ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЦНИИСК)
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ГОССТРОИИЗДАТ Mooai — 19 5 8


ОПЕЧАТКИ
Стра¬
ница
Строка
Напечатано
Следует читать
По вине
38
Формула 6,27)
£
г'
Автора
70
Формула 14,42)
FHз
Fh2
79
Формула 17,1)
кр
113
3 сверху
14,63, 14,64)
14,53, 14,54)
167
15 снизу
появления деформаций
появления пластических деформаций
170
2 сверху
Ох и Оу
Ох и Оу
Типографии
173
18
т, т~
тх, ту
195
11 снизу
и °-2
196
Формула 50,2)
о' 0
а' 0
Автора


АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЦНИИСК)
ГЕММЕРЛИНГ А. В.
канд. техн. наук, доцент
НЕСУЩАЯ
СПОСОБНОСТЬ
СТЕРЖНЕВЫХ
СТАЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ
Москва — 1958


В книге излагается теория расчета стержневых стальных конструкций и их элементов в упруго-пластической стадии. Многие решения доведены до конечных формул и графиков.
Книга предназначена для инженеров-проектировщи- ков, аспирантов и научных работников.
Геммерлинг А. В.
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
*
Госстройиздат Москва, Третьяковский проезд. д. /
*
Редактор издательства Я. А, Егорова Технический редактор Л. М. Токер
Сдано в набор 2VII 1957 г. Подписано к печати 6II 1958 г.
Т-00184. Бум. 60x92VJe-6,76-бум. л. 13.5 печ, л. 14,2 уч.-изд. л. Изд. 2 VIII-2639. Зак. 559. Тираж 2 500 экз. Цена 9 р. 95 к.
Переплет 1 р.
Типография И Управления Полиграфической Промышленности Ленсовнархоза. Ленинград, ул. Марата, 68


ПРЕДИСЛОВИЕ
В монографии изложены вопросы расчета стержневых стальных конструкций, работающих в упруго-пластической стадии.
Большинство таких конструкций фермы, рамы, мачты, башни и т. д. имеют сжато-изогнутые, стержни, которые оказывают решающее влияние на поведение конструкций под нагрузкой и на их несущую способность, поэтому теоретическому и экспериментальному исследованиям таких стержней уделено в книге, значительное место.
Для расчета как отдельных стержней, так и целых конструкций введено понятие о двух расчетных сечениях, благодаря которому все расчеты конструкций, находящихся в упруго-пластической стадии, сводятся к расчету упругих конструкций, что позволяет использовать все известные теоретические методы.
Расчетных сечений два. Первое определяется величинами секущих модулей с диаграммы работы материала и входит в расчеты на прочность и деформативность. Второе определяется величинами касательных модулей и входит в расчеты на устойчивость.
Такое разделение позволило вскрыть ряд существенных закономерностей в работе конструкций и значительно упростить их расчет. Так, расчет на устойчивость всех сжатых и сжато-изогнутых стержней любых гибкостей может производиться по обобщенной формуле Эйлера, в которую подставляется момент инерции второго расчетного сечения, ограничивающегося для стальных стержней упругим ядром.
Такой расчет является приближенным, однако критические нагрузки, определенные этим методом, хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для упрощения расчета даны вспомогательные формулы и графики.
3


Расчетные формулы весьма просты и могут быть учтены при дальнейшей разработке Норм и Технических условий проектирования стальных конструкций.
Применение двух расчетных сечений позволило дать теоретическое решение задачи устойчивости стержней при косом продольном изгибе и при изгибно-крутильных деформациях, сквозных стержней, ферм, рам и других конструкций, а также исследовать влияние начальных искривлений и собственных напряжений на поведение конструкций и их несущую способность.
Многие из рассматриваемых задач доведены до конечных формул, что позволит использовать их в практических расчетах, обеспечит повышение равнопрочносги стальных конструкций и приведет к экономии стали.
Являясь совершенно общим, указанный метод может быть использован для разработки методики расчета конструкций из других материалов, в частности железобетонных и деревянных.
Директор ЦНИИСК член президиума АСиА В. Н. НАСОНОВ


ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Данная монография является обобщением работ автора, начатых еще в довоенные годы в Управлении строительства Дворца Советов. Особое развитие эти работы получили, начиная с 1948 п в ЦНИПСе.
При проведении этих работ большую помощь автору оказали сотрудники лаборатории и его аспиранты.
Н. И. Климов в своей диссертации, выполненной под руководством автора, провел испытание опытных стержней из стали марки НЛ-2 и детально исследовал механические свойства самой этой стали; аспирант Н. Л. Онищик выполнила расчеты по тавровым стержням и сквозным стержням с тавровыми поясами см. гл. VII—VIII пп. 29 и 31; аспирант Б. Г. Бажанов выполнил сравнительные расчеты внецентренно сжатых стержней по методу автора и по НиТУ 121-55. Большую помощь оказал автору аспирант Г. Е. Вельский, выполнивший значительное количество примеров расчета по учету собственных напряжений, по сквозным стержням, по косому продольному изгибу и т. д. По результатам его исследований составлены пп. 35, 36, 45 к главам IX, XI. В течение всего времени работал с автором инж. Б. И. Оськин, активно и творчески участвовавший во всех многообразных испытаниях, в обработке их результатов, в выполнении большого количества вычислительных работ.
При проведении всего исследования в ЦНИПСе автор пользовался помощью и вниманием коллектива лаборатории стальных конструкций ЦНИПСа, возглавляемого В. А. Балдииым.
Профессора А. А. Уманский и Д. В. Бычков взяли на себя труд просмотреть монографию и внесли ряд ценных замечаний, учтенных автором При подготовке рукописи к опубликованию.
Всем им автор выражает свою глубокую благодарность.


ВВЕДЕНИЕ
Основные размеры конструкций определяются из их расчета, вследствие чего правильность и точность расчета в весьма большой степени влияют на их надежность и экономичность.
Расчет конструкции является тем более правильным и точным, чем правильнее он оценивает ее действительное поведение под нагрузкой на всех этапах ее существования.
В процессе нагружения и эксплуатации конструкции изменяются не только силовые воздействия, но и сама конструкция и ее материал также претерпевают те Или иные изменения. Это может быть: развитие пластических деформаций, релаксация собственных напряжений, развитие местных или общих искривлений, потеря устойчивости отдельными элементами, развитие трещин, изменение свойств материала во времени и многие другие изменения.
Точность и полнота учета всей совокупности этих изменений определяют качество расчета.
Каждая конструкция должна отвечать многим требованиям, вытекающим из ее назначения и условий ее эксплуатации. Одним из наиболее важных требований является надежность конструкции, т. е. ее способность воспринимать все действующие на нее нагрузки. В этих условиях несущая способность конструкции становится одной из наиболее важных ее характеристик.
Под несущей способностью понимается та наибольшая нагрузка или совокупность нагрузок, которая может быть воспринята конструкцией.
Как правило, несущая способность конструкции полностью не используется — имеется какой-то коэффициент запаса или группа других коэффициентов, обеспечивающие существование конструкции при нагрузках, ие приводящих к исчерпанию ее несущей способности. В ряде случаев, кроме того, имеются определенные требования к величинам тех или иных деформаций; эти требования еще более отдаляют эксплуатационные нагрузки от исчерпания несущей способности. Тем не менее правильное определение несущей способности конструкции в значительной степени определяет ее надежность и экономичность.
Действительно, зная ее достаточно точно, можно не опасаться больших деформаций или отдельных местных повреждений элемен-
б


тов трещин, местной потери устойчивости и за счет этого достигать более экономичных решений.
При действии статических нагрузок несущая способность конструкции определяется ее прочностью или устойчивостью.
В первом случае это отвечает достижению такого состояния, при котором увеличение внешней нагрузки невозможно из-за того, что элементы конструкции, способные ее воспринимать, имеют хоть в одном своем сечении напряжения, равные предельным предел прочности для хрупких материалов или предел текучести для пластичных В этом состоянии происходит либо разрушение конструкции, либо нарастание ее деформаций без увеличения нагрузки.
Во втором случае это отвечает потере устойчивости конструкции, что также обычно сопровождается сильным развитием деформаций. Таким образом, значительное развитие деформаций, как правило, сопровождает всякое исчерпание несущей способности, однако само по себе при сохранении прочности и устойчивости конструкции не характеризует исчерпания ее несущей способности.
Исчерпание прочности конструкции возможно, как правило, лишь в тех случаях, когда форма деформирования ее совершенно устойчива либо в силу самого характера ее работы, либо в силу определенного соотношения размеров ее элементов. Во всех же остальных случаях исчерпание несущей способности наступает из-за потери устойчивости в том или ином виде.
Несмотря на сказанное, класс строительных конструкций, несущая способность которых определяется из расчета на прочность, достаточно широк. Сюда относятся все растянутые и большинство растянуто-изогнутых Элементов, очень многие элементы, работающие на изгиб, на кручение; на сдвиг и т. д. Многие из таких элементов достаточно массивны, поэтому в упругой стадии напряжения в их поперечных сечениях сравнительно мало отличаются от определенных по основным формулам сопротивления материалов. Это привело к тому, что нормальные напряжения в поперечных сечениях элементов, работающих на продольную силу и изгибающий момент, в большинстве случаев считаются распределенными по закону плоскости. Отклонения от этого закона обычно учитываются только в упруго-пластической стадии работы.
В то же время в авиа- и судостроении, где часто применяются конструкции, имеющие пластинки, подкрепленные профилями, широко применяется метод расчета по редукционным коэффициентам, позволяющий учитывать разную отпорность различных элементов. Этот метод был бы целесообразен и в расчете некоторых строительных конструкций, в частности стальных с тонкими сжатыми листами. В данной работе получены формулы для такого расчета и показано, что снижение отпорности отдельных элементов оценивается величиною секущего модуля с диаграммы сжатия.
Значительно большие трудности представляет обычно расчет конструкций, несущая способность которых обусловливается их потерей устойчивости. Потеря устойчивости в том или ином виде возможна во всех конструкциях, имеющих сжатые элементы. Сюда
7


относятся все более или менее гибкие сжатые стержни и пластинки, изогнутые балки, сжато-изогнутые стержни, многие оболочки я т. д. Такие элементы входят во многие конструкции поэтому их устойчивость являлась предметом многих исследовании, и литература посвященная этим вопросам, чрезвычайно обширна.
В данной работе рассматриваются только стержневые конструкции. Многие из них, как фермы, рамы, башни и т. д., имеют различные сжатые и сжато-изогнутые стержни, поведение которых •под нагрузкой в значительной степени определяет поведение и несущую способность всей конструкции. В силу этого исследованию таких стержней уделено большое внимание.
В литературе имеется довольно четкое разделение таких стержней на центрально сжатые и сжато-изогнутые. Следует сказать, что разделение это недостаточно обосновано, так как центрально сжатый стержень является абстракцией, а все действительные сжатые стержни, за исключением весьма коротких, к критическому состоянию подходят как сжато-изогнутые и поэтому не имеют принципиального отличия от сжато-изогнутых с начала нагружения.
Тем не менее изучение центрально сжатых стержней выявило ряд закономерностей, представляющих несомненный интерес.
Первое серьезное теоретическое исследование упругого центрально-сжатого стержня было сделано JI. Эйлером 41 в 1744 г., который получил свою известную формулу для определения критической сжимающей силы, названной им силой колонны,
.т tOEJ Нэ *
Эйлер отмечал, что при сжимающей силе, меньшей силы колонны, стержень не может искривиться, а при превышении ее искривление становится неизбежным.
В связи со значительным расширением строительства в XIX в. проводились многочисленные экспериментальные исследования центрально сжатых стержней — деревянных,, стальных, из литого железа. Эти исследования не подтвердили формулы Эйлера, особенно для стержней средних и малых гибкостей. На основе этих испытаний появился ряд эмпирических формул Шварца — Рен- кина и др С методической точки зрения эти испытания были недостаточно строгими.
Ряд аварий крупных инженерных сооружений, особенно мостов, показал недостаточность знаний о работе сжатых стержней и вызвал серию более строгих экспериментальных исследований Баушингера, Тетмайера, Консидера. Эти исследования подтвердили справедливость формулы Эйлера для гибких стержней и позволили предложить более обоснованные эмпирические формулы для расчета стержней средних и малых гибкостей.
К этому времени стало ясно, что формула Эйлера справедлива лишь для стержней, материал которых к моменту достижения
8


критического состояния находится в упругом состоянии точнее, напряжения не превосходят предела пропорциональности.
Первая попытка распространить решение Эйлера на область упруго-пластических деформаций была сделана в 1889 г. Эигеесе- ром 49J, предложившим заменить в формуле Эйлера модуль упругости Е величиною касательного модуля Ек, определенного с диаграммы сжатия материала стержня при напряжении, равном напряжению осевого сжатия в нем.
В 1893 г. Ф. С. Ясинский 42 указал на неправильность введения касательного модуля для всего сечения, так как при искривлении на выпуклой стороне стержня происходит разгрузка материала, при которой должен быть справедлив модуль упругости Е.
Идеи Эигессера и Ясинского были развиты Т. Карманом, проведшим также серию весьма тщательных экспериментов.
В результате этих исследований появилась известная формула Энгессера — Ясинско,го — Кармана, подобная формуле Эйлера, но содержащая вместо модуля упругости Е приведенный модуль Е\
Многие эксперименты, проводящиеся вплоть до настоящего -времени, подтверждают достаточную справедливость этой формулы; в то же время другие исследователи получают несколько отличные данные. Такое положение, на наш взгляд, объясняется известной условностью испытаний стержней на центральное сжатие, так как все действительные стержни, как бы тщательно они ни были изготовлены и отцентрированы, всегда работают как сжато-изогнутые. Различия в величинах отклонений от идеальной схемы зависят от многих причин и, конечно, различны в разных испытаниях. Это и объясняет различные результаты, получаемые разными исследователями.
Наличие расхождений между экспериментальными данными и теоретическими., получаемыми по. формуле Энгессера — Ясинского — Кармана, приводит к появлению ряда новых предложений.
В 1947 г. Щенли 63, 64 на модели Ридера стержень с двумя шарнирно закрепленными концами представляется в виде двух абсолютно жестких стержней, соединенных в середине двумя бесконечно малыми стерженьками из материала действительного стержня показал, что при центральном сжатии состояние стержня с искривленной осью становится возможным после достижения сжимающей силой величины энгессеровой силы определенной по касательному модулю, а сжимающей силе из формулы Энгессера — Ясинского — Кармана отвечает бесконечное нарастание прогибов.
В 1951 г. Ю. Н. Работнов 32 такой же результат получил для стержня прямоугольного сечения из материала с линейным упрочнением.
В 1954 г. Я. Г. Пановко 28 показал на модели Ридера, что при материале с линейным упрочнением сжимающая сила, при ко¬
9


торой возможны бесконечно большие прогибы, меньше определенной по формуле Энгессера — Ясинского — Кармана и приближается к энгессеровской силе при снижении предела пропорциональности материала.
Это предложение, получившее в литературе название метод Энгессера — Шенли, может претендовать на справедливость лишь при условии непрерывного возрастания сжимающей силы в момент достижения стержнем критического состояния. Сам стержень при этом должен испытывать напряженное состояние, весьма близкое к центральному сжатию. Одновременное соблюдение обоих этих условий в сжатых элементах строительных конструкций может рассматриваться как весьма редкое если не совсем исключенное, положение, так как при подходе к критическому состоянию все сжатые стержни имеют существенные искривления.
Вторым случаем, когда метод Энгессера — Шенли мог бы претендовать на справедливость, является случай медленного снижения напряжений сжатия в начале разгрузки обжатого материала. Возможность или невозможность такого явления может быть проверена только прямыми экспериментами с различными материалами.
Если говорить только о сжатых стержнях из строительных сталей, имеющих диаграммы работы, приближающиеся к идеализированной с сильно развитой площадкой текучести, и подходящих к своему критическому состоянию всегда со значительными изгибающими моментами в средней зоне по их длине, то устойчивость их обусловливается только их упругим ядром и обе теории Энгессера — Ясинского — Кармана и Энгессера — Шенли дадут совпадающие результаты.
В 1953 и 1954 гг. М. Брошко 45, 46, основываясь на собственных испытаниях, выдвинул предложение об определении критической сжимающей силы по формуле Эйлера с подстановкой в нее вместо модуля упругости Е величины секущего модуля
Поскольку, как уже говорилось, центральное сжатие в состояниях, близких к критическому, возможно лишь в стержнях малых гибкостей, а все остальные стержни являются сжато-изогнутыми либо за счет неизбежных отклонений от идеальной схемы, либо ввиду наличия внешних изгибающих воздействий, рассмотрение таких стержней имеет значительно большее практическое значение.
Как известно, наличие изгибающих воздействий не влияет на величину критической сжимающей силы для упругого стержня, поэтому формула Эйлера справедлива и для сжато-изогнутых упругих стержней. В наиболее общем виде это было показано В. 3. Власовым 7.
Сжато-изогнутые стержни строительных конструкций всегда теряют устойчивость после появления в них пластических деформаций. Для определения глубины пластической зоны необходимо знать величину изгибающего момента, а следовательно, и величину прогиба. В силу этого определение прогибов сжато-изогнутых стержней является практически важной задачей.
10


Общие теоретические решения, основанйые на интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оои сжато-изогнутого стержня, имеются лишь для упругих стержней и систем. Они давались в разное время рядом исследователей Ф. С. Ясинский, М. Т. Губер, А. Остенфельд, Д. Юнг, А. Н. Крылов, Н. К. Снитко и др Наиболее полно эта задача применительно к отдельным стержням и стержневым системам решена Н. В. Корноуховым 21.
На основе такого решения К- С. Завриевым была предложена его известная формула для расчета сжато-изогнутых стержней, основанная на определении критического состояния по формуле Эйлера с одновременным ограничением максимального краевого напряжения пределом текучести.
В 1952 г. П. Ф. Дроздов 17 дал развитие этого метода на стержни с любыми концевыми эксцентриситетами.
Стремление к более полному использованию несущей способности сжато-изогнутых стержней привело за последние 20 лет к ряду теоретических исследований внецентренно сжатых стержней, работающих в упруго-пластической стадии.
Е. Хвалла 47 положил в основу своего решения экспериментальную диаграмму работы материала. Приняв гипотезу плоских сечений, он графоаналитическим методом находит форму искривления оси и определяет критическую сжимающую силу как максимальную на диаграмме нагрузка — прогиб, т. е. методом предельного равновесия.
Справедливость полученного решения не вызывает сомнений, однако его громоздкость практически исключает возможность его применения и не оправдана приближенностью исходной диаграммы.
К. Ежек 53 упростил это решение, приняв идеализированную упруго-пластическую диаграмму. Это дало возможность получить теоретическое решение для различных напряженных состояний стержня.
Однако полученные формулы также оказались достаточно громоздкими, и для упрощения их Ежек принял форму изогнутой оси по полуволне синусоиды.
Переходя к предельному случаю центрального сжатия, Ежек •получил зависимость критических напряжений от гибкости в виде гиперболы Эйлера и горизонтальной прямой на уровне предела текучести. Для практических расчетов он рекомендует рассматривать центрально-сжатые стержни как внецентренно сжатые с небольшим эксцентриситетом порядка 0,1 ядрового расстояния.
Близки к указанным также работы И. Фриче и М. Роша.
У нас, в Советском Союзе, экспериментальными и теоретическими исследованиями устойчивости в плоскости изгиба сжатоизогнутых стержней длительное время занимались В. В. Пинаджян и автор данной работы.
В. В. Пинаджян обобщил свои исследования в монографии 29, в которой рассмотрены внецентренно сжатые и сжато-изогнутые стержни из материала, подчиняющегося идеализированной диа¬
11


грамме с линейным упрочнением рис. 1. Напряжения в догружаемой и разгружаемой зонах сечения принимаются по диаграмме
напряжение — деформация. t-.t-.t-t
Получив в общем виде решение этой задачи, В. В. Пинаджян вводит упрощения — изогнутая ось стержня принимается в виде полуволны синусоиды и линейное упрочнение считается отсутствующим идеализированная упруго-пластическая диаграмма Прандтля. Это позволяет существенно упростить весьма громоздкие формулы и представить их в таком виде, что форма поперечного сечения стержня и характер напряженного состояния в среднем сечении оцениваются лишь одним коэффициентом у. Проанализировав изменение этого коэффициента для стержней наиболее часто встречающихся типов, В. В. Пинаджян приходит к выводу, что его выражение может быть принято линейно зависящим от гибкости стержня
Х А оо ;
Рис. 1. Идеализированная
упруго-пластическая с ли- , , л г. *
нейным упрочнением диа- коэффициенты А И В могут быть приня-
грамма работы материала ты постоянными для стержней с поперечными сечениями определенных типов.
Расчетная формула для определения критической гибкости принимает при этом следующий вид:
Р°т 1 — /
Построив кривые р в зависимости от величин гибкости и относительного эксцентриситета т, В. В. Пинаджян показывает, что они удовлетворительно согласуются с результатами испытаний его собственных 30, М. Роша 62, Б. Джонстона 54, Г. Ррюнин- га 51, С. Коллбруннера 59.
Предложенные В. В. Пинаджяном коэффициенты для учета формы поперечного сечения дают результаты, согласующиеся с опытом лучше, чем коэффициенты Ф. Блейха 44, и были принятые небольшими уточнениями при составлении действующих Норм и Технических условий проектирования стальных конструкций НиТУ 121-55.
Исследования автора, частично опубликованные ранее 8— 11, обобщаются, как указано в предисловии, в данной монографии. При исследовании принято, что материал стержня имеет криволинейную диаграмму напряжения — деформации.
Показано, что критическая сжимающая сила любого сжатого или сжато-изогнутого стержня определяется его отпорностью отклонениям от достигнутого состояния равновесия. Эта опорность для упругого стержня определяется его жесткостью на изгиб EJ и
12


критическая сила для такого стержня находится по формуле Эйлера.
В упруго-пластической стадии отпорность может быть определена по касательным модулям в догружающейся части сечения и модулем Е в разгружающейся. Таким образом, для предельного случая центрального сжатия справедлива формула Энгессера — Ясинского — Кармана. Для сжато-изогнутых стержней величина отпорности определяется так же, однако для этого требуется знать действительное напряженное состояние в сечениях стержня, которое переменно по его длине.
Действительное напряженнное состояние в сечениях сжато-изогнутого стержня может быть определено только с учетем его прогибов. В упруго-пластической стадии при распределении нормальных напряжений по сечению по криволинейной эпюре расчет можно вести по некоторым расчетным сечениям, полученным из действительных умножением каждой элементарной площадки на относительный секущий модуль, взятый с диаграммы работы для соответствующего напряжения. Такое расчетное сечение названо первым и служит для определения напряжений в сечениях и прогибов стержня,
Имея напряженное состояние, можно найти втор ое расчетное сечение, отличающееся от первого тем, что каждая элементарная площадка действительного сечения умножается на относительный касательный модуль.
Вторые расчетные сечения определяют отпорность стержня отклонениям от достигнутого состояния равновесия и, следовательно, его устойчивость.
Для стальных стержней диаграмма работы может быть принята идеализированной упруго-пластической. В этом случае второе расчетное сечение ограничивается упругим ядром.
В соответствии с непрерывно изменяющимся в процессе нагружения напряженным состоянием стержня оба расчетных сечения также непрерывно изменяются с ростом нагрузки, что дает возможность учесть нелинейный характер деформирования сжато-изогнутых стержней.
Для практических расчетов сжато-изогнутых стержней изогнутая ось стержня может быть принята в виде полуволны синусоиды, чему отвечает постоянная жесткость по всей длине. Сравнительные подсчеты показывает, что такую жесткость можно определять по' среднему сечению стержня. При этих допущениях критическая сжимающая сила для всех сжатых и сжато-изогнутых стержней определяется по формуле Эйлера с подстановкой в нее момента инерции второго расчетного сечения для среднего сечения стержня. Для стальных стержней это значит момент инерции упругого ядра.
Сравнение результатов расчета таким методом с экспериментальными данными дало во всех случаях расхождение менее 10.
Все расчетные формулы выведены для обобщенного сечения в
13


виде трехтавра, из которого отбрасыванием отдельных полок могут быть получены все наиболее распространенные сечения двутавр, тавр, крест, прямоугольник и т. д..
Общность полученного метода позволила применить его к решению ряда более сложных задач: к определению несущей способности стержней с собственными напряжениями, сквозных сжатых и сжато-изогнутых стержней, к расчету стержней, работающих на сжатие и изгиб в двух плоскостях, но не имеющих крутильных деформаций, а также наметить общее решение задачи о пространственной устойчивости сжато-изогнутых стержней при изгибно-кру- тильных деформациях в упруго-пластической стадии.
Ряд полученных решений сопоставлен с экспериментальными данными, и показано, что данный приближенный метод расчета дает достаточно хорошую точность.
Предлагаемый метод позволяет рассчитывать не только отдельные стержни, но и целые конструкции — фермы, рамы и др., учитывая различные факторы, наиболее сильно влияющие на их поведение под нагрузкой и на их несущую способность. В разных конструкциях эти факторы различны — начальные искривления, собственные напряжения и т. д., различно и влияние их на отдельные стержни. Дифференцированный подход к учету таких факторов позволит повысить равнопрочность конструкций и даст существенный экономический эффект.
Удобство метода состоит в том, что расчет на устойчивость конструкций, работающих в упруго-пластической стадии, сводится к расчету упругих систем, имеющих жесткости, определяемые вторыми расчетными сечениями. Это позволяет использовать хорошо разработанные методы теории устойчивости упругих систем. Так, расчет сжатых и сжато-изогнутых стержней на устойчивость при из- гибных деформациях производится по обобщенной формуле Эйлера, расчет на устойчивость при изгибно-крутильных деформациях— по обобщенной формуле Власова, расчет рам—методами расчета упругих рам и т. д.
Следует сказать, что идея единого метода расчета как центрально, так и внецентренно сжатых стержней в упруго-пластической стадии в 1955 г. выдвинута также Р. Кеттером 57, предложившим во всех случаях условие для определения критической силы записывать в виде равенства приращений моментов внешних и внутренних сил. Допущения Кеттера совпадают с допущениями автора, поэтому он также приходит к обобщенной формуле Эйлера.


Глава I
м
N
Hbf
Vo
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАБОТЫ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
1. Упругий сжато-изогнутый стержень
В первой стадии работы, до тех пор пока нагрузки не достигли определенных пределов, всякий сжато-изогнутый стержень работает в упругой стадии, поэтому закономерности, присущие этой стадии, не могут не представлять интере- г
са. Кроме того, эти закономерности имеют определенное значение также и для N анализа поведения сжато-изогнутого стержня в упруго-пластической стадии его работы.
В связи с этим рассмотрим упругий 0ж стержень, нагруженный сжимающей си- — лой N и концевыми изгибающими моментами М0 и Mi рис. 2.
Будем считать, что возможны перемещения опор стержня в направлении, перпендикулярном его оси на величины Vo и ii. ML
Обозначим опорную реакцию на опоре z0 через Qo- Изгибающий момент в произвольном сечении, удаленном на расстоянии z от нижнего конца, ра- вен
Mg М0 4- Q0 N vg— vQ, 1,1)
и дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет следующий вид:
EJv-Mt. 1,2)
Подставив сюда выражение М: из 1,1 и разделив все уравнение на EJ, получим
N
vfl
N
Рис. 2. Схема сжато-изогнутого стержня
1,3)
15


где mi— лйЬ ?
Решение уравнения 1,2 записывается в следующем виде:
Т sin А — г 1-г , Гп£ £.1 ,
,яо--шы Г“ 4slnW 1\
®i -f о -г- ■ 0-5)
Изгибающий момент в сечении z
Мг —EJv AiN cos kz sin kz 1,6)
или
м,-м1а-м1. d,7)
Поперечная сила в сечении z
Qg dz aN Sin kz A2kN cos kz. 1,8)
Максимум изгибающего момента будет в сечении zm, для которого Qz 0. Приравняв нулю правую часть выражения 1,8, получим
tyfcz А ту - т0 cos kl п g\
tg — m0 sin kl V W
Определив из 1,9 значение zm и подставив его в 1,7, получим максимальное значение изгибающего момента
-Mmax flMy 1,10)
где
я ШкГ 1 Р - 2Р cos kl; 1,11)
Р Г С Д2)
Выражение 1,10 имеет смысл только в тех случаях, когда сечение с координатой zm лежит в пределах длины стержня. Это условие можно записать в следующем виде:
0 1. 1,13)
Выражение 1,9 может быть записано так:
ire Ь'У — -г U1 2т Р — COS kl i л\


Для удовлетворения условий 1,13 должны быть справедливы следующие неравенства:
О tg km tg kl. 1,15)
Подставив значения tgkzm из 1,14, умножив все члены этих неравенств на sin kl и прибавив к каждому из них cos kl, получим
Неравенства 1,16 дают значения, при которых сечение с максимальным изгибающим моментом лежит в пределах длины стерж-ня.
Как показал Н. В. Корноухов 21, стр. 90, выражение 1,7 для изгибающего момента Мг может быть представлено в иной ферме.
Раокрыв в 1,7. скобки, получим:
Мг MQ cos kz —1Sto°kCl°Skl- sin kz Am sin kz Ф 1,17 или
Мг Am sin Ф cos kz AOTcos Ф sin kz. 1Д8)
Приравняв друг к другу почленно коэффициенты при cos kz и sin kz из уравнений 1,17 и 1,18, получим два уравнения
для определения Ф и Ат:
М0 Ат sin Ф; 119)
Л™с05ф. с.20)
откуда найдем
Ф arc tg Mo’“nkl 121)
drLIS Mt — M0coskl ’ L4
Am Mmax. 1,22)
Таким образом, как это видно из уравнения 1,17, эпюра моментов сжато-изогнутого стержня, несущего лишь концевые нагрузки N, М0, Mi, во всех случаях может быть представлена отрезком синусоиды с амплитудой Ат и сдвигом фазы Ф. Амплитуда этой синусоиды Ат дает величину максимального момента, а Ф определяет величину концевого момента
М0Ат sin®. 1,23)
Второй концевой момент Ми согласно 1,17, равен:
Л-АзШФ. 1,24)
На рис. 3 представлены эпюры моментов различных сжато- ивошутых стержней. Здесь тонкой линией дана теоретическая ось, жирной линией — действительная ось стержня. Через I — обозна-
17


чена действительная длина стержня, через р— расчетная его длина, т. е. расстояние между двумя смежными точками перегиба' теоретической оси.
Эпюры а и б характерны тем, что максимальный изгибающий момент действует в одном из промежуточных сечений. Стержни с такими эпюрами иногда называют длинными.
На эпюрах виг наи-
а г большими моментами яв-
1 ляются один из конце¬
вых моментов М0 или Af,. Такие стержни называют короткими.
Возможны и более сложные эпюры изгибающих моментов, например такого типа, как д или е, имеющие по два сечения с одинаковыми по величине максимальными изгибающими моментами. Расчетная длина стер¬
жня р может быть определена из условия
kz -н.ф -- kip)
— kz Ф тг, 1,25 откуда
Мтах
Рис. 3. Схема искривления различных сжато- изогнутых стержней
Это выражение, полученное Н. В. Корноуховым 21, показывает, что расчетная длина упругого сжато-изошутого стержня, несущего лишь концевые нагрузки, определяется только жесткостью стержня на изгиб EJ и величиною сжимающей силы N, концевые же изгибающие моменты MQ и Мг на величину расчетной длины не влияют.
Из выражения 1,26 следует, что по мере роста сжимающей силы N расчетная длина уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из N. Рост сжимающей силы N возможен до тех пор, пока расчетная длина не станет'равной критической расчетной длине р, обусловленной условиями закрепления концов стержня. Из этого видно, что условие критического состояния стержня может быть записано з следующем виде:
w ' EJ
NK
1,27)
или
2EJ
к н-02 *
1,28)
18


Это условие, как известно, получается и из формулы Эйлера для центрально сжатого упругого стержня с произвольным закреплением его концов.
Таким образом, форма искривления оси сжато-изогнутого стержня с ростом сжимающей силы непрерывно изменяется, постепенно приближаясь к той, которая отвечает критическому состоянию.
Проиллюстрируем изменение характера искривления продольной оси и эпюры изгибающих моментов с ростом сжимающей силы N на примере стержня с нижним защемленным концом и верхним шарнирно закрепленным и принудительно смещенным на ограниченную величину V рис. 4.
Продифференцировав уравнение 1,5 изогнутой оси стержня, нагруженного продольной сжимающей силой N концевыми изгибающими моментами М0 иМь имеющего смещения опорных сечений v0 и vh один раз по z, получим
v' т,Л
I-
cos k I — z sin kl
Тг +
)
В рассматриваемом случае v0O тх 0.
Нижний конец стержня не может поворачиваться, поэтому граничное условие запишется в виде: при z 0; ц' 0.
Подставив эти значения в 1,29, получим
, Г cos kl , 1 I , v, Л
пк - 1ШГ -1- ir -Г °.
1,30)
Рис. 4. Стержень с одним защемленным и другим шарнирно закрепленным и смещенным концами
откуда
• — NVi sin kl
0 sin kl — klcoskl
1,31)
Имея в виду, что N можно представить в виде Nk2EJ, выражение 1,31 можно переписать в следующей, более удобной форме:
EJv' с, 1,32)
2
где
С =
кЧ2 sin kl
sin kl — kl cos kl
1,33)
Значения коэффициента С в зависимости от величины kl даны на рис. 5,
Вычислив по формулам 1,32 — 1,33 величину изгибающего момента М0 в нижнем конце стержня, весь дальнейший расчет можем вести по формуле 1,7.
19


На рис. 6 даны эпюры моментов для такого стержня ири разных значениях N. Для наглядности, на эпюрах исходная ордината
с
Рис. 5. Значения коэффициента С в зависимости
от kl
принята равной 1. Как видим, до значений kl-- 1,57, отвечает
0,25, где N3 ,
rPEJ
N,
т
'00
1.0
0.2 1
0.202 I
0.212
0.25
f
04 L
0.402 L
042
f
040
L
0594
0.615
0.66
0,78
Q7Q
Q705
0.7Q
075
1000
10.95
0.02
1_
03б
0635
0.559
H--1,59N3
I , 1 и, а и I ;
1ЩЩ N0,0625Нэ ZSN3 N0.5625N3 NN3
Рис. 6. Эпюры моментов стержня рис. 4 при разных значениях
сжимающей силы N
.аибольший изгибающий момент будет в ним дуже
:тержня. При значениях Ы1,57 максимальный момент будет у


в одном из промежуточных сечений, однако величина этого максимального момента практически не превосходит единицы, т. е. изгибающего момента М0 в нижнем опорном сечении от действия одного вынужденного смещения. Только начиная с значения hi — , максимальный момент становится более единицы, а знак изгибающего момента в нижнем конце стержня, перейдя через нуль, меняется на обратный. С дальнейшим ростом сжимающей силы изгибающие моменты как в промежуточном сечении, так и в нижнем конце стержня начинают быстро расти; появившаяся в нижнем конце точка перегиба и сечение с максимальным моме,нтом перемещаются постепенно вверх к положениям, отвечающим критическому состоянию стержня. В этом состоянии ось стержня изогнется по полутора полуволнам синусоиды с точкой перегиба в нижней трети длины и точкой максимума в верхней трети. Поскольку для исследования принято приближенное выражение для кривизны
— 'п'. то величины ординат эпюры изгибающих моментов для
критического состояния стержня не могут быть определены и на рис. 6 они показаны условно. Из рис. 6 виден характер изменения эпюры моментов стержня с ростом сжимающей силы N и постепенный подход стержня к критическому состоянию.
2. Невозможность потери устойчивости сжато-изогнутых стержней строительных конструкций в упругой стадии
В предыдущем параграфе был рассмотрен процесс деформирования оси упругих сжато-изогнутых стержней с ростом нагрузки и постепенный подход их к критическому состоянию. Теперь выясним, в каких случаях возможна потеря устойчивости сжато-изопну- тых стержней в упругой стадии.
Для решения этого вопроса необходимо определить величины деформаций таких стержней в критическом состоянии, т. е. при воздействии на них сжимающих сил, равных эйлеровым.
Воспользуемся для этого приближенным методом решения точного дифференциального уравнения изогнутой оси сжато-изогнутого стержня, изложенным в статье П. И. Семенова 36.
П. И. Семенов принимает исходное выражение для кривизны стержня в таком виде:
d2v d2v
М 1 dz ds2
COS p V>
Здесь f — угол поворота поперечного сечения при деформации;
Z; ъ —координаты точек упругой линии; s — длина ее дуги.
2!


На основании 2,1 уравнение изогнутой оси стержня записывается в виде
d2v м
ds2
Далее вводятся относительные величины — v — z — s
v—; — ; s- 2,з)
Рассматривая стержень как абсолютно упругий и пренебрегая деформациями сдвига и укорочением оси, П. И. Семенов ре¬
шает уравнение 2,2 методом последовательных -приближений, разлагая выражение квадратного корня в ряд
т,N Нулевым приближением автор называет ре-
JL-uf шение, полученное при сохранении в 2,4 только
первого члена. Первое приближение получается
при сохранении двух членов ряда, т. е.
/
/
‘-•гУ-'-Н-зг’ iw
dv ^
причем выражение оерется из нулевого приближения и т. д.
Этот метод решения применен П. И. Семеновым для определения деформаций консольного стержня, нагруженного на свободном конце вне- центренно приложенной сжимающей силои Рис. 7. Кон- рис. 7.
сольный стер- Для критического состояния стержня, т. е.
жень при действии сжимающей силы АД равной
/
/
/
/
I
I
2EJ 2,6)
4?
ч
П. И. Семенов получает в первом приближении следующее выра- жение для прогиба верхнего конца V\
,-гГ2-гЯг 2,7)
При таком искривлении стержня изгибающий момент в заделанном сечении равен 4Wi —j-
М N т, от, —— V 2 I, '
22


а максимальное краевое напряжение сжатия в этом сечении
nk , М Г 4 FL з —— 1
шах— р “аЛг1 У 2 if- 29)
Переходя от консольного стержня к стержню длиною I с двумя шарнирно закрепленными концами, нужно принять 2i , после чего из 2,9 можно получить условие упругой работы стержня в следующем виде:
тЕ
От.
2,10)
Отсюда получаем относительную величину эксцентриситета сжимающей силы при упругой работе стержня
где
А — 3 JtX2 1V 4X2 те2£ — 1)
2,11)
2,12)
На рис. 8 пунктирными линиями даны предельные эксцентриситеты ml в долях радиуса инерции i для стержней из стали марки HJI-2 зт 3 400 кгсм2 из различных прокатных профилей и при направлении эксцентриситета в плоскостях большей х—х и меньшей у—у жесткостей. Вычисления сделаны для стержней различных гибкостей X .
Аналогичные вычисления сделаны для таких же стержней из стали марки Ст. 3 с пределом текучести 2 400 касм2. На рис. 8
значения для стержней из стали марки Ст. 3 нанесены сплошными линиями.
Как видно из рис. 8, даже для стержней весьма больших гибкостей, упругая потеря устойчивости возможна лишь при очень малых эксцентриситетах сжимающей силы. Так, для двутавровых стержней гибкостью 200 из стали Ст. 3 при эксцентриситете в плоскости стенки наибольшая его величина, при которой потеря устойчивости происходит в упругой стадии,
откуда
2L 0,000568,
I 9 1
1 1 -£-0,000568-0,39 0,000221.
Следовательно, для двутавра 30 эксцентриситет не должен превышать гп 0,0066 см или должно быть
Щ
1
350000 *
23


Аналогично для такого же стержня из стали HJ1-2 получим:
Л 0,0247 см; ^
Для стержней меньших гибкостей или с иной формой поперечного сечения величины предельных эксцентриситетов будут еще меньшими.
Из этих подсчетов видно, что стержни стальных конструкций практически всегда теряют устойчивость в упруго-пластической стадии, а не в упругой.
щ
Рис. 8. Предельные эксцентриситеты ^
для стержней из стали марок Ст. 3 сплошные линии и НЛ-2 пунктирные линии)
Из формулы 2,12 видно, что упругая потеря жато-изогнутого стержня будет происходить р теКу-
ксцентриситетах, чем больше величина Я модулю
ести от а точнее, предела пропорциональности пц пругости Я. Поскольку это отношение для стали выше,
24


других материалов дерево, бетон, камень, то предельные эксцентриситеты, при которых возможна упругая потеря устойчивости сжато-изогнутых стержней из других строительных материалов, будут еще меньшими.
Все это заставляет считать, что для оценки несущей способности и поведения под нагрузкой стержневых конструкций необходимо изучение сжато-изогнутых стержней, работающих в упругопластической стадии.
Глава II
СЖАТО-ИЗОГНУТЫИ СТЕРЖЕНЬ ИЗ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
3. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня
Рассмотрим сечение 1—1 стержня, в котором действуют сжимающая сила N и изгибающий момент М см. рис. 9.
Предположим, что под действием нагрузок, вызвавших указанные усилия, стержень искривился и в рассматриваемом сечении 1—1 появились относительные деформации а, у менее сжатой кромки и г2 у более сжатой Г Форма поперечного сечения стержня
6
носительных деформаций в сечении стержня
Рис. 10, Диаграмма работы материала стержня
может быть произвольной, но примем, что имеется хотя 'бы одна ось симметрии и плоскость изгиба стержня совпадает с этой плоскостью.
Допустим, что материал стержня имеет произвольную диаграмму работы рис. 10. Положительными будем считать деформации и напряжения сжатия.
Пунктирная прямая на рис. 10 отвечает идеально упругому материалу с модулем упругости Е, равным модулю упругости ма-
1 Без нарушения общности вывода можно принять деформации на обеих кромках сжимающими.
2&


териала стержня в начале его загружения. Если модули упругости материала в начале нагружения различны для сжатия £ сж и растяжения Е р, то пунктирные прямые должны иметь разные углы наклона рсж и рр, причем
СЖ СЖ fp £р. 3,1)
Отложив на горизонтальной оси рис. 10 величины относительных деформаций и г2, можно определить величины нормальных напряжений в кромках а, и о2.
В некоторой произвольной элементарной площадке dF в сечении стержня, удаленной от его центра тяжести О на расстояние у, величины относительной деформации и нормального напряжения обозначим соответственно через г и о.
Уравнения равновесия знешннх и внутренних сил для рассматриваемого сечения могут быть записаны в следующем виде:
N fo dF-, 3,2)
F
М j yodF. 3,3)
F
Относительная деформация г может быть выражена через
краевые деформации и г2 см. рис. 9.
e.tl -LJL ,-, 3.4)
Где hx— расстояние от центра тяжести сечения до менее сжатой
кромки; h—полная высота сечения.
Нормальное напряжение о может быть представлено в та
виде:
о Есе т£е. 35)
Здесь Яс - tgpe — секущий модуль, взятый с диаграммы
6 рис. 10 для напряжения о;
Yj —относительный секущий модуль.
На основании 3,4 и 3,5 можно написать
3'6)
Подставив в уравнения 3,2 и 3,3 значение 3,6, найдем
n J 3'7)
26


ж JLpL j hiy f ^
3,8)
Из 3,7 можно 'Написать
Ц -тг- • 3,10)
ч
Все величины 3,10 являются геометрическими характеристиками первого расчетного сечения, полученного из действительного сечения путем умножения каждой элементарной площадки dF на величину относительного секущего модуля для данной площадки.
Это расчетное сечение имеет четкую физическую природу. Оно является таким сечением, все указанные геометрические характеристики которого, определяемые по обычным законам упругой стадии, дают геометрические характеристики действительного сечения, находящегося в упруго-пластической ста ди и. Таким образом, расчетное сечение эквивалентно действительному сечению, находящемуся в рассматриваемом состоянии:
— площадь расчетного сечения;
Srt — статический момент расчетного сечения относительно центральной оси действительного сечения;
— момент инерции расчетного сечения относительно той же
аГ1 — координата центра тяжести расчетного сечения относительно центра тяжести действительного сечения.
С учетом этих обозначений 3,8 и 3,9 можно переписать в следующем виде:
оси;
3.11)
3,12)
Подставив 3,12 в 3,11, найдем:
3,13)
или
3,14)
27


Выражение в скобках правой части 3,14 есть момент инео- ции расчетного сечения относительно его собственной центральной оси. Обозначим его F
Л Л — 3,15)
Выражение в левой части 3,14 есть момент внешних сил относительно центра тяжести расчетного сечения. Обозначим его
Мр М — Na.п
Расчетный момент МР учитывает дополнительный эксцентриситет 7 , возникший из-за несовпадения центров тяжести расчетного и действительного сечений. С учетом этого можно равенство
3,14 переписать в следующем виде:
316)
Кривизна оси стержня равна
ЗД7)
Подставив это значение в 3,16. получим дифференциальное уравнение изогнутой оси сжато-изогнутого стержня из упруго-пластического материала
Afp Afp, — Nva , 3,18)
где М —изгибающий момент в рассматриваемом сечении только
от поперечных нагрузок; v — прогиб оси стержня в этом же сечении.
Теперь можно формулу 3,6 привести к виду, более удобному для применения. Перепишем ее так:
а Цьрй- Г А, у ч. ЗД9)
Подставив сюда значение 3,12, получим
0 ^
или с учетом равенств 3,17 и 3,18)
3,21)
Формула 3,21 аналогична обычной двучленной формуле, для определения нормальных напряжений при действии нормальной силы N и изгибающего момента Мр сеЧе-
Здесь и - площадь и момент инерции расчетного сече
ния, у — я,—расстояние рассматриваемой точки от центра 28


учитывает отклони Коэффициент tj, стоящий перед скобкой, о глторижур неие напряжения в данной точке от того, кото- Лин1л линейному закону распределения напряжений по се- ч , е. учитывает характер диаграммы работы материала.
днако иногда для практических расчетов удобнее пользоваться иным написанием формулы 3,21.
Обозначим величину, стоящую в квадратной скобке правой части выражения 3,13, через Jn и будем считать ее условным моментом инерции сечения стержня
A 3,22)
Тогда формулу 3,13 можно переписать в следующем виде:
3,23)
Сопоставляя выражения 3,18 и 3,23, получаем
JV JL 3,24)
Jn
На основании этого формула 3,21 может быть записана так: °ч--0'-й', 3,25)
Здесь: М — изгибающий момент относительно центра тяжести, действительного сечения, a Jn—условный момент инерции, определяемый из 3,22. Практически величину момента инерции Jn удобнее определять из следующего условия:
Jn --oydF. 3.26)
F
Во многих случаях вычисления по формуле 3,26 оказываются наиболее простыми. Такая форма расчета эквивалентна на¬
ложению на сечение эпюры нормальных напряжений, чрго освобождает от необходимости вычисления секущих модулей и характеристик расчетного сечения.
4. Переменность расчетного сечения в процессе нагружения
Как показано выше, геометрические характеристики расчетного сечения стержня из упруго-пластического материала определяются формулами 3,10.
Коэффициент к представляет собой отношение секущего модуля Ес к модулю упругости материала Е. Поскольку величина секущего модуля Ес зависит от величины нормального напряжения в рассматриваемой точке сечения, то в процессе увеличения внешних нагрузок величина Ес изменяется.
29


На рис. 11 условно показаны последовательные состояния сечения сжато-изогнутого стержня , 2, 3, 4, отвечающие соответ ственно нагрузкам N; N2; Nz; NA. В каждом из этих состояний относительные деформации изменяются по высоте сечения в пределах, ограниченных витыми скобками. '
Величины коэффициентов г в процессе такого нагружения будут непрерывно уменьшаться. Так, например, для наиболее напряженной кромки сечения в состояниях 1 и 4 они соответственно равны
I I
Рис. 11. Переменность расчетного сечения в процессе
нагружения
ВС EF 1Ч
11 ас ; DP 4,1)
Совершенно очевидно, что во всех случаях
4,2)
Таким образом, величины всех геометрических характеристик
3,10 при переходе от одного состояния к другому, отвечающему
большей нагрузке, будут уменьшаться. Стержень по мере нагружения ослабляется, становится менее жестким.
Это может быть представлено и в более наглядной форме. Элементарная площадка dF может быть принята равной
dFbdy, 4,3)
ТОРДЯ , А Л\
ndF rtbdy. 4,4)
Приняв величину tjb за ширину элементарной площадки, по- ■ лучим, что прямоугольное сечение с размерами bh в упруго-пластической стадии становится эквивалентным измененному упругому сечению с переменной шириной. С ростом нагрузки форма этого
30


расчетного сечения определяется последовательно линиями 1, 2, 3, 4 рис. 11, а •
Таким образом, каждое из этих расчетных сечений характеризует не стержень как таковой, а лишь его определенное состояние.
5. Деформация стержня
При наличии продольной сжимающей силы N и поперечных нагрузок Р дифференциальное уравнение 3,18 принимает вид
EJtv -- Nv Мрг. 5,1)
Переменные коэффициенты Л,аТ зависят от формы поперечного сечения и от величин N и ЛГ„ в каждом его сечении и по- этому уравнение 5,1 может быть проинтегрировано лишь для отдельных частных случаев.
Для получения общего приближенного решения этого уравнения можно задаться формой изогнутой оси стержня. Примем изогнутую ось стержня в общем виде составленной из отрезков нескольких синусоид, имеющих каждая свою высоту и длину волны. На участках между двумя смежными по длине стержня точками перегиба форму оси примем в виде полуволны синусоиды.
Искривление оси сжато-изогнутого стержня по синусоиде может иметь место при условии постоянного сечения по длине стержня и отсутствия в сечениях между опорами поперечных нагрузок. В общем случае оба эти условия не соблюдаются. Однако обычно сжато-изогнутые стержни несут лишь концевые нагрузки. Значительное количество подсчетов, выполненных ниже, показывает, что принятие формы искривленной оси по синусоиде дает достаточную для практики точность, во всяком случае для стержней из строительной стали.
На оснований этих соображений принимаем, что искривление оси внецентренно сжатого стержня происходит по полуволне синусоиды, а момент инерции поперечного сечения на этом участке считаем постоянным и равным расчетному моменту Д в среднем, наи- более напряженном, сечении.
Рассмотрим стержень длиною I, шарнирно закрепленный на обоих концах и нагруженный сжимающими силами N, приложенными с эксцентриситетами mQ рис. 12.
В результате действия силы N в среднем сечении прогиб будет , а в промежуточном сечении z
isin-2-. 5,2)
Рис. 12. Расчетная схема стержня
31


Vr' -L sin
2 1 5,3)
В среднем сечении стержня кривизна равна
■71 ■ 2f
I 5,4)
С другой стороны, кривизна стержня в среднем геИвио„ , оыть записана в форме 3,17 днем сечении может
или, согласно 3,18,
—© -esi
Г с Л 5,5)
Л4„
®c £Л 5,6)
с учетомР3Н18Г ПРаВЬШ ЧаСТВ РаВеНС™а 5’4 и ЭД. подучим-
f Щ К — в , 5,7)
где
л/
15 5,8)
Из 5,7 можно написать
т0 — а.
f-NT 5.9)
TV “1
И
, т0 — а_
то — ач 57— 5,10)
Формулы 5,7 — 5,10 позволяют определить прогиб шарнирно закрепленного стержня из упруго-пластического материала.
Иопользуя равенство 3,24, можно все эти формулы представить в несколько ином виде, который часто более удобен для практических расчетов. Выражение 5,7 может быть записано в такой форме:
-тйг--л. 5-и)
где
N„ , 5-12)
1 При принятой системе координат прогибы стержня отрицательны. В 5,7 подставлена абсолютная величина , поэтому знак изменен на плюс.
32


Из 5,11 получаем
и
f—R 5ЛЗ)
—■ —1 N 1
nr”- 514)
1 МГ
По аналогии с этим для стержня с начальным искривлением со стрелкой в середине длины н формулы 5,13 и 5,14 будут справедливы, при подстановке в них я вместо то. Если на стержень действуют поперечные нагрузки, дающие в среднем сечении
изгибающий момент Мс, то вместо т0 нужно будет подставить -дг .
Следует отметить, что чем больше величина момента Мс по отношению к моменту Nm0, тем больший запас дает расчет по этим приближенным формулам.
Можно также получить приближенные формулы для определения сближения концов стержня в упруго-пластической стадии, принимая, что искривление его происходит по полуволне синусоиды и что расчетное поперечное сечение постоянно по длине.
Полное сближение концов стержня сложится из двух частей: из сближения за счет укорочения оси Дс и из сближения за счет искривления оси Д„.
При сделанных допущениях
Ас -- 5,15)
Величина Ди определяется из следующих соображений. Прогиб оси стержня определяется из уравнения
v sin -у- 5,16)
Продифференцировав уравнение 5,16 по z, найдем
ч -f cos -Н- 5,17)
Отсюда
i
О
Суммируя 5,15 и 5,18, получаем величину полного сближения концов стержня
N1 к Р
М-ЕГ— 5’19)
■Ч
33


6. Устойчивость внецентренно сжатого стержня в плоскости изгиба
Рассмотрим вопрос об устойчивости сжато-изогнутого стержня из упрого-пластического материала. Примем следующие дапуще ния: деформации по сечению распределяются по закону плоскости плоская форма изгиба устойчива. *
Пусть диаграмма работы материала стержня криволинейна и имеет вид, изображенный на рис. 10.
Рассмотрим деформированное состояние стержня, при котором в одном из его сечений, расположенном на расстоянии z от конца относительные деформации на кромках равны г, и е.г рис. 9.
Этим деформациям, согласно рис. 10, отвечают напряжения а и а2; эпюра напряжений в сечении дана на этом рисунке заштри- хованным участком.
Уравнения равновесия внешних и внутренних сил в этом сечении
Здесь v — прогиб стержня в рассматриваемом сечении.
Допустим теперь, что от состояния равновесия, определяемого уравнениями 6,1 и 6,2, стержень получил бесконечно малое дополнительное отклонение, при котором прогиб в этом сечении увеличился на vit а относительные деформации кромок этого сечения увеличились на г и Сжимающую силу N при этом будем
считать неизменной.
Поскольку отклонение принято бесконечно малым, напряжение в произвольной точке сечения с ординатой у увеличится на бесконечно малую величину а', равную
Здесь Ек—касательный модуль, взятый с диаграммы работы
материала рис. 10;
0— относительный касательный модуль.
Для нового состояния стержня уравнения равновесия внешних
и внутренних сил запишутся так:
6,1)
F
6,2)
а ' --е'Я.е' £ве'
de *
6,3)
где
6Д)
6,5)
р
34


MtN щ -f v ®, j о z'ydF. 6,6)
F
Вычитая из уравнений 6,5 и 6,6 соответственно уравнения 6,1 и 6,2, находим условия равновесия дополнительных сил, возникших при добавочном отклонении стержня:
z'dF 0, 6,7)
F
Nv, z'ydF. 6,8)
F
В уравнении 6,8 левая часть является дополнительным моментом внешних сил, правая часть — дополнительным моментом
внутренних сил. Если дополнительный прогиб в среднем сечении
стержня обозначить ь то уравнение 6,8 для этого сечения при¬
мет вид
Nfx o'у dF. 6,9)
F
Новое отклоненное состояние стержня будет устойчивым, если
V, f c’ydF 6,10)
F
п неустойчивым, если
.Vi f z'ydF. 6,11)
F
Следовательно, критическое значение сжимающей силы может быть определено из условия
Nfx J o'ydF. 6,12)
F
Для промежуточного сечения z в состоянии безразличного равновесия будут справедливы уравнения 6,7 и 6,8.
Величина дополнительной относительной деформации в точке у этого сечения может быть записана аналогично 3,4:
е' е; , ■-' е2 — в'. 6,13)
Дополнительное напряжение ib точке у на основании 6,3 и
6,13 равно
о' £81 е; Н'у- Ц-; 6,14)
Подставив 6,14 в 6,7 и 6,8, получим
£е2 el J
е,А
7 1 —b --у
е2 — е1
6tfE0, 6Д5)
35


Л7 е1 Г гЬ \
j к1УУ*
F
Из 6,15 получаем
6,16)
е1Л
е2-е1
т—- h —
JerfF *
F
Введем следующие обозначения:
F, JedF; S,Jjedf; у, jyedf; ав 618)
F F F
Все величины 6,18 являются геометрическими характеристиками второго расчетного сечения, полученного из действительного сечения путем умножения каждой элементарной площадки dF на величину относительного касательного модуля для данной площадки.
Второе расчетное сечение также имеет четкую физическую природу, характеризуя действительное сечение в рассматриваемом состоянии с точки зрения способности реагировать на приращение деформаций и напряжений:
FH—площадь второго расчетного сечения;
S0 — статический момент второго расчетного сечения относительно центральной оси действительного сечения;
У0—момент инерции второго расчетного сечения относительно
той же оси;
— координата центра тяжести второго расчетного сечения относительно центра тяжести действительного сечения.
С учетом этих обозначений равенства 6,16 и 6,17 можно переписать в следующем виде:
NVl 17 s. ‘А,- A, js. Л 6,19)
e‘A -f а,. 6,20)
s2 Б1
Подставив значение 6,20 в 6,19, получим
NVt EJ2, 6,21)
,-Л22)
J2 является моментом инерции второго расчетного сече сительно его собственной центральной оси.
36


Обозначим приращение кривизны стержня в сечении z при его дополнительном отклонении от положения равновесия через
т. е. дифференциальное уравнение устойчивости сжато-изогнутого стержня. В общем случае при переменной по длине стержня величине 2 z это уравнение имеет переменные коэффициенты. Поскольку уравнение 6,24 получено из условия достижения стержнем безразличного состояния равновесия, сжимающая сила N является критической для данного состояния стержня. Будем обозначать ее Лк.
Наиболее существенно в уравнении 6,24 то, что в него не входят величины поперечных нагрузок и концевых эксцентриситетов. Таким образом, ив упруго-пластической стадии уравнение устойчивости как для центрально сжатого, так и для сжато-изогнутого стержня записывается одинаково. Однако, в отличие от упругого стержня, здесь величина момента инерции второго расчетного сечения 2 зависит от характера напряженного состояния в каждом из поперечных сечений стержня, которое в свою очередь зависит от величины как сжимающей силы N, так и поперечных нагрузок. Этим и исчерпывается все различие.
Следовательно, для определения критической сжимающей силы любого сжато-изогнутого стержня, находящегося в упруго-пластической стадии, достаточно найти напряженные состояния в его поперечных сечениях и определить по ним величины моментов инерции 2z вторых расчетных сечений. После этого находят критическую сжимающую силу для центрально сжатого упругого стержня, жесткость которого на изгиб переменна и определяется законом изменения 22 по длине стержня.
Решение линейного дифференциального уравнения 6,24 может быть получено лишь для отдельных частных случаев изменения 22 по длине стержня. Поскольку в упруго-пластической стадии при различных поперечных сечениях стержня и различных соотношениях осевой силы и поперечных нагрузок возможны самые различные законы изменения 2 z по длине стержня, то здесь ограничимся лишь приближенным решением уравнения 6,24.
Выражение критической сжимающей силы NK из 6,24 при любом законе изменения 2 2 по длине стержня может быть представлено в следующем виде:
Если момент инерции J2 2 по длине стержня постоянен, то уравнение 6,24 переходит в уравнение с постоянными коэффициентами и С те В этом случае 6,26 переходит в обобщенную фор-
Подставив 6,23 в 6,21, получим
EJ2z vf NvOi
6,24)
6,25)
37


мулу Эйлера, в которую вместо действительного момента инерции J входит момент инерции 2 второго расчетного сечения
дт
N — Р 6,26)
Такой стержень искривляется по полуволне синусоиды.
Как показано ниже, приближенная формула 6,26 во многих случаях дает достаточную для практики точность, если момент инерции считать постоянным по длине и равным моменту инерции второго расчетного сечения в среднем, наиболее напряженном его сечении.
В отдельных частных случаях формула 6,26 упрощается. •Так, при упругой работе всего материала стержня для всех точек сечения
ЕК Е; 0 1; у, у,
и второе расчетное сечение совпадает с действительным. Формула
6,26 в этом случае превращается в обычную формулу Эйлера.
В случае идеализированной упруго-пластической диаграммы работы материала случай р0 на рис. 1 потеря устойчивости происходит при частичном захвате пластическими деформациями среднего сечения стержня. Эпюра напряжений в этом сечении в критическом состоянии стержня имеет вид, показанный на рис. 13. Для части сечения, находящейся в упругой стадии, касательный модуль ЕК Е; 01, а для части сечения, захваченной пластическими деформациями, Еы 0; б 0.
С учетом этого Х2 равно моменту инерции упругого ядра относительно его собственной центральной оси.
По этой формуле могут рассчитываться стержни из мягкой строительной стали и низколегированной стали марки НЛ-2, а также стержни из других материалов, диаграмма работы которых близка к идеализированной упруго-пластической.
При криволинейной диаграмме работы материала для расчета стержня на устойчивость необходимо определить напряженное состояние в его среднем сечении, пользуясь диаграммой работы мате риала, определить относительные касательные модули для ряда то чек сечения и построить по ним второе расчетное сечение егерям: .
Это сечение должно удовлетворять условию 6,7, котор д этого случая удобнее записать в таком виде:
,'bdF — 0. 6'27'
F
бт
/
/
X
h.
Рис. 13. Эпюра напряжений в критическом состоянии
38


Для найденного таким образом второго расчетного сечения определяются его геометрические характеристики 6,18 и 6,22 и по формуле 6,26 определяется критическая сжимающая сила.
7. Два расчетных сечения стержня
Суммируя сказанное о расчете сжато-изогнутого стержня из упруго-пластического материала на прочность и на устойчивость, можно установить, что каждый из этих расчетов должен вестись с использованием различных геометрических характеристик сечения, которые определяются из следующих формул.
Первое расчетное сечение Второе расчетное сечение
прочность и деформативность устойчивость)
Ес
Ч—Г-'»
J fdF\
F
•St J yF;
F
a-L-
’ F »
J ydF\
E
i — j — Fa2 •
J- — JTi ч ii
Здесь Ec и EK— секущий и касательный модули, определенные для
каждой точки сечения по диаграмме работы материала стержня;
6— относительные секущий и касательный модули;
F FB— площади первого и второго расчетных сечений;
•Я,, Se —статические моменты первого и второго расчетных сечений относительно центра тяжести действительного сечения;
ав— координаты центров тяжести первого и второго
расчетных сечений относительного центра тяжести действительного сечения;
А моменты инерции первого и второго расчетных
сечений относительно центральной оси действительного сечения;
„ Л — моменты инерции первого и второго расчетных сечений относительно их собственных центральных осей.
Первое расчетное сечение характеризует отпорность стержня
• 1
1
II
Х>
7,1)
г
и
CD
&
•
7,2)
F
SoybdF;
7,3)
F
SB
p »
7,4)
Л Mf;
7,5)
F
ll
l
tO
7,6)
39


внешним воздействиям и определяет форму его равновесия в рас- сматирваемом состоянии. Оно определяется величинами секущих модулей в различных точках действительного полеречного сечения и входит в расчет стержня на прочность и деформативностъ
Второе расчетное сечение характеризует отпорность стержня отклонениям от достигнутого положения равновесия. Оно определяется величинами касательных модулей в различных точках действительного поперечного сечения и входит в расчет стержня на устойчивость.
Четкое разделение этих двух расчетных сечений облегчает анализ поведения стержня а следовательно, и всей конструкции в упруго-пластической стадии.
Глава III
СЖАТО-ИЗОГНУТЫИ СТЕРЖЕНЬ ИЗ МАТЕРИАЛА, ПОДЧИНЯЮЩЕГОСЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДИАГРАММЕ ПРАНДТЛЯ
В предыдущей главе было показано, что критическая сжимающая сила для сжато-изогнутого стержня в упруго-пластической стадии его работы не отличается от критической силы центрально сжатого упругого стержня переменного сечения, если закон изменения жесткости на изгиб по его длине такой же, как и закон изменения момента инерции У2 второго расчетного сечения сжато-изогнутого стержня из упруго-пластического материала.
Для практических расчетов в главе II была предложена обобщенная формула Эйлера 6,26, полученная как приближенная в предположении постоянного по длине стержня момента инерции 2 второго расчетного сечения, равного его значению в среднем, наиболее напряженном сечении. Этому случаю отвечает искривление стержня по полуволне синусоиды.
Определим точность такого приближенного метода расчета в наиболее неблагоприятном случае двусторонней текучести, поскольку при этом разница между моментами инерции 2 по длине стержня особенно велика.
8. Устойчивость сжато-изогнутого двутаврового стержня с двусторонней текучестью по всей длине
Рассмотрим двутавровый стержень с неодинаковыми полками, шарнирно закрепленный на обоих концах и нагруженный сжимающими силами N, приложенными на концах в плоскости симметрии стержня с эксцентриситетами то, и поперечной силой 2Р, приложенной в среднем сечении по длине стержня см. рис. 14.
40


Примем следующие допущения:
кривизна оси стержня определяется второй производной от прогиба по длине
-L dv
р dz2
материал стержня подчиняется идеализированной упруго-пластической диаграмме Прандтля;
деформации по сечениям распределяются по закону плоскости;
плоская форма изгиба стержня устойчива.
Рис. 14. Схема Рис. 15. Эпюра напряже-
нагружения ний в сечении
двутаврового стержня
Будем считать, что по всей длине стержня имеется двусторонняя текучесть, полностью захватывающая обе его полки. На рис. 15 дана эпюра напряжений в одном из промежуточных сечений, отстоящем от середины стержня на расстоянии z; здесь а — глубина упругого ядра в этом сечении.
Изгибающий момент в сечении z
MZ N т0 — v P 2 - z 8,1)
Уравнения равновесия внешних и внутренних сил в сечении z записываются в следующем виде:
N 0N F FaT — ator — 2ctjT — 2F1o1; 8,2)
41


iV
8,4)
Из уравнения 8,2 находим
1
27— 'г — V - ab7 - 2Fл]
1 I Л I W- - n I Т г-- 1 Г7 Л
8,5)
чимП°ДСТаВИВ В УРаВНвНИе 8'3 выражение 8,5, полу-
М‘ --£г ' F°r- , -£-_
J'a2 FT
12 Г 8,6)
откуда
я2 АBv Cz, 7ч
где Iе7)
• - ,4--- ■ - £'- -
123v „ 6Р/
к-—г; 8,8)
12Fo^
В —ьГ ’ 8,9)
C JSrfl4 8,Ю)
Кривизна оси стержня в сечении z равна
£У„ £ ’ 8И)
где
D -£- 8,12)
Дифференциальное уравнение 8,11 определяет изогнутую ось стержня.
Решение этого уравнения записывается в следующем виде:
г 12ВЦ VBD VivR BDVw-2R-C +
ЗЯС. 8,13)
Здесь
w A--Bv--Cz, 8,14)


C-4 BDVA-Bf. 8,15)
Для концевого сечения стержня
2 --; г 0; w w 0. 6,16)
Подставляя значения 8,16 в 8,13, получаем 12 вю у w0 -j-R 4BD 2R)
-C33tfC 8,17)
Из сравнения 8,7 и 8,14 видно, что
w а2 и Уw а. 8,18)
Обозначив глубину упругого ядра в концевом сечении и среднем
сечении соответственно через яо и яс, мажем написать, имея в виду,
что в среднем сечении z0, v—f;
Уw0 aQ ас VA-Bf. 8,19)
После этого из 8,15 найдем
R С2 — 4 BDac. 8,20)
Подставив эти значения в 8,17, получим
8 af ЬУЁО,
г1ymH3V2NH- 8,21)
Здесь
Нутти-тп утт—Зтп, 8,22)
8,23)
'г С2 В Р2 гЕРг Q 01Ч
Т 4BDa0 ADoq ' W 27Ща0 824)
Jgo—момент инерции упругого ядра в концевом сечении стержня. Формула 8,21 дает длину двутаврового стержня с двусторонней текучестью по всей длине при определенных нагрузках N и Р и определенном соотношении п глубин упругих ядер в среднем яс и в концевых я0 сечениях.
Формулу 8,21 можно представить и в таком виде
N.JUjb 8,25)
Для каждого данного стержня и определенных нагрузок на него все величины в выражении 8,25 постоянны, за исключением
43


коэффициента Н, который зависит от величины
характеризующего глубину упругого ядра в cueS ВДента длине стержня. реднем сечении
по
центоннГсжтиеГи'г-ТТ °Т л для 3ений г-0 ВНе-
r7„l„iHeueHTP6HH0e не с поперечной
н
сосредоточенной силой в середине пролета стержня)
Как видно из рис. 16 с увеличением пластических деформаций с уменьшением коэффициента п коэффициент Я сначала возрастает, а затем начинает убывать. Поскольку величина сжимающей силы N пропорциональна квадрату Я, то сначала увеличение пластических деформаций возможно лишь с ростом силы, а после достижения этой силой некото-
т0
Т1
Г
стических деформаций идет Рис. 16. Зависимость коэффициента Я при уменьшающейся величине
от п силы N.
Этот предел, отвечающий максимуму сжимающей силы, характеризует критическое состояние стержня, а сила N, при которой он достигается, является критической силой для данного стержня.
Для определения в общем виде критической сжимающей силы, нужно найти максимум величины Н, который обозначим Нт. Для этого продифференцируем 8,22 по п и приравняем производную нулю
1
dH
in
2 t Пп
2VI Т-п~
. V л-т-пя — ®уТ — 0.
8,26)
После несложных преобразований придем к следующему уравнению для определения значения пт, отвечающего максимальному значению Нт
я — О Т -- О,
откуда
где
л=
s_
2 *
s iT±Vr22r.
Рассмотрение выражения 8,29 показывает, смысл имеет только значение S, равное
51 Т— СТ‘ 2Т.
8.27)
8.28)
8.29 что физический
8.30)
44


При знаке плюс перед радикалом величина пт получается больше единицы, что отвечает случаю действия поперечной силы 2Р в направлении, противоположном прогибам стержня.
Из '8,24 видно, что величина Т может изменяться в очень широких пределах от
Т 0 при Р —О
до
Т со при N 0.
Первый случай отвечает в-нецентренному сжатию, при котором
51; пт 0,5.
Второй случай отвечает поперечному изгибу стержня сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета. При этом 50 и пт 0, т. е. только в этом случае достигается полный пластический шарнир в среднем сечении стержня.
Рис. 17. Значения коэффициентов Нт и пт в зависимости
от Т
Вторым частным случаем, когда возможно образование полного пластического шарнира в среднем сечении стержня, является слу- чай нулевой длины или гибкости стержня.
Во всех остальных случаях, кроме этих двух N0 или X 0, исчерпание несущей способности стержня наступает раньше появления полного пластического шарнира в его среднем сечении.
На рис. 17 даны значения коэффициентов Нт и пт в зависимости от величины коэффициента Т. Как видно из рис. 17, с увеличением Т, т. е. с увеличением поперечной нагрузки, коэффициенты Нт и пт уменьшаются. В соответствии с этим уменьшается и критическая сила для стержня.
45


-P.i-£--2P, 8,32)
Здесь
F F
0 Th ’ Pi th 8,33)
Таким образом, формулы данного параграфа справедливы лишь при выполнении условия 8,32.
9. Изменение глубины упругого ядра по длине стержня
Определим, как изменяется глубина упругого ядра по длине стержня, рассмотренного в предыдущем параграфе.
Согласно формуле 8,18)
Vwa2, 9,1)
где аг—глубина упругого ядра в произвольном сечении.
Подставив это значение w в 8,13 и учтя 8,20, получим
уравнение для определения в критическом состоянии стержня закона изменения глубины упругого ядра по его длине
Ап3'2
z Нг, 9,2)
3 VBD z
где do, В, D имеют те же значения, что и в п. 8;
н, - VC, т-пт -£- — 74 пт VT Г -4 „; 9,3)
С2--. 9Д)
Удобнее для расчета пользоваться относительной координатой
X -j сечения с упругим ядром а2.
Для этого разделим 9,2 на 8,21, заменив для критического состояния Н через Нтг полученное из 8,22 подстановкой пм


На рис. 18 построены кривые по уравнению 9,5 для ряда значений Т, т. е. для разных соотношений поперечной нагрузки Р к концевым моментам М0.
Каждая кривая построена со сдвигом относительно другой во избежание их переплетения.
ниях
Если считать, что абсцисса верхней точки каждой кривой 1 изображает в определенном масштабе глубину упругого ядра R концевом сечении, то вся кривая дает контур упругого ядра на половине длины стержня, правда, несколько искаженный, так как кривые построены от прямой вертикальной оси, а обе границы упругого ядра в стержне криволинейны.
Из рис. 1в видно, что чем больше величина поперечной силы 2Р, тем меньше глубина упругого ядра при достижении стержнем критического состояния.
47


10. Форма изогнутой оси стержня с двустооонней текучестью по всей длине
Имея значения глубин упругих ядер аг в каждом сечении степ
жня при двусторонней текучести по всей его длине лег •Р'
величину прогиба в этих сечениях. ’ ГКо наити
Из уравнения 8,7 можно написать
1-W-A-Cz. 101)
При принятой системе координат см. рис. 14 величины ппг гибов стержня отрицательны. Для того, чтобы избежать вьгчис ления отрицательных значений, будем определять абсолютные величины прогибов. с
На основании этого можно написать
F А Сг — аЭ' 10,2)
Значения аг а А, В, С даны формулами 8,7 — 8,10. Подставив все эти значения в 10,2 с учетом обозначений
ПОЛУЧИМ
8,33, получим
Vg
Р2 л2 %
1 от mo Or аг р г
10,3)
Ро ®дг Л 12ро Од А N Для концевого сечения
z; vz — 0; az a0. 10,4;
Подставив эти значения в 10,3, получим
—• — f — l—т-—-2 +
12Л h Р,ДЛГ I V н
ZN
10,5
h °n h
На основании 10,5 уравнение 10,3 может быть записан
короче
vz °т Л Ю,€
л 12poJ V л2 Л N h
Уравнение 10,6 определяет изогнутую ось стержня.
Для среднего сечения
г 0; г; а, ас. 10/
48


Подставляя эти значения в 10,6, получаем
_
h
2
I
12о®
N
а
К*
с
Л2
N
I
2 h
Рис. 19. Изогнутые оси стержней в критическом
состоянии
10,8)
Разделив 10,6 на 10,8, получим относительные значения прогибов vg в долях максимального прогиба в середине длины стержня
vz 1 — — v 1 — х)
/
где
Hz
2Н,
171
10.9)
10.10 10,11)
49


ЮД2)
Уравнение 10,9 определяет изогнутую ось стержня, точки которой можно найти с учетом полученной ранее зависимости 9,5.
На рис. 19 построены изогнутые оси в критическом состоянии для ряда стержней.
Каждая изогнутая ось на рис. 19 построена со сдвигом по отношению к другой во избежание их переплетения.
Для сравнения на рис. 19 построены также теоретические кривые синусоиды 1 и квадратной параболы 2.
11. Устойчивость центрально сжатого упругого стержня переменного сечения
Определим теперь критическую сжимающую силу для центрально сжатого упругого стержня переменного по длине сечения
cos -у- ; ■—4х2. 10,13)
рис. 20.
Рис. 20. Расчетная схема центрально сжатого
стержня
Закон изменения кому изменяются мом стержня с двусторонней текучестью по
всей длине при нагружения
30


его сжимающими силами N, приложенными с эксцентриситетами т0, и поперечной силой 2Р в середине длины. Такой двутавровый стержень также изображен на рис. 20; упругое ядро его заштриховано.
Критическую сжимающую силу для центрально сжатого стержня определим методами теории устойчивости первого рода.
Ввиду сложности точного решения задачи устойчивости стержня переменного сечения, воспользуемся для решения этой задачи методом последовательных приближений.
Зададим в первом приближении форму изогнутой оси стержня
при его потере устойчивости по квадратной параболе
,- 1-4х2, п1)
где
—прогиб в середине длины стержня при 20; z
X у — относительная координата по длине стержня.
Изгибающий момент в сечении z равен
M, Nf,Nf 1-42. 11,2)
Кривизна изогнутой оси стержня в этом сечении
где
д3 д3 ,3
j 1а2 1а0 Чг л 4
и 12 12 ’ ОМ)
Лг—момент инерции упругого стержня, равный моменту инерции упругого ядра двутаврового стержня в сечении z.
Кривизна оси стержня может быть принята за фиктивную нагрузку.
. М2 12ЛГ1-4х2)
а,зсз • И. 5)
Прогиб стержня vK в сечении К с координатой zK может быть определен как изгибающий момент в этом сечении от фиктивной нагрузки gf
2
vk Aff л — zk j qfz-z,dz. 11,)
ZK
Здесь Аф — опорная реакция от фиктивной нагрузки, равная


где
Подставив в 11,6 значения 11,5 и 11,7, получим
12Л2
Eta30 ИЛ)
к -к Вк; 11,9)
12
А “ Г - X- J —tXх 11,10)
Вк =
12
j 'Г х-х.4с: 11,11)
z,
Хк -; -£-• 11,12)
Формулы 11,8 — 11,12 позволяют вычислить прогиб в любом сечении zK по длине стержня.
Для среднего сечения стержня координата
0; Хк 0. 11,13)
Подставив это значение в формулы 11,8—11,11, получим выражение для прогиба , в среднем сечении:
f ™fp с ■
71 £Л3
11,14)
С0™Д,— В,;
11,15)
12
j L Г 1
Л 2 g х;
11,16)
0
2
Г 1 — х2 ■8 I £ ХУ,
11,17)
Приравняв заданный прогиб найденному ,, получим выражение для определения критической силы Nx первого приближения
12М2
. вЦс п'18)
откуда
XT £Уг0 11 1Л
1—■ 2PCp ” ' 11,19)
где 720
момент инерции в концевом сечении стержня.
52


В случае необходимости может быть сделано второе приближение, в котором изогнутая ось принимается с ординатами vK, определенными из 11,8, и все вычисления повторяются в том же порядке. „
Таким образом, для определения величины критической силы
согласно 11,19 необходимо найти численное значение коэффициента С0, что может быть сделано как аналитически, так и графоаналитически.
Результаты этих вычислений даны в табл. 1.
Таблица 1
Значения критической силы по формулам 11, 19 и 8, 25)
Т
1
С0
±.„2 9 тп
Ni
г*
Метод вычисления
0,5
0,4652
0,4854
0,9583
Аналитический
0,5
0,49497
0,4854
1,01969
графо-аналитический
0
1,7538
1,77778
0,986
Здесь Ni и N — критические силы, определенные соответственно по формуле 11,19 для упругого центрально сжатого стержня и по формуле в,26 с подстановкой в нее вместо Н значения Нт для сжато-изогнутого двутаврового стержня, работающего в упругопластической стадии с двусторонней текучестью по всей длине.
Расхождения между этими значениями критических сил ничтожны и обусловлены неточностью расчетов.
12. Потеря устойчивости первого и второго рода
Проведенные вычисления подтверждают правильность уравнения 6,24, из которого следует, что для стержней, различных по форме поперечного сечения, величинам и характеру нагрузок, характеру продольной оси прямая или искривленная и характеру деформаций упругие ли упруго-пластические, критические сжимающие силы равны, если одинаковы их длины и закон изменения по длине жесткостей их вторых расчетных сечений.
Критические сжимающие силы оказались одинаковыми для таких двух стержней, из которых один — прямой, упругий, центрально сжатый, прямоугольного поперечного сечения, а другой — искривлен, работает в упруго-пластической стадии, нагружен продольной сжимающей силой с эксцентриситетом и поперечной нагрузкой в середине длины, имеет форму поперечного сечения в виде двутавра с неодинаковыми полками.
Потеря устойчивости центрально сжатого упругого стержня является классическим примером потери устойчивости первого рода а потеря устойчивости сжато-изогнутого стержня, работающего в упруго-пластической стадии, в такой же мере является классиче¬
53


ским примером потери устойчивости второго рода. И вот для двух таких стержней критическая сжимающая сила оказывается совершенно одинаковой, поскольку форма потери устойчивости для обоих одинакова — это изгиб по плавной кривой с максимальным прогибом в середине длины стержня и величина отпорности обоих стержней отклонениям от достигнутого положения равновесия также одинакова.
Сравнение двух таких стержней является частным примером. 'Однако, поскольку они наиболе характерны для потери устойчивости I и II рода, то вполне законно придать полученно-
1Р IР му выводу более общее значение и высказать утверж-
I дение об отсутствии у сжато-изогнутых стержней раз-
I личных физических явлений потери устойчивости I и
II рода и наличии лишь различных математических - методов для решения различных задач устойчивости. Однако и методы эти, кик показывают рассмотренные примеры, приводят к тождественным результатам.
Тождественность потери устойчивости I и II рода может быть показана в общем виде энергетическим методом.
Такое доказательство, по существу, дано А. Р. Ржаницыным 34, хотя он и не формулирует тождественности потери устойчивости I и II рода, поскольку для абстрактного случая абсолютно прямого центрально сжатого стержня тождественности не получается.
Рассматривая систему с одной степенью свободы в виде бесконечно жесткого стержня с упругим закреплением рис. 21, все возможные деформированные состояния которой могут быть выражены через один параметр — угол В, А. Р. Ржаницын записывает ее общую потенциальную энергию в следующем виде:
Рис. 21. Система с одной степенью свободы
tf4-02-Pl -COS0,
12,1)
где а—жесткость упругого закрепления стержня в опоре. Условие равновесия этой системы имеет вид
dU
db
0,
12,2)
а критическими — являются такие равновесные состояния, для которых
U db 2
0.
12,3)
Таким образом, условия для определения критического состоя-’ ния системы, с точки зрения теории устойчивости I рода, имеют вид
12,2 и 12,3.
54


Условие критического состояния, с точки зрения теории устойчивости II рода, для рассматриваемой системы имеет вид
аР 0. 12,4)
40
Для системы с одной степенью свободы потенциальная энергия U является функцией Р и 8. Поэтому условие равновесия 12,2 следует писать в такой форме
диР, 0 46
0. 12,5)
Раскрывая значение 12,4 по правилу дифференцирования неявной функции, получаем:
ди Р. 0 д'Щ
38 0 10ЛЧ
40 дЩ Р, 0 дЦ
др 404Р
Выражение 12,6 равно нулю при равенстве нулю второй производной от по 8, т. е. при соблюдении условия 12,3, а посколь¬
ку рассматриваются только равновесные состояния системы, то соблюдается и условие 12,2.
Таким образом, условия критического состояния системы, сточки зрения потери устойчивости как I, так и II рода, совпадают.
Аналогичный же результат А. Р. Ржаницыным получен и для систем Со многими степенями свободы. Таким образом, этот вывод имеет общее значение.
Глава IV
ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ МАТЕРИАЛА С ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДИАГРАММОЙ
13. Расчет на устойчивость и деформативность в плоскости изгиба сжато-изогнутого стержня при односторонней текучести
Вышеизложенные общие положения позволяют разработать практический метод расчета сжато-изогнутых стержней. Рассмотрим прежде всего расчет их на устойчивость в плоскости изгиба.
В главе II было показано, что с изменением глубины распространения пластических деформаций по сечению стержня изменяются оба его расчетные сечения, поэтому разработка простых расчетных формул при произвольной диаграмме работы материала представляет значительные затруднения.
55


В то же время в ряде случаев с достаточной для практики точностью для расчета может быть принята идеализированная упругопластическая диаграмма Прандтля.
Эта диаграмма является почти точной для строительных сталей марок Ст. 3 и HJI-2, что было подтверждено многочисленными весьма тщательными экспериментами в ЦНИПСе 12, 13.
Испытания производились на растяжение и на сжатие, форма образцов была различной и тем не менее во всех случаях достаточно точной центрировки образцов диаграммы не имели сколько- нибудь значительного криволинейного переходного участка от другой стадии к пластической. Чаще можно было наблюдать зуб текучести. Значительные же криволинейные переходные участки в большинстве случаев объясняются недостаточной тщательностью центрирования образца при испытании.
В большинстве случаев потеря устойчивости сжато-изогнутых стержней происходит при наличии в стержне односторонней текучести. Исключение составляют нагруженные небольшими сжимающими и значительными поперечными нагрузками стержни, в которых к достижению критического состояния появляется двусторонняя текучесть. Поскольку проверка на устойчивость особенно существенна для стержней, несущих значительные сжимающие силы, то основным следует рассматривать случай односторонней текучести стержня в критическом состоянии.
Рассмотрим внецентренно сжатый стержень произвольного поперечного сечения, но имеющий одну ось симметрии, которая совпадает с плоскостью изгиба. Концы стержня будем считать шарнирно закрепленными. Длину стержня обозначим Изгибающие моменты в концевых сечениях равны
М0-Мив. 13,1)
Допустим, что под влиянием силы N и изгибающею момента М0 в среднем сечении стержня появились односторонняя текучесть. На рис. 22 пластически деформированная область сечения заштрихована.
Обозначим Fa и FB соответственно площади упругой и пластически деформированной зон сечения рис. 22.
Критическая сжимающая сила для такого состояния стержня определяется по обобщенной формуле Эйлера 6,26)
А TEJi
iTK »
где J2 — момент инерции второго расчетного сечения, равный в рассматриваемом случае моменту инерции упругого ядра
Рис. 22. Стержень при односторонней текучести
56


площади Fa относительно его центральной оси 0ХХ ом. конец п. 6.
Определение этого момента инерции является обычной геометрической задачей.
Найдем теперь величины поперечных нагрузок в данном случае концевых изгибающих моментов Л10, создающих совместно с сжимающей силой N рассматриваемое напряженное состояние в среднем сечении стержня.
Во всех точках пластической зоны FB нормальные напряжения одинаковы и равны пределу текучести материала от.
Напряжение в точке упругой зоны, удаленной на расстояние у от центра тяжести сечения О, будет равно
ау от13,2)
где ут— координата точки пересечения оси Оу с границей пластической области.
Уравнения равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении стержня записываются в следующем виде:
N- Г a,dF FoT- Jl. Гут—у dF; 13,3)
77 'а
М N т0 oyydF от f ydF —
F F
Интегралы, входящие в 13,3 и 13,4, имеют следующие значения:
dFFb—площадь упругой зоны второго расчетного сечения;
j ydF S9— статический момент второго расчетного сечения
отно-
fa
сительно центральной оси действительного сечения,
Г ydF—0 как статический момент всего сечения относительно
F
его центральной оси; jy2dFJ—момент инерции второго расчетного сечения относи-
тельно центральной оси действительного сечения.
С учетом этого уравнения 13,3 и 13,4 можно переписать.
ТЗК f от - ол.--fe yT-So; 13,5)
У т
57


Л1 JV m„ -£--S. ут Л. 13.6)
У т
Кривизна оси стержня равна
13,7)
Р ЕУт
Кроме того, приняв искривление оси стержня по полуволне синусоиды, имеем
J5L 13,8)
р р
Приравняв друг к другу правые части выражений 13,7 и 13,8 получим
°о 7EL 13,9)
Ут Р
Из уравнения 13,5 имеем
о
13,10)
Ут FB Ут — 9
Подставив это значение в 13,9, найдем
-i--S£3r- 13’п)
Подставив теперь в 13,6 значения 13,10 и 13,11, получим величину изгибающего момента М в сечении в следующем виде:»
М — т0 гЛат — onA. 13,12)
Здесь А — числовой коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения и глубины упругой зоны.
А A ftJ'T-S, 13,13)
Формула 13,12 позволяет определить полную величину изгибающего момента М в сечении стержня при действии сжимающей
силы N — Fon .
Момент М, как это видно из 13,12, складывается из двух частей — момента от поперечных нагрузок M0Nm0 и момента, вызванного искривлением стержня Nf. Последний является как бы паразитическим и может не интересовать инженера при практическом расчете стержня, поэтому расчетную формулу удобнее дать в таком виде, чтобы сразу можно было определить изгибающий момент от одних поперечных нагрузок.
Из 13,12 и 13,11 эта формула может быть получена в следующем виде:
M°Nm - Л Щ ■ 13’14>
58


где
Уравнение 13,14 является квадратным относительно N и может быть представлено в следующем виде:
Ai¥ — A£--A3 0, 13,15)
6—; 03,16)
QT
13,17)
. F, Ai Ai. 13,8)
A3 13,19)
При записи этих коэффициентов учтены равенства:
Jn — Л — , 13,20)
Sb FbOb 13,21)
Равенство 13,20 получается из 3,23 после подстановки в
него р из 13,8, а затем из 13,11, М из 13,6 и о0 из 13,10.
Зная длину стержня и величину эксцентриситета пг0 и
задаваясь определенной глубиной упругого ядра а или относительной глубиной а —, где h — высота сечения, можно найти
л
все значения коэффициентов в 13,15. Решив это уравнение, получим величину напряжения осевого сжатия oN, после чего определяется величина прогиба по формуле 13,11, которую можно
представить также и в таком виде
22т — 9 n 13,22)
J rflEhap v /
где
2 п О 20 Ут 0 1 о оо\
-- 13,23)
Найденное состояние стержня, характеризующееся опреде-
лфшыми значениями a, aN и , в общем случае не является критическим.
В критическом состоянии справедливо равенство 6,26, из которого следует
y2 w 13.24)
С учетом этого формулу 13,14 можно переписать в следующем виде: р _
Им, ■ Р1 3-с - у, Л- Л- 13,25)
Ут— °0
59


Согласно 6,22 i
Л - Л Fal 13-26>
Подставив 13,21 и 13,26 в 13,25, получим
М0 — Nm0 — — NT — N аь, 13,27)
где
Nr FaT.
Формула 13,27 позволяет определить изгибающий момент Л10от поперечных нагрузок в среднем сечении стержня в его критическом состоянии. При неодинаковых эксцентриситетах на концах стержня под т0 следует понимать эксцентриситет в середине расчетной длины стержня; при действии поперечных нагрузок, вызывающих в сечении в середине расчетной длины стержня изгибающий момент Мр,
-р- 13,28)
т0 n v /
Таким образом, расчет сжато-изогнутых стержней на прочность н на устойчивость в плоскости изгиба должен производиться по следующим формулам:
а на устойчивость
б на прочность
N р- ; 13,29)
Nm0NT-Na9. 13,30)
Эти формулы справедливы при односторонней текучести в среднем сечении стержня при достижении им критического состояния.
Это условие может быть записано в виде следующего нера¬
венства:
-а2вт. 13,31)
С учетом 13,10 это неравенство может быть переписано в следующем виде:
-1-р, 13 J2)
где р определяется по формуле 13,23.
При соблюдении неравенства 13,32 в сечении стержня будет односторонняя текучесть; если оно не удовлетворяется — двусторонняя.
Поставив в 13,29 и 13,30 знаки равенства между их пра-
ВЛМ™чИ левыми частями и подставив значение N из 13,29 в 13,30, получим
КЕЛ „ тг2£ Л \
Щ 0Т ав. 13,33)
60


где
„ Шп
N3klNr-N,k1.,
N -EL. ь - h
3 р Я1 J- ■
13,34)
13,35)
ПИ°ЛЬЗУЯ ВСП0М0Гательные формулы и графики, данные ниже в п. 14, можно достаточно быстро решить уравнение 13,34.
Для простейших сечений из уравнения 13,34 можно получить не очень громоздкое по форме развернутое выражение. Так, например, для прямоугольного сечения
ь аз. 1 — “к
— ак, — —
h — 2 *
Подставив эти значения в 13,34, получим
13,36)
13,37)
Уравнение 13,37 четвертой степени отнооителыю а н сравнительно легко решается подбором.
14. Определение геометрических характеристик расчетных сечений для трехтаврового стержня
В упруго-пластической стадии с ростом нагрузки непрерывно изменяются оба расчетных сечения стержня, что вносит существенные осложнения в технику вычислений и вызывает необходимость пользоваться разными расчетными формулами для стержней с различными поперечными сечениями.
Для устранения этого неудобства ниже выводятся конечные формулы для вычисления геометрических характеристик, входящих в расчет сжато-изогнутого стержня, согласно п. 13. При этом рас- сматривается обобщенное поперечное се- чение в виде трехтавра рис. 23. Из та- ± кого сечения отбрасыванием отдельных полок получаются все наиболее распространенные поперечные сечения стальных
Рис. 23. Трехтавр
стержней двутавр, крест, прямоугольник, тавр, Н-образное, П-об- разное и другие сечения. Примеры преобразования трехтаврового сечения, в более простые даны на рис. 24.
61


Выведем формулы для случая односторонней текучести. Будем предполагать, что граница пластической области расположе-
*
N
N
Г,
с
G-’l
сзг
>
F,
th
&
N
N
N
N
N
сг:
г.д с.--
xh
Fz
txh t
4Г-Г-Г C-Z 6
Г-3
с-
С”
б
ггз
ггэ
С-ГУ-JT-TJ
-r- IJ
Г4 Т'л 1
А А-Л. А. Л0
£'j fii'-ji firtfi Pzr°F
а-Гл ра 0 дя
7>
А$
Рз0
Рг-0
№
Рз0
АуЛ РА Рзиз-th
Рис. 24. Преобразование трехтавра в различные сечения
fir О
Рг0
РА
на в пределах между полками F2 и F3 рис. 25, однако обе эти полки будем условно включать в упругое ядро. Это позволит получить все необходимые расчетные формулы.
Для упрощения расчетных формул толщины всех полок трехтавра принимаются нулевыми, т. е. площадь каждой из полок предполагается сосредоточенной в точке; такое упрощение мало влияет на точность расчета, так как равносильно пренебрежению моментами инерции полок относительно их собственных центральных осей по сравнению с моментом инерции всего сечения. Учет частичного захвата пластическими деформациями отдельных полок и при таком упрощении возможен.
Формулы и графики для вычисления момента
инерции 2
Критическая сжимающая сила для сжато-изогнутого стержня определяется обобщенной формулой Эйлера 6,26)
Рис. 25. Нормальные напряжения в сечении при текучести, захватившей менее половины высоты трехтавра
14.1)
Для материала, подчиняющегося идеализиоованнпй vnrw™ пластической диаграмме, вторым расчетнГ сеением S
62


упругое ядро. Для упрощения вычислений момента инерции можно дать конечные формулы и вспомогательные графики.
Расстояние от центра тяжести упругого ядра Ох до центра тяжести полки F, совмещенного с кромкой стенки, равно
„ h
2 о 4"
d ta Fi Fi F3 l4,2*
Формула 14,2 записана в общем виде в предположении полного отсутствия пластических деформаций в полках.
Момент инерции упругого ядра относительно оси ОХХ
2 Х2 4” 2 “2—F3h— d2. 14,3)
Подставив значение 14,2, после несложных преобразований получим
- -b'tu f. f. m Ра F' F F ~
- Ш2 Fz 2F3 h 3tah F3 4F3 -f- 3FxF2h2 +
3 FJFth 12FxF3h. 14,4)
Введя для упрощения обозначения:
л q F q F a о F3 о F
a “ h Pi — th ’ th ’ P3 Л ’
1 H” Pi 4 Рг Рз 14,5)
можно выражение 14,4 переписать в следующем виде:
Л-тг. 14'6>
где
a fe feV I 4a’ h W h 2M +
3a fc 4p„ 3p,p2 3p,p, 12p,p3. 14,7>
Формулы 14,6 и 14,7 пригодны для определения момента инерции всего трехтаврового сечения. В этом случае следует принять а h a L Подставив это значение в 14,7, получим
k 4- 1 4р, р, 4р, ЗР,Р2 ЗР2Р3 12p.ps. 14,8)
РО
По этим же формулам может быть определен и момент инерции упругого ядра при частичном захвате пластическими деформациями полки з-
63


Обозначив площадь части полки F оставшейся в упругой стадии, через
РзТС’8®8 14’9^
расчетную формулу можем записать в следующем виде.
k X- 1 4Р, Р, 4; ЗР.Р 32Рз 121Рз1 14,10)
h
При этом
14,11)
PJ 1 Pi 2 Рз-
Для случая захвата пластическими деформациями всей псл- ки Ft и чста площади стенки рис. 25 в 14,7, следует яр»
пять рз 0; ос Ф 1.
Подставив эти значения, найдем
b - а4 4а3 Pj 4 Р2—6а2р2 Ч За2 3iPa. 14,12)
Pi Рз
При распространении пластических деформаций на половину высоты стенки и захвата ими части полки Fb в расчетную формулу 14,7 следует подставить
Рз 0; л — -я-; Р2
ИРг»
14,13)
2 ’ r2 th
где р'2 — часть полки F2, оставшаяся упругой.
Получим
k- 0,0625 0,5р, Pi ОД• 14,14)
О)
0,5 Pi Pj
б)
Наконец, при распространении пластических деформаций более чем на половину высоты сечения рис. 26, в 14,7 следует подставить
и
Р-Р.о,
• 14’15>
Формулами 14,6—14,15)
п пс тт поставленная задача решает-
Рнс. 26. Нормальные напряжения ся полностью опняно пля об
в сечении при текучести, захватив- полностью, однако ДЛЯ ОО-
шей более половины высоты трех- легчения практических расче-
тавра тов на рис. 27 и 28 даны вспо-
ц могательные графики.
На рис. 27 такие графики даны для двутавра с одинаковыми полками, изгибаемого в плоскости стенки кривые и в плоскости, параллельной полкам кривые 32 • Разграничивающая эти
64


,
с • V
t's
I
i
i
с .
I
I
t ъ [
Л^
V
т5
N
5
ДО 0.6 ОА QZ 0,1 08 0,6 ОА 0,2 0 л
: ч ' v —'
11 0 1сС0
Рис. 28. Значения kt для тавровых стержней


Два семейства кривая р1р2 0 отвечает прямоугольному поперечному сечению.
На рис. 28 такие же графики даны для тавровых стержней, изгибаемых с эксцентриситетом в сторону полки кривые р3 и в сторону стенки кривые р, .
На рис. 27 и 28 по горизонтальной оси отложены величины а — относительной глубины упругого ядра, а по вертикальной оси величины
т. е. отношения момента инерции второго расчетного сечения к полному моменту инерции всего сечения.
Расчетные формулы, по которым построены графики рис. 27
и 28, имеют следующий вид:
а для двутавра, изгибаемого в плоскости стенки, для стадии
развития пластических деформаций во всей полке F3 и в части
стенки кривые р, на рис. 27 Р20; Рз Рп Polf2Pi
и g3g 4Pi 1И 17V
kl g bl 6fc ’ Uv'
б для двутавра, изгибаемого в плоскости, параллельной полкам, и для крестового сечения, изгибаемого в плоскости полки кривые р2 на рис. 27, рх р3 0; Р0 1 р2
ft, 14,18)
в для прямоугольного сечения и крестового стержня, изгибаемого в плоскости биссектрисы внутреннего угла см. схемы, е и ж на рис. 24 кривая pj р2 0 на рис. 27,
14,19)
г для таврового стержня с эксцентриситетом в сторону полки кривые р8 на рис. 28 р, р2 0; р0 1 Р3;
при состоянии с пластическими деформациями в части полки,
ь fe 1 4txp3 П4 20V
1 1 иРз 1 4р, ’ 14’2U>
при состоянии с пластическими деформациями во всей полке, и в части стенки
11У ; 1421>
д для таврового стержня с эксцентриситетом в сторону стенки кривые рг на рис. 28 рг р30; Р01Р!
g3 а 4 4Pi 1 fo 14 99V
1 g fcl4fc 1422>
66


Выведем аналогично конечные формулы для других геометрических характеристик, входящих в расчет сжато-изогнутого стержня.
Формулы для вычисления р
Напишем уравнения равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении по длине трехтаврового стержня для напряженного состояния, изображенного на рис. 25. Моменты будем записывать относительно центра полки Fi:
' а — — \
N Fon FaT от — Oj -- Ft -f- Ft — J , 14,23)
M N11, Fo1hl - К-a, FJl • 14,24)
Здесь M — изгибающий момент в сечении относительно его центра тяжести;
hx — расстояние от центра тяжести всего сечения до центра полки F.
Из 14,23 с учетом 13,23 имеем
2 FaoT — JN 2 от jn)
°1— ta 2aF,x Fi-Fih р 14,25)
Подставив значение ат а, из 14,25 в 14,24, получим
M-FhoT — oNA, 14,26)
где
ть—г)
V-р- 2ар, р2 - р,. 14,28)
Эти формулы справедливы только при односторонней текучести, т. е. при выполнении неравенства 13, 32.
Формулы для определения величины аь
Из рис. 22 видно, что
Ь 1 14,29)
h h h
Разделив числитель и знаменатель 14,2 на М2, найдем
4- °а ,а 2Ч-. 14,30)
Л 2 a Pi Рз р3)
Здесь опять для общности принято, что часть полки Fz, равная F'z, остается упругой, а в части стенки имеются пластические
деформации,
67


Приняв в 14,30 а 1 и р; Р3 получим расстояние
центра тяжести всего сечения от полки F\
Л1 1 Рг 14,31)
h 2Ро
Подставив 14,30 и 14,31 в 14,29, получим Щ дзро 4- д 1 ра -I- 2рз - Рз 1 2Pt ра Pi PiPsPajb 32)
Л 2Po 0 Pi Pa P3)
Ц Fjfpft
H.0 0,3 0,6 ОЛ 0£ 0x;fi
d й
Рис. 29. Значения — для двутавро-
h
вых стержней
N
N
*
п
•
I
КО 0,8 0,6 ОЛ 0,2 Оа,р
Рис. 30. Значения — для тавро-
h
вых стержней
На рис. 29 даны значения величин ® для двутавров с оди-
h
маковыми полками, изгибаемых в плоскости стенки кривые Pi и в плоскости, параллельной полкам кривые р2.
Эти графики построены по следующим формулам:
33


для двутавров, изгибаемых в плоскости стенки при упругих
деформациях в части полки F3 р1ра; р,0; f0 1 ,f ”
аь Pi 1 —
h Tl Pi 1 -h p. 5 14,33)
для таких же двутавров, но при пластических деформациях во всей полке F3 и в части стенки i p3; р2 0; Рз0)
— gS-J-a fo
— — 2fc ’ 14,054;
для двутавра, изгибаемого в плоскости, параллельной полкам, при пластических деформациях на глубину менее 0,5 hl =
— p8 Pi0; Ро1Р2)
ав д 1 а П4 35>
На рис. 30 такие же графики даны для тавровых стержней, сжатых с эксцентриситетом в сторону стенки кривые р, и в сторону полки кривые Ъ.
Эти графики построены по следующим формулам:
для тавров, сжатых с эксцентриситетом в сторону стенки
Р2Р. Р; 0;Ро1 Р1)
а9 —g2l Н Pi а Pi мд ОС\
—e 2i p, w ;
для тавров, сжатых с эксцентриситетом в сторону полки при упругих деформациях в части полки Pi Pa 0; Ро 1 Рз5
Эз и )
аВ Рз — t 1A
“Г “ЗО юО рМ ’ ' '
для таких же тавров, но с пластическими деформациями во всей полке F3 и в части стенки р, р, 0; 30 1 р3)
ав — д21 4- Ра а 1 2р3 14 38^
— 2 1 Рз а ' >
Формулы и графики для определения момента инерции Jn
Согласно формуле 3,23)
14,39)
где Jn выражается равенством 13,20 Из рис. 25 видно, что
рг 14’40>
69


чим
Подставив сюда значение 14,25, найдем
14,41)
Теперь подставив в 14,39 значения 14,26 и 14,41, полу-
14,42)
Ehap
P -2K-w)
Или иначе
Je-Aap.
14,43)
Щ Щ Щ ЦТ о а
Рис, 31. Значения коэффициента k3 для двутавров
Подставив в 14,43 значения Лир соответственно из 14,27 и 14,28, можно получить развернутое выражение коэффициента k2 для трехтаврового сечения при односторонней текучести
- 23 6t2 6а 2-rfJ, р, 2Т - 1 Зр, 1 - 2f. 14,44)
Здесь
Т =
14,45)
относительное расстояние от центра тяжести всего сечения до центра полки Fh
70


Для сечений имеющих горизонтальную ось симметрии, г 0,5 и из 14,44 получаем
k2 — 2а За2 бр,а. 14,46)
Обозначим через 3 отношение момента инерции J„ к моменту инерции всего сечения
А. 4 • I4.47)
1.0 0,9 0в 0,7 0,6 0,5 О,U 0.3 0.2
Рис. 32. Значения коэффициента к для тавров
На рис, 31 даны значения коэффициента 3 для двутавров, изгибаемых в плоскости стенки кривые и изгибаемых в плоскости, параллельной полкам кривая р2 Последняя кривая справедлива также для прямоугольного сечения.
На рис. 32 даны значения коэффициента къ для тавров, изгибаемых с эксцентриситетом в сторону полки кривые и в сторону стенки кривые р,.
Эти графики построены по следующим уравнениям: для двутавра с одинаковыми полками, изгибаемого в плоскости стенки,
14,48)
1 вр,
для двутавра с одинаковыми полками, изгибаемого в плоскости, параллельной полкам, и прямоугольного сечения
k3 — 2а3 -f- За2; 14,49)
для тавра, изгибаемого с эксцентриситетом в сторону полки,
14,50)
2з,1 fc 321 2р9 14р3
для тавра, изгибаемого с эксцентриситетом в сторону стенки, TRpT t-28l Pi 3aJ 6g1e 14,51)
71


На рис. 31 и 32 проведены пунктирные прямые линии, достаточно хорошо апроксимирующие все кривые. Общее уравнение всех этих прямых может быть записано в следующем виде:
kb ux-- WjOl. 14,52]
Значения коэффициентов их и и2 для сечений каждого типа
даны в табл, 2, .
Т аблнца5
Тип сечения
Ui
о*
I
0
1
Н i
0
1
•
т
-0,25
1,25
±
0
1,25
Для тавров, изгибаемых с эксцентриситетом в сторону полки, для значений а 0,2 следует принимать k3 0, а при изгибе с эксцентриситетом в сторону стенки для значений а 0,8 при-, нимать k 1.
Имея все геометрические данные для трехтаврового стержня при односторонней текучести в его среднем сечении, можно ос- уравнения для определения напряжения осевого сжатия 13, 15 и прогиба 13, 22 переписать в следующем виде
5— f гг; 14,53)
6Х ;i , 14,54)
где
-ИА.-е, 6-£чк
с3 12А2 6 Аар. 14,55)
15. Расчет на устойчивость в плоскости изгиба двутаврового стержня при двусторонней текучести
нем сечеС“„°„ТРпо длнне В СреД'
можно только при „агруженни рГнГмымн ТГмающими
72


силами и значительными изгибающими моментами, что характерно для ригелеи, имеющих, как правило, двутавровое сечение. Ввиду этогос целью упрощения расчетных формул в условиях двусторонней текучести рассмотрим не трехтавр, а двутавр с неодинаковыми полкам-и рис. 33.
Критическая сжимающая сила NK ив этом случае определяется по обобщенной формуле Эйлера
15,1)
Рис. 33. Двутавр с двусторонней текучестью
Второе расчетное сечение опять имеет форму упругого ядра, момент инерции которого может быть определен по формулам я графикам п. 14.
При частичной текучести полки F или Fz в эти формулы должны, естественно, подставляться лишь площади их частей, оставшиеся упругими В соответствии с этим упругое ядро может иметь вид дву тавра с неодинаковыми полками, тавра или прямоугольника.
Для определения величин внешних нагрузок, отвечающих рассматриваемому напряженному состоянию, опять проще всего составить уравнения равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении стержня все моменты опять будем определять- относительно центра тяжести полки F, совмещенного с краем стенки:
N Fa„ Fa, — 2а, - tc2а, - F,2а,-
М Nh, Fa,h, - taa, с -J-j - -Ц- 2а, Из 15,2 получаем
-2- — °n — taor — 2FA •
с =
15.2)
15.3)
15.4)
15.5)
Подставив 15,4 в 15,3, найден
MFhoTB j,
где
15,6)
Момент Мш, получающийся из 15,5 при подстановке а0,. отвечает полному пластическому шарниру в сечении
Мш FhoTtf. 15,7>


Полный пластический шарнир, как это было показано в п. 8, недостижим в сжато-изогнутом стержне по условиям устойчивости его в плоскости изгиба. Однако в тех случаях, когда сжимающая сила мала и стержень обеспечен от потери устойчивости плоской формы изгиба, величина изгибающего момента М в критическом состоянии стержня будет весьма близка к моменту Мш Момент М, определяемый выражением 15,5, складывается из двух частей: из момента Мр от поперечных нагрузок и момента М N от сжимающей силы N. Для определения последнего нужно найти прогиб стержня в среднем сечении. Это можно сделать аналогично тому, как в п. 14.
Кривизна стержня равна
J- - 15,8)
р Еа
Подставив это значение в 13,8, получим
2ат3 KEha
Отсюда
М—V --TETS- 15-10>
В критическом состоянии стержня справедлива формула
15,1, поэтому выражение 15,10 может быть записано для этого состояния в таком виде
15,11)
Во всем остальном расчет подобен изложенному в п. 14.
16. Прогибы сжато-изогнутых стержней в упруго-пластической стадии
Согласно формуле 5,13 прогиб в середине внецентренно сжатого стержня с эксцентриситетами т0 равен
Формула 16,1 справедлива для всех состояний стержня, в том числе и для критического, для которого в 16,1 должна быть подставлена вместо N величина критической силы NK по формуле 6,26.
Сделав эту подстановку и учитывая выражение 5,12 после преобразований, получим


где
D Л kt
Н77ИГ 16.3)
см. формулы 14,16 и 14,47.
луетПчто°™™леЛИЧИИа отлична от единицы, то из 16,2 еле- мии имрат v сжато-изогнутого стержня в критическом состоя¬
нии имеет конечную величину.
Величина R есть отношение момента инерции н
г второго расчетного се-1.0 чения, характеризующего устойчивость стержня, к моменту инерции Jn, характеризующего дефор- ов мативность стержня.
Выясним, как изменяется величина коэффициента R с ивменением 96 относительной глубины упругого ядра о.
Подставив в 16,3 значения k и k по соог- ветствующим формулам п. 14, сможем определить величину R для разных сечений. Эти же величины могут быть получены де- лением ординат рис. 22 и 23 на ординаты рис. 26 и 27, взятые при одинаковых значениях а. Q
Для двутавра с одинаковыми полками, изгибаемого в плоскости стенки 1
=
Рис. 34. Значения коэффициента R для двутавров
а3 -- 4Pja2
Р,-2а 3 61 • 16'4)
Аналогично можно записать выражение R и для других сечений. На рис. 34 даны значения коэффициента R, определенные по формуле 16,4 кривые В, Из рис. 34 видно, что с увеличением глубины пластических деформаций с уменьшением относительной глубины а упругого ядра значения коэффициента R снижаются довольно быстро, причем это снижение тем значительнее, чем больше относительная площадь полок F Fz чем больше р,.
Поскольку коэффициент R дает отношение моментов инерции jt к Jn, первый из которых определяет величину критической сжимающей силы NK, а второй прогибы стержня, то можно сделать очевидный вывод о значительно более быстром снижении критиче¬
75


ской сжимающей силы, чем жесткости стержня, определяющий его прогибы.
На рис. 34 нанесены также и значения R для двутавра, изгибаемого в плоскости, параллельной полкам, с относительными площадями полок р2 1 и р2 0,5.
Характер этих кривых, в основном, такой же, как и кривых Bt с уменьшением а величина коэффициента R снижается. Однако в зоне 0,5 я 0,7 происходит местный подъем этих кривых,, тем более резкий, чем больше Затем при я 0,5 происходиг
о,в о,о оа ог
■V——
fotvO
Рис. 35. Значения коэффициента R для тавров
скачкообразное падение коэффициента R, отвечающее захвату пластическими деформациями полки F,. Этот скачок также тем больше, чем больше С уменьением р2 величина местного подъема кривой и величина скачка при в 0,5 будут уменьшаться и кривая будет приближаться к кривой, отвечающей прямоугольному сечению 0. Аналогичные кривые значений R для тав¬
ров даны на рис. 35.
Определим теперь, во сколько раз п прогиб внецентренно сжатого стержня в критическом состоянии больше прогиба при краевой текучести.
Будем обозначать все величины для состояния с краевой текучестью индексом 1, а для критического состояния индексом к.
Согласно 13,22 прогиб f внецентренно сжатого стержня при односторонней текучести равен
=
кЕНар
Исходя из этого при краевой текучести
22ат-о„)
16,5)
■KiEha1pl *
i6,6>
76


при наличии полки Fa выозжрнир пс с\
гтояния когпя F n4nli “сражение 16,6 дает прогиб для состояния, когда 3 полностью охвачена теклтргтмп ,пл „
мя мало отлиияртч'о d текучестью, но прогиб весьма мало отличается от такового при краевой текучести'!
Для критического состояния текучести.
f от — Ок)
к KEhaKpK 16,7)
Таким образом, отношение прогибов к и , равно
лХ1Л2’ 16.8)
где
•-£-1; 16.9)
Я’- 16,10)
Поскольку величина П всегда меньше единицы, то, полагая ее равной единице, увеличиваем п.
Проанализируем выражение для п2.
В 16,10 можно подставить, пользуясь формулой 14,28,
1 — 1; Л-£-120, ,; 16,11)
акРк - TJ- К 2а Pi 4-Pa —Pal- 16,12)
Опустив индексы к, получим:
п 1 -f 2р 4- Pa tg 104
— 2а Р, Р,-Р, 10,10)
Определим, величину коэффициента п2 для двутавра при изгибе его в плоскости стенки и в плоскости, параллельной полкам.
Вычисление п2 для этих случаев производится соответственно по формулам:
Л2 а а 2pj 16,14)
Я2 a2-t-pa2a —1 16,15)
Результаты вычислений по формулам 16,14 и 16,15 представлены на рис. 36, из которого видно, что большие значения п2 отвечают малым значениям a .
При малых а возможна потеря устойчивости лишь стержней с весьма малой гибкостью, прогибы которых к моменту появления краевой текучести совершенно ничтожны. Увеличение их в несколько раз не приводит к большим прогибам в критическом состоянии. Наоборот, для стержней со значительной гибкостью, для которых
77


упругие деформации значительны, а потеря устойчивости происходит при малой глубине пластических деформаций а0,7, прогибы увеличиваются немного. Таким образом, прогибы стальных
стержней в критическом состоянии имеют тот же порядок, что и при краевой текучести, и не могут представлять какую-нибудь опасность для конструкции.
17. Точность приближенного метода
При использовании всякого приближенного метода должна быть известна его точность. Поскольку изложенный выше метод является приближенным, то точность его также должна быть выяснена.
В основу этого метода были положены следующие допущения: 1 материал стержня
подчиняется идеализи-
W Ш Ш ОМ ц2 рованной упруго-пла-
Рис. 36. Значения коэффициента п2 для двутав- СТИЧвСКОЙ диаграмме;
ров 2 кривизна стержня
определяется по приближенной формуле у у; 3 плоская форма изгиба стержня
является устойчивой; 4 продольная ось стержня искривляется по синусоиде.
О первом из этих допущений было уже сказано в п. 13,
а о каждом из остальных можно сказать следующее.
Вопрос о точности расчета при пользовании приближенным выражением для кривизны стержня рассматривался рядом авторов. См., -например, С. Д. Лейтес 22. В результате этих исследований было установлено, что при тех прогибах, которые имеют место в стальных стержнях, это допущение не приводит к существенным ошибкам. Поскольку, как это показано в п. 16, деформации в упруго-пластической стадии сжато-изогнутых стержней имеют тот же порядок, что и в упругой стадии, то, следовательно, и в этом случае использование этого приближенного выражения вполне допустимо.
78


Допущение об устойчивости плоской формы изгиба сжато-изогнутого стержня, по существу, и не является допущением, а является методическим приемом, позволяющим раздельно изучать явления плоской и пространственной форм потери устойчивости сжато-изогнутых стержней. В данном исследовании это допущение позволило- детально проанализировать поведение стержней в упруго-пластической стадии и выявить ряд таких закономерностей, которые справедливы и для задачи о пространственной устойчивости таких стержней.
Принятие изогнутой оси стержня по полуволне синусоиды для упругих сжато-изогнутых стержней без поперечных нагрузок в пролете отвечает точному решению на основе допущения 2. Для упругих стержней, несущих, кроме осевой силы, и поперечные нагрузки, а также для стержней, работающих в упруго-пластической стадии, действительная форма искривления отлична от синусоиды, и допустимость принятия ее по синусоиде нуждается в обосновании.
Определение критической сжимающей силы NK по приближенному методу производится по обобщенной формуле Эйлера 6,26.
Совершенно очевидно, что погрешность в величине силыАпо. сравнению с ее точным значением NKp, будет тем большая, чем значительнее изменение глубины упругого ядра а по длине стержня. Наиболее значительны эти изменения для стержней, несущих продольные и поперечные нагрузки и имеющих в средней зоне по длине двустороннюю текучесть, поэтому сравнение и сделаем для такого, случая.
В п. в для двутаврового стержня с двусторонней текучестью по всей длине и несущего сжимающую силу N, концевые моменты М0 и поперечную силу 2Р в середине пролета получена формула 8,2-5 для определения критического значения силы NKp, Эта формула может быть переписана в следующем -виде
Здесь приведенный момент инерции Упр имеет следующее значение:
где 20—момент инерции упругого ядра в концевых сечениях, стержня.
Отношение приближенного и точного значений критических
где 2 момент инерции упругою ядра в среднем сечении стержня.
Для стержней с упругим ядром прямоугольного сечения из
17,3 можно написать
17,2)
сил равно
NK 2 9ia
1 NKp Jap 324 so
17,3)
17.4)
79


где а0 и ас — глубины упругих ядер соответственно в концевых и
среднем сечениях стержня.
С учетом обозначения 8,23 выражение 17,4 можно переписать в следующем виде
•а 2,78-п. 17'5)
ш
Величины пт и Нт являются функциями коэффициента Т, характеризующего поперечную нагрузку, поэтому коэффициент также зависит от отношения поперечной силы 2Р к продольной силе N. Величины коэффициента Ti Для различных значений Т даны в табл. 3.
Как видно из табл. 3, приближенный метод во всех случаях дает результат в запас, причем запас этот увеличивается с ростом коэффициента Г, т. е. с ростом поперечной нагрузки. Такой результат вполне закономерен, так как с ростом поперечной нагрузки по сравнению с продольной, эпюра изгибающих моментов все больше отходит от прямоугольной и, следовательно, глубина пластических зон сильно уменьшается к концам стержня.
Несмотря на то, что, как это видно из табл. 3, коэффициенту во многих случаях значительно ниже, единицы, приближенный способ отнюдь не дает особенно 'больших излишних запасов, так как влияние изгибающих моментов, которые используют большую часть сечения, учитывается достаточно точно, а запас получается лишь в величине сжимающей силы.
Покажем это на примере, когда соотношение нагрузок определяется коэффициентом Т 2.
Согласно табл. 3 для этого случая у 0,0325; таким образом, значение критической силы будет занижено в
0,0325 30,8 раза. 17,6)
Допустим, что в критическом состоянии относительная глубина упругого ядра в среднем сечении стержня равна ас 0,2.
В действительности критическое состояние наступит при значении ат, равном 1
ат — 0,21 0,0325 0,2 • 0,321 0,064.
Определим, насколько изменится Величина изгибающего момента за счет такой неточности в определении величины критического значения ос.
Зададимся двутавровым сечением с одинаковыми полками, площадь которых характеризуется коэффициентом pj 0,5. Примем также 4L 0,1.
°Т
Для такого сечения стержня 0,5; Р0 2.
о


Таблица 3
Значения коэффициента fa лля разных Т
Г
0
од
0,5
1,0
2,0
6,0
10,0
50,0
100,0
т
m
2,78 п*
М
Н,
m
Н
m
fa
Уь
0,5
0,125
0,347
0,70711
0,5
0,696
0,834
0,32087
0,033
0,0917
0,51556
0,2657
0,345
0,587
0,19098
0,0069
0,01918
0,36949
1,1365
0,140
0,374
0,18897
0,0024
0,00667
0,29984
0,0900
0,0667
0,258
0;08579
0,000631
0,001750
0,23223
0,0539
0,0325
0,180
0,04196
0,000074
0,000206
0,15789
0,0249
0,0083
0,0911
0,02277
0,0000119
0,0000331
0,11782
0,0139
0,00238
0,0488
0,00491 0,00247
0,000000118 0,000000015
0,000000328 0,0000000417 0.05407 0,0378
0,00292 0,00141
0,00112 0,000296
0,0335 0,0172


Из 15,6 найдем:
В 0,9 — 0,5 • 0,92 — 0,37.
Величины изгибающих моментов для точного решения М2 и приближенного Afj найдем из 15,5. Отношение их будет равно
.2
В — с
о: 0,22
0,37— 12-2
Mi 12Ро ’ 12'2 0 QQfil
3“ 037 00642--°’ •
в—щ 0,37 ” 12-2
Таким образом, ошибка в величине изгибающего момента составила всего 0,39. Поскольку именно изгибающий момент является основной нагрузкой, то погрешность приближенного расчета в использовании сечения будет совершенно незначительной, находящейся в пределах точности расчета. При этом существенно то, что погрешность 'будет в сторону запаса.
При внецентренном сжатии при Р 0 результат будет иным. Для стержня прямоугольного сечения при двусторонней текучести по всей его длине критическая сжимающая сила будет завышена на 6,5, а при односторонней текучести по всей длине на 4.
Эти результаты совпадают с полученными Ежеком 53.
Прогиб такого стержня с двусторонней текучестью по всей длине по приближенному методу получается преуменьшенным на 3,6.
Таким образом, приближенный метод дает достаточную для
практики точность как в определении -величин критических сил, так
и прогибов стержня.
«
18. Формулы для технических условий и примеры расчета
Простота и достаточная точность полученных формул позволяют использовать их для технических условий проектирования стальных конструкций.
Согласно п. 13, главы IV проверка сжато-изогнутых стержней должна производиться на устойчивость в плоскости изгиба по формуле
tEJzx
18,1)
lx
и на прочность по формуле
NmNT— Na9. 18,2)
Проверка на устойчивость в плоскости, перпендикулярной плоскости изгиба, во всех случаях должна производиться по формуле
• 18,3>
1У
2


Кроме того, в некоторых случаях, как показано ниже в главе XII, должна производиться проверка на потерю устойчивости при изгибно-крутильных деформациях.
В формулах 18,1 — 1в,3 обозначено:
N — расчетная сжимающая сила в стержне; т — эксцентриситет сжимающей силы в сечении в середине расчетной длины стержня;
х — расчетные длины стержня соответственно в плоскости
изгиба и ей перпендикулярной;
— расстояние между центрами тяжести всего сечения и его
упругого ядра;
Рис. 37. Сравнение результатов расчета по предлагаемым формулам и НиТУ 121-55 для двутавров, изгибаемых в плоскости стенки
NT—FR— площадь сечения, умноженная на расчетное сопротивление;
J3x, J2y—моменты инерции упругого ядра относительно его центральных осей соответственно перпендикулярной и параллельной плоскости изгиба. При определении размеров упругого ядра предел текучести материала принимается равным расчетному сопротивлению.
Расчет по предлагаемым формулам дает результаты, несколько отличные от получаемых по формулам НиТУ 121-55.
На рис. 37 даны отношения сжимающих силАк, получаемых
по формулам 18,1 — 18,2, и Ату—по формулам НиТУ 121-55 для двутавровых стержней, изгибаемых в плоскости стенки, а на рис. 38 — такие же отношения для двутавровых стержней, изгибаемых в плоскости, параллельной полкам.
Это сравнение показывает, что действующие НиТУ не обеспечивают равной устойчивости внецентренно сжатых стержней при различных их гибкостях и различных величинах расчетного относительного эксцентриситета е. Поскольку формулы НиТУ являются эмпирическими, то, конечно, предпочтение следует отдать формулам, полученным из предлагаемого метода, решающим задачу теоретически на основе весьма четких допущений.
83


Покажем на примере двутаврового сжато-изогнутого стержня технику расчета без пользования графиками и при помощи них. Дано: N SO т — расчетная сжимающая сила;
М 13,2 тм — расчетный изгибающий момент от по¬
перечной нагрузки;
А
Рис. 38. Сравнение результатов расчета по предлагаемым формулам и НиТУ 121-55 для двутавров, изгибаемых в плоскости, параллельной полкам
L 7,0 м — расчетная длина в плоскости изгиба; К 2100 ksJcm2 — расчетное сопротивление стали.
Поперечное сечение определяется путем подбора или приближенного расчета. Принимаем его согласно рис. 39:
2 X Ю X 200 10 X 400 мм F 2-20 4080 см\
Л =
1-403
12
■2020,52 2—5340—j— 1681022150 cmi
Рис. 39. Поперечное сечение стержня
1055 см;
127716,64 см-
700
ХР 16,64
42.
Расчетное сечение
Л 41 см; t cM;
41 см2; 3 19,5 см2; F2 0. F80 см2; Рх 38 0,476: р30;
Ро 1 0,476 0,476 1,952.
1. Требуемая величина момента инерции упругого ядра
Ш 80000700 , г
TU2 - 2,1 • 10 в 1 890 см формула 6,26]
84


а-12 1890-12
Ш в 1-418 —0,33 формула I4,6f
, Л оо 4 4хЗ.0,476
1 а 0,476— формула 14,7]
Определяем подбором а 0,51.
Расчет на прочность
а -а2 g Pi -0,512 0,51 0,476 Л ойо г, о ПА oai
h 2a pj 20,51 0,476 “ 0,368 формула 14,34]
йь 0,36841 15,1 см.
М — 802,1 — 80 0,151 13,29 шл 13,2 тм. формула 13,27]
При помощи графиков этот расчет выполняется совсем просто:
К -у- 0,0857. формула 14,16]
Из рис. 27 находим a 0,51.
а
Из рис. 29 находим -j- 0,368; ав 15,1 см.
19. О расчете на устойчивость в плоскости изгиба стержней из материала с линейным упрочнением
Многие материалы легированные стали, алюминиевые сплавы, бетон и т. д. имеют криволинейную диаграмму работы. В качестве первого приближения криволинейная диаграмма может быть заменена идеализированной диаграммой с линейным упрочнением рис. 40. Возможен также расчет вместо одного стержня из материала с криволинейной диаграммой двух стержней из материала с идеализированными диаграммами по рис. 40, параметры которых ат и к подбираются так, что действительный стержень оказывается в вилке двух полученных значений критических сил.
Обозначим величины модуля упругости, секущего и касательного модулей опять через Е, Ес и Ек и относительных секущего и касательных модулей и 6 Все формулы п. 7 для определения геометрических характеристик расчетных сечений остаются, конечно, в силе и в этом случае.
Первое расчетное сечение и в этом случае определяется без каких-либо затруднений по величинам относительных секущих модулей или наложением на сечение эпюры нормальных напряжений. Эпюры эти, конечно, могут быть различными. Для случаев односторонней текучести они могут иметь вид, представленный на рис. 41,а.
Второе расчетное сечение определяется величинами опноси- тельных касательных модулей. Для напряженных состояний, представленных на рис. 41,о, эпюры относительных касательных модулей даны на рис. 41,6, а эпюры дополнительных нормальных на-
85


пряжений, возникающих при отклонении стержня от положения равновесия, на рис. 41, в.
Рассмотрим подробнее внецентренно сжатый стержень прямоугольного сечения с двумя шарнирно закрепленными концами. При небольших значениях эксцентриситета и гибкости эпюра нормальных напряжений в среднем сечении будет иметь форму трапеции третья эпюра на рис. 41, а и будет отвечать относительным краевым деформациям г, и г, на рис. 40, Напряжения и о2 определятся из следующих выражений:
JT -- Ек ej—ет; о2 от -f- Ек е2 ет. 11)
Рис. 40. Диаграмма с —е с линей- Рис. 41. Эпюры нормальных напряже- ным упрочнением ний j, относительных касательных мо¬
дулей в и дополнительных напряжений с.
Уравнения равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении стержня записываются в виде
th
-5— ах а2;
№
М s N 7l0 -J- f —0,-0,
19.2)
19.3)
где и А — ширина и высота сечения стержня;
— прогиб в середине длины.
Кривизна оси стёржня в среднем сечении равна
1 еа — 1 Рс Л
19,4)
Принимая искривление оси по полуволне синусоиды, находим
2
■
я2Л
®2 ®l*
19,5)
86


Поскольку разгрузка принята по упругому закону, то момент инерции второго расчетного сечения определяется в этом случае по формуле, по существу являющейся формулой Энгессепа— Ясинского—Кармана,
Л т в
12 VE у з • ут • *
Критическое значение сжимающей силы равно
м tfEth о ,1Qn
К“ 2 32 • ,J2 1У’7)
Критическая сила меньше эйлеровой силы в п раз
п -ХГ“-7 ТйГ- 19,8)
N, • ' '
Величина л, как это видно из 19,8, зависит только от угла наклона второго участка диаграммы работы, характеризующегося относительным касательным модулем 8 .
При малых гибкостях стержня даже при слабом упрочнении материала величина критической силы может быть весьма значительной. Удобнее это показать на величине критического напряжения, которые записываются в следующем виде:
72Е 1Л ЛЧ
к — лоэ — р п. 19,9)
Примем, например, X 20; 6 0,02; Е 2,1 • 106 кгсм2.
В этом случае
тс2-2Л 10 4'—- 3 650 кгсм2.
“ 202 1 0.022 1
Таким образом, такой стержень будет весьма устойчивым, и может создаться впечатление о невозможности для него потери устойчивости и неизбежности исчерпания его несущей способности вследствие исчерпывания прочности материала стержня.
Однако такой вывод нельзя считать обоснованным по следующим соображениям.
Исчерпанием прочности любого стержня следует называть такое его напряженное состояние, при котором во всех точках хотя бы одного из его сечений напряжения равны предельным. Такое состояние сечения называется пластическим шарниром.
Если исключить рассмотренные выше материалы с горизонтальной площадкой текучести, как, например, строительные стали, то можно сказать, что для всех пластичных материалов характерны криволинейные диаграммы работы, становящиеся с ростом напряжений все более пологими и имеющие горизонтальную касательную при пределе; прочности. При таких диаграммах касательные модули с ростом напряжения сжатия понижаются и, наконец, на-
87


ступает такое напряженное состояние, при котором второе расчетное сечение стержня оказывается столь небольшим, что происходит его потеря устойчивости.
Совершенно очевидно, что это будет ранее образования в сечении полного пластического шарнира; таким образом исчерпание несущей способности сжато-изогнутых стержней из пластичных материалов всегда будет происходить в результате их потери устойчивости.
КРИТИЧЕСКОЕ Й ЗАКРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЯ
СТЕРЖНЯ
20. Коэффициент запаса на устойчивость
Полученные выше расчетные формулы позволяют построить зависимость прогиба в середине длины внецентреняо сжатого стержня от величины напряжения oN осевого сжатия при односторонней и двусторонней текучести в среднем сечении по его длине. Эту зависимость будем называть диаграммой прогибов или диаграммой состояний равновесия стержня.
Рассмотрим весь процесс нагружения внецентренно сжатого стального стержня прямоугольного поперечного сечения.
Примем, что сжимающие силы N действуют на концы стержня с одинаковыми по величине и по знаку эксцентриситетами т0 см. рис. 12.
Пока силы N меньше определенного предела, весь стержень находится в упругой стадии. В этом состоянии напряжение от изгибающего момента в среднем сечении равно
Глава V
20,1)
и кривизна в этом сечении
20,2)
С учетом выражения 5,4 можно написать;
Eh -КЛ,
20,3)
откуда
6/
6 6я*
Л
20,4)
88


коаевой текучесггиаведлИва лишь до момента 'появления краевой текучести. Это условие записывается в следующем виде
°ы. би V 20,5)
Подставив в 20,5 значение ои из 20,1 и с учетом 20,3,
°nf
получим
т0
W
1 -
°N
О.
20,6)
Уравнение 20,6 является квадратным по отношению к aN. з решения этого уравнения может быть найдено значение aN при котором появляется краевая текучесть.
6„
•
\
\
\
м
в
С
ч
Л4
д
г. ,
Г
\
>
\
ч
ч
—Р
■
J
6f-
0,04
0,2й h
Рне. 42. Диаграмма прогибов и критических напряжений для прямоугольного стержня гибкостью 20
Для стержня прямоугольного поперечного сечения уравнение- 20,6 принимает следующий вид
6 т0 1
ЭА 3АГ— • — -,ы °т- 20,7)
°т
При увеличении сжимающей силы в стержне появится односторонняя текучесть. Пользуясь формулами п. 13, можно для этой стадии также найти ряд точек диаграммы прогибов. Так же можно поступить и для стадии двусторонней текучести.
На рис. 42 построена зависимость oN от для стержня прямоугольного сечения гибкостью 20. По горизонтальной оси отложены*
89^


G
значения , по вертикальной--. Предел текучести стали принят равным 2 400 кгсм2. т
Участок ОА кривой отвечает упругой стадии работы.
Участок АВ — односторонней текучести в среднем сечении.
Участок ВС — двусторонней текучести.
Кривая ОАМВС имеет максимум в точке М, за которым она медленно снижается.
Кроме кривой ОАМВС, на рис. 42 построена также кривая vKMN — критических напряжений для этого же стержня. Эта кривая получена по обобщенной формуле Эйлера с подстановкой в нее момента инерции упругого ядра в среднем сечении стержня
ок --э3. 20,8)
Поскольку для каждого значения а уже было найдено отвечающее ему значение , то кривая критических напряжений по уравнению 20,8 могла быть нанесена на рис. 42 в тех же координатах.
Кривая KMN, не построена для участка малых значений просгибов стержня, так как она очень круто поднимается вверх и имеет горизонтальный участок с ординатой
о9 я22,1 • 10е о1 с
ат “ 202-2400 — Z1°-
Ha рис. 43 такие же кривые с такими же обозначениями построены для прямоугольных стержней гибкостью 70 и 120.
Каждые две кривые для одного стержня пересекаются в точке М, являющейся максимумом диаграммы прогибов.
Таким образом, каждой величине прогиба в середине длины етержня отвечает своя величина напряжения сжатия sN , определяемая ординатой кривой ОАМ, и своя величина критического напряжения ок, определяемая ординатой кривой LKM. Отношение этих ординат дает величину коэффициента запаса на устойчивость п для данного состояния стержня, характеризующегося про- тибом .
Как видно из рис. 42 и 43, величина запаса на устойчивость п в упругой стадии работы стержня снижается только за счет роста внешней нагрузки N , так как в этой стадии критическая нагрузка остается постоянной участок LK кривой LK.M на рис. 43. После появления пластических деформаций в стержне и постепенного развития их по его объему, величина критического напряжения ак начинает быстро снижаться. В этой стадии работы стержня
коэффициент запаса на устойчивость понижается уже за счет двух причин — за счет роста oN и за счет снижения ок , причем второе превалирует над первым. Состояние, в котором коэффициент запаса на устойчивость становится равным единице, является крити-
90


ярчают ис' 42 и этим состояния от¬
вечают точки м пересечения каждой пары кривых.
Рис. 43. Диаграммы прогибов и критических напряжений для прямоугольных стержней гибкостью 70 и 120
21. Работа сжато-изогнутого стержня в закритической стадии
В статически неопределимых системах стержень, не являющийся необходимым для сохранения геометрической неизменяемости системы в целом, будет при потере им устойчивости работать н в закритической стадии; В этом случае величина отпорности стержня сближению его концов представляет практический интерес, так как она определяет его участие в работе системы в этой стадии.
Графики рис. 42 и 43 позволяют определить эту отпорностъ. Отрезки кривых МВС дают значения напряжений сжатия зы из условий равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении стержня. Как видно из рис. 42 и 43, эти нисходящие ветви кривых опускаются весьма полого.
Отрезки MN кривых критических напряжений ок дают величины критических напряжений для стержней в этой стадии. На всем протяжении закритической стадии критические напряжения ак всегда ниже oN , получающихся из условий равновесия внешних и
'внутренних сил.
Поскольку сжато-изогнутый стержень не может нести нагрузку, превышающую критическую, то в закритической стадии диаграмма прогибов должна также удовлетворять и условиям устой-
91


чивости стержня. Для выполнения обоих этих условий расчет яро Ще всего вести в следующем порядке.
Задавшись глубиной упругого ядра, определяем его момент инерции и по обобщенной формуле Эйлера находим величину критической сжимающей силы для этого состояния стержня. Имея глубину упругого ядра и величину сжимающей силы, находим по формуле 13,22 прогиб стержня.
Такие кривые показаны сплошными линиями на рис. 42 и 4 ветви МР.
€ v
6Т
Рис. 44. Опытная диаграмма сжатия для внецентренно сжатого Н-образного стержня гибкостью 24,4
Таким образом, полная диаграмма прогибов внецентренно- сжатого стержня име.ет вид кривой ОАМР.
Правильность диаграммы прогибов, полученной таким теоретическим путем, подтверждается результатами испытаний.
На рис. 44 дана полная с обратной ветвью диаграмма сжатия центрально сжатого сварного -образного стержня гибкостью'
24,4. Метод построения таких диаграмм подробно описан в работе 10.
При проведении этих испытаний определялись прогибы f стержня и сближение их концов Л Величины эти в докритиче;- ской стадии были практически одинаковыми. Поскольку в закри- тической стадии испытание вести довольно трудно, то определи*
92


лось только сближение концов стержня, а прогибы не определялись поэтому на рис. 44 дана диаграмма сжатия стержня.
Из рис. 44 видно, что характер экспериментально полученной диаграммы сжатия полностью подтверждает резкое падение сжимающей силы в стержне после потери устойчивости и в то же время способность стержня нести уменьшающуюся сжимающую силу и в закритической стадии.
Из этого следует также неправильность диаграмм прогибов или диаграмм сжатия, построенных для закритической стадии без учета того, что в каждом состоянии стержня сжимающая сила не должна превышать критической для этого состояния. До сих пор на это не обращалось внимания и закритические ветви диаграмм строились неправильно, как плавное продолжение, докритической ветви.
22. Характер потери устойчивости сжато-изогнутого стержня
Многие из описанных в литературе случаев разрушения -стальных конструкций мостов, газогольдеров и т. д. из-за потери устойчивости каких-то сжатых стержней носили характер чрезвычайно быстрого разрушения. Объясняется это тем, что в этих случаях терял устойчивость элемент, необходимый для обеспечения неизменяемости системы, которая после этого превращалась в изменяемую и обрушалась.
Однако в статически неопределимых системах, при потере устойчивости лишним стержнем, последний начнет разгружаться за счет передачи части его нагрузки на другие элементы системы, и в таких случаях возможно сохранение конструкцией в целом несущей способности и после потери устойчивости одним или несколькими ее лишними элементами. Сами же потерявшие устойчивость элементы при этом будут работать в закритической стадии.
Совершенно очевидно, что условием, обеспечивающим неизменяемость системы в целом, в случае работы одного или нескольких ее элементов в закритической стадии, является соблюдение неравенства
-§-0, 22,1)
где р — внешняя нагрузка на конструкцию;
f— некоторая характерная е,е деформация.
Выполнение условия 22,1 возможно лишь в тех случаях, когда нагрузка, сбрасываемая потерявшим устойчивость стержнем, будет полностью восприниматься другими элементами системы.
Наиболее простым примером стержневой системы, способной работать в стадии, закритической для некоторых ее элементов, является ферма с перекрестными раскосами.
При проведении испытаний сжатых и сжато-изогнутых стерж-
93


ней, обычно пользуются гидравлическими прессами, в которых величина, создаваемой ими сжимающей силы начинает сразу же уменьшаться, как только концы стержня хотя бы немного сблизились.
В докритической стадии работы стержня сближение концов- стержня идет медленно, и скорость подачи масла в систему достаточна не только для компенсации этого сближения, но и для увеличения сжимающей силы. После же потери устойчивости стержнем продолжение подачи масла приводит либо к появлению резких искривлений стержня, либо к постепенному их увеличению при уменьшающейся сжимающей силе. В этом, втором, случае система стержень — пресс подобна статически неопределимой системе с лишним стержнем, работающим в закритиче- ской стадии. Диаграмма сжатия, данная на рис. 44, является характерной для такого случая.
То обстоятельство, что в одних случаях по достижении критической нагрузки стержень резко искривляется и выходит из работы, а в других деформируется плавно при сравнительно медленно снижающейся сжимающей силе, послужило основанием для различных точек зрения на возможность использования закрити- ческой стадии работы сжато-изогнутого стержня.
Рассматривая этот вопрос, С. А. Бернштейн 2 получил, что стержни малых гибкостей должны резко терять устойчивость, после чего сжимающая сила в них должна снижаться очень быстро; наоборот, стержни больших гибкостей могут выдерживать, критическую сжимающую силу при достаточно большом развитии деформаций, после чего сжимающая сила должна постепенно снижаться.
Экспериментальные исследования сжатых стальных стержней не подтверждают таких выводов. Так, например, диаграмма сжатия, данная на рис. 44, снятая при испытании стержня гибкостью
24,4, более плавная, чем это получено в 2, а потеря устойчивости отдельных гибких стержней происходит очень резко.
Для решения вопроса о характере потери устойчивости необходимо рассмотреть поведение стержня в упруго-пластической стадии.
Независимо от того, центрально или внецентренно загружается стержень в начале испытания, к критическому состоянию он всегда подходит, имея какие-то искривления и, следовательно, работая как сжато-изогнутый. Поэтому следует анализировать именно этот общий случай.
Поскольку величина критической силы NK прямо пропорциональная моменту инерции г упругого ядра, то изменение ее в процессе возрастания нагрузки на стержень имеет такой же характер, как и изменение величин коэффициента ku данное для двутавровых и тавровых стержней на рис. 27 и 28. Разница лишь в том, что в пределах упругой работы стержня величина k сохраняет постоянное значение, ki — 1.
94


С учетом этого можно представить себе характер диаграмм Мк Для стержней с различными поперечными сечениями. На рис. 45 это дано для двутавра с одинаковыми полками, сжатого- с эксцентриситетом в плоскости стедки кривая ABCD. По горизонтальной оси вместо прогиба отложены значения а. Вертикальный отрезок ВС отвечает состояниям стержня при перемещении границы пластических деформаций по толщине полки 7з. Отсутствие наклона этой линии объясняется принятым допущением>
0 нулевой толщине всех полок трехтавра и сосредоточением всей площади каждой полки в точке.
На рис. 45 нанесены также диаграммы сжатия 1, 2, 3, отвечающие стержням с различными гибкостями и эксцентриситетами. Стержню большой гибкости с малым эксцентриситетом отвечает диаграмма 1, средней гибкости — диаграмма 2 и малой гибкости — диаграмма 3.
Полная диалра'мма сжатия стержней 1, 2 и 3 соответственно изображается кривыми: OECD, OF CD, OGD.
Совершенно очевидно, что потеря устойчивости стержня
1 будет очень резкой, так как по достижении им критического состояния действующая сжимающая сила NK окажется в несколько раз больше той, которую может воспринимать стержень после потери устойчивости N3k. Ясно, что столь резкое
сбрасывание стержнем нагрузки должно сопровождаться появлением резких искривлений.
У стержня 2 качественно все происходит так же, однако падение нагрузки будет сравнительно небольшим, поэтому и искривления его будут менее резкими.
Наконец, стержень 3 через критическое состояние перейдет почти совсем плавно, постепенно сжимающая сила будет возрастать все более медленно, затем рост ее, совершенно прекратится и начнется медленное ее падение.
Таким образом, характер потери устойчивости всех трех стержней будет совершенно различным:
Аналогичное построение сделано на рис. 46 для двутавра, сжатого с эксцентриситетом в плоскости, параллельной полкам.
Здесь также построена диаграмма критических сил ABCDE и диаграммы прогибов стержней 1, 2, 3, 4. Вертикальный отрезок CD отвечает перемещению границы пластических деформаций по толщине полки Ft. Полные диаграммы прогибов стержней 1, 2, 3, 4, включая и закритическую стадию их работы, изображаются
Рис. 45. Характер диаграмм прогибов и критических сил для двутавровых стержней-


N
соответственно кривыми: OFCDE; OGCDE; OHDE; OFE. Здесь также диаграмма 1 отвечает стержню большой гибкости, а диаграмма 4 — стержню малой гибкости.
Как видно из рис. 46, для стержня Н-образного сечения резкое деформирование в критическом состоянии будет у стержней
средней гибкости, а более и менее гибкие стержня д будут искривляться в кри¬
тическом состоянии более плавно.
Для тавровых стержней, сжатых с эксцентриситетом в сторону полки, картина аналогична той. которая дана на рис. 4о для двутавровых стержней. Здесь также более гибкие стержни должны в критическом состоянии деформироваться очень резко, а стержни малой гибкости более плавно.
При сжатии таврового стержня с эксцентриситетом в сторону стенки для стержней всех гибкостей деформации в критическом состоянии будут менее резкими.
Таким образом, деформирование сжато-изогнутых стержней в критическом состоянии может иметь различный характер. Это может быть и весьма резкое выпучивание и сравнительно плавное. Из изложенного видно, что различие это связано как с гибкостью стержня, так и с формой его поперечного сечения.
Рис. 46. Характер диаграмм прогибов и критических сил для стержня Н-образного сечения
Глава VI
АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
23. Результаты испытаний на внецентренное сжатие стальных стержней Н-образного сечения из стали марки НЛ-2
В 1952 г. в ЦНИПСе были испытаны на внецентренное сжатие 8 сварных двутавровых стержней из стали марки НЛ-2. Эксцентриситеты сжимающей силы на обоих концах стержня создавались одинаковыми по величине и знаку и совпадали с плоскостью наименьшей жесткости стержней Таким образом для расчетного сечения нужно принять: pt p8 0; рг0; р0 1 р2 см. рис. 24, б Схема испытания всех стержней была одинаковой рис. 47 Каждый из концов стержня через толстую стальную плиту опирался на цилиндрический шарнир; таким образом, в плоскости
96


эксцентриситетов стержень был закреплен шарнирно, а в перпендикулярном направлении закрепление было близким к полному защемле,нию.
Все стержни изготовлялись весьма тщательно. Начальные искривления стержней были незначительными, тем не менее центрировка их перед испытаниями производилась по тензометрам, установленным вблизи концов и в середине расчетной длины стержня и величина эксцентриситета определялась по показаниям тензометров в среднем сечении.
Диаграмма работы материала снималась при испытании на растяжение и на сжатие образцов, изготовленных из тех же листов, из которых изготовлялись стержни. На растяжение испытывались плоские образцы с толщиною 8, равной толщине листа. На сжатие испытывались призматические образцы с квадратным поперечным сечение 8X8 и длиною 4 8, а также пластины толщиною 8 и с размерами 80 X Х80 мм.
Во всех этих также весьма тщательно проведенных испытаниях диаграмма работы стали оказалась весьма близкой к идеализированной упруго-пластической1. Эти испытания показали, что имевшиеся сведения о пониженном пределе пропорциональности у стали HJI-2 лишены оснований и явились результатом нечеткости методики испытаний образцов из этой стали.
В данном исследовании величина предела текучести при испытании всех образцов на сжатие и на растяжение в том числе и образцов, отрезанных от каждой из полос, использованной для изготовления опытных стержней колебалась в ограниченных пределах:
а при испытании пластин на сжатие предел текучести колебался в пределах 37,6—
37,8 кгмм2, при среднем 37,72 кгмм2 из 4 испытаний;
б при сжатии призм соответственно были получены пределы текучести 37,2-г 39,2 кгмм2 при среднем из трех испытаний 38,2 kbJmm2;
в испытание на растяжение плоских образцов материала по методике ГОСТ дало от 37,7 -f 41,8 кгмм2 при среднем из 44 испытаний значении от39,4 кгмм2\
г испытание таких же образцов, но при медленном загруже,-
1 Все испытания стержней и образцов из стали НЛ-2 выполнены под руко¬
водством автора Н. И. Климовым 12.
97
испытания
стержней


НИИ со скоростью 0,03 в минуту дало oT 38,0-f
-т- 38,8 кгям2 при среднем из 4 испытаний от38,2 кгмм2.
Из всех этих испытаний наиболее близко к условиям работы материала в конструкциях подходят схемы испытания а и г. Первая — поскольку нагрузка на торцы пластин передавалась не через жесткий штамп, а через пачку тонких стальных пластин и слой резины, что создавало большую свободу деформирования пластины; вторая — поскольку при медленном нагружении имеется время для более полного проявления пластической деформации. Поэтому не случайно при этих испытаниях величина предела текучести оказалась более низкой, чем при испытаниях по схемам б и в.
Рис. 48. Опытная' и тёорётическая диаграммы прогибов Н-образного
стержня 10
На основании этих соображений для теоретических расчетов опытных Стержней принято единое значение предела текучести от 37,6 кгмм2.
На рис. 48 сплошной линией дана диаграмма прогибов в середине расчетной длины стержня 10, полученная как среднее из показаний двух прогибомеров, каждый из которых фиксировал прогиб одной из полок. По горизонтальной оси на рис. 48 от-
° ложены значения 6 , по вертикальной оси .
Пунктирными линиями на рис. 48 даны теоретические диаграммы прогибов и критических напряжений, определенные по формулам 14,53 и 14,54.
На рис. 48 построена также теоретическая диаграмма критических напряжений -*
Критическое состояние стержня теоретически определяется точкой пересечения диаграмм прогибов и критических напряжений, причем диаграмма прогибов в этом состоянии имее,т макси-
98


Т аблица 4
Экспериментальные и теоретические значения критических напряжений и прогибов Н-образных стержней
м
стержня
ХУ
F в см*
Ci
-II
gK
°т
т0
ТГ
Лоп в т
ffon в тсм*
g6h
оТ
9оп
ок
б А
h
fOTl
6 JL
h
fon
к
f1
к
15
156,8
53,5
2,586
4,47
0,204
0,038
44,8
0,838
0,223
1,092
2,12
2,62
1,230
8
151,9
52,6
2,502
4,14
0,224
0,0273
46,2
0,879
0,234
1,045
2,06
1,58
0,768
10
116,0
63,31
1,548
2,43
0,365
0,0223
88,1
1,391
0,370
1,012
1,06
2,50
2,36
13
85,6
75,7
0,924
1,32
0,510
0,0419
140,8
1,860
0,496
0,975
0,69
0,97
1,45
20
85,8
74,6
0,930
1,373
0,561
0,0246
145,6
1,950
0,519
0,925
0,50
1,04
2,08
19
55,8
75,5
0;390
0,563'
0,622
0,0705
172,8
2,290
0,610
0,980
0,41
0,85
2,07
6
56,2
74,2
0,399
0,573'
0,540
0,1160
149,6
2,015
0,536
0,995
0,7
—
—
3
30,7
76,5
0,1188
0.171
0,702
0,1157
188,8
2,470
0,658
0,938
0,315
—
—


мум. Аналогичные построения были сделаны и для других стержней.
Результаты всех вычислений сведены в табл. 4. Значения коэффициента с, данные в графе 4, определены по формуле, 14,55)
12ат2 ст
С1 тЕЮ Ро °э
В графе 8 записаны величины опытных критических сил Лоп, т. е. максимальных нагрузок, достигнутых при испытании; в графах 9, 10 и И величины напряжений осевого сжатия от этих сил
ооп, доля их от предела текучести и отношение к теоретичес¬
ким критическим напряжениям осевого сжатия ак Из графы 11 видно, что отношения ооП ак для всех стержней близки к единице. В то же время отклонения этих отношений от единицы достаточно закономерны — при больших гибкостях они больше единицы, при средних и малых меньше единицы. Наибольшее снижение; опытной нагрузки против теоретической получено для стержня 20 Xv 85,8 и составляет 7,5. В графах 12 и 13 записаны величины теоретических fTK и опытных °“ прогибов стержня в критическом состоянии и в графе 14— их отношение Для всех стержней, кроме стержней 15 и 8, имеющих гибкости 156,8 и 151,9, опытные прогибы превышают теоретические в 1,45— 2,36 раза.
Для стержней 15 и 8 это отношение значительно ближе к 'единице.
Из сопоставления результатов испытания образцов Н-образ- ного сечения можно сделать вывод о достаточно хорошем совпадении опытных и теоретических критических нагрузок и значительно худшем совпадении отвечающих им прогибов. Последнее объясняется влиянием собственных напряжений, возникших при сварке стержней»
Из этого анализа можно сделать вывод, что имеющиеся в каждом стальном стержне; отклонения от идеальной схемы элемента из упруго-пластического материала сравнительно мало влияют на величину критической нагрузки и достаточно сильно — на деформативность.
Следует, конечно, иметь в виду, что определение экспериментальных значений прогибов стержня при критической нагрузке является в известной степени приближенным, так как в этом состоянии прогибы меняются весьма быстро.
24. Результаты испытаний на внецентренное сжатие стальных стержней двутаврового сечения из стали HJI-2
В 1952 г. в ЦНИПСе были испытаны на внецентренное сжатие 5 сварных двутавровых стержней из стали HJI-2. Эксцентриситеты сжимающей силы на обоих концах стержня создавались
100


одинаковыми по величине и знаку и совпадали с плоскостью
стенки.
Эти испытания были продолжением испытаний, описываемых в п. 23; схема испытаний, тщательность изготовления и центрировки были такими же. Опытные стержни для этих испытаний изготовлялись из тех же листов, поэтому предел текучести материала может быть принят также равным 3760 кгсм2. Сами испытания проведены также Н. И. Климовым 12.
Поскольку концы стержней закреплялись при помощи цилиндрических шарниров, то гибкости в плоскости изгиба Х являются расчетными; расчетные гибкости Хр в перпендикулярном направлении равны
24.1)
При изгибе стержня в плоскости его большей жесткости возможна потеря устойчивости при изгибно-крутильных деформациях, однако здесь будем определять только прогибы стержня в плоскости изгиба и критическую нагрузку, отвечающую такой деформации. Анализ же изгибно-крутильных деформаций будет сделан ниже см. п. 50.
Все вычисления произведены по формулам 14,53 и 14,54 и сведены в табл. 5, полностью подобную табл. 4.
Таб лица 5
Экспериментальные и теоретические значения критических напряжений
двутавровых стержней
стерж-; ыя
X
F в см?
С 1
ат
а
gK
т0
h~
оп
®оп
аоп
аоп
V
в т
в тсм2
ГТ
1
17,3
75,43
0,02153
0,0543
0,1387
237,4
3,15
0,838
30,7-
5
31,9
74,90
0,0715
0,184
0,734
0,1273
199,9
2,67
0.710
0,968
55,6
7
50,2
65,25
0,1687
0,432
0,646
0,1439
139,96
2,15
0,578
0,892
114,0
9
48,8
74.43
0,1698
0,457
0,664
0,1485
172,53
2,325
0,618
0,933
86,1
11
52,0
54,56
0,1700
0,490
0,626
0,1468
115,3
2,115
0,563
0.898
156,6
Из табл. 5 видно, что для этих стержней теоретические значения критических нагрузок во всех случаях оказались ниже экспериментальных на 3,2—10,8, причем даже для стержней примерно одинаковых гибкостей 7, 9, 11 это отклонение различно.
25. Результаты испытаний на внецентренное сжатие сварных Н-образных стержней из стали марки Ст. 3
В 1949 г. в ЦНИПСе автором были проведены испытания на внецентренное сжатие серии сварных Н-образных стержней из стали марки Ст. 3 10.
101


Все стержни испытывались на внецентренное сжатие с эксцентриситетом в плоскости, параллельной полкам.
Надежная диаграмма прогибов снята при испытании стержней пяти типов. Имевшиеся для двух типов стержней повторные испытания дали весьма близкие друг к другу результаты как по величинам критических нагрузок, так и по величинам прогибов, поэтому теоретический расчет сделаем лишь для пяти различных
0Т6ПЖН6Й
Гибкости все стержней колебались в весьма узких пределах X 20 24,4, варьировались же соотношения в размерах поперечных сечений.
Рис. 49. Опытная и теоретическая диаграммы прогибов Н-обрзэного стержня II-6 из стали марки Ст. 3
Все стержни испытывались на шарнирных опорах. Верхний шарнир был сферическим, а нижний цилиндрическим.
Изготовление и испытание стержней производились весьма тщательно. Пределы текучести материала каждой полосы полка или стенка каждого стержня определялись из испытания на растяжение плоских образцов, вырезанных на полную толщину листа.
На рис. 49 сплошной линией дана диаграмма прогибов опытного стержня II-6, полученная как среднее из показаний двух прогибомеров, фиксировавших прогибы каждой из полок расхождения во всех испытаниях были незначительными.
Для построения теоретической диаграммы прогибов и критических сжимающих напряжений предел текучести для каждого из стержней принимался одинковым для всего поперечного сечения и равным оЛ небольшое отличие предела текучести для полки F2 не учитывалось.
102


Таблица 6
ксперимектальные и теоретические аначеИий критических напряжений и прогибов Н-образных стержней из Ст. 3
№
стержня
ху
F в ел*
С,
Jt_
9В
о в см
т0
h
9К
®т
► оп
в т
®оп в тсма
воп
Т
°оп •к
4
6 Т°п h
oil
т
II-6
22,3
32,23
0,0407
0,0588
0,716
0,0388
0,89
65,5
2,03
0,869
0,978
00493
0,1135
2,31
Ш-12
21,0
39,35
0,0373
0,0496
1,03
0,0420
0,89
74,9
1,90
0,816
0,918
0,0488
0,1470
3,02
IV-9
20,5
46,0
0,0375
0,0473
1,35
6,0444
0,88
74,5
1;60
0,688
0,772
0,0512
0.1685
3,30
V-7
23,2
35,32
0,0405
0,0643
0,68
0,0363
0,895
76,7
2,17
0,880
0,985
00462
0,134
2,90
VII-8
24,4
42,24
0,0365
00673
008
0;0356
0,900
878
2,08
0,890
0,990
0.0452
0,125
2.77


Результаты расчетов и сравнение их с экспериментальными данными представлены в табл. 6.
Графа 12 табл. 6 дает отношение опытной и теоретической критических нагрузок для каждого из стержней. Из этой графы видно, что для стержней II—6, V—7 и VII—8 отношение это
весьма близко к единице.
Для стержня III—12 опытная критическая нагрузка ниже
теоретической на 8,2 и для стержня IV—9 на 22,8.
Стержни II—6, V—7 и VII—8 имели свободный вылет полок по 15 толщин, поперечное сечение было достаточно жестким, поэтому местное искривление наиболее сжатых полок практически отсутствовало.
В стержне III—12 вылет полок был равен 20 толщинам и в стержне IV—9—25 толщинам. Это привело к местным искривлениям полок, небольшим в стержне III 12 и значительным в IV за счет чего их несущая способность снизилась.
в’ графе 15 табл. 6 дается отношение опытных и теоретических прогибов стержней в критическом состоянии. Для всех стержней опытные прогибы оказались в 2,31 3,30 раза больше
теоретических, что, в основном, объясняется влиянием собственных напряжений от сварки, а в стержнях III—12 и IV—9 это еще более усиливается влиянием местных искривлений полок с большими вылетами.
26. Выводы из анализа экспериментальных данных
Приведенное в пп. 23—25 сравнение экспериментальных данных для сжато-изогнутых стержней с результатами теоретического расчета этих стержней, выполненного в предположении подчинения материала стержня идеализированной упруго-пластической диаграмме работы и отсутствия в стержнях каких-либо отклонений от идеальной схемы, показало, что несущая способность стержней таким расчетом оценивается достаточно точно. Наилучшее совпадение теоретических и опытных значений критических сил имеет место у стержней малых гибкостей. Несколько большее расхождение наблюдается у стержней больших гибкостей 120—150; для всех них опытная критическая нагрузка оказалась до 10 выше или ниже теоретической.
Сравнение опытных и теоретических деформаций для этих же стержней показало, что расхождение между ними в ряде случаев значительно больше, причем так же как в ту, так и в другую сторону.
У стержней малых гибкостей опытные прогибы в 2-3 раза превышают теоретические, у стержней больших гибкостей онк иногда меньше теоретических.
С учетом действительного значения предела текучести полки это снижение равно 6, что определено в работе 8.
104


это указывает на то, что теоретический расчет стержней, как идеальных элементов, лишенных каких-бы то ни было отклонении от идеальной схемы, не позволяет выяснить их действительное поведение под нагрузкой и достаточно точно определить их несущую способность и величину деформаций.
Глава VII
СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ В КОНСТРУКЦИИ
27. Работа стержня в сквозной конструкции
В строительстве широко применяются стержневые конструкции, расчетные схемы которых обычно принимаются в виде системы стержней, соединенных в узлах идеальными шарнирами. К числу таких конструкций относятся всевозможные фермы, мачты, башни и т. д.
Нагрузки на такие конструкции обычно передаются только в. их узлах, поэтому все стержни считаются работающими на осевые усилия как центрально сжатые или центрально растянутые.
В отличие от расчетной схемы в действительных конструкциях узлы, как правило, делаются жесткими, в связи с чем в стержнях появляются изгибающие моменты. К этому же приводят и начальные искривления стержней, неизбежно возникающие при изготовлении конструкции.
В сплошном стержне изменение расстояния между двумя точками одного продольного волокна определяется диаграммой работы материала стержня и величиною напряжения в этом волокне. Подобно этому изменение расстояния между двумя смежными узлами стержневой конструкции определяется диаграммой работы соединяющего их стержня и величиною осевого напряжения в нем.
Как показывают вычисления и испытания стержневых конструкций, растянутые стержни с достаточной для практики точностью могут считаться работающими по линейному закону; таким образом диаграмма работы для них может приниматься прямолинейной.
В сжатых же стержнях в ряде случаев наблюдаются существенные отклонения от линейного закона деформирования и, следовательно, их диаграмма сжатия будет криволинейной, что имеет существенное значение для оценки поведения конструкции, под нагрузкой и ее несущей способности.
Исходя из этих соображений, оказывается необходимым знать, диаграммы сжатия и определенные параметры их для сжато-иэо- гнутых стержней в упруго-пластической стадии.
105


28. Диаграмма сжатия искривленного стержня в упругопластической стадии
Сближение концов искривленного стержня складывается из сближения за счет укорочения оси и за счет ее искривления
Д Дс Д„. 28,1)
Точное определение каждого из слагаемых в правой части
28,1 для упруго-пластической стадии работы стержня требует уче;та переменности глубины пластической зоны по длине стержня, а также различной в каждом отдельном случае формы искривления его продольной оси. Такие вычисления возможны лишь для конкретного случая.
Для получения более общего решения используем, как и прежде, приближенный метод, основанный на допущениях, что глубина пластической зоны постоянна по длине стержня и что искривления его оси происходят по полуволне синусоиды.
При таких допущениях для стержня с двумя шарнирно закрепленными концами можно написать
а т EF.
Э
2
ГГ-
28,2)
28,3)
Здесь F —площадь первого расчетного сечения;
—прогиб в середине длины стержня, искривленного по полуволне синусоиды.
Подставив эти значения в равенство 28,1, получим
д тг- Ф. 28,4)
где
Fjm т£Е
Тмг2- 2’5>
Зная величину сближения концов А, можно построить диаграмму сжатия для всего стержня в целом. Удобнее это сделать для относительных деформаций. Назовем относительным сближением концов стержня г величину отношения
28,6)
106


Если бы стержень был прямым и работал в упругой стадии на центральное сжатие, то относительное сближение его концов было бы равно £0
ЛГ °Т ,
— F. - — S
где
Характер диаграмм сжатия для прямого и искривленного стержней дан на рис. 50.
Имея диаграмму сжатия, можно определить относительные секущий и касательный модули для всего стержня, которые обозначим соответственно 11с и ес
Относительный секущий модуль ijc для точки диаграммы с коорди- s с учетом
натами
'ЛМ
28,6 равен
28,7)
=
Рис. 50. Диаграмма сжатия сжато-изогнутого стержня
ic
28,8)
Аналогично относительный касательный модуль для этой же точки диаграммы
1 dsM
28,9)
N
Лг
Продифференцировав выражение 28,6, получим
28,10)
и, следовательно,
от
d3
N
28,11)
Поскольку прямую зависимость между oN и установить сложно, то удобнее обе эти величины выразить в функции относи¬
тельной глубины упругого ядра представить в следующем виде:
ес—
с ®т
а После этого 28,11 можно
daN
da
dty
dT
28.12)
107


Согласно 14,53 для oN
С2)
можно написать
'N
Сз а 1
2с, I I 2cj
Продифференцировав 28,13 по а , получим
28,13)
1
da
N
da
1
2 с*
dCj
da
. 9 dc%
°2 da 1
da
V c2“4clc3
28,14)
В 28,5 фунцией а являются следующие величины:
°n j c учетом этого, продифференцировав 28,5 no a, получим
— J I f
da ° 1 Г'
da
N
4 da
— A'
d7
da
2£ dt
2r • -jr. 28,15)
Все входящие в выражения 28,14 и 28,15 величины, зависящие от а, связаны с формой поперечного сечения стержня. Для получения достаточно общего решения рассмотрим опять обобщенное трехтавровое сечение.
Деформация и эпюра напряжений при односторонней текучести на глубину менее- половины высоты трехтаврового сечения представлены на рис. 51. Глубина упругого ядра в сечении а, радиус кривиз¬
ны р
Рис. 51. Напряжения в сечении трех-
p w-- hi — а. 28,16}
тавра
Из подобия треугольников на рис. 51 можно написать
W —
аа.
ат —
28,17)
Фиктивное напряжение оу , отвечающее плоскостному распределению напряжений в сечении, равно
Р -f у
а a J—UL У т W
28,18)
108


Секущий модуль для точки сечения, удаленной на у от центра тяжести О, равен
£с £— 28,19)
Чу
Относительный секущий модуль
Ч - 77 • 28,20)
Согласно рис. 51 условие равенства внешней силы внутренним силам в сечении можно написать в следующем виде
N — Fan FaT — F1яг — а, §-,— , —
28,21)
откуда
2Fa jt — aN)
°т ai tat 2а F2 - F2h *
Разделив числитель и знаменатель на Й2, получим
2а дт адг Ро оо ООЛ
т 1 2ар1 р2-р2 28,22)
т ™ Ст ч • 28,23)
1 h 2р0ат — а„ V /
Разделив 28,17 на h и подставив значение 28,22, найдем
w ст д2 Н 2а Pi Ч Ра — Рз]
jn'
Аналогично из 28,16 можно написать
-f Wi T-. 28,24)
где
Л,
Ч1Г
Площадь первого расчетного сече,ния может быть выражена в следующем виде
Л, - Л V at 7ibr 1 7Т7 ы’ 2825)
a—hi
Вычислим значения, входящие в 28,25:


Подставив в 28,25 значенйя 28,26 и 28,27, найдем
Р.®, ®i1п-- 28.28)
Аналогично можно найти и статический момент первого расчетного сечения
S,--FA r,4--AJ fa-f-Ai ТТ- +
J' -ру dy. 28.29)
a—hi
Интеграл, входящий в 28,29, равен thw, jzfjdy fA2®il — — таг. 7 — а In -J-J 28,30)
a—hi
Подставив 28,30 в 28,29, получим
S,- РхТ Р, 4- - т “ -Т - т Р® I - т +
®1 1 — а — щ ге1 х- in -JLj 28,31)
Имея значения Sv и Fv, можно найти
Ц ф- 28,32)
ч
Запишем также в развернутом виде выражения оэффициен- °В Согласиб 14,55, 14,27, 14,28)
; Ct-Cx Ci 6-j-ep; c„ 6Axp; 28,33)
Ч -- 2ар1 р,-р1; 28,34)
с “ -pj- - 2‘ 6аг 6а — р, 2кр, 2, +
ер24--т. 28,35)
11#


После всех этих выкладок можно получить значения ecexv производных, входящих в 28,14 и 28,16:
-зг т£-р1 М; 28.36)
-г 1C -’ 2т 2-г р, рг - р,; 28,37>
dF' r h Tl I П dW 1 1 dW' Щ dW2 1 Oft ftftS
l p,in — -ц-j; 28,38)
ЯГ 2 К - P. W 2 +
2aps-p2- 28,39-
. 1 ч dW1
da Wi 1 — a2
28,40>
Дя оси стержня, искривленной по полуволне синусоиды,, можно написать два выражения для кривизны в среднем сечении:
Т 28,41)
откуда
iEa
-£пг °т — ai- 28,42)
С учетом 28,17 это выражение можно переписать в следующем виде:
“ • 28.43)
И 28,43 получаем
df aT2
a
Я9£Л,2 rfa
28,44 >
Этих формул достаточно для определения относительных секущего tc и касательного 0С модулей для сжато-изогнутого трехтаврового стержня при односторонней текучести, в его сред-
111


нем сечении. Если стержень имеет полку F2 и текучесть захватывает более; половины высоты сечения, то полученные формулы должны быть скорректированы.
29. Пример расчета таврового стержня
Рассмотрим в качестве примера тавровый стержень, составленный из двух равнобоких уголков, имеющий начальное искривление со стрелкой н 0,05 h в таком направлении, что вогнутость будет со стороны стенки пера. Оба конца стержня будем считать шарнирно опертыми. Гибкость стержня в плоскости изгиба примем равной X 80. Для такого стержня Рг Рз 0 рх 1; р0 2 см. рис. 24, д.
Геометрические характеристики стержня:
tJ£-0,25;
F2th; l -th i2-A2; 29,1)
X -- 80; 29,2)
667. 29,3)
До достижения краевой текучести стержень работает в упругой стадии,
Условие краевой текучести
3 —Ун' °т. 29.4)
где
Л—— см. формулу 5,14. 29,5)
1 — -JL
Подставив значения 29,5 в 29,4, получим квадратное уравнение для определения напряжения осевого сжатия в момент появления краевой текучести kr )
“иГ 10, 29,6)
откуда находим
112
т0,603.


стержней, сжатых с эксцентриситетом в сторону пера стенки.
Стрелка н начального искривления для всех стержней принята одинаковой и равной 0,05 к
Все диаграммы прогибов, начинаясь от точки с координатой 5 0, н—криволинейны; поднимаясь вверх, достигают мак¬
симума и медленно начинают снижаться.
На рис. 52 построены также и диаграммы критических напряжений для этих же стержней.
Диаграмма критических напряжений снижается и пересекает диаграмму прогибов в ее максимуме. Эта точка пересечения обеих диаграмм дает величину критического напряжения сжатия для стержня.
В закритической области построены только диаграммы прогибов, удовлетворяющие условию, что действующая сжимающая сила равна критической.
На рис. 53 аналогичные диаграммы построены для тавровых стержней гибкостью 80, 100 и 120, сжатых с эксцентриситетом в сторону полки.
О 0,2 0,4 0,6 ОД 1,0 1,2 1,0 £
Рис. 52. Диаграммы прогибов и критических напряжений для тавровых стержней с начальным искривлением
н б,Оо Л
113


Сравнивая кривые для одинаковых стержней на рис. 52 и 53, можем определить отношение критических напряжений ак для случая эксцентриситета в сторону стенки к критическому напряжению ок при эксцентриситете в сторону полки.
Для тавровых стержней при гибкостях 80, 100 и 120 эти отношения оказываются равными соответственно следующим величинам:
‘£w°’825; S50'765: -да-0’718-
Таким образом, начальные искривления с вогнутостью в сторону сте,нки приводят к значительно большему снижению несущей способности таврового стержня, чем искривления с вогнутостью в сторону полки.
Рис. 53. Диаграммы прогибов и критических напряжений для тавровых стержней, сжатых с эксцентриситетом в сторону полки
Построим теперь диаграмму сжатия для рассматриваемого таврового стержня. Гибкость стержня примем равной 80.
1 1; Р2 Рз 0; ро2; -Ц 667; Т 0,25.
Подставив эти значения в расчетные формулы п. 28, получим
Fn th 1 -1- а wx In
wx 1 —- w]
29,8)
5, th Г- 0,25 - 0,5a a - 0,5 zei, 1 — a -w,о,40,25 — aIn -Ja 1 .
29,9>
114


Используя 28,43, получаем
w, •
ат2Л
те2 Eh f гс2.2,Ы0°/
2“-'1 0,462 ±,
♦-Jr- 0,094-Cl)
29,10)
29,11)
Состояния стержня характеризуются значениями а, и 6--.
Для каждого из этих состояний по формулам п, 28 определены величины .
Относительный секущий модуль определяется по формуле
где
.к vflEfHh
4ат2
29.12)
29.13)
По результатам этих вычислений на рис. 54 построена диаграмма сжатия для рассматриваемого стержня. По вертикальной и горизонтальной осям отложены безразмерные параметры £ и , пропорциональные соответственно величинам напряжения осевого сжатия oN и сближения концов стержня Д.
На рис. 54 построена также кривая тс значений относительного секущего модуля для стержня в целом ординаты ttjc увеличены на 0,1 во избежание пересечения диаграмм.
Как видно из рис. 54, диаграмма сжатия сравнительно слабо отклоняется от пунктирной линии, являющейся диаграммой сжатия прямого центрально сжатого упругого стержня, а значения тс для всех состояний стержня близки к единице.
Пользуясь формулами п. 28, можно определить значения относительного касательного модуля для ряда точек диаграммы сжатия, т. е. для ряда состояний равновесия стержня. Найденные значения относительных касательных модулей также нанесена на рис. 54 кривая 0С. Кривая 0С очень резко падает вниз на небольшом участке изменения отвечающем упруго-пластической стадии работы стержня.
Для значения а 0,74 величина бс получилась отрицательной, что указывает на некоторую неточность в определении параметров критического состояния, для которого должно быть 0С 0 вследствие того, что критическому состоянию стержня отвечает максимум на диаграмме прогибов.
Величина с для стержня в целом, найденная по его диаграмме сжатия, определяет его отпорность сближению концов. В любой конструкции, в которой такой стержень работал бы на сжатие, он должен вводиться в площадь первого расчетного сечения конструкции с площадью rjc F.
8*
115


Рис. 54. Диаграммы сжатия тавровых стержней и величины чс и 0С при X 40, X 60 и X — 80.


Величина 0С для стержня в делом, найденная по его диаграмме сжатия, определяет его отпорность отклонениям от достигнутой величины сближения его концов. В любой конструкции, в. которой такой стержень работал бы на сжатие, он должен BBOi диться в площадь второго расчетного сечения конструкции с площадью 8С F.
Подобные же вычисления сделаны и для тавровых стержней гибкостью 60 и 40. В этих стержнях также приняты начальные искривления со стрелкой в середине длины н 0,05 h в таком направлении, что более сильно сжатой является стенка профиля. Полученные для них диаграммы сжатия, и 0С также, нанесены на рис. 54.
Отношение начального прогиба к длине каждого из стержней может быть определено из следующих соотношений:
-j- -j— 0.323Х; 29,14)
4—4- 4—6.46Х. 29,15)
Ун п Ун
Значения отношений длин стержня к стрелке начальных искривлений, вычисленные по формуле 29,15, даны в табл. 7
Таблица 7
Стрелки начальных искривлений н для рассчитанных стержней
X
120
100
80
60
4а
/
776
646
516
388
258
н
Как видно из табл. 7, диаграммы, построенные на рис. 54, отвечают сравнительно большим начальным искривлениям.
Если учесть, что фактические начальные искривления весьма часто превышают ,0,001, то можно считать, что рассчитанные стержни достаточно близки к встречающимся в элементах стальных конструкций.
При наличии начальных искривлений, как это видно из рис. 54, относительные секущие и касательные модули начинают уменьшаться с самого начала нагружения, даже в упругой стадии работы стержня.
Относительный секущий модуль гс существенно отклоняется от единицы только в стержнях малых гибкостей, пластические деформации в которых развиваются на значительную глубину. При гибкости 40 величина vjc для критического состояния стержня равна 0,8889, т. е. понизилась на 11,1.
Относительные касательные модули в упруго-пластической стадии работы резко снижаются и для критического состояния вс 0.
117


Полученные формулы и примеры расчета показывают, что отпорность стержней в сквозных конструкциях меняется с ростом усилий в этих стержнях, что, естественно, влияе,т и на всю конструкцию в целом. Характер этого влияния рассматривается в следующей главе.
Глава VIII
СКВОЗНОЙ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЙ СТЕРЖЕНЬ
30. Исходные положения
Деформации сдвига, вызывающиеся касательными напряжениями, имеются во всех сжато-изогнутых стержнях. В сплошных стержнях эти деформации невелики и в большинстве случаев не имеют практического значения. Исключение составляют сравнительно короткие балки, нагруженные большими поперечными нагрузками. В составных стержнях, имеющих податливые на сдвиг соединения, эти деформации более, значительны и должны приниматься во внимание.
В 1891 г. Ф. Энгессер предложил метод учета влияния сдвигов на деформативность и устойчивость составных стержней. Впоследствии этот метод был развит С. П. Тимошенко и другими.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси упругого стержня с учетом деформаций сдвига принимает следующий вид:
t,'1-w-S-o. 30,1)
Здесь ц — числовой коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, для определения которого А. Р. Ржаницын 34 дает следующую формулу:
I1 J2 J £2 30,2)
н
где Ъ — ширина сечения;
статический момент части сечения, лежащей выше полоски dh.
Решение уравнения 30,1 записывается в таком виде:
v'ClsixLkz C2coskz. 30,3)
30’4)
Из выражений 30,3 и 30,4 значение, критической силы для стержня длиною I с двумя шарнирно закрепленными концами получается из условия С2 0; kl те. Это дает
118


Nt
tEJ
кр
30,5)
Это значение критической силы как и исходное для него уравнение 30,1 могут рассматриваться только как приближенные. Они получены на основе гипотезы плоских сечений и пропорциональности сдвигов поперечной силе, в то время как при наличии деформаций сдвига поперечные сечения стержня не остаются плоскими, а пропорциональность между сдвигами и поперечной силой не всегда имеет место.
Для устранения этого противоречия А. Р. Ржаницын рассматривал составной стержень как систему продольных ветвей, соединенных податливыми связями связями сдвига и поперечными, через которые происходит передача касательных и нормальных напряжений.
До конечных формул А. Р. Ржаницын довел решение лишь для случая жестких поперечных связей, т. е. для случая неизменного расстояния между ветвями составного стержня.
Для сквозного стержня, ветви которого имеют такие сечения, что их собственные моме,нты инерции малы по сравнению с общим моментом инерции, А. Р. Ржаницын приходит к формуле Энгессера-—Тимошенко:
где Fp — площадь сечения раскоса, р — угол наклона раскоса.
В. В. Пинаджян 31показал, что формула 30,6 дает сильно завышенное значение критической сжимающей силы. Для трех рассмотренных им сжатых стержней это завышение составило 45—160. Ввиду этого В. В. Пинаджян считает необходимым принимать во внимание дополнительные сжимающие силы в раскосах, вызванные, общими деформациями сквозного стержня, а также начальные искривления в раскосе и эксцентриситеты в его креплениях к ветвям. Для учета этих факторов предлагается приближенная формула.
Правильное предложение В. В. Пинаджяна страдает, однако, тем недостатком, что отклонения от идеальной схемы учитываются только в элементах решетки сквозного стержня, а ветви считаются свободными от таких отклонений.
Ниже рассматривается сквозной стержень, все элементы которого — и ветви и раскосы — работают как сжато-изогнутые стержни.
31. Сквозной стержень с большой жесткостью на сдвиг
Рассмотрим сквозной внецентренно сжатый стержень с двумя поясами фиг. 55. Обозначим всю длину стержня L, длину одной панели пояса ветви .
vEJ
30.6)
119


Будем пока считать стержень достаточно жестким на сдвиг и деформациями сдвига пренебрегать.
Сохраним прежние допущения:
а продольная ось стержня искривляется по полуволне синусоиды;
б плоская форма изгиба является устойчивой.
Способность сквозного стержня сопротивляться деформациям определяется способностью отдельных панелей пояса про-
д тивод ействов ать сближению их концов, т. е. сбли- жению узлов сквозного стержня.
Величина сближения концов одной панели
определяется ее диаграммой сжатия.
В силу этого расчет сквозного стержня на Fz прочность, деформативность и устойчивость должен - производиться по его первому и второму расчетным ' сечениям. Геометрические характеристики расчетных сечений определяются формулами 7,1 — J 7,6, в которые должны подставляться величины относительных секущего с и касательного Вс модулей, определенные из диаграммы сжатия панели пояса.
В сответствии с допущением об искривлении всего стержня по полуволне синусоиды, его жест-; кость по длине должна приниматься постоянной и равной жесткости в среднем сечении. На основании этого все геометрические характеристики расчетных сечений следует определять из диаграммы сжатия средних панелей поясов, если в других панелях величины этих характеристик не будут существенно ниже.
1лг Будем считать, что сквозной стержень имеет Рис. 55. Сквоз- два пояса с площадями сечений F и F2 и соедини-
тренно сжатий тельнУю решетку, жесткость которой на сдвиг при- стержень нимаем пока бесконечно большой.
Геометрические характеристики действительного поперечного сечения такого стержня равны: площадь поперечного сечения
F-Pi F,;
31,1)
расстояние от центра тяжести сечения до менее сжатой полки F\
Я1 =
f2h
момент инерции
Ft +
31,2)
31,3)
От действия нагрузки на стержень в средних панелях обоих поясов возникнут усилия N j и N2 и соответственные деформации*
120


которые будут отвечать сближению концов панелей А и л/
СИЛим может быть как сжимающим, так и растягивающим в зависимости от величины сжимающей силы нГвесь стеожень и изгибающего момента М в его среднем сечении Р
awnrnv41151 отн°сительных секущих и касательных модулей для каждого из поясов обозначим tj,, т2, 0ь 0.,.
ри таких обозначениях геометрические характеристики первого и второго расчетных сечений сквозного стержня можно записать в следующем виде:
площади расчетных сечений
e Yi h 225 -f- 81,4)
статические моменты расчетных сечений относительно центра тяжести действительного сечения
S, -Ь H-HJ; So - +
FAH-Hi; 31,5)
координаты центров тяжести расчетных сечений
-jp- ; aQ - ; 31,6)
ч в
моменты инерции расчетных сечений относительно центральной оси действительного сечения
AJjrrLF,viI F1ri2; Е,Н2 ТА Л; 31,7)
моменты инерции расчетных сечений относительно их соб¬
ственных центральных осей
J1£p. ; 31,8)
7 в
Вводим обозначения:
П14-; п2т- 31-9>
откуда
Jj e ttJ J2 27. 31,10)
Сравнивая выражения 31,8, видим полную их аналогию. При замене через 0 или наоборот одно переходит в другое. Поэтому исследование можно провести только одного из них а полученные результаты отнести к обоим.
Весьма часто сквозные стержни имеют одинаковые площади
поперечных сечений обоих поясов. В этом случае Л F2 -- ;
Я


Подставив эти значения в 31,8, найдем:
L' I 0102
—-
Из 31,3 получаем
. =
о, ь.
Подставив 31,11 и 31,12 в 31,9, получим
2т11а - 29 А
я, =
По =
31,11)
31,12)
31,13)
41 4а ’ 2 9i92
На рис. 56 даны значения п2 ti для различных значений
bi4i и 0ат2.
Как видно из фиг. 56, с уменьшением величин 0 tj коэффициент п2 aii ве,сьма быстро уменьшается.
Имея геометрические характеристики расчетных сечений, можно написать формулы для расчета сквозного стержня на прочность, деформативность и устойчивость.
Если F площадь менее сжатого пояса сквозного стержня и F2— площадь более сжатого, то расстояние Н от центра тяжести сечения до центра полки F определяется из 31,2. Усилия в обеих полках будут равны
•; 31-14 31,15)
322


Кривизна оси стержня равна:
гс =
е2 —
7Г1-’ 31,16)
где и с2 относитесьные сближения концов панелей поясов, равные
Ь—31,17)
Прогиб в середине длины стержня равен
х Л2
5Г-—Н - i. 31,18)
Подставив в 31,18 значения 31,17, а затем значения 31,14 и 31,15, найдем
шг ’ 31,19)
В vL Х
X тяг тйг 31-20)
Из 31,20 можно написать:
- F, ■ Лч.Я, - Р2ъ Я- Я, m0F,. 31,21)
Разделив 31,21 на F а Потом на выражение в квадратных
скобках, получим
т°Га' , -31,22)
Л-1
N
где
а, ф-яЛ11,2-11; 31,23)
я; -1- 31,24)
Полный эксцентриситет сжимающей силы N в среднем сечении сквозного стержня равен
, , т0 — Л-
fttff “f- f CL-цШо Пт -f- 31,25)
IF-1
123


куда
Яо —а,, =
m0 —
77“
яГ
31,26)
1 -
Формула 31,22 позволяет определить прогиб сквозного стержня в середине его длины, если известен эксцентриситет т0 в концевых сечениях.
Критическая сжимающая сила NK по общей устойчивости' сквозного стержня определяется по формуле
2 EJ2
TV -
31,27)
где Ji принимается согласно 31,8. G5(
Cl'f]
Ряс. 57. Значения для стержней с двумя одинаковыми поясами
Подставив значения NK и N в 31,22, получим прогиб стержня к в критическом состоянии
л
т0
J2
31,28)
Для удобства вычисления значений на рис. 57 даны графики для стержней с одинаковыми площадями поясов Fi F2. Для этого случая из 31,23 можно получить

Н 2 Ча)
31,29)
вода.
124
Из формулы 31,27 можно сделать весьма существенные вы-


Из не,е следует, что величина критической сжимающей силы NK пропорциональна величине 2 см. вторую формулу 31,81 К числитель 31,8 входит произведение относительных касательных модулей и для обоих поясов стержня. Если хоть -один из этих модулей 0, или 02 равен нулю, то равны нулю также 2 и NK.
Выше было показано, что на диаграмме сжатия отдельного сплошного стержня его критическое состояние определяется наивысшей точкой диаграммы, для которой абсолютный и относительный касательные модули равны нулю. Совершенно очевидно, что все это относится и к каждой отдельной панели пояса сквозного стержня.
Таким образом, потеря устойчивости отдельной панели пояса, т. е. достижение сквозным стержнем такого состояния, при котором момент инерции его второго расчетного сечения равен нулю, возможна только при отсутствии сжимающей силы, внешней для сквозного стержня, либо в случае нулевой его длины.
Следовательно, потеря устойчивости отдельных панелей пояса возможна только для сквозных стержней, не несущих сжимающей силы, а нагруженных лишь поперечными нагрузками
К числу таких стержней относится большинство ферм покрытий и других, работающих, в основном, на изгиб.
В то же время все сжато-изогнутые сквозные стержни, к числу которых относятся и центрально сжатые, теряют общую устойчивость раньше достижения критического состояния отдельной панелью пояса. Чем больше общая гибкость сквозного сжатоизогнутого стержня, тем ближе к единице должен быть коэффициент п2 из 31,10 и относительный секущий модуль б2 для Золее сильно сжатого пояса и тем значительнее снижение критической сжимающей силы для всего сквозного стержня по е,го общей устойчивости По сравнению с сжимающей силой, отвечающей потере устойчивости отдельной панели пояса. И, наоборот, чем меньше общая гибкость сжато-изогнутого сквозного стержня, тем меньше разница в этих сжимающих силах и тем ближе друг к другу критические состояния всего сквозного стержня по его общей устойчивости и отдельной панели пояса по ее устойчивости.
Отсутствие прямой связи между критическими нагрузками, отвечающими этим двум формам потери устойчивости сквозного стержня можно показать на следующем примере: представим себе, сквозной сжато-изогнутый стержень с поясами из труб, имеющих внутри пружины, на которые и передаются сжимающие и растягивающие усилия рис. 58.
Величина критической сжимающей силы, при которой будет возможна потеря устойчивости сжатой трубчатой панели, определяется жесткостью трубы на изгиб, а величина критической
Речь идет только о двухпоясном сквозном стержне.
125


сжимающей силы всего сквозного стержня по его общей устойчивости зависит от жесткости пружины. Поскольку соотношения ме,жду жесткостями трубы и пружины могут варьироваться в любых пределах, то можно утверждать, что каждая из двух указанных форм потери устойчивости определяется своими параметрами и критические сжимающие силы,’ им отвечающие, могут сильно отличаться друг от друга. При этом в случае податливой на сжатие пружины и трубы с большой жесткостью критическая сжимающая сила по общей устойчивости сквозного стержня будет значительно ниже критической силы по устойчивости панели пояса. В обратном случае — при жесткой пружине и слабой трубе — последняя начнет искривляться при приближении к своему критическому состоянию, основная часть сближения концов панели пояса будет определяться этим искривлением и общая потеря устойчивости сквозного стержня будет обусловлена искривлением трубы. В этом случае разница между двумя указанными критическими силами может быть небольшой.
Рис. 58. Сквозной стержень с трубчатыми поясами
32. Сквозной стержень с деформируемой
решеткой
До сих пор решетка сквозного стержня считалась абсолютно Жесткой на сдвиг и поэтому прогибы стержня и критическая сжимающая сила для него определялись только деформативностью поясов. Однако ясно, что и деформативность сквозного стержня, и его устойчивость зависят также и от жесткости решетки.
Для сквозного стержня с раскосной решеткой критическая сжимающая сила может определяться по известной формуле;
30,6, которая в соответствии с изложенным выше должна быть переписана в следующем виде:
1
kEJ2 4£eprptf2ces3p
32,1)
где J.t— момент инерции второго расчетного се,чения сквозного стержня;
9р — относительный касательный модуль, взятый с диаграммы сжатия раскоса.
Формулу 32,1 можно представить в таком виде
2£3 I*
5,
32,,2)
126


где
1
1 д2Уа2 32,3)
i cos3 ср~
ср—угол наклона раскоса см. рис. 55. тех случаях, когда и пояса и раскосы сквозного стержня
ктМ™11ирнтя°:Т0ЯНИЯХ’ бЛИЗКИХ к их линейной работе, величина коэффициента 5 сравнительно ведика
Например, при
4—Ю; ф 45°; h 9
; Т 40pFp2
Из 32,3 получаем
5 =
1 +
1 1 10-20 Г 0,57 =
100-0,73
Однако в тех случаях, когда раскосы имеют повышенную де- формативность, величина может сильно уменьшиться и второй член в знаменателе в 32,3 будет стремиться к бесконечности, а 5 — к нулю.
Критическому состоянию сжатого раскоса решетки сквозного стержня отвечает нулевое значение его относительного касательного модуля ь., при котором 5 0 и NK 0. Таким образом, потеря устойчивости сжатого раскоса также возможна лишь в тех случаях, когда сквозной стержень не несет внешней сжимающей силы. При наличии же внешней сжимающей силы прежде потери устойчивости сжатым раскосом произойдет общая потеря устой- чивости всего сквозного стержня.
Глава IX
ВЛИЯНИЕ СОБСТВЕННЫХ НАПРЯЖЕНИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАТИВНОСТЬ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
33. Собственные напряжения в стальных стержнях
Среди дополнительных факторов, влияющих на несущую способность и поведение конструкций под нагрузкой, одним из наиболее существенных для стальных конструкций являются собственные напряжения, достигающие в прокатных и сварных стержнях значительной величины, вплоть до предела текучести.
Собственными напряжениями иногда их называют также начальными называются напряжения, имеющиеся в.
127


иенагруженном теле. Эти напряжения всегда взаимно уравновешены. Наличие собственных напряжений приводит к тому, что весь или часть материала конструкции даже при отсутствии внешних нагрузок находится в деформированном напряженном состоянии.
В сварных конструкциях обычно различают тепловые и структурные напряжения. Первые вызываются неравномерным распределением температур при сварке, вторые — структурными превращениями металла, происходящими в зонах сварных швов и прилегаюшчх к ним.
Т*
о
2070=
Э9дЩ
0 “ Ч п-
N
Г
11 п
21900=
104оЩ
Ь
|
Г
ч
5
А
7 зУ
ч.
93
.
§2062 724.
_
Ю53
т
г
720кгсм2 L
1 1
Рис. 59. Эпюра собственных напряжений в прокатном двутавре 24
В мягких строительных сталях структурные превращения происходят при температурах выше 600°С, т. е. в материале, находящемся в пластическом состоянии, и сопровождаются сравнительно небольшими изменениями объема. Ввиду этого в сварных конструкциях из мягкой стали структурные собственные напряжения невелики и практическое значение имеют только тепловые собственные напряжения.
Причиной, вызывающей тепловые собственные напряжения в сварных конструкциях, являются неравномерные по сечениям пластические деформации, появляющиеся в процессе нагревания и остывания конструкции во время и после сварки. Неравномерность этих пластических деформаций и само появление их обусловливается тем, что нагрев и остывание конструкции при сварке идут неравномерно. Вследствие этого некоторые зоны металла при изменении их температуры не могут свободно расширяться или сокращаться, так как встречают противодействие со стороны прилегающих к ним зон с другой температурой и имеющих в силу этого другую жесткость.
Например, сокращаясь при остывании, наиболее разогретые зоны обжимают ранее остывшие зоны, вследствие чего в этих последних возникают сжимающие собственные напряжения, а в зонах, остывающих последними, появляются растягивающие собственные напряжения.
128


филях в процессе остывания их послеСХ°ДЯТ -И в прокатных ПР°- случае быстрее остывают наиболее' ™™рЯ1еи прокаткн- в этом
в двутаврах стенки; медленнее —более то “апримеР
тяте этого r попкяу оолее толстые полки. В резуль-
awouuo олках являются растягивающие собственные ня пряжения, действующие вдоль стержня, а Т стенке-сжимяю щие. Величина этих напояжений ипщат к стенке сжимаю-
и приближаться к предJy° На Ге чоТ зна,ительн°й ственных напряжений в двутавре 24 “
Рис. 60. Эпюра собственных напряжений Рис. 61. Эпюра еоб-
в облегченных прокатных двутаврах ственных напряже-
36 и 55 ний в Н-образном
стержне
На рис. 60 показана эпюра собственных напряжений в облегченном прокатном двутавре, полученная в ЦНИПСе Б. И. Оськи- ным. На рис. 61 дана аналогичная эпюра собственных напряжений в сварном Н-образном стальном стержне, полученная Л. П. Шелестенко 40. Несмотря на некоторые различия, эти эпюры имеют и много общего сильное сжатие в стенке.
Собственные напряжения, в зависимости от размеров области, в пределах которой они уравновешиваются, разделяют на напряжения первого, второго и третьего рода.
Напряжения первого рода уравновешиваются в больших объемах конструкции, соизмеримых с ее размерами.
1 Взята из книги Г. А. Николаева 26.
9-659
129


Собственные напряжения, второго и третьего рода уравновешиваются соответственно в микроскопических одно или несколько зерен металла и в ультрамикроскопических в пределах атомной решетки объемах.
В силу этого собственные напряжения второго и третьего рода могут оказывать влияние, на прочность и деформативность стали как материала. В статических испытаниях влияние их автоматически учитывается при определении механических характеристик материала на образцах.
Собственные напряжения первого рода, уравновешиваясь в больших объемах, влияют на поведение конструкции в целом, действуя в некоторой степени аналогично внешним нагрузкам. В силу этого их влияние на устойчивость и деформативность конструкций наиболее значительно.
Действительное распределение собственных напряжении в различных прокатных и сварных стержнях изучалось рядом
авторов 27, 26, 40, 58 и др.
Тем не менее до настоящего времени еще не накоплено достаточно материалов для принятия закона их изменения по сечениям и по длине различных прокатных и сварных стержней. Более детальное изучение этого вопроса выходит за рамки данной работы и поэтому ограничимся рассмотрением схематизированной задачи, позволяющей оценить, в основном, качественную сторону работы стальных стержней, имеющих собственные напряжения значительной величины.
Влияние собственных напряжений на несущую способность сжатых и сжато-изогнутых стержней изучалось как экспериментально, так и теоретически. Из последних исследований можно указать на работы 40 и 58.
Значительное влияние в ряде случаев собственных напряжений на несущую способность и деформативность сжатых и сжатоизогнутых стержней не вызывает сомнений, причем влияние это может быть как в сторону снижения их, так и в сторону повышения см. пп. 23—26. Таким образом, достижение равнопрочности стальных конструкций невозможно бе,з учета расчетом их влияния.
34. Центрально сжатый стержень с собственными напряжениями
Как уже указывалось выше, центрально сжатый стержень значительной Гибкости является абстракцией, так как в состояниях, близких к критическому, неизбежно появление прогибов. В то же время этот абстрактный случай является тем пределом, к которому можно приблизиться с уменьшением эксцентриситетов сжимающей силы и искривлений стержня. В этом смысле он и представляет интерес.
Рассмотрим два стержня прямоугольного сечения с эпюрами собственных напряжений, одинаковыми по величине и обратными по знаку рис. 62.
130


Диаграмма сжатия для обоих этих стержней одинакова и может быть построена из следующих соображений Обозначим
°os,®o напряжение в волокнах, работающих упруго;
N—внешняя сжимающая сила; t — ширина поперечного сечения стержня.
На основании рис. 62 уравнение равновесия внеш- I
ней и внутренних сил мож- а - а ATs s
но записать так —- 1 - н 0 т
N thaы - t --х ^
X „ о0 - от. 34,1)
Из подобия треугольников на рис. 62 следует
4gH 2 qH -- с0 — qT)
Л
откуда
Л — а
34,2)
h - а ■ т h 34 3^
Г
Подставив 34,3 в 34,1, получим
- al —fc-j р— а2—-
rrmvy
г
К
Рис. 62. Собственные напряжения в сечениях стержня
JN
q0 qT qH I qo 2
oT 4oH aT oT J
34,4)
Диаграммы сжатия для стержней с разными величинами собственных напряжений он даны на рис. 63. По горизонтальной оси на рис. 63 отложены величины
о
Ег о
34,5)
по вертикальной оси средние напряжения сжатия aN в долях
предела текучести от.
Как видно из рис. 63, начальные напряжения оказывают значительное влияние на диаграмму сжатия, причем диаграмма снижается тем сильнее, чем больше величина собственных напряжений он.
Поскольку эпюры он для обоих стержней а и б на рис. 62 одинаковы по величине, то диаграммы сжатия на рис. 63 справедливы для них обоих.
131


Относительные секущие модули, определенные по эти диаграммам, для обоих стержней также будут одинаковыми
JN
с0
34,6)
Имея диаграмму сжатия, определяемую уравнением 34,4, можно определить в любой точке этой диаграммы касательный модуль Ек и относительный касательный модуль В. Продифференцировав 34,4, найдем:
-тМ— —-• 347)
ds0 2cH ' СТ 5Т I
собственных напряжений с,
Диаграммы относительных касательных модулей В по 34,7 даны на рис. 64 сплошными прямыми линиями. Они также одинаковы для обоих стержней.
Как было показано выше, критическая сжимающая сила определяется по обобщенной формуле Эйлера после • подстановки в нее момента инерции упругого ядра.
У сжато-изогнутых стержней упругое ядро определяется вполне четко, поэтому и критическая сжимающая сила может быть определена достаточно надежно. При центральном же сжатии в момент потери устойчивости характер деформаций меняется— появляются искривления стержня, при которых в некоторых зонах каждого поперечного сечения возникает разгрузка, подчи- няющася обычно упругому закону. В этих условиях форма упругого ядра в каждом случае должна специально определяться. Нечеткость физической стороны этой задачи привела к тому, что
132


в последнее время появилась тенденция к отказу от учета этой разгрузки.
В силу условности задачи о центрально сжатом стержне для упрощения выкладок примем здесь именно эту трактовку и определим момент инерции упругого ядра без учета зоны разгрузки.
В этом случае для стержня рис. 62, а получим
J2a — ю >
12
348)
W
0.8
0,6
0,4
02,
8
\
. - V
4-
N
. *
V
V
\
\
о \
Vx>
ъ
V»
Ч
\
Чй>
\
\
\
\
ч
ь
л
н
\
\
А ъ
\
\
*
Ч !
ч
'' л !
/
1
Vsi£ >
' Г 1
\
\
\
\
—
ч\
t
\
Ч
0,2 0,4 0.6 0.8 1.0 12 1.4 1.6 1,8
ч
Рис. 64. Относительные касательные модули
где а- относительная глубина упругого ядра.
Из 34,3 можно написать
ан ат — ®е
а ъ.—'
Момент инерции полного сечения равен
№
%
J =
12
34,9)
34,10)
Отношение моментов инерции к Л характеризующее степень снижения запаса устойчивости стержня за счет наличия собственных напряжений, определится отношением
9Лй-а 34,11)
Величины для различных значений собственных напряжений даны на рис. 64 пунктирными линиями.
Для стержня рис. 62, б момент инерции упругих зон сечения относительно центра тяжести всего сечения равен
Л, 2 -IV А - а - 3“2 3“' 34’12>
133


Подставив сюда значение а из 34,9, найдем величину и относительный касательный модуль: 26
9б а3 - Зя За 34ДЗ)
Значения из 34,13 также даны на рис. 64 пунктиром с точкой.
Как видно из рис. 64, несмотря на одинаковые диаграммы сжатия и одинаковые относительные секущие модули для обоих стержней, ве,личины относительных касательных модулей для них сильно отличаются друг от друга. Таким образом, собственные напряжения оказывают сильное влияние на устойчивость сжатых стержней, зависящее от характера эпюры собственных напряжений. Если собственные напряжения сжатия действуют в крайних зонах сечения, то они снижают запас устойчивости стержня; если же в крайних зонах имеются растягивающие собственные напряжения, то пластические деформации появляются в них при более значительных внешних нагрузках и за счет этого критическая сжимающая сила повышается.
Покажем на примерах, каково влияние собственных напряжений на устойчивость стержня.
Примем стержень прямоугольного поперечного сечения t X h с гибкостью X 80 и с собственными напряжениями, распределенными по эпюре на рис. 62, а с краевой ординатой он от;
оэ —3250 кгсм2.
Обычный расчет такого стержня по действующим НиТУ 121-55 дает критическое напряжение сжатия
°к отф2400-0,75 1 800 кгсм2.
Расчет с учетом собственных напряжений може,т быть выполнен методом последовательных приближений.
оАГ 1 17^
Задаемся oN 1175 кгсм2; — -400 0,49.
По этому значению из рис. 63 и 64 находим
- 0,58; 0,36;
о 3250 0,36 1 170 кгсм2ом 1 175 кгсм2.
Таким образом, критическое напряжение для рассматриваемого стержня 7К s 1170 кгсм2 составляет УШТ 100 65%
от полученного по НиТУ 121-55 без учета собственных напряжений .
Следовательно, за счет собственных напряжений действительная критическая нагрузка снижается на 35.
Произведем такой же подсчет для стержня гибкостью Х 60
134


с максимзльным краевым собственным напряжением сжатия
£s 1200 .
т — 240б ,5; аэ 5750 кгсм2.
Задаемся oN 1 840 кгсм2;
qn 1810 вп
г 2400-0-77; -0-83; 0о.з2
к 0,32-5750 1 840 кгси2 — oN.
По НиТУ 121-55 © 0,86.
Снижение критической нагрузки против норм составляет
т ,5.
Эти примеры расчета показывают значительное влияние собственных напряжений на устойчивость сжатых стержней.
Подтверждение этого находим и в экспериментальных данных.
В рассмотренных примерах собственные напряжения в кромках сечения были сжимающими, что приводило к снижению критической сжимающей силы.
Это же относится и к Н-образным стержням, испытанным JI. П. Шелестенко 40.
При растягивающих же собственных напряжениях в кромках критическая сжимающая сила повышается.
В 1956 г. в ЦНИПСе1 была испытана на центральное и внецентренное сжатие большая серия двутавровых стержней обычного и облегченного сортамента. Собственные напряжения в этих стержнях, прокатанных по обычной технологии, были весьма значительными по величине.
1 Испытания проводились Б. И. Оськиным под руководством автора.
135
Рис. 65. Отношение опытных и нормативных критических напряжений для центрально сжатых стержней


На рис. 60 дана эпюра собственных напряжений для -облегченных двутавров 36 и 55.
На рис. 65 для стержней, испытанных на центральное сжатие, дано сравнение экспериментальных критических напряжений о к с напряжениями, определенными по действующим техническим условиям проектирования стальных конструкций НиТУ 121-55.
По горизонтальной оси отложены гибкости стержней, по вертикальной— отношение экспериментального критического напряжения к нормативному Предел текучести сг прини¬
мался различный — нормативный для Ст. 3 2 400 кгсм2, средний
Р ЛП с РТ
VT ст °х
фактический предел текучести по сечению о -р
и фактический предел текучести полок з Этим трем значениям предела текучести отвечают три кривых на рис. 65.
Как видно из рис. 65, превышение действительных критических напряжений для стержней больших гибкостей над нормативными доходит до 32. Аналогичные результаты были получены и для стержней из I 55а нормального сортамента.
Примерно аналогичные результаты были получены и при испытании таких стержней на сжатие с эксцентриситетом в плоскости меньшей жесткости,
Все это указывает на значительное влияние собственных напряжений на устойчивость стержней.
35. Внецентренно сжатый стержень прямоугольного сечения
Рассмотрим внецентренно сжатый стержень прямоугольного поперечного сечения с шириною t и высотою в плоскости изгиба h. Сжимающие силы на концах стержня будем считать приложенными с эксцентриситетами т0, одинаковыми по величине и по знаку.
Допустим, что в стержне имеются собственные напряжения, действующие в продольном направлении. По ширине сечения примем их постоянными. Закон изменения собственных напряжений по высоте сечения примем по эпюре,, состоящей из четырех одинаковых треугольников рис. 66, а с одинаковыми по величине ординатами у краев сечения и в центре его.
Если бы разрезать стержень на узкие продольные полоски сечением t X dh, то его концевые сечения образовали бы ломаную поверхность, изображенную линией I—I на рис. 66, б, с удлиненными крайними полосками и укороченными средними. В этом случае продольные напряжения во всех полосках отсутствовали бы. Относительное удлинение крайних полосок и относительное укорочение средних по сравнению с состоянием с плоским сечением было бы равно еч.
Связи между этими полосками в действительном стержне делают такие свободные деформации невозможными, и поперечное сечение остается плоским линия 2—2 на рис. 66, б. Поскольку
136


плоское сечение 2—2 отклоняется от естественного состояния торца 1—1, то возникают внутренние напряжения, распределение которых по сечению стержня дано на рис. 66, а. Равнодействующие Nн напряжений каждого знака по абсолютной величине равны
Под действием системы таких взаимно уравновешенных стержень находится при отсутствии внешних нагрузок. Рассмотрим теперь по- он
сил
ведение такого стержня при нагружении его двумя вне- центренно приложенными сжимающими силами N. По мере возрастания этих сил стержень будет проходить несколько стадий работы. Рассмотрим каждую из них, полагая, что продольные деформации подчиняются закону плоскости.
Упругая стадия. Примем, что от сил N, приложенных с эксцентриситетами то, в среднем по длине стержня сечении появился прогиб f и возникли относительные укорочения на кромках стержня и е2
рис. 66, в.
Суммируясь с начальными деформациями ен , эти новые деформации изменяют деформированное состоя¬
ние стержня, причем напряжения в сечении будут пропорциональны суммарным деформациям определяющим отклонения различных точек сечения от их естественного ненапряженного состояния рис. 66,6. Эпюра нормальных напряжений
Рис. 66. Эпюры деформаций и напряжений в сечении стержня
в сечении 'изображена на рис. 66, з.
До появления краевой текучести внутренние начальные напряжения не будут оказывать никакого влияния на величину про гиба f и укорочения стержня.
1.Г7


Предел этой стадии работы запишется в следующем виде:
Fmo
Ощах о
N
1 +
W 1
/
зт — О,
н>
где
°9 =
кЕ
X*
35,2)
35,3)
Стадия односторонней текучести. При увеличении сжимающих сил N сверх предела, определяемого из неравенства 35,2, в среднем сечении стержня появятся пластические деформации. Эпюра относительных деформаций для такого состояния дана на рис. 66, д, а отвечающая ему эпюра нормальных напряжений — на рис. 66, е.
Напишем для этого случая уравнения равновесия внешних и внутренних сил:
yv FoT--to- 35.4)
м-К- •■Т --3- to2 -Жth'-4- а-- V X
х4-- 35-5)
Согласно рис. 66, е можно написать
1 I о 2а —h
ао “о“ °8 — °т “Ь аг 2он — о3 — от — 2
2а
или
On 2 аи
2а
35,6)
В выражение 35,6 для а0 вошла дополнительная неизвестная величина Для ее исключения нужно составить дополнительное уравнение.
Из подобия треугольников на рис 66, е можно написать:
4 яз — г г 2a„J А — а о3 — от-- ,
откуда
2 2 '2а
Подставив 35,7 в 35,6, получим
о 2а — 1 On 2а„
35,7)
35,8)
Разделив 35,4 на th и подставив значение 35,8, найдем


откуда
° V К-влг-.2-1. 35,10)
Разделив 35,5 на А2, получим
-ST—-2 35,11)
или
3 — 2л 2л — 1 ос юч
М2 °т °n 6 °н б • 35,12)
Момент внешних сил в среднем сечени стержня равен
Mb—N mQ -Ь. 35,13)
Кривизна в среднем се,чении стержня, изогнутого по полуволне синусоиды, равна
-- 35,14)
С другой стороны, она может быть выражена через деформации в этом сечении см. рис. 66, е '
°2 °3 — от. 35,15)
или
или
— К 45, 1 - 35,16)
я1 -22. 35,17)
Приравняв правые части 35,14 и 35,17, получим
22ат N 35,18)
h KEha ®т °т J
Учитывая эйлерово напряжение для стержня прямоугольного сечения
35,19)
вэ® 122 V /
можно уравнение 35,18 переписать в следующем виде
б4 г1- -1-2а, 35,20)
Выражение 35,13 можно представить в такой форме
М. JH2. U 35,21)
139


Приравнивая моменты внешних Ми и внутренних М сил из
35,21 и 35,12, получаем
С - с2Ь с3 О, 35,22)
где
6--; 35,23)
GT
с, -5- ; 35,24)
с, За2 - 2 6 1 -22; 35,25)
1 Л сгэ аэ ат
С„ 3а2-2а3,-—2“3-2.- 35,26)
GT
Из уравнения 35,22 находим значение I
6ж - ш - V 35-27>
Зная величину 5, из 35,20 находим отвечающий ей прогиб в середине длины стержня.
Пределы применимости этих формул определяются из уело- вий отсутствия текучести на растянутой кромке сечения и достижения текучести от сжимающих напряжений в центре сечения.
Первое условие записывается в следующем виде:
а2 2от -- он, 35,28)
откуда
е 1 — а-l. 35,29)
При удовлетворении этого неравенства в сечении будет односторонняя текучесть, при неудовлетворении — двусторонняя. Поскольку двусторонняя текучесть при таком законе распределения собственных напряжений появляется позже, чем при отсутствии их, достижение этого состояния возможно лишь при малых сжимающих силах и больших эксцентриситетах.
Второй предел будет достигнут при а 0,5. В этот момент впадина на эпюре нормальных напряжений рис. 66, е исчезнет а0 0 и, следовательно, по виду эпюра напряжений станет такой же, как и в стержне без собственных напряжений. Однако прогибы стержня при этом будут значительно большими.
Полученные формулы позволяют рассчитать внецентренно
сжатый стержень прямоугольного поперечного седения с собственными напряжениями, распределенными по закону, представленному на рис. 66, а.
На рис. 67 представлены результаты расчета внецентренно сжатых стержней гибкостью X 90 с эксцентриситетами т0 =
140


— 0,05 h. Диаграмма постппрна
-напряжений, диаграмма 2 без собс™енных
жениями по эпюре рис 66 а стержня с собственными напря-
равньши 0,5 от. Предел текучрг™ИНаТаМИ 'кР°МОК и в центре, от 2340 кгсм2. стали принят в этих расчетах
зили критическое напряжение0иС1оеННЫе напРяжения сильно сни- тическом состоянии. увеличили прогиб стержня в кри-
Влияние это различно в зависимости от гибкости стержня.
т
06
ом
02
-г —
\
\
\
>
“Л
\
\
V
V *
/
/
/
/
\
\
\
-У-?
ЬГ-1
—6
/
0,2
ОЛ
0,6
§t 0.8 h
Рис. 67. Теоретические диаграммы прогибов и критических напряжений для внецентренно сжатых стержней при л 9и и т0 0,о5 п
На рис. 68 даны величины критических напряжений ск для внецентренно сжатых стержней различных гибкостей. Сплошными линиями даны ок для стержней из стали марки Ст. 3 зт 2 340 кгсм2, пунктирными — для стали НЛ-2 от 3 760 кгсм2, Эксцентриситет во всех случаях принят т0 0,05 h.
Как видно из рис. 68, собственные напряжения аи во всех рассмотренных стержнях снижают величину критического напряжения. Величина этого снижения в более наглядной форме дана на рис. 69, на которой по вертикальной оси отложено отношение критических напряжений стержней одинаковой гибкости, отличающихся друг от друга лишь наличием или отсутствием собственных напряжений.
Из рис. 69 видно, что наибольшее снижение достигает 20 у стержней из стали марки Ст. 3 при гибкости 90, а у стержней из стали марки HJI при гибкости 80.
141


Рис. 68. Критические напряжения для стержней различных
гибкостей
6HN
1
3
СтМ-Ъ
■Ст.З
ь-^

N
Ш00Ш.
m
1
So
гМд
j
уМ„
N
юо по то
Рис. 69. Влияние собственных напряжений на критическое
ц
напряжение внецентренно сжатых стержней a N — критическое напряжение при н 0,5; ат; — т0 же, при ан 0)


На рис. 70 аналогично даны величины прогибов стеожней
диГГуве0личеСнС„ТЮ0ЯпГ' ЛИЧИе “бственых'напрГжениГпри
малых гибкостей и Р иов в критическом состоянии стержнв1Й стержней больших тбкм’ уменьшению этих Р°™бов для
гтгиуняппГ11е'ТЬ В ВИДУ что все численные значения критиче-
ственными няппстмгИ ПР0ГИ0В полученные для стержней с соб-
ИЯМИ’ отвечают принятой эпюре и интенсив- У кромок и в це,нтре 0,5 от. В различных стальных
и
О 30 60 90 W 150 Я
Рис. 70. Влияние собственных напряжений на прогибы внецентренно сжатых стержней в критическом состоянии
стержнях могут колебаться как эпюра этих напряжений, так и величины их ординат, поэтому и влияние их может быть несколько отличным.
В то же время проведенное исследование показало, что собственные напряжения оказывают существенное влияние как на несущую способность стальных стержней, так и на их деформа- тивность. Учет этого влияния в рамках метода расчёта стальных конструкций по расчетным предельным состояниям может производиться введением определенного коэффициента условий работы, различного для разных конструкций.
36. Внецентренно сжатый стержень Н-образного сечения
Рассмотрим теперь Н-образный внецентренно сжатый сварной стержень с широкими полками. Совершенно очевидно, что для расчета такого стержня нужно знать эпюру собственных напряжений в его сечениях. К сожалению, до настоящего времени имеется сравнительно немного экспериментальных данных по величинам собственных напряжений и их эпюрам в различных
143


стержнях, поэтому давать общий вывод расчетных формул нецелесообразно и ограничимся расчетом одного из опытных стерж- не,й.
Сварной стержень II-6 из стали марки Ст. 3 гибкостью 22,8 имел сечение, данное на рис. 71. Стержень был испытан на внецентренное сжатие с концевыми эксцентриситетами trio 0,716 см
в плоскости, параллельной полкам.
Для расчета этого стержня потребуется ряд его характерно- тик, которые имеют следующие значения 1,202 см; h 18,6 см; th 22,36 см3, F2 9,87 jm F - 3223 см•. Wy — 68,75 см3; В, 0,441; Ро 1 Ps — ’4 ° 9 00 кгсм ;
2340 0,0589;
От
а. 39 900
17,05.
6,06
н
Рис. 71.
Сечение опытного стержня И-6
Рис. 72. Эпюра собственных на пряжений в сечении стержня
Примем, что эпюра собственных напряжений в сечении стержня ограничена прямыми линиями, соединяющими следующие точки:
в точках пересечения осей полок и стенки имеется растягивающее напряжение ан; у концов всех полок и в середине стенки имеются сжимающие напряжения такой же величины он. Такая эпюра показана на рис. 72.
Качественно эта эпюра хорошо согласуется с экспериментальными данными. По величинам ординат она достаточно близка к эпюрам, определенным JI. П. Шелестенко 40, одна из которых для подобного сечения дана на рис. 61.
При малых величинах сжимающей силы стержень работает упруго. Напряжение сжатия оА, , отвечающее появлению краевой текучести, может быть определено из условия 35,2, которое может быть представлено в следующем виде:
144


Подставив сюда числовые значения для случая у. 0,5от, получим J ’ т’
52 - 23,2735 8,525 — 0, 36,2)
откуда v /
5 11,637 - 1ТТ,6372 - 8,525 0,372.
Прогиб f стержня в этом состоянии равен
Wo
6Т
it G
Jt
сгт а
ГГТЙГ—г 0,00515. 36,3)
Координаты £ 0,372 и 6 -£■ 0,00515 определяют состояние
рассматриваемого стержня в момент появления краевой текучести.
бы
бт
Ю
ол
0,2
f
-Чу UJ-
г Рни>
ооТ
. ■ - •

_
05>
\
\
О
\
\
>
\
\
\
- \
V-
би L
N
Эксперимент
у
771.

f
В
6н 4,!
кц
¥бн
б„
1
1
it
0,05
0,1
0,15 0,2
ч
Рис 73 Теоретические и экспериментальная диаграммы прогибов стержня
Н-образиото сечения
Подобным же образом рассмотрены и состояния стержня с односторонней текучестью в среднем сечении, характеризующиеся относительной глубиной упругого ядра а— 0,8, а—0,5, ло По этим точкам на рис. 73 построена диаграмма состояний равновесия диаграмма прогибов для стержня с соб-
СТВетЫвисН73РннТсГнГтакже°диаграмма критических напряжений для этого стержня и участок диаграммы в закритической
того на рис. 73 нанесены такие же теоретические диаграммы для 'стержня без собственных напряжении о. 0)
145


и с юбсиенными напряжениями а„ 0,8с, а также эксп
ментальная диаграмма прогибов для стержня Ц-6 Аптпиу пунктирная линия. vipHx-
Из рис. 73 видно, что теоретическая диаграмма для стержня с собственными напряжениями зн 0,8ат достаточно хорошо согласуется с экспериментальной диаграммой не только по величинам критических напряжений, но и по прогибам, которые за счет собственных напряжений значительно увеличиваются.
Условность эпюры собственных напряжений не позволяет получить полное совпадение теоретической и экспериментальной диаграмм, однако качественное их совпадение очевидно.
Глава X
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СЖАТО-И30ГНУТЫЕ
СТЕРЖНИ
37. Упругий двухпролетный стержень!
Выше рассматривались однопролетные стержни с обоими шарнирно закрепленными концами. Использование полученных результатов для расчета стержней с жестко или упруго закрепленными концами, а также для расчета многопроле,тных стержней становится возможным после выделения в таких стержнях расчетной длины, т. е. участка между двумя смежными точками перегиба по длине стержня.
В п. 1 показано, что расчетная длина 1 стержня определяется по формуле Н. В. Корноухова 21 и равна
Эта формула справедлива для всех упругих сжато-изогнутых стержней, не несущих поперечных нагрузок в промежуточных сечениях на участках между опорами.
По мере увеличения сжимающей силы N расчетная длина стержня непрерывно уменьшается, и действительная длина стержня I начинает захватывать все большую часть синусоиды. Этот процесс продолжается до тех пор, пока ось стержня не; примет форму такого участка синусоиды, который является критическим для стержня с данными опорными закреплениями.
Так, для м-пролетного стеркня с шарнирными закреплениями на всех опорах критическим будет искривление по п-полуволнам; для стержня с двумя жестко защемленными концами — искривление по полной волне синусоиды и т. д.
Рассмотрим двухпролетный сжато-изогнутый стержень. Все опорные закрепления примем шарнирными, но на концевых опо-
146


pax приложим изгибающие моменты ЦТЛ „
полученное решение и для жестко „ ™ позволит использовать
концов. или Упруго закрепленных
у иВза к р е п л енным и в° э т их с мТш ” “ “ некотоРую величи- Расчетная ® смещенных положениях.
Обозначим аКОГО стеРня дана на рис. 74.
инерции сечен ист Ы 1ПРолет0В h и 4 и моменты
Жач„ЧГжеСТеРЖНЯ В КаЖДОМ *
k\
jb fc2 N, ЕА ’ К--Щ
37,2;
На основании формулы 1,29 можно написать выражение для угла поворота нижнего конца нижнего пролета
1^
sin k,
ад n cos Mi +
T-‘0lv,JW -W- 37-3
и для верхнего конца нижнего пролета
sink'1' wfcж- Ж'cosk'l‘
T vf ®° Ж ж • 37,4 N’
Рис. 74. Двух-
Для второго пролета, заключенного межд пролетный
опорами 1 и 2, формулы 37,3 и 37,4 будут сжато-изо-
справедливы, если индексы в них увеличить на еди- гнутый стер-
ницу. жень
В соответствии с этим угол поворота нижнего конца второго
пролета равен
sinfeVГ “ Щ C0S k Т Vi Щ т137,5)
Условие неразрезности стержня может быть записано как
равенство углов поворота смежных сечений обоих пролетов на опоре .
Приравняв правые, части выражений 37,4 и 37,5, получим М0Ф1 2Мх -• Ф2j Мг Фа =
бEJX vt — vo — vt t .
e — Tx k j • 376>
147


где
6
1
1
hh
sin kx lx
kih
3 1
' 1
1
klx \
ktlx
tg kx ,
; 37,7)
37,8)
Функции эти табулированы С. П. Тимошенко 37 стр. 19.
Уравнение 37,6 является уравнением трех моментов для сжато-изогнутого неразрезного упругого стержня со смещающимися опорами.
При помощи этого уравнения могут быть определены опорные моменты в любом упругом неразрезном стержне, напруженном осевыми сжимающими силами и имеющем смещающиеся опоры.
Рассмотрим в качестве примера двухпролетную колонну с нижним жестко защемленным и верхним шарнирно закрепленным концами.
Опоры 1 и 2 будем считать смещенными и закрепленными в этих смещенных положениях. Это характерно, например, для колонн каркасных зданий, опоры которых могут смещаться за счет температурных расширений горизонтальных элементов каркаса.
Расчетная схема такой колонны может быть принята согласно рис. 75.
Для такой колонны 1о0. Для определения двух опорных моментов М0 и М можно, пользуясь выражением 37,6, написать два уравнения:
Рис. 75. Расчетная схема колонны
6 EJX
2УИ0Ф1 h vx,
2
37,9)
м, ф, 2 М, f, - “jp- •, - А. 37,10)
решив которые, найдем
1 ranVt— ai2i2; 37,11)
М0 — —2 —а01®1 02® • 37,12)
h
Коэффициенты ак являются функциями коэффициентов Щ ь., нелинейно зависящих от осевых сил в колонне; таким оо- разом, величины опорных изгибающих моментов М0 и Mi измени ются с изменением осевых сил нелинейно.
148


Рис. 76. Формы искривления и эпюры моментов для двухпролетной колонны при kilxk2h
KeteoC,0jr)
Рис. 77. Формы искривления и эпюры моментов для двухпролет- ной колонны при


В то же время из выражений 37,11 и 37,12 видно, что Изгибающие моменты в опорных сечениях колонны лине,йно зависят от величин смещений vэтих сечений.
На рис. 76 даны формы изогнутой оси и эпюры изгибающих моментов при различных значениях осевой сжимающей силы для двухпролетной колонны, у которой нижняя опора защемлена, а средняя и верхняя опоры смещены. Пунктиром на каждой схеме показана линия давления, т. е. линия действия равнодействующей внешних сил и опорных реакций.
Первая схема отвечает нулевым сжимающим силам Nx — N2 0, вторая k2l2 я соответствует эйлеровой силе для верхнего пролета при определении ее для случая шарнирного закрепления обоих его концов, третья схема соответствует критическому состоянию колонны в целом, которое наступает при нагрузке несколько большей, чем эйлерова сила для верхнего пролета нижний пролет имеет больший запас устойчивости и создает упругую заделку для верхнего пролета. Все эти схемы и эпюры построены для случая к1 k21 т. е. когда верхний пролет имеет меньший запас устойчивости, чем нижний.
На рис. 77 построены такие же схемы для той же колонны, но при значении к212у значительно меньше,м kxlx. Эти схемы отвечают случаю меньшего запаса устойчивости у нижнего пролета колонны, а не у верхнего. Здесь также первая схема отвечает нулевому значению осевых сил в обоих пролетах, а вторая критическому состоянию колонны в целом.
Между схемами, изображенными на рис. 76 и 77, имеется существенное различие. В первом случае форма искривлений и эпюра моментов в верхне,м пролете изменяются сравнительно мало, а в нижнем пролете переходят в обратные, во втором случае мало изменяются форма искривления и эпюра моментов в нижнем пролете и сильно — в верхнем. Такое различие объясняется тем, что в первом случае меньший запас устойчивости у верхнего пролета колонны, а во втором случае у нижнего.
Таким образом, с возрастанием нагрузки форма искривления оси колонны, непрерывно изменяясь, стремится к той, которая характерна для ее критического состояния. Этот вывод является весьма существенным и справедлив для всех сжато-изогнутых стержней.
38. Влияние пластических деформаций на форму искривления оси стержня
Появление пластических деформаций на каком-либо участке стержня приводит к тому, что жесткость этого участка уменьшается и становится равной EJXEJ, где Jx — момент инерции первого расчетного' сечения, J — момент инерции всего сечения стержня.
Сохранив принятое ранее допущение о синусоидальной форме искривления оси стержня и в упруго-пластической стадии.
150


расчетной “ржня' „Г™ °PMW Д- определения стадии: стержня, находящегося в упруго-пластической
33,1)
пячпм rBнагРУ1ки „в,елич и н а У, уменьшается и, таким об-
нити и стическои стадии уменьшение р будет происходить не только' за счет портя а ,1л „ „ р у т
12 рмпхг роста yv, но и за счет уменьшения J.
У расчетная длина стержня с появлением и развитием пластических деформаций будет уменьшаться значительно быстрее, чем в упругой стадии.
В многопролетном сжато-изогнутом стержне появление пластических деформаций возможно в нескольких зонах по едо длине, причем в каждой из зон может быть различная глубина пластических деформаций. В этом случае полуволны, по которым искривится ось стержня, будут иметь различную длину, каждая из которых определяется по формуле 38,1.
39. Стержень с жестко защемленными концами
В строительных конструкциях чаше всего приходится встречаться с однопролетными сжато-изогнутыми стержнями, упруго закрепленными на концах. Такие стержни могут быть представлены как некоторая часть более длинного стержня с двумя защемленными концами. В критическом состоянии такие стержни искривляются по двум полуволнам синусоиды.
Одной из наиболее частых причин, приводящих к искривлениям сжатых стержней, являются их начальные искривления по некоторой плавной кривой. Рассмотрим такие стержни более
подробно конца стержня рис. 78 жестко защемлены. Допустим что стержень имеет начальное искривление по полной волне синусоиды со стрелкой в вершинах полуволн н пунктирная
п о\
КРИВПосле приложения сжимающей силы N прогибы стержня увеличатся и станут равными f относительной линии - действия
сжимающей силы.
1М


спрлнийПР51Г0Й стадии все ТРИ участка стержня —оба крайних и реднии находятся в совершенно одинаковых условиях и поэтому положение точен перегиба А и В определяется из условия
k К - 39,1)
Величина прогиба определяется из условия
, 39,2)
1—'JL
°Э
где одг — напряжение осевого сжатия в стержне;
о #
— —эйлерово напряжение стержня длиною L.
Упругая стадия работы будет продолжаться до тех пор, пока краевые напряжения в местах наибольших прогибов f не достигнут предела текучести, что записывается в следующем виде:
i nrjov 39-3>
Если поперечное сечение стержня симметрично относительно горизонтальной оси Fi—Fz Pj p3, то по¬
ложение точек перегиба не изменится и после появления в стержне пластических деформаций, только величина прогиба будет определяться не условием 39,2, а условием
—-h- ’ 39-4>
1 *
®п
где
W- QQ
°н -jar- 39,5)
fip
Критическое состояние стержня наступит при развитии пластических деформаций до такого предела, что момент инерции второго расчетного сечения 2 будет удовлетворять условию
39,6)
Р
Весь расчет стержня в этом случае совершенно тождествен расчету стержня длиною р с двумя шарнирно закрепленными концами.
Рассмотрим теперь стержень с поперечным сечением, не имеющим горизонтальной оси симметрии. Поскольку наиболее часто в сквозных конструкциях применяется тавровое сечение, составленное из двух равнобоких или неравнобоких уголков, то рассмотрим стержень такого сечения.
152


На рис. 79 пунктирной линией показана ось стержня, имеющая начальное искривление со стрелкой „.
В упругой стадии работы стерже,нь будет продолжать искривляться по двум равным полуволнам, так как жесткость всех
а)
N
Г?
б)
N
#
I
трех участков одинакова. Предел упругой работы определяется из; выражения 39,3.
Предположим, что в середине стержень искривляется так, что у него сильнее сжата полка тавра схема а на рис. 80, а в опорных участках — стенка схема б на рис. 80. В таком случае первые пластические деформации появятся в опорных сечениях
Прв развитии пластических деформаций жесткость опорных участков начнет понижаться и точки перегиба А и В начнут смещаться к опорам см. рис. 79.
Положение точек перегиба должно удовлетворять условию совместности деформаций смежных участков оси стержня, со*
т
f:
Рис. 80. Схемы нагружения среднего и крайних сечений
X1D1A. Wfl w _
стоящему в равенстве углов поворота сечении. Приняв искривление каждого участка по полуволне синоусоиды, условие совместности деформаций крайних и среднего участков, можем записать.
в следующем виде:
-4- Д- 39,7)
о 1р
Кроме того, можно написать соотношение между длинами полуволн
39,8)
158


8 ПТРГ - 2“s 6t®2 12PiK. 39,9)
см. формулы 14,47 и 14,44.
Из уравнения 14,26 можно получить выражение для прогиба о в опорных сечениях относительно линии действия сжимающих сил считая М F oNf0)
о л--1л, 39,10)
где
AzWo 3 ot —2р, 39,11)
Во всех состояниях стержня должно соблюдаться условие
39,12)
Из 39,8 и 39,12 получаем
;W‘ г-тгёг ад»
В упругой стадии k и l'0 Vp —L. По мере развития пластических деформаций в опорных зонах £3 уменьшается, за счет чего 1р растет, а уменьшается.
Потеря устойчивости крайних участков произойдет в тют момент, когда действующая сжимающая сила N станет равней критической NK для крайних полуволн длиною '0
N, —— 39,14)
Подставив в 39,14 значение Г0 из 39,13 и разделив обе части на F, пблучим
jr2 р h
3 • -Щ- 1 Vkb • 39,15)
С другой стороны, из уравнения моментов внешних и внутренних сил в опорном сече,нии стержня для критического состояния можно написать
M NKf0 FhoT-°KA. 39,16)
Прогиб о в опорном сече,нии можно выразить через начальный прогиб д на участке 10


39,18)
Подставив значение 39,17 в 39,16)
, получим
39,19)
Подставив это значение 0 в 39,16, найдем
I
AllL L
h , k
39,20)
Выражение 39,20 недостаточно удобно для расчета, поскольку в него входит стрелка начального искривления fн только на длине о Для расчета удобнее ввести стрелку искривления на нсей длине стержня L.
Примем, что справедливо равенство
Значения ок из 39,23 и из 39,16 должны быть равны, поэтому правые части их также можно приравнять.
Правая часть 39,23 является функцией я и и , а правая часть 39,15 функцией я и X,, поэтому при определенных значениях стрелки начального искривления и и определенной гибкости всего стержня XL равенство их будет удовлетворяться при определенном значении а Вввиду громоздкости этих уравнений решение проще всего получить графически.
На рис. 81 построены два семейства кривых для тавровых отержней из двух равнобоких уголков р, 1, из стали марки Ст. 3 при от 2 400 кгсм2.
г
39,21)
тогда
39,22^
Подставив это значение в 39,20, получим
39,23)
н 2-k3
155


По горизонтальной оси отложены значения a a по вертикальной значения Каждая кривая по уравнению 39,23 по¬
строена для определенного значения стрелки начального искривления н: h, а каждая кривая по уравнению 39,15 для определенной гибкости всего стержня X,
о 0,2 0,4 0,6 0,6 1,0 ос
Рис. 81. График для определения критического напряжения для таврового стержня из стали марки Ст. 3 с начальным искривлением
Абсцисса точки пересечения двух любых кривых разных се мейств дает значение а , отвечающее критическому состоянию' крайних участков стержня, имеющего гибкость Х и стрелку начального искривления 2 .
Сравнительные подсчеты показывают, что подобные графики для тавров, составленных из двух одинаковых неравнобоких уголков, почти полностью совпадают с графиками на рис. 81. Таким, образом, расчет всяких тавровых стержней, составленных из лю~
156


ГжнПоТ;„ГоГьТо рТибкГХрисИЛ8И,. НеРаВНОбОКИХ Найденное состояние стержня является критическим для его
R Т0 же время участок остается еще
месте е тем происходит качественное измене*
ние в поведении стержня: крайние его участки при дальнейшем возр тании сжимающей силы будут находиться в закритической
,0 сг
Рис. 82. График для определения критического напряжения тавровых
стержней из стали марки HJI-2
стадии и равновесие их при возрастающей сжимающей силе, возможно только за счет смещения точек перегиба к опорам и связанного с этим уменьшения расчетной длины 1'0 крайних участков. В этой стадии
4-
39,24)
157


и сжимающая сила определяется из условия
Л 2EJk 1 EJ 1 у 2
39,25)
чина коэффициента уменьшается. В силу этого стержень не только не сможет выдержать увеличенную против NK сжимающую силу, но даже, и силу N 1(
Из этого следует, что состояние стержня, при котором происходит потеря устойчивости его крайних участков, является критическим и для всего стержня, несмотря на то, что в среднем сечении в этом состоянии нет даже краевой текучести.
Таким образом, значения а и ок, являющиеся координатами точек пересечения кривых двух семейств на графиках рис. 81, определяют критическое состояние всего стержня.
На рис. 82 построен график для тавровых стержней из двух равнобокнх уголков Pil из стали марки HJ1-2 с пределом текучести от 3 400 кгсм2.
Характер этого графика и способ пользования им аналогичны описанным выше.
В Технических Условиях и Нормах проектирования стальных конструкций Критическое напряжение стержней, рассчитываемых как центрально сжатые, определяется из формулы:
Коэффициент снижения допускаемого напряжения или расчетного сопротивления для центрально сжатых стержней является, как известно, функцией гибкости стержня.
При помощи полученных в ш. 39 графиков можно определить стрелку начального искривления таврового стержня, при которой критическое напряжение для него равно значению ок по формуле 40,1 или какой-то части от него.
При общей гибкости Х стержня с двумя защемленными концами его расчетная гибкость в упругой стадии равна
Выписав для гибкости X значение из НиТУ 121-55, по
графику рис. 81 найдем значениен: Л, отвечающее значению критического напряжения из 40,1.
Для получения значения „в долях 0,5 L нужно написать
40. Устойчивость тавровых стержней с начальными искривлениями
0JC Рат-
40,1)
40,2)
н
н н
40,3)
I 0,323ХЛ
158


начального*
Аналогично можно вычисп искривления для Уменьшенных величины стрелок н
ний, равных соответственно: Х ЗНЭЧений критических напряже-
--0,95; 0,90,85- 08 „7С
На рис. 83 по результатам этих выи’ °’67р'
вЫе, дающие значения стрелок f ВЬР1Ислений построены кри- тавровых стержней из стали Ст 3 ального искривления для;
Рис. 83. Графики для определения снижения критического 'напряжения в зависимости от величины начального искривления для тавровых стержней из стали
Ст. 3)
На рис. 83 по горизонтальной оси отложены значения расчетных гибкостей стержней X , а по вертикальной оси —значения 1000н *
Каждая из кривых, построенных на рис. 83-, отвечает определенному значению критического напряжения.
0К гсрот. 40,4)
Величины коэффициента к записаны на каждой кривой.
Как видно из рис. 83, нормированной величине критического напряжения ок рот отвечают значения стрелок начального Искривления, лишь очень немного превосходящие величину 0,001.
159


Наиболее сильно начальные искривления снижают несущую способность стержней средних гибкостей в пределах X 80-1-1005 менее чувствительны к начальным искривлениям стержни больших гибкостей и еще менее чувствительны стержни малых гибкостей.
Для стержня с гибкостью X 90 нормируемой величине несущей способности стержня отвечает стрелка начального искривления 0,001. Увеличение стрелки в полтора раза, до величины 0,0015, приводит к снижению критического напряжения на 10 к — 0,9; увеличение ее вдвое приводит к снижению ак на 15 и т. д.
При расчете стальных конструкций по ранее, действовавшим НиТУ 1-46 коэффициент запаса п при расчете на основные нагрузки принимался равным 1,5. Таким образом, действующая нагрузка составляла 67 от критической. Во многих случаях при расчете по новым НиТУ 121-55 нормативная нагрузка также может оказаться равной 67 от критической. Величины стрелок начальных искривлений, при которых действующая в центрально •сжатом стержне сила окажется критической, даются кривой к 067.
Из рис. 83 видно, что для стержней с гибкостью X 90 и X 100 это будет при стрелке „ 0,0045; для более и менее гибких стержней эта стрелка будет несколько большей.
Все сказанное указывает на весьма сильное влияние начальных искривлений на несущую способность тавровых стержней.
Глава XI КОСОЙ ИЗГИБ СО СЖАТИЕМ
41. Упругий стержень
Выше рассматривались стержни, деформации которых происходят только в одной плоскости.
Сжато-изогнутые стержни строительных конструкций во многих случаях имеют более сложную — пространственную — форму деформирования, сопровождающуюся изгибом стержня в двух взаимно перпендикулярных направлениях и закручиванием. Изучение более сложных случаев деформирования в упругочпластиче- ской стадии представляет значительные трудности, и до настоящего времени более или менее общее решение задачи о несущей способности таких стержней отсутствует.
Эта задача может быть существенно упрощена при использовании метода, основанного на переходе к расчету упругих стержней, имеющих не действительное, а расчетное сечение, полученное указанным выше способом.
В ряде случаев закручивание сжато-изогнутого стержня сравнительно невелико и деформациями закручивания можно пре-
160


ному косому изгибу стержняДаЧа СВ0ДИТСЯ к продольно-поперечна проходящейНчеоез ЖНИ Пи деяствии момента в плоскости,
поперечного сечения!
поактические метопы па слабо, в результате чего
отсутствуют. расчета таких стержней на устойчивость
ней ои осомгий146 спос°бности сжатых стальных стержней при косом изгибе посвящена работа И. М Киселя Г201 в ко-
2ТниГ3™Н оригинальный, но довольно гроГздкий метод новесия такого йе°ржняаННЬШ а рассмотРении предельного рав-
Рис. 84. Расчетная схема стержня при продольнопоперечном косом изгибе
Ниже дается решение этой задачи методом, примененным для сжато-изогнутых стержней при их плоском изгибе.
Пусть имеется призматический упругий стержень произвольного поперечного сечения рис. 84. Будем, как и прежде, игнорировать касательные напряжения. Поперечные се,чения после деформации будем считать плоскими.
На рис. 84 показаны также положительные направления координатных осей и моментов Мх и Му. Начало координат расположено в центре тяжести сечения О; ось Ол: параллельна нейтральной оси перпендикулярна плоскости искривления стержня. Радиус кривизны в плоскости yOz обозначаем р.
Нормальное напряжение в точках сечения, удаленных на у от нейтральной оси равно
N
Ру
У,
41,1)
где
'N
JL
F
41,2)
Положительными считаются, как и выше;, напряжения сжа¬
тия.
Начало этого вывода подобно приведенному в книге С. П. Тимошенко 37.
161


Изгибающие моменты Mv и М равны:
у
Mx -ydF—±- 41i3)
F
'AF- ■-. 41,4)
F
В случае, когда нейтральная ось параллельна оси Оу
0aw -£-•: 41,5)
Мх j oydF — ; 41,6)
F
МУ J °xdF 4- -Ё£у 41,7)
F
Если изгибающая пара действует в плоскости yOz, М 0 и из 41,4 и 41,7 можем написать
EJyE o, 41,8)
Рх Ру
откуда
1 Jxy 1
Рх Jу Ру
После этого из 41,3, 41,6 и 41,9 получаем
41,9)
М EJx EJxy Е JxJy 41,10)
х Ру Рх Jу Ру ’
откуда
1 - MJy
Ь £Л,-4у ’
1 MxJxy
41,11)
41,12)
Рлг EiJJy-jly)
Имея эти значения кривизны, можно с учетом 41,1 и 41,5 написать формулу для определения нормальных напряжений в сечении стержня
11 I уУ АЛ 1
°°—y lZx ° Vy-4,- 4U3)
Уравнение нейтральной линии получим, приравняв нулю правую часть 41,13. Угол ух наклона нейтральной линии к оси Ох определится из условия
162


Тзкой
Аналогично этомумож прогибов с осью Оу,
случая действия изгибаювдй пары в пл0скостиНхОг°РМУЛЫ ДЛ”
1 АЛ /
iiyJXy
Ь EWyJly 5 4115>
р EjxJyj2xy ; 41,16)
о п му— 2хуУ jxx)
ы 71 2 41,17)
В об
плоскости получим Л'е®ствия изгибающей пары в произвольной
■ Jу My JХу
Ь EWy-Jiy ’ 41,18)
1 Mj'Jj'y MyJx
Рх EJxJv-j2y 41,19)
гибаюшегосяеГп„1аЧИ ° раСЧете сато-изогнутого стержня, из-
попеоечного срчрни СТИ Н6 с°впадаюЩей с главными осями его поперечного сечения, уравнении 41,18 и 41,19 достаточно Для этого следует в них подставить ' достаточно,
1 сРи 1 dPu
Рх dz ' ру — d ’ 41,20)
Mx N—my--v My Nmx—u. 41,21)
Выполнив эту подстановку, получим систему из двух дифференциальных уравнений:
cPv N
Sr - Ас “ “1 ” °1 41,22)
Ри N
5Р“ 4 £ JxJy 2 j Уху — ту 0 г — 0. 41,23)
Все предыдущие выводы относятся к упругому стержню, но они могут служить для оценки состояния стержней, находящихся в упруго-пластической стадии. Жесткость таких стержней по длине переменна и, следовательно, все моменты инерции х, Jy, JX9 не являются постоянными величинами. Учет этой переменности сильно усложнит решение уравнений 41,22 и 41,23 и сделает его возможным только для отдельных частных случаев изменения жесткостей по длине стержня.
Это говорит о целесообразности использования приближенного метода решения, основанного на принятии определенной формы искривления продольной оси стержня. Примем, как и ранее,
163


что искривление оси происходит по полуволне синусоипм r случае можно написать • ° этом
и —fx sin ; vfysin-^
41,24)
Продифференцировав выражения 41,24 два раза по г, найдем
712 A 4in K2f
dz 2 ьш I 2 sm — 41,25)
Для среднего се,чения стержня г , поэтому
1 йРи 1 fу „л
9л dx 2 ; рУ ; U—Jx vfr 41,26)
Подставив все эти значения в 41,18 и 41,19, получим
Чу NJymy— fy JXy—mx fx]
2 — e JxJ — J2xy 41,27)
fx f xy fy -f- Jx tfljf ]
“ E JjJy - J2xy 4128)
Уравнения 41,27 и 41,28 можно переписать в следующем виде
fy у “Н fxxy Jyttly ”1“ хуШ'Х 41,29)
fyxy fx г 3хуШ'у 41,30)
где
3 F
А ДГ2 гу Ужу 41,31)
Из системы уравнений 41,29 и 41,30 можно найти прогибы fx и „ в середине длины стержня:
X у ifхуту fxmx ту Jyttly JxymX 22]
A-JxA-Jy-fiy ;
г- - ж Jymy JXymx 4 у Jxymy h fxmx j 23)
' A-JXA-Jy-J2xy
Раскрыв скобки и сделав сокращения, из 41,32 и 41,33 получим
л N Nx — Nmx — NXyTny g4)
Jx Nx-NNy-N-Nly ’
N Ny — N my — Nxymx 25)
fy Nx-NNy-N-lfiy ’
где
164
N EJx j EJy yy 'Еху f4b36)
V 2 y— 13 *


нР:сНЕ” нИед“- вжя
ния стр-пжн £’ уу у Их значения для первого расчетного сече- ния стержня в середине его расчетной длины, т. е. Ju, hy, Juy.
мпмрнн м ТИИ пластиче'ских деформаций в глубину сечения моменты инерции первого расчетного сечения уменьшаются и поэтому рост прогибов fx и fy все более ускоряется, что в свою очередь приводит к ускорению развития пластических деформаций и к оолее быстрому приближению стержня к критическому состоянию, г
Выше было показано, что центр тяжести первого расчетного- сечения смещается на величину а от центра тяжести действительного сечения, поэтому при подстановке в 41,36 моментов инерции и, Jу, JХху следовало бы учитывать дополнительные изгибающие моменты, возникающие за счет такого смещения центра тяжести сечения. Введение этих поправок усложнит расчет, поэтому проще пользоваться моментами инерции п по формулам 3,22 или 3,26. При этом смещение центра тяжести будет учитываться автоматически. Этот метод использован ниже в п. 43.
При совмещении осей Ох и Оу с главными осями сечения
Jxy 0; Мху0 и из 41,34 и 41,35 получаем
41-37>
fy Щ—ТГ 4,-38)
42. Форма деформирования упругого стержня
В предыдущем параграфе были получены формулы для определения величин прогибов fx и fy стержня в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Однако форма деформирования стержня в процессе его нагружения, в основном, определяется не абсолютными величинами прогибов, а соотношением прогибов в
двух направлениях.
Разделив 41,34 на 41,35, получим
fx Nx — Nmx—Jxyny 42,1)
Ту Ny — Nmy — Nxymx
Если оси Ох и Оу совмещены с главными осями сечения, то
fx 42,2)


Разделив числитель и знаменатель этих формул на N т можно представить их в таком виде ' и>
Л
fs
Jx cjy пх
У Jy а у j ту
j °N Jxy
Л
J.vy
Jy
тя
т..
fy
Jjc — °N Jy ®y }
m,
m,
1 —
aN
3y
42,3)
42,4)
Формулы 42,1 —42,4 показывают, что отношение прогибов в двух взаимно перпендикулярных направлениях в процессе роста сжимающей силы N непрерывно изменяется, причем прогиб быстрее растет в направлении меньшей жесткости.
Покажем это на примере.
Пусть 10; J-f -—0,1; 0,01.
J у J у Шу
Эти значения отвечают, например, двутавровому стержню, нагруженному сжимающей силой с эксцентриситетом в плоскости большей жесткости. Однако за счет общего начального искривления в среднем сечении стержня имеется эксцентриситет в плоскости меньшей жесткости, равный 1 от ту, а местные искривления полок привели к небольшому отклонению сечения от симметричного ху 0,1 j у •
Подставив все эти величины в 42,3 для различных напряжений сжатия oN получим значения, указанные в табл. 8
Таблица 8
Значения
fx_
fy
при различных значениях
N
°у
0
0,5
0,7
0,9
fx
fy
0,2
0,39
0,64
0,91
Из этого примера видно, что ничтожный эксцентриситет сжимающей силы в среднем сечении стержня, равный всего 1 от эксцентриситета в плоскости большей жесткости, приводит к тому, что прогибы в плоскости меньшей жесткости сразу приобретают заметную величину, а с увеличением нагрузки даже превышают прогибы в направлении действия изгибающего момента.
Появление пластических деформаций приводит к изменению отношений к Jy и Jxy к Jy. Если ори этом эти отношения оудут
166


расти, то процесс изменения формы искривления стержня пойдет еще боле,е быстро и прогибы в направлении меньшей жесткости стержня будут нарастать еще более резко.
Полученные формулы показывают, что искривления стержня могут отличаться от плоских и при отсутствии даже небольшого эксцентриситета тх.
Действительно, подставив в 42,3 тх—0, получим
Таким образом, достаточно некоторой несимметричности сечения, вызванной, например, местными искривлениями одной из его полок, чтобы появились прогибы fx в направлении, перпендикулярном плоскости изгиба. Развитие этих прогибов в свою очередь может усиливать эту несимметричность и приводить ко все более резкому нарастанию прогибов в поперечном направлении.
Возможны, однако, случаи, когда в процессе развития пластических деформаций соотношение между моментами инерции сечения изменяется и в обратную сторону и направление большей жесткости превращается в направление меньшей жесткости. Такое явление было получено, в частности, при испытании двутавровых стержней 5 и 9 из стали НЛ-2 см. п. 24.
Все это указывает на непрерывное изменение формы деформирования сжато-изогнутого стержня в процессе возрастания нагрузки, особенно усиливающееся после появления пластич. деформаций Весьма существенно отметить также, что изменение формы деформирования стержня является следствием изменения соотношений жесткостей первого расчетного сечения в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Наиболее четко это следует из
Если при поперечном косом изгибе упругого стержня
то при наличии сжимающей силы N вместо отношения моментов инерции входит отношение
являющееся характеристикой соотношения жесткостей сжатого или сжато-изогнутого стержня. В упруго-пластической стадии эта характеристика также может быть использована для приближенного решения.
fx_
fy
42,5)
42,2.
167


43. Стержень в упруго-пластической стадии
Рассмотрим стальной стержень с произвольным поперечным сечением, шарнирно закрепленный на обоих концах и нагруженный сжимающей силой N, приложенной с эксцентриситетами тх и т относительно главных осей Ох и Оу. На обоих концах стержня эксцентриситеты будем считать одинаковыми.
Рассмотрим среднее по длине стержня сечение рис. 85,
Допустим, что под влиянием силы N и вызванных ею изгибающих моментов
Мх-туN; Му mxN 43,1)
в части сечения появились пластические деформации. На рис. 85 эта часть сечения заштрихована. Ось, проходящую по границе пластической области, обозначим -Ят—хг. Направление; прогибов стержня будет перпендикулярно оси хт хт ■
Проведе,м новые центральныеоси Ох и Оу, из которых ось Ох
параллельна оси хт—л'т, а ось О у ей перпендикулярна.
Эпюра нормальных напряжений в сечении также дана на рис. 85.
Обозначим Fa и Fb соответственно площади упругой и пластической зон сечения
FaFbF. 43,2)
Напряжение в некоторой точке упругой части сечения, удаленной на расстояние у от оси Ох, равно _
' О в1-о01-Х, 43,3)
где ут— расстояние между осями хт — хт и Ох.
Условия равновесия внешних и внутренних сил в среднем сечении стержня можно записать в следующем виде
Рис. 85. Напряженное состояние в среднем сечении стержня
N
f °dFFaJ---§yr-y dF;
43,4)
7 - f oydF - f ydF -- f Уг ftydb
P Г ' ГА
My j oxdFeTxdF - j yT -yxdF.
43,5)
43,6)
168


чения
Интегралы, входящие в 43,4 — 43,6, имеют следующие зна-
Я
j у dF jdF0'
F Р
как статиче,ские моменты сечения относительно его центральных, осей;
ldFF ' jydFSTA ; 1 xdF — SyA ; fdFJ-A ;
f Л
J ydFJA. 43,7)
Выражения 43,7 являются геометрическими характеристи- ками упругого ядра:
S-K и S-А — статические моменты упругого ядра относительно осей Ох и Оу\
У-А— момент инерции упругого ядра относительна оси Ох;
J-уА—центробежный момент инерции упругого ядра относительно осей Ох и Оу.
С учетом этого формулы 43,4 — 43,6 могут быть переписаны в следующем виде:
FaT-оN-f- СyTFA - SyA ; 43,8)
Мц 33 ЛЛ -Ла ; 43,9)
м7-т- -y,STA. 43,10)
У т
Моменты внешних сил равны
Мт V- т- -; MT Nm. 43,11>
Кривизна оси стержня в среднем сечении
7С2—
43,12)
р— ДУт 1
правый член в 43,12 отвечает искривлению оси по полуволне-
синусоиды,
откуда
2 Ef-
Л- 43.13)
Координаты Ь6 центра тяжести упругого ядра 0 равны
S— S-
у а хн
уА, Ь 4. 43,14)
169


Проведем через Оi координатные оси 0ххх и 0У, параллельные осям Ох и О у.
Обозначим' все геометрические характеристики упругого ядра относительно этих новых осей индексом единица.
Координаты точек упругого ядра относительно осей Оххх и Охух будут хи Уь
Зависимости между координатами в разных осях
х а, ху —6,j,. 43,15)
С учетом этого все геометрические характеристики получают следующие выражения:
SzA ydF-bfA 43,16)
fa
SyA xdF a,FA. 43,17)
fa
Можно написать^
§y1dF j x1 dF 0 'л
как статические моменты упругого ядра относительно' его центральных осей.
Аналогично можно написать
хА 0 “Ь жГА Э 43,13)
хуА 53 0 А Ь гуIA' 43,19)
Подставив все эти значения в 43,8—43,10, получим
iEf—
KN Fa ут - b6; 43,20)
iEf—
N - m7fy - JxIA 5Ja yT - ,; 43,21)
Tt2 Ef-
VyiA - 5-a yT - bQl 43,22)
где
WT FaT. 43,23)
Система трех уравнений 43,20 — 43,22 связывает значения сжимающей силы N, прогиба стержня fy эксцентриситетов ту ту и геометрические характеристики упругого ядра Ьь, уТ,
SX1A, SyIA, JxlA, ууА Зная восемь из этих величин, можно найти остальные три.
170


Проще, всего расчет вести так: для стержня с заданным поперечным сечением задаться положением границы пластической области. Это позволит найти все семь геометрических характеристик упругого ядра. Задаваясь, кроме того, одной из величин N, зГ, ту, Пу, можно найти остальные три.
Например, задавшись величиной сжимающей силы N, из 43,20 можно найти прогиб fy:
f Mr — N 2 o 24)
Jy k2EFAyr-b ‘
Подставив это значение fy в 43,22 и 43,21, найдем эксцентриситеты ту и ту сжимающей силы в концевых сечениях стержня
Nr-tt JxyIAS7Ayrb ,„,51
П N РА у7 - Ь, ’ 43,25)
М2
wT-w -■ar'M,s2iyT-v
т -N рА СУт — 6, 43’26)
Пользование полученными значениями ту и ту неудобно в том отношении, что обычно задаются эксцентриситеты сжимающей силы относительно первоначальных осей Ох и Оу, т. е. величины тх, ту. Напишем зависимости между теми и другими эксцентриситетами.
Согласно формулам перехода при повороте осей можно написать
тх т— cos р — ту sin ср; 43,27)
ту ту sin ср ту cos р. 43,28)
Подставив сюда значения 43,25 и 43,26, получим величины эксцентриситетов тх и ту, отвечающие очертаниям упругого ядра в рассматриваемом состоянии стержня:
NT — N Г 1 , М2 г \
тх -ту— -уд Ут н Л,м cos р -32- sin р - Лм sin pj-
— a, cos f bt sin cpj ; 43,29)
NT — N Г 1 М2 \
—fi PA yT — bb JyA sinP--2F C0S cos -
— fle sin cp — bb cos cpj 43,30)
Эти формулы и яляются окончательными.
171


44. Устойчивость стального стержня при косом изгибе
со сжатием
Рис. 86. Диаграммы состояний равновесия и критических сил для стержня, сжатого с эксцентриситетами в двух плоскостях
В предыдущих параграфах рассмотрены деформации сталь ного стержня при сжатии и косом изгибе и получено, что форма деформирования стержня в процессе нагружения непрерывно изменяется. Изменяется соотношение между прогибами fx и в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Изменение это- идет в направлении постепенного приближения формы деформи- ц равания к такой, которая
отвечает критическому состоянию стержня. Такую форму деформирования стержня будем считать устойчивой.
Используя понятие о двух расчетных сечениях, можно построить диаграмму состояний равновесия стержня диаграмму сжатия и диаграмму критических сил для него рис. 86.
Характерными точками диаграммы состояний равновесия являются точка А появление краевой текучести и точка М максимальная сжимающая сила. Критическая сила постоянна в упругой стадии работы стержня и начинает снижаться после появления пластических деформаций. Диаграмма критических сил пересекает диаграмму состояний равновесия в Точке М и дальше, в закритической стадии, идет ниже этой диаграммы.
Действительная диаграмма состояний равновесия стержня в закритической стадии должна удовлетворять как условиям равновесия, так и условиям устойчивости N NK. Такая диаграмма — ветвь MD — будет занимать промежуточное положение между ветвями MB и ML.
Величина критической силы NKP для каждого состояния стержня определяется по обобщенной формуле Эйлера с моментом инерции второго расчетного сечения, который в данном случае равен меньшему из главных моментов инерции упругого ядра относительно его собственной центральной оси.
В силу этого направление прогибов, отвечающее точке Е диаграммы состояний равновесия, может отличат• направлений главных осей упругого ядра, отвечающего диаграммы критических сил.
С ростом нагрузки, по мере лриблнженвя обео время
точке М, это различие в направлениях прогибов уд
172


уменьшаться и, наконец, по достижении точки М они должны совпасть.
В этом случае, следовательно, оси ОХ и Оху должны совпадать с главными центральными осями упругого ядра рис. 87. Из этого следует, что для критического состояния
JxyiA—0; N NK—
EJ
xIA
2
44,1)
Подставив эти значения в формулы 43,25 и 43,26, можно получить для критического состояния стержня значения эксцентриситетов тх и ту сжимающей силы относительно осе,й Ох и Оу, проходящих через центр тяжести всего сечения параллельно главным осям упругого ядра:
т-. N, N- — я,; 44,2)
X К
N
Nr-N
N
- b9. 44,3)
Подставив эти значения в 43,27 и 43,28, найдем значения эксцентриситетов mj, ту для критического состояния стержня
тхК =
Nr — N
N „ sin р — aecostp;
44,4)
Рис. 87. Расположение главных осей упругого ядра в критическом состоянии стержня
V — N,n bcos f аsIn •
44,5)
Отношение эксцентриситетов в сечении в середине расчетной длины определяет угол наклона силовой линии к координатным осям. Разделив 44,2 на 44,3, получим
т—
ХК
т—
ук
aQ
44,6)
Из 44,6 следует, что центр тяжести упругого ядра в критическом состоянии стержня лежит на силовой линии рис. 87. Условие 44,6 можно записать и в следующей форме:
т.
х,
Ок
т.
Уок ’
44,7)
где
ок У о к” к00РДинаты центра тяжести упругого ядра в критическом состоянии стержня в осях хОу.
173


Абсолютные величины координат центра тяжести vnovrom ядра могут быть определены из 44,4 и 44,5 :
N
44,8)
ок-
NT
N' W'x >
N
УОк Ы _
N тУ'
44,9)
Имея координаты центра тяжести упругого ядра в критическом состоянии стержня, легко определить положение границы пластической области ут , которая должна быть параллельна главной центральной оси упругого ядра.
Данное решение основано на допущение об устойчивости формы деформирования стержня, определяемой законом изменения его первого расчетного сечения. В то же время не исключено, что в отдельных случаях, при определенных формах поперечного сечения, за счет сравнительно небольшого увеличения пластической зоны и связанного с этим небольшого изменения первого расчетного сечения, возможно резкое уменьшение второго расчетного сечения. При этом главные оси упругого ядра могут отклоняться от направления прогиба стержня. В таком случае устойчивая форме деформирования может резко нарушиться и потеря устойчивости стержня может произойти ранее достижения сжимающей силой максимума на диаграмме сжатия стержня. Диаграммы состояний равновесия и критических сил для такого стержня могут иметь вид, показанный на рис. 88.
Возможность такой преждевременной потери устойчивости выясняется автоматически при вычислении точек диаграммы критических сил для ряда состояний равновесия стержня.
45. Косой изгиб со сжатием стержней прямоугольного
и таврового сечений
Полученные формулы позволяют рассчитать стержень на ко сой изгиб со сжатием. Рассмотрим в качестве примера стальной внецентренно сжатый стержень прямоугольного поперечного сечения с размерами 10X20 см. Материал стержня Ст. 3 с пределом текучести 2 400 кгсм2.
На основании п. 44 можно определить возможные формы очертания упругого ядра в среднем сечении стержня в критическом состоянии.
тер диаграмм состоянии и критических сил
174


Упругое ядро может иметь форму треугольника 07, трапеций 01221 или пятиугольника 0123321 рис. 89.
Для случая треугольного упругого ядра расположение центральных осей дано на рис. 90. Моменты инерции имеют следующие значения:
Рис. 89. Возможные формы упругого ядра для стержня прямоугольного сечения
Лг1 —
Jv =
kW
36
ka<
36
kW
72
tr
Рис. 90. Расположение осей в треугольном упругом ядре
Угол ср, определяющий главную ось Ощ и границу пластической области ит , находится из условия
■- тёк ИЛ
yl —Jxl
Известно тождество
2 2
tg 2ср ctg — tgр
Из рис. 90 следует
45,5)
tgcp £; ctgf —
На основании этих зависимостей из 45,4 получаем


откуда
k 1 • 45,8)
Таким образом, треугольное упругое ядро может иметь лишь форму прямоугольного равнобедренного треугольника.
Аналогичное исследование можно сделать и для упругого ядра в форме трапеции рис. 91.
Условие параллельности границы пластической области и главной оси упругою ядра приводит к следующему уравнению:
а 9т — — кт—пт я2 2тп\
® т -- п 1 — я2 Зя m — я X
X т 2я— я3 — тя3,
45,9)
45,10)
где tg 2р
2 т — я)
Рис. 91. Упругое ядро в виде трапеции
т—я3— 1 *
Задавшись определенным значением п из 45,9, можно определить отвечающее ему значение т.
Так, при г0,5 найдем т— 0,895.
Рассмотрим критическое состояние стержня с трапецеидальным упругим ядром, определяемым размерами сторон 10,5; т 0,895.
У и
Рис. 92. Напряженное состояние в сечении в критическом состоянии стержня
на
Пластически деформированная часть среднего се,чения рис. 92 заштрихована. Эпюра напряжений в критическом состоянии стержня также дана на рис. 92, Величина наименьшей ординаты принята 0,2 от.
176


Для упругого ядра можно найти следующие
величины:
о-0,47 сл; Уо -6,42гж;
о — 0.47
Л-6,42- 0-0735.
ИАРЦИ1: относительно центральных осей Jx, -Ж см, 7,1566 ел4; J „,-112 см.
I 9ЯПНИ м°мент“ инерции упругого ядра Jai 80 сж4; Jvl 609 сж4.
Угол наклона главных осей определяется из условия
7vi — Jxi ”609 — 323 0,395; 9 — 21°2СУ.
Угол срк наклона границы пластической области
О ПС
tgK 'щ- °395; К -2Г20'
Объем эпюры нормальных напряжений дает величину сжимающей силы N. Поскольку на рис. 92 дано критическое состояние стержня, то объём эпюры дает величину критической сжимающей силы NK .
Сделав вычисления, получаем NK 426,42 т.
Координаты точки приложения этой равнодействующей хд, 4-0,1156 см у 0,9487 см.
Для того, чтобы сила NK была критической, расчетная длина стержня должна соответствовать обобщенной формуле Эйлера:
, ж1 EJul —jrl' 2,1-106-280 П7
1—У - ДГ, V 426420 Ш СМ■
Можно также найти
Nr FaT 200 • 2,4 480 m.
Характеристики всего стержня:
, 10-203 103-20 4.
Jx J2— 6 666 СМ Jy—12 1Ьоо сму
1Х 5,77 см, iy — 2,88 см-, , - 20,2; 4 4s§—404-
На рис. 92 у двух углов сечения записаны ординаты эпюры нормальных напряжений. По этим ординатам можно определить кривизны в среднем сечении стержня в любой плоскости и прогибы стержня в этих плоскостях
1 2,4- 0.48 1 —„ 0,1407 СМ\
Уу 8,95-2100 4,661-2 100 см JУ
1 1,327-0,480 1 L 0,0556 сж;
х 10-2100 11,8-2100 см Jx
177


1
CM
pv 8,42-2 100 '4,35-2100
Имея эти значения, можно определить начальные
fv 0,153 см.
эксцентри¬
ситеты сжимающей силы тх и тм:
тх Л 0,1156 — 0,0556 0,060 см; ту Уы fy 0,9487 - 0,1407 0,808 см.
Таким образом, в рассматриваемом критическом состоянии стержень будет нагружен сжимающей силой с эксцентриситетами
тх 0,060 см; ту 0,808 см.
Критическое состояние, такого стержня наступит при достижении силой N величины 426,42 т.
Отношение этих эксцентриситетов равно
т.
т.
0,060
0,808
0,0742.
Это отношение практически совпадает с величиною 0,0735 отношения координат центра тяжести упругого ядра и таким образом подтверждается общее положение, что центр тяжести упругого ядра в критическом состоянии стержня находится на силовой линии.
В упругой стадии работы стержня максимальное напряжение определяется по трехчленной формуле
'max
N Nfx mx N fy ту)
F ' W„ Wx
45,11)
Известны соотношения
fxmx —
m,
1 —
N
fv my =
т.
Tt2E
1 —.
N
n'tE
вд: =
45,12)
45,13)
Подставив все эти значения в 45,11 и приравняв личине предела текучести, получим
'мах
ве-
N
Fm,
1
- +
Fm.
или
где
-v '
cN — AoBon — C 0,
aT. 45,14 45,15)


Ху - - координаты точки с максимальным напряжением.
В рассматриваемом частном случае
50,3 тсм2; ау 12,575 тсм2; х — 5 см; у 10 см;.
Л 78,01 тсм2; 5 960,8 т2см4; С 1 518 тгсм..
Подставив эти значения в 45,14, найдем
°лгЬ86 тсм2, Af 1,86200 372 т; рх — 0,01 см;
fx — 0,031 см.
Направление прогиба в состоянии краевой текучести определяется углом срт , который находится из условия
ictm - Jxmx-fx 6 666 0,0676 ЛОО
Jyrny — fy 1 666 ' 0,847 U’c5Z’
откуда срт17°45'.
В начальный момент нагружения, при N0, прогибы еще отсутствуют, поэтому направление прогиба определяется углом Величина этого угла может быть найдена из условия
tap 6 666.0,060
Jytriy 1 6660,803 и,4бУО’
откуда ро16°30'
Таким образом, с ростом нагрузки направление прогиба рассматриваемого стержня изменяется следующим образом:
при N 0 сро16°30' 0,296;
при N 372 т рт 17°45' - 0,323;
при NK 426,42 т рк 21°20' jr 0,395.
у
Изменение это происходит постепенно и идет в направлении приближения стержня к форме деформирования, характерной для его критического состояния.
Аналогично можно рассмотреть и тавровый стержень с размерами поперечного сечения, данными на рис. 93. Весь расчет стержня произведен в том же порядке, что и стержня прямоугольного поперечного сечения.
Критическое состояние, стержня принято при захвате пластическими деформациями участка полки шириною 0,5 h на рис. 93 пластическая зона заштрихована.


г
Расчетная длина стержня равна I — 28 97 A iIO„ гибкости ,88,43 и Х,69,89 и эксцентриситеты прилож'01' Г-- сжимающей силы на концГ,
m-0,05569ft; m„0,01856ft
Результата расчета стержн, сведены в табл. 9, в которой дли различных величин сжимающей х I силы даны значения прогибов f fy их отношение и угол нахло- на направления прогибов к
с I
cvjL
-Е
f
Zh
wjsm.
L
1
Рис. 93. Расчетное сечение таврового стержня
оси Оу.
На рис. 94 результаты этого расчета представлены графически. По существу, на рис. 94 да. ны три отдельных зависимости. Зависимость каждого из прогибов fx и fy от величины сжимающего напряжения и траектория
n i patiKTOpHf
перемещения центра тяжести среднего сечения с ростом нагрузки В двух верхних квадрантах рис. 94 построены также диаграммы критических напряжений ак, которые горизонтальны в упругой сталии пяботы степжня и постепенно снижаются я лптгт-^
180


Таб лица 9
Результаты расчета таврового стержня
Прогибы
fx
пп
т
fxlh
уft
h
р
Примечание
1
0
0
0
1,920
28°
Начало нагружения
2
0,200
-0.0074
—0,0041
1,800
30°
3
0,400
—0,0163
—0,0106
1,538
33°
4
0,457
-0,0195
-0,0132
1,479
34°
Краевая текучесть
5
0,612
-0,0338
—0,0264
1,28
38° 05'
в среднем сечении
6
0,65745
- 0,04408
-0,03580
1,233
39°
Критическое состояние
пластической стадии. Эти диаграммы пересекаются с диаграммами состояний равновесия диаграммы прогибов в точках максимума последних. Для закритической стадии диаграммы не строились.
Все вычисления этого параграфа указывают на непрерывное изменение формы деформирования стержня, работающего на косой изгиб со сжатием, в процессе увеличения сжимающей силы, причем все эти изменения сводятся к постепенному приближению формы деформаций к той, которая характерна для критического состояния стержня.
Глава XII
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
46. Изгибно-крутильные формы деформирования сжато-изогнутых стержней
Изгибно-крутильные деформации характерны для очень многих сжатых, изогнутых и сжато-изогнутых стержней.
Учету этих деформаций при решении задач прочности посвящено значительное количество работ. После широко известных работ В. 3. Власова 7, давшего общее теоретическое решение этой задачи, необходимо отметить работы Д. В. Бычкова 4 и 51, в которых разработаны методы расчета различных конструкций однопролетные и неразрезные балки, рамы.
Следует сказать, что с переходом к расчету конструкций по упруго-пластической стадии значение учета изгибно-крутильных деформаций при решении задач прочности снижается, поскольку всевозможные местные перенапряжения при этом игно-
181


рируются. Значительно больше эти деформации влияют на vn тоичивость сжатых и сжато-изогнутых стержней огД дуралюмияиевых, поэтому первые попытки решения этой 0 связывались, в основном, именно с этим материалом X ВтЖ Р. Каппус 55, А. А. Уманский 38 и др Наиболее полное и oiu’ решение этой задачи для упругих стержней было дано В совым 7. Попытки распространить это решение; на vnovrn п стическую стадию предпринимались неоднократно В И г™ А. Р. Ржаницын 35, Г. М. Чувикин 39, автор 111 и т д Ол ко общего решения получено не было. В последние годы появил’ ся ряд работ Р. А. Межлумяна 24, вызвавших много возражений хотя эти работы основаны на правильном принципеучете раз личной жесткости стержня при определении его деформаций и устойчивости; диаграмма напряжение—деформация принята им криволинейной, поэтому применение ее к расчету стальных стержней в таком виде невозможно. Примерно на этом же принципе
основана и работа К. Ройка 61, рассмотревшего лишь случай центрального сжатия.
Ниже дается приближенное решение задачи устойчивости сжато-изогнутого стержня в упруго-пластической стадии на основе метода двух расчетных сечений.
Ввиду малости деформаций кручения принимается, что можно пренебречь касательными напряжениями и их влиянием на появление пластических деформаций, а жесткость стержня на чистое кручение в пластической и упругой стадии можно считать неизменной.
Жесткий диск имеет в своей плоскости три степени свободы, которые можно представить в виде линейных смещений в двух взаимно-перпендикулярных направлениях и вращения.
Всякий стержень можно представить в виде совокупности одинаковых, соединенных друг с другом жестких дисков, каждый из которых при нагружении стержня получает в общем случае перемещение по трем направлениям. Такая деформация стержня является изгибно-крутильной.
Выше было показано, что для оценки действительного поведения сжато-изогнутого стержня необходимо учитывать его деформации прогибы Вначале рассматривались только плоские формы изгиба стержня, затем в главе XI были рассмотрены прогибы в двух направлениях и, наконец, теперь перейдем к учету также
и угловых перемещений — закручивания стержня.
Уравнения равновесия внешних и внутренних сил для сечения внецентренно сжатого стержня, слабо отклоненного от пРямЛч. нейного, В. 3. Власов записывает в следующем виде 7, стр.
EJllu,w Nil Мх -f ayN р 0; 461)
£7IV Nv Му - axN р 0; 46'2)
Af, a,N и My — axN v f,v +
182


-f 2BxMy - 2fyMx - GJd у 0. 46,3)
Здесь
IV — сжимающая сила;
Мх и Му—изгибающие моменты в рассматриваемом сечении;
iiy v — линейные смещения сечения соответственно в направлениях осей Ох и Оу;
р — угол поворота сечения относительно его продольной оси г угол закручивания; ахч ау—координаты центра изгиба;
эксцентриситеты сжимающей силы на концах стержня;
— секториальный Момент инерции;
о—секториальная площадь в рассматриваемой точке сечения;
Jd—момент инерции при кручении, вычисляемый для тонкостенных профилей по формуле
т.х1 ту
где
а — числовой коэффициент, близкий к единице; by 8 — ширины и толщины стенок профиля;
r J±J a2а.
2Л
ил
2 Л
— а.
£,- j уРг dF; Uy XfFdF; p—jc у\
46,4)
Решение системы дифференциальных уравнений 46,1 —
46,3 имеется лишь для случаев постоянных по длине стержня коэффициентов, что отвечает упругому стержню и отсутствию прогибов.
Система дифференциальных уравнений 46,1 — 46,3 получена В. 3. Власовым для стержня, прогибы которого пренебрежимо малы. В этом случае нормальное напряжение в поперечных сечениях сигар едел я лось им по формуле 1 а стр. 152 7, которая в наших обозначениях записывается так
46,5)
Изгибающие моменты Мх и Му имеют при этом следующие значения:
Ж,
Nmv Mv Nm,
46,6)
183


Фактически стержень имеет прогибы и и о в направлен., главных осей Ох и Оу и углы закручивания ср. равлеяии
За счет прогибов и и v изгибающие моменты 46 6 ичмйна ются и становятся равнымш ’
Mx—N mv — v; My N mx — и.
За счет закручивания стержня появятся дополнительные нормальные напряжения, изменяющиеся по закону секториаль- ных площадей, и полная величина напряжений вместо 46 5 будет выражаться четырехчленной формулой ’
N , Мх Му В
Т у -7ГХ —46,8)
где
В — EJсо cf© J со 46,9)
Величина В называется изгибно-крутящим бимомедгом,
С учетом сказанного уравнения 46,1 — 46,3 усложнятся, в них появятся новые члены.
Получим эти новые уравнения тем же путем, который использован В. 3. Власовым в 7 для получения дифференциальных уравнений 46,1 — 46,3 и с сохранением его допущений о малости перемещений стержня и допустимости вследствие этого пользоваться приближенным выражением для кривизны стержня.
Система дифференциальных уравнений, выражающих равновесие элементарной поперечной полоски диска стержня, при отсутствии сдвигающих сил на продольных кромках стержня и при поверхностной нагрузке, выражающейся вектором, лежащим в плоскости поперечного селения, записывается в следующем виде:
-EJyti™qx 0; 46,10)
-EJxv™qy 0; 46,11)
- EJ„ IV GJd то 0. 46,12)
Уравнение, выражающее продольные перемещения стержня, отбрасываем как ненужное для нашего исследования.
Здесь qx и qv — интенсивности погонных поперечных нагрузок;
т—интенсивность внешнего крутящего момента от поперечных нагрузок Цх и qy относительно центра изгиба.
При изгибно-крутильнай деформации стержня прогибы некоторого его волокна 5 с координатами хну будут равны:
us u — y — ayр; vs v х — ах. 46,13)
Если нормальное напряжение в волокне s равно о , то интенсивность поперечных усилий, появляющихся при искривлении этого волокна, будет
184


рх aba — Лу — ау р; 46,14)
ру oba о8 х - ах ® 46,15)
Зная интенсивности этих поверхностных нагрузок, можно определить погонные нагрузки qx и qy и погонный крутящий момент т, действующие на стержень:
qxs и § adF — cpJ а у — ау dF-, 46,16)
qy a vn j adF p J о x — ax dF 46,17)
F F
m — vn f о — ax dF — u,roy — ay dF -f
f r
cp j а — axf y — ayf dF. 46,18)
F
Подставив в 46,16 — 46,18 значение о из 46,8, проинтегрировав и учтя, что
J xdF— ydF 0 JxydF 0; fodF0,
F F F F
получим
qx, Nu - iNa, Mx-§- Jxaxj p; 46,19)
g, — Nv -Nax — My — -j-- Jyaf'j p; 46,20)
m u’l-Nay-Mx- Jxax vNax - My - -j J,ayj +
yr -2 Ш,р, - 2МД, 4- -f- с 46,21)
При интегрировании уравнений 46,16 — 46,18 использо¬
ваны также равенства
Jxax j toydF; Jyay — — uxdF, 46,22)
где и— секториальные площади с полюсом в центре тяжести
сечения.
Кроме того, введены следующие, обозначения:
V RxjRy-f 2axay Jx — Jy; 46,23)
“ J y2oidF Ry J AdF. 46,24)
185


Подставив значения 46,19 — 46,21 в 46,10 — 46,12, получим следующую ‘систему дифференциальных уравнений равновесия вместо уравнений 46,1 — 46,3:
EJyaV -f Nu -f-1ayN Mx -f- JxaxJ cp 0; 46,25)
EJxv ЛГ - ax NMy-§- Jfy'j 0; 46,26)
Mx -j— Jxixj n axN My -j— Jyay v -j- EJ. 'v rW 2P JAy - 2yMx — OJd V j 0. 46,27)
В упруго-пластической стадии, а также и в других случаях
отклонения нормальных напряжений от закона секториальных площадей при местных искривлениях элементов стержня и т. д. все геометрические характеристики сечения должны определяться для первого расчетного сечения стержня, определяемого формулами п. 3. векториальные геометрические характеристики сечения при этом определяются по следующим формулам:
j u46,28)
F
ах.ч у f oyydF; ayri j— f oxidF 46,29)
V yv
Jxri J ydF Jyri J x2ridF F j rdF 46,30)
F F F
r3T'n ahaU' 46'31)
255 2Г yt ’ 46,32)
Ухц J Vp2vdF; иУц f xp2rdF; p2 x2 -f- y2; 46,33)
F F
Ra J y2utdF Ryrl j x2OTdF. 46,34)
F F
Все эти геометрические характеристики могут вычисляться как для обычного упругого стержня, но только имеющего не действительное, а первое расчетное сечение, каждая элементарная площадка которого равна тdF.
Для тонкостенного упругого стержня первое расчетное сече-
186


ние проще всего получить пересчетом толщин 8 элементов профиля, принимая их равными
Некоторая неясность остается лишь при вычислении для первого расчетного сечения величины Jd однако при малых углах закручивания стержня можно считать
В случае необходимости получить решение, явно в запас можно определять Jd для второго расчетного сечения стержня, т.е. при материале с идеализированной упруго-пластической диаграммой лишь для упругого ядра.
При учете конечных деформаций первое, расчетное сечение будет переменно по длине стержня, уравнения 46,25—46,27 будут иметь переменные коэффициенты и практически решить эту систему уравнений будет невозможно из-за сложности выражений многих коэффициентов.
В силу этих соображений опять ограничимся приближенным решением, задаваясь изменением перемещений в каждом направлении по полуволне синусоиды:
и fx sin-f- ; vfy sin ; cp pc sin , 46,37)
где fx, fy, cpc — прогибы и угол закручивания в среднем сечении
Таким образом, в отличие от обычного решения задачи без учета конечных деформаций стержня учтем увеличение эксцентриситетов тх и ту за счет прогибов fx и fy и такие увеличенные эксцентриситеты будем считать постоянными по всей длине стержня.
Продифференцировав выражения 46,37 четыре раза по 2, люлучим для среднего сечения по длине, стержня
Подставив эти значения в 46,25 — 46,27 и сократив общие множители, получим
N, -Nf,-N a, -myfy dyрс 0; 46,40)
К, — Nf, N а, - тх fx - dx р„ 0; 46,41)
— Nay — my fy dyfx N ax - mx fx- dxfy +
8, =
46,35)
46,36)
стержня.
187


N.-N rPc - XN mx —fx 9c 2yN - my fy c _
g
-7TKP 0 46,42)
где
at iEJx ' iz-EJy ' r GJa , nPEJut
2 2 N-— r3 -j — 46,43)
d -Ж- 1Й7 Vr 46,44)
Уравнения 46,40 — 46,42 образуют систему алгебраических уравнений, нелинейных относительно искомых перемеще¬
ний среднего сечения стержня fx, fy срс Из 46,42 можно написать:
Nay ту-- dyfx--— тпх dxfy ,ллг\
Ъ ъ 46,45)
N-Nrb-2Nxmx-fx-2mymy-fy -j- V
01
Решив систему уравнений 46,40 — 46,41, найдем
N't с Nx — N ау — Му dy - Мрс ах — mx — dx ]
Л А -А0У,-Л0 1 46-46)
N't с - Ny — N ах — тх — dx — JVpg ду — - dy ]
m92c Nx-NNy — N ' ’ '
Подставив значения 46,46 и 46,47 в 46,45, получим квадратное уравнение для определения угла закручивания рс в середине длины стержня
Р NAt 2РсЛ2Д1 С4 0, 46,48)
где
Ах ЛГ. - iVr2 - 2 iVPA РЛ 2РА “ РА’ 4649>
BiNx — N ау - ту , р, — Ny — N ах -
-mx-dxy- 46,50)
С, ЛГ, - АО Л, - AO Nm- Nf-2N Nx-NNy -N ft, +
P,,N, - NNy - Nf- V— N2 Nx - Nay -my dyf -
1)
- V2 V„ - N ax - mx - dx 46,51)
Решение уравнения 46,48 записывается в следующем виде:
ф 4- Л. £— 46,52)
Ге— А± у А2 AN V /
Проанализировать закон изменения угла ср в общем виде на основании 46,52 достаточно трудно, так как коэффициенты Аь В и Cj зависят от ряда характеристик стержня. Однако из 46,49)
188


видно, что с приближением сжимающей силы N к величине V0 коэффициент А быстро уменьшается и, следовательно, угол закручивания стержня начинает быстро увеличиваться. Nа является критической сжимающей силой, при которой происходит потеря устойчивости стержня в виде закручивания без искривления продольной ochj таким образом, значительное развитие крутильных деформаций возможно лишь при приближении сжимающей силы к величине N Следовательно, для оценки крутильных деформации весьма важной характеристикой является величина разности Nio — N. Из формул 46,46 и 46,47 видно, что в общем случае прогибы fx и fy не могут происходить без появления и углов закручивания. Таким образом, как правило, деформирование внецентренно-сжатого стержня должно быть сложным — из- гибно-крутильным.
С практической точки зрения основной интерес представляет тот тип деформации, который превалирует над двумя другими при приближении стержня к критическому состоянию. Иногда при этом могут быстро увеличиваться деформации двух типов. Например, закручивание и изгиб в плоскости меньшей жесткости.
Все это указывает на необходимость более детального анализа характера деформирования стержня при приближении его к критическому состоянию.
47. Форма деформирования стержня
Имея выражения для каждого из трех перемещений х, fy, рс стержня, можно определить и форму каждой величине нагрузки.
Любое перемещение диска в его плоскости, как известно, может быть представлено в виде вращения его относительно некоторого центра. Обозначим этот центр С, а его •координаты относительно центра тяжести сечения сх и Су.
Согласно рис. 95 можно написать
fxCy aycj fyi. СхЛ"
47,1)
откуда получим координаты центра вращения
с,’ау-1 47,2)
Поскольку величины перемещений х, fy, срс зависят от величины сжимающей силы N, то положение центра вращения нри изменении нагрузки будет изменяться. Если нормальные напря-
его деформирования при
Дах. ад)
•Сь.Су)
Рис. 95. Сечение стержня
189


жения изменяются по плоскости поперечного сечения по законч отличному от закона секториальных площадей, то все характепи стики, необходимые для вычислений по формулам 47,2, слелч брать для первого расчетного сечения стержня. В этом с луча координаты центра вращения будем обозначать сХГ1, суг.
Если угол закручивания срс в среднем сечении стержня па вен нулю, то координаты сх и су равны бесконечности и мы ппи ходим к случаю косого или плоского изгиба стержня. В силу это го при малых значениях угла закручивания рс характер деформирования стержня может быть достаточно точно определен и без учета деформаций закручивания.
48. Устойчивость сжато-изогнутого стержня при изгибно-крутильных деформациях
Выше было показано, что форма искривления продольной оси сжато-изогнутого стержня и форма перемещений его в плоскости поперечного сечения в процессе возрастания нагрузки претерпевает непрерывные изменения, идущие в направлении постепенного приближения деформаций к таким, которые характерны для критического состояния стержня. Такой характер деформирования стержня будем называть естественным и будем его считать устойчивым.
Как и в более простых случаях, можно и для случая изгибно- крутильных деформаций построить диаграмму состояний равновесия стержня диаграмму прогибов. Эта диаграмма будет иметь такой же вид, как представленная на рис. 86.
На рис. 86 по вертикальной оси отложена сжимающая сила N, а по горизонтальной оси любое перемещение Д стержня прогиб в каком-либо направлении, угол закручивания, сближение концов. Точка А отвечает появлению в стержне краевой текучести, точка М — максимальной критической сжимающей силе. Такая диаграмма будет во всех случаях, когда естественный характер деформирования стержня является устойчивым.
На рис. 86 построена также и диаграмма критических сил для рассматриваемого стержня NCMD. Эта диаграмма пересекается с диаграммой состояний равновесия в точке М, которая и определяет критическое состояние стержня.
Ветвь MD отвечает как условиям, равновесия, так и условиям устойчивости и характеризует поведение стержня в закритической стадии.
Совершенно очевидно, что для вычисления координат кривой критических сил никаких новых формул выводить не нужно. Как и во всех случаях, критическая сжимающая сила при изги крутильных деформациях определяется отпорностью стеРжчис. клонениям от достигнутого состояния равновесия и може д лятъся по обобщенным формулам В. 3. Власова, в коачР и'Вто- ставляются все геометрические характеристики для перв
190


рого расчетных сечений стержня, отвечающих его рассматриваемому состоянию равновесия.
Для определения величины критической сжимающей силы удобнее все,го воспользоваться формулами для стержня, жестко закрепленного по оси, параллельной продольной оси стержня. Если этуось совместить с осью, относительно которой вращается свободный стержень при достижении критического состояния, то эта формула и даст величину критической сжимающей силы для свободного стержня.
Систе,ма дифференциальных уравнений равновесия для стержня, жестко закрепленного по оси, параллельной его продольной оси, В. 3. Власовым 7, стр. 247 дается в следующем виде:
EJyii'V- Vи' аур'' Млу дх ; 48,1)
EJxv'V- Nу' — Му qy ; 48,2)
Elо cpiv Qjy Г2дг 2§VMX - 2рхМу '' +
я1 Мх - ах fy ту - ау Ср-ау Nu'Y axNv'y -f-
Mxti Myv m. 48,3)
Здесь 7, q— реактивные силы, действующие по оси закреп¬
ления;
ш—крутящий момент от реактивных сил.
В нашем случае уравнения 48,1 — 48,3 должны быть несколько изменены.
Во-первых, за счет наличия закручивания стержня в состоянии, предшествующем критическому, в эти уравнения добавятся члены
-§-Jxax-, 4-Ла,; -7- V, 48,4)
СО О О
точно так, как они входят в уравнения 46,25 — 46,27.
Во-вторых, за счет наличия прогибов стержня изгибающие моменты Мх и Му будут выражаться формулами не 46,6, а 46,7.
В-третьих, сохраняя допущение о постоянстве моментов внешних сил и напряжений по всей длине стержня, можно величины N, Мх, Му вынести за знаки дифференцирования
В-четвертых, и это очень важно, геометрические характеристики должны быть определены не для действительного, а для первого и второго расчетных сечений стержня.
При этом должно учитываться следующее.
Для критического состояния стержня слагаемые,
EJyii™; EJxv™; EJw pIV— GJy 48,5)
определяют отпорность стержня отклонениям от достигнутого состояния равновесия и поэтому должны вычисляться для второго расчетного сечения.
191


определяют бывнешнюю
вать перемещения стержня от достигнутого' состояниГравно весия. Величины ЭТИХ активных нагтюп,, шиния равно-
тером распределения нормальных напряжений пТсреТнемyZll
оНст1ьТьГхлЯагИаемГдМоУлжС„еы °
ного сечения стержня.Д ЖНЫ выч“яться для первого расчет-
Лппмп обстоятельства пРив0Дят к усложнению расчетных п’ экспеРименты показывают достаточную точ-
тыттии JHbIX Ф°РМУЛ полученных без учета конечных кру- Деформации, то в цедях упрощения вычислений и для упруго-пластическои стадии можно отбросить члены 48,4. Тогда формула для определения критической сжимающей силы NK может быть записана по аналогии с формулой В. 3. Власова 7J, стр. 249 в следующем виде коэффициент Лв упругости среды против кручения в нашем случае равен нулю:
tz.2
—р— £о2 GJа2
NK =
ХУ 4 4 mxr, — fx — 2с тп — ух
48,6)
Л
Здесь шх,ту7—эксцентриситеты сжимающей силы относительно центра тяжести первого расчетного сечения, равные
тхт, mx — aTl; myTi my - b4 , 48,7)
где mx, my— эксцентриситеты сжимающей силы относительно центра тяжести действительного сечения; я- — координаты центра тяжести первого расчетного се¬
чения относительно центра тяжести действительного сечения.
определяется точно так же, как и , только полюс берется не в центре изгиба, а в точке с сх, су.
В числителе 48,6 записаны геометрические характеристики второго расчетного сечения стержня, в знаменателе — первого расчетного сечения стержня. Для вычисления критической силы необходимо знать положение оси вращения стержня, что требует вычисления координат сх и су по формулам 48,2 рис. 95.
Следует отметить, что столь значительная громоздкость всех этих вычислений делает практическое использование их почти невозможным, поэтому для наиболее часто встречающихся случаев целесообразно дать более простые расчетные формулы.
192


49. Практический метод расчета
Рассмотрим более простой частный случай — двутавровый
стержень, сжатый с эксцентриситетами в плоскости большей жесткости.
nYrnoJ56311316 П0Явлеяия пластических деформаций стержень кпгти метрик относительно оси, перпендикулярной плос-
изгиба, поэтому необходимо рассмотреть стержень с одной плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью больше жесткости стержня. Для этого случая уравнение для определения наименьшего критического напряжения записывается в следующем виде это уравнение дается в форме, полученной в 11:
-1 2^
ГРг\
WV, - У1
гп \
гг I I о УГГ УЧ 7 I
°ш2 Оу2 20,2 3 Т
а?
ayt Оц2 — ГР “ 49,1)
’7Y)
Индекс rj указывает на то, что данная величина определяется для первого расчетного сечения
Дут J toxrdF; byri -ц— ГypVF; 49,2)
F XnF
p—расстояние от точки контура до це,нтра тяжести;
2 Jxr Jyn Jptj '
р' Jj. ' ’
туГ1 — эксцентриситет силы N относительно центра тяжести первого расчетного сечения
те2£Ууа vPEJ GJdi лп п\
Су2 27 °ш2 2 Г т , 49,3)
1 Р-Ч Jpi1
Jy2, Л,2, Jdi — геометрические характеристики второго расчетного сечения.
Допустим, что критическое состояние стержня наступает при распространении пластических деформаций на всю наиболее сжатую полку и на часть стенки. Такое напряженное состояние может быть в среднем сечении по длине стержня. На основе принятого допущения можно считать его постоянным по всей длине.
При таком напряженном состоянии входящие; в формулу 49,1 величины могут определяться из следующих соображений.
Прежде всего их необходимо разбить на две группы:
а увеличение которых снижает устойчивость стержня,
б увеличение которых повышает устойчивость стержня.
К первой группе относятся те, которые дают увеличение дополнительных изгибающих и крутящих моментов при отклонении
193


СТерЖйя от положения равновесия и играют в условиях оаино весия как-бы. роль внешней нагрузки; ко второй группе относи ся те. которые определяют отпорность стержня отклонениям £ достигнутого состояния равновесия.
С учетом этого для практического расчета при необходимости упрощений величины первой группы следует принимать с пое увеличением, а второй группы —с преуменьшением.
К первой группе относятся характеристики первого расчетного сечения, ко второй группе — характеристики второго расчетного сечения.
Обозначим чертой сверху все характеристики стержня в рассматриваемом критическом состоянии. С учетом вышеуказанных
соображений величины bH, Jp, гр можно определять для полного сечения стержня и записать их в следующем виде:
by—— 0; yt — 0.
Jp Jp' Jx Jу•>
.
Jn
49.4)
49.5)
Формулы 49,4 и 49,5 соответствуют принятию эпюры о по пунктирной линии на рис. 96 вместо заштрихованной. Совершенно очевидно, что значительные отклонения в сторону запаса за счет такого допущения могут быть лишь при весьма большой глубине распространения пластических деформаций по сечению.
Величины второй группы примем равными
я — Qy ау2— “2
- GJd
— ш
Л
Цг- ; 49,6)
49,7)
О
Рис. 96. Напряженное состояние в сечении
Эти значения принимаются такими на следующем основании: одна полка стержня охвачена полностью пластической деформацией, вследствие чего упругое ядро имеет форму тавра и его момент инерции уменьшается вдвое; центр изгиба второго расчетного сечения смещается в точку А рис. 96 пересечения осей менее напряженной полки и стенки, поэтому эпюра секториальных площадей обращается в нулевую, секториальный момент инерции становится равным нулю и во второй формуле 49,3 первое слагаемое в правой части пропадает.
194


После учета этих соображений формула 49,1 может быть записана в следующем виде:
О2 1 — т2у — о о0,2 Оу2 -- о у2 Оа2 О, 49,8)
Фи*
V-
Решение уравнения 49,8 может быть получено в виде графика рис. 97 с соответствующим изменением величин оу и о9
На Оу2 И Со2-
Для более точного определения значений критических напряжений в промежуточных случаях решение уравнения 49,8 может быть записано и аналитически
1 г- -
1°“2у2 ±
2 49,9)
Меньшее значение критического напряжения о2 получим, приняв перед радикалом знак минус. В этом случае расчетная формула может быть записана в следующем виде:


50. Расчет опытных стержней на пространственную
устойчивость
Определим по формуле 49,10 критические напряжения
ГсмЫРпеХ24ВУТаВРОВЫХ СВ8РНЫХ СТерЖНеЙ’ испытанных в Цнипсе
Стержни на концах опирались на цилиндрические шаонипы расстояние, между центрами которых обозначено I ТакоГзакреп: ление обеспечивало шарнирность в плоскости изгиба и Жесткое
защемление в перпендикулярной плоскости. Гибкости стержней
см. табл. 5 даны из расчета шарнирного закрепления концов стержня в обоих направлениях.
Депланация концевых сечений была исключена путем укладки между торцом стержня и цилиндрическим шарниром стальной плиты. г
Вследствие такого закрепления граничные условия для концов стержня могут быть записаны в следующем виде:
11 0; V 0; р0; 50,1)
и' 0; -z' 0, с 0. 50,2)
Согласно таблице A. JI. Гольденвейзера 14 поправочных коэффициентов к моментам инерции и эксцентриситетам для этого случая следует принять:
; Л; 4,1223 7,; 4,1223Х; ту 0,8834ту. 50,3)
Здесь штрихами обозначены расчетные значения моментов инерции и эксцентриситетов, соответствующие имевшимся при испытании граничным условиям.
С учетом этих поправок и соображений, изложенных в п. 49, расчетные характеристики стержня могут быть определены из следующих формул:
J'x Jx J’y 0,5-4,1223 , 2,066 J,-, JPJP; 50,4 m'f 0,8834й2 0,788m2; 50,5)
50,6)
x — 2 ’ У PF ’ t0 Jn
'p
Полученные по этим формулам расчетные упруго-геометрические характеристики опытных стержней записаны в табл. 10.
Во второй части табл. 10 записаны значения теоретических я экспериментальных критических сжимающих напряжений для опыт-
ных стержней. „ .
Здесь Ок1 — критическое напряжение при изгибнои ф P тери устойчивости внецентренно сжатого стержня в плоек гиба в плоскости стенки см. табл. 5, 6-я графа;
196


Таблица 10
Расчетные упруго-геометрические характеристики и критические напряжения опытных стержней
N стержня
5
7
9
11
г
Jx см4
4437
3490
4346
' 2801
Jy СМ4
2960
1255
2880
045
m'y см2
0,0483
0,0738
0.0G23
0,0888
а'у, кгсмЪ
20350
8220
8700
7650
Су кгсм2
13800
3020
5800
1760
кгсм2
7050
8450
7160
9750
чк1 кгсм2
2760
2410
2470
2290
ак2 кгсм2
6750
2680
5060
1730
®к2 ак1
2,44
1,11
2,05
0,755
Ооп KZjcM?
2665
2140
2318
2118
аоп ак1
0,968
0,890
0,938
0,922
аоп °к2
0,395
0,800
0,458
1,22
Начальные искривления fxjf^
00
2,5—6,0
00 |
1,0—4,0
оК2— меньшее из двух критических напряжений, при которых возможна изгибно-крутильная потеря устойчивости стержня, определенное по формуле 49, 10;
°оп —полученное при испытании критическое напряжение; f и г — стрелки начального искривления в мм соответственно более и менее сжатых полок в их плоскостях. Знак минус перед f., означает, что начальные искривления полок были направлены в противоположные стороны, т. е. создавали стержню как бы начальный угол закручивания.
Из табл. 10 видно, что для стержней 5, 7 и 9 наименьшим критическим напряжением является ок,, при котором должна наступить изгибная потеря устойчивости стержня в плоскости действия изгибающих моментов. Для стержня 11 наименьшим является критическое напряжение ок2, при котором должна иметь место изгибно-крутильная потеря устойчивости.
Действительный характер потери устойчивости стержней виден из диаграмм рис. 98. Диаграммы прогибов fu и fx даны соответственно в направлении стенки и ему перпендикулярном, параметр А
197


характеризует угол закручивания. Все величины относятся к среднему сечению по длине каждого стержня.
Из рис. 98 видно, что у стержней 5 и 9 поперечные деформации почти отсутствовали до момента потери устойчивости. В стержне 7 они начали развиваться довольно рано и к моменту потери устойчивости составляли примерно половину прогибов f. В стержне 11 они также начали рано развиваться и к моменту потери устойчивости превзошли прогибы fy в плоскости действия изгибающих моментов.
г—стержня 11
Такой характер потери устойчивости всех стержней хорошо со гласуется с результатами расчета и позволяет считать, что:
а стержни 5 и 9 потеряли устойчивость в плоскости изгиба; это отвечало значительным запасам устойчивости против изгибно-крутильных форм потери устойчивости, имевшимся у этих стержней см. табл. 10, и отсутствию у них начальных искривлений;
б стержень 11 потерял устойчивость при изгибно-Крутильной форме деформаций, причем опытная критическая нагрузка превысила на 22 определенную теоретически по приближенной формуле 49, 10;
в стержень 7 имел весьма малый запас против изгибно- крутильной потери устойчивости и значительные начальные искривления. Эти обстоятельства объясняют сложный характер его потери устойчивости, при которой превалируют деформации в плоскости изгиба, но значительны и поперечные деформации. Критическая нагрузка для этого стержня оказалась на 11 ниже теоретической, в то вфемя кцк для других стержней это снижение не превышало 3,2—7,8.
198


Данные испытания показывают допустимость пользования полученной формулой для определения критической сжимающей силы, отвечающей изгибно-крутильиой форме потери устойчивости. Таким образом, даже в таком сложном случае использование понятия о двух расчетных сечениях оказалось полезным и обоснованным.
Не менее важным является также экспериментальный результат, подтверждающий, что изгибно-крутильные деформации в некоторых случаях не получают значительного развития и практически не влияют или почти не влияют на величину критической сжимающей силы.
51. Возможность изгибно-крутильных форм потери устойчивости сжато-изогнутых стержней
В п. 1 было показано, что с ростом нагрузок форма искривления продольной оси упругого сжато-изогнутого стержня непрерывно изменяется как за счет изменения расстояния между смежными точками перегиба, так и за счет смещения их и мест максимального изгибающего момента по длине стержня.
Направление всех этих изменений таково, что с увеличением нагрузки форма искривления оси постепенно приближается к той, которая при данных условия закрепления стержня в конструкции будет отвечать его критическому состоянию.
Появление пластических деформаций в тех или иных частях стержня ускоряет этот процесс, не внося в него каких-либо качественных изменений.
Подобный характер деформирования был показан еще С. П. Тимошенко 37 для упругого сжатого стрежня с начальными искривлениями его продольной оси. Рассматривая стержень с двумя шарнирно закрепленными концами с начальными искривлениями, определяемыми уравнением
sin —£• - д2 sin f 51,1)
он показал, что с возрастанием нагрузки начнут все более сильно превалировать прогибы, изменяющиеся по одной полуволне синусоиды, так как низшая критическая сила отвечает именно этой форме деформирования стержня в критическом состоянии.
Из пп. 42 и 47 видно, что направление смещений поперечного сечения в середине расчетной длины упругого сжато-изогнутого стержня также непрерывно изменяется в процессе возрастания нагрузки. В общем случае при увеличении нагрузки увеличиваются прогибы стержня в двух взаимно перпендикулярных направлениях и угол закручивания. Однако скорость возрастания каждого из этих перемещений различна; она тем больше, чем ближе действующая сжимающая сила к критическому ее значению при раз- витиии перемещений лишь в одном этом направлении.
199


По аналогии с предыдущим можно сказать, что изменение boo- мы деформирования стержня в поперечном направлении бшет происходить в направлении приближения к форме дефоомиоом ния стержня в критическом состоянии. Этот процесс также не гше терпит каких-либо качественных изменений с появлением в степж не пластическах деформаций, а произойдет лишь его ускорение
Извсего этого следует, что в общем случае устойчивой естественной деформации форма искривления продольной оси сжатоизогнутого стержня и характер его поперечных перемещений в процессе возрастания нагрузок непрерывно изменяются, постепенно приближаясь к форме деформирования в критическом состоянии.
В упруго-пластической стадии сжато-изогнутые стержни имеют жесткость, переменную по длине.
Наиболее сильные деформации стержня имеют место в наиболее ослабленных зонах. Даже сравнительно небольшие ослабления приводят к значительной концентрации деформаций в этих зонах и к сильному влиянию этих зон на величину и характер общих деформаций стержня, а также на форму его потери устойчивости.
Это подтверждается и результатами испытаний различных сжато-изогнутых стержней, в частности стальных двутавровых стержней на сжатие и изгиб сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета в плоскости стенки рис. 99. Опытные стержни имели полки сечением 6X186 мм и стенку 6X150 мм. Таким образом, поперечное сечение было весьма благоприятным для появления деформаций закручивания. Поперечная сосредоточенная сила передавалась на стержни через жесткий хомут, который препятствовал закручиванию стержня в этом сечении.
Испытания проводились до исчерпания несущей способности стержней, которое наступало после распространения пластических деформаций сжатия на большую глубину стенки.
Несмотря на все эти условия, благоприятные для развития из- гибно-крутильных форм деформирования, потеря устойчивости всех стержней наступала в виде искривления их в плоскости изгиба, деформации же изгибно-крутильного характера были совершенно незначительными, поскольку в среднем, наиболее напряженном сечении, закручивание было невозможно.
Представляют также интерес испытания прокатных двутавров fоблегченного сортамента 30 и 36 на сжатие и изгиб в плоскости стенки. Сжимающая сила передавалась на концы стержня с эксцентриситетами, одинаковыми по величине и обратными по направлению рис. 100. При таком нагружении в среднем сечении имеется центральное сжатие.
По такой схеме были испытаны 3 стержня.
Несмотря на изгиб этих стержней в плоскости большей жесткости деформации закручивания у них отсутствовали до тех пор, пока не начиналось вращение плунжера пресса нижней опоры стержня, что происходило после развития в концевых участках стержня пластических деформаций.
200


В последнем испытании возможность вращения плунжера пресса была исключена постановкой ограничителя и стержень потерял устойчивость при чисто изгибных деформациях в плоскости меньшей жесткости.
При однородных граничных условиях на концах сжато-изогнутого стержня его поведение в конструкции будет совершенно аналогично поведению стержня с двумя шарнирно закрепленными концами и имеющего длину, равную расстоянию между точками перегиба стержня в конструкции. Однако однородные граничные
IZZI
Рис. 99. Схема испытания двутавровых стержней поперечной сосредоточенной силой
Рис. 100. Схема испытания двутавровых стержней сжимающей силой
условия на концах сжато-изогнутых стержней в конструкции имеют место далеко не всегда. Особенно значительно различие в жесткости закрепления стержня против изгибных и крутильных деформаций.
Например, в стальных каркасах промышленных зданий закрепления колонн препятствуют деформациям закручивания значительно сильнее, чем деформациям изгиба. Так, подкрановая балка оказывает столь небольшое сопротивление изгибу колонны в плоскости рамы, что им обычно в расчетах пренебрегают, а закручиванию колонны она сопротивляется весьма сильно.
201


Всевозможные сжатые стержни, имеющие сравнительно податливые закрепления концов против изгиба и поэтому обычно рассчитываемые с расчетной длиной, равной их действительной длине или немного меньшей, как правило, почти жестко закреплены против поворота концов относительно продольной оси и поэтому при расчете на закручивание их расчетная длина должна приниматься значительно меньшей действительной длины.
Таким образом, закрепления сжато-изогнутых стержней в стальных конструкциях существенно неоднородны.
В силу этого непосредственный перенос результатов полученных при испытании стержней с более или менее однородными граничными условиями, на все элементы конструкций не является обоснованным.
Правда, некоторые сжато-изогнутые стержни стальных и других конструкций могут оказаться в условиях, близких к однородным граничным условиям. Это будет, в частности, справедливо для стержней с весьма жесткими закреплениями на концах и рассчитываемых в силу этого с расчетной длиной, близкой к половине действительной.
Опасное сечение таких стержней будет находиться вблизи от середины их действительной длины, и поперечные смещения этого сечения и ближайших к нему не будут чем-либо ограничены. В этих условиях изгибно-крутильные формы деформирования стержня в критическом состоянии вполне возможны.
В большинстве же других случаев опоры стержня податливы, его расчетная длина равна или больше его действительной длины, наиболее напряженные сечения стержня совпадают с его опорными сечениями, повороты которых относительно продольной оси стержня практически ничтожны. В этих условиях крутильные деформации не могут получить сколько-нибудь значительного развития и деформирование стержня в критическом состоянии будет, в основном, изгибным.
Все это позволяет сказать, что изгибно-крутильные формы потери устойчивости сжато-изогнутых стержней стальных конструкций возможны лишь для стержней, изгибаемых в плоскости большей жесткости, расчетная длина которых принимается значительно меньшей их действительной длины. Это во всяком случае справедливо для стержней, нагруженных большими сжимающими силами со сравнительно небольшими эксцентриситетами порядка ядрового расстояния.
Глава XIII УСТОЙЧИВОСТЬ РАМ
52. Постановка задачи
Рамный каркас является одним из распространенных решений несущих конструкций промышленных и иных зданий, поэтому вопросам расчета рам посвящено большое количество исследовании.
202


Чрезвычайно обширна литература по вопросам статического расчета рам по недеформированной схеме с использованием широко известных методов — сил, деформаций и т. д. Такие расчеты позволяют определить усилия в элементах рамы и ее деформации. Точность таких расчетов достаточна лишь в тех случаях, когда величины действующих на раму нагрузок значительно ниже их критических значений.
При приближении рамы к критическому состоянию характер ее деформирования начинает сильно изменяться и с достаточной точностью может быть выявлен лишь из ее расчета по деф о р м и- рованной схеме, который позволяет также определить и критическое значение нагрузки для упругой рамы. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены Н. В. Корноуховым 21. Критические нагрузки для упругой рамы обычно в несколько раз превышают допускаемые, нередко в 10 и более раз. В то же время испытания рам показывают, что исчерпание их несущей способности происходит при значительно меньшем превышении допускаемых нагрузок, что объясняется влиянием пластических деформаций, появляющихся в элементах рамы.
Это обстоятельство побудило начать изучение несущей способности рам, работающих в упруго-пластической стадии. В основном это были экспериментальные исследования моделей рам, результаты которых сопоставлялись с расчетом по известному методу последовательного образования пластических шарниров, предлагавшемуся еще в 1932 г. 50. Сюда относятся исследования J1. И. Мё- ламента 23, В. М. Наумович 25, П. Г. Бычкова 6, Д. Бекер 43, А. Хечдри 52, В. Джонстон и С. Шеней 64 и др.
Как указывают авторы этих исследований, метод последовательного образования пластических шарниров позволяет более или менее правильно оценить поведение рамы под нагрузкой, в особенности, при небольших упруго-пластических деформациях. В то же время отмечается, что при значительном развитии пластических деформаций это соответствие несколько нарушается.
Детальные многолетние исследования двухпролетной рамы с элементами разной конструкции сплошные, сквозные и с разным их соединением выполнены Е. И. Беленя 1. По своим размерам его модель приближалась к реальным конструкциям.
Эти исследования выявили достаточно сложную зависимость поведения и несущей способности рамы от ряда факторов податливости основания фундаментов и сопряжений рамы, местных искривлений отдельных элементов и т. д Таким образом, для определения несущей способности рамы промышленного или иного здания необходим учет ряда дополнительных факторов.
В то же время характер поведения рамы и признаки, определяющие исчерпание ее несущей способности, могут быть получены методами, примененными выше при рассмотрении более простых
задач.
См. также Научные работы ЦНИПС за 1955 г., М., 1956, стр. 30.
203


Рамные конструкции весьма разнообразны по ряду признаков С точки зрения определения несущей способности, их необходимо разделять на три следующие группы или класса:
1 рамы, не имеющие сжато-изогнутых элементов значитель ной гибкости;
2 рамы, включенные в состав пространственной системы с максимальной расчетной нагрузкой не на всех рамах этой си стемы;
3 отдельно стоящие рамы и системы с полностью загруженными всеми рамами.
К первому классу относятся рамы со сравнительно короткими сжато-изогнутыми элементами, потеря устойчивости которых возможна лишь после столь значительного развития в них пластических деформаций, что с достаточной для практики точностью можно принимать в наиболее напряженных сечениях этих элементов полные пластические шарниры. Учет изменения формы и жесткости сжато-изогнутых элементов таких рам с ростом нагрузки также вносит в расчет небольшие коррективы.
Несущая способность таких рам может определяться из расчета их известным методом последовательного образования пластических шарниров.
В ряде случаев исчерпание несущей способности таких рам происходит в виде исчерпания прочности или потери устойчивости отдельных ее элементов, необходимых для неизменяемости системы и восприятия действующих нагрузок. Это происходит ранее образования пластических шарниров в количестве, превышающем на единицу степень статической неопределимости рамы.
Примером такого исчерпания несущей способности многопролетной рамы может быть исчерпание прочности ригеля в одном из ее пролетов, разрушение одной из колонн под местом опирания подкрановой балки и т. д. При использовании метода последовательного образования пластических шарниров возможность таких разрушений также должна быть исключена.
Ко второму классу относится значительное количество рам каркасных промышленных зданий. Для них характерно наличие большого количества дополнительных элементов каркаса подстропильные фермы, подкрановые балки, вертикальные и горизонтальные связи, плиты покрытия и т. д., объединяющих все рамы в единую пространственную систему, а также наличие в каждый определенный момент максимальных нагрузок лишь на некоторой части сжато-изогнутых элементов этой системы при значительно недогруженных остальных элементах. Второе отличие особенно значительно в каркасных зданиях с мостовыми и другими кранами.
При таких условиях перемещения узлов каждой рамы ограничены, что накладывает определенные ограничения на возможные формы потери устойчивости системы й отдельных ее элементов.
Несущая способность таких рам определяется устойчивостью ее отдельных сжато-изогнутых элементов чаще всего стоек, имеющих упруго-закрепленные концы. Остальные элементы рамы а
204


всего каркаса оказывают при этом поддерживающее влияние и
определяют расчетную длину опасного элемента в его критическом состоянии.
Ниже рассматривается устойчивость свободно стоящих рам,, а также других рам, не имеющих поддержки в узлах. Общая устойчивость таких рам определяется жесткостью элементов и исчерпание их несущей способности обусловливается потерей этой устойчивости, которая происходит после появления в их элементах, пластических деформаций.
53. Расчет рам на общую устойчивость
Общий метод расчета рам на общую устойчивость в упруго-пластической стадии может быть изложен в следующем виде.
1 Для некоторых величин нагрузок определяются жесткости первых расчетных сечений всех элементов рамы. Имея эти жесткости и считая элементы рамы, несущие сжимающие силы, как сжато-изогнутые, определяют деформированное состояние рамы, по которому вновь находят жесткости первых расчетных сечений всех ее элементов.
Если эти жесткости отличны от принятых, то расчет повторяется с исправленными значениями жесткостей. Так, методом последовательных приближений находят деформированное состояние рамы, отвечающее рассматриваемой величине нагрузок. При этом могут быть полностью использованы все методы расчета упругих рам.
По результатам такого расчета на графике рис. 86 зависимости характерной деформации рамы f от нагрузки может быть нанесена точка Е диаграммы состояний равновесия.
2 Для найденного деформированного состояния элементов рамы определяются жесткости вторых расчетных сечений и производится расчет рамы на устойчивость как упругой системы, также используя все методы расчета на устойчивость упругих рам. По результатам расчета на устойчивость на рис. 86 может быть нанесена точка F диаграммы критических сил.
Превышение точки F над точкой Е указывает на то, что рассмотренное состояние рамы еще не является критическим и нагрузки, его вызвавшие, ниже критических нагрузок.
Расчет повторяется вновь для новых значений нагрузок и определяются новые точки диаграммы состояний равновесия и диаграммы коитических сил. Критическому состоянию рамы отвечает точка
пересечения обеих диаграмм.
При расчете простейших рам все эти вычисления не представляют сколько-нибудь значительных трудностей. Покажем это на примерах.
Рассмотрим П-образную раму с бесконечно жестким ригелем и с жестко защемленными нижними концами стоек рис. 101,а,, 'нагруженную вертикальной силой Р и горизонтальной силой Q.
205


Поперечные сечения стоек поймем ^
осей перпендикулярных плоскости рамы. етричными относительно
тельные к изогартымобетастоеГу3 нижних 101,6' Каса‘ вертикальны. Расчетные длины ££ ТГесГоГ^
Рис. 101. П-образная рама С' бесконечно жестким ригелем и защемленными концами стоек. Форма ее деформирования
Критическая величина силы Р определится из условия
2тс-£У2
Рк =
53,1)
где 2 — момент инерции второго расчетного сечения стоек в концевых сечениях.
Момент внутренних сил в концевых сечениях каждой стойки при этом будет равен
Mx FhoT-oNA, 53,2)
где А — коэффициент, определяемый по формуле 13,13 при том же значении , что и г- Для трехтаврового сечения коэффициент ■А определяется по формуле 14,27.
Изгибающий момент в каждом из концевых сечений стоек равен
ж -т- -¥■ 53-3)
тде —смещение верхних концов стоек, определяемое по формуле 5,11:
f 53,4)
J 1C 2£п
Подставив в 53,4 значение Ми из 53,3 , найдем
53,5)
=
Рк \


где
Nn=
п 1г
Подставив это значение f в 53,3, получим
53,6)
М — S!
1Г1Я /
4 I--
2 л п
53,7)
м ДК0ЛЬКу моме1ты внешних и внутренних сил в узлах долж- AVrv равны то Приравняв правые части 53,2 и
' ’ получим условие для определения величин сил Р и Q, отвещающих критическому состоянию рамы:
4 1
к — Fh °т— °n А-
2МГ
53,8)
Из 53,8 силы QK
легко получается выражение для определения
53,9)
I
Выражение 53,9 связывает критические значения сил Рк и Ок, отвечающие определенному деформированному состоянию рамы, которое характеризуется величиною относительной глубины упругого ядра а в концевых сечениях стоек.
Другому значению величины х отвечает другая пара значений нагрузок
Рк1 И QkI •
При уменьшении относительной глубины а упругого ядра критическое значение силы Рк уменьшается, a QK увеличивается. Однако последнее справедливо лишь до определенных пределов изменения а.
При шарнирном соединении стоек с опорами форма деформи рования рамы будет такой, как это показано на рис. 102. Расчетная длина стоек в критическом состоянии рамы равна 21 и критическая величина силы
77777
Рис. 102. Деформации П-об- разной рамы с бесконечно жестким ригелем и шарнирно опертыми стойками
Як1 2
£а
20*
0,5
7Е-'£а
53,10)
Если в П-образной раме, изображенной на рис. 101, ригель 5удет иметь конечную жесткость, то форма деформирования рамы будет иметь характер, промежуточный между представленными на
207


рис. 101,6 и 102; расчетная длина стоек в критическом
рамы будет находиться в пределах р ческом сосг°янин
р2. 53Д1)
н соответственно критическая сила РАа в пределах
Рк1 Рк2 Рк- 53,12)
54. О критерии критического состояния рамы
Для каждого из стержней рамы все остальные элементы являются поддерживающей системой, определяющей жесткости упругих закреплений кондов этого стержня.
Изменение формы деформирования рамы с ростом нагрузки мдет в направлении приближения ее к той форме, которая отвечает критическому состоянию.
Исчерпание несущей способности рамы, представленной на
рис. 101, происходит при одновременном появлении критического
состояния в четырех участках стоек вверху и внизу каждой из них. Это состояние определяется по обобщенной формуле Эйлера и наступает раньше образования в сечении полного пластического шарнира. Количество критических зон в данной раме равно четырем, т. е. на одну больше степени статической неопределимости рамы.
Подобная же картина будет и с рамой, представленной на рис. 102. Разница лишь в том, что критических зон будет две, так как в нижних узлах стоек имеются шарниры. В этом случае опять количество критических зон в стойках на единицу превышает степень статической неопределимости рамы. Однако такое положение имеет место не во всех случаях.
Представим се;бе, например, такую же П-образную раму, как изображенную на рис. 101, но со стойками таврового сечения. Как было показано в п. 38, потеря устойчивости таврового стержня с двумя жестко защемленными концами происходит при определенной глубине пластических деформаций в зоне с более сильно сжатой стенкой; при этом в соседней полуволне, в пределах которой сильнее сжата полка, деформации остаются упругими. Таким образом, обе стойки достигнут критического состояния при наличии пластических деформаций лишь в двух узлах рамы, но это будет одновременно и критическим состоянием всей рамы в целом. В этом случае, следовательно, потеря устойчивости трижды статически неопределимой рамы наступит при наличии двух критических зон и упругих деформаций во всех остальных
элементах. e
Все это указывает на то, что критерием общей потери у чивости рамы является не достижение в ее сечениях 0ПРе®“' ного количества пластических шарниров и не появление о Р ленного количества критических зон, а достижение кр го состояния обеими е,е стойками.
208


55. Особые формы деформирования рам в упруго-пластической стадии
Появление в элементах рамы 'пластических деформаций приводит не только к снижению их жесткости, но к возможности таких форм деформирования рамы в критическом состоянии, которые невозможны для упругих рам. На это уже указывали Хвалла 48 и Блейх 44.
Покаже,м на примере П-образной рамы, что в упруго-пластической стадии могут быть формы потери устойчивости, отличные от форм, характерных для упругой конструкции.
Рис. 103. Формы деформирования П-образной рамы с бесконечно жестким ригелем, шарнирно соединенным со стойками
Рассмотрим П-образную раму рис. 103, а с бесконечно жестким ригелем, внецентренно опирающимся на стойки и шарнирно с ними соединенным. При симметричной раме и нагрузке форма искривления будет также симметричной — форма ABCD на рис. 103, б. Стойки рамы работают в условиях жесткого защемления внизу и шарнирного закрепления вверху. Эпюры моментов для такой стойки с неподвижной верхней опорой при симметричной деформации для разных значений сжимающей силы даны на рис. 6, из которого видно, что у стойки имеются две зоны значительных изгибающих моментов — нижнее опорное сечение и сечение; на расстоянии от верхнего конца. На рис. 103, б эти сечения обозначены буквами С, D, Е, F.
Все это справедливо для стоек постоянного поперечного сечения. Однако в соответствии с принятыми допущениями о синусоидальном искривлении оси стойки это может быть распространено и на упруго-пластическую стадию, если при определении деформаций подставлять момент инерции первого расчетного сечения стержня, а при определении критических нагрузок момент инерции второго расчетного сече,ния.
Для упругой рамы характерна потеря устойчивости при кососимметричной форме деформаций рис. 103,6, пунктир CGHD.
209


Критическая величина сжимающей силы для одной стойки такой рамы равна NK а для всей рамы стоики такой
2VK, 2
71- tj
4Р 55,1)
В упруго-пластической стадии при такой деформации рамы в опасной нижнеи зоне правой стойки деформации будут пм виваться в прежнем направлении и, следовательно, должен учитываться момент инерции второго расчетного сечения JВ ниж ней части левой стойки направление деформаций будет обратным предшествующему, поэтому стойка будет работать как упругая с моментом инерции J. Полная критическая нагрузка на всю раму будет равна
Ркр Л. 55,2)
Допустим, что возможна также потеря устойчивости рамы и при таких же деформациях, какие характерны для докритической стадии, т. е. симметричная деформация всей рамы. В этом случае каждая стойка работает как защемленная внизу и шарнирно закрепленная на верхней неподвижной опоре.
Поскольку в этом случае во всех частях рамы деформации развиваются в прежних направлениях, то в расчет входят моменты инерции второго расчетного сечения и критическая нагрузка Якр2 на всю раму равна
55,3)
Выясним, при каких условиях симметричная форма деформирования рамы в критическом состоянии окажется возможной при ме,ньшей нагрузке по сравнению с кососимметричной формой. Это будет при выполнении неравенства
Рчг Лфг 55,4)
Подставив сюда значения 55,2 и 55,3 и сделав сокращения, получим
40,32, Л 2,465 7 2, 55,5)
откуда
V 40,32 IW0’0657- 55’6>
Следовательно, симметричная форма будет возможна при вы пол нении неравенства 55,6, т. е. при условии, что момент инерции второго расчетного сечения составляет менее 6,5 от полного момента инерции всего сечения.
Таким образом, для упруго-пластической стадии характерно не только количественное снижение величин критических нагрузок, но также в отдельных случаях и появление качественно новых форм потери устойчивости, невозможных в упругой стади работы конструкции.
210


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С0ДеР“м Дзнной работы явилось исследование даивТ стержней с распределением нормальных напря¬
лапопеРечномч сечении по закону, отличному от плоскостного или секториального.
Отклонение закона распределения нормальных напряжений' от плоскостного или секториального может явиться следствием, в основном, двух факторов — перехода напряжений в части сечения за предел пропорциональности и наличия местных искривлении у некоторых элементов, составляющих поперечное сечение стержня. При наличии этих факторов свойства сжатого или сжатоизогнутого стержня, а также и сжатой зоны изгибаемых элементов существенно отличаются от свойств, характерных для стадии их работы с плоскостным законом распределения нормальных напряжений по сечению.
Наиболее, важное отличие состоит в том, что способность стержня воспринимать внешние нагрузки и величина его деформаций определяются при этом одними характеристиками, а способность сопротивляться отклонениям от достигнутого состояния равновесия потере устойчивости другими.
Таким образом, для таких стержней необходимо знать величины двух различных жесткостей, одна из которых входит в расчет на устойчивость. Величины обеих этих жесткостей отличны от обычной жесткости на изгиб EJ.
Для определения величин этих жесткостей введено понятие о- двух расчетных сечениях и условно считается, что модуль упругости материала во всех случаях остается неизменным, а вся поправка относится к форме поперечного сечения. Такая форма учета различных жесткостей не является единственно возможной, хотя представляется достаточно удобной для практических расчетов.
Использование понятия о двух расчетных сечениях позволяет достаточно точно проанализировать ряд различных задач. В данной работе для этого использован приближенный метод, основанный на допущении синусоидального искривления оси стержня в процессе всего нагружения.
Этот метод применен для расчета стержней из строительных сталей марок Ст. 3 и HJI-2, диаграмма работы которых достаточно близка к идеализированной упруго-пластической Прандтля.
Стержни из такого материала рассмотрены при сжатии и изгибе в плоскости симметрии, при сжатии и косом изгибе, при сжатии с изгибом и закручиванием. Рассмотрены также стержни с собственными напряжениями и начальными искривлениями,, сквозные стержни и простейшие рамы.
Во всех этих случаях получены результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными.
211


Данный метод может быть применен и к решению задачи устойчивости сжато-изогнутых стержней из других материалов дуралюминовых, деревянных, железобетонных обычных и с предварительно напряженной арматурой.
Этот же метод может быть применен и к решению других задач. В частности, можно указать на вопросы учета ползучести материала строительных конструкций бетон, дерево.
Как известно, конструкции из таких материалов продолжают деформироваться в течение весьма значительного времени после их загружения.
При расчете таких конструкций первое расчетное сечение их элементов также определяется величинами секущих модулей, непрерывно уменьшающихся с развитием деформаций. В то же время устойчивость их определяется величинами касательных модулей при кратковременном дополнительном загружении, величины которых могут снижаться значительно меньше, чем секущие модули. В силу этого деформации ползучести могут оказаться значительно менее опасными, чем это может показаться с первого взгляда.
Такой же подход может оказаться наиболее правильным и при решении некоторых вопросов колебаний, в частности, конструкций, находящихся в упруго-пластической стадии или имеющих элементы с местными искривлениями.
Эти и подобные им примеры, а также еще, слишком малая разработанность ряда освещенных вопросов указывают на возможности значительного развития данной работы


ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I. Белен я Е. И., Клепиков, Л. В., Исследование совместной работы фундаментов и 'поперечных рам промышленных зданий со стальным каркасом, Научное сообщение ЦНИПС 28, Стройиздат, М., 1956.
2. Б е р н ш т е й н С. А., Статья в сборнике ЦНИПС Расчет металлических конструкций с учетом пластических деформаций, под ред. С. А. Берн- штейна, Госстрой из дат, М.—Л., 1938.
3. Б р о у д е Б. М., Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций, Машстройиздат, 1949.
4. Б ы ч к о в Д. В., Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов, Стройиздат, 1948.
5. Б ы ч к о в Д. В., Мрощинский А. К-, Кручение металлических балок, Стройиздат, 11944.
6. Б ы ч к о в П. Г., Несущая способность металлической двухпролетной рамы, Сборник статей Исследования по теории сооружений, Вып. V, Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1951.
7. В л а с о в В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Государственное издательство строительной литературы, 1940..
8. Г ем м е р л и и г А. В., О несущей способности сжатых стальных конструкций. Научное сообщение ЦНИПС 7, Стройиздат, 1952.
9. Г е м м е р л и н г А. В., Сборник ЦНИПС, Исследование прочности, пластичности и ползучести строительных материалов, под ред. А. А. Гвоздева, Стройиздат, 1955.
10. Г е м м е р л и н г А. В., Сборник ЦНИПС, Экспериментальные исследования стальных конструкций, под ред. В. А. Балдина, Стройиздат, 1950.
II. Г еммерлинг А. В., Труды лаборатории строительной механики ЦНИПС, иод ред. В. 3. Власова, Стройиздат, 1949.
12. Гемм ер л инг А. В., Климов Н. И., Статья в сборнике ЦНИПС, Исследования по стальным конструкциям, под реД. В. А. Балдина, Стройиздат, 1956.
13. Г е м м ер л и н г А. В Трофимов В. И., Статья в сборнике г12.
14. Г о л ь д ен в ей з е р А. Л., Труды- лаборатории строительной механики ЦНИПС, под ред. Власова В. 3., Стройиздат, 1941.
15. Д а в и д ен к о в Н. Н., Некоторые проблемы механики материалов,
1943.
16. Динник А. Н., Устойчивость упругих систем, Изд. АН СССР, 1950
17. Дроздов П. Ф., Вестник инженеров и техников 6, 1952.
18. Жуков А. М., Работнов Ю. Н., Инженерный сборник АН СССР, 1954, 18, 105—112.
19. Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.
20. Кисель И. М., Сборник трудов И ИСМ АН УССР, 1949.
21. Корноух ов Н. В., Прочность и устойчивость стержневых систем.
Стройиздат, 1949. „ _
22. Л е й т е с С. Д., Устойчивость сжатых стальных стержней, Строй-
ИЭДаТ23.9Меламент Л. И., Сборник ЦНИПС 2.
24 Межлумян Р. А., Инженерный сборник АН СССР, т. XIV, 1953.
2 Наумович В. М., К вопросу расчета плоских рам за пределами
213


упругости. Сборник трудов инженерно-строит. ин-та им. Куйбышева, 2 1939
26. Н и к о л а е в Г- Ад Сварные конструкции, изд. 2-е, Машгиз, 1955
сварке Машгиэ 9°55М деФ°Рма металлоконструкций' при
28. П а н о в к о Я. Г., Инженерный сборник АН СССР, т. 20, 1954
29. П и н а д ж я н В. В., Некоторые вопросы предельного состояния ежа
тых элементов стальных конструкций, изд. АН Арм. ССР, 1956,
30. П и над ж я н В. В., Сборник трудов по строительной механике
Стройиздат, 1940. ’
31. Пинаджян В. В., К расчету сжатых составных стальных стержней с раскосной соединительной решеткой, Изд. АН Арм. ССР, 1954.
32. Работнов Ю. Н., Инженерный сборник АН СССР, т. 12, 1951.
33. Реут В. И., Труды Одесского технологического института пищевой и холодильной промышленности, 1952, т. V, в. I.
34. Р ж а н и ц ы н А. Р., Устойчивость равновесия упругих систем, Стройиздат, 1955.
35. Ржаницын А. Р., Статья в сборнике ЦНИПС 11.
36. Сем енов П. И., Сборник 18 Ин-та Строит. Мех. АН УССР, 1953.
37. Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехтеориздат,
1955.
38. У м а н с к и й А. А., Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций, Оборонгиз, 1939.
39. Чувикин Г. М., Устойчивость рам и стержней, Стройиздат, 1951.
40. Ш е л е с т е н к о Л. П., Журнал Железнодорожное строительство 2, 1954.
41. Эйлер Л., Методы нахождения кривых линий, Гостехтеориздат, 1934.
42. Я с и н с к и й Ф. С., Избранные работы по устойчивости сжатых стержней, Гостехтеориздат, 1952.
43. Beker J. F., Roderick J. W, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 1952, January, Vol. I, 1.
44. Bleich F., Bleich H, Buckling strangt of metal structures, New York, 1952.
45. Broszko М., Бюлл. Польской АН, Отд. IV, 1953, 1, 3.
46. Broszko М., Бюлл. Польской АН, Отд. IV 1954, 2, М3.
47. Chwalla Е. Stahlbau, 1934, Н. 21—23.
48. Chwalla Е. Der Bauingenieur, Vol. 19, 69, 1938,
49. Engesser T. Zeitschrift des Arch. u. Ing. Vereins zu Hannover, H. 4, 1889.
50. Girkmann Stahlbau, 16, 1932.
51. Griining G. Stahlbau, 1936, H3.
52. Hendry A. W. The structural Engineer, December, 1950, Vol XXVIII, 12.
53. Jezek K. Die F.estigkeit von Druckstaben aus Stahl. Wien, 1937.
54. Jonston B., Cheney Z, Comm, on Techn. Recearch., Am Inst. Steel Constr. Progress Rept. 2,1942.
55. Kappus R. Luftfahrtforschung, 1937, S. 444.
56. Karmann T. Untersuchungen fiber Knickfestlgkeit Mitteilungen fiber For- schungsarbeiten auf dem gebiete des Ingenieurwesens, 81, Berlin, 1910.
5. Ketter R. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1955, 81, 692.
58. Ketter R Kaminstky E, Beedle L., Civil Engrs, 1953. 79, 330.
59. Kollbrunner C. Stahlbau. 1938, H, 6.
60. Kollbrunner C., Meister M, Knicken. Berlin, 1955.
61. Roik K. Der Stahlbau H. 1—2, 1956.
62. Ros M. Berlcht fiber die 11 Intern. Tagungfflr Briickenbau u. Hochbau in Wien, 1928. „
63. Shanley F. R. Journ. of the Aeron. Sc Vol. 14, 5, 1947*
64. Shanley F R. Journ. of the Aeron. Sc Vol 13, 12, 1946,
65. Stussi F. Zeitschrift ffir angewandte Mathematik und Physlk, 1950,
65. Wagner H. Festschrift 25 Jahrfc Т. H. Danzig, 1929.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловий Предисловие автора Введение
Стр.
Г л'а в а I. Некоторые общие вопросы работы сжато-изогнутых стержней
1. Упругий сжато-изогнутый стержень 5
2. Невозможность потери устойчивости сжато-изогнутых стержней строи¬
тельных конструкций в упругой стадии 21
Глава II. Сжато.изогнутый стержень из упруго-пластического
материала
3. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня 25
4. Переменность расчетного сечения в процессе нагружения 29
5. Деформация стержня 31
6. Устойчивость внецентренио сжатого стержня в плоскости изгиба 34
7. Два расчетных сечения стержня 39
Глава III. Сжато-изогнутый стержень из материала, подчиняющегося идеализированной упруго-пластической диаграмме Прандтля
8. Устойчивость сжато-изогнутого двутаврового стержня с двусторонней текучестью по всей длине 40
9. Изменение глубины упругого ядра по длине стержня 46
10. Форма изогнутой оси стержня с двусторонней текучестью
по всей длине 48
11. Устойчивость центрально сжатого упругого стержня перемен¬
ного сечения 50
12. Потеря устойчивости первого и второго рода 53
Глава IV. Практический метод расчета сжато-изогнутых стержней
из материала с идеализированной упруго-пластцческой диаграммой
13. Расчет на устойчивость и деформативность в плоскости изгиба сжато¬
изогнутого стержня при односторонней текучести 55
14. Определение геометрических характеристик расчетных сечений для трехтаврового стержня 61
15. Расчет на устойчивость в плоскости изгиба двутаврового стержня при двусторонней текучести
16. Прогибы сжато-изогнутых стержней в упруго-пластической стадии
17. Точность приближенного метода
18. Формулы для технических условий и примеры расчета .
19. О расчете на устойчивость в плоскости изгиба стержней из материала с линейным упрочнением
I
Глава V. Критическое и закритическое состояние стержня
20. Коэффициент запаса на устойчивость
21. Работа сжато-изогнутого стержня в закритической стадии
22. Характер потери устойчивости сжато-изогнутого стержня
Глава VI. Анализ экспериментальных данных
23. Результаты испытаний на внецентренное сжатие стальных стержней Н-образного сечения из стали марки HJ1-2


24. Результаты испытаний на внецейтренйое сжатие стальных стержней двутаврового сечения из стали HJI-2 • • • •
25. Результаты испытаний на внецентренное сжатие сварных Н-образных стержней из стали марки Ст. 3
26. Выводы из анализа экспериментальных данных
Глава VII. Сжато-изогнутые стержни в конструкции
27. Работа стержня в сквозной конструкции • • •
28. Диаграмма сжатия искривленного стержня в упруго-пластическои
стадии
29. Пример расчета таврового стержня
Глава VIII. Сквозной сжато-изогнутый стержень
30. Исходные положения
31. Сквозной стержень с большой жесткостью на сдвиг .
32. Сквозной стержень с деформируемой решеткой
Глава IX. Влияние собственных напряжений на устойчивость и деформативность сжато-изогнутых стержней
33. Собственные напряжения в стальных стержнях .
34. Центрально сжатый стержень с собственными напряжениями
35. Внецентренно сжатый стержень прямоугольного сечения .
36. Внецентренно сжатый стержень Н-образного сечения .
Глава X. Статически неопределимые сжато-изогнутые стержни
37. Упругий двухпролетный стержень
38. Влияние пластических деформаций на форму искривления оси стержня
39. Стержень с жестко защемленными концами
40. Устойчивость тавровых стержней с начальными искривлениями
Глава XI. Косой изгиб со сжатием
41. Упругий стержень
42. Форма деформирования упругого стержня
43. Стержень в упруго-пластической стадии
44. Устойчивость стального стержня при косом изгибе со сжатием
45. Косой изгиб со сжатием стержней прямоугольного и таврового сечений
Глава XII. Пространственная устойчивость сжато-изогнутых стержней
46. Изгибно-крутильные формы деформирования сжато-изогнутых стержней .
47. Форма деформирования стержня
48. Устойчивость сжато-изогнутого стержня при изгибно-крутильных деформациях
49. Практический метод расчета
50. Расчет опытных стержней на пространственную устойчивость
51. Возможность изгибно-крутильных форм потери устойчивости
сжато-изогнутых стержней
Глава XIII. Устойчивость рам
52. Постановка задачи
53. Расчет рам на общую устойчивость ;
54. О критерии критического состояния рамы .
55. Особые формы деформирования рам в упруго-пластической; стадии
Заключение ,
Перечень использованной литературы .