С. Н. РЖЕВКИН
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО ТЕОРИИ
ЗВУКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1960

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный курс лекций по теории звука читался автором на
радиофизическом отделении физического факультета МГУ в те-
течение ряда последних лет. '
Курс охватывает лишь некоторую часть вопросов теории
звука и служит введением к более трудным разделам акустики.
Изложение материала проводится достаточно подробно, чтобы
читатели могли ясно представить себе физическую сущность при-
применяемых методов, способы математического решения и анализа
отдельных вопросов и способы приложения общей теории к
частным задачам.
Первая часть посвящена выводу волнового уравнения аку-
акустики, исследованию вопроса распространения плоских волн,
вопросу прохождения плоских волн через границы сред и
исследованию простейших типов излучателей. Далее подробно
рассмотрены вопросы распространения звука в трубах и звуко-
проводах. Наконец в последних главах разбирается теория
сложных излучателей различных типов (сферического, цилиндри-
цилиндрического, поршневого) и некоторые вопросы рассеяния волн на
сфере и цилиндре.
Вопросы теории акустических волн большой амплитуды,
теория резонаторов, задачи, связанные с учетом вязкости и
теплопроводности при распространении волн, вопросы дифрак-
дифракции и распространения звука в неоднородных средах и ряд
других важных вопросов в этой книге затрагиваются в очень
малой степени, либо вовсе не затронуты.
Настоящий курс еще не может считаться методически до-
доработанным до уровня учебника, однако и в этой форме он
может быть полезен студентам МГУ и ряда других вузов,
а также сотрудникам научных институтов, работающим в об-
области акустики, ввиду чего автор считает возможным из-
издание его на правах курса лекций.
Автор весьма признателен К. М. Иванову-Шиц за внима-
внимательный просмотр всей рукописи и корректур, в результате чего
удалось улучшить изложение некоторых вопросов и устранить
ряд погрешностей. Автор с благодарностью примет все замеча-
замечания о желательных исправлениях и дополнениях, которые воз-
возникнут у читателей.
С. Н. Ржевкия

ВВЕДЕНИЕ
Теория звука в ее классической форме строится на основе
законов движения жидкости и газа с учетом ряда особенностей
колебательных движений с малой амплитудой. Движение
жидкости и газа подчиняется законам гидро- и аэродинамики.
Так как уравнения гидро- и аэродинамики записываются в оди-
одинаковой математической форме, то возможно говорить лишь
о первых, подразумевая их более общий смысл и понимая под
жидкостью также и газ. Уравнения гидродинамики в общей форме
являются нелинейными и весьма трудно поддаются решению.
Для решения отдельных задач приходится поэтому делать ряд
упрощающих предположений, позволяющих решить задачу
в той или иной степени приближения. Так, при решении многих
задач движения жидкости или газа можно пренебрегать вяз-
вязкостью. Гидродинамика идеальной жидкости, лишенной вяз-
вязкости, дает решения, которые в первом приближении в ряде
случаев очень хорошо соответствуют опытным данным. Такая
аппроксимация широко применяется при решении задач, связан-
связанных с движением жидкостей и газов, в частности воздуха.
Без учета вязкости возможно рассчитать подъемную силу
крыла самолета. Однако без учета вязкости нельзя вычислить
сопротивление газа или жидкости движению тед#. Для весьма
вязких жидкостей гидродинамика идеальной жидкости уже не
дает правильных решений.
При скоростях движения, значительно меньших, чем ско-
скорость звука, можно пренебрегать сжимаемостью жидкостей и
газов. Гидродинамика несжимаемой жидкости в известных
пределах применима к решению задач не только для жидкос-
жидкостей, обладающих малой сжимаемостью, но и для газов, хотя
на первый взгляд кажется непонятным, как можно газ считать
несжимаемым. Кажущаяся несжимаемость является следствием
того, что при скоростях, меньших скорости звука, всякие
изменения давления, вызванные движением тела, распростра-
распространяются в форме волны со скоростью звука и опережают само
движущееся тело. В результате, когда различные части тела
приходят в новые области среды, то находят там давление,
уже изменившееся под действием движения тела в предшест-

вующие моменты времени. В пределах ограниченных размеров
движущегося тела деформация газа остается неизменной, что
эквивалентно несжимаемости газа.
При скоростях, приближающихся к скорости звука или
больших, жидкости и газы уже нельзя считать несжимаемыми;
кроме того, приходится учитывать особое значение явлений
теплопроводности при быстро протекающих процессах. Аэро-
Аэродинамика сжимаемого газа называется газодинамикой. В связи
с развитием реактивной техники и достижением сверхзвуковых
скоростей полета самолетов эта область механики сплошных
сред усиленно разрабатывается.
Жидкости, газы и твердые тела при строгом решении за-
задачи о колебательных движениях в сплошных средах также необхо-
необходимо считать сжимаемыми. При таких движениях в телах,
имеющих достаточно большую протяженность, возникают свое-
своеобразные явления, называемые волнами, которые передают
возникающие деформации и давления от места их возникновения
во все стороны с конечной скоростью (скоростью звука). Каж-
Каждая среда в зависимости от величины ее сжимаемости и плот-
плотности характеризуется определенной скоростью звука.
Основные вопросы акустики разрешаются в предположении
малых амплитуд колебания, но с учетом сжимаемости среды.
Таким образом, акустика в известном смысле является газо-
газодинамикой малых амплитуд.
Большинство вопросов излучения и распространения звука
решается при помощи так называемого волнового уравнения.
Это уравнение выводится из уравнений движения гидродина-
гидродинамики идеальной жидкости (уравнение Эйлера) с добавлением
так называемого уравнения неразрывности среды и в предполо-
предположении справедливости закона Гука, согласно которому напряжения
пропорциональны деформациям (что всегда справедливо для
малых деформаций).
При выводе волнового уравнения акустики делаются много-
многочисленные допущения, ограничивающие пределы его примене-
применения. При более точном подходе к решению задачи следует
иметь в виду, что акустические процессы происходят в вязких
средах, а амплитуды волн далеко не всегда могут считаться
малыми. Однако опыт показывает, что волновое уравнение
достаточно точно описывает обширную область звуковых яв-
явлений в газах и жидкостях, причем отклонения от законов рас-
распространения волн, вытекающих из волнового уравнения,
в громадном большинстве случаев являются лишь малыми
поправками. Волновое уравнение является одним из основных
уравнений классической физики. В той же самой форме, что и
в акустике, оно используется также в оптике и в электроди-
электродинамике.

Основы классической акустики были заложены еще в XIX в^
но лишь с 20-х гг. нашего столетия теория звука получила
дальнейшее развитие в связи с развитием экспериментальной
техники и расширением области практических применений аку-
акустики.
В настоящее время развился ряд новых направлений в тео-
теории звука, чрезвычайно важных в принципиальном отношении
и вместе с тем имеющих большое значение для практики.
В связи с задачами передачи звука на далекие расстояния
(в атмосфере и в море) получила широкое развитие теория
распространения волн в слоистых средах с меняющейся от слоя
к слою скоростью звука. Весьма глубоко изучены теоретически
вопросы рассеяния и флуктуации звука при распространении
в турбулизованных, не однородных по температуре (и другим
параметрам) средах. Широкое развитие получили в теории звука
статистические методы анализа как при изучении распростра-
распространения звука в натурных условиях, так и в закрытых помещениях.
Теоретически решены многие весьма трудные вопросы из-
излучения и дифракции звука. Получила широкое развитие
теория распространения звука в звукопроводах и в помещениях.
Большое значение приобрели вопросы обоснования основных
уравнений акустики с точки зрения молекулярной физики. Раз-
Развитие теории звука в этом направлении привело к созданию
раздела молекулярной акустики.
В связи с задачами ультраакустики и строительной акустики
глубокому теоретическому анализу подвергнуты многие вопросы
теории распространения звука в твердых и пластических телах,
в частности в пьезоэлектриках и ферромагнетиках.

ГЛАВА 1
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнения гидродинамики
Рассмотрим движения бесконечно малого элемента среды
dv = dxdydz (рис. 1), имеющего форму прямоугольного па-
параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Предположим, что
внутри жидкости существует постоянное давление Рь (х, у, z),
~)F
Рис. 1
на которое налагаются некоторые изменения давления 8Р, явля-
являющиеся функцией времени t и координат х, у, z. Общее
давление
Р(х, у, z, /) = Я0(х, у, z)-\-hP(x, у, zy t) = P0 + bP.
Величину SP, которая в звуковых процессах в газах обычно
мала по сравнению с Ро, будем обозначать далее через р и

называть избыточным или звуковым давлением*. На элемент
среды dv действуют силы давления со стороны окру-
окружающей среды: на грань ABCD элемента dv— сила давления
Р (х, у, z, t) dy dz> направленная по положительной оси х, где
Р(х, у, z, t) — средняя величина давления в области пло-
площадки ABCD; на грань EFGH— сила Р (х + dx, у, z, t)dy-dz
в направлении отрицательной оси х, где Р (х + dx, у, z, t) —
средняя величина давления в области площадки EFGH, Ввиду
малости dx можно считать, что 9 ka
rip
P(x + dx,y, z, t) = P(x,y, z, t) + ~
= P(x, y,z,t)+d?dx.
Суммарная сила, действующая на элемент жидкости в на-
направлении оси х, будет равна:
Р(х>У> z, t)dy dz — P(x-\~dxf у, z, t)dydz=*
= -d?dxdydz=-d?dv.
Из аналогичных рассуждений получим компоненты сил дав-
давления по осям у и z: — -~- dv и — ~ dv.
Кроме сил давления, на элемент dv могут действовать не-
некоторые постоянные силы, пропорциональные массе элемента, —
массовые силы — X, Y, Z, часто называемые также объемными
силами. К таким силам относятся, например, сила тяжести,
электрические силы в ионизирркянном газе, магнитные силы и
т. п^. Прежде всего нужно считаться с постоянной во времени
силой тяжести. В реальных условиях в акустике мы имеем дело,
в простейшем случае (при отсутствии ветра), с покоящейся
в целом средой, ограниченной некоторым объемом или про-
простирающейся достаточно далеко, в которой происходят неко-
некоторые местные движения колебательного характера. Так
как действие силы тяжести компенсировано градиентом да-
давления, существующим в покоящейся среде, то она не вызы-
вызывает никаких движений. Ее действие сводится лишь к тому,
что величина постоянного давления Ро является функцией ко-
координаты z. По направлению действия силы тяжести Ро по-
постоянно увеличивается, а вместе с ней увеличивается и плот-
плотность среды р. Поскольку изменение Ро с расстоянием проис-
происходит медленно, можно в некотором ограниченном объеме
считать величину Ро (а также и плотность среды) постоянной.
Рассматривая колебательные процессы (звук), можно, таким
образом, в уравнении движения отбросить постоянные массовые
* При распространении звука в жидкостях р часто бывает сравнимо с Рв
и больше Ро-

силы типа гравитационных. При дальнейших выводах примем,
что В- той области среды, где мы рассматриваем волновое дви-
движение, переменные объемные силы, которые, вообще говоря,
могут существовать, отсутствуют. Звуковые волны в зависи-
зависимости от начальных и граничных условий могут быть чрезвы-
чрезвычайно разнообразными. При рассмотрении задач возбуждения звука
внешние силы войдут в граничные условия; задавая вынужден-
вынужденное движение на некоторой границе, мы учтем действие пере-
переменных сил на среду и сможем исследовать процессы излуче-
излучения звука колеблющимися телами. Таким образом, ограничимся
рассмотрением возникших вследствие движения границ колеба-
колебательных движений, происходящих без непосредственного воз-
воздействия внешних сил на среду и распространяющихся в ре-
результате передачи движения посредством давления одних частей
среды на другие.
Решение волновых уравнений путем введения переменных
объемных внешних сил, действующих на среду во всем рас-
рассматриваемом объеме или в некотором ограниченном объеме,
также вполне возможно, но мы не будем рассматривать эту
задачу. Таким образом, при выводе волнового уравнения
будем предполагать, что движение элемента жидкости проис-
происходит в отсутствие внешних сил.
При движении элемента dv в реальной среде возникают
силы трения, пропорциональные при малых скоростях первой
степени скорости движения. Примем, что силы трения отсут-
отсутствуют, т. е. будем рассматривать волновое движение в идеаль-
идеальной жидкости (или газе).
В уравнение движения входит ускорение частицы. Скорость
частиц в жидкости меняется с течением времени в каждой то-
точке среды. Пусть в точке О скорость равна щ в момент вре-
времени tx и щ в момент времени t* Через интервал времени
Д^ = ^2—1\ частица среды переместится из точки О в точку
(У на расстоянии As = ubd по направлению скорости движения.
Так как скорость меняется не только во времени, но и в про-
пространстве, то скорость в точке О' в тот же момент времени
отлична от скорости в точке О. Пусть эти скорости будут рав-
равны щ в момент t\ и #2, в момент t& таким образом, в момент
/2 скорость частицы, находившейся в момент t\ в точке О, бу-
будет #2, а изменение скорости: и^ — щ. Ускорение будет равно
"* _ "*' Представим это выражение в виде:
В пределе при очень малых М первый член дает частную про-
ди
изводную по времени ^, которую в данном случае можно на-
9

звать местной или локальной производной. Величина
———
учитывает изменение скорости и вследствие перемещения в про-
пространстве на отрезок As и в пределе даст величину, назы-
называемую переносным ускорением. Можно написать, что
ди А ди
uuAs
Переносное ускорение будет равно u-^s- Полное ускорение ча-
частицы выражается полной, или субстанциальной, производной
и будет равно:
da _ди да ( ,
Название субстанциальная производная указывает, что уско-
ускорение относится к движущемуся элементу вещества (субстанции).
При установившемся движении ^ = 0, но ускорение движуще-
движущегося элемента среды все же имеется вследствие влияния вто-
второго члена у иЛ Скорость и слагается из постоянной скорости
uQ (ветер; искусственно создаваемые потоки) и добавочной ко-
колебательной скорости и'. Уравнение A, 1) примет вид:
S = S + («o+«')a-^- О. 2)
При выводе волнового уравнения предполагаем, что
в среде отсутствуют большие постоянные скорости и, сле-
следовательно, щ мало. Введем также ограничение переменных
скоростей и! и будем считать их малыми.
Скорость и может иметь большой градиент в пространстве
^ч (например, на границе быстро текущих струй или при рас-
распространении взрывных волн). На первом этапе ограничимся
более простым случаем, когда больших градиентов как посто-
постоянной, так и переменной скорости нет. Второй член в уравне-
уравнении A, 2), содержащий произведение двух малых величин, бу-
будет мал. Таким образом, будем считать, что выполняется усло-
условие:
^«Э<*, A,3)
которое сводится, как можно показать, к тому, что скорость
и должна быть значительно меньше скорости звука. При со-
соблюдении этого условия можно полную производную по вре-
времени от скорости с достаточной точностью приравнять ее
частной производной по времени:
du ^ди
10

1=
л _
dp
дх'
дР
ду'
dp
dz-
Напишем уравнения движения частицы среды dv, обозначив
плотность среды через р смещения частицы по осям координат
через Е, г\ и С и ее скорости через 6, iq и С. По оси х уравне-
уравнение движения будет иметь вид:
Сокращая на dv и выписывая аналогичные уравнения для дви-
движения в направлении осей х, у и г, получим:
ОД)
Уравнения A,4) представляют компоненты уравнения движения
по осям х, ywz. Они являются „укороченной" формой общих не-
нелинейных уравнений гидро- и аэродинамики (уравнений Эйлера).
Эти линеаризованные уравнения движения мы применим далее
для вывода волнового уравнения. Если условие A,3) не вы-
выполнено, то уравнения движения становятся нелинейными.
Закон Гука
В акустике можно считать, что величина р подвержена
лишь малым изменениям относительно ее постоянного значения
•р0 в покоящейся среде. Положим:
Р = Ро + *Р> где ?<1. A,5)
Изменение плотности связано с изменением объема. Пусть не-
некоторый элемент среды v0 с плотностью р0 имеет массу г>оро.
Если объем немного изменится и станет равным vo-{-bv9 то
плотность будет ро + 8р. Для данной массы элемента среды
имеем:
Ро + 8р) = vopo -f v0 Sp -f- Po bv + bv 8p.
Пренебрегая малой величиной второго порядка bv 8p, получим:
или
Spbv

Величину -р называют конденсацией, а величину ^ — объемной
деформацией. Принимая во внимание A,5), будем считать при-
применимым закон Гука, согласно которому при малых деформа-
деформациях избыточное давление, производящее деформацию, пропор-
пропорционально величине деформации:
•"-'=•? —V 0.6)
Величина х называется модулем объемной упругости или
просто объемной упругостью. Применимость закона Гука, т. е.
линейность зависимости деформации от напряжения, является
существенным допущением при выводе волнового уравнения.
Потенциал скоростей и уравнение движения
Проинтегрируем уравнения движения A,4) по времени. Из
первого уравнения получим:
t
• r I dp *j
~~ )jdx *
Легко видеть, что
JL(l) = L!._.!l
дх \р ] р дх р2 дх'
Второй член в этом выражении мал по сравнению е первым.
Действительно
p_dj_
р2 дх р д^
\ dp p др'
рй
Согласно равенству A,6),
Hi = Ер . \
др х '
отсюда
Р. Ф _ L ?t Ро _- Ь1
Р Ф Ро р ^ Р
Согласно соотношению A,5), это очень малая величина. Таким
^ 1 др „ д (р\
образом, заменяя величину — ^ величиной -g-[-I, из трех урав-
уравнений A,4) получим, перемещая операции дифференцирования
и интегрирования:
12

При интегрировании появляются произвольные постоянные ?0,
тH, Со, которые, очевидно, являются функциями только коорди-
координат, но не времени; они представляют собой компоненты ско-
скорости в начальный момент времени t = 0. Предположим, что
эти скорости являются производными (со знаком минус) по
осям координат от некоторой единой функции Фо (х, у, z):
5 =7]о = —-^г* 4 = —§7- 0>7)
Это "значит, что движение в начальный момент является
потенциальным. Для такого движения соблюдается условие:
rot u/t = o = O,
т. е. движение является безвихревым. Функцию Фо найдем
в форме криволинейного интеграла:
Подынтегральное выражение является полным дифференциалом
функции Фо. При соблюдении условий A,7) можно написать:
или, обозначая
t
р-(И + Ф0 = Ф(х,У,г, t), A,8)
oJ р
получим:
• дФ • дФ i дФ п оч
?==-^; ч=—г5г5 ^=-дТ- О-9)
Таким образом, условия A,7) выполняются в любой момент
времени и движение будет потенциальным.
Кроме того, легко видеть, что
т. е. компоненты rot и равны нулю и яо^ге скоростей будет
оставаться безвихревым. Итак, если в начальный момент зву-
13

ковое поле является безвихревым и потенциальным, то и в даль-
дальнейшем оно обладает этим же свойством. Функция Ф, опреде-
определенная уравнением A,8), носит название потенциала скоро-
скоростей. Возьмем от нее производную по времени:
f =f, откуда р = 9д^. A,10)
Это выражение является единым уравнением движения для зву-
звуковых колебаний в жидкости или газе, которое эквивалентно
трем уравнениям A,4). Если, решая некоторую задачу, опреде-
определить потенциал скоростей Ф, то скорости частиц и давление
в каждой данной точке в любой момент времени могут быть
найдены из равенств A,9) и A,10).
Уравнение неразрывности
Сформулируем теперь второе важное соотношение в теории
движения жидкостей—уравнение неразрывности. Оно выра-
выражает в сущности закон сохранения массы и математически
формулирует тот очевидный факт, что при втекании через
границы элемента объема потоков среды (положительных и
отрицательных) масса данного элемента объема изменится,
что вызовет соответствующее изменение плотности.
Очевидно, что при нарушении однородности структуры
среды (например, если в результате сжатия внутри данного
элемента произойдет конденсация пара в виде капель или если
при понижении давления в жидкости возникнет разрыв — кави-
кавитация), уже нельзя характеризовать изменение количества ве-
вещества в данном элементе просто произведением его объема
на плотность. При выводе уравнения неразрывности в его
простейшей форме предполагается, что в процессе движения
агрегатное состояние вещества не изменяется — среда
является сплошной и однородной.
Суммарное количество вещества, вытекающее из бесконечно
малого элемента объема dv за единицу времени, равно div (pu) dy.
За единицу времени произойдет уменьшение плотности и соот-
соответственно уменьшение массы на — -? dv. Эти две величины
нужно приравнять, и уравнение неразрывности запишется так
или
ду • dz df
14

частной производной
можно пренебречь вторым и третьим членами, поскольку 8р,$
и их производные по х— малые величины; так же поступим
и с другими членами левой части уравнения A,11). Тогда
а так как -jt = -^~-, то
Написание уравнения неразрывности в виде A,12) или A,13)
(т. е. его „линеаризацияа) допустимо в случае весьма малых
деформаций. В общей форме уравнение неразрывности нели-
нелинейно.
Волновое уравнение
Перепишем уравнение неразрывности A,13) в несколько
иной форме. Используя соотношения A,6) вместо —, напи-
р р0
шем ~-
diva = + --!-.
х at
Производную от р по t заменим на основании формулы A,10)
через р —jjjf, а производные от скоростей i, ч\ и т С по х, у
и z, — через вторые производные от Ф по координатам х, у и z,
согласно уравнению A,9):
^±_1_^Ф_ i _^!ф,__р_Лф_ /1 лл\
дх2 "г ду2 * dz* ~~ х dt* ' ^ ' }
Обозначая стоящий в левой части дифференциальный опе-
оператор Лапласа через А Ф и введя обозначение
получим следующее уравнение:
Это уравнение носит название волнового уравнения. В нем
имеется только одна неизвестная функция координат и вре-
15

мени, Ф (х, j/, z, f). Решив это уравнение, можно определить
все основные величины звукового поля, т. е. скорости ча-
частиц среды и звуковое давление.
Если взять производную по t от обеих частей уравнения A,14)
и учесть, что на основании соотношения A,8) и A,10)
д ( д*Ф\ 1 д*р д /А -\ Л / р \ 1 А
Ot \ Ot2 ) р Ot2 Ot\ ) \ Р / Р
то получится волновое уравнение в другой, часто употребляе-
употребляемой форме:
<?*д/> = -??-. A,16)
Физический смысл волнового уравнения может быть истолкован
следующим образом. Лапласиан характеризует разницу между
концентрацией некоторой величины в какой-либо точке и в ок-
окрестностях этой точки. Волновое уравнение выражает тот
факт, что при избытке давления в некоторой точке оно стре-
стремится с течением времени уменьшиться, а при снижении да-
давления оно стремится увеличиться.
Решив уравнение A,16), можно определить Ф интегрирова-
,_Г р
нием р по времени Ф = \ +-dt , а затем найти скорости час-
j р у
тиц по формулам A,9). Аналогичное преобразование волнового
уравнения с заменой потенциала Ф какой-либо другой вели-
величиной, определяющей звуковое поле (например, смещением или
скоростью частиц), вообще говоря, не может быть сделано.
В частном случае, когда волновой процесс происходит лишь
в одном измерении, такое преобразование возможно.
При выводе волнового уравнения, как мы видели, делается
ряд упрощающих предположений:
1. Вязкость среды отсутствует.
2. Среднее давление и плотность среды принимаются не-
независимыми от времени.
3. В уравнении движения постоянные во времени объемные
силы не учитываются. Переменные объемные силы, действую-
действующие извне, отсутствуют. Внешние силы действуют на среду
только через ее границы.
4. Постоянные скорости и их градиенты принимаются ма-
малыми.
5. Переменные скорости и их градиенты полагаются также
малыми.
6. Предполагается, что движение является безвихревым
(потенциальным).

7. Возникающие деформации среды полагаются малыми и
связь между деформацией и напряжением полагается в форме
прямой пропорциональности (закон Гука).
8. Среда, в которой распространяются волны, — однородна;
переход вещества из одной фазы в другую не имеет места.
Несмотря на большое количество сделанных допущений,
волновое уравнение в простейшей его форме A,15) очень хо-
хорошо описывает основные свойства звуковых волн, что указы-
указывает на обоснованность вышеуказанных допущений в довольно
широких границах.
Отметим важное свойство решений волнового уравнения.
Если функции Фь Ф2...ФЛ— решения волнового уравнения, то
вследствие линейности уравнения и функция
где at — постоянные величины, также является его решением.
Таким образом, отдельные решения могут быть наложены
друг на друга и их сумма будет решением волнового урав-
уравнения. Отдельные волновые процессы, подчиняющиеся волно-
волновому уравнению A,15), при совместном существовании просто
складываются; это свойство решений называется принципом
суперпозиции.
Если колебательный процесс происходит по гармоническому
закону, то можно положить
Ф (х9 у, z, t) = xP (x, у, г) • cos mt,
где ЧГ {ху у, г) — функция только координат, а со — угловая
частота процесса ш=-^-, где Т — период колебания . При-
нимая во внимание, что АФ = А^ cose»/, а "лл- =— ^^ cos to/,
из уравнения A,15) получим другое, более простое:
где к=^г*
Это уравнение дает решение волновой задачи для гармони-
гармонических колебаний и называется уравнением Гелъмголъца. Как
мы увидим далее, постоянные с и к имеют вполне опреде-
определенный физический смысл.
2 С. Н. РжеЕюга

ГЛАВА 2
ПЛОСКАЯ ВОЛНА
Уравнение плоской волны
Предположим, что в любой плоскости, перпендикулярной
к оси х, все величины, характеризующие волновое движение
в данный момент времени, одинаковы и изменение состояния
движения происходит только при переходе от одной плоскости
„ о д2Ф д2Ф
к другой. В этом случае производные ~^-г и -^ в уравнении
A,14) равны нулю, а Ф зависит только от х и t. Волновой
процесс будет описываться уравнением:
6 дх* ~"^2 " *Zj1'
Это — волновое уравнение для плоской волны. Вид этого
уравнения показывает, что все движения происходят лишь
дФ l дФ
в направлении оси х, так как скорости т| = — -j- и С = —-т- всегда
равны нулю. Для решения уравнения B,1) введем, согласно
методу д'Аламбера, новые переменные:
u = ct — х,
<v = ct-\-x.
Тогда
азФ_^Ф_9 д*Ф д2Ф
д-Ф %(д*Ф 9 д2Ф , д2Ф
C [ +
Jf~~C [да2 + dudv ' dv2
и уравнение B, 1) после сокращения примет вид:
д*Ф д
18

Интегрируя его, найдем, что ^ = F(v)9 гДе F(v) — произволь-
произвольная функция от v. Вторичное интегрирование дает:
Ф(и,ъ) = J F(v)dv + <I>1(ii) = <b1(u) + <f>,(v),
где J F(v)dv обозначен через Ф2(^), а произвольная функ-
функция Фх(и) появляется как произвольная постоянная интегри-
интегрирования по v. Возвращаясь к переменным х и t, получим:
Ф (х, t) = Фх (ct - х) + Ф2 (ct + x\ B,2)
где <&i и Ф2 — совершенно произвольные функции от аргу-
аргументов заданного вида. Таким образом, общее решение волно-
волнового уравнения характерно не видом функции, а видом аргу-
аргумента (ct + x), составленного из переменных х и t.
Из уравнения B,2) найдем, согласно формулам A,9) и A,10):
1
\ J
где Ф\ и Фг — производные функции по их аргументу. Следо-
Следовательно, р и i выражаются формулами того же типа, как и Ф
с двумя произвольными функциями.
Пусть в начальный момент (^ = 0) в среде в интервале от
х = 0 до х = а создано такое возмущение, что скорости в этом
интервале равны нулю, а давление равно 2/?0. Условия в на-
начальный момент могут быть самыми различными; они называ-
называются начальными условиями. Первое из уравнений B,3) по-
позволяет тогда заключить, что в интервале от х = 0 до х — а
при ^ = 0, Фз(х) = Ф1(—х). Следовательно, согласно второму
уравнению B,3), р (х) состоит из двух равных частей и в ин-
интервале х от 0 до а при t = 0
Первая часть импульса рх = $сФ\{сг — х) в момент t = tl
даст pi=po и i = ~ при значениях аргумента ctx — х, лежа-
лежащих в интервале от ctx — х = — а до ctx — х = 0, т. е. между
точками с абсциссами x = cti и x = cti-\-a (рис. 2). Иными
словами, первая часть импульса продвинется, не изменяя своей
формы, на расстояние ctx по направлению положительной оси х.
Вторая часть импульса р* = рс Фз (ct -f- х) даст /?3 =pQ и 6 = — —
в интервале аргумента от ^1~|-л: = а до ^!-)-^ = 0, или от,
х = — ct\ -f- а до х = — ctx\ эта часть импульса, не изменяя
своей формы, продвинется на отрезок ctx в направлении отри-
2* ia

дательной оси х. Скорость 6 будет иметь значениями—^
в области каждого из двух импульсов отдельно и будет равна
нулю в той части пространства, где импульсы налагаются друг
на друга. На рис. 2 показано положение и величина составля-
составляющих давления суммарного импульса в начальный и в два
последующих момента времени.
Если в начальный момент времени имеется некоторый про-
произвольной формы импульс давления р0 (или скорости ?0 )> за-
t =0
2РО
•ct,
-fit.
a- ctz
}
+ ct, a-ct,
данный в функции от х, то из уравнений B,3) можно опреде-
определить обе произвольные функции Фх и Ф2, вообще говоря, не
равные друг другу. С течением времени импульсы вида Ф1 и Ф2
будут перемещаться, не изменяя формы, первый по направле-
направлению + JC, а второй по направлению —х.
Из приведенного рассуждения совершенно ясно, что некото-
некоторая фаза любого импульса, соответствующая значению а аргу-
аргумента функций Ф! или Ф2 (начало, конец, максимум или другая
характерная точка в случае-импульса сложного вида) за время
от tt до U для первой части импульса, выражаемой функцией Фх
от аргумента ct — х, переместится из положения Xi = ctt — а
в положение Х2 = cU — а и для второй части, выражаемой функ-
функцией Ф2 аргумента ct-\-x, из положения x\ = — cti-\-a в
положение Х2 = — ct% + a.
20

Таким образом, для первой части импульса, распространяю-
распространяющейся по направлению -\-х, имеем:
а для второй части импульса, распространяющейся по направ-
направлению — х,
_
Из этих выражений совершенно ясно, что введенная ранее (гл. 1)
величина с=у - имеет физический смысл скорости распростра-
распространения произвольного импульса, возникшего в каком-либо слое сре-
среды. Если х и р от частоты не зависят, то и скорость с не зависит
от частоты, т. е. дисперсии звуковых волн нет. В области ультра-
ультразвуковых волн х в газах существенно зависит от частоты,
вследствие чего появляется дисперсия. Выводы о неизменности
формы импульса относятся в одинаковой мере к импульсу дав-
давления или импульсу скорости частиц, а также и к импульсу,
содержащему сочетание того и другого, и справедливы, если
отсутствует дисперсия. Всякая (плоская) деформация среды,
возникшая в некотором слое в начальный момент времени,
передается в виде двух импульсов, разбегающихся в противопо-
противоположные стороны со скоростью су причем форма импульсов, т. е. вид
функции ф! и ф2 (или р и ?), при распространении не изме-
изменяется. Такой процесс распространения деформаций в упругой
среде называется плоской волной. Так как скорости колебания
частиц направлены по линии распространения волн, то в данном
случае мы имеем продольные волны.
Когда импульс возникает в газе около жесткой стенки, сов-
совпадающей с плоскостью х = 0, волновой процесс не может
распространяться по направлению отрицательной оси х и реше-
решение волнового уравнения может быть написано в форме:
Ф = Фх (ct — x\ B, 4)
6 = Ф1 (ct-x), B, 5)
р = 9сф[ (ct — x). B, 6)
Если движение среды на твердой границе (х = 0) (или вид
функции i при х = 0) задано в функции времени, то вид функ-
функции ф[ и фг (ct — х) будет известен и волновой процесс будет
вполне определен во всех других точках среды в любой момент
времени. Таким образом, в данном случае для полного опреде-
определения вида волнового процесса не надо задавать двух незави-
независимых начальных условий для давления и скорости частиц,
а достаточно задать лишь одно граничное условие либо для S,
21

либо для р, так как эти величины, как это видно из уравнений
B, 5), B, 6), связаны друг с другом.
Если функция Ф — периодическая, например cos {ct— х)
или sin {ct— х)> то получим периодический волновой процесс,
бегущий в обе стороны от плоскости возбуждения со скоростью с*
Уравнение B,4) описывает волну, распространяющуюся
только по направлению -\- х. Разделив уравнения B, 6) на B, 5),
получим:
P = ?cl B,7)
В бегущей волне при любой форме импульса (а также и
в периодическом процессе), давление в любой точке про-
пропорционально скорости частиц и находится с ней в оди-
одинаковой фазе.
Скорость звука
Для малых деформаций можно применить закон Гука (гл. 1):
F Vo Ро
где * — модуль объемной упругости. В условиях звуковых
колебаний "при сжатии среды происходит ее нагревание, а при
разрежении — охлаждение. Поскольку можно предположить, что
температура за время колебания не успевает выравниваться, то
мы должны под * понимать адиабатический модуль упругости,
который будет больше, чем изотермический модуль.
Переходя к пределу, для бесконечно малых деформаций
получим:
или
Величина скорости звука с может быть, следовательно, опре-
определена, если известна зависимость плотности от давления, т. е.
уравнение состояния вещества. Как ясно из уравнения B, 8),
скорость звука является некоторой константой, харак-
характерной для данного вещества в определенных условиях; с мо-
может зависеть от температуры и давления среды.
На основании адиабатного закона Пуассона для газа можно
написать:
= ¦?= const или h+lJ*>±*y* B,9)
где Ро — постоянное давление в газе, а т =
22

Разлагая правую часть в ряд, имеем:
Пренебрегая малыми членами порядка выше * первого, полу-
получим:
Так как это выражение имеет форму закона Гука, можно
заключить, что
*^тРо. B,10)
Это соотношение, как ясно из вывода, выполняется лишь для
малых амплитуд колебаний. Для скорости звука при малых ам-
амплитудах получим:
Более точное выражение получим, используя формулы
B,8) и B,9):
откуда
т. е. скорость звука в газе зависит от амплитуды колебаний.
При больших амплитудах Рт в области сжатия (р>0) ско-
скорость распространения волны будет больше, чем в областях
разрежения (р<^0). Это приведет к изменению формы волны;
форма синусоидальной волны будет искажаться, в ней возник-
возникнут гармоники. Для волны импульсного типа, где р имеет
постоянный положительный знак, с^>с0.
Можно было бы предполагать, что при медленных звуко-
звуковых колебаниях адиабатный закон не соблюдается, так как
температура между нагретыми и охлажденными участками
среды будет успевать выравниваться за период колебания.
Однако такое заключение не оправдывается. Выравнивание
температуры должно происходить между частями звуковой
волны с различной температурой, но части волны с наибольшей
разницей температур лежат на расстоянии полволны друг от
друга, и хотя при уменьшении частоты увеличивается время,
в течение которого температуры могут выравняться, но в той
же степени растет расстояние между слоями с разной тем-
температурой. В результате при понижении частоты условие адиа-
2а

батности будет выполняться не менее строго, чем при высоких
частотах.
Как показывает анализ явлений теплопроводности, в волне*
малые отклонения от адиабатного закона наступают не при
низких частотагх, а, наоборот, при чрезвычайно высоких. Откло-
Отклонение от условий адиабатности происходит также при рас-
распространении звука в трубе с металлическими стенками. Од-
Однако на скорость звука это влияет очень мало.
Адиабатный модуль упругости для жидкостей теоретиче-
теоретически определять можно лишь из эмпирических уравнений со-
состояния. Изотермический модуль упругости находят из опыта.
При нормальном атмосферном давлении (Яо= 1,016 •
• 106 дин/см2) и температуре 0°С скорость звука в воздухе
(Ро= 1,29.10-*, Т = 1,41) будет:
cQ = 3,33 • 104 см/сек = 333 м/сек.
Среднее из большого числа измерений дает очень близкое
к теоретическому значение ?0 = 331,5 м/сек. Если предполо-
предположить, что звуковые колебания происходят согласно изотерми-
изотермическому закону (Pv = const), то при выводе соотношения B,10)
следовало бы положить т = 1 и тогда скорость звука в воз-
воздухе составила бы 1,79-104 см/сек. Эта, несогласная с опытом,
величина была теоретически найдена Ньютоном. Введенная Лап-
Лапласом поправка на адиабатность звуковых колебаний разрешила
противоречие теории с опытом. Таким образом, опыт весьма
убедительно подтверждает предположение об адиабатности про-
процесса звуковых колебаний. Для других газов теоретически
вычисленное значение скорости также прекрасно согласуется
с опытом. v р
На основании уравнения Клапейрона Povo = ~ = R Т (где Т—
абсолютная температура, Vq — удельный объем, /? — газовая
- - 8,315-Ю7 "эрг
постоянная на 1 г газа, равная ?-?, a m — моле-
молекулярный вес), получим:
Из этой фррмулы ясно, во-первых, что с не зависит от вели-
величины постоянного (атмосферного) давления Яо. Это — следст-
следствие того, что при увеличении Рь в той же мере растет и р0, а
с, определяемое отношением Ро к р0, не меняется. Во-вторых,
учитывая, что с изменяется * пропорционально \/rTf можно напи-
написать, что скорость звука при температуре б
с,
* См. Рэлей. Теория звука, т. II, §247. Гостехиздат, М., 1955.
24

где а = 273 — коэффициент расширения газов, с0 = Y*l • R • 273
(скорость звука при 0°С). При комнатной температуре B0°С)
С20 = 3,43-104 см/сек. На каждый градус скорость звука
увеличивается примерно на 60 см/сек и при 1000°С будет
равна Сюоо = 7,20-104 см/сек.
В других двухатомных газах ? имеет ту же величину,
что и для воздуха, и поэтому для водорода с плотностью
0,09-10~3 г/см? скорость звука будет в"|/ о^==3,8 раза боль-
больше, чем для воздуха, и составит при 0°С около 12,6- \0^см/сек =
= 1260 м/сек.
Для жидкостей при вычислении звука приходится пользо-
пользоваться опытными значениями адиабатного модуля объемной уп-
упругости. Так, для воды при П°С х17 = 2,12-1010 дин/см2, Pi7 =
= 0,999 г/см?, ?^1; откуда с1ч= 1,431-103 см/сек, что пре-
прекрасно сходится с опытом. Несмотря на большую теплопровод-
теплопроводность жидкостей по сравнению с газами, выравнивание темпера-
температур в звуковой волне не успевает происходить, и распростра-
распространение звука в жидкостях является, как и в газах, адиабатным
процессом. Скорость звука в воде возрастает примерно на
4,5 м/сек на 1 градус, а в зависимости от давления — прибли-
приблизительно на 0,05 м/сек на 1 атм или на 0,005 м/сек на 1 м
глубины. На глубинах 100—200 м (в теплых морях) и 1—\,Ъкм
(в океанах) скорость звука имеет минимум. Так, в Тихом и Ат-
Атлантическом океанах ст\п = 1490 м/сек, тогда как на поверх-
поверхности океана в тропиках с= 1530 м/сек. Скорость звука в
воде в зависимости от температуры и солености определяется
эмпирической формулой:
г= 1450 +4,206 — 0,0376*+ 0,018Я +1,14 (a —35),
где с — соленость в миллиграммах на литр или промилле (%о)>
Р — давление в атм.
Скорость звука в твердых стержнях выражается формулой,
аналогичной с = 1/ -, выведенной для газов и жидкостей. В
этой формуле следует положить % = Е, где Е— модуль Юнга.
Для продольных волн в сплошной среде
где [а — коэффициент Пуассона, так что скорость продольных
волн
25
<-/?¦/<

Для поперечных волн в сплошной среде скорость звука
ct =
где G — модуль сдвига. Такую же величину имеет скорость
крутильных волн в круглых стержнях.
В табл. 1 приведены величины плотности р, адиабатического
модуля упругости %, скорости звука с и акустического сопро-
сопротивления рс для различных сред.
Таблица 1
Вещество
Воздух, 0° и 760 мм рт. ст.
Воздух, 20° и 760 мм рт. ст
Водород, 0° и 760 мм рт. ст.
Углекислота, 0° и 760 мм
рт. ст.
Вода дистиллированная, 0°
Вода морская, 10°
Ртуть
Спирт этиловый
Сталь
Латунь
Свинец
приводится
Г* I/ Г\ Т"> Г\ Г* Т L
скирисль
продольных
волн в
стержнях
р
1,29-10~3
1,20-Ю-3
0,09-10
1,98.10-3
0,999
1,03
13,6
0,79
7,8
8,5
11,4
1,43.10е
1,43.10е
1,43.10е
1,43.10е
2,04-1010
2,32-1010
25,6-1010
1,3-1010
1,8.10»
1,05-1012
0,5-1012
с
3,33-104
3,43-1О4
12,6-104
2,58-104
1,43.10»
1,5-105
1,46-105
1,18.10*
5,05-10*
3,42-10*
1,2-10*
рс
43
41
11
51
1,43-10»
1,5 -10*
19,8 -10*
Q^3-105
39,3 -105
29,0 -105
13,7 -10*
Синусоидальная плоская волна
Рассмотрим гармонический волновой процесс, распространяю-
распространяющийся в направлении -f- х. Потенциал скоростей ^возьмем в форме
функции косинуса от аргумента (ct— х). Так "как под знаком
косинуса должна стоять безразмерная величина, то умножим
аргумент (ct— х) на некоторую величину k, которая должна
иметь размерность длины в минус первой степени. Величина
k(ct — х) по истечении периода Т должна в данной точке изме-
измениться на 2ir, откуда
' 1 т1 с\ 1 2тЕ <О
ксТ=2ъ или k=—~- = — ,
сТ с '
где о) — круговая частота колебаний. Величина^ называется вол-
волновым числом. Потенциал- скоростей для периодической
волны может быть написан в форме:
Ф = A cos k {ct — х) = A cos (tot — kx). B,13)
Здесь А — произвольная величина, характеризующая амплитуду
процесса.
26

Определим отрезок X, на который переместится некоторая
фаза процесса (например, максимум) за время Т> то есть длину
волны.
Из формулы B,13) ясно, что frk = kcT=2nt откуда
или
Волновому числу можно приписать направление скорости зву-
звука с и считать его вектором.
Для удобства вычислений целесообразно взять потенциал
в экспоненциальной форме:
Ф = Аеп°*-**\ B,14)
где/=="[/"—1. Величина Ф является здесь комплексной, но
в случае необходимости всегда можно взять ее действительную
часть ИеФ, которая дается уравнением B,13). Амплитуду про-
процесса также представим как комплексную величину:
А = \А\е*>
где <р — некоторый фазовый угол, характеризующий фазу про-
процесса при t — О и х = 0. Тогда равенство B,14) примет вид:
Ф = \А\е1Ы-кх + (р)- B,15)
Написание Ф в форме B,15) вместо B,14) будем применять
лишь в тех случаях, когда это потребуется. При использовании
формулы B,14) не следует забывать, что величина А содержит
фазовый множитель еК
Скорость частиц и звуковое давление равны:
--ta» B,17)
и находятся в одинаковой фазе. В тех областях волны, где
имеется наибольшее давление, в тот же момент времени на-
наблюдается и наибольшая скорость по направлению -f-x, а в об-
областях волны с минимумом давления — наибольшая скорость
по направлению — х. Таким образом, фазы сжатия бегут в волне,
всегда совпадая в пространстве с фазой положительной ско-
скорости частиц, а фазы разрежения, — совпадая с фазой отрица-
отрицательной скорости частиц.
27

Легко убедиться, что принятое при выводе волнового урав-
уравнения звуковой волны условие -j^^-^; хорошо оправдывается
даже для очень громких звуков. Из соотношений B,16) най-
дем, что амплитуда и равна kA, а амплитуды ^ и -^ соответ-
соответственно равны k2A и &о)Л; следовательно, наибольшее значение
величины
? дх kA-k*A kA Jm
d'z ЫА с с '
Ж
Для очень сильного звука, невыносимого для слуха рт =
= 10000 бар и ^т = 1^0. = 244 см/сек; Ц-=
Таким образом, для большинства звуков, с которыми практи-
практически имеет дело акустика, и^с^-щ и условие ^^^ выпол-
выполняется с большой точностью.
Общее соотношение B,7) p = pci имеет, конечно, место и
для гармонической волны, как это легко получить из формул
B,16) и B,17).
Оно сохранится, очевидно, и для амплитудных значений рт
и im) а также и для эффективных значений ре и ie
В акустических расчетах, как и в электротехнике, пользуются,
как правило, эффективными величинами ре и ^, не упоминая об
этом специально каждый раз. Таким образом, если упоминается,
что звуковое давление равно р, то следует понимать, что за-
задается эффективная величина давления, а максимальное давле-
давление равно при этом "/2/?.
Для бегущей волны, распространяющейся в направлении — х,
мы должны взять выражение:
Произведя вычисление р и i, найдем, что
p = -Pci B,18)
В волне, бегущей по направлению —х, фазы сжатия совпадают
с максимумами скорости частиц по направлению —х, а фазы
разрежения — с максимумами скорости частиц по направлению
28

-j-x Следовательно, можно сделать вывод, что направление
распространения волны есть направление скорости движе-
движения частиц $ зоне сжатия.
Из формул B,7) и B,18) можно заключить, что выражение
р = р& пригодно как для прямой, так и для обратной волн,
если приписывать скорости с знак + или — в зависимости от
направления распространения волны.
Соотношение р = рс? можно рассматривать с точки зрения
аналогии с электрической цепью. В цепи переменного тока с на-
напряжением Е и полным сопротивлением (импедансом) Z течет
ток /. Эти величины связаны законом Ома для переменного тока
E=ZI.
Если Z — чисто активное сопротивление /?, то
E=RL
Если мы будем считать:
р аналогичным Е,
i „ /,
рс „ /?,
то связь между р и i; по виду аналогична закону Ома для чи-
чисто активной нагрузки.
Величину
R = ?c B,19)
называют удельным акустическим сопротивлением среды.
Акустическое сопротивление измеряется в акустических омах
на см2. 1 акустический ом (ак • ом) — это сопротивление, при
котором сила в 1 дину вызывает скорость в 1 см/сек.
Акустическое сопротивление есть характеристическая кон-
константа среды (величины рс для некоторых сред даны в табл. 1).
Каким образом в среде без трения, для которой выведены все
соотношения, появляется величина, аналогичная электрическому
сопротивлению, которое связано с рассеянием энергии, станет
понятно далее, при разборе вопроса о потоке энергии в волне.
Выведенная нами аналогия с электрической цепью носит
лишь внешний характер, так как правильнее было бы сравни-
сравнивать плоскую волну с волнами вдоль электрической линии,
а не с током в контуре с сосредоточенными постоянными.
Однако и в приведенной форме аналогия с законом Ома и
дальнейшие аналогии с электрической цепью, которые будут
введены ниже, полезны, хотя бы с точки зрения удобства
запоминания формул.
29

изменение температуры в звуковой волне
Как показывается в термодинамике, при адиабатных изме-
изменениях давления в газе изменения абсолютной температуры Т
подчиняются закону:
Если амплитуды звука р = Р — Ро малы, то можно написать:
1 А-Ь1—(\ _)_ Р V——1 ] Т~! Р J-
1 I т — И тр" т ^ i -j- ,р г • • •
ИЛИ
Колебания температуры при прохождении звуковых волн
оказываются малыми. Возьмем для примера случай весьма
сильного звука с амплитудой звукового давления /?т=104 бар;
Ро^ 10е бар; тогда
В Т™ ** Щ • S 293 = °'85°С (ПРИ ^° = 20°С) •
При звуках, близких к порогу слышимости (рт^10~4 бар),
получим ВГтя^0,85-10~8 градуса. Непосредственное измерение
изменений температуры в звуковой волне при сильных звуках
вполне возможно. При более слабых звуках, например при
звуках, еще воспринимаемых ухом, как довольно громкие
(pm ^ 1 бар), такое измерение уже очень трудно.
Энергия звуковой волны
Для вычисления энергии, протекающей через площадь S
волнового фронта при распространении плоской волны, возьмем
элемент массы среды Lm в объеме, вырезанном боковой по-
поверхностью цилиндра произвольного сечения 5 (с образующими,
параллельными оси х) и двумя плоскостями, перпендикуляр-
перпендикулярными к оси х и определяемыми абсциссами х и х-\-Ах (рис. 3),
причем Ах малая по отношению к длине волны величина
(&х<^Х). Объем элемента «в начальный момент A^ = 5Ax,
а масса его Atn = pkv. Пусть объем элемента массы Am
через малый промежуток времени изменится на dv. Потен-
Потенциальная энергия в объеме этого элемента (добавочная) при
изменении давления от Яо до Р^-\-р увеличится на
30

Po+P
ш=-
Pdv.
1
Рис. 3
Изменение объема (dv) элемента Av и давления внутри него
связаны, как мы знаем, соотношением:
= —хд5= —Р' Tv'
Отсюда
Подставляя dv в выражение для потенциальной энергии и про-
производя интегрирование по Я, находим:
_SAx С
Ра
Po+P Po+P
~ PJP—SAX I p2 ISAx «,SAx
Кинетическая энергия элемента
Полная колебательная энергия элемента Am будет:
Пусть звуковое давление выражается законом:
р=рт cos (at — kx).
Подсчитаем полную энергию в интервале от хх до Х\-\-пк\.
принимая Ал: за достаточно малую величину по сравнению с ^
и считая ее дифференциалом dx, получим:
Xi-\-nX
^ J pdx =
cos(a)^—kx)dx.

Второй интеграл, как легко видеть, равен нулю, а первый
у. В объеме всего цилиндра получим энергию W = ^Р2т , при-
причем величина ее, как следует из расчета, одинакова, какова бы
ни была начальная абсцисса отсчета Х\. Звуковая энергия в 1 смъ>
т. е. плотность звуковой энергии, равна:
w \рт р\
1== SnX =  рс^" рс1'
Очевидно, что движение энергии в направлении оси х будет
происходить со скоростью звука с и за 1 сек. поток звуковой
энергии от непрерывно излучающего источника займет объем
цилиндра с основанием 5 см* и с высотой с. Поток звуковой
энергии через 1 см* фронта волны /, т. е. плотность потока
энергии, найдем, умножая плотность. энергии Wt на скорость
звука с, которая численно равна объему цилиндра, занятого
излученной через 1 см* звуковой энергией:
Величина J является вектором. Выражая рт через km, имеем:
можно написать также:
Понятие о потоке механической энергии в телах было введено
в 1874 г. Н. А. Умовым. Вектор / носит название вектора
Умова. Направление вектора потока энергии совпадает с на-
направлением скорости звука с. Плотность ^потока звуковой
энергии называется в акустике силой звука или интенсивностью
звука. Сила звука измеряется в эргах на 1 см* в секунду или
в ваттах на 1 см*.
Передача энергии звуковой волны в область, ранее не за-
затронутую волнами, требует непрерывного расходования энергии
со стороны источника, возбуждающего звук. В тех зонах, где
волна уже возникла, энергия непрерывно передается дальше со
скоростью звука. Возникающие в среде переменные давления
непрерывно совершают работу на передачу энергии новым пор-
порциям среды, ввиду чего и возникает активное сопротивление R
при колебательных движениях частиц среды. Формулы для силы
звука, написанные в виде
/=?=/& B,20)
32

совершенно подобны закону Джоуля — Ленца, с той лишь раз-
разницей, что мощность, затрачиваемая при действии сил давления,
расходуется не на создание тепла, а на передачу энергии новым
частям среды. На основании приведенных соображений величину
акустического сопротивления среды R = pc часто называют
также сопротивлением излучения среды.
Для иллюстрации выведенных соотношений вычислим, при
каких условиях получится одинаковая сила звука в воздухе и
в воде. Обозначая индексом 1 величины, относящиеся к воз-
воздуху, и индексом 2 — к воде, получим:
откуда
pj_ _ -i/?a?T_ -|/~l,
41
При равной силе звука давление в воде будет в 58 раз больше,
чем в воздухе. Легко подсчитать, что соответственно скорость
частиц будет в воде в 58 раз меньше, чем в воздухе.
Логарифмическая шкала силы звука — шкала децибел
Интенсивности звука в воздухе, с которыми приходится
встречаться, лежат в очень широких пределах, примерно от
2• 10~10 эрг/см2- сек до 2-106эрг/см2 • сек, что соответствует звуко-
звуковому давлению примерно от 10~4 бара до 104 бар. Числен-
Численные значения приходилось бы часто писать с большим коли-
количеством цифр до или после запятой, что очень неудобно. Более
целесообразно оценивать силу звука J по логарифмической
шкале.
Установим некоторый нулевой уровень силы звука Jb и
введем величину
P = 101glO^ = 201glOf, B,21)
¦'о Ро
называемую уровнем силы или интенсивности звука.
Если два звука обладают интенсивностями Jx и Л, то раз-
разность их уровней силы звука
Ap=101g? = ю lg ?-10 lg ?=?,-?* B,21a)
Логарифмическая единица для оценки силы звука в уравне-
уравнении B,21) и называется децибел (дб). При lg-/=0,l,
J2
т. е. при j- = l,26, получим Ар = 1 дб. Уровень Ар = 10 деци-
3 С. Н. Ржевгаш , 33

бел=1 бел, получается при-—= 10; для других отношений
-А и соответственно — разность уровней приведена в табл. 2.
Таблица 2
Л/Л .
Pl/P2
1
1
0
1,26
1,12
1
2
1,41
3
4
2
6
5
2,24
7
10
3,16
10
102
10
20
103
31,6
30
104
102
40
10е
Ю3
60
1010
10*
100
10"
10*
140
Величину Уо удобнее выбрать несколько ниже, чем средний
порог слышимости для нормального уха при 1000 гц, а именно.
еж3 сек см2
что соответствует при б = 2О°С и 760 мм рт. ст. давлению
/?0 = 2,04-10 бар. эфф.
Уровень в 140 дб примерно соответствует шуму вблизи ско-
скоростного самолета; уровень средней силы разговорной речи
составляет 60 — 65 дб; при пороге слышимости для 1000 гц,
уровень силы звука близок к нулю.
Таким образом, все встречающиеся на практике уровни
силы звука выражаются числами от 0 дб примерно до 140 дб,
причем большей частью достаточно округлять величины р до
целых чисел, так как изменение Ар = 0,5 дб уже не воспри-
воспринимается слухом, как заметная разница в силе звука. Для
вычисления отношения интенсивностей звука по разности уров-
уровней формулы B,21) и B,21а) могут быть переписаны в следую-
следующем виде:
др
ДC
Шкала децибел получила чрезвычайно широкое распростра-
распространение в акустике и в прикладных науках, с ней связанных.
Например, в децибелах выражают ослабление силы звука при
передаче по телефону на дальние расстояния, а также ослаб-
ослабление напряжения и тока в линиях и радиоканалах связи, ослаб-
ослабление силы звука перегородкой между двумя помещениями,
ослабление электромагнитных волн при экранировке и др.
Субъективная сила звука, -или громкость, еще не определяется
величиной р; звуки различной частоты, имеющие одинаковый
уровень р, оказываются различными по громкости при воспри-
восприятии на слух, и, обратно, равногромкие звуки разных частот
разнятся по уровню интенсивности.
34

Интенсивность звука при наложении встречных волн
Предположим, что две волны, идущие в обратных направ-
направлениях, налагаются друг на друга. Такой случай может встре-
встретиться, например, при отражении от некоторой, частично погло-
поглощающей звук поверхности. Скорость частиц в суммарном про-
процессе выразим в виде:
г г J (Ы-kx) . i J(<»t+kx)
Тогда
j((jit+kx) j(iot-kx) J((ot+kx)
(предполагаем р?>Рг и ^>Ь2).
Эти выражения можно преобразовать следующим образом:
2 ^е . + ? _
= %фш . cos kx + (U —
sin kx + (pt — /72) бу@)Г - kx)
Переходя к действительной форме, получим:
\ = 2S2 cos kx - cos o)t + (?1 —12) cos (co^ — kx\
p = 2/?2 sin Ax • sin &t + (pi — p2) cos (o)^ —
Первые члены в этих уравнениях представляют стоячую
волку, вторые — бегущую. При равенстве амплитуд в вол-
волновом поле образуются неподвижные в пространстве плоские зоны
с наибольшей амплитудой скорости (пучности) при kx = rw
(х = ^^-)и с амплитудой, равной нулю (узлы), при kx —
= {п + -2~)я; (х = п~2-\- j). Давление в узлах имеет, наоборот,
максимальное значение, а в пучностях равно нулю. При не-
неравных амплитудах, в суммарной волне, как легко получить
из B, 22), в пучностях будут происходить колебания с ампли-
амплитудой скорости (ei-f-Ц и амплитудой давления (рх—/?2),
а в узлах соответственно^—Е2) и {pi +/??). Таким образом, в пучно-
пучностях наблюдается минимальная амплитуда звукового давления,
обусловленная разностью амплитуд двух составляющих волн.
3* 35

Результирующий поток звуковой энергии (сила звука) бу-
будет равен разности сил звуков прямой и обратной волн:
г 2 2 рс z рс
Если амплитуды скорости в прямой и обратной волнах равны,
то интенсивность звука 7 = 0. Однако в стоячей волне звук
можно легко обнаружить на опыте, и заключение о равной
нулю интенсивности звука представляется на первый взгляд
парадоксальным. Для обнаружения звука в стоячей волне при-
придется применить приемники различного типа в узлах и пучно-
пучностях. В узлах следует использовать приемник, реагирующий
на звуковое давление, а в пучностях — приемник, реагирующий
на скорость частиц (например, диск Рэлея).
Для разъяснения противоречия обратим внимание на вели-
величину плотности энергии в стоячей волне. В узлах стоя-
стоячей волны скорость равна нулю, и плотность кинетической
энергии также будет равна нулю, а плотность потенциальной
энергии будет иметь значение у ^ • = 4 ( ^а ) - В пучностях
/плотность потенциальной энергии равна нулю, а кинетической —
4 г 2 , Нетрудно убедиться, что и в любой точке стоячей
волны суммарная плотность энергии равна учетверенной плот-
плотности энергии в каждой из составляющих волн:
Таким образом, мы приходим к выводу, что понятие силы
'(интенсивности) звука целесообразно употреблять только в при-
применении к свободной (бегущей) волне, а при наличии стоя-
стоячих волн и вообще при наложении волн различного направле-
направления следует пользоваться понятием плотности звуковой энер-
хии.

ГЛАВА 3
ПРОХОЖДЕНИЕ ЗВУКА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦЫ РАЗЛИЧНЫХ СРЕД
Отражение волн на границе двух сред при нормальном
падении
Предположим, что имеются две среды I и II (рис. 4), между
которыми существует плоская граница раздела, нормальная
к оси х и проходящая через начало координат. Удельное
акустическое сопротивление первой среды пусть будет Rx — рхси
Рис. 4
а второй — /?2 = р2^2. Если из первой среды нормально к гра-
границе раздела падает на эту границу плоская волна, то часть
энергии проходит во вторую среду также в виде плоской
волны, а часть отражается от границы раздела и идет обратно
в первую среду. Введем обозначения:
для первой среды:
— амплитуда скорости,
-амплитуда давления;
падающая волна
37

I ?i —амплитуда скорости,
отраженная волна |р, _амплитуда давления;
для второй среды;
{i амплитуда скорости,
/,; -
прошедшая волна , п _амплитуда давления.
Эти амплитуды могут быть комплексными, т. е. иметь различ-
различные фазы (см. B,15)).
Можно написать следующие выражения для скорости частиц
и звукового давления.
Для первой среды:
^ДфС-кх) _х_ n\jK*t + kx)
C,1)
Для второй среды:
На границе двух сред (х = 0) значения скорости и давления
должны непрерывно переходить из одной среды в другую, т. е.
ни скорость, ни давление в любой момент времени не должны
испытывать скачка на границе.
Возникновение скачка скорости означало бы также и появ-
появление скачка смещения, т. е. разрыв сплошности на границе сред,
что следует считать невозможным. Наличие постоянно со-
сохраняющегося скачка давления также физически невозможно,
так как давление в двух бесконечно близких слоях двух сред
должно мгновенно выравниваться. Скачок давления мог бы су-
существовать, если бы на границе был расположен слой источни-
источников звука, а скачок скоростей — если бы на границе был слой
диполей. Поскольку предполагать наличие Тш границе подоб-
подобных источников нет никаких оснований, мы вправе считать, что
давление и скорость частиц меняются при переходе границы
непрерывно.
Таким образом, на границе будем иметь:
Между давлением и скоростью частиц существует извест-
известное соотношение р = ± рс i причем знак плюс соответствует
прямой волне, а знак минус — обратной. Для первой среды
впадающей волне рх — $хсх \\% а в отраженной волне р[ = — piC% b\\
для второй среды рг = р2с\212-
38

Подставляя эти выражения в граничное условие для скоро-
скоростей и давлений, получим два уравнения:
Ч+*!Г^ C, 2)
Из этих уравнений можно определить отношения скоростей:
C, 3)
г/г,
г.. =4i-=
Для отношения давлений получим:
Р\ У? —— У?
"=" C, 4)
Если /?а^>/?ь т- е- если вторая среда акустически более
„жесткая", чем первая, то числитель первого соотношения C, 3)
будет отрицательным. Это значит, что скорость частиц при
отражении претерпевает изменение фазы на тс или отраженная
волна имеет обратную фазу по сравнению с падающей волной.
Разности фаз между скоростями частиц в падающей и прохо-
проходящей волне (между ix и 5а) нет независимо от того, будет
ли /?2 больше или меньше /?ь Очевидно также, что в то время
как скорость частиц при отражении от более жесткой среды
меняет фазу на тс, фаза давления остается неизменной.
Если /?2<С^ь т. е. вторая среда акустически более „мяг-
„мягкая", то фаза скорости частиц при отражении остается без
изменения, в то время как давление меняет свою фазу на тс.
Наконец, при f^^ = f^l отраженной волны не появляется, и рас-
распространение во вторую среду происходит беспрепятственно.
В этом случае, очевидно,
где отношение -^- есть показатель преломления. В слу-
случае падения под косым углом при переходе из одной сре-
среды в другую, при соблюдении условия Rx = /?2 (но р{ Ф р2)
будет происходить частичное отражение.
Коэффициентом проникновения энергии из одной среды
в другую следует назвать отношение интенсивности проходя-
проходящей волны к интенсивности падающей волны:
39

Так как формула C,5) симметрична относительно Rt и /?2,
то коэффициент проникновения энергии будет одинаков незави-
независимо от того, идет ли волна из первой среды во вторую или
из второй в первую. Например, при переходе из воды в воз-
воздух (или наоборот) т = 0,0011, т. е. 0,9989 всей падающей
энергии отражается обратно от границы. Для воды и стали
т = 0,013. Для воды и некоторых сортов дерева тя^1, т. е.
почти весь звук проникает из воды в дерево.
При отражении на границе двух слоев воздуха с разностью
температур Aft легко найти, что т = 1—0,83 • 10~6Д&2. Если
Aft = 10°, то т = 1 —0,83-10~4 — происходит почти полное про-
проникновение и отражается лишь 0,83 • 10~4 звуковой энергии.
Легко также найти отражение на границе сухого и насыщен-
насыщенного паром воздуха (при той же температуре), для которого
плотность примерно на 1/220 меньше, а скорость звука на
1/440 больше. Отраженная звуковая энергия составит 1,3-10~а
от падающей.
Обратим внимание, что даже при очень малом т, например,
при переходе из воздуха в воду, звуковое давление в воде
на основании уравнения C,4) будет практически в два раза
больше, чем в падающей из воздуха волне. Полное давление в воз-
воздухе и в воде на границе почти точно равно удвоенному дав-
давлению в падающей волне. Если в воздухе и в воде приме-
применяется один и тот же приемник давления (например, гидро-
гидрофон), то в воде звук, приходящий из воздуха, будет воспринят
как столь же сильный, несмотря на то что в воду проникает
ничтожная часть звуковой энергии. При использовании прием-
приемника скорости, согласно соотношению C,3), получим во второй
среде очень малые величины.
Пусть отражение происходит от абсолютно твердой поверх-
поверхности /?2 = со. В отраженной волне фаза скорости противопо-
противоположна фазе скорости для падающей волны, а амплитуда ее
равна амплитуде падающей волны, поэтому сумма скоростей
на границе равна нулю:
S, + 6f| = 0. C,6)
Так как фаза давления не меняется, то на границе давление
удваивается:
Таким образом, на твердой стенке при отражении будет узел
стоячей волны и удвоенная амплитуда звукового давления.
Этот случай имеет место практически только в том случае,
если реализованы условия образования плоской отраженной
волны, а именно, когда размеры плоской отражающей поверх-
40

ности значительно больше длины волны, и дифракционные яв-
явления на краях не меняют существенно общую картину отра-
отражения. Если, наоборот, длина волны сильно превышает размеры
отражающей поверхности, то благодаря дифракции звук оги-
огибает ее, плоская отраженная волна не возникает и связанного
с ней увеличения давления на границе не происходит. По этой
причине микрофон с жесткой диафрагмой (конденсаторный) при
очень высоких частотах, когда диаметр диафрагмы микрофона
гораздо больше длины волны, показывает в два раза большее
давление, чем в бегущей волне; наоборот, при достаточно низ-
низких частотах он покажет истинное звуковое давление. Такого рода
поправки необходимо делать при акустических измерениях.
Отражение от абсолютно твердой плоской поверхности
при наклонном падении звука
Пусть волна, падающая слева (рис. 5) на абсолютно твердую
поверхность под углом 0, за некоторый промежуток времени
распространяется на отре-
зок AO = S. Длину от-
отрезка можно выразить че-
через координаты х,у точ-
точки А:
S = x cos 0^у sin d
Величина 5 играет те-
теперь в уравнении волны
роль фазового пути, кото-
которую раньше, например в
формуле C,1), играла ко-
координата х, причем за по-
положительное направление
S принято направление рас-
распространения волны. Для
падающей волны потен-
потенциал скоростей будет:
ф? _ Д1б>/<о/-*$1_ /^efitot-kxcosb+kysinb)e C,7)
Аналогично для отраженной волны отрезок О А по ходу
волны равен 5' =— xcosG'—д; sin 6', где 6' — угол отражения, и
потенциал скорости будет равен:
ф, = ^eiM+bccose'+^sina'). C,8)
Сумма <?j 4- Ф] двух решений C,7) и C,8) должна удовлетво-
удовлетворять линейному дифференциальному уравнению волны, что сле-
следует из принципа суперпозиции. На границе (при я = 0)
41
Рис. 5

должно быть соблюдено при любых у равенство нулю нормаль-
нормальной компоненты скорости:
dx > dx ~~ '
Этому условию мы удовлетворим, приняв
Ах = Ау и У = 9.
Следовательно, амплитуда отраженной волны равна амплитуде
падающей и угол отражения равен углу падения.
Итак, для потенциала скоростей получим:
ф = ф1 -\- ф'| = Aiej(<»t + kysmQ) [gfxkcos 8 _|_ g-;*.vcos9j _
= 2Аг cos (kx cos 6) e*«t+*jsin 0). C,9)
В этом выражении множитель е и«*+*у»1пв) характеризует
волну, бегущую вдоль оси у в отрицательном направлении
(т. е. вниз — на рис. 5). Скорость этого следа волны найдем из соот-
соотношения с'= а л , так как волновое число в данном случае
равно fesinO. Следовательно,
. .(ЗЛО)
Из формулы ясно, что фазовая скорость следа волны боль-
больше, чем скорость звука с. Множитель cos (#.x;cos0) в уравне-
уравнении C,9), зависящий только от х, показывает, что амйлитуда
волны испытывает периодические изменения по направлению
оси х. Таким образом, волна, бегущая вдоль оси у, „модули-
„модулирована" в пространстве по закону cos (AxcosOj. В плоскостях,
перпендикулярных оси х, амплитуда HMeej везде одинаковое
значение. Плоскость максимальных амплитуд мы получим, по-
полагая kxcosQ = riK. Расстояние между плоскостями макси-
максимальной амплитуды
будет больше полуволны. Таким образом, параллельно отра-
отражающей поверхности образуются интерференционные полосы
л.
с расстояниями между пучностями и узлами, равными —^*
(рис. 6). Эти волны можно назвать „псевдостоячими". Парал-
Параллельно отражающей поверхности, как уже сказано, бежит
золна со скоростью ^ = ^j» модулированная по фронту.
42

Поток энергии в этой волне направлен параллельно оси у, т. е.
вдоль границы.
Если 6 = 0 (нормальное падение), то из уравнения C,9) получим:
Ф = 2Ах zoskx • eMt или ReO =• 2ЛХ cos^x • cos at.
В этом случае волна вдоль поверхности исчезает, и мы
имеем процесс обычных стоячих волн с узловыми плоскостями,
отстоящими на -у друг от друга.
Стоячая волна характеризуется
выражением, в котором переменные
х и t входят раздельно в двух мно-
I 1
j 1
v 1 !
i ' !
i 1 ,
! >
i I
i
1 i
гс
oso
П i
i
i
i
i
?,j
i
/i
i
i
i
i i
i i
I i
i i
i i
1 K>
1 у'
y\
1 !
i !
i i
у
\\
$\
¦\\
\
\
\
\
л
\
-у
Рис . 6
жителях. Важно отметить, что при 6 = 0 скорость следа
волны C,10) равна бесконечности, поток же энергии
вдоль стенки равен при этом нулю.
Совершенно такой же процесс, как при отражении под
углом, мы получим при наложении двух плоских волн одинако-
одинаковой амплитуды, идущих под углом друг к другу. Пусть вол-
волны идут в направлениях А А иВВ\ лежащих под углом 180° — 26
(рис. 7). Перпендикулярно оси у везде скорость частиц будет
равна нулю, так как ввиду симметрии ^-компоненты скорости
в двух составляющих волнах будут равны и противоположны
друг другу. Аналогичная картина волн, соответствующая от-
отражению от стенки с другой стороны, будет иметь место и
в правом полупространстве х^>0. Картина отражения плос-
плоской волны АО от абсолютно твердой поверхности может быть,
таким образом, формально представлена как наложение на пря-
прямую волну АА ее „зеркального" отражения в плоскости К —0,
т. е. волны ВВ\

Преломление волн на плоской границе двух сред
Пусть границей раздела двух сред является плоскость
^=0 (рис. 8) и на эту гра-
границу раздела падает под углом 61
плоская волна. В первой среде
возникает плоская, отраженная
под углом 6Ь волна; во второй
* среде возникает преломленная
под углом 62 волна. Удельное
акустическое сопротивление
первой среды обозначим через
/?j = р, сь второй — /?9 = р2 с%.
Напишем отдельно волновые
уравнения для каждой среды:
^)==9г (пеРвая среда), C,11)
= -щ- (вторая среда). C,12)
"* \ дх* ^ ду*
Давления и нормальные компоненты скорости на границе
раздела с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому гра-
граничные условия могут быть записаны так:
Pi
dt
C,13)
дх
д:=0
Потенциалы скоростей в I и II средах можно представить
в виде:
ф1 _—-Д giW-axX+btV) i
где
k — - • k — -- m ^
Легко показать, что bx = b.2 = b. Действительно, скорости дви-
движения следа волны вдоль оси у в I и II средах, равные
соответственно ~- и -^- , должны быть равны. В самом деле,
если вдоль границы с левой стороны движется максимум или
минимум давления, то в силу непрерывности давления с правой
стороны, параллельно ему, также должен двигаться максимум
44

или минимум давления, равный гго величине и с той же скоро-
скоростью. Таким образом,
О) <О
-y = Y или
™* или _*__ с*
откуда
Мы получили закон Снеллиуса, который соблюдается не только
для звука, но и для любых волновых процессов. Подставляя в
граничные условия C, 13) выражения C, 14), получим:
Из этой системы уравнений можно определить отношения ам-
амплитуд:
_ P2C2COSQ!—
р2С2 COS Qj + Pl^i COS 62 '
2piC2 cos 6t
C 17)
Из этих формул при одинаковых плотностях двух сред (pt =
= Ра) после некоторых преобразований найдем:
А[ sin (82 — 8Q /о 1 о\
В случае одинаковых упругостей (p}c2t =
Формулы C,18) и C,19) совпадают с формулами Френеля для
коэффициента отражения света, поляризованного соответственно
параллельно или перпендикулярно плоскости падения*.
Подставляя ах и а2 в уравнение C,17) и используя закон
преломления, получим:
А\ р, ctg i
Ра . Ctg 62 ' Ах р2 . Ctg62
pi "*" ctg e, Pl ^ ctg e,
* См. Шустер. Введение в теоретическую оптику. ОНТИ, М, 1935,
стр. 52 и 245.
45

Коэффициент отражения и коэффициент проникновения волны
давления найдем, учитывая, что р = ]ирФ:
Гр— р,~~Ах И lP— Pl А, •
Принимая во внимание, что на основании C,14) амплитуды по-
потенциалов скоростей связаны с соответствующими амплитудами Q
скорости частиц соотношениями А\ = --1- q\; А\ = — q[ и Лз =
=—- ^2 , определим коэффициент отражения rq и коэффициент
проникновения tq волны скорости частиц:
г Я±_ jdin + ?L Ci A*
r4~qi — Ax 4~qi ~ c2 АГ
Из формулы C,17) следует, что отраженной волны не бу-
будет при условии:
Учитывая закон преломления, получим:
=|-^. C,21)
Pf Ч
Если — ^ ~- ^ 1, то ctg 6t будет положителен и может быть
найден некоторый угол Ьх в пределах от 0 до 90°, при кото-
котором отсутствует отражение звука на границе двух сред.
Например, для этилового спирта р! = 0,79; ^7t = 1,18-105 и
для хлороформа р2= 1,49 и ?2^ 1,00-105. Для этих сред из
уравнения C,21) следует, что
ctg вг ^0,43 и 6^67°.
Если скорость звука во второй среде гораздо меньше,
чем в первой (с% <[ сг), то sin б2 я« 0 и б2 ^ 0. Таким образом,
вторая среда может пропускать волны только в направлении
нормали к границе раздела. Таким свойством обладает, напри-
например, модель, состоящая из тонких капилляров, перпендикуляр-
перпендикулярных к границе раздела (модель Рэлея). При этих условиях
f zz^z —— zzzz f — zzzzz •—-— —-г
At p2^s COS 0i -j- pi^i Rq COS Ui
Вообще говоря, в этих случаях удельное сопротивление вто-
второй среды может быть комплексным и характеризоваться не-
некоторым нормальным импедансом Z2 (таким свойством обла-
46

дают, например, многие пористые звукопоглощающие материалы,,
применяемые в архитектурной акустике). Если среду, на кото-
которую падает звук, можно характеризовать нормальным импедан-
импедансом Z2, то коэффициент отражения
р
Полное внутреннее отражение звука на плоской
границе двух сред
Из закона преломления C,16) следует, что sin62 =y-sin
Если Съ^>сх и sinб^ — ,то sin62]>l и cosq2 =1/1—si
будет мнимым. Величина а2 = k.2 cos б2 будет также мнимой и
ее можно представить в виде:
а2==±уа, где а = |аа|, C,22>
Нетрудно показать, что угол преломления в данном случае
является чисто мнимой величиной jQ'2f определяемой из соотно-
соотношения sh$2 = ir-.
Относительная амплитуда отраженной волны получается иа
уравнения C,17):
fi — •—
где
Так как числитель и знаменатель — сопряженные комплекс-
А'
ные величины, то модуль -~ равен единице, т. е. амплитуда
отраженной волны равна амплитуде падающей (|rJ = l) и про-
происходит полное внутреннее отражение волны. Множитель ^2в
указывает, что отраженная волна сдвинута по фазе на угол 2&
по отношению к падающей.
Во второй среде
А, __ 2 _ 2 л/,
Ах р2 _ .с
лГ pi
Pi ax у ^ Q2
Суммарная волна в первой среде, согласно уравнению C,14),
имеет вид:
Ф = А \ е J {Oit ~ aiX + by) -\-entt>t*QtX ^~Ьу* 2г) ^
47

Для волны во второй среде
2 At ± ax
¦*> = -^==e '* C>23)
Мы должны взять только отрицательный знак показателей при
ах, так как при положительном знаке мы имели бы во второй
среде безграничное нарастание амплитуды, что не имеет физи-
физического смысла.
Уравнение C.23) преставляет волну, бегущую вдоль отри-
отрицательной оси у, т. е. вдоль границы раздела, причем ампли-
амплитуда ее убывает вдо ль волновых фронтов по мере удаления от
границы по закону е~«х. Такие волны можно назвать волнами,
модулированными вдоль фронта.
Скорость убывания амплитуды волны определяется величи-
величиной а, которую мы найдем, учитывая связь между а9 и аи вы-
вытекающую из волновых уравнений C,11) и C,12). Подставляя
в них величины <Di и Ф2 из равенств C,14), получим:
• с\ (а? + Ь\) = аJ и с\ (щ + М) = со*.
Так как bi — b2 = b, то из этих соотношений следует, что
2
Подставляя значения аг и b из соотношения C,15), найдем:
Отсюда видно, что при sin Gt ^>— получим для а.2 мнимое зна-
С2
чение, модуль которого
При критическом угле, т. е. при sin6! = -,a=0. Следо-
Следовательно, амплитуда вдоль фронта волны (во второй сре-
среде) затухать не будет, а возникает плоская волна, бегущая па-
параллельно границе. Если же sin Bt>> — , т. е. 6j больше крити-
ческого угла полного внутреннего отражения, то of>0 и ампли-
амплитуда вдоль фронта волны будет быстро уменьшаться.
При 0i = 7f получается наибольшее значение а:
48

Когда arcsin c--<^Qi <Ст» то величины а будут лежать в преде-
лах от 0 до атах.
Для случая падения звука из воздуха в воду
и атах = ^ A-
На длине ^ волна во II среде ослабнет уже в е раз. На рис. 9
представлен снимок * ультразвуковых волн на границе раздела
Рис. 9
вазелинового масла (сверху) и насыщенного раствора NaCl
(снизу). Граница раздела точно соответствует нижнему краю
темной горизонтальной полосы (полоса мениска). Во второй среде,
поскольку ©! ]> 55° (критический угол), ясно видны фронты волн,
идущих параллельно границе раздела и постепенно ослабева-
ослабевающих по мере углубления во вторую среду.
Из уравнения C,23) получим для звукового давления
дФ2 . -
и для компонент скоростей частиц по осям х и у
* См. С. Н. Р ж е в к и н и С. И. К р е ч м е р. ДАН СССР, т. XX, вып. 1,
1938.
4 С. Н. Ржевкип 49

Таким образом, скорости частиц по осям х и у не совпадают
по фазе: одна из них опережает другую на 90°. Это значит,
что суммарное движение частиц во II среде происходит по эл-
эллипсам, лежащим в плоскости падения звукового луча (плос-
(плоскость ху).
Прохождение звука через плоский слой
При косом падении звука (под углом 0j) из среды I (рис. 10)
с постоянными р! и ?i на слой жидкости или газа с постоян-
постоянными р2 и ?2 (среда II) и толщиной d, за которым лежит снова
бесконечная среда I, отраженные волны возникают как на пер-
первой, так и на второй границе;
проходящая волна будет только
одна — прямая.
В соответствии с этим на-
намечается следующая схема ре-
решения задачи. Потенциал ско-
скоростей в первой среде (слева
от слоя) выразится суммой
двух членов (см. первое уравнение
C,14)), а во второй среде —
аналогичной формулой, в ко-
которую вместо их и bi вой-
войдут величины а2 = k2 cos 62 и b2 = ?2 sin 62. На первой гра-
границе (х — 0) и на второй (x = d) должны выполняться усло-
условия непрерывности звукового давления и скорости частиц, ко-
которые дают 4 уравнения для определения относительных потен-
потенциалов скоростей отраженной волны ~-, проходящей через слой
д*, и двух (прямой и отраженной) волн во второй среде. Ре-
Решая эти уравнения *, можно найти коэффициент отражения (гр)
и проникновения (tp) волны давления (через слой):
Л: *"-' C,24)
I
А1 Р,С1
г
ж
г
P,ci
=0 x--d
Рис. 10
V (ь~1 + оJ + 4 ctg2 a* d '
2
cos2 a% d + (Ь'1 + bf sin2 a2 d
C,25)
где
COS 6t
cos e2
COS0!
COS 02
Р2
pi
ctg 0i
При 8=1, что соответствует условию C,20), мы получим
при некотором угле падения полное проникновение волн через
* См. Рэлей. Теория звука, т. II, § 271. Гостехиздат, М., 1955.

слой без всякого отражения. Кроме того, полное проникнове-
проникновение будет наблюдаться при соблюдении условия ctga2rf=oo,
из которого следует:
пъ, или d=n
Для очень тонкого слоя (или для длинных волн) при
и не слишком больших или малых величинах S получим:
Гр ^ 3^(S-i _ Ь) = "dg8 6a (>-* — 5).
Таким образом, при заданном угле падения, а следовательно,
при заданных 62 и b отражение от тонкого слоя прямо пропор-
пропорционально частоте. Анализ выражения C,24) показывает, что
при углах падения вь больших критического (а2 мнимое), уже
не происходит полное внутреннее отражение на слое, как это
имеет место на границе полупространства. Волны во второй
среде, бегущие параллельно передней границе слоя, на задней
границе будут иметь известную амплитуду, величина которой
при достаточно малых толщинах слоя d или при углах падения,
близких к критическому, может быть достаточно велика. Та-
Таким образом, вдоль второй (задней) границы будут двигаться
волны сжатия и разрежения, что неизбежно вызовет возмуще-
возмущения в среде за слоем и приведет к возникновению проходящей
волны во второй среде. Нетрудно показать, что в очень тон-
тонком слое почти вся энергия будет проходить через него даже
при углах, больших критического. При углах падения, близких
к 90°, волны во второй среде очень сильно ослабевают уже
при проникновении на глубину одной волны. Отсюда ясно, что
при скользящем падении на слой, толщина которого больше X,
получится очень малое проникновение звука через слой, т. е.
почти полное отражение.
При падении под углом 0° формулы C,24) и C,25) примут
вид:
г _
fp
4* 51

При очень тонком слое или при очень низких частотах
и большом акустическом сопротивлении второй среды
где M2 = p2rf—масса слоя на 1 см*. Отношение энергии пада-
падающей волны к энергии волны прошедшей (коэффициент звуко-
звукоизоляции слоя) будет приближенно равно:
¦те \ а
C,27)
Можно представить себе следующую электроакустическую
аналогию для данного случая. Напряжение Ах включается
в цепь, содержащую последовательное соединение индуктив-
индуктивного сопротивления о)М2 и активного сопротивления 2R^ Сила
тока (скорость) в цепи будет равна - 1 , а падение
у B/?iJ + М12J
27?
напряжения на сопротивлении 2RX будет Л2 = А\ 1
у ({f + (у
Отношение полной мощности цепи к мощности, расходуе-
расходуемой на сопротивлении 2Rt (коэффициент звукоизоляции),
равно\-~] , что приводит к формуле C,27).
При нормальном падении мы вправе применить формулы
C, 26) и C,27) к твердой стенке, например к некоторой моно-
монолитной перегородке. При прохождении звука через перегородки,
находящиеся в воздухе, всегда (g^) ^>1 и потому
Для воздуха pi^i==41 и т\^уткМ1Р. Звукоизоляция перего-
перегородки в децибелах будет равна:
10 lg107] = - 22 + 20 lgl0/+ 20 lg10 Ж2.
Эта формула подобна известному в архитектурной акустике
„весовому закону" звукоизоляции. Для тонкой кирпичной стены
(с1=\0см) с весом 200 кг/м* (или 20 г/см2) при 1024 гц по-
получится звукоизоляция 64 дб. Полученная из опыта * звукоизо-
звукоизоляция равна 58 дб, т. е. -меньше в 4 раза. Следует учесть, что
указанный опыт соответствует условиям не нормального, а диф-
диффузного (по всем возможным направлениям) падения. Расхожде-
Расхождение объясняется еще и тем, что перегородка, закрепленная по неко-
* См. В. К нуд сен. Архитектурная акустика ДНТВ Укр., Харьков,
1936, стр. 275.
52

торому контуру, ведет себя как диафрагма, способная изгибаться.
Такая диафрагма передает звук также посредством изгибных
колебаний, помимо волн сжатий и разрежений, которые учиты-
учитываются формулами C, 26) и C, 27). Особенно сильно это ска-
сказывается на низких частотах.
Интересен случай прохождения звука из жидкости через
слой твердого тела снова в жидкость. Рассмотрим нормальное
падение звука из воды на железную пластину толщиной d= 1 см
о R2 5 • 105 • 7,8
и переход его снова в воду. В этом случае тг = | 45 т 1Q» =
= 26 А
1
J-
и
7)= i ъ [$-)' sin"M+ cos"M= 179 sin2 A,25 • IQr'f) +
¦cosa(l,25-10-»/).
Для частот, меньших 2000 гц, первый член будет значительно
меньше единицы и т]я^ 1, т. е. звукоизоляция практически отсутству-
отсутствует; вся энергия проходит через железную пластину. При частоте
/я^ 6000 гц, у\ ^ 2, а при частоте f&& 125 000 гц [k^d = ~\ звуко-
звукоизоляция достигает максимального значения, равного
B2,5 дб). При /^250000 гц (к^ = п, d=~) звукоизоляция
снова равна единице. Вообще максимумы у\ будут получаться
при /я« 125000 • B/г-f- \)гцу а минимумы, равные единице, при
/^125000.Bя)гч (рис. И).
Для слоя с акустическим сопротивлением R^ значительно
меньшим, чем Rx, например воздуха или губчатой резины (/?2 ^ 40),
между двумя слоями жидкости или твердого тела, из формулы
C, 26) получим коэффициент звукоизоляции:
Для воздушной прослойки в воде р^^- = 1,83 • 103. При очень
on
низких частотах или очень тонких слоях, когда k^d <[ -^ , пер-
первый член будет мал по сравнению со вторым, близким к единице
и т)я«1. С увеличением частоты у\ резко возрастает и при
условии k<id=~, или/=||, достигнет величины A,83 -103J =
= 3,35-106 (около 65 дб), затем начнет уменьшаться и при k%d —
I 53

I = у) будет равен единице. Ход изменения tq аналогичен
изображенному на рис. 11. При низких частотах, когда k
коэффициент звукоизоляции можно представить в виде:
+1=
C,28)
Электроакустическая аналогия в этом случае формально
выразится параллельным соединением упругого сопротивления
j^_Pac|S^ (y^srf — объем слоя, соответствующий площади 5)
6-W3 6,3-109 Щ-Ш5
Рис. И
и активного сопротивления ^{Rs=/?Г5, где Rx— акустическое со-
сопротивление среды за промежуточным слоем). Отношение токов
(скоростей) в этих ветвяхбудет равно ~ = -jr-. Абсолютная вели-
величина отношения полного тока |qi|, протекающего через парал-
дельное соединение ~ и Zvi к току |q2| будет равна
Ш

Величина скорости]^ -f- #21 определяется давлением на входе, кото-
которое пропорционально амплитуде потенциала скоростей (Ai) в пада-
падающей волне, а величина | #2 | пропорциональна амплитуде (Л2)
волны, проходящей за слой. Коэффициент звукоизоляции, равный
^j , определится тогда из выражения C,28).
п
При Zv<^-~ движение замыкается почти целиком на упругую
прослойку и т] становится велико; при Zv^>~ (что может
быть при очень тонкой прослойке или при соблюдении условия
п
k<bd = №), сопротивление-^ „шунтируется" большим сопротивле-
сопротивлением и скорость #2 становится почти равной скорости qh что
приводит к отсутствию звукоизоляции слоя (т]я^1).
Отметим, чтов данном случае электрическая аналогия выра-
выражается „параллельным" соединением сопротивлений слоя и среды,
хотя геометрически они стоят последовательно друг с другом; для
слоя, имеющего R%^>Rh мы имели аналогию в форме последо-
последовательного соединения.
Прохождение звука через слой (среда II)
между двумя различными средами (I и III)
Вывод формул для этого случая проводится по ранее из-
изложенному методу. Для нормального падения звука Ft = 0)
коэффициент звукоизоляции
] ?
где Ri = PiC\\ /?2==P2^2 и /?з = Рз?з — акустические сопротивле-
сопротивления сред I, II и III. Эта формула может быть применена и для
твердых тел.
Когда k2d<^\ и Х2^>я?, а также к^й^пъ, т. е. si
получим:
Это соотношение совпадает с равенством C,5) для случая
прохождения через границу двух сред. Таким образом, для
очень тонких слоев или очень низких частот, а также при
55

условии rf2 ^ n -к звукоизоляция не зависит от свойств проме-
промежуточного слоя. Если sin k%d Ф 0, то присутствие промежуточ-
промежуточного слоя увеличивает звукоизоляцию, когда /?2 лежит по вели-
величине между Ri и 7?3; если этого нет, то наличие слоя умень-
уменьшает звукоизоляцию. Если sink^d= 1, т. е. d= (# + у) у» то
** C,30)
Из формулы C,29) видно, что если R.2 лежит между Rt и
/?3, то соотношение C,30) выражает минимум звукоизоляции; если
* ' то Yl = l> T- е- звукоизоляции нет.
Условие?/=(п + -п)т для минимума звукоизоляции, т. е.
для наибольшей звукопрозрачности, аналогично условию, при-
применяемому в оптике для расчета „просветляющих" слоев. Для
иллюстрации применения „просветляющиха слоев в акустике
рассмотрим случай прохождения звука из воды в воздух, при
котором просветляющий слой должен иметь /?2 ^ ]/41 • 1,5 • 105я«
я^2,45-103.Вещества, обладающие таким акустическим сопротив-
сопротивлением, найти невозможно. Однако можно искусственно создать
такой материал, используя резину с воздушными пузырьками.
Нетрудно видеть, что если из общего объема (Vi-f- У%) часть
V2 заполнена воздухом, а часть Vx относится к резине, то мо-
модуль объемной упругости такого сложного материала
где у! и у/' — модули объемной упругости ..соответственно ре-
резины и воздуха (для резины модуль примерно такой же, как
и для воды, т. е. /^2-1010; для воздуха при звуковых ко-
колебаниях х"=1,4.106).
Плотность сложного материала будет достаточно точно
равна р = v р; * , где р'^1,1—плотность резины. Для квад-
рата акустического сопротивления слоя получим:
у*
X"
Приравнивая эту величину значению R\Rb^&-106, получим
V ^^ 535' что соответствУет 27% содержания пузырьков воз-
воздуха в общем объеме.

ГЛАВА 4
ПРОСТЕЙШИЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ ЗВУКА
(пульсирующая и осциллирующая сфера)
Пульсирующая сфера
Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого
сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые
по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения,
записанного в сферических координатах, предположив, что про-
производные по полярному 8 и азимутальному ф углам равны
нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако
представляет интерес вывести для этого случая уравнение рас-
распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выяв-
выявляются существенные особенности звукового поля.
Рассмотрим движение элемента сферического слоя (рис. 12, а),
ограниченного сферами радиуса г и г-|-Аг и четырехгранным
телесным углом с вершиной в начале координат, с гранями,
имеющими угол Дер при вершине. Масса элемента будет
равна 2г2Агр, где 2 = Дер2 — телесный угол. Давление в среде
зависит только от г и Бремени t. Обозначим через р звуковое
давление, отнесенное к центральной точке элемента. Тогда
можно считать, что на боковые грани элемента действуют
извне две пары сил, равные (гДсрДг)/? и направленные
под углом Дер друг к другу (рис. 12, б). Равнодействующая
каждой пары сил Др = (гД срД г)/7 • 2 tg у ^ гДср2Дгр == йгД гр и
направлена от центра (рис. 12, в). Две пары сил вместе дадут
чсилу, действующую в направлении от центра и равную
2Др =
57

На внутреннюю сферическую поверхность элемента действует
на наружную —
~дг
Эти две силы дадут равнодействующую:
Равнодействующая всех сил давления, действующих на элемент
и направленная по радиусу будет равна:
Радиальную скорость движения элемента в целом обозначим
^ do да I да dr да , да
через q\ тогда ускорение будет 57 = ^ + ^5? = ^ + ^^ и
ввиду малости скорости q можно ограничиться лишь первым
58

членом, т. е. локальным ускорением без добавки переносного
ускорения j-q.
Уравнение движения элемента можно записать так:у
Сокращая на ?г2Дг, найдем:
>%—%¦ w»
т. е. уравнение движения имеет такой же вид, как и для плос-
плоской волны.
Уравнение неразрывности запишется так:
Учитывая, что плотность р = ро-|-&р меняется на длине Дг не-
существенно, примем, что дггч/ ^ pQ V. v/; тогда
Производя дифференцирование и сокращая на 2Дг, получим:
]^^ 2q_ dg
Р dt г дг *
Согласно закону Гука, р = % ~. Кроме того, учтем, что - -— ==
P P
d(~) Id
= • ,^ =ъЩ'' ^огда Уравнение неразрывности примет такой
вид:
1 др _ 2<7 д^ и 9ч
х dt ~ r дг' ^% г)
Введя функцию И = рг и учтя, что ? = — ~^~\~у]^> придем
вместо соотношений D, 1) и D, 2) к системе уравнений:
dq „П_Ш 1 дП__2 dq
pa7"~r2 rdrH*dt~ iq rdF'
Продифференцировав второе уравнение по t и подставив в него
да д2а
значения ^т и -^-4- из первого, получим:
д*п _ -а dm
dt2 ~~ р аг3 •
59

Это уравнение типа д* Аламбера имеет известное решение (см. гл. 2),
из которого следует:
/, = 5 = 1ф1(^_г) + 1гФ,(^ + гХ D, 3)
где с=у -, а Фх и Ф2 — символы функций произвольного вида
от аргументов (ct — г) и {ct-\-r)\ они выражают соответственно
волны давления, расходящиеся от центра и сходящиеся к центру
с фазовой скоростью с.
Легко убедиться, что для функции Q = qr получится более
сложное дифференциальное уравнение:
dt* ~C дг*~ г2 Ч-
В частном случае гармонического процесса из равенства
D,3) для волн, расходящихся из центра, получим:
р = -V* ^-r)==±e' ««-*,•> =pJ(«t-ur)t DL)
где & = ——волновое число и рт = — т Фазовая скорость
для сферических волн давления совпадает с фазовой скоростью
для плоских волн.
Выражение D,4) характеризует волну давления, создавае-
создаваемую точечным источником, находящимся в центре (г = 0).
Выясним, по какому закону будет изменяться скорость частиц
в поле, создаваемом таким источником. Интегрируя уравнение
движения D,1), найдем:
t t д_Р_
дР и* 1 А? ///_ 1 дг _ ае]Ы д (*~ikr
Wat^--^dr)PaT— роТ^^" >Р дг\-Г
О о
(при интегрировании считается, что р^р0).
Произведя дифференцирование, можно представить q в виде:
pc coscp rpc coscp
где
D,5)
Уравнение D,5) показывает, что связь между давлением и ско-
скоростью частиц в сферической волне более сложна, чем в пло-
60

ской волне, где q=.?~. Скорость частиц отстает по фазе от
давления на угол <р, являющийся функцией г\ модуль ампли-
амплитуды скорости частиц равен |^m| = J^ , т. е. всегда больше
pC COSCp
чем —. В волновой зоне (kr^>\) coscp-^1 и sincp->0, и сфе-
сферическая волна на больших расстояниях приобретает свойства
плоской волны; для нее q = —, однако давление и скорость
частиц изменяются обратно пропорционально г. В ближней зоне
(кг «< 1), coscp -> kry sincp -> 1 и ср -> у. В этом случае q=Sl_
—-^
и волна скорости частиц отстает по фазе на 90° от волны дав-
давления. Амплитуда - скорости частиц в ближней зоне убывает с-
расстоянием обратно пропорционально г2, тогда как рт изме-
изменяется обратно пропорционально г.
Из соотношения D,5) следует, что скорость частиц выра-
выражается через звуковое давление формулой:
D>6)
Скорость частиц можно представить в форме параллельного
соединения двух скоростных потоков:
рс ' >>рГ
где qr — активная компонента скорости частиц, совпадающая
по фазе с давлением, aqt — реактивная компонента скорости ча-
частиц, отстающая по фазе на у.
Выражение D,6) следует учитывать при измерении силы звука
методом диска Рэлея. Известно, что легкий диск стремится по-
повернуться в постоянном или переменном потоке жидкости (или
газа) так, чтобы его плоскость стала перпендикулярной к по-
потоку. Если круглый диск радиуса R висит на нити с крутиль-
крутильной постоянной D и плоскость его составляет угол 6 с на-
направлением звуковой волны, то угол отклонения диска под
действием звука вычисляется по формуле:
Диск будет наиболее чувствителен, если 6 = ~, т. е. sin 26 = 1.
Измерение диском Р§лея позволяет определить qm*t но для
61

вычисления рт по формуле D,6) необходимо знать еще и cos ср.
Вблизи источника величина coscp может быть значительно меньше
единицы и нельзя считать, что рт и qm связаны соотношением
pm = pcqm> как в плоской волне.
Из равенства D,5) условие неизменности фазы скорости
частиц будет иметь вид: ^ (utf — kr~ T) ^ -j- ^ («rf — kr — <p)=0>
откуда фазовая скорость волны скорости частиц
d(W — kr — ср)
,_ dr _ dt _ п , 1 \= с
C~dt~ д(Ы — kr — y)~C^\ k2r2) cosV
k2r
dr
Из этого выражения ясно, что с' > с\ в ближней зоне с' будет
намного превышать с.
Выясним физический смысл постоянной а в уравнении D,4).
Определим амплитуду объемной скорости Ло через бесконечно
малую сферу, окружающую точечный источник:
л /л 2 \ Anr2e-Jhr-e-ti Ana
А о = D*r qm)r_, = 9cr cosy a +
Тогда
Учитывая, что звуковое давление и потенциал скоростей Ф
дФ . -
связаны соотношением р = р —гг =усорФ, мы видим, что величина
а А
-.— —т^" пРеДставляет амплитуду потенциала скоростей и для
точечного источника можем написать:
ф . ^0 J(iot-kr)
4ъГ е
Величина 4^ появляется в предположении, что точечный
источник излучает в свободное пространство, т. е. в телесный
угол 4гс. Если излучение источника с объемной скоростью Лв
происходит в пределах конуса с телесным углом 2, имеющего
жесткие стенки, то
Величина объемной скорости Ао через бесконечно малую сферу
(или бесконечно малый сегмент с телесным углом 2), окру-
окружающую источник, называется производительностью источ-
источника.
Если реальная сферическая поверхность радиуса гь колеблется
по закону <70вУсо', т0 на поверхности сферы должно соблю-
62

даться граничное условие q(ro,f) = д„еМ1, откуда на основании
D,4) и D,5)
D,8)
где Qe = 4Tcro^o — амплитуда объемной скорости через поверх-
поверхность сферы, а ср0 — значение угла <р при г=г0. Уравнение D,8)
показывает, что реальный сферический излучатель радиуса г0
с объемной скоростью Qo будет эквивалентен точечному
источнику с производительностью
очевидно, что Ло всегда меньше, чем Qo.
Используя выражение а через Qo можно звуковое давле-
давление записать в следующей форме:
/7=70H
Таким образом, мы учитываем замену реального источника
(с объемной скоростью Qo) точечным источником, вводя в выра-
жение для р множитель ^= и отсчитывая фазовый
путь не от начала координат, а от поверхности сферы, т.е»
исходя из расстояния (г — г0).
Сопротивление излучения пульсирующей сферы
Суммарная сила давления звукового поля, окружающего
сферу, на ее поверхность 5 должна по величине равняться
силе, приводящей эту поверхность в колебательное движение.
Отношение этой силы к создаваемой на поверхности ско-
скорости называется полным механическим сопротивлением,
или механическим импедансом (Z). На основании равенств
D,4) и D,5) получим:
z=W'=s?c cos ъ'eJU=
= Spc( cos2 <po -\-J • -sin cp0. cos <po) =
63-

Здесь #0 и Уо обозначают соответственно механическое ак-
активное и реактивное сопротивления, а /?о и Ко—безраз-
Ко—безразмерное активное и реактивное сопротивления.
47СС
где Мо = ^ , и Af = -о- тгГу р — масса
1 -р ^ ^*о "
D,10)
среды, вытесняемой
о
сферой. Реактивная компонента импеданса имеет инерционный
характер и аналогична импедансу индуктивности в электричес-
электрической цепи. Для длинных волн (Х;>2тгг0 или kr0^ 1)
Зависимость /?^ и
Y'o от
13. На
=-^представлена на рис.
низких частотах (длинные волны) /?0 растет пропорционально со2
и 52, а Ко — пропорционально. о> и г§. Следовательно, при krQ <^ 1
сферический излучатель будет мало эффективным. При увели-
увеличении частоты /?у стремится к единице, а /?0 -> 5р^. При ^г0 ^> 1
сферическая поверхность излучает такую же энергию на еди-
единицу площади, как и плоская, синфазно колеблющаяся повер-
поверхность.
64

Проводимость сферического излучателя равняется обратной
величине импеданса. Из соотношения D,9) получим:
1 __ 1 e~Jn 1 1 — J. L.
Z Spc coscp0 Spc ' Spckr0 Spc ' /coM0 *
Из этого выражения следует, что сферический пульсирующий
излучатель можно представлять нагруженным на активное со-
сопротивление Spc, параллельно которому подключено инер-
инерционное сопротивление ju>M0=Jkr0Spc.
Если сферический сегмент с площадью S=Qr2Q излучает в
телесный угол 2, то сопротивление излучения
Таким образом, при заданной скорости q0 активное сопротив-
сопротивление сегмента площади 5, излучающего в телесный угол 2,
будет в-^ раз больше, чем сопротивление излучения сферы
в свободном пространстве.
Реактивная компонента будет равна:
Так как ~~- есть масса среды, вытесненной сферическим вы-
резком, опирающимся на площадь сегмента S = 2rjj, то ясно,
что реактивная компонента для излучающего сегмента пло-
площади S выражается таким же законом, как и для полной сферы.
Присоединенная масса
Выясним физический смысл величины Ко. Представим себе
реальную сферическую оболочку, имеющую массу ЛГ, сопро-
сопротивление трения /^ и упругость Е. Все эти величины мы будем
понимать как параметры колебательной системы с одной сте-
степенью свободы; этой степенью свободы следует считать пере-
перемещение а нормально к поверхности.
При вынужденных колебаниях сферической оболочки под
действием силы ^е7^ в среде возникает звуковое поле, кото-
которое оказывает на поверхность силу реакции, равную —Sp(r^,
С учетом этой дополнительной силы уравнение движения обо-
оболочки запишется так:
М'а + t?a + Еа = ^** — Sp(r0).
Согласно D,9) и D,10), Sp(ro) = (R%+juMo) • q(r0).
5 С. Н. Ржевкин 65

Так как в синусоидальном режиме a==/a>d, а в силу гранич-
граничного условия q(r0) = а, то можно заменить Sp(r0) через
G?о +/WW0)a и написать уравнение движения так:
(М* + М№ + A? + Яо)а + Е'а = ^ы. D,11)
Таким образом, в результате действия реакции звукового поля
к массе оболочки как бы добавляется масса Мо, а к сопротив-
сопротивлению трения — сопротивление 7?0.
Исходя из приведенных соображений, можно величину Мо
назвать присоединенной массой. Следует отметить важный
факт появления присоединенной массы в результате реакции
поля излучения, хотя по существу никакого нового вещества
в систему не добавлено. Присоединенная масса появляется
вследствие изменения инерционных свойств среды в условиях
сферического звукового поля. Она проявляется только в ус-
ускоренном движении, а при равномерном движении, когда а = 0,
она отсутствует.
Излучаемая мощность
Расчет энергии, протекающей через сферическую поверхность
радиуса г, наиболее наглядно может быть выполнен, если ис-
использовать не комплексные выражения для р и q, а тригономе-
тригонометрические функции от волнового аргумента (W — kf). Мгно-
Мгновенная работа давления на поверхности сферы, отнесенная к
единице времени, будет равна:
X
pq = ~ cos (at —kr) • _^_cosK — kr — <p) =
Среднее значение работы на единицу площади за единицу
времени, т. е. мощность, проходящая через 1 см2, или интен-
интенсивность звука, будет равна на основании соотношения D, 5):
— а2 р2т о Ят k2r2 Я%
JP4 |t KCOS * Р'
D, 12)
Таким образом, в сферической волне интенсивность выражается
через амплитуду звукового давления рт так же, как и в пло-
плоской волне, но через амплитуду скорости частиц qm выраже-
выражение интенсивности получается более сложное.
Выражение для J можно записать также в форме
J= jpmqm COS 9,
66

аналогичной выражению для мощности переменного тока.
Полная мощность, излучаемая сферой радиуса г0,
где /?0-—уже введенная ранее величина активного механиче-
механического сопротивления. В новой интерпретации величина /?0
приобретает смысл сопротивления излучения. Заметим, что
величина J может быть также вычислена с помощью комплек-
комплексных выражений для р и q по формуле:
В среднем за период второй и третий члены в выраже-
г
нии для pq дадут нуль. Однако за четверть периода от 0 до j
получится среднее значение мощности, протекающей через по-
поверхность сферы радиуса r0: J' = |^ . 1=-^_. Полная
работа, расходуемая излучателем за время от 0 до -^,
Полученная величина представляет кинетическую энергию
массы Мо (присоединенной массы), обладающей амплитудой ско-
скорости <7о> соответствующей скорости на поверхности сферы. Таким
образом, работа, производимая излучателем за первую четверть
периода, расходуется на создание кинетической энергии — ^о?о-
от -^ ДО у) величина мощ-
мощности pq будет той же, но с противоположным знаком. Это
значит, что кинетическая энергия, запасенная присоединенной
массой за первую четверть периода, будет отдана излучателю
обратно.
Из сказанного ясно, что мощность, связанная с компонентой
скорости, отстающей на 90° от давления, является реактивной
мощностью, аналогичной мощности, потребляемой индуктивно-
индуктивностью в цепи переменного тока.
Кинетическая энергия, связанная с реактивной компонентой
скорости, может быть представлена как сумма кинетических
энергий всех элементов среды, окружающих излучатель и ко-
колеблющихся с амплитудами, соответствующими реактивным ком-
компонентам скорости, убывающим по мере удаления от поверхно-
поверхности излучателя (см. гл. 8).
5* 67

Пульсирующая сфера служит хорошей аппроксимацией при
расчете звукового поля любых источников пульсационного
типа при условии, что длина волны значительно больше разме-
размеров источника. В этом случае дифракционные явления приво-
приводят к тому, что излучение распределяется равномерно во все
стороны, какова бы ни была форма пульсационного источника.
Пульсационный характер имеет, например, излучение мембраны
телефона, задняя сторона которой закрыта и не может излучать
звук. Такой же характер имеет излучение звука сиреной, где
происходит выталкивание воздуха через ряд отверстий. Во всех
случаях, когда kD << 1 (D — линейные размеры излучающего
элемента), можно подсчитать излучение, принимая Ao^Qo,
где Qo — объемная скорость, создаваемая пульсирующим источ-
источником. Скорость колебания отдельных частей телефонной мемб-
мембраны изменяется, увеличиваясь от края к центру; в этом
случае Qo = \ q(r)dS, причем интегрирование совершается по
всей поверхности мембраны. Для сирены Qo будет представлять
суммарный поток скорости через все отверстия, равный расходу
сжатого воздуха за секунду. Во всех этих случаях излучаемую
мощность можно подсчитывать по формуле:
Акустический диполь и осциллирующая сфера
Пусть на оси z расположены на расстоянии bz, весьма
малом по сравнению с длиной волны, два точечных источ-
источника одинаковой производительности, но с противополож-
противоположной фазой. Первый расположен в начале ксюрдинат, а второй
на расстоянии bz от него (рис. 14). Звуковое давление, создавае-
создаваемое первым источником в точке Р, лежащей на рас-
расстоянии г под полярным
углом ft, пусть будет р^\
тогда давление, создавае-
создаваемое вторым источником в
той же точке, будет
равно и противоположно
по знаку давлению, созда-
создаваемому первым в точке Рг,
лежащей на Ъг выше, чем Р,
т.е. „=_
Суммарное давление в точ-
точке Р будет равно:
г
я ¦
у
Р'
ЛЬ
Рис. 14
68

i
e~Jkr
Задавая рх в форме рх = - e~Jkr • е?ы, получим:
^co*b.e>^-kr\ D,13)
Величину abz = b можно назвать моментом диполя.
Рассмотрим звуковое поле в ближней зоне, когда
В этом случае
откуда видно, что движение во всех точках синфазно и волновой
характер поля исчезает. Важно отметить, что движение
в ближней зоне аналогично движению в несжимаемой жид-
жидкости. Действительно, для несжимаемой жидкости х = оо и
с = ооу а, следовательно, k= ~ = 0. Поскольку с = оо, то все
процессы движения происходят во всем пространстве одно-
одновременно и волн быть не может. Следовательно, процесс
колебаний в ближней зоне можно рассматривать, предполагая,
что среда несжимаема.
В ближней зоне диполя будут иметь место как радиальные
qn так и тангенциальные qb скорости частиц:
а — 1 .дР — о
1 dp , sin % ;ы rdb
"v yojp гд§ j<uprz dt
Скорость частиц убывает обратно г3, т. е. значительно быстрей,
чем давление. Разделив qr на q§ и умножив на d§, получим
дифференциальное уравнение линий тока:
dr о cos Ь -^ ^ d( sin Щ
Решение этого уравнения имеет вид lnr=ln(s
или r=Csin4, D,14)
где С — произвольная постоянная, являющаяся параметром се-
семейства кривых. Построение этих кривых при различных значениях
С дает картину замыкающихся от полюса к полюсу линий
(рис. 15). В каждой точке поля колебание частиц происходит
по касательной к линии тока.
69

На больших расстояниях от излучателя звуковое давление
- kr)
а радиальная скорость частиц
/top
per2
J per
D,15)
Следовательно, в дальней зоне р и qr убывают обратно г и на-
находятся в одной фазе. Характеристика направленности диполя —
Рис. 15
отношение р(Ь)/р@) на одинаковом расстоянии г — определяется
функцией cos 0 и имеет вид восьмерки (рис. 16). Наибольшая
интенсивность будет в направлении оси диполя (ось z)\ в на-
направлении, перпендикулярном к оси (в экваториальной плоскости),
излучение отсутствует, так как
= 0.
Предположим, что сфера радиуса г0, колеблющаяся вдоль
оси z со скоростью qoeJ<lit, создает звуковое поле, подобное
полю диполя D,13). В этом случае на поверхности сферы в каж-
каждой точке радиальная скорость qQ cos 0-. е?ы должна равняться
радиальной компоненте скорости в звуковом поле при r = rQ:
70

dp
gocos» = — r Г,~~Г*={
Это граничное условие позволяет определить b.
b =
• r\
B-Л«г?) + у2Лг.
Поле диполя с моментом b дает, таким
образом, на поверхности сферы радиу-
радиуса г0 то же самое распределение радиальных
скоростей, какое получается при колебатель-
колебательном движении шара как целого со скоростью
q^'. Обратим внимание, что на танген-
тангенциальную компоненту скорости q0 sin 9-. e;W
не накладываются условия равенства с
тангенциальной компонентой поля на
поверхности, что вполне возможно допустить в идеальной среде
без трения.
Подставляя значение b в формулу D,13) и принимая, что
r = r9i получим для давления на поверхности сферы:
Импеданс осциллирующей сферы
Полная сила давления на всю сферу получится из выраже-
ния:
F= f р (г0) cos »• 2ur02 sin b-db =
71

Импеданс осциллирующей сферы, вызванный реакцией окружаю-
окружающего поля, будет равен:
где 5=4и/-о, а М = ^ъг\р — масса среды, вытесненная сферой.
Колеблющаяся сфера испытывает активное сопротивление R\
1,0
к
—
о /
Рис. 17
(сопротивление излучения) и реактивное (инерционное) сопро-
сопротивление Yt; эти величины равны:
D,16)
Реактивное сопротивление следует приписать действию присо-
присоединенной массы:
МХ = М
Для длинных волн
D,16а)
М
Отсюда ясно, что в области длинных волн сопротивление излу-
излучения осциллирующей сферы * растет пропорционально «>4 и
53 (для пульсирующей сферы — пропорционально *>2 и S2),
а присоединенная масса равна -к-(вместо ЪМ для пульсирую-
пульсирующей сферы).
72

В области коротких волн (при kr0^> 1) Rt-^-^S
а Л11 ^-jrj-r-> 0. Сравнение сопротивления излучения RQ
/?| приведено на рис. 17.
Интенсивность звука в поле осциллирующей сферы
Интенсивность звука равна среднему потоку мощности че-
через 1 см2:
Полная (глобальная) излучаемая мощность получится интегри-
интегрированием Л по всей сфере:
о
^ D,17а)
Из этого вывода очевидно, что активное сопротивление R]
обусловлено потерей энергии на излучение.
Радиальная компонента скорости частиц qr определяется
дифференцированием по г величины -—-:
D,18)
, 2kr
где tgyt= 2-A:2r2 '
Тангенциальная компонента скорости частиц
DД9)
где tg<p% = kr.
Сравнение этого выражения с соотношением D, 13) показы-
показывает, что q$ отстает по фазе от р на 90°. Вследствие этого
7а

получим поток энергии в тангенциальном направлении
Л= -j-Reipqd» Равный нулю.
Для сферической волны, вызываемой равномерной пульса-
пульсацией шара, так же как для плоской волны, интенсивность
звука/=-2~ -^- . Интенсивность звука, создаваемая осцилли-
осциллирующей сферой, выражается не так просто. В самом деле,
используя соотношения D, 13) и D, 17), получим:
] _i_ I Рт I R '
1~" 2 Рс 1
Только при kr^>\ интенсивность звука Jx я^ -у 'Рт' . Выра-
жение для интенсивности звука равномерно пульсирующей
сферы в функции амплитуды скорости qm (см. формулу D, 12))
при kr^>\ тождественно с аналогичным выражением для плос-
плоской волны. Нетрудно показать, что для осциллирующей сферы
Л = -о" P? '
2
Ят
D,20)
При kr !> 1 Л
г
"
2
Особенности звукового поля осциллирующей
сферы
Наличие в звуковом поле осциллирующей сферы (диполя)
тангенциальной компоненты скорости частиц, сдвинутой по
фазе по отношению к радиальной — см. формулы D,18) и
D,19) — приводит к тому, что частицы движутся не по прямо-
прямолинейным, а по эллиптическим траекториям. Только в направле-
направлении оси (ft = 0,тс) и в экваториальном направлении f ft = -^) траекто-
траектории всегда прямолинейны и параллельны оси диполя; при про-
промежуточных значениях 0 траектории являются эллипсами. На
рис. 18 показана форма траекторий частиц при различных уг-
углах Ь с осью диполя и различных значениях kr: kr<^\t kr=2
и &г;>1. Масштаб амплитуд (для каждого значения kr) выбран
так, чтобы при & = 0 при всех взятых значениях kr получались
одинаковые значения амплитуды скорости; таким образом, убы-
убывание амплитуды с ростом г на чертеже не учтено. При кг <^ 1
и kr^>\ траектории становятся прямолинейными при любых
углах ft, однако в первом случае направление колебаний не со-
совпадает с направлением радиуса г (за исключением угла ft = 0),
а во втором — совпадает при любых ft. При значениях kr порядка
единицы траектории при углах ft, лежащих между 20° и 70°,
приобретают отчетливую эллиптическую форму и могут превра-
74

щаться в окружности. Из формул D,18) и D,19) следует, что
отношение амплитуд радиальной и тангенциальной скоростей
равно:
а тангенс угла сдвига фазы между ними
Эти обстоятельства имеют значение для техники акустиче-
акустических измерений. Если измерение проводится в ближнем поле,
22У
кг»1
то использование приемника, реагирующего на скорость частиц
(например, диска Рэлея или ленточного микрофона), не может
дать верных результатов, так как вектор скорости частиц не со-
сохраняет постоянного направления, и за период его конец описы-
описывает некоторый эллипс. Измерения при Ь = О или тс возможно прово-
проводить, но интенсивность по измеренной скорости следует рассчи-
рассчитывать по точной формуле D,20). Если измерение ведется при
8= у, то по формуле D,19), положив в ней sin &=1, можно
вычислить \Ь\У а затем по формуле D,17) найти интенсивность
звука в любом направлении.
Разобранный случай звукового поля колеблющегося шара
может служить известной аппроксимацией для рассмотрения
75

акустических свойств различных излучателей аналогичного типа,
например, колеблющихся в свободном пространстве пластин,
стержней или тел другой формы. Для таких систем ха-
характерно, что скорости по нормали на одной стороне
тела противоположны скоростям на другой. Это приводит
к коротким замыканиям линий тока и сильно снижает эффектив-
эффективность излучателя, когда размеры тела малы по сравнению с дли-
длиной волны. Таким образом, при низких частотах все излучатели
осиилляционного типа весьма мало эффективны. Для увеличе-
увеличения отдачи громкоговорители диффузорного типа снабжаются
экраном большого размера, что уменьшает замыкание линий
тока; экран как бы эквивалентен увеличению параметра kr0-
Характеристика направленности излучателей осциллирующего
типа всегда имеет форму восьмерки.

ГЛАВА 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРЯМОЙ ТРУБЕ
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Уравнение распространения звука в трубе
Прямая труба постоянного поперечного сечения является
составной частью всех звукопроводов, применяемых на прак-
практике, и потому рассмотрение законов распространения звука
в такой системе очень важно для решения всех вопросов аку-
акустики, связанных с экспериментом. Будем предполагать, что
боковые стенки трубы абсолютно твердые и совершенно не
проводят тепла. Допущение наличия упругости и теплопровод-
теплопроводности стенки приводит к значительному усложнению решения
задачи. Эти факторы дают добавочное затухание звука вслед-
вследствие отдачи энергии колебаний стенке и приводят к искаже-
искажению плоского фронта волны. Внутреннее трение в газе (или
жидкости), заполняющем трубу, будем учитывать в упрощен-.
ной трактовке, считая, что скорость движения частиц \ одинакова
по всему сечению (т. е. считая волну плоской), и принимая силу
трения пропорциональной этой скорости. Фактически при малой
вязкости скорость почти постоянна по всему сечению и быстро
падает лишь в узком пограничном слое у стенки. Кроме того,
будем считать, что диаметр трубы значительно меньше длины
волны. При этом условии неоднородность скорости по сече-
сечению трубы, даже если она возникла, быстро выравнивается
и волна становится плоской (см. гл. 6).
В трубе сечения S выделим малый элемент объема Skx = Av
(рис. 19), ограниченный двумя плоскостями с координатами
Xi и л;2 = хх -f- Ад;, перпендикулярными к оси трубы, причем
Ах^Х. При прохождении звука слой частиц с координатой хх
сместится на величину S, а слой с координатой х2 — на вели-
77

ЧИНу ?-{-^-Дя. Объём элемента, содержащего все частицы, на-
находившиеся ранее между х{ и хъ будет равен:
Av
Относительное изменение объема (деформация)
дх
р0
Это соотношение эквивалентно так называемому уравнению нераз-
неразрывности (см. гл. 1). Составим уравнение движения элемента Д-р. Как
Рис. 19
и при выводе основных уравнений акустики, вместо полного
ускорения -—- возьмем только локальное ускорение -~ — 5 ,
предполагая, что скорость и градиент скорости частиц малы.
Сила реакции, возникающая за счет инерции элемента, запи-
запишется тогда так:
Силу трения будем считать пропорциональной скорости движе-
ния
-^-:
Величина гх представляет коэффициент трения, рассчитанный
на единицу площади и на единицу длины трубы. Для труб
с диаметром намного меньшим/ чем длина волны, но все же
не слишком малым (практически не менее 0,5 — 1 см), на осно-
основании исследований Стокса и Гельмгольца (см. гл. 7)
E,1)
78

где r0 — радиус трубы, со — круговая частота, р — плотность
среды и (х — коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего
трения) среды, заполняющей трубу; для воздуха р- ^ 2 • 10~4 пуаз,
для воды [х^О, 01 пуаз. Полная сила трения для элемента длины
Ах и с площадью 5 будет равна:
У%№> § = S ]/^§> E>2)
т. е. пропорциональна боковой поверхности элемента
5 = 2тсг0 Ах.
Для капиллярных трубок зависимость E, 1) теряет свою
силу и коэффициент трения определяется, согласно закону
Пуазейля:
Гг = % E,3)
Таким образом, для капиллярных трубок величина полного
коэффициента трения, равная /? = ur^Ax^ = 8u(xAx, не зави-
зависит от радиуса трубки г0 и частоты а>; вывод формул E,1)
и (б, 3) дается в главе о звукопроводах.
Если стенки трубы хорошо проводят тепло, то эффектив-
эффективный коэффициент вязкости р/ возрастает вследствие потери энер-
энергии на отдачу тепла:
где 1 = ^» a v — коэффициент теплопроводности газа, запол-
cv
няющего трубу.
Внешней силой, действующей на элемент At;, является равно-
равнодействующая сил давления на основание цилиндра с площадью
S и длиной Ах; боковые давления взаимно компенсируются.
Суммарная сила внешнего (переменного) давления на элемент
bv равна:
Для адиабатного процесса, каким при сделанных предположениях
и при малых амплитудах можно считать волну в трубе, выпол-
выполняется соотношение:
Р = — *т- = — хз^. E,4)
Для газа коэффициент объемной упругости у. = ^РОу где Ро —
статическое давление.
79

Таким образом, суммарная сила давления на элемент AV бу-
будет равна:
Учитывая силы реакции, действующие на элемент, и силу дав-
давления, получим уравнение движения:
или, сокращая на
*<§¦•
Дифференцируя уравнение E,5) по t, умножая под знаком
дифференцирования на 5 и еще раз умножая все уравнение на S
и обозначая объемную скорость S\ = x> получим уравнение
движения в форме:
лл ^ дХ г, д2Х
где
Ali = p5, Ri = r,S и /Ci = x5.
Величина /Ci является коэффициентом упругости, Мх — массой,
a /?i — коэффициент трения, причем все они рассчитаны на еди-
единицу длины трубы. Уравнение E,6) аналогично уравнению рас-
распространения волн в электрической линии, или телеграфному
уравнению:
Объемная скорость X в уравнении E,6) аналогична силе тока I
в уравнении E,7), масса М\ — аналогична индуктивности на еди-
единицу длины линии Ьъ коэффициент трения Rx — сопротивлению Rt
на единицу длины линии, коэффициент упругости К\ — обрат-
обратной величине емкости на единицу длины линии ^-. Предполо-
жим решение уравнения E,5) в форме выражения для бегущей
синусоидальной волны:
где сх — некоторая, пока неизвестная, величина, имеющая смысл
фазовой скорости. Так как 6==уЕш и ? = Jr-, то, подставляя
80

соотношение E,8) в формулу E,5), получим после сокращения на
У»Р+/-1=у5, E,8а)
или
где ?— скорость звука в свободной среде, а
2Т = ^.
Подсчеты показывают, что для труб с диаметром, большим
1 см, в области звуковых частот <р<4. Для труб, наполненных
О 12
воздухом, ер ^ ' , откуда при /=100 гц и го=1 см
foV f
ср^0,012. Величина съ определенная из вышенаписанного
уравнения, имеет комплексное значение. Положим
}J[ =J 7 VT^W = Р +> = т • E,86)
Возводя в квадрат, имеем:
Приравняем действительные и мнимые части; найдем из 2-х
уравнений:
И р =
Формула волны E,8) примет вид:
Ь = Ъое1"'е:*:1Х = Ьоеп°'ц:ах)-ет*х- E,9)
Величина т = р —(— у а носит название постоянной распростра-
распространения. Действительная часть р этой постоянной характеризует
ослабление амплитуды волны на единицу длины пути и назы-
называется коэффициентом затухания. Из формулы E,9) сле-
следует, что на отрезке длины х волна ослабевает в е$х раз. В тео^
рии электрических линий затухание принято выражать в нату-
натуральных логарифмических единицах, которые получили название
непер. Говорят, что затухание составляет $х непер или р непер
на единицу длины. Так как вРлг= Ю°»43рдг, то можно оценивать
затухание и в десятичных логарифмических единицах. Затуха-
Затухание по амплитуде на отрезке х составит 0,43^х логарифмичес-
логарифмических единиц или по интенсивности 20-0,43рх = 8,брх дбу т. е.
затухание в децибелах получается умножением затухания
в неперах на 8,6.
6 С. Н. Ржевкин 81

Мнимая часть (а) постоянной распространения называется
в теории линий фазовой постоянной. Из структуры формулы
E,9) видно, что эта величина по смыслу аналогична волновому
числу, но при скорости распространения сь отличной от ско-
скорости с. В широких трубах гх (а значит и а) зависят от частоты.
Таким образом, будет иметь место дисперсия, и звуковой им-
импульс при распространении изменит свою форму. Аналогичное
положение создается, если среда, заполняющая трубу, обладает
большой вязкостью.
Если величина <р = г~- << 1, то
Фазовая скорость при наличии затухания будет равна
т. е. близка к с и немного меньше ее.
Коэффициент затухания при ср ^ 1 будет приблизительно
равен:
^^—ёг- EД0)
Затухание на одну длину волны составит:
сор 2р/
В отличие от затухания в свободной среде, где, согласно
Стоксу, р = ~-^з", в трубах большого диаметра, для которых
Т\ ~ VJ> получим дополнительное затухание р ^ |//. Общее
затухание будет больше стоксовского. В капиллярных труб-
трубках, где г1 = -?, р от частоты зависеть не будет.
Определим величину давления p(x,t) из уравнения E,5),
в котором правая часть, согласно формуле E,4), равна — ~:
где C(f) — произвольная функция времени; среднее значение
р при малых амплитудах можно считать равным р. Подставляя
82

(для прямой волны) i = Со е~лх • eJ<ot и -А = fak^* • *?** и интег-
рируя по д;, найдем: p(x,t) = ZQ (>i+>p)
При со = О звуковая волна отсутствует, /?и( равны нулю, сле-
следовательно, C{t) равно нулю.
При малых потерях (ср <^ 1), используя E,8а) и E,86), получим:
(Ml)
откуда видно, что давление отстает по фазе от скорости час-
частиц на угол ср. Эта разность фаз, согласно уравнению E,10),
связана с коэффициентом затухания на 1 см (S) соотношением
cp^*|- = i~X, а с коэффициентом затухания на одну волну
в'
ф') — соотношением ср = —^.
При малых затуханиях можно без существенной ошибки
считать для прямой волны р = pck, а для обратной/?=—рс\, E,12)
как это имеет место в среде без трения. Затухание учитывается
действительной частью в выражении для «у.
Для вычисления потока энергии необходимо знать разность
фаз между р и S, так как выражение для интенсивности имеет
вид:
где /?0 и ?0 — амплитуды звукового давления и скорости коле-
колебания частиц среды в точке х = 0.*
Распространение звука в отрезке трубы конечной длины
Если в начале трубы имеется некоторый поршень с импе-
импедансом Zo, на который действует сила %e;W, а на расстоянии I
* При выводах формул этого раздела не учитывалось отставание по
фазе (ср') деформации от давления, обусловленное релаксацией в среде. Учет
этого сдвига по фазе приводит к тому, что отношение р к ?, то есть ком-
комплексное волновое сопротивление, будет равно wx = рс exp [j(yf — ср)]; в газе
при звуковых частотах (ср' — ср)—малая величина и^^рс.
Выводимые далее формулы могут быть использованы для любых сред,,
если в них вместо рс ввести комплексное волновое сопротивление w^
6* 83

от начала труба закрыта поршнем с импедансом Zt (рис. 20), то
на двух концах трубы будем иметь:
. Импеданс поршня
Внешняя действу-
действующая сила
Скорость
Давление
Граничные условия
? e!<ot
Pie
fat
Здесь и далее i0 означает величину |?@)| и, следовательно, не
совпадает с обозначением в формуле E, 8), где ?'о — амплитуда
бегущей волны в момент ^ = 0 при х = 0.
Волна, возбуждаемая колебаниями поршня Zo, распростра-
распространится до конца трубы, отразится от импеданса Zh побежит
Рис. 20
Рис. 21
обратно к началу, отразится от Zo и снова побежит к концу
трубы. В результате будет бесконечное количество положи-
положительных и отрицательных волн, налагающихся друг на друга.
Все положительные волны имеют одинаковую частоту, и ре-
результирующая волна будет иметь ту же частоту! Результиру-
Результирующая волна получается сложением всех элементарных волн,
каждая из которых может изображаться вектором, характери-
характеризующим ее амплитуду и фазу; если сложить векторные ампли-
амплитуды всех элементарных волн аиаъ аг... (рис. 21), то получится
общая амплитуда а прямой волны. Суммарную амплитуду об-
обратных волн b найдём так же, как векторную сумму ряда
»волн с амплитудами Ьъ Ьъ Ьъ ...
В общей форме скорость частиц в некоторой точке с ко-
координатой х с учетом прямой и обратной волн может быть за-
записана как
\(х9 t) = \{х) + Цк) = (ае-ч* + Ь&*) е*ы, E,13)
причем знак (-J-) относится к прямой, а знак (—) — к обратной
волне-

Исходя из соотношения E, 12), выразим звуковое давление
в трубе:
p(Xtt) = 9с(ае^х — bet*). ^«* E14)
Величины а и Ъ можно найти из граничных условий. Подставляя
значения p(xt t) при х = 0 и х = /в граничные условия и со-
сокращая на eyW, получим:
E,15)
(Zl — Spc) ae~v + (Z, + Spc) be11 = 0.
Мы имеем линейную систему из двух уравнений с двумя
неизвестными а и Ь. Обозначим детерминант системы через
Zo — Spc
)e-"\{Zl-\
) ShT/ + 2Spc (Zo + Z,) ChT/.
Из уравнений E, 15):
Подставляя а и b в равенства E,13) и E,14), найдем:
, E,16)
. E,17)
В этих выражениях первый член обозначает прямую, а вто-
второй— обратную волну. Обратим внимание на то, что фаза
как прямой, так и обратной волны является функцией величины
(/ — х\ или расстояния от конца трубы. Амплитуды давления
и скорости частиц при х = 1 равны:
2Z; ,
Л=уР^
Определим из E,16) и E,17) величины амплитуд скорости Ео и
давления р0 в начале трубы:
р0 = рс
= рс [2Z, ChT/ + 25Рб7 Sh у/] % = Ch tf-pi
4
E,18)
85

Вводя амплитуды полной силы, действующей на площадь S,
F0=Sp<, и Fl = Spl, получим:
F0=Ch -j/ ¦ Ft+Spc Sh Ц • I,,
S^ . E,18a)
Подобные соотношения, связывающие амплитуды волнового
процесса на входе системы с амплитудами на выходе, хорошо
известны для электрических систем, используемых в электро-
и радиотехнике и носящих название четырехполюсников.
Труба как четырехполюсник
В общей теории пассивных электрических четырехполюсни-
четырехполюсников известны следующие зависимости между напряжением и
током на входе (Vo, /0) и напряжением и током на выходе
Величины Ay В, С и D называются коэффициентами четы-
четырехполюсника. Для отрезка трубы с сечением 5 и длиной /
коэффициенты четырехполюсника, как ясно из равенств E,18а),
равны:
Из этих уравнений следует:
AD — BC = A* — BC=Ch2T/ — ShV=l.
Соотношения A = D и AD — ВС=\ характеризуют так назы-
называемый симметричный четырехполюсник.
Определяя из E,19), Vt и It через Vo и /0, найдем:
j _
v i— AD —ВС h~ AD — BC '
Если AD — BC=\ и A = Df что выполняется для трубы, то
Vt = AV0-BI0 и ll =
Если при обращении четырехполюсника (когда его конец
принят за начало, а начало за -конец) считать положительным
направление тока (скорости), которое первоначально было от-
отрицательным, и обозначить /о = — /о и 1[ = — 1Ь то
E,20)
/, = СК0 + Л/0.
86

Следовательно, в таком четырехполюснике, как труба, имеются
тождественные соотношения E, 19) или E,20) между напря-
напряжением и током на входе и напряжением и током на выходе
независимо от того, какая сторона четырехполюсника принята
за начало. Это означает, что такой четырехполюсник обратим
или симметричен.
Труба, закрытая на конце, аналогична разомкнутой на конце
линии, или холостому ходу (// = 0; it = 0). Механический импе-
импеданс на входе будет равен:
А
= 0
= ^ = Spc Cth il^—JSpc ctg kl.
Труба, открытая на конце, аналогична короткому замыканию
линии A^ = 0; Л = 0). Импеданс ее
Импеданс на входе симметричного четырехполюсника
7_Vo_AVl + Bll _A
^— /о —C
Спрашивается, какой импеданс Zo следует включить на выходе,
чтобы импеданс на входе также был равен Zo. Полагая
г —7^ = Zq> легко найдем:
Этот импеданс называется волновым сопротивлением или ха-
характеристическим импедансом четырехполюсника.
Для трубы B = SpcShrtC=S-^ и Z0 = S9c.
Отражение звука на конце трубы
Возвратимся к выражениям E,16) и E,17) для скорости и
давления в любой точке трубы. Член в квадратных скобках,
в котором х в показателе степени входит со знаком плюс, ха-
характеризует обратную (отраженную) волну, а член, в котором
он входит со знаком минус,— прямую.
87

Отношение амплитуд обратной и прямой волн при х = 1 на-
назовем коэффициентом отражения волны давления:
_P-(t)
Zt —
p+ (/) Z.i -j- Spc Z>i I м Z\ -\-1
Spc '
Для коэффициента отражения волны скорости частиц из равен-
равенства E,16) получим:
-J представляет импеданс на единицу площади сечения трубы
(удельный импеданс), aZ1 = -^— удельный импеданс, выражен-
выраженный в единицах рс и называемый безразмерным импедансом.
Из полученных выражений видно, что при Zt = oo (что
соответствует твердой стенке, поставленной в конце трубы)
будет полное отражение с изменением фазы скорости (Г| j)
и без изменения фазы давления (гр = -\-\).
В случае отражения от открытого конца при низких часто-
частотах импеданс трубы без фланца *
а для трубы с фланцем (по Рэлею)
При очень малых частотах Zb —> 0 и мы получим:
Когда Z/ = *Svp^, т. е. импеданс Zz чисто активный и равен со-
сопротивлению излучения плоской волны (на площади 6), получим:
полное отсутствие отражения или, иначе говоря, полное про-
прохождение звука ( через выходной импеданс Zh что можно счи-
считать за полное „поглощение" звука в сечении x = L
Случай Zt = Spc можно реализовать приключением к концу
данного отрезка бесконечной трубы того же сечения. Это три-
тривиальное решение задачи полного поглощения. Кроме того, мо-
могут существовать другие системы, для которых выполняется
* См. Л. Я. Г у тин. ЖТФ,т. VII, 1096, 1937 (см. также гл. 11 наст. кн.).
88

это условие и которые обладают свойством полного поглоще-
поглощения падающей звуковой волны. Таким свойством может обла-
обладать, например, резонансная система при определенном подборе
ее затухания, а также специально сконструированные поглоти-
поглотители из толстых слоев пористого материала.
При очень высоких частотах импеданс поршневой диафраг-
диафрагмы стремится к величине Spc, причем она создает пучок на-
направленных волн, подобно прожектору. Следовательно, звуки
очень высокой частоты (ультразвуки) на конце трубы не будут
испытывать отражения, а будут свободно выходить в открытое
пространство в виде пучка плоских волн.
Труба, закрытая на конце твердой стенкой, аналогична ра-
разомкнутой электрической линии. Открытая труба аналогична
коротко замкнутой линии. В первом случае на конце образует-
образуется максимум давления (напряжения), а во втором — максимум
скорости (тока). Если Zt -ф Spc, то часть звуковой энергии
отразится, а часть пройдет в импеданс Zh т. е. поглотится им.
Напишем выражение E,17) для давления p(x,t) в несколько
иной форме, пренебрегая затуханием р в трубе и введя обоз-
обозначение
где г — абсолютная величина коэффициента отражения гр, а 2о —
его фаза; тогда получим
p(x,t) = р^г (Z, + Spc)e J'Kl [e-J*x + reK** + * - m)\ =
+ 2г cos 2 [?(.* — /) + 8] . e/* • e**. E,22)
Здесь
. r sin [k (x — 2l) + 2 о] — sin kx
4 9 — rcos [k (x — 2t) + 2 b] + cos kx'
В скобке выражения E,22) прибавим и вычтем re~Jkx\ пре-
преобразуя, получим:
E,23)

Из структуры этого выражения видно, что волновой про-
процесс в трубе можно представить как сумму бегущей прямой
волны с амплитудой давления А(\—г) и стоячей волны с ам-
амплитудой давления 2Аг.
При значениях х, удовлетворяющих условию k(x — /)-|-8==
= дат, где т = ± 0,1,2,..., т. е. на расстояниях от конца
трубы, равных
i i О 7Г О X / О
dlx m m (
получаются максимумы давления стоячей волны. В случае абсо-
абсолютно жесткой стенки первый максимум давления лежит на
конце трубы (х = 1) и d = 0. Это возможно, если 28 = m • 2т:.
Очевидно, что тогда коэффициент отражения гр является дей-
действительной величиной.
Ближайший к концу трубы максимум давления получится при
т = 0, т. е. при
— х—Т,
или
Ниже будет показано, что 8 может изменяться в пределах:
— тг<^2й<;7г. Таким образом, импеданс Zt на конце трубы
может давать сдвиг первого максимума как внутрь (&^>0),
так и наружу от конца трубы (Ь <^ 0). В последнем случае пер-
первый максимум внутри трубы получается при тп = — 1 и его
положение будет:
х' — I — ~ — —
Л /г 2 '
При значениях k(x — 1)-\-Ъ = ш-\- -у) тс или
как ясно из формулы E, 22), получаются минимумы давления
стоячей волны. Суммарное звуковое давление в минимумах' по-
получим из соотношения E, 23) при условии E, 25):
90

где \pmin\ = A(\—г) — амплитуда давления в бегущей части
волны. В максимумах, согласно равенству E, 24), учитывая, что
JmK
cos тъ = e~JmKf получим:
ртах = А A — г) eJ<at • eJ{5~kl) • e-Jm* + 2Л. г. е]
— I ртах | • с; • егу ,
где
Давление в максимумах по амплитуде равно АA-{-г); сдвиг
фазы между ртах и pmin равен ~.
Отношение амплитуды звукового давления в максимуме
к амплитуде давления в минимуме, называемое коэффициен-
коэффициентом стоячей волны, равно:
N = J^\=T=r* E,26)
откуда
'=з!гтт-. E'27)
Коэффициент поглощения звука как функция
импеданса Zt на конце трубы
Рассмотрим несколько подробнее соотношение E,21):
_ Zj — SpC _ /2б
rD Т I о_ - г^ •
Импеданс Zt есть, вообще говоря, величина комплексная;
обозначим активное сопротивление через Rt и реактивное че-
через Yh тогда
Zi = Rt +JYi = S?c (Л +/Y0, E,28)
где
безразмерное активное и реактивное сопротивления на
единицу площади трубы. Учитывая выражения E,28) и E,29),
формулу E,21) запишем в виде:
г
р
91

Выразим г и 8 через R\ и Yt
+ IJ + К?
1
cos 2Ь =.
sin 2S = -
2K,
2У,
F,31)
Если F! = 0, то
cos 2
' = -^^-=±1; sin 28 = 0.
Поскольку 0<^/?i<^oo, фаза 2Ь может быть равна (при
Vi = 0) db 0 или db те. Очевидно, cos 2& и sin 2B могут при
}\^0 принимать все значения от—1 до-j-l, проходя через
нуль. Следовательно:
F,32)
E,33)
E,33а)
Величину г можно представить как
1 ° ~~ N + 1 у
где всегда ?^>0; нетрудно показать, что
Cthe=Af; Sh2e = ¦ * ; Ctfe =
Л/ — 1 •
При изменении г от 1 до 0 величина е меняется от 0 дооо.
В табл. 3 приведены значения г и е для различных М
201giV
?
Г
0
со
0
0,2
1,8
0,024
2
0,82
0,205
6
0,52
0,33
Таб
20
0,11
0,82
лица 3
оо
0
1
Используя соотношение E,33), получим
¦- —.. ^ , р
где
=*-*.
E,34)
92

Тогда из формулы E,34) следует:
^ ?Й = Cth
Разлагая Cth^ на действительную и мнимую часть и учиты-
учитывая, что Cti/28 = cos2& и Sh/2d=ysin2B, нетрудно найти, что
v —
п — v —
^ - Ch2e—cos25 > Y J - Ch2e — cos25
Или, учитывая равенства E,26) и E,33а) и выражая Ch2e и
Sh2e через /V, получим:
о __2^V. у (АГ3-1) sin25
^ у
4- 1) — (ЛР — 1) cos25' 7 ! "" (ДГ^ 4- 1) — (N* — 1) cos25 *
По этой формуле можно вычислить /?t и Ki по измеренным
на опыте величинам N и В. Геометрическая интерпретация
преобразования E,35) или обратного ему преобразования E,30)
и E,31) будет дана ниже. Преобразование такого типа очень
часто используется в теории электрических линий.
Если из опыта известно значение N, то коэффициент отра-
жения найдем по формуле E,27) г= „. ^ . Это соотноше-
соотношение служит для определения коэффициента отражения по методу
стоячих волн в трубе (методу акустического интерферометра).
Обычно для практических целей вычисляют отношение
поглощенной звуковой энергии к энергии падающего звука.
Поскольку интенсивность звука пропорциональна квадрату
амплитуды звукового давления, то отношение интенсивности
отраженного звука Jr к интенсивности падающего Jt равно
/-2, а величина
tt_i r2_ 4 -I Jr _Ji — Jr
представляет отношение поглощенной энергии к падающей,
т. е. коэффициент поглощения звуковой энергии. Величина а
называется коэффициентом поглощения звука.
Обратим внимание, что в равенстве E,23) координата х
входит во второй член только в сочетании [ k (х — /) -f- 8].
Это значит, что расстояние (х — /) максимумов и минимумов
от конца трубы при данном k зависит только от величины 8,
которая является функцией лишь Zh но не зависит от Zo.
Величина Ь легко измеряется на опыте, что дает возмож-
возможность определить Zt.
Преобразование, выраженное формулами E,30) и E,31), или
обратное преобразование E,35) Cth ty = Rl-\-jYl представляют
93

дробно-линейные конформные преобразования, которые можно
изобразить графически на плоскости комплексного переменного.
Отложим по оси абсцисс величину /?lf а по оси ординат величину
Ki. Любой импеданс Zl = Rl-{- jYl = Spc(Rl-\-jY\) изобразится
некоторой точкой на плоскости комплексного переменного Zj«
Найдем на плоскости Zx форму линий, на которых величина
коэффициента поглощения звука а (а также величины г и е)
будет иметь постоянное значение. На основании уравнения E,30)
Это выражение можно преобразовать так:
Точно так же из равенства E,31) легко получим уравнение
линий, для которых В = const:
Рассматривая #г и Ух в соотношениях E,37) и E,38) как неза-
независимые переменные, а а и 8 как параметры, придем к заклю-
заключению, что линии равного а, выражаемые уравнением E,37), изо-
изобразятся семейством окружностей с центрами на оси /?1э от-
отстоящими от начала на расстоянии
и с радиусами
Окружность, соответствующая а = 0 (r = J, 2e = 0), имеет
бесконечно большой радиус, и центр ее находится на рассто-
расстоянии 7^ = 00. При стремлении а к 1 (г-*0, 2s->oo) радиус
окружности уменьшается и стремится к нулю, а центр ее стре-
стремится к точке /?i = l, У1 = 0.
Линии равных В (или равных tg 28) на основании уравнения
E,38) будут представлять также семейство окружностей с цен-
центрами, лежащими на оси Yx на расстоянии
* 10 tg 25 '
и с радиусами, равными ро = , 2&.
Все эти окружности проходят через точку ^ = 1, У^ = 0,
соответствующую а=1.
94

Семейство линий, равных а и 8, изображено на графике
(рис. 22), который мы будем называть импеданс-диаграммой. Об-
Образец полной импеданс-диаграммы, пригодной для практических
расчетов, приведен на рис. 23 в уменьшенном масштабе.
Экспериментальное определение положения максимума, не-
необходимое для нахождения фазы, осуществляется не точно,
так как максимум является весьма размытым. Выгоднее опре-
Рис. 22
делять положение первого минимума йъ а затем определять
В по формуле E,25).
Фазовая окружность с центром в начале координат (рис. 24)
и с радиусом, равным единице, относится к значению — = 0,25
B8 = у]. Отрезок оси Rx от начала до 7?i=l соответствует
фазовой окружности — = 0,5, а отрезок от Rx = 1 до Rx = оо —
окружности ~ = 0.
Величину N можно определить методом стоячих волн и
вычислить из нее 2е (или г); 28 находится по положению первого ми-
95

нимума давления в стоячей волне, соответствующего т = —1,
для которого
Si 1 SS 1 1
Величины cos2S и sin 28 могут, согласно выражениям E,31),
ft
Рис. 23
принимать значения от —1 до -f-1, 2Ь может меняться в
пределах —n<^2S<^n, а величина фазы —--в пределах
— 9"^ я ^о"» F будет меняться от —т до 4~т« Очевидно,
96

что положение первого минимума при вычислении по формуле
E,39) получится внутри трубы в пределах от 0 до у; фаза -
через dx выразится формулой
п=Щ~2' E,39а)
В случае жесткой стенки (^ = 00) 28 = 0. Первый минимум
давления будет лежать на расстоянии dx = j.
Рис. 24
В случае инерционного импеданса (Yt ^> 0) всегда sin 2Ь ^> 0
и —1<^cos28<^1 (см. формулы E,31)). Это значит, что
^2S^/n:, и положение первого минимума получим в пределах
4 ^ (Рис- 24). При очень малом инерционном сопро-
сопротивлении и активном сопротивлении 7?i<^l, cos2& близок к —1,
a sin 28 — к нулю; следовательно, ~ близко к j, a dx — к к-.
Для упругого импеданса (Yt <^ 0) —те < 2% <10; первый
минимум будет лежать в пределах 0 <С^ flfi <d 4" •
При переходе окружности равного 8 через точку /^ = 1,
У\ = 0, как это следует из формул E,31), sin 28 и cos 28 меняют
7 С. Н. Ржевкиы 97

свой знак на обратный, сохраняя абсолютную величину. Это
значит, что 2Ь изменяется скачком на тс, причем tg 28 остается
неизменным и знака не меняет. Фаза — уменьшается при этом
скачком на 0,5. Таким образом, если на верхней части окруж-
окружности фаза сохраняет некоторое постоянное значение —, то на
нижней ее части фаза будет — — к-. Значения — на линии рав-
равного /?i при значениях -\-Yl и —Yx отличаются лишь знаком.
На импеданс-диаграмме (рис. 23) цифры на окружностях равной
фазы в верхней полуплоскости (К^О) означают -; в ниж-
нижней полуплоскости (К!<^0), чтобы избежать отрицательных
значений, нанесены величины (l-(-—)•
Конформное преобразование Cth(s—fi) = R1-\-JY1 удобно
изображать на двух отдельных диаграммах для области малых
коэффициентов поглощения и для области больших коэффи-
коэффициентов поглощения. На диаграмме целесообразно откладывать
величины 20 lg>V (в децибелах), так как эти величины опреде-
определяются непосредственно из опыта. Вычисление а по величинам
2е (или обратно) ведется по формуле:
На опыте определяются величины звукового давления в мини-
минимумах и максимумах (рт-т и /?тах) и положение первого ми-
минимума dx. Затем, вычислив по вышеприведенным формулам
20 lg /V, — и —, находят по импеданс-диаграмме ^ и У^
При переходе через резонанс (при изменении частоты) знак
реактивной части меняется, и точка на диаграмме всегда прохо-
проходит через ось абсцисс. Согласно формулам E,31), при переходе
Yx через 0 знак sin 2S меняется на обратный, a cos 23 остается
неизменным. Если 7?i<O, т0 Фаза ~ будет скачком изменяться
от значения —0,5 к значению -\-0,Ь. Наоборот, если /?i^>l, то
при переходе через ось абсцисс фаза — меняется плавно, пере-
переходя через нуль. Если Zu безразмерный импеданс простой
резонансной системы
^^) E,40)
то при резонансе, когда ыМi = -^-, импеданс будет чисто ак-
активным (Zn = R1). Формула E,40) изобразится на импеданс-диа-
93

грамме прямой, параллельной оси Уь и проходящей' через
точку /?! = о— и J7! = 0. Эта прямая касается при резонансе
некоторой окружности равного поглощения (а = ах, см. рис. 22).
Из чертежа ясно, что при частотах, отличных от резонансной,
когда Yx Ф 0, обязательно а < alf т. е. а будет иметь при ре-
резонансе максимум. Обратим внимание, что при тех же параме-
параметрах Mi и Е\> но при меньшем Rx той же окружности a = at
касается еще вторая прямая, параллельная оси Yx. Первая пря-
прямая соответствует /?i>l, а вторая /?"<О; резонансная час-
частота для обоих случаев одинакова <о0 = |/ _^— * Легко убе-
убедиться, что всегда R[ R'l = 1. Первый случай отвечает резо-
резонансу в системе с большим затуханием, второй — с малым. Для.
обеих систем при резонансе
но первая система будет иметь более пологую резонансную
кривую, а вторая — более острую.
Из рис. 22 видно, что фаза — для резонатора с большим
значением сопротивления (/?i^>l) при переходе через резонанс
от низких частот к высоким будет меняться плавно, переходя
через нуль от отрицательных значений к положительным. Схема
изменения — и dx в зависимости от частоты со дана на рис. 25
(здесь учтены раздельно оба случая: #i>l и /?"<1).
Если R[<i\ (<*><[ <*>0), резонатор имеет отрицательное реак-
тивное сопротивление; фаза— при постепенном увеличении
частоты убывает от нуля до —0,5 (при резонансе),
а di убывает от Х/4 до нуля. При переходе через резонанс
фаза скачком изменяется от значения —0,5 до -\-0,Ь, а поло-
положение минимума dx перескакивает с нуля на Х/2 (пунктир);
при дальнейшем росте о)(о)^>аH) фаза убывает от 0,5
до нуля, а d\ смещается от Х/2 до Х/4 (при а>->оо).
В случае jR[ ^> 1 изменение фазы и положения первого ми-
минимума легко проследить на рис. 22 или 25. При возрастании
а) (начиная от 0) точка, изображающая импеданс, движется по
прямой R1 = R'1 из —со кверху, а фаза убывает, начиная с
нуля до некоторой минимальной (отрицательной) величины —,
которая достигается при частоте о/ и определится из условия
касания прямой /?1 = ^ с некоторой фазовой окружностью ~
?• 99

в нижней полуплоскости. При этом условии радиус фазовой
окружности Р;= |sin(l25m)| = sin25m Должен равняться R[.
Далее фаза начнет возрастать и достигнет при резонансе
(Ti = 0) нуля. При дальнейшем росте о> фаза делается положи-
положительной и точка переходит в верхнюю полуплоскость. При
частоте <*>" произойдет касание прямой со второй фазовой
о
*—!-
+0,5
71
+ /7
-О
Т 7Г
-05 '
.1..
i
(.1 О И
.-oo
(mJ-U)o
Рис. 25
л
Т
окружностью-f-f-одинакового радиуса с первой, что соответ-
соответствует условию R\=
. 9
. В этой точке фаза достиг-
нет максимума и затем, при росте о> до бесконечности,
начнет убывать до нуля. Частоты о/ и о>", при которых ход
фазы изменяет свое направление, определяются из уравне-
уравнения E,38). Условия касания имеют вид:
=0.
Учитывая, что _J__ = ]/"Aйг^р - 1 =
квадратное уравнение:
- VR? — 1 •« -
=1/(^!)8—1,ПОЛуЧИМ
100

из которого найдем два значения частоты о/ и со". Легко ви-
видеть, что, согласно равенству E,39), d\ при росте ш (от нуля
до оо) сначала падает от Х/4 до Х/4 — Sm • Х/2ти (при ш = «'), за-
затем начинает плавно возрастать до ^/4-\-Ът'\/2п (при о> = «>"),
а затем снова убывает до Х/4.
Импеданс в точке приложения силы и переносный
импеданс
Исходя из формулы E,16), найдем выражение импе-
импеданса в точке приложения силы (х = 0) для трубы с при-
присоединенным на конце импедансом Zt:
_ ^w _ (Zq + s?c) {Zl + s9c) eV — (Zo - S9c) (Zt - S9c)
00 g@) (^ +
_ (Zo Zt + Syc*) ShT/ + S9c (Zo + Zt) Ch 7/ _
Переносным импедансом называется отношение действующей
силы к скорости в точке х = 1, где стоит импеданс Z{.
_ у;*< _ (Zo + 5Рс) (Z; + >Spg) gT/ - (Zo — S9c) (Zt — S9c) e ~ V __
01'~ g(/) ~ (Zj + SpcJ-fZj
Так как при малом затухании 4=jk-\-$^jk, то
^ cos kl
;
jZi sin л/ + 5pc cos ы ;
^pf У s^ ?/ + (Zo + Zt) cos >fe/. E,42)
Если Z0 = 0, т. е. импеданс в начале трубы (например, инер-
инерционный импеданс, вызванный массой поршня) отсутствует, то
При т^^/fe
У5рс sin /г/+ Z/ cos Л/
sin ^/+Spc cos kl
101

Эта формула определяет только импеданс, добавленный к Zo
вследствие того, что к Zo приставлена труба с конечным им-
импедансом Zz. При Z0 = 0 и -\^^jk
Zo/ ^^JSpc sin kl -|- Zt cos kl. E,44)
Величина Zo/ зависит, очевидно, от импеданса на конце трубы
и от длины трубы.
При условии Ы = 1Ш
zoo = — z/-
Это значит, что труба, длина которой / = -г- = п т>, полностью
передает импеданс Zt в начало трубы. Иначе говоря, труба
длиной п 2 действует подобно абсолютно жесткому стержню.
Трубы, наполненные жидкостью, при соблюдении этого усло-
условия могут передавать очень большие переменные силы.
Рассмотрим частный случай трубы с закрытым концом. Так
как Zz = oo, то при Z0 = 0
Zoo = SpcCth^l ъ Js™k*1 = -jSfc ctg kl. E,45)
При низких частотах (&/<^1) получим:
7 _
Величина ?"^^-тг-, где V—объем трубы, представляет коэф-
коэффициент упругости объема воздуха V при действии силы дав-
давления на всю площадь S.
Действительно, в статическом случае, согласно закону Гука,
р = — *ь^, а х = Рг2и bV=St
Введя суммарную силу давления ty = Sp, получим:
Таким образом, величина
Pc2S2__TP0S*
и V ~~ V
I c
Т = ~ и ^о — статическое давление) представляет коэффициент
упругости замкнутого объема V.
Величина Zoo, согласно E,45), будет отрицательна и мнима
от kl = 0 до kl = ^ A = 1/4). Таким образом, в пределах от
102

нулевой частоты до частоты /=77 мы будем иметь отрица-
отрицательное реактивное сопротивление, и отрезок трубы действует
как упругость.
В интервале от kl = ^ до &/ = тс (т. е.^<^/<С^) знак Zoo
меняется на положительный, и отрезок трубы действует как
инерционное сопротивление.
При kl = K, т. е. / = л/2, Zoo = оо. Такой же результат будет
получен при l = n-^t где п — целое число. Следовательно, за-
закрытая (при х = 1) труба длиной t=n>i2 представляет как бы
абсолютно твердое, несжимаемое тело. Этот вывод получается,
конечно, только как идеализация в предположении отсутствия
затухания звука в трубе ($ = 0).
Если р Ф О, то при Zo = 0 и Zz = оо из формул E,45) после
несложных преобразований найдем:
Zoo = SpcCth?/ = Sp^Cth (Jk + P) / =
При к1 = (п-\- -^jic, т. е. /=Г/г —j—^)  * ^oo = Sp?7Tip/, а при
kl=z№, т. e. l = n^t Zm = SpcC\h$l. Если р/ мало, то в пер-
первом случае Z00^Sp?p/ (вместо нуля, как это дает формула E,45);
во втором случае Zm^Spcj$L Закрытая труба при условии
/=f^-|--j~ (резонанс) имеет, если р/ мало, очень малое со-
сопротивление и может служить в качестве акустического „ко-
„короткого замыкания" лучше, чем открытое отверстие, которое
имеет и активное и реактивное сопротивления.
При больших затуханиях в трубе, например, когда она за-
заполнена пористым материалом (при больших значениях /),
Zoo ^ S?c, так как Cthp/ при больших / стремится к единице.
Этот вывод не вполне корректен, так как при выводе формулы
E, 41) предполагалось, что р невелико.
В трубе с открытым концом следует считать Z{ равным
импедансу поршня площади S, излучающего в открытое про-
пространство. При низких частотах Zt —+ 0 и из соотношения E, 43)
получим:
Zoo = SecThtf ^ /Spc tg kl. E, 47)
В короткой трубе (/&/<< 1)
Zoo f**JSpckl =MSlp) =Jt»Mf E, 48)
где M = Slp.
103

Следовательно, короткая (по сравнению с длиной волны) от-
открытая труба дает импеданс инерционного характера, соответ-
соответствующий движущейся массе M — Slp, равной массе среды
в трубе. При более высоких частотах Zoo растет и делается
равным'бесконечности при kl = ^, (/ = -), затем становится
отрицательным (упругое реактивное сопротивление) в пределах
от kl = ^,(l = j) до kl = izy (t = j). При Z = /&^Z0o = 0,T.e.
открытая труба длиной 1 = п^ практически не дает сопротивле-
сопротивления для звука (при этом предполагается, что р = О и Zt я^ О,
что возможно при X J> -/S).
Уточняя выражение E,48) для короткой трубы, следует
учесть присоединенную массу (М) на ее конце. Для трубы ра-
о
диуса г0 с фланцем (по Рэлею) М — ^ pro, а для трубы без
фланца (по Гутину) /И' = 2рг§. Если учитывать присоединенную
массу на открытом конце трубы, то получим (при ?го<^1) для
импеданса трубы с фланцем:
а для трубы без фланца:
Zoo ^JwSp [l + ?г0) =/<*Sp (I + 0,64r0).
Таким образом, открытая труба без фланца становится как бы
длиннее на величину 0,64 г0. Этот эффект необходимо учиты-
учитывать при настройке органной трубы на определенный тон.
Метод импеданс-диаграммы *
Выражение E,43) для входного импеданса трубы исполь-
используется в большом числе прикладных вопросов. Путем несложных
преобразований легко убедиться, что уравнение E,43) можно
представить в более простом виде. Подставляя Zl = SCth
и Z0 = 0 в E,41), получим
Sh
= ^р^7 Cth [(e/ -f р/) — /(Ь1 — а/)]. E,49)
При /=0, т. е. при непосредственном действии силы на
импеданс Zz, Zoo = Spc Cth (ez —j6t) = Zh что соответствует
формуле E,35).
104

Формула E,49) дает весьма удобный графический способ
нахождения импеданса Zoo в начале трубы по импедансу Zt
в конце трубы, если затухание р/ мало. Идея этого метода
применительно к акустике изложена впервые Морзом * в 1936 г.
Этот же метод применялся ранее в теории электрических ли-
линий.
Определив по импедансу Z{ величины ez и Ьь мы должны,
согласно равенству E,49), не изменяя гь вычесть из Ьг величину
dlz=^lj — (определяемую длиной трубы и частотой звука), т. е.
переместиться на диаграмме из точки с координатами /?1Ь Yu
(соответствующими импедансу Zj) по окружности равного et
(а значит, равного N и а) на отрезок — = =--=- (равный числу
тс AIA
полуволн, укладывающихся в отрезке /) в сторону уменьше-
уменьшения 8, т. е. по часовой стрелке. В этой точке из диаграммы
найдем величины /?10, У10, соответствующие импедансу Zoo. Уве-
Увеличение длины трубы на М = п-^ (k?U = m) соответствует
уменьшению фазы ~ на п, или перемещению по окружности
равного е (или а) на п целых оборотов по часовой стрелке.
Увеличение длины трубы на Х/4 дает уменьшение фазы — на
1/2. Ввиду неодинакового масштаба фазы на окружностях рав-
равного поглощения это не будет соответствовать переходу на пол-
полоборота, но всегда будет соответствовать переходу с нижней
части на верхнюю часть той же окружности или наоборот.
Как пример применения импеданс-диаграммы, определим им-
импеданс отрезка закрытой трубы длины /, в начале которого-
стоит слой ткани с сопротивлением /?!=-=—. Импеданс Zu
на закрытом конце трубы соответствует Yu =— оо и /?iZ = 0
(нет потерь). Точка, изображающая этот импеданс, лежит на
окружности а = 0, (s = 0, N=oo), имеющей бесконечно боль-
большой радиус и совпадающий с осью Yx\ центр окружности ле-
лежит на оси /?i в отрицательной бесконечности. Угол 8Z будет
на основании соотношения гр = геНь равен нулю (так как гр =
— + !)•
Для нахождения импеданса в начале трубы мы должны пе-
переместить точку по окружности е = 0, т. е. по оси Yx из —оо
на интервал kljiz по часовой стрелке. При Ы = пъ (8/я = л,.
l = n-<y\ величина — изменяется на целое число единиц. Сде-
Сделав несколько полных оборотов, приходим снова в ту же точку
* См. Ph. Morse. Vibrations and sound. New York 1936,341.
105

диаграммы, т. е. опять получим Yl = — оо и Rl = 0. Таким
•образом, при 1 = п~2 импеданс твердой стенки Zl = oo перено-
переносится без изменения в начало трубы, как это уже было пока-
показано ранее. Сопротивление ткани в этом случае ничего не до-
добавит к импедансу трубы. При kl=(n-\--^)^y или /= (я+ 2")у»
фаза ~изменится на (/г+1/2) и точка сместится по окружно-
окружности е = 0 (ось Yx) на целое число оборотов плюс пол-оборота
и придет в начало координат (-?- = 0,5]. Импеданс трубы бу-
будет равен нулю (Rx = 0 и J^^O). Это значит, что закрытая
труба длиной n-ty + У 4 имеет активное и реактивное сопротив-
сопротивления, равные нулю (этот результат также был получен ранее).
Для нахождения импеданса трубы длиной (п -j- -я-) -к-, закры-
той на конце и со слоем ткани (Rx) в начале, нужно приба-
прибавить сопротивление слоя к активному и реактивному сопро-
сопротивлениям трубы. Так как сопротивление слоя чисто активное,
то это сведется к тому, что точка переместится из положения
@,0) и займет положение (/?ь 0). Если /?i = l, то мы придем
в точку A,0), где е = оо, т. е. а = 1. Следовательно, труба дли-
длиной / = п -j -f- -?- со слоем ткани удельного сопротивления /?! =
= 1, (R = Spc) в начале дает а = 1, или полное поглощение
звука; конечно, а=1 только при дискретных частотах fn =
= -—2/ > а не во всем диапазоне частот.
При Ы = пъ -\- -j-, или / = п -? + у, мы придем по диаграмме
в точку @,—1) и, добавив /?ь получим импеданс (/?i—у).
Труба будет действовать как последовательное соединение ак-
активного и упругого сопротивлений. Ни при каких /?t в этом
случае нельзя попасть в точку A,0) и получить а=1. При
3 X 3
Ы = т-\--г-тг, или / = я-7J- 4- -Q-X, можно достичь, добавляя
/?!, точки (/?! +У) на диаграмме. Труба будет действовать как
последовательное соединение активного и инерционного сопро-
сопротивлений; получить а = 1 ив этом случае невозможно.
Метод импеданс-диаграммы естественно обобщить на слой
с любым импедансом Zb включенным последовательно с отрез-
отрезком трубы длиной /, или на ряд таких слоев с импедансом Zh
разделенных отрезками трубы 1г. Способ нахождения суммарного
импеданса на входе такой системы совершенно ясен: после пе-
пеню

рехода по окружности равного гг из точки (-о-^~> -о"М на Фазо-
Фазовый отрезок —по часовой стрелке и нахождения импеданса на
входе первого отрезка трубы к полученному импедансу сле-
следует прибавить путем векторного сложения импеданс первого слоя
Zlb после чего точка перейдет на новую окружность равного гх. По
ней снова перейдем на отрезок — по часовой стрелке, найдем им-
импеданс на входе второго отрезка трубы, прибавим к нему импеданс
второго слоя Z12 и найдем новую окружность равного е2и т. д.,
пока не дойдем до последнего слоя. Найдя Zx на входе,
определим по импеданс-диаграмме коэффициент поглощения
звука а для всей системы. Этот прием с успехом использовал
Г. Д. Малюжинец * для расчета звукопоглощения сложных
слоистых систем.
Если учитывать затухание звука в трубе, то при переходе
из некоторой точки трубы с координатой х в более далекую
от конца точку (х — кх) необходимо передвинуться по окруж-
окружности равного s на отрезок — по часовой стрелке и вместе
с тем перейти на другую окружность —^-—, которая будет
всегда иметь меньший радиус. При постепенном перемещении
в трубе (по направлению отрицательной оси х) точка, изобра-
изображающая импеданс на плоскости комплексного переменного,
будет перемещаться по спирали с постепенно уменьшающимися
витками. При достаточной длине трубы спираль будет посте-
постепенно свертываться и придет в конце концов в точку A,0),
соответствующую е = оо, (а=1). Таким образом, достаточно
длинная труба при наличии поглощения в среде, ее заполня-
заполняющей, обеспечивает полное поглощение звука, входящего в нее.
Тот же результат можно получить, анализируя выражение
E,49). Для твердой стенки на конце параметры гг и Ьг равны
нулю и
Z
Легко видеть, что при /—>-оо, Zoo -*Spc и, следовательно а—> 1.
Собственные колебания в трубе, замкнутой
на импедансы Zo и Zi
При возникновении собственных колебаний в системе, со-
состоящей из трубы, замкнутой на импедансы Zo и Zh фаза вол-
волны, пробегающей систему в прямом и обратном направлении,
* См. Г. Д. Малюжинец. Информационно-технический бюллетень
строительства Дворца Советов. М., 1941.
107

должна измениться точно на 2^/z. Учитывая сдвиги фазы, рав-
равные 280 и 23Z на концевых импедансах, и набег фазы, на двой-
двойной длине трубы, это условие можно записать так:
28, —
откуда
sin 2*/= sin B80
где косинусы и синусы фазовых углов 280 и 28Z определяются
формулами E,31) и являются функциями частоты ш. Из урав-
уравнения E,50) определяются частоты собственных колебаний си-
системы со. Решение этих уравнений в общем виде достаточно
сложно. Проще всего решение можно найти графически, если
построить в функции со левую и правую части уравнений и оп-
определить точки пересечения соответствующих кривых.
В некоторых частных случаях решение легко получается
аналитически.
I. Пусть, например, труба в начале открыта, а на конце
закрыта чисто реактивным импедансом Yu. Тогда К1в = 0,
#10 = 0 и 280 = тг. Из формул E,50) и E,31) получим:
sin 2kl = sin B8Z + тс) = — v, \l ; cos 2kl = cos B8, + тс) =
'O—-y^zj. E,51)
Эти уравнения имеют два решения:
tgkl = — Ylh]
л. 1.1 т/ i E,52)
zig fd=Yu. J v }
Второе решение не удовлетворяет уравнениям для cos 2kl и
sin2&/ и появляется как лишнее при решении уравнения E,51),
в которое входит dgkl.
а) Из уравнения tg kl = — Yn при Yu = 0 (открытый конец)
получим: Ы = пъ и / = /г^,.что является известным результа-
результатом для открытой с двух концов трубы.
б) При Ки = оо (закрытая в конце труба) Ы = {п-\-тЛ т. и
/ = (#+—J-_; это также хорошо известный результат.
J08

II. При Yu = co и /?п = 0 (жесткая стенка) и при включе-
включении импеданса F10 в начале, sin 2^ = 0 и cos 28, = 1; следова-
следовательно, 28г = 0. Из соотношений E,50) и E,31) получим:
sin 2Aj/= sin 280 =
уз j
cos 2kl = cos 280 = ~—~
2ctg kl 2K19
r10"
Из последнего уравнения, как и в случае открытой на конце
трубы, найдем:
- J ю,
однако пригодно лишь второе решение.
Условие резонанса будет иметь вид:
cigkl=V1Q.
III. Если в начале труба открыта, а на конце присоединен
объем V (рис. 26), то, когда его размеры малы по сравнению
с длиной трубы / и длиной
волны X, можно считать, что
т, 1 рса52
у _— . ti_^ и первое из
орС со к
уравнений E,52) для собствен-
собственных частот примет форму;
?. E,54)
Для нахождения корней этого
уравнения следует построить
Рис. 26
Рис. 27
в функции kl семейство тангенсоид (рис. 27) и гиперболу
"тг • "?/"• Точки пересечения гиперболы с тангенсоидой будут
соответствовать корням уравнения для собственных частот.
Когда длина трубы невелика, первый корень будет значительно
меньше других, и можно приближенно считать:
hi
hi $l *
109

откуда
kl= ~\[^у или 0)= с у %^с V ~V> E,54а)
о
где К=~г величина, называемая проводимостью. Это извест-
известная формула для собственной частоты резонатора.
IV. Рассмотрим собственные частоты открытой с одной
стороны трубы длиной /ьна другом конце которой присоединена
1
1* ^
1
S
Рис. 28
труба длиной /2 с сечением а, закрытая или открытая на конце
(рис. 28). Учитывая трансформацию удельных импедансов (см.
гл. 7 о звукопроводах), можно написать на основании фор-
формул E,45), E,47) и E,52) уравнения для собственных частот.
— ctg kU (закрытая труба),
tgkl2 (открытая труба).
E,55)
Если труба U короткая, то для закрытой трубы
С 1 п
tgA/t^-y^, ИЛИ Ctg klt ?**-§¦ kl2.
При 4-kl%^ 1 из последнего уравнения следует:
откуда
^+1)| cBn+l)
или
В случае присоединения очень узкой трубы \-$к < Ajполучим
известную формулу для трубы, открытой с одного конца и
закрытой с другого. Таким образом, присоединение узкой за-
закрытой трубы /2 понижает собственную частоту основной
трубы.
ПО

Если а=5, то уравнение собственных частот примет вид:-.
= ctg&/2 (закрытая труба),
= — tgkl2 (открытая труба),
откуда
(закрытая труба),
(открытая труба).
Это известные уравнения для собственных частот трубы дли-
длиной (Л + /а); результат является проверкой правильности при-
примененного метода расчета.
Рассмотрим случай короткой открытой трубы /2 считая,
А/2<^1. Если труба очень узкая ( — ^> 1 , так что —&/2^>1,то
откуда
Для нахождения ^/( получим квадратное уравнение, положи-
положительный корень которого дает:
У
и- - ¦ 4аЛ
Из этой формулы ясно, что просоединение тонкой открытой
трубы повышает собственные частоты основной трубы длиной
/,. Кроме того, очевидно, что обертоны будут негармониче-
негармоническими; действительно
c{2n+\)T , 4a/t I
4/! L + S/,i€« Bл + IJ J#
Повышение собственной частоты можно объяснить следующим
образом. Резонансную систему открытой трубы 1Х можно пред-
представить как систему с сосредоточенными постоянными, причем
некоторая эквивалентная масса сосредоточена близ открытого
конца, а эквивалентная упругость — близ закрытого конца.
Присоединение открытой трубы /2 создает на закрытом конце
дополнительную массу, которая оказывается соединенной с
основной массой трубы через промежуточную упругость. Об-
Общая масса получается параллельным соединением двух масс и
оказывается меньше основной массы воздуха в трубе, что и
Ш

вызывает повышение собственной частоты системы. Такая си-
система известна под названием „звуковой гриб".
Иначе обстоит дело, если площадь трубы /2 не очень
мала и соблюдается условие -kl%<^ 1. Тогда
tg klx = - hgkk ы - *kh ъ ~ tgf */a < 1
и из E,55) получим:
Ых <^№ — - kU ИЛИ k\ /j -f- ~
Это условие соответствует собственной частоте открытой
с обеих сторон трубы длиной lx -j- - К Например, если - = 10;
1Х=\{) см и /2=1 см, то из-за добавки трубочки /2 получим
Удвоение эффективной длины трубы и понижение всех соб-
собственных частот в два раза.
Проведенные рассуждения естественно применить к во-
вопросу о влиянии импеданса слоя, покрывающего стены поме-
помещения на собственные частоты. Если импеданс на конце
трубы имеет отрицательную реактивную часть, то на основа-
основании соотношения E,54) и из рис. 27 ясно, что первая и сле-
следующие собственные частоты системы понизятся по сравнению
с собственными частотами закрытой трубы, для которой
\gkl = oo и kl = (n + ~)n.
\ *1
Таким образом, отрицательный (упругий) реактивный импе-
импеданс понижает собственные частоты и эквивалентен как бы
увеличению размеров. Наоборот, при положительном (инерци-
(инерционном) импендансе на стенке собственные частоты, как это
следует из равенства E,56), повышаются, т. е. размеры сис-
системы как бы уменьшаются.
Произведем определение резонансной час?оты для трубы,
закрытой при х = 1 и оканчивающейся импендансом Zo при
х = 0, еще другим способом, применительно к вопросу
о влиянии передней полости на работу конденсаторного микро-
микрофона.
Рассмотрим действие звука на трубу, закрытую с одного
конца жесткой диафрагмой микрофона Zt и имеющую на от-
открытом конце фланец достаточно большой величины (рис. 29).
Граничный слой трубы будем считать за плоский поршень
площади S — Krl с импедансом
вычисляемым по формулам для поршневой диафрагмы (гл. 11).
Пусть на этот поршень действует сила ф, возникающая
под действием плоской звуковой волны с амплитудой давле-

ния /?о, падающей по направлению оси трубы. Для длинных
волн можно считать, что у стенки фланца и перед полостью
возникает пучность давления и, сле-
следовательно,
Импеданс на закрытом конце тру-
трубы Z/ будем считать очень боль-
большим. Скорость в конце трубы
t//\ Ф 2о/?0?'а)
К*) — "z^=~^—'
а давление
Величину Zol можно вычислить Рис* 29
из уравнения E, 42), предпо-
предполагая, что Z, ;> Zo и Z^Z-t J> Srfc*. Первое неравенство очевидно;
второе неравенство будет справедливо, если импеданс
Spc
Так как при низких частотах Zo
(см. гл. 11), то следует поставить требование, чтобы Zl^—^r%
т. е. импеданс Zt доллсен значительно превышать Spc, поскольку
величина
k-ri
может быть порядка 103 и больше.
При этих условиях из формулы E, 42) получим:
Zo/ ^ZA —~— / sin kl -j- cos kl
и, следовательно,
/ siSi" ft/1/?10"+/"(Ую-ctg ft/) 1 • ^5M7^
Предположим, что Rl0 = K10 = 0 (крайне низкие частоты); тогда
. 2/?0?/a)f 2рое1ы
Из этого соотношения ясно, что при
мы получим р([) = со и в трубе будет наблюдаться резо-
резонанс. Этот вывод соответствует элементарной теории трубы.
Самая низкая резонансная частота будет соответствовать п = 0
и / = Х/4, откуда
8 С. Н. Ржевкин
ИЗ

Получение при резонансе значения рA) =^со является резуль-
результатом пренебрежения сопротивлением излучения и затуханием
звука в трубе. Более точное выражение для условия резонанса
найдем из равенства E, 57), полагая
Этот вывод соответствует уже полученному ранее (см. E, 53))
Решение этого трансцендентного уравнения может быть
найдено графически для каждого конкретного случая. Напри-
Например, для резонанса цилиндрической впадины конденсаторного
микрофона (старого типа), для которого 1== 0,8 см и го = 2,б?Ж,
получаются две первые резонансные частоты:
/1 = 6670 гц и /2 = 32000 гц.
Первый резонанс соответствует значению Х = 6,35? вместо
X = 4/, как это вытекает из элементарной теории. Второй резонанс
прчти точно отвечает упрощенной теории fX = -j-/ j. При резо-
резонансной частоте давление в конце трубы (у мембраны микрофона)
p(/)=r /° ; сопротивление излучения является функцией
?г0, и при частоте 6 670 гц знаменатель будет равен j -0,41.
При первом резонансе получится \р{1) \ = 2,4-2р0, т. е. давление
в 2,4 раза больше, чем в полосе низких частот, где \р (I) \ = 2р0.
Передача энергии по трубам
Рассмотрим выражения E, 43) и E, 44). При условии kl=nn
п=1> 2, 3...) Z00 = (Z0-[- Zt) и Zol = (— \)п (Zo -f Zz).
Из этого результата ясно, что скорости 5@) и S(/) будут
равны по абсолютной величине. Условие kl = mz соответствует
резонансу в трубе. Таким образом труба, длина которой равна
целому числу полуволн, передает действие* силы как жест-
жесткий стержень и на большом расстоянии можно получить
ту же деформацию $(/), что и в точке приложения силы.
Условия передачи энергии в этом случае будут оптималь-
оптимальными. Импеданс нагрузки Zt как бы переносится в точку
действия силы и складывается с импедансом Zo поршня, непо-
непосредственно приводимого в движение силой ф. Подобный
эффект может отчетливо выявиться, конечно, лишь при малых
затуханиях р.
Константинеско * произвел опыты по передаче мощных колеба-
колебаний по трубам в воде, подобно передаче электроэнергии по прово-
проводам. Им были сконструированы приводимые в движение звуком
моторы, которые производили сверление камней.
* Mechanical properties of fluids. London, 1925, p. 321.
114

ГЛАВА 6
ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН В ТРУБЕ
Колебания внутри прямоугольного параллелепипеда
Рассмотрим прежде всего как более простой случай распро-
распространение волн в трубе прямоугольного сечения. В целях уяснения
метода решения вначале рас-
рассмотрим распространение волн
внутри объема, имеющего фор-
форму прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда с ребрами a, b, l по осям
х, yf z (рис. 30).
Волновое уравнение для си-
синусоидальных колебаний имеет вид
(см. гл. 1):
0. F,1)
Рис. 30
= 0.
На жестких гранях должны
удовлетворяться условия равенства
нулю нормальных скоростей:
дх
х = 0
X =
= а
= 0;
У —
У =
= 0
= b
= 0;
dz
г =
z =
= 0
-.1
Выражение для потенциала скоростей ЧГ, удовлетворяющее
этим граничным условиям, легко найдем расщеплением функ-
функции ? (х, у, z) на произведение трех функций только от х, у
и z. Частные решения будут иметь вид:
= Атпр • cos т — • cos п ~ • cos р Ц-,
F,2)
115

где
т
п [ = 0, 1, 2, 3...
Р
Обозначим:
Кт = J71 — , Кп = Я ^-, ftp = Р ~Т *
Функция Дт/ф • cos km x • cos &„j; • cos kp z называется фунда-
фундаментальной, или характеристической, функцией. Для замк-
замкнутых объемов иного вида, чем прямоугольный параллелепипед,
фундаментальные функции будут иметь другое математическое
выражение, форма которого зависит от вида ограничивающих
поверхностей и граничных условий на этих поверхностях.
Подставив выражение F,2) в уравнение F,1), получим
выражение волнового числа k через km kn и kp:
Ввиду такой структуры формулы для k будем далее обозна-
обозначать k через kmnp. Разделив обе части уравнения на kmnpt
получим:
Очевидно, что все три члена этого выражения должны быть
меньше единицы, или один из них может быть равен единице,
но тогда другие равны нулю. Введем обозначения:
m
a
-ш/т*
У ^
= COS a;
I b2 ' I2
Тогда вместо уравнения F,4) имеем:
cos2 a -j- cos2 p -j- cos2 T ==: !•

Из соотношения F,5) следует, что величины km kn и kp мо-
могут быть представлены геометрически, как компоненты неко-
некоторого волнового вектора kmnpi составляющего углы а, р, 7
с осями координат; абсолютная величина вектора | kmnp | =
Е_ ^тпр _ _!L дает волновое число.
с ктпр
Каждым трем числам т, п, р соответствует, таким обра-
образом, некоторое число kmnpf называемое собственным значе-
значением параметра k для данной задачи; через kmnp определяются
все возможные собственные частоты объема а • b • /, которые
выражаются формулой:
k _?_-,/"т2 , П2 , р2 (сс\
~ 2 у ?TjFT /Г- ^^
Конец каждого волнового вектора kmnp с компонентами ^т,
kn и ^ по осям координат, характеризующего собственную
частоту fmnp, представляет точку в трехмерном пространстве,
ограниченном условиями х^0} у^О, z^O (октант). Коле-
Колебания, определяемые собственными значениями волнового числа
kmnp, будем называть модой (т, п, р).
Нетрудно подсчитать (приближенно), какое число собствен-
собственных частот лежит в пределе от /=0 до частоты /. В про-
пространстве частот каждой из них соответствует вектор с ком-
компонентами ^~, п~^ь> Р'^Т- ^се пРостРанство частот можно
представить разбитым на прямоугольные объемы, составленные
из элементарных параллелепипедов с ребрами у~, -^т-, -^-.
Каждой собственной частоте соответствует вершина одного
из этих параллелепипедов. Таким образом, число собственных ча-
частот в интервале от нуля до / равно числу элементарных па-
параллелепипедов с объемом
где V= abl — объем параллелепипеда, собственные частоты
которого исследуются. Все собственные частоты в пределе
от 0 до / лежат в объеме октанта пространства частот
V'^— (_тс/3). Число собственных частот N при больших/
будет приблизительно равно:
Число собственных частот в интервале от / до/-J-Д/(при
117

Для примера подсчитаем число собственных частот помещения
объемом 1Л==5Х5Х4 м3 в интервале от 1000 до 1001 гц.
Это число оказывается очень большим: АЛ/'я«32.
Наименьшее значение собственной частоты будет соответ-
соответствовать волнам, распространяющимся параллельно наибольшему
ребру. Если 1^>а^>Ь, то при р = \, т = 0 и # = 0 получим:
ТС? j: С
oot ooiT И /оо1 = -,
что соответствует плоской стоячей волне по направлению
грани / с частотой основного тона закрытой трубы длины /.
Точно так же при т=1 и п=р = 0, (когда fm = ~Ay
и при п=\ и т=/? = 0,(когда /о1о = ~), образуются плоские
стоячие волны вдоль граней а или Ь. Для этих трех случаев
соответственно имеем: cos27=l, cos2a=l, или cos2p=l, т. е.
углы a, p и 7 имеют значения 0 или тс. В данном случае
/qoi \Zioo \ /ою-
Покажем, что и в общем случае, при некотором собственном
значении kmnp (при любых т,п,р), имеется комбинация плоских
волн, направление которых определяется различными сочетаниями
компонент km, km kp волнового вектора k .
eJ'kmx + e-Jkmx
Так как cos?m;c= ^ ' то> написав соответственные
выражения для cos knу и cos kpz, легко получить после преоб-
преобразования для потенциала скоростей фтпр сумму восьми выра-
выражений вида:
a — ^mnp у
Атпр VI У[со^— kmflp ^ * cos a Ijljycos p + ,г cros 7)]
тпр & g Л «>
Амплитуда может быть комплексная: Атпр = \ Атпр \eJ4?mnPi т. е.
каждая составляющая Фтпр имеет свою фазу <рт/гр. В выражении
F,7) величина
и = q= х • cos a q=j/ cos p =P ,г • cos т
есть длина вектора, направленного по нормали к фронту не-
некоторой плоской волны и равного по абсолютной величине
расстоянию от начала координат до плоскости фронта волны.
Из соотношения F,7) видно, что при каждом собственном
значении kmnp возможно восемь различных плоских волн соот-
118

ветственно восьми различным сочетаниям знаков в выражении
для и. Каждой из этих восьми волн соответствует другая,
имеющая прямо противоположное направление. Таким образом,
всего имеется четыре различных направления стоячих волн
внутри объема а • b • /.
Каждую из плоских волн, на которые мы разбивали соб-
собственное колебание моды (т, п, р), можно для краткости наз-
назвать „ лучом" (название „луча в данном случае не соответст-
соответствует понятию луча, как оно определяется в оптике). Звуковой
„луча с направляющими косинусами F,5), начинающийся в ка-
какой-либо точке грани, после ряда отражений от граней, описав
некоторый неплоский многоугольник, возвращается вновь в ту
же точку и начинает описывать тот же путь, причем длина
этого пути одинакова, из какой бы точки ни начинался
путь „луча", и равна целому числу длин волн. Отдельные
отрезки этих лучевых многоугольников составляются из „лучейа,
уравнения которых определяются выражениями вида F,7) с
различными комбинациями знаков.
Равенство путей, проходимых любым из „лучей", поясняет
физический смысл собственных значений параметра k = -?. Они
соответствуют определенным дискретным значениям частоты —
„собственным частотам" объема. Действительно, при одина-
одинаковых длинах каждый „луч", выходящий из любой точки объема
a-b-l под углом, удовлетворяющим условиям F,5), распростра-
распространяясь со скоростью Су вернется в исходную точку через один
и тот же промежуток времени Тт'пр. Этот промежуток будет
равен целому числу N периодов собственного колебания с ча-
частотой fmnp И ПерИОДОМ Ттпр\ ОЧеВИДНО, Tmnp=zImf-=- .
Общее решение для собственных колебаний любого вида
можно представить выражением:
^ С» ОО 00
<b(x,y,z,t)= 2 2 2 *mnl,(x,y,z)-e'«I'«*.
2 2 2 mnl,
m=0 /z=0 p=0
Распространение звука в бесконечной трубе
Предположим теперь, что одно из измерений параллелепи-
параллелепипеда, например /, становится бесконечным. Тогда мы приходим
к случаю распространения звука в бесконечной трубе с прямо-
прямоугольным сечением. Решение уравнения F,1) образуем из реше-
решений вида F,2), причем в каждом члене должны сохраниться
произведения функций cos^mx и coskny, так как тогда обе-
обеспечится равенство нулю скоростей на боковых гранях.
Ид

Предположим, что по оси z распространяется некоторое
волновое движение с волновым числом kp.
В общем виде возьмем решение уравнения в форме:
Ф(х,у,г,{)=
Подстановкой в волновое уравнение легко убедиться, что
в этом случае, как и для замкнутого прямоугольного паралле-
параллелепипеда,
К = Кт ~т~ Кп —р Кр.
Пусть на грани z = О имеется некоторое вынужденное рас- #
пределение колебательных скоростей вдоль оси z по закону:
с круговой частотой ы = кс, которая задается действием вы-
вынуждающей силы. В частном случае чисто стоячих волн <?(х,у)=0
или тт. Разложим функцию ^(х,у) в двойной ряд Фурье по
собственным функциям для колебаний в направлении, перпен-
перпендикулярном оси трубы, а именно по функциям cos кт х • cos кпу.
_ кк„у,
т=0п=0
где km= m^ и kn = n^. Коэффициенты атп определяются
выражениями вида:
а Ь
фо (х> У) eJ9 {x'y) • cos kmx • cos &„у • dx dy\
•о в;
a b
-cos kmx-dxdy;
I
0
> У) e& w • cos ^л
a b
F,9)
Если ср(х,у) = О или тс, то коэффициенты атп будут действи-
действительными; если ср(х,у)^О или тс, то — комплексными. В первом
случае на поверхности грани z==0 .задаются чисто стоячие
120

волны; во втором случае на поверхности задается движение
в форме бегущих волн. Если амплитуды взаимно-обратных бе-
бегущих волн равны, то получаются чисто стоячие волны. В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать процессы, вызванные чисто
стоячими волнами на поверхности z = 0, и будем считать все
атп действительными. Частную форму колебания в плоскости
начального сечения z = 0, определяемую числами т и п и ха-
Мода: 1,0
2,0
Рис. 31
3,0
рактеризуемую амплитудой атп, мы будем называть колеба-
колебаниями с имодой {т, п) „. Распределение осевых скоростей при
модах колебаний 1, 0; 2, 0; 3, 0 представлено на рис. 31.
На границе z = 0 скорость движения среды должна удов-
удовлетворять условию:
откуда найдем:
jkp
|
2 = 0
оо со
/1=0
m=0/i==0
Приравнивая коэффициенты при соответствующих по индексу
членах, имеем:
Втя = — . F,10)
тп jkp v J
Каждая мода колебания на грани z = 0 представляется
членом вида ситп cos &mx-cos kny, причем частота со одинакова для
всех мод колебания в данной задаче. Чтобы выяснить физичес-
физический смысл этого выражения, несколько преобразуем его:
cos kmx • cos kny = Zf±
I amn eJ(kmx-kny) I ?Шк
m

Первый член со вторым и третий с четвертым дадут в плоско-
плоскости 2 = 0 две'системы стоячих волн с одинаковой амплитудой.
Направляющие косинусы волновых векторов этих волн будут:
cos о! = -т4=='' cos Р' = '
Для одной системы стоячих волн берутся знаки (-{-, +) и
(—, —), для другой (+,—) и (—,+)-
Таким образом:
4
*тп
где k'mn= \fkm ~\-k% — волновой вектор, лежащий в плоскости
2 = 0 и принимающий направления, соответствующие одной из
четырех возможных комбинаций знаков в выражении F,11),
а и' = ±х cos о! ±у cos p' — отрезок, отложенный по направле-
направлению нормали к фронту каждой из четырех бегущих по плос-
плоскости z = 0 волн и равный по абсолютной величине расстоя-
расстоянию от начала координат до фронта волны. Углы а' и р' до-
дополняют друг друга до 90°. Две системы стоячих волн
в плоскости z = 0 будут пересекаться под углом 2а' = тс — 2р'
друг с другом. Длина волны на грани z = 0
Л
kmn
2/
где стп = — - з -2 имеет смысл скорости распространения
У а2 Ьг
ВОЛН ВДОЛЬ ПЛОСКОСТИ 2 = 0.
Мы видим, что для образования такого рода стоячих волн,
которые представляют отдельные моды колебаний на грани
2 = 0, скорость их распространения стп при заданной частоте
должна быть пропорциональна / и, кроме того, будет различна
для различных мод (т, п). Свободные волны изгиба реальных
пластинок и мембран не могут удовлетворять этому условию,
так как в мембранах скорость поперечных волн не зависит от
частоты и является постоянной величиной, а в пластинках она
растет пропорционально ]//. Таким образом, волны, соответ-
соответствующие отдельным модам колебаний на грани 2 = 0, могут
образоваться только в вынужденном режиме, при возбуждении
J22

специально распределенной в плоскости 2 = 0 внешней силой,
но при частотах, не обязательно равных собственным частотам
этих мод.
Ясно, что мы не могли бы произвести разложение функции
Фо (х> У) в РЯД> содержащий произведения функций cos km х на
sin к„у или sin kmx на sin k^y, так как тогда граничные усло-
условия на боковых гранях не удовлетворялись бы. Однако это
не значит, что реально скорости не могут быть распределены
по грани z = 0, например по синусоидальному закону. Так,
движение, близкое к синусоидальному распределению, получаю-
получающееся при основном тоне некоторой пластинки или мембраны,
натянутой поперек трубы, и при частотах ниже основного тона
, 7CJC . 7CV
и характеризуемое функцией sin — • sin ~, можно разложить
Рис. 32
в ряд по cos kmx • cos kny. В простейшем случае стоячей
волны, образующейся только по направлению оси х скорости
плоскости z = 0 распределены по закону sin ^. Разложение
в ряд по косинусам будет иметь вид:
2 4 о пх 4 , тис 4
%х
%х
Таким образом, движение составляется из постоянного члена и
ряда косинусоидальных компонент (рис. 32). Постоянный член
- возбуждает движение, соответствующее плоской волне, вдоль
оси z (мода 0,0).
Вообще для симметричного,относительно центра,распределения
скоростей имеют место только колебания с модами, определяемыми
четными числами ту п> а также с модой @,0); для несимметричного
распределения возникают моды с нечетными числами т или п
123

Колебание вида cos^-, таким образом, присутствует только
при несимметричном возбуждении в плоскости z = 0.
Функция sin ~ • sin *~, изображающая основное колебание
мембраны, разложится в ряд:
+ 16
9^
16 , 71Х
COS4
Каждый член разложения в ряд функции Ф в выражении
F,8) представляет бегущую волну с волновым числом kp, мо-
модулированную по фронту (перпендикулярно к оси г) по закону
cos kmx • cos к„у. Этот волновой процесс мы будем называть
волной моды (т,п). Часто эти волны называют также нормаль-
нормальными волнами с индексом\т,п) или типа (гп,п).
Выражение F,8) должно удовлетворить волновому уравне-
уравнению F,1). Это приведет, как мы уже видели, к условию F,3):
К Km \~ Кп ~Г~ Кр•
Однако в данном случае задано движение с частотой со на
грани z = 0, и, следовательно, k = ~ также задано. Это значит,
что величина kp для различных „мод" (т, п) может иметь толь-
только значения, определяемые условием:
-(kA + ki) -A™, F,13)
и не может выбираться произвольно, как в F,3). Ввиду этого
волновому числу следует приписать двойной, а не тройной ин-
индекс т, п, а вместо kp писать kmn.
Если k<^Xrkm-\-kn , то kp = kmn будет мнимо и фаза ко-
колебаний не будет зависеть от z\ от z будет зависеть лишь ампли-
амплитуда колебательного процесса. Возникает своеобразный про-
процесс неволновых колебаний, особенности которого будут разоб-
разобраны дальше.
Волновой процесс в трубе * возбуждается колебаниями с мо-
модой (т, п) на грани z = Q только при условии
ki + U или />' ^k? + ki. F,14)
124

Для каждой моды (т, п) существует, таким образом, крити-
критическая частота
cVkm+k% _ckmn_ с
_ckmn_ с т/^ . п* г
ниже которой волновой процесс в трубе не возбуждается. Эта
критическая частота соответствует частоте собственных коле-
колебаний (в направлении, перпендикулярном оси z) с модой (т, п, 0).
Согласно формуле F,6), частоты таких собственных колебаний
как раз соответствуют критической частоте F,14а). Наинизшая
из критических частот будет соответствовать колебаниям, па-
параллельным наибольшей грани прямоугольника ab [мода A,0),
если а^>Ь]. Если т и п не равны нулю, то колебания направ-
направлены под углом к граням а, Ь. Поскольку частота ш = кс, а сле-
довательно, длина волны \ = ~^- в нашей задаче задана, то
условие возникновения волнового процесса в трубе F,14)
можно сформулировать несколько иначе, учитывая соотношение
F,12):
>/^Т"^ = т2А, или С>Х.
Следовательно, волновой процесс с модой (т, п) может возни-
возникнуть в трубе только если длина волн, задаваемых на грани
z = 0 больше, чем длина волн X в среде, заполняющей трубу.
Можно обобщить этот вывод и сказать, что неоднородности
колебательного движения с масштабами меньшими, чем длина
волны X, не возбудят в трубе высших волновых мод. Только колеба-
колебательное движение с модой @,0), для которого &0'0 = 0 и Х0'о = оо,
всегда возбудит волну в трубе при любой частоте, так как
всегда будет соблюдено соотношение
Для каждой волновой моды (т, п) в F,8) получим выра-
выражение потенциала скоростей в виде суммы четырех членов:
Фтп {*,У> *> t) = -%- 2 ^^^^^ F,15)
4
При заданной частоте эта сумма будет представлять волну,
бегущую вдоль трубы (по оси z) и имеющую меняющиеся зна-
значения потенциала скоростей вдоль фронта волны. Скорость
такой волны по оси z равна:
125

т. е. она всегда больше скорости волн (с) в свободной среде.
Поскольку в сумму волн вида F,15) (при условии <р(х,_у) = 0
или тс) входят пары членов с обратными значениями знаков при
km и kni а амплитуды —~ для всех членов суммы равны, во-
возникает стационарное распределение амплитуд в плоскостях, па-
параллельных оси 2, т. е. стоячие волны. Волны типа F, 15) будут
амплитудно-модулированными по фронту, их часто называют
также неоднородными. Фаза потенциала скоростей (а значит и
звукового давления) при заданном z принимает лишь значения О
или тс; амплитуда волн модулирована при этом по закону
cos kmx • cos kny.
Вместо волн особого вида F,15), модулированных по фронту
и бегущих вдоль оси z с повышенной фазовой скоростью, го-
гораздо нагляднее рассматривать этот процесс как сумму пло-
плоских волн, распространяющихся под углом к оси трубы и по-
последовательно отражающихся от боковых граней. Косинусы
углов этих плоских волн с осями х, у и z определяются выра-
выражениями:
COS a = ± k~f; COS p = ± \;
cosf=-^p = l/ 1—па-2 = У1 — (c°s2a + cos2?); F,16)
Выражение F,15) можно представить в виде:
4
4
где u = zt х • cos a ± у • cos p — г - cos 7 есть расстояние некоторой
плоскости волнового фронта от начала координат. Для каждой
из* 4-х волн, характеризуемых величиной и, волновое число
будет равно j/^4 + k% + Ц = k\ следовательно, скорость их
распространения будет равна скорости звука с в свободной
среде.
Таким образом, если учесть все комбинации знаков в соот-
соотношении F,15), то волновая мода (т, п) представится суммой
четырех плоских волн или пучком четырех „лучей", которые
последовательно отражаются от четырех боковых граней трубы,
Волновое поле в каждой точке получается наложением этих
126

волн. Синус угла т этих плоских волн с осью трубы, как
видно из равенства F,16), определяется отношением длины
волны X к длине волны Утп, соответствующей данной моде
стоячей волны на грани z = 0. Интересную интерпретацию
этого выражения мы дадим ниже.
Член с коэффициентом ВОо в уравнении F,15) соответ-
соответствует значениям кт = кп = О и kmn = k\ кроме того, cos kmx =
coskny=l. Выражение для Фоо приобретает очень простой вид:
Ф00 = ДH eJ(<»'-k2)m Таким образом, коэффициент Боо определяет
ту часть волнового движения, которое распространяется в виде
плоской волны по оси z.
Рассмотрим частный случай, когда кт=?0, но кп = 0 и
стоячие волны на грани z = 0 образуется с фронтами, парал-
параллельными оси у (мода т, 0).
Тогда
= Вт0 cos kmx • еАы т
Д ЬЬ) F,17)
причем kmo = Yk* — k2m.
Закон движения на грани z = 0 будет иметь вид:
t = am0 • cos km x • ^W. В этом случае получим в трубе только
две плоские волны с волновыми векторами, лежащими в пло-
плоскости xz. Направление этих волн определится из соотноше-
соотношений:
F,18)
или
^kjn ь X
S ПТ~— A; ~ — Vm0 »
поскольку в данном случае \'m(f=~. Таким образом, угол -у
с осью ? будет равен -| — а.
Рис. 33 поясняет картину распространения волн. Если рассмат-
рассматривать звуковые волны как „лучи", исходящие под углом dbf
к оси из некоторой точки грани 2 = 0, то картину распрост-
распространения звука получим, строя последовательные отражения
этих лучей от боковых граней трубы. Ясно, что угол f может
меняться в пределах от 0 (при очень больших частотах к—>оо)
до ^ (при к = кт). Таким образом, с приближением к к km,
т.е. при стремлении длины волны к величине Х^о или частоты
127

к величине fmo=^ (что соответствует m-му обертону соб-
собственных колебаний закрытой трубы длины а), волны, моды
(т, 0) принимают все более косое направление. В пределе, при
/=/^о, получаются лишь стоячие волны в поперечном направ-
направлении (по оси х), и звуковая энергия вдоль оси z не течет.
о
Рис. 33
При моде колебаний, соответствующей начальному возбуждению
(на грани 2 = 0) вида oLm0cosm~, волны по оси z при часто-
частотах f<^fmo==Y распространяться не могут. Волновой про-
процесс ПОЯВЛЯетСЯ ЛИШЬ ПрИ f^>fmo ИЛИ \ <^ \'то-
Частоты fmn = ~ l/"— 4- п~ соответствуют резонансным ча-
*• У а2 ' Ь2
стотам для колебаний, направление которых перпендикулярно
к оси z, а углы с осями х и у определяются F,11).
Если колебания в плоскости z = 0 происходят не только
с частотой со, но и с обертоны ыми частотами Л/ш, то обертон-
ные волны будут распространяться при условии:
При п = 0 и т = 1 это условие примет вид:
F,19)
Следовательно, если /<Ст~ и волна основной частоты / не
может распространяться по трубе, то обертоны //V могут удов-
удовлетворить условию F,19) и будут распространяться.
128

Распространение волн в трубе как
дифракционный процесс
Каждая мода колебания на грани ab, изображаемая членом
вида Втп cos kmx • cos kny, может быть представлена в виде су-
суперпозиции двух систем стоячих волн, направление которых состав-
составляет углы а' и р' с осями х к у (см. 6,11). Поскольку стенки трубы
абсолютно жесткие, можно представить систему стоячих волн
продолженной за пределы сторон прямоугольника ab за счет
бесконечного числа отражений от граней. Тогда вся плоскость
z = О окажется покрытой двойной системой стоячих волн (рис. 34),
Рис. 34
нормали к волновым фронтам которых направлены под углами
± а' и ± §' к осям х и у. Таким образом, можно считать, что
граней а и b нет, но колебательный процесс внутри прямо-
прямоугольника ab точно воспроизводится как результат наложения
двух систем стоячих волн. Каждая из этих систем стоячих волн
будет излучать звук как безграничная синусоидальная дифрак-
дифракционная решетка с шагом \'тп-
Рассмотрим излучение звука дифракционной решеткой. Пусть
на плоскости ху вдоль оси х со скоростью <f распространяется
поверхностная плоская волна. Колебательная скорость в на-
направлении оси z может быть задана уравнением:
где
F,20)
Эту поверхностную волну можно рассматривать как бегущую
дифракционную решетку с синусоидальными бороздками. Пред-
Предположим, что звуковое поле, создаваемое этой решеткой в по-
полупространстве 2>0, имеет форму плоской волны, распро-
9 С. Н, Ржевкин
129

страняющейся под углом к плоскости ху со скоростью с, при-
причем волновой вектор лежит в плоскости xz и составляет угол
7 с осью z. Потенциал скоростей этой волны
(& = A(>j{u>t- X'ks\nf-zk<zos,-\) F,21)
Чтобы волна давала на плоскости z = 0 движения, соответ-
соответствующие уравнению F,20) нужно соблюсти граничное условие:
— ^1= Jk cos т - А • ^
OZ z=0
откуда
или
k'
Г ПО (АР
¦~ =хг- F,22)
Из полученных выражений явствует, что волна, возникающая
в полупространстве z^>0, аналогична дифракционному спектру
порядка (+1), для которого sin 7 = ;х'> спектр порядка (—1) не
возникает. Если на поверхности задана не бегущая, а стоячая
волна, уравнение которой
то в пространстве z^>0 мы должны предположить наличие
суммы двух плоских волн, причем для одной из них в волно-
волновом аргументе должно стоять выражение —Jksinf'X, а для
второй -{-jk sin 7 • х. Вторая волна будет соответствовать
спектру минус первого порядка, симметричному со спектром
плюс первого порядка по отношению к оси z.
Если длина волны \ в полупространстве z^>0 превышает
длину волны А на поверхности ху, то sin7> 1-
Тогда
130

Физический смысл в первом, экспоненциальном, множителе этого
выражения имеет лишь знак минус. Волновой процесс в данном
случае имеет характер плоской волны, распространяющейся
вдоль поверхности в направлении оси х со скоростью с\ причем
амплитуда волны убывает вдоль ее фронта с коэффициентом
затухания
Каждая волновая мода {туп), состоящая из двух стоячих волн
на плоскости z = О, создаст, таким образом, в трубе четыре
спектра; волны, соответствующие этим спектрам, составляют
углы 7 с осью z (см. формулу F,18)). Именно таким образом
мы можем интерпретировать четыре плоских волны (пучок из
четырех „лучей"), о наличии которых уже сделано заключение
ранее. В более сложных случаях, когда на грани z = 0 возни-
возникает ряд мод колебаний, волновой процесс в трубе состоит из
суперпозиции аналогичных четверных пучков плоских волн
с различными наклонами к оси z и осям х и у.
Затухающие моды колебаний
Посмотрим, какого рода движение в трубе получится, если
волновое число k'mn на грани z = 0 больше, чем k
Ктп === У &т "г* &п
В этом случае, очевидно, kmn мнимо; положим:
Тогда Фтп может быть представлено в виде:
х-смкяу.е''«. F,23)
В этом выражении следует учитывать лишь знак минус в экс-
экспоненте, так как колебательный процесс не может безгранично
возрастать при удалении от места возбуждения. Можно было
бы, конечно, написать Фтп в форме F,17), считая косинус
угла 7 с осью z, равный -^=у-^- мнимым, т.е. угол т— ком-
комплексным (как это делается в некоторых работах), но эта
интерпретация не дает никакой наглядности. Легко показать,
что в этом случае 7 = -^-— /arc sin ~-. Соотношение F,23) можно
представить в виде:
m Втп -^\ Л <*'-*(+*. cos a'±j/cos р'I
\

где углы о! и р' определяются формулой F,11). Мы имеем две
системы стоячих волн с направлениями волновых векторов
(определяемыми углами ± а', нь Р')> которые лежат в плоскостях,
перпендикулярных к оси z\ амплитуды же этих волн убывают
по мере удаления от начала по закон^ е~^. Таким образом,
комплексный угол т выражает факт возникновения системы
своеобразных стоячих волн, в которых фронты равной фазы
(идущие параллельно оси z) перпендикулярны к фронтам равной
амплитуды (идущим перпендикулярно к оси z). Для данного
случая более ясную картину получим непосредственно из вы-
выражения F,23). Оно показывает, что волнового процесса в
трубе в направлении оси z нет, и колебательное движение
происходит по всей длине трубы с частотой ш квазистацио-
нарно, т. е. повсюду протекает синфазно. Множитель e~*z по-
показывает, что амплитуда колебаний экспоненциально убывает
по мере удаления от начала трубы. Колебания в направлении,
перпендикулярном к оси z, представляют стоячие волны с ам-
амплитудой, постепенно убывающей по мере возрастания z.
Направление колебательных движений в плоскостях, перпен-
перпендикулярных к оси 2, будет определяться той двойной систе-
системой стоячих волн, волновые векторы которых определяются
углами ztar,ztp', согласно формуле F,11).
Рассмотрим, каковы будут линии тока в трубе в том случае,
когда kn === 0. Из уравнения F,23) найдем, что компоненты ско-
скорости движения по осям х и z равны:
t дФт0
С — qx —
? = _*§*•= !хВт0 ег" cos kmx • в**,
а р =/о)рФто=/и)р Вт е~** • cos^x • e/W. Звуковое давление,
таким образом, отличается по фазе от скорости частиц С на -^ .
Это значит, что поток звуковой энергии по оси z равен нулю.
Величины idt=dx и tdt = dz представляют проекции на оси
х и z элемента линии тока частицы. Разделив С на S получим'.
dz fx . r
~-j—— ~- Ctg kmX.
dx km ъ т
Интегрируя это выражение, найдем уравнение линий тока:
т
Легко видеть, что С есть координата z точки, в которой дан-
данная линия тока пересекает ось z в пучности стоячей волны,
132

где kmx = Bп -f-1) ~2~; это соответствует значениям х =
= -^-Bп-\-\). Линии тока при kn = 0 и km = 2 (мода 2,0)
будут иметь форму, изображенную на рис. 35. Линии тока
замыкаются между двумя соседними колебательными зонами
на грани 2 = 0, разделенными узловыми линиями. Чем дальше
от начала трубы, тем реже становятся линии тока. Это озна-
означает, что скорости частиц убывают по мере удаления от гра»
ницы, на которой происходит возбуждение колебаний.
Рис. 35
Как было показано выше, критическая частота, ниже кото-
которой невозможно распространение волн данной моды (т, п)
определится из выражения F,14а). Наиболее низкая частота
из всех критических частот определяется наибольшим размером
трубы а и соответствует колебательной моде A,0):
f __
J i° ~ 2а •
Если в начальном сечении трубы происходит идеальное „плос-
„плоское" или „поршневое" колебательное движение по оси z, то
это соответствует моде @,0). При этой моде колебания вол-
волновое число k' =&oo всегда больше нуля и по трубе распро-
распространяется плоская волна при любой частоте (cos 7=1; 7=0)*
Если движение в начальном сечении z — 0 неоднородно, то
эта неоднородность (в поперечном направлении) будет суще-
существовать и дальше, причем она будет передаваться вдоль оси z
по-разному в зависимости от масштаба неоднородностей воз-
возмущения в начальном сечении.
Так, например, неоднородности, выражающиеся модой коле-
колебания A,0), при частотах f<Cf[0 =~<^~ с УДалением от начала
ослабевают и притом тем сильней, чем больше \х> т. е. чем
ш

меньше частота /. При f=f[0 = ~ неоднородность этого типа
совершенно не затухает и распространится по всей трубе.
При f^>^u0 трубе побегут косые волны с углом наклона
к оси Zy определяемым выражением F,16), и существующие
в сечении z = 0 неоднородности также распространятся по
всей трубе.
Неоднородности, более часто меняющиеся по х и у (напри-
(например, т = 2,3...), будут давать потоки, коротко замыкающиеся
до более высоких частот, чем при т=\, а именно до частот
f20 = 2 ~, /д0 = 3 -^ и т. д. Волны начнут распространяться
по трубе лишь выше этих более высоких критических частот.
Указанные рассуждения можно изложить несколько иначе.
Предполагая, что частота / и распределение скоростей в началь-
начальном сечении $0(х, у) заданы, можно сказать, что из всех воз-
возможных мод колебания будут распространяться только такие,
для которых fkp=fmn =\у ~?~ + -|г"</• Более высокие
моды, для которых fkp^>f или \'тп (на плоскости z=0)
меньше, чем X в свободной среде, будут затухать вблизи от
начала. Таким образом, мелкомасштабные изменения в движении
на плоскости 2 = 0 не будут передаваться вдаль.
При частоте меньшей, чем самая низкая критическая час-
частота, соответствующая моде A,0) колебания всех высших мод,
за исключением моды @,0), волн в трубе не дадут и будут
затухать вблизи начала. Каким бы сложным ни было движение
в начале трубы, при частоте /<С/ю оно выродится по мере
распространения в плоскую волну по оси трубы. Однако при
наличии обертонов с частотами Nf, как уже говорилось выше,
волны высших мод могут возникнуть.
Применение теории
Развитые выше соображения имеют большое значение для учета
особенностей распространения звука в трубах. Если для изме-
измерительных целей надо создать плоскую волну в трубе (напри-
(например, в акустическом интерферометре), то при низких частотах
всякие неоднородности возбуждения начального сечения (^ = 0)
не будут играть существенной роли. Колебательные движения
высших мод, возникшие в трубе, для которых т ^> 0 и п ]> 0, будут
очень сильно ослабевать по мере удаления от начала и на не-
некотором расстоянии от источника (например, громкоговорителя,
приставленного к трубе) останется только плоская волна с
модой @,0), вызываемая суммарной объемной пульсацией, да-
J34

ваемой источником. Так, например, в трубе размером 15 X
наинизшая мода для неоднородных колебаний получится при
/10 = ' ' =ЦЗО гц. Коэффициент затухания волны при ча-
частоте / меньшей чем fkp будет равен
Если в начальном сечении возбуждение происходит несим-
(а Ь \
метрично относительно средней точки (о^уь то сильно выра-
выражены будут моды колебаний A,0) и @,1). Возьмем напри-
например, случай т—\ и п = 0. При частоте /=/10=1130 гц
jx = O, т. е. всякая неоднородность с модой A,0) распростра-
распространится на всю трубу. При /="^ = 565 гц получим уже ja =
= 0,18 см'1 у т. е. колебательный процесс затухнет на расстоя-
расстоянии метра в е°'18.1ОО=е18я^5-107 раз от начальной величины
и практически будет незаметен. Даже при /=1100 гц мы по-
получим [х = 0,05?ЛГ1 и затухание составит е5я^140 раз на 1 м.
Однако, если возбуждающий звук имеет обертоны, то те же
неоднородности на частотах обертонов могут создать силь-
сильное искажение плоского звукового поля в трубе. Так, на-
например, 2-й обертон от 565 гц с частотой 2X565= ИЗО гц и
с модой колебания A,0) уже будет иметь [л. = 0 и даст не-
неоднородность по всей трубе.
При желании внести затухание звука в трубах, например, в
каналах вентиляции, сразу же можно сказать, что весьма целе-
целесообразно помещение звукопоглощающих веществ на боковые
стенки, так как это будет очень сильно ослаблять все высшие
моды колебания, распространяющиеся под углом к оси трубы,
но на плоскую часть волнового движения в трубе (мода 0,0)
этот материал влиять не будет, так как плоская волна не дает
компонент скорости, нормальных к боковым стенкам. Чтобы
вызвать ее затухание, необходимо любым способом нарушить
плоский фронт волны. Повороты трубы, а также установленные
в ней выступы, экраны и т. п. вызовут образование высших
волновых мод; часть энергии плоской волны будет передана
этим волнам и поглотится на боковых стенках при наличии на
них звукопоглотителя.
Развитые нами соображения существенны, в частности, для
понимания работы ультразвукового интерферометра Пирса. В этом
приборе пьезокварцевая пластинка, работающая в условиях са-
самовозбуждения колебаний в ламповой схеме, излучает волны в
трубу, снабженную плоским передвижным рефлектором. При
резонансе столба жидкости или газа, когда на длине трубы ук-
укладывается целое число полуволн, и на поверхности кварца об-
135

разуется максимум давления стоячей волны, труба оказывает
сильную реакцию на автоколебательную схему, что приводит к
ослаблению колебаний, и гальванометр в анодной цепи дает
резкие минимумы тока. Интерферометр Пирса дает возможность
измерить длину волны, а следовательно, и скорость звука.
Подобная картина получится при „поршневых" колебаниях
кварцевой пластинки, когда она излучает плоские волны. Но
в кварцевых пластинках обычно возникают волны изгиба, ин-
интенсивность которых зависит от характера возбуждения и от
соотношения ширины и длины пластинки с ее толщиной*. Эти
волны изгиба создадут высшие моды колебаний, дающие в тру-
трубе косые волны, для которых длина волны по оси трубы уже
не будет равна Х=4-, а вычисляется в зависимости от вели-
величин т и п по формуле
^ 2тс \
и будет больше X. Высшие моды возникают также, если пор-
поршень имеет площадь, меньшую площади трубы.
Возникающие косые волны дадут резонанс при длине трубы
4. Эти дополнительные резонансы могут исказить основ-
ную картину максимумов и
минимумов в интерферометре
и привести к ошибкам изме-
измерения**.
Если в среде, заполняющей
трубу, имеется затухание, то
волны моды (т, п), кроме моды
(о,о), при частоте, близкой к
критической, но больше ее, рас-
распространяясь путем ряда от-
отражений под углом с осьютру-
бы,проходят значительный путь
по зигзагообразной линии и да-
дадут большее кажущееся зату-
хание на единицу длины трубы.
С помощью разобранной те-
теории можно исследовать про-
прохождение звука в трубе с заворотом. Точное решение этой
задачи сложно и мы рассмотрим вопрос лишь качественно. По-
Положим, что квадратная труба со стороной а имеет заворот под
прямым углом (рис. 36) вдоль оси х. В зоне заворота возни-
* С. Н. Р ж е в к и н. ДАН СССР, т. XVI, №5, 1937, стр. 267.
** Krasnooshkin. Journ. of Physics, VII, p. 80, 1943.
\ ¦
а
1
А
Г д
1 1 1 1
н*н
1 1 1 1
мм
I'M
Рис. 36
136

кает сложная картина дифракции, в результате чего в сечении АВ
возникает некоторое распределение скоростей по закону ф0 (У, z)>
которое и определяет характер излучения звука вдоль бесконеч-
бесконечной трубы по оси х. В первом приближении можно считать,
что в зоне заворота возникнут стоячие волны при дтражении
от плоскости BD, и в сечении АВ распределение скорости по
оси z будет определяться законом:
i(z) = A- cos р y = А • cos kz.
Волновое число k= -^=р~ = -5L и> следовательно: р к- = а,
т. е. р — число полуволн, укладывающихся на отрезке АВ. Час-
Частота связана с р соотношением /= |р * Вообще говоря, р не
целое число. Можно написать:
ОО +
где 1я = 0, 1, 2, 3...
Если р — целое число т, то возбуждение в сечении АВ
соответствует колебательной моде (т, 0); при этом:
sinr= ~г=—1-^=1,
т. е. т = 90°, и во всей трубе установится система стоячих
волн, фронты которых направлены вдоль оси х. Эти волны
являются продолжением за заворотом трубы системы волн, воз-
возбуждаемых в части трубы ABCD. Если р — не целое число,
то воспользуемся известным из теории рядов Фурье соотноше-
соотношением*:
F,24)
n | Р«»*а ^cos2f [ ... [
Наибольшую амплитуду в этом ряде имеют дяа члена, для
которых п есть ближайшие к р целые числа, а именно (т) и
{т-\-1). Критические частоты для мод (т, 0) и (т-\- 1,0) будут
(+Jllt Волна моды (л*+1,0) не будет
распространяться по трубе, и возникшие колебания будут затухать
вблизи начала, так как для них частота меньше критической
частоты данной моды /=/? -^ <С (т + 1) -^ • Волна моды (т, 0),
* И. М. Рыжик. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений.
Гостехиздат, М., 1951, стр. 54
137

наоборот, будет распространяться, так как для нее f=p <^>
^>т'~ . Моде (яг, 0) соответствуют волны под очень большим
углом к Ъси трубы (почти 90°). Другие члены ряда F,24)
вследствие малости играют незначительную роль, и волновой
процесс близок по характеру к системе стоячих волн, фронты
которых расположены вдоль трубы (по оси х). Если р=1,
то / = 2~~ и сильнее всего возбудится первая мода колебаний
A,0). Процесс будет заключаться в колебаниях от одной стенки
трубы к другой; на него будет, конечно, наложена еще и пло-
плоская волна (мода 0,0).
При /?<^1, когда по ширине трубы укладывается лишь
малая часть длины волны, вся сумма F,24) будет стремиться
к единице и ?*=*=* Д т. е. получится чисто поршневое движение,
и за заворотом возникнет плоская волна моды @,0). Таким
образом, чем меньше частота, тем легче волны будут прони-
проникать за заворот трубы.
Отражение на завороте будет тем меньше, чем больше
длина волны по сравнению с а, однако небольшое отражение
наблюдается всегда и волна после заворота будет слабее, чем
до него.
Затухающие колебания с высшими модами, возникающие
возле заворота, дают местное поле скоростей, обладающее неко-
некоторой кинетической энергией. Эта энергия, очевидно, отнимается
от основной плоской волны в момент установления колебания.
Следовательно, завороты как бы эквивалентны появлению некото-
некоторой „ присоединеннойи массы. В электрической линии это ана-
аналогично включению последовательно ряда индуктивностей (пупи-
низированная линия).
Вышеизложенные выводы не являются строгими и лишь
качественно позволяют составить представление о ходе явления.
Заключение о более свободном прохождении волн низкой час-
частоты по трубе с заворотами прекрасно подтверждается опытом,
так же как и сильное ослабление волн высокой частоты.
Из развитых нами соображений ясно, что слой пористого
материала (например, ткани), поставленный посреди трубы, вдоль
ее оси, после заворота будет интенсивно поглощать звуковые
волны, соответствующие всем высшим модам колебания (т ^> 0,
/г]>0), возникшим в результате действия заворота. Таким об-
образом, поглощающий слой, 'натянутый вдоль трубы и не зани-
занимающий никаких добавочных габаритов, в сочетании с заворотом
будет являться эффективным звукопоглотителем. Ясно также,
что плоская волна после заворота отдает часть энергии высшим
волновым модам, для которых скорость частиц имеет компо-
138

ненты, нормальные к стенке трубы (за заворотом). Ввиду этого
звукопоглощающий материал, помещенный на стенке в области
заворота, действует более эффективно, чем в прямой части, где
идут плоские волны.
Цилиндрическая труба
Рассмотрим распространение звука в цилиндрической трубе.
Волновое уравнение для функции ЧГ может быть выражено
так:
где ср — азимутальный угол.
Производя разделение переменных по методу Фурье, найдем
частное решение этого уравнения в форме:
ЧГР (r,z,<?) = [A'pJpM + BpN/yr)] [A; cosp cp + В"р sinp cp] X
В этом выражении Jp и Np — бесселева и нейманова функции
порядка р от аргумента vr; v — волновое число, значение кото-
которого, как выяснится далее, определяется граничными условиями
на боковых стенках трубы. Поскольку на оси трубы W должно
быть конечно (а Л/р@) = — со), необходимо положить В'р == 0. По-
Порядок р бесселевой функции, очевидно, может быть равен только
целому числу или нулю (р = 0, 1, 2, 3 ...), так как иначе функции
cos/? ср и sin/7 cp, а значит и Wp не будут однозначны. Кроме того,
в бесконечной трубе решения, содержащие множитель е ^k2 ~v2 *,
очевидно, входить не должны, так как отраженных волн не
будет. Вводя множитель eja>t и объединяя АР) Ар, А'р в одну
постоянную Ар, a BPi BPi В'р" в постоянную Вр, получим частное
решение волнового уравнения в круглой трубе:
) = (Apcosj
+ Bp sinp ср)Ур
=CpJp(vr) Cos(p9-b) e ** -VRS"va z\ F,25)
где
p p Ap
Величина cos (pep — cpp) показывает, что имеется ряд азимутов %
определяющих некоторые диаметральные плоскости, в которых
Ф/? = 0, а значит равно нулю и звуковое давление. При /7 = 0
139

Фр и —^- не зависят от ср и таких плоскостей нет. При р =• 1
образуется одна узловая плоскость (при cp = cplZty). Скорости
колебаний в направлении оси z в двух половинах трубы, раз-
разделенных этой плоскостью, будут в каждом сечении, перпен-
перпендикулярном к оси, противоположны по фазе. При р =» 2,3... об-
образуется соответственно 2, 3 и т. д. узловых плоскостей, рас-
расположенных на равных угловых расстояниях друг от друга.
Вообще говоря, р означает число узловых диаметральных
плоскостей, по которым звуковое давление и осевая скорость
колебаний в трубе равны нулю.
На стенках трубы при г=г0 радиальная скорость должна
быть всегда равна нулю:
дФр
дг
= 0.
Это условие приводит к уравнению:
у; (vre) = J'p (у) = 0, F,26)
которое определяет частоты собственных колебаний в направ-
направлении, перпендикулярном к оси трубы. Собственные частоты
определяются через корни ур уравнения F,26):
f ==—V = ° V
jp 2п р 2пг0 ур'
В интервале от нуля до (/г-{-1)-го корня (принимая 0 за первый
корень уравнения Jp(y) =¦()), очевидно, лежат еще п корней
того же уравнения. В том жз интервале, как легко убедиться
Рис. 37 а
из рис. 37а и 376, лежат п корней уравнения Jp(y) = 0) каж-
каждый из которых определяет внутреннюю узловую цилиндричес-
цилиндрическую поверхность (с радиусом г<^г0), на которой vz = 0. Корни
уравнения Jp(y) = 0 обозначим, кроме р, еще вторым индексом
п, который указывает число внутренних узловых цилиндров.
Таким образом, параметр v приобретает двойной индекс р, п.
Уравнению У^(у) = 0 всегда удовлетворяет корень J/ —0, соот-
140

ветствующий значению параметра v, которое обозначим через
v00; таким образом:
voo=:O и /00 = 0.
Каждая пара чисел ру п определяет некоторую волновую
моду, распространяющуюся вдоль всей длины трубы без изме-
изменения.
Рис. 37 б
Значения первых корней уравнения F, 26) при р = 0, 1, 2
и л = 0, 1, 2 даются в табл. 4.
Таблица 4
^"^\^^ Число узловых
Число узловых ^^^^^^
диаметров р ^^^^^^^
0
1
2
0
0
1,84
3,05
1
3,83
5,33
6,70
2
7,01
8,54
9,96
Если волновое число k в формуле F, 25) больше, чем vpm
то волновое число \/k? — у2рп (определяющее длину волны в
направлении оси 'трубы) будет вещественным, и в трубе воз-
возможно распространение волн с амплитудой, модулированной
по фронту соответственно функции Jp (ypnr) • cos (p<? — <рр). Если
волновое число k меньше, чем vp/I, т. е. f^^Vk* — vp«
то
волны с модой (р, п) возникнуть в трубе не могут, и процесс
ограничится местными колебаниями, происходящими во всех
точках синфазно и затухающими по мере удаления от начала
трубы.
Все волновые моды, кроме моды @,0), не могут быть
представлены в форме плоских волн, наклонных к оси трубы,
как это имеет место в прямоугольной трубе.
Рассмотрим характер движения для первых, простейших по
форме мод колебания. Мода @, 0), определяемая корнем у = 0,
141

соответствует отсутствию узловых плоскостей и узловых ци-
цилиндров; кроме того, /0@)=1 и потенциал скоростей прини-
принимает вид:
Это уравнение плоской волны, бегущей по положительному
направлению оси z. Волновая мода @, 0) соответствует поршне-
поршневому движению в начальном сечении трубы, и вся элементар-
элементарная теория распространения волн в трубе, развитая в преды-
предыдущей главе, относится только к волнам с модой @, 0).
Если /7 = 0 и я = 1, то образуется один узловой цилиндр,
а узловых плоскостей нет. Колебания симметричны относитель-
относительно оси. Потенциал скоростей
Осевая скорость vz будет пропорциональна Л(% г), а ради-
радиальная vr пропорциональна /<з(% г). Для пояснения картины
колебаний на рис. 38 показан ход функций /o(v) и Jo^Q1r).
Из чертежа видно, что радиус узлового цилиндра Го опреде-
определится значением первого корня уравнения /o(voi^) = O, который
равен 2,40:
, 2,40 " 2,40
1 Q/t
Радиальная скорость максимальна при Го = ^— = 0,48г0; при
г=0 и r—rQ она равна нулю.
142

Для /7=1 и п = О получится одна узловая плоскость, а
узловых цилиндров не будет. Потенциал скоростей для этого
_, Jf(»ioV
4
1=0
Рис. 39 а
случая запишется в форме:
Ф10 = Л10Л (v10r) cos (cp — p)
Осевая скорость будет пропорциональна Л (vlor) cos (<p — <pi),
а радиальная — У! (v10r) cos (cp — ср^. На рис. 39 а показано рас-
распределение осевой и ради-
радиальной скорости по линии,
перпендикулярной к узло-
узловой плоскости ср = <рх,
ср ===== ср! —(— -тс. На рис. 39 б
показана картина линий то-
тока в плоскостях, перпенди-
перпендикулярных к оси трубы.
Общее решение волно-
волнового уравнения предста-
представится в виде суммы част-
частных решений вида F,25):
= 2 21
Рис. 39 б
где р, /г = 0, 1, 2, 3...
Для определения числовых коэффициентов Арп и Врп в ха-
характеристических функциях нужно, как и в прямоугольной тру-
143

бе, задать некоторое распределение скоростей в начальном се-
сечении
Функцию фо (Л?) можно разложить в двойной ряд по фундаменталь-
фундаментальным (характеристическим) функциям данной задачи:
оо оо
4*0 (г, <р) = 2 2 (V • cos pep -f ppre sin pep). У (v г). F,27)
p = 0 rt =0
Коэффициенты ар/г и рр/г вычисляются по формулам *
г0 2тс
; J $tofr<p)^(vpnr)cos/><p
С ° Г
F,28)
где
= 2 [Jp GРяЛв) — Л-i (
i r v& 11 / / л
= 2 L p5— J "-1 (v"re °)-
При выводе этих формул используются следующие соотно-
соотношения из теории бесселевых функций:
J\(z)zdz = z~[Jl(z)-Ур_,(z
'].
F,29)
определим анало-
Из граничного условия ^@)=—^~
гично F,10) коэффициенты Ар и Вр ряда F,25) при различных
значениях дополнительного индекса п:
Лпи
* См. Ф. Морз. Колебания и звук, гл, V, § 19. Гостехиздат, М., 1949.
144

Если возмущение в сечении z = 0 симметрично относитель-
относительно центра, то в разложении F,27) присутствуют колебания
с модами (ОД), @,2), @,3) и т. д. При частотах, для которых
3 83 2 07 • 104
?>v01, где vol = -^- или/>/01 = —L— (в воздухе), будет
го 'о
иметь место волновое распространение звука с модой @,1). При
частоте f=fn вдоль всей трубы разовьются интенсивные
резонансные колебания с модой @,1), амплитуда которых окажется
по формуле F,30) бесконечно велика, так как в формуле не
учтено поглощение в воздухе и потери энергии через стенки,
Однако, учитывая малость этих потерь, можно ожидать весьма
интенсивных колебаний с модой @,1) при /=*/w. При /<С/0|
волнового процесса с модой @,1) получиться не может; коле-
колебательное движение этого типа будет затухать по мере удале-
удаления от начала. Движение произвольной формы, симметричное
относительно центра, когда в разложении F,27) присутствует
отличный от нуля постоянный член, соответствующий моде @,0),
вызовет возбуждение в трубе волн с постоянной амплитудой
скорости по сечению, распространяющихся со скоростью звука
по оси трубы при любой частоте, так как в этом случае всегда
будет № — vjjo = ?^>O. Такой постоянный член отсутствует
только в том случае, когда колебание в начальном сечении
точно соответствует бесселевой функции какого-либо порядка р.
При несимметричном возмущении в начальном сечении в раз-
разложении F,27) будет обязательно присутствовать член с мо-
модой A,0). При частоте /ю = ^10^^— (в воздухе) в трубе воз-
возникнут резонансные колебания в поперечном направлении. Эта
частота является примерно в 2 раза более низкой, чем /01.
В трубе с диаметром 10 см поперечный резонанс этого рода
наступает при частоте около 2000 гц. Так как в реальных
условиях достичь симметричного возбуждения колебаний в трубе
довольно трудно, то обычно мода A,0) всегда появляется в раз-
разложении функции Ф0(г, ср) при частотах, близких к /ю; поэтому
следует ожидать сильного искажения картины плоских волн
(с модой 0,0) за счет возникновения волн с модой A,0). При
частотах />/ю в трубе начнут распространяться волны с мо-
модой A,0), но амплитуда их будет невелика, поскольку резонанс
очень острый. Таким образом, получение плоской волны с мо-
модой @,0) возможно даже и выше частоты /10.
10 С. Н. Ржевкин

ГЛАВА 7
ТЕОРИЯ ЗВУК0ПР0В0Д0В
Остановка задачи расчета звукопроводов
В этой главе мы рассмотрим приближенную теорию расчета
сложных звукопроводов, дающую, однако, в большинстве слу-
случаев достаточно точное решение ряда задач, интересных для
практики. Эта теория строится по аналогии с теорией электри-
электрических линий и сводится к замене отдельных звеньев звуко-
провода некоторыми элементами с сосредоточенными постоянными
(элементы упругости, массы или трения) или отрезками прямо-
прямолинейных труб, в которых распространяются плоские волны.
Такая трактовка допустима, как можно показать, исходя из
более строгих решений, при условии, если размеры отдельных
элементов и диаметры труб, по которым распространяются
волны, будут малы по сравнению с длиной волны. Элементы
в форме труб переменного сечения, связывающие отдельные
объемы или служащие переходом от труб одного сечения
к трубам другого сечения, нами не рассматриваются. Все из-
изменения сечений между элементами предполагаются происхо-
происходящими скачками; это не дает существенных погрешностей
в результатах, если длина переходной части мала по сравнению
с длиной волны. Попытка приближенного расчета переходных
элементов в форме конусов проведена в книге Стюарта и
Линдсея*. Полученные решения имеют достаточно сложную
форму и их трудно применять на практике. Однако в этих
решениях принципиально не учитывается присоединенная масса,
возникающая при изменении сечения. Это их существенный не-
недостаток и в ряде случаев предпочтительнее пользоваться ре-
решениями для скачкообразных изменений сечения, где удается
* G. Stewart and R. Lindsay. Acoustics. London, 1931.
146

рассчитать присоединенную массу и учесть ее влияние на ход
процесса.
Все расчеты будут вестись по методу определения импе-
импеданса на входе системы, а также переносного импеданса, пред-
представляющего отношение силы, действующей на входе системы
к скорости, получающейся в каком-либо элементе системы.
Знание входного импеданса позволяет учесть отражение и по-
поглощение звука, а также рассчитать излучение энергии и учесть
Рис. 40
влияние нагрузки звукопровода, когда он присоединен к неко-
некоторому источнику (телефон, искусственное ухо и т. п.).
Возможно построить общий метод расчета звукопроводов, со-
состоящих из соединения различных элементов (рис. 40): отрезков
труб различного диаметра, промежуточных объемов, перегородок
с отверстиями (?), элементов трения (Z)) (в форме тонких каналов
или пористых слоев), боковых ответвлений (F,G,H), ведущих
в полости или трубы и т. п. Для этого придется прежде всего
найти приемы расчета импеданса отдельных элементов слож-
сложного звукопровода.
Отражение от конца трубы, закрытого жесткой стенкой
с отверстием, имеющим некоторый импеданс
Пусть звуковая волна падает на конец трубы, закрытый
жестким экраном, в центре которого расположено отверстие
площади а с механическим импедансом Z^ (рис. 41).
Отражение от конца трубы дает сложную дифракционную
картину вблизи отверстия. Строгое рассмотрение этого явле-
явления может быть проведено на основе теории неоднород-
неоднородных волн (гл. 6). Здесь мы ограничимся указанием, что для
труб, диаметр которых гораздо меньше длины волны, уже на
небольшом расстоянии Д/<^Х от отверстия отраженная волна
делается плоской; линии тока изобразятся в этой области пря-
прямыми, параллельными оси трубы. Все волны другого вида,
возникающие в результате отражения и в сумме дающие кар-
картину дифракции, затухают очень быстро вблизи отверстия и
вдаль не распространяются.
10» 147

Вблизи прямоугольного отверстия со сторонами а и ft, рас-
расположенного в центре перегородки, стоящей поперек прямо-
у угольной трубы, происходит
х=0 %г сгЕ9 выравнивание неоднородности
поля скоростей. Действительно,
скорости в плоскости перего-
перегородки в первом приближении
можно задать в форме постоян-
постоянной величины в зоне отверстия
и равными нулю по поверхности
перегородки. Такое распределе-
распределение скоростей возбудит, колеба-
Рии. 41 ния с модами @,0); B,0); @,2);
B,2); B,4); @,4); D,0) и т. д.
Колебания с модой @,0) будут распространяться вдоль трубы
в виде плоской волны. Колебания с более высокими модами
будут затухать вблизи начала с коэффициентом затухания
В квадратной трубе со стороной а для моды B,0) или @,2)
(наиболее интенсивных) получим:
При соблюдении условия
Н а расстоянии х = а произойдет затухание (по амплитуде
в ?2*я«500 раз; на расстоянии ^—приблизительно в 8 раз и
на расстоянии у^ — в два раза. Таким образом, затухающие ко-
колебания с высшими модами дадут искажение плоского поля
лишь в самой ближней к отверстию зоне.
Ввиду вышеизложенного для падающей и отраженной волны
скорости и волны давления примем выражения в форме пло-
плоских волн:
t — кх)
У (»/+**) •
e ; l =
64 = — в
Начало координат (х = 0) выберем в точке, лежащей на малом
расстоянии А/ от отверстия, где отраженная волна уже может
148

считаться плоской. Учитывая малость отрезка А/ по сравнению
с а, можно считать, что давление при л; = 0 будет равно дав-
давлению Ре у входа в отверстие с импедансом ZCT; при этом мы
допускаем, что скачок давления на неоднородной части поля
отсутствует *
Пб
уу
Приближенно положим:
G,1)
Среду в слое А/ малом по сравнению с X можно считать не-
несжимаемой. Тогда
cL G,2)
Кроме того, механический импеданс
7 фа
?«
Подставляя в соотношении G,1) и G,2) значения
МО)Л(О), ргф), i @) и р„ получим:
«о + а1 = аЬ
Из этих уравнений можно найти — и —. Коэффициент отра-
отражения волны давления
Z' ° Z^ Soc
Гр-ао~
Из полученного выражения заключаем, что механический импе-
импеданс Za в отверстии а, расположенном на конце трубы пло-
площади S, создает механический импеданс Zt на конце трубы:
где a==S#
Это соотношение показывает, что при пересчете механического
импеданса с сечения а на сечение S нужно увеличить импеданс
в отношении 6^/а2. Величину и можно рассматривать как коэф-
коэффициент трансформации некоторого механического транс-
* Этого допущения, строго говоря, делать нельзя. Такой скачок дав-
давления будет иметь место, и мы покажем далее как его учитывать, добавляя
некоторую величину к импедансу отверстия.
149

форматора, аналогичного электрическому трансформатору, вклю-
включенному на конце линии и имеющему отношение витков а/6*.
Важно отметить, что акустический импеданс в отверстии,
равный Za/a2, и эквивалентный акустический импеданс, пере-
у 7
считанный на площадь <У и равный Zt== -- = ¦—, равны, так
как давления и объемные скорости при трансформации остаются
неизменными и их отношения, равные акустическому импедансу,
также не меняются. Из выражения для гр легко получить коэф-
коэффициент поглощения звука (по энергии) импедансом Za;
Проводимость отверстия
Для низких частот кинетическая энергия жидкости или газа,
колеблющегося в трубке длины / и сечения <У со скоростью S,
выражается так:
Т= I М$ = I (Sip) ?=12^ (^J = g- МХ\ G,4)
Величина Slp = M представляет в данном случае колеблю-
колеблющуюся массу. При выражении кинетической энергии через
объемную скорость X = Si масса выражается в так называе-
называемых акустических единицах и равна М = Хг = ~^. Выраже-
Выражение для М по структуре совершенно аналогично выражению
для сопротивления провода с удельным сопротивлением р. Ве-
Величина, обратная М, будет характеризовать степень подвижно-
подвижности среды в трубке. В дальнейшем будем интересоваться зави-
зависимостью подвижности от геометрических постоянных трубки,
которая в данном случае характеризуется величиной
w — s
К — т.
Эта величина, имеющая размерность длины (см), носит в аку-
акустике название проводимости. Вводя проводимость в выра-
выражение G,4), получим:
1 — 2Г ~~2К *
Следует отметить, что термин проводимость не совсем удачен,
так как в акустическом случае проводимость лишь формально
подобна электрической проводимости; она не имеет отношения
к диссипативным потерям и характеризует лишь инерционные
свойства для данной конфигурации потока. Правильней было
бы называть эту величину подвижностью.
150

Для трубки расчет проводимости очень прост. В других
случаях при расчете проводимости приходится сначала находить
интегральную кинетическую энергию Т в звуковом поле слож-
сложной конфигурации и по ее величине определять, согласно фор-
формуле G,5), проводимость К или массу М = ~, относя ее к объем-
объемной скорости X в отверстии.
Очень важным в акустике является вычисление проводи-
проводимости эллиптического или круглого отверстия в бесконечно
тонкой и бесконечно протяженной перегородке, разделяющей
два полупространства. Эта задача решена Рэлеем *. Не воспро-
воспроизводя этого вывода, поясним лишь физический смысл проводи-
проводимости в данном случае. При течении несжимаемой жидкости через
отверстие в перегородке под действием разности давлений (посто-
(постоянных или переменных) в среде создаются определенные линии
тока и возникают скорости, различные в каждой точке среды.
В бесконечности мы вправе считать скорости равными нулю, а на
перегородке равны нулю нормальные компоненты скорости.
В плоскости отверстия наибольшие скорости возникают у краев.
В случае бесконечно тонкой перегородки скорость у края
бесконечна. Для определения проводимости необходимо вычис-
вычислить кинетическую энергию во всем бесконечном поле по
формуле:
-г 1 С Г f [7^Ф\2 , /дФ\2 , /дФ\21
где Ф — потенциал скоростей.
Для вычисления среднего по времени значения Г необходимо
определить скорости во всех точках поля. Зная объемную скорость X
в отверстии, проводимость можно определить по формуле G,5).Если
положить Х= о?0, где 50 — средняя скорость в отверстии, то кинети-
кинетическая энергия G,6) может быть формально выражена через среднюю
скорость в отверстии или через объемную скорость сквозь все
отверстие:
Здесь величина
Т? = м G,7а)
представляет по размерности некоторую массу. Принимается,
что эта масса, двигаясь со скоростью So, имеет кинетическую
энергию, равную всей кинетической энергии Т бесконечного
* Рэлей. Теория звука, т. II, § 306. Гостехиздат, М., 1955.
151

поля *. Массу М называют присоединенной массой отвер-
отверстия.
Фактически в отверстии бесконечно тонкого экрана, стоящего
поперек трубы, нет точно ограниченной массы (подобно рас-
рассмотренной выше массе, колеблющейся в трубке длины /) и
мы лишь условно приписываем добавочную кинетическую энер-
энергию (сверх кинетической энергии плоской волны) некоторой
фиктивной массе М, согласно формуле G,7а), движущейся со
средней скоростью среды в отверстии. Главная доля этой энергии
сосредоточена в зоне близ отверстия, размеры которой малы
по сравнению с длиной волны. Очевидно, что не только в ра-
разобранном случае, но и при всяком нарушении плоского тече-
течения (в котором линии тока прямолинейны и плотность их везде
одинакова) обязательно возникает добавочная, или присоединен-
присоединенная, масса с присущим ей свойством инерции. На приведение
этой массы в движение требуется затрата энергии. Так, можно
говорить о присоединенной массе отверстия в перегородке, по-
поставленной поперек трубы или о присоединенной массе изгиба
трубы, Здесь сверх энергии плоского движения среды в трубе
возникает добавочная энергия, связанная с полем скоростей,
вызванным искажающим влиянием отверстия на плоскую волну.
Плоская волна, конечно, также обладает энергией, но она яв-
является целиком излучаемой энергией (активной, или ваттной);
при этом скорость по фазе совпадает с давлением, и присо-
присоединенная масса (при наличии которой должна появиться раз-
разность фаз между скоростью и давлением) равна нулю.
Согласно выводу Рэлея, проводимость эллиптического от-
отверстия (площади а и с эксцентриситетом е) в бесконечной
стене выражается следующим образом**:
Проводимость круглого отверстия (е — 0) равна диаметру от-
отверстия: _
/' G,8)
Для эллиптических отверстий, не слишком вытянутых, прово-
проводимость мало отличается от величины диаметра круга эквива-
эквивалентной площади: АГ^2|/ — • При отношении полуосей эллип-
эллипса — = 0,17 (е = 0,98) проводимость лишь на 20% больше,
* Для колебательных процессов под Хо и 50 следует в формуле G,7)
понимать эффективные значения скоростей.
** Задача решается путем, аналогичным нахождению плотности заряда
на поверхности проводящего диска, заряженного электричеством.
152

чем величина 2 Л/ — • Расчет проводимости для отверстий
иной формы (кроме эллипса и круга) сделан в работе Ингарда*.
Однако можно полагать, что для отверстий, не слишком вытя-
вытянутых,
Так как скорости частиц в плоскости отверстия не одинаковы^
то величина объемной скорости X получается интегрирова-
интегрированием скорости по площади отверстия.
Представляет интерес сравнить расчет Рэлея с расчетом
проводимости, который можно провести на основании формул
импеданса плоского поршня, т. е. когда скорость распределена
по всей площади отверстия равномерно. Для присоединенной
массы поршня с фланцем при \^>d имеем (гл. 11) выражение:
Если принять слой воздуха в отверстии перегородки за пор-
поршень с присоединенной массой с обеих сторон, то
Т О * Л A ? 2 * л 2Мпор л>2 1 Р у2
* — * 2 /Wn°P *• = ~2 V —о1— ~2 ~К
откуда, согласно соотношению G,7), найдем:
где
Таким образом, при поршневом движении в отверстии проводи-
проводимость на 7,5% меньше, чем по формуле G,8), а масса при-
примерно в таком же отношении больше.
На основании полученных формул для про-
проводимости можно найти выражение для импе-
импеданса трубки с поправкой на присоединенную "Г"""
массу ее концов. Для длинных волн (k^>d) у "
предположим, что трубка длины / заделана в i
бесконечную перегородку, преграждающую за- *
мыкание потоков -между ее концами (рис. 42).
Случай, когда /->0, рассмотрен Рэлеем. При Рис 42
/ Ф-0 можно предположить, что к массе среды
в трубке с каждого конца добавится присоединенная масса
М' = т^,где 2/C=2prf=4pr0 — проводимость отверстия в бес-
бесконечном экране с одной стороны. Общая колеблющаяся масса
* U. I п g а г d J A S А, XX, 665, 1948.
153

На каждом конце трубка как бы удлиняется на ^го = Д/.
Принимая по расчету Рэлея K=d(T. e. $=1), получим:
G,10)
т. е. удлинение на величину А/ = ^- = 0,78 г0 на каждом конце.
Таким образом вся трубка как бы удлиняется на четверть
длины ее периметра. Проводимость трубки, если ввести по-
поправку на присоединенную массу на концах, будет равна:
a
^4 ^ 4/
Если принять равномерное распределение скорости по сечению,
и положить р = 0,925, то эффективное удлинение трубки будет
равно не ^, а -j- 1,08. Обычно в литературе принимается для
проводимости трубки выражение G,11). Однако, учитывая, что
внутри трубы при распространении звука получается близкое
к равномерному распределение скоростей по сечению, возможно,
что более обоснованной будет поправка, базирующаяся на фор-
формуле G,9). Тогда получим:
Вопрос этот не подвергался еще достаточно глубокому ис-
исследованию ни теоретически, ни на опыте и, ввиду малой
точности измерений этого рода, у нас нет данных утверждать,
какая ф°РмУла ближе к
^- истине.
Для открытого конца
трубки без фланца, согласно
i2 Гутину *, будем считать
присоединенную массу рав-
равной Ж'я«2рго. Обусловлен-
Обусловленная этой массой добавка
*< длины будет равна:
J
Рис. 43 д/= ^L = f_ro =
Для отверстия в перегородке, стоящей поперек трубы диамет-
диаметром D (рис. 43), проводимость будет, разумеется, иная, чем
для отверстия в бесконечной перегородке, так как форма ли-
* Л. Я. Г у т и н. ЖТФ, т. VII, 1096, 1937.
154

24-
ний тока и кинетическая энергия реактивных потоков через
отверстие изменяются. При уменьшении отношения -^ задача
приближается к случаю беско-
бесконечного экрана и можно счи-
считать K^d. При увеличении d, Z6-
когда d—+Dy величина прово-
проводимости должна стремиться
к бесконечности, так как иска- 22-
жающее влияние отверстия на 2о
линии тока становится малым
и присоединенная масса исче- J8~
зает. Теоретически эта задача w -
была разрешена В. А. Фоком *.
Не приводя весьма сложного
решения задачи, дадим лишь
окончательное выражение для
й
р
присоединенной массы отвер- g
стия в перегородке, стоящей
поперек трубы:
—
т. е. проводимость отверстия
Рис. 44
где
F(б) = {1~
°>3382 % + °'0679 %
или
1 47 —
l> ' D
>47h
Величина F[jj) (функция Фока) оказывается всегда больше
единицы и при ^ —> 1 стремится к бесконечности (рис. 44):
d Л1
при - = 0,1
при 5 = 0,2
при ^ = 0,50
при ^ = 0,85
:f В. А. Фок. ДАН СССР, т. XXXI, № 9, 1941.
** Эта эмпирическая формула дает хорошее приближение. Она пред-
предложена В. С. Нестеровым (ДАН СССР, т. XXXI, № 9, 1941). В той же
работе Нестеровым исследована на опыте проводимость отверстий и
найдено полное согласие формулы Фока с экспериментом.
155

При 7) < 0,2 можно приближенно принимать, что K^d, т. е,
М^^г. Наоборот, при ?)>0,8 можно считать К очень боль-
большой величиной и пренебрегать влиянием присоединенной массы»
Для круглого отверстия в трубе квадратного сечения можно
приближенно считать, что порядок величины функции W-),
где а — сторона квадрата, будет такой же, как это дается
формулой Фока.
Определим проводимость ряда (п)
с о о о о отверстий, расположенных на площади
О о о Го? о о о $ перегородки в трубе. Если отверстия
1—' диаметра d\ в бесконечной перегородке
о о о о ff<*t распределены по площади равномерно и
о о о стоят не очень близко друг к другу,
Рис.45 т.е. ^<0,2А, где А = 2]/"^-, а
Si — площадь, приходящаяся на одно отверстие (рис. 45), то
приближенно можно считать на основании выводов Фока, что
проводимость каждого отверстия независима от их взаимного
расстояния и равна fd = di. Кинетическая энергия реактивных
потоков в зоне, занятой отверстиями, равняется сумме присоеди-
присоединенных кинетических энергий для отдельных отверстий:
/ _т пмх ^ — 2nKil~2 nKi ~ 2 К •
где К\ — проводимость одного отверстия, а Ьх — скорость
отверстиях.
Суммарная проводимость
а суммарная присоединенная масса
В акустических единицах присоединенная масса одного отвер-
отверстия Мх — J-, а присоединенная масса п отверстий
М — 1. — -L — Mi
К «/\ 1 п
Это аналогично тому, что индуктивность п одинаковых парал-
параллельных цепей становится в п раз меньше индуктивности
одной цепи.-
При близком расположении отверстий присоединенная масса
для каждого отверстия стремится к нулю, как это следует из
156

формулы Фока G,12) и из графика рис. 44, а все п отверстий
можно принять в сумме за одно отверстие с общей площадью
*S. Если зона отверстий не очень растянута, то по проводимо-
проводимости она эквивалентна кругу с диаметром tf=2l/ — , и ее
можно рассчитывать по формуле K^d как для одиночного
отверстия диаметра d.
В случае сетки* свободная площадь отдельных ячеек
близка к площади, занимаемой каждой ячейкой, и можно счи-
считать проводимость отдельных ячеек равной бесконечности.
Здесь следует учитывать только сопротивление трения в от-
отверстиях и можно пренебречь инерционным сопротивлением
ячеек. Если сетка закрывает отверстие диаметра d, то его про-
проводимость вычисляется как для свободного отверстия, не
закрытого сеткой.
Переход звука из трубы сечения St в бесконечную
трубу другого сечения *S2
Будем считать, что в трубе St (рис. 46) слева направо падает
плоская волна и отражается справа налево. В трубе 52 слева
направо идет плоская проходящая волна. Такое предположе-
предположение справедливо только приближенно для точек, удаленных от
Рис. 46
места скачкообразного перехода сечения St в сечение 52. Вблизи
переходной части (при x^^l) плоский характер движения бу-
будет нарушен, что приведет, как мы уже выяснили, к возникно-
возникновению присоединенной массы М, которую мы приписываем от-
отверстию трубы меньшего сечения 59. Присоединенная масса в
данном случае равна М= 8/п х. Возникновение отражен-
ной волны в трубе Sx можно формально приписать действию
некоторого импеданса Zh поставленного в конце трубы Sx
(при х = 1). Поскольку неплоская часть звукового поля
* Подробнее этот вопрос разобран в работе С. Н. Ржевкина и С. Т. Тер-
осинянца (ЖТФ, т. XI, вып. 1 —- 2, 1941, стр. 149).
157

сосредоточена на очень малом участке Д/<^Х, приближенно
примем, что уравнения плоской волны соблюдаются вплоть
до точки скачка сечения как с одной, так и с другой сто-
стороны от него. Но сверх этого мы добавим перепад давле-
давления на инерционном сопротивлении, создаваемом присоединенной
массой. Условие согласования давлений на границе трубы St и
S2 запишем в виде:
л @-л (О+У^ МО- GДЗ)
Здесь pltit и /?2,Е2—давление и скорость частиц в трубе се-
сечения Si и, соответственно, в трубе сечения S2. В правой части
уравнения G,13) добавлен член /<*>?-42(/), обусловленный пере-
перепадом давления на инерционном сопротивлении, создаваемым
присоединенной массой М. Можно также написать условие не-
неизменности объемной скорости при переходе из одного сече-
сечения в другое:
Импеданс в конце трубы будет равен
7 _SiPi(l)_Slp1(l)_Sj с
Так как для второй трубы ?^- = рс, то
1М). G,14)
Импеданс (S$c-\-jwM) составляется из волнового сопротивле-
сопротивления трубы S2pc и импеданса присоединенной массы выходного
отверстия трубы /Wkf. Нетрудно показать, что, принимая для
проводимости формулу G,8), можно представить выражение
G,14) (когда A>D2) в виде:
где
S2
Умножение импеданса Z2 на входе второй трубы на -ф
2
соответствует как бы переносу импеданса Z2 из вторичной
цепи в первичную цепь некоторого понижающего напряжение
трансформатора.
158

При переходе звука из узкой трубы в широкую в переход-
переходном сечении образуется при одинаковых амплитудах присоеди-
присоединенная энергия той же величины, что и в первом случае. Если
разница в величине сечений 6\ и 52 значительна, то присоеди-
присоединенная масса на выходе узкой трубы М^^у> где Si— пло-
площадь более узкой трубы и Dx — ее диаметр; величина 2DX есть
проводимость переходного сечения.
Импеданс на конце узкой трубы (сечения Si) переходящей
в широкую (сечения S2) выразится несколько иначе, чем в
рассмотренном выше случае, а именно:
§9 [\ G,15)
или Z; = |52[l+J ?А|]
S2
Величина М-ф представляет присоединенную массу отверстия
узкой трубы, отнесенную к сечению широкой трубы.
При переходе из широкой трубы в узкую (формула 7,14)
отношение активной компоненты импеданса к реактивной равно:
Yl
Когда ХЪ>/J, то активная компонента имеет большой перевес
S2
над реактивной и Zl^^~S^pc. При переходе из узкой трубы
в широкую из соотношения G,15) получим:
Ту * ь п ^ ** S*
1 8 Шх S, S7
При большой величине S^/Sx отношение ЩУ\ может оказаться
порядка единицы или даже меньше. На конце узкой трубы,
которая переходит в широкую, может получиться преобладание
инерционной компоненты импеданса. При 52—со, т. е. при
переходе в открытую среду, реактивная компонента (как известно
из теории поршневой диафрагмы) больше активной. В приве-
приведенных расчетах не принято во внимание влияние трения,
которое существенно изменит всю картину в узких трубах.
Если сечения Sx и 52 лишь немного отличаются друг ог
друга, то присоединенная масса М будет мала и можно считать
в обоих случаях Zt^^ — S^pc. Коэффициент отражения волны
159

давления от переходного сечения выразится в этом случае
так:
S2
i
Обычно в учебниках акустики приводится именно эта простая
формула, которая, как показано выше, не всегда пригодна.
Согласно равенству G,16) при отражении звука, распростра-
распространяющегося в трубе большого сечения, которая переходит далее
в трубу малого сечения F\ > 6*2), не будет происходить скачка
фазы давления, но фаза скорости частиц будет претерпевать
скачок, равный % (как и при отражении от среды с большим
акустическим сопротивлением р2?2)- При обратном соотношении
т между 6\ и 6*2 скачок фазы будет
"" """* претерпевать волна давления, а
волна скорости отразится без
- скачка фазы (как при отраже-
$2 нии от среды с малым р^с^).
-—-——-—¦--—- Сравним с энергетической
точки зрения излучение, проис-
происходящее при колебаниях поршня
_.«••»_—.«»_.,< сечения 6*1 в начале бесконечной
Рис. 47 трубы того же сечения и при пере-
переходе трубы сечения 6\ в узкую
<: сечением 6*2, причем длину отрезка широкой трубы / будем счи-
считать малой по сравнению с длиной волны (рис. 47). При неко-
некоторой идеализации можно считать, что второй случай имеет
место в переходной камере рупорного громкоговорителя, так
как рупор с начальным сечением 6*2 имеет входной импеданс,
близкий к 6*2 рс. В широкой трубе неизменного сечения S% им-
импеданс на входе равен 6\р?, а излучаемая мощность
где ?0 — амплитуда скорости поршня. Входной импеданс Z во
втором случае равен (S$c -j->Af) ^ , где М — присоединенная
масса в сечении 6*2, равная А1^^-?, Активная компонента в
данном случае, как показано выше, значительно превышает реак-
реактивную.
Излученная мощность будет равна:
160

Таким образом, во втором случае излучаемая мощность будет
в g раз больше. Применение переходной камеры позволяет
сильно увеличить мощность излучения рупорного громкоговори-
громкоговорителя. При этом предположено, что Ео одинаково в том и дру-
другом случае, что соответствует источнику с очень большим вну-
внутренним сопротивлением, на работу которого не влияет величина
нагрузки. Нетрудно доказать, что при малом внутреннем со-
сопротивлении источника, когда величина ?0 сильно зависит от
нагрузки, получим> применяя переходную камеру в узкую трубу»
уменьшение излучаемой мощности в ^раз вместо увеличение
Описанный прием соответствует подгонке оптимальной нагрузки
к электрическому генератору посредством трансформатора.
Импеданс Z входного отверстия (площади S) и объем V,
за которым включен импеданс Zof сосредоточенный
на площади о
Для длинных волн (X ^> У V) можно считать, что амплитуда
объемной скорости через сечение S (рис. 48 а), равная Хо = SiQt
разделяется на две части: амплитуду X? объемной скорости через
площадь а, соответствующую импедансу Zo, и амплитуду Xv
т
h Щ h
а 6
Рис. 48
объемной скорости, втекающей в объем V вследствие его сжа-
сжатия:
у у I у (j 1 т\
Упругое сопротивление объема V равно ^Т7> следовательно:
у с Ро Ро
А °2Ро Ро
*—-%• —z
11 С. Н. Ржевхсин
161

В этих выражениях р0 означает амплитуду звукового давле-
давления, господствующего во всей полости V, начиная от внутрен-
внутреннего края входного отверстия до входа в импеданс Za, что
справедливо для полости, малой по сравнению с I. Импеданс
на входе в отверстие *S примем равным: Z = -А = -^ ? пред-
предполагая, что входное отверстие не дает перепада давления,
то есть не имеет собственного импеданса, что, конечно, не
строго. Выражение G,17) примет вид:
О2 Ро Ро \ Ро
Z $с__ ' Za
откуда
JuV
или
Z = "
G,18)
52
где Zl = Za~2 — механический импеданс отверстия о, трансфор-
трансформированный на площадь S входного отверстия. Нетрудно убе-
убедиться, что акустический импеданс на входе z = ^ = ^ опРе"
делится более простым выражением:
Jl = _L . L = L jl,L
Z i?!_"r^a Z^ Za G,18a)
у
где Za = "f есть акустический импеданс отверстия о. Акусти-
Акустический импеданс входного отверстия в объем V определяется
как импеданс параллельного соединения акустического импе-
импеданса объема и акустического импеданса Za. Электрическая
аналогия параллельного соединения Zv и Za (формула 7,18а)
показана на рис. 48,6; аналогия, соответствующая формуле
G,18) будет выглядеть сложнее (рис. 48,в), так как в нее при-
придется ввести трансформатор.
Импеданс объема V, за которым стоит импеданс Za, вклю-
включенный на • площади а, можно вывести из формулы для вход-
входного импеданса трубы сечения S (гл. 5), в которой
162

s2
/ = ^ Za = Za . При kl<^\ можно считать cos kl
in&/^?/, тогда
l _
+ l
Величина j<«pE7) представляет инерционный импеданс Zm от-
резка трубы длины /, т*е. Zm=j<&M; Zx,= ^^ — упругий им-
импеданс объема V=SL Таким образом:
у у Zj -f- Zm ZyZl
Если Za не очень мало и сечение трубы 6" значительно больше о,
S2
то Zl = -^Za будет велико. Если, кроме того, частота неве-
невелика, то Zm/Zz<^l и равенство G,19) перейдет в G,18). При
повышении частоты Zm растет и его величиной уже нельзя
пренебрегать. Тогда вычисление следует вести по более точ-
точной формуле G,19). Таким образом, трубка, соединяющая вход
площади S с импедансом Zb не может быть представлена про-
простой схемой параллельного или последовательного соединения
элементов с сосредоточенными постоянными, и ее электричес-
электрическим аналогом является отрезок линии. Только при Zl^>Zmw
kl<^\ мы получим параллельное включение импеданса Zv
с импедансом Zz.
Любой отрезок трубы или полость другой формы, вклю-
включенные для присоединения некоторого импеданса Zz, представляет
некоторый объем. Несмотря на то, что геометрически этот
объем стоит последовательно с импедансом, его сопротивление
оказывается (по крайней мере при низких частотах) соединен-
соединенным параллельно с Zz. Последовательное включение упру-
упругого импеданса в акустическую (равно как и в механи-
механическую) цепь оказывается невозможным. Этот важный прин-
принципиальный вывод указывает на трудность реализации целого
ряда акустических схем, аналогичных электрическим.
Из всего сказанного следует, что всякая соединительная
трубка является, вообще говоря, четырехполюсником. Импеданс
ZOo на входе всей системы при соблюдении условия | Zz | ;> сор (SI)
будет представлять параллельное соединение импеданса Zt и упру-
упругого импеданса. При | Zz| <^wp(SI) и Zl<^Z1) трубка, наоборот,
будет играть роль последовательного инерционного сопротивле-
сопротивления /шрб?. При величинах Zz и upSl одного порядка соединитель-
соединительную трубку уже нельзя однозначно представить в форме
11* 163

какой-либо простой схемы соединения элементов с сосредоточен-
сосредоточенными постоянными, как в формуле 7,19. Аналогичное поло-
положение имеет место и для ультракоротких электрических волн.
Обратим, наконец, внимание на случай закрытой трубки
длины /, которая подходит под рассмотренную выше схему
при значениях Zt = oo и S=o. Здесь
Как уже показано в гл. 5, при &/<1 получим:
т. е. короткая трубка действует как упругость объема V—SL
Так как при повышении частоты Ы растет, то ctgkl можно
разложить в ряд. Второе приближение получим в виде:
f f. G,20)
Таким образом в закрытой трубке, кроме упругости объема,
играет роль инерционность, соответствующая 1/3 массы воз-
воздуха, заключенного в трубке. При Ы = ^ , т. е. /=— , полу-
получаем 200=0. Из условия ZOo = 0 по приближенной формуле G,20)
получим: &/=]/ 3 или X = 3,62/, что дает значение резонанс-
резонансной длины волны открытой с одного конца трубки на 10%
меньше, чем истинное (Х = 4/).
Присоединение отрезка трубы длиной в 1/4 волны позволяет
довольно совершенно осуществить условие акустического корот-
короткого замыкания (Z = 0). При помощи открытого отверстия в сво-
свободный воздух осуществить это полностью не удается из-за
наличия импеданса, обусловленного реакцией поля излучения.
Фрикционные элементы звукопроводов
При наличии внутреннего трения в газе или жидкости тече-
течение по трубе при малых скоростях происходит ламинарно
в форме цилиндрических -слоев, движущихся с различными ско-
скоростями в зависимости от расстояния до стенки. Пограничный
слой стенки остается неподвижным, а осевой движется с мак-
максимальной скоростью. За счет трения между слоями, движу-
движущимися с различными скоростями, при распространении звука
создаются дополнительные потери и дополнительное инерцион-
164

ное сопротивление. Выясним влияние вязкости на колебатель-
колебательное движение плоского слоя. Пусть бесконечная плоскость
колеблется параллельно самой себе, соприкасаясь с жидкостью.
Силы вязкости передают движение от одного слоя к другому
и в жидкости возникают своеобразные поперечные волны, рас-
распространяющиеся по направлению нормали к плоскости XY.
Скорость колебаний жидкости ёв направлении оси х убывает
с ростом z по некоторому закону:
Рассмотрим движение плоского элемента с площадью, рав-
равной единице, и толщиной dz, нормаль к которому совпадает
с нормалью к движущейся плоскости (рис. 49). Сила трения,
Рис. 49
действующая на. элемент, с нижней стороны будет равна
дс
— ^~§z '* где ^—коэффициент вязкости. На верхнюю сторону
действует сила f* (-37-+ 5^ (-g~) dz. Общая сила, вызванная
вязкими воздействиями, действующая на элемент с площадью
в 1 см2, будет равна
и направлена по оси X. Масса элемента равна pdz.
Уравнение движения запишется следующим образом:
Р=1*
Предполагая решение этого уравнения в виде
j: t i(<oi -kfz\
С — so
165

и подставляя его в уравнение движения, найдем:
^ = ±РA+/) = ±^A+Л где р=]/|;
тогда
Таким образом, получаем своеобразную волну, в которой коэф-
коэффициент затухания р численно равен волновому числу. Реше-
Решение имеет форму затухающих в направлении z вязких волн по-
поперечного типа*. На длине х = j = 1/ -? волна затухнет по
амплитуде в е раз.
С другой стороны, длина вязкой волны
X' = =? =!_
*~ сор '
скорость этих волн
c' = j= l/ — , гораздо меньше скорости звука с.
1 X' А'
Уже на длине -^ = к- ^ -g- вязкая волна затухнет в е раз. Принимая
(для воздуха) |х = 2-10~4, получим при 500 гц (со = 2^-500 =
= 3140) X = 0,6 мм. Очевидно, что при звуковых частотах в воз-
воздухе область, в которой существуют вязкие волны, представляет
очень тонкий слой у поверхности движущегося тела. В воде
длина стоксовых вязких волн будет еще меньше: при 500 гц
у = 0,14 мм.
Сила трения на площади 1 см1 будет равна
и имеет, как мы видим, не только активную, но и инерционную
компоненту.
Для входного усредненного по сечению импеданса на еди-
единицу сечения круглой трубы радиуса г0 и длины / при нали-
наличии внутреннего трения Крендалл ** нашел:
G,21)
Здесь
* Понятие о вязких волнах впервые введено английским физикоАм Стоксом.
** И. Б. Крендалл. Акустика. КУБУЧ, Л., 1934, стр. 155.
166

X' — длина вязкой стоксовой волны, /0 и Л — символы бессе-
бесселевых функций нулевого и первого порядков. Импеданс для
трубки сечения 5 будет равен SZ[.
Если |#гвК2, т. е. когда го<-, что выполняется для
воздуха, при rJ/<O,l, приближенно получается:
О.. / Л
4 р/со. G,22)
Выражение R[ = -^r соответствует закону Пуазейля для сопро-
тивления при ламинарном течении вязкой жидкости по узкой
трубке. Для узких трубок активное сопротивление в равенстве
G,22) превышает реактивное, и полное сопротивление не зави-
зависит от частоты. Величина М[ = -g- p/ представляет эффективную
Рис. 50
массу, участвующую в колебаниях, которая на 1/3 больше
фактической массы среды в трубке сечением в 1 см2, т. е. здесь
возникает присоединенная масса за счет вязкости. С увеличе-
увеличением величины | krQ |, которое происходит при увеличении радиу-
радиуса или частоты при заданных [хир, приближенная формула G,22)
теряет силу. Расчет по точной формуле* представлен графиком
на рис. 50, на котором даны значения f — отношения величины /%
*С. Н. Ржевкин и С. Т. Теросипянц. ЖТФ, т. XI, вып. 1 — 2,
1941, "стр. 149.
167

для воздуха к пуазейлевской величине /?J = -^- в функции от
'о
частоты для четырех значений диаметра: 2/-0 = 0,02; 0,04; 0,1
я 0,2 см. По оси абсцисс отложены две шкалы частот в зави-
зависимости от fv, значение [х = 2-10~4 соответствует полной тепло-
теплоизоляции стенок, а (а'я«4-10~4 соответствует очень большой
теплопроводности стенок (металл) *. Для трубок с диаметром
меньше 0,02 см величина сопротивления во всем звуковом диа-
диапазоне практически не отличается от пуазейлевской и от час-
частоты не зависит.
При больших значениях г0 и а> (при \krQ\^>l0) можно ис-
использовать приближенные выражения для функций Бесселя
,х\Zl{=—J\ тогда выражение для Z\ будет:
Величина активного удельного сопротивления /?[ я« -
сильно зависит от частоты. Это выражение для сопротивления
найдено Гельмгольцем.
Для бесконечно длинных щелей толщины d и глубины /
аналогично соотношению G,21), удельный импеданс,
l—er
где
k9 =т/ ?г. при &'d<i
Величина --—- соответствует пуазейлевскому значению для
круглых трубок. На рис. 51 даны значения величины ^i(w)/-Jr»
* Значение ja' вычисляется по формуле Кирхгофа:
где v — коэффициент теплопроводности газа, а ] = —,
c
168

вычисленные в функции от частоты при различных d @,01;
0,025; 0<05; 0,075; 0,1 см) для двух шкал \х так же, как и на
рис. 50*.
Для ряда параллельных трубок с площадью о, причем одна
трубка приходится на площадь SXi получим на 1 см^ импеданс:
где Л/"—число отверстий на единицу площади. По этой фор-
формуле можно приближенно рассчитать сопротивление Rx для
80
4,0
3,0
M
р-210'4 /25
р=4Ю~ч 250
А /
?50
500
500
WOO
2000
2000
4000
ват
IS000
Рис. 51
металлических сеток, принимая ее ячейки (площади о) за круг-
круглые трубки с радиусом г0 = 1/ ~ и с длиной каналов, рав-
равной приблизительно двойному диаметру проволок, из которых
сплетена сетка. Капиллярные трубки, а также системы трубок
и щелей могут быть использованы как эталоны сопротивления,
так как величина их сопротивления не зависит от частоты
в широком диапазоне и может быть приближенно предвычис-
лена.
Для ткани, ваты и других волокнистых и пористых веществ
с каналами неправильной формы вычисление сопротивления не
* С. Н. Р ж е в к и н и С. Т. Теросипянц. ЖТФ, т. XI, вып. I—2,
1941, стр. 149.
169

представляется возможным и его величину приходится изме-
измерять на опыте. Для этой цели применяется метод продувания
постоянным потоком, причем измеряется падение (перепад) дав-
давления Ар на данном образце и скорость и протекающего газа.
Удельное сопротивление будет равно:
Оно измеряется в механических омах на 1 см2 и имеет размер-
размерность дин/см . Реактивное сопротивление тонких фрикцион-
фрикционных слоев с мелкими порами (ткани, сетки) практически нич-
ничтожно; для толстых же слоев пористого материала реактивная
компонента импеданса должна обязательно учитываться.
При увеличении скорости потока и становится заметным
не только перепад давления, возникающий в результате тре-
трения, но и гидродинамический перепад, возникающий при рас-
расширении или сужении потока. На входе из большого объема
в узкую трубку создается перепад давления Щ-, который, оче-
очевидно, прибавляется к перепаду R\U, обусловленному трением
в узкой части трубки. Общий перепад давления будет:
Сопротивление, которое измеряется на опыте, равно:
i?i=? = /?,+ f- G,23)
зависит от скорости потока и. На опыте * действительно об-
обнаружена зависимость сопротивления от скорости, аналогичная
уравнению G,23).
В табл. 5 приведены значения удельных сопротивлений для
различных пористых материалов.
Сопротивление нескольких слоев пористого материала, грубо
говоря, равно сумме сопротивлений отдельных слоев.
В сводной табл. 6 даны величины импеданса различных
акустических систем, их схематическое изображение и эквива-
эквивалентные электрические схемы."
* L S i v i a n. Jour. Acoust. Soc. Amer., v. 7, 94, 1935; R. L. Brown
and R. H. Bolt. Jour. Acoust. Soc. Amer., v. 13, 337, 1942; С. Н. Ржевкин
и С. С. Туманский. ЖТФ, т. XVII, вып. 6, 1947, стр. 681.
170

Материал
Марля A слой)
Редкий миткаль (технический)
Бязь редкая
Медная сетка (шаг 0,12 мм диа-
диаметр проволок 0,05 мм)
Ситец редкий
Густая (репсовая) металлическая
сетка
Войлок шерстяной
Батист, байка
Стеклянная ткань (различного сорта)
Сукно
Таблица 5
Удельное сопротив-
сопротивление трения,
мех. ом/см2
0,4-0,5
3 — 5
8—10
30
40 — 80
3—100
100 — 500
Ответвление в звукопроводе
Будем считать, что ширина боковой ответвляющейся трубы
сечения а, присоединенной в точке % = 0 (рис. 52), очень мала
по сравнению с X и поэтому при-
примем, что давления на выходе от-
отрезка главной трубы (сечения S),
на входе ее продолжения и на
входе боковой трубы равны друг
другу. В точке разветвления под —
действием падающей волны возни- —
кает: I) отраженная волна, 2) про-
ходящая по главной трубе волна
и 3) колебательный процесс в им-
импедансе Zcr (на входе боковой трубы).
Примем для амплитуд давлений и скоростей всех этих процес-
процессов следующие выражения:
_±_
\ I
х-0
Рис. 52
Падающая волна и Аь-№
{
Отраженная волна U = — А
[г рс
Проходящая волна и ==^
I' рс
Вход в ответвление \i аА*
171

Таблица б
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Бесконечная труба сече-
сечения 5
Ir-Spc
7_ Vе
Труба длины /, сечения 5,
нагруженная на импеданс
Z
-f—
r ~ Z/ cos kl + y'Spc sin kl
Sp cos kl -\- jZi sin kl '
при kl < 1 и Zz > Spc
-, где
Закрытая труба сечения
5 и длины /
при
при
Отрезок линии
разомкнутой
на конце
=5/ — объем трубы
Открытая с обоих концов
труба сечения 5 и
длины /
Отрезок линии,
коротко замкну-
замкнутой на конце
при /< X
Z «=5 у<о67р = у<оМ,
= р5/ — масса воздуха
в трубе
при
/р Л1

Продолжение
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Замкнутый объем V
с горлом сечения S
при Х> У?
емкость
Е = ^—у упругость объема
Труба длины / (/ >> I) и
сечения 5 в безграничной
стене с учетом проводи-
проводимости концов
S d
Индуктид>
НОСГП6
Z = /со V = /coM,
4/
1+-
при
при
{3= 1 для /=0и р?«-—— = 0,92 для длинной трубки
Резонатор объема V
с горлом в виде трубки
длины / и диаметра d
(при Х У
K 0)
д: = 5//', /' = / 4- Д/i + Д/2;
o— = 0,85r0 — для внутреннего конца
Д/2 5=» - = 0,64г0 — для свободного конца
ТЕ

Продолжение
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Круглое отверстие (диа-
(диаметра d) в бесконечно
тонком экране, с учетом
излучения в одну сторону
(без учета трения)
"Г"
s a
г-1-
'-¦&+>*
l
при
при
Круглое отверстие диа-
диаметра d в экране, стоя-
стоящем поперек трубы диа-
диаметра и (без )чета
сопротивления излучения
и трения)
—)
D)
(формула Фока)
при
-^-)-О,

Продолжение
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Капиллярная трубка длины
/ и сечения S. Диаметр
= 2 )/!=&
№+jmU
\ * о о
1 / 8р./
и
при условии rlf <Z
к2- 10 4 для воздуха (^=18°) при теплоизолированных
стенках; (л?^4 • 10"~4 при проводящих тепло стенках
Узкая щель длины /
ширины Ъ и толщины h
^ 1
при условии h2f < —
7Cp
fi.^2- 10 для воздуха при 18° при теплоизолированных
стенках; р. ?=^ 4 • 10~4 при стенках, хорошо проводящих
тепло

Продолжение
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Ряд круглых отверстий
с площадью aj = —j1—
4
в бесконечной перегород-
перегородке (без учета сопротив-
сопротивления трения) при
(Si — площадь на
1 отверстие)
п отверстий
п ветвей
где
где
Ряд (п) круглых отвер-
отверстий диаметром
S,
о о
ОоЯ
(где Si — площадь на
одно отверстие)
которые в общем зани-
занимают круговую зону пло-
площадью S = -^—
г
2—1-
п отверстий

Продолжение
ю
Р
Наименование
Схематическое
изображение
Электрический
эквивалент
импеданса
системы
Механический импеданс
Акустический импеданс
Импеданс на конце трубы
площади «S при присоеди-
присоединении в центре импеданса
ZCT, сосредоточенного на
d2
площади а =
*-?;(*+>?)-
М-
z=za
CJ8
При d<0,2*21/!-
При fi?>0,7-2j/ —- можно считать
Импеданс входного
отверстия (площади S)
в объем К, за которым
включен (на площади а)
импеданс Zo; принимается
V
J
z
= -^ zo
z -
Импеданс трубы (сечения
S), разветвленной на ряд
трубок площадью чи 52,
st... с импедансами Zu
Z Z
S*
, + z,
Z%
5l
«I •

В точке ответвления (х = 0) можно написать следующие гра-
граничные условия, пренебрегая возникающими в переходном сече-
сечении присоединенными массами:
1) At-\-Ar = At = Ав (непрерывность давления). Это условие
равноценно предположению об отсутствии в точке разветвле-
разветвления какого-либо дополнительного импеданса (например, инерци-
инерционного или упругого), вызывающего перепад давления;
9v SAt SAr __ SAt , cM,
(непрерывность объемной скорости).
Отсюда коэффициент отражения:
r — ^r— 14-L§2L*
At~ ^2 ~S*
коэффициент прохождения:
At
, g2pg * , _1
^ 25Z "^ 2
5
Тот же вопрос можно решить, вычисляя отражение от импе-
импеданса, составленного из параллельного соединения импедансов
Spc и Zj. При отсутствии отверстияZa = оо, г = 0и t=l, т. е.
звук проходит беспрепятственно. При отверстии, ведущем в сво-
свободное пространство или в трубку длиной j, .можно считать
Zs^O; мы получим г^—1 и t = 0, т. е. полное отражение.
Если Zc = R^JrJYcs представляет импеданс резонатора с малым
затуханием, то при резонансной частоте Za = 7?a и, поскольку Ra
малая величина, в этом случае получим также г^=* — 1 и t^0.
На этом принципе работает фильтр Квинке, состоящий из ряда
боковых трубок длиной / = -г. На резонансной частоте звук
через основную трубу не проходит; колебания замыкаются на
резонаторы, и волна полностью отражается назад. При часто-
частотах, на которых / = rij, звук будет проходить через трубу бес-
беспрепятственно. Открытые боковые трубки длиной (л + т>-\г
также почти не будут влиять на прохождение звука, так как
для них Za очень велико.

Разветвление трубы (площади S) на две ветви
с импедансами Ъх и Z2, сосредоточенными
на площадях ot и <з2
Для этого случая, аналогично предыдущему, напишем гра-
граничные условия:
At -f- Ar = А\ = А%>
SAj SAr_afAl , <ф42
?c 9c'— z, "t" z2
где Д, Лг, i4t и Л2— соответственные амплитуды давления.
Введем величину
^вход^ = 1 = of , oj == 1 , 1 =^2
Рвход Z Zi ^a Zi ' Z~2 Z '
7 у
где Zj = ^; Z2 = ^2-2 — акустические импедансы отверстий о,
и с2, Z — механический импеданс на входе и Z — акустический
импеданс на входе. Из граничных условий найдем коэффици-
коэффициент отражения:
х- Pi
г =4? = ?11^=- ?_
Л Z + 5c
Отметим, что „параллельное" соединение механических импе-
дансов Zi и Z2 дает механический импеданс
5
52
Акустический импеданс Z = -—^-4-, т. е. получается фор-
мула для параллельного соединения импедансоз Zx и Z2.
Для амплитуд скоростей на входе Zx и Z2 получим:
2Z
При Z = PJ- (или Z = Spc) r=0, т. е. отражения при раз-
разветвлении не произойдет и весь звук пройдет в импедансы Zx
12» 179

и Z2. Если труба разветвляется на две бесконечные трубки,
то этот результат получится при условии
«? . 4 =S
или
Чтобы избежать отражения звука на разветвлении двух беско-
бесконечных трубок, необходимо сумму их площадей сделать равной
площади главного звукопровода S. При разветвлении на п
бесконечных трубок разного диаметра отражения не будет
при условии: п
Мембрана и пластика как элемент, возбуждающий
волны в трубе
Волновое движение в трубах часто возбуждается мембра-
мембранами или пластинками, причем их поверхность изгибается по
некоторому более или менее сложному закону.
В гл. 6 показано, что для длинных волн излучение распрост-
распространяется в форме плоской волны, возбуждаемой суммарной
объемной пульсацией, даваемой мембраной, и не зависит от
формы ее колебаний. Собственный импеданс колеблющейся
пластинки или мембраны, представляющей распределенную сис-
систему, можно условно отнести к центру системы, движение ко-
которого характеризуется некоторой скоростью и0. Учитывая кине-
кинетическую, потенциальную и рассеянную в системе энергию, вве-
введем некоторые эквивалентные параметры М\ Е и ф, характери-
характеризующие массу, упругость и трение для системы, „приведенной
к центру". Таким образом, мы заменяем распределенную систему
системой с одной степенью свободы с эквивалентными массой М\
упругостью Е' и коэффициентом трения /^. Кроме того, силу,
действующую на систему по всей ее площади, придется заме-
заменить эквивалентной силой ф0, действующей в центре и произво-
производящей ту же самую работу. Кроме объемной пульсации, порож-
порождающей плоскую волну, мембрана или пластинка дает дополни-
дополнительные колебания в окружающей среде, вызываемые высшими
модами колебания поверхности. При длинных волнах высшие
моды не порождают волн, распространяющихся в трубе, и возбуж-
возбуждают колебательный процесс лишь в ближней зоне. Это
приводит к возникновению дополнительной энергии, связанной
с этими колебаниями, и формально может быть выражено как
появление добавочной или „присоединенной" массы, как бы
движущейся в целом со скоростью щ. Для колебаний в воздухе
180

эта добавочная масса обычно мала и может не приниматься
в расчет. В жидкости такое пренебрежение недопустимо.
Величина эквивалентных параметров М\ Е' и F? будет зависеть
от формы колебаний мембраны или пластинки. Этот вопрос
подробно разобран для круглых пластинок и мембран*. Для
круглой мембраны радиуса г0 закон распределения амплитуды
колебания в зависимости от полярной координаты г для стати-
статической деформации и для вынужденных колебаний низких
частот, вызываемых распределенной по всей площади силой,
имеет вид**:
где й0 — амплитуда в центре. В данном случае
Для частоты первого резонанса мембраны, когда вся ее пло-
площадь колеблется в одной фазе,
Яг) = /, B,40 JL).
Для пластинки, зажатой по окружности, при низких частотах
а на первой резонансной частоте
где
/=/ — 1 и Х = 0,056.
Для пластинки, опертой по окружности так, что ее края не
могут смещаться, но могут свободно перегибаться около непо-
неподвижной линии опоры, при низких частотах
/(г)= 1 zr2 ?
'о
т. е. закон распределения такой же, как и для мембраны. Остро-
Остроумовым *** вычислены собственные частоты таких пластинок.
Величина эквивалентной массы определится из равенства
кинетической энергии эквивалентной системы, движущейся как
* С. Н. Ржевкин. ЖТФ, т. V, 1440, 1935.
** С. П. Тимошенко. Теория колебаний в инженерном деле,
гл. IV. ГНТИ, М., 1931.
*•• Г. А. Остроумов. ЖТФ, т. V, вып. 6, 1935, стр 947.

поршень со скоростью щ, и действительной кинетической энергии
всей системы, определяемой интеграцией по площади. По-
Поскольку скорость в центре имеет наибольшую величину,
равенство кинетической энергии поршня, движущегося со ско-
скоростью к0 с полной кинетической энергией, может получиться,
если положим эквивалентную массу М равной некоторой части р
от полной массы М мембраны или пластинки:
Коэффициент р называется коэффициентом массы и опреде-
определяется усреднением квадрата скорости колебаний по площади:
о
Объемная скорость, создаваемая колеблющейся мембраной пло-
площади S, будет меньше чем S щ и равна Хо = ?Sho> где ? — коэф-
коэффициент площади — вычисляется по формуле:
Расчет мощности, излучаемой в форме плоской волны по трубе,
возбуждаемой колебаниями пластинки или мембраны, следует
вести, взяв среднюю скорость, создаваемую на плошади 5, как
это следует из соображений, изложенных в главе 6 о неодно-
неоднородных волнах в трубе. Мощность II будет равна
При вычислении коэффициента упругости полости объема V,
колебания в которой возбуждаются мембраной площади 5,
также следует взять эквивалентную площадь ?5:
С—
Вычисление эквивалентной упругости Е для мембран и пласти-
пластинок при возбуждении равномерным давлением и при возбуж-
возбуждении силой, сосредоточенной в центре, производится путем под-
подсчета полной упругой энергии деформированной мембраны
или пластинки и представления ее в форме V=^-E и\.Резуль-
и\.Результаты расчетов Е приведены в табл. 7, где т — коэффициент
натяжения мембраны, ^ — коэффициент Пуассона, а Ею — модуль
Юнга. В этой же таблице приведены другие постоянные для
мембран и пластин,
/82

Таблица
Вид системы
Круглая мембрана
под действием равно-
равномерного давления при
низких частотах
То же на частоте
основного тона
Круглая, зажатая по
краю пластинка тол-
толщиной d под дей-
действием равномерного
давления р0 при низ-
низких частотах
То же при частоте
основного тона
Круглая, зажатая по
краю пластинка под
действием силы ф0, со-
сосредоточенной в цен-
центре, при низких часто-
частотах
Круглая пластинка,
опертая по краю при
низких частотах и при
действии равномер-
равномерного давления р0
То же для частоты
основного тона
Коэффициент
массы j3
~ = 0,333
о
0,269
5=0,20
0,183
1 = 0,13
— = 0,333
о
0,30
Коэффициент
площади 7
-[ = 0,5
0 432
-1 =0,333
о
0,306
\ =0,25
1 = 0,5
0,451
Эквивалент-
Эквивалентная упру-
упругость в цен-
центре Е'
1,558 т
9/1A—fx2)
Е 3
4 Е db
—
Эквивалент-
ная сила в
центре фо
-Sp.
0,432Sp0
? р0
0,306 Sp0
i
—
/83

Общая работа внешней силы, распределенной по опреде-
определенному закону по поверхности мембраны или пластинки, мо-
может быть заменена работой некоторой эквивалентной силы,
приведенной к центру. Так, например, работа сил равномерного
давления р0, производимая при смещении в центре на Ъа0 круглой
мембраны или пластинки, колеблющейся по закону u = aQf(r),
будет равна:
= С р0 baj(r)-2i:rdr = 2ir/?08a0 f f(r) rdr =p0 (tSL-
Таким образом, ясно, что эквивалентная сила в центре будет
раВНа: t.
а не pQS, как можно было бы думать на первый взгляд.
Резонансный звукопоглотитель
В качестве примера применения изложенных методов рас-
расчета звукопроводов разберем действие резонансного звуко-
поглотителя, разработанного трудами ряда советских акустиков*.
Предположим, что по узлам квадратной решетки на поверх-
поверхности стены расположены резонаторы (рис. 53), из которых
! I I I I
—I j 1 1 j_
L
—I
О i О
о
о
—г 1 1 1 \-
о
i
j
о ! о
I 1 j
О i О
О ! О
i
I i
-I 4- у 4- f-
I i i I i
Рис. 53
каждый занимает площадь S. Если звук падает на эту систему
нормально к поверхности стены, то из соображений симметрии
ясно, что в процессе распространения звука ничто не изменится,
* См. обзор работ. С. Н. Ржевкин. УФН, т. XXX, вып. 1—2,
1946, стр. 40; Z. S. fur Hochfr. und Elektroak. 67, 128 A958).
184

если разделим все пространство на каналы, квадратного сече-
сечения с жесткими стенками, опирающиеся на контуры ячеек, раз-
разграничивающих резонаторы друг от друга (пунктир на рис. 53).
В случае нормального падения звука для рассмотрения явле-
явления безразлично, будут ли резонаторы отделены друг от друга
реальными перегородками или эти перегородки будут отсутство-
отсутствовать. Таким образом, мы можем рассматривать распространение
звука в трубе площади 5, на конце которой имеется отверстие
площади о, ведущее в полость резонатора объема V. При низ-
низких частотах импеданс на входе резонатора (при Х^> YV) бу-
будет равен:
где /? и М — сопротивление и масса в горле резонатора.
Если объем резонатора представляет отрезок трубы того
же сечения S и длины /, то применяется более точная формула
(гл. 5), пригодная уже для любых частот:
¦ Импеданс на конце трубы, у поверхности слоя с отверстиями
„Безразмерный импеданси на конце трубы, выраженный в долях
рс и рассчитанный на единицу площади трубы, будет равен:
где
Здесь /?, обозначает „безразмерное сопротивление", а Мг —
„безразмерную массу". Величина zigkl является безразмерным
импедансом отрезка трубы длины /.
Коэффициент отражения звука от стены, покрытой резонато-
резонаторами,
z \ /? l+yfoM ctg/g/) .
K ' '
185

При Я1=
= ^-рс) и mMl =
(или
получим г = 0, то есть происходит полное поглощение звука.
Коэффициент поглощения звука (по энергии) а = 1 — | гр |2 в
этом случае равен единице.
Если построить кривую а в функции от со, то по-
4/?
4/?i
лучим зависимость с рядом максимумов, равных <т? 4- п2
отвечающих корням уравнения WW i =ctg —, и минимумов, рав-
равных нулю, соответствующих — = яти, или / = п -н- (рис. 54).
Рис. 54
Для получения г=1 необходимо подобрать сопротивление
трения в отверстии в соответствии с величинами о и S, со-
гласно формуле:/?=-^-рс • Такой подбор практически всегда
можно сделать.
Рассмотрим подробней случай длинных волн
^—г = ——
со/ о)
При этом
и
G,26)
Величина Et=-j- может быть'названа „безразмерной упруго-
упругостью" на единицу площади трубы. Легко видеть, что Ех =
— „<—, где Е=-^-Л упругость резонатора в мех. омах.
¦рс
186

Резонансная частота системы, при которой получится мак-
максимум поглощения,
где К—проводимость горла резонатора, а V— его объем. На основа-
основании E,30) коэффициент поглощения а= ~—^
График изменения а будет иметь один максимум и приблизительно
выразится первым отрезком кривой на рис. 54. Крутизна резо-
резонансной кривбй определяется декрементом затухания системы.
Максимальное поглощение будет равно ат= * .
Оно может быть осуществлено при двух различных значениях Rl9
которые можно найти, рассматривая написанное для а соотношение
как квадратное уравнение относительно /?ь считая ат параметром.
Уравнение будет иметь вид: /^ — 2 —~~°'т • /?х -\-1 = 0. Два
корня /?(}) и /?(\) этого уравнения связаны соотношением /?(\) - /?(\ ]=
= 1. Один из них будет больше единицы, другой — меньше. В пер-
первом случае кривая резонанса пологая, во втором — острая.
Для практики важно получить возможно большее поглощение
в широком диапазоне частот, поэтому выбирают /?i^>l.
Для этого следует соответственным образом рассчитать пара-
параметры резонансной системы S, а, /, /С и /?.
На импеданс-диаграмме (рис. 55) точка, изображающая им-
импеданс системы при изменении частоты, будет перемещаться,
согласно уравнению G,26), по прямой Z', параллельной оси
ординат, пересекая ось абсцисс в точке /?ь что соответствует
частоте оз = оз0, при которой реактивное сопротивление исчезает
(резонанс). Пусть при а> = а>0 коэффициент поглощения будет
ат. Из двух возможных значений ^ возьмем большее, соот-
соответствующее более задемпфированному резонатору. Эта вели-
величина /?j соответствует центру некоторой окружности равного
поглощения а = аь радиус которой (см. гл. 5) равен:
л абсцисса центра R'1=—"¦—
С другой стороны,

откуда
2-а,
~vt -?-?-. G>27>
где rx — удельное сопротивление в горле резонатора. Выражая
<хт через а19 получим:
<хт = at B — at), или —5L- = 2 —ale
G,28)
Эта величина характеризует в известной мере степень нерав-
неравномерности поглощения звука в некотором диапазоне частот
Рис. 55
между частотами ft и /2 (на нижнем и верхнем склоне резонан-
резонансной кривой), при которых а = а1. Потребуем, чтобы величина
коэффициента поглощения a = 04 получалась при круговой
частоте u>l = 2rKfl (ниже резонанса) в наинизшей точке окруж-
окружности, соответствующей a = ai (точка В), и при частоте
оJ = 2тс/2 (выше резонанса) в наивысшей точке окружности
(точка А) (рис. 55). Очевидно, что при этом a^>at в наиболее
широком диапазоне частот. В точках А и В реактивная часть Yx
должна будет равняться -f-p' или —р'.
188

Следовательно
Et 2]/Т=1
= 4- —
Из этих двух уравнений найдем:
Согласно соотношению G,11), можно принять (не учитывая по
правку F[jj)9 даваемую формулой Фока, т. е. при d <0,2 l/~—
что
К=
где d — диаметр горла резонатора, a b — его длина. Уравне-
Уравнения G,27) и G,30) можно рассматривать как_систему двух урав-
уравнений относительно неизвестных d=2 у — и а= y~S~. Под-
Подставим в равенство G,30) величину К и найдем:
1) диаметр горла резонатора:
1
2) расстояния между центрами отверстий резонаторов:
a=V^-=V~*?dyr*E^. G,32)
Формулы G,29), G,31) и G,32) позволяют вычислить геометри-
геометрические параметры резонансного звукопоглотителя: глубину
слоя резонаторов /, диаметр отверстий d и расстояние между
отверстиями а при условии, что a^>aj в диапазоне частот от ft до/2.
Очевидно, что, задавая аь мы предопределяем, согласно соот-
соотношению G,28), величину неравномерности поглощения — в за-
заданном диапазоне частот. Удельное сопротивление фрикцион-
фрикционного материала гх можно считать заданным; его можно варь-
варьировать в широких пределах. Необходимо также задать тол-
189

щину передней стенки, которая определяет длину горла
резонаторов.
Рассмотрение вопроса о коэффициенте поглощения резонан-
резонансного звукопоглотителя при падении звука под углом к нормали
выходит за рамки вопросов, разбираемых в этой главе.
Для получения равномерного и сильного поглощения в ши-
широком диапазоне частот применяются многослойные резонанс-
резонансные поглотители (рис. 56), в которых резонансная система
/ Z J
ivf
Рис. 56
состоит из последовательного соединения ряда резонаторов
(глубины которых, считая снаружи, равны 1Ь /2, /3...), связан-
связанных друг с другом отверстиями, в которых находятся сопро-
сопротивления /?i, /?2, /?3... • Для расчета такой системы восполь-
воспользуемся формулой для входного импеданса трубы, замкнутой
на импеданс Zt (гл. 5), причем все импедансы ОуДем выражать
на единицу площади трубы 6* и в долях рс, т. е. брать безраз-
безразмерные импедансы. Импеданс на входе имеет вид:
у у I j &\ПЫ ~\- ZjCO&kl ,j qm
^оо— ^0-f jZt sink! + coskl ' V'00'
Для /z-го слоя (первый от стены), для которого Zl = oof необ-
необходимо принять за Zo импеданс отверстия в перегородке /z-ro
слоя, а / положить равным /л.
Вводя в дальнейшем обозначения, указанные на рис. 56,
имеем для импеданса на входе п-го слоя:
™ = Rn +А*мп - ctg ut) = z; —j ctg ki» \
где
G,34)
'Кп
J
190

Для (п — 1)-го слоя (второго от стены) положим импеданс
равным:
Zn-X = Rn_l -\-jkM „_!,
где R п-1 и М л_1 определяются аналогично соотношению G,34).
Произведя некоторое преобразование G,33), найдем импеданс на
входе {п—1)-го слоя:
7 вх == г , Jstnkln^+Z™ cos/?/„_!
У ctg kl n-i(ZBnxj sin kln_ t + cos kln_ 0 + у sin /?/„_! + ZBnx cos ?/„_ t
ZB^y sin kln_1 + cos ^/л_1
У
=z;_ i —у ctg а/л_ и sin/g/д,!
:_.ctgfe/ra_i), G,35)
Формула G,35) дает общее выражение импеданса на входе
некоторого (п—1)-го слоя через импеданс на входе следую-
следующего, п-го слоя. Применяя выражение G,35) к (п — 2)-му слою,
для чего вместо Z" надо будет подставить Z^-i, найдем;
Продолжая процедуру нахождения импеданса на входе до 1-го
слоя, на входе всего поглотителя получим импеданс в виде
непрерывной дроби:
=Z.
1
sin2?/i
5%(^+
G,36)
Здесь Z! = /?! -f- у (AAfi — ctgA/0, а величины Z2, Z3, Z4... оп-
определяются формулами G,35). Они представляют импедансы
парциальных систем, получившихся при закрывании всех от-
191

верстий, кроме одного. Так, Z{ составляется из импеданса /-го
отверстия Z/ с присоединенными к нему с обеих сторон труб-
трубками длины 1г и /,-_!. В. С. Нестеров, предложивший вывод фор-
формул G,35) и G,36), дал подробные методы расчета входного
импеданса многослойных систем при помощи специально постро-
построенных номограмм*. Многослойные резонансные системы можно
рассчитывать также при помощи импеданс-диаграммы. Теории
резонансных звукопоглотителей посвящено значительное коли-
количество работ. Двухслойные и трехслойные системы рассчитаны
С. Н. Ржевкиным** и В. С. Нестеровым***.
Акустические фильтры
Отрезок трубы можно трактовать как симметричный че-
четырехполюсник (гл. 5) и написать для него по методу электро-
электроакустических аналогий уравнения:
где
A = D = ChT/; B = 9~
G,37)
Величина f = р -f-/a (см. гл. 5) есть постоянная распростране-
распространения ****. Отрезок трубы является симметричным четырехпо-
четырехполюсником, так как для него коэффициенты А и D равны и
коэффициенты А В, С и D связаны соотношением:
AD — ВС=\ G,38)
(справедливым также и для несимметричного четырехполюсника).
При соблюдении этих условий можно исключить два парамет-
параметра и для характеристики симметричного четырехполюсника ис-
. пользовать из четырех параметров А, В, С и D только два.
Удобнее ввести два новых параметра. За один из них примем
волновое сопротивление или характеристический импеданс
четырехполюсника Zo. Для трубы длиной /, на конце которой
присоединена бесконечная труба того же сечения, на выходе
* В. С. Нестеров. ДАН СССР, т. XXXI, №3, 1941, стр. 237.
** С. Н. Ржевкин. ДАН CGCP, т. XXII, №9, 1939, стр. 568.
*** В. С. Н е с т е р о в. ЖТФ, т. IX, вып. 19, 1939, 1727; т. X, вып.
8, 1940, 617.
**** мы применяем здесь для акустических величин обозначения, приня-
принятые в теории электрических линий и фильтров. Дальнейшее изложение тео-
теории акустических фильтров совершенно аналогично теории электрических
линий и фильтров.
192

имеем волновое сопротивление Z, = -~ = ~. В этом случае из
выражений G,37) и G,38) следует, что
S"
т. е. волновое сопротивление (акустическое) отрезка трубы,
замкнутой на волновое сопротивление, также равно ^=Zt.
За второй параметр примем натуральный логарифм отноше-
отношения у (которое при нагрузке на Zo будет равно ~). Этот па-
параметр называется постоянной распространения четырехпо-
четырехполюсника Г. Величины Zo и Г полностью характеризуют сим-
симметричный четырехполюсник.
Определим Zo и Г для случая симметричного четы-
четырехполюсника. Положим Zj = у- = Zo, тогда
7 —v*—h
°"~ h~ rVi
откуда
Zo=
Для определения Г положим ~ = еТ и найдем:
* — vi
Так как еТ = СЬГ -f Shr, то
A = D = СЬГ; /ВС = /Л2—1 = Shr,
или
Таким образом,
Г = arc Ch A = arc Sh (ВСI '¦. G,39 а)
Из формул G,37) найдем сопротивление короткого замы-
замыкания четырехполюсника Zk и сопротивление холостого хода
Zoo, полагая соответственно U = 0 или Vi = 0:
7 —в и 7 —А
^k— A И Zoo— C.
13 С. Н. Ршевкин 193

Из этих соотношений получим важную формулу:
Z7 В
или Zo =
Все выведенные здесь соотношения, равно как и дальнейшая
теория фильтров, годятся не только для отрезка трубы, но и
для любых симметричных четырехполюсников, удовлетворяющих
G,38) при условии A = D.
Если на выходе симметричного четырехполюсника включен
произвольный импеданс Zi, то на основании G,37)
^ = СЬГ
Shr = СЬГ A
|° Thlj,
T*e* ^/ /f; но если Zo=z" T0 I?; if-
Импеданс Z^ на входе уже не будет равен Zo:
z:=z0
G,40)
При больших значениях затухания Г(ТИГя^1) и при условии
Zz ^ Zo или Z/ ^Zo из выражения G,40) найдем, что Zi ^ Za
независимо от импеданса Zx на выходе.
Рис. 57
П-образные звенья
4-. Ц1
Рис. 58
Построим систему акустических сопротивлений в виде соче-
сочетания ряда одинаковых ячеек, присоединенных друг к другу
и образующих бесконечную цепочку. На рис. 57 и 58 такая
194

цепочка изображена схематически аналогично цепочке из элек-
электрических импедансов. Схема на рис. 57 показывает цепочку,
состоящую из Г-образных звеньев; одна ячейка (обведена пунк-
тиром) содержит два импеданса у в последовательной ветви и
Г- звено
Рис. 59
импеданс Z2 в параллельной ветви. Цепочка на рис. 58 состоит
из /7-образных звеньев: Zx— в последовательной ветви и 2Z2—
в параллельных. Очевидно, два последовательных импеданса ~~
в средних звеньях Г-цепочки могут быть соединены в один импе-
Т-звеио
Щ Ц
I I.
Рис. 60
I I
дане Zx и лишь на концах остаются импедансы у. Анологично
в Я-цепочке параллельно соединенные срединные импедансы
2Z2 превращаются в Z2 и лишь на концах остаются элементы
2Za в параллельной ветви. Акустическая модификация беско-
бесконечной цепочки, состоящей из отдельных ячеек, показана на
рис. 59 и 60.
13*
195

Последовательные ветви Zt осуществляются в форме от-
отрезков трубы, параллельные — в форме объемов V, присоединен-
присоединенных сбоку через прорезы между узкими трубами или через
боковые отверстия в них.
Найдем параметры Zo и Г для Т- и /7-цепочек. Для /7-звена
будем иметь определенные соотношения давлений ~ и объем-
объемных скоростей -~ на входе и выходе, легко выводимые из эк-
Zo Vo
Z,
¦ t
?7 97
Рис. 61
Бивалентной электрической схемы (рис. 61) при условии, что
импеданс на входе звена равен Zo, когда на выходе имеется
также импеданс Zo:
/о = 2Z2 + 2Z, + II'
v.-(i.-?)zt=vt.
Решая эти уравнения относительно Vo и /0, найдем:
Из этих уравнений ясно, что коэффициенты /7-цепочки бу-
будут иметь следующие значения:
Boлнoвot сопротивление
196

а постоянная распространения на одно звено определится из
соотношений:
=A = \ + §- ; ShT1= /5C=l/"lL( ! + #)'•
G,42)
2 — V 2 — 2 V Z3 }
Для Г-цепочки таким же путем найдем:
Величина Г\ для Г-цепочки будет определяться теми же соот-
соотношениями G,42). Для одного звена того и другого вида имеем:
./
при условии, что на выходе стоит импеданс Zt = Zo, равный
волновому сопротивлению.
Для цепочки из п звеньев постоянная распространения Г =
= nTi. Импеданс на входе такой цепочки останется равным Zo,
как и для одной ячейки.
Если импедансы Zx и Z2 чисто реактивные, то можно
положить:
Z\=jX\ и Zz=jXz>
где Хх и Х2 могут быть положительны (инерционное сопротив-
сопротивление) или отрицательны (упругое сопротивление). В этом
случае
J
G,43)
Постоянная распространения для звеньев обоих видов опреде-
определяется из соотношения:
Если A't и А'з имеют одинаковый знак, т. е. если и в последо-
последовательной и параллельной ветвях стоят только инерционные
или только упругие сопротивления, то, согласно соотношению
G,44), Ch Ft ^> 1 и 1\ будет вещественным. Цепочка будет лишь
ослаблять амплитуду, не изменяя фазы. Такие цепочки назы-
называют аттенюаторами. Точно так же будет вести себя це-
цепочка, состоящая только из активных сопротивлений.
197

Если Х{ и Хъ имеют разные знаки, то величина ChF, ве-
вещественна, но меньше единицы и даже может стать меньше
нуля. В этом случае Г4 комплексно:
Г1==*+уа, G,45)
где Ъ — постоянная затухания, а а — фазовая постоянная, рас-
рассчитанная на одну ячейку. Фазовая скорость (число ячеек,
проходимых волной за единицу времени) будет равна ~.
Если СИГ1! > 1, то 1\ — вещественно и а = 0, а фазовая скорость
бесконечна. Волновой процесс в таких цепочках (аттенюаторах)
невозможен. Если СЫ\<^1, то, учитывая G,45), получим
= Ch b • cos a +у Sh b . sin a.
Согласно G,44), величина ChFj всегда вещественна, а при
разных знаках Хх и <Y2 она меньше единицы. Вещественная
величина ChFb согласно равенству G,45а), может получиться
в двух случаях:
1) Sh6 = 0, или Chb=\,
2) sin a — 0, или
В первом случае, очевидно, b = 0. Величина 1\ определится
из выражения:
a = cosa=l+^ =1 —^4- G,46)
В этом случае затухание отсутствует (Ь = 0), а фаза
изменяется при прохождении каждого звена на величину а.
Чтобы а имело вещественное значение, очевидно, должно
соблюдаться условие: —1 ^>cosa^>-(-1, то есть
— 1^1-^y^^+l или 0<j^j-^4. G,47)
Это условие применимо как для /7-, так и для Г-фильтров.
Поскольку Х\ и Хъ — функции частоты, то условие G,47) мо-
может быть реализовано только в определенной области частот.
Какова будет эта область, зависит от вида функции Xt(^)
и X* ((о). Из формулы G,43) ясно, что при соблюдении усло-
условия G,47) волновое сопротивление цепочки будет чисто ак-
активным.
Во втором случае sin a = 0, т. е. а = 0, или а = тг, a b 9^ 0.
При cosa = -f~l (когда а —0) получим:
ChrCh6l}^f
198

При cos a = — 1 (когда а =
или
G,49)
Так как при b вещественном всегда Ch?>l, то условие а = 0
I х I
будет выполняться только, если f— = 0, т. е. либо при Х\ = О,
либо при ^2 = °°- Этот случай может возникнуть, очевидно,
только при некоторых дискретных значениях частоты оо. Усло-
Условие а = я реализуется при
|ff 2*4. G,50)
Оно может соблюдаться в целой области частот.
IV I I V" |
Как при т-7гт = 0, так и при * ^ 4 на каждом звене це-
I -ла I I л8 |
почки наблюдается ослабление давления и скорости в е раз
Величина фазы в случае а = п, представляющем основной инте-
интерес, меняется в каждом последующем звене на обратную. Вол-
Волновое сопротивление при а = 0 и при а = тс будет, согласно
формулам G,43), чисто реактивным.
Рассматриваемая цепочка, для которой Хх и Х^ имеют
разные знаки, ведет себя совершенно по-разному в двух раз-
различных областях частот. В области частот, для которой соблю-
соблюдается условие G,47), цепочка пропускает волновое движение
без ослабления, при этом на каждом звене фаза изменяется
на а. Величина а определяется формулой G,46) и лежит
в пределах от 0 до %. Через цепочку будет, таким образом,
свободно проходить волна; это — область пропускания. В этой
области волновое сопротивление цепочки чисто активное.
В области частот, для которой соблюдается условие G,50), на
каждом звене происходит затухание в еь раз (b = arc Ch ^~\ — 1м
и изменение фазы на 180°, это — область ослабления или
запрета. Здесь волновое сопротивление реактивно.
Цепочки, обладающие описанными свойствами, называются
фильтрами. Итак, для фильтровых цепочек при
0^|-~~^4 имеем область пропускания,
а при
I X I
]~т ^> 4 — область ослабления.
199

Условие [4Ц- = 4 определяет граничную частоту фильтра,
отделяющую область пропускания от области ослабления. Вол-
Волновое сопротивление как /7-, так и Г-цепочки, согласно соотно-
соотношениям G,43), в области пропускания будет активным, а в об-
области ослабления — реактивным. Следовательно, в области ослаб-
ослабления источник, присоединенный к фильтру, не затрачивает
работы. Если фильтр присоединен на выходе к трубе (или
линии) с активным характеристическим сопротивлением R, то
в области ослабления, где Zo чисто мнимое (Zo=/Yo), коэф-
коэффициент отражения на входе фильтра будет равен:
—l в ' ГДе lS^~ y-
Таким образом |г| = 1, т. е. вся энергия волны отразится
на нходе. В начальный момент после включения фильтра в него,
конечно, будет идти некоторый поток энергии, который посте-
постепенно спадет до нуля, после чего установится стационарное
состояние. В фильтре установятся своеобразные стоячие волны;
в каждой последующей ячейке амплитуда колебаний будет
уменьшаться в еь раз, причем давление и скорость (напряжение
и ток) будут отличаться по фазе на ~. При переходе от одной
ячейки к другой фаза давления (или скорости) будет меняться
скачком на тс. Факт уменьшения амплитуды в еь раз на каж-
каждой ячейке характеризует механизм работы фильтра, но он не
характеризует собой степень затухания волны, так как вообще
волнового процесса в фильтре в этой области частот нет.
В области пропускания волновое сопротивление чисто ак-
активное (Z0 = /?o) и коэффициент отражения на входе фильтра
Г) Г)
f\Q /\ ^
" D i г>
будет меньше единицы. Часть энергии войдет в фильтр и прой-
пройдет через него. Если сделать /? = /?0, то г = 0 и вся энергия
падающей волны пройдет через фильтр.
Выходное сопротивление фильтра практически всегда
будет иметь некоторую активную компоненту. Таким обра-
образом, точно реализовать на выходе реактивное волновое со-
сопротивление, необходимое для соблюдения условий работы
бесконечной цепочки, нельзя, и последнее звено фильтра рабо-
работает всегда на сопротивление/ неравное волновому, и потому
величина г будет отличаться от расчетной. Практически, однако,
удается эти отклонения сделать не слишком большими.
Фильтр низкой частоты. Пусть цепочка состоит (рис. 59)
из Т звеньев с инерционными последовательными сопротивле-
20©

ниями в форме отрезков коротких (/ <[ X) трубок с акустическим
импедансом Z1=yu)-^- = yWW1 и с параллельными сопротивле-
сопротивлениями в форме боковых объемов V с импедансом
^ /со К ^ со
Следовательно, имеем:
Условие G,47) для полосы пропускания примет вид:
откуда верхняя граничная частота полосы пропускания
где К—проводимость трубки длины / с сечением а.
Итак, граничная частота равна удвоенной частоте /0 резонатора
с проводимостью горла К и объемом V. При частотах ниже
граничной мы имеем область пропускания низких частот от О
до /гр, для которой из соотношения G,46) найдем фазовую
постоянную:
cosa_i 2Mrs|—I 2^/oj^
.а /
Sin2" —2/o'
Для частот, значительно ниже граничной, получим:
а = 2 arc sin ~ «« ~.
Время прохождения звуковой волной одной ячейки в этой
области частот
где щ — круговая резонансная частота для системы Мъ Е2.
Фазовая скорость волны в цепочке (т. е. число ячеек, пробе-
пробегаемых волной за 1 сек.) при f<Cfr?
с = г = ~ *** I/ f> == «>0 = const.
201

Цепочки подобного рода имеют большое практическое значение
для получения временного запаздывания независимого от ча-
частоты. Они разработаны применительно к электрическим и аку-
акустическим системам, предназначенным для получения заданного
временного сдвига какого-либо процесса, и носят название ли-
линий задержки.
Величина постоянной затухания в области ослабления для
фильтра низкой частоты определится из равенства G,49):
Ch2=
Затухание будет иметь место только при /^>/гр. Нетрудно
найти, что вблизи от граничной частоты b я« /8 \ 4~ , где
Д/=/-/гР.
Волновое сопротивление для П- и Г-звеньев найдем по фор-
формулам G,43):
У
П>
G,54)
Таким образом, волновое сопротивление изменяется с частотой
по определенному закону, и поэтому очень трудно подобрать
на выходе такое Zh чтобы оно всегда равнялось Zo. Только
в области низких частот (/<^/гр) волновое сопротивление не
зависит от частоты и будет чисто активным. Из формулы
G,54) легко видеть, что постоянство Zo будет соблюдаться
с ошибкой меньше 13% при частотах /<С 2 *
В реальных акустических фильтрах удается осуществить
инерционный импеданс в последовательной цепи лишь при низ-
низких частотах (для которых /<!§-)• При повышении частоты из-
изменение Zt для отреза трубы, строго говоря, следует закону
При /= -, Z!=/oo, а затем Zx становится отрицательным и
мнимым. В результате оказывается, что фильтр подобного
рода будет иметь уже не одну, а несколько областей пропускания
и ослабления.
202

Фильтр высокой частоты. Фильтр высокой частоты осу-
осуществляется в виде трубы с боковыми отверстиями (рис. 60).
В этом случае
где ?| = Цг — упругость объема V= SI, лежащего между
двумя отверстиями, а а>М2 — инерционное сопротивление боко-
боковой трубки (М2 = L , где /С2 — проводимость отверстия).
Условие G,47) для полосы пропускания будет иметь вид:
Граничная частота фильтра равна:
f —Ll-i/яГ — L^o
Гч—22ку мГ22л'
где оH — круговая частота резонатора с объемом V и проводи-
проводимостью горла ^-. Фазовая постоянная а в области пропускания
o определится из выражения G,46):
_l Л_/гр
"/ ~" / *
При частотах /^/гр
Время прохождения волной одной ячейки при />>/гр будет
^ о.
т. е. не является постоянным; система обладает дисперсией.
Постоянная затухания (в области 0^/^/гр) определится по
формуле G,49):
Вблизи граничной частоты д^/8|/^» где Л/=/_/г
При граничной частоте 6 = 0.
203

Волновое сопротивление получим из формулы G,43):
Как и в случае низкочастотного фильтра, полученные прибли-
приближенные формулы можно применять при частотах, для которых
/<V. В реальном фильтре высокой частоты имеется не одна,
а множество полос пропускания и поглощения.
Реализация фильтра-глушителя высокой частоты затруднена,
так как боковые отверстия выходят во внешнее пространство
и через них излучается звук. Хотя в области ослабления через
основной канал звук будет передаваться с большим затуханием,
но через боковые отверстия он будет частично проходить. Вслед-
Вследствие этого трубу фильтра надо звукоизолировав от внешнего
пространства.

ГЛАВА 8
СЛОЖНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ
Общее решение волнового уравнения
Предположим, что поверхность сферы радиуса г0 совершает
малые (по амплитуде скорости q) колебания, перпендикулярные
к поверхности сферы и зависящие от угловых координат Ъ и
ф (полярный угол и азимут) (рис. 62)
и времени t по закону:
Если все точки поверхности ко-
колеблются в функции времени по
некоторому закону в одной и той
же фазе, то можно положить:
?(&,<!>,*) = в (»,<?)•?(*). (8,1)
где ср(^) выражает общий для всей
сферы закон зависимости скорости
колебаний от времени, а и (&,ф) дает
распределение амплитуды по по-
верхности. Принимается, что функ-
функция и(*,ф) может иметь поло-
полоРис. 62
жительные или отрицательные значения или быть равной нулю.
Такой закон движения соответствует образованию некоторой
системы поверхностных стоячих волн, разделенных узловыми
линиями. При гармоническом законе колебания
Я (^»Ф»0 == п (^»Ф) * ?;W* (8,2)
Можно получить и другую форму колебания, полагая и(*,ф)
комплексным. Так, полагая, что и (Щ) = и @) • е ~Jm^, получим
205

на поверхности сферы бегущие в азимутальном направлении
волны вида:
q(b#jt) = u(b)e>{ut-m*, (8,3)
причем число т должно быть, очевидно, целым, иначе процесс
в данной точке не будет однозначным. Сумма двух, бегущих
в противоположных направлениях, волн равной амплитуды дает
стоячую волну вида (8,1).
Для решения вопроса об излучении колеблющейся сферы
введем сферические координаты, согласно соотношениям, выте-
вытекающим из рис. 62:
х = г • sin ft • cos ф,
y = r» sin b- sin ф,
z = r- cos fr.
Волновое уравнение с2ДФ = -^- в сферических координатах
примет вид:
с [дг* ^Т дг Т" г2 sin» W\SintrUj^r2 sin*& д^ \— dt
Для установившегося периодического волнового процесса с
круговой частотой со можно принять, что потенциал скоростей
звукового поля
Исключая в волновом уравнении время, получим:
2 № . 1 Г 1 д
Обозначив оператор, даваемый выражением в квадратных скоб-
скобках, через Д^ и умножая на г2, имеем:
Будем решать уравнение (8,4) по методу Фурье путем разде-
разделения переменных. Положим:
У(гАф) = /?(г).К(»,ф). (8,5)
Подставляя это соотношение в выражение (8,4), найдем:
дЩг) \ -
дг )
Л (г)
Правая и левая части этого уравнения могут равняться только
постоянной величине X. Получим два дифференциальных урав-
206

нения, связанных общей постоянной X. Для функции /?(/*), кото
рую обозначим просто /?, уравнение имеет вид:
\
+ k^=X или ^ + |<*
(здесь знак частной производной заменен на знак полной, так
как функция R зависит только от одной переменной г). Для
функции К(*>,ф) получим дифференциальное уравнение:
или
1Е
Уравнение (8,7) определяет особый вид функций, называемых
сферическими или шаровыми. Для него, как известно, суще-
существует однозначное, конечное и непрерывное решение* лишь
при условии:
X = т {т -{- 1), где т = 0, 1, 2, 3 ...
Частным решением уравнения (8,7) будет сферическая
функция порядка т 1-го рода, называемая часто поверхност-
поверхностной сферической функцией:
Ут («МО = я» A» (cos&) + * J? (ат, cos v<]> + ат, • sin v^) ./w(cos&>
v = 1
(8,8)
где Рт (cos ») = Рт (х) = ^ fx (л:2 -\)т =
_ЬЗ-5...Bот-1)Г т ¦ т(т — \) т_2 ,
~ т! L "+¦ 2Bт -1)'Х "г
, /я(//г — 1)AУ1 — 2)(уя — 3) w_4 ,
+ 2.4.B/л-1)B/л-3) #;C +•
полиномы Лежандра, выражающиеся только в функции от
.x = cosfr. Они называются также зональными сферическими
функциями, или сферическими функциями 1-го рода. Функции
вида
(amv cos vtj> -f- a'm, sin v<]>) P^ (x)
есть присоединенные сферические функции 1-го рода, завися-
зависящие И ОТ & И ОТ ф. ФуНКЦИИ Ят(СО8^)опРеДеляютсявь1РажениеМ:
Я?? W = A - ^2)v/2 ? [Рт (х)]9 (8,10)
где второй множитель является полиномом степени (т — v).
* В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III, гл. VI. Гостех-
издат М., 1956.
207

Для первых порядков имеем следующие выражения:
р() = 0; Р\ (х) = A — х*I/2 = sin ft;
р2" (х) = 3 A — Х2I/2 • х = 3 sin & cos d; (8,11)
= 3 A — X2) == 3 • sin2 »;
= 1-3-5...Bm
где m = 1 • 3 • 5... B/ra — 1).
Сферическая функция в виде
COSV<1>+ fe sin уф) Я;) (х) (8,12)
будет далее использована при решении волнового уравнения.
Для решения уравнения (8,6) положим /^ (г) = —4^ и
\ = гп(т-\-1); тогда уравнение (8,6) приведется к уравнению
Бесселя:
1\21
?+!¦?+[*•-
Решением этого уравнения является линейная комбинация
функций Бесселя и Неймана порядка (т-\--^\:
Vmif) = A'm-J , (kr) + Bm-M ; (kr). (8,13)
т -f — т + ~2
Здесь Ат и Вт — произвольные постоянные. Функции J , и
N j имеют осцилляторный характер.
Для исследования процессов излучения удобнее воспользо-
воспользоваться функциями Ганкеля 1-го и 2-го рода, которые качествен-
качественно подобны функциям —= и —=. Они выражаются через
функции Бесселя и Неймана:
208

Функции H{P(kr) и Hty(kr) в зависимости от (kr) монотонно
убывают по амплитуде (при kr ;> 1 убывание происходит по
закону г-1/*) и выражаются рядами с конечным числом членов
(полиномами):
S^; («.и)
Биномиальные коэффициенты имеют следующие значения:
(m\ m(m-\) ...(т—ч+1)л (т\_. (т\ _ 1. /0\ _. 0| _ ,
В дальнейших выкладках введем так называемые сферические
бесселевы, неймановы и ганкелевы, функции.
Эти функции порядка т получаются умножением на 1/ ^
основных функций порядка т-\--^. Обозначая z = kr, имеем:
сферическая бесселева функция jm{z)=y -^ • Jm+-j(z), '
сферическая нейманова функция пт {г) = 1/ ~ • N \ (z),
сферическая ганкелева функция 1-го рода
сферическая ганкелева функция 2-го рода
(8,16)
функции /тB;) и nm(z) первых порядков определяются следу-
следующими формулами*:
* Подобные таблицы сферических бесселевых функций имеются в Tables of
spherical Bessel functions. Columbia Univ. Press, New York, 1947 (Издание
американского бюро стандартов/
14 С. Н. Ржевкин 209

-| cos г;
— — §; sin г — (~ — jj • cos z;
(8,16)
Из формул (8,14) и (8,15) ясно, что при г — оо сферические ганке-
левы функции 1 и 2 рода пропорциональны — и — ; таким образом,
совпадает с функцией излучения точечного источника.
Учитывая подстановку /?(г) = —?=) можно записать частные
решения для потенциала скоростей в двух формах:
Фт (г, *, W = Ат ¦ Рт (Ь, ф) • jm (kr) e7"" +
+ Вт0Рт(Ъ,Ч)-пт(кг)е<°* (8,17)
или
Фт (Л », Ф, t) = am0 я; (», ф) • АЯ' (Лг) • в/в/ +
Произвольные постоянные Ат и 5т в решении (8,13) для
функции R{r) мы отбрасываем, поскольку уже вводятся произ-
произвольные постоянные Лт0 и 5т0 или aw0 и 6т0. Сумма решений
вида (8,17) или (8,18) является общим решением волнового
уравнения.
Потенциал скоростей при исследовании собственных колеба-
колебаний сферической полости удобно выразить в виде (8,17), при-
причем следует положить Вто=0, поскольку пт@) = — со,
а в центре сферы должно получиться конечное значение по-
потенциала. Для расчета собственных частот сферического слоя
необходимо учитывать второй член. При исследовании процес-
процессов излучения в свободное пространство второй член (8,17),
содержащий функцию hm(kr), следует отбросить, так как он
соответствует волнам типа eW + W /г, т. е. волнам, сходящимся
к центру, которые не могут возникать при излучении в свобод-
свободное пространство.
Функция h'm (z) является комплексной. Представим ее в виде:
*? (*) =Jm (г) -jnm (z) = GJz) • *-'¦*.« =
= Gm (z) [cos em (z)—j sin гт (*)]; (8,19)
Om(z)= VM
210

Учитывая соотношения (8,14) и (8,15) для hm(z)y получим:
^ (Jzy + ...]. (8,20)
Функции jm (z), nm(z) и Нт (z) обладают следующими свойствами:
г W J zm+i ,
[(8,21)
общие свойства функций j(z) и п\
Jm-l{z)-rJm+l{z) ~
d . / ч 1
(8,21a)
) afe = -у, @); jy0 (z) ¦ гЧг =
m-l B) • Jm (Z) — Ят (г) • jm_1 (z)
а (г) г»</г =-? [/8 (г) + «о (г)У, (]
я§ (z) z4z = ^ [«§ (г) -Ус (г) • л, (z)].
(8,216)
Таблицы функций jm (z) и nm (z) приведены в книге Морза *.
Из сказанного выше следует, что процессы излучения целесо-
целесообразно исследовать, записав потенциал скоростей в форме
суммы решений вида (8,18), причем постоянные ?mv полагаются
равными нулю:
Ф (г,»,ф,*) = ? ада0 ¦ Рт (»,ф) • Gm (z) • ei%mK*
т=0
= S «то ' ^т (»,Ф) • Km (z) ¦ в^1. (8,22)
* Ф. Морз. Колебания и звук. Гостехиздат, М., 1949.
14* 211

Кеэффициенты разложения ат^ определяются, если учесть рас-
распределение скоростей по поверхности сферы, записанное в форме
(8,2) или (8,3). На поверхности сферы должно соблюдаться
условие равенства радиальной скорости поверхности с радиаль-
радиальной компонентой скорости в окружающем звуковом поле, т. е.
тг[\ (8,23)
Используя формулы (8, 21а), получим:
-j[>nnm_1-(m+l)nm+l]} = Dm(z)e^'"i*) + ^ > (8,24)
где положено:
X V[mjm_x -{m+ \)/m+l)* + [тпм.х -(т + 1) пм*]\ (8,25)
DJz) cosbm{z) = 2^тгх [mnm_x — (m + 1) nm+l], )
, (8,26)
- Dm(z) sinbjz) = ^~ [mjm_t - (m +1)/Л+1]. J
Величины Dm(z) и bm{z) совпадают с аналогичными величинами,
вводимыми Морзом*.
* Во многих современных учебниках и работах по теоретической физике,
а также в книге Морза „Колебания и звук" функция излучения то-
точечного источника берется в форме—?~(a^~fen и в связи с этим решение
для сферического случая выражается через функции Ганкеля 1-го рода
h'^(z). Поскольку в большинстве старых работ по акустике (в частности
в „Теории звука* Рэлея) используется функция излучения —е№*~кп и при-
применяются функции Ганкеля 2-го рода, мы предпочли этот способ написания.
Чтобы иметь возможность при этом решении пользоваться полезными таб-
таблицами Морза для функции Dm(kr) и §m(kr)} нами введено определение этих
функций в форме (8, 24), отличной от определения Морза. Функции Dm(z) и
bm(z) по Морзу (стр. 351) определяются так:
dz
Wl =
'«« +Г]¦
В выражении (8,24) нами берется сопряженное выражение функция —;/"
по сравнению с выражением Морза. Благодаря такому определению функ-
функции Dm(z) и Ьт(г) выражаются через jm(z) и nm(z) так же, как у Морза,
и во всех дальнейших формулах можно безоговорочно пользоваться таблич-
табличными данными из книги Морза (табл. XI, стр. 484).
212

Приведем значения функций Dm и Ьт для первых двух по-
порядков:
(8,27)
Предельные значения Z)w и 8^ при больших и малых значе-
значениях z будут:
j^ < /ft
} (8,28)
2Bm+l)(m
Приводим также предельные значения для функций Gm(z)r
1 тс 1 *
45 2
о* D
т
(8,29)
/ra — у —
где
и m@)= ;
2 TC
К
(8,30)
215

Точные значения функций Gm и гт для первых порядков т
имеют вид:
(8,31)
Разлагая функции а(Ь, ф) в ряд по сферическим функциям и
используя соотношение (8,24), граничное условие (8,23) запи-
запишем в виде:
« C0S
sin
X
X D
где zo = kro.
Для определения коэффициентов разложения awo, awv и a^v
следует приравнять соответствующие по индексу члены разло-
разложения в правой и левой частях уравнения (8,32). Коэффициенты
разложения функций и(Ь$) определяются а форме интегралов
по поверхности сферы 5 единичного радиуса *:
(8,33)
Колебания поверхности, соответствующие сферической функции
с индексами m, v назовем колебаниями с модой (т, v) или
* В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III, гл. VI, § 201.
Гостехиздат, М., 1956. *\ ¦
214

просто модой {т, v). Максимальная амплитуда стоячей волны
зональных мод колебания на поверхности сферы получается на
полюсах и равна ито. Для секториальных мод (т> т) ампли-
амплитуда колебаний на поверхности сферы будет, согласно соотно-
соотношению (8,12), зависеть от Ь и ф по закону:
и(Ъ, ф) = (птт cos тф + итт • sin /пф) т • sin Ь.
Максимальная амплитуда на экваторе будет равна:
Umm = Ynlm + (птт? • Ш. (8,34)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых сферических функ-
функциях равенства (8,32), определим коэффициенты ато, ат^ и ат^
в формуле (8,22) для потенциала скоростей Фт через коэффи-
коэффициенты разложения поверхностной скорости ато> аш и vCm4\
Аналогичные выражения имеют место для awv и ат^ Когда
скорость #(&,ф) на поверхности сферы распределена симмет-
симметрично относительно оси z и от ф не зависит, все коэффициенты
amv и атч будут равны нулю и Pm(ft, ф) = Рт(^). Потенциал
скоростей в этом случае выражается только через зональные
сферические функции в соответствии с тем, что колебания сферы
выразятся только зональными функциями. Если, кроме того,
распределение скоростей симметрично относительно экватори-
экваториальной плоскости, то в решении останутся лишь члены с четными
индексами пц при несимметричном распределении по отношению
к экватору в решение войдут члены как с четными, так и
с нечетными индексами т.
Общее решение волнового уравнения для излучения пред-
представится в таком окончательном виде:
оо
Ф (г,», <!>,*)= Y "тоРт(8'4')'(?'"(г)е У' ¦ е /»'. (8,36)
На основании формул (8,30) мы убеждаемся, что члены, харак-
характеризующие излучение различных порядков на больших расстоя-
расстояниях, убывают по одному и тому же закону — обратно
пропорционально расстоянию, и соотношение их фаз и амплитуд
не меняется. Однако вблизи от излучателя, как это видно из
формул (8,14) и (8,29), члены высших порядков убывают тем
быстрей, чем выше порядок т. Таким образом, в ближней зоне
соотношение амплитуд, а также соотношение фаз для членов
разных порядков* сильно изменяется.
215

Рэлей* нашел выражение для потенциала скоростей сфери-
сферического излучателя в несколько иной форме, менее удобной
для вычислений, но часто встречающейся в большом числе
статей и книг. Приводим выражения функций Рэлея и их
связь с функциями Dm и Ът, введенными Морзом. Потен-
Потенциал скоростей записывается по Рэлею в следующей форме:
где
Полиномы f(Jkr) введены впервые Стоксом. Исходя из этих
выражений, путем простых вычислений найдем значение скорости
частиц в звуковом поле (для частного решения порядка т)\
т
где
= *т* Рт (», ф) eJ^
т
V (
i
v =0
Первые номера полиномов Стокса и Рэлея /т(у) и
имеют вид:
/о00= Ь /,О)= 1 +}; /2(У) = 1 +}+|;
27 I 60 ! 60
Коэффициенты разложения ат0 в выражении потенциала ско-
скоростей (8,37) получим аналогично равенству (8,35):
* Рэлей. Теория звука, т. II, §324. Гостехиздат, М., 1955.
216

Для ocmv и <x^v получаются аналогичные выражения с заменой
цт0 на #mv и ttmv. Нетрудно выразить функции Рэлея F(j^
через функции Dm(z<>) и 8()
p-Jbm{z)
К m о •
Это соотношение позволяет найти значения комплексных функ-
функций Fm (jzq) через табулированные функции Dm и Ът. Используя
формулы (8,19) и (8,37), найдем также:
Частные решения волнового уравнения
Рассмотрим простейшие виды излучателей, соответствующие
вначениям т = 0, 1, 2.
Излучатель нулевого порядка (т = 0)
Из формулы (8,36), полагая равными нулю все постоянные
ttmv, кроме ит получим выражение для члена нулевого порядка
в разложении потенциала скоростей по сферическим функциям;
Постоянная ит согласно равенству (8,33), имеет смысл сред-
средней по поверхности скорости.
С помощью формул (8,16), (8,28) и (8,31) найдем:
e~>z
АтгГ
А
= Ауы_ьгК (838)
Величина А представляет производительность точечного излу-
излучателя:
jkr
Обратим внимание, что в выражение потенциала входит произ-
производительность А, а не объемная скорость Хо = 4irrJ • и00. Ве-
Величина А близка к объемной скорости только для длинных
217

волн (kro<^\). Для коротких волн А может значительно пре-
превышать х0 и отличаться от нее по фазе.
Если распределение скоростей по сфере определяется только
функцией Рт($), то, согласно формулам (8,33), ti00 = 0, т.е. из-
излучение нулевого порядка отсутствует, но ито ^Ои будет при-
присутствовать излучение, характеризуемое сферической функцией
Излучатель 1-го порядка (т=1)
Из соотношения (8,22), учитывая формулы (8,11) и (8,12) и
полагая, что только постоянные а10, ап и ап не равны нулю,
получим:
*i (Л &, Ф> t) = [а10 cos ft + (an cos ф +
+ ап sin ф) sin ft] Ot (г) <гУе*(г V<°'. (8,39)
С помощью равенств (8,16), (8,19) и (8,31) найдем:
Первый член выражения (8,39) зависит только от полярного
угла ft:
Ф10 (г, ft, t) =Ja-§r cos ft A +Jkr) ^^. (8,40)
Выражение подобного вида имеет место для потенциала акусти-
акустического диполя (см. гл, 4), ось которого расположена по на-
направлению ft = 0, причем величина ^ имеет смысл момента ди-
диполя. При произвольном законе распределения скоростей по по-
поверхности постоянные а10, ап, ап могут быть найдены по фор-
формулам (8,33) и (8,35).
Покажем, что второй член равенства (8,39)
- / о , уч . аи cos ф + а\х sin ф . а /1 , .« ч eJ{(at~kr) /о лл\
Фи (Г, », ф, /) =у-у '-^-^ У- sin & (I +jkr) -fg- , (8,41)
дает излучение диполя, ось которого повернута на 90° по
отношению к оси первого диполя. Представим выражение
(a» costy-)-ajj sinф) в виде:
ап со5ф +ап зшф^
yail
где tg^t = -1-1. Тогда зависимая от угла часть соотношения
(8,41) равна:
cos (ф — ф^ • sinft.
218

Преобразуем систему полярных координат, повернув ось z в пло-
плоскости азимута ^ на 90° (рис. 63). Полярные координаты какой-
либо точки Р в новой системе координат будут Ь' и </. Из
сферического треугольника АВР (рис. 64), пользуясь извест-
известной формулой косинусов, найдем:
cosa = cos b • cos? -f-
g'x -f- sin# • sin? • cosa.
Полагая
получим:
cosS7 = cos (ф — <h) sinfr.
Рис. 63
Рис. 64
Выражение потенциала скоростей в новой системе координат
примет вид:
"^-. (8,42)
Так как это выражение тождественно с (8,40), то ясно, что
второй член в общем выражении (8,39) потенциала скоростей
для излучателя 1-го порядка дает излучение диполя с осью,
повернутой на 90° по отношению к оси первого диполя.
Покажем теперь, что сумма излучения двух синфазных ди-
диполей с постоянными ах и а\ и с осями, наклоненными под
углом 90°, эквивалентна излучению одного диполя с моментом,
равным геометрической сумме моментов двух диполей, и с на-
направлением оси, лежащим между осями Z и Z' в плоскости ZOZ'.
За новую полярную ось примем прямую ОС (рис. 63), угол
наклона которой к оси OZ обозначим через В.
Из сферических треугольников АРС и ВРС по формуле
косинусов, обозначая РС = В, АС = Ъ, ц<?АСР=<? — <р0, имеем:
= [cosS • cos0 -\- sinS sinQ cos (<p — <po)],
{sinS cosQ -j- cosS sin6 cos [те — (cp — <p0)]}.
219

Используя соотношение вида (8,42), для второго члена
в выражении (8,39) найдем для всей сферической функции:
aj[cosS . cos6 -f- sinS sinG cos (cp — cpo)]-f-
-f- a[ [sin8 cos0 — cosS sin0 cos (cp — <p0)] = (a^osB -f- a\sinS) cos 0 -f-
(aisino — a\ cosB) sinB cos (cp — <p0). (8,43)
Если потребовать, чтобы (aiSinB— aj cosS) равнялось нулю,
то потенциал скоростей не будет зависеть от азимутального
угла (<р — ср0) по отношению полярной оси ОС , т. е. выразится
равенством, подобным (8,40), характерным для диполя с осью,
направленной по ОС. При этом угол наклона новой оси ОС
к OZ определится из соотношения:
tg*=4. (8,44)
Выражение для сферической функции (8,43) можно представить
теперь в виде:
Уа\ + (a[f cos (8 — a) cos9 = V a\ + (a[ J cos0,
так как a = arc tg~ = 8.
Легко убедиться, что суммарный потенциал скоростей будет
соответствовать потенциалу диполя с моментом
ось которого наклонена к оси OZ под углом 8, определяемым
соотношением (8,44).
Излучатель 2-го порядка (т===2)
Полагая в общей формуле (8,22) //г=2 и используя выра-
выражения (8,11), (8,12) и (8,31) получим для потенциала скоростей
излучателя второго порядка:
+ 3 (а41 cos <j» + а'а1 sin (|>) cos 9 sin 9 -f- 3 (ам cos 2ф -|-
+ а:2 sin2<|.)sin«e][i+y(l +^y^L. (8,45)
Первый член в выражении сферической функции Ра(&,ф), зави-
зависящий только от Ь (зональная функция 2-го порядка), обра-
обращается в нуль при cosO = ;±—=. (О-= 55° и &=125°). Это
значит, что по всем направлениям, лежащим на поверхности
220

конуса с углом при вершине, равным 55°, излучение звука
отсутствует. Форма поверхности зонального излучателя 2-го
порядка представлена схематически на рис. 65,а при макси-
максимальном положительном (пунктирная кривая) и отрицательном
(штрих пунктирная кривая) смещениях. Области вблизи от по-
полюсов (две полярные шапки) колеблются синфазно; эквато-
экваториальная зона от 0 = 55° до 0=125° колеблется в обратной
фазе; амплитуда на экваторе в 2 раза меньше, чем на
Рис. 65
полюсе. Линии тока при kr<^\ (в ближней зоне) будут иметь
в одну половину периода вид фонтанов, выходящих из области
полярных шапок и замыкающихся в экваториальной зоне
(рис. 65, б\ и обратное направление во вторую половину перио-
периода. Зональный излучатель 2-го порядка дает излучение, подоб-
подобное излучению суммы двух диполей с обратным направлением
моментов и расположенных на малом расстоянии вдоль одной
и той же оси, т.е. излучение, подобное осевому квадруполю.
Реальным прообразом зонального излучателя является колебание
капли или пузырька газа в жидкости, происходящее по закону
P2(cos&). При этом сфера принимает форму, похожую то на
вытянутый по оси эллипсоид вращения, то на сплющенный
эллипсоид вращения (рис. 65, а). Колебания сферы такого типа
назовем зональными модами колебания 2-го порядка.
Третий член выражения (8,45) содержит сферическую функ-
функцию вида
Г22 (», ф) = (а22 cos 2ф + <2 sin 2<|>) sin2 Ь =
= Ап cos Bф — ф22) sin2ft, r (8,46)
где A,, = Yal + ('r^eU
221

Угол ф22 можно считать за начальный угол отсчета и поло-
положить ф22 = 0. Таким образом, излучатель этого типа будет
характеризоваться зависимостью потенциала скоростей от угло-
угловых параметров, имеющей вид:
Очевидно, что при четырех азимутах ^ = 45°, 135, 226, 315°
^22 (&э 40 обращается в нуль. В меридиональных плоскостях, опре-
135
135
45°
225'
Рис. 66
деляемых этими углами Ф22 = 0. По этим направлениям ра-
радиальная скорость и звуковое давление равны нулю, и излу-
излучение звука отсутствует. Форма колебаний поверхности сферы
в двух проекциях изображена на рис. 66,а (в плоскости эква-
экватора) и рис. 66, б (в плоскостях,
перпендикулярных к осям Хи ^.По-
^.Поверхность излучателя разбивается
узловыми линиями на четыре сек-
сектора, разделенных узловыми мери-
меридианами. Фаза колебаний в любых
двух соседних секторах противопо-
противоположна. Линии тока, выходящие из
каждого сектора, в ближней зоне
(/ег<^1) разветвляются в две сто-
стороны и замыкаются на два со-
соседних сектора. Излучатель типа
" (8,46) называется векториальным
излучателем 2-го порядка. Ха-
Характеристика направленности в
плоскости XY для секториального излучателя определяется функ-
функцией Yn (&, ф) и имеет вид четырехлепестковой кривой (рис. 67)
222

В меридиональных плоскостях XZ и YZизлучение максимально
в области экватора (& = ~) и равно нулю в полярных направлениях
@ = 0; » = 1с).
Секториальные моды колебаний могут совершать жесткие
сферические оболочки, капли и воздушные пузырьки в жидкости.
Секториальные моды возможны также при колебаниях цилин-
цилиндров и колоколов. Все эти системы при колебаниях могут
разбиваться не только на четыре (колебания 2-го порядка), но
и на любое четное число секторов D, 6, 8... 2п). Исследования
Рис. 68
Рис. 69
Бакгауза показали, что при низких частотах (до 200 гц)
корпус скрипки колеблется по форме, приблизительно напоми-
напоминающей секториальную моду 2-го порядка, причем узловые
линии проходят посередине передней и задней деки (рис. 68)
и посередине боковых стенок.
Второй член выражения (8,45) содержит сферическую функ-
функцию вида:
К21 (&,ф) == (а21 cos ф + a2i sin ф) sin Ь cos $ ==
= Л21 cos (ф — ф21) sin Ь cos Ь.
Не уменьшая общности, можно считать, что ф21 = 0. Этот тип
излучателя носит название тессералъного излучателя 2-го
порядка. Нетрудно показать, что излучатель этого типа тож-
тождествен с секториальным, ось которого повернута на 90° так,
что новая ось Z' заняла положение старой оси Y (рис. 69).
Тогда ось X' пойдет по старой оси Z, а ось Yr—по старой
оси X. Обозначив новый полярный угол через У и азимут че-
223

рез ф', выразим декартовы координаты точки Р через старые
и новые полярные углы:
X = г • sin ft cos ф = г sin ft' cos ф',
у = г • sin ft sin ф — r cos ft',
z = r • cos ft = r sin ft' cos ф'.
Из этих выражений найдем:
sin ft • cos ф = sin ft' cos ф\
cos ft = sin ft7 cos ф\
Полагая ф21 = 0 и подставляя в Г21 (ft, ф) выражения новых угло-
угловых координат через старые, получим:
Yn (ft^) = An sin ft' sin ф' sin ft' cos ф' =
= -1 sin 2 ф' sin2 ft' = -^ cos B ф' — ^-) sin2 ft'.
Полученная форма сферической функции тождественна форме
(8,46) для секториального излучателя при условии определен-
определенного выбора начального угла отсчета ф22 по азимуту ф22= -j.
Сферические излучатели высших порядков
Излучатель порядка т может иметь различные формы, как
это следует из общего вида сферической функции Pm(ft, ф)
(формула (8,8)). Если второй индекс равен нулю (v = 0), то
получим зональный сферический излучатель, симметричный
относительно оси z. Сферическая функция Рт (ft) имеет т кор-
корней; следовательно, излучатель порядка т будет иметь на
поверхности (т-\-1) зон, разделенных /гг-узловыми кругами,
параллельными экватору. Каждые две соседние зоны всегда ко-
колеблются в противоположных фазах. При ~т нечетном одним
из узловых кругов обязательно является круг & = те/2, т. е. эква-
экватор.
При v = m имеем секториальный излучатель с 2т мери-
меридиональными узловыми линиями — следами на сфере т мери-
меридиональных плоскостей. Поверхность его разбивается на 2т
секторов, каждый из которых колеблется в противоположной
фазе с соседними. Ясно, что колебания типа (ат„ cos 7ф -\- amv sin уф)
складываются и дают одно колебание
В общем случае излучателя с модой (//г,у) имеются т — у
узловых кругов, параллельных экватору и 2v меридиональных
узловых кругов, т. е. у меридиональных плоскостей. Поверх-
Поверхность колеблющейся сферы разбивается на ряд сферических
224

четырех- или треугольников, разделенных узловыми линиями
(рис. 70). Интересно отметить, что при т^>2 тессеральные
излучатели уже не могут получиться путем поворота на 90°
секториального. Такое преобразование возможно только для
излучателя 2-го порядка, когда один из уз-
узловых меридианов при повороте на 90° превра-
превращается в узловой круг, совпадающий с эква-
экватором, и возникает тессеральная мода коле-
колебаний с одним узловым меридианом.
Дальнее поле сложного сферического
излучателя
Выясним, каково будет на далеких рас-
расстояниях поле сферического излучателя, со- Рис- 70
держащего излучатели разных порядков, но
с одинаковыми или с постепенно убывающими амплитудами ит0.
В выражении (8,36) для потенциала скоростей, как мы уже
видели, следует положить: Gm(z) —* —; zm(z)-^ z—т'Т ic В
Z —*¦ CO Z —* CO
отдельные члены суммы входят величины п . .. При ?0<<1
наибольшее значение будет иметь, как это ясно из формул
(8,21), тот член, в который z0 входит в наинизшей степени;
это будет член с коэффициентом п , . ~ z\ (член 0-го по-
рядка), который выражен формулой (8,38). Таким образом,
при длинных волнах на далеком расстоянии от излучателя
звуковое поле будет обусловлено в основном членом 0-го по-
порядка, определяемым средней объемной скоростью пульсацион-
ных колебаний поверхности сферы. Коэффициенты к-тг\ ®&&
ших порядков (т=1,2,3...), содержащие множители zj, z\... «о*4*,
будут малы по сравнению с членом 0-го порядка. Если йоо=О,
то ведущую роль в излучении будет играть следующий по по-
порядку член. Этот вывод позволяет оценить звуковое поле слож-
сложного излучателя на больших расстояниях и сделать заключение,
что даже при одинаковых амплитудах скорости ито на поверх-
поверхности сферы наибольшую роль будет играть излучение наиниз-
наинизшего порядка т, как бы сложно ни было суммарное движе-
движение на поверхности сферы. Этот вывод, конечно, уже не при-
пригоден, если 20 не мало.
Если колебания реальной сферической оболочки вызваны
периодической силой с частотой со, то на поверхности реаль-
реальной сферы, представляющей некоторую жесткую оболочку, об-
' разуются стоячие волны, составляющиеся из сферических мод
различных порядков. Длина этих стоячих волн к всегда будет
15 С. Н. Ржевкин 225

меньше, чем длина окружности (V<^2<rcr0), или равна ей. Пара-
Параметр z% можно представить в следующем виде:
где с' — скорость изгибных волн в оболочке. В металлических
оболочках не слишком малой толщины обычно с' довольно
велико и часто может приближаться к скорости с в окружаю-
окружающей среде или даже больше, чем с. В таком случае может
оказаться, что для сферических оболочек, колеблющихся в газе
или жидкости, условие zQ <; 1 может не соблюдаться, и пре-
преобладание излучения 0-го порядка не имеет места; излучение
приобретает направленный характер. Для иллюстрации этих
соображений приведем формулу скорости изгибных волн в
плоской пластинке
- (M7)
где а — толщина пластинки, /—частота, Е—модуль Юнга,
р' — плотность материала пластинки. Для сферической оболочки
скорость волн определяется более сложными выражениями,
причем она больше, чем вычисляемая по формуле (8,47). Фор-
Формула (8,47) дает при а—\ см и /=^3-104 гц для стальной
пластинки с' = 1,64 • 105 см/сек; при /= 100 гц — с'ъ* \0ксм)сек.
Таким образом, при низких звуковых частотах может полу-
получиться с1<^с (для воды) и соблюдение условия zQ <^ 1 для
случая пластинки вполне возможно.
Собственные колебания внутри сферической полости
Потенциал скоростей в этом случае целесообразнее запи-
записать в форме (8,17) (положив Вп = 0, поскольку в центре
сферы потенциал должен иметь конечное значение, а пт@) =
= — оо): _
= Ат*Рт (»,ф)ут (г) е]»\ (8.4R)
На внутренней поверхности жесткой сферы, при z = zu, ради-
радиальная* компонента скорости должна равняться нулю:
d . ,
r=ro
= 0.
"=Г0
Условие "Jm}- = 0 определит частоты собственных колебаний
т-то порядка. На основании формул (8, 21а) получим уравнение:
»У«-1 (*о) - (т + 1)ут+1 (г0) = 0 (8, 49)
226

или, используя равенство (8, 15),
mJ I (zo) = (tn-\- 1O
т -f- -
(8, 49а)
По таблицам бесселевых функций полуцелого номера, можно
найти корни этого уравнения. Учитывая соотношения (8, 26),
условие для собственных частот представим также и в другом
виде:
или, так как Dm(z0)^0> то sin Ьт (z0) = 0,
откуда
К Bо) = т.
По таблицам функций Ът(г) можно непосредственно найти
значения 20 = -^р для собственных частот колебаний полости.
По таблицам 8т из книги Морза, можно найти приближенно
первые корни для /и = 0, 1, 2 и 3, которые приведены в
табл. 8.
Таблица 8
т
0
1
2
3
4,50
2,07
3,34
4,50
?»
я
1,43
0,66
1,06
1,43
Более точные значения корней г0 находятся из уравнения (8, 49).
Полагая т = 0 в формуле (8, 49) для собственных колеба-
колебаний нулевого порядка получим уравнение j\ (z) = 0 или
^ *p. (8,50)
Первые три корня этого трансцендентного уравнения равны:
г01 = 4,493, zn = 7725, zm = 10,904.
Все эти корни соответствуют собственным колебаниям с модой
@, п). Для корня типа zQn мы всегда имеем (п— 1) корней,
меньших чем zQn, для которых при той же частоте удовлетво-
удовлетворится уравнение (8,50) при меньших чем г0 значениях г. При этом
условие равенства нулю радиальной скорости удовлетворится,
кроме самой сферической оболочки, еще и на (п—1) внутрен-
внутренних,, узловых сферах, т. е. всего имеется п узловых сфер. Так,
15*
227

при Zm = 7,725 = t~1 мы удовлетворим уравнению (8,50) при
той же частоте а>02 еще и при значении zQl = t°02c*ri = 4,493, но
при меньшем радиусе сферы гх\ радиус внутренней узловой
сферы
02
Для корня гш получим две узловые сферы с радиусами:
^в ,0 и г1 = ^го = ,в
^оз 2оз
Индекс я соответствует числу узловых сфер, включая и самую
сферическую оболочку, или, иначе говоря, числу пространствен-
пространственных отсеков, разделенных узловыми (т. е. как бы твердыми)
сферическими поверхностями.
Для собственных колебаний с модами типа A, п) получим
из соотношения (8,49), полагая т= 1, уравнение собственных
частот:
из которого по формуле (8,16) найдем:
Первые три корня этого уравнения имеют значения:
гп = 2,082, zn = 5,940, zn = 9,206.
Первый корень уравнения (8,50) для радиальных колебаний
дает длину волны Х01 = 0,7Bг0), а первый корень (8,51) дает
Хп = 1,59Bг0). Колебания этой моды представляют движения из
одной полусферы в другую через среднюю (экваториальную)
плоскость Ь = -, на которой образуется пучность скоростей и
нулевое давление, так как рЛ-^-\ = cos у = 0. Колебания этого
рода сходны с колебаниями в закрытой с обоих концов трубе,
где, как известно, Х = 21. Для сферы имеем, таким образом,
меньшую длину волны Хи=1,59/ (если считать / = 2г0). Это
можно объяснить, приняв сферу за короткую трубу длиной /
с закругленными концами. В такой трубе будет увеличена эф-
.фективная упругость (вследствие уменьшения объема концевых
частей), а эффективная .масса, определяемая массой сферы
в зоне наибольших скоростей, будет почти неизменной. Следо-
Следовательно, собственная частота должна повыситься.
Условие (8,49) дает значения всех собственных частот <ortm==
Zm?'c и позволяет найти значения радиусов внутренних узловых
228

сфер. Следует учесть, что колебания порядка т могут соот-
соответствовать любому типу сферической функции (8,8):
ат<Рт (&>Ф) = ат0 ' Рт (&) + 2d ^mv C°S V^ "^ п'т* ^П V
V = 1
В полости сферы могут поэтому образоваться отдельные ячейки,
не только разграниченные сферическими узловыми поверхностями
(являющимися как бы жесткими границами этих ячеек), но и
ячейки, разграниченные узловыми конусами и узловыми меридио-
меридиональными плоскостями. Число меридиональных узловых плоскос-
плоскостей равно числу v, а число узловых конусов равно (т — v),
причем один из конусов всегда вырожден в осевую линию
Вид ячеек, на которые сфера разбивается, при колебаниях
порядка /тг, можно также определить из условия максимума
колебательной скорости, что соответствует^ нулевому значению
звукового давления, а значит, и потенциала скоростей. Это
условие будет выполнено для зональных мод, если
Рт (cos ft) = 0 или ]т (kmnra) = 0. (8,52)
Согласно формуле (8,9), Рт(х) представляет полином т-й сте-
степени от аргумента x = cosft. Полиномы этого вида имеют т
действительных корней, попарно равных и имеющих разные
знаки. Таким образом, поверхности нулевого давления представ-
представляют конусы, соприкасающиеся вершинами в центре, с общей
осью и равными углами при вершине; ячейки будут разграничены
по полярному углу коническими поверхностями. По радиусу их
границы определятся из условия /т (kmnrn) = 0, причем гп прини-
принимает ряд дискретных значений, меньших г0.
Для колебательных мод, определяемых присоединенными
функциями, условия нулевого давления на различных границах
ячеек имеют вид:
или т т | (8,52а)
amv cos v^ -f- a^v sin v^ = 0. J
Третье условие определяет наличие v меридиональных плоско-
плоскостей, по которым давление равно нулю. Поскольку, согласно
равенству (8,10) Pw)(ft) = sin(ft)—%? > мы всегда будем иметь
решение ^=0,т:; таким образом, ось всегда является линией нулево-
нулевого давления. Производные v-ro порядка от Рт (х) являются поли-
полиномами степени (т — v) относительно х. Условие-^-^ = 0 дает
уравнение (т — v) степени относительно х, у которого имеется
229

(m — v) корней, определяющих (т — v) конусов нулевого давления.
Как и для зональных мод, эти конусы соприкасаются в центре, т. е.
являются двухполостными. Итак, если имеются присоединенные
функции, то поверхности отдельных колебательных ячеек раз-
разграничиваются сферами нулевого давления (число которых ме-
меняется от 1 До т), меридиональными плоскостями (числом v)
и конусами (числом {т — v)). При {т — v) четном пара конусов
вырождается в экваториальную плоскость.
Условие (8,49) дает все собственные частоты com/l, соответ-
соответствующие значениям индексов тип. Однако характер коле-
колебаний при данном ютп может быть, очевидно, совершенно раз-
различен в зависимости от значения индекса v (т. е. числа узловых
плоскостей). Таким образом, следует характеризовать колеба-
колебательную моду сферической полости тремя индексами т, п, v.
Найденные нами корни уравнений (8,50) и (8,51) для /я = 0 и
т=\ соответствуют модам @, /г, 0) и A, /г, 0). Общее число
различных геометрических конфигураций при заданных пит
равно числу постоянных уравнений (8,8), т. е. Bт-\-\). Конфи-
Конфигурации, соответствующие постоянным amv и a^v, отличаются
только поворотом на 90° вокруг оси z, поэтому существенно
различных конфигураций будет всего (т-\-\). Собственные ча-
частоты сферической полости до высоких порядков вычислены
для различных значений пит Феррисом *. В табл. 9 приве-
приведены значения для zmn = gmrt r0.
Следует заметить, что условие разбивки поверхности сфе-
сферического излучателя на зоны выводится так же, как и в (8,52) из
равенства нулю отдельных членов сферической функции Рт($#)
(см. (8,52) и (8,52а)), что соответствует одновременно равенству
нулю радиальной компоненты скорости по определенным линиям
на сфере (см. (8,23)). Для сферического излучателя при т=\
из условия Р1(Ь) = 0 получим на поверхности две зоны, разде-
разделенные узловым кругом (экватором). Сферический резонатор
для моды A,0,0) имеет, кроме поверхности г = г0, только узло-
узловой конус, вырожденный в линию (полярная ось). Скорости,
перпендикулярные к оси, отсутствуют, вся сфера является одной
цельной резонансной ячейкой, в которой имеются потоки, дви-
двигающиеся из одной полярной области в другую и обратно.
Если за критерий разбивки взять условие JP1(&) = O9 то эква-
экватор будет поверхностью нулевого давления, он разобьет сферу
на две ячейки.
При т = 2 и v = 0 для излучателя имеем три зоны: от 0 до
55°, от 55° до 125° и от 125° до 180°. Для собственных коле-
колебаний полости с зональной модой B,0,0) имеем условие Р2@) = 0;
оно определяет конус с углом 55° при вершине по поверх-
* Н. Fe г г i s. JASA. 24, 57, 1952.
230

Таблица 9
т \
0
1
2
3
4
5
6
7
$
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1 1
4.49341
2.08158
3.34209
4.51408
5.64670
6.75643
7.85107
8.93489
10.0102
11.0791
12.1423
13.2024
14.2580
15.3108
16.3604
17.4079
18.4527
19.4964
20.5379
21.5779
22.6165
23.6534
24.6899
2
7.72523
5.94036
7.28990
8.58376
9.84043
11.0703
12.2794
13.4721
14.6513
15.8193
16.9776
18.1276
19.2704
20.4065
21.5372
22.6625
23.7832
24.8995
3
10.9042
9.20586
10.6140
11.9729
13.2956
14.5906
15.8633
17.1176
18.3565
19.5819
20.7660
22.0000
23.1950
24.3821
4
14.0663
12.4046
13.8463
15.2446
16.6094
17.9473
19.2623
20.5596
21.8401
23.1067
24.3608
5
17.2207
15.5793
17.0431
18.4682
19.8625
21.2312
22.5781
23.9069
6
20.3714
18.7428
20.2219
21.6667
23.0829
7
23.5194
21.8997
23.3960
24.8503
24.4749
ности которого /? = 0; скорости на этой поверхности мак-
максимальны и направлены по нормали к конусу. Среда при коле-
колебаниях движется из полярных областей 0<[& <^55° и 125° <&<[ 180°
в экваториальную 55°<С&<С125О и обратно. Вдоль линии
& = О,тс и вдоль плоскости 0 = 2* частицы движутся тангенци-
тангенциально.
Поток энергии в поле сферического излучателя
Вектор потока энергии через единицу площади, или вектор
Умова, определяется как среднее во времени произведение дав-
давления р и скорости частиц среды q и вычисляется по формуле:
J=X- Re(pq*)y или J = \ . ±(Pq*+p*q).
Поток энергии может быть вычислен по любому направлению
и определяется компонентой скорости q в рассматриваемом на-
направлении. Для вычисления потока энергии в поле сферическоги
излучателя возьмем потенциал скоростей в виде:
Ф =
Gm (z)
231

Звуковое давление в какой-либо точке поля
m =0
Радиальная компонента скорости qr на основании выражения
(8.24) равна:
Компонента скорости в широтном направлении
т = 0
а компонента скорости в долготном (азимутальном) направле-
направлении
1 дф_ , X "то dPmGm(z) -Pmiz) Ы
ЧЪ~ г sin Ь д<1> к L. sin Ь дЬ z '
Полученные формулы позволяют написать вектор Умова в ра-
радиальном, широтном и долготном (азимутальном) направлениях
Jn Уо, /.. Используя выражение (8,35), получим:
—1оГУи а Р Р
r — 2 9С L пт» пп» Ит Ип Ъ
Ът (z0) Dn (z9) X
rn,n=O
X cos \гт (z) - Ьп (z) - Ьп {г,) + К (г,I, (8.53)
где суммирование производится по всем возможным значениям
индексов т и п от нуля до бесконечности. Тангенциальные
компоненты вектора Умова имеют вид:
/ —*±\„ „ р дРп Gm(z)Gn(z) v
, т,п=0
X cos |} - sm (z) + 4 (z) + К (z0) - К (*„)]; (8.54)
/ _ P? V „ „ Pm JPn От (^) Gn (г)
•'ф — 2 L "m0 "no sin» (ty г Dm B„) Dn (г0) А
X cos |j - em B) + ея (г) + 5m (*0) - 8„ (z,)]. (8.55)
232

Если излучающая сфера колеблется так, что ее движения вы-
выражаются при помощи сферической функции только порядка т,
то в выражениях для потока энергии следует взять т = п.
Тогда суммы в выражениях для /0 и ^ превратятся в один
член, в который будет входить множитель cos^ = 0. Таким об-
образом, для излучателя только одного порядка
д = /ф = 0. (8,55а)
Так как в выражение для Jr войдет множитель cos [em {z) —
— 8m (z)\ Ф 0, то для излучения только одного порядка
При тфп ни один из членов сумм (8,53), (8,54) и (8,55)
в нуль, вообще говоря, не обращается. Из сказанного можно
сделать важные выводы:
1) элементарный сферический излучатель, поверхность кото-
которого колеблется по закону, выражаемому сферической функ-
функцией только одного порядка т, дает в любой точке поток
энергии, направленный только радиально, тангенциальные же
компоненты потока энергии равны нулю;
2) сложный сферический излучатель, поверхность которого
колеблется по закону, выражаемому суммой двух или боль-
большего числа сферических функций различных порядков, дает
поток энергии как в радиальном, так и в тангенциальных на-
направлениях. На больших расстояниях (при г — со), согласно
(8,28) и (8,30), для Jn J$ и J^ получим:
Dm(г.) Dn (г„) C0S L m {Z<>)
m,n=Q
a .и ~P 0Fn
m, n ==O
oo
"mo «/го П
2i
m, n=0
233

На больших расстояниях тангенциальные потоки энергии на
целый порядок величины z меньше, чем радиальные. В
ближней зоне при z <^ 1 тангенциальный поток может иметь
тот же порядок величины, что и радиальный, а может быть и
больше его.
Подсчитаем суммарную (глабальную) излучаемую мощность
сложного излучателя, колеблющегося только в зональных
сферических модах, когда Рт ($,ф) = Рт ($) и не зависит от ф.
Полную излучаемую мощность найдем, интегрируя Jr по поверх-
поверхности сферы очень большого радиуса:
П = J dф J У/» sin Ь йЪ = — 2кг* J У, (») d (cos »). (8,57)
0 0 О
При почленном интегрировании выпадут все члены, содержащие
Рт (&) • Рп (Ь) при тфп, так как
/>„ (cos ») • Рп (cos ») • d (cos Ь)=0, (/и ?* п),
В результате получим:
Используя выражения (8,27), дающие Do(zo) и D%(Zq) для
интенсивности звука и суммарной излучаемой мощности источ-
источников 0 и 1 порядка получим:
" LP
ПриАг.<1
= 5-^ТпЬ"о. = ^-^> (8,59)
где /?t — сопротивление излучения, a *S*=4^rJ;
/г.=D-га )РС • ^=е?т • у^. (8,60)
234

Так же найдем:
(8,61)
), (8,62)
где
При вычислении излучения энергии для секториального из-
излучателя 2-го порядка следует учесть, что коэффициент и22
в разложении по сферическим
функциям равен ?/22/3 (см. фор-
формулу (8,34)) где ?/22 — ампли- / о
туда скорости в пучности сек-
ториальной зоны, т. е. на эква-
экваторе (При * = §-); ^22 В (8,34)
примем равным нулю
Сопротивление излучения
для секториального излуча-
излучателя 2-го порядка можно легко
вычислить, если найти выра-
выражения радиальной скорости
дФ
qr = — -г- и звукового давле-
давления. Составим выражение век-
вектора потока энергии /г(й, t)=g-Re (/?#*), а затем найдем сум-
суммарное излучение через сферу радиуса п
2тг ж
о
Вычисление дает для сопротивления излучения
h6r(i
К?0
Рис. 71
-8Г
Для удобства сравнения частотной зависимости сопротивлений
излучения на рис. 71 нанесены безразмерные величины:
»= -с^.» R\=-
И /^22 =
которые при высоких частотах стремятся к единице. Секто-
риальный излучатель 2-го порядка на низких частотах еще
235

менее эффективен, чем излучатель 0-го и 1-го порядка, так как
излучение пропорционально (&г0N. Интересно, что при &го^4
имеется пологий максимум в кривой /?22> причем в этом максимуме
Г) 1С
безразмерное сопротивление излучения -^ • -г больше единицы.
Для излучателей 0-го и 1-го порядка таких максимумов
нет.
В выражении (8,58) величины \/Dm(z0) при zo<^\, согласно
соотношениям (8,28), являются малыми порядка z™ + 2. Таким
образом, при одинаковости компонент скорости наибольшую^
излучаемую энергию дает член нулевого порядка. Только
при условии kr0^ 1 в сумме (8,58) могут получить преобла-
преобладание члены высших порядков, дающие направленное излу-
излучение; то же будет иметь место, если и00 <^ ит. Таким образом,
излучение малой сферы при сложном характере движения ее
поверхности на больших расстояниях в случае z0 <^ 1 сводится
к излучению точечного источ-
источника с производительностью
А я^ Хо = 4кгощ0.
В качестве примера энер-
энергетических соотношений в поле
сложного сферического излуча-
излучателя возьмем излучатель, на по-
поверхности которого имеются
только компоненты скорости ну-
нулевого #оо и первого Що поряд-
порядков, причем они синфазны; можно
условно назвать его излучателем (О-f-l) порядка*. При равен-
равенстве &oo = Що такой излучатель представляет шар, один полюс
которого остается неподвижным, второй колеблется с двойной
амплитудой скорости 2аОо, а точки экватора колеблются с
амплитудой скорости йОо (рис. 72).
Радиальная компонента интенсивности звука вычисляется
по формуле (8,53) и в развернутом виде запишется так:
180
Неподвижная
точна
Рис. 72 .
C0S
) •cos Iе' ^ - 8« & ~
C0S
cos
*С. Н. Ржевкин. ЖТФ, т. XIX, 1949, стр 1380.
236

Входящие сюда величины вычисляются с помощью формул
(8,27) и (8,31). После преобразования получим:
i— 2 Рс г» [ 1 + г? "¦ 4+Ц '
На поверхности сферы при z = z0 найдем:
oTTlf + Ко ¦ cos2 Ь
Первые два члена в уравнении (8,63) дают поток энергии, соот-
соответствующий излучателю 0-го и 1-го порядка, как легко
убедиться из сравнения с соотношениями (8,59) и (8,61). Наличие
третьего члена, пропорционального cosfr, показывает, что ин-
интенсивность звука в области „передней" полусферы (от 0 до у]
всегда больше, чем сумма интенсивностей (Л + Л)> а ин-
интенсивность в области „задней" полусферы (от-^-до icj всегда
меньше, чем (Л + Л). Тангенциальная компонента интенсивности
вычисляется по формуле (8,54) и после преобразования может
быть представлена в виде:
. (8,64)
На поверхности сферы (z = z0) получим:
(Л)о+1 = 4' рСй°° ttl<> Sin
Тангенциальные потоки во всем пространстве, окружающем
сферу, т. е. при z^>zQf как видно из (8,64), всегда положи-
положительны, т. е. идут по положительному направлению угла ft от
переднего полюса, колеблющегося с суммарной амплитудой
«оо + ^ю к заднему, колеблющемуся с амплитудой (ит — и10).
Энергия, излучаемая в большем количестве с „передней" полу-
полусферы, протекает через экваториальную плоскость f&=-^-T
в „заднее" полупространство. При иоо = и1О и го^1 (длинные
волны)
237

При & = -|- плотность тангенциального потока энергии у по-
поверхности в два раза меньше плотности радиального потока
для излучателя 0-го порядка, как это видно из (8,59). Для
коротких волн Сго^>1) квадратная скобка в формуле (8,65)
равна 2/zl и поэтому (Л)о+1 будет очень мало.
- При и00 = щ0 и г -> оо выражение (8,63) можно представить
так:
A\ —/ [i I
^ 1
4
z* J '
1 24 1
где /0=-тгр? , ,° 2 —^L — интенсивность излучателя 0 по-
Z 1 -f-Zo Z"
рядка с амплитудой скорости ит (независимая от Ъ). Квадрат-
Квадратная скобка в выражении (8,66), будучи построена в полярных
координатах, дает так называемую характеристику направлен-
направленности для интенсивности звука излучателя @+1) порядка.
- /во
РИС. 73
При z0^ 1 излучатель становится ненаправленным; характери-
характеристикой направленности будет сфера с радиусом 1.
При >1
т. е. характеристика имеет вид кардиоиды. Для различных зна-
значений ?0 характеристики направленности показаны на рис. 73.
238

Чтобы лучше понять энергетический баланс излучателя @-}-1)
порядка, вычислим полную мощность, излучаемую с поверх-
поверхности передней полусферы (IT) и задней полусферы (П"), для
чего необходимо проинтегрировать (/гH +1 по поверхности сферы:
П" (г0) = J (УгH +! • 2<. sin&. rf*.
it
т
Вычисление дает:
где По и IIj — мощность излучателей 0-го и 1 -го порядка
[см. формулы (8,59) и (8,62)], а
—1 ГУ zlD +
где *У= Аъг\. У поверхности сферы имеем:
Щг0) + П"(г0) = По + П„ (8,67)
т. е. суммарная излучаемая мощность равна сумме мощностей
излучателей 0-го и 1-го порядка. При иоо = и1О <1
IIj <[ По и П12 я^ -± ; следовательно:
т. е. с передней полусферы излучается в 3 раза больше энер-
энергии, чем с задней.
В бесконечности, используя (8,66), найдем мощности, излучае-
излучаемые через переднюю и заднюю полусферы; они также не будут
равны.
П'(оо) = j (Л)о +, • 2ur2 • sin» • rf» = |° + Щ + П,2(оо),
It
П"( сю ) = f (Jr)o+i2r,r2. • sin^. б/& = ^° + у — П12(оо),
тс
т
где
239

В бесконечности Щоо)-{-П"(оо) = По-|-nt аналогично соотно-
соотношению (8,67).
Разница в потоках энергии через переднюю и заднюю полу-
полусферы у поверхности сферы и в бесконечности составит:
Пи (г0) - П1я(оо) = ~ [f (i+^T/;.*)] и™ 'и«>-
Полный поток энергии в тангенциальном направлении через
экваториальную плоскость ($ = ^)
о
п Г
A + 2g) D +
„
и00 иц
равен П12(г0) — П12(оо). Следовательно, имеет место дифрак-
дифракция звука, т. е. перетекание звуковой энергии через эквато-
экваториальную плоскость из передней области с большей плотностью
энергии в заднюю область с меньшей плотностью энергии.
При длинных волнах П12(оо)~ гЦ, т. е. становится очень мало.
Это означает, что полное выравнивание звукового потока по
всем направлениям происходит уже в ближней зоне.
Присоединенная энергия и присоединенная
масса сферического излучателя
Рассмотрение вопроса о присоединенной массе для излу-
излучателя 0-го и 1-го порядка показывает (гл. 4), что присоеди-
присоединенная масса для очень длинных волн (?0<[1) равна соот-
соответственно М0 = ЗМ и Мх = -^у где M = ^rTzrzop—масса среды,
вытесненной сферой радиуса г0. При более коротких волнах
присоединенная масса постепенно уменьшается и при 20-*оо
стремится к нулю. Ввиду того что присоединенная энергия
образуется за счет кинетической энергии реактивной компо-
компоненты скорости, которая резко убывает с расстоянием, мы при
расчете будем пренебрегать членами, содержащими величину z
в степени выше первой. Строго говоря, это допустимо лишь
в зоне, где z ^ 1 (г <J ~), но так как присоединенная энергия
в пределе рассчитывается для очень длинных волн, то зона при-
применимости соотношения z^\ становится очень велика.
На основании (8,18) можно приближенно записать потенциал
скорости для излучателя порядка т
? *-*>. (8,68)
240

Зональный излучатель. Разберем прежде всего случай
зональных колебаний, когда Рт (Ъ, ф) = Рт (&). Звуковое давление
Радиальная скорость
дФ
Яг= — ^: =
где
Чаъ- kamPm (Ъ) mJ%±± eJ с—) (8,69)
активная скорость, находящаяся в фазе с давлением (с точ-
точностью до малой величины порядка z), a
^) "«-> (8,70)
реактивная скорость, отстающая от давления по фазе на
Y> Членом т* 1 в выражении (8,70) можно в ближней зоне
пренебречь ввиду его малости.
Из соотношений (8,69) и (8,70) ясно, что при z<^ I, qCp>qa,
т. е. поле скоростей в ближней зоне определяется реактивной
компонентой скорости. Тангенциальную компоненту скорости
частиц в ближней зоне в направлении угла Ь получим из (8,68):
Яъ — —
J Ы ~ г)
Таким образом q§ находится в противофазе с gt и также яв-
является реактивной скоростью. Обозначая амплитуды величин
qt и q^ через ut и %, найдем квадрат амплитуды реактивной
скорости:
который представим так:
где
ит0—
Как видно из (8,69), (8,70) и (8,71) амплитуда скорости при
z <^ 1 определяется реактивной компонентой. Величина ит0 пред-
представляет максимальную амплитуду скорости на поверхности
сферы, которая получится при $ = 0. Среднее значение квад-
квадрата скорости к, меняющейся со временем по синусоидальному
16 С. Н. Ржевкин 241

и2
закону, будет равно в каждой точке пространства-^. Для
нахождения суммарной кинетической энергии можно ограни-
ограничиться ближней зоной, считать скорости синфазными и про-
просуммировать средние кинетические энергии отдельных элемен-
элементов поля, окружающего сферу, учитывая лишь реактивную
компоненту скорости. Элемент объема
dV = 2кг* sin bdr-db.
Средняя за период кинетическая энергия во всем поле определится
следующим интегралом:
Т —I
1 m — о
-ЩИ
дРт
4-| дЪ ) sin
1
& U
Строго говоря, нельзя производить интегрирования по г до оо,
так как было принято, что kr <^ 1 (благодаря чему можно пре-
пренебрегать членами высших порядков). Нетрудно,видеть, что при
учете всех членов ряда (8,20), что позволяет снять ограниче-
ограничение ?г<^1, получим поправочный множитель к интегралу, стре-
стремящийся к единице при ?го<^1. Кинетическая энергия в объеме
между г0 и f*o + g: будет равняться 7т [1—z20m+l], т. е. при
krQ «^ 1 главная часть кинетической энергии приходится на зону
от г0 до Л+
Из теории сферических функций известно, что
Для средней кинетической энергии реактивной компоненты
скорости всего поля получим:
l+< dr
2 m+l
го
UmO
242

где
/4 з \
м _ 3уз*гоР] _ зм (8,73 а)
т
Величина Мт может быть названа присоединенной массой зо-
зонального излучателя т-го порядка. Величина М представ-
представляет массу среды, вытесненной сферой. Формула (8,73 а) дает
следующие значения для присоединенной массы излучателей 0,1,
2 и 3 порядков:
М0 = ЗЛ1 (пульсирующая сфера),
Mi = Y (осциллирующая сфера),
М —М
Секториальный излучатель. Вычислим присоединенную
энергию и массу для излучателей секториального типа. Для
секториального излучателя порядка т нам надо взять в фор-
формуле (8,12) только один член присоединенной сферической
функции:
Р%\Ъ)=1.Ъ.Ь...Bт — l)sinm&=^.sinm&.
Потенциал скоростей при z<^\ на основании выражений
(8,9), (8,11) и (8,20) представим так:
®тт (ПШ) =jamm • COS Ш (ф - ф0) . 8Ш* *
Исходя из этого выражения найдем реактивные компоненты
скорости по радиусу:
Яг ^jkamm- cos т (<|> - ф0) • sinm Ь ™±^ . eJ ^ ~ г\
по меридиану:
и по широте (азимуту):
% = ~jkamm smm ty - ^ sin^^
16* 243

Квадрат амплитуды суммарной реактивной скорости будет
равен:
X sin*-1'»• cos"» + т2sin2m{<b — <Ь0) sin21-1' Ь] =
l 2m+i i
cos2 »• cos2 m (ф - W • sin2'-"» -j-
in2 от (* -w sin2(m) a]=
cos2
где
максимальная амплитуда на поверхности сферы при & = ^г
и ^=ф0,что можно видеть из формулы (8,74). После несложных пре-
преобразований для средней (за период) кинетической энергии
всего поля найдем:
со
I С U2
+4 [^Щ f f
f Sin— ад»
О О
Воспользуемся таблицами интегралов* и найдем:
О2. 4. 6... Bт — 2)
после чего окончательно получим:
Т - l (K \ 3'2'ml м
1mm — 2"^
где
2 1 2
Щп эф — 9^ ^m
* Н. М. Рыж и к. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
Гостехиздат, М., 1951, стр. 175, формула C.421).
244

Величина
тт
является присоединенной массой секториального излуча-
излучателя. Для /я = 1,2,3,4 получим:
Мп = у( осциллирующая сфера),
192,
7
Значение Л/fn для секториального излучателя 1-го порядка рав-
равно присоединенной массе зонального излучателя 1-го порядка,
т. е. осциллирующего шара, что вполне понятно, так как сек-
ториальный излучатель 1-го порядка представляет зональный
излучатель с осью, повернутой на 90°.
Точечный источник на поверхности сферы
Заменим точечный источник звука поверхностным источником,
расположенным в положительном полюсе сферы и имеющим ско-
скорость йо на малой круговой поверхности AS, лежащей вокруг поло-
положительного полюса (& = 0). Тогда объемная скорость, даваемая
источником, будет Ao = uokS. Постоянные в разложении потен-
потенциала скоростей (8,22) вычисляются по формуле (8,33):
Элемент поверхности dSx берется для сферы единичного ра-
радиуса. Ввиду малости кругового элемента AS полагаем при
интегрировании, что и(Ь) = и0 по всей площади AS и равно
нулю на остальной площади сферы. Тогда, учитывая что,
получим
245

Подставляя значение ит0 в формулу (8,56), для интенсив-
интенсивности при kr = z^>l получим:
2,
m-
2
X cos
n 11 _ 1 pcaMg f 1 \^ РтРд Bm + 1) Bn
TC Ji — 2 4uc • 4ur8 t^ L Dm (zQ) Dn (z0)
X
(8,75)
Здесь Уо= 4" •
интенсивность (на расстоянии г) нена-
ненаправленного источника 0-го порядка с производительностью
Ло, a F(z0) 9) характеристика
направленности точечного источ-
источника на сфере. На рис. 74 при-
приведено несколько характеристик
направленности подобного источ-
источника при различных значениях
г0; по оси ординат отложена
величина F(z0, 6)-Zo. Легко по-
показать, что при го<^\ величина
Ffab) стремится к единице,
т. е. характеристика направлен-
направленности превращается в сферу,
а интенсивность стремится к
величине интенсивности Уо сво-
780* Годного источника 0-го по-
порядка. Таким образом, малая
'0° 90°
Угол с осью сферы
Рис. 74
по сравнению с длиной волны
сфера не "влияет на излучение
точечного источника.
Звуковое давление на больших расстояниях (?^>1) можно
представить в следующем виде:
kr
\т+1)
(8,76)
к
Излучение диполя, размещенного на полюсах сферы
Суммарная мощность, излучаемая симметричным относи-
относительно оси сферическим источником звука, вычисляется по
формуле (8,58). Полагая, что на полюсах (8=0 и О = тс) рас-
расположены точечные источники с производительностью +Л0 и
246

— Ао, получим по формуле (8,33) отличные от нуля значения
интеграла по поверхности только при 0 = 0 и О = ти. Так как
для т нечетных Рт@)=\ и Рт(п) = — 1, мы получим:
, 2т+1 д Г 2т+1 / Л \] 2т+ 1
ито\=—4кг2 Ло ~ 4гсг»— ~Л°/1 '
m=- 1,3,5...
Для четных w
Следовательно,
= Рт(ти) = 1 и потому ит0 =
jj ?cAl VI 2m
(8,77)
Рассматривая сферу как экран, выясним, как влияет этот экран
на излучение мощности только в одну сторону от экваториаль-
экваториальной плоскости.
/
у
l0 A
Рис. 75
П
Сравним величину у с мощностью, излучаемой точечным
источником, расположенным на безграничном экране:
П-1
П
Величину у представим в виде
AJL Q ТГТ Л 1
оо
2т +1
(8,77а)
, 5,.
Изменение величины р в зависимости от z0 дано на рис. 75 Для
вычисления р до 20 = 5 достаточно взять три первых члена
суммы. Из рисунка видно, что при z0 = -у^ = 1 получается
р^*0,6, а далее р растет очень мало. Сферический экран боль-
247

шего размера, чем го=^, очевидно, мало увеличит излучаемую
диполем мощность. При zo<^\, согласно соотношению (8,28),
получим:
т. е. при малых 20 будет сильно сказываться увеличение ради-
радиуса экрана.
Обычно экран для громкоговорителей делается в форме
плоского диска. В первом приближении влияние экрана в форме
плоского диска будет эквивалентно влиянию сферического эк-
экрана с длиной полуокружности, равной двойному радиусу R
плоского экрана: 7сг0 = 2/?.
Мы выяснили, что увеличивать zQ для сферического экрана
больше, чем до единицы, не имеет смысла. Следовательно,
плоский экран целесообразно увеличить до величины i? = j.
Однако и это условие при частоте 100 гц дает очень большой
минимальный диаметр экрана: 2R = 1,7 м.
Сферический излучатель звука с бегущей волной *
Зададим радиальную скорость бегущей в азимутальном на-
направлении (ф) волны на поверхности сферы в следующей форме:
u = um-slnnbeJ{at'~m*)> (8,78)
где ит — амплитуда скорости на экваторе, $ — полярный угол,
о) — круговая частота, t — время, а т и п — целые числа. Ре-
Решая задачу обычным способом, для потенциала скоростей зву-
звукового поля получим:
ф = иттР%\Фт&*Ы ' ^ ' "¦*> (8,79)
jkD()-J*i*J
Из этого выражения ясно, что в поле, окружающем сферу,
возникают волны, бегущие в азимутальном направлении.
Коэффициент итт определяется путем интегрирования по
поверхности сферы:
2т:
_ Bw+Dw u С sin m+n+i ыь _ Bm
Bm+l)mu
Bш)[
* См. С. Н. Ржевкин. Вестн. МГУ, № 8, 3, 1954.
248

2.4.6... (m + n) / i \
_ 2 1.3.5... (m + n+i) ПРИ ("* + ")-четном,
где imn — i j з 5 (w + n)
—,/^ i -)-нечетном.
(8,80а)
Принимая, что амплитуда от экватора убывает к полюсам по
закону sinmfr, т. е. полагая в частном случае т = п получим:
. __9 2.4.6... 2т _ 2 Bт)!
Imm — t L3.5... Bm+l)~ m*Bm+l)'
Тогда:
Umm In' (8,806)
При т^>\, используя формулу Стирлинга, приближенно полу-
получим:
При п = т и больших, согласно закону sin "ft, будем иметь
очень малые амплитуды бегущих волн в полярных областях;
они затем быстро нарастают и в области, близкой к экватору,
принимают почти постоянные значения. В этом случае излучение
концентрируется в круговом экваториальном поясе (в направ-
направлениях, близких к &=у). Такой излучатель может быть реали-
реализован приближенно в форме быстро вращающегося сферического
пояса с синусоидальными бороздками (числом т на всю окруж-
окружность), к основаниям которого примыкают полусферические
неподвижные экраны. Ввиду того что подобный излучатель
можно построить, несколько подробнее остановимся на его
теории.
Потенциал скорости (8,79), если п = т, на основании (8,11)
и (8,80 6) примет вид:
_
Ф — — /a
jkDm (г0) е '
jm
При больших значениях г, вдали от излучателя, согласно фор-
формулам (8,28) и (8,29), получим:
= ит Sin'"»/'"
Вектор Умова в радиальном направлении
249

а амплитуда звукового давления
sin т§ /о опч
Dm{go)kr. (8,82)
Вектор Умова в азимутальном направлении ф равен:
g2mго sin '""-'ft G8(fer) _ m sin""-'a 1
Таким образом, для излучателя с бегущей волной сущест-
существует как радиальный, так и азимутальный поток энергии. Ази-
Азимутальный поток резко убывает с расстоянием, причем он за-
замыкается кольцом вокруг сферы и, следовательно, не связан
с потерей энергии на излучение.
Излучатель с бегущей волной в любом азимутальном напра-
направлении при (& = const) дает интенсивность звука, не завися-
зависящую от азимута ф. Это — отличительная особенность излуча-
излучателя с бегущей волной. Излучатель секториального типа, для
которого скорость . на поверхности задается выражением
и = ит sinm Ь • cos m^ej(uty дает в функции азимута характеристику
направленности с 2т лепестками; его можно рассматривать как
суперпозицию двух излучателей с бегущей волной, имеющих
равные амплитуды, но противоположные направления. Такой
характер будет иметь, например, звуковое поле двух соосных
пропеллеров, вращающихся в различные стороны.
Сравним суммарные потоки энергии в радиальном (Пг) и
в азимутальном (Пф) направлениях:
f 1 2п9си* 2 Bm)!
r
Bm)l
JML (8,84)
Щ _J ,
Таким образом, *h ?
nr z0
При соблюдении условия т ^> z0 (длинные волны) азимутальный
поток энергии может значительно превышать радиальный. Сло-
Сложение двух встречных азимутальных потоков равной величины
соответствует сферическому излучателю, на поверхности кото-
которого имеется стоячая волна секториального типа. Для подоб-
подобного излучателя, как было нами показано (см. 8,55а), азимутальный
поток энергии равен нулю, однако в ближней зоне возникает» при-
присоединенная энергия", формирующаяся за счет сложения двух
250

встречных азимутальных волн. Она является источником инер-
инерционных свойств звукового поля и может быть описана путем
введения понятия „присоединенной массыа Мтт> обладающей
1 ит
кинетической энергией Ттт = ^Мтт^ (см. (8,74)).
Для длинных волн полная излучаемая мощность
а интенсивность звука
Если zQ^>m, то
лучим:
02m+ 2
о
f ' m*(m+l)>
и2т
(8,85)
(8,86)
~ и при r=rQ из уравнения (8,81) по-
по(8,87)
Таким образом, в плоскости экватора Jr ^ рс -у и излучение мак-
максимально; по величине оно соответствует излучению с единицы
площади бесконечного по размерам поршня с амплитудой
скорости ит.
Согласно соотношениям (8,84), при
2Bm)l
*minun_
2 2
Полная мощность, излучаемая сферой, меньше, чем излучение
бесконечного поршня площади 5, потому что в направлениях,
отличных от экваториального, интенсивность убывает и при ft = О
и & = тс становится равной нулю.
Значения множителя-у/mm даны в табл. 10.
Таблица 10
т
"о" 1тт
2
0,53
4
0,41
8
0,30
10
0,28
Излучение звука бегущими в азимутальном направлении
волнами можно заменить кинематически эквивалентной системой
ротационного излучателя в виде жесткой сферы с синусоидаль-
251

ными бороздками (рис. 76), быстро вращающейся вокруг оси. Если
jV—число оборотов сферы в секунду и т—число бороздок по окру ле-
лености, то частота излучаемого звука будет f=Nm, a
U3 *,e^r.= ^ = ™.f (8,88)
где
окружная скорость на экваторе сферы. В этом
случае условие zQ^m эквивалентно условию:
с'<с.
Таким образом, формулы (8,85) и (8,86) справед-
1 ливы при окружных скоростях (или соответственно
Рис. 76 при скоростях изгибных волн в сферической обо-
оболочке), значительно меньших скорости звука. Из
уравнений (8,85) и (8,86) следует, что эффективность излучения
при с'<с резко зависит от величины отношения с'/с. При c'^>cf
согласно (8,87), излучение стремится к предельной величине, не
зависящей от с'/с.
Представляет интерес произвести расчет излучения по точ-
точной формуле (8,81) для конкретного случая вращающейся
в воздухе сферы с синусоидальными бороздками.
Положим радиус сферы го=15 см, амплитуду бороздок
ат = 0,2 см. Используя таблицы для функций Dm{z^)y получим
величины, характеризующие звуковое поле, которые представ-
представлены в табл. 11.
Таблица 11
0,4
0,8
1,2
1,6
2,4
Число об/сек
~ 2я7ЯГ0
73
146
219
292
438
с'
с
0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
Часто-
Частота
f —
mN
146
292
438
584
876
рг\
^r,\
\Ctzn i
0,5 •
1,23-
2,90-
2,53-
6,33-
105
107
108
109
1010
Интенс.
г\см*
при %
0,77?
1,88-
4,50-
3,87-
9,70-
)
102
103
10*
105
Уровень
интенс.
Идб)
и г =
89
113
126
136
150
Звуковое
давление
(эф. бар)
100 см
5,6
88
430
1260
6400
2,2
3,0
4,0
5,0
100
136
182
227
0,275
0,375
0,50
0,625
800
1090
1450
1820
60
2,38- 10*
5,20 • 106
2,80 • 108
1,61 • 10~3
0,64
1,38-103
7,50 • 103
62
88
111
129
0,258
5,13
75,3
553
252

Интересно отметить, что нарастание мощности излучения и
уровня интенсивности с числом оборотов происходит при т = 8
гораздо быстрее, чем при т = 2.
При частотах Аг^>200 обjсек излучатель с двумя волнами
по окружности значительно эффективнее, чем излучатель с во-
восемью волнами. Следует отметить, что при том же числе обо-
оборотов первый излучатель дает в 4 раза меньшую частоту.
Равенство интенсивностей для т = 2 и т = 8 достигается при
окружной скорости с'^ 0,6с, но при соответственно различных
частотах. Результаты теоретического расчета показывают воз-
возможность получения значительных интенсивностей звука в воз-
воздухе при условии получения больших окружных скоростей,
приближающихся к скорости звука.
Аналогичный расчет для излучения звука в воде показывает,
что эффективность излучения при том же числе оборотов из-
излучателя будет крайне мала, так как отношение с/с будет
значительно меньше и, следовательно, будут малы величины z0.
Для увеличения интенсивности потребуется задавать столь боль-
большие скорости вращения, что их получение практически недости-
недостижимо.
Все приведенные расчеты основываются на линейной теории
звукового поля без учета вязкости среды. При возбуждении
изгибных круговых бегущих волн в цилиндрической оболочке
или в пластинке (с помощью подходящего механизма) закон-
законность подобных расчетов не вызывает сомнения, так как
радиальные и тангенциальные скорости остаются намного меньше
скорости звука. Однако при получении бегущих волн путем
вращения сферы с бороздками вязкостные эффекты при боль-
больших окружных скоростях, когда с сравнимо с с, безусловно
играют большую роль; пограничный слой среды будет увле-
увлекаться бороздками, и в результате вращающаяся зубчатка, как
бы обволакиваясь прилипшим слоем, станет более гладкой, чем
это соответствует действительной форме бороздок. Отсюда
можно сделать предположение, что амплитуда радиальных ко-
колебаний уменьшится и эффективность излучения будет меньше,
чем дает теоретический расчет без учета вязкости. С другой
стороны, из аэродинамики известно, что при тангенциальных
скоростях, приближающихся к скорости звука, каждая неров-
неровность на поверхности вызывает возникновение ударной волны.
Очевидно, что так же должны действовать и бороздки на по-
поверхности вращающейся сферы, и тогда следует ожидать зна-
значительной интенсивности звукового излучения.
Звуковое поле сферического пояса шириной от -^— <р до
с поверхностными волнами, бегущими в азимутальном
253

направлении ф, заданным законами (8,78), и с неподвижными по-
полярными сегментами может быть рассчитано по формуле (8,79),
где итт вместо выражения (8,80) определится так:
Если п = т, то коэффициент #mm выражается следующим об-
образом:
2mm\ fi ? I 9 i 1.3
" sin[1+C0S^+
Для излучателя с радиусом ro= 15 см и шириной пояса 2<р = 0,2
при т = 8
и'тт = 0,604^
вместо итт = ^3 для полной сферы.
/72
При т = 2
и'тт = 0,364^.
/п
Поскольку в соотношение (8,79) для потенциала скоростей вхо-
входит множитель Р{Т?^) = т$>ттЪ и амплитудный коэффициент
итт> то звуковое давление дЛя пояса (при прочих равных усло-
условиях) будет меньше, чем для полной сферы в отношении 0,604
(при т = 8) и 0,364 (при т = 2). Таким образом, излучение сфе-
сферического пояса, ограниченного двумя полярными полусфери-
полусферическими экранами, не сильно отличается от излучения пол-
полной сферы, причем разница тем меньше, чем больше пара-
параметр т, который определяет закон (sinmu) спадания амплитуды
волн от экватора к полюсам.
Интересно провести аналогию поля излучателей с бегущей
волной со „звуком вращения" пропеллера. Л. Я. Гутиным* была
решена задача нахождения звукового поля пропеллера и вы-
выяснено, что возникающий „звук вращения" связан с силовыми
воздействиями пропеллера на окружающую среду и опреде-
определяется тягой винта Р и его моментом вращения Ж. Им указан
также путь расчета дополнительного излучения звука за счет
периодического вытеснения среды вращающимся телом. Для амп-
* Л. Я. Гутин. ЖТФ, т. VI, 1936, стр. 899; т. XII, 1942, стр. 76.
254

литуды тг-й гармоники звукового давления на расстоянии г и
под углом & к оси винта для этой последней части звука вра-
вращения получено *:
о sin
где т — число лопастей винта, w = kc = 2к Nnm — круговая ча-
частота звука, N—число оборотов винта в секунду, V—объем
всех лопастей винта, /?0—некоторый средний радиус, прибли-
приблизительно равный 0,75 радиуса конца лопасти.
Вводя окружную скорость, соответствующую радиусу Rou
получим:
Для основного тона (#=1)
При длинных волнах kR0 <^ 1 и ~ ^ 1, и можно в первом при-
приближении принять, что Jm(x)?*&(j\ • ~¦ Используя формулу
Стирлинга, получим:
smmb (е(Лт+* 4m2
2е) ' е* y^i
Это выражение дает хорошее приближение при т^>Ъ. Сравним
величину давления рт1 с соответствующей величиной (в случае
длинных волн) для вращающейся сферы с т синусоидальными
бороздками на поверхности (формула (8,82)):
sin*7* ft pc2 sin
o>r(m-{-l)m
Учитывая, что амплитуда бороздки ат = Ат$ттЪу где Ат —
амплитуда бороздки на экваторе, и что площадь сечения бо-
С\ у,
роздки равна ат--^, найдем объем, вытесняемый одной бо-
бороздкой:
. * Обозначения Гутина изменены в согласии с принятыми нами.
| ' 255

Интеграл вычисляется так же, как и в формулах (8,80), и при
т^>Ъ будет близок к 1/ —. Обозначая этот интеграл че-
через im, найдем для полного объема среды, вытесняемого бо-
бороздками:
V
Введем величину V в выражение для амплитуды скорости ит:
Так как
с \с I
где с' — окружная скорость движения волн на экваторе, то
выражение для звукового давления, используя формулу Стир-
линга, при больших т приведем к виду:
Выражения (8,89) и (8,90) дают совершенно одинаковую зави-
зависимость давления от величины вытесняемого объема V, угла
&, расстояния г, радиуса вращающегося тела /?0, г0 и от отно-
отношения окружной скорости волн d к скорости звука с в ок-
окружающей среде. Зависимость от числа лопастей (или бороздок)
т в основном тождественна зависимости вида /тгт+2; разница
в дополнительных множителях в формулах (8,89) и (8,90) ока-
оказывается незначительной. Имеем
Рт I 1 \./ 1
)
Pmi \(m+l)mlm)\Vnirt) (m+ \)Bm!)i
im
m
При т^>3 это выражение приблизительно равно —т=- При
т — 2 и т = 3 это отношение, вычисленное по точной фор-
формуле, получается примерно такой же величины. Таким образом,
звуковое давление в случае ротационного излучателя, вычис-
вычисляемое по формулам Гутина для „объемного звука вращенияа,
и звуковое давление в поле сферического излучателя с бегущей
волной оказываются величинами одного порядка.
Незначительность расхождения результатов расчета двумя
совершенно различными методами заслуживает внимания. Ясно,
что звуковое поле для подобных систем при длинных вол-
волнах в основном определяется величиной объема вращаю-
вращающихся лопастей (или бороздок), их числом, расстоянием от
оси и скоростью вращения независимо от формы вращаю-
вращающихся тел.

ГЛАВ А 9
РАССЕЯНИЕ ЗВУКА СФЕРОЙ
Рассеяние звука на жесткой неподвижной сфере
Возникающее при падении звука на жесткое неподвижное
препятствие звуковое поле можно рассчитать, предполагая, что
в результате воздействия падающей волны на этом препятствии
зарождается новая, рассеянная (или дифрагированная) волна,
причем в сумме обе волны — падающая и рассеянная — должны
дать на поверхности нормальную скорость, равную нулю. Обычно
под дифракцией понимают загибание лучей в зону геометричес-
геометрической тени, а под рассеянием — возникновение системы волн, как
бы исходящих от некоторого тела во все стороны при падении
на него волны, приходящей от1 удаленного источника. Приводи-
Приводимое ниже решение задачи является общим — оно описывает
полную волновую картину, охватывающую как дифрагированные,
так и рассеянные волны, не давая какого-либо критерия их
различия.
Выберем направление распространения плоской падающей
волны по отрицательной оси х, а жесткую сферу радиуса гп
поместим в начале координат (рис. 77), тогда звуковое давле-
давление в падающей волне
pi=pbentxe/wt.
В точке Р x = rcos$ = ;>, где ia=cos$. Обозначая величину
kr через 2, получим:
Pi == p^kr cos » • еш = /?0 ejz*. еш.
Разложим плоскую волну на сумму сферических волн:
т = оо
е7*1^ 2 АЛ GO, (9Д)
m = 0
17 Н. С. Ржевкин 257

где Рт(\>) — сферическая функция (полином Лежандра) порядка
т. Умножим обе части уравнения на Рп(р) и проинтегрируем
правую и левую части по [х от —1 до -j- 1:
-1
= У А
. Pn (a
Из теории сферических функций * известно, что
О при т ¦=? п,
Рис. 77
Следовательно,
Можно доказать**, что интеграл, входящий в Ат% выра-
выражается через бесселевы функции полуцелого порядка от аргу-
аргумента г:
J
Если введем сферические бесселевы функции Jm(z), (см. гл. 8),
то для Ат получим:
~
). (9,2)
* В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III. гл. VI. i
техиздат, М/, 1956.
** Рэлей. Теория звука, т. II, § 330. Гостехиздат, М., 1У55.
258

Таким образом, плоская волна, падающая на сферическое
препятствие, может быть выражена суммой сферических волн,
исходящих из центра сферы.
оо
Р1 = р,еш У,Г{2т+\)Рт(Ц;т(г). (9.3)
Рассеянную волну давления ps также можно записать в виде
сложной сферической волны, исходящей из начала координат.
Используя соотношение (8,22), имеем:
оо
Р'= ^,атРт(Ь)кт(г)^', (9,4)
т — О
где hm(z) = Gm(z)e~J~m(z)—сферическая функция Ганкеля вто-
второго рода.
Так как скорость частиц в радиальном направлении полу-
получится из выражения
дг
к
dz
то граничное условие на жесткой сфере примет вид:
(п 4 а \ — k \д-И 4-^1—П
VHin "Г 4sn) r=ro — — ;шр $z T" ^Z U#
Согласно формулам (8,21), (8,23) и (8,24), имеем:
Используя эти выражения и сокращая на неравный нулю
множитель ~-, приведем граничное условие к виду:
/;„ ? Г {2т+\) Рт(Ь) Dm (г.) sin Ьт (г„) +
гл=О
оо
+ ^ атРт (в) С-/) Z)m (z.) г -yV (" = 0.
Приравняем почленно нулю сумму каждой пары членор г ин-
индексом т\ тогда найдем:
ат =JP*F B/w -h U sin im (Z(i) ел >*{г<». (9,5)
t7« 259

Подставляя ат в уравнение (9,3), получим окончательное вы-
выражение для давления ps в рассеянной волне:
»)sln8mBb)e/8'»('.) -hm{z). (9,6)
Полученное выражение позволяет вычислить звуковое поле
рассеянной волны при любом zo=-^. Однако при zo^>l по-
полученный ряд начинает сходиться медленно, и практически вы-
вычисление при zo>5 становится крайне громоздким.
Скорость частиц в радиальном направлении будет равна:
ох
X Рт sin К (г.) *"«<*> Dm (z) e -Jb™ <*>.
Так как при z ;> 1
т+
то для вектора Умова в рассеянной волне получим:
[ j j
X B/i+ l)<rmi*oj-'««i*o>sin Sm(^0) sin Ъп(г0)~ — X
т,пО
X sin &„ (z0) cos [im B0) - »я (^o) + (/я — /г) ic]. (9,7)
Вместо добавки (m — п)ъ в аргументе косинуса можно ввести
множитель (— \)т~п.
Если падающую волну взять в направлении положительной
оси хУ следуя Морзу *, то в ряд по сферическим функциям
надлежит разложить e~Jkx. Тогда вместо уравнения (9,2) полу-
получим аналогичное выражение, содержащее jm( — z)=jmjm{z).
В выражение для pt вместо jm войдет j ~m, в коэффициенте ат
-Ф. Морз. Колебания и звук, § 29. Гостехиздат, М., 1949.
260

функция jm заменится на J~~m, а в ps войдет /-(ю+n вместо jmAr \
Вектор Умова тогда примет вид, аналогичный соотношению (9,7),
с той лишь разницей, что под знаком косинуса будет стоять
разность Sm(z0) — %n(zo) без добавки члена (т — п)ъ.
Таким образом, если угол Ь отсчитывать от направления
падающей волны, то для Js получается более простое выражение.
На рис. 78 приведены полярные характеристики рассеяния
сферы при различных значениях аргумента zo = ^p
Рис. 78
Рассмотрим, что дает выражение (9,7) в случае длинных
волн B0< 1):
"ZV 2 гУ (9,8)
6 , -av~o''~ 135 •
Для сочетаний т = 0, п = 0\ т = 0, п=\; т=1, п = 0 и
/7г== 1, /г== 1 соответствующие члены содержат г%. Для сочета-
сочетаний /7г = 0, /г = 2 и т = 2, /г = 0, а также //г == 1, /г = 2 и
т=2, п=\ войдет 2о, а если /гг = я=2, то войдет ^о0. Та-
Таким образом, сумма (9,7) определится первыми четырьмя чле-
членами, для которых тип равны 0 или 1, так как остальные
будут меньше по крайней мере на два порядка.
zo<l
1
261

p2
где J{i= -^ интенсивность падающей плоской волны*.
Таким образом, навстречу падающей волне рассеянная энергия
/5 1 \2
в (тт:~2~/ — 2d раз больше, чем в направлении волны.
{1олная мощность, рассеянная сферой при го<^ 1, будет равна
Js 2кг2 sin bdb = 1 («г; ЛК = -nJr*- Л, (9,10)
где X — длина волны, a Vo = -^ кг; — объем сферы. Легко
подсчитать, что из всей рассеянной энергии 13/ш или 93%,
распространяется в направлении, обратном падающей волне
(под углами от 0 до 90°), и лишь */и G%) — в прямом направ-
направлении. В общем случае, не ограничивая расчет малостью z0,
интегрированием выражения (9,7) получим:
оо
п* = ^ 2 Bт + 1) sin 25m (z0). . (9,10а)
Соотношение (9,10) представляет известный закон рассеяния
Рэлея, примененный им к объяснению голубого цвета неба.
Подсчитаем относительное эффективное сечение G) рассея-
рассеяния сферического препятствия. Для этого приравняем величину
П5 потоку энергии У05 плоской волны, проходящей через круг
с некоторой площадью 5. Из этого условия найдем:
Т ^ 'ZZT == ^Г (™ о) у
тсг0 у
т. е. для длинных волн эффективное сечение составляет лишь
малую долю сечения сферы кг;.
Для звукового давления рассеянной вОлны ps на больших
расстояниях (z;>l) из (9,6) получим:
+ з cos a). •' (9Л 0
Из формул (9,9) и (9,11) следует, что для длинных волн
рассеянная волна эквивалентна излучению суммы двух излуча-
излучателей: нулевого порядка и первого порядка (дипольного), из
которых последний имеет* в 1,5 раза большую амплитуду. Это
* Благодаря выбору в книге Морза отсчета углов $ от направления на
3 3
источник в его формулы входит множитель A — cos&)- вместо A -|- -^ cos ftK,
262

можно истолковать следующим образом. Жесткая и неподвиж-
неподвижная сфера препятствует движению жидкости в занимаемом ею
объеме. Этот объем не может сжиматься и колебаться (в на-
направлении волны) так, как это имело бы место в отсутствие
сферы, что можно приписать возникновению движений рас-
рассматриваемого сферического объема с обратной фазой и рав-
равной амплитудой. Это и есть источник нуль-плюс-первого по-
порядка, упомянутый выше.
Может показаться непонятным, почему излучение первого и
нулевого порядка почти одинаковы, поскольку в падающей
плоской волне амплитуда скорости на поверхности сферы, про-
пропорциональная Bт-\- l)DmB0)sin §m(z0), для первого порядка
будет больше, чем для нулевого. Действительно, подставляя
значения Dm и 8т, из уравнения (9,6а) для т = 0,1 и 2 найдем,
что амплитуды скорости на поверхности пропорциональны:
для /?г = 0; qi0 ^ -^ -± = -f,
для /гс=1; qiX — 3 ^-•-^ = 1,
для т — 2; qn — 5 — -jy1 = " z*.
Отсюда видно, что в падающей волне наиболее сильно выра-
выражено осцилляторное движение (т = 1). Интенсивность рассеян-
рассеянной волны определяется произведением сопротивления излуче-
излучения на квадрат амплитуды скорости. Используя выражения (8,60)
и (8,62) для сопротивления излучения, найдем, что полная
мощность излучения для различных членов будет иметь порядок.
\ 2*4
1 *::<
для т = 1; IIj = у Rxqh ~ z\ • 1 == z\,
1
для т = 2; П 2 == -^- Rnqh ^ z\ • z: = zl.
Zo
Таким образом, несмотря на большую (в 3/20 раз) амплитуду
скорости на поверхности для 1-го порядка, мощность излуче-
излучения 0-го и 1-го порядка оказывается одинаковой. Излучение
высших порядков будет играть ничтожную роль.
При значениях z0 ^>1 характеристика направленности рас-
рассеянного излучения принимает сложную форму с рядом макси-
максимумов и минимумов. По направлению падающей волны (^ = ^)
интенсивность рассеянного звука наибольшая. Но в этом на-
направлении, как известно, должна получиться тень; это кажуще-
кажущееся противоречие будет разъяснено ниже. Из приведенных на рис. 78
263

характеристик рассеяния ясно, что с увеличением гп максимум в на-
направлении ft = тс возрастает и делается все более и более острым.
Ряд (9,7) оказывается практически непригодным для боль-
больших Zq. Морз * дает для вычисления интенсивности звука, рас-
рассеянного сферой при го>>1, асимптотическое приближение:
(9,12)
В направлении, обратном падающей волне, |ft = 0| рассеи-
г2
вается интенсивность /s0 ^ /0 -ф-, а в направлении падающей
волны (ft = тс) — интенсивность /57Г — Л т^г A + z\), которая
при zb ^> 1 будет намного больше, чем Js0. Если угол удовле-
удовлетворяет условию 20 sin (тс — ft) = 20 sin ft = 1,84, то Л (г© sin ft) = 0
и добавочный член в скобках выражения (9,12) будет равен
нулю. Таким образом, остро направленный луч с максимумом
под углом 0 = тс имеет угловую ширину sinft^ft=-^— . — =
= 0,61 — . При условии z0 sin (тс — ft) = zQ sin ft = 5,33 функция Jx
имеет максимум, равный 0,34, и добавочный член в соотношении (9,12)
получит значение @,34J: (-hr-) (т) = 0,64-~ = 0,0162*. Боко-
вой максимум интенсивности (под углом $ = тс — 0,85— ] будет
в @,016)"* = 63 раза меньше, чем максимум под углом $ = тс.
Следующие максимумы будут еще меньше. Обратим внимание,
что формула (9,7) и все вытекающие из нее формулы, в том
числе и выражение (9,12), выведены для случая z^>l, что со-
соответствует зоне фраунгоферовой дифракции. Детали интерфе-
интерференционной картины в зоне френелевой дифракции, когда рас-
г2
стояния от центра сферы меньше, чем —^-, не могут опи-
описываться этими формулами.
Для коротких волн должно получиться приближение, вытека-
вытекающее из геометрической акустики. В этом случае рассеянную
волну можно представить как бы разделенной на две части —
действительно рассеянную по всем направлениям, исходящую
из центра сферы волну и на узкий пучок тенеобразующей
волны, идущей по направлению ft = TC и ограниченной пло-
площадью сечения сферы пг\. Интенсивность тенеобразующей
волны равна интенсивности падающей волны, а фазы их проти-
противоположны, так что эти две волны в сумме дают тень. Вто-
Второй член в уравнении (9,12) как раз и представляет тенеобра-
зующую волну.
* Ф. Морз. Колебания и звук, § 29. Гостехиздат, М., 1949.

Суммарная рассеянная энергия при коротких волнах
Половина ее дает тенеобразующую волну, а вторая половина —
подлинную рассеянную волну. Заметим,„ что интеграл по сфере
от первого члена в уравнении (9,12) дает как раз «rj/e, .так
же как интеграл от второго члена. Подробный анализ рассея-
рассеяния звука при коротких волнах представляет большие матема-
математические трудности.
Теорема взаимности
Гельмгольц в I860 г. доказал* важную теорему, носящую
название теоремы взаимности: „Если в заполненном воздухом
пространстве, частично ограниченном простирающимися на ко-
конечное расстояние неподвижными телами, частично же неогра-
неограниченном, в какой-либо точке А возбуждаются некоторым ис-
источником звуковые волны, то создаваемый ими в какой-либо
другой точке В потенциал скоростей и по величине и по фазе
совпадает с тем, который получился бы в точке А если бы
в В находился тот же источник звука".
Из теоремы взаимности следует, в частности, что точечный
источник, помещенный в полюсе сферы (рис. 77), создаст на не-
некотором расстоянии г от центра сферы (в точке Р) такое же
звуковое давление, что и источник с той же объемной ско-
скоростью в точке на поверхности сферы на угловом расстоянии
Ь от радиуса, проведенного из точки Р к центру сферы. Это
позволяет найти распределение давления на поверхности жест-
жесткой, неподвижной сферы, исходя из решения задачи о звуко-
звуковом поле точечного источника, помещенного на полюсе сферы.
Такая задача была решена в гл. 8. Звуковое давление в уда-
удаленной точке с координатой г=х определяется выражением
(8,76);
р\ ъ4/А0?С'е№-**> у jmPm(b){2m+\)
где Аь — производительность источника.
Из теории излучателя 0-го порядка известно (гл. 4), что
бесконечно удаленный источник с производительностью Ло>
расположенный на положительной оси на расстоянии х, дает
в точке х = 0 звуковое давление /?0=/(ор-р^еу/гл". Эту величину
* Н. V. Н е 1 m h о 11 z. Vorlesungen iiber die mathematischen Prinzjpien der
Akuslik, § 54. Leipzig, 1898.
265

нужно подставить в формулу (9,6), если предполагать, что
давление р0 создается удаленным источником.
Подсчитаем суммарное звуковое давление на поверхности
сферы. Из равенств (9,3) и (9,6) следует:
оо
(Pi +Ps) r-rO = P»eMt ?. Г Bт +1)Рт (») Um (г.) +
)eJ*m<*o)fim(zQ)]. (9,14)
Используя соотношения (8,26), получим:
l Jl djm = fm .
Dm dz Dm'
hm=jm-jnm;
'Л
Преобразуем выражение в квадратных скобках, входящее
д сумму (9,14):
/ | :Um — Jnm)Jm = ;Jmn'm — nmj'm
Jni I J |" if* ' J 1' /-,' •
Jm—Jnm Jm~~Jnm
Используя формулы (8,21а) для производных fm и п'т, получим:
/тПт — nj'm = 2^Т|ГТ ^mUmnm-x — tlmjm_x) -f {j
— nm+\Jm)]-
Так как согласно (8,21)
TO
После всех этих преобразований приведем выражение в скобках
формулы (9,14) к виду:
Jjm-jnm
Тогда
? ^^^;; , (9,14 а)
266

Откуда, подставляя /?а=/о>р-^ . &kx , найдем:
t-Aopce-
*mt+kx)
rl - kx
Dm (zQ)
7=W^T- (9,15)
Учитывая, что направление отсчета фазы в формуле (9,13)
обратно направлению ее отсчета
в формуле (9,15), заключаем,
что обе формулы дают вели-
величины давления, совпадающие
как по амплитуде, так и по
фазе, что соответствует тре-
требованию теоремы взаимности.
Распределение интенсивности
звука по поверхности сферы
в функции от угла Ь дано на
рис. 79 при различных значе-
значениях параметра 20 = -^JL. По
оси ординат отложены вели-
I Pi 4- Рс I2
чины 'Иг \FS' в логарифми-
Ро
ческом масштабе. Эти величины
вычисляются по формуле для
интенсивности звука точечного
источника, расположенного на полюсе
рисунке отложены значения функции
90°
Угол с осью сферы
Рис. 79
1дОа
= 0) сферы (8,75). На
Давление звуковой волны на неподвижную жесткую сферу
Запишем выражение (9,14 а) для давления звука на поверхно-
поверхности сферы в развернутом виде:
^ - 5 -^ -Л -^ -f
Подставляя значения Dm и Ьт для малых 20, учитывая,, что
eJ6mF& I +ySm, и отбрасывая члены, содержащие z0 выше 4-й
степени, получим:
(9Л7)
267

Компонента давления вдоль оси х равна {pt +Z7*) cos 8, а пол-
полная сила давления
cos»rf(cos»> (9, 18)
Отличную от нуля величину полного давления дадут только
члены, содержащие Рт с нечетным индексом.
В первом приближении из выражения (9, 17) получим:
(Pi + Ps\ =, п ** Р*"°* {1 + J-l z0 cos »).
Заметим, что падающая волна дает давление:
р,е]кхеш^р,еш A+/г0 cos 8).
Таким образом, реакция рассеянной волны прибавляет к дав-
давлению половину величины, даваемой падающей волной. После
интегрирования получим в первом приближении:
т. е. при малых z0 сила давления возрастает прямо пропор-
пропорционально 20.
Величина среднего давления на сферический сегмент с уг-
уг8 *
лом 80 *
\Pm_x (j) - Рт+1 (г%)]
(9, 19)
-о ^ /^ Uo) [^ 1 (»о) — Л (»o)J
где P_1(cos»0)=l.
Вычисление по формуле (9,19) дает для амплитуды дав-
давления рх при малых z0 величины порядка р^ При увеличении z0
амплитуда растет и приближается к 2р0, как у твердых преград
в случае плоской волны; при z0 = 4 получается величина дав-
давления еще примерно на 10% меньше 2р0- Учитывая члены,
* Ф. Морз. Колебания и звук, § 29. Гостехиздат, М., 1949.
268

содержащие нечетные полиномы Лежандра, из соотношений
(9, 16) и (9, 18) найдем полную силу давления:
4-1
-1
где v = cos 0.
Интегралы, входящие в это выражение, равны:
-1
4-1
[Px(y)ydy=\y*dy = -^\ \ Pb{y)ydy=\ P
I +Ji -i J
Следовательно,
Величина ¦ Г—Ч— =
-при малых Zq пропорциональ-
на 20. При <г0 = )/ она достигает максимума, равного единице,
и затем начинает спадать по закону я^ - (рис. 80).
0.5
/
— —
У=
V
—
—L
¦¦ -
2
fl / 2 3 Ч 5 6 1
Рис. 80
Ю
Разница давлений на двух полюсах сферы. Для физио-
физиологической акустики представляет интерес, какова будет при
[ падении звуковой волны точно сбоку разница по амплитуде и
: фазе давления в двух ушах. Этот вопрос можно разрешить
\ приблизительно, если принять голову за шар с диаметром 18 см
|и вычислить давление на поверхности по формуле (9,14) в точ-
U 0 = 0 и О = тг. Используя выражение (9,17) и учитывая, что
' 269

Рт@)=\ и Pm(—1) = (— l)m, для амплитуды давления при
i) = 0 получим:
Амплитуда давления при 0 —ти
+У|го(— 1 + Йго+ §¦«;)] • (9,21)
5 9 7
Обозначая а = 1 — - г\ + ^ ^ и р = 1 — д^ z\ и ограничиваясь
малыми величинами до z\y найдем для абсолютной величины
давлений:
Учитывая, что/701/ a2 -f- ^ $*z\ я^р0, и что а -f- 2p я^ 3 получим для
относительной разности давлений на полюсах сферы:
= ' Pi 1 — 1 Ра I
Рэлей* вычислил, исходя из теоремы взаимности, относительную
разность интенсивностеи на поверхности сферы в точках & = 0
и & = *:, которая при «го<1 составляет величину 320\ Понятие
интенсивности звука на поверхности сферЬ1, строго говоря, не-
неприменимо, поскольку компонента скорости (# -\- qs)r e Го — 0 и
потока энергии нет. За интенсивность в данном случае следует
принять величину ?- . Относительная разность интенсивностеи
будет равна:
P«s Р2 ^о>
Относительная разность амплитуд при частотах 100 и 200 гц
имеет для головы человека следующие величины:
/=100 гц, ?„^0,33, 7^0,018;
/= 200 гц, z0 ^ 0,66, т ^ 0,3.
:- Рэлей. Теория звука, т. II, §328. Гостехиздат, М., 1955.
270

Слух едва способен воспринять разницу звуковых давлений в 10%-
Таким образом, на низких частотах, бинауральный эффект не
может быть объяснен разницей интенсивности звука в двух ушах.
Разность фаз звука в точках 0 = 0 и 0 = ?г легко может
быть рассчитана, исходя из формул (9,20) и (9,21). С точностью
до членов zl тангенс угла разности фазы А (по отношению к фазе
издающей волны в центре сферы) в точках 0 = 0 и 0 = тс равен:
2 ° \ 90 ° ^ 9
go z; 9 г;
4 «.(!+?¦
1
1
Разность фаз в точках 0 = 0 и 0 = 7т будет
д _ д/0\ _ д/^\ ^з ( 1 4- — Л ~ -
\ 45 ° / 2 \
Следовательно, при zQ<^\ разность фаз в двух полюсах сферы
в 1,5 раза больше, чем набег фазы k-2r0 по прямому пути
между этими точками. Этот вывод представляет интерес для
оценки разности фаз звука в двух ушах, когда звуковая волна
приходит под углом 90° к фронтальному направлению, а также
для некоторых технических задач, связанных с пеленгацией ис-
источников звука.
Сдвиг фазы звуковой волны в результате
воздействия жесткой сферы
На основании формул (9,3) и (9,6) можно записать суммарное
поле падающей и рассеянной волны в следующей форме:
(Pi +Ps) = P»eJoityi
т = 0
Prfbe
JlLut+KX)
Рис. 81
i Найдем звуковое давление в двух точках А и В (рис. 81)
| на оси х} расположенных на расстоянии -\- х и — х от цент-
271

pa сферы. Положим х = аг^ где а ^> 1, и обозначим kx = z
и kro = zo. Тогда при 20<О на основании (8,21) и (8,28) имеем:
~т - •" —
yoW/ /^w x> Jmy0)^^ „От Л. 1
п~ =У:
mBw ¦
т
4- l2m
о
Производя вычисление с точностью до членов 2*, получим:
(Л
Разность фаз в точках А и В равна:
V^ 2a
а разность хода звукового луча
При удалении точек Л и б от поверхности сферы разность
хода приближается к величине отрезка 2х и, следовательно,
сфера уже мало влияет на разность хода звукового луча.
Так, при а = 2 получим Ъя&2х(\-]—гтН, а при а = Ъ
Ь ^ 2х A -(- онд). При а = 1, что соответствует совмещению точек
2
А и В с полюсами сферы, 8 я^ 2г0 у = Зг0.
Рассеяние звука на сфере из жидкого -или газообразного
вещества (дифракция на гибкой сфере)
В случае рассеяния звука на жидкой или газообразной сфере
граничные условия состоят в непрерывности давления и нор-
нормальной компоненты скорости при переходе через границу
сферы. Обозначая давление и нормальную компоненту скорости
во внешней среде для падающей волны pt и qin, для рассеян-
рассеянной — через ps и qsm а во внутренней среде — через р и qn *,
запишем граничные условия в виде:
* Все величины, относящиеся к внутренней среде (плотность,
скорость звука), и все функции, взятые для внутренней среды, мы будем
обозначать далее чертой над знаком данной величины или функции.
272 '

Эти граничные условия имеют смысл в предположении, что ам-
амплитуда колебаний поверхности сферы очень мала и можно
считать г0 = const. Аналогично формулам (9,3) и (9,4) при рас-
рассеянии плоской волны с амплитудой /?0, падающей по направ-
направлению отрицательной оси х на сферу, расположенную в начале
координат, получим выражения для давления и скорости в падаю-
падающей и рассеянной волнах в форме ряда, разложенного по сфе-
сферическим функциям:
Pi = 2
т = 0
т = 0
_ -Dm(z) sin bm(z)],
m = 0
m=0
(9,22
Для внутренней среды, согласно равенствам (8,22) и (8,48),
можно написать, учитывая, что в решение войдут только сим-
симметричные относительно оси сферические функции Рт(Ь) (поли-
(полиномы Лежандра):
oo
m = 0 m=0
- . - « • _ (9,23)
-Dm(^)sin&
У05? ___
m=0
где ат — амплитудные коэффициенты. Граничные условия от-
отдельно для каждого т имеют вид:
р. Г Bт +1) jm (*о) - amGm (z0) e'hm{2^ = ат0т (г0) cos *Jz0),
f Dm (z*) sin bm (zo)+ afc Dm (z.)
= -J^Dm(z0) sin bm(z0).
18 С. Н. Ржевкин 273

Из этих уравнений найдем ат и ат:
ат=р0/т+1Bт-\-\)Х
1± Dm sin om -~Gm cosTm — ~Dm sin s m - jm
m mm + Jmm sin bm
m + jDme~fim »jm
7c ZI Г~ • (9,24)
j-=Gme-J*rnDm sin bm J
Здесь все функции без черты наверху и с чертой наверху
берутся соответственно от аргументов z0 и z0.
Используя приближенные значения Dm, %m, Gm и sm, определим
величины первых коэффициентов ат при условиях z0 <^ 1 и
^о <; 1 (длинные волны):
—^ > в© я^ -g-, (/0 я^ — , ?0 я« 2 2~» Уо ^^ ^
п 2 *
п 9 .
Выполняя операции, указанные формулами (9,24), получим:
Величины р^2 = х и рг2 = х" представляют адиабатические мо-
модули объемной упругости внешней и внутренней среды. Тогда
f
Т 3
Для жесткой сферы -? —^ 0 и для а0 получим выражение
которое получится также и из формулы (9,5).
Если
¦=f <1 или 2;0<"|/Г3^, (9,27)
274

то
¦-)¦
Условие (9,27), как будет показано далее, соответствует ма-
малости частоты о) по сравнению с резонансной частотой пульса-
ционных колебаний сферы. С той же степенью приближения,
как и в соотношении (9,25), получим:
р — р
^-1
(9,28)
Таким образом, коэффициенты а0 и ах содержат множитель z*09
а коэффициент а2 — множитель г\, т. е. величину на два по-
порядка меньшую, чем а0 и ах. Очевидно, при соблюдении усло-
условий Zo <J 1 и 20 < |/ ЗЛ рассеянная волна определяется в ос-
основном членами 0-го и 1-го порядка и по формулам (9,22),
(9,26) и (9,28) найдем:
Р*^Р*е]ы Гу| i-p G0(z)e~M*) +г*0 j^- Ох(г)е-м cos»
На далеких расстояниях B^>1)
и O0B;)=G1B;)^i-; so^2; — ~; et^z — тг
Рассеянная волна от гибкой сферы, как и в случае жесткой
сферы, представляет в основном сумму излучений 0-го и 1-го
порядка, но с иным соотношением компонент.
Пульсационные колебания гибкой сферы под действием
звуковой волны
Пульсационные колебания соответствуют члену 0-го порядка
в разложении (9,22) для ps. Преобразуем выражение (9,26) для
а0, полагая, что ^0<1 и е~^ ?^\—/г0.
где Z1 = pf[z;+y^0—^ -)\ = ?cZ. (9,29a)
18* 275

Рассчитаем радиальную компоненту скорости qsn(r0) на поверх-
поверхности сферы. Из уравнений (9,22) и (9,29) при z0 <[ 1 получим:
1-*- 1-х-
, N ш^е е х х
(Го) '~ Р *
(9,30)
где <7о = ~— амплитуда скорости частиц в падающей волне.
Суммарная радиальная скорость определяется в основном пер-
первым из соотношений (9,30), за исключением случая, когда iT> х.
В этом случае qsn = + jq^ ~ и суммарная скорость qn (r0) = 0.
Из первой формулы (9,30) ясно, что если условие ^с^>х не
имеет места, то амплитуда пульсационных колебаний будет иметь
максимальное значение при условии
Это условие соответствует резонансу пульсационных колеба-
колебаний сферы. Для газовых пузырьков в жидкости при давлении Р
где Ро и ?0 — значения, соответствующие температуре 0° и
атмосферному давлению Ро (для воздушного пузырька в воде
хо= р0 cl= 1,4.106 дан /см2). Из уравнения (9,31) для резонансной
частоты газового пузырька в жидкости получим:
Q Ух
Для воздушных пузырьков в воде
^ у У оо У 0— 2г0 ^
При этом выводе не учитывалось влияние давления поверх-
поверхностного натяжения \Р' = ~). Дляводы,при 18°С,а=72дан)см,
поэтому для пузырьков с радиусом больше 10~3 см влиянием
поверхностного натяжения можно пренебречь. При го<^-? пу-
пузырьки становятся нестабильными и растворяются в воде, так
как Р'>А
276

Преобразуем выражение (9,29а):
p
Z, = РФ? + Jzo) -/—= Z'+ Z* •
Оно представляет некоторый импеданс, рассчитанный на еди-
единицу площади; выражение Zr = pc(zl~{-jz0) есть удельный им-
импеданс излучения пульсирующей сферы (при условии ^1
см. гл. 4), а ~
Зрс— — _
2- L^^jl^—1 Р
удельный упругий импеданс сферического объема V=§- wj.
Коэффициент упругости сферы (на единицу площади) равен
r0 r0 •
Анализ выражения (9,30) показывает, что при вынужденных
пульсационных колебаниях малой сферы под действием плос-
плоской волны с амплитудой давления /?0 скорость колебаний qsn
на поверхности определяется разностью сжимаемостей внешней
и внутренней среды и некоторым (комплексным) сопротивлением
Zh состоящим из суммы собственного (упругого) сопротивле-
сопротивления объема сферы Ze и сопротивления излучения Zr
При выводе выражения (9,29) предполагалось, что 20«О и
20=— 20<^1. Если с<^с, то второе условие не усиливает
с _
первого. При с^>с второе условие можно преобразовать так:
?0 = —/ —р^ 1. Для газового пузырька в воде (при Яо =
0ре3 V Р
1/ ~ я^ yj и>
= 1 атм) 1/ ~ я^ yj и> следовательно, условие ?0 <^ 1 приво-
приводит к требованию: го<^\7 zpe3. Легко видеть, что формулой
(9,29) можно пользоваться до частот, в несколько раз превы-
превышающих резонансную, так как при резонансе мы еще получим
^о^ р=, а при частоте в 4 раза выше резонансной — ?0^^-.
Из формулы (9,30) следует, что поток среды через поверх-
поверхность сферы равен:
(9,33)
*? + Д*
277

Для газовой сферы в жидкости при резонансе полный поток
среды через поверхность сферы будет равен:
[\)q
Таким образом, объемная скорость через поверхность сферы
в - раз превышает поток через 1 см* фронта волны. Это зна-
значит, что резонирующая сфера засасывает энергию с площади
фронта волны, равного
° ^ -к *
Эта величина представляет эффективное сечение рассеяния
маленького резонансного газового пузырька. Тот же вывод из
несколько иных соображений получил Лэмб * для любых ре-
резонаторов с малым затуханием.
Исходя из соотношения 2рез = ]/ 3^- и принимая, что соб-
ственная частота резонатора типа Гельмгольца о)рез = с2у, где
К— проводимость горла (равная для очень короткого по дли-
длине горла приблизительно 2^), можно считать что площадь гор-
горла резонатора о = тс/?2 равна поверхности 4тсго некоторой экви-
эквивалентной сферы; для длинных волн такое допущение вполне
приемлемо. Тогда для некоторого эквивалентного модуля
упругости получим:
-> хгрез хо)резГ§ х^3
3 ~" 3c*V ~~ 6V
Учитывая, что всегда /?3<< V, получим-^ 1 и Уя«-, Та-
Таким образом, резонатор искажает звуковое поле и засасывает
энергию аналогично сфере с модулем упругости *'.
На поверхности сферы по формуле (9,22) давление равно:
W | sin z0
'-V
(принимая e~Jzo ?*& 1 — /z0). Формула (9,34) представляет инте-
интерес с точки зрения анализа искажений, вносимых приемником
звука в измеренное звуковое поле. В частном случае сфери-
* См. Рэлей. Теория звука, т. И, § 335. Гостехиздат, М., 1955.
278

ческого приемника давления, малого по сравнению с длиной
волны B0<О) с эффективной упругостью х' <Ч мы получим
из (9,34) полный ответ на вопрос. Для различных соотношений
между 20 и ?Рез получим следующие выражения:
7
при ?o<,2pe3,
ПрИ ?0 ^> 2рез»
при условии -^р= — ^1.
Отсюда видно, что при zo<^z?e3 приемник будет правильно ре-
реагировать на внешнее воздействие, не искажая давления звуко-
звукового поля (приемник, управляемый упругостью). При zo = zpe3
наступает очень сильное искажение звукового поля — давление
на поверхности приемника значительно больше /?0. При z^z^
(приемник, управляемый массой) поле также искажается — дав-
давление на поверхности приемника значительно меньше /?0«
При резонансе газового пузырька в воде из соотношения
(9,34) получим, учитывая, что
07-10-4 и
2Л01* ' ~°~68Ф
'- — ^ 68р0е ^ "" ^ (при Я= 1атм). (9,35)
^рез
Подсчитаем амплитуду колебаний на поверхности резонансного
пузырька. Из формулы (9,33) имеем:
I 4sn I ^^ 22
Так как амплитуда
то
г° ЛЛ/рез
До давлений 104 бар можно приближенно считать У^1 и
о
принимать гоя^ const. Для давлений порядка 106 бар, час-
часто встречающихся в практике работ с ультразвуками,
развитые выше приближенные представления о явлении резо
279

нанса уже незаконны, так как поверхность сферы движется, и
задавать граничные условия на этой поверхности принимая
ro = const нельзя. Задача о колебаниях газового пузырька при
больших амплитудах становится достаточно сложной. При силь-
сильных колебаниях пузырька мы уже имеем дело с системой,
у которой масса и упругость являются функциями амплитуды
колебания.
Давление внутри пузырька при длинных волнах (zo<^ 1)
одинаково во всем его объеме и равно давлению • на по-
поверхности; при резонансе в полости пузырька получается
давление в 68 раз больше, чем в падающей волне, и отстающее
от него по фазе на ^-.
Как уже отмечено, вычисление величины давления внутри
пузырька при резонансе в случае больших амплитуд, строго
говоря, уже не может выполняться по (9,35).
Помимо этого, вывод выражения (9,35) недостаточно обо-
обоснован по той причине, что на границе сферы будет возникать
большой градиент температуры и условия теплообмена при
колебаниях малой по размерам газовой сферы с окружающей
средой будут играть очень важную роль. Можно считать, что
окружающая среда сохраняет практически неизменную темпе-
температуру 60, а газовая сфера испытывает колебания температуры &6.
Предполагая в первом приближении процесс адиабатным и ис-
т — 1
ходя из уравнения 6 = ВР т , найдем, что колебания темпе-
температуры будут происходить по закону:
Из соотношения (9,36) явствует, что из-за наличия отрицатель-
отрицательного квадратичного члена средняя температура газового пу-
пузырька будет ниже температуры окружающей* среды. Для
поддержания более низкой температуры необходимо непре-
непрерывно затрачивать работу, подобно тому, как это имеет место
в холодильных машинах. Эта работа производится за счет
запаса энергии звуковой волны, что приводит к усилению зату-
затухания звука.
Усиленный теплообмен маленькой сферы с окружающей
средой, вызванный ее большой удельной поверхностью, исклю-
исключает применение при решении задачи адиабатных уравнений.
Колебания внутри сферы не будут ни строго адиабатными, ни
строго изотермичными. Полученная из (9,35) величина повыше-
повышения давления при резонансе (в 68 раз) является верхним пределом,
который получился бы в отсутствие теплообмена. Фактическое
повышение давления при резонансе будет значительно меньше.
Процессы теплообмена приводят к большему (на целый
28Ь

порядок) затуханию газового пузырька, чем это вытекает только
из учета потерь на излучение*.
_ Зрс!
Для очень упругой сферы (х J> x) Zj я« —r-^ ^ Из соотно-
JZq
шения (9,34) получим:
Таким образом, подтверждается уже полученный ранее
результат, что малая по размерам сфера очень незначительно
искажает звуковое поле.
Осцилляционное колебательное движение жидкой
(или газообразной) сферы в поле звуковой волны
Давление в различных точках на поверхности сферы при
воздействии на нее плоской звуковой волны рг=рое^ы+кх\
распространяющейся по направлению отрицательной оси х, будет
равно:
fo>-r. =Р^го cos 9 • е^^рф^ A +jz0 cos&).
В направлении отрицательной оси х действует компонента дав-
давления ptcosb. Суммарная сила давления по направлению (—х) па-
падающей волны
где qi = qoeJ<at = ~ei<at —скорость частиц в падающей волне,
p.=pQeJ(at и V=^vrb— объем сферы. Написанные приближен-
приближенные выражения справедливы при ?0<Jl.
Сила Fx вызывает движение сферы вместе с присоеди-
присоединенной массой. Выразим скорость колебаний вдоль оси х из
равенства (9,22). При z0 << 1 и z0 <; 1 амплитуда радиальной ком-
компоненты скорости, создаваемой падающей волной, будет:
п Г 1 л-З 9 / 7'
П (г \ '"^ I — I f\ — ( _i
а рассеянной волной:
1—-
4sn Ы ^ —
* Н. Pf rim. Akust. ZS, V, 202, 1940.
281

Суммарная амплитуда радиальной скорости при zu<^zpea равна:
-22T+7COS&)J- <9'37)
Первый член в квадратных скобках дает амплитуду пульса-
ционных колебаний; он будет мал по сравнению со вторым
членом, имеющим порядок единицы, только при условии, что
zo ^ & ^ — ^рез • \У)ОО)
В этом случае
(9,39)
Амплитуду скорости (qx) всей сферы в целом вдоль оси х по-
получим, взяв значение qn при fr = 0 или 8- = ir. Говорить о коле-
колебаниях всей сферы как целого, очевидно, имеет смысл только
если второй член в уравнении (9,37) больше первого. Условие
- приводит к заключению, что для пузырьков газа в жид-
жидкости (когда второй член имеет порядок 2), это возможно
только в области сравнительно низких звуковых частот. Так,
для пузырька с радиусом г0 = 0,01 см (/рез = 34 кгц\ оно со-
соблюдается при /<^1500гч, а для го = 0,001 при /<Т5000 г*{.
Иначе будет для баллона, наполненного водородом и находя-
находящегося в _воздухе; в этом случае указанное условие дает
20<3 у - = 3, а 2Рез= ]/ЗГ = 1,83. Следовательно, гово-
говорить о колебаниях баллона в целом можно уже при частотах,
равных резонансной и даже лежащих выше нее.
Для твердых или жидких частиц, взвешенных в жидкости
или газе, величина грез будет очень велика и условие zo<C^les
всегда соблюдается. Однако в этом случае qx будет значительно
меньше q0.
Из формулы (9,39) получим:
)-q0^r, (9,40)
2р + р
Относительная скорость сферы по отношению к движущейся
со скоростью (— q0) среде равна:
282

Абсолютная и относительная скорости при различных соотно-
соотношениях плотности среды и сферы имеют следующие значения:
Соотношение ме- Абсолютная ско- Относительная
жду плотностями рость qx скорость qx
р * о * о
При действии звуковой волны на очень тяжелую сферу (р^>р)
получаем qx = О, что имело место в уже рассмотренном ранее
случае жесткой неподвижной сферы. Интересно отметить, что
скорость qx = 0 получается в результате сложения переносной
скорости всей среды (— qQ), создаваемой звуковой волной, и от-
относительной скорости q'x = -\-qQ в обратном направлении, вызы-
вызываемой полем рассеянной волны.
Если р = ру то сфера является как бы частью однородной
жидкости и движется вместе с ней со скоростью (— q0), создава-
создаваемой падающей звуковой волной. Относительная скорость qfx
равна нулю. Случай р = р может быть реализован погруже-
погружением в жидкость сферической оболочки с добавочным грузом,
подобранным так, чтобы средняя плотность сферы была равна
плотности жидкости.
Особый интерес представляет сфера очень малой плотно-
плотности р<[р (например, газовый пузырек в жидкости). Относитель-
Относительная скорость здесь имеет двойную величину по сравнению с пе-
переносной скоростью среды, создаваемой волной, а абсолютная
скорость становится равной тройной скорости частиц в па-
падающей волне.
Проанализируем этот вопрос в связи с возникновением при-
присоединенной массы. Как известно, присоединенная масса осцил-
осциллирующей сферы равна половине массы среды, вытесняемой
1 2
сферой, т. е. -yl/ps-g-rcrjp. В уравнение движения сферы сле-
следует включить инерционную силу, равную произведению массы
сферы Vp на ускорение в абсолютном движении faqx и инер-
инерционную силу в относительном движении, равную произведению
присоединенной массы -yVp на ускорение в относительном
движении Ju>q'x. Уравнение движения примет форму:
283

В это уравнение входят амплитудные значения сил и скоро-
скоростей, так как разности фаз между Fx, qx и qx нет.
Учитывая, что q'x = qx-\~(lb получим из уравнения движения
т. е. выражение f(9,41) уже выведенное ранее. Дополнительная
сила, вызывающая относительное движение, возникает вслед-
вследствие действия рассеянной волны и будет равна произведению
присоединенной массы на относительное ускорение:
Если р^р, то 1 F'x | **&/<*> —y~ qoy т. е. амплитуда дополнительной
силы положительна (направлена против движения частиц среды)
и равна инерционному импедансу присоединенной массы, умно-
умноженному на амплитуду скорости частиц среды. Эта сила вызо-
вызовет движение со скоростью -f- qOi обратной скорости движения
среды и в результате qx = 0.
Прир=р сила F'x = 0, а при р^р сила будет равна:
/со
Следовательно, сила F'x отрицательна, т. е. направлена в ту же
сторону, что и скорость частиц среды. Она получается умно-
умножением импеданса присоединенной массы/wf—^-j на относи-
относительную скорость сферы (— 2q0). Поскольку в данном случае
дополнительная сила вызывает движение вдвое меньшей присо-
присоединенной массы (-у-)» то она сообщает ..ей удвоенную
скорость.
В сплошной среде (р = р), как это видно из равенства (9,40),
эта сила вызывает амплитуду скорости движения массы Vp,
равную (—#о).
Рассмотренные вопросы имеют значение при изучении коле-
колебаний легких частиц, взвешенных в жидкости (например, пу-
пузырьков газа), а также при расчете колебательного движения
тел, имеющих положительную плавучесть, погруженных в жид-
жидкость. В последнем случае под р следует понимать среднюю
плотность всей системы.
Выясним, будут ли применимы полученные выражения для
скорости движения сферы (имеющей плотность отличную от
плотности среды) при учете вязкости среды. В частности, рас-
рассмотрим этот вопрос для колебаний газовых пузырьков в воде.
284

Амплитуду силы сопротивления, действующей на сферу
в вязкой жидкости, можно рассчитывать по формуле
где С — коэффициент сопротивления, известный из гидродина-
гидродинамики*, зависящий от величины относительной скорости q'x.
Учтем, что сфера при колебательном движении в случае
газового пузырька испытывает инерционное сопротивление, ам-
амплитуда которого равна:
Следовательно, отношение амплитуд инерционной и вязкой сил
4 2
v= Fx _ "з"тг° = ~з~" ° я (9,42)
7 fx Cqx Cqx
Для колебания газовых пузырьков формулу (9,38), которая
выражает условие превышения амплитуды осцилляционных коле-
колебаний над пульсационными, можно записать в более жесткой
форме: -4р —<2, откуда
-^- <83, или /<-^. (9,43)
Для чисел Рейнольдса (Re), меньших 1,5, коэффициент
24 24v
С = -ъ-~и Cqx = -j—, где v — коэффициент динамической
вязкости, и из соотношения (9,42) получим условие превышения
инерционных сил над вязкими:
ИЛИ
Т~ С^ ~ 36v ->1) ИЛИ /^ d%
Условия (9,43) и (9,44) дадут совместно область частот, в ко-
которой приближенно применимы выражения (9,40) и (9,41) для
колебательной скорости пузырьков различного диаметра. При
6=18° и v^10~2 г.см~1 сек-1 получим:
0,057 ^f^ 20
d\ ^J^ d0 •
При различных диаметрах будем иметь:
rfo = O,l ^, 6,3</<200;
^0 = 0,01 см, 630 </< 2000;
rfo = 0,003 см. 6300 </< 6700.
* См. Пранд тль. Гидроаэромеханика. ИЛ, 1949, стр. 239.
285

Таким образом, формулу (9,40), определяющую чисто осцилля-
ционные колебания, имеет смысл применять только для пузырь-
пузырьков диаметра большего 0,003 см и лишь в узкой области
звуковых частот. При высокой температуре нижняя граница
понизится по частоте; при 6 = 70° она понизится в 2,5 раза.
Условие Re <[ 1,5 всегда выполняется для пузырьков любого
размера при малых амплитудах колебаний (дх<С®Л см/сек);
.положение меняется для больших амплитуд. Так, при амплитуде
давления /?0 = 2-106 баря^2 атм получим ft =13 смjсек и
д^=26 см/сек. В этом случае Re^>2 для пузырьков с диа-
диаметром от 10~3 до 10 см; используя экспериментальные дан-
данные для величины С (Re), получим, что у может быть больше
единицы лишь для пузырьков с диаметром, большим 0,1 см в
узком диапазоне низких звуковых частот; так для do = O,2 см:
35</<Ю0.
Для сферических оболочек большого диаметра, погружен-
погруженных в воду и имеющих среднее значение р < 1 (положительная
плавучесть), можно подсчитать zve3, исходя из известной фор-
формулы Лява* для тонких оболочек:
- 2 l/
Е
где р' — плотность материала оболочки и о — коэффициент
Пуассона. При рассмотрении колебаний оболочки в воде следует
учесть увеличение массы за счет присоединенной массы воды
М = 4iurj;p. Это вызывает понижение резонансной частоты до
значения:
Грез — /рез Л/
1
Jрез j рса |/ 1 _[_ .
Ар-
Стальная оболочка с диаметром d0 = 50 см и толщиной h = 0,3 см
имеет /рез =1540 гц. Условие (9,38) даст верхнюю границу час-
частот /<^2500, т. е. выше /рез. В этом случае средняя плотность
р =0,28 и из формулы (9,41) получим:
^ = — 0,92^0 и ?, = —1,92ft.
Устанавливая внутри оболочки устройство (типа сейсмографа)
и измеряя им qXi можно, далее, вычислить ft и амплитуду зву-
звукового давления po—pcqo.
* См. А. Л я в. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935, стр. 300.

ГЛАВА 10
ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ЦИЛИНДРОМ
Общее решение волнового уравнения в цилиндрических
координатах
Волновое уравнение для потенциала скоростей, записываемое
в декартовых координатах в форме кФ = -^-^ или (в предпо-
предположении Ф(х,у9г^) = Ф(х^у:1г)-е/ш) A*F + ?2^ = 0, в цилин-
цилиндрических координатах принимает форму:
где г, z и ср — координаты некоторой точки (радиус-вектор, вы-
высота и азимутальный угол). Полагая ЧГ (г, z,<p) = Z (z) • G (г, ср),
расщепим это уравнение на две равные друг другу части:
д_1 dG_\
дг\Г дг)
1 дг\Г дг) , 1 df , _ dz* _
г G ~Т~ г2 G ' Z ^ »
зависящие одна лишь от г и ср, а другая — от z\ через ?J обозначена
разделительная постоянная. Итак, мы получили два дифферен-
дифференциальных уравнения для определения функций G (г, ср) и Z(z):
Первое уравнение имеет решение:
7*** = (Л' + В) cos
(Л' — B')smkzz.
287

Второе уравнение решаем, предполагая G (г, ср) = /? (г) • F (ср),
что приведет методом расщепления к двум дифференциальным
уравнениям:
A0,2)
где т — разделительная постоянная. Первое из этих уравнений
является уравнением Бесселя и имеет решение:
R (г) = AJm (krf) + BmNm (krf). (l 0,3)
Здесь Jm(krf) и Nm(krr) — бесселева и нейманова функции по-
порядка т, а параметр kr определяется соотношением:
« = # — /?, A0,3 а)
-СО т-г
где k = волновое число. Для анализа излучающих систем
с
удобнее взять решение в функциях Ганкеля (см. гл. 8):
причем первый член, соответствующий волнам, сходящимся к оси
(и содержащий множитель eikrr), при этом следует отбросить.
Для анализа собственных колебаний в цилиндрической полости
удобней использовать выражение A0,3), где постоянную Вт сле-
следует положить равной нулю, так как Мт@) =— оо, что не
может соответствовать реальному физическому процессу. Вто-
Второй член в A0,3) следует учитывать в случае цилиндрических
кольцевых каналов или секторов, в центре которых имеется
цилиндрическое препятствие, недоступное для волн.
Второе уравнение A0,2) имеет решение:
= At eJm(? + Вх е-/т* = А% cos ту + 52 sin my =
= Л cos (/»<р — <рт),
и tgcp = ^
где А = '
Выражение для F(<?) дает однозначное решение только при
условии
Когда излучение звука возникает под действием волн, бегущих
по поверхности цилиндра в азимутальном направлении, функцию
F(y) следует взять в форме F (ср) = Ае3т или F(<p) = Ae~~jm?.
Частное решение порядка т уравнения A0,1) можно записать
в следующем виде:
Ф. (г, *, <?, *) = [AJm (krr) + BmNm (Кг)] [Ав *** + B'e~3k*Z] X
X A cos (wcp — <?m)eJ<3it'
288

Если волновой процесс не зависит от 2, то ^ = 0 и kr = k;
вторая скобка в последнем уравнении превращается при этом
в постоянную величину. Так как звуковое давление и потенциал
скоростей связаны соотношением /7=/сорФ, то общее решение
волнового уравнения для процессов излучения (в случае неза-
независимости от г) запишем в виде:
р (г, z, cp, t) = У АтН% (С) cos («<р -
0
cpj е?**, A0,4)
т = 0
где введено обозначение ^ = kr.
Радиальную скорость получим из выражения:
т = 0
X cos (/и?-?„)•*** A0,5)
Преобразуя это выражение получим:
о j
m = 1
>', A0,5a)
где
Jm\S) — /A/m(Q) = — jLm(S)e rn f при i
Величины Со, Cm. To и тт определяются соотношениями:
-к- Co sin т0 = Л; -o- Co cos t0 = — Л/j при /тг = 0; I
i - —J '
9^m m т\\т т \/ \ | ПРИ ^
Таблицу функций Cm (С) и ym (С) можно найти в книге Морза
„Колебания и звук" (табл. X, стр. 483).
В дальнейшем будет важно получать выражения для зву-
звукового поля в случае больших и малых значений аргумента
19 С. Н. Ржевкин 289

С = kr. Приводим соответствующие значения функций, входящих
в выражения для р и qr\
С & т У т:С
То W ^ ** Т' Т
о/я ^
\т
1
--/
2//2 —(— 1
т+ 2
A0,8)
2!(m + 2)! \2
l)(\n C — 0,1159);
\ (Ю,9)
' с < m 2тс \ С /
Общие соотношения для функций J и N:
4 =-А
m = Y (Jm - 1
- 1 ~Г ^m + 1 == f~
A0,10)
Излучение цилиндра с произвольным распределением
скоростей (независимым от z) по поверхности
Определим звуковое поле, создаваемое бесконечно узкой
полосой угловой ширины do., расположенной по образующей
цилиндра при азимуте ср = а и колеблющейся с амплитудой
скорости ?/0(а). Распределение скоростей по поверхности запи-
запишем в виде:
U0(a)etw при — -7
0 при -
Разложим функцию г/0 (<р — */) в ряд Фурье:
+ У C0S/7Z!
а)
290

На поверхности цилиндра должно соблюдаться граничное ус-
условие ио(? — <*/) = Яг (Ль?/). В соотношениях A0,4) и A0,5)
для р и qr введем отсчет азимутального угла от начального
азимута а; тогда они будут содержать вместо ср величину
ср — а. Приравнивая члены с равными индексами т в равенстве
ио(ср — z,t) = qr(r0,<?,t), получим коэффициенты ряда:
- Uo (a)da • рс Uo (a) da . рс
Л° — J27Z [7J (Со)-УЛГ (Со)]— *С0 (Со) е-
m «о) - УЛГт (Со)] — ^Ст (Со) в - Лт «о) '
где введено обозначение С0 = ^г0. Выражение Лот через функ-
функции Ст и 7т пригодно для любых значений т, включая и
значение т = 0. Для звукового поля колеблющейся полоски,
расположенной при азимуте <р = а, найдем:
/я =0
Чг J » ^ C(C)#-/r<«ewL "W
Для больших расстояний от цилиндра с помощью равенств
A0,8) получим:
(а) Д?а • рг j/5V(<0/" кг) • ¦ (ср - а), A0,12)
qr^U(v)d<i
где введено обозначение:
В этом случае между р и qr существует соотношение р = р?#г,
как и в плоской волне. Функция ф(ср — а) определяет характе-
характеристику направленности (амплитудную) линейного источника
О у.
в зависимости от С0=-у2- и от угла (9 — а). Ниже мы найдем
характеристику направленности линейного источника для интен-
интенсивности звука. Из уравнения A0,13) нетрудно видеть, что при
достаточно малых Со наибольший член в сумме соответствует
значению /й = 0и характеристика направленности от угла (ср — а)
не зависит. Линейный источник на больших расстояниях будет
при условии Со<^1 создавать одинаковое звуковое давление и
скорость частиц qr в любом направлении.
19* 291

Если на поверхности цилиндра имеется любое распределение
линейных источников с амплитудами UQ(a)doL, то звуковое поле
может быть найдено путем суперпозиции полей отдельных ис-
источников по формулам:
A0,14)
m=0
Из этих выражений нетрудно определить, например, дальнее
звуковое поле полоски, занимающей положение от — а0 до-^а§
и колеблющейся по всей поверхности с одинаковой скоростью
?/0, в то время как остальная поверхность цилиндра остается
неподвижной. Для дальнего поля мы получим:
q
Произведя интегрирование, найдем:
« Со м ^
Со
т==0
qrf^~. При /тг==О следует принять sin^mao = а0.^
Интенсивность звука цилиндрического излучателя
бесконечной длины и излучаемая им мощность
Линейный излучатель. Для далеких расстояний Bкг^>тк),
воспользовавшись выражениями A0,12) и A0,13) для р и qn
получим следующее выражение для вектора Умова:
cosmycosny
Cm(Co)Cn(Co) X
Xcos[Tb.(C)-t« (Со) + ^- *]• A0,16),
Вектор J направлен перпендикулярно к оси Z.
292

Характеристики направленности (по интенсивности) линейного
излучателя, вычисленные по формуле A0,16) при значениях
Со равных 0,4; 1 и 3, представлены на рис. 82.
Рис. 82.
Полная излучаемая мощность на единицу длины цилиндра по-
получится интегрированием соотношения A0,16) в пределах от 0
до 2ти:
О т=\
Для длинных волн, учитывая соотношения A0,9),
Излучатель в форме полоски. Для полоски, колеблющейся
с постоянной скоростью ?/0 по нормали в пределах от —а0
ДО + а0, выражения A0,16) и A0,17) примут вид:
оо
, 4рс(/о V1 sin ma0 sin na0 cos my cos л<р ^.
4рс^§Г 2ag . VI Sin2mao]
— **<» \_C% (Co) "t" L m*C* (Co)J *
При очень малых Со можно использовать для Ст приближенные
соотношения A0,8). Тогда
J ^
г poSJ2 Щ
1 ISF'T'
293

где *У1 = 2аоГо — площадь излучателя на единицу длины ци-
цилиндра. Излучение имеет ненаправленный характер. Полная
излучаемая на единицу длины полоски мощность при Со << 1
~ 4 2 ~~ 4 2 ~~2 A°i^o>
где
/4 = ^ = ?°^ Co, A0,18)
a Xo = ^iL^o объемная скорость пульсирующего элемента
полоски. Величина /?01 является сопротивлением излучения (на
единицу длины) полоски шириной 2а0> колеблющейся на поверх-
поверхности цилиндра. Как и в случае сферы для длинных волн
(см. гл. 8) она пропорциональна квадрату площади, но, в
отличие от сферы, пропорциональна первой, а не второй степени
частоты.
Пульсирующий цилиндр
Звуковое давление пульсирующего цилиндра выразится фор-
формулой A0,4), в которой останется только первый член суммы:
Радиальная колебательная скорость
др_
Чг = - k Д == - ^ [А (С) -JK (С)] е*-.
При г = Го колебательная скорость в окружающей среде
должна равняться заданной на поверхности пульсационной
скорости U0eJ(Ot. Используя выражение A0,11), получим:
Импеданс на единицу длины пульсирующего цилиндра (ее пло-
площадь *S1 = 2itr0) будет равен:
7 _sip(r<>,t) _ 2SlPc^To V г/ ( v ;\1(Г\\
Zo1 ~^~JF~W — —г it )— ly° ^°/ ~JN* v*) •
Яг vo1) Vo \>о)
Так как, согласно уравнению A0,7),
_2^'о 27;
То"" с0 *cl*
у;=-Л и ы\ = -ыь
81п7о= т^0' — Ут^0» а по формулам A0,10)

то
Zqi=-^7^ КА^о — ЛМ) +/ (Vi
где
0 - лм] и г01=-^
A0,20)
Выражения A0,20) возможно использовать при расчете длин-
длинных цилиндрических приемников, применяемых в гидроакустике.
Для длинных волн* (Со<^1)
и мы получим:
/?01 ^ А Р^г-о A - ^о In Q ^
Го1 я« — ^jcoprjn Со = $t apr0 In ~ = ^tp^Co In -^.
Из сравнения этого выражения с формулой A0,18) видно, что
для пульсирующего цилиндра при Со <; 1 получается сопротив-
сопротивление излучения на 1 см% такое же, как и для пульсирующей
полоски.
Отрезок бесконечного пульсирующего цилиндра, имеющего
высоту А, для длинных волн имеет активное и реактивное со-
сопротивления:
In •— = ш [Мо 21п -^-J =
где 5 = 2тсг0А — излучающая поверхность, М9 = nr20 hp — масса
среды, вытесненная отрезком цилиндра, a M — M021nz при-
присоединенная масса.
Таким образом, получается интересное соотношение:
м О1 1 , 1
-7J- я« 21nT- = lnTF.
М* Со < 1 Со ^
На длинных волнах присоединенная масса пульсирующего ци-
цилиндра не стремится к постоянной величине, как в случае сферы
(Л1 = ЗМв), но беспредельно возрастает с уменьшением С^
* См. Е. Янке и Ф. Э м д е. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Гостехиздат, M.t 1949, стр. 224. , {,

Пульсирующий цилиндр малых (по сравнению с длиной
волны) размеров имеет большее реактивное сопротивление, чем
активное. Действительно, из равенства A0,21) получим
(индексы опускаются):
Y j> 1
Со-
Отсюда, если Со = 0,001, то -&
4,4, а если С0 = 0,01, то
Y Y
-д- я^ 2,9. Для пульсирующей сферы отношение -~- растет при
малых z% = kr% еще резче. Из формулы D,10) для сферы при
го<1 следует:
L ^ _L = J_
Таким образом, при zo= 0,001 получим -^-^1000, а при
20 = 0,Ql найдем ^^100. Используя асимптотические выра-
выражения A0,8) и A0,10) при С#;>1, получим:
R — Spc; Y -> 0.
Со > 1
Со >
и
по точным фор-
форГрафики вычисленных величин , ^
мулам A0,20) с использованием таблиц бесселевых функций
приведены на рис. 83.
\
\ У
л
—~-^-
^— '
У
рс
щ
. '
8
6
а
— —„ ^,
2
м
м0
1
1.5
Рис. 83
Решим задачу о резонансной частоте газового цилиндра
в жидкости при условии Со<;1. Упругость системы
296

Е=9-^~, где V=Tzr\h, a p0 и c0 — плотность газа и скорость
звука в нем. Присоединенная масса М = Vp. 2 In p- и резонансная
частота сорез = |/ д =
.. <орез.
Учитывая, что — го = Со получим трансцендентное уравнение
относительно Со в следующем виде:
CS In-^ = 4*4= 4 ~°.
Для воды х = 2 • 1010 дин/см*, для воздуха *0 = 1,4-106 дин/см2 и
— = 0,7 • 10~4. При этом значении — корень уравнения будет
равен Со ^ 5,15-10~3, откуда резонансная частота
г _?_ . 5,15 -1Q-S- 1,5» 105 122 244
/рез — 2nro^°~ 2nr0 — Г0~ d9 *
Для воздушного пузырька в воде (см. формулу (9,32))
г 680
мы нашли /Рез= ~j~>
Представляет известный интерес определить звуковое дав-
давление пульсирующего цилиндра на больших расстояниях. В фор-
формуле A0,15) в данном случае примем ?/e(a) = t/0. При интегри-
интегрировании функции <!>(<? — а) во все члены суммы A0,15) войдет
интеграл:
ч . sinm (ф — 7
т • т
При любом т^О этот интеграл равен нулю, но при т = 0 он
равен — (ср — ic) -f- (cp -f- тс) = 2ir. Таким образом, из всей суммы
в соотношении A0,15) при интегрировании останется лишь член,
соответствующий т — 0, и тогда
^ . Со(Со)
При Co^l мы получим:
Интенсивность звука на больших расстояниях будет равна:
297

Полная мощность, излучаемая с единицы длины цилиндра,
11 = Zr.r J — —j- • " — /Coi " — "у ' —2 — P <" T '
Co < 1
Сопротивление излучения /?01==-^^ = 2ртс3г20/, что соответст-
соответствует ранее полученному выражению A0,18) для пульсирующей
полоски шириной 2а0 при Со<^ 1. Этот результат говорит о том,
что сопротивление излучения при длинных волнах не зависит
от конфигурации излучающей поверхности. Излучаемая мощ-
мощность зависит в обоих случаях только от объемной скорости
Xq{S\Uq или S^Uq) излучателя. Волновые явления, имеющие
сложный характер вблизи той или иной формы пульсирующего
элемента, на больших расстояниях приводят во всех случаях
к одинаковой конфигурации звукового поля с равномерным
распределением интенсивности по всем направлениям.
Осциллирующий цилиндр
Для цилиндра, колеблющегося по направлению <р = 0 со
скоростью u=UoeMt, можно, согласно формулам A0,4), A0,5)
и A0,9), написать выражения для звукового давления и ради-
радиальной скорости. Граничное условие на поверхности цилиндра
будет заключаться в равенстве радиальной компоненты еко-
рости колебаний цилиндра UQe coscp и величины qr($) |r_ro.
Это условие приводит к заключению, что сумма в равенстве A0,5)
сведется к одному члену с индексом /я=1, откуда (считая
0)
Для р и qr из A0,5) получим:
ы М ^ -М (C)lC0S
(Ю,23)
С, (С) cos ?.
(t)
На больших расстояниях от цилиндра, используя соотношение
A0,9), найдем:
> (ш< - Ьг + т)
g

Интенсивность звука
2pg cos2 cp щ
'Со) ' "'
Характеристика направленности колеблющегося цилиндра опре-
определяется функцией cos2 о и имеет, следовательно, вид восьмерки.
Полная излучаемая единицей длины цилиндра мощность
2ie
о. *Cf(Ce) 2 2 '
Сопротивление излучения на единицу длины цилиндра
/?1 = A:Cf (Со) ^ 2с2 ° = T6^f »
где ^ = 2^.
Выражение для коэффициента А\ (Со) можно получить другим
путем, исходя из формулы A0,14), считая, что функция рас-
распределения скорости ?/0(а) выражается законом UQ (a) = UQ cos а.
Тогда
Интеграл, входящий в эти формулы, приводится к виду:
1_ 1 ( sin [mcp — (т — 1) а] , sin [my — (ш + Oall
2 1 т— 1 ' m+.l Г
о
Так как второй член в этом выражении дает нуль при любом
т, а первый при всех ту кроме т=\у то
cos т (<р — a) cos arfa = — ^"
1 | f sin my cos (m — 1) a
cos my sin (/я — 1) а~|
in J=
cos(w— l)-0 . sin(/w — 1) - 0
— 1) -0 1

Первый и третий член в скобках равны друг другу и имеют
обратный знак, четвертый член равен нулю, а второй член
при т = 1 равен Bп cos ср); таким образом
1 cos /гг (ср — a) cos а da. = тс cos ср,
и мы получим:
Эти выражения тождественны с полученными ранее выражени-
выражениями A0,23).
Полная сила реакции звукового поля на цилиндр (на еди-
единицу длины) будет равна:
2 2
= J /> W '»cos ?d? = tcU^r, ~^~Ш- J cos V* =
Импеданс колеблющегося цилиндра на единицу длины
7 — ?l — «г пг WC) - /ATi(Co)] t cos ti(Cq) + У sin ti (С,)]
1 ~ fV^"~ oP СЖ) '
Используя формулы A0,7), получим:
Активная и реактивная части импеданса равны соответ-
соответственное
= -тег И (Л~Уо) ~ У'(Л/2~ /V»I = ^ lNl (л~ t)~
^)] A0,24)
Здесь Ув и Л^о заменены при помощи соотношений A0,10) через
функции Уа, Jt и N2, М.
зоо

Для длинных волн
•Со<1
-«[(- 4) (-?+?
Величина rcrjjp =Mi представляет присоединенную массу на еди-
единицу длины. Она равна в случае Со < 1 массе среды, вытесненной
цилиндром. Графики величины R[ =^~ = у-1— и ^' = i—~
/ /
/А
' Ь,рс
X
Рис. 84.
приведены на рис. 84. При коротких волнах, используя асимпто-
асимптотические выражения A0,8), получим:
Г _ |
тгСо
Sin I СЛ -:
Активное и реактивное сопротивления колеблющегося цилиндра
необходимо принимать в расчет при исследовании влияния ок-
окружающей среды на колебания струн. В газе это влияние не
велико и сводится к очень малой поправке к собственной ча-
частоте струны, а в жидкости оно имеет гораздо большее значение.
301

Рассеяние плоской волны абсолютно жестким
и неподвижным цилиндром *
Падающую вдоль положительной оси х перпендикулярно
к оси цилиндра плоскую волну можно записать так:
pt =poej {a>t ~kx) =рое^ • е~ Jkr cos * =рое^ • е~ ^cos *, A0,25)
где ср — угол, отсчитываемый от направления волны, а г — рас-
расстояние между некоторой точкой и осью цилиндра. Представим
плоскую волну как сумму цилиндрических волн. Положим
= ^ Am (Г) • COS /7Zcp.
т = 0
Помножим обе части уравнения на cos/гср и возьмем от обеих
частей интеграл в пределах от 0 до 2тс. В правой части интег-
интеграл от cos /7гср. cos щ будет отличен от нуля лишь при т = п
и равен 2ir (при т = 0) и тс (при т^>0).
Из теории бесселевых функций известно, что
2%
_J_ f g-JK cos f cos mfdc? = Jm (Q.
'o
Таким образом, коэффициенты имеют значения;
Ло = Л(С) и Л^
и давление в плоской волне запишется так:
со
Pl =р^ы [Л (С) + 2 ^ rmJm (С) cos /и?]. A0,26)
Радиальная скорость равна:
cos /я7 =.
sin То (9 + 2 ^ГтСт (С) sin Tm (С) cos ntf
при выводе использованы формулы A0,7) и A0,10).
В результате воздействия волны на поверхность цилиндра
возникнет рассеянная волна. Предположим, что она имеет общую
форму расходящейся цилиндрической волны. Звуковое давление
в этой волне (ps) и радиальная скорость (qsr) выразятся форму-
* Изложение проведено по методу, изложенному в книге Ф. Морза
„Колебания и звук" (§ 29), с некоторыми изменениями и исправлениями.
302

лами A0,4) и A0,5а). На поверхности цилиндра скорость должна
равняться нулю: (qt ~\- qsr)r-rQ = 0. Следовательно,
д Со
sin ь (Со) + 2
(С») sin Tm (Co) cos /n?
откуда найдем коэффициенты Лт(С0)— амплитуды рассеянных
волн различных порядков т:
A,=y>0e/7o(Co)sinTo(C0) и Am=j2p,fm¦• елт(Со) sinTm(C0).
На больших расстояниях от цилиндра для звукового давления
и радиальной скорости в рассеянной волне получим:.
Пл ~\f A .
где
1
Характеристика направленности для интенсивности рассеян-
рассеянной волны определится функцией | Ws (ср,С0) |3. На рис. 85
представлены характеристики
рассеяния для значений Со =
= 1,3 и 5.
При длинных волнах рассея-
рассеяние звука мало и идет в основ-
основном в сторону падающей слева
волны. Чем короче становится
волна, тем все большая и боль-
большая часть энергии рассеивается
по направлению падающей волны
и характеристика направленности
приобретает сложный характер с
рядом лепестков.
При длинных волнах в сумме выражения для Ws играют
роль только два первых члена (т = 0 и 1). Интенсивность
рассеянного звука выражается простой формулой:
Рис. 85
а полная рассеянная мощность
2тг
* ; _
303

где Уо = ~~с — интенсивность падающей плоской волны. Для
цилиндра рассеянная мощность обратно пропорциональна третьей
степени X, а не четвертой, как для сферы (см. (9,10)).
Для коротких волн становится непригодным анализ по ме-
методу разложения в ряд по функциям cos ту. Более сложные
методы анализа приводят к заключению, что для коротких волн
половина рассеянной энергии (равная на единицу длины цилиндра
2го/о) рассеивается по законам геометрического отражения, пре-
преимущественно по всем угловым направлениям, идущим навстречу
падающей волне, и имеет кордиоидную характеристику направ-
направленности. Вторая половина рассеянной энергии 2г0У0 сосредото-
сосредоточивается почти целиком в направлении ср = 0 и создает „тене-
образующий" луч, ограниченный в ближней зоне сечением
цилийдра и дальше постепенно расходящийся; он имеет интен-
интенсивность /0, но обратную фазу по отношению к падающей
волне. Вследствие этого за цилиндром возникает зона тени.
На границе зоны тени возникают дифракционные явления, даю-
дающие многочисленные максимумы и минимумы в характеристике
направленности.
Общая рассеянная мощность
П5 — 4го/о.
Она в два раза больше, чем мощность плоской волны, падаю-
падающей на сечение цилиндра.
Морз получил следующее выражение для интенсивности
рассеянной волны (на далеких расстояниях) при условии Св^>1:
j- = ~ sin — -f~ 2 ctg29~ sin2(^0 sin 9) + быстроменяющиеся члены
Первый член представляет интенсивность отраженной, а второй —
интенсивность тенеобразующей волны, сосредоточенной в пре-
делах угла <р=-р =п—. Быстроменяющиеся члены в конеч-
конечно ^го
ном угловом интервале в среднем дают нуль.
Давление звуковой волны на цилиндр
Полное давление на поверхности цилиндра будет равно,
согласно формулам A0,4) и A0,26):
оо
' {[Л + 2 ^ JmJm cos m<?] + [/A sm To (/, -;Щ +
304

+ 2 ? У1"VT» sin Лт (Jm - /7Vm) cos /и?]} =
= /><>е/ш' {/„ + /Лsin To (Л — /7V0) +
oo
2 ^rm[jm+JeJ"m sin Tm (/m — yWm)]cos/w<p}.
l
m=l
Производя замену sin ^0 = — т>-°- и sin -fm = —~ и учитывая,
ЧТО
9 f' /'
-°- и sin -f = —~
приведем соотношение для р(г0) к виду:
)? у I Г / ( I /Л/ ^ / ( I /Л/ \\ рО<ч /77 СО
Так как выражение в скобках всегда равно —=-, то
°~ . A0,27)
Если отсчитывать азимут от направления <р = тс» то вместо
cos л/гср в формулу войдет cos my • efm*. Тогда вместо выраже-
выражения A0,27) получим:
Г . . 2m-f 1 1
m=0
Зависимость от угла <р здесь такая же, как и в выражении
A0,12) для линейного элемента, расположенного под углом <р,
если за начало отсчета азимута принять а = 0. Для полного
тождества в выражениях A0,27) и A0,28) следует положить:
что соответствует амплитуде давления в плоской волне, соз-
создаваемой линейным элементом, расположенным на весьма уда-
удаленном цилиндре радиуса г0 [см. формулы A0,12) и A0,13)] при
условии Со<^1. В данном случае имеем, как и в случае сферы
(см. гл. 9), пример соблюдения принципа взаимности. Удален-
Удаленный (линейный) источник с некоторой объемной скоростью
создает на поверхности цилиндра под азимутом ср (отсчитывае-
(отсчитываемым от направления на источник) такое же звуковое давление,
20 С, Н, Ржевкин 305

какое создает (вдоль удаленной линии, расположенной так же»
как был расположен первый источник), линейный источник с той
же объемной скоростью, расположенный под тем же азимутом
на поверхности цилиндра. Таким образом, кривые на рис. 85
изображают также и распределение квадрата звукового давления
на поверхности цилиндра при падении на него плоской звуко-
звуковой волны.
Для длинных волн давление /?(г0) на основании выражения
A0,28) можно представить рядом:
' cos <p + V ?;тс cos
=JP<\ 1 — y'2C0coscp— 2°cos2cp-f.
Полная сила, действующая на единицу длины цилиндра в на-
направлении оси х, будет равна: Fx = r0 \ р (r0) cos cprfcp. Так как
о
интеграл не равен нулю только при ш=1, то
_.Ар
1 х —J „г
при Со<1,
С, (Со)
^- при С0>1.
17
На рис. 86 дан график величины ^—- в функции от Со. Как и в слу-
случае сферы, величина давления при низких частотах пропорциональ-
на Со, т. е. соответствует
перепаду давления на
ширине цилиндра. При
Со = 1 давление дости-
достигает максимума, а затем
начинает падать пропор-
гпгорв
ционально -~f=. Дей-
У ?о
ствие звукового давле-
давления на цилиндр до не-
5 которой степени похоже
на действие звука на лен-
ленточку ленточного мик-
микрофона. Ориентировочно
можно считать, что при условии 2тса<^А, где а — ширина лен-
ленточки, ленточный микрофон работает как микрофон градиента
давления. _шшяттяш
Рис. 86.

/ ГЛАВА 11
1 ПОРШНЕВАЯ ДИАФРАГМА
Звуковое поле поршневой диафрагмы
Под поршневой диафрагмой подразумевается абсолютно
жесткий, плоский поршень с произвольной формой края, совер-
совершающий колебания по нормали к своей поверхности. В решении
задачи о звуковом поле поршневой диафрагмы, данном Рэлеем*,
предполагается, что поршень совершенно плотно (без зазора)
входит в прорезь плоского, безгранично простирающегося эк-
экрана. Экран предполагается неподвижным, т. е. считается, что
скорости на его поверхности равны нулю. Нормальная скорость
на поверхности поршня в общем решении может быть распреде-
распределена по любому закону; наиболее простой случай соответствует
постоянному значению скорости по всей поверхности (это
собственно и соответствует точному смыслу термина „поршень").
Излучение поршня без экрана рассмотрено Л. Я. Гутиным**.
Задача об излучении поршневой диафрагмы может быть ре-
решена общим методом, путем задания потенциала скорости и его
нормальной производной на некоторой поверхности***.
Пусть в некоторой области пространства V, ограниченной по-
поверхностью S} существуют две функции ср и Ф, удовлетворяющие
волновому уравнению:
> = 0, (ИЛ)
e и непрерь
торядков. П
С С С
ill (срДф — <
J J J
однозначные, конечные и непрерывные вместе со своими произ-
производными 1-го и 2-го порядков. По теореме Грина
* См. Рэлей. Теория звука, т. II, § 302. Гостехиздат, М., 1955.
**См. Л. Я. Гутин. ЖТФ, т. VII, cip. 1096, 193/.
*••::;: <^м f\ Л а м б. Гидродинамика, § 290. 1 остехиздаг, М., 1947.
20» 307

где -: символ производной по внутренней нормали. Согласно
уравнениям A1,1), левая часть соотношения A1,2) равна нулю.
Возьмем в качестве функции ф потенциал точечного источника
e-jkr
ф = , а <р будем считать за потенциал скорости внутри об-
области, ограниченной поверхностью 6*
(точнее говоря, <р и ф определяют лишь
пространственно зависимую часть по-
потенциала скорости, если предположить,
что зависимость от времени взята в
форме eJ(ot). Функция ф удовлетворяет
волновому уравнению, но в точке
г = 0 она обращается в бесконечность,
и, следовательно, в этой точке урав-
уравнение A1,2) не применимо. Опреде-
Определим значение потенциала скорости в
точке АУ которую примем за начало
сферической системы координат. Вы-
Выберем поверхность интегрирования в формуле Грина так, чтобы
она состояла из внешней поверхности *У и поверхности малой
сферы ? с центром в точке А (рис. 87). Тогда точка г = 0
исключается из объема V и по формуле A1,2) (считая левую
часть равной нулю) найдем:
Рис. 87
д fe~Jkr
На поверхности сферы ^Ду j 5(j
Элемент поверхности dI> = r'2dQ, где 2 — телесный угол,
охватывающий offi. Следовательно,
В пределе, при г->0, первый интеграл стремится к нулю, а
второй к значению 4?гсрл, где срл — потенциал в точке А. Тогда
~Jkr
308

Таким образом, потенциал скорости в любой точке внутри
поверхности 6* выражается через значения потенциала cps и его
производной по нормали [-Л) на поверхности S.
\onj s
Преобразуя соотношение A1,4) с помощью интеграла Фурье,
можно получить известную формулу Кирхгофа, которая выра-
выражает потенциал через значения запаздывающего потенциала
у At— --) и его нормальной производной на поверхности 5.
Формула A1,4) дала бы решение краевой задачи только
в том случае, если бы было известно распределение по поверх-
поверхности S как скоростей fg|j , так и давлений (поскольку
/?s=/o>P«ps). Однако задавать обе эти величины на поверхности
S произвольно нельзя, так как, задавая одну из них, мы уже
предопределяем значения другой. Выражение A1,4) в общем
виде не дает решения краевой задачи и его можно применить
для определения поля только в некоторых частных случаях,
когда удается преобразовать уравнение A1,4) так, чтобы ис-
исключить зависимость или от ср5, или от (Д).
Существенно отметить, что выражение A1,4) определяет
поле в точке А как сумму воздействий некоторых распреде-
распределенных по поверхности 5 точечных источников с поверхностной
плотностью I-^ I и дипольных источников с плотностью ср5.
Поскольку <Ps = -^-, где ps — звуковое давление, второй член
соотношения A1,4) определяется распределением давления ps
по поверхности S.
Формулу A1,3) можно применить к области V\ лежащей
между поверхностью S и сферой ?' бесконечного радиуса. На
поверхности сферы 1У положим равными нулю как ср, так и
Л ; будем считать,что в объеме У и в бесконечности нет источников
звука, тогда левая часть в выражении A1,3) обратится в нуль.
Обозначая через cps и (—-,) на поверхности S с внешней сто-
стороны значения потенциала скоростей и его производной по
внешней нормали п' (т. е. по внутренней нормали для обла-
области V'\ получим:
4^ J J r \dnf)s ' 4тг J J tSdnf\ r J V11»^;
S S
Складывая равенства A1,4) и A1,5) и учитывая, что з-, = — 4- ,
найдем:
309

Здесь величины [-А +~д~) представляют объемную скорость
(производительность) точечных источников, причем учитывается
пульсация по нормали в обе стороны от элемента dS, а вели-
( i
(р Pis
чина (ср —?% = —: определяется скачком давления при пе-
переходе через поверхность 5. Поскольку равенство A1,5) справед-
справедливо при любых значениях ср' и (~) , то данное значение ср
S \ОТ1 ] S Л
можно получить из соотношения A1,6) при произвольном рас-
распределении ср и ~ по поверхности S. Это и указывает, что фор-
формула A1,4) не дает решения краевой задачи, а скорее является
своеобразным преобразованием волнового уравнения в интегро-
дифференциальную форму, которое еще требует решения. Од-
Однако в некоторых частных случаях, обсуждаемых ниже, равен-
равенство A1,6) дает путь к решению задачи.
Пусть поверхность S является плоскостью, и распределе-
распределение величин ср и ~ симметрично с двух сторон относительно этой
плоскости, т. е. в каждой точке
Тогда <ts=Vs и [d-n)s=
причем интеграл распространяется только на одну сторону
плоскости 5. На плоскости симметрии в тех течках, где нет
источников, суммарная скорость по нормали l^ + jS) будет
равна нулю. Плоскость симметрии вне области, где заданы ис-
источники ( —j , можно заменить твердой стенкой (экраном) и
интеграл A1,7) распространять только на ту часть плоскости,
где -^п Ф 0. Очевидно также, что при наличии твердой стенки,
мы имеем право вести расчеты для звукового поля только по
одну сторону от плоскости 5, считая поле по другую сторону
лишь воображаемым.
Следует отметить, что при выводе формулы A1,4) было
сделано предположение об отсутствии источников в бесконеч-
бесконечности. Следовательно, поскольку для соотношения A1,7) повер-
поверхность 5 простирается в бесконечность, необходимо иметь в
виду, что часть плоскости 5, на которой задаются ско-
310

росши (~) , отличные от нуля, должна иметь конечные
\ Oft J S
размеры. Далее, на простом примере бесконечной колеблю-
колеблющейся с амплитудой скорости #о поверхности будет показано,
что формула A1,7) в этом случае не дает верного результата,
так как на бесконечности \ —) = q0 Ф 0.
Если поверхность 5 представляет плоский поршень, пульси-
пульсирующий в обе стороны с амплитудой скорости q0, то qo = ~ (~ » ,
откуда v n-s
Плоскость симметрии мы заменяем вне поршня твердой
стенкой-экраном и, рассматривая только одну половину пуль-
пульсирующего поршня, получаем по формуле A1,8) решение за-
задачи для звукового поля поршня, колеблющегося в окружении
безграничного экрана.
Величина dy = — к- (-S-) — dS представляет потенциал
ОН J S
скоростей точечного источника с производительностью (^) dSy
излучающего в телесный угол 2тс. Формула A1,7) показывает,
что потенциал в точке А получается суммированием потенциалов
flfy отдельных точечных источников, распределенных по пло-
площади S с учетом запаздывания потенциала (множитель e~)kr).
Таким образом, выражение A1,8) по своему смыслу соответ-
соответствует принципу Гюйгенса. Однако, как указывалось выше,
применение его ограничено условием отсутствия источников в
бесконечности и поэтому оно непригодно, например, для реше-
решения задачи о звуковом поле бесконечной колеблющейся плос-
плоскости.
Если поверхность 6* представляет бесконечно тонкий листок,
а внутренний объем, охватываемый этой поверхностью, равен
нулю (например, бесконечно тонкий диск или отрезок конуса),
то при колебаниях всей поверхности в целом сумма нормаль-
/ta д'\ (& д\
- /eta i д<р\ (&ч дф
ных компонент скорости с обеих сторон [л ~i~j~') ^ы —л
равна нулю, и из формулы A1,6) получим:
Потенциал скоростей срд определится только дипольными (си-
(силовыми) источниками (<р — ср'M; момент дипольного слоя на еди-
единицу площади будет зависеть от разности давлений (р—pr)s:=z
— j^P (? — ?)s - Задача может быть решена только тогда, ког-
когда задано распределение звуковых давлений на поверхности S;
311

однако в большинстве случаев и, в частности, в приведенном
примере колеблющегося диска или конуса (громкоговорителя)
с заданной скоростью, распределение давления не известно и
не может быть выражено простым образом через колебатель-
колебательную скорость. В этом случае решение задачи непосредственно
по формуле A1,9) получить нельзя.
Применение соотношения A1,6) возможно для расчета звука
вращения воздушного винта (пропеллера). Силовые воздействия
винта (давления) на воздух можно точно подсчитать по фор-
формулам аэродинамики во всех точках его поверхности, и в сумме
они дадут величину тяги и момента вращения винта; давление
распределено несимметрично — оно больше в сторону тяги винта
(вперед). Первый член уравнения A1,6) определяется вытесне-
вытеснением воздуха телом винта при его вращении, что также легко
поддается учету. Как силовые, так и скоростные источники
задаются в данном случае в форме бегу-
бегущих по кругу возмущений. Этот метод при-
применен для расчета звука вращения винта
Л. Я- Гутиным (см. гл. 8).
Импеданс круглой поршневой диафрагмы
Формула A1,8) позволяет вычислить
потенциал скоростей на самой поверхности
поршневой диафрагмы. Давление в неко-
некоторой точке на поверхности диафрагмы
определится суммой воздействий отдельных
элементов диафрагмы dS. Очевидно, что
распределение давления будет симметрично относительно центра
диафрагмы и зависит только от расстояния и данного элемен-
элемента dS{ от центра (рис. 88). Обозначая расстояния данной точки
от других элементов dS диафрагмы через гь поручим:
Рис. 88
1,10)
где В =>р |?.
Сила давления на элемент dS\ равна p{u)dSb а суммарная сила
Ч* давления на всю диафрагму вычислится интегрированием по
всей поверхности диафрагмы: *
A1,11)
312

Вычисление интеграла
характеризующего распределение давления по поверхности пор-
поршня, представляет сложную вычислительную задачу. Эти вычи-
вычисления для некоторых значений krQ выполнены Мак-Лакленом *
и Штенцелем **. На рис. 89 приведены кривые распределения
ifl oj Qfi oji otz о о г oth ofi qs to
Рис. 89
1 — kro=^ 0,5; 2 — kro = 2; 3 — kro = 4; 4~kro = 6; 5 — kro = №
относительной амплитуды давления p'Jq^c по поверхности пор-
поршневой диафрагмы при различных значениях &г0. Часть интегралу,
которая распространяется на площадь круга с радиусом и> вы-
вычисляется сравнительно просто; вычисление же той части, ко-
которая распространяется на кольцо с внутренним радиусом и и
внешним радиусом г0, гораздо сложнее. Как показал Рэлей***,
для вычисления суммарной силы W можно обойтись интегриро-
интегрированием только по площади внутреннего круга радиуса и.
Предположим, что обеспечен такой порядок интегрирования
в интеграле V (обозначим его теперь V), что в нем каждый
1939.
* См. Мак-Лак лен. Громкоговорители. ГИВР, 1938.
** См. Н'. S t е п z е 1. Leitfaden zur Berechnung der Schallvorgange.Bcrlin,
***См.Рэлей. Теория звука, т. II, § 302. Гостехиздат, М., 1955.
313

элемент dS войдет лишь один раз. Для этого достаточно вы-
вынести элемент dSi за пределы окружности радиуса и (рис. 88)
и распространить интегрирование только на внутренние элементы
dS этой окружности. При таком порядке интегрирования каж-
каждый элемент dS{ сопрягается только с элементами, лежащими
ближе к центру, чем он сам, и, значит, каждая пара элементов
dSx и dS будет сочетаться только один раз. Если теперь вы-
выполнить в A1,11) интегрирование функции V только по пло-
площади круга радиуса г0, то мы получим неправильный результат,
так как каждая пара элементов dS± и dS должна была войти
при суммировании не один, а два раза (каждый элемент должен
входить один раз как излучатель и второй — как приемник).
Однако правильное значение полной силы давления мы получим,
просто удвоив результат, т. е. положив
Вычислим интеграл V по внутреннему кругу, учитывая, что
dS=r1drldQ. Согласно (рис. 88), найдем:
тс тс
Т 2hcos0 Т~ 2«cos9
db J e-ikrtdrx= — 2j dB | ^?- =
o oo
Преобразуем интеграл:
_l)de=* 2 С
J ft ft J
г. ? г,
f в-/ус<»е^в= f cos(ycos6)^0— у f sin(ycos0)rfQ,
0 0 0
где у = 2ku. Из теории бесселевых функций известно *, что
A1,13)
где Л (У) — бесселева функция нулевого порядка. Второй ин-
интеграл выразится через цилиндрическую функцию особого рода
* См. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. Ш, г*. VI. Гос-
техиздат, М., 1956.
314

(не являющуюся интегралом уравнения Бесселя), носящую на-
название функции Струве *:
Г sin (у cos в) rf6 = -J S»(y). A1,14)
Используя соотношения A1,13) и A1,14), получим:
Заметим, что звуковое давление в точке, соответствующей элемен-
элементу dS\ не может быть вычислено из выражения В V Bku), так
как интеграл V распространяется только на внутреннюю ок-
окружность (радиуса и) и не учитывает влияния внешнего кольца.
Подставляя в формулу A1,11) выражение для V и принимая
за элемент площади кольцо с внутренним радиусом и и шири-
шириной du, который равен
dS = 2vudu = -^Jr B*и) d Bku) = -
определим по A1,12) суммарную силу давления на поршень:
где Zo = kr{).
Интегралы от функций Бесселя и Струве нулевого порядка
выражаются через функции первого порядка, а функции Л (я)
и St(x) выражаются рядами:
A1,15)
L 1.2 ' 1.2.2.3
9 г2 Г г2 г4 х6 I
Зтс L 3.5 "> 3.5.5.7 3.5.7.5.7.9 "••••.!
' 2 L 1.2 ' 1.2.2.3 1.2.3.2.3.4 ~г*"
Эти ряды пригодны для вычислений при небольших х ^)
При х <^ 1 выражения в скобках можно считать равными еди-
единице. Выражение для W запишется после интегрирования так:
2/г3
о) +уBг
* См.Е. Я н к е и Ф. Э м д е. Таблицы функций с формулами и кривыми.
Гостехиздат, М., 1949, стр. 242.
315

Импеданс поршневой диафрагмы будет равен:
= A1,16)
= /? (г,) +/У (г,) = 5Рс \R (г.) +/Г (г.) ].
Для компонент импеданса получим:
A1,18)
Величины /?'Bo) и ^'(^о) представляют безразмерный импеданс
поршневой диафрагмы. Безразмерный импеданс зависит только от
параметра:
Ряды, выражающие R'(zQ) и Y'(z0), достаточно удобны для вычис-
вычисления импеданса до значений 20<^2; для больших значений z()
следует пользоваться таблицами функций. В предельном случае
длинных волн B0<;1) получим:
величина М представляет присоединенную массу поршня
M^~prl A1,20)
Пульсирующая сфера при го<^\ имеет сопротивление излучения
~—, а полусфера (в экране) сопротивление ¦——. Таким образом,
звукобая мощность, излучаемая половиной пульсирующей сферы
и поршнем равной площади колеблющимися в безграничном экра-
экране (при равных амплитудах скорости qQ), будет одинакова.
Этот вывод имеет общее значение. Излучатели любой фор-
формы при длинных волнах обладают одинаковым сопротив-
сопротивлением излучения, и излучаемая ими мощность опреде-
определяется квадратом суммарной объемной скорости (Sq0J не-
независимо от формы излучателя.
Для присоединенной массы получим иной результат. Половина
пульсирующей сферы равной .с поршнем площади Bтс/902 = ^/*(Л
т. е. при /?о= -г°-),имеет при &/?0<<;1 присоединенную массу
316

Следовательно,
М
Зги
т. е. добавочная масса для поршневой диафрагмы равной с
полусферой площади на 20% больше.
Для коротких волн 20>1 ряды A1,17) и A1,18) непригодны,
и для вычислений приходится применить асимптотические пред-
1.0
oM
Поршень
Полусфера
Ю
inQ для поршня
1 нц для полусферы
Рис. 90
Рис. 91
8 Ш
( *20 для поршня
I п0 для полусферы
ставления функций Jt(z0) и
Рэлеем*, следует, что
Л Bz0)
Zq > ОО
|. Из расчетов, проведенных
2
—. ОО KZq *
*Cm. Рэлей. Теория звука, т. II, §302. Гостехиздат, М., 1955.
317

В пределе при больших z0 получим:
/? ->Spc; У — 0; М — 0. A1,20а)
Zq —*¦ 00 Zq —» (Х> ^0 ~* °°
Из рис. 9(Т и 91 видно, что функции/?' (г0) и У(г0) при боль-
больших z0 приближаются к пределу, совершая колебания постепенно
уменьшающиеся по амплитуде. Таким образом, на коротких вол-
волнах (zo<< 1) поршневая диафрагма
имеет импеданс, соответствую-
соответствующий сопротивлению излучения
для плоской волны, т. е. рс на
единицу площади.
Звуковое поле на оси
поршневой диафрагмы
Расчет поля поршневой диа-
диафрагмы в ближней зоне по фор-
формуле A1,7) представляет значи-
значительные трудности. Исключение
составляет задача нахождения
поля на оси круглой диафрагмы,
разрешаемая очень просто.
Для давления звуковой вол-
волны в точке А, лежащей на рас-
расстоянии х от центра на оси круглой поршневой диафрагмы ра-
радиуса г0 (рис. 92), из соотношения A1,8) получим:
Рис. 92
! + РГ
A1,21)
где за элемент поверхности принято кольцо радиуса р} и ши-
ширины dpi. Обозначим через а разницу между Vx2~{-rl и х:
A1,22)
Величина а изменяется от *г0 (при х —0) до 0 при х = со.
При х^>г0 можно приближенно считать а^^- Используя вы-
выражение A1,22), найдем:
p(x,t) = дорсе№ ~kx) A — e-Jka) =
= qopce№ ~ kx) A — cos ken -\-Jsin ka).
318

Амплитуда давления звуковой волны в точках на оси
рц(х) — qopc | j/cos2 Ы — 2 cos Ы -j- I -f- sin2 ?a | =
= 2?0p*|sin^|. A1,23)
Звуковое давление в центре диафрагмы будет равно:
В зависимости от значения ~ = — звуковое давление в цент-
центре диафрагмы может изменяться от 0 до величины 2q0pc, соот-
соответствующей двойной величине давления в плоской волне с ам-
амплитудой скорости qQ. Если -^ =/гтс, т. е. го = 2/г^, то
ро(О) = О, а если-—- = (п-f -Л *, т.е. го = Bп-{-\)^ , давле-
давление в центре равно 2qQpc. В первом случае на поверхности ди*
афрагмы образуется четное число полуволновых зон Френеля
и их действие в центре взаимно уничтожается, а во втором —
нечетное число зон и в центре получается максимум.
Звуковое давление на оси p$(x) в зависимости от х будет,
как это следует из выражения A1,23), также иметь ряд макси-
максимумов, равных 2qopc, и минимумов, равных нулю. Минимумы
будут получаться при условии
у = Я1г или a = 2/z9, A1,24)
когда на поверхности диафрагмы от центра до края уложится
четное число кольцевых зон Френеля Bп). Максимумы — при
УСЛОВИИ ka I . 1 \ /о i 1\Х /пол \
> -2=(я + 2^ ) и^и a = B/г-f-1) 2 , A1,24а)
т. е. когда число зон нечетное Bп-\-\), что и объясняет об-
образование минимумов и максимумов.
Радиус первой зоны Френеля гх легко вычислить для боль-
больших расстояний х. Это будет радиус окружности, получающейся
при пересечении плоскости диафрагмы со сферой радиусом х-\-9-\
он будет равен гх я^ у"х\, а площадь первой зоны Френеля
S^tcxX. Существенно заметить, что в данном случае образова-
образование четного или нечетного числа зон Френеля приводит совер-
совершенно точно, а не приближенно, к образованию максимумов,
равных 2qQpc, и минимумов, равных нулю.
Из соотношения A1,22) и условий A1,24) найдем расстояния
максимумов и минимумов от центра диафрагмы:
319

где т = 2п-\-\ для максимумов и т = 2п для минимумов;
я = 0, 1, 2, 3... Самый далекий от центра диафрагмы максимум
получится при п = 0, т. е. т=\\
г2
Т
A1,26)
Если г0 >> X, то х0 *** у .
Между этим максимумом и центром диафрагмы может леясать
еще некоторое число максимумов и минимумов. Из формулы
A1,25) видно, что для получения положительных значений х
для минимумов необходимо условие:
3
2/гХ
ИЛИ
«<?¦•
A1,27)
Таким образом, ближайшее целое число, меньшее у, даст чи-
число минимумов, лежащих между нулем и Xq. Расстояния между
минимумами при приближении к диафрагме будут постепенно
уменьшаться.
Из выражения A1,25) получим расстояние между последним
и предпоследним максимумом:
Расстояние между ближайшими к диафрагме минимумами при
го^>Х получим из того же выражения, если положим, согласно
неравенству A1,27), тх^2у и m.2^2\-j-— 1 ).
°
11
2 г0
= X
}\-\
Для случая рассмотренного ниже, где взято ¦— = 5, получим
А'^ 1,1 X. Расстояния между максимумами увеличиваются по мере
удаления от диафрагмы и для расстояния А между последними
2 /г ><2
двумя максимумами получается величина в-о-(у-) раз большая X;
в разобранном ниже примере Ая^16 X. На рис. 93 дан график
распределения амплитуды давления р^(х) на оси, когда го=5Х.
На этом же графике пунктиром показаны амплитуды компоненты
колебательной скорости вдоль оси х на различных расстояниях
от диафрагмы.
320

Колебательная скорость вдоль оси х определится из выра-
выражения:
If'
f1/
V
—
— —
— —
—¦
Wr0 tZre Wre
, ~
Рис. 93
Вводя вспомогательный угол ср (рис. 92) и учитывая, что
получим:
cp
Амплитуда скорости выразится так:
cos 2ср cos ср
COS koL
COScp
= qQ I V 1 + cos 2cp — 2 cos cp cos &a j =
1 + cos2cp—2 cos cp cos (kr<> tg 1- )\.
МаКСИМуМ амПЛИТуДЫ СКОРОСТИ | ^|тах = ^оA + COScp)
. ф ttnz w \ 2ft -f-1 X
получим при tg — = д- = -у - = —ц ,
а минимумы амплитуды скорости
при
2n X
" r^
Далекие максимумы, когда угол ср мал, будут иметь значения,
близкие к 2q0> а минимумы — близкие к нулю. При приближении
к диафрагме угол ср будет приближаться к 90°, и значения
максимумов и минимумов будут стремиться к qQ. Расстояния
21 G.H. Ршевкин

максимумов и минимумов амплитуды скорости от центра
диафрагмы найдем из выражения:
II _ m_ 11
яА 4r0J'
которое совпадает с выражением A1,25). Следовательно, экстре-
экстремальные значения звукового давления и скорости частиц возни-
возникают на одних и тех же расстояниях от центра диафрагмы
(см. рис. 93).
Из проведенного анализа ясно, что в тех точках, где р и
q равны нулю, равен нулю и вектор потока энергии вдоль оси х,
а в точках, лежащих вблизи от максимумов р и qy поток
энергии достигает значений, почти в 4 раза превышающих
величину у /у/о ^ ~o?C(ll» которая имела бы место в плоской
волне с амплитудой скорости частиц qQ и амплитудой давления
po = pcqQ. Отсюда ясно, что линии потока энергии от диафрагмы
нельзя представлять себе как прямые, параллельные оси х;
поток энергии обтекает точки минимумов, минуя их и, наоборот,
концентрируется в максимумах. Эти соотношения будут более
очевидны, когда мы изложим результаты более полного иссле-
исследования всего ближнего поля поршневой диафрагмы.
Согласно формуле A1,26), самый дальний максимум обра-
зуется на расстоянии х0 = у — -j от диафрагмы. Ьсли ~^<^ 1
или х^>п-?, то в формуле A1,23) можно с достаточной точ-
точностью считать siiw я^ --- = -?т -?-.
Z Z Z АХ
Тогда звуковое давление
р (x,t) ъ* 2qo9c ~ ^е^-^ — ?Пл ^<»<-kx) _
S
где 5\ — площадь первой зоны Ф ренеля. Звуковое давление на
оси в дальней зоне убывает обратно пропорционально рас-
расстоянию х; амплитуда его меньше, чем в плоской волне,
имеющей амплитуду скорости #0, в тс ^-раз, где ^ отношение
площади диафрагмы к площади первой зоны Френеля.
Если радиус диафрагмы безгранично увеличивать, то при-
приходим в пределе к случаю излучения звука безграничной ко-
колеблющейся плоскостью и должны, очевидно, получить звуко-
322

вое поле плоской волны. Применяя к этому случаю формулу A1,21),
получим, что звуковое давление
р(X,t) =
Первый член правильно выражает звуковое давление плоской
ьолны, порождаемое колебаниями плоскости с амплитудой ско-
скорости #о- Второй (добавочный) член имеет абсолютную величину,
равную qQpc, и неопределенную фазу, лежащую в пределах от
0 до 2тс. Наличие этого члена не соответствует физическому
смыслу задачи. Этот неверный результат объясняется тем, что
при выводе формулы A1,8) Для звукового давления плоской
поршневой диафрагмы было поставлено требование, заклю-
заключающееся в том, что на бесконечности отсутствуют источники
звука. Увеличивая радиус поршневой диафрагмы до бесконечно-
бесконечности, мы тем самым вводим на бесконечности источники и этим
нарушаем поставленные требования, что и приводит к неверному
результату.
Ближнее поле поршневой диафрагмы
Ближнее поле поршневой диафрагмы вычисляется по фор-
формуле A1,8), пригодной для любых расстояний. Однако если
исследуемые точки не лежат на оси, проведение вычислений
встречается с большими трудностями. В этом случае расчет
приходится вести при помощи сложных рядов. Такие расчеты
проведены Штенцелем * и представлены в форме графиков, на
1,25 1.00 0,75 0,5 _?^. 0.5 0,75 (.00 B5
Рис. 94
которых нанесены линии равного звукового давления (рис. 94,
95 и 96) для
hf —¦¦ — А (f \ \' hf —— f\ (у ——— W \л bf 10 (t" —— } Ч
лС/ Q —— пг, I / q ¦ ¦¦ /j *^' 0 ~~~" *-'> V 0 "' **у ** *^* 0 "~— •*¦ Vy у/ Q ——— А ).
ТС 71 7Z '
* См. Н. S t e n z е 1. 1. с.
21*
323

1,00 0,75
0,75 100
Рис. 96

На графиках ясно видно возникновение зон минимального и
максимального давлений на оси и по бокам от оси; точки на
оси с давлением 0 и 2pcqQ соответствуют ранее вычисленным
минимумам и максимумам (формулы A1,24) и A1,24 а)), Из
графиков также вытекает, что если в точках с нулевым дав-
давлением на оси поток энергии равен нулю, то в окрестности
зоны минимального давления лежат области с повышенным
давлением, в которых вектор потока энергии больше среднего"
и направлен так, что поток обтекает зону минимального дав-
давления с тем, чтобы сконцентрироваться далее, в зоне макси-
максимального давления на оси. Давление на поверхности диафрагмы
также имеет ряд максимумов и минимумов по концентрическим
кругам; число их тем больше, чем меньше отношение —.
В связи с рассмотрением ближнего звукового поля возни-
возникает вопрос о законности весьма распространенного представ-
представления об излучении поршневой диафрагмой, при условии г0 ^> а,
практически плоской волны. На этом представлении базируется,
например, метод интерферометра Пирса. Как известно, в этом
методе рефлектор, создающий стоячие волны, располагается
в ближней зоне. Несмотря на то, что области максимумов и
минимумов на оси явно чередуются в ближней зоне через ин-
интервалы, отличные от полуволны, реакция рефлектора на излу-
излучатель дает, как известно, максимумы и минимумы тока в цепи
лампы точно через полволны. Точно так же при излучении стоя-
стоячих волн от кварцевой пластинки методом Теплера максимумы
и минимумы освещенности в видимой картине точно следуют
через полволны, и фронты волн имеют плоскую форму.
Следует полагать, что в этих случаях играет роль
средняя величина звукового давления по сечению, перпенди-
перпендикулярному к оси. Как было показано (см. 11,20 а), при го^а
(kr^p>\) импеданс диафрагмы стремится к величине Spc и сред-
среднее по площади давление будет равно q$c. Такой же резуль-
результат, по-видимому, будет иметь место с известным приближе-
приближением и для сечений, отстоящих на некотором расстоянии от
центра. Однако анализ этого вопроса пока еще не был про-
проведен. Вычисление среднего давления по графику рис. 95 дает
приближенные значения р для различных расстояний (х) сечения
от диафрагмы; эти значения приведены в табл. 12.
Таблица 12
Х/Го
PiPo
0
1,05
0,31
0,92
0,52
0,90
0,85
1,14
1,16
1,01
325

Учитывая малую точность расчета по графику можно считать,
что действительно среднее по сечению звукового пучка дав-
давление близко к величине Ро = р?<7о, соответствующему плоской
волне. Дополнительно следовало бы показать, что усредненная
фаза волны меняется с расстоянием по закону kx> однако
сделать такой расчет по графикам Штенцеля невозможно. Из
приведенных соображений следует, что наложение прямой и
обратной волн даже в ближней зоне должно давать плоские
стоячие волны.
Дальнее поле поршневой диафрагмы
Для вычисления дальнего поля круглой диафрагмы выбе-
выберем прямоугольную систему координат (рис. 97). Точку А,
в которой отыскивается поле, предположим лежащей в плос-
Рис. 97
кости xz на далеком расстоянии г, таком, что линии АО и
АР, проведенные от точки А к отдельным точкам диафрагмы,
можно считать параллельными; пусть эти линии составляют
угол Ь с осью г диафрагмы. Вследствие осевой симметрии
задачи звуковое поле во всех точках, расположенных под уг-
углом 0- к оси на одном и том же расстоянии г, будет одина-
одинаково.
Проведем через ось у плоскость, перпендикулярную к ра-
радиусу-вектору г. Она пересечет линию АР, проведенную из
точки А к некоторому элементу dS мембраны, в точке Q,
326

находящейся от точки А на том же самом расстоянии г, что и
центр мембраны О. Точка Р отстоит от А на расстоянии
rx^=r-\-Ar=r-j^Q = r-f-.*sinft===r + #sin $С08<^ где х —
абсцисса точки Я, и — ее расстояние от центра, а ф— угол
между осью х и линией ОР. Площадь элемента dS будет равна
dS = ududty.
Потенциал скоростей в точке А найдем, суммируя дей-
действие всех элементов dS диафрагмы. Так как /7=у'о)рФ, то
звуковое давление в точке Л, лежащей в направлении под уг-
углом Ь к оси на расстоянии г от центра диафрагмы, равно:
I—to ?i С С L^H-dS
(с точностью до временного множителя еш). Учитывая, что
Д^^Л можно в знаменателе считать r1 = r=const. В показа-
показателе степени такое приближение недопустимо, так как вели-
величина e"Jkr=e'ikn -e~JkAr. Множитель e~JkLr существенно из-
изменит фазу отдельных элементов интегрирования в зависимости
от значения k&r в различных точках мембраны, так как вели-
величина Аг может иметь в случае коротких волн значение в пре-
пределах от 0 до нескольких X.
Учитывая пределы интегрирования по и и ф получим:
»"" ikr С * С ~Jktt sin а cos ф
\udu\
Обозначая ки*шЪ=я& и ^rosin^ = ^ и используя соотноше-
соотношения из теории бесселевых функций
2* 2«
О
получим:
1Л
1
О
Амплитуда звукового давления
*[^] (П.28)
327

Функция 2
л о*;)
(рис. 98) имеет максимум, равный единице
при г'% — О, т. е. в осевом направлении (г) = 0). Характеристика
-05]
Рис. 98
направленности поршневой диафрагмы, определяемая отношением
Р*Ф)/рщ@) при r= const,, выразится формулой:
Ф№ = 2^. A1,29)
При z'0<^2 ее можно представить хорошо сходящимся рядом:
Ф(д)=1_"
1.2.3.3.Т5 + - (U'29a>
1. Это значит, что амплитуда
от i(> не зависит. Характе-
1.2 » 1.2.2.3
При zQ^\ получим, что Ф(&);
звукового давления />0(fr)^wp
ристика направленности представляет сферическую поверхность
с радиусом, равным единице. Излучаемая мощность будет
равна:
П
где /?=^—; сопротивление излучения. Это выражение для
R было получено ранее (см. формулу A1,19)) из общих
формул для импеданса поршня.
На рис. 99 приведены сечения характеристик направленности
плоскостью, проходящей через ось при различных значениях
z0 = krr Для • z0 = ~; (X = 8г0) сечение характеристики является
еще почти окружностью. При увеличении^ (г:0 = |- и
328

характеристика постепенно сужается; звуковое давление в на-
направлении 0 = 90° уже значительно меньше, чем при ft = 0.
Функция Ф (ft) = 2 -^Ч как видно из рис. 98, имеет ряд нуле-
нулевых значений, первое из которых 2^ = 3,83, откуда для со-
Рис. 99
ответствующего синуса угла Ьг получаем значение:
При малых углах приближенно
— или в градусах ft? ^^ 35--.
?0 ^0
A1,30)
A1,30 а)
В направлении угла Ь1 излучение отсутствует. При z\ = 5,33
возникает максимум /?0(ft) (с обратной фазой по отношению
к центральному максимуму). Амплитуда этого максимума
составляет 13%"от главного максимума, а интенсивность звука —
0,017 от осевой (т. е. в 59 раз меньше).
Нетрудно подсчитать, что почти вся излучаемая энергия
будет сосредоточена в конусе с углом 0,7 Ьх при вершине.
329

Второй корень функции 2-^~ имеет значение 2^ = 7,02. При
zo = 7,O2 в характеристике имеется второй угол, под которым
излучение отсутствует; он определяется выражением sinfr.2 = *— .
При дальнейшем увеличении г0 появится второй максимум
излучения, величина которого еще меньше, чем первого. На рис. 99
внизу представлена характеристика направленности для случая
&го = 5тс, (Х = 0,4г0); она имеет, кроме главного максимума, еще
три боковых лепестка. Картина максимумов и минимумов,
расположенных по кольцам вокруг осевого направления, в точ-
точности соответствует картине фраунгоферовой дифракции круг-
круглого отверстия при прохождении через него света.
Остронаправленный пучок звука можно получить только
при Х<[го. Так, для получения угла направленности ^=10°
надо, чтобы Хя«^|. Это может быть достигнуто либо за счет
увеличения размеров диафрагмы, либо за счет увеличения
частоты. Например, при частоте 30 кгц в воде (Х^5 см) надо
взять излучатель довольно большого размера: го=17,5 см.
Динамический громкоговоритель в экране с диффузором
радиусом 15 см при частоте 5 кгц будет давать сильно
направленное излучение в пределах угла 16°, что на практике
невыгодно, так как хорошая слышимость будет обеспечена
только в осевом направлении.
Характеристика направленности круглой поршневой диафрагмы
по интенсивности определяется формулой:
_ 4/}(g» _ 4Jl(kr0 sin »)
~ D)а ~ &г% sin2 & •
Для прямоугольной поршневой диафрагмы дальнее поле
можно рассчитать по аналогии с задачей дифракции прямо-
прямоугольной щели*. В этом случае характеристика направленности
по интенсивности имеет вид:
rin(yp TsmjkB
J e L
J
kВ sin a/J
где 2А и 25 — стороны прямоугольной поршневой диафрагмы,
а Ьх и ^у — углы, составленные радиусом-вектором г, идущим из
центра прямоугольника к точке наблюдения, с двумя плоско-
плоскостями, проходящими через нормаль к плоскости диафрагмы
. sin 2'
параллельно сторонам прямоугольника. Функция —р~ по своему
* См.М. Борн. Оптика. ГНТИУкр., 1937.
330

виду очень похожа на функцию 1У ¦, изображенную на рис.98.
Нулевые значения этой функции несколько иные:
2&i = 3,14; ^02 = 6,28; ^3 = 9,42.
Таким образом, максимумы и минимумы в направлении вдоль
плоскости, проходящей через одну из сторон прямоугольника
(когда sin&* или sinfry равен нулю), будут следовать друг за
другом примерно на тех же угловых расстояниях, как и для
круглой диафрагмы; в частности, первый минимум лежит под
углом:
Исследование выражения A1,31) показывает, что дифрак-
дифракционные максимумы наиболее сильно выражены лишь в на-
направлениях, параллельных сторонам диафрагмы. В промежуточ-
промежуточных направлениях интенсивность в максимумах будет значитель-
значительно меньше. Картина дифракции носит, таким образом, кресто-
крестообразный характер.
В вопросах звукотехники оказывается полезным ввести по-
понятие о коэффициенте концентрации звуковой энергии р, опре-
определяемом как отношение интенсивности звука 7@) по оси
диафрагмы (или рупора) на некотором расстоянии к средней
интенсивности J на том же расстоянии, которая получилась бы
при излучении всей мощности равномерно во все стороны. На
основании соотношения A1,28) и учитывая, что
имеем:
L
2
Используя выражение A1,17), получим
7=-
где Zb = kr0.
Следовательно,
2г„
331

При 20 ^ 1 (короткие волны) выражение в знаменателе стре-
стремится к единице и коэффициент концентрации становится весьма
большим:
Так, для гидроакустического излучателя с диаметром 30 см
при частоте 25 кгц (X = 6 см) р = 246. При 20 < 1, на основании
формулы A1,17),
Это понятно, так как для поршня с экраном при 20<;1> ЗВУК
равномерно распределяется в угле 2^, а в случае равномерного
излучения в угле 4тг получилась бы средняя интенсивность
звука в два раза меньше.
Звуковое поле и импеданс осциллирующей поршневой
диафрагмы и пульсирующей поршневой диафрагмы,
излучающих без экрана
Потенциал скоростей осциллирующей без экрана поршневой
диафрагмы уже не обладает симметрией относительно плоскости
диафрагмы. Эта симметрия позволяла найти весьма простое вы-
выражение A1,8) для потенциала
скоростей, если известна колеба-
колебательная скорость на поверхности
поршня.
В случае отсутствия экрана
решение задачи может дать фор-
формула A1,9), если известно распре-
распределение давлений по поверхности
диафрагмы; однако это распреде-
распределение не может быть задано, ис-
исходя из каких-либо простых со-
соображений и остается неизвест-
неизвестным, пока задача не решена до
конца. Задача о звуковом поле
осциллирующего круглого поршня
решена Хэнсоном * на основе тео-
теории эллипсоидальных функций. Для потенциала скоростей им
найдено выражение в форме ряда:
\ + jT:cn
^_enEn(cos8), A1,32)
/1 = 1,3,5...
где Cn, Dm ln и ел — функции аргумента zo = kro, выража-
выражающиеся также в виде рядов, для которых вычислены первые
Рис. 100.
1 V4 2C
) = — > / —-
* См. Е. Т. Hanson. Ellipsoidal functions and their applications Phil.
Trans. Roy. Soc, Ser. A., V. 232, 223, 1933.
332

члены. Эллипсоидальные функции Еп (cos Q) зависят от аргумента 9,
который является параметром семейства конфокальных гипер-
гиперболоидов (рис. 100). На больших расстояниях 0 — ft, где ft — угол,
составленный осью поршня с линией, проведенной из его цен-
центра к удаленной точке. Л. Я. Гутин * исправил существенные
ошибки в вычислениях Хзнсона для величин Сп, Dn, ln и ert.
Формулы Гутина позволяют с достаточной точностью вычислить
импеданс до значений z0 = 4. При z <; 1 при расчете дальнего
поля можно ограничиться лишь одним первым членом выраже-
выражения A1,32). Характеристика направленности в этом случае вы-
выражается формулой:
Et (cos ft) = Рх (cos ») — Tl3P3 (cos ft) -f Tl5P5 (cos ft),
где 713 = — -|g-, a TiB = ^|д (с небольшими поправками, бы-
быстро стремящимися к единице при zo^A). Для нечетных п
Яя (cos ft) = 0 при ft =-^ и потому характеристика направлен-
направленности всегда имеет вид восьмерки, что типично для дипольного
источника. При малых z0 направленность определяется функцией
рг (cos ft) = cos ft.
Если 20<<1, т0 выражение для ср приобретает вид:
»~?? •¦?«»..
а импеданс осциллирующего поршня
где /?" и К" безразмерные активная и реактивная компоненты
импеданса. На рис. 101 даны графики величин R" и Y", вычис-
вычисленные Гутиным (сплошные линии) и графики величин /?и Г
для поршневой диафрагмы с экраном (пунктирные линии).
Представляет интерес сравнить величины активного и реак-
реактивного сопротивлений для колеблющихся круглого поршня и
сферы равного радиуса при низких частотах. Для сферы при
?0 <J 1 имеем (гл. 4):
Ясф ** 4< рс § и Гсф ъ SPc | = ш. i- f-i icrj
Таким образом при равных радиусах сферы и поршня
16 ' У М 4 *
ir) ^пор /ипор ^
* См. Л. Я. Гутин. ЖТФ, т. VII, 1937, стр.
1096.
333

где Мсф и Мпор присоединенные массы для сферы и поршня.
Следовательно, излучение колеблющейся сферы будет в 5,6
раза сильнее, чем поршня равного радиуса, а присоединенная
масса сферы (пропорциональная Y) составит лишь 78% присо-
присоединенной массы поршня. Такое превышение излучения сферы
связано с тем, что интерференция волн от противоположных
элементов, характеризуемая расстоянием между полюсами сферы,
и соответственно от центра поршня через край до центра на
другой стороне, для сферы в ~ раз больше (четвертая степень
этого числа составляет как раз около 6). Присоединенная масса
определяется скоростями движения частиц среды (кинетической
энергией) в ближней зоне. Естественно, что поршень, представ-
представляющий тело хуже обтекаемое, чем сфера, создает относительно
большие скорости движения, в результате чего присоединенная
масса поршня примерно на 25% больше присоединенной массы
осциллирующей сферы.
Импеданс поршневой диафрагмы без экрана, излучающей
одной стороной, вычисляется следующим образом. Если пред-
представить, что поршень совершает одновременно симметричную
пульсацию в обе стороны и осциллирует в направлений оси,
причем амплитуды скоростей обоих колебаний одинаковы и равны
334

единице, то в сумме получится отсутствие колебательной ско-
скорости на одной стороне поршня и удвоенная скорость на дру-
другой стороне. Это и соответствует поршню, излучающему одной
стороной. Потенциалы скоростей срг и <р2 для этих частных слу-
случаев колебания известны, а искомый потенциал для односторонне
излучающего поршня при амплитуде скорости, равной единице,
будет равен: ср = ^"j^2 . Для вычисления импеданса пульсиру-
пульсирующего поршня с экраном необходимо проинтегрировать давле-
давление /7 ==ушрср по поверхности одной стороны поршня (S=Krl).
При вычислении импеданса осциллирующего поршня по фор-
формуле A1,33) интегрирование ведется по обеим сторонам диска,
т. e.5 = 2irr^. Для вычисления импеданса односторонне пульсирую-
пульсирующего поршня необходимо учитывать поле только с одной (из-
(излучающей) стороны, ввиду чего следует взять лишь половину
импеданса осциллирующего поршня. При z0 <; 1 получим:
Таким образом, для пульсирующего поршня без Экрана полу-
получается сопротивление излучения в два раза меньше, чем при на-
наличии экрана (см. формулу A1,19)), что вызывается увеличением
в два раза телесного угла пространства, в которое происходит
излучение. Присоединенная масса будет равна:
^ A1,35)
Для поршня с экраном (см. формулу A1,20)) получается при
го<<1, Л1=з~ Рго» т. е. в -? раза большая величина.
Для случая излучения звука открытым концом трубы или
устьем рупора следует пользоваться именно этими величинами
компонент импеданса. Концевая поправка, характеризующая ка-
кажущееся удлинение трубы за счет присоединенной массы, как
2
легко видеть, будет равна ~го^О, 63г0.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1
Волновое уравнение 7
Глава 2
Плоская волна 18
Глава 3
Прохождение звука через границы различных
сред 37
Глава 4
Простейшие излучатели звука (пульсирующая
и осциллирующая сфера) 57
Глава 5
Распространение звука в прямой трубе посто-
постоянного сечения 77
Глава 6
Теория распространения неоднородных волн в
трубе 115
Глава 7
Теория звукопроводов 146
Глава 8
Сложный сферический излучатель 205
Глава 9
Рассеяние звука сферой 257
Глава 10
Излучение и рассеяние звука цилиндром 287
Г л а в а 11 ^
Поршневая диафрагма 307
Сергей Николаевич Ржевкин
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ЗВУКА
Редактор К. М. Иванов-Шиц
Редактор издательства С. Ф. Кондрашкова
Техн. редактор М. С. Ермаков
* * *
Сдано в набор 30/V 1959. Подписано к печати 7/III I960. Формат 60X92Vi«.
Объем 21 п. л. Уч.-изд. л. 18,15. Изд. № 813. Заказ № 1518. Лит-90160.
Цена 10 р. Тираж 6000.
Набрано в типографии № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького.
Ленсовнархоза. Управление полиграфической промышленности.
Ленинград, Гатчинская, 26.
Отпечатано во 2-й типографии Издательства МГУ
Москва, Ленинские горы.

ОПЕЧАТКИ
Страница
11
46
67
69
144
144
200
245
282
298
Строка
5 сверху
5 сверху
15 сверху
13 снизу
12 сверху
13 сверху
11 сверху
9 снизу
12 снизу
9 сверху
Напечатано
di dp
О u?J=— ' dt)
dt dx
Q '
YMo
dr
dt
jp
jY0 + R
jYo + R
Zo<3l/lr
Xo (S', ?/оили S\ Uo)
Следует читать
&z dp
9
dr
dt
~ Fo + R
"mv = wmv
Z0 < 3f