/
Похожие
Текст
Н. Н. Евдокимова
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
В ТАБЛИЦАХ
И СХЕМАХ
ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ
Аа a N п ЭН
вь бэ Оо о
Сс це Рр ПЭ
Dd ДЭ Qq ку
Ее э Rr Эр
Ft эф Ss эс
Gg гэ (же) ”1” тэ
Н h ха (аш) llu У
1i и Vv вэ
Jj йот (жи) W w дубль-вэ
Kk ка Xx икс
LI эль Yy игрек, ипсилон
M m эм Zz зет, зета
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
А а альфа КСИ
вр бета Оо омикрон
Гу гамма Птс пи
А 6 дельта Рр ро
Ее эпсилон £g сигма
дзета Тт тау
Н т] эта Y v юпсилон
е е тета (ипсилон)
и йота Ф ф фи
К к каппа XX хи
A X ламбда Т v пси
М ц мю (ми) Q со омега
N v ню (ни)
3
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Множество представляет собой соединение, совокуп-
ность, собрание некоторых предметов, объединенных по ка-
кому-либо признаку.
<______________________________________________________/
Примеры.
Множество учащихся школы.
Множество букв алфавита.
Множество действительных чисел.
Множество точек на прямой.
Предметы, из которых состоит множество, называются его
элементами.
Множества обозначают заглавными буквами латинского
алфавита, а элементы — малыми буквами.
А = {<Х|, <х2; <х2} — множество А состоит из элементов <*р
а,.
- ____________________________________________________/
Запись ас А означает, что элемент а принадлежит мно-
жеству А.
Запись «й А означает, что элемент о не принадлежит мно-
жеству А.
Пример. N — множество натуральных чисел; 8 е N; Q&N;
-11eW;4€W.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, на-
зываются равными.
Пример. Если А = {3; 5; 6}, В = {3; 5; 6}, то А = В.
4
Если все элементы множества С являются элементами
множества А, то множество С называется подмножеством
множества А.
Пример. А = {1; 2; 3}. С= {1; 3}.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, на-
зывается пустым множеством и обозначается 0.
Пересечением множеств А и
В называется множество С, со-
стоящее из общих элементов
множеств А и В. Оно обозначает-
ся С = А гл в.
Объединением множеств А и
В называется множество D, со-
стоящее из всех элементов мно-
жеств А и В и только из них. Оно
обозначается D = А и В.
Если множества А и В не имеют
общих элементов, то пересече-
нием таких множеств является пу-
стое множество — 0.
оо
Примеры. Рассмотрим два множества А и В.
1) А = <0; 2; 3; 4}, В = {1; 2; 3; 5}
А и 8 = {О; 2; 3; 4} v{1; 2; 3; 5} = {О; 1; 2; 3; 4; 5};
А^В = {О; г 3, 4}п{1; 2; 3; 5} = {2; 3}.
2) А = {О; 1;4; 5},В= {2; 3}
А и 8= {О; 1; 4; 5} v {2; 3} = {0; 1; 2; 3; 4; 5};
А п В={0; 1; 4; 5} о {2; 3} = 0.
5
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
В элементарной математике выделяют следующие множества
чисел:
N = {1; 2; 3; ...) Множество натуральных чисел состоит из
всех натуральных чисел.
Натуральные числа 1, 2, 3, ... появились в связи с необ-
ходимостью подсчета предметов.
Z = {0; ±1; ±2; ±3; ...}
Натуральные числа, числа, противоположные натуральным,
и ноль составляют множество целых чисел.
Q = I—к где те Z, пе Z, л * 0
Ln J
Целые и дробные числа состаэляют множество рацио-
нальных чисел.
я = W. где —«° < X < -н» I
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дро-
бей называется множеством действительных чисел (ра-
циональных и иррациональных).
т
Каждое рациональное число представимо в виде конеч-
ной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональное число представляется непериодической
бесконечной десятичной дробью.
-
Пример.
1) Д = 0-4545... = 0,(45); £ = 0,24; 1 = 0,333... = 0,(3) - рацио-
11 ZO о
нальные числа.
2) V2 = 1,4142135-..; п = 3,14159... — иррациональные числа.
ЧИСЛОВАЯ ОСЬ. КООРДИНАТА ТОЧКИ
Прямая с указанной начальной точкой, выбранным по-
ложительным направлением отсчета и масштабным отрезком,
длина которого принимается равной единице, называется
числовой осью.
V__________________________________________________>
М О (начало отсчета) х
-------1--«--1---1 I t-1--1--1--1-----!►
-4-3-2-10 I 2 3 4
L масштабный отрезок
Каждое число можно изобразить точкой числовой оси. На-
оборот, каждая точка оси изображает какое-нибудь число.
Если число х изображается точкой М, то это число на-
зывается координатой точки М.
Точка О разбивает координатную прямую на два луча,
один из которых имеет положительное направление и на**
зывается положительным лучом, другой — отрицательным.
Модуль числа
Модулем числа х называется
расстояние от начала отсчета до
точки, изображающей число х.
|х|_ fx, если ха О;
~ |-х, если х < 0.
|5| = 5; |-6|=6; Ю| = 0.
|х| = 3 — это соотношение геометрически означает, что рас-
стояние от точки до начала координат равно 3: х, = -3, хг = +3.
7
АРИФМЕТИКА
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА.
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Число называется простым,
если его делителями являются
только единица и само число.
'Остальные числа называются^!
составными. I
Vs , —J
2. 3. 5. 13, 17, 19. 23.
29. 31. 37 ит. д.
Число 1 не относят ни к
простым, ни к состав-
ным.
Наибольшим общим делите-
лем (НОД) нескольких нату-
ральных чисел называется са-
мое большое натуральное число,
на которое все эти числа делятся.
Для нахождения НОД каждое из
чисел раскладывают на простые
множители и вычисляют произ-
ведение общих простых множи-
телей, езяв каждый из них с на-
именьшим (из имеющихся) по-
казателем.
Наименьшим общим кратным
(НОК) нескольких натуральных
чисел называется самое наи-
меньшее число, которое делит-
ся на все эти числа.
Для нахождения НОК каждое из
чисел раскладывают на простые
множители и вычисляют произ-
ведение всех получившихся
простых множителей, взяв каж-
дый из них с наибольшим (из
имеющихся) показателем.
Пример. Найти НОК чисел 270;
Пример. Найти НОД чисел 126;
540; 630.
Решение
126 2
540
270
135
15
5
2
2
3
3
3
5
630
315
105
35
2
3
3
5
7
300; 315. Решение
270 2 300 2 315
135 3 150 2 105
45 3 75 3 35
15 3 25 5 7
5 5 5 5 1
1 1
126 = 2 З2 7; 540 = 2г З2 5;
630 = 2-З2 -5 -7
НОД (126; 540; 630) = 2 З2 = 16
270 = 2 З3 • 5; 300 = 2г 3 52;
315 = З2 5 • 7
НОК (270; 300; 315) =
= 2г З2 5?-7= 18900
8
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Признак делимости на 2 На 2 делятся числа, оканчива- ющиеся нулем или четной циф- рой. Число, делящееся на 2, называется четным. Пример. 345 не делится на 2, т. к 5 — нечетная цифра; 18358 делится на 2, т. к. 8 — четная цифра
Признак делимости на 4 На 4 делятся числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. Пример. 34800 — делит- ся на 4; 15164 — делится на 4, т. к. 64 делится на 4; 115 — не делится на 4.
Признак делимости на 25 На 25 делятся числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25. Пример На 25 делятся числа 100, 1000, 125, 350, 675 т. к. последние две цифры нули или де- лятся на 25.
Признак делимости на 3 и на 9 На 3 (на 9) делятся тв и только те числа, сумма цифр которых де- лится на 3 (на 9). Пример. 381 делится на 3 и не делится на 9, т. к. 3 + 8 + 1 = 12 делится на 3 и не делится на 9.
Признак делимости на 5 На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5 Пример На 5 делятся числа 85, 160, 345, 2345 и т. д.; 243 не делится на 5, т. к. последняя цифра 3.
Признак делимости на 6 На 6 делятся числа, которые одновраменно делятся на 2 и 3. Пример. 342 делится на 6, т. к. число делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000 На 10 делятся числа, оканчиваю- щиеся нулем. На 100 делятся числа, оканчива- ющиеся двумя нулями. На 1000 делятся числа, у которых три последние цифры нули. Пример. 320, 6400 делят- ся на 10; 54000 делится на 10, 100 и 1000.
9
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
Выражение вида
а .
т- или а Ь, где а
о
и b целые числа и
b * о, называет-
ся дробью.
Число а называется числителем дроби.
Число Ь называется знаменателем
дроби.
а/£> — правильная дробь
а > b a/b — неправильная дробь
Иэ любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть. 13 = 2+| = 2|,где2—це- □ □ □ лая часть от деления числа 13 на 5. а 3 — остаток.
Основное свойство дроби _ _ а с Две дроби называются равны- ми если а d = b с. | = |,т. к. 2-6 = 3 -4.
£ - ——дробь не изменится, если о Ь-к числитель и знаменатель дроби умно- жить на одно и то же число. = “ = В — сокраще- 30 5 6 5 ние дроби.
Действия над дробями и —
хи a
Сложение и вычитание W а4. С а±С Ь • 2) b * d дроби нужно привести к общему знаменателю: a c_ad.c-b ad±cb b d b d d b bd Общим знаменателем будет HOK(fc.d). Умножение 1) к—целое число, а к а Ь~ Ь 5Л £ С а с } b d b d
Деление | b Ь к в . с а d a d b' d~ b с~ Ьс
10
СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Из двух чисел то больше, которое на коорд инатной прямой
расположено правее.
Любое положительное число больше нуля и больше отрицатель- ного числа.
Любое отрицательное число меньше нуля.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. -3,8 > -5,1, т. к. |-3,8|<|-5,1|
Действия с рациональными числами
Сложение Чтобы сложить числа с одинаковыми зна- ками, нужно сложить их модули и поста- вить к сумме их общий знак. -20 - 8 - 6 =-34; 26 + 5 + 1 = 32.
Чтобы сложить два числа с разными зна- ками, нужно из большего модуля числа вы- честь меньший модуль числа и поставить к сумме знак большего модуля числа. (+4) + (-Ю) = = -(10-4)=-6; (-3) + (+12) = = +(12-3) =+9.
Сумма противоположных чисел равна нулю. (+6) + (-6) = 0
Вычитание Чтобы вычесть из числа а число доста- точно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому: а - b = а + (-0). —5—(+3) = (-5)+{—3) =“81 4 -(—2) = 4 + 2 = 6.
Умножение и деление Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. (-6) (-2,3)= 13,6.
Произведение двух чисел с разными зна- ками есть число отрицательное. (+6) (—2,3) = -13,8.
Если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю. (-3,4) 0 = 0; 0-7 = 0.
Произведение нескольких чисел есть число положительное, если число сомно- жителей со знаком минус четное, и отри- цательное, если число сомножителей со знаком минус нечетное. (-3) (-2) (+6) = 36; (-2) (+4) - (+3) =-24.
Аналогично производится деление. (+24): (-3) = -8; (-16): (-9) =2.
11
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100
1000 и т. д. называют десятичной дробью.
4 = 0,3 41 = 0,5. 4^5 = 0,007
6 — целая часть числа;
1 — десятые доли единицы;
2 — сотые доли единицы;
5 — тысячные доли единицы.
6,125 = 6+ A + UL + тЛтг
10 100 ЮОО
Свойства десятичных дробей
1. Десятичная дробь не изменит величины,
если к ней справа приписать любое ко-
личество нулей.
2. Десятичная дробь увеличится в 10,100,
1000 и т. д. раз, если запятую перене-
сти на один, два, три и т. д. знака впра-
во.
3. Десятичная дробь уменьшится в 10,100,
1000 и т. д. раз, если запятую перенес-
ти на один, два, три и т. д. знака влево.
15,В = 15.80 = 15.800
ит.д.
Число 13,21 увеличится
в 10 раз, если напи-
шем: 132,1.
Число 13,21 уменьшит-
ся в 100 раз, если напи-
шем: 0,1321.
Превращение десятичной дроби
в обыкновенную дробь
Чтобы обратить десятичную дробь в обык-
новенную, достаточно в числителе дроби
записать число, стоящее после запятой, а в
знаменателе — единицу с нулями, причем
нулей должно быть столько, сколько цифр
справа от запятой.
12
Превращение обыкновенной дроби в десятичную
Чтобы превратить обыкновенную дробь
в десятичную, нужно выполнить деле-
ние числителя на знаменатель «стол-
биком».
Заметим, что при этом может полу-
читься конечная десятичная дробь или
бесконечная периодическая десятич-
ная дробь.
= 0.28
28
_7,0 125
50
0,28
200
200
о
1 = 0,333... = 0,(3)
О
ПОРЯДОК АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
При выполнении арифметических действий соблюдается сле-
дующий порядок*.
1. Выполняются действия, заключенные в скобки. При этом
вначале производится умножение и деление, затем сложение и
вычитание.
2. Выполняются действия без скобок. При этом также внача-
ле производится умножение и деление, затем сложение и вычи-
тание.
3. Если выражение, заключенное в скобки, также содержит
скобки, то вначале выполняются действия во внутренних скоб-
ках.
Примеры.
1)6 + (5 + 2)8-4 = 6 + 7 -8 - 4 = 6 + 56 - 4 =58.
2) 81 : 9 - 2 - (8 - 3 2) = 81 : 9-2 - (8-6) =
= 81 : 9-2 -2 =9 -4 =5.
3) 9+2 (14-30: (2-4-3)) = 25.
2-4 = 8; 8-3 = 5; 30:5 = 6: 14-6 = 8; 2 -8 = 16:9+16 = 25.
13
АЛГЕБРА
ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
а* - а а а ... а
'--------V-------'
/сраз
Степенью числа а с показателем
к. где fceW, aeQ, называется
произведение к множителей, каж-
дый из которых равен а
- — - - - . _ _ - I -
а — основание степени;
к — показатель степени.
( 1* = 1 )
Четная степень отрицательного числа есть число поло-
жительное (-2)2 = 4.
Нечетная степень отрицательного числа есть число от-
рицательное (-2)3 = -8.
Любая степень положительного числа есть число поло-
жительное 2s = 32.
ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ
т, пе N При умножении степеней с оди- наковыми основаниями показа- тели складываются, а основание остается прежним. х2 х4=х2
am;= am-n m,neN При делении степеней с оди- наковыми основаниями показа- тели вычитаются, а основание остается прежним. Xе Х^ = Х 25 : 25 = 25 = 8
(amy,=am л л?. ne W При возведении степени в сте- пень показатели степеней пере- множаются, а основание остает- ся прежним. (х2)3 -Xе (З2)2 = З4 = 81
14
(а • b с)п=ап Ьп - сп 1)(S 2 10)г = 5г-22 102=25-4 100 = 10000; 2,T3?- = i^-2’ 7’ = 4-49>,96.
п ОЧй о| 2) r21 r3^ k5, f 22 _ 8 . = 33 27‘ ®. 6 _33 25 _ 27 25 _ 9 _ 9 ’ 25 ~ 52 6 125 6 5-2 10'
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ,
НУЛЕВЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
2
2
5° = 1; (-2)° = 1;
Дробная степень
2 V Г
3 J [2
Нулевая степень
а0 = 1
Отрицательная
степень
= —
3 ~ з2 " 9
(-ЗГ2 =—1 = -
(-3)2 9
3?3Э 9 ,1.
J 22 4 4’
Примеры.
1) (-3)2 (-6)2= « 36.
2) (IJ’H)3(_4>г (’о,5)2 M)==(i (4)ПН}М))3=
=-Ь8=1.
16 2
3) Найдите значение выражения:
1410 136 84 (7 2)10- 136_- (23 )4 _ 710 • 2го - 13е • 212 _
25-7э 266 2s 79 (13 2)6 = 2s-79 136 2s
= 7W-9 222^14 = 7 2s = 7 -256 = 1792.
15
ДЕЙСТВИЯ С КОРНЯМИ
Арифметическим корнем л-й степени из неотрица-
тельного числа а называется неотрицательное число Ь, для
которого tf = а.
4а =Ь при а > О; b > О. Например: Jl6 = 4; J25 = 5.
Ja3b Jab3 - 4a*b4 = a3b2.
= '?3^bc,
aaO; baO, c^O
r4abc = f4al4br4c,
asO: b>0: сгО
2’
a;
-6:^3 =
^3 =42.
$c2d) = %c*d2 = 4c3cd2 = ctfcd2
a^O: ЬйО
16
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Законы сложения и умножения
1. Переместительный закон: а> b b >а,а b = Ь а
2. Сочетательный закон: (а + b ) + с = а + (b + с): (ab)c = а(Ьс)
3. Распределительный закон: (а + Ь) с- а с + Ь с
Одночлены и многочлены
Одночленом называется выражение, представ- ляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней. —> Зах4; -2Ь3: л; 17.
Степенью одночлена^ стандартного вида на- зывается сумма пока- зателей переменных. ^бх4/2 — одночлен шестой степени; Зх — одночлен первой степени; 5 — одночлен нулевой степени; 2abc — одночлен третьей степени.
Стандартным видом одночлена называется произведение,
составленное из числового множителя (коэффициента) и сте-
пеней различных переменных: 4a2bc; 0,8x2y®c; -За2Ь?с.
Многочленом называется алгебра-
ическая сумма одночленов.
Степенью многочлена стандартного
вида называется наибольшая степень
одночлена, входящего в этот много-
k член.________________________
Пример. Представить одночлен в стандартном виде и назвать
его коэффициент: 2а2Ьсг - (-ЗаЬ3с2) • (4аЬс3) =
= 2 (-3) 4 (аг а• а) (Ь Ь3 Ь) (с2 -с2 с3) = -24а4Ь5с7.
(используя 1 и 2 законы умножения)
Коэффициент одночлене равен (-24).
Например:
2а2 - Зах5 - 3,
г Например: '
2х2-5х + 6 —
многочлен второй
степени.
17
Преобразование суммы и резности многочленов
Если в многочлене все одночлены записаны в стандартном
виде и приведены подобные члены, то полученный многочлен
называется многочленом стендартного вида.
Преобраэсзатъ разность мно- гочленов в многочлен стан- дартного вида:
-> (5х2 - 4х + 3) - (Зх2 - х + 2)
1. Раскроем скобки по правилу:
Если перед скобкой стоит знак «плюс», то следует со- хранить знак каждого сла- гаемого суммы, заключенной в скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», то, раскрывая скобки, надо знаки слагае- мых поменять на противо- положные.
2. Приведем подобные члены (слагаемые):
' Чтобы привести подобные слагаемые, достаточно сложить
их коэффициенты и полученное число умножить на буквенное
выражение. Производится на основе закона 3:
5х2 - 3№ = 2х2; -4х + х = -Зх.
[(Бхг-4х+3)-(Зх2-х+2) = 5х2-4х+3-Зхгч-х-2 = 2хг-Зх+1~)
Умножение одночлена на многочлен
— выполняется по распределительному закону 3.
Например: х(3а - 2х) » Зах - 2х2; 5а(6а + Зх) = 30а2 + 15ах.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый'
член первого многочлена умножить на каждый член второго
и полученные произведения сложить.
Напоимер: 5х(х - у) + (2х + у)(х - у) ==
= 5х2 - 5ху + 2х2 - 2ху + ху - у2 = 7х2 - бху - у8.
18
Разложение многочленов на множители
1 Вынесение общего множителя за скобки выполняется по
распределительному закону 3:
1) х3 + Зх2 + 4х* = х2(х + 3 + 4х2);
2) 4х* - вх3 + 2х2 - 5х = 2х(2х3 — 4х2 + х - 3).
2. Группировка. Для этого надо объединить в группы те чле-
ны, которые имеют общие множители, и вынести общий множи-
тель за скобки в каждой группе:
1)ах + 2а-3х-6 = (ах + 2а) - (Зх + 6) = а(х + 2) - 3(х + 2) =
= (х + 2)(а - 3):
2) х2 - 2х - ху + 2у = (х2 -ху) + (2у - 2х) = х (х - у) - 2(х - у) =
= (х - 2){х - у).
3. Применение формул сокращенного умножения позволяет
разложить многочлен на множители:
1) х2 - 4 = (х - 2)(х + 2);
2)х2-5х +9 = (х-З)2.
Формулы сокращенного умножения
a2-62 = (a-ft)(a + ft) Разность квадратов
(а + Ь)г = а2 + 2ab + ft2 Квадрат суммы
(а - ft)2 = а2 - 2аЬ + ft2 Квадрат разности
а3 - ft3 = (а - Ь) (а2 + ab + ft2) Разность кубов
а3 + b2 = (а + ft) (а3 - ab + Ь2) Сумма кубов
(а + ft)3 = а3 + 3a2ft + ЗаЬ2 + ft3 Куб суммы
(а - Ь)3 = а3 - ЗаЬ2 + ЗаЬ2 - Ь2 Куб разности
19
1+1=2
а2 -Ьг =
= (а - Ь}(а + Ь)
Тождества
и уравнения
ах - b
х2 + рх + q = О
ах2 + Ьх + с - О
Тождеством называется равен-
ство (числовое или буквенное), спра- 6 + 3 = 4 + 5
ведливое при всех числовых знамени- (а - Ь)(а + Ь) = а2 - Ь2
ях входящих в него букв.
Уравнением f(x) = д(х) называется равенство, содер-
жащее неизвестные переменные. По числу неизвестных
уравнеьмя разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя
и т. д. неизвестными.
Решением уравнения (корнями) называются все зне-
чения переменной, при которых уравнение обращается в вер-
ное равенство.
Решить уравнение — значит найти множество его корней
или доказать, что их нет.
Областью определения (ОДЗ) уравнения называется
множество всех х, при которых одновременно имеют смысл
Решая уравнение, заменяют исходное ураанение равно-
сильным уравнением.
20
Равносильность уравнений
Два уравнения называются равносильными, если совпа-
дают множества их решений на данном числовом множестве.
Пример. Уравнениях2-1 =0 и (х-1)(х+1) = 0 равносильны,
они имеют корни xt = 1, х2=-1.,
Равносильность уравнений сохраняется при следующих опе-
рациях (основные приемы решения уравнений):
1 Замена выражения на тождественно равное ему.
2. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую
с изменением их знвка на противоположный.
3. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и
то же число, не равное нулю.
6(х + 4) = 3 ~ 2х <=> Бх + 24 = 3 - 2х <=> 6х + 2х = 3 - 24 <=> 8х = -21
х = -^ = -2|
8 8
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ах + Ь = 0, где а и b некоторые числа, на-
зывается линейным уравнением.
Если а * 0, то линейное уравнение имеет единственный ко-
рень х = .
Если а = 0; b * О. то линейное уравнение не имеет решений.
Если а = 0; fc = 0, то х — любое число.
Пример. 2х-3 + 4(х-1) = 5<=>2х-3 + 4х-4 = 5с=>
<=> 6х = 5 + 4 + 3 5х = 12 <=>х = 2.
Ответ: {2}.
21
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ах2 + Ьх + с = О, где а, Ь, с — некоторые
числа (а * О), х—переменная, называется квадратным урав-
нением
Формула корней
квадратного уравнения:
-b + ^b2 -4ас
*1,2 =
2а
Для решения уравнения следует вычислить
дискриминант D = Ь2 - 4ас
Значение D Количество решений уравнения
D = 0 одно решение х=-А 2а
D>0 два решения -ь+4р. „ -ь-4Ь *<" 2а ’ 2 2а
D<0 нет решений 0
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с можно разложить на мно-
жители следующим обрезом: решим квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с «в О и найдем корни этого уравнения xt и х2. Тогда
ах2 * Ьх + с = а(х -х0(х -х2).
Пример.
Разложить
на множи-
тели
выражение
2х2-3х+ 1
22
ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнение вида х2 + рх + q = О, где р = q = называет-
ся приведенным квадратным уравнением.
Формула корней приведенного
квадретного уравнения:
Решения приведенного квадратного уравнения можно быст-
ро найти, используя теорему Виета.
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения
х2 + рх + q = О равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней рав-
но свободному члену.
/7 —\
х, + х2 = -р
Пример. Решить уравнение х2 + 5х - 6 = О
Гх, + х2 = -5 подбиреем значения:
)х1х2=-6 xt = 1,x2 = -6
<_______________________________________z
Квадратный трехчлен х2 + рх + q можно разложить на множи-
тели х2 +рх + q = (х - xj(x -х2).
Если q-О, уравнение принимает вид: х2 + рх = О.
Гх = О
х2 + рх » О <=>х(х + р) = О <=> п Решение: х. = О, х2 = -р.
Если р - О, уравнение принимает вид х2 + q - О.
Решение: х12 -±J^q,q<,0
23
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Z Z \
Уравнение ах2 = Ьх + с = О заменим равносильным урае-
неьмем ах2 = -Ьх - с.
Построим графики функций у = ах2 и у=-Ьх - с в одной си-
стеме координат.
В точках х1 и х2 знамения обеих функций равны, следова-
тельно х, и х2 являются корнями уравнения ах2 = Ьх + с = 0.
Решить графически уравнение: х2+Зх-4 = 0
Заменяем исходное уравнение равносильным. х2 = -Зх+4
Строим график функции. V-X2 —РР 2 3
У y|o|l 4 9
Строим график функции. X У = -Зх + 4 — 0 4 и 0
X
Находим абсциссы точек
пересечения пареболы
у = х2 и прямой у = -Зх + 4.
Значения корней:
Xj=-4hx2=1.
24
РЕШЕНИЕ
РАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
р( у)
Рациональным называется уравнение вида '=0, где
~ . Qvx)
Р(х) и О(х) — многочлены.
Решение данного уравнения сводится к решению уравнения
Р(х)=0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию
О(х) * О, т. е. уравнение равносильно системе:
< Р(х) = 0 0(х)*0
Решить уравнение х + 1 х-2
Приведем уравнение к ви- ду =? 0 У QM _Ц + _2 _1 = 0 х+1 х-2 (х -2)+2(х +1) - (х + 1)(х -2) _ 0 (х+1)(х-2) х2 -4х-2 0 <х +1)(х-2)
Заменим уравнение равно- сильной системой: |х2-4х-2=0 (х+1)(х-2)*0
Область допустимых зна- чений уравнения (ОДЗ): х + 1#0 и х-2*0; х *-1 и х # 2
Решаем приведенное квад- ретное уревнение и нахо- дим корж: х2-4х - 2 = 0 х12 =2±74 + 2 Х| = 2--j6, х2 =2 + >/б
В ответ записывают толь- ко те решения, которые входят в ОДЗ: {2->/б; 2+->/б}
25
СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
a^x+4^y=q где х, у — неизвестные, av а2, bv Ьг,
а2х + b2y = с2 cv с2 — Данные числа.
Рашить систему — значит найти все ве решения.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно ре-
шение и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Система называется определенной, если она имеет конечное чис-
ло решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное мно-
жество решений.
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и
то же множество решений.
Три способа решения системы
линейных уравнений о двумя неизвестными
1. Способ подстановки состоит в том. что из какого-либо уравне-
ния системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные,
а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные урав-
нения.
Решить систему уравнений: 2х+3у = 8 Зх+2у = 7
Из первого уравнения выражаем неизвестное: ,. 8-Зу * 2
Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений: L-в-зу 2 3-в^У+2у = 7
Решая второе уравнение, полу- чаем у; 24-9у *4у = 14 <=> 5у = 10<=> у = 2
С учетом значения у находим х из первого уравнения: х-^-1 Ответ: (1; 2).
26
2 Способ сложения При решении системы этим способом мы пе-
реходим к равносильной системе, в которой одно из уравнений содер-
жит только одну переменную.
Решить систему уравнений: Г4х-7у = -12 [бх+Зу = -18 (1)
Умножим все члены первого уравнения на -3. а второго урав- нения на 2: Г-12х+21у = 36 |12хч-6у = -36 (2)
Почленно сложим уравнения си- стемы (2): 27у = 0;у=0
Запишем равносильную систему взяв любое из уравнений систе- мы (1): Гу = О [4х-7у = -12 (3)
Решением системы (3), а следо- вательно и системы (1), являет- ся пара чисел: 4х = -12;х=-3 Ответ.(-3:0).
3. графический способ. Графическое решение системы уравнений
с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек
графиков уравнеьмй.
Графиком линейного уравнения является прямая на плоскости.
Каждое уравнение изображаем на графике прямой.
Рассмотрим систему уравнений:
Взаимное положение прямых Количество решений системы Отношение коэффициентов Пример
1. Прямые пере- секаются в одной точке (х0;у0). единственное а2 Ь2 ’2х+3у= -4 Зх+8у=1
2. Прямые парал- лельны и не сов- падают. нет решений ci а2 &2 С2 х + у = 3 2х + 2у = 4
3. Прямые совпа- дают. бесконечное множество решений Si _&l _Ct 02 &2 ^2 9х-15у = 21 6х-10у = 14
Решить графическим спо- собом систему уравнений: 2х +3у = -4 Зх+8у=1
1. Построим график 2х + Зу = -4 по двум точкам, расположенным на осях Ох и Оу. На оси Оу: х = 0, 2 • 0 + 3 - у=-4 На оси Ох: у = 0, 2х + 3 0 = -4 ЙО;-!!) («)(-2; 0). V О J
2 Через точки с координатами ^0; -1^ j и (-2; О) проведем
прямую.
3. Построим график
Зх+ 8у= 1.
На оси Оу: х ~ О» у - -
/ 1 \ о
'> °' 51
На оси Ох: У = 0. Зх+8 0=1
х=1
3 (3 /
4. Оба графика пересекаются а
точке Д(-5; 2).
Система имеет единственное
решение: х = -5, у = 2.
28
НЕРАВЕНСТВА, ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Два выражения, соединенные од-
ним мз знаков >,<«>, <, образу-
ют неравенство.
Л S
Решить неравенство — значит
указать границы, в которых должны
заключаться (действительные) зна-
чения неизвестных величин, чтобы
неравенство было верным.
х > у
) ах + b < сх + d 10 > 8 /
Решить нерееенство
Неравенство верно,
если х < -2
Свойства Примеры
1. Если а > Ь, то b < а. Зх + 1 > 5х- 8 5х- 8 < Зх + 1
2. Если а > b и b > с, то а > с. х>3у. Зу > 12=>х>12
3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится аврное неравенство. Если а >Ь. то а + ОЬ + с или а - с > Ь - с х + 5>2=*х + б- 5>2-5 х>-3
4- Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неревенство. а + Ь>с<»а-с>-Р х + 9>4=*х>4-9=*х>-5
5. Если обе части верного не- равенства умножить или раз- делить на одно и то же поло- жительное число. то получится верное неравенство. а > Ь $=> 5а > 5Ь § >£₽>а>ЗЬ 6 2
6. Если обе части верного не- равенства умножить или раз- делить на одно и то же отри- цательное число, и изменить знак неравенства на противо- положный, то получится верное неравенство. а > b => -а < -Ь -2х> 6( 2) => х< -3
29
действия с неравенствами
1. Неравенства одинакового смы- сла можно почленно складывать. а > b или а < т О d b< п
a+c>b+d a + b< т + п
2. Неравенства противополож- ного смысла можно почленно вы- читать, оставляя знак того нера- венства, из которого произво- дится вычитание- а I I о о » V V Л I I °* °*
3. Неравенства одинакового смы- сла с положительными членами можно почленно умножать. Если а > b > 0, с > d > 0, то ас > bd
4. Обе части неравенства с по- ложительными членами можно возводить в одну и ту же нату- ральную степень или извлекать корень одной и той же степени. Если а > Ь, то a* > bk и $а > у[Б, где а > 0, b > 0; k.neN
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1. Модуль суммы не превосходит суммы модулей |а+Ь]^ |al+|0|, где аир — произвольные числа. ) ' а = 4, fc = -5, а + Ь = -1 |а + Ь]=1,|а| = 4. |Ь| = 5. 1 и + |д=9 J
2. |а-Ь]>Ы- 1Ы. а и b — произ- вольные числа.
3. Среднее арифметическое двух положительных чисел больше сред- него геометрического этих чисел: 2±Ё.*4аЬ а>0.Ь>0 Л
> к ± /
4. Сумма двух взаимообратных чи- сел не меньше 2: I Ь а > ^2,5 4+25 29 „п ' 5 2 10 10 '
зо
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Линейным называется неравенство вида ах > b (или со-
ответственно ах < Ь, ах > Ь, ах £ Ь), где а * О, а и b — числа.
Если а > 0, то решение неравенства ах J или х е I —; +•» |. 1а / ► Ь имеет вид х > — а
Если а < 0, то решение неревенства ах: или хе | -«>; — L 1 aJ >Ь имеет вид х а
х-3 х-2
4 3
Пример Решить неравенство: х—
Л
х+1- х-3 х-2 „ х +
2 4 3 2
12х-8х-6-Зх+9+4х-8,
-3 х-2
4 3
7*-5>г
” 12 ' 12 С
=>7х-5>0, 12>0=»7х>5=>Х >1
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Квадратным неравенством называется неревенство
вида ах1 2 -с Ьх + с > О, где а * О (вместо знака > может стоять
любой из знаков £, <).
Рассмотрим неравенство ах2 + Ьх + с > 0. В зависимости от знака
дискриминанта D = Ь2 - 4ас могут быть три случая:
1. D< 0, а > 0. График квадратного трехчлена
f(x) = ах2 + Ьх + с не пересекает ось Ох и ле-
жит выше этой оси.
Множество решений неравенства есть вся
числовая ось: х е R.
D < 0, а < о. Грефик квадратного трехчлена
Г(х) - ах2 + Ьх+с не пересекает ось Ох лежит
ниже этой оси.
Нет решений: хе 0.
31
2. D > 0. a > 0. График f{x) = ax2 + bx+c пере-
секает ось Ox в точках хд и хг. служащих кор-
нями уравнения ах2 + Ьх + с - 0.
Решением неравенства ах2 + Ьх + с > О явля-
ются два промежутка:
хе(-~, х,)м(х2. +-).
D > 0, а < 0.
Решением неравенства
ах2 + Ьх + с > 0
является промежуток (xt; х2);
хе (х,; х2|.
У
График квадратного трехчлена касается оси Ох в точке , являющей-
ся единственным корнем уравнения ах2 + Ьх + с = 0. Точка х, разби-
вает числовую прямую на два промежутка х,) и (х,; +~).
Пример. Решить неравенство: № + 7x10 > О
32
РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Рациональным неравенством называется неравенство
вида Р(х) > О (Р(х) < О);
> О | ^4 < О ], где Р(х), О(х) — многочлены.
О(х) ^О(х) )
Многочлены Р(х) и О(х) можно представить в виде про-
изведения линейных множителей.
Для применения метода интервалов надо:
1. Разложить многочлены Р(х) и О(х) на линейные мно-
жители.
2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на
числовую ось.
3. Определить знак неравенства справа от большего корня.
4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая чет-
ное или нечетное число раз встречается каждый корень.
Используется следующее ПРАВИЛО:
Если линейные множители различны (имеют разные корни), то
произведение изменяет знак при переходе от каждого интервала чис-
ловой оси к соседнему (знаки будут чередоваться). Поэтому доста-
точно определить знак на крайнем правом интервале.
корни множителей:
х,-1
х2 = 3
корни на числовую ось:
Пример 1. Решить неравенство: (х - 1) (х - 3) > О.
Находим
х- 1=0
х-3 = 0
Наносим
Находим знак на крайнем правом интервале.
Например, при х = 4: (4 - 1)(4 - 3) > О. знак плюс.
Ответ: l)v (3; +~)
33
3 - —
Пример 2. Решить неравенство: п — <; О; ОДЗ х* *2; х* 1.
№ - Зх + 2
Находим корни множителей:
3-2х = 0 х, = 1,5 __ _______________ ^тт-
х2 - Зх + 2 = О х2 = 2; х2 = 1
Наносим корни на числовую ось: 1 тд 2
Определяем знак на крайнем правом интервале:
при х = 3 выражение имеет отрицательное значение.
Отмечаем точки на числовой прямой, а которых происходит
смена знака. При этом примем во внимание, что числитель
может быть равен нулю, е знаменатель не может.
Пример 3. Решить неравенство:
ОДЗх* 1.
(х + 1)3 (х-2)2
(х-1)4
Находим корни множителей: -1,2, 1.
Корень (-1) — встречается 3 раза,
корень 2—2 раза
и корень 1—4 раза. ~
-1 1 2
Ответ: [-1; 1)м (1; +«)
Если корень встречается четное число раз, то при перехо-
де через корень знак не изменяется, если нечетное — то при
переходе через корень знак меняется.
Обозначения:
• — точка на числовой оси, включенная в интервал;
с — точка, не включенная в интервал.
34
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
Решить систему неравенств — значит найти множество
общих решений двух или нескольких неравенств.
Пример 1. Решить систему неравенств:
11
6х-18>0
х>3
6х-18>0
-2^ 3
5
Ответ- хе0. Гх < О
Пример 2. Решить систему неравенств: ]х2+х-6>0
Квадратный трехчлен разложим на
множители: х2 + х - 6 = О
х2 + х-8 = (х-2)(х + 3)
Х1 +Х2 =-1
х1х2=-6
х1=2
х2 = -3
35
х<0 Гх<0
х2 +х-6>0<=> 1(х-2)(х+3)>0
Пример 3. Решить двойное неравенство: -6 < 5х - 1 <5
-6<5х-1<5«^-6+1<5х<5+1о-6<5х<6
Разделим почленно неравенство на 5.
5 > О, поэтому знаки неравенства сохраняются.
-6 < 5х < 6 « -1 < х < 1.2
Ответ, хе (-1; 1.2).
РЕШЕНИЕ СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
Если ставится задача найти множество всех таких зна-
чений переменной, каждое из которых является решением
хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо
рашить совокупность неравенств.
Значение переменной, при котором хотя бы одно из не-
равенств совокупности обращается в верное числовое не-
равенство, называется решением совокупности неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть объеди-
нение множеств решений входящих в нее неравенств.
Два неравенства обрезуют
совокупность неравенств:
Зх-5<1
2х + 3>4
Пример- Решить совокупность неравенств:
Зх-5<1
2х + 3>4
ГЗх-5<1 ГЗх<1 + 5 Г3х<6 х<2
|2х + 3>4 |2х>4-3 |2х>1 х>4 z
L L L 2 2
Объединяя множества решений двух неравенств получаем
все действительные числа.
Ответ: xeR.
36
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
< Арифметической прогрессией незывается последова-'
тельность чисел av а2, ая.ап, .... в которой разность меж-
ду последующим и предыдущим членами остается неизмен-
ной. Это число d называется разностью арифметической про-
агрессии^_________________________________________
г При с/ > 0 прогрессия являет- ся возрастающей. Пример: а, = 2, d = 3. Назвать параые пять членов: 2,5, 8, 11, 14. При d < 0 прогрессия явля- ется убывающей. Пример: а, = 12, d = -3. Назвать первые пять членов прогрессии: 12, 9, 6, 3, 0.
Формула л-го члена ариф- метической прогрессии: Задача. Дана арифметическая про- грессия -2; 1; ... Найдите разность между ее двенадцатым и шестым чле- нами. Решение, d = а2 - af = 1 - (-2) = 3. а# = а,+0(12-1) =-2+3(12-1) = 29; % = а>+0(6-1)=-2+3 5=13; а,2-^ =29-13 = 16. Ответ 16.
Формула суммы л пер- Задача. В арифметической прогрессии
вых членов арифмети- ческой прогрессии: (сп) известно, что с2 = -2, d = 3. Най- > дите с1 и сумму первых пяти членов. Решение. с2 =cl^d q =C2-d = -2“3^-5;q = -5
С5 = с,+ 0(5-1) = -5+3 4 = 7; Sj=<ais>.5=r5±z.5=5. Ответ: с, = -5; Ss = 5.
1,2,3,4,5,...—арифмети- ческая прогрессия с0=1. Это натуральный ряд чисел. - S1W = 1+2... +100 = 2±12?. 100 = 5050 >
37
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Геометрической прогрессией называется последова-
тельность чисел Ь, Ь2. Ь3, .... Ьп. в которой каждый член,
начиная со второго, равен предшествующему члену, умно-
женному на одно и то же неизменное число, не равное нулю.
Это неизменное число q называется знаменателем прогрессии.
При lol > 1 прогрессия назы-
вается возрастающей.
Пример. bt = 1, q = 2.
Назвать первые пять членов
геометрической прогрессии:
1, 2,4, 8,16.
—г-.z—--------------->
При |<?| < О прогрессия назы-
веется убывающей.
Пример: bf = 24, q =
Назвать первые пять членов
геометрической прогрессии:
24. 12, 6. 3.
Ч_______________________/
Формула л-го члена гео-
метрической прогрес-
сии: ^=0, -о0-1
Формула суммы всех
членов бесконечно убы-
вающей геометрической
прогрессии:
s=1^’ад<1)
Формула суммы л чле-
нов геометрической про-
грессии:
, bn q-fi, Р,(р"-1)
>n Q-1 ’ " С-1 ‘
(0*1)
Задача. Дана геометрическая про-
грессия -2; 1;... Найдите частное от
деления ее двенадцатого члена на
шестой.
. . 1 1
Ьг-Ц <?,</-Ь( {_2)“ 2’
« 1 Q “( z) [ 2) ' (-32) 16’
Ь12=Ь, = =
. h _1________1 _ 16 _ 1
12 6 1024 16 1024 64
Ответ: 64.
Задача. Дана геометрическая про-
грессия Ь, = 5. q - 2. Найдите сумму
первых десяти членов:
bw = Ь, р*01 = 5 29 = 5 • 512 = 2560;
s,0=5 ^РГ = 5 1023 = 5115
Ответ: 5115.
38
ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА
Логарифмом положительного числа b по основанию а,
гда а > О, а * 1. называется показатель степени х, в кото-
рую нужно возвести число а, чтобы получить Ь.
Обозначение; logat> = х.
Запись logab = х равносильна а* = Ь. где b > О, а > О, а * 1.
> Юд^ = 3 23 = 8
> ,О93д 2 ’-Io II со
> 1од77 = 1 7’=7
) 1од41 = 0 <=> 4° = 1
Основное логарифмическое
тождество:
= ь
^41°945=5; 2’°дге-8
Свойства логарифмов (в > О, а * 1, b > О, с > О)
1. Ioga(ftc) = logab * logac -» 1од618 + log62 = log618 2 = log636 = 2
2. togB |j=loga b-loga c -»tog12 48-log12 4=logJ2 = loga 12=1
3.1ода£Г = Hogab-» log284 = 4log28 = 4-3=12
Формула перехода к но-
вому основанию:
logab = l09a b (с*1)
а logca
. л ,09з9 2 «
•од, 9 = = -2
. 5 >°g34
Л 2
- I 1 1
•J2=22 log222=A
Десятичным логарифмом чис-
ла называют логарифм этого
числа по основанию 10 и пи-
шут Igb вместо log10b.
Натуральным логарифмом
числа называют логарифм
этого числа по основанию е
(е = 2,716...) и пишут Inb вме-
сто ЮдаЬ.
39
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ
Логарифмирование — это преобразование, при котором
выражение с переменными приводится к сумме или разности
логарифмов переменных.
Дано: х- °
с4 (а + Ь)
Найти: Igx.
Решение. Igx = 1g У = |д (За2 ) -|д(с4 (а+Ь)) =
с4(а + Ь)
По свойству логарифмов 2.
= (1дЗ+1да2 + Ig^b2) - (Igc4 + 1д(а+Ь)).
По свойству логарифмов 1
Используя свойство логарифмов 3 и раскрывая скобки, по-
лучаем:
Ответ: Igx = 1дЗ + 21да+|дЬ - 41дс - 1д(а+Ь).
5
Потенцирование — это преобразование, обратное лога-
рифмированию.
з
Дано: Igx = 2lga-5lgb + ^lgc, а > О. b > О, с > О.
Найти выражение для х.
Решение. Потенцируя получаем:
Igx = Iga2 - Igb5 + Ig^c2 = lg ~.
По свойству По свойствам
логарифмов 3, логарифмов 1 и 2.
Ответ: х = а V .
ь*
40
ФУНКЦИИ, ГРАФИКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Постоянная величина —
это такая величина, которая
сохраняет неизменное зна-
чение.
Переменная величина —
это такая величина, которая
может принимать различ-
ные значения.
зависимые независимые
г Пример. Формула объема шара О 4 ) д.я — постоянные величины; R (радиус) — независимая пере- менная величина; V (объем шара) — зависимая пере- менная величина. J
Чаще всего переменные величины обозначаются пос-
ледними буквами латинского алфавита: х, у, z, а постоянные
первыми: a, bt с...
Переменная у называется функцией
от переменной х. если каждому зна-
чению х, принадлежащему некоторо-
му множеству X, поставлено в соот-
ветствие единственное значение у из
множества К
Обозначение: у = f(x)
Множество X— область определения
функции у - f (х).
Множество У всех значений, которые
принимает переменная у, называет-
ся областью изменения (или облас-
тью значений) функции у = Г(х).
=У|
Г(х2) = у.
Примеры.
у=кх;у~кх+Ь; У = р
y-s\nx1y=x?;y=ax2 +Ьх + с
х — аргумент (или независимая переменная) функции у - f(x).
41
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1. Табличный способ — запись в виде таблицы конкретных
значений переменной х и соответствующих им значений пере*
менной у.
Пример.
Таблица наблюдения за температурой воздуха
в течение суток
Время t (час) 0 2 4 6 8 10 12- 14 16 18 20 22 24
Т’С -5 -5 -3 -2 -2 0 0 1 2 2 0 -4 —-ф
2. Аналитический способ — запись функциональной за-
висимости в виде некоторой формулы.
Примеры. у=х3; у = —; y = sinx; у = 1пх; у = е*
( 3. Графический способ. Пусть задана функция у = f(x). )
42
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Две функции f и д называются
взаимно обратными, если формулы
у=f (х) и х - д(у) выражают одну и ту
же зависимость между переменны-
ми х и у: y=f(x)t>x = g(y).
V 5
у=2х+5 И Х =
2 2
у=х3; х > О и х = $у
у =10*; и x=lgy
Поскольку принято аргумент функции обозначать переменной
х, а значение функции — переменной у, то обратную функцию
для функции у = f(x) записывают в виде у = р(х).
Функция Обратная фужция
у = log2x у =2*
у = х2; х^О
у = sin х; хе у = arcsinx
у =cosx; хе [0; л] у = arccos х
у =tgx;xe^;^ у =arctgx
у =ctgx;xe (0; л) у =arcctgx
Функция имеет обратную,
если функция строго воз-
растает или строго убы-
вает (строго монотонная
функция).
X._______________________>
Чтобы получить обратную
функцию от некоторых
функций, уменьшают об-
ласть определения функ-
ции так, чтобы область
значений функции не из-
менилась.
Графики функции у = f(x) и
обратной функции у = д(х)
симметричны относитель-
но биссектрисы угла хОу
(прямая у = х)
43
Свойства взаимно обратных функций
1 Тождества
Пусть f и д — взаимно обратные функции. Это означает, что равен-
ства у = f(x) и х = д(у) равносильны.
2. Область определения
Пусть fug взаимно обратные функ-
ции. Область определения функции f
совпадает с областью значений функ-
ции д, и, наоборот, область опреде-
ления функции д совпадает с облас-
тью значений функции f.
3. Монотонность
Если одна из взаимно обрат-
ных функций строго возрас-
тает, то и другая строго воз-
растает.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Функция у = t{x} называется ограни- ченной. если существует число с > 0. такое что |f(x)| < с для любого х из об- ласти определения функции. y = cosx; |cosx] s 1 у - sinx; jsinx] < 1
Функция у = называется возрас- тающей на интервале (а. 0) если для любых двух точек из этого интервала, таких, что х, < х2 выполняется нера- венство /(х,) < f(x2); соответственно функция называется убывающей, если из неравенства х^ > х,, следует Г(х2) < /(х,). о. * у-x2 I 0 0) функц (0; +«) функи X ия убывает 1ия возрастает
44
Функция у - f(x) называется чет- ной, если для любого х из обла- сти определения функции вы- полняется равенство: Четные функции: у = cosx, т. к. cos(-x) = cosx; у = X2, Т. К. (—х)2 = X2
Д-х) = f(x)
График четной функции сим- метричен относительно оси Оу.
Функция у = f(x) называется не- четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство: Нечетные функции: у = х® т. к. (-х^^-х3: у = sinx, т. к. sin(-x) = -sinx; у = tgx, т. к. tg (-х) = -tgx; у = ctgx, т. к. ctg (—х) = -ctgx
f НО = -f (х)
График нечетной функции сим- метричен относительно начала координат.
Функция у = f(x) называется пе- риодической. если существует такое число Т / 0, что для любо- го значения х из области опре- деления функции, числа (х+ Г) и (х-Т) также входят в область определения и при этом выпол- няется равенство: Периодические функции: у = sinx, Т = 2х; у = cosx, Т = 2л; y = tgx, Г=п; у = ctgx, Т = it, т. к. соответственно: sin (х + 2пк) = sinx; cos(x + 2пк) = cosx; tg(x + хк) = tgx; ctg (x + xk) = ctgx, где k = 0, ±1,+2,...
f (x + Г) = fix)
Главным периодом (или просто периодом) принято называть наи- меньшее положительное число Т, являющееся периодом функ- ции.
45
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Линейной функцией называется функция у = Лх + Ь, где
к и — некоторые числа.
Z” -- ч.
Прямопропорциональная зависимость между переменными
х и у: приводит к простейшей линейной функции у - кх.
Свойства линейной функции у = for при к * О
1. Область определения функции —
множество R всех действительных
чисел.
2. Корни — единственный корень х = 0.
3. Промежутки постоянного знака зави-
сят от знака параметра к:
а) к > 0, то у > 0 при х > 0;
у < 0 при х < 0;
б)к < О, то у > 0 при х < 0;
у < О при х > О.
4. Экстремумов нет.
5. Монотонность функции: если к > О, то у возрастает на всей
числовой оси; если к < О, то у убывает на всей числовой оси.
6. Наибольших и наименьших значений нет.
7. Область значений — множество ft.
В. Четность — функция у = кх нечетна.
Графиком линейной функции у = кх является прямая, проходящая
через начало координат. Коэффициент к называется угловым коэф-
фициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла наклона этой пря-
мой косих: к = tg и. При положительных к этот угол острый, при от-
рицательных —тупой.
График линейной функции у = кх + Ь есть прямая. Для построения
графика достаточно двух точек.
Например: Д(0; Ь) и В
если к*0.
46
Типовые задания
1. а) Постройте график функции
у = -2,5х.
б) Возрастающей или убываю-
щей является эта функция?
а) Графиком функции является пря-
мая, проходящая через начало
координат, поэтому достаточно
взять еще одну точку (1; -2,5).
б)/с=-2,5; к< О — функция у = -2,5х
является убывающей.
2. а) Постройте график функции
у = 2х - 3.
б) При каком значении х значе-
ние у равно -5?
в) Укажите значения х, при кото-
рых у < О.
г) Укажите значения х, при кото-
рых у > 0.
д) Укажите координаты точек пе-
ресечения графика с осями
координат.
а) Г рафиком функции является прямая Для построения рас-
считаем две точки прямой, расположенные на осях Ох и Оу.
на оси Оу. пусть х=0, у = 2- 0- 3 = -3; (.) А(0; -3);
на оси Ох: пусть у = 0, 0 = 2х - 3. 2х= 3, х =1,5; (.)8(1,5; 0}.
б) При х = -1 значение у = -5 (по графику точка С).
в) у < О при хе (-«>; 1,5)— график функции лежит ниже оси Ох
г) у > 0 при хе (1,5; +<*>)— график функции лежит выше оси Ох.
д) На оси Ох точка В(1,5; О), на оси Оу точка А(0; -3).
47
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Функция, заданная формулой у=ах2+Ьх+с, где х и у —'
переменные, а а, Ь, с — заданные числа, причем а * О, на-
зывается квадратичной функцией.
Если а= 1, Ь=с=О, то квадратичная функция у=х®.
Свойства квадратичной функции
Функция у=х2 у = ах2 । Dx + c
1. Область опреде- ления функции множество я множество Я
2. Координаты вер- шины параболы (0;0) . v b Ь2 — 4ас Уо) хо - 2а‘ ~ 4а
3. Корни функции (нули функции) х=0 _ Ь •№ -4ас 2а 2а при Ьг - 4ас > 0; нет корней при Ьг - 4ас < 0
4. Экстремумы функции минимум в вершине минимум в вершине, если а > 0 максимум в вершине, если а < 0
5. Область значе- ний (0; +«»] |у0; +ооЬ если а > ° (-*;у0]. еслиа<0
6. Четность четная ни четная, ни нечетная
График квадратичной
функции—парабола.
Если а > 0, то ветаи
параболы направлены
вверх.
Если а<0. то ветви
параболы направлены
вниз.
0) функция Г рафик функции
убывает. у = ах2 + Ьх < с получается
(0; -но) функция из графика у - х2
возрастает. с помощью параллельного
переноса.
48
Типовые задания
1 Постройте график функции
у = х2 3 4-2х^3.
2. Укажите промежутки, в которых
функция возрастает и убывает.
3. Укажите значения х, при кото-
рых у > 0.
4. Укажите наименьшее значение
этой функции.
1 Осью симметрии параболы
служит прямая х = = 1
2а
2. При -со < л < 1 — функций убы-
вает, при 1 < х < -н>? — функция
возрастает.
3. у > 0 при -» < х < 1 и 3 < х < +*.
График функции при этих значе-
ниях лежит выше оси Ох.
4. Наименьшее значение функции
Ул = _______________________
1. Постройте график функции
у = х2-4.
2. Проходит ли график через точ-
ку В(-9, 85)?
Если точка лежит на графике, то
подставляя ее координаты вмес-
то переменных х и у в функцию,
получаем верное равенство:
85 = (-Э)2 - 4; 85 * 61 4.
Ответ: График через точку В не
проходит
Построение:
у = х2 - 2х - Зт при а = 1. а > 0.
График функции — парабола,
ветви которой направлены вверх.
1. Находим координаты вершины
параболы:
х -b
® 2а 2
У0(х0)-1г-2 13=-4;
координаты вершины — {1; -4)
2. Находим точку на оси Оу
х = 0; у(0) = О2 - 2 0-3 = -3;
точка на оси Оу — (0: -3).
3. Находим нули функции (корни)
у = 0: х2 - 2х - 3 = 0;
по теореме Виета
х, - За х2 - -1
Точки на оси Ох (-1; 0) и (3: 0).
4. Дополнительную точку рас-
считаем при х = 4:
у{х)= 16-2-4-3=5. (>)(4; 5)
График функции у = хг - 4 полу-
чается из графика у = х2 парал-
лельным переносом вниз на -4
по оси Оу.
49
ФУНКЦИЯ у = * И ЕЕ ГРАФИК
Переменные х и у связаны обратно пропорциональной за-
L-
висимостью у = —, где к * о.
к — коэффициент обратной пропорциональности.
Графиком обратной пропорциональности
к
у = — является кривая, состоящая из
двух ветвей, симметричных относительно
начала координат. Это гипербола.
Область определения функции У=—
есть множество всех чисел, отличных от
нуля, т. е. (-«>; 0)v(0; +~).
Гипербола не имеет общих точек с ося-
ми координат, а лишь сколь угодно
близко к ним приближается, т. к. х* 0.
Пример. Решите графически
систему уравнений:
у = 0,5х2
Если к > 0. то ветви гипер-
болы расположены в I и III
координатных четвертях,
если к < 0, то II и IV коор-
динатных четвертях коор-
динатной плоскости.
Решение. 1. у= —
XII 21 3 14
уГ4|2|47з[Т
График функции — гипербола, к = 4, к > 0, ветви гиперболы
расположены в I и III координатных четвертях.
2. у = 0,5х2
Х|01 1 |2| 3 I4
у|о|о.5|2|4,5|в
График функции — парабола а = 0,5, а > 0.
ветви параболы направлены вверх.
Графики функций пересекаются в одной
точке, система имеет одно решение х= 2; у - 2.
Ответ: (2; 2).
50
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Показательной функцией называется функция у = а*, где
а — заданное число, а > О, а * 1.
Свойства показательной функции у = а*
1. Область определения функции — множество Л всех действи-
тельных чисел.
2. Область значений функции—множество всех положительных чисел.
3. Монотонность функции:
если а > 1 функция является возрастающей на множестве всех
действительных чисел;
если 0 < а < 1 функция является убывающей.
Примеры, у = 2х, а = 2, а > 1 — функция возрастающая;
у=11Т, а = ^, О < а < 1 — функция убывающая.
Графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1)
и расположены выше оси Ох, т. к. а* > 0.
Пример. Решить графически уравнение
-ч
(з
Решение. Построим графики функций
fl Vе 2
y = ^J иу = х--.
Из рисунка видно, что графики этих функ-
ций пересекаются в точке с абсциссой х = 1.
Проверка показывает, что х = 1 — корень
данного уравнения.
Ответ: х- 1.
51
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
1. Уравнения
( Теорема. Если а > О, а * 1 и аХ| = а*8, то х, = х%.
' Решение показательных уравнений часто сводится к реше-
нию уравнения ах= аь, что равносильно х = Ь.
Примеры. Решить уравнения:
4 - 2Х= 1 2Эх-3* = 576
22 2Х=1 8* 3х = 578
22*х = 2О 24х = 24г
2+х = 0 Х = 2
х = -2 Ответ,- х=2
Ответ: х=-2
Sx-4 - Зх-45 = 0
Пусть 3х=t. Данное уравнение сводится к
квадратному t* 2 - 4t - 45 = 0.
Корни уравнения находим по теореме Ви-
ета: t, = 9. ts = -5.
Зх=9,х=2; 3х =-5—не имеет корней.
Ответ: х= 2
3х*’-2 • 3х-2 = 25
3*-2. зз-2 -3х-2 = 25
3*-2(33 - 2) = 25
3х-2-25 = 25
Зх"2= 1
3*-2 = 3°
х-2 = 0
х = 2
Ответ: х=2
2. Неравенства
а > 1, у=а* — возрастающая функция 0<а< 1, у=ах—убывающая функция
ак>еь а*<аь а* > аь I а* < аь
х> b х< b х< b х > b
Решить неравенства:
4х < 16
4х < 42
х< 2
Ответ: (-^2)
3*г~4 > 1
Зх’-4 Зо
x2-4i0
(х - 2)(х + 2) й 0
х s -2; х > 2
Ответ: (-«>; -2] ^[2; +«)
2х-’ + 2Х*Э > 17
2х ’ +2Х"’ - 24> 17
2х-’(1 + 16) >17
2Х“’ >1
2*-’>2°
х-1>0
х> 1
Ответ: (!:«•)
52
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Функция у = logax, где а — заданное число, а > О, а * 1, на-
зывается логарифмической функцией.
Свойства логарифмической функции у = 1одях
1. Область определения функции — множество всех положительных
чисел (х > 0).
2. Область значений функции — множество ft всех действительных
чисел.
3. Монотонность фукции-
если ах 1, то функция является возрастающей;
если 0 < а < 1. то функция является убывающей.
4. Промежутки постоянного знака:
Значения аргумента а > 1 0 <а< 1
0<х< 1 у<0 у>0
х> 1 у > 0 у< 0
Г рафик логарифмической функции у = 1одлх расположен правее оси
Оу и проходит через точку (1:0)
Пример. Решить графически урав-
нение log2x = -х +1.
Решение Построим графики функций
у=log2x и у == -х +1 на одной координат-
ной плоскости. Графики этих функций пе-
ресекаются в точке с абсциссой х = 1.
Проверка показывает, чтох- 1 — корень
данного уравнения.
Ответ. х= 1.
53
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
График функции Лх + с) получается параллельным переносом графика
f(x) в отрицательном направлении оси Ох на |с| при с > О и в положи-
тельном направлении на |с| при с < 0.
График функции у = f(-x) полу-
чается симметричным отображе-
нием графика f(x) относительно
оси Оу.
График функции у = -f(x) полу-
чается симметричным отображе-
нием графика f(x) относительно
оси Ох.
График функции f(*) + ь получа-
ется параллельным переносом
графика f(x) на b вверх по оси Оу.
График функции fix) - ь получа-
ется параллельным переносом
графика f (х) на b вниз по оси Оу.
При построении графика у = f(x -
- а) + b нужно выполнить два па-
раллельных переноса: в поло-
жительном направлении оси Ох на
айв положительном направлении
оси Оу на Ь.
54
График функции у - kf(x) получа-
ется из графика у - f(x) растя-
жением е к раз, если к > 1, и сжа-
тием в раз, если к < 1 вдоль оси
9х
Оу.
График функции у = Цкх} получа-
ется из графика функции у - f(x)
растяжением в £ раз, если k < 1,
или сжатием в к раз. если к > 1
вдоль оси Ох.
Используя графикфунк-
ции у = f(x) построить
графики:
У= К(х)1
У=НИ)
Часть графика у = Цх),
лежащая над осью Ох,
сохраняется, часть его,
лежащая под осью Ох,
отображается симмет-
рично относительно
оси Ох.
----------ж----------
При х > 0 график
у = f(x) сохраняется, а
при х < 0 полученная
часть графика отобра-
жается симметрично
относительно оси Оу.
----------Ж----------
55
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ГРАДУСНОЕ И РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Углы и дуги могут
измеряться в гра-
^дусах и радианах. ?
Радиус ОА незывается начальным
радиусом.
Если повернуть начальный радиус
около точки О по часовой стрелке, то
угол поворота считается отрицатель-
ным.
Если повернуть начальный радиус
около точки 0 против часовой стрел-
ки, то угол поворота считается поло-
жительным.
Угол в 1° — это угол, который опи-
шет начальный радиус, совершив
3^0 часть полного оборота вокруг
своей начальной точки против часо-
1
вой стрелки; ед часть градуса —
1
минута» 6Q часть минуты — секун-
да.
Угол в 1 радиан есть цент-
ральный угол ВОД. опираю-
щийся на дугу окружности,
длина которой равна радиусу
этой окружности:
(ОА =АВ).
✓ - “ч
Радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины
дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и
заключенной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги
Углы в градусах 360° 180° 90е 60° 45е 30е
Углы в радианах 2х It Л 2 л 3 Л 4 л 6
55
A — угол в градусах, а — угол в радианах.
Формула перехода от гра- дусной меры угла в радиа- ны: Формула перехода от ради- анной меры угле к градус- ной:
[°(рад) = 160 7 /7 « 180 С П J
Тригонометрические функции
(функции угла) определяются
следующими равенствами:
синус: since = у
косинус: cos а = х
тангенс: tga = —
х
котангенс: ctga = —
Окружность с центром в начале координат, радиус которой
равен 1, называется единичной окружностью.
Значения тригонометрических функций
для некоторых углов
Градусы 0 30° 45е 60° 90°
Радианы 0 n 6 К 4 n 3 2
sin о 0 1 2 V2 2 Vs 2 1
cos a 1 J3 2 & 2 2 2 0
tga 0 Уз 3 1 J3 —
etga J3 1 & 3 0
57
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у=sin к И ЕЕ ГРАФИК
Основные свойства функции у = sinx
Область определения функции — множество всех дей-
ствительных чисел.
Множество энвчений функции — отрезок [-1; 1], значит, си-
нус — функция ограниченная.
Функция нечетная: sin(-x) = -sinx для всех хе Я.
Функция периодическая с наименьшим положительным пе-
риодом 2п: sin(x + 2л/с) = sinx, где /се Z для всех хе R.
sinx = О прих = яЛ, /Се Z.
sinx > О (положительная) для всех xe(2itk, n+2itk), keZ.
sinx < О (отрицательная) для всех х е (л+2я&, 2п+2як), keZ.
Функция возрастает от -1 до 1 на промежутках:
Г-| + 2я&;^+2я/<1 L “ J , keZ.
Функция убывает от 1 до -1 не промежутках:
[£ + 2яЛ;~ + 2я/(] L2 2 J , /Се Z.
Наибольшее значение функции sinx = 1 в точках:
х=| + 2л/с, keZ.
Наименьшее значение функции sinx = -1 в точках:
х=^ + 2я*, keZ.
58
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у=cosx И ЕЕ ГРАФИК
Область определения функции — множество всех действи- тельных чисел хе Я.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], значит, ко- синус — функция ограниченная.
Функция четная: cos(-x) = cosx для всех хе Я. График функ- ции симметричен относительно оси Оу.
Функция периодическая с наименьшим положительным пе- риодом 2я: cos(x + 2я/с) = cosx, где keZ для всех хе Я.
cosx = 0при x-^ + itk, keZ.
cosx > 0 для всех хе | + 2пК; £ + 2itk ч 2 2 > кб Z.
cosx < 0 для всех х е f~+2itk;^ + 2itk !• keZ.
Функция возрастает от -1 до 1 на промежутках: Нс + 2лА; 2тЛ], к е Z.
Функция убывает от 1 до -1 на промежутках: [2хк; п + 2пк]. keZ.
Нвиболыиее значение функции cos х = 1 X = 2тЛ, к е Z. в точках:
Наименьшее значение функции cos х = -1, х = n + 2пк. keZ. в точках:
59
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y=tgx И ЕЕ ГРАФИК
Область определения функции тельных чисел, кроме чисел х = — множество всех действи- 5+лк, keZ.
Множество значений функции — вся числовая прямая, таким образом, тангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: tg(-x) ® -tgx для всех х из области опре- деления.
Функция периодическая с нвименьшим положительным пе- риодом л, т. е. tg(x + лк) = tgx, ке Z для всех х из области определения.
tg х - 0 при х = як, ке Z.
tg х > 0 для всех х е лк; ^+лк к ~ i , ке Z.
1g х < 0 для всех х е ~+vk\ кк . J , keZ.
Функция возрастает на промежутках: (~+як;§+як\ keZ.
60
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у ~ ctgx И ЕЕ ГРАФИК
Область определения функции — множество всех действи- тельных чисел, кроме чисел як, keZ.
Множество значений функции — вся числовая прямая, таким образом, котангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: ctg(-x) = -ctgx для всех х из области оп- ределения.
Функция периодическая с наименьшим положительным пе- риодом я, т. е. ctg(x + як) = ctgx, keZ рдя всех х из области определения.
ctgx = 0 при х = ^+як, ке Z.
ctgx > 0 для всех хе як; ~ + як , keZ.
ctgx < 0 для всех х е1 -%+як; як\ keZ. 1 )
Функция убывает на каждом из промежутков (лк; л + як), ке Z.
61
СВЯЗЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО АРГУМЕНТА
Теорема Пифагора
Основное
тригонометрическое
тождество
tga =
sing .
cos a’
ctga =
cos a
sing
* tgg-ctgg = 1
Знаки тригонометрических функций
Нумерация
координатных
четвертей
Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса
и котангенса
62
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ
Если известна одна из тригонометрических функций, то, используя
формулы, можно вычислить все остальные тригонометрические функ-
ции угла, учитывая в какой четверти лежит заданный угол.
sint=~
D
*<*<-§
угол t лежит
в III четверти
cos81 = 1-sin81=1-
цателен.
tg(=^
cost
cosa = —
<X€
угол a лежит
в IV четверти
tg x = -10
п . ,
2<х<я
угол х лежит
во II четверги
3f = 25 9 = 16.
5j 25 25 25‘
/, т. к. косинус в ill четверти отри-
□
3. 1 4
4’ t0f tgt 3’
cost = -|; tgt = l; ctgt = ^
Э 4 о
sin8 a = 1 - cos8 a = 1 -
if - £ 1-в-
sj 9 9 9’
т. к. синус в IV четверти отри-
Sina = -J-= —,
цателен.
s,na 2/2 1 1 1/2
tga=------ - =-2v2 ctga=-— ---------==——
cosc 3 3_____________ tga 2/2 4
sina = -^^; tga = -2/2; ctga = -^p
3 4
cos2 x —---=— —-------= —: cosx = —
1 + tg2x 1+100 101 /ioi
т. к. косинус во II четверти отрицателен,
sinx = tgxcosx = , t. k. tgx = s'nx .
Jioi cosx
ctgx
tg x 10
cosx = —sin№-J2=; ctgx=—
Jl01 /101 10
63
ПЕРИОДИЧНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вращательное движение точки Pt
по окружности — процесс перио-
дический. Тригонометрические
функции определены с помощью
координат вращающейся точки,
поэтому все тригонометриче-
ские функции периодические.
-ч / л л sin а = sin (а + 2лк), cos а - cos (а + 2лк), к = 0;±1,±2,... > г Функции sin а, cos а являются' периодическими с периодом 2к = 360°.
—) tga = tg(<x +лк), ctg а - ctg (а + як), к = 0; ±1, ±2,... > г Функции tga, ctg а являются ' периодическими с периодом л = 180е.
'Число к показывает целое число оборотов, пройденное^
точкой, причем если к — положительное (к > 0), то точка
двигается против часовой стрелки, если к — отрицательное
{к < 0), то точка двигается по часовой стрелке.
Примеры
1. Найти sin765°.
Jo
Sin765° = sin(2 • 360°+45°) = Sin45° =
Делим 765° на 360°: получаем 2 и остаток 45°.
Ответ:
2. Найти cos (-1170°).
cos(-1170°) = cos 1170° = cos (3 360° + 90») = cos90» = 0
Знак «-» опускаем, т. к. функция косинус четная.
Ответ: о.
64
ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Примеры.
cos (-390°) = cos390° = cos(360°+30е) = cos30® = ;
sin(-60°) = - sin 60° = -
tg(-760°) = -tg760° = -tg(4 -180°+30°) = -tg30° =
ctg(-210c) = -ctg2l0° = -ctg (180°+30°) = -ctg30° = -73.
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Тригонометрические функции углов вида ^±сх; п±а; -^±<хи
2я±<х могут быть выражены через функции угла ас помощью фор-
мул приведения.
sin^+aj=cosa
/ О*.
cos! - а 1=-since
tg(n-ra)-tga
ctg(--aj=tga
cos(n+a) = -cosa.
ИТ.Д.
Правило формул приведения
I. Для углов л « и 2г t </ название
исходной функции сохраняется.
Для углов | ± а и ± и название
исходной функции заменяется (си-
нус на косинус, косинус на синус,
тангенс на котангенс, котангенс на
тангенс).
II. Функция в правой части ра-
венства берется с тем же знаком,
какой имеет исходная функция.
Угол a — считать острым
65
Примеры использования формул приведения
Приведите к тригонометрической функ-
ции угла ей
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
1. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin(a + р) = sin a cos р + cosasinp
sin(a - р) = sinacosp - cosasinp
2. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
cos(a + р) = cos a cos р - sin a sin p
cos(a - p) = cosacosp + sinasinp
3. Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:
66
4. Формулы котангенса суммы и разности двух аргументов:
ctg(a + Р) =
ctg(a-p) =
1-tggtgp
tgg+tgp
1 + tgatgp
tga-tgP
Формулы сложения для кратных аргументов
sin2a = sin (a + a) = sin a cosa + cosa sin a = 2sinacosa
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a = 1 - Ssir^a = 2cos2a - 1
W2a=-^ 1-tg2a . _ 2ctg2a-1 ctg 2a = — 2ctga
sin3a = 3sina - 4sin3a cosSa = 4cos3a - 3cosa
Для функций половинного аргумента имеют место следу-
ющие соотношения (знак «+» или «-» выбирается в соответ-
ствии с тем, в какой четверти координатной плоскости (квад-
ранте) находится угол — аргумент ^):
sin£ = ±
2
fl- cos a
2
. /1+cosa
cos— = ±J—-—
2 v 2
. a _ ± p-cosa _ sing _ 1-cosa
92 vl+cosa 1+cosa" sina
eta— = ± f1+cosa - _slna_ _ 1+cosa
u2~ \1-cosa 1-cosa sina
67
Формулы сложения для суммы и разности функций
since+slnp=2 sine*^cosa~P 2 2
. . Л Л а + В . а —В sin а-smp = 2 cos - - sin — - 2 2
cos<x+cosp = 2cos0c't^cos^^ 2 2
Л Л . а + В - ос —В cos а- cos ₽ = -2 sin——-sin—~ 2 2
cosa± since = >/2 sin| а I = >/2cos| 4± <* 1 \4 J Н J
teo±ttp= cosacosp ctg«±ctgP=±^<5ia sin asinp
. х о COS(ce-p) tga ± ctgp = *— к cos asinp . o cos(a+B) ctga-tgp - ~ smacosp
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
sin asinp = [cos(a - р) - cos(a + р)]
cos а cos р = ~[cos(a - р)+cos(a+р)]
sin а cosр = i(sin(a - р)+sin(oe+Р)]
cos asinp = l(si п(а+р) - sin{a - р)]
68
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
я. л!
2’ 2J’
у = arcsinx
Область определения: хе [-1; 1].
Область значений: уе
Функция нечетная, непериодиче-
ская, ограниченная, пересекает оси
Ох и Оу в начале координат. Функ-
ция возрастает на всей области оп-
ределения.
у = arccosx
Область определения; х е [-1:1].
Область значений уе[О;тс].
Функция не является ни четной, ни
нечетной, непериодическая, огра-
ниченная, пересекает ось Оу в точ-
ке у = ^, осьОх—в точке х=1. Функ-
ция убывает на всей области опре-
деления.
69
у - arctgx
Область определения: хе Я.
Область значений: уе(-^; 2)'
Функция нечетная, непериодиче-
ская, ограниченная, пересекает оси
Ох и Оу в начале координат. Функ-
ция возрастает на всей числовой
прямой.
у = arcctgx
Область определения: хе Я.
Область значений: уе (О; к).
Функция не является ни четной, ни
нечетной, непериодическая, огра-
ниченная, пересекает ось Оу в точ-
ке у = |, ось Ох не пересекает. Функ-
ция убывает на всей числовой оси.
АРКСИНУС И АРККОСИНУС
Арксинусом числа а, если |а| £ 1, называется угол х, лежа-
щий на отрезке
, синус которого равен а
2 2 у
x = arcsina «sinx=a, —J<x<~
2 2
Арккосинусом числа а. если |а| < 1, называется угол х, ле-
жащий на отрезке [О; тс], косинус которого равен а:
x = arccosa «=>cosx=a, О fix< я
Запись arcsina читается: угол (аге), синус которого равен а.
Запись arccosa читается: угол (аге), косинус которого равен а.
70
Основные тождества
sin (arcsin а) = а cos(arccosa)=a
arcsin (sinx) =х, Г п л1 если х е ; — L 2 2J arccos (cosx) =x. если x e [0; n]
arcsin (-а) = -arcsin а arccos (a) = n - arccosa
Примеры. ( 11 sin arcsin^ l= sir г arcsinO = 0 2) ) 2 coslarccosx l=cos|$ J=x arcsfrvi = $ ( 2) L3 J 2 26 arcsinf sin-^l=arcsinfx) = 5 arccos-^=£ ( 6) l2J 6 26 arcsin(-~ ]= -arcsin^ - ~ arccos(-1)=n \ ® / 6 2 arccosf 4 ]= n-arccos^=я~ = arcsinl =
АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС
Арктангенсом числа а называется угол Хе [~2; г] тангенс
которого равен а:
х = arctga
Арккотангенсом числа а называется угол х е [О; я], ко-
тангенс которого равен а:
х = arcctga
Основные тождества
tg(arctga} = a ctg (arcctga)=a
arctgftc если x g 1 | 'X Ч1* T Ml* ,* arcctg(ctgx) =x, если x e [0; n]
arctg(-x) = -arctgx arcctg(-x)=n - arcctgx
71
ПРОСТЕЙШИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. sinx = а 3. tgx = О
2. cosx = а 4. ctgx = а
Уравнения 1 и 2 имеют решения, если -1 <а < 1.
1. sinx = а
а, я arcsina
«2 = п-сх,
2. cosx = а
Решение.
х, = а, хг = -a
| х, = ар х2 = «2 = я-аа
Учитывая периодичность
функции синус, получим
множества корней урав-
нения sinx = а.
Учитывая периодичность
функции косинус, получим
множества корней урав-
нения cosx - а.
= а, + 2пк, keZ\
х2 = п - а + 2п/с, к е Z
а, = ar с si па
ф______________________
х = (-1)karcsina +як,
keZ
ха = а + 2я/с, keZ;
х2 = -<х+2я/(, keZ
а = arccosa
х = ±arccosa + 2пк,
keZ
72
Уравнения tgx = а и ctgx = а имеют решения при любом а.
так как область значений тангенса и котангенса — вся чис-
ловая ось.
Учитывая периодичность функций у = tgx и у = ctgx (пери-
од п), лиожества решений уравнений запишем формулами:
3. tgx = а---------) х = arctga + лк, к е Z
4. ctgx = а
х = arcctga + лк, keZ
Частные случаи решения уравнений 1 и 2
Уравнение Решение
sinx = 0 x = лк, к e Z
sinx = 1 x = ^+2лк, ke Z
sinx = -1 x = -g+2nk, keZ
cosx = 0 x = ~ + nk, keZ
cosx = 1 x = 2nk, ke Z
cosx ~ -1 x=n + 2itk, ke Z
73
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Уравнения, сводящиеся к квадратам
Схема решения тригонометрического уравнения
2. Уравнения, решаемые разложением
левой части на множители
74
3. Решение однородных тригонометрических уравнений
75
4. Решение уравнения вида a sinx + bcosx = с,
где а*0;Ь#0;с9:0
методом вспомогательного аргумента
Решить уравнение
a sinx + bcosx = с
Разделим обе части уравнения на
7а2+Ь2 *0
a ,_sinx +
cosx =
Введем вспомогатель-
ный угол <р по формулам;
cosy =-7= = =
Ja2+C2
sinx sin <р+cos x cosy = , -
Va2+b2
siny=
cos (х - <p) = - -
Получили простейшее тригонометрическое
уравнение 2 относительно (х - у).
Пример. Решить уравнение:
76
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Пусть у = f(x) — непрерывная
функция, определенная на ин-
тервале (а; Ь).
Дх — приращение аргумента;
Ду = f(x + Дх) - Г(х) — прира-
щение функции в точке х.
Производной функции у = f(x) в точке х называется пре-
дел отношения приращения функции к соответствующему
прирещению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Обозначение: у' или Г(х).
, г ДУ f(x + Ax)-f(x)
у = hm — = hm —---------——
Ах->ОДХ vx-»O ДХ
Функция, имеющая производную в точке х, называется
дифференцируемой в этой точке; операция нахождения про-
изводной называется дифференцированием, функция, диф-
ференцируемая в каждой точке некоторого интервала, назы-
вается дифференцируемой на этом интервале.
Пример
Функция Г(х) ж х дифференцируема при х е Я, и
, «• Ях + Дх)-/(х) х + Дх-х дх ,
f (х)= lim —-----—— = hm - ——— = hm — = 1
AX-»O Дх ДХ-»О Дх ДК-»ОДХ
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Функций Производная Функция Производная Функций Производная
с (const) 0 !одах 1 x-lna arcsinx 1
X 1 /1-хг
Inx 1 X
X” ЛХ”-’ arccosx 1
*1- 1 “хг sinx cosx >Л-Х2
COSX -sinx arctgx 1 Vi+x2
f tgx 1 COS2X
а* axlna ctgx 1 arcctgx 1 Vi+x2
ех ех sin2x
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть к — постоянное число, 1/(х) и и(х) две функции, диффе-
ренцируемые на некотором интервале (а; Ь).
1. (ки (х))' = к iT(x)
Постоянный множитель мож-
но выносить за знак произ-
водной.
2. (ц(х) ± v(x))' = </(х) ± v'(x)
Производная алгебраической
суммы функций равна сумме
их производных (правило
спрееедливо для любого ко-
нечного числа слагаемых).
(5х)' = 5
isinx 1 = icosx
(Зх2)' = 3(х2}' = 32х = 6х
у = х® +4хг +7x + f
> у' = (хг)'+4(хг)'+7(х)'+(1Г =
= Зхг+8х+7
3. (uv)' = ifv + v'u
Производная произведения
даух функций.
у = хг - sinx
у' = (хг )'sinx + x2(sin х)' =
= 2xsinx+x2cosx
78
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Если у есть функция от и: у = F(u). где и = f(x), т. е. если у
зависит от х через промежуточный аргумент и, то у = F(u) =
= F(f(x)) называется функцией от функции или сложной функ-
цией.
Производная сложной функции равна про-
изведению ее производной по промежу-
точному аргументу на производную этого
аргумента по независимой переменной
у’(х) = F'(u) и'(х}
Производные сложных функций и = f(x)
Функция Производная Функция Производная
(иг п- о"-’ • и’ 1п« и' и
С 1- I/2 sin и (cos и) и'
>1и (Г 2s/u cost/ (-sin и) и'
а° аи1па и' tgi> и' cos2 и
еи е“-и' ctg о и' sin2 и
’09аи и' и Ina Ч/й и' п^ип~'
79
Примеры Нейти производные следующих функций:
у = (X2 + Зхр и = х2 + Зх, и' = 2х + 3 у = дЗ у’=(ifiy = 3u2tT = 3(х2 + Зх)2(2х + 3)
у=еЗх и = Зх, О’ = 3 у = е", у’ = (е*)' = eGtT = Зе3*
y=sin2x u = 2х, д' = 2 у = sin и. у’ = (sin и)' = (cos и) if = 2cos 2х
y=ln(2x+1) и = 2х+ 1,tT = 2
у = Jx3 + 4х и = х2 + 4х. W = Зх2 + 4 у.Д „У-4 2 Ju 2-Jx3 + 4х
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка движется прямолинейно
по закону S = S(t). где S — переме-
щение точки за время Г.
+ At)-S(t,)
«₽ “ At “ At
средняя скорость точки за проме-
жуток времени [tj; t2].
Мгновенная скорость точки в данный
момент времени (, равна значению про- pjf j _ |jm ♦4t)-&(rt)
изводной от закона движения 1 ы-»о At
Такие величины как перемещение,
скорость и ускорение при движении точ-
ки связаны между собой.
Производ ную от производной называ-
ют производной второго порядка или вто-
рой производной.
p(t) = S'(t)
a{t) = v'(t) =
= = S"(t)
80
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная функции в точке х0
ревна тангенсу угла наклона каса-
тельной, проведенной к грефику
функции в точке с координатами
к - tg а = Н*о)
к — угловой коэффициент каса-
тельной.
Уравнение касательной к графику у = Г(х), проведенной в
точке с координатами (хс; Г(Хф)), имеет вид:
У - Нх0)(х - х0) - f(x0)
Пример.
Найти уравнение касательной к графику функции
у = -х2 + 1 в точке с абсциссой х0 = 1.
Решение
у' = -2х
у'(1) = -2 -1 =-2
уо(1)=-12+1=О
81
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ
Возрастание н убывание функции
о < а < 90°, tga > 0
90°<а< 180o,tga<0
б-окрестностью (читается «дельта-окрестностью») точки х0 на
числовой оси называется интервал (х0 - б; х0 + б).
Промежутками монотонности функции у = f(x) называются
промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
Теорема (о монотонности функции). Если функция f(x) во
всех точках некоторого интервала имеет положительную про-
изводную (Г(х) >0), то она возрастает на этом интервала, а
если отрицательную производную (Г(х) < 0). то она убывает.
Пример.
Найти промежутки монотонности функции f(x) = 5х2- Зх + 1.
Решение.
Область определения функции: хе Л
Г(х) = Юх- 3 Г(х) < 0, 10х- 3 < 0, х < 0,3;
Г(х) > 0, Юх-З >0, х>0,3.
Ответ: в промежутке (-о°; 0,3] — функция убывает,
в промежутке [0,3; +«] — функция возрастает.
(Точка х = 0,3 включается в промежутки монотонности, по-
скольку в этой точке функция определена и непрерывна.)
82
Экстремумы функции
Точка х0 называется точкой мак-
симума функции Г(х). если для
всех х, лежащих в окрестности
этой точки, выполняется нера-
венство:
f(x} < f(x0)
z--------------------------------\
Точка х0 называется точкой ми-
нимума функции Г(х). если для
всех х, лежащих в окрестности
этой точки, выполняется нера-
венство:
W < f(x)
Точки минимума и максимума
функции называются ее точка-
ми экстремума, а значения
функции в этих точках — акст-
рамумами данной функции.
Критическими точками функции у = f(x) называются точки,
в которых ее производная либо не существует, либо равна
нулю.
Z“ X
Теорема (об экстремумах дифференцируемой функции).
Для того чтобы функция у = f(x) имела в точке х0 экстремум,
необходимо, чтобы Г(х0) = О, и достаточно, чтобы Г(х) меня-
ла знак при переходе через точку х0 (если слева от х$ имеем
Г(х) < О, а справа f'{x) > О, то в точке х0 будет минимум, если
наоборот — то максимум.
83
У
y-fM
2________L
а х, *2 Х2 xAb х
Для функции f(x) х2, х4 — точ-
ки максимума. Точки а и b не
считаются точками экстре-
мума функции f, так как у этих
точек нет окрастностей, цели-
ком входящих в область опре-
деления функции.
Пример.
Найти точки экстремума функции f(x) - х8 - х и значения функ-
ции в этих точках. Указать интервалы монотонности.
Решение.
1. Находим производную функции:
Г(х) = Зх2-1»з(х2-4]=зГх-^=¥х + -5= .
I 3J I ТзД
2. Приравниваем производную к нулю, находим критические
точки:
3 | х—Ь|.|х +JL]=O; * =—L н х2 = ~.
( ТзД >!з) 1 7з 2 >/з
3. Наносим критические точки на числовую ось и указываем
знак производной функции в полученных промежутках.
Стрелкой указываем, какая по
монотонности функция на данном
интервале.
В точках Х| =
L и х9 = ~ функция имеет экстремумы:
3 V3
1 ( 1 1 2
в точке х. =—максимум; Л—}= = —
4з I 7з) Зл/З
1 ( 1 1 2
в точке х^ = —минимум; |=—т=.
V3 ^V3 J 3v3
Функция возрастает на интервалах х < —5= и х > -4=;
43
функция убывает на интервале —=< х <—=?.
V3 V3
84
АСИМПТОТЫ
Прямая называется асимптотой графика функции у = /(х),
если график функции приближается к этой прямой, но никог-
да ее не пересекает.
85
ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА
1. Нахождение области определения и области значений
функции.
2. Исследование функции на четность.
3. Исследование функции на периодичность.
4. Определение точек пересечения графика функции с ося-
ми координат и промежутков знакопостоянства.
5. Нахождение асимптот графика функции.
6. Определение интерввлов возрастания и убывания функ-
ции.
7. Определение точек экстремумов функцдо.
8. Построение графика.
Пример. 4
Исследовать функцию у=~~—|— х2 и построить ее график.
4 о
х^ •*> 1. у—х2. Область определения—множество R.
2. Вычислим функци гументах=1 их=-1. И«Ч4-1--115 ю при двух симметричных значениях ар- функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
& Находим точки пересечения графика с осями: а) с осью Ох: ^•х*-1х2-х® =0, Зх4-4х2-12х2 =0; х2(Зх2-4х-12)=0; х12 =0: х3 =«-1,4; х4 «=2,8; график пересекает ось Ох в точках: (0:0). (-1.4; 0). (2,8:0); б) с осью Оу: при х = 0, у = 0. график пересекает ось Оу в точке (0; 0).
86
4. Находим производную функции:
Г(х) =х®- х®- 2х = х(х®- х - 2) = (х + 1 )(х - 2)х.
Приравнивая производную нулю, получим критические точки:
Г(х) = 0, (х+ 1)(х-2)х = 0, X) = -1,х2 = 2, х2 = 0.
Изображаем критические точки на числовой оси. Критические точ-
ки разбивают числовую прямую на четыре промежутка: (-«>; 1), (-1; 0),
(О; 2) и (2; +~).
Укажем знак производной на полученных промежутках, решна
неравенство (х + 1)(х- 2)х > 0.
Функция убывает на интервалах (-о»: -1) сДО; 2);
функция возрастает на интервалах (-1; 0)о(0: +<*>).
5- Вычисляем координаты точек экстремумов функции:
у(-1>-4
у(0)=о
У(2) = 24 23
±i-22 =-2—
3 3
точка максимума: {О; О);
точки минимума:
87
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
1. Найти Их) и критические
точки функции, лежащие
внутри отрезка.
2. Вычислить значения функ-
ции в этих точках и на кон-
цах отрезка.
3. Выбрать наименьшее и
наибольшее значения функ-
ции.
Функция f определена на отрезке [а; £>}.
Пример.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у(х) - -2х® - Зх2 + 4 на отрезке [-2; -0,5].
1. у'(х) = -бх2 - 6х — приравнивая производную нулю, нахо-
дим критические точки:
-бх2-6х=0, -6х(х + 1) =0, х=0 их = -1.
В промежутке [-2; -0,5] лежит только одна критическвя точ-
ка х = -1.
2. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в кри-
тической точке:
у(-2) = -2 (-2)3 - 3 - (-2)2 +4 = 8;
у(-О,5) = -2 (-0,5)3 _ з. (_о>5)2 + 4 = 3<5.
у(-1) = -2 - (-1)3 - 3 - (-1)2 + 4 = 3.
3. Наибольшее значение функции на заданном отрезке —
8, наименьшее — 3.
88
ПЕРВООБРАЗНАЯ
Функция F(x) называется первообразной функцией от f(x)
на некотором промежутке, если для всех х из этого про-
межутка выполняется условие:
F'(x) = Г(х)
Операция, обратная дифференцированию, называется инте-
грированием. Выполняя интегрирование, мы находим первооб-
разную функцию F(x), используя формулы интегрирования (таб-
лица первообразных).
Таблица первообразных
Функция Первообразная
1 x + c
X”, р * -1 p+1
-, х>0 X lnx + c
е* e* + c
sinx -COSX + c
cosx Sinx + c
(*Х+ £>)₽, р *-1. k*0 (kx+bF*' Mp + D
—Ц-, кх+Ь>0 кх + Ь ~ln(kx+i?)+c
efot*b.k*C le***b+c к
sin(kx+£>), fcatO —~COS(fcX +O) +C
cos(Rx+O), fc*O ~sin(Xx+O)+c
с — произвольная постоянная.
89
Правила интегрирования
F(x) — первообразная функции f(x). G(x) — первообразная функция от д(х) на некотором промежутке. » F(x) ± G(x) — первообразная функции f(x) ± д(х).
Функция aF(x) является первообразной функцией от af(x), где а — постоянная.
Типовые задания
Найти все первообразные функции.
Функция Первообразная
2х5-3х2 2 x5*i Зх2** x2 а 5+1 2+1 С 3
3cosx-4sinx 3sin х - 4 • (—cosx) + с = = 3sinx + 4cosx + с
1 + 3e*-4cosx х + Зе* - 4sinx + с
sin (2хтЗ) ^cos{2x+3)+c
2sin ~1 +с )
Пример.
Для функции f(x) найти первообразную, график которой про-
ходит через точку М:
f (х) = 2х + 3
(•)М(1; 2)
F(x) = ^-^-+3x + c« х2 +3х + с
Подставляя координаты точки в первообразную
функцию, находим постоянную с:
F(x) = х2 + Зх + с;
2 = 12 + 3-1 + с; с = -2.
Ответ: F(x) = х2 + Зх - 2.
Первообразные функции находим, используя правила инте-
грирования и формулы из таблицы первообразных.
90