SSb	—
РАССЕЯНИЕ ВОЛН
ЛОКАЛЬНЫМИ
НЕОДНОРОД-
НОСТЯМИ
В СПЛОШНЫХ
СРЕДАХ
И. Т. Селезов
Ю Г Кривонос
В. В. Яковлев
Q-29
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУ1 КИБЕРНЕТИКИ им. В. М. ГЛУШКОВА
И. Т. Селезов
Ю. Г. Кривонос
В. В. Яковлев
ьо
сО
РАССЕЯНИЕ ВОЛН
ЛОКАЛЬНЫМИ
НЕОДНОРОД-
НОСТЯМИ
В СПЛОШНЫХ
СРЕДАХ
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1085
I
УЖ 534.1/2
Рассеяние вади локальными неоднородностями в сплошных средах/
Селезов И.Т., Кривонос В.Г., Яковлев В.В. - Киев : Наук, думка,
1985. - 136 с.
В монографии рассматриваются задачи теории рассеяния акустиче
ских, электроиагнитных, магнитоакустических и магнитоупругих волн
локальными неоднородностями, свойства которых зависят от радиаль-
ной координаты в пределах замкнутой ограниченной симметричной 'облас-
ти. Решения получены на основе метода обобщенных степенных рядов,
что в отличие от известных решений позволяет исследовать неоднород-
ности с произвольно гладко переменными свойствами, такими, как плот-
ность и скорость звука для акустических волн, диэлектрическая про-
ницаемость для электромагнитных воля и др.
Рассеяние неустановившихся акустических волн изучается мето-
дом степенных рядов и методом численного обращения преобразования
Лапласа. Приведены точные и приближенные решения новых задач, обоб-
щения уже известных, анализируется влияние неоднородностей на рас-
сеянные поля
Для специалистов в области теории рассеяния волн.
пл. 49. Библиогр.: с. 123-133 (243 назв.).
Ответственный редактор
И.А.Дуковскжй
Рецензенты
В.Д.Кубенко, Ю.П.Ладиков
Редакция физико-математической литературы
с I703040000-106
1'221(04)-85
165-85 (o') Издательство "Наукова думка", 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рассеяние волн локализ ванными в пространстве неоднородностями
имеет важное практическое значение и представляет интерес дня мно-
гих исследователей. Задачи рассеяния волн, только в исключительных
случаях допускающие аналитические решения и возможности построения
точных решений на основе строгих методов теории интегральных урав-
нений и разделения переменных, в настоящее время в значительной ме-
ре исчерпаны. Поэтому дальнейший прогресс в этой области может быть
достигнут на пути развития новых аналитических методов, развития и
применения численно-аналитических и численных методов, реализуемых
на ЭВЫ.
Большинство исследований в области теории рассеяния и дифрак-
ции волн относится к неоднородностям с постоянными параметрами, не
зависящими от пространственных координат, те. для однородных вклю-
чений Существенный прогресс достигнут также в изучении неоднородно-
стей, свойства которых медленно меняются по [ространственным коор-
динатам, с использованием асимптотических методов: лучевого метода,
метода параболического уравнения, метода "эталонных решений" /5,6,
7/. В этом случае можно предполагать, что и поле волны медленно из-
меняется в зависимости от расстояния. Так, например, для плоской
монохроматической волны поле остается локальным "почти плоским” /74,
75, 144/- Для скалярного уравнения Гельмгольца
?ги(г>*^пг1г)игг>~ 0
в случае, когда коэффициент преломления п7г) мало изменяется на
длине волны A(r)‘ ffa (г)/	, егс решение представим в воде
ulrh Л 7г> елр Z/ V7 г)J,
где амплитуда А(г) и локальный волновой вектор 7r(r)= г <^/<7	<
токе малр меняются на длине водны,
/?/?>/•« ////, A/fy /
»
Неоднородности, свойства которых достаточ. о быстро изменяются
в зависимости от пространственных координат, так что не выполняются
приведенные выше неравенства, исследованы незначительно. Построено
3
мало решений, недостаточно глубоко проанализированы явления, харак
тарные для таких неоднородностей. Прогресс в этой области был до-
стигнут на основе применения метода обобщенных степенных рядов
/152, 155, 156, 158/. Здесь этот подход систематически применяется
к решению и анализу новых классов задач рассеяния акустических,
электромагнитных, магнитоакустических и магнитоупругих волн. Метод
позволяет построить решение с любой наперед заданной точностью,
не вдаваясь в детальное распределение волновых палей во внутренней
области, занимаемой неоднородностью, если требуется исследовать по-
ле во внешней области.
Как отмечалось ранее /156/, среди численных методов, по-види-
мому, наиболее перспективным для решения такого рода задач является
метод конечных элементов с применением сплайн-функций, в частности
В-сплайнов (базисные сплайны с конечными носителями минимальной
ДЛИНЫ) /М/-
В первой главе дана общая постановка прямой задачи рассеяния
волн как задачи сопряжения в классическом смысле, так и в классе
обобщенных решений /86, 87/. Приведены сведения о разделении пере-
менных, методе степенных рядов, численном обращении интегрального
преобразования Лапласа, Из теории цилиндрических и сферических
функций.
Вторая глава посвящена задачам рассеяния стационарных акустиче-
ских волн цилиндрическими и сферическими неоднородностями. Получены
решения для абсолютно жестких, однородных и неоднородных по плот-
ности цилиндра и сферы, а также абсолютно жестких цилиндра и сферы,
покрытых неоднородным слоем. Приведены и проанализированы результа-
ты численных исследований.
В третьей главе рассматриваются рассеяние нестационарных акусти-
ческих волн. Задачи решаются методом интегрального преобразования
Лапласа с последующим численным обращением изображения с помощью
смещенных ьшогочленов Лежандра. Получены пространственные и времен-
ные характеристики дифрагированного импульса давления.
В четвертой главе исследуются характеристики электромагнитных
полей, рассеянных цилиндрическими неоднородностями, как идеально
проводящими, "НК и диэлектрическими. Рассмотрен идеально проводящий
цилиндр, покрытый неоднородным диэлектрическим слоем. Проанализиро-
вано распределение поверхностного тока для указанных неоднородностей
рассчитано полное поперечное сечение рассеяния.
В пятой главе исследуются задачи рассеяния магнитоакустических
и магнитоупругих волн. Получены частотные характеристики волн, рас-
сеянных абсолютно жестким идеально проводящим и магнитоупругим пи-
линдрами, радиально неоднородными по плотности цилиндром и сферой.
Материал монографии составлен в основном по результатам авто-
ров. Изложение ведется со степенью строгости, принятой в работах
прикладного характера. При решении конкретных задач предполагается,
что искомые и заданные функции удовлетворяют условиям, допускающим
применение выбранного математического метода.
Авторы выражают благодарность И. А.Луковскому, В.Д.Кубенко,
Ю.П.Ладикову за замечания, сделанные при рецензировании работы и
глубоко признательны Т.М .Яковлевой, предоставившей отдельные мате-
риалы, а также Т.В.Шепелевой, выполнившей ряд расчетов и принимавшей
активное участие в подготовке рукописи.
ГЛАВА 4
HEKOTOHJE МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАССЕЯНИЯ ВОЛН
Рассмотрена общая задача теории дифракции вслн в классической
постановке и классе обобщенных решений, а такие методы исследования,
применяемые в последующих главах. В случае локальных неоднороднос-
тей, когда возможно разделение переменных, задача теории дифракции
волн приводится к исследованию обыкновенного дифференциального урав-
нения с переменными коэффициентами. В связи с этим рассматривается
решение уравнений второго порядка с многочленными коэффициентами'
методом обобщенных степенных рядов. В случае нестационарных линей-
ных задач теории дифракции естественным является применение интеграль-
ного преобразования Лапласа по временной координате. Основная труд-
ность перехода от изображений к оригиналам здесь преодолевается ме-
тодом численного обращения преобразования Лапласа с помощью смещен-
ных многочленов Лежандра. В заключение даны основные определения и
приведены свойства цилиндрических и сферических функций.
§ 1.1. РАССЕЯНИЕ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН
Задача дифракции волн локальной неоднородностью формулируется
следующим образом. Рассмотрим в области Р некоторую ограни-
ченную область с £>	. Внутренняя и внешняя области
(?г • S? /fy заполнены средами, имеющими различные физические
характеристики. В области Q среду принимаем однородной, в облас-
ти 5^ среда может быть как однородной, так и неоднородной. Если
следовать классической постановке, то движение каждой из сред описы-
вается соответствующей системой дифференциальных уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами в области £>г либо с по-
стоянными, либо с переменными коэффициентами в области Q, . На
границе раздела сред решения сопрягаются.
Рассмотрим, например, случай стационарной дифракции, когда тре-
буется найти функцию и (?)	, удовлетворяющую уравнению f&lj
у •*. -у /	-•
6
* at* ) и * f/irl.
(I. I)
условиям сопряжения на границе раздела оред (?f и
r L дл J г
граничному условию в случае ограниченной внешней области
и/ * 0	(5.3)
или условиям Зоммерфелдца в случае бесконечной области -й>
В классической постановке, отмеченной выше, это уравнение записы-
вается двумя уравнениями в областях -S’ и Я, относительно функ-
ций ut а соответственно. В каждой из областей находятся- реше-
ния, и затем они сшиваются на границе раздела Г .
Эту же задачу можно рассматривать и в классе обобщенных реше-
ний, т.е. краевую (в стационарном случае) или начально-краевую
(в общем случае) для уравнений или систем уравнений, коэффициенты
которых терпят разрывы первого рода на поверхности г . Обобщенное
решение задачи (I.I) - (5.3) ищется как элемент як,'(!?) , удовлет-
воряющий интегральному тождеству
Z	(Ду иг - bjl/q %- ai/y J Дг . -
(5.4)
при любой ?е	. Здесь Л5?) - замкнутое подпростран-
ство пространства и/ЛР/ , плотным кшожеством в котором является
С“ (S?) ;	- ifflcatecTBo всех элементов и/г)	из
имеющих обобщенные производные до первого порядка включительно из
Ьг(&). В (I.I), (1.4) и далее по повторяющимся индексам предпола-
гается суммирование.
Разрешимость такого рода задач достаточно полно исследована
0. А. Ладыженской /86, 87/. Дополнительная информация имеется в рабо-
тах/3, 9, 58 , 23,24,26,35 , 36 , 42 , 43 , 55 , 65 , 68, 72, 83 , 84 , 89,
555, 120, 525, 537, 540, 545, 545, 565, 569, 570, 575, 477, 178,
583, 584, 186, 595, 204, 236/.
§ 5.2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ НЕИМЕНИИ
Явления распространения, дифракции и рассеяния волн в сплош-
ных средах описываются системой дифференциальных уравнений в част-
ных производных с соответствующими условиями сопряжения и начальны-
ми условиями. В случае неоднородных сред эти уравнения имеют пере-
менные коэффициенты, зависящие от пространственных координат. Во
многих случаях систему таких уравнений можно свести к одному урав-
7
неивю парадка выше первого. Рассмотрим линейное уравнение
li/lxj} = Л	(5.5)
•дцесь -»«/>,, ж,, tj j - вектор пространственных координат;
/г ж, - временная координата; Z - дифференциальный оператор по-
рядка т , определенный в области трехмерного евклидова пространст-
ва и /е г/ ,	j
i- Е Е а- ,-м-------------------- ;	<*-б)
= f /•’/	...
коэффициенты qt- ; ( х) предполагается Определенными для
[ х, . хг , х3' ] с' 0 , симметричными пс индексам	Z
и дифференцируемыми в столько раз, сколько требуется. При
/ - 0 оператор Z определяется как оператор умножения на я.
В дальнейшем ограничимся классом уравнений типа (5.5) .допускаю-
щих разделение переменных. Это означает, что представление решения
в виде
ь'/ж/,ж„5,/л	(1.7)
и подстановка его в (1.5) приводят к независимым обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям для кавдуго ХА) , /= 1, 2. 3. 4,
£	X.fx.) • ff,
j.ff X/ * ax' * *	. ’
а также к соответствующим разделенным краевым условиям. При этом
среди коэффициентов £ имеются неопределенные, которые находят-
ся из условия существования нетривиального решения каждой подучен-
ной краевой задачи. Эти коэффициенты представляют собой собственные
значения, а соответствующие им функции - собственные функции. Мно-
жество всех собственных значений образует спектр. В результате исход-
ная задача приведена к спектральной задаче.
Переход от уравнения (5.5) к (5.7), (5.8) возможен лишь при
сильных ограничениях на дифференциальный оператор Z ж коэффициенты
zz- .	. Более полную информацию о разделении переменных в
каждом конкретном случае можно получить на основе теоретико-группо-
вого анализа дифференциальных уравнений /109, 123/.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения с переменными
коэффициентами вида (1.8) в общем случае не выражается черев элемен-
тарные или специальные функции, а именно эти уравнения соответствуют
произвольно распределенным неоднородностям, представляющим большой
практический интерес. Далее будут рассмотрены некоторые методы, пов-
воляющие построить решения таких уравнений.
Для конкретности рассмотрим область У пространства перемен-
ных xf , ж, , х3 , /	, ограниченную плоскостью / = 0 и цилиндри-
ческой поверхностью у с образующими, паралелльными оси .
8
Пусть в этой области задано уравнение*
з
* Е В 1х)з/ rC(x)u -	-j(t/u-0.
Требуется найти регулярное в области В решение ufx,/) , удов-
ле творящее краевому условии
п
Е a fx)ut. * Их)х, a. xcS, /» 0
i,f ' i
и начальным условиям в случае гиперболического уравнения
и/х, 0)- Wx), vf f х.В) - t7x).
Решение разыскивается в ваде
и(х, /7 • ххх> rff)
и после подстановки его в исходное уравнение это приводит к систе-
мам
X (x/Xt. 'Е B.fx)xr >ffx)xJ •
X(x) </*/ v	,,f •	<
f^ft>re t/wr'tf'ff/rj - -X • ХОЛЗЗ,	(x./)f t
И
I E «< (x) X. * ifx)Xj Г Uh 0, xeS, (Л0,
i.t 1	/
откуда следует
3	з
Z A.- /X/X,	'£ B,fx)X,	X~0, r^,
l,t-t ' iX3 '-1 i
0, t ^o.
а. /х)Х* t(x)X- 0, x e s .
Здесь d и з - проекции В Ж S на плоскость > = 0.
В ряде случаев спектр такой задачи является счетным
- «• .	. r	• 0°,
к Бицадзе А.В. , Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнения*
математической физики. - Ы., Наука, 1977, 224 с.
9
а система линейно независимых собственных функций - полной.
Таким образом, функция
l/fx f)=S r ffjf fx)
fcxf *	*
в случае равномерной сходимости этого ряда и рядов, которые следуют
из него почленным дифференцированием, есть решение исходного урав-
нения.
При /7=1 вместо /7=3 получаем спектральную задачу Штурма-
Лиувилля, дифференциальное уравнение
Xfx)X * < S/x/X '<• ZCM 'SJ Х=0,
A f х) -	fxf),	xf - x
в области ZVz'Z , />z7 ,и краевое условие ввда
at л"м/< х/о>* сг a, x'//> f ij,0.
Эта задача подробно рассмотрена в литературе.
§ 1.3. МЕТОД СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго поряд-
ка с переменными коэффициентами
у**/7х)у'+ уЫу* 0.	(1.9)
Предположим, что f/x> и ffx) представимы в виде рядов по целым по-
ложительным степеням х „ так что уравнение (1.9) припишет ввд
Z' / £<>„ х”)?'' /Е Ъ, х Я- (1.10)
гг- С	"#
Будем искать решение уравнения (1.Ю) в ввде степенного ряда с не-
известными коэффициентами
y-Z^„xn.	(1 .И)
77- О
Подставляя (I.II) в уравнение (1.10), получаем
Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х в левой
части последнего равенства, приходим к бесконечной системе рекур-
рентных уравнений
г !^г >	= Я,
хг i-3^ <3а^ '	*а,«, ' 3„ъ '
41. 1з&/
.	' 4 -? - 4«ъ * 4	*
Ж*	/ /7/^7/ /7» />*><„,? + Р„	. .. , O<„,f J-P,
Здесь /«^ ^/, .... однородный шогочлен первой степени
от аргументов ^,^,..., <><„,, (•£«> - произвольные по-
стоянные) .
Из рекуррентных уравнений системы (I.12) последовательными
вычислениями можно форвльно определить все коэффициенты ,
, . . . гхп у . . . , однако вопрос о сходимости построенного
ряда и существовании решения остается открытым. Известна теорема
/1567-	« '	-
Если ряды	ffxt=Ep а„х” у Е? 3„ х"	сходятся при
/х/ if , то для этих значений х построенный указанным выше.
образом степенной ряд будет сходящимся и решением уравнения (1.10)
В частности, если ffx) ж Р^х) - многочлены от х , то найденный
степенной ряд сходится при любом значении х .
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
Pff м/ г Pf fx/y' * % 7х)у- Р	(1.13)
после деления на Рв 7х) (если Ра7х>*Р на сегменте [ Р , 3 ])
сводится к вдду (1.9), где
Р,/х>	Рг/х)
и решение уравнения (1.13) также можно искать в виде степенного
ряда. При этом проще подставить выражение (1.11) в уравнение (I.I3)
и приравнять нулю неизвестные коэффициенты при одинаковых степенях
х , чем привести уравнение (1.13) к. ввду (1.9).
Прц наличии полюсов в коэффициентах уравнений типа (1ЛЗ)
класс уравнений, решаемых в рядах, определяется теоремой Фукса
Л567.
Если дифференциальное уравнение (1.9) таково, что /7*) и у/х)
II
имеют полюсы при ' * V » то решение можно найти в виде сходяще-
гося обобщенного степенного ряда у/*)* (»-хе>*£ •<„ (x-xf)n
при условии, что произведения (х- хе>( (х> и (x-xf)2y/x>
остаются конечными при х*хв.
Полюс хе заменой переменной можно перенести в точку х = О
 перейти к рассмотрению удовлетворяющего теореме Фукса уравнения
ввда
Х,ук'f(x)xy' f yfxty* Я. (1.14)
Если fix) и gfx) - ряды, расположенные по целым положительным
степеням х , или просто многочлены, то (I.14) записывается так:
О.	(1.15)
Для решения уравнения (1.15) применим метод Фробениуса, согласно
которому решение представляется в виде
у.х*Е*„*”,	(I.I6)
где первый коэффициент можно считать отличным от нуля ввиду
неопределенности показателя степени > у множителя х* .
Подставляя ряд (1.16) в уравнение (1.15) и приравнивая нулю
коэффициенты при каждой степени х , получаем бесконечную систему
алгебраических уравнений, связываниях показатель степени Р и
коэффициенты :
х1'г	B(i) - *е f •»(»-/)*	* iffJ- 0,
x 1 DCh 1) *
x* *a D(i'?) * f(i* ()o,'iflf *ff (Mf * ij)'
(1.T7)
Xtnt> Iff	fifj' *Xff tty, ! i^-
Первое уравнение системы (1.17) называется определяющим уравнением.
Пусть и - его корни. Предположим также,что они различны и
разность между ними - не целое число. В этом случае можно последо-
вательно найти два ряда коэффициентов , соответствующих каж-
дому корню определяющего уравнения. В результате получим два обоб-
щепных степенных ряда типа (I.16), представляющих собой линейно не-
зависимые решения уравнения (I.15). Эти ряды сходятся внутри крута,
достигающего ближайшей особой точки уравнения, не считая точку > =
= 0. Коэффициент < , являющийся множителем всех членов ряда, остает-
ся произвольным, т.е. каждое решение определено с точностью до по-
стоянного множителя. Общее решение уравнения (I.15) получается в виде
линейной комбинации этих двух решений.
В случае, когда определяющее уравнение имеет двойной корень,
существует только одно решение типа (I.I6). Второе линейное незави-
симое решение может быть определено следующим образом. Пусть, напри-
мер, у (») - решение уравнения (1.9). Тодда из формулы Лцувилля
'	гб-
</г fx) * iff (xHBvd>
следует, что решение, линейно независимое с решением типа (1.16),
имеет вид	р -Jffritfr
yj -----—ах-	(1.18)
Рассмотрим корни определяющего уравнения, различающиеся на целое
число /7,	/7	( х - положительное). Коэффициенты ряда,
соответствующего корню 9г , вычисляются все, так как	,
В* 2 ) ,	... отличны от нуля. Коэффициенты ряда, соответст-
вующего корню , определяются только до ( л - 1)-го, поскольку
в уравнении
/1'6, Jf. •
коэффициент при равен нулю. Рассматриваемое уравнение сводит-
ся к ввду
+	(1.19)
Если равенство (1.19) выполняется, то <x^z ,	, ... можно
выразить через коэффициент *п , который остается неопределенным.
Это значит, что в решение, соответствующее 7, , входит два произ-
вольных параметра: коэффициент «о как общий множитель решения и
коэффициент , от которого зависят члены ряда	,
~ *
Если равенство (I.I9) не выполняется, то, используя формулу,
(I.18), построим второе решение:
Уг-У,^х^Л £fi„x".	(1.20)
Z'-Z’
Коэффициенты р„ находим, подставляя (1.20) в уравнение (1-15) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х .
В заключение отметим, что общая теория линейных дифференциаль-
ных уравнений с аналитическими коэффициентами
13
п	а”-*
L Pi '*> -0
"	ах”~*
в основном дает ответ о форме его решений в окрестности особой точ-
ки, которая определяется характером совокупности корней определяю-
щего уравнения. Эти решения легко построить в случае равных или
различных не на целое число корней характеристического уравнения.
Если имеется группа // корней
»«*>►-* »
различающиеся не на целое число,то условия, при которых соответст-
вующие решения имеют или не имеют логарифмических решений, опреде-
ляются следующей теоремой*.
Если корню «о, определяющего уравнения
4 fa> - р
относительно точки х = о линейного дифференциального уравнения
Е лгх, —- я,	(*)
,	ОХ
где Р{- /х) - х '/> / x)r f fft / t /? f r - целое число * 25,
соответствует решение урявнения (и) видя
(И)
то следующему корню того ке определяющего уравнения, для ко-
торого ®«/ -	• рг - целое число, соответствует логарифмическое
решение вида
£ • of /я х Г х г У f X)
или нелогарифмическое решение вида (9) в зависшюсти от того, ра-
вен нулю или нет определитель ^-го порядка
О о	ff	fifa,)
Р &	 • 	ft f*<x *f) fx (*x)
fx'*x‘9').....................
fr^x^-^.................................. ....
Латиш ва К.Й. СХзнакд вiдсvthoc*^। ппт^япдя»,,rmo~.	„
Здесь функции / ( z = 0, 1, ...) определяются характеристической
функцией f fx.r^ Е ft fr) х' , а функция x //,/; определяет-
ся подстановкой хг с неопределенным г вместо у в левую часть
уравнения (1.21) и отбрасыванием в полученном выражении общего
множителя.
§ 1.4. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
При исследовании линейных волн в сплошных средах широко распро-
странены методы интегральных преобразований.В частности,при рассмот-
рении неустановившихся волновых движений, характеризуемых набором
функций ввда //Z О , где г - вектор пространственных коорди-
нат, t - время, целесообразно применять преобразование Лапласа
/50, 78, 79/
Fix. s)= J f (if f)e Srff.	(1.21)
После построения решений в пространстве изображений приходим к наи-
более трудной задаче - определение оригинала
/(if,/). _ F/x.sie*1'ds.	(1.22)
sxi”'-'—
Проблема обращения - это задача отыскания решения / инте-
грального уравнения первого рода (1.21), в котором F считается
известной функцией комплексного аргумета s , аналитической в^неко-
торой полуплоскости вида ffes>^	Ядро интеграла е
является целой аналитической функцией аргументов / и s с плав-
ным изменением, и операция интегрирования, усредняющая / с весом
е ~st , может значительно изменить особенности поведения преобра-
зуемой функции /
В задаче обращения требуется по изображению F (х, s )	, очень
плавно изменяющемуся ввиду его аналитичности, восстановить все воз-
можные особенности поведения оригинала fix', ft . Поэтому можно
предположить, что аппарат, с помощью которого решается задача обраще-
ния, достаточно сложный и чувствительный к малым оттенкам в поведе-
нии а , способствующим выполнению тонкой работы восстановления
оригинала f .
Отметим еще одно свойство проблемы обращения - неустойчивость
оригинала f относительно малых изменений изображений F , кото-
рую легко обнаружить при исследовании (1.21). Пусть / - заданный
оригинал и F - соответствующее ему изображение. Подвергнем /
произвольному изменению, можно сильному, но на очень малом отрезке.
15
14
Новый оригинал назовем /z . Такое изменение незначительно повлияет
на интеграл (I.21) и мало изменит изображение F , так что новое
изображение Ft будет близко к л .
Можно построить новый оригинал , изменяя / не на одном
участке полуоси Ot / / <—	, а на многих ее участках, но так,
чтобы общая сумма длин этих участков была достаточно шлой величи-
ной. При этом новое изображение можно было бы сделать сколь
угодно близким к F , так что близким изображением F  F. могут
отвечать оригиналы / и /• , сильно различающиеся на многих
участках полуоси о t ft
Известные методы обращения либо слишком сложные и трудоемкие
(точный метод контурного интегрирования), либо дают решение в огра-
ниченных интервалах времени, которые могут быть очень узкими (асим-
птотические методы). В настоящее время получили развитие численные
методы обращения, отличающиеся простотой реализации и существенно
расширяющие возможности интегральных преобразований, а теория при-
ближенного обращения преобразования Лапласа находится в начальной
стадии развития.
Рассмотрим численное обращение преобразования Лапласа с по-
мощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке в таком в$-
де, как в /49, 50, 78, 79/.
Пусть известно преобразование Лапласа
(1.23)
где //// - искомая функция; fiff> - неотрицательная, абсолютно интегри-
руемая на /Ь, ~ / функция. Предположи!, что функция //'// интегри-
руема на любом конечном отрезке /Ь, г ] и принадлежит классу функ-
ций	ffifth	:
^fiff>/fft)/^f 	(1.24)
Требуется по изображению F функции fif построить функцию / .
В интеграле (1.23) введем замену переменно# ж. л* , тогда
он приводится к ваду /
Fist* J xsa>friv(*idx,.	(1.25)
fi(- tori	°
Где а><л).—-—,	Vfirf. f F- to л).
В силу условий, наложенных на функции fi и / , интеграл
(1.25) сходится всюду в полуплоскости fifs» 0 , и поэтому перемен-
ной v можно придать значения О, I, 2, ... и получить
Л '/ Гж) 	(1.26)
16
После этого решаемую задачу сформулируем так: найти функцию <нх)
до значениям рк , ш, что то же самое, найти функцию fff> по
значениям изображения функции ///?//// в целочисленных точках
$• к (> = О, I, 2, ...). В частном случае эту задачу можно упро-
стить и по первым п+1 значениям » искать такой многочлен:
чтобы выполнялись равенства
/
J х*ш(х)^ (х)Ох.	(1-27)
Если этот многочлен существует, то изображения функций pq„ и fif
совпадают в точках л-/ ( / = 0л 1, 2, ...) ж можно считать
некоторым приближением к /
Отметим ряд свойств многочлена f„<x) . Легко показать, что
условия (1.27) однозначно определяют многочлен f„ (х)	. Еще
одно свойство многочлена - в классе многочленов степени не
выше п многочлен f„ , определяемый условием (1.27), доставляет
мяницуи слсдуицецу функционалу:
4 (с„,с„ .. ., е„). J(х)Ее х *}гах. (1.28)
Обратим внимание на связь установленных результатов с рядами
по ортогональным полиномам. Обозначим р„ (х/ ( х? = О, I, 2, ...)-
система шогочленов, ортогональных на /О, V по весу	/х) , и
исследуем соответствующий им обобщенный ряд Фурье для р :
оо	f
?(х)~Е c^pifx), с*-/щх>?fx)pttxjofx.n
Рассмотрим конечную cywy л членов ряда -4 fxf* ^rxPt fx> -
вто многочлен, степени не выше п , и его можно считать некоторым
приближением к функции v(x>.
Укажем экстремальное свойство такого приближения. Найдем сре-
ди произвольных многочленов Р„ /х> степени л тот, который
наименее отклоняется от <х в сшсле среднего квадратического.
Таким многочленом является . Теперь покажем, что совпа-
дает с s„ . Многочлен Р„ можно,разложить по многочленам
Р* { Р = О, I, 2, ...) Р„ (х>-£.уь р* fx>. Вычислим среднее
квадратическое отклонение Р„ от : .,
JlWffa - E Л p,fa f JE Z/> ]lfa-
ll	О ffa ’r* f t-0 * *
/	n	Hinn
- ! wv’fa-zE ic.tE /il^luffa-E c*+E fae.).
U	hl f * M k l Ы> * *-f * *
От выборе многочлена P„ в полученном равенстве зависит толь-
ко последняя сумма, слагаемые которой все неотрицательные, поэтому
8„ достигнет минимума в том случае, когда	( / = 0, 1,
2, ...). Последнее означает, что многочлен Рп fa) , доставляю-
щий наименьшее значение Зп , т. е. fa) , должен совпадать
(1.29)
Отсвда, в частности, следует, что
и сходимость
функции г fa)
п~	г— —	t.f
if„ — fan— ->-) равносильна возможности разложения
в ряд по ортогональным многочленам vfa)
Условия возможности такого разложения во многих случаях извест
и, пользуясь ими, можно получить условия, при которых оригинал
может быть найден как предел последовательности цриближе-
ны,
fit)
НИЙ
Рассмотрим численное обращение преобразования Лапласа с по-
мощью смещенных полиномов Лежандра /90/
> Г*‘М .
i*> ;
* fa ' fa	faff
При этом в формулах (1.23) - (1.26) функции имеют ввд fi(f)-e'ft
ш fa) = 1.
Разложение функции ffa) в сходящийся ряд по этим полиномам
представляется сл едущим образом:
(1.30)
где
- ffaH
’ fa.
Прм решении конкретных задач ряд (1.30) усекается. Теоретиче-
ски согласно сходимости ряда (1.30) очевидно, что с увеличением
числа удерживаемых членов точность обращения будет возрастать.
Как отмечалось выше, теория численного обращения преобразова-
ния Лапласа в настоящее время находится в стадии развития, отсут-
ствуют оценки погрешности и рекомендации о выборе числа членов раз-
ложения (1.30), не исследованы вопросы сходимости вычислительных
процессов, методы в ряде конкретных случаев могут быть неустойчивыми
[2, 50 , 797. В связи с егим реализация метода требует численных
экспериментов.
В работе /157/ ди я численных расчетов проведена апробация чио-с
ленного обращения преобразования Лапласа с помощью смещенных поли-
номов Лежандра на ступенчатых и кусочно-гладких функциях, для кото-
рых известны точные соотношения оригинал - изображение:
-
fit)- fft)- е Mta>,
- Aff-o)
при На, • ///?, e	при />Ч (1.31)
при Нц f	при f>a
Расчеты проводились на ЭВМ с точностью до девяти значащих цифр.
Число удерживаемых в ряде (1.30) членов, соответствующих числу пер-
вых целочисленных, равноотстоящих течек параметра преобразования s ,
варьировалось от 6 до 12. Мнительная погрешность может иметь месте
при з = 10 ж не превышать 10 %.
Вопросы применения интегрального преобразования Лапласа и егс
численного обращения, а также некоторые приложения такого подхода
к решению конкретных задач рассматривались в работах [2, 29, 30,
45 , 49 , 50, 108, 163/.
§ 1.5. HEKOTOIHE СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Решение задач дифракции волн на неоднородностях, обладаниях
цилиндрической иди сферической симметрией, зачастую можно построить
в виде разложений по соответствующим ортонормированиям специальным
функциям Ниже мы приведем основные сведения из теории цилиндриче-
ских и сферических функций.
Цилиндрические функции Бесселя. Рассмотрим обыкновенное диф-
ференциальное уравнение второго порядка
".„.Hl',,.,.	И.®
dz* z dz z*
Решениями этого уравнения являются функции Бесселя первого ро-
да второго рода 4»/# (функции Неймана) и третьего рода
d"7z) и ’ft) (последние называют также функциями Ханкеля).
Отметим некоторые характерные особенности различных решений:
tz) ограничена, когда t - 0 в любой ограниченной
области изменения ory z ;
19
. J„(z) ъ fz) линейно независимы при любых значениях т ;
стремится к нулю, когда /г/-------------- в секторе о *
zaryz^ir . функции ' (z) и линейно независимы,
причем
(fl
(2J
нт (z),j„ (z) - fzh
(1.33)
Асимптотические разложения функций Бесселя имеют вцц при больших
при больших значениях аргумента:	/x/”-w.
/s'	t е Ппг/ f
J„ (zh frt feos(r-~ mt- - he	Ofa/'fi
/е/yz/t я,
/2' f r ^1/	.,
Mm(zhTf — [sff>/z--mz-^/^e	0f/z/ J J,
/oryz/z jt.
(1.34)
где
(n /F itz-j/nz-ff
нт/г),'/г(	, -Jr^ozyz^zz,
rz> /F -hz-j0r-'>
"т(х)я'йе	’ -Jr^eryz^
при малых значениях аргумента: т* fr /zf^/п.
Разложение в ряд
/, m-ff,
2, т> f.
(1.35)
(1.36)
Функции Бесселя мнимого аргумента. Решениями дифференттия льного
уравнения

---- t-----------
0Z* Z &z	z3 
fm-f}/ 2 лг

if/n-f// 2
(1.37)
являются модифицированные функции Бесселя
-/77	,	/Г f!**f М . .
7„(zhi J„f/z), .^fzh-i
(1.38)
Асимптотические разложения модифицированных функций Бесселя
имеют ввд:
при больших значениях аргумента
е*	g
lm fz) г -==. {/, cf/z/'')], /azyz/z - r
Vzzz
(z) * e ~zf f. fff/zf -	,
при малых значениях аргумента
Zm fz)* ~ j )” *, fz'*-t„z,
f/n-П1 2 m
№ —(*> -
Разложение в ряд
(1.39)
(1.40)

(1.41)
(1.42)
Сферические функции Бесселя
---- ,	,((-	— )P.&
CfZs Z 0Z-----------Zf
Частными решениями этого уравнения являются сферические функ-
ции Бесселя первого рода
(L43)
второго
r>„ fz)- Л' t fz).	(1.44)
zz тz
третьего
(i-®
-’А»'-/.'”- '/'iui
Пары функций jm (z> , nm/z) и fz) ,	/z) являются
линейно независимыми решениями уравнения (1.42) для любого т .
Асимптотические разложения сферических функций Бесселя имеют
ВВД
при больших значениях аргумента
/	да//	f mtf
im (z) Z - cos /z- — я), n„ fz) e -	-j-z),	(1.46)
21
. /2> 1
А» <z) ~ — е
при малых значениях,аргумента: /г/
Разложение в ряд
z	/2m-f)!!
(Z>Z	~T^ ’
--------- t	W x	7- •
~ /XV/ Л*	~ sn/f
(1.47)
большое развитие в настоящее время /5 - 7, 16 , 31, 67 , 74,75,92,93,
104 - 106, НО -.ИЗ, 125, 172, 173 , 211, 213,"218 - 223 , 228, 229,
231, 234, 237, 238, 242, 243/. Некоторые общие математические под-
ходы и положения, имеющие отношение к расоетриваемой проблеме, со-
держатся в работах /15, 25, 28, 32, 41, 48, 52, 56, 60 - 62, 64, 66.
71, 73, 80, 91, 96, 102, 107, 114, 117, 122, 124, 127, 129, 138,
139, 147, 162, 167, 171, 174, 180 - 182, 185, 196 , 200 - 203 , 211,
217, 224/.
eztvse -~-
е	(2т*Ж„(г>РвМЦ
где Рф /тзР) - полиномы Лежандра первого рцда.
ЦодифициуоЬдНаНе функции Бесселя (сферические)
(1.48)
d*ff 2 м
dz’ ' z dz
Частные решения этого уравнения - модифицированные сферические
функции Бесселя

(1.49)
ir„ Т
(1.50)
Большинство свойств модифицированных сферических функций Бес-
селя может быть получено из свойств модифицированных цилиндрических
функций Бесселя. В частности, асимптотические разложения для боль-
ших и малых аргументов можно подучить ив формул (1.35) - (1.36)
при больших значениях аргумента
i„(zJz — {'W/zr'/J,
2Z
(1.51)
k„(z)* — {hOf/zT')},
т 2*	’
при малых значениях аргумента
1т /2,г (2тИ)Р
z/2nr-f)/.f
Т 2/. t)mz
(1.52)
Разложение в рад
e‘Mt- £	(z)P^ taw>.	(1.53)
В заключение отметим, что асимптотические методы в теории рассе
ния и дифракции волн применительно к плавным неоднородностям получил
22
ГЛАВА 2
РАССЕЯНИЕ ТАЦИОНАРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОИН
Исследование дифракции акустических волн в неоднородных сре-
дах имеет большое теоретическое и практическое значение. Математи-
чески эти задачи описывается дифференциальными уравнениями в част-
ных производных с переменными коэффициентами и построение их реше-
ний для произвольных законов изменения плотности и скорости звука
связано с большими трудностями. В случае, коцца свойства неоднород-
ности зависят только от одной координаты, задача упрощается, одна-
ко остается достаточно сложной. Поэтому большое значение имеет
развитие и приложение точных и приближенных методов нахождения вол-
новых полей в неоднородных средах. В настоящее время в этой обла-
сти достигнуты положительные результаты в основном при применении*
асимптотических методов для достаточно плавных неоднородностей /2,
63, 183 , 208 - 2Щ/. Значительно слабее представлены исследования
дифракции акустических волн на локализованных неоднородностях,
когда ухе могут проявляться типичные резонансные дифракционные эф-
фекты /20, 21, 152, 155, 156, 158, 161, 187 - 194/.
Большое практическое значение имеет решение такого рода задач
при исследовании неоднородностей атмосферы Земли, обнаружении рыб-
ных коряков, планктона и других объектов в океане методом звуковой
локации. В связи с этим весьма актуальны исследования характе-
ристик рассеяния акустических волн локальными неоднородностями с
переменными по координате свойствами, достаточно сильно отклоняющи-
мися от средних значений. Особый интерес представляют точные реше-
ния, которые могут служить эталонными при разработке приближенных
методов, а также позволяют исследовать закономерности влияния
свойств неоднородностей на характеристики рассеянных полей,
В настоящей главе приведены известные решения задач дифрякптга
акустических волн на абсолютно жестких ж однородных объектах цилин-
дрической ж сферической форм /92/. Затем построены решения новых
заод i в случае осе- ж центросимметричных неоднородностей. Проводит-
ся подробный анализ влияния свойств неоднородностей на характеристи-
ки рассеянных полей.
Некоторые задачи ж смежные вопросы рассеяния акустических волн
отражены в работах /9, 12. 25, 31, 42, 43. 53, 55, 57, 65, 88, 92,
98 - 100, 135, 136, 142, 143, 168, 184, 207 - 210, 227, 232, 240/.
§ 2.1. АБСОЛЮТНО КЕСТКИЙ ЦИИИВДР
Пусть на бесконечный круговой абсолютно жесткий цилиндр, распо-
ложенный в однородной акустической среде, набегает из бесконечности
плоская акустическая волна давления, распространяющаяся в направлен
них, перпендикулярном оси цилиндра
i	'ъ	।
(2.1)
где г ж в - координаты точки, отсчитываемые соответственно от
центра ж направления, противоположного направлению распространения
плоской волны; t - время; ‘ - амплитуда давления в набегающей
волне, которое в дальнейшей будем считать, равным единица; ;
kf и - волновое число и круговая частота. Множитель
в пдкьнайтпем опустим.
Движение акустической среды описывается уравнением Гельмгольца
относительно возмущенного давления pt , равногс суше давлений
в набегающей pt и рассеянной pt волнах, 4-^- -ft • я в Д*-
ливдрической системе координат записывается следующим образом:
(2.2)
На поверхности цилиндра должно выполняться граничное условие
%,	„	(2.3)
- 4
выражающее тот факт, что радиальная компонента скорости частиц сум-
марного поля равна нулю ж, следовательно, на поверхности цилиндра
амплитуда скорости отраженной волны равна амплитуде скорости набе-
гающей водны с противоположным знакам.
Кроме того, функция 4 должна удовлетворять условиям излучения
Зошерфелдца	. а.
Пт Уг (—	)= 0, Пт рл*0.
Г-*** яг
Безразмерные величины в этой главе введены по формулам
(2.4)
ж звездочки опущены. Здесь t - радиус цилиндра; /, ж cf - плот-
ность ж скорость звука внешней однородной акустической среды. .
Разделением перемените ft -	уравнение (2.2) приво-
дится к системе
24
h
Общее решение второго уравнения системы (2.5) запишем в ввде
s/nmfi.
Вследствие тоге что суммарное псле должно быть периодическим
по Р , положим т равным любому целому числу, т.е. т = о, I,
2, ...
В силу четности поля падающей волны относительно полярного
угла в , равного нулю, положим В^, = 0.
Первое уравнение системы (2.5) - уравнение Бесселя, общее ре-
шение которого имеет вид
ИЛИ
В соответствии с принципом излучения искомое поле должно иметь
характер волны, распространяющейся в бесконечность по радиальным
направлениям. Из рассмотрения асимптотических выражений для функ-
ций Хаякеля при больших значениях аргумента /г/ » 4
(о Гг"
/V г лХ
следует, что слагаемое Ят (*,/•) при	соответствует
волне, распространяющейся ст источника (в данном случае абсолютно
жесткого цилиндра). Другими словами, оно описывает уходящую волну,
а слагаемое' (ltr) определяет волну, движущуюся из беско-г
нечноетж к источнику, т.е. приходящую волну. Таким образом, условия
излучения будут удовлетворяться, если положить = P . Итак, при
любом ’ т решение систем* уравнений (2.5) описывается выражением
Общее решение системы (2.5) представляется в ввде суперпозиции
частных решений
(2.6)
Давление в падающей плоской волне представим в ввде разложения
но цилиндрическим функциям
Р;*Еет/т;„,( prices/»#,	(2,7)
где бт - множитель Неймана,
1 при
2 при т»0.
Подставляя выражения (2.6)-(2.7) в граничное условие (2.3),
получаем	> . .
<2-и
Распределение сушарногс давления по поверхности абсолютно
жесткого циливдра можно вычислить пс формуле
—	С "г>
— a t1*
Выражение в квадратных скобках является определителем Вронско-
го для уравнения Бесселя, и из теории бесселсзых функций следует,
что	2
Таким образам, суммарное давление на поверхности циливдра определяет
ся выражением
? s £т'т
Р< Г^т.0 qf*с^)	Л	(2.9)
Используя асимптотические выражения функций Ханкеля, рассеян-
ное поле давления в дальней ясне можно представить в виде
ПГ -Ш.г- z>
ps- *хЛ~г е W>'	(2.10)
где Ф(р}-диаграмма рассеяния в направлении 6 ,
/	р щ	и*?
V(e)--S6mi — р	(2.и)
/Я '
Интенсивность рассеянней волны определяете* так:
27
где »5
- колебательная скорость частиц в радиальном направлении,
< fa, _	,
"'ГМ‘
(2.13)
Удобной характеристикой описываемых процессов является полная
рассеянная мощность
f --
£теп ' т
j'	, я
” fi"* "	' Я. (/г r>) J COSf»0CO3/>0fa
"tty " ' f
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой
гг
J CDSmScosnSt^fi -
О
О при пг^л,
R При
2/1 При Л./>- Л
На основании свойства ортогональности функции tvsrpff члены
суимы с перекрестными индексами т и " исчезает. В результате
получаем
7/V
(2.14)
Если бы не было дифракционных явлений, тс из плоской волны
переизлучалась бы мощность, задержанная полоской, ширина которой
равна удвоенному радиусу цилиндра. Однако в волновых процессах су-
щественную роль играют процессы дифракции и интерференции волн.
Поэтому эффективная ширина рассеяния зависит от волнового числа,
т.е. от отношения длины окружности поперечного сечения к длине
волны.
§ 2.2.	АБСОЛЮТНО ЖЕСТКАЯ СФЕРА
В аналогичной постановке рассмотрим задачу рассеяния плоской
акустической волны на абсолютно жесткой сфере. Введем сферические
координаты " , в , у с началом в центре сферы и полярной осью,
направленной навстречу падающей волне. При этом падающая плоская
волна может быть представлена выражением (2.1), не зависящим от
координаты v . Согласно сюметрии картины рассеяния относительно
полярной оси решение дифракционной задачи также не зависит от z
Уравнение Гельмгольца, списывающее движение акустической среды
относительно возмущенного давления рг-р	, в сферической си-
стеме координат имеет вцц
дгр, 2 5р, f 5	5р,
-	т— / — — / ------ — (sin# -—)*5*р.*Л	(2.15)
fir’ г dr	r’sinP 50	50	' '
На поверхности сферы должно выполняться условие (2.3), а функ-
ция Ps также должна удовлетворять условиям излучения Зоммерфелвда,
которые в пространственном случае записываются следующим образом:
fys
2/тг(--fid.Pt 7= 5, Pmps • 5.
г— ее 5r	—
В этом параграфе безразмерные величины введены так как и в
предыдущем.
Разделением переменных р, • 0,'г>у/'0) уравнение (2.15) приводит-
ся к системе
5г0	2 50
----- +----------------)0~5,
5гг г 5r ' г’
(2.16)
/	5 5У
-	— —{S/n0  5.
Sin0 50	50
»
Для решения второго уравнения системы (2.16) сделаем замену
переменных
	, 5	5
rose* х, s/»0‘_______________________________
В результате получим
-	г [(/-х ) ~р~ J f	5.	( 2-17)
ах 5х '
Решение уравнения Лежавдра (2.17) выражается через полиномы
Лежавдра / х) :
/ 5т
4	<	(2. is)
2 т.' 5х
которые на интервале -I х г z 1 образуют полную ортогональную систе-
му функций.
Еще одно решение дифференциального уравнения (2.17) представ-
ляется полилогами Лежавдра второго рода (rf . Это решение
не рассматривается, поскольку функции	обращаются в беско-
нечность при	f f С 5-0,
Рассмотрим первое уравнение системы (2.16). Введем функцию 5 .
связанную с 5 равенством 0- x/rF , где <- z/»	. Нетрудно
показать, что функция Р удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию Бесселя порядка
29
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Л' Ч	Ч(2.19)
Решение уравнения (2.19) можно записать в виде линейной комби-
нации функций Ханкеля палуцелого индекса
Для того чтобы искомое поле удовлетворяло условиям излучения
на бесконечности с учетом временного множителя в виде е ,а> необ-
ходимо положить Вт = О.
Таким образом, общее решение первого уравнения системы (2.16)
принимает ввд
(?)
где hm (ktf) - сферическая функция Ханкеля,
. (г)	/ х ‘ (ц
«
Исходя из изложенного решение уравнения (2.15) при некотором
фиксированном т запишется следующим образом:
Р&, ' Ъ, Ъ 'М,Ц
Общее решение получим в виде суперпозиции частных решений
4 Л,	(«№.	(2.20)
Воспользуемся известным из теории бесселевых функций разложением
выражения для плоской волны по сферическим функциям
iP/wse	- 
л • е =£	(2.21)
'	/п-Г
Подставляя (2.20) и (2.21) в граничное условие (2.3) и прирав-
нивая коэффициенты при Рт(еоз&) , получаем
,/п J/я
j/m = - (Ртг/)/ Л™ (i,> ‘
Распределение сушарного давления на поверхности абсолютно жест-
кой сферы определяется выражением
р,’Л	W''” W*"
Учитывая , ЧТО "т ’ е
пощ чаем	У
30
т,о
Давление, колебательная
определяются выражениями
*'~'z
скорость и интенсивность в дальней зоне
(2.22)
,Х
f/nrr /т	е
PS=~L	—-----------Р„
"•о	6™7*,> *,г
/77	'	'
(2.23)
V.-Z,
Лг,^’ р
(2.24)
Л - у /4 к9- —-у £ £ (2/nt-/)(2ntf)l
s 2 J * Р^гГлъе л-0
Сй>
 7^;, '-^Г1 f” ,m"'" Л
(2.25)
Для вычисления полно! рассеянной мощности
(2-26)
е *
воспользуемся ортогональностью полиномов Лежавдра на отрезке /-1, V
О при л*лг,

(2.27)
2
____ при .
2m/f
Подставляя (2.25) в (2.26) ж учитывая (2.27), подучаем
(2.28)
tty
§ 2.3. ОДНОРОДЖЙ ПО ПЛОТНОСТИ ЦИЛИНДР
Рассмотрим теперь случай, когда плоская акустическая водна ввда
(2.1) набегает на бесконечный круговой цилиндр с постоянной плотностью,
отличней от плотности внешней однородной средн.
Уравнение движения внутренней среды, имеющей в невозмущенном
состоянии плотность д, и скорость звук* л. , запионваем так:
31
ЭгРг I <^> f д-рг
(2.29)
Искомые функции р, и рг должны удовлетворять условиям сопря-
жения
V 'Р'/
//ж /	/'Л
f , t др !
' ~Pi	Иг/-,/
(2.30)
Кроме того, функция р} должна удовлетворять условиям регулярности
при г = 0.
Решение уравнения (2.29) с учетом регулярности при г - 0 май-
не представить в виде ряда
Рг ’ 2^4	(2.31)
Подставляя разложение (2.31) для преломленной водны вместе с
выражениями (2.7) и (2.6) для набегании ж рассеянных волн в усло-
вия сопряжения (2.30), находим неизвестные коэффициенты
УЛ <ь>- fW,
А *	(ргМа>(Л/).	’ •
Гп,'ет‘ '
Давление, колебательная скорость и интенсивность в дальней зо-
не определяются выражениями л
* ,<РГв,>	(2.32)
'”"р„	(2.33)
£ = ~4~ Е Е £тв„‘	,,"р„	cos mffcosne .	(2.34)
Полная рассеянная мощность вычисляется по следующей формуле:
(2>зб)
§ 2.4. ОДНОРОДНАЯ ПО ПЛОТНОСТИ СФЕРА
В аналогичной постановке рассмотрим задачу дифракции плоской
акустической волны (2.1) на однородной сфере с плотностью fy и
скоростью звука Cj .
Уравнение движения внутренней акустической среды в сферической
системе координат имеет вед
32
2 др, 1 д др, ,	O)i
---Z *•----*5-------------Ь- ~Р~
дгг г dr Ss/nff д$ дв	г сг
(2.36)
Как к в предыдущем случае, на границе раздела двух сред деланы вы-
полняться условия сопряжения вида (2.30).
Решение уравнения (2-36) с учетом регулярности при /• = О
можно представить в виде ряда
. Рг-	(2.37)
Лт» /7
Подставляя выражения (2.37), (2.20) и (2.21) в условия сопря-
жения (2.30), находим неизвестные коэффициенты

рт-(^Мт
""'/Г
1Л,‘'
Давление, колебательная скорость и интенсивность рассеянно!
волны в дальне! зоне определяются выражениями
Pg‘ r g>f0),	(2.38)
Р(6)-£ (2тил	(pasPf,	(2.39)
vs‘&b‘*m"h	fcasfi>,	(2.40)
(^mH)(2^f>i!,'”'fm(ig'’,Jp/„)P„^a»e)P„PcasP).	(2.41)
9 2(kfrmc0/bO	,
Полная рассеянная мощность вычисляется пс следующей формуле:
'	£• ТТЁ	.	(2.42)
§ 2.5. неоднородный по шотноста ЦИДИВДР /188/
Обобщим подученные в § 2.3 результаты на случай радиально не-
однородного цилиндра, характеризуемого переменной плотностью
и скоростью звука eff) .
Уравнение движения неоднородной среды во внутренней области
имеет рид	< з , зг.
гр / р м 3/р f гр	•
Г .	—	---------—'—^7г>р^г	(2.43)
г р/н Яг Г2
где	• f
fir). 2L. . Р .	(2.44)
efr)
33
На гранхце перехода от однородной среды к неоднородной должны
выполняться условия сопряжения
р^г)	 -&/., •	(2,45)
Общее решение уравнения (2.43) в области rt I можно записать
в ввде ряда, аналогичного £яду (2.31)
(2-46)
где	(г)	- удовлетворяющее условию регулярности при г = О
решение уравнения
У*’™,	(2.47)
следующего из уравнения (2.43) после разделения переменных р -
=
Подставляя (2.46), (2.7)  (2.6) в условия сопряжения (2.45).
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных коэффициентов
.	/f^/» Sty
Ут * ^т1	----------------’
т с i”	fi(fW/r
от"6/п1 —-----’
/г„
Этим заканчивается формальное решение задачи Перейдем к по-
строению конкретного вида решений.
Пусть
р(г)*рс* (l-fieJr*, S~(2.48)
В этом случае уравнение (2.47) с учетом (2.44) принимает ввд
- лл trir	м ЛР
Урсг '(f-pc)r J — VArfpf-3)ff-ye)r
(2.49)
-fc)rS^(f-pe)lrMip^-ype	0 .
Решение уравнения (2.49) будем искать в ввде обобщенного сте-
пенного ряда	_ 
р.г*Е «„г".	(2.50)
Подставляя ряд (2.50) в уравнение (2.49) и приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях f , получаем бесконечную систему
3-1
рекуррентных алгебраических уравнений, связывающих показатель сте-
пени 1 и коэффициент ып :
Ре**о	m*J'#г
рг	Z7i t /)г- тг7 • 4
(2.51)
7'(i>f /г)г~ т37t 77-ре)ч„,$ 7(i t	As)- rn*J*

*^•0 при A 77.
Из первого (определяющего) уравнения систем* (2.51) находим
Ьг ' - '°7 -Из условия регулярности функции f при г- 0 сле-
дует, что из двух корней i> и А, необходимо выбрать корень
iptm . Подставляя Р- т в систему рекуррентных соотношений
(2.51), можно последовательно выразить коэффициенты	•
... , через остающиеся неопределенным и произвольно выбранный
коэффициент f, .
Построенный таким образом степенной ряд (2.50) сходится внутри
круга, достигающего ближайшей особой точки уравнения (2.43) /47/.
Отсюда следует, чтс ряд (2.50) сходится при всех г , удовлетворяю-
щих условию
т*‘/7Ю,
7-А
а значит, на интервале /0, V рад (2.50) сходится при рс > 1/2.
В случае слабснеоднородной среды аденом р '(r> /ptг)	обычно
пренебрегают, если изменение плотности мало на длине волны /183,
75/. Ниже оценим влияние градиентов плотности на различные характе-
ристики рассеянных води. Уравнение (2.43) после пренебрежения аде-
ном р'(г)/р!г)
перецдается следующим образом:
/ dr
dr* * г dr
(Л (rJ--)d-Л
(2.52)
я
Решение уравнения (2.52) цо-прекнецу будем искать в ввде обоб-
щенного Степенного рада (2.50).
Подставляя (2.50) в уравнение (2.52), приходим к следующей ре-
куррентной системе алгебраических уравнений относительно коэффициен-
тов «х, ;
35
о- Z(2.53)
^•ff при j<0, *e=f.
Для сценки влияния переменности плотности и скорости звука
на характеристики рассеянных полей проведено сравнение решения по-
ставленной выше задачи с решением задачи дифракции плоской акусти-
ческой волны на однородном цилиндре с постоянной, осредненной пс
радиусу плотностью ,	.
'	4>с 'z
Ар' #А *	s t f •
При этом волновое число во внутренней однородной среде опре-
делялось пс формуле
Рассчитаны полярные диаграшш рассеяния
“? imn/г
Cffsm£l	(2.54)
и полная рассеянная мощность
f	°*	~..—
•?-	(2.55)
для постоянной осредненной плотности, а такие для переменной плот—
ности с учетом и без учета ее градиентов.
Рис. 2.1
Расчеты проводились на ЭВМ БЭСМ-б/7 с двойной точностью.
Число членов в рядах (2.54) и (2.55) вырьировались от #*r2tfbf2J
дс A/?.55J . Относительная погрешность вычислений при атом
не превышала 0,01 %.
На рис.2.1 построены полярные диаграммы рассеяния при s = 2
0,8 и 1,2 для k,b = I (а) и 2 (б).Здесь и далее сплошные ли
нии соответствуют постоянной осредненной плотности,штрихпунктирные -
переменной с учетом градиентов плотности, а штриховые - без учета.
Как показывают расчеты, диаграмма рассеяния плоской волны на неодно-
родном цилиндре имеет характерное угловое распределение.
При низких частотах ( к,Ь •« <1) как для однородного, так и
для неоднородного циттицпра значительная часть рассеянной волны отра-
жается навстречу падающей. При kfb ~ I приблизительно половина
волны рассеивается навстречу падающей, а другая половина - в направ-
лении облучения. По мере дальнейшего увеличения волнового числа по*-
лярная диаграмма постепенно деформируется, превращаясь в фигуру, вы-
тянутую в направлении распространения плоской волны.
Из геометрических соображений следует, что в направлении
рассеянная волна должна быть минимальной. Действительно, для одно-
родного и неоднородного цилиндров с учетом градиентов плотности в
точке в=л/2 наблюдается резкое уменьшение амплитуды рассеянной
волны, т.е. в этой точке происходит разделение рассеянной волны на
отраженную и тенеобразующую. При пренебрежении градиентами плотности
такого разделения не происходит. В этом случае диаграмма рассеяния
смещается в зону тени без образования локальных экстремумов.
37
Кроме того, амплитуда рассеянных вели для циливдра с плот-
ностью больше, чем в окружающей однородной среде {рс = 1,2), не-
сколько меньше, чем для циливдра с плотностью меньше, чем в окру-
жающей среде ( рс =0,8).
На рис. 2.2 построены графики зависимости диаграммы рассеяния
в направлении 8 = о от волнового числа при у = 2.Из графиков
следует, что для всех значений параметра рс первый резонансный
максимум амплитуды рассеянной волны в диапазоне 0 * к, b z 2 превы-
шает аналогичный максимум для постоянной, осредненной по радиусу
плотности. Однако с увеличением волнового числа картина резко ме-
няется. Дня переменной плотности последующие резонансные максиму-
мы уменьшаются, а для постоянной - увеличиваются. Это обусловлено
тем, что на границе однородного цилиндра происходит переотраженив
волн на скачке плотности в точках # » 0 и	, а в случае
неоднородного - на скачке градиента плотности в этих же точках.
Кроме того, с увеличением плотности от рс - 0,6 (а) до рс =
f 1,4 (б) наблюдается сгущение резонансных частот, которое объяс-
няется тем, что с увеличением плотности длина волны, распространяю-
щаяся внутри однородного иди неоднородного включения, уменьшается,
и поэтому число совпадений фаз переотраженных волн увеличивается.
Учет градиентов плотности приводит к некоторому увеличению
резонансных максимумов при < I и уменьшению их при д, > 1.
С увеличением частоты резонансные значения амплитуда рассеянной
водны почти совпадают.
На рис. 2.3. построены графики зависимости диаграшы рассея-
ния <Р-ц) от волнового числа при fi( =. 0,6; 0,8 (а) и ре = 1,2;
1,4 (б) ( s = 2) .Кривые I на обоих рисунках соответствуют случаю _/$=
= 0,6;1,4,кривые 2 - /)е = 0,8; 1,2.Из графиков следует, что учет пе
ременности плотности приводит к существенному умееньшению излучения
в зоне тени. Влияние градиентов плотности для рс * 1 незначительно,
для ре < I кривые, построенные с учетом градиентов плотности и без
их учета, практически совпадают.
На.рис. 2.4 приведены графики зависимости диаграшы рассея-
ния 9(0) от волнового числа для трех'различных значений У :
s = J - штриховые кривде, s = 2 - епдощные, у = 3 - штрихцунк-
тирные при ре = 0,6 (а) и д, = 1,4 (б). Цэ графиков следует, что
для всех значении параметра рс увеличение параметра s приводит
к существенному возрастанию резонансных максимумов диаграммы рас-
сеяния, чтс обусловлено увеличением скачка градиента плотности на
границе неоднородного циливдра. Кроме того, для линейного закона
изменения плотности каждый второй резонансный максимум существенно
38
4>(r)
Ф(т)
Рис. 2.3
и
Рис. 2.5
39
меньше, чем последующий с нечетным номером. Это можно объяснить
тем, что при у=1 переотражение волн происходит не только на гра-
нице неоднородного цилиндра, но и в точке г- 0, где функцияр‘(г)
терпит разрыв. •
На рис. 2.5 представлены графики зависимости полной рассеян-
ной мощности от волнового числа при /j. = 0,6 (а) и fy- 1,4 (б) .Из
графиков следует,что в рассматриваемом диапазоне изменения волновых
чисел учет переменной плотности приводит к существенному уменьше-
нию рассеянной анергии. Кроме того, из выполненных расчетов сле-
дует, что значение полной рассеянной мощности осциллирует относи-
тельно предельного значения, соответствующего жесткому цилиндру.
Частота и амплитуда этих осцилляций тем больше, чем больше разли-
чие плотностей неоднородного цилиндра и окружающей среды. Влияние
градиентов проявляется только при малых частотах,' а с увеличением
частоты кривые совпадают.
§ 2.6. НЕОДНСРСЩНАЯ ПО ПЛОТНОСТИ СФЕРА
В аналогичной постановке рассмотрим задачу дифракции вдосдой
акустической водны на радиально неоднородной сфере о плотностью
fir) и скоростью звука с(г) /193, 1947-
Уравнение движения внутренней неоднородной среды в сфериче-
ской системе координат можно представить следующим образом:
(2.56)
д*р (2 per) 1 др / д . др .
— *(-- -------/— t—;— — ism#—'*кг(г)р=О.
дгг г р/г) дг r's/лв ар дв.
где к (г) определяется по (2.44).
ha границе раздела однородной и неоднородной сред должны вы-
полняться граничные условия (2.45).
Общее решение уравнения (2.56), как и ранее, представим в ви-
де ряда
Гт Ъ ^)Р„	(2.57)
где (г) - удовлетворяющее условию регулярности при г = о ре-
шение уравнения
d*P ,2 о'(г> । dP	mint/)
--------------/ — *{**(»-	«-Б8)
dr* г pfr) dr	rf
следующего из уравнения (2.56) после разделения переменных р-
• г) у (6).
Подставляя (2.57), (2.20) и (2.21) в условия сопряжения (2.45),
нах дам неизвестные коэффициенты
40
4
Пусть шотнооть неоднородной сфер! изменяется по закону (2.4В).
Решений уравнения (2.58) будем искать в виде обобщенного степенно-
го ряда
(2.59)
41
Подставляя ряд (2.59) в уравнение (2.58) и приравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях г , получаем рекуррентную систему
алгебраических уравнений
* - If	* ?^/>r (/-
(2.60)
Построенный таким образом степенной ряд (2.59) сходится внутри
круга, достигающего ближайшей особой точки уравнения (2.58) /47/.
Следовательно, ряд (2.59) сходится при всех rS4lpc/(f-J>c)l zf,
откуда рс »
На рис. 2.6 - 2.9 показаны графики зависимости диаграш рассея-
ния Ф/в) к Ф(0) я полной рассеянной мощности от волнового
числа для неоднородной сферы (значения параметров, при которых по-
строены эти кривые на рис. 2.6, соответствуют параметрам рис. 2.4,а,
njjc. 2.7 — рис. 2.2. t рис. 2.8 — рис. 2-4, в рис. 2.9 — рис. 2.5).
I
Из графиков и выполненных расчетов следует, что характер рассеян-
ных полей для неоднородной сферы такой же, как и для неоднородно-
го цилиндра. Однако в случае неоднородной сферы соответствующие
значения диаграш рассеяния и полной рассеянной анергии несколько
больше, чем в случае цилиндра-
§ 2.7. АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЙ ЦИЛИВДР,
(КРУЖЕННЫЙ НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ /1897
В аналогичной постановке рассмотрим задачу дифракции плоской
акустической волны давления (2.1) на абсолютно жестком цилиндре
радиуса а , окруженном радиально неоднородным слоем радиуса Ь
с плотностью (2.48). В атом случае к уравнениям (2.2), (2.43) и
условиям сопряжения (2.45) добавляется условие равенства нулю
возмущенной скорости движения неоднородн акустической среды на
поверхности жесткого цилиндра
2_±/	„	(2.61)
Решение задачи во внешней однородной среде описывается выражениями
(2.6), (2.7). Общее решение внутри неоднородного слоя можно пред-
ставить в веде
р .£	. 4	(2.62)
где и /?£’(r> - два лдаейно независимых решения уравнения
(2.47).
Подставляя. (2.6), (2.7) и (2.62) в граничные условия (2.45),
(2.61), подучаем систему линейных алгебраических уравнений для на-
хождения неизвестных коэффициентов , д, и 4 :
(fl л £9	•ЯЗ	to
In;#!* (A	Мп'Ум (tyr
I
{У'	'У'
43

-/w
ъ (Л
о /У)/ П
о„ (п-
!	ff>'	&>'
Gm(ff-f„	(f).
Рассмотрим частный случай, когда плотность неоднородного слоя
изменяется по закону (2.48), а движение неоднородной среды описы-
вается уравнением (2.52).
В этом случае первое линейно независимое решение можно пред-
ставить в виде обобщенного степенного ряда (2.50), в котором коэф-
фициенты ef* определяются из рекуррентных соотношений (2.53).
Второе линейно независимое решение будем искать в ввде
JP%(r)l*r .л' "Еfar ".	(2.63)
Подставляя выражение (2.63) в уравнение (2.52) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях /* , получаем
/7

(2.64)
Из рекуррентной системы алгебраических уравнений (2.64) сле-
дует, что коэффициент при	обращается в нуль, т.е. ргт
остается неопределенным и мы можем положить его равным единице.
Следовательно, второе, линейно независимое решение можно записать
в ввде
<2.6S>
'’rv	1://Г
Таким образом, построено два линейно независимых решения урав-
нения (2.52), которые описывают волновые движения в области zr<z-{ <
Рассмотрим частный случай, когда s = 2. В этом случае в ре-
куррентных системах (2.53) и (2.64) коэффициенты и с не-
четными индексами обращаются в нуль, а коэффициенты с четными ин-
дексами определяются из рекуррентных соотношений
* 0, "‘Я” г
f(* £ .Pcfor’ftj-r ff'.fl’fymta'-t*
+2/’m72/‘)^/-2, я* 2m, 2= 2m +2/, i=/,2,..
Решения (2.50) и (2.65) запишутся следующим образом:
о W, т г г"
^т “ Г Г г
_	О-»
/SV fff	=/n w-	&
Для оценки влияния неоднородного слоя на характеристики рас-
сеяния в ближней и дальней зонах были проведены расчеты распределе-
ния сушарного давления по поверхности абсолютно жесткого цилиндра
и полярных диаграмм рассеяния при ь/& = 2 для рс ~ 1»41
На рис. 2.10 приведено распределение суммарного давления на
поверхности жесткого цилинпря. Здесь и далее штриховые кривые соот-
ветствуют случаю рс =1,4, штрихпунктирные - рг = 0,6, а сплош-
ные - ре =1 (неоднородный слой отсутствует). Из графиков и ана-
лиза приведенных расчетов следует, что неоднородный слой, скорость
звука в котором выше, чем в окружающей среде ( ре = 0,6) для до-
статочно длинных волн ( Ь, a i. I), уменьшает давление на поверхности
цилиндра. При рс = 1,4, т.е. когда скорость звука в неоднородном
слое меньше, чем в окружающей среде, давление на поверхности цилинд-
ра увеличивается по сравнению с давлением, рассчитанным при отсут-
ствии неоднородного слоя ( р( = 1). С уменьшением длины волны при
kftr *	2 наличие неоднородного слоя приводит к увеличению
(уменьшению) давления в освещенной зоне при ре = 0,6 ( у?, = 1,4)
и уменьшению (увеличению) его в зоне тени, что обусловлено фокуси-
рующими (рассеивающими) свойствами неоднородного слоя. По этой же
причине неоднородный слой при рс ± 1 сглаживает локальные экстремума
45
Рже. 2.10
o’
Рже. 2. И
в переходной зоне ж в зове генж, а слой прж д, » 1 увеличивает жх.
На рже. 2.Ц построены додярные диаграмм рвсоеянжя врн тех же
значениях параметров, что ж ва рве. 2.10. Из графиков следует, что
дня д< статочво дджява вед деодиородный едой прж р( л 1 сгла-
живает локальные мшсо|шуш, в олсЛ при jte » 1 увеличивает их.
46
С уменьшением длины волны наличие неоднородного слоя приводит
к существенному перераспределению диаграмм рассеяния. Это происхо-
дит вследствие того, что для точки наблюдения, находящейся на лу-
че В- 80	, дифрагированные волны, огибающие цилиндр по направ-
лению часовой стрелки и против нее, приходят в точку наблюдения с
различной амплитудой и фазой, которые существенно зависят от харак-
тера неоднородного слоя. Фокусирующий неоднородный слой приводит
те появлению новых лепестков на диаграмме рассеяния, величина и
направление которых существенно зависят от его свойств. Это объяс-
няется тем, что в неоднородном слое при рс » 1 длина водны, оги-
бающей цилиндр, уменьшается по сравнению с длиной падающей волны,
о
г /
Рис. 2.12
а ее амплитуда увеличивается по срав-
нению о амплитудой водны, огибающей
цилиндр при отсутствии неоднородного
слоя. Вследствие этсго количество и
величина резонансов совпадения волн,
огибающих цилиндр, о отраженными от
его поверхности и неоднородного слоя
(а именно эти совпадения обусловли-
вают величину и количество лепестков
в диаграмме рассеяния) становится
больше. При ре * 1 происходит об-
ратное явление - длина волны, огибаю-
щей цилиндр, увеличивается, амплитуда
ее уменьшается, и, как следствие этого,
уменьшается количество лепестков в
диаграмме рассеяния и их величина.
На рис. 2.12 построены графики
зависимости диаграммы рассеяния tp (0)
факов следует, что неоднородный слой с плотностью большей, чем в ок-
ружающей среде, приводит к увеличению резонансных шкеимумов и огу-
ст волнового числа. Из гра-
щению резонансных частот. В случае, когда Плотность неоднородного
слоя меньше, чем в окружающей среде, происходит обратное явление.
Кроме того, наличие неоднородного слоя при а > 2 приводит
к существенному увеличению излучения в направлении тени, обусловлен-
ному увеличением эффективного диаметра цилиндра.
47
§ 2.8. АБСОЛЮТНО ЖЕСТКАЯ СФЕРА, (КРУЖЕННАЯ
НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ /161/
Рассмотрим аналогичную задачу дифракции плоской акустической
водны давления (2.1) на абсолютно жесткой сфере редиуся а , окру-
женной радиальным неоднородным елеем радиуса Ъ .
Задача описывается уравнениями (2.15), (2.56) и граничными
условиями (2.45), (2.61).
Решение задачи во внешней однородной среде описывается выра-
жениями (2.20) и (2.21). Общее решение внутри неоднородного слоя
можно представить в ваде
Здесь (rf и Я™(г) - два линейно невависимых решения уравне-
ния (2.58).
Подставляя ряды (2.20), (2.21) и (2.66) в граничные условия
(2.45), (2.61), получаем систему алгебраических уравнений для на-
’ховдения коэффициентовд, , 4г > Лг • учитывая, что /(Ы ~ 1:
#/я	(2т*1>/ Jm
Тт	b?(A/*tff(2m*/h'%
Гт
Откуда
fm ~ ~	r.
(m	fA,A)A™W
где л(а( ,	и	имеют тот же ввд, что и в предцду-
щем параграфе.
Этим заканчивается формальное решение поставленной зада^.
Перейдем к построению конкретного вида решений (f/ и М .
Предположим, что изменение плотности внутри неоднородного слоя
48
ва длине волны шло и членом р'(г) /р(г) в уравнении (2.58), как
а в предыдущем параграфе, можно пренебречь. Рассмотрим чаотннй слу
чай изменения плотности р(г) пс закону (2.48) при s = 2 и запжпем
уравнение (2.58) в виде
Г> —	(2.67)
dr? dr
Представим решение уравнения (2.67) в виде обобщенного степен-
ного ряда
(2.68)
Подставляя (2.68) в уравнение (2.67) и приравнивая коэффициен-
ты при одинаковых степенях г , получаем бесконечную рекуррентную
систему алгебраических уравнений, связывапцих показатель степени Р
и коэффициенты :
fl) Si fl) - m)r>f/)J- 0,
- /vfsnfdJ - 0t	(2.69)
f(iff)fit J)	~
o<nrfifn)(tfrfd-/r)/nfflJf^jOro</r_^	= &
Из первого (опредалящего) уравнения систем находим if-m
И 1^- - (vtf /).
Подставляя в остальные уравнения система т вместо У , ви-
дим, что все коэффициенты с нечетными индексами обращаются в нуль,
а остальные коэффициенты выражаются через «*" , который остается
неопределенным и может быть выбран произвольно. Положим 1.
Следовательно, первое линейное независимое решение уравнения
(2.68) предстанем так:
)?"(». г г".	(2.70)
Второе линейно независимое решение запишем в веде
*г‘. <г’О
Подставляя выражение (2-71) в уравнение (2.67) и приравнивай
коэффициенты при одинаковых степенях г , получаем следующую беско-
нечную рекуррентную систему едгебраичеоких уравнений:
rrfrifd- JTff/rfdJ- ff,
49
fa or

(2.72)
fit3(2-2m) <	- 4
Из этой сиотеш следует, что все коэффициента о нечетными
индексами обращаются в нуль, а остальные выражаются через неопреде
ленную и произвольно выбранную величину fe • Положим flf = 1.
Таким образом, № построили два линейно независимых решения
уравнения (2.67), описывающих волновые движения в области Oietl
На рис. 2.13 и 2.14 представлены полярные диаграммы распреде-
ления суммарного давления на поверхности жесткой сферы, окруженной
неоднородным слоем, и полярные диаграммы рассеяния при тех значе-
ниях параметров, что и в предыдущем параграфе. Из приведенных гра-
фиков и выполненных расчетов следует, что неоднородный слой влияет
на распределение дифрагированных палей так же, как и в случае ци-
линдра. Следовательно, для абсолютно жесткой сферы, окруженной
неоднородным слоем, справедливы все основные физические закономер-
50

a
Рже 2.14
51
ности влияния свойств этого слоя на формирование ; Драгированных
полей, приведенные в предыдущем параграфе дяя цилиндра. Одвакс в
случае сфера фокусирупцие в рассеивающие свойства неоднородного слоя
выражены белее ярко, что особенно наглядно прослеживается при срав
нении графиков, приведенных на рис. 2Л5 и 2Л2.
ГЛАВА 3
РАССЕЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
Достижения в области нестаци парной теории дифракции более
скромные, чем в исследовании дифракции гармонических волн, что свя-
зано с необходимостью решения достаточно сложных начально-краевых
задач. Задачи нестационарной теории дифракции на абсолютно жестких
телах и урпутих оболочках подробно изучены Э.И.Григолюком и
А.Г.Горшк вым /38, 39, 40/. Они также сделали обзор известных до-
стижений в этой области и охарактеризовали перспективы развития
дальнейших исследований. Большинство методов решения нестационарных
задач основано на приведении уравнений в частных производных, тем
или иным путем, к некоторой совокупности обыкновенных дифференциаль-
ных или алгебраических уравнений. Среди таких методов одним из наи-
более распространенных для линейной теории является метод интеграль
вых преобразований /2, 25, 29, 30, 45, 49, 50, 70, 78, 79, 81, 90,
133, 157, 166, 175/.
Для решения волнового уравнения часто используется интеграль-
ное преобразование Лапласа. При этом в пространстве изображений мох
но построить аналитическое решение. Однако такой прием приводит к
очень громоздким изображениям, для которых трудно построить ориги-
нал с помощью теорем обращения, а если это и возможно, то в боль-
шинстве случаев решение оказывается настолько сложным, что числен-
ный расчет по нему становится трудоемким. В настоящее время в связи
с развитием быстродействупцих ЭВМ широкс используются различные
численные методы обращения интегрального преобразования Лапласа. От-
метим, что теория методов численного обращения в.настоящее время на-
ходится в стадии развития, литература по данной проблеме невелика,
отсутствуют оценки погрешностей и рекомендации о выборе числа чле-
нов разложения, не установлены условия сходимости реальных вычисли-
тельных процессов /25 , 29 , 30 , 78 , 79 , 81, 108, И9, 457/. В связи
с этим в представленных ниже исследованиях применялся метод практи-
ческой оценки сходимости процесса вычислений при постепенном увели-
чении числа членов частичной сумлы, а также оравнение полученных
численных результатов с эталонными решениями /157, 166/.
53
Инне методы решения задач распространения и дифракции неуста-
новившихся волн описаны в работах /72, 101, ИЗ, 118, 131, 163, 175,
-177, 21<Л
§ ЗЯ. АБСОЛЮТ 3 ЖЕСТКИЙ ЦИЛИНДР
Рассмотрим задачу рассеяния плоского акустического импульса
на абсолютно жестком цилиндре радиуса г = 1 /2/.
Пусть плоская волна вада /2, 166/ (рис. ЗЯ)
-•<((-/*/-пив)
Р; -- Ра е	МР-/ * гаЫ)	(3.1)
в момент времени / = О касается жесткого
цилиндра и фронт волны параллелен его оси.
Здесь М(// - единичная функция Хевисай-
да; р^ - максимальное значение давления
на фронте волны; параметр о- характери-
зует степень затухания давления за фронтом
набегапцей волны.
Во внешней области /•> I движение
акустической ореды описывается уравнением
(3 2)
Г *гг др? •
где рг • р(- *р^	- суше набегапцей ( р;	) и рассеянной
( Р5 ) волн. Функция ps	удовлетворять оледупцим началь-
внм я граничным условжям:
13-31
J&, -Jb	(3.4)
дг '/•*>	&/г./ •
Здесь ж далее введены безразмерные переменные (звездочки в дальней-
шем опущены) „
fi 4/ г Р t е
'^Т' л	(3-5)
где д и cf - плотность и сдорост?» ввунд днещнеД акустической
среды; i - радиус цилиндра.
Решение задачи будем жждть с помощью интегрального преобразо-
вания Лапласа по времени
(3.6)
Применяя интегральное преобразование Лапласа к выражению (ЗЯ),
палущем
54
PffjP s Sr case
p*--------e 	‘	(3.7)
•	'/ s<*<
Выражение (3.7) можно представить в вцце разложения в ряд
по модифицированным функциям Бесселя
P^p'S —
р- = —-----У ет7 fsrjcpsmff-	(3.6)
* /	_	'г' /77
S * v<
Используя интегральное преобразование Лапласа к уравнении
(3.2)	с учетом начальных условий (3.3) находим, что рассеянная
волна в пространстве изображений должна удовлетворять следующему
уравнении:'	f ,
—\	Р	(3.9)
дгг г дг гг	3
Разделяя переменные в уравнении (3.9) ps. О7г) у(О),
имеем систему р*# t tiff т*
г - (sff —)О= о,
о	(3.10)
Решением второго уравнения системы (3.10), как это было пока-
зано в § 2.1, являются функции tvsmff . Первое уравнение этой
системы имеет два линейно независимых решения /т 7sr> и 7sr) .
где /т /х)	- модифицированная функция Бесселя, а Ат М
функция Макдсналвда.
Из асимптотических представлений этих функций при /г/~
и начальных условий следует, что решение системы (3.10) при лю-
бом т можно представить в виде
где
цжж
(З.И)
Ps„ ’ Р'т ^r)ns/rP,
- произвольные постоянные.
Общее решение системы (3.10) представляется в вцце суперпози-
частных решений
Подставляя выражения (3.8) и (3.II) в граничное условие (3.4)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем
(ЗЛ2)
Для нахождения ремения в пространстве оригиналов воспользуем-
ся изложенным в § 1.6 методом численного обращения преобразования
Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежавдра.
55
Численное обращение преобразования Лапласа проводилось на ЭВМ
БЭСМ6/7 с двойной точностью (24 значащие цифры). При этом рад
(3.II) усекался и в /194/ показано, что наиболее оптимально удержи-
вать 12 членов рада, так как при дальнейшем увеличении их числа
происходит накопление машинной погрешности и расчеты становятся
неустойчивыми. При численных методах рад (3.8) также усекался и
число членов выбиралось таким образом, чтобы падающий ишульс, вы-
численный с помощью рада (3,8), и его точное выражение (3.1) в про-
странстве оригиналов имели наименьшую погрешность. Результаты на-
ших расчетов и приведенных в /2/ полностью совпадают. Например, на
рис. 3.12 построены графики зависимости суммарного давления от вре-
мени на поверхности пилкадра в трех характерных точках 9 = О,
взяСа) и	при «* = О, т.е.-, когда падаппий импульс опи-
сывается функцией Хевисайда. Здесь сплошные кривые соответствуют
расчетам, проведенным методом численного обращения преобразования
Лапласа, штриховой кривой показаны эпюры давления, рассчитанные
D. В.Горяйновым с учетом семи членов рада, когда гармоники дифрагиро-
ванного давления определялись путем непосредственного обращении
преобразования Лапласа с помощью интеграла Медлина, штрихпунктирные
кривые - данные /40/, Где потенциал отраженной волям у определял-
ся через потенциал набегающей о помощью переходной функции.
56
На рис. 3.3 показаны изменения давления на поверхности циливд
ра в тех же точках S = 0; л/г ; г при X = 0.5.Из графиков сле-
дует, чтс в лобовой точке ( 8 = 0) пянтгенив на поверхности цилинд-
ра возрастает примерно вдвое. Ыаксицуш давления в точках 8> О
постоянно снижаются с одновременным увеличением времени действия
положительной фазы давления в основном гребне. Максимум давления
в точке б-и/г при «<= О достигается в момент времени /*1,3.
Это обусловлено тем, что к давлению в свободном поле добавляется
давление от волны,огибающей цилиндр,т.е. наличие максимума вызвано
чисто дифракционными эффектами.В точке 8 давление,отличное от
невозцущенного давления, появляется в момент времени t ~ 2,5. Это
объясняется тем, что время прихода волны в точку л	состоит
из времени / • f, > t? , где /, - время прихода переднего
фронта волны в точку 8- л/г т.е. /, • /, и Л, - время,
необходимое для того, чтобы волна обогнула четверть образующей
цшгжцдрв в зоне тени, т.е. » -1,57. Таким образом, расчетное
время достижения волновой точки 8- л t * 2,57, что хорошо
соответствует приведенным на графиках результатам.
Кроме того, из приведенных графиков следует, что время дей-
ствия положительной фазы давления в теневой зоне 8 « л значи-
тельно превышает время действия положительной фазы давления в пе-
реходной зоне в * х/г . Это вызвано тем, что в теневой зоне
давление определяется суперпозицией волн, обогнувших цилиндр по и
против часовой стрелки.
5 3.2. АБСОЛЮТНО ЖЕСТКАЯ СФЕРА
В аналогичной постановке рассмотрим задачу дифракции плоской
волны вада (3.1) на абсолютно жесткой сфере /194/.
Уравнение движения внешней акустической среды в сферической
системе координат имеет вад
A,
8гг г 8r resins 88	88
Начальные и граничное условия на поверхности жесткой сферы
шест вид (3.3), (3.4).
Решение задачи, как и в предыдущем параграфе, будем искать
с помощь^ интегрального преобразования Лапласа.
Тогда в пространстве изображений уравнение (3.13) для состав-
ляющей рассеянного поля, с учетом начальных условий (3.3), примет
вид
*3, * «;	%.Л «.«>
8гг г 8т ггд//г8 88	#8
&гР,
№ '
(3.13)
57
Разделяя переменные в уравнении (3.14). приходим к системе
d;>0 2 dO
tfrr f r dr''5"' 7*	(3.i5)
t d	dY
~r~ -jz(s/nO—) + m(/n+ t)y * O.
SmO de	dp
Решением второго уравнения системы (3.15), как било показано
в § 2.2, являются полиномы Лежандра Рт (tvsО)
Решение первого уравнения этой системы можно представить в
ввде Q. •)„ Ysr> *jc„t„,psr) .где и (?)
модифицированные сферические функции Бесселя и Макдональда.
Из асимттотических представлений этих функций при
. ZF’ е~г
тг
и начальных условий следует, что im = О.
Таким образом, общее решение систем (3.15) можно записать так-
Л - £ /Ь** fs».Pm ^е>.	(з. 16)
т»0
Выражение для набегающей волны (3.7) в пространстве изображений
можно представить в виде ряда, аналогичного (3.16)
- Pae'S ?
Р:~ -----Е (Om^f)/mfsr)P Orcise\ (3-17)
' Srrc с
Подставляя (3.16) и (3.17) в граничное условие (3.4) и приравни
ая коэффициенты при одинаковых Puleos О) получаем выражение для
г известных коэффициентов
,чт= —----(pmf)
(3.18)
Как и в предыдущем параграфе, переход в пространсгви иригняа
дов осуществлялся численно с помощью смещенных многочленов Лежандра
На рис. 3.4 построены графики зависимости суммарного давлении
от времени на поверхности сферы в точках в = 0 (штриховые кривые)
и в* к (сплошные). Из графиков следует, что в лобовой точке
в = 0 давление почти удваивается, с течением времени для «- = О
оно стремится к давлению в падающей волне, а для ы =0,5 и <*-/
к нулю. В точке Л давление практически достигает своего гак
симального значения в момент времени / ~ 3,3.
§ 3-3- ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР
Рассмотрим случай, когда плоский акустический импульс вдда
(3.1) набегает на круговой цилиндр, плотность которого отличается
от плотности внешней окружающей среды.
Уравнение движения внутренней средн, имепцей в невозмущенном
состоянии плотность рг и скорость звука сг , запишем так
Ур. f fa f >_ Як	(3 i9)
dr* Рг * г! to*'c*
Движение внешней акустической среды описывается уравнением
(3.2). Искомые функции рг и ps должны удовлетворять следупцим
рядя irt. ины и граничным условиям:
‘Мет/	{3-20)
'*'е Л/р*р	Л ff-0 ’
f fa , fa/
v., •*4/ - л у/,, • ТА/ •	'3-2I)
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (3.19) о учетом
начальных условий (3.20), получаем
<3.22)
дгг г дг гг Яг* Pg
Решение уравнения (3.22) с учетом условий регулярности при л- О
можно представить в виде ряда, аналогичного ряду (3.II),
4	(i13 •23)
Подставляя выражения (3.8), (З.П) и (3.23) в условия сопряже-
ния (3.2Z), приходим и системе линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных коэффициентов и Лг
£	fl ' &
59
Откуда etfigj £/к р я	(s) r„fs)-7„ is) £ М
s'* '
Рц^/пе	Ргсг ?т ? ^я>	cr
Рт* ------ -----T~s--------7-7-----•	(3.24)
s '•< ф-АЪЪф*'” fs)
На ряс. 3.5 поотроевн графики зависимости изменения сумирного
давления на поверхности однородного циливдра от времени в точках
В = 0 (кривые I), в - /г (кривые 3) и в центре цилиндра при
г =0 (кривые 2) при <* = 0,6. Плотность однородного циливдра
выбиралась по формуле
т. е. она равна осредненной по радиусу плотности соответствующего
неоднородного циливдра (2.48). Штриховые кривые соответствуют
fit = 1,4, штрихпунктирные - ре = 0,6 £ = 2.Из графиков следует,
что время достижения максижльного значения в точках г = 0 и
/•В при рс > I и рс г I намного различается. Это объяс-
няется тем, что при pFp » I фронт водны, проходящей через однород-
ный цилиндр, отстает от невозмущенного фронта, а при Рф •< 1 - опе-
режает его. Кроме того, так как фронт водны внутри циливдра изги-
бается, то при рРр > 1 цилиндр проявляет фокусирующие свойства,
а при p^ 1 - рассеивающие. Это хорошо видно из рис. 3.5, где
максимальное значение давления для фокусирующего цилиндра в точках
О
г = О и я превышает аналогичное максимальное значение
для рассеивающего циливдра.
§ 3.4. ОДНОРОДНАЯ СФЕРА
Аналогично предыдущему параграфу рассмотрим задачу рассеяния
плоского акустического юшульса (3.1) на однородной сфере /1947-
Уравнение движения акустической среды во внутренней области
г 4 I в сферической системе координат можно записать так:
8гРг 2 8%	/	8 ty, /
‘ ----- / — — / ------------ — (s 'mff — )- —
8rr г 8r г2 з/пР 8в 8е cf
Уравнение движения внешней средн при г » I,
вне условия имеют вид (3.13), (3.20) и (3.21).
££	(3.25)
Лг '
начальные и гранич
В пространстве изображений преобразования Лапласа уравнение
(3.25) приводится к виду
8гР, г 8рг 1	8	b8!j8, st
8r* r 8r r2Sffrff 8S 8ff С/ r
Решение втого уравнения с учетом регулярности при
но представить в ввде рада, аналогичного (3.16)
(3.26)
г = 0 ыож
4	( О '	fevse'-	(3*275
Подставляя выражения (3.16), (3.17) и (3.27) в условие сопряже-
ния (3.21), находим неизвестные коэффициенты
8гсг Poi (Я”' ,,е'$ С !s,b* fs> ~ (sf fs}
(s>i^	fS) '
61
pti/2m>/)e~S ргсг1т	<m /*>
$' Ы	^'Tt	fi)
На рве. 3.6 представлены графики зависимости изменения суммар-
ного давления на поверхности однородной сферы от времени в точках
а' = 0 (кривая i), я (кривая 3) и в центре сферы при г = О
(кривая 2) при » =0,5. Плотность однородной сферы выбиралась,
как и в случае однородного цилиндра, как средняя по радиусу плот-
ность соответствующей неоднородной сферы. Штриховые кривые соответ
ствуьг д, = 1,4, штрихпунктирные - yq,= 0,6 (^ = 2).Из рис.3.6
следует, что, как и в случае однородного цилиндра, однородная сфера
обладает фокусирующими ( р^, > I) или рассеивающими (ру * f )
свойствами.
§ 3.5. НЕОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР /166/
Рассмотрим случай, когда плотность цилиндра является функцией
(3.28)
имеет вид
(3.29)
радиальной координаты р- ptr) , а безразмерная скорость звука
в неоднородней среде определяется по формуле
/
с(г>-	, .
Ур/г>
Уравнение движения неоднородной акустической среды
ffrt ‘ z р(н dr r* dd} cf(r> dt2 '
Уравнение движения внешней акустической среды и начальные уело
вия остаются такие же, как и в § 3.3.
Условия сопряжения (3.2ф) запишутся следующим образом:
• <3-™
В пространстве изображений преобразования Лапласа уравнение
(3.29) с учетом (3.2В) имеет вад
1Р ' г -	(3- 31)
Согласно 5 2,5 представляем решение уравнения (3.31) в вцце
рада	_
4, д. (/Чеса та,	(3.32)
где Ит (г) - удовлетворяющее условию регулярности при г = О
решение уравнения	/ Р'/Г) ср/ т3
с/г* z р/г> с/г г*	(3.33)
Это уравнение следует из уравнения (3.29) после разделения nt.
[именных р • Р/Г)У/в).
62
Подставляя выражения (3 8), (3.11) и (3.22) в условия гппг'
ния (З.ЗС), находим неизвестные коэффициенты
ЛРРЯ 4 ^4 <Р - 4 ^'-4 's>
sp<4) .f„ 11)^1.41 ’
Ре; Ъе~‘ V ff’ti(P- P^ PP'P^ PP
St*
Пусть p(г) изменяется по закону (2.48),
/Mr)* ft *(f-pc)r f /= /,2.3.	(3.34)
Тогда согласно § 2.5 представим решение уравнения (3.33) в
ввде обобщенного степенного ряда
Рт/г>*гт^*х„г”г	(3.35)
где tx„ определяются из следующих рекуррентных соотношений:
Ре^п Р/'»"г)-тгР*(\тгр	~
-d-p^s^^^-e,
<*(, = I, «у = 0 при j*0.
На рис. 3.7 представлены графики зависимости изменения суммар-
ного давления на поверхности неоднородного цилиндра от времени в
точках в = 0 (кривые I), м (кривые 3) и в центре сферы при
г = 0 (кривые 2) при «< =0,5. Штриховые кривые соответствуют
- 1,4,штрихпунктирные -рс - 0,6 (^ = 2).Из графиков следует,ч~
63
как и в случае однородного цилиндра, при прохождении импульса суще-
ственную роль играют фокусирующие или рассеивапцие свойства неодно-
родного цилиндра. Сравнивая рио. 3.5 и 3.7, видим, что неоднород-
ный цилиндр более слабо проявляет фокусирующие или рассеивающие
свойства, чем соответствующий однородный.
§ 3.6. НЕОДНСРОДНАЯ СФЕРА /194/
В случае радиально неоднородной сферы уравнение движения неод-
нократной акустической среды в сферической системе координат запи-
сывается следующим образом:
' а.т
иs/пв де	де сг(п л*
Применяя преобразования Лапласа к уравнению (3.37), получаем
3%	2 рРП др. f д д&
—— +(--------) — +---------(s/ne — )- $гр(г)р. = о.
дгг г р<п дг г*&п0 де де
(3.38)
Решение уравнения (3.38) представим в ваде ряда, аналогичного
ряду (3.27)	—
4 • Гт Ъ fr>fim ММ	(3.39)
Подставляя выражения (3.39), (ЗЛ6) и (3.17) в условия сопря-
жения (3.30), окончательно имеем
p/Vpa p2m*f)e'S3	Р„ Рз)А^ Ps>
I™' s + *	(s)P&	Ps> •
fla
st*
spPf)PpPf)P^ Ps) -	Ps)
Pf)- spPf>P„ Pf)^ Ps)
Для случая, когда плотность неоднородной сферы изменяется по
закону (3.34), функцию PmPs) можно представить в виде обобщенно-
го степенного рада (3.35), коэффициенты *„ которого определяют-
ся из следующих рекуррентных соотношений:
JJp Iп^2т 1Df-pc )/~л Рп г 2т f/) -	tn) t
(3,
*C-f,	при /-'Л
64
На рис. 3.8 приведены графики зависимости изменения суммарно-
го давления на поверхности неоднородней сферы от времени в точках
в = о (кривые I), 8- я (кривые 3) и в центре сферы при г = О
(кривые 2) при = 0,5. Штриховые кривые соответствуют ре = 1,4,
штрихпужтирные - Д-= 0,6 (^=> 2) .Из Графиков следует,что основную
роль при прохождении импульса играет фокусирующее или рассеивающее
свойство неоднородной сферы. Максимальное значение давления в точ-
ках г = 0 я 8-я дан фокусирующей неоднородной сферы ( j>e =
- 1,4) достигается в более поздний момент времени и его величина
существенно больше, чем для рассеивающей сферы (	=0,6). Зти
аффекты объясняются тем, что для фодусирующе'4 сферы, скорость зву-
ка в которой меньше, чем в окружающей среде, фронт проходящей через
нее водны изгибается в сторону, противоположную направлению распро-
странения волны. При этом лучи, вдущие первоначально параллельно
лучу, проходящему через центр, изгибаются внутрь сферы, а зто, в
свою очередь, приводит к увеличению максимального давления в точках
г = 0 и 8-я . При = 0,6 происходит обратное явление. Эти
аффекты наблюдаются и в случае неоднородного цилиндра, однак выра-
жены значительно слабее.
§ 3.7. АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЙ ЦИЛИНДР,
(КРУЖЕННЫЙ НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ
В аналогичной постановке рассмотрим задачу рассеяния плоского
акустического импульса (3.1) на абсолютно жестком цилиндре радиуоа
а , окруженном неоднородным акустическим слоем радиуса i . Как
ив $ 2.7, предположим, что изменение плотности незначительно и чле-
ном fi'frl	в уравнении (3.29) можно пренебречь. Другими одо-
p.qy? jrwg ЭТОЙ з^Л^ЧГИ СЧИТВем» ЧТО ДВйхение неоднородной якустичр—
ской среды описывается уравнением
65
dsp. / да,	/ d!p. /	ifp,
____-___________________________-	(3.41)
dr?	r dr	r? de?	cr(rt	df2	'
Кроме того, для этой задачи к уравнениям (3.41) и (3.2), на
чальннм и граничным условиям (3.20) и (3.30) добавляется граничное
условие на поверхности жесткого цилиндра
-у/ «Л	(3.42)
dr !г* а
Общее решение во внешней области описывается выражениями (З.Я)
(3.II). Общее решение внутри неоднородного слоя в пространстве Лап-
ласовых изображений можно представить в виде
(3.43)
где (г) и Р™ (г) - два линейно независимых решения
уравнения
dr2‘ г dr~ г’ е	(3.44)
Для плотности р<г) , изменяющейся по закону (3.34), соглас-
но § 2.7 решения р^(г) и р™/г)	можно записать следующим
образом:
Р^(г). г”Ё ы„г ”	(3.45)
mtff	г
'('г'- P^r'/rrf rm£ fr',r’S в-r' (3. 46)
„.с	,.л»' ‘
где о, и js„ определяются из таких рекуррентных соотношений:
^„Г/-гг.г)г- m2J-srpc^-s2(г-о.	(3.4?)
при jrd

' sSfefi^2 -	* г™, -О, л* 2г,,
Подставляя выражения (3.8), (3.11) и (3.43) в граничные усло-
вия (3.30) и (3.42), находим неизвестные козффицл1-нтн
Pm '	,o) r
4-
Pe ">Ра 4 Ъ P*> 4 &
Sf^	*m<s’Gm f')- 3/>ft)Q„ ffM^ fs)
(3.49)
№'г
Pn1 ~S,«
Здесь jei a)	, ffm ft)
веденнаа в § 2.7.
spf/)Q,„ ft) fs)- 6^ ft)Jm fs)
(s)& ft)- Sj)f/)0„ ff)*£ ts)
и 4 ft) определяются вираж ениями, прж
На рже. 3.9 продет «леям графики зависимости изменения суммар-
ного давления от времени в трех характерных точках на поверхности
жесткого циливдра в = 0, */г и я при а = 0,6, ? =2,
= 0,5 и ft = i (сплошные кривые); 1,4 (штриховые); 0,6 (штрих-
пунктирные) .Из графиков следует,что наличие неоднородного слоя при-
водит к сокращению времени достижения передним фро 'том волны поверх-
- ности цилиндра при рс < 1 и увеличение при />г > -I. Кроме того,
фокусирующие (рассеивающие) свойства неоднородного слоя при рс > 4
(4 4) приводят к уменьшению (увеличению) времени действия поло-
жительной фазы давления и увеличению (уменьшению) его максимально-
го значения. Это происходит потому, что в фокусирующем неоднород-
ном слое скорость звука меньше, чем в окружающей однородной среде,
и, следовательно, фронт волны изгибается в направлении, противопо-
ложном направлению распространения импульса. Кроме того, характер-
ная длина импульса, огибающего цилиндр, окруженный неоднородным
слоем, уменьшается, а амплитуда его увеличивается по сравнению р
импульсом, огибающим жесткий цилиндр при отсутствии неоднородного
слоя. Эти явления и обусловливают фокусирующий эффект неоднородного
67
слоя при ре » I. При рс £ I наблюдается обратное явление - фронт
волны изгибается по ходу распространения ишульса, характерная дли-
на импульса увеличивается, а его амплитуда уменьшается.
§3.8. АБСОЛЮТНО ЖЕСТКАЯ СФЕРА,
ОКРУЖЕННАЯ НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ
В аналогичной постановке рассмотрим задачу рассеяния плоского
акустического импульса вида (3.4) на абсолютно жесткой сфере радиу-
са а , окруженной неоднородным слоем радиуса 6 . Как и в предыду-
щем параграфе, предположим, что градиенты плотности неоднородного
слоя малы и членом р'/г) /р(г)	в уравнении (3.37) можно пренеб-
речь. Тогда, применяя преобразование Лапласа, получаем
дгрг г 0%	1 д 0А> е .
dr* '7 ~07* r’s/nff <fcfame ~>-зр(гУЪ=0. (3.50)
Уравнение движения внешней акустической ореды, а также начальные и
граничные условия имеют влд (3.13), (3.20), (3.30) и (3.42).
Общее решение уравнения (3.50) представим так:
(3.51)
fr) - линейно независимые решения уравнения
d!f } df , . mfm+f)
-,л~	/Г. Л	(3.52)
где (г)
drf г dr
Пусть p(d изменяется по закону
рМ'Рс ift-fidr*
Тогда согласно §2.8 функции
представить в вцце
а/ .
ч М можно
frf- Г 2^ г ;	,
где •*„ и р„ определяются из следующих рекуррентных соотно-
шений:
2п <• f) - sfa	(3.53)
0п(Рг-гт-()рг„-^рергп.г-^(1-р1)рг^^О,	w j<0.	(3.54)
Подставляя выражения (3.51). (3.16) и (3,17) в граничные усло-
вия (3.30) и (3.42), находим
p(f>pa. (SwfJe s	М- Ю7т is)
S— -	---------,
fd- sp^>d„ ^s)
Poi &n*f!eS sp( (fhm (s>-	(S>
Sf“ ^fs>^ (/)-spff)ff„('f/^(si
где -T(a) , (?„ i имеют тот же ввд, что и в § 2.7.
На рис. 3.10, З.Ц приведены графики зависимости суммарного
давления на поверхности сферы от времени в точках # = 0 и
при а = 0,6; <х = 0 (рис. 3.10) и «х = I (рис. 3.11) при ре = 4
(неоднородный алой отсутствует) - сплошные кривые, ре = 0,6 -
штриховые, ре = 1,4 - штрихпунктирные. Как и в случае шииццра.
69
наличие неоднородного слоя сокращает время достижения передним
фронтом волны поверхности сферы для ре с i и увеличивает время
для > i. Наличие неоднородного слоя с ре t 1 приводит к белее
быстрому достижении дифрагированной волной точки в- л . Однако
рассеивающие свойства этого слоя расширяют время действия положи-
тельной фазы давления, а его максимальное значение уменьшается.
Неоднородный слой с плотностью ре > i приводит к обратным явлениям,
т.е. за счет фокусирующих свойств этого слоя максимум давления в
точке в-я более ярко выражен и достигается несколько позже,
чем при отсутствии неоднородного слоя.
ГЛАВА 4
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВСШН
Исследование возмущенных электромагнитных полей при наличии
неоднородностей имеет большое практическое значение как бесконтак
тный метод определения их физических свойств и пространственных
распределений. Такую информацию можно получить с помощью измерений
интегральных и локальных характеристик дифрагированных полей. Поэ-
тому, видимо, не случайно большинство задач рассеяния волн локаль-
ными неоднородностями рассмотрено для случая электромагнитных волн.
Типичными примерами являются задачи диагностики горячей и холодной
плазмы. В настоящее время известны некоторые решения задач
рассеяния и дифракции электромагнитных волн на плазменных об-
разованиях цилиндрической формы /То, II, 33, 51, 77,197 - 19”,
205, 206, 212, 225, 233, 235у’ и сферической геометрии /44, ЮЗ,
130/. Типичные задачи дифракции электромагнитных волн на телах и
неоднородностях более общего вида рассматривались в работах /4,
<7 - 19, 34, 46, 58, 60, 61, 58, 76, 85, 95, 107, 126, 137, 146,
176/.
В настоящей главе приведено классическое решение задачи дифрак-
ции электромагнитных волн на цилиндрическом теле кругового попереч-
ного сечения и построены решения новых задач для радиально неодно-
родного цилиндра и цилиндра, покрытого радиально неоднородным слоем.
Построены.аналитические решения,которые затем анализируются численно.
В частности, исследовано влияние параметров неоднородностей на
распределение поверхностных токов и полные поперечные сечения рас-
сеяния.
§ 4.1. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОИН
НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕМ ЦИЛИНДРЕ /37/
Пусть на бесконечный круговой цилиндр радиуса b набегает
плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении,
перпендикулярном оси Oz . Требуется определить вторичное электро-
магнитное поле, возникающее в пространстве при условии, что значе-
71
ния диэлектрической и магнитной проницаемостей £ , // дня цилин-
дра и окружающей средн различны.
При решении поставленной задачи целесообразно рассматривать
два случая поляризации падающей волны относительно оси Oz : век-
тор Е параллелен Ох и вектор 77 параллелен Ох . Общий случай
произвольной поляризации падающей волны макет быть получен наложе-
нием етих типов палей. Так как методика решения обеих задач одиня-
кова, ограничимся анализом только первого варианта. В соответствии
с исходным условием проекции векторов поля падающей волны имеют
вид	ifbX
fa	(4.1)
Н„ • Л4 - О, ty. #ее ,
где Eg и - амплитуды падающей плоской волны.
Строгое решение дифракционной задачи сводится к решению урав-
нений Максвелла при заданных граничных условиях для составляющих
алектромагнитного поля на поверхности циливдра и на бесконечности.
Для решения этой задачи целесообразно использовать цилиндриче-
скую систему координат г , в , z . Так как в рассматриваемом
случае векторы Е л 77 падающей волны не зависят от координаты %
а параметры циливдра одинаковы во всем интервале - — « х < =- ,
вторичное электромагнитное поле также не додянс зависеть от z
Уравнения Мак веяла в цилиндрической системе координат при
условии = О распадаются на две независимые системы уравнений
первая из которых определяет электромагни ное поле поперечно-алек-
тричеи эго типа с компонентами , %. и , а вторая - поле
поперечно-магнитного типа с компонентами 4г • 4- н
вследствие того что пале падающей волны имеет компоненту Е* ,
вторичное электромагнитное поле тоже должно содержать эту компоненту
т.е. оно должно быть поперечно-электрическим. Система уравнений
для комплексных амплитуд проекций векторов вторичного поля попереч
но-электрического типа в установившемся режиме имеет ввд
/дЕг	f д fy.
7 aT-W'",.	'“‘Ь-	(4.2)
Так как цилиндр идеально проводящий, граничные условия, которым дшж
но удовлетворять сушарное электромагнитное поде на поверхности ци-
линдра, запишутся следующим образом:
*О	(4.3) _
при г* A, 0z6t	. Здесь Ех - проекция вектора Е‘
падающей волны, касательная к поверхности циливдра; Е* - анало-
гичная проекция вектора 77 s вторичного поля.
72
Поскольку по определению
, z£z Нагане ,	.—,
Ez^ce 	, ^а>^,
то условие (4.3) можно переписать в ввде
Еое	(1кЛ}
при Г» b, Oi Gift, - ~ <Х toe.
Следовательно, расчет электромагнитного поля дифракции сводит-
ся к решению системы (4.2) при граничных условиях (4.4).
Система уравнений (4.2) приводится к одному уравнению относи-
тельно ФУНКЦИИ Ez : »tf3 . ft! f 0}г3
(4'5)
Общее решение уравнения (4.6), удовлетворяющее условию на
бесконечности, можно написать тар:
(4*6)
Представляя падающую волну в ввде разложения по цилиндрическим
функциям
(4.7)
и подставляя (4.6) и (4.7) в граничные условия (4.4), получаем
. /п Е/я (Ы	.
, •	«-В)
s *2S3jb)
Следовательно, проекция Е* вторичного электрошгнитного поля,
возникающего в пространстве пра дифракции плоской электромагнитной
волны на бесконечном круговом цилиндре,определяется выражением
(4-9)
Для нахождения закона тока, возбуждаемого на поверхности ци-
линдра полем плоской водны, необходимо вычислить !. Используя
для этого второе уравнение системы (4.2) и выражение (4.9) для
//	, подучаем
Ё£/я(т а *  4	(4.10)
Так как вектор плотности тока на поверхности цилиндра • имеет
вид	г _
•(н, * Щ-п- 4 (нл +Hej)- %jx при 4
f	f Jg/SAfi)
jt *	aw,ffi (4‘
Суммирование в подученных формулах проведи.ся до значений ,
близких к величине 2 л
Если волна поляризована таким образом, что вектор парал-
лелен оси Ох , то система уравнений Максвелла запишется следую-
щим образом:
73
I &PZ	SPZ	f d ftr
-----—=iae£e, ~f—r£-—]= f'a>pHz- ,, TO.
Г ft-ft	r ft	(4.12)
Граничные условия имеют ввд
н‘ * #‘-а
(4.13)
Система уравнений (4.12) приводится к одному уравнению отно-
сительно функции Hz
д’р f дР, f Егрг 2
(4.14)
Решение уравнения (4.14) записывается точно так же, как и в
случае поперечно-электрического поля.
§ 4.2. (ИНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР
В аналогичной постановке рассмотрим задачу дифракции плоской
электромагнитной волны, распространяющейся в направлении, перпен-
дикулярном оси Cz , на бесконечном круговом цилиндре радиуса Е .
Как и в § 4.4, будем рассматривать два случая поляризации падающей
волны относительно оси Oz : вектор р параллелен оси Я? и
вектор £ параллелен оси Oz . Проекции векторов поля падающей
волны для указанных случаев имеют ввд (4.4).
В цилиндрической системе координат при условии =0
уравнения Максвелла распадаются на две независимые системы уравне
ний, определяющие электромагнитное поле поперечно-электрического
и поперечно-магнитного типов. Система уравнений для комплексных
амплитуд проекций векторов вторичного поля поперечно-электрическо-
го типа в установившемся режиме имеет ввд (4.2).
На поверхности раздела двух сред должны выполняться условия
сопряжения .выражающие равенство тангенциальных составляющих при
переходе от одной среды и другой:
'"Л-Ь ' °'	- °-	(4Л5)
Первое из этих условий о помощью второго уравнения системы
(4.2) можно выразить через функцию Ez :
/ d£z 1 &z
~EF)r-i> 3 °-
Решение ьнешней задачи проводится так же, как в § 4.1. Падаю-
щая волна представляется в виде разложения по цилиндрическим
функциям
Ez = Ep£em imEm ffa-Jzvs/Ttf.	(4.46)
ns
Рассеянная цилиндром волна Л о учетом условий излучения
Зоммерфельда выразится так:
Ez	(4.17)
Z ,	/п*О
где кг* иц/Л*.
Иоле внутри цилиндра описывается уравнением ввда (4.5), где
kf - к,  а>?г/7б‘. Решение его с учетом регулярности при л -
- О можно представить в виде ряда
4	4	(4. IB)
Подставляя разложение (4.18) вместе с выражениями (4.16) и
(4.17) в условия сопряжения (4.15), находим неизвестные коэффициенты
Л/г
й F ./г	а,£>-/щ,f*,v . .
Следовательно, проекция вторичного электромагнитного во
ля, возникающего в пространстве при дифракции плоской электромагнит
ной волны на бесконечном круговом цилигцре,определяется выражением
Для построения решений задачи о дифракции плоской Пй-падяризо
ванной волны на однородном цилиндре, нужно рассматривать систему
уравнений (4.12) для внешней и внутренней областей при граничных
условиях
z.	/ м / fyf
"М	= °’	(4 21)
каждая из систем уравнений для внешней и внутренней областей приво-
дится к одному уравнению ввда (4.14) относительно функций и
решения которых записываются так же, как и в случае поперечно-элек-
трического поля.
§ 4. 3. НЕОДНОРОДНЕЙ ЦИЛИНДР
Рассмотрим задачу дифракции плоской электромагнитной волны на
бесконечней круговом неоднородном цилиндре радиуса 6 , помещенном
в однородную непроводящую среду. Проекции векторов паяя падающей
электромагнитной волны, распространяющейся в направлении, пердещГи-
кулярном оси Л , имеют ввд (4.1).
Рассмотрим случай, ког/ia диэлектрическая проницаемость цвдивдра
является функцией только радиальной координаты ч - £ кг) .
Система уравнений относительно комплексных амплитуд проекций
75
векторов для внутреннего поля поперечно-электрического типа в уста-
новившемся режиме имеет ввд (4.2), где £ следует принять
На поверхности раздела двух сред должны выполняться условия
сопряжения (4.45).
Решение внешней задачи аналогично приведенному в § 4.2. Падаю-
щая плоская волна представляется в вцце (4Л6), досеянная неодно-
родным цилиндром волна £i записывается в вцце (4.47).
Система уравнений (4.2) для внутренней области ( г<6 )
приводится к одному уравнению относительно функции :
L —(г —)+ — &	(4.22)
г дг дг	г г dffz
Разделяя переменные
Et. Нг)гsЯ,
уравнение (4.22) преобразуем к системе
dr? г dr	г3 dd
(4.23)
Первое уравнение системы (4.23) не допускает построения точно-
го решения при произвольной функции
Пусть // /<*, •«//-<,) rs) .где ёе= . Тогда
решение первого уравнения системы (4.23) можно представить в вцце
обобщенного степенного ряда
(4.24)
цце коэффициенты определяются из следующих рекуррентных соот-
ношений:
«^7 /7(4.25)
при
Общее решение (4.22) с учетом регулярности при г- 0 запишем
в вцце ряда
4	Mros mA.	(4.26)
Подставляя ряды (4.46), (4.47) и (4.26) в условия сопряжения
(4.45), получаем оистецу линейных алгебраических уравнений относи-
тельно и Вт :
Я/Г
'	(4.27)
А^А/А>„ М-р % MJm Ur А)
В'г’^'т р^	'
Если волна поляризована таким образом, что вектор Н парал-
лелен оси Лг , то система уравнений Максвелла" (4.12) для внеш-
ней области сводится к уравнению (4.14). Для внутренней области
получаем уравнение
е(г) д , г <№г . / дгЪ .
----I-------—/+---------/7/-ЛЧ.-Л
г дг ' £(r> дг' г2 д0г *
(4.28)
После разделения переменных имеем
(4-29)
0Г2 Г £(Г) dr	Г2
Уравнение (4.29) аналогично уравнению (2.43), и, следователь-
но, для построения решений задачи о дифракции плоской IM-поляри-
зованной волны на неоднородном цилиндре можно воспользоваться ре-
зультатами, полученными во второй главе.
На рис. 4.1 построены графики зависимости полного поперечного
сечения рассеяния Q от волнового числа	для £р = 0,1
и s = 1, 2, 3 (кривые 1-3). Здесь и далее на рисунках сплошные
кривые соответствуют переменной диэлектрической проницаемости,
штриховые - постоянной осредненной: £^-— *
Из приведенного графика и выполненных расчетов следует, что при
£в * I первый ^екоимум полного поперечного сечения рассеяния для
постоянной осредненной диэлектрической проницаемости значительно
превышает соответствующий ьвкоимум для переменной диэлектрической
проницаемости. Кроме того, увеличение параметра s приводит к
смещению максимумов в область меньших волновых чисел и некоторо-
му уменьшению их абсолютных значений.
77
На рис. 4.2 построен график аналогичной зависимости для
to = 3. При этом кривые 1 соответствуют значению параметра s = 4;
кривые 2 - 5=2; кривые 3 - 5 =3. Отсюда следует, что увели-
чение параметра* s , как и в случае eff< 1, приводит к смещению мак-
симумов в сторону меньших волновых чисел, однако их абсолютные зна-
чения при зтом увеличиваются. Характерной особенностью кривых пол-
ного поперечного сечения рассеяния при se > 1 является наличие на
них локальных экстремумов, которые с увеличением параметра s ста-
новятся белее' ярко выраженными.
На рис. 4.3 построен график зависимости Q от волнового числа
kt b для различных значений параметра при у = 2. В случае
I (см. рис. 4.3) увеличение параметра приводит к сдвигу
первого максимума в сторону больших волновых чисел и увеличению
его абсолютного значения.
Для I (рис. 4.4.	Eo.r- гб) ,	при 5=2
увеличение параметра приводит к большей изрезанности кривых
полного поперечного сечения рассеяния и увеличению его шкеималь-
ного значения как для переменной,так и для постоянной осредненно i
диэлектрической проницаемости. При этом количество глобальных
экстремумов в рассматриваемом диапазоне увеличивается.
Таким образом, из анализа полученных результатов следует,
что переменность диэлектрической проницаемости кругового цилиндра
78
существенно влияет на интегральные характеристики рассеяния ТЕ-по-
ляризованных волн.
§ 4.4. ЦИЛИНДР, ПЖГЫТЫЙ НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ
В случае, когда плоская ТВ-поляризованная электромагнитная
волна, распространяющаяся в направлении, перпендикулярном оси (к ,
набегает на идеально проводящий круговой цилиндр радиуса а , окру-
женный неоднородным слоем радиуса i , то к уравнениям (4.2) и усло-
виям сопряжения (4.15) добавляется условие равенства нулю танген;-
циальных составляющих поля на поверхности идеально проводящего ци-
г.-г.	«'.ад
Решение задачи во внешней области описывается выражениями
(4.46), (4.47). Общее решение внутри неоднородного слоя можно пред-
ставить в виде
79
6 -	(4.31)
где Я™'(м и 0%’м - два линейно независимых решения первого
уравнения системы (4.23),
О М , Г
L f
Л’0
&n-f	_
"•*	i.n»
Коэффициенты о„ определяются из рекуррентных соотношений (4.25),
а для коэффициентов д, и д- имеем (см. (2.64))
г- /7>3J/3„	л'*а»г
:	44л»*	*&**, - я, " &*,

Я* £/»'/, i*
Подставляя (4.16), (4.17)  (4.31) в граничные условия (4.15),
(4.30), получаем систецу линейных алгебраических уравнений для на-
падения неизвестных коэффициентов , Лж и
f ^т^/я	0jsmf •i»	..
С4
е„ 1"%.
t- (а{01*0.
Откуда
0f/JT
е^-£,б^я—---------------------------1
J0 С
80
е'*/0	(4.33)
*'O)‘ f“>f0 '
BI
На рис. 4.5, 4.6 представлены нормированные кривые распределе-
ния модуля плотности тока на поверхности проводящего цилиндра
для различных значений параметра , характеризующего перемен-
ные свойства диэлектрической проницаемости неоднородного слоя при
а = 0,6, кгЪ = 2,4 (рис. 4.5 (а, б)) и = 3;5 (рис. 4.6 (а,б))-
Из выполненных расчетов и приведенных графиков следует, что неодно-
родный слой о диэлектрической проницаемостью, меньшей, чем в окру-
жающей следе, умянктярт плотность поверхностного тока в теневой зо-
не для всех значений параметра .
Из рис. 4.6, а,б видно,что неоднородный слой с диэлектрической
проницаемостью, большей, чем в окружающей среде, приводит к появле-
нию на поверхности цилиндра осцилляций плотности поверхностного то-
ка. Причем амплитуда этих осцилляций возрастает с увеличением вол-
нового числа Х>Л
«
ж
На рис. 4.7, 4.8 построены графики зависимости полнота попереч-
ного сечения рассеяния ff от волнового числа Ы для различных
значений параметра ав и толщины неоднородного слоя.
Из рис. 4.7 (а = 0,5 - (а), а = 0,6 - (б), а - 0.7 (в)) следует,
что неоднородный слой при t I увеличивает полное сечение рассея-
ния тем больше, чем больше толщина и меньше его диэлектрическая про-
ницаемость. Причем основное влияние неоднородного слоя, как и следо-
вало оквдать, сказывается йа более высоких частотах.
83
На рис. 4.8 (а - 0,5 - (а), а = 0,6 - (б), а = 0,7 - (в))
построены аналогичные графики зависимости О дня £в > 4. Отсвда
следует, что рассеяние волн на идеально проводящем цилиндре, окру-
жением неоднородным слоем, с диэлектрической проницаемостью, боль-
шей, чем в окружающей среде, носит явно резонансный характер. Для
достаточно длинных волн влияние неоднородного слоя незаметно и кри-
вые полного поперечного сечения ff для цилинпря, покрытого слоем
и без него, практически совпадают. Однако при уведичении волнового
числа влияние слоя становится существенным, а затем и вообще преоб-
ладающим. Характерной особенностью всех приведенных графиков
(рис. 4.8, а = 0,5 (а), а = 0,6 (б), а = 0,7 (в)), является нали-
чие минимуме полного поперечного сечения рассеяния, который с умень-
шением толщины слоя сдвигается в область нысокит частот. Таким об-
разом, наличие неоднородного слоя приводит к существенному измене-
нию интегральных характеристик рассеянных полей в резонансной зоне.
ГЛАВА 5
РАССЕЯНИЕ-МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИХ И МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН
В электропроводящих ненамагничиваемых средах, подверженных дей-
ствию достаточно сильных магнитных полей, существуют эффекты взаимо-
действия, обусловленные повдеромоторными силами и упругими перемеще-
ниями. Эти эффекты значительно меньше, чем в ферромагнетиках, но
они также имеют практическое значение, так как приводят к демпфиро-
ванию магнитоакустических волн.
Кроме того, вторичные электромагнитные эффекты, сопровождающие
процессы распространения волн, как и возмущения самих механических
процессов в магнитных полях, создают возможность для новых способов
рр.гкстряпки механических явлений экспериментальным путем (с помощью
измерения вторичных электромагнитных факторов).
Эта область в настоящее время мало изучена. Первая работа была
опубликована в 1971 г. /148/. Затем были получены решения ряда новых
задач рассеяния и дифракции магнитоакустических и магнитоупругид.
волн Д51, 153, 154, 159, 160/. Исследование магнитоупругих колеба-
ний и волн проводилось также в работах Д, 8, 13, 14, 22, 27, 69,
82, Z16, 128, 132, 134, 149, 150, 179, 215, 216, 226 , 230 , 241/.
Приведенные в этой главе результаты получены впервые и дают
информацию с влиянии магнитоупругих эффектов на характеристики по-
лей, рессеянннх локальными неоднородностями.
§ 5.1. РАССЕЯНИЕ МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН АБСОЛЮТНО
ЖЕСТЮМ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯДОМ ЦИЛИНДРОМ
Пусть цилиндрическая волна излучается сосредоточенным осевым
источником, который находится на расстоянии с? от оси рассеивате-
ля (рис. 5.1) и рассеивается на абсолютно жестком неподвижном иде-
ально проводящем круговом цилиндре радиуса i . Внешняя среда опи-
сывается уравнениями магнитной гидродинамики в линейном акустичес-
ком приближении. Кроме того, предполагается, что среда в невозму-
щенном состоянии неподвижна, обладает слабой проводимостью и подвер-
жена действию достаточно сильного осевого магнитного поля /148,149/.
85
Уравнения магнитоакустики в приближении 0? * f, Л /г где
rf^ — магнитное число Рейнольдса; ~ магнитное давление, имеют
вид /5497
— *//^ v9' &•
di
V .р.
fy}f ft fyf
~ft' " IT '
? ft •
(5.5)
v Tf= Я, V: ef> o.
* <
Безразмерные величины co звездочками, которые везде в изложении опу-
скаются, вводятся по формулам
Предполагается, что выполняются условия упругой изотропии и пре-
небрегаетоя влиянием электрических зарядов. Величины j>' и // в
уравнениях (5.5) равны единице и играют роль трассцрущил парамет-
ров.
Соответствупиие граничные условия по поверхности раздела двух
сред при /•« / имеют вид ( л - вектор нормали к поверхности раз-
дела)

(5.2)
д
Здесь - компонента макснеллова тензора натяжений
где z’/,^ =1,2,..., fy. ~ символ Кронекера, по повторяющимся ин-
дексам выполняется суммирование.
Кроме того, искомые функции во внешней области должны удовлет-
ворять условиям излучения и ограниченности на бесконечности.
В дальнейшем исследуются гармонические колебания и искомые
функции представляются в вцце
f(r,e,z,tkffr,ff,zle''afT <5-3>
множитель д~“^ и тильду в дальнейшем опускаем.
Рассмотрим задачу излучения МГД-волн. Запишем уравнения (5Л)
с учетом (5.3) в цилиндрической системе координат ( г, ff,z ) , свя-
занной с рассеивателем	~ е
,	€ у	о е л
ff г * fyf Off
ШЛ> Ъ ~ Г * Ял Г
f д frf
-“W 'Л -	- О,
(5.5)

(5.6)
(	& О	f f	f	J
Х» «Л
/ де£ fr? f 0 ffep
~	; 7ffr(pe',,'~se'J ’	•
В системе координат ( г„ 6,, z, ), связанной с излучателем
(рис. 5.1), из систем (5.4) и (5.5) в случае осевой симметрии имеем
-	f tf
art r,tfr, "
I tf о , t f & ff / 0 V . л
----- — z'A/’AZJ —
r, ' z rfafr, ' r,
Система уравнений (5.6) приводятся к уравнению Бесселя
cf^pf f cfpf
—; * - — #
(5.7)
87
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям излучения,
записывается в ваде
(5.8)
Здесь р- (й>2+	Р9 /ft )с~г,	- функция Ханкеля первого ро-
да (индекс "1" в дальнейшем опускается), а величины а) и удовлет-
воряют условиям
й)>О, Pej3>0, /тр»0.	(5.9)
Из уравнений (5.6) - (5.8) определяем выражения для у/,А9,
ш	/а>
^ftfi	(5.10)
9	,
ef~ fyjp
Остальные компоненты нулевые: ve-O, Ar-ff,
, Рассеянная цилиндром волна во внешней области описывается си-
стемой уравнений (5.4), которую после некоторых преобразований мож-
но свести к уравнению
д2/>9 / $>f f ifyf
dr* " 7 Tr' 7* 777*
имеющему с учетом (5.9) решение
pf=27 C„Pm Apr) casmP.	(5.И)
' />•!
Ряда, вада (5.11) абсолютно и равномерно сходятся в каждой точ-
ке пространства вне цилиндра и на его поверхности (при атом Р пр
фиксированные) /587.
Исходя из (5.8) и (5.14) и применяя теорему сложения [ISAJ,
построим дифрагированное поле в системе координат, связанной с рас-
сеивателем. Тогда при r^d для j>9 имеем
£^9„(/г)РтАрф.СтР„АрИ/ее^Р.	(б-12)
Из уравнений (5.4) и (5.5) определим величины 9r, re и Az :
ftp
9	"**	(5 13)
к -~t£ [e„j„ (flrM„ ъ
* яРяьа
88
(5Л4)
Исходя из уравнений (5.1) пожне показать, что в классе рассмат-
риваемых воемушений е9*0	, и, как следствие, отсюда получаем
h9-0 л а
Коэффициент Ст определяется из условий (5.2)  (5.13)
Ст = -£м	(5.15)
4^
Перейдем к построению решений для электромагнитных полей. При-
меняя операцию Г г к уравнению
Г xh9 ‘	>,
получаем	'
-	(5.16)
Д- г г / 8f
Подставляя в уравнение (5Л6) равенство (5.13), приходим к сле-
дующему неоднородному уравнению:
/ ЭЛ9 ! z5%
fr? V дг * г*
- -ji’E ce„J„	
т.0
★СтЦп&Я cosn,0 •
(5.17)
30’ Г 00 •
Частное решение уравнения (5Л7), порожденное падающей и отра-
женной акустическими волнами, имеет вид
hf-ЕМаМ.	(5.18)
х т,е
Шестое и восьмое уравнения системы (5.5) можно свести к одному
неоднородному уравнению относительно функции е9 :
JZ е9Л	±	(5Л9)
дгг К *
Подставляя (5Л8) в (5Л9), получаем
дге9 3 де9 /	/
--- /	Л — Г -
дгг г 0г---------г*
t	(5.20)
★rf£'*b
^е9
---= iuF mft г
Ял 2	02 ‘ я '
89
Частное решение для функции
£*= £ьт —------------*-	{firtkh/rfi. (5.2i)
2 /n»t f-m fr
Иэ восьмого уравнения системы (5.5), учитывая (5.21), получаем
(5.22)
ziv
л. a
§ 5.2. ДИФРАКЦИЯ МАгаИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
НА МАГНИТ0УШТГ0М ЦИЛИНДРЕ /1537
Цусть цилиндрическая волна излучается сосредоточенным линей-
ным источником, размещенным на расстоянии if от оси возмущающего
объекта, который является магнитоупругим круговым цилиндром. Внеш-
няя среда описывается уравнениями магнитной гидродинамики в линей-
ном акустическом приближении, а внутренняя - уравнениями магнито-
упругости. Как и в предыдущем параграфе, предполагается, что в не-
возмущенном состоянии средн имеют слабую электропроводность и подвер-
жены действию достаточно сильного осевого магнитного поля. Линеари
еованные уравнения в безразмерной форме в приближении	и
для внешней области <>/ имеют вид (5.1).
Уравнения магнитоупругости во внутренней области в таком же
приближении имеют вид
, Я » _ _ дги ,3# .,
uh------------------
С	3/1 Л
, ди __ __ __	(5.23)
?>?•-% ; v J-ffi
Индекс у характеризует величины пс внешней области. Беэраз-
мернне величины со звездочками, которые везде в изложении опускают-
ся, вводятся по формулам
О
, я
H’-j,
"е
, А
63
tub
b •
Mes


Здесь и - вектор перемещения упругой среда; cs =	' -
скорости распространения дилатационных и эквиволюминальных волн в
упругой среде; ps - плотность упругой среда; X и о - упругие по-
стоянные Ляме.
Предполагается, что выполняются условия упругой изотропии,
условия отсутствия электрических зарядов и, кроме того,
е 9~ е, D9-- 4-
Соответствующие граничные условия на поверхности раздела двух
сред при /*> / имеют вид (	- вектор внешней нормали к поверх-
ности раздела)
О,
где Z = л  или лл, f-A или е
(7f-
Л	(5.24)
(-pffy fit -*А>1 * О-
Здесь - компонента тензора напряженной упругой ореда;
компонента тензора натяжений Максвелла,
=	h “w
A, - 4k ) r
i,k, ip = 1,2, по повторяющимся индексам выполняется суммирование;
- символ Кронекера.
Кроме того, искомые функции во внешней области должны удовлет-
ворять условиям излучения и ограниченности на бесконечности, а во
внутренней - условиям регулярности в нуле.
В дальнейшем, как и в § 5.1, исследуются гармонические колеба-
ния и искомые функции представляются в виде
f(r,6,z,f)=f(л,в,х)	„(5.25)
-ia>f	„
множитель е и тильду в дальнейшем опускаем.
Задача излучения МГД-волн рассмотрена в предыдущем параграфе.
Построим решение для внутренней области г к /	Если вектор и
представить в виде
Ц. VV * Pxff; v~-a * fft
то первое уравнение системы (5.23) с учетом (5.25) распадается на
два несвязанных уравнения
9i
(2f
.	_ -	(5.26)
Г V /(игиа>/!’„Р/,)^-О; a-<dAx -
Остальные уравнения системы (5.23) в цилиндрически! координа-
тах принимают вид
. f д6х f д dfy,
/ г а „ a/,., f a?. дех
г а»=Л>А,., ~^Г~/аЛрг	(5.27)
1 гд dp,.j ' frd де.,
7 tfr (tb”' aa '* lCd^'	=£>'
Решения уравнений (5.26) с учетом условия регулярности при
г-о -юнет вид
V'Jb *т/т f Ь г
-	(5.28)
ГЛв
Условия сопряжения (5.24) при г. f еаписываются следующим
образом:
ttf-b,',-#,	(5-29)
* °'
Из уравнений (5.6), (5.7), (5.26), (5.27) и (5.29) следует.что
механическая и електромагнитная задачи частично распались и, кроме
того, , hg и £2 во внешней и внутренней областях тождествен-
но равны нулю.
Выражая перемещения и напряжения через потенциалы v и и
подставляя в (5.29), получаем условия сопряжения при г=>
о dr f д&
v,г да'’
,	3	(5.30)
а , atv t av f a & .
--a,
2 дг? 2 fo
-3-3-»/?.
gr*
Подставляя (5,12), (5ЛЗ) и (5.28) в (5.30), приходим к систе-
ме линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэф-
фициентов
4, F3 a, kе„ ^//т ф*-
(5.31)
Здесь
Из
Styf FmP!/m ftz)~
= Й 4'^'X'-
F, (xh 2/»7л£ (x)-J„ MJ, F, (хК хг/7т W'Zj’(x)J,$ (х>- л’Щ(х> ~(х>1
системы уравнений (5.31) находим
етсв и' ,й!7 г „г и , .7г
В я " -f/я ce	„> . .., г gf7 , ,.г
“/>r(PM/p f "еЛг''я’ (г'*лг
Jm (fl* c3/!^ix (p?7/x
C,n ~'Sm	"" W”7
(5.32)
где
Z„ Ъ W', (М- Ь	W'
~ kf) r»7/n fff)-	t,)Fr 77г J r
zm - zX /^X •
Построение решения для возмущенных алектромагнитных полей про-
изводится аналогично § 5Л.
Исследуем рассеянное поле в длинноволновом приближении, когда
//,,/•> /4-А 4?/ - Л''// . Используя асимптотические представления
функций Бесселя и Ханкеля при малых аргументах, получаем при т=е
Се * 1л(£)г((5.33)
*	л/1г
93
при т>о
<=!И)
Из (5.S3) и. (5.34) можно сделать вывод, что в длинноволновом
приближении внутреннее электромагнитное поле не влияет на амплитуду и
фазу рассеянных волн и решение соответствует задаче рассеяния магни-
тогидродинамической волны на непроводящем цилиндра, причем упругость
внутренней среды влияет только на нулевую моду колебаний.
При РН‘О с помощью формулы (5.32) подучаем выражения для ко-
эффициентов задачи дифракции акустической волны на упругом цилиндра,
При зтом длинноволновом приближении шеет место аналогичное явление -
упругость цилиндра влияет только на нулевую моду рассеянных волн.
В дальнейшем будем исследовать рассеянную волну давления
р/.	(5.35)
, Рассмотрим в длинноволновом приближении ближнее поле при
и оценим погрешность, которая вносится при- отбрасыва-
нии в ряде (5.35) членов с номерами	, т.е. оценим ряд
р/‘ C‘L	(5.36)
дм**/
Используя асимптотические представления функций Ханкеля и пред-
полагая, что fid достаточно велико, с учетом (5.34) подучаем
—	/ гт / //лг-fJ/
Iptflt/-pce^£^ijr(s)	r
(5.37)
, 2 .Я! /г	-JfMd /~2 ' —	/р/ m 1

'rflfif '^7 (in)'
Пусть & - заданная точность вычислений, тогда из (5.37) полу-
чаем критерий удаленности линейного источника
(З.зв)
94
Рассмотрим в длинноволновом приближении дальнее поле рассеян-
ных волн	. Из выражения (5.36) с учетом (5.34) и асимптоти-
ческих представлений функций Ханкеля имеем
г	/г -nfycf'Jfyrt- /Р/ гяг f
IPs ft	'х/р/г e	1 г '
(5.39)
поля

1—гл------------- —/----L-j—L (let)	pi rt t,
• c	а (1ц)!	'г>
Из (5.39) получаем критерий удаленности рассеянного
-Tm/sd (f+ugfi f /л/ y2(lf>)
Ll____________/
г J
Для оценки влияния магнитного поля и электропроводностей сред
на рассеянное поле проведены расчеты зависимостей значений диаграм-
мы рассеяния
г:
if С„е	.
ъ.с т
в направлении 0 от частоты л)  Значение диаграммы рассея-
ния отнесено у амплитуде набегающей волны в точке г=о. В каче-
стве примера рассмотрена слабопроводящая гидродинамическая среда
со свойствами воды (например, вода с электропроводящими примесями)
и упругая среда типа висмут. При этом приняты следующие расчетные
безразмерные параметры: р = 0,102; с, = -1,36; ? = 0,33;
%пРи^Р" = 0; 0,005; 0,01; 0,015; 0,020 ; 0,025.
На рио, 5.2 приведен график зависимости диаграммы рассеяния
от частоты (сплошные кривые) для трех значений Р* = О
(кривая I ), 0,01 (кривая 2), 0,02'(кривая 3) при
Штриховые кривые характеризуют аналогичные диаграммы для абсолютно
жесткого идеально проводящего цилиндра. Таким образом, кривые 1
соответствуют случаю отсутствия магнитного поля, кривые 2-3 - слу-
чаю, когда внутрення упругая среда является непроводящей, а внеш-
няя акустическая - слабопроводящей. Из сравнения кривых следует,
что наличие осевого магнитного поля приводит к существенному сгла-
живанию локальных экстремумов и уменьшению значений диаграммы рас-
сеяния для абсолютно жесткого идеального проводящего цилицдра.
95
Для упругого цилиндра наличие
магнитного поля приводит к
уменьшению значений диаграммы
рассеяния за исключением ок-
рестностей минимальных значе-
ний резонансов, где влияние
проводимости внешней акусти-
ческой среда почти отсутствует.
Как следует из первого
уравнения системы (6.1), это
объясняется тем, что потери
энергии на преодоление поцде-
ромоторных сил прямо пропор-
циональны амплитуде рассеян-
ной волны. Поэтому влияние
магнитного поля в точках резо-
нансных минимумов диаграммы рассеяния значительно меньше, чем в
окрестности резонансных максимумов.
Кроме того, из проведенных расчетов следует, что проводимость
внутренней упругой среда приводит к незначительному сглаживанию диа-
граммы рассеяния, которое в основном проявляется в окрестности экс-
тремумов.
§ 5.3. ДИФРАКЦИЯ МА1БИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА
НЕОДНОРОДНОМ СЛАБОПРОВОДЯЩЕМ ЦИЛИНДРЕ /1567
Сформулируем задачу рассеяния волн в электропроводящей сжимае-
мой среде и решим ее. Цусть цилиндрическая волна издучается сосредо-
точены линейным источником, размещенным на расстоянии d от оси
возмущающего объекта - осесимметричного неоднородного кругового ци-
линдра (рис. 5.1). Внешняя и врутренняя среды описываются уравнения-
ми магнитной гидродинамики в линейном акустическом приближении со-
ответственно для однородной и неоднородной сжимаемой жидкостей. Кро-
ме того, предполагается, что среда в невозмущенном состоянии непо-
движны, характеризуются слабой проводимостью и подвержены действию
достаточно сильного осевого магнитного поля
Уравнения магнитоакустики для внешней однородной среда имеют
вид (5.1), а для внутренней неоднородной среды можно записать
ЭР
Ля ★Ъ-ЭЫ Ъ,
.c2/-~-PPfi>7,
Я	/к гк
96
-*i	»	077	*
F >/, = v>#,, v >e.-v f.O, v-F.0.	(5.41)
Индекс / в (5.1) характеризует величины во внешней области. Беераз
мерные величины со звездочками (которые всаду опущены) вводятся по
формулам § 5.1.
Соответствующие граничные условия на поверхности раздела двух
сред при г- / имеют вид
л (vf- ?/• 0,
(5’42)
где	иди nx , /-/" или
Кроме того, искомые функций во внешней области должны удовлет-
ворять условиям излучения и ограниченности на бесконечности, а во
внутренней - условиям регулярности в нуле.
Вводя потенциалы
г'- r&, (iafytM- 0„%jv.vr,	(5.43)
первые три уравнения системы (5Л) и (5.41) с учетом зависимости
f(r, 0,х,/П ffr, в, х)е~'ш{	(5.44)
,	„	___ -iai
(в дальнейшем множитель е и тильду опускаем), запишем в виде
р’*'”	0,	(5.45)
v Л
ia/W- vfa(') , affair/ * ia>0m0„ .
V3Vf ----------------- * /-------------------— Л> = & ,
(la/fyir/- fa,##)	' сг0г/Л(г)
(5.46)
Решим сначала задачу излучения ЫГД-волн Запишем систему урав-
нений (5.1), (5.45) с учетом (5.44) в цилиндрической системе коор-
динат (г, е, z) , связанной с рассеивателями
/- • q л •
(5.43)
97
!• W
C
e
— -лг'Л,
' r3 , g J f г# „
. . 7/jF 4	rht'Z r'f gg J
В системе координат et, z,) , связанней с излучателем (см.
рис. 5.1), из уравнений (5.45), (5.1) в случае осевой симметрии
имеем
(5.48)
0,
(5.49)
(5.50)
Решение уравнения (5.49), удовлетверяицее условиям излучения, запи-
сываются в виде
У’"",	(5.51)
где	« р - g	nff „р, /	р
f - wa ' *чЧ >/с л >
Н"\ jjfj ) - функция Ханкеля первого рода (индекс "I" в дальнейшем
опускаем), а величины со ир удовлетворяют условиям (5.9).Из уравне
ний (5.50), (5.51) нахсдим
V= rf- -~d, ^rt).	(5.52)
Из уравнений (5.52), (5.50) следует, что составляющие электромагнит-
ного поля	и е* порождаются возмущениями акустической
средн.Рассеянная цилиндром акустическая волна во внешней области опи
сывается уравнением
ffty / г dW
fr' fr fr'r’ gg V1 d,
которое с учетом условий (5.9) имеет решение
far) rvsr»f.	(5.53)
Исходя из (5.51) и (5.53) и применяя теорему сложения для ци-
линдрических функций, построим дифрагированное поле в системе коор-
динат, связанной с рассеивателем. Тогда при У
°8
S ^/„(pr^fpaP'^^fprpJ/vsmd. (5.54)
f»t0
Из уравнений (5.43) определим величины
Г(5.55)
я ~ £'	-Я/Г/Л&.
Уравнение (5.46) преобразуем к виду
d*v , / шр'/г/	.	/ dfy ,
'7~ /л>рвм-р„р„ * 7* Mi,~ #•
(5.56)
Остальные уравнения системы (5.41) в цилиндрических координатах при-
нимают вид
d6z f fyc
f rP dfy. ,
747^^' a? J '
/	det f r d der . .
>-'Ч<
(5.57)
f rd fy, 7 ' /rd de
-j/fr^rri' 7‘'&^r}f de 'кЛ
Разделением переменных ^a/fr/T.'e) уравнение (5.56) приводится к си-
стеме
с/’Ф
~7г/'
/у-
tup7i'r> ) i
/п~
Р,
d’r
dff1
(5.58)
гягГ- Р,
г агрл/г),^Р„Рг
где / /г/-------5---------
В случае, когда Ре/г)	- многочлен степени Р,
p,(r)‘ ЕА,г"
решение первого уравнения системы (5.58) можно построить с помощью
метода степенных рядов.
Например, пусть Р»/гьр, *//-р, )rs..	Тогда, используя поле-
ченные в { 2.5 результаты, записываем решение первого уравнения си-
стемы (5.58) в вцде ряда
гтЕчр",	(5.59)
99
где коэффициенты находятся из рекуррентных соотношений
Г(п < т) г- т *Jjet	<	f/п гл-з)/т<г>- ?sf- т r7jes	s t «„.3_g *
+je2 *^n-2S-2 * °’
*,  й)гд з ш/?т	*g4i)*f f-Д),	=
при ji 0.
Решение системы (5.58) представим в виде
И» 27 У_ <pm [rjcvs^fi.	(5.60)
т-О т
„	f	0Г /	/ Л’
Учитывая, что и=----------------, а к.— -.-----------
/ШДЮ-Эг * Г 1й)Д(Г)-#,„% ж
после подстановки (5.60) получаем
/ _
К« :------AnWlfricosm#	(5.61)
it F
К»----.-----—^tPmM/nsm/3rfi.
Условия сопряжения (5.42) при Л»f ваписываем так:
V f
V). ^r.P-A
-О. Wf* 0,
^лх9-^р.
&е9-Р„е,-0, ^^-7>тег.г?.
(D.6ZJ
Из уравнений (5.49), (5.50), (5.56), (5,67) и (5.62) следует,
что механическая и электромагнитная вадачи частично распались и,
кроме того, Лг , Ag, и ez во внешней и внутренней областях тож-
дественно равны нулю.
Из першего уравнения системы (5Л) можно определить
Подставляя вместо W егс выражение из (5.54), окончательно получаем
(5.63)
Аналогично из первого уравнения системы (5.41) с учетом (5.43)
имеем
Р= - %	(5.64)
f7>s0
Подставляя выражения (5.54), (5.61), (5.63) и (5.64) в первые два
условия (5.62), приходим к системе линейных алгебраических уравне-
ний относительно неизвестных коэффициентов 4 й (fy • ',-
-——-	ре„С,
Р/г> Ф/гг ((,а,~ ^л> J	(/О I .
Из системы уравнений (5.65) находим , z
(5.66)
Перейдем к построению частных решений для электромагнитных полей.
Применяя операции г * к уравнениям
получаем во внешней и внутренней областях
,	' fy*
fy. f <
(5-67)
Подставляя в уравнения (5.67) равенства (5.55) и (5.61), полу-
чаем следующие неоднородные уравнения:
^Zf f * ff^zf -
r ffr ffe? S’ m=o .............. m.........
ICT
aht /	„
fr? ' л dr ' гг М? S'” г
(5.68)
•" <Рт frJeesmff.
(5.69)
Частное решение уравнения (5.68), породненное падающей
женной акустическими волнами, имеет вад
fartftvs/яЛ
в отра-
(5.70)
Общее решение однородного уравнения (5.69) запишем в ввде
Л,’ £ ms/nfi
* m,0
где функция удовлетворяет уравнению
* f dr  /-г
Линейно независимые решения уравнения (5.71) имеют вид
d„r	, л>*0;
(5.71)
Ь-
(5.72)
ае + irr’t /пг а
Перейдем к построению частного решения уравнения (5.69). Пред-
варительно необходимо отметить следующее.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения
at (X)y'/X> t	i-	f(x),
аданного на интервале fa, & J , записывается так:
i
J/M~ Jg(Wffgrff,
(5.73)
(5.74)
где
С Ir, f>=Se,tyf> ю f	(г) <
(5.75)
Здесь и £ фундаментальная система решений уравнения (5.73):
v/ftUg fg)
(ве. гний знак берется при xtg , а нижний - при	), GfCgJ
102
и Сг($) должны быть выбраны так, чтобы при каждом фиксированном у
функция C(r,g' . удовлетворяла заданным краевым условиям.
Исходя из изложенного, функцию Грина для уравнения (5.71) при
OtgirPf запишем следующим образом:
f г f
(-) JfV/r-g', WA
Выберем коэффициенты Cf(g) и Сг($) так, чтобы функция была регу-
лярна при. г - 0:
-r’ft
Г

Окончательно имеем
* » т
G(r,g)-	Z/(r-S>, r>g.
Аналогично при т- о
GGr,gl~gfof37fr-g),
После подстановки найденных выражений для функции Грина в фор-
мулу (5.74) находим Частное решение уравнения (5.69), порожденное
преломленной акустической волной:
/а/2^	!g)dg cas/nfi, /*>#,
 f*
1й)^J у forty	л
(5.76)
Шестое и восьмое уравнения системы (5.57) можно свести к одному
неоднородному уравнению относительно функции ег :
дге. 3 де. /	/ дге.	ia дЬ,
----------------	е +	------ (5.77)
дгг---------------------------------г ffr гг	г* д&г-г д? 
Подставляя (5.76) в (5.77), получаем
3\	3 дег / f 0%.	л г g т,
Решение однородного уравнения (5.78) будем искать в ввде
Л* em(r>s//7mfl
г /п.)
ЮЗ
где /п(г) удовлетворяет уравнению
	.	, Л. ' r' t”-"-	(5-79)
Линейно независимые решения уравнения (5.79) имеют вид
	snrf -m-f
а функция Грина, удовлетворяющая условию затухания на бесконечно-
сти и условию регулярности при = 0, записывается следующим обра-
зом:	гт1 J , r»g, G(r,&	(5.80) s r m-,
Подставляя функцию Грина (5.80) и правую часть уравнения (5.78)
в формулу (5.74), определяем частное решение уравнения (5.78)
	er-	• f	„	(5.81)
Аналогично частное решение для функции
в io)-^	г"" г
—	.	(5.82)
Из восьмого уравнения систем (5.48) ж (5.57), учитывая (5.81) и
(5.82), получаем
JVfj	f g	/•*
e .	(5.83)
e
&г r!
- / —J- Ф. (§) o/g/fr, /»-&.
f r c ? °
104
tO). _	2 9
где
(5.84)
— J, i'fir)H,/fid) /	л-0,
F(ri= -ia>
Рже. 5.4
Для оценки влияния магнитного поля ж электропроводностей сред
на поля рассеянных воля рассчитаны амплитуда рассеянного поля давле-
ния в точке, совмещенной с излучателем, в широком диапазоне парамет-
ров, характеризующих.неоднородность цилиндра и величину невозцущен-
ногс магнитного поля.
На рис. 5.3 - 5<5 приведены графики зависимости амплитуды рас-
сеянного поля в точке	от безразмерной частоты а- ’ при
d = 5, fa « 0,6 (рис. 5.31, Д = I (рис. 5.4) и ^=4,4 (рис. 5.5).
Значение давления отнесено к амплитуде набегающей волны в точке г=0
при отсутствии магнитного уоля. На рис. 5.8 - 5.5 кривые 4 соответ-
ствуют случаю Ы - О (магнитное поле отсутствует),
кривые 2 - fa, fa = 0,25, О* = 0 (внутренняя среда слабопрово-
дяиая, • внешняя непроводящая), кривые 3 - fa, fa =0,	»
« 0,25 (внутренняя среда непроводящая, а внешняя слабопроводящая).
Отсюда оледует, что кривые ймплитуда рассеянного поля давления име-
ют резонансный характер, который обусловлен переотражением волн на
окачке градиента плотности на границе неоднородного цилиндра
105
Рис. 5.5
норсдногс цилиндра. Проводимость
в точках 6 = 0 и (рис.5.3,
5.5) или на скачке проводимости
для однородного цилиндра
(рис. 5.4).
Из рис. 5.3 видно, что про-
водимость внутреннее неоднород-
ней средн приводит к некоторому
уменьшению значений раосеянног
поля давления, что обусловлено
потерями энергии на преодоление
псвдерсмоторных сил внутри неод-
внешней однородней среды значитель-
но уменьшает амплитуду локальных экстремумов диаграммы рассеяния.
Это вызвано тем, что амплитуда набегающей волны в случае, когда
внешняя среда является проводящей, под действием магнитного поля
уменьшается. Так как значение рассеянного давления отнесено к ам-
плитуде набегающей волны при = е , тс это и приводит к сгла-
живанию локальных экстремумов рассеянного поля давления.
Из рис. 5.4 видно, как влияет проводимость сред (т.е. включе-
ние отличается от внешней однородней среды только электропроводно-
стью) на рассеянное поле давления.
На рис. 5.5 построены графики зависимости рассеянного поля дав-
ления от частоты для</)0= 1,4 аналогичные рис.5.3.Из графиков следует,
что проводимость внутренней неоднородной среды приводит к сглаживанию
резонансных минимумов рассеянного поля давления,а учет проводимости
внешней однородной среды, как и в случае > - к существенному
уменьшению резонансных максимумов. Эти эффекты можно объяснить фоку-
сирующими	или рассеивающими свойствами неоднородного ци-
линдра.
§ 5.4. ДИФРАКЦИЯ МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
НА НЕОДНОРОДНОЙ СФЕРЕ /1927
В аналогичной постановке рассмотрим стационарную задачу дифрак-
ции сферических магнитоакустических волн на неоднородной сфере, ха-
рактеризующей переменней плотностью j)e frt и скоростью звука с(г).
Точечный источит., излучающий сферические гармонические волны о за-
висимостью от времени вида р~‘ш , расположен на расстоянии cf
от центра сферы (рис. 5.1). Предполагается, чтс среды в невозмущен-
ном состоянии неподвижны, характеризуются слабой проводимостью и
подвержены действию достаточно сильного азимутального магнитного по-
• ’I
Отметим, что создать постоянное азимутальное магнитное поле
одновременно в системах координат, связанных с точечным источником
и неоднородной сферой fr,g,v) , невозмоинс. Создание
азимутального магнитного поля в сферической системе координат - тех-
нически сложная задача. Поэтому приведенные ниже задачи дифракции
магнитоакустических волн на центросимметричных неоднородностях,в ко-
торых предполагается, что	следует рассматривать как
модельные, позволяющие исследовать, по крайней мере качественно, аф-
фекты влияния магнитного поля на характеристики рассеянных акусти-
ческих полей. При этом, хотя уравнения формально выписаны в общем
виде в предположении слабопроводящих внешней и внутренней сред, рас-
четы проводились для случая, когда слабопроводящей является только
одна из них.
Рассмотрим задачу излучения 1ПД-волн в системе координат (,
0, , vt ), связанной с точечным источником (рио. 5.1). Из системы
(5.41) и уравнения (5.45) в случае сферической симметрии имеем
(5.85)
(5.86)
-------'-^-0.
Решение уравнения
(5.85), удовлетворяющее условиям Зоммерфельда,
записывается в виде	.
,, л <z>
, off
(5.87)
Здесь (/ff) - функция Ханкеля первого рода; % - производи-
тельность точечного источника; величины и у» удовлетворяют усло-
виям (5.9).	'	‘
Из (5.43) и (5.86), находим выражения для
a	-‘М
10?
Из уравнений (5.85) и (5.86) следует, что составляющие электро-
магнитного поля и ef порождаются возмущениями акустической
среда.
Рассеяния сферой акустическая волна описывается уравнением
(5.46), которое с учетом условий излучения имеет решение
Ц* S	.	(5.89)
Применяя теорему сложения для сферических функций Бесселя к
выражению (5.87), записываем потенциал скоростей точечного источ-
ника в системе координат (г, 0, при
Ц- =	(5.90)
Уравнение (5.46) не допускает построения точного решения для
произвольных ре(г) и с(г). Поэтому рассмотрим решение этого уравне-
ния для некоторых конкретных законов изменения плотности и скоро-
сти звука.
Пусть плотность задается в виде /1947
(5.91)
Разделением переменных v-Per)P(d) уравнение (5.46) приводит-
ся к системе
d?R /2 1й>р (Г) )dd	rnt'mt-f)
dr1 *	dr* *r*
i d . dp
—- — (sm — > t
S/rP dP de
(5.92)
где	Sr„=
Второе уравнение системы (5.92) имеет решение в виде полино-
мов Лежавдра рт (cose).
Решение первого уравнения системы (5.92) построим с помощью
метода степенных рядов
Где
«лг ,	-	(5.93)
•	П*0
- ff(/77/77-S2/7t/77-2S-fP /77 (, -
-2/6)2^^^-	J//7(п/2/777(5'94)
. -2r>fy> 2^-ta>(f-2el, *Q-f, cfj^g при /^
Решение во внутренней области запишем аналогично (5.89)
<f>’ Е МРт	(5.95)
/7Г»0
Подставляя ряда (5.89), (5.90) и (5.95) в условия сопряжения
(5.62), находим неизвестные коэффициенты
°т'	Н)
(2m/f^	(pi- Л^(рЦ„ ^)J
Ьт'
Где
A iff, В- to-2^^’; С~/й>-2„2^	(5.96)
2Я
Аналогично предыдущему параграфу рассчитаны амплитуда рассеян-
ного поля давления в точке, совмещенной с излучателем.
На рис. 5.6 - 5.8 построены графики зависимости амплитуда рас-
сеянного поля давления в течке (г, в)- (2,0 от безразмерной часто-
ты ш при 2 = 5, ро = 0,6 (рис. 5.6), рв = 4, (рис. 5.7) и д =
= 1,4 (рис. 5.8). Значение давления отнесено к амплитуде набегапцей
вслин в центре неоднородной сферы при отсутствии' магнитного поля.
На рис. 5.6 - 5.8 кривые 1 соответствуют случаю 2тРя-2^2^-2, ’
кривые 2 - 2т 2^/ 2,2, 2т2^-2, кривые 3 -	2, 2„д^-2.г.
Из графиков следует,что,как и в случае неоднородного цилиндра,кривые
амплитуды рассеянного поля давления имеют резонансный характер, обу-
словленный перестражением волн на скачке градиента плотности на
границе неоднородней сферы в течках 2-2 и 2/2 (рис.5.6, 5.8)
109
иля на скачке проводимости для однородного цилиндра (рис. 5.7). Пон-
тону для неоднородно* сферы справедливы приведенные в предыдущем па-
раграфе основные выводы относительно влияния магнитного поля на
характер поведения рассеянных акустических поле*.
§ 5.5. РАССЕЯНИЕ МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
НА СФЕРЕ, ОКРУЖЕННОЙ СЛОИ
НЕОДНОРОДНОЙ жидкости AqV
В аналогично* постановке рассмотрим задачу дифракции сфериче-
ских магнитоакустических волн ва абсолютно жестко* непроводящей сфе-
ре радиуса а , окруженной слоем неоднородной слабо проводящей жид-
кости радиуса Ь.		‘
Как И в предыдущем параграфе, уделим основное внимание механи-
ческой задаче, т.е. исследованию влияния магнитного поля на характе-
ристики дифрагированных акустических полей.
Поставленная задача описывается уравнениями (5.1) и (5.41),
условиям сопряжения (5.42) и граничными условиями на поверхности
жесткой сферы типа (5.2).
ПО
Кроме того, предполагается, что членом /(iafrtrN ?„,/>#)
в первом уравнении системы (5.92) можно пренебречь.
Решение задачи во внешней области описывается выражениями
(5.89), (5,90). Решение внутри неоднородного слоя запишем в виде
ряда, аналогичного ряду (2.66)
<5.97)
Здесь	и	- два линейно независимых решения пер-
вого уравнения системы (5.92).
Пусть' плотность неоднородного елся изменяется по закону (5.91)
при 5=2. Тогда аналогично § 2.8 решения fJi,"<г) и
можно представить в виде
(5.98)
где коэффициенты	определяются из рекуррентных соотношений
* - Л*гЛ -	★ ff-Д	.

^3 ' tfv •
Подставляя выражения (5.89), (5.90) и (5.97) в условия сопря
женил (5.62) и (5.2), находим неизвестные коэффициенты
/я
(Л,	/#•

f ft	К ,iK
Ш
Как ж в предыдущем параграфе, рассчитаны значения полярных диаграш
рассеяния Ф(е) в вправлении е = О в широком диапазоне изменения
параметров, характеризующих свойства неоднородного слоя и величину
невозцущенного магнитного пои.
На рис. 5.9 - 5.12 првадш график зависимости диаграммы рас-
сеяния 9(e) от частоты ее для различных значений параметров
112
Ро ’	ж	• характеризующих свойства неод-
; неродного слоя и проводимость сред.
На рис. 5.9 построен график зависимости <27/7 от частоты
да р0 = 1 (кривые I) и д, = 1,4 (кривые 2) три а = 0,5, А - 5,
‘ */я	- ° (сплошные кривые) и	= 0;	=
- 0,2 (штрихпунктирные . Таким образом, кривые I соответствуют слу-
чаю отсутствия неоднородного слоя (сплошная линия - отсутствует
такие магнитное поде, штрихпунктирная - абсолютно жесткая сфера
окружена однородным слабопроводящим сдоем с плотностью, равней
плотности окружающей ореды). Кривые 2 на етом ржоунке соответствуют
случаю, когда сфера окружена неоднородным слоем со скоростью зву-
ка меньшей, чем в сдружающей среде, т.е., как вто было показано
в § 4 данной гляди, фокусирующим неоднородным слоем (сплошная
кривая характеризует отсутствие шгнитного поля, штрихпунктирная -
электропроводность неоднородного слоя) .Из графиков следует,что при
отсутствии магнитного поля фокусирующий неоднородный слей (д =
= 1,4) существенно увеличивает резонансный характер дааграшы рас-
сеяния, а его проводимость уменьшает ее максимальные значения.
Как и в предвдущем параграфе, это явление можно объяснить потерями
энергии на преодоление поддеромоторных оил при распространении вод-
ны в проводящем слое.
На рис. 5.10 ( д, = 1,4) приведены кривые, иллюстрирующие
влияние проводимости сред на диаграмму рассеяния. Здесь сплошные
и штрихпунктирные кривые соответствуют кривым 2 рис. 5.9, а штрихо-
вая кривая - случаю, когда неоднородный слой непроводящий, а внеш-
няя однородная среда - одабопроводящая	( Я %, Р* = 0,2).
Из графика следует, что проводимость внешней среды приводит к
I уменьшению значений диаграмм рассеяния во всем диапазоне изменения
частоты а} . Это происходит за счет того, что амплитуда волны,
!•	достигшей границы неоднородного слоя, как и впредыдущей задаче,
меньше, чем при отсутствии магнитного поля.
। На рис. 5.И аналогично рис. 5.9 построены кривые, иллюстри-
рующие влияние неоднородного слоя и его проводимости при р0 = 0,6,
т.е., когда неоднородный слой является рассеивающим. Из графиков
вцдно, что неоднородный одой практически сглаживает все резонансы
совпадения волн, обогнувших сферу, с отраженными ст ее поверхно-
сти и неоднородного сдоя. Наличие шгнитного поля, как и при
рд = 1,4, уменьшает значение диаграммы рассеяния во всем диа-
, пазоне изменения параметра w .
На рис. 5.12 аналогично рис. 5.10 показано влияние проводи-
мости сред на значения диаграмм рассеяния при />е - 0,6.
ПЗ
Таким образом, анализ приведенных результатов позволяет сде-
лать вывод, что основное влияние магнитного поля в рассматривае-
мом приближении заключается в демпфировании колебаний слабопрово-
дящей акустической средн и приводит к существенному уменьшению ха-
рактеристик рассеянного поля давления. Сравнительный анализ кривых
на рис. 5.9 - 5.12 показывает, что влияние магнитного поля не за-
висит от переменности свойств неоднородного слоя.
§ 5.6.	ДИФРАКЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МАГНИТОУПРУГИХ
ВОИН НА ПРОВОДЯЩЕМ ВДДКСМ ЦИЛИВДРЕ /159/
Рассмотрим случай, когда цилиндрическая магнитоупругая волна
ввда	излучается сосредоточенным линейным источником
и дифрагирует на круговой цилиндрической полости, заполненной маг-
нитогидродинамической средой (рис. 5.1).
Движение внутренней магнитоакустической среды описывается урае
нениями (5.1), внешней магнитоупругой среды - (5.23). Соответствую
щие граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид
(5.24). Индекс / в этом параграфе характеризуют величины во внут
ренней области.
Рассмотрщ задачу излучения магнитсупругих волн.
Решения уравнений (5.26), (5.27) с учетом условий излучения
в системе координат ( rf , 6f ,	), связанной с излучателем
(рис. 5.1), и в случае осевой симметрии можно представить в виде
„	(5.99)
где f/ffM и #,(г> - функции Ханкеля первого рода (верхний ин-
декс в дальнейшем опускаем); величины <и , и 4 удовлетво-
ряют условиям
ы,>р.ы.,>а	(5.100)
Из систеш уравнений (5.27) следует, что постам ятя»* электро-
магнитного поля и ев порождаются излучаемыми дилатацион-
ными апл ням, ,
Таким образом, линейный источник излучает два типа волн - ди-
латационные и зквиволюминальные. В случае, когда ц иди
равно нулю, будут излучаться только или дилатационные, или зкви-
волюминальные волны. В дальнейшем рассматривается общий случай,
когда 0 и
Рассеянная полостью магнитоупругая волна во внешней области
описывается системой уравнений (5.26), имеющей с учетом условий
(5.Z00) решения	~
cosтвг
т'~	(5.1OI)
Исходя из (5.99) и (5.100) и применяя тесрему сложения для
цилиндрических функций [ASA], строим дифрагированное поде в систе-
ме координат, связанной с рассеивателем. Тогда при г * d для
v и V имеем
"Ь*” (^сттв,
^.So fa„	(W‘ЪЪ	(5 I02)
Величины и се определяются соотнесениями
m
° OhO r
* 4 Чг C. f^cVJs/n	(5.103)
Решение задачи вс внутренней области с учетом регулярности
при г = 0 можно представить в виде ряда
fjtriawrf.	(5.104)
Из уравнений (5.4) определяй величины
/’ 77/ A 7“^ №*п'я*
(5.105)
Из уравнений (5.26), (5.27), (5.4) и (5.29) следует, что ме-
ханическая и элек ромагнитная задачи частично распались и, кроме
того, , Ag и et во внешней и внутренней областях тсадест-
венно равны нулю.
После подстановки (5.(02) - (5.105) в (5.30) приходим к систе-
ме линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэф-
фициентов
115
Fn Ъ	' Вт & (fa) F* (fl*
F/n^(Iff f B„ FgFhFigFg;
fy) + S^mF/p Fitj)-Cm	Jm FflF - S„Fr',
W
F •	F^rrF^ W- Pm Fiji;
(5.106)
FFgF-Jg, FFtff;
F^-FmFFt^fjy-/i„ffyJr Fg-t/fA'g, FA,./*Я&/ЬЖ
Fg^^^FF^^F^FFJJ-^^F^^FF,^^/^]}
Fr--Ff ^f^mF^-^jmFbM„FFr^.
Из системи уравнений (5.T06) находим
А F/Я	^Вя	б£/Я
F/p- 6/П g Г F„*im g , f/n'S/Я g ,
FF„*/^(flFFeFg-F,F5] ^ftJ/nlflFFgm^F^Frli
(5.1СГ7)
'FtfF/fFjFr-^ WFt]-bfftFr-Ff/£ FVFgJ'tfb^ FbFfi,А,л£&,)!,
ABm • 4, (flFFg F„ -FfFe}^J„ (flFF.Fr ^^ (A,)];
(flFf^-FfFjJ^egfiJ^ (fJFF^fy, FAt)-Fstf/^ FA,FL
При Pv = 0 формулы (5.107) дают выражения для коэффициентов
задачи дифракции цилиндрической упругой волны на полости, заполнен-
ной акустической средой ДбВ/.
Таким образом, найдено решение механической задачи вс внешней
и внутренней областях. На основании полученных решений можно по-
строить из уравнений (5.5) и (5.27) решения для составляющих элек-
тромагнитного поля F2 , ez и efi
Исследуем рассеянное поле упругих воля в длинноволновом при-
ближении, когда /F,/~/ttF~ /р/- 0 (/).
I Тб
Используя асимптотические представления функций Бесселя и Ханкеля
при малых аргументах, получаем
при т = О
при т > О
,г~ Л
tot/?*, ft/bcf'
(5.108)
4-	X/

8^-.^ (£)”	(5- Ю9)
•*f	С	c
Из (5.108) можно заключить, что в длинноволновом приближении
при я-рв * X происходит интенсивное поглощение нулевой мо-
ды продольных волн.
При т > 1
(5.НО)
поэтому выражение (5.109) можно упростить
Ь '
* -Ji/Г (г	fmf), (т_г,у
8» -	/4//,/?
(5.111)
Из (5.108), (5.109) и (5.Hi) можно сделать вывод, что в длин-
новолновом приближении внутреннее магнитное поле существенно влияет
на первую моду колебаний и не влияет на нулевую и последующие моды
Кроме того, при увеличении напряженности магнитного поля %, или
проводимости в wajax-j^ дилатационных и эквкволюминальннх волн
уменьшаются по экспоненциальному закону.
В дальнейшем будем исследовать рассеянное поле напряжений
Г	г	г Г	,
Рассмотрим поде напряжений ва поверхности полости и оценим
погрешность, которая вносится при отбрасывании в ряде (5.112) чле-
нов с номерами	. Используя асимптотические разложения функ-
ций Ханкаля и предполагая, что /*-,&/ ~ /£гс// достаточно ве-
лико, с учетом (5. Ill) и (5.П2) имеем
117
/ ~
е*г
т2(/п2-/)
л>!
lW/nf=
т~ gf &	_ л>г i2
^f/ifOf/aasm^^L	*
m=if>	т.тЫ
s
/4eiflivsm0j=--i *, (- s,- Sf 4s3f Sff).
Откуда следует	g
,g"
Ы>И^ I^),'lllmi'^tfAir„Ar>l^'''',
fT^	,W.M.
,s»'i^^~7^!(T)
fl ’	№ f Ы.
W*	(iff)! (t
(in)
(in)
f‘j/t,/, V-j/f,/,
Окончательно нолушем
z  g e-M" /V	.
fyrtf*.q/fr (in)!1 2 2 ’rf(f/d	'
yr .(iff) g'^-r- tfg! in Гг ',
^(p)}o J, '4'-w,(~)	''
jy
+2(j!//je /у ] - r ftf.tr.i,#}.
(5.ИЗ)
118
Пусть s - заданная точность вычислений,„тогда при фиксиро-
ванных , 4 - и J из (5. ИЗ) получаем критерий удаленности
линейного источника
(5.114)
Далее, аналогично случаю ближнего поля оценим остаток ряда
(5.112) для дальнего поля рассеянных волн при фиксированном o' и
1	/’/*-	. Из выражения (5.112) с учетом (5. III) и
асимптотических представлений функций Ханкеля имеем
i
&т- ~ Sf * s3~ г
г 21'!	~га
г ATff	ft faf-on-г/г/J
Щ £ ,*r*rj/n wrf'fтя-r/rJ/
Sg '~4~	>
jiltЩ ~ Jt-f m Crplif^M+V-'nX- xfrjj
Отсвда следует, что
/<^/^ Zf//V4.AZ&/V4A

(5.115)
fit
, /ум»/) i V (?*>
№
,’s. // «г //// —-—— 7- ;
119
8(h/ktD
/*кгг-

erp/J/nkj r - Jmkrd/
V(k,(/^/dr
/г,^/ /и /	Jzy (i)
’	« a. (in)! ^Jf^,t~g~Jfff'!/^y i
!(h/t,l)	r ,	,k- Min)
/•Vi Ц, TH—77~	(tf*r)J (—)
° 2kJ- kJ	/к,/(dr	e
ж -/---/?/
i! (in)! г <• t-
В случае ближнего поля при фиксированных /, , кг , i и
4 в (5.115) аналогично можно получить критерий удаленности рас-
сеянного поля
Ф, (if. 4г>'в.	(5. 116)
. Выражения (5.114) и (5.116) могут служить сценками точности
при усечении ряда (5.112) в длинноволновом приближении.
Аналогично (5.115) можно оценить внешнее поле при /*></
в дальней зоне.
Для оценки влияния магнитного поля и электропроводности сред
на дифрагированные упругие поля расочитаны диаграмш рассеяния
продольной волны
S /тРрг . _
я,	-Ч	iVS/nfi
V	т-в
в направлении к - 0.
В качестве примера рассмотрена упругая среда типа висмут, со-
держащая гидродинамическую среду со свойствами воды (например, вода
о электропроводящими примесями . Среды характеризуются следупдими
параметрами: рв - 0,102; с9 - 1,36; i = 0,33; ф = 5;	,
Р* = 0; 0,005; 8,1; 0,15; 0,2; 0,25.
На рис. 5.13 - 5.15 построены графики зависимости джаграш
рассеяния Ф? (0) от безразмерной частоты 4? , отнесенные к ампли-
туде набегающей волны в точке г = 0 при отсутствии магнитного паля.
На рис. 5.13 приведены кривые для случая = 1, ve = 0, т.е.
когда линейный источник излучает ^олько продольную волну. кл,Рр =
= Фр = 0 (кривая 1), Я*к>„	» 0,25, Ф^Рр = 0 (кривая 2)
 Ф/п Фр =0, Фм = 0,25 (кривая ’3). Из графика следует,
что проводимость внутренней среды существенно сглаживает ре-
зонансные зничеяю* амплитуды	раССеЯЯНЯ ирццодьцом воины t
120
что объясняется потерями вверти на преодоление повдеромоторных
си внутри полости, заполненной адектропроводящей жидкостью. Прово-
димость внешней средн несколько уменьшает шксимвльнне значения
диаграмш рассеяния, что обусловлено потерями и набегающей волен.
Другими словами, амплитуда набегающей ванны под действием повдеро-
моторных сы уменьшается и вследствие второ уменьшается амплитуда
рассеяния волны.	,
Н4. рис. 5.14 построены соответствующие кривые для диаграмш рас-
сеяния продольной водны в случае = 0,	= 1, т.е. когда линей-
ный источник излучает только поперечные валя»- Отсюда следует, что
влияние магнитного поля в етсы случае имеет такой же характер, кай
и в случае, когда линейный источник излучает только продольную вол-
121
ну. Кроме того, из сравнения графиков, приведенных на рио. 5.13 и
5.14, следует, что резонансные значения диаграж рассеяния при излу-
чении продельной и поперечной волн находятся в противофазе.
На рио. 5.15 представлены кривые при V, = 1,	= 1, т.е. ког-
да линейный источник излучает одновременно продельную и поперечную
волну одинаковой амплитуды. Из анализа графиков, приведенных на
втих рисунках, следует, что проводимость внешней упругой среды су-
щественно уменьшает шксицумы резонансных значений диаграммы рассея-
ния и практически не влияет на величину их резонансных минимумов.
В случае, когда проводимость внутренней среды отлична от нуля, а
внешняя упругая среда является непроводящей, наблвдается обратное
явление, т.е. наличие электропроводящих примесей внутри подсети
существенно влияет на величину резонансных минимумов, тогда как в
окрестности жкеимумов их влияние незначительно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Белубекян М.В. Махвитоупру-
гооть тонких оболочек и пластин. - М.: Наука,1977. - 272 с.
2.	Аникьев И.И. .Беспалова Е.Й., Воротникова м.И и др. Дифракция
фарного импульса на жестком цилиндре. - К.: Наук, думка, 1976
3.	Антропов В. А. Принцип излучения И дифракции волн. - Минск :
Изд-во Белорус ун-та, 1979. - 57 с.
4.	Апельцин В.Ф., Еремин Ю.А., Ильинский А-С., Свешников А.Г.
Численные методы исследования распространения волн в среде с
переменными параметрами в нансной частотной области - Об.
работ ВЦ. Моск, ун-та? I97B, 28,
5.	Бабич В.М. , Буддырев В. С. Асимпт
пакции коротких волн. - М.:
6.	Бабич В.М., Булдырев В. С., Молотков Л. А. Неко тор:
окне методы, п вменяемые в теории дифракции. - В
школа-семинар по дифракции и распространению вод
1965: Тексты лекций. Москва: Харьков, 1968, с. 3
'Кирпичникова Я. Я. Метод пограничного слоя в задачах
Л7: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. - 125 с.
Е., Белубекян М.В. Колебания и устойчивость цилинд
_____________точки в потоке проводящего га_а при наличии магнит-
ного поля. - В кн.: 1р. У1 Всесоюз. ковф. по теории ободочек и
пластинок. М.: Наука, 1966, о. 25 - 31.
9. Багдоев А.Г. Распространение волн в сплошных средах. - Ереван:
Изд-во АН ApuCCP, 1981/ -308 с.
10. Биргер Е.С., Вайнштейн Л.А., Конюхова Н.Б-
- 1ВЫМФ, 1976
- 272 с
7. Бабич В.М., К1
Йракции. - J
дасарян Г.1
рическои обол<
с. 3 - 13.
АсшЖтотические методы в задачах диф-
: Наука, 1972. - 456 о.
Молотков Л. А. Некоторые матештиче-
I кн.: I Всесоюз.
Т,. Паланга,
- 92-_
-’125”с.:	”
акция волнового
i, *6, с. 1256.
>. Коротководно-
1змы, 1976, 2,
М.:
12.
, t D\J All	j	«J
Биргер E.C., Вайнштейн Л.А., Конюхова И. Б. Д1
пучка на плазменном цилиндре. - 1ВММФ, 1976,
Биргер Е.С., Вайнштейн Л.А., Конюхова Н.Б. и
вая диагностика плазменного шнура. - Физика i
* 4, с. 658.
Ел хинце 1. И. (стика неоднородной движущейся среды.
13.	богородский В.В., Таврило В.П. Лед: Физ- свойства. Совр. методы
гляциологии. - Л.: Гддрометеоиздат, 1980. - 384 с.
14.	Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчиво-
сти. - М.: Физматгдз, 1961. - 339 с,
15.	Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. -
М.: Наука, 1966. - 456 с.
16.	Боровиков В. А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции -
J!.: Наука, 1978. - 247 о.
орн U. Оптика - I-; К.; Гостахиздат Украины 1937. - 438 с. •
орн М., Вольф Э. Основы оптики. -44.. Наука, 1973. - 719 с.
рЬуде С.Я., Горбач В.М.. Мень А.В. Влхлие поверхности раз
ла на флуктуации радиоволн, распространяющихся в неоднородной
с^еде. - Изв. ву в. Сер. радиофизика? 1959 , 2, > 3, с. 388 -
20. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Изд-во АН СССР.
1957. - 604 с.
123
21.	Бреховских Л.М., Гончаров В.В., Наугольных К.Н., Рыбак С.А.
Волны в океане. - Изв. вузов. 1976, 19. > 5/6, с. 842 - 863.
22.	Бурак Я.И., Галапац Б.П.. Гвидець ь.Й7 Ф1зико-механ1чн( про-
неси в електропров!дних т!лах. - К.: Наук .думка, 1978. - 230 с
23.	Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. -
М.: Наука, 1982. - 272 с.
24.	Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. - М.:
Сов. радио, 1966. - 432 с.
25.	Векслер Н.Д. Рассеяние импульсов на упругих цилиндрах. - Тал-
лин: Валгус, 1980. - 180 с.
26.	Владимиров В.С. Уравнения жтештической физики. - М.: Наука,
1976. - 528 с.
27.	Вольмир А.С. Нелинейная динамика плаотинок и оболочек. - М.:
Наука, 1972. - 432 с.
28.	Войт С. С. Длинные волны и приливы. - В ин.: Океанология. Ы.,
1973, с. 46 - 69. (Итоги науии/ВИНИТИ. Сер Океанология): Т.2).
29.	Вороненок Е.Я. Численный метод обратного преобразования Лапла
са. - IBM МФ. 1972, 12, «5, с. 1308 - 1312.
30.	Вороненок Е.Я. Численный метод обратного преобразования Лапласа
и его реализация в одной задаче гидроупругости. - В кн.: Пробле
мы строительной механики корабля. JL: Судостроение, 1973,
с. 43 - 51.
31.	Газарян Ю.Л. К вопросу о волноводном распространении звука в
неоднородных средах. - Акуст.хурн.,1956,2, * 2, с.133 -136.
32.	Гапонов А.В., Островский Л.А., Рабинович М.И. Одномерные волны
в нелинейных системах с дисперсией. - Изв. вузов. Сер. Радио-
техника, 1970, 13, № 2, с. 163 - 213.
33.	Гиладенбург В.БГ? Квдко Ю.М. , Ковдратьев И.Г., Мидлер М.А. Не-
которые вопросы дифракции электромагнитных волн на плазменных
образованиях. - Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1967, 10, > 9,
с. 1358 - 1375.
34. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.-
М.: Физматгиз, I960. - 684 с.
35. Горнов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука,
36.	Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. - М.: Наука.
1978. - 304 с.
37.	Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. -
М.: Сов.радио 1971. - 664 с.
38.	Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек
со сплошными средами. - Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого
тела, 1981, # 5 с. 177 - 182.
39.	Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн
с упругими конструкциями. - М.; 1970. - 160 с. - (Науч. тв. /
Ин-т механики МГУ им. М.В.Ломоносова, М 2).
40.	Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гцдроупругость обо-
лочек. - Л.: Судостроение, 1974. - 208 с.
41.	Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний
стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука, 1973. - Т.5. 272 с
42.	Гузь А.Н., Галовчан В. Т. Дифракция упругих волн в многосвязных
телах. - К.: Наук, думка, 1972. - 256 с.
43.	Гузь А.Г., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн.-
К.: Наук, думка, 1978. - 308 с.
44	Гутман А.Д , Чесноков В.А. Сравнение приближения геометрической
оптики с точным решением задачи о рассеянии плоской волны неод-
нородной плазменной сферой. - Радиотехника и электроника, 1969,
14, я 2Л с. 335.
45.	Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа и г-преобразования. - М.; Наука, 1971. - 288 с.
16.	Джексон Дж. Классическая электродинамика. - М.: Мир, 1965. -
704 г.
47.	Джефрис Г.. Свирлс Б. Методы математической физики: В 3-х т.-
Й7: Мир, 1970. - Т.З. 344 с.
48.	Дзядык В.К., 'Островский Л.А. О приближении решения задачи Гур-
са для линейных дифференциальных уравнений гиперболического
типа с многочленными коэффициентами. - Докл. АН УССР. Сер. А,
1981, № 8, с. 28 - 32.
49.	Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. - М.:
Высш. шк.. 1966. - 405 с.
50.	Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и опе-
рационное исчисление - М.: Наука, 1974. - 542 с.
51.	Днестровский Ю.М., Костомаров Д.П. Дифракция плоской электро-
магнитной волны на круглом плазменном цилиндре. - Радиотехни-
ка и электроника, 1963, 8, #3, с. 408 - 415.
52.	Ефимчук М.0. Задача рассеивания при наличии плоской границы
ga дела между двумя средами. - УШ, 1969 , 21. >5, с. 693 -
53.	Завадский В.Ю- Вычисление волновых полей в открытых областях
и волноводах. - М.: Наука, 1972. - 558 с.
54.	Завьялов Ю.С., Кваоов Б.И., Мирошниченко В.Д. Методы сплайн-
функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
55.	Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акусти-
ку; - М.: Наука, 1966. - 520 с.
56.	Захарьев Л.Н., Леманский А.А. Рассеяние волн "черными" телами.
М.: Сов. радио, 1972. - 288 с.
57.	Зверев В.А. Голография в акустике океана. - В кн.: Акустика
океана. М.: НаукаГ1982, с. 175 - 181.
58.	Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн в двух телах. -
Минск : Наука и техника, 1968. - 584 с.
59.	Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жадность
и газ. - М.: Наука, 1969. - 184 с.
60.	Ильинский А. С., Свешников А.Г. Дифракция электромагнитных волн
на неоднородном ограниченном теле. - Вычисл. методы и програм-
мир., 1971. внп. 16, с. 66 - 71.
61.	Ильинский А. С., Павлов А.Л., Свешников А.Г. Численное реше-
ние задачи дифракции на неоднородном ограниченном теле. - Там
же, с. 116 - 124.
62.	Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск, ун-та,
1971. - 248 с.
63.	Исакович М.А. Общая акустика. - М.: Наука, 1973. - 495 с.
64.	Исраилов М.Ш. Некоторые задачи дифракции на деформируемых пре-
пятствиях. - Веста. Моск, ун-та. Сер. Математика, механика,
1975, й 2, с. ИЗ - 116.
65.	Исамару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неодно-
родных средах: В 2-х т. - М.: Мир, 1981. - Т.1-2.
66.	Казачек В.В. Решение задач рассеяния на объектах сложной формы
методом парциальных волн. - Веста. Ленингр. ун-та, 1972, я 19,
67.	Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру.-
К.: Ндук. думка, 1980. - 164 с.
68.	Кинг Р., У Тан-цзунь. Рассеяние и дифракция электромагнитных
волн. - М.: Изд-во иностр, лит., 1962. - 496 с.
69.	Киселевым.И.^0 магнитоуп^угом флаттере. - Магнит, гвдродинами-
70.	Ко’У. А. Рассеяние волн напряжений на упругом круговом цилиндре,
впаянном в упругую среду. - Тр. амер, о-ва инженеров-механиков.
Сер. Е. Прикл. механика, 1969, 36, л 3, с. 92 - 104.
71.	Коненкова Г.Е. Динамика морских волн. - Изд-во Моск, ун-та,
1969. - 206 с.
72.	Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах. - Тр.
Ин-та математики им. В.А.Стеклова, 1973, U9. - 278 с.
125
73.	Космодамианский А. С. Плоская задача' теории упругости для
пластин с отверстиями, вырезами и выступами. - К.: Вида шк.,
74-	Кравцов В.В. 00 одном методе решения задачи дифракции (двумер-
ный случай^ - Вычисл. математика и мат. физика, 1964,	> 2,
75.	Кравцов А.Ю., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных
сред. - М.: Наука, 1980. - 304 с.	
76.	Кравченко В.Ф., Палевой В.И., Поляков В.Ф., Рвачев В.Л. К тео-
рии дифракции рассеяния электромагнитных ванн на ограниченных
телах сложной формы. - П|обл. дифракции и распространения волн,
77.	Крепак В.Н., Акименко И.П. Рассеяние электромагнитных волн на
цилиндрических структурах с неоднородной плазмой. - Вести.
Харьк. ун-та, 1976, № 138. Сер. Радиофизика и электроника,
выл. 4, с. 20 - 23.
78.	Крылов В.И., Скобля Н. С. Справ очная книга по численному обра-
щению преобразования Лапласа. - Минск : Наука и техника, 1968.-
79.	Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования
Ф^ье и обращения преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1974. -
80.	Крылов Ю.М. Дифракция волн жидкости. - Тр. океанол. ин-та,
1950, вып. 1б7сГ50 - 95.
§1. Кубенко В.Д. Нестационарное вэаимодействие элементов конструк-
ций со средой. - Киев: Наук, думка, 1979. - 183 с.
82.	Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. -
М.: Физматгиз, 1962. - 246 с.
83.	Кунрадзе ^гэзб00110!™6 задачм математическ°й теории дифракции.-
84.	Курант Г.’, Гильберт Д. Методы математической физики. - М.; Л.:
Гостехиздат, 1951. - Т.2. 544 о.
85.	Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Г. Дифракция электро-
магнитных волн на анизотропных структурах. - И.: Наука, 1975.-
•195 с.
86.	Ладыженская О.А. 0 решении общей задачи дифракции. - Докл.
АН СССР, 1954, 94, 1 3, с. 433 - 436.
87.	Ладыженская 0.АГКраевые задачи математической физики. - М.:
Наука, 1973. - 408 с.
88.	Ламтхилл Дж. Водны в жидкостях. - М.: Мир, 1981. - 598 с.
89.	Дакс П., Филлипо Р. Теория рассеяния. - Н.: Мир, 1971. - 312 о.
90.	Лаццош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физмат-
гиз, 1961. - 524 с.
91.	ЛапПо Д.Д. Вопросы теории и практики расчета волн на воде и их
взаимодействие с преградами. - В кн.: Теория волн и расчет гид-
ротехнических сооруже&ий. М.: Наука, 1975. - о. 3 - 16.
92.	Де^Гло^П., Майсек Л. Волны в океане: В 2-х ч- - М.: Мир, 1981.-
93.	Леонтьев Е.А. Коротковолновая асимптотика решения задачи дифрак-
ции^на выпуклом |еле. - Изв. вузов. -Сер. Радиофизика, 1971, JjJ,
94.	1епец^|н^1.ф.^Д|устика: Учеб, пособие для вузов. - м.: Выев.
95.	5огАн. Обзор некоторых ранних работ по теории рассеяния плоских
волн на офе|(ц Тр. Ин-та ин^енеро| цо электротехнике и радио-
96.	|омак!н В.’а. Теория упрости неоднородных тел. - М.: Изд-во
97.	.уковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах одежной
геометрической формы. - К.: Наук, думка, 1975. - 135 с.
126
98.	Лямпев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами. - Акуст.
журн., 1959, 5, й 1, с. 58 - 63.
99.	Малюжинец Г. Л? Об одном обобщении формулы Вейля для волново-
го поля над поглощающей плоскостью. - Докл. АН СССР, 1948,
* 3, с. 367 - 370.
100.	Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции
(к 430-летию со дня смерти Томаса Юнга). - Успехи физ. наук,
1959 , 69, В 2, с. 42.
101.	МакароБг.И., Петрашень Г. И. Нестационарная дифракция акусти-
ческих и электромагнитных волн от сферы. - Учен. зап. ЛГУ
им. А.А.Жданова, 1953, № 170, с. 456 - 461.
102.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука,
1977. - 456 с.
103.	Марьин Н.П. Об эффективной отражающей поверхности ионизиро-
ванной области, имеющей форму шара. - Радиотехника и электрон.,
1965, 10, »2, с. 235.
104.	МаслбвТ.П. Теория возмущений и асимптотические методы. - М.:
Изд-во Моск, ун-та, 1965. - 243 с.
105.	Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 543 с.
106.	Маслов В.П. Коетлексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.-
М.: Наука, 1977. - 384 с.
197. Менцер Дж.Р. Дифракция и .рассеяние радиоволн. - М.: Сов. ра-
дио, 1958. - 148 с. 
108. Яетсавэзр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустиче-
ских импульсов на упругих телах. - М.: Наука, 1979. - 239 с.
409. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. - М.: Мир, 4981.-
342 с.
НО. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-
К.: Наук, думка, 1971. - 440 с.
111. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационар-
ных колебаний. - М.: Наука, 1964. - 431 с.
112. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука,
1975. - 526 с.
ИЗ. Молотков И. А. Исследование нестационарного распространения
волн в неоднородной среде при образовании области геометриче-
ской тени. - Вопр. динам, теории распространения сейсм. волн, .
1962, * 6, с. 92.
114.	Монин А. С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика: В 2-х ч.-
М.: Наука, 1965. - 4.1. 639 с.
115.	Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х т.-
М.: Изд-во иностр, лит. , 1960. - Т. 2. 880 с.
116.	Моссаковский В.И., Гудрамович В. С., Макеев Е.М. Контактные
задачи теории оболочек и стержней. - М.: Машиностроение, 1978.-
117.	Мурсалиев А., Аманов С.А. Сравнительный анализ наиболее упо-
требительных теорий (методов расчета поля) дифракции на пре-
пятствиях и выбор целесообразного метода. - Тр. Фрунзен. поли-
тех. ин-та, 1969, вып. 38, с. 3-11.
118.	Наугольных К.А., Рой Н.А. Электрические разряды в воде: (Гвд-
Sas. описание). - М.: Наука, 4971. - 15Б с.
У.К.^Нелинейная акустодиагностика. -Л.: Судостроение,.
120. Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния. - К.: ,
Наук, juries, 1973. .- 482 о.
421. Ньютон Р. Теория рассеянных волн и частиц. - М.: Мир, 4969.-
607 о.
122. Обухов А.М. Об интегральных характеристиках в системах ги-
дродинамического типа. - Докл. АН СССР, 4969, 184, Л 2,
123. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.-
М.: Наука. 1978. - 400 с.
127
Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики.-М.: Наука,
1981. - 268 с.
Островский Л.А. О приближении геометрической оптики для волн
в линиях передачи с переменными параметрами. - Изв. вузов.
Сер. Радиофизика, 1961, й 2, о. 293.
126.	Островский Л.А. Ударные волны и солитоны. - Изв. вузов. Сер.
Радиофизика, 1976, J9, № 5/6, с. 661 - 690.
127.	Партон В.З., ПервинТТ.И. Методы математической теории упру-
гости. - М.: Наука, 1981. - 688 с.
128.	Писаренко Г. С., Богинич 0.Е. Колебания кинематически возбуждае-
мых механических систем с учетом диссипации энергии. - К.:
Наук, думка, 1981. - 218 с.
129.	Пелиновский Е.Н. Волны цунами. - В кн.: Нелинейные водны:
распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981, о. 187 -
125.
130.	Пермяков В. А. Дифракция электромагнитных волн на радиально
неоднородных шаре и^цилшу^е. - Изв. вузов. Сер. Радиофизика,
131. Петрашёнь Г.Методы исследования волновых процессов в средах,
содержащих сферические иди цилиндрические границы раздела. -
Учен. зап. ЛГУ им. А.А.адансваТ1953, 27. выл. 470, с. 96 -
220.
132.	Подстригал Я.С.,Бурак Я.й., Гачкевич А.Г., Чернявская Л.В.
Термоупругость электропроводных тел. - К.: Наук, думка, 1977.-
133.	Подстригая Я.С.. Псддубняк А.Б., Пырьев Ю.А. и др. Нестацио-
нарное взаимодействие звуковых импульсов с упругими сфериче-
скими объектами. - В кн.: Всесоюз. конф, по теории упругости:
Тез. докл. Ереван: Изд-во АН АрйССР, 1979, с. 280 - 2Вэ.
134.	Псдстригач Я. С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупру- ,
£ость электропроводных тел. - К.: Наук, думка, 1982. - 294 с.
оручиков В.Б. Дифракция сферической водны на конусе. - Изв.
AFT СССР. Сер. Механика жидкости и газа, 1976, й 2, с. 200 -
136.	Поручиков В.Б. Точные решения пространственных задач дифрак-
ции плоских упругих волн на клине. - Докл. АН СССР, 1981,
258, й 4, С. 823 - 826.
137.	Потехин А.И. Некоторые дачи дифракции электромагнитных волн.-
138.	Пухов Г.ЕГдаф^еренпиальные преобразования функций и уравнений.-
К.: Наук, думка,Ч980. - 420 Ь.
139.	Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных крат-
ковременных нагрузках. - М.: Физматгиз ,• 1961. - 399 с.
140.	Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебраической логики. -
К.: TexHiKa, 1967. - 212 с.
141.	Рвачев В.Л., Кравченко В.Ф. Применение метода 4-функций
для решения скалярной задачи теории дифракции. - В кн.: Радио-
техника, 1970, вып, 13, с. В - 17.
142.	гжевкин С.Н. Курс лекции по теории звука. - U.: Изд-во Моск,
ун-та, I960. - 336 с.
443. Рыбак С.А., Самойлов Е.А. Колебания сферической оболочки с
жидкостью, имеющей малую полость, заполненную газом. - В кн.:
Тр. УП Всесоюз. конф, по теории оболочек и пластин. М.: Наука,
1970, с. 537 - 541.
144.	Рытов С.М.. Кцавпов Ю.А.. Татаоский В.И. Введение в статисти-
ческую радиофизику. Случайные поля: В 2х ч. - м.: Наука,
1978. -4-2. 463 с.
145.	Самарским А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. -
146.	Свешников А.Г. Пифрлнггия на ограниченном теле- - Покл. АН СССР.
1969, 184. Й1, о.ТЙ - 65.
128
547. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1970. -
492 с.
548. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Стационарная задача рассеяния
магнитоакустической волны на идеальнопроводящем цилиндре. -
Докл. АН УССР. Сер. А, 5975, М 2, с. 169 - 573.
149. Селезов И.Т., Селезова Л.В. Волны в магнитогидроупрутих
средах. - К.: Наук, думка, -1975. - 164 с.
550. Селезов И.Т. Некоторые приближенные формы уравнений движения
магнитоуп^утих сред. - Изв. АН СССР. Сер. МТТ, 1975, № 5,
555. Селезов И.Т. Распространение и дифракция волн в магнитогвдро-
динамической среде с упругим включением. - В кн.: Избранные
проблемы прикладной механики. М.: Изд-во АН СССР, 4975,
с7 641 - 648.
452.	Селезов И.Т., Яковлев В.В. Применение метода полиномиальных
операторов к решению задачи дифракции волн на произвольной
неоднородности. - КиевГгвдромеханика, 4975, вып. 35, о. 82 -
87.
453.	Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция магнитогидродинамической
волны на магнитоупругом цилиндре. - Магнит, гидродинамика,
1976, 15, С. 61 - 70.
454.	Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция магнитоакустических волн
на симметричной неоднородности. - В кн.: Теория дифракции и
распространения волн; УП Всесоюз. симпоз. по дифракции и рас-
пространению волн: Крат, тексты докл. М.: Наука, 4977,
555. Селезов Яковлев В.В. Некого не задачи дифракции плоских
Волн на цилиндре с переменной плотностью. - Акуст. хурн.,
1977, 23, » 6, с. 85 - 92.
256. СелезовЙ.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн на сиьыетричных
неоднородностях. - К.: Наук, думка, 5978. - 448 с.
457. Селезов И.Т., Сорокина В.В., Цыганов Н.К., Яковлев В.В.
Динамика незамкнутой сферической оболочки при импульсном воз-
буждении. - Изв. АН СССР: Сер. МТТ, 197°, М2, с. 445 - 449.
158. Селезов И. Т. Некоторые задачи дифракции и рассеяния волн
пространственными неоднородностями в океане и атмосфере. -
В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования поверх-
ностных и Внутренних волн. Севастополь, 4980, с. 7 - 58.
159. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция цилиндрических магнитоуп-
рутих воин на проводящем жидком цилиндре. - Изв. АП СССР.
Сер. ММТ, 498J, Мб. с. 439 - 148.
460. Селезов И.Т. Некоторые задачи гидроупругости электропроводя-
щих сред. - 1И1 Pros. 4th Kat. Coigtela on Theor. and appl.
Meeh. Sofia: Publ. House Bulg. Acad. Sol., 19al, 1> p. 964-
969.
461. Селезов И.Т., Яковлева Т.Н. Дифракция волн на абсолютно жест-
кой сфере, окруженной слоем неоднородной жидкости. - К,: 4982.-
с. 134 - 142. - (Рукопись деп. В ВИНИТИ, зГ05.82, 1982,
М 2668 - 82? Дел.).
162. Селезов И.Т., Свдорчук В.Н., Яковлев В.В. Трансформация волн
в прибрежной зоне шельфа. - К.: Наук, думка, 4983. - 208 с.
463. Слепни'Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в не-
стационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. -
343 с.	,
164. Соловьев С.Л. Методы предсказания цунами. - Вест. АН СССР,
S2, № 5, с. 72 - 81.
онов А.Н.. Самарский А.А. Уравнения ьитематической физики.-
Наука, 1&6. - 724 с.
ченко В.А.. Яковлева Т.М. Дифракция уд"рной водны на неод-
нородном цилиндре. - В кн.: Математические методы исследова-
ния гидродинамических течений. К.: Наук, думка, 4978, с. 410 -
129
flol. Трощенко В.Ф. Деформирование и разрушение металлов при мно-
гоцикловом нагружении. - К.: Наук, думка, 1981. - 344 с.
168.	Тютекин В.В. Рассеяние плоских волн цилиндрической полостью
в изотропной упругой среде. - Акуст. журн., 1959, 5, внп. 4,
с. 19 -27.	.	_
169.	Унзем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. -
622 с. -
170.	Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в простран-
ственных задачах теории упругости. - К.: наук, думка, 4979.-
264 с.
T7I. Уфимцев П.Я. Метод» краевых волн в физической теории дифрак-
ции. - М.: Сов. радио, 1962. - 244 с.
172.	Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
173.	Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.:
Наука, 1980. - 352 с.	.
174.	Фелсен Л.,Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. В 2-х т. -
М.: Мир, 1978. - T.I.. 547 с.
zI75. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифрак-
ция волн в акустических и упругих средах. - М.; Машинострое
ние, 1977. - 303 с.
176. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнит-
ных волн. - М.: Сов. радио, 1970. - 517 с.
177. ф^и^ленде^Ф. Звуковые импульсы. - М.: Изд-во иностр, лит.,
478. Хейл X. ,^Мауэл П., Веспфаль К. Теория дифракции. - М.: Мир,
179.	Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейнснупру-
гих интервалов. - К.: Техн1ка, 1976. - 174 с.
180.	Черкесов Л.В. Поверхностные и внутренние волны. - К.: Наук,
думка, 1973. - 248 с.
181.	Черкесов Л.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн.-
К.: Наук, думка, 1976 - 364 с.
182.	Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. - К.: Наук, думка, 4980.-
183.	Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. - М.: Наука,
1975. — 172 с.
184.	Шевдеров Е.А. Волновые задачи гидроакустики. - Л.: Судострое-
ние, 1972. - 352 с.
185.	Энгельбрехт Ю.К., Нигул У. К. Нелинейные волны деформации.-
М.: Наука. 1981. - 256 с.
186.	Яненко Н.Н. Метод пробных шагов решения многомерных задач ма-
тетатической физики. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние,
1967. - 495 с.
187.	Якименко^ИЛ!. ^Рассеяние зв^ка неоднородным цилиндром. - Акуст.
188.	Яковлев В.В.,“Яковлева Т.М. Дифракция акустических волн на
неоднородном цилиндре. - В кн.: Матеивтические методы иссле-
дования гидродинамических течений. К.: Наук, думка, 1978,
с. 88 - 92.
189.	Яковлев В.В. Дифракция акустических волн на абсолютно жестком
цилиндре,окруженном слоем неоднородной жидкости. - Акуст.журн.,
4983,	6, с. 920 — 928.
490.	Яковлев В.В. О приближении многочленами решения задачи дифрак-
ции^волн^на производьной неоднородности. - Прикл.’ механика,
191.	Яковлев В.В. Дифракция волн на осесимиетричных неоднородностях
в гидродинамических и плазменных средах: Автореф. дис.________
кавд. физ.-мат. наук. - К., 4975. - 46 с.
192.	Яковлева Т.М. Дифракция магнитоакустических волн на центро-
симметричных неоднородностях. - К. , 1983, с. 400 - 208. - Ру-
копись деп. в УкрНИИПТИ, 14.14.83, Я -1273-83: Деп.
193.	/шовлььа Т.М. Рассеяние акустических волн радиально неодно-
родной сферой. - К., 1981. с. 86-94. - Рукопись деп. в
УкрНИИНТЙ, 13.08.81, * 4034 - 81 Деп.
194.	Яковлева Т.М. Дифракция нестационарных акустических волн на
центросимметричных неоднородностях. - К., 1983, с. 176 -187.-
Рукопись деп. в УкрНИИШЙТ 17.11.83, # 1274 83. Деп.
195.	Achenbach J.D. Wave propagation in aollde. - Amsterdam; Horth-
Holland publ. co., 1973. - 425 p.
196.	Achenbach J.D. ,'Brind R.J. Scattering of surface waves by a
sub-surface crack. - J. Sound and Vibr., 1981,76.H 1,p.43-5b.
197.	Alvarez-Estrada R.F. Electromagnetic scattering by an infinite
inhomogeneous dielectric cylinder. Hew Green’s function and
integral equations. - J. Math. Phys., 1980, 21, N 2,p.389-394.
198.	Anicin B.A. Electron density profiles in cylindrical plasmas
from microwave refraction data. - Radio Sci. D, 1965, .69,N 5,
p. 721-727.
199.	Bhartia P., Shafai L., Hamid M.A.K. Scattering by an imperfect-
ly conducting cylinder with a radially inhomogeneous dielect-
ric coating. - Int.J.Electron.,1971,31, N 5,p. 531-535.
200.	Bonnet S.B.Scattering of a plane elastic wave from objects
near an interface. - Trans. AsME E, 1972, 39. N 4, p. 1019-1026
201.	Ben-Menahem A., Clstemas A. The dynamic response of an elas-
tic half-space to an explosion in a spherical cavity. - J.Math,
and Phys., 1963, 42. Ы 2, p. 112-125.
203.	Bleisteln- K. Diffraction in the asymptotic solution of a dis-
persive hyperbolic equations. - Arch. Ration. Meeh, and Analy-
sis, 1968, 31, N 3, p. 214-227.
203.	Bolomey J.ChT Methods numeriques dans les problemhs de rayon-
nement et de diffraction. - Rev. CETHEDEC, 1968,4 1_$, 5,p.5-19
204.	Bouwkamp C.J. Diffraction theory. - Rep. Progr. Phys., 1954,
Ц, HI, p. 35-100.
205.	fiussly H.E., Richmond Т.Н. Scattering by a lossy dielectric
circular cylindrical multilayer, numerical values. - IEEE Trane
Autennas and Propag., 1975, 23, h 5, p. 723-725.
206.	Burman R. Some electromagnetic wave functions for propagation
in cylindrically stratified media. - IEEE Trans. Antennas and
Propag., 1965, 13, N 4, p. 646-647.
207.	Chang K. Y., Di Maggio F.C. Vibrations of cylindrical shells in
a semiinfinite acoustic medium. - J. Acouet. Soc. Amer., Pt 2,
1971, 49, N 3, p. 759-764.
208.	Colton-D., Kress R. The construction of solutions to acoustic
scattering problems in a spherically stratified medium. -
Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1978, 31, H 1 p. 9-17.
209.	Colton D. The scattering of acoustic waves by u spherically
stratified inhomogeneaus medium. - Proc. Roy. Soc. Edinburgh,
1977, 76, H 4, p. 345-350.
210.	Colton D. The scattering of acoustic waves by a spherically
stratified medium and an obstacle. - SIAM. J. Math. Anal.,
1978, 9, N 5. p. 935-942.
211.	Felsen L.B. Rays, dispersion surface and their usee for ra-
diation and diffraction problems. - SIAM Rev, 1970, ]2, H 3,
p. 424-448.
212.	Fejer T.A. Scattering of electromagnetic waves by a plaema cy-
linder. - Phye.Fluids, 1964, 7, H 3, p. 439-445.	•
213.	Filippi P. Wave phenomena in inhomogeneous media. - Quart.Appl.
Math., 1976, 33, d 4, p. 337-350.
214.	Gilbert F. DiTfractlon and scattering of impulsive elastic
waves. - J. Geophye. Res., 1963, 68, N 4, p. 1186-1187.
215.	Jain D.L. , Kanwal R.P. Scattering of elaatl? waves by an elas-
tic sphere. - Intern. J. Eng.Sci., 1980, 18,N 9,p.1117-1127.
216» Jain D.L., Kanwal R.P. Scattering of elastic waves by an elas-
tic sphere. - intern. J. Eng. Sci., 1980, 18. Я 6, p.829-839.
217.	Jones D.S. Diffraction theory: a brief introductory review. -
J. Sound and Vibr., 1972, 20, H 1, p. 71-78.
218.	Keller J.B., Kleinman R.E., Senior T.B.A. Dipole moments in Ra-
yleigh scattering. - J. Inst. Keth, and Appl., 1972, 9, II,
p. 14-22.
219.	Keller J.B., Lewis R.M., Seckier B.D. Asymptotic solution of
some diffraction problems. - Commas. Pure and Appl. Math.,1956,
2, 12, p. 207-265.
220.	Keller J.B. Geometrical theory of diffraction. - J. Opt. Soc.
Alms., 1962, 52. H 2, p. 116-128.
221.	Kelli r J.B., Ahluvali D.S. Diffraction by a curved wire.-
SIAM J. Appl. Math., 1971, 20, Я 3, p. 390-405.
222.	Kirchner M. Die Beugung skalarer Wsllen am elllptlschen Kegel.-
Ann. Phye., 1971, 2£, » ♦, p. 309-325.
223.	Konyoumjlan R.G. Asymptotic highfrequency methods. - Proc.IEEE,
1965, £3, Я 8, p. 864-876.
224.	Korringa J. Variational principle for diffraction of elastic
waves. - J. Math. Phys., 1965, Q, Я 7, p. 1107-1114.
225.	Krlegamann Gregory A. On the scattering of plane eleotromagne-
tic waves cf cylindrically confined cold plasmas with overden-
se and steep densities. - J. Math. Phys. ,1980,21,Я 5,p. 1251-125c.
226.	Lapwood E.R. The disturbance due to a line source in a semi-
infinite elastio medium. - Philoe. frans. Roy. Soc. A, 1949,
242. N 1, p. 63-100.
22*7	. Leis R. Zur Theorie elastlecher Sohwingungen inhomogener Medi-
en. - Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1970, 39, H 2, p.158-168.
228.	Leitner A. Diffraction of Bound by a circular disc.- J. Aooust.
Soo. Amer., 1949, 21, » 2, 331-342.
229.	Levy B.R., Keller J.B. Diffraction by a emooth object. -Comm.
Pure Appl. Math., 1959, 12, H 1, p. 159-209.
230.	Llbrescu L. Recent contribution concerning the flutter problem
of elastic thin bodies in an electrically conducting gas flow,
a magnetic field being present. - SM Arch., 1977, 2, lesue 1,
Fehr., p. 1-108.
231.	Ludwig D. Uniform asymptotic expansions for wave propagation
and diffraction problems. - Siam Rev.,1970,12, Я 5,p. 325-331.
232.	Olaofe G.O. Scattering cross-section for two spheres. - Quart.
J. Meeh, and Appl. Math., 1974, 27, Я 4, p. 403-422.
233.	Parkinson R.G., Kharadly M.M.Z. Experimental etudy of scatte-
ring of electromagnetic waves by radially inhomogeneous cylin-
der. - Can. J. Phys., 1971, 49, Я 23, p. 2989-2996.
234.	Pao Y.-H., Thau S.A. A perturbation method for boundary - va-
lue problems in dynamic elasticity. - Quart. Appl. Math.,1970,
as, Я 2, p. 191-204.
235.	Shiozawa F., Scikai Sh. Scattering of electromagnetic waves
from an inhomogeneous magnetoplaema column moving the axial di-
rection. - IEEE Trans. Antennas and Propag., 1972, 20, H 4,
p. 6! -629.
236.	Tan Т.Н. Diffraction theory for time-harmonic elastic waves.-
Delft, Hcrdhoff International Publishing, 1975. - 178 p.
237.	Thau S.A., Pao Y.-H. A perturbation method for boundary - va-
lue problems in dynamic elasticity, Pt.I. - Quart. Appl.
Math., 1967, 25, H 3, p. 243-260.
238.	Thau S.A., Pao Y.-H. Diffraction of horieontal shear waves by
a parabolic cylinder and dynamic stress concentrations.Trans.
ASMB, 1966, ЕЗЗ, Я 4, p. 785-792.
.'39. Thiruvenkatachar V.R., Viswanathan K. Dynamic response of an
elastic half space with cylindrical cavity to time - dependent
surface tracttone over the boundary of the cavity. - J. Math,
and Meeh., 1965, 14, H 4, p. 541-571.
240.	Twersky V. Multiple scattering of radiation by an arbitrary
configuration of parallel cyllndrese. - J." Acoust. Soc.Amer.,
1952, 2A, HI, p. 42-46.
241.	Wickham G.R. The forced two dimensional oscillations of a
rigid atrip in smooth oontact with a semi-Infinite elastic
solid. - Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1977. 81, H 3,
p. 291-311.
242.	Williams W.E. Some results for low-frequency Dirichlet scat-
tering by arbitrary obstacles and their application to the
particular case of the ellipsoid. - J. Inst. Math, and Appl.
1977, I, H 2, p. 111-118.
243.	Zauderer E. Boundary layer and uniform asymptotic expansions
for diffractions problems. - SIAM J. Appl. Math., 1970. 19,
W 3, p. 575-600.
ОГЛАВЛЕНИЕ
нгьдлСЛиШЕ...........................................,......... з
ГЛАВА 1. НЕКОТОШЕ МЕТОДУ ИССЛЕДОВАНИЯ РАССЕЯНИЯ ВОЛН........	6
§1.1.	Рассеяние и дифракция волн............................. 6
§ 1.2.	Метод разделения переменных ........................... 7
§1.3.	Метод степенных рядов................................  10
§1.4	Метод численного обращения преобразования Лапласа ....	15
§ 1.5.	Некоторые сведения из теории цилиндрических и сфериче-
ских функций.................................................. 19
ГЛАВА 2. РАССЕЯНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ..........
§ 2.1.	Абсолютно жесткий цилиндр...........................
§2.2.	Абсолютно жесткая сфера ............................
§2.3.	Однородный по плотности цилиндр ....................
§2.4.	Однородная по плотности сфера ......................
§2.5.	Неоднородный по плотности цилиндр /188_/ ...........
§ 2.6.	Неоднородная по'плотности сфера.....................
§2.7.	Абсолютно жесткий цилиндр, окруженный Неоднородным
слоем /189/.................................................
§2.8.	Абсолютно жесткая сфера, окруженная неоднородным слоем
ГЛАВА 3. РАССЕЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН.........
§ 3.1.	Абсолютно жесткий цилиндр.........................<
§ 3.2.	Абсолютно жесткая сфера ............................
§ 3.3.	Однородный цилиндр .................................
§ 3.4.	Однородная сфера ...................................
§3.5.	Неоднородный цилиндр Дбб/......-....................
§ 3.6.	Неоднородная сфера /194/............................
§ 3.7.	Абсолютно жесткий цилиндр, окруженный неоднородным
слоем Д89/..................................................
§ 3.8.	Абсолютно жесткая сфера, окруженная неоднородным слоем

ГЛАВА 4. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН....................... 71
§4.1	. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящем
цилиндре /37/ ...............................................   71
§4.2	. Однородный цилиндр.................................... 74
134
§4.3	. Неоднородный цилиндр.......................  ......... 75
§	4.4. Цилиндр, покрытый неоднородным слоем................. 79
ГЛАВА 5. РАССЕЯНИЕ МА1НИТОАКУСТИЧЕСКИХ И МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН 85
§5.1. Рассеяние магнитоакустических волн абсолютно жестким
идеально проводящим цилиндром.................................. 85
§5.2	. Дифракция магнитоакустических волн на магнитоупругом
цилиндре /153/................................................. 90
§5.3	. Дифракция магнитоакустических волн на неоднородном сла-
бопроводящем цилиндре ......................................... 96
§5.4	. Дифракш^я магнитоакустических волн на неоднородной сфе-
§	5.5. Рассеяние магнитоакустических волн на вфере, окруженной
слоем неоднородной жидкости	/194/...................... ПО
§5.6	. Дифракция цилиндрических магнитоупругих волн на прово-
дящем жидком цилиндре /159/................................... 114
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................ 123
Игорь Тимофеевич Селезов
Юрий Георгиевич Кривонос
Виталий Васильевич Яковлев
РАССЕЯНИЕ ВОИН ЛСКАЛШШИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
Утверждено к печати ученым советом
Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР
Редактор М. К. Пунина
Обложка художника Г. М. Балина
Художественный редактор Н.М. Абрамова
Технический редактор И. Ю. Алексашина
Корректоры Е.И.Мазшгченхо, Л.А.Юван
Информ, бланк * 6290
Подл, в печ. 05.11.84. БФ 30801. Фермат 60x84/16. Бум. офс. J* I,
Офс. печ. Уел. печ. л. 7,91. Усл. кр.-отт. 8,26. Уч.-изд. Л. 7,!
Тирах 610 вкз. Закаев-#?/. Цена 90 к.
Издательство "Наукова думка4. 252601 Киев 4. ул. Репина, 3.
Киевская книжная типография научной кнкги.252004 Киев 4,ул.Репина,4.