ИСТОРИЯ
ОТЕЧЕСТВЕННОГО
ШКОЛЬНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
ДВА ВЕКА

'М.В. Остроградский Ф.И. Симашко А.П. Киселев
1.Ю. Давидов А.Ф. Малинин В.А. Евтушевский (
^^Голъденберг А.н. Страннолюбский А.Н. Острогорскт
В А. Латышев Н.А. Шапошникг
^^^^^^^^^^j^LHIoxop-Троцкий Д.Д. Mopdyl
К.Ф. Лебединцеву
Н.А. ПИ
Т.С. ПОЛЯКОВА
История отечественного школьного
математического образования
ДВА ВЕКА
Книга П
ВЕК ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ
ВТОРАЯ ПОЛОВИНА
Издательство Ростовского государственного педагогического
университета
Ростов-на-Дону
2005
УДК 37(091)
ББК 74.03(2)
П54
Рекомендовано Министерством образования Российской
Федерации в качестве учебного пособия для высших и средних
педагогических учебных заведений.
Рецензенты:
д-р пед. н., проф. В.В. Афанасьев;
д-р ист. н., проф. Н.М. Сидоренко.
Полякова Татьяна Сергеевна
История отечественного школьного математического
образования. Два века. Кн. И. Век девятнадцатый. Вторая
половина. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. пед. ун-та, 2005. - 203 с.
В заключительной части второй книги предложенной
Вашему вниманию дилогии рассматривается история
отечественного гимназического математического образования
второй половины XIX - начала XX в.
Для студентов математических специальностей, научных
сотрудников и преподавателей высших и средних учебных
заведений, учителей математики и всех, кто озабочен судьбой
российской школы.
4302000000
П----------------без объявл.
Г 83(03)-2000
ISBN_______________
© Т.С. Полякова,2005
От автора
Предложенная Вашему вниманию книга является заключительной ча-
стью второй книги дилогии «История отечественного школьного матема-
тического образования. Два века»1. Задуманная автором дилогия должна в
основном решить задачу обобщения и систематизации истории среднего
математического образования России дореволюционного периода. Систе-
матичность изложения требует следования логике основных этапов этой
истории, выделенных нами в первой книге дилогии2, где изложена история
первых двух этапов. Весьма обзорно анализируются основные события,
факты и специфические особенности первого этапа - зарождения мате-
матического образования, начиная со времен Киевской Руси и кончая
XVII в. Обзорный характер анализа обусловлен специфической особенно-
стью этого этапа: он имеет латентную природу, проявляясь лишь в редких
сохранившихся преимущественно письменных источниках, иногда только
косвенно подтверждающих наличие математического образования в этот
временной период. Второй этап - становление отечественного матема-
тического образования - охватывает весь XVIII в., начинаясь с указа
Петра I об основании математико-навигацкой школы (1701) и в основном
заканчиваясь с учреждением Министерства народного просвещения,
воспитания юношества и распространения наук (1802). Одной из характер-
ных особенностей этого этапа развития отечественного математического
образования является его нерасчлененность на содержательные и возрас-
тные ступени.
Созданное министерство разработало план реформирования государ-
ственной образовательной системы России, в 1803 г. определив четыре
рода государственных образовательных учреждений, - приходские, уезд-
ные, губернские училища (гимназии) и университеты.
С этим разделением и связано начало третьего этапа истории отечест-
венного школьного математического образования - этапа создания рос-
сийской модели так называемой классической системы школьного мате-
матического образования, начало которого уместно приурочить к приня-
1 Первая книга и первая часть второй книги дилогии уже опубликованы: Полякова
Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века.
Кн. I: Век восемнадцатый. Ростов н/Д: Изд-во Рост. пед. ун-та, 1997; Полякова
Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века.
Кн. II: Век девятнадцатый. Первая половина. Ростов н/Д: Изд-во Рост. пед. ун-та,
2001.
2 Полякова Т.С. История отечественного ... Кн. I: Век восемнадцатый. С. 13-16.
3
тию в 1804 г. уставов всех государственных образовательных учреждений.
Устав университетов закрепил их ведущую научно-методическую роль в
учебных округах, сделав все остальные учебные заведения подведомст-
венными университетам. Именно в 1804 г. отечественное математическое
образование, ранее, как мы уже говорили, по сути нерасчлененное на
содержательные и возрастные ступени, делится на три уровня - высший
(университетское математическое образование), средний (гимназическое
математическое образование) и начальный (математическое образование в
уездных и приходских училищах). Несмотря на то, что эти уровни доста-
точно жестко связаны принципом преемственности единой государствен-
ной системы, отныне у каждого из них своя судьба, свои закономерности и
этапы развития, а значит и своя история.
В первых двух частях второй книги дилогии1 нами охарактеризовано
развитие математического образования среднего (гимназического) уровня
в первой половине XIX в., когда зарождается методика преподавания
математики как наука, школьное математическое образование находится
под патронатом университетов. В это время появляются специально
написанные для гимназий учебники чистой математики, первые учебники
и методические пособия по отдельным математическим дисциплинам,
впервые выходит в свет методическая периодика, публикуются первые
труды по методике преподавания арифметики. Традиции патроната мате-
матического образования со стороны математики как науки продолжают
такие известные математики как Гурьев, Осиповский, Буняковский, гени-
альный Лобачевский.
В представленной Вам книге, которая является заключительной ча-
стью дилогии, мы попытались изложить историю развития математическо-
го образования среднего уровня в России второй половины XIX - начала
XX в. Это время, когда завершается период формирования классической
системы гимназического математического образования и возникает дви-
жение за ее реформацию, эпогеем которого являются Всероссийские
съезды преподавателей математики 1911-14 гг. Вторая половина XIX в.
характеризуется непрерывной борьбой между классическим и реальным
образованием в русской гимназии, стабилизацией содержания школьной
математики, усилением роли таких нормативных документов, как учебные
планы и программы. Эти процессы сопровождаются динамичным развити-
ем методики преподавания математики как науки, методической периоди-
1 Полякова Т.С. История отечественного... Кн. II: Век девятнадцатый. Первая
половина.
4
ки, учебной математической литературы, в результате конкуренции кото-
рой выделяется классический комплект школьных учебников математики.
Внутренняя структура заключительной части дилогии, как и преды-
дущих частей, определяется необходимостью оптимального соотношения
между институционально-событийным, идейно-материальным и персона-
листическим компонентами. Суть каждого из компонентов и механизм
определения этого соотношения описаны нами во введении к первой книге
дилогии1. Мы старались сохранить этот механизм и в этой книге.
В соответствии с этим в первой главе изложен институционально-
событийный аспект, характеризующий соответствующие институты
математического образования и факты, события и явления, в нем происхо-
дящие. Здесь же предельно компактно анализируются идейно-
материальный и персоналистический аспекты истории математического
образования, чем достигается целостность изложения. Во второй главе
детально характеризуется учебная и методическая литература, т.е. доми-
нирует идейно-материальная сторона.
Особое внимание в книге уделено персоналистическому компоненту в
силу того, что именно персоналии осуществляют взаимосвязь развития
гимназического математического образования с развитием всего государ-
ства и математики как науки. Поэтому этот компонент широко присутст-
вует в первом разделе, но превалирующим является в заключительной
части книги (приложение 1), где представлены достаточно подробные
биографические сведения о выдающихся педагогах-математиках второй
половины XIX - начала XX в. Отбор персоналий осуществлялся соразмер-
но вкладу соответствующих лиц именно в гимназическое математическое
образование. Однако элемент субъективизма здесь не исключается. В
приложении 2 кратко характеризуется деятельность министров просвеще-
ния Российской империи второй половины XIX - начала XX в.
Обращаю Ваше внимание на помещенное в конце книги заключение,
которое представляются нам сравнительно самодостаточным. Если в
главах книги в основном представлены только события, факты и явления,
то в заключении они систематизируются, сопровождаясь характеристикой
процессов, обозначением тенденций развития. Благодаря такой структуре
бегло ознакомиться с историей отечественного гимназического математи-
ческого образования второй половины XIX - начала XX в. можно, непо-
средственно обратившись к заключению. В самом конце предельно ком-
1 Полякова Т.С. История отечественного... Кн. I: Век восемнадцатый. С. 17.
5
пактно подведены общие итоги развития математического образования в
Российской империи за два века ее существования.
Автор, как и в предыдущих книгах, не претендует на исчерпывающую
полноту описания истории гимназического математического образования
второй половины XIX - начала XX в. Очень многое еще не изучено или
забыто. История отечественного математического образования - очень
молодая, пограничная (между историей математики, историей образования
и отечествоведением) область истории, тем увлекательнее работа исследо-
вателя. Хочется выразить надежду, что у автора найдутся последователи,
которые приложат усилия к дальнейшему развитию этой молодой науки.
И последнее. Автор, как и в предыдущих книгах, не ставил перед со-
бой задачу поиска новых фактов, сосредоточив свои усилия на обобщении
и систематизации уже опубликованного материала. Поэтому считаю своим
бузусловным и приятным долгом выразить огромную признательность
предшествующим поколениям исследователей, занимавшихся изучением
отдельных граней истории отечественного математического образования.
Только благодаря их неустанному подвижническому труду стало возмож-
ным написание этой книги.
Т.С. Полякова
Ростов-на-Дону,
январь 2005 г.
Глава 1. Отечественное математическое образование во второй
половине XIX - начале XX в.
§ 1. Математическое образование гимназического уровня во вто-
рой половине XIX - начале XX в.
1.1. Математическое образование в российской средней школе
второй половины 50-х и 60-х гг. XIX в.
Образовательная политика России с началом царствования Александра
II - Освободителя в сравнении с концом правления Николая I приобрела
иной вектор, который в наибольшей степени характеризуется словами
министра народного просвещения (1854-1858) А.С. Норова: «Наука всегда
была для нас одной из главнейших потребностей, но теперь она первая.
Если враги наши имеют над нами перевес, то единственно силою своего
образования. И так мы должны все наши силы устремить на это великое
дело»1.
1 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 48.
6
Изменение отношения к науке и образованию прежде всего коснулось
университетов: постепенно были устранены практически все ограничения,
введенные в конце царствования Николая I - восстановлены автономия
университетов и право выписывать из-за границы научную и учебную
литературу «без цензурного рассмотрения»1, разрешены неограниченный
прием студентов и присутствие на лекциях вольнослушателей (в том числе
женщин), восстановлены упраздненные ранее кафедры государственного
права европейских держав и истории философии.
Середина XIX в. в истории науки характеризуется, прежде всего,
расцветом наук о природе - появлением теории дарвинизма, созданием
органической и физической химии, физиологии и т.д. В связи с этим
старый спор «классического» и «реального» образования перешел в новую
фазу: реальное образование начало приобретать все больше сторонников.
Министерство просвещения вынуждено было начать подготовку новой
школьной реформы.
В 1958 г. Ученый комитет министерства представил проект школьного
устава, предусматривающий бифуркацию гимназического образования на
филологическое и физико-математическое направления. П.Л. Чебышев,
будучи членом Ученого комитета, разработал проект учебного плана по
математике. В нем были сформулированы следующие цели ее преподава-
ния: 1) развитие умственных способностей учащихся, 2) усвоение сведе-
ний, необходимых для всякого культурного человека; 3) подготовка к
специальным занятиям физико-математическими науками и их приложе-
ниями к практической деятельности. В соответствии с последними двумя
целями курс математики в гимназиях должен состоять из двух разделов -
общего, для всех учащихся 1-5 классов; и специального, для желающих
продолжать «реальное» образование в 6-8 классах. В специальный курс
входили: продолжение алгебры, тригонометрия, аналитическая и начерта-
тельная геометрии, математическая география, оптика и механика. Унифи-
цированная программа проектом устава не предусматривалась, давались
лишь краткие пояснения относительно объема материала. В частности,
высказывалось пожелание, «чтобы в курсе алгебры VI класса ученики
были ознакомлены с понятием о функциях и их производных"2. Право
составления подробной программы предоставлялось педагогическим
советам гимназий. Этот проект не был осуществлен, Ученый комитет в
1859 г. отказался от идеи бифуркации.
1 Энциклопедический словарь «Россия». С. 388
2 Бычков Б П. 100-летие программ преподавания математики в русской гимназии //
Мат. в шк. 1972. № 6. С. 80.
7
Вместо этого в 1860 г. министерством был представлен для обсужде-
ния новый проект устава гимназий, в котором отдавалось явное предпоч-
тение «реальному» образованию: латинский начинался лишь с 3-го класса,
греческий - с 5-го; на математику снова отводилось 27,5 часов, а на естест-
вознание и физику - 20 часов. Однако этот проект подвергнут ожесточен-
ным нападкам, его переделывали дважды - в 1862 и 1864 гг. «В угоду
защитникам классицизма постепенно уменьшались программы по матема-
тике и естественным наукам и увеличивались по древним языкам»1.
Следует отметить, что проблемы образования, в том числе математи-
ческого, широко дискутировались общественностью. Немалую роль
сыграла в этих дискуссиях педагогическая журналистика, для которой 60-е
гг. XIX в. являлись годами расцвета. Этот период - пик деятельности
первых классиков русской педагогической мысли - Н.И. Пирогова и К.Д.
Ушинского. Педагогические проблемы находят отражение и в обществен-
но-политических журналах, например, в знаменитом «Современнике». В
частности, проблемы преподавания в классической гимназии дисциплин
физико-математического цикла стали объектом общественного внимания
во многом благодаря усилиям выдающегося литературного критика и
публициста Д.И. Писарева. Так, в статье «Наша университетская наука»
дана убедительная критика классического образования, обоснована необ-
ходимость замены его реальной школой, тесно связанной с жизнью.
Ключом к такой школе Писарев считает усиление естественнонаучной
подготовки,, что способствовало росту влияния материализма и подрывало
принципы казенной морали и религии, традиционные авторитеты. «Знаме-
нитый физиолог И.П. Павлов так оценивал роль Писарева в распростране-
нии естественнонаучных знаний: «Под влияние литературы шестидесятых
годов, в особенности Писарева, наши умственные интересы обратились в
сторону естествознания, и многие из нас, в числе этих и я, решили изучать
в университете естественные науки»2.
Писарев высоко оценивает роль математики в развитии человеческого
общества: «... математика - наука великая, замечательнейший продукт
одной из благороднейших способностей человеческого разума»3. В то же
время он считает, что в гимназическом преподавании происходит «профа-
нирование математики» (имея в виду ее формализацию), которое он
называет «преступлением перед разумом». «Доказывая теорему, - пишет
1 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 48.
2 Павлов И.П. Полное собрание трудов. Т. V. М.-Л., 1949, С. 371.
3 Писарев Д.И. Наша университетская наука. Сочинения в 4-ч тт. Т. 2. М., 1955. С.
133.
8
Писарев, - гимназист только притворяется, будто он выводит доказатель-
ство одно из другого; он просто отвечает заученный урок; вся работа
лежит на памяти, и там, где изменяет память, там оказывается бессильною
математическая сообразительность, которую вы, благодушный педагог,
уже готовы были предположить в вашем речистом ученике»1 2. Причину
этого Писарев видит в «своеобразных достоинствах системы преподава-
ния», при которой «математика есть не что иное, как ... ряд удивительных
фокусов, придуманных бог знает зачем и бог знает какою эквилибристи-
кою человеческого мышления»^. Эта порочная система подменяет содер-
жательное изучение математики бессмысленной зубрежкой, «отрывом
науки от жизни, отсутствием межпредметных связей и даже наличием
«бедственных междоусобий» между арифметикой, алгеброй, геометрией и
тригонометрией»3. Писарев считает, что такая постановка преподавания
математики активно и постоянно порождала «врагов математики», кото-
рые утверждали: «...математику ненавижу и в жизни своей не возьму
больше в руки ни одного математического сочинения».
Математика, по мнению Писарева, должна излагаться так, «чтобы са-
модеятельность ученика была постоянно возбуждена, чтобы мысль его,
творя по своим естественным законам, постоянно убеждала его в непре-
ложности истин, постоянно говорила его сознанию: это так и иначе быть
не может»4. Писарев также считал, что большую роль в повышении инте-
реса к математике, осознании необходимости ее изучения призвана сыг-
рать история науки, знакомство «с процессом деятельности человеческой
мысли в лице ее лучших, самых развитых представителей»5.
Высоко оценивая роль математики в развитии общества и отдельной
человеческой личности6, Д.И. Писарев выступал за увеличение объема
1 Там же. С. 132.
2 Там же.
3 Минковский В.Л. Методико-математические идеи Д.И. Писарева. ИМИ. Вып.
XVIII. М.: Наука, 1966. С. 393
4 Писарев Д.И. Подробный конспект преподавания первоначальной математики
малолетним детям П. Гурьева /7 Избранные педагогические высказывания. М.,
1938 С. 84.
5 Там же. С. 85.
6 В то же время, не будучи математиком, Писарев не всегда верно оценивал значе-
ние и особенности математики. Так, он считал, что «время великих открытий и
радикальных переворотов окончательно миновало для математики», что она
«никогда не будет давать никакой пищи ни чувству, ни воображению» и «не
может сделаться эстетически привлекательной» (см.: Писарев Д.И. Школа и
жизнь // Избранные педагогические высказывания. М., 1938. С. 352.
9
преподавания математики в гимназиях при изменении ее методики: он
предлагал отвести на изучение этого предмета 6 часов в неделю в каждом
классе, что почти вдвое превышало бы число уроков математики в реаль-
ных гимназиях того времени.
Профессиональное обсуждение проблем гимназического образования
состоялось на Педагогическом съезде директоров и учителей, который
проходил в июле 1864 г. в Одессе. На нем обсуждались и вопросы, касаю-
щиеся математического гимназического образования. Что касается его
содержания, то, ввиду перегруженности программ 1852 г., было принято
решение о сокращении курса математики. Съездом были сформулированы
и методические принципы преподавания математики в гимназии: отмеча-
лось, что оно должно быть направлено «главным образом на сознательное
усвоение материала, а не на механическое или малосознательное заучива-
ние математических правил или законов»1. Особое значение придавалось
наглядности обучения математике, а также взаимному посещению учите-
лями уроков друг друга с целью обмена опытом преподавания математики.
После широкой общественной дискуссии проблем гимназического об-
разования, в том числе математического, 19 ноября 1864 г. был утвержден
новый устав гимназий и прогимназий, в соответствии с которым учрежда-
лись Три типа гимназий с семилетним сроком обучения: классическая с
двумя древними языками, классическая с одним древним языком и реаль-
ная. Государственный совет, обсуждая проект министерства, определил и
пропорции, постановив, что «половина всех русских гимназий должна
быть обращена в гимназии с одним латинским языком. Остальную поло-
вину он разделил между сторонниками крайних мнений: четверть должна
была сделаться реальными, четверть - вполне классическими (т.е. с обои-
ми древними языками)»2. Министру народного просвещения было предос-
тавлено право преобразовывать гимназии, «сообразно местным в тех и
других потребностям»3. Гимназии объявлялись общеобразовательными и
общедоступными, открытыми для всех сословий. Однако плата за обуче-
ние была сохранена, что закрывало доступ в гимназии детям неимущих
слоев населения. Устав 1864 г. был «лебединою песней либеральных
реформ»4: он обеспечивал возможность выбирать между классической и
реальной гимназиями, предоставляя воспитанникам обеих одинаковые
1 БычковБ.П. 100-летие ... С. 80.
2 Энциклопедический словарь «Россия». С. 388.
3 Там же.
4 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 49.
10
права1, отменял телесные наказания, повышал авторитет учителя и роль
педагогического совета.
В 60-х гг. XIX в. положено начало женского образования в России: уч-
реждены женские училища 1-го разряда с 6-годичным сроком обучения и
училища 2-го разряда с 3-годичным сроком обучения. Никаких прав для
дальнейшего обучения эти училища не давали. Объем математики был
очень невелик: в перворазрядных училищах «проходилась арифметика и
начала геометрии, в училищах 2-го разряда преподавались лишь четыре
арифметических действия»2.
В то время на учебные программы установился взгляд, крайнее выра-
жение которого сконцентрировано в известном высказывании Н.И. Пиро-
гова: «программа необходима для неопытного и посредственного учителя;
дельный же, опытный и талантливый учитель не нуждается в программе;
она у него в голове, а не на бумаге». Как считал Пирогов, «главное в
обучении детей состоит не в том, что им сообщается, а в том, как им
сообщается изучаемое»3. Гимназический устав 1864 г. не содержал про-
грамм преподавания по каждому предмету, во избежание же произвола в
определении объема изучаемого материала предложил ограничиться
специальной инструкцией, опубликованной 12 марта 1865 г. Эта инструк-
ция в части преподавания математики была разработана П.Л. Чебышевым
и, в отличие от других предметов, четко определяла те рамки, в которых
должно было быть заключено преподавание математики, физики и космо-
графии. В соответствии с ней в классических гимназиях на математику
отводилось 22 часа и на естествознание и физику по 6 часов, в реальных
гимназиях на математику отводилось 25 часов, на естественные науки 23
часа и физику 9 часов. В этой инструкции содержание курса математики
определялось лишь в общих чертах, в рамках которых программы имели
право составлять сами учителя с последующим утверждением педагогиче-
скими советами. Такая свобода привела к тому, что преподавание одного и
того же предмета существенно различалось не только в гимназиях разных
округов, но даже в гимназиях одного и того же округа.
Пользуясь предоставленным им правом, в ряде учебных округов нача-
ли вводить в преподавание элементы высшей математики. Из доклада П.Л.
Чебышева о программах преподавания математики, представленных
1 Все же реальные гимназии обеспечивали лишь поступление в высшие специаль-
ные учебные заведения и (первое время) на физико-математические факультеты
университетов, классические же не имели аналогичных ограничений.
2 Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики.
М.: Учпедгиз, 1951. С. 40.
3 Журнал Министерства народного просвещения. 1858. Июль. Огд. VII. С. 38.
11
учебными округами в Ученый комитет министерства, следует, что в
Киевском и Одесском учебных округах предусматривалось преподавание
аналитической геометрии в реальных гимназиях, а в Харьковском - начал
теории вероятностей и дифференциального и интегрального исчислений.
В части инструкции, касающейся математики, было учтено и то, что
классические гимназии давали право на поступление в университет на все
факультеты, не исключая физико-математического. Поэтому инструкция
предписывала, чтобы в такого рода гимназиях преподавались в полном
объеме все части элементарной математики; арифметика, алгебра с вклю-
чением бинома Ньютона, геометрия, вся физика и космография.
Подобно тому, как Устав 1835 г. ослабил влияние университетов на
среднюю и начальную школы, образовательная реформа 1864 г. ослабила
связи начальной и средней школы. Вслед за уставом вышло «Положение о
начальных народных училищах», в котором практически узаконено отде-
ление средней школы от начальной: в соответствии с ним начальные
школы изымались из ведения директоров гимназий и передавались в
ведение специально созданных губернских и уездных училищных советов.
В составе этих советов были представители министерств народного про-
свещения и внутренних дел, синода, земств, городского самоуправления и
других ведомств, которым принадлежали начальные школы. В обязанно-
сти уездного училищного совета входили «надзор за преподаванием в
начальных школах, назначение и увольнение учителей, организация
снабжения школ учебно-наглядными пособиями» . «Положение...» пре-
доставляло право открытия народных училищ не только государству, но и
общественным организациям, частным лицам, земствам. В нем формули-
ровалась основная цель народных училищ: «утверждать в народе религи-
озные и нравственные понятия и распространять первоначальные полез-
ные знания», в числе которых и «четыре арифметических действия».
1.2. Реформа математического образования в России в 70-х гг. XIX в.
Однако либеральные образовательные реформы 60-х гг. XIX в. очень
быстро сменились контрреформой средней школы. Из-за студенческих
беспорядков после покушения на Александра II отстраняется от должности
либеральный министр А.В. Головнин. В 1866 г. на пост министра назнача-
ется граф Д.А. Толстой, известный консерватор, обер-прокурор Синода.
Ужесточается государственный контроль над средней и высшей школой -
инспектирование учебных заведений, контроль за их деятельностью,
1 Паначин Ф.Г. Педагогическое образование в России. М.: Педагогика, 1979. С. 68.
12
цензура. Толстой с помощью известных в свое время общественных
деятелей М. Каткова и К. Леонтьева начинает решительную борьбу за
насаждение классицизма. Как пишут В. Мрочек и Ф. Филиппович в одной
из первых книг, связанных с историей математического образования
(Педагогика математики. Исторические и методические этюды), «тройст-
венный союз - Катков, Леонтьев, граф Толстой - распределил между
сочленами роли, - и работа закипела. В 1866 г. граф Толстой становится
министром и берет на себя проведение проектов, Катков - подготовку
общественного мнения, Леонтьев - изготовление проектов»1. Таким
образом, содержание контрреформ определялось К. Леонтьевым, извест-
ным в то время публицистом. В связи с этим интересно его мнение^ о
задачах школы: «Необходимо всеми силами бороться против народного
образования. Если Россия сопротивлялась сколько-нибудь успешно духу
времени, то этим мы обязаны до известной степени безграмотности наро-
да»2. Таковым было мировоззрение главного идеолога контрреформ.
Основным средством их проведения вновь становится изучение древ-
них языков, которое, по мнению организаторов реформ, в состоянии
уберечь обучаемых «от всякого размышления, убить самостоятельность и
приучить к механизму действий»3. «Усиление изучения древних языков
должно способствовать к отрезвлению юношества от современного свобо-
домышления как религиозного, так и политического»4, - писал крупный
чиновник министерства барон Николаи.
30 июля 1871 г. относительно либеральный школьный устав 1864 г.
был заменен уставом гимназий5, действовавшим без существенных изме-
нений до 1917 г. Против этого устава высказалось большинство членов
государственного совета, обсуждавшего реформу школьного образования,
но утверждено было мнение меньшинства6. По новому уставу все гимна-
зии были преобразованы в классические с восьмилетним сроком обучения
(в VII классе обучение продолжалось 2 года), с двумя древними языками,
1 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 50.
2 Там же.
3 Там же.
4 Цит. по: Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 50.
5 Уже упоминавшийся нами барон Николаи обосновывает его необходимость
борьбой с уставом 1864 г.. «Издание устава 1871 г. состоялось, хотя и негласно,
под влиянием предвзятого убеждения против сочинителей предшествующего
устава (1864), будто бы поклонявшихся идеям, так называемым, либеральным, в
противоположность охранительным» Там же.
6 Энциклопедический словарь «Россия». С. 389.
13
число часов на изучение которых существенно увеличилось. Сословность
вновь стала «ведущим принципом комплектования гимназий»1.
Сущность реформ состояла в том, что «естествознание окончательно
изгнано, бифуркация отменена, математика приведена к минимуму и к
логике: все прикладное исключено»2. Но основной недостаток состоял в
определении основной цели гимназического обучения вообще и математи-
ческого, в частности. Она формулировалась как исключительно формаль-
но-умственное развитие учащихся. В объяснительной записке к уставу она
звучала следующим образом: «Главнейшими, основными предметами
гимназического учения всегда и везде справедливо признавались матема-
тика и в особенности древние классические языки, и поэтому на них
должны преимущественно сосредоточиваться, упражняться и созревать
умственные силы учащихся»3. Таким образом, на обучение математике,
так же как и древним языкам, министерство народного просвещения
смотрело как на средство ограждения учащихся от вольнодумства, всяче-
ски насаждая абстрактно-дедуктивное, формально-схоластическое препо-
давание математики в гимназиях. Если же говорить о часах, выделенных
на естественно-научный цикл и математику, то дело обстояло следующим
образом: на математику вместе с физикой, математической географией и
кратким естествознанием отводится 37 часов из 206 часов (на латинский
язык 49 часов и на греческий 36).
Вместо реальных гимназий учреждены реальные училища с ограни-
ченными правами. Их цель по уставу, принятому 15 мая 1872 г., - «общее
образование, приспособленное к практическим потребностям и к приобре-
тению технических познаний». Таким образом, реальным училищам
сообщался «резко выраженный профессиональный уклон»4, срок обучения
в них урезался на один год, к тому же седьмой класс объявлен необяза-
тельным. Всем этим реальные училища превращались не только «в непол-
ноправную, но и в неполноценную среднюю школу»5. Общее образование
в них давалось лишь в первых четырех классах, с пятого начиналась
специализация по двум отделениям - основному и коммерческому. После
шестого класса ученики выбирали одно из трех направлений - коммерче-
ское, механико-техническое или химическое. В учебном плане присутст-
1 Паначин Ф.Г. Педагог ическое ... С. 69.
2 Там же.
3 Цит. по: Бычков Б.П. 100-летие ... С. 81.
4 Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука, 1968. С.306.
5 Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание в России XVI1-XIX вв. // Мат. в шк.
1949. № 3. С. 2.
14
вовали такие предметы, «как счетоводство, книговодство, письмоводство»1
и др. Изучение древних языков в реальных училищах не предусматрива-
лось, курс математики же был достаточно значительный. Более 40 часов в
неделю по всем классам отводилось черчению. В учебный план реальных
училищ входил также курс естествознания, который должен был препода-
ваться «не научно, а технологически»2. Окончившие реальные училища
были лишены права поступления в университет3.
Вскоре Министерство народного просвещения открыло женские гим-
назии, впервые официально приобщив женщин к изучению математики.
Курс этих гимназий был приблизительно таким же, что и курс мужских
гимназий.
Оценка образовательной реформы 70-х гг. XIX в. неоднозначна. При-
ведем крайнюю точку зрения о влиянии на преподавание математики
образовательных реформ начала 70-х гг. XIX в., сформулированную уже
упоминавшимися В.Мрочек и Ф. Филипповичем: «Только теперь был
нанесен удар математике. Сведенная к 28 часам из общего числа 226 часов,
принужденная питаться учебниками Малинина, Давыдова и Киселева,
загнанная на задворки школы, она вскоре порвала с традициями и превра-
тилась в орудие отупения. Математике учились, кто хотел; обыкновенно
успехи ученика по древним языкам заставляло начальство смотреть сквозь
пальцы на полное его пренебрежение даже элементами математики»4.
Борьба между классическим и реальным гимназическим образованием,
которая велась на протяжении всего XIX в. (замена естествознания на
древние языки и обратно происходила уже в четвертый раз), завершилась
на сей раз полной победой классической модели гимназического образова-
ния.
Мы склонны к более мягкой оценке этого влияния. Количество часов
по математике в гимназиях фактически не уменьшилось, а даже увеличи-
лось. Кроме того, с принятием нового устава русская гимназия впервые
получила единые,,стабильные, общегосударственные программы по всем
предметам, в том числе и по математике.
Примерная программа по математике, составленная при участии П.Л.
Чебышева, была опубликована 31 июля 1872 г. Гимназический устав 1871
* Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. М.: Просвещение,
2001. С. 77.
* Там же.
3 Заметим, что в 1888 г. реальные училища вновь приобрели характер общеобразо-
вательных средних школ, хотя по-прежнему права на поступление в университет
они не давали. См.: Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание ... С. 2.
4 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. С. 51.
15
г. предоставлял педагогическим советам право представлять в высшие
инстанции свои мнения «об изменениях в программах, вызываемых суще-
ством дела»1, поэтому опубликованная программа называлась примерной.
Программа определяла следующий порядок изучения математики в
гимназиях. В I—III классах изучалась арифметика. В III классе начиналось и
в VII классе (первый год) заканчивалось изучение алгебры. В VII классе
(второй год) повторялся весь курс алгебры вместе с арифметикой. Курс
геометрии начинался в IV и заканчивался в VII классе (первый год) повто-
рением всего пройденного и изучались приложения алгебры к геометрии.
В VII классе (второй год) изучалась тригонометрия.
Объем преподавания математики сохранялся примерно таким же, что
и в программе 1852 г. Были, правда, внесены существенные изменения с
целью ее разгрузки и приведения в соответствие с возрастными особенно-
стями учащихся. В курс геометрии V класса было введено вычисление
сторон правильных многоугольников, вписанных в круг и описанных
около него, и тема о пределах. Кроме того, в примерных программах 1872
г. уделялось много внимания применению теории к решению задач, указа-
ние на необходимость решения которых содержались почти в каждом
разделе программы. Одновременно повышались и требования к изучению
теории. Перед разложением чисел на простые множители вводились
признаки делимости, перед вычислением длины окружности - пределы.
Что касается реальных училищ, то 12 мая 1873 г. министерством на-
родного просвещения были утверждены учебные планы и программы по
всем предметам, в том числе по математике, механике и практической
механике. В основу программы по математике положен учебный план,
составленный П.Л. Чебышевым в 1858 г. и кратко охарактеризованный
нами ранее. Значительное место в ней отводилось начертательной геомет-
рии, «разложению степенных количеств в строки»2, способу пределов,
способу неопределенных коэффициентов и т.д.
1.3. Математическое образование в русской средней школе конца
XIX - начала XX в.
Образовательная политика России в 80-90-е гг. XIX столетия характе-
ризуется дальнейшей борьбой с либеральными тенденциями шестидеся-
тых. После убийства Александра II (1881) и воцарения Александра III
советником последнего по проблемам образования стал его учитель и
1 Бычков Б.П. 100-летие ... С. 80.
2 Прудников В.Е. Пафнутий Львович Чебышев. М.: Учпедгиз, 1950. С. 84.
16
наставник в детские и юношеские годы К.П. Победоносцев, взгляды
которого на российское образование совпадали со взглядами бывшего
министра* образования графа Д.А. Толстого, ставшего министром внутрен-
них дел России. Министром народного образования назначается его
единомышленник и коллега И.И. Делянов, который сумел стать в весь
период царствования Александра III “главным деятелем в сфере учебного
дела”1. Именно они ответственны за образовательную политику России в
это время.
Основа этой политики - укрепление «охранительной и сословной
традиции»2. Сразу после воцарения Александра III в письме императору от
22 марта 1882 г. К.Д. Победоносцев сформулировал эту политику следую-
щим образом: ее следует строить так, чтобы в российской школе «люди
низшего класса могли получать нехитрое, но солидное образование,
нужное для жизни, а не для науки». Главной же опорой российской школы
он считал при этом церковь.
В 1884 г. был введен новый университетский устав3, практически
уничтоживший даже ограниченный характер университетской автономии.
Что касается начального образования, то в этом же году по инициативе
К.П. Победоносцева были утверждены «Правила о церковноприходской
школе». Церковноприходские школы пользовались государственной
поддержкой и рассматривались, прежде всего, как противовес обществен-
ной, земской школе. Одной из главных задач новых школ являлось воспи-
тание «преданности к престолу», а также внушение детям «любви к церкви
и богослужению, дабы посещение церкви и участие в богослужении
сделалось навыком и потребностью сердца учащихся»4.
В то же время министр народного просвещения И.И. Делянов, не про-
изводя формальных изменений уставов учебных заведений среднего
уровня, «в циркулярном порядке воздвигнул особые препятствия для
поступления в гимназии детей из непривилегированных классов»5. В 1887
г., в целях дальнейшего укрепления охранительных и сословных традиций,
1 Энциклопедический словарь «Россия». С. 390.
2 Колягин Ю.М. Русская Школа ... С. 91.
1 Министр И.Д. Делянов внес на рассмотрение государственного совета проект
университетской реформы, разработанный Д.А. Толстым. Большинство членов
госсовета высказалось против проекта, но утверждено было мнение меньшинства
(см.: Энциклопедический словарь «Россия». С. 390).
4 Цит. по: Паначин Ф.Г. Педагогическое образование ... С. 72.
5 Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание ... С. 1.
17
министерством издается специальный циркуляр1, который в обществе
метко был назван циркуляром «о кухаркиных детях». Вновь была повыше-
на плата за обучение в гимназии, директорам же было предложено освобо-
дить подведомственные им гимназии «от поступления в них детей кучеров,
лакеев, поваров, прачек, мелких лавочников и тому подобных людей, детей
коих, за исключением разве одаренных необыкновенными способностями,
вовсе не следует выводить из среды, к коей они принадлежат»2, а для
некоторых национальных меньшинств введена ограничительная норма
приема. Все это повлекло за собой заметное сокращение общего числа
гимназистов и повышение среди них процента дворян «почти до 60»3. Все
же, несмотря на все препятствия, «разночинная» молодежь проникала в
гимназии и университеты, и «именно из ее среды выходило большинство
деятелей русской науки и просвещения»4.
В соответствии с «Циркуляром о кухаркиных детях» начальные школы
было предложено передать в духовное ведомство, «т.е. сделать эту школу
повсеместно церковно-приходской»5. Но на практике из этой идеи ничего
не получилось: губернское дворянство, земство и другие ведомства,
курировавшие начальную школу, оказали ожесточенное сопротивление, да
и средств у государства для такого широкомасштабного начинания не
оказалось.
Некоторые частные изменения, которые были внесены в уставы сред-
них учебных заведений в 1888 г. (реальные училища), в 1891 г. (гимназии),
«не изменили существенно характер этих учебных заведений»6. Приведем
таблицу уроков по каждому предмету.
Предметы	Гимназии	Реальные училища
Закон Божий	16	14
Русский язык	29	28
1 Первоначально И.Д. Деляновым было предусмотрено, что в гимназии впредь
будут допускаться дети лишь некоторых сословий, не ниже купцов 2-й гильдии.
Эта мера была признана неприемлемой даже Александром III, в результате была
только повышена плата за обучение и разослан печально знаменитый циркуляр «о
кухаркиных детях». См.: Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание ... С. 2.
2 Цит. по: Юшкевич А.П. История математики ... С.307.
3 Там же.
4 Там же.
5 Колягин Ю.М. Русская школа... С. 91.
6 Энциклопедический словарь «Россия». С. 390.
18
Латинский язык	42	—
Греческий язык	33	—
Математика	29	31
Физика	7	10
История	13	14
География	8	12
Французский язык	19	18
Немецкий язык1	19	32
Чистописание и рисование	10	39*
Введение новых уставов практически не сказалась на преподавании
математики в гимназиях. В 1890 г. в программы 1872 г. были внесены
некоторые изменения и дополнения. Изменения касались более рацио-
нального распределения тем по классам, что обеспечило их большую
доступность. Дополнения практически не увеличивали объема изучаемого
материала, делая его усвоение более полным.
Так, например, исследование линейных уравнений с одной и двумя
неизвестными переносилось из V класса в VII класс, также как и решение
неопределенных уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.
В курсе арифметики I класса восстанавливалось изучение изменения
результатов действий в зависимости от изменения его компонентов,
вводилось ознакомление с простейшими дробями через задачи (преимуще-
ственно устного характера).
В курс алгебры вводились действия над количествами с отрицатель-
ными (IVwiacc) и дробными (Укласс) показателями, а также решение
неравенств первой степени с одним неизвестным (УПкласс).
В курсе геометрии делались специальные указания о необходимости
решения задач на построение и вычисление к каждому из изучаемых
разделов. * 2
‘ В гимназиях обязателен один новый язык.
2 Чистописание - 8, рисование и черчение -31.
19
Особую роль играл VIII класс. В курсе математики этого класса преду-
сматривалось повторение всего пройденного за все годы обучения и
решение задач по всем разделам. Однако повторение не должно было стать
механическим: «должно было дополняться и доказываться то, что в пре-
дыдущим классах не могло быть сделано в силу возрастных особенностей
учащихся»1.
Впервые в истории русской гимназии программе была предпослана
подробная объяснительная записка, которая содержала методические
указания ко всему курсу математики и отдельным математическим дисци-
плинам.
В определении цели преподавания математики была усилена формаль-
ная сторона. Подчеркивалось, что математика, как наука точная и отвле-
ченная, является удобным средством для умственного развития учащихся,
поэтому основное внимание предлагалось уделять основательному и
систематическому изучению теории, практические же задания должны
были служить лишь средством иллюстрации теории и приобретения
вычислительных навыков. Это существенно обедняло представление о
прикладной стороне математики, ее возможности служить мощнейшим
методом познания.
Охарактеризуем содержание программы по таким математическим
дисциплинам, как арифметика, алгебра и геометрия.
1.	Программа по арифметике содержала вопросы о десятичной систе-
ме счисления, арифметических операциях с положительными рациональ-
ными числами и их применении к изучению величин, о метрической
системе мер и русских счетах. Курс завершался большим традиционным
разделом «Задачи на правила». В последнем классе гимназии изучали
элементы теоретической арифметики - различные системы счисления,
законы арифметических действий, теоремы о делимости, теорема о кано-
ническом разложении, признаки делимости, периодические дроби. В
программу последнего класса реальных училищ было включено дополни-
тельно изучение приближенных вычислений. До 1917 г. программа не
претерпела существенных изменений, если не считать исключения некото-
рых второстепенных вопросов и значительного упрощения и сокращения
раздела, содержавшего задачи на правила, который давно и справедливо
критиковался педагогической общественностью.
1 Бычков Б.П. 100-летие программ преподавания математики в русской гимназии //
Мат.вшк. 1972. №6. С. 81.
20
2.	Программа по алгебре содержала следующие вопросы: многочлены,
алгебраические дроби, уравнения первой степени, теория пропорций,
уравнения й трехчлен второй степени, радикалы, извлечение квадратных и
кубических корней из чисел, квадратных - из многочленов, прогрессии,
логарифмы, исследование уравнений и их систем, неравенства первой
степени, неопределенные уравнения первой степени, непрерывные дроби,
теория соединений и биномиальная теорема. В последнем классе - дели-
мость многочлена на двучлен, эквивалентность уравнений и приложение
алгебры к геометрии. В курсе алгебры последних классов гимназии изла-
галась теория пределов, доказывалось существование логарифмов. Вопро-
сы неопределенного анализа и непрерывных дробей были впоследствии
исключены из программы. Программа реальных училищ отличалась
только содержанием алгебры последнего класса, где изучались комплекс-
ные числа, решение двучленных уравнений с приложением к построению
правильных вписанных многоугольников, исследование на экстремум
трехчлена второй степени и дробно-рациональной функции второй степе-
ни, способ неопределенных коэффициентов.
3.	Программа по геометрии включала следующие вопросы. Планимет-
рия: учение об углах, параллельных прямых, треугольниках, многоуголь-
никах, окружности, несоизмеримости отрезков, подобии, вписанных и
описанных многоугольниках, метрических свойствах треугольников;
вычисление площадей; понятие предела и вычисление на его основе длины
окружности и площади круга; задачи на построение. Стереометрия: взаим-
ное расположение прямых и плоскостей; призма, параллелепипед, пирами-
да; понятие о правильных многогранниках; равенство и подобие призм и
пирамид; цилиндр, конус, шар и его части.
Программы преподавания математики 1890 г. сохранились в русской
гимназии до 1917 г., несмотря на неоднократные попытки реформировать
школу, предпринятые в начале XX в.
В 90-х гг. XIX и начале XX вв. в отечественном гимназическом обра-
зовании происходили некоторые позитивные изменения, связанные с
именем министра народного просвещения Н.П. Боголепова, бывшего
сторонником эволюционных преобразований и реального образования.
Постепенно несколько ослаблен «классицизм» - изъят как обязательный
греческий язык, уменьшено число часов на латынь (до 30), отменен пись-
менный экзамен по латыни, восстановлено, правда, в очень небольшом
объеме, естествоведение (6 часов). Общее число часов на изучение мате-
матики колебалось около 30 в неделю.
Во второй половине 1899 г. министерство народного просвещения под
руководством Н.П. Боголепова решило вынести проблемы среднего обра-
21
зования на широкое обсуждение педагогической общественности. Для
этого были созваны при учебных округах особые совещания, посвященные
вопросам реформы средней школы. Совещания прошли во всех округах и
«дали интересные материалы по программам и методам преподавания
математики в средней школе»1. Так, например, в Московском учебном
округе в работе совещания приняло участие до 200 человек, среди которых
такие значимые имена как Н.А. Андреев, Н.Е. Жуковский, Б.К. Млодзеев-
ский, Н.А. Рыбкин и др. Так, декан физико-математического факультета
Московского университета П.А. Некрасов в своем докладе объясняет
«плачевные результаты» экзаменов первокурсников недостатками препо-
давания математики в гимназиях и самим направлением этого преподава-
ния, которое определено слишком односторонней схоластической целью
«усвоения последовательности и логичности выводов и доказательств». Он
критикует учебные планы и программы, одобренные министерством
учебники и задачники «с фантастическим, часто нелепым и сложным
материалом». «При этом забывают, что математика не есть формальная
логика и отвлеченная схоластическая эквилибристика, а наука и вместе с
тем величайший из научных методов миропознания, что такою она являет-
ся не в высших только частях, но и в ее элементах»2.
В результате работы совещаний были составлены учебные планы и
программы для следующих типов школ: гимназия с двумя древними
языками, гимназия с одним древним языком, реальная гимназия, средняя
школа нового типа. Большое внимание уделено цели преподавания мате-
матики, в качестве которой было сформулировано «усвоение математики
как науки и как научного метода миропознавания». Теоретический курс
был поставлен на первое место, решение же задач «служило только посо-
бием к усвоению теории...»; программы по математике предполагалось
освободить от устаревшего материала: «все статьи, имеющие лишь вспо-
могательное значение, должны быть, по возможности, сокращены».3
Все материалы учебных округов поступили в министерство, обобщены
и проанализированы, что дало возможность Н.П. Боголепову в 1900 г.
создать комиссию из представителей всех учебных округов, представив-
шую новый план организации среднего образования. В соответствии с ним
предполагалось учреждение следующих средних учебных заведений (в
скобках указано число недельных часов на изучение математики):
1 Ланков А.В. К истории ... С. 125.
2 Некрасов П.А. О цели и значении преподавания математики в гимназиях //
Физико-математический ежегодник. 1900.
3 Цит. по: Ланков А.В. К истории ... С. 126.
22
1.	Гимназия с двумя древними языками (3-4).
2.	Гимназия с латинским языком и новыми иностранными языками (3-
4).
3.	Школа нового типа с новыми иностранными языками (3-4).
4.	Гимназия с гибким учебным планом, позволявшим осуществлять
индивидуализацию обучения (1-4).
5.	Восьмиклассные реальные училища (5).
6.	Средние учебные заведения с бифуркацией с 4-го класса на
гуманитарные и реальные отделения (4-5).
7.	Кадетские корпуса (4).
8.	Духовные семинарии (3-4).
9.	Коммерческие училища (4-5).
По этому плану в качестве основных предполагалось сохранить два
типа учебных заведений - гимназии и реальные училища. Некоторые
элементы плана удалось осуществить1. В частности, в реальных училищах
добавлен дополнительный восьмой класс, окончание которого давало
право поступления на физико-математический и медицинский факультеты
университета.
Значительную работу провела математическая подкомиссия «боголе-
повской комиссии» под руководством известного педагога-математика
Н.И. Билибина2, давшая отрицательную оценку программам мужских
гимназий 1890 г. за формализацию обучения и включившая в программу
некоторые элементы аналитической геометрии (в виде приложения алгеб-
ры к геометрии). Подкомиссия сформулировала следующие основопола-
гающие задачи реформирования математического образования: 1) опреде-
лить объем преподавания математики как общеобразовательного предмета;
2) распределить учебный материал по классам соответственно возрасту
учащихся; 3) определить необходимое число часов по каждому классу и 4)
указать все то, что должно служить предметом объяснительной записки к
примерным программам. Подкомиссия считала, что преподавание
математики в первых трех классах и учебные планы в IV-VII классах
должны быть совершенно одинаковы и в гимназиях и в реальных учили-
щахВ реальных училищах по плану 1905/06 уч. г. на математику (с эле-
ментами высшей) приходилось 35 недельных часов. В женских гимназиях
на математику отводилось около 20 часов в неделю (по всем классам)3.
1 К сожалению, другим планам не суждено было сбыться: в начале 1901 г. Н.П.
Боголепов был смертельно ранен эсером-террористом П.В. Карповичем.
2 См.: Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. Минск: Вышэйшая
школа, 1968. С. 12.
3 Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание ...С. 2.
23
Серьезные изменения в программах по математике для реальных учи-
лищ произошли в 1906 г., когда в учебный план реальных училищ были
включены начала аналитической геометрии на плоскости и математиче-
ского анализа, изучавшихся в старших классах.
Программа по аналитической геометрии содержала все основные
вопросы этого курса, за исключением исследования кривых второго
пор5Йва.математическому анализу рассматривались следующие вопросы:
пределы, функция и аргумент, понятие производной и дифференциала,
техника дифференцирования, производные элементарных функций, теоре-
мы о непрерывных функциях, исследование функций на экстремум, урав-
нения касательной и нормали, понятие об определенном и неоопределен-
ном интегралах.
В 1907 г. году вышел и учебник Н.И. Билибина1, составленный по но-
вой программе. Позже опубликованы «Основания анализа бесконечно
малых» А.Воинова (1909), «Основания аналитической геометрии на
плоскости» и «Основания анализа бесконечно малых» Д. Горячева (1909),
«Начала анализа» М.Г. Попруженко (1913) и др.
Для кадетских корпусов в 1911 г. утверждена программа по математи-
ке на новых началах. По этой программе «цель математики заключается,
между прочим, и в развитии функционального мышления»2. Введение этих
программ стало одним из частных результатов острой дискуссии, которая
развернулась в 90-е гг. XIX в. вокруг содержания математического образо-
вания среднего уровня. Итоги этой дискуссии частично подведены в 1911-
1914 гг. на I и II Всероссийских съездах учителей математики, работу
которых мы осветим позже. Съезды привлекли к проблемам математиче-
ского образования представителей не только педагогического сообщества,
но и широких общественных кругов.
Последний период досоветской истории отечественного математиче-
ского образования начинается в августе 1914 и заканчивается в октябре
1917 г. Он проходит в сложных условиях Первой мировой войны и Фев-
ральской и Октябрьской революций. В системе математического образова-
ния все оставалось в основном по-прежнему.
В 1915-1916 гг. Министерство народного образования вело подготови-
тельную работу к кардинальной реформе средней школы. Инициатором ее
стал министр народного просвещения граф Павел Николаевич Игнатьев, с
1 Билибин Н.И. Основания анализа бесконечно малых. Для реальных училищ.
СПб., 1907.
2 Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе /
Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. СПб.. 1913. С.
114.
24
именем которого связан так называемый “Игнатьевский проект” реформы
школы. До января 1915 г. он был чиновником высокого ранга Министерст-
ва землеустройства и земледелия.
Спустя неделю после своего назначения он “уже выступает в Государ-
ственной думе и говорит о необходимости реформировать в народном
образовании, по существу, все!”1. Недостатки отечественной системы
образования министр не без оснований объяснял, в частности, отрицатель-
ным отношением ко всему русскому, “которое в течение двух столетий
внедрялось в сознание русского интеллигентного человека... Естественные
и роковые последствия такого воспитания выразились в отсутствии веры в
собственные силы, обидно пренебрежительном отношении к русскому
языку, русской природе, русской культуре... и недостаточно развитом
чувстве патриотизма”2. Вскоре (апрель 1915 г.) Комитет по реформе
школы, созданный при министерстве просвещения, обнародовал цели и
задачи реформы. Были созданы многочисленные комитеты и комиссии на
местах, к реформе привлечена широкая общественность.
В качестве основных задач школы выдвигались следующие: школа
должна быть национальной, давать законченное среднее образование,
иметь разные направления в соответствии с возможностями конкретных
учебных заведений и способностями и устремлениями учащихся
В апреле 1915 г. было создано “особое совещание по реформе средней
школы”, которое приняло принципиальные решения общего характера: 11-
летний срок обучения, фуркацию, однотипность мужской и женской
школы и др. По всем специальностям были созданы особые комиссии,
которые разработали учебные планы и программы. Математическую
комиссию возглавлял К.А. Поссе.
Суть этой реформы состояла в следующем. Начальная школа имела 3-
годичный срок обучения. С IV класса шла вторая ступень средней школы
(с четырехлетним курсом обучения), которая делилась на три отделения:
новогуманитарное, гуманитарно-классическое и реальное. Последнее в
свою очередь должно было состоять из двух ветвей - физико-
математической и естественно-исторической. Часы на математику в
проекте сокращались: 24 часа на гуманитарных отделениях (вместо 32 в
гимназиях) и 34 часа на физико-математической ветви (вместо 35 в реаль-
ных училищах). Общее время на изучение математики в этих школах
должно было быть соответственно 11,8; 14,9; 22, 7 и 17,2 процента общего
1 Колягин Ю.М. Русская школа ...С. 134.
2 Цит. по: Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 134.
25
времени, отведенного на изучение общеобразовательных предметов1.
Приведем сетку часов на математику и физику четырех классов второй
ступени2.
Предметы ме ты	Новогумани- тарная ветвь				Гуманитарно- классическая ветвь				Реальная ветвь			
	IV кл.	V кл	VI кл	VI кл	IV кл.	V кл.	VI кл.	VII кл.	IV кл.	V кл.	VI кл.	VII кл.
Математи ка	4	4	4	3	4	3	3	2	4 4	4 6	4 6	5 61 2 3
Физика	2	3	2	4	2	2	2	3	2	2	2	5
По ряду предметов были предусмотрены практические занятия, про-
декларирована «важность не расширения, а углубления курса», обращено
внимание на внекласнные занятия, воспитательные мероприятия и др.4 Во
всех типах школ предполагалось предоставление возможности освоения
культурного наследия своих народов.
Что касается математического образования, то, как считает Ю.М. Ко-
лягин,5 в его основу должен был быть положен опыт школьного образова-
ния развитых стран Запада, в частности, американских и английских
педагогов Д.Дьюи и Дж. Перри. Так, последний считал, что главной целью
школьного обучения математике следует считать выработку у учащихся
умений делать нужные расчеты. Он предлагал изучать в школе не только
разделы элементарной математики, но и высшей - дифференцирование,
интегрирование, векторы и др. в утилитарном варианте. Учащиеся должны
были при решении конкретных практических задач пользоваться форму-
лами, алгоритмами, приемами измерений и вычислений. Выводы же
формул, обоснования алгоритмов, доказательства, по мнению автора этой
методики, доступны лишь способным ученикам, которые могут их изучать
в рамках занятий “по желанию”.
1 История математического образования в СССР. Киев: Наукова думка, 1975.
2 См.: Ланков А.В. К истории ... С. 132.
5 Математическая ветвь.
4 Материалы по реформе средней школы. Примерные программы и объяснитель-
ные записки, изданные по распоряжению г. министра народного просвещения.
СПб., 1915.
5 См.: Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 135.
26
Вскоре Комитет по реформе средней школы предложил целый пакет
документов, в том числе программы по школьным дисциплинам. Они
значительно отличались от предшествующих, включали в себя минимум
знаний и рекомендации для учителей по разработке собственных про-
грамм. Правительством этот пакет документов был отклонен. Основные
идеи реформы не были приняты и педагогической общественностью:
весной и летом 1916 г. состоялись Педагогические съезды, на которых не
прошли многие предложения гиперактивного министра просвещения
(например, отмена оценок, ежегодных экзаменов). На местах реформа тоже
не пошла из-за противодействия чиновников и неприятия ее значительным
количеством учителей, , не поддержавших многие предполагавшиеся
нововведения. В результате этот проект не был осуществлен, в конце 1916
г. П.Н. Игнатьев вынужден был подать в отставку. На должность министра
был назначен Н.К. Кульчицкий, удаленный ранее с должности попечителя
Петербургского учебного округа за саботаж реформе. Реформистская
деятельность министерства на этом закончилась, подготовленная реформа
не была реализована.
После Февральской революции 1917 г. весной и летом были проведе-
ны Всероссийские съезды учителей и преподавателей, на которых были
приняты решения, в обобщенном виде предлагавшие те идеи, которые
дискутировались педагогической общественностью с начала XX в. Так, в
резолюции апрельского съезда говорилось1 о необходимости: децентрали-
зации школьного управления, построения единой общеобразовательной
школы, освобождения школы от государственной опеки, приближения
школьного обучения к жизни, учета школой культурных потребностей
всех народов России и др.
В мае 1917 г. Временное правительство учредило Государственный
комитет по народному образованию, в котором за несколько месяцев были
подготовлены десятки различных законопроектов, ни один из которых так
и не был принят. История математического образования Российской
империи, существовавшей более двух веков, на этом завершилась. Ей на
смену пришла история отечественного математического образования
советского периода, основные вехи которой охарактеризованы в изданной
в 1975 г. в киевском издательстве «Наукова думка» «Истории математиче-
ского образования в СССР».
1 См.: Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 138.
27
§ 2. Движение за реформу отечественной классической модели
школьного математического образования
2.1.	Классическая система школьного математического образова-
ния и ее российская модель
К 90-м гг. XIX в. учебный предмет «математика» стабилизировался, в
результате чего сложилась система, которую мы, вслед за И.К. Андроно-
вым1, называем международной классической системой математического
образования. Математическое содержание ее характеризовалась сле-
дующими особенностями:
1)	существованием элементарной и высшей математики, причем выс-
шая математика изучалась в высшей школе, а элементарная - в средней;
2)	разделением элементарной математики на четыре учебных предме-
та - арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию, которые «излага-
лись в средней школе как самостоятельные и независимые друг от друга»2;
3)	изучением в начальной школе не учебного предмета «математика» в
целом, а только ее части - «пропедевтической арифметики на эмпириче-
ской основе без теории предмета»3;
4)	изучением в высшей школе основ математики как науки XVII и
XVIII вв. - аналитической геометрии и математического анализа, разви-
ваемых как самостоятельные, не связанные друг с другом дисциплины и
лишь внешне объединенные одним названием «высшая математика».
Основные методические особенности международной классической
системы математического образования таковы:
1)	постановка двух целей обучения математике: а) образовательной,
направленной на усвоение большого количества математических фактов;
б) воспитательной, связанной лишь с развитием формально-логического
мышления учеников;
2)	резкое разграничение функций учителя и ученика: учитель активно
передает готовые знания, ученик же пассивно запоминает и воспроизводит
эти знания, применяя их при решении специально подобранных задач;
3)	наличие по каждому школьному математическому предмету учеб-
ников и сборников задач.
1 См.: Андронов И.К. Пол века развития школьного математического образования в
СССР. М.: Просвещение, 1967. С. 6.
2 Там же. С. 7.
3 Там же.
28
Эта система обучения, функционируя длительное время, дала выдаю-
щиеся результаты1, однако она имела и весьма существенные недостатки.
К ним можно отнести, например, следующие:
1)	несоответствие между развивающейся наукой математикой и со-
ответствующим учебным предметом, «между которыми имелось резкое
различие по содержанию, объему, системе и методу развития математиче-
ских истин»2;
2)	разрыв между элементарной и высшей математикой;
3)	отсутствие пропедевтического курса математики;
4)	слабые взаимосвязи дисциплин, составляющих элементарную
математику, - арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии;
5)	превалирование формально-логических целей изучения математи-
ки в средней школе;
6)	доминирование в сборниках задач по математическим дисципли-
нам задач и упражнений искусственного характера, мало связанных с
практикой и даже теорией, представленной в учебниках, и др.
В результате математика «стала бичом для значительной части учени-
ков»3, которая признавалась неспособной к ее изучению: до 10 % учеников
не переходила в следующий класс, создалась некая пирамидальная систе-
ма, когда в VIII классе выпускали от 50 до 40 % школьников, поступивших
в первый класс гимназии. Это привело к тому, что появились крайние
точки зрения, призывающие даже не включать математику в общеобразо-
вательный школьный курс: "В общеобразовательном школьном курсе нет
достаточных оснований делать математику обязательной для всех: она
слишком отвлеченна и далека от жизни, слишком трудна для многих. Ее
влияние на развитие ума не представляет чего-либо особенного: те основ-
ные мыслительные процессы, которые господствуют в математике, имеют
место и в других науках <...> нам казалось бы излишним включать мате-
матику, как самостоятельный предмет, в обязательный учебный курс для
всех, предоставив ее изучение тем, которые владеют соответствующими
способностями и которым отвлеченность математических рассуждений не
представит слишком больших затруднений»4.
1 Мы считаем, что и советская система математического образования, признанная
одной из лучших в мире, является одной из моделей международной классиче-
ской системы школьного математического образования, реставрированной в 30-е
гг. XX в. после многолетних бесплодных исканий.
2 Андронов И.К. Полвека развития ... С. 6.
3 Там же. С. 7.
4 Каптерев П.Ф. Общеобразовательный школьный курс И Образование. 1901. № 12.
С. 7-8.
29
2.2.	Движение за реформу математического образования в России
на рубеже XIX-XX вв.
Накопившиеся к началу XX в. трудности и противоречия в области
школьного математического образования привели к мощному движению за
его реформу, которое приобрело международный характер и часто связы-
вается в методической литературе с именем одного из самых видных
математиков того времени Феликса Клейна. Действительно, именно Клейн
в 1897 г. на 1-м Международном математическом конгрессе в Цюрихе в
докладе “Вопросы математического образования” “обосновал необходи-
мость реформы математического образования и сформулировал первые ее
принципы”. Они легли в основу разработанной в 1905 г. под его руково-
дством знаменитой “Меранской программы” преобразований математиче-
ского образования. Однако задолго до начала международного движения
за реформу школьного математического образования, названного впослед-
ствии реформой Ф. Клейна, провозглашенные в ней идеи широко обсужда-
лись в России. Некоторые исследователи истории отечественного матема-
тического образования даже считают, что в России реформаторские идеи
начали обсуждаться и частично реализовываться раньше, чем за рубежом1 2.
Так, на протяжении 1891 г. в журнале “Русская школа” (№ 2, 3, 9, 10)
печаталась работа одного из крупнейших отечественных педагогов-
математиков С.И. Шохор-Троцкого “Цель и средства преподавания низ-
шей математики с точки зрения требований общего образования”. В ней
критикуется сложившаяся система математического образования. Автор
предлагает ввести начальный курс геометрии, обогатить арифметику
разделом о приближенных вычислениях, ввести в курс алгебры понятие
функции и теорию пределов.
Особенно большой резонанс в педагогической общественности вызва-
ла ярко написанная и опубликованная в майском номере журнала “Русская
мысль” за 1895 г. статья выдающегося деятеля отечественного просвеще-
ния, профессора Московского городского народного университета им.
Шанявского3 В.П. Шереметевского “Математика как наука и ее школьные
1 Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 108.
2 См., например: Метельский Н.В. Очерки истории... С. 12-16; Андронов И.К.
Полвека развития ... С. 11; Бычков Б.П. К истории вопроса о реформе преподава-
ния математики // Мат. в шк. 1951. № 6; Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 109.
3 Народные университеты были общедоступными просветительскими учреждения-
ми, предназначенными для повышения культурного уровня и профессионального
мастерства всех желающих, независимо от возраста (все же не ниже 16 лет) и
образования. Занятия велись в вечернее время. Преподавателю университета не
требовалось иметь ученую степень, но обязателен опыт педагогической деятель-
30
суррогаты”, в которой автор подчеркивает, что идеи современной матема-
тики остаются за рамками гимназических программ. Он пишет: “Молодые
люди конца XIX в., готовящиеся принять официальное удостоверение в
умственной зрелости, искусственно задерживаются на средневековом
уровне математической мысли; считаются неспособными усвоить хотя бы
элементы математики, как науки нового времени». В.П. Шереметевский
считает, что элементарный курс математики должен группироваться
вокруг понятия функциональной зависимости: «Чем раньше оно будет
вызвано и осторожнее выражено в сознании учащегося, тем лучше». Он
ратует также за введение в школьный курс элементов аналитической
геометрии и математического анализа за счет некоторых сокращений курса
математики, считая, что «счисление бесконечно малых есть та часть
математики, которой она обязана своим значением, своим краеугольным
положением в здании современной науки. Его элементы и должны стать
достоянием общеобразовательной школы»1.
Большое внимание назревшим проблемам реформы математического
образования в конце XIX - начале XX в. уделялось в педагогической и
методической печати, о чем мы расскажем чуть позже. Для этого времени
характерно и такое уникальное явление в истории математического обра-
зования и интеллектуальной истории России, как научно-педагогические
кружки. Так, в Петербурге в 1885 г. был создан отдел математики при
Педагогическом музее военно-учебных заведений, в котором до 1895 г.
было сделано 200 докладов2, посвященных состоянию и перспективам
развития математического образования в России. Вопросами реформы
образования в этом кружке занимались педагоги Шохор-Троцкий, Томи-
лин, Филиппович, профессора Б. Коялович, К. Поссе, А.Васильев, акаде-
мик Н. Сонин и др. В Москве с 1900 г. аналогичная работа велась в рамках
кружка преподавателей при Обществе распространения технических
знаний. Из этого кружка вырос затем так называемый Московский матема-
тический кружок, который, наряду с проведением регулярных заседаний с
докладами ведущих ученых и педагогов-математиков по актуальным
проблемам математического образования, устраивал летние курсы для
учителей, с 1911 г. выпускал журнал «Математическое образование». В
работе кружка активно участвовали такие видные деятели математическо-
ности. В народных университетах преподавали такие знаменитые ученые начала
XX в., как И.М. Сеченов, В.И. Вернадский, И.П. Павлов, К.А. Тимирязев и др.
1 Шереметевский В.П. Математика, как наука, и ее школьные суррогаты // Русская
мысль. 1895. Кн. 5. С.105-125.
2 См.: Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание ... С. 4.
31
го образования, как профессора Б.К. Млодзеевский, И.И. Чистяков и др.
Аналогичные кружки (общества или их отделения) возникли позже в
Харькове, Киеве, Варшаве, Нижнем Новгороде, Оренбурге, Ревеле, Полта-
ве, Риге, Новочеркасске, Орле и других губернских городах России.
Большую активность в деле реформирования образования проявили
представители среднего профессионального образования. Так, в 1901-02
гг. состоялся съезд представителей коммерческих училищ, в рамках
которого работала математическая комиссия под председательством А.Н.
Страннолюбского, признавшая необходимым изучение аналитической
геометрии. В 1903-04 гг. вопросы преподавания математики были постав-
лены на обсуждение на III съезде деятелей технического и профессиональ-
ного образования. В докладах Н. Завадского и Д. Ройтмана было предло-
жено ввести в программу средней школы начала дифференциального
исчисления, аналитическую геометрию и начала начертательной геомет-
рии. Военное ведомство, в виде эксперимента, с начала 1903-04 уч.г. ввело
новые программы по математике в трех кадетских корпусах - Первом,
Псковском и Донском.
Заметим, что большая часть постановлений съездов коммерческих и
технических училищ была воплощена в жизнь, что объясняется большей
мобильностью и оперативностью ведомств, которым были подотчетны эти
учебные заведения.
Итак, продуктивная деятельность отечественных математиков и педа-
гогов на рубеже XIX и XX вв. позволяет сделать заключение о том, что
идеи реформирования классической системы школьного математического
образования зародились и широко обсуждались в России не только в
педагогической и методической, но и в общественно-публицистической
печати, в общественных объединениях и на профессиональных съездах, с
самого начала 90-х гг. XIX в., т.е. задолго до официального начала анало-
гичного международного движения, которым считается конференция
естествоиспытателей и врачей в г. Бреславле (1904 г.). Первые документы
этого движения в России были опубликованы в 1899-1900 гг.1 в то время
как «Меранская программа» Ф. Клейна опубликована лишь в 1905 г.
Причем, работа министерской комиссии Н.П. Боголепова перевела рефор-
мистское движение в области общего, в том числе математического,
образования не позже 1899 г. в официальное русло. Все это подтверждает * В
1 См. документы, опубликованные в книге Щербины К.М. Математика в русской
средней школе. Киев, 1908 (Труды комиссий и групп при Московском Учебном
Округе 1899 г. Предположения комиссии преподавателей математики киевских
средних учебных заведений 1899 г. Труды комиссии министра Н.П. Боголепова).
В этой же книге на с. 152 представлена сводка материалов по этому вопросу.
32
тот факт, что к концу XIX в. российское математическое образование не
только стало органической частью международной классической системы
математического , образования, но в некоторых отношениях опережало
общеевропейский уровень, было нацелено на развитие, на реформу, прин-
ципы которой вполне согласовывались с общемировыми тенденциями.
Российское движение за реформу математического образования орга-
нично влилось в международное реформистское движение, которое полу-
чило организационное оформление в рамках IV Международного конгрес-
са математиков, проходившего в Риме в 1908 г. Конгресс создал Централь-
ный комитет Международной математической комиссии, президентом
которого был избран Феликс Клейн. Популярность его как крупного
ученого-математика обеспечила Клейну безусловный международный
авторитет. Мы согласимся с мнением Н.В. Метельского, что основная
заслуга Клейна в области реформы математического образования «состоит
в энергичной пропаганде и широком распространении реформистских
идей». Русскую подкомиссию Международной комиссии по реформе
образования возглавляли академик Н.Я. Сонин, а затем профессор К.А.
Поссе. В ее составе активно работали Д.М. Синцов, Б.М. Коялович, Н.Н.
Салтыков и др.
Известное завершение многогранная деятельность математического и
методического сообществ России в конце XIX - начале XX вв. получила в
работе двух съездов преподавателей математики, сам факт работы которых
не может не восхищать: ни одна другая школьная дисциплина не знала в
своей истории такого рода прецедентов.
2.3.	Всероссийские съезды преподавателей математики1 2 1911-1914
гг.
2.3.1.	Первый Всероссийский съезд преподавателей математики
Инициатором проведения первого съезда преподавателей математики
явился Отдел математики Педагогического музея военно-учебных заведе-
1 Метельский Н.В. Очерки истории... С. 16.
2 Материалы съездов опубликованы: Труды 1-го Всероссийского Съезда Препода-
вателей математики. СПб., 1913; Доклады, читанные на 2-м Всероссийском Съез-
де преподавателей математики в Москве. М., 1915. Анализу работы этих съездов
посвящена достаточно обширная литература. Наиболее подробный анализ пред-
ставлен в книге Метельского Н.В. Очерки истории ... Мы будем придерживаться
того обзора работы съездов, который дан в публикации Юшкевича А.П. Матема-
тика и ее преподавание ... С. 5-6.
33
ний в Петербурге. Члены отдела В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович, авторы
уже упоминавшейся нами и широко цитировавшейся ранее книги «Педаго-
гика математики. Исторические и методические этюды», обратились к
директору музея и председателю отдела математики генерал-лейтенанту
З.А. Макшееву с этой инициативой, которая была горячо поддержана
профессорами А.В. Васильевым, К.А. Поссе и С.Е. Савичем. В течение 8
дней на зимних каникулах 1911-12 уч. г. в Петербурге состоялся первый
Всероссийский съезд преподавателей математики, в работе которого
приняли участие 1217 человек. Среди них - деятели высшей школы А.В.
Васильев, К.А. Поссе, С.А. Богомолов (Петербург), В.В. Бобынин, Н.А.
Шапошников, В.Б. Струве (Москва), В.Ф. Каган, С.О. Шатуновский
(Одесса), Д.Д. Мордухай-Болтовской (Варшава), Д.М. Синцов (Харьков);
педагоги А.П. Киселев, С.И. Шохор-Троцкий, Д.Э. Теннер, В.Р. Мрочек,
Н.А. Томилин и др. Председателем съезда был избран проф. А.В. Василь-
ев. Был заслушан 71 доклад, состоялись прения, съезд принял резолюции.
Большинство докладчиков призывало к достаточно радикальной пере-
работке программ преподавания математики в средней школе, главным
образом в гимназиях. Один из первых выступающих С.А. Богомолов в
докладе на тему «Обоснования геометрии в связи с постановкой ее препо-
давания» предлагает разделить преподавание геометрии на две части:
пропедевтический курс, базирующийся на широком использовании интуи-
ции, и систематический курс, который должен быть выстроен на аксиома-
тической основе. Причем, в пропедевтическом курсе докладчик считал
полезным ввести начала проективной и начертательной геометрии, а в
завершение систематического курса ознакомить учащихся с идеями гео-
метрии Лобачевского. К этому докладу примыкает сообщение П.А. Дол-
гушина (Киев) «Неевклидова геометрия в средней школе», в котором
раскрывается опыт популярного изложения идей геометрии Лобачевского
в VIII классах гимназии при помощи связок окружностей. Пропедевтиче-
скому курсу геометрии в средней школе посвящен доклад А.Р. Кулишера
“Начальный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его
цели и осуществление”1. Докладчик обращает особое внимание на взаимо-
связи пропедевтического и систематического курсов, а также на необхо-
димость первого оказать “помощь другим предметам первого цикла учеб-
ного плана средней школы (арифметике, географии, естествознанию)”.
Значительное место отведено вопросу разработки в старших классах
более строгого учения о натуральных числах и операциях над ними,
расширению понятия числа (доклады Б.Б. Пиотровского “Курс теоретиче-
1 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. 1. С. 376-412.
34
ской арифметики в старших классах средней школы” и Т.А. Афанасьевой-
Эренфест “Иррациональные числа в средней школе”). В докладе И.И.
Чистякова “Элементы теории чисел в средней школе”1 отмечается, что
“теоретическая арифметика поставлена у нас совершенно неудовлетвори-
тельно” и предлагается ввести в курс математики старших классов “вме-
сто суррогатов теории чисел - изучение самой теории чисел” на базе тех
сведений, которыми учащиеся уже располагают. Докладчик считает
теорию чисел той областью математической науки, в которой значитель-
ных успехов добились русские ученые “Буняковский, Чебышев, Бугаев,
Вороной... Их труды составляют честь и гордость русской математической
науки, и наилучшим воздаянием их памяти была бы широкая популяриза-
ция знаний из области теории чисел, путем введения ее основ в нашу
среднюю школу”2.
В.В. Бобынин в докладе “Цели, формы и средства введения историче-
ских элементов в курс математики средней школы” ратует за органичное
введение в преподавание математики элементов историзма. Он аргументи-
ровано спорит с теми деятелями образования, которые популяризируют
“отрицательные взгляды на математику, поддерживаемые и распростра-
няемые не только Л.Н. Толстым и его последователями, но даже и некото-
рыми произведениями педагогической литературы”3.
Доклад В.Ф. Кагана “О подготовлении преподавателей математики для
средних учебных заведений”4 представляет собой серьезное исследование
истории педагогического образования, состояния его в Одесском учебном
округе, включает обширный список литературы по обсуждаемому вопросу.
Большая группа докладов посвящена реформе курса алгебры и введе-
нию в среднее математическое образование элементов высшей математи-
ки. Ф.В. Филиппович в докладе “Постановка преподавания начал анализа в
средней школе” утверждает, опираясь на свой опыт, что “Ввести начала
дифференциального и интегрального исчислений в среднюю школу нужно
не в виде ’’надстройки” над т. наз. школьным курсом элементарной мате-
матики, а в связи с понятием о функции, проходящим красной нитью через
всю программу математики. Ввиду этого, весь курс математики в средней
школе должен быть сконцентрирован около идеи функциональной зависи-
мости и расширен первоначальными понятиями анализа бесконечно-
1 Там же. С. 245-252.
* Там же. С. 252.
3 Бобынин В.В. Цели, формы и средства введения исторических элементов в курс
математики средней школы. Там же. С. 141.
4 Там же. С. 470-554.
35
малых”1. Автор доклада предлагает взять время на изучение этих разделов
за счет исключения “устарелых отделов”, к которым он относит неопреде-
ленные уравнения, непрерывные дроби, теорию соединений, бином Нью-
тона и др. М.Г. Попруженко в докладе “Об анализе бесконечно малых в
средней школе”2 считает введение в курс средней школы элементов анали-
за одной из основных тенденций развития математического образования в
Америке и странах Европы. Он формулирует условия, которым должен
удовлетворять обогащенный этими идеями курс: 1) общедоступность
курса, 2) честность его, 3) краткость, 4) органическая связанность с общим
курсом математики средней школы. Автор дает и краткий обзор учебной
литературы по этому вопросу. Н.А. Томилин в докладе “Применение
графического метода в средне-школьном курсе математики” детально
развивает проблему применения графиков и их значения для введения
идеи функциональной зависимости, изучения законов физики и химии,
приближенного решения задач и т.п.
В докладах П.А. Некрасова “О результатах преподавания начал анали-
за бесконечно малых, аналитической геометрии и теоретической арифме-
тики в реальных училищах и гимназиях” и Б.Г. Крамаренко “К вопросу о
постановке преподавания математики, главным образом аналитической
геометрии и анализа бесконечно малых, в реальных училищах Кавказского
учебного округа” анализируются первые итоги изучения в средней школе
элементов высшей математики. Оба докладчика приходят к выводу, что по
сравнению с началами анализа аналитическая геометрия усваивается
успешнее и не вызывает особых трудностей у учащихся. В докладе В.И.
Шиффа “Обзор учебников по аналитической геометрии, составленных для
реальных училищ” критике подвергнуты как учебники, написанные в
соответствии с утвержденной министерством программой для реальных
училищ 1905 г., так и те учебники, которые выходят за рамки этих про-
грамм.
Иные подходы к введению элементов аналитической геометрии и ма-
тематического анализа в курс средней школы предложили К.А. Поссе3 и
В.Б. Струве4. Одобряя включение в общий курс средней школы этого
материала, они предлагали организовать специальные математические
классы для тех учащихся, которые собираются поступать на математиче-
1 Там же. С. 115.
2 Краткое содержание его доклада см. там же. С. 577-579
3 Поссе К.А. О согласовании программ в средней и высшей школах. Там же. С. 452-
45&
4 Струве В.Б. К вопросу о согласовании программ математики в средней и высшей
школе. Там же. С. 458-468.
36
ское отделение университетов или в высшую техническую школу. Послед-
ний предлагал взять за образец французскую школу, в которой введена
такого рода специализация.
Значительное число докладов было посвяшено также критике учебных
руководств по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и высшей
математике для реальных училищ. Среди докладов по специальной мето-
дике заслуживает внимания доклад К.Ф. Лебединцева «Вопрос о дробях в
курсе арифметики (основные положения методики курса дробей)» о
последовательности изучения дробей. Он предлагает сначала знакомить
учеников с обыкновенными дробями, затем с десятичными (без умножения
и деления), а потом параллельно изучать те и другие. Заметим, что эта
схема принята сейчас во многих учебниках математики для 5-6 классов.
На первом съезде преподавателей математики получает признание ме-
тодика математики как наука: III секция съезда официально называется
секцией методики математики1. Было представлено 47 докладов по мето-
дологии и методике преподавания математики. Докладчики секции мето-
дики математики выдвигают требования «жизненности и реальности
изучаемого материала», одновременно не признавая утилитаризма в
преподавании математики, который в то время усиленно насаждался в
США. Н.Н. Володкевич в докладе «О реальном направлении преподавания
математики в связи с жизненными фактами» так охарактеризовал отноше-
ние к утилитаризму: «Цель науки более высокая, чем непосредственная
польза... Мы должны приучить наших воспитанников к постоянной
проверке теоретических построений на их согласие с действительностью».
На заседаниях секции ставится много существенных вопросов, по-новому
освещающих проблемы частных методик: лабораторный метод (Д.Д.
Галанин, Н.А. Тамашева, Н.П. Попов и др.), приближенные вычисления
(В.А. Крогиус), графический метод (Д.Э. Теннер, М.Л. Франк) и др.
Сошлемся на оценку работы первого Всероссийского съезда препода-
вателей математики его активного участника, известного математика,
философа, историка математики, педагога Д.Д. Мордухай-Болтовского,
который издал обзор его работы2.
1.	Безусловную поддержку введению в среднюю школу элементов ма-
тематического анализа нашла лишь идея функциональной зависимости;
даже элементы аналитической геометрии и - особенно - математического
анализа предлагалось вводить в школу «...только постольку, поскольку с
1 Труды I Всероссийского Съезда ... Т. II. Секция III (методика). СПб, 1913.
2 Мордухай-Болтовской Д.Д. Первый Всероссийский съезд преподавателей матема-
тики. Варшава, 1912.
37
помощью графического, наглядного метода она дает возможность уяснить
эту идею»1. Серьезные возражения против введения в среднюю школу
элементов математического анализа высказаны М.Г. Попруженко, Ф.В.
Филипповичем, Д.Д. Мордухай-Болтовским.
2.	Не нашли поддержки и предложения, связанные с идеей
аксиоматизации школьного курса геометрии, в частности, изучение в
школе элементов проективной геометрии, аксиоматика которой
достаточно наглядна. Большую поддержку вызвала идея
пропедевтического курса геометрии, построенного на наглядной основе и
интуитивных, а не логических доказательствах. В систематическом же
курсе число аксиом должно быть избыточным, а не минимальным.
3.	Большой интерес участников съезда вызвали общие вопросы пре-
подавания математики: пробуждение интереса к философским аспектам
математики (доклад А.В. Васильева), психологические проблемы препода-
вания математики (доклад С.И. Шохор-Троцкого), введение элементов
историзма (доклад В.В. Бобынина), необходимость практической и при-
кладной направленности школьной математики (доклад В.В. Лермантова).
Итог работы съезда был подведен в его резолюциях, которые содержат
19 положений2. В частности, съезд признал необходимым: 1) «поднять
самодеятельность и активность учащихся, а также усилить наглядность
преподавания на всех его ступенях и в то же время повысить логический
элемент в старших классах, считаясь, однако, с психологическими особен-
ностями возраста учащихся и с доступностью для них преподаваемого
материала»; 2) «опустить из курса математики средней школы некоторые
вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить
идею функциональной зависимости»; 3) «в целях сближения преподавания
в средней школе с требованиями современной науки и жизни - ознакомить
учащихся с простейшими и, несомненно, доступными им идеями
аналитической геометрии и анализа»; 3) создание «задачников,
соответствующих кругу интересов учащихся на каждой ступени их
обучения и включающих в себя данные из физики, космографии, механики
и пр.»; 4) такую организацию преподавания в средней школе, которая,
«сохраняя общеобразовательный ее характер, допускала бы
специализацию в старших классах, приноровленную к индивидуальным
способностям учащихся и удовлетворяющую требованиям высшей
школы»... Часть резолюций касалась проблемы совершенствования
подготовки и переподготовки учителя математики. В резолюциях особенно
подчеркивалось, что необходимо «проявить соответствующую
1 Там же. С. 9.
2 Труды 1-го Всероссийского Съезда ... Т. 1. С. 568-571.
38
«проявить соответствующую осторожность при всех начинаниях, касаю-
щихся проведения их в жизнь» ввиду сложности высказанных пожеланий.
2.3.2.	Второй Всероссийский съезд преподавателей математики.
Одна из заключительных резолюций первого Всероссийского съезда
преподавателей математики гласила, что «Съезд признает необходимым
созвать Второй Всероссийский Съезд преподавателей математики в Моск-
ве в декабре 1913 г.». Это решение было выполнено. Подготовку и органи-
зацию второго съезда провел Московский математический кружок, пред-
седателем организационного комитета был Б.К. Млодзеевский, председа-
телем съезда избран М.Г. Попруженко. В работе съезда участвовало свыше
1200 человек, представлено, обсуждено и опубликовано1 32 доклада.
Можно сказать, что масштабы второго съезда в сравнении с первым были
несколько более скромными.
Открывая съезд, проф. Млодзеевский отметил, что «успехи естество-
знания и техники выдвинули вопрос о введении в среднюю школу вопро-
сов, изучаемых теперь обыкновенно в высшей школе; стало очевидным,
что в настоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых,
аналитической геометрии и теории вероятностей должны быть достоянием
каждого образованного человека»2. Таким образом, Млодзеевский протя-
нул нить, связующую оба съезда и наметил основные направления развер-
нувшейся на втором форуме дискуссии.
Первый доклад съезда, который сделал проф. Д.М. Синцов, был по-
священ анализу работы Международной комиссии по преподаванию
математики. Он сделал краткий обзор международных акций комиссии за
последние годы и положения с преподаванием математики в ведущих
странах Европы, а также в Северо-Американских Соединенных Штатах.
Основное направление работы комиссии - дополнение курса средней
школы понятиями высшей математики. Проф. Синцов продолжил развитие
этих идей в докладе «О преподавании аналитической геометрии в средней
школе».
С.Н. Бернштейн в докладе «Понятие функции в средней школе» под-
робно изложил весьма спорную точку зрения на приемы введения понятия
функции. Он считал, что необходимо знакомить учеников и с оператив-
ным, и с табличным, и с графическим ее определением, выдвигая на
’ Перечень докладов см.: Доклады, читанные на 2-м Всероссийском Съезде
преподавателей математики в Москве. М., 1915. С. 186-187.
‘ Там же. С. 3.
39
первый план «оперативное определение функции и, как его простейший,
хотя и очень частный пример, аналитическую функцию, т.е. строку Тэйло-
ра»1.
В докладе П.А. Некрасова «Об учебных особенностях двух направле-
ний математического курса средней школы» обосновывается включение в
старшие классы средней школы элементов теории вероятностей и стати-
стики. Автор предлагает ввести в курс алгебры следующие вопросы: «1)
теория соединений и перемещений, 2 )теория вероятностей с логическою
классификацией признаков и причин и с законами больших чисел, 3)
статистическая теория... корреляций, включающая способ наименьших
квадратов и вырабатывающая... постулаты физико-химических, биологи-
ческих и экономических наук»2.
Цикл докладов касается возможных изменений в курсе геометрии: ис-
пользованию понятий о бесконечно малом и о пределе при измерении длин
и объемов посвящен доклад А.Ф. Лебединцева «Теория пределов в курсе
геометрии»3; возможности внедрения в среднюю школу идеи движения
анализируются в докладе А.Р. Кулишера «Идея движения в современной
геометрии и область ее применимости в курсе средней школы»4. При этом
автор призывает критично относиться к этой новой для школы идее:
«Несколько преувеличенное стремление внести в изложение геометрии
приемы, основанные на движении, в конце концов оказались вдвойне
плодотворными: оно заставило критически отнестись к этим приемам... и
в то же время пролило новый свет на другие приемы, совершенно выклю-
чающие движение»5.
Интерес вызвал доклад проф. А.К. Власова «Какие стороны элемен-
тарной математики представляют ценность для общего образования?», в
котором сделана попытка охарактеризовать общекультурную составляю-
щую среднего математического образования.
Доклады Н.И. Салтыкова и Д. Синцова посвящены проблеме подго-
товки учителей математики. Салтыков делает обзор системы подготовки
учителей в ряде европейских стран, критикует сохраняющиеся в России
правила 1868 г., согласно которым «звание учителя и воспитателя гимна-
зий и прогимназий приобретается сдачей установленных испытаний, без
прохождения университетского курса»6, считая, что это звание может быть
1 Там же. С. 100.
2 Там же. С. 85.
3 Там же. С. 277-289.
4 Там же. С. 286-317.
5 Там же. С. 317.
6 Там же. С. 39.
40
получено после окончания университета и временных педагогических
курсов, организацию которых предлагает закон 1909 г. При этом особенно
большое значение Н.Н. Салтыков придавал практическим занятиям,
семинарам и тому, что мы сейчас называем педагогической практикой.
Докладчик вносит предложение об учреждении специальной комиссии для
составления к 3-му съезду плана подготовки преподавателей математики.
Д. Синцов1, который лично руководил временными педагогическими
курсами в Харьковском учебном округе, поделился своим не слишком
позитивным опытом этой работы, высказав критическое отношение к
самой этой идее.
Большая группа докладов была посвящена собственно методическим
вопросам: оценке и контролю (доклады К.Ф. Лебединцева, В.Н. Рутковско-
го, Д.Д. Галанина2); организации внеклассных занятий по математике в
условиях нового содержания обучения (доклад В. Фриденберга3). Идеи
введения элементов историзма в среднее математическое образования,
высказанные на первом съезде, развил В.В. Бобынин4. Особое внимание
съезда занимали вопросы «образовательного равноправия мужчин и
женшин*5, которые частично ставились в докладе Д.М. Синцова, дискути-
ровались в прениях.
Второй всероссийский съезд преподавателей математики принял 7 по-
становлений. На первом месте в постановлениях съезда оказалась пробле-
ма подготовки учителей математики, в целях совершенствования которой
предлагалось:
«а) Чтобы лица, приступающие к преподаванию, обладали подготов-
кой как научной, так и общепедагогической;
б)	чтобы на физико-математических факультетах высших учебных за-
ведений читались курсы, освещающие с научной точки зрения основные
вопросы элементарной математики;
в)	чтобы устраивались районные съезды преподавателей математики;
г)	чтобы устраивались краткосрочные и крупные педагогические кур-
сы для преподавателей математики;
д)	чтобы организацию таких курсов, кроме учреждений, устраиваю-
щих их в настоящее время, приняли на себя высшие учебные заведения, а
’ Синцов Д. О подготовке преподавателей математики. Там же. С. 66-70.
‘ Там же. С. 100-111, 124-144, 181-186 соответственно.
J Там же. С. 144-148.
4 Там же. С. 54-60.
5 Колягин Ю.М. Русская школа ... С. 116.
41
также математические кружки и общества, объединяющие преподавате-
лей»1.
Следующее постановление касалось программ по математике, в целях
совершенствования которых предлагалось:
«а) чтобы педагогическим советам было предоставлено право разре-
шать преподавателям отступать от существующих программ под условием
представления проектов изменений на утверждение совета;
б)	чтобы осуществление пересмотра программ и плана преподавания
математики в средней школе было произведено в целом, а не путем час-
тичных изменений; при выработке такого проекта плана необходимо не
только внесение новых отделов, но и освобождение курса от отделов,
утративших свое значение;
в)	чтобы преподавание математики в женских гимназиях было органи-
зовано на одинаковых началах с мужскими;
г)	чтобы к совместной работе по выработке плана и программы препо-
давания привлекались представители науки и преподаватели средней
школы»2.
Еще одно важное постановление съезда, подводящее итог одной из са-
мых оживленных дискуссий обоих съездов, касается преподавания в
средней школе элементов высшей математики. Съезд признал начала
аналитической геометрии и анализа необходимыми в курсе средней школы
всех типов, рекомендуя при этом:
«а	) пересмотр программ аналитической геометрии и анализа;
б)	назначение на эти предметы достаточного количества времени;
в)	установление связи анализа с предыдущими частями курса;
г)	более правильная методическая постановка преподавания аналити-
ческой геометрии и анализа»3.
Остальные постановления съезда касались организационных вопросов,
в частности, было принято решение о проведении 3-го Всероссийского
съезда преподавателей математики в декабре 1915 г. в Харькове.4 Однако
начавшаяся вскоре первая мировая война помешала его созыву.
1 Там же. Дневник съезда. С. 163-164.
2 Там же. Дневник съезда. С. 164.
3 Там же. Дневник съезда.
4 Заметим, что Харьковское математическое общество после обсуждения этого
вопроса ответило, что оно не может взять на себя подготовку и проведение 3-го
съезда. За эту задачу по предложению Оргкомитета 2-го съезда взялся Педагоги-
ческий музей Петербурга (см.: Подготовка III Всероссийского съезда преподава-
телей математики // Математический вестник. 1917. № 2-3).
42
Заметим, что постановления съезда включали преимущественно пе-
речни организационных мероприятий, связанных с содержанием курса
математики средней школы и подготовкой учителей математики, сугубо
методические задачи сформулированы очень общо или не сформулирова-
ны вовсе.
Подведем общие итоги Всероссийских съездов преподавателей мате-
матики, охарактеризовав те основные идеи, которые обсуждались на
заседаниях съездов и положены в основу назревших реформ преподавания
математики в средней школе. Эти идеи пронизывали все структурные
компоненты математического образования - его цели, содержание и
методы.
1.	Что касается целей математического образования, то, кроме гос-
подствовавшей с 70-х гг. XIX вв. так называемой «формальной цели»
(цели развития прежде всего логического мышления), получила всеобщее
признание и другая основная цель - «материальная» (имеющая практиче-
ское, прикладное значение). Это позволяло давать учащимся представле-
ние о математике как мощном методе познания. В некоторых докладах
обсуждалась и общекулыурная значимость математического образования
среднего уровня. Д.Д. Мордухай-Болтовской в своих комментариях к
работе съездов считает, что этих целей недостаточно, необходимо осуще-
ствлять всестороннее воспитание1 - научное, этическое, эстетическое и др.
2.	Наиболее оживленную дискуссию вызвали доклады, посвященные
отбору содержания математического образования среднего уровня. Здесь
выделяются следующие идеи:
-	идея расширения содержания математического образования сред-
ней школы всех типов за счет элементов высшей математики одновремен-
но с исключением устаревшего и малоценного в общекулыурном отноше-
нии материала;
-	тесно связанная с предыдущей идея фуркации обучения в старших
классах средней школы, которая выходит за рамки собственно математи-
ческого образования и касается реформы школы в целом;
-	проблема преемственности курсов математики средней и высшей
школы, а также идея сближения между собой различных математических
предметов и математики с другими предметами естественного цикла;
-	одна из главных идей реформы - связь обучения с жизнью, которая
опирается на практическую цель математического образования и требует
1 Мордухай-Болтовской Д.Д. Второй Всероссийский съезд преподавателей матема-
тики. Варшава, 1914.
43
создания задачников нового типа, показывающих приложимость матема-
тики к различным областям науки, техники, человека в целом;
-	идея обогащения содержания математического образования элемен-
тами истории математики.
3.	Если проблема содержания математического образования вызывала
повышенный интерес прежде всего у деятелей высшей школы, которых
среди участников съезда было большинство, то проблема методов препо-
давания математики находилась в центре внимания преимущественно
педагогов-математиков средней школы. В связи с этой проблемой можно
вычленить следующие идеи:
-	приведение методов преподавания в соответствие с психологиче-
скими особенностями возраста учащихся и связанный с ним концентриче-
ский1 способ построения всего школьного курса математики с введением
пропедевтических циклов с конкретно-индуктивными методами препода-
вания и постепенным переходом к абстрактно-дедуктивным методам при
более строгом и систематическом изложении материала в старших клас-
сах;
-	идея широкого распространения лабораторного метода и практиче-
ских работ в преподавании математики;2
-	идея преимущественного использования методов, направленных на
активизацию самостоятельной работы, творческих и практических работ
учащихся.
Мы перечислили лишь важнейшие идеи и связанные с ними проблемы,
поиск решения которых являлся целью движения за реформу математиче-
ского образования среднего уровня на рубеже XIX-XX вв. и Всероссий-
ских съездов преподавателей математики 1911-1914 гг. Многие из них до
сих пор не нашли своего решения, другие впоследствии показали свою
несостоятельность в практике работы массовой школы, некоторые из
плодотворных идей своевременно не были воплощены в жизнь из-за
начавшейся вскоре первой мировой войны. Работа съездов показала, что
отечественному движению за реформу среднего математического образо-
вания свойственно необычайно широкое и богатое содержание и разнооб-
разие форм.
В практическом плане реализации тех идей, которые обсуждались на
Всероссийских съездах преподавателей математики, было сделано очень
1 Напомним, что он еще на рубеже XVIII и XIX вв. был обоснован С.Е. Гурьевым -
см. ранее.
2 Заметим, что широкое распространение лабораторного метода в первые годы
советской власти не дали ожидаемых результатов, роль этого метода в препода-
вании математики была явно переоценена.
44
немногое. Наиболее прогрессивно мыслящие педагоги-математики пыта-
лись проводить в жизнь эти идеи в отдельных учебных заведениях, чаще
всего - частных. В подавляющем же большинстве государственных школ
все оставалось по-прежнему. В 1915-1917 гг. на первый план неожиданно
выступила проблема преподавания в школе теории вероятностей. Ученый
совет министерства народного просвещения, в который в то время входили
профессора-математики П.А. Некрасов (Московский университет) и В.Г.
Алексеев (Юрьевский университет), в целях, как они открыто заявляли,
борьбы с материализмом1, стал добиваться включения в курс гимназии
теории вероятностей. Причем, как считали многие ученые-математики
того времени, принципы теории вероятностей самым ненаучным методом
извращались в идеалистическом духе. Против этого выступили крупней-
шие математики во главе с академиком А.А. Марковым. В “Журнале
Министерства народного просвещения” за 1915 г. велась оживленная
дискуссия по этой проблеме. В нее вмешалась Академия наук, создав в
октябре 1915 г. комиссию, в которую вошли академики А.А. Марков, А.М.
Ляпунов, В*А. Стеклов, А.Н. Крылов и др. Вскоре комиссия вынесла
решение, осуждавшее использование теории вероятностей “с предвзятой
целью превратить науку в орудие религиозного и политического воздейст-
вия”2.
В значительной степени влиянием съездов объясняется интенсивный
рост в 1912-1915 гг. учебной и математико-методической литературы,
новой по содержанию и заложенным в ней идеям.
1 См. подробнее: Юшкевич А П. История математики ... С. 311.
" Минковский В.Л. Педагогические идеи и деятельность академика А.А. Маркова //
Мат. вшк. 1952. №5. С. 12.
45
Глава 2. Учебная и методическая литература второй половины
XIX-начала ХХв.
§ 1.	Периодические издания для учителя математики второй поло-
вины XIX - начала XX в.
1.1.	Вестник математических наук
Первым русским методико-математическим журналом был «Учебный
математический журнал» К.Я. Купфера. Журнал «Вестник математических
наук» стал выходить почти тридцать лет спустя, в 1861г. в городе Вильно.
Издателем нового журнала был директор виленской обсерватории Матвей
Матвеевич Гусев, который хотел создать не учебно-методический, а чисто
научный журнал. В «Вестнике» кроме русских активное участие принима-
ли иностранные ученые. Статьи печатались на русском, немецком, фран-
цузском языках.
«Вестник» ставил себе основной целью информирование читателей о
новостях в области физико-математических наук и популяризацию этих
наук. Кроме статей научного содержания журнал содержал библиографи-
ческие обзоры, указатели русской и иностранной математической и естест-
венно-научной литературы, рецензии о вышедших книгах, а также «ориги-
нальные и переводные статьи популярного содержания, представляющие
не столько ученый, сколько практический интерес»1.
В разделе научных статей журнал имел в качестве авторов многих из-
вестных впоследствии деятелей математики и математического образова-
ния: проф. Московского университета Бугаева, известного математика и
историка математики Ващенко-Захарченко, преемника Лобачевского по
кафедре Попова, академика Савича, проф. Киевского университета Рахма-
нинова и др. Принимали участие в публикации статей и учителя математи-
ки, например, Е.Ф. Сабинин.
Большинство статей журнала относилось к вопросам “высшей матема-
тики или к пограничной области между элементарной и высшей математи-
кой”2. В небольшом количестве печатались и статьи по элементарной
математике, адресованные непосредственно учителю и ученикам. Среди
них можно указать статьи А. Жбиковского “Относительно признаков
делимости чисел”(№ I)3, А. Попова “Доказательство геометрического
1 Вестник математических наук. 1861. № 1. С. II.
2 Депман И.Я. Русские математические журналы для учителя // Мат. в шк. 1951. №
6. С. 11.
3 Разбор статьи см.: Симонов Р.А. Первые русские математические журналы -
носители прогрессивных методических идей // Мат. в шк. 1955. № 3. С. 16.
46
положения о кратчайшем расстоянии между двумя точками” (№ 21), Л.
Износкова “Числовой цирк пифагорейцев” (№ 22). Эти статьи можно
считать одними из первых научно-популярных публикаций в отечествен-
ной литературе.
Журнал не нашел необходимого числа подписчиков и прекратил свое
существование в середине второго года издания на сороковом номере.
1.2.	Педагогический сборник
С 1836 г. Главное управление военно-учебных заведений издавало
“Журнал для чтения воспитанникам военно-учебных заведений”, который
перестал удовлетворять возросшим потребностям и прекращен в 1863 г.
Был поднят вопрос о создании “специального органа главного управления,
неофициальный отдел которого должен был являться педагогическим
журналом”1. С 1 октября 1864 г. стал выходить журнал “Педагогический
сборник” под редакцией известного педагога того времени Н.Х. Бесселя, а
с 1882 по 1910 г. под редакцией видного методиста-математика А.Н.
Острогорского. Сначала журнал выходил ежемесячно. В 1880 г. не вышло
ни одного номера, в 1881 и 1882 гг. - по 4 номера, с 1883 г. - по 12 номе-
ров в год.
“Педагогический сборник”, несомненно, самый солидный из всех чис-
то методических журналов второй половины XIX - начала XX в. В 1915 г.
ему исполнилось 50 лет, в связи с чем был издан в виде специальной
книги2 указатель всех напечатанных в нем статей. История журнала изло-
жена в книге последнего его редактора И.С. Симонова3.
“Педагогический сборник” печатал значительное количество методи-
ко-математических статей особенно в период редактирования его А.Н.
Острогорским. Он, придя в “Педагогический сборник”, уже имел опыт
издания и редактирования одного из лучших журналов для детей и родите-
лей того времени “Детское чтение” (1869-1877), в виде приложения к
которому издавался “Педагогический листок (для родителей и воспитате-
лей)”. Благодаря А.Н. Острогорскому “Педагогический сборник” “стал
одним из популярнейших педагогических журналов в России, самым
‘ Депман И.Я. Русские математические журналы ... С. 11.
2 Систематический указатель статей, напечатанных в неофициальной части «Педа-
гогического сборника» за 50 лет (1864-1914) И Составитель С.А. Переселенное.
Петроград. 1915.
3 Симонов И.С. «Педагогический сборник» за 50 лет. Петроград, 1914.
47
чистаемым в широких кругах передового учительства”1. Журнал поднимал
такие актуальные вопросы, как воспитание широко образованного челове-
ка с твердыми нравственными убеждениями, способного самостоятельно и
творчески работать; гуманное отношение к детям, тесное взаимодействие
семьи и школы, личность педагога и др.
Трудно указать какой-нибудь вопрос элементарной математики, со-
держание которого в популярном изложении и особенности преподавания
не рассматривались бы на страницах “Педагогического сборника”. Статьи
для этого журнала писали такие известные ученые, как Ермаков, Шапош-
никовы (отец и сын), С. Бернштейн, Бобынин, Цингер; видные методисты
Латышев, Гольденберг, Евтушевский, Киселев, Шохор-Троцкий, Остро-
горский, Попруженко. В журнале печаталось много статей преподавателей
математики Будаевского, Терна, Мазинга, Томаса, Матковского, Григорье-
ва, Свешникова, Шидловского2.
1.3.	Математический сборник
С 1866 г. выходит научный журнал “Математический сборник”, кото-
рый считается “главным русским математическим журналом”3. Это орган
старейшего математического общества в России, созданного при Москов-
ском университете, первый специальный математический журнал на
русском языке.
Начиная со второго тома (1867 г.) и по десятый (1882 г.), “Математи-
ческий сборник” присоединил к основному отделу7 оригинальных матема-
тических исследований отдел второй (с отдельным счетом страниц), в
котором печатались материалы, рассчитанные на учителей математики.
Интересно мнение о втором отделе журнала П.Л. Чебышева, который не
только давал ему высокую оценку, но и рекомендовал библиотекам сред-
них учебных заведений: “В состав этого издания кроме записок, относя-
щихся к высшей математике, входят статьи по тем частям математики,
которые преподаются в гимназиях, и статьи эти имеют особый интерес в
педагогическом отношении... Ознакомление учителей гимназии и учени-
ков высших классов со статьями такого рода обещают несомненную
пользу, а потому я полагаю, что “Математический сборник”, как единст-
1 Острогорский А.Н. Избранные педагогические сочинения. М.: Педагогика, 1985.
С. 7.
2 См.: Депман И.Я. Русские математические журналы ... С. 12.
3 Там же.
48
венное у нас издание, где такие статьи печатаются, должен быть приобре-
тен гимназическими библиотеками”1.
Второй' отдел имеет весьма солидный объем (в некоторых томах до
250 стр.) и, как считает И.Я. Депман, «подходит в полной мере под поня-
тие журнала по элементарной математике, предназначенного для учителя и
любителя математики»2. Приведем для примера авторов и названия неко-
торых статей3.
Из т. II, 1867\ Бугаев Н.В. Теорема Эйлера о многогранниках; Давидов
А.Ю. Распространение формулы бинома на дробные и отрицательные
показатели». Из т. III, 1868 г.: Летников А.Д. О теории параллельных
линий Н.И. Лобачевского (первая попытка популярного изложения идей
Лобачевского на русском языке); Бугаев Н.В. Математика как орудие
научное и педагогическое; Давидов А.Ю. Единство мер и весов (пропаган-
да метрической системы мер и весов); Цингер В.Я. Об основной теореме
высшей геометрии.
Кроме статей научно-популярного и методического характера второй
отдел «Математического сборника» содержит задачи, их решения и рецен-
зии на книги по элементарной математике. Авторами научно-популярных
статей и рецензий были маститые ученые, часто профессора-математики;
такими же авторитетными лицами предлагались задачи для решения
(например, ряд задач предложен академиком В.Я. Буняковским).
Видное место занимают в журнале статьи историко-математического
содержания. Например, здесь помещены биографии М.Фарадея, Б. Римана,
пропагандируются достижения научных заслуг русских математиков С.Е.
Гурьева, М.В. Остроградского, П.Л. Чебышева. В статье о геометрии
Лобачевского представлены некоторые биографические материалы, пере-
писка Гаусса, в которой излагаются взгляды последнего на новую геомет-
рию, дается русский перевод статьи Лобачевского «Геометрические
изыскания о теории параллельных линий». В.Я. Цингер в заметке «Об
основной теореме высшей геометрии» рассматривает вопрос возникнове-
ния и развития проективной геометрии. Однако редко статьи второго
отдела носят чисто историко-математический или методический характер,
чаще они были комбинированными. Так, в статье Цингера кроме истори-
ческого обзора проективной геометрии предложено популярное изложение
теоремы о равенстве сложного отношения четырех точек сложному отно-
1 Чебышев П.Л. Полное собр. соч. М., 1951. С. 401-402.
Депман И.Я. Русские математические журналы ... С. 12.
Там же.
49
шению соответствующих лучей пучка. Одновременно автор рассматривает
проблему повышения качества преподавания математики в школе.
Московское математическое общество рассчитывало привлечь внима-
ние широких кругов учителей математики к «Математическому сборнику»,
что оказалось нереальным. Начиная с пятого тома, этот отдел журнала
становился все менее интересным в методическом отношении, десятый
том (1878 г.) оказался последним, в котором он представлен.
1.4.	Математический отдел» журнала «Семья и школа».
В 1871-1888 г. в Петербурге известным физиком Константином Дмит-
риевичем Краевичем издавался педагогический журнал «Семья и школа».
Издатель был не только профессором Горного института, Морской акаде-
мии и создателем популярнейшего учебника физики, но и автором учебни-
ка и сборника задач по алгебре, выдержавших ряд изданий.
С самого начала в журнале печатались и математические статьи. С
сентября 1877 г. они выделены в особое приложение под названием «Ма-
тематический отдел». Этот журнал предназначался для учителя, в нем
публиковались преимущественно статьи методического характера такими
известными авторами, как А.И. Гольденберг, В.А. Евтушевский, С.И.
Шохор-Троцкий, К. Мазинг, Н.А. Страннолюбский, Н.И. Билибин и др.
Появлялись в нем и статьи по истории математики.
В журнале «Семья и школа» печатались также подробные отчеты о за-
седаниях «Петербургского педагогического общества», из которых интерес
для истории математического образования представляют дискуссии о
пропедевтическом курсе геометрии, «Арифметике» Л.Н. Толстого и др.
1.5.	Математический листок
Этот журнал существовал только три года и не оставил существенного
следа в истории математического образования. Издавался он известным
методистом Александром Ивановичем Гольденбергом и был посвящен
исключительно вопросам элементарной математики, ее истории; за годы
существования журнала читателям было предложено около 250 задач.
Журнал предназначался главным образом для учеников старших классов
средних учебных заведений.
А.И. Гольденберг сотрудничал практически во всех научно-
популярных и методико-математических журналах. В 1879 г. начал изда-
вать журнал «Математический листок». Журнал предполагался ежемесяч-
ным, однако первые 12 номеров вышли только в течение двух лет, и 9
50
номеров второго тома также растянулись почти на два года. В 1882 г.
«Математический листок» прекратил свое существование из-за материаль-
ных трудностей.
Большинство статей журнала было написано самим А.И. Гольденбер-
гом. Сотрудничали в журнале К. Мазинг, С.П. Фролов, И.П. Долбня, Д.
Извеков. Несколько статей историко-математического содержания опуб-
ликовал в «Математических листках» В.В. Бобынин (Происхождение и
первоначальное развитие письменного счета», «Математика древних
египтян»). Вообще, историко-математическая компонента этого журнала
была чрезвычайно сильна. Здесь помещены большие переводные обзоры
Кантора «Евклид и его век» и Бретшнейдера «Геометрия и геометры до
Евклида».
В вышедших номерах «Математических листков» «помещены статьи
по различным вопросам всех разделов элементарной математики и ее
истории»1. А.И. Гольденберг был большим любителем истории математи-
ки, поэтому большинство статей сопровождалось подробными историче-
скими справками самого издателя и редактора. Он же написал историче-
ские статьи «Как древние извлекали квадратный корень из чисел», «Лож-
ное правило арабских математиков» и др.
1.6.	Журнал элементарной математики
По мнению серьезных исследователей2, это было самое лучшее в рус-
ской популярно-магематической и методической литературе второй
половины XIX в. периодическое издание для учителей математики. «Жур-
нал элементарной математики» (1884—1886), выходивший затем под
названием «Вестник опытной физики и элементарной математики», изда-
вался в Киеве, позже в Одессе. Основателем и первым редактором его был
профессор Киевского университета Василий Петрович Ермаков; долгие
годы им руководил приват-доцент Новороссийского университета (впо-
следствии профессор Московского университета) В.Ф. Каган. Объем
каждого номера журнала - 1 печатный лист, годовой комплект состоял из
18 номеров, в каникулярное время журнал не выходил.
Журнал предназначался для преподавателей математики, учеников
старших классов и вообще для любителей математики. Первоначально
! Депман ИЛ. Русские математические журналы ... С. 12.
2 Депман И.Я. Русские математические журналы ... С. 14. Дахия С.А. «Журнал
элементарной математики й «Вестник опытной физики и элементарной матема-
тики» //ИМИ Вып. IX. М., 1956. С. 537.
51
редакция не предполагала помещать в журнале сугубо методический
материал, считая, что «основной педагогический прием состоит в кратко-
сти и ясности изложения»1. Однако в предисловии ко второму тому это
мнение редактора изменилось. В.П. Ермаков пишет: «Мы желали бы
ввести отдел педагогический. Чтобы быть хорошим учителем, недостаточ-
но иметь хорошие учебники и задачники, нужно еще уменье препода-
вать...». Поэтому в журнал был введен педагогический (методический)
отдел как трибуна для обмена практическим опытом преподавания. Фак-
тически этот отдел не успел по-настоящему развернуться и свелся главным
образом к нескольким рецензиям. В них оказывалась поддержка новым
качественным учебникам и книгам, например, «Систематическому курсу
арифметики» А.П. Киселева (СПб., 1884), «Методике начальной арифме-
тики» А.И. Гольденберга(СПб., 1885).
Журнал получил широкое распространение во всей стране и оказал
значительное влияние на общий прогресс отечественной математической и
методической культуры. Редактор формулирует в качестве основной цели
журнала популяризацию математических знаний элементарными средст-
вами. «Мы желаем показать, - пишет он в редакционной статье первого
номера, - что объем элементарной математики далеко выходит из пределов
гимназического курса, что есть много интересных вопросов, которые не
входят в курсы преподавания ни средних, ни высших учебных заведе-
ний»2.
Одним из отличий нового журнала являлось то, что в нем публикова-
лись статьи не только по математике, но и по физике, «хотя последней и
уделялось первое время меньше внимания»3. Вторая важная особенность
журнала - большое внимание задачам, которые вместе с решениями
занимали в некоторых номерах до половины объема. Это объяснялось
педагогическим кредо В.П. Ермакова: он придавал упражнениям особое
значение в развитии математических способностей учеников. В отделе
задач сотрудничали такие видные впоследствии ученые, как Г. Вороной, Д.
Граве, В. Каган. Оригинальной формой работы с читательским активом
были систематически помещавшиеся в журнале так называемые «темы для
сотрудников». Темы предлагались для самостоятельной разработки,
наиболее удачные из них публиковались в журнале и премировались
математической литературой. Примеры таких тем: «Теория векторов на
плоскости», «Отделение корней кубического уравнения».
1 Цит по: Депман И.Я. Русские математические журналы ..С. 15.
2 Цит по: Депман И.Я. Русские математические журналы ... С. 15.
3 Дахия С.А. «Журнал элементарной математики ... С. 540.
52
За время существования журнала в нем было опубликовано около 250
статей и замёток, большая часть которых написана самим В.П. Ермаковым.
Он сумел привлечь к сотрудничеству значительное число авторитетных
авторов. Так, в математической части журнала представлены публикации
профессоров Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко и И.И.
Рахманинова, выдающихся ученых А.А. Маркова и А.И. Коркина, препо-
давателей высших и средних учебных заведений И.Иванова, Г. Флорин-
ского, Д. Извекова, Э. Шпачинского и др.
В центре математического отдела журнала, по мнению редакции,
должна быть геометрия, а в ней - актуальные в то время1 задачи на по-
строение. Журнал широко пропагандировал элементы проективной гео-
метрии и векторного исчисления. В алгебраической тематике превалиро-
вали задачи на поиск наибольших и наименьших значений функций,
проблемы теории соединений и элементы теории вероятностей.
«Журнал элементарной математики» издавался в течение двух лет (че-
тырех семестров). В.П. Ермаков отказался от его редактирования «по
многочисленности своих занятий»2, передав издание в руки Э. Шпачин-
ского - одного из сотрудников журнала. Ермаков согласился оставить за
собой идейное руководство математической частью журнала, получившего
новое название - «Вестник опытной физики и элементарной математики».
1.7.	Вестник опытной физики и элементарной математики».
Этому журналу принадлежит особенно важная роль в истории отече-
ственного математического образования. Он издавался на протяжении
более трех десятилетий (1886-1917). До 1898 г. он редактировался Эразмом
Корнелиевичем Шпачинским, в дальнейшем - Вениамином Федоровичем
Каганом.
Программа «Вестника», представленная в первом номере, была
следующей: 1) специальные статьи по всем разделам математики и
физики; 2) статьи педагогического содержания, библиографические
указатели, рецензии и критика; 3 )темы, вопросы, задачи по математике и
физике и их решения; 4) хроника научных новостей, бюллетени
выдающихся метеорологических явлений, мелкие заметки; 5)
корреспонденция и объявления редакции. Основная цель журнала в этом
же____номере---сформулирована— таким образом: «способствовать
1	В 1881 г. в Тамбове издана много раз переиздававшаяся впоследствии книга И.
Александрова «Методы решения геометрических задач на построение»; в 1883 г.
в Харькове под ред. К. Андреева вышла книга Ю. Петерсена «Методы и теории
решения геометрических задач на построение».
2	Дахия С.А. «Журнал элементарной математики ... С. 546.
53
таким образом: «способствовать преподавателям в полезном эксплуатиро-
вании склонности учащейся молодежи знать больше, чем по официальной
программе». Специальные статьи, темы и задачи «при строго научном
содержании» должны были поэтому иметь «возможно популярную»
форму1. В год выходило 24 номера «Вестника» (от 24 до 28 стр. в каждом
номере), максимальное число подписчиков - более 500. Ученый комитет
Министерства просвещения рекомендовал журнал для фундаментальных и
ученических библиотек мужских гимназий, прогимназий и реальных
училищ, а также для библиотек учительских семинарий, институтов и
городских училищ. Несмотря на популярность журнала, существование
его было нестабильным. Недостаточный тираж издания, низкая подписная
цена (от 4 до 6 руб. в год) и высокая стоимость типографских работ вызы-
вали постоянный дефицит. Официальной поддержки журнал не имел:
Министерство народного просвещения ограничивалось назначением
мизерных единовременных пособий, которые не покрывали этот дефицит.
Всего вышло 674 номера «Вестника», в которых было опубликовано
несколько тысяч статей, заметок, задач и их решений. Постоянными
авторами журнала были И. Александров, А. Бобятинский, Е. Буницкий, А.
Гольденберг, В. Ермаков, Д. Ефремов, В. Каган, М. Попруженко, В. Ciy-
денцов, П. Свешниковл Г. Флоринский, П. Флоров, С. Шатуновский, Э.
Шпачинский и др. Значительное количество авторов составляли учителя,
были среди них учащиеся средней школы и студенты университетов.
Подробный анализ содержания «Вестника» дан в специальном иссле-
довании С.А. Дахия2. Мы ограничимся лишь краткими комментариями.
Начнем с материалов о математике. Среди статей по геометрии боль-
шое место занимали разработки «тем для сотрудников», плодом которых
стал ряд статей, заполнявших пробелы в русской научно-популярной
литературе. Разработка тем была хорошей школой для любителей
математики и начинающих специалистов-математиков. Значительное
количество статей посвящено геометрии треугольника (Ефремов,
Свешников, Гольденберг) и вопросам конструктивной геометрии (Алек-
сандров, Шатуновский, Каган). Особой значимостью отличаются статьи,
популяризирующие геометрию Лобачевского (Ермаков, Ефремов, Бонда-
ренко, Каган, П.С. Юшкевич). Особенно энергично кампанию пропаганды
идей Лобачевского «Вестник» развернул к столетию со дня его рождения
(1893 г.). Был опубликован, в частности, русский перевод статьи А. Пуан-
1 См. там же. С. 551.
2 Дахия С.А. «Журнал элементарной математики ... С. 553-611.
54
каре «Неевклидовы геометрии» и его полемики с противниками новых
идей. Популяризации развития идей Лобачевского посвящены многочис-
ленные статьи В.Ф. Кагана, одна из характерных черт которых - забота их
автора об исторически справедливой оценке приоритета Лобачевского в
открытии неевклидовой геометрии и в создании нового математического
мировоззрения.
Алгебра была представлена значительно более скупо. Здесь преобла-
дал традиционный материал (разложение многочленов на множители,
способы решения уравнений 3-й и 4-й степени, вопросы равносильности
уравнений и др.). Некоторое внимание было уделено элементарным прие-
мам исследования простейших функций на экстремум (Гирман, Флоров,
Свешников), теории приближенных вычислений (Ефремов и др.), графиче-
скому решению алгебраических уравнений по способу Лилля (Шан-Гирей,
Флоринский), описанию машины Торре для решения уравнений (Точид-
ловский).
Вопросы исследования анализа бесконечно малых сначала занимали в
«Вестнике» незначительное место. Большей частью это были небольшие
статьи по отдельным частным вопросам. Положение изменилось с введе-
нием элементов высшей математики в курс реальных училищ. «В послед-
нее пятилетие своего существования «Вестник» начал знакомить читателей
с проблемами общей теории функций (Афанасьева-Эренфест, Будницкий,
Мазуровский, Даватц и др.).
Скупо освещались на страницах журнала и вопросы истории матема-
тики. Редактор осознавал необходимость большего внимания к этим
вопросам и ввел специальную рубрику «Из прошлого», не получившую
серьезного развития. Позже вопросам истории математики стало уделяться
несколько больше внимания, что отчасти связано с прекращением в 1905 г.
издания журнала «Физико-математические науки» В. Бобынина (см.
далее), специально посвященного истории математики. Он вынужден был
публиковать свои новые работы в «Вестнике». Значимым историко-
научным и популяризаторским явлением стала публикация в 308-403
номерах журнала «Исторического очерка учения об основаниях геомет-
рии» В.Ф. Кагана. В журнале была опубликована речь академика А.А.
Маркова на торжественном собрании Академии наук, в которой был дан
исторический анализ развития одной из центральных проблем теории
вероятностей (закона больших чисел) и в связи с этим трудов П.Л. Чебы-
шева и его научной школы. Очень актуальным был «Исторический обзор
понятия о функции» (1912 г.) С.Н. Бернштейна, прозвучавший в виде
доклада на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики.
55
Заслугой журнала следует считать своевременную популяризацию на-
чинавшей усиленно развиваться в это время математической логики
(Слешинский, Буницкий).
По вопросам преподавания математики в средней школе в «Вестнике»
публиковались статьи таких авторитетных авторов, как Ермаков, Преоб-
раженский, Слешинский, Попруженко, Жбиковский, Александров, Гир-
ман, Флоринский и др. На страницах журнала удалось организовать дис-
куссию по вопросу об экзаменах по математике и физике, в результате
которой победила здоровая идея о необходимости сохранения экзаменов
по математике при условии нормализации их проведения и устранения
«экзаменационного террора».
Из работ по общей методике следует отметить статьи, посвященные
развитию творческих способностей учеников, их самостоятельности,
одним из эффективных путей которого является внеклассная работа по
математике (Шпачинский, Полянский и др.)
Достаточное внимание было уделено в «Вестнике» методике алгебры
(Ермаков, Матковский, Шпачинский, Герн, Ефремов). Особенный интерес
представляет статья А.Самко «К вопросу об образовательном значении
алгебры», в которой автор полемизирует с М.Е. Ващенко-Захарченко,
ставившим на первое место по степени влияния на учащихся геометрию:
«алгебра по простоте начала, допускающего, однако, беспредельную
сложность развития, должна быть признана идеальной логикой, строгая
система ее не может остаться без существенного образовательного влияния
на развивающийся ум». Статей по методике арифметики в «Вестнике»
немного. Основные из них посвящены критике архаичных приемов реше-
ния арифметических задач.
Значительное место в журнале занимали статьи об общих проблемах
методики геометрии и тригонометрии (Преображенский, Житков), рецен-
зии на новые учебники геометрии. В частности, высокую оценку рецензен-
та (Попруженко) получил появившийся в 1892 г. учебник геометрии А.
Киселева. Редакция инициировала вопрос политехнизации курса геомет-
рии в гимназиях и реальных училищах (Шпачинский, Коваржик).
Остановимся на освещении в «Вестнике» движения за реформирова-
ние математического образования рубежа XIX-XX вв. В журнале опуб-
ликованы многочисленные переводные и компилятивные материалы,
посвященные преподаванию математики за рубежом, в то время как
движение за реформу отечественного математического образования -
особенно до 1912 г. - должным образом в нем не освещалось. Это призна-
но и руководством журнала: в редакционной статье, посвященной его 25-
56
летию. освещение отечественного опыта реформирования математическо-
го образования было признано “самым больным вопросом”.
В “Вестнике” была организована дискуссия, посвященная лаборатор-
но-утилитаристскому методическому течению. Стороннику его В. Лерман-
тову противостояли в полемике такие известные деятели математического
образования, как В.Ф. Каган, К.Ф. Лебединцев1. Значительная часть мате-
риалов “Вестника” посвящена реформистскому течению во Франции.,
Италии, Дании, Пруссии. С момента образования Международной комис-
сии по преподаванию математики журнал ввел специальную рубрику для
публикации материалов о ее деятельности. В частности, в ней был
опубликован отчет русского делегата комиссии К.А. Поссе о работе
конференции Международной комиссии в 1914 г., на которой обсуждались
результаты введения начал высшей математики в курс средней школы.
После введения в 1907 г. элементов высшей математики в курс реаль-
ных училищ в “Вестнике” более активно публикуются отечественные
реформистские материалы. Так, в 1908 г. был опубликован “Проект учеб-
ного плана по математике для мужских гимназий, составленный Варшав-
ским кружком преподавателей физики и математики”, в котором более
прогрессивно формулировлись цели математического образования, пред-
лагались активные методы обучения, стимулирующие самостоятельную
работу учащихся (эвристический способ, аналитический метод доказатель-
ства теорем и др.), последовательно проводилась идея концентрического
изучения отдельных математических дисциплин, в последнем классе
вводились элементы высшей математики и теории вероятностей. Истории
обучения математике в нашей стране посвящена статья К. Щербины
“Математика в русской средней школе”, которая была введением к извест-
ному труду автора под тем же названием, вышедшему в 1907 г.
В 1912-1914 гг. “Вестник” уделял значительное внимание состояв-
шимся в этот период I и II Всероссийским съездам преподавателей мате-
матики. В.Ф. Каган опубликовал обстоятельный отчет о работе первого
съезда, а также речь А.В. Васильева «Математическое и философское
преподавание в средней школе» и доклады о согласовании программ
средней и высшей школы К.А. Поссе, Я.Б. Струве и Д.М. Синцова.
Подготовку к работе и деятельность II Всероссийского съезда препо-
давателей математики «Вестник» осветил в статье В.Ф. Кагана «К пред-
стоящему второму съезду» и в отчетах о его деятельности Д.М. Синцова.
Большое значение имел представленный в журнале критический обзор
1 Подробнее см.. Дахия С.А. «Журнал элементарной математики ... С. 592-593.
57
изданных Министерством народного просвещения в 1915 г. «Материалов
по реформе средней школы». Автор обзора К. Щербина подверг резкой
критике программы по математике, составленные министерской комисси-
ей и предусматривающие значительное сокращение часов.
1.8. Физико-математические науки в их настоящем и прошлом
Журнал издавался с 1885 по 1899г. на средства первого русского исто-
рика математики Виктора Викторовича Бобынина, который был его изда-
телем, редактором и автором подавляющего большинства статей. Журнал
выходил двумя параллельными изданиями - отдел научных статей 4 раза в
год, отдел научных новостей, критики и библиографии 12 раз в год.
Основное содержание журнала - история математики, практически
единственным специалистом в которой был В.В. Бобынин. Среди «раз-
личных заметок и небольших статей по истории и философии математики,
рецензий, некрологов, биографий, международной и русской научной
хроники»1 опубликованы серии исследований автора - «Очерки истории
развития математических наук на Западе», «Очерки истории развития
физико-математических наук в России», «Лекции по истории математики».
Частями во всех 13 томах журнала была напечатана «Русская физико-
математическая библиография», в которой с редкой обстоятельностью В.В.
Бобынин собрал полный указатель книг и журнальных статей по физико-
математическим наукам, опубликованных в России с начала книгопечата-
ния до 1816 г.
Из-за материальных затруднений в 1898 г. журнал был закрыт. Но в
следующем году В.В. Бобынин приступил к изданию другого журнала
«Физико-математические науки в ходе их развития», издание первого тома
которого (из 12 номеров) продолжалось до 1905 г. В последнем выпуске
Бобынин опубликовал статью об истории своих журналов, печальный
конец которых, по его мнению, во многом обусловлен «довольно тяжелы-
ми материальными условиями, создаваемыми для специальных изданий в
России»* 2. Он привел перечень статей, данные о количестве, составе и
географическом распределении подписчиков, бюджете журнала, а также
факты «разительного равнодушия к журналу со стороны чиновников,
ведавших наукой и народным образованием»3. В «Вестнике опытной
физики и элементарной математики» опубликована статья Д. Волковского
Рыбников К.А. Виктор Викторович Бобынин // ИМИ. Вып. III. М.-Л., 1950. С. 351.
2 Цит. по: Рыбников К.А. Виктор Викторович Бобынин ... С. 351.
3 Там же. С. 352.
58
«Судьбы русской математической журналистики», написанная под впечат-
лением известия о прекращении издания первого русского историко-
математического журнала. В ней нарисована «печальная картина» тех
трудностей, которые стояли на пути русской математической журналисти-
ки.
Все перечисленные журналы не были в строгом смысле методически-
ми, львиная доля публикаций носила научно-популярный характер. Назре-
ла необходимость в специальном печатном органе, полностью посвящен-
ном проблемам математического образования. Ответом на эту потребность
явился учрежденный в 1912 г. журнал «Математическое образование».
1.9. Математическое образование
Журнал издавался в 1912-1917 гг. Он основан учрежденным в 1905 г.
Б.К. Млодзеевским, А.Ф. Гатлихом и И.И. Чистяковым Московским
Математическим Кружком и приурочен ко времени открытия I Всероссий-
ского съезда преподавателей математики. Журнал освещал вопросы
преподавания математики преимущественно в средних и - отчасти - в
высших учебных заведения, выходил ежемесячно, кроме мая и летних
месяцев. Объем журнала был невелик - каждая книжка около 50 стр.
Большие статьи печатались с продолжениями в нескольких номерах.
Редактировался журнал профессором Московского университета и
Высших московских женских курсов Иосафом Ивановичем Чистяковым.
Всего вышло 48 номеров1. Журнал имел следующие разделы2: статьи по
математике (в основном элементарной), представляющие и методический
интерес; небольшие математические заметки; статьи методического
характера по различным разделам математики, обсуждение программ
преподавания; статьи и заметки по истории математики; биографические
материалы; статьи, посвященные приложениям математики и некоторым
вопросам преподавания физики; заданный раздел. Решения задач текущего
номера публиковались в следующем номере, приводился список читате-
лей, решивших их. Кроме того, в журнале помещалась хроника математи-
ческого образования; присутствовал библиографический отдел.
1 Журнал был реанимирован в советское время и издавался Московским научно-
педагогическим математическим кружком в 1928-1930гг., когда вышло из печати
24 номера. Сейчас журнал «Математическое образование» вновь возрожден,
издается с апреля 1997 г. Фондом математического образования и просвещения.
Издатели воспроизвели даже стиль оформления своего предшественника.
2 Математическое образование // Журнал Фонда математического образования и
просвещения. М. № 1. Апрель-июнь 1997 г.
59
Журнал ориентировался на учителя средней школы, однако это не по-
влияло на высокий научный и методический уровень публикаций. С
журналом активно сотрудничали профессора Б.К. Млодзеевский, А.К.
Власов, К.А. Поссе, В.Б. Струве, Д.М. Синцов, В.В. Бобынин, Н.А. Умов,
Н.Н. Салтыков, А.Б. Васильев, С.Н. Бернштейн, Д.Д. Мордухай-
Болтовской; методисты П.А. Баранов, А.Ф. Гатлих, И.И. Александров,
Н.А. Извольский, Д.Д. Волковский, К.Ф. Лебединцев, А.П. Киселев, А.П.
Поляков и др.
Особенно большое внимание уделялось в журнале анализу работы I и
II Всероссийских съездов преподавателей математики. Печатались наибо-
лее интересные доклады съездов, итогам их работы посвящены обширные
редакционные статьи1.
Итак, журналы для учителей математики или журналы, содержащие
наряду с другими разделами специальный раздел, посвященный математи-
ке и ее преподаванию, во второй половине XIX - начале XX в. ставили
перед собой несколько основных целей: 1) расширение представлений о
так называемой элементарной математике, ее методах и приемах, вовлече-
ние читателей в решение математических задач; 2) популяризацию в
учительской и ученической среде достижений современной математики, в
том числе отечественной; 3) обсуждение методических проблем, обмен
опытом.
На протяжении анализируемого периода приоритеты в достижении
этих целей менялись: первые представители отечественной популярно-
методической периодики делали акцент на проблемах элементарной
математики, стремясь показать, что ее идеи и методы выходят за пределы
гимназического курса математики, вовлекая любителей математики в
решение нестандартных задач. К концу XIX в. появляется все больше
публикаций, популяризирующих современные достижения математики.
Так, именно журнальной периодике мы обязаны популяризации идей
геометрии Лобачевского. В дальнейшем акценты все больше смещаются в
сторону методических проблем. Страницы журналов все чаще предостав-
ляются для анализа реформы классической системы школьного математи-
ческого образования в странах Запада, с начала XX в. и для дискуссии о
состоянии и перспективах развития отечественного математического
образования.
1 См. например: Чистяков И.И. Первый Всероссийский съезд преподавателей
математики // Математическое образование. 1912. № 2.
60
§ 2. Методика преподавания математики в России второй полови-
ны XIX - начала XX в.
2.1. Методические и научно-популярные книги по математике
Кроме журнальной периодики в конце XIX - начале XX в. издаются
книги научно-популярного характера. Сначала это преимущественно
переводные издания. Так, например, в 1907 г. выходит в свет в переводе с
немецкого книга С. Тромгольта «Игры со спичками», в 1910 г. книга
Шуберта «Математические развлечения». Но уже в 1908-10 гг. появляются
3 тома знаменитой книги Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки», переиз-
дающейся и до сих пор. В 1914 г. издаются исторические очерки В.К.
Беллюстина «Как дошли люди до настоящей арифметики». Появляются
интересные сборники софизмов А.И. Обреимова и многие другие книги.
Наибольший интерес для нас представляют книги методико-
математической направленности. П.С. Гурьев развивает свои идеи в
«Практической арифметике» (1861). Большое воздействие на преподавание
арифметики в школе оказала «Методика начальной арифметики» А.И.
Гольденберга (СПб., 1885). Оригинальные методические взгляды высказы-
вает С.И. Шохор-Троцкий в «Методике арифметики с приложением
сборника упражнений по арифметике» (1886), впоследствии обобщенные в
«Методике начального курса математики». Лекции В.П. Ермакова по
вопросам преподавания арифметики и алгебры, прочитанные в декабре
1899 г., записаны и опубликованы Н. Мукаловым под названием «Публич-
ные лекции о преподавании арифметики и алгебры» (Киев, 1900). В.К.
Беллюстин опубликовал «Очерки по методике геометрии» (М. 1910). Д.Д.
Галанин написал и издал книгу по методике арифметики (М. 1911). К.М.
Щербина дал общий «Обзор трудов и мнений по вопросу об улучшении
программ математики в средней школе за последние девять лет (1899-
1907)»1 в книге «Математика в русской средней школе» (Киев, 1908).
«Педагогика математики. Исторические и методические этюды»
В. Мрочека и Ф. Филипповича. Острую дискуссию вызвала первая
отечественная книга по проблемам педагогики математики В. Мрочека и
Ф. Филипповича «Педагогика математики. Исторические и методические
этюды» (СПб. 1910). Во введении авторы продекларировали свое понима-
ние педагогики математики: «История математики в связи с историей
1 Подзаголовок книги принадлежит преподавателю 1-й Киевской гимназии К.М.
Щербины.
61
культуры и школы, историяхобучения математике, философское обоснова-
ние научных проблем и гносеология математических понятий, сравнитель-
ная методология и научные завоевания, наконец, демократизация науки, -
вот что должно составить основу педагогики математики».
Содержание книги разбито на две части. Первая часть носит историче-
ский и общепедагогический характер. Интересен обзор эволюции педаго-
гики математики с VI в. до н. э. до 1909 г. Общепедагогические главы
посвящены наглядным и лабораторным методам, взаимосвязям психоло-
гии, педагогики и школы, характеристике принципов педагогики матема-
тики. Вторая часть книги носит частнометодический характер: обоснова-
ние начальных курсов арифметики, геометрии и алгебры, а также методика
изучения наглядной геометрии, целых и дробных чисел, положительных и
отрицательных чисел, уравнений 1-й и 2-й степеней.
К. Ф. Лебединцев в «Вестнике опытной физики и элементарной мате-
матики» (№ 524, 1910) подверг резкой критике чрезмерное и некритичное
увлечение авторов результатами экспериментальной психологии с ее
тезисом «ребенок думает мускулами» и навязывание в качестве основного
лабораторного метода обучения, утилитарный подход к математике как
учебному предмету. В примечании от редакции В.Ф. Каган в принципе
присоединился к критическим выводам Лебединцева1.
2.2. Развитие отечественной методики арифметики во второй по-
ловине XIX - начале XX в.
В первой половине XXI в. преимущественно в трудах Ф.И. Буссе, П.С.
Гурьева и В.Я. Буняковского были заложены основы отечественной мето-
дики преподавания арифметики, которая с той поры развивается достаточ-
но динамично. Ранее упомянуты некоторые книги методического характе-
ра. Обращает на себя внимание, что большая часть из них посвящена
методике арифметики.
В этот период в России ведется острая дискуссия об «арифметике по
способу Грубе». Не вникая в ее подробности, укажем некоторые характер-
ные черты: 1) последовательное изучение каждого числа первого десятка;
2) последовательное изучение двузначных чисел на задачах, а которые
входили все четыре действия; 3) параллельно вводились и дроби. Таким
образом, метод Грубе сводился к так называемому монографическому
изучению чисел, а не арифметических действий. В результате счетные
1 См.: Дахия С.А. «Журнал элементарной математики ... С. 593.
62
навыки дети приобретали достаточно быстро, но знания, необходимые в
житейском обиходе, не получали - реализовывалась преимущественно
«формальная», а не «материальная» цель обучения арифметике. К 60-м гг.
XIX в. в России (преимущественно в Петербурге) сложилась небольшая,
но влиятельная группа педагогов-математиков (наиболее заметной фигу-
рой среди них был В.А. Евтушевский), усиленно пропагандировавших
метод Грубе и адаптировавших его к условиям русской школы. Появилось
несколько методических пособий по этому методу. Так, в 1861 г. один из
его приверженцев И.И. Паульсон издал «Арифметику по способу Грубе».
Наиболее популярной в среде учительства книгой, в которой популяризи-
ровалась арифметика «по способу Грубе», было методическое пособие
В.А. Евтушевского.
«Методика арифметики» В.А. Евтушевского. Опубликована в 1872
г., имела успех в методическом сообществе, часто переиздавалась. В
основе методики Евтушевского лежал метод Грубе, адаптированный к
реалиям русской школы. Эта адаптация состояла в основном в том, что
параллельно с монографическим изучением чисел и их свойств одновре-
менно изучались основные арифметические действия.
Во введении излагалась общая методика арифметики. Книга содержа-
ла следующие отделы: элементарный курс целых чисел, элементарный
курс обыкновенных дробей, систематический курс арифметики. Вначале
приводилась программа курса, который Евтушевский делил на элементар-
ный и систематический. Элементарный курс предполагал изучение ариф-
метики следующим образом: 1-й год - изучение чисел от 1 до 10 и от 10 до
20; 2-й год - изучение чисел от 20 до 100, определение действий над
числами и их проверка, составные именованные числа в пределах первой
сотни; 3-й год - нумерация, действия над числами любой величины и с
составными именованными числами, обыкновенные дроби. Систематиче-
ский курс арифметики излагался не полностью, а в виде «отдельных
статей». Евтушевский давал «самые сжатые указания относительно разра-
ботки в классе главнейших отделов из систематического курса арифмети-
ки».
Таким образом, как считает Е.В. Прудников, Евтушевский следует
Грубе только при изучении чисел от 1 до 20 и частично от 21 до 100. В
остальном же Евтушевский «вполне самобытен, и его разбираемое сочине-
ние представляет собой совершенно самостоятельную методику»1. Эта
книга полезна начинающему учителю, к тому же она была снабжена
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 598.
63
одновременно изданным «Сборником арифметических задач»1, адаптиро-
ванным к предложенной методике. Книгами Евтушевского пользовалось
большинство русских начальных школ в 70-80-х гг. XIX в. Влияние его
было в то время исключительно велико, он был непререкаемым авторите-
том в вопросах методики арифметики, его цитировали как педагога-
классика наряду с А. Коменским иТ. Песталоцци.
Однако большинство русских педагогов-математиков «отрицательно
относилось к методу Грубе, как и вообще ко всей немецкой педагогике
того времени»2, находя ее формалистичной и чуждой детской природе.
Л.Н. Толстой писал3 по поводу метода Грубе следующее: «Способ так
чужд нашему русскому не педантическому складу ума, уродства его так
ярко бросаются в глаза, что, казалось бы, способ этот никак не может
привиться в России, а, между прочим, он прилагается...»4. Отрицательные
отзывы получили методика и сборник задач Евтушевского со стороны П.Л.
Чебышева, который рецензировал их в 1871-1872 гг. по поручению Учено-
го комитета министерства народного просвещения. Аргументированная
критика методических воззрений Евтушевского содержится в работах
очень известных методистов того времени А.И. Гольденберга, В.А. Латы-
шева и П.С. Гурьева.
«Методика начальной арифметики» А.И. Гольденберга. Эта книга
опубликована в 1885 г. В ней автор раскрывает сущность своей методики
изучения начальной арифметики, которая противостоит так называемому
«монографическому изучению чисел» (термин Гольденберга) по методу
Грубе. В основу своей методики Гольденбергом положен метод изучения
действий. При изучении чисел он вводит 3 концентра: 1-й - числа до 10; 2-
й - числа до 100; 3-й - числа выше 100. Основы методики арифметики
Гольденберга можно кратко охарактеризовать несколькими положениями5:
1.	Обучение детей счислению имеет целью научить их сознательно
производить действия над числами и развить в детях навык прилагать эти
действия к решению задач общежитейского содержания.
1 «Сборник арифметических задач» Евтушевского переиздавался почти каждый
год. Первая его часть «Целые числа» в 1894 г. вышла 46-м изданием, а в начале
XX в. - 65-м изданием. См.: там же. С. 597.
2 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 434.
3 В открытом письме на имя председателя Московского комитета грамотности,
опубликованном в 1874 г. в «Отечественных записках».
4 Толстой Л.Н. Педагогические сочинения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1948. С. 323.
5 Депман И.Я. История арифметики. М., 1959. С. 395.
64
2.	Общеупотребительные, сокращенные способы производства ариф-
метических действий основаны, с одной стороны, на применении про-
стейших свойств чисел и, с другой, на пользовании десятичным расчлене-
нием их.
3.	Образовательное значение обучения арифметике заключается в том,
что «обучаясь приемам вычисления, дети ясно видят перед собой цель,
которую в каждом данном случае им предстоит достигнуть, отдают себе
полный отчет в тех средствах, при помощи которых они могут самостоя-
тельно достигнуть цели, и, пользуясь десятичным счислением, приучаются
видеть в нем то тонкое и совершенное орудие, которое мы недостаточно
ценим только потому, что оно так просто и нам так привычно».
Что касается систематического курса арифметики, то А.И. Гольден-
берг выступает за очищение его от второстепенного материала. Такого, как
коммерческий и математический учет векселей, правило смешения, цепное
правило и др. Он вслед за С.И. Шохор-Троцким выступает за пересмотр
роли задач в изучении арифметики, считая, что арифметические задачи не
цель, а только средство обучения. На этом А.И. Гольденберг строит ре-
форму учебно-задачной литературы, подготовив 4 новых сборника задач
для средних учебных заведений. Он исключил из них задачи «на правила»,
считая их вредными, «ибо рутина освобождает ученика от необходимости
мыслить». В задачниках Гольденберга не выделяются в особую главу
задачи на именованные числа, на метрическую систему мер, на проценты.
Им, по мнению А.В. Ланкова, свойственны простота, логичность построе-
ния, точность, ясность языка, краткость содержания, отсутствие задач
«казуистического, схоластического и искусственного характера, система-
тичность и чувство меры в использовании легкого и трудного материала»1.
Подчеркнем мужество А.И. Гольденберга, одним из первых высту-
пившего против непререкаемого авторитета В.А. Евтушевского. В 1876 г. в
первом томе «Учебно-воспитательной библиотеки», издававшейся учеб-
ным отделом Московского общества распространения технических знаний,
он публикует статью, в которой впервые подвергает профессиональному
критическому разбору его «Методику арифметики», доказывая несостоя-
тельность положения Грубе, что все числа в области первой сотни доступ-
ны непосредственному созерцанию и что работа над числами выше сотни
может быть сведена к первой сотне. В 1880 г. в № 196 «Русских ведомо-
стей» опубликована его статья «Немецкие измышления в русской школе»,
в которой «грубеизм» подвергается еще более острой и аргументирован-
ной критике.
1 Ланков А В. К истории развития ... С.54.
65
«Практическая арифметика» П.С. Гурьева. Изданная в 1881 г. в Пе-
тербурге, «Практическая арифметика» П.С. Гурьева явилась во многом
обобщением изданных ранее «Арифметических листков» и «Руководства к
преподаванию арифметики». Одной из целей написания этой книги была
борьба с проникновением «грубеизма» в русскую школу, которую автор
настойчиво и упорно начал одним из первых. «Для меня ясно, - писал
Гурьев в предисловии к «Практической арифметике», - что г-н Евтушев-
ский скомпоновал свою книгу («Методику арифметики») в кабинете, без
всякой предварительной практики, что он черпал содержание для нее из
разных книг, в том числе и из моей, но не пережевал его, а потому мои
возражатели никак не могут утверждать, что теперь арифметика в наших
школах освободилась от всех пут схоластики, окутавшей разве только в
новый костюм наглядности».
«Практическая арифметика» Гурьева состоит из предисловия и двух
примерно равных по объему книг: 1 .«Низший курс, доступный для всех» и
2.«Высший или окончательный курс арифметики». Первая книга не содер-
жит почти никакой теории, т.к. написана она для «практических людей»,
образование которых заканчивалось в начальных училищах и которым
нужна была преимущественно техника вычислений. Во второй книге
много теории. Предназначалась эта книга для тех, кто «на арифметике, как
прочной основе, желал утвердить дальнейшие свои познания в математи-
ке».
Свое методическое кредо П.С. Гурьев излагает следующим образом:
«чтобы идти в науке всегда в параллель с силами учащихся, следует
научить их сперва считать и изображать цифрами только числа от одного
до десяти, потом тотчас перейти к сложению и вычитанию этих чисел, к
разложению или разделению их на равные части ... необходимо сообщить
также понятие о дробях, сколько дозволяют пределы первых десяти чи-
сел». Преимущества такого подхода, по мнению Гурьева, состоит в том,
что «хотя сначала будет пройдено мало, однако же целое, которое потом
все более и более станет развиваться ... подобно концентрическим кру-
гам...». Таким образом, автор развивает идеи о концентрическом изучении
математики, высказанные на рубеже XVIII-XIX вв. его отцом, С.Е. Гурье-
вым.
В соответствии с этим Гурьев разбил свою книгу на пять “степеней”:
1-я - изучение чисел от I до 10, (нумерация, сравнение, четыре действия,
аликвотные дроби1, действия над ними и т.д.); 2-я - изучение чисел от 10
до 100 по тому же плану; 3-я - изучение чисел любой величины; 4-я -
1 Дроби с числителем 1.
66
дроби обыкновенные, десятичные, непрерывные; 5-я - решение задач “на
правила” при помощи пропорций. Каждая степень содержит избыточное
количество примеров и задач, решение значительной части из которых
подробно разбирается, предупреждая возможные затруднения ученика.
“Практическая арифметика” Гурьева была для своего времени очень
полезным методическим пособием для учителя, а также своеобразным
“автодидактом”, т.е. пособием для самообразования.
“Руководство к преподаванию арифметики” В.А. Латышева. Не-
смотря на то, что нас интересует отечественное математическое образова-
ние среднего уровня (преимущественно гимназическое), нельзя не уделить
некоторого внимания деятельности одного из самых авторитетных ученых-
методистов второй половины XIX - начала XX в. Василия Алексеевича
Латышева, который занимался проблемами преимущественно начального
математического образования. В 1880 г. он основывает журнал “Русский
начальный учитель”, выполняя, по традиции тех времен, функции и изда-
теля, и редактора, и единственного постоянного сотрудника. Латышев так
формулирует цель журнала: “помочь учителями как своими советами, так
и предоставлением им возможности печатать свои работы” (№ 1. 1882. С.
1). Более 30 лет (по 1911 г. включительно) журнал являлся одним из
важнейших средств распространения опыта работы учителей начальной
школы.
В первые годы в качестве приложений к журналу печаталась методи-
ческая литература для учителя. Так в 1880-1882 гг. было опубликовано
первое издание “Руководства к преподаванию арифметики” В.А. Латыше-
ва, после чего книга была издана и несколько раз переиздана. Это основ-
ной методический труд Латышева. Его главное достоинство состоит в том,
что в “Руководстве...” обобщен не только многолетний личный опыт
автора, но и опыт многих учителей. Латышев критикует существующие
методические руководства за то, что в них “все более и более распростра-
няется обычай излагать только тот метод, который выработан автором; из-
за этого получается такое представление, как будто успех преподавания
только тогда и возможен, когда преподающее лицо будет точно следовать
указаниям автора методики. Мы считаем такое направление весьма небла-
гоприятно влияющим на развитие дела преподавания и потому вредным”1.
“Руководство к преподаванию арифметики” состоит из введения и пя-
ти глав. В первых двух главах автор дает ряд полезных для учителя мето-
дических указаний о том, как следует объяснять арифметические действия
1 Из предисловия к 3-му изданию, опубликованному в 1904 г.
67
детям и в какой последовательности излагать материал. В третьей главе
“Краткий очерк различных систем курса, предложенных в русских руково-
дствах к преподаванию арифметики” Латышев дает критический анализ
различных концепций изучения арифметики. Особенно резкой критике
подвергнут так называемый метод Грубе, проводником в жизнь которого в
русской школе был В.А. Евтушевский. В четвертой пТаве предлагаются
приемы работы над задачами. Пятая глава посвящена методическим
особенностям работы с теоретическим материалом, т.к. Латышев считал,
что теория при изучении арифметики играет особо важную роль.
Книги по методике арифметики 80-90-х гг. XIX в. В это время в
России четко обозначились два основных направления изучения арифме-
тики. Первое - сторонники идеи Гольденберга, положившего в основу
арифметики изучение четырех действий над числами. Второе - последова-
тели Евтушевского, считавшего основой арифметики монографическое
изучение чисел, т.е. изучение их состава. Публикуется большое количество
книг по методике арифметики: «Методика арифметики» Д. Мартынова
(1884), «Методика арифметики целых чисел» Ф.И. Егорова (1887), «Запис-
ки по методике арифметики» Г.М. Вишневского (1892), «Методическое
руководство по арифметике» Т. Лубенца (1890), «Методика начальной
арифметики» К.П. Арженикова (1898), «Методика арифметики» В.К.
Беллюстина и др. (1899). Эти книги, как правило, сопровождаются изда-
нием сборника задач по арифметике. Имеется среди них и книга, объеди-
няющая методику и сборник задач. Это «Методика арифметики с прило-
жением сборника арифметических упражнений для учеников с учителем»
С.В. Житкова.
Большая часть методистов развивала метод изучения действий. К ним
относятся Ф.И. Егоров, К.П. Аржеников, В.К. Беллюстин. Попытку неко-
торой реставрации монографического метода с «более совершенными
приемами знакомства с составом числа»1 предпринял Д.Л. Волковский в
книге «Детский мир в числах» (части 1,11 и III), опубликованной в 1913-
1916 гг. Кроме того, он в 1914-1915 гг. выпустил «Руководство к детскому
миру в числах» (части I и II).
Все эти методические руководства строятся на основе личного опыта и
являются как бы толкователями задачников тех же авторов, что обычно
указывается ими в предисловиях. Так, Ф.И. Егоров в предисловии прямо
указывает, что «книга эта составлена применительно... к задачникам». Это
обусловило тот факт, что чаще всЪго в методических руководствах не
1 Андронов И.К. Полвека развития ... С.9.
68
излагалась цельная методическая система, а давались некоторые рецепты
преподавания арифметики. Некоторые авторы понимали условность такого
положения и обращались к читателям с пожеланиями творчески применять
их советы. Так, В.К. Беллюстин в предисловии пишет: «Я далек от того,
чтобы считать свои способы единственными, применимыми всегда и
вполне. Наоборот, я горячо советовал бы принимать во внимание развитие
детей и местные школьные условия». Несмотря на ряд недостатков, эти
методические руководства сыграли значительную роль в истории методов
преподавания арифметики в русской школе.
Так, был подробно разработан метод беседы. Во многих методических
руководствах содержался раздел «Методические разработки», в которых
приводятся не только вопросы учителя, но и предполагаемые ответы
учеников. По мнению А.В. Ланкова, «в большинстве случаев это был
добросовестный материал, перенесение которого в школу поднимало
эффективность занятий»1. Неопытные учителя часто разрабатывали кон-
спекты уроков, непосредственно опираясь на эти материалы. В «Методике
арифметики» В.К. Беллюстина приведен даже «дневник занятий», в кото-
ром темы уроков были распределены по месяцам и числам. При творче-
ском отношении он был большим подспорьем для молодого учителя.
Впоследствии дневник занятий был издан отдельной брошюрой.
Много внимания в этих методических руководствах уделялось про-
блеме наглядности в преподавании арифметики. Так, в книге Г. Вишнев-
ского приводится перечень средств обучения, в который входят: русские
торговые счеты, арифметический ящик, шведские счеты, дробные счеты,
счеты Каховского, набор тонких палочек, коробочки с пуговицами, образ-
цы мер и т.п. Автор подробно описывает русские торговые счеты, призна-
вая их «самым лучшим пособием для русской начальной школы»2. Приве-
ден перечень образцов различных мер: сажень, аршин, вершок, фут, дюйм
в качестве линейных мер; квадратный фут; кубическая четверть; меры веса
- фунты, лоты, золотники; меры жидкостей - ведро, штоф; меры сыпучих
тел - четверик и гарнец. На уроках рекомендуется не только показать
меры, но и измерять и взвешивать с их помощью. К. Аржеников кроме
арифметического ящика и счетов предлагает использовать при счете
пальцы, палочки, пучки соломы и др. Он обращает внимание учителей на
полезность изготовления самодельных наглядных пособий, применение
которых принесло бы большую пользу обучению арифметике, осмыслило
работу детей, способствовало зарождению у них интереса к предмету.
1 Панков А.В. К истории развития ... С. 62-63.
2 Вишневский Г.М. Записки по методике арифметики. 1892. С. 17.
69
Широкая пропаганда среди учительства наглядности вызвала рождение
нового вида промышленных предприятий - мастерских по изготовлению
наглядных пособий.
В перечисленных ранее методических руководствах по арифметике
уделялось внимание также вопросу самостоятельной работы учащихся.
Особенно остро он стоял в сельских школах, где учитель одновременно
вел занятия с тремя классами.
На этом мы закончим краткий обзор методических руководств дя учи-
теля по преподаванию арифметики. Остановимся более подробно на
книгах С.И. Шохор-Троцкого, которые представляли собой цельную
методическую систему преподавания арифметики, основанную на разрабо-
танной автором “методе целесообразных задач». Он развивал идею изуче-
ния четырех арифметических действий.
“Методика арифметики” С.И. Шохор-Троцкого. По методике
арифметики Шохор-Троцким было опубликовано несколько книг, в кото-
рых последовательно развивались его методические идеи. “Методика
арифметики с приложением сборника упражнений по арифметике” -
первая методическая работа автора. Она опубликована в 1886 г. и содер-
жит как методические идеи Шохор-Троцкого, реализованные на примере
изучения арифметики, так и сборник упражнений.
В дальнейшем были опубликованы следующие книги: “Методика
арифметики”, “Учебник методики арифметики для тех средних учебных
заведений, где преподается этот предмет”, “Методика арифметики. Посо-
бие для учителей средней школы”, “Методика начальной арифметики” и
др. Отличительное и во многом новое для своего времени в методике
арифметики Шохор-Троцкого - генетический метод. Он считал, что на
основе повторяющихся фактов у ребенка возникают некоторые общие
“счетно-числовые” представления, которые затем обращаются в законы
арифметических действий. Не технические навыки должны, по мнению
Шохор-Троцкого, стоять на первом месте, а воспитание ребенка. Методы
обучения, используемые учителем математики, должны беречь силы
ребенка, поддерживать его самодеятельность, пробуждать в нем интерес и
любознательность.
Шохор-Троцкий - автор не потерявшего значение и сейчас метода це-
лесообразных задач, являющегося своеобразным развитием индуктивного
метода, который в настоящее время называется конкретно-индуктивным.
Шохор-Троцкий так определяет сущность этого метода: “С задач, при
методе целесообразных задач, начинается урок, задача делается исходным
пунктом, когда приходится обратиться к новому арифметическому пред-
70
ставлению, будь то представление о сущности умножения однозначного
числа на однозначное, будь то условие о смысле умножения на дробь...”1.
В “Методике...” им обосновывается необходимость метода целесообраз-
ных задач следующим образом: “Истинная метода состоит в том, чтобы
ставить ребенка в условия, при которых ум человеческий начал изобретать
арифметику, сделать его свидетелем этого изобретения”. Но, как считает
Шохор-Троцкий, и этого недостаточно. “В настоящее время надо стре-
миться к тому, чтобы метода поставила учащегося в такие условия, при
которых он мог бы быть не только свидетелем, но, по возможности, актив-
ным участником этого изобретения”.
Ставя задачу в основу всего обучения арифметике, Шохор-Троцкий
особое значение придает простым задачам, которые, как он считает,
являются средством “для выработки представлений арифметического
характера, средством для выработки точных понятий о действиях, для
возбуждения деятельности ума учащегося”. Что касается сложных задач,
то они, по его мнению, должны быть исключительно практическими.
Трудные, запутанные задачи, “не проникнутые единою руководящею
идеею”, как он считает, не приносят пользы. Приемы решения таких задач,
по Шохор-Троцкому, “чужды и мере понимания и степени умственного
развития учащихся”. Он решительно выступает против “антипедагогиче-
ских тенденций авторов задачников”, распределяющих задачи по типам,
“дрессирующих” учеников.
Шохор-Троцкий считает необходимым очистить курс арифметики от
чуждого ему материала. “Разные “тройные правила”, учения о пропорции,
периодические дроби и т.п.” он называет “пережитком средневековой
истории”, солидаризируясь в этом с А.И. Гольденбергом. Шохор-Троцкий
заявляет, что при очищении курса от чуждого материала и использовании
метода целесообразных задач “неспособных к изучению арифметики... нет
и быть не может”.
Являясь принципиальным противником метода “монографического
изучения чисел” (Грубе, Евтушевский и др.), Шохор-Троцкий возражает и
против метода “изучения действий” (Гольденберг). В своей “Методике
арифметики” (1898 г.) он распределяет курс арифметики на 30 ступеней, в
дальнейшем увеличив их число до 40. На первый класс приходится 14
ступеней, на второй - 11, на третий - 5. Впрочем, это деление не жестко:
автор считает, что “ни ученики, ни даже сам учитель не должны помнить,
1 Шохор-Троцкий С.И. Чему и как учить на уроках арифметики // Русская школа.
1894. Январь, Февраль, март.
71
что на какой ступени проходится”1. Приведем в качестве примера первые
ступени: 1. Упражнения детей в сознательном устном счете от 1 до 20
включительно. 2. Ознакомление детей с цифрами от 1 до 9. 3. Прибавление
1 к числам, не большим 8, знаки + и =, отнимание 1 от чисел, меньших 10,
знак 4. Обозначение двузначных чисел от 11 до 19 включительно, а
также обозначения 10 и 20.
Шохор-Троцкий впервые2 вводит в методику такие понятия, как лабо-
раторные работы, измерения на местности, включая их и в начальный, и в
систематический курсы арифметики.
В третьей и четвертой главах своей методики Шохор-Троцкий дает
следующее обоснование принципа наглядности:
“1. Обучая математике, должно иметь в виду не только способность
человека к умозрению, но и органы ощущений учащихся и волевой эле-
мент в душевной их жизни.
2.	Без чувственных восприятий и соответствующих им ощущений и
представлений не может получиться ни точных понятий, ни плодотворных
математических идей, ни основательных знаний, ни твердых навыков.
3.	Одно только знание ряда слов без полной власти над их смыслом -
знание призрачное, ложное и безрезультатное.
4.	Истинное знание возможно только при следующих условиях: а) при
наличности ясных и верных представлений и б) при должной подготовке к
надлежащему ассоциированию представлений, понятий и идей, состав-
ляющих материал этого знания.
5.	Эти условия достижимы только при полной наглядности обучения,
при интересе детей к делу и при посильной активной работе органов
ощущений, с одной стороны, и ума, творческой фантазии и воли - с дру-
гой.
6.	Готовые наглядные пособия, конечно, полезны; но важнее всего са-
модеятельность учеников, а потому изготовленные ими самими наглядные
пособия и затраченный при этом планомерный физический труд еще
полезнее, чем готовые наглядные пособия”.
Заметим еще, что в пятой главе “Методики начального курса арифме-
тики” Шохор-Троцкий раскрывает значимость того, что мы сейчас называ-
ем педагогической техникой учителя. Она названа “О выразительности
речи, жесте и ритме при обучении арифметике”. Автор раскрывает “роль
пауз и интонации” при чтении условия задачи, “ритм при сложении дву-
значных чисел” и др. Он закладывает основы эстетического воспитания
1 Шохор-Троцкий С. И. Методика начальной арифметики. Ч. I. 1898. С. 60.
2 См.: Ланков А.В. К истории развития ... С. 70.
72
средствами арифметики: часто говорит об изящных приемах вычислений,
изящных способах решения задач, эстетически привлекательных чертежах
и т.п.
Специальная работа1 С.И. Шохор-Троцкого посвящена обоснованию
целей преподавания математики, среди которых он отдельно рассматрива-
ет воспитательные цели.
2.3.	Лабораторный метод и наглядное обучение в отечественной
методической литературе начала XX в.
Начиная с 1910 г., в области методики арифметики появляется новая
оригинальная литература, пропагандирующая последние веяния в препо-
давании начальной арифметики - лабораторное направление, в связи с чем
глубоко разрабатывается проблема наглядного обучения математике. Этим
двум проблемам, как нами показано ранее, отдал дань С.И. Шохор-
Троцкий, но наиболее ярким и последовательным проводником лаборатор-
ного метода в отечественную методику математики является Дмитрий
Дмитриевич Галанин. В течение двух лет он публикует несколько руко-
водств по методике арифметики2. Галанин считает, что даже понятие о
числе нужно вырабатывать с помощью процесса измерения, рекомендует
измерять на уроках емкость сосудов с водой или песком, перемещая их из
одного сосуда в другой, измерять длину бумажной ленты и т.п. Он объе-
диняет в так называемую “арифметическую лабораторию”3 такие пособия
по арифметике, как листы цветной бумаги, деревянные линейки, весы с
гирями, чаши с песком, модели монет, различную посуду.
В это же время выходит уже упоминавшаяся нами книга “Педагогика
математики” В. Мрочека и Ф. Филипповича, третья глава которой “На-
глядная и лабораторная методы” целиком посвящается лабораторному
методу, а в главах по частной методике (“Обоснования начального курса
арифметики”, “Обоснования начального курса геометрии”, “Наглядная
геометрия”) показывается применение наглядного и лабораторного мето-
дов в практике обучения математике.
В книге Л.В. Глаголевой “Преподавание арифметики лабораторным
методом. Год первый” (1910) весь материал первого года обучения ариф-
1 Шохор-Троцкий С.И. Цель и средства преподавания математики с точки зрения
требований общего образования. СПб., 1893.
2 Галанин Д.Д. Методика арифметики. Первый год обучения. 1910; Методика
арифметики. Второй год обучения. 1911.
3 См.: Ланков А.В. К истории развития ... С. 134.
73
метике автор делит на 76 уроков и дает много практических указаний по
применению лабораторного метода.
Делается попытка перенесения лабораторного метода и в систематиче-
ский курс арифметики: в 1913 г. казанский педагог Н.Г. Лексин публикует
большую книгу “Опыт практического руководства по методике арифмети-
ки” (Казань, 1913). Эта книга посвящена именованным числам и дробям.
Во введении автор настаивает “на общих классных наглядно-лабораторных
работах”. В параграфе “Практические упражнения в измерении” учащиеся
измеряют глубину колодцев, озер, рек, высоту домов, деревьев и др. Сам
автор считает новым в своей книге “обработку учебного материала на
самом уроке по наглядно-лабораторному способу”.
Некоторые методисты (например, В.Г. Фридман в своей “Методике
арифметики”, 1913) подвергают лабораторный метод критическому разбо-
ру. Основным возражением против его широкого применения они считают
трудность практического осуществления: большие затраты средств, мате-
риалов, времени, отсутствие удобных помещений. Отмечается, что лабора-
торный метод целесообразно вводить на отдельных уроках, придавая им
характер лабораторных работ.
Параллельно с лабораторным методом большое применение в арифме-
тике начинают находить иллюстрации и графические упражнения. Появля-
ется большое количество задачников с картинками и различными графиче-
скими задачами, что оказывает существенное влияние на реализацию идеи
функциональной зависимости в рамках средней школы.
На Всероссийских съездах преподавателей математики эти проблемы
также широко обсуждались. Им практически полностью посвящены
доклады В.Р. Мрочека “Экспериментальные проблемы в педагогике
математики” и Д.Э Теннера “Наглядные пособия”, сделанные в рамках I
съезда; на II съезде проблемы наглядного обучения математики и лабора-
торного метода нашли свое отражение в докладах Н.Г. Панкова «Измери-
тельный метод при начальном курсе арифметики», Д.Л. Волковского
«Значение картинок для первоначального обучения арифметике», В.В.
Петрова «Практические работы по математике в средней школе», С.Н.
Полякова «Вопрос о реформе школьной математики с методологической
точки зрения».
2.4.	Развитие отечественной методики геометрии во второй поло-
вине XIX - начале XX в.
Как показано нами ранее, наибольшее развитие в России получила ме-
тодика арифметики. После первого методического геометрического труда
74
С.Е. Гурьева, появившегося на рубеже XVIII и XIX вв., отечественные
методисты уделяли методике геометрии не очень большое внимание.
Положение изменяется в 60-х гг. XIX в. В педагогической печати начина-
ют активно дебатироваться вопросы о начальном курсе геометрии, о
введении пропедевтического курса геометрии в среднюю школу и др.
П.К. Гейлер в статье «Геометрия как необходимое образовательное
средство в каждом мужском и женском учебном заведении», опубликован-
ной в общепедагогическом журнале «Учитель» (1864), проводит разделе-
ние курса геометрии на ступени. «Геометрию следует начинать с сравни-
тельного рассмотрения наглядных преподавательских средств, а не с
отвлеченных понятий, как то до сих пор делалось, когда начинали с точек,
линий, площадей». Однако автор предупреждает и от другой крайности:
«от сухих отвлеченностей бросились на одни формы и на бесплодный
перечень названий». Гейлер считает, что изготовление чертежей и моде-
лей, занимающее существенное место на первой ступени обучения геомет-
рии, должно сопровождаться соответствующими обобщениями и вывода-
ми, иначе геометрия не только не будет способствовать умственному
развитию, но такое преподавание приведет «к поверхностному, неверному
и неполному пониманию оснований науки».
Интересные соображения о начальном курсе геометрии высказывает
В.А. Евтушевский в статье «Из пропедевтики геометрии», опубликованной
в «Педагогическом сборнике» в 1866 г. Он исходит из общей идеи концен-
трического преподавания элементарной математики и разрабатывает
программу и уроки пропедевтического курса геометрии, составляет образ-
цы задач, посредством которых связывались занятия арифметикой, алгеб-
рой и геометрией.
В обосновании программ и методики преподавания пропедевтического
курса геометрии большая работа проделана В.А. Латышевым, который
разрабатывает два типа таких курсов. Первый из них он называет
элементарным и относит к двухклассным училищам министерства
народного просвещения. Программа его разработана Петербургским
учебным округом при участии Латышева. Содержание определяется тем,
что двухклассные училища открываются в сельской местности и должны
удовлетворять потребностям крестьянского населения. Методическую
характеристику курса Латышев дает в журнале «Русский народный
учитель» за 1901 г.1. В основу курса им положены «Сведения о
практических применениях геометрии, преимущественно к измерению
поверхностей, объемов и к съемке планов». Большое место отводится
1 Латышев В.А. Опыт разработки программы геометрии для 2-классных народных
училищ // Русский народный учитель. 1901. № 8-9. С. 327-335.
75
съемке планов». Большое место отводится приемам геометрических
построений с помощью циркуля и линейки. Латышев считает, что пропе-
девтический курс геометрии должен иметь образовательное значение и в
связи с этим предъявляет к нему требования законченности и равномерно-
сти в частях. В практическом курсе, как считает Латышев, «можно давать и
так называемые наглядные доказательства», которые возможны в том
случае, когда такое доказательство не представляет затруднений для
учеников. Однако при этом Латышев категорически возражает против
«поверхностных и неправильных доказательств». Геометрия в этом курсе
сопровождается элементами черчения и измерений на местности - реко-
мендуется применение астролябии, эккера, мензулы.
Пропедевтический курс второго типа предназначен для городских
училищ и разрабатывается Латышевым как элементарно-теоретический.
Ему посвящена статья в журнале «Русская школа» за 1893 г.1 Латышев не
являлся сторонником начальных геометрических курсов в форме нагляд-
ной геометрии, будучи убежден, что исключительно наглядное обучение
геометрии теряет свою образовательную ценность. Он считает, что в
городских училищах «должен преподаваться теоретический курс» в силу
особого значения геометрии для развития дедуктивного мышления. «Рас-
смотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и состав-
лять содержание приготовительного курса геометрии», на который Латы-
шев отводит первый год обучения в городском училище. Так как он счита-
ет невозможным овладение полным курсом геометрии в течение остав-
шихся трех лет, предлагается подробное изучение планиметрии. Из сте-
реометрии же изучается только то, что касается вычисления поверхностей
и объемов (без доказательств).
Методические концепции Латышева, касающиеся пропедевтического
курса геометрии, по мнению А.В. Ланкова, «отличались реальностью и
научностью, он был убежден, что исключительно наглядное прохождение
геометрии теряет образовательную ценность»2.
Материалы по методике геометрии» А.Н. Острогорского. Первым
серьезным трудом по методике систематического курса геометрии во
второй половине XIX в. является книга А.Н. Острогорского «Материалы
по методике геометрии», которые печатались в приложении к «Педагоги-
ческому сборнику» за 1883 г. и в следующем году вышли отдельным
изданием. Автор скромно называет свой труд «материалами», так как он
1 Латышев В.А. Геометрия в городских училищах И Русская школа. 1893. № 3 и 4.
2 Ланков А.В. К истории развития ... С. 92.
76
«не имеет времени и не считает себя достаточно подготовленным, чтобы
составить методику геометрии»1. Основная цель Острогорского не столько
рассмотреть вопросы, которые относятся непосредственно к области
методики, сколько помочь преподавателю «уяснить самому себе науку,
которую он намерен преподавать». Приведем содержание книги: Общие
замечания о геометрических определениях. Определения прямой, угла,
фигуры и т.д. Аксиомы. Происхождение и дидактическое значение их.
Арифметические аксиомы. Геометрические аксиомы. Теорема, ее состав.
Взаимная зависимость теорем. Значение обратных теорем. Образование
обратных теорем. Доказательство теоремы. Убеждение учеников в необхо-
димости доказывать теоремы. Доказательство с логической стороны.
Чертеж. Вспомогательные линии. Прямые и косвенные доказательства.
Способ наложения. Способ пропорциональности. Способ пределов. Алгеб-
раические выкладки при доказательстве теоремы. Запись доказательства.
Аналитический и синтетический методы. Проработка теоремы в классе.
«Материалы...» Острогорского содержат теоретические основы мето-
дики геометрии, фоном которых является критический анализ современ-
ных ему и предшествующих учебников, что особенно ценно. Большое
значение он придает логической составляющей курса геометрии - понятия
и их образование, определения, аксиомы и теоремы и т.д. Так, разбирая
понятие прямой линии, он анализирует 5 определений (от Евклида до
Остроградского) и после этого делает вывод: «Понятие о прямой служит
основанием для всего дальнейшего; само же оно не имеет перед собою
ничего более простого, что могло бы служить основанием для ее опреде-
ления». Еще раньше он говорил: «Понятие прямой принадлежит к основ-
ным, не допускающим никакого определения».
Приняв обычное для того времени определение аксиомы как истины,
не требующей доказательства, Острогорский после тщательного анализа
приходит к вполне современному выводу: «Мы признаем истину аксио-
мою совершенно условно».
Острогорский считал, что «в научном отношении точное определение
понятий и правильная классификация их весьма важны». Несмотря на то,
что, по его мнению, изучение геометрии может способствовать развитию
логического мышления и потому на уроках геометрии учащиеся должны
самостоятельно рассуждать, доказывать и т.д.. работа с определениями
геометрических понятий должна быть очень осторожной. Острогорский
считает очевидным, «что нам не приходится рассчитывать на самодеятель-
1 Острогорский А.Н. Избранные педагогические сочинения. М. : Педагогика, 1985.
С. 74.
77
ность учеников при выработке определений, по крайней мере, некоторых и
главным образом основных, стоящих в начале курса». По мере накопления
понятий и их определений, которые могут «служить ему образцами,
учащийся, может быть, в состоянии будет справиться с работой, особенно
если ему известны уже понятия, аналогичные с определяемыми (четырех-
угольники после треугольников и т.п.)». Чаще же всего, как считает Остро-
горский, «забота учителя будет клониться единственно к тому, чтобы его
ученики хорошо восприняли готовое определение ... поняли смысл каждо-
го слова, каждой фразы, в него входящих». Таким образом, Острогорский
формулирует основные методические особенности работы с определения-
ми понятий и указывает затруднения, которые могут встретиться учителю
при работе с ними. Что касается классификации понятий, то автор «Мате-
риалов...» справедливо предлагает «ясно обозначить, какое основание
принято при делении, тогда ученики будут в состоянии видеть, как с
расширением содержания понятия уменьшается объем его и какое место
занимает данное понятие в ряду других».
В главе о теоремах Острогорский дает значительное количество цен-
ных методических сведений - строение теоремы, значение обратных
теорем, роль силлогизмов в доказательстве теорем. Он рассматривает
различные способы доказательства теоремы на уроке: «Доказательство
теоремы может быть либо сообщено преподавателем в форме связного
рассказа, либо выведено самими учащимися при помощи учителя». Разо-
брав преимущества и недостатки каждого приема, он предлагает широко
использовать аналитический способ доказательства, который «дает на-
правление уму», побуждает учеников искать математические зависимости,
применять эвристику. Много внимания Острогорский уделяет не только
«проработке теоремы в классе», но и «разучиванию учениками вне класса
уроков геометрии». Таким образом, в «Материалах...» Острогорского
излагается вполне законченная методика обучения доказательству теорем в
курсе геометрии.
Итак, что касается методики геометрии, то на рубеже XIX-XX веков
проблема построения пропедевтического курса геометрии в учебных
заведениях с сокращенным курсом обучения (например, городские и
сельские училища министерства народного просвещения) была практиче-
ски решена. Пропедевтический курс геометрии для общеобразовательных
средних учебных заведений оставался проблемой дискуссионной. В защи-
ту этого курса выступали такие известные педагоги-математики, как
78
Евтушевский, Косинский, Страннолюбский и др.1, однако вопрос о введе-
нии его в гимназии и реальные училища остался открытым. По методике
систематического курса геометрии опубликован фундаментальный труд
А.Н. Острогорского.
Много внимания методике геометрии уделено в работе I Всероссий-
ского съезда преподавателей математики (1911). Фундаментальный доклад
«Современное состояние курса геометрии в средней школе в связи с
обзором наиболее распространенных учебников» сделан Н.А. Извольским.
На основе анализа многочисленных учебников геометрии конца XIX -
начала XX в. докладчик пришел к выводу об их логическом несовершенст-
ве в построении системы аксиом, определениях и доказательствах. Он
считал, что «современное обучение геометрии направляется двумя поло-
жениями: 1) желанием доказывать все, что не аксиома, и 2) требованием
исходить в этих доказательствах из определений...»2. В результате «мы
доказываем теоремы, не имеющие содержания, а с другой стороны, мы
даем определения, противоречащие друг другу».
Крайне интересны тезисы доклада Д.В. Ройтмана3 «О систематическом
курсе элементарной геометрии в средней школе»4, в которых дается
оригинальная трактовка причин плохого усвоения геометрии: «Молодой
развивающийся ум всегда будет склонен интересоваться и придавать
значение самой истине неизмеримо более, чем ведущему к ней доказатель-
ству... Вкус к системе, как цепи доказательств, развивается значительно
позже, и по характеру средней школы в нынешнее время его удовлетворе-
ние могло бы быть отнесено к специализации предметов»5. Он считает, что
«материальное содержание» систематического курса геометрии невелико и
включает в себя учение о подобии многоугольников, теорему Пифагора и
геометрические величины (длины, площади, объемы), кончая объемом
шара. Цепь же логических заключений, «которою она добывается...
слишком тяжеловесна, насильственно и неестественно извне навязана»6.
Поэтому, по мнению Ройтмана, курс элементарной геометрии должен быть
радикально перестроен на основе следующего принципа: не доказывать
теорем, для всякого ученика очевидных, в том случае, если доказательство
значительно труднее самой теоремы. За счет сэкономленного времени, как
1 Дискуссия о перестройке курса геометрии средней школы развернулась, в частно-
сти, на страницах журнала «Семья и школа» (1873).
* Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. II. С. 90.
3 Умершего накануне съезда, в декабре 1911 г.
4 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. I. С. 431-434.
5 Там же. С. 431-432.
6 Там же. С. 432.
79
считает Ройтман, можно реформировать курс, «почерпнув материал из
начертательной геометрии Монжа и из, так называемой, синтетической
(проективной) геометрии Понселе (проективные свойства фигур) и Штей-
нера (зависимость геометрических фигур друг от друга)»1.
Извольский в упомянутом выше докладе высказал и свое мнение отно-
сительно пропедевтического курса, геометрии: он считает, что в система-
тическом курсе «и интуиция, и логика должны идти рука об руку» и
поэтому нет никакой необходимости в каком-то особом пропедевтическом
курсе. С.А. Богомолов, наоборот, предложил в виде прелюдии к строго
логически построенному курсу геометрии дать пропедевтический курс,
имеющий целью «развитие пространственной интуиции и накопление
геометрических знаний» и предполагающий использование в качестве
основного лабораторного метода.
А.Р. Кулишер свой очень солидный доклад «Начальный (пропедевти-
ческий) курс геометрии в средней школе. Его цели и осуществление»2
специально посвятил этому курсу. Он считал, что в качестве основной
цели курс преследует не только «задачу более целесообразного выполне-
ния последующего систематического курса, но является одним из необхо-
димых условий правильного развития мышления ребенка, неразрывно
связанным с общими воспитательными и образовательными целями
школы». Что касается содержания пропедевтического курса, то докладчик
считает, что «материал, вводимый в подобный курс, должен иметь отно-
шение к тому миру пространственных и обыденных представлений, в
котором живет ребенок» и в то же время «должен оказать до известной
степени помощь другим предметам первого цикла учебного плана средней
школы (арифметике, географии, естествознанию)». Кроме того, пропедев-
тический курс, по мнению Кулишера, должен «с одной стороны, способст-
вовать изучению некоторых важнейших свойств пространства..., с другой
стороны, внести свою долю в дело развития мышления и умения правиль-
но формулировать умозаключение». Далее докладчик обосновывает
необходимость взаимосвязи пропедевтического курса с начальной школой
и систематическим курсом геометрии. В 1914 г. А.Р. Кулишер издал
«Учебник геометрии. Курс подготовительный», а в 1918 г. опубликовал
книгу «Методика и дидактика подготовительного курса геометрии», в
которых реализованы идеи доклада.
1 Там же. С. 434.
2 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. I. С. 376-412.
80
Сторонником наглядно-лабораторного метода и пропедевтического
курса геометрии был казанский педагог-математик Н.Г. Лексин, который в
1914 г. выпустил методическое пособие «Пропедевтический курс геомет-
рии. Наглядно-лабораторные примерные уроки и рисунки в тексте».
Идея пропедевтического курса геометрии нашла большое количество
сторонников и начала осуществляться на практике. Так, в 1911 г. в некото-
рых коммерческих училищах пропедевтический курс проводится по
широкой программе в течение 3-4 лет обучения.
Кроме проблем совершенствования систематического и необходимо-
сти пропедевтического курсов геометрии в методико-математическом
сообществе в начале XX в. остро дискутировался вопрос о включении
элементов высшей геометрии в курс средней школы. Вопрос преподавания
в средних учебных заведениях элементов аналитической геометрии де-
тально обсуждается на Всероссийских съездах. Так, на I съезде результа-
там изучения аналитической геометрии в реальных училищах частично
посвящены доклады Б.К. Крамаренко «К вопросу о постановке преподава-
ния математики, главным образом аналитической геометрии и анализа
бесконечно малых, в реальных училищах Кавказского учебного округа» и
П.А. Некрасова «О результатах преподавания начал анализа бесконечно
малых и аналитической геометрии в реальных училищах». На II съезде
специально посвящен этой проблеме доклад Д. Синцова «О преподавании
аналитической геометрии в школе». Однако результаты изучения этого
нового для средней школы материала не всегда позитивны. В прениях по
докладам известный методист А.Н. Шапошников с тревогой отмечает: «В
учениках наших заметны признаки разочарования в математике... мы,
предлагая по официальной указке молодому поколению науку в односто-
роннем схоластическом освещении, рискуем разрушить плоды вековых
усилий, поселив в умах подрастающего поколения превратные понятия о
высшей математике»1 2. Эта тревога разделялась многими педагогами-
математиками. М.Г. Попруженко выдвинул такие требования к методике
изучения элементов высшей математики в школьном курсе: 1) общедос-
тупность, 2) честность его (в смысле научной корректности), 3) краткость
и 4) органическая связанность с общим курсом математики средней шко-
лы .
В ряде докладов предлагается изучение в средней школе элементов
неевклидовой геометрии. Так, в одном из первых докладов I съезда -
докладе С.А. Богомолова «Обоснование геометрии в связи с постановкой
1 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. I. С. 118.
2 См.: Ланков А.В. К истории развития ... С. 140.
81
ее преподавания» предлагается «традиционный материал элементарной
геометрии оживить и пополнить ее новейшие теории: проективная геомет-
рия, начертательная геометрия (в пропедевтическом курсе), неевклидова
геометрия (в систематическом курсе»1 2. Этой же проблеме посвящен
небольшой по объему2 доклад П.А.. Долгушина «Неевклидова геометрия в
средней школе», в котором автор делится своим опытом изложения идей
неевклидовой геометрии «в элементарной обработке» в VIII кл. женской и
мужской гимназии.
2.5.	Методика алгебры в России во второй половине XIX - начале
XX в.
В XIX в. в области методики арифметики в России была создана само-
бытная методическая школа, в это же время заложены основы методики
геометрии. Что касается алгебры, то проблемы методики алгебры в первой
половине XIX в. практически не ставились. Исключением можно считать
книгу Лобачевского «Алгебра или исчисление конечных», в предисловии к
которой автор формулирует некоторые методические идеи, касающиеся
преподавания алгебры. Но в данном случае имелся в виду все же буфер-
ный между гимназией и университетом курс алгебры.
Движение за реформу программ и методов преподавания алгебры на-
чалось в 60-е годы в связи с тем поистине небывалым интересом русского
общества к вопросам обучения и воспитания, которым характеризуются
эти годы. Основные проблемы дискуссии таковы: 1 формулировка цели
преподавания алгебры, содержание ее школьного курса и требования к
учебникам; 2)поиск путей и методов перехода от арифметики к алгебре;
Заключение в курс алгебры в качестве одного из основных понятия
функции; ^совершенствование учебников алгебры. Новое направлении в
преподавании алгебры стремится создать преподаватель Морского кадет-
ского корпуса А.Н. Страннолюбский.
«Курс алгебры, основанный на постепенном обобщении арифме-
тических задач» А.Н. Страннолюбского. Преподавание математики в
большей части наших средних учебных заведений в 60-х гг. Страннолюб-
ский находил совершенно неудовлетворительным. Особенно плохо, по его
мнению, дело обстояло с преподаванием алгебры. В одной из своих статей,
опубликованных в журнале «Учитель» (1867, № 16), он пишет следующее:
1 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. I. С. 435.
2 Там же. С. 150-155.
82
«Алгебре в особенности как-то не счастливится. В то время как преподава-
ние арифметики и геометрии начинает мало-помалу выбиваться из той
рутинной колеи, в которой оно еще недавно обреталось, преподавание
алгебры делает весьма медленные успехи». Он считает, что причина этого
-«главнейшая, подрывавшая в самом основании успехи учеников, заклю-
чалась в резком переходе от арифметики к алгебре». В связи с этим
Страннолюбский считает, что учебник алгебры должен состоять из двух
частей, резко отличающихся друг от друга по методу изложения -
пропедевтической и систематической.
Задача первой части состоит в обобщении арифметических задач, ко-
торые укрепляли и углубляли бы «приобрегенные уже прежде математиче-
ские сведения и понятия, развивали бы в них способность к сознательному,
правильному и точному употреблению математического языка и сообщали
бы уму учащихся математические привычки, формулировали в них мате-
матический склад мыслей». Метод изложения в первой части - преимуще-
ственно индуктивный с элементами строгой дедукции.
Задача второй части - строгое научное изложение элементарной ал-
гебры «без отступлений в пользу разных практических приемов и подво-
дящих объяснений», которыми, по мнению Страннолюбского, изобилова-
ли учебники алгебры того времени.
Свою концепцию пропедевтического курса Страннолюбский изложил
в опубликованном в 1867 г. «Курсе алгебры, основанном на постепенном
обобщении арифметических задач», который представляет собой не
учебное руководство, а дидактические указания для преподавателей
начальной алгебры. Он считал, что систематическое и строго научное
преподавание алгебры может быть успешным только при условии посте-
пенного перехода от арифметики к алгебре в такой последовательности: 1)
буква, сопровождаемая наименованием (общее именованное число); 2)
отвлеченное число; 3) буква без наименования (отвлеченное общее число);
4) буква как алгебраическое количество (положительное и отрицательное).
В соответствии с этой концепцией обобщение задач проходит через
три ступени. Первая ступень - задачи, тождественные по условиям, роду
данных и вопросу, но отличающиеся численной величиной. Рассмотрение
их приводит к первому обобщению, результатом которого являются общие
решения, выражаемые буквами с каким-нибудь наименованием. Вторая
ступень - задачи, различающиеся между собой условиями и родом данных,
но одинаковые по численной величине, притом поставленный в их конце
вопрос и содержащиеся в них условия приводят к той же совокупности
действий над одинаковыми отвлеченными числами. Третья ступень -
83
задачи, различные по условиям, роду и величине данных, но приводящие к
одной и той же совокупности действий над данными.
Странннолюбский располагает материал последовательно, по урокам:
1) запись решения произвольными значками с наименованиями; 2) замена
произвольных значков буквами; 3) сложение; 4) вычитание; 5) употребле-
ние скобок; 6) значение коэффициента; 7) понятие о многочленах: 8-9)
подобие одночленов; 10) сложение многочленов и т.д.1
Первая часть «Курса алгебры» до уравнений первой степени с одним
неизвестным построена именно на таких задачах. Положительные и отри-
цательные величины Страннолюбский вводит в процессе решения уравне-
ний первой степени и задач на составление этих уравнений. Действия над
«алгебраическими количествами» он излагает не полностью, а только те из
них, которые необходимы для изучения следующих частей алгебры. При
этом он пользуется конкретно-индуктивным методом, широко применяя
движение. Например, правило умножения он вводит с помощью такой
задачи: «Паровоз, идущий равномерно со скоростью V верст в час, прохо-
дит мимо станции В ровно в полдень. На каком расстоянии будет этот
паровоз от другой станции А. отстоящей от В на а верст?”. Так, с помощью
задач Страннолюбский стремится получить все формулы алгебры (до
алгебраических дробей включительно).
Итак, чтобы облегчить учащемуся усвоение начальной алгебры, следу-
ет, по мнению Страннолюбского, сосредоточиться на постепенном обоб-
щении несложных арифметических задач. При этом ученики сами должны
участвовать в формулировках соответствующих определений, правил,
сами должны составлять нужные примеры и задачи и т.д., т.е. «преподава-
ние начальной алгебры надо вести катехизически, в форме собеседова-
ния»2. На многочисленных примерах Страннолюбский показывает, как это
можно делать. Надо сказать, что такая методика требует много времени на
подготовку объяснений и доказательств. К тому же в «Курсе алгебры»
Страннолюбского излишнее время и силы тратятся для подготовки не
только основных, но и второстепенных алгебраических понятий и правил.
Эта концепция шла вразрез с общепринятыми в то время отечествен-
ными традициями преподавания алгебры. Так, Н.И. Лобачевский считал,
что «понятия алгебраические не должны приобретаться навыком, а долж-
ны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью,
ясностью и определительностью»3. Этой же точки зрения придерживался и
1 См.: Ланков А.В. К истории развития ... С. 100.
2 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 632.
3 Цит. по: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ...С. 632.
84
П.Л. Чебышев. Он считал необходимыми в курсе алгебры строгие доказа-
тельства, т.к. нестрогие доказательства, по его мнению, приучают учени-
ков видеть «достаточную причину там, где ее нет». Что касается катехи-
зического метода, то, в целом одобряя его, Чебышев рекомендовал приме-
нять его в силу затратности времени только при выводе основных правил и
избегать при изучении второстепенного материала.
Чрезмерное увлечение в 60-х гг. XIX в. наглядностью и самостоятель-
ными обобщениями учащихся при изучении алгебры приводило к тому,
что все внимание обращалось на первые шаги, на «выработку алгебраиче-
ского языка», в то время как другие существенные вопросы методики
алгебры не вызывали интереса отечественных методистов.
Почти одновременно со Страннолюбским вопрос о пропедевтике ал-
гебры поднимает и В.А. Евтушевский, первая работа которого по этой
проблеме «Пропедевтика алгебры»1 публикуется в 1868 г.
«Методика приготовительного курса алгебры» В.А. Евтушевского
и А. Глазырина. В 1876г. Евтушевский (совместно с А. Глазыриным)
опубликовал эту книгу' параллельно с «Вопросами, задачами и примерами
к приготовительному курсу алгебры».
Необходимость приготовительного курса алгебры авторы мотивирова-
ли тем, что, следуя Дистервегу, учение надо начинать с той точки зрения,
на которой стоит ученик. «Мир формул и отвлеченных уравнений, - пишут
авторы, - есть мир, чуждый ученику, занимавшемуся до сих пор только
арифметикой, его математический мир состоит из задач, попадавшихся в
арифметике. Поэтому следует познакомить ученика с формулой, как с
выражением решения задачи, следует познакомить его с уравнением, как
выражением решения задачи, и с его решением, как средством для реше-
ния задачи, при всем этом должно соблюдать достаточную постепен-
ность». Во введении к «Методике...» авторы сформулировали цель и
содержание подготовительного курса алгебры, исходя из которых, разде-
лили этот курс на две части. Первая часть - алгебра абсолютных величин.
Эта часть решает задачу введения «алгебраического языка», переход к
буквенным обозначениям от числовых формул, обобщение решения задач
с элементарными тождественными преобразованиями. Вторая часть книги
- алгебра относительных чисел, где рассматриваются уравнения. Понятие
уравнения авторы связывают с задачами: «Уравнение есть равенство,
выражающее содержание задачи». Авторы делают попытку элементарной
классификации задач, приводящих к составлению простейших уравнений.
1 Педагогический сборник. 1868. Июль.
85
В этой части подробно разработаны все те упражнения, которые, по мне-
нию авторов, должны предшествовать систематическому изучению алгеб-
ры. Уроки в книге Евтушевского и Глазырина изложены в форме вопросов
и ответом, задачи подобраны удачно и вполне соответствуют своему
назначению. Как и Страннолюбский, авторы зачастую, увлекшись стрем-
лением к обобщению, чрезмерно много внимания уделяют второстепенно-
му материалу и лишают учеников самостоятельности.
«Методика приготовительного курса алгебры» не имела того успеха,
который выпал на долю «Методики арифметики» Евтушевского. В.А.
Латышев дает такое объяснение этому факту: «В 60-х годах многие зани-
мались вопросом о том, как улучшить преподавание алгебры. Но, по
тогдашнему увлечению наглядностью преподавания и наведением уча-
щихся к обобщениям ... все внимание было обращено на первые новые
шаги обучения, да притом на первых же шагах хотели показать все приемы
работы, что лежат в основе «переходных курсов» алгебры». Это, по мне-
нию Латышева, приводило к тому, что «занятия делались очень неопреде-
ленными по содержанию, плохо связанными между собой и очень скуч-
ными ... О том, как вести занятия алгеброй дальше при изучении уравне-
ний, совсем не говорилось»1.
«О преподавании алгебры» В.П. Ермакова. Третьей заметной рабо-
той по методике алгебры является брошюра (2 печатных листа) «чуткого
педагога и глубокого математика»2, киевского профессора В.П. Ермакова,
опубликованная в 1892 г. Отмечая большую неуспеваемость по алгебре, он
категорически не согласен с тем, что «алгебра есть символическая наука,
доступная только избранным натурам». Истинной причиной неуспеваемо-
сти Ермаков считает «плохое преподавание».
Ермаков так формулирует свою концепцию преподавания математики:
«Математика состоит из положений, условий, определений и задач.
Положение или теорема есть неизменная истина в науке. Условие есть то,
что зависит от нашего произвола». В основу алгебры автор кладет 18
положений, 2 условия и 7 определений. Условия устанавливают порядок
действий. Определения относятся к следующим понятиям: член, много-
член, вычитание, отрицательное число и др. Дальше идут положения: 1)
переместительный закон суммы; 2) результат сложения и вычитания
нескольких чисел не изменится, если переставим числа вместе с их
1 Латышев В.А. О преподавании алгебры в гимназиях // Русская школа. 1893. № 9-
10. С. 151.
2 Банков А.В. К истории развития ... С. 104.
86
ких чисел не изменится, если переставим числа вместе с их знаками; 3)
последовательное вычитание нескольких чисел можно заменить вычитани-
ем их суммы и т.д.
Оригинально выводятся Ермаковым правила действий с относитель-
ными числами: он распространяет правила арифметики на отрицательные
двучлены и многочлены. Например, 7+ (0-9) = 7+ 0 - 9 = 7-9 = -2. Или,
обобщая: (0-а)(0-в) = 0 0 - 0-е - а-0 + ав. Отсюда (-а) (-е) = ае. Далее
автор выясняет реальное значение отрицательных чисел и делает вывод,
что положительные и отрицательные числа суть абстракции положитель-
ных и отрицательных величин.
Работа Ермакова была замечена педагогической общественностью.
С.И. Шохор-Троцкий, не соглашаясь с некоторыми частными вопросами,
дает в целом позитивную оценку его методике. Особенно «назидательным,
- пишет Шохор-Троцкий в статье, опубликованной в журнале «Русская
школа», - кажется нам тот факт, что В.П. Ермаков, столь счастливо соеди-
нивший в себе звание профессора с правом на признание за ним крупных
ученых заслуг, не только не относится сколько-нибудь презрительно к
педагогике и методике преподавания, но даже некоторым образом берет
эти дисциплины под свое покровительство»1.
2.6.	Идея функциональной зависимости в отечественной методике
математики конца XIX - начала XX в.
Дальнейшее развитие методики алгебры связано с проникновением в
школьный курс математики идеи функциональной зависимости. Принято
считать, что эти идеи начали проникать в школьное математическое
образование лишь в самом конце XIX в. Однако это не совсем верно. Еще
в середине века М.В. Остроградский высказывал требование о включении
в школьный курс математики идеи функциональной зависимости2, а один
из его учеников А.Н. Тихомандрицкий частично осуществил идеи своего
учителя в гимназическом учебнике “Начальная алгебра” (1853).
В 1865 г. была опубликована3 статья “Некоторые соображения о мето-
де преподавания начальной математики” В.Н. Шкларевича, который также
был одним из учеников М.В. Остроградского. Поставив перед собой задачу
1 Шохор-Троцкий С.И. Авторитетное слово в области методики математики //
Русская школа. 1893. № 1.
2 См.: Бычков Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в
з XIX веке // Мат. в шк. 1954. № 4. С. 7.
3 В № 5 журнала «Педагогический сборник».
87
построить преподавание алгебры так, чтобы ее усвоение стало более
сознательным, формирующим навыки применения алгебраического аппа-
рата к решению практических задач, сближающим преподавание алгебры с
жизнью, Шкларевич приходит к выводу, что всего этого можно добиться
путем насыщения курса алгебры элементами учения о функциональной
зависимости. Он раскрывает общеобразовательное и практическое значе-
ние понятия функции и ее графического изображения, предлагает систему
упражнений, способствующих формированию графических умений и
навыков, сопровождая свои предложения подробными методическими
указаниями. Шкларевич предлагает ввести в курс алгебры графическое
построение уравнений, ввести понятие об эмпирических уравнениях и о
графическом интерполировании, а также установить более тесную связь
алгебры с физикой. Статья Шкларевича - замечательная страница в исто-
рии развития отечественной методики преподавания алгебры, к сожале-
нию, незаслуженно забытая.
Проблема внедрения в школьное математическое образование функ-
циональной линии вновь встречается в периодической печати в 1878 г. в
работе С.И. Шохор-Троцкого “Математика как предмет общего образова-
ния”1. Он считает, что в курсе алгебры можно ознакомить учащихся с
понятием о постоянных и переменных величинах, функцией и ее обозна-
чением. Затронув вопрос о классификации величин на зависимые и незави-
симые, он замечает, что ребенок, решая задачу, уже “образовывает себе
понятие о существовании зависимости между вопросом и данными задачи”
и считает, что ему в этом случае надо помочь разумными указаниями
учителя. Если же ученик усвоил понятие о зависимых и независимых
величинах, то он легко усвоит понятие о функции.
О необходимости введения в курс алгебры понятия функции и ее гра-
фического изображения С.И. Шохор-Троцкий пишет и в своей знаменитой
работе “Цель и средства преподавания низшей математики”, опубликован-
ной в журнале “Русская школа” (1891. № 2, 3, 9,11).
В 1893 г. в журнале «Педагогический сборник» публикуется статья из-
вестного педагога-математика В.Е. Сердобинского о реформе преподава-
ния математики, основным тезисом которой является необходимость
включения в элементарную математику идеи функциональной зависимо-
сти. Автор считает, что «знакомство с функциональной зависимостью
величин нужно начинать возможно ранее, пользуясь всяким случаем
указывать ее примеры». Для плодотворного развития идей функциональ-
ной зависимости алгебра предоставляет, как считает Сердобинский,
1 Опубликована в журнале «Педагогический музей» (СПб., 1878. № 4, 5-6, 7, 8, 10).
88
наиболее широкие возможности. При этом многие разделы курса алгебры
(например, теория уравнений, их исследование) могут получить более
строгое научное обоснование. Автор заключает: «пора придать алгебре
средней школы ее истинный характер теории функций». Геометрия и
тригонометрия, считает Сердобинский, также нуждаются в систематиче-
ском проведении идеи функции.
В 1895 г. в журнале «Русская мысль», который был ежемесячным ли-
тературно-политическим изданием, рассчитанным на широкий круг чита-
телей, опубликована знаменитая статья В.П. Шереметевского «Математика
как наука и ее школьные суррогаты», в которой обосновывается необхо-
димость реформы школьного математического образования. Сам факт
публикации этой статьи в журнале такого ранга говорит о том, что вопрос
реформы школьного математического образования приобретает общест-
венную значимость. Мы уже касались основного содержания этой статьи.
Подчеркнем еще раз, что центральным понятием современной математики
автор считает понятие функции и призывает сделать его основным поняти-
ем школьного курса математики. «Чем раньше оно будет вызвано и осто-
рожнее выращено в сознании учащихся, тем лучше. А сделать это гораздо
легче, чем утаивать его по мудрым правилам школьной традиции. Оно как
бы напрашивается на внимание учащихся с первых же глав арифметики,
когда приходится говорить об изменении результатов четырех действий,
величины дроби в зависимости от изменения числителя и знаменателя,
вообще о прямой и обратной пропорциональности и т.д.»1.
Позже опубликована большая работа В.П. Шереметевского «Очерк
основных понятий, приемов и метода математики как основы изучения
природы»2, в которой автор конкретизирует свои представления о реформе
школьного математического образования. Он еще раз подчеркивает, что
современная математика есть учение о функции, приводит многочислен-
ные примеры изучения явлений природы с помощью учения о функциях и
вновь высказывает убежденность в том, что центральным понятием
школьной математики должно стать понятие функции.
В 1898 г. в Педагогическом обществе при Московском университете
открыто отделение преподавателей математики, председателем которого
был избран Б.К. Млодзеевский. 10 ноября 1900 г. С.П. Виноградов на
заседании этого отделения сделал доклад «Понятие о функции в элемен-
1 Шереметевский В.П. Математика как наука и ее школьные суррогаты И Русская
мысль. 1895.№5. С. 118.
2 Эта работа опубликована в «Сборнике статей в помощь самообразованию по
математике, физике, химии и астрономии». Вып. I. 1898.
89
тарной алгебре», в котором предложил план курса алгебры, в основе
которого лежало понятие функции. Он рекомендовал рассматривать
алгебраические выражения как функцию букв, в него входящих. Понятие
об изменяемости можно получить, «взяв какую-либо алгебраическую
функцию, и проследить ее изменение, меняя переменное. Полезно привес-
ти и примеры конкретных изменяющихся величин»1. Докладчик предлага-
ет следующий порядок изучения функций: «сперва изучается функция
линейная, потом трехчлен второго порядка в связи с зависящими от него
вопросами, далее функция у = 7/х и, наконец, функции тригонометриче-
ские; подобный курс позволит ознакомить учащихся с главнейшими
общими свойствами функций»2. Заметим, что этот план во многом совпа-
дает с принятым в настоящее время порядком изучения функций.
Итак, многие методисты-математики второй половины XIX в. рас-
сматривали введение идеи функциональной зависимости в школьный курс
алгебры в качестве средства для повышения его научности, способствую-
щего в то же время использованию алгебраического аппарата для решения
практических задач. Эти идеи претворяются в жизнь в трудах К.П. Лебе-
динцева и других педагогов начала XX в. В частности, Лебединцев предла-
гал изменить методы обучения математике в соответствии с психологиче-
скими возможностями учащихся. Он доказывал необходимость модерни-
зации школьного курса математики, развития функционального мышления
учащихся, показывая огромное значение понятия функции для естество-
знания и экономики. Значение методических работ Лебединцева значи-
тельно шире, чем внедрение в курс алгебры идеи функциональной зависи-
мости. Раскроем вкратце основные его методические новации, касающиеся
школьного курса алгебры.
В 1910 г. в журнале «Педагогический сборник» был напечатан доклад,
прочитанный К.Ф. Лебединцевым в Московском математическом кружке
под названием «Программа и метод преподавания алгебры в средней
школе». В нем он отмечал, что до того времени методика алгебры почти
совсем не разрабатывалась, не были установлены даже основные ее поло-
жения. После анализа недостатков господствовавшего тогда абстрактно-
дедуктивного метода преподавания алгебры Лебединцев на ряде конкрет-
ных примеров показал, как избежать этих недостатков, применяя конкрет-
но-индуктивный метод, и сформулировал основные положения этого
метода.
1 Отчет о деятельности Педагогического общества, состоящего при Московском
университете, за 1900-1901 г. М., 1902. С. 89.
2 Там же.
90
К.Ф. Лебединцев глубоко проанализировал систему преподавания ма-
тематики того времени, ориентированную преимущественно на механиче-
ское заучивание и формирование навыков. По его мнению, эта система не
считается с психологией учащихся. Он развил новую методику, которую
впоследствии реализовал в своих учебниках. Основные положения этой
методики он изложил в докладе на I Всероссийском съезде преподавателей
математики под названием «Метод обучения математики в старой и новой
школе», напечатанном в журнале «Математическое образование» (1912. №
2).
В этом докладе развиты основные положения конкретно-индуктивного
метода, к использованию которого Лебединцев подходит диалектически:
«конкретно-индуктивный метод играет существенную роль на всех ступе-
нях обучения математике; но, само собой разумеется, что он не исключает
дедукцию, но должен быть с нею неразрывно связан, в особенности на
высших ступенях курса. По мере того как развиваются логические способ-
ности учашихся и у них возникает потребность в прочном обосновании
изучаемых истин, должен иметь место переход от чисто индуктивных
восприятий к более или менее сложным рассуждениям, от констатирова-
ния отдельных математических истин к установлению логической связи
между этими истинами»1.
В докладе указывалось, что, согласно данным психологии, приблизи-
тельно на 14-м году жизни учащиеся способны сознательно пользоваться
рядом умозаключений. Исходя из этого, предлагалось разделить курс
математики на три концентра, «в каждом из которых метод преподавания
изменялся бы сообразно степени умственного развития учащихся»2. Для
каждого из концентров устанавливались возрастные границы и основной
метод изучения материала. Эти идеи позже (1913) были воплощены Лебе-
динцевым в курсе алгебры «Концентрическое руководство алгебры для
средних учебных заведений».
Методические' новации Лебединцева обобщены им в книге «Метод
обучения математике в старой и новой школе» (М., 1914).
Что касается внедрения в школьный курс математики идеи функции и
элементов анализа, то они обобщены в труде К.Ф. Лебединцева, который с
сокращениями опубликован только в 1983 г. в журнале «Математика в
школе» (1983. № 4) под названием «Основные положения методики учения
1 Лебединцев К.Ф. Метод обучения математике в старой и новой школе И Матема-
тическое образование. 1912. № 2. С. 77.
2 Лебединцева Е.К. Константин Феофанович Лебединцев // Мат. в шк. 1983. № 4. С.
59.
91
о функциях и элементах анализа в школах II ступени». Изложим тезисно
эти основные положения, касающиеся учения о функциях1.
1.	При знакомстве с простейшими функциями следует исходить из
изучения тех процессов, в которых данная функциональная зависимость
может быть легко и отчетливо более или менее самостоятельно установле-
на учащимися.
2.	Для достижения поставленной цели следует сначала обновить в па-
мяти учащихся понятие о пропорциональной связи между двумя величи-
нами и для этого предложить им исследовать, например, зависимость
между пройденным расстоянием и временем при равномерном движении и
другие зависимости прямопропорционального характера.
3.	После этого у учащихся будет достаточно отчетливое понятие о ве-
личинах постоянных и переменных, о независимых переменных и функци-
ях, о функциональной зависимости вообще, и в частности о прямой про-
порциональности.
4.	На основе этих представлений может быть проведено законченное
ознакомление учащихся с линейной функцией и линейными уравнениями с
одним, двумя и тремя неизвестными.
5.	Параллельно с разработкой понятия функции должны быть изучены
соответствующие вопросы из геометрии и алгебры (равенство треугольни-
ков, перпендикулярность и параллельность, свойства четырехугольников,
подобие, решение линейных уравнений, смысл положительных, отрица-
тельных, нулевых решений, их отсутствия).
6.	Расширение круга функций, знакомых учащимся, будет состоять в
исследовании некоторых простых и интересных функций, приводящих к
кривым второго порядка (гиперболе, параболе, кругу), степенных и триго-
нометрических функций. Большая часть их может быть исследована при
рассмотрении конкретных задач.
7.	Параллельно с изучением функций учащиеся должны постепенно
знакомиться и с учением о пределе и производной функции, чтобы тем
самым приобрести могущественный метод для исследования функций и
для решения многих вопросов геометрии и естествознания, иначе не
поддающихся точной математической обработке.
На Всероссийских съездах преподавателей математики идеи внедре-
ния в школьный курс математики функциональной зависимости находит
своих многочисленных сторонников. Так, в первом же докладе I съезда
1 См. подробнее: Лебединцев К.Ф. Основные положения методики учения о
функциях и элементах анализа в школах II ступени И Мат. в шк. 1983. № 4. С. 60-
62.
92
«Математическое и философское преподавание в средней школе», сделан-
ном А.В. Васильевым, в качестве цели математического образования в
последний учебный год указывается: «1) выяснение учащимися значения
математики для точного знания и математического выражения законов
природы и 2) научный ретроспективный взгляд на систему элементарной
математики». Для достижения этой цели докладчик предлагает обратить
особое внимание «на выяснение понятия о функции и ее росте»1.
Ф.В. Филиппович в докладе «Постановка преподавания начал анализа
в средней школе» считает, что ввести их необходимо не в виде «надстрой-
ки» над школьным курсом математики, «а в связи с понятием о функции,
проходящим красной нитью через всю программу математики. В виду
этого весь курс математики в средней школе должен быть сконцентриро-
ван около идеи функциональной зависимости...»2.
А.Г. Пичугин в докладе «Содержание" курса школьной математики»
также считает, что «понятие о функции должно быть центральным пунк-
том всего преподавания математики», однако, на его взгляд, речь должна
идти «не об абстрактной идее о функциональной зависимости..., не об
обобщающей формуле этого понятия, - но только о конкретных функциях,
наглядно представленных в декартовых координатах и дающих возмож-
ность постичь яснее сущность указанной зависимости величин»3.
В.В. Лермантов в докладе «Содержание курса математики с точки зре-
ния современных запросов жизни и приемы для посильного выполнения
школою этих требований» на I съезде, отстаивая практические цели обуче-
ния математики, считает, что, «отбросив ненужные, трудные части ариф-
метики, следует сообщать основы алгебры, геометрии и тригонометрии...,
излагая все в духе функционального мышления», понимаемое им как
антитезу «духу академического мышления». Последнее же, по его мнению,
следует формировать «не ранее 14-летнего возраста, так как большинство
учеников... к «математическому развитию» еще неспособно»4. Н.А. Томи-
лин выступает с докладом, название которого ближе всего идее функцио-
нальной зависимости - «Применение графического метода в среднешколь-
ном курсе математики». Он считает, что «опытный учитель может вос-
пользоваться графическим методом, чтобы постепенно ознакомить уча-
щихся с идеей функциональной зависимости двух величин»5.
1 Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. I. С. 21.
2 Там же. С. 115.
3 Там же. С. 157.
4 Там же. С. 179.
5 Там же. С. 366.
93
В материалах II Всероссийского съезда преподавателей математики
присутствует специально посвященный понятию функции доклад С.Н.
Бернштейна «Понятие функции в средней школе». В нем автор анализиру-
ет различные дефиниции понятия функции и высказывает свои предпочте-
ния: «на первый план следует выставить оперативное определение функ-
ции и, как его простейший, хотя и очень частный пример, аналитическую
функцию..., но, разумеется, оба другие определения также должны занять
значительное место в средней школе»1. Этот доклад носит преимущест-
венно умозрительный характер и имеет скорее общеобразовательный,
нежели методический интерес для учителя математики средней школы.
Чисто практический интерес представляет доклад А.И. Бакчинского
«Запросы преподавателя физики в области математики». Одним из самых
животрепещущих запросов докладчик считает идею функциональной
зависимости: «Экспериментальная физика нуждается в том, чтобы уча-
щиеся имели прочное понимание пропорциональной зависимости». Он
перечисляет эти зависимости: «прямая и обратная пропорциональность
между двумя величинами; прямая и обратная пропорциональность между
одной величиной и квадратом другой величины; прямая пропорциональ-
ность между одной величиной и двумя другими величинами; прямая
пропорциональность некоторой величины по отношению к одной величине
и обратная пропорциональность ее по отношению к другой». Докладчик
показывает, что все эти случаи применимы к разным отделам физики -
законам падения тел, законам Гука и Мариотта, законам тяготения, осве-
щения, электрического тока и др. Кроме того, по мнению докладчика,
«весьма желательно, чтобы ученики возможно раньше освоились с идеей
функциональной зависимости между двумя величинами и с методом
графического изображения такой зависимости2.
2.7.	Методика тригонометрии в России во второй половине XIX -
начале XX в.
Методика тригонометрии сложилась позже методики других дисцип-
лин, возможно, в силу того, что она позже окончательно выделилась в
самостоятельную учебную дисциплину русской школы. Одним из первых
дошедших до нас методических трудов по тригонометрии можно считать
соответствующий раздел “Конспекта по преподаванию чистой математики
в Казанском университете в 1824-25 учебном году”, составленный Н.И.
1 Там же. С. 100.
2 Там же.
94
Лобачевским. Он считает, что тригонометрия “разделится на три части:
первая - о тригонометрических функциях - будет заключать в себе самое
необходимое для уразумения двух остальных; вторую часть ... составляют
задачи, относящиеся к разрешению треугольников, а третья - то же для
сферических”. Что касается определения тригонометрических функций, то
несмотря на то, что он предлагает начинать с определения их в прямо-
угольном треугольнике, в дальнейшем “определение их распространится и
на все возможные значения углов”. Завершается конспект по тригономет-
рии планом: 1 .Определение тригонометрических функций. Главнейшие их
свойства. 2. Превращение выражений для удобнейшего вычисления по
таблицам. 3.Уравнения, откуда должно проистекать решение всех задач
прямолинейной тригонометрии. 4. Разрешение прямоугольных треуголь-
ников. 5. Уравнения для сферической тригонометрии, б. Неперовы и
Гауссовы аналогии. 7. Разрешение задач сферической тригонометрии. 8. О
сферических треугольниках, весьма мало разнящихся от прямолинейных.
Лобачевский высказывает сожаление, что “нет еще до сих пор книги, в
которой бы тригонометрия была представлена в системе, с выбором
способа изложения и в том состоянии, до которого она доведена ныне по
частям в различных математических сочинениях”. Что касается определе-
ния тригонометрических функций, то он так объясняет необходимость
распространения их на все углы: "геометрия доставляет значение синусов
острых углов; распространение на прочие углы остается, следовательно,
произвольным и может быть сделано так, руководствуясь положением
линии, выражающей синус в разных частях круга, что все свойства триго-
нометрических функций будут общи всякой величине угла”.
Таким образом, Лобачевский еще в первой трети XIX в. поставил за-
дачу выстроить достаточно строгий в научном отношении курс тригоно-
метрии. За исходный пункт изучения тригонометрии он «берет прямо-
угольный треугольник с последующим расширением области изменения
углов и устанавливает, как называет его В.Г. Чичигин1, принцип перма-
нентности: «все свойства тригонометрических функций будут общи всякой
величине угла».
Итак, прежнее узко-утилитарное направление изучения тригонометрии
стало уступать позиции научному направлению, что проявлялось в более
строгом изложении курса, введении доказательств теорем и вывода фор-
мул, установлении связей между тригонометрическими величинами.
В середине XIX в. под влиянием запросов военно-учебных заведений
возникает потребность в построении нового курса тригонометрии, в
1 Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. М.: Учпедгиз, 1954. С. 12.
95
результате изучения которого ученики должны возможно раньше научить-
ся применять тригонометрию к решению практических задач, связанных с
военным делом. В 1848 г. Главное управление военно-учебных заведений
при активном участии академика М.В. Остроградского, который был
главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-учебных
заведениях, издало новую программу. В соответствии с ней тригонометри-
ческие величины определяются как отношения сторон прямоугольного
треугольника, затем следует вывод формул для решения треугольников как
прямоугольных, так и косоугольных, потом выводятся формулы тригоно-
метрических величин суммы и разности двух углов и другие зависимости,
наконец, тригонометрические величины углов, превышающих прямой
угол.
В развитие этой программы М.В. Остроградский в 1951 г. опубликовал
конспект по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях,
в котором он выступает как сторонник определения тригонометрических
функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямо-
угольном треугольнике с последующим обобщением их определения и
распространением его на углы любой величины. Однако эти прогрессив-
ные идеи с трудом воплощаются в практику преподавания прежде всего
потому, что авторы учебников тригонометрии по-прежнему считают
основной целью изучения этого предмета решение треугольников. Только
в 1886 г. в предисловии к широко распространенному гимназическому
учебнику Фр. Симашко пишет: “В настоящее время программы всех
учебных заведений... требуют рассмотрения тригонометрических величин
из круга”, в связи с чем теоретическая часть этого учебника претерпела
значительные изменения.
В этом же году специальная комиссия преподавателей средних учеб-
ных заведений при Педагогическом музее военно-учебных заведений
обсуждает вопрос о преподавании тригонометрии1. На заседании комиссии
выступает А.Н. Страннолюбский с докладом “Об учебнике тригонометрии
Ф.И. Симашко”. В докладе в зависимости от поставленных целей он
выделяет три направления в развитии тригонометрии как учебного пред-
мета. Первое направление: в качестве основной цели выступает решение
треугольников; второе направление: основная цель - теория круговых
функций, применяемая к решению треугольников; третье направление -
среднее между двумя первыми. Перед участвующими в обсуждении
преподавателями математики были поставлены следующие вопросы.
Каковы должны быть цель и характер преподавания тригонометрии в
1 Протокол XIII собрания // Педагогический сборник. 1887. Февраль. С. 17-20.
96
среднем учебном заведении? Следует ли ограничить ее объем и содержа-
ние лишь учением о вычислении трекгольников или же нужно выдвинуть
на первый план ознакомление учеников с элементами теории круговых
функций на основе геометрических соображений, а собственно тригоно-
метрию рассматривать как особый отдел геометрии, являющийся лишь
приложением теории круговых функций к решению треугольников? Какое
место в курсе тригонометрии должно быть отведено практическим прило-
жениям, например, к низшей геодезии?
В своем докладе Страннолюбский высказал также следующие требо-
вания к использованию тригонометрических таблиц: в статье о составле-
нии тригонометрических таблиц ограничиться указанием на возможность
их составления, исключив вовсе разложение функций в ряды; в тригоно-
метрических вычислениях употреблять пятизначные таблицы логарифмов.
На следующем заседании этой же комиссии, состоявшемся 5 марта то-
го же года, было проведено обсуждение проблемы преподавания тригоно-
метрии. В частности, было “признано не соответствующим целям общеоб-
разовательного заведения при изучении тригонометрии ограничиваться
только дрессировкой в решении треугольников, развитием чисто механи-
ческих приемов работы с большими числами семизначных логарифмиче-
ских таблиц и решением массы практических задач по данным шабло-
нам”1. Кроме того, было решено “отбросить из курса тригонометрии
теорию бесконечных рядов (как недоступную пониманию учеников этой
ступени развития), заменить семизначные таблицы пятизначными, геоде-
зические зада'чи отнести к курсу геометрии и вообще при изучении триго-
нометрических функций знакомить с основными элементами теории
круговых функций”2. Результаты заседания А.Н. Страннолюбский резю-
мировал следующим образом: “1. В курсе тригонометрии необходимо
изучать теорию круговых функций с применением ее к решению треуголь-
ников; ни в коем случае не ограничивать курса решением треугольников.
2. Приложения тригонометрии к решению геодезических задач не считать
необходимым”3. Первое предложение не было поддержано в официальных
сферах. На последнее предложение комиссии откликается министерство
народного просвещения, которое в 1892 г. предлагает исключить из про-
грамм 7-классной гимназии измерение линий и углов на земной поверхно-
сти и приложения тригонометрии к измерениям на местности. В реальных
1 Протокол заседаний преподавателей математики средних учебных заведений, 5
марта 1887 г. И Педагогический сборник. 1887. № 1-12. С. 67.
2 Там же.
3 Цит. по: Ланков А.В. К истории развития ... С. 116.
97
училищах исключаются графические способы решения треугольников и
вычисления с помощью таблиц тригонометрических величин.
Это привело, как считает А.В. Ланков, к тому, что в конце XIX в. три-
гонометрия «вступила на путь формального изложения, оторванного от
жизни и практики»1. Преподавание тригонометрии характеризовалось
следующими чертами: 1)отсутствием пропедевтического курса; 2) опреде-
лением тригонометрических функций как отношений «тригонометриче-
ских линий» к радиусу; 3) недостаточным использованием функциональ-
ной зависимости, отрывом изучения свойств тригонометрических функций
от их графиков; ^недостаточными приложениями тригонометрии к реше-
нию задач практического содержания.
Такое построение курса тригонометрии по-прежнему не удовлетворя-
ло многих педагогов-математиков, которые активно критиковали сущест-
вующий курс и вносили конструктивные предложения по его изменению в
рамках совещаний по реформе средней школы, созванных при учебных
округах в 1899 г., в Московском и Киевском математических обществах, в
Комиссии преподавателей средней школы при Педагогическом музее
военно-учебных заведений и др.
Под такого рода жестким влиянием методического сообщества мини-
стерством народного просвещения в 1906 г. изменена программа курса
тригонометрии в реальных училищах. Был принят концентрический
способ изучения тригонометрии: первый концентр - пропедевтический (VI
класс) содержал материал, необходимый для решения прямоугольных и
косоугольных треугольников с помощью таблиц логарифмов; второй
концентр - систематический (VII класс) содержал теорию тригонометри-
ческих (гониометрических) функций, включая и обратные, тригонометри-
ческие уравнения и неравенства, необходимые для приближенного вычис-
ления тригонометрических функций. В связи с таким построением курса
пересматривается вопрос об их определении. На первом этапе вводятся
определения синуса, косинуса и тангенса через стороны прямоугольного
треугольника, на втором эти определения обобщаются, широко
используются графики тригонометрических функций, развивается теория
решений тригонометрических уравнений, усиливаются практические
применения тригонометрии. Таким образом, преподавание тригонометрии
в реальных училищах становится более обоснованным теоретически и
теснее связанным с практическими приложениями.
В это же время выходит в свет фундаментальная книга П.К. Шмулеви-
ча под названием “Курс прямолинейной тригонометрии и методы решения
1 Там же. С. 117.
98
тригонометрических задач (энциклопедия тригонометрии)” (СПб., 1907).
Она на самом деле имела энциклопедический характер, содержала сведе-
ния, которые обычно не входят в учебники, а также решения широкого
круга задач.
Все же вопросы преподавания школьного курса тригонометрии нахо-
дились на периферии интересов методического сообщества, приоритеты
отдавались методикам арифметики, геометрии, в меньшей мере - алгебры.
Об этом говорит хотя бы тот факт, что в материалах Всероссийских съез-
дов преподавателей математики отсутствуют доклады, прямо посвящен-
ные методике изучения тригонометрии. Тем не менее, несмотря на отсут-
ствие крупных работ по методике тригонометрии, в начале XX в. заложен
прочный ее фундамент: расширены и осовременены цели изучения
тригонометрии, сделан переход к подробному изучению
тригонометрических функций, методическая литература обогатилась
оригинальными пособиями и новыми идеями изучения тригонометрии в
курсе средней школы, программы реальных училищ 1906 г. позволили
накопить ценный опыт концентрического преподавания тригонометрии
как учебного предмета.
§ 3.	Учебники математики отечественной гимназии второй поло-
вины XIX - начала XX в.
В 50-х гг. XIX в. в отечественных гимназиях по-прежнему использу-
ются созданные в 30-40-х гг. учебники Ф.И. Буссе, П.С. Гурьева, В.Я.
Буняковского и др. Министерство народного просвещения, как уже гово-
рилось, отдало дело контроля над учебниками специально созданному в
1803 г. Ученому комитету. Однако в 1831 г. комитет был упразднен на том
основании, что «предметы занятий комитета могут быть поручаемы чле-
нам Академии или Петербургского университета». Как считает В.Е. Пруд-
ников1, опыт скоро показал, что упразднение Ученого комитета было
ошибочно. Его функции были переданы нескольким отделам министерст-
ва, что приводило к ненужному параллелизму и несогласованности. В 1854
г. министром народного просвещения был назначен А.С. Норов, который
начал свою деятельность с ходатайства о восстановлении Ученого комите-
та. В 1856 г. Александр II утвердил проект указа о Главном правлении
училищ и правила действий Ученого комитета.
Членом комитета по математическим наукам был назначен П.Л. Че-
бышев, в то время адъюнкт Академии наук, который приступил к своим
обязанностям в начале 1857 г. В число этих обязанностей входила и работа
1 Прудников В.Е. ПафнугиЙ Львович Чебышев. М.: Учпедгиз, 1950. С.77.
99
с математической литературой: 1) рецензирование математических учеб*
ников, 2) постоянное наблюдение за тем, в каких учебных руководствах по
математике нуждаются школы и изыскание средств для удовлетворения
этих нужд; 3) рассмотрение книг физико-математического содержания,
предназначавшихся для поднесения царю и членам его семьи как особенно
полезные или распространение которых в обществе необходимо было
предупредить как недоброкачественные; 4) рекомендация книг математи-
ческого содержания, которые предполагались для распространения в
учебных заведениях России1. Кроме того, Ученый комитет занимался
составлением каталогов учебных руководств для гимназий, прогимназий и
народных училищ.
В 1861 г. Чебышевым был представлен на утверждение Ученого коми-
тета новый каталог учебников по математике для низших и средних учеб-
ных заведений. Это было время начала острой дискуссии о содержании
образования в отечественной школе, которая подвергалась сильнейшей
критике. В частности, в связи с принятием нового устава предлагалось
заменить старые учебники новыми. Чебышев очень осторожно подошел к
этому вопросу. Он считал, что «в преподавании арифметики, как сокра-
щенной, так и полной, и в преподавании геометрии, по проекту устава, не
предполагается существенных изменений, вследствие чего по этим наукам
могут оставаться те же руководства, которые были изданы Министерством
или допущены им к употреблению»2. Рекомендация руководств по ариф-
метике и геометрии, вышедших за четверть века до этого, была поддержа-
на Ученым комитетом. Это вызвало недовольство в методическом сообще-
стве того времени, особенно в той среде, в которой находились сторонники
методов Грубе. Они считали метод Буссе, учебники которого рекомендо-
вались Ученым комитетом, «механическим, давно устаревшим», подлежа-
щим замене новым методом, с которым, по их мнению, следовало знако-
миться по учебникам Паульсона, Рубисова и Золотова. Эта критика осо-
бенно остро звучала на заседаниях Петербургского педагогического
общества и в периодической педагогической печати.
Что касается учебников по другим математическим дисциплинам, то
точка зрения Чебышева была иной. Он писал: «Но по проекту устава
предполагается произвести значительные изменения в преподавании
алгебры. В гимназиях, где особенно будет развито изучение древних
языков, курс алгебры должен быть сокращен против нынешнего. В прочих
же гимназиях курс алгебры должен быть распространен. Для надлежащего
1 Там же. С. 79.
2 Журнал Министерства народного просвещения. 1862. Ч. СХШ.Отд. 1. С. 37.
100
успеха тот и другой курс алгебры должен представлять собою нечто целое,
законченное. Таких курсов алгебры в настоящее время не имеется, и от
искусства их составления много будет зависеть успех преподавания алгеб-
ры в гимназиях... То же можно сказать об остальных науках математиче-
ских: тригонометрии и оснований начертательной и аналитической гео-
метрии, для которых понадобятся руководства, согласованные и с курсом,
и с числом уроков, назначенных на эти предметы»1.
До конца своей деятельности в Ученом комитете (1873) П.Л. Чебышев
из года в год просматривал каталоги математических учебников и свое-
временно их видоизменял. Он по поручению комитета давал отзывы о
рукописях и книгах математического содержания, проявляя высокий
уровень строгости при их рецензировании. Так, Чебышев дал отзыв о 167
математических сочинениях, предназначавшихся в качестве учебников для
начальных и средних школ. Из них были одобрены: 11 — в качестве руко-
водств по математике для начальных и средних школ, 9 - в качестве
пособий и 7 рекомендованы для школьных библиотек2.
К середине 60-х гг. русская учебная литература по математике обога-
тилась многочисленными руководствами по отдельным математическим
предметам, которые по своим достоинствам не уступали зарубежным
аналогам. В результате проведенного им анализа этой литературы, Чебы-
шев в 1864 г. докладывал Ученому комитету: «В настоящее время наша
педагогическая литература достаточно богата по части низшей математи-
ки... и представляет все нужные средства для преподавания этих наук в
гимназиях».* Тем не менее, он не считал существующие учебники идеаль-
ными и полагал необходимым их дальнейшее улучшение, которого, по его
мнению, «нельзя достигнуть объявлением конкурса, так как составление
курсов по этим предметам, при поспешной работе, не может выйти осо-
бенно удачно»3. Он не без оснований считал, что «такие курсы должны
составляться годами и представлять собою результаты продолжительной
педагогической деятельности». Дело же министерства и Ученого комитета
при нем, по мнению Чебышева, - «следить постоянно за новыми издания-
ми и допускать к употреблению в гимназиях все, что окажется того дос-
тойным, не давая в этом отношении каких-либо привилегий одним книгам
перед другими»4.
1 Там же. С. 38.
2 Прудников В.Е. ПафнутиЙ Львович Чебышев. С.94.
3 Цит. по: Прудников В.Е. Пафнугий Львович Чебышев. С.97.
4 Там же.
101
Однако под влиянием идей демократизации 60-х гг. XIX в. Министер-
ство народного просвещения объявило конкурсы: в 1864 г. на подготовку
лучших учебников для начальных школ, в 1865 г. - для гимназий и про-
гимназий. Требования к учебникам математики сформулированы в проекте
объявления конкурса 1865 г.: «Должно быть обращено особое внимание на
ясность и определительность выражений, на устранение таких оборотов
речи, при которых является возможность различного понимания смысла.
Все объяснения и доказательства должны быть вполне строги, без излиш-
них подробностей и с крайне осмотрительным употреблением слов: оче-
видно, само по себе понятно и т.п., которые нередко употребляются авто-
рами там, где доказательство представляет особенные затруднения. Из
различных приемов для доказательства теорем желательно, чтобы пред-
почтение было сделано тем приемам, которые наиболее естественны; там,
где могут быть употреблены одинаково способ доказательства от против-
ного и способ пределов - употреблять последний. Все предложения долж-
ны быть пояснены надлежащими примерами. Кроме того, желательно,
чтобы на каждую статью были предложены задачи для упражнения»1.
Через 3 года, в 1868 г. на конкурс поступило 18 рукописей: 4 - по
арифметике, 5 - по алгебре, 4 - по геометрии. Для их рассмотрения была
создана специальная комиссия под председательством Чебышева. Отзывы
членов этой комиссии, составляющие более 100 страниц, сохранились. В
результате работы комиссии в 1869 г. было установлено, что ни одно из
поданных на конкурс математических сочинений не удовлетворяло сфор-
мулированным условиям, особенно в отношении «краткости и ясности
изложения, точности определений и строгости выводов»2.
3.1.	Учебники арифметики
Как было сказано выше, Ученый комитет Министерства народного
просвещения в начале 60-х гг. XIX в. рекомендовал оставить прежние
руководства по арифметике, т.е. “Таблицы взаимного обучения арифмети-
ке, “Руководство к арифметике” и “Собрание арифметических задач” Ф.И.
Буссе3. Мы уже характеризовали эти учебники. Заметим также, что широ-
кое распространение имели “Первоначальные упражнения в арифметике”,
представлявшие собой переработку “Руководства к арифметике” Буссе.
1 Там же. С. 98-99.
2 Сборник распоряжений по Министерству народного просвещения. Т. IV. С. 783.
3 Кроме того, рекомендовалось еще «Руководство к изучению четырех арифмети-
ческих действий» А.Н. Вольмана.
102
Кроме того, в ходу были прекрасные курсы арифметики Буняковского,
Воленса, Леве, Щеглова и других. Что касается пособий по арифметике, в
основе которых лежит метод Грубе, то они долгое время не находили
сторонников среди отечественных педагогов. Так, учебник Рубисова
“Начальная арифметика. Пособие для наглядного обучения арифметике”
было отклонено как руководство или пособие Ученым комитетом мини*
стерства по следующим причинам: “Сочинение г. Рубисова не учебник, а
пособие для учителей. Относительно системы преподавания первых начал
арифметики в сочинении г. Рубисова нет ничего нового; он предлагает
сначала ознакомить учеников вполне с первыми 10 числами и потом уже
перейти к числам большим. Объяснения, предлагаемые автором в его
книге, далеко не удовлетворительны”. Положение изменилось только
после появления учебников В.А. Евтушевского, методические идеи кото-
рого нами уже охарактеризованы. Учебники этого автора мы проанализи-
руем чуть позже, так как раньше их вышли в свет учебники арифметики,
которые быстро завоевали популярность и получили широкое распростра-
нение в стране.
«Уроки практической арифметики» Ф.И. Симашко. Несмотря на
то, что этот учебник издан в 1852 г. для учебных заведений военного
ведомства, он оказал большое влияние на преподавание математики в
других учебных заведениях в России.
Поясняя цели и задачи издания этого руководства, автор писал в пре-
дисловии: «Первоначальные понятия о числах и действиях над ними мы
приобретаем с детства, не учась еще арифметике. При составлении «Уро-
ков практической арифметики» я предложил себе, по указанию опыта,
привесть эти первоначальные понятия в порядок и потом мало-помалу
перейти от них к другим, сложнейшим понятиям, не затрудняя учащихся
определениями и правилами. Чтобы достигнуть этой цели, я каждый раз,
когда мне надобно объяснять определение или правило, сперва предлагаю
задачу, решаю ее, и тогда уже перехожу к определению или правилу».
Итак, Симашко вводит определения и правила конкретно-индуктивно,
предваряя их решением задач. Кроме того, как пишет Симашко в том же
предисловии, «в конце каждого арифметического действия я предлагаю
задачи для решения, как самое лучшее и вернейшее средство для учащихся
усвоить правила, а для преподавателей - избежать сухости».
Содержание «Уроков практической арифметики» таково. I-й отдел -
Целые числа. 11-й отдел - Дроби. Ш-й отдел - Десятичные дроби. IV-й
отдел - Составные числа. V-й отдел - Задачи. Отделы делятся на «уроки,
которых насчитывается 21. В них содержится все самое необходимое из
курса арифметики». Теория в «Уроках практической арифметики» не
103
излагается. По справедливой характеристике В.А. Латышева, «Уроки
практической арифметики» Симашко «скорее всего можно назвать сбор-
ником отдельных объяснений, охватывающим все наиболее важные статьи
курса арифметики». Он же дает достаточно высокую оценку книге Симаш-
ко: «нельзя не признать ее очень хорошей книжкой, в которой очень много
простых и в то же время удачных и правильных объяснений»1.
«Уроки практической арифметики» Симашко выдержали несколько
изданий, и долгое время служили полезным пособием для учителей. Об
одном из них известный отечественный педагог А.Н. Острогорский писал:
«Замечательно, что изданные в 1859 году Симашко «Уроки практической
арифметики. Курс приготовительный», по отзыву специалистов, были в
свое время явлением вполне оригинальным»2.
“Руководство арифметики" и “Собрание арифметических задач"
А.Ф. Малинина и К.П. Буренина. Эти книги опубликованы в 1866 г.
Авторами их являлись опытные преподаватели, близко знакомые со
школьной практикой. Цель издания «Руководства арифметики» авторы
видели в том, чтобы «дать учащемуся книгу, которая, содействуя, с одной
стороны, развитию их логического мышления и, представляя науку в
систематическом изложении, была бы в то же время им совершенно по
силам». Для достижения этой цели в основу курса было положено не-
большое количество простых определений, которые предварялись практи-
ческими примерами (в большинстве случаев - задачей), из которых «уяс-
нялась бы и необходимость нового понятия, и самое его определение».
Выводы же и доказательства авторы «старались делать языком, хотя и
научным, но настолько простым и живым, чтобы они были понятны, при
внимательном чтении, даже ученику первого класса». Этого принципа они
придерживались даже при наборе, крупным шрифтом были напечатаны те
статьи, которые предназначались для младших классов гимназий, мелким
- те, которые подготовлены для повторения арифметики в VII классе
(например, нахождение всех делителей числа, общий признак делимости
чисел, признаки делимости на 7,11, 13 и 37, непрерывные дроби и др.).
Что касается изложения материала, то «Руководство арифметики Ма-
линина и Буренина отличались от других руководств, по мнению В.Е.
Прудникова, двумя важными особенностями: 1) при объяснении каждого
действия указывалось его значение и вопросы, которые могли быть реше-
ны с его помощью; 2) изложение каждого параграфа заканчивалось серией
1 Латышев В.А. Исторический очерк русских учебных руководств по математике //
Педагогический сборник. 1878. Июль. С. 755.
2 Острогорский А.Н. Ф.И. Симашко // Педагогический сборник. 1892. Ноябрь. С. 2.
104
вопросов, представлявших все содержание параграфа. Иногда эти вопросы
требовали распространения выводов параграфа на частные случаи или
нетрудного самостоятельного вывода из изложенного. Это приучало
ученика обдумывать ответ, учиться связно выражать свои мысли, осмыс-
ленно читать учебник.1 Эти особенности выгодно отличали «Руководство
арифметики» Малинина и Буренина от многих существовавших тогда
учебников арифметики. «Руководство арифметики» имело очень большой
успех, за 21 год (1867-1888) выдержало 15 изданий, причем каждый тираж
составлял около 20 тысяч экземпляров. Тем не менее, оно по предложению
П.Л. Чебышева не было одобрено Ученым комитетом министерства
народного просвещения как руководство для гимназий и рекомендовалось
только в качестве пособия.
«Собрание арифметических задач» Малинина и Буренина содержит
20343 задачи, разнообразных по содержанию и последовательно располо-
женных в порядке возрастания сложности. Все задачи разбиты на отделы,
причем порядок отделов совпадает с порядком «Руководства арифметики»
тех же авторов. «Собрание арифметических задач» выдержало 18 изданий
и разошлось в числе 645 тысяч экземпляров.
Эти учебники арифметики имели хорошие отзывы в педагогических и
методических журналах: в журнале «Учитель» (1869. Август. С. 533-534),
в «Учебно-воспитательной библиотеке» (1876. Т. I. Ч.П. С.37-40) и в
«Математическом сборнике» (1867). Не все методическое сообщество
позитивно оценивало «Руководство арифметики» и «Сборник арифметиче-
ских задач». Как уже говорилось, последователи метода Грубе были
недовольны отечественными учебниками с отличными от их воззрений
методическими основами. Несмотря на положительную в целом оценку,
эти книги по предложению Чебышева не были одобрены как руководства
для гимназий, а рекомендовались только в качестве пособия.
Резко отрицательно относился к указанным руководствам В.А. Латы-
шев: «В арифметике гг. Малинина и Буренина набрано много сведений, но
нет ни последовательности в развитии, ни ясности и отчетливости в изло-
жении теории; для маленьких детей изложение часто непонятно, вследст-
вие растянутости объяснений, употребления длинных периодов, дурно
выраженных правил и редкости обобщений»2. Как считает В.Е. Прудников,
свой учебник арифметики Малинин и Буренин и не предназначали для
маленьких детей. Он был написан в качестве учебника для гимназий и, не
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики...С. 551.
2 Исторический очерк русских учебных руководств по математике // Педагогиче-
ский сборник. 1878. Ноябрь. С. 12-40.
105
будучи свободен от недостатков, «удовлетворительно осуществлял цель
авторов и был удобен в преподавании, которое велось согласно с офици-
альными программами, принятыми в большей части наших общеобразова-
тельных учебных заведений»1. Не внеся в учебники арифметики ничего
принципиально нового по сравнению с книгами Ф.И. Буссе, учебник
Малинина и Буренина существенно облегчил работу учителя математики.
Как бы там ни было, «после учебников арифметики Ф.И. Буссе в сред-
ней и низшей школе России на десятки лет получили господство» учебни-
ки А.Ф. Малинина и К.П. Буренина»2
«Сборник арифметических задач» В.А. Евтушевского. Мы уже ха-
рактеризовали методические взгляды Евтушевского. Практическим во-
площением их и был «Сборник арифметических задач», который впервые
был опубликован в 1871 г. Он был также итогом многолетнего личного
опыта автора и результатом изучения методов преподавания элементарной
математики в нашей стране и за границей.
В предисловиях к 1-й и 2-й частям «Сборника...» Евтушевский под-
робно характеризует содержание каждой из частей и тех особенностях,
которые отличают задачник от других аналогичных книг.
Одной из самых отличительных особенностей является расположение
задач, которое строго следует той методической схеме, которая изложена в
его «Методике арифметики». Первые 10 отделов содержали устные задачи
с числами от 1 до 100. Следующие три отдела были посвящены задачам на
составные именованные числа в пределах первой сотни, XIV и XV отделы
- задачам на составные именованные числа любой величины.
Вторая часть сборника содержала задачи на дроби и включала в себя 5
основных отдела: 1-й - элементарный курс дробей, 2-й - систематический
курс дробей, 3-й - десятичные дроби, 4-й - пропорции и задачи н»на
правила», 5-й - упражнения для вычисления с отвлеченными числами.
В обеих частях сборника содержалось 1894 задачи и свыше 200 уп-
ражнений для вычисления.
В 1871 г. Евтушевский представил «Сборник арифметических задач»
на рассмотрение Ученого комитета министерства народного просвещения,
который по предложению П.Л. Чебышева не одобрил его в качестве
руководства для употребления в гимназиях. Причины этого заключались в
том, что предложенная в нем методика не соответствовала принятой у нас
в то время системе обучения арифметике. Чебышев считал, что сам по себе
сборник задач Евтушевского не представляет ценности для учителя без
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 552.
2 Депман И.Я. История арифметики. С. 391.
106
книги, в которой была бы изложена соответствующая методика1: «При тех
особенностях, которые замечаются в «Сборнике задач» Евтушевского,
такая книга крайне необходима; только при пособии ее можно надеяться,
что наши учителя, привыкшие к общепринятой у нас системе преподава-
ния арифметики, будут в состоянии извлечь надлежащую пользу. Но до
тех пор, пока эта книга не будет издана автором, нельзя вводить в употреб-
ление его сборник задач, составленный, по-видимому, для преподавания
арифметики по системе, существенно отличной от той, по которой состав-
лены учебники, принятые в руководство в наших училищах»2. В отзыве
указано также, что задачи в сборнике расположены строго по величине
чисел, но не всегда учитывается их сложность.
Несмотря на неблагоприятный официальный отзыв, «Сборник ариф-
метических задач» Евтушевского быстро разошелся, так что в 1872 г.
потребовалось его 2-е издание. Это во многом объясняется нехваткой
учебных книг по арифметике в связи с открытием в это время большого
числа начальных школ.
«Сборник арифметических задач» Евтушевского переиздавался каж-
дый год, иногда приходилось выпускать даже два издания в год. Первая
часть сборника под названием «Целые числа» вышла в начале XX в. 65-м
изданием. Вторая его часть выдержала 22 издания.
Учебники арифметики конца XIX -* начала XX в. Характеризуя ме-
тодические идеи А.И. Гольденберга, мы уже говорили о его сборниках
задач. По его примеру практически все авторы книг по методике арифме-
тики, вышедших в 80-90-х гг. XIX в., как мы уже упоминали, сопровожда-
ли свои книги выпуском задачников. Так, Ф.И. Егоров опубликовал
«Арифметику и сборник арифметических задач» (1887), К.П. Аржеников
является автором «Сборника арифметических задач и примеров для на-
чальных училищ» (1898), который выдержал десятки изданий и выходил с
изменениями до 1917 г., В.К. Беллюстин создал «Арифметический задач-
ник» I, II, III и IV годов обучения, составленный на основе программы
Министерства народного просвещения 1899 г. и выдержавший около
десяти изданий. В основу всех этих задачников была положена идея
изучения четырех арифметических действий.
Видное место среди методистов, развивавших идею изучения четырех
арифметических действий, занимал С.И. Шохор-Троцкий, автор «Сборни-
ка упражнений по арифметике для учащихся в народной школе» (в трех
1 «Методика арифметики» Евтушевского опубликована годом позже сборника
задач.
2 Цит. по: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 596.
107
частях, первое издание 1888 г.), выдержавшего 12 изданий. Им опублико-
ван также «Арифметический задачник» - отдельные варианты для учителя
и ученика.
В 1888 г. выходит «Краткое руководство арифметики, объединенной с
методикой и систематическим сборником типических задач для гимназии»
Н.А. Шапошникова в нескольких частях: ч. I - Арифметика целых чисел, ч.
II - Арифметика дробных чисел, ч. III - общие способы решения арифме-
тических задач. Особенно интересна эта третья часть.
«Систематический курс арифметики для средних учебных заведе-
ний» А.П. Киселева. Наконец, в 1884 г. выходит в свет первый учебник
Андрея Петровича Киселева - учебник арифметики под названием «Сис-
тематический курс арифметики для средних учебных заведений», который
писался автором в течение 3-4 лет.
В предисловии к этому учебнику автор, как считает В.Е. Прудников1,
без достаточных на то оснований говорит об отсутствии в русской учебно-
математической литературе учебника арифметики, который можно было
бы «рекомендовать как ученикам младших, так и ученикам старших
классов; каждое руководство или слишком трудно и не ясно для учеников
младших классов, или не отвечает требованиям научной точности и стро-
гости, и потому не годится для учеников старших классов». А.П. Киселев в
качестве одной из целей создания этого учебника и ставит цель написания
«такого учебника арифметики, который бы одинаково годился как для
младших, так и старших классов». Для ее достижения автор пользуется
двумя шрифтами: обыкновенным изложено то, что, как считает автор,
доступно ученикам младших классов, мелким - то. что служило дополне-
нием к курсу младших классов и должно изучаться в старших классах.
После напечатания книга была разослана по редакциям разных журна-
лов (для отзыва) и сдана на комиссию в некоторые столичные книжные
магазины. Через некоторое время получены очень хорошие отзывы из
различных мест (см., например, рецензию известнейшего методиста-
математика С.И. Шохор-Троцкого в журнале «Семья и школа» или не
менее известного В.П. Ермакова в журнале «Элементарная математика»).
Второе издание «Систематического курса арифметики» было одобрено
Ученым комитетом министерства народного просвещения в качестве
руководства для гимназий.
Тиражи этого учебника впечатляют: до принятия этой книги в качест-
ве стабильного учебника арифметики в 1938 г. общий тираж всех 36
1 Прудников В.Е. О русских учебниках математики для средних школ в XIX в. //
Мат. в шк. 1954. № 3. С. 18.
108
изданий составил 1800000 экземпляров. В качестве стабильного учебника
он практически ежегодно издавался миллионными тиражами.
А.П. Киселев в результате кропотливой длительной работы по совер-
шенствованию «Систематического курса арифметики» добивается того,
что этот учебник постепенно вытесняет все другие учебники арифметики,
о чем мы поговорим позже.
3.2.	Учебники геометрии
Как было сказано выше, Ученый комитет Министерства народного
просвещения в начале 60-х гг. XIX в. рекомендовал оставить прежние
руководства по геометрии, т.е. учебник геометрии Ф.И. Буссе, который мы
охарактеризовали ранее.
Во второй половине XIX в. появляется много новых учебников гео-
метрии, авторы которых стремились «отойти от Евклидова образца и
создать оригинальный отечественный учебник геометрии, лишенный
недостатков «Начал» Евклида (как учебника) и отражающий новейшие
педагогические требования и достижения науки»1.
По количеству и разнообразию учебной литературы по геометрии пе-
риод конца XIX - начала XX в. был чрезвычайно богатым. Было издано
более 60 учебников. В их числе учебники, которые пользовались большой
популярностью. Это учебники М.В. Остроградского, М. Ващенко-
Захарченко, А.Ф. Малинина, Ф.И. Егорова, А.Н. Глаголева, А.Ю. Давидо-
ва, Н.А. Извольского и др. Особой популярностью пользовался учебник
А.П. Киселева, который в переработанном виде оставался стабильным
учебником геометрии отечественной школы до второй половины XX в.
В учебниках этого периода более четко осознается логическая струк-
тура курса геометрии - основные неопределяемые понятия и система
аксиом. Сложный с педагогической точки зрения вопрос об измерении
длины окружности (площади круга) часто рассматривается с привлечением
понятия предела периметров (площадей) специальным образом построен-
ных многоугольников.
Можно указать на следующие основные особенности2 отечественной
учебной литературы по геометрии, изданной в конце XIX - начале XX в.
Первая - авторы наиболее оригинальных учебников геометрии уделяли
исключительно большое внимание истории геометрии, которые излагались
1 Назарьев С.В. К истории учебной литературы по геометрии И Мат. в шк. 1951. №
1.С. 28.
2 Там же. С. 29-30.
109
в отдельной главе (Ващенко-Захарченко) или рассматривались на протя-
жении всего курса в качестве примечаний или приложений к главам.
Вторая - стремление их авторов при соблюдении требования строгости,
сделать изложение школьного курса геометрии более ясным для понима-
ния учащихся. Успешному решению этого вопроса способствовали тща-
тельно подобранные конструктивные и вычислительные задачи, а также
задачи прикладного характера. Третья особенность большинства учебни-
ков этого периода - наличие в нем так называемого общего отдела, содер-
жащего наиболее интересные обобщающие задачи на вычисление и по-
строение (Давидов, Киселев и др.). Наконец, четвертая особенность -
единство стиля изложения первых разделов планиметрии и стереометрии,
без учета возрастных особенностей учеников. Если при изложении первых
разделов планиметрии значительное место занимают интуиция и апелля-
ция к опыту, то при изложении стереометрии в большей степени должна
превалировать логика.
В 60-70-х гг. XIX в. в связи с появлением новых типов учебных заве-
дений (двухклассные училища министерства народного просвещения,
городские училища) одной из основных проблем преподавания геометрии
в школе становится проблема изучения начальной геометрии и введения
пропедевтического курса геометрии в среднюю школу. В связи с этим
создано большое количество учебников по пропедевтическому курсу
геометрии.
В 1867 г. вышла в свет «Наглядная геометрия» М.О. Косинского, во
введении к которой автор так обосновывает необходимость наглядной
геометрии: «Очень полезно приучать ум к размышлению не только о
наглядных предметах, но также о понятиях и представлениях отвлеченных,
но ... нельзя давать их в пищу для ума, еще совершенно неподготовленно-
го к размышлению. В высшей степени важно сгладить переход от нагляд-
ного к отвлеченному, сделать его постепенным, начать с рассуждений,
основанных на внешних чувствах, и только мало-помалу присоединять к
ним рассуждения, заставляющие работать способности внутренние». В
«Наглядной геометрии» Косинского изложение начинается «с протяжений
о трех измерениях», на изучении которых вырабатываются основные
понятия геометрии. Эта книга начала целую серию учебников для пропе-
девтического курса геометрии. Это «Курс элементарной геометрии» П.П.
Фан-дер-Флита, «Краткий курс геометрии» 3. Вулиха, два различных
учебника под названием «Наглядная геометрия» Волкова, А.М. Астряба,
«Геометрия на задачах» С.И. Шохор-Троцкого. Можно сказать, что про-
блема пропедевтического курса начальной геометрии в отечественной
методике была в основном решена как на теоретическом уровне, так и на
ПО
уровне создания достаточно качественных учебников. В гимназическом
курсе геометрии оставалось еще очень много нерешенных проблем, мно-
гие из которых актуальны и поныне.
Дадим краткую характеристику наиболее распространенных учебни-
ков геометрии второй половины XIX и начала XX в.
«Руководство начальной геометрии» М.В. Остроградского. Это по-
собие М.В. Остроградский создавал для средних военно-учебных заведе-
ний в течение 5 лет, последовательно выпустив в свет «Руководство
начальной геометрии. Курс II общего класса» (СПб., 1855); курс III общего
класса (СПб., 1857); курс IV общего класса (СПб., 1860). Это очень объем-
ный учебник, включающий в общей сложности в трех курсах 750 страниц.
М.В. Остроградский в изложении геометрии решил отступить от евк-
лидовых традиций, мотивируя это в предуведомлении следующим обра-
зом: «Сочинение это отличается от других руководств по той же науке
развитием основных начал, порядком теорем и способом доказательств.
Автор имеет в виду приблизить изложение истин начальной геометрии к
способам, употребляемым в других частях математики, а потому разместил
предложения в порядке, который ему показался наиболее соответствую-
щим поставленной цели». Остроградский имел в виду использование
«способа аналитического и без пособия фигур». Он не распространил этот
принцип на изложение всего курса, о чем он говорит далее в предуведом-
лении: «Однако же он (автор) не посмел, в первой попытке, войти в реши-
тельное состязание с изложением, которому Евклид представил образец и
которое употребляется более 20 веков. Но если первый опыт будет одоб-
рен, то в последующих изданиях автор с большею решительностью введет
в начала науки все изменения, необходимые для совершенного выполне-
ния сейчас указанной мысли».
Количество чертежей в руководстве Остроградского сведено до мини-
мума, изложение ведется «гипотетически-дедуктивным методом, с прису-
щей автору простотой и изяществом рассуждений»1. Этот метод заключа-
ется в том, что у Евклида ни одна теорема не появлялась раньше той,
которая необходима для ее доказательства, что предопределяло «линейный
порядок» их расположения. Остроградский попытался заменить эту,
достаточно искусственную систему естественной генетической системой
расположения теорем.
Однако отсутствие наглядности и чрезмерный уровень доказательно-
сти даже очевидных фактов очень загромоздили курс, серьезно ослабив его
доступность для учащихся. Это произошло, по мнению О.И. Сомова,
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 596.
111
потому, что «Остроградский никогда сам не преподавал в низших классах
и не знал по собственному опыту, как для начинающего трудно усвоить
слишком отвлеченные истины и как необходима некоторая наглядность»1.
Например, рассуждению о том, что такое прямая линия, посвящены
две страницы текста и дано такое определение: «Для сокращения речи
следует дать имя линии, действительной или воображаемой, которую мы
вводим как простейшее из всех протяжений. Мы назовем ее прямою
линиею, понимая под этим названием линию, совершенно определяемую
условием проходить через две точки, так что не может быть двух или
более прямых, имеющих общие пределы». После этого следуют обстоя-
тельные доказательства очевидных свойств прямой линии: «прямая линия
может быть продолжена без конца, по обоим ее направлениям», «две
прямые, проведенные на плоскости, имеющие общую точку, непременно
пересекаются в этой точке, т.е. переходят, каждая, с одной стороны другой
линии на сторону противоположную» и др.
Высокий уровень научности курса Остроградского, преобладание аб-
страктного над конкретным, логики над интуицией привели к тому, что
«Руководство начальной геометрии» не пользовалось популярностью в
учительских кругах, не было включено П.Л. Чебышевым в список учебни-
ков, одобренных Ученым комитетом министерства народного просвеще-
ния в качестве руководства для употребления в гимназиях. Книга подвер-
глась острой критике в педагогической печати2.
«Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» А.Ю.
Давидова. Эта книга пользовалась особой популярностью и очень широ-
ким распространением. Она вышла в свет в 1864 г., регулярно переиздава-
лась до 1922 г. и выдержала 39 изданий. «Элементарная геометрия» Дави-
дова была одобрена П.Л. Чебышевым в качестве руководства по геометрии
для гимназий, что, учитывая чрезвычайную требовательность его к учеб-
ным книгам, говорит о безусловных достоинствах этого учебника.
Как считает А.В. Ланков3, «Элементарная геометрия» Давидова по ло-
гической стройности, содержанию и стилю достаточно близка отечествен-
ным учебникам геометрии середины XX в. Изложение теории в учебнике
ведется «не в логическом, а произвольном порядке»4: I. О прямых линиях
и углах. II. О фигурах вообще. Равенство треугольников. III. О параллель-
ных линиях. IV. Подобие. V. Об окружности и площади круга. Пределы.
1 Сомов О.И. Очерк жизни М.В. Остроградского // Записки Академии наук. Т. III.
Кн. I. С. 24.
2 См. подробнее: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 583-584.
3 Ланков А.В. К истории развития .... С. 93.
4 Прудников В.Е. О русских учебниках математики ... С. 15.
112
Крупный и мелкий шрифт использовался Давидовым для выделения
обязательного и необязательного материала. Несомненным достоинством
автора является то, что теоретический курс сопровождается приложениями
геометрии к практике. Автор знакомит учащихся с астролябией, съемкой
плана и другими приборами и приемами измерений на местности. Вообще
в учебнике геометрии Давидова, пожалуй, впервые в отечественной учеб-
ной литературе значительное внимание уделяется задачам. Они разнооб-
разны, временами довольно трудны. Автор, вопреки сложившейся в то
время практике, не приводит решения ни одной задачи, помещая в конце
учебника лишь указания к их решениям.
В учебнике содержится много исторических сведений, связанных с из-
лагаемым материалом, которые даются либо в самом тексте, либо в сно-
сках.
Как мы уже говорили, учебник не был свободен от недостатков, кото-
рые подвергались критике со стороны современников. Были и другие
оценки. Так, В.Я. Буняковский писал автору: «Ваша элементарная геомет-
рия составляет истинное приобретение нашей учебной математической
литературы. Ясность, соединенная с сжатостью изложения, стройный
порядок в распределении предметов, пояснительные, так удачно подоб-
ранные примеры. - все это вместе дает Вашей книге большое преимущест-
во перед другими учебниками по геометрии»1. А.Я. Билибин в 1922 г. в
предисловии к последнему изданию «Элементарной геометрии» Давидова
писал: «Чрезвычайно популярная в русской школе, выдержавшая уже 38
изданий, геометрия Давидова настолько глубоко продумана и богата
разнообразием материала, что и теперь может служить руководством
учащейся молодежи, будучи переработана в сторону более строгого
изложения, каковое диктуют современные взгляды науки и педагогики».
«Руководство наглядной геометрии и собрание геометрических за-
дач для уездных и городских училищ» А.Ф. Малинина. Это пособие
впервые издано в 1873 г., в 1893 вышло в свет его 9-е издание. Оно отно-
сится к руководствам по пропедевтическому курсу геометрии, разработан-
ным в соответствии с принципами наглядной геометрии. Поэтому оно
щедро иллюстрировано чертежами: не только отдельные теоремы, но и
части наиболее сложных теорем и даже некоторые задачи сопровождаются
подробными чертежами. Доказательства теорем и заменяющие их объяс-
нения вполне доступны для учеников. Они в большинстве случаев нагляд-
ны. Всюду, где можно, приведены практические примеры, иллюстрирую-
1 Цит. по: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 535.
113
щие геометрические понятия и представления. Кроме планиметрии, кото-
рая составляет большую часть книги, дается пропедевтика стереометрии:
изучаются основные факты геометрии в пространстве.
Специальное внимание в учебнике уделено измерениям на местности -
съемке планов, нивелированию, используемым для этого приборам. В
учебнике большое количество контрольных вопросов, специально подоб-
ранных задач и упражнений, система которых была достаточно удачна.
«Руководство наглядной геометрии...» часто критиковалось в педаго-
гической печати преимущественно за отсутствие должной строгости
изложения. Надо отдавать отчет в том, что эта книга была предназначена
для начального наглядного обучения геометрии в младших классах и
вполне удовлетворяла потребности детей этого возраста в уровне строго-
сти доказательств и определений. А.Ф. Малинин относился к критике
вполне конструктивно: он признавал слабые стороны своих учебников, в
частности, этого и систематически работал над их совершенствованием
при многочисленных последующих переизданиях.
«Геометрия на задачах» С.И. Шохор-Троцкого. Эта книга вышла в
свет в 1908 г. и является попыткой построения пропедевтического курса
геометрии, как выражается автор, «на методических упражнениях и гео-
метрическом черчении». Она представлена в двух вариантах: а) для учите-
ля, являющаяся практической методикой (два издания); б) для учащихся,
являющаяся учебным пособием, в котором теория дана в единстве с
задачником (два выпуска). Методической основой «Геометрии на задачах»
является разработанная Шохор-Троцким ранее «метода целесообразных
задач». Этот метод рекомендует от подобранных задач идти к обобщениям
в определениях и теоремах, чтобы ученикам стало понятным «зачем и
почему»1. В «Геометрии на задачах» очень удачен подбор упражнений по
черчению и геометрических задач, большое внимание уделяется правилам
построения чертежей и т.п. Имеются и задачи, связанные с измерениями на
местности.
Пропедевтический курс геометрии в интерпретации С.И. Шохор-
Троцкого не был воспринят учительством. Впрочем, А.В. Банков считает,
что не были восприняты школой и все другие опыты построение подобных
подготовительных курсов геометрии2. Он полагает, что виной этому
является тот факт, что недостатками «чертежного» направления многие
считали его односторонность, преобладание плоскостных образов, искус-
1 Андронов И.К. Полвека развития ... С.86.
2 Банков А.В. К истории развития ... С. 70.
114
ственное отделение их от пространственных образов, игнорирование
функциональной зависимости и др.
«Элементарная геометрия» А.П. Киселева. Этот учебник вышел в
свет в 1892 г. и имел фантастическую популярность: к началу XX в. он
постепенно вытеснил все другие учебники геометрии, а в 1938-38 г., как и
учебники А.П. Киселева по арифметике и алгебре, после переработки был
принят в качестве стабильного для советской средней школы, уйдя с
авансцены истории отечественного математического образования лишь в
60-х гг. XX в.
3.3.	Учебники алгебры
В области преподавания арифметики Россия в XIX в. создала свою
оригинальную методическую школу, во многом опередив даже западноев-
ропейскую. Отечественная методика геометрии, как мы уже говорили, во
многом основана в трудах С.Е. Гурьева еще в начале этого века, во второй
его половине в методике геометрии определились значительные сдвиги,
практически заложены ее основы. Алгебра, как дисциплина более абст-
рактная, оказалась в сильной зависимости от формально-схоластических
тенденций, которые вслед за Западной Европой проникли и в Россию.
Движение за реформу программ и методов преподавания алгебры на-
чалось в 60-е годы XIX в. в связи с демократизацией общества, усиления
его влияния на педагогику и школу. Вопрос об упрощении систематиче-
ского курса алгебры, создании пропедевтического ее курса был одним из
основных вопросов реформы алгебры.
Как мы уже говорили, на постановку и уровень преподавания матема-
тики в средних учебных заведениях второй половины XIX в. значительное
влияние оказал П.Л. Чебышев. Начав в 1856 г. свою деятельность в качест-
ве члена Ученого комитета при министерстве народного просвещения, он в
число руководств, которые «представляют собой достаточные средства для
преподавания в гимназиях математики» включил учебники алгебры А.Н.
Тихомандрицкого и О.М. Сомова.
«Начальная алгебра» А.Н. Тихомандрицкого. Учебник алгебры
профессора Киевского университета А.Н. Тихомандрицкого вышел в свет
в 1853 г., выдержал два переиздания (1855, 1860 гг.). Автор был одним из
учеников М.В. Остроградского и частично осуществлял в своем учебнике
методические идеи своего учителя. Он попытался отойти от «формально-
115
схоластических тенденций в преподавании алгебры, характерных для того
времени, и приблизить это преподавание к науке и жизни»1.
В 1854 г. в некоторых учебных округах была сделана попытка заме-
нить «Алгебру» П.Н. Погорельского учебником Тихомандрицкого, в
начале 60-х годов он употреблялся во всех семи учебных округах России в
силу того, что по полноте содержания и системе изложения материала
«Начальная алгебра» привлекала внимание многих преподавателей мате-
матики того времени.
Предмет математики автор определяет, как «верное и последователь-
ное (систематическое) изложение знаний, приобретаемых нами о взаимной
зависимости величин, и тех истин, на которых основываются самые спосо-
бы их измерения»2, выделяя затем начальную алгебру как часть математи-
ки, занимающуюся исследованием простейших случаев взаимной зависи-
мости величин.
Положительные и отрицательные числа вводятся как способ выраже-
ния изменений (увеличения или уменьшения) величин. Рассматривается
также изменение результатов арифметических действий в зависимости от
изменения их компонентов.
В главе об уравнениях А.Н. Тихомандрицкий вводит сначала понятие
о функции. Начав с конкретных примеров изменения числового значения
данного алгебраического выражения в зависимости от изменения входя-
щих в него букв, он дает следующее определение функции, специально
выделенное в тексте: «выражения, изменяющие численное свое значение
вместе с изменением значения переменных, в них входящих, называются
функциями этих переменных»3.
Для введения понятия уравнения автором ставится задача нахождения
таких чисел, при подстановке которых вместо переменных данная функция
обращается в нуль, показывается, что «для этой цели приравнивают функ-
цию нулю... И такое равенство называется уравнением». После этого
автор обобщает понятие уравнения следующим образом: «Обыкновенно
уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, со-
ставленных из известных и неизвестных».
Подчеркнув, что решение различных задач практики приводит к реше-
нию уравнений, Тихомандрицкий говорит о том, что основная трудность
решения таких задач состоит в составлении уравнения и приводит приме-
1 Бычков Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX в. //
Мат. в шк.1954. № 4. С.7.
2 Тихомандрицкий А.Н. Начальная алгебра. СПб., 1855. С. 8.
3 Там же. С. 139.
116
ры 15 конкретных задач, которые решаются с помощью составленных
уравнений. Таким образом, Тихомандрицкий вводит достаточно научную
трактовку понятий уравнения и функции.
Несмотря на несомненные достоинства учебника начальной алгебры
Тихомандрицкого, практика показала, что он не вполне подходит для
гимназий. Во-первых, многие статьи оказались «трудными для понимания
учеников младших и средних классов, а некоторые просто недоступны-
ми»1. Например, извлечение корней из числа рассматривалось как частный
случай извлечения корней из многочленов, которое в свою очередь осно-
вывалось на биноме Ньютона, изучавшемся позже. Во-вторых, расположе-
ние материала не было согласовано с официальной программой по матема-
тике для гимназий 1852 г. В-третьих, был плохо изложен раздел о лога-
рифмах, мало внимания обращалось на употребление их при вычислениях,
в то время как тогда таблицы логарифмов являлись основным средством
вычислений.
«Начальные основания алгебры» Н.Т. Щеглова. Этот учебник ал-
гебры был сравнительно близок по своим научным и методическим досто-
инствам к учебнику Тихомандрицкого. Издан он тоже в Петербурге в 1853
г. Это был учебник «повышенного типа», в котором изложена теория
уравнений высших степеней, много внимания уделяется численному
решению уравнений методами Ньютона и др. Более того, в учебнике
Щеглова излагались даже элементы теории вероятностей. Одним из пер-
вых Щеглов ввел в курс алгебры теорию соединений.
Изложение материала в учебнике алгебры Щеглова было, несмотря на
достаточный уровень научности, ясным и доступным. К сожалению, в нем
отсутствовали задачи и упражнений. Не был им предложен и сборник
задач к своему курсу. Благодаря своим положительным качествам учебник
Щеглова был одобрен Ученым комитетом в качестве пособия для гимнази-
ческих библиотек.
«Начальная алгебра» О.И. Сомова. Профессор Петербургского уни-
верситета Осип Иванович Сомов издал свой учебник алгебры в 1860 г.
Подготовлен был этот учебник для воспитанников Морского кадетского
корпуса и, по отзывам его преподавателей, соответствовал возрасту уча-
щихся и потребностям их развития. В 1862 г. вышло второе издание этого
учебника, приспособленное к нуждам гимназического математического
образования. Оно отличалось несколько иным расположением материала и
добавлением разделов о непрерывных дробях и определителях.
1 Прудников В.Е. О русских учебниках математики... С. 12.
117
В 1875 г. вышло четвертое издание «Начальной алгебры» Сомова. 16
глав учебника составляли обычный для того времени гимназический курс
алгебры, 13 дополнительных параграфов включали те вопросы, которые в
него не входили - освобождение уравнений от радикалов, извлечение
квадратных корней из многочленов и др. Дополнительные параграфы были
весьма полезны для тех, кто готовился поступать на физико-
математические факультеты университетов.
Предмет алгебры Сомов видел в «составлении формул и разных в них
упрощениях», но формуле давал очень узкое толкование. Прекрасно были
изложены в этом курсе свойства квадратного трехчлена в связи с опреде-
лением экстремумов функций.
Изложение материала в учебнике алгебры Сомова отличается сжато-
стью и систематичностью. Простота изложения сочеталась с необходимым
уровнем строгости. По уровню сложности учебник соответствовал возрас-
ту учащихся. Как считает В.Е. Прудников, недочеты этого учебника не
носят принципиального характера1. К их числу он относит следующие:
узкое определение таких понятий, как формула, алгебраическое выраже-
ние; неточности в изложении теории извлечения корней; неполное изло-
жение теории соединений с повторениями (изложена только теория пере-
становок с повторениями), которая в то время входила в программу допол-
нительного класса реальных училищ.
Несмотря на эти недостатки, «Начальная алгебра» О.И. Сомова при-
надлежала к числу лучших учебников алгебры и употреблялась в боль-
шинстве учебных округов (в пяти из семи) в качестве руководства по
алгебре для гимназий. Учебник имел хорошие отзывы в педагогической
периодике. Так, преподаватель одной из московских гимназий В. Преоб-
раженский в журнале «Учебно-воспитательная библиотека» (Т. 1, 1876)
так характеризовал учебник Сомова: «учебник принадлежит к числу
лучших, благодаря сжатому и систематическому изложению; если и
встречаются отступления от этих качеств, то их немного... дополнитель-
ные же статьи представляют весьма полезные прибавления ...».
«Курс начальной алгебры» н «Собрание алгебраических задач»
К.Д. Краевича. Обстоятельный учебник алгебры опубликован Краевичем
в 1865 г. Содержание этой книги значительно шире ее названия. В ней
кроме вопросов, относившихся собственно к элементарной алгебре, рас-
сматривались некоторые вопросы арифметики, требовавшие алгебраиче-
ских обоснований, а также материал, относившийся к высшей математике,
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 454.
118
но примыкавший к элементарной алгебре - элементы теории рядов, способ
неопределенных коэффициентов и др. Целая глава была посвящена теории
вероятностей. Все это существенно увеличило объем учебника и не могло
не сказаться на его качестве.
У учебника алгебры Краевича много достоинств. Это и полнота со-
держания, систематичность изложения, упрощенные по сравнению с
имевшимися курсами доказательства теорем, сжатость, точность языка.
Автор разделил курс начальной алгебры на две части: 1-я часть содержала
материал до пропорций и прогрессий включительно и имела «характер
упражнений в алгебраических действиях для приобретения навыков в
выкладках»1; 2-я начиналась с исследования уравнений и рассматривала
"«общие и отвлеченные свойства величин"» требовавших "значительного
напряжения ума". Т.е., Краевич отделял прикладную часть алгебры от
теоретической, чему в школьной практике того времени внимания не
уделялось.
Учебник алгебры Краевича в рукописи рецензировался по поручению
Ученого комитета министерства просвещения П.Л. Чебышевым. Он
отметил, что такого рода расширенный курс, в принципе, полезен, но
ввиду ограниченности времени и невозможности расширения курса без
ущерба для других предметов, такое расширение не может быть выполне-
но качественно. Он привел достаточно убедительные примеры того, какие
«чувствительные недостатки произошли в ней (книге) от желания вместить
в малый объем то, что для полного и отчетливого изложения требует много
места. В результате Чебышев не нашел возможным рекомендовать «Курс
начальной алгебры» Краевича в качестве руководства для гимназий. Он не
включил его даже в качестве пособия для гимназических библиотек.
В педагогической печати появились и весьма сочувственные рецензии
на учебник Краевича. В частности, в журнале «Учитель» (1865. № 5) была
опубликована рецензия В.Воленса, в которой тот рекомендует «Курс
начальной алгебры» не только для гимназий, но и для взрослых, желаю-
щих изучить алгебру. Широкого распространения все же он не получил,
употреблялся только в одном из семи учебных округов и даже не во всех
гимназиях этого округа.
Что касается задачника «Собрание алгебраических задач» того же ав-
тора (СПб., 1864), то это был один из первых отечественных задачников по
алгебре. П.Л. Чебышев одобрил его в качестве руководства для гимназий и
включил в каталог учебной литературы по математике 1867 г. Он содержал
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 571.
119
1756 упражнений и задач, соответствовавших основным разделам «Курса
начальной алгебры», и служил дополнением к нему. Впоследствии по
образцу задачника Краевича были опубликованы такие известные задач-
ники по алгебре, как «Собрание алгебраических задач» Е. Пржевальского и
«Сборник примеров и задач, относящихся к курсу алгебры Ф. Бычкова.
«Начальная алгебра» А.Ю. Давидова. Этот учебник опубликован в
1866 г. и переиздавался 24 раза вплоть до 1922 г. Многочисленным пере-
изданиям немало способствовало, видимо, и хорошо известное математи-
ческому сообществу имя Давидова, профессора Московского университета
и первого президента Московского математического общества. Учебник
производит впечатление капитального труда1 по элементарной алгебре.
Впрочем, его содержание выходит за рамки обычного курса элементарной
алгебры. Так, в нем изложено решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й
степеней; в связи с решением системы уравнений 1-й степени со многими
неизвестными вводятся определители и анализируются их основные
свойства, при изложении логарифмов предлагается специальная глава о
бесконечных рядах, даны некоторые признаки их сходимости.
Материал гимназического курса изложен весьма полно и подробно.
Так, приложению свойств квадратного трехчлена к разысканию наиболь-
ших и наименьших значений посвящено 8 страниц компактной печати.
Относительным (положительным и отрицательным) числам посвящается
начало второй главы, автор долго и тщательно работает над понятием
отрицательного числа, показывая их противоположность числам положи-
тельным. Специальная глава посвящена непрерывным дробям, в отдельной
главе рассматриваются неравенства.
После каждой главы приводятся упражнения и задачи (от 30 до 100 и
более), в конце книги даны ответы к ним. Задачи подобраны достаточно
удачно: они интересны и важны для усвоения изученного и пригодны для
самостоятельного решения. Автор считал решение задач важным способом
закрепления теории, развития логического мышления и приобретения
практических навыков. Об этом свидетельствует тот факт, что Давидов
неоднократно возвращался к этим разделам учебника и перерабатывал их,
исключая некоторые задачи и добавляя новые.
«Начальная алгебра» Давидова удачно напечатана с использованием
двух шрифтов, хорошо оформлена. Имеются в этой книге и некоторые
недостатки: практически отсутствуют связи алгебры с другими предмета-
ми, прежде всего арифметикой, не сделан переход от арифметики к алгеб-
1 Сушкевич А.К. Материалы к истории алгебры в России в XIX в. и в начале XX в./
ИМИ. Вып. IV. М.-Л.: Изд-во технико-теор. литературы. 1951. С. 349.
120
ре, есть некоторые дефекты в ряде доказательств и в расположении мате-
риала. Специалисты указывают и на неудачное определение в учебнике
предмета алгебры: «Алгебра учит рассуждать о величинах. При этом она
изображает их буквами и означает особыми знаками зависимость между
ними».
Эти недостатки не представляются существенными. Учебник Давидо-
ва был «несколько удобнее других руководств по элементарной алгебре,
тогда у нас употреблявшихся» . Эти преимущества «Начальной алгебры»
Давидова дали возможность Ученому комитету по предложению П.Л.
Чебышева одобрить книгу в качестве руководства для гимназий и вклю-
чить в каталог этих руководств в 1867 г.
«Руководство алгебры и собрание алгебраических задач» А.Ф.
Малинина и К.П. Буренина. Этот учебник алгебры издан в Москве в 1875
г. Несмотря на то, что, по мнению В.Е. Прудникова1 2, учебник алгебры
пользовался несколько меньшим успехом, чем учебник арифметики тех же
авторов, он много раз переиздавался.
Как и все учебники этих авторов, «Руководство алгебры...» принадле-
жало к особенному, по терминологии В.Е. Прудникова, «малининскому»
направлению, которое характеризуется сочетанием достаточной научной
строгости объяснений и доказательств и доступностью, которые обеспечи-
вают понимание предмета учениками соответствующего возраста. Изло-
жение отличалось живостью и простотой и сопровождалось большим
числом удачно подобранных задач и упражнений, в конце книги даны
ответы к ним. Таким образом, учебник алгебры Малинина и Буренина
является также и задачником по алгебре.
Интересно определение алгебры, данное во введении, в качестве
«образца исканий определения алгебры такими большими педагогами-
математиками, как авторы рассматриваемой книги»3. Оно следующее:
«Наука, занимающаяся составлением общих решений различных задач и
вообще решением вопросов относительно чисел в общем виде, называется
Алгеброю».
Учебник Малинина и Буренина - книга весьма основательная. Если
сравнивать с учебником Давидова, то в ней отсутствуют уравнения 3-й и 4-
й степеней, определители; непрерывные дроби располагаются в конце,
после бинома Ньютона. Специально выделены дополнительные к курсу
элементарной алгебры главы - пределы, элементы теории рядов и показа-
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 536.
2 Там же. С. 552.
3 Сушкевич А.К. Материалы к истории алгебры ... С. 349.
121
тельные, логарифмические и тригонометрические ряды, способ неопреде-
ленных коэффициентов, бином Ньютона при любом показателе (даже
иррациональном). Выводы и доказательства во всех этих разделах не
отличались строгостью.
Несомненным достоинством учебника алгебры Малинина и Буренина
является то большое внимание, которое уделено переходу от арифметики к
алгебре.
По предложению П.Л. Чебышева «Руководство алгебры и собрание
алгебраических задач» одобрено в качестве руководства для гимназий. Как
считают специалисты, это во многом обусловлено тем, что расположение
материала в учебнике Малинина и Буренина было достаточно близко к
официальной программе по математике 1864 г. Это делало его удобным
для школьной практики и удовлетворяло основному требованию Ученого
комитета.
«Курс алгебры и собрание алгебраических задач» Н.А. Шапошни-
кова. Это руководство по алгебре состоит из двух частей и выходит в свет
в 1876-1877 гг. Как считает В.Е. Прудников1, его автор является последо-
вателем так называемого «малининского» направления в создании школь-
ных учебников математики, а учебник алгебры, как, впрочем, и тригоно-
метрии, явились «преемниками» соответствующих руководств А.Ф.
Малинина.
Книга Шапошникова, который издал ее в молодые годы (часть I опуб-
ликована двадцатипятилетним преподавателем гимназии), представляет
собой весьма подробный курс элементарной алгебры. В начале курса автор
дает так определяет его назначение: «Начальная алгебра имеет целью
обобщить как способы для решения арифметических вопросов, так и
самые вопросы». При написании этого алгебраического курса автор, как он
сам заявляет в предисловии, руководствуется идеей «соединить строго
научное изложение с простотой и ясностью, соответствующими начально-
му курсу».
Часть I состоит из трех отделений и заканчивается уравнениями 1-й
степени. Часть II состоит из девяти отделений, в которых изложены сле-
дующие вопросы: возведение в степень и извлечение корня, мнимые
количества, уравнения второй степени, неопределенный анализ, прогрес-
сии, соединения, бином Ньютона, логарифмы, непрерывные дроби. Пред-
ставлены и бесконечные ряды: разложение в ряды логарифмов, бином
Ньютона для отрицательных и дробных показателей. Чрезмерное насыще-
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 556.
122
ние курса элементарной алгебры Шапошникова внепрограммным мате-
риалом, привело к тому, что учебник не был одобрен Ученым комитетом в
качестве руководства для гимназий.
В 1887 г. выходит написанный Н.А. Шапошниковым и учителем Н.К.
Вальцовым «Методически обработанный сборник алгебраических задач с
текстом общих объяснений и разнообразными практическими указаниями»
(4.1. Для III и IV классов гимназий). В 1890 г. выходит продолжение
сборника - ч. II (для V, VI, VII,VIII классов гимназий). Этот сборник
получил высокую оценку в педагогической прессе, среди учительства и
даже официальную. В 1891 г. обе части были одобрены Ученым комите-
том. Более того, они удостоены премии Петра Великого. В этом сборнике
задач все упражнения располагались в порядке нарастания трудностей и
содержали два варианта упражнений одинаковой сложности, один из
которых имел решение, указание к решению или ответ, другой не имел
ответа, что предполагало создать у учеников навыки самоконтроля и
самопроверки Задачник Шапошникова и Вальцова выдержал 24 издания,
последнее вышло в 1917 г. С 1931 г. «Сборник алгебраических задач»
издается с изменениями. По мнению Н.К. Андронова,1 эти изменения
только ухудшили систему задач. В таком варианте задачник Шапошникова
и Вальцова издавался до 1948 г., выдержав еще 28 изданий.
«Элементарная алгебра» Н.Н. Маракуева. Первая часть этого
учебника алгебры вышла в Москве в 1886 г., вторая - там же в 1887 г.
Объем достаточно велик - 454 и 506 страниц соответственно. У учебника
алгебры преподавателя математики Н.Н. Маракуева имеется подзаголовок
- «Курс систематический в двух частях». По оценке специалистов2, это на
самом деле систематический курс, причем, самый полный из
отечественных курсов элементарной алгебры. Книга Маракуева в течение
многих лет служила для преподавателей математики средних школ своего
рода справочником по разнообразным вопросам алгебры. Автор
обосновывает необходимость такого солидного курса алгебры тем, что, с
одной стороны, учителю нужно руководство, стоявшее на уровне
представлений того времени о величине и количестве, с другой стороны,
необходимо восполнить те проблемы, которые Маракуев находил в
общепринятых тогда курсах алгебры Сомова, Давидова, Малинина и др.
При этом автор имел в виду постановку преподавания алгебры во
Франции. Поэтому в курсе элементарной алгебры Маракуева много такого
1 См.: Андронов И.К. Полвека развития ... С.92.
2 См.: Прудников В.Е. О русских учебниках математики... С. 19; Сушкевич А.К.
Материалы к истории алгебры в ... С. 351.
123
элементарной алгебры Маракуева много такого материала, которого мы не
найдем в учебниках алгебры того времени, в том числе и в наиболее
полном из них, каким был учебник Н.А. Шапошникова. Например, разло-
жение многочленов на множители способом двучленных делителей,
соединения с повторениями, разложение я* в бесконечные ряды и др.
Содержание курса алгебры Маракуева таково: Часть I состоит из двух
отделов - «Алгебраическое исчисление» (главы I-XVII); «Уравнения и
неравенства первой степени» (главы XVIII-XXVII). Часть II состоит из
четырех разделов - «Уравнения и неравенства второй и высших степеней»
(главы XXVIII-XLI); «Анализ соединений и его приложения» (главы XLII-
XLIII); «Теория рядов и логарифмов» (главы XLIV-LI); «Непрерывные
дроби» (глава LII).Bce отделы в этом курсе изложены весьма подробно,
многие задачи разбираются в тексте (в том числе геометрические). В конце
каждой главы достаточно солидно представлены задачи и упражнения. В
книге имеются и недостатки. Так, не всегда тщательны доказательства,
приведенные в тексте исторические сведения грешат обилием неточностей
и др. Тем не менее, как считает В.Е. Прудников1, «Элементарная алгебра»
Маракуева обладает многими преимуществами, которые делали это посо-
бие весьма полезным как для учителей математики, так и наиболее про-
двинутых учеников. К ним он относит: 1) подробные объяснения тех
начал, на которых основано решение уравнений, и хорошее изложение
теоремы об умножении уравнения на множитель с неизвестным; 2) исчер-
пывающая полнота материала о неравенствах, достаточное количество
примеров на решение неравенств; 3) тщательность изложения материала
об исследовании уравнений, достаточное количество разобранных задач на
исследование уравнений первой степени; 4) разнообразие элементарных
приемов определения наибольших и наименьших значений функции с
графическими иллюстрациями и большим числом разобранных примеров.
«Элементарная алгебра» А.П. Киселева. В 1889 г. вышел в свет
учебник Киселева, которому было суждено сменить «малининское направ-
ление» и постепенно вытеснить все другие учебники алгебры. Это объяс-
няется, как представляется, прежде всего тем, что этот учебник наиболее
строго выдержан как курс именно элементарной алгебры: теория уравне-
ний заканчивается на квадратных уравнениях и приводящихся к ним
(биквадратных, возвратных); бином Ньютона дается только для целых
положительных показателей; отсутствуют бесконечные ряды. Кроме того,
он более других учебников соответствовал программам гимназий 1890 г.
1 Прудников В.Е. О русских учебниках математики ... С. 19.
124
Текст учебника делится на основной и дополнительный, к которому
отнесены следующие вопросы: понятия о предмете алгебры и о функции;
элементы теории пределов; максимумы и минимумы некоторых функций;
способ неопределенных коэффициентов; комплексные числа, выраженные
тригонометрически; приложения комплексных чисел к решению двучлен-
ных уравнений и к делению окружности на равные части.
Рассмотрим подробнее элементы методологии курса алгебры Киселе-
ва. В основном курсе он дает такое представление об алгебре: «Алгебра
прежде всего указывает способы, посредством которых одно алгебраиче-
ское выражение может быть преобразовано в другое, тождественное ему»
(второе издание). Более современное представление о предмете алгебры
обозначено Киселевым в первой из дополнительных статей «Понятие о
функции и о предмете алгебры». Автор определяет алгебру как «часть
математических наук, которая занимается рассмотрением свойств алгеб-
раических функций». Дальше вводится графическое изображение функ-
ции, и рассматриваются способы нахождения максимума и минимума
некоторых функций, в том числе и дробно-рациональных, строятся их
графики. Само по себе определение функции не вводится, автор ограничи-
вается графическим представлениями о ней.
Учебник алгебры А.П. Киселева выдержал колоссальное количество
переизданий как в досоветский (30 изданий), так и в советский периоды
развития отечественного школьного математического образования. По
всей видимости, это во многом объясняется тем, что автор был достаточно
оперативен во внесении существенных изменений как в методику изложе-
ния материала, так и в концепцию учебника. Так, уже в 5-м издании автору
пришлось сделать дополнения - ввести неравенства 2-й степени, нахожде-
ние наибольшего и наименьшего значения трехчлена 2-й степени и др.
Особенно существенные изменения внесены в начале XX в. в 23-е издание.
Киселев в том или ином виде включает в учебник алгебры такие современ-
ные идеи, как идея переменной величины, понятие функции, графический
метод изображения функциональной зависимости и др. Так, дано новое
изложение главы об отрицательных и положительных числах на основе
индуктивного метода, введено понятие функции, понятие о несоизмери-
мых отрезках трактуется независимо от понятия предела и т.д.
«Курс алгебры для средних учебных заведений» и другие учебные
книги по алгебре К.Ф. Лебединцева. В 1909-1910 гг. вышел в свет новый
по содержанию, системе и методу изложения учебник алгебры К.Ф. Лебе-
динцева. Основное отличие этого учебника от ранее изданных учебников
алгебры заключается в том, что в нем осуществлялось параллельное
развитие двух основных идей - понятия о числе и понятия о функциональ-
125
ной зависимости. В предисловии к учебнику говорилось: «Автор придер-
живается убеждения, что основные положения так называемой высшей
математики должны быть существенной и неотъемлемой частью общего
образования, приобретаемого в школе. Для него представляется несомнен-
ным, что понятие о функции и идея функциональной зависимости, в связи
с графическим способом изображения функции, является могущественным
орудием познания, без которого не может теперь обходиться химик или
физиолог и которые оказывают существенную пользу также и психологу, и
экономисту».
Глава «Функции первого порядка и их наглядное изображение» следу-
ет сразу же после уравнений и неравенств первой степени. За квадратными
уравнениями располагается глава «Функции второго порядка и их нагляд-
ное изображение». Наряду с этим дается логически обоснованная теория
иррациональных чисел. Учение о логарифмах излагается на основе иссле-
дования показательной и логарифмической функций.
Большим достижением этого учебника перед методикой математики
является и то, что в нем на основе критики господствовавшего тогда
абстрактно-дедуктивного метода преподавания алгебры1 практически
впервые «был развит новый метод изложения курса алгебры - конкретно-
индуктивный (этим термином автор тогда еще не пользовался)»2. Как мы
уже говорили, этот метод под названием «метода целесообразных задач»
одновременно разрабатывался и С.И. Шохор-Троцким.
В 1910 г. вышла 1-я часть «Систематического сборника задач и других
упражнений по курсу алгебры» К.Ф. Лебединцева, в котором значительно
обновлены алгебраические задачи, как в части тождественных преобразо-
ваний, так и - особенно - в части задач на составление уравнений и нера-
венств. В нем впервые в отечественной учебно-математической литературе
подобраны задачи на раскрытие свойств алгебраических функций и их
графических изображений. В 1914 г. вышло продолжение этой книги -
часть 2-я, содержание которой также существенно обновлено по сравне-
нию с ранее изданными задачниками по алгебре. В нем также меньше
искусственных задач, отсутствуют громоздкие упражнения и задачи.
Элементы исследования вводятся сразу же при решении задач с помощью
составления уравнений первой степени. Характерная особенность задачни-
1 Эта критика особенно ярко прослеживается в докладе К.Ф. Лебединцева в Мос-
ковском математическом кружке под председательством Б.К. Млодзеевского,
сделанном на одном из заседаний 1910 г. и напечатанном в одном из номеров
«Педагогического сборника» за этот же год (см. ранее).
2 Лебединцева Е.К. Константин Феофанович Лебединцев // Мат. в шк.1983. № 4. С.
59.
126
ка Лебединцева - ответов к задачам не дано, т.к. автор считал, что надо
приучать учеников к самоконтролю и самопроверке.
Позже (1911) появились его учебник «Основы алгебры для учебных
заведений с практическим курсом алгебры», в котором весь материал
изложен конкретно-индуктивно, и задачник «Краткий алгебраический
задачник для учебных заведений с практическим курсом алгебры». Эти
учебные книги предназначались для неполной средней школы.
Увлекшись популярной в то время концепцией концентрического изу-
чения математики, К.Ф. Лебединцев выпускает курс алгебры «Концентри-
ческое руководство алгебры для средних учебных заведений» (1914), в
котором первый концентр охватывает учение об уравнениях 1-й и 2-1
степени с необходимыми сведениями из алгебраических преобразований и
об отрицательных и иррациональных числах. Этот концентр построен на
конкретно-индуктивном методе изложения. Во второй концентр входит
теория решения уравнений и неравенств, основанная на учении о равно-
сильности, а также развитие понятия числа и основы учения о пределах.
Во втором концентре основной метод изложений - абстрактно-
дедуктивный.
Учебные руководства по алгебре К.Ф. Лебединцева пользовались
большим спросом, поэтому в 1916 г. «Курс алгебры» выходит уже 4-м
изданием, «Концентрическое руководство алгебры» - 2-м изданием,
«Основы алгебры» - 3-м изданием.
3.4.	Учебники тригонометрии
В середине XIX в. возникает потребность в построении нового курса
тригонометрии под влиянием прежде всего запросов военно-учебных
заведений (кадетских корпусов), учащиеся которых должны были как
можно раньше научиться применять тригонометрию к решению практиче-
ских задач, связанных с военным делом. Поэтому инициативу в изменении
преподавания тригонометрии в отечественном математическом образова-
нии берет на себя Главное управление военно-учебных заведений при
активном участии знаменитого академика М.В. Остроградского, занимав-
шего в это время должность главного наблюдателя за преподаванием
математики в военно-учебных заведениях. В 1848 г. была издана новая
программа по математике для кадетских корпусов, которая следующим
образом определяла основные положения преподавания тригонометрии:
тригонометрические величины определяются как отношения сторон
прямоугольного треугольника, затем следует вывод формул для решения
треугольников как прямоугольных, так и косоугольных, после этого
127
выводятся формулы тригонометрических величин суммы и разности двух
углов и др., наконец, тригонометрические величины углов, превышающих
прямой угол.
В соответствие с этой программой М.В. Остроградский написал «Про-
грамму и конспект тригонометрии для руководства военно-учебных
заведений». Ф.И. Симашко в духе программы и сочинения Остроградско-
го, а также руководствуясь «преимущественно личными указаниями
нашего знаменитого академика М.В. Остроградского» написал и опубли-
ковал (1852) новый учебник тригонометрии. Этот учебник нашел широкое
распространение не только в учебных заведениях военного ведомства, но и
в других типах средних учебных заведений России. Как и учебник триго-
нометрии А.Ф. Малинина «Руководство прямолинейной тригонометрии»,
опубликованный в 1867 г.
Можно указать еще несколько качественных учебников тригономет-
рии, вышедших в 80-90-х гг. XIX в., авторы которых (Пржевальский,
Веребрюсов, Воинов1 и др.) вносили в свои учебные книги не очень суще-
ственные изменения по сравнению с учебниками Симашко и Малинина.
К.А. Торопов2 впервые делает попытку создать общий метод решения
треугольников, «исходя из ряда равных отношений (теорема синусов)»3.
Очень широкое распространение получила «Прямолинейная тригономет-
рия» Н. Рыбкина.
В конце XIX и в начале XX в. появляются многочисленные учебники
тригонометрии, в которых принята новая концепция изложения этого
предмета. В соответствии с этой концепцией усилена теория, в основу
которой положено представление о тригонометрических величинах как
функциях. Среди авторов этих учебников нет, как считает В.Г. Чичигин4,
полного согласия в следующих принципиальных положениях: 1) чему надо
отдать предпочтение - решению треугольников (прямолинейной тригоно-
метрии) или изучению тригонометрических функций (гониометрии); 2) в
каком порядке изучать эти два главных раздела тригонометрии. В соответ-
ствии с этим выбором учебник тригонометрии этого периода можно
условно разбить на две группы.
К первой группе относятся те учебники тригонометрии, в которых из-
ложение начинается с решения треугольников. Это учебники В. Гебеля, Н.
1 Пржевальский Е. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3. 1884; Веребрюсов А.
Прямолинейная тригонометрия. 1890; Воинов А. Прямолинейная тригонометрия.
1894.
2 Торопов К.А. Курс прямолинейной тригонометрии. Пермь, 1894.
3 Панков А.В. К истории развития ... С. 117.
4 Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. М.: Учпедгиз, 1954. С. 14.
128
Билибина, Слетова1 2 и др. Так как в программы по математике этого перио-
да не входил предварительный курс тригонометрии прямоугольного
треугольника, можно сказать, что учебники этой группы были построены
более рационально с методической точки зрения. Они ставили сначала
относительно знакомую и вполне понятную ученикам задачу решения
треугольников (прямоугольных, потом косоугольных), для чего вводились
тригонометрические величины улов сначала от 0 до 90°, потом от 0 до
180°. После этого расширялась область изменения аргумента-угла и стави-
лась новая задача - изучение тригонометрических функций. Таким обра-
зом, эти учебники реально осуществляли внутрипредметные связи матема-
тики, что является, по мнению ВТ. Чичигина1, несомненным их достоин-
ством. Они в той или иной мере связывали тригонометрию с предшест-
вующим курсом геометрии (решение треугольников), а потом вводили
учащихся в новый курс гониометрии, который по своим методам доста-
точно близко примыкает к курсу алгебры (тождественные преобразования,
функции).
Авторы учебников второй группы Н. Рыбкин, Н. Шапошников, Ф. Си-
машко3 и др. сразу начинали курс гониометрии, т.е. сразу вводили триго-
нометрические величины углов, устанавливали зависимости между ними и
формулировали правила тождественных преобразований. Только после
этого вводился курс решения треугольников. Таким образом, учащиеся
сразу вводились в совершенно новый круг идей и методов «без всякой
связи с курсом геометрии и без видимой связи с курсом алгебры4». Это
приводило к тому, что ученики формально выводили и запоминали огром-
ное количество формул без применения их вне курса тригонометрии, что
создавало существенные затруднения в его изучении.
В 1906 г., как уже говорилось, изменена программа курса тригономет-
рии в реальных училищах, в которой введено концентрическое изучение
тригонометрии. В связи с этим появляется ряд новых учебников тригоно-
метрии5. В них не только реализована идея концентрического изучения
1 Гебель В. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3. 1911; Билибин Н. Курс триго-
нометрии. Ч. I. 1909. Ч. II. 1910; Слетов. Прямолинейная тригонометрия. 1915.
2 Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. С. 16.
3 Рыбкин Н. Учебник прямолинейной тригонометрии; Шапошников Н. Курс
прямолинейной тригонометрии. 1918; Симашко Ф. Тригонометрия. 1900.
4 Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. С. 16.
5 Мрочек В. Прямолинейная тригонометрия. 1908; Шидловский В. Курс прямоли-
нейной тригонометрии, приспособленный к первому ознакомлению с этим
предметом. 1909; Билибин Н. Курс тригонометрии. 1909; Шифф В.
Прямолинейная тригонометрия. Изд. 2. 1910; Курилко П. Сборник задач по
129
тригонометрии, но осуществлен и ряд новых идей в изложении самого
курса. К ним можно отнести следующие1. Дается исторический очерк
развития идей тригонометрии. В связи с введением пропедевтического
курса пересматривается вопрос об определениях тригонометрических
функций: на пропедевтическом этапе вводятся определения синуса, коси-
нуса и тангенса как отношения сторон прямоугольного треугольника; при
переходе к решению косоугольных треугольников эти определения обоб-
щаются с помощью проекций (В. Мрочек и др.). Большое внимание уделя-
ется приложениям решений треугольников при съемке планов, измерении
высот, триангуляции (В. Мрочек, Н. Билибин и др.).
В процессе систематического изучения тригонометрии (гониометриче-
ские функции) вводится понятие о векторах, широко используются графи-
ки тригонометрических функций, подробно рассматривается вопрос о
вычислении приближенных значений функций, о составлении тригономет-
рических таблиц. В некоторых учебников не менее подробно изучаются
обратные тригонометрические функции. Существенно улучшается изуче-
ние тригонометрических уравнений за счет введения теории их решений,
совершенствовании задач, широкого использование приложений.
В 1907 г. в учебнике Д. Ройтмана “Курс элементарной геометрии со
включением начал тригонометрии, изложенной по измененной системе”
предложена новая оригинальная система изложения тригонометрии. Суть
ее заключается в том, что тригонометрические величины связываются с
геометрической темой “Подобие фигур”. С помощью подобия вводятся
понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, используя которые
решаются прямоугольные треугольники. Этот подход не только обеспечи-
вает пропедевтику систематического курса тригонометрии, но и облегчает
и обобщает многие теоремы геометрии (формула для вычисления квадрата
стороны треугольника, пропорциональные отрезки в треугольнике и круге
и др.), упрощает решение многих задач. Кроме того, Ройтман предлагает
ввести в курс геометрии некоторые понятия и теоремы сферической
гониометрии, которые необходимы для сознательного восприятия учащи-
мися математической географии и астрономии.
Концепция Ройтмана не нашла официальной поддержки. В “Журнале
министерства народного просвещения” (апрель 1908) была опубликована
рецензия, в которой она была названа “ненужным новшеством, крайне
тригонометрия. Изд. 2. 1910; Курилко П. Сборник задач по элементарному курсу
гониометрии и тригонометрии. Одесса, 1914 и др.
1 См.: Ланков А.В. К истории развития ... С. 119.
130
неумелым и беспомощным”. Иначе обстояло дело в методическом
сообществе. Идея пропедевтического курса, связанного с геометрией,
нашла методическое воплощение в нескольких вскоре вышедших в свет
учебниках1. Но наиболее удачным оказалась реализация этой идеи у
самого Ройтмана. История показала, что по этому пути пошло развитие
преподавания тригонометрии не только в России (в советский период), но
и во многих странах Запада.
Перейдем к более подробной характеристике учебных книг по триго-
нометрии второй половины XIX и начала XX в.
«Программа и конспект тригонометрии для руководства военно-
учебных заведений» М.В. Остроградского. Это сочинение Остроград-
ского опубликовано в Петербурге в 1851 г. и на многие годы предопреде-
лило изучение тригонометрии не только в военно-учебных заведениях, но
во всех типах школ.
Во введении Остроградский разъясняет необходимость изучения три-
гонометрии и определяет ее предмет: «предмет тригонометрии состоит в
решении треугольников, т.е. в разыскании неизвестных его частей по
данной стороне и двум другим частям». Основная идея, заложенная в
программу, - «устранить из курса все «тренировочно-математическое»,
подчинить отбор материала главной цели - ознакомлению с тригономет-
рическими величинами»* 2. Именно поэтому основную часть содержания
курса тригонометрии автор видит в решении прямоугольных треугольни-
ков, «предпосылая им определение тригонометрических линий как отно-
шение сторон этих треугольников (причем длина гипотенузы принимается
за единицу) и специально построенные таблицы»3.
За решением прямоугольных треугольников следует решение косо-
угольных треугольников, основанное на теореме синусов. Она выводится
из рассмотрения диаметра круга, описанного около треугольника. Форму-
лы тангенса половинного угла, суммы и разности синусов, синуса суммы и
разности остроумно выводятся с помощью специальным образом постро-
енного треугольника.
Что касается приложений тригонометрии к военному делу (артилле-
рии, фортификации, топографии и др.), то даются только общие указания,
разработка этих вопросов предоставляется авторам руководств по триго-
нометрии и непосредственно преподавателям математики.
Например, учебник: Баранов П.А. Решение треугольников в курсе геометрии с
приложением таблиц катетов. 1910.
2 Михаил Васильевич Остроградский // Под ред. И.Б. Погребысского и А.П.
Юшкевича. М., 1961. С. 15-16
3 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 279.
131
Курс тригонометрии М.В. Остроградского выгодно отличается от мно-
гих других, по мнению И.А. Марона и И.Б. Погребысского1, компактно-
стью, цельностью и ясностью изложения материала, а также остроумием
доказательств
«Тригонометрия» Ф.И. Симашко. На основании конспекта М.В.
Остроградского преподаватель математики Павловского кадетского корпу-
са Франц Иванович Симашко разработал и опубликовал свой учебник
тригонометрии (СПб., 1852). В предисловии автор писал: «В предлагаемом
руководстве к тригонометрии по указанию академика М.В. Остроградско-
го, определения тригонометрических величин выведены из рассмотрения
прямоугольных треугольников, независимо от круга». Далее дается не-
сколько узкое, но ясное определение предмета тригонометрии: «Предмет
тригонометрии состоит в решении треугольников»2.
Ограничив таким образом предмет тригонометрии, автор вообще не
рассматривает секанс и косеканс, а все остальные тригонометрические
линии выводит из прямоугольного треугольника.
Как считает В.Е. Прудников3, достоинствами учебника тригонометрии
Симашко являются четкая авторская позиция, небольшой объем, а также
ясность и четкость изложения. Из недостатков можно отметить отсутствие
в учебнике радианного измерения углов, величина их выражается только в
градусах, минутах и секундах.
Вышедшее в 1857 г. почти не измененное второе издание учебника
тригонометрии Ф.И. Симашко было одобрено Ученым комитетом мини-
стерства народного просвещения в качестве руководства для гимназий и в
течение многих лет являлось одним из лучших учебников тригонометрии
отечественной школы.
В 1886 г. вышло 3-е, практически новое издание «Тригонометрии»
Симашко, которое состоит из пяти отделов. 1. Предмет тригонометрии;
определение тригонометрических величин; изменение тригонометриче-
ских величин при изменении углов от 0 до 360°; тригонометрические
величины отрицательных углов; приведение тригонометрических величин
1 Марон И.А., Погребысский И.Б. О педагогическом наследии М.В. Остроградского
// Михаил Васильевич Остроградский / Под ред. И.Б. Погребысского и А.П.
Юшкевича. М., 1961. С. 17.
2Видимо, понимая недостаток такого определения предмета тригонометрии,
Симашко во втором издании «Тригонометрии» (1857) несколько его расширил,
добавив слово «преимущественно».
3 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 582.
132
к первой четверти; зависимость между тригонометрическими величинами
одного и того же угла. 2. Зависимость между тригонометрическими вели-
чинами различных углов; приведение формул к виду, удобному для лога-
рифмирования. 3. Тригонометрические таблицы. 4. Зависимость между
сторонами и углами треугольников; решение прямоугольных и косоуголь-
ных треугольников; измерение площадей. 5. Приложения решения тре-
угольников к решению практических задач.
Это издание не потеряло преимуществ двух первых: оно компактно и в
то же время подробно, изложение ясно и общедоступно. Удачны иллюст-
рации чертежами, помещенными в самом тексте, и тщательно разобран-
ными примерами решения задач и упражнений.
Учебник тригонометрии Ф.И. Симашко продержался почти 50 лет
(шестое издание его состоялось в 1907 г.). Но за свою долгую жизнь он
пережил значительную эволюцию в зависимости от требований, которые
предъявлялись к школе вообще и к курсу тригонометрии в частности.
«Руководство прямолинейной тригонометрии» А.Ф. Малинина.
Публикацией этого руководства в 1862 г. Малинин начал свою учебно-
литературную деятельность.
Содержание этого руководства таково: «Предисловие. Введение. I.
Тригонометрические величины и их взаимное отношение. II. Изменение
тригонометрических величин при изменении дуги от 0 до 360° и далее. III.
Тригонометрические величины суммы и разности дуг, кратных и дробных
дуг. IV. Приведение формул к виду, удобному для логарифмических
вычислений. V. Вычисление тригонометрических величин какой-нибудь
дуги. Расположение и употребление тригонометрических таблиц. VI.
Соотношения между сторонами и углами треугольника. VII. Решение
треугольников. VIII. Разные задачи.
Как и другие учебники Малинина, учебник тригонометрии написан
ясно и доходчиво, причем, это осознанная позиция автора: в предисловии
он пишет: «Я старался сделать изложение по возможности простым и
понятным для учащихся и потому избегал неясных определений и выбирал
такие доказательства и объяснения, которые приводят к цели скорее и
проще». Так, Малинин совершенно определенно и четко решает одну из
важнейших проблем курса - проблему определения тригонометрических
величин: «В некоторых курсах, - пишет он, - различаются тригонометри-
ческие величины угла и дуги; по моему мнению, это только спутывает
понятия ученика, и потому я определил тригонометрические величины как
длины известных линий в круге при радиусе, равном единице».
Учебник тригонометрии Малинина отличается прекрасным подбором
задач, над которыми автор работал практически к каждому новому изда-
133
нию: начиная с 4-го издания (1868) число задач в каждом последующем
издании значительно увеличивалось. Так, в 7-м издании (1875) их 420,
почти втрое больше, чем в 1-м издании.
Содержание «Руководства к прямолинейной тригонометрии» Малини-
на полностью соответствовало программе по математике. Во многом
поэтому оно в 1867 г. по предложению П.Л. Чебышева было одобрено
Ученым комитетом министерства народного просвещения в качестве
руководства для гимназий. В отзыве Чебышев так характеризует учебник
тригонометрии Малинина: «По рассмотрении этого сочинения я нашел,
что оно отличается и полнотою содержания, и ясностью изложения, а
вместе с тем составляет курс тригонометрии объема весьма незначитель-
ного. По соединении таких достоинств сочинение г-на Малинина пред-
ставляет очень хорошее руководство для преподавания тригонометрии, а
потому я нахожу нужным ... предложить этот курс тригонометрии для
употребления руководством в гимназиях всех округов». Мы уже говорили
об очень строгом отношении Чебышева к рецензируемым учебникам,
поэтому его высокую оценку «Тригонометрии» Малинина можно считать
достаточно объективной.
«Руководство к прямолинейной тригонометрии» А.Ф. Малинина
пользовалась большой популярностью среди учителей. В 1886 оно вышло
11-м изданием и разошлось в количестве 14000 экземпляров, в 1909 г.
вышло 19-е издание этого замечательного учебника.
«Курс прямолинейной тригонометрии и собрание тригонометрических
задач» Н. Шапошникова. Этот учебник тригонометрии известного методи-
ста-математика Н. Шапошникова опубликован в 1880 г.
В нем осуществлен функциональный подход к изучению тригономет-
рии: курс начинается с понятия функции, затем в нем изложено учение о
тригонометрических функциях. В учебном пособии прекрасно подобраны
задачи и упражнения.
Курс тригонометрии Шапошникова был одобрен Ученым комитетом
министерства народного просвещения в качестве учебного руководства
для гимназий. В 1890 г. выходит с небольшими изменениями 3-е издание
учебника тригонометрии Шапошникова, который удостоен высшей награ-
ды - премии Петра Великого. В дальнейшем вышло еще 20 изданий
учебника, из них последнее, 23-е в 1918 г.
Шапошников, имея сложившуюся оригинальную систему взглядов на
преподавание математики, постоянно совершенствует свои учебники. В
1904 г. он выпускает «Новый курс алгебраической прямолинейной триго-
нометрии», построенный на векторной основе и комплексных числах. Эта
книга не получила широкого распространения, сам автор в предисловии
134
пишет, что она является учебным руководством для более или менее
отдаленного будущего.
Учебники тригонометрии Н. Рыбкина. Первое, очень сжатое (51 с.)
издание учебника тригонометрии Рыбкина вышло в 1888 г. под названием
«Конспект прямолинейной тригонометрии». В нем отсутствует термин
«функция», тригонометрические функции называются «тригонометриче-
скими числами» углов (или дуг), «как отвлеченные числа (положительные
или отрицательные), выражающие направление и относительную длину
тригонометрических линий».
В предисловии автор писал: «Если конспект (напечатанный в неболь-
шом количестве экземпляров) окажется пригодным, то второе издание
будет снабжено задачами и приведено к типу конспективного учебника».
Книга получила одобрение педагогической общественности, и в 1894 г.
вышло новое ее издание под заглавием «Прямолинейная тригонометрия».
Она состояла из двух выпусков: первый содержал гимназический курс
тригонометрии, второй - дополнение для реальных училищ.
Учебник тригонометрии Рыбкина, как считает А.В. Ланков1, был «ти-
пичным формалистическим учебником», обладавшим следующими недос-
татками: отсутствовала пропедевтика, функции определялись через «три-
гонометрические линии», недостаточны приложения, решение треуголь-
ников преобладало над учением о функциях2. Тем не менее, «Прямолиней-
ная тригонометрия» Рыбкина не только получила наибольшее распростра-
нение в конце XIX - начале XX в., но и после переработки долгое время
была стабильным учебником тригонометрии в советский период развития
отечественного школьного математического образования.
3.5.	Классический комплект отечественных учебников математи-
ки для гимназий
Во второй половине XIX и начале XX века в связи с достаточно быст-
рым развитием сети начальных и средних школ в России появилось значи-
тельное количество разнообразных учебных пособий по школьным мате-
матическим дисциплинам отечественных авторов. К концу XIX в. в ре-
зультате конкуренции сформировался комплект учебников, которые мы
называем учебниками, соответствующими российской модели классиче-
ской системы школьного математического образования3. Они соответство-
* Ланков А.В. К истории развития ... С. 117.
2 История отечественной математики. Т.2. Киев: Наукова думка, 1967. С. 554.
3 См. также: Андронов И.К. Полвека развития ... С. 8-10.
135
вали программам по математике для начальной и средней школы конца
XIX в.
Для начальной школы. Книги В.А. Евтушевского «Сборник арифмети-
ческих задач» в двух частях (выдержал около полусотни изданий) и
«Методика арифметики» (выдержала около 20 изданий); А.И. Гольденбер-
га «Сборник задач и примеров» и «Методика начальной арифметики»
(выдержала 25 изданий).
Как уже говорилось, в основу методики Евтушевского положено мо-
нографическое изучение чисел, в то время как методические принципы
книг Гольденберга - изучение 4-х арифметических действий над числами.
Последователями Гольденберга были Ф.И. Егоров, К.П. Аржеников и В.К.
Беллюстин, книги которых для начального изучения арифметики также
входят в комплект классических учебных пособий по математике. Это
«Арифметика и сборник арифметических задач» и «Методика арифмети-
ки» (выдержала 6 изданий) Егорова; «Сборник арифметических задач и
примеров для начальных училищ» (выдержал десятки изданий, выходил с
изменениями и после 1917 г.), а также «Уроки начальной арифметики»,
позднее названные «Методикой начальной арифметики» (последнее
издание вышло в 1935 г.). «Арифметический задачник» I, II, III и IV годов
обучения (выдержал около 10 изданий) и «Методика арифметики» (пере-
издававшаяся много раз вплоть до 1919 г.) В.К. Беллюстина.
Развивал методику изучения действий и С.И. Шохор-Троцкий, в осно-
ву книг которого был положен разработанный им метод целесообразных
задач. Он является автором «Сборника упражнений по арифметике для
учащихся в народной школе» в трех частях (выдержал 12 изданий) и
«Методики арифметики» (около 10 изданий), которые также входят в
комплект классических учебных пособий по математике для начальной
школы.
Для средней школы. Из многих десятков печатных учебных пособий
наибольшее распространение с середины XIX в. получили следующие
учебники, согласованные с программами по математике 1890 г. и относя-
щиеся нами к классическим учебным пособиям по математике.
По арифметике это книги А.Ф. Малинина и К.П. Буренина «Руково-
дство арифметики для гимназий» (издававшееся с некоторыми изменения-
ми 40 раз) и «Собрание арифметических задач» (выдержало 41 издание);
А.П. Киселева «Систематический курс арифметики» (30 изданий).
По алгебре «Элементарная алгебра» А.П. Киселева (выдержала 33 из-
дания); «Методически обработанный сборник алгебраических задач с
136
текстом общих объяснений и разнообразными практическими указаниями»
Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцова (издавался с изменениями до 1960 г.,
выдержал более 100 изданий); «Пятизначные таблицы логарифмов» Е.М.
Пржевальского, выходившие с 1861 по 1923 г. (свыше 50 изданий), кото-
рые вытеснили из школы громоздкие семизначные таблицы логарифмов.
По геометрии «Элементарная геометрия» А.П. Киселева с набором за-
дач на построение; «Сборник геометрических задач на вычисление» в двух
частях Н.А. Рыбкина. Эти учебные книги по геометрии переиздавались с
изменениями до 60-х гг. XX в.
По тригонометрии «Учебник прямолинейной тригонометрии для сред-
них учебных заведений» и «Сборник тригонометрических задач для
средних учебных заведений» Н.А. Рыбкина, впервые изданные в середине
90-х гг. XIX в., позже объединены в одну книгу «Учебник прямолинейной
тригонометрии и собрание задач».
Заключение
Общие итоги развития отечественного математического образова-
ния в XIX - начале XX в.
XIX век - век создания отечественной системы гимназического мате-
матического образования, которую мы называем классической системой
школьного математического образования. Она является подсистемой
международной системы классического школьного математического
образования, которая функционировала в Европе в это же время. Поэтому
основной итог века: за два столетия Россия преодолела практически 500-
летний разрыв с Европой в развитии математического образования, кото-
рый был характерен для конца XVII в.
Международная классическая система математического образо-
вания характеризуется следующими чертами: 1) четким делением матема-
тики в образовательном пространстве на элементарную, которая изучается
в средней школе, и высшую, которая изучается в высшей школе;
2)разделением элементарной математики на четыре учебных предмета -
арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию с нечетко прочерчен-
ными связями между ними; 3) изучением в начальной школе не подготови-
тельного курса математики, а только арифметики в пропедевтическом ее
варианте; 4) изучением в высшей школе математики XVII-XVIII вв. в
качестве отдельных предметов - аналитической геометрии и математиче-
137
ского анализа, в качестве отдельные, не связанных между собой предме-
тов.
Жизненность и высокая продуктивность этой системы подтверждается
тем, что она восстановлена в ЗО-е гг. XX в. после бесплодных постреволю-
ционных попыток поиска новых моделей образования и трансформирова-
лась в советскую систему отечественного школьного математического
образования, которая доказала свою высочайшую мировую эффективность
к середине этого века.
Образовательная политика высшего руководства страны в течение
XIX в. подвергалась значительным колебаниям. Либеральные образова-
тельные реформы начала века, связанные с царствованием Александра I и
именем М.М. Сперанского, после войны с Наполеоном и - особенно -
восстания декабристов 1825 г. сменяются ужесточением сословных огра-
ничений при получении образования и усилением классического начала,
что негативно отражалось прежде всего на качестве математического
образования. Эти тенденции усилились в конце царствования Николая I
после революции во Франции. Пришедший к власти Александр II считал
образование и науку мощным стимулом государственного развития. При
нем либеральные образовательные тенденции возобладали, что проявилось
прежде всего в возвращении свобод университетам, устранении сословно-
сти образования, большим вниманием в гимназическом образовании к
естественно-математическим дисциплинам, широким обсуждением обще-
ственностью в 60-х гг. XIX в проблем образования, в том числе математи-
ческого.
Либеральные образовательные реформы достаточно быстро сменились
контрреформами, связанными с принятым в 1871 г. новым уставом гимна-
зий, в котором были серьезно поражены в правах дисциплины естествен-
но-математического цикла. Борьба с либеральными тенденциями продол-
жилась и в 80-90-е гг. XIX столетия: введен новый университетский устав,
уничтоживший даже ограниченный характер университетской автономии,
укрепились охранительные и сословные традиции, нашедшие свое отраже-
ние в знаменитом циркуляре «о кухаркиных детях», основная цель матема-
тического образования формулируется как исключительно формально-
умственное развитие учащихся. В конце 90-х гг. XIX и в начале XX в.
началась подготовка к существенным реформам в образовании, в том
числе математическом, которая, к сожалению, была прервана. Заключи-
тельный этап досоветской истории математического образования совпада-
ет со сложными условиями первой мировой войны, когда образованию со
стороны высшего руководства страны уделяется отнюдь не первостепен-
ное внимание.
138
Идея ценности образования на протяжении всего XIX в. проникает
практически во все пласты российского общества, приобретая особую силу
в разночинных его слоях, в которых получение гимназического и универ-
ситетского образования стало насущной потребностью, средством повы-
шения социального статуса и карьерного роста. Образовательная политика
высшего руководства страны, как уже говорилось, на протяжении века
часто была направлена на сдерживание этих тенденций. Низшие же сосло-
вья, как правило, ограничивались начальным образованием или оставались
неграмотными.
Доминирующей образовательной парадигмой в XIX в. стала пара-
дигма гимназического математического образования. Она функционирова-
ла в рамках гимназической образовательной системы, которая давала,
наряду с кадетскими корпусами и коммерческими училищами, наиболее
качественное математическое образование среднего уровня. Внутри этой
системы на протяжении всего XIX и начала XX в. сохранялось жесткое
противостояние между классической и реальной моделями образования:
если в первой четверти XIX в. оно разрешалось в пользу реального образо-
вания, в котором доминировали предметы естественно-математического
цикла, то во второй его четверти ситуация меняется в сторону усиления
классического образования с превалированием древних языков. Эти же
процессы продолжаются и во второй половине века: в 60-х гг. в связи с
общей либерализацией количество реальных училищ значительно увели-
чилось, декларировано право выбора между этими двумя образовательны-
ми подсистемами, им предоставлены одинаковые права. Однако уже в 70-х
гг. все гимназии были преобразованы в классические, предметы естествен-
но-математического цикла существенно урезаны. Такое положение
сохранялось и в начале XX в.
Содержание математического образования в течение XIX в. под-
верглось значительным изменениям. Несмотря на то, что еще Л.Эйлер в
первой половине XVIII в. выделил в качестве основных математических
дисциплин арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию, гимназиче-
ское математическое образование в первой четверти XIX в. исчерпывалось
учебной дисциплиной, которая называлась «чистая и прикладная матема-
тика и опытная физика». Само название говорит о том, что контекстная
модель математического образования еще не во всем изжита, полностью не
осуществлен переход к его общекулыурной парадигме. Арифметика
изучалась в приходских и уездных училищах. Чистая математика включала
в себя геометрию, плоскую тригонометрию, алгебру до уравнений третьей
степени с приложением к геометрии и коническим сечениям, элементы
139
аналитической и начертательной геометрий, начала дифференциального и
интегрального исчислений.
Только устав 1828 г. в основном покончил с многопредметностью и
содержательной неопределенностью математического образования, ис-
ключив из числа учебных дисциплин прикладную математику. Этим же
уставом впервые предусматривался обязательный для исполнения учебный
план, различный для двух типов гимназий - с одним или двумя древними
языками. В 1832 г. были введены первые краткие, но единые программы по
математике, которые включали кроме элементарной математики основы
аналитической и начертательной геометрии. С этих пор содержание
математического образования регламентируется программами по матема-
тике.
В проекте программы 1846 г. изъяты элементы высшей математики,
расширено изучение арифметики и алгебры, введены начала тригономет-
рии, значительно усилена прикладная сторона преподавания всех матема-
тических дисциплин. Программа 1852 г. рассчитана на полный гимназиче-
ский срок, отличаясь от предыдущей несколько иным распределением
материала по классам, а также включением в курс алгебры комбинаторики
и бинома Ньютона. Она оказалась очень перегруженной, вместе с тем в
ней отсутствовали разделы о неравенствах и функциях.
Либеральный устав гимназий 1864 г. не содержал программ изучения
отдельных образовательных областей. Объем изучаемого материала
определялся инструкцией, характеризовавшей содержание математики
лишь в общих чертах, в рамках которых программы имели право состав-
лять сами учителя с последующим утверждением педагогическим советом.
Пользуясь этим правом, в ряде учебных округов начали вводить в препо-
давание элементы высшей математики.
В начале 70-х гг. относительно либеральный устав гимназий заменен
уставом, действовавшим без существенных изменений до 1917 г., с приня-
тием которого русская гимназия получила единые, стабильные, общегосу-
дарственные программы по всем предметам, в том числе и по математике.
Программа по математике 1872 г. была составлена при участии П.Л.
Чебышева, окончательно определяла в качестве школьных математических
дисциплин арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию, предлагала
жесткий порядок изучения этих дисциплин по годам обучения. Объем
изучения математики сохранялся примерно таким же, как и в программе
1852 г., с некоторыми изменениями с целью ее разгрузки и приведения в
соответствие с возрастными особенностями учащихся. В 1890 г. в про-
граммы 1872 г. были внесены некоторые изменения и дополнения, которые
касались преимущественно более рационального распределения тем по
140
классам. Впервые в истории русской гимназии программе была предпо-
слана объяснительная записка, содержащая методические указания ко
всему курсу математики и отдельным математическим дисциплинам.
Программы 1890 г. сохранились в русской гимназии до 1917 г., несмотря
на неоднократные попытки реформировать школу, предпринятые в начале
XX в.
Методика преподавания математики как наука и методическая
литература в XIX - начале XX в. развивались очень динамично. Если в
XVIII в. методические идеи формулировались лишь в предисловиях к
учебникам математики, то на рубеже XIX в. в трудах С.Е. Гурьева и его
последователей зарождается отечественная, методика математики как
наука. Гурьев опубликовал первый в европейской научной литературе
методический труд «Опыт о усовершении елементов геометрии), методи-
чески обосновал оригинальную систему математического образования,
основой которой являлось изучение математики концентрами, создал под
нее серию учебников математики. Он впервые методически обосновал
разделение математического образования на три уровня - начальный,
средний и высший, обозначил их математическое содержание.
В первой половине XIX в. появляются законченные методические со-
чинения Буссе, П.С. Гурьева, Буняковского преимущественно по методике
арифметики, создаются рукописные методические труды Лобачевского. В
конце XIX и начале XX в. оригинальные идеи разрабатываются в методи-
ческих сочинениях Гольденберга, Шохор-Троцкого, Ермакова, Беллюсти-
на, Галанина и др. В 1910 г. публикуется первая книга по общей методике
математики Мрочека и Филипповича под названием «Педагогика матема-
тики. Исторические и методические этюды».
Методика арифметики развивается наиболее интенсивно. Основы ее
заложены в первой половине XIX в. Во второй его половине в методиче-
ской литературе ведется острая дискуссия между сторонниками изучения
арифметики по «методу Грубе» (Евтушевский, Паульсон и др) и противни-
ками (Гольденберг, Латышев, П.С. Гурьев и др.). В 80-90-х гг. публикуется
большое количество книг по методике арифметики (Мартынов, Егоров,
Вишневский, Лубенец, Аржеников, Беллюстин, Житков, Волковский),
сопровождаемых, как правило, изданием сборника задач по арифметике. В
них болььшое внимание уделяется средствам наглядности, проблеме
организации самостоятельной работы учащихся. К сожалению, эти книги
часто страдали рецептурностью. В книгах по методике арифметики Шо-
хор-Троцкого представлена целостная методическая система обучения
арифметике, основанная на разработанной автором «методе целесообраз-
ных задач», которая во многом сохранила свою актуальность.
141
Методика геометрии развивается менее динамично. После первого в
России методического сочинения по геометрии С.Е. Гурьева, созданного
на рубеже веков, разработка методики геометрии надолго приостановлена.
Положение изменяется лишь в 60-х гг. XIX в., когда в методической
печати начинают дебатироваться вопросы о начальной геометрии, о
методике ее пропедевтического курса (Гейлер, Евтушевский, Латышев).
Первым серьезным трудом по методике систематического курса геомет-
рии, опубликованным в 80-х гг. XIX в., является книга Острогорского
«Материалы по методике геометрии». В ней содержатся теоретические
основы методики геометрии, фоном которых является критический анализ
учебников. Много внимания уделено проблемам методики геометрии на
Всероссийских съездах преподавателей математики (Извольский, Ройтман,
Кулишер, Лексин, Попруженко, Богомолов, Долгушин, Синцов, Крамарен-
ко, Шапошников, Некрасов). В докладах дискутируются проблемы совер-
шенствования систематического и необходимости пропедевтического
курсов геометрии, включения в курс средней школы элементов высшей
геометрии, изучения основ неевклидовой геометрии в «элементарной
обработке».
Методические проблемы школьного курса алгебры в первой половине
XIX в. практически не ставились. Исключением можно считать предисло-
вие к книге «Алгебра, Или исчисление конечных» Лобачевского, в котором
формулируются и некоторые методические идеи. Только в 60-х гг. начи-
нают активно дискутироваться такие проблемы методики алгебры, как
формулировка целей ее изучения, поиск методов перехода от арифметики
к алгебре, включение в курс алгебры в качестве одного из основных
понятия функции, совершенствование учебников. Проблема пропедевти-
ческого курса алгебры разрабатывается в методических трудах Странно-
любского, Евтушевского и Глазырина, в то время как методика системати-
ческого курса алгебры практически не развивается. Лишь в 90-х гг. публи-
куется методическое сочинение Ермакова «О преподавании алгебры», в
котором рассматриваются некоторые проблемы методики систематическо-
го курса алгебры. Особое внимание уделяется проблеме внедрения в
школьный курс идеи функциональной зависимости. Еще в середине XIX в.
их высказывали Остроградский, его ученики Тихомандрицкий и Шкларе-
вич. Многие методисты второй половины века (Шохор-Троцкий, Сердо-
бинский, Шереметевский, Виноградов, Лебединцев) рассматривали введе-
ние функциональной зависимости в школьный курс алгебры в качестве
средства повышения его научности, связи с естествознанием и экономи-
кой. Обобщены идеи внедрения понятия функции в школу Лебединцевым
в труде «Основные положения методики учения о функциях и элементах
142
анализа в школах II ступени». Эта проблема широко дискутировалась на
Всероссийских съездах преподавателей математики (Васильев, Филиппо-
вич, Пичугин, Лермантов, Томилин, Бернштейн, Бакчинский).
Методика тригонометрии сложилась позже методик других дисцип-
лин. С некоторой натяжкой можно считать, что ей посвящен один из
разделов методического сочинения Лобачевского 1824 г. В нем ставится
задача построения достаточно строгого в научном отношении курса
тригонометрии, в основе которого - тригонометрия треугольника. В
середине XIX в. проблемами методики тригонометрии занимается Остро-
градский, позже Симашко, Страннолюбский. В их трудах ставится вопрос
о переходе от тригонометрии треугольников к тригонометрии «круговых
функций». Только в начале XX в. была принята достаточно удачная мето-
дическая система концентрического изучения тригонометрии: первый
концентр - пропедевтический - строился как тригонометрия треугольника,
второй концентр - систематический - содержал теорию тригонометриче-
ских функций. Эта система, к сожалению, практически не нашла своего
реального воплощения. В это же время выходит фундаментальная книга
Шмулевича «Курс прямолинейной тригонометрии и методы решения
тригонометрических задач». Все же вопросы преподавания школьного
курса тригонометрии находятся на периферии методики математики,
практически не поднимаются на Всероссийских съездах.
Методическая периодика возникла в 30-х гг. XIX в. в виде первого пе-
риодического издания для учителей математики под названием «Учебный
математический журнал». Методико-математические публикации широко
представлены в общепедагогическом журнале «Педагогический сборник»
(с 1836 г.). Методическая периодика в достаточно широком формате
возрождена в 60-е годы. Сменяя друг друга, или печатаясь параллельно,
методико-математические журналы издавались вплоть до 1917 г. Это
«Вестник математических наук», «Математический сборник», «Математи-
ческий листок», «Журнал элементарной математики», «Вестник опытной
физики и элементарной математики», «Физико-математические науки в их
настоящем и прошедшем», «Математическое образование». Первые
методические журналы делали акцент на проблемах элементарной матема-
тики, стремясь показать, что ее идеи и методы выходят за пределы гимна-
зического курса; к концу века начинают доминировать публикации, попу-
ляризирующие современные достижения математики, в том числе геомет-
рию Лобачевского; в дальнейшем акценты смещены в сторону обсуждения
чисто методических проблем обучения математике. Журналы чаще всего
издавалась на средства редактора, который был, как правило, и основным
автором, из-за материальных затруднений закрывались. Судьба русской
143
математической журналистики была очень трудной, т.к. в ее финансирова-
нии государство практически не участвовало.
Математические книги научно-популярного характера начинают из-
даваться в конце XIX - начале XX в. Сначала это были преимущественно
переводные издания. Уже в первом десятилетии XX в. опубликованы три
тома книги Игнатьева «В царстве смекалки», переиздающейся и до сих
пор. Позже изданы исторические очерки Беллюстина «Как дошли люди до
настоящей арифметики». Появляются интересные сборники софизмов
Обреимова и много других книг занимательной математики.
Итак, можно констатировать, что в XIX в. в России была создана са-
мобытная научно-методическая школа. В ее рамках с той или иной интен-
сивностью разрабатывалась методика обучения всем математическим
дисциплинам. Приоритеты все же отданы методике начального курса
арифметики и методикам пропедевтических курсов алгебры, геометрии и
тригонометрии. Целостные методики изучения систематических курсов
математических дисциплин пока еще не созданы.
Учебная математическая литература в течение XIX - начала XX в.
развивалась очень динамично. В начале XIX в. процесс ее внедрения в
математическое образование поставлен под государственный контроль:
при министерстве создано Главное правление училищ, которое с переры-
вами действовало весь рассматриваемый период. Оно анализировало и
рекомендовало учебники математики для использования их в гимназиях,
возглавлялось, в частности, такими авторитетными математиками и мето-
дистами, как Фусс, Чебышев.
В начале XIX в. комитет одобрил в качестве руководств для гимназий
сначала переводной учебник математики Кестнера, затем первые два тома
«Курса математики» Осиповского, которые отличались богатством содер-
жания и доступностью изложения, содержали арифметику, алгебру, гео-
метрию, прямолинейную и сферическую тригонометрию. Все же это был
не учебник для гимназии, а часть университетского курса математики.
Первый стабильный учебник для гимназии - «Начальные основания
чистой математики» Фусса. Он действовал в качестве основного с 1814 до
1828 г, содержал начальные основания алгебры и геометрии, приложения
алгебры к геометрии, плоскую тригонометрию, конические сечения и
основы дифференциального и интегрального исчисления. Можно считать
их учебниками третьего поколения, хотя они близко примыкают к учеб-
никам третьей группы второго поколения1.
1 См. первую книгу дилогии: Полякова Т.С. История отечественного... Век
восемнадцатый. С. 250.
144
В 30-х гг. XIX в. были рекомендованы учебники арифметики и гео-
метрии Буссе, которые мы считаем учебниками математики нового, чет-
вертого поколения в силу того, что впервые создан комплект книг по
арифметике для учителя и ученика - учебник, сборник задач и методиче-
ское пособие для учителя математики. Однако в различных учебных
округах, особенно в тех, которыми руководили математики - ректоры
университетов, использовались различные учебники и даже рукописные их
варианты. В Московском учебном округе это был «Гимназический курс
чистой математики» Перевощикова, в Казанском - учебники и рукописные
конспекты Лобачевского. В 40-е гг. для гимназий специально созданы
учебник геометрии Буссе и арифметики Буняковского.
Итак, в первой половине XIX в. происходил постепенный переход от
учебников чистой математики преимущественно университетского уровня
к специально созданным для гимназий учебникам по отдельным школь-
ным математическим дисциплинам. Они очищались от инородного и
устаревшего материалы, все больше отвечая требованиям обшекулыурной
модели среднего математического образования. В это же время предпри-
няты попытки создания методических комплексов, включающих учебник,
задачник и методическое пособие для учителя.
Под влиянием либеральных тенденций в 60-х гг. XIX в. министерст-
вом просвещения были объявлены конкурсы на подготовку лучших учеб-
ников. Сформулированы требования к учебникам математики, которым не
удовлетворила ни одна из представленных рукописей. Ученый комитет
рекомендовал оставить в качестве стабильных учебники Буссе.
Учебники арифметики. В 60-70-х гг. XIX в. кроме учебников Буссе
по-прежнему достаточно популярными были учебники и сборники задач
по арифметике Буняковского, а также Воленса, Леве, Щеглова. Набирали
популярность учебники и сборники задач Евтушевского по «методу
Грубе». Большое влияние на преподавание арифметики во всех типах
учебных заведений оказывал учебник арифметики Симашко, изданный для
учебных заведений военного ведомства. Все больший авторитет в учитель-
ских кругах завоевывал комплект, состоящий из учебника и задачника по
арифметике, Малинина и Буренина.
В конце XIX - начале XX в. практически все учебники арифметики
издавались в комплекте со сборниками задач. Большими тиражами в
течение многих лет публиковались пособия Гольденберга, Егорова, Арже-
никова, Беллюстина, Шохор-Троцкого. Все эти учебники в противовес
«методу Грубе» монографического изучения чисел строились на основе
изучения арифметических действий. Интересен комплект для гимназий,
состоящий из учебника и сборника задач, объединенных с методикой.
145
Постепенно все большую популярность приобретает учебник арифметики
Киселева, который издается гигантскими тиражами, постоянно совершен-
ствуется и постепенно вытесняет все другие учебные пособия по арифме-
тике.
Учебники геометрии. Иначе обстоит дело с учебниками геометрии: в
60-70-х гг. в гимназиях по-прежнему используется учебник Буссе. Только в
конце XIX - начале XX в. процесс создания учебников геометрии стал
более динамичным - было издано более 60 геометрических учебных книг.
Наибольшей популярностью среди них пользовались учебники Остроград-
ского, Ващенко-Захарченко, Малинина, Егорова, Глаголева, Давидова,
Извольского. В учебниках геометрии этого периода более четко осознается
логическая структура курса, используется понятие предела при измерении
длины окружности и площади круга, большое внимание уделяется истории
геометрии, тщательно подбирается система конструктивных и вычисли-
тельных задач и др. Большое внимание уделяется пропедевтике геометрии
чаще всего в виде отдельного курса наглядной геометрии (Косинский,
Малинин). Оригинальная система начальной геометрии предложена
Остроградским. В его учебнике геометрии изложение ведется гипотетиче-
ски-дедуктивным методом при отсутствии наглядности и высоком уровне
доказательности, что вызвало критику в педагогической печати. Широко
распространен учебник элементарной геометрии для гимназий Давидова,
который был одобрен Чебышевым в качестве руководства для гимназий.
Он отличался логической стройностью, глубокой продуманностью, разно-
образием материала, широкими практическими приложениями, уместными
историческими реминисценциями. Интересен учебник геометрии Шохора-
Троцкого, построенный на «методе целесообразных задач». Наибольшей
же популярностью пользовался учебник геометрии Киселева, переизда-
вавшийся несколько десятков раз, постепенно вытеснивший все другие
учебники геометрии, в советское время переработанный и принятый в
качестве стабильного до 70-х гг. XX в. и частично вернувшийся в школу
после не вполне удачной «колмогоровской» реформы математического
образования второй половины XX в.
Учебники алгебры. В первой половине XIX в. отдельные учебники ал-
гебры практически отсутствовали. Алгебра входила в качестве раздела в
курсы чистой математики Осиповского, Перевощикова, Погорельского.
Специальное пособие по алгебре создано Лобачевским, но оно было ближе
к университетскому, а не гимназическому курсу. Учебная литература по
алгебре стала относительно динамично развиваться только в 60-х гг. XIX в.
В качестве члена Ученого комитета Чебышев рекомендовал для препода-
вания в гимназиях учебники алгебры Тихомандрицкого и Сомова. Первый
146
из них, несмотря на многие методические достоинства, был плохо согласо-
ван с программой по математике, имел другие, достаточно существенные
недостатки. Учебник алгебры Сомова отличался лаконичностью и систе-
матичностью изложения, сочетающимися с достаточным уровнем строго-
сти, хотя многие вопросы были изложены с неточностью и неполнотой.
Курс алгебры Краевича не был рекомендован в качестве пособия для
гимназий, несмотря на существенные его достоинства: полнота содержа-
ния, систематичность изложения, сжатость и строгость языка. Один из
первых сборников задач по алгебре того же автора одобрен Ученым
комитетом и включен в каталог учебной литературы по математике. Как и
учебник алгебры Малинина и Буренина, который включал и сборник
алгебраических задач, отличался достаточной строгостью и доступностью,
соответствовал программам по математике. Включен в каталог и учебник
начальной алгебры Давидова, содержание которого шире гимназического
курса, содержит большое количество интересных и современных задач.
Курс алгебры Шапошникова и его же совместно с Вальцовым сборник
алгебраических задач, которые расположены по мере возрастания трудно-
сти и снабжены решениями или указаниями к ним, получает высокую
оценку учительства, одобряется Ученым комитетом, многократно переиз-
дается и даже удостаивается премии Петра Великого. Как и другие учеб-
ники Киселева, его «Элементарная алгебра» популярна в учительской
среде, многократно переиздается как в досоветский, так и в советский
период, когда он становится стабильным учебником алгебры. Новый этап в
развитии учебников алгебры - пособия Лебединцева, в которых парал-
лельно формируются линии числа и функции. В них впервые развит
конкретно-индуктивный метод изложения, подобраны задачи на раскрытие
свойств алгебраических функций и их графическое изображение. Одно из
пособий построено на идее изучения математики концентрами, первый из
которых строится конкретно-индуктивно, второй - абстрактно-дедуктивно.
Учебники тригонометрии. В первой половине XIX. тригонометриче-
ский материал входил в качестве части в учебники чистой математики. В
середине века военно-учебные заведения испытывают острую потребность
в отдельном пособии по тригонометрии, результатом которой явилась
«Программа и конспект тригонометрии...» Остроградского. Симашко,
следуя Остроградскому, опубликовал новый учебник тригонометрии,
который нашел широкое распространение во всех средних учебных заве-
дениях, как и учебник Малинина, опубликованный в 60-х гг. В 90-90-х гт.
вышло еще несколько достаточно качественных учебников тригонометрии
Пржевальского, Веребрюсова, Воинова, Торопова. Очень широкое распро-
странение получила «Прямолинейная тригонометрия» Рыбкина. В конце
147
XIX - начале XX в. появляются многочисленные учебники тригонометрии,
в основу которых положено представление о тригонометрических величи-
нах как функциях. В учебниках Гебеля, Билибина, Слетова и других
изложение начинается с решения треугольников, после чего область
изменения аргумента-угла расширяется и изучаются тригонометрические
функции. В учебниках Рыбкина, Шапошникова, Симашко вводили триго-
нометрические величины углов, устанавливали зависимости между ними и
знакомили учеников с формульной тригонометрией. Только после этого
решались треугольники. В начале XX в. введено концентрическое изуче-
ния тригонометрии, в связи с чем появляются учебники тригонометрии
Мрочека, Билибина и др., в основе которых лежит именно эта концепция.
В учебнике Ройтмана осуществляется связь тригонометрии с геометрией: с
помощью подобия вводятся понятия о тригонометрических функциях
острого угла и решаются треугольники, что обеспечивает пропедевтику
систематического курса геометрии, обобщает многие теоремы геометрии,
упрощает решение многих геометрических задач. Эта концепция, к сожа-
лению, не была официально поддержана. Она нашла свое развитие в
советский период и в большинстве стран Запада. Наибольшее распростра-
нение в конце XIX - начале XX в. получил учебник прямолинейной триго-
нометрии Рыбкина, который после переработки долгое время был ста-
бильным учебником тригонометрии в советский период.
В заключение сделаем выводы по поколениям учебников математики,
начиная со второй половины XIX в. Отметим некоторую условность
выделенных поколений, связанную с дифференциацией учебников матема-
тики на учебники по отдельным математическим дисциплинам, которые
развивались неравномерно. Все же в некотором приближении можно
говорить об учебниках математики 5-го поколения, созданных в 50-60-е гг.
XIX в. и составляющих комплект учебников по арифметике, алгебре,
геометрии и тригонометрии. Учебниками математики 6-го поколения
можно считать пособия конца XIX в., которые включают в себя учебники и
задачники по соответствующим математическим дисциплинам и часто
построены концентрами. Наконец, учебниками 7-го поколения можно
считать переработанные пособия 6-го поколения, выделенные в процессе
значительной конкуренции начала XX в. и названные нами классическим
комплектом учебников математики для гимназий. В него входят такие
учебники математики для начальной школы, как пособия по арифметике
Евтушевского, Гольденберга, Егорова, Беллюстина и Шохор-Троцкого.
Для гимназии это учебники Малинина и Буренина, а также Киселева по
арифметике; учебник элементарной алгебры Киселева и сборник алгебраи-
ческих задач Шапошникова и Вальцова; элементарная геометрия с набо-
148
ром задач на построение Киселева и сборник геометрических задач на
вычисление Рыбкина; его же учебник тригонометрии. Учебники этого
комплекта не только доминировали в дореволюционной отечественной
школе, но и явились основой учебников математики советского периода
практически до середины XX..
Движение за реформу сложившейся к концу XIX в. классической сис-
темы школьного математического образования - одна из характерных черт
его развития на рубеже XIX и XX вв. Это движение носило всемирный
характер в рамках Международных конгрессов математиков и Междуна-
родной математической комиссии под руководством Ф. Клейна. Можно
утверждать, что основные идеи реформирования математического образо-
вания начали дискутироваться в России в более ранние сроки, чем в
Европе.
Несмотря на высокую эффективность классической системы школьно-
го математического образования, она имела существенные недостатки,
среди которых можно выделить следующие: 1) несоответствие между
развивающейся математикой-наукой и учебным предметом; 2) разрыв
между элементарной и высшей математикой; 3) отсутствие пропедевтиче-
ского курса математики; 4) слабые взаимосвязи школьных математических
дисциплин; 5) отсутствие функциональной содержательно-методической
линии; 6) превалирование формально-логических целей обучения матема-
тике; 7) доминирование в сборниках задач заданий искусственного харак-
тера, мало связанных с практикой и даже учебниками математики; 8)
резкое разграничение функций учителя и ученика. Преодоление этих
недостатков в основном и явилось целью реформирования школьного
математического образования.
Идеи реформирования широко обсуждались в методической печати,
отделах математики научно-педагогических кружков и обществ, имевших
распространение по всей России, съездах представителей среднего про-
фессионального образования (коммерческих училищ, кадетских корпусов,
технических училищ и др.). Апофеозом движения за реформирования
стали I и II Всероссийские съезды преподавателей математики, состояв-
шиеся на рождественских каникулах 1911-1914 гг. в Петербурге и Москве,
в работе каждого из которых приняло участие более тысячи преподавате-
лей математики средних и высших учебных заведений России. Материалы
съездов изданы и стали достоянием широкой методико-математической
общественности страны.
Поддержку участников съезда нашли следующие группы идей. В об-
ласти целей математического образования: кроме формальной цели разви-
тия прежде всего логического мышления получила признание и цель
149
практическая, прикладная, позволяющая дать представление о математике
как мощном методе познания; важны и цели воспитания - научного,
этического, эстетического. В области содержания математического обра-
зования можно выделить следующие идеи: 1) расширение содержания за
счет элементов высшей математики, прежде всего идеи функциональной
зависимости, одновременно с одновременно с исключением устаревшего и
малоценного в общекультурном значении материала; 2) идея фуркации
обучения в старших классах средней школы; 3) идея преемственности
курсов математики средней и высшей школы, сближения математических
и естественнонаучных дисциплин; 4) идея связи обучения с жизнью,
требующая создания задачников нового типа, показывающих приложения
математики к различным областям науки, техники, жизни; 5) идея обога-
щения содержания математического образования элементами истории
математики. В области методов обучения математике: приведение методов
обучения в соответствие с психологическими особенностями возраста
учащихся; введение пропедевтических курсов с конкретно-индуктивными
методами обучения и постепенным переходом к абстрактно-дедуктивным
методам при систематическом изложении материала в старших классах;
широкое распространение лабораторного метода и практических работ;
использование методов, направленных на активизацию самостоятельной
работы, творческих и практических работ учащихся.
Это лишь важнейшие идеи и проблемы, поиск решений которых яв-
лялся целью движение за реформирование математического образования
на рубеже веков. Многие из них до сих пор не нашли своего решения,
некоторые показали свою несостоятельность. В практическом плане
реализации этих идей было сделано очень немногое в основном из-за
начавшейся вскоре первой мировой войны.
Традиции патроната математики как науки над математическим
образованием в первой половине XIX в. не только не ослабли, но про-
должают укрепляться в связи с официально признанным руководством
всего школьного образования, в том числе математического, со стороны
университетов. На рубеже XVIII и XIX вв. С.Е. Гурьев создает первое в
стране (может, и в мире) методическое сочинение, оригинальную систему
математического образования, в основу которой положено изучение
математики концентрами. В первой четверти века Фусс возглавляет Уче-
ный комитет при министерстве образования, который определяет политику
государства в учебной математической литературе. Им создан первый в
России учебник специально для гимназии «Начальные основания чистой
математики». Буняковский пишет учебники математики для школы,
принимает участие в работе различных комиссий методического характе-
150
ра, публикует одну из первых методик арифметики, занимает должность
главного наблюдателя за преподаванием математики в военно-учебных
заведений. В этой должности его сменяет Остроградский, который к тому
же преподает математику в кадетских корпусах, Главном педагогическом
институте, получив звание заслуженного профессора этого учебного
заведения. Он создает пособия по геометрии и тригонометрии для военно-
учебных заведений, которые оказали существенное влияние на гимназиче-
ские учебники по этим дисциплинам. Гениальный Лобачевский пишет
учебники элементарной геометрии и элементарной алгебры, серьезные
методические труды и даже выдающееся педагогическое сочинение «О
важнейших предметах воспитания». Математики-ректоры университетов
Осиповский (Харьковский), Перевощиков (Московский), Лобачевский
(Казанский) осуществляют компетентное научно-методическое руково-
дство школой, поставив школьное математическое образование в своих
округах на достаточно высокий уровень. Во второй половине XIX в. эти
традиции успешно продолжает Чебышев. Несмотря на то, что основные
педагогические интересы Чебышева сосредоточены на высшей школе, он
внес большой вклад в развитие гимназического математического образо-
вания в качестве члена Попечительского совета Петербургского учебного
округа и Ученого комитета министерства просвещения. Он участвовал в
разработке уставов школ разного уровня, рецензировал учебники матема-
тики и рекомендовал наиболее качественные из них для использования в
гимназиях, разрабатывал программы по математике, писал инструкции об
объеме ее преподавания. К сожалению, эйлеровские традиции патроната
математического образования со стороны математики как науки к концу
XIX. начинают ослабевать. Крупные математики считают ниже своего
достоинства заниматься проблемами школьного математического образо-
вания, в лучшем случае лишь принимая участие в публичных дискуссиях о
его качестве, в работе Всероссийских съездов преподавателей математики.
Учебники математики конца XIX - начала XX в. создаются в основном не
учеными-математиками, а деятелями школьного математического образо-
вания, методистами-математиками.
Общие итоги развития математического образования в Российской
империи за два века ее существования.
Итак, в эпоху Российской империи в нашем Отечестве практически за
два века была создана уникальная система математического образования.
В этой системе, по нашему мнению, можно выделить следующие специ-
фические особенности.
151
1.	Встроенность отечественного математического образования в евро-
пейскую образовательную культуру при сохранении ярко выраженной
самобытности.
2.	Доминирование государственной системы математического обра-
зо-вания над частной и общественной как одно из выражений этой само-
бытности вследствие традиций государственного патронажа математиче-
ского образования, заложенных Петром I.
3.	Патронат над математическим образованием математики как
науки, традиции которого заложены Л. Эйлером и продолжены такими
математиками мирового уровня как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроград-
ский, П.Л. Чебышев, Д.Д. Мордухай-Болтовской, А.Н. Колмогоров, А.Я.
Хинчин и др.
4.	Доминирование естественно-математического образования как
механизма ускоренного государственного развития, традиции которого
заложены Петром I и возрождались в процессе всех сколько-нибудь ус-
пешных реформ.
5.	Стремление лучших учебных заведений России с доминантным ма-
те-матическим образованием к достижению некоего мирового уровня
эталон-ности.
6.	Принятие отечественной школой учебников математики только в
том случае, если прогрессистские тенденции (западноевропейские или
соб-ственные) сочетаются с отечественными традициями.
7.	Встроенность математического образования в культуру России,
наиболее ярко проявившаяся в процессе использования интеллектуального
потенциала выдающихся педагогов-математиков в других сферах отечест-
венной культуры.
Эта система реставрирована в советский период, когда к высоким ка-
чественным параметрам предыдущей эпохи была добавлена количествен-
ная составляющая. Достаточно качественное математическое образование
в это время получали практически все обучающиеся в средней школе, так
как политика государства была направлена на поддержание паритета
между гуманитарной и естественно-математической составляющей общего
образования. В 40-50-е гг. советская модель классической системы школь-
ного математического образования достигла наиболее оптимального
функционирования, о чем говорит хотя бы то, что одной из важнейших
причин успехов советской науки и техники (апогей - начало космических
проектов) признана советская система образования, - в которой ведущие
позиции занимала математическая составляющая. Эта модель заимствова-
на некоторыми странами и, как правило, дает хорошие результаты. Так,
Южная Корея, которая переняла многие черты отечественной системы
152
математического образования, стала занимать ведущие места в междуна-
родных математических олимпиадах школьников.
В очень сложный современный период развития (деградации?) отече-
ственного школьного математического образования следует вновь осмыс-
лить позитивные и негативные черты накопленного опыта. Вслед за
ректором Московского университета В.А. Садовничим хочется вопросить:
«Кого конкретно и по каким причинам не устраивает положение дел в
математическом образовании?»1. В любом случае, несомненно, что при
разработке магистральных направлений развития математического образо-
вания в XXI в. необходимо учитывать накопленные за три столетия луч-
шие традиции отечественного математического образования.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1.
ОТЕЧЕСТВЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ЛИ-
ЦАХ. Вторая половина XIX - начало XX в.
Михаил Васильевич Остроградский
(1801-1861)
М. В. Остроградский - выдающийся русский математик и педагог,
один из основателей Петербургской математической школы, член Петер-
бургской Академии наук.
М.В. Остроградский родился 24 сентября 1801 г. в деревне Пашенной
Кобелякского уезда Полтавской губернии. Род Остроградского принадле-
жал к старинной дворянской фамилии, к тому времени обедневшей. Полу-
чил образование в пансионе при Полтавской гимназии, затем в этой гимна-
зии (по некоторым сведениям2, гимназического курса Остроградский не
закончил) и Харьковском университете. В университет он поступил в 1817
г. вопреки собственному желанию, т.к. мечтал о военной карьере, первые
полтора года занимался неохотно. В конце второго года Остроградский
поселился на квартире адъюнкта Харьковского университета А.Ф. Павлов-
ского, который оказал на него большое влияние советом оставить «несооб-
1 Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее \\ Доклад на
Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образо-
вание на рубеже веков. М., 2000.
2 См.: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики.... С. 256.
153
разные желания». В университете Остроградский проявил большие спо-
собности к математике и механике, причем наибольшее влияние на него
оказали лекции Т.Ф. Осиповского. В 1820 г. он блестяще сдал экзамены,
что дало основание Осиповскому, бывшему тогда ректором Харьковского
университета, ходатайствовать о присвоении Остроградскому степени
кандидата Однако из-за конфликта* с профессором философии Дудрови-
чем Остроградский так и не получил документа об окончании Харьков-
ского университета. Это не охладило его любви к науке и стремления к
получению профессорского звания. Для того чтобы усовершенствовать
свои познания в математике и механике, в мае 1822 г. Остроградский
отправляется в Париж, который в 20-е гг. XIX в. был крупнейшим науч-
ным центром во главе с такими замечательными представителями точных
наук, как Лаплас, Фурье, Пуассон, Коши, Ампер, лекции которых усердно
посещает Остроградский. О пребывании Остроградского в Париже сохра-
нились скудные сведения. Известно лишь, что в 1825 г. Коши в «Мемуаре
об интегралах, взятых между мнимыми пределами» лестно отзывается об
Остроградском, называя его «русским молодым человеком, одаренным
большой проницательностью и весьма сведущим в исчислении бесконечно
малых». В 1826 г. Остроградский представил Парижской Академии наук
«Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне», в котором
дал решение одного из важных вопросов математической физики. Париж-
ская АН постановила напечатать этот мемуар, что говорит о его значи-
тельных научных достоинствах.
По возвращении Остроградского в Россию в 1828 г., как считает его
первый биограф, известный математик О.И. Сомов, «он тотчас был оценен
соотечественниками, и около него образовался кружок любителей
математики, желавших ознакомиться с новыми взглядами и методами в
анализе»1. 29 декабря 1828 г. Академия наук избрала Остроградского
адъюнктом кафедры прикладной математики, в 1830 г. он получил звание
ординарного академика.
Исследования Остроградского касаются разнообразных областей ма-
тематики и механики: дифференциального и интегрального исчислений,
алгебры, геометрии, теории вероятностей, теории чисел, аналитической
механики, математической физики, баллистики и т.д.
По приезде в Петербург Остроградский начинает педагогическую дея-
тельность с только что учрежденных офицерских классов Морского
кадетского корпуса. В дальнейшем он преподавал во многих высших
учебных заведениях Петербурга - Институте корпуса инженеров путей
1 Сомов О.И. Очерки жизни М.В. Остроградского. С. 10.
154
сообщения, Главном инженерном училище, Главном педагогическом
институте, Артиллерийской академии и училище и др.
В Главном педагогическом институте Остроградский работал со вре-
мени его открытия (1832 г.) и до конца жизни. Остроградский читал здесь
курсы высшей алгебры, дифференциального, интегрального и вариацион-
ного исчислений, аналитическую геометрию и теоретическую механику.
Кроме того, он руководил подготовкой к профессорскому званию наиболее
талантливых своих слушателей. Таким образом, Остроградский, в течение
почти 30 лет возглавляя преподавание математических наук в Главном
педагогическом институте, оказал большое влияние на развитие отечест-
венного математического образования и подготовку научных и преподава-
тельских кадров.
Кроме того, Остроградский долгое время (1847-1860) состоял в долж-
ности главного наблюдателя за преподаванием математики в военно-
учебных заведениях и оказал прямое влияние на организацию и методику
этого преподавания своими руководствами по начальной геометрии и
тригонометрии, а также в качестве председателя комиссии по составлению
новых программ по элементарной математике для кадетских корпусов. К
этим программам должны были быть составлены конспекты, т.е. подроб-
ные «дополнительные пояснения, которые выражали бы цель, дух, направ-
ление и метод преподавания математики и механики, внутреннюю связь
отдельных частей этих наук между собой, служили бы полной инструкци-
ей преподавателям и указывали им ... необходимые учебные пособия в
классах и сочинения, которые могли служить руководством самим учите-
лям»1. Эти конспекты по всем предметам математики и механики были
составлены и изданы под руководством и при непосредственном участии
Остроградского. Конспект по тригонометрии составлен самим Остроград-
ским. В соответствии с ними были написаны и изданы новые руководства
для употребления в военно-учебных заведениях, которые оказали сущест-
венное влияние и ра преподавание математики в других средних учебных
заведениях России. К их числу принадлежали «Руководство начальной
геометрии» в трех частях самого Остроградского, «Арифметика» В.Я.
Буняковского, «Тригонометрия» Ф.И. Симашко и др.
В конце 50-х гг. Остроградский получил звание заслуженного профес-
сора Главного педагогического института, профессора офицерских классов
морского корпуса, института инженеров путей сообщения, Михайловской
артиллерийской и Николаевской инженерной академий, главного настав-
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики ... С. 278.
155
ника-наблюдателя по математическим наукам в военно-учебных заведени-
ях и в институте корпуса инженеров путей сообщения.
Слава Остроградского в нашей стране была беспрецедентна. Почти все
русские математики и инженеры первой половины XIX в. были его учени-
ками: Н.Д. Брашман в Москве, Г.Е. Паукер, И.А. Вышнеградский, Н.П.
Петров, П.Л. Лавров и другие в Петербурге, Е.Сабинин в Одессе, И.И.
Рахманинов в Киеве, Е.Х. Бейер в Харькове и др.
Имя Остроградского было хорошо известно не только в научных и
преподавательских кругах Петербурга, но и всему образованному русско-
му обществу. Он поддерживал дружеские отношения с коллегами, в том
числе такими известными математиками середины XIX., как В.Я. Буняков-
ский, Н.Д. Брашман. Он был принят в доме Авдотьи Ивановны Голицы-
ной, которая серьезно занималась изучением литературы, истории, фило-
софии и математики. В ее доме на Большой Миллионной в Петербурге
часто бывали Пушкин, Жуковский, Батюшков, Вяземский, Одоевский, для
научных бесед приглашались Остроградский, Брашман и другие ученые.
Остроградский был одним из немногих отечественных ученых-
математиков первой половины XIX в., которые имели безусловное призна-
ние за рубежом. Он был членом-корреспондентом Парижской Академии
наук, действительным членом Туринской, Римской и Американской
академий.
Франц Иванович Симашко
(1817-1892)
Среди русских педагогов-математиков, сформировавшихся под непо-
средственным руководством М.В. Остроградского и В.Я. Буняковского и
преподававших в военно-учебных заведениях, видное место занимает
Франц Иванович Симашко, комплект учебников которого по всем матема-
тическим предметам для средних учебных заведений благодаря своим
несомненным научным и методическим достоинствам имел широкое
распространение не только в военно-учебных заведениях, но и во всех
других типах школ.
Симашко родился в 1817 г. в Варшаве. Сведений о его родителей не
сохранилось, известно лишь, что получил образование он в Петербурге, в
военно-сиротском доме, будучи круглым сиротой. Поступил он туда в
1827 г. и за время учебы проявил свои способности и любовь к математике.
В 1835 г. руководство Павловского кадетского корпуса, в который к тому
времени был переименован военно-сиротский дом, обеспечило Симашко
возможность слушать публичные лекции Остроградского по алгебраиче-
156
скому и трансцендентному анализу, которые тот читал в морском кадет-
ском корпусе. Это окончательно определило интересы Симашко.
Окончив в 1837 г. Павловский кадетский корпус, Симашко был произ-
веден в прапорщики и назначен в 5-ю артиллерийскую бригаду, но служил
в ней недолго, перейдя в 1839 г. на должность преподавателя математики и
фортификации в фейерверкерскую школу 2-й артиллерийской бригады. До
самой смерти Симашко оставался на службе в качестве преподавателя
различных учебных заведений военно-учебного ведомства. В 1843 г.
Симашко вернулся в родной Павловский кадетский корпус в качестве
преподавателя математики, зарекомендовав себя наилучшим образом, он в
1860 г. был назначен инспектором классов Новгородского кадетского
корпуса, где работал в течение 4-х лет, а позже исполнял те же обязанно-
сти в Павловском военном училище.
В 1865 г. Симашко становится директором Полтавской военной гим-
назии, в которой прослужил 20 лет. Он сумел прекрасно поставить дело в
этом учебном заведении, сплотив за короткое время преподавателей и
воспитателей в дружный и работоспособный коллектив. Большое внима-
ние уделял Симашко воспитанию гимназистов, в основу которого был
положен принцип уважения к личности, формирования у воспитанника
правил долга, чести. Полтавская военная гимназия занимала одно из
первых мест среди русских военных гимназий и не уступала лучшим
учебным заведениям Европы того времени.
Еще в 1845 г. Симашко начал учебно-литературную деятельность пе-
реводом с французского учебника Мейера и Шоке «Начальные основания
алгебры» - учебника продвинутого типа, содержащий ряд статей высшей
алгебры. Он имел достаточно широкое распространение, обладая рядом
научных и педагогических достоинств. С 1852 г. Симашко начал издавать
оригинальные учебники по элементарной математике. Первыми из них
выпущены в свет «Уроки практической арифметики» (1852) и почти
одновременно «Тригонометрия», которая много раз переиздавалась со
значительными изменениями. В 1865 г. вышло 3-е издание учебника
геометрии «Начальная геометрия», которая написана в полном соответст-
вии с «Конспектом геометрии» В.Я. Буняковского (1851) и в 1870 г. вышла
4-м, исправленным изданием. Кроме этого, Симашко принадлежат сле-
дующие руководства по математике: «Начальные основания алгебры»,
«Вычисления по приближению», «Руководство к решению геометрических
вопросов на местности, съемке планов и нивелированию».
В 1885 г., в связи с пошатнувшимся здоровьем, Симашко хотел оста-
вить военную службу, но его перевели в главное управление военно-
учебных заведений, учитывая его большой опыт и хорошее знание учебно-
157
воспитательного процесса. В 1886 г. в кадетских корпусах были введены
новые программы, в связи с чем была назначена особая комиссия, которая
в истории военно-учебных заведений носит название «Комиссии Ф.И.
Симашко». Эта комиссия обратила внимание на усиление физического
воспитания кадетов, в связи с чем на 10 минут было сокращено время
урока в пользу физических упражнений. Комиссия также предписала всем
кадетским корпусам пользоваться одним и тем же учебником по опреде-
ленному предмету, были также незначительно изменены программы,
высказано требование большую часть учебной работы проводить в клас-
сах, оставляя на внеклассное время минимум материала. Не все начинания
этой комиссии были положительно восприняты педагогической общест-
венностью военно-учебных заведений.
В начале 90-х гг. генерал Симашко возглавлял комиссию по разработ-
ке программ, уставов и других официальных документов для военно-
учебных заведений.
Пятьдесят лет Ф.И. Симашко занимался педагогической деятельно-
стью, пройдя последовательно должности преподавателя, инспектора
классов, директора военной гимназии, чиновника Главного управления
военно-учебных заведений, написав комплект первоклассных учебников
по всем математическим дисциплинам.
Пафнутий Львович Чебышев
(1821-1894)
П.Л. Чебышев - знаменитый русский математик и механик, основатель
Петербургской математической школы, академик Петербургской Акаде-
мии наук. Он происходил из старинного дворянского рода, родился 4 мая
1821 г. в сельце Окатово Боровского уезда Калужской губернии в семье
чиновника Тульского губернского правления, участника Отечественной
войны 1812 г., вышедшего в 1815 г. в отставку. Чебышев получил перво-
начальное образование в семье. В 30-х гг. XIX в. для получения более
серьезного образования старшими сыновьями (Пафнутием и Павлом),
семья переехала в Москву. Однако гимназическое образование, вероятно, в
силу сословных дворянских предрассудков, не устраивало родителей
Чебышева. Поэтому в дом были приглашены лучшие московские педагоги
того времени. Математику братья изучали под руководством очень извест-
ного педагога-математика того времени, переводчика широко распростра-
ненного в то время учебника «Курс чистой математики» Беллавеня, дирек-
тора московской гимназии Платона Николаевича Погорельского. Видимо,
158
талантливый педагог возбудил в Чебышева интерес к математике, развил
его математические способности.
В 1837 г. Чебышев весьма успешно сдал экзамены в Московский уни-
верситет и был зачислен студентом физико-математического отделения
философского факультета. Отлично учась в университете, он, будучи еще
студентом, проявил свои выдающиеся математические способности. Так, в
1840/41 уч. г. Чебышеву была присуждена серебряная медаль за сочинение
«О числовом решении алгебраических уравнений высших степеней», в
котором он уточнил существовавшие методы приближенного решения
уравнений, указав при этом ошибки в рекомендуемых студентам пособиях.
Окончив Московский университет в 1841 г. «отличнейшим кандида-
том», Чебышев был оставлен для подготовки к профессорскому званию. В
1846 г. он защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного
анализа теории вероятностей», после чего в 1847 г. переехал в Петербург
на должность адъюнкта Петербургского университета. До 1882 г. он читал
там лекции по аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятно-
стей, теории эллиптических функций, высшей алгебре и другим дисципли-
нам. Одновременно вел большую научную работу в Петербургской Акаде-
мии наук.
Чтение курса теории чисел стимулировало Чебышева к самостоятель-
ным научным изысканиям в этой области. В 1849 г. состоялась публичная
защита его труда «Теория сравнений» в качестве докторской диссертации.
Оппонентами выступали академик В.Я. Буняковский, профессора С.С.
Куторга, А.Н. Савич, О.И. Сомов. «Теория сравнений» Чебышева опубли-
кована в этом же году, что явилось большим событием для русской мате-
матической науки и математического образования. Наиболее оригиналь-
ной частью этого труда явились, прежде всего, исследования распределе-
ния простых чисел в ряду натуральных. Книга выдержала 4 издания,
использовалась в качестве учебника по одноименному курсу, была переве-
дена на ряд иностранных языков. Учитывая высокие научные и методиче-
ские достоинства этого сочинения, Академия наук присудила Чебышеву
Демидовскую премию.
Кроме того, Чебышеву принадлежат серьезные исследования по тео-
рии вероятностей, теории приближения функций, интегральному исчисле-
нию, теории механизмов. Многие понятия и утверждения в математике
называются именем Чебышева - метод, неравенства, теоремы, постоянная
система, уравнение, множество и др. Он был талантливым изобретателем -
создал более 40 новых механизмов и усовершенствовал более 80. Многие
из них демонстрировались на выставках в Париже (1878) и Чикаго (1893).
159
Особое значение в истории вычислительной техники имеет арифмометр
Чебышева.
За время своей 35-летней педагогической деятельности Чебышев под-
готовил большое количество известных ученых. К ним принадлежат Е.И.
Золотарев, А.Н. Коркин, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Д.А. Граве, К.А.
Поссе и др. Это позволяет говорить о Петербургской математической
школе под руководством Чебышева.
Несмотря на то, что основные педагогические интересы Чебышева со-
средоточены на высшей школе, он внес большой вклад в улучшение
преподавания математики в начальных и средних учебных заведениях.
Этому способствовала его деятельность в Попечительском совете Петер-
бургского учебного округа, и - особенно - в Ученом комитете Министер-
ства народного просвещения. За 17 лет работы в Ученом комитете (1857-
1873) Чебышев исполнял многочисленные обязанности: участвовал в
разработке уставов начальных, средних и высших школ; рецензировал
учебники математики; наблюдал за тем, в каких учебных руководствах по
математике нуждаются школы; составлял и рассматривал программы по
математике для начальных и средних школ, писал инструкции об объеме
преподавания математики, физики и космографии в гимназиях и прогим-
назиях. Надо сказать, что в 60-х гг. XIX в., в условиях общественного
подъема и демократизации общества было очень важно сохранить единый
стержень уже во многом сложившейся отечественной модели классиче-
ской системы школьного математического образования. Этому в немалой
степени способствовал авторитет Чебышева, его серьезное, критичное
отношение к методическому обеспечению начальной и средней школы,
высокий уровень требований, предъявляемых ученым к школьным учеб-
никам. Более 200 руководств и пособий по элементарной математике
проанализировал Чебышев в качестве члена Ученого комитета, и только 11
из них он посчитал возможным рекомендовать в качестве руководств по
математике для начальных и средних школ. В то же время Чебышев не был
ретроградом, он высказывался о дополнении гимназического курса мате-
матики такими вопросами, как, например, понятие о функциях и их произ-
водных, чем намного предвосхитил идеи реформы математического
образования конца XIX в.
Заслуги Чебышева перед наукой признаны во всем мире, чему способ-
ствовали и его заграничные поездки в 50-х гг. XIX в., во время которых он
сумел завязать деловые отношения с такими известными учеными, как
Дирихле, Луивилль, Кэли, Сильвестр. Чебышев был членом Берлинской
АН (1871), Парижской АН (1874), Лондонского королевского общества
(1877) и других академий, научных обществ и университетов. В 1944 г. АН
160
СССР учредила медаль имени П.Л. Чебышева за лучшие исследования по
математике и премию его имени за лучшие исследования в теории меха-
низмов. Именем Чебышева названа плита талассоида на обратной стороне
Луны.
Август Юльевич Давидов
(1823-1885)
Выдающийся русский педагог-математик Август Юльевич Давидов
родился 15 декабря 1823 г. в Либаве (Латвия) в семье врача, которая в 1839
г. переехала в Москву. Первоначальное образование он получил в семье
под руководством отца. В Москве Давидов учился в высших классах
«отделения для обер-офицерских детей» при Московском воспитательном
доме, где в то время работал его отец. Высшие классы по уровню образо-
вания превосходили гимназии того времени, к тому же в них работали
многие профессора Московского университета, на медицинский факультет
которого Давидов поступал в 1841 г. Однако на экзамене по математике,
которые принимал профессор Н.Д. Брашман, Давидов обнаружил глубокие
знания не только по элементарной математике, но «даже по дифференци-
альному исчислению, намного превосходившие требования, предъявляе-
мые абитуриенту-медику»1. По настоянию отца и экзаменатора зачислили
Давидова не на медицинский факультет, а на математическое отделение
философского факультета.
По окончании университета в 1845 г. Давидов оставлен для подготов-
ки к профессорскому званию, будучи тогда же назначен на должность
преподавателя кадетского корпуса в Москве, где проработал 5 лет.
В 1848 г. Давидов получил степень магистра математических наук,
защитив диссертацию на тему «Теория равновесия тел, погруженных в
жидкость», а в 1859 г. утвержден в звании адъюнкта (соответствует совре-
менной должности доцента) Московского университета. В 1853 г. он
подготовил солидный научный труд «Теория капиллярных явлений», за
одну главу которого под названием «Определение поверхности жидкости,
содержащейся в сосуде» получил степень доктора наук. Тогда же Давидов
стал экстраординарным, а в 1859 г. ординарным профессором кафедры
прикладной математики Московского университета. В 1862 г. он перешел
на кафедру чистой математики, которую занимал до конца своей работы в
университете. Осенью 1885 г., после 35 лет активной педагогической,
1 Бычков Б.П. Педагог-математик А.Ю Давидов // Математика в школе. 1973. № 6.
С. 84.
161
научной и общественной деятельности А.Ю. Давидов уходит в отставку.
По случаю 35-летия его профессорской деятельности в Политехническом
музее при большом стечении публики состоялось торжество, которое
показало, как высоко чтили образованные русские люди заслуги Давидова;
он был избран в почетные члены университета.
Эти почести Давидов заслужил прежде всего своей плодотворной пе-
дагогической деятельностью, ярким педагогическим талантом и блестя-
щими лекторскими способностями. В 1850 г. после работы в кадетском
корпусе Давидов был приглашен для преподавания теории вероятностей в
Московский университет и внес существенный вклад в совершенствование
математического образования в Московском университете. Он читал
курсы теории вероятностей, небесной механики, элементарной механики,
теории функций комплексного переменного, теории эллиптических функ-
ций, вариационного исчисления, интегрирования уравнений с частными
производными, исчисления конечных разностей, дифференциального и
интегрального исчисления. Многие из этих курсов читались Давидовым в
Московском университете впервые.
, В течение 12 лет (1863-1873; 1878-1881) Давидов был деканом физико-
математического факультета, показав себя в этой должности в качестве
энергичного хозяина, заботившегося о престиже факультета и университе-
та. При нем были учреждены Общество любителей естествознания и
знаменитое Московское математическое общество, первым президентом
которого в 1867 г. был избран Давидов. Эти общества считались составной
частью физико-математического факультета, на их заседаниях обсужда-
лись диссертации молодых ученых, научные сообщения студентов; лучшие
из них публиковались затем в научных изданиях обществ. Учреждение
обществами премий по математике, механике, физике, химии, антрополо-
гии, этнографии, зоологии и ботанике оказали большую поддержку моло-
дым исследователям.
Велики заслуги Давидова и перед математическим образованием сред-
него уровня. В 1866 г. под его редакцией начал выходить один из первых
русских периодических математических журналов «Математический
сборник». Начиная со второго тома, в нем печатались статьи по элемен-
тарной математике и рецензии на учебники, предлагались для решения
любителями математики задачи, позже публиковались присланные реше-
ния. Практически это был журнал элементарной математики для учителей
и любителей.
Давидов более 20 лет (1863-1885) был постоянным членом попечи-
тельского совета Московского учебнога округа, выполняя разнообразную
организационную и методическую работу: участвовал в составлении
162
программ по предметам гимназического курса, рекомендовал лучшие
руководства и пособия к ним для фундаментальных библиотек, рецензиро-
вал опубликованные учебники, участвовал в просмотре письменных работ
по математике при испытаниях на аттестат зрелости учеников гимназий и
реальных училищ, вел обширную переписку с учителями математики.
Давидов создал комплект учебников по всем предметам курса матема-
тики средней школы. Это «Элементарная геометрия в объеме гимназиче-
ского курса» (1864), «Начальная алгебра» (1866), «Руководство к арифме-
тике» (1870), «Геометрия для уездных училищ» (1873), «Тригонометрия»
(1877), «Собрание геометрических задач» (1888). Учебники алгебры и
геометрии выдержали десятки переизданий и составили целую эпоху в
развитии отечественной учебной литературы по математике. В них сочета-
ется доказательность теории с богатыми приложениями. Эти учебники по
предложению Чебышева были одобрены Ученым комитетом в качестве
руководств для средних учебных заведений.
А.Ю. Давидов оказал большое влияние на преподавание математики в
Московском университете и Московском учебном округе, его учебники
для гимназий и реальных училищ сыграли выдающуюся роль в истории
отечественного математического образования.
Александр Федорович Малинин
(1835-1888)
Александр Федорович Малинин известен методическому сообществу
главным образом как автор многочисленных и весьма распространенных
учебников по элементарной математике, физике и космографии. По словам
известного методиста и автора ряда учебников математики Н.А. Шапош-
никова, А.Ф. Малинин «обучил в России сотни тысяч учеников, создал
сложную элементарно-математическую литературу и вызвал своим приме-
ром массу новых деятелей на поприще этой литературы»1.
А.Ф. Малинин родился в Москве в 1835 г. О родителях его подробных
сведений не сохранилось. Известно, что его отец был штатным смотрите-
лем 3-го московского уездного училища, приложив все силы для того,
чтобы дать детям хорошее образование.
Первоначальное образование А.Ф. Малинин получил в училище, где
работал его отец, среднее - в 1-й московской гимназии, которую окончил в
1850 г. с золотой медалью. Основное внимание в гимназии Малинин
уделял математике и древним языкам. Четырнадцатилетним мальчиком он
1 Цит. по: Прудников В.Е. Русские педагоги-математики... С. 539.
163
знал почти всю «Одиссею» наизусть, чем, по воспоминаниям современни-
ков, привел в удивление министра народного образования, специалиста по
древней филологии графа С.Е. Уварова, посетившего гимназию в 1848 г.
Тем не менее, под влиянием профессора Московского университета Д.М
Перевощикова, неоднократно экзаменовавшего гимназистов 1-й москов-
ской гимназии, А.Ф. Малинин в 1850 г. поступает на физико-
математический факультет Московского университета. Своими успехами в
качестве студента он обратил на себя внимание таких строгих профессоров
Московского университета, как Н.Е. Зернов, Н.Д. Брашман.
В 1854 г. Малинин с золотой медалью заканчивает Московский уни-
верситет и в возрасте 19 лет назначается старшим преподавателем матема-
тики в Тверскую гимназию, быстро приобретя, несмотря на свою моло-
дость, авторитет не только в ученической, но и в учительской среде. В
1854 г. он возвращается в Москву преподавателем 4-й гимназии. Прекрас-
ное образование и разноплановые выдающиеся способности помогли А.Ф.
Малинину за короткое время приобрести в Москве известность как одного
из лучших преподавателей математики и физики. В 4-й гимназии он
усилил практические упражнения по математике, составил и издал лито-
графированные «записки» по арифметике и алгебре, устроил хорошо
оборудованный кабинет физики. Преподавателем этой гимназии А.Ф.
Малинин работал до 1870 г., после чего назначен директором Тульской
гимназии, в должности которого показал себя с самой лучшей стороны.
В 1872 г. А.Ф. Малинин получает место директора вновь открытого,
совершенного нового по своим идеям учебного заведения - Московского
учительского института, предназначавшегося специально для подготовки
учителей городских училищ. Это были закрытые учебные заведения с
трехгодичным сроком обучения, в которых преподаватели выполняли и
функции воспитателей. Воспитанниками учительского института были
почти исключительно приезжие из провинции, принятые по предваритель-
ному экзамену. При Московском учительском институте функционировали
дополнительные курсы дня учителей уездных училищ, желавшие получить
звание учителя городского училища. Малинин успешно справляется с
разнообразными функциями директора такого специфического учебного
заведения. Он не только заботится об овладении воспитанниками знаний и
умений, но и о развитии в них стремления к самообразованию, сознания
значимости будущей учительской деятельности и любви к ней. Под руко-
водством Малинина Московский учительский институт уже в первые годы
своего существования стал лучшим учебным заведением такого рода.
Руководя учительским институтом, Малинин много сил и времени от-
давал комиссии по устройству публичных чтений при Обществе распро-
164
странения технических знаний, которая была создана в 1885 г. с целью
устраивать в праздничные дни беседы по тем вопросам, которые не входи-
ли в программу учебных курсов гимназий. Он был первым председателем
этой комиссии и продолжал руководство ею до своей преждевременной
смерти.
В памяти потомков остался А.Ф. Малинин прежде всего как автор це-
лой серии замечательных учебников по элементарной математике, извест-
ных своими признанными научными и методическими достоинствами:
полнотой содержания, ясностью и живостью изложения в соединении с
достаточной строгостью. Всего А.Ф. Малинин - один и в соавторстве с
К.П. Бурениным - подготовил и опубликовал 15 руководств по всем
физико-математическим предметам, изучавшимся в гимназиях. Наиболее
распространенными из них являются «Руководство к прямолинейной
тригонометрии» (1862), «Руководство арифметики» и «Собрание арифме-
тических задач» (1866, совместно с Бурениным), «Руководство алгебры и
собрание алгебраических задач для гимназий» (1870, совместно с Бурени-
ным).
Василий Андрианович Евтушевский
(1836-1888)
Василий Андрианович Евтушевский - выдающийся русский педагог-
математик, первым обративший свое внимание на методику элементарного
обучения математике, «Методика арифметики» Евтушевского получила
громадное распространение, какого «ни одно из прежних руководств и ни
одно из последующих в XIX веке не имело»1.
В.А. Евтушевский родился 24 апреля 1836 г. в семье мелкопоместного
дворянина, служившего чиновником в Полтаве. Образование он получил в
Полтавской гимназии и в Главном педагогическом институте, который не
сумел окончить ввиду его закрытия. Закончил свое образование В.А.
Евтушевский в 1861 г. на физико-математическом факультете Петербург-
ского университета, после чего поступил на педагогические курсы, кото-
рые в то время были учреждены при Петербургском учебном округе с
целью подготовки преподавателей для средних учебных заведений. В
качестве слушателя курсов Евтушевский был обязан в течение первого
года обучения присутствовать на уроках штатного преподавателя матема-
тики (им был учитель математики 2-й петербургской гимназии Е.Х. Рих-
1 Прудников В.Е. Русские педагоги-математики.... С. 588.
165
тер), в течение второго года обучения - сам давать уроки под наблюдением
своего руководителя.
По окончании курсов Евтушевский получил место преподавателя ма-
тематики во 2-й петербургской военной гимназии, где обратил на себя
внимание ее директора, по ходатайству которого в составе группы моло-
дых преподавателей был командирован за границу для изучения специаль-
ных учебных заведений, готовивших учителей. По возвращении из-за
границы в 1864 г. назначается руководителем открытых тогда при 2-й
военной гимназии высших педагогических курсов. В течение 12 лет
Евтушевский руководил занятиями молодых кандидатов-педагогов и
подготовил около 100 прекрасных учителей математики для военных
гимназий и других учебных заведений, которые распространяли метод
преподавания своего учителя и развивали основные его методические
идеи.
В течение ряда лет Евтушевский стоял во главе преподавания матема-
тики в военных учебных заведениях. Много сил и времени он отдал уст-
ройству Педагогического музея военно-учебных заведений в Соляном
городке, который сыграл позже выдающуюся роль в истории отечествен-
ного математического образования. Так, по инициативе музея был созван I
Всероссийский съезд преподавателей математики в 1911-1912 гг. Музей по
размерам и богатству экспозиции не имел аналогов в Европе. Евтушев-
ский был не только одним из основателей музея, но и коллектором, соста-
вителем каталогов, лектором; ему обязаны своим возникновением две
мастерские учебных пособий. С конца 60-х годов Евтушевский читал
систематические лекции для учителей, которые благодаря эрудиции и
блестящей манере чтения привлекали широкую аудиторию.
В.А. Евтушевский был в числе основателей многих педагогических
учреждений: Аларчинские женские курсы, которые потом стали Высшими
женскими курсами; Андреевские курсы для подготовки учителей народ-
ных школ; Петербургское педагогическое общество (с 1879 г. Евтушев-
ский его председатель).
В 1875 г. он был приглашен заведовать учебной частью трех детских
приютов, а затем занял место инспектора по учебной части во всех дет-
ских приютах, улучшение положения которых во многом обеспечивалось
заботой и энергией Евтушевского.
Много времени и усилий отдал Евтушевский и делу организации на-
родных школ, оказывал содействие в устройстве школ земству, поддержи-
вал идею организации домашних школ, был поборником высшего женско-
го образования.
166
С 1877 по 1882 год Евтушевский стал одним из редакторов педагоги-
ческого журнала «Народная школа», заботясь прежде всего о том, чтобы
изгнать из него «сухой педантически-педагогический тон, оживить его
практическими статьями». Он позаботился о развитии библиографического
раздела, из которого читатели знакомились с содержанием, достоинствами
и недостатками вновь опубликованных книг. В журнале были организова-
ны два новых отдела - иностранная хроника по народному образованию и
педагогическая хроника, которую вел сам Евтушевский. Здесь публикова-
лись обзоры деятельности по народному образованию различных земств,
городов, известия об открытии новых училищ, обсуждались проблемы
обязательного обучения детей, физического воспитания, анализировались
особенности обучения и воспитания в различных типах учебных заведе-
ний.
Деятельность Евтушевского подвергалась пристальному вниманию и
достаточно пристрастной оценке педагогического сообщества. Сперва его
труды, особенно в области методики обучения арифметике, превозноси-
лись, как не имеющие себе равных, начиная же с конца 70-х гг. подверг-
лись резкой критике. Несомненно одно - труды Евтушевского оказали
большое влияние на развитие математического образования в России,
разойдясь по огромной стране в сотнях тысяч экземпляров.
Александр Иванович Гольденберг
(1837-1902)
Александр Иванович Гольденберг - известный русский педагог-
математик. Он родился в Москве, в семье врача-гомеопата. Окончил 3-ю
Московскую реальную гимназию и в 1858 г. - Московский университет. В
семье в совершенстве изучил немецкий и французский языки, в гимназии
отличался прекрасным знанием латыни, занимался музыкой у известного
пианиста Л. Онноре. Всегда отличался многогранностью интересов и
широкой эрудицией, любовью к природе, которую он хорошо знал: много
занимался ботаникой, собрал гербарий московской флоры. По окончании
университета поступил на военную службу в артиллерию. Став офицером,
в 1859 г. поступил в Михайловскую артиллерийскую академию, которую
окончил в 1861 г. Прослужив в течение нескольких лет артиллерийским
офицером, в 1865 г. был назначен преподавателем математики во вторую
Московскую военную гимназию. В 1867 г. вышел в отставку и стал препо-
давать математику в частных мужских и женских учебных заведениях и на
различных курсах.
167
В 1873 г. Гольденберг был назначен директором земской учительской
школы, открытой Московским губернским земством, что позволило ему
познакомиться с работой начальной школы и общаться с сельскими учите-
лями. Через два года земская учительская школа была преобразована в
учительскую семинарию министерства народного просвещения, в связи с
этим работа Гольденберга стала более регламентированной, и он возвра-
щается в Москву, где вплотную приступает к научно-методической работе.
Он сотрудничает практически во всех педагогических и методических
журналах того времени. Наиболее значимые публикации - статьи в «Учеб-
но-воспитательной библиотеке», «Русских ведомостях», в которых он
подвергает детальному разбору и резкой критике апологетов «метода
Грубе» В.А. Евтушевского и В. Воленса. Их методу «изучения чисел» (в
его терминологии «монографический») он противопоставляет свой метод
«изучения действий». В течение трех лет (1879-82) Гольденберг издавал
один из первых журналов по элементарной математике «Математический
листок».
В 1884 г. А.И. Гольденберг переезжает в Петербург. Вскоре выходят в
свет его «Методика начальной арифметики» и «Сборник задач и примеров
для обучения начальной арифметике», которые оказали существенное
влияние на перестройку преподавания арифметики в начальной школе.
Методическая общественность того времени выражает неудовлетво-
ренность задачниками для систематического курса арифметики в средних
учебных заведениях, протестуя прежде всего против «задач на правила»,
оторванных от реальной действительности, надуманных и искусственных.
Присоединяясь к точке зрения С.И. Шохор-Троцкого, что арифметические
задачи являются не целью, а средством обучения, А.И. Гольденберг берет-
ся за реформу задачников и за короткое время составляет 4 задачника для
средних учебных заведений: ч. I - для приготовительного класса, ч.П - для
первого класса, ч. III - д ля второго класса и дополнение для второго класса
- десятичные дроби. Задачники находят поддержку в учительской среде
своей “целесообразной, строгой последовательностью в распределении
материала, подбором задач и совершенно новыми и своеобразными уп-
ражнениями”1. Известный методист-математик К.К. Мазинг так характери-
зует задачи из сборников Гольденберга: “Он не выдумывал задачи, но
подобно художнику или поэту вызывал в своем воображении всю класс-
ную комнату, учебную обстановку, учеников, представляя их ответы при
разном складе их мысли”2. Несмотря на то, что официальные органы
1 Ланков А.В. К истории развития... С. 54.
2 Русская школа. 1903. № 5,5.
168
(например, Ученый комитет при министерстве народного просвещения) не
приветствовали задачники Гольденберга, они расходились в сотнях тысяч
экземпляров.
А.И. Гольденберг отличался "чрезвычайно многосторонним образова-
нием, широтою взгляда и глубоко интересовался не только книгами, но и
вообще всеми течениями государственной и общественной жизни. Это был
человек не только большого ума, но и глубоких убеждений, не знавший
компромиссов со своей совестью”1. Об эрудиции А.И. Гольденберга
можно судить по той библиотека, которую он завещал различным учреж-
дениям. В ней было 902 названия иностранных и 551 название русских
книг. Среди них - книги классиков математики (Евклид, Архимед, Апол-
лоний, Диофант, Ньютон, Лаплас и др.), труды по истории и философии
математики (Монтюкла, Кантор, Кестнер и др.), журналы на западноевро-
пейских языках.
А.И. Гольденберг оказал несомненное влияние на направление движе-
ния за реформу классической системы школьного математического обра-
зования в России, которым характеризуется конец XIX - начало XX в.
Александр Николаевич Страннолюбский
(1839-1903)
Александр Николаевич Страннолюбский родился 29 января 1839 г. на
Камчатке, в семье крупного чиновника, который в то время возглавлял
область. В 1850 г. Страннолюбский поступил в Петербургское Морское
училище, которое успешно закончил в 1856 г., был произведен в мичманы
и определен на службу во флот. Высшее образование он получил в офи-
церских классах Морского кадетского корпуса, где слушал курс высшей
математики и механики у таких известных ученых и педагогов, как В.Я.
Буняковский, О.И. Сомов, А.Н. Коркин. Закончив Морскую академию в
1866 г. (в этом году Морской кадетский корпус переименован в Морскую
академию), он получил чин лейтенанта и отправлен в следующем году за
границу. Цель командировки - ознакомление с теорией и практикой
кораблевождения. Отчет о научной командировке - статья «Современное
состояние некоторых вопросов, относящихся до вооружения и парусности
броненосных судов» (Морской сборник, 1867. № 10). В 1868 г. Странно-
любский назначается штатным преподавателем математики в Морской
кадетский корпус и состоит в этой должности почти тридцать лет. Одно-
1 Лайков А.В. К истории развития... С. 55.
169
временно он начинает преподавать в женских гимназиях и на педагогиче-
ских курсах.
Страннолюбский вел активную и очень профессиональную литератур-
но-педагогическую деятельность, являясь сотрудников таких педагогиче-
ских журналов, как «Учитель», «Русская школа», «Образование», «Жен-
ское образование» и др. Широко обсуждались его статьи о состоянии
народного образования в России, о его всеобщности и обязательности, о
начальном образовании, о женском образовании. Чтобы осуществить
всеобщее и обязательное обучение, недостаточно, по мнению Странно-
любского, издать соответствующий закон, нужно создать реальные усло-
вия для его выполнения, к которым он относил улучшение благосостояния
народа, общественного и материального положения учительства.
Особенно много сделал Страннолюбский в области женского образо-
вания: он принимал активное участие в организации частных женских
гимназий, педагогических курсов, в том числе Аларчинских, на базе
которых созданы Высшие женские («Бестужевские») курсы в Петербурге.
С момента их возникновения в 1878 г. он состоял членом комитета Обще-
ства для доставления этим курсам средств и секретарем этого комитета.
Многие публикации Страннолюбского посвящены проблемам женского
образования. Здесь прежде всего надо отметить солидный доклад «Высшие
женские курсы», представленный в 1886 г. в особую комиссию министер-
ства народного образования, статью «Современные нужды высшего
женского профессионального образования» («Русская школа». 1890. № 3),
в которой автор отстаивал необходимость систематического коммерческо-
го образования женщин и характеризовал, какими должны быть женские
профессиональные школы.
Среди заслуг Страннолюбского нельзя не отметить тот факт, что в те-
чение трех лет (1866-68) он в качестве домашнего учителя давал уроки
юной Софье Ковалевской. Она изучала под его руководством элементар-
ную и высшую математику и прекратила эти занятия только в связи с
отъездом за границу для получения университетского образования. С.В.
Ковалевская всегда очень тепло отзывалась о человеческих и педагогиче-
ских качествах Страннолюбского в сохранившихся и опубликованных
письмах1. Сохранились и письма Страннолюбского к Ковалевской, из
которых, в частности, следует, что последняя принимала участие в дея-
тельности комитета Общества для доставления Высшим женским курсам
средств.
1 Голос минувшего. 1916. № 2-4
170
Еще будучи мичманом, Страннолюбский примкнул к одному из сту-
денческих кружков Петербурга, который организовал на Васильевском
острове ежедневную бесплатную школу для мальчиков бедных родителей,
не получавшей никаких государственных субсидий и существовавшей за
счет взносов членов кружка. Первым выборным инспектором этой школы
был Страннолюбский, который приложил немало усилий к тому, что
Василеостровская школа была «свободной» - без поощрений и наград, без
наказаний и оценок. В субботние вечера в школе проходили собрания
педагогов, целью которых было ознакомление преподавателей с теорией и
историей педагогики, а также изучение и составление методических
руководств по отдельным предметам. Основы «Курса алгебры, основанно-
го на постепенном обобщении арифметических задач» Страннолюбского
заложены в процессе деятельности этих собраний. Благодаря труду пре-
красных педагогов, Василеоостровская школа приобрела в середине 60-х
годов XIX в. большую известность как учебное заведение, в котором
учителя приобретали педагогические знания, опыт и проникались духом
гуманного отношения к детям. В 1866 г., подобно всем воскресным и
бесплатным учебным заведениям, Василеостровская школа была закрыта.
Уйдя в конце 90-х гг. в отставку, Страннолюбский продолжал свою
деятельность на благо народного образования. Он состоял непременным
членом Петербургского комитета грамотности, принимал активное участие
в деятельности Русского технического общества, в различных благотвори-
тельных учреждениях и т.п.
Он участвовал в работе 1-го съезда русских деятелей по техническому
и профессиональному образованию (1889-90), в двух съездах директоров и
представителей попечительских советов коммерческих училищ в 1901 и
1902 годах.
А.Н. Страннолюбский вошел в историю русского просвещения как
выдающийся педагог-математик, активный сторонник высшего женского
образования, наставник русских учителей, неутомимый борец за развитие
и преобразование отечественной школы.
Алексей Николаевич Острогорский
(1840-1917)
Алексей Николаевич Острогорский родился 25 января 1940 г. в Петер-
бурге в семье чиновника. Образование получил во 2-м Петербургском
кадетском корпусе, который окончил в 1858 г. фельдфебелем с производ-
ством в офицеры в Финляндский полк. По окончании корпуса был зачис-
лен в Михайловскую артиллерийскую академию, которую с отличием
171
окончил в 1861 г. Уже в это время Острогорский сблизился с кружком
молодых педагогов, студентов Петербургского университета, открывших в
1860 г. известную Василеостровскую начальную школу. Дискуссии круж-
ковцев по общим вопросам образования и воспитания, обсуждение акту-
альных проблем, которые выдвигались общественно-педагогическим
движением того времени, способствовали формированию его педагогиче-
ских взглядов.
На протяжении многих лет (1861-1906) Острогорский работал в учеб-
ных заведениях военного ведомства. Свою педагогическую деятельность
он начинает с должности репетитора физики во 2-м кадетском корпусе
Петербурга. В 1872 г. Острогорский назначается на должность инспектора
классов Петербургской военной гимназии, а в 1877 г. приглашается на
должность директора Учительской семинарии военного ведомства (Моск-
ва), где преподает геометрию и методику геометрии. Работает он и в
Пажеском корпусе, и на педагогических курсах при Педагогическом музее
военно-учебных заведений.
Наряду с активной практической педагогической деятельностью, Ост-
рогорский занимался литературной работой и теоретическими исследова-
ниями в области педагогики и психологии. Он публикует ряд статей в
педагогических журналах - «Образцовый учитель» (1866), «Характеристи-
ка учеников» (1867), «Личность воспитателя в деле воспитания» (1868), «О
влиянии умственного развития на нравственное воспитание» (1869) -
оригинальных по замыслу и трактовке анализируемых в них проблем.
Богатый опыт работы в качестве преподавателя геометрии в Учительской
семинарии военного ведомства Острогорский обобщил в первом в России
методическом труде по методике изучения систематического курса гео-
метрии «Материалы по методике геометрии».
Острогорский был видным публицистом и издателем. Он основал
журнал «Детское чтение», которым руководил многие годы (1869-1877).
Острогорский сумел привлечь к сотрудничеству в журнале многих про-
грессивных писателей, сам писал для детей рассказы и научно-популярные
статьи. В 90-х гг. его рассказы были напечатаны в нескольких сборниках -
«В своем кругу», «Среди природы», «По белу свету», «На досуге» и др.
С 1883 по 1910 г. Острогорский был редактором журнала «Педагоги-
ческий сборник», издававшегося Главным управлением военно-учебными
заведениями, который тематически выходил за пределы своей официаль-
ной программы, печатая работы по дидактике, общей и частным методи-
кам, вопросам нравственного воспитания и др. Острогорский защищал
независимость журнала от внешнего давления, стремился сохранить его
прогрессивное направление, благодаря чему «Педагогический сборник»
172
стал одним из популярнейших педагогических журналов в России второй
половины XIX в. В нем опубликовано и большинство педагогических
работ самого Острогорского, в том числе «Нравственные привычки», «По
вопросу о нравственности», «Образование и воспитание», «Дисциплина и
воспитание», а также его многочисленные рецензии на педагогическую
литературу.
Сугубо оригинальный характер имеет опубликованный им в 1897 г.
сборник «Педагогические экскурсии в область литературы», в котором
Острогорский анализирует такие важные педагогические проблемы, как
нравственное воспитание, индивидуальный подход, взаимоотношения
учителя с учащимися и др.
Многие годы Острогорский разрабатывал вопросы дисциплины, изу-
чал ее роль в жизни школы, понимая дисциплину как средство успешного
обучения и воспитания и выдвигая в противовес чисто внешней дисципли-
не задачу воспитания у детей «внутренней» дисциплины как результата
развития своего человеческого достоинства, укрепления стремлений к
правде, любви, труду и знанию. Он призывал чутко относиться к детским
переживаниям, вникать во внутренний духовный мир ребенка, стремиться
сблизиться с ним. Его мысли об организации школьного дела, задачах и
средствах нравственного воспитания, учителе и его качествах имели
большое значение для своего времени.
В 1903 г. Острогорский издает «Педагогическую хрестоматию», в ко-
торой публикуются выдержки из статей Н.И. Пирогова, К.Д. Ушинского и
других выдающихся отечественных педагогов по вопросам воспитания. В
1914 г. вышла в свет его книга «Н.И. Пирогов и его педагогические заве-
ты», в которой анализировались взгляды не обучение и воспитание педаго-
гов-шестидесятников.
А.Н. Острогорский по праву занимает одно из видных мест в отечест-
венной истории педагогики не только как методист-математик, но и как
педагог, который не только смело критиковал недостатки современной ему
школы, но и пропагандировал и развивал прогрессивные педагогические
идеи, в том числе в педагогической и детской журналистике.
Виктор Викторович Бобынин
(1849-1919)
В.В. Бобынин, возможно, не относится к числу выдающихся отечест-
венных педагогов-математиков. Тем не менее, заслуги его перед отечест-
венной математикой и математическим образованием столь велики, его
пример оказал такое сильное воздействие на автора этой книги, что не
173
поместить в нее сведений о его подвижнической жизни оказалось невоз-
можным.
В.В. Бобынин родился в деревне Шили Смоленской губернии в семье
мелкопоместного дворянина. В 1867 г. с отличием он закончил Тульскую
гимназию, а в 1872 г. - Московский университет. Преподавал математику
в военно-учебных заведениях сначала в Нижнем Новгороде, затем в
Москве.
Постепенно его профессиональные интересы концентрируются на ис-
тории математики. В 1882 г. Бобынин защитил магистерскую диссертацию
«Математика у древних египтян», которая представляла собой исследова-
ние, выполненное на основе опубликованного незадолго до этого знамени-
того папируса Ринда. И тогда же он получил должность приват-доцента
Московского университета, где первым в истории России читал в качестве
факультативного общий курс истории математики. И тогда же он получил
должность приват-доцента Московского университета, где первым в
истории России1 читал в качестве факультативного общий курс истории
математики. Более того, он читал в Московском университете и курс
«История и современное состояние преподавания математики»2, являясь,
таким образом, инициатором изучения истории математического образо-
вания будущими математиками и преподавателями математики.
Во второй половине XIX в. в отечественной науке практически отсут-
ствовали исследования развития математики в России. Этот пробел вос-
полнил Бобынин, посвятивший изучению истории физико-математических
наук и математического образования в России большую часть своей
жизни. Он первый исследовал старинные русские рукописи по математике,
«описал различные приемы счета, указал на разработанность многих
других математических средств, содержащихся в русских рукописях»3.
В области истории математики и математического образования ему
принадлежат такие фундаментальные работы, как “Состояние математиче-
ских знаний в России до XVI в.” (1884), “Очерки истории развития физико-
математических знаний в России. XVII столетие” (1890) и значительное
количество статей. Большую ценность имеет составленная Бобыниным
“Русская физико-математическая библиография” (1886-1890), в которой
указаны все печатные источники (даже старинные календари) практиче-
ски с начала книгопечатания в России - с 1578 по 1816 гг.
1 Рыбников К.А. Виктор Викторович Бобынин // ИМИ. 1950. Вып. III. С. 347.
2 Башмакова И.Г., Петрова С.С. История математики в Московском университете И
Математическая наука в МГУ. М., 1980.
3 Виктор Викторович Бобынин // Мат. в шк. 1984. № 1. Обложка.
174
С 1884 г. он становится издателем журнала “Физико-математические
науки в их настоящем и прошедшем”. 1898 г. вышло 13 томов журнала.
Затем Бобынин стал издавать новый журнал “Физико-математические
науки в ходе их развития” (до 1904 г.). Эти журналы содержали статьи по
истории и философии математики, биографические очерки, научную
информацию; автором большинства из них был сам Бобынин.
Подвижническая деятельность Бобынина не находила большой под-
держки среди коллег и в официальных кругах. Он не получал никаких
государственных субсидий на издательскую деятельность, издавал журна-
лы на свои средства, продолжая одновременно читать лекции в универси-
тете, преподавать в военно-учебных заведениях, лично писать почти все
статьи в своих журналах и вести редакционную и издательскую работу.
Бобынин внес свой вклад и в методику математики, первым выдвинув
идею использования элементов историзма в преподавании математики. По
его мнению, каждый учитель должен знать историю математики и вводить
ее элементы в «самый строй преподавания математики». По этой пробле-
матике Бобынин делал на I и II Всероссийских съездах преподавателей
математики доклады, которые назывались “Цели, формы и средства введе-
ния исторических элементов в курс математики средней школы” и “Об
указаниях, получаемых преподаванием математики от ее истории”.
Бобынину присуща бескомпромиссность и смелость в отстаивании
своих взглядов. Так, в ответ на фельетон Л.Н. Толстого “Ложная наука”,
опубликованный в газете “Русские ведомости” (от 10 ноября 1909 г.), в
котором к числу ложных наук автор причисляет почти все естественные
науки, Бобынин выступает 4 января 1910 г. на XII Всероссийском съезде
естествоиспытателей и врачей с докладом «По поводу древних и новых
нападок на чистую математику». В этом докладе он резко критикует
высказывания Л.Н. Толстого, авторитет которого был в то время чрезвы-
чайно велик.
Наследие Бобынина чрезвычайно велико: им опубликовано более 550
научных работ, часть из них - в энциклопедическом словаре Брокгауза и
Ефрона, «Русском биографическом словаре», что говорит о его большом
авторитете в научной среде, приобретенном к тому времени. В конце
жизни ему было поручено написание однотомной «Истории русской
математики» и трехтомной «Всеобщей истории математики», работу над
которыми прервала смерть ученого. Имя Бобынина пользовалось извест-
ностью и за рубежом. В 1906-1908 гг. он написал часть IV тома «Лекций
по истории математики» М. Кантора.
Профессор Московского университета В.В. Бобынин - первый рус-
ский историк математики и историк математического образования, внес-
175
ший выдающийся вклад в русскую науку, в том числе методику математи-
ки.
Василий Алексеевич Латышев
(1850-1912)
Василий Алексеевич Латышев - выдающийся русский педагог-
математик. Родился в семье крупного чиновника министерства народного
просвещения в Петербурге. Закончил с отличием Ларинскую гимназию и
физико-математический факультет Петербургского университета.
В 1872 г. Латышев был назначен учителем в Гатчинскую учительскую
семинарию и в этом же году переведен преподавателем математики в
только что основанный Петербургский учительский институт, предназна-
ченный для подготовки учителей в городские училища. В нем он прорабо-
тал непрерывно 20 лет и зарекомендовал себя как способный и знающий
преподаватель. Он вел занятия по теоретической арифметике, элементар-
ной геометрии, алгебре, тригонометрии, приложениям алгебры к геомет-
рии и началам аналитической геометрии. Излагая эти предметы, Латышев
знакомил своих слушателей с методикой преподавания арифметики и
геометрии, руководил пробными уроками, выполнял обязанности классно-
го наставника и воспитателя при пансионе. Кроме учительского института,
Латышев преподавал математику в 5-й и 3-й гимназиях, в земской учи-
тельской школе и был председателем педагогического совета одной из
женских гимназий в течение 10 лет.
В 1892 г. Латышев становится директором народных училищ Петер-
бургской губернии, в начале XX века он - помощник попечителя Петер-
бургского учебного округа, затем управляющий этим округом и, наконец,
член совета министра народного просвещения
В 1880 г. Латышев начал издание ежемесячного журнала “Русский на-
родный учитель”, авторами большинства статей в котором были учителя-
практики. Кроме того, в журнале публиковались также рецензии на учеб-
ную и методическую литературу, на книги для чтения учащихся, обзоры
литературы, письма читателей и др. Журнал достаточно быстро завоевал
симпатии широких слоев учительства и к концу XIX в. стал самым распро-
страненным педагогическим ежемесячником.
Кроме многочисленных статей в своем журнале и других периодиче-
ских педагогических и методических изданиях, В.А. Латышев опубликовал
три учебных руководства: «Объяснительный курс арифметики» (1877),
«Руководство к преподаванию арифметики» (1880), «Учебник арифметики
в объеме младших классов гимназии» (1882). Они явились ценным вкла-
176
дом в русскую учебно-математическую литературу, отличаясь оригиналь-
ностью содержания, доступностью, простотой и систематичностью изло-
жения.
В.А. Латышев пользовался безусловным уважением окружающих. В
праздновании 25-летнего юбилея его педагогической деятельности (1897
г.) приняли участие представители Петербургского учебного округа,
многочисленные учителя, представители различных общественных орга-
низаций, педагогического и методического сообществ.
В.А. Латышев - один из создателей методики арифметики в России,
известный деятель народного образования, редактор и издатель журнала
«Русский народный учитель», в течение сорока лет он плодотворно тру-
дился на ниве народного просвещения и еще при своей жизни заслужил
глубокое уважение и признательность учителей.
Николай Александрович Шапошников
(1851-1920)
Известный русский педагог Н.А. Шапошников родился в семье юри-
ста. Родители его страстно увлекались музыкой - отец игрой на арфе, мать
была пианисткой. Образование он получил в IV Московской гимназии, где
преподавал математику известный педагог и автор широко распространен-
ных учебников математики А.Ф. Малинин. Окончив с золотой медалью
гимназию в 1868 г., Шапошников поступает в Московский университет,
где в это время преподавали такие известные профессора-математики, как
А.Ю. Давидов, В.Я. Цингер, Н.В. Бугаев и др.
По окончании 3-го курса Шапошников пишет научную работу «О тау-
тохронизме плоских кривых», за которую получает золотую медаль. В
1873 г. он окончил университет, был оставлен при кафедре чистой матема-
тики и одновременно был приглашен преподавать математику в родной
гимназии, где работал много лет (1873-1887). С 1874 по 1884 г. Шапошни-
ков преподает элементарную и высшую математику на Высших женских
курсах.
В 1879 г. он успешно сдает магистерские экзамены и вскоре представ-
ляет диссертацию «Об интегрировании уравнений с полными дифферен-
циалами и частными производными первого порядка», после защиты
которой Шапошникову присуждена степень магистра физико-
математических наук. Три года он преподает в Московском университете,
в 1884 г. его приглашают на должность доцента Московского высшего
технического училища, где вскоре он становится профессором. Здесь он
работает до ухода на пенсию в 1898 г.
177
Шапошников отличался независимостью суждений, оригинальным
взглядом на методические проблемы, необычайной работоспособностью,
что позволило ему создать несколько оригинальных курсов и методиче-
ских статей. Уже в 25 лет он выпускает первую часть «Курса алгебры и
собрания алгебраических задач» (1876), через год выходит вторая часть
этого курса.
В 1880 г. выходит «Курс прямолинейной тригонометрии и собрание
тригонометрических задач» Шапошникова, в основу которого положена
перспективная идея изучения тригонометрических функций. Учебник был
одобрен Комитетом Министерства народного просвещения, третье его
издание удостоено высшей награды - премии Петра Великого. Особенно
оригинален и современен комплект учебников по арифметике и алгебре, в
котором реализованы некоторые реформаторские идеи преподавания этих
гимназических курсов: обобщение арифметики как переходная ступень к
изучению алгебры, повторение основ арифметики и параллельное изуче-
ние основ алгебры, пропедевтика изучения высшей математики в курсе
алгебры. Это «Арифметика целых чисел» (1881), «Основания общей
арифметики и алгебры» (1886), «Введение в алгебру» (1887), «Краткое
руководство арифметики, объединенной с методикой и систематическим
сборником типических задач для гимназии» (1888), «Учебник алгебры»
(1890-1892), «Дополнение элементарного курса математики и введение в
высший математический анализ» (1892). Особенно большую методиче-
скую ценность и широкую популярность получил написанный Шапошни-
ковым совместно с учителем Н.К. Вальцовым «Методически обработан-
ный сборник алгебраических задач с текстом общих объяснений и разно-
образными практическими указаниями» (1887-1890), который в 1891 г.
одобрен Комитетом Министерства народного просвещения и удостоен
премии Петра Великого.
Шапошников, имея собственную систему взглядов на преподавание
математики, часто подвергал резкой критике работы коллег. Так, в 1893 г.
в журнале «Педагогический сборник» он начинает острую дискуссию с
издателем журнала «Элементарная математика» киевским профессором
В.П. Ермаковым. В ответ на отрицательную оценку его «Нового курса
алгебраической прямолинейной тригонометрии» (1904), построенного на
векторной основе и комплексных числах, профессора Б.М. Кояловича,
Шапошников начинает дискуссию1 с Ученым комитетом Министерства
народного просвещения.
1 Подробнее о содержании этих дискуссий см.: Андронов И.К. Полвека развития...
С.89-91.
178
В 1898 г. Шапошников выходит на пенсию, и все свои силы отдает ли-
тературной работе: совершенствует свои многочисленные книги, пишет
статьи, в которых подвергает критике состояние математического образо-
вания и намечает пути его реформирования. В 1904-1914 гг. вышли книги
Шапошникова «Основной курс математического анализа» и «Основы
дифференциального и интегрального исчисления с приложением к геомет-
рии», в 1909 г. опубликованы «Основания арифметики и алгебры», в 1911
г. - «Руководство арифметики для преподавателей и учащихся старшего
возраста». Конфликты с коллегами привели к тому, что его новые книги не
доходили до учителей математики. Шапошников покинул Москву и
переехал в Ригу, где стал преподавать математику в частном учебном
заведении. В 1915 г. учебные заведения Риги эвакуируются в южные
районы страны, куда уезжает и Шапошников. В 1918 г. он становится
одним из организаторов Северо-Кавказского политехнического института
в Краснодаре, где он работает в качестве профессора математики. Умер он
вдали от родины.
Учебники Н.А. Шапошникова по элементарной математике вошли в
золотой фонд отечественного математического образования.
Андрей Петрович Киселев
(1852-1940)
Андрей Петрович Киселев родился 30 ноября 1852 г. в г. Мценске Ор-
ловской губернии в бедной мещанской семье. Начальное образование
получил в одногодичном приходском училище и трехгодичном уездном
училище. Для получения образования он вынужден был с ранних лет
подрабатывать репетиторством1. В 1871 г. он заканчивает Орловскую
гимназию с золотой медалью, продав которую, на вырученные средства
едет в Петербург и поступает на физико-математический факультет уни-
верситета. Здесь он слушает лекции замечательных математиков П.Л.
Чебышева, А.Н. Коркина, О.И. Сомова, Ю.В. Сохоцкого, Е.И. Золотарева и
др. Благодаря своему трудолюбию и выдающимся способностям, в 1875 г.
А.П. Киселев заканчивает университет (раньше срока, за 3,5 года вместо 4)
со степенью кандидата за сочинение по высшей алгебре. По окончании
университета он получает место преподавателя механики и черчения в
1 Он обучал чтению, письму и счету лавочницу-соседку, за что получал ежемесяч-
но пачку чая и два фунта сахара. Учась в гимназии в Орле, за стол и угол был
воспитателем и репетитором детей состоятельного купца (см.: Там же. С. 93).
179
Воронежском реальном училище, а в дальнейшем - преподавателя физики
и математики этого же училища.
После 15-летней работы в Воронежском реальном училище Киселев
был переведен в Курскую гимназию. Причиной этого перевода была
активная деятельность Киселева в Воронеже, в частности, в обществе
вспомоществования бедным ученикам, «в пользу которого была поставле-
на нежелательная для губернатора пьеса»1. Для того, чтобы вернуться в
Воронеж, где он имел очень высокий авторитет, Киселев вынужден был
перейти в военное ведомство, в котором в ту пору создалась более творче-
ская педагогическая среда, чем в Министерстве народного просвещения. В
результате он получил место учителя математики и физики в Воронежском
кадетском корпусе. Проработав в Воронеже 25 лет, Киселев в 1910 г.
выходит в отставку. В послереволюционные годы он вновь вернулся к
преподаванию математики - в 1918-26 гг. он работал в нескольких школах
красных командиров Воронежа и Ленинграда, в котором жил в последние
годы.
Уйдя в отставку, А.П. Киселев полностью отдается созданию и совер-
шенствованию учебников математики. В конце XIX в. на книжном рынке
было около двух десятков учебных книг по математике для средней шко-
лы. Среди них выделялись такие учебники, как пособия по всем математи-
ческим предметам А.Ф. Малинина, учебники алгебры А.Ю. Давидова,
учебники тригонометрии Н.А. Шапошникова и др. Комплект учебников
Киселева практически по всем школьным математическим предметам
вступил в соревнование с учебниками того времени. В результате длитель-
ной работы по переработке и усовершенствованию они к началу XX в.
практически вытеснили все другие учебники математики, получили боль-
шое распространение, выдержав рекордное количество изданий.
Превосходство учебников А.П. Киселева над другими учебными руко-
водствами того времени выражается в том, что он стремился достичь
точности в определении математических понятий, простоты в рассуждени-
ях, сжатости и ясности в изложении. Отточенное содержание, удачно
выполненные чертежи, искусное использования разных шрифтов для
выделения главного обеспечили высокое качество учебников Киселева.
Это качество предопределено также тем, что автор учебников математики
имел .богатейший педагогический опыт, постоянно изучал постановку
преподавания математики в русской и зарубежной школе (он имел бога-
тейшую библиотеку научной, педагогической и методической литерату-
1 Депман И.Я. История арифметики. С. 401.
180
ры), поддерживал постоянную связь с учителями математики, постоянно
учитывая их пожелания и замечания.
Перечислим наиболее известные учебники А.П. Киселева с указанием
года первого издания. “Систематический курс арифметики для средних
учебных заведений” (1884), “Элементарная алгебра” (1888), “Элементар-
ная геометрия” (1892), курс алгебры VII класса реальных училищ «Допол-
нительные статьи алгебры» (1893), «Краткая арифметика для городских
училищ» (1895), «Краткая алгебра для женских гимназий» (1896), «Эле-
ментарная физика для средних учебных заведений со многими упражне-
ниями и задачами» (1902), «Начальное учение о производных» (1908),
«Графическое изображение некоторых функций, рассматриваемых в
элементарной алгебре» (1913), «Элементы алгебры и анализа» (1925),
«Задачи и упражнения к элементам алгебры» (1928).
В 1933 г. Президиум Центрального Исполнительного Комитета награ-
дил «Андрея Петровича Киселева, старейшего преподавателя математики
и автора учебников, которые в течение десятилетий служили основными
руководствами в русской школе, учитывая плодотворную долголетнюю
педагогическую деятельность»1, орденом Трудового Красного Знамени. В
советское время его книги выпускаются миллионными тиражами и стано-
вятся стабильными учебниками математики. Даже после смерти А.П.
Киселева его учебники арифметики, алгебры и геометрии (под редакцией
видных отечественных методистов и математиков А.Н. Барсукова, А.Я.
Хинчина, Н.А. Глаголева) остаются стабильными учебниками математики
огромной страны.
Семен Ильич Шохор-Троцкий
(1853-1923)
Семен Ильич Шохор-Троцкий - выдающийся русский математик-
педагог. В своих многочисленных методических работах выступал с
требованиями реформы содержания и методов обучения математике.
Разрабатывал методику обучения арифметике и геометрии и методику
обучения математике индуктивно-лабораторным методом. Автор метода
целесообразных задач, обосновал принцип наглядности обучения матема-
тике, разработал проблему целеполагания в методике математики.
С.И. Шохор-Троцкий родился в г. Каменец-Подольске в небогатой се-
мье. Когда мальчику было 12 лет, отец умер. Среднее образование получил
в Киевской и затем в Херсонской гимназиях, поддерживая себя материаль-
1 Цит. по: Депман И.Я. История арифметики. С. 401.
181
но частными уроками. Состоял вольнослушателем в Новороссийском
университете, затем поступил в Петербургский институт инженеров путей
сообщения, но через некоторое время вынужден был уехать за границу. В
1877-1881 г. в Берлине, Гейдельберге и Кенигсберге Шохор-Троцкий
изучал математику, физику и философию. Здесь он слушал лекции Гельм-
гольца, Вейерштрасса, Кронекера и других выдающихся ученых. Из-за
границы Шохор-Троцкий посылает в Россию педагогические и публици-
стические статьи в журнал «Педагогическая хроника». Там же он создает
свою первую достаточно солидную методическую работу «Математика как
предмет общего образования», которая печатается в журнале «Педагогиче-
ский музей (1879, № 4-8, 10).
По возвращении в Россию в 1887 г. Шохор-Троцкий сдает экзамен на
звание домашнего учителя и получает право преподавания. В это время в
России организовываются частные средние учебные заведения, в которых
он и преподает (гимназии Стоюнина, Оболенской, Таганцевой и др.). В
этих учебных заведениях педагогическая деятельность менее регламенти-
рована, чем в государственных, поэтому в них существует большая свобо-
да для реализации новаторских педагогических и методических идей, чем
активно и пользуется Шохор-Троцкий. В 90-е гг. XIX в. он работает и в
государственных учебных заведениях - Николаевском кадетском корпусе,
Павловском, Александровском и смольном институтах.
В 1896 г. началась методическая деятельность С.И. Шохор-Троцкого
на летних учительских курсах, которые создавались уездными и губерн-
скими земствами. За последующие 20 лет он провел около пятидесяти
учительских курсов.
В 1906 г. Шохор-Троцкий принял участие в политической забастовке,
что послужило поводом к его увольнению с должности преподавателя
Смольного и Александровского институтов. К этому времени он был
широко известен в педагогических кругах, его активно приглашают для
работы земские учебные заведения, устроители краткосрочных педагоги-
ческих курсов и др. В течение двадцати лет он выезжал в разные города
России читать лекции по методике математики на летних учительских
курсах. Учителя Петербурга, Саратова, Витебска и других городов знали
Шохор-Троцкого не только как блестящего лектора, но и как педагога-
новатора, щедро делившегося с аудиторией новыми методическими идея-
ми, глубоко продуманными и прошедшими практическое воплощение в
самых разнообразных учебных заведениях от начальной школы до Воль-
ной высшей школы, педагогической Академии лиги образования, психо-
неврологического института. В своих лекциях, докладах и книгах С.И.
Шохор-Троцкий отстаивает метод преподавания математики, который он
182
назвал «методою целесообразных задач». Задача, понимаемая им очень
широко, является исходным пунктом подведения учащихся к новому
математическому представлению, а затем к понятию. Эти идеи стали
предтечей того, что мы называем проблемным обучением.
Будучи блестящим интеллектуалом, обладая большими знаниями и бо-
гатым педагогическим опытом, Шохор-Троцкий был замечательным
лектором, буквально завораживающим аудиторию. Об этом можно судить
по брошюре «Отчет о лекциях по методике начальной математики» (Кост-
рома, 1911), прочитанных Шохор-Троцким в Костроме в 1910 г. Состави-
телем этой брошюры был В.В. Аристов, редактором - сам С.И. Шохор-
Троцкий.
С 1918 по 1923 г. он работал в качестве профессора математики в Ка-
менноостровском сельскохозяйственном институте.
Большой интерес представляют взгляды Шохор-Троцкого на пособия
для учеников и учителей. Он считал, что у учеников должны быть две
книги по математике - задачник, содержащий упражнения для самостоя-
тельной работы, и учебник, в котором математические знания изложены в
логически стройной системе. Для учителя, по мысли Шохор-Троцкого,
также следует создать две книги - одну по методике преподавания предме-
та, другую - с подбором методически расположенных задач и упражнений,
выполняемых учениками под руководством учителя.
С.И. Шохор-Троцкий принимал активное участие в работе I Всерос-
сийского съезда преподавателей математики 1911-12 гг. Его обстоятель-
ный доклад «Требования, предъявляемые психологией к математике, как
учебному предмету» открывает второе заседание съезда 28 декабря 1911 г.
Он активно участвует в дискуссии по вопросам методики изучения эле-
ментов математического анализа в средней школе, использования элемен-
тов историзма в преподавании математики, изучения в средней школе
иррациональных чисел и др. Шохор-Троцкий председательствует на
последнем заседании съезда 3 января 1912 г.
С.И. Шохор-Троцкий - педагог-математик большого дарования и зна-
чительных творческих возможностей, которые он эффективно реализовал
как в научно-методической, так и в практической педагогической деятель-
ности. Вряд ли можно назвать методическую проблему конца XIX - начала
XX в., которой он не касался бы в своих работах, публичных выступлени-
ях, практической педагогической деятельности. Он был пионером в разра-
ботке многих вопросов общей методики преподавания математики таких,
как вопрос о цели и средствах обучения математике, о психологических
его основах, о принципах дидактики, об идейной стороне математики и др.
183
С.И. Шохор-Троцкий оставил после себя большую школу учеников и
последователей.
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской
(1876-1952)
Д.Д. Мордухай-Болтовской родился 27 июля 1876 г. в городе Павлов-
ске бывшей Петербургской губернии.
Получил образование в первой классической гимназии Петербурга, где
у него уже проявляется интерес к математике, поддерживаемый зародив-
шейся страстью к чтению и любовью к учебной книге. С 1894 г. он про-
должает свое образование на физико-математическом факультете Петер-
бургского университета. Здесь его незаурядная математическая одарен-
ность и резко выраженная склонность к углубленному осознанию научных
проблем привлекают к себе внимание выдающихся профессоров универ-
ситета, в том числе математиков А.Н.Коркина, А.А.Маркова и К.А.Поссе.
По окончании университета в 1898 году по рекомендации последнего
Мордухая-Болтовского оставляют для подготовки к профессорскому
званию по кафедре чистой математики. В конце этого же года он был
направлен на работу в Варшавский политехнический институт в качестве
ассистента известного математика профессора Г.Ф.Вороного.
Работая здесь, он впервые увлекся методическими проблемами: его
интересуют содержание, методика и организация практических занятий. В
результате в 1904 году на русском (Варшава) и на польском языке (Львов)
выходит “Систематический сборник элементарных упражнений по диффе-
ренциальному и интегральному исчислениям”(426 стр.). “Этот большой
сборник, в основном оригинальный по своему задачному материалу,
представляет собой мастерскую реализацию весьма зрелых и интересных
педагогических воззрений автора, обстоятельно изложенных в введении к
работе”1. Он лег в основу изданного в 1914-1915 г.г. в Петрограде большо-
го двухтомного задачника (около 900 стр.). В нем впервые задачи распре-
делены по степени трудности, с подробными разъяснениями в начале
каждой темы и с показом на конкретных примерах приемов наиболее
целесообразного решения. Этот сборник получил широкое распростране-
ние, помимо четырех изданий на русском языке, был переведён на поль-
ский язык и “служил настольной книгой почти всякого студента как
1 Минковский В.Л. К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности
профессора Д.Д.Мор духай-Болтовского // Мат. в шк. 1949. №2. С. 45.
184
математика, так и техника, занимавшегося Высшей Математикой’’1. Удач-
ная “методическая структура его была положена в основу задачников по
математическому анализу ряда других авторов”2. К сожалению, эта книга
более не переиздавалась и вскоре стала библиографической редкостью.
В1909 году Мордухай-Ботовской утверждается экстраординарным
профессором Варшавского университета, а через три года ординарным.
К варшавскому периоду научной деятельности относятся его самые
крупные результаты в математике. Это обширные исследования по интег-
рированию в конечном виде трансцендентных функций и решению в
квадратурах дифференциальных уравнений. В 1913 году он решает 22
математическую проблему Гильберта, доказав, что функция, определённая
известным рядом, не может быть определена алгебраическим дифференци-
альным уравнением. В этом же году Дмитрий Дмитриевич обнародовал
свои первые результаты исследований о трансцендентных числах, являю-
щиеся серьёзным подступом к решению знаменитой седьмой проблемы
Гильберта, полностью решенной в 1934 г. А.О.Гельфондом. Трудно на-
звать раздел математики, в котором он не работал бы. Его научные интере-
сы отличались большой широтой и распространялись на различные разде-
лы анализа, теории чисел, геометрии, истории математики и методики
преподавания.
Достижения в математике не препятствуют его развивающимся инте-
ресам к методическим проблемам. Придавая важное воспитательное
значение методике преподавания математики как в средней, так и в выс-
шей школе, он опубликовал ряд работ по вопросам преподавания матема-
тики или отдельных её разделов. Он не только был участником Всероссий-
ских съездов преподавателей математики (1911/12 и 1913/14 гг)., но и
провел глубокий анализ основных направлений работы съездов. Призна-
ние его заслуг выразилось, в частности, и в том, что он был включен в
состав Русской национальной подкомиссии Международной комиссии по
математическому образованию (1909 г).
В 1915 году Варшавский университет со своим профессорско-
преподавательским составом в силу условий военного времени был эва-
куирован в Ростов-на-Дону. С 1915 по 1942 годы Д.Д.Мордухай-
1 Несторович Н.М. К 30-летию научной и педагогической деятельности проф.
Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского. Известия СКГУ. Т.З. Ростов н/Д.
э 1928. С. 6.
2 Белозеров С.Е. Вклад в математику учёных Ростовского университета. Ученые
записки РГУ. Т.24. Вып.1. Ростов н/Д, 1955. С. 27.
185
Болтовской - профессор университета, пединститута и других вузов
Ростова.
Он никогда не терял связи со школой. Будучи профессором, препода-
вал в средних учебных заведениях, серьезно относился к руководству
педагогической практикой будущих учителей. Он не раз подчеркивал в
своих выступлениях, что создать ученого намного легче, чем создать
учителя. Именно с этой целью была организована работа физико-
математического кружка. На его базе позднее стал функционировать так
называемый «методический collocvium», на котором обсуждались вопросы
методики преподавания и дидактики математики, программы и планы по
математике, учебно-методическая литература. Мордухай-Болтовской не
только руководил работой коллоквиума, но и сам очень часто делал докла-
ды на методические темы. Занятия коллоквиума посещали не только
студенты, но и преподаватели университета, рабфака, средних учебных
заведений, учителя школ. Большое значение он придавал развитию мате-
матического мышления и пространственных представлений. Убежденный
в целесообразности демонстрации моделей в процессе преподавания, он
создает геометрический кабинет, который одно время считался лучшим в
стране. Он выступает за изучение элементов истории математики в сред-
ней школе, большое значение придает истории методики преподавания
математики, в частности, изучению истории учебника, в связи с чем он
весьма содержательно анализирует проблемы математической терминоло-
гии. Интерес к проблемам методики математики как высшей, так и средней
школы Мордухай-Болтовской воспитывал и у своих учеников1, многие из
которых посвятили себя преподавательской деятельности.
Он был прекрасным лектором. По свидетельству Н.М.Несторовича,
“Курсы Дмитрия Дмитриевича всегда были насыщены идеями, его лекции
изобиловали рядом замечаний и указаний на интересные проблемы, давали
освещение старых проблем с новой точки зрения или указывали зародыши
новых идей в старых вопросах. Все это, естественно, будило интересы его
слушателей”2.
В 1942 году в Ростове, несмотря на бомбежку, он пошел читать лек-
цию студентам пединститута. При выходе из здания он был тяжело ране,
что повлекло почти годовое пребывание в госпиталях и эвакуацию в
1 Под его руководством около 40 человек защитили кандидатские и докторские
диссертации
2 Несторович Н.М. О работе Математического Семинария Варшавского и Донско-
го Университета. 1911-1924 г.г. Ростов н/Д: Известия СКГУ. Т.З. 1928. С. 12.
186
Ессентуки. В Ростове сгорело почти все имущество Мордухай-Болтовского
- богатейший научный архив и уникальнейшая библиотека. После войны
он затратил немало труда и времени, чтобы восстановить по памяти неко-
торые из погибших рукописей. С 1943г. он - профессор Пятигорского и
Ивановского пединститутов. По ходатайству последнего Д.Д.Мордухай-
Болтовской был представлен в члены-корреспонденты Академии педаго-
гических наук и к званию Заслуженного деятеля науки РСФСР.
Скончался Д.Д.Мордухай-Болтовской в 1952 г. Выражая глубокое
уважение к его памяти, В.Ф.Каган, сохранивший с ним товарищеские
отношения, в своем письме к родственникам называет его «последним
математиком старой школы».
В лице Д.Д.Мордухай-Болтовского гармонически сочетался крупный
ученый-исследователь и ученый-педагог, учитель в самом широком смыс-
ле этого слова.
Константин Феофанович Лебединцев
(1878-1925)
К.Ф. Лебединцев родился 25 октября 1878 г. в г. Радоме (Польша) в
семье начальника учебной дирекции города. После выхода на пенсию его
отец переехал с семьей на Украину и поселился в Киеве.
В 1888 г. Константин Лебединцев поступил во II Киевскую гимназию,
окончив которую в 1896 г., он поступил на физико-математический фа-
культет Киевского университета. В это время в университете читали
лекции замечательные профессора математики М.Е. Ващенко-Захарченко,
В.П. Ермаков, Б.Я. Букреев, Д.А. Граве.
В июне 1900 г. Лебединцев окончил университет с дипломом первой
степени и был рекомендован для подготовки к профессорскому званию.
Однако руководство Киевского университета отказалось утвердить его
кандидатуру, мотивируя это активным участием Лебединцева в конфликте
студенчества с одним из профессоров.
С 1900 до 1906 г. он преподает математику во 11 Киевской гимназии и
в I Коммерческом училище. С 1902 г. он является членом Киевского
физико-математического общества, в котором органически объединяются
исследования по математике и методике ее преподавания. Особенно много
внимания в обществе уделяется вопросам реформирования математическо-
го образования среднего уровня. Работа в Коммерческом училище, которое
не входило в сферу министерства народного просвещения и потому не
имело обязательных программ и предписанных свыше методов обучения,
187
давала Лебединцеву возможность проверить на практике свои взгляды на
изучение в школе функциональной зависимости, а также разрабатывать
новый метод обучения математике, который он впоследствии назвал
конкретно-индуктивным.
Первые публикации К.Ф. Лебединцева посвящены общепедагогиче-
ским проблемам. В 1904 г. в киевском журнале «Педагогическая мысль»
была опубликована его первая статья «Как поддержать дисциплину в
средней школе?». В качестве главной причины недисциплинированности
автор указывал на самую систему школьного воспитания, которая, как
считал Лебединцев, способствовала «понижению умственных интересов у
целого поколения». Воспитание, по Лебединцеву, должно содействовать
развитию привычки к систематическому труду, общественных чувств и
самодеятельности. В 1905 г. появились статьи Лебединцева «О границах
педагогического вмешательства в воспитание детей», «Об одной педагоги-
ческой утопии» (с критикой теории свободного воспитания), «К вопросу о
представительстве общества в жизни школы».
.В 1906 г. появляется первая методическая работа Лебединцева «Новое
направление в области методики арифметики и его практические результа-
ты». В этом же году Лебединцева привлекли к суду за постановление
Киевского педагогического общества против применения репрессивных
мер к ученикам, принимавшим участие в политических забастовках 1905
г., принятого по его предложению. В результате Киевское педагогическое
общество было закрыто, как и журнал «Педагогическая неделя», редакти-
ровавшийся Лебединцевым, после чего он не мог устроиться на штатную
должность преподавателя математики даже в частную школу Киева.
В 1909 г. Лебединцев переезжает в Москву и до 1916 г. преподает ма-
тематику в частной гимназии Е.А. Кирпичниковой. Это была единственная
московская гимназия, где было разрешено совместное обучение мальчиков
и девочек, причем по программе мужских гимназий. В эти годы Лебедин-
цев написал ряд статей в защиту совместного обучения, а также стал
известен как талантливый автор учебников алгебры «Курс алгебры для
средних учебных заведений» (1909), «Систематический сборник задач и
других упражнений по курсу алгебры» (1910), «Основы алгебры» (1911),
«Концентрическое руководство алгебры» (1913-1916).
В это же время он выступает с докладами и пишет фундаментальные
методические труды по актуальным проблемам математического образо-
вания «Программа и метод преподавания алгебры в средней школе»
(1910), «Метод обучения математике в старой и новой школе» (1912). В
них он обосновывает конкретно-индуктивный метод обучения математике,
разрабатывает систему преподавания алгебры на основе функциональной
188
идеи, концентрического изложения и органичного сочетания конкретно-
индуктивного и абстрактно-дедуктивного методов обучения математике.
.Лебединцев принимал активное участие в работе Всероссийских съез-
дов преподавателей математики, на каждом из которых он сделал по 2
доклада. На I съезде: «Метод обучения математике в старой и новой
школе», в котором раскрыта сущность традиционной и реформистской
систем математического образования; «Вопрос о дробях в курсе арифме-
тики», где рассмотрены две возможные системы изложения обыкновенных
и десятичных дробей. На II съезде: «Теория пределов в курсе геометрии», в
котором дана обновленная методика изложения темы; «Вопрос о способах
оценки и контроля познаний учащихся».
В 1914 г. выходит книга Лебединцева «Метод обучения математике в
старой и новой школе», в которой собраны его статьи по общей и частной
дидактикам и общепедагогического характера.
Активно участвует Лебединцев и в так называемом «игнатьевском
проекте», суть которого раскрыта нами ранее. В 1915 г. назначенный
министром народного просвещения П.Н. Игнатьев приглашает его на
должность окружного инспектора при Петроградском учебном округе, в
связи с чем Лебединцев переезжает в Петербург. Он входит в качестве
члена в комиссию по реформированию математического образования,
председателем которой назначен известный профессор математики К.А.
Поссе. Лебединцев составил «Проект программы по математике для
общеобразовательной средней школы» для гуманитарного направления.
Возвратившись в Москву в связи с упразднением учебных округов и
должности окружных инспекторов, с 1917 г. Лебединцев принимает
участие в разработке основ отечественного математического образования в
школе советского периода: он был членом комиссии по разработке про-
грамм по математике для трудовой школы, работал консультантом при
отделе реформы школы Наркомпроса РСФСР.
И в эти годы Лебединцев продолжает активно печататься. В 1918 г.
выходит пособие «Учение о простейших функциях, их графиках и теории
пределов», которое служит дополнением ранее изданных им книг по
алгебре. В 1919 г. появилось «Руководство алгебры: В 2-х частях», в
которой на протяжении всего курса изучались функции и их графики. Эта
книга была тепло встречена педагогической общественностью, переизда-
валась 12 раз. В этом же году выходит его «Математика в народной шко-
ле» (первая ступень), в которой раскрываются цели, программа и методы
обучения математике в трудовой школе. В 1922 г. опубликовано «Руково-
дство алгебры», приспособленное для новой школы, и «Сборник задач по
курсу алгебры». В 1923 г. выходит на русском и украинском языках посо-
189
бие «Счет и мера» - пособие по арифметике и элементам геометрии для
трудовой школы I ступени. Наконец, в 1925 г. вышла в свет книга Лебе-
динцева «Введение в современную методику математики», в которой
большое внимание уделено теоретическому обоснованию конкретно-
индуктивного метода обучения математике. Последние годы жизни (с мая
1919) Лебединцев трудился в Киеве, куда его командировали для помощи
Наркомпросу УССР. Он принимал активное участие в работе многочис-
ленных комиссий, связанных с реформой школы на Украине, вел большую
общественную работу. В 1921 г. на базе Киевского университета и Высших
женских курсов был создан Высший институт народного образования, в
котором Лебединцев был проректором, деканом. В 1923 г. ему было
присвоено звание профессора. В деятельности К.Ф. Лебединцева сочета-
лись глубокая эрудиция научного работника с увлеченностью педагога-
новатора, который умело применял достижения науки к решению педаго-
гических проблем.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
МИНИСТРЫ НАРОДНОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ ВТОРОЙ ПОЛО-
ВИНЫ XIX - НАЧАЛА XX В.1
1.	Леерам Сергеевич Норов (1795-1869) - министр в 1854-1858 г.
Учился в пансионе при Московском университете; участник сражения при
Бородино, инвалид Отечественной войны 1812 г. Лингвист, академик
Петербургской АН с 1851 г. Библиофил, писатель. С 1823 г. служил в
министерстве народного просвещения, с 1850 г. - товарищ министра. При
нем увеличилось число студентов в вузах России, введены стажировки в
Европе для кандидатов на профессорские звания.
2.	Евграф Петрович Ковалевский (1792-1866) - министр в 1858-1861
г. Окончил Горный кадетский корпус, получив диплом горного инженера.
С 1826 г. - командир Горного корпуса, с 1843 г. - сенатор, в 1856-58 гг.
попечитель Московского учебного округа. Отличался либеральными
взглядами, содействовал созданию народных училищ и воскресных школ,
сторонник реального образования, инициатор начального всеобуча.
3.	Евфимий Васильевич Путятин (1804-1883) - граф, вице-адмирал,
министр с июня до декабря 1861 г. Окончил Морской кадетский корпус,
1 За основу этого приложения взяты материалы, представленные в книге Ю.М.
Колягина «Русская школа и математическое образование» (М.: Просвещение,
2001. С. 308-311).
190
участник военных действий в период Кавказской войны, дипломат. В
1822-25 гг. совершил кругосветное путешествие на фрегате «Паллада». С
1861 г. - член Государственного совета. В должности министра прослужил
всего пять месяцев, уволен после студенческих беспорядков.
4.	Александр Васильевич Головнин (1821-1886) - министр с 1861 по
1866 г. С золотой медалью окончил Царскосельский лицей. Почетный член
Петербургской АП. С 1840 г. - на государственной службе в разных
ведомствах. С 1859 г. служит в министерстве просвещения. При нем сумма
расходов на просвещение удвоилась, возросло число средних учебных
заведений. Приняты либеральные уставы университетов (1863), гимназий
(1864), положение о народных училищах. Созданы учительские семина-
рии, открыт Новороссийский университет в Одессе. Уволен из-за студен-
ческих беспорядков после покушения на Александра II.
5.	Дмитрий Андреевич Толстой (1823-1889) - граф, министр с 1866 по
1880 г. Окончил Царскосельский лицей. Специалист в области истории и
истории образования. С 1866 г. Почетный член, с 1882 г. президент Петер-
бургской АН. С 1848 г. - сотрудник департамента духовных дел Мини-
стерства иностранных дел, с 1865 г. - обер-прокурор Синода. Сторонник
классического образования, жестких сословных ограничений при поступ-
лении в гимназию и университет (1871). Расширил сеть государственных
школ в сельской местности, инициатор инспектуры народных училищ
(1874), реформировал духовно-учебные заведения (1866-1869); официаль-
но утвердил женские курсы, гимназии и прогимназии.
6.	Андрей Александрович Сабуров (1838-1916) - министр с 1880 по
1881 г. Окончил Александровский лицей, служил в Министерстве юсти-
ции. С 1875 по 1880 гг. - попечитель Дерптского учебного округа. С 1881
г. - сенатор.
7.	Александр Павлович Николаи (1821-1899) - барон, министр с 1881
по 1882 г. Окончил Царскосельский лицей. Служил при кавказском наме-
стнике графе Воронцове. С 1852 г. - попечитель Кавказского учебного
округа. С 1861 г. - попечитель Киевского учебного округа. С 1862 г. -
товарищ министра, участник разработки либеральных уставов университе-
тов (1863) и народных училищ (1864).
8.	Иван Давыдович Делянов (1818-1897) - граф, министр с 1882 по
1897 г. Окончил юридический факультет Московского университета. С
1838 по 1858 - придворный юрист. С 1858 г. - попечитель Петербургского
учебного округа, ближайший соратник министра Д.А. Толстого, с 1866 г. -
товарищ министра. При нем разработан новый университетский устав 1884
г., сокращена программа древних языков в гимназиях, расширена про-
191
грамма русской словесности, проведен знаменитый циркуляр «о кухарки-
ных детях» (1887), бюджет просвещения вырос почти в полтора раза.
9.	Николай Павлович Боголепов fl 846-1901) - министр с 1898 по 1901
г. В 1868 г. окончил юридический факультет Московского университета, с
1873 г. - профессор Московского университета, его ректор (1883-87 и
1891-93). С 1895 г. - попечитель Московского учебного округа. Сторонник
реального образования, автор комплексного учебного плана для средних
учебных заведений. В 1901 г. смертельно ранен эсером П.В. Карповичем.
10.	Петр Семенович Ванновский (1822-1904) - генерал, министр с
1901 по 1902 г. Учился в 1-м Московском кадетском корпусе. Служил в
армии, с 1883 г. - генерал от инфантерии, участник Венгерского похода
1849 г., Крымской войны (1853-1856), русско-турецкой войны (1877-1878).
С 1888 г. - Почетный член Петербургской АН. Военный министр (1881-
1898), в 1899 г. возглавил расследование студенческих беспорядков.
Провел некоторую либерализацию системы высшего образования (разре-
шил студенческие кружки, выборность курсовых старост), сократил объем
преподавания древних языков в гимназиях, снизил норму приема в вузы
евреев (1901).
11.	Григорий Эдуардович Зенгер (1853-1919) - министр с 1902 по 1904
г. В 1874 г. окончил историко-филологический факультет Петербургского
университета, стажировался в Берлине, преподавал языки в гимназии. С
1885 г. - доцент, с 1896 г. - декан, с 1897 по 1899 г. - ректор Варшавского
университета. С 1900 г. - попечитель Варшавского учебного округа, с 1901
г. - товарищ министра. С 1904 г. - сенатор, ученый-литератор, специалист
по древнеримской поэзии, чл.-корр. Петербургской АН. В бытность мини-
стром подготовил реформу средних и высших учебных заведений, провоз-
гласившую законченность начального и среднего образования, особое
внимание воспитанию нравственности, порядка и дисциплины.
12.	Владимир Гаврилович Глазов (1848-1920) - министр с 1904 по
1905 г. В 1869 г. окончил 3-е Александровское военное училище, в 1876 г.
- академию Генштаба. Участник русско-турецкой войны, начальник
Николаевской академии Генштаба с 1901 по 1904 г., генерал от инфанте-
рии (1907). Назначен министром вопреки его желанию. При нем разрабо-
таны проекты положений о женских курсах, подготовительных школах и
пр. Поставлен вопрос о сближении семейного и школьного воспитания.
Проведен съезд попечителей учебных округов России (1904), на котором
были выработаны проекты новых уставов учебных заведений, не реализо-
ванные из-за революции 1905 г.
13.	Иван Иванович Толстой (1858-1916) - министр с 1905 по 1906 г. В
1880 г. окончил юридический факультет Петербургского университета.
192
Служил в МИДе и МВД, член Археологической комиссии. С 1889 г. -
конференц-секретарь Академии художеств, участвовал в создании Русско-
го музея. С 1900 г. - председатель русского общества печатного дела. В
должности министра проводил либеральную образовательную политику,
особенно в национальной школе; сторонник всеобщей грамотности.
14.	Петр Михайлович Кауфман - барон, министр с 1906 по 1908 г. В
1877 г. с золотой медалью окончил Александровский лицей. Служил в
канцелярии Комитета министров, с 1898 г. - сенатор. Автор работ по
русской истории. После Октябрьской революции - в эмиграции. Внес в
Госдуму проект введения в России всеобуча, при нем увеличен кредит на
народное образование, открыты 139 новых гимназий и реальных училищ,
Археологический и Психоневрологический институты.
15.	Александр Николаевич Шварц (1848-1915) - министр с 1908 по
1910 г. Окончил филологический факультет Московского университета,
преподавал древние языки в средних учебных заведениях и Московском
университете. С 1900 г. - попечитель Рижского, Варшавского и Москов-
ского учебных округов. Приверженец классического направления в
школьном образовании и его повсеместного внедрения; запретил прием
женщин в высшие учебные заведения; ужесточил норму приема евреев в
вузы до 2 %.
16.	Лев Аристидович Кассо (1865-1914) - министр с 1911 по 1914 г.
Учился в Парижском лицее, Гейдельбергском и Берлинском университе-
тах. С 1892 г. преподавал в Дерптском университета. С 1898 г. - доктор
права, профессор Московского университета. В 1910 г. - главноуправляю-
щий министерства просвещения. Противник автономии университетов.
При нем принят устав 1911 г., предусматривающий назначение профессо-
ров университета министерством, противник самоуправления в средних
учебных заведениях.
17.	Павел Николаевич Игнатьев (1870-1945) - граф, министр с 1915
по 1916 г. В 1892 г. окончил Киевский университет, работал в земстве, с
1908 г. - товарищ главноуправляющего министерства землеустройства и
земледелия. Почетный член РАН (1917). На посту министра пытался
провести либеральные реформы системы образования, вызвавшую оппо-
зицию попечителей учебных округов. Сторонник сотрудничества прави-
тельства с Госдумой. Вышел в отставку' без нового назначения, с 1919 г. -
в эмиграции.
18.	Николай Константинович Кульчицкий (1856-1925) - министр с
1916 по февраль 1917 г. Окончил медицинский факультет Харьковского
университета; с 1883 по 1910 г. - зав. кафедрой, декан. С 1912 г. -
193
попечитель Казанского, а с 1914 - Петербургского учебных округов.
Консерватор, выступал за роспуск Госдумы, в 1917 г. эмигрировал.
19.	Александр Апполонович Мануйлов (1861-1929) - министр с марта
по июль 1917 г. В 1883 г. окончил юридический факультет Новороссий-
ского университета; экономист, кадет. С 1885 г. преподавал в Московском
университете, с 1908 по 1911 - его ректор. Преподавал в университете
Шанявского (1911-1917). В 1917 - министр просвещения во Временном
правительстве. После революции - консультант наркома финансов,
участник денежной реформы 1922-24 гг.
20.	Сергей Федорович Ольденбург (1863-1934) - министр с июля по
август 1917 г. В 1885 г. окончил факультет восточных языков Петербург-
ского университета, работал в библиотеках за границей, с 1889 г. читал
лекции в Петербургском университете, с 1894 г. - профессор, специалист
по истории Индии и Древнего Востока, с 1900 г. - академик Петербургской
АН, РАН (1917), АП СССР (1925). В 1912 г. избран в Госдуму. С 1930 по
1934 г. -директор Института востоковедения АН СССР.
21.	Сергей Сергеевич Салазкин (1862-1932) - министр с сентября по
октябрь 1917 г. Окончил физмат Петербургского и медицинский факультет
Киевского университетов. Народоволец, профессор Женского медицинско-
го института (1898-1911). Выступал за автономию учебных заведений,
бесплатное обучение в начальной и средней школах. С 1918 по 1925 г. -
ректор Крымского университета, с 1925 по 1931 г. - профессор Ленинград-
ского медицинского института.
Литература
1.	Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образова-
ния в СССР. М.: Просвещение, 1967.
2.	Баранов П.А. Решение треугольников в курсе геометрии с приложением
таблиц катетов. 1910.
3.	Башмакова И.Г., Петрова С.С. История математики в Московском
университете // Математическая наука в МГУ. М., 1980.
4.	Белозеров СЕ. Вклад в математику учёных Ростовского университета.
Ученые записки РГУ. Т.24. Вып.1. Ростов н/Д, 1955.
5.	Билибин Н. Курс тригонометрии. Ч. I. 1909. Ч. II. 1910.
6.	Билибин Н.И. Основания анализа бесконечно малых. Для реальных
училищ. СПб., 1907.
7.	Бобынин В.В. Цели, формы и средства введения исторических элемен-
тов в курс математики средней школы / Труды 1-го Всероссийского Съезда
Преподавателей математики. СПб., 1913.
194
8.	Бычков Б.П. 100-летие программ преподавания математики в русской
гимназии // Мат. в шк. 1972. № 6.
9.	Бычков Б.П. К истории вопроса о реформе преподавания математики //
Мат. в шк. 1951. № 6.
10.	Бычков Б.П. Педагог-математик А.Ю. Давидов // Мат. в шк. 1973. № 6.
11.	Бычков Б.П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней
школы в XIX в. // Мат. в шк.1954. № 4.
12.	Веребрюсов А. Прямолинейная тригонометрия. 1890.
13.	Вестник математических наук. 1861. № 1. С. II.
14.	Виктор Викторович Бобынин // Мат. в шк. 1984. № 1. Обложка.
15.	Вишневский Г.М. Записки по методике арифметики. 1892.
16.	Воинов А. Прямолинейная тригонометрия. 1894.
17.	Галанин Д.Д. Методика арифметики. Второй год обучения. 1911.
18.	Галанин Д.Д. Методика арифметики. Первый год обучения. 1910.
19.	Гебель В. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3. 1911.
20.	Голос минувшего. 1916. № 2, 3, 4.
21.	Дахия С.А. «Журнал элементарной математики и «Вестник опытной
физики и элементарной математики» // Историко-математические исследо-
вания1. Вып. IX. М., 1956.
22.	Депман И.Я. История арифметики. М.: Учпедгиз, 1959.
23.	Депман И.Я. Русские математические журналы для учителя // Мат. в
шк. 1951. №6.
24.	Доклады, читанные на 2-м Всероссийском Съезде преподавателей
математики в Москве. М., 1915.
25.	Журнал Министерства народного просвещения. 1858. Июль.
26.	Журнал Министерства народного просвещения. 1862. Ч. СХШ.Отд. 1.
27.	Исторический очерк русских учебных руководств по математике И
Педагогический сборник. 1878. Ноябрь.
28.	История математического образования в СССР. Киев: Наукова думка,
1975.
29.	История отечественной математики. В 4-х тт. Т.2. Киев: Наукова
думка, 1967.
30.	Каптерев П.Ф. Общеобразовательный школьный курс И Образование.
1901. № 12.
31.	Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. М.:
Просвещение, 2001.
32.	Курилко П. Сборник задач по элементарному курсу гониометрии и
тригонометрии. Одесса, 1914.
1 Далее - ИМИ.
195
33.	Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике
математики. М.: Учпедгиз, 1951.
34.	Латышев В.А. Геометрия в городских училищах // Русская школа.
1893. №3 и 4.
35.	Латышев В.А. Исторический очерк русских учебных руководств по
математике // Педагогический сборник. 1878. Июль.
36.	Латышев В.А. О преподавании алгебры в гимназиях // Русская школа.
1893. №9-10.
37.	Латышев В.А. Опыт разработки программы геометрии для 2-классных
народных училищ // Русский народный учитель. 1901. № 8-9.
38.	Лебединцев КФ. Метод обучения математике в старой и новой школе
// Математическое образование. 1912. № 2.
39.	Лебединцев К.Ф. Основные положения методики учения о функциях и
элементах анализа в школах II ступени // Мат. в шк. 1983. № 4.
40.	Лебединцева Е.К. Константин Феофанович Лебединцев // Мат. в шк.
1983. №4.
41.	Марон И.А., Погребысский И.Б. О педагогическом наследии М.В.
Остроградского // Михаил Васильевич Остроградский / Под ред. И.Б.
Погребысского и А.П. Юшкевича. М., 1961.
42.	Математическое образование // Журнал Фонда математического
образования и просвещения. М. № 1. Апрель-июнь 1997 г.
43.	Материалы по реформе средней школы. Примерные программы и
объяснительные записки, изданные по распоряжению г. министра народ-
ного просвещения. СПб., 1915.
44.	Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. Минск:
Вышэйшая школа, 1968.
45.	Минковский В.Л. К пятидесятилетию научно-педагогической деятель-
ности профессора Д.Д.Мордухай-Болтовского // Мат. в шк. 1949. №2.
46.	Минковский В.Л. Методико-математические идеи Д.И. Писарева.
ИМИ. Вып. XVIII. М.: Наука, 1966.
47.	Минковский В.Л. Педагогические идеи и деятельность академика А.А.
Маркова //Мат. в шк. 1952. № 5.
48.	Михаил Васильевич Остроградский // Под ред. И.Б. Погребысского и
А.П. Юшкевича. М., 1961.
49.	Мордухай-Болтовской Д.Д. Второй Всероссийский съезд преподава-
телей математики. Варшава, 1914.
50.	Мордухай-Болтовской Д.Д. Первый Всероссийский съезд преподава-
телей математики. Варшава, 1912.
51.	Мрочек В. Прямолинейная тригонометрия. 1908.
196
52.	Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Исторические и
методические этюды. Т.1. СПб., 1910.
53.	Назарьев С.В. К истории учебной литературы по геометрии // Мат. в
шк. 1951. № 1.
54.	Некрасов П.Л. О цели и значении преподавания математики в гимна-
зиях // Физико-математический ежегодник. 1900.
55.	Несторович НМ. К 30-летию научной и педагогической деятельности
проф. Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского. Известия СКГУ. Т.З.
Ростов н/Д. 1928.
56.	Несторович НМ. О работе Математического Семинария Варшавского
и Донского Университета. 1911-1924 г.г. Ростов н/Д: Известия СКГУ. Т.З.
1928.
57.	Острогорский А.Н. Избранные педагогические сочинения. М.: Педаго-
гика, 1985.
58.	Острогорский А.Н Ф.И. Симашко // Педагогический сборник. 1892.
Ноябрь.
59.	Отчет о деятельности Педагогического общества, состоящего при
Московском университете, за 1900-1901 г. М., 1902.
60.	Павлов И.П. Полное собрание трудов. Т. V. M.-JL, 1949.
61.	Паначин Ф.Г. Педагогическое образование в России. М.: Педагогика,
1979.
62.	Педагогический сборник. 1868. Июль.
63.	Писарев Д.И. Подробный конспект преподавания первоначальной
математики малолетним детям П. Гурьева // Избранные педагогические
высказывания. М., 1938.
64.	Писарев Д.И. Наша университетская наука. Соч. в 4-х т. Т. 2. М., 1955.
65.	Писарев Д.И Школа и жизнь И Избранные педагогические высказыва-
ния. -М., 1938.
66.	Подготовка III Всероссийского съезда преподавателей математики И
Математический вестник. 1917. № 2-3.
67.	Полякова Т.С. История математического образования в России. М.:
Изд-во МГУ, 2002.
68.	Полякова Т.С. История отечественного школьного математического
образования. Два века. Кн. I: Век восемнадцатый. Ростов н/Д: Изд-во Рост,
пед. ун-та, 1997.
69.	Полякова Т.С. История отечественного школьного математического
образования. Два века. Кн. II: Век девятнадцатый. Первая половина. Ростов
н/Д; Изд-во Рост. пед. ун-та, 2001.
70.	Поссе К.А. .0 согласовании программ в средней и высшей школах /
Труды 1-го Всероссийского Съезда ... СПб. 1913.
197
71.	Пржевальский Е. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3. 1884.
72.	Протокол XIII собрания // Педагогический сборник. 1887. Февраль.
73.	Протокол заседаний преподавателей математики средних учебных
заведений, 5 марта 1887 г. // Педагогический сборник. 1887. № 1-12.
74.	Прудников В.Е. О русских учебниках математики для средних школ в
XIX в. И Мат. в шк. 1954. № 3.
75.	Прудников В.Е. Пафнутий Львович Чебышев. М.: Учпедгиз, 1950.
76.	Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. М.:
Учпедгиз, 1956.
77.	Речь председателя Организационного Комитета проф. Б.К. Млодзеев-
ского при открытии 2-го Всероссийского Съезда // Доклады, читанные на
2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве М. 1915.
78.	Русская школа. 1903. № 5-6.
79.	Рыбкин Н. Учебник прямолинейной тригонометрии.
80.	Рыбников К.А. Виктор Викторович Бобынин // ИМИ. Вып. Ш. М.-Л.,
1950.
81.	Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее
И Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество.
Математическое образование на рубеже веков». М. 2000.
82.	Сборник распоряжений по Министерству народного просвещения. Т.
IV.
83.	Сборник статей в помощь самообразованию по математике, физике,
химии астрономии. Вып. I. 1898. и
84.	Симашко Ф. Тригонометрия. 1900.
85.	Симонов И. С. «Педагогический сборник» за 50 лет. Петроград, 1914.
86.	Симонов Р.А. Первые русские математические журналы - носители
прогрессивных методических идей // Мат. в шк. 1955. № 3.
87.	Синцов Д. О подготовке преподавателей математики // Доклады,
читанные на 2-м Всероссийском Съезде преподавателей математики в
Москве. М. 1915.
88.	Систематический указатель статей, напечатанных в неофициальной
части «Педагогического сборника» за 50 лет (1864-1914) / Составитель
С.А. Переселенков. Петроград, 1915.
89.	Слетов. Прямолинейная тригонометрия. 1915.
90.	Сомов О.И. Очерки жизни М.В. Остроградского // Записки император-
ской Академии наук. Т. III. Кн. I. 1863.
91.	Струве В.Б. К вопросу о согласовании программ математики в сред-
ней и высшей школе / Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей
математики. СПб., 1913.
198
92.	Сушкевич А.К. Материалы к истории алгебры в России в XIX в. и в
начале XX в./ ИМИ. Вып. IV. М.-Л.: Изд-во технико-теор. литературы.
1951.
93.	Тихомандрицкий А.Н. Начальная алгебра. СПб., 1855.
94.	Толстой Л.Н. Педагогические сочинения. М.: Изд-во АПН РСФСР,
J948.
95.	Торопов К.А. Курс прямолинейной тригонометрии. Пермь, 1894.
96.	Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики. СПб.,
1913.
97.	Труды I Всероссийского Съезда Преподавателей математики. Т. II.
Секция III (методика). СПб, 1913
98.	Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней
школе // Труды 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики.
СПб. 1913.
99.	Чебышев П.Л. Полное собр. соч. М., 1951.
\№.Чистяков ИИ. Первый Всероссийский съезд преподавателей матема-
тики // Математическое образование. 1912. № 2.
1О1.Чичигин В.Г. Методика преподавания тригонометрии. М.: Учпедгиз,
1954.
102	.Шапошников Н. Курс прямолинейной тригонометрии. 1918.
103	.Шереметевский В. П. Математика, как наука, и ее школьные суррогаты
И Русская мысль. 1895. Кн. 5.
ХМ.Шидловский В. Курс прямолинейной тригонометрии, приспособлен-
ный к первому ознакомлению с этим предметом. 1909.
\$5.Шифф В. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 2. 1910.
106	.Шохор-Троцкий С.И. Авторитетное слово в области методики матема-
тики // Русская школа. 1893. № 1.
107	.Шохор-Троцкий С.И. Методика начальной арифметики. Ч. I. 1898.
108	.Шохор-Троцкий С.И. Цель и средства преподавания математики с
точки зрения требований общего образования. СПб., 1893.
109	.Шохор-Троцкий С.И. Чему и как учить на уроках арифметики // Рус-
ская школа. 1894. Январь, Февраль, март.
110	.Щербина КМ. Математика в русской средней школе. Киев, 1908.
111	.Энциклопедический словарь «Россия». СПб., 1898
1 \2.Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука, 1968.
1 \3.Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание в России XVII-XIX вв. //
Мат. в шк. 1949. № 3.
199
СОДЕРЖАНИЕ
От автора.............................................. 3
Глава 1. Отечественное математическое образование во второй
половине XIX - начале XX в.
§ 1. Математическое образование гимназического уровня во вто-
рой половине XIX - начале XX в.
1.1. Математическое образование в российской средней школе второй
половины 50-х и 60-х гг. XIX в...............................6
1.2.	Реформа математического образования в России
в70-хгг. XIX в............................................ 12
1.3.	Математическое образование в русской средней школе конца XIX
-начала XX в..............................................16
§ 2. Движение за реформу отечественной классической модели
школьного математического образования
2.1. Классическая система школьного математического образования и
ее российская модель............................................28
2.2.	Движение за реформу математического образования в России на
рубеже XIX-XX вв.....................................г..........30
2.3.	Всероссийские съезды преподавателей математики 1911-1914 гг.
2.3.1.	Первый Всероссийский съезд преподавателей
математики...............................................33
2.3.2.	Второй Всероссийский съезд преподавателей
математики...............................................39
Глава 2. Учебная и методическая литература второй половины
XIX-начала ХХв.
§ 1. Периодические издания для учителя математики второй поло-
вины XIX - начала XX в.
1.1.	Вестник математических наук.......................... 46
1.2.	Педагогический сборник............................... 47
1.3.	Математический сборник............................... 48
1.4.	Математический отдел журнала «Семья и школа»......... 50
1.5.	Математический листок................................ 50
1.6.	Журнал элементарной математики....................... 51
1.7.	Вестник опытной физики и элементарной математики..... 53
1.8.	Физико-математические науки в их настоящем и прошлом. 58
1.9.	Математическое образование........................... 59
200
§ 2. Методика преподавания математики в России второй полови-
ны XIX - начала XX в.
•2.1. Методические и научно-популярные книги по математике.61
2.2.	Развитие отечественной методики арифметики во второй половине
XIX - начале XX в.............................................62
2.3.	Лабораторный метод и наглядное обучение в отечественной мето-
дической литературе начала XX в...............................73
2.4.	Развитие отечественной методики геометрии во второй половине
XIX - начале XX в............................................ 74
2.5.	Методика алгебры в России во второй половине XIX -
начале XX в.............................................. 82
2.6.	Идея функциональной зависимости в отечественной методике ма-
тематики конца XIX - начала XX в..............................87
2.7.	Методика тригонометрии в России во второй половине XIX - на-
чале XX в.....................................................94
§ 3. Учебники математики отечественной гимназии второй поло-
вины XIX - начала XX в..................................... 99
3.1.	Учебники арифметики...............................102
3.2.	Учебники геометрии................................109
3.3.	Учебники алгебры..................................115
3.4.	Учебники тригонометрии............................127
3.5.	Классический комплект отечественных учебников математики для
гимназий ...................................................135
Заключение..............................................137
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1.
Отечественное математическое образование в лицах. Вторая по-
ловина XIX — начало XX в.
Михаил Васильевич Остроградский........................ 153
Франц Иванович Симашко................................. 156
Пафнутий Львович Чебышев............................... 158
Август Юльевич Давидов................................. 161
Александр Федорович Малинин............................ 163
Василий Андрианович Евтушевский........................ 165
Александр Иванович Гольденберг......................... 167
Александр Николаевич Страннолюбский.................... 169
Алексей Николаевич Острогорский........................ 171
201
Александр Федорович Малинин........................... 163
Василий Андрианович Евтушевский....................... 165
Александр Иванович Гольденберг........................ 167
Александр Николаевич Страннолюбский................... 169
Алексей Николаевич Острогорский....................... 171
Виктор Викторович Бобынин............................. 173
Василий Алексеевич Латышев............................ 175
Николай Александрович Шапошников...................... 177
Андрей Петрович Киселев.............................   179
Семен Ильич Шохор-Троцкий............................. 181
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской................ 183
Константин Феофанович Лебединцев...................... 187
Приложение 2.
Министры народного просвещения второй половины	XIX - нача-
ла XX в	190
Литература..............................................194
Содержание..............................................200
Учебное издание
Т.С. Полякова
История отечественного школьного математического образова-
ния. Два века. Кн. 2: вторая половина XIX - начало XX в.
Учебное пособие для высших и средних педагогических
учебных заведений
Сдано в набор 12.01.2005 . Подписано к печати 15.01.2005 . Формат
60x90/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13 .
Тираж 400 экз.
Издательство Ростовского государственного педагогического университета
344082, Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, 33
Типография ООО «ВУД»
203