/
Текст
Т.Уэй
Физические основы молекулярной биологии: Учебное пособие / Т Уэй —
Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2010. — 368 с.
ISBN 978-5-91559-058-7
Книга Т.Уэя не имеет аналогов в мировой литературе. Она содержит дос-
таточно полный обзор современного состояния физики биологически важ-
ных молекул. Изложение основано на физических и инженерных подходах и
моделях.
Автор приводит множество примеров количественных расчетов и оценок
характеристик биомолекулярных систем. Книга снабжена большим количе-
ством иллюстраций, облегчающих восприятие материала.
Лучшему усвоению материала способствуют также задачи и вопросы, со-
держащиеся в большинстве разделов и снабженные решениями и ответами.
Учебное пособие будет очень полезно студентам старших курсов различ-
ных специальностей, занимающимся изучением механизмов биологических
процессов и свойств полимеров, включая биополимеры.
Одновременно эта книга адресована специалистам в области молекуляр-
ной биофизики, а также всем физикам, интересующимся молекулярной био-
логией.
© 2007, John Wiley & Sons, Ltd
©2010, 000 Издательский Дом
«Интеллект», оригинал-макет,
оформление
ISBN 978-5-91559-058-7
ISBN 9780470017180 (англ.)
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1
Строительные блоки.............................................................7
1.1. Белки.....................................................................7
1.2. Липиды...................................................................16
1.3. Нуклеиновые кислоты......................................................17
1.4. Углеводы.................................................................20
1.5. Вода.....................................................................24
1.6. Протеогликаны и гликопротеиды............................................25
1.7. Клетки (сложные биомолекулярные конструкции).............................26
1.8. Вирусы (сложные биомолекулярные конструкции).............................27
1.9. Бактерии (сложные биомолекулярные конструкции)...........................27
1.10. Другие молекулы.........................................................28
Дополнительная литература......................................................28
Вопросы и задачи....................................-.........................29
Глава 2
Мезоскопические силы..........................................................30
2.1. Силы когезии.............................................................30
2.2. Водородная связь.........................................................33
2.3. Электростатика.......................................................... 35
2.3.1. Электростатические взаимодействия без экранирования................35
2.3.2. Экранированное электростатические взаимодействие...................37
2.3.3. Взаимодействие заряженных сфер в растворе..........................40
2.4. Стерические и флуктуационные силы........................................42
2.5. Осмотические силы........................................................46
2.6. Гидродинамические взаимодействия.........................................48
2.7. Прямое экспериментальное определение межмолекулярных и поверхностных сил ... 48
Дополнительная литература.....................................................51
Вопросы и задачи..............................................................52
Глава 3
Фазовые переходы..............................................................53
3.1. Основы теории...........................................................53
3.2. Переход спираль-клубок..................................................57
3.3. Переход клубок-глобула..................................................63
3.4. Кристаллизация..........................................................68
4 -»v- Содержание
3.5. Расслоение жидких фаз..................................................71
Дополнительная литература...................................................76
Вопросы и задачи............................................................77
Глава 4
Жидкие кристаллы............................................................78
4.1. Основы теории..........................................................78
4.2. Переходы жидкость-нематик-смектик......................................91
4.3. Дефекты................................................................94
4.4. Более экзотические жидкокристаллические фазы..........................100
Дополнительная литература..................................................102
Вопросы и задачи...........................................................102
Глава 5
Подвижность................................................................104
5.1. Диффузия............................................................ 104
5.2. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.............................112
5.3. Подвижность...........................................................115
5.4. Задача о достижении границы...........................................117
5.5. Теории скоростей химических реакций...................................120
Дополнительная литература...................................................121
Вопросы и задания.................-........................................121
Глава 6
Самосборка при агрегации...................................................123
6.1. Поверхностно-активные вещества........................................127
6.2. Вирусы................................................................131
6.3. Самосборка белков.....................................................134
6.4. Полимеризация микрофиламентов и микротрубочек (подвижность)...........135
Дополнительная литература..................................................141
Вопросы и задания..........................................................141
Глава 7
Поверхностные явления......................................................142
7.1. Поверхностное натяжение...............................................143
7.2. Адгезия...............................................................144
7.3. Смачивание............................................................146
7.4. Капиллярные явления...................................................149
7.5. Экспериментальные методы..............................................152
7.6. Трение................................................................153
7.7. Другие поверхностные явления..........................................157
Дополнительная литература..................................................158
Вопросы и задания..........................................................158
Глава 8
Биомакромолекулы...........................................................159
8.1. Гибкость макромолекул.................................................159
8.2. Хорошие и плохие растворители и размеры полимеров....................165
8.3. Упругость.............................................................170
8.4. Демпфированное движение нежестких молекул.............................173
8.5. Динамика полимерных цепей.............................................177
Содержание -*v- 5
8.6. Топология полимерных цепей. Сверхспирализация..........................184
Дополнительная литература...................................................186
Вопросы и задания...........................................................186
Глава 9
Ионы и заряженные полимеры..................................................188
9.1. Электростатика.........................................................190
9.2. Теория Дебая-Хюккеля...................................................195
9.3. Ионный радиус..........................................................196
9.4. Свойства полиэлектролитов..............................................200
9.5. Доннановское равновесие................................................203
9.6. Кривые титрования......................................................205
9.7. Теория Пуассона-Больцмана для цилиндрически симметричного
распределения зарядов...................................................208
9.8. Конденсация зарядов....................................................209
9.9. Другие явления с участием полиэлектролитов.............................213
Дополнительная литература...................................................215
Вопросы и задания...........................................................215
Глава 10
Мембраны....................................................................217
10.1. Ундуляции.............................................................218
10.2. Изгибная упругость....................................................220
10.3. Упругость.............................................................223
10.4. Межмембранные взаимодействия..........................................226
Дополнительная литература...................................................230
Вопросы и задания...........................................................230
Глава 11
Механика сплошных сред......................................................231
11.1. Структурная механика................................................. 233
11.2. Композиты.............................................................235
11.3. Пористые тела.........................................................238
11.4. Разрушение............................................................241
11.5. Морфология............................................................242
Дополнительная литература...................................................242
Вопросы и задания......................................................... 243
Глава 12
Биореология.................................................................244
12.1. Вязкоупругие среды....................................................247
12.2. Реологические функции.................................................251
12.3. Биологические примеры.................................................252
12.3.1. Раствор нейтрального полимера...................................252
12.3.2. Полиэлектролиты.................................................256
12.3.3. Гели............................................................258
12.3.4. Коллоиды........................................................263
12.3.5. Жидкокристаллические полимеры...................................265
12.3.6. Стеклоподобные материалы........................................265
12.3.7. Микрофлюидика...................................................266
Дополнительная литература...............................................266
Вопросы и задания...........................................................266
6 -*V- Содержание
Глава 13
Экспериментальные методы....................................................268
13.1. Статическое рассеяние.................................................269
13.2. Методы динамического рассеяния........................................272
13.3. Осмотическое давление.................................................278
13.4. Измерение сил.........................................................281
13.5. Электрофорез..........................................................289
13.6. Седиментация..........................................................296
13.7. Реология..............................................................299
13.8. Трибология............................................................307
13.9. Свойства твердых тел..................................................308
Дополнительная литература...................................................309
Вопросы и задания...........................................................310
Глава 14
Моторы......................................................................311
14.1. Подвижность, обусловленная самосборкой. Полимеризация актина и тубулина.313
14.2. Поперечнополосатые мышцы — параллельно включенные шаговые моторы......317
14.3. Вращающиеся моторы....................................................321
14.4. Модели типа «храповик с собачкой».....................................321
14.5. Другие механизмы подвижности..........................................323
Дополнительная литература...................................................324
Вопросы и задания...........................................................324
Глава 15
Структурные биоматериалы....................................................325
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека.....325
15.2. Паутина...............................................................336
15.3. Эластин и резилин.....................................................337
15.4. Кость.................................................................338
15.5. Адгезивные белки......................................................339
15.6. Перламутр и минеральные композиты.....................................341
Дополнительная литература...................................................342
Вопросы и задания...........................................................343
Глава 16
Фазовые состояния ДНК.......................................................344
16.1. Хроматин и естественная упаковка ДНК..................................344
16.2. Компактификация ДНК — пример комплексообразования с участием
полиэлектролитов............................................................347
16.3. Облегченная диффузия..................................................349
Дополнительная литература...................................................352
Ответы и решения............................................................353
ГЛАВА
1
СТРОИТЕЛЬНЫЕ БЛОКИ
Невозможно изложить полный курс биохимии в одной-един-
ственной вводной главе. Поэтому мы рассмотрим только некоторые основ-
ные свойства и структуры простых биологических макромолекул, липидов
и микроорганизмов. Цель такого рассмотрения — дать некоторое представ-
ление о чрезвычайном разнообразии молекул, из которых построены жи-
вые системы, и вызвать восхищение читателя невообразимой сложностью
и многообразием биохимических процессов в клетке.
1.1. БЕЛКИ
Полимерами называют длинные цепочки субъединиц (мо-
номеров), которые соединены друг с другом ковалентными связями. Белки
представляют собой особый тип полимеров. Они могут включать в себя до
двадцати различных аминокислот (рисунок 1.1), служащих мономерами, кото-
рые соединены между собой одинаковыми пептидными связями (C-N-связи,
рисунок 1.2). Эти двадцать аминокислот могут быть отнесены к различным
группам в зависимости от химической природы их боковых цепей. К груп-
пе липофильных («любящих жир») относятся пять аминокислот: глицин,
аланин, валин, лейцин и изолейцин. Пролин — уникальная циклическая
аминокислота, образующая свою собственную группу. Три аминокислоты
имеют ароматический боковые цепи: фенилаланин, триптофан и тирозин.
В боковых цепях двух аминокислот — цистеина и метионина — присутствует
сера. Еще две аминокислоты имеют гидроксильные (нейтральные) боковые
цепи, которые делают их гидрофильными («любящими воду»). Три амино-
кислоты имеют очень полярные положительно заряженные боковые цепи —
это лизин, аргинин и гистидин. Две аминокислоты с кислотными боковы-
ми цепями образуют группу, к которой относят и их нейтральные аналоги:
аспарагиновая кислота, глутаминовая кислота, аспарагин и глутамин.
л
Глава 1. Строительные блоки
Алифатические аминокислоты
COO- H3N
Н
Глицин Аланин Валин
СНз
H3N-----С------СОО-
Н
Лейцин
Изолейцин
Аминокислоты с гидроксильной или серусодержащей группой
СНз
ОН
сн2
сн2
СНз
неон
сн2
сн2
H3N------с------СОО-
H3N-
-с-----соо-
H3N-
СОО- H3N—
СНз
Серин
Н
Цистеин
н н
Треонин Метионин
Рис. 1.1. Структура двадцати природных аминокислот
1.1. Белки -lb 9
Циклическая аминокислота
сн2
сн2 сн2
h2n-
-соо-
СНз
Пролин
Основные аминокислоты
nh2
nh2
сн2
сн2
сн2
c=nh2
NH
сн2
сн2
Гистидин Лизин Аргинин
Дикарбоновые аминокислоты и их амиды
сн2 сн2
Аспарагиновая Глутаминовая Аспарагин
Глутамин
кислота кислота
10 -»v- Глава 1. Строительные блоки
Рис. 1.3. Схематическое изображение
элементов вторичной структуры, обычно
встречающихся в белках: а — а-спираль,
б — р-складчатый слой. (Водородные
связи показаны пунктиром.)
Рис. 1.2. Все аминокислоты имеют
в своей основе одну и ту же прими-
тивную структуру и соединяются друг
с другом одной и той же пептидной
связью C-C-N (символы О, N, С и Н
обозначают кислород, азот, углерод и во-
дород, R — боковая цепь, по которой одну
аминокислоту можно отличить от другой,
например, пролин от глицина и т.д.)
Соединения между аминокислотами
образуются всегда по одному и тому же
типу и имеют одну и ту же геометрию
(рисунок 1.2). Эта связь называется пеп-
тидной и представляет собой одинарную
ковалентную связь между атомами угле-
рода и азота. Хотя химическая природа
пептидной связи очень проста, предска-
зание трехмерной структуры белка по
последовательности аминокислот явля-
ется сложной и, в целом, нерешенной
задачей. Для описания пространствен-
ной структуры белка используют уни-
версальные элементы (мотивы) вторич-
ной структуры. Эти мотивы включают
в себя альфа-спирали и бета-структуры
— складчатые слои и бочонки (рисунок
1.3). Полная трехмерная структура бел-
ка, называемая третичной, имеет вид
либо компактной сферической струк-
туры — глобулы (глобулярные белки),
либо весьма протяженного образования
в виде нити или волокна (фибрилляр-
ные белки, рисунки 1.4 и 1.5). Глобу-
лярные пептидные структуры обычно
включают в себя несколько элементов
вторичной структуры и менее упорядо-
ченные области.
Кулоновские взаимодействия
очень важны в определении конфор-
мации биологических полимеров.
1.1. Белки -JU 11
Величина заряда поликислоты или полиоснования определяется величи-
ной pH раствора, т. е. концентрацией ионов водорода. Вода диссоцииру-
ет на противоположно заряженные ионы, причем этот процесс зависит
от температуры
Н2О^ Н++ОН-.
(1.1)
б
Рис. 1.3. (Продолжение)
волос
Рис. 1.4. Сложная иерархическая структура кератинов волос (а-спирали объ-
единяются в протофибриллы, затем в микрофибриллы, макрофибриллы,
клетки и, наконец, в отдельный волос. [Воспроизведено с разреше-
ния J. Vincent из Structural Biomaterial. Copyright (1990) Princeton
University Press])
12 —* V- Глава 1. Строительные блоки
При равновесии произведение концентраций ионов водорода и гидрок-
сила, образующихся при диссоциации воды, — величина постоянная, и при
фиксированной температуре (37 °C) она равна
сн+сО1Г =1Х1О-14М2=^,
(1.2)
где с'н, и cQH_ — концентрации ионов водорода и гидроксила, соответс-
твенно. При добавлении кислот и оснований к раствору равновесие в
процессе диссоциации воды смещается. Явления, связанные с кислотно-
основным балансом являются краеугольным камнем в физической химии
растворов.
Рис. 1.5. Упаковка антипа-
раллельных р-складчатых слоев,
характерная для белков шелка (ука-
заны расстояния между соседними
слоями)
Диапазон возможных концентраций
ионов водорода (Н+) в водных растворах
чрезвычайно широк, поэтому их измеряют
в логарифмической шкале (pH). Величина
pH по определению равна отрицательному
десятичному (!) логарифму концентрации
ионов водорода
pH = - logcH+ . (1.3)
В физиологических условиях в клет-
ке значения pH находятся в интервале
от 6,5 до 8. Сильные кислоты имеют pH
в диапазоне 1-2, а сильные основания —
в диапазоне 12-13.
Для описания диссоциации кислоты
в растворе, при которой образуется ион
водорода (Н+), вводят константу равно-
весия (Ка)
НА Н+ + А-
СН+СА~
СНА
(1-4)
где сн+ , сА- и сНА концентрации ионов водорода, анионов кислоты и недис-
социированных молекул кислоты, соответственно. Поскольку концентрацию
ионов водорода определяют в логарифмической шкале, естественно в той
же шкале определять и константу равновесия (рКа)
рК = lgKfl. (1.5)
Взяв логарифм от обеих частей уравнения (1.4), получим соотношение
между pH и рКа
pH = рКс + 1g
^coryugate base
^acid
(1-6)
1.1. Белки -JU 1з
где cC0nJugate base и cacid — концентрации сопряженных основания (наир., А-) и
кислоты (напр., НА), соответственно. Это уравнение, называемое уравнением
Гендерсона-Хассельбалха, позволяет рассчитать степень диссоциации кисло-
ты (или основания). Таким образом, зная pH раствора и рКа кислотной или
основной группы, можно в первом приближении оценить заряд этой группы.
Способность к диссоциации в водных растворах и некоторые другие свойства
аминокислот приведены в таблице 1.1. Несмотря на то, что аминокислоты
называются кислотами, в составе белков заряженными оказываются только
те аминокислоты, которые имеют в своих боковых цепях кислотные или ос-
новные группы. К таким аминокислотам относятся аргинин, аспарагиновая
кислота, цистеин, глутаминовая кислота, гистидин, лизин и тирозин.
Таблица 1.1. Основные физичесике свойства аминокислот, входящих в состав
белков (данные приведены по Mathews С.К., Van Holde К.Е.,
Biochemistry, 137).
Название РКа боковой цепи Мол. масса остатка Распространенность в природных белках (мольный %)
Аланин - 71 9,0
Аргинин 12,5 156 4,7
Аспаргин - 114 4,4
Аспарагиновая кислота 3,9 115 5,5
Цистеин 8,3 103 2,8
Глутамин - 128 3,9
Глутаминовая кислота 4,2 129 6,2
Глицин - 57 7,5
Гистидин 6,0 137 2,1
Изолейцин - 113 4,6
Лейцин - 113 7,5
Лизин 10,0 128 7,0
Метионин - 131 1,7
Фенилаланин - 147 3,5
Пролин - 97 4,6
Серин - 87 7,1
Треонин - 101 6,0
Триптофан - 186 1,1
Тирозин 10,1 163 3,5
Валин - 99 6,9
14 -* V- Глава 1. Строительные блоки
Рис. 1.6. Иерархия структур от тройной спирали коллагена до сухожилия (спирали
коллагена объединяются в микрофибриллы, затем в субфибриллы, фиб-
риллы, пучки и, наконец, в сухожилие)
Рис. 1.7. В эластине за счет p-изгибов формируется вторичная структура
в виде упругих спиралей (о), которые затем объединяются в су-
перспирализованную фибриллярную структуру (б)
Во взаимодействиях аминокислот важную роль, помимо кулоновских
взаимодействий, играет их способность к образованию водородных связей с
окружающими молекулами воды, различная для разных аминокислот. Гид-
рофобность аминокислот (мера их «нелюбви» к воде) во многом определяет
конформацию белков. Она, в частности, определяет компактную конфор-
мацию глобулярных белков (большинства ферментов), поскольку при такой
конформации гиброфобные группы скрыты внутри глобулы и не контакти-
руют с окружающей водой.
Ковалентные связи, возможные между близко расположенными друг к
другу аминокислотами, могут приводить к образованию прочных белковых
агрегатов (рисунки 1.4 и 1.6). Так, например, белки, содержащие цистеин,
могут образовывать очень прочные дисульфидные связи с другими белками.
1.1. Белки JU 15
Такие связи характерны для фибриллярных белков, например, для керати-
на волос.
Вторичные структуры белковых цепей (а-спирали и p-слои) стабилизиро-
ваны водородными связями между соседними атомами в пептидных группах
вдоль главной цепи. Строение таких важных структурных белков, как кера-
тины (рисунок 1.4), коллагены (рисунок 1.6.), белки шелка (рисунок 1.5),
эластины (рисунок 1.7), резилин и абдуктин обусловлено наличием межмо-
лекулярных дисульфидных и водородных связей.
Рис. 1.8. Структуры двух типичных глобулярных белков, рассчитанные на основа-
нии рентгеноструктурных данных: а — миоглобин (переносчик кислорода
в мышцах); б — лизоцим (фермент с антибактериальными свойствами,
содержащийся в слезах)
Примеры глобулярной структуры белков приведены на рисунке 1.8. Гло-
булярные белки могут претерпевать переходы свертывания-развертывания
полипептидной цепи, которые могут сопровождаться денатурацией белка.
Денатурацию вызывают различные факторы: повышение температуры, изме-
нение pH, введение в раствор хаотропного агента, разрушающего водородные
связи. Обычно полная денатурация представляет собой термодинамический
фазовый переход первого порядка, которому соответствует некая скрытая
теплота перехода (теплота, поглощенная во время перехода). Процесс раз-
вертывания глобулы представляет собой чрезвычайно сложную последова-
тельность молекулярных перестроек, напоминающих оригами. При обратном
процессе свертывания (фолдинге) глобулы может образоваться огромное
число различных конфигураций (~10N, где N — число аминокислотных ос-
татков в белке). Поэтому при синтезе белка в клетке легко могут возникать
ошибки в его структуре. На первый взгляд, очевидно, что белковая молекула
в процессе свертывания остановится на какой-либо промежуточной стадии и
никогда не образует правильной третичной структуры. То, что глобулярные
белки в процессе фолдинга за конечное время приобретают единственную,
16 -*v- Глава 1. Строительные блоки
одну из многих миллиардов, нативную конформацию, получило название
парадокса Левинталя. В настоящее время решение этого парадокса состоит в
предположении о существовании воронки в конфигурационном пространстве
на поверхности потенциальной энергии со сложным ландшафтом, которая
определяет кинетику процесса свертывания цепи в нативную конформацию
(рисунок 1.9).
Конфигурация
Рис. 1.9. Схематическое изображение воронки, направляющей процесс сверты-
вания белковой цепи в сложном конфигурационном пространстве, ко-
торая имеет множество локальных минимумов. Эта воронка позволяет
избежать ошибок свертываня белковой цепи, составляющих суть пара-
докса Левинталя
Существует два основных типа межмолекулярных взаимодействий белков
в растворе: взаимодействия, при которых нативная структура остается в ос-
новном, неизменной, такие, как при кристаллизации белков или образова-
нии филаментов в слоях и лентах, и взаимодействия, которые ведут к потере
нативной конформации, например, при образовании гелей при нагревании
(желе, студни, вареные яйца) и при образовании амилоидных волокон (бо-
лезнь Альцгеймера, губчатая энцефалопатия коров).
1.2. ЛИПИДЫ
Внутренняя часть клетки имеет несколько частей, или компар-
тментов, отделенных друг от друга мембранами, которые состоят, в основ-
ном, из липидов. Помимо этого, важная роль липидов состоит в запасании
энергии, хотя их молекулы и используются во многих других биохимических
процессах. Липиды — амфифильные соединения: полярные группы «голов»
молекул гидрофильны, т. е. «любят» воду (и «ненавидят» жир), а «хвосты»
молекул гидрофобны, т. е. «любят» жир (и «ненавидят» воду). Благодаря
амфифильности молекулы липидов способны к самоорганизации с образо-
ванием различных структур, в том числе и мембран.
1.3. Нуклеиновые кислоты 17
Липиды подразделяют на четыре группы: жирные кислоты, молекулы кото-
рых имеют один или два гидрофобных хвоста (включая карбоновые кислоты с
общей формулой RCOOH, где R — длинная углеводородная цепь), стероиды, а
также фосфолипиды, в молекулах которых один или два жирнокислотных ос-
татка присоединены к фосфоглицериновому остову с образованием сложных
эфиров (рисунок 1.10). Природные липиды классифицируют по типу поляр-
ной группы головки молекулы. Холестерин относится к семейству стероидных
липидов, которые часто встречаются в мембранах. В молекулах гликолипидов,
которые также встречаются в мембранах, фосфатная группа, характерная для
фосфолипидов, заменена на углеводный остаток. Гликолипиды играют важную
роль в передаче сигналов в клетке, а также в работе иммунной системы. Так,
например, эти молекулы определяют, в основном, группы крови А, В и О, то
есть от них зависит совместимость крови при переливании.
Рис. 1.10. Типичные молекулы природных липидов: а — жирные кислоты с одним
хвостом; б — стероиды и жирные кислоты с двумя хвостами; в — фос-
фолипиды
1.3. НУКЛЕИНОВЫЕ КИСЛОТЫ
На рисунке 1.11 приведена схема, иллюстрирующая «цент-
ральную догму молекулярной биологии», выдвинутую Ф. Криком. В моле-
куле ДНК записана основная программа, в соответствии с которой пост-
роено подавляющее большинство живых организмов. Для реализации этой
программы клетка переносит информацию с ДНК на РНК (этот процесс
называется транскрипцией), после чего РНК может быть использована
в качестве матрицы в специализированных «фабриках» по производству
белка, называемых рибосомами (этот процесс называется трансляцией).
Образующиеся белки затем используются либо как катализаторы спе-
18
—Глава 1. Строительные блоки
цифических химических реакций, либо как строительный материал для
построения новой клетки.
Эта простая схема переноса информации имеет очень важные следствия.
ДНК можно направленно изменить, используя технологии рекомбинантной
ДНК, а затем поместить в живую клетку. Эта чужеродная ДНК включается в
процесс синтеза белков в клетке, в результате чего клетка продуцирует белки
с заранее заданными свойствами. Так, например, бактерию можно заставить
синтезировать белковые волокна для производства пластиков, утилизируе-
мых с помощью биохимического разложения.
Дупликация 6щК Транскрипция Трансляция
Рис. 1.11. Центральная догма молекулярной биологии относится к дупликации
и трансляции. ДНК образуется в результате дупликации — синтеза
копии по образцу (матричный синтез). Информация с молекулы ДНК
переносится на молекулу РНК в процессе транскрипции, а затем эта
же информация реализуется в последовательности аминокислотных
остатков белковой цепи в процессе трансляции
Рис. 1.12. Химическая струк-
тура мономеров нуклеиновых
кислот включает в себя фос-
фатную группу, сахар и азоти-
стое основание.
Мономеры ДНК состоят из остатка сахара, азотистого основания и фос-
фатной группы (рисунок 1.12). Существует всего четыре азотистых основа-
ния, входящих в состав природных молекул ДНК: Тимин, цитозин, аденин
и гуанин (Т, С, A, G). Последовательность оснований в каждой полимер-
ной цепи определяет генетический код. Молекула ДНК представляет собой
две полимерные цепи (нити), навитые друг на друга в виде спиралей (двой-
ная спираль). Основания в составе нитей двойной спирали ДНК образуют
комплементарные пары: А связывается с
Т посредством двух водородных связей, а
G связывается с С посредством трех водо-
родных связей. Взаимодействия между па-
рами оснований определяется геометрией
водородных связей. Таким образом, каждая
цепь двойной спирали ДНК содержит одну
и ту же генетическую информацию, поэтому
воспроизведение, или репликация, молекул
ДНК может происходить путем разделения
двух цепей и матричного синтеза комплемен-
тарной полинуклеотидной цепи по каждой
из них. Образование спиральной вторичной структуры ДНК обусловливает
высокую стабильность этой молекулы.
1.3. Нуклеиновые кислоты 19
Таблица 1.2. Структурные параметры полинуклеотидных спиралей
Свойство А-форма В-форма Z-форма
Направление вращения спирали Правое Правое Левое
Число остатков на один виток 11 10 12
Угол поворота на один остаток 33 36 30
Расстояние между остатками вдоль оси, нм 0,255 0,34 0,37
Шаг спирали, нм 2,8 3,4 4,5
Двойная спираль ДНК, существующая в двух биологически активных фор-
мах, А и В, имеет большую и малую бороздки (большой и малый желобки).
Каждая полинуклеотидная цепь ДНК, помимо индивидуальной последова-
тельности нуклеотидов, характеризуется направлением. Репликация ДНК in
vivo осуществляется комплексами ДНК-полимераз (I, II и III).
В форме двойной спирали молекула ДНК обладает избытком энергии за
счет закручивания, поскольку мономеры не могут вращаться свободно (как
скрученный в спираль телефонный провод). Концы молекулы ДНК могут
соединяться с образованием компактной суперспиральной кольцевой струк-
туры, которая часто наблюдается у бактерий. Изучение молекул такого типа
связано с решением целого ряда интереснейших статистических и тополо-
гических задач.
Структура ДНК имеет множество различных модификаций (таблица 1.2,
рисунок 1.13). Существует три стандартных типа усредненной двуспираль-
ной структуры, называемых А-, В- и Z-формами, которые образуются ex vivo
(вне клетки) в твердых волокнах, используемых для рентгеноструктурного
анализа. В растворах ДНК обычно имеет форму, промежуточную между А
и В и зависящую от длины цепи и состава раствора. При увеличении гидра-
тации двойной спирали в ней возрастает доля пар оснований, соответству-
ющих В-форме. В некоторых экстремальных нефизиологических условиях
ДНК образует Z-форму.
В дополнение к глобальным усредненным структурным формам А, В и
Z существует ряд локальных структурных модификаций двойной спирали,
которые определяются специфическим химическим составом каждой из
ее нитей. Кинком называют резкий изгиб оси двойной спирали, который
играет важную роль в образовании комплексов в нуклеосоме. Петли раз-
ных размеров образуются при разрыве водородных связей между несколь-
кими последовательными парами оснований и расхождении нитей ДНК
в этом месте. В процессе транскрипции РНК-полимераза связывается с ДНК
с образованием петли. «Дыханием» цепи называют процесс периодическо-
20 Глава Г Строительные блоки
го локального плавления двухцепочечной молекулы ДНК — временного
разрушения водородных связей в результате быстрого частичного поворота
одного из оснований в паре. При этом NH-группы могут обмениваться ато-
мами водорода с окружением в присутствии катализатора. Крестообразная
А-форма
Рис. 1.13. Молекулярные модели
А-, В- и Z-формы двойной спира-
ли ДНК. (Спиральные структуры
A-формы и В-формы и промежу-
точных форм типичны для биоло-
гических систем; в Z-форме ДНК
кристаллизуется в экстремальных
нефизиологических условиях.)
структура ДНК образуется при наличии
палиндромных последовательностей,
комплементарных к самим себе и разде-
ленных несколькими парами оснований.
Гидрофобные молекулы (например, ле-
карственных препаратов, связывающихся
с ДНК) могут быть интеркалированы в
структуру ДНК, то есть встроены («встав-
лены») в стопку (стек), образуемую
нуклеиновыми основаниями. Известны
также трех- и четырехцепочечные спи-
ральные структуры ДНК, однако они не
встречаются в естественных условиях.
ДНК обладает рядом интересных
свойств с точки зрения физики полимеров.
Так, например, персистентная длина (/р)
для ДНК Е. coli имеет порядок 50 нм (она
зависит от ионной силы). Молекула ДНК
состоит из миллионов мономеров и име-
ет, соответственно, огромную контурную
длину (Z, для ДНК человека £ - 1,5 м!).
Большой размер ДНК имеет ряд следс-
твий. Отдельные молекулы ДНК, мечен-
ные флуоресцентной меткой, можно ви-
деть с помощью оптического микроскопа,
что оказалось очень полезным в экспери-
ментах с высоким разрешением. С другой
стороны, живой клетке приходится решать
непростую задачу упаковки молекул ДНК
внутри ядра, которое имеет в диаметре не
более нескольких микрометров (она это
делает с помощью хромосом).
1.4. УГЛЕВОДЫ
Исторически сложилось так, что исследования углеводов
всегда оставались в тени успехов в области изучения белков. Отчасти это
было обусловлено сложностью анализа структуры углеводов и огромным
1.4. Углеводы
разнообразием природных углеводов. Углеводы играют ключевые роли в
огромном множестве внутриклеточных процессов, которые до конца пока
не изучены.
Существуют два важных полимера глюкозы, встречающиеся у расте-
ний, которые различаются типом связи между мономерами: целлюлоза
и амилопектин. Целлюлоза — очень жесткий полимер, имеющий как не-
матическую, так и полукристаллическую фазы. Она широко использу-
ется в растениях как структурообразующий материал. Линейные цепи,
образованные путем соединения мономеров глюкозы посредством Р-(1->
4)-гликозидной связи, оптимальны для построения волокон, так как име-
ют очень высокий предел прочности на разрыв и достаточную изгибную
упругость благодаря водородным связям, соединяющим углеводные цепи
в листовидные структуры (рисунки 1.14 и 1.15). Амилоза и ее разветвлен-
ная разновидность амилопектин (крахмал) используются растениями для
запасания энергии, при этом амилопектин часто имеет структуру смекти-
ческого жидкого кристалла (рисунок 1.16). Амилоза и амилопектин входят
в состав крахмала — основного компонента пищи человека. В амилозе
молекулы глюкозы соединены гибкой а-(1—>4)-гликозидной связью, кото-
рая легко разрушается ферментами, поэтому амилоза представляет собой
легкодоступный источник сахара. Амилопектины образуются из амилоз
при образовании ответвлений за счет присоединения дополнительных
молекул глюкозы посредством также гибкой а-( 1—>6)-гликозидной связи
(рисунок 1.17). Гликоген представляет собой сильно разветвленный амор-
фный аналог амилопектина и используется в качестве энергозапасающего
вещества в клетках животных.
Рис. 1.14. Листовидные структуры в целлюлозе. (В длинных полисахаридных цепях
мономеры глюкозы соединены с помощью гликозидной связи р-(1->4),
а цепи между собой соединены водородными связями.)
Хитин — еще один структурный полисахарид, входящий в состав на-
ружного скелета ракообразных и насекомых, сходный по функциональным
свойствам с целлюлозой. Это очень твердый полимерный материал, содер-
жащий холестерическую жидкокристаллическую фазу.
Необходимо отметить, что по сравнению с нуклеиновыми кислотами и бел-
ками молекулы полисахаридов имеют гораздо более сложную структуру свя-
Глава 1. Строительные блоки
зей между мономерами, что может служить основой для записи информации
с высокой плотностью. Число способов полимеризации молекул сахаров
чрезвычайно велико. Например, молекула глюкозы может образовывать связи
с участием каждого из шести ее атомов углерода, что дает дополнительно
N6 различных структур по сравнению белком с таким же числом мономеров
(N). В белках остатки аминокислот соединяются только одним способом —
с помощью пептидной связи. Эти дополнительные возможности для хране-
ния информации в углеводах используются в целом ряде механизмов реак-
ций иммунных систем различных организмов.
Рис. 1.15. Иерархическая структура целлюлозы, входящей в состав стенки ра-
стительной клетки. Целлюлозные цепи объединяются в микрофибрил-
лы, из которых формируется стенка растительной клетки. (Из книги:
С.К. Mathews, К.Е. Van Holde. Biochemistry. — Benjamin Cummings.)
Пектины — внеклеточные полисахариды растений, образующие смолы
(камеди) и используемые при изготовлении джема. Альгины — сходные с
пектинами вещества, содержащиеся в водорослях, и, так же как и пектины,
используется в пищевой промышленности. Гиалуроновая кислота — длин-
ный и относительно гибкий полимер, представляющий собой отрицательно
заряженный полиэлектролит и играющий разнообразные роли в физиоло-
гии животных. Так, например, гиалуроновая кислота входит в состав хря-
щей (биологических амортизаторов) и синовиальной жидкости, служащей
смазкой в суставах.
1.4. Углеводы JU 23
Рис. 1.16. Иерархическая структура крахмала имеет четыре характерных масштаба:
а — гранула крахмала (~10~6м); б — полукристаллический слой рос-
та (~10~7м); в — кристаллические и аморфные ламеллы (~9Ю-9м)
и г — молекулярная структура амилопектина (~1О-10 м). (Из: Т.А. Waigh.
PhD thesis. University of Cambrodge, 1996.)
Рис. 1.17. Разветвленная первичная структура амилопектина. Гибкие а(1->4)
и а(1->6) гликозидные связи образуются между соседними мономерами
глюкозы
24 -* V- Глава 1. Строительные блоки
1.5. ВОДА
Вода — уникальный полярный растворитель, и ее свойства
оказывают огромное влияние на поведение всех биологически важных мо-
лекул (рисунок 1.8). Молекула воды имеет большой дипольный момент (Р),
равный 6,1110-30 Кл м, ее квадрупольный момент равен 1,87 10-39 Кл м2,
а средняя поляризуемость 1,444О-33 м3.
Вода имеет несколько кристаллических состояний при температурах
ниже О °C или при высоких давлениях. В структуре льда, образующегося при
обычных условиях, имеются необычные полости, обусловленные направлен-
ностью водородных связей, поэтому его плотность ниже плотности воды в
точке замерзания. Полярность связей О-Н, образующихся в воде, позволяет
молекулам воды образовывать димеры, тримеры и т.д. (рисунок 1.19), что
порождает сложную задачу многих тел при статистическом описании воды
и в жидком, и в твердом состояниях.
-2q
Рис. 1.18. Геометрия молекулы
воды. При образовании водородных
связей в кристалле льда формиру-
ются тетраэдрические структуры
(см. рис. 2.2)
н н н
I I I
о—н- — о—н—- о—н
Рис. 1.19. Схема сети водородных связей,
обусловливающих молекулярную структу-
ру жидкой воды. Штриховыми линиями
обозначены водородные связи. Такие цепи
водородных связей между молекулами воды
в жидком состоянии образуются в широком
диапазоне углов.
В ходе эволюции возникли белки, предотвращающие замерзание воды
при низких температурах. Они имеют а-спиральные домены с больши-
ми дипольными моментами, которые разрушают сетку водородных связей
в структуре воды. Такие белки часто встречаются у организмов, живущих при
температурах ниже О °C, например, у арктических растений и рыб.
Изучение биологических процессов in vivo возможно с помощью ме-
тода ядерного магнитного резонанса (ЯМР), который позволяет видеть
области с разной подвижностью молекул воды. Этот мощный неинва-
зивный (бесконтактный) метод позволяет изучать изменения состояния
воды в различных биологических процессах, например, при мозговой
деятельности.
Даже в очень низкой объемной концентрации вода может действовать как
пластификатор, от содержания которого зависит переход твердых биополи-
меров из стеклообразного состояния в вязко-жидкое и обратно. Изменение
содержания воды может служить переключателем активности клеток в се-
1.6. Протеогликаны и гликопротеиды 25
менах растений: в отсутствие воды организм остается в спящем состоянии
многие тысячи лет, а потом при добавлении воды пробуждается и переходит
в активное состояние.
Процессы в воде протекают в широком диапазоне временных масштабов
(10-18-103 с), что необходимо учитывать при изучении роли воды в биоло-
гических системах (рисунок 1.20). Этот диапазон охватывает процессы от
сверхкоротких упругих столкновений молекул воды (~10-18 с) до гораздо бо-
лее медленных макроскопических гидродинамических процессов, связанных
с течением крови (~1 с).
Диффузия Колеба- ния и баллисти- ческое движение Элект- ронные процессы
О zZ -5 / -io \ -ik -20
Время
log t, сек
Постоянная
времени
вращательной
диффузии
(твердое тело)
Время
жизни
связанного
состояния
Постоянная
времени
вращательной
диффузии
(жидкость)
Постоянная
времени
(для ОН-
связи)
Рис. 1.20. Диапазон временных масштабов, определяющих физические свойства
воды, приведенный в логарифмической шкале
1.6. ПРОТЕОГЛИКАНЫ И ГЛИКОПРОТЕИДЫ
Протеогликаны (длинные полисахариды присоединены к ко-
ротким полипептидам) и гликопротеиды (короткие углеводные цепи при-
соединены к относительно длинным полипептидам) образуются из смеси
молекул белков и углеводов (гликозаминогликанов). Так же как для углево-
дов, для протеогликанов и гликопротеидов характерно большое разнообра-
зие структур. Из-за трудностей определения их точных структур, связанных
с невозможностью получения кристаллов этих соединений, до сих пор нет
полной картины их биологической роли.
Многие протеогликаны и гликопротеиды, входящие в состав внеклеточно-
го матрикса, имеют строение, сходное с ершиком для мытья бутылок (рисун-
ки 1.21 и 1.22). Примером сложного протеогликана может служить агрекан —
гигантская молекула с молекулярной массой до 3,5 МДа, имеющая вид длинного
26 -»V- Глава 1. Строительные блоки
ершика; молекулы агрекана образуют с гиалуроновой кислотой огромный ком-
плекс «ершика из ершиков» (рисунок 1.21). Эти соединения придают растворам
очень высокую вязкость, что способствует диссипации энергии в хрящах; кроме
того, они обеспечивают хорошее скольжение поверхностей в суставах. Приме-
ром внеклеточного гликопротеида могут служить муцины, выделяемые слизис-
той оболочкой желудка у млекопитающих. Молекулы муцина, связываясь друг
с другом, образуют толстый слой вязкой слизи, предотвращающей повреждение
(самопереваривание) слизистой оболочки желудка (рисунок 1.22).
Рис. 1.21. Схематическое изображение
комплекса агрекана. Мономеры агре-
кана состоят из белкового стержня,
к которому присоединены сильно заря-
женные углеводные боковые цепи. Та-
кие «бутылочные ершики» связываются
с линейным полимером гиалуроновой
кислоты, образуя структуру «суперерши-
ка». (Из: A. Papagianopoulos, Т.А. Waigh,
Т. Hardingham, М. Heinrich. Biomacromol-
ecules, 2006, v. 7, рр. 2162-2172.)
Дисульфидная
связь
. Центральный
полипептид
Рис. 1.22. Молекулы муцинов из желудка
свиньи состоят из центральных полипеп-
тидных цепей, к которым присоединены
боковые углеводные цепи. Концы полипеп-
тидной цепи «липкие», что при низких pH
приводит к ассоциации молекул муцинов с
образованием толстых слоев вязкоупругих
гелей.
Углеводная
боковая цепь
Гликопротеиды встречаются также среди ферментов (рибонуклеаза В), запа-
сающих белков (яичный белок), в тромбах (фибрин), среди антител (IgG).
1.7. КЛЕТКИ (СЛОЖНЫЕ БИОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ)
В многоклеточных организмах клетки работают согласован-
но и образуют иерархическую систему тканей, органов и систем органов.
Ткани содержат как клетки, так и другие компоненты, например, внекле-
точный матрикс.
У млекопитающих существуют четыре различных типа мышечных клеток'.
скелетные и сердечные мышечные клетки (оба типа образуют поперечнопо-
лосатую мышечную ткань), клетки гладких мышц (образуют стенки сосудов
и кишечника) и миоэпителиальные клетки (в кишечнике).
1.9. Бактерии (сложные биомолекулярные конструкции) -и* 27
Нервные клетки используются для генерации и приема сигналов. Они
образуют множество ответвлений, что позволяет им иметь до 105 входов для
сигналов от других клеток. Электрохимия нервных клеток необычайно ин-
тересна, поскольку эффективность и временные характеристики эквивалент-
ных электрических цепей в ходе эволюции были доведены до предельного
совершенства.
Клетки крови разнообразны по раз-
мерам и форме. Красные кровяные
клетки (эритроциты) имеют форму
сплющенного пончика (рисунок 1.23),
которая определяется свойствами их
цитоскелета. Эритроциты переносят
кислород от легких к тканям и уг-
лекислоту в обратном направлении.
Белые кровяные клетки помогают ор-
ганизму бороться с различными ин-
фекциями.
Фибробласты отвечают, в основном,
Рис. 1.23. Поперечное сечение
красной кровяной клетки, имею-
щей форму сплющенного пончика.
Морфология клетки определяется,
в основном, сетью, образованной
белком спектрином на внутрен-
ней стороне клеточной мембраны
за секрецию и регуляцию внеклеточного матрикса, например, за продукцию
таких молекул, как коллаген. Эпителиальные клетки ответственны за пере-
нос веществ через границы органов, например, через внутреннюю стенку
кишечника.
1.8. ВИРУСЫ (СЛОЖНЫЕ БИОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ)
Вирусы — внутриклеточные паразиты, которые размножа-
ются только в живых клетках организмов. Они являются причиной многих
заболеваний. Их физические свойства привлекли значительное внимание
физиков. Вирусы способны к самосборке из своих составных частей с обра-
зованием монодисперсных систем частиц (стержней или многогранников,
рисунок 1.24). Это свойство делает их идеальными модельными системами
для исследования фазовых переходов в заряженных коллоидных системах и
лиотропных жидких кристаллах (глава 4) и позволяет изучать эти процессы
во всех деталях (глава 6).
1.9. БАКТЕРИИ (СЛОЖНЫЕ БИОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ)
Бактерии представляют собой маленькие одноклеточные ор-
ганизмы с простой структурой. Только небольшая часть бактерий является
причиной заболеваний у людей. Бактерии имеют различные формы: сферы,
28
-jГлава I. Строительные блоки
палочки и спирали. Мы к ним вернемся при обсуждении молекулярных ме-
ханизмов подвижности в главах 5 и 14.
ВТМ Бактериофаг
Пикорнавирус
100 нм
Рис. 1.24. Схематическое изображение ряда характерных структур вирусов: стерж-
невидная форма вируса табачной мозаики (ВТМ), асимметричная форма
бактериофага и икосаэдрическая форма пикорнавируса
1.10. ДРУГИЕ МОЛЕКУЛЬ!
Во многих биохимических процессах «энергетической ва-
лютой» является АТФ (аденозинтрифосфорная кислота). Запас энергии
в этой молекуле обусловлен наличием очень сильно заряженной концевой
фосфатной группы. Энергия может высвобождаться при гидролизе АТФ до
АДФ (аденозиндифосфорной кислоты). Существует огромное количество
других биомолекул, которые встречаются в биологических системах, и чита-
телю, желающему ознакомиться с биохимией подробнее, следует обратиться
к специальной литературе.
Дополнительная литература
Для более подробного ознакомления с молекулярной биофизикой можно реко-
мендовать следующие издания на русском языке:
Л. Страйер. Биохимия. — В 3 т. — Пер. с англ. под. ред. С.Е. Северина. —
М.: Мир, 1986.
Б. Албертс, Д. Брей, Дж. Льюис и др. Молекулярная биология клетки. —
В 3 т. — Пер. с англ, под ред. Т.П. Георгиева, Ю.С. Ченцова. — 2-е изд., перераб.
и доп. — М.: Мир, 1994.
Марфи Р., Греннер Д. и др. Биохимия человека. В 2-х томах. — М.: Мир,
1993.
Вопросы и задачи -*Ъ- 29
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1.1. Молекула ДНК имеет молекулярную массу 4108 Да, при этом средняя
молекулярная масса мономера равна 660 Да. У A-формы ДНК на один ви-
ток спирали приходится 11 остатков и смещение вдоль оси спирали на один
остаток равно 0,26 нм. У В-формы на один виток приходится 10 остатков,
а смещение на остаток составляет 0,34 нм. У Z-формы на один виток прихо-
дится 12 остатков, и смещение на остаток составляет 0,37 нм. Какова длина
в сантиметрах двойной цепи ДНК в А-, В- и Z-формах? Каковы средние
размеры ядра у клеток млекопитающих? Как удается клетке разместить мо-
лекулы ДНК в ядре?
1.2. Предположим, что удалось выделить липидную мицеллу, содержащую
единственный белок, который в нативном состоянии является трансмемб-
ранным белком. Как могут быть расположены молекулы липида и белка на
поверхности мицеллы?
1.3. Рассчитайте pH водного раствора аргинина с концентрацией 0,2 М, если
для аргинина рКа = 12,5.
1.4. Металлы участвуют в ряде биологических процессов и часто являются
важным структурным компонентом биомолекул. Составьте список биоло-
гических молекул, в состав которых входят металлы.
ГЛАВА
МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Читатель, конечно, знаком с простейшими проявлениями
таких фундаментальных сил, как электростатические, магнитные и грави-
тационные. Взаимодействия между биологическими молекулами определя-
ются этими же силами в различных комбинациях, однако ситуация ослож-
няется многочисленными геометрическими и динамическими факторами.
Поэтому при описании биологических систем используют так называемые
мезоскопические силы, которые не являются фундаментальными, но зна-
чительно упрощают расчеты, в частности, методами молекулярной динами-
ки, которые при использовании только фундаментальных сил потребовали
бы чрезмерных затрат компьютерного времени. Поэтому в этой главе будет
рассмотрен ряд простых моделей для мезоскопических сил, а также типовые
экспериментальные методы их определения. Мезоскопические силы чрезвы-
чайно разнообразны. К ним относятся, в частности, силы Ван дер Ваальса,
водородная связь, экранированные электростатические взаимодействия, сте-
рические силы, флуктуационные силы, осмотические силы, гидродинамические
взаимодействия.
2.1. СИЛЫ КОГЕЗИИ
Силы когезии (силы сцепления) между телами определяются,
в основном, взаимодействием Ван-дер-Ваальса. Тела, сделанные из одного и
того же материала, всегда притягиваются благодаря взаимодействию между
индуцированными диполями. Ван-дер-ваальсово взаимодействие относи-
тельно слабое, его энергия имеет порядок ~1 кДж/моль, но оно возникает
между всеми атомами и молекулами (даже электронейтральными).
Взаимодействие Ван-дер-Ваальса представляет собой силу притяжения,
имеющую квантово-механическое происхождение, действующую между лю-
быми двумя молекулами и обусловленную взаимодействиями между осцил-
лирующими диполями. Чтобы не перегружать изложение подробным изло-
2.1. Силы когезии J\, 31
жением квантово-механических механизмов возникновения этого взаимо-
действия, приведем сразу выражение для потенциала (И12(г)), порождающего
дисперсионную ван-дер-ваальсову силу между молекулами 1 и 2:
V (Г\ 1 1 V- K»H|0)i|2|<fe|/n|0)2|2 _ Л12 ,?п
12 ° 24(яео)2г6^(£1"-£|°) + (^-Е20)- г6’
где (л|т|0)] — дипольный момент перехода из квантового состояния п
в состояние 0 для молекулы 1, г — расстояние между двумя молекулами,
Л12 — константа, Е" и Е% — энергии квантовых состояний п и к для первой
и второй молекул, соответственно. Таким образом, потенциал взаимодейс-
твия между точечными молекулами уменьшается с расстоянием между ними
как г6 с коэффициентом пропорциональности Л12, называемым константой
Гамакера и зависящим от природы этих молекул. Взаимодействие Ван-дер-
Ваальса иногда называют дисперсионным, поскольку оно определяется теми
же характеристиками молекул, которые определяют и их оптические свойства
(дисперсию света). Поэтому ван-дер-ваальсово взаимодействие можно на-
блюдать оптическими методами в растворах коллоидных частиц микронных
размеров. Если молекулы вещества имеют постоянные дипольные моменты,
они могут индуцировать временные дипольные моменты у молекул другого
вещества, что приводит к возникновению дополнительного взаимодействия
типа Ван-дер-Ваальса (силы Кеезома или Дебая).
Анализ взаимодействий типа ван-дер-ваальсовых показывает, что они
несколько более сложны, чем фундаментальные взаимодействия, изучае-
мые в курсах общей физики. Силы Ван-дер-Ваальса относятся к дально-
действующим и проявляются как на больших расстояниях (>10 нм), так
и на межатомных (<0,1 нм). В общем случае такие взаимодействия могут
приводить как к притяжению, так и к отталкиванию между телами и, что
очень существенно, они не описываются простой степенной зависимостью,
что продемонстрировано на рисунке 2.1 для четырех различных геометрий
взаимодействия. Силы Ван-дер-Ваальса приводят не только к притяжению
молекул друг к другу, но и к их определенному расположению и взаимной
ориентации. В отличие от гравитационных и кулоновских сил, силы Ван-
дер-Ваальса в общем случае не аддитивны. На больших расстояниях (>10 нм)
становится существенным эффект запаздывания из-за конечной скорости
распространения взаимодействий (скорость света, с). Он может быть обна-
ружен экспериментально и проявляется в том, что на больших расстояниях
для точечных объектов потенциал зависит от расстояния между ними как
г7, а не г6, а для полубесконечных плоскостей как г3, а не г2. Зависимос-
ти силы взаимодействия от расстояния, приведенные на рисунке 2.1, могут
быть получены путем суммирования взаимодействий между достаточно ма-
лыми областями протяженных тел.
32 _l\, Глава 2. Мезоскопические силы
-A R.R,
6D (Rx + R2)
Рис. 2.1. Вид главного члена в выражении для энергии (w) ван-дер-ваальсова
взаимодействия зависит от геометрии системы. Приведены четыре
случая: а — точечные атомы; б — две сферы; в — точечный атом и
плоскость; г — две плоскости
Вопрос. Муха сидит на потолке за счет сил Ван-дер-Ваальса. У мухи шесть
лапок и на каждой лапке имеется по 3 тыс. волосков. Какую максимальную
массу может иметь муха, чтобы не сваливаться с потолка? Для взаимодейс-
твия можно использовать приближение двух плоскостей, при этом констан-
та Гамакера (Л) равна 10-19Дж, радиус (J) кривизны поверхности каждого
волоска мухи равен 200 нм, расстояние (г) между волоском и плоскостью
равно 1 нм. Сила Ван-дер-Ваальса дается формулой:
F
Л VW
Ad
6г2
(2.2)
Ответ. В равновесии вес мухи (mg) уравновешивается суммарной силой
притяжения Ван-дер-Ваальса (F^), поэтому:
mg = 6 х 3000 х 3.33 х 10“9 Н. (2.3)
Таким образом, максимальная масса мухи составляет 1,02 мкг.
В модельных расчетах методами молекулярной динамики для энергии
взаимодействия между биомолекулами используют потенциал Леннарда-
Джонса:
12
Я(Г) = £
,6
(2.4)
2.2. Водородная связь -*v 33
где г0 — равновесное расстояние между частицами, г — расстояние между
ними, е — характеристическая постоянная, имеющая размерность энергии.
Отрицательный член, описывающий притяжение, соответствует взаимодейс-
твию Ван-дер-Ваальса для точечных частиц, а положительный член соот-
ветствует отталкиванию твердых сфер (он обусловлен принципом запрета
Паули — перекрывание заполненных электронных оболочек при сближении
атомов приводит к резкому возрастанию энергии системы).
2.2. ВОДОРОДНАЯ СВЯЗЬ
Для воды характерно необычной сильное взаимодействие
между соседними молекулами, которое сохраняется и в твердой фазе
(рисунок 2.2). Это необычное взаимодействие получило специальное на-
звание водородной связи. Оно играет важную роль не только в определе-
нии свойств воды, но и в определении структур, образуемых различными
водородсодержашими полярными молекулами (рисунок 2.3), например
цепных структур, кристаллов, разветвленных ассоциатов, а также струк-
тур самих молекул, зависящих от образования внутримолекулярных во-
дородных связей.
Рис. 2.2. Молекулярная структура кристаллической воды (лед I). Водородные
связи указаны пунктирными линиями, а ковалентные сплошными.
(Воспроизведено с разрешения по: L. Pauling. Nature of Chemical Bond.
Copyright 1960. Cornell University Press.)
Водородные связи обычно сильнее ван-дер-ваальсовых — их энергии
заключены в диапазоне 10-40 кДж/моль, но они все же на порядок слабее
ионных или ковалентных связей. Водородные связи играют центральную
роль в молекулярных процессах самосборки, таких как образование мицелл,
биологических мембранных структур, а также формирование конформаций
молекул белков. Водородная связь возникает между группой — донором про-
тонов (Z>), которой в молекуле могут быть сильно полярные группы F-H,
34
—Глава 2. Мезоскопические силы
0-Н, N-H, S-Н, и слабо электроотрицательным атомом (Л) — акцептором
протонов, например, фтором, кислородом, азотом и серой.
в г
Рис. 2.3. Пример различных структур, в образовании которых участвуют водо-
родные связи: а — цепная структура; б — трехмерная структура; в — раз-
ветвленная структура; г — внутримолекулярная водородная связь
Водородная связь играет важную роль и во взаимодействии неполярных
(аполярных) молекул с водой. Вокруг гидрофобных молекул или их участков,
например, гидрофобных хвостов молекул липидов, молекулы воды образуют
клатратные структуры (рисунок 2.4). Клатраты лабильны (могут обменивать-
ся молекулами воды с окружением), но молекулы в них более упорядочены,
чем в обычной воде, образуя структуры наподобие клетки. Таким образом,
для неполярных молекул (например, углеводородов) свободная энергия пе-
реноса в водное окружение пропорциональна площади поверхности этих
молекул, поскольку изменение энтропии растворителя пропорционально
площади поверхности клатрата.
Это гидрофобное взаимодействие иногда относят к отдельному типу ме-
зоскопических сил: поскольку при слипании гидрофобных молекул в водных
растворах происходит снижение свободной энергии системы, оно происхо-
дит самопроизвольно и выглядит, как дополнительное притяжение между
гидрофобными молекулами (или их участками). В этом случае важнейшую
роль играет изменение энтропии молекул связанной воды. Однако при моде-
лировании таких взаимодействий следует быть осторожным, чтобы не учесть
одно и то же взаимодействие дважды: один раз под видом водородных свя-
зях, другой — под видом гидрофобных взаимодействий. Эксперименты по
2.3. Электростатика -*v* 35
измерению поверхностных сил показали, что гидрофобные взаимодействия
относятся к дальнодействующим взаимодействиям. Эта область все еще на-
ходится в стадии активного изучения, но считается, что энергия отталкива-
ния (W) имеет следующий вид:
W = Woe~rl*, (2.5)
где X — постоянная длины, имеющая величину порядка нанометров,
Ид — постоянная, имеющая размерность энергии, а г — расстояние между
поверхностями.
Компьютерное моделирование
с целью определения силы водород-
ных связей ab initio находится на на-
чальной стадии развития. Одним из
препятствий на этом пути являет-
ся способность водородных связей
к ветвлению (например, атом кис-
лорода может взаимодействовать с
двумя содержащими водород моле-
кулами одновременно), что приво-
дит к необходимости решения слож-
Сферическая
гидрофобная
молекула
Водный клатрат
Рис. 2.4. Схема образования клатрата
молекулами воды вокруг молекулы
гидрофобного соединения
ной задачи многих тел. Еще одну сложность представляет широкий спектр
характерных времен динамических процессов в растворах с водородными
связями, из-за чего следует очень тщательно выбирать критические ин-
тервалы времени для моделируемых биологических процессов (см. раз-
дел 1.5). В последнее время удалось получить важные данные о динамике
водородных связей в экспериментах с использованием импульсных фемто-
секундных лазеров. Было непосредственно измерено время жизни молекул
воды вблизи ионов в растворе, которое оказалось порядка 10 пс. Есть на-
дежда, что результаты такого рода экспериментов по изучению структуры
и динамики водородных связей позволят построить более точные потенци-
алы для этих взаимодействий.
2.3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
2.3.1. Электростатические взаимодействия без
экранирования
В принципе, при моделировании с использованием метода
молекулярной динамики электростатические взаимодействия могут быть
учтены в явном виде. При этом надо учитывать кулоновские, ион-диполь-
ные и диполь-дипольные взаимодействия, но для них существуют стро-
гие количественные выражения для потенциалов, поэтому расчеты легко
36 -l\, Глава 2. Мезоскопические силы
провести, если количество заряженных частиц невелико (что редко бывает
в случае биологических молекул, рисунок 2.5). Направление взаимодействия
чрезвычайно важно при расчетах не только дипольных взаимодействий, но и
кулоновских взаимодействий протяженных объектов, например, параллельно
расположенных заряженных стержней.
Рис. 2.5. Геометрия электростатических взаимодействий между ионами и диполя-
ми: а — ион-ионное взаимодействие (ионы с зарядами qx и q2)-9 б — ион-
дипольное взаимодействие (ион с зарядом q и диполь с моментом р);
в — диполь-дипольное взаимодействие (диполи с моментами рх и р2)
в
Энергия кулоновского взаимодействия (Ес) двух точечных зарядов дает-
ся формулой:
г _ 0102
с 4тсее0г ’
(2.6)
где £ — диэлектрическая проницаемость среды, е0 — электрическая постоян-
ная, qx и q2 — величины зарядов, г — расстояние между зарядами. Следующее
по важности электростатическое взаимодействие между заряженными моле-
кулами — ион-дипольное. Энергия взаимодействия (£р) между диполем (р)
и точечным зарядом (#) дается выражением:
ЕР
(4ле0)23£7г2 ’
(2.7)
где кТ — средняя тепловая энергия. Сходным образом определяется энергия
взаимодействия между двумя уединенными диполями (£рр):
Р1Р2К
рр 4ле0г3 ’
(2.8)
где К — константа. Электростатические взаимодействия более высоких по-
рядков (квадрупольные и т.д.) также возможны, но дают постепенно убываю-
щие вклады в силу взаимодействия в большинстве случаев, представляющих
интерес для биологии.
Энергия ионной связи между молекулами имеет энергию обычно порядка
-500 кДж/моль. Электростатические силы определяют биохимические свой-
2.3. Электростатика V- 37
ства очень многих биомолекул и являются важнейшим дальнодействующим
взаимодействием (рисунок 2.6).
Рис. 2.6. Схематическое изображение молекулярных систем, в которых меж-
молекулярные силы обусловлены, в основном, электростатическими
взаимодействиями: нуклеиновые кислоты (а); нуклеиновые кислоты (б)
и белки; агрегация белков (в) и протеогликанов (г)
2.3.2. Экранированное электростатические взаимодействие
В водном растворе вокруг заряженных групп образуется
двойной электрический слой (рисунок 2.7), который экранирует заряды
и в значительной мере определяет результирующее электростатическое вза-
имодействие. Представление об экранировании зарядов позволяет сложную
задачу многих тел, включающую в себя два сильно заряженных объекта,
помещенных, в электролит, содержащий многие миллиардов малых ионов,
свести к простой задаче взаимодействия двух сильно заряженных тел с мо-
дифицированным потенциалом. Заряжение поверхности в жидкости может
происходить двумя способами: либо при диссоциации поверхностных групп,
либо при адсорбции ионов на поверхности. Например, поверхностная кар-
боксильная группа приобретает заряд при диссоциации:
-СООН -> -СОО- + н+
в результате чего поверхность заряжается отрицательно и высвобождается
энергия примерно равная 14 АТ. Адсорбция иона из раствора исходно неза-
ряженной или несущей заряд противоположный заряду иона поверхностью
(например, связывание Са2+ отрицательно заряженным белком) может при-
вести к положительному заряжению этой поверхности.
Химический потенциал (//, свободная энергия Гиббса, приходящая-
ся на одну молекулу) для двойного электрического слоя, окружающего
заряженную группу в водном растворе, представляет собой сумму двух
членов:
|1 = zey + kT Igp ,
(2.9)
38 -l\, Глава 2. Мезоскопические силы
где \|/ — электростатический потенциал, р — концентрация (шт. в ед. объема)
противоионов, кТ — тепловая энергия, z — валентность заряженных групп
на молекуле, е — элементарный заряд. Первый член этого выражения со-
ответствует электростатической энергии, а второй — энтропийному вкладу
противоионов. Выражение для химического потенциала (2.9) согласуется с
распределением Больцмана для противоионов (р) и может быть переписано
в виде:
р = рое~^/кТ,
(2.Ю)
где величина р0 связана с химическим потенциалом:
Отрицательно
заряженная
поверхность
Противоион
Вода
Коион
Диффузный
слой противоионов
Рис. 2.7. Распределение противоионов в двойном электрическом слое вблизи
отрицательно заряженной поверхности
р0=е^г. (2.11)
Одно из фундаментальных соотношений теории электромагнетизма из-
вестно как уравнение Пуассона в электростатике. Оно связывает потенциал
(у) с концентрацией свободных ионов (Pfreeion), помещенных в диэлектрик
на расстоянии х от заряженной поверхности:
d2y
£/•£() ,2 Pfreeion’ (2.12)
dx
где е0 — электрическая постоянная, ег — диэлектрическая проницаемость
диэлектрика (например, воды), в который погружены ионы. Для простоты
приведено одномерное уравнение Пуассона, в котором х — расстояние до
поверхности. Объединение уравнения Пуассона с распределением Больцмана
для энергий ионов дает уравнение Пуассона-Больцмана (ПБ)‘.
= _ ^еР e-&vikT (2.13)
dx2 егео
2.3. Электростатика V- 39
Уравнение ПБ можно решить относительно потенциала (\|0, затем можно
вычислить напряженность поля (Е = -Зу/Эх) и концентрацию противоио-
нов (р) в любой точке в зазоре между двумя плоскими поверхностями. На
рисунке 2.8 схематически представлена зависимость концентраций коионов
и противоионов от расстояния до
плоскости.
Существуют некоторые ограни-
чения на применимость уравнения
ПБ при малых величинах зазоров,
которые обусловлены следующими
факторами: корреляцией электро-
нов (электронные орбитали стано-
вятся коррелированными), конеч-
ностью размеров ионов (ионы не
являются точечными зарядами),
силами изображения (резкие гра-
Рис. 2.8. Концентрация противоионов
и коионов в зависимости от расстояния
до заряженной плоскости в воде
ницы диэлектриков влияют на вид
решений уравнений электродинамики), дискретностью поверхностного за-
ряда (поверхностный заряд не описывается непрерывным распределением),
эффектами сольватации (молекулы воды взаимодействуют с зарядами). Не-
которые из вопросов будут рассмотрены более подробно в главе 9.
Давление (Р) в зазоре между двумя заряженными поверхностями в водном
растворе (расклинивающее давление) часто можно рассчитать на основании
теоремы о плотности контактов, которая связывает давление с плотностью
контактов (или ионов в нашем случае) в средней плоскости зазора (ps (г)):
P(r) = ^T[ps (г)-р5 (оо)],
(2.14)
где р5 (оо) — концентрация ионов в объемной фазе раствора (вне зазора),
кТ — тепловая энергия, г— расстояние между поверхностями. Силы взаимо-
действия между заряженными поверхностями буду подробнее рассмотрены
в главе 15 в связи с физикой хрящей.
При экранированных электростатических взаимодействиях расклинива-
ющее давление определяется увеличением концентрации ионов на повер-
хностях при их сближении. Упомянутая теорема о числе контактов спра-
ведлива, если нет специфического взаимодействия между противоионами и
поверхностями. Ее применение дает также удовлетворительные результаты
при расчетах других мезоскопических сил, играющих существенную роль
в процессах сольватации, в стерических и осмотических взаимодействиях
полимеров, колебательных (ундуляции) и апериодических (выпячивания)
возмущениях границы раздела фаз.
40 -J\- Глава 2. Мезоскопические силы
Пример. Решение уравнения ПБ для потенциала у в зависимости от рас-
стояния х от заряженной поверхности мембраны имеет вид:
(2.15)
где характерная длина (кг1, дебаевская длина экранирования) определяет сте-
пень экранирования и имеет следующий вид:
„2 WpQ
2erE0kT '
(2.16)
где р0 — плотность заряда на поверхности, г — валентность противоионов,
кТ — тепловая энергия, ег — диэлектрическая проницаемость, е0 — элект-
рическая постоянная.
Каким будет расклинивающее давление (Р) между двумя поверхностями
с плотностью заряда (о), равной 0,4 Кл/м2, размещенными на расстоянии
(Л) 2 нм друг от друга, если величина, обратная дебаевской длине экрани-
рования (к), равна 1,34 109м-1?
Ответ. На основании теоремы о числе контактов и формулы (2.16) сразу
получаем выражение для давления:
р = кТр0 = 2еге0 — к2 = 1.68х106Нм-2 (2.17)
Таким образом, между такими поверхностями действует относительно
высокое давление, эквивалентное 16,6 атм.
2.3.3. Взаимодействие заряженных сфер в растворе
Взаимодействие между коллоидными частицами хорошо опи-
сывается теорией Дерягина-Ландау-Ферввея-Овербека (ДЛФО). Она была
многократно подтверждена с помощью различных экспериментальных ме-
тодик, таких как оптический пинцет, рассеяние света, нейтронография
и рентгеноструктурный анализ, а также в исследованиях коагуляции и по-
верхностных явлений. В этой теории учтены ван-дер-ваальсово притяжение
и расклинивающее давление, при этом считается, что их баланс определя-
ет устойчивость коллоидных систем. Потенциал в теории ДЛФО включает
в себя два члена, один из которых соответствует взаимодействию Ван-дер-
Ваальса, а другой — электростатическому взаимодействию между сфери-
ческими частицами, при этом потенциалы считаются аддитивными (рису-
нок 2.9). Зависимость потенциала (И(г)) от расстояния между частицами (г)
имеет следующий вид:
2.3. Электростатика -J|r 41
(r) = ^121 । 64АТс0Гр ^_кг
В 12лг2 к
где Л121 — постоянная Гамакера для взаимодействия Ван-дер-Ваальса,
ir1 — дебаевская длина экранирования, Сд — концентрация соли в объемной
фазе раствора, Го = tg(#7y/4fcT) > Z — валентность частицы, q — заряд элект-
рона, кТ — тепловая энергия, В — площадь поверхности и \|/ — потенциал
поверхности частицы.
Первый член в правой части (2.18) соответствует потенциалу взаимодей-
ствия Ван-дер-Ваальса, а второй — экранированному электростатическому
потенциалу. Модель ДЛФО прекрасно описывает экспериментальные дан-
ные, полученные для широкого класса систем (рисунок 2.10).
Рис. 2.9. Схематическое изображе-
ние зависимости потенциала теории
ДЛФО от расстояния между двумя
коллоидными частицами. Вторич-
ный минимум на кривой обусловлен
различной зависимостью членов
в правой части (2.18) от расстояния
Рис. 2.10. Совпадение предсказаний теории
ДЛФО с экспериментальными данными по
измерению мезоскопических сил взаимо-
действия между двумя плоскими сапфи-
ровыми поверхностями почти идеальное.
Линии построены для максимального
соответствия модели экспериментальным
данным. [Воспроизведено с разрешения
из: R.G. Horn, D.R. Clarke, М.Т. Clarkson. —
J. Materials Res., 1998, v.3, p. 413-417. Copy-
right Materials Research Society.}
Для ряда коллоидных систем известно, что критическая концентрация
коагуляции (р^) обратно пропорциональна шестой степени валентности (г)
противоионов электролита, то есть р х ос 1/г6 . Полный потенциал взаимо-
действия между двумя сферическими частицами с постоянным поверхно-
стным потенциалом в модели ДЛФО имеет вид:
Гб4тсЛг77?р0Су2) AR
(2.19)
42 Глава 2. Мезоскопические силы
где г — расстояние между частицами, А — постоянная Гамакера, кТ — теп-
ловая энергия, ic1 — дебаевская длина экранирования, у — поверхностный
потенциал, R — радиус коллоидной частицы. Критической концентрации
коагуляции соответствует обращение в нуль и потенциала (РК= 0), и силы
(dW/dr = 0). После подстановки в (2.19) первое условие дает:
к2 э е~кг
— = 384лЛ7гу2 Е—-, (2.20)
Рос
Из равенства нулю производной dW/dr получаем кг = 1, откуда следует,
что потенциал имеет максимум при r= ir1. Это выражение можно подста-
вить в (2.20), что приводит к следующему выражению:
к3 _ 768лЛ7у2 ..
Роо " еА * < 2 }
Из определения дебаевской длины экранирования (2.16) имеем:
к2 - £2^.. (2.22)
Известно, что поверхностный потенциал (у) — величина постоянная при
высоких значениях потенциала (=1). После возведения обеих частей (2.21)
в квадрат, а (2.22) в куб и подстановки полученного из (2.21) выражения в
полученное из (2.22), получим зависимость критической концентрации от
валентности в виде:
г6Россхе3Т5^. (2.23)
/ж
Следовательно, полученная зависимость критической концентрации от
валентности Роо <х 1/г6 полностью совпадает с наблюдаемой в эксперимен-
тах. Таким образом, взаимодействие частиц в модели ДЛФО описывает мак-
роскопический процесс коагуляции.
2.4. СТЕРИЧЕСКИЕ И ФЛУКТУАЦИОННЫЕ СИЛЫ
Ограничения на возможные способы упаковки молекул рас-
творителя за счет геометрии системы приводят к осциллирующей зави-
симости стерических сил, действующих в такой системе, от расстояний,
причем период осцилляции определяется размерами молекул растворите-
ля. Экспериментально эти силы легче всего измерить между двумя гладки-
ми твердыми поверхностями (рисунок 2.11). Например, стерические силы
(/’pack), обусловленные упаковкой молекул растворителя в виде идентичных
твердых сфер между двумя твердыми поверхностями, могут быть выражены
следующим образом:
2.4. Стерические и флуктуационные силы -»и- 43
^packW^COS^je гХ,
(2.24)
где г — расстояние между поверхностями, А — константа, X — диаметр мо-
лекулы растворителя.
Рис. 2.11. Зависимость давления между двумя плоскими поверхностями от рас-
стояния между ними (D). Сила определяется парциальным мольным
объемом растворителя (или исключенным объемом растворителя)
в зазоре между плоскостями, то есть имеет осмотическую природу
Присутствие полимеров вблизи поверхностей также может приводить
к возникновению стерических энтропийных сил, обусловленных изменениями
конформационной энтропии полимерных цепей. В биологических системах
такая энтропийная стабилизация проявляется у гибких молекул белков, рас-
положенных на взаимодействующих мембранах, у белков синовиальной жид-
кости, уменьшающих трение в
суставах, у цепей ДНК, адсорби-
рованных на гистонах. Для того
чтобы стерический механизм
стабилизации был эффективен,
полимер должен принимать
развернутую конформацию, то
есть его конфигурационная ста-
Гибкий
полимер
Рис. 2.12. Стерические силы между двумя
поверхностями обусловлены энтропийным
вкладом в свободную энергию системы за
счет закрепленных на поверхности гибких
цепей полимера.
Твердая
поверхность
тистика должна соответствовать
условию хорошего растворите-
ля. Дальность действия стери-
ческих сил зависит от расстоя-
ния от поверхности, на которое
простирается полимерная цепь
(рисунок 2.12). В биологических системах полимерные цепи, обеспечива-
ющие стерическую стабилизацию поверхности, либо адсорбируются на по-
верхность из раствора, либо прикрепляются к ней с помощью специальных
ферментов.
44 _l\, Глава 2. Мезоскопические силы
Для стабилизированных полимерами систем поверхностная плотность
энергии отталкивания спадает с расстоянием приблизительно экспоненци-
ально:
ИЛ(г)«36Л7е_''/Л*, (2.25)
где R&- невозмущенный радиус инерции полимерной цепи, г — расстояние
между поверхностями. Зависимость стерической силы от расстояния между
двумя пластинками слюды со связанными с ними полимерными цепями в
хорошем растворителе приведена на рисунке 2.13.
Расстояние между
поверхностями (нм)
Хороший
растворитель
Плохой
растворитель
Рис. 2.13. Сила между двумя поверхностями, на которых адсорбированы молекулы
полимера, в хорошем и плохом растворителях. Дальность взаимодейс-
твия возрастает с увеличением молекулярной массы (Mw) адсорбиро-
ванного полимера. Экспериментальные данные получены с помощью
методики измерения сил взаимодействия между поверхностями.
[Воспроизведено с разрешения из: G. Hadzioannu, G. Patel, S. Garnik,
M. Tirrel. — J. Am. Chem. Soc., 1986, v.108, p. 2869-2876. Copyright Ameri-
can Chemical Society.]
При сближении мембран между ними возникают стерические силы от-
талкивания как результат флуктуаций мембранных структур. Эти силы, на-
зываемые мембранными (ундуляционными), имеют энтропийную природу
(рисунок 2.14). Расклинивающее давление (Р (г)) между двумя поверхнос-
тями, обусловленное этими силами, можно получить с помощью теоремы
о числе контактов:
Р(г) = ЛТ[р(г)-р(оо)], (2.26)
где р(г) — объемная плотность межмолекулярных контактов, кТ — тепловая
энергия, р(сю) — число молекулярных контактов на бесконечном удалении
(рисунок 2.15).
2.4. Стерические и флуктуационные силы -•V- 45
Для расчета величины стерических ундуляционных сил между двумя мемб-
ранами можно воспользоваться простыми геометрическими соображениями.
Плотность контактов (р(г)) на определенном расстоянии от мембраны (г)
можно положить равной величине обратной объему отдельной моды:
р(г) = 1/(объем моды) = 1/лх2г, (2.27)
где х — радиус контакта. Плотность контактов на бесконечном удалении от
мембраны должна быть равна нулю:
р(оо) = 0. (2.28)
.. Поверхностно-активные молекулы
Рис. 2.14. Силы отталкивания между гибкими мембранами, испытывающими
термические колебания (ундуляции), возникают благодаря межмоле-
кулярным столкновениям
Из простой модели для непрерывной упругой среды для поверхностной
плотности энергии изгибной моды (£^) имеем:
Еь=^, (2.29)
К
где — изгибная жесткость, R — радиус
кривизны мембраны. Каждая изгибная
мода занимает площадь, зависящую от ее
длины волны (тех2). Энергию изгиба мож-
но приравнять к равновесной тепловой
энергии (/с7), что дает:
Этт Y2
кТ ~ ~^2 • (2.30)
Рис. 2.15. Геометрическое по-
строение для расчета величины
ундуляционных сил, испытывае-
мых мембраной
По теореме о хорде из элементарной планиметрии в случае мембраны
имеем:
х2 « 2J&,
(2.31)
46 -II, Глава 2. Мезоскопические силы
Тогда уравнение (2.30) можно переписать в виде:
кТ
4пгкь
~R~
(2.32)
Энтропийная сила, действующая между мембранами, в расчете на еди-
ницу площади (Р (г)) может быть теперь получена из теоремы о числе кон-
тактов (уравнение (2.26)):
Р(г) =
кТ кТ (кТ?
nx2r 2nRr2 kbr3
(2.33)
Такая обратная пропорциональность давления между мембранами кубу
расстояния (г3) между ними была подтверждена экспериментально.
Между сближенными мембранами могут возникать также перистальтические
силы (вследствие гидродинамических причин мембраны на малых расстояниях
могут притягиваться друг к другу — сходное притяжение, обусловленное повер-
хностными волнами, на макроскопическом уровне наблюдается между двумя
судами, идущими параллельными курсами на близком расстоянии друг от друга)
и силы, возникающие между выпячиваниями мембран (протрузионные силы; для
мембран силы, обусловленные исключенным объемом растворителя проявля-
ются только при очень плотном конакте). Эти межмембранные силы обычно
гораздо слабее ундуляционных, но все же могут быть существенными.
2.5. ОСМОТИЧЕСКИЕ СИЛЫ
К мезоскопическим относится также особый вид осмотических
сил (depletion forces), обусловленных эффектом исключенного объема и пред-
ставляющих собой результат совокупного действия фундаментальных сил.
Они особенно наглядно проявляются, когда в водном растворе присутствуют
молекулы полимера и сферические коллоидные частицы. Если из объема рас-
твора, разделяющего коллоидные частицы, исключены молекулы полимера,
то между коллоидными частицами возникают эффективные силы притяже-
ния (рисунок 2.16). Такие взаимодействия проявляются в экспериментах со
смешанными растворами коллоидов и полимеров в виде макроскопического
разделения фаз. Недавно с использованием метода оптического пинцета с
двойной ловушкой было непосредственно экспериментально показано су-
ществование эффекта исключенного объема для двух коллоидных частиц,
помещенных в раствор ДНК (рисунок 2.17).
С точки зрения термодинамики, эффект исключенного объема объяс-
няется тем, что в присутствии молекул полимера активность растворителя
ниже, чем в исключенном объеме, в котором молекул полимера нет, поэтому
возникает сила, приводящая к уменьшению исключенного объема, то есть
к сближению коллоидных частиц (раздел 3.4).
2.5. Осмотические силы -JU 47
Водорастворимый
полимер (напр., ПЭГ)
Сферическая коллоидная
Исключенный частица (напр., глобулярный белок)
Осмотическая объем
сила
Рис. 2.16. Осмотические силы, обусловленные эффектом исключенного объема,
действующие между двумя коллоидными частицами в водном растворе
полимера, например, полиэтиленгликоля (ПЭГ)
Расстояние между частицами (мкм)
Рис. 2.17. Зависимость потенциала взаимодействия, обусловленного эффектом
исключенного объема между двумя кремниевыми сферами диаметром
1,25 мкм, от концентрации ДНК в сильно разбавленном (а) и раз-
бавленном (б) растворах, полученная с помощью метода оптического
пинцета с двойной ловушкой. [Воспроизведено с разрешения из:
R. Verna, J.C. Crocker, Т.С. Lubensky, A.G. Yodh. Macromolecules, 2000,
v. 33, p. 177-186. Copyright American Chemical Society.]
48 _l\, Глава 2. Мезоскопические силы
При низкой концентрации полимера в коллоидном растворе осмотиче-
ское давление (П) пропорционально концентрации полимерных цепей (N/V)
каждая из которых дает вклад, равный кТ в величину давления:
П = у*7-.
(2.34)
Это давление аналогично давлению идеального газа, описываемого уравнени-
ем Менделеева-Клапейрона (Р= NRT/V, где R — универсальная газовая посто-
янная). Исключенный, то есть недоступный для молекул полимера, объем при-
водит к возникновению силы (/jep), которая приблизительно пропорциональна
произведению осмотического давления на величину этого объема (Р^ер):
4 1
Л1ер = -П rdep = -П з nR*, (2.35)
где 7?g — радиус инерции молекулы полимера. Таким образом, для увеличе-
ния осмотической силы требуются большая молекулярная масса полимера
и его высокая концентрация в растворе. Уравнение (2.35) было впервые
экспериментально проверено путем измерения силы притяжения между
двумя бислойными липидными мембранами в растворе декстрана. В общем
случае внутри клетки может возникать иерархическая система исключенных
объемов для разных внутриклеточных компонентов, порождающая сложную
систему сил взаимодействия между ними.
2.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Каждый вид мезоскопичеких сил, рассмотренных в преды-
дущем разделе, имеет характерное время действия, поскольку эти силы
не могут возникать мгновенно. Поэтому, чтобы получить реалистические
оценки потенциалов взаимодействия, необходимо учитывать динамику
компонентов каждой системы (например, растворителей, ионных обла-
ков, нитей полимеров). Следовательно, для более точного рассмотрения
мезоскопических сил нужно найти способы оценки их зависимости от
времени.
2.7. ПРЯМОЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МЕЖМОЛЕКУЛЯРНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ
Для измерения межмолекулярных сил используются разнооб-
разные экспериментальные методы, основанные на небольшом количестве
физических принципов (рисунок 2.18). Здесь мы рассмотрим некоторые на-
иболее важные из этих принципов.
2.7. Прямое экспериментальное определение межмолекулярных и поверхностных сил -*и* 49
Термодинамические свойства (фазовые диаграммы PVT)
Термодинамические данные для растворов (устойчивость фаз)
Добавление соли
Стабильный
Коагуляция
коллоидный раствор
Рис. 2.18. Разнообразные методы измерения межмолекулярных сил
50 -JU Глава 2. Мезоскопические силы
Эксперименты по адгезии
Липкая сфера
Кантилевер атомного
силового микроскопа (АСМ)
Твердый субстрат
Прямое измерение силы (оптический пинцет)
Лазерный пучок
Частица в ловушке
Исследования поверхности
Отражение света
Отраженное излучение
Поверхностный слой
Субстрат
Краевой угол
Субстрат
Рис. 2.18. (Продолжение)
Термодинамические свойства газов, жидкостей и твердых тел (фазо-
вые диаграммы «давление-объем-температура», точки кипения, скрытая
теплота испарения, энергия решетки) дают важную информацию о близ-
кодействующих взаимодействиях между молекулами. Сходным образом
изотермы адсорбции дают информацию о взаимодействии молекул с по-
верхностью.
Ряд прямых физических методов в применении к газам, жидкостям и твер-
дым телам (например, рассеяние молекулярных пучков, измерение вязкое-
Дополнительная литература -*v- 51
ти, диффузии, сжимаемости, методы ЯМР, рентгеноструктурного анализа и
нейтронографии) позволяют получить информацию о близкодействующих
взаимодействиях молекул, особенно приводящих к их отталкиванию. Чув-
ствительный метод определения свойств гидратированных молекул состоит
в одновременном использовании рассеяния рентгеновских лучей и измере-
нии осмотического давления. Это позволяет бесконтактно измерять межмо-
лекулярные силы порядка 10-12 Н.
Термодинамические данные для растворов (фазовые диаграммы, раствори-
мость, распределение между фазами, смешиваемость, осмотическое давле-
ние) содержат информацию о близкодействующих взаимодействиях молекул
растворенного вещества между собой и с молекулами растворителя. В случае
коллоидных дисперсий такую информацию дает изучение зависимости ко-
агуляции от концентрации соли, pH и температуры.
Эксперименты по адгезии дают информацию о силах взаимодействия ча-
стиц с поверхностью и сил сцепления поверхностей при контакте.
Полностью охарактеризовать силы взаимодействия между поверхностями
двух макро- или микроскопических объектов позволяют непосредственные
измерения этих сил в зависимости от расстояния между объектами с помо-
щью приборов для измерения поверхностных сил, оптических или магнит-
ных пинцетов, атомного силового микроскопа (АСМ).
Исследование поверхностных явлений, таких как поверхностное натяже-
ние и угол смачивания, позволяет оценить энергии взаимодействия молекул
жидкости между собой и твердым телом. Сходным образом, изучение отра-
жательной способности (для нейтронов, рентгеновских лучей и света) дает
важную информацию об энергии поверхности. С помощью ленгмюровских
ванн (весов Вильгельми) с использованием интерферометрических методов
можно определить толщину пленок поверхностно-активных веществ и пле-
нок жидкости на поверхности твердого тела в зависимости от концентрации
солей или давления пара, что также дает непосредственную информацию о
потенциалах взаимодействия поверхностей.
Гидродинамические исследования жидкостей могут быть проведены с
помощью методов ядерного магнитного резонанса (ЯМР), упругого и неуп-
ругого рассеяния света, нейтронов и рентгеновских лучей. Эти методы осо-
бенно полезны при изучении гидродинамических эффектов, приводящих к
зависимости мезоскопических сил от времени.
Дополнительная литература
Israelachvili J. Intermolecular and surface forces. — Academic Press, 1992. — Клас-
сическое исследование мезоскопических сил.
Evans S.F., Wennerstrom H. The colloidal domain. — John Wiley&Sons Ltd, 1994. —
Подробно рассмотрены взаимодействия в коллоидных системах.
52 _l\, Глава 2. Мезоскопические силы
Tabor D. Solids, liquids and gases. — Cambridge University Press, 1991. — Простое
и четкое изложение явлений в конденсирванных средах.
Barrat J.L;, Hansen J.P. Basic concepts for simple and complex fluids. — Cambridge
University Press, 2003. — Математический подход к проблемам физики жидкого
состояния.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
2.1. Взаимодействие двух атомов в равновесном состоянии описывается по-
тенциалом Леннарда-Джонса
\(г V2 (г ^61
£(г) = £ -0- - — ,
Г ) ( Г )
Константа взаимодействия (е) равна 0,8-10“18Дж, а равновесное расстоя-
ние (г0) составляет 0,33 нм. Какая сила будет действовать на атомы, если их
сблизить на половину равновесного расстояния?
2.2. Чему равна дебаевская длина экранирования в растворах хлорида натрия
с концентрациями 0,001, 0,01, 0,1 и 1 М? Собственная константа диссоциации
воды примерно равна 10“14. Чему равна дебаевская длина экранирования в
растворах соли двухвалентного металла (напр., хлорида магния, MgCl2) при
тех же концентрациях? Чему равна дебаевская длина экранирования в стан-
дартных физиологических условиях (концентрация соли 0,1 М)?
2.3. Заряженная молекула полимера может принимать как глобулярную, так
и развернутую линейную конформации. Предполагается, что заряд сохра-
няется при изменении конформации молекулы, а в растворе концентрация
соли мала, поэтому нет экранирования. При какой конформации потенциал
уменьшается с расстоянием от молекулы быстрее? Как изменится зависи-
мость потенциала от расстояния по сравнению с глобулой и линейной це-
пью, если заряд равномерно распределен по плоскости?
2.4. К поверхности заряженных сферических вирусных частиц прикреплены
полимерные цепи, например, полиэтиленгликоля. При каком расстоянии
между частицами энтропийные силы, обусловленные взаимодействием це-
пей полимеров, станут значительными по сравнению с силами электроста-
тического отталкивания?
ГЛАВА
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
3
Каждый сталкивался с фазовыми переходами в повседневной
жизни. Это и кипящий чайник (фазовый переход жидкость-пар) и тающая
восковая свеча (фазовый переход твердое тело-жидкость). С точки зрения
молекулярной структуры фазовые переходы почти всегда представляют со-
бой переход из более упорядоченного состояния в менее упорядоченное.
Фазы могут быть как в равновесии, так и в неравновесном состоянии, если
в системе происходят изменения со временем.
3.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
В равновесном состоянии вещество может одновременно су-
ществовать в нескольких фазах. Для определения относительных количеств
вещества в той или иной фазе необходимо знать его фазовую диаграмму.
Обычные и всем знакомые агрегатные состояния вещества — это кристал-
лическое (регулярная несжимаемая решетка), жидкое (нерегулярная несжи-
маемая решетка) и газообразное (нерегулярная сжимаемая решетка). Однако
существуют и другие, менее обычные фазовые состояния вещества, такие как
аморфное твердое состояние, резины и стекла. В биологии часто встречаются
жидкие кристаллы и гели, которые также представляют собой особые термо-
динамические состояния вещества. Более экзотические примеры изменения
фазового состояния, которые будут рассмотрены в этой книге, включают в
себя смачивание (напр., капля воды, скатывающаяся по сверхгидрофобной
поверхности листа лотоса) и комплексообразование (напр., компактизация
ДНК в хромосомах). Диапазон возможных фазовых состояний биологичес-
ких молекул чрезвычайно широк.
Прежде чем перейти к рассмотрению фазовых переходов в биофизичес-
ких системах, напомним некоторые сведения о фазовых переходах из общего
курса физики. Два состояния, между которыми возможен фазовый переход
первого рода, различны и им соответствуют различные области термодина-
54 —’ v- Глава 3. Фазовые переходы
мического конфигурационного пространства. При фазовом переходе первого
рода в изменениях всех зависящих от параметров состояния термодинамичес-
ких переменных, кроме свободной энергии, наблюдается разрыв. В отличие
от переходов первого рода, состояния, между которыми происходит фазовый
переход второго рода, образуют непрерывную область в термодинамическом
конфигурационном пространстве. В этих непрерывных фазовых переходах
(2-го, 3-го, 4-го и т.д. родов) термодинамические перемены, зависящие от
параметров состояния, такие как теплоемкость, сжимаемость, поверхност-
ное натяжение, расходятся или стремятся к нулю при приближении пара-
метров состояния к точке перехода, например, при приближении темпера-
туры к критической температуре перехода (Гс). Эти расходимости вблизи
критической точки для непрерывных фазовых переходов всегда имеют один
и тот же функциональный вид. Так, например, зависимость теплоемкости
(Cv, теплоемкость при постоянном объеме) от температуры в окрестности
точки перехода имеет вид Cv ~ (Т — Т^г^. При этом показатель степени а
имеет универсальный характер и зависит от рода и симметрии фазового пе-
рехода, но не зависит от природы компонент системы.
Различия между фазовыми переходами первого и второго рода можно
продемонстрировать на примере изменений теплоемкости (Cv) и энтальпии
(Я) с температурой (рисунок 3.1). Разрыв при переходе первого рода здесь
очевиден.
Правило фаз Гиббса позволяет определить число независимых переменных,
необходимых для описания системы при фазовом равновесии. Рассмотрим
идеальный газ, состояние которого определяется объемом (V), числом ча-
стиц (л), давлением (Р) и температурой (7). Уравнение состояния (F) — не-
которая функциональная зависимость этих четырех параметров, определяю-
щая условия существования этой системы. Математически она выражается
следующим образом:
F(V,n,P,T) = Q. (3.1)
В случае идеального газа это хорошо известное уравнение Менеделеева-
Клапейрона, которое в форме Ван-дер-Ваальса имеет вид:
PV
<3'2>
где R — универсальная газовая постоянная. Таким образом, только три из
четырех параметров состояния являются независимыми, а четвертый явля-
ется зависимым и может быть получен из уравнения (3.1). В общем случае
правило фаз Гиббса устанавливает, что число термодинамических степеней
свободы системы (f, число независимых интенсивных переменных с учетом
всех возможных ограничений), число одновременно сосуществующих фаз
(р) и число компонентов системы (с) связаны соотношением:
3.1. Основы теории -»v- 55
f + р = с + 2.
(3.3)
Это правило, которое может быть доказано на основе общих термоди-
намических принципов, очень полезно для предсказания поведения много-
компонентной коллоидной системы при фазовых переходах.
Рис. 3.1. Зависимости энтальпии (Н) и теплоемкости (Cv) от температуры при
фазовых переходах первого рода и непрерывных фазовых переходах
(второго рода и т.д.)
Для более точного описания фазовых переходов удобно ввести так назы-
ваемый параметр порядка. Параметр порядка равен нулю в неупорядочен-
ной фазе и принимает некоторое конечное значение при упорядочивании.
По его зависимости от температуры (или от другого независимого парамет-
ра состояния, например, давления, объема и т.п.) можно судить о природе
фазового перехода. Для описания фазовых переходов в биологических сис-
темах удобно использовать параметры порядка, зависящие от плотности,
объема образца и степени ориентации молекул. Ориентационные параметры
порядка чрезвычайно важны для понимания физики фазовых переходов в
жидкокристаллических фазах и будут рассмотрены в главе 4.
Детальные исследования непрерывных фазовых переходов были прове-
дены во второй половине XX в. В окрестности характеристической (крити-
ческой) точки перехода поведение всех веществ, претерпевающих непре-
рывный фазовый переход, имеет универсальный характер, определяемый
только симметрией фаз системы. Поэтому непрерывные фазовые переходы
56 -*V- Глава 3. Фазовые переходы
характеризуются только показателями в степенной зависимости, описыва-
ющей расходимость параметров порядка при приближении к критической
температуре фазового перехода.
Для непрерывных фазовых переходов в критической точке расходятся или
становятся равными нулю ограниченное число термодинамических функций.
Например, зависимость теплоемкости (Cv) от температуры вблизи точки пе-
рехода (Тс, рисунок 3.1) описывается уравнениями:
Т>ТС (34)
-Г)-” т<тс
где А — постоянная, Т — температура, а — критический индекс (показатель)
перехода. Критический показатель степени один и тот же при приближении
к точке перехода как сверху, так и снизу.
Для перехода газ-жидкость расходимость плотности (р) описывается та-
кой же зависимостью с показателем р при приближении к критической тем-
пературе перехода (Гс):
р(жидкость) - р(газ) = В (Тс - Т/ , (3.5)
где В — константа, Т — температура. Экспериментально это можно на-
блюдать при помощи прозрачного сосуда, заполненного субкритической
жидкостью. Все растворенные газы (которые маскируют эффект) должны
быть предварительно удалены из жидкости. При приближении к точке фа-
зового перехода газ-жидкость второго рода жидкость становится похожей на
молоко из-за больших флуктуаций плотности (параметра порядка), вблизи
критической точки (точки кипения жидкости). Флуктуации плотности могут
быть выражены через сжимаемость (к) жидкости (характеризующую степень
изменения объема системы Кпри изменении внешнего давления Р), которая
также расходится в точке перехода:
K = -^[^] = £(T-TC)-V, (3.6)
где Е — постоянная, v — критический показатель. Выражение для сжимаемости
справедливо для температур выше температуры перехода (Т > Тс). Описанное
выше оптическое проявление больших флуктуаций плотности получило название
критической опалесценции. При этом жидкость теряет прозрачность из-за того,
что при приближении к точке перехода большие флуктуации плотности при-
водят к увеличению светорассеяния. Длина корреляции для размеров областей
флуктуаций плотности также расходится в этой точке.
Другой пример непрерывного фазового перехода относится к поверхност-
ным явлениям. Поверхностное натяжение (у) между двумя жидкими фазами
3.1. Основы теории -»V" 57
уменьшается до нуля при приближении к температуре критической точки
(7^), при этом толщина переходной зоны расходится:
( Т )И
Y = Yo[l-^] , (3.7)
где ц — еще один критический показатель, а у0 — среднее поверхностное
натяжение. Таким образом, фазовые переходы могут наблюдаться не только
в объемных (трехмерных) системах.
Непрерывные фазовые переходы могут наблюдаться в системах, в ко-
торых существенны эффекты конечных размеров элементов (образование
малых липидных везикул приводит к размытию критической концентрации
мицелообразования), в системах, содержащих неоднородности или приме-
си, уширяющие фазовый переход, а также в системах, в которых времена
релаксации к равновесному состоянию велики по сравнению с временем
наблюдения (например, стеклование полимеров, раздел 12.3). В этой главе
мы подробнее рассмотрим ряд фазовых переходов, играющих важную роль
в молекулярной биофизике: переходы спираль-клубок и клубок-глобула, крис-
таллизация и расслоение жидкостей.
Рис. 3.2. Схематическое изображение перехода спираль-клубок для одиночной {а)
и двойной (б) спиралей
ПЕРЕХОД СПИРАЛЬ-КЛУБОК
Переходы спираль-клубок происходят в биологических систе-
мах в различных ситуациях, и в них участвуют самые разные биологические
молекулы, такие как углеводы, белки, нуклеиновые кислоты. В естественных
условиях часто наблюдаются обратимые переходы этого типа с участием как
одиночных, так и двойных спиралей (рисунок 3.2). Цепи полимеров могут
быть переведены из состояния спирали в состояние неупорядоченного клуб-
ка при изменениях таких параметров системы, как температура, качество
растворителя, pH раствора.
58 -*V- Глава 3. Фазовые переходы
Наиболее простой количественной моделью, описывающей термодина-
мику перехода спираль-клубок, является модель застежки «молния» (рису-
нок 3.3). Определим константу равновесия s для процесса добавления ново-
го звена цепи к концу существующего спирального фрагмента полимерной
цепи следующим образом:
... cchhhhcc...
...cchhhccc... ’
(3.8)
где h обозначает спиральное состояние звена, с — неупорядоченное со-
стояние, а подчеркиванием выделено звено, для которого рассматривается
процесс перехода из неупорядоченного состояния в спирализованное.
Константа равновесия (5) относится к процессу удлинения спирального
фрагмента полимерной цепи при условии, что его зародыш уже имеется.
Стадия возникновения зародыша спирального фрагмента в гибкой цепи
характеризуется другой константой равновесия о, которая определяется
соотношением
...cchcc...
S = ------=-----.
...ссссс...
(3.9)
к звеньев
п звеньев
Рис. 3.3. Модель застежки «молния» для а-спирали представляет собой фрагмент
из к звеньев в спиральном состоянии, расположенный в каком-либо
месте цепи, состоящей из п мономеров и содержащей, таким образом,
(п — к) звеньев в состоянии клубка
Статистическую сумму для перехода спираль клубок в гибкой цепи, со-
стоящей из п звеньев, можно представить в виде (см. вставку):
п
Z = \ + ^kosk,
к=\
(3.10)
где Пк — число способов, которыми фрагмент из к звеньев в спиральном
состоянии может быть размещен в цепи из п мономеров. Значения Пк легко
подсчитать:
= (п - к +1).
(3.13)
3.2. Переход спираль-клубок -*Ъ- 59
Статистическая сумма (2) является основным понятием в статисти-
ческой физике. Через нее выражаются важнейшие характеристики ста-
тистических систем.
1. Статистическая сумма непосредственно связана со свободной энер-
гией (/) и температурой системы: -F/kT = InZ, где kT соответствует
тепловой энергии.
2. Вероятность р (Е) того, что система находится в состоянии с энер-
гией Ej, равна
р-Е,/кТ
p(Ei)=e-—. (3.11)
3. Зная вероятности состояний, можно найти средние значения фи-
зических величин, характеризующих систему, например:
\^e~Ei/kTE-
= ^/p(Ei)Ei = . (3.12)
Степень спиральности (6) цепи может быть легко определена экспери-
ментально с помощью таких методов, как поляриметрия, дифракция рент-
геновских лучей или ЯМР. Степень спиральности определяется просто как
отношение числа мономеров в спиральном состоянии (к) к полному числу
звеньев в цепи (и):
6 = -. (3.14)
п
Степень спиральности, предсказываемая рассмотренной выше моделью,
может быть рассчитана на основе статистической суммы, приведенной в
выражении (3.10), следующим образом:
e = l<9inZ (315)
п 9 In 5
Результаты расчетов по модели застежки «молния» хорошо согласуются
с экспериментальными данными, полученными для коротких а-спиральных
цепей (рисунок 3.4). Однако эта модель не подходит для длинных цепей,
поскольку из-за термодинамических флуктуаций в спиральных фрагментах
могут появляться участки со структурой статистических клубков. Статисти-
ческая сумма для этой модели не учитывает такую возможность, поэтому не
пригодна для описания длинных цепей.
Более сложная модель Зимма-Брэгга (Изинга) учитывает флуктуации
спиральности вдоль цепи. Как и раньше, вследствие кооперативной приро-
ды спиральной конформации, предполагается, что каждое звено находится
60
—Глава 3. Фазовые переходы
в одном из двух возможных дискретных состояний, соответствующих либо
спиральной, либо клубковой конформации. Граница между спиралью и
клубком имеет большую положительную свободную энергию (Д/), которая
приводит к энергетической выгодности длинных спиральных участков. В
модели используются два параметра Зимма-Брэгга, 5 и о, имеющие смысл
статистических весов состояний:
5 = ехр(-Д/5/Г) о = ехр(-2Д/5/Г) (3.16)
где Д/ — изменение свободной энергии при увеличении количества звеньев
в спиральном состоянии на одно, bfs — изменение свободной энергии при
появлении зародыша (нуклеации) нового спирального участка, Т — темпе-
ратура. Для естественных биополимеров статистический вес нуклеации (о)
обычно очень мал и имеет порядок ~10“3 — 10-4. Модель Зимма-Брэгга пред-
ставляет собой простой метод огрубления (крупноячеистого рассмотрения)
сложной сетки водородных связей, необходимых для образования спирали
(включая их трехмерную геометрию), и очень хорошо описывает термоди-
намику фазового перехода.
Рис. 3.4. Согласие модели застежки «молния» с экспериментальными данными
для двух значений длины цепи: N= 26 и N= 1500. Полипептид образует
а-спираль при высокой температуре. (Воспроизведено с разрешения из:
Zimm В.Н., Bragg J.K.J. Chem. Phys. 1959, v. 31, p. 526. Copyright: American
Institute of Physics)
Функция распределения для модели Зимма-Брэгга сложнее, чем для моде-
ли застежки, поэтому анализ поведения модели возможен только численными
методами (рисунки 3.5 и 3.6). Показано, что для однонитевого гомополимера
переход спираль-клубок происходит в очень узком интервале температур,
и его ширина уменьшается при уменьшении параметра кооперативности
3.2. Переход спиралъ^клубок -*\г 61
(о). Средние длины спиральных и денатурированных (клубковых) участков
конечны и не зависят от длины полимерной цепи (N) даже в предельном
случае, когда она стремится к бесконечности.
Вероятность
удлинения
(спирали)
Рис. 3.5. Зависимость степени спиральности (0) от статистического веса
спирального состояния (5) в модели Зимма-Брэгга для перехода спи-
раль-клубок (ASj и Д$2 — ширины переходов при низкой и высокой
кооперативности, соответственно)
Зависимость степени спиральности (0), определенной уравнением (3.14),
от параметра кооперативности (о = 1 соответствует отсутствию коопера-
тивности, а о « 1 — сильной кооперативности) для модели Зимма-Брэгга
показана на рис. 3.5. Кривая 1 соответствует слабой, а кривая 2 — сильной
кооперативности. Для биополимеров обычно характерна высокая коопера-
тивность.
Полная фазовая диаграмма спиральной цепи с участками денатурации
в модели Зимма-Брэгга приведена на рис. 3.6. Для такой цепи возможны
несколько различных фазовых состояний, таких как стохастическая цепь,
цепи, представляющие собой чередующиеся спиральные и клубковые учас-
тки, смесь стохастических цепей и цепей с одним спирализованным участ-
ком, спиральные цепи с денатурированными (неупорядоченными) концами.
Фазовая диаграмма получается достаточно богатой даже для такой простой
идеализированной системы. Результаты экспериментальных исследований,
проведенных на одиночных молекулах, находятся в разумном согласии с
этой теорией.
Несмотря на то, что переход спираль-клубок часто рассматривают как
процесс плавления (имеющий скрытую теплоту перехода, которую можно
измерить методом дифференциальной сканирующей микрокалориметрии),
его нельзя считать истинным термодинамическим фазовым переходом. В
одномерной системе равновесное сосуществование двух макроскопических
фаз запрещено теоремой Ландау. Теорема Ландау является следствием того,
62 -* V- Глава 3. Фазовые переходы
что в одномерной системе разделение фаз связано с очень незначительным
изменением энергии системы. По этой причине в одномерной системе не
могут происходить истинные фазовые переходы. Для короткой цепи шири-
на перехода спираль-клубок становится аномально большой из-за сильного
влияния концов цепи.
ю
Стохастические цепи
Спирали, иногда имеющие
неупорядоченные концы
Стохастические цепи и цепи
с одним спиральным участком
Рис. 3.6. Диаграмма фазовых состояний спиральной цепи в модели Зимма-Брэгга
при о= 10^; п — длина цепи, s — статистический вес спирального состо-
яния. (Воспроизведено с разрешения из: Zimm В.Н., Bragg J. — J. Chem.
Phys. 1959, v. 31, p. 526. Copyright American Institute of Physics)
1000
100
10 I-
Спирали со случайными
денатурированными участками
и неупорядоченными концами
Спирали с чередующимися спиральными
и денатурированными участками
Переход спираль-клубок в заряженных полимерах, например, в ДНК,
может быть вызван изменением pH среды. В этом случае переход сопро-
вождается резким изменением среднего заряда спиральной молекулы, что
является основой для еше одного экспериментального метода исследования
ее фазового поведения. Однако связывание противоионов с заряженными
полимерами (вообще, взаимодействие заряженных полимеров с облаками
противоионов) имеет ряд тонкостей, к которым мы вернемся в главе 9 и без
которых невозможно количественное описание рассматриваемых явлений.
Фазовые переходы двойных спиралей несколько отличаются от перехо-
дов в одинарных спиралях. При переходе двойная спираль-клубок внутренние
клубковые области полимера образуют петли. По сравнению с однонитевым
полимером для перехода двойная спираль-клубок характерна повышенная
кооперативность, обусловленная сильной энтропийной невыгодностью су-
ществования длинных петель. Этот фактор приводит к резкому обострению
3.2. Переход спираль-клубок 63
перехода двойная спираль-клубок, и расчет показывает, что в этом случае
его можно рассматривать как истинный фазовый переход.
С помощью модифицированной модели Зимма-Брэгга могут быть опи-
саны и другие перестройки вторичной структуры полимеров. Она дает удов-
летворительное описание образования p-структур, однако и в этом случае
необходимо тщательно учитывать зарядовые эффекты.
У гетерополимеров константы спиральности каждого звена зависят от его
химической природы, поэтому характер перехода спираль-клубок зависит от
первичной структуры полимера. Такая модель больше подходит для природ-
ных нуклеиновых кислот (четыре варианта мономера) и белков (в качестве
мономеров могут включать двадцать аминокислот). В реальном гетерополи-
мере переход спираль-клубок состоит в последовательном плавлении опреде-
ленных спиральных участков, в первичной структуре которых концентрации
звеньев с низкой температурой плавления превышают среднюю. Для описа-
ния таких переходов используют более сложные варианты модели Зимма-
Брэгга, которые дают удовлетворительное согласие с экспериментом. Таким
образом, статистическое описание переходов спираль-клубок и р-структура-
клубок является одним из достижений молекулярной биофизики.
3.3. ПЕРЕХОД КЛУБОК-ГЛОБУЛА
Известно множество экспериментальных данных, подтверж-
дающих существование переходов клубок-глобула. Так, при уменьшении
температуры длинные цепи многих полимеров сжимаются в плотную сфе-
рическую глобулу из-за того, что при уменьшении температуры изменяется
качество растворителя (рис. 3.7.). Наиболее наглядные количественные дан-
ные по переходу клубок-глобула были получены с помощью флуоресцентной
микроскопии на молекулах ДНК. ДНК, содержащая флуоресцентную метку,
хорошо видна под оптическим микроскопом, и резкий переход между раз-
вернутым и свернутым состояниями, вызванный изменениями сил притяже-
ния между мономерами, например, при введении в раствор положительных
многовалентных противоионов, также легко регистрируется. Кроме того,
данные, полученные с помощью рассеяния видимого света и рентгеновских
лучей, динамического рассеяния света, дифференциальной сканирующей
микрокалориметрии, электронной и атомной силовой микроскопии, указы-
вают на то, что у макромолекул существует фазовый переход в глобулярное
состояние. Переход клубок-глобула тесно связан с такими явлениями, как
формирование структуры белка (фолдинг) и компактизация ядерной ДНК,
поэтому он имеет большое биологическое значение.
Коэффициент набухания (а), который часто используется как параметр
порядка при описании переходов клубок-глобула, определяется как отноше-
64 —• V Глава 3. Фазовые переходы
ние радиуса инерции (7?) цепи к невозмущенному радиусу инерции клубка:
а = R/Rq . О радиусе инерции будет подробно рассказано в главе 8. При
сжатии молекулы а меньше единицы (а< 1, плохой растворитель), а когда
молекула набухает а больше единицы (а > 1, хороший растворитель). Было
показано, что переход клубок-глобула является фазовым переходом первого
рода; наблюдается резкое изменение а при изменениях температуры, качес-
тва растворителя или давления.
Снижение
температуры,
качества
растворителя
-------------►
или увеличение
давления
Глобула
Рис. 3.7. Схематическое изображение перехода клубок-глобула для одиночной
цепи, который может быть вызван снижением температуры, ухудшением
качества растворителя или увеличением давления
Энтропийная составляющая свободной энергии (Fent) при набухании клуб-
ка в а раз может быть записана в виде
Fent=-7S(a), (3.17)
где Т — температура, S (а) — энтропия, связанная с набуханием полимер-
ной цепи. Напомним, что полная энергия (F) системы связана с внутренней
энергией (U), температурой (Т) и энтропией (5) соотношением F= U- TS,
известным из элементарной термодинамики. Энергию взаимодействия между
элементами цепи в зависимости от степени ее набухания определим как U(ct).
Тогда свободную энергию перехода глобула-клубок можно представить в виде
сумы двух составляющих — энтропийной (Fent) и энергии взаимодействия
между звеньями (U):
F(a) = Fent(a) + tf(a). (3.18)
Внутреннюю энергию (U) можно разложить в ряд по степеням плотности
мономеров п (так же, как в приближении Ван-дер-Ваальса, которое в случае
•идеального газа дает РУ = nRT):
U = УкТ[п2В + п3С + ...\, (3.19)
где V — объем клубка, кТ — тепловая энергия, В и С — второй и третий
вириальные коэффициенты (соответствующие двойным и тройным столкно-
вениям), которые учитывают притяжение между сегментами цепи. Отрица-
3.3. Переход клубок-глобула 65
тельные значения Я соответствуют притяжению между звеньями цепи, поло-
жительные — отталкиванию. При пренебрежимо малых значениях В (5-0 в
©-растворителе) поведение системы определяет коэффициент С. Плотность
мономеров (л) по порядку величины равна степени полимеризации (N), де-
ленной на размер цепи (R3), то есть n=N/R3, так что уравнение (3.19) можно
переписать в виде:
U ~ R3kT
(3.20)
£
По определению a-R/R(), и в отсутствие возмущений R$ = IN2 (см. раз-
дел 8.1), где /— размер мономера. Поэтому выражение для внутренней энер-
гии можно переписать в виде:
t/(a) = кТ
BN2 С
а3/3 + а6/6
(3.21)
где N — число мономеров в цепи, Ви С —
вириальные коэффициенты.
Для энтропийной составляющей сво-
бодной энергии с помощью простой ста-
тистической модели можно получить:
Fent(a)~ кТ (а2 + а’2). (3.22)
Минимизируя полную свободную энер-
гию (3.18) для перехода глобула-клубок с
учетом выражений (3.20) и (3.22) для энер-
гии внутримолекулярного взаимодействия
и энтропийной составляющей свободной
энергии, можно построить фазовую диа-
грамму полимерной цепи (рис. 3.8). Кон-
денсация цепи происходит, когда второй
вириальный коэффициент отрицателен
Рис. 3.8. Схематическое пред-
ставление зависимости свободной
энергии глобулы гибкой полимер-
ной цепи от степени ее разрыхле-
ния (а). Минимумы соответствуют
состояниям развернутого клубка и
компактной глобулы. При низ-
кой температуре цепь принимает
конформацию глобулы, а при
высокой — конформацию гибкой
развернутой цепи
и достаточно большой по абсолютной величине. При конденсации цепи про-
исходит резкий скачок молекулярного объема (параметр а), соответствующий
фазовому переходу первого рода.
С использованием методов упругого светорассеяния переходы клубок-гло-
була легко регистрируются при понижении температуры в растворах многих
биополимеров. Однако такие эксперименты очень чувствительны к полной
концентрации полимера. В плохих растворителях необходимо использовать
низкие концентрации биополимеров, поскольку из-за сильного притяжения
66 —• V Глава 3. Фазовые переходы
между цепями возникает агрегация, которая затрудняет интерпретацию ре-
зультатов экспериментов. Эту трудность можно обойти, используя сильно
заряженные биополимеры, но в этом случае в уравнение (3.18) для свобод-
ной энергии необходимо добавить члены, соответствующие кулоновскому
отталкиванию между мономерами и изменениям энтропии при связывании
с полимером противоионов, что сильно усложняет теоретический анализ
процесса.
Детальное теоретическое рассмотрение показывает, что нейтральные
глобулы состоят из плотного гомогенного ядра и относительно тонкого по-
верхностного слоя с меньшей плотностью. В равновесии размер глобулы
определяется условием равенства нулю осмотического давления полимера,
входящего в состав ее ядра. При приближении к точке Бойля 0 (т. е. тем-
пературе, при которой второй вириальный коэффициент В обращается в
нуль) в условиях плохого растворителя глобула постепенно набухает и ее
Рис. 3.9. Зависимость параметра
набухания глобулы (а) от при-
веденной температуры для гиб-
кой и жесткой полимерных цепей
реход становится очень резким,
размер приближается к размеру неупо-
рядоченного клубка. При приближении
второго вириального коэффициента к
нулю происходит непрерывный переход
из одного конформационного состоя-
ния в другое, соответствующий фазо-
вому переходу второго рода. Ширина
перехода глобула-клубок для цепи из
N мономеров пропорциональна 7V“1/2
и переход становится бесконечно узким
при бесконечном числе звеньев.
Характер перехода клубок-глобула су-
щественно зависит также и от жесткости
полимерной цепи. Для жестких цепей
(например, ДНК, спиральные белки,
сильно заряженные биомолекулы) не-
значительной мере напоминая фазовый
переход первого рода. Для гибких цепей переход гораздо более плавный и
представляет собой фазовый переход второго рода (рис. 3.9.).
При конденсации клубок-глобула достаточно жесткой молекулы умерен-
ной длины могут образовываться малые глобулы с различной морфологией.
Если размер глобулы сравним с персистентной длиной цепи, структура гло-
булы чувствительно зависит от механизма, обеспечивающего гибкость цепи.
Экспериментально показано, что полужесткие цепи (например, ДНК) обра-
зуют малые глобулы в форме пончика (тора, см. рис. 3.10). Более того, эти
тороидальные образования часто имеют внутреннюю жидкокристаллическую
структуру. Цепи ДНК жесткие и заряженные, но их компактизацию можно
3.3. Переход клубок-глобула -'V 67
вызвать добавлением либо какого-нибудь гибкого полимера, который при-
ведет к изменению химического потенциала окружающей воды (осмотичес-
ки напряженный раствор), либо многовалентных противоионов (например,
Mg2+) или спермидина, приводящих к появлению внутримолекулярных сил
притяжения.
Рис. 3.10. Схематическое изображение глобулы в форме пончика (тора), образуемой
ДНК и имеющей жидкокристаллическую внутреннюю структуру
Гигантские молекулы ДНК в естественных условиях образуют очень
сложные компактные структуры, часто в комплексе с белками (хромосомы).
Структура и фазовые превращения хромосом будут подробно рассмотрены
в главе 16.
Нативная структура глобулярных белков определяется последовательнос-
тью аминокислотных остатков в полипептидной цепи, которая обладает
свойством самоорганизации. Компактность белковой глобулы поддержива-
ется, главным образом, за счет гидрофобных взаимодействий. Гидрофобные
группы локализуются, в основном, внутри глобулы, а гидрофильные — на
ее поверхности. Белковая глобула представляет собой систему жестких бло-
ков вторичной структуры, поверхности которых усеяны боковыми группами
аминокислотных остатков. Взаимодействия Ван-дер-Ваальса между такими
группами соседних блоков определяют детали третичной структуры глобу-
лы. Электростатические взаимодействия обычно играют важную роль только
вдали от изоэлектрической точки. Заряженные участки часто расположены
только на поверхности глобулы и предохраняют ее от агрегации с други-
ми глобулами. Помимо состояний клубка и нативной глобулы, диаграмма
состояний белковой молекулы включает в себя состояние расплавленной
глобулы, и именно это состояние качественно описывают простые теории
полимерной цепи, например, уравнения Флори (3.17)-(3.22).
Самопроизвольное формирование третичной структуры белковой гло-
булы, называемое ее самоорганизацией, имеет две стадии: быстрый переход
клубок-глобула, определяемый гидрофобными и электростатическими взаи-
68 -*lr Глава 3. Фазовые переходы
модействиями, за которым следует медленная стадия формирования натив-
ной структуры внутри глобулы. Механизмы этого молекулярного оригами
чрезвычайно тонки, поэтому детали формирования нативной структуры того
или иного белка можно найти только в специальной литературе, посвящен-
ной этому белку. Во многих случаях образование биологически активной
нативной структуры (фолдинг) происходит с участием дополнительных бел-
ков (шаперонов).
3.4. КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ
Образование трехмерных кристаллов белков имеет малое от-
ношение к функционированию организмов (за редким исключением не-
обычных случаев, например, запасных белков в семенах и внеклеточных
белков), но играет важнейшую роль в структурной биологии. Только полу-
чив большие высококачественные бездефектные кристаллы, можно изучать
Рис. 3.11. Фотография крис-
талла глобулярного белка,
приготовленного для кристал-
лографических исследований
структуру белка с помощью дифракционных
методов (рис. 3.11). На решение этой пробле-
мы в биотехнологии расходуются огромные
средства, но только так можно понять взаи-
мосвязь структуры и функции белков.
Переход жидкостъ-твердое тело гораздо
сложнее перехода жидкость-жидкость (раз-
дел 3.5), поскольку для полного описания
получающейся кристаллической структуры
требуется бесконечное число параметров по-
рядка, в качестве которых обычно используют
фурье-компоненты плотности. Переход жид-
кость-твердое тело всегда является фазовым
переходом первого рода.
Процесс кристаллизации часто можно вы-
звать снижением температуры водной сус-
пензии частиц. Жидкое вещество никогда не
замерзает при температуре плавления (7т),
поскольку для создания границы раздела фаз
необходима энергия. Без примесей образец должен быть переохлажден, что-
бы началась кристаллизация (условия гомогенной нуклеации). Изменение
свободной энергии Дб(г) можно представить в виде суммы энергии нукле-
ации, необходимой для возникновения зародышей новой фазы, и энергии,
необходимой для созданий межфазной поверхности:
= |лг3Дб6 + 4лг2у5/,
(3.23)
3.4. Кристаллизация
4
69
где г — радиус зародыша, Дб^ — объемная энергия, у5/ — свободная энергия
межфазной поверхности кристалл-жидкость. Схематический график зави-
симости свободной энергии от температуры приведен на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Схематическое изображение зависимости от температуры для свободной
энергии Гиббса твердой и жидкой фаз вещества. Тт — температура
плавления, Дбд — разность свободных энергий твердой и жидкой фаз
Изменение энтропии (Д5т) для перехода жидкость-твердое тело при по-
стоянном давлении (Р) можно выразить через скрытую теплоту перехода (Д/7)
с помощью стандартных термодинамических соотношений:
] __ (3 24)
аг аг г ’
где Gs и Gt — свободные энергии твердой и жидкой фаз, соответственно. Ин-
декс «р» означает, что частная производная взята при постоянном давлении.
Объемный вклад в свободную энергию Гиббса при изменении температуры
(Д7) можно записать в виде:
Лб^-Д^ДТ. (3.25)
т
Тогда для полной энергии кристаллизации (3.23) имеем:
Дб(г) =-^-лг3 ^^ДТ+ 4лг2у5/. (3.26)
Найдя производную от G (г) по г и приравняв ее к нулю, можно пока-
зать, что свободная энергия имеет максимум при критическом радиусе (г*),
равном
\Нт\Т
(3.27)
70 -Ar Глава 3. Фазовые переходы
Таким образом, энергетический барьер при образовании стабильного заро-
дыша обусловлен поверхностной энергией и равен:
|2J_
। АТ2 '
(3.28)
т
Зависимость свободной энергии от радиуса кристаллита показана на
рис. 3.13. Таким образом, для того, чтобы кристаллизация стала возмож-
ной, необходимо спонтанное образование кристаллитов с радиусом больше
критического.
В росте кристаллов важную роль играют динамические эффекты. Для
описания кинетики кристаллизации часто используют теорию скоростей
реакций Аррениуса, в которой Д(7* принимают за энергию активации. Тогда
вероятность образования зародыша кристалла должна быть пропорциональ-
на следующей величине:
ехр(-Д(7*А7’)- (3.29)
Подставив (3.28) в (3.29) можно увидеть, что кинетика роста кристал-
ла определяется поверхностной энергией (у5/). Для коллоидных кристаллов
Рис. 3.13. Свободная энергия Гиббса
для процесса кристаллизации в зави-
симости от радиуса кристаллита. Для
стабильных кристаллитов существует
критический радиус г*, зависящий
от соотношения между объемной
и поверхностной составляющей свобод-
ной энергии
скорость нуклеации можно предста-
вить в виде произведения двух сом-
ножителей:
Г = e-^G'/kTv (3 30)
где v определяет скорость, с которой
после спонтанного образования уве-
личиваются зародыши, имеющие кри-
тические размеры. Пока нерешенной,
но интенсивно изучаемой проблемой
остается выяснение связи фазового
поведения системы, описываемого,
например, параметром Gn константой
скорости v, с потенциалом межмо-
лекулярного взаимодействия белков.
Некоторые успехи были достигнуты в
сопоставлении кристаллизации глобу-
лярных белков с поведением модельной
системы сферических коллоидных частиц, имеющих на поверхности отдельные
клейкие участки. В этой модели необходимо еще дополнительно учесть элект-
ростатические и ван-дер-ваальсовы взаимодействия.
3.5. Расслоение жидких фаз -*и- 71
После образования кристалла белка поверхностная энергия продолжает
оказывать влияние на формирование его морфологии, как это следует из
уравнения (3.23). Вещество из малых кристаллов переходит в большие в про-
цессе изотермической перегонки (оствальдова созревания — Ostwald ripening),
приводящей к уменьшению поверхностной энергии. Этот процесс знаком каж-
дому, кто ел мороженое: при повторном замерзании растаявшего мороженого
его структура огрубляется за счет увеличения размеров кристаллов льда.
Природные твердые белки часто имеют волокнистую полукристалличе-
скую структуру. Кинетика кристаллизации таких белков и образуемые ими
структуры гораздо сложнее, чем в случае глобулярных белков. Более того,
во многих случаях такие белки образуют промежуточные жидкокристалличе-
ские мезофазы благодаря протяженной структуре их молекул. Эти эффекты
будут рассмотрены в главе 4.
3.5. РАССЛОЕНИЕ ЖИДКИХ ФАЗ
Еще одним биологически важным процессом является рассло-
ение жидких фаз (рис. 3.14). Оно происходят, например, при изготовлении
мармелада и других желеобразных продуктов, агрегации зрительных белков
глаза, разделении внутриклеточных ионов. Расслоение жидких фаз может
происходить и в системах пониженной размерности, например, в клеточных
мембранах оно приводит к образованию рафтов — небольших участков мем-
браны, резко отличающихся от окружения составом и структурой.
А
A+B
. о ооо «оД/
•оо°о’«ОН
Рис. 3.14. Обратимый переход между состояниями с двумя раздельными фазами
А и В и однофазной смесью компонентов этих фаз
Прежде чем перейти к сложным процессам расслоения в коллоидах, по-
верхностно активных веществах и полимерах, полезно рассмотреть измене-
ния свободной энергии в простом модельном процессе смешивания моле-
кулярных жидкостей.
72
—Глава 3. Фазовые переходы
Изменение свободной энергии при смешивании (Fmjx, рис.3.15) простых
жидкостей А и В равно разности свободных энергий системы до смешива-
ния (Fa+b) и после разделения фаз (FA+FB).
Fmix=fA+B-^A+FBy (3.31)
Рис. 3.15. Зависимость свободной энергии смешивания жидкостей А и В от
объемной доли одной из них; х — параметр, характеризующий меж-
молекулярные взаимодействия; при / = 0 и / = 1 жидкости образуют
гомогенную фазу, при х = 2,5 возникает расслоение жидкостей с об-
разованием двух фаз
Для расчета энтропии смешения (5) жидкостей в решеточной модели
можно воспользоваться формулой Больцмана:
S = -kB^Pi^pi, (3.32)
где — вероятность заполнения z-ro состояния системы молекулой типа
А, кв — постоянная Больцмана. В этой модели не учитываются внутренние
степени свободы обеих жидкостей. Предполагается, что между молекулами
типов А и В существуют только парные взаимодействия, причем учитываются
только ближайшие соседи каждой молекулы. Пусть и фв — объемные доли
молекул А и В в системе. В приближении среднего поля (когда пренебрегают
флуктуациями концентраций) считается, что любая ячейка (молекула) имеет
гфл соседей типа А и ztyB соседей типа В. Тогда энергия взаимодействия на
одну ячейку равна
+ §ВгВВ + ^ФлФдЕлл) , (3.33)
где е^, ввв и вАВ — энергии взаимодействий между парами молекул АА, ВВ
и АВ, соответственно.
Энергия чистых компонентов:
^(ФАеАА + ФвеВв) •
(3.34)
3.5. Расслоение жидких фаз -»1л 73
Процесс смешивания жидкостей характеризуется разностью (Umb) энергий
состояний системы:
^mix = ^[(Фл -Фл)еА4 +(Ф« _Фв)еВВ + 2флФвеЛй] • (3.35)
Если каждая ячейка системы занята, то можно использовать дополни-
тельное ограничение на величину суммы объемных долей:
Фл+Фв = 1- (3.36)
Для упрощения выкладок введем параметр %, характеризующий межмо-
лекулярные взаимодействия:
X = (2еав -^аа-^ввУ (3-37)
Тогда энергия смешивания, определяемая уравнением (3.35), может быть
записана в виде:
^mix = ХФлФв • (3.38)
Свободная энергия в термодинамике определяется выражением F= U - TS,
поэтому полная свободная энергия смеси (Fmix) может быть записана
как
= Фл 1пФл + Фе Мв + ХФлФв • (3 39)
Если гомогенная смешанная фаза разделяется на две фазы, свободная
система такой расслоенной системы равна
^sep = (Ф1 } + F™ (Ф2 } • (3’40)
Ф1 “Ф2 Ф1 Y2
При расслоении возникают две фазы разного состава ф7и ф2, поскольку
свободная энергия гомогенной смеси больше свободной энергии разделен-
ных фаз (Fsep < Fo), а у системы в состоянии теплового равновесия свобод-
ная энергия должна иметь минимум (рис. 3.16). В фазовом поведении сис-
темы важную роль играет ее устойчивость по отношению к флуктуациям
(рис. 3.17). Устойчивость системы зависит от второй производной свободной
энергии (d2F/dty2), которая определяет спинодаль1) на диаграмме расслое-
ния. Интересно, что чисто отталкивательное взаимодействие в этой модели
может приводить к образованию упорядоченной фазы, что было показано
экспериментально на модельной коллоидной системе из твердых сферичес-
ких частиц.
Бинодаль определяет границу устойчивости однокомпонентной системы, а спинодаль — гра-
ницу ее полной неустойчивости.
74
—Глава 3. Фазовые переходы
Хорошим примером разделения фаз в биоколлоидах является поведение
раствора у-кристалина (белка хрусталика глаза) в воде. На ис. 3.18 приведены
зависимости сжимаемости и длины корреляции для растворов у-кристалина,
полученные в экспериментах по светорассеянию. В точке расслоения фаз
и сжимаемость, и длина корреляции расходятся по степенному закону
с характерным для этого непрерывного фазового перехода показателем
(см. раздел 3.1). Считается, что с этим явлением связано развитие ката-
ракты.
Ф1 Фо Фг Объемная доля
компонента А
Рис. 3.16. Графическое представление зависимости свободной энергии от объем-
ной доли одной из жидкостей, например, А, для системы с расслоением
жидких фаз. Свободная энергия образующихся фаз (F ) меньше сво-
бодной энергии гомогенной смеси жидкостей А и В (FQ), что и приводит
к образованию двух раздельных фаз с объемными долями компонента А,
равными ф| и Ф2
§
а «
2 (U
Л 5
С S
Стабильное состояние Спинодаль
Состав смеси
m
>
Рис. 3.17. Зависимость параметра межмолекулярного взаимодействия % от состава
бинарной жидкой смеси, т. е., например, от объемной доли компо-
нента А. На графике показаны как спинодаль, так и область метаста-
бильности
В растворах химически различные нейтральные полимеры смешиваются
очень плохо, поэтому слабого отталкивания между звеньями мономеров обыч-
но достаточно, чтобы смесь разделилась на две практически чистые фазы.
3.5. Расслоение жидких фаз -»1л 75
Это слабое отталкивание между мономерами усиливается за счет высокой
степени полимеризации и может поэтому приводить к макроскопически на-
блюдаемым эффектам. Разделение двух полимеров представляет собой фазо-
вый переход и может быть объяснено либо как спинодальный переход, либо
как нуклеация и рост зародыша (как в модели перехода жидкость-жидкость,
обсуждавшейся выше). Смеси полимеров возникают в бесчисленном мно-
жестве биологических систем, поэтому изучение их поведения очень важно
для понимания роли описанных эффектов in vivo, как, например, в смеси
агрекан-коллаген, образующейся в хрящах. Более того, структура образую-
щихся при разделении полимеров фаз чувствительно зависит от динамических
характеристик составляющих их молекул. При значительной асимметрии в
динамических характеристиках (например, длинные медленно движущиеся
полимеры в смеси с быстро движущимися коллоидными частицами) об-
разуется целый ряд новых меняющихся со временем структур. Некоторые
примеры структур фаз, образующихся при приготовлении пищевых биопо-
лимерных гелей (желе), приведены на рис. 3.19.
Рис. 3.18. Сжимаемость (а) и длина корреляции (6), измеренные с помощью
рассеяния света, для белков глаза расходятся при приближении к
критической температуре разделения фаз Тс. Прямые построены с по-
мощью линейной регрессии. (Воспроизведено с разрешения из работы
Р. Schurtenberger, G.M. Thurston, et. al. Phys. Rev. Letters, 1989. V. 63. P.
19. Copyright Am. Phys. Soc.)
Благодаря вкладу энтропии противоионов в величину свободной энер-
гии, совместимость двух полимеров существенно улучшается, если один из
них слабо заряжен. Поэтому для смеси полиэлектролитов фазовый переход
с разделением на две жидкие фазы оказывается затрудненным.
На ранних стадиях дифференцировки тканей и морфогенеза клетки под-
вергаются процессу сортировки, который напоминает процесс разделения
Глава 3. Фазовые переходы
фаз. В этом случае параметр взаимодействия Флори (%) эквивалентен энер-
гии адгезии клеток. Изучение этих процессов, играющих ключевую роль в
развитии многоклеточных организмов, только начинается.
о
О
о
Замороженное
состояние
Упругое
состояние
О
О
О о
О
о
Капли,
обогащенные
растворителем
Упругое
состояние
Уменьшение
объема
б
Упругое
состояние
Стадия
релаксации
Г идродинамическая
стадия
Капельная
стадия
Рис. 3.19. Структура вязкоупругих фаз, образующихся при расслоении смесей
пищевых биополимеров, меняется со временем, образуя сложную по-
следовательность состояний. За замороженным состоянием (а) следуют
несколько вязкоупругих состояний (б, в, г), за ними — стадия релак-
сации (д) и, наконец, гидродинамическая стадия (е). (Воспроизведено
с разрешения из: Н Tanaka. J. Phys.: Condensed Matter. 2000. И. 12.
P. R207-264. Copyright I OP Publishing.)
Дополнительная литература
Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. — М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989. — 344 с.
Rubinstein V., Colby R.H. Principles of condensed matter physics. — Oxford Univ.
Press, 2004. — По уровню соответствует книге Гросберга и Хохлова, содержит
много задач и упражнений.
Вопросы и задания -* ъ- 77
Lubensky Т., Chaikin Р. Principles of condensed matter physics. — Cambridge Univ. Press,
1995. — Математизированное изложение физики конденсированного состояния.
Kiernan М., Lavrentovich О.Р. Soft matter physics. — Springer, 2003. — Сходна по
уровню и охвату материала с предыдущей книгой.
Jones R.A.L. Soft condensed matter. — Oxford Univ. Press, 2002. — Относительно
простое введение в физику конденсированного состояния.
Callen Н.В. Thermodynamics and introduction to thermostatics. — Классический
учебник по термодинамике.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.1. Методом дифференциальной сканирующей калориметрии (ДСК) оп-
ределяется зависимость энтальпии образца от температуры. Для перехода
спираль-клубок в а-спиральном полипептиде ширина перехода уменьша-
ется при увеличении длины полимера. Как объяснить это явление с точки
зрения термодинамики перехода?
3.2. Пептиды при низком содержании воды только частично пластифициро-
ваны и проявляют стеклоподобное (не эргодичное) поведение при комнат-
ной температуре. Как это могло бы повлиять на характеристики перехода
спираль-клубок для длинных пептидных цепей?
3.3. Каков энергетический барьер для нуклеации кристалла лизоцима, если
критический размер кристаллита составляет 50 нм, свободная энергия по-
верхности равна 1,2 мДж-м-2, температура плавления равна 50 °C, а темпе-
ратура системы на 1 °C ниже?
ГЛАВА
ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Стержневидные молекулы в растворе могут спонтанно выстра-
иваться вдоль какого-либо направления, что приводит к появлению анизот-
ропии у жидкости и уменьшению ее вязкости, если концентрация молекул
превышает некое критическое значение (лиотропные жидкие кристаллы) или
температура находится в определенном интервале (термотропные жидкие
кристаллы). Синтетические материалы с такими свойствами сейчас широко
используются в различных целях — это и дисплеи мониторов и телевизоров,
и пуленепробиваемые жакеты, и мыльные порошки... Природа же на про-
тяжении миллионов лет использовала свойства жидких кристаллов в самых
разнообразных биологических процессах.
4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Жидкие кристаллы представляют собой промежуточное меж-
ду твердым и жидким состояние вещества (т. н. мезофазу). Они характери-
зуются ориентационной упорядоченностью молекул (как в твердом теле —
твердообразное тело), но сохраняют способность к течению (как жидкость —
жидкообразное тело). На рис. 4.1 приведены нейтронограммы, полученные
при малоугловом рассеянии нейтронов на новом образце жидкого кристал-
ла биологического происхождения — очищенном муцине из желудка сви-
ньи. Как только концентрация муцина превышает критическую, молекулы
спонтанно ориентируются вдоль какого-либо направления в шкале длин
около 10 нм. Экспериментально это обнаруживается по появлению эллип-
соидальное™ у нейтронограммы при малоугловом рассеянии нейтронов, по
кривым теплопоглощения при ДСК, по появлению двойного лучепрелом-
ления. Длинные оси молекул ориентируются перпендикулярно главной оси
эллипсоида нейтронограммы (рис. 4.1). Такое упорядочение молекул муци-
4.1. Основы теории 79
на приводит к радикальным изменениям его вязкоупругих свойств и играет
существенную роль в создании барьера, защищающего слизистую желудка
от самопереваривания.
Длинная ось
бутылочного ершика
Рис. 4.1. Нейтронограммы, полученные при малоугловом рассеянии нейтронов
на образцах при низкой концентрации (изотропная фаза, а) и высокой
концентрации муцина (нематическая фаза, б). В нижней части рисунка
(в и г) приведены схемы ориентации молекул муцина в виде бутылочных
ершиков, соответствующие изотропной и нематической фазам (а и б).
[Waigh Т.А., Papagianopoulos А.Р. et al. Langmuir, 2002, v. 18, p. 7188-
7195.]
Многие биологические молекулы способны образовывать жидкокристал-
лические фазы. К ним относятся липиды, нуклеиновые кислоты, белки, уг-
леводы и протеогликаны. Поэтому существует широкий спектр биологически
важных явлений, в которых проявляются жидкокристаллические свойства
этих молекул. Приведем несколько примеров. Клеточные мембраны обра-
зуют жидкокристаллическую фазу, обеспечивающую компартментализацию
клетки (разделение ее на области) и, в то же время, перенос необходимых
веществ через границы компартментов (рис. 4.2, а). Слизни движутся по слою
нематической фазы, образованной протеогликаном и имеющей вязкоупругие
свойства, обеспечивающие эффективность используемого этим организмом
способа локомоции (рис. 4.2, б). Крахмал запасается многими растениями
в качестве богатого энергией вещества в специальных крахмальных зернах,
имеющих структуру смектика (см. вопрос 4.1). Паутина, выделяемая из пря-
дильного органа паука, представляет собой жидкокристаллическую фазу низ-
кой вязкости, которая превращается затем в сверхпрочную нить (рис. 15.14).
80 -*v Глава 4. Жидкие кристаллы
Протоколаген при формировании вязкоупругих коллагеновых сетей в коже
образует нематическую фазу, а микрофибриллы целлюлозы в стенках клеток
растений — хиральные нематические фазы, которые обеспечивают, напри-
мер, стволам деревьев, упругость и гибкость (рис. 4.2, в).
шшш
Клеточная мембрана
а
Слизь слизней
б
Ориентированные
микрофибриллы
целлюлозы
Клетка древесины
шириной 20 мкм
Клеточные микрофибриллы
в
Рис. 4.2. Схематическое изображение природных жидкокристаллических веществ
Свойства мезофаз определяются вкладами пространственного, ориен-
тационного и конформационного упорядочивания (рис. 4.3). Существует
множество различных мезофаз, которые могут быть выделены в жидкокрис-
таллическом состоянии, т. е. в системах с ориентационным и конформаци-
онным упорядочением (табл. 4.1, рис. 4.4). Внутреннее конформационное
упорядочение молекул вместе с пространственным упорядочением приводит
к образованию, помимо жидкокристаллических фаз, фаз конформационно
разупорядоченных (condis) и пластических кристаллов. Дальнейшее под-
разделение мезофаз на классы возможно при дополнительном учете моле-
кулярной хиральности, т. е. молекул, не совпадающих со своим зеркальным
отражением. Многие биологически важные молекулы хиральны (например,
ДНК обычно образует левую спираль) и структуры мезофаз, образованных
ими, отражают хиральные взаимодействия между субъединицами. К основ-
ным хиральным мезофазным структурам относятся холестерики (хиральные
нематики) и смектики с кручением (хиральные смектики). Хиральность ока-
зывает также существенное влияние на текстуры дефектов жидких кристал-
лов и, следовательно, на их макроскопические свойства.
4.1. Основы теории -*v- 81
Рис. 4.3. Фазы конденсированного состояния вещества, образуемые при разных
сочетаниях конформационного, пространственного и ориентационного
упорядочения. [Воспроизведено с разрешения из: Viney С. in Protein Based
Materials, Eds. К. McGrath and D. Kaplan. Birkhauser, 281-311. Copyright
(1997) Birkhauser Boston Inc.}
Таблица 4.1. Мезофазы, образуемые биологически важными молекулами, обычно
определяются параметрами пространственного и ориентационного
упорядочения
Фаза Пространственное упорядочение Ориентационное упорядочение Возможные парамет- ры порядка мезофазы
Жидкость Рис. Аа Нет Нет Нет
Нематики Рис. Аб Нет Да Полиномы Лежандра
Смектики Рис. Б Одномерное Да Одномерные фурье- компоненты
Колончатая Рис. В Двумерное Да Двумерные фурье-компоненты
Кристаллическая Рис. Г Трехмерное Да Бесконечное число трехмерных фурье-компонент
Для исследования фазовых переходов жидкокристаллических фаз исполь-
зуются различные экспериментальные методики и подходы. К ним относят-
ся дифференциальная сканирующая калориметрия, позволяющая оценивать
82
Глава 4. Жидкие кристаллы
скрытые теплоты переходов, поляризационная микроскопия, позволяющая
оценить количество дефектов и их разнообразие, рассеяние рентгеновских
лучей и нейтронов для оценки ориентационного и решеточного параметров
Рис. 4.4. Совершенный твердый крис-
талл образованный сферическими кол-
лоидными частицами (с), нематическая
фаза, образованная стержневидными
молекулами мезогена (б), фаза смектика
А (перпендикулярная), образованная
стержневидными молекулами мезогена
(в), фаза смектика С (наклонная), образо-
ванная стержневидными хиральными мо-
лекулами мезогена (г), и гексагональная
фаза, образованная дисковидными моле-
кулами мезогена и реже встречающаяся
в биологии (д). Образование гексагональ-
ных фаз наблюдалось для нуклеосом
порядка, а также атомная силовая
микроскопия и эллипсометрия для
определения наличия террас на по-
верхности образца.
Жидкие кристаллы часто обна-
руживают благодаря их оптическим
текстурам, наблюдаемым в поляри-
зационном микроскопе, поскольку
это дешевая и широко распростра-
ненная методика. Эти текстуры
дефектов часто позволяют точно
определить категорию жидкокрис-
таллической фазы. Количественно
текстуры дефектов будут рассмотрены
в разделе 4.2.
С помощью дифференциальной
сканирующей калориметрии нали-
чие жидкокристаллических фазовых
переходов обнаруживается по изме-
нениям зависимости энтальпии от
температуры. Так, фазовый переход
изотропное состояние-нематик пред-
ставляет собой чисто термодинамиче-
ское эндтермическое явление,
с которым связана скрытая теплота
перехода, определяемая экспери-
ментально (рис. 4.5). Обычно при
изменении температуры жидкокрис-
таллическая фаза претерпевает ряд
фазовых переходов, например, крис-
талл превращается сначала в смек-
тический жидкий кристалл, затем в
нематический жидкий кристалл и,
наконец, в изотропную жидкость.
Следуя идеологии главы 3, посвя-
щенной фазовым переходам, рассмотрим параметры порядка для жидкокрис-
таллических фазовых переходов. Среди жидкокристаллических фаз наиболее
простыми являются: нематики (одно выделенное направление ориентаци-
4.1. Основы теории
Л
83
онного упорядочения), холестерики (нематики, в которых направление ори-
ентационного упорядочения закручено по спирали) и смектики (с дальним
порядком в одном или двух измерениях).
Для описания степени упоря-
доченности молекул нематичес-
ких жидких кристаллов принято
использовать полином Лежандра
(Р2) в сферической системе коор-
динат (0, ф, г):
/3 э 1\
S = (Р2 (cos0)) = ( c°s20 - 2/>
(4.1)
Температура (7)
а
где 0 — угол, который длинные
оси молекул составляют с ди-
ректором нематика, а угловые
скобки <> означают, что долж-
но быть выполнено усреднение
(рис. 4.6). Директором называют
единичный вектор, характеризу-
ющий усредненное направление
ориентационного упорядочения
молекул. Расчет параметра поряд-
Рис. 4.5. С помощью дифференциальной
сканирующей калориметрии можно изме-
рить зависимость энтальпии жидкокрис-
таллической фазы от температуры и об-
наружить поглощение тепла при фазовом
переходе изотропная жидкость — нематик
(а). Схема (6) иллюстрирует увеличение
ориентационного упорядочения малых
жестких молекул при фазовом переходе
изотропная жидкость — нематик
ка нематика можно представить
себе, как вычисление величины
|(3cos20-l) для каждой моле-
кулы и последующего усреднения
по всем молекулам. Этот пара-
метр порядка (*S) равен единице
для полностью упорядоченного
нематика, длинные оси молекул
которого параллельны директору,
для полностью упорядоченного
нематика, длинные оси молекул которого перпендикулярны директору, и нулю
для изотропной жидкости. Типичная зависимость параметра S от температуры
для перехода изотропная жидкость-нематик приведена на рис. 4.7. Параметр
порядка (*5) уменьшается с ростом температуры, а затем, при критической тем-
пературе Тс фазового перехода первого рода, резко спадает до нуля.
В случае смектиков помимо нематического параметра порядка S потре-
буется дополнительный параметр порядка для описания одномерной крис-
таллической решетки — ламеллярной (слоистой) структуры, характерной для
84 -*и- Глава 4. Жидкие кристаллы
смектиков. Ламеллярный параметр порядка должен характеризовать упоря-
доченное расположение слоев нематика, поэтому он вводится на основании
разложения в ряд Фурье электронной плотности ламеллярной структуры,
периодической по оси z, перпендикулярной слоям смектика. В качестве па-
раметра порядка ламеллярной структуры используют амплитуду косинуса
первой гармоники (\|/):
Р U) = Ро [1 + V cos , (4.2)
где d — расстояние между слоями, р0 — постоянная электронная плотность,
р(г) — электронная плотность слоистой структуры как функция г. Ламел-
лярный параметр порядка можно определить экспериментально с помощью
методов рентгенографии, атомной силовой микроскопии (АСМ), рассеяния
света и нейтронов (рис. 4.8). Теоретическое предсказание значений парамет-
ров порядка, определяемых уравнениями (4.1) и (4.2), вблизи критической
точки фазового перехода возможно на основе модели Ландау (раздел 4.2).
Для описания фазового поведения холестериков (нематиков с кручением)
потребуется введение еще одного хирального параметра порядка, который
вводится на основе анализа упругих свойств холестерика.
Рис. 4.6. В нематической фазе длинные оси
биомолекул ориентируются вдоль одного
выделенного направления. Это выделенное
направление задается директором п — еди-
ничным вектором, усредненным по полю
директора, 0 — угол между длинной осью
каждой молекулы и директором
Рис. 4.7. Зависимость параметра по-
рядка (5) нематика от температуры.
Вещество при температурах выше Тс
существует в виде изотропной жидкос-
ти, а при температурах ниже Тс — в
виде нематической жидкокристалли-
ческой фазы
Теория фазовых переходов изотропное состояние-нематик для раство-
ров малых жестких биомолекул в настоящее время разработана достаточно
полно. Для систем, в которых молекулы можно рассматривать как твердые
сферы, количественные оценки с помощью как аналитических, так и числен-
ных моделей, предсказывают возникновение нематической фазы в хорошем
4.1. Основы теории -* V 85
согласии с экспериментальными данными. Для раствора коротких жестких
стержней Ларс Онсагер нашел аналитическое выражение для фазовой диа-
граммы и показал, что появление нематических жидких кристаллов просто
связано с соотношением размеров молекул (L/D, где L — длина, D — диа-
метр) и объемной долей молекул (ф) в растворе (рис. 4.9). Если отношение
§L/D меньше нижнего критического значения, раствор представляет собой
изотропную жидкость:
§L/D < 3,34 — изотропное состояние, (4.3)
если же это отношение больше верхнего критического значения, стержни
образуют чистый нематический жидкий кристалл:
§L/D > 4,49 — нематик. (4.4)
Рис. 4.8. Смектический параметр порядка обычно определяется как амплитуда
первой гармоники косинус-разложения Фурье для электронной плот-
ности смектика в направлении, перпендикулярном его слоям
В области между критическими значениями (4.3 и 4.4) этого отношения
обе фазы, изотропная и нематик, сосуществуют (см. рис. 4.10). Возникнове-
ние жидкокристаллической упорядоченности является фазовым переходом
первого порядка.
Жидкокристаллические фазы могут образовывать и полимеры с длин-
ными полужесткими молекулами, такие как ДНК, коллаген, каррагенин.
Поведение таких систем сложнее, чем системы простых стержнеобразных
молекул, поскольку у молекул полимера существуют внутренние степени
свободы, и они могут иметь различные конформации. Поэтому переход
в жидкокристаллическое состояние в системах таких молекул связан с их
персистентной длиной (раздел 8.1). Для полужестких молекул фазовая
диаграмма состояний изотропная жидкость/нематик качественно сходна
с диаграммой для малых молекул (рис. 4.10), у которой границы норми-
рованы на персистентную длину. С ростом упорядоченности в растворе
86 -»V- Глава 4. Жидкие кристаллы
полужестких молекул растет и среднее значение длины цепи в проекции
на выделенное направление упорядочения. На рис. 4.11 приведена фазо-
вая диаграмма для раствора вируса fD. Частицы этого вируса представ-
ляют собой идеальный объект для экспериментального изучения жидких
кристаллов, образуемых полужесткими молекулами, поскольку образуют
микроскопическую смектическую фазу, видимую под оптическим мик-
роскопом (рис. 4.12), и поскольку они монодисперсны вследствие гене-
тической предопределенности их структуры.
Рис. 4.9. Зависимость свободной энергии рас-
твора жестких стержней от нематического пара-
метра порядка S. На диаграмме указаны области,
соответствующие чистым нематической и изот-
ропной фазам и области сосуществования обеих
фаз. Фазовое поведение определяется критичес-
кими значениями параметра, равного произведе-
нию объемной доли стержней в растворе (ф) на
отношение длины к диаметру стержней (L/D)
о 0.2
Объемная доля
Рис. 4.10. Фазовое состояние
раствора жестких стержней
в зависимости от соотношения
их размеров (L/D) и объем-
ной доли в растворе. Фазовое
поведение определяется зна-
чением свободной энергии
(рис. 4.9)
Для одномерной пружины, подчиняющейся закону Гука, величина по-
тенциальной энергии, запасенной при ее растяжении, определяется выра-
жением:
Е = ^Кх2, (4.5)
где х — растяжение (от положения равновесия), К — коэффициент жесткости
(рис. 4.13). Благодаря множителю 1/2 после дифференцирования этого вы-
ражения по х мы получим выражение для силы F=Kx в полном соответствии
с законом Гука. В трех измерениях (глава 11) упругость произвольного тела
определяется очень сложно, и вместо К в законе Гука надо использовать
тензор упругости (матрица из 81 элемента). К счастью, упругость жидких
кристаллов зависит только от направления директора и от возмущения поля
4.1. Основы теории -*ъ- 87
Рис. 4.11. Экспериментально полученная
фазовая диаграмма для раствора частиц
вируса ГО (хиральных полужестких мо-
лекул) в координатах «плотность (р) —
ионная сила (У)». [Воспроизведено с раз-
решения из: Fraden S. In: Observation,
prediction and simulationof phase transition
in complex fluids. Eds. M. Baus, L.F. Rull
and J.P. Ryckaert. Kluwer Academic Press,
NATO ASI Series C, Vol. 460. Copyright
(1995) Springer Science and Business Media.}
директора. Так, для описания простых
нематических жидких кристаллов
в трех измерениях нужны только три
упругие константы: Кх (сдвиг), К2 (кру-
чение) и К3 (изгиб). Выражение для
энергии упругих деформаций (или сво-
бодной энергии) нематика строится на
основании соображений симметрии.
Это довольно сложная математическая
задача, но ее решение для плотности
энергии (энергии в единице объема)
нехирального нематического жидкого
кристалла имеет вид:
fv = 1^(v.»)2 +
+ ^К2(п. (Vxn))2 +
+ |tf3(«x(Vxn))2 , (4.6)
Рис. 4.12. Изображение смектической
фазы, образованной вирусами ГО,
полученное с помощью микроскопа
с дифференциальным интерферен-
ционным контрастированием. Со-
ответствующая фазовая диаграмма
приведена на рис. 4.11. Белый масш-
табный отрезок соответствует 10 мкм,
а период смектика равен 0,92 мкм.
[Воспроизведено с разрешения из:
Dogic Z., Fraden S. — Phys. Rev. Letters,
1997, v. 78, no. 12, p. 2417-2420. Copy-
right American Physical Society.}
WA/VV
Рис. 4.13. Схематическое изображе-
ние растяжения пружины. Абсолют-
ная деформация пружины равна х.
Упругая деформация приводит к
накоплению потенциальной энергии
в пружине
88
—Глава 4. Жидкие кристаллы
где Kv К2, К3 — упругие постоянные, имеющие размерность Дж м"3,
ап — единичный вектор в направлении ориентации стержнеобразных моле-
кул (директор). Это выражение для свободной энергии нематика (4.6) имеет
ту же форму, что и энергия одиночной пружины (4.5), но в этом случае для
описания вещества требуется три константы жесткости. Типичное значе-
ние А^для короткого молекулярного жидкого кристалла составляет около
10"11 Н м"2 и оно обычно в 2-3 раза больше, чем Кх и К2.
Поперечный изгиб (Xj) Кручение (К2)
Продольный изгиб (Х3)
Рис. 4.14. Схематическое изображение деформаций поперечного изгиба, круче-
ния и продольного изгиба для нематического жидкого кристалла с полем
директора, ориентированным вдоль оси Oz
Чтобы уяснить физический смысл выражения для свободной энергии Fv
полезно упростить выражение (4.6). Если директор п направлен вдоль оси
координат Oz. все производные от его компоненты nz равны нулю:
дп^ дп^
дх ду dz
(4.7)
Члены в правой части уравнения (4.6) с учетом (4.7) могут быть записаны
в виде:
(V • «)2
(4.8)
X,z
дПу
. дУ
(4.9)
(4.Ю)
j
I дХ
2
Поле директора, когда только первые члены в правых частях уравнений
(4.8)-(4.10) отличны от нуля, схематически изображено на рис. 4.14. Этот
4.1. Основы теории 89
рисунок позволяет развить интуитивные представления о трех важнейших
типах деформаций в нематике.
Уравнение Франка для свободной энергии (4.6) можно распространить и
на холестерические жидкие кристаллы. В модели хиральной нематической
(холестерической) фазы ориентированной перпендикулярно оси Ох, после-
довательные положения директора должны образовывать спираль (рис. 4.15),
задаваемую следующими соотношениями:
пх=0 (4.11)
nz = cos
(4.12)
(4.13)
Рис. 4.15. а — Шаг спирали (#0) в холестерическом жидком кристалле равен
... расстоянию вдоль образующей между молекулами с одинаковым на-
правлением директора, б — Зависимость свободной энергии Fv для
нехирального (К2 = 0) и хирального (К2> 0) жидкого кристалла от шага
спирали (#0)
Таким образом, директор в холестерике закручивается вокруг оси Ох с
характерным пространственным масштабом, определяющим период повто-
рения вдоль этой оси, который называют шагом (Р). В выражение для сво-
бодной энергии (4.6) потребуется ввести дивергенцию и ротор директора,
которые можно записать следующим образом:
V. л = 0
(4.14)
2л . 2лх
(Vxn)y =-p-sin —
. 2л 2лх
(Vxn)z =- —cos-p-
(4.15)
(4.16)
90 -»v- Глава 4. Жидкие кристаллы
Поэтому члены в правой части уравнения (4.6) принимают вид:
(V . и)2 = 0 (4.17)
2 (2л)2
(и. (VxW))2 = [^J (4.18)
(nx(Vxn))2=0 (4.19)
и в полном выражении для свободной энергии останется только член, соот-
ветствующий деформации кручения:
1 /О— 'l2 1
^ = 1*2И = 1*2"2’ (4-20)
где а = 2л/Р. В этом простом случае у холестерического жидкого кристалла
имеется только один тип искажения структуры — кручение. В нематическом
жидком кристалле (нехиральном) такое искажение структуры нестабильно и
минимуму свободной энергии соответствует отсутствие деформации кручения.
Минимизация свободной энергии (4.20) дает значение а = 0, при котором
шаг спирали становится бесконечным. Поэтому в выражение для свободной
энергии (4.20) в случае хирального нематика надо ввести линейный член,
который обеспечил бы устойчивость структуры:
Х4(л.(?хи)), (4.21)
где К4 — новая константа упругости, учитывающая степень хиральности
системы. Эта константа соответствует внутренне присущей хиральности
мезогена, которая является общей чертой биологических молекул (напри-
мер, ДНК, спирали в белках и углеводах, p-структуры белков, липиды могут
обладать внутренней хиральностью) и, в принципе, может быть рассчитана
по молекулярным параметрам мезогена. После подстановки уравнений для
спирального поля директора (4.11-4.17) в уравнение Франка для свободной
энергии с учетом дополнительного члена (4.21) получим:
Оо=^-- (4.23)
Шаг спирали Р обратно пропорционален отношению (я0) констант уп-
ругости, учитывающих хиральность и кручение. Объемная плотность сво-
бодной энергии равна:
К2
= (4.24)
4.2. Переходы жидкостъ-мнематик-смектик 91
Зависимость свободной энергии от периода холестерика приведена на
рис. 4.15, б. В отсутствие хиральности период и соответствующая констан-
та упругости (А"4) равны нулю. Уравнение Франка для свободной энергии
(4.6) можно использовать для расчета энергии, связанной с дефектом в не-
матическом жидком кристалле. Пусть поле директора, параллельное оси Oz
задано уравнениями:
пх = cos [0 (х, у)] (4.25)
пу = sin[0(x,y)] (4.26)
nz = 0 , (4.27)
где 0(х, у) — радиальный директор мезогена. Пусть также все упругие конс-
танты имеют одно и то же значение (К = Кх = К2 = К3), тогда свободная энергия
для аксиальной дисклинации может быть рассчитана по формуле:
FV=±K^, (4.28)
2 Р
где т — сила дисклинации (т = ±|,±1,±|,...), а р — радиус ядра изотроп-
ного материала в центре дефекта. Свободная энергия расходится при радиусе
дисклинации стремящемся к нулю (р —> 0 , рис. 4.16), поэтому упорядочение
структуры нематика исчезает в центре такого аксиального ориентационного
дефекта.
т = 1/2
С= О
С=0
т = 1
С= л/2
Рис. 4.16. Схематическое изображение некоторых текстур дефектов, ха-
рактерных для нематических жидких кристаллов
4.2.
ПЕРЕХОДЫ ЖИДКОСТЬ-НЕМАТИК-СМЕКТИК
Теория Онсагера позволяет рассчитать фазовую диаграмму для
равновесия изотропное состояние-нематик в зависимости от соотношения
геометрических размеров молекул и их объемной доли в растворе. Эта теория
92 —’ ir Глава 4. Жидкие кристаллы
позволяет не только обосновать вид фазовой диаграммы для системы изот-
ропная жидкость-нематик-смекгик, но и получить количественную оценку
для параметров порядка вблизи критической точки фазового перехода.
Изотропная жидкость
Нематик
Смектик
Рис. 4.17. Схематическое изображение фазовых переходов изотропная жидкость-
нематик и нематик-смектик для молекулярного жидкого кристалла,
которые могут быть вызваны, например, повышением температуры
Теория Ландау для фазового перехода изотропное состояние-нематик
основана на идеях, предложенных Онсагером (рис. 4.17). Эта теория точно
описывает фазовое поведение системы вблизи критических точек. В теории
Ландау считается, что нематический параметр порядка S мал для фазы нематика
вблизи точки перехода и что разность объемных плотностей свободных энергий
двух фаз может быть разложена в ряд по степеням этого параметра:
G(S,T) = (?iso Цл(Г)52 + |в53 +|с54 +, (4.29)
где <7iso — изменение свободной энергии изотропного состояния, А, Ви С —
коэффициенты разложения. Наибольшее влияние на величину изменения
свободной энергии при фазовом переходе оказывает коэффициент Л(7),
который в первом (хорошем) приближении может быть записан в простом
виде (рис. 4.18):
Л(Т) = Д0(Т-Г), (4.30)
где Т — критическая температура перехода, А^ — постоянная. Используя эту
выражение можно проанализировать зависимость свободной энергии системы
от температуры. Решение уравнения (4.29) для изотропного состояния:
5=0. (4.31)
Другое решение соответствует условному экстремуму изменения свобод-
ной энергии:
= А (Г) S + BS2 + CS3 = 0 (4.32)
4.2. Переходы жидкостъ-мнематик-смектик “•и- 93
имеет вид:
__ -В±7в2 -4ЛС
Л - 2С
(4.33)
и соответствует локальным минимуму и максимуму в зависимости G от
параметра порядка S. Теоретически полученная зависимость ориентацион-
ного параметра порядка от температуры достаточно хорошо согласуется с
экспериментальными данными (рис. 4.19).
Рис. 4.18. Схематическое изображение зависимости изменения свободной энергии
(G-Giso) для фазы нематика от параметра порядка 5 в модели Ландау.
Указаны температуры: Т — для изотропного состояния, 7** — для фазы
нематика, Тс — критическая температура фазового перехода
Для фазового равновесия нематик-
смектик можно построить сходную те-
орию, описывающую изменения сво-
бодной энергии при этом переходе
(рис. 4.17). В этом случае параметром
порядка (v) будет амплитуда плотности
слоистой структуры (уравнение (4.2)).
С учетом трансляционной симметрии
слоистой структуры свободная энергия
Ландау может быть записана в виде:
G(M,T) = <7nem+ia(T)|v|2 +
+ |piv|4 +|yW6,(4-34)
где (7nem — объемная плотность измене-
ния свободной энергии фазы нематика, а,
р и у — характеристические постоянные.
Рис. 4.19. Сравнение эксперимен-
тально полученных значений пара-
метра порядка в зависимости от тем-
пературы вблизи точки фазового пе-
рехода изотропная жидкость-нематик
с расчетными значениями в модели
Ландау-де Жена после подбора ее
параметров. [Воспроизведено с раз-
решения из: Collings P.J., Hird M.J.
Introduction to liquid crystals. Copyright
(1997) Taylor and Francis.}
94 —*!/ Глава 4. Жидкие кристаллы
Предсказание вида фазовой диаграммы для системы нематик-смектик на
основании такого выражение для изменения свободной энергии находится
в хорошем согласии с экспериментом.
4.3. ДЕФЕКТЫ
Дефекты — важная черта структуры как твердых кристаллов,
так и жидкокристаллических биологически важных соединений. Экспери-
менты и теоретические исследования в этой области имеют целью выяснение
тонких деталей целого ряда сложных процессов, таких, например, как обра-
зование связнодисперсной фазы (твердообразного вещества)из спиральных
молекул, динамика фазовых переходов, образование хромосом.
Рис. 4.20. Структура дефектов в гексагональной решетке, образованной спи-
ральными молекулами. Стрелками обозначено направление градиен-
та потенциала взаимодействия между спиралями в горизонтальном
поперечном сечении. Симметрия решетки приводит к фрустрации
(вырождению основного состояния)
В твердых телах с ламеллярной (одномерная решетка) или столбчатой
(двумерная решетка) упорядоченной структурой дефекты возникают всегда.
В соответствии с теоремой Ландау-Пайерлса в таких структурах флуктуации
молекул в узлах решеток приводят к дефектам, которые всегда наблюдаются
при достаточно больших геометрических размерах систем и из-за которых
такие твердые тела должны иметь полукристаллическую или жидкокристал-
лическую структуру.
Еще один важный пример, когда проявляются дефекты в структуре, —
образование гексагональных решеток из спиральных молекул, которое
в биологических системах наблюдается довольно часто. В этом случае каж-
0 В русскоязычной литературе нет общепринятого термина для перевода английского выра-
жения soft solid, поэтому мы используем терминологию, принятую в учебнике Е.Д. Щукина и
др. «Коллоидная химия» (Изд. 5-е, испр. — М.: Высш, школа, 2007).
4.3. Дефекты
Л
95
дая спиральная молекула имеет шесть ближайших соседей, и очень мало-
вероятно, что взаимодействия с соседями будут одинаковыми, если только
эти спирали не имеют оси симметрии шестого порядка, что бывает редко.
В результате в структуре таких кристаллов должны наблюдаться фрустрации
и возникают винтовые дефекты (рис. 4.20).
Дефекты структуры твердых тел подразделяются на две категории. То-
чечные дефекты представляют собой вакансии или внедрения дополни-
тельных одиночных атомов или молекул в междоузлия кристаллической
решетки. Линейные дефекты — цепочки точечных дефектов, которые рас-
полагаются вдоль непрерывных кривых, проходящих по упорядоченной
среде. Геометрические особенности дислокаций Вольтерра приведены на
рис. 4.21. Их удобно использовать для классификации структур дисло-
каций.
Рис. 4.21. Дислокации и дисклинации в цилиндрической области упругой среды:
а — винтовая дислокация; б и в — краевые дислокации, г — клиновая
дислокация, д — дисклинация кручения
Существуют два различных типа линейных дефектов: дислокации, при ко-
торых происходит смещение одной части кристалла относительно другой,
и дисклинации, которые включают в себя поворот некоторой области крис-
талла относительно остальной его части (рис. 4.21). Энергия дисклинации
включает в себя упругую энергию, связанную с дальними искажениями поля
директора и может быть рассчитана с помощью общей теории упругости,
рассмотренной ранее (уравнение 4.26). Дисклинация характеризуется силой,
О Фрустрация — вырождение основного состояния в конденсированной системе, когда ее эле-
менты, помимо трансляционных, обладают какой-либо ориентационной степенью свободы.
96
—Глава 4. Жидкие кристаллы
которая определяется по величине отклонения директора от первоначального
направления при обходе ядра дисклинации по замкнутому пути (рис. 4.22).
Таким образом, сила дисклинации т может быть определена как полный
угол поворота, или переориентации, директора при таком обходе:
т =
2л J 2л
(4.35)
где интегрирование ведется по замкнутому контуру вокруг дефекта,
ф(г) — угол директора в положении, соответствующем г, (|)total — полный угол
поворота при обходе по замкнутому контуру, 0 — угол между г и положи-
тельным направлением горизонтальной оси.
т = +1
С= О
Контур
интегрирования
Упорядочение
мезогена
Рис. 4.22. Для расчета силы т
дисклинации надо проинтегри-
ровать изменения направления
директора по замкнутому кон-
туру вокруг дефекта. Показана
ежевидная дисклинация
Пример ежевидной дисклинации еди-
ничной силы, которая встречается в био-
логических жидких кристаллах, приведен
на рис. 4.23. Картина дифракции на малых
(размером порядка 1 мкм) элементах в био-
полимере отражает ориентацию спиральных
молекул мезогена на поверхности отдельной
гранулы крахмала (~60 мкм) и получена
с помощью метода сканирующей микро-
рентгенографии. Этот метод позволяет не-
посредственно определять структуру дис-
клинаций, имеющих микронные размеры,
в различных материалах. Другим методом,
позволяющим охарактеризовать дисклинации в жидкокристаллических ве-
ществах, является поляризационная микроскопия (рис. 4.24).
По количеству «иголок» N, исходящих из дефекта, можно определить
силу дефекта: т = N/2. Знак дефекта (±) определяется направлением пово-
рота «иголок» при вращении поляризатора микроскопа.
Из обобщенной теории упругости следует, что упругая энергия £, при-
ходящаяся на единицу длины дисклинации, расположенной вдоль оси ци-
линдра радиуса R, равна
Е = 2пКт21п
I'd
-к- F
' ^соге ’
(4.36)
где К — средняя константа упругости материала, т — сила дефекта, гс и £соге —
радиус и энергия ядра дефекта. Считается, что линейный дефект содержит
неупорядоченные молекулы и в поперечном сечении имеет молекулярные
размеры. Взаимодействие дефектов приводит к возникновению силы /12,
которая для случая дисклинаций с силами тх и т2 в виде параллельных от-
резков прямых имеет вид
4.3. Дефекты
Л-
97
/12 = -2пКтхт2 . (4.37)
(г12 )
Силы взаимодействия между двумя дефектами равны по модулю, и если
они противоположны по знаку, то возникает притяжение дисклинаций, де-
фекты могут сливаться и взаимно уничтожаться.
Рисунок А.
Карта дисклинации на основе
100 межспиральных рефлексов.
Каждая ячейка соответствует
области 5x5 мкм.
Директоры (отрезки прямой)
образуют поле направлений
с узлом в области (кружки),
смешенной из центра гранул,
не имеющей определенной
ориентации директора
и считающейся ядром гранулы.
Физически такая картина
эквивалентна ежевидной
дисклинации силой т = +1,
встречающейся в жидких
кристаллах.
Рис. 4.23. Одиночные ежевидные дефекты ориентации спиральных молекул
мезогена обычны в гранулах углеводов [Т.А. Waigh, K.L. Kato, A.M.
Donald et al. — Starch, 2000, v.52, p.l2\
a
т = +1
С=0
т = -1/2
С=0
т = +1
С= л/4
6
Взаимная
ориентация
поляризатора
и анализатора
т = +1/2
С=0
т = +1
С=л/2
Рис. 4.24. Примеры структур полей директора в области дисклинации в жидком
кристалле (а) и соответствующие изображения жидкого кристалла, по-
лученные с помощью поляризационного микроскопа при скрещенных
поляризаторе и анализаторе (б)
В смектиках возможны дефекты в виде ступенек (так называемые террасы
Гранжана), которые можно наблюдать с помощью оптического или атомного
силового микроскопа. С помощью поляризационного микроскопа в смекти-
98 Глава 4. Жидкие кристаллы
ках можно наблюдать характерные крупномасштабные дефекты, такие как
циклиды Дюпена1* и конфокальные домены (рис. 4.25).
Рис. 4.25. Дефекты текстур, наблюдаемые в смектических жидких кристаллах
Для исследования структуры смектиков обычно используется метод рас-
сеяния рентгеновских лучей (рис. 4.26). При этом из-за нестабильности Лан-
дау- Пайерлса2) брэгговские пики, обычные для кристаллических веществ,
уширяются, приобретая степенную зависимость от величины отклонения
103(^0-D
волнового вектора от брэгговского значения.
Определение точного вида этой функциональ-
ной зависимости позволяет рассчитать изгиб-
ную упругость слоев, которая тесно связана с
текстурами дефектов данного вида смектика.
Рис. 4.26. Из-за тепловых флуктуаций слоев
смектика брэгговские пики уширяются, при-
обретая степенную зависимость от волнового
вектора. Приведена зависимость интенсивности
рассеянного излучения от приведенного потока
импульса через слой смектика. Штриховая ли-
ния соответствует зависимости I ~ \qz - tf0| 2 Л ,
по которой может быть рассчитана изгибная упру-
гость слоев смектика
Циклиды Дюпена — объекты сферической геометрии Ли, представляющие собой оболоч-
ки, охватывающие непрерывные последовательности сфер; поверхности четвертого порядка,
например, тор.
2) Имеется в виду логарифмическая расходимость среднеквадратичной флуктуации деформации
смещения, обусловленная видом формулы для свободной энергии бесконечно протяженного
двумерного твердого кристалла в нулевом магнитном поле.
4.3. Дефекты •Ar 99
Рис. 4.27. Схематическое изображение фазы смектика с кручением границы зерен,
обусловленным хиральностью молекул мезогена. [Воспроизведено с
разрешения из: Goodby J., Waugh М. A, Stem S.M. et al. — Nature, 1988,
v.337, p.449. Copyright Macmillan Publishers Ltd.]
Рис. 4.28. В естественных фибриллярных биополимерах можно наблюдать большое
разнообразие дефектных текстур. К ним относятся: цилиндричес-
кие спиральные текстуры (а), например, в кости; ортогональные
текстуры (6), например, базальная мембрана позвоночных; орто-
гональные текстуры с кручением (в), например, роговица глаза
у позвоночных; параллельные текстуры (г), например, сухожи-
лия; псевдоортогональные текстуры (д), например, в эндокутику-
ле жуков. [Воспроизведено с разрешения из: Neville А. С. Biology
of Fibrous Comosites. Copyright (1993) Cambridge University Press.]
100
—Глава 4. Жидкие кристаллы
Дефекты кручения границ зерен (смектики с кручением) недавно при-
влекли внимание теоретиков, поскольку между их поведением, описываемым
уравнением Ландау (4.33) для переходов нематик-смектик, и фазовым пове-
дением сверхпроводников есть много общего (рис. 4.27). В жидкокристалли-
ческих веществах биологического происхождения были обнаружены и многие
другие дефектные текстуры (рис. 4.28). Еще в одном примере удивительного
структурного дефекта — «голубой фазе» коллагена (рис. 4.29) — хиральность
молекул коллагена тесно связана с видом наблюдаемой текстуры.
а
б
Рис. 4.29. Твердая голубая холестериче-
ская жидкокристаллическая фаза (а), на-
блюдаемая в коже рыб, очень похожа на
жидкую холестерическую жидкокристал-
лическую фазу (3), образуемую синтетиче-
скими низкомолекулярными мезогена-
ми. \Giraud М.М., Castanet J., Meunier F.J.
// Tissue and Cell, 1978, v.10, p. 671-686.]
4.4. БОЛЕЕ ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ФАЗЫ
Образование жидких кристаллов из биологических полимеров
часто связано с увеличенной персистентной длины, обусловленной переходом
спираль-клубок (например, в ДНК и коллагене), и, наоборот, жидкокристал-
лическая фаза может индуцирвать увеличение персистентной длины в поли-
мерах благодаря стерическим ограничениям. Таким образом, спирализован-
ность полимера тесно связана с видом жидкокристаллической фазы.
Крахмал, запасный полисахарид, и многие протеогликаны представ-
ляют собой естественные полимеры с боковыми цепями, образующие жид-
кокристаллические фазы (рис. 4.30). Для того чтобы одновременно описать
нематическую, холестерическую и смектическую фазы в этих веществах,
образуемые как основной, так и боковыми цепями, требуется дополнитель-
ный параметр порядка. Различным возможным сочетаниям значений этих
параметров порядка соответствует широкий диапазон существенно различ-
ных мезофаз. Сложная взаимозависимость между параметрами порядка для
основной и боковых цепей непосредственно связана с наблюдаемыми мак-
роскопическими физическими характеристиками таких веществ.
Ориентационный порядок в жидком кристалле может сохраняться и в твер-
дом состоянии без образования полной кристаллической решетки в так назы-
ваемых «твердых жидких кристаллах». «Жидкий» в этом случае относится к
сильно неупорядоченному (аморфному) статическому распределению молекул
в жидкокристаллической решетке. Твердые нематические эластомерные фазы
образуются при сшивании мезогенов с гибкими (резиноподобными) полимер-
4.4. Более экзотические жидкокристаллические фазы “•и- 101
ными цепями. Для описания упругих свойств твердых биополимеров, например,
необычной мягкой анизотропной упругости в коллагеновых сетях и паутине,
были предложены модели жидкокристаллических эластомеров (рис. 4.31).
Рис. 4.30. Схематическое изображение полимера с боковыми цепями (амилопек-
тина), образующего жидкокристаллическую фазу после добавления
воды: а — сухая стекловидная нематическая структура; б -смектическая
жидкокристаллическая фаза, образуемая боковыми цепями при гидра-
тации. [Waigh Т.А. , I. Hopkinson, А.М. Donald et al., Macromolecules,
1997, v. 30, p. 3813-3820]
Рис. 4.31. Жидкокристаллические эластомеры:
n — директор нематической струк-
туры. Сшитые молекулы мезогена
образуют резиноподобную сеть
102 -*\r Глава 4. Жидкие кристаллы
Дополнительная литература
Schey Н.М. Div, Grad, Curl and All That. — W.E. Norton, 2005. Краткий курс
векторного анализа.
Collins P.J., Hird M. Introduction to Liquid Crystals. — Taylor&Francis, 1997. Вве-
дение в физику и физическую химию низкомолекулярных жидких кристаллов.
Neville А.С. Fibrous Composites. — Cambridge University Press, 1993. Приведено
большое количество примеров биологических жидких кристаллов.
Chaikin Р., Lubensky Т. Condensed Matter Physics. — Cambridge University Press,
1995. Содержит изложение физики жидких кристаллов на высоком математи-
ческом уровне.
Kiernan М., Lavrentovich O.D. Soft Matter Physics. — Springer, 2003. Близкое по
уровню к предыдущему изложение.
Allen S.M., Thomas E.L. The Structure of Materials. — John Wiley&Sons Ltd, 1999. Вве-
дение в материаловедение, содержащее хорошее описание морфологии дефектов.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
4.1. Гидратированный картофельный крахмал содержит обладающие смекти-
ческой упорядоченностью двуспиральные кристаллиты (рис. 1.15 и 4.32). Если
образец крахмала нагревать до образования геля (чипа), то путь перехода к ко-
нечному продукту определяется тремя параметрами порядка: спирализованнос-
тью (А), нематическим параметром порядка (Р2) и смектическим параметром
порядка (у). Какова последовательность фазовых переходов при образовании
геля (возможный сценарий показан на рис. 4.32)? Какие физические процессы
приводят к взаимосвязи между указанными тремя параметрами порядка?
Смектик
(Р2 > 0, v > 0, h > 0)
Нематик Гель (чип)
(Р2> 0, v = 0, h > 0) (Р2=0, у = 0, Л = 0)
Рис. 4.32. Возможная последовательность фазовых переходов, наблюдаемых при
разрушении гидратированного зерна картофельного крахмала вследствие
нагревания. [Waigh Т.А., Gidley M.J., Komanshek B.U., Donald A. M. //
Carbohydrate Resee arch, 2000, v. 328, p. 165-176.]
Вопросы и задачи
юз
4.2. Рассчитайте нематический параметр порядка P2(cos0) для образца, со-
держащего молекулы муцина из следа улитки, если их ориентация опреде-
ляется ступенчатой функцией вида:
2 п _ Зя
Р(6)= п при 4 <е<Т’
О в других случаях.
В данном образце слизи молекулы муцина образуют дефекты с силой, рав-
ной 2. Сколько «иголок» (темные линии на изображении) будет исходить из
дефекта при наблюдении в поляризационном микроскопе?
4.3. Вирус имеет форму цилиндра высотой 200 нм и диаметром 10 нм. Най-
дите критическую концентрацию образования нематической жидкокристал-
лической фазы в соответствии с теорией Онсагера.
4.4. Добавление гибких боковых цепей приводит к увеличению жесткости
гибкой основной цепи белка, в результате чего может образовываться нема-
тическая фаза. Предложите объяснение появления такой индуцированной
жесткости.
ГЛАВА
ПОДВИЖНОСТЬ
Термические флуктуации приводят к постоянному движению
микроскопических объектов, как живых, так и не живых, по характерным
ломаным траекториям, что легко можно видеть под микроскопом. Многие
живые организмы используют тепловые флуктуации для облегчения транс-
порта веществ или для движения в окружающей среде. В биологических
системах подвижность играет чрезвычайно важную роль во многих процес-
сах, в частности, в транскрипции ДНК, упаковке ДНК в вирусах, движении
бактерий в поисках пищи, сокращении поперечнополосатых мышц (напри-
мер, при поднятии гантелей). Сначала мы рассмотрим процесс свободной
диффузии, а затем перейдем к анализу движений молекулярных моторов
(см. также главу 14).
Для изучения роли подвижности в различных биологических процессах
используются разнообразные неинвазивные методы (глава 13), включающие
флуоресцентную корреляционную спектроскопию, импульсные лазерные
методы, динамическое светорассеяние, неупругое рассеяние нейтронов и
рентгеновских лучей, ЯМР, видеозапись траекторий движения частиц. Благо-
даря использованию этих методов, исследования биологической подвижнос-
ти имеют твердую экспериментальную базу. Диапазон характерных времен,
доступный экспериментальному исследованию в биологических системах,
простирается от единиц фемтосекунд (10-15 с) до многих лет (процессы ста-
рения в биополимерных стеклах).
5.1. ДИФФУЗИЯ
Диффузия — это процесс скачкообразного движения молекул
на небольшие расстояния, обусловленный их столкновениями с соседями.
Эквивалентно этому диффузию можно определить как процесс, обусловли-
вающий эволюцию макроскопических градиентов концентрации в веществе.
5.1. Диффузия -*ъ- 105
Так, пищевой краситель, введенный в воду, со временем окрасит ее во всем
объеме сосуда: скачкообразное движение молекул в наномасштабе приво-
дит к перераспределению красителя в макроскопическом масштабе. Чтобы
получить количественное описание диффузии, рассмотрим сначала статис-
тическое поведение системы на малых расстояниях. Эквивалентное описа-
ние на макроскопическом уровне дает закон Фика, описывающий измене-
ния со временем распределения концентрации диффундирующего вещества
в пространстве.
Сначала мы рассмотрим статистическое описание диффузии в одном измере-
нии, что значительно упрощает анализ явления. В этом случае смещение (х;(я))
частицы относительно начала координат через п шагов по времени связано
с ее смещением на предыдущем шаге (Xj (я-1)) следующим образом:
х,- (и) = х,- (я — 1) ± е , (5.1)
где е — случайная величина, определяющая смещение за один шаг по вре-
мени, п — число шагов. При этом считается, что вероятность перемещения
частицы влево (-е) равна вероятности перемещения вправо (+е). Поскольку
среднее смещение частицы (<х, (я)>) равно нулю, для описания движения
частицы необходимо использовать квадрат смещения:
х2 (я) = х2 (я — 1) ± 2ех(-(я — 1) + е2 . (5.2)
При усреднении второй член в правой части обращается в нуль, так как
<xz (я - 1)> = 0, поэтому среднее значение квадрата смещения может быть
записано в виде:
1 "
(х,-2 («)} = у 52х»2 = (х/2 (я - !)) + £2 (5.3)
Это итерационное соотношение связывает среднее значение квадрата сме-
щения на я-м шаге ((х2(я)^} со средним квадратом смещения на (я-1)-м
шаге (^х2 (и -1)^]. Уравнение (5.3) выполняется для всех п, вплоть до я = 1,
и легко видеть, что среднее значение квадрата смещения изменяется про-
порционально числу шагов:
(х2 (я)} = яе2 , (5.4)
где я — число шагов по времени. Эта линейная зависимость среднего квадрата
смещения от времени — основная характеристика диффузионного движения.
Его можно сравнить со всем известным баллистическим движением (напри-
мер, пули), при котором <х2> пропорционально я2.
Число шагов, на которых рассматривается движение частицы, связано
с соответствующим интервалом времени (Г) и размером шага (т): я = г/т.
Подставляя это выражение в (5.4), получим:
106 _l\, Глава 5. Подвижность
t.
(5.5)
Коэффициент диффузии D определяется среднеквадратичной амплитудой
флуктуаций (скачков) для такого одномерного стохастического процесса:
2т
(5.6)
Чем больше коэффициент диффузии частицы, тем больше амплитуда ее
флуктуаций, и наоборот. Коэффициент !/2 введен для соответствия уравнению
Фика, которое получается из непрерывного (не дискретного) рассмотрения
макроскопического поведения системы. Комбинация уравнений (5.5) и (5.6)
дает связь между коэффициентом диффузии и среднеквадратичной величи-
ной флуктуаций координаты частицы при одномерном движении'.
{x2(t)) = 2Dt. (5.7)
Диффузия в одном измерении статистически соответствует уширению рас-
пределения вероятностей для значений координаты частицы со временем
(рис. 5.1). Острое, суженное до точки распределение координат частиц для
первого шага (/= 1) за счет диффузии со временем (/= 15) уширяется.
Рис. 5.1. Изменение со временем нор-
мального распределения вероятностей
для свободно диффундирующих частиц
(в момент времени t = 0 все частицы на-
ходились в точке х = 0)
Для малых молекул в воде при
комнатной температуре типичное
значение коэффициента диффу-
зии составляет около 10-5см2 с-1.
При таком коэффициенте диффу-
зии характерное время (тс), за ко-
торое частица пройдет расстояние,
равное размеру бактерии (1(Нсм),
составит тс « x2/2D = 5 -10“4 с.
Обобщение коэффициента диф-
фузии для случаев движений в двух
или трех измерениях вполне оче-
видно:
(г2) = 2NDt, (5.8)
где г — смешение в TV-мерном про-
странстве, t — время, D — коэффициент диффузии.
Пример случайных блужданий сферической частицы (полистирол) в двух
измерениях в воде и в более вязком растворе глицерина приведен на рис. 5.2.
Ясно видно, что увеличение вязкости среды приводит к уменьшению амп-
литуды смещений частицы.
107
5.1. Диффузия
Это уменьшение амплитуды смещений объясняется увеличением сопро-
тивления среды при движении частицы. Коэффициент диффузии, энергия
теплового движения и коэффициент вязкого трения связаны уравнением
Эйнштейна (флуктуационно-диссипативная теорема):
£ = j-, (5.9)
где кТ — тепловая энергия, D — коэффициент диффузии,/— коэффициент
трения.
Рис. 5.2. Траектории движения коллоидной сферической частицы, диаметром
0,5 мкм, диффундирующей в воде (о) и глицерине (6)
б
Для сферы, движущейся в вязкой жидкости, при ламинарном обтекании
из уравнения Навье-Стокса можно получгфвыражение для коэффициента
трения (уравнение Стокса):
/ = 6тгг|о, (5.10)
где т| — вязкость жидкости, а — радиус частицы. Коэффициенты трения
известны (или могут быть рассчитаны) для большого числа твердых микро-
скопических объектов. Объединяя уравнения (5.9) и (5.10), получим уравнение
Стокса-Эйнштейна для сферической частицы:
D =
кТ
бчща '
(5.11)
Экспериментально определив зависимость смещения частицы от време-
ни (или измерив коэффициент диффузии), по этим соотношениям можно
рассчитать размер частицы. При движении системы частиц необходимо
различать их взаимную диффузию и самодиффузию. При взаимной диффу-
108 -l\, Глава 5. Подвижность
зии учитываются флуктуации перераспределения частиц по отношению
к их соседям, в то время как при самодиффузии важно перераспределение
индивидуальных частиц по отношению к лабораторной системе координат.
Методы квазиупругого рассеяния (нейтронов, рентгеновских лучей) обычно
дают информацию о трансляционной взаимной диффузии.
Помимо флуктуаций положения (трансляционной диффузии) частицы
в растворе подвержены флуктуациям ориентации — вращательной диффу-
зии. При постоянных столкновениях частицы с молекулами растворителя
происходит передача не только импульса, но и момента импульса (углового
момента). Статистический анализ вращательного движения не отличается
от анализа трансляционного движения. Среднеквадратичная величина по-
ворота частицы (<02>) связана со временем (/) посредством коэффициента
вращательной диффузии (£>е):
(е2) = 2ЛСОеТ, (5.12)
где N — число вращательных степеней свободы (углы Эйлера в трехмерном
пространстве). Применение флуктуационно-диссипативной теоремы к вра-
щательной диффузии привод^к*следуюшему соотношению между тепловой
энергией, коэффициентом вращательной диффузии и коэффициентом трения
для вращательного движения Чабтицы:
(5.13)
Коэффициент трения для вращения сферы:
/е=8тп1о3, (5.14)
где а — радиус сферы, т| — вязкость жидкости. Из уравнений (5.12) и (5.13)
легко получить выражение для коэффициента вращательной диффузии для
сферической частицы:
Этот коэффициент сильно зависит от радиуса частицы а, поэтому крупные
частицы вращаются очень медленно.
Макроскопическое описание трансляционной диффузии основывается на
законе Фика и эквивалентно микроскопическому описанию на малых рас-
стояниях. Первый закон Фика связывает плотность потока диффундирующих
частиц (JJ с градиентом их концентрации («Эс/Зх):
JX=~D^, (5-16)
где концентрация частиц с выражена в моль см-3, а поток в моль см-2 с-1.
Плотность потока в точке х в момент времени t пропорциональна градиенту
5.1. Диффузия -*Ъ- 109
концентрации частиц в этой точке в тот же момент времени, причем коэф-
фициент пропорциональности равен коэффициенту диффузии со знаком
«минус» (-Z)).
Второй закон Фика имеет вид:
до _ _ д2с
di~
(5.17)
то есть скорость изменения концентрации в точке х в момент времени t
пропорциональна кривизне профиля концентрации в этой точке в тот же
момент времени, причем коэффициент пропорциональности равен коэф-
фициенту диффузии.
Неравномерное распределение частиц в пространстве со временем пре-
вращается в равномерное в соответствии с двумя законами Фика. На
рис. 5.3 приведены изменения со временем профиля концентрации мо-
лекул красителя, имевшего в начальный момент времени вид резкой сту-
Рис. 5.3. Изменения со временем профиля концентрации, имеющего в момент
времени t = 0 вид ступенчатой функции с разрывом при х = О (Z = 0; 1; 5
и 15 с)
пеньки, обусловленные взаимной диффузией молекул красителя и рас-
творителя.
В трех измерениях законы Фика могут быть записаны в векторной форме:
J = -DVc (5.18)
= (5.19)
Лучший способ быстро найти решение этих дифференциальных уравнений
в частных производных для конкретных начальных и граничных условий —
поискать его в специализированных учебных пособиях по прикладной ма-
110
_Глава 5. Подвижность
тематике. Решение таких уравнений часто требует применения довольно
сложных математических приемов. Для того чтобы дать представление об
основных подходах к решению таких задач, ниже будут приведены несколь-
ко результатов для ряда конкретных геометрий системы.
А. Диффузия из точечного источника. Представьте себе, что какое-то ко-
личество молекул красителя введено с помощью микропипетки в неко-
торый объем воды. Было обнаружено, что диффузия красителя хорошо
описывается гауссовской функцией:
N (-г2!
с<г-',=;^ехрЫ- <5-20)
где с (г, f) — концентрация молекул красителя в момент времени t на
расстоянии г от источника, N — полное количество молекул. Эта зави-
симость позволяет легко рассчитать поток молекул красителя с помощью
первого закона Фика (5.15). В эксперименте под микроскопом сначала
наблюдается яркое пятно, которое быстро расплывается и тает по мере
приближения концентрации красителя к равновесному низкому уровню
Рис. 5.4. Зависимость концентрации диффундирующего вещества от времени
в некоторой точке на фиксированном расстоянии от точечного источ-
ника при различных коэффициентах диффузии (Л). [Воспроизведено с
разрешения из: Berg Н. С. Random walks in biology. Copyright (1993) Princeton
University Press.]
(рис. 5.1). Зависимость концентрации красителя от времени в некоторой
фиксированной точке в пространстве приведена на рис. 5.4.
Б. Диффузия к сферической частице адсорбента. Предполагается, что каждая
частица, достигшая поверхности сферы, поглощается (рис. 5.5, а). Такое
5.1. Диффузия 111
граничное условие несколько искусственно (возможно, хорошей моделью
является постоянно питающаяся бактерия). Математически оно сводится
к тому, что на поверхности сферы (г = а) концентрация равна нулю, а на
большом расстоянии от сферы (г = ©о) — начальному значению с0. При
таких граничных условиях решение имеет вид:
с(г) = с0
(5.21)
в
Рис. 5.5. Различные конфигурации абсорбирующих систем: а — сфера; б — диск;
в — круглое отверстие; д — эллипсоид. Стрелками указано направление
движения молекул диффундирующего вещества
где а — радиус сферы. %
По первому закону Фика (5.15) можно рассчитать плотность потока диф-
фундирующих частиц:
Jr = -D^ = -Dc0±. (5.22)
Частицы поглощаются сферой со скоростью, равной произведению пло-
щади поверхности сферы 4ла2 на величину плотности потока, направлен-
ного внутрь сферы
I = biDac^. (5.23)
Скорость адсорбции / — диффузионный поток частиц, проходящих че-
рез поверхность сферы за 1 с, с0 — концентрация частиц (моль см-3)
вдали от сферы. Прямая пропорциональность между скоростью поглоще-
ния и площадью поверхности (I ~ а) сохраняется для частиц абсорбента
с различной геометрией, то есть этот процесс практически не зависит от
формы частиц. Из этого следует, что в природе возможны разнообраз-
112 Д.
Глава 5. Подвижность
ные эффективные механизмы абсорбции биомолекул, что, действитель-
но, имеет место. Эти выводы существенны при рассмотрении систем,
в которых химические реакции сопряжены с диффузией реагентов, и для
полноты картины мы рассмотри еще три случая.
В. При диффузии к адсорбенту в форме диска (рис. 5.5 б) скорость погло-
щения частиц равна
I = ADscq , (5.24)
где s — диаметр диска.
Г. При диффузии частиц из области с концентрацией с{ в область с концен-
трацией с2 через круглое отверстие поток частиц равен
/2,1 = 2Ds(c2-c}). (5.25)
Поток пропорционален не площади отверстия, а его диаметру.
Д. При диффузии к эллипсоидальной частице адсорбента считается, что
концентрация на поверхности Истицы равна нулю, а вдали от нее (г = оо)
постоянна и равна с0. Если большая ось эллипсоида (а) много больше
малой (Ь), то диффузионный поток определяется соотношением:
/ = • (5-26)
1п(2а/о)
В этом случае поток приблизительно пропорционален длине эллипсоида.
5.2. ГИДРОДИНАМИКА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
Молекулярной биофизике приходится иметь дело с диффу-
зией, которая происходит, в основном, в условиях, соответствующих малым
числам Рейнольдса. Это приводит к результатам, противоречащим здравому
смыслу, но, с другой стороны, при малых числах Рейнольдса значительно уп-
рощается математическое рассмотрение движения биологических молекул.
Число Рейнольдса (А) — безразмерная величина, которая для частицы, дви-
жущейся в жидкости со скоростью v, определяется следующим образом:
R = 2vLp ,
П
где L — размер частицы, р — плотность жидкости, г] — ее вязкость. Анализ
уравнения Навье-Стокса — общего уравнения гидродинамики — показывает,
что число Рейнольдса является удобной характеристикой при описании движе-
ния тел в вязкой жидкости. Оказывается, что при R < 1 инерционными силами (
т dv/dt, произведение массы на ускорение) можно пренебречь на довольно боль-
5.2. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса 113
Сила
сопротивления
6лТ|ДУ
Рис. 5.6. На бактерию, которую мож-
но приближенно рассматривать как
сферическую коллоидную частицу
радиуса о, со стороны окружающей
среды действует сила вязкого трения
(6тгг|оу), которая быстро затормажи-
вает ее движение
ших временах (порядка миллисекунд), и, кроме того, при этом не наблюдаются
турбулентные течения. Для лосося, движущегося со скоростью (v) 102 смс-1 в воде
с вязкостью (т|) 10-2 гем-1 с-1, имеющего поперечный размер (£) около 10 см,
плотность (р) 1 гем-3, число Рейнольдса составляет 105 (гидродинамика при
больших числах Рейнольдса). С другой стороны, для бактерии, движущейся со
скоростью v = 10-3 см с-1, при L = 10-4 см,
р~ 1 гем-3, т| ~ 10-2 гем-1 с-1 число Рей-
нольдса очень мало: R ~ 10-5 (гидроди-
намика при малых числах Рейнольдса).
Из-за разного соотношения инерционных
сил и сил вязкого трения рыба и бактерия
используют разные стратегии плавания.
Лосось движется, придавая ускорение
окружающей его воде. Бактерия создает
сдвиговые напряжения для перемещения
в вязкой среде.
Полезным примером, подчеркиваю-
щим необычность характеристик движения при низких числах Рейнольдса,
может быть расчет длины пробега бактерии, движущейся по инерции в воде
(рис. 5.6). Математически задача формулируется очень легко. В отсутствие
внешних сил в вязкой среде ускорение частицы связано с силой вязкого
трения посредством второго закона Ньютона:
-т = бтгцяу, (5.28)
от
где т — масса частицы, у — скорости, т| — вязкость воды, а — радиус
частицы. Скорость входит в обе части этого уравнения, и оно может быть
проинтегрировано методом разделения переменных:
dv бтща .
— =-------— dt
у т
(5.29)
Решив это уравнение, получим, что скорость приближается к нулю с харак-
терной постоянной времени т:
v(/) = v(0)e-'/T (5.30)
где р5 - плотность частиц. Проинтегрировав этот результат еще раз, полу-
чим расстояние, на которое сместится бактерия, движущаяся по инерции
до полной остановки:
114 -lb Глава 5. Подвижность
d = fv(t)dt = v(O)x. (5.32)
о
После подстановки характерных значений v, а, и т| получим, что это рас-
стояние очень мало: по порядку величины оно равно 4-1012 м.
Во многих экспериментах в области микрофлюидики при интерпретации
результатов используется приближение малых чисел Рейнольдса, как, напри-
мер, в области микрореологии и при использовании оптических/магнитных
пинцетов при низких частотах (глава 13).
Полное уравнение Ланжевена представляет собой удобный способ изу-
чения эффектов теплового движения в случае высоких значений числа
Рейнольдса. В практическом плане такая ситуация имеет место при уче-
те флуктуаций кончика иглы атомного силового микроскопа (АСМ) или
высокочастотных флуктуаций положения частицы в оптическом пинцете.
Уравнение движения флуктуирующей частицы можно записать на основе
второго закона Ньютона:
d2x(t) , dx(t) , . . „. .
т - 2V + + кх (Г) = F(f), - (5.33)
dt
где x (t) - смещение частицы в зависимости от времени, md2x/dt2 — инерци-
оная сила, действующая на частицу, у dx/dt — сила сопротивления, кх — упругая
сила, F (?) — случайная сила, вызывающая тепловое движение частицы.
Во многих задачах при анализе спектральных характеристик движения час-
тицы очень полезной может быть временная автокорреляционная функция
для смещений частицы (Лх (/)), которая определяется следующим образом:
Я* (') = <* (О *('-*)>= Нт
1 —>оо
' T/2
= [ x(t)x(t-x)dt
-Т/2
(5.34)
где <> означает усреднение по времени, т — сдвиг по времени. Автокор-
реляционная функция удовлетворяет упрощенному уравнению движения
(5.33), в котором правая часть равна нулю, так как хи Fno определению не
коррелированы. Подстановка Rx в (5.32) дает:
d2Rx т dRx (т _ , . „
---Т22 + Y j (т = 0 •
(5.35)
Такое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка решается
стандартными методами. Полученная при этом автокорреляционная функция
(а также ее фурье-образ — спектральная мощность) может быть использована
при интерпретации экспериментальных данных.
5.3. Подвижность JU 115
5.3. ПОДВИЖНОСТЬ
На первый взгляд, отсутствие инерционных сил представляет
собой непреодолимое препятствие для движения микроорганизмов. Возврат-
но-поступательное движение (например, весла, движущегося из стороны в
сторону) не приводит к перемещению микроорганизма. Это можно сравнить
с попыткой человека плыть брассом в вязком си-
ропе — он не сдвинется с места. Как же эволюция
решила эту проблему?
Характер движения жгутиковых (бактерий, име-
ющих жгутики) определяется размерами и формой
клетки, а также числом и расположением жгутиков.
Так, например, клетка Е. coli имеет диаметр 1(Н см,
длину 2-10"4 см и шесть жгутиков, обеспечивающих
ее движение. Жгутики приводятся в движение ис-
ключительно элегантным устройством: мотором с
вращающимся ротором (глава 14). Подвижность бак-
терии обеспечивается одновременными движениями
этих шести жгутиков. При синхронном вращении
жгутиков против часовой стрелки они образуют пу-
чок, который обеспечивает движение клетки вперед:
бактерия «бежит». Когда же жгутики движутся не-
согласованно, движение клетки становится беспо-
рядочным: бактерия «кувыркается». Переключение
между этими двумя видами движения происходит
случайным образом. Распределение соответствующих
0,005 см
Рис. 5.7. Схематическое
изображение траектории
движения бактериальной
клетки в воде, соответ-
ствующего пуассонов-
скому процессу. [Воспро-
изведено с разрешения
из: Berg Н.С., Brown D.A.
Nature, v. 239, p. 500-504.
Copyright (1972) Macmillan
Publishers Ltd.]
co-Q
Бактерия
i ------------►
V
Q
Рис. 5.8. Схематическое изображение
процесса перемещения бактерии в вязкой
среде: а — бактерия движется со скоро-
стью г; б — силы, возникающие при вра-
щении жгутика, Fv — составляющая силы
реакции среды при вязком скольжении,
обеспечивающая перемещение бактерии.
[Berg Н. С. Random walks in biology. Princeton
University Press, 1993.]
116 Глава 5. Подвижность
им интервалов времени экспоненциальное, и длина каждого интервала не за-
висит от длин предыдущих интервалов. Такой способ перемещения позволяет
бактерии искать пищу в окружающей среде (рис. 5.7). Статистические характе-
ристики движения бактерии, представляющего собой пуассоновский процесс
(см. врезку), существенно отличаются от характеристик броуновского движения
неподвижных коллоидных частиц, изображенного на рис. 5.2.
Таким образом, перемещение бактерии осуществляется за счет движений
жгутиков. Движущая сила обусловлена компонентой силы реакции среды,
возникающей при вязком скольжении спирально закрученного жгутика от-
носительно воды и направленной вдоль направления движения (рис. 5.8).
Рассмотрим пуассоновский случайный процесс. Вероятность того, что
частица изменит направление движения один раз на интервале времени
от t до t + dt, равна:
Р(/,Х) = Хе-х'Л, (5.36)
где вероятность того, что изм§н1ние направления движения произойдет
один раз за единицу времени, равна Л. Математическое ожидание времени
изменения напралвнеия движения равно:
= (5-37)
Среднее значение квадрата времени ожидания смены направления
равно:
(?2) = А = 2(/)2. (5.38)
Л
Дисперсия времени ожидания смены направления равно его среднему
значению:
а = ((/2)-<02)1/2=<0- (5-39)
Для пуассоновского процесса, которым описывается движение бактерии,
расчет дает следующее значение эффективного коэффициента диффузии:
где а — среднее значение косинуса угла между последовательными прямо-
линейными пробегами бактерии, v — скорость направленного движения
бактерии, т — средняя длительность пробега. Если среднее значение косинуса
5.4. Задача о достижении границы -»и- 117
угла между последовательными пробегами равно нулю (а = 0), то D = г2т/3 ,
что совпадает со значением коэффициента невозмущенной трансляционной
диффузии. Другие примеры подвижности будут рассмотрены в главе 14.
5.4.
ЗАДАЧА О ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦЫ
Вопрос о первом достижении границы относится к основным
статистическим задачам при изучении биологических процессов. Он может
быть сформулирован следующим образом: «Сколько времени требуется час-
тице, чтобы переместиться на определенное расстояние?». Таким образом,
вопрос о диффузии частицы на определенное расстояние взаимосвязан
с вопросом о времени первого прохождения ею границы определенной
области пространства. Частным случаем этой задачи является вопрос о
времени, через которое частица,
находящаяся в начальный момент
времени в начале координат (х = 0),
будет поглощена в точке х = х0
(рис. 5.9). Среднее время t0, через
которое частица будет поглощена,
равно:
Отражающая
стенка
х = 0
Поглошаюшая
стенка
X = Xq
to = -T—y = ’ <5-41>
Л*о) /W
Рис. 5.9. Схематическое изображение
частицы, свободно диффундирующей
от отражающей стенки в точке х = 0
к поглощающей стенке в точке х = х0
где j (х) — концентрационный поток,
описанный в разделе 5.1. Решение
задачи о частице, находящейся
между отражающей и поглощающей
стенками, приведено на рис. 5.10.
В отсутствие внешних сил время
первого прохождения границы об-
ласти может быть найдено из урав-
нения (5.7) как время диффузии
в одном измерении:
х2
t = %. (5.42)
Пусть молекула белка диаметром
500 нм диффундирует вдоль нити
фибрина в сгустке крови. Время, че]
Рис. 5.10. Решение задачи о первом дости-
жении границы области. Приведена зави-
симость вероятности от величины смеще-
ния частицы для ситуации, изображенной
на рис. 5.9: свободно диффундирующая
частица помещена между отражающей
и поглощающей стенками
которое она в первый раз достигнет
соседнего мономера фибрина (45 нм) составит 2,33 мс, если использовать
оценку для коэффициента диффузии D ~ 4,35-10-13 м2 с-1, полученную из
уравнения Стокса-Эйнштейна (5.10). Сходный расчет может быть исполь-
118 _l\, Глава 5. Подвижность
зован при исследовании, например, движения /ас-репрессора, то есть для
оценки времени, необходимого специализированному ферменту для дости-
жения определенного сайта на цепи ДНК (глава 16).
Более сложно определить время, необходимое для того, чтобы молекула,
находящаяся в начале координат (х = 0), смогла перейти через потенциаль-
ный барьер, расположенный на некотором удалении (х = х0). В случае по-
стоянной силы (/), действующей на молекулу, потенциальная энергия (U)
зависит от расстояния (х) следующим образом:
U(x) = —Fx. (5.43)
Тогда время первого прохождения частицы через барьер равно:
*0 ( 1 f -Fx0/kT _ 1 . FxQ 1
2ЛДГх0] Г кТ]'
(5.44)
Из этого соотношения следует, что при диффузии в направлении резко-
го уменьшения потенциала, сила, действующая на частицу положительна
и велика, а время первого прохождения приблизительно равно расстоянию,
деленному на среднюю скоростьдаижения (Xq/v). При диффузии по градиенту
потенциала, то есть в сторону возрастания потенциальной энергии частицы, вре-
мя первого прохождения барьера возрастает приблизительно экспоненциально
с ростом силы (рис. 5.11).
Рис. 5.11. Зависимость времени
первого прохождения от прило-
женной силы для частицы, закреп-
ленной на пружине: U (х) = кхЦ1
(гармонический потенциал)
Рис. 5.12. Схематическое изображение зависи-
мости энергии диффундирующей частицы от
координаты (х) в параболическом потенциаль-
ном ящике высотой t/0
Для диффузии частицы в параболическом потенциальном ящике время
первого прохождения (называемое крамеровским временем гк) равно:
<5-45»
5.4. Задача о достижении границы
где т = у/к — коэффициент трения, деленный на жесткость пружины
(рис. 5.12), a UQ — высота параболического барьера. Таким образом, форма
потенциального барьера существенно влияет на вид зависимости времени
первого прохождения барьера от пара-
метров задачи.
Важный пример задачи о времени
первого прохождения через барьер свя-
зан с определением скорости конфор-
мационных изменений молекулы бел-
ка. Первое возможное решение дается
уравнением Аррениуса (рис. 5.13), кото-
рое описывает переход молекулы между
двумя состояниями (например, сверну-
тым и развернутым), различающимися
значениями свободной энергии. Веро-
ятность обнаружить молекулу белка в
активированном состоянии определя-
ется распределением Больцмана. Тогда
Рис. 5.13. Зависимость энергии от
координаты реакции для конфор-
мационного перехода молекулы из
состояния 1 (свободная энергия б^)
в состояние 2 (свободная энергия б2)
константа скорости (fcj) равна
кх = Ae~*G»/kT , (5.46)
где Д<712 = Gf -G2 — разность свободных энергий в двух состояниях мо-
лекулы белка. В уравнении Аррениуса остается неизвестным предэкспо-
ненциальный множитель А, для определения которого надо использовать
дополнительные предположения. В теории абсолютных скоростей реакций
Эйринга эта константа определяется квантово-механическим движением по
выделенной колебательной степени свободней обычно по порядку величи-
ны равна кТ/h 6- 1012с. Это приближение достаточно хорошо для случая
разрыва ковалентных связей, но не пригодно для описания глобальных
конформационных изменений белковой цепи.
Для глобальных конформационных изменений белков более реалистичные
оценки величины предэкспоненциального множителя А в уравнении (5.46)
дает теория скоростей Крамера. Она учитывает диффузионные флуктуации,
которые определяют скорость реакции в этом случае:
кх = —
т
AGal
кТ
е-^/кТ
(5.47)
AGal = Ga~Gl (5-48)
Белок диффундирует в переходное состояние со скоростью, обратно про-
порциональной времени диффузии. Поправочный коэффициент (е) для ско-
рости перехода равен вероятности того, что конформационный переход со-
120 -J\, Глава 5. Подвижность
вершается тогда, когда белок находится в переходном состоянии; т — время
разупорядочивания молекулы белка. Согласно теории Крамера, частотный
фактор (т-1) примерно равен обратной величине времени релаксации Ст1 = Л/у,
где к — константа упругости, у — диссипативная постоянная для белка).
5.5. ТЕОРИИ СКОРОСТЕЙ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Во многих случаях скорости биологических процессов опреде-
ляются стадиями диффузии реагентов к месту реакции. Предполагается, что
биомолекулы типов А и В в реакционной смеси вступают в реакцию только
при столкновении (рис. 5.14). Считая молекулу В неподвижной, для плот-
ности потока молекул типа А (JA) можем записать первый закон Фика:
Ja=-Da^-, (5.49)
где — коэффициент диффузии вещества А,
г -9 расстояние между В и А. Вблизи двух реа-
гирующих частиц имеется исключенный объем,
имеющий вид сферы с радиусом, равным сумме
радиусов этих молекул (г0 = гА + гв). В исклю-
ченном объеме (г < г0) концентрация вещества
А равна нулю (сА = 0). На больших расстояниях
от В (г —> оо) концентрация вещества А равна
его объемной концентрации (сА —> сА ).
Полный поток молекул А к молекуле В равен произведению плотности
потока А на площадь поверхности исключенного объема. Для сферы радиуса
г с центром в В поток молекул A (dqA/dt) равен:
= -4nr2JA = , (5.50)
dt А Адг
где для плотности потока использовано выражение (5.49). Полученное
соотношение можно упростить, проинтегрировав по пространственной пе-
ременной:
^J*=4nDAfdcA, (5.51)
III г и
'о 0
где г0 — радиус исключенного объема. После интегрирования получим:
^ = 4nDAr0c°A. (5.52)
А В
Рис. 5.14. Схематическое
изображение двух биомо-
лекул типов А и В, которые
вступают в реакцию при
столкновении, обусловлен-
ном их диффузией
Вопросы и задания -*и- 121
Для подсчета полного числа комплексов, образующихся за 1 с, необхо-
димо учесть диффузию молекул В:
^- = 4nr0(DA+DB)c0Ac°B. (5.53)
Константа скорости реакции между молекулами А и В, которая обуслов-
лена только диффузией, равна:
k = 4nf(DA+DB)Nr0, (5.54)
где N— число Авогадро, а/— стерический фактор, который для столкновения
твердых сфер имеет порядок единицы. Это выражение будет использовано в
главе 16 при рассмотрении взаимодействия 1ас-репрессора с ДНК.
Дополнительная литература
Howard J. Mechanics of Motor Proteins and the Cytoskeleton. — Sinauer, 2001. Очень
ясное современное изложение проблем биологической подвижности.
Berg Н.С. Random walks in biology. Princeton University Press, 1993. Классическая
работа, посвященная подвижности биомолекул и написанная экспертом в этой
области. Большая часть настоящей главы основана на этой работе.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
5.1. Комар, имеющий размеры порядка 10-3 м летит со скоростью 10-1 м-с1.
Найдите для него число Рейнольдса, считая, что плотность и динамическая
вязкость воздуха равны 1,3 кгм-3и 1,8 (Д-5 Н е м-2.
5.2. Предполагается, что потоки ионов натрия в клетке удовлетворяют за-
конам Фика (коэффициент диффузии равен 1,35-Ю-9 м2 с-1). В организме
потоки ионов натрия используются для передачи сигналов. Сколько времени
займет диффузия иона натрия на расстояние, равное длине нейрона (2,7 мм)?
Какие комментарии Вы можете сделать по поводу целесообразности такого
способа сигнализации?
5.3. Рассмотрим вращательную диффузию сферической вирусной части-
цы (вириона). Как связана среднеквадратичная флуктуация угла поворота
вириона (<62>) с вращательным коэффициентом диффузии? Оцените вре-
мя поворота вириона на угол 90°, если тепловая энергия (к Т) составляет
4,1-10 21 Дж, вязкость равна 0,001 Па с, а вирион можно считать сферой
с радиусом 2 мкм. Сравните время, необходимое для перемещения фикси-
122 -J\, Глава 5. Подвижность
рованной точки поверхности вириона на расстояние 2ло при вращении, со
временем трансляционной диффузии на такое же расстояние.
5.4. Для описания движения бактерии можно использовать распределе-
ние Пуассона. Эффективный (кажущийся) коэффициент диффузии бак-
терии составляет 4106 см2-с-1. Определите среднее значение угла между
последовательными пробегами бактерии, если ее скорость во время про-
бегов постоянна и равна 10 3 см-с1, а продолжительность пробегов рав-
на 1 с.
ГЛАВА САМОСБОРКА ПРИ АГРЕГАЦИИ
Комплексы биомолекул часто чрезвычайно сложны. Важным
достижением в их исследовании стало обнаружение способности многих из
них к самосборке из исходных молекул — составных частей комплекса. Эти
молекулярные составные части самопроизвольно объединяются в агрега-
ты без всякого вмешательства извне. Если компоненты, растворитель, pH
и температура выбраны правильно, система переходит в состояние с мини-
мальной свободной энергией и при этом происходит ее правильная само-
организация. Стратегия самоорганизации был использована биологической
эволюцией бессчетное число раз и, видимо, она неразрывно связана с самим
возникновением жизни.
Можно привести множество примеров самоорганизующихся биологи-
ческих систем. Так, у вируса табачной мозайки РНК связывается с оболо-
чечными белками, в результате чего образуется стержневидный спираль-
ный вирион, способный инфицировать растения табака. Полипептидные
цепи многих глобулярных ферментов способны правильно сворачиваться
в глобулу с образованием полностью функциональных биокатализаторов.
Последнее представляет собой чрезвычайно сложную проблему Левинталя,
упоминавшуюся при обсуждении переходов клубок-глобула в разделе 3.3.
Актин, тубулин и флагеллин способны к самосборке, после чего обеспечи-
вают клеточную подвижность. При переходе гемоглобина в состояние геля
в эритроцитах они приобретают характерную серповидную форму (рис. 6.1)
и в значительной мере утрачивают свои функции — это первый пример
болезни (серповидно-клеточная анемия), связанной с самоорганизацией.
Еще один пример — амилоидоз при прионовых заболеваниях, интенсивно
изучаемый в настоящее время. Самообразование амилоидных бляшек со
структурой 0-листов наблюдается при большом числе заболеваний, вклю-
чая болезнь Альцгеймера, губчатую энцефалопатию («бешенство») коров
и болезнь Паркинсона (рис. 6.2.).
124 Глава 6. Самосборка при агрегации
Агрегаты гемоглобина
Нормальный эритроцит Серповидная клетка
Рис. 6.1. Молекулы гемоглобина 5, имеющие точечную мутацию в первичной
структуре, полимеризуются в нити и затем в результате самосборки
образуют нерастворимые трубчатые фибриллярные агрегаты, которые
могут вызывать выпячивания клеточной мембраны. Серповидные клет-
ки плохо проходят через капилляры, что ухудшает снабжение тканей
кислородом (анемия)
пептида
Рис. 6.2. Гигантские спонтанно образующиеся p-структурные агрегаты
считаются ответственными за целый ряд прионовых болезней.
В модельных пептидных системах обнаружена целая иерархия
структур, зависящая от концентрации пептида. Диаметры обра-
зующихся волокон зависят от хиральности пептидных мономе-
ров. Буквами h и w обозначены шаг спирали и толщина волокна.
[Воспроизведено с разрешения из: Aggeli A., Nyrkova I.A., Bell М. —
Proceedings of the National Academy of Sciences, v. 98, No. 21, p.
11857-11862. Copyright (2001) National Academy of Sciences.]
Клеточные мембраны могут образовываться из их основных компонентов
в результате самосборки. Целый рад липидов легко образует бислои, которые
затем спонтанно замыкаются в везикулы. Естественные клеточные мембра-
ны имеют более сложную конструкцию (в их структуру входят внутримем-
бранные белки, а также структурные белки, играющие роль «строительных
лесов»; рис. 6.3), однако считается, что и в этом случае основным механиз-
мом образования мембран является самоорганизация липидных бислоев. Для
углеводов также свойственны процессы самоорганизации. Например, двой-
ные спирали крахмала в запасающих органах растений спонтанно образуют
смектические слоистые структуры при гидратации.
Различают самосборку при агрегации (например, образование липидных
мицелл) и самосборку без агрегации (например, фолдинг глобулярных бел-
Глава 6. Самосборка при агрегации
ков). Самосборка при агрегации имеет довольно сложные общие термоди-
намические характеристики (например, критическая концентрация мицел-
лообразования), которые будут подробно рассмотрены в этой главе. Само-
сборка без агрегации обычно относится к поведению систем, совершающих
переходы между некими скрытыми минимумами свободной энергии, как в
случае движений полипептидной цепи при фолдинге глобулярных белков.
Примеры таких фазовых переходов были рассмотрены в главе 3.
Рис. 6.3. Схема строения клеточной мембраны, на которой показаны фосфоли-
пиды, лиганды, белки, холестерйй и ионные каналы. Клеточная мемб-
рана отделяет цитоплазму от. вИекиеточной среды
В физике конденсированного состояния известны и другие, более общие
примеры самоорганизации, такие как структуры, образующиеся при фазовом
разделении жидкостей, в жидких кристаллах, полимерах и блок-сополиме-
рах. Все они имеют аналоги в молекулярной биофизике. Самоорганизация
как способ образования структур в молекулярной биологии тесно связана
с самосборкой. Обычно под ней понимают струкгурообразование в результате
неравновесных термодинамических процессов, например, морфогенез при
клеточном делении (так появляются пятна на шкуре леопарда). В настоящей
книге мы рассмотрим только один пример управляемой неравновесной са-
мосборки, а именно, самосборку моторных белков (см. главу 14).
Термодинамический подход к описанию процессов самосборки при аг-
регации основан на определении изменений свободной энергии (G) при
изменении концентрации одного из компонентов. Парциальную мольную
энергию Гиббса системы с несколькими компонентами принято обозначать
126 Jb- Глава 6. Самосборка при агрегации
символом //. Химический потенциал (//,.) одного из компонентов определя-
ется следующим образом:
где — число молекул сорта i в системе. Индексы Т, Р и у частной
производной указывают, что температура, давление и числа частиц других
сортов поддерживаются постоянными. Полная свободная энергия Гиббса
равна сумме парциальных свободных энергий каждого компонента:
w
С = (6.2)
Z=1
где — химические потенциалы, которые определяют протекание реакций
или процессов диффузии, сопровождающихся изменением числа частиц
данного сорта в системе.
Процессы самосборки при агрегации имеют много общих черт: крити-
ческая концентрация мицеллообразования — минимальное значение кон-
центрации субъединиц, при которой начинается самосборка (концентрация
свободных мономеров поддерживается постоянной на уровне выше крити-
ческого); положительные изменения энтропии при самосборке, когда обра-
зуются более упорядоченные агрегаты (в целом энтропия возрастает из-за
увеличения энтропии растворителя); важными факторами, определяющими
процессы самосборки являются водородные связи и гидрофобные взаимо-
действия; в процессах самосборки минимизируется поверхностная свобод-
ная энергия).
Общие характеристики самосборки зависят также и от размерности систе-
мы. В результате одномерной самосборки образуются существенно полидис-
персные полимерные агрегаты. При самосборке в двух измерениях обычно
образуется уединенный агрегат в виде островка (рафта), а в трех измерениях
образуются уединенные мицеллы или кристаллы. Самосборка происходит так,
чтобы свободная энергия поверхности системы уменьшалась. В одном измере-
нии уменьшение свободной энергии не зависит от длины полимера, поэтому
при самосборке образуются полидисперсные одноцепочечные агрегаты бел-
ков и линейные агрегаты поверхностно-активных веществ. Уменьшение по-
верхностной энергии в двумерной системе сопровождается слиянием рафтов
и огрублением их морфологии, что, в конце концов, приводит к образованию
одного гигантского рафта. Сходным образом, в трех измерениях процессы
изотермической перегонки (оствальдовского созревания) приводят к посте-
пенному увеличению размеров агрегата по мере того, как малые мицеллы
сливаются с более крупными, что приводит к уменьшению поверхностной
свободой энергии, и в результате образуется один крупный кристалл.
6.1. Поверхностно-активные вещества
\Т1
6.1. ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВА
Важнейшей составной частью биологических мембран явля-
ются амфифилы липидной природы, которые спонтанно агрегируют с об-
разованием бислойных везикул (рис. 6.3). Такие везикулы содержат внут-
реннюю полость, обеспечивающую необходимые для жизни клетки условия
(осмотическое давление, концентрации солей, pH). В водной среде молеку-
лы амфифильных соединений, таких как поверхностно-активные вещества
(ПАВ), липиды, сополимеры и белки, спонтанно ассоциируют с образованием
разнообразных структур. Для естественных липидов критическая концент-
рация мицллообразования (ККМ) чрезвычайно низка, поэтому стабильные
бислойные структуры образуются при очень низких общих концентрациях
таких молекул. Для фосфолипидов с одной и двумя цепями жирных кислот
ККМ составляют 10“2-10-5 М и 10-2-10-9 М, соответственно.
На рис. 6.4 приведена схема самосборки мицелл из молекул ПАВ. При
концентрациях, превышающих ККМ, часть молекул ПАВ входит в мицеллы,
а остальные остаются в растворе неассоциированными (рис. 6.5). Необыч-
ным является то, что при полных концентрациях ПАВ, превышающих ККМ,
концентрация мономеров остается постоянной как следствие термодинамики
процессов ассоциации, которая будет рассмотрена в следующем разделе.
Рис. 6.4. Схема самосборки мицеллярных структур из молекул ПАВ. Молекулы
ПАВ (справа) при концентрациях, равных и превышающих ККМ, об-
разуют многомолекулярные агрегаты — мицеллы, которые находятся
в динамическом равновесии со свободными молекулами (мономерами)
Обычно при образовании мицелл свободные молекулы ПАВ находятся
в динамическом равновесии с агрегатами, то есть молекулы липида постоянно
переходят из раствора в мицеллы и обратно (рис. 6.4). Структура агрегатов
определяется геометрией молекул (относительными размерами полярных
голов и жирнокислотных хвостов и т.п.), а также гидрофобностью/гидро-
фильностью голов и хвостов молекул амфифила.
128
Глава 6. Самосборка при агрегации
Поведение систем молекул липидов, характеризуемое наличием ККМ
(рис. 6.5), в сильной степени сходно с поведением систем агрегирующих
молекул белков, которое будет рассмотрено в одном из следующих разделов
(раздел 6.4, рис. 6.13). Это указывает на общность их термодинамических
свойств. В равновесии химический потен-
Полная концентрация липидов
Рис. 6.5. Зависимость концент-
раций свободных молекул (мо-
номеров) и их агрегатов от пол-
ной концентрации липида. При
концентрациях, превышающих
ККМ, концентрация мономеров
остается постоянной, а концент-
рация липида в агрегатах растет
экспоненциально
циал молекул каждого сорта должен быть
постоянным в агрегатах любого размера.
Таким образом, для химического потенци-
ала можно записать соотношение:
ц = щ + kT logq = ц2 + \кТ 1°£с2 = •••
(6.3)
и, в более общем виде, для N-мерного
агрегата:
Ц = 14 + log= const, (6.4)
*Где N — число агрегации, кТ — тепловая
энергия, cN — концентрация мицелл с чис-
лом агрегации N, — стандартный хи-
мический потенциал. Скорости ассоциации
и диссоциации равны кхс^ и kN(cN/N),
соответственно. Если kN — константа скорости ассоциации А-ro порядка,
то константа диссоциации (при равновесии) равна:
К = = ехр[-А -И°)ДТ]. (6.5)
Молекулы растворенного вещества в результате самосборки образуют
кластеры с разными агрегационными числами (N). Соответствующее урав-
нение реакции для агрегации мономеров (А) с образованием агрегатов (В)
можно записать в виде:
А + А + А + ... = В. (6.6)
Концентрации А, В и полная концентрация растворенного вещества вы-
ражаются в мольных долях и будут обозначаться сА, св и с, соответственно.
Для величин К, N, с и сА можно получить общее соотношение. Можно пока-
зать, что для больших значений константы диссоциации и чисел агрегации
(К » 1, N » 1) концентрация мономеров сА всегда остается меньше величи-
ны (NK)Vn . По определению равновесная константа диссоциации равна:
г-__
К ~ CN •
СА
(6.7)
6.1. Поверхностно-активные вещества 129
Полная концентрация вещества равна сумме концентраций компо-
нентов:
с = сА + NcB. (6.8)
Тогда уравнение (6.7) можно переписать в виде:
К = = const, (6.9)
NcNA
откуда следует, что
\с-с
= -NiT <610>
Максимальное значение с - сА равно 1: поскольку концентрации выража-
ются в мольных долях, то при сА - 0 имеем с — сА - 1. Поэтому сА не может
превысить (AA)I//V . Это графически показано на рис. 6.5. Если принять, что
константа диссоциации велика, наример, К = 1О80, и число ассоциации имеет
некое разумное значение, например, N = 20, то критическая концентрация
сА равна 0,86-10-4. Подстановка в уравнение (6.10) дает:
сл = 10-4
(g-Сд)
20
1/20
(6.П)
Анализ этого уравнения показывает, что при с « 10-4 сл=с, а при
с ~ 10"4 сА ~ NcB, и молекулы распределены примерно поровну между ми-
целлами и мономерами. Таким образом, (NKj1^ представляет собой ККМ
для этого процесса самосборки.
Теперь мы можем более подробно рассмотреть процесс одномерной аг-
регации. Пусть изменение энергии мономера при образовании линейного
агрегата относительно изолированного мономера в растворе (энергия «связи»
мономер-мономер) равна акТ. Тогда полная энергия взаимодействия (NfiN)
мономеров в A-мерном агрегате (считая концевые мономеры несвязанны-
ми) равна
Np.N =-(N-Г)акТ. (6.12)
Это выражение можно переписать в виде:
H/v =_[1_^)аЛГ
или:
акТ
H/v — Нс» + jy •
(6.13)
(6.14)
Таким образом асимптотически (при 7V —> оо) стремится к - энергии
бесконечно большого агрегата.
130 -»v- Глава 6. Самосборка при агрегации
При двумерной агрегации число молекул N в дисковидном агрегате про-
порционально его площади л/f2. Количество несвязанных молекул на грани-
це диска пропорционально длине его окружности то есть /V2. Отсюда
следует, что свободная энергия агрегата равна:
1
N\ln = - N-N2 akT
(6.15)
и свободная энергия на одну молекулу в агрегате:
акТ
Mw Moo "I j-
TV2
(6.16)
где = akT — снова представляет собой энергию бесконечно большого
агрегата.
Для трехмерных сферических агрегатов N пропорционально объему (j л/?3),
а количество несвязанных молекул — площади поверхности сферы (4л/?2) и,
2 #
следовательно, А3 . Поэтот^у полная свободная энергия агрегата равна:
/Vji;v =-
2'
/V-/V3 акт.
(6.17)
Отсюда следует, что свободная энергия на одну частицу равна:
акТ , . q.
Ил=Моо+—Г’ (6.18)
А3
где = акТ — свободная энергия, приходящаяся на одну частицу в бес-
конечно большом агрегате. Можно показать, что в сферической мицелле
коэффициент пропорциональности а связан с поверхностным натяжением
(у) и размерами агрегата (R) следующим образом:
4л/?2у /4 I П\
“"Тт ' (619)
В общем случае ККМ для агрегации ПАВ экспоненциально зависит от
разности химических потенциалов молекулы в растворе и в агрегате:
ККМ е~^'-^}/кТ. (6.20)
Поэтому для трехмерных агрегатов ККМ равна:
KKM^e~a!N\ (6.21)
где величина а определена соотношением (6.19).
6.2. Вирусы -*V- 131
6.2. ВИРУСЫ
Структура образовавшегося в результате самосборки вириона
гепатита В, определенная с помощью рентгеноструктурного анализа, при-
ведена на рис. 6.6. Вирус гепатита В — патоген для человека, и изучение
самосборки (репродукции) подобных вирусов чрезвычайно важно для ме-
дицины. В целом, считается, что процесс самосборки вирусов определяется
балансом двух типов взаимодействий: короткодействующих гидрофобных
и дальнодействующих электростатических. Однако, полный механизм са-
мосборки может быть очень сложным и специфическим для каждого кон-
кретного вида вируса.
Рис. 6.6. Изображение вириона гепатита В, полученное по данным рентгенострук-
турного анализа
Вирус табачной мозаики (ВТМ, рис. 6.7) — один из наиболее просто ус-
троенных спиралевидных вирусов, состоящий из единственной нити РНК,
окруженной примерно 2000 идентичных белковых субъединиц, имеющих
вид пружинных шайб. ВТМ был любимым объектом исследования физиков,
поскольку он не патогенен для человека и представляет собой монодиспер-
сную систему стержневидных частиц, идеальную для изучения жидкокрис-
таллических фаз.
В отсутствие РНК белковые субъединицы ВТМ образуют сначала
двойные диски из 17 мономеров. Эти диски имеют отверстия в центре.
132
_jГлава 6. Самосборка при агрегации
При соответствующих изменениях pH электростатические взаимодейс-
твия приводят к тому, что диски проскальзывают относительно друг друга
и агрегируют. Белковые субагрегаты имеют вид пружинных (гроверных)
шайб и медленно агрегируют с образованием разных по длине стержней
в виде сжатых пружин. В присутствии РНК длина стержней определяет-
ся длиной полинуклеотидной цепи, поэтому образуются монодисперсные
вирусные частицы.
РНК
Белковая
субъединица
в виде шайбы
§
5
х
х
о
S
0,9
S 0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
а
_ Зона
— одиночных
— спиралей
Стопки дисков
-Гроверная^
- шайба ’
Зона дисков
Двухслойный диск
/Субъединицы
в виде шайб
5 6 7 8 9
pH
б
Рис. 6.7. а — Вирус табачной мозаики спонтанно собирается из субъединиц, име-
ющих вид гроверных шайб, внутри которых упаковывается одноцепочеч-
ная молекула РНК. б — Ионная сила и pH могут включать и выключать
процесс самосборки ВТМ; полная самосборка ВТМ легче происходит
при низких значениях pH
Многие другие вирусы состоят из ядра, представляющего собой нуклеи-
новую кислоту, и белковой оболочки, построенной из идентичных белковых
молекул (икосаэдрические вирусы, такие как вирус гепатита В; рис. 6.6).
Существуют геометрические правила отбора для симметрии упаковок
идентичных белковых молекул в оболочке. Процесс самосборки в этих
случаях гораздо сложнее, чем для ВТМ. В некоторых случаях процесс са-
мосборки проходит с помощью белков-шаперонов. На рис. 6.8 показаны
стадии сложного процесса самосборки и жизненного цикла икосаэдри-
ческого вируса Р4.
Бактериофаг Т4 — один из нескольких ДНК-содержащих вирусов, спо-
собных инфицировать бактерию Е. coli (рис. 6.9). Процесс его самосборки
несколько более сложен, чем у ВТМ. Отдельные части этого вируса способ-
6.2. Вирусы -•v 133
ны к самосборке из составных компонентов. Его концевая трубка спонтан-
но образуется из очищенных оснований и оболочечных белков, достигая in
vitro длины -100 нм (рис. 6.10).
Рис. 6.8. Схематическое изображение стадий самосборки вируса Р4. [Bamford D.H. —
Phil. Trans. R. Soc. bond., 2003, v. 361, p. 1187-1203.}
134 -*Ъ- Глава 6. Самосборка при агрегации
Рис. 6.9. Схема строения бактериофага Т4. Хвостовая трубка способна к само-
сборке in vitro (рис. 6.20)
Рис. 6.10. Самосборка оболочечных белков бактериофага Т4 на матрице одноце-
почечной РНК
6.3. САМОСБОРКА БЕЛКОВ
Два важных для медицины примера самосборки при агрегации —
агрегация белков при амилоидных заболеваниях (болезнь Альцгеймера,
губчатая энцефалопатия коров и т.п., рис. 6.2) и агрегация молекул гемог-
лобина при серповидно-клеточной анемии (рис. 6.3). Есть целый ряд осо-
бенностей агрегации фибриллярных (нитевидных) белков in vitro, которыми
этот процесс отличается от обычной химической реакции. Зависимости от
температуры процесса полимеризации и химической реакции небольших
неорганических молекул существенно различаются: такая полимеризация
идет только при высоких температурах, а при низких не наблюдается, в то
время как для обычной химической полимеризации верно обратное. Повы-
шение давления вызывает деполимеризацию, что обратно поведению систем
с обычной полимеризацией с образованием ковалентных связей, например,
полимеризации этилена. Полимеризация и самосборка белков начинается
только тогда, когда начальная концентрация мономеров превышает некого-
6.4. Полимеризация микрофиламентов и микротрубочек (подвижность) -*Ц- 135
рую критическую концентрацию — аналог ККМ при самосборке ПАВ. Для
кинетики полимеризации белков характерно наличие длительного лаг-пери-
ода, за которым следует быстрое образование полимеров. Это особенно важ-
но при прионовых болезнях, поскольку для этих смертельных заболеваний
характерно образование амилоида в результате самосборки белков.
Изменение свободной энергии Гиббса (А б) для полимеризации опреде-
ляется стандартным термодинамическим равенством:
bG = bU + PbV-TbS, (6.22)
где At/ — изменение внутренней энергии, Р — давление, А К — изменение
объема, Т — температура, AS — изменение энтропии. Поскольку повышение
температуры способствует протеканию этого процесса, из уравнения (6.22)
следует, что изменение энтропии при полимеризации положительно. Это
термодинамически возможно, поскольку уменьшение энтропии при обра-
зовании упорядоченных структур в результате самосборки компенсируется
увеличением энтропии растворителя, связанного с белком.
Механизм безагрегационной самосборки, ответственный за формирование
внутренней структуры глобулярных белков, был рассмотрен в главе 3. Он
тесно связан с фазовыми переходами типа клубок-глобула, спираль-клубок
и р-лист-клубок. В случае природных белков формирование их третичной
структуры осложняется фрустрацией, обусловленной существованием боль-
шого числа близко расположенных локальных минимумов на поверхности
потенциальной энергии глобулы (парадокс Левинталя). Эта фрустрация
может приводить к формированию структуры, отличной от нативной при
несоответствующих условиях фолдинга ..цли после денатурации белка под
действием физических или химических факторов. Считается, что форми-
рование отличной от нативной третичной структуры у некоторых белков
соответствует стадии нуклеации в целом ряде амилоидных заболеваний
и представляет собой лимитирующую стадию в их развитии.
6.4. ПОЛИМЕРИЗАЦИЯ МИКРОФИЛАМЕНТОВ
И МИКРОТРУБОЧЕК (ПОДВИЖНОСТЬ)
Полимеризация белков цитоскелета может лежать в основе
механизмов подвижности, поэтому представляет собой важный и интенсивно
исследуемый пример самоорганизации. Линейная полимеризация вряд ли
может приводить к образованию длинных полимерных цепей из-за поверхнос-
тных эффектов, описанных во введении к этой главе (рис. 6.11, одномерные
агрегаты короткие и полидисперсные). В случае актина эта проблема решена
за счет использования двух взаимодействующих цепей (двойной спирали).
Сходное решение используется и при образовании ряда других спиральных
филаментов цитоскелета, например, из тубулина.
136 -*v- Глава 6. Самосборка при агрегации
Добавление мономера к полимерной нити актина является процессом са-
мосборки, и результирующая длина нити определяется соотношением ско-
ростей присоединения (&оп) и диссоциации (fcofr) для глобулы мономера:
^оп
А + Л А+1» (6.23)
*о1Т
где Ап — «-мерный агрегат, At — мономер.
Рис. 6.11. Самосборка полимерной нити белка. Для одиночной нити полимера,
состоящего из симметричных субъединиц, константа равновесия для
реакции присоединения любого мономера одна и та же
Реакция присоединения очередной субъединицы к «-мерной нити поли-
мера характеризуется константой диссоциации К:
= К = п > 1, (6.24)
СП+\ *оп
где ср сп и сл+1 — молярные концентрации мономера и полимеров, содержа-
щих п и п+\ звеньев, соответственно. Предполагается, что константа диссо-
циации (Л), константы скоростей диссоциации (&ofr) и присоединения (&оп)
для л-мерной нити имеют одно и то же значение для любого мономера, но
константа диссоциации не постоянна и зависит от длины нити полимера. В
равновесии константа диссоциации определяется стандартным термодина-
мическим соотношением:
/Г = exp(AG0/£T) (6.25)
и связана, таким образом, со стандартной свободной энергией этой реак-
ции. Величина А Со определяется суммой изменения потенциальной энер-
гии системы при образовании связи между мономером и нитью полимера
(отрицательного) и энтропийного члена (положительного) связанного
с уменьшением трансляционной и вращательной энтропий при переносе
субъединицы из стандартного раствора с концентрацией 1 М в связанное
состояние в полимерной нити (уравнение (6.22) при постоянном объеме
(АИ= 0) и давлении).
Как уже упоминалось во введении к этой главе, одноцепочечные полимеры,
образующиеся в результате самосборки, имеют небольшую длину и полидис-
персны. Этот результат можно получить в количественном виде, рассчитав
среднюю длину нити агрегата в зависимости от полной концентрации субъ-
единиц. Константа диссоциации задана уравнением (6.24). Предполагается,
6.4. Полимеризация микрофиламентов и микротрубочек (подвижность) -*Ц- 137
что концентрации полимеров различной длины следуют экспоненциальному
распределению:
сп — К ехр[-— ], (6.26)
где К — константа равновесия, определяемая уравнением (6.25), п — длина
полимера, л0 определяется соотношением:
а величина ах равна:
«,=^. (6.28)
А
Экспоненциальное распределение удовлетворяет уравнению (6.24), однако
расчет среднего числа субъединиц в нити требует дополнительных усилий.
Оно равно:
(6-29)
где ct — полная концентрация мономеров, а К— константа равновесия. Этот
результат можно получить из экспоненциального распределения концент-
раций л-меров. Не учитывая длины мономеров и считая длины полимеров
независимыми случайными величинами, имеем:
ОО ОС |
= Е пРп =Еп ’ (6-30)
2 2 > 1
Еа«
2
где статистические веса ап =сп/К с учетом уравнения (6.26) равны:
ап -а" =е~п/п°. (6.31)
Полное число субъединиц (а) в системе определяется суммой:
оо
а, = Е пап = ~ 1 Л' (6-32)
| (1-«1)
При at 1 выражение для ах упрощается:
“1 «1-а,2.
138 Jv- Глава 6. Самосборка при агрегации
Используя разложение в ряд Тэйлора 1п(1 + х) = х - х2/2 + х3/3 -..., из
уравнения (6.27) имеем:
По Jat . (6.34)
И, наконец, используя уравнение (6.30), получаем выражение, эквива-
лентное (6.29):
nflV«l + >/^. (6.35)
С помощью подобного же анализа можно показать, что многоцепочечные
полимеры будут, в основном, очень длинными. Задача немного усложняется
тем, что, например, для описания самосборки волокна из двух цепей требу-
ется три независимые константы равновесия: К, К{ и К2 (рис. 6.12). В этом
случае средняя длина волокна равна:
(6.36)
где ct — полная концентрация цономера. Эта средняя длина обычно гораздо
больше средней длины одноцепочечного полимера.
Волокна актина и микротрубочки при полимеризации достигают длины,
достаточной для выполнения их функций в обеспечении подвижности, пос-
кольку они многоцепочечные. Расчеты показывают, что длины полимерных
агрегатов опять распределены экспоненциально, но средняя длина волокна
гораздо больше предсказываемой уравнением (6.36). Это связано с тем, что
О+ Q * ►
Q + о *—► ФО ^2
Рис. 6.12. Для описания само-
сборки двухцепочечного волок-
на из симметричных субъеди-
ниц необходимо три константы
равновесия: К, К} и К2
распределения мономеров по
в случае актина подвижность имеет активный
характер, то есть сопряжена с энергодонорной
реакцией гидролиза АТФ, и поэтому система
не находится в состоянии термодинамичес-
кого равновесия.
Скорость удлинения волокна при само-
сборке (dn/dt} дается уравнением Оосавы:
~ ^ох\с\ ^off • (6.37)
Графическое решение этого уравнения
приведено на рис. 6.13, а, а его подробный
анализ проведен в разделе 14.1. Зависимость
состояниям — свободным в растворе и свя-
занным в волокнах — от концентрации мономеров, определяющая ККМ
для процесса одномерной самосборки волокон цитоскелета, приведена на
рис. 6.13, б. Сходство с диаграммой для самосборки ПАВ (рис. 6.5) указы-
вает на общность механизмов этих процессов.
6.4. Полимеризация микрофиламентов и микротрубочек (подвижность) -*ъ- 139
Концентрация
мономеров
а
Рис. 6.13. Общие свойства самосборки фибриллярных белковых агрегатов:
а — зависимость скорости роста агрегата от концентрации мономеров
в системе; б — распределение субъединиц по состояниям — свобод-
ным в растворе и связанным в полимере — от полной концентрации
мономеров в системе (обратите внимание на сходство с рис. 6.5, ил-
люстрирующим самосборку ПАВ)
Рис. 6.14. Многоцепочечные волокна (а)
устойчивы к разрывам, в то время как од-
ноцепочечные (б) постоянно разрушаются
и собираются вновь
Детальный теоретический анализ самосборки многоцепочечных воло-
кон показывает, что такие волокна растут и разрушаются с обоих концов, и
для них также существует критическая концентрация самосборки. Много-
цепочечные полимеры устойчивы к разрушению, в то время как одноцепо-
чечные постоянно разрушаются
и собираются вновь (рис. 6.14).
Механизмы самосборки актина
довольно общие и встречаются в
других биологических системах,
таких как спонтанная агрегация
гемоглобина в эритроцитах при
серповидно-клеточной анемии
(волокна в виде двойных спи-
ралей) и амилоида (часто в виде
скрученных хиральных многоце-
почечных волокон).
Критическая концентрация (сс) самосборки получается из уравнения Ооса-
вы (6.37) при условии минимума скорости роста волокна (dn/dt = 0):
к~=к
(6.38)
Это соотношение позволяет определить константу диссоциации из экспери-
ментальных данных по графику зависимости концентрации мономеров от
полной концентрации субъединиц в системе.
140
—Глава 6. Самосборка при агрегации
Было обнаружено, что концентрация зародышей во время самосборки
многоцепочечных волокон очень низка, концы нитей «затуплены» благо-
даря чрезвычайно высокой стабильности, обеспеченной хорошей взаимной
субъединиц
Рис. 6.15. Зависимость
средней длины двухцепо-
чечной полимерной нити
от количества субъединиц в
системе имеет S-образный
характер
геометрической подгонкой субъединиц в таких
системах, и средние длины нитей резко возрас-
тают при концентрациях мономеров, превыша-
ющих критическую. Таким образом, небольшие
изменения в концентрации свободных моно-
меров приводят к большим изменениям длины
многоцепочечных полимеров в равновесном со-
стоянии (рис. 6.15).
Самосборка многих фибриллярных биополи-
меров проходит через промежуточную стадию
протофиламента в отличие от механизма пря-
мого добавления глобулы белка (субъединицы)
к концу уже образовавшегося фибриллярного аг-
регата, как это имеет место при полимеризации
ат^гина и микротрубочек. Примеры образования
протофиламентов приведены на рис. 6.16. Этот
Проколлаген
Внеклеточная самосборка
ZW/////
Тройные спирали
Трехцепочечный
протофиламент
а
в
Рис. 6.16. Волокна коллагена (а), ламина (б) и виментина (в) образуются из про-
тяженных протофиламентных субъединиц, в отличие от волокон актина
и тубулина, которые образуются в процессе самосборки непосредствен-
но из малых сферических субъединиц. \HemnanH., Aebi U. Аппи. Rev.
Biochem., 2004, v. 73, р. 749-789.]
Вопросы и задания
141
механизм характерен для ряда белков, например, коллагена, и промежуточ-
ных волокон, таких как кератины и десмины. Образование протофиламентов
в этих случаях позволяет обойти проблемы, связанные с одномерной по-
лимеризацией, в частности, полидисперность и малые размеры одиночных
цепей, что приводит к формированию гигантских сетей из волокон.
Дополнительная литература
Israelachvili J.N. Intermolecular and Surface Forces. — Academic Press, 1992. — Клас-
сическая работа, содержащая много полезных сведений о самосборке липидных
систем.
Howard J. Mechanics of Motor Proteins and Cytosceleton. — Sinauer, 2001. —
В этой книге дано хорошее описание самосборки моторных белков (актина
и микротрубочек).
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
6.1. Чему равна критическая концентрация мицелообразования для сфери-
ческих липидных мицелл радиусом 2 нм, содержащих по 1000 молекул ли-
пида и имеющих поверхностное натяжение 20 мДж м-2?
6.2. Чему равна критическая концентрация самосборки (сс) линейного фиб-
риллярного белкового агрегата, если изменение свободной энергии при при-
соединении субъединицы (Дб) равна -4,6 кТ? Какова средняя длина фила-
мента, если размер мономера равен 5 нм и полная концентрация мономеров
составляет 1 М? *
ГЛАВА
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Физика явлений, происходящих на поверхностях, представляет
собой обширную и интересную область молекулярной биофизики. Многие
исследования в этой области могут иметь большое прикладное значение.
Примером могут служить дипкие волоски на ногах насекомых, которые
позволяют им висеть вверх ногами (рис. 7.1), способность листьев лотоса
к самоочищению (гидрофобные покрытия поверхности, рис. 7.2), то, как
слизни ползают по лезвию бритвы (они скользят по жидкокристаллической
подложке), то, как акулы подавляют коротковолновую турбулентность для
повышения эффективности плавания (ребристые поверхности, рис. 7.3),
как моллюски прикрепляются к поверхности скалы (белковые цементы, ра-
ботающие в водной среде), а пломба в зубе — к гидроксиапатиту (физика
композитных материалов, их адгезии и разрушения).
Рис. 7.1. Схематическое изображение во-
лосковых выростов, имеющихся у многих
насекомых. Волоски обеспечивают адге-
зию за счет сил Ван-дер-Ваальса
Рис. 7.2. Схематическое изображение
текстурированных гидрофобных повер-
хностей, имеющихся у ряда растений
и животных. Показаны кристаллоиды
воска (микрометровых размеров) на
поверхности листа растения
7.1. Поверхностное натяжение
143
7.1.
Рис. 7.3. Считается, что микроскопические желобки на коже акулы, имеющие
размеры в несколько микрометров, снижают потери энергии при движе-
нии в воде за счет уменьшения коротковолновой турбулентности. Стрел-
ки указывают направления желобков на поверхности кожи акулы
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Работа по созданию новой поверхности (w) пропорциональна
количеству молекул, перенесенных при этом из объемной фазы на поверх-
ность, и, таким образом, площади созданной поверхности:
w = уАЛ ,
(7.1)
где у — коэффициент пропорциональности (поверхностное натяжение),
а АЛ — изменение площади поверхности. Коэффициент у определяют дву-
мя эквивалентными способами: как свободную энергию единицы площади
поверхности (размерность Дж-м-2) и как поверхностное натяжение, то есть
силу, действующую на единицу длины
раздела (разреза) поверхности (размер-
ность Н-М"1).
Чтобы лучше понять природу сво-
бодной энергии поверхности, рас-
смотрим проволочную рамку с жидкой
пленкой (рис. 7.4). Сила приложена ко
всей кромке пленки и линейно зави-
сит от длины (х) подвижной стороны
рамки. При статическом равновесии
из законов Ньютона следует равенство
сил:
7^. (7.2)
Множитель !4 появился потому, что
сила действует на две стороны пленки
(верхнюю и нижнюю).
/ Разделитель
\ dx
\
\
Жидкая пленка
Рис. 7.4. Увеличение площади поверхно-
сти, а значит и поверхностной свобод-
ной энергии, непосредственно связано
с величиной силы (/), действующей на
подвижный разделитель поверхности
(на сторону рамки), и, следовательно,
с величиной совершаемой им работы
при перемещении на расстояние dx
(z — длина разделителя)
144
—Глава 7. Поверхностные явления
Работа (dw), за счет которой увеличивается свободная энергия поверх-
ности при перемещении подвижной стороны рамки на малое расстояние
(Jx), равна:
dw = Fdx = ylxdx = ydA . (7.3)
Эта работа равна изменению свободной энергии Гиббса (А б) при постоянных
температуре и давлении, поэтому:
dG = ydA . (7.4)
Таким образом, при постоянных температуре и давлении для свободной
энергии поверхности имеем:
Поэтому поверхностное натяжение, то есть сила, действующая на единицу
длины границы поверхности, равно увеличению свободной энергии Гиббса
системы при увеличении площади ее поверхности на единицу.
7.2.
АДГЕЗИЯ -
Адгезия лежит в основе всех явлений, связанных с когези-
ей (слипанием) в биологических системах. Анализ ее механизмов начнем
с оценки поверхностной энергии (б) разлома простого однородного ве-
щества (рис. 7.5). Рассмотрим поверхность раздела двух фаз, А и В, повер-
хностное натяжение которой равно уАВ.
Если эти фазы разъединить с образова-
нием свободных поверхностей в вакууме,
имеющих поверхностные энергии уА и уя,
соответственно, то полная работа адгезии
(И^в) равна разности свободных энергий
поверхностей до и после их разъединения
с помощью термодинамически обратимо-
^12
Рис. 7.5. Энергия, необходимая
для разрушения системы по по-
верхности раздела двух фаз (1 и 2)
определяет полную энергию адге-
зии этих фаз
го процесса:
WAB = 4 А + Ув -УАВ- (7-6)
Однако экспериментально обнаруже-
но, что энергии разрушения могут быть на
несколько порядков больше, чем следует из уравнения (7.6). Причина та-
кого расхождения заключается в том, что диссипация энергии при разломе
происходит во многих процессах, не учитываемых уравнением (7.6), таких,
7.2. Адгезия -JU 145
например, как упругая деформация поверхности. Многие биологические
композитные структуры содержат мягкий наполнитель, специально предна-
значенный для увеличения диссипации энергии при ударах за счет упругих
деформаций (раздел 11.2).
в
Рис. 7.6. Силы адгезии могут приводить к различным типам организованного
взаимодействия клеточных структур как без образования связей (ка-
налов) между ними — слипания за счет взаимодействия одинаковых
белков (о), различных белков (б) и внеклеточного белка с четырьмя
лигандами (в), так и с образованием связей: (г) — нексус (щелевой
контакт). [Воспроизведено с разрешения из: Forgacs G., Newman S.A. —
Biological Physics of the Developing Embryo. — Copyright (2005) Cambridge
University Press]
Процессы адгезии обычно находятся под контролем специальных биомо-
лекулярных структур. Например, клетка образует организованные адгезивные
контакты с другими клетками в процессе созревания и образования ткани,
что представляет собой основной механизм морфогенеза. Адгезивные связи мо-
гут обеспечивать соединение и переключение компонентов цитоскелета. Связи
между мембранами обеспечиваются одинаковыми или разными мембранными
белками, а также взаимодействиями между мембранными и вставочными вне-
клеточными белками (рис. 7.6). Адгезия клеток обычно обеспечивается такими
белками, как кадхерины, интегрины и селекгины с типичными энергиями связи
в диапазоне 5-30 к Т. В экспериментальных исследованиях клеточной адгезии
используют атомную силовую микроскопию (АСМ), лазерные пинцеты и дру-
гие устройства. В экспериментах по адгезии чистых бислойных мембран (БЛМ)
измеряют угол, образуемый мембранами при формировании контакта между
ними; именно в этих экспериментах особенно успешными оказались методы
146 —' lr Глава 7. Поверхностные явления
с использованием микроманипуляторов. Схема эксперимента по изучению
взаимодействия двух сферических БЛМ приведена на рис. 7.7. Величина угла
между мембранами (ф) определяется силами адгезии.
Рис. 7.7. Силы адгезии между двумя везикулами можно измерить с помощью
микропипеток. Угол между поверхностями везикул (ф) зависит от дав-
ления, с которым везикулы прижимаются друг к другу
7.3. СМАЧИВАНИЕ
Рассмотрим неподвижную каплю жидкости на твердой по-
верхности (рис. 7.8). Уравнение Юнга для угла смачивания 0 на твердой
поверхности имеет вид:
* Y« = + YigCOsO, (7.7)
где у^, yjZ и yZg — величины поверхностного натяжения для поверхностей раз-
дела твердое тело-газ, твердое тело-жидкость и жидкость-газ, соответственно.
Уравнение Юнга следует из условий равновесия для межфазных границ для
проекций сил, параллельных поверхности твердого тела.
Рис. 7.8. Капля жидкости на твердой поверхности. Из условия равенства нулю
суммы проекций сил на направление, параллельное поверхности твердого
тела, в равновесии следует уравнение Юнга
Сходным образом из баланса поверхностных сил получается условие рав-
новесия для границы раздела жидкость-жидкость-газ (рис. 7.9), например,
вода-масло-воздух. Однако в этом случае все фазы могут деформироваться,
7.3. Смачивание -JU 147
поэтому для описания статического равновесия такой системы требуется
три угла:
Ywflcos0i = yoacose2 + Ywcos63, (7.8)
где индексы а, м и о относятся к воздуху, воде и маслу, соответственно.
Рис. 7.9. Для описания межфазных контактов для капли масла на границе раздела
вода-воздух необходимо три угла (0,, 02 и 03)
Уравнение Юнга используется при изучении явления смачивания. При
погружении твердого тела в раствор биомолекул (например, воды и масла),
можно ожидать, что в равновесном состоянии его поверхность будет покрыта
макроскопически толстым слоем вещества фазы с наименьшей поверхност-
ной энергией — например, масло покроет слоем всю поверхность твердого
тела. Такой слой называется «смачивающим слоем». Этот слой макроскопи-
чески толстый, и граница раздела между ним и объемной фазой не отличает-
ся от границы раздела между двумя сосуществующими объемными фазами.
Это позволяет записать неравенства для поверхностного натяжения каждой
фазы и межфазного натяжения этих двух фаз. С помощью такого неравенс-
тва образование смачивающего слоя, то есть распределение молекул одной
фазы по поверхности другой, можно рассматривать как фазовый переход.
Смачивание играет важную роль в ряде практически важных явлений, таких
как, биозагрязнение мембран в аппаратах для гемодиализа или прилипание
химикатов, используемых в сельском хозяйстве, к восковой поверхности
листьев растений.
В случае полного смачивания уравнение Юнга (7.7) не должно иметь ре-
шения для ненулевых (конечных) углов смачивания (рис. 7.8). В этом случае
жидкость будет полностью покрывать поверхность твердого тела макроско-
пически толстым слоем. Частичное покрытие жидкостью поверхности твер-
дого тела соответствует конечной величине угла смачивания. Для межфазных
натяжений, входящих в уравнение (7.7), в случае устойчивого равновесия
для точки контакта трех фаз должно выполняться следующее неравенство
(иначе эта точка будет двигаться):
>Yig+Yj/-
(7-9)
148 —' \r Глава 7. Поверхностные явления
Уравнение Юнга можно записать в виде:
Yigcos(ec) + Yig = ys/,
(7.Ю)
откуда легко получить выражение для коэффициента смачивания к:
Рис. 7.10. При полном смачи-
вании жидкость (Р) образует,
обнородный макроскопически
толстый слой на поверхности
твердого тела (у)
к = Yg Ys/ = cosQ (7П)
Yig
Когда коэффициент смачивания равен еди-
нице, угол смачивания равен нулю и наблю-
дается полное смачивание поверхности твердо-
го тела (рис. 7.10). Промежуточные значения
коэффициента смачивания (0 < к < 1), когда
угол смачивания принимает значения между
0 и тс/2, соответствуют неполному смачива-
нию (рис. 7.11). При значении коэффициента
смачивания равном минус единице угол сма-
чивания равен тс, что также соответствует полному смачиванию. При боль-
ших, но отрицательных значениях коэффициента смачивания (-1<&<0)
поверхность твердого тела не смачивается жидкостью: такая жидкость обра-
зует плотные шарики, катающиеся по твердой поверхности.
Рис. 7.11. При частичном смачивании жидкостью (0) поверхности твердого тела (у)
наблюдается негомогенное смачивание поверхности.
Разобравшись с равновесной ситуацией, мы можем перейти к динамичес-
ким явлениям в системах со смачиванием. При положительных значениях
коэффициента растекания, определяемого из неравенства (7.9) как
s = YJg-Ys/-Yig >0, (7.12)
не существует равновесного состояния границы между фазами. Поэтому в
этих условиях угол смачивания будет постоянно изменяться, а положительный
коэффициент растекания может служить количественной характеристикой
таких неравновесных явлений. Коэффициент растекания s просто связан с
коэффициентом смачивания к\
7.4. Капиллярные явления
Л
149
$
к = 1 ч----= cos0 .
Y/v
(7.13)
При положительных значениях коэффициента растекания коэффициент
смачивания становится больше единицы (к > 1). Чем больше коэффициент
растекания, тем лучше жидкость растекается по поверхности твердого тела.
Переход от частичного смачивания к полному имеет характер фазового пе-
рехода (см. раздел 3.1). Обычно это процесс первого порядка, но он может
быть и непрерывным при правильном выборе потенциала взаимодействия
и переменной состояния.
Рассмотрим поведение некоторого
белка на границе раздела вода-воздух.
Пусть было обнаружено, что исходно
для этого белка коэффициент растека-
ния положителен (sinitial = 13 мДж-м-2),
а в равновесном состоянии он отри-
цателен (sinitial = -2 мДж-м“2). Тогда
этот белок обладает высокой поверх-
ностной активностью и приводит к су-
щественному снижению поверхностно-
го натяжения. Следы загрязнений на
поверхности приводят к снижению ее
свободной энергии и могут приводить
к сильным изменениям характеристик
растекания. Так, например, поверхност-
но-активный белок будет растекаться по поверхности чистой воды, но не
загрязненной. Смачивание определяется формой зависимости энергии вза-
имодействия белка с поверхностью (Р) от толщины (/) белковой пленки
(рис. 7.12). Наличие минимума в зависимости P{t) соответствует образованию
устойчивой пленки, а в случае максимума пленка не устойчива.
P(t)
Неустойчивая
пленка
P(t)
Устойчивая
пленка
Рис. 7.12. Устойчивость поверхност-
ной пленки определяется формой
зависимости потенциала взаимодей-
ствия (Р) молекул с поверхностью
от толщины пленки (t). Наличие
максимума (а) в зависимости P(f) со-
ответствует образованию неустойчи-
вой пленки, а в случае минимума (б)
пленка устойчива.
t
а
t
б
7 А. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Связь между разностью давлений по разные стороны поверх-
ности раздела фаз и кривизной поверхности описывается уравнением Юнга-
Лапласа. Для изолированной частицы поверхностное натяжение уравнове-
шивается напряжениями внутри частицы.
Рассмотрим сферический пузырек газа в жидкости (рис. 7.13). При бес-
конечно малом увеличении радиуса пузырька на величину dR его площадь
увеличивается на dA:
dA = 4л {(7? + dR)2 - Я2} = SitRdR .
(7.14)
150 —* lr Глава 7. Поверхностные явления
Рис. 7.13. Расширение
сферического пузырька
газа в жидкости опре-
деляется балансом сил
поверхностного натя-
жения и давления. Рост
давления (ДР) приводит к
увеличению радиуса (dR)
пузырька
Соответствующее изменение объема (dVy.
dv = у{(/? + (//?)3 -/?3} = 4лЯ2</Я. (7.15)
Изменение свободной энергии, соответствующее вариациям объема и
давления, равно Jw = ApJK, что соответствует произведению силы на пе-
ремещение. По уравнению (7.4) можно рассчитать изменение свободной
энергии за счет поверхностных сил:
dG = y%nRdR, (7.16)
где учтено изменение площади поверхности при
увеличении радиуса сферы на dR. Работа по уве-
личению площади поверхности пузырька равна
работе сил давления при увеличении объема:
y^RdR = Ap4nR2dR . (7.17)
Поэтому разность давлений на поверхности пу-
зырика составляет:
2
Ap = Yi- (7.18)
V -К
Сходные соотношения можно получить и для
цилиндрического пузырька. Пусть пузырек имеет вид
цилиндра высотой L (рис. 7.14).
Изменение площади поверхности цилиндра (<Z4) при малом изменении
радиуса (dR) определяется соотношением
dA = 2nL (R + dr - R) = 2nLdR, (7.19)
при этом изменение объема равно
dV = nL[(R + dR)2 - R2} = 2nLRdR . (7.20)
Из равенства работ сил давления и поверхностного натяжения для разности
давлений на поверхности цилиндра получаем:
Др = -£. (7.21)
7\
Полученное соотношение отличается от (7.18) только множителем, рав-
ным 2.
Для поверхностей произвольной формы можно получить общее выраже-
ние для связи перепада давлений на поверхности и ее кривизной:
Ар = у[^- + ^-| = у2Я, (7.22)
7.4. Капиллярные явления -*v- 151
где Rx и R2радиусы кривизны, а Я — средняя кривизна поверхности,
определяемая соотношением:
Н 2|Я1+Я2р
(7-23)
для описания ка-
Рис. 7.14. Расширение ци-
линдрического пузырька газа
в жидкости определяется
балансом сил поверхност-
ного натяжения и давления.
Рост давления (ДР) приводит
к увеличению радиуса (dR)
пузырька
Уравнения (7.18) и (7.21) для сферического и цилиндрического пузырьков
являются частными случаями общего уравнения (7.22).
В экспериментах по измерению поверхностных сил было показано, что для
простых жидкостей, таких как циклогексан, макроскопический подход дает
достаточно точное описание поверхностных явлений вплоть до расстояний,
в семь раз превышающих размеры молекул. Это очень хорошее согласие с
экспериментальными данными для такой простой континуальной теории,
и оно позволяет уверенно использовать уравн<
пиллярных явлений в наномасштабах.
Капиллярные силы могут приводить
к подъему жидкости по тонким трубкам (ка-
пиллярам). Ответственные за это капилляр-
ные силы играют важную роь в таких био-
логических явлениях, как движение сока
в стеблях растений, слизи в трахеях и мочи
в почках. Однако, хотя это и классический
пример, следует подчеркнуть, что основной
движущей силой при движении сока в стеб-
лях растений является уменьшение давления
за счет испарения воды с поверхности лис-*"
тьев, то есть фазовый переход жидкость-газ.
Одни лишь капиллярные силы не способны
обеспечить подъем сока на сотни метров по
стволам гигантской секвойи.
Высота подъема жидкости в капилляре (й)
связана с поверхностным натяжением (у), ра-
диусом капилляра (г) и углом смачивания (0)
на поверхности капилляра простым соотноше-
нием. Это уравнение может быть использовано для измерения поверхност-
ного натяжения простых жидкостей (рис. 7.15). Все что нужно для соответс-
твующего эксперимента, это капиллярная трубка с чистой поверхностью,
изготовленная из материала с хорошо известными свойствами.
Из геометрических соображений следует, что радиус кривизны менис-
ка (/?), радиус капилляра и угол смачивания связаны следующим простым
соотношением:
152 —*!/ Глава 7. Поверхностные явления
R cosO = г.
(7.24)
Рис. 7.15. Схема экспериментальной ^установки для изучения подъема жидкости
в капилляре: h — высота подъема жидкости, R — радиус кривизны ме-
ниска, г — радиус капилляра, 0 — угол смачивания для данной жидкости
в капилляре
Лапласовское давление, обусловленное кривизной мениска жидкости в ка-
пилляре, определяется уравнением (7.18):
^ = _27cose
R г
В равновесии оно должно быть равно гидростатическому давлению столба
жидкости высотой й:
\p = pgh, (7.26)
где р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения. Из (7.25)
и (7.26) можно получить выражение для коэффициента поверхностного
натяжения:
Это выражение еще более упрощается, когда жидкость полностью смачивает
стенки капилляра, то есть cos 0=1.
7.6. Трение —• L- 153
7.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Для исследования поверхностного натяжения жидкостей
используют простой и надежный прибор, называемый весами Вильгельмы
(рис. 7.16). В этом приборе сравниваются моменты поверхностных сил и
силы тяжести груза известной массы: весы уравновешиваются до начала из-
мерения, а потом измеряется изменение массы груза, необходимое для от-
рыва измерительной пластинки от поверхности жидкости. Таким образом,
изменение массы равно:
w = уР cose , (7.28)
где Р — периметр пластинки, у — коэффициент поверхностного натяжения.
Список некоторых методов измерения поверхностного натяжения приведен
в таблице 7.1.
Рис. 7.16. Схема устройства весов Вильгельми, используемых для измерения
коэффициента поверхностного натяжения жидкостей. Поверхностное
натяжение определяется по силе, необходимой для уравновешивания
смачиваемой пластинки, частично погруженной в жидкость
7.6. ТРЕНИЕ
Коэффициент трения (//) между поверхностями двух твердых
тел определяется как отношение силы трения (/) к силе нормального давле-
ния на поверхность (W, ц = F/W). В соответствии с законом Амонтона сила
трения не зависит от площади контакта между поверхностями (противоре-
чащее здравому смыслу утверждение). Закон Амонтона установлен на осно-
вании данных экспериментов, и он справедлив для очень большого числа
материалов. Его следствием является то, что коэффициент трения не зави-
сит от нагрузки. Более того, если два предмета одинакового веса сделаны из
154 Глава 7. Поверхностные явления
Таблица 7.1. Методы измерения поверхностного натяжения жидкостей
Метод Принцип метода
Метод капиллярного поднятия Поднятие жидкости в тонком смачиваемом капилляре
Метод Вильгельми Уравновешивание сил, действующих на смачиваемую пластинку
Анализ формы капель и пузырьков Численный расчет формы капель и пузырьков по уравнению Лапласа
Метод Дю-Нуи Измерение усилия, необходимого для отрыва тонкого смачиваемого кольца от поверхности жидкости
Метод вращающейся капли Численный расчет формы капли другой жидкости во вращающемся капилляре, заполненном изучаемой жидкостью
Метод колеблющихся струй (пузырьков) Измерение длины волны на поверхности струи (пузырька)
Рис. 7.17. Силы трения, действующие со стороны одной и той же поверхности
на два предмета, сделанных из одного и того же материала и имеющих
одинаковые веса (И^ = И^), одинаковы (Т7, = F2)
^2
Рис. 7.18. В соответствии с законом Амонтона какой бы стороной брусок из твер-
дого материала ни соприкасался с твердой поверхностью, по которой
он движется, сила трения всегда будет одной и той же
7.6. Трение
155
одного и того же материала, то для них силы трения будут одинаковы (F\ = F2;
рис. 7.17). Чтобы лучше понять необычность этого закона, рассмотрим прямо-
угольный деревянный брусок, который сначала стоит на плоской поверхности
на торце с малой площадью (рис. 7.18). Если теперь брусок опрокинуть, пло-
щадь контакта с поверхностью значительно возрастет, однако это не приведет
к изменению силы трения, возникающей при горизонтальном движении бруска,
поскольку нормальная составляющая реакции опоры не изменится.
Вес (ИО Твердая поверхность
Выступ
Воздух
Деформация
Твердая поверхность
Рис. 7.19. Схематическое изображение микроскопических шероховатостей в об-
ласти контакта между двумя твердыми поверхностями, которые приво-
дят к возникновению силы трения, препятствующей их латеральному
движению
Закону Амонтона можно дать количественное объяснение на микроскопи-
ческом уровне. При соприкосновении двух поверхностей сначала образуются
участки контакта, в которых давление чрезвычайно высоко, что приводит
к пластической деформации этих участков и возникновению все большего
и большего числа контактов (рис. 7.19). Этот процесс продолжается до тех
пор, пока локальное давление в области контактов не уменьшится до преде-
ла текучести (Pw) более мягкого материала. Тогда общая площадь контактов
определяется следующим образом:
(7.29)
где W — вес верхнего твердого тела. По определению сила, необходимая для
сдвига тел относительно друг друга, равна:
(7.30)
где sm — сдвиговое усилие на единицу площади. В этом приближении можно
считать площади контактов в (7.29) и (7.30) равными, что дает:
156 -*V- Глава 7. Поверхностные явления
F = W^~ (7.31)
ИЛИ
ц — = const. (7.32)
Закон Амонтона полезен для изучения явлений, связанных с трением,
однако в живой природе существует множество не подчиняющихся закону
Амонтона материалов, возникших в процессе эволюции и используемых для
оптимизации процессов, сопровождающихся трением.
Рис. 7.20. Схематическое изображение кривой Штрибека (зависимости коэффи-
циента трения от относительной скорости сдвига) для жидкой пленки
между двумя идентичными твердыми поверхностями. Указаны области
граничной, смешанной и гидродинамической смазки
Вязкое трение также играет важную роль во многих явлениях, но его
анализ гораздо сложнее. Подробное изучение смазочных материалов в ав-
томобильной промышленности (обеспечившей существенную финансовую
поддержку исследований в этой области) позволило эмпирически устано-
вить зависимости сил вязкого трения от скорости смещения (рис. 7.20). Эти
зависимости называются кривыми Штрибека и отражают два основных ре-
жима смазки: гидродинамическая смазка и граничная смазка. Первый режим
относится к высоким относительным скоростям движения, и в этом случае
особые свойства смазочного материала (лубриканта) не играют существенной
роли. При граничной смазке относительная скорость движения низка, и этот
режим очень чувствителен к молекулярной природе смазочного материала.
Состав моторных масел специально подбирается с учетом особенностей ре-
7.7. Другие поверхностные явления -JV 157
жима граничной смазки. Считается, что протеогликаны и гликопротеины
появились в ходе биологической эволюции специально для снижения эф-
фектов трения во многих биологических системах. Такова, например, роль
муцинов в глазе.
Важным примером смазки, обеспечивающей чрезвычайно малое трение,
является синовиальная жидкость в суставной сумке. Коэффициент трения
для хрящей друг о друга ниже даже, чем при трении тефлона о тефлон,
и в этом случае наблюдаются значительные отклонения от закона Амонтона
(см. раздел 15.1). Анизотропия трения наблюдается, например, для тексту-
рированной кожи змеи. Это эволюционное приобретение обеспечивает ма-
лое трение при движении змеи вперед и, в то же время, хорошее сцепление
с поверхностью при сокращении специальных мышц, необходимое для уст-
ранения проскальзывания при стремительном броске змеи на жертву. Потери
на трение при взаимном скольжении волокон (актина и миозина) друг отно-
сительно друга в поперечно-полосатой мышце крайне малы (см. раздел 14.2).
В этой системе также наблюдаются отклонения от закона Амонтона, а потери
на трения уменьшаются за счет сочетания электростатической стабилизации
упорядоченной системы мышечных волокон и гидродинамической смазки,
обеспечиваемой жидкостью, содержащейся в саркомере.
7.7. ДРУГИЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
А
При сближении двух тел за счет поверхностных эффектов воз-
можна конденсация жидкости на поверхности в условиях, когда объемная
конденсация не происходит. Этот эффект, ^называемый капиллярной конден-
сацией, может вызывать значительные изменения в адгезивных свойствах
поверхностей.
Изотермическая перегонка (оствальдовское созревание) — это процесс,
который определяет рост коллоидных частиц. Вещество из малых кристаллов
(частиц) переходит в большие, которые при этдм еще более увеличиваются
в размерах, что приводит к уменьшению полной свободной энергии систе-
мы. Этот процесс важен в производстве мороженого (считается, что крупные
кристаллы ухудшают его вкус), а также при получении больших бездефект-
ных кристаллов белков для последующего кристаллографического изучения
их структуры (см. раздел 3.5).
Увеличение поверхностной свободной энергии при нуклеации препят-
ствует возникновению зародышей новой фазы — микроскопических капель
или микрокристаллов. Поэтому поверхностные силы являются критическим
фактором, определяющим динамику разделения фаз (см. раздел 3.5).
Градиенты поверхностного натяжения могут приводить к диффузии в сме-
сях жидкостей — так называемому эффекту Марангони. Этот эффект легко
158 -»и- Глава 7. Поверхностные явления
наблюдать: если в бокале бренди имеет мениск, образующий тонкий слой
на стенке, то в результате испарения спирта на стенке бокала образуются
«слезы бренди».
Во многих случаях поверхностные явления играют важную роль в форми-
ровании жидких кристаллов. Они могут вызывать фазовые переходы, обус-
ловленные влиянием поверхности на параметры порядка. Так, например,
террасы смектиков часто образуются из объемной нематической фазы на
границе раздела нематик-твердое тело.
Дополнительная литература
Scherge М., Gorb S. Biological micro and nano tribology. — Springer, 2001. — За-
хватывающее обсуждение роли поверхностных сил в биологии.
Israelachvili J.N. Intermolecular and Surface Forces. — Academic Press, 1992. — Клас-
сическая работа, содержащая много полезных сведений.
De Gennes P.G., Quere D., Brochard-Wyart F. Capillarity and wetting phenomena. —
Springer, 2004. — Ясное и доходчивое изложение физики поверхностных явле-
ний. *
Adamson A.W., Gast А.Р. Physical chemistry of surfaces. — John Wiley & Sons Ltd,
1997. Очень подробное изложение физики поверхностных явлений.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
7.1. Капля воды находится на поверхности листа лотоса. Каков равновесный
угол смачивания в этой системе, если поверхностные свободные энергии
для границ раздела лист-воздух, лист-вода и воздух-вода равны 18; 73,2 и
72 мДж м-2, соответственно. Чему равен коэффициент смачивания в этой
системе? Смачиваема, частично смачиваема или несмачиваема поверхность
листа?
ГЛАВА
БИОМАКРОМОЛЕКУЛЫ
8
Макромолекулы (полимеры) — это длинные цепные молекулы,
построенные из повторяющихся субъединиц (мономеров). Все белки, нукле-
иновые кислоты и многие углеводы являются полимерами, и их структуры
и свойства будут подробно рассмотрены в этой главе. В течение многих лет
проводятся интенсивные исследования синтетических полимеров, имеющих
разнообразные применения в промышленности. В результате этих исследо-
ваний были разработаны многочисленные количественные модели, которые
могут быть использованы при анализе структуры и свойств биополимеров.
8.1. ГИБКОСТЬ МАКРОМОЛЕКУЛ
Количественной характеристикой «гибкости макромолекулы
является ее персистентная длина. Изолированные полимерные цепи по этому
параметру грубо разделяются на три стандартные класса: гибкие, полугибкие и
жесткие (стержневидные) цепи. Для описания структуры и динамики пове-
дения в растворах молекул каждого из этих трех классов используются разные
теоретические модели. Жесткие полимерные стержни образуют жидкокрис-
таллические фазы и не имеют внутренних степеней свободы (динамических
мод). Напротив, гибкие полимеры адекватно описываются моделями вязких
сгустков, в которых конформация цепи на малых расстояниях определяется
тепловыми флуктуациями внутри сгустка, а на больших — качеством раст-
ворителя (взаимодействиями между звеньями цепи и растворителем). Внут-
ренняя динамика гибких полимеров хорошо описывается моделью Зимма.
В последнее время был получен ряд новых результатов в исследованиях про-
межуточного класса полугибких полимеров. Было показано, что важную роль
в определении структурных свойств и гидродинамических характеристик
таких цепей играют их поперечные и продольные флуктуационные колеба-
ния. Длинные полимерные цепи могут проявлять свойства, характерные для
160
Глава 8. Биомакромолекулы
каждого из указанных классов в зависимости от рассматриваемых масштабов
длин: цепи могут быть жесткими в масштабе порядка 1О-10 м, полугибкими
в масштабе 10-9 м и гибкими в масштабе 10-7 м.
Для измерения персистентной длины макромолекулы используется мно-
жество самых различных методов, таких как динамическое светорассеяние,
электронная микроскопия, оптическая микроскопия (оптический пинцет),
малоугловое рассеяние рентгеновских лучей, статическое светорассеяние,
малоугловое рассеяние нейтронов, атомная силовая и флуоресцентная мик-
роскопия. На рис. 8.1 приведены результаты исследования влияния персис-
тентной длины на конформацию гигантской молекулы белка титина, по-
лученные методом малоуглового рассеяния нейтронов. Область, в которой
зависимость интенсивности рассеяния от переноса импульса (#) изменяется
с обратно пропорциональной (д^1) на обратно пропорциональную квадра-
ту величины переноса импульса (^г2), соответствует переходу от жесткой
(стержневидной) конформации цепи для характерных длин <10 нм к гибкой
(гауссовской) для длин более 10 нм.
Перенос импульса а. А 1
Гауссовская
конформация
(большие длины)
Стержне видная
конформация
(малые длины)
Рис. 8.1. Результаты экспериментального исследования упругих свойств титина
методом малоуглового рассеяния нейтронов. Приведена зависимость
интенсивности рассеяния нейтронов от переноса импульса (q). Значение
q* соответствует персистентной длине полимерной цепи. [Воспроизве-
дено с разрешения из: Di Cola Е., Waigh Т.А., Trinick J. et al. Biophysical
Journal, v. 88, p. 4095-4106 — Copyright (2005) Biophysical Society.]
Геометрический смысл персистентной длины полимерной цепи иллюс-
трирует рис. 8.2. Персистентная длина (Q представляет собой постоянную
длины затухания для автокорреляции направляющих косинусов единичного
вектора (/ (5)), касательного к цепи. Математически это выражается следу-
ющим образом:
</(0)-/(5))~ е~^1р , (8.1)
где s — расстояние от начала цепи полимера.
8.1. Гибкость макромолекул -•ъ- 161
Для жесткого стержня персистентная длина бесконечна (1р —»оо), для
гибкой цепи она мала (1р —► 0), а для реальной полугибкой цепи имеет некое
промежуточное значение. Глобальную конформацию цепи определяют по
отношению персистентной (/р) длины к контурной длине цепи (L), то есть:
lp < L — гибкая цепь,
lp ~ L — полугибкая цепь,
lp » L — жесткая цепь.
Рис. 8.2. Схематическое изображение полугибкой полимерной цепи. R — расстоя-
ние между концами цепи. Штриховыми стрелками изображены векторы,
для которых определяются направляющие косинусы
Персистентную длину можно связать с полной длиной макромолекулы.
Среднее расстояние между концами полугибкой цепи ((Л)), состоящей из
W сегментов длиной а, при условии, что угол между соседними сегментами
равен 0, равно
Л=0
(8.2)
х = cosO.
(8.3)
Персистентную длину 1р можно определить как предельное значение (Л)
при N —> оо:
а
1р 1-х
(8.4)
Поскольку для полугибкой цепи 0 можно считать малым, разложим ко-
синус в ряд и оставим только первые два члена:
COS0 « 1 .
(8.5)
162 Jv- Глава 8. Биомакромолекулы
Подставляя (8.5) в (8.4), получим:
<,=£• <8«
Величину xN можно представить в экспоненциальной форме, используя
известные математические соотношения:
/ 2 Л
х"=1-у «е-^2/2. (8.7)
Контурная длина цепи равна произведению длины сегмента на число сег-
ментов:
L = Na. (8.8)
Учитывая (8.6) и (8.8), уравнение (8.7) можно записать в виде:
{R) = lp(\-e-L^. (8.9)
Отсюда следует, что для цепи очень большой длины (L —> оо) персистен-
тная длина становится равной среднему расстоянию между ее концами.
Более того, если персистентная длина очень велика (L 1р), то расстояние
между концами цепи становится равным ее контурной длине ((R) = L для
жесткого стержня). *
Еще одной полезной характеристикой полимерной цепи является ее ра-
диус инерции, поскольку, например, размер совершенно гибкой цепи равен
нулю ((/?) = О). Радиусом инерции называют среднее значение А2 ((А2^),
которое можно вычислить, используя дифференциальные соотношения,
следующим образом:
d(R2) = d(R- R) = 2{RdR) = 2{R)dL . (8.10)
Отсюда, учитывая (8.9), получаем:
L
(А2) = 2/р J[1 -exp(-Z//p)^. (8.11)
о
Оценка интеграла в правой части уравнения дает:
(R2) = 2lp(L-lp(l-e-L^)). (8.12)
Тогда в пределе для радиуса инерции очень длинной полугибкой цепи
имеем:
(R2) = 2Llp, (8.13)
где 21р — длины жестких субъединиц в эквивалентной гибкой цепи. Уравнение
(8.13) является основой удобного способа оценки размера макромолекулы
8.1. Гибкость макромолекул -•ъ- 163
в растворе. Например, для В-формы ДНК персистентная длина составляет
45 нм, а контурная длина равна 80 нм. Отсюда может быть оценен радиус
инерции, который составляет 60 нм. Сравнительно небольшая величина
радиуса инерции указывает на существенную зависимость конформации
цепи ДНК от ее гибкости.
Используя модель Порода-Кратки можно связать персистентную длину
цепи с ее изгибной жесткостью (индивидуальное свойство материала). Эле-
ментарное изменение свободной энергии (dG) полугибкой цепи при малых
значениях кривизны (ds) равно
d£ d£de 1Р2бк^е?
ds ~ dG ds + 2 jo2 (ds J
(8.14)
В отсутствие постоянного изгибающего момента получаем
Следовательно,
^ = о.
de
dG = к ide?
ds ~ 2J ’
где изгибная жесткость к определяется соотношением
d2G
к - —Т.
de2
(8.15)
(8.16)
(8-17)
Полную энергию (Аб), необходимую для изгиба цепи конечной длины L,
получим проинтегрировав (8.16) по длине цепи:
Аб =
L , ,
2 J И
о v 7
ds.
(8.18)
Для малых смещений цепи угол отклонения пропорционален длине шага
вдоль контура цепи: 0 = ks, где k = const. Тогда из (8.18) получаем:
AG = Kk2f^-,
о
(8-19)
к -
de
ds '
(8.20)
Угол между концами цепи 0£ можно найти, проинтегрировав (8.20):
L
eL = J kds = kL ,
о
(8.21)
164 —* lr Глава 8. Биомакромолекулы
где L — контурная длина цепи. Следовательно, энергия изгиба цепи равна
ке^
2L '
(8.22)
Модуль изгиба к равен удвоенной энергии, необходимой для изгиба сег-
мента единичной длины на угол в 1 рад. Считая, что система находится в
термодинамическом равновесии, среднеквадратичное значение угла изгиба
можно получить из распределения Больцмана:
к
7e-^kTQ2LdeL
{ LkT
]e-^kTdQL
о
(8.23)
Поскольку полугибкая цепь имеет две поперечные изгибные моды
(рис. 8.3), в уравнение (8.23) надо ввести коэффициент 2:
(8.24)
Сравнивая полученныйдгезультат с (8.6), получим окончательное выражение,
связывающее персистентную длину с изгибной жесткостью цепи:
1Р=^- (8-25)
Эта довольно продуктивная теория конформации полугибких цепей, ис-
пользующая только одну константу упругости к, дает хорошее первое при-
ближение при описании статистических свойств самых разных биополиме-
ров. Она предсказывает размер цепи и эффекты температуры на персистен-
тную длину и модуль изгиба. Более современные теории часто учитывают
хиральность (спонтанное закручивание цепей) и даже сопряжение кручения
и изгиба, но все они основаны на модели Порода-Кратки.
Полугибкий полимер
Рис. 8.3. Изгибные флуктуации полугибкой цепи имеют две поперечные моды
(по осям хи z)
8.2. Хорошие и плохие растворители и размеры полимеров -*\г 165
8.2. ХОРОШИЕ И ПЛОХИЕ РАСТВОРИТЕЛИ
И РАЗМЕРЫ ПОЛИМЕРОВ
Важным параметром, определяющим конфигурацию гибкой
полимерной цепи, является исключенный объем. Стерические взаимодействия
приводят к увеличению объема, занимаемого цепью в растворе, по сравне-
нию с объемом идеализированной (невозмущенной) цепи, сворачивающейся
только за счет случайных перемещений мономеров (без учета исключенного
объема). На степень разворачивания полимерной цепи влияет также качес-
тво растворителя. Обычно выделяют три категории растворителей: хорошие
растворители (размер полимерной цепи увеличивается за счет сольватации
мономеров), плохие растворители (цепь образует компактные глобулярные
структуры, за счет которых уменьшается число контактов между мономера-
ми и молекулами растворителя) и тета-растворители (эффект исключенно-
го объема компенсируется взаимным притяжением между звеньями цепи).
Изменение качества растворителя от хорошего к плохому может приводить
к фазовым переходам, таким как переход спираль-клубок и разделение жид-
ких фаз, описанные в главе 3. Во многих случаях эффекты хиральности на
размеры гибкой полимерной цепи вторичны.
Удобной мерой размера гибкой полимерной цепи является расстояние
между ее концами Ree = (R2^2. Точные модели для статистики идеальных
гибких цепей без учета исключенного объема известны уже более полувека.
Статистика гибкой (свободно-сочлененной) цепи совпадает со статистикой
случайных блужданий в трех измерениях, что приводит к характерной сте-
пенной зависимости Ree от числа мономеров с показателем 1Л, типичным для
процессов диффузии (см. раздел 5.1):
£
Ree ~ , (8.26)
где а — длина мономера, N — число мономеров в цепи. Для жестких цепей
размер определяется очевидным образом как произведение числа мономеров
N на длину одного звена а:
Ree ~ aN. (8.27)
Для случайных блужданий без самопересечений (статистика с исключен-
ным объемом и хорошим растворителем) расчет расстояния между конца-
ми цепи более сложен. Решение проблемы требует применения метода ре-
нормгруппы — одного из сложных математических методов, используемых
в теории фазовых переходов. Результаты расчетов размеров цепи в хорошем
166 -*ъ- Глава 8. Биомакромолекулы
растворителе для случаев промежуточных между статистиками гибких цепей
и жестких стержней дают следующую зависимость:
з
Ree ~ aN5 . (8.28)
В тета-растворителе внутрицепочечные силы притяжения, индуцирован-
ные растворителем, и силы отталкивания за счет эффектов исключенного
объема взаимно компенсируются. Это соответствует такой же идеализиро-
ванной гауссовской статистике, как и уравнение (8.27), но на этот раз сис-
тема может быть реализована экспериментально:
1
Ree ~ .
(8.29)
В плохом растворителе цепь образует глобулу — компактную твердую
сферу, радиус которой равен радиусу сферы, построенной из N меньших
сфер объемом |ла3:
1
Ree ~ aN-' . (8.30)
Зависимости расстояний между концами цепи для разных полимерных
цепей приведены на рис. 8.4.
Гибкая цепь Хороший
,, /л _ растворитель
R ~ aN3,s
R ~ (2/,)(O7V//,),/2
Полугибкая цепь
(полиэлектролит
или нейтральная)
Жесткая цепь
(полиэлектролит
или нейтральная)
R ~ aN1/2
Т ета-растворител ь
R~aN
R ~ aN,/3
Плохой
растворитель
Гибкий полиэлектролит
R ~ aN/p
Рис. 8.4. Типичные конформации полимерной цепи в зависимости от качества
растворителя, заряда и жесткости остова. Для каждого класса кон-
формаций приведено расстояние между концами цепи; р — параметр,
зависящий от качества растворителя
Лучше понять природу факторов, влияющих на конформацию цепи в раз-
личных растворителях, можно, используя метод Флори для расчета радиуса
цепи. Это приближенный метод, но он полезен в качестве начальной точки
для оценки роли энтропийных сил и взаимодействий между мономерами
8.2. Хорошие и плохие растворители и размеры полимеров V- 167
в определении конформации цепи. В этой модели набухание полимерной
цепи определяется балансом сил отталкивания между сегментами цепи внут-
ри клубка (двойные столкновения) и сил упругости, имеющих энтропийную
природу. Часть внутренней энергии цепи, обусловленная столкновениями
мономеров, равна
ТТ. . kTBN2 /О_1Ч
С/(а)~—=-^-, (8.31)
о а
где а — коэффициент расширения (а = R/R^ , R — радиус цепи, R^ — на-
чальный радиус цепи), N — количество мономеров, а — длина мономера,
В — второй вириальный коэффициент. Энтропия цепи связана с коэффи-
циентом расширения и равна
5 (a) = -j*a2, (8.32)
где к — постоянная Больцмана, 5, — постоянная. Тогда полная свободная
энергия (Гельмгольца) цепи равна
£
BN2 3 о
F (a) = U (а) - 75 (а) = const = кТ кТа2. (8.33)
Решение этого уравнения представлено графически на рис. 8.5. Мини-
мум на кривой соответствует равновесной конформации цепи. Однако
для получения точной количествен-
ной оценки размера цепи необходимо
использование метода ренормгруппы,
так как в модели Флори исключенный
объем корректно не введен.
Для определения физических свойств
гибких полимерных цепей очень полез-
ны модели блобов. Они также позволяют
понять концепции скейлинга, которые
часто используют для формулирования
наилучших начальных предположений
в биофизических моделях при точных
количественных расчетах. Блоб — не-
большой отрезок гибкой полимерной
цепи, для которого хорошо определе-
ны некоторые статистические свой-
ства (рис. 8.6). В физике полимеров
обычно используют три типа блобов:
тепловые, электростатические и упру-
гие.
Рис. 8.5. Свободная энергия оди-
ночной полимерной цепи в модели
Флори в зависимости от приве-
денной степени расширения а.
Единственный минимум на кривой
соответствует равновесной кон-
формации цепи. [Воспроизведено
с разрешения из: Grosberg A.Y.,
Khokhlov A. R. Giant Molecules. —
Copyright (1997) Elsevier.]
168 -•V Глава 8. Биомакромолекулы
Тепловой блоб (простейший из всех типов блобов) — область полимера,
внутри которой цепочка имеет невозмущенную конформацию. Рассмотрим,
например, полимерную цепочку в капилляре диаметром D (рис. 8.7). Цепи
ведут себя одинаково при различных длинах, поэтому размер малого сегмента
Rs цепи зависит от числа звеньев так же, как и размер полной цепи:
Rs - agv , (8.34)
где g — число мономеров в блобе, а — длина сегмента Куна, v — показатель
степени, зависящий от качества растворителя (сравн. с (8.28)). Когда поли-
мерная цепь ограничена стенками поры, размер сегмента цепи Rs должен
быть равен диаметру поры D, и из (8.34)
следует:
Рис. 8.6. Блоб (диаметром D)
небольшой сегмент гибкой поли-
мерной цепи, имеющий хорошо
определенные статистические
свойства
agv ~D.
(8.35)
(8.36)
g
Из этого уравнения легко получить
число мономеров в тепловом блобе:
о J
Таким образом, размер цепи в капилля-
ре Rc может быть получен ценой неболь-
ших математических усилий, так как цепь
может быть представлена в виде последовательности блобов одинакового
размера, т. е. Rc = (N/g) D.
полимерная цепь в капилляре, например, молекула титина в no-
образованной нитями актина в клетке поперечно-полосатой
Рис. 8.7. Гибкая
л ости,
мышцы. Размер блоба D равен диаметру капилляра
Представление о тепловых блобах можно распространить и на полураз-
бавленные растворы (рис. 8.8). При этом можно провести расчеты, когда
цепи перекрываются. В полуразбавленном растворе полимерную цепь мож-
но представить как плотно упакованный набор блобов. Блоб имеет около
одного контакта с другими сегментами цепи, и свободная энергия раствора
8.2. Хорошие и плохие растворители и размеры полимеров
Л
169
составляет кТ на один блоб. Используя идеи масштабной инвариантности
(скейлинга) можно показать, что зависимость радиуса корреляции, или раз-
мера ячейки, в полуразбавленном растворе полимера от концентрации имеет
универсальный характер:
^ = ас\ (8.37)
Показатель степени v по-прежнему зависит от качества растворителя. Этот
показатель равен !/2 в пределе полностью растянутых цепей (полиэлектро-
литы и жидкокристаллические полимеры) и % для гибких цепей в хоро-
шем растворителе. Предсказания теории находятся в хорошем согласии
с экспериментальными результатами, полученными для широкого класса
полимерных систем.
Тепловой блоб
Перекрывающиеся
полимерные цепи
Рис. 8.8. Схематическое изображение плотной упаковки блобов полимерной цепи
в полуразбавленном растворе со средней длиной корреляции £
Представление о заряженном блобе очень удобно при статистическом
описании слабо заряженных гибких полимерных цепей (рис. 8.9).
Рис. 8.9. Схематическое изображение конформации жесткого стержня, принимае-
мой гибкой полимерной цепью, состоящей из последовательности элек-
тростатических блобов размера D
Энергия электростатического отталкивания двух соседних блобов
в цепи имеет порядок тепловой (кТ). Основной вклад в эту энергию дает
кулоновское отталкивание, потенциал которого можно записать в виде
170 -*V- Глава 8. Биомакромолекулы
g2e2 /zD, где g — число мономеров в блобе, е — заряд, е — диэлектри-
ческая проницаемость, D — размер заряженного блоба. Следовательно,
можно записать:
Рис. 8.10. Размеры упругих блобов (D) опре-
деляются величиной приложенной силы (F)
и качеством растворителя
2 2
ге
zD
~kT.
(8.38)
Из этого соотношения можно
получить размер блоба:
2 2
°-У- <8 3”
Упругие блобы определяют
для цепочки, к концам которой
приложена сила (можно пред-
ставить себе эластичную нить из одной молекулы). Приложенная сила
приводит к уменьшению величины латеральных флуктуаций и связанной
с ними энтропии и, как следствие, размеров блобов (рис. 8.10).
8.3. УПРУГОСТЬ
Статические и динамические свойства биополимеров ста-
новятся более понятными при анализе упругих свойств каучукоподобных
систем (рис. 8.11). Идеальные каучуки (эластомеры) представляют собой
гибкие цепи, сшитые в некоторых местах и образующие прочные сети. Уп-
ругие свойства таких сетей определяют функциональные свойства целого
ряда биологических материалов, таких как резилин в местах присоединения
крыльев стрекозы к ее телу и абдуктин в местах сочленения створок рако-
вин двустворчатых моллюсков. В этом разделе мы рассмотрим свойства по-
перечно-сшитых гибких полимерных цепей, которые относительно просты,
а полугибкие цепи, проявляющие более сложные свойства, обусловленные
анизотропией сетей, будут рассмотрены в разделе 12.3.
Расчет упругости сети, состоящей из гибких полимерных цепей, мы про-
ведем, следуя подходу Флори. При этом потребуется рассчитать изменение
энтропии полимерной сети при ее растяжении. Конформационная энтро-
пия одиночной полимерной цепи определяется уравнением (8.32), а коэф-
фициент растяжения цепи равен а = R/R$ . Поэтому энтропия гауссовской
гибкой цепи с невозмущенным размером R$ — N*b равна
' 3R2 j
s(R) = -k
+ const,
(8.40)
8.3. Упругости -»v- 171
где b — длина мономера, N — число мономеров в цепи, к — постоянная
Больцмана. Изменение энтропии одиночной цепи при ее растяжении равно
разности энтропий в конечном и начальном состояниях:
Д5(Л) = 5(Л)-5(Ло). (8.41)
Для объемного (трехмерного) растяжения изменение энтропии можно
записать в виде:
ЛСД = - ^2 № - <) + W ~ ) + («< - **)]' <8 42>
Удобно ввести отношения радиуса растянутой цепи к ее радиусу в не-
возмущенном состоянии вида кх = Rx/Ri)x и т.д. Тогда уравнение (8.42)
принимает вид:
А5(*)= ~ + + “ ‘>^1 ’ <8ЛЗ)
Упругость полимерной сети имеет чисто энтропийную природу, что под-
тверждается очень хорошим согласием теории с экспериментальными дан-
ными, например, с уменьшением длины полимерной ленты при нагревании.
Изменение энтропии всей сети можно получить, просуммировав изменения
энтропии всех субцепей сети при ее растяжении:
45=W’)+к w ' <844’
где V — объем сети, v — концентрация субцепей в сети. Для каучукоподобной
сети, построенной из идеальных гауссовских цепей, радиус инерции ((Д) )
пропорционален квадрату числа мономеров, поэтому
W = Nb2 , (8.45)
Рис. 8.11. Схематическое изображение полимерной сетки каучука, подверженной
механическому растяжению. Растягивающая сила F компенсируется
реакцией системы, обусловленной изменением энтропии сети из гибких
полимерных цепей
172 —• и- Глава 8. Биомакромолекулы
где Ь — длина мономера цепи. Для изотропной невозмущенной гауссовской
цепи радиусы по всем направлениям растяжения одинаковы, то есть
К) = К) = («У = Поэтому из уравнения (8.43) для энтропии цепи имеем: (8.46)
ьг(х2+х2+х2-з) (8.47)
При одномерной деформации вдоль оси Ох для несжимаемого материала
(условие сохранения объема) можно записать дополнительное ограничение
на величины относительных деформаций:
1 Ху =Хг =Хх2 = х. (8.48)
Поэтому уравнение для изменения энтропии упрощается:
(X2 + 2) ^ = -^2(X-3r (8.49)
Свободная энергия пропорциональна скорости изменения энтропии при
растяжении (95/9Х)/поэтому
г А5 _ Т 95 Дох аОх ду ’ (8.50)
Механическое напряжение в сети определяется как отношение прило-
женной силы к площади поперечного сечения образца:
_ f _ TdS/ffk _ TdS/ffk ^Qx^Qy ^Qx^Oy^Oz V (8.51)
где аОх, аОу и аОг — длина, ширина и высота недеформированного образца.
Окончательно выражение для механического напряжения в изотропной уп-
ругой полимерной сети в зависимости от относительной деформации имеет
вид:
о = kTvIx —М.
I X2J
(8.52)
Напряжение не зависит ни от числа мономеров (7V), ни от их размеров (Ь).
Единственные параметры, определяющие реакцию каучукоподобной поли-
мерной сети на напряжение, — это относительное удлинение (X) и объемная
плотность поперечных сшивок (v). Для малых растяжений относительное
удлинение равно примерно единице (X = 1), поэтому:
8.4. Демпфированное движение нежестких молекул 173
1-р-» 3(1-1). (8.53)
По определению модуль Юнга Е равен отношению механического напря-
жения о к относительной деформации А/// (см. раздел 13.1), то есть:
о = £у. (8.54)
Связь относительного удлинения с относительной деформацией очевидна:
1-1 = у. (8.55)
Отсюда следует, что модуль Юнга прямо пропорционален объемной плот-
ности поперечных сшивок в полимерной сети v:
E = 3kTv, (8.56)
где kT — тепловая энергия.
Это простое выражение для модуля упругости очень удобно для оценки
упругости полимерных сетей. Его можно использовать также для расчета пла-
то модуля сдвига для вязкоупругих сетей из спутанных полимерных цепей,
в которых поперечные сшивки имеют топологическую природу (нет хими-
ческих связей между цепями). Сложности при описании большинства био-
логических систем связаны с тем, что в них полимерные сети часто содержат
участки с конформациями жестких стержней или полугибких цепей (немати-
ческие эластомеры). Свойства таких материалов определяются комбинациями
их молекулярных компонентов с уникальными механизмами деформацион-
ного упрочнения, которые будут рассмотрены Сдельно (см. главу 12).
8.4. ДЕМПФИРОВАННОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕЖЕСТКИХ МОЛЕКУЛ
Изучение динамики полимеров мы начнем с подробного рас-
смотрения затухания вынужденных колебаний жесткого стержня. Это мо-
жет быть волокно, закрепленное с одного конца (рис. 8.12), как, например,
фибрилла волосковой клетки в улитке внутреннего уха. Уравнение упругих
колебаний стержня при наличии затухания (см. раздел 5.2) имеет вид:
d2x dx
т~ + у^ + кх = Е, (8.57)
dt2 dt
где x — смещение конца стержня, у — коэффициент вязкости, к — коэффи-
циент жесткости, F — внешняя сила.
Анализ уравнения (8.57) показывает, что существуют два принципиально
различных класса движений стержня. При слабом (докритическом) затуха-
нии (демпфировании)
174
—Глава 8. Биомакромолекулы
у2 < 4дик (8.58)
движение имеет колебательный характер (рис. 8.13, б). При сильном (сверх-
критическом) затухании
у2 > 4дик (8.59)
движение имеет апериодический характер (рис. 8.13, в).
Смещение
I____I____I_____I____I____L
0.0 0.2 0.4
Время, с *
а
о
S 0.00011---------1-----------1------------1
10 100 1000
Частота, Гц
б
Стеклянное волокно,
закрепленное^ одного
Лазер
Спаренный
фотодиод
Молекула
полимера
в
Рис. 8.12. Флуктуационные смещения конца стеклянного волокна, закрепленного
на другом конце (кантилевера) (а), спектральная плотность мощно-
сти (б) и схема экспериментальной установки для изучения флуктуаци-
онных смещений конца стеклянного волокна [Meyhofer Е., Howard J. //
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1995, v. 92, p. 574-578.]
Поверхность
п
Этим двум типам движения соответствуют две постоянные времени. Малая
постоянная времени характеризует ускорение тела до максимальной скоро-
сти F/у, а большая — затухание колебаний пружины с демпфером, то есть
баланс упругой и диссипативной компонент движения жесткого стержня.
Для движения относительно малых и нежестких объектов, таких как бел-
ки, полисахариды и нуклеиновые кислоты, в водных растворах на большие
расстояния характерно сильное (сверхкритическое) затухание. Это мож-
8.4. Демпфированное движение нежестких молекул 175
но показать с помощью грубой механической модели глобулярного белка.
Молекула белка представляется гомогенным изотропным кубом с длиной
ребра L, состоящим из вещества с плотностью р, модулем Юнга Е в среде
с вязкостью т|. Масса куба равна
/л = рИ = рЛ3, (8.60)
где р — плотность вещества, V — объем куба. Жесткость куба (к) связана
с его размерами и модулем Юнга обычным соотношением:
k = EL. (8.61)
Сила
10 пН
Время
Смещение
Jt = 2т/у
Докритическое затухание
100 пс _
б а
Смещение
т = у/к
► Сверхкритическое затухание
20 пс ----------►
в
Рис. 8.13. На тело массой т, прикрепленное к концу пружины и погруженное
в жидкость с вязкостью у в момент времени t = 0 начала действовать
сила в 10 пН (а). Результирующее движение тела может быть либо
колебательным (б), либо апериодическим (в). Постоянные времени
затухания (т) для этих двух случаев равны 2ди/у и у/к, соответственно
Коэффициент лобового сопротивления для куба определяется законом
Стокса:
у = 3тп]£. (8.62)
Из предыдущего рассмотрения следует, что затухание при движении куба
будет сверхкритическим, если отношение 4дик/у2 менее единицы. Это отно-
шение можно теперь связать с параметрами модели белка:
176
_Глава 8. Биомакромолекулы
4/ик _ 4рА3ЕЛ
Y2 (Зтп]Л)2
2_\2 Р^/2
Зл]
(8.63)
Для оценок особенно важен вид зависимости этого отношения от размеров
модельной молекулы белка (£). Чем меньше размер молекулы, тем больше
будет затухание при ее движении. Для молекулы белка можно ввести кри-
тический размер Lc, который можно оценить по уравнению (8.63). Полагая
т] ~ 1 мПа-с, р ~ 103 кг-м-3, Е ~ 1 ГПа, получим:
£
т Зл(т)2]2
~5нм
2 ^р£
(8.64)
Таким образом, малые движения глобулярных белков, таких как рибосо-
ма (1 нм), характеризуются сильным затуханием. Внутреннее трение в мо-
лекулах белков будет приводить к еще большему демпфированию их движе-
ний. Для удлиненных молекул демпфирование движений будет возрастать,
поскольку затухание возрастает с L, а жесткость уменьшается. Так, например,
движения цитоскелета передемпфированы (затухание сверхкритическое). То
же относится и к движениям большинства биополимеров.
При изучении демпфированных колебаний волокон удобно использовать
спектральное разложение. Рассмотрим стохастические флуктуации стеклян-
ного волокна, например, прикрепленного к цепи ДНК, претерпевающей пе-
реход спираль-клубок (рис. 8.12). При решении уравнений движения удоб-
но использовать автокорреляционную функцию (Л(т)) для смещений неза-
крепленного конца волокна, поскольку эта зависящая от времени величина
часто измеряется в экспериментах (см. 5.34). Автокорреляционная функция
определяется следующим образом:
/?(т) = (х(/)х(/ —т)) = lim
Т—>ос
Т/2
у f x(t)x(t-r)dt
1
-Т/2
(8.65)
где Т — время, в течение которого регистрируется движение стержня.
С использованием этой функции можно получить точное решение уравнения
Ланжевена (8.57), из которого следует, что автокорреляция флуктуаций сме-
щения волокна относительно некоторого среднего положения имеет вид:
Я(т) = е-,т|/т<>
(8.66)
и его движение характеризуется постоянной времени
т
- I
0 к
(8.67)
8.5. Динамика полимерных цепей —'V 177
Обычно для интерпретации результатов экспериментов по изучению
смещений какого-либо датчика используют спектры мощности (G (/)), ко-
торые представляют собой фурье-образы соответствующих автокорреля-
ционных функций. Спектр мощности для смещений стеклянного волокна
имеет вид:
G(J) = ----------у .
к2 1 + (2л/т0)2
(8.68)
Сравнивая этот теоретический спектр со спектром флуктуаций, полу-
ченным в эксперименте, можно определить механические характеристики
образца. Так, например, среднеквадратичное смещение свободного конца
волокна равно (х1} = kt/к, а время корреляции (т0) можно связать с час-
тотой среза спектра /0 — |лт0 (см. раздел 5.3). Таким образом по экспери-
ментальным данным можно непосредственно определить коэффициенты
упругости (к) и трения (у).
8.5.
ДИНАМИКА ПОЛИМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
К движению сферической пробной частицы можно применить
уравнение Стокса-Эйнштейна (см. раздел 5.1), если окружение, состоящее
из молекул радиуса а, считать континуумом с вязкостью т)0. Тогда для ко-
эффициента диффузии имеем: ,
D =
k/Г
б7П]оа ’
(8.69)
где кТ— тепловая энергия. Время структурной релаксации (т) для жидкости,
состоящей из таких сферических частиц, определяется как время, необходи-
мое для диффузии частицы на расстояние, равное ее радиусу:
_ а1 _ 6тгг|0<23
X~~D~ кТ ’
(8.70)
Однако полимерные цепи могут иметь внутренние релаксационные моды,
обусловленные гибкостью цепей, и, кроме того, они могут быть спутаны с
соседними цепями. Эти два эффекта значительно усложняют спектр релак-
сации для растворов полимеров по сравнению со спектром релаксации жес-
тких сферических коллоидных частиц.
Спектр времен релаксации для фантомной цепи в неподвижном раство-
рителе можно легко получить в модели Рауза (рис. 8.14). Это простейшая
удачная модель в динамике полимерных цепей формулируется для стандар-
тной гауссовой модели в предположении идеальности (и фантомности) цепи
и неподвижности растворителя. Математически модель Рауза представляет
178 -*V- Глава 8. Биомакромолекулы
Бусинка
Рис. 8.14. Схематическое изображе-
ние раузовской модели полимерной
цепи — модели бусинок и пружинок,
пригодной для описания динамики
гибкой цепи без гидродинамическо-
го взаимодействия „
собой сопряженные уравнения движения звеньев цепи — бусинок, соеди-
ненных идеальными пружинками, учитывающие действие случайных сил на
бусинки (уравнения Ланжевена).
С помощью фурье-преобразования основных уравнений модели Рауза
можно показать, что движение полимерной цепи представляет собой су-
перпозицию независимых раузовских мод, подобно тому, как движение
звучащей струны является суперпозици-
ей гармонических колебаний. В модели
Рауза максимальное время релаксации
полимерного клубка и коэффициент
диффузии клубка как целого изменя-
ются с ростом числа звеньев N в цепи
как N~2 и N~\ соответственно. Наиболее
медленная внутримолекулярная релакса-
ция и диффузионное движение клубка
как целого отвечают первой и основной
раузовским модам. Среднеквадратичное
смещение звена раузовской цепи на вре-
менах, меньших максимального времени
релаксации тр растет как Р и только на временах, больших максимального
времени релаксации, то есть при t > тр становится пропорциональным t2,
как при обычной диффузии броуновской частицы (см. раздел 5.1). Такое
поведение системы было подтверждено экспериментально с помощью флу-
оресцентной микроскопии и некогерентного квазиупругого рассеяния ней-
тронов.
Модель Рауза оказалась полезной при рассмотрении плотных полимер-
ных расплавов, в которых гидродинамические взаимодействия экранирова-
ны. Сходным образом, в разбавленных растворах динамика Рауза описывает
движение полимерной цепи на масштабах больших, чем размер ячейки сети,
то есть модель Рауза пригодна для описания крупномасштабной динамики
цепи.
В разбавленных растворах модель Рауза дает результаты, расходящиеся
с экспериментом. Одной из причин является пренебрежение гидродина-
мическим взаимодействием, обусловленным увлечением растворителя при
движении звеньев полимерной цепи. Модель Зимма включает в себя крупно-
зернистые гидродинамические взаимодействия и часто находится в хорошем
согласии с экспериментальными данными для изолированных гибких цепей
в растворе. Среднеквадратичное смещение звена в модели Зимма растет со
1 _
временем, как t3, и только на временах больших, чем максимальное время
релаксации (t > тр, становится пропорциональным t2, что характерно для
обычной диффузии (см. уравнение (5.8)).
8.5. Динамика полимерных цепей -*v 179
Модели Рауза и Зимма пригодны для очень гибких цепей. Для описания
динамики полугибких. цепей требуется гидродинамическая модель балки. Эта
модель пригодна для описания таких относительно жестких полимеров, как
филаменты актина, волосковых клеток улитки внутреннего уха, кератина, а
также микротрубочек (рис. 8.15).
хх+Дх
Расстояние вдоль цепи, х
Рис. 8.15. Поперечная компонента вле-
кущей силы в случае полугибкой цепи
зависит от поперечной компоненты ско-
рости (v±), длины (Ах) и плотности (с±)
элемента цепи
п = 1
п =2
п = 3
п =4
Рис. 8.16. Гидродинамические моды (п =
1, 2, 3,4) полугибкого стержня в растворе.
На свободных концах цепи образуются
пучности соответствующих мод.
При поперечных смещениях элемента полугибкой цепи влекущая сила
(гидродинамическая сила сопротивления), действующая на единицу дли-
ны (f (х)), равна
А (х) = -c±v± (х) -с± ,
(8.71)
где с± — плотность цепи, vx — поперечная скорость, у — поперечное
смещение элемента цепи. Эта сила уравновешивается упругой силой, воз-
никающей при деформации цепи, что позволяет получить уравнение для
гидродинамической модели балки:
д4у _ сх ду
д^~~~ЁТ7н’
(8.72)
где Е — модуль Юнга, I — момент инерции балки. Время релаксации по-
лугибкой цепи может быть теперь рассчитано как время, необходимое для
восстановления исходной формы балки после ее изгиба. Стрелка прогиба
уменьшается экспоненциально по времени с постоянной времени тп, зави-
сящей от номера моды п (рис. 8.16):
сх ( L ?
" " £ZU(« + 1/2)J ’
(8.73)
где w=l,2, 3...L — длина балки. Этот результат для динамических мод по-
лугибких цепей находится в разумном согласии с экспериментом.
180 Глава 8. Биомакромолекулы
Динамику как гибких, так и полугибких цепей в концентрированных рас-
творах довольно просто можно описать в терминах одномерной диффузии
каждой цепи в «трубке», образованной ее соседями (рис. 8.17). Такая модель
называется моделью рептаций, поскольку движение цепи в трубке напоми-
нает движение змеи (рептилии). Эффективность модели рептаций можно
продемонстрировать с помощью скейлинговых оценок для динамики мо-
лекулы гибкого полимера в системе сильно перепутанных цепей сходных
полимеров.
Рис. 8.17. Схематическое изображение рептации полимерной цепи в концентри-
рованном растворе. Цепь диффундирует в трубке, образованной другими
цепями за счет стерических (топологических) ограничений
Рассмотрим наибольшее время релаксации концентрированного раствора
полимера. В начальный момент времени (t = 0) подвергнем образец раство-
ра или расплава мгновенной деформации растяжения при напряжении о,
которое затем остается постоянным, и будем измерять относительную де-
формацию образца (Д///). Если напряжение невелико, статическая подат-
ливость (отношение относительной деформации к напряжению) опреде-
ляется уравнением
^ = g/(/). (8.74)
Для типичного раствора полимера вид зависимости податливости от вре-
мени приведен на рис. 8.18. После быстрого начального роста податливость
достигает плато со значением Jo. На временах, превышающих наибольшее
время релаксации раствора (т‘), напряжение становится пропорциональным
не относительной деформации, а скорости ее возрастания, то есть материал
становится подобным жидкости, для которой выполняется закон вязкости
Ньютона:
о = /* (8.75)
8.5. Динамика полимерных цепей
Л
181
где А/// — относительная деформация. В этом случае легко связать вязкость
с податливостью (см. рис. 8.18):
Jr1 = п. (8.76)
С микроскопической точки зрения наибольшее время релаксации
системы (т*) соответствует времени разрушения стерических ограничений
при выползании цепей из своих трубок, то есть времени возобновления
трубок. Для системы перепутанных це-
пей модуль Юнга определяется таким же
выражением, как и для каучукоподобной
полимерной сетки:
кТ
(8.77)
Nea}
где Ne — среднее число мономеров цепи
между двумя последовательными эффек-
тивными стерическими препятствиями,
а — длина сегмента Куна, кТ — тепловая
энергия. При рептации гауссовской цепи в
цилиндрической трубке (рис. 8.19) диаметр
трубки (J) равен размеру блоба (см. раз-
Рис. 8.18. Зависимость податливос-
ти концентрированного раствора
полимера от времени. На проме-
жуточных временах (т*) наблюда-
ется плато (/0), а на больших вре-
менах — линейная зависимость (J})
дел 8.2), то есть: х
1^
d ~ aN} , (8.78)
где Ne — число мономеров в блобе, а — длина шага. Так же, как при расче-
те длины цепи в капилляре, контурная длина полимера в трубке (Л) равна
произведению числа блобов на размер блоба:
Л
2У_
Ned-
(8.79)
Поэтому, поскольку d = aN} , контурная длина может быть выражена в
виде:
Л ~ aNNe 2 . (8.80)
Для одномерной диффузии среднеквадратичные флуктуации смещения
по трубке связаны с коэффициентом диффузии (Л) стандартным обра-
зом (см. раздел 5.1):
{x2) = 2Dt,
(8.81)
182
—Глава 8. Биомакромолекулы
где х — расстояние вдоль трубки. Из флуктуационно-диссипативной теоремы
следует, что коэффициент диффузии может быть рассчитан по формуле:
кТ
D =, (8.82)
Hr
где кТ — тепловая энергия, р, — суммарный коэффициент трения полной
цепи. Полное трение можно приближенно представить в виде суммы вкладов
в трение каждого звена, окруженного соседями:
Нг = М1, (8.83)
где N — число звеньев в одной цепи. Наибольшее время релаксации (т‘)
цепи по определению коэффициента диффузии равно
*
т
А
N3a2 ——.
а NepkT
(8.84)
Рис. 8.19. Схематическое изображение конформации блобов гибкого полимера
в трубке на основе скейлинговой модели рептации; Л — длина трубки,
D — диаметр блоба
Микроскопическое время релаксации (т^) жидкости равно тт ~ l2/D (см
уравнение (8.70)), откуда следует более простая формула для наибольшего
времени релаксации:
(8.85)
Обе величины могут быть рассчитаны на основе модели рептаций, опи-
сывающей динамику системы перепутанных полимеров в растворе, и нахо-
дятся в хорошем согласии с экспериментально полученными значениями
коэффициентов вязкости и диффузии. Вязкость (т|) раствора приближенно
равна произведению модуля Юнга на наибольшее время релаксации жид-
кости (как принято в реологии):
(8.86)
8.5. Динамика полимерных цепей -*v- 183
Коэффициент самодиффузии (Ds) определяется скоростью, с которой цепь
за счет флуктуаций перемещается на расстояние, численно равное квадрату
ее длины (R):
R2 NT
<8-87>
т N ц
RRRR
RRR4
ДНК
- Гель
Бусинка
' в оптической
ловушке
Рис. 8.20. Рептацию среди перепутанных полимерных цепей можно наблюдать
с помощью флуоресцентной микроскопии и лазерного пинцета. На рисун-
х ке приведена последовательность изображений цепи ДНК, движущейся в
полиакриламидном геле. [Воспроизведено с разрешения из: Perkins Т. Т.,
Smith D.E., Chu S. // Science, v. 264, p. 819. — Copyright (1994) AAAS]
Модель рептаций очень хорошо согласуется с экспериментальными дан-
ными. Дополнительные уточнения модели дают количественное согласие
с экспериментальными данными по электрофоретической подвижности ДНК
в полиакриламидном геле (раздел 13.5). Квазиупругое рассеяние нейтронов
позволяет исследовать движение меченых сегментов молекул полимеров,
и полученные экспериментальные данные согласуются с моделью рептаций.
Значения коэффициентов самодиффузии, полученные при изучении с по-
мощью флуоресцентных методов процесса релаксации после фотообесцве-
чивания, совпадают с предсказанными на основе модели рептаций. Количе-
ственные реологические характеристики расплавов полимеров, полученные
на основе модели рептаций, могут быть проверены методами механической
спектроскопии (глава 13). Пожалуй, наиболее сильным аргументом в пользу
модели рептаций являются данные, полученные с помощью флуоресцентной
микроскопии при изучении молекул флуоресцентно меченой ДНК в кон-
центрированном растворе (немеченой ДНК). При вынужденном движении
под действием лазерного пинцета цепь ДНК сохраняет конфигурацию своей
трубки, то есть ее движение имеет рептационный характер (рис. 8.20).
184 -• v- Глава 8. Биомакромолекулы
8.6. ТОПОЛОГИЯ ПОЛИМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ. СВЕРХСПИРАЛИЗАЦИЯ
Многие биологически важные свойства двойной спирали ДНК
и полугибких полимерных цепей имеют топологическую природу. Важное
свойство этих цепей — сопротивление крутильным деформациям, благодаря
чему они могут запоминать свое состояние закрученности. Нативная кольце-
вая ДНК бактерий обычно находится в компактном сверхспирализованном
состоянии, что уже обусловливает актуальность исследования сверхспира-
лизации (рис. 8.21).
Рис. 8.21. Молекулярно-динамическая модель сверхспирализованной кольцевой
цепи ДНК [Harris S., University of Leeds]
Было обнаружено, что цепи ДНК с одинаковой молекулярной массой, но
разным количеством сверхвитков (т) существенно различаются по поведению
при гель-электрофорезе в агарозе. Цепи в сверхспирализованном состоянии
движутся сквозь гель быстрее благодаря более компактной конформации.
Замкнутая в кольцо цепь ДНК характеризуется двумя топологическими инва-
риантами: типом узла, сформированным цепью в целом, и числом зацеплений
(£) в двухцепочечной ДНК. Минимум энергии для кольцевой ДНК соответ-
ствует сверхспирализованному состоянию, при этом количество сверхвитков
зависит от порядка зацепления цепей (£). Нативные кольцевые молекулы
ДНК всегда образуют левые сверхспирали. Аксиальное кручение нитей друг
относительно друга (число витков вторичной структуры) может отличаться
от величины, соответствующей порядку зацепления, на величину так назы-
ваемого райзинга, которая зависит только от формы оси двойной спирали.
У вирусов и бактерий топология ДНК может изменяться под действием фер-
8.6. Топология полимерных цепей. Сверхспирализация “•V 185
ментов-топоизомераз. Топоизомераза I увеличивает порядок зацепления на 1,
а топоизомераза II — на 2. Ферменты, называемые гиразами, могут вызывать
сверхспирализацию ДНК. При этом отрицательная сверхспирализация будет
способствовать раскручиванию двойной спирали ДНК, необходимому для про-
цессов репликации, транскрипции и рекомбинации. Бактериальная ДНК хра-
нится в высшей степени сверхспирализованном состоянии, называемом плек-
тономным и представляющем собой компактифицированные цилиндры ДНК.
Свободная энергия сверхспирализованного состояния пропорциональна квад-
рату плотности сверхвитков, а эффективный модуль упругости сверхспирализо-
ванной цепи определяется как изгибной, так и вращательной деформациями.
Рис. 8.22. Число зацеплений равно количеству прохождений одной цепи вокруг
другой. На рисунке наглядно показано, как надо расположить цепи,
чтобы просто определить их топологию
Большей математической точности можно достичь при рассмотрении за-
мкнутых лент. Для замкнутой в кольцо ленты существуют три числа (тополо-
гические инварианты), которые полностью ее характеризуют: число зацеплений
(£), число оборотов (7) и степеньрайзинга (И7). Чйсло зацеплений (Z) — целое
число, равное количеству раз, которое две кромки ленты пересекаются в про-
екции на плоскость, проходящую через ось спирали, как показано на рис. 8.22.
Число оборотов (7) подсчитывается как число окружностей вокруг оси спи-
рали, описанных концом вектора нормали к ленте. Его можно подсчитать
с помощью линейного интеграла по контуру, представляющему собой пол-
ный оборот вокруг цепи (рис. 8.23):
7 = cods, (8.88)
2л J
где со — количество оборотов на единицу длины, ds — приращение длины
дуги спирали, Т — значение контурного интеграла.
Степень райзинга определяется как
W = L - Т (8.89)
и представляет собой степень закрученности оси спирали в трехмерном про-
странстве. На рис. 8.24 приведены две возможные конфигурации двойной
цепи ДНК с соответствующими числами оборотов и зацеплений.
186
Глава 8. Биомакромолекулы
Рис. 8.23. Число оборотов равно число окружностей, опи санных концом вектора
нормали (и) к ленте вокруг тангенциального вектора (5), касательного
к ленте и определяющего направление ленты
Т= О
£ = 0
W = О
Рис. 8.24. Для двойной цепи ДНК возможно большое разнообразие топологических
состояний, из которых приведены только два. [Кантор Ч, Шиммел П. Био-
физическая химия. В 3-х т. Т 3. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 536 с.]
Дополнительная литература
Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. — М.: На-
ука. Гл. ред. физ. — мат. лит., 1989. -344 с. а также книга этих же авторов: Giant
molecules. Here there and everywhere. — AIP, 1997. — Две очень информативные
книги по физике полимеров.
Howard J. Mechanics of motorproteins and the cytoskeleton. — Sinauer, 2003. — До-
статочно полное описание механики полугибких полимерных цепей.
Кантор Ч., Шиммел П. Биофизическая химия. В 3-х т. Т. 3. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1985. -536 с. — Устаревшее, но весьма полезное пособие по статистической
физике биологически важных молекул.
Rubinstein М., Colby R.H. Polymer physics. — Oxford University Press, 2004. — Книга
содержит ясное описание физики синтетических полимеров и полезные задачи
и упражнения.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
8.1. Модули Юнга для эластина и коллагена равны 1 Мпа и 1,5 ГПа, соот-
ветственно. Какова должна быть плотность сшивок в случайной гауссовской
Вопросы и задания -•V 187
сетке, чтобы обеспечить такие значения модуля упругости? Конформации
фрагментов цепей между сшивками можно считать полностью случайными.
Можно ли объяснить расхождение с экспериментальными данными для кол-
лагена, если плотность сшивок в обоих случаях примерно равна 8 1025 м-3?
8.2. Предположим, что мы наблюдаем тепловые флуктуации агрегатов ге-
моглобина при серповидно-клеточной анемии. Пусть 0 — угол поворота
касательной к филаменту на его длине, s — длина частицы, kj — изгибная
жесткость. Связь между энергией изгиба и среднеквадратичной флуктуацией
угла изгиба дается выражением:
kf
bend 2s
Определите величину (0 ) , обусловленную тепловыми флуктуациями, для
частицы с контурной длиной 300 нм, если персистентная длина фиброзного
агрегата составляет 10-3 м.
8.3. Гибкая молекула титина в клетке поперечнополосатой мышцы нахо-
дится в почти цилиндрической актиновой трубке (рис. 8.25). Определите
равновесную длину полимера (Ац), считая концы молекулы незакрепленны-
ми, длину сегмента Куна равной 30 нм, контурную длину равной 750 нм, а
диаметр трубки — 40 нм. Пусть теперь молекула закреплена с обоих концов
в саркомере с фиксированной длиной 0,6 мкм. Изменится ли упругость цепи
за счет уменьшения энтропии, обусловленного ограничением подвижности
внутри трубки? „
, Молекулы актина
Вид сбоку
Молекула
титина
Рис. 8.25. Схематическое изображение цепи молекулы титина, зажатой в трубке
из актиновых филаментов
8.4. Полимерная цепь в хорошем растворителе удерживается с помощью двух
лазерных пинцетов. Как будет выглядеть кривая зависимости сила-растяжение?
Как изменится сила, приложенная к пинцетам, если при постоянном расстоя-
нии между ними постепенно заменить хороший растворитель плохим?
8.5. Используя модель Порода-Кратки рассчитайте радиус инерции (г2^2
для молекулы ДНК фага с персистентной длиной 45 нм и контурной дли-
ной 60 мкм.
ГЛАВА
ИОНЫ И ЗАРЯЖЕННЫЕ ПОЛИМЕРЫ
Рис. 9.1. Пример малой заря-
женной молекулы — аденозин-
трифосфата (АТФ)
используются, например, при
В биологических системах присутствует множество различных
заряженных частиц — ионов. Ионами могут малые молекулы (~0,2 нм), бел-
ковые нанокомпозиты (~10 нм) или гигантские линейные агрегаты (молеку-
лы ДНК длиной в несколько сантиметров, несущие миллионы заряженных
групп). Примерами заряженных групп, придающих свойства ионов малым
молекулам в биологических системах, могут служить отрицательно заряжен-
ные карбоксильные группы (СОО-) аспарагиновой и глутаминовой кислот,
полярные головы жирных кислот (СН3-(СН2)П-СОО“), фосфатные группы
(РО^), положительно заряженные аминогруппы лизина, аргинина и гистиди-
на (см. рис. 9.1-9.3). Все эти ионы окружены, как правило, молекулами воды,
образующими гидратные оболочки ионов.
Взаимодействие иона со своей гидратной обо-
лочкой во многом определяет его физические
свойства.
На молекулах могут существовать также
частичные заряды, обусловленные поляриза-
цией ковалентных связей, вносящие сущес-
твенный вклад в энергии взаимодействия с
соседними атомами. Особенно существенны
такие взаимодействия в молекулах, связан-
ных водородными связями.
Малые ионы играют важную роль во
многих физиологических процессах. Они
передаче сигналов. Ничтожные количества
(микромолярные концентрации) ионов кальция (Са2+) используются для
управления мышечным сокращением, а ионы натрия (Na+), калия (К+) и
кальция (Са2+) необходимы для генерации электрических импульсов не-
рвными клетками. Поэтому в клетке существует большое число различных
ферментов (ионных насосов), обеспечивающих нужные концентрации малых
ионов в различных ее частях.
9.1. Электростатика -* V 189
Многие процессы с участием ионов в биологических системах обусловле-
ны кислотно-основными равновесиями (см. раздел 1.1). Соединение считается
кислотой, если его молекула (АН) в воде диссоциирует с образованием иона
водорода (Н+), а если молекула присоединяет ионы водорода, то соедине-
ние считается основанием. Для кислоты процесс диссоциации может быть
записан в виде:
АН <-► А~ + Н+. (9.1)
Кислотно-основные равновесия играют центральную роль в физической
химии водных растворов, и для их изучения следует обратиться к специаль-
ной литературе. Здесь мы рассмотрим поведение таких заряженных молекул,
как ДНК, актин, карригин (углевод, получаемый из водорослей) и хондро-
итинсулфат (глюкозоаминогликан в суставах млекопитающих). Заряженные
группы в таких полимерах определяют их растворимость, а также правильное
функционирование, будь то катализ, обеспечение структуры или хранение
информации.
а
+0,2еН
-0,2? N
О -0,42е
б
Рис. 9.2. Белковая а-спираль (а) может иметь значительный дипольный момент,
благодаря ориентации отдельных дипольных моментов пептидных связей
вдоль оси спирали. Справа (6) изображена схема диполя (Р) пептидный
связи; е — заряд электрона
Доминирующим фактором, определяющим структуру заряженных мак-
ромолекул, являются электростатические взаимодействия, описываемые
простыми физическими законами. Например, дипольные моменты амино-
190 -»V- Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
кислотных остатков в а-спирали ориентируются вдоль ее оси, из-за чего
вся структура приобретает огромный дипольный момент (см. рис. 9.2). Учет
дипольных взаимодействий помогает определить строение макромолекулы.
Хотя среди существующих теорий сильно заряженных биологических
систем многие весьма полезны, необходимо отметить их ограниченность.
Она связана с тем, что зачастую электростатические взаимодействия в био-
логических системах нельзя рассматривать как короткодействующие, что
приводит к неразрешимой проблеме многих тел. В таких случаях, чтобы
получить разумное решение, приходится прибегать к различным трюкам
и использовать хитроумные приближения.
9.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Для начала вспомним основы электростатики. Закон Кулона
связывает силу (f), действующую между двумя точечными зарядами, с их
величинами (q и q'):
f = ^, (9.2)
* 4яег2
где и — единичный вектор расстояния между двумя зарядами, е — ди-
электрическая проницаемость материала, г — расстояние между точечными
Рис. 9.3. Поверхности бислой-
ных мембран, образованных
заряженными липидными
молекулами, имеют одну из
самых высоких плотностей
заряда в природе: до одного
заряда электрона на 0,6 нм2
зарядами. Таким образом, эта сила направлена
вдоль прямой, соединяющей заряды, в сторо-
ну движения положительного пробного заря-
да. Локальная сила/ действующая на заряд q,
может быть выражена через напряженность Е
электрического поля, созданного всеми заря-
дами, окружающими пробный заряд:
f = • (9.3)
Энергия (W) электрического диполя р в
электрическом поле £ равна скалярному про-
изведению этих двух векторов, взятому со
знаком «минус»:
W - -р Е = -рЕсоМ, (9.4)
где 0 — угол между векторами р и Е. Момент
сил стремится повернуть диполь так, чтобы
его энергия W приняла минимальное значение, и равен векторному произ-
ведению тех же векторов:
Г = р х Е.
(9.5)
9.1. Электростатика -»и* 191
Теорема Гаусса связывает поток вектора напряженности электрического
поля через замкнутую поверхность с суммарным зарядом, охватываемым
этой поверхностью:
ф = (£ Е • ndS, (9.6)
где п — единичный вектор нормали к элементу поверхности dS, а интеграл (ф)
берется по всей замкнутой поверхности. Для произвольного распределения
зарядов в вакууме теорема Гаусса принимает простую форму:
Ф = ^-, (9.7)
ео
где е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, q — заряд, находящийся
внутри замкнутой поверхности, то есть поток электрического поля пропор-
ционален количеству заряда внутри оболочки.
Теорему Гаусса можно применить к сфере с площадью поверхности 4кг2,
внутри которой находится суммарный заряд q и для которой радиальная со-
ставляющая поля (Д.) постоянна. Таким образом легко рассчитать электри-
ческое поле для любого сферически симметричного распределения зарядов,
например, для заряженной коллоидной частицы, если только известно, как
учесть относительную диэлектрическую проницаемость воды. Для системы
со сферической геометрией уравнение (9.7) дает:
4л2 Ег = . (9.8)
ео
Поэтому радиальная составляющая поля равна я
Ег=—^. (9.9)
4ле0г
Сходным образом теорему Гаусса можно применить и к системе с цилин-
дрической симметрией, используемой при рассмотрении модели полиэлект-
ролита. Рассмотрим цилиндр радиуса г и длины L с электрическим полем Е,
направленным по нормали к поверхности, содержащий заряд, распределен-
ный вдоль оси с линейной плотностью X. Тогда из теоремы Гаусса, записан-
ной для потока электрического поля через поверхность цилиндра, следует:
1Т
2nrLE = — . (9.10)
ео
Отсюда следует связь между линейно (или цилиндрически симметрично)
распределенным зарядом и напряженностью поля:
192 -»lr Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
Сравнение с выражением для сферически симметричного поля (9.9) по-
казывает, что структура поля в этих двух случаях принципиально разная
(Е ~ 1/г2 для сферы и Е ~\/г для цилиндра). Этот результат имеет прямое
отношение к различиям в величинах сил, действующих на сферически сим-
метричную коллоидную частицу (например, глобулярный белок) и цилинд-
рически симметричный полиэлектролит (например, ДНК).
Для более сложных распределений зарядов необходимо использование
векторного анализа. Так, теорема Гаусса может быть записана в эквивален-
тной локальной форме с использованием электрического потенциала (ц/)
и плотности электрического заряда (р):
V.(W) = ^-. (9.12)
ео
По определению, градиент потенциала равен напряженн ости электрического
поля, взятой с обратным знаком:
E = -Vy. (9.13)
Объединив уравнения (9.12) и (9.13), можно получить уравнение Пуассона,
связывающее потенциал с плотностью распределения заряда. Это уравнение
было решено в главе 2 при определении плотности заряда вблизи заряжен-
ной плоскости.
Если в электрическом поле находится вещество, на дипольные моменты
его молекул действуют вращающие силы, стремящиеся вытроить их вдоль
линий поля (см. (9.5)). Экспериментально показано, что для поляризующе-
гося вещества в вакууме индуцированный электрический диполь единицы
объема (Р) пропорционален величине поля (Е):
Р = £о%Е, (9.14)
где коэффициент пропорциональности % называется электрической воспри-
имчивостью вещества (см. рис. 9.4).
Экспериментально установлено, что диэлектрик, помещенный в элек-
трическое поле уменьшает его величину пропорционально относительной
диэлектрической проницаемости вещества (е). Этот эффект объясняет, по-
чему вода так хорошо растворяет ионные кристаллы, например, хлорид на-
трия (Na+Cl“). Диэлектрическая проницаемость (е) воды при 20 °C равна 80,
и во столько же раз в воде уменьшается энергия взаимодействия ионов, вхо-
дящих в состав соли. Однако рассматривать воду как диэлектрик довольно
сложно, потому что ее диэлектрическая постоянная изменяется от точки
к точки, поскольку зависит от локального состояния поляризации молекул.
Поляризация молекулы воды зависит от ее ориентации относительно элект-
рического поля, которая постоянно изменяется за счет теплового движения.
Вода — очень важный растворитель, поэтому для описания ее диэлектри-
9.1. Электростатика 193
ческих свойств было предложено несколько моделей. Согласно одной из
наиболее удачных, принадлежащих Ларсу Онсагеру, эффективная диэлек-
трическая постоянная для воды с хорошей точностью (2-3%) может быть
определена по формуле:
p^gn
2eokT ’
(9.18)
где g — параметр корреляции, который описывает относительную ориентацию
молекул воды, р' — средний дипольный момент молекулы воды, п — кон-
центрация молекул. Типичные значения параметра корреляции и среднего
дипольного момента равны 2,6 и 8,2-10 30 см, соответственно.
Диэлектрик
Рис. 9.4. Схематическое изображение возникновения поляризации (Р) диэлектрика
в электростатическом поле (£)
Индуцированное
разделение зарядов
При увеличении температуры увеличивается интенсивность броуновского
вращательного движения молекул воды, в результате чего уменьшается вре-
мя жизни тетраэдрических водородных связей, характерных для структуры
воды. Поэтому диэлектрическая постоянная воды зависит как от температу-
ры, так и от масштаба времени, на котором рассматривается водная система.
В предположении, что диэлектрическая проницаемость воды определяется,
в основном, процессами одного масштаба времени, ее зависимость от час-
тоты (со) может быть описана следующей формулой:
(9.19)
Е = е,
£о £qc
|1+(оус)2| ’
где т — постоянная времени диэлектрической релаксации диполей молекул
воды, по порядку величины равная 10-1|с, еои е^- характеристические
постоянные. Было обнаружено, что эффективный дипольный момент ((р)),
индуцированный в диэлектрике внешним электрическим полем, обратно
пропорционален температуре, что приводит к полезному соотношению:
(/>) =
ЗкТ ’
(9.20)
194 Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
где Е — внешнее электрическое поле, р — дипольный момент молекулы воды.
В экспериментах по диэлектрической микроскопии больших заряженных
молекул (например, ДНК) были обнаружены дополнительные динамические
моды с большими временами. Эти динамические моды определяются релак-
сационными процессами во внутренних блобах и
движениями всей полимерной цепи.
Во многих случаях удобно рассматривать сфе-
рический диэлектрик (с проницаемостью е2),
окруженный сплошной диэлектрической средой
(с проницаемостью £,), что позволяет облегчить
расчет электростатических полей, действующих
на молекулы (см. рис. 9.5). Если диэлектрическая
проницаемость сферы гораздо больше диэлект-
рической проницаемости среды (е2 » eJ, поле
внутри сферы равно
Рис. 9.5. Схематическое
изображение сферической
диэлектрической частицы
(с проницаемостью е2),
окруженной сплошной
диэлектрической средой
(с проницаемостью е,)
£2
3£1^о
е2
(9.21)
а при обратном соотношении диэлектрических проницаемостей ( е2 £j )
выражение для напряженности поля принимает вид
г
(9.22)
Практический пример такой ситуации — электрофорез глобулярного бел-
ка в воде, который обычно проходит при £] > е2. Этот случай описывается
соотношением (9.22). Индуцированный электрический диполь (у(), распо-
ложенный в центре сферы, также зависит от соотношения диэлектрических
проницаемостей сферы и среды и равен
Vi = Зу0 (
е2
2е] + е2
(9.23)
где Vo — значение дипольного момента в вакууме. Если в белке есть
а-спирали, взаимодействие диполей может влиять на конформацию белка.
В некоторых случаях важно знать энергию переноса иона из одной сре-
ды в другую, например, из жира (с диэлектрической проницаемостью Ej)
в воду (с диэлектрической проницаемостью е2). Это изменение энергии мож-
но вычислить по формуле:
О2
Д1Г= .
8тсеог (Е]
(9.24)
9.2. Теория Дебая-Хюккеля -*ъ- 195
Однако это только грубое приближение к определению энергии соль-
ватации иона, так как оно не учитывает эффектов, связанных с гидратной
оболочкой (см. раздел 9.3).
9.2. ТЕОРИЯ ДЕБАЯ-ХЮККЕЛЯ
Удобная теория среднего поля (т.е. в отсутствии флуктуаций)
для взаимодействия зарядов была предложена П. Дебаем и Э. Хюккелем
(1923). Отправной точкой для этой теории служит уравнение Пуассона, свя-
зывающее потенциал (\|/) с плотностью распределения заряда (р). Перепишем
уравнение (9.13) с учетом относительной диэлектрической проницаемости
вещества (е):
V2v = —£- . (9.26)
£Е0
На систему накладывается дополнительное ограничение — условие элект-
ронейтральности, а именно: суммарный заряд ионов в системе должен быть
равен нулю:
5^=0, (9.27)
i
где z, — валентности, a ni — концентрации ионов. В теории Дебая-Хюккеля
считается, что распределение заряда вокруг любого иона обладает сфери-
ческой симметрией (то есть зависит только от расстояния г от выбранного
иона) и подчиняется распределению Больцмана, поскольку находится в
тепловом равновесии: -
Р/ (н=5 п^е=5 n‘z‘ехр ^lkT 1 ’ (9-28)
i i
где Wy (г) — средняя потенциальная энергия /-го иона в поле у-го иона,
и? — концентрация ионов z-го сорта в объемной фазе раствора.
В этой теории считается, что электростатическое взаимодействие выбран-
ного иона с другими ионами в его окружении с хорошей точностью опи-
сывается обычным выражением для частицы с зарядом в кулоновском
потенциале (г):
(9-29)
Записав уравнение (9.26) в сферических координатах и учтя (9.28) и (9.29),
получим уравнение Пуассона-Больцмана:
• <«о>
196
Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
Это уравнение решить в общем случае затруднительно из-за наличия экс-
поненты в правой части. Однако в случае, когда показатель экспоненты мал,
то есть потенциальная энергия электростатических взаимодействий гораздо
меньше тепловой энергии
< 1,
кТ
(9.31)
экспоненту можно разложить в ряд. Тогда в первом приближении по-
лучим:
г 2
_<Ц_2
dr ( dr}
2
= К у.
(9.32)
В правой части этого уравнения появляется важная константа к, обратная
величина которой (к-1) называется дебаевской длиной экранирования. Эта
константа определяется следующим соотношением:
к2 = /ъЕ^кТ. (9.33)
i
Уравнения (9.32) и (9.33)*— основные в теории Дебая-Хюккеля для про-
стых ионов. Дебаевская длина экранирования определяет скорость умень-
шения электростатических взаимодействий с расстоянием между ионами
(см. раздел 2.3). Чтобы найти точные решения для распределений потенциала
и концентраций противоионов нужно решить уравнение (9.32) с определен-
ными граничными условиями. Однако для оценок порядка расстояний, на
которых существенны электростатические взаимодействия между ионами,
можно использовать дебаевскую длину экранирования.
9.3. ИОННЫЙ РАДИУС
Закон Стокса, описывающий гидродинамику малых сфер
(раздел 5.1), не применим, когда размеры сфер сравнимы с размерами ок-
ружающих их молекул воды. С помощью фемтосекундных лазеров экспе-
риментально показано, что для динамики ионов на малых временах сущес-
твенны вязкоупругие свойства молекул воды, что находит свое отражение
в частотной зависимости диэлектрической проницаемости воды (уравнение
9.19). В некоторых экспериментах по изучению подвижности ионов (с ис-
пользованием фемтосекундных лазеров и импульсного ЯМР) соответствую-
щий закону Стокса радиус иона (стоксовский радиус, гс) оказывается гораздо
больше определяемого с помощью рассеяния рентгеновских лучей в раство-
ре. Считается, что эти расхождения обусловлены гидратной оболочкой, ок-
ружающей каждый ион в растворе. Недавние эксперименты с применением
фемтосекундных лазеров, дополненные моделированием методами молеку-
9.3. Ионный радиус -’V 197
лярной динамики, показали, что время жизни таких водных оболочек име-
ет порядок 10 пс (на рис. 9.6 и 9.7 приведены результаты моделирования и
изучения гидратных оболочек с помощью лазеров).
Рис. 9.6. Схематическое изображение результатов моделирования поведения мо-
лекул воды около иона йода методом молекулярной динамики на вре-
менах 1 пс (а) и 30 пс (6). Размытые области (б) соответствуют областям
движения молекул воды вблизи иона йода за указанное время [воспроиз-
ведено с разрешения из Femtosecond Chemistry, Eds J. Manz and L. Woste;
Copyright (1994) Wiley-VCH\
Молекула воды
Ион йода
Бьеррум предложил модель, в которой расстояние между ионами в кон-
центрированном растворе считается достаточно малым, чтобы могли обра-
зовываться временные ассоциаты между ионами противоположных заря-
дов. Ионная пара образуется, когда расстояние между ионами так мало, что
электростатическая энергия взаимодействия иолов равна энергии теплового
движения или превышает ее. Тепловое движение приводит к разрушению
таких временных ионных пар, которые постоянно образуются при ассоци-
ации ионов и разрушаются при их диссоциации (эти процессы приводят
к установлению динамического равновесия между ионами и ионными пара-
ми). Приравняв электростатическую энергию тепловой можно найти бьер-
румовскую длину (1В) — расстояние между ионами, при котором образуются
стабильные ионные пары:
e2
4n££0kT'
(9.34)
При 20 °C диэлектрическая постоянная (е) воды равна 80, поэтому при этой
температуре бьеррумовская длина в воде составляет около 7,2 А (полезно
запомнить это число).
Время жизни ионных пар в растворе простого электролита обычно мало
из-за малости бьеррумовской длины. Однако в растворах полиэлектроли-
тов ионные пары играют важную роль, и бьеррумовская длина оказывает-
Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
ся полезной для оценки зависимости расстояний, на которых существенны
электростатические взаимодействия, от диэлектрической проницаемости
растворителя.
Рис. 9.7. С помощью импульсных лазеров можно изучать вращательное движение
ионов галоидов в водных растворах (а). Приведены зависимости по-
стоянных времени вращательной диффузии (тог) сольватных оболочек
ионов брома, хлора и йода от температуры (б) [воспроизведено с раз-
решения из Femtosecond Chemistry, Eds J. Manz and L. Woste; Copyright
(1994) Wiley-УСЩ
Чтобы лучше понять поведение ионов в растворе, обратимся к уравне-
нию (9.4) для ориентационной энергии (W) диполя (р) в электрическом по-
ле (£). Энергия, связанная с дипольным моментом молекулы воды, довольно
велика (10-20 к Т), поэтому ионы окружены слоями ориентированных мо-
лекул воды, которые ведут себя не полностью хаотически вследствие тепло-
вого движения (рис. 9.6). Данные, полученные с помощью фемтосекундных
лазеров, о вращательном движении молекул воды, окружающих ион галоге-
на в растворе, приведены на рис. 9.7. Результаты моделирования поведения
молекул воды в такой системе указывают на существование вокруг ионов
слоев воды с ограниченной подвижностью и хорошо согласуются с экспе-
риментальными данными.
Детальные исследования жидкой воды с помощью дифракции рентгенов-
ских лучей и нейтронов указывают на существование двух областей упорядо-
чения воды вблизи ионов. Если в первой гидратной оболочке вода высоко-
упорядочена и образует льдоподобные структуры, то во внешней гидратной
оболочке упорядоченность воды меньше.
Свободная энергия гидратации иона (Д(7Я) равна работе, необходимой
для перемещения иона из вакуума (Ej = 1) в среду с относительной диэлек-
трической проницаемостью е2. Из уравнения (9.24) для свободной энергии
гидратации получаем:
9.3. Ионный радиус -»v- 199
Q1
8леог
(9.35)
Рис. 9.8. Тренд изменений эн-
тальпии гидратации (Д/7) в зави-
симости от радиуса малого иона
в растворе [приведено с разрешения
из Rashin A. A., Honig В. Journal of
Physical Chemistry, v. 89, pp. 5588-
5593, Copyright (1985) American
Chemical Society}
При этом предполагается, что ион сначала находится в вакууме, затем неза-
ряженный ион переносится в воду и там снова заряжается. Значения ионных
радиусов, получаемых из таких расчетов, всегда больше значений, получаемых
из кристаллографических экспериментов
(рис. 9.8). Для объяснения этих расхож-
дений необходимы более точные расчеты
с учетом изменений энтропии, обуслов-
ленных разрушением структуры воды за
счет электростатических взаимодействий
между ионом и дипольными моментами
молекул воды.
Влияние иона на раствор можно опре-
делить также по изменениям вязкости (т|)
раствора, вызванным добавлением этого
иона. Для приведенной вязкости раство-
ра существует следующее эмпирическое
уравнение:
= 1 + Ас1 + Вс , (9.36)
По
где А — константа, зависящая от электро-
статических взаимодействий в растворе,
В — константа, зависящая от степени
структурных перестроек воды, с — кон-
центрация ионов, т|0 — вязкость чистой
воды. Соленая вода (5%-й, или 1 М, раствор NaCl) имеет заметно боль-
шую вязкость, чем чистая. Это увеличение вязкости связано с наличием
гидратных оболочек у ионов.
Способность иона к реструктуризации окружающей его воды связана
с его химической природой. Хофмейстер провел классификацию ионов по
их способности к осаждению белков. Последовательность ионов в его рядах
определяется эффективной плотностью заряда ионов в растворе, когда они
окружены своими гидратными оболочками, и используется для интерпре-
тации особенностей многих биологических реакций с участием процессов
гидратации. Ниже приведены ряды Хофмейстера для некоторых типичных
анионов и катионов (9.37, 9.38).
200 Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
Анионы
Сильно гидратированные — Слабо гидратированные —
стабилизируют растворы белков дестабилизируют белковые растворы
SO4’ <СН3СОО’ <Г <СГ<ВГ <NO3 < С1О4 < Г <CNS‘ (9.37)
Катионы
Слабо гидратированные Сильно гидратированные
(СН3)4 N+<NH4 <Cs+<Rb+<K+<Na+<H+<Ca2+<Mg2+<Al3+ (9.38)
Эти ряды приблизительные, и в ряде случаев ближайшие соседи в рядах
могут меняться местами в соответствии с их эффективностью в специфи-
ческих конкурентных реакциях.
Процесс высаливания, использованный Хофмейстером для классифи-
кации ионов, часто имеет место в практических ситуациях при очистке
и кристаллизации биологически важных соединений (раздел 3.4). Ионы со-
лей в растворах могут вызывать перераспределение молекул воды, конкури-
руя с биомолекулами за гидратную оболочку и приводя к уменьшению их
растворимости. Поэтому при высаливании белков ионы с большей плотнос-
тью заряда в рядах Хофмейстера обладают большей эффективностью. Для
зависимости растворимости белка от ионной силы раствора существует эм-
пирическое уравнение следующего вида
log5 = log50 - А7, (9.39)
где 5 — растворимость, 50 — растворимость при нулевой ионной силе (/ = 0),
К — константа для данного белка, связанная с его размерами. Теоретический
вывод этого соотношения для модельного потенциала адгезивного взаи-
модействия молекул белка остается пока нерешенной задачей коллоидной
химии.
9.4. СВОЙСТВА ПОЛИЭЛЕКТРОЛИТОВ
Вокруг заряженной молекулы полиэлектролита в растворе
группируются малые ионы с противоположными зарядами, образовавшиеся
при диссоциации полиэлектролита, причем в некотором объеме, содержа-
щем молекулу полиэлектролита, выполняется условие электронейтральнос-
ти. Такими малыми ионами являются, например, Na+, К+ и Mg2+ в случае
нуклеиновых кислот или кислых полисахаридов и анионы ОН- и С1_ в случае
полиаминов. Поэтому молекулы полиэлектролитов окружены облаком про-
тивоионов, и часто именно диссоциация заряженных групп, расположенных
9.4. Свойства полиэлектролитов -»v- 201
вдоль основной цепи макромолекулы, является основным фактором, опреде-
ляющим растворимость полиэлектролита в воде. Распределение ионов вокруг
молекулы полиэлектролита подвержено, конечно, тепловым флуктуациям,
но, в целом, всегда выполняется условие электронейтральности.
Полиамфолиты (например, белки) на одной и той же цепи содержат как
положительно, так и отрицательно заряженные группы. В этом случае воз-
можно анизотропное распределение заряда в молекуле белка. Ионы водорода
(Н+) и гидроксила (ОН-), связанные с поликислотами и полиоснованиями в
полиамфолитах и полиэлектролитах, играют особую роль в формировании
полного заряда соответствующей молекулы в растворе, определяя особую
чувствительность этого заряда к pH (раздел 1.1). Нейтрализация кислотных
или основных групп соответствующими щелочами или кислотами приводит
к исчезновению этой зависимости, то есть при изменении концентрации
полимера заряд на каждой цепи полиэлектролита остается постоянным, что
во многих случаях оказывается существенным упрощением при эксперимен-
тальном исследовании полиионов.
На конформацию полиэлектролита сильно влияет взаимное отталкивание
одноименных зарядов, расположенных вдоль полимерной цепи. При низ-
кой ионной силе это приводит к вытянутым конформациям цепей. Так, на-
пример, заряженные группы в значительной степени определяют жесткость
полужестких полимеров, таких как ДНК, и в очень существенной — гибких
полиэлектролитов, например, альгинатов (входящих в состав водорослей).
Как только при повышении концентрации полиэлектролитов их цепи начи-
нают переплетаться, возникает экранирование зарядов, и расстояния между
концами цепей уменьшается. "
Физика заряженных макромолекул в растворе очень интересна. Конформа-
ция цепи зависит от доли заряженных мономеров, концентрации мономеров
в растворе, концентрации низкомолекулярных солей, внутренней жесткости
основной цепи и качества растворителя (например, «хороший», «плохой»,
«тэта»; см. раздел 8.2). Свойства сильно- и слабозаряженных полиэлектро-
литов различаются. В сильнозаряженных полиэлектролитах каждый мономер
несет заряд. Поэтому, если основная цепь гибкая, ее конформация опреде-
ляется, в основном, кулоновскими взаимодействиями между мономерами.
Если е — заряд мономера и е — диэлектрическая проницаемость среды, то
энергия экранированного кулоновского взаимодействия (потенциал V (г^)
между звеньями цепи i и у, разделенных расстоянием г», равна
2
V(rs) = ^-e-r'\ (9.40)
где ir1 — дебаевский радиус экранирования (см. 9.33).
202 -»V- Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
Размер макромолекулы сильнозаряженного полиэлектролита (Z) в раз-
бавленном бессолевом растворе пропорционален числу заряженных звеньев
(7V), поскольку макромолекула полностью растянута (L~ Na, где а — дли-
на мономера). Макромолекулу слабозаряженного гибкого полиэлектролита
можно представить как растянутую цепочку блобов (рис. 9.17). Длина цепи
снова будет пропорциональна числу мономеров, но теперь нужно учесть ко-
личество мономеров, входящих в электростатические блобы (L ~ ND/g, где
g — число мономеров в блобе, D — размер блоба).
В растворе полиэлектролита с конечной концентрацией мономеров ку-
лоновские взаимодействия экранируются противоионами, поэтому на боль-
ших масштабах цепи молекул сворачиваются в клубок. Расстояния между
соседними цепями имеет порядок дебаевской длины экранирования. Такое
экранирование приводит к существенному уменьшению расстояния между
концами молекул в растворах средних концентраций за счет спутанности
клубков.
Явления переноса с участием заряженных цепей представляет собой важ-
ную, но сложную проблему. Ионная атмосфера должна двигаться вместе
с молекулой полиэлектролита, и это приводит к диссипации энергии. С ди-
намикой молекул полиэлектролитов связана проблема электрофореза (дви-
жения заряженных молекул в электрическом поле). Поскольку электрофорез
играет важную роль в методах определения последовательности ДНК, мы
рассмотрим его в разделе 13.5,
Добавление полярных групп к молекуле полимера оказывает огромное
влияние на осмотическое давление. Главную роль в осмотических свойствах
раствора играют противоионы. Рассмотрим молекулу полианиона в раство-
ре. Концентрация катионов в растворе (п+) определяется как количеством
добавленных в раствор низкомолекулярных солей, так и количеством про-
тивоионов, связанных с молекулой полиэлектролита. Однако концентрация
анионов (п_) обусловлена, в основном, низкомолекулярными солями, пос-
кольку концентрация цепей полиэлектролита пренебрежимо мала по срав-
нению с концентрацией солей. Таким образом, для концентраций катионов
и анионов имеем:
n+=ns + npv, (9.41)
п_ = ns + пр « ns, (9.42)
где ns — концентрация катионов и анионов, образовавшихся из соли,
пр — концентрация молекул полианиона с валентностью v. Каждый незави-
симый компонент раствора вносит в осмотическое давление вклад, равный
кТ на одну частицу в единице объема, что сходно с тем, как зависит давле-
9.5. Доннановское равновесие -* V- 203
ние идеального газа от числа частиц при постоянном объеме. Тогда полное
осмотическое давление раствора можно записать в виде:
л — kTty(n+ + л_) = kTty(npv + 2ns), (9.43)
где ф — степень диссоциации полиэлектролита. Таким образом, осмотичес-
кое давление заряженного полиэлектролита больше, чем его незаряженного
аналога в §npv раз. С этим связан целый ряд явлений, таких, например, как
набухание памперсов и форма роговицы глаза.
При выводе уравнения (9.43) не предполагалось, что все противоионы
диссоциируют. В качестве характеристики связывания противоионов с моле-
кулой полиэлектролита вводят осмотический коэффициент ф = п/п0 , кото-
рый определяют экспериментально как отношение осмотического давления
в растворе л к стандартному осмотическому давлению л0, которое соответ-
ствует полной диссоциации противоионов:
л0 = (2ns + npv) кТ. (9.44)
С точки зрения термодинамики осмотическое давление представляет собой
скорость изменения свободной энергии при увеличении объема раствора,
взятую с обратным знаком . Разность между наблюдаемым и стандартным
осмотическими давлениями (л - л0) обусловлена дополнительной электро-
статической свободной энергией, которая приводит к связыванию противо-
ионов с молекулой полиэлектролита (конденсация заряда).
9.5. ДОННАНОВСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
Явление, которое приводит к возможности регуляции ос-
мотического давления в системе посредством изменения сродства мак-
ромолекул к противоионам, называется доннановским равновесием. Оно
играет важную роль во многих биологических системах. Волокна попе-
речнополосатых мышц (актиновые и миозиновые) разделяются за счет
доннановского давления. Роговица глаза напряжена за счет осмотического
давления, и доннановское давление играет важную роль в поддержании
расстояния между фибриллами (рис. 9.9). В клетках млекопитающих ве-
личина доннановского давления, необходимая для поддержания функци-
ональной активности, регулируется с помощью ионных насосов. Неспо-
собность поддержания доннановского равновесия во всех этих случаях
привела бы к катастрофическим последствиям для соответствующего
организма.
Доннановское равновесие характеризует распределение малых ионов меж-
ду подсистемами ионов, разделенными перегородкой. Это простая модель,
204 “•ir Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
с помощью которой можно описать наблюдаемые явления. Рассмотрим сис-
тему, состоящую из двух компартментов (подсистем А и В), разделенных
мембраной, проницаемой только для малых частиц, таких как молекулы воды
и малые ионы (рис. 9.10). Подсистема В содержит полиэлектролиты и малые
ионы соли, а подсистема А — только малые ионы. В равновесии химический
потенциал соли один и тот же в обеих подсистемах (ц$, pf):
= И? (9.45)
Рис. 9.9. Форма глаза зависит от доннановского равновесия, которое определяет
состояние роговицы, водянистой влаги, хрусталика и стекловидного
тела
Условие электронейтральности должно выполняться в обеих подсистемах,
иначе возникнет большой избыток свободной энергии за счет электростати-
ческих взаимодействий. Пусть п — молярная концентрация частиц данного
сорта. В обеих подсистемах концентрации положительно (и+) и отрицательно
(д_) заряженных частиц должны совпадать:
= пА (9.46)
л® + фтир = и® (9.47)
где пр — молярная концентрация полиэлектролита, ф — степень диссоциации
полиэлектролита (осмотический коэффициент). После достижения равно-
весия в А концентрация катионов будет ниже, чем в В, а для концентрации
анионов будет выполняться обратное соотношение. Такое равновесие назы-
вается доннановским и характеризуется коэффициентом Г, определяемым
следующим образом:
9.6. Кривые титрования JV 205
Г = lim
ф
vnp 2’
(9.48)
Если с полиэлектролитом не связаны противоионы (ф= 1), то Г = х/2 . Для
ДНК в среде с низкой ионной силой Г = 0,1, откуда следует, что примерно
80% противоионов ведут себя как связанные с молекулой полиэлектролита,
в полном соответствии с результатами раздела 9.8, в котором обсуждается
конденсация противоионов. В межклеточной среде возникает сложное дон-
нановское равновесие, определяемое наличием большого количества раз-
личных полиэлектролитов.
В (ионы
и полиэлектролиты)
Полупроницаемая
мембрана
А (ионы)
Рис. 9.10. Схематическое изображение системы, состоящей из двух компартментов,
А и В, разделенных полупроницаемой мембраной. В такой системе
устанавливается доннановское равновесие
9.6. КРИВЫЕ ТИТРОВАНИЯ
Существуют два существенно различающиеся механизма фор-
мирования заряда на молекуле полиэлекгролита, в соответствии с которыми
полиэлектролиты называют отпущенными и закаленными. У закаленных по-
лиэлектролитов, к которым относятся слабозаряженные полиэлектролиты,
полученные при сополимеризации нейтральных и заряженных мономеров,
количество и положение зарядов фиксированы.
Мономеры поликислот и полиоснований способны к диссоциации и при-
соединению ионов, например протона, поэтому количество и расположение
зарядов на цепях таких полиэлектролитов зависит от pH. Диссоциация иона
водорода Н+ от противоположно заряженной группы, например СООН,
приводит к образованию отрицательного заряда на молекуле полиэлектро-
лита (СОО“). Такие полиэлекгролиты относятся к отпущенным (отожженным):
у них количество и расположение зарядов не фиксировано, но электрохими-
ческий потенциал как протонов, так и зарядов зависит от pH раствора.
Кислотно-основные равновесия применимы к биологическим макромо-
лекулам (раздел 1.1), которые относятся главным образом к отпущенным
206 -* v* Глава 9. Ионы и заряженные полимеры
полиэлектролитам. Так, например, при связывании протона с мономером-
основанием А- в составе полиэлектролита образуется кислота АН (см. урав-
нение (9.1)). Константа ассоциации для кислотно-основного равновесия
определяется следующим соотношением:
Кв=-^-, <9-49>
CAtH+
где с — молярная концентрация компонента. Доля мономеров (0), связавших
протон, равна
С учетом (9.49) получаем:
Д = <9 50
Титрованием называют экспериментальную процедуру, при которой для
определения степени диссоциации полиэлектролита к его раствору добав-
ляют кислоту или основание с хорошо определенными свойствами. За из-
менением реакции раствора можно следить по его проводимости или с по-
мощью pH-чувствительных красителей. Вид кривой титрования иллюстри-
рует рис. 9.11. Если обозначить через v число связанных протонов, а через
п — полное число ионогенных групп, то доля непродиссоциировавших групп
равна в = v/n. Поэтому уравнение (9.51) можно переписать в виде:
V
— Mr- (9-52)
Степень диссоциации а равна единице минус степень ассоциации:
Константа диссоциации является обратной величиной константы ассоци-
ации:
Kd = K-\ (9.54)
Поэтому уравнение (9.52) можно переписать в виде:
= (9.55)
Для описания величины концентрации протонов в растворе и способности
кислоты к их связыванию используют следующие две важные характерис-
тики:
pH = - lgcH+ ,
(9.56)
9.6. Кривые титрования -*v- 207
p^=-log^, (9.57)
использование логарифмической зависимости облегчает расчеты в случаях,
когда концентрации могут изменяться на несколько порядков величины.
Экспоненциальный характер электростатических взаимодействий приводит
к тому, что в растворах полиэлекгроли-
тов равновесные концентрации протонов
варьируют в широком диапазоне от на-
номолярных до молярных значений, и им
соответствует широкий диапазон констант
равновесия.
Взяв логарифмы от обеих частей урав-
нения (9.55) получим уравнение Гендерсо-
на-Хассельбалха. Это чрезвычайно полез-
ное соотношение связывает pH раствора и
константу кислотности (рАГд) со степенью
диссоциации ионогенных групп а (раз-
дел 1.1):
pH = ptffl+ log —————. (9.58)
а
Уравнение Гендерсона-Хассель-
балха предполагает, что значение кон-
станты ассоциации не зависит от за-
ряда молекулы полиэлектролита. Как
мы скоро увидим, это не вполне обос-
нованное предположение. Изменение
Рис. 9.11. Кривая титрования поли-
кислоты представляет собой зави-
симость среднего числа протонов,
диссоциировавших от одной моле-
кулы, в зависимости от pH раство-
ра. [Воспроизведено с разрешения
из: Tanford С., Hauenstein J.D. —
J. Am. Chem. Soc, 77, 5287-5291. -
Copyright (1956) American Chemical
Society}
свободной энергии (A(?o для процесса связывания противоионов с полиэлек-
тролитом) можно выразить через равновесные константы ассоциации (А^)
и диссоциации (А^):
А(?о = -RT 1пАГд = RT \nKd .
С учетом (9.57) и определения рКа, имеем:
Д(70 = -2,3RTpKd.
(9.59)
(9.60)
Множитель 2,3 возникает в результате преобразования натурального логариф-
ма в десятичный, a pKd определяется аналогично рКа. Работа по связыванию
иона водорода с ионом полиэлектролита Wel определяется работой против
электростатических сил, обусловленных всеми зарядами полииона и равна
=е\|/(а), (9.61)
где у(а) — потенциал на поверхности полииона, а е — заряд электрона. Поэтому
полное изменение энергии полииона с N заряженными группами равно
208 -*v- Глава 9. Ионы и зряженные полимеры
\G = \G^ + NWel. (9.62)
Таким образом, в эксперименте измеряется эффективное значение рЛ'а(рА'^):
РК'а +0,43-^ • (9.63)
Это соотношение позволяет в первом приближении количественно оценить
влияние заряженных групп полииона на величину рКа.
9.7.
ТЕОРИЯ ПУАССОНА-БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ
СИММЕТРИЧНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ
Уравнение Пуассона (9.26) описывает зависимость электроста-
тического потенциала от плотности заряда. Подставив в него больцмановс-
кое распределение по энергиям для одновалентных противоионов, получим
уравнение Пуассона-Больцмана*.
= (9.64)
££0
где ns — концентрация соли. На рис. 9.12 приведен результат численного
решения уравнения Пуассона-Больцмана для линейного цилиндрически
симметричного распределения зарядов, которое получено с помощью про-
цедуры, описанной в разделе 9.2.
ионных пар экранирование
Бъеррума в двойном слое
Рис. 9.12. Зависимость плотности заряда (концентрации ионов) от расстояния от
поверхности молекулы полиэлектролита. На рисунке указаны области
Штерна, Гуи и Дебая-Хюккеля
Вокруг линейной заряженной молекулы полиэлектролита можно выде-
лить три области с различными распределениями заряда, которые располо-
жены на разных расстояниях от ее поверхности. На больших расстояниях
9.8. Конденсация зарядов Jv- 209
расположена область Дебая-Хюккеля, в которой ионы, рассматриваемые
как точечные заряды, образуют двойной электрический слой вокруг иона
полиэлектролита и экранируют его заряд. Уравнение Пуассона-Больцма-
на (9.64) можно линеаризовать так же, как и в случае одного иона (9.32).
В промежуточной области, называемой областью Гуи, можно воспользо-
ваться цилиндрической симметрией распределения точечных зарядов, но,
поскольку потенциал этой области велик, уравнение Пуассона-Больцмана
необходимо решать без каких-либо приближений, что представляет собой
более сложную вычислительную задачу. Численные оценки показывают, что
вблизи поверхности молекулы полиэлектролита возникает конденсированная
фаза противоионов. На очень малых расстояниях от заряженных групп на
молекуле полиэлектролита, в области Штерна, уже нельзя использовать при-
ближение цилиндрической симметрии и необходимо учитывать структурные
и геометрические характеристики конкретного полиэлектролита.
9.8. КОНДЕНСАЦИЯ ЗАРЯДОВ
В растворе достаточно сильно заряженного полиэлекгроли-
та часть противоионов остается в непосредственной близости от молекулы
полиэлектролита, частично нейтрализуя заряды ее групп. С этим явлением,
называемым конденсацией противоионов, мы уже встречались при обсуждении
доннановского равновесия и осмотического давления. Простая модель кон-
денсации зарядов на полиэлектролитах, предложенная Маннингом, может
послужить удобной стартовой точкой для построения модели взаимодейс-
твия заряженных молекул биополимеров. Эффективный потенциал, опре-
деляющий взаимодействие между полиионами, зависит от конденсации на
них противоионов. При этом эффективный заряд полимерной цепи часто
оказывается гораздо меньше ожидаемого на основании химических свойств
заряженных групп.
В модели Маннинга предполагается, что растворитель представляет со-
бой сплошную среду с постоянной диэлектрической проницаемостью е, что
распределение ионов можно описать непрерывной функцией координат —
плотностью заряда р(г) и что молекула полиэлектролита представляет собой
тонкую нить бесконечной длины с параметром плотности заряда Напря-
женность сферически симметричного электростатического поля Е вокруг
цепи полиэлектролита в водном растворе можно рассчитать с помощью те-
оремы Гаусса (сравните с (9.11)):
где Ь — линейная плотность заряда (Кл м-1), е — заряд электрона и г — ра-
диус эквипотенциальной поверхности вокруг заряженной нити (рис. 9.13).
210
—Глава 9. Ионы и зряженные полимеры
Радиальная составляющая электрического поля £ определяется производной
от потенциала у по пространственной переменной г.
Е = -^-. (9.66)
dr
/Т\......
а; i -О-
» 1 —•---•—•—•—н-*—Н*
$ е е е е \ е / е
Рис. 9.13. Геометрия модели Маннинга для расчета цилиндрически симметричной
конденсации заряда: b — расстояние между соседними заряженными
группами, несущими заряды е, равное длине цепи /, деленной на коли-
чество заряженных групп N; а — радиус цилиндрической поверхности,
охватывающей молекулу полиэлектролита
Решение уравнения (9.66) дает зависимость потенциала от радиуса:
V = А - 2е1п
г
4л££$Ь
(9.67)
Одновалентный противоион с зарядом е на расстоянии г от молекулы по-
лиэлектролита имеет потенциальную энергию Ер(г) (рис. 9.14):
Расстояние от полимерной цепи (г)
Рис. 9.14. Радиальное распределе-
ние концентраций противоионов
и ко-ионов (ионов противопо-
ложного заряда) возле молекулы
полиэлектролита
Ер(г) = еу(г). (9.68)
Предполагается, что для противоионов
реализуется больцмановское распределение
по энергиям, которое может быть выраже-
но через зарядовый параметр £ следующим
образом:
е~Е'1кТ = , (9.69)
где Ид = ееА1кТ, а зарядовый параметр £ оп-
ределяется как отношение бьеррумовской
длины к линейной плотности заряда Ь:
(9.70)
Количество противоионов в цилиндре единичной длины и радиуса
г0 пропорционально значению интеграла
'о 'о
J W^r~2^2nrdr = 2лРК0 Jrx~2^dr.
о о
(9.71)
9.8. Конденсация зарядов —• V 211
Существенно, что этот интеграл расходится при г= 0 если зарядовый па-
раметр больше единицы (£ > 1), что лишено физического смысла. Чтобы
избежать эту трудность, привлекают представление о конденсированном
слое противоионов, который позволяет поддерживать зарядовый параметр
равным единице, а энергию системы — конечной. Доля нейтрализованных
зарядов просто выражается через зарядовый параметр:
- = (9.72)
Этот результат можно обобщить на случай многовалентных противоионов.
Для иона с зарядом ze толя нейтрализованных зарядов равна
!-±. (9.73)
Физическая суть конденсации состоит в образовании ионных пар (бьер-
румовских пар) на поверхности молекулы полиэлектролита. Влияние кон-
денсации Маннинга при относительном заряде выше критического на эф-
фективный заряд молекулы полиэлектролита графически представлено на
рис. 9.15. При достижении порога Маннинга эффективный относительный
заряд становится максимальным и более не изменяется.
Относительный заряд (/)
Порог
Маннинга (1/0
Рис. 9.15. Зависимость эффективного относительного заряда (w) полимерной
цепи от относительного заряда, определенного по количеству заряжен-
ных групп в полимерной цепи (/). При больших значениях относитель-
ного заряда эффективный относительный заряд достигает насыщения
при пороге Маннинга (I/O
В качестве примера рассмотрим двойную спираль ДНК при 20 °C. Если
принять расстояние между фосфатными группами 6=0,17 нм для В-формы
ДНК, то зарядовый параметр £ = 4,2. Рассчитав долю нейтрализованных за-
рядов по уравнению (9.73), получим, что в среднем три четверти фосфатных
групп нейтрализовано!
Осмотический коэффициент, входящий в уравнение (9.43) можно измерить
экспериментально. Осмотическое давление (лехр), измеряемое осмометром в
212 Глава 9. Ионы и зряженные полимеры
растворе полиэлектролита в дистиллированной воде, пропорционально кон-
центрации противоионов се. Поскольку их в растворе гораздо больше, чем
молекул полиэлектролита, поэтому:
лехр = кТ^се (9-74)
и осмотический коэффициент может быть приравнен к доле нейтрализо-
ванных зарядов:
ф = 1-|. (9.75)
Такой теоретический подход дает результаты, находящиеся в разумном со-
гласии с экспериментом. С помощью представления о конденсации Маннинга
можно объяснить также явления ассоциации в системах сильно заряженных
биомолекул, например, связывание лекарственных препаратов с ДНК.
В целом, континуальная модель Маннинга предсказывает избыток проти-
воионов вблизи линейной молекулы полиэлектролита, эффективный относи-
тельный заряд которой описывается с помощью зарядового параметра Од-
нако существуют два ограничения на область применения модели Маннинга
этого типа. Во-первых, молекула полиэлектролита предполагается бесконечно
длинной, а во-вторых, концентрация свободных ионов должна быть исчезающе
мала. Более удовлетворительный подход состоит в численном решении полно-
го уравнения Пуассона-Больцмана (9.64) для цилиндрически симметричной
системы и использовании этого решения для определения степени связывания
противоионов. Уравнение Пуассона-Больцмана можно использовать вплоть до
физиологических концентраций соли (0,15 М), когда модель Маннинга уже не-
применима. Однако эта модель гораздо проще и поэтому представляет собой
удобное начальное приближение при изучении зарядовой конденсации.
двухвалентных ионов (М)
Рис. 9.16. Данные, полученные при исследовании
связывания ионов рубидия (Rb+) и стронция
(Sr2+) с помощью аномального малоуглового
рассеяния рентгеновских лучей. При увеличе-
нии концентрации двухвалентного противоио-
на в объемной фазе раствора он связывается
с ДНК, вытесняя одновалентный противоион,
в соответствии с теорией Пуассона-Больцмана.
[Воспроизведено с разрешения из: Andresen К.,
Das R., Park H.Y. et al. — Phys. Rev. Lett., v. 93,
p. 248103. — Copyright (2004) American Physical Society.]
В недавних экспериментах по аномальному рассеянию рентгеновских лу-
чей были получены данные о структуре ионных облаков вокруг заряженных
молекул полиэлекгролита. На рис. 9.16 приведена зависимость концентрации
9.9. Другие явления с участием полиэлектролитов -•и- 213
ионов рубидия на поверхности молекулы ДНК от объемной концентрации
двухвалентных ионов стронция. Эти данные находятся в разумном согласии
с моделью Пуассона-Больцмана.
Конденсация заряда также обнаружена на сферических коллоидах. Ре-
шение уравнения Пуассона-Больцмана в сферически симметричной сис-
теме (9.32) может дать эффективный заряд частицы, который необходим
для определения потенциала межмолекулярного взаимодействия в теории
ДЛФО (см. (2.18)). Пересчет заряда при зарядовой конденсации необходим
для сильнозаряженных (большие неэкранированные структурные заряды
Qstte) коллоидных частиц с малыми радиусами кривизны (R), для которых
выполняется неравенство:
> 1 • (9.76)
Для таких сильнозаряженных частиц с большой кривизной поверхности за-
ряд принимает фиксированное значение Qeff (эффективный заряд коллоида),
определяемое соотношением
= , (9.77)
1в
где Re^ — радиус меньшей по размерам эффективной коллоидной частицы.
9.9. ДРУГИЕ ЯВЛЕНИЯ С УЧАСТИЕМ ПОЛИЭЛЕКТРОЛИТОВ
Для слабозаряженных полиэлектролитов конденсация заряда
возникает только в плохих растворителях Тв которых блобы имеют глобу-
лярную структуру) и в этих случаях она представляет собой лавинообразный
процесс, приводящий к почти полному связыванию противоионов с макро-
молекулой. Это явление может играть важную роль в фолдинге сильнозаря-
женных глобулярных белков.
Кулоновские взаимодействия в сильнозаряженных полиэлектролитах при-
водят к увеличению жесткости цепи и увеличению ее персистентной дли-
ны (1р). Изменение полной персистентной длины за счет электростатических
взаимодействий (1е) называют электростатической персистентной длиной. Од-
жик, Сколник и Фиксман предложили теорию, предсказывающую персистент-
ную д лину заряженной полужесткой цепи (теория ОСФ) и применимую к таким
молекулам, как ДНК и актин. В этой теории к персистентной длине, обуслов-
ленной структурой цепи, добавляется электростатическая компонента 1е:
1т=1р+(41ьк2У' =1р+1е, (9.78)
где 1Ь — бьеррумовская длина, к-1 — дебаевская длина экранирования,
1р — структурная персистентная длина. По-видимому, такой подход к вы-
214 -*L- Глава 9. Ионы и зряженные полимеры
числению персистентной длины можно использовать и для гибких цепей,
представляющих собой последовательность блобов, однако пока нет единого
мнения о том, как учитывать влияние размеров блобов на эффективную
Рис. 9.17. Теорию ОСФ можно применять
для расчета персистентной длины как по-
лужестких (а), так и гибких (б) заряженных
полимерных цепей в растворе
длину заряженной цепи (рис. 9.17).
Теоретически электростатическая
компонента персистентной длины
1е для гибких заряженных цепей
должна зависеть как от к"1, так и
от к-2, поэтому к гибким цепям
применять уравнение (9.78) следует
с осторожностью.
Если небольшая часть попереч-
ных сшивок в полимерной сетке
имеет заряды, то в плохом раство-
рителе сеть испытывает коллапс,
который протекает (по мере ухудшения качества растворителя) как дискретный
фазовый переход первого рода. Резкое уменьшение размеров сетки связано с
дополнительным осмотическим давлением, обусловленным газом противоионов
(рис. 9.18). Этот коллапс сходен с переходом клубок-глобула для одиночной за-
ряженной полимерной цепи (раздел 3.3) и был использован для моделирования
мышечного сокращения с помощью гелей синтетических полиэлектролитов.
с поперечными сшивками
Рис. 9.18. Сетка из заряженных полимерных цепей с поперечными сшивками
в результате фазового перехода первого рода превращается в заряженную
глобулу (для простоты положительно заряженные ионы не показаны)
Два полимера образуют смесь гораздо легче, если цепи одного из них
имеют небольшие заряды. С помощью такого механизма в клетке in vivo
Вопросы и задания -*v- 215
предотвращаются многие предельные случаи фазового разделения, рассмот-
ренные в разделе 3.5.
В течение многих лет горячие споры вызывает происхождение силы при-
тяжения между одноименно заряженными цепями полиэлектролитов. В на-
стоящее время наиболее распространенная точка зрения состоит в том, что
эта сила обусловлена противоионами, общими для соседних цепей, однако
сколько-нибудь точного количественного описания наблюдаемых в экспе-
риментах явлений пока нет.
Дополнительная литература
Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. — М.: Наука,
1989. 346 с. — Компактное и четкое изложение свойств полиэлектролитов.
Daune М. Molecular biophysics. — Oxford University Press, 1999. — Вводный курс,
содержащий полезные сведения о свойствах ионов и полиэлектролитов.
Benedek G.B., Villars F. Physics with illustrarive examples from medicine and biology. —
Springer, 2000. — Хорошо написанное подробное изложение биофизических
приложений теории электромагнетизма.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
9.1. Для константы кислотности лизина значение р/^ равно 10, а для поли-
лизина 9,5. Как объяснить такой сдвиг?
9.2. Какова относительная заряженность полимерной цепи гиалуроновой
кислоты в приближении модели Маннинга, если расстояние между заря-
женными группами вдоль остова цепи составляет 0,5 нм? Предполагается,
что каждая заряженная группа до зарядовой конденсации имеет один неэк-
ранированный заряд, равный заряду электрона.
9.3. Амилоидное волокно, образующееся при неправильном фолдинге па-
тогенного белка, имеет относительную заряженность (/), равную 0,5 при
периоде повторения заряженных групп равном 1 нм. Используя теорию
ОСФ оцените электростатическую компоненту персистентной длины это-
го полимера в буферном растворе, если дебаевская длина экранирования
(тс1) равна 4 нм.
9.4. Одно из наиболее важных промышленных применений полиэлек-
тролитов — использование их в качестве наполнителей в памперсах.
Какие физические свойства делают их, по вашему мнению, особенно
пригодными для использования в этих целях? Осмотическое давление
216 -*V- Глава 9. Ионы и зряженные полимеры
в полиэлектролитах определяется, в основном, противоионами. Сравни-
те осмотическое давление в заряженном полиэлектролитном геле PAMPS
(полиакриламид-метилпропансульфоновая кислота) и в его нейтральном
аналоге при концентрации мономеров 1 мМ. Укажите, какие предполо-
жения необходимо сделать.
9.5. Насколько велик статистический блоб незаряженного полилизина (по-
липептида)? При изменении pH цепь полилизина приобретает заряд. Каких
размеров будет заряженный блоб? Что произойдет с конформацией цепи
в процессе заряжения?
ГЛАВА
10
МЕМБРАНЫ
Любая живая клетка имеет наружную мембрану (рис. 10.1).
Мембрана отделяет внутреннее содержимое клетки от окружающей среды
и служит интерфейсом, обеспечивающим коммуникацию клетки с внешним ми-
ром. Биологические мембраны участвуют во множестве процессов, связанных
с жизнедеятельностью клетки. Мембрана выполняет простые механичес-
кие функции, такие как подвижность, захват транспорт пищи. Кроме того,
благодаря структурным особенностям мембрана делает возможными специ-
фические биохимические процессы, к которым относятся преобразование
энергии, проведение нервного импульса и биосинтез. Считается, что строе-
ние и морфогенез организмов в процессе индивидуального развития из ко-
мочка недифференцированных клеток (бластулы) определяется процессами
адгезии между клеточными мембранами. '
Биологически важные липиды в растворе самопроизвольно образуют
бислойные липидные мембраны. Аналогичные структуры в клетке разделяют
внутренний объем на изолированные области (компартменты) и защищают
клетку от внешних воздействий. Из-за чрезвычайно низкой критической
концентрации мицеллообразования липидов (раздел 6.1) мембрана сохраняет
структуру и функции (остается интактной) даже при практически полном
отсутствии липидов в омывающем ее растворе. Благодаря наличию ненасы-
щенных углеводородных цепей и их ветвлению мембрана остается в жидком
состоянии при физиологических температурах, при этом в ней возможны
быстрые перемещения молекул липидов в плоскости мембраны.
В мембрану часто встраиваются длинноцепочечные полипептиды (с мол.
массой ~500 кДа). Эти полипептиды по сравнению со своим липидным ок-
ружением гораздо более жесткие и, кроме того, они амфифильны, посколь-
ку контактируют с гидрофобными и гидрофильными областями мембраны.
Мембраносвязанные белки вызывают локальные деформации липидного
бислоя, а также обеспечивают целый ряд физиологических функций мемб-
ран, включая адгезию и передачу сигналов.
218 Глава 10. Мембраны
Все клетки устроены сходным образом: они окружены «жидкими» бислой-
ными мембранами, а их механическая прочность обусловлена более жестки-
ми внутриклеточными филаментами. Изменения формы клетки обусловлены
целым рядом процессов, к которым относятся фазовое разделение липидов
из-за гетерогенности состава мембран, анизотропное структурирование за
счет латеральных напряжений в мембране, а также воздействие структуро-
образующих элементов, например, микротрубочек.
Рис. 10.1. Схематические изображения животной и растительной клеток,
на которых представлены клеточные компартменты, некоторые
органеллы и другие внутриклеточные структуры [Приведено с
изменениями из: Alberts В., Johnson A., Lewis J. et al. The Cell. —
Garland Science, 2002\
10.1. УНДУЛЯЦИИ
Мембраны — двумерные объекты. Флуктуации их формы
(ундуляции) специфичны для такой размерности и во многом определяют
их физические свойства. Ундуляции существенно различаются в случаях,
„ Вода
Углеводородная
область
Рис. 10.2. Схема строения жидкого липидного
бислоя в водной среде
когда сдвигового сопротивле-
ния нет (рис. 10.2) и когда оно
присутствует благодаря ионным
и ковалентным связям между
соседними атомами и молекула-
ми. Оба эти случая встречаются
в клеточных мембранах.
Из механики сплошных сред
известно соотношение (раз-
дел 11.1) между изотермическим
10.1. Ундуляции
4
219
модулем всестороннего сжатия ку и изменениями объема (V) при измене-
ниях давления (Р):
-1_ w
Кк Р(дР)т Ио
(ЮЛ)
где производная (dV/дР) рассчитывается при постоянной температуре,
А К — флуктуации объема, Уо — объем при абсолютном нуле температуры,
р = \/кТ(к — постоянная Больцмана, Т — температура). Для мембран можно
ввести аналогичную двумерную сжимаемость, связанную с флуктуациями
площади мембраны (АЛ):
PKK2Z) А)
(Ю.2)
где — площадь при абсолютном нуле температуры. При постоянном дав-
лении мембрана с большим модулем сжимаемости кУ2/) испытывает лишь
незначительные флуктуации площади поверхности (рис. 10.3).
Рис. 10.3. Схематическое изображение флуктуаций объема мембраны в зависимости
от времени. Большая сжимаемость подавляет флуктуации, и наоборот
Таблица 10.1. Скейлинговое поведение трехмерных замкнутых везикул
Конфигурация везикулы Закон подобия
p- ГЧ AJ
Раздутая (хороший растворитель) v= 1 П = 3/2
Типа Флори (0-растворитель) v= 4/5
Типа разветвленного полимера v = 1 П = I
Плотная (плохой растворитель) v=2/3 T] = I
220 -*V- Глава 10. Мембраны
Механизмы влияния ундуляций на размеры мембран до сих пор не ис-
следованы. Подобно тому, как размер полимера зависит от качества раство-
рителя (раздел 8.2), средняя площадь поверхности мембраны определяется
как взаимодействием мембраны с растворителем, так и величиной исклю-
ченного объема в двумерной структуре. Скейлинговые характеристики ради-
уса инерции и площади поверхности для ряда модельных замкнутых везикул
приведены в таблице 10.1. Различные эффекты взаимодействия мембран с
растворителем иллюстрирует рис. 10.4.
Раздутая
Растяжение 1 к
Самоизбегающее
блуждание
Притяжение
Взаимодействие мембрана-растворитель
Сжатие Ч Г Разветвленный Плотная
полимер
Рис. 10.4. Морфология везикул в зависимости от давления и величины взаимо-
действия (притяжения) между мембраной и растворителем [Boat D.H. —
Phys. Rev. А, 1991, v. 43, рр. 6771-6777.]
10.2. ИЗГИБНАЯ УПРУГОСТЬ
При нулевой температуре энергия изгиба минимальна, что
соответствует форме мембраны в виде плоскости или поверхности посто-
янной кривизны. При любой конечной температуре ее поверхность ста-
новится неровной — возникает пространственная декорреляция нормалей
к поверхности мембраны, которая может служить мерой упругости мембраны
при тепловых флуктуациях. Пространственная декорреляция характеризуется
персистентной длиной (рис. 10.5) — двумерным аналогом персистентной
длины для полужесткого полимера (раздел 8.1).
Корреляция векторов нормалей п (г) экспоненциально спадает с увели-
чением среднего расстояния между ними Дг:
(п(г1)-п(г2)) = е-Дг^, (10.3)
Дг == г, — г2,
(Ю.4)
где Г] и г, - радиус-векторы двух точек на мембране. В отличие от поли-
меров, для которых персистентная длина 1р была пропорциональна модулю
10.2. Изгибаня упругость -*Ъ- 221
изгиба (1р ~к/кТ, см. раздел 8.1), персистентная длина мембраны экспо-
ненциально зависит от модуля изгиба и температуры:
^~*ехр(2л^/*П, (10.5)
где Ь — постоянная, зависящая от свойств мембраны и имеющая размерность
длины. Поэтому персистентная длина мембраны гораздо сильнее зависит от
упругости и температуры, чем в случае полимера. Для плоской мембраны
при нулевой температуре должно выполняться условие R2 ~ I2, т.е. площадь
фрагмента мембраны в трех измерениях (Rg ) приблизительно равна площади
участка плоскости, ограниченного контуром мембраны (L2, где L — длина
стороны фрагмента мембраны). При наличии тепловых флуктуаций, площадь
мембраны с учетом самопересечений очень медленно возрастает с увеличе-
нием длины ее контура: r2 ~ in Z» что можно показать как аналитически
с использованием Фурье-разложения профиля поверхности мембраны, так
и методами численного моделирования.
Рис. 10.5. Персистентная длина в случае мембраны определяется корреляцией
нормалей л( к ее поверхности (а), а в случае полимера — корреляцией
касательных векторов (6)
Рассеяние света и рентгеновских лучей от мультислойных мембранных
структур очень чувствительно кундуляциям мембран (рис. 10.6). Мультислой-
ные мембранные структуры («стек» мембран) используют для того, чтобы за
счет конструктивной (усиливающей) интерференции получить более четкую
картину рассеяния. Обычно в этих экспериментах определяют зависимость
структурного фактора S(q) от переноса импульса (q, измеряемого в обратных
единицах длины; см. раздел 13.1):
5(9) = N~2 1^е‘^-гЛ, (10.6)
\т,п /
где N — число мембран в стеке, а суммирование проводится по всем разде-
льным парам молекул в этой структуре.
В таких экспериментах из-за ундуляций стека при любых температурах
выше нуля истинные брэгговские пики рассеяния не наблюдаются, и ин-
тенсивности рассеяния зависит от величины переноса импульса по степей-
222
—Глава 10. Мембраны
ному закону (рис. 10.7), характерному для смектических жидких кристаллов.
В направлении, перпендикулярном поверхности (г), интенсивность рассея-
ния /(0,0,<у,) определяется соотношением:
/(0,0,^)oc(^-^)-2+11”, (10.7)
где qm — величина переноса импульса для т-го максимума конструктивной
интерференции рассеянных волн (qm = 2n/md, где d — расстояние между
мембранами). Интенсивность рассеяния параллельно поверхности имеет
вид:
(10.8)
где - перенос импульса параллельно поверхности. В этом случае на кривой
рассеяния нет пиков и наблюдается характерное непрерывное уменьшение
интенсивности от особенности при q = 0.
Рис. 10.6. Схема рассеяния электро-
магнитного излучения на мультислой-
ной мембранной структуре (qz и qx —
перпендикулярная и латеральная
компоненты перенесенного им-
пульса).
Рис. 10.7. На зависимости интенсивнос-
ти рассеяния рентгеновских лучей от
величины переноса импульса в случае
мультислойных мембранных структур
наблюдаются острые пики, обусловлен-
ные конструктивной интерференцией.
Показатель степени r|w, входящий в уравнения (10.7) и (10.8), связан
с модулем упругости мембраны:
_ т2х\]кТ
Пт " ’
(Ю.9)
где К= KJd, Кс — модуль упругости, d — расстояние между слоями, г], зави-
сит от преобладающего вида взаимодействия между слоями (ундуляционные,
электростатические и т.п.), В — модуль всестороннего сжатия, кТ — тепловая
энергия. Для исследования одиночных мембран можно использовать методы,
основанные на полном внутреннем отражении света, рентгеновских лучей
или нейтронов. Хотя расчет величин, эквивалентных структурному фактору
10.3. Упругость 223
в уравнениях (10.6) и (10.7) более сложен, в этом случае возможны количе-
ственные измерения флуктуаций одиночной мембраны. Для определения из-
гибной упругости мембраны можно использовать также анализ изображений
профилей мембраны при втягивании ее в микропипетку (рис. 10.8).
Рис. 10.8. Для исследования упругости мем-
браны эритроцита можно использовать ком-
пьютерный анализ изображений, полученных
при втягивании эритроцита в микропипетку
Эритроцит
Микропипетка
10.3. УПРУГОСТЬ
Коэффициент Пуассона (v) характеризует взаимосвязь про-
дольных и поперечных упругих деформаций объекта (раздел 11.1). Он оп-
ределяется как отношение напряжений в направлениях параллельном (и^)
и перпендикулярном (ы^,) направлению растяжения (вдоль оси Ох):
ит
v = —(10.10)
^хх
Знак «минус» введен для того, чтобы для большинства «нормальных» ма-
териалов коэффициент Пуассона был положительным. Однако мембраны со
складками имеют отрицательный коэффициент Пуассона. Это легко про-
демонстрировать на примере листа бумаги, скомканного в шарик. В этом
случае растяжение шарика в одном направлении приведет к увеличению
его размера в направлении перпендикулярном растяжению. Еще один не-
обычный пример отрицательного коэффициента Пуассона для трехмерной
системы относится к пенам, образованным связными мембранными струк-
турами (раздел 11.3).
Модуль сдвига (ji) для двумерной эластичной сетки из волокон дается
выражением:
ц«рАТ, (10.11)
где р — плотность сшивок, кТ — тепловая энергия. Это выражение очень
похоже на уравнение (8.56) для объемных полимерных структур с попереч-
ными сшивками и выводится сходным образом. Точное значение множителя
в (10.11) зависит от координационного числа сетки (раздел 8.3).
Напряжение и внутреннее давление в упругой сферической мембране свя-
заны с ее кривизной (рис. 10.9). Результирующая упругая сила, обусловлен-
ная напряжением оболочки равна средней площади оболочки, умноженной
на среднее напряжение ((c)):
п(го -Г/2)<0>, (10.12)
224
Глава 10. Мембраны
где го и — наружный и внутренний радиусы оболочки. В равновесии на-
пряжения в мембране уравновешиваются внутренним давлением (р():
л (го2 - ^) <<*) = ™?Р (10.13)
Учитывая, что толщина мембраны h = r-rp уравнение (10.13) можно пе-
реписать в виде:
2 2
Для тонкой мембраны внутренний радиус примерно равен наружному
(r0 « rt, = г), поэтому уравнение (10.14) можно еще упростить:
(о) =
сила _ гр
площадь 2Л
(10.15)
где р — внутреннее давление, h — толщина мембраны, г — радиус сферы.
Отсюда понятно, почему трудно надувать воздушный шар в начале процес-
са: прикладываемое касательное напряжение мало для шариков с малыми
радиусами (г).
Рис. 10.9. Сферическая мембрана
толщиной h и с внутренним ра-
диусом г
Рис. 10.10. Геометрические характеристики
цилиндрической мембраны: длина Z, толщина
Л, радиус кривизны концевых сегментов г
Напряжения в оболочках сферической и цилиндрической (например,
в мембране бактерии) форм, несколько различаются, что имеет значение
в медицине, поскольку определяет механические свойства органов, имею-
щих форму трубок (рис. 10.10). В случае цилиндра результирующая сила,
действующая на поперечное сечение (oe)(r0 - r^L, уравновешивается силой
давления, действующей изнутри цилиндра Ir^pr.
2{oe)(r0-ri)L = 2riLpi, (10.16)
где (о0) — среднее значение напряжения в поперечном сечении мембраны,
зависящее от угла 0, L — длина цилиндра. Поэтому, считая толщину мемб-
раны равной h = r0-rp для напряжения по ободу цилиндра имеем:
ГР
(св) = ^-. (10.17)
10.3. Упругость -* V 225
Напряжение в направлении оси цилиндра (ог) такое же, как и в случае
сферы:
гР
М = (1018)
где Р — давление, г — радиус цилиндра. Таким образом, напряжение по
ободу цилиндра вдвое больше напряжения вдоль оси. Это объясняет, поче-
му сосиски и внутренние органы лопаются вдоль линии, параллельной оси
цилиндра. Можно показать, что в более общем случае два главных радиуса
кривизны и /?2), давление (Р) и два тангенциальных натяжения (Tj и т2)
связаны соотношением:
№ = Р- (Ю19)
Л1 к2
Для жидких оболочек натяжение изотропно, поэтому уравнение (10.19)
переходит в уравнение Юнга-Лапласа, с которым мы встречались ранее
(раздел 7.4):
Т(^ + Ж) = Р’ (1°‘20)
Единичный касательный вектор к поверхности мембраны может быть
определен следующим образом:
ds
(10.21)
где г — радиус-вектор точки на поверхности мембраны, s — расстояние
вдоль поверхности мембраны. Кривизна поверхности определяется соотно-
шением:
dt
с = п— = п
ds
(Э2г)
vSs2 J ’
(10.22)
где n — нормаль к поверхности в точке г. Простейшее выражение для плот-
ности свободной энергии (F) мембраны имеет вид:
Kt э
F ~ ~2 (С1 С2 — с0 ) + KGC1C2 ’
(10.23)
где с0 — спонтанная кривизна, q и с2 — квадратичные члены разложения
в ряд Тэйлора функции, соответствующей поверхности вблизи рассматри-
ваемой точки (главные кривизны поверхности), кь — изгибный модуль,
введенный ранее, kg — модуль седловидной деформации. Для устой-
чивой мембраны кь в уравнении (10.23) должен быть положительным.
Произведение схс2 называется гауссовской кривизной поверхности и
существенным образом определяет морфологию мембранных структур
226 Д.
Глава 10. Мембраны
(рис. 10.11). Интегральная гауссовская кривизна замкнутой поверхности
является инвариантом:
j>ctc2dA = 4л(пс -пЛ),
(10.24)
где (пс - пЛ) — разность между числом соединенных компонентов и числом
седловидных образований, а интеграл берется по всей поверхности мембраны.
С\ положительна
с2 отрицательна
б
Рис. 10.11. Поверхности с положитель-
ной и отрицательной гауссовской кри-
визной: а — главные кривизны Cj и с2
положительны; б — главные кривизны
имеют противоположные знаки
Для бислойной мембраны без спон-
танной кривизны при условии, что
флуктуации сохраняют ее топологию,
уравнение (10.23) упрощается:
Ci и с2 положительны
Eel=j ^(с|+с2)2 <£4,(10.25)
где кь — изгибный модуль.
В биологических системах во мно-
гих случаях продукты биохимических
реакций должны транспортироваться
от мест их синтеза к местам исполь-
зования. Эти продукты должны быть
упакованы, чтобы предотвратить их
потери во время транспортировки, что достигается с помощью специальных
структур — мелких мембранных пузырьков, или везикул. Эти везикулы должны
быть помечены, чтобы их можно было распознать в пункте назначения, и их
перемещение должно осуществляться специальным высокоэффективным спо-
собом (рис. 10.12). Уравнение (10.25) позволяет рассчитать размеры простых
сферических везикул, сравнить их с наблюдаемыми в экспериментах (везикулы
обычно гораздо проще клеток) и определить механизм их образования.
а
Выпячивание
Эндоцитоз
(формирование
везикул) Присоединение
специфически
белков
Бислой
Рис. 10.12. Формирование транспортных везикул в процессе эндоцитоза
10.4. МЕЖМЕМБРАННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Во взаимодействиях мембран важную роль играет целый ряд
мезоскопических сил. На малых расстояниях мембраны притягиваются за счет
взаимодействий индуцированных электрических дипольных моментов (силы
10.4. Межмембранные взаимодействия -’V- 227
Ван-дер-Ваальса). На некоторых промежуточных расстояниях вандерва-
альсовы силы компенсируются электростатическими, что часто определяет
среднее межмембранное расстояние (рис. 10.13). На внешней поверхности
мембран часто присутствует опушение из мембраносвязанных полимеров,
которое препятствует адгезии клеток (рис. 10.14) вследствие возникновения
стерических отталкивающих сил (раздел 2.4).
Вода также взаимодействует с мембранными
структурами и приводит к возникновению
дальнодействующих гидрофобных взаимо-
действий, которые чувствительно зависят
от ионного состава раствора. При сближе-
нии на очень малые расстояния некоторые
молекулы, встроенные в мембрану или ад-
сорбированные на ней, могут образовывать
нековалентные связи. Существует целый ряд
белков, предназначенных для соединения
клеток между собой за счет ионных связей и
обусловливающих когезию клеток при обра-
зовании тканей.
Определение линейного натяжения воз-
Расстояние (£>, нм)
Рис. 10.13. Давление между
двумя жесткими заряженными
пластинками в зависимости от
расстояния между ними. [Вос-
произведено с разрешения из:
Boat D. Mechanics of the Cell. —
Copyright (2002) Cambridge Uni-
versity Press}
можно с помощью измерения размеров дис-
ковидных везикул (непрямой метод), параметров осмотического набухания
или критического размера индуцированных пор в мембране (рис. 10.15).
Щеточная
Разветвленная
Грибовидная
Рис. 10.14. Возможные конформации полисахаридов, входящих в состав мем-
бранных гликопротеидов: разветвленные, щеточные и грибовидные
При нулевой температуре мембрана с индуцированной в ней порой
(с энергией И) изменяется так, чтобы ее энтальпия (Н) стала минимальной:
H = U-tA, (10.26)
где т — поверхностное натяжение, А — площадь. Энергия (U) круглой поры
в бислое равна:
U = 2nRk, (10.27)
где 1 — линейное натяжение (удельная энергия формирования кромки),
R — радиус поры. Разница площадей интактной мембраны и мембраны с
228
_Глава 10. Мембраны
порой равна л/?2. Из уравнения (10.26) получаем для изменения энтальпии
(АЯ) при возникновении поры значение
АЯ = - тлЯ2. (10.28)
Рис. 10.15. Метод изучения поверхностного натяжения клеток. Поры формируются
под действием электрического поля
Найдя экстремум этого выражения относительно изменения энтальпии
(АЯ), можно вычислить критический радиус поры (А*):
R* = у . (10.29)
Л
Используя это выражение, легко определить линейное натяжение X по эк-
спериментальным данным.
Рис. 10.16. Для изучения электрических свойств мембранных белков можно
использовать метод пэтч-кламп. Клеточная мембрана подсасывается
в пипетку, после чего с помощью операционного усилителя можно
определить электрическую активность одиночного ионного канала
во фрагменте мембраны, присоединенного к пипетке
Мембраносвязанные белки придают мембране особые электрохимические
свойства, которые можно исследовать с помощью метода пэтч-кламп. Очень
тонкая капиллярная пипетка подводится к клетке, в пипетке создается не-
10.4. Межмембранные взаимодействия 229
большое отрицательное давление, и клеточная мембрана немного втягивается
внутрь пипетки. Мембранные потенциалы, генерируемые клеткой, обычно
измеряются относительно потенциала омывающего раствора (рис. 10.16).
В этих экспериментах используются усилители с очень большим коэффи-
циентом усиления, при этом важно уметь отделить изменения мембранного
потенциала от теплового шума. С помощью такого метода получают данные
об изменениях проводимости мембраны и даже о кинетике открывания и
закрывания одиночных мембранных каналов.
Нормальная компонента переноса импульса qz (А-1)
Расстояние от поверхности (Z, А)
б
Рис. 10.17. Данные по аномальному отражению рентгеновских лучей от фосфо-
липидных бислоев: (а) — интенсивность отраженного излучения
в зависимости от переноса импульса (qj; (б) — профили концентрации
противоиона (Cs+) в направлении нормали к поверхности мембраны,
рассчитанные в приближении Пуассона-Больцмана. [Воспроизведено
с разрешения из: Ви W., Vaknin D., TravessetA. Physical Rev. E, 72, 060501 —
Copyright (2005)American Physical Society.]
230 —• V Глава 10. Мембраны
Дополнительная литература
Boal D. Mechanics of the cell. Cambridge University Press, 2002. Подробное и до-
ступное изложение физики мембран.
Forgar G., Newman S.A. The biological physics of developing embryos. Cambridge
University Press, 2005. — Интересное обсуждение роли взаимодействия мембран
в морфогенезе клетки.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
10.1. Чему равно линейное натяжение мембраны, если критический размер
пор равен 2,6 нм, а поверхностное натяжение мембраны 0,03 Дж/м2?
10.2. Чему равны аксиальное и кольцевое напряжения в оболочке цилин-
дрической бактерии, если ее внутреннее давление равно 105 Па, толщина
оболочки 1 нм, а диаметр 1 мкм?
10.3. Во сколько раз изменится персистентная длина мембраны {к./кТ = 5)
при увеличении модуля изгибной упругости вдвое? Во сколько раз изменит-
ся показатель степени для пика со степенной зависимостью, полученного в
эксперименте с идеальным рассеянием рентгеновских лучей от стека таких
мембран? Считать, что все остальные параметры мембраны остаются неиз-
менными.
10.4. Мембранная везикула с контурной длиной Lc перенесена из хорошего
растворителя в плохой. Во сколько раз с учетом правил масштабирования
замкнутых везикул изменятся ее радиус инерции и площадь? Считать коэф-
фициенты уравнений одинаковыми в обоих случаях.
ГЛАВА
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
В механике биоматериалов наиболее часто встречаются два
типа структур: композиты с волокнистым наполнителем (волокниты) и по-
ристые твердые тела. Волокниты состоят из жестких стержней (например,
волокон целлюлозы или коллагена), помещенных в чрезвычайно вязкую сре-
ду-наполнитель (например, протеогликаны или лигнины). Жесткие волокна
обеспечивают жесткость всего материала, в то время как вязкий наполни-
тель увеличивает прочность материала на много порядков. Искусственные
композитные материалы находят сейчас широкое применение (например,
при изготовлении лыж, фюзеляжей самолетов и т.п.), однако биологические
композиты, благодаря оптимизированной структуре на нанометровом мас-
штабе, часто существенно превосходят их синтетические аналоги.
Пористые материалы широко распространены в биологии. Пористые
твердые тела имеют достаточно высокую жесткость и прочность, при этом
только часть их структурной организации обеспечивает эти свойства. Такие
материалы имеют очень выгодное соотношение жесткость/масса и поэтому
часто встречаются в биологии. Примером могут служить такие структуры,
как кость или древесина.
Перечень некоторых характеристик, часто используемых при описании
механических свойств биологических материалов, приведен в таблице 11.1.
Все эти свойства важны в биологических системах, поэтому их особенности
в анизотропных наноструктурированных материалах требует специального
рассмотрения.
Один из простейших экспериментов с биологическими материалами состо-
ит в приложении некоторой силы (напряжения) к образцу, которая приводит
к его удлинению (растяжению). Зависимости «напряжение-растяжение» для
различных эластичных белков приведены на рис. 11.1. Обычно эти зависи-
мости линейны, т.е. подчиняются закону Гука: растяжение пропорционально
напряжению. Численные характеристики механических свойств различных
веществ (белков и синтетических материалов) приведены в таблице 11.2.
232 -*Ц" Глава 10. Мембраны
Таблица 11.1. Важнейшие свойства, играющие существенную роль в механике
биоматериалов
Свойство Характеристика Единица измерения
Жесткость Модуль упругости, Einit Нм-2
Предел прочности Напряжение разрыва, <зтах Нм-2
Прочность на разрыв Плотность энергии при разрушении Дж-м-3
Растяжимость Относительная деформация разрушения, гтах нет
Эластичность Способность восстанавливать форму %
Долговечность Предел усталости с (до разру- шения)
Энергоемкость Плотность потенциальной энергии, Wout Дж-кг-1
Таблица 11.2. Механические свойства типичных структурных белков и некоторых
синтетических материалов. [Gosline J., Lillie М., Carrington Е. et al.
Phil. Trans. R. Soc. bond. B, 2002, v. 357, p. 121-132.]
Материал Модуль (ГПа) Предел прочности (ГПа) Растяжи- мость Изгибная прочность (МДж*м“3) Эластич- ность (%)
Эластин 0,0011 0,002 1,5 1,6 90
Резилин 0,002 0,004 1,9 4 92
Коллаген 1,2 0,12 0,13 6 90
Синтетическая резина 0,0016 0,0021 5 10 90
Проксимальный биссус мидий 0,016 0,035 2,0 35 53
Шелк для канатов 10 1,1 0,3 160 35
Вязкий шелк 0,003 0,5 2,7 150 35
Кевлар (для пуленепро- биваемых жилетов) 130 3,6 0,027 50 -
Углеродное волокно 300 4 0,013 25 -
Сварочная сталь 200 1,5 0,008 6 -
IL1 Структурная механика -*v- 233
Относительная леФоомания
Рис. 11.1. Диаграммы растяжений для ряда структурных белков. Закон Гука (про-
порциональность относительной деформации напряжению) выполня-
ется для всех этих материалов при малых значениях относительных
деформаций. [Gosline J., Lillie М., Carrington Е. et al. Phil. Trans. R. Soc.
bond. B, 2002, v. 357, p. 121-132.]
11.1. СТРУКТУРНАЯ МЕХАНИКА
Для изотропного материала между механическим напряжени-
ем (отношением силы F к площади поперечного сечения А: о = F/А) и от-
носительной деформацией е = Ы/Ц равной отношению удлинения тела (А/)
к его исходной длине (/):
а = Ее, (1L1)
где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга (модулем
упругости) и измеряется в паскалях.
Коэффициентом Пуассона (v) для изотропного материала называют безраз-
мерное отношение относительной деформации в поперечном направлении
к относительной деформации в направлении действия силы (рис. 11.2):
y = _fperp
е
При одномерном растяжении несжимаемых материалов коэффициент
Пуассона равен 1/2.
Модуль сдвига характеризует сопротивляемость материала сдвиговым
деформациям, например, взаимному смещению параллельных граней
куба (рис. 11.3). Для малых углов сдвига (0) модуль сдвига определяется
(11.2)
234
-jГлава 11. Механика сплошных сред
отношением напряжения (о) к углу сдвига и, следовательно, измеряется
в паскалях:
(11.3)
Объемный модуль (К, модуль объемной упругости — величина, обратная
всесторонней сжимаемости) характеризует изменения объема (dV) при малых
изменениях давления(ф) и также измеряется в паскалях (рис. 11.4):
1 _ (l)dV
К~ (У) dp'
(И.4)
Множитель 1/К введен для того, чтобы объемный модуль не зависел от
объема образца, а знак «минус» — чтобы для типичной ситуации, когда с
увеличением давления объем тела уменьшается, этот модуль был положи-
тельным.
Рис. 11.2. Изменение геометрических размеров
куба при деформации, иллюстрирующее смысл
коэффициента Пуассона, характеризующего со-
отношение изменений поперечных и продольных
размеров тел при деформации: (а) — недефор-
мированный куб; (б) — куб при относительной
деформации е в направлении действия силы, со-
здающей одномерное однородное напряжение о
Рис. 11.3. Под действием
касательного напряжение
(о) происходит деформация
сдвига, характеризуемая уг-
лом 0, которая использует-
ся для определения модуля
сдвига (б)
Для изотропного упругого тела модуль Юнга, коэффициент Пуассона,
модуль сдвига и объемный модуль связаны друг с другом следующими со-
отношениями:
Е
3(1 -2v)’
(П-5)
G =
Е
2(14-v) ’
(Н.6)
Таким образом, зная любые две характеристики упругости изотропного тела,
другие две легко вычислить по приведенным уравнениям.
235
11.2 Композиты
Для описания упругих характеристик анизотропных тел (а таких боль-
шинство среди биологических структур) требуется применение тензорного
исчисления (рис. 11.5). В трехмерном случае тензор напряжений (о„) одно-
временно характеризует растягивающие, сжимающие, объемные и сдвиговые
силы. В декартовых координатах тензор напряжений имеет вид:
®ух
о
® ху &xz
°УУ °yz
Qzy °zz
(11.7)
Сходным образом, деформации материала, вызванные такими напряже-
ниями, описываются девятью константами (е„). Для линейных упругих ма-
териалов деформации и напряжения связаны тензорным уравнением:
= Sijkl®kl ’ (11-8)
где Sykl — константы податливости, характеризующие реакцию конкретного
тела на каждое из напряжений. Таким образом, для описания упругих свойств
анизотропного тела, не обладающего какой-либо симметрией, требуется
81 константа (З4 = 81). К счастью, в большинстве практических случаев ко-
личество констант существенно меньше, благодаря наличию симметрий в
структуре вещества и морфологии исследуемого образца.
Рис. 11.4. Объемный модуль (К) определяет из-
менения объема (dV) материала при изменении
давления (dp)
Рис. 11.5. Тензорная природа
напряжений в кубическом эле-
менте объема вещества
11.2. КОМПОЗИТЫ
Композиционные материалы (композиты) представляют со-
бой смеси дискретных жестких элементов, размещенных в вязкой (дисси-
пативной) среде, называемой матрицей или матриксом. В природе встреча-
ются композиционные материалы различной морфологии. К ним относятся
двумерные ламинаты (слоистые композиты с плоскими жесткими армиру-
236 -»V- Глава 11. Механика сплошных сред
ющими элементами) и одномерные волокна (жесткие элементы одномерны)
(рис. 11.6 и рис. 11.7). Возможны также различные мозаичные способы раз-
мещения жестких элементов, что которые существенно влияют на механи-
ческие свойства материала. Механические свойства волокнистых компози-
тов критическим образом зависят от длины армирующих волокон, поэтому
существуют отдельные модели для описания упругих свойств композитов
с короткими и длинными волокнами.
Рис. 11.6. Модуль упругости слоистого композита зависит от направления, в кото-
ром приложено напряжение (о): (а) напряжение параллельно слоям;
(6) напряжение перпендикулярно слоям
К биокомпозитам относятся, например, системы эластин/коллаген
в сердечной стенке (волокнистый композит) и перламутр/белок в раковинах
моллюсков (слоистый композит, см. раздел 15.6). Существует много общего
между физическими свойствами слоистых композитов и твердообразными
жидкими кристаллами (раздел 4.4), поэтому для их описания часто исполь-
зуют одни и те же модели. Так, например, в полимерных жидких кристал-
лах аморфный материал в гибких линкерах может выполнять роль вязкого
наполнителя, а нематические включения обеспечивают сопротивляемость
растяжению (волокнистый композит).
Волокно
Диссипативный
матрикс
Рис. 11.7. Расположение волокон в композите с одноосевой ориентацией
В биокомпозитах из смесей органических и неорганических веществ, таких
как дентин (твердая ткань зуба), доля неорганических веществ часто очень
мала (~1%), но этот диссипативный наполнитель оказывает чрезвычайно
11.2 Композиты J\, 237
сильное влияние на физические свойства композита. В частности, прочность
такого материала (например, комбинации гидроксиапатита и белка в денти-
не) на много порядков выше, чем прочность одиночного кристалла.
Для слоистого композиционного материала можно получить довольно хо-
рошие оценки эффективного модуля Юнга в первом приближении. При
воздействии параллельно слоям композита (рис. 11.6, а) сила, приложенная
к телу (Fw) равна сумме сил, действующих на кристалл (Гс) и на аморфную
фазу (Fe), например, на клейкий белок:
Fm = Fc + Fa. (11.9)
Эти силы можно выразить через средние значения напряжений и площадей:
= ’ (11.10)
где от, ос и оа — напряжения в композите, кристалле и в белковой фазе,
а Ат, Ас и Аа — соответствующие площади сечений. Поделив обе части
уравнения (11.10) на полный объем композита, можно получить выражение
для эффективного модуля Юнга (Ет) через модули отдельных компонентов
(Ес и £а) и объемную долю кристаллической фазы:
Г„ = £с<|>с + £а(1-<|>с). (НИ)
При приложении силы перпендикулярно слоям композиционного материала
(рис. 11.6, б) полное удлинение (5/т) равно сумме удлинений для каждой
фазы (5/с и 5/а для кристаллической и аморфной фаз, соответственно):
5/ш= 5/c+54. (11.12)
Относительную деформацию можно найти в соответствии с определением:
е = у, (П.13)
где 8/ — изменение длины, / — исходная длина. Если 1т, 1си 1а — исходные
размеры композита, кристаллической и аморфной фаз, a ew, ес и — со-
ответствующие относительные деформации, то уравнение (11.12) можно
переписать в виде:
= • (11-14)
Учитывая, что напряжение во всех фазах одно и то же, относительные дефор-
мации можно выразить через модули Юнга индивидуальных компонентов:
о/от о/с о/а
Ет Ес+ Еа-
(11.15)
После сокращения на о длины могут быть выражены через объемные доли
компонентов. Конечный результат для модуля Юнга слоистого композита
при приложении силы перпендикулярно слоям имеет вид:
238 Глава 11. Механика сплошных сред
ЕаЕс
(11.16)
Ет (1 - ф) + £сф '
Для волокнистого композита модуль в направлении параллельном прило-
женной силе равен:
£ = П£/Ф/+£Д1-Ф/), (11.17)
где и Еа — модули Юнга для волокон и аморфного матрикса, соответс-
твенно (рис. 11.7), фу — объемная доля волокон. Это уравнение отличается
от уравнения (11.11) для слоистого композита только наличием масштабного
множителя т|, определяемого выражением:
. thax
П = 1-----
ах
а — коэффициент формы (отношение длины / волокна к диаметру 2г,
1/2г), а х определяется по формуле:
(11.18)
где
а -
2Ga
(П-19)
где Ga — коэффициент сдвига для матрикса, в который погружены волок-
на, Ej- — модкуль Юнга для волокон, R — расстояние между волокнами,
г — радиус волокна.
В природе существуют также анизотропные композиты. Например, в био-
логии часто встречаются спиральные материалы (эластин/коллаген в стенке
сердца), при этом ориентация волокон обеспечивает дополнительную сопро-
тивляемость скручиванию и разрывам.
11.3. ПОРИСТЫЕ ТЕЛА
Пористые тела («твердые пены») обладают выгодным соот-
ношением прочности и плотности. Ряд механических характеристик не-
которых пористых материалов биологического происхождения приведен
в таблице 11.3.
Упругие свойства пористого тела можно рассмотреть, используя простые
соображения масштабирования. Сопротивление пористого тела сжатию
обусловлено механическими свойствами материала стенок между порами
(рис. 11.8). Деформацию одиночной стенки (8) в ее средней части под дейс-
твием силы F можно выразить через модуль Юнга (£) материала стенки, ее
длину (а) и толщину (/):
Fa3
5~^-. (11.20)
11.3 Пористые тела
4
239
Сила, вызывающая деформацию стенки, пропорциональна напряжению
сжатия (о) в ней: F ~ оа2, поэтому
Поперечное
Рис. 11.8. Механическая прочность пористого тела обусловлена упругими свойства-
ми материала стенок пор: F — средняя сила, действующая на стенку
между порами, 5 — деформация стенки, о — среднее напряжение, при-
ложенное к пористому телу
Модуль Юнга для пористого тела с незаполненными порами приближен-
но равен отношению напряжения (о) к относительной деформации (у). От-
носительная деформация для данного смещения обратно пропорциональна
длине (y-tr1), поэтому уравнение (11.21) можно переписать в виде:
(11.22)
Таблица 11.3. Механические свойства некоторых пористых материалов биоло-
гического происхождения
Модуль Юнга (F, ГПа) Предел прочности (0Р МПа) Объемная доля твердой фазы (%) Плотность (р, КГ*М”3) Коэффициент Пуассона (v) Прочность (кДжм2)
Мягкая древесина 10 180 0,96 102-103 0,3-0,68 12
Твердая древесина -17,5 240 0,73 102-103 0,01-0,78 11
Пробка 0,02 15 0,15 170 0-0,1 0,06-0,13
Кость 12 105 0,05-0,7 102-103 0,36 0,6-3
Морковь 0,007 1 0,03-0,38 103 0,21-0,49 0,2
240
_Глава 11. Механика сплошных сред
Модуль Юнга для пористого тела с незаполненными порами можно вы-
разить через плотность материала:
( * >2
Р
А,
(11.23)
где Ct — коэффициент пропорциональности, р* — плотность пористого
тела, р5 — плотность материала стенки. Полученный результат находится
в разумном согласии с экспериментальными данными. Приведенный расчет
основан на модели, сходной с той, что была использована при рассмотре-
нии полужестких полимеров с поперечными сшивками, такими как актин и
фибрин, и, на самом деле, механические свойства таких полимеров имеют
много общего со свойствами пористых тел с незаполненными порами.
Поры могут быть заполнены, и в случае биологических систем, напол-
нителем чаще всего является вода. Такие тела несжимаемы и существенно
отличаются по механическим свойствам от тел с незаполненными порами.
Механическое разрушение в этом случае соответствует разрыву стенок пор,
а деформации — растяжение стенок, а не изгиб. Теоретическое рассмотре-
ние дает для таких пористых дел более слабую зависимость модуля Юнга от
толщины и длины стенок пор: Ej~ (t/a)2Eпо сравнению со случаем свобод-
ных пор, когда Е^ ~ (t/a)*E.
Относительная деформация
Рис. 11.9. Диаграмма сжатия пористого тела со свободными порами. Приведена
зависимость напряжения от относительной деформации. При увеличе-
нии относительной деформации сначала наблюдается зона пропорци-
ональности, в которой выполняется закон Гука, затем следует плато,
соответствующее потере устойчивости стенок пор, а за ним — зона
уплотнения, предшествующая разрушению
Схематическое изображение диаграммы сжатия для пористого тела со сво-
бодными порами приведено на рис. 11.9. Сжатие, а при средних и больших на-
пряжениях уплотнение, типично для пористых тел. Коллапс стенок при больших
напряжениях связан с эйлеровской потерей механической устойчивости.
11.4 Разрушение
Л
241
Коэффициент Пуассона для пористых тел со свободными порами может
иметь необычные значения. Классическим примером является бутылочная
пробка, для которой коэффициент Пуассона отрицателен: при растяжении
пробка расширяется и плотно закупоривает бутылку.
11.4. РАЗРУШЕНИЕ
Проблемы, связанные с механической устойчивостью био-
логических материалов, играют важную роль в жизни многих организмов.
Материал механических тканей часто наноструктурирован, что позволяет
останавливать рост трещин при их образовании и существенно увеличивают
количество энергии, которое материал может поглотить без разрушения. Та-
кой механизм остановки роста трещин в вязкоупругом матриксе композита
обеспечивает прочность перламутра и кости.
Рост трещины сопровождается двумя конкурирующими процессами:
высвобождением энергии за счет увеличения длины трещины и поглоще-
нием энергии, необходимой для образования новой поверхности трещины
(рис. 11.10). Поэтому существует критическая длина (£(.), начиная с которой
трещина начинает расти. Критическую длину можно связать с работой по
разрушению на единицу площади (И^) и потенциальной энергией дефор-
мации (И^):
В области деформаций, для которой выполняется закон Гука, потенциальная
энергия деформации (WQ равна половине произведения напряжения (о) на
величину относительной деформации (е), поэтому (11.24) можно переписать
в виде:
2»7
ЯОЕ
(11.25)
Предотвращение распространения трещин в биологических материалах
достигается с помощью целого ряда специфических свойств, таких как боль-
шая работа разрушения (работа, совершаемая при разломе), малая энергия
деформации при удлинении трещины. Кроме того, организмы используют
материалы с малыми напряжениями и деформациями и такие, в которых
трещины образуются в направлении перпендикулярном нагрузке, и имеют
тупые края, что минимизирует энергию на концах трещин. С этой точки
зрения пористые материалы обладают тем преимуществом, что трещины
в них оканчиваются в ячейках пор, что приводит к существенному увели-
чению их прочности.
242
—Глава 11. Механика сплошных сред
11.5. МОРФОЛОГИЯ
Энергия,
высвобожда-
ющаяся
при росте /
трещины/'
Длина трещины
Полная
энергия
роста трещины
к
______Энергия, необходимая
Критическая Д™ образования трещины
длина трещины
Любой архитектор скажет, что геометрия здания сущест-
венно влияет на его механические характеристики. В биологии стандарт-
ными мотивами являются трубы, распорки, растяжки, винтовые поверх-
ности — все они используются для того, чтобы биологические структуры
имели оптимальные для выполнения их функций механические свойства.
Например, за счет изменения
изгибной жесткости достига-
ется увеличение торсионной
жесткости. Трубы имеют вы-
сокую изгибную и торсионную
жесткости при минимальном
использовании материала. Рас-
порки и растяжки имеют такую
же изгибную жесткость, как и
просто непрерывный кусок ма-
териала, но позволяют сущес-
твенно уменьшить количество
вещества в системе. Системы
подвижных сжатых элемен-
тов конструкции составляют
основу позвоночных столбов
многих животных, при этом
мягкие связки обеспечивают
дополнительную сопротивля-
емость изгибным нагрузкам.
Спиральные структуры могут на порядок увеличивать устойчивость мате-
риала к разрывам и разломам, поскольку линейные изломы должны прохо-
дить, по крайней мере частично, через прочные волоконные структуры.
Рис. 11.10. Энергия, высвобождающаяся при
росте трещины в однокомпонентном твер-
дом теле, зависит от длины трещины. Баланс
энергии в процессах зарождения трещины и ее
роста приводит к существованию критической
длины трещины. [Воспроизведено с разре-
шения из: Vogel S. Comparative Biomechanics.
Copyright (2003) Princeton University Press.}
Дополнительная литература
Humphrey J.D., Delange S.L. An Introduction to Biomechanics: Solids and fluids,
analysis and design. — Springer-Verlag, 2004. — Подробное изложение инженерных
проблем биомеханики.
Vincent J. Structural Biomaterials. — Princeton, 1990. — Очень хороший вводный
курс по биоматериалам.
Vogel S. Comparative Biomechanics: Life’s Physical Worlds. — Princeton, 2003. Под-
робны вводный курс.
Вопросы и задания —•l/1 243
Gibson L.J., Ashby M.F. Cellular Solids. — Cambridge University Press, 1997. Клас-
сический курс по механике пористых тел.
Gosline J., Lillie М., Carrington Е. et al. Elastic proteins; biological roles and mechani-
cal properties — Phil. Trans. R Soc. London B, 2002, v. 357, p. 121-132.
Ahlbom B.K. Zoological Physics. — Springer, 2004. Некоторые простые примеры
применения физики материалов в зоологии.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
11.1. Чему равен модуль Юнга в направлениях параллельном и перпенди-
кулярном поверхности слоистого биокомпозита, если объемная доля крис-
таллической компоненты равна 0,9, а модули упругости кристаллической
и аморфной фаз равны 50 МПа и 50 ГПа?
11.2. Оцените модуль Юнга сухого пористого тела, если модуль Юнга для
материала стенок пор равен 9 ГПа, диаметр сжатых элементов конструкции
равен 1 мкм, а их длина 30 мкм? Как изменится модуль Юнга при заполне-
нии пор водой, если считать, что механические свойства материала стенок
не изменяются при гидратации?
ГЛАВА
БИОРЕОЛОГИЯ
Традиционный реологический эксперимент состоит в поме-
щении изучаемого образца в некое подобие бытового блендера (реометр).
Поведение вещества в этом устройстве позволяет судить о его вязкоупругих
свойствах. Таким образом, реология занимается изучением вязкоупругих
свойств материалов.
Классический пример вязкоупругого материала — детская игрушка silly
putty («лизун»). Ее можно растягивать руками, и она ведет себя как вязкая
жидкость, но если ее бросить на пол, она отскочит, как упругое тело. Та-
ким образом, поведение этого материала зависит от масштаба времени, на
котором происходит взаимодействие: на больших временах это жидкость,
а на малых — твердое тело. Все материалы в той или иной степени проявля-
ют вязкоупругие свойства, но среди биоматериалов часто встречаются такие,
у которых вязкости и упругости очень точно подобраны для того, чтобы в
различных физиологически важных временных масштабах свойства конк-
ретного материала были оптимальны.
Реология вводит в теорию конденсированного состояния ключевые пред-
ставления о необратимых процессах в диссипативных системах. Без учета
диссипативных процессов невозможно построение реалистичных статисти-
ческих моделей биологических систем. Экспериментальная реология позво-
ляет количественно оценить пригодность моделей, построенных на основе
термодинамики необратимых процессов.
Способность биоматериалов к запасанию и диссипации энергии играет
важнейшую роль во многих процессах, таких, например, как амортизация
ударных нагрузок в хрящах (раздел 15.1), сокращение поперечнополосатых
мышц (раздел 14.1), упругость кожи, движение клеток крови по артериям
(рис. 12.1). Во всех этих случаях измерение вязкоупругих свойств необходимо
для понимания того, как эти биоматериалы функционируют в конкретных
биологических системах.
Глава 12. Биореология -*v 245
Реологическое поведение биоматериалов может быть исключительно слож-
ным. В качестве первого шага к описанию поведения текучих тел введем два
безразмерных числа: число Пекле и число Деборы.
Эпидермис
Собственно кожа
(дерма)
Подкожный слой
Рис. 12.1. Примеры процессов и систем, в которых вязкоупругие свойства био-
материалов играют ключевую роль: (а) — движение крови по венам
(микрореология, тиксотропия и т.д.); (б) — сокращение поперечнополо-
сатой мышцы (активные напряжения); (в) — кожа, представляющая со-
бой сложный вязкоупругий композит (вязкоупругие свойства смесей)
Число Пекле характеризует соотношение молекулярных и конвективных
процессов переноса в жидкости, т.е. определяет напряжения, при которых
начинает существенно меняться микроструктура материала. В качестве при-
мера рассмотрим коллоидный раствор, содержащий сферические коллоидные
частицы радиуса а. Из уравнения Стокса-Эйнштейна (5.11) для коэффици-
ента диффузии коллоидной частицы имеем:
D =
кТ
втща '
(12.1)
где т| — вязкость раствора, кТ — тепловая энергия. В соответствии
с уравнением (5.39) время релаксации (Zfl) для диффузионного движения
246 -*V- Глава 12. Биореология
(т.е. время, за которое частица смещается на расстояние, равное ее ра-
диусу) равно
<122’
Под действием приложенного к системе касательного механического напря-
жения (о) возникает сдвиговое течение, характеристическим временем ts для
которого является величина обратная скорости деформации сдвига (ts = у-1).
Число Пекле (Ре) равно просто отношению характеристических времен
диффузии (ta) и сдвига (ts):
ре = ^=6т^т<
ts кТ
где знак неравенства следует из условия неизменности микроструктуры под
действием приложенного напряжения.
Для вязкой жидкости механическое напряжение прямо пропорционально
скорости сдвига (ньютоновский закон вязкости):
о = т)У, (12.4)
поэтому выражение (12.3) для числа Пекле можно переписать в виде:
ре = 6л^о<1 (12.5)
где кТ/6па3 — тепловое напряжение, о — механическое напряжение. Знак
неравенства соответствует ситуации, когда броуновское движение преобла-
дает над конвективным, в противном случае микроструктура системы была
бы существенно возмущена.
Для того, чтобы в эксперименте можно было измерять вязкоупругие харак-
теристики в линейной области, необходимо выполнение еще одного условия,
а именно: структурная релаксация за счет диффузии должна происходить
за времена (т), сравнимые со временем измерения (t). Таким образом, для
экспериментов в линейной области необходимо, чтобы число Деборы (De),
определяемое соотношением:
De = ^ (12.6)
было меньше единицы (De < 1).
При De >> 1 тело является твердообразным, а при De < 1 — жидкооб-
разным. Для того, чтобы линейную вязкоупругость можно было наблюдать
экспериментально, необходимо одновременное выполнение указанных выше
ограничений на числа Пекле и Деборы.
12.1. Вязкоупругие среды -*v 247
Как правило, реометры могут функционировать в режимах как однона-
правленных, так и осциллирующих сдвиговых напряжений. В первом случае
в стационарном режиме обычно изучают нелинейные реологические харак-
теристики, а во втором в пределе малых амплитуд колебаний — линейные.
12.1. ВЯЗКОУПРУГИЕ СРЕДЫ
Главной целью моделей, используемых в реологии, является
установление связи между приложенным механическим напряжением и ре-
зультирующей деформацией изучаемого тела. Такую связь дает уравнение
состояния (материальное уравнение). Сначала, для того чтобы ознакомиться
с основными используемыми подходами, мы построим простое общее урав-
нение состояния для вязкоупругой среды.
Для подчиняющегося закону Гука твердого упругого тела механическое
напряжение (о) пропорционально относительной деформации (у):
о = |гу, (12.6)
где ц — модуль упругости.
В трех измерениях для изотропного материала (с одним модулем упру-
гости) это уравнение можно записать с использованием тензорных обозна-
чений:
(12-7)
Для вязкоупругого тела связь между напряжением и деформацией более
сложная, поскольку за счет релаксации деформация со временем медлен-
но уменьшается до нуля. Будем рассматривать одномерное твердое тело и
предположим, что его вязкоупругие свойства аддитивны по времени. Тогда
напряжение можно выразить через интеграл:
g= f G(t-t')№]dt', (12.8)
J yul )
—оо
где G(t - /') — релаксационный модуль сдвига (напряжение при единичной
деформации), dy/dt' — скорость деформации сдвига.
Пусть теперь деформация имеет колебательный характер (например, за
счет вибрации образца) вида:
у(/) = y0sinco/, (12.9)
где у0 — амплитуда смещения, t — время, со — частота колебаний. Продиф-
ференцировав это выражение по времени, получим скорость деформации:
с/у
= coy0coscof.
(12.10)
248
_Глава 12. Биореология
После подстановки полученной скорости деформации в (12.8) для зави-
симости напряжения от времени можно получить следующую формулу:
= + (12.11)
где G'(q>) — собственно модуль сдвига, зависящий от частоты и характе-
ризующий способность тела запасать потенциальную энергию деформации,
G" (со) — компонента модуля сдвига, соответствующая диссипации энергии
при деформации (модуль механических потерь). Величину G"((o)/(o можно
рассматривать как зависящую от частоты динамическую вязкость. Связь меж-
ду касательным напряжением (о) и скоростью сдвига (у) устанавливается
законом Ньютона:
о = (12.12)
at
Отсюда следует, что обычная вязкость материала представляет собой предел
динамический вязкости (т| = при частоте, стремящейся к нулю (со —> 0),
для абсолютно неупругого материала (G7 = 0).
Рис. 12.2. Схематическое изображение зависимости собственно модуля сдвига
(Gf) раствора гибкого полимера от частоты (со) для трех основных
диапазонов концентраций
В качестве примера на рис. 12.2 приведены зависимости собственно мо-
дулей сдвига от частоты осциллирующей нагрузки для растворов некоторых
полимеров. Очевидно, что модуль вязкоупругого раствора полимера должен
возрастать с ростом концентрации полимера, так как в растворе при этом
увеличивается концентрация больших структурообразующих молекул, кото-
рые оказывают сопротивлению сдвиговой деформации. Однако зависимость
собственно модуля сдвига от частоты требует более детального рассмотрения,
которое мы проведем в разделе 12.3.
12.1. Вязкоупругие среды -•V- 249
Важной характеристикой линейной вязкоупругости является отношение
собственно модуля сдвига к модулю механических потерь, равное тангенсу
угла сдвига фаз (8) между деформацией и напряжением:
tg5 = ^. (12.13)
При этом связь между напряжением и деформацией сдвига имеет вид:
о = о0 sin (со/ + 5). (12.14)
Сдвиг фаз 5 в этом выражении является удобной количественной харак-
теристикой линейной вязкоупругости. Очевидно, что для материала, прояв-
ляющего в основном упругие свойства (например, для эластина) величина
tg8 в (12.13) будет велика, а для материала в основном жидкого (например,
для плазмы крови) — очень мала.
Для описания вязкоупругих свойств биологических материалов использу-
ют простые механические модели. Простейшие из них — модели Максвелла
и Кельвина-Фойгта (рис. 12.3), которые представляют собой соответственно
последовательно и параллельно соединенные идеальные элементы, один из
которых упругий (пружина), а другой вязкий (демпфер). Уравнения, кото-
рые получаются при рассмотрении таких моделей, можно затем применить
к описанию вязкоупругих свойств биологических материалов. Конечно,
в идеале для полного описания динамической вязкоупругости потребовались
бы сведения о вязкоупругих и динамических свойствах молекул, входящих в
состав рассматриваемого материала, однако простые механистические моде-
ли удобны в качестве первого шага к достижению этой цели.
а
Пружина
Демпфер
Рис. 12.3. Стандартные механические модели, применяемые для описания вязко-
упругих свойств: (а) — модель Максвелла; (б) — модель Кельвина-Фойг-
та; (в) — модель стандартного линейного твердого тела (Зинера)
Для идеального твердого тела — упругой пружины — модуль сдвига опре-
деляется уравнением:
о = Gy
(12.15)
250 -*V- Глава 12. Биореология
и механическое напряжение пропорционально деформации сдвига. С другой
стороны, для вязкого элемента (идеальная вязкая жидкость), представляю-
щего собой абсолютно диссипативную среду, механическое напряжение в
соответствии с законом Ньютона пропорционально скорости деформации
сдвига:
о = т|у, (12.16)
где т| — вязкость.
В модели Кельвина-Фойгта (рис. 12.3, а — пружина и демпфер соедине-
ны параллельно) напряжения в обоих элементах суммируются, поскольку к
ним приложено одно и то же внешнее напряжение:
о = (7у + т|у. (12.17)
В модели Максвелла (рис. 12.3, б — пружина и демпфер соединены последо-
вательно) полная скорость деформации равна сумме скоростей деформации
каждого элемента. Дифференцируя (12.15) и складывая с (12.16), получим:
? = £ + £• (12-18)
- G Л
Решая это уравнение для ступенчатого изменения деформации от нуля
до некоторого постоянного значения, получим известный закон релаксации
Максвелла для механического напряжения:
о(/) = о0е-'/х" , (12.19)
где хт = r\/G— постоянная времени релаксации, о0 — начальное напряжение.
Для релаксационного модуля G(f) = а(/)/у из этого уравнения получаем:
G(t) = (12.20)
Сходным образом, решая уравнение (12.17) для релаксации деформации (у)
после приложения постоянного механического напряжения (о), получим
следующее уравнение, описывающее ползучесть материала:
У = ^-[l-e“G'/’1]. (12.21)
G L J
В случаях, когда надо описать одновременно релаксацию напряжения
и деформации, используют более сложные модели, например, стандартную мо-
дель линейного твердого тела (рис. 12, в). Однако рассмотрение таких моделей
в большей степени относится к области биоинженерии, а целью молекулярной
биофизики является построение детальной модели, описывающей вязкоупругие
свойства материала на основе его молекулярной структуры (раздел 12.3).
12.2. Реологические функции 251
12.2. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Экспериментальные исследования вязкоупругих свойств матери-
алов относятся к области механической спектроскопии. Образец подвергается
заданному механическому воздействию (деформации или внешнему механиче-
скому напряжению) и измеряется зависимость его свойств от времени.
Рис. 12.4. Взаимосвязи между линейными реологическими характеристиками:
комплексная податливость (7*), комплексный модуль сдвига (G*), фун-
кция ползучести (7(0), релаксационный модуль (G(/)), спектры времен
релаксации (Н) и ползучести (Z). [Воспроизведено с разрешения из:
Goodwin J. W., Hughes R. W. Rheology for Chemists. Copyright (2000) Royal
Society of Chemistry.]
В экспериментах определяют ряд эквивалентных реологических харак-
теристик (рис. 12.4), к которым относятся комплексный модуль сдвига
G' = G' + IG", функция ползучести J(f), релаксационный модуль G(t), спект-
ры времен ползучести L и релаксации Н. Эти характеристики удобны по ряду
причин. Часто, чтобы получить линейный ответ системы, экспериментато-
ру приходится использовать малые напряжения и деформации и измерять
соответствующую условиям эксперимента реологическую функцию. Затем,
с помощью математических преобразований из этой функции можно полу-
чить другие, что облегчает сравнение полученных данных с реальными ус-
ловиями при больших напряжениях и деформациях. Применение линейных
252 Глава 12. Биореология
преобразований позволяет также предсказывать поведение вязкоупругого
тела в широком интервале временных масштабов, например, за границами
временных интервалов доступных в эксперименте при измерении отдельной
реологической функции.
Уравнения (12.22-12.25) дают некое представление о математических
взаимосвязях между реологическими функциями. Все эти преобразования
линейны и хорошо определены. Переход от одной функции к другой (и об-
ратно) не приводит к потере информации.
G(f) = У Не ,ixd 1пт = J* — coscoftZco,
—оо —оо
(12.22)
ОО G(t) = — [ — sinco/Jco Я J (0 —оо G'(t) = - /,2((0) J'1 (co) + J"2 (co) (12.23)
G"(f) = - * J'2 (со) + J"2 (со) oo J'(co) — co J J (Z)sinco/J/ 0 (12.24)
ОО J"(co) = -со J J (t)cos(titdt 0 J(t) = f d 1ПТ. —OO (12.25)
Эти преобразования часто используются при решении различных задач,
и для них существует обширное программное обеспечение, позволяющее
проводить вычисления с хорошей точностью.
12.3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
12.3.1. Раствор нейтрального полимера
Во многих биологических системах встречаются растворы
полимеров. Даже твердые полимеры, такие как коллаген и паутина при
образовании проходят через стадию концентрированной лиотропной
фазы. Динамика нейтральных гибких полимеров гораздо проще дина-
мики заряженных полимеров (полиэлектролитов), поэтому с нее мы и
начнем. Динамика нейтральных гибких полимеров зависит от концент-
рации молекул, и при ее описании принято выделять три основных ин-
тервала концентраций: разбавленные растворы (цепи не перекрываются),
полуразбавленные растворы (цепи образуют сетку) и концентрированные
растворы (размер термального блоба равен длине корреляции, а цепи
— гауссовские на всех масштабах длин). На рис. 12.5 приведена фазовая
12.3. Биологические примеры -*ъ- 253
диаграмма, характеризующая поведение нейтральных гибких полимерных
цепей в зависимости от числа мономеров в цепи (7V) и концентрации мо-
номеров в растворе (с).
Рис. 12.5. Фазовая диаграмма для трех различных типов динамического поведения
раствора гибкого нейтрального полимера. По оси абсцисс отложена
концентрация мономеров в растворе (с), а по оси ординат — число
мономеров в цепи (Л)
Разбавленные растворы полимера обладают, в основном, вязкими свойс-
твами. При концентрациях, превышающих критическую концентрацию пе-
рекрывания (с*), динамика цепей в сильной степени зависит от соотношения
режимов Зимма и Рауза, поскольку гидродинамика каждой цепи начинает
зависеть от поведения других цепей. С ростом концентрации полимера упру-
гая компонента вязкоупругости становится все более и более существенной
по мере снижения частоты воздействия и ее абсолютная величина также воз-
растает. При длинах цепей и концентрациях мономеров выше критических
значений наблюдается рептация (раздел 8.5), что оказывает существенное
влияние на вязкоупругие свойства раствора, которые становятся типичными
для систем сетчатых полимеров. Концентрацию, при которой происходит
переход к рептации, называют концентрацией перекрывания клубков (се).
Переход между разбавленным и полуразбавленным растворами (рис. 12.5)
характеризуется концентрацией перекрывания цепей, определяемой соот-
ношением:
254
—Глава 12. Биореология
♦ 1
С ~ biR3g/У
(12.26)
где Rg — радиус инерции цепи, а с равно числу цепей в единице объема.
В случае жестких молекул радиус инерции равен длинной оси стержневидной
молекулы (контурной длине Z).
Рис. 12.6. Зависимость компонент ком-
плексного модуля сдвига (G', G" )^от
частоты в модели Зимма (разбавленные
и полуразбавленные растворы полимера
на масштабах длин меньших размеров
ячейки): на низких частотах G' ~ со ,
(7" ~ со2 (в соответствии с предсказа-
ниями модели Максвелла), на высоких
частотах G' ~ С'/х.ТЗ ~ со '
Рис. 12.7. Зависимость компонент ком-
плексного модуля сдвига (G\G") от
частоты в модели Рауза (разбавленные
и полуразбавленные растворы полимера
на масштабах длин больших размеров
ячейки): на низких частотах G' ~ со ,
G" ~ со2 (в соответствии с предсказа-
ниями модели Максвелла), на высоких
частотах & ~ G" ~ со1/2
Для описания вязкоупругих свойств растворов гибких полимеров мож-
но использовать модели Зимма и Рауза, описанные ранее в разделе 8.5
(рис. 12.6 и 12.7). На низких частотах обе модели предсказывают степенную
зависимость модулей сдвига от частоты, причем G' зависит от со линейно,
a G" — квадратично, что соответствует модели Максвелла. На высоких ча-
стотах в модели Зимма обе компоненты модуля сдвига зависят от частоты
А 2/3
,73 ~ со ), а в модели Рауза от частоты в степени
1/2 (G' ~ G" ~ со|/2). Для описания динамического поведения растворов гиб-
ких полимеров во всех возможных частотных диапазонах необходим под-
робный спектральный анализ вязкоупругих свойств, поэтому здесь будут
рассмотрены только несколько важнейших результатов.
Релаксационный модуль G(t) для полуразбавленного раствора полимера
с относительно короткими цепями может быть рассчитан в модели Рауза.
В случае длинных молекул необходимо привлечение представлений о реп-
тации. В модели Рауза напряжения определяются ориентацией молекул при
12.3. Биологические примеры -•и- 255
приложении внешнего напряжения. Стационарная сдвиговая вязкость (ц)
и стационарная податливость (/(0) пропорциональны числу звеньев /V в цепи.
Растворы длинноцепочечных полимеров обладают необычными вязкоупру-
гими свойствами благодаря рептационному движению молекул. Рептацион-
ная модель, описанная в разделе 8.5, позволяет рассчитать вязкость раствора
полимера, которая в этом случае сильно зависит от числа звеньев в цепи,
а именно т| ~ №. Однако экспериментальные данные указывают на еще бо-
лее сильную зависимость вязкости от числа звеньев в реальных растворах:
т| ~ дел (рис. 12.8). Считается, что это расхождение обусловлено флуктуа-
циями контурной длины трубок и процессами обновления трубок. Поэтому
простая модель стационарной ограничивающей трубки, приведенная в раз-
деле 8.5, должна быть модифицирована. Рептационная динамика в растворах
полимеров может быть вызвана целым рядом факторов: увеличением степени
полимеризации цепей (при возникновении рептации зависимость вязкости от
числа звеньев меняется с пропорциональной ТУна пропорциональную 7V3’4), уве-
личением персистентной д лины цепей, добавлением массивных боковых групп
к полимерным цепям и увеличением концентрации полимера (рис. 12.8).
Рис. 12.8. Зависимость вязкости раствора нейтрального гибкого полимера
от степени полимеризации (а) и концентрации мономеров (б). [Colby R.,
Rubinstein М. Macromolecules, 1990, v. 23, р. 2753-2757.]
Полураз-
бавленный
Концентрация, с
б
Когда персистентная длина цепи значительна по сравнению с ее контур-
ной длиной, для описания вклада внутренних движений молекулы в вязко-
упругость необходимо использовать модели полужестких цепей. Существу-
ет большое разнообразие биологических материалов, представляющих со-
бой сетки таких стержней и нитей, например, промежуточные филаменты,
актин, фибриллярные белки, микротрубочки. Поведение растворов таких
полимеров соответствует предсказаниям относительно новых моделей ди-
256
—Глава 12. Биореология
намики полужестких цепей. В частности, эти модели дают хорошее согла-
сие с экспериментальными данными по высокочастотной вязкоупругости
и зависимости модуля сдвига от концентрации. На рис. 12.9 схематически
приведены зависимости собственно модуля сдвига для полуразбавленных
растворов полужестких цепей актина от частоты и концентрации, получен-
ные с помощью методов высокочастотной микрореологии, например, акус-
тической спектрометрии. При очень высоких частотах модули упругости для
растворов полужестких цепей уже не описываются моделями Зимма и Рауза:
модуль сдвига зависит от частоты как 0,75со3/4, что, возможно, объясняется
поперечными флуктуациями полужестких цепей.
Рис. 12.9. Данные экспериментов по измерению модуля сдвига (G') для сеток
длинных полужестких полимерных цепей имеют несколько специфи-
ческих особенностей: при высоких частотах & ~ ш3/4 (а) и при кон-
центрациях выше критической концентрации перекрывания клубков
G' ~ с1,4 • [Morse D. Macromolecules, 1998, v. 31, р. 7044-7067.}
Концентрация
б
12.3.2. Полиэлектролиты
Исследование вязкоупругих свойств полиэлектролитов
представляет собой довольно сложную проблему, как теоретическую, так
и экспериментальную, и пока еще находится в стадии развития. К по-
лиэлектролитам биологического происхождения относятся нуклеиновые
кислоты, экстракты морских водорослей, гиалуроновая кислота, проте-
огликаны, мышечные белки. Гиалуроновая кислота входит в состав си-
новиальной жидкости, обеспечивающей подвижность суставов. Проте-
огликаны (щеточные полиэлектролиты) выполняют различные функции
в организмах и могут играть роль амортизатора при ударных нагрузках,
смазочного материала (обеспечивают свободное скольжение век по глаз-
ному яблоку), защитного барьера (предохраняют желудок от самопере-
варивания). Знание реологии ДНК необходимо в ряде биотехнологичес-
ких приложений, например, при детальной интерпретации результатов
электрофоретических экспериментов. Благодаря относительно большим
12.3. Биологические примеры -•ъ- 257
размерам ДНК, в реологических экспериментах возможно исследование
свойств отдельных молекул.
Так же как нейтральные полимеры, полиэлектролиты можно разделить
на три класса: гибкие, полужесткие и жесткие, в зависимости от персис-
тентной длины цепи полимера. Однако наличие заряженных групп в цепи
приводит к увеличению ее персистентной длины по сравнению с нейтраль-
ным аналогом (раздел 9.9). Для полужестких и жестких цепей можно ис-
пользовать результаты, полученные в случае нейтральных полимеров. При
высоких концентрациях солей, когда большая часть зарядов экранирована,
предсказания моделей будут идентичными. Для предсказания вязкоупругих
свойств растворов гибких полиэлектролитов используют результаты, полу-
ченные для нейтральных гибких полимеров, с учетом конформационной ста-
тистики цепей с заряженными блобами. На рис. 12.10 приведены примеры
предсказаний моделей для зависимостей вязкости от концентрации полиме-
ра и степени полимеризации. При росте концентрации выше критической
концентрации перекрывания показатель степени в зависимости вязкости
от концентрации с 1/2 на 3/2, при этом область, в которой отсутствует
перекрывание и вязкость зависит от концентрации как с*/2, аномально
велика. Для гибких полиэлектролитов эти результаты хорошо согласуются
с данными экспериментов.
Рис. 12.10. Зависимость вязкости растворов гибких полимеров от концентрации
полимера (а) и степени полимеризации (6). [Dobrynin А. V., Colby R.H.,
Rubinstein М. Macromolecules, 1995, v. 28, р. 1859-1871.}
При очень низких скоростях сдвига полиэлектролиты проявляют свой-
ство псевдопластичности, то есть разжижаются при сдвиге, что представляет
дополнительные трудности при экспериментальных измерениях. У организ-
мов это свойство полиэлектролитов используется в суставных сочленени-
ях, поскольку сила сопротивления уменьшается с ростом скорости сдвига
(рис. 12.11).
258 -*V- Глава 12. Биореология
Полной теории вязкоупругости гибких полиэлектролитов пока не сущест-
вует. На рис. 12.12 приведены данные по вязкоупругим свойствам жидкости
из пуповины и синовиальной жидкости из суставов человека, представляю-
щих собой растворы гибких полиэлектролитов.
Рис. 12.11. Нелинейная зависимость
вязкости синовиальных жидкостей из
коленного и голеностопного суставов
от скорости сдвига. [Воспроизведено
с разрешения из King R. G. Rheol. Acta,
v. 5, р. 41-44. — Copyright (1966) Springer
Science and Business Media.}
0,1 I 10
Частота, рад/с
Рис. 12.12. Модули сдвига G' (штрихо-
вая линия) и G" (сплошная линия) для
жидкости из пуповины и синовиальной
жидкости из суставов человека (оба
раствора в больших концентрациях со-
держат гиалуроновую кислоту — гибкий
полиэлектролит) в зависимости от ча-
стоты. [Воспроизведено с разрешения из
Gibbs D.A. Biopolymers, v. 6, р. 777-791. —
Copyright (1968) John Wiley & Sons, Inc.}
12.3.3. Гели
Гель представляет собой материал, в котором полимерные
цепи имеют поперечные сшивки и образуют сетку (рис. 12.13). Гели принци-
пиально отличаются от эластомеров (раздел 8.3) тем, что с его компонентами
связано большое количество растворителя, вызывающего набухание и изме-
няющего подвижность цепей. Многие биоматериалы образуют гели, среди
которых, например, гели, используемые в пищу: заварной крем и рахат-лукум
(крахмал), джемы (пектины), желе (денатурированный коллаген).
Поперечные сшивки в биополимерах разделяются на физические (сла-
бые, например, электростатические взаимодействия или водородные связи)
и химические (сильные, например, ковалентные связи). В физических ге-
лях при высоких температурах узлы сетки (зацепления или сгущения цепей)
начинают плавиться, и модули сдвига уменьшаются. Напротив, химические
гели при нагревании не изменяются, поскольку между цепями существуют
12.3. Биологические примеры 259
постоянные химические связи (например, дисульфидные мостики), а при
высоких температурах происходит полное необратимое разрушение хими-
ческий структуры геля.
Рис. 12.13. Схематическое изображение сетки полимерного геля с химическими
сшивками. Молекулы растворителя, обеспечивающие набухание геля
и определяющие конформацию цепей, для простоты не показаны
В сетках, образуемых многими биополимерами степень сшитости может
изменяться при изменениях температуры, качества растворителя, электро-
статических взаимодействий с окружением, количеством специализирован-
ных биомолекул, обеспечивающих образование сшивок. В условиях, когда
степень сшитости становится достаточно большой для того, чтобы образец
представлял собой один кластер (порог перколяции, или порог гелеобразо-
вания), релаксационный модуль сдвига (6(0) описывается простым степен-
ным законом (гелевое уравнение):
G(f) = St~n, (12.27)
где S — предел прочности геля, t — время. С помощью уравнений (12.22-
12.25) можно по этой функции построить комплексный модуль сдвига (j
и сравнить результат с данными реологического эксперимента в режиме
колебаний. Выше порога перколяции и на таких низких частотах, когда
внутренние моды не наблюдаются, модули сдвига геля слабо зависят от
частоты (рис. 12.14).
Для гелей, у которых собственно модуль сдвига гораздо больше модуля
потерь (G1» G" ), наблюдается характерное резиноподобное поведение.
В первом приближении модуль упругости геля, образованного гибкоцепным
полимером, пропорционален плотности сшивок, подобно тому, как это на-
блюдается у эластомеров (раздел 8.3).
Для описания реологических свойств ассоциирующих физических гелей
была предложена модель рептаций с прилипанием (рис. 12.15). Склейки,
260
—.Глава 12. Биореология
образующие временные сшивки между полимерными цепями, приводят
к необходимости введения дополнительного масштаба времени при описа-
нии рептаций.
Частота
Рис. 12.14. Схематическое изображение зависимости
компонент комплексного модуля сдвига от частоты
в диапазоне низких частот для геля, образованного
гибкоцепным полимером: G' » G" и зависимость от
частоты несущественная. Обратите внимание на сходс-
тво с рис. 12.9, а для сетки полимера с полужесткими
цепями (G' на низких частотах)
При концентрациях выше концентрации перекрывания цепи движутся по
трубкам, как многоножки, при этом роль ножек играют склейки. Поскольку
движение цепи очень резко замедляется с увеличением числа склеек, вяз-
кость начинает гораздо сильнее зависеть от концентрации по сравнению со
случаем неассоциирующего полимера (рис. 12.16). У «липких» полиэлект-
ролитов могут наблюдаться и другие необычные свойства, например, увели-
чение вязкости (загущение) при сдвиге (полимеры обычно псевдопластичны),
при котором сопротивление полимерной сетки (модуль сдвига) возрастает
при увеличении скорости сдвига.
Рис. 12.15. Реологические свойства ассоциирующих физических гелей могут быть
описаны с использованием модели рептации с прилипанием. Формиро-
вание склеек между цепями с конечным временем жизни существенно
замедляет движение цепей и определяет дополнительный масштаб
времени при описании их динамики
Многие природные гели образованы полиэлекгролитами. Большое влияние
на физические свойства этих материалов оказывает осмотическое давление,
обусловленное противоионами, связанными с полимерными цепями. Сво-
бодные противоионы в значительной степени увеличивают набухание заря-
женных гелей и влияют на модули упругости. Механические характеристи-
ки заряженных гелей определяют свойства многих биологических структур,
таких как хрящи, роговица глаза, поперечнополосатая мышца.
12.3. Биологические примеры -* V- 261
Рис. 12.16. Вязкость растворов ассоциирующих полимеров в области высоких
концентраций зависит от концентрации как ца, где а — большое
число. Динамическое поведение системы может быть очень разно-
образным. На рисунке приведена упрошенная фазовая диаграмма.
Динамика зависит от времени жизни склеек как в полуразбавленных
(режим Рауза, с* < с < се), так и в концентрированных (рептации,
с > се) растворах \М. Rubinstein, A.N. Semenov. Macromolecules, 1998,
v. 31, р. 1386-1397.]
R = Cs/CA
Рис. 12.17. Экспериментально установленные зависимости параметров линейной
вязкоупругости для сеток актина — хорошо изученного геля полугиб-
коиепного полимера: (а) — зависимость модуля упругости от плотности
сшивок; (6) — зависимость модуля упругости от концентрации актина
(плотность сшивок 0,13); (в) — зависимость максимальной деформа-
ции от концентрации актина при фиксированной плотности сшивок
(плотность сшивок 0,13). [Воспроизведено с разрешения из: Gardel
M.L., Shin J.H., MacKintosh F.C., et al. Science, v. 304, p. 1301-1305. —
Copyright (2004) AAAS.])
262 Глава 12. Биореология
Рис. 12.18. Линейная вязкоупругость сгустков фибрина, образующихся при
свертывании крови. Полугибкие волокна фибрина формируют сгусток
с большим количеством сшивок, обладающий свойствами практически
абсолютно упругого тела в диапазоне частот, перекрывающем шесть
порядков величины. [Воспроизведено с разрешения из: Roberts Ж ИС,
Kramer О., Rosser R. W. et al. Biophy. Chemist, p. 152-160. — Copyright
(1974) Elsevier.]
Рис. 12.19. Деформационное упрочнение сеток ряда полугибкоцепных полимеров
проявляется в увеличении действительной части модуля упругости
с ростом деформации. Для сравнения приведены данные для полиакри-
ламидного геля, поскольку этот синтетический гибкоцепной полимер
не обладает свойством деформационного упрочнения. [Воспроизведено
с разрешения из: Storm С., Pastore J.J., MacKintosh ЕС. et al. Nature,
v. 435, p, 191-194. — Copyright (2005) Macmillan Publishing Ltd.])
Многие обычные биополимеры имеют полугибкие цепи, и их сетки
с поперечными сшивками имеют ряд уникальных свойств, связанных с жест-
костью цепей (рис. 12.17). Одно из интересных явлений — деформацион-
ное упрочнение, то есть увеличение модуля упругости под действием ме-
ханического напряжения. Полугибкие сетки фибрина в тромбах проявляют
практически совершенные упругие свойства в широком диапазоне частот
(семь порядков величины, рис. 12.18). Полугибкость цепей фибрина прояв-
12.3. Биологические примеры -*\г 263
ляется в явлении деформационного упрочнения при высоких напряжениях
(модуль сдвига возрастает при увеличении нагрузки). Эластомеры с совер-
шенно гибкими цепями (например, полиакриламиды) такими свойствами
не обладают (рис. 12.19).
12.3.4. Коллоиды
Наука о коллоидах включает в себя широкое поле исследова-
ний, связанных с дисперсиями. Одной из простейших коллоидных систем
является монодисперсная суспензия идентичных частиц. К такому классу
систем относятся растворы глобулярных белков или икосаэдрических ви-
русов.
Свойства течений разбавленных дисперсий сферических частиц иллюст-
рирует рис. 12.20. Эйнштейн решил уравнение Навье-Стокса для малых чи-
сел Рейнольдса и получил удивительно простое выражение для зависимости
вязкости (т)) дисперсии от объемной доли (ф) коллоидных частиц:
П = По I1 + + °(<Р2)] (12.28)
где О(ф2) — малая величина порядка ф2, т)0 — вязкость растворителя. Формула
Эйнштейна применима только к достаточно разбавленным коллоидным рас-
творам (рис. 12.21) при малых скоростях сдвига. При более высоких скоростях
сдвига коллоидные растворы обычно псевдопластичны, поэтому необходимо
учитывать ряд конкурирующих гидродинамических эффектов.
Число Пекле
(нормированная скорость сдвига)
а
Рис. 12.20. Зависимость относительной вязкости от скорости сдвига (а) и кон-
центрации коллоидных частиц (6)
Вязкость раствора существенно зависит от фазового состояния колло-
идного раствора. При объемной доле коллоидных частиц выше 2-3% могут
возникать разнообразные жидкие и гелевые фазы, и формулу (12.28) уже
нельзя применять вследствие изменений микроструктуры коллоидного рас-
264 -*L- Глава 12. Биореология
твора. У коллоидных растворов высокой плотности при сдвиговых течениях
появляется ряд новых свойств. Свойство псевдопластичности, проявляемое
суспензией эритроцитов, иллюстрирует рис. 12.22. При низких скоростях
сдвига клетки образуют структуры типа «монетных столбиков». При уве-
личении скорости сдвига эти структуры разрушаются, и вязкость раствора
уменьшается. При еще более высоких скоростях клетки образуют нитевидные
структуры, что приводит к дальнейшему уменьшению вязкости, поскольку
скольжение таких регулярных структур друг относительно друга при сдвиге
происходит с малым сопротивлением.
Рис. 12.21. Стационарное течение жидкости вокруг сферической коллоидной
частицы. Течение имеет вихревой характер, и частица вращается
с постоянной угловой скоростью
Рис. 12.22. Нелинейные реологические свойства суспензий эритроцитов и колло-
идных гелей проявляются в псевдопластичности и родственном яв-
лении тиксотропии, обусловленных изменениями микроструктур,
образуемых коллоидными частицами
12.3. Биологические примеры -*\г 265
12.3.5. Жидкокристаллические полимеры
Многие биополимеры, такие как ДНК, целлюлоза, карра-
генин, а-спиральные белки, образуют жидкокристаллические фазы. Та-
кие жидкокристаллические полимеры при сдвиговом течении обладают
большой псевдопластичностью, что
обусловлено наличием и характером
дефектов их структур (раздел 4.3). Вяз-
коупругие свойства таких нематиков
определяются ориентацией директора
по отношению к направлению сдвига
(с учетом хиральности и смектического
параметра порядка, если необходимо).
Нелинейность реологических свойств
нематических жидких кристаллов ил-
люстрирует рис. 12.23. Степень умень-
шения вязкости при сдвиге зависит
от его скорости. Обычно выделяют
три области псевдопластичности: об-
ласть 1 с зависимостью вида ц ~ у-1/2
(тип 1), область 2 — ньютоновское
плато (тип 2) и область 3 — снова сте-
пенная зависимость вязкости от ско-
рости сдвига (тип 3).
Рис. 12.23. Зависимость вязкости
от скорости сдвига часто имеет три
характерные области псевдоплас-
тичности: типа 1, ньютоновское
плато (тип 2) и типа 3 (приведены
данные для производного целлюло-
зы). [Onogi S., Asada Т. In Rheology,
Proceedings of the Eighth International
Congress on Rheology, Naples, Italy,
1980 — Plenum.}
12.3.6. Стеклоподобные материалы
Многие аморфные биоматериалы обладают способностью к
стеклованию (например, резилин на частоте 10 Гц). Такие системы теряют
эргодичность (молекулам доступны не все энергетические уровни). В про-
стейшем случае, стекло образуется при настолько быстром охлаждении, что
увеличение вязкости предотвращает образование кристаллической фазы. К
стеклам биологического происхождения в повседневной жизни относятся
леденцы и различные полимеры в слабо пластифицированных состояниях,
например, крахмал в обезвоженных продуктах.
Стекла разделяют на прочные и непрочные. В структуре прочных стекол,
в отличие от непрочных, ближний порядок сохраняется и выше темпера-
туры стеклования. Стекла обладают характерной зависимостью вязкости от
температуры: изменение вязкости при стекловании достигает 16 порядков
величины (рис. 12.24).
266 -»U- Глава 12. Биореология
12.3.7. Микрофлюидика
В настоящее время бурно развиваются исследования в области
микрофлюидики и микрореологии, в которых рассматриваются масштабные
эффекты в реологии вязкоупругих тел. В частности, к этой области исследо-
ваний относятся такие проблемы, как прохождение эритроцитов по узким
(микронным) капиллярам, когда эффективная вязкость оказывается гораздо
меньше, чем дают расчеты для простого пуазейлевского течения (рис. 12.1а),
взаимодействие ресничек и муцина в легких, движение ДНК по текстури-
рованой поверхности.
Рис. 12.24. Характерная для стекол зависимость вязкости от обратной температуры
(нормированной на температуру стеклования Т). [Angell J. J. Non-Cryst.
Sol., 1988, v. 102, р. 205.]
Дополнительная литература
Larson R.G. The Structure and Rheology of Complex Fluids. — Oxford University
Press, 1999. — Книга для специалистов, в которой рассмотрено большое коли-
чество разнообразных примеров.
Goodwin J.W., Hughes R.W. Rheology for Chemists — Royal Society of Chemisty,
2000. — Очень полезное и простое изложение основ реологии.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
12.1. В суставе с синовиальной жидкостью хрящевые поверхности движутся
друг относительно друга со скоростью 1 см-с-1. Расстояние между поверх-
ностями составляет около 10 мкм. Какова скорость сдвига в синовиальной
жидкости? Чему примерно равно число Пекле для цепей гиалуроновой кис-
лоты в жидкости, если радиус инерции для нее равен 1 мкм, а вязкость ок-
ружающей жидкости 0,001 Па с?
Вопросы и задания -*и- 267
12.2. Самый большой временной масштаб, важный для описания вязкоуп-
ругих свойств карамели (стекловидный сахар) можно оценить по модели
Максвелла. Чему равно время релаксации напряжения, если вязкость равна
1 МПа-c, а модуль упругости 10-3 Па?
12.3. Оцените вязкость разбавленной суспензии эритроцитов, считая, что
клетки друг с другом не взаимодействуют. Вязкость буферного раствора
10-3 Па-с, объемная доля эритроцитов составляет 2%.
ГЛАВА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Для исследований структуры и динамики биомолекул при-
меняется огромное количество разнообразных методов. Здесь мы рассмот-
рим только ту часть методов, которые позволяют исследовать физические
характеристики биологических молекул, а с подробным описанием методов
аналитической биохимии следует ознакомиться по соответствующим спе-
циализированным пособиям. С другой стороны, таких методов, как ЯМР,
террагерцовая, ультрафиолетовая, инфракрасная, массовая и рамановская
спектроскопия мы также касаться не будем, поскольку для сколько-нибудь
удовлетворительного их изложения потребовалось бы слишком много места.
Мы подробно рассмотрим только механическую форму спектроскопии, ис-
пользуемую в реологии, когда образец подвергают механическому воздейс-
твию и изучают изменение его характеристик во времени.
Исторически сложилось так, что для определения структуры биомолекул
используют методы высокого разрешения такие как рассеяние (упругое и не-
упругое — нейтронов, рентгеновских лучей, света) и микроскопия (световая
и электронная). В биофизической литературе существует множество публи-
каций по стандартным методам рассеяния, а методы микроскопии подробно
описаны в общих университетских курсах оптики. Что касается подробно-
го описания процессов рассеяния на биомолекулах, то превзойти Кантора и
Шиммела практически невозможно. Поэтому после краткого введения будут
рассмотрены некоторые современные достижения в этой области, такие как
квазиупругое рассеяние, микрофокусное рассеяние и когерентная дифрак-
ционная микроскопия. Кроме того, рассмотрены и современные методы
исследования: измерение сил, действующих на одну молекулу, осмометрия,
седиментация, трибология, механика твердого тела и электрофорез.
13.1. Статическое рассеяние -*Ъ- 269
13.1. СТАТИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Методы рассеяния, основанные на фундаментальных физи-
ческих явлениях, включают в себя разнообразные экспериментальные под-
ходы и методики. Общая схема эксперимента по рассеянию приведена на
рис. 13.1. Падающее излучение (или частица) после взаимодействия с образ-
цом отклоняется на некоторый угол (6). Перенос импульса (q, выраженный
в единицах волнового числа) при рассеянии обратно пропорционален длине
рассеивающего слоя (d):
2л
d ‘
(13.1)
В частности, для электромагнитного излучения при упругом рассеянии
(энергия сохраняется) перенос импульса можно рассчитать по формуле:
4л .
? = Tsin
[61
Ы’
(13.2)
где X — длина волны. Использование переноса импульса вместо угла рас-
сеяния позволяет легко сравнивать результаты любых экспериментов по
рассеянию (света, рентгеновских лучей, нейтронов и т.д.).
Рис. 13.1. а — Общая схема рассеяния излучения или частиц (рентгеновских
лучей, света, нейтронов, электронов и т.п.), б — Используя простое
геометрическое построение, перенос импульса можно рассчитать по
данной длине волны и углу рассеяния
270 -»lr Глава 13. Экспериментальные методы
Таблица 13.1. Сравнение различных методов рассеяния, применяемых при изу-
чении биологических образцов
Метод Типичная длина волны, нм Значения q9 нмг1 Размеры исследуемой области, нм Факторы контраста Примечания
Малоугловое рассеяние рентгеновских лучей 0,15 0,009- 6,284 1-700 Элект- ронная плотность Возможно повреждение образца в ходе исследования
Малоугловое рассеяние нейтронов 0,4 0,0031- 6,284 1-200 Плотность длин рассеяния В качестве метки можно использовать атомы дейтерия
Рассеяние света 450 0,0003- 0,126 50-2000 Показатель преломле- ния При высоких концентрациях (>2%) возни- кает проблема многократного рассеяния
Рассеяние рентгеновских лучей на большие углы 0,15 6,284- 62,84 0,1-1 Элект- ронная плотность Возможно повреждение образца в ходе исследования
Рассеяние нейтронов на большие углы 0,4 6,284- 62,84 0,1-1 Плотность длин рассеяния Удобно для изучения водородных связей
Рассеяние электронов 0,0037 0,006284- 6,284 1-1000 Элект- ронная плотность Из-за сильного кулоновского взаимодействия необходимо использовать очень тонкие срезы
Виды излучений, обычно используемых в экспериментах по рассеянию
при изучении биоматериалов, приведены в таблице 13.1, в которой указа-
ны также соответствующие длины волн и типичные масштабы исследуемой
области в образце. Для каждого рода излучений требуются специальные де-
текторы и оптические устройства.
Существует ряд новых методик, основанных на использовании когерен-
тного электромагнитного излучения, в частности рентгеновского. Особенно
перспективны два метода: рентгеновское дифракционное формирование изоб-
13.1. Статическое рассеяние 271
ражений (рентгеновская микроскопия) и квазиупругое рассеяние рентгеновских
лучей. С помощью первого метода были получены изображения полностью
апериодической структуры — бактерии, окрашенной марганцем, — с разре-
шением 100 нм, а второй метод позволяет проводить динамические измере-
ния на мягких объектах с беспрецедентным разрешением.
Рис. 13.2. Применение сканирующей рентгеновской микродифракции при ис-
следованиях полукристалличекого анизотропного материала: b — диа-
метр луча, ДР — шаг сканирования, при котором формируются диф-
ракционные картины, позволяющие получать подробную информацию
о молекулярной структуре волокон (см. рис. 4.23)
Дальнейшее совершенствование методов рассеяния когерентного рентге-
новского излучения и нейтронов связано с разработкой эффективных методов
фокусирования излучения. В синхротронных источниках третьего поколения
фокусирование луча возможно до субмикронной толщины, а в лабораторных
микрофокусных источниках его диаметр имеет порядок одного микрона. Такие
лучи можно использовать для сканирования гетерогенных биоматериалов, что
позволяет получать данные о пространственных характеристиках молекулярной
организации материала (рис. 13.2). В новых устройствах для получения лучей
с сечениями порядка микрона используют капилляры, линзы Френеля, зеркала
и даже просто составные линзы (например, чечевицеобразные полости в блоке
из алюминия). Такие методы сканирующей рентгеновской микродифракции
особенно перспективны в исследованиях углеводных и белковых волокон.
272 "'V Глава 13. Экспериментальные методы
В экспериментах по рассеянию рентгеновских лучей и нейтронов исполь-
зуют различные методы контрастирования. В случае рассеяния нейтронов
для этого возможно использование изотопного замещения — замены опре-
деленных атомов водорода у биомолекулы на атомы дейтерия. Такой спо-
соб мечения особенно привлекателен, если требуется определить положение
легких атомов, например, при изучении структуры водородных связей. При
использовании рентгеновских лучей длину волны можно подобрать так,
чтобы она соответствовала границе области поглощения тяжелого атома в
составе исследуемой биологической структуры. Затем, например, методом
аномального малоуглового рассеяния при изменениях контраста можно по-
лучить данные о молекулярной структуре как в кристаллическом, так и в
растворенном состоянии с хорошим разрешением.
13.2. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ
После установления структуры биологического объекта воз-
никает важная задача определения динамики его компонентов, при этом
основная проблема состоит в том, чтобы определить эту динамику, не
внося возмущений в мбрфологию образца. С помощью методов рассея-
ния динамику в мягких биоматериалах можно исследовать количественно,
измеряя время затухания индуцированного излучения (флуоресцентные
методы) или изменения энергии частиц при неупругом или квазиупругом
рассеянии.
Одним из современных методов исследований свойств одиночных моле-
кул является флуоресцентная корреляционная спектроскопия. К биомолеку-
лам, поведение которых хотят исследовать, присоединяют флуоресцентные
метки (существует огромный выбор методов флуоресцентного мечения, а
коммерческие каталоги предлагают множество флуоресцентных меток), флу-
оресценцию которых легко исследовать под микроскопом при освещении
сфокусированным лазерным лучом (рис. 13.3).
Интенсивность излучения флуоресценции (1^1)) пропорциональна кон-
центрации (с(г,/)) флуоресцирующих молекул в исследуемом объеме, кван-
товому выходу флуоресценции (С) и интенсивности возбуждающего излу-
чения (7):
= (г)с (г, 1) d3r (13.3)
где е — коэффициент поглощения данного вида молекул, а интеграл по (Рг
берется по всему исследуемому объему. Информация о динамике молекул со-
держится в флуктуациях интенсивности флуоресценции во времени, которые
непосредственно связаны с флуктуациями концентрации флуоресцирующих
молекул ((8c(r,Z)8c(r',0))):
13.2. Методы динамического рассеяния 273
(8Z/(/)8//(o)) = (eQ)2 f f /(r)/(r')(8c(r,t)8c(r',0)d3rd3r'), (13.4)
где <> означает усреднение по времени, а 5 — малую флуктуацию. Для пос-
тупательной диффузии флуоресцентных меток автокорреляционная функция
интенсивности флуоресценции имеет простую экспоненциальную форму.
Поэтому автокорреляционную функцию интенсивности флуоресценции
можно аппроксимировать экспонентой, после чего легко определить харак-
терное время диффузии метки из рассеивающего свет объема, например, из
куба со стороной Ь, а следовательно, и коэффициент диффузии (D) меченых
молекул (D = 6Ь2т). Таким образом, флуктуации интенсивности флуоресцен-
ции меченых молекул могут быть связаны с их коэффициентом диффузии.
К сожалению, в этих экспериментах по неупругому рассеянию света теряется
информация о переносе импульса (уравнение (13.2)), поэтому для больших
рассеивающих объемов биоматериалов методы квазиупругого рассеяния дают
гораздо больше информации.
Рис. 13.3. Схема эксперимента на основе метода флуоресцентной корреляционной
спектроскопии. Падающий когерентный свет возбуждает флуоресцен-
цию в малом объеме. С помощью коррелятора измеряют флуктуации
интенсивности флуоресценции, которые можно связать с динамикой
биомолекул, несущих флуоресцентные метки
Еще один мощный метод изучения динамики молекул — деполяризация
флуоресценции. Этот метод основан на том, что при освещении образца
лазерным импульсом изменение его поляризации при рассеянии содержит
информацию о движении флуоресцентной метки биомолекулы. Если моле-
кула успевает изменить ориентацию за время излучения флуоресценции (не-
сколько пикосекунд), поляризация флуоресцентного излучения изменяется
относительно поляризации возбуждающего излучения. Этот метод позволяет
274 Глава 13. Экспериментальные методы
изучать сверхбыструю динамику биомолекул, благодаря тому, что стали до-
ступными лазеры с мощными сверхкороткими импульсами (рис. 13.4). Его
реализация стала возможной также потому, что высокий квантовый выход
флуоресцентных меток позволил определять корреляционную функцию на
сверхмалых временных масштабах для одиночных молекул.
Время запаздывания, пс
Рис. 13.4. Результаты экспериментального исследования сверхбыстрой дина-
мики субтилизина типа Карлсберг методом деполяризации флуорес-
ценции при ее возбуждении сверхкоротким лазерным импульсом.
[Воспроизведено с разрешения из Pal S.K., Peon J., Bagchi В., Zewail
A.H. J. Phys.Chem. B, v. 106, p. 12376-12395. — Copyright (2002) American
Chemical Society.}
Существует целый ряд методов квазиупругого рассеяния, основанных на
том, что движение молекул приводит к небольшим изменениям рассеивае-
мого излучения, типичным примером которого является доплеровский сдвиг
частоты. Обычно в экспериментах по квазиупругому рассеянию измеряют
нормированную промежуточную функцию рассеяния F(q,t) (рис. 13.5).
Рис. 13.5. Схема эксперимента по динамическому светорассеянию. С помощью
коррелятора определяют доплеровский сдвиг, обусловленный движени-
ем биомолекул, при облучении образца когерентным светом
13.2. Методы динамического рассеяния -»и- 275
Промежуточная функция рассеяния — удобный общий инструмент ис-
следования, для которого разработана подробная количественная матема-
тическая модель.
В экспериментах по рассеянию когерентного света (которое также назы-
вают квазиупругим рассеянием, корреляционной фотонной спектроскопией
или динамическим светорассеянием) корреляционная функция падающе-
го излучения £,(т) связана с корреляционной функцией рассеянного из-
лучения. Корреляционную функцию в момент времени т, измеренную под
определенным углом, можно выразить через поле рассеянной волны следу-
ющим образом:
(£'(0)£(г)}
gl (т) = —(7)—’ (13'5)
где <> означает усреднение по ансамблю рассеивающих молекул, а I— интен-
сивность излучения, определяемую детектором. Напряженность электрического
поля Е в рассеянной ансамблем диффундирующих частиц волне равна
N
Е==12 AJei9'rj Eoe-i(aot, (13.6)
J=Q
где Eq — амплитуда падающей волны, Aj — амплитуда волны, рассеяннойу-й
частицей, — радиус-вектор j-й частицы, q — величина переноса импульса
при рассеянии, t — время, со0 — частота падающей волны. Суммирование по
/ = проводится по всем рассеивающим частицам. После подстановки
этого выражения в (13.5) корреляционная функция может быть записана
в виде:
g| (т) = . (13 7)
Второй закон Фика (5.19) в трех измерениях имеет вид:
^iH = OV2C(r,Z), (13.8)
где c(r,t) — концентрация молекул в рассеивающем объеме, D — коэффици-
ент поступательной диффузии. Пусть Р(О|г,г) — условная вероятность того,
что частица может оказаться в объеме (Рг в момент времени t. Для низких
концентраций частиц условная вероятность P(O|r,z ) также подчиняется
уравнению диффузии:
= Z)v2P(O|r,/). (13.9)
ot
Это уравнение можно решить, применив преобразование Фурье к обеим
его частям:
276 -’ lr Глава 13. Экспериментальные методы
]eiqr = Df e^^P^r^r . (13.10)
0 0
Из общих свойств преобразования Фурье следует, что образ Фурье и-й
производной некоторой функции равен произведению образа Фурье этой
функции на (-iq)n:
f eiqy^P(y)dy = (-iq? f e'qyP(y)dy. (13.11)
— ОС У —ос
Промежуточная функция рассеивания Fs(q,t) равна Фурье-образу распре-
деления вероятностей Р(О|г,/):
Fs (q,/) = JP(O\r,t)eiqrd3r . (13.12)
о
Это определение и тождество (13.11) позволяют упростить уравнение
(13.10):
= (13.13)
Это простое уравнение с разделяющимися переменными, решение которого
имеет вид:
FJ(q,/) = f;(q,0)e-0’2' (13.14)
при начальном условии Fs(q,Q) = 1. Поэтому корреляционная функция поля
из уравнения (13.7) может быть записана как
g\ (т) = Fs (q,/)е-'“°х = . (13.15)
Корреляционная функция интенсивности (g2(T)) вычисляется для сигнала
рассеянного света, регистрируемого фотоумножителем. Она связана с ^(т)
соотношением
ё2 (т) = 1 + |gi (т)|2 • <1316>
При подстановке (13.15) в (13.16) становится ясно, что диффузионный
процесс приводит к появлению множителя вида ехр(-£)^2т) в функции кор-
реляции для интенсивности g2(x). Типичная корреляционная функция для
поступательной диффузии фибриллярного белка приведена на рис. 13.6.
Вид корреляционной функции ясен из качественных соображений. На
малых временах частицы не успевают куда-либо сместиться, поэтому не
происходит дефазировки рассеянного света (что эквивалентно неизменности
13.2. Методы динамического рассеяния
Л
277
картины рассеяния) и корреляция практически полная, то есть^(т) ~ 1. На
больших временах движение частиц приводит к дефазировке рассеянного
излучения и уменьшению ^(т). Наконец, на очень больших временах фун-
кция корреляции уменьшается до нуля из-за полностью случайного распре-
деления фаз рассеянного излучения.
1.2
1.0
0.8
0.6
ёо
0.4
0.2
0.0
ю" 10“3 1(Г2 10’1 10° 101 102 103 104 105 106 107
Время, мс
Рис. 13.6. Промежуточные функции рассеяния (функции корреляции интен-
сивности g2(T)K полученные при квазиупругом рассеянии света раствором
титина, гигантского белка из скелетных мышц. Подвижность белка умень-
шается при его разворачивании с повышением температуры (7) из-за уве-
личения длины молекулы. [Воспроизведено с разрешения из Di Cola Е.,
Waigh Т.А., Trinick J., et al. Biophysical Journal, v. 88, p. 4095-4106. —
Copyright (2005) Biophysical Society.]
Для исследования динамических процессов методами квазиупругого рас-
сеяния в биоматериалах на мезоскопическом уровне возможно применение
различных видов излучений, среди которых важное место занимают рент-
геновские лучи (временные масштабы 10-7—103 с) и нейтроны (временные
масштабы 0,1-100 нс). Методы динамического рассеяния рентгеновских
лучей сходны с методами квазиупругого рассеяния света, а при рассеянии
нейтронов возможно измерение спинового эхо, позволяющего точно опре-
делить события в процессе рассеяния.
278 -*V- Глава 13. Экспериментальные методы
13.3. ОСМОТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
Явления, связанные с осмотическим давлением, играют важ-
ную роль во многих биологических процессах, таких как регуляция клеточ-
ного метаболизма (мембраны клеток животных разрушаются, если внешнее
осмотическое давление очень высоко или очень мало), влияние молекул рас-
творителя и молекулярного краудинга во внутриклеточной среде на межмо-
лекулярные взаимодействия. Рассмотрим идеальный эксперимент, в котором
полупроницаемая мембрана разделяет два раствора полимеров (рис. 13.7).
Такое устройство представляет собой мембранный осмометр — прибор для
измерения осмотического давления.
а Мембрана b
Рис. 13.7. Разность осмотических давлений двух растворов, а и Ь, к которым
приложены различные внешние давления Ра и Рь, можно измерить
с помощью мембранного осмометра. Осмотическое давление равно
гидростатическому давлению, обусловленному разностью уровней
подъема жидкостей (А) в трубках: п = pgh, где р — плотность жидкости,
g — ускорение свободного падения
Из термодинамики известно, что частная производная от свободной
энергии Гиббса по давлению при постоянной температуре равна объему
системы:
И = у
(13.17)
Для химического потенциала (ji, свободная энергия Гиббса на одну частицу)
одного из компонентов раствора
ЙУ =^1, (13.18)
\ )т
где Vx — парциальный мольный объем этого компонента. В отсеке Ь содер-
жится чистый растворитель, имеющий химический потенциал ц®:
13.3. Осмотическое давление JU 279
(13.19)
В отсеке а на химический потенциал растворителя оказывают влияние два
эффекта: первый обусловлен присутствием растворенного вещества, второй —
приложенным внешним давлением, по которому определяют осмотическое
давление:
= цО- (эффект растворенного вещества) + (эффект внешнего давления) (\3.20)
Эффект растворенного вещества можно учесть с помощью разложения по
концентрации уравнения состояния Ван дер Ваальса:
/})+Л
ц? =р.?-Л7Т^° £ + Вс2+... + f (13.21)
17И I J
p0
где с — концентрация растворенного вещества, не проникающего через мем-
брану, М— его молекулярная масса, а Б — второй вириальный коэффициент.
Из-за несжимаемости жидкости можно считать парциальный мольный объем
растворителя постоянным и равным парциальному объему при давлении,
равном одой атмосфере: К® = , что позволяет оценить последний член
уравнения (13.21). В равновесии химические потенциалы по обе стороны
мембраны равны друг другу (ц? = И* ):
р? = р? - /?7Tj° + Вс2 +...) + Vfn , (13.22)
откуда для осмотического давления получаем:
п = Rt[4y + Bc2 +...]. (13.23)
\М )
Для разбавленных растворов второй вириальный коэффициент очень мал
(5=0), поэтому с хорошей точностью имеем:
п = ^33 = пкТ. (13.24)
М
Осмотическое давление раствора невзаимодействующих частиц прямо
пропорционально числу молекул растворителя n=c/NAM, где NA — число
Авогадро. Поэтому, если известна концентрация растворенного вещества,
можно довольно точно определить его молекулярную массу. Пример зави-
симости осмотического давления от концентрации для раствора белка при-
веден на рис. 13.8.
Осмотическое давление, измеряемое простым осмометром, изображен-
ным на рис. 13.8, равно
л = Agp,
(13.25)
280
—Глава 13. Экспериментальные методы
где h — разность высот подъема жидкости в трубках, g — ускорение свобод-
ного падения, р — плотность жидкости. Таким образом, простое измерение
разности высот подъема жидкости позволяет непосредственно рассчитать
осмотическое давление раствора.
Нативная альдолаза
к 0,2
0,1
гель
Набухший гель
Рис. 13.9. Набухание полимерного геля
тесно связано с осмотическим давлени-
ем, обусловленным полимерной сеткой,
при этом эластичность полимерных
цепей препятствует набуханию
5 10
с, мг/мл
Рис. 13.8. Зависимость осмотического дав-
ления (в расчете на 1 г/мл белка) раствора
глобулярного белка от концентрации. На-
тивная структура альдолазы образуется при
ассоциации нескольких субъединиц, сопро-
вождающейся уменьшением осмотического
давления. [Воспроизведено с разрешения из
Castellino F.J., Baker O.R. Biochemistry, v. 7,
p. 2207-2217. — Copyright (1968) American
Chemical Society.])
Осмотическое давление играет важную роль в определении физическо-
го состояния и морфологии биоматериалов. Например, гель, образованный
полиэлектролитом и помещенный в разбавленный раствор, набухает, уве-
личиваясь в объеме во много раз благодаря давлению, обусловленному про-
тивоионами, связанными с полимерными цепями. Гели полиэлектролитов
могут проявлять значительную упругость при очень малых объемных кон-
центрациях. Так, например, «твердые» желе образуются при концентрации
желатина 2-3% и 97-98% воды. Таким образом, простое макроскопическое
измерение размеров и концентраций гелей является важным способом изу-
чения их молекулярной структуры (рис. 13.9).
Существует целый ряд других методов измерения осмотического дав-
ления, таких, например, как эбуллиоскопические измерения (измерение из-
менения температуры кипения из-за осмотических эффектов) и оптичес-
кий пинцет (прямое измерение сил порядка нескольких пиконьютонов,
действующих на коллоидную частицу).
13.4. Измерение сил 281
13.4. ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ
Для измерения мезоскопических сил разработано множество
методов, основные принципы которых были рассмотрены в главе 2. К более
современным методам относятся атомная силовая микроскопия (АСМ), стек-
лянные волокна, приборы для измерения поверхностных сил (ИПС), маг-
нитный/оптический пинцет. Диапазоны значений сил, измеряемых каждым
из этих методов, приведены на рис. 13.10. В целом, АСМ и ИПС позволяют
измерять самые большие силы, а магнитный и оптический пинцеты обла-
дают наибольшей чувствительностью.
мН
мкН
нН
Измеритель
поверхностных сил
Магнитный
пинцет
Атомный
Оптический ▲
__силовой
микроскоп
пинцет
Стеклянное
волокно
Рис. 13.10. Диапазоны сил, которые можно прикладывать к биомолекулярным
системам с помощью различных методов
Оптический и магнитный пинцеты имеют сходные области примене-
ния. Для фиксации положения коллоидной частицы в трех измерениях под
оптическим микроскопом в них используется механизм обратной связи,
позволяющий измерить прилагаемую к частице силу. Однако эти методы
основаны на совершенно различных физических процессах. В оптическом
пинцете ловушка для диэлектрической частицы создается за счет давления
фотонов в падающем на нее сфокусированном лазерном луче (рис. 13.11).
В магнитном пинцете используется сила, действующая на суперпарамагнит-
ную или ферромагнитную бусинку в градиенте внешнего магнитного поля
(рис. 13.12).
В оптическом пинцете дипольный момент (р), индуцируемый в захвачен-
ной частице, равен
р аЕ, (13.26)
где а — поляризуемость облучаемого материала, Е — напряженность электри-
ческого поля в падающем на частицу лазерном луче. Индукция оптического
282
Глава 13. Экспериментальные методы
дипольного момента у захваченной частицы приводит к возникновению силы
(Flight), пропорциональной лапласиану напряженности или, что эквивалентно,
градиенту интенсивности (V/) падающего на частицу света:
Flight = «V2£ = aVZ . (13.27)
Одиночный хорошо сфокусированный лазерный луч за счет сил, действующих
на оптический дипольный момент и имеющих величину порядка пиконью-
тона, может фиксировать положение диэлектрической частицы (~0,5 мкм)
в пространстве. Для конкретной установки с известными оптическими ха-
рактеристиками частицы и параметрами лазера и микроскопа сила (Flight) при
заданной мощности излучения может быть найдена по формуле:
Flight =^, (13-28)
где Q — эффективность ловушки, пт — показатель преломления частицы,
с — скорость света, Р — мощность излучения лазера. Для растяжения одиноч-
ной молекулы, к обоим концам которой присоединены коллоидные частицы,
можно использовать двойной лазерный пинцет. В таких экспериментах для
предотвращения разрушения биомолекул важен правильный выбор лазера.
Для уменьшения риска разрушения особо непрочных молекул часто исполь-
зуют инфракрасные лазеры.
Диэлектрическая сфера
Изменение импульса
к Падающий
Прошедший
Рис. 13.11. Для создания ловушки для диэлектрической сферы можно использовать
сфокусированный лазерный луч. Перенос импульса, возникающий
из-за изменения направления преломленного луча, приводит к воз-
никновению силы, действующей на сферу
В отличие от оптического пинцета, в магнитном пинцете потенциальная
энергия (U) магнитного диполя (ш) в магнитном поле (В) определяется ска-
лярным произведением:
U = -m В
(13.29)
13.4. Измерение сил -*и- 283
Поэтому на постоянный магнитный диполь в магнитном поле действует
момент сил, приводящий к его ориентации по полю, поскольку при этом
потенциальная энергия принимает минимальное значение. Магнитные силы,
действующие на магнитную частицу, существенно зависят от ее магнитных
свойств. В магнитных пинцетах обычно используют ферромагнитные или
суперпарамагнитные коллоидные частицы. Магнитная сила (Fmag), действу-
ющая на такую частицу, равна градиенту потенциальной энергии (-V17):
Fmag = -V(mB). (13.30)
Парамагнитная
частица
в состоянии
насыщения
Измерительная ячейка
Цепь ДНК
_ . „ . Постоянное поле
Буфер Полюс магнита Градиентное поле
Рис. 13.12. Двухполюсный магнитный пинцет, используемый для экспериментов
по растяжению одиночных биомолекул. Многополюсный пинцет поз-
воляет манипулировать частицей в трех измерениях
Для суперпарамагнитной сферы намагничивание примерно равно намаг-
ничиванию насыщения, то есть т Afmax , поэтому, считая градиент маг-
нитного поля направленным по оси Ох, получаем:
F ХМ V —
mag Jrimaxr >
(13.31)
где V — объем частицы. С помощью суперпарамагнитых частиц в градиенте
магнитного поля можно создавать силы порядка 100 пН. Момент сил, дей-
ствующий на большие (4 мкм) ферромагнитные частицы, может достигать
больших величин (-1000 пН-мкм), что находит применение в магнитной
цитометрии при измерении упругих свойств клеток, пришитых к ферромаг-
нитным шарикам.
На частицу, захваченную оптическим или магнитным пинцетом и пе-
ремещаемую в растворителе со скоростью v, действует сила сопротивления
(/jrag), определяемая уравнением Стокса:
^drag = блцаг • (13.32)
Это уравнение позволяет провести калибровку как оптического, так и
магнитного пинцета. С этой целью коллоидную частицу удерживают непод-
284 —' v- Глава 13. Экспериментальные методы
вижно в растворителе, обтекающем ее с постоянной скоростью в проточной
кювете. При достижении некоторой критической скорости частица выры-
вается из ловушки, что позволяет рассчитать по уравнению (13.32) силу,
развиваемую пинцетом.
Более точный метод калибровки пинцетов основан на анализе тепловых
флуктуаций захваченной частицы на основе уравнения Ланжевена:
w^ = FthermaIW-yv-KX. (13.33)
Это уравнение — просто второй закон Ньютона: инертная сила (mdv/dt) равна
сумме термосилы /\hermal(0, силы сопротивления yv и упругой силы ловушки
(для которой вводится эффективная жесткость к), пропорциональной сме-
щению (а) частицы. Для того, чтобы решить это уравнение, предполагают,
что термосила является полностью случайной величиной, что математически
выражается следующим образом:
thermal Chennai (' ~ *)) = 2*ГУ8(т) , (13.34)
где 5(/) — дельта-функция Дирака, кТ — тепловая энергия, у — коэффициент
трения.
Частота, Гц
Рис. 13.13. Спектральная плотность мощности (<r2(/)>=5v(co)) флуктуаций частицы
в ловушке лазерного пинцета. [Воспроизведено с разрешения из Svo-
boda К., Block S.M. Ann. Rev. Biophys. Biomol. Struct., v. 23, p. 247-285. —
Copyright (1994) Annual Reviews.}
При малых числах Рейнольдса, которые реализуются в большинстве ти-
пичных экспериментов с оптическими или магнитными пинцетами в низ-
кочастотном диапазоне, можно пренебречь левой частью в (13.33), что су-
щественно упрощает задачу.
13.4. Измерение сил -»\г 285
Применив преобразование Лапласа к уравнению Ланжевена (13.33), по-
лучим выражение для спектра мощности (5х(ю), раздел 5.2) тепловых флук-
туаций частицы:
5х(со) =
кТ_
Д2у((О2 - СО2) ’
(13.35)
где кТ — тепловая энергия, у — коэффициент трения, сос — предельная
частота, со — частота.
Спектр мощности тепловых флуктуаций частицы в ловушке легко полу-
чить экспериментально, применив быстрое преобразование Фурье к квад-
ратам смещений частицы (рис. 13.13). После этого, вычислив предельную
частоту <вс по уравнению (13.35), можно определить эффективный коэффи-
циент жесткости к ловушки по формуле:
к
2тгу
(13.36)
Метод атомной силовой микроскопии (АСМ) позволяет измерить силу,
возникающую между иглой кантилевера и практически любой поверхностью
(рис. 13.14).
Рис. 13.14. Схема эксперимента с использованием АСМ для изучения поверхности
биологического материала. Лазерный луч отражается от задней поверх-
ности кантилевера и попадает на фотодиодную матрицу, позволяющую
определять его положение. С помощью пьезоэлектрического привода
игла кантилевера сканирует поверхность образца, что позволяет полу-
чать ее трехмерные изображения.
Особенностью метода АСМ является то, что с его помощью можно полу-
чить изображение поверхности. В типичном АСМ пирамидально заостренная
игла укреплена на кантилевере, который играет роль пружины с коэффици-
ентом жесткости —0,1 Н-м-1. Пьезоэлектрический привод может перемещать
286 -*Ъ- Глава 13. Экспериментальные методы
кантилевер в вертикальном направлении, при этом смещение определяется
по отраженному от кантилевера лазерному лучу, падающему на двойной фо-
тодиод. Для контроля кантилевера, например, для поддержания приложенной
к нему силы постоянной, используется несколько цепей обратных связей.
Более подробно устройство АСМ приведено на рис. 13.15.
Компьютер
Рис. 13.15. Схема устройства атомного силового микроскопа. Для установления
постоянного значения силы, приложенной к кантилеверу, используют
цепи обратной связи. [YangJ, Татт L.K., Somlyo А.Р., Shao Z. Journal
of Microscopy, 1993, v. 171, p. 183-198.]
ACM позволяет не только прикладывать к образцу гораздо большие силы,
чем оптический или магнитный пинцеты, но и получать изображения по-
верхности (рис. 13.16).
Однако для АСМ гораздо труднее построить модель вязкоупругого по-
ведения материала вблизи поверхности из-за гидродинамических эффектов
смазки и, кроме того геометрия кантилевера приводит к уменьшению чувс-
твительности АСМ по сравнению с оптическим/магнитным пинцетом, что
существенно при изучении свойств одиночных молекул. Поскольку мягкие
поверхности могут быть повреждены при контакте с иглой кантилевера в
процессе получения изображения, были разработаны чувствительные системы
обратной связи, позволяющие работать в так называемом «бесконтактном
режиме». В общем случае амплитуда смещения кантилевера под действием
силы со стороны исследуемой поверхности определяется уравнением
13.4. Измерение сил -•ъ- 287
F К cantilever *
(13.37)
где Дх — смещение иглы, Kcantilever — жесткость кантилевера. Типичное
значение Kcantilever составляет 10-3 Нм-1, а типичный радиус кривизны иглы
ЗЮ-8 м.
Рис. 13.16. Изображения, полученные с помощью АСМ: а, б — кольцевые мо-
лекулы ДНК; в, г — амилоидные волокна. {Neil Thomson, University of
Leeds, 2005.]
Устройства для измерения поверхностных сил (ИПС) предназначены для
измерения сил взаимодействия между макроскопическими поверхностями.
Метод основан на измерении расстояния между скрещенными цилиндрами,
покрытыми молекулярно гладкими слоями слюды, в зависимости от при-
ложенной к ним силы (рис. 13.17). Расстояние между поверхностями изме-
ряется интерферометрически с точностью 0,1 нм, а цилиндры сближаются
с помощью пьезоэлектрического привода, позволяющего измерять силы
с разрешением до 10-8 Н. Большой объем наиболее точной и важной инфор-
мации о величинах мезоскопических сил получен именно этим методом.
Для ряда методов измерения сил, включая АСМ, стекловолокно и опти-
ческий пинцет, важнейшей частью установки является детектор на основе
288 -*Ъ- Глава 13. Экспериментальные методы
спаренного фотодиода. Такой детектор позволяет быстро и точно измерять
изменения интенсивности света. С помощью дифференциального метода
измерения он может обеспечить разрешение на уровне менее одного нано-
метра в интервале времен 100 мкс-100 с. Среднее значение фототока (<z>),
создаваемого одной из секций спаренного фотодиода, в момент времени t
равно
оо
(/) = nJ g(t)dt = nze,
о
где g(Z) — фототок в момент времени t, равный
(13.38)
^W = ^exP
то
(13.39)
Свет, поступающий
Белый свет
Рис. 13.17. Схема установки для измерения поверхностных сил между макроско-
пическими поверхностями. Расстояние между двумя слюдяными ци-
линдрическими поверхностями определяется с помощью интерферо-
метра, а сила измеряется с помощью точно откалиброванной пружины.
[Israelachvili J.N. Chemtracts-Analy. Phys. Chem, 1989, v. 1, p. 1-12.])
13.5. Электрофорез —’V 289
где z — полное число элементарных зарядов, переносимых при поглоще-
нии детектором одного фотона, е — элементарный заряд, т0 — постоянная
времени детектора, и — полное число поглощенных фотонов. Положение
зонда (например, кантилевера в АСМ или коллоидной частицы в оптическом
пинцете) определяется по разности фототоков (Az) двух фотодиодов. Точность
определения положения зонда зависит от случайных помех (со стандартным
отклонением ох(/), где f — частота) и характеристик конкретного устройства
и может быть определена по формуле
7 d2
^ЛЛ = ^-п. (13.40)
Таким образом, разрешающая способность спаренного фотодиода зависит от
полного числа поглощенных фотонов (п), поглощающей способности детек-
тора (q) и геометрической ширины детектора (J). Разрешающая способность
не зависит от величины элементарного заряда, коэффициента усиления (z)
и увеличения.
13.5. ЭЛЕКТРОФОРЕЗ
Электрофорез — дешевый, но эффективный метод анализа
и разделения заряженных биологических молекул, таких как белки и нук-
леиновые кислоты. Электрофорез можно использовать для измерения раз-
меров молекул, а также для умозаключений по поводу последовательности
звеньев в полимерной цепи.
Сила, действующая на частицу в электрическом поле, определяется за-
коном Кулона:
F = ZeE, (13.41)
где Z — число элементарных зарядов на частице, е — элементарный заряд.
Подвижность заряженной частицы в электрическом поле пропорциональна
отношению полного заряда частицы (обеспечивающего кулоновское взаимо-
действие) к коэффициенту трения (/). Электрофорез дает информацию либо
об относительных размерах молекулы, либо о ее относительном заряде. При
стационарном электрофоретическом движении сила сопротивления, равная
произведению коэффициента трения (/) на скорость движения (v), равна силе,
действующей на частицу со стороны электрического поля. Электрофорети-
ческая подвижность (U) коллоидной частицы определяется соотношением:
290 -*V- Глава 13. Экспериментальные методы
С учетом закона Стокса это уравнение можно переписать в виде:
и =
Ze
бтгрЛ'
(13.43)
Таким образом, электрофоретическая подвижность, измеряемая экспери-
ментально, может быть связана с зарядом частицы (Z) и ее радиусом (Л).
Простейшим способом измерения электрофоретической подвижнос-
ти коллоидной частицы является метод подвижной границы, или свободный
электрофорез (рис. 13.18). В этом методе электрофоретическая подвижность
измеряется непосредственно при наблюдении за движением частиц под мик-
роскопом. К недостаткам этого метода относится возможность артефактов,
обусловленных конвекцией и взаимодействиями частиц в многокомпонен-
тных растворах. Эти проблемы в современных аппаратах решаются за счет
применения гелей или ионообменных бумаг.
Положительный
электрод
Рис. 13.18. Устройство прибора для определения электрофоретической по-
движности методом подвижной границы, или свободного электро-
фореза. Движение коллоидных частиц под действием электрического
поля определяется с помощью светового микроскопа
Заряд молекулы белка зависит от pH раствора (раздел 1.1). Измеряя элек-
трофоретическую подвижность в зависимости от pH можно определить изо-
электрическую точку макромолекулы, то есть такое значение pH, при ко-
тором средний заряд на макромолекуле равен нулю. Изоэлектрическая фо-
кусировка (в среде с изменяющимся pH электрофоретическая подвижность
падает до нуля при pH равном изоэлектрической точке) позволяет получать
количественную информацию о заряженных макромолекулах с помощью
простых настольных приборов.
Стандартной методикой исследования ДНК является гель-электрофорез
(рис. 13.19). Использование геля ликвидирует проблему конвекции, при-
сущую электрофорезу со свободной границей. К гелю прикладывают по-
стоянную разность потенциалов, а аликвоту ДНК помещают на гель вблизи
13.5. Электрофорез -•Ъ- 291
отрицательного электрода. Эксперимент длится определенное время, пос-
ле чего определяют подвижность цепей ДНК (среднюю скорость движения
в условиях эксперимента), по которой легко определить размер цепи. Уди-
вительно, но для определения молекулярной массы ДНК по характеру ее
движения в геле не требуется под-
робная информация о сложной то-
пологической структуре геля.
Для визуализации молекулы
ДНК в геле после электрофореза
и определения пройденного ею
расстояния обычно используют
два метода. Можно использовать
бромистый этидий, который свя-
зывается с цепями ДНК и при ос-
вещении ультрафиолетом сильно
флуоресцирует. Сходным образом,
Рис. 13.19. Схема простой установки для
проведения гель-электрофореза для опре-
деления подвижности ионов полиэлектро-
литов, например, ДНК
в качестве метки можно исполь-
зовать радиоактивный фосфор,
который вызовет почернение фо-
топленки в том месте, где он вклю-
чен в цепь ДНК.
В качестве примера использования электрофореза может служить раз-
деление кольцевой сверхспирализованной и релаксированной (линейной)
ДНК. Сверхспирализованная ДНК обладает компактной структурой и го-
раздо большей электрофоретической подвижностью, поскольку для нее ко-
эффициент трения существенно меньше, чем для развернутой формы той
же молекулы.
Для секвенирования ДНК можно использовать ферменты-рестриктазы.
Один из этих ферментов разрезает цепь ДНК во всех местах, где встречается
последовательность GAATTC. Если в молекуле имеется п таких участков, то
при электрофорезе образуется п+1 полоса. Для разрезания молекулы ДНК
в других местах используют другие ферменты. С помощью такого подхода
можно определять последовательности нуклеотидов в цепях ДНК длиной
до 400 пар оснований.
Для секвенирования ДНК используют ферменты-рестриктазы. Эти
ферменты разрезают цепь ДНК во всех местах, где встречается последова-
тельность GAATTC. Если в молекуле имеется п таких участков, то при элек-
трофорезе образуется п+1 полоса. Для разрезания молекулы ДНК в других
местах используют другие ферменты, которые позволяют определять после-
довательности оснований в цепях ДНК длиной до 400 пар оснований.
292 Глава 13. Экспериментальные методы
Эффективным методом разделения заряженных молекул при гель-элекг-
рофорезе является изоэлектрическая фокусировка, если при этом возможно
вырезать из геля участки с индивидуальными полосами.
Электрическое поле (Е)
Синтетические
полимерные цепи
Цепи ДНК
Поперечные сшивки
Рис. 13.20. Электрофорез фрагментов ДНК в геле с поперечными сшивками: вы-
нужденная рептация, при которой более короткие цепи движутся
быстрее длинных
Для объяснения различной подвижности молекул ДНК при гель-электро-
форезе в зависимости от их длины используют теорию рептаций (рис. 13.20,
раздел 8.5). Компоненты электрических сил, перпендикулярные оси элект-
рофоретической трубки, взаимно компенсируются, а продольные силы вы-
зывают электрофоретическое движение цепи ДНК вдоль трубки (вынуж-
денная рептация).
-еЕ
Сильное поле
а
Рис. 13.21. Схематическое изображение различий в конформациях заряженных
макромолекул при гель-электрофорезе: а — в сильном электрическом
поле цепи полностью растянуты и электрофоретическая подвижность
не зависит от молекулярной массы; б — в слабом поле цепи имеют
гауссовскую конформацию и различаются по подвижности. Электро-
статическая сила, действующая на отрезок цепи с зарядом е, равна еЕ.
В пределе очень сильных электрических полей передний конец ДНК по
мере продвижения вперед создает новые части трубки (рис. 13.21, а). Растя-
гивающая сила пропорциональна числу мономеров (7V), поскольку полный
13.5. Электрофорез
Л-
293
заряд цепи также пропорционален числу мономеров. С другой стороны, ко-
эффициент трения (//) также пропорционален N (поскольку для рептаций
ц ос N ). Поэтому в сильном электрическом поле скорость движения v не
зависит от N (v=f/n), и электрофорез в сильном поле не пригоден для раз-
деления фрагментов ДНК.
Однако электрофорез в слабом поле (рис. 13.21, б) для этой цели вполне
пригоден, поскольку молекулы ДНК остаются гауссовскими клубками.
Сила, с которой электрическое поле действует на молекулы ДНК пропор-
циональна смещению цепи параллельно электрическому полю пос-
кольку только движенние сегментов цепи параллельно полю не ограничено
поперечными сшивками геля. Скорость рептации (vr) равна
1
f N 2 --
^ = ц ^N~^N2’ (13-44)
где N— число мономеров в цепи. Скорость центра масс (v) в раз меньше
скорости рептации, поэтому в слабом поле скорость центра масс при репта-
циях обратно пропорциональна длине цепи (у-1/N). Таким образом, элект-
рофорез в слабом поле представляет собой практический метод разделения
цепей ДНК. Более точные расчеты дают для скорости фрагмента ДНК
(13.45)
где Е — вектор электрического поля, q — ли-
нейная плотность заряда ДНК, N — число
куновских сегментов в цепи ДНК, L — длина
куновского сегмента, т] — вязкость среды,
w — константа, имеющая порядок единицы.
Таким образом, этот метод малопригоден для
разделения длинных цепей ДНК (рис. 13.22),
что представляет собой трудную задачу, если,
например, требуется секвенировать фрагмен-
ты геномной ДНК, имеющие длину порядка
одного микрона.
Для повышения чувствительности электро-
фореза при разделении длинных фрагментов
ДНК применяют такие ухищрения, как пери-
Число мономеров, N
Рис. 13.22. Зависимость под-
вижности (v) фрагментов ДНК
при гель-электрофорезе от
числа звеньев в цепи (N) ста-
новится более слабой по мере
роста длины цепей
одические выключения поля или изменение
его направления на 90° через типичные времена обновления трубки рептации
(т* ~ 7V3, раздел 8.5). В этом случае электрофоретической подвижностью об-
ладают только цепи длиной 7V, определяемой периодичностью переключений
294 Д,
Глава 13. Экспериментальные методы
поля. Этот метод импульсного электрофореза с большим успехом использу-
ется для разделения более длинных цепей.
Полимеразная цепная реакция (ПЦР) — биохимический метод ампли-
фикации (увеличения количества копий) коротких (до 10000 пар основа-
ний) фрагментов нуклеиновых кислот. Она часто используется совместно
с электрофорезом в процессе генетической идентификации. Из одиночной
молекулы ДНК с помощью ПЦР можно получить достаточное для электро-
фореза количество ее копий.
Рис 13.23. Типичные данные, полученные методом капиллярного электрофореза
для двух образцов коротких двуцепочечных фрагментов ДНК:
(1) - АААТТАТАТТАТ/АТААТАТААТТТ, (2) - GGGCCGCGCCGC/
GCGCCGCGGCCC. Первый образец движется по капилляру быстрее
второго. {Hamden I.I., Skellem G.G., Waigh R.D. Journal of Chromatography,
A, v 806(1), p. 165-168, 1998]
Для определения молекулярной массы белков можно использовать элект-
рофорез в додецилсульфате (SDS) натрия (SDS-электрофорез). SDS — поверх-
ностно-активное вещество, вызывающее денатурацию белков. Он связывается
со всеми белками количественно одинаково и приводит к разворачиванию
белковых молекул. Кажущаяся электрофоретическая подвижность (w(c)) де-
натурированного белка в присутствии SDS при заданной концентрации геля
(с) определяется эмпирическим соотношением
1пи (с) = — кхс + 1пм (0), (13.46)
где кх зависит от степени сшитости геля, а м(0) — константа для данного
белка. Подвижность (м(0)) связана с молекулярной массой белка простым
соотношением:
и (0) = b — a logM ,
(13.47)
13.5. Электрофорез -*lr 295
где а и b — стандартные константы. Поэтому молекулярную массу денату-
рированного белка можно рассчитать по измерениям его подвижности при
нескольких концентрациях геля.
Рис. 13.24. Структура поверхности микрочипа, используемого для электрофореза.
Электрическое поле вызывает движение молекул ДНК сверху вниз.
Из-за анизотропной ориентации микропрепятствий вероятность
перемещения молекул направо (7й) больше вероятности переме-
щения налево (Р“), причем эти вероятности зависят от размеров
цепей. [Chou C.F., Austin R.H., Bakajin О. et al. Electrophoresis, 2000,
v. 21, p. 81-90.]
В современных методах электрофореза получили развитие новые подходы.
Проблема конвекции, характерная для электрофореза со свободной грани-
цей, была решена за счет использования очень тонких капилляров вместо
трубок в методе капиллярного электрофореза — очень удобного метода мик-
роанализа (рис 13.23). Эффекты конвекции в жидких системах зависят от
безразмерного числа Рэлея, определяемого формулой:
= (13.48)
ЦОС (Дг)
где R — радиус канала, g — ускорение свободного падения, ц — вязкость,
а — коэффициент температуропроводности среды, (Др/Дг) — градиент плот-
ности, обусловленный изменением температуры. При малых числах Рэлея
(Ra < 1), соответствующих малым диаметрам электрофоретической трубки,
конвекция не возникает, поэтому в методе капиллярного электрофореза
обычно используют капилляры с внутренним диаметром порядка нескольких
микрометров.
Для электрофореза можно использовать также структуры, полученные
травлением на кремниевых поверхностях (чипах). Кремниевые микрочипы
обладают рядом преимуществ перед обычным гель-электрофорезом: возмож-
296 -*Ь- Глава 13. Экспериментальные методы
ность использования меньших количеств исследуемого материала, лучшая
определенность микроструктуры среды, в которой проходит электрофорез,
чем в случае с гелем, и, следовательно, возможность более точного учета
явлений микрофлюидики (рис. 13.24).
13.6. СЕДИМЕНТАЦИЯ
Седиментация — один из важнейших методов выделения био-
молекул определенного типа из сложной смеси, получаемой при разрушении
клетки, что обычно является первым шагом большинства экспериментов в
молекулярной биофизике. Разделение биомолекул при этом осуществляется
под действием внешней силы и обусловлено их разной плавучестью в том
или ином растворе. В аналитической центрифуге внешняя сила обусловлена
центробежным ускорением, а разделение биомолекул зависит от их плот-
ности и формы (рис. 13.25).
Ось вращения
,<о
Раствор
Макромолекула
Рис. 13.25. Схема эксперимента по седиментации. Образец вращается вокруг не-
которой оси с угловой скоростью о, и расстояние от макромолекул
определенного типа до оси вращения зависит от их плотности (отно-
сительно растворителя)
Из простейшей ньютоновской механики следует, что радиальная сила (f),
действующая на взвешенную частицу при круговом движении в центрифу-
ге, равна
F = т со2г, (13.49)
где т* — эффективная масса, со — угловая скорость, г — расстояние от
оси вращения. Величина эффективной массы определяется в соответствии
с законом Архимеда:
т = т(1 — vp0), (13.50)
где т — масса молекулы, v — парциальный удельный объем молекулы,
р0 — плотность растворителя. Скорость движения частицы под действием
центростремительной силы можно определить по уравнению (13.49) с учетом
сил сопротивления:
13.6. Седиментация —'!/ 297
dr
dt
* 2
= m co
r
Tn?’
(13.51)
где f — коэффициент трения, ц0 — вязкость раствора. Зависимость скорости
седиментации от размеров и плотности частиц является основой метода
разделения частиц с помощью седиментации. При приложении к раствору
поля центробежных сил между растворителем и растворенным веществом об-
разуется движущаяся граница. Эта граница движется вниз по центрифужной
пробирке со скоростью, определяемой скоростью седиментации макромо-
лекул. Градиент концентрации на такой границе можно точно измерить по
поглощению ультрафиолета (рис. 13.26), что позволяет определить положение
границы и вычислить скорость седиментации.
Дифракционная решетка
Детектор (опорный)
*
Отражатель
Ротор
Центрифужная пробирка
Ксеноновая лампа
Система радиального
сканирования
Щель
Фотоумножитель
Рис. 13.26. Схема устройства современной аналитической центрифуги. Для опре-
деления концентрации частиц используется поглощение ультрафиоле-
тового света от ксеноновой лампы
Скорость седиментации равна скорости смещения границы:
drb 2
dt ~ГЬ& S’
(13.52)
где s коэффициент седиментации, равный отношению скорости седиментации
к центробежной силе (со2^) в месте нахождения границы (гь). Интегрирование
этого уравнения дает зависимость положения границы от времени:
{'ь Ио Л
(13.53)
298
Глава 13. Экспериментальные методы
где t0 — время начала регистрации положения границы rb(t^. По мере про-
движения границы вниз, она размывается за счет диффузии (рис. 13.27). По
уравнению (13.53) можно определить коэффициент седиментации, который
зависит от размеров, формы, степени гидратации макромолекулы. К счастью,
для глобулярных белков, благодаря их сферической форме, существует простое
соотношение между молекулярной массой и коэффициентом седиментации.
Рис. 13.27. Схематическое изображение профилей концентрации в подвижной
границе в ходе седиментации в два момента времени (^ и /2). Граница
движется в направлении от мениска ко дну пробирки
В экспериментах по седиментации можно использовать также явление
фокусировки при седиментации частиц в градиенте плотности какой-либо
тяжелой соли, например, хлорида (CsCl) или сульфата цезия (Cs2SO4). Час-
тицы собираются в узкой полосе, соответствующей нулевой плавучести(при
плотности раствора, равной плотности частиц). Расчет профиля концент-
рации в седиментационном эксперименте представляет собой элегантную
иллюстрацию предсказательной способности равновесной статистической
механики.
Работа по подъему частицы (£(г)-£(г0)) с расстояния г0 до расстояния г в
поле центробежных сил равна работе против этих сил:
£ (г) - £ (г0) = - J* т'г(£>2dr = т'<£>2 0 —- , (13.54)
г0
где т' — эффективная масса частицы с учетом плотности растворителя. В
тепловом равновесии распределение концентраций подчиняется распреде-
лению Больцмана (е~Е^кТ), поэтому:
13.7. Реология -J\, 299
с (И
С (г0)
= ехр -т'а>2
2кТ
(13.55)
Вблизи радиуса вращения конкретной полосы плотность можно разложить
в ряд Тэйлора:
P(r) = P(rft) + ^r
(13.56)
Подстановка этого разложения в (13.50) позволяет переписать (13.55)
в виде:
с(г) 2- ,/ ЛГ-Г/,)
7^) _ ехр vp'(r4)^A.
(13.57)
где р'(гй) — градиент плотности, определяемый соотношением:
№) =
др
дг
(13.58)
а т — истинная масса частицы. Поэтому профиль концентрации на рассто-
янии гь от оси вращения, где концентрируются частицы (образуя полосу),
должен представлять собой распределение Гаусса со стандартным отклоне-
нием ог, равным
кТ
ог =-------------г. (13.59)
|/ш-йсо2ур'(г*)р
В сильных полях центробежных сил (туо2) и пре резком градиенте плот-
ности (при больших р' (гь)) частицы образуют узкую и четко определенную
полосу: частицы большой массы (/л) хорошо фокусируются в градиенте
плотности.
13.7. РЕОЛОГИЯ
Все реальные биоматериалы обладают свойствами промежу-
точными между свойствами идеализированных жидкостей и твердых тел
(глава 12). Реология занимается изучением этих вязкоупругих свойств, а для
измерения реологических характеристик материалов используют различные
реометры.
Существуют два класса методов определения вязкоупругих свойств ма-
териалов. Во-первых, это методы определения реакции макроскопичес-
кого тела на приложенные извне механические напряжения или обуслов-
ленные ими деформации. Такие макроскопические методы традиционно
используются при изучении вязкоупругих свойств биоматериалов. Во-
300 -*V- Глава 13. Экспериментальные методы
вторых, это исследования вязкоупругих свойств образцов в зависимости
от масштабов длин с помощью методов микрореологии. В этом случае
в исследуемую систему вносят пробные частицы — зонды, которые могут
быть пассивными (например, маркерные коллоиды) или активными (на-
пример, магнитные коллоиды). Движение пробных частиц регистрируют
либо с помощью видеокамеры, либо с помощью методов светорассеяния
и по спектрам смещений частиц определяют вязкоупругие свойства ок-
ружающей их среды.
Скользящие
плоскости
Параллельные
диски
Сдвиговые течения
Течение сквозь щель
Течения под давлением
Коаксиальное кольцевое течение
Рис. 13.28. Схематическое изображение геометрий течений, обычно встречающихся
в реологических экспериментах. Все приборы делятся на две группы:
сдвиговые (ротационные и т.п.) реометры, в которых различные по-
верхности движутся друг относительно друга в жидкости, и реометры
течения, в которых жидкость продавливается через канал с опреде-
ленной геометрией. [Воспроизведено с разрешения из Macosko C.W.
Rheology, Principles, Measurements and Applications. — Copyright (1994)
Wiley-VCH.]
В макроскопических реологических измерениях используют различные
геометрии эксперимента, позволяющие оптимизировать различные аспекты
этого метода: способ введения зонда, временной интервал измерений, чувс-
твительность (рис. 13.28). Различные по устройству реометры требуют раз-
личных методов коррекции результатов измерений зависимости деформаций
от напряжений. Чувствительность измерений существенно зависит от того,
как вводится образец, какие используются датчики сил и смещений. Такие
13.7. Реология JU 301
реометры позволяют исследовать крупномасштабные вязкоупругие свойства
большого числа биомолекул. Реометры могут работать в линейном (глава 12)
и нелинейном режимах. Для нелинейных режимов характерны большие де-
формации и скорости деформации, которым соответствуют большие числа
Деборы и Пекле.
Крутящий момент
Анализ данных
Термостатированный
сосуд
Команда
управления
положением
► Компьютер
Мотор
Команда Вода
управления т атчик
положением
Мотор
Электромагнитное
сцепление
Т хометр Сигнал
]->скорости
Команду
управления
^скоростью
Редуктор
Рис. 13.29. Схема современного сдвигового реометра. [Bohlin L. In: Progress in Trends
in Rheology, II. — Eds H. Gieseku and M.F. Hibberd, Steinkopf, 1988, p. 151.]
В другом типе реометров измеряют зависимость сил, действующих на дви-
жущиеся поверхности, от относительной скорости их движения. В реометре
Куэтта используются два концентрических цилиндра, при этом внешний ци-
линдр вращается с постоянной скоростью и измеряется крутящий момент,
действующий на внутренний цилиндр. В таком реометре с управляемым
механическим напряжением измеряемой величиной является момент сил. В
реометре Куэтта для этого использовались крутильные весы, а в современных
реометрах применяют специальные электронные устройства (рис. 13.29).
В более сложных современных ротационных реометрах измеряется
нормальное напряжение (напряжение нормальное к направлению сдвига).
Найти стационарные условия для нормальных напряжений — серьезная экс-
периментальная задача, поскольку они сильно зависят от флуктуаций тем-
302 -’L- Глава 13. Экспериментальные методы
пературы и положения оси вращения. Поэтому реометры должны изготав-
ливаться с очень высокой точностью. Для серийных реометров не редкость
точность обработки 2 мкм для цилиндра диаметром 25 мм. В ротационных
реометрах стандартными стали также точные методы измерений крутящего
момента, строгий контроль над температурой, давлением и влажностью, без
чего невозможны реологические исследования биологических материалов
с требуемой точностью.
в
Рис. 13.30. Методы измерения модуля сдвига: а — скорость сдвиговой волны; б—ре-
зонансные; в — вынужденные колебания. [Воспроизведено с разрешения
из: Macosoko С. W. Rheology, Principles, Measurements and Applications. —
Copyright (1994) Wiley-VCH.]
Чаще всего измеряют комплексный модуль сдвига б*(<о) (раздел 12.2), при
этом используют три стандартных подхода: метод распространения сдвиговой
волны, в котором определяется время распространения импульсного возму-
щения по образцу, метод акустического резонанса, при котором исследуется
поведение образца только на резонансной частоте, и метод вынужденных
колебаний, при котором определяется реакция материала на гармонические
изменения напряжения или деформации (рис. 13.30). Последний метод бо-
13.7. Реология J\, зоз
лее всего пригоден для изучения материалов с низкой упругостью, таких как
растворы полимеров и мягкие биоматериалы.
Реометры течения разделяются на два основных типа устройств. В од-
ном измеряется скорость течения при заданном давлении (например, в ка-
пиллярных реометрах), в другом измеряется перепад давлений при задан-
ной скорости течения. Такие геометрии течений имеют прямые аналогии с
движениями жидкостей в биологических системах циркуляции (например,
крови), что мотивирует использование соответствующих устройств.
В последнее время в микрореологии был развит ряд новых подходов. Час-
то биологические образцы, гомогенные макроскопически, не гомогенны в
микронных масштабах (например, внутри клетки), поэтому были разработаны
микрореологические методы для исследования таких систем. Диапазоны частот
и значений модулей, получаемых с помощью различных методов микрореологии
приведены на рис. 13.31. Так, например, диапазон исследуемых частот можно
увеличить на несколько порядков величины при использовании методов мик-
рореологии вместо макроскопических реологических методов.
Самым простым методом микрореологии является анализ видеозаписи
движения частиц. Для его применения требуется видеокамера, оптический
иммерсионный микроскоп и цифровая записывающая аппаратура. Для оп-
ределения вязкоупругих свойств среды по флуктуационным характеристикам
движения частицы используются методы теории флуктуаций. По записи оп-
ределяется зависимость среднеквадратичного смещения частицы от времени
(рис. 13.32). Для простой вязкой жидкости такая зависимость для смещения
на плоскости была бы линейной (раздел 5.1):
(г2) = 4Л/. (13.60)
Учет вязкоупругости вводится как слабая нелинейность диффузионного
процесса ((г2)~а < 1), которая содержит информацию о вязкоупругих
свойствах материала. Линейный вязкоупругий модуль сдвига можно затем
вычислить по обобщенному уравнению Стокса-Эйнштейна (сравните с
(5.10)):
кТ
GW = 2 / 2,.,. <13.61)
па s(r (5))
где r^s) и G(s) — преобразования Лапласа для <г2(/)> и релаксационного
модуля G(t), соответственно, а — радиус пробной частицы. Преобразование
Лапласа позволяет получить решение в простом виде. Компоненты (?'(со)
и (со) можно получить, применив преобразование Фурье к G(t). Харак-
теристики вязкоупругости можно также получить с помощью аналогичного
анализа углового смещения (вращения) пробной частицы как функции вре-
мени, используя для вычисления комплексного модуля сдвига обобщенное
уравнение Стокса-Эйнштейна для вращательного движения.
Рис. 13.31. Сравнение диапазонов частот (а) и значений модулей (б), доступных
для изучения с помощью различных методов микрореологии. [Вос-
произведено с разрешения из Waigh Т.А. Reports on Progress in Physics,
v. 68, p, 685-742. — Copyright (2005) IOP Publishing.]
<з\
8
8
§
S
Модули вязкоупругости, Па
о 8 §
ООО
Видеозапись движения частиц
Лазерная интерферометрия
Корреляционная спектроскопия
прямого рассеяния
Магнитная микрореология
Атомная силовая микроскопия
а
Частота, Гц
0,01
Видеозапись
движения частиц
Лазерная интерферометрия
304 -’V’ Глава 13. Экспериментальные методы
Корреляционная
спектроскопия
обратного рассеяния
Корреляционная
спектроскопия
прямого рассеяния
Магнитная микрореология
Атомная силовая микроскопия
13.7. Реология -J\, 305
Пробная
частица
х Траектория
Определение
положения
частицы
с помощью
программы
анализа
изображений
Расчет линейных
модулей
вязкоупругости
G\ G"
в зависимости
от частоты (со)
Определение спектра флуктуаций <?> в зависимости от времени
а б в
Рис. 13.32. Стратегия микрореологического эксперимента с пассивным наблюде-
нием за движением частиц: а — запись движения сферической кол-
лоидной частицы; б — расчет среднеквадратичного смещения <г2(/)>)
частицы; в — по обобщенному уравнению Стокса-Эйнштейна рассчи-
тываются модули сдвига (G', G").
Рис. 13.33. Определение флуктуаций положения одиночной сферической частицы
в исследуемой среде возможно с помощью регистрации рассеянного
ею лазерного излучения, сфокусированного с помощью линзы на
фотодиодной матрице (квадрантный диод)
С помощью лазерной интерферометрии возможно исследование вязко-
упругих свойств материалов в области высоких частот. Особенно чувствите-
лен метод интерферометрии в задней фокальной плоскости, позволяющий
регистрировать малые высокочастотные флуктуации положения (несколько
нанометров) пробной сферической частицы (рис. 13.33).
306 -*v- Глава 13. Экспериментальные методы
В методе корреляционной спектроскопии рассеяния (рис. 13.34), который
также применяется с этой целью, происходит многократное рассеяние ла-
зерного излучения сферическими коллоидными частицами. Для определения
среднеквадратичного смещения (<г2(г)>) пробных сферических коллоидных
частиц в исследуемой среде используют автокорреляционную функцию ин-
тенсивности рассеянного света (раздел 13.2). Величины компонент моду-
ля упругости вычисляются затем так же, как в методе с видеорегистрацией
положения частицы. Этот метод пригоден для исследований вязкоупругих
свойств в области очень высоких частот (несколько мегагерц), посколь-
Поляризаторы
обратного рассеяния
/ Вязкоупругая среда Пробные
Фотодиодный
коррелятор
прямого
рассеяния
Прямоугольная кювета
коллоидные частицы
Рис. 13.34. Схема эксперимента по корреляционной спектроскопии рассеяния.
Когерентное лазерное излучение многократно рассеивается в плотной
суспензии коллоидных частиц. Последующий анализ автокорреляци-
онной функции интенсивности позволяет определить вязкоупругие
характеристики жидкого биоматериала
ку при многократном рассеянии происходит увеличение чувствительности
к малым (ангстремы) смещениям частиц. При меньших концентрациях ча-
стиц фотонная корреляционная спектроскопия при рассеянии на одиноч-
ной частице позволяет исследовать микрореологические свойства среды при
более низких частотах.
Корреляционные методы перекрывают широкий диапазон частот при
исследовании линейных реологических свойств жидких биоматериалов
(рис. 13.35). При этом используется рассеяние как в прямом направлении,
так и в обратном (рис. 13.34). Оптический пинцет также находит много при-
менений в микрореологических исследованиях. Он особенно удобен при
изучении вязкоупругих свойств мембран, поскольку они имеют малые зна-
чения модулей упругости.
Возможно дальнейшее уменьшение размеров образцов, соответствующее
областям нано- и пикореологии. однако сложность анализа данных приводит
к снижению чувствительности описанных методов. Для изучения реологии
в сверхмалых объемах в настоящее время применяют методы корреляцион-
13.8. Трибология -*v- 307
ной спектроскопии обратного рассеяния с использованием оптических мик-
роволокон (пиколитры), флуоресцентную корреляционную спектроскопия
(пиколитры) и АСМ с модуляцией (нанолитры).
Рис. 13.35. Линейные вязкоупругие свойства раствора агрекана в области высоких
частот. Наклон кривых Q' ~ Q" ~ ю1/2 указывает на то, при высоких
концентрациях в растворе гибкоцепного полиэлекгролита присутствуют
моды Рауза. Данные приведены для концентраций 2 мг/мл и 12 мг/мл.
[Papagiannopoulos А.Р., Waigh Т.А., Hardingham Т., Heinrich М. Biomacro-
molecules, 2006, v. 7, р. 2162-2172.])
Для исследования упругих свойств биологических систем без учета вяз-
кости используют другие микромеханические методы. К ним относятся
методы аспирации с помощью микропипетки, стационарной деформации
в АСМ и применение внутренних маркерных частиц (например магнитных
или флуоресцирующих частиц) для деформирования или для регистрации
деформации цитоплазмы.
13.8. ТРИБОЛОГИЯ
Для изучения явлений трения между поверхностями были
развиты различные подходы и методики. Современные приборы для
трибологических исследований (трибометры) основаны на прямом из-
мерении трения между поверхностями твердых тел, разделенных тон-
кой вязкоупругой прослойкой. При этом значение силы трения рас-
считывается непосредственно по отклонению пружины, жесткость ко-
торой точно известна, от равновесия, измеряемому с точностью до
нескольких нанометров (рис. 13.36). Прибор калибруют по отклоне-
Глава 13. Экспериментальные методы
308
ниям как нормальным, так и касательным. Измерение силы происхо-
дит с разрешением порядка 1 нН в диапазоне значений от наноньюто-
нов до миллиньютонов. Пружины, используемые для измерения сил,
часто изготавливают из специальных сортов стекла, а шарики зондов
с точно определенным диаметром — из кремния или стали.
Силиконовый
эластомер
Рис. 13.36. Современный шариковый трибометр для измерений коэффициента
трения при наличии тонкого вязкоупругого слоя в зависимости от
скорости сдвига (кривые Штрибека). [De Vicente J., Stokes J.R., Spikes
H.A. Tribology International, 2005, v. 38, p. 515-526.]
При изучении биоматериалов дополнительные трудности связаны с
искривленностью поверхностей и необходимостью водной среды, как,
например, при измерениях на хрящевых поверхностях суставов. Для из-
мерения сил трения иногда используют АСМ, поскольку в этом методе нет
ограничения на форму поверхности. Однако в этом случае трудности коли-
чественного определения коэффициента трения возникают на стадии ин-
терпретации результатов измерений, поскольку необходимо одновременное
определение нормальных сил давления и сил трения только по данным об
отражении светового луча от кантилевера. Для точного измерения сил трения
можно использовать также сдвиговые реометры (например, плоскостные,
в которых каждая плоскость покрыта слоем изучаемого материала), однако
пригодность метода ограничена требованием соответствия формы образца
геометрии измерительной ячейки.
13.9. СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для изучения твердых тел, которые обладают высокой упруго-
стью и минимальной текучестью, требуются специальные методы, поскольку
для получения значительных деформаций требуется приложение чрезвычай-
но больших сил (рис. 13.37). Для изучения твердых биоматериалов часто ис-
Вопросы и задания —1\. 309
пользуют прибор для динамического измерения механических характеристик,
основанный на том же принципе, что и реометры с модуляцией сдвига. Этот
метод позволяет получать комплексный модуль Юнга (£*) в зависимости от
частоты при сжатии или растяжении материала.
Резонансные методы
Вынужденные
колебания Распространение волн
Релаксация
напряжений/ползучесть Маятниковый вибратор
__________I I 1 1 1 1 1 1 L.
ЦТ* 1СГ6 104 1(Г2 1 ю2 104 10‘ 10*
Частота, Гц
Рис. 13.37. Методы измерения линейной вязкоупругости твердых материалов
в различных частотных диапазонах [Becker, Mater. Plast. Elast. 1969,
v. 35, p. 1387.}
Большие экспериментальные трудности возникают при изучении силь-
но анизотропных биоматериалов, поскольку для полного описания упру-
гих свойств ориентированных образцов требуется измерить большое число
параметров (раздел 11.1). При этом важно точно регистрировать взаимную
ориентацию прикладываемого напряжения и результирующей деформации.
Для описания механических свойств биоматериалов могут потребоваться и
другие методы, такие, как разрушение под нагрузкой (трехточечный прибор
для определения критической силы при продольном изгибе) и определение
твердости по Бринеллю (вдавливанием шарика).
Дополнительная литература
Viovy J.L., Duke Т., Caron F. The Physics of DNA Electrophoresis. Contemporary
Physics, 1992, v. 33, no. 1, p. 25-40. — Хорошее введение в метод электро-
фореза.
Кантор Ч., Шиммел П. Биофизическая химия. В 3-х т. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1984, Т. 2. Методы исследования структуры и функции биоплоимеров. —
Старомодное, но превосходное описание большого числа биофизических
методов эксперимента.
Waigh Т.А. Microrheology of complex fluids. Reports of Progress in Physics, 2005,
v, 68, p. 685-742. — Подробное введение в область микрореологии.
Serdyuk I.N., Zaccai N.R., Zaccai J. Methods in molecular biophysics. — CUP,
2007. — Современный обзор большого числа биофизических методов ис-
следований.
310 -’V’ Глава 13. Экспериментальные методы
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
13.1. Как бы Вы откалибровали лазерный пинцет для измерения сил? Спек-
тральная плотность мощности оптической ловушки приведена на рисунке.
Чему равна жесткость ловушки для сферической частицы радиусом 1 мкм
в воде (т] = 0,001 Па-с)? Можно ли использовать тот же метод калибровки
для магнитного пинцета?
13.2. Среднеквадратичное смещение (СКС) частицы, рассчитанное по видео-
записи ее перемещений в двух различных жидкостях, приведено на рисун-
ке. Какая из жидкостей (А или В) могла бы считаться вязкоупругой во вре-
менном масштабе данных измерений? Каким было бы влияние статической
погрешности при измерениях положения частицы на результат определения
среднеквадратичного смещения?
13.3. Оцените скорость движения цепи ДНК, содержащей 1 млн пар осно-
ваний, в полиакриламидном геле в электрическом поле с напряженностью
2 В/см. Во сколько раз увеличилась бы скорость, если бы в этом экспери-
менте использовали фрагменты ДНК в десять раз меньшего размера? Мо-
лекула ДНК находится в В-форме, с расстоянием между фосфатными груп-
пами 1,7 А, нет никаких эффектов конденсации заряда, вязкость раствора
составляет 0,002 Па-с, а длина куновского сегмента — 300 мономеров.
13.4. Какова спектральная плотность мощности для сферической колло-
идной частицы, диффундирующей в идеальной вязкой жидкости? Как из-
менится спектральная плотность мощности при помещении этой частицы
в вязкоупругую жидкость, в которой среднеквадратичное смещение зависит
от времени по степенному закону, то есть <Дг2(/)> ~ |“?
МОТОРЫ
Одной из актуальных задач нанотехнологии является разра-
ботка методов транспортировки конкретных молекул по заданному адресу с
целью получения новых материалов, удаления отходов и катализа реакций.
Природа уже создала множество эффективных наномоторов, которые ис-
пользуются в огромном числе биологических процессов. Клетки способны
изменять форму и активно перемещаться относительно окружающей среды.
В качестве примеров можно привести мышечное сокращение, поведение
макрофагов, способных захватывать и уничтожать чужие клетки, деление
клеток (митоз), движение бактерий за счет вращения жгутиков. Общим для
всех этих процессов является преобразование химической энергии, вы-
свобождающейся при гидролизе АТР (или GTP в случае микротрубочек),
в механическую работу по перемещению клеток или изменению их формы.
В настоящее время принято выделять пять механизмов молекулярной под-
вижности: самосборка, линейные шаговые моторы, роторные моторы, фильеры
и предварительно напряженные пружины (рис. 14.1).
Аденозинтрифосфат (АТР) — основная энергетическая валюта в процес-
сах преобразования энергии в биологических системах, поэтому полезно ра-
зобраться в реакциях с участием этой молекулы более подробно. Гидролиз
молекулы АТР с образованием аденозиндифосфата (ADP) и неорганическо-
го фосфата сопровождается выделение довольно большой энергии, которая
используется в многочисленных биологических процессах:
АТР ~ ADP + Р,,
(14.1)
где АТР означает целый ряд соединений с различной степенью ионизации,
таких как MgATP2-, АТР4- и т.д., Р; — неорганический фосфат, АДР — аде-
нозиндифосфат. Константа равновесия этого процесса имеет размерность
концентрации и равна
CADF В . п ,л5*<
К =--------— - 4,9 х Ю М ,
(14.2)
CATF
312 —•ir Глава 14. Моторы
где cADP, сР , сАТР — концентрации ADP, неорганического фосфата и АТР,
соответственно. Значение константы равновесия зависит от ряда факторов,
таких как концентрация ионов магния, pH и ионная сила. Значение конс-
танты равновесия, приведенное в (14.2) соответствует стандартным условиям
в цитоплазме клетки позвоночного.
Филамент
Внешняя
мембрана
Внутренняя
мембрана
Димер
Клетка
Полимеризация
актина
(ламеллиподия)
Слизь (гликопротеин) /
Движение клетки Поверхность
Направление движения
Фильера !
Цианобактерия
Движение
~~ Бактерия
Сжатая
пружина
Освобождение
пружины
Пучок
полиэлектролитных волокон
Рис. 14.1. Примеры пяти различных типов биологических моторов: а — роторный
мотор — движение бактерий; б — линейный шаговый мотор — реснички;
в — самосборка филаментов актина (ламеллиподия); г — мотор типа фи-
льеры — цианобактерия; д — предварительно напряженная пружина —
движение бактерии
Количество энергии Д(7, высвобождающейся при гидролизе АТР, можно
рассчитать по уравнению:
ДС = ДС0 - кТ In Сатр ,
cADFcPj
(14.3)
где Д(70 — стандартная свободная энергия, равная -54-10-21 Дж. Свободная
энергия, высвобождающаяся при гидролизе АТР, зависит от стандартной
д
14.1. Подвижность, обусловленная самосборкой. Полимеризация актина и тубулина 313
свободной энергии реакции и от концентраций ее участников. Используя
эту энергию, моторные белки-ферменты изменяют свою конформацию (в
водной среде с малым числом Рейнольдса), что приводит наблюдаемым
явлениям подвижности.
Стандартная скорость перемещения, обусловленная простыми моле-
кулярными моторами, имеет порядок 1 мкм с-1. Рост филаментов актина
происходит со скоростью 10-2—1 мкм-с-1 и зависит от концентрации мо-
номеров и филаментов актина. Передвижение клетки по субстрату (мат-
риксу) происходит со скоростью 10-2-1 мкм-с-1 и обусловлено ростом и
распадом филаментов актина в ламеллиподии (рис. 14.1, в). Взаимодейс-
твие миозина с актином также может приводить к движению со скоростью
10-2— 1 мкмс-1. В поперечнополосатых мышцах взаимодействие актина и ми-
озина осуществляется параллельно на многих участках филаментов, что обес-
печивает гораздо большие силы, чем в случае единичного взаимодействия,
но временные параметры подвижности при этом не изменяются. Рост и раз-
борка микротрубочек происходит со скоростью 0,1-0,6 мкм с-1, что сходно
со скоростью движения за счет самосборки актина. Быстрый и медленный
транспорт в аксонах, обусловленный перемещением моторных белков ди-
неина и кинезина к «минус» и «плюс» концам микротрубочек, происходит
со скоростями 10-3-10-1 мкм с-1.
14.1. ПОДВИЖНОСТЬ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ САМОСБОРКОЙ.
ПОЛИМЕРИЗАЦИЯ АКТИНА И ТУБУЛИНА
Полимеризация актина и тубулина — примеры одномерной
агрегационной самосборки (раздел 6.4). Дополнительные сложности при изу-
чении этих процессов связаны с тем, что процессы самосборки происходят
за счет химической энергии, что приводит к возникновению неравновесных
динамических структур. В простейших моделях этих процессов скорость
добавления субъединиц к филаменту пропорциональна (с коэффициентом
пропорциональности кол) концентрации свободных мономеров (ст). Коли-
чество присоединенных в единицу времени мономеров (dn/df) пропорцио-
нально количеству свободных мономеров:
^ = коПст- (14-4)
Скорость же диссоциации мономеров не зависит от концентрации сво-
бодных мономеров в растворе:
5 <1<5)
314
Глава 14. Моторы
где коП — константа скорости диссоциации мономера от филамента. Полная
скорость роста филамента определяется суммой процессов (14.4) и (14.5) при
условии, что сохраняется центр нуклеации:
dn
Hi
(14.6)
~ копСт ^off *
Рис. 14.2. Зависимость скорости полимеризации актина (dn/df) от концентрации
мономеров (ст). При концентрации ниже критической (cmcrit) филамент укорачивается,
а при концентрации выше критической — удлиняется. Наклон прямой определяет
константу скорости ассоциации (&оп), а ее пересечение с осью ординат — константу
скорости диссоциации (-&off).
Критическая концентрация мономеров (cmcrit) достигается, когда скорость
роста филамента dn/dt становится равной нулю, то есть
^mcrit
^off
^on
(14.7)
Гетеродимер тубулина
Положительный Отрицательный
конец — быстрая конец — медленная
ассоциация ассоциация
Рис. 14.3. Самосборка актина и тубули-
на анизотропна из-за анизотропии субъ-
единиц. Быстрорастущий конец поли-
мерной цепи называют положительным,
а медленно растущий — отрицатель-
ным
На рис. 14.2 приведено графическое решение уравнения (14.6). При концен-
трации выше критической филамент
удлиняется, а при концентрации
ниже критической — укорачивает-
ся.
Для тубулина и актина экспери-
ментально наблюдаются сходные
процессы самосборки. В принципе,
нетрудно получить значения кон-
стант скоростей ассоциации и дис-
социации мономеров (коп и ко^ по
экспериментальным данным in vitro,
построив график зависимости ско-
рости удлинения филамента в зави-
симости от концентрации мономеров (как на рис. 14.2). Однако в реальных
биологических системах возникает ряд трудностей. Субъединицы часто бы-
вают асимметричными и ассоциируют только в определенной ориентации
14.1. Подвижность, обусловленная самосборкой. Полимеризация актина и тубулина
Л
315
с образованием ориентированных филаментов (рис. 14.3), у которых концы
цепи химически не эквивалентны. Быстрорастущий конец цепи называют
положительным («плюс»-концом), а медленно растущий — отрицательным
(«минус»-концом). Поэтому в эксперименте положительный и отрицатель-
ный концы цепи надо рассматривать отдельно и определять два набора кон-
стант скоростей независимо для каждого конца цепи. Было обнаружено,
что константы скоростей зависят от растворителя и концентраций солей,
поэтому необходимо тщательно контролировать состав растворов вблизи
концов филаментов.
Для анализа анизотропной самосборки можно использовать уравнение
(14.6), которое соответствует расширенной модели Оосавы (рис 14.4. и 14.5).
Филаменты
Удлинение
+ Конец цепи с обоих
Рис. 14.4. Модель самосборки актина,
учитывающая различные свойства кон-
цов анизотропного полимера. Приведе-
на зависимость скорости полимеризации
dn/dt от концентрации мономеров (сш).
В данном случае cm+crit = cm_cril
с обоих J с другого
Филаменты с одного
Филаменты
укорачи-
ваются
конца
; растут,
растут
с обоих
концов
концов • укорачи-
+ конец
Рис. 14.5. Модель самосборки актина
в случае, когда cm+crit * cm_crit. На ри-
сунке приведена зависимость скорости
удлинения цепи (dn/dt) от концентрации
мономеров
Поскольку концы цепи не эквивалентны, необходимо два уравнения для
скорости роста — для каждого конца:
^- = k^cm-k^, (14.8)
^-^k-ncm-k^. (14.9)
Каждое уравнение определяет критическую концентрацию для соответству-
ющего конца:
^««=7?-. (14.10)
*оп
^-cnt=§L- (14.11)
*оп
316 Глава 14. Моторы
В частном случае, когда критические концентрации для обоих концов
совпадают (cm+crit = cm_cri), цепь либо растет с обоих концов, либо укорачива-
ется, хотя, возможно, и с разными скоростями. В стационарном случае рост
с одного конца цепи компенсируется укорочением с другого (тредмиллинг).
Математически это выражается уравнением:
dn+ _ dn
~dF~~~dF'
(14.12)
В этом случае существует только одна критическая концентрация (с,т):
(^off +^off)
к on 4" коп
(14.13)
Тредмиллинг при сборке схематически изображен на рис. 14.6. Длина
филамента остается все время постоянной, а центр масс смещается. Типич-
ные значения констант скоростей и критических концентраций для само-
сборки актина и микротрубочек приведены в таблице 14.1. Такой процесс
часто доминирует in vivo, поскольку он допускает высокую эффективность
повторного использования“субъединиц.
Рис. 14.6. Тредмиллинг при самосборке актина: мономеры диссоциируют на отри-
цательном конце цепи и присоединяются к положительному концу. При
этом длина цепи сохраняется, а ее центр масс перемещается в сторону
положительного конца
Взаимодействия и структурообразование в системах активно самособи-
рающихся моторных белков может быть очень сложным. Пример динамиче-
ской структуры, образующейся при делении клетки, приведен на рис. 14.7.
Здесь показана животная клетка на последней стадии цикла деления (ци-
токинез), когда актомиозиновое кольцо при сокращении разделяет клетку
на две дочерние. На рисунке показаны также остатки веретена деления, об-
разуемого микротрубочками и обеспечивающего расхождение хромосом на
ранних стадиях митоза.
14.2. Поперечно-полосатые мышцы — параллельно включенные шаговые моторы -*\г 317
Таблица 14.1. Константы скоростей самосборки актина и микротрубочек
Мономер в растворе с» мкМ*с-1 С1 к он ’ мкМ*с-1 С-1 ^m+criP мкМ Cm-crif> мкМ
Актин
АТФ-Акгин 11,6 1,4 1,3 0,8 0,12 0,6
АДФ-Акгин 3,8 7,2 0,16 .0,27 1,9 1,7
Микротрубочки
Растущие (ГТФ) 8,9 44 4,3 23 4,9 5,3
Быстрая разборка 0 733 0 915 - -
Рис. 14«7. Моторные белки, участвующие в цито-
кинезе при делении клетки. На заключительной
стадии деления сокращение актомиозинового
кольца приводит к разделению клетки на две
дочерние. На более ранних стадиях микротрубоч-
ки образуют веретено деления, обеспечивающее
расхождение хромосом к полюсам клетки
Актино-миозиновое
сократительное кольцо
Клеточное ядро
Веретено деления
(микротрубочки)
ДНК
Z-диск Z-диск
4------—----------
2,2 мкм
Актин Миозиновая нить
Рис. 14.8. В поперечнополосатой
мышце актиновые и миозиновые
волокна расположены упорядо-
ченно и параллельно друг другу.
Расстояние между Z-дисками
уменьшается при мышечном
сокращении за счет вдвигания
нитей миозина между нитями
актина
14.2. ПОПЕРЕЧНОПОЛОСАТЫЕ МЫШЦЫ -
ПАРАЛЛЕЛЬНО ВКЛЮЧЕННЫЕ ШАГОВЫЕ МОТОРЫ
Основными компонентами поперечнополосатых мышц яв-
ляются актин и миозин, образующие параллельные упорядоченные струк-
туры (рис. 14.8). Эти моторные белки играют, возможно, важнейшую роль
в обеспечении здоровья человека, поскольку наибольший вклад в смерт-
ность населения вносят заболевания сердца, а сердце представляет собой
поперечнополосатую мышцу.
Механохимическое сопряжение между гидролизом АТР и механическим
перемещением при сокращении поперечнополосатой мышцы описывает
318 -*V" Глава 14. Моторы
модель шагающих мостиков (рис. 14.9). Она включает в себя две ключевые
идеи, а именно: миозиновый мотор работает циклически между двумя со-
стояниями (связанным и несвязанным с актином) и осуществляет рабочий
ход, который перемещает нагрузку в определенном направлении вдоль нити
актина, за счет конформационных изменений в молекуле миозина. Эта мо-
дель включает также схему Лимна-Тэйлора, объясняющую химическую ре-
гуляцию нуклеотидами процесса связывания и диссоциации миозина и ак-
тина, гипотезу качающегося рычага, которая предлагает механизм усиления
малых конформационных изменений вблизи нуклеотид-связывающего центра
и трансформации их в значительно большие конформационные изменения
при движении мостика, и модель рабочего хода, объясняющая возникнове-
ние силы за счет использования упругого элемента в конструкции мостика,
который деформируется во время рабочего хода.
Нагрузка
Рычаг
Преобразователь
Мотор
а
-конец
Связывание! | Диссоциация
Напряженное
состояние
|1 Рабочий ход
,* Смешение
' ! при рабочем ходе
б
Рис. 14.9. Модель шагающего мостика включает в себя четыре стадии: а — миозин
присоединяется к актиновой нити; б — миозин совершает работу и
создает напряжение в центре связывания; в — миозин диссоциирует
от актинового филамента; г — при перемещении миозинового мостика
на один шаг по актиновому филаменту происходит релаксация меха-
нического напряжения
При работе поперечнополосатой мышцы происходит циклическая
смена химических состояний молекулы миозина: связывание АТР, гидро-
лиз АТР, высвобождение ADP. Переходы между этими состояниями сопро-
вождаются изменениями взаимодействия миозина с актином, что приводит
к циклическому образованию и диссоциации актомиозинового комплекса.
Движение миозина вдоль актинового филамента состоит из трех харак-
терных смещений. Смещение за рабочий ход (8) — это расстояние, на которое
смещается прикрепленный к актину мостик при гидролизе АТР. Смещение
14.2. Поперечно-полосатые мышцы — параллельно включенные шаговые моторы 319
на одну молекулу АТР (Д) — расстояние, на которое смещается молекула ми-
озина за один цикл гидролиза АТР, что эквивалентно отношению скорости
смещения к удельной (на одну молекулу миозина) скорости гидролиза АТР.
Длина шага — расстояние между
последовательными центрами свя-
зывания миозина на актиновом
филаменте (рис. 14.10).
Для измерений характерных рас-
стояний и сил, развиваемых при
взаимодействии миозина с одиноч-
ной актиновой цепью используется
ряд методов исследования на уров-
не отдельных молекул. Для измере-
ния сил обычно используют канти-
левер со стекловолокном, АСМ и
оптический пинцет с двойной ло-
вушкой (раздел 13.4). В особенно
элегантном эксперименте актино-
вое волокно, к обоим концам ко-
торого присоединены сферические
коллоидные частицы, удерживае-
мые в двух оптических ловушках,
взаимодействует с иммобилизо-
Ллина оабочего хода
Длина шага
Рис. 14.10. Движение миозина вдоль акти-
нового филамента характеризуется тремя
видами смещений. Длина рабочего хода —
смещение миозинового фрагмента за один
цикл гидролиза АТФ. Длина шага — рас-
стояние между последовательными цент-
рами связывания миозина на актиновом
филаменте. Смещение на одну молекулу
АТФ — расстояние, на которое смещает-
ся молекула миозина за счет гидролиза
одной молекулы АТФ. [Воспроизведено
с разрешения из: Howard J. Mechanics of
motor proteins and the cytoskeleton. — Copy-
right (2001), Sinauer Associates.])
ванными молекулами миозина II (рис. 14.11). В этом эксперименте удается
измерить величины перемещений/вызываемых движениями отдельных ми-
озиновых мостиков. Для определения стадий в цикле движения моторного
белка с успехом применяют флуоресцентные методы исследования одиноч-
ных молекул, а для изучения изменений вязкоупругих свойств при работе
моторных белков используют микрореологические методы.
Рассмотрим более подробно отдельные стадии в цикле перемещения моле-
кулы миозина вдоль цепи актина в ходе мышечного сокращения (рис. 14.12,
сравните с рис. 14.9). Исходно миозин прочно связан с одним из мономеров
актиновой цепи, что соответствует стадии ригидности (рис. 14.12, б); при
трупном окоченении возникают дополнительные связи между миозиновыми
мостиками и актиновой цепью, что и приводит к ригидности мертвых мышц.
При связывании АТР (рис. 14.12, б), обеспечивающей энергией мышечное
сокращение, миозин отсоединяется от актина. После этого, при гидроли-
зе АТР, происходит конформационное изменение в молекуле миозина без
потери энергии (рис. 14.12, г). Затем возникает слабое связывание мостика
с другим мономером актиновой цепи и, наконец, происходит высвобожде-
ние неорганического фосфата (рис. 14.12, а).
320 -*lr Глава 14. Моторы
Рис. 14.11. Для определения величины шага при перемещении миозина вдоль
актинового волокна можно использовать оптический пинцет с двойной
ловушкой. К обоим концам актинового волокна присоединены шарики
из полистирола, удерживаемые в оптических ловушках
Связывание Гидролиз АТР
АТР до ADP и фосфата
Высвобождение Высвобождение
неорганического ADP
фосфата
Рис. 14.12. Химические стадии взаимодействия миозина с актиновой цепью
в модели шагающих мостиков (рис. 14.9)
Цикл работы мостика
Связанный топ
Свободный Toff
Характер движения в модели шагающих
мостиков можно пояснить с использовани-
ем понятия коэффициента заполнения (в по-
следовательности импульсов), который равен
доли времени в цикле, проводимого каждым
миозиновым мостиком в связанном с актином
Рис. 14.13. Цикл взаимодей-
ствия миозина с актиновой
цепью состоит из череду-
состоянии. Движение миозина — циклический
процесс, в котором мостик связывается с ак-
тиновым филаментом и отсоединяется от него
ющихся периодов связанного
(среднее время тол) и сво-
бодного (среднее время
состояний
(рис. 14.13). В каждом цикле мостик проводит
некоторое время топ в связанном с актином
состоянии, когда он совершает рабочий ход
сокращения, и время то# в отсоединенном от
актина состоянии, когда происходит обратный ход. Коэффициент заполне-
ния (г) равен
^оп
^оп + ^off
(14.14)
14.4. Модели типа «храповик с собачкой» 321
Минимальное число мостиков которое необходимо для обеспече-
ния непрерывного движения, определяется соотношением
(14.15)
1 v min
14.3. ВРАЩАЮЩИЕСЯ МОТОРЫ
Продолжая обсуждение явлений подвижности, начатое в раз-
деле 5.2, рассмотрим работу мотора, обеспечивающего вращение жгутика,
которое используется бактериями для движения (рис. 14.14). Мотор от ос-
новной части жгутика отделен искривленным сегментом. Жгутик согнут под
прямым углом на расстоянии нескольких нанометров от мембраны. При
работе мотора жгутик образует вра-
щающуюся спираль, которая подобно
пропеллеру обеспечивает движение
бактерии.
Жгутиковый аппарат — довольно
сложное устройство, в состав которого
входят более двадцати индивидуаль-
ных белков, выполняющих опреде-
ленные функции: одни образуют втул-
ку в клеточной мембране, другие —
Направление движения
Рис. 14.14. Жгутик, образуя враща-
ющуюся спираль, обеспечивает подвиж-
ность бактерии в среде с малым числом
Рейнольдса
кольцевой неподвижный статор, третьи — ротор, к которому прикреплен
сам жгутик (рис. 14.1, а). Вращение жгутика обеспечивается не самой ре-
акцией гидролиза АТР, а движением протонов через мембрану по градиен-
ту pH, создающим трансмембранную разность электрических потенциалов.
У морских бактерий вместо протона может использоваться ион натрия.
При движении бактерии жгутик вращается со скоростью до 100 об/с, что
вполне сравнимо со скоростью вращения автомобильного мотора. Жгутик
с одинаковой эффективностью может вращаться как по часовой стрелке,
так и против нее, при этом скорость вращения в физиологических условиях
пропорциональна разности потенциалов на клеточной мембране.
14.4. МОДЕЛИ ТИПА «ХРАПОВИК С СОБАЧКОЙ»
Интересную, однако неточную (вследствие низкой эффектив-
ности преобразования энергии) модель молекулярной подвижности представ-
ляет собой тепловой храповик. Эта модель объясняет, как в молекулярных
моторах тепловое броуновское движение «выпрямляется» и преобразуется
в направленное движение (рис. 14.15), то есть возникает асимметрия в ве-
322 -*V* Глава 14, Моторы
роятностях смещений частицы в различных направлениях за счет тепловых
флуктуаций. Ее используют для анализа самых различных явлений молеку-
лярной подвижности, таких как самосборка актина или роторные моторы.
Тепловой храповик — простой способ получить направленное движение
в средах с малыми числами Рейнольдса. Его действие обусловлено осцил-
Рис. 14.15. Взаимодействие мо-
торного белка (например, ми-
озина) с актином можно моде-
лировать с помощью одномер-
ного потенциала. Мономеры
филамента обладают дипольным
распределением заряда, поэтому
потенциал взаимодействия моле-
кулы миозина с актином имеет
пилообразную форму
лирующим во времени асимметричным
потенциалом (рис. 14.16). Распределение
состояний моторных белков (Р(х)) в отсутс-
твие потенциала эволюционирует стандар-
тным образом за счет тепловой диффузии
(раздел 5.1). Асимметрия осциллирующего
потенциала приводит к тому, что в резуль-
тате тепловых флуктуаций происходит дви-
жение молекулярных моторов в выделенном
направлении. Вероятность направленного
движения (Pnet) равна разности вероятно-
стей движения направо (PR) и налево (Р£):
Pnet=PR-PL- (14.16)
В случае пилообразного потенциала лег-
ко получить выражение для этой вероятности. Если белки не успевают смес-
титься за счет диффузии на достаточно большое расстояние, полный поток
вероятности будет равен нулю:
Pnet = 0 0 < о < аХ
(14.17)
где X — длина волны (расстояние между максимумами) потенциала,
о — мера ширины распределения вероятностей по состояниям частиц,
аХ — расстояние между максимумом и минимумом потенциала. Если распре-
деление вероятностей, созданное тепловым движением, достаточно широко,
возникает полный поток:
Pnet = (1 - аХ/о)2/2 аХ < о < (1 -а)Х (14.18)
Исходно, в отсутствие потенциала, распределение вероятностей уширяется
за счет тепловых флуктуаций в моторных белках. При включении потенци-
ала из-за его асимметрии вероятность смещения частиц вправо оказывается
больше вероятности смещения влево. Это позволяет использовать описанный
подход в моделировании движения моторного белка по филаменту.
Основной проблемой моделей на основе молекулярных храповиков явля-
ется их низкая эффективность. Для смещения храповика на один шаг может
потребоваться гидролиз до 10 молекул АТР (Pnet = 0,1). В реальных биоло-
гических системах эффективность обычно в пять раз выше (рис. 14.8). Для
14.5. Другие механизмы подвижности -и* 323
преодоления этого затруднения были предложены более сложные модели
молекулярных храповиков.
Модель храповика использовалась и для анализа вращающихся моторов
(рис. 14.1, а). Для этого между статором и клеточной стенкой вводилось уп-
ругое соединение, которое позволяло выпрямлять вращательные флуктуации,
то есть приводило к направленному вращению ротора (по часовой стрелке
или против часовой стрелки).
▲
И*) Выкл.
Выкл.
--------►
X
V(x)
Рис. 14.16. Для создания потока частиц (с распределением вероятностей состоя-
ний Р(х)) можно использовать осциллирующий (включаемый и
выключаемый) пилообразный потенциал. В данной реализации хра-
пового механизма асимметрия пилообразного потенциала приводит
к суммарному потоку частиц, направленному вправо. [Prost J., Chauwin
J.F., Peliti L., Ajdari A. — Physical Review Letters, 1994, v. 72, no. 16, p.
2652-2655; Astumian R.D., -Bier M. — Physical Review Letters, 1994, v. 72,
no. 11, p. 1766-1769.]
14.5. ДРУГИЕ МЕХАНИЗМЫ ПОДВИЖНОСТИ
Другие механизмы клеточной подвижности встречаются до-
вольно редко. Миксобактерии, цианобактерии и флексобактерии переме-
щаются с помощью механизма типа фильеры: непрерывная секреция гли-
копротеиновой слизи через специальное отверстие (фильеру) обеспечивает
медленное скользящее движение этих бактерий (рис. 14, г).
Супрамолекулярные пружины могут запасать потенциальную энергию
в виде конформационных напряжений, при этом химические связи вы-
полняют роль защелок, предотвращающих распрямление пружины. Вы-
свобождение запасенной потенциальной энергии происходит за один акт
и приводит к однократному перемещению бактерии. Удельная мощность
таких моторов может быть очень высокой. Одним из примеров таких мото-
ров является скруин-актиновая система. Скруин фиксирует актин в слегка
перекрученном состоянии. При взаимодействии скруина с кальцием про-
324 -»Ъ- Глава 14. Моторы
исходит изменение его конформации с высвобождением запасенной в де-
формированном актине потенциальной энергии, которая используется для
обеспечения подвижности.
Дополнительная литература
Boal D. Mechanics of the Cell. — Cambridge University Press, 2002. — Содержит
интересный раздел об активных молекулярных сетях.
Howard J. Mechanics of Motor Proteins and the Cytoskeleton. — Sinauer, 2001. Очень
хорошее введение в проблему моторных белков.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
14.1. Проверьте, соответствуют ли данные таблицы 14.1 уравнениям (14.10)
и (14.11), устанавливающим взаимосвязь между концентрацией мономеров
и константой диссоциации. Каковы критические концентрации для тред-
миллинга актина и микротрубочек?
ГЛАВА
СТРУКТУРНЫЕ БИОМАТЕРИАЛЫ
В ходе эволюции было создано множество биоматериалов
с оптимальными для выполнения их структурных функций свойствами. К
ним относятся хрящи в синовиальных суставах, резилин в летательных су-
ставах стрекозы, биссусные нити для прикрепления моллюсков и губчатые
кости в скелетах многих животных. Эти примеры свидетельствуют о том,
что при выборе структурных биоматериалов возникает широкий спектр фи-
зических задач, для которых природа в ходе эволюции нашла наиболее со-
вершенные решения.
15.1. ХРЯЩ - АМОРТИЗАТОР ДЛЯ ТЯЖЕЛЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
В СУСТАВАХ ЧЕЛОВЕКА
В суставах здорового человека коэффициент трения (//)
в норме составляет 0,001-0,03, то есть может быть меньше коэффициента
трения тефлона о тефлон (ц « 0,01). Эти значения также малы по сравне-
нию с трением в подшипниках с гидродинамической смазкой, используемых
в современных двигателях, например, в автомобильных. Но, гидродинамиче-
ская смазка в суставах не имеет места (она применяется в высокоскоростных
двигателях, таких как автомобильные, турбины самолетов и т.п.), поскольку
относительное движение поверхностей суставов не превышает нескольких
сантиметров в секунду (раздел 7.6). Синовиальные суставы работают в ре-
жиме граничной смазки (рис. 7.20).
Схема строения сустава приведена на рис. 15.1. Сустав образован тремя
основными механическими компонентами: костью (живой минеральный
пористый композит), вязкоупругой жидкостью (полуразбавленный раствор,
состоящий, в основном, из полиэлектролита — гиалуроновой кислоты —
и воды), и хрящом (эластичный белково-протеогликановый композит).
326 -*Ь- Глава 15. Структурные биоматериалы
Хрящи в теле человека играют роль амортизаторов во многих случаях,
включая суставы. Это живая ткань, и специализированные клетки (хон-
дроциты), содержащиеся в этой ткани, восстанавливают повреждения
трущихся поверхностей за счет износа и защищают сустав от бактерий
(рис. 15.2).
Рис. 15.1. Схема строения сустава,
на которой показаны сегменты двух
образующих сустав костей, покрытые
хрящевыми амортизаторами и разде-
ленные синовиальной жидкостью
Хондроциты
Рис. 15.2. Хрящ — живой амортизатор,
содержащий в своем составе хондроциты,
которые восстанавливают внеклеточный
материал — основу хряща
Поверхность
сустава
В хряще коленного сустава человека средний размер пор между волокна-
ми коллагена составляет около 60 А. Поверхность хряща представляет собой
волнистую структуру (амплитуда 3 мкм, длина волны 40 мкм), на которую
наложены микрошероховатости (амплитуда 0,3 мкм, длина волны 0,5 мкм).
Синовиальная жидкость, разделяющая хрящевые поверхности сустава, не
является ньютоновской жидкостью и проявляет свойства псевдопластичнос-
ти: ее вязкость уменьшается почти линейно с увеличением скорости сдвига.
Такое реологическое поведение характерно для неассоциирующих растворов
полиэлектролитов (раздел 12.3).
При создании искусственных суставов, применяемых в качестве проте-
зов при остеоартритах, именно моделирование хрящей представляет одну
из сложнейших проблем. Сегменты костей, образующих сустав, можно
с успехом заменить синтетическими материалами, такими как полиэтилен,
и синовиальную жидкость можно ввести в суставную сумку для замены де-
фектной. Однако при остеоартрите в результате разнообразных процессов
износа происходит разрушение хрящевых поверхностей с образованием
трещин, а замены этим амортизаторам пока не создано. Полиэтиленовые
протезы суставов серьезно повреждаются в результате износа из-за сильного
трения, поскольку не имеют хрящевого покрытия. Поэтому такие протезы
приходится заменять через 10-15 лет использования. Для протезирования
суставов требуется создание новых материалов, что невозможно без пони-
мания физики синовиальных суставов.
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека -*ъ- 327
Ориентация
коллагеновых
волокон
Кальцифици-
рованный хрящ
Поверхность
сустава
Нижняя
граница
жидкости
Субхондральная
кость
Трубчатая кость
Рис. 15.3. Хрящ имеет анизотропную фиб-
риллярную структуру, которая приводит к
наличию у него анизотропии механических
свойств. Волокна коллагена ориентированы
перпендикулярно к поверхности кости, а по
мере приближения к поверхности сустава,
их ориентация изменяется на параллельную
поверхности скольжения
Коллагеновые волокна в хряще ориентированы анизотропно (рис. 15.3),
поэтому и хрящ обладает анизотропией механических свойств. Модуль сдвига
меньше при деформации вдоль волокон коллагена, чем в перпендикулярном
к ним направлении (направле-
ние нагрузки).
В целом, функции суставного
хряща состоят в увеличении пло-
щади, по которой распределяется
нагрузка, и создании гладкой и
устойчивой к износу поверхнос-
ти, оптимизированной для обес-
печения малого трения. С точки
зрения биомеханики, коллаген
представляет собой двухфазный
(твердое тело-жидкость) матери-
ал, в котором твердый коллаген-
протеогликановый матрикс (25%
сырой массы) окружен свободно
движущейся интерстициальной
жидкостью (75% сырой массы).
К важным биомеханическим свойствам суставного хряща относятся сопро-
тивление твердого матрикса деформациям и сопротивление течению интер-
стициальной жидкости сквозь пористую структуру матрикса. В нормальных
физиологических условиях суставный хрящ представляет собой самосмазы-
вающийся материал. При увеличении давления на поверхность хряща вода
выходит из пор матрикса, что и обеспечивает жидкую смазывающую пленку
на его поверхности (рис. 15.4). Повреждения суставного хряща могут при-
водить к потере его способности выдерживать нагрузку и нарушать процесс
образования смазки в суставе. Считается, что именно недостаточность гра-
ничной смазки является одной из главных причин развития остеоартрита,
при котором происходит быстрое и обширное разрушение хрящевых повер-
хностей, сопровождающееся сильной болью.
Хрящ представляет собой сшитый эластомерный полиэлектролитный
композитный материал, сходный с резилином и эластином, двумя незаря-
женными биоэластомерами (раздел 15.3). Хотя хрящ и достаточно эласти-
чен, он не упруг, и потери энергии при деформации в нем максимальны.
Поперечные сшивки в матриксе хряща образованы коллагеном, а диссипа-
тивные свойства обусловлены гигантскими полиэлектролитными «щетками»
агрекана (рис. 15.5).
Объяснение свойств хряща связано с решением большого числа физи-
ческих проблем. Важнейшие из них связаны с описанием сил отталкивания
328 Глава 15. Структурные биоматериалы
между двумя заряженными хрящевыми плоскостями, определением коэф-
фициента трения в полимерном геле хряща, модуля упругости хрящевого
геля с жесткими нематическими вставками (коллаген) и временных харак-
теристик продольной релаксации напряжений при механической нагрузке
хряща. Сначала мы рассмотрим простую модель, объясняющую чрезвычайно
низкий коэффициент трения между хрящевыми поверхностями. Эта модель
дает только качественное описание свойств хряща и нуждается в дальней-
шем развитии. Однако она демонстрирует характерный для молекулярной
биофизики подход к объяснению сложных свойств веществ на основе фун-
даментальных физических явлений.
> жидкость
2000
Давление, кПа
Рис. 15.4. Зависимость коэффициента тре-
ния между двумя хрящевыми поверхностя-
ми от давления. Видно, что по сравнению
с солевым раствором синовиальная жидкость
приводит у существенному уменьшению ко-
эффициентов трения как в статическом, так
и в динамическом режиме. [Malcom L.L. —
1976, University of California San Diego.]
Рис. 15.5. Хрящ — композит,
образованный молекулами колла-
гена и агрекана. Коллаген обес-
печивает упругость и прочность
полимерной сетки, а агрекан
ответственен за диссипацию
энергии деформации
Прежде всего, рассмотрим силы, действующие между двумя заряженными
плоскостями. Зависимость электрического потенциала (у) от расстояния (г)
до плоскости описывается уравнением Пуассона-Больцмана (раздел 2.3):
V2\|/ =
e~^{r)!kT
(15.1)
[ е j
где р0 — плотность заряда в точке с нулевым потенциалом (у = 0), то есть
посередине между плоскостями, е — элементарный заряд, е — диэлектричес-
кая постоянная, кТ — тепловая энергия. Распределение заряда по нормали
к уединенной заряженной плоскости схематически изображено на рис. 15.6, б.
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека Лц- 329
Решение для поверхностной плотности заряда (о, выраженная в количестве
элементарных зарядов на 1 м2) в случае геля заряженного (по одному заряду
на каждом мономере) гомополимера имеет вид:
2
о = (ЮООс^)з
106лМ2
(15.2)
где Na — число Авогадро, с — молярная концентрация полимера, Mw — мо-
лекулярная масса, q — степень набухания геля (q = (объем набухшего образца
геля)/ (объем сухого образца геля)).
Рис. 15.6. Схематическое изображение распределения заряда и структуры поля
вблизи заряженной плоскости: а — распределение противоионов;
б и в — зависимости плотности заряда и потенциала от расстояния до
плоскости (г)
Для положительных противоионов в одномерном случае уравнение (15.1)
можно переписать в виде:
_ epQ -,-еу/кТ
dz2~ *
(15.3)
где z— расстояние от плоскостей. Уравнение Пуассона-Больцмана дополня-
ется двумя граничными условиями на поверхностях хряща и в плоскости
симметрии между ними. Из уравнений электростатики следует, что на
поверхности геля градиент потенциала равен поверхностной плотности
заряда:
И (15.4)
(dz Jz=±/ е
где / — расстояния от поверхностей хряща до плоскости симметрии. В плос-
кости симметрии градиент потенциала равен нулю:
И =0. (15.5)
I dz Jz=0
Из условия электронейтральности следует, что поверхностная плотность
заряда о равна полному заряду противоионов с противоположным знаком:
330
—Глава 15. Структурные биоматериалы
I
a = pofe~e^Tdz. (15.6)
о
Решение уравнения Пуассона-Больцмана с учетом граничных условий (15.4)
и (15.5) и условия электронейтральности имеет вид:
(15.7)
Здесь 1Ь = ё^гкТ- бьеррумовская длина. Избыточное осмотическое давление
определяется по теореме о плотности контактов (раздел 2.4) плотностью
распределения ионов (р0) в плоскости симметрии:
л = р0АТ,
(15.8)
где кТ — тепловая энергия. В равновесном состоянии при постоянном
давлении на хрящ осмотическое давление, обусловленное, в основном,
Давление, Па
Рис. 15.7. Зависимость
толщины слоя воды меж-
ду двумя заряженными по-
верхностями от внешнего
давления. При увеличении
степени набухания геля (q)
плоскости сближаются из-
за уменьшения плотности
поверхностного заряда (о).
[Воспроизведено с разреше-
ния из: Gong J., Iwasaki Y.,
Osada Y. et al. J. Phys. Chem.
B, v. 103, p. 6001-6006. -
Copyright (1999) American
Chemical Society.]
противоионами в заряженном геле (раздел 9.4),
уравновешивается внешним давлением (Р), на-
пример, весом тела человека, распределенного
по площади коленных суставов:
Р = п. (15.9)
Толщина слоя жидкости (21), оставшейся между
поверхностями хряща, может быть выражена из
уравнения (15.7) с учетом (15.8) и (15.9):
21 = 2
\2кТ *
-p^-arctg la
'кТ1ь
2Р
(15.10)
Отсюда следует, что чем больше поверхнос-
тная плотность заряда, тем большее давление
может выдерживать такая система (при фик-
сированном давлении равновесное расстоя-
ние между поверхностями больше, рис. 15.7).
В этой модели набухание вследствие осмоти-
ческого давления не учитывается, поскольку
хрящ образован относительно жесткой поли-
мерной сеткой.
Коэффициент трения можно оценить с точ-
ки зрения скейлингового подхода (раздел 8.2).
По закону Амонтона коэффициент трения для
обычных материалов не зависит от нагрузки (раздел 7.6), и в случае сухого
трения твердых поверхностей сила трения (F) определяется только силой
нормального давления:
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека -и* 331
F = \lW , (15.11)
где р — коэффициент трения. В случае твердых поверхностей с отталкиванием
(например, одинаково заряженные полиэлектролитные гели) эксперимен-
тально обнаружено, что зависимость трения от скорости сильно зависит от
сжимающего поверхности внешнего давления: чем меньше давление, тем
слабее зависит трение от скорости. Было показано также, что для гелей не
выполняется простой закон Амонтона (15.11) и он должен быть заменен
более сложным:
F~APa, (15.12)
где Р среднее нормальное давление, равное весу, деленному на площадь
контакта (А), а а — константа, имеющая значение в интервале от 0 до 1.
Более того, было обнаружено, что при скольжении двух слоев отрицательно
заряженного геля друг относительно друга сила трения зависит от скорости
(v) по степенному закону:
focyP, (15.13)
где р — константа, зависящая от величины сжимающего слои геля внешнего
давления. Такая степенная зависимость от скорости указывает на то, что
трение в этом случае определяется не только наличием гидродинамической
смазки, и вязкоупругими свойствами полимерной сетки.
Качественная молекулярная теория трения для нейтрального геля состо-
ит в следующем. Для полуразбавленного раствора нейтрального полимера
размер ячеек (8.37) зависит только от концентрации полимера с:
.. _з
£~ас4, (15.14)
где а — эффективная длина мономера, а £ можно считать размером пор
в полимерной сетке. Экспериментально было показано, что полимерные гели
имеют такие же скейлинговые характеристики для корреляционной длины
и осмотического давления л, как и полуразбавленные растворы при той же
концентрации полимера (так называемая с*-теорема). Разность поверхно-
стных энергий для полимерного геля и твердого тела (Л-J^) равна:
(15.15)
где л0 -осмотическое давление в объемной фазе раствора, А — удельная по-
верхностная энергия для границы раздела твердое тело-гель, А^ — удельная
поверхностная энергия для границы раздела твердое тело-чистый раство-
ритель. Из скейлинговой теории полимеров следует, что осмотическое
давление в полимерном геле связано с его корреляционной длиной соот-
ношением:
л0~П’3, (15.16)
332 -»1л Глава 15. Структурные биоматериалы
где Т — температура. Работа против осмотических сил по отталкиванию
полимера от твердой поверхности на расстояние равна увеличению по-
верхностной энергии:
(15.17)
где Р — среднее давление. В отсутствие адсорбции полимера силы трения
обусловлены вязким течением растворителя между поверхностями геля и
твердого тела. Вязкое течение подчиняется второму закону Ньютона и для
вычисления силы трения к нему можно применить теорию гидродинами-
ческой смазки при наличии прилипшего граничного слоя:
/ = (15.18)
где — толщина слоя растворителя, D — толщина полимерной пленки (толщи-
на сдвига), т| — вязкость растворителя, v — относительная скорость поверхно-
стей. Учитывая сказанное выше, можно показать, что для нейтральных гелей
коэффициент трения зависит от температуры (7), модуля Юнга геля (£)
и приложенного давления (Р):
/ = 2ТП-- (15.19)
£373
Рис. 15.8. Экспериментально полученные зави-
симости силы трения (/) от внешнего давления
(Р) для гелей гибкого нейтрального полимера
(ПВА) и гибкого полиэлектролита (PNaAMPS).
Для облегчения сравнения сила трения и давле-
ние нормированы на модуль Юнга. Видно, что
для заряженного геля в воде сила трения гораздо
меньше. [Воспроизведено с разрешения из: Gong
J., Osada Y. J. Chem. Phys., v. 109, p. 8062. — Copy-
right (1998) American Institute of Physics.}
Сходный расчет для поверхности заряженного геля дает:
Г|У
Чо+Ж)’
(15.20)
где £gel — гидравлическая проницаемость геля (см. уравнение (15.23)). Мож-
но показать, что коэффициент трения (//) для заряженного геля нелинейно
зависит от приложенного давления:
3
5, (15.21)
что согласуется с экспериментом (рис. 15.8).
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека —* V 333
Упрощая, можно считать, что чем больше величина заряда на поверхностях
двух одноименно заряженных гелей, тем меньшее трение (при постоянной
степени набухания) будет получено в эксперименте (рис. 15.9).
Давление, Па
а
Рис. 15.9. а — Зависимость коэффициента трения от давления (q — степень
набухания полимера): коэффициент трения уменьшается при уве-
личении набухания геля, б — Зависимость коэффициента трения от
плотности заряда для полиэлекгролитного геля: коэффициент трения
уменьшается при увеличении плотности заряда. [Воспроизведено с
разрешения из: Gong J., Iwasaki Y., Osada Y. et al. J. Phys. Chem. B, v.
103, p. 6001-6006. — Copyright (1999) American Chemical Society.]
Плотность заряда, моль/л
Однако зарядовые эффекты — только один из важных факторов, опре-
деляющих величину силы трения. На практике, например, в синовиальных
суставах, ситуация может быть гораздо сложнее. В этом случае важную роль
играют вязкоупругие жидкие пленки, как скользящие, так и сжатые. Таким
образом, в суставных хрящах используетСй смешанный способ уменьшения
трения: отталкивание поверхностей гелей заряженных полимеров и выде-
ление воды из хряща при сдавливании. Микроконтакты поверхностей (за
счет микроскопических выступов) также могут влиять на величину коэффи-
циента трения в случаях, когда силы, возникающие за счет взаимодействия
двойных слоев, недостаточны для противодействия локальным увеличениям
давления (рис. 15.10). Биомолекулы с большими зарядами часто встречаются
в клеточных устройствах, обеспечивающих подвижность (например, актин
и миозин в поперечнополосатых мышцах), и, возможно, что отталкиваю-
щие силы, возникающие при перекрывании двойных слоев, способствуют
уменьшению трения при их функционировании.
Релаксационный модуль хряща может зависеть от времени. При деформа-
ции сдвига или продольного сжатия/растяжения свойства этого материала
начинают зависеть от времени, вследствие течения жидкости в порах геля.
Движение жидкости в пористых средах встречается в ряде биологических
систем, например, когда плазма крови протекает сквозь тромб. Задача о филь-
трации ньютоновской жидкости через идеальный пористый материал была
решена Дарси. Хрящ представляет собой композитный материал (рис. 15.5) —
334 -* lr Глава 15. Структурные биоматериалы
жесткий коллагеновый каркас в сочетании с диссипативным протеоглика-
новым матриксом. Модуль композита в 105 раз превышает модуль концен-
трированного раствора протеогликана, который можно экстрагировать из
хряща. Отсюда следует, что протеогликаны не влияют на сдвиговую жест-
кость суставного хряща (рис. 15.11), которая, таким образом, обусловлена
двумя другими компонентами: анизотропной сеткой сшитых коллагеновых
молекул и протекающей через нее жидкостью.
Микроскопические
Хряш
~0,3 мкм_____
контакты (выступы)
Поверхность
жидкость
под давлением
Рис. 15.10. Микроскоцические контакты (за счет выступов) могут существенно
влиять на величину трения между хрящевыми поверхностями
сустава
Таким образом, сдвиговая деформация хряща в коленном суставе (напри-
мер, при подъеме тяжести) сопровождается длительными изменениями его
упругих свойств. Можно показать, что время релаксации для сшитого геля
пропорционально коэффициенту взаимной диффузии полимерного геля, и,
воспользовавшись законом Дарси, можно получить наибольшее время ре-
лаксации (Tj) геля:
где к — коэффициент проницаемости, 8 — толщина сжатого образца,
§eq — толщина свободно набухшего образца, Е — модуль Юнга. Таким обра-
зом, время релаксации обратно пропорционально легкости, с которой вода
проходит через поры геля (Л).
Закон Дарси
Средняя скорость U фильтрации флюида через пористую среду пропор-
циональна градиенту давления в среде (дР/дх):
дР
и = ~Ь^, (15.23)
где к—коэффициент проницаемости среды, х — координата вдоль образца.
15.1. Хрящ — амортизатор для тяжелых режимов работы в суставах человека
Л-
335
Чистый сдвиг
Рис. 15.11. Схематическое изображение
коллагена и протеогликана (агрекана) в
хряще при сдвиговой деформации
Рис. 15.12. Релаксационный модуль име-
ет характерное время релаксации, кото-
рое для хряща человека составляет около
30 мин. Считается, что время релаксации
обусловлено динамикой движения воды
в порах геля. {Mow V.C., Proctor C.S., Kelly
М.А. Biomechanics of articular cartilage in
«Basic Biomechanics of Musculoskeletal Sys-
tem». // Eds M.N ordin and Frenkel V.H. —
1989, Lippincott, Williams and Wilkins.}
Разрушение
Относительная деформация (e)
Рис. 15.13. Типичная диаграмма растяжения хряща. Справа дано схематическое
изображение изменений структуры коллагеновых волокон при растя-
жении. В области малых деформаций упругость коллагеновых волокон
соответствует закону Гука. В области линейности происходит рас-
прямление коллагеновых волокон, приводящее к увеличению модуля
Юнга. При больших деформациях/напряжениях хрящ разрушается
и коллагеновая сеть рвется
По отношению к растяжению механические свойства хряща сущес-
твенно анизотропны. Хрящ гораздо жестче и прочнее при стандартном
направлении нагрузки, то есть перпендикулярно его поверхности. При
таких деформациях он проявляет вязкоупругие свойства, которые обус-
ловлены как внутренним трением, связанным с движением полимерных
цепей, так и с течением интерстициальной жидкости. Типичная равновес-
ная диаграмма растяжения для суставного хряща приведена на рис. 15.13.
336 -’V- Глава 15. Структурные биоматериалы
При малых деформациях молекулы коллагена медленно растягиваются и
изменяют ориентацию. При дальнейшем растяжении молекулы коллагена
распрямляются и, наконец, при больших деформациях, молекулы разры-
ваются и разрушаются.
Зависимость релаксации напряжения от времени после ступенчатого из-
менения сдвиговой деформации приведена на рис. 15.12.
15.2. ПАУТИНА
Паутина — классический пример наноструктурированного
полимерного композита. Этот созданный в процессе эволюции структур-
ный материал обладает чрезвычайной прочностью и упругостью. Паутина
вырабатывается в прядильном органе паука (рис. 15.14) в ответ на внешние
стимулы (например, при необходимости скрыться от врага). В прядильном
органе белок паутины находится в состоянии нематического жидкого крис-
талла, из которого в процессе экструзии (выделения) образуется ориенти-
рованный твердый полимер с удивительными свойствами.
Выделяемая
паутина
Рис. 15.14. Схема строения паутины в прядильном органе паука. Белки образуют
нематическую жидкокристаллическую фазу, которая при выделении
отвердевает с образованием паутины. [Воспроизведено с разрешения
из: Knight D.P., Vollrath F. Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, v. 357, p. 155-163. —
Copyright (2002) Royal Society of London.}
Ориентация полимеров непосредственно связана с их пределом прочности
на разрыв, как, например, в случае с кевларом, синтетическим жидкокрис-
таллическим полимером, используемым в пуленепробиваемых жилетах.
Чрезвычайной эластичности паутины соответствует большая площадь под
диаграммой растяжения (рис. 15.15). Эластичность — важнейшее свойство
паутины, которая в пять раз более эластична, чем кевлар.
Паук может продуцировать до восьми различных видов паутины, меха-
нические свойства которых оптимизированы для использования в опреде-
ленных целях. Различия механических свойств двух типов паутины иллюс-
трирует рис. 15.16. «Канатная» паутина оптимизирована по максимальному
15.3. Эластин и резилин -* V- 337
напряжению разрыва, а ловчая — по максимальному растяжению разрыва.
Диапазон механических свойств разных типов паутины очень широк: пау-
тина может вести себя подобно резине, а может быть и чрезвычайно жест-
кой. Вязкая паутина используется в качестве клея на спиралях паутины па-
уков-кругопрядов, а жесткая паутина — в качестве страховочного фала при
перемещениях паука.
Рис. 15.15. Диаграмма растяжения
паутинного волокна. На высокую
эластичность указывает большая
величина площади под кривой.
[Воспроизведено с разрешения
из: Gosline J.M., DeMont М.Е.,
Denny М. W. Endeavour, v. 10,
no. l,p. 37-43. — Copyright (1986)
Elsevier.}
Рис. 15.16. Сравнение свойств «канатной» и лов-
чей спиральной паутины. Канатная паутина имеет
высокую жесткость, но относительно нерастя-
жима, а ловчая паутина — наоборот. [Воспро-
изведено с разрешения из: Gosline J., Lillie М.,
Carrington Е. et al. Phil. Trans. R. Soc. bond. B,
v. 357, p. 121-132. — Copyright (2002) Royal Society
of London.}
15.3. ЭЛАСТИН И РЕЗИЛИН
Эластин и резилин, обладающие сравнительно малой жестко-
стью при больших относительных деформациях, используются в организмах
животных для создания эффективных механизмов запасания упругой энер-
гии. Эластин является одним из главных компонентов артерий и позволяет
им подстраиваться под изменения давления крови. Он часто используется
в качестве амортизирующего материала, например, в шейных позвонках
коровы для предотвращения повреждений при движениях головы. Резилин
также используется для запасания упругой энергии в некоторых устройствах
у различных животных, например, в главных суставах прыгательных ног бло-
хи и летательных суставах стрекозы.
Во всех этих случаях от устройств требуется, чтобы они работали, как
идеальные пружины, а резилин и эластин — эластомеры, оптимальные для
этой роли. С точки зрения структуры для этого необходимо, чтобы гибкие
белковые нити были соединены поперечными сшивками, что обеспечит эн-
тропийный характер упругости, как в случае резины (раздел 8.3).
338 -*v- Глава 15. Структурные биоматериалы
Диаграммы сжатия для резилина и эластина приведены на рис. 15.17.
Резилъянсом (R) называют ту часть потенциальной энергии сжатого уп-
ругого тела, которая может быть
Рис. 15.17. Зависимости действительной
(Е') и мнимой (Е") частей комплексных
модулей Юнга для эластина и резилина
от частоты (v). Оба белка обладают вы-
сокой эластичностью, то есть Е' > Е".
Добавление воды к эластину вызывает
уменьшение значений его модулей. [Вос-
произведено с разрешения из: Gosline J.,
Lillie М., Carrington Е. et al. Phil. Trans. R.
Soc. bond. B, v. 357, p. 121-132. — Copyright
(2002) Royal Society of London.}
превращена в работу при его расшире-
нии. Его можно вычислить по фор-
муле:
К = е~11Л, (15.24)
где 8 = Е'/Е" — коэффициент зату-
хания, а Е' и Е" — действительная
и мнимая части комплексного мо-
дуля Юнга. Резильянс как резили-
на, так и эластина исключительно
высок.
Целый ряд структурных бел-
ков, таких как резилин и паутина,
которые теперь можно получать
с помощью технологий на основе
рекомбинантной ДНК, могли бы
иметь широкие области применения
в биологии и медицине, например,
при замене артерий. Однако при
создании материалов с заранее за-
данными свойствами, возникают
серьезные проблемы, связанные
с искусственным процессингом
белков, полученных при экспрес-
сии генов.
15.4. КОСТЬ
Кость представляет собой композитный материал, состоящий
из белков и неорганических кристаллитов (рия.15.18).
Компактная кость сходна по структуре с перламутром и ее свойства будут
рассмотрены в разделе 15.6. Губчатая кость имеет более пористую структуру.
Она представляет собой ячеистое твердое тело и имеет оптимальное соотно-
шение прочности и массы. При малых деформациях изотропной губчатой
кости выполнение закона Гука обусловлено упругими изгибами клеточных
стенок (рис. 15.19). При более сильных деформациях происходит упругая
потеря устойчивости клеточных стенок. Этому на диаграмме сжатия соответс-
твует плато, продолжающееся до таких значений деформаций, при которых
клеточные стенки начинают соприкасаться, что приводит к резкому росту
напряжения при дальнейшем увеличении деформации. Модуль упругости
15.5. Адгезивные белки -JU 339
кости сильно зависит от степени ее гидратации, поскольку при пластифика-
ции белков, связанных с кристаллитами гидроксиапатита, резко изменяются
их механические свойства.
Тропоколлаген
Рис. 15.18. Схема строения кости. Тропоколлаген с гидроксиапатитом образу-
ют волокнистый композитный материал, из которого состоят остеоны
(гаверсовы системы), образующие кость. [Воспроизведено с разреше-
ния из: Vincent J. Structural Biomaterials. — Copyright (1990) Princeton
University /Vess.]
Рис. 15.19. Диаграммы сжатия для губчатой кости (пористого тела с открытыми
порами) при разных относительных плотностях рг (сравните
с рис. 11.9). [Воспроизведено с разрешения из: Gibson L.J., Ashby M.F.
Cellular Solids. — Copyright (1997) Cambridge University Press.]
15.5. АДГЕЗИВНЫЕ БЕЛКИ
В жизни многих организмов часто важную роль играют
белки, покрывающие либо весь организм, либо какие-то его части. Для
кораблестроителей важно знать свойства белков, с помощью которых
моллюски прикрепляются к скалам, поскольку с таким же успехом они
340 -*L- Глава 15. Структурные биоматериалы
прикрепляются и корпусам кораблей, вызывая обрастание (рис. 15.20).
Природа создала оптимальный клей, пригодный для суровых условий
водного окружения.
Рис. 15.20. Схема прикрепления мидии к поверхности, например, скалы или
корпуса корабля. Адгезивные белки, находящиеся на клейкой при-
крепительной пластинке (адгезивном диске), которой оканчивается
биссусное волокно, вытесняют воду с поверхности субстрата, что
позволяет мидии надежно к нему прикрепляться. [Воспроизведено с
разрешения из: Taylor S. W., Waite J.H. In: Protein Based Materials. //Eds.
K.M cGrath and D.K apian. — Copyright (1997) Birkhauser Boston Inc.}
Часто белки используются в качестве герметика, позволяющего ноге ор-
ганизма прикрепляться к субстрату с помощью присоски. Моллюски обыч-
но предпочитают прикрепляться к субстратам с высоким поверхностным
натяжением, а свойства адгезивных белков оптимизированы для вытесне-
ния воды с таких поверхностей. Считается, что клейкие белки выделяют-
ся и ножками морских звезд, однако большинство организмов, способных
прикрепляться к твердой поверхности, использует смешанные механизмы
адгезии. При этом важную роль играют силы Ван-дер-Ваальса (например,
у гекконов), капиллярные силы (например, у лягушек), микроскопические
крючки (у растений).
15.6. Перламутр и минеральные композиты
Л
341
15.6. ПЕРЛАМУТР И МИНЕРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИТЫ
Как кость, так и перламутр представляют собой волокнистые
композитные материалы, в которых твердые нанокристаллы погружены
в податливый белковый матрикс (рис. 15.21).
Минеральный А
компонент . _
Передача силы
по цепочке \
Область больших
сдвигов в белке
Область
растяжения
в белке
341
Белковый
матрикс
а
Рис. 15.21. Типичная схема строения биокомпозита, характерного для таких мате-
риалов, как перламутр и кортикальный слой кости, а — К минераль-
но-белковому композиту приложено растягивающее механическое
напряжение, б — Минеральный компонент композита испытывает,
в основном, деформацию растяжения, а белки — деформацию сдви-
га. [Л В., Gao Н. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 2004, v. 52,
p. 1963-1990.]
Распределение напряжения по длине минерального кристалла считается
линейным, поэтому максимальное (о^) и среднее (ат) растягивающее на-
пряжение могут быть записаны в виде:
~ Р^р
(15.25)
и
^ = РЬ>/2, (15.26)
где р = L/b — соотношение геометрических размеров (коэффициент формы),
L — длина, b — ширина пластинки, хр — сдвиговое напряжение в белке.
Предполагается, что белок не подвержен растяжению, поэтому эффективное
растягивающее напряжение (о) в нанокристаллическом композите равно:
о = Фот ,
(15.27)
342 -*lr Глава 15. Структурные биоматериалы
где ф — объемная доля минерала, — среднее напряжение в минеральном
компоненте. Эффективная относительная деформация (е) в композите равна
сумме деформаций в минеральном и белковом компонентах:
+2ерй(1-ф)/ф
L
(15.28)
где b — толщина, a L — длина пластинок, Дот и Ер — удлинение минераль-
ной пластинки и сдвиговая деформация в белковом компоненте. Удлинение
минеральной пластинки равно:
д” = 5^' '15 291
где Ет — модуль Юнга для минерального компонента. Деформация сдвига
в белках гр связана с модулем сдвига белка (бр и касательным напряжением
(тр), приложенным к белку:
Поэтому полный эффективный модуль Юнга (£) для биокомпозита равен:
1 . 4(1-ф) 1
Е брф2р2 №т ’
(15.31)
откуда следует, что эти материалы обладают довольно большими модулями
упругости.
В дополнение к жесткости биокомпозита, перламутр отличается большой
ударной вязкостью. Наноразмерные минеральные включения имеют мень-
ше дефектов, чем соответствующие макроскопические аналоги, поэтому их
прочность приближается к прочности межатомных связей в кристалле. Вслед-
ствие вязкоупругости белков, энергия разрушения диссипирует, поэтому
в минеральном компоненте не возникает больших трещин. Высокая про-
чность биокомпозитов достигается благодаря большому значению коэффи-
циента формы нанокристаллов и особой текстуре, образуемой ими.
Дополнительная литература
Vincent J. Structural Biomaterials. — Princeton, 1990. — Замечательно написанное
краткое введение в проблему биоматериалов.
Vogel S. Comparative Biomechanics: Life’s physical world. — Princeton, 2003. —
В работе приведено большое количество примеров из области биомеханики.
Gong J.P. Surface friction of polymer gels. Prog. Polym.S ci, 2002, v. 27, p. 3-38.
Вопросы и задания
343
Gibson L.J., Ashby M.F. Cellular Solids. — Cambridge University Press, 1997. — Клас-
сический труд по твердым пористым телам.
Gosline J., Lillie М., Carrington Е. et al. Elastic proteins: biological roles and mechani-
cal properties. Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, 2002, v. 357, p. 121-132.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
15.1. Оцените модуль сдвига для адгезивных белков в перламутре, если мо-
дуль Юнга раковины равен 12,4 МПа, объемная доля твердого компонента
составляет 0,95, коэффициент формы кристаллитов равен 10, а их модуль
сдвига — 3 ГПа.
15.2. Человек поднимает пианино и при этом область хряща в его колене
сжимается от 1 см до 0,95 см. Чему равно время релаксации хряща после
снятия нагрузки, если его модуль Юнга равен 0,78-106 Па, а коэффициент
проницаемости 610-13 м^Н^-с-1.
ГЛАВА
16
ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ ДНК
Свойства ДНК in vivo чрезвычайно интересны с точки зрения
молекулярной структуры, динамики и изменений фазовых состояний.
16.1. ХРОМАТИН И ЕСТЕСТВЕННАЯ УПАКОВКА ДНК
В ходе эволюции был создан особый способ упаковки ДНК
в клеточном ядре. В клетке человека ДНК представляет собой нить длиной око-
ло 1,5 м и диаметром 2 нм, которую нужно разместить в объеме в несколько
кубических микронов. Эволюционно был отобран способ, при котором ДНК
хранится в компактной форме нити, намотанной на белковые комплексы, об-
разованные белками-гистонами, — подобно нитке, намотанной на катушки.
Такие нуклеопротеиновые комплексы затем образуют фибриллярные агрегаты,
называемые хромосомами.
Гистоны были обнаружены экспериментально в 1973 г. (Hewish, Burgoyne).
Тогда с помощью гель-электрофореза было установлено, что после обра-
ботки ДНК ферментом, разрезающим ее на части, образуются фрагменты
фиксированных размеров с числом пар оснований 200, 400 и 600. Это объяс-
нили тем, что связывающие ДНК белки (гистоны) расположены регулярно,
и только цепь между белками доступна действию ферментов, что и опреде-
ляет базовую длину фрагментов.
Физико-химические процессы, в результате которых происходит связы-
вание гистонов с определенными последовательностями оснований ДНК и
образование нуклеосом, пока изучены не полностью. Считается, что с одним
гистоном связывается около 150 пар нуклеотидов (рис. 16.1).
С использованием широкоугловой дифракции нейтронов и рентгенов-
ских лучей были исследованы межмолекулярные взаимодействия между
малыми фрагментами ДНК и белками гистонов (одна гистоновая шпулька
состоит из октамера гистонов), что позволило построить точные молекуляр-
ные модели кристаллической структуры малых сегментов ДНК, связанных
16.1. Хроматин и естественная упаковка ДНК -* V- 345
с октамерами гистонов (рис. 16.2). К сожалению, эти методы неприменимы
к некристаллическим структурам, таким как полная хромосомная ДНК. Цепи
ДНК большей длины при взаимодействии с гистонами могут иметь суще-
ственно отличающиеся конформации вследствие изменений эластичности,
сопротивления закручиванию и эффектам конденсации противоионов. Эта
проблема требует отдельного исследования.
С
150 пар нуклеотидов, 50 пар нуклеотидов
связанных с октамером гистонов соединительный сегмент
Фрагмент ДНК,
связанный с одним
' октамером гистонов
Цепь ДНК
Октамер гистонов
Рис. 16.1. Схема связывания гистоновых октамеров с фрагментами ДНК, име-
ющими фиксированную длину
На основе данных, полученных при мало-
угловом рассеянии нейтронов и рентгеновс-
ких лучей, удалось построить модели комп-
лексов гистонов с гораздо более длинными
фрагментами цепей ДНК (нанометры) в рас-
творе (рис. 16.3). Хотя при этом требуётся
тщательный анализ результатов рассеяния
жидкой системой, были получены надежные
данные для компактифицированных и раз-
вернутых структур комплексов, зависящих
от ионной силы раствора. Это указывает на
электростатическую природу связывания от-
рицательно заряженных цепей ДНК с поло-
жительно заряженными гистонами. Однако
эти методы рассеяния дают лишь общую
информацию о строении хромосом, детали
Цепь ДНК
Субъединицы
гистонов
Рис. 16.2. Структура комплекса
октамера гистонов (из восьми
субъединиц) с малым фраг-
ментом ДНК, построенная по
данным широкоугловой диф-
ракции нейтронов и рентгенов-
ских лучей на кристаллических
фрагментах хромосом. [Воспро-
изведено с разрешения из: Arents
G., Moudrianakis E.N. Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, v. 90, p. 10489-
10493. — Copyright (1993) National
Academy of Sciences.]
же остаются неизвестными.
Существует ряд вопросов, относящихся к крупномасштабной (10 нм)
структуре хроматина и процессам самосборки этой структуры, обусловлен-
ных ее апериодичностью. Для некристаллических апериодических образ-
цов ценную информацию с ангстремным разрешением можно получить с
помощью электронной микроскопии. Томографическая реконструкция по
346 —'\r Глава 16. Фазовые состояния ДНК
микрофотографиям, полученным с помощью просвечивающей электронной
микроскопии, позволила Арону Клюгу с сотрудниками в 1977 г. предложить
модель «бусины на нитке» (рис. 16.4). Эта модель была предложена на основе
анализа послойных изображений хромосомных нитей в присутствии конт-
растирующего красителя, полученных методом замораживания-скалывания.
Математические методы, примененные для реконструкции, чувствительны
к деталям изображений, а включение контрастирующего агента и использо-
вание процедуры замораживания-скалывания при подготовке образца мог-
ли существенно повлиять на морфологию хромосомных нитей. Поэтому до
сих пор существуют разногласия в области структурного анализа хромосом,
касающиеся ориентации гистонов относительно оси хромосомной нити, но
все современные данные указывают на существование in vivo в ядре плотно
переплетенных фибрилл, образованных «бусинами на нитке».
I(q) 10000
Рис. 16.3. а — Данные малоуглового рассеяния нейтронов (зависимость интенсив-
ности от величины переноса импульса) на комплексах ДНК с гистонами
позволяют построить модель структуры этого комплекса в растворе в
зависимости от ионной силы, б — Рассчитанная по этим данным ради-
альная функция распределения Р(г) указывает на то, что при большой
ионной силе комплексы становятся более рыхлыми в результате разма-
тывания ДНК с гистоновых глобул (электростатические взаимодействия
ослабевают в результате экранирования). [Mangenot S., Leforestier А.,
Vachette Р.е t al. Biophysical Journal, v. 2002, no. 82, p. 345-356.}
Октамер
гистонов
Цепь ДНК
Рис. 16.4. Модель хромосомной фибриллы, постро-
енная на основе томографической реконструкции по
данным просвечивающей электронной микроскопии
хромосом с использованием методики заморажива-
ния-скалывания. Хромосома состоит из октамеров
гистонов, нанизанных на длинную цепь ДНК напо-
добие бус на нитке. [Thoma F., Koller Т., Klug A. Journal
of Cell Biology, 1979, v. 83, p. 403-427.]
16.2. Компактизация ДНК — пример комплексообразования с учасием полиэлектролитов 347
У бактерий, в отличие от человека, ДНК гораздо меньше и не связана
с гистонами. Однако некая компактификация все же требуется, чтобы разме-
стить ДНК в клетке. Поэтому кольцевая двухспиральная цепь ДНК дополни-
тельно скручивается с образованием компактной суперспиральной структуры
(глава 8). Суперспираль ДНК с белками, поддерживающими ее структуру,
образует нуклеоид. Разрезы в такой ДНК не приводят к релаксации, а репа-
рируются специальными ферментами без потери степени спирализации, то
есть без потери потенциальной энергии деформации.
16.2. КОМПАКТИФИКАЦИЯ ДНК - ПРИМЕР
КОМПЛЕКСООБРАЗОВАНИЯ С УЧАСТИЕМ
ПОЛИЭЛЕКТРОЛИТОВ
Многие болезни, важнейшим примером которых являются различные
формы рака, имеют генетическую природу. Одна из возможных стратегий
в лечении при таких заболеваниях состоит в замене дефектной ДНК ма-
лигнизированных клеток на нормальную. Одной из проблем на пути такой
генной терапии является доставка необходимого материала в ядро без пов-
реждений защитными механизмами клетки. Достаточно успешный метод
состоит в использовании комплексов ДНК с противоположно заряженными
электролитами или введение ее в вирусы (в последнем случае препятствием
может стать патогенность самого вируса). Эти проблемы пересадки ДНК в
ядра клеток в сочетании с более фундаментальными проблемами исследова-
ния функционирования хромосом служат побудительными причинами для
изучения компактификации ДНК с противоположно заряженными колло-
идными частицами.
В обычных физиологических условиях персистентная длина ДНК состав-
ляет около 500 А. Персистентную длину свободной ДНК можно рассчитать
теоретически, учитывая совокупность эффектов конденсации противоионов,
электростатического отталкивания одноименно заряженных сегментов и внут-
реннюю жесткость остова (спираль подобна упругому стержню). Полная пер-
систентная длина (/г) заряженного полимера определяется уравнением (9.88).
Плотность заряда (0 ограничена процессом конденсации заряда. Расстояние
между заряженными фосфатными группами вдоль остова ДНК составляет
1,7 А, бьеррумовская длина равна 7 А при 20°С, поэтому эффективный заряд
(£) в модели конденсации заряда Маннинга (9.83) равен 1,7/7 =0,24. Расчет
по уравнению (9.88) дает порядок величины для персистентной длины, со-
ответствующий экспериментальным данным. Полная персистентная длина
определяется внутренней персистентной длиной (Lp = 30 нм) и отталкива-
348 Глава 16. Фазовые состояния ДНК
нием зарядов фосфатных групп. Поэтому вклад зарядового отталкивания
в персистентную длину при ионной силе 0,1 М составляет 20 нм.
Еще один вопрос, возникающий в связи с рассмотрением ДНК, состоит в
учете влияния хиральности на морфологию хромосом. В выражение для свобод-
ной энергии полугибкой цепи (8.19) можно ввести дополнительный член, учи-
тывающий ее склонность к скручиванию. Из теоретического рассмотрения следу-
ет, что хиральность нуклеосомных фибрилл обусловлена специфическим потен-
циалом взаимодействия ДНК с гистонами, а не внутренним взаимодействиям
в нитях ДНК, приводящим к изгибам и кручению, хотя хиральность и оказы-
вает некоторое влияние на флуктуации и упругость свободной цепи ДНК.
В хромосоме ДНК спирально намотана на цилиндрический октамер ги-
стонов, имеющий диаметр (D) ПО А (рис. 16.2). Поскольку это меньше
внутренней персистентной длины цепи ДНК, образование комплекса с
Рис. 16.5. Теоретическая диаграмма состо-
яний одиночной цепи ДНК, контактиру-
ющей с противоположно заряженной
сферой диаметром D, в зависимости от
заряда сферы (Z) и дебаевской длины экра-
нирования (к). Считается, что связывание
определяется только электростатическим
взаимодействием и не имеет никакой хи-
мической специфичности. Модель предска-
зывает фазовые переходы первого порядка
между различными состояниями комплекса:
точечный контакт, соприкосновение, намо-
танная на сферу ДНК. [Воспроизведено
с разрешения из: Netz R.R., Joanny J.F. Mac-
romolecules, v. 32, p. 9026-9040. — Copyright
(1999) American Chemical Society.}
гистоном связано с существен-
ным увеличением потенциаль-
ной энергии. Притяжение между
ДНК и гистоном имеет электро-
статическую природу, однако при
физиологических концентраци-
ях солей его можно считать ко-
роткодействующим. Дебаевская
длина экранирования в этих ус-
ловиях составляет 10 А и может
быть принята в качестве первого
приближения для масштаба элект-
ростатических взаимодействий
ДНК с гистонами. Оценка линей-
ной плотности энергии связыва-
ния в предположении, что сущес-
твует динамическое равновесие
между связанным с гистонами
и свободным состояниями двой-
ной спирали ДНК, дает величи-
ну 1-2 кТ на 10 пар оснований.
Экспериментальное исследова-
ние показало, что переход между
связанным с гистонами и сво-
бодным состояниями происходи
по принципу «все или ничего» и является фазовым переходом первого по-
рядка; например, при увеличении концентрации соли в растворе происхо-
дит фазовый переход первого порядка, состоящий в разматывании ДНК с
16.2. Компактизация ДНК — пример комплексообразования с учасием полиэлектролитов -*!/• 349
гистонов. Таким образом, к процессам комплексообразования с участием
ДНК может быть применена хорошо развитая термодинамическая теория
фазовых переходов.
Фазовая диаграмма для образования комплекса ДНК с идеализированной
положительно заряженной сферой в водной среде приведена на рис. 16.5.
Цепь ДНК может прикасаться к сфере, иметь с ней точечные контакты или
быть намотанной на нее. Устойчивость фазы зависит от дебаевской длины
экранирования и заряда на сфере. Моделирование методом молекулярной
динамики дает подобные же результаты и позволяет определить зависимость
эффектов от радиуса сферы. Как теория, так и моделирование методом Мон-
те-Карло предсказывают, что при увеличении радиуса положительно заря-
женной сферы должен происходить переход ДНК в намотанное на сферу
состояние.
При образовании комплексов полиэлектролитов возникает новое, про-
тиворечащее интуиции явление перезарядки. Оно возникает как при обра-
зовании комплексов коллоидов (например, гистонов, сферических частиц
с нанесенными на поверхность аминокислотами и т.п.) с противополож-
но заряженными полимерами, так и полиэлектролитов с противоположно
заряженными плоскими поверхностями. При этом происходит адсорбция
большего количества полиэлектролита, чем необходимо для полной ней-
трализации заряда, и заряд адсорбирующей поверхности изменяет знак на
противоположный. В комплексах ДНК с гистонами заряд ДНК значитель-
но превосходит заряд гистонов, в результате чего хромосомы несут большой
отрицательный заряд. Термодинамической причиной этого является, по-ви-
димому, конденсация противоионов. Избыток свободной энергии перезаря-
женного комплекса компенсируется увеличением энтропии высвобождаемых
при образовании комплекса ионов.
16.3. ОБЛЕГЧЕННАЯ ДИФФУЗИЯ
Целый ряд ферментов связывается с ДНК. Среди них — фер-
менты инициации транскрипции, РНК-полимеразы и эндонуклеазы, которые
химически изменяют ДНК. Скорость реакции для ДНК-связывающих белков
существенно выше расчетной в предположении о необходимости трехмерной
диффузии фермента к месту реакции (раздел 5.5). Классический пример —
/ас-репрессор, расчетная степень связывания которого с ДНК оказывается
в 100 раз меньше наблюдаемой. Для объяснения этого расхождения было
предложено несколько моделей облегченной диффузии. Предполагается, что
при взаимодействии /ас-репрессора с ДНК возможны три основных процесса:
скольжение белка по цепи ДНК, перепрыгивание белка с сайта на сайт вдоль
цепи ДНК и межсегментный перенос белка через длинные сегменты цепи
350 -*Ъ- Глава 16. Фазовые состояния ДНК
ДНК между сайтами связывания (рис. 16.6). Важный момент при объясне-
нии увеличения скорости связывания состоит в том, что при уменьшении
размерности пространства, в котором происходит диффузия эффективность
столкновений, приводящих к реакции, возрастает. Фермент можно заставить
диффундировать в одном измерении вдоль цепи ДНК, что существенно со-
Перепрыгивание
Рис. 16.6. Схемы трех основных модельных процессов для объяснения облегченной
диффузии белка по цепи ДНК
кратит время поиска последовательности оснований, соответствующей сайту
связывания. Кроме того, вероятность столкновения между белком и ДНК
будет гораздо выше, если фермент находится внутри спирали ДНК.
Расчет коэффициента трехмерной диффузии по уравнению Стокса-Эйн-
штейна (5.11) для малого (диаметром 5 нм) глобулярного белка дает величи-
ну примерно 108 нм2-с-1. Считается, что фермент до реакции диффундирует
в трех измерениях, а молекула ДНК из-за своих размеров движется гораз-
до медленнее белка. Константа скорости связывания (к, уравнение (5.54))
равна:
к = 4nDa, (16.1)
где а — размер связывающего сайта на белке, D — коэффициент диффузии
белка. Обычно размер связывающего сайта белка гораздо меньше его разме-
ров: a/d ~ 0,1, где d — диаметр белка. Расчет по уравнению (16.1) дает для
константы скорости значение 108 М-с-1, а экспериментально полученное
значение для /ос-репрессора превышает Ю10 М-с-1. Это расхождение можно
объяснить с помощью механизма облегченной диффузии.
Как скольжение по цепи, так и перепрыгивание через сегменты ДНК
в моделях облегченной диффузии увеличивает константу скорости связыва-
ния. Вероятность того, что при скольжении фермент остается на цепи ДНК
через N шагов, равна
(1 - P)N = eMn(1-P), (16.2)
16.2. Компактизация ДНК — пример комплексообразования с учасием полиэлектролитов
Л-
351
где Р— вероятность диссоциации, а равенство представляет собой следствие
определения логарифма. Диссоциация фермента представляет собой пример
пуассоновского процесса распада (раздел 5.3) с вероятностью, пропорцио-
нальной е'', где д — среднее значение. Математическое ожидание одного
события распада равно вероятности пуассоновского процесса при д = 1,
поэтому количество шагов (7V), на которое возможно скольжение, равно
N =------—.
1п(1-Р)
В случае очень малой вероятности диссоциации:
Р<£1 1п(1-Р)»-Р.
Следовательно:
N = \/Р.
(16.3)
(16.4)
(16.5)
Тогда характеристическая длина скольжения при одномерной диффузии
((/s2/) = 2A27V, уравнение (5.7)) равна
(16.6)
/
Длина скольжения __ _____
Цепь ДНК
Рис. 16.7. Определение дли-
ны скольжения (/sI) в процессе
облегченной диффузии. Белок
неспецифически связывается с
ДНК, скользит вдоль цепи на
расстояние, равное длине сколь-
жения, а затем диссоциирует от
цепи ДНК
где h — длина шага скольжения, выраженная в парах оснований
(рис. 16.7).
По определению диффузии в одном измерении (5.42) характеристическое
время (ts1) перемещения на длину скольжения (/sl) равно
/2
= (16.7)
Следовательно, для существенного увеличения скорости реакции (урав-
нение (16.7)) нужно, чтобы длина скольжения (16.6) была значительной, то
есть константы диссоциации (Р) должны быть очень малы.
Если учесть одновременно эффекты скольжения и перепрыгивания
(рис. 16.8), то константа скорости (к, скорость реакции на единицу длины)
будет равна
352 Глава 16. Фазовые состояния ДНК
к = Da\^ + ^aLldc\ \ (16.8)
Vsl D\ J
где L — полная контурная длина цепи ДНК, а — размер сайта связыва-
ния, D — коэффициент трехмерной диффузии для связывающегося белка,
Dx — коэффициент диффузии для скольжения белка вдоль цепи ДНК, с — кон-
Рис. 16.8. Расчетные зависимости константы
скорости связывания белка (к/Da) с ДНК от
длины скольжения (/sl). Приведены три воз-
можные решения для разных концентраций
ДНК. Оптимальная скорость скольжения
зависит от концентрации ДНК. На графике
приведены значения константы скорости,
нормированные на диаметр (а) связываю-
щего сайта белка. [Halford S.E ., Marko J.F .
Nucleic Acids Research, 2004, v. 32, no. 10,
p. 3040-3052.])
центрация ДНК (молекулы-мишени). Теория предсказывает немонотонную
зависимость константы скорости от ионной силы, что подтвердилось при экс-
периментальных исследованиях и явилось главным успехом этой теории.
Дополнительная литература
Calladine C.R ., Drew H.R . Understanding DNA: the molecules and how it works. —
Academic Press, 1997. — Чрезвычайно полезное введение в проблему свойств ДНК
с точки зрения архитектуры. Требует минимум математической подготовки.
Halford S.E ., Marko J.F . How do site specific DNA binding proteins find their tar-
gets? Nucleic Acid Research, v. 32, no. 10, p. 3040-3052. — Хорошее объяснение
процессов связывания ДНК с различными лигандами.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА 1
1.1. Длина двойной спирали ДНК в А-, В- и Z-формах (1А, 1В и /z, соответс-
твенно) равна:
4. ю8
1А =-ztk~0>26 = 158мкм,
А 660
4 108
1В = • °,34 = 208 мкм,
4 -108
/у =^ 0,37 = 224 мкм.
z 660
1.2. Мембрана имеет структуру жидкоподобного бислоя, и молекуля белка
расположится в этом бислое так, чтобы гидрофобные и гидрофильные учас-
тки ее поверхности контактировали с соответствующими областями бислоя
(см. рис. 6.3).
1.3. Значение pH можно рассчитать, используя определение константы рав-
новесия (Аа):
1н+НМ
[HArg]
МЧМ
[н+]2
[НА^’
[Н+]« -[HAig],
pH = 'pKa-;ig[HAiB] = 6,60.
354 —• V Ответы и решения
1.4. Для составления списка биомолекул, в состав которых входят металлы,
следует обратиться к хорошему учебнику биохимии. Таких биомолекул очень
много. К ним относятся, в частности:
- содержащие железо гемоглобин (перенос кислорода) и ферритин (депо
железа;
- содержащие магний гексокиназы (синтез АТФ) и хлорофилл (фотосинтез
у зеленых растений);
- содержащие кальций протромбин (свертывание крови) и тропонин (мы-
шечное сокращение).
ГЛАВА 2
2.1. Чтобы получить выражение для силы, надо продифференцировать по-
тенциал по координате:
(г г13 (г г7
F(r) = -12£r0^] +12£r0[f)
Сила притяжения при г = г0/2 пренебрежимо мала:
г[^-| = 4,об-ю-25 Н.
2.2. Формула для дебаевской длины экранирования приведена в Приложении.
Расчет по ней дает следующее значение для концентрации одно-одновален-
тного электролита 0,001 М
0,304
= . = 9,6 нм.
Vo, оо1
Сходным образом:
при 0,01 М ir1 = 3 нм,
при 0,1 М кг1 = 1 нм,
при 1М кг1 = 0,3 нм.
В чистой воде концентрации ионов водорода и гидроксила равны друг другу:
[Н+] = [ОН-] = 10-7 М. Поэтому в чистой воде длина экранирования состав-
ляет ir1 = 0,304/[Н+] = 3 мм! Поэтому в чистой воде расстояния, на которых
существенны электростатические взаимодействия между молекулами, могут
в миллион раз превышать их размеры.
Для раствора соли двухвалентного металла при концентрации 0,001 М длина
экранирования составляет:
Ответы и решения
355
-1 0,176 . ,
к = ...---- = 5,6 нм.
ДооТ
к-1 = 1,76 нм,
к-1 = 0,56 нм,
к*1 = 0,176 нм.
Сходным образом:
при 0,01 М
при 0,1 М
при 1 М
Ионная сила физиологического раствора примерно равна 0,1 М, поэтому
в физиологических условиях дебаевская длина экранирования составляет
около 1 нм.
2.3. Из электростатики известно, что потенциал заряженной сферы \|/ (г) ~ 1/г,
а для цилиндра (г) ~ In (г), то есть в случае сферы потенциал убывает
с расстоянием быстрее. Вблизи равномерно заряженной плоскости у(г) ~ г.
Эти зависимости легко получить с помощью теоремы Гаусса.
2.4. Потенциал стерического взаимодействия имеет вид w (г) ~ е r^Rg, а для
экранированного электростатического взаимодействия у (г) ~ е-кг. В предпо-
ложении, что предэкспоненциальные множители имеют одинаковые порядки
величины, получим, что стерические взаимодействия становятся существен-
ными, когда ir1 < R и г < R, где г — расстояние между частицами.
& ^Р о ^Р
ГЛАВА 3
3.1. Кооперативность фазового перехода возрастает с увеличением длины
а-спирали, т.е . переход наблюдается в более узком интервале темпера-
тур, поэтому ширина перехода, определяемая с помощью ДСК, умень-
шается.
3.2. При увеличении длины цепи и ухудшении качества растворителя для длин-
ных полимерных цепей наблюдается явление гистерезиса. Так, например, размер
глобулы зависит от пути, по которому происходит сворачивание цепи.
3.3. Изменение энтальпии при образовании кристаллита равно:
2-1,2-Ю"3-323 1CK>rrf .
= ~%f = 50.10--1 = 15 МДЖ/КГ
ГЛАВА 4
4.1. При нагревании раствора крахмала возможны следующие последова-
тельности изменений параметров порядка (упорядоченное состояние — об-
разующееся в результате самосборки):
356 -*L- Ответы и решения
Р2 > 0, у > О, А > О (гидратированное упорядоченное) —> Р2 = О, у = 0, h = О
(клейстеризованное);
Р2 > 0, v > 0, h > 0 (гидратированное упорядоченное) -> Р2 > 0, у = О, А > О
(клейстеризованное) — эта ситуация показана на рис.
Состояние, образующееся в результате самосборки, может возникать также
при добавлении воды:
Р2 > 0, v - О, А > 0 (сухое неупорядоченное) -> Р2 > 0, у > 0, h > 0 (гидрати-
рованное упорядоченное).
Поэтому при тепловой обработке крахмала возможен третий вариант:
Р2 > 0, у = О, А > О (сухое неупорядоченное) Р2 = О, у = О, Л = 0 (клейсте-
ризованное).
Процессу расслоения также соответствуют определенные изменения пара-
метров порядка:
Р2 = 0, у = 0, А = 0 (клейстеризованное) Р2 = 0, у = 0, А > 0 (расслоенное).
В результате стерических ограничений возникает взаимозависимость между
ориентацией мезогена и степенью его спирализованности.
4.2. Ориентационный параметр порядка можно рассчитать следующим об-
разом:
п
f cos2 ер (е) de 3п/4 3я/4
(cos2 б) = —— -------- = — J* cos2 ede - — f (1 + cos 20) de = ,
f P(0)d0 "/4 71 "/4
0
3 э 1 1
P2 (COS0) - 2 cos2 0 - 2 = 4 •
4.3. Оценка критической концентрации (объемной доли) по Онсагеру дает:
ф< 3,34 ^ = 0,167, или ф < 16,7%.
-L*
4.4. Увеличение энтропии за счет боковых цепей компенсирует уменьшение
энтропии основной цепи полимера, что увеличивает ее жесткость и может
вызвать появление нематической фазы.
ГЛАВА 5
5.1.
D 2vZP гло-' ю-’ и ,. .
Re =------- =-----------;—— = 14,4.
П 1,8 10 5
Ответы и решения
-\г 357
Значение числа Рейнольдса не мало, поэтому инерциальные силы могут
быть велики.
5.2. Для одномерной диффузии (х2} = 2Dt, откуда для характерного време-
ни диффузии имеем:
(х2) (2,7-10-3)
"2ZT- 2-1,35-Ю"’
= 2,7-103 с.
Это время слишком велико, чтобы такой механизм можно было использо-
вать для сигнализации.
5.3. Коэффициент вращательной диффузии равен:
D
6 8тсг]д3
------------------------^- = 2,04 10 2 рад е-1.
8 • 3,142 -0,001 (2 КГ6)
Среднеквадратичный поворот при одномерном вращении:
(е2) = 2Ре/,
откуда для поворота на 90° потребуется в среднем 60 с.
Для трехмерной диффузии (г2} = 6Dt и (О2) = • Полагая г= 2па и 0 = 2л
и подставляя значения коэффициентов трансляционной и вращательной
диффузии, получим:
4
'е “ 3*’
где t9 — среднее время перемещения точки на поверхности частицы на рас-
стояние 2па при трехмерном вращении, a t — среднее время, затрачиваемое
на перемещение на такое же расстояние при трехмерной трансляционной
диффузии.
5.5. Коэффициент диффузии D подвижной частицы равен
где а — среднее значение косинуса угла между направлениями последова-
_ „ 11
тельных пробегов. Подставив численные значения величин, получим а — ,
то есть угол между направлениями пробегов в среднем равен 23,6°.
ГЛАВА 6
6.1. Параметр а (потенциал Планка) равен:
358 -»Ц- Ответы и решения
4 - 3,142 - (2 • 10~9 )2 - 20 -10—3
= 245,
4лЯ2у
ГУ = ---L _ _______________
кТ 4,1 ПТ21
откуда для критической концентрации мицеллообразования (ККМ) имеем:
ККМ « е~а^'/3 = е-245/>оооо-/з = 1Д5.10-5 м
6.2. Критическая концентрация самосборки сс равна:
сс =К = е^/кТ =0,01
Средняя степень полимеризации (ла„) филамента равна
= = ю,
где ct — полная концентрация мономеров. Тогда средняя длина филамента (7^)
равна средней степени полимеризации, умноженной на длину мономера,
то есть: lav - 10 • 5 = 50 нм. Таким образом, даже при высоко концентрации
мономеров образуются довольно короткие филаменты.
ГЛАВА 7
7.1. Краевой угол можно рассчитать по уравнению Юнга-Лапласа:
= Ys/ + Yig cos(O),
или 18 = 73,2+72 cos0, откуда: 0 = 140°. Коэффициент смачивания равен:
Л = 1Ц«2 = _0,77.
Таким образом, поверхность листа лотоса не смачиваема водой, что спо-
собствует его самоочищению.
ГЛАВА 8
8.1. Для гибких резиноподобных сеток плотность сшивок (v) линейно свя-
зана с модулем Юнга:
£=3 kTv.
106
Для эластина v =----------=- - 8,13-Ю25 м-3.
3-4,110-21
109
Для коллагена v =---------=-= 8,13-1028 м-3.
3-4,1-10“21
Ответы и решения
359
Цепи коллагена полугибкие, поэтому для описания их упругих свойств мо-
дель гибких цепей не подходит.
8.2. Поскольку Ethennal = кТ, то, учитывая, что kf= 1ркТ, получим:
£77, (О2)
кТ =----
2s
откуда (б2)= 2,3-10-4 рад2. Таким образом среднее угловое смещение фила-
мента равно (в2 у/2 = 2,7°.
8.3. Длина молекулы титина, заключенной в трубку, равна:
2
Д. « 7Va[—1 3 = 600 нм.
1 I а )
При растяжении до 750 нм размеры блобов меньше диаметра трубки, поэто-
му конформация цепи (и упругость) не зависят от наличия трубки.
8.4. Свободная энергия идеальной цепи равна:
F (Л) = -Т In ZN (Я) = const. + .
N INI2
Если к концам цепи приложена сила /, то в равновесии
f dR lir'
В хорошем растворителе полимер подчиняется закону Гука.
В плохом растворителе сила, измеренная с помощью оптических ловушек,
гораздо больше (для ДНК ~ 0,3 кТ на пару оснований). При этом возмо-
жен переход глобула-клубок без расплетания, что можно видеть по кривым
сила-расстояние.
8.5. В соответствии с персистентной (червеобразной) моделью для цепи
ДНК имеем:
(я2)1/2 = JUTp = ^2-60-10~6-450-1О“10 = 2,32 мкм.
ГЛАВА 9
9.1. У полилизина способность аминогрупп к диссоциации уменьшается
из-за взаимодействия с соседними группами в цепи (диссоциация энерге-
тически не выгодна).
360 -*v- Ответы и решения
9.2. Для параметра Маннинга имеем:
,‘± = 1
b 5’
где 1Ь — бьеррумовская длина, b — линейная плотность заряда, поэтому от-
носительная заряженность полимерной цепи равна 1Д=5/7.
9.3. Полная персистентная длина (/г) в модели ОСФ равна сумме внутренней
электростатической персистентных длин: 1Т =1р + 1е, при этом
/ = /д
е 4к2Л2 ’
где А = a/f = 1/0,5 = 2 нм. Поскольку 1В = 0,7 нм, то получаем, что 1е = 0,7 нм.
9.4. Важнейшими свойствами полиэлектролитов, делающих их пригодными
для использования в указанных целях, являются:
- чрезвычайная гидрофильность и способность набухать: набухший гель
полиэлектролита может содержать менее 1% сухого полимера по массе;
- эти материалы заряжены (что уменьшает прилипание) и биосовме-
стимы.
В предположении, что диссоциируют все заряды полимерной цепи, осмоти-
ческое давление (л) пропорционально числу зарядов в единице объема (л):
л = пкТ. количество зарядов равно п = 0,001-6-1023 = 6-1020 дм-3. Следова-
тельно, осмотическое давление равно л = 0,404 Дж/дм3. Осмотическое дав-
ление нейтрального полимера можно оценить как кТ на каждый блоб или,
совсем грубо, как кТ на цепь. В любом случае оно гораздо меньше вклада
противоионов.
9.5. Размер заряженного блоба можно оценить по формуле:
2 _[
D аа3и 3,
где а — длина мономера, о — число мономеров между заряженными звеньями
(о = 1 соответствует полностью заряженному полимеру), и — бьеррумовская
длина;
D и = 7/3,6 А,
о а = шаг полипептидной цепи = 3,6 А,
D = 2,9 А для полностью заряженных блобов (полная
-----------». длина),
ЛП D = 13,4 А для слабо заряженных блобов (о = 10).
Цепь образует полугибкий стержень из блобов (см. рис.):
Ответы и решения
-Д- 361
где /^| ~ — IЛ , N — число мономеров в цепи, g — число мономеров в бло-
\ 8 /
бе, D — размер блоба.
ГЛАВА 10
10.1. Линейное натяжение мембраны равно:
А. = tR* = 2,6 10-90,03 = 8-10-'1 Джм1.
10.2. Аксиальное и кольцевое напряжения равны:
_гР _105 10“6 „ . 1п9гт
° axial - 2h 2 10“9 0,510 Па
гР я
<b,w = ^=108 Па
10.3. Для персистентной длины в двух случаях имеем:
Отношение этих длин равно: W^=e10"-
Для показателей степеней пиков имеем:
Лт1~ (ВКГХ,г, цт2~(В2КГ1/2.
Следовательно, отношение эти показателей равно: т|т] / т]т2 = >/2 .
10.4.
4 с,а. с’^
4
Lc
ГЛАВА 11
11.1. В направлении параллельном поверхности модуль Юнга равен:
Етц = Ес§с + Еа (1 - фс) = 50 • 109 • 0,9 + 50 • 106 • 0,1« 45 ГПа.
В направлении перпендикулярном поверхности модуль Юнга равен:
ЕсЕа
Ет^ Ес^ + Еа1\-6,сГ55МПа-
Отношение модулей Юнга равно : EmL = 818:1.
362 -*\r Ответы и решения
11.2. Для пористого тела с незаполненными порами:
где Е = 9 ГПа, а = 20 мкм, t = 1 мкм. Поэтому:
( 1 ?
Ef ~ Ш • 9000 « 0,056 МПа.
При заполнении пор водой:
( 1 I2
Ef ~ Ш • 9000 « 22,5 МПа.
ГЛАВА 12
12.1. Скорость сдвига равна (Ю^/Ю^Ю-6 = Ю3 с-1. Число Пекле равно:
Ре = 6jtpe3Y = 6л. Q 001. /10-б\3-10^. = 4 6 ю3
кТ ' * ' 4,1 10-21
При высоких числах Пекле, как в данном случае, сдвиговая скорость может
влиять на микроструктуру.
12.2. Для модели Максвелла: т| = iG, поэтому характеристическое время ре-
лаксации равно т = 106 с ~ 11,6 суток.
12.3. Вязкость можно найти по формуле Эйнштейна:
ц = [1 + |ф| = Ю 3 [1 +1 - 0,02] = 1,05 - IO"3 Па • с.
Глава 13
13.1. Лазерный пинцет можно откалибровать, используя закон Стокса или
анализ на основе уравнения Ланжевена. Из приведенных данных следует,
что предельная частота равна fc « 500 F; у = 6лт|г = 1,88-10-8. Поэтому жест-
кость ловушки равна:
кх = 2л/су=5,9110-5 Н/м.
13.2. Жидкость А — в основном, вязкая, так как СКС ~ t. Жидкость В — вяз-
коупругая, поскольку (Ar2 ~ ta , а < 1. Статические ошибки увеличива-
ют плато на зависимости СКС от времени, когда величина СКС сравнима
с квадратом статической ошибки. Так, при наличии статических ошибок
кривая В могла бы быть получена для просто вязкой жидкости.
Ответы и решения
363
13.3. Из уравнения (13.45) для скорости имеем: v « . В ДНК рассто-
яние между фосфатными группами равно 1,7 A: q = 1/1,7 е/А, А = 106/300,
поэтому:
(1 /1,7)1,610-19 1О10-2100 о . Jn_9 .
v - v . . ...—— ------— 9,4 • 10 у м/с.
3 0,002 -106 / 300
При уменьшении размеров цепи в 10 раз во столько же раз возрастет ско-
рость электрофореза.
13.4. Из уравнения (13.35) при сос = 0 получаем требуемое выражение для
плотности мощности спектра в отсутствие возвращающей силы:
(Аг2 (<о)) =-2 .
лусо
Для жидкости, подчиняющейся степенному закону, зависимость от частоты
изменяется:
(Дг2М~^Г’
где а — положительная константа, и СКС ~
ГЛАВА 14
14.1. Две критические концентрации мицелл равны:
с с --
'~m+crit ’ ^m-crit •
К on Коп
Проверьте данные таблицы, используя эти уравнения. Критическая концен-
трация тредмиллинга определяется следующим образом:
ст tm , f _ •
^оп 4" ^оп
Для АТР с актином с ,= 0,13 мкМ, для ADP с актином cmt = 1,88 мкМ.
т tm 7 ’ т tm 7
ГЛАВА 15
15.1. Из уравнения (15.31) следует, что Eprotein = 1 МПа.
15.2. Характерное время релаксации напряжения, зависящее от движения
интерстициальной воды, равно:
10~3 0,9510~3 2с
Х‘ ” п2Ек ~ (3,142)2-0,78 -Ю6-610-13 ~