итак. АХВХ 4-4- МАХ = 6 4- = (см).
Ответ. Периметр сечения равен  см.
58
Каждое ребро правильной шести
угольной призмы равно 4 см (достройте
рисунок). Найдите площади ее боковой
и полной поверхностей.
Решение.
1) Любая правильная призма являет-
ся  призмой, следовательно,
площадь ее боковой поверхности равна
_______________периметра
 на  призмы,
т. е. S — Р •__, где Р “___• 6 =(см),
h «____см.
Таким образом, 5Л|1С s  • ________ в
=  (см2).
любой призмы равна
2) Площадь полной
 площадей  ее граней, т. е. 1я—4-2.
Основание данной призмы —  шестиугольник со
3v3
стороной а в 4 см, следовательно, 8^ = 2 _____
(см2).
Итак, 5	(______ + _______) см .
ПОЛИ '	'
Ответ. S »*_____________, S =________________________
Лов	7 ПОЛИ
Пирамида
80
Основание пирамиды — прямоугольник ABCD, \Вв 18 м,
ВС в 10 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диаго-
налей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
Решение.
1)	Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по фор-
муле Snojii| в+. Так как основание пирамиды —
со сторонами 10 м и, то
S « _____ • ____ = _____ (м ).
ОСИ ---- ------ ------- '	'
59
2)	Чтобы найти площадь боковой
 пирамиды, вычис-
лим площади ее граней.
В прямоугольнике ABCD АС_______BD,
диагонали в точке О,
поэтому АО = ВО =в. Отре-
зок МО — высота пирамиды, значит,
МО —  к пло-
скости основания, и отрезки ДО, ВО,
, DO — проекции наклонных AM,
,и на плоскость основа-
ния. Следовательно, AM = ВМ ==
=и А АВМ А_______________, а А ВСМ »
= (по трем ),
поэтому SABW --- S(И Sfx if ---
3)	Пусть MK ± АВ, тогда ОК___АВ (обратная теорема о 
перпендикулярах) и ОК =ВС = 0,5 •=_____________ (м). Аналогично
если MN ± ВС, то ON =АВ = 0,5 •=________________(м).
Поскольку МО -L АВС, то МО___ОК, а значит,

+ б2 - у/ - -------(м).
Аналогично Л/ЛГ —	+ ОЛ'' =	122 +	= J = (м).
Итак, SaB4~0,5AB--------»----- 18------=------- (м«), SBC„ -
=Отсюда получаем:
=	_ • (------------+-----------) =------------(м>),
S =________________ + _________ « ____________(м2).
поли	4 z
Ответ. _______________________________
81-----------------------------------------------------
Все боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что:
а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной
около основания;
б) все боковые ребра составляют равные углы с плоскос тью основания.
Доказательство.
а)	Пусть основание пирамиды — многоугольник AjA,... Ап, отрезок
РО — высота пирамиды. Тогда отрезки ОАр, ..., ОАп — проекции
боковых РАХ, РА , ..., на плоскость основания. Так как
60
РА,- PA,“ ... —, to OAt______________
___04,____ ... __ OAn. Следовательно,
точка О равноудалена от 
многоугольника 4,4 ...4Я, поэтому она
является окружности,
____________________ около основания
пирамиды.
б)	A AtPO - А ... - А АпРО
(по гипотенузе и ), следова-
тельно, Z РА.О = А— ... —А РА О,
что и требовалось доказать.
82
Основание пирамиды — параллело-
грамм со сторонами 6 см и 8 см. высота
пирамиды равна 12 см, а все боковые
ребра раины между собой. Найдите дли-
ну бокового ребра.
Решение.
1) Пусть отрезок МО — высота
Так как МА МВ
= -, то ОА -—-
—, поэтому точка О — центр
__________ » _____________
около параллелограмма ABCD. Но тогда
параллелограмм является 
__________1, диагонали которого
пересекаются в точке _____ и равны
друг другу.
2) По теореме Пифагора АС—^АВ*+
(см), следовательно, ОА -см.
3) МО .L АВС, поэтому МО__ОА. В треугольнике АМО
МА ~JoA*+ - J5* 2 3 +	- J - (см).
Ответ.________
61
83
Все двугранные углы при основании
пирамиды равны между собой. Докажи-
те, что:
а)	высоты всех боковых граней, про-
веденные к сторонам основания пирами-
ды, равны между собой;
б)	высота пирамиды проходит через
центр окружности, вписанной в осно-
вание.
Доказательство.
а)	Пусть отрезок МО — высота пирамиды МА^ Л3 ... Ал, ОНХ ± А,А2,
ОН2±А2А3. Тогда МНХ____АХА2, МН2____А А3 (по теореме о трех
). Отсюда следует, что углы МНХО и
МН О как линейные равных 
углов МАХА О и МА2А3О.
Так как	(по катету и противолежащему
), то МНХ__МН2- Аналогично можно доказать равенство вы-
сот всех боковых граней пирамиды, проведенных к сторонам
___________пирамиды.
б)	Так как Д МНХО = А, то ОНХ_ОН2. Аналогично мож-
но доказать, что равны расстояния от точки _ до всех сторон
пирамиды. Следовательно, точка О —
окружности,в основание пирамиды, что и требова-
лось доказать.
84---------------------------------------------------------
Все двугранные углы при основании четырехугольной пирамиды
равны между собой. Высота пирамиды равна 12 м, а периметр и пло-
щадь основания равны 18 м и 120 м1. Найдите площадь боковой по-
верхности пирамиды.
Решение.
1) По условию задачи все двугранные углы при пира-
миды равны, следовательно, ее высота МО проходит через 
окружности,  в основание, а все высоты боковых
, проведенные к сторонам основания, между собой.
Поэтому если h — высота боковой грани, проведенная из вершины М, то
62
S« - - AB • h + -____• h +__________+
бок 2	2----
+----------- j (AB + -------------)Л -
=____P •____
OCH
2)Пусть MH1AB, тогда OH_________AB
(по теореме о  перпен-
дикулярах), а значит, ОН — радиус
, вписанной в четы-
рехугольник 
3) Площадь 5 многоугольника, его
периметр Р и радиус г вписанной в
многоугольник окружности связаны
1
= -____•____, следовательно,
2
:___- 2 • 120 : _________см.
формулой S
г«2_______
4) В прямоугольном треугольнике МОН МН — Л « ^ОН2-ь___________-
j + 122 =(м). Следовательно, S * =--•в(м*).
Ответ.___________________________
85
Сторона основания правильной тре-
угольной пирамиды равна 6 м, а боковое
ребро — 4 м. Найдите:
а)	площадь боковой поверхности пи-
рамиды;
б)	высоту пирамиды;
в)	площадь сечения, проходящего че-
рез боковое ребро и высоту пирамиды;
г)	площадь сечения, проходящего через
сторону основания перпендикулярно
к противолежащему боковому ребру.
Решение.
а)	Площадь боковой поверхности правильной 
равна  произведения периметра 
на___________________
Апофемой правильной пирамиды называется  боковой
грани, проведенная из пирамиды. Все боковые ребра
правильной пирамиды  друг другу, поэтому высота МН
треугольника является и ее, т. е. ВН ж
63
В прямоугольном треугольник? МНС МН ^М('2—_______-З2 -
J “------(М). Поэтому• мн =	•-----ВС • ----
=  -(М ).
б)	Проведем высоту МО пирамиды. Так как пирамида
, то точка О —  основания, и, следо-
1	v3 6v3
вательно. ОН -__АН - - ВС • --- ________(м).
3	____ ____
В прямоугольном треугольнике МОН МО — JmH2—	-
= 7	- G3H - 72Z -____(м).
в)	Пусть плоскость сечения проходит через ребро МА и
высоту пирамиды. Тогда она пересекает плоскость основания по пря-
мой , а ребро ВС — в его середине — точке__Следовательно,
пересечением плоскости АМН и грани ВМС служит отрезок
Поскольку МО ± АВС, то МО____АН ( прямой,
перпендикулярной к плоскости).
Итак. StVH ~-АН--______• ЗТЗ--(м2).
г)	Пусть искомое сечение содержит ребро АВ и перпендикулярно к
боковому МС. Тогда прямая МС перпендикулярна к линии
пересечения секущей  и грани ВМС. Итак, проведем
высоту ВТ треугольника ВМС и соединим точки Г и А отрезком (вы-
полните построения). Так как АС_ВС и Z АСМ_Z ВСМ (пирами-
да ), то Д ACT А(по сторонам
и между ними). Следовательно, Z АТС я Z— 90°.
Итак, МС____ВТ и МС________АТ, поэтому плоскость АВТ
 к ребру МС, т. е. треугольник —
искомое сечение пирамиды. Из равенства ДАСТ = 
следует, что АТ_ВТ, а потому медиана ТК треугольника АВТ
является и , т. е. ТК J Следовательно,
Ь’ т - -• _• ТК.
ACT Q
z 1
В прямоугольном треугольнике ВКТ ВК =_АВ =-•_=___ (м),
КТ - yjBT2—. Найдем длину отрезка ВТ. Так как &Вмс ”
- * ВС •—МС •, то ВС = • ВТ, откуда полу-
К-МН _____^7	г-
чаем ВТ =------------— __V7 (м).
4
64
Следовательно,
Поэтому КТ =
(м ).
Sabt ~‘' g 5/3
Ответ, а) в
б) VfO =
SAMH
г) ^АВТ
86
Боковое ребро правильной шести-
угольной пирамиды равно 5 см, а сторо-
на основания — 6 см. Найдите площади
ее боковой и полной поверхностей.
Решение.
1) Площадь боковой поверхности пра-
вильной пирамиды равна произведению
----------- основания на
----------- ’ т- •• " ---------- • </’
где q МК-у ~-СК* , СК — —
= ----(см).
Итак, q	- 3^ =	___ — ____(см), Р 6 • ________  (см).
3<АЗ 3
2) S -______________+ S , где S - -------------- —- - ____________V3 (см*).
' ПОЛЯ ------------ • М	2	2	*	'
Следовательно, 5’п н —+
(см ).
Ответ. S
см .
87-------------------------------------------------------
Все ребра четырехугольной пирамиды равны между собой. Докажи-
те, что пирамида правильная.
Доказательство.
1)	Стороны четырехугольника ABCD— основания пирамиды
MABCD —  между собой, следовательно, .«тот четырех-
угольник является
2)	Боковые ребра прамиды  между собой, поэтому
около ее основания можно описать. Но ромб, впи-
санный в окружность, является, а точка О пере-
сечения диагоналей является его центром
65
3)	В треугольнике АМС ДМ______МС, ДО______ОС9 следовательно,
МО____АС. Аналогично в треугольнике BMD МО_______ BD. Поэтому от-
резок МО — к плоскости основания пира-
миды ( перпендикулярности прямой и плоскости).
Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е. 
четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с
основания, является высотой пирамиды. В соответствии с
определением пирамида , что и требовалось
доказать.
88--------------------------------------------------
Плоскость, параллельная основанию
треугольной пирамиды, делит ее высоту в
отношении 1 : 2, считая от вершины пи-
рамиды. Докажите, что эта плоскость де-
лит боковые ребра в том же отношении.
Доказательство. Так как плоско-
сти A^jCj и параллельны, то
А,В,___ АВ (____________________
параллельных плоскостей). Аналогично
BjCj__ВС, А1С1___АС и А/?,___АО.
„	МА,	МО, 1 МВ,	МА,
Поэтому --- — --- — -; ---- = --;
3 AiA	2 BjB
MCt МА
с\с ____*
ma мв1 — MOi I
Итак, -----—------“ -----=------— -, что и требовалось доказать.
zA	2
89
Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания
10 см и боковым ребром 13 см пересечена плоскостью, параллельной
основанию и проходящей через середину высоты пирамиды.
а)	Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.
б)	Найдите апофему, высоту и площадь полной поверхности усечен-
ной пирамиды.
Решение.
а)	Пусть точка Oi — середина высоты WO, плоскость а — секущая.
Так как а___АВС, то плоскость АМС пересекает плоскости АВС и а
по прямым АС и а. Проведем прямую а и обо-
66
значим точки ее пересечения с ребрами
МС и через С, и А,.
Аналогично плоскость MBD пересека-
ет плоскости АВС и а по 
 прямым и B}DX
(В, € MB, € MD). Соединим точки А,,
В,, С, и D, последовательно отрезками и
получим четырехугольник AlBxClDl — ис-
комое пирамиды.
б)	Проведем в грани МВС апофему
МН пирамиды MABCD. Тогда НгН —
 усеченной пирамиды
АВСВА^С^. Так как плоскости А1В)С1 и
АВС, то
О1Н1 ||Ио МО1 — 0,0, следова-
тельно, МНХ____Н^Н.
В треугольнике МНС катет МН =
“	- V___"5	- V “
— (см). Поэтому HtH —__________МН
”---(см).
В треугольнике МОН 0,0 —_____МО -
- 7 Jaw -	- _Ji2’-______ -
“ ___7	(см).
Площадь боковой __________________
правильной усеченной
 равна произведению  периметров
 на Периметр основания
ABCD равен_____ВС = 4 •=(см).
Найдем периметр основания AJ^C^D^.
Плоскости А1В1С1 и АВС , следовательно,
плоскость МВС пересекает их по_________________________________
прямым, т. е. В1С1___ВС. Так как МН}____HJf, то В1С1— средняя
 треугольника МВС, поэтому ВХСХ»________ВС. Следова-
тельно, периметр четырехугольника Д1В1С1£>1 равен половине
 четырехугольника ABCD, т. е. Рх = * Р или
Pj я• 40 я(см).
67
Итак, 4(Р.+----------------------------+------>’---“2------‘“
в------- (см *).
Ответ, б) Апофема пирамиды равна_____________________________см, вы-
сота — см, площадь поверхности —(см ).
3
Правильные многогранники
90
Заполните пропуски.
Точки W и W х называются симметричными относительно:
точки 4
точка А —___________
отрезки ММХ.
Точка А считается
самой себе.
если:
прямая а проходит
через ______________
отрезка V V х и
к нему.
_____________ точка
прямой а считается
самой себе.
__________________ а
проходит через 
_____________ отрезка
V/Af1 и ____________
Каждая ___________
а считается
68
91
Диагонали куба AB('DA}BXCXDX пере-
секаются в точке О. Найдите вершину,
симметричную вершине D относительно:
а) точки О;
б) прямой АС;
в) плоскости АССХ.
Решение.
а)	Точка О является 
отрезка DBe следовательно, вершины
D и  симметричны относительно
_________О.
б)	Диагонали квадрата ABCD взаимно
и делятся точкой пересечения . Следовательно, прямая
АС проходит через середину отрезка BD и 
к нему, т. е. точки D и В  относительно
_____________АС.
в)	Так как AAX_LABD, то AAj____BD (определение прямой,
 к плоскости). Кроме того, BD_АС. Таким
образом, прямая BD перпендикулярна к двум
прямым (AAj и АС) плоскости , поэтому BD_______АССХ (признак
перпендикулярности и плоскости). Прямая АС пересекает
отрезок BD в его Следовательно, плоскость ACCj проходит
через  отрезка BD и перпендикулярна к нему, поэтому
точки В и D относительно плоскости АСС х.
Ответ, а) Вершина; б) вершина; в) вершина
92-----------------------------------------------------------
Заполните пропуски:
а)	Точка называется  симметрии фигуры, если
точка фигуры относительно нее
некоторой точке той же
б)	Прямая называется осью фигуры, если каж-
дая точка фигуры симметрична нее некоторой
той же фигуры.
в)	Плоскость называется симметрии фигуры, если
относительно нее
фигуры.
69
93--------------------------------
Сколько центров, осей и плоскостей
симметрии имеет правильная четырех-
угольная пирамида?
Ответ.
У правильной четырехугольной пира-
миды нет симметрии;
---------- ось _____________________
(прямая );  плоскости
симметрии (КМН, , АМС
и___________________________________).
94
Заполните пропуски в определении правильного многогранника:
Выпуклый  называется правильным,
если  его грани — многоугольники, и в
 его  сходится одно и то же число
Докажите, что куб является правильным многогранником.
Доказательство.
Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного
, указанными в определении.
1)	Куб выпуклым многогранником.
2)	Каждая грань куба — , т. е. 
многоугольник, и все грани между собой.
3)	В вершине куба
сходится число
ребер, а именно___ребра.
Итак, у куба  все
признаки, указанные в определении
______________________ многогранника.
Следовательно, куб____
правильным ,
что и требовалось доказать.
70
96
Вершины А, С, В, и Dx куба соединены
попарно отрезками. Докажите, что много-
гранник ACBjDj является правильным.
Доказательство.
1)	Получившийся многогранник
ACBjDj — тетраэдр, а известно, что тет-
раэдр  выпуклым
многогранником.
2)	Все ребра многогранника ACBXDX яв-
ляются  граней
куба, следовательно, они 
между собой, а потому все грани много-
гранника AC'BXDX являются правильны-
ми _______________________________
3)	В каждой вершине  ACBXDX сходится
 количество , а именно _________________________________ ребра.
Итак, у тетраэдра ACBXDX все признаки правиль-
ного многогранника, следовательно, этот тетраэдр —
многогранник.
97-----------------------------------------------------------
От куба отсечены 8 тетраэдров так, что
все грани получившегося многогранни-	-------—
ка — правильные многоугольники. Явля-	/
ется ли этот многогранник правильным? ДЬ/Г -	\
Решение. Проверим наличие при-	/
знаков, указанных в определении пра-
вильного __________________________
1)	Данный многогранник
 выпуклым.	х РТ
2)	В каждой вершине сходится	;
----- число ребер
(---- ребра).
3)	Все грани — правильные  , но не все
они равны друг другу: треугольник восьмиугольнику.
С ледовательно, данный многогранник 
правильным.
71
98-----------------------------------------------------------
Запишите в таблицу значения параметров: п — число сторон грани
правильного многогранника; k — число ребер, сходящихся в одной
вершине; В — число вершин многогранника; Р — число ребер; Г — чис-
ло граней. Напишите названия многогранников. Вычислите для каж-
дого из них величину В + Г - Р.
	k-				k~	л-	
П —		в -	 г Пра ТА	, р-	, аильный тпаэлп		В- 	, Р » 	, г-	 Правильный	а  I? wk
	(четырехгранник) В+Г—Р-				(	) В+ Г —Р-		(	) В + Г — Р-	
п в		1	/			Такой правильный	Такой правильный
	В -		 Р - 	, г-	 Правильный 	 (куб) (	) В+Г—Р-				не существует	
п =		В- 	, Р- 	, г 	 (	) В + Г-Р-				Такой правильный	
					
					
72
99
а)	Дорисуйте на развертке правильного октаэдра клапаны для скле-
ивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте
модель многогранника.
б)	Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности пра-
вильного октаэдра.
Ответ, б)см2.
73

100 -------------------------------------------------------
а)	Дорисуйте на развертке правильного икосаэдра клапаны для скле-
ивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте
модель многогранника.
б)	Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности пра-
вильного икосаэдра.
Ответ, б)см2.
75

101--------------------------------------------------------
а)	Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для
склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и
склейте модель многогранника.
б)	Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности пра-
вильного додекаэдра.
Ответ. 6)см1.
77

Глава IV
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве
102
Точка М — середина ребра ВС пра-
вильного тетраэдра ЬАВС.
а)	Началом каких ненулевых векто-
ров, изображенных на рисунке, служит
точка Д?
6)	Концом каких данных ненулевых
векторов служит точка А1
в)	Как называется и обозначается век-
тор с концом и началом в точке С?
г)	Нарисуйте цветным карандашом
векторы VfC, Л/В, AM.
• — »
д)	Найдите длины векторов АВ, АС ,
МС, МВ, А W, если |ЙД | - 2.
Ответ, а) АВ, ; б) 
; в) вектор с началом и
 в точке С называется  и обозначается 
или----; .1) I АВ -_, I_____I -______
103----------------------------------------------------------
Заполните пропуски:
а)	Два ненулевых  называются коллинеарными, если
они лежат на одной  или на 
прямых (обозначение: АВ II СП).
б)	Два ненулевых ВС и КМ называются сонаправлен-
нымн, если они  и лучи ВС и  сонаправлены
(обозначение: ВС___КМ).
в)	Два ненулевых вектора СЕ и РТ называются противоположно
 , если они и лучи СЕ
и РТ направлены (обозначение:
СЕ___РТ).
79
г)	Нулевой вектор считается сонаправленным с 
вектором.
д)	Векторы называются равными, если они
и их длины, т. е. AB = CZ>, если АВ_CD и |АВ|
104
Точка О — середина диагонали ACj
параллелепипеда ABCDAxBxCxDx^ точка
М — середина ребра ААГ
1)	Используя обозначенные на рисун-
ке точки, нарисуйте векторы:
а)	коллинеарные вектору BD;
б)	сонаправленные с вектором ВА;
в)	противоположно направленные по
отношению к вектору ОМ;
г)	равные вектору СС,.
2)	Сколько векторов, равных вектору цо, можно отложить от точки О?
Ответ.
1) а>,-----,----; б), ,; в)
г)---,----,----
2) От точки О можно отложить только 
--------вектору ср.
105------------------------------------------------------------
Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX равны
—*	» ____»
3 м, 4 м и 12 м. Найдите длину векторов: а) ДС(; б) ЦД; в) д^.
Решение.
а)	Длина вектора ДС( — это длина ДСГ Отрезок АС,
является прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBlClDl, следовательно, ДС, — ^Зг4-	- J — (см),
т. е. |АС,| =см.
б)	Вектор С,А является  вектору АС,,
следовательно, их равны, т. е. |С,А| — |___________| (см).
в)	Длина вектора AtC равна  диагонали Д,С. Диагонали
прямоугольного равны, значит, |дс1 “ см.
Ответ, a) |АС,| «см; б) |С,Д| -см; в) |дут| “см.
80
Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число
106
Дан параллелепипед ABCDA Вх( \DV
1) Постройте вектор, начало и конец
которого являются вершинами паралле-
лепипеда, равный сумме векторов:
а) АА, и DC} б) DC и АА,.
2) Сравните суммы векторов ААХ+ DC
и DC+AAV
Решение.
1)	Для построения суммы 
используем правило треугольника.
а)	От конца вектора АА, — точки_— отложим вектор, рав-
ный вектору DC. Суммой векторов АА, и АХВ является вектор
(изобразите его на рисунке). Итак, АА, + DC я А А, +  в 
б)	Откладывая от конца вектора DC' вектор, равный вектору
, получаем: DC + АА= DC +-(изобразите этот вектор
на рисунке).
2)	Начала и концы полученных векторов  и  слу-
жат вершинами четырехугольника AD<\BV который является
. Следовательно, АВ, я и лучи
АВ, и сонаправлены, а значит, АВ, s DC,.
Итак, АА, + DC -  4- АА,.
107
Дан параллелепипед ABCDAXBX(\Dr
Найдни сумму векторов АВ +АА,+ AD.
Решение.
 - ► *	— —►
Первый способ. АВ + АА, + AD —
»(АВ +)4-АО (
закон). Так как грань АВВ,А, являет-
ся , то по
правилу параллелограмма получаем:
8/
AB+ЛА,-Четырехугольник ABjCjZ>— 
, следовательно, по правилу 
ABj+AD =
Итак, AB 4- AA,4- AD r‘ (+ AA,) +=+ ЛВ “ 
Второй способ. AB 4- AAX+ AD = AB 4- (AA,4-) (
 закон). Грань AAjDjD —,
следовательно, по правилу АА,4- AD =
—Четырехугольник ADXCXB — ____________________________
следовательно, по правилу ___________________________
АВ 4-АО,- 
Итак, АВ 4- АА,4- AD= (АВ 4-) 4-- АВ4- (4- AD) -
От нет. AB4-AAj4-AD— 
108--------------------------------------------------
Дан параллелепипед ABCDAjBjCjD,. Дока-
жите, что
АВ 4- СА 4- BD = A^D, 4- ВАХ 4- СХВ.
Доказательство.
1)	АВ 4- СА 4- ВО
(АВ 4- ) + BD
- (СА 4- _) + ВР
-4 BD -
2)	А ,0,4- ВА,4- С,В
-aj\+Cbax+-----)~
-AXDX+(CXB +---)
- AXDX + _ -
------+ W “
Обоснование.
_____________закон
_____________закон
 треугольника
правило ___________
_____________закон
____________ закон
____________ закон
 треугольника
правило ___________
Грань CDDjCj параллелепипеда является 
, следовательно, CD___С^. Поэтому АВ + СА +
+  я AJ\ +  4- С\В. что и требовалось доказать.
82
109
Какие векторы с концом и нача-
лом в вершинах параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX.
а)	противоположны вектору АС ;
б)	равны вектору -CD}„
в)	равны разности ААХ~АС ;
г)	равны сумме BA 4(-CZ>j);
д)	равны вектору - CD-АС 2
Решение.
а)	Два ненулевых  называются противоположными.
если их длины и они направлены.
В параллелепипеде ABCDAXB С D АС • . Противоположно на-
правлены по отношению к лучу АС лучи и
Следовательно, вектору АС противоположны векторы и 
б)	Запись CDX означает вектор, 
вектору CDX. Равными этому вектору являются векторы и
в)	Разность векторов ААХ-АС можно найти двумя способами:
1)	по определению разности двух 
2)	используя формулу а - b = а 4- (_).
1)	По определению разностью векторов А в» С
AAj и АС является такой 	/
х . сумма которого с вектором ран-	/ х*
на вектору, т. е. АС +___s	}
Значит, искомый вектор х — это вектор	Aj
, т. е. А А-АС =
2)	Используя формулу а - Ь = а 4- (), получаем: АА,-АС в
= АА,+ ( ) . Но вектор -АС — это вектор, 
векторх , т. е. вектор Поэтому \АХ~АС =
= ЛА,4= СА4«
г)	Как установлено в п. «б», -CDX —  и также -CD}-
Следовательно, ВА + ( CDX) ВЛ 4  =  (по 
треугольника). Этому вектору равны векторы ВХВ*  и
д)___Используя результаты п. и «б>, получаем: CDX - АС
«	4 (-___) -4—______________ Этот вектор равен вектору 
Ответ, а),; б).; в); г),,
------; д)--------
83
HO--------------------------------------------------
Докажите, что AB~CD —АВ + DC.
Доказательство. Используя формулу а - b •_+ (- b ) и равен-
ство -CD^DC, получаем: AB-CD^AB+ (-)= АВ +, что и
требовалось доказать.
111 ------------------------------------------------
Упростите выражение:
а)	АВ-КН + МС'-\1и~()К-,
б)	КМ -АР- РМ + СЕ-СА.
Решение.
а)	ДВ-ЯВ +-МО-ОК АВ+ВК + МС +~ОК +
+ ОМ + МС + (- ) АК +  + - АК +  + ОС -
-АО + —— ~ __
б)	КМ- АР - РМ + СЕ -_СА -КМ - РМ - __ -СА +  -
- КМ++ РА ++ СЕ - КР ++ СЕ =+“
Ответ, а); б)
112-------------------------------------------------
Даны точки К, М, Р, О. Представьте вектор КМ в виде алгебраи-
ческой суммы векторов: а) МО, КР, ОР; б) РМ, ОК, РО.
Решение.
а)	Используя равенства КМ = КР + РО + , РО *= - ,
ОМ"-, получаем: КМ" -  - 
б)	КМ-КО +  +  = -  -  + 
Ответ.
а) КМ -; б) КМ -
113
Заполните пропуски:
Произведением вектора а на k назы-
вается  Ь, такой, что |б| = |____________|’|__|, причем b И 
—►	—♦
при k 0 и &____а при к < О.
Произведением нулевого  на  число
считается вектор.
84
114----------------------------------------------------------
Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства:
а)	1 • а а ;
б)	(-1) • а я - а .
Доказательство.
Если а 0, то обе части каждого равен, тва — нулевые,
поэтому равенства справедливы. Пусть а О.
а)	По определению произведения вектор.। на 
1 •а| — |_|*|____|я|_|, а так как 1	0, то векторы 1-а и а
Следовательно, по определению
—♦	—♦
равных векторов 1 • а   а .
б)	По определению  вектора на число
<-!)• а | я | |-| | я  -| | = | а |, а так как -1   О, то
(-!)• a 11 а. Следовательно, векторы ( 1) • а и _противоположны,
т. е. (- 1) • а _ - а .
Дана треугольная пирамида МАВ( ,
МА li. MB b , МС 7.
а) Отложите от точки М вектор:
—	1	•	- 1 •	1	• 1 •
х	7	5	1/ *7 с »	2	т	Ь +т с;
2	2	2	2
-* - 1 - 1 -
т = а — b — с .
2	2
б) Отложите от точки А вектор
2*
п = — т .
з
Решение.
—► 1 —►
а) Так как х - Ь , то по определе-
нию произведения вектора на 
х ft____и | х | я_j Ь {. Отметим середину ребра МВ —точку Е, тогда
WE-_____& = х Аналогично отметим точку Н—  ребра
МС, тогда МН _____с 
z по
Так как z “2^+^_____’ то	+ __• Построим вектор
 параллелограмма. Для этого через точку Е проведем
, параллельную прямой МС, а через точку Н — прямую.
85
. По теореме  эти
. Обозначим эту точку
, следовательно,
т —
_____________________ прямой 
прямые пересекут отрезок ВС в его
буквой К. Тогда z —
1Г 1	/ 1Г 1 ч
п> а~9Ь~9 — ^о-(-Ь------------с)—первый
закон. Но - b + -__= z в МАГ, а —
2	2
т. е. МА =4- т. Поэтому т
2	2
б) Так как п - —___и —_____0, то л т и | п | =____| т |. Отло-
3	3
жим от точки А вектор п . Для этого на отрезке АК нужно отметить
-  >	——♦ —_♦
точку О так, чтобы АО “_АК. Тогда ДО“  АК “________т = л .
116-------------------------------------------------------
Упростите выражение 2(5 а - 3 с ) - 3(3 а - 2 с ).
Решение.
2(5 7--)-3(---------)-
2(5 а ) -- 3(3 а )_-
—	10а-- 9 а—
—	10 а - 9 а -  —
(10 - 9) а -  -
-	17--
Ответ.
Обоснование.
распределительный закон
__________________________закон
______________________________и
переместительный законы сложения
_________________________ закон
117--------------------------------------------------------
Докажите, что если векторы а и Ь коллинеарны и а * 0, то су-
ществует такое число Л, что Ь k а .
Доказательство. Возможны два случая: 1) а||Ь и
2) а____b. В обоих случаях векторы лежат на одной прямой или на
прямых, т. е. лежат в одной плоскости.
1)	Пусть a 1t b . Возьмем число k — • *-L Тогда |Л а | — |_| • | а | —
1о|
—	• |_| — | b |. Так как k_0, то k a |4_Следовательно, Ь_k а .
lai
Итак, для первого случая утверждение доказано.
86
2)	Пусть а 14 b . Возьмем число к * ~j--♦ Тогда |Л а | я • |_| я
=	• |__| я |_|. Так как k <_, то к а__а , и поэтому к а___b .
Итак, |б|_____|Л а | и b tt_, следовательно, b _ к а , что и тре-
бовалось доказать.
118
Векторы а и с коллинеарны, векторы b и с коллинеарны, с 0.
Докажите, что коллинеарны векторы а - 2 b и с .
Доказательство. По условию задачи векторы а и с
, причем с *________________, поэтому найдется чисто к, такое,
что а *__с (см. задание 117). Аналогично найдется число т, такое,
что b = т__
Поэтому а - 2 b = к_- 2(_с ) я k с - () с (____ -  ) с ,
т. е. вектор а -2Ь равен произведению вектора с начисли
Следовательно, по определению  вектора на число
эти векторы, что и требовалось
Докажите следующее утверждение:
Если точка М— середина отрезка АВ и точка О — произвольная
точка пространства, то ОМ = - О А + - ОВ .
Доказательство. Так как точка М—  отрезка
АВ, то векторы AM и ВМ  , т. е.
AM -, и, значит, АЛ/ + В Vя 
Для точек А, Л/ и произвольной точки О по правилу трех голышка
получаем:
дм ОА +  .	(1)
а для точек В, М и О получаем:
ОМ  + ВМ.	(2)
Сложим равенства (1) и (2):
ОМ + я ОА ++ ОВ + .
Отсюда следует:	2 ОМ = ОА 4-  +
+ AM + ВМ ~  + ОВ 4- К.
Итак, 2 ОМ я  4-  , поэтому
ОМ - , что и
требовалось доказать.
87
120
Докажите, что три отрезка, соединя-
ющие середины противоположных ребер
тетраэдра, пересекаются в одной точке и
делятся ею пополам.
Доказательство. Пусть точка
К — середина ребра AD тетраэдра ABCD,
тогда для любой X простран-
ства выполняется равенство
ХК=\ХА +__XD (см. задание 119).
Если точка М — середина ребра ВС, то
ХМ “  +Обозначим бук-
2
вой Q середину отрезка КМ, тогда
XQ 4ххД+ХМ) Д(( * ХаД
2	2	2	2 2	2
7(ХД + ХВ+-+ XD).
4
) + (-+^хс))-
Обозначим буквами Р, Т и О середины отрезков \В,  и РТ.
Тогда ХР -, ХГ-, ХО - (ХР +) =
- ^(ХА +--------)+^(-----------))= ~(ХА + ХВ+----+----------).
Обозначим буквами Е, Н и F середины отрезков BD, АС и ЕН.
Тогда получим: ХЕ =, ХЯ“,
XF-------------------=---------------------------------------=
- —(ХА ++ XD ).
Сравнив полученные выражения для векторов XQ, ХО и XF, делаем
вывод: XQ —Так как начала этих равных векторов
совпадают, то и их концы. Следовательно, сере-
дины отрезков КМ, РТ и  совпадают, т. е. эти отрезки
 в одной точке и делятся этой точкой
, что и требовалось
121 ———-----------------------------------------------------
Дано: АЛ/ kMB (A#-l).
Докажите, что:
а)	точки А, В и М лежат на одной прямой;	—	—
б)	для любой точки X пространства верно равенство ХМ =------
(задача 349 учебника).
88
Доказательство.
а)	Так как AM k, то векторы ДМ и Л/В 
(по определению вектора на число). Следовательно,
прямые ДМ и МВ либо параллельны, либо Посколь-
ку эти прямые имеют общую Л/, то они,
следовательно, точки А, В и М лежат на
б)	Возьмем произвольную точку X пространства и представим век-
торы ДМ и МВ в виде разности векторов с началом в точке X:
ДМ» ХМ-  , МВ  хм.
Подставим в исходное равенство полученные выражения:
ХМ- - k( ХВ - ), или ХМ - ХД k ХВ -
После переноса слагаемых ХД и kXM из одной части равенства
в другую получим: ХМ +  ХА 4- k, или (1 4- k)XM «=
=+ АХВ. По условию задачи k * -1 следовательно, 1 4- k _____ О.
1
Поэтому обе части  можно умножить на число । Л .
------------* ЛА +
Получим: ХМ ------—	 , что и требовалось доказать.
>3
Компланарные векторы
122
Докажите, что компланарны:
а)	любые два вектора;
б)	любые три вектора, два из которых
коллинеарны.
Доказательство.
а)	Векторы называются компланар-
ными, если при ______________________
их от одной и той же  они
будут лежать в  плоскости.
Рассмотрим два произвольных вектора
1В и ОМ. От хюбой точки пространства
отложить вектор, равный дан-
ному Отложим от точки А
вектор ДН, равный  ОМ
89
(выполните построение). Через любые
, следовательно, векторы АН
1 > ♦
, поэтому векторы ОМ и АВ
что и требовалось доказать.
б)	Рассмотрим векторы АВ, СЕ и
ОМ. два из которых, например АВ и
СЕ. коллинеарны. Отложим от точки А
вектор АН. равный  ОМ. и
вектор АК. равный вектору  (вы-
полните построение). Так как АК || АВ.
то точка К на прямой АВ.
Через прямую АВ и точку Н проходит
»  —~►
Векторы АВ. АК и
AM в этой плоскости. Сле-
довательно, данные векторы АВ,и
ОМ > что и
три точки проходит
и  лежат в одной
требовалось доказать.
123 ----------------------------------------------------
Точка О — середина диагонали BDX параллелепипеда ABCDA^CJ^.
точка К — середина ребра ССР точка М лежит на ребре ААР Найдите
на рисунке компланарные векторы.
Решение.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их
от  и той же  они будут лежать в одной
Можно сказать иначе: векторы назы-
ваются , если
имеются им векторы, лежа-
щие в плоскости.
1)	В плоскости грани ADDXAX лежат
векторы DD{,,,и
Следовательно, эти пять векторов
	Прямые ВС\ и
 параллельны, поэтому если от точ-
ки Di отложить, равный век-
90
тору ВСр то он будет лежать в грани ADDXAV Следова-
тельно, векторы DD 9	,	,	 и ВС1
2)	Векторы DjAj и DCX лежат в AJ\CV векторы DlCl
и ВА , следовательно, векторы DXAX9
DXCX и  компланарны. Прямые BD и BlD1 ,
поэтому если от точки Dx отложить, равный вектору BD,
то он будет лежать в  AXDXCV Аналогично поскольку
ОК____AjCp то вектор, равный ОК и отложенный от точки
Вр будет лежать в плоскости Следовательно, компланарны-
ми являются векторы DxAl9 ВА9 BD9 и
3)	Отрезки ВА и DXCX равны и , следовательно,
четырехугольник AB<\DX является, а потому
векторы ВА, 1\\9,и лежат в одной 
и, следовательно, компланарны.
Ответ. Компланарными являются векторы:
1) DDe ,,,и
2)^Ар------------------и---
3)	ВА, ,,и
124---------------------------------------------------
Заполните пропуски в формулировке признака компланарности трех
векторов:
Если вектор с можно  по векторам а и b , т. е.
представить в виде с — х_4-, где_____и у — некоторые числа,
то векторы а ,_и с 
125--------------------------------------------
Дано: c = 3(a-h+d)-(3d-a - b ). Докажите, что векторы а, h
и с компланарны.
Доказательство.
—*	—ф	—♦	—♦
Упростим данное равенство: с = 3(а-Ь +_)-(3d-_- b ) За-
—~ 3 d +	3 а + а - 3 & 4-" I а “
Итак, вектор с разложен по векторам а и _, следовательно,
векторы а ,_и с , что и требовалось доказать.
91
126--------------------------------------------------------
Докажите свойство компланарных
Если векторы а, b и с компланар- /	/в.
—►	—*	/ \ / 1
ны, а векторы а и b неколлинеарны,
то вектор с можно представить в виде / 1
с х а 4- у b ,
причем коэффициенты х и у определя-
ются единственным образом.
Доказательство. Отложим от произвольной точки О векторы:
ОА = а, OB = b	и ОС = с . Так как векторы а, h и с
, то векторы ОА,  и ОС лежат в одной
 (обозначим ее буквой а). Поскольку ОАв а и
О В в , то векторы О А и неколлинеарны. В каждой плоскости
пространства справедливы все аксиомы и планиметрии.
Следовательно, в плоскости а выполняется теорема: любой вектор
можно  по двум данным неколлинеарным
, причем коэффициенты разложения определяются
единственным ______________
Поэтому ОС= хОА + у, т. е. с в_______ а + у___, причем числа
х и __ определяются образом, что и
требовалось доказать.
127----------------------------------~----------------
Дан куб ABC DAXB ХС XD v Докажите, что вектор DXB можно единствен-
ным образом разложить по векторам ВАХ и ВС. Найдите коэффициенты
разложения.
Решение.
1) Прямые ВС и AXDX 
. поэтому точки Ах, В. С и_
лежат в  плоскости, а значит,
векторы ВАр  и DXB компланарны.
Кроме того, векторы ВАХ и ВС не
Следовательно, вектор РХВ 
разложить по векторам ВАХ и, при-
чем ко >ффициенты разложения определя-
ются образом.
92
2) В кубе ребра В< и A}Dl равны и , следователь-
но, четырехугольник A BCD, является .
Поэтому BDX = ВА +  (правило ).
Отсюда получаем: DXB^-BDX^ (__)ВА^ (___)ВС . т. е. коэффициенты
разложения равны -1 и___
Ответ.
________________________________разложения равны____и ___
128
Дан параллелепипед АВ( 'DAXBXCXDX\
АВ=а, ВВ,-Ь, ВС ж с . Докажите,
что справедливо равенство:
В^А + АХЪХ + АС, + СВХ 4-	+ ВС =
а 4- b 4- с .
Доказательство.
Используя законы 
векторов, преобразуем лев\ ю часть иско-
мого равенства:
В^А + A^D, + АС, 4-  4- QA, 4- ВС
- ( К + СВХ) + (------+ АС,) + ( ----- + -----)
- ВВ, 4- Врх 4-  - ВС, 4-  - BDX.
С другой стороны, диагональ BD, параллелепипеда изображает
 векторов ВА, ВВ, и , т.е. по правилу 
  ► •
 BDX^= а + _ 4- _. Отсюда следует справедли
вость искомого равенства.
129
Заполните пропуски:
Любой вектор р  разложить по трем данным
 векторам а , Ь и с , т. е. представить в
виде р — х а 4- у_4-__с , где х. у,_— некоторые числа. При этом
 разложения определяются 
образом.
93
130
Точка Л/ — середина ребра АА}
прямоугольного параллелепипеда
ABCDA}B1ClDv
а)	Выразите вектор СМ через векто-
ры а—ВА, b ВВ,, с “= ВС •
б)	Найдите длину вектора СМ, если
АВ-3, ВС 4, ВВ,-24.
Решение.
а)	По правилу _____________
СМ — СА +Так как ВС + СА —
— , то СА — ВА -— а -_______ ,
а так как точка М — середина ребра
, то AM - *___ -____BBt—_____ Ь .
Итак, СМ а - _____ + 
б)	В прямоугольном  ABCDA^B^C^j
AAt ± АВС, следовательно, AAt.LAC. В прямоугольном треугольнике
АСМ СМ2 = АС2 +но АС1 - АВ2 += З2 + = ,
AM - 7
2
Итак, СМ
Ответ.
а)	СМ = _
б)	!СМ| - _
т. е
131
Назовем медианой тетраэдра отре-
зок, соединяющий вершину тетраэдра с
точкой пересечения медиан противо-
лежащей грани.
Докажите, что все четыре медианы
тетраэдра пересекаются в одной точке и
делятся ею в отношении 3:1, считая от
вершины тетраэдра.
Доказательство.
Пусть точки Aj и В, — середины от-
резков ВС и AC, Oj и О2 — точки пергсе-
94
чения медиан граней АВС и BCD. Обозначим буквой Л/ точку на ме-
диане DOj тетраэдра, такую, что DA/ : \/О1 = 3:1, буквой К — точку
на медиане АО такую, что АК : КО* = 3:1. Докажем, что точки М и
К совпадают.
1) Так как DМ : МОХ = 3 : 1, то DM =_Л/Ор и, следовательно, для
произвольной точки X пространства выполняется равенство (см. зада-
ние 121)
1 +_
т. е.
W-JS»;-------------	(1)
2) Медианы ААХ и ВВХ треугольника  пересекаются в точке
___, поэтому ВОХ: ОХВХ = _ : 1. Следовательно, ВОХ 2, и по-
тому для точки X выполняется равенство
ХЦ =	.........- ,
1	14-__
т. е.
ХС) - ХВ + -________ .	(2)
1 3	3
3) Точка Bj —отрезка АС, поэтому ХВ1 - |(ХА +)
(см. задание 119).
I) Подставив выражение для ХВх в равенство (2), получим:
	 + 1'±(ХА+ 	)- к?А +--- + ХС).
О-------------------------------------------О £*-о
5)	Подставим теперь полученное разложение вектора ХОх по векто-
рам ХА,и ХС в равенство (1):
—*	1	3	1	1 —*	—♦
ХМ - “---- + “ ‘ т(-----------) - “(ХА + --- + ---- + ХО).
I	I	о	4
6)	Аналогично рассуждая для точки К и произвольной точки X.
получаем равенство
XX = ; (ХА + --- + ХС + -----).
4
Следовательно, точки Л/ и _совпадают, т. е. медианы DOX и АО2
тетраэдра  в точке М и делятся ею в отношении
, считая от вершин О и А соответственно.
7)	Таким же образом это утверждение доказывается и для осталь-
ных двух тетраэдра.
95
ОГЛАВЛЕНИЕ
Аксиомы стереометрии	3
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей
§ 1.	Параллельность прямых, прямой и плоскости	7
§ 2.	Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между
двумя прямыми	11
§3.	Параллельность плоскостей	17
§ 4.	Тетраэдр и параллелепипед	19
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1.	Перпендикулярность прямой и плоскости	37
§ 2.	Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и
плоскостью	42
§ 3.	Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей	4 7
Глава III. Многогранники
§ 1.	Понятие многогранника. Призма	51
§ 2.	Пирамида	59
§ 3.	Правильные многогранники	68
Глава IV. Векторы в пространстве
§ 1.	Понятие вектора в пространстве	79
§ 2.	Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 81
§ 3.	Координаты вектора	89
____0S_____
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
И вдательство «Просвещения»
127521, Мое-ва,
3 и проезд Марьиной рощи 41
Тел (495)789-3040
Фа<с (495)789 3041
е mail prosverpr osv ru
www.prosv.ru
Выпускаем
► Учебники
►	Методическую литературу
►	Научно-познавательную литературу
►	Словари и справочную литературу
►	Hat дяди ы с пособия и карты
►	Учебные мультимедийные пособия
Обучаем
Интернет-шкочд Просвещение ги»
125315, Москва, v ч. Ьачтийская, 14
Тел. (495) 155 4403, 729 3522, "г29 3533
I -maikotfici a interne t-schcxil.ru
Представляем
На сайте издательства для наших
партнеров, учителей и родителей
► Клталог выпчскасмой продукции
► Методические пособия, презентации,
программы повышения квачификапии, поурочные
разработки, яудиокурсы mp3
► Информационно-пубчицистическии
бюллетень «Просвещение*
► Форчмы Просвещение -('прашивайте!
Отвечаем’-
►	Ссы чки на < браз< >ва ге чьиые шпернет-ресурсы
► Адреса репюначьных книююрювых структур
Пршлашасм к сотрудничеству
►	У чредечсния чопочнитс чыюго педали ичсского
 бразования и библиотеки с печью проведения
авторских и методических семинаров
►	Кншоторпжые структуры чля сотрчлничества
по прочвиАению литературы излатс чьства
Иитярмет-ыагазим Umlit ru
Досгмял почтой по России курьером по Мосяее
129075, Моемы, ул Калибровская 31А
ООО «Абрис Д»
Тел (495)981 1039
е mail zakazo umlit ru
www umlit ru