/
Автор: Кардона М.
Теги: ботаника физика оптика монография прикладная физика квантовая оптика
Год: 1979
Текст
Topics in Applied Physics.
Founded by Helmut K- V. Lotsch
Volume 8
Light
Scattering
in Solids
Edited by M. Cardona
With Contributions by
M. H. Brodsky, E. Burstein, M. Cardona,
L. M. Falicov, M. V. Klein, R. M. Martin,
A. Pinczuk, A. S. Pine, Y.-R. Shen
Springer-Verlag
Berlin —Heidelberg—New York 1975
Проблемы прикладной физики
Рассеяние
света
в твердых
телах
Под редакцией М. Кардоны
Перевод с английского
Б. X. Байрамова и
3. М. Хашхожева
Под редакцией
Б. П. Захарчена
Издательство «Мир»
Москва 1979
УДК 38В.875.В4
Предисловие редактора перевода
Коллективная монография, отдельные главы которой напи-
раны видными зарубежными учеными, выходит в серии «Пробле-
«Проблемы прикладной физики», Поспящена бурно развивающейся об-
области квантовой Оптики — лазерной спектроскопии комбинацион-
комбинационного рассеяния света н в особе ыности фазане процессов
неупругого рассеяния света в полупроводниках.
Книга будет полезна как теоретикам, гак и экспериментато-
экспериментаторам, работающим в этой области, а также физикам и инженерам,
занимающимся прикладными задачами квантовой электроники и
разработкой новы* приборов.
Редакция литературы по физике
041@1)—78
55—78
© by Springer-Verlag Berlin — Heidelberg 1975
All rights reserved
Authorized tranalalion from English lan-
- guage edfiion pubifshed by Springer-Verlag
Berlin — Heidelberg — New York
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979
Предлагаемая вниманию чатателей книга посвящена в основном
исследованию рассеяния света в полупроводниках. Использова-
Использование лазаров в качестве источников возбуждения открыло широ-
широкие возможности для изучения рассеяния света в полупроводни-
полупроводниковых кристаллах. Это обстоятельство подчеркнуто в предисло-
предисловии и введении к книге, которые написаны М. Кардоной,
редактором зарубежного издания, известным специалистом
В области исследования оптических явлений в полупровод-
полупроводниках.
Очень хорошей иллюстрацией прогресса, достигнутого
в этой области оптической спектроскопии при использовании
лазерной техники, является история исследования комбинацион-
комбинационного рассеяния в кристаллах закиси меди. Помнится, как
Ё. _Ф. Гросс, изучая в 50-х годах новые оптические явления
в закиси меди, связанные с экситонамн, мечтал об исследовании
комбинационного рассеяния в этом кристалле. Однако попытки
■ его сотрудников использовать для возбуждения рассеяния р.аз-
.личные линии обычных газоразрядных источников света не при-
привели тогда к успеху. Теперь кристалл Си2О — один из наиболее
интересных объектов в спектроскопии комбинационного рассея-
рассеяния света. Наличие валентной и ближайшей зоны проводимости
одинаковой четности, хорошо развитая экснтонная структура
с основным состоянием в виде узкой квадропольной линии, на-
наконец, область спектра, очень удобная для того, чтобы исполь-
использовать в качестве источника возбуждения перестраиваемый ла-
. зер на красителе, позволили обнаружить новые интереснейшие
явления неупругого ■ рассеяния света и проверить фундамен-
фундаментальные положения теории резонансного рассеяния света в по-
полупроводниках. Кстати, исследованиям по рассеянию света
в CiisO в книге уделяется значительное место.
Хотя основным объектом исследования в книге являются
полупроводники, существенная часть материала касается весьма
Предисловие редактора перевода
общих вопросов неупругого рассеяния света в твердых телах.
Легко убедиться, что гл. 2 и 7 выходят за рамки только полу-
полупроводниковой тематики. То же самое можно сказать и о гл. 3,
хотя в ней и обсуждаются результаты, полученные для полу-
полупроводниковых кристаллов. В остальных трех главах преобла-
преобладает «полупроводниковая специфика», но имеется много сведе-
сведений, важных с точки зрения проблемы взаимодействия света
с твердым телом вообще.
Разумеется, книга не охватывает всего многообразия явле-
явлений, наблюдаемых при рассеянии света в твердом теле. Это
относится также и к более узкому ее предмету — полупровод-
полупроводникам. Так, например, в ней отсутствует обсуждение рассеяния
света электронно-дырочными каплями, не затронут вопрос об
исследовании поверхностных возбуждений с помощью рассея-
рассеяния света и некоторые другие вопросы. Тем не менее книга
представляет большой интерес для специалистов, занимающихся
оптическими явлениями в твердых телах как в чисто физиче-
физическом, так и прикладном аспектах.
Промежуток между изданиями оригинала и его русского пе-
перевода составляет три года. Однако за эти три года не появи-
появилось принципиально новых результатов, которые могли бы при-
привести к возникновению нового направления в изучении
неупругого рассеяния света в полупроводниках. Из исследова-
исследований, выполненных в последнее время, можно отметить исполь-
использование С. Гешвиндом и др.') рассеяния с переворотом спииа
для изучения динамики носителей. Этой группой получены
также весьма интересные результаты по оптическому детекти-
детектированию когерентности спиновой системы электронов, возни-
возникающей при ззаимодействин рассеянного света со светом, воз-
возбуждающим рассеяние в CdS.
Рассеяние света, сопровождающееся переворотом спина
электрона, происходит благодаря спин-орбитальному взаимо-
взаимодействию. Этот процесс кратко описан в гл. 7, о нем упоминается
также в гл. 4, Такого типа процесс представляется важным по
следующим причинам. В последние годы интенсивно разви-
развиваются исследования по оптически индуцированной спиновой
поляризации электронов и ядер в полупроводниках. В этих ис-
исследованиях обнаружен ряд ярких физических эффектов. На-
Например, показано, что возникающая под^действием света с кру-
круговой поляризацией ядерная поляризация приводит к появлению
сильных магнитных полей, действующих на спины электронов
в полупроводнике. Представляется вполне вероятным проявле-
проявление эффектов оптической поляризации в процессах рассеяния
') Geschceind S., Romestain R., Ни P., Devlin G., Jedju Т., 3'" Specialized
Colloque Ampere, Abstracts, p. 79. Dublin, Ireland, 1977.
Предисловие редактора перевода
с переворотом спина, что, возможно, позволит использовать это
явление как новый метод детектирования поляризации, индуци-
индуцированной светом.
В русском переводе используется терминология, применяе-
применяемая в советской научной литературе: «комбинационное рассея-
рассеяние» для «Raman scattering», «рассеяние Мандельштама — Брил-
люэна» для «Brillouin scattering». Происхождение такой тер-
терминологии, давно установившейся в нашей стране, имеет исто-
историческую Причину и связано с тем известным фактом, что одно-
одновременно с Ч. Раманом и независимо от него эффект неупругого
рассеяния оптических фотонов веществом открыли Л. И. Ман-
Мандельштам н Г. С. Ландсберг. Во введении М. Кардона также
отмечает их выдающийся вклад в эту область оптики.
При переводе мы сочли необходимым включить список ра-
работ по рассеянию света, появившихся после выхода в свет ори-
оригинала. Этот список касается только полупроводниковой те-
тематики.
В заключение можно с уверенностью сказать, что резко
возросший в последние годы интерес к рассеянию света как
методу изучения твердого тела вообще и полупроводников
в частности сделает эту книгу весьма популярной.
Перевод книги осуществлен сотрудниками Физико-техниче-
Физико-технического института им. А. Ф. Иоффе АН СССР Б. Байрамовым
(гл. 1, 2, 4) и 3. Хашхожевым (гл. 3, 5—7).
Б. Захарненя
Предисловие
Настоящая книга посвящена проблеме неупругого рассеяния
света в полупроводниках, т. е. процессам, в которых падающий
фотон, проходя через полупроводник, рождает или уничтожает
одну или несколько квазичастиц и распространяется с энергией,
несколько отличной от начальной энергии. При исследовании
рассеяния света используются, как правило, монохроматичные
источники и с помощью спектрометра измеряется распределе-
распределение рассеянных фотонов по энергии. Вследствие параллельности
луча, монохроматичности и высокой мощности излучения лазеры
являются идеальными источниками для спектроскопии рассея-
рассеяния света. Поэтому за последние годы достижения в области
рассеяния света определялись уровнем развития лазерной тех-
техники. Обычно эффективность рассеяния мала, и поэтому для
спектроскопии рассеяния света требуются сложные двойные
и тройные монохроматоры с высокой степенью подавления пара-
паразитного света. Как мощные лазеры, так и хорошие монохрома-
монохроматоры особенно важны для исследования рассеяния света, когда
интересующие нас образцы являются непрозрачными, как
в случае большинства полупроводников. Этим объясняется тот
факт, что рассеяние света в этих материалах стало изучаться
сравнительно недавно.
Несмотря на указанные трудности, в последние годы именно
область рассеяния света в полупроводниках пережила расцвет
и достигла известной степени завершенности. В связи с огра-
ограниченностью объема книги редактор столкнулся с необходи-
необходимостью отбора тем, которые следовало включить в рассмотре-
рассмотрение. Несмотря на естественное пристрастие к собственным
научным интересам, он надеется, что ему удалось собрать ряд
обзорных статей, представляющих современные исследования
в этой области.
Предисловие 9
Гл. 1 содержит общий исторический обзор и библиографию
по рассеянию света одним и двумя фононами, включая резо-
дансное-комбинационное рассеяние, т. е. рассеяние фотонов,
энергия которых находится вблизи ярко выраженной особенно-
особенности в частотной зависимости диэлектрической проницаемости.
В гл. 2 обсуждаются основы процесса рассеяния света, его
феноменологическое описание, кинетика и правила отбора. Там
Же дано введение в микроскопическую теорию.
В гл. 3 подробно описывается явление резонансного комби-
комбинационного рассеяния света,, которое, выделяя определенные
электронные состояния, находящиеся в резонансе, дает весьма
подробные сведения о механизме рассеяния и об электрон -
фононном взаимодействии. Приводится количественный расчет
нескольких моделей для объяснения наблюдаемых резонансов.
Гл. 4 посвящена рассеянию на электронных возбуждениях
в полупроводниках — области, представляющей значительный
интерес с точки зрения техники. Она включает рассеяние сво-
боднымн частицами, плазмонами и возбуждениями примесных
уровней. Во всех случаях принималось во внимание влияние
сложной структуры энергетических зон в полупроводниках.
i В гл. 5 обсуждается комбинационное рассеяние света
в аморфных полупроводниках. Эта область привлекла значи-
значительное внимание с тех пор как автор Этой главы и его сотруд-
сотрудники обнаружили, что наблюдаемый спектр первого порядка
часто содержит сведения о плотности однофононных состояний
в аллотропических кристаллических материалах. Включено
-также обсуждение вопроса о соответствии наблюдаемых спект-
спектров ближнему порядку и химической связи.
В гл. 6 описываются основы рассеяния Мандельштама —
Бриллюзна в полупроводниках, а также спонтанные и вынуж-
вынужденные процессы, которые могут наблюдаться, когда фононы
генерируются в полярных материалах посредством акустоэлек-
трического эффекта.
Наконец, гл. 7 посвящена вынужденному комбинационному
рассеянию света, другой теме, представляющей значительный
интерес с точки зрения технического применения. Речь идет
о. перестраиваемых по частоте лазерах с переворотом спина
и недавно развитом спектроскопическом методе, называемом
КАСКР (когерентная антистоксова спектроскопия комбинаци-
комбинационного рассеяния).
-. Редактор, относительно недавно занимающийся рассеянием
света, воспользовался своим сотрудничеством в этой области
с многочисленными учеными, аспирантами, коллегами по Уни-
.верснтету Брауна и Институту Макса Планка, а также по дру-
другим институтам. Выло бы слишком затруднительно первчиолить
10
Предисловие
здесь их всех по именам. Большинство из этих имен пред-
представлено в списке литературы. И, наконец, не менее важные
благодарности адресованы всем авторам глав за соблюдение
несмотря на сильную занятость, крайнего срока представления
рукописей, а также за терпеливое рассмотрение замечаний ре-
редактора. ^
Штутгарт, май 1975 г.
Мануэль Кардона
1. Введение
М. Кардона1)
«Света, больше света...»
Гёте
Большая часть этой книги посвящена рассеянию света в полу-
полупроводниках, причем особое внимание уделяется комбинацион-
комбинационному рассеянию света фоионами и, в частности, резонансному
комбинационному рассеянию света. Полупроводники с тетра-
эдрической координацией атомов в Кристаллической решетке со
структурой германия, цинковой обманки, вюрцита, тройных
халькопиритов и другие являются прекрасными объектами для
экспериментов по рассеянию света. Они просты, их зонные
структуры хорошо изучены и весьма разнообразны. К тому же
имеются достаточные сведения об их фононных спектрах.
>Кроме того, в полупроводниках наблюдается ряд интересных
многочастичных возбуждений, таких, как экситоиы, плазмоны,
'поляроны, поляритоны, экситонные капли, экситоны, связанные
с примесями, и т- Д. Они также могут возбуждаться в процессах
рассеяния света. Их можно изучать и косвенным путем при на-
наблюдении резонансов в других процессах рассеяния, когда час-
частота рассеянного света близка к частоте квазичастицы. Б по-
последнее время кристалл СигО также оказался весьма удачным
объектом для проверки и анализа механизмов комбинационного
рассеяния света. В противоположность кристаллам со структу-
структурой цинковой обманки в нем имеется много ветвей оптических
фононов при к = 0 и запрещенный прямой край с ярко выражен-
выраженными экситонами, причем этот край и экситоны находятся в об-
области длин волн, очень удобной для исследований с помощью
перестраиваемых по частоте лазеров на красителях.
1.1. Исторические замечания
Основы процессов рассеяния света были установлены до-
довольно данно. В 1922 г. Бриллюэн [1.1] предсказал рассея-
рассеяние света длинноволновыми упругими звуковыми волнами.
В 1923 г. Смекал [1.2] развил теорию рассеяния света для
системы, состоящей из двух квантованных энергетических
*) Cardona Manuel, MaX-Plank-Institut Гпг FestkSrperforschung Stuttgart,
Fed. Rep. of Germany.
Глава Т
уровней; эта теория отражала существенно важные особенности
явления, которое было открыто Раманом [1.3] н независимо от
него Ландсбергом и Мандельштамом [1.4] в 1928 г. Вскоре
стало ясно, что вновь открытый эффект представляет собой пре-
превосходный метод для исследования возбуждений молекул и мо-
молекулярной структуры. Такие исследования преобладали при*
мерно до 1940 г. С 1940-х годов начались систематические ис-
исследования рассеяния света в монокристаллах с целью получения
сведений для полуэмпирической трактовка динамики решетки.
Однако, поскольку сечение рассеяния мало, эксперименты были
достаточно сложными и проводились лишь несколькими груп-
группами. Появление лазера в i960 г. коренным образом изменило
это положение. Такие свойства излучения лазеров, как моно-
монохроматичность, когерентность, параллельность луча и большая
мощность, быстро привели к тому, что ртутные лампы перестали
употребляться в качестве источников возбуждения в спектро-
спектроскопии рассеяния света. Вскоре [1.5J появилось первое сообще-
сообщение о комбинационном рассеянии света с использованием линии
6943 А импульсного лазера на рубине и фотографической реги-
регистрации. Появление лазеров непрерывного действия позволило
осуществить фотоэлектрическую регистрацию с помощью счета
фотонов, и фотографическая регистрация быстро вышла из
употребления. Со времени изобретения лазеров прогресс в экс-
экспериментах по рассеянию света непосредственно следовал за раз*
витием лазерной техники, в том числе непрерывных Не —Ne-ла*
зеров, ионных Аг+- и Кг+-лазеров, а совсем недавно —пере-
страиваемых по частоте лазеров импульсного и непрерывного
действия на красителях.
В настоящее время диапазон использования спектроскопии
рассеяния света настолько широк, что дать какой-либо исчер-
исчерпывающий обзор почти невозможно. Поэтому вначале автор
хотел бы еоолаться на несколько работ общего характера,
имеющих отношение к рассеянию света в твердом теле. Пре-
Прекрасными источниками являются труды первой [1.6J и второй
J1.7] Международных конференций по рассеянию света в твер-
твердых телах. Предполагается, что в трудах третьей конференции
[1.8], которая состоялась в Кампинасе, Бразилия, в июне
1975 г., будет продолжена эта традиция отбора работ самого
высокого уровня. Необходимо также отметить недавно вышед-
вышедшие два тома под редакцией Андерсона ]1.9J, обзор по комби-
комбинационному рассеянию света в полупроводниках Мурадяна
[1.10] и ранее опубликованный обзор Брандмюллера Jl.ll].
Рекомендуется также книга Сущинского [1,12], в которой об-
обсуждаются как молекулы, так и кристаллы. Исчерпывающий
обзор по теории комбинационного рассеяния света фононами,
особенно по его теоретико-групповым аспектам, дай Бирманом
Введение
13
£E»Eil8J. Жроме того, ряд статей по комбинационному рассеянию
^Шйвета в^полупроводниках можно найти в трудах международ-
&*шх конференций по физике полупроводников, созываемых раз
Р:& ;два года, начиная с конференции, состоявшейся в Киото
;гЯаЛ9б6 г. Перечень трудов всех »тих конференций с соответ-
£-сгвующими ссылками на первоисточники представлен в работе
Г; A.14].
г 1,2. Рассеяние света фоноиами
)■■■ в полупроводниках
"; -, - В ранних экспериментах по комбинационному рассеянию
■<■' света можно было работать только о материалами, прозрач-
прозрачными для рассеянного излучения. В непрозрачных образцах
рассеивающий объем, ограниченный длиной поглощения, был
настолько мал, что наблюдать рассеяние было невозможно.
Первые наблюдения комбинационного рассеяния света оптиче-
. скнмя фононами первого порядка в алмазе [1.15] н в CdS
J1.16J относятся к тому времени, когда использовалась ртутная
v лампа. При первых измерениях с использованием лазеров также
пришлось ограничиться прозрачными полупроводниками. Порто
и его сотрудники сообщили о фононном спектре первого порядка
в ZnO [1.17] и CdS [1.18]. Они обнаружили ряд обертонов LO-фо-
ионов и высказали предположение, что это связано с резонанс-
резонансным усилием, наблюдаемым при использовании двух лазерных
линий. Для исследования полупроводниковых соединений типа
AI!IBV, преимущественно непрозрачных s видимой области
спектра, Мурадян и- Райт [1-19] использовали инфракрасное
излучение с длиной волны 1,06 мкм лазера на иттрий-алюми-
еиевом гранате, легированном неодимом. Они исследовали
спектры первого порядка в GaAs, lnP, AlSb и GaP. Большим
достижением явилось наблюдение Паркером и др. [1.20] рас-
рассеяния первого и второго порядков в кремнии и рассеяния пер-
первого порядка в германии с использованием линии 4880 А
Аг+-лазера, для которой эти материалы непрозрачны. Рассея-
Рассеяние первого порядка ранее наблюдалось в S1 Расселом с ис-
использованием Не — Ne-лазера [1.21]. Исследования проводи-
проводились в конфигурации рассеяния назад. Этот метод затем стал
стандартным при изучении резонансных эффектов. Лишь совсем
недавно эксперименты по рассеянию Мандельштама—Брил-
люэна стали возможными в непрозрачных образцах благодаря
применению многопроходных интерферометров Фабри —Перо
J1-22]. До сих пор эти работы ограничены использованием Ge
л - и Si. От экспериментов по рассеянию назад резко отличаются
'- эксперименты по рассеянию света под малым углом в прозрач-
Глава I
ных полярных материалах. После пионерской работы Генрн
и Хопфилда [1.23] такие эксперименты использовались для
наблюдения дисперсионной зависимости поляритонов (т. е. сме-
смешанных фонон-фотонных мод).
Во времена использования ртутной лампы были изучены
спектры второго порядка для прозрачных материалов (см. [1.24]
для NaCl и [1.25] для алмаза). Было показано, что они соот-
соответствуют обертонам и составным модам [1.26]. Эти спектры
обычно очень слабы, и поэтому их было весьма трудно изучать
с помощью старых источников. Появление лазеров вновь побу-
побудило к исследованию этих, как правило, сплошных, имеющих
богатую структуру спектров. Классификации фононов, под-
подкрепляемые результатами измерения температурной зависи-
зависимости интенсивности рассеяния, зачастую оставались предполо-
предположительными. Однако за последнее время в этом направлении
достигнуты значительные успехи в результате последователь-
последовательного разделения неприводимых компонент тензора рассеяния
в спектрах второго порядка ряда полупроводников, большей
частью полученных при рассеянии назад [1.28, 1.29]. Эти ис-
исследования привели к пониманию того факта, Что полностью
симметричная компонента спектра (Fi) в основном обусловлена
двухфононными обертонами и довольно точно представляет
плотность однофононных состояний, удвоенную по энергетиче-
энергетической шкале. При этом компонентой спектра с симметрией Г[2
практически можно пренебречь. Такая удачная простота двух-
фононных спектров не свойственна другим твердым телам (на-
(например, щелочно-галоидным кристаллам) и не относится также
к двухфононному поглощению инфракрасного излучения в гер-
германии или кремнии,
В кристаллических полупроводниках в рассеянии света пер-
первого порядка участвуют только фононы с k ~ 0. Фононы
с большим значением к должны наблюдаться в Процессах рас-
рассеяния второго порядка. Однако многие полупроводники с тет-
раэдрической координацией атомов в решетке можно получать
в аморфной фазе, для которой закон сохранения волнового век-
вектора больше не соблюдается. Вследствие этого в аморфных ма-
материалах спектры комбинационного рассеяния света первого по-
порядка являются широкими и соответствуют плотности однофо-
однофононных состояний [1.30]. Другим удобным обстоятельством
является то, что эта плотность состояний зачастую есть уши-
уширенная плотность состояний, соответствующая кристалличе-
кристаллическому материалу [1.30]. Это указывает на значительную сте-
степень сохранения ближнего порядка в аморфной фазе. Рассея-
Рассеянию света в аморфных полупроводниках посвящена гл. 4.
Смещение частот узких линий, наблюдаемых в спектре
рассеяния первого порядка, можно определять со значительно
Введение
ышЙ точностью, чем при рассеянии нейтронов. Это относится
также Ф к некоторым особенностям (в критических точках)
свект'рДО второго порядка. Поэтому комбинационное рассеяние
света представляет собой идеальный метод для изучения влия-
влияния возмущений на фононные спектры. Этот метод применялся
для &дедуюи№х исследований: температурной зависимости час-
частоты фононов и ширины их линий [1.31]; влияния легирования,
црив.9ДЯЩего к смещению и уширению линий в спектре первого
порядка [1-32]; локальных колебаний, обусловленных приме-
примесями [1-33]; влияния сплавления [1.34]; одноосного сжатия
[1.351 и гидростатического давления [1.36]; рассеяния, инду-
индуцированного электрическим полем [1.37]. Рассеяние поверхно-
■ стньши колебаниями (поверхностными поляритонами) недавно
наблюдалось Эвансом и др. [1.38].
1.3. Резонансы прн рассеянии света фононамн
Рассеяние фононами происходит главным образом через вщ>-
туальные промежуточные электронные переходы. В соответствии
с этим для падающих и рассеянных фотонов с энергией, близкой
к энергии междузонных переходов, в частотной зависимости
,4 поперечного сечения комб-инанионного рассеяния света должна
появиться особенность, что можно использовать для изучения
электронных переходов. В известном смысле эти исследования
аналогичны исследованиям в модуляционной спектроскопии
[1.39]. В данном случае модулирующее возмущение не прикла-
прикладывается извне, а осуществляется фононами. Однако наиболее
важное применение резонансного комбинационного рассеяния
-- света заключается в выяснении механизма рассеяния (который
всегда имеет какую-либо форму электрон-фононного взаимо-
взаимодействия) и определении констант электрон-фононного взаимо-
■ действия или деформационных потенциалов. Подробно резонадс-
ное комбинационное рассеяние света- оптическими фононами
обсуждается в гл. 2 и 3, а резонансное рассеяние Мандельшта-
Мандельштама— Бриллюэна — в гл. 6 этой книги.
Основная трудность заключается в том, чтобы цайтн пере-
перестраиваемый источник света с энергией, близкой к энергии
исследуемой критической точки. Материалы с тетраэдрической
координацией атомов в кристаллической решетке имеют ряд
критических точек (энергетических зазоров), которые сильно
отличаются по энергии при переходе от одного материала к
другому. Поэтому обычно можно подобрать материалы так,
чтобы исследуемая критическая точка находилась в области,
доступной для перестраиваемого по частоте источника. К тому
же энергетические зазоры сильно зависят от температуры и да^
дения и их можцо также изменять лутем сплавления различных
(в * Глава Т
материалов. Эти свойства с успехом можно использовать при
исследований резонансного комбинационного рассеяния света,
поскольку можно изменять энергетический зазор вместо изме-
изменения энергии излучения лазера.
Первые резонансные измерения в полупроводниках были
выполнены с кристаллами CdS с использованием дискретных
линий аргонового лазера, которые перекрывают диапазон .между
2,38 и 2,73 эВ [1.40]. Последующие измерения с CdS [1.41]
подтвердили ранее наблюдавшееся резонансное поведение и
позволили установить существование антирезонанса (нулевого
рассеяния) в поперечном сечении для рассеяния света ГО-фо-
нонами (но не LO-фононами) непосредственно вблизи края
поглощения. В настоящее время установлено, что такая особен-
особенность рассеяния обусловлена взаимной компенсацией вкладов
от переходов у края фундаментального поглощения и переходов
с более высокими энергиями. Следовательно, эти вклады долж-
должны иметь противоположные знаки. Для кристаллов со структу-
структурой цинковой обманки такая взаимная компенсация в попереч-
поперечном сечении комбинационного рассеяния света не наблюдается,
однако она свойственна их константам двулучепреломления,
индуцированного давлением .[1.-42], и приводит к нулям в
поперечном сечении рассеяния Мандельштама — Бриллюэна
[1.43]. Эта проблема обсуждается в гл. 6. Ранее проведенные
измерения с дискретными линиями показали, что в кристаллах
со структурой цинковой обманки типа GaP антирезонанс для
зоны Со отсутствует [1-44].
Однако в измерениях, проводимых с несколькими дискрет-
дискретными линиями, иногда можно пропустить тонкую структуру
между дискретными точками. Избежать этого можно путем ис-
использования дискретной линии лазера и плавного изменения
энергетического зазора внешним воздействием, например тем-
температурой. С помощью такого приема Пинзак и Бурштейн [1.45]
сумели обнаружить резонанс вблизи энергетического зазора Е\
в InSb. Более подробно этот резонанс исследовался в работе
Лейте и Скотта [1.46] в InAs с использованием нескольких ли-
линий Аг+-лазера. Ренучи и др. [1.47] изучали форму линии Е\
резонанса в Ge, смещая энергетический зазор путем сплавле-
сплавления с 22% S1 так, чтобы подвести его к области, в которой на-
находятся дискретные линии Аг+-лазера.
Важные успехи в области резонансного рассеяния света до-
достигнуты с появлением перестраиваемых лазеров на красителях
[1.48]. Наиболее широкий диапазон перестройки имеют им-
импульсные лазеры на красителях. Белл и др. [1.49] использовали
импульсный лазер на красителях, накачиваемый азотным ла-
лазером, для научения рассеяния вблизи прямого края (Еа) и его
спия-орбнтальяого расщепления (Е0-\.Аа) в GaP. Аналогичный
4000 4400 4300 S2QO S500 600Q $400 6900
Длима, волны, 4
фиг 1.1. Мощность, получаемая при использовании различных красителей,
различных мощностей и длин волн накачки как функция длины волны излу-
излучения лазера на красителе, работающего в непрерывном режиме (по данным
рЕботы [].&]).
(-•-карбостирол 1Я5, 1.5 Вт. УФ-наяичкэ; г—кумарин 120. 1.5 Вт, УФ; 3—кумарнз 2.1,8 йт.
уф; 4—7-лнэтиламнно-4-нетнлкунарнн, 1.35 Вт. УФ; 5—нумарнн 102. 1.3 Вт. УФ; 6 — куми-
"рЯв 7, 1,2 Вт, 4765 А; 7—кумарин 6. 2,3 Вт. 48S0 А; 8~натриевый флюоресцеин. 4 Вт на
всех линиях; S—родамии НО. 4 Вт на вц$х лпниях; 10 — родамиц 6G. 4 Вт иа всея линиях:
11 — родяиин В. 4 Вт на всех линиях; 12—фиолетовый креаил-перхлорвт. Б Вт на всех
линиях; 13—жалто-голуЙой-А-пбрхлорат. 0,75 Вт 8471 А.
лазер для исследования комбинационного рассеяния света ис-
использовали Ока и Кушида [1.50]. Шах и Дамен [1.51] приме-
няли лазер на красителе, накачиваемый импульсной лампой,
Для изучения резонансов в рассеянии света LO-фононами вблизи
линий поглощения, обусловленных экситонами, связанными с
примесями.
По сравнению с лазером непрерывного действия импульсный
Лазер обладает тем недостатком, что не позволяет использовать
стандартную технику счета фотонов [1.52]. Поэтому он имеет
Ограниченное применение для исследования комбинационного
рассеяния света, и большинство резонансных измерений выпол-
выполнено с лазерами непрерывного действия [1.53]. Первоначально
диапазон перестройки ограничивался тем диапазоном, который
обеспечивался Красителем — родамином 6G A,85 — 2,20 эВ).
Недавно Ярборо [1,53] расширил диапазон перестройки лазера
.непрерывного действия на красителях до области 1,55—2,90 эВ
(фиг. L1).
Непрерывны^ перестраиваемый лазер на красителе исполь-
использовался для исследования двух резонансов при Еа и £0 + Д0
(GaP [1.49] и ZnTe [1.54]) и двух резонансов при Ё} и Е\ + Д,
]1.55, 1.56].
Появление вблизи резонанса рассеяния света LO-фоно-
нами в запрещенной по поляризации конфигурации рассеяния
18 * Глава 1
обсуждалось в работе Мартина и Дамена [1.57]. Это явление,
обусловленное электрическим полем LO-фононов (взаимодей-
(взаимодействие фрёлиховского типа), привлекло значительное внимание
теоретиков и экспериментаторов, и оно обсуждается в гл. 2 и 3
данной книги. Резонансное рассеяние света LO-фононами наблю-
наблюдается лишь при параллельных поляризациях падающего и рас
сеянного света. Хотя такое рассеяние является запрещенном, оно
имеет более сильный резонанс, чем разрешенное рассеяние света
LO- и гО-фононами и иногда вблизи резонанса даже превосхо-
превосходит по интенсивности разрешенное рассеяние света LO-фоно-
нами. Отчетливое резонансное рассеяние света 2£О-фононами,
происходящее с участием двух фононов из точки Г и также
обусловленное взаимодействием фрёлиховского типа, наблюда-
наблюдалось в ряде материалов [1.58, 1.59]. За исключением макси-
максимума, обусловленного резонансным рассеянием света 2£О-фо-
нонами, резонансные свойства оставшейся части спектра вто-
второго порядка такие же, как к для разрешенного рассеяния пер-
первого порядка [1.58]. Это указывает на то, что структура спек-
спектров обусловлена электроЕрдвухфононным взаимодействием
[1.58]. Поэтому отношение интенсивностей рассеяния света вто-
второго и первого порядков дает" отношение констант электрон-
двухфононпого и электрон-однофононного взаимодействий. Элек-
трон-двухфоионное взаимодействие играет также важную роль
в ряде других, по-видимому, не связанных между собой явле-^
ний [1.59]. В неполярных материалах, подобных Ge и Si, при
рассеянии света двумя оптическими фононами из точки Г также
наблюдается резонанс вблизи энергетических зазоров [1.60].
Этот резонанс сильнее, чем резонанс для остальной части спек-
спектра второго порядка, и приписывается двум последователыю
повторяющимся электрон-однофононным процессам [1.60]. Не-
Недавно аналогичный последовательно повторяющийся резо-
резонанс наблюдался вблизи непрямого края оптического погло-
поглощения полупроводников [1.62] для фононов с волновыми
векторами, соответствующими волновому вектору непрямого
края.
Несмотря на то что здесь особое внимание уделено полу-
полупроводникам с тетраэдрической координацией атомов в кри-
кристаллической решетке, следует отметить недавние работы, вы-
выполненные с кристаллами Си2О. Самое низкое по энергии со-
состояние экситона в этом кристалле неактивно в поглощении
света в дипольном приближении, так как соответствующие одно-
электронные зоны имеют одинаковую четность. При темпера-
температуре жидкого гелчя энергия этого состояния равна 2,11 эВ, т. е.
находится в идеальной области для непрерывных перестраи-
перестраиваемых лазеров на красителях. Экситонная линия в этом кри-
Введение
19
с¥алле имеет очень резкую форму, и поэтому удается наблюдать
раздельно два резонанса,— когда частоты падающего и рас-
рассеянного света проходят значение частоты, соответствующее,
энергии этого экситонного состояния. Поскольку такие экситоны
неактивны в поглощении света, наблюдаются только такие
резонансы, при которых один из участвующих фотонов (к при-
примеру, падающий) вызывает квадрупольный переход. В этом
случае в комбинационном рассеянии света участвуют нечетные
(обычно запрещенные) фопоны [1.61]. Для кристалла Си2О
также сообщалось об интересных процессах рассеяния с уча-
участием двух фононов с последовательно повторяющимся элек-
электрон-одно фононньдо взаимодействием [1.63]. Ю и Шен [1-64]
также наблюдали в СийО смещение в частотах линий комбина-
комбинационного рассеяния света в многофоконных процессах, когда
длина волны лазера проходит через резонанс. Они сумели свя-
связать эти смещения с дисперсионными зависимостями фононов
вблизи к = 0.
Эксперименты по резонансному комбинационному рассеянию
света дают возможность выявить механизм рассеяния. Измерив
абсолютное сечение рассеяния, можно определить константы
Электр он-фоионных взаимодействий. Такие измерения проводи-
лйИ. редко; они особенно сложны в экспериментах по рассея-
рассеянию света назад, так как поперечное сечение рассеяния может
сильно изменяться вследствие влияния поверхностных дефектов.
Ё твердых телах (например, в GaAs) [1.65] «абсолютные» из-
Ыерения выполнены при использовании излучения в области
прозрачности кристалла путем сравнения интенсивности рассея-
НйЯ исследуемой линии с интенсивностью рассеяния стандартным
веществом (например, бензолом [1.66]). Вследствие сложности
измерений абсолютных интенсивностей исследования резо-
резонансного рассеяния большей частью используются для опре-
определения отношения констант электроц-однофононного взаимо-
взаимодействия (деформационных потенциалов), в частности когда
две константы взаимодействия определяют один резонанс, а
также для определения отношения электроп-двухфононных кон-
констант к электрон-однофононцыч. До сих пор обычно исследо-
исследовался один энергетический зазор (или расщепленный спин-орби-
тальнь1М взаимодействием мультиплет, принадлежащий этому
зазору) для данного материала. По мере расширения спектраль-
. Вого диапазона доступных для исследователей перестриваемых
лазеров и параметрических генераторов стало возможным и
Исследование резонансов вблизи нескольких энергетических
Зазоров в одном материале, и определение отношения кон-
стант их электрон-фотонного взаимодействия. Отметим, что в
20
Глава I
полупроводниках со структурой цинковой обманки изучены резо-
напсы только вблизи Ео и Е\. Однако имеется еще большой ряд
сравнительно хорошо различающихся энергетических зазоров
Е'а, Е[, Е2...) [1.67], при которых должны обнаруживаться
резонансы в комбинационном рассеянии света, и они будут
изучены тогда, когда будут созданы соответствующие источники
возбуждения. Относительные измерения поперечного сечения
рассеяния различных материалов по отношению друг к другу
также дадут относительные величины констант взаимодействия
и таким образом внесут вклад в понимание систематики элек-
трон-фононного взаимодействия.
Недавно был предложен .метод определения абсолютной ве-
величины тензора комбинационного рассеяния света путем изме-
измерения двухфотонного поглощения излучения двух лазерных пуч-
пучков с частотами, различающимися на величину, равную ча-
частоте фонона [1.68]. Кроме того, Гримздич и Рамдас [1.69]
измерили отношение поперечного сечения рассеяния Мандель-
Мандельштама— Бриллюэна к поперечному сечению комбинационного
рассеяния света в алмазе. Поперечное сечение рассеяния Ман-
Мандельштама — Бриллюэна можно определять через хорошо из-
известные пьезооптические постоянные. Поэтому из таких измере-
измерений можно найти абсолютную величину тензора комбинацион-
комбинационного рассеяния, но не его знак. Знак тензора комбинационного
рассеяния для данного процесса рассеяния можно определить
в том случае, когда этот процесс интерферирует с другим про-
процессом рассеяния с известным знаком тензора. Таким способом
был определен знак тензора однофононного комбинационного
рассеяния в кремнии [1.70]. При этом наблюдалась интерфе-
интерференция этого рассеяния с электронным рассеянием внутри ва-
валентной зоны, для которого знак тензора комбинационного рас-
рассеяния легко получить.
1.4. Теория рассеяния света фононами
Прошло много времени после появления оригинальной тео-
теоретической работы Бриллюэна [1.1]. Теперь ясно, что квантово-
механическую проблему расчета поперечного сечения, исходя из
основных принципов, можно разрешить лишь в отдельных слу-
случаях. В особенности это относится к твердым телам. Поэтому
для объяснения экспериментальных результатов широко ис-
использовались феноменологические и полуфеноменологические
теории. Основой всех этих теорий является теоретико-групповой
анализ симметрии возбуждений, участвующих в процессе рас-
рассеяния, с целью уменьшения числа независимых параметров в
феноменологической теории и для определения связи между
Введения . 21
I поляризациями и волновыми векторами падающего и рассеян-
рассеянного излучений.
^ В основе феноменологической теории лежит понятие тензора
^комбинационного рассеяния света, обычно тензора второго ранга
в 4в гл. 2 этот тензор комбинационного рассеяния второго ранга
Д"называется поляризуемостью перехода), который связывает
^напряженности электрических полей падающих и рассеянных
•^"излучений для данного канала возбуждения (т. е. функцию
"^передачи для процесса рассеяния). Однако иногда тензор ком-
ь йинационного рассеяния определяют как тензор четвертого
ранга, который, будучи дважды свернут с единичным вектором
доля падающего излучения и дважды свернут с единичным
j г»ктором рассеянного поля, дает вероятность рассеяния для
„ jytax поляризаций [1.71]. Этот тензор четвертого ранга простым
^ образом связан с произведениями компонент тензора комбина-
" щюнного рассеяния второго ранга. До сих пор в наших утверж-
\ дениях предполагалось, что рассеяние является функцией на-
направления полей падающего и рассеянного излучений, но т
'Направления распространения излучения. Это действительно
вораведливо для многих случаев комбинационного рассеяния
света, но не всегда: подобно тензору диэлектрической проницае-
проницаемости, тензор комбинационного рассеяния света может зависеть
1 от волнового вектора падающего и рассеянного излучений («про^
«ранственная дисперсия»). Отсутствие «пространственной дис-
, "ферсии» при обычном комбинационном рассеянии света в твер-
твердых телах обусловлено тем фактом, что длина волны света
велика по сравнению с характеристической длиной волны рас-
рассматриваемых микроскопических процессов (обычно величиной
Порядка постоянной решетки). Иначе обстоит дело при рассея-
* ВИИ Мандельштама — Бриллюэна, так как энергия возбуждения
очень сильно зависит от угла между волновыми векторами па-
^дающего и рассеянного излучений вследствие линейной диспер-
э сионноЙ зависимости акустических фононов вблизи к = 0. Тен-
sop рассеяния Мандельштама— Бриллюэна стремится к нулю
при к = 0, и можно сказать, что наблюдаемый эффект является
Следствием пространственной дисперсии «тензора рассеяния
Мандельштама — Бриллюэна».
Тензор комбинационного рассеяния света второго порядка
., Обычно 'разлагается на неприводимые симметричные компоненты,
* которые поэтому соответствуют возбуждениям с симметрией,
рошо определенной теорией групп. Таблицы этих неприводи-
твнзоров и число их независимых элементов даны в работах
ца авторов [1.72, 1.73]. Интересно отметить, что тензор ком-
национного рассеяния света фононами вдали от любых резо-
всов симметричен. Однако вблизи резонанса могут появиться
22
Введение
23
Глава 1
антисимметричные компоненты. Они приведены в работе [1.72],
но до сих пор ве наблюдались экспериментально при изучении
рассеяния света фононами. Тем не менее антисимметричный тен-
тензор комбинационного рассеяния играет важную роль при рас-
рассеянии магнитными возбуждениями (магнонами) [1.74].
Очень важную историческую роль в теории комбинационного
рассеяния света сыграло понятие поляризуемости [1.75, 1.76].
Поляризуемость является квантовомеханическим аналогом тен-
тензора комбинационного рассеяния второго ранга и описывает из-
изменение электронной поляризуемости, вызванное возбуждением
кристалла. Тензор поляризуемости можно разложить в ряд по
степеням нормальных координат так, чтобы получить тензоры
комбинационного рассеяния света первого, второго, третьего и
т. д. порядков. Такое разложение приводит к ряду феноменоло-
феноменологических трактовок, которые в прошлом были крайне плодо-
плодотворными. Одной из них является так называемая «теория по-
поляризуемости связи» Волькенштейна [1.77].
Волькенштейн предположил, что каждая связь имеет поля-
поляризуемость, которую можно разложить в ряд по степеням ее
длины. Полная поляризуемость кристалла или молекулы опре-
определяется как сумма поляризуемостей всех связей. Недавно эта
теория использовалась для интерпретации спектров комбина-
комбинационного рассеяния света первого и второго порядков и упругих
постоянных полупроводников четвертой группы [1.78, 1.79].
Концепция поляризуемости связи оказалась чрезвычайно по-
полезной и для теоретического анализа спектров аморфных полу-
полупроводников (гл. 5).
Разложение поляризуемости в ряд по нормальным коорди-
координатам колебаний дает возможность получить тензор комбина-
комбинационного рассеяния путем использования утонченных методов,
развитых в последние годы для расчета зонных структур и ди-
диэлектрической проницаемости тиердых тел. Фононы с центра
зоны Бриллюэна вызывают деформацию решетки, сохраняющую
трансляционную симметрию. Поэтому можно вычислить диэлек-
диэлектрическую проницаемость как функцию координат нормальных
колебаний и. Если диэлектрическую проницаемость теперь раз-
разложить в ряд now, то можно найти, что
E{U, (*) = *((*) + ~^-U +± ^-U* + .... A.1)
Производные первого и второго порядков в выражении A.1)
определяют соответственно тензоры комбинационного рассеяния
света первого и второго порядков и могут быть просто получены
путем вычисления диэлектрической постоянной с учетом зонной
структуры кристалла [1.80, 1.81].
1.4.1. Рассеяние света с участием одного фонона
Для электрического поля падающей волны £Lexp(—i<aLt) и
. фонона и = ноехр{=Ь'Ш) выражение A.1) дает индуцированный
дипольный момент (в первом порядке по uo):
P(«i±Q) = -3|--uofibexp(-/(QL±QH. A.2)
Знаки плюс и минус перед Q относятся соответственно к сток-
сову и антистоксову излучениям. В соответствии с этим интен-
интенсивность рассеянного излучения в дипольном приближении про-
пропорциональна
Выражение A.3) наиболее простым образом описывает явление
резонансного комбинационного рассеяния света: в той области,
где в имеет ярко выраженную особенность, ds/da и, следова-
следовательно интенсивность рассеянного света / также имеет ярко
выраженную особенность. Это выражение содержит усреднен-
усредненную по температуре величину смещения атома из положения
равновесия (или координату нормального колебания) (ufs. Та-
Такое усреднение дает сумму интенсивностей рассеянного саета
дай! стоксовой и антистоксовой компонент, поскольку предпола-
предполагается, что частоты фононов имеют пренебрежимо малые ве-
величины. Стоксовы и антистоксовы компоненты могут быть раз-
разделены, если использовать следующее соотношение:
П ~
+ Ч~т- 4MNQ
= стоксова компонента -\- антистоксова компонента, A.4)
где М — приведенная масса атомов, ЛГ—число элементарных
ячеек и п — статистический фактор Бозе—Эйнштейна.
Основы квантовомеханической теории комбинационного рас-
рассеяния света и рассеяния Мандельштама—Бриллюэна в твер-
твердом теле были даны Борном и Хуанг Кунем [1.76] и в работах
Лоудона [1,73, 1.82, 1.83]. Рассеяние Мандельштама — Брил-
Бриллюэна, можно феноменологически описать с помощью упруго-
оптических постоянных [1.76, 1.84], так как модуляция диэлек-
диэлектрической проницаемости, необходимая для процесса рассеяния,
вызывается макроскопическими деформациями, связанными с
длинноволновыми акустическими фононами. Из сравнения сече-
сечения рассеяния, полученного из феноменологической теории
[1.76], с выражением для сечения рассеяния, полученным
24
Глава 1
Введение
квантовомеханическим путем, можно получить микроскопиче*
ские выражения для упругооптических постоянных [1.82].
В гомополярных кубических полупроводниках {например, в
Ge) интенсивность рассеянного света для процесса первого по-
порядка для вырожденных LO- и ГО-фононо'в определяется един-
единственным параметром, так как при к = 0 они принадлежат
одному неприводимому представлению (IV). В полярных полу-
полупроводниках {например, в GaAs) колебания /,0-фононов сопро-
сопровождаются продольным электрическим полем, которое вызывает
модуляцию диэлектрической проницаемости через электроопти-
электрооптический эффект первого порядка [1.83]. Следовательно, интен-
интенсивности рассеяния света LO- и ГО-фононами для конечных к
различны; они определяются двумя независимыми парамет-
параметрами: тензором комбинационного рассеяния света, определяе-
определяемым деформационным потенциалом, и тензором, связанным с
электрооптическим эффектом. Этот факт был установлен в ра-
работе Гречко и Овандера [1-85], а также в работе Лоудона
[1.83], хотя функциональные зависимости электрооптических
вкладов в тензор комбинационного рассеяния света вблизи ре-
резонанса, полученные в работах [1.83, 1.85], находятся в проти-
противоречии друг е другом.
Последние успехи в развитии феноменологической теории
дают возможность рассчитать тензоры рассеяния, относящиеся
к различным возбуждениям, таким, как фононЫ, фотоны, плаз-
моны и др. [1.86, 1.87]. В этом методе каждое рассеивающее
свет возбуждение описывается как флуктуация некоторых пе-
переменных величин (например, нормальных координат колеба-
колебания, электрического поля, плотности электрического заряда
и др.). Эти флуктуации связаны друг с другом и с поляриза-
поляризацией, которая описывает рассеяние. Такую связь можно описать
с помощью матриц. Зависящая от температуры амплитуда флук-
флуктуации вычисляется с помощью флуктуационно-диссипационной
теоремы. Этот метод, в частности, удобен для расчета интенсив-
ностей рассеяния света поляритонами в конфигурации рассеяния
вперед. Поляритон представляет собой смесь упругого колеба-
колебания, обусловленного смещением атомов из положения равно-
равновесия, и электромагнитной волны и наблюдается для малых зна-
значений к {рассеяние,вперед) в полярных материалах [1.23]. Бо-
Более подробное обсуждение этого метода приведено в гл. 2.
Мы видим, что рассеяние света фононами в твердых телах
обусловлено взаимодействием двух довольно сложных систем:
системы электронов в энергетических зонах, включающей такие
многочастичные возбуждения, как, например, экситоны, и си-
системы фононов с их дисперсионными зависимостями и ангармо-
ангармоническими взаимодействиями. Ангармонические взаимодействия,
которые обычно описываются феноменологически посредством
ведения членов третьего и четвертого порядков по нормальным
^ординатам, определяют конечное значение ширины линий фо-
аонных состояний. Электронные состояния также обладают ко-
конечной шириной линии, частично определяющейся электрон-фо-
1онным взаимодействием. Ширины линий резонансных электрон-
электронных состояний особенно важны при последовательно повторяю-
повторяющемся резонансном комбинационном рассеянии второго порядка,
|как это обсуждается в гл. 3. Они также определяют время за-
|паздывапия между падающим и рассеянным фотонами при
!резонансе (см. также гл. 3); вдали от резонанса это время за-
запаздывания незначительно. В области узких и сильных линий
цоглощения, т. е. в области поглощения экситонами, электрон-
электронные возбуждения очень сильно взаимодействуют с фотонами,
I*образуя квазичастицы, называемые поляритонами, и тогда в
"■качестве промежуточных состояний для процессов рассеяния
t вместо «голых» электронных или экситонных возбуждений необ-
необходимо брать такие поляритонные состояния. Аналогично если
^рассматривать процесс рассеяния первого порядка фононами,
if активными в поглощении инфракрасного излучения {в нецентро-
I1 симметричных кристаллах), то такие фононы сильно взаимодей-
|: ствуют с инфракрасными фотонами, образуя поляритоны. Такие
~ «одетые» фононы особенно важны при конфигурации рассея-
дия вперед [1.23].
в Очевидно, что при расчете тензора комбинационного рассея-
L ния невозможно учесть всю сложность обеих систем — электрон-
j|; ной и фононной. Расчеты, учитывающие сложные свойства фо-
нонной системы, такие, как энгармонизм, обычно выполняются
s» в рамках феноменологической теории поляризуемости, В кото-
|- рой пренебрегается резонансными эффектами. В теории, разви-
.той Каули [1.88, 1.89], тензор комбинационного рассеяния чет-
четвертого ранга /agve выражаетсая через фурье-образ корреля-
корреляционной функции операторов поляризуемости Ра$, взятых в
представлении Гейзенберга:
Эту корреляционную функцию можно получить из соответствую-
соответствующей упорядоченной по времени термодинамической функции
Грина, которая в свою очередь вычисляется с помощью диаграм-
диаграммной техники, позволяющей включить в рассмотрение ангармо-
низм колебаний. Этим методом с использованием оболочечной
модели решетки были выполнены расчеты спектра второго по-
порядка для щелочно-галоидных кристаллов [1,89]. В данной
книге основное внимание уделяется электронным резонансным
эффектам, и этот мощный метод в дальнейшем не обсуждается,
Глава I
Введение
Мы упоминали о той важной роли, которую играет теория
групп в определении разрешенных форм тензора комбинацион-
комбинационного рассеяния, т. е. его неприводимых компонент. В рассеянии
первого порядка активны только те возбуждения, которые
имеют ту же симметрию, что и неприводимые компоненты тен-
тензора комбинационного рассеяния второго ранга. Для процессов
более высокого порядка, в которых участвуют несколько воз-
возбуждений, произведение неприводимых представлений простран-
пространственных rpynii, соответствующих различным возбуждениям,
должно содержать неприводимые представления тензора ком-
комбинационного рассеяния света. Это значительно увеличивает
число разрешенных процессов, так как произведение двух пред-
представлений пространственных rpynii с волновыми векторами к[
и кг (с kj + к2 ss 0, но к, Ф 0) обычно содержит большинство
представлений с нулевым волновым вектором. Таблицы произ-
произведений представлений пространственных групп приведены в
работе Бирмана [1.13]. Для ссылок на оригинальную литера-
литературу читателю следует обратиться к этой фундаментальной
работе.
Теория групп полезна также при интерпретации запрещенных
эффектов, обусловленных различными факторами, такими, как
конечная величина волнового вектора фотонов к (собственный
эффект), дефекты или внешние воздействия (деформации, элек-
электрические поля). Если эти факторы можно представить тензо-
тензором ранга г (например, г'= 1 для электрического поля, г = 2
для деформации), то можно определить «запрещенный» тензор
комбинационного рассеяния ранга 2 + г для запрещенного эф-
эффекта первого порядка и ранга 2 + пг для запрещенного эф-
эффекта гс-го порядка. Возможно также рассеяние, индуцирован-
индуцированное одновременным действием двух возмущений (например, де-
деформации и электрического поля). Свойства симметрии таких
«запрещенных» тензоров комбинационного рассеяния и их при-
приведение к неприводимым представлениям также с исчерпываю-
исчерпывающей полнотой даны в [1.13].
Мы упоминали о том, что в полярных материалах выражение
для поперечного сечения рассеяния LO-фононами, кроме члена
с деформационным потенциалом, определяющим рассеяние
ГО-фояонами, содержит член, обусловленный фрёлиховским
взаимодействием через линейный электрооптический эффект.
Линейный электрооптический эффект можно описать как между-
междузонное воздействие возмущающего электрического поля (т. е,
связанного с /.О-фоноцами). Внутризонные воздействия элек-
электрического поля на возбуждаемые электронно-дырочные пары
также важны для определения вероятности рассеяния /,0-фоно-
нами вблизи резонанса. Однако в случае фрёлиховского взаи-
взаимодействия они дают вклад только в запрещенное рассеяние
|в виде члена, пропорционального волновому вектору рассеиваю-
Ео фонона в тензоре комбинационного рассеяния. Разрешен-
Р-дые внутризонные члены обращаются в нуль, поскольку воз-
|действие электрического поля на виртуально возбужденный
^электрон в точности компенсируется соответствующим эффек-
1том на дырке. Этот член, дающий вклад в запрещенное рас-
рассеяние, подробно рассматривается в работах Мартина [1.57,
£1.90]. Такой вклад оказывается наибольшим для параллельных
^поляризаций падающего и рассеянного фотонов. В тех случаях,
1;когда кристалл ориентирован таким образом, что в параллель-
поляризациях разрешенное рассеяние LO-фононамн также
(.возможно, запрещенные члены могут доминировать при усло-
£виях сильного резонанса [ 1.58]. Это запрещенное рассеяние
имеет особенно большую интенсивность для резонансов вблизи
Ярко выраженных экситоцов; электрические поля ионизуют эк-
ситоны и, таким образом, вызывают сильную модуляцию ди-
диэлектрической проницаемости [1.90]. На самом деле, запрещен-
запрещенное рассеяние /,0-фононами может также вызываться поверх-
"':' ностпыми электрическими полями [1.91, 1.92]. Часто трудно
отделить чисто фрёлиховский эффект от эффекта поверхностных
.-полей, хотя влияние поверхрюстных полей надежно установлено
в работах [1.54, 1.92]. Зависимость фрёлиховского взаимодей-
взаимодействия от волнового вектора к фонона, участвующего в рассея-
нщ, можно также использовать для разделения обоих вкла-
вкладов; до сих пор это не сделано, так как вес резонансные
эксперименты были выполнены в конфигурации рассеяния
Назад.
Теория резонансного комбинационного рассеяния первого по-
порядка для произвольных электронных возбуждений, которые
могут содержать сильно связанные электронно-дырочные пары
(экситоны), сформулирована в работе Гангули и Бирмана
[1.93]. Они рассмотрели «одетые» электрор!ные возбуждения,
используя канонические преобразования, и, таким образом, учи-
учитывали поляритонные эффекты в выражениях для резонансных
энергий. Подробные расчеты поляритонного рассеяния были
выполнены в работе Бендоу и Бирмана [1.94]. Довольно тонкий
вопрос о граничных услояиях для поляри-гонов и их влиянии на
рассеяние света обсуждался в работе Цайера и др. [1.95]. Влия-
Влиянию пространственной дисперсии на экситонные поляритоны
посвящена работа Бренига и сотр. [1.96].
1.4.2. Рассеяние света с участием двух фононов
Микроскопическая теория комбинационного рассеяния света
с участием двух фононов представляет еще большую сложность.
L Вдали от резонанса для энергий фотонов, значительно меньших,
28
Глава 7
Введение
чем нижний край поглощения, использовались феноменологиче-
феноменологические теории. В этих теориях в самой общей форме [1.76]
вклад каждого атома в поляризуемость разлагается в ряд по
степеням смещения атома из положения равновесия с точно*
стью до членов второго порядка и затем рассчитывается тензор
комбинационного рассеяния с учетом смещений из положения
равновесия для двух фононов с равными и противоположно на-
направленными волновыми векторами к, описываемыми некоторой
динамической моделью решетки. Число параметров, содержа-
содержащихся в таком выражении для поляризуемости атома, слишком
велико, даже после уменьшения их с помощью теории групп.
Часто это число уменьшается посредством более или менее
оправданных приемов, таких, например, как сохранение мате-
математически более простых членов. Расчеты подобного типа мож-
можно найти в работе [1.26]. Обобщение модели поляризуемости
связи было использовано в работе Каули [1.97] для расчета
спектра комбинационного рассеяния второго порядка для
кремния. Каули высказал предположение о продольной поля-
поляризуемости связи, которая с точностью до второго порядка яв-
является функцией только изменения длины связи. Полученные
результаты не достаточно хорошо описывают эксперименталь*
ный спектр [1.28].
Недавно удалось обойти эту трудность для случая кристалл
лов германия, кремния и алмаза [1.79] путем введения попереч-
поперечной поляризуемости - связи, которая с точностью до второго
порядка также является функцией изменения длины связи, вы-
вызываемой фононом. Частично эти параметры получены из тен-
тензора комбинационного рассеяния первого порядка и из упруго-
оптических постоянных. Подобная модель с более сложным
математическим выражением для поляризуемости оказалась
также удачной для объяснения спектров комбинационного рас-
рассеяния первого порядка аморфных полупроводников с тетраэд-
рической координацией атомов в кристаллической решетке, что
обсуждается в гл. 5 [1.-98]. Эти спектры обусловлены поляризуе-
поляризуемостью второго порядка^ с одной стороны, смещения атомов яв-
являются результатом неупорядоченности, с другой стороны, они
вызваны рассеивающими свет фононами. Как упоминалось в
разд. 1.2, спектры полупроводников с тетраэдрической коорди-
координацией атомов в решетке при разложении их на неприводимые
компоненты разделяются на обертонные и составные, которые
отражают соответствующие плотности состояний. Вероятности
рассеяния являются плавно изменяющимися функциями энер-
энергии фотона, Плотрюсти обертонных состояний, суммарных и
разностных составных состояний большинства полупроводников
с тетраэдрической координацией атомов в решетке вычислены
НО -а
Г
V
Фиг 12. Типичные процессы рассеяния света фоноиами, характеризующие
S комбинационное рассеяние первого (а) и второго (б — г) порядков.
■Г
\Кюнком и др. [1.99]. Они очень полезны для объяснения двух-
фононных спектров.
Формальная микроскопическая теория рассеяния второго по-
порядка также рассмотрена в работе Гангули и Бирмана [1.93].
На фиг. 1.2 представлены диаграммы для процессов одно- и
двухфононного стоксова рассеяния, для которых в качестве
* промежуточных состояний принимаются состояния связанных
" яектронно-дырочных пар. Такими диаграммами обычно описы-
отся главные вклады в условиях резонанса. Другие диаграм-
,можно получить путем перестановки вершин взаимодействия
8 1.93] и путем размещения на этих диаграммах вершин
> . и двухфононного взаимодействий со стороны дырок
(<РЧ|Г. 2,2,6). Диаграммы па фиг. 1.2,г представляют процессы
более высокого порядка F вершин взаимодействия), и ими во-
вообще можно пренебречь. Диаграмма 1.2, в имеет такую же струк-
структуру, как и диаграмма 1.2, а, лишь с заменой, вершины электрон-
однофононного взаимодействия вершиной электрон-двухфонон-
ного взаимодействия. На фиг. 1.2,6 злектрон-однофононное
80
Глава 1
взаимодействие последовательно повторяется дважды. Пред-
Представленные на фиг. 1.2 резонансные процессы типа а и в с
промежуточными состояниями i\ и fe, принадлежащими од-
одной и той же зоне, называются двухзонными процессами
(фиг. 2,4,6). Если h и <2 принадлежат различным зонам, то го*
ворят о трехзонных процессах {фиг, 2,5), Резонансные про*
цессы последовательно повторяющегося двухфононного типа
(фиг. 1.2,6) могут быть двух-, трех- и четырехзоиными про-
процессами, Чтобы получить соответствующие электрон-однофонон-
ные или электрон-двухфоцонные деформационные потенциалы,
важно различать, является ли данный двухфононный процесс
процессом типа б или процессом типа в. Процессы обоих типов
можно найти даже для одного и того же материала. Проводить
такое различие можно в общих чертах, исследуя, подобен ли
двухфононный резонанс однофононному или он значительно
сильнее, Для полупроводников с тетраэдрической координацией
атомов в кристаллической решетке двухфононные процессы
имеют резонанс, подобный однофононным процессам [1.58,
1.60], за исключением некоторых отчетливых резонансных осо-
особенностей при энергии двух или более фононов, каждый из ко>
торых имеет волновой вектор к«0. Эти особенности обуслов*
лены по крайней мере одним /,0-фононом и связаны с фрёли-
ховским взаимодействием в полярных материалах [1.58, 1.99,
1.100]. Они очень сильны вблизи резонанса, В неполярных
материалах они обусловлены деформационными потенциалами
двух последовательно повторяющихся электрон-однофононных
вершин [ 1,60]; они слабее, чем особенности, обусловленные
фрёлиховским взаимодействием. Эти особенности соответствуют
процессам типа изображенного на фиг, 1.2,6 с тремя проме-
промежуточными состояниями (i, is и fe, участвующими в резонансе
одновременно, Для частот рассеиваемых фотонов, соответ-
соответствующих континууму электронных возбуждений, обычно мож-
можно найти фоноц, для которого эти процессы сильно возрастают.
Вследствие этого ожидается сильное изменение формы спектра
двухфононного комбинационного рассеяния для процессов типа
представленного на фиг. 1,2,6, когда частота рассеянного света
проходит положение резонанса, если только не рассматривать
фононы в модели Эйнштейна (т. е, без дисперсии). Поскольку
оптические ветви при к«0 имеют малый наклон, модель Эйн-
Эйнштейна обычно является хорошим приближением; поперечное
сечение рассеяния для частоты света, соответствующей конти-
континууму, вблизи резонанса становится бесконечным, если не при-
принимать во внимание конечную ширину (ушнрение, обусловлен-
обусловленное временем жизни) промежуточных состояний. В этом случае
можно показать, что поперечное сечение пропорционально вре-
времени жизни тэ промежуточного состояния (з.
Ёведение
Интересно также обсудить случай, когда промежуточное
достояние fa находится вдали от резонанса, Типичный двухзон-
йыЙ процесс, изображенный на фиг, 1.2, в имеет вершину, ко-
торой соответствует матричный элемент вида [1,59]
{(ilVVl/,), A.6)
где V—потенциал внутрикристаллического поля, Эквивалент-
Эквивалентный (h sa j2) процесс, представленный на фиг, 1,2,6 с нерезо-
нерезонансным промежуточным состоянием k, можно изобразить та-
кой же диаграммой, что и на фиг. 1,2,5, лишь с заменой A,6)
приближенным выражением
где Ег — энергия промежуточного состояния, Сумма выражений
A.6) и A,7) является квадратичным членом разложения в сте-
. пенной ряд изменения энергии £\ как функции смещения атома.
Для изолированного атома эта сумма обращается в нуль вслед-
вследствие трансляционной инвариантности. Однако выражение
A.6) может достигать очень большого значения (— 10^ эВ для
Смещений порядка постоянной решетки) [1.58, 1,59, 1.101], ко-
■ торое должно точно компенсироваться выражением A7). Такая
точная взаимная компенсация нарушается в твердых телах
вследствие связывания, и эта сумма уменьшается до величины
Порядка 103 эВ. Эти довольно большие значения «эффективных»
констант электрон-фононного взаимодействия можно понять,
йсли попытаться представить «одетую» вершину электрон-двух-
фононного взаимодействия так, как это показано на фиг. 1,3.
Таким образом, процессы, представленные на фиг, 1,2, в и на
фиг, 1,2,6 с промежуточным состоянием 1з, вдали от резонанса
неразличимы и должны быть объединены, как это показано на
фиг. 1.3,
Тщательные квантовомеханические расчеты матричного эле-
элемента A.6) с использованием метода ортогонализованиых
плоских волн (ОПВ) для s-состоянийзоны проводимости полупро-
полупроводников с тетраэдрической координацией атомов в кристалли-
кристаллической решетке [1,102] дают величины порядка 106 эВ анало-
аналогично величинам, найденным для соответствующих свободных
атомов [1,58]. Однако расчеты методом псевдопотенциала дают
совершенно неправильные значения, порядка 10 эВ [1,58].
Непригодность теории псевдофункции — псевдопотенциала для
Расчета матричных элементов V2 обсуждалась в работе Лин-
Чуйа [1.103], Например, для s-состояний эта несостоятельность
теории обусловлена сильной расходимостью величины V2K
в'&лизи атомного остова, который дает основной вклад в A.6)
и, следовательно, не может быть хорошо представлена теорией
псевдопотенциала. Тем не менее теория псевдопотенциала
32
Глава 1
Введение
S3
Фиг. 1.3. Перенормировка вершины электрон-двухфоионного взаимодействия
для включения нерезонансных повторяющихся Электр он -од нофононных про-
процессов.
Слагаемые соответствуют выражениям A.6) и (!.7).
адекватно описывает энергии состояний в зоне проводимости
и в валентной зоне, а также влияние возмущений на эти со-
состояния. Следовательно,- можно предположить, что расчет ме-
методом псевдопотенциала должен в точности дать сумму A.6) и
A.7), т. е. перенормированную константу электрон-двухфонон-
ного взаимодействия. Недавно это предположение было под-
подтверждено машинным расчетом [1.104].
Следует'также отметить, что Свенсон и Марадудин [1.80]
при вычислении Гзя'-компонецты тензора комбинационного рас-
рассеяния первого порядка для кремния рассчитали тензор диэлек-
диэлектрической проницаемости е для нескольких значений амплитуды
колебания и [см. A.2)]. Эти расчеты показали необычно силь-
сильную нелинейность компонент тензора диэлектрической прони-
проницаемости в как функции и—факт, напоминающий о больших
значениях констант электрон-двухфононного взаимодействия.
Подгонка расчетов Свенсона и Марадудина с помощью квадра-
квадратичного многочлена по и дает отношение констант электрон-
двухфононного взаимодействия к константам электрон-однофо-
нонного взаимодействия, находящееся в приемлемом согласии
с экспериментом [1.105].
Несмотря на достигнутые в последнее время успехи и воз-
возросший интерес к двухфононным спектрам твердых тел, мы
решили не включать в данную книгу главу, посвященную ис-
исключительно этой теме. Прежде всего этому препятствует объем
книги. Кроме того, достижения как в теории, так и в измерении
двухфононных спектров настолько велики, что написать в дан-
данный момент исчерпывающую обзорную статью почти невоз-
невозможно.
_Как уже упоминалось в п. 1.4.1, рассеяние, обусловленное
ввутризонным фрёлиховским взаимодействием, вблизи резо-
резонанса очень велико. Будучи «запрещенным* для одного /,0-фо-
нона, оно может быть даже сильнее, чем соответствующие раз-
разрешенные однофогюнные процессы в полярных материалах. Ра-
Ранее Б этом разделе мы упоминали о том, что разрешенное рас-
рассеяние с участием двух LO-фононов, обусловленное фрёлихов-
ским взаимодействием, может также быть весьма сильным
'[1.100]. Часто очень близко к резонансу наблюдаются много-
фояодные процессы, вероятно, обусловленные внутризонным
фрёлиховским взаимодействием. Рассеяние с участием 9/.0-фо-
донов наблюдалось в CdS [1.106]. Теория этих процессов, обу-
айовленных внутризонным фрёлиховским взаимодействием, дана
недавно в работе Цайера [1.107].
1.4.3. Горячая люминесценция
Частотный диапазон, в котором выполнено большинство эк-
экспериментов по резонансному комбинационному рассеянию, про-
простирается обычно по обе стороны от значения резонансной
энергии. Поскольку падающие фотоны поглощаются, в этом
диапазоне имеют место реальные (не виртуальные) электронные
Й(Ц>еходы. Эти переходы могут сопровождаться поглощением
i$B излучением фоионов. Часто возникает вопрос, действительно
л'э наблюдаемое рассеяние обусловлено резонансным комбнна-
7 ййоняйм рассеянием света (РКРС) или так называемой горячей
-люминесценцией (ГЛ) реально возбужденных носителей, сопро-
сопровождающейся испусканием или поглощением одного или более
. фононов. Более фундаментальным может быть вопрос, имеется
ли какое-либо различие между этими двумя процессами и мож-
можно ли дать критерий для их различия. Используя «золотое пра-
правило», Клейн [1.108] пришел к заключению, что комбинацион-
комбинационное рассеяние и поглощение с последующей люминесценцией с
участием фононов являются действительно неразличимыми про-
процессами. Однако Шен [1.109] произвел расчет, основанный на
формализме матрицы плотности [1.100]. Этот расчет приводит
к более тонкой трактовке релаксации или энергетического уши-
рения (обусловленного действием случайных полей, т. е. произ-
произвольных процессов рассеяния), В выражении для вероятности
рассеяния появляются два члена. Один из них пропорционален
числу электронов в возбужденном состоянии п, рЧл@), тогда как
Другой член пропорционален недиэгональному элементу мат-
матрицы плотности рц между основным и конечным состояниями.
Этот Факт дает естественное формальное различие между ГЛ
и РКРС Члены, пропорциональные концентрации электронов
в. возбужденном состоянии, определяют ГЛ. Члены, пропорцио-
2 Зга Ц75
34 '
Глава I
Введение
нальные fa, которые представляют прямые процессы независимо
от числа возбужденных электронов, определяют РКРС. Это
формальное различие не всегда ведет к определенному экспе-
экспериментально различию между ГЛ и РКРС, особенно в стацио-
стационарном состоянии. Однако при резком прерывании падающего
луча РКРС дает всегда мгновенный отклик, тогда как отклик,
обусловленный ГЛ, является экспоненциальным, отражая на-
накопление или исчезновение электронов в промежуточном со-
состоянии. Спектральная ширина ГЛ содержит ширины началь-
начального и конечного состояний. Следовательно, в нормальном слу-
случае широкий фон обусловлен ГЛ, а наложенные пики обуслов-
обусловлены РКРС. Фон люминесценции, особенно вблизи резонанса,
часто является препятствием для исследования комбинацион-
комбинационного рассеяния. Эту проблему можно устранить, если использо-
использовать метод когерентного антистоксова комбинационного рассея-
рассеяния (КАСКР). В этом методе смешиваются три сильных
пучка, два из которых идут от импульсного лазера (с частотой
шс), а третий (с частотой <os) является стоксовым лучом, полу-
полученным в процессе комбинационного рассеяния от второго ла-
лазера (гл. 7). Результирующий пучок имеет антистоксову частоту
О,- ,, ,, ft /I Q\
я ^= itO/ —— Шс ^^ UJ/ —' Ьс, I 1,О/
где Q есть' частота элементарного возбуждения, генерируемого
в стоксовом процессе. Поскольку все пучки когерентны и вслед-
вследствие закона сохранения волнового вектора излучение наблю-
наблюдается только вдоль определенных направлений, поэтому его
легко отличить от почти изотропной ГЛ. В некоторых случаях
время задержки, характеризующее ГЛ, может также помочь
разделить эти процессы при использовании коротких лазерных
импульсов.
Литература')
1.1. Briltouin L-, Ann. Phys. (Paris). 17, 88 A922).
1.2. Smekal A., Naturwiss., Л, 87З A923).
1.3. Ramon C. V., Ind. J- Phys., 2, 387 (!928).
1.4. Landsberg G., Mandelstam L,, Nahirwiss., 16, 57 A928).
1.5. Porto S. P., Wood D. L, J. Opt. Soc. Am.. 52, 251 A962).
1.6. Light Scaftering Spectra o! Solids, ed. Wright G. В., Springer, New
York, 1969.
1.7. Light Scatlering in Solids ed. by Balkanski M., Flammarion Sciences.
Paris 1971.
1.8*. Light Scattering in Solids, eds. Balkanski M.. Leite R. С. С, Por-
Porto S. P. S., Flammarion Sciences. Paris. 147b'.
15. The Raman Effecl. ed. by Anderson Д.. М. Dekker. Inc. New York, 1973.
vol., I and П. (Имеется перевод: Применение спектров комбинационного
рассеяния, ред. А. Аидерген, изд-чо «Мир», 1Я77.)
35
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором переиода.
110. Mooradtan А., в книге: Advances in Solid State Physics, Vol. 9, Per-
gamon-Vieweg. Oxford. Braunschweig, 1969, p. 74.
1II. Brarutmuller J., Naturwiss., 54, 3 A967).
1.12. рдщинскип М М._ Спектры комбинационного рассеяния молекул и кри-
Сягаллон, изд-во «Наука», 1969.
113. Blrman J. £.., в книге: Encyclopedia of Physics, Flugge S ed
Vol. XXV/2b, ed_ Genzel L.. Springer, Berlin. Heidelberg, New York,' 1974^
(Имеется перевод; Дж. Бирман, Пространственная симметрия н'опти-
ческие свойства твердых тел, изд-во «Мир», 1978.)
IJi Cardona М., в книге: Proceedings of the ]2th rntern. Conf. Physics of
Semiconductors, Sluttgart 1974. ed. Pilkhun M. H. Teubner В G Stutt-
Stuttgart, 1974, p. 135L
1|B. Raman C. V., Proc. Ind. Acad. Sci. Sec. A44 99 A956)
Ш Poulet N.. Mathieu I. P.. Ann. Phys. (Paris) 9, 543 A964)
Щ Damen T. C, Porto S. Л S., Tell В., Phys! Rev., 142 570 A966)
1,18 Tell В., Damen T, C, Porto S. P. S., Phys. Rev. 144, 771 A9R6)
t).!8 Mooradian A., Wraght G. В., Solid State Commun., 4, 431 A966)
Ш Parker J. H., Jr., Feldman D. W., Ashkin M., Phys. Rev.. 155 712 A967)
121 Russell J. P., Appl. Phys, Letters. 6, 223 A965).
1.22 Sandercock J. R., Phys. Rev. Letters, 28, 237 A972).
L23 Henry С. Л1, Hopfietd J, /., Phys. Rev. Letters, 15, 964 A965).
1.24 Rasetti F., Nature, 127, 626 A931).
\$5 Krishnan R. S._ Proc. Ind. Acad. Sci., 19, 216 A944).
J^6 Smith Я. Л1, Phil. Trans. Roy. Soc, A241, 14 A948); Born M. Brad-
burn M., Proc. Roy. Soc, A188, 161 A947).
iSI Mitra S. S., Proc. Phys. Soc. Japan, S21, 61 A966).
i.38 Temple P. A., Hathaway C. E._ Phys. Rev., B7, 3685 A973).
129 Weins'.ein B. A.. Cardona M., Phys. Rev., B7, 2545 A973).
130 Smith 1. E. Jr., Brodsky M. H.. Crowder B. L, Nathan M. J. Pinczuk A
Phys. Rev. Letters. 26, 642 A971).
Ш Hart T. R., Aggrawal R. L, Lax В., Phys. Rev. I, 638 A970).
1Л2 Lerdeira F., Cardona M.t Phys. Rev.. B5, 1440 A970).
J.33 Cerdeira F., Fjeldly T. A., Cardona M,, Phys. Rev. 9, 4344 A974)
Ш Feldman D. 47., Ashkin M., Parker J. H. Phys. Rev. Letters 17 1209
A966).
135 Cerdeira F., Buchenauer С ]., Pollak F. H. Cardona M, Phys Rev 5
580 A972). " '
1.36 Brafman 0.. Mttra S. S.. в квигег Light Scattering in Solids, ed. Bal-
Balkanski M.. Flammarion Sciences, Paris, 1971. p. 284.
137 Anastassakis £.. Filler A., Bur stein E, в книге: Light Scattering Spectra
of Solids, ed. Wright G. В., Springer. New York. 1969, p. 421.
158 Evans D. I., Ushioda S,, McMutlen 1. D, Phys. Rev. Letters 31 369
A973). ' '
1-39- Cardona M., Siirfice Sci., 37, 100 A973)
\tO Leite R. С. С. Porto S. P. S., Phys. Rev. Letters, 17 10 A966)
Ml Ralston J. M., Wadsack R. L, Chang R K. Phys. Rev. Letters 25, 814
A970).
1.42 >« P. Y,_ Cardona M., J. Phys. Chera. Sol 34, 29 A973).
1.43 Garrod D. K., Bray R., Phys. Rev.. B6, 1314 A972).
1.44. Scott J. F-. Damen T. C., Leite R. C. C, Silfvast W. T. Solid State.
Comra.. 7, 953 A969).
145 Pinczuk A.. Burstein В.. Phys. Rev. Letlers, 2!, 1073 A968).
1 46 Leite R. C, Scott J. F., Phys. Rev. Letters, 22, 130 A969).
1-47. Renucci M. A., Renucci J. В., Cardona M., в книге: Light Scattering in
Solids, ed. Balkanski M., Flammarion Sciences, Paris, 1971, p. 326.
^48 Dye Lasers, Ed. Schafer F. P. в книге: Topics in Applied Physics, Vol. 1,
Springer, Berlin, Heidelberg. New York, 1973.
зе
1,49.
1.50.
1.51.
1.52.
1.53.
1.54,
1,55.
1.56.
1.57.
1.58,
1.59.
1.60.
1.61.
1.62.
1.63.
1.64.
1.65.
1.66.
1.67.
1.68.
1.69.
1.70.
1.71.
1.72.
1.73.
1.74.
1.75.
1.76.
1.77.
1.78.
1.79.
1.80.
1.81.
1.82.
i.83.
1.84.
1.85.
1,86.
1.87.
1.88.
1.89.
1.90.
1.91.
Глава 1
Belt М, /., Tyte Й. N., Cardona-M., Solid State Commun., 13, 1833
A973).
Oka Y., KusMda Т., J. Phys. Soc. Japan, 33, 372 A972).
Damen T. C., Shah J., Phys, Rev. Letters, 27, 1506 A971).
Belt M. I. Tyte R. N.. Appl. Opt., 13, 1610 A974).
Yarborough У. M., Appl. Phys. Letter 24, 629 A974).
Schmidt H, L. McCombe B. D., Cardona M., Phys. Rev., Б11, 746 A975).
Cerdeira F-. Dreybrodt W-, Cardona M-, Solid State Commun., 10. 59]
A972).
Yu P. Y., Shen К R., Phys. Rev. Letters, 20, 468 A972).
Martin R. M., Damen T. C, Phys. Rev. Letters, 26, 68 (|971).
Weinsteln B. A., Cardona M. Phys. Rev., 8, 2795 A973).
Ngai K. L., Johnson E. J., Phys. Rev. Letters, 29, 1607 A972).
Renucci M- -4., Renucct J, B, Zeyher R. Cardona M, Phys. Rev,, B10,
4309 A974).
Compaan A.. Cummins H. Z., Phys. Rev. Letters, 31, 41 A973).
Kline J. S.. Masut Л1, Song J. J., Chang R- K., Solid Stale Commun- 14,
1163 A974).
Yu P, K, Shen Y, R., Petrofl Y., Faticov I., Phys. Rev. Letters. 30, 283
A973); Yu P. Y., Shen Y. P., Phys. Rev. Letters, 32, 373 A974).
Yu P. Y., Shen Y. p., Phys. Rev. Letters, 32, 939 A974J.
Johnson W- D. Jr. Kaminov I. P., Phys. Rev., 188, 1209 A969),
Skinner J, G,, Nielsen W. C, J. Opt, Soc. Am., 58, ПЗ A968).
Cardona M-, Modulation Spectroscopy, Academic Press, New York, 1969/
(Имеется перевод; M,- Кардона, Модуляционная спектроскопия иэд-во
«Мир*, 1972.)
Anastassakts E., Argyres Р. N.. Phys. Letters A49, 457 A974).
Orimsdltch М. И. Ramdas А. К„ Phys. Rev., ВЦ, 3139 (]975).
Cardona M-, Cerdeira Л, Fjeldly T, A., Phys. Rev., 10, 3433 A974).
Cowiey R. Л., в книге: Light Scattering in Solids, eds. Balkanski M.
Leite R. C. C, Porto S. P. S., Flammarion Sciences. Paris 1976
p. 99.
Овандер Д. Я., Опт. и спектр., 9, 571 A960).
Loudon R, Advan, phys., 13, 423 A964).
Fleury P. A., Loudon R., Phys. Rev., 166, 5]4 (I9fi8).
placzek О., в книге; Handbuch der Radloiogie, ed. E. Marx, Akademische
Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1934, vol. VI, (Имеется перевод: Г. Плачеку
Релееаское рассеяние и раман-эффект, Харьков, ГОНТИУ, 1435.) ■
Bom M., Huang Kurt, Dynamical Theory at Crystal Lattices, Clarendon
Press, Oxford, 1956. (Имеется перевод: М. Борн, Хуан Кунь, Динамиче-
Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958.)
Волькенштейн М. В., ДАН СССР, 32, ]82 A941).
Maradudin A. A. Burstein E., Phys. Rev., 164 ]08l A967),
Go S., Bttz Я., Cardona M., Phys. Rev. Letters, 34, 580 A975).
Swenson L, R., Maradudin A. A., Solid State Commun. 8 859 A970)
Cardona M., Solid Stale Commun., 9, 819 A971). ' '
Loudon /?., Proc. Roy. Soc, A27S, 218 A963).
Loudon «., J. Phys., Й6, 6/7 AУ65).
Benedek G. В., Frltsch K., Phys. Rev., 149, 647 A966).
Гречко Л. Г., Овандер Л. я., ФТТ, 4, 157 A962).
Barker A. S-, Jr., Loudon /?., Rev. Mod. Phys., 44, 18 A972).
Hon D. T. Faust W. Lu Appl. Phys., 1, 241 A973).
Cowiey R, A., Advan. Phys., 12, 421 A963).
Cowiey R. A Proc. Phys. Soc. 84, 281 M964).
Martin R. M., Phys. Rev,, B4, 3676 A9711.
Gay J. C, Dow J. D,, Burslein £., Pinczuk А., в книге: Light Scattering
in Solids, ed. Balkanski M., Flammarion Sciences, Paris, 1971, p. 33.
Введение
37
1.92. Pinczuk A., Burstein E,, Proc. ] Oth Intern. Conf. Physics of Semiconduc-
Semiconductors, Cambridge, Mass. 1970 (US Atomic Energy Comission, 1970),
p. 727.
1 93. Ganguly A. K, Birman 1. L. Phys. Rev., 162, 806 A967).
1 94 Bendom B. Birman J. L, Phys. Rev., Bl, 1678 A970).
1 95. Zeyher R., Ting C. S.. Birman J. L, Phys. Rev.. B10, 1725 A974),
1.96. Brenig W. Zeyher fl., Birman J, L, Phys. Rev,, B6. 36]7 A972).
1.97. Cowiey R. A., J. Phys. 26, 659 A965).
I 98. Alben R.t Smith J. E. Jr., Brodsky M, Я Weaire D., Phys. Rev. Letters,
30. 1141 A973).
1.99. Кипе К., Ann. Phys, (Paris), 8, 3]9 A973).
1.100. Zeyher R-. phys. Rev., B9, 4439 A974).
1 101. Lin-Chung P. J. Ngai K- L Phys. Rev. Letters, 29, ]6Ю A972).
\ 102. Ivey J., Phys. Rev., BIO, 2480 A974),
1.103. Lin.Chung P. J., Phys. Rev., B8, 4043 A973).
Ы04. Zeyher R. M., в книге: Light Scattering in Solids, eds. Balkanski M.,
Leite R. С. С. Porto S. p. S., Flammarion Sciences, Paris, 1976.
1 105. Zeyher R- Go S., Cardona M., в печати.
1.106. Scott J. P., Phys. Rev., 2, 1209 A970).
1.107. Zeyher R-, Solid State Conimun., 16, 49 A975).
l.|08. Klein M. V., Phys. Rev., 8, 919 A973).
1.109. Shen У. R., Phys. Rev., 9, 622 A974).
I.] 10. Bloembergen N.. Nonlinear Optics, Benjamin, New York, 1965. (Имеется
перевод: Н Бломберген, Нелинейная оптика, изд-no «Мир», ]9fiS.)
1.111. Begiey R. F. Harvey А. В.. Byer R. L., Appl. Phys. Letters, 25, 38?
A972).
1.112. Hudson B. S., J, Chem. Phys,, 61, 5461 A974).
2. Основы неупругого рассеяния света
в полупроводниках и диэлектриках
Л. Пинзак1), Е. Бурштейн2)
За последнее десятилетие спектроскопия неупругого рассеяния
света превратилась в один из наиболее мощных и широко
используемых оптических методов для изучения свойств низко-
низкочастотных элементарных возбуждений в твердых телах. До не-
некоторой степени это явилось следствием доступности лазеров в
качестве источников возбуждения и усовершенствованных спек-
спектрометров, оснащенных соответствующей электронной аппара-
аппаратурой для регистрапии слабых спектров рассеянного света. Рас-
Рассеяние элементарными возбуждениями наблюдалось в непроз-
непрозрачных твердых телах, включая металлы и полупроводники с
малой шириной запрещенной зоны, а также в прозрачных кри-
кристаллах. Совсем недавно с помощью методов регистрации спект-
спектров, использующих вычислительные машины, стало возможным
регистрировать чрезвычайно слабые спектры рассеяния.
С помощью неупругого рассеяния света наблюдалась боль-
большая группа элементарны?: возбуждений в кристаллах. К этой
группе относятся акустические и оптические фононы, поверхно-
поверхностные и объемные поляритоны, магноны, возбуждения электрон-
электронного газа (плазмоны и одночастичные возбуждения электронов),
а также электронные и колебательные возбуждения изолирован-
изолированных ионов в кристаллах.
Для процессов рассеяния света одним из наиболее важных
правил отбора является закон сохранения волнового вектора.
Так как волвовой вектор света значительно меньше волнового
вектора, соответствующего границе зоны Бриллюэпа, то неуп-
неупругое рассеяние света первого порядка (в котором участвует
один квант низкочастотного возбуждения кристалла) позволяет
исследовать возбуждения только вблизи центра зоны Брил-
Бриллюэна. Это является одним из основных ограничений метода.
') Pinczuk Aron. Comisidn Naciona] de Energia Atomica, Dpto. de Instru-
Instrumentation. Argentina
!) Burstein Ellas. University ol Pennsylvania, Department of Physics,
Philadelphia, USA.
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
Для низкочастотных возбуждений в центре зоны Бриллюэна с
помощью рассеяния света можно относительно простым и пря>
мым способом определить энергию, время жизни и свойства сим>
метрии этих возбуждений. Если целью исследования является
определение дисперсионных зависимостей возбуждений, то ре
зультаты, получаемые с помощью комбинационного рассеяния
света, можно рассматривать как дополнение к данным, полу^
чениым из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов
При этом необходимо отметить, что рассеяние второго порядкг
магнонами и оптическими фононами используется для определе-
определения двухмагнонной и двухфононной плотностей состояний. Кро-
Кроме того, в экспериментах по рассеянию света, индуцированному
дефектами, определялась однофононная плотность состояний
Эти и подобные данные после значительной аналитической об-
обработки могут быть использованы для определения свойств воз-
возбуждений вдали от центра зоны Бриллюэна.
Как и в случае излучения света, возможны спонтанное ком-
комбинационное рассеяние света и вынужденное рассеяние, которое
происходит с участием уже рассеянных фотонов. В настоящее
время хорошо установлен тот факт, что неупругое рассеяние
света обусловлено пространственными и временными флуктуа-
циями электронных вкладов, которые связаны с элементарными
возбуждениями, в поляризуемость кристалла. В случае рассея-
рассеяния света коллективными возбуждениями, например колеба-
колебаниями решетки, такие флуктуации являются следствием моду>
ляции электронной поляризуемости.
Пространственные и временные флуктуации определяю!
электронную поляризуемость перехода. При микроскопическом
описании электронная поляризуемость перехода пропорцио-
пропорциональна матричным элементам, которые характеризуют переходы,
сопровождаемые уничтожением падающего фотона, рождением
рассеянного фотона и рождением или уничтожением квантов
элементарных возбуждений кристалла. В случае рассеяния све-
света коллективными возбуждениями электронную поляризуемость
перехода можно записать в виде разложения в ряд по степеням
нормальных координат колебаний. Коэффициенты в этом разло^
жении являются тензорами комбинационного рассеяния коллек-
коллективных возбуждений, которые описывают смешивание электри-
электрических полей падающих и рассеянных фотонов с нормальными
йодами кристалла. В случае полярных мод тензоры комбина-
комбинационного рассеяния связаны с тензорными коэффициентами,
которые описывают нелинейную электронную поляризуемость
кристалла. Кроме того, когда энергии падающих фотонов нахо-
находятся в резонансе с междузонными электронными-, переходами,
частотная зависимость интенсивности линий комбинационногр
Глава 2
рассеяния света отражает особенности, аналогичные тем, кото-
которые наблюдаются в модуляционной спектроскопии для между-
междузонных электронных переходов в оптической области .спектра.
Эти аспекты комбинационного рассеяния расширяют возможно-
возможности метода в том смысле, что комбинационное рассеяние света
можно также использовать и для получения данных о нелиней-
нелинейной оптической поляризуемости, а также об энергетической зон-
зонной структуре кристалла.
В этой главе мы преследуем две цели. Одна из них —дать
описание основных механизмов комбинационного рассеяния све-
света и другая — обсудить свойства тензоров комбинационного рас-
рассеяния первого порядка для коллективных возбуждений немаг-
немагнитных полупроводников (колебания решетки и плазмоны). Мы'
рассмотрим выражения для поперечного сечения рассеяния, ки-
кинематику и правила отбора для процессов неупругого рассеяния.
Поперечное сечение рассеяния записывается через электронную
поляризуемость перехода. Обсуждаются также условия, при ко-
которых выполняется закон сохранения волнового вектора. Этот
аспект кинематики процесса рассеяния света в непрозрачных
кристаллах и в средах с нарушенной трансляционной симмет-
симметрией необходимо рассматривать особенно тщательно. Далее рас-
рассматривается комбинационное рассеяние первого порядка коле-
колебаниями решетки и плазмонами. Указывается на связь между
тензорами комбинационного рассеяния и коэффициентами тен-
тензоров, которые описывают такие нелинейные эффекты, как сме-
смешивание трех воли и линейный электрооптический эффект.
Наконец, в заключительном разделе обсуждается частотная
зависимость тензоров комбинационного рассеяния первого по-
порядка оптическими фононами. Показано, что вблизи резонанса
с междузонными электронными переходами частотная зависи-
зависимость тензоров комбинационного рассеяния связана с частотной
зависимостью электронной поляризуемости. При обсуждении ре-
резонансных эффектов мы уделяем особое внимание вкладам в
тензоры комбинационного рассеяния, которые зависят от волно-
волнового вектора, а также вкладам, индуцированным внешними
или внутренними электрическими полями или деформациями.
Такие вклады существенны при резонансном комбинационном
рассеянии в полупроводниках. Их исследование представляет
интерес по двум причинам. Во-первыя, они позволяют наблю-
наблюдать рассеяние света такими колебаниями, которые, согласно
обычным правилам отбора, не активны в комбинационном рас-
рассеянии. Во-вторых, исследователь получает мощное дополни-
дополнительное средство для выяснения механизмов комбинационного
рассеяния света в кристаллах,
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
2.1. Процесс неупругого рассеяния света
2.1.1. Поперечное сечение рассеяния
При неупругом рассеянии света уничтожается квант падаю-
падающего излучения и рождается квант рассеянного излучения. Та-
Такой процесс происходит с рождением (в стоксовом процессе)
или уничтожением (в антистоксовом процессе) возбуждения
кристалла. Антистоксов процесс может иметь место только в
том случае, если кристалл вначале находится в возбужденном
состоянии. Рассеяние света может являться результатом взаи-
взаимодействия световых волн с электрическим или магнитным мо-
моментом кристалла. Теоретические оценки, а также результаты
экспериментов показали, что даже в случае магнитных возбуж-
возбуждений для процессов рассеяния ,света, связанных с магнитным
моментом электронных переходов кристалла, поперечное сече-
сечение рассеяния мало. Матричные элементы, которые входят в
выражение для поперечного сечения рассеяния, можно запи-
записать через электронную поляризуемость перехода [2.1,2.2]. При
обычных экспериментальных условиях имеющие наиболее важ-
важное значение вклады в электронную поляризуемость перехода
обусловлены взаимодействием света с электрическим моментом
электронного возбуждения. Недавние расчеты [2.3] показывают,
что процессы комбинационного рассеяния света, связанные с
взаимодействием света с электрическим моментом ионных воз-
возбуждений (ионное комбинационное рассеяние), возможно на-
наблюдать только в том случае, когда падающий свет находится
в резонансе с колебательными возбуждениями решетки.
Чтобы вычислить электронную поляризуемость перехода,
рассмотрим сначала гамильтониан, который описывает взаимо-
взаимодействие электронов, имеющих заряд —е и массу т, с полем
излучения, описываемым векторным потенциалом А. Этот га-
гамильтониан записывается в следующем виде [2.4, 2.5]:
ЖЕЯ = ЖА -f- ШАА, B.1)
где
'-"Ь^О S Ъ "(-
k,,ci>i Ь,
2, «a) B.2)
B.3)
где А(к[, (от) и А(кг,(вз)—амплитуды фурье-компонент вектор-
векторных потенциалов для падающих и рассеянных фотонов с волно-
пымн векторами и частотами соответственно (Ki,»j) и (к)
42
Глава 2
В выражениях B.2) и B.3) мы приняли
N (- к, + кз) — Z exp i (к, - кг) ■ г,, B.4)
B.5)
(— к, + к2) = £ [ехр (" (к, — ка) ■ rj] р;,
где Tj и р/—операторы положения и импульса у'-го электрона,
N(—kj -f k2) ир (—kT -j- kg)— фурье-образы оператора числа ча-
частиц и оператора импульса электронов. В теории вторичного
квантования амплитуды А(к, ш) линейны по операторам рожде-
рождения и уничтожения фотона.
Вклад электронов в электронную поляризуемость перехода
обусловлен двухфотонным процессом, при котором рассеиваю-
рассеивающая среда через электрои-излучателыюе взаимодействие уни-
уничтожает падающий фотон и рождает рассеянный фотон. Из вы-
выражений B.2) и B.3) следует, что вычисление электронной по-
поляризуемости перехода с_помощью теории возмущений, завися-
зависящих от времени, необходимо выполнять в первом порядке по Жаа
и во втором порядке по Жл- Матричные элементы [iv-компонен-
ты оператора тензора электронной поляризуемости перехода
можно записать следующим образом [2.5]:
<Л 6X|Iv 10=
10 +
Eb-El-hai
ЕЬ -
B.6)
гДе И). I/) и I'1)—начальные, конечные и промежуточные мно-
многочастичные состояния кристалла с энергиями £,-, Ef и Еь и V —
рассеивающий объем. Чтобы вычислить матричные элементы в
выражении B.6), необходимо разделить в этих многочастичных
состояниях кристалла ионные и электронные движения, а также
электронные одночастичные и коллективные координаты. Это
проводится с использованием соответственно адиабатического
приближения и приближения случайных фаз (ПСФ). Оператор
U|6Xuv|0—тензор второго ранга. Его отличные от нуля компо-
компоненты определяются свойствами симметрии собственных состоя-
состояний \i)t \f) и \Ь). При ом = ш2 начальные и конечные состояния
кристалла обязательно одинаковы. В этом случае оператор тен-
тензора (t|6xnv|0. как следует из выражения B.6), тождествен
электронной поляризуемости кристалла [2.6]. Эта поляризуе-
поляризуемость описывает линейную оптику кристалла для света с часто-
частотой значительно большей, чем частоты оптических фононов.
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
43
В этом случае возможно только упругое (релеевское) рассеяние.
Такое рассеяние имеет место в несовершенных кристаллах, со-
состоящих из случайно распределенных рассеивающих блоков
[2.1].
Дифференциальное поперечное сечение для спонтанного рас-
рассеяния света определяется с помощью матричных элементов опе-
оператора поляризуемости перехода и, согласно [2.5], равно
<">
где P(Ei) — (зависящая от температуры) вероятность нахожде-
нахождения кристалла в начальном состоянии; бх — тензор второго
ранга с компонентами
(SX)^/! o^v!0; B-8)
ёт и ёг — единичные векторы поляризации для падающих и рас-
рассеянных фотонов и
га = гат — со2 B.9)
есть частота рассеивающего возбуждения. Кроме того, удобно
ввести еще волновой вектор рассеивающего возбуждения
К -— Kj ■—■ К2*
B.10)
Из выражения B.6) следует, что в системе с трансляционной
симметрией поляризуемость перехода является функцией вол-
волнового вектора рассеивающего возбуждения к.
Лоудон [2.7] описал явление рассеяния света на основе эф-
эффективности рассеяния света. Связь эффективности рассеяния с
дифференциальным поперечным сечением дается выражением
S = -£H \ (^r,^')dt021AQ- B.11)
где Дй — телесный угол, ограничиваемый спектрометром, А —
освещаемая площадь кристалла. Величины А и V определяют
длину рассеяния
£ = Х. BЛ2>
' Во многих важных случаях можно дать удовлетворительное
описание поперечного сечения неупругого рассеяния света без
использования детальных свойств промежуточных состояний
кристалла, содержащихся в выражении B.6). Для этик случаев
выражение B.7) удобно переписать в другой форме, не вклю-
включающей в явном виде промежуточные состояния. Такое выра-
44
Глава 2
жение, полученное из B,7) стандартным математическим ме-
методом [2.5], имеет вид
«к
B-13)
6хТг(к, /) = в2'Ьх(к, t) -ё] — оператор поляризуемости перехода
кристалла в представлении Гейзенберга; (.--)г обозначает тем-
температурное усреднение по всему ансамблю промежуточных со-
состояний кристалла.
Выражение B.13) можно использовать для определения мак-
макроскопического значения поляризуемости перехода. Как уже
указывалось выше, для |i)= |/) поляризуемость перехода ста-
становится идентичной электронной поляризуемости среды. Чтобы
найти макроскопическое значение Ь%и{К t) для |')?Н/), по"
лезно сравнить выражение B.13) с выражением для попереч-
поперечного сечения рассеяния света флуктуацяями электронной поля-
поляризуемости диэлектрической среды, определенным в классиче-
классической электромагнитной теории [2.8, 2.9]. Таким методом найдено,
что 6xi2 (k, t) можно связать с пространственными и временными
флуктуациями электронного вклада в поляризуемость среды.
В действительности 6хтг(к, t) можно записать как
t)dh,
B.14)
где Axi2 (г> 0 представляет собой флуктуации электронной поля-
поляризуемости. Кроме того, из уравнений Максвелла можно пока-
показать, что источником рассеянного поля является электрический
момент единицы объема, определяемый следующим образом:
М2(г, t) =
r, 0E,(r,
B.15)
где E(r, t)—электрическое поле падающей волны внутри кри-
кристалла.
Теперь рассмотрим первый член в правой части выражения
B.6), содержащий взаимодействие Жаа в первом порядке. Этот
член бписывает рассеяние света элементарными возбуждениями,
которые вызываются флуктуациями плотности электронного за-
заряда. Используя выражение B.13), их вклад в сечение рассея-
рассеяния можно записать в виде [2.5, 2.10]
B.16)
где Го = (е2/тс2)—-классический радиус электрона и р(—к,/) =
= JV(—к, t)/V— флуктуация плотности электронного заряда,
связанная с этим возбуждением. Корреляционная функция плот-
Основы не упругого рассеяния в полупроводниках
45
Фиг. 2.1. Схематическое описание переходов, характеризующих вклад
поляризуемость перехода.
1 и 2 указывают времени;
ствугат фотовак. В рассн.
ннеы падающего фотона.
-„.вательность переходов. Пунктирные стрелки соответ-
ривасмом процессе первый переход сопровождается уипчтоже-
второй—рождением рассеянного фотона.
ности заряда определяется выражением [2.10, 2.11]
\ da ехр (Ш) {t \ р (— k, i) р (— к, 0) i)T =
B.17)
где & (к, и) — динамический структурный фактор электронов,
е(к, и) — диэлектрическая функция отклика и
п (а) = 1/[ехр (hnfkBT) — 1 ]; B.18)
здесь кв—постоянная Больцмаиа, Т — абсолютная температура.
Среднее число фононов данного типа п(<я) имеет следующее
важное свойство [2.12]:
[п (— (а) + 1] = — Я (ш), <2.18а)
откуда следует, что выражения B.16) и B.17) описывают как
стоксовы, так и антистоксовы процессы [2.12]. Подробно про-
процессы неупругого рассеяния света, связанные с флуктуациями
плотности электронного заряда, обсуждаются Клейном в этой
книге [2.11].
Неупругое рассеяние света электронными возбуждениями и
колебаниями решетки описывается последним членом в выраже-
выражении B.6), содержащем электрон-излучательное взаимодействие
Ж& во втором порядке. Такие двухступенчатые процессы схема-
схематически представлены на фиг. 2.1. Рассеяние света электрон-
электронными возбуждениями описывается этим членом, когда состояния
I') и ^/рассматриваемые в рамках приближения Борпа — Оп-
пенгеймера, имеют одинаковые числа заполнения фононов и
различаются только своими электронными состояниями. Таким
46
Глава 2
Фиг. 2.2. Диаграммы Фейнмэна, описывающие расчет в третьем порядке тео-
теории возмущений тензора комбинационного рассеяния света колебаниями ре-
решетки. При виртуальных переходах промежуточные состояния соответствуют
рождению электр он но-дырочкой пары.
3€д — электрон -излучатель вое взаимодействие. ШС£i_ — электрон-решеточное взаимодей-
взаимодействие, а — вклад злектронв, о — аклад дырки.
механизмом объясняется рассеяние света всеми типами элек-
электронных возбуждений, включая флуктуации спиновой плотности
[2.11] и магноны [2.2], при условии, что учтены эффекты, связан-
связанные со спин-орбитальным взаимодействием.
Рассеяние света колебаниями решетки, т. е. комбинационное
рассеяние, и рассеяние Мандельштама —Бриллюэна описывает-
описывается последним членом в выражении B.6), когда состояния |/) и
|/), рассматриваемые в рамках приближения Борна — Оппенгей-
мера, различаются только числами заполнения фононов. Лоудон
[2.2] вычислил матричные элементы оператора поляризуемости
перехода в предположении, что зависящие от времени электрон-
решеточные взаимодействия вызывают слабое возмущение элек-
электронных волновых функций, а также энергий промежуточных
состояний, которые входят в матричные элементы и знаменатели
в последнем члене выражения B.6). В случае процессов рассея-
рассеяния первого порядка (однофотюнных процессов) {/|fijCnv|O опре-
определяется с помощью зависящей от времени теории возмущений
третьего порядка. В этом случае процесс рассеяния, который
можно рассматривать как смешивание трех волн, происходит
посредством трех электронных переходов, индуцированных фо-
фотонами или фононамн. Для процесса рассеяния, который описы-
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
вается фейнмановской диаграммой на фиг. 2.2, имеет место сле-
следующая последовательность переходов:
1. В результате поглощения падающего фотона происходит
виртуальный электронный переход, соответствующий рождению
электронно-дырочной пары.
2. Затем вследствие рождения фонона происходит электрон-
электронный переход в состояние, соответствующее новой электронно-ды-
электронно-дырочной паре.
3. Наконец, испускание рассеянного фотона сопровождается
возвращением электрона в основное, (исходное) электронное со-
состояние.
Переходы 1 и 3 происходят благодаря взаимодействию Жд,
а переход 2 содержит электрон-фононное взаимодействие 3@el-
Энергия сохраняется только для всего процесса, в то время как
волновой вектор сохраняется для .каждого перехода. Диаграм-
Диаграммами на фиг. 2.2 также описываются другие процессы, соответ-
соответствующие взаимодействию (смешиванию) трех волн через нели-
нелинейную электронную поляризуемость кристаллов второго по-
порядка [2.13]. Примером является генерация второй гармоники
(ГВГ). Расчет коэффициента для ГВГ можно выполнить на ос-
основе диаграммы фиг. 2.2 при условии, что Mel заменяется на Жа-
Фейнмановские диаграммы, описывающие процессы комбина-
комбинационного рассеяния второго порядка (процессы с участием двух
фононов), подробно обсуждаются Лоудоном в работе [2.14].
2,1.2. Кинематика неупругого рассеяния света
Кинематика неупругого рассеяния света определяется зако-
законами сохранения энергии и импульса. Из свойств матричных
элементов в выражении B.6) следует, что в случае среды с
трансляционной симметрией условия сохранения могут быть вы-
выражены через волновые векторы и частоты фотонов и других воз-
возбуждений кристалла, участвующих в рассеянии. Для кристал-
кристаллов, прозрачных для падающего и рассеянного света, с элемен-
элементарными возбуждениями, имеющими бесконечное время жизни,
законы сохранения энергии и импульса можно записать в виде
Ш = OJj — <О2 =" ± (О/,
Ь = ki — kj =
B.19)
B.20)
где ад/ и q,— частота и волновой вектор возбуждения кристалла
типа /. Знаки плюс и минус соответствуют стоксовым и антисток-
антистоксовым процессам. -
Величина волнового вектора рассеяния определяется конфи-
конфигурацией рассеяния. Как показано на фиг. 2.3, минимальное
Значение |k) = k наблюдается при рассеянии вперед, когда
48
Глава 2
9=90"
Фиг. 2.3. Кннематика неупругого рассеяния света (стоксов процесс).
а — определевие угла рассеяния 6. б —определение величины к для рассеяния вперед, пол
пряный углом И наэал.
9 = 0", и для изотропной среды определяется следующим об-
образом:
Амнн = ft (»i) ">i — П Ы "al/c, B-21)
где t)(cui) и г) (A>2)—показатели преломления кристалла для па-
падающего и рассеянного света. При со-*-0, как, например, в слу-
случае фонод-поляритонных мод, Анин может равняться нулю [2.15].
Максимальное значение \k\ наблюдается при рассеянии назад,
когда 9 = 180°, и определяется следующим образом:
Амакс = [т] (»i) »i +11 («s) <* B.22)
Из выражений B.21) и B.22) следует, что в обычных экспе-
экспериментах (в видимой или близкой к видимой области спектра)
диапазон волновых векторов рассеяния есть
0<А^106см->. B.23)
Это означает, что для процессов рассеяния первого порядка
доступные значения |q;| — q/ при выполнении закона сохране-
сохранения волнового вектора малы по сравнению с волновым векто-
вектором обратной решетки. Тем не менее этот диапазон, который
в других случаях трудно доступен, является важным для многих
возбуждений. Для процессов высокого порядка волновые век-
векторы отдельных возбуждений q,- могут принимать значения от
нуля до значения волнового вектора обратной решетки, так как
k-=Iq,- B.24)
Основы не упругого рассеяния в полупроводниках
49
Если время жизни возбуждений кристалла сильно ограни-
ограничено вследствие распада их на другие возбуждения, B.19) и
B.20) должны быть изменены. Кроме того, условие B.20) не
выполняется в несовершенных кристаллах —в твердых телах, в
которых трансляционная симметрия нарушена (твердое рас-
растворы, аморфные материалы), и в кристаллах, непрозрачных
для падающего и рассеянного света. Закон сохранения волно-
волнового вектора может не выполняться в следующих случаях:
1. Рассеивающая среда не обладает трансляционной симмет-
симметрией. Отсутствие трансляционной симметрии приводит к рассея-
рассеянию колебаниями с q/T^k. Это имеет место в кристаллах с де-
дефектами, в твердых растворах и аморфных материалах. Под-
Подробное обсуждение комбинационного рассеяния света аморф-
аморфными материалами дано Бродским в гл. 5.
2. Рассеивающий объем мал. К°РДен и др. [2.16] отметили,
что в этом случае рассеяние света обусловлено возбуждениями,
волновые векторы которых находятся в диапазоне Aq ~ 2и/й
(где d — характеристическая длина рассеивающего объема).
3. Падающие а рассеянные волны затухают внутри рассеи-
рассеивающего объема. При этих условиях, которые имеют место в ме-
металлах и полупроводниках с малой шириной запрещенной зоны,
непрозрачных для света, к, и к2 — комплексные величины. Этот
случай обсуждался Милсом и др. [2.17] и недавно ЦаЙером и др.
[2.18]. Неупругое рассеяние света в данном случае обусловлено
возбуждениями, волновые векторы которых находятся в диапа-
диапазоне
Aq = lm {kt} + Im {k2} B.251
относительно q = Re(k,—кы}. Эффекты, связанные с неопреде-
неопределенностью волнового вектора, характеризуемой выражением
B.25), недавно обсуждались в работе [2.18] для спектров ком-
комбинационного рассеяния полупроводниковых соединений AmBv.
Последний случай заслуживает некоторого дальнейшего рас-
рассмотрения в связи с возрастающим интересом к экспериментам
по рассеянию света в веществах, которые непрозрачны для па-
падающего света. Чтобы обсудить этот случай, отметим, что вы-
выражения B.7) и B.13) дают поперечное сечение рассеяния
внутри кристалла. Чтобы получить выражение для этого попе-
поперечного сечения рассеяния, рассмотрим флуктуацию электрон-
электронной поляризуемости кристалла, обусловленную элементарным
возбуждением с хорошо определенным значением волнового
вектора q, которую можно записать в виде
(—lq-r), B.26)
где первый член в правой части описывает стоксов процесс,
второй член — антистоксов процесс. Для стоксова процес
Основы нсупругого рассеяния в полупроводниках
50
Глава 2
имеем
fitofr 0 = *Xn(Q. 0(f) SdV«p[i(q-k).r]. B.27)
Если к есть действительное число, то мы получаем выражение
бХта <М = б (q - к) ■ 6х,2 (q, /), B.28)
которое приводит к закону сохранения волнового вектора. В рас-
рассматриваемом случае непрозрачных кристаллов к есть комплекс-
комплексное число, и выражение B.28) принимает вид
\i2(k,0 = %!2(q, O^q-Re^-iflmfoJ + lmfe})]}-1. B.29)
Выражение B.29) показывает, что (Im (k)} + Im (k2)) характе-
характеризует степень несохранения волнового вектора. Подставляя
B.29) в выражение B.13), получаем следующее выражение для
поперечного сечения рассеяния внутри кристалла:
/ d2a \ _( Ю*У а>2 V2 у
X
[(q -
X J d© exp (f
+ (Im {k,} + Im
> X
,г (q, 0 «Xi2 (q. 0) | i)T. B.30)
Несколько измененный вариант лоренцева множителя в выра-
выражении B.30), учитывающего наличие границ, читатель найдет
в гл. 6 [выражение F.20)].
В случае когда поляризуемость перехода не зависит от q,
как, например, при обычном комбинационном рассеянии опти-
оптическими фопонами, выражение B.30) принимает вид
(w) (£)
w+im w>r
0 6Xl2 @,
x
j B.30a)
Из B.30а) видно, что в случае, когда ki и k2 являются комплекс-
комплексными величинами, закон сохранения волнового вектора не вы-
выполняется и, более того, эффективная длина кристалла, которая
дает вклад в неупругое рассеяние света, равна (Im (ki) +
+ lm{k2})-'.
Чтобы получить выражение для поперечного сечения рассея-
рассеяния света вне кристалла, необходимо рассмотреть граничные
условия у поверхности кристалла. Наиболее общий случай- об-
суждастся в работе [2.17]. Для конфигурации рассеяния назад и
в случае, когда векторы поляризации падающего и рассеянного
излучений направлены вдоль главных осей кристалла, выраже-
ние для поперечного сечения можно получить из выражения
B.30а), умножив его на коэффициенты пропускания для падаю-
падающего и рассеянного света. В этом случае выражение для попе-
поперечного сечения рассеяния вне кристалла эквивалентно приве-
приведенному Лоудоном в работе [2.20]
2.1.3. Правила отбора для рассеяния света
Кроме условий, налагаемых кинематикой процесса рассеяния,
имеются и другие требования, определяемые неравенством
(Щ^ = (!\г>х^и)ф0, B.31)
которое накладывает условия на трансформационные свойства
состояний \i) и \f) при операциях симметрии пространственной
группы кристалла. Кроме того, для данной пары состояний |()
и \f) условие
ё\ ■ 5Х ■ ё2 ф 0 B.32)
определяет правила отбора по поляризации падающего и рас-
рассеянного света ё] и ё% соответственно.
Правила отбора, связанные с вкладом электрон-излучатель-
нога взаимодействия ЖДД, подробно обсуждаются Клейном
[2.11]. Мы рассмотрим здесь правила отбора, связанные с вкла-
вкладом ЖА, определяемым двумя последними членами в правой ча-
'сти выражения B.6). Эти члены можно разделить на симмет-
симметричные и антисимметричные компоненты. Если использовать
электрическое дипольное приближение, то симметричная часть
равна
X [<f I рц (k2)
-и антисимметричная часть
fk2) ] 0]} B.33)
B.34)
Из"выражепия B.34) следует, Что антисимметричная часть поля-
поляризуемости перехода стремится к нулю, когда энергии фотоноз
■находятся вдали от резонанса с энергиями переходов в проме-
^суточные состояния кристалла (£&— £,■ > Нщ).
Стандартные правила отбора для комбинационного рассея-
оптическими фоноиами (в случае разрешенного по снммет-
52
Глава 2
рии рассеяния) получаются тогда, когда вклады этих мод в
электронную поляризуемость перехода не зависят от q (или к).
Для разрешенного перехода условия, при которых выполняется
соотношение B.31), будут определяться только свойствами Пре-
Преобразования волновых функций начального и конечного состоя-
состояний под действием операций симметрии точечной группы Кри-
Кристалла. На языке теории групп условие того, что процесс рассея-
рассеяния разрешен, можно записать в виде [2.22]
Г,ХГ^^Л„ B.35)
где Г/ — неприводимое представление точечной группы кристал-
кристалла, которое отражает симметрию фононной волновой функции,
А] — полносимметричное представление точечной группы и
Гцг —неприводимое представление, которое описывает свойства
симметрии ftv-й компоненты тензора второго ранга. Некоторые
общие свойства разрешенных компонент тензора рассеяния не-
непосредственно выводятся из выражения B,35). Например, в Кри-
Кристаллах с центром инверсии неприводимое представление Г^
является четным, в то время как неприводимое представление
Г/ для оптических фононов с q » 0 может быть как четным, так
и нечетным в зависимости от структуры кристалла и от рассмат-
рассматриваемой фононной ветви. Из выражения B.35) следует, что
в кристаллах с центром инверсии только четные фононы будут
аотивны в разрешенном комбинационном рассеянии света.
Было показано, что в случае оптических фононов, нормаль-
нормальные координаты которых преобразуются подобно полярным
векторам или полярным тензорам, оператор {f \ 8%^| <)л будет
иметь небольшую величину и он может иметь место только в
результате небольшого различия в частотах падающего и рас-
рассеянного света [2,14], Форма симметричной части тензоров по-
поляризуемости перехода для разрешенного рассеяния оптиче-
оптическими фононами с q да 0 табулирована для всех кристалличе-
кристаллических классов Лоудоном в работе [2,14]. Овандер [2,22], Мараду-
дин и Валлис [2.3] рассмотрели как симметричные, так и анти-
антисимметричные части, Следует отметить, ито некоторые кристал-
кристаллы имеют оптические фононы с q да 0, нормальные координаты
которых преобразуются подобно аксиальным векторам, для ко-
которых тензор поляризуемости перехода является чисто анти-
антисимметричным. К таким фононам относятся Лг-моды в Se, Те и
кварце.
Учет членов, зависящих от q во вкладе оптических фононов
в поляризуемость перехода, приводит к правилам отбора, кото-
которые отличаются от правил отбора для разрешенного рассеяния.
По этой причине спектры, соответствующие этим членам, назы-
называют спектрами, полученными при запрещенном рассеянии. Чле-
Члены, зависящие от q в выражении для поляризуемости перехода,
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
S3
обусловлены зависимостью от волновоговектора матричных эле-
элементов и резонансных знаменателей о выражениях B.33) и
B.34). Правила отбора, которые отличаются от правил отбора
для разрешенного рассеяния, получены и для процессов комби-
комбинационного рассеяния при налимий внешних воздействий (обыч-
(обычно внешнего электрического поля или механической деформа-
деформации). Комбинационное рассеяние, обусловленное внешними воз-
воздействиями, относится к категории морфических эффектов. За-
Зависимость от волнового вектора и морфические эффекты в ком-
комбинационном рассеянии [2.23,2,24] обсуждаются далее в разд.2,2
и 2,3.
2.2. Комбинационное рассеяние света
коллективными возбуждениями
в полупроводниках и диэлектриках
Немагнитными коллективными возбуждениями полупровод-
полупроводников и диэлектриков, участвующими в комбинационном рас-
рассеянии света, являются колебания решетки (оптические и аку-
акустические фононы) и плазменные волны (плазмоны) электрон-
электронного газа полупроводников с малой шириной запрещенной зоны
или легированных полупроводников. К ним относятся также свя-
связанные фотон-ГО-фоноиные моде* (поляритоны) и связанные
фонон-плазмонные моды, В этом разделе мы обсудим процессы
неупругого рассеяния света первого порядка, происходящие с
участием этой группы элементарных возбуждений,
2.2,1. Микроскопическая формулировка
Квантовомехапическое выражение для поляризуемости пе-
перехода при комбинационном рассеянии света и при рассеянии
Мандельштама — Бриллюэпа первого порядка получается из
расчетов по теории возмущений третьего порядка, зависящих от
времени, для процессов, представленных на диаграммах фиг. 2.2.
-Плазоны дают дополнительный вклад, обусловленный электрон-
излучательным взаимодействием ЖДД и представленный выра-
выражениями B,16) и B.17). Этот вклад в дальнейшем подробно
обсуждается Клейном в гл. 4 [2-11].
Виртуальными промежуточными электронными возбужде-
возбуждениями кристалла, используемыми при вычислении поляризуемо-
поляризуемости перехода, являются состояния электронно-дырочных пар.
Если движения электронов и дырок для промежуточных элек-
электронных возбуждений не связаны кулоновским взаимодействием
(экситонные эффекты отсутствуют), то можно разделить вклады
электронов и дырок в поляризуемость перехода, как это было
54
Глава 2
представлено на фиг. 2.2. Процессы, описываемые этими диаг-
диаграммами и происходящие с рождением и уничтожением трех
квантов, могут протекать в любой временной последовательно-
последовательности. Следовательно, каждая диаграмма на фиг. 2.2 представ-
представляет вклад тести членов в поляризуемость перехода первого
порядка, которую можно записать а виде [2.7]
(*Xi*v) =<Д d= 1 1 fiXiiv I Й) •=
n)X
х-
op
{O|pv(-ki)|0)
a, n)X
"(к
t- fc.) i °) x
{а, й±1|Ж_, 10. ft)
0. ft)
X
X
<P I Pv
I o)<a I Рц <N) I 0)
B.36)
где ]0), |a) и jp) —волновые функции одиочастйчных элек-
электронных основных и промежуточных состояний, \а,п} — волно-
волновые функции кристалла, описываемые в рамках адиабатического
приближения (для фононов) и ПСФ (для плазмонов), при ко-
которых коллективные возбуждения имеют число заполнения п.
Шесть членов, которые получаются из диаграммы фиг. 2.2, а, со-
соответствуют процессам, при которых состояния электропно-ды-
рочных пар \а) и |[}\ различаются по состояниям электронов
в зоне проводимости. Шесть членов, которые получаются из ди-
диаграммы, представленной на фиг. 2.2,6, соответствуют процес-
процессам, при которых |а) и | р) различаются по состояниям дырок
в валентной зоне, (а, гё± У\3^еь\ рй) — матричные элементы
взаимодействия Ж el электронов с коллективными возбужде-
возбуждениями. Знаки плюс соответствуют стоксовым процессам, а ми-
минус— антистоксовым процессам. Временная последовательность
уничтожения и рождения квантов, указанная на фиг. 2.2, соот-
соответствует первому члену в выражении B.36).
Выражение для поляризуемости перехода первого порядка в
случае, когда промежуточные электронно-дырочные парные со-
состояния являются экситонами Ванье, получено Гангули и Бир-
Бирманом в работе [2.26]. Показано, что для комбинационного рас-
Основ ы неупругого рассеяния в полупроводниках
55
Фиг. 2.4. Схематические диаграммы междузоиных и внутризонных переходов,
дающих вклад в тензор комбинационного рассеяния, описываемый двухзон-
ным членом.
Цифры указ*
зона, с — аус
грамм им. представлен
г. 2.2, а н б, v—sa
сеяния оптическими фонолами выражение для поляризуемости
перехода аналогично выражению B.36), за исключением того,
что в этом случае ja) и \$) являются экситонными волновыми
функциями.
Было отмечено (см. работу [2.15] и ссылки, приведенные в
ней), что необходимо рассматривать падающее и рассеянное из-
излучения внутри кристалла как моды связанных фотон-электрон-
фотон-электронных возбуждений (поляритонов). Поляритонная теория неупру-
неупругого рассеяния света имеет преимущество в том случае, когда
частоты излучения близки к резонансу с электронными перехо-
переходами (резонансное рассеяние Мандельштама — Бриллюэна и ре-
резонансное комбинационное рассеяние света). В работе [2.12]
было показано, что результаты, полученные с использованием
поляритонных представлений для процессов комбинационного
рассеяния первого порядка, эквивалентны результатам, полу-
полученным с помощью теории зависящих от времени возмущений
третьего порядка.
Электронные переходы, рассматриваемые при расчете поля-
поляризуемости перехода первого порядка, можно описывать диаг-
диаграммами, представленными на фиг. 2.4 и 2.5 [2.25]. На этих
диаграммах мы видим процессы, которые были представлены
на фиг. 2.2 Дч'тя кристаллов с пустыми зонами проводимости и
заполненными валентными зонами. Аналогичные диаграммы
можно привести и для процессов, содержащих промежуточные
экситощтыс состояния. Временная последовательность трех элек-
электронных переходов на фиг. 2.4 и 2.5 всегда одна и та же. Диаг-
Диаграммы на фиг. 2.4 описывают двухзонные вклады в E/)^. Ана-
Аналогично диаграммы, представленные на фиг. 2.5, соответствуют
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
57
Глава 2
трехзонным вкладам. Такое разделение процесса комбинацион-
комбинационного рассеяния на процессы, описываемые двухзотшыми и трех-
зонными вкладами, удобно для обсуждения резонансного комби-
комбинационного рассеяния, при котором доминирующие вклады в
(fix)uv соответствуют временной последовательности, представ-
представленной на диаграммах фиг. 2.2, и описываются первым членом
в правой части выражения B.36). В этом случае для рассмот-
рассмотрения процессов, описываемых двухзонными вкладами, вклю-
включаются енутризонные матричные элементы Ж el, а для рассмот-
рассмотрения процессов, описываемых трехзонными вкладами, вклю-
включаются междузонные матричные элементы Mel-
Из диаграмм на фиг. 2.4 и 2.5 также видно, что в случае
кристаллов с пустыми зонами проводимости и заполненными
валентными зонами начальные и конечные электронные пере-
переходы являются обязательно междузонными. В том случае, когда
в кристаллах имеются свободные носители, как, например, в
случае полупроводников или металлов, возможны также началь-
начальные и конечные электронные переходы, которые будут внутри-
зонными [2.25]. Такой случай для вырожденного полупроводника
rt-типа показан на диаграммах фиг. 2.6. Следовательно, для
кристаллов, содержащих свободные носители, имеются вклады
в поляризуемость перехода, которые отсутствуют в случае кри-
кристаллов с заполненными валентными зонами и пустым^ зонами
проводимости. Эти дополнительные вклады, которые связаны с
флуктуациями плотности заряда электронного газа, являются
важньгми механизмами, обусловливающими рассеяние света
плазмонами в полупроводниках [2.25] и фопонами в металлах
[2.17].
Фиг. 2.5. Схематические диаграммы междузонных и внутризо^ных переходов,
дающих вклад в тензор комбинационного рассеяния, описываемый трехзонным
членом.
Цифры указывают последовательность элекгронвых пер
мввовским диаграммам, представленным на фвг. 2.2, а
нМе зоны, с, н с, — пустые зоны проводимости.
ходов; а н 5 соответствуют фейн-
6. v, а и, —заполненные вален'/-
а б
Фиг. 2.6. Схематические диаграммы дополнительных междузонных и вНутри-
зонных электронных переходов, дающих вклад в тензор комбинационного
рассеяния для полупроводников я-типа.
Ер — положение уровня Ферми. Цифры указывают последовательность переходон.
Прежде чем перейти к подробному обсуждению механизмов
рассеяния света колебаниями решетки и плазмонами, полезно
кратко указать на возможное проявление зависимости от волно-
волнового вектора в выражении B.36). В п. 2,1.3 мы видели, что
обычные правила отбора для комбинационного рассеяния света
оптическими фононами первого порядка обусловлены членами,
не зависящими от волнового вектора в (b%)uv. Анализ происхож-
происхождения членов, зависящих от волнового вектора в выражении
B.36), приведет к более глубокому пониманию свойств поляри-
поляризуемости перехода и вместе с тем определит условия, при кото-
которых будут выполняться обычные правила отбора. В п. 2.1.3 было
отмечено, что члены, зависящие от волнового вектора в выра-
выражении для поляризуемости перехода, обусловлены зависимостью
от волнового вектора матричных элементов импульса электрона
и резонансных знаменателей. В случае рассеяния света коллек-
коллективными возбуждениями зависимость от волнового вектора яв-
является также результатом зависимости от волнового вектора
матричных элементов Же1. Зависимость от волнового вектора
при резонансном комбинационном рассеянии будет обсуждаться
в разд. 2.3 и далее подробно в гл. 3 Мамином и Фаликовым
[2.27].
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна акустическими фона-
нами'
Чтобы обсудить выражение для поляризуемости перехода
первого порядка при" рассеянии Мандельштама — Бриллюэна,
мы должны рассмотреть взаимодействие электронов с акустиче-
акустическими фононами. Для акустического колебания с q & 0 элект-
58* Глава 2
рон-решеточное взаимодействие является следствием обуслов-
обусловленной этой модой деформации, компоненты которой опреде-
определяются следующим образом;
B.37)
где q^—компоненты волнового вектора фонона и шу—компо-
шу—компоненты нормальной координаты упругого колебания. В кристал-
кристаллах без центра инверсии и в кристаллах с центром инверсии,
атомы которых расположены не в центре симметрии (подобно
полупроводникам со структурой алмаза), деформация S будет
сопровождаться оптическим или относительным смещением
атомов из положения равновесия ц, и в кристаллах, обладаю-
обладающих пьезоэлектрическим эффектом, будет возникать макроско-
макроскопическое электрическое поле •§ [2.28]. Это приведет к электрон-
решеточному взаимодействию, которое характерно для оптиче-
оптических фононов с q £& 0. Мы рассматриваем здесь взаимодействие
электронов с акустическими фононами, обусловленное Sw (при
и и &, равных нулю), матричные элементы которого можно
выразить через деформационные потенциалы. Для рассеяния
первого порядка матричные элементы определяются следующим
образом [2.7]:
й±
Р, Д>-(Л4
B.38)
где Mv" (а, Р) — деформационные потенциалы упругой дефор-
деформации и
B.39)
есть амплитуда деформации, обусловленная акустическим коле-
колебанием с частотой to, в среде с плотностью р, %\ — компоненты
единичного вектора поляризации упругого колебания.
Поляризуемость перехода первого порядка, обусловленная
деформацией Shy, связанной с акустическим фононом, можно по-
получить путем подстановки B.38) в B.36). Ясно, что можно запи-
записать выражение
(бЫак = (« + l)Vl S Wv (»i. **)V B-40)
где ffiyjy, как это будет показано далее, связано с упругооптиче-
ским тензором. Чтобы найти физическое значение /цПУ и
(^Xitv)aK, которое следует из выражений B.36)—B.40), отметим,
что, поскольку междузонные электронные возбуждения входят
в процесс комбинационного рассеяния как промежуточные со-
состояния, можно предположить, что (бХцу)ак представляет собой
изменение (индуцированное деформацией SKy) междузонной по-
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
ляризуемости кристалла. Выражение для междузонной поляри-
поляризуемости кристалла имеет вид [2.6]
Еа —
<0|ру@)|«)<а|рй@)|0)
Еа + Йш,
}■ B.41)
В рамках квазистатического приближения предполагается,
что фонолы действуют (через электрон-фононные взаимодей-
взаимодействия) подобно статическим возмущениям электронной зонной
структуры кристалла. Такое возмущение вызывает следующие
изменения в первом порядке для энергий междузонных перехо-
переходов и матричных элементов импульса, которые входят в выра-
выражение B.41) [2.7]:
SMf B.42)
,'
а
B.43)
Энергия ЬЕа соответствует внутризонным матричным элементам
электрон-фононного взаимодействия, которое имеет место только
.в двухзонных процессах; б[@|рц|а)] содержит междузонные
матричные элементы электрон-фононного взаимодействия и мо-
может иметь место и в двухзонных, и в трехзонных процессах.
■Свойства деформационных потенциалов, которые входят в вы-
выражения B.42) и B.43) для полупроводников со структурой
алмаза и цинковой обманки, обсуждались Кардоной с соавто-
соавторами в работах [2.29, 2.30].
Из выражений B.36), B.41) и B.43) следует, что в рамках
квазистатического приближения мы имеем
, «,)
0) =
B-44)
где ((dXiiV(ft>[)/<3SiV)ji. g — первая производная междузоиной по-
поляризуемости по деформации при разных нулю и и ^, В кри-
кристаллах, для которых смещения атомов из положения равнове-
равновесия, обусловленные S№ равны нулю, /uvXy(wi,0) можно также
выразить как [2.28]
;:.^ ' W,(«i.0)«—^PU. B.45)
60
Глава 2
где р6 х —упругооптические коэффициенты при постоянной на-
напряженности электрического поля, ц^ и rjv — главные значения
показателя преломления соответственно вдоль осей ц и v.
Как можно предположить, выражение B.44) указывает на
то, что кназистатическое приближение эквивалентно пренебре-
пренебрежению фононной частотой в выражении B.36). Условия, при ко-
торых данное приближение обоснованно, находятся из непосред-
непосредственного рассмотрения выражения B.36). Для трехзонных
процессов необходимо выполнение условий
| £„ — Пщ | > Й(о-
Для двухзонных процессов требуется, чтобы
1 Еа — Йи>! | > па.
B.47)
Условия, определенные выражениями B.46) и B.47), вдали от
резонанса удовлетворяются для большинства полупроводнико-
полупроводниковых и диэлектрических кристаллов. Эти неравенства не выпол-
выполняются при резонансных условиях. Однако они будут выпол-
выполняться даже и при резонансе, если затухание {ущирение, обу-
обусловленное временем жизни) электронных переходов значи-
значительно больше, чем энергия фонона [2.31]. В данном случае для
акустических фононов с q х 0 величина ш = ая очень мала и,
следовательно, неравенства B.46) и B.47) всегда будут удов-
удовлетворяться.
Комбинационное рассеяние света оптическими фононами
Лоудон в работе [2.7] отметил, что при вычислениях поляри-
поляризуемости перехода для оптических фононов с q ж 0 необходимо
рассмотреть два типа электрон-решеточных взаимодействий.
Один из них — взаимодействие через деформационный потен-
потенциал, обусловленное модуляцией периодического потенциала
кристалла относительным смещением атомов при колебаниях
решетки. Другой—фрёлиховское взаимодействие электронов с
продольными макроскопическими электрическими полями, свя-
связанными с колебаниями решетки, активными в поглощении ин-
инфракрасного излучения. Связаннее ГО-фопон-фотоцные моды
(поляритоны) также сопровождаются макроскопическими попе-
поперечными электрическими полями, которые связаны с фононной
частью этих мод. Бурштейн и Пинзак отметили в работе [2.25],
что эти поля приводят к электрон-поляритонному взаимодей-
взаимодействию Ша-
Макроскопические электрические поля, связанные с оптиче-
оптическими фононами и поляритонами, недавно рассматривались
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
Милсом и Бурштейном в работе [2.15]. В пренебрежении зату-
затуханием мод выражение для компоненты электрического поля
вдоль симметричных направлений имеет вид [2.15]
B.48)
где их—Я-компонента нормальной координаты оптического ко-
колебания; юг и &l — частоты ТО- и LO-фононов с q та 0; N —
число элементарных ячеек в единице объема; е*—-заряд Борна
или поперечный эффективный заряд и £« — высокочастотная
диэлектрическая проницаемость. Из уравнения B.48) видно, что
макроскопические электрические поля имеют место для LO-фо-
норов и поляритонов При условии, что для них со ф Шг. Макро-
Макроскопические поля в более сложных случаях рассматриваются в
работах [2.12, 2.15].
Матричные элементы взаимодействия через деформационный
потенциал для стоксовых процессов первого порядка можно
записать в виде
К й±1|5£&.|р, rt>=Zoi°nr)(a, $(п±1\щ\п), B.49)
где О/опт| (и, Р) — деформационные потенциалы смешения ато-
атомов от положения равновесия.
Выражение B.49) можно использовать, когда [а) и | р) яв-
являются несвязанными состояниями электронно-дырочных пар
B.7) или когда они являются экситоноподобными состояниями,
описываемыми в рамках приближения эффективной массы[2.26].
Кроме того, мы имеем [2.15]
(^)'!' = (n+lf'ul(m), B.50)
где М — приведенная масса ионов в элементарной ячейке, опре-
определяющая частоту оптического фонона ац; |; и ui(wt)—собствен-
ui(wt)—собственные векторы и амплитуды нормальной координаты смещения
атомов.
. Деформационные потенциалы упругой деформации являются
тензорами второго ранга и, следовательно, имеют отличные от
нуля компоненты для кристаллов всех классов. Ранг тензора
Деформационных потенциалов смещения атомов из положения
равновесия определяется свойствами преобразования нормаль-
нормальной координаты оптического фонона с q яз 0. В кристаллах с
Центром инверсии деформационные потенциалы О^опт!(а, [}) бу-
будут иметь отличные от нуля компоненты только для четных
фононов. В случае простых двухатомных кристаллов, таких.
как кристаллы со структурой каменной соли и алмаза, компо-
62
Глава 2
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
63
ненты относительного смещения атомов из положения -равно-
-равновесия не всегда преобразуются подобно вектору при операциях
симметрии точечной группы [2.32]. Следовательно, четные опти-
оптические фононы с q як 0 (неактивные в поглощении инфракрас-
инфракрасного излучения) в кристаллах со структурой алмаза активны
в комбинационном рассеянии. С другой стороны, нечетные опти-
оптические фононы (активные в поглощении инфракрасного излуче-
излучения) в кристаллах со структурой каменной соли не имеют ли-
линейных деформационных потенциалов и, следовательно, неак-
неактивны в комбинационном рассеянии света. Аналогичные аргу-
аргументы позволяют сделать заключение, что оптические фононы
с q як 0 в кристаллах без центра инверсии со структурой цинко-
цинковой обманки активны и в поглощении инфракрасного излучения,
и в комбинационном рассеянии света.
Выражение для поляризуемости перехода первого порядка
для оптических фононов с q як 0, содержащее взаимодействие
через оптический деформационный потенциал, получается путем
подстановки B.50) в B.36). Мы находим, что
i
где a^ti (coi, ш, q) — тензор комбинационного рассеяния света,
обусловленного смещением атомов из положения равновесия.
Возмущение электронной зонной структуры кристалла оптиче-
оптическими фононами в рамках квазистатического приближения оп-
определяется выражениями, аналогичными B.42) и B.43). Сле-
Следовательно, в рамках квазистатического приближения при q як 0
можно написать
i. О, 0) =
B.52)
где [d%lLV/dUi)$'—первая производная междузонной поляризуе-
поляризуемости по смещению атомов из положения равновесия при опти-
оптическом колебании решетки в случае равной пулю напряженности
макроскопического электрического поля.
Для вычисления поляризуемости перехода первого порядка,
связанной с макроскопическими электрическими полями оптиче-
оптических колебаний решетки, необходимо рассмотреть вклады, обу-
обусловленные фрёлиховским взаимодействием с продольным по-
полем LO-фононов и 5$л-взаимодействием с поперечными полями
поляритонов [2.25]. Кроме того, мы должны рассмотреть случаи,
в которых промежуточные электронные возбуждения являются
либо несвязанными электронно-дырочными парами, либо ди-
дискретными или непрерывными экситонными состояниями.
Рассмотрим первый случай, при котором промежуточными
состояниями являются несвязанные электронно-дырочныепары.
Матричный элемент фрёлиховского взаимодействия для стоксо-
вых процессов можно записать в виде [2.25]
(а, А ± 11Жеь | р, А) = =F (-у) (Л + l)Vl <а |ехр(rq • г)| р) Ш (coj,
B.53)
где, как следует из B.48), амплитуда электрического поля для
LO-фононов равна
$Чт£,) = '"(Ш£,Ь B-54)
и й((ос)—амплитуда нормальной координаты £О-фонона, опре-
определяемая выражением B.50). Знаки минус и плюс соответст-
соответствуют вкладам электронов и дырок соответственно. В случае по-
поперечных полей поляритонов матричные элементы взаимодей-
взаимодействия Ж а равны [2.25]
х
B.55)
где *?*.(<о), рассчитанные с помощью выражений B.48) и B.50),
являются компонентами амплитуды макроскопического элек-
электрического поля поляритона.
В рамках приближения q як 0 внутризонные члены выраже-
выражения B.53), в которых состояния |а) и |р) принадлежат одной и
той же паре зон, не дают вклад в поляризуемость перехода пер-
первого порядка, поскольку вклад электронов точно компенсируется
вкладом дырок [2.7]. Гамильтон [2.33] отметил, что эти же члены
Дают конечный вклад при q Ф 0. Это следует из зависимости от
q величины (ajexp(iq-r) | р) в выражении B.53) и резонансных
знаменателей в выражении B.36). Можно показать, что в кри-
кристаллах со структурой цинковой обманки в рамках приближения
9 я» 0 внутризонные члены в выражении B.55) для рассеяния
«вета поляритонами не дают вклад в поляризуемость перехода
, ^Первого порядка. Этот член идентичен членам, связанным с
' ' ДВухзонным вкладом в выражении для нелинейной поляризуе-
if Мости второго порядка, которые, как известно, обращаются в
^ нуль в кристаллах со структурой цинковой обманки [2.34].
Междузонные члены в выражениях B.53) и B.55), в кото-
которых состояния |а) и [fj) принадлежат дыркам в различных ва-
валентных зонах или электронам в различных' зонах проводимо-
-■ Сти, можно записать в виде [2.7, 2.25]
ч
rt) = te(rt + l)vi
-. B.56)
Глава 2
О снопы не упругого рассеяния в полупроводниках
Суммирование в выражении B.56) ведется по компонентам про-
продольного электрического поля LO-фоноков или по компонентам
поперечного электрического поля в случае поляритоков.
Когда промежуточными электронными возбуждениями яв-
являются взаимосвязанные электронно-дырочные пары (дискрет-
(дискретные или непрерывные экситоны, описываемые в рамках при-
приближения эффективной массы), междузонный матричный эле-
элемент фрёлиховского взаимодействия между двумя экситониыми
состояниями аир, принадлежащими одной и той же паре зон,
определяется выражением [2.25]
П ± 1
, ft) - (-f) (П + I)* X
), B.57)
где /n* и ml — эффективные массы электрона в зоне проводи-
проводимости и дырки в валентной зоне, M~m"Jrm*h, г = ге — rft —
относительная координата электронно-дырочной пары и |if>e> и
ф$) — экситонные волновые функции. Свойства этого матрич-
матричного элемента, который аналогично внутризонным членам в вы-
выражении B.53) обращается в нуль при q як 0, в дальнейшем об-
суждаются в гл. 3.
Вклады в поляризуемость перехода первого порядка, которые
являются следствием макроскопических электрических полей оп-
оптических мод, можно разделить на зависящие от q двухзонные
члены и не зависящие от q трехзонные члены. В случае LO-фо-
нонов член, связанный с двухзонным вкладом и получаемый пу-
путем подстановки B.53) для внутризонного члена в выражение
B.36)', можно записать в виде
= (й +
С* (©i, ©, Ч) %% (©л),
B.58)
где Ь"Мах, со, q)—двухзонный электрооптический тензор ком-
комбинационного рассеяния. Этот тензор можно разложить в ряд
по степеням #у—-компонентам волнового вектора фонона. Более
того, член, не зависящий от волнового вектора, Ь''(ти <а, 0),
равен нулю, и первый отличный от нуля член линеен по qT
Последнее очень важно при резонансных условиях [2.27].
Трехзонный вклад, получаемый путем подстановки B.56) в
выражение B.36), можно записать в виде
С-
B.59)
где Ь'^к (со,, ю, 0) — не зависящий от волнового вектора трех-
трехзонный электрооптический тензор комбинационного рассеяния,
который имеет место только в случае кристаллов без центра ин-
инверсии. После некоторых преобразований можно показать, что
в рамках квазистатического приближения
(»ь », 0)
К ©, 0) =
B.60)
Заметим, что Ь'^х(<й1г ш, q) также называется электрооптиче-
электрооптическим тензором комбинационного рассеяния. Интересно отметить,
что линейные по q члены (&x£v) и №Cv) не интерферируют ме-
между собой, по крайней мере в области прозрачности кристалла.
Это следует из того факта, что члены, описываемые выражением
{2.56), вещественны, а члены, линейные по q в выражениях
B.53) и B.57) для междузонных членов, являются мнимыми,
т. е. из того факта, что эти два вклада сдвинуты по фазе на 90°.
Для оптических колебаний, активных в поглощении инфракрас-
инфракрасного излучения, не зависящие от q вклады в поляризуемость пе-
перехода первого порядка, которые определяют интенсивности
«разрешенного» рассеяния, можно записать в виде
Z и] -
4njVe*
V4v*(®i' ш- 0)%Н- B.61)
Тензор a" h может быть больше или меньше, чем а^-%, в зави-
зависимости от величины и соответствующих знаков вкладов, обу-
обусловленных смещением атомов из положения равновесия элек-
электрическим полем. Частотная зависимость а" к подробно обсуж-
обсуждается в работах [2.12] и [2.15]. В случае разрешенного рассея-
фщ колебаниями, активными в поглощении инфракрасного из-
излучения, а' х преобразуется подобно тензору третьего ранга.
Чтобы показать связь между комбинационным рассеянием
света и электрооптическим эффектом, удобно переписать .выра-
#сение B.61) в следующей форме (для ®Фв)т):
(о,
B.62)
ч
8 Зяи. Ц75
Глава 2
Кроме того, из выражения B.60) имеем [2.2]
где Г" —тензор линейного электрооптического эффекта для
и = 0.
Следовательно, тензор &*v?r (ю,, 0) пропорционален тензору
линейного электрооптического эффекта. Отношение
- в
(-. = ■—
'ац-/).
B.64)
есть коэффициент Фауста —Генри [2.35], который определяет
относительную величину вклада смещения атомов и электрооп-
электрооптического вклада в fl*vj,(<ap со, 0). Величину коэффициента
Фауста — Геири можно получить из данных по измерению отно-
относительной интенсивности комбинационного рассеяния света по-
ляритонами, ТО- и LO-фононами [2.36, 2.37]. Тензор &*„я.(и|. ш)
определяет нелинейное взаимодействие (внутри кристалла) двух
электромагнитных волн с частотами ooi и ш, в результате чего
возникает третья волна с частотой юг = «i ± ш [2.12, 2.15].
Комбинационное рассеяние света плазмонами
Рассмотрим далее случай кристалла с частично заполненной
зоной проводимости или с частично пустой валентной зоной,
Подходящим примером является вырожденный полупроводник
п-типа с носителями заряда только в одной зоне проводимости
и с изотропной эффективной массой. Другие случаи, а также
вопросы, связанные с многокомпонентной плазмой, рассматри-
рассматриваются Клейном [2.11] в гл. 4. Продольные плазменные волны
(плазмоны) вместе с одночастичными возбуждениями образует
элементарные возбуждения электронного газа. В пределе длин-
длинных волн плазмоны соответствуют почти однородному отклоне-
отклонению свободных носителей из положения равновесия. Это откло-
отклонение создает продольное электрическое поле, компоненты кото-
которого равны [2.10]
#ц (Юр) = - Anneexh (top), B.65)
ГДе пе — плотность носителей заряда, ш* — их эффективная мас-
масса, ш = DяпУ/п*еяу» — плазменная частота и ^{(^(—компо-
^{(^(—компоненты координаты смещения плазмона из положения равнове-
равновесия [2.10, 2.25]. В случае незатухающих колебаний амплитуда
этой нормальной координаты определяется следующим выраже-
О сковы не упругого рассеяния в полупроводниках
87
ннем[2.10]:
- i \ — s ( й У1'
B.66)
где |х — единичный вектор поляризации колебания. В случае
изотропной плазмы выражение для флуктуации плотности за-
заряда можно представить в виде
Ре К, q) = weVx (Юр, q) = inee 2 qxxk («,p, q). B.67)
Продольное электрическое поле приводит к фрёлиховскому
электрОн-плазмонцому взаимодействию с матричными элемен-
элементами, подобными матричным элементам /.О-фонотюв с q як 0.
Таким образом, выражения B.53) и B.56) для внутризонных и
междузонных матричных элементов можно применить к случаю
рассеяния плазмонами, если заменить $(®L) на ${щ).
Предполагается три раздельных вклада в поляризуемость
перехода первого порядка для плазмонов. Первый из них обу-
обусловлен электрооптическими членами, связанными с $\{сор).
Этот вклад получается путем замены в выражениях B.58) и
B.59). <£%{ш) на &у,{щ). Второй вклад, включающий электрон-
излучательное взаимодействие Жлл, приводит к поперечному се-
сечению рассеяния, определяемому выражениями B.16) и B.17).
Выражение для этого вклада в поляризуемость перехода, обу-
обусловленного флуктуациями плотности заряда в плазменной
волне, имеет вид
* (£) (»р. Ч). B-68)
где рг(«яр, q)— амплитуда флуктуации плотности заряда в плаз-
плазменной волне. Третий вклад, который, как упоминалось в п. 2.2.1,
отсутствует для диэлектриков, получается из рассмотрения диа-
диаграмм на фиг. 2.6. Из этих диаграмм следуют члены двух ти-
типов. Одни из них соответствуют случаю-, когда первый пере-
переход, указанный на фиг. 2.6, а, или последний переход, указан-
указанный на фиг. 2.6,6, связан с рождением или уничтожением фо-
фотона. Эти члены содержат внутризонный матричный элемент Жа
и междузонный матричный элемент фрёлиховского электрон-
плазмощюго взаимодействия. Их вклад будет незначительным
[?.25]. Члены другого типа соответствуют случаю, при котором
первый переход па фиг, 2.6, а или последний переход па
фиг. 2.6,6 связан с рождением и уничтожением плэзмоца. Эти
члены содержат внутризонный матричный элемент фрёлихов-
фрёлиховского элсктрои-плазмошюго взаимодействия. Их вклад в поля-
поляризуемость перехода, также обусловленный флуктуациями плот-
hoctiN заряда носителей, можно записать в следующем виде
Глава 2
[2.25, 2-38]:
P. q). B-69)
Выражения B.68) и B.69) можно объединить в одно и полу*
чить
(%.\-щ+(ед=<й+]>'*с^ ем р. к. о. B-7°)
где Cjiv(aii) — тензор комбинационного рассеяния света, обуслов-
обусловленного флуктуациями плотности заряда. Из выражений
B.69) —B.71) видно, что в области прозрачности кристалла
тензор Сцу(щ) является вещественным, а F%иу) — чисто мнимая
величина, линейная по q».. Мак-Уортер и Аржирес [2.38] пока-
показали, что в рамках квазистатического приближения Ст(щ)
есть производная электронной поляризуемости по плотности за-
заряда носителей.
Выражение для поляризуемости перехода первого порядка,
содержащее как вклад, обусловленный электрооптическим ме-
механизмом, так и вклад, обусловленный механизмом флуктуа-
флуктуации плотности заряда носителей, можно записать в виде
. q)]. B.71)
Члены, линейные по q в (&х£Д, и (ty^,v)p, являются мнимыми.
Они могут интерферировать между собой, но не с (fy/")g, веще'
ственной величиной.
Формы линий в спектре комбинационного рассеяния света
Чтобы обсуждать форму линий в спектре комбинационного
рассеяния света, необходимо выразить поляризуемость перехода
через зависящие От временя операторы нормальных координат
коллективных возбуждений. В соответствии с этим запишем вы-
выражение для оператора поляризуемости перехода в виде
fo> 0
m(q, 0 + члены высших порядков,B.72)
где Qm(q,/) — обозначение для операторов нормальных коорди*
пат, a /?jivm представляет собой соответствующий тензор комби-
комбинационного рассеяния.
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
Поперечное сечение комбинационного рассеяния вычисляется
путем подстановки B-72) в B.28) и B.13). Мы видим, что. попе-
поперечное сечение для процесса рассеяния первого порядка пропор-
пропорционально корреляционной функции
где
(q, 0. B.73)
0г B.74)
есть зависящая от температуры функция Грина для нормальных
координат возбуждений. В отсутствие взаимодействий между
различными модами кристалла Qm(q, t) являются независимыми
переменными и, следовательно, Amn%> (q, ш) и Omm' (q, /) равны
нулю, кроме случая m ~m'. Если учесть, что между различными
возбуждениями кристалла имеются взаимодействия, то можно
получить корреляционные функции и функции Грина, которые
будут отличны от нуля для тф-m'. Взаимодействия между раз-
различными возбуждениями могут иметь важное значение для фор-
формы линий в спектрах комбинационного рассеяния. В частности,
если взаимодействие вызывает корреляцию между двумя раз-
различными модами, активными в комбинационном рассеянии, то
в выражениях для поперечного сечения этих мод будут иметь
место интерференционные эффекты.
Для незатухающих возбуждений и в отсутствие взаимодей-
взаимодействий между модами выражения для корреляционной функции
принимают простую форму
{q, ff.) =
B.75)
где Qm((l, ш)—амплитуды нормальных колебаний. Таким обра-
образом, как и ожидалось, выражения для поперечного сечения pacj
сеяния, вычисленные с использованием B.75), для незатухаю-
незатухающих колебаний решетки и для плазмонов эквивалентны выраже^
иням для поперечного сечения, полученным ранее.
В случае оптических фопонов и поляритонов выражение для
оператора поляризуемости перехода, данное формулой B.72),
можно записать как обобшение выражения B.61) в виде
6Xnvft, t)=* 2] оц^(ю1- ш- q)M;(q> 0 +члены высших порядков,
B.76)
где нормальные координаты ut{q,i) связаны с флуктуациями
' смещений атомов из положения равновесия, обусловленными
70
Глава 2
оптическими фононамя, следующим выражением:
B.77)
Кроме того, мы ввели тензор комбинационного рассеяния, ко-
который можно записать как
где тензор а* (со., а>, 0) идентичен тензору комбинационного
рассеяния в выражении B.61), которое описывает «разрешен-
«разрешенное» рассеяние оптическими фононами и поляритонами, и
бй* (ю , о, q) есть часть тензора комбинационного рассеяния,
зависящая от волнового вектора, которая описывает «запрещен-
«запрещенное» зависящее от ц комбинационное рассеяние оптическими фо-
фононами и поляритонами. Ранее было показано, что один из
вкладов в eo'v,(w1P о, q) обусловлен двухзонными процессами,
содержащими фрёлиховское взаимодействие.
Выражение для поперечного сечения комбинационного рас-
рассеяния света оптическими колебаниями решетки получается пу-
путем подстановки B.76) в B.27) и B.13). Это приводит к вы-
выражению для поперечного сечения в виде ряда, в котором пер-
первый член пропорционален корреляционной функции
Аип. (q, ») =(}я) $ dt ехр [Ш) (i I«, (q, 0 «,, (q, 0) | t)r B.79)
Этот член описывает процессы первого порядка. В случае
идеальной гармонической решетки фононы имеют бесконечное
время жизни, и Л*г {q, e>) принимает форму, данную выражением
BJ3), с |Qm(q, w)|e|ai{q,o>|. B случае ангармонической ре-
решетки Каули [2.39] показал, что полная теория рассеяния пер-
первого порядка должна учитывать также члены, обусловленные
корреляцией между однофононными и колебательными состоя-
состояниями кристалла и состояниями более высокого порядка. Коле-
Колебательные корреляционные функции можно рассчитать мето-
методами теории многих тел, используя гамильтониан решетки, ко-
который содержит ангармонические члены в выражении для по-
потенциальной энергии. В случае оптических фонопов диагональ-
диагональный, элемент в B,79) можно записать в виде [2.40]:
^ (q, о, Т) X
х («{И (ч.tt-
ГДб
B.81)
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
есть зависящая от температуры и от и перепормированная ча-
частота моды,- coi(q)—гармоническая частота; Ищ и Щ являются
вещественной и мнимой частями диагональных элементов мат-
матрицы собственной энергии. Функция П» связана с ангармони-
ангармоническим затуханием моды и определяет ширину линии в спектре
комбинационного рассеяния света. Общие выражения для П;д
и П|/ для фононов были получены в работе Марадудина и
Фейна [2,40] и для поляритонов — в работах Бенсона и Милса
[2.15, 2.41, 2.42], В теории возмущений низшего порядка вкла-
вклады в П(; появляются в результате ангармонических процессов
третьего порядка, при которых колебание с частотой an(q) рас-
распадается на два фонона, и для таких процессов должен выпол-
выполняться закон сохранения волнового вектора.
Во многих случаях наблюдаемую форму линий в спектре
комбинационного рассеяния света первого порядка можно опи-
описать выражением B.80), предположив, что П;я и П» зависят от
температуры, но не зависят от со. Сюда относятся, по-видимому,
случаи алмаза [2.43], кремния [2.44] и германия [2.45, 2.46].
Относительно слабая температурная зависимость ширины линий
комбинационного рассеяния света первого порядка в этих кри-
кристаллах была объяснена вкладами третьего порядка в Пк
[2.39, 2.47]. Информация о частотной зависимости tin была по-
получена из анализа формы линий комбинационного рассеяния
света первого порядка ТО-фононами [2.48] и поляритонами
[2.49]. В случае кристаллов GaP Ушиода в работе [2.49] от-
отметил, Что частотная зависимость Пл обусловлена распадом оп-
оптических колебаний решетки на два акустических фонона из
края зоны Бриллюэна. Комбинационное рассеяние света также
интенсивно использовалось для изучения «мягких» оптических
фононов. Такие моды имеют частоты и ширины, которые сильно
зависят от температуры. Обзор работ по спектроскопии мягких
оптических мод приведен в работах Уоплока Г2.5О1 и Скотта
[2.51].
Недиагональные элементы матрицы корреляционной функ-
функции, определяемые выражением. B.79), пропорциональны недиа-
недиагональным членам матрицы собственной энергии [2.40, 2.52].Эти
члены могут иметь место в том случае, когда моды I и I' при-
надлежат одному и тому же неприводимому представлению
пространственной группы кристалла и связаны между собой
некодорым взаимодействием. Недиагональные элементы корре-
корреляционных функций приводят к интерференции между вкладами
мод I и I' в поляризуемость перехода. В этом случае формы ли-
линий, наблюдаемых в спектре комбинационного рассеяния света,
значительно отклоняются от формы линии затухающего осцил-
осциллятора, предсказываемой выражением B.80). Взаимодействие,
которое>евязывает две моды, может, например, являться след-
72
Глава 2
ствием ангармонических членов в выражении для потенциаль-
потенциальной энергии колебания [2.52, 2.53]. Было показано, что взаимо-
взаимодействия, которые приводят к смешиванию мод и интерферен-
интерференционным эффектам, могут также осуществляться посредством
макроскопических электрических полей поляритонов [2.42], свя-
связанных LO-фонон-ллазмонных мод [2.54] и акустических фо-
нонов в пьезоэлектрических кристаллах [2.55]. В ангармониче-
ангармонических кристаллах однофононные состояния связываются с коле-
колебательными состояниями высоких порядков, включающимii два
или более фононов, посредством кубических и более высокого
порядка членов в выражении для потенциальной энергии ко-
колебания. В этом случае необходимо рассмотреть интерферен-
интерференционные члены между вкладами первого порядка и более вы-
высоких порядков в поляризуемость перехода [2.39, 2.56]. Баркер
и Лоудон [2.12] отметили, что в случае оптических фононов и
поляритонов A" (q, ш) можно вычислить из феноменологических
функций отклика. В этом приближении корреляционную функ-
функцию можно записать следующим образом (используя теорему
Найквиста):
^(q,^)--(f)H((o)+l]Im{7'J(q. *)}. B-82)
где
б, (q, »)
'■ннешн (Ч,
есть функция отклика, которая определяет амплитуды смеще-
смещения атомов из положения равновесия, создаваемые в кристалле
под действием «внешних возмущающих сил» с амплитудой
^внвшн (q, @). В случае чисто механических волн, подобных не-
неполярным или ГО-фононам, функцию отклика Ti(q,o) можно
получить из простого классического уравнения вынужденных
колебаний затухающего осциллятора. Для колебаний с q — 0
корреляционная функция определяется следующим образом:
(о,
(Я +
{л [((о? -
B.84)
где yi — феноменологическая константа затухания. При wj 3> ft
выражение B.84) идентично выражению B-80) с yt = 2П((. При
использовании выражения B.84) необходимо сделать «матема-
«математическое предположение», что <sn, как и yi, зависит от темпера-
температуры и частоты.
Баркер и Лоудон в работе [2.12] также обсуждали случаи
взаимодействия полярных колебаний с макроскопическими элек-
электрическими полями (т- е. поляритонами и Z-O-фононами) в двух-
двухатомных и многоатомных кристаллах. В этих случаях корреля-
корреляционные функции подобны корреляционным функциям, опреде-
Основы не упругого рассеяния в полупроводниках
73
ляемым выражением B.84). Для LO-фононов А" получается из
выражения B.84), но вместо ш; нужно подставить wl — частоту
LO-фононов. В случае поляритониых мод А" получается также
из выражения B.84), но в данном случае вместо <о, нужно под-
ставигь <72с2/е(ш) (где с—скорость света и е(ю)~диэлектриче-
е(ю)~диэлектрическая проницаемость). Кроме того, выражение B-84) необходимо
умножить на функцию, которая определяет фонониую состав-
составляющую моды [2.15]. Хон и Фауст [2.57] подобным образом
рассчитали классические функции отклика для связанных
LO-фонон-плазмонных мод.
2.2.2. Феноменологическая формулировка
Как отмечалось ранее, комбинационное рассеяние света кол-
коллективными возбуждениями можно рассматривать как нелиней-
нелинейное взаимодействие п&аающпх и рассеянных электромагнитных
волн с коллективными возбуждениями. Классически эти воз-
возбуждения можно трактовать как плоские волны, характеризуе-
характеризуемые частотой to, волновым вектором q и амплитудой коллектив-
коллективного возбуждения Qm (q, ш), которые обладают свойствами
преобразования возбуждения под действием операций симмет-
симметрии точечной группы кристалла. В случае оптических фононов
Qm соответствует нормальной координате смещения атомов из
положения равновесия, в случае акустических фонсшов она со-
соответствует нормальной координате упругого колебания и в
случае плазмонов —нормальной координате отклонения из по-
положения равновесия свободных носителей. В феноменологиче-
феноменологической трактовке процесса комбинационного рассеяния усреднен-
усредненная по времени и пространству плотность потенциальной энер-
энергии среды разлагается в степенной ряд по амплитудам падаю-
падающих и рассеянных полей (^{ki, o>i) и ^{kj, coj) и по Qm(q, ю)
[2.23]. Вклад нелинейных взаимодействий в плотность энергии
определяется следующим образом:
ty ~ X ' ~Ъ% д% до—j Qm^i^2 "т" члены высших порядков, B.85)
где коэффициенты, подобные (дг$/д<£{д<!?чд(Ат), описывают не-
нелинейные оптические эффекты первого порядка, обусловленные
коллективными возбуждениями. Заметим, что выражение B.85)
можно переписать в виде
4- члены высших порядков, B.86)
где
-Z(
B.87)
74
Глава 2
есть поляризуемость перехода, a Rum, как и в выражении B.72),
являются тензорами комбинационного рассеяния для этих воз-
возбуждений,
В общем случае тензоры комбинационного рассеяния R{2m
асимметричны по векторам поляризаций падающих и рассеян-
рассеянных электромагнитных волн. Если нормальная координата кол-
коллективного возбуждения при операциях симметрии преобра-
преобразуется подобно полярным векторам или полярным тензорам,
тензор для комбинационного рассеяния света первого порядка
имеет как симметричные, так и антисимметричные части. Однако
в квазиклассическом приближении антисимметричная часть об-
обращается в нуль [2.14]. Это следует из того, что асимметрия
обусловлена энергетическими знаменателями. Когда нормаль-
нормальная координата коллективного возбуждения преобразуется как
аксиальный вектор, как, например, в случае оптических фононов
Лг-симметрии в кристаллах со структурой теллура [2.58], тен-
тензор Ri2m полностью антисимметричен по векторам поляризаций
падающих и рассеянных волн. В этом случае в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении тензор комбинационного рассеяния не обра-
обращается в нуль, поскольку асимметрия обусловлена матричными
элементами 5$Е£-взаимодействия. До сих пор в литературе не
сообщалось о наблюдении антисимметричного вклада в не за-
зависящий от волнового вектора тензор комбинационного рассея-
рассеяния света оптическими фононами.
Заметим, что в пределе q—*0, kt —»0 и k2-+0 тензоры #1Э(П
представляют собой не зависящие от волнового вектора тензоры
рассеяния, и их отличные от нуля компоненты можно получить
методами теории групп, используя операции симметрии точечной
группы кристалла. Например, нормальные координаты актив-
активных в комбинационном рассеянии света оптических фононов с
q = 0 в двухатомных кристаллах с центром инверсии со струк-
структурой алмаза (алмаз, кремний, германий, серое олово) преоб-
преобразуются по неприводимому представлению F2s группы Oh
[2.32]. Это представление соответствует симметрии одноосного
сжатия, приложенного вдоль направления A11). Следователь-
Следовательно, единственная компонента тензора комбинационного рассея-
рассеяния первого порядка в кристаллах со структурой алмаза преоб-
преобразуется подобно элементу тензора четвертого ранга и не обра-
обращается в нуль. В двухатомных кристаллах с центром инверсии
со структурой каменной соли, в которых оптические фононы
/■^-симметрии преобразуются подобно полярному тензору, #]2т
преобразуется как тензор третьего ранга и обращается в нуль.
Таким образом, в таких кристаллах оптические фононы Fia-
симметрии не активны в разрешенном комбинационном рас-
рассеянии.
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
75
Зависимость от волнового вектора и морфичвские эффекты
Зависимость тензоров комбинационного рассеяния от волно-
волнового вектора является результатом пространственного измене-
изменения падающих и рассеянных электромагнитных полей и нор-
нормальных координат коллективного возбуждения. Чтобы полу-
получить явную зависимость тензора комбинационного рассеяния
от волнового вектора, плотность энергии разлагается вблизи
волнового вектора, равного нулю, в ряд по степеням Й1,, &2 и
Q, их градиентам и пространственным производным высшего
порядка [2.23]. Эти градиенты, которые в таком феноменоло-
феноменологическом подходе входят как независимые переменные, равны
V#, = -ik,#i, B.88а)
1$3 = ац83, B.886)
VQm = /qQ^ и т. д. B.88b)
Для первого порядка по q вклад в 6f, связанный с рассея-
рассеянием первого порядка, определяется следующим образом:
*H(:
B.89)
В рамках квазистатического приближения имеем
{д3ф/а-у&1д&ъдат)=(д*<1>/д&}дч&2д<Лт), и тензор комбина-
комбинационного рассеяния, линейный по волновому вектору q, опреде-
определяется как
1Д
B.90)
Отметим, что в выражении B.90) члены тензора комбина-
комбинационного рассеяния, линейно зависящего от волнового вектора,
сдвинуты по фазе на 90° относительно членов, не зависящих от
волнового вектора, и в результате эти два вклада (всегда пред-
предполагается, что плотность потенциальной энергии f веществен-
вещественна, т. е. мы находимся в области прозрачности) не будут интер-
интерферировать. Отметим также, что зависящий от волнового век-
вектора вклад в R\2m является результатом или пространственного
изменения электромагнитного поля, и/или пространственного
изменения нормальной координаты колебания.
Мы уже сталкивались в п. 2.2.1 с двумя случаями, н которых
поляризуемость перехода имела вклады, обусловленные про-
пространственным изменением нормальной координаты коллектив-
коллективного возбуждения, Это были случаи рассеяния акустическими
7в,
Глава 2
фононами, описываемого деформационным потенциалом упру,
гой деформации Vw, и комбинационного рассеяния плазмонами,
обусловленного флуктуациями плотности заряда пеух,
Вид коэффициентов (d*$/d*&idgadQ>*) и (d^/d^^zdVQ,»)
определяет правила отбора для рассеяния, линейно зависящего
от волнового вектора q. Эти коэффициенты соответствуют вол-
волновому вектору, равному нулю, и потому их преобразования
определяются симметрией точечной группы кристалла. Правила
отбора для рассеяния оптическими фононами, линейно завися-
зависящего от волнового вектора, подробно обсуждаются в работах
[2.23—2.25]. Из рассмотрения второго члена в правой части
выражения B.90) можно сделать заключение, что линейно за-
зависящее от волнового вектора рассеяние имеет место для по-
полярных оптических фононов, которые обычно не активны в ком-
комбинационном рассеянии в кристаллах с центром инверсии. Ли-
Линейно зависящее от волнового вектора рассеяние может иметь
место также и для оптических фононов, активных в комбина-
комбинационном рассеянии в кристаллах без центра инверсии. Тензоры
поляризуемости перехода, линейно зависящие от волнового век-
вектора, для кубических и гексагональных кристаллов приве-
приведены в работе Бурштейна и Пинзака [2.25]. Интенсивность рас-
рассеяния, зависящего от волнового вектора, которое появляется
в результате нарушения правил отбора в разрешенном рассея-
рассеянии, мала. Однако такое запрещенное рассеяние часто удается
наблюдать в экспериментах, выполняемых в резонансных усло-
условиях [2.27],
Морфические эффекты
Изменения свойств кристалла под влиянием внешнего воз-
воздействия, приводящего к понижению его симметрии, называются
морфическими эффектами. С точки зрения динамики решетки
кристалла эти эффекты появляются в результате изменений
тензоров, которые описывают свойства кристалла, а также в ре-
результате расщеплений вырожденных нормальных мод. Типич-
Типичными внешними воздействиями являются электрические и маг-
магнитные поля и механические напряжения (деформации). Эф-
Эффекты, подобные морфическим, можно также наблюдать в не-
несовершенных кристаллах, которым присущи внутренние
электрические или магнитные поля и механические напряжения,
Морфические эффекты при комбинационном рассеянии оптиче-
оптическими фононами феноменологически можно описывать посред-
посредством разложения тензоров комбинационного рассеяния в ряд
по степеням компонент тензора внешнего воздействия [2.23,
2.24]. Б качестве примера рассмотрим случай, при котором
таким внешним воздействием является электрическое поле. Тен-
бсновы неупругого рассеяния в полупроводниках
зор комбинационного рассеяния можно записать следующим
образом:
о) +
-[-члены высших порядков, B.91)
Где #t,—компоненты напряженности внешнего электрического
поля &а. Вид коэффициентов тензора (да^/дВ^ определяется
точечной симметрией кристалла в отсутствие электрического
поля. Поскольку S и q — векторы, правила отбора для комби-
комбинационного рассеяния, индуцированного электрическим полем
(линейного по полю), такие же, как и для рассеяния, линейно
зависящего от волнового вектора. Таким образом, комбинацион-
комбинационное рассеяние, индуцированное электрическим полем, может
иметь место как для' неактивных в комбинационном рассеянии
оптических фононов в кристаллах с центром инверсии, так и
для активных в комбинационном рассеянии и инфракрасном по-
поглощении оптических мод в кристаллах без центра инверсии.
В кристаллах с центром инверсии оптические фоноиы, актив-
активные в комбинационном рассеянии и неактивные в поглощении
инфракрасного излучения, дают вклад в тензор рассеяния, ком-
компоненты которого либо квадратично зависят от волнового век-
вектора с/, либо квадратично зависят от электрического поля В,
либо содержат члены, линейные по q и &,
Подобное феноменологическое описание можно дать и для
других случаев, в которых внешним воздействием является ме-
механическое напряжение (вызывающее однородную деформацию)
или магнитное поле [2.24], Поскольку симметрия этих возму-
возмущений является четной, они не будут вызывать комбинационное
рассеяние света колебаниями, неактивными в комбинационном
рассеянии, в центросимметричных кристаллах.
Комбинационное рассеяние света, индуцированное электри-
электрическим полем, наблюдалось в параэлектрических кристаллах
со структурой перовскита A<ТаО3 и SrTiO3) [2.50]. В полупро-
водникозых кристаллах морфические эффекты в спектрах ком-
комбинационного рассеяния света первого порядка наблюдались
в экспериментах, выполненных в резонансных условиях, Сооб-
Сообщалось об индуцированном электрическим полем рассеянии пер-
первого порядка LO-фоноиами в InSb [2.59] и InAs [2.60], в полу-
полупроводниковых соединениях AIVBVI со структурой каменной
соли [2.61] и в CdS [2.62]. Об индуцированном олпоосной де-
деформацией комбинационном рассеянии света ТО- и LO-фоно-
намй ^InSb сообщалось в работе [2.63] и в InAs —в работе
J2.64].
Глава 1
2.3. Частотная зависимость тензоров
комбинационного рассеяния света
оптическими фоноиамн первого порядка
Зависимость тензоров комбинационного рассеяния света оп-
оптическими фононами от частоты падающих фотонов обусловлена
резонансными знаменателями в выражении B.36). Из обсужде-
обсуждения в п. 2,2.1 следует, что эта частотная зависимость опреде-
определяется суперпозицией всех вкладов от двухзонных и трехзонных
процессов рассеяния со всей зоны Бриллюэпа. Трехзонные про-
процессы могут включать прямые или непрямые междузонные
электронные переходы с участием фонопов. Было найдено, что
междузонные переходы с участием фононов имеют важное зна-
значение для интенсивности комбинационного рассеяния второго
порядка в Si, GaP и Cu2O [2.65, 2.66]. Однако последние экспе-
экспериментальные данные [2.67] указывают на то, что члены, опи-
описывающие переходы с участием фононов, не дают весомого
вклада в комбинационное рассеяние первого порядка, В случае
прямых междузонных переходов частотные зависимости ряда
членов, дающих вклад в тензоры комбинационного рассеяния,
определяются теми значениями энергии, которым соответствуют
критические точки в функции комбинированной плотности coj
стояний для прямых междузонных переходов. Кроме того, вклад
от каждой критической точки (или энергетического зазора)
можно разделить на два члена, включающих дискретные экси-
тоны и непрерывные состояния электронно-дырочных пар.
2.3.1. Резонансное усиление
Как видно из уравнения B.36), резонансное усиление при
комбинационном рассеянии первого порядка оптическими фоно-
фононами должно иметь место в том случае, когда энергии падаю-
падающих фотонов достаточно близки к энергиям промежуточных
электронных возбуждений. Такое резонансное усиление наблю-
наблюдалось для большой группы полупроводниковых кристаллов при
энергиях фотонов, близких к энергии, соответствующей фунда-
фундаментальному краю поглощения, и к зазорам в области более
высоких энергий. Недавно [2,68] также сообщалось о наблюде-
наблюдении резонансного усиления рассеяния для энергий фотонов,
близких к энергии запрещенного в электрическом дипольном
приближении перехода в желтой экситоиной серии в СиО2. Да-
меп и Щах [2.69] нашли, что в кристаллах CdS имеет место
значительное резонансное усиление при энергиях падающих
фотонов, соответствующих возбуждению экситонов, связанных
с примесями,
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
79
f.O (,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
Фиг, 2.7. Зависимость нормированных интенсивностей комбинационного рзс-
сенния света фононами А(ТО)- и £'[G"О)-симметрии в CdS (80 К) от энергии
падающих фотонов,
Eg сопгветствует энергии фуидэ ментального края поглощения. Сплошными линиями пред-
представлены теоретические кривые, (По данным Ралстона и др. 12,72|J 1 — ТО B28 см~') Л,\
2—ТО B43 см~') Е,.
Частотную зависимость тензора комбинационного рассеяния,
связанного со смещением атомов из положения равновесия,
ыожно получить экспериментально путем измерения частотной
зависимости интенсивности рассеяния света первого порядка
оптическими фононами с q як 0, колебания которых не вызы-
вызывают макроскопического электрического поля. Измерения абсо-
абсолютных интенсивностей рассеяния можно избежать путем срав-
сравнения исследуемой интенсивности рассеяния с интснсивностями
комбинационного рассеяния эталонной среды, для которой дис-
дисперсией при изменении энергии падающих фотонов можно пре-
пренебречь. Частотная зависимость интенсивности рассеяния при
энергиях, меньших ширины паинизшей запрещенной зоны Egt
измерена для ГО-фононов в полупроводниковых соединениях со
структурами цинковой обманки и вюрцита, таких, как ZnTe
[2.70], ZnSe [2.71], ZnS [2.71], AlSb [2.70], CdS [2.72] и GaP
[2,67,-ft-73], Экспериментальные данные для ГО-фопонов А\- к
^-симметрии кристаллов CdS представлены на фиг. 2,7, Из-
Глава 2
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
sa 2,е г,8 з,о зл
Энергия падающих /ротонов, эВ
Фиг. 2.8. Зависимость относительного поперечного сечения комбинационного
рассеяния света от энергии падающих фотонов для разрешенного рассеяния
первого порядка ГО-фононами в GAP при комнатной температуре.
Энергия края Е» и Ео+ До указаны ни фигура. (По данным Белла и яр. [2.73].)
этого графика видно, что для энергий фотонов, близких к энер-
энергии, соответствующей краю Ее, имеет место значительное (резо-
(резонансное) усиление интенсивности рассеяния. Однако для мень-
меньших значений энергии кривая частотной зависимости интенсив-
интенсивности рассеяния имеет минимум. Подобные минимумы наблю-
наблюдались при исследовании рассеяния света фонолами /^-симмет-
/^-симметрии в ZnS [2.71] и при рассеянии неполярными фонолами fa-
симметрии в CdS [2.74]. Эти минимумы интерпретировались как
результат взаимной компенсации вкладов в тензор комбинацион-
комбинационного рассеяния, обусловленного отклонением атомов из поло-
положения равновесия, имеющих при энергии, соответствующей краю
Ее, резонансный а нерезонансный характеры. Частотная зави-
зависимость интенсивностей линий комбинационного рассеяния
света первого порядка ГО-фононами с <J ~ 0 в GaP была не-
недавно приведена в работе Белла и др. [2.73]. Используя лазер
на красителях, работающий в импульсном режиме, они получили
данные для энергий фотонов в области между Ео и Ео + Ао. Эти
результаты, представленные на фиг. 2.8, свидетельствуют о том,
что усиление при значении энергии, соответствующем ширине зо-
зоны, отщепленной вследствие спин-орбитального взаимодействия,
Ео + До, меньше, чем усиление при энергии, соответствующей
краю Ео.
Частотная зависимость линий комбинационного рассеяния
света первого порядка оптическими фононамн с q як 0, колеба-
колебания которых не сопровождаются возникновением макроскопиче-
макроскопического электрического поля, была также измерена для энергий
фотонов вблизи других критических точек. Для края Е1 и
Еi + Ai в полупроводниках со структурой алмаза и цинковой об-
обманки были опубликованы результаты для оптических фононов
в Ge [2.75] а также для ГО-фононов в InSb [2.76, 2.78], InAs
[2.79, 2.80], InSb^As» [2.79] и GaSb [2.78]. Данные для герма-
германия представлены на фиг. 2.9. Одной из наиболее важных осо-
особенностей этих результатов является то, что максимумы кривой
резонансного усиления имеют место не при значениях энергии,
соответствующих критическим точкам, определенным из оптиче-
оптических измерений, а смещены в сторону более высоких энергий.
Частотная зависимость интенсивности линий комбинационного
рассеяния света первого порядка фононами Р2й-симметрии, ак-
активными в комбинационном рассеянии и неактивными в поглоще-
поглощении инфракрасного излучения, в полупроводниковых соедине-
соединениях группы A"Biv со структурой антифлюорита была приведена
6'
1 4'
2г*—'~^0*'
1,9 2,0 2~У £J~ 2,3~~~2/ 2Д ~Ц 2j>
Ьш з8
Фиг. 2.9. Зависимость относительной интенсивности комбинационного рассея-
рассеяния света от энергии падающих фотонов для разрешенного рассеяния первого
Порядка оптическими фоновами в Ge.
СплошяаЧ!»линия получена с помощью ураннення B.102) и экспериментальных данных ДЛЯ
Электронной поляризуемости. (По данным Серяейры н яр. [2.7610
T-JQ0K
-
' Ix._x-j£
^ V
п
г
1
1
V Г
м1
V
V
\
^—/(Ge)//(CaCO3)
\
82
Глава 2
в работе Анастассакиса и Перри [2.81]. Энергии падающих фо-
фотонов соответствовали энергиям вблизи края Е[.
Частотная зависимость интенсивности линий для разрешен-
разрешенного рассеяния LO-фононами для энергий фотонов вблизи Ео и
вблизи энергий в критических точках с большими значениями
энергии измерена в ряде полупроводников со структурами цин-
цинковой обманки и вюрцита (см., например, работы [2.70—2.72] и
[2.77—2.80], а также ссылки, приведенные в этих работах)- Най-
Найдено, что частотные зависимости интенсивностей для разрешен-
разрешенных LO-фононов отличаются от частотных зависимостей интен-
интенсивностей для разрешенных ГО-фоионов. Это связано с наличием
в выражении для поперечного сечения разрешенного рассеяния
LO-фононами дополнительного вклада, обусловленного членами,
описывающими трехзонный вклад в тензор комбинационного
рассеяния, связанный с электрооптическим эффектом.
В разд. 2.2 мы показали, что двухзонный электрооптический
тензор комбинационного рассеяния появляется в результате за-
запрещенного, зависящего от волнового вектора рассеяния света
Z-O-фононами. Запрещенное рассеяние может также возникать
вследствие морфическнх эффектов, связанных с внутренними или
внешними электрическими полями. Имеющиеся эксперименталь-
экспериментальные данные свидетельствуют о том, что запрещенное рассеяние
первого порядка LO-фононами в случае совершенных кристаллов
наблюдается лишь при резонансных условиях. С другой стороны,
зависящее от волнового вектора рассеяние ГО-фононами не
наблюдалось в «совершенных» кристаллах даже при условиях
резонансного усиления. Частотные зависимости интенсивности
резонансного запрещенного рассеяния LO-фолоиами, активными
и неактивными в комбинационном рассеянии, были измерены в
некоторых полупроводниковых кристаллах. Запрещенное рассея-
рассеяние колебаниями, активными в комбинационном рассеянии света,
интенсивно изучалось вблизи края Еа в кристаллах CdS [2.82—
2.85], а также в ряде полупроводниковых соединений группы
A!1IBV, включающей InSb [2.76—2.78], GaSb [2.78] и inAs [2.80].
Было установлено, что резонансное усиление интенсивности за-
запрещенного рассеяния LO-фононами больше, чем резонансное
усиление интенсивности при разрешенном рассеянии. О резонанс-
резонансном запрещенном рассеянии первого пopядкaLO-фoнoнaми, не-
неактивными в комбинационном рассеянии света, в полупроводни-
полупроводниках с центром инверсии группы A"B1V сообщалось в работе
[2.86], в Си2О — в работах [2.68, 2.87] и в Т1С1 — в работе
[2.88].
Ниже мы рассмотрим выражения для резонансных тензоров
комбинационного рассеяния, обусловленных смещением атомов
из положения равновесия и электрооптическим эффектом. Наи-
Наиболее сильная зависимость от частоты фотонов содержится в
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
83
первом члене в правой части выражения B.36) для поляризуемо-
поляризуемости перехода первого порядка. В п. 2.2.1 было отмечено, что этот
член соответствует временной последовательности, представлен-
представленной на диаграммах фиг. 2.2. Для этих диаграмм двухзонные
члены содержат внутризонные матричные элементы электрон-
фононного взаимодействия, в то время как трехзонные члены
связаны с междузонными матричными элементами. Промежу-
Промежуточные электронные переходы кристалла, которые содержатся в
этих членах, схематически представлены на диаграммах фиг. 2.4
и 2.5. Мы рассмотрим вклады от этих членов в тензоры комбина-
комбинационного рассеяния.
2.3,2. Тензор комбинационного рассеяния, обусловленный
смещением атомов
Выражение для тензора комбинационного рассеяния, обу-
обусловленного смещением атомов, можно получить из B.36) и
B.49). Удобной является запись в виде
ХФр @) D?aT) (а, р) [(Еа -
- Acoa)] + В (ш,), B.92)
где Фа(г) и Фр(г)—огибающие функции, которые описывают
динамику промежуточных состояний. При виртуальных перехо-
переходах в рамках приближения эффективной массы промежуточные
состояния соответствуют рождению электронно-дырочной пары
[2.6]; @|рд]а) и (p|pv|O)— междузонные матричные элементы
оператора импульса для перехода из основного электронного со-
состояния в состояния пар |а) и |C); В(ш|) описывает менее ре-
резонансные или нерезонансные члены.
Резонансные члены, описывающие двухзонный вклад
Не зависящие от волнового вектора члены, описывающие
двухзонные вклады, можно вычислить, если использовать ди-
польно.е приближение для матричных элементов оператора им-
импульса и рассматривать одну зону проводимости и одну валент-
валентную зону. Рассмотрим сначала случай, когда промежуточные
состояния образованы несвязанными между собой электронами
и дырками. В этом случае Фа@)=Фц@)= 1. Таким образом,
резонансные вклады в тензор комбинационного рассеяния, опи-
описывающие двухзонный вклад для рассеяния, обусловленного
Глава 2
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
85
смещением атомов из положения равновесия, равны [2.89]
X [(Лп + Aq X
? + (Й<о + Rq X ve
B.93)
где Ек — энергии, соответствующие прямым междузонным пере-
переходам электрона с волновым вектором к, и (с[/)„|и) — между-
междузонный матричный элемент импульса; й\ и $ — внутризонные
деформационные потенциалы соответственно для зоны проводи-
проводимости и валентной зоны. Кроме того, vc(x) = A/Й) Уи£с(к) и
о» (к) = (l/fi)VK£■(,(«), где Ее(ж) н £„(и)—зависимости энергии
от волнового вектора з зоне проводимости и в валентной зоне
соответственно. Из выражений B.41) и B.92) слетл/ет, что в
случае кубических кристаллов резонансный член а «*„/(% Щ, 0)
можно записать через зависящую от частоты электронную поля-
поляризуемость x(oi) [2.89]
а" = [Х(ш,)-%(щ-
B.94)
Аналогичные выражения можно записать и для компонент
au!vj(a!> и> 0), которые являются диагональными компонентами
тензора поляризуемости перехода для одноосных и двуосных
кристаллов. В квазистатическом пределе имеем
lim a"(a>i, ю, 0) =
0
dX(a>t) 4 + d?
B.95)
Выражения B.94) и B.95) указывают на то, что резонанс-
резонансное комбинационное рассеяние первого порядка оптическими
фононами с ц ж 0 имеет такие же особенности, которые полу-
получаются в модуляционной спектроскопии при междузонных элек-
электронных переходах. В случае комбинацлонного рассеяния света
модуляция междузонных оптических параметров кристалла ия-
дуцируется колебаниями решетки. Эту точку зрения высказал
■Кардона [2.31]. Выражения B.94) и B.95) были использованы
для получения частотной зависимости интенсивности резонанс-
резонансного комбинационного рассеяния на основании эксперименталь-
экспериментально полученных данных частотной зависимости диэлектрической
проницаемости. Такая методика была использована для актив-
активных в комбинационном рассеянии света фононов ^е-симметрии
в полупроводниках группы Al!Blv [2.81], а также для случая
Se и Те [2.90].
Выражение B.94) можно использовать также и для вычис-
вычисления a^v/(ft>,, ш, 0) па основании теоретических данных для
%{coi). В том случае, когда промежуточные состояния образо-
образованы несвязанными электронно-дырочными парами, мы можем
использовать величину %(ац), полученную из расчетов на осно-
основании модели плотности состояний [2.29, 2.30]. Для критиче-
критической точки Мо (которая для обычных полупроводников имеет
место у края Ео) можно получить выражение
%(<тЛ = I -5- я I С»' I -— 1 \2&1г — (ш, -)- о V'1 — ("са — и,I''1! =
где iug = Egjb — частота, соответствующая энергетическому за-
зазору между валентной зоной и зоной проводимости, и
С? = (VsP2)B^7ftlg)h> P~ величина междузонного матричного
элемента оператора ицпульса и ji* — приведенная эффективная
масса носителей в этих зонах. Из выражений B.94) и B.96)
получим
X [К - а, + ю)'А - К -
B.97)
где dc-° и dv-° — деформационные потенциалы для критической
точки Мо. Из выражения B.97) следует, что если учитывать
- уширение порядка ш, то а"(ац,ш,0) будет иметь пик при
®] =©g+ -£. Отметим далее, что для cei < щ а"(щ, а, 0) яв-
является вещественной величиной. Отсюда следует, что только
виртуальные междузонные переходы дают вклад в резонансное
комбинационное рассеяние. Если юэ < в2 < ь>и то а"(ш],ш, 0)
является комплексной величиной, так как в данном случае
имеют место как реальные, так и виртуальные переходы. Нако-
Наконец, если (|J > wg вклады от реальных переходов доминируют
над вкладами от виртуальных переходов, и а"{щ, ю, 0) является
мнимой величиной.
Выражение B.97) впервые было получено Лоудоном [2.7].
Он рассматривал только вклады от виртуальных междузонных
переходов. Гамильтон [2.33] впервые предположил, что, ве-
вероятно,' и реальные промежуточные междузонные переходы
играют роль в процессах комбинационного рассеяния света. За-
Зависимость \a"((Ai, to, 0) 12 от частоты со; для a>i » cog недавно
обсуждалась в работе Цайера и др. [2.18]. Их результат, со-
содержащий вклады от вещественных и мнимых членов, представ-
представлен на фиг.«^.1О, откуда видно, что кривая резонансного усиле-
86
Глава 3
Фиг. 2.10. Частотная зависимость квадрата модуля резонансного вклада, опи-
описываемого двухаонным членом, в тепаор комбинационного рассеяния света,
обусловленного смещением атомов на положения равновесия, в окрестности
критической точки Ма, полученная с помощью выражения B.97).
Пик имеет место при ш, "=а>,, + ш/2. (По данным Цайера н др. [2.18JJ
ння поперечного сечения рассеяния имеет симметричный пик
вблизи ai = <og+(co/2). Выражения B.92) и B.97) были ис-
использованы (после того как был взят квадрат по модулю) Чан-
гом и сотр. [2.71, 2.72] для описания полученных ими экспери-
экспериментальных данных по частотной зависимости интенсивности
комбинационного рассеяния света 7-фононами у края Ео
в CdS, ZnS и ZnSe. Результаты такого согласования теории
с экспериментальными данными можно видеть на фиг. 2.7. Ми-
Минимум кривой распределения интенсивности рассеяния для фо-
фотонов с энергией меньше ширины запрещенной зоны обусловлен
интерференцией между резонансными и нерезонанскыми вкла-
вкладами, компенсирующими друг друга. Белл и др. [2.73] предпо-
предположили, что с помощью выражения B.97) можно описать их
экспериментальные данные для GaP, представленные на фиг. 2.8,
если учитывать вклады как от края Ео, так и от Ео -J- До-
Члены, описывающие двухзонный вклад в тензор резонанс-
резонансного комбинационного рассеяния, обусловленного смещением
атомов из положения равновесия, для критической точки Мх
были рассчитаны в работе Джайна и Чудхури [2.91]. Для про-
промежуточных состояний, соответствующих несвязанным парам
электронов и дырок, было найдено, что
а" (со,, со, 0) « (~) [(ац - ше)"г - (<о, - ю, - а»)*]. B.98)
Основы неупругого рассеяния я полупроводниках
87
К сожалению, эти авторы рассмотрели только вещественные ча-
части а", и, следовательно, их результаты неполны.
Частотная зависимость вкладов в тензоры комбинационного
рассеяния и поперечные сечения рассеяния, в которых в каче-
качестве промежуточных состояний участвуют экситоны с дискрет-
дискретными и непрерывными состояниями, широко обсуждалась в ли-
литературе [2.18, 2.25, 2.92]. Мы не будем приводить здесь этих
расчетов. Однако следует также отметить, что члены, описываю-
описывающие двухзонный вклад в тензор комбинационного рассеяния,
обусловленного смещением атомов из положения равновесия,
в приближении ц = О, можно рассчитать посредством выраже-
выражения B.94). В случае водородоподобпого 15-экситона электрон-
электронная поляризуемость, связанная с этим экситоном, дается сле-
следующим выражением [2.6]:
% (<я) — Га2 (а 4-(TV"] B.99)
где ййэкс — энергия экситонного перехода и Г—постоянная за-
затухания экситона. Выражение для а" {щ, со, 0), которое полу-
получается из B.94) и B.99), аналогично выражению, получаемому
из выражений, приведенных в [2.18] (для Г = 0). Случаи не-
водородоподобпых промежуточных экситонпьгх состояний, по-
подобных тем, которые имеют место в критической точке Ми об-
обсуждаются в работе Джайна и Чудхури [2.91].
Необходимо отметить, что в приведенных выше расчетах
аш (ttp Mj ^) мы не учитывали *двойные резонансные» вклады,
для которых оба знаменателя в выражении B.92) стремятся
к нулю одновременно. Было показано [2.93], что для членов, со-
содержащих свободные электронно-дырочные пары, «двойные ре-
резонансные» вклады незначительны в случае кристаллов со
структурой зон, подобной структуре зон полупроводников типа
алмаза и цинковой обманки. Однако «двойное резоиансы» мо-
могут играть важную роль для членов, которые описывают пере-
переходы в дискретные экситонные состояния [2.27].
Резонансные члены, описывающие трехзонные вклады
Если три зоны, участвующие в процессе комбинационного
рассеяния, хорошо разделены, то резонанс имеет место только
с одной энергетической щелью. Из выражений B.36) и B.41)
следует, что в этом случае резонансная часть трехзоиного тен-
тензора комбинационного рассеяния, обусловленного смещением
атомов из положения равновесия, пропорциональна междузон-
междузонной электронной поляризуемости. С другой стороны, если раз-
разность энергий двух зон незначительно превышает энергию сш-
ТИческого федона, то форма тензора комбинационного рассеяния
Глава 2
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
значительно усложняется. Чтобы обсудить этот случай, удобно
рассмотреть такую модель, в которой разность энергий двух
зон, участвующих в процессе комбинационного рассеяния, со-
соответствует их спин-орбитальному расщеплению. Этот важный
случай имеет место в полупроводниках со структурой алмаза
и цинковой обманки. Для двух диаграмм, представленных на
фиг. 2.5, б, энергетические знаменатели можно записать в виде
= [Д - ЙсоГ' [(ЯГ - Ли!)""' - (Е~ - ftffli)"'],
B.100)
= [Д +
(ЯГ -
где Д = £7 — £*—спин-орбитальное расщепление валентных
зон. Зависимостью членов в выражении B.100) от волнового
вектора мы пренебрегаем. В случае дублетов (£0, £0 + До) и
(Ei, £[ -J- Д1) величину (Д ± На)-1 можно разложить в ряд по
степеням fia/Д. Сохраняя только один член первого порядка по
fico/Д, можно получить следующее выражение для а'"(щ, со, 0)
[2.94]:
а"' (ее.!, со, 0) = ■£- { [%+ К) + %+ К -со) -%- (щ) - %~ (со,-»)] -
где х±(й)])—вклады в электронную поляризуемость от зон, рас-
расщепленных спин-орбитадьпым взаимодействием, D" — деформа-
деформационный потенциал валентной зоны, связанный с междулонными
матричными элементами электрон-фонощюго взаимодействия.
В квазистатическом приближении а'"(щ, а, 0) имеет вид
0, o)=
B.102)
В случае дублета (£0,£0 + До), используя выражение B.96),
а"'(щ,0, 0) можно записать в виде
, ( 2D°> ° \( С'' \ { { Ел
0-0) = 1-2Г-)Ш {/(»..-f
Выражение B.103) впервые было получено в работе Кардоны
[2.30]. В работе [2,73] было найдено, что для объяснения экспе-
экспериментальны* данных для GaP (представленных на фиг. 2.8)
в области энергий, больших, чем £0 + До. необходимо рассмот-
рассмотреть члены, определяемые выражением B.ЮЗ). Выражение
B.Ю2) совместно со значениями ^(«i), полученными из оп-
оптических измерений, было использовано в работе Сердеиры и др.
[2.75] для описания резонансного усиления в кристаллах Ge в
области дублета Еи Е^ + Аи Их результаты представлены на
фиг. 2.9. Видно, что пик в кривой резонансного усиления яв-
является следствием перекрывающихся вкладов от зазоров Е{ и
Е\ -j- Ai, которые сравнительно близки друг к другу.
Члены, зависящие от волнового вектора
Деформационные потенциалы смещения атомов из положе-
положения равновесия в основном не зависят от волнового вектора,
поэтому зависящие от волнового вектора вклады в тензор ком-
комбинационного рассеяния, обусловленного смещением атомов
из положения равновесия, либо являются результатом зависи-
зависимости резонансных знаменателей от волнового вектора, либо
обусловлены зависимостью матричных элементов оператора им-
импульса в выражении B.93) от волновых векторов kj и kj. Это
имеет место в том случае, если матричные элементы оператора
импульса содержат квадрупольные или магнитно-дипольные
взаимодействия. Вклады, которые появляются в выражениях
матричного элемента оператора импульса в электрическом ква-
друпольном или магнитно-дипольном приближении, особенно
важны в том случае, когда междузонпые электронные переходы
являются дипольно запрещенными. Запрещенное резонансное
комбинационное рассеяние, которое наблюдалось при дипольно
запрещенном переходе в 15-состояние желтой экситонной серии
СщО [2.68], объяснено на основе таких выражений в рамках
электрического квадрупольного и магнитно-дипольного прибли-
приближения.
- Морфические аффекты
Влияние внешней одноосной деформации на резонансное рас-
рассеяние света 7"О-фононами вблизи края £[ исследовалось в кри-
кристаллах lnSb [2.63] и lnAs [2.64]. Было найдено, что изменение
интенсивности рассеяния имеет место только для энергии фото-
фотонов, близких к резонансным значениям. Данные для lnAs на
фиг. 2.11 объяснены на основе изменений двух- и трехзонных
вкладов в тензор комбинационного рассеяния, обусловленного
смещением атомов из положения равновесия. Эти вклады обу-
обусловлены одноосными деформациями, индуцирующими смеще-
смещение и расщепление четырехкратно вырожденного зазора £т на
триплетный и синглетный.
90
Глава 2
InAs ХН[Ш] Г?К
S.50 2,55 2,60 S,65 й?0 №
Фиг. 2,11. Относительные интенсивности комбинационного рассеяния света
для разрешенного рассеяния ГО-фононами в InAs при 77 К при различных
деформациях X" вдоль оси [Ш].
Сплошные линнн — теоретические кривые. (По данЕым Анастассакиса в ар. [2.64].)
Внутреннее или внешнее электрическое поле двумя различ-
различными путями видоизменяет процесс комбинационного рассеяния.
В первом случае электрическое поле вызывает относительное
смещение из положения равновесия иопов, что приводит к из-
изменению периодического потенциала решетки, а также собствен-
собственных волновых векторов и энергий колебаний решетки. Во втором
случае электрическое поле вызывает междузонное и/или внут-
ризонное смешивание одноэлектронных волновых функций кри-
кристалла. Внутризонное смешивание соответствует эффекту Фран-
Франца — Келдыша. Механизм, связанный со смещением атомов из
положения равновесия, имеющий важное значение в тех кри-
кристаллах, в которых электрическое поле вызывает большие сме-
смещения атомов, привлекался для объяснения экспериментально
наблюдаемого индуцированного электрическим полем комби-
комбинационного рассеяния «мягкими» 7"О-фононами в параэлектри-
ческих кристаллах [2.50, 2.95]. Делалось предположение, что
механизм рассеяния, основанный на эффекте Франца — Кел-
Основы неупругого рассеяния е полупроводниках
дыша, должен иметь место и в полупроводниках, особенно при
резонансе [2.89].
О наблюдении изменений в спектре комбинационного рас-
рассеяния света неполярными или 7"О-фононами, индуцированных
электрическим полем, сообщалось в работе [2.96] для алмаза
и в работе [2.62] для CdS. Малые изменения в тензоре комби-
комбинационного рассеяния света, обусловленного смещением ато-
атомов из положения равновесия, которые были квадратичными
по внешнему полю, в обоих случаях удалось измерить только
потому, что они интерферировали с рассеянием, не зависящим
от внешнего электрического поля. В случае CdS [2.62] индуци-
индуцированное электрическим полем изменение в комбинационном
рассеянии света 7-фононами наблюдалось только в условиях
сильного резонанса, когда энергия падающих фотонов равнялась
энергии экситонного перехода. Это свидетельствовало о том,
что основной механизм при индуцированном электрическим по-
полем рассеянии света в,CdS связан с эффектом Франца — Кел-
дыща. Более подробное обсуждение этого механизма будет дано
ниже.
2.3.3. Электрооптический тензор комбинационного
рассеяния
Электрооптический тензор комбинационного рассеяния, описы-
описывающий трехзонный вклад.
Частотную зависимость тензора комбинационного рассеяния,
обусловленного электрооптическим эффектом и описываемого
трехзонным вкладом, можно вычислить из частотной зависи-
зависимости прямого линейного электрооптического тензора с помощью
выражения B.60). Как отметил Белл [2.97], частотная зависи-
зависимость прямого электрооптического тензора в основном такая же,
как и частотная зависимость поляризуемости второго порядка
ГХм!^(<»1. юI ■ Эта нелинейная поляризуемость описывает сме-
смешивание двух электромагнитных волн с частотами со, и и (для
в» юг) и генерацию третьей электромагнитной волны на ча-
частоте юг- Таким образом, электрооптический тензор комбина-
комбинационного рассеяния, описывающий трехзонный вклад, опреде-
определяется следующим образом:
§1^к °)i- f2-lo4)
Выражения [х$ц(ю,, 0)]^ для полупроводников со структурой
цинковой обманки были получены Беллом [2.34] с учетом плот-
плотности состояний для описания междузонных переходов при
энергетических зазорах Ео, Ео.+ До, Е\ и £i ^ Ai.
Глава 2
, Резонансную часть электрооптического тензора комбинацион-
комбинационного рассеяния, описывающего трехзонный вклад, можно так-
также вычислить, используя выражения B.101) и B.102) и заменяя
коэффициенты деформационного потенциала множителем, про-
пропорциональным междузонным матричным элементам оператора
импульса. В результате этого частотная зависимость резонанс-
резонансной части b''x(<ev <й\ будет такой же, как и для резонансных
вкладов в тензор комбинационного рассеяния, обусловленный
смешением атомов из положения равновесия и описывающий
трехзоиный вклад.
Электрооптический тензор комбинационного рассеяния, описы-
описывающий двухзонный вклад; члены, зависящие от волнового
вектора
Зависящие от волного вектора члены электрооптического
тензора комбинационного рассеяния, описывающие двухзонный
вклад, появляются в результате зависимости от волнового
вектора резонансных знаменателей и междузонных матричных
элементов фрёлиховского электрон-фононного взаимодействия,
рассмотренных в выражениях B.53) и B.57). Имеются также
дополнительные вклады, связанные с зависимостью матричных
элементов оператора импульса от волновых векторов kj и kg.
Однако, как и в случае тензора комбинационного рассеяния, об-
обусловленного смещением атомов из положения равновесия, эти
вклады в основном будут существенными только для случая
дипольно запрещенных переходов в промежуточные электрон-
электронные состояния.
Члены в &^(tOj, го, q), связанные с зависимостью от волно-
волнового вектора внутризонных матричных элементов фрёлиховского
взаимодействия, можно вычислить путем разложения в ряд по
степеням q этих матричных элементов, определенных выраже-
выражениями B.55) и B.59). Полученные таким способом вклады в по-
поляризуемость перехода первого порядка обсуждаются в работе
Мартина и фаликова [2.27] в гл. 3. Показано, что в этом слу-
случае основной член в Ь"к((ах, со, q) линеен по q.
Индуцированные электрическим полем вклады в электроопти-
электрооптический тензор комбинационного рассеяния
В предыдущем разделе мы отметили, что предполагаются
в основном два механизма для объяснения влияния внешних
(или внутренних) электрических полей на процессы комбина-
комбинационного рассеяния света. Первый механизм связан со смеще-
смещением ионов кристалла из положения равновесия индуцирован-
индуцированным электрическим полем. Он объясняет индуцированные элек-
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
93
трическим полем вклады в тензор комбинационного рассеяния,
связанный со смещением из положения равновесия атомов для
«мягких» 7"О-фононов в параэлектрических кристаллах. Другой
механизм связан с индуцированным электрическим полем меж-
междузонным и внутризонным (обусловленным эффектом Франца —
Келдыша) смешиванием одноэлектронных состояний кристалла.
Смешивание волновых функций вызывает изменение матричных
элементов ША- и ЖЕь-взаимодействий, а также энергий между-
междузонных переходов. Такой механизм особенно эффективен при
индуцированном электрическим полем вкладе (при q = 0) в ре-
резонансный электрооптический тензор комбинационного рассея-
рассеяния для iO-фопонов, описывающий двухзонный вклад.
В ■ пределе а = 0 макроскопическое электрическое поле
LO-фононов . аналогично постоянному электрическому полю.
Следовательно, компоненты электрооптического тензора комби-
комбинационного рассеяния, линейные по напряженности внешнего
или внутреннего электрического поля, в квазиклассическом при-
приближении q = 0 идентичны зависящему от частоты квадратич-
квадратичному электрооптическому тензору для двух постоянных прило-
приложенных извне электрических полей. Междузонные и обуслов-
обусловленные эффектом Франца — Келдыша смешивания волновых
функций, индуцированные электрическими полями, также вклю-
включаются в расчет нелинейной поляризуемости третьего порядка
в полупроводниковых кристаллах [2.98, 2.99]. Теперь установ-
установлено, Что основной вклад в резонансную нелинейную поляризуе-
поляризуемость третьего порядка обусловлен эффектом Франца — Кел-
Келдыша. Поэтому мы предполагаем, что наибольшее влияние элек-
электрического поля на резонансное комбинационное рассеяние света
LO-фононами в полупроводниковых кристаллах будет также об-
обусловлено эффектом франда — Келдыша (описываемым двух-
зонным вкладом).
Резонансный электрооптический тензор комбинационного
рассеяния, описывающий двухзонный вклад, в присутствии одно-
однородного электрического поля можно записать в виде
<Ca(«»i, to, q, &a) =
С К
Ч.
B.105)
где <р„ (г, &а) — огибающие функции, описывающие динамику'
промежуточных состояний, которые соответствуют электронно-
дырочным парам, в однородном электрическом поле, л Mel (a,
&4,&а) — внучризонный матричный элемент фрёлиховского вза-
Глава 2
имодействия. Матричный элемент ШЕь (а, Р, q, (оа) можно вы*
числить с помощью выражения B.57), если \|>а(г) и \|>р(г) заме-*
нить на фа (г, $а) и Фр (*\ ^а)- Не зависящий от волнового век-
вектора член этого матричного элемента определяется выраже-
выражением [2.100]
.К Р, 0, &а)=-
B.106)
где
являются дипольными моментами электронно-дырочных пар,
индуцированных электрическим полем, и |— единичный вектор
поляризации фонона. Так как индуцированные дипольные мо-
моменты параллельны полю, то в не зависящем от волнового век-
вектора рассеянии участвуют только LO-фононы, для которых
I ' &а ф 0.
Дипольные моменты аа${&а) были полностью рассчитаны
только для случая 15-водородоподобных экситонных промежу-
промежуточных состояний. В этом случае линейный по ц и #"„ член
в 3@%LAS, 15, q, <£a) можно записать в виде [2.100]
58м. (IS, IS, q,ffe)«
Ш)' B-108)
где «о — боровский радиус экситона. В выражении B.108) вол-
волновой вектор фонона q равен волновому вектору рассеиваю-
рассеивающего возбуждения. В случае механизма, связанного с эффектом
Франца — Келдыша, для рассеяния, индуцированного электри-
электрическим полем, выполняется закон сохранения волнового вектора,
поскольку однородное электрическое поле не влияет на движе-
движение центра масс электронно-дырочных пар. Линейные по $а и q
члены резонансного тензора комбинационного рассеяния, свя-
связанного с электрооптическим эффектом и описывающего двух-
зонный вклад, можно получить, используя выражения B.108)
и B.105). Величина этого тензора определяется выражением
X his M - %is («i - %)], B.109)
где Xis(fiii)—вклад lS-экситона в электронную поляризуемость,
При выводе выражения B.109) рассматривался только член, не
зависящий от еа в xis(w). Кроме того, мы пренебрегли штар-
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
95
ковским смещением энергии экситона. Тот факт, что в выра-
выражении B.109) член, линейный по ц, является чисто мнимым,
а не зависящий от волнового вектора индуцированный электри-
электрическим полем член является вещественным, означает, что между
этими вкладами в поперечное сечение рассеяния интерференции
не происходит.
Гай и др. [2.100] вычислили с помощью выражения B.108)
параметр
который определяет индуцированные электрическим полем ком-
компоненты электрооптического тензора комбинационного рассея-
рассеяния света, описывающего двухзонный вклад. Результаты этого
расчета для кристаллов со свойствами, аналогичными свой-
свойствам кристалла CdS, представлены на фиг. 2.12. Видно, что при
малых полях параметр \X\S (q, %>a) I2 растет пропорционально
&а, пока не достигнет максимального значения, а затем па-
падает. Этот спад является следствием индуцированного электри-
электрическим полем разделения пары электрон — дырка в электриче-
электрическом поле, что вызывает уменьшение функции q>|S @, <оа), кото-
которая определяет перекрытие волновых функций электрона и
дырки. Для больших полей уменьшение tpis @, &а) подавляет
возрастание индуцированного дипольного момента d\s{<Sa). Та-
Такое уменьшение значений огибающих функций электронно-ды-
электронно-дырочных пар в электрическом поле характерно не только для
водородоподобных экситонов, но имеет место также и для дру-
других электронных междузонных переходов кристалла. Ипдуци-
0,4 0,8 0,12 W ОЛО-Ю4
Напряженность
влектрачешзо поля, В-см~*
Фиг. 2.12. Зависимость отношения \X,s{4- #"IгДи(ч-0)|г от напряженности
приложенного электрического поля для индуцированного этим полем комби-
комбинационного рассеяния света LO-фоионами при рассеянии назад с участием
skchtohob в основном 15-еоетояции. (По данным Гая и др. [2.100].)
96
Глаза 2
рованное электрическим полем уменьшение огибающих функций
состояний электронно-дырочных пар будет также влиять на ре-
резонансный тензор комбинационного рассеяния, обусловленного
смещением атомов из положения равновесия [2.62]. Шенд и
Бурштейн [2.62] предположили, что этим эффектом можно
объяснить индуцированное электрическим полем уменьшение
интенсивности разрешенного резонансного рассеяния света ТО-
фононами в кристаллах CdS, о чем упоминалось ранее.
Не зависящая от волнового вектора часть резонансного ин-
индуцированного электрическим полем поперечного сечения рас-
рассеяния света оптическими фононами также рассматривалась
в работе Пёкера и др. [2.101]. Эти авторы обсуждали случаи,
когда экснтонные эффекты не имеют места при электронных
междузонных переходах в промежуточные состояния. Для рас-
рассеяния света Z-O-фононами, не зависящего от волнового вектора,
но зависящего от электрического поля и описываемого электро-
электрооптическим двухзонным тензором комбинационного рассеяния,
поперечное сечение, так же как и в случае резонанса с 15-экси-
тонными переходами, является квадратичным по &а. Для малых
значений напряженности электрического поля оно достигает
максимального значения и затем уменьшается. Такое поведение
поперечного сечения рассеяния зависит от резонансных условий
через параметр £ = (щ— fi>i)/Q, где Q = (йегЙ>о/2ц*)''> есть ча-
частота, связанная с электрооптическим эффектом, и ц' — приве-
приведенная эффективная масса для междузонных электронных пе-
переходов. Максимальное значение поперечного сечения дости-
достигается при £ = 1. Такое поведение обусловлено тем фактом, что
в рассматриваемом случае огибающие функции, которые вхо-
входят в выражение B.105), являются функциями Эйри [2.6, 2.89].
Резонансное индуцированное электрическим полем комбина-
комбинационное рассеяние света £0-фононами наблюдалось в CdS
[2.62], lnSb [2.59], lnAs [2.16, 2.60], PbTe [2.61] н SnTe [2.61].
В случае кристаллов CdS эксперименты были выполнены в при-
присутствии внешнего однородного электрического поля для энер-
энергий фотонов, меньших энергии основного состояния экситона,
Результаты этих экспериментов находятся в качественном со-
согласии с расчетом на основе механизма рассеяния, связанного
с эффектом Франца — Келдыша (фиг. 2.12). В случае lnSb,
lnAs, PbTe и SnTe рассеяние индуцировалось поверхностными
электрическими полями пространственных зарядов. Экспери-
Экспериментальные результаты, полученные из исследования комбина-
комбинационного рассеяния света, индуцированного поверхностным элек-
электрическим полем, трудно сравнивать с расчетами на основе ме-
механизма рассеяния, связанного с эффектом Франца — Келдыша,
поскольку поверхностное электрическое поле является сильно
неоднородным, Тем не менее эта область исследований заслу-
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
S7
живает дальнейшего внимания, поскольку открывает возмож-
возможность изучения поверхностных свойств кристалла с помощью
комбинационного рассеяния света [2.16],
2-4. Заключительные замечания
В этой главе мы попытались представить «обобщенное» об-
обсуждение физики неупругого рассеяния света в полупроводни-
полупроводниках и диэлектриках, рассматривая главным образом комбина-
комбинационное рассеяние света коллективными возбуждениями. С этой
целью мы уделяли большее внимание основным положениям и
физическим принципам, чем формальному математическому
представлению или количественному сравнению с эксперимен-
экспериментом. Некоторые аспекты, такие, как, например, поляритонный
механизм рассеяния света, нами подробно не рассматривались,
так как они хорошо освещены в недавних работах — например,
поляритонпый механизм рассеяния света подробно обсуждался
в обзоре Милса и др. [2.15] — или детально рассмотрены в дру-
других главах этого тома. Во всяком случае, тот особый подход,
которому мы следовали, и те *1-емы, которые мы выдвинули для
обсуждения, отражают, как это и делается во всех обзорах,
нашу собственную точку зрения и замысел редактора.
Литература
2.1. Born M., Huang Кип, Dynamical Theory of Crystal Lattices, Clarendon
Press, Oxford, 1954. (Имеется перевод: АХ. Бори, Хуан Кучь, Динамиче-
Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958.)
2.2. Loudon R., Proc, Intern. School in Physics iFermj E.s, Course XLI1,
Academic Press, New York, 1969, pp. 297—320.
2.3. Maradudin A. A., Watlis R. F., Phys. Rev., B3, 2063 A971).
2.4. Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, Clarendon Press, Oxford,
1954. (Имеется перевод: В, ГщХтлер, Квантовая теория излучения, ИЛ,
1956.)
2.5. Jha S. S,, Nuovo cimento, B63, 33], A969); Comm. Sol. State Phys, 4
111 A972).
2.6. Cardona М.т Modulation Spectroscopy, Academic Press, New York, 1969.
(Имеется перевод: М. Кардана, Модуляционная спектроскопия, изд-во
«Мир», 1972.)
2.7. Loudon R,, Proc. Roy. Soc, A275, 218 A953).
2.8. Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, М.,
Физматгиз, 1959.
2.9. Commins H., Proc. Intern. School in Physics eE. Fermi», Course XLI1.
Academic Press, New York, 1968, p. 247—296.
2.Ю. Pines D., Nozieres P., The Theory of Quantum Liquids 1. W. A. Benja-
mrn, New York, 1966, (Имеется перевод: Д. Папнс, Ф. Иозьер, Теория
квантовых жидкостей, изд-во «Мир», 1967.)
2.1!. Kleir M. V., Electronic Raman Scattering, в этой книге, и р. 174.
2.12. Barker S,, London R,, Rev. Mod. Phys., 44, 18 A972).
2.13. Bloembergen N., Nonlinear Optics, W. A, Benjamin, New York. 1965,
(Имеется перевод: И. Бломбереен. Нелинейная оптика, цзд-во «Мир»,
1966.)
4 Зак, 1175
Глава 2
2.14. Loudon Д.. Advan. Phys., 13, 423 A964).
2.15. Mills D. I., Burstein E., Rept. Progr. Phys., 37. 8|7 A974).
2.F. Corden P., Pinczuk A., Btirsteiu £., Proc. 10th Intern. Conf. Physics ol
Semiconductors, US Atomic Energy Commission, Washington, D. C. 1970
p. 739—745.
2.|7. Milts D.L., Maradudin A. A.. Burstein E. Ann. Phys. (N. Y.),56. 504 A970).
2.18. Zeyher R., Ting С S., Birman J. L., Phys. Rev., BIO, 1725 ([974),
2.19. Buchner S., Burstein £., Phys. Rev, Letters 33, 908 A974): Mttrase K-.
Katayama S,, Ando Y. Kawamura N.. Phys.'Rev, Letters 33, [481 A974).
2.20. Loudon fi., J. Phys. (Paris), 26. 677 ([965).
2.2[. Kiel А., в'кциге: Light Scattering Spectra ol Solids, Wright G, B. ed.
Springer New York 1969 pp. 245—253.
2.22. Овандер Л. H., Опт. и спектр.. 9, 571 (I960).
2.23. Burstein Е., в книге: Atomic Structure and Properties-ol Solids Bur-
Burstein E. ed., Academic Press. New York, 1972. pp. 3—21.
2.24. Anastassakis E, Atomic Strnctura and Properties of Solids, Academic
Press. New York', 1972. p. 294—324.
2.25. Burstein £.. Pinczuk А., в клиге: The Physics of Opto-Electmnic Mate-
Materials Albers W. A., ed., Plenum Press, New York 1971, p. 33—79.
2.26. Ganguly A. K, Binnan J. L, Phys. Rev., 162, S06 A967).
2.27. Mar4n ft. M., Falicov L. M., Resonant Raman Scattering, в этой книге,
стр. Ю!.
2.28. Burstein E. !to R. Pinczuk A., Shand M., J. Aconst. Soc, Am., 49 |013
A971).
2.29. Cardona M. Pollak F. H., в щеиге: The Physics о! Opto-Elcclronic Mate-
Materials, Albers W. A., ed.. Plenum Press, New York, [971. p. 81—112.
2.30. Cardona M., в книге: Atomic Structure and Properties of Solids, Bur-
Burstein E. cd. Acacieiiiic Press, New York, 1972, p. 514—580.
2.31. Cardona M., Surface Sci., 37, [00 A973).
2.32. Bhagauantam S., Venkat'arayudy Т., Theory of Croups and Its Application
to Physical Prohlems, Academic Press. New York, |969. (Имеется перг-
вод: С. Багаваитам, Т. Венкатарайуду. Теория групп si ее применение
к физическим проблемам ИЛ, 1959.)
2.33. Hamilton D. С, Phys. Rev., 188, 1221 A969).
2.34. Bel! М- !■ Proc. Conl. Electronic Density of States, N. B. S., Washington
1971 p. 7G7—766.
2.35. Faust W. L, Henry С. Н-, Phys. Rev. Letters, 17. 1265 A966).
2.36. Ushioda S., Pinczuk A., Burstein E., Mitts D. L., в книге: Light Scat-
Scattering Spectra of Solids. Wright G. В., ed.. Springer New York |969,
p. 347—357.
2.37. Johnston W. D., Kaminou 1, P., Phys. Rev., 188, 1209 A969).
2.38. McWhorter A. L., Argyres P. N. в книге? Light Scattering Spectra of
Solids Wright G. B. ed., Springer, New York. 1969, p. 325—333,
2.39. СоЫеу R. A. J. Physique 26 659 A965).
2.40. Maradudin A'. A. Fein E. E. Phys. Rev. 128,2559A962).
2.4|. Benson H., Mills D. L, PUys. Rev. Bl 1678A970).
2.42. Benson H. Mills D. I. Solid State Сотщцп. 8 1387 A970).
2.43, Anastassakis E. Hwang D. Perry С H. Phys. Rev. B4, 2493 A971).
2.41. Hart T. R-, Ag'jiarwal R. L\, Lax В., Phys. Rev.. Bl. 638 A970].
2.45. Ray R. K, Agganval R. L.. Lax В., в книге: Light Scattering in Solids
Balkanski M., ed. Flamrmrion Sciences Paris, 1971, p, 288—390.
2.46. Cerdcira F.. Ca,dona Al., Phys. Rev.. B5.'l440 A972).
2.47. Klemens P. G.. Phys. Rev., 148. 945 A966).
2.48. Bar'ker S., PUys. Rev., 105 917 A968),
2.49. Ushioda S., McMullen J. D.. Solid State Commun., 11, 299 A972).
2.50. Worlock J. M., n Kiisire Structural Phase Transitions and Solt Modes,
Samuelsen E. J. ed., Universitets Forlagct, Oslo. 1972, p. 329—370.
Основы неупругого рассеяния в полупроводниках
99
2.51.
2.52.
2,53.
2.54.
2,55.
2.56,
2.57.
2.58.
2.59.
2.60.
2.61.
2.62.
2.63,
2.64.
2,65.
2.66.
2.67.
2,68.
2.69.
2.70.
2.71.
2.72.
2.73.
2.74.
2.75.
2.76.
2.77.
2.78.
2.79.
2.80.
2.81.
2.82.
2.83.
2.84.
2,85.
2.86.
Scott J. F., Rev. Mod. Phys., 46. 83 A974),
Maradudin A. A., Ipatova I. P., J, Math, Phys., 9, 525 A968).
Zawadowski A., Ruvalds /,, Phys. Rev. Letters, 24 |1|] A970).
Scott J, F., Darneri T. C. Ruvalds /., Zawadowsk'i Z, Phys. Rev, B3,
1295 A971).
Lazay P. D., Fleiiry P. А., в книге: Light Scatlering in Solids Balkan-
ski M. cd., Flammarion Sciences, Paris 1974, p. 406—410.
Rousseau D. L.. Porto S. P. Phys. Rev. Letters 20, 1354 M968).
Hon D, Т., Faust W. L., Appl. Phys., I. 241 A973).
Adar F,, Ph.D. Dissertation, Dept. ol Physics, University of Pennsylva-
Pennsylvania, 1972,
Pinczuk A., Burstein E., в книге: Light Scattering Spectra of Solids
Wright G. B. ed., Springer, New York, 1969, p. 429—438.
Corden P., Ph. D. Dissertation. University of Pennsylvania 1971.
Brillson L, Burstein £., Phys. Rev. Letters, 27, 808 (|97I).
Shand M., Rickter W., Burstein E. J. Nonmenials 1, 53 A972)- Shand M
Burstein £., Surface Sci., 37, [45 A973).
Anastassakis £., Pollak F. H.. Rubloff G. W. Proc. ||th Intern. Conf.
Physics of Semiconductors, Nauka, Warsaw, 1973 p. 1187—1194.
Anastassakis £,, Pollak F. H., Rubloff G. W., Phys. Rev., B9, 551 A974).
Klein P. В.. Mosul N.. Song J. Chang R. K., Solid State Commun. 14
1163 A974).
Yu P. Y., Shen Y. R., Petroff K, Falicov L. M. Phys. Rev. Letters 30
283 A973); Yu P. V., Shen V. Ц.. Phys. Rev. Letters 32, 373 A974).'
Scott J, F.. Damen T. C. Leite R. С. С, Sitfoast' W. T. Solid State
Commun., 7. 953 A969).
Compaan A., Cummins H. Z. Phys. Rev. Letters 31, 41 A973)
Damen Т. С, Shah /.. Phys. Rev. Letters, 27. [506 A971).
CerdeUa F., Dreybrodt W., Cardona M., Proc. 1 lth Intern. Conf. Physics
of Semiconductors, Polish Scientific Publ., Warsaw. 1972, p. Ц42—1147.
Lewis J. L., Wadsack R. L, Chang R. К., в книге: Light Scattering in
Solids. Balkanski M. ed., Flammarion Sciences, Paris 1971 p. 41—46.
Ralston J. M.r Wadsack R. L,. Chang R. K., Phys, Rev. Letters 25 814
A970). •
Bell M. !., Tyte R. N., Cardona M., Solid State Commun., 13 [833 A973) '
Damen T. C, Scott J. F., Solid Stale Commun.. 9, 383 A971).
Cerdeira F-, Dreybrodt W.. Cardona M. Solid State Commun. 10 591
A972).
Dreybrodt W.. Richter W.t Cardona M,, Solid State Commun., |1, 1|27
(b).
625
. 13.
Bal-
Bal-
■ B7,
Bal-
.« P: Y Shen Y. R.. Phys. Rev. Letters 29, 478 A972).
Dreybrodt W., Richter W., Cerdeira F. Cardona M. Phys. Stat Sol
60, 145 A9741.
Renucci M. A., Renucci 1. B. Cardona M. Phvs. Stat, Sol. (hi 49
A972). '■ '
Rubloff R. W., Anastassakis £., Pollak F. H,, Solid State Commim.
1755 A973).
Anastassakis E Perry С. Н„ в книге: Light Scattering in Solids,
kanskl M. ed., Flammarion Sciences. Paris. 1971, p. 47—51.
Cotwell P. J., Klein M. V., Solid State Commun., 8 2095 (ID70).
Williams P. F., Porto S, P. S., в книге: Light Scattering in Solids,
kanski M., ed. Flamniarion Sciences, Paris I97| p 70—7|.
Martin R. M., Damen T. C. Phys, Rev. Letters 26. 86 A971).
Cullender R. H., Sussman S. S., Seiders M., C'hane. R. К Phvs Rev
3788 (|973). ■ ■ * K
Anastassakis £., Burstein E. в книге: Light Scattering in Solids
kanski M. ed,, Flammarion, Paris, [971. p, 52—57.
100
Глава 2
2.87. Williams Р. Т., Porto S. P. S., Phys. Rev., B8, 1782 A973).
2.88. Clendening C. W. [Jr.), Ph. D. Dissertation, Materials Science Center,
Cornell University, 1974.
2 89. Pinczuk A. Burstein E., Proc. lOth Intern. Conl. Physics of Semiconduc-
Semiconductors, US Atomic Energy Commission, Washington, D. C, 1970, p. 717—
735.
2.90. Richter W., J. Phys. Chem,. Soc, 33, 2113 A972); Proc. nth Intern. Conf.
Physics o! Semiconductors Polish Scientilic Publications, Warsaw, 1972,
p. Ц48.
2.91. Iain K. P., Choudhury G., Phys. Rev., B8, 676 A973).
2.92. Martin R. M., Phys, Rev., B4, 3676 A971).
2.93. Yacoby Y., Solid State Commun., 13, 1061 A973).
2.94. Pincsuk A., Burstein £., Surface Sci., 37, 153 A973).
2.95. Worlock J. M., а кциге: Light Scattering Spectra ol Solids, Wright G. B.
ed,, Springer, New York, 1969, p. 4Ц—4i9.
2.96. Anastassakis E. Burstein E., Filler Д., в кциге; Light Scattering Spectra
of Solids, Wright G. B. ed., Springer, New York, 1969, p. 421—Й8.
2.97. Bell M. I., Proc. Eleventh intern. Conf. Physics o! Semiconductors, Polish
Scientilic Publications, Warsaw, [972, p. 845—850.
2.98. Jha S. S., Bloembergen N., Phys. Rev., 171, 891 A968).
2.99. Aspnes D. £., Rowe I. E., Phys. Rev., B5, 4022 A972).
Aspnes D. £., Surlace Sci.. 37, 4[8 A973).
2.100. Gay J. G., Dow J. D., Burstein E., Pinczuk Л., в книге: Light Scattering
in Solids, Balkanski M. ed., Flammarion Sciences, Paris, 1971, pp. 33—38.
2.101. peuker K., Bechstedt F.7 Endertein R., Proc. 12th Intern, Conf. Physics ot
Semiconductors, Teubner B. G., Slultgart 1974, pp. 468—472.
3. Резонансное комбинационное
рассеяние света
Р. М. Мартин 1),Л. М. Фаликов2)
Обычное комбинационное рассеяние света дает информацию
о низкоэнергетических возбуждениях молекул, жидкостей и твер-
твердых тел. Эта информация, содержащаяся в сдвиге частоты, вол-
волновом векторе k и поляризации рассеянного фотона, в основном
относится к состояниям, которые имеют энергию в типичном
случае менее 5-10~2 эВ, отсчитанную от основного состояния
изучаемой системы. Частоты падающего и рассеянного излуче-
излучений сами.по себе являются мало существенными; только их раз-
разность несет важную информацию.
В настоящей главе мы детально рассмотрим те аспекты ком-
комбинационного рассеяния света, которые относятся к резонанс-
резонансным условиям. Вследствие резонанса мы вводим в процесс не-
непосредственным образом хорошо определенные возбужденные
состояния материальной системы и, таким образом, можем изу-
изучать их свойства. Следовательно, резонансное комбинационное
рассеяние света (РКРС) позволяет нам исследовать спектр ве-
вещества в диапазоне энергий порядка энергии самих фотонов,
обычно 1—3 эВ для экспериментов в видимой области спектра.
В связи с этим мы можем сказать, что РКРС по отношению
к обычной спектроскопии комбинационного рассеяния есть то
же, что и оптическая спектроскопия по отношению к классиче-
классической оптике.
Так как основное значение в Рр\РС имеют частоты падаю-
падающего и рассеянного фотонов и поскольку их разность является
характерным свойством материала, в экспериментах no Pf\PC
исследуются одновременно возбуждения высоких и низких ча-
частот, сильно связанные в процессе рассеяния. Мы можем ска-
сказать в этом случае, что РКРС похоже на модуляционную спек-
спектроскопию, однако с той существенной разницей, что низкоча-
низкочастотная модуляция не осуществляется или не контролируется
экспериментатором. Применяемые математические методы «свя-
«связанных осцилляторов» тем не менее в обоих случаях очень
близки.
!) Martin Richard M., Xerox Corpcratlon, Palo Alto Research Center, Palo
Alto, USA.
!) Fallcov Leopoldo M University o! California, Physics Department. Ber-
Berkeley, USA. .
102
Глава 3
Информация, тесно связанная с получаемой в РКРС, может
быть получена и из других экспериментов, в частности по погло-
поглощению и излучению света и их комбинированному процессу,
известному в литературе как флуоресценция — в применении
к молекулам или жидкостям или люминесценция — в применении
к твердым телам. В частности, люминесценцию, или, более кон-
конкретно, «горячую» люминесценцию, трудно отличить от РКРС,
и критерии, используемые для проведения различия между
этими процессами, в большинстве случаев произвольны и обус-
обусловлены используемым теоретическим формализмом или удоб-
удобствами опыта.
3.1. Главные определения и основные свойства
Чтобы сделать паше изложение более точным и должным об-
образом определить термины, используемые в этой главе, мы
посвятим оставшуюся часть введения рассмотрению главных оп-
определений и основных свойств явления РКРС.
Системы, которые нас интересуют, состоят из поля излуче-
излучения, описываемого гамильтонианом излучения Ж& и материаль-
материальной системы (твердое тело, молекула, атом, жидкость и т. д.),
описываемой гамильтонианом Э@м. Излучение и вещество взаи-
взаимодействуют [3.1] посредством гамильтониана взаимодействия
Жмц. Гамильтониан излучения квантуется хорошо известным
способом [3.1]. Его квантами являются фотоны с волновым век-
вектором к, типом поляризации X, вектором поляризации е* и угло-
угловой частотой (Ok?, = ck. Энергия, связанная с данным собствен-
собственным состоянием Mr, отсчитанная от уровня вакуума, есть
({ли}) =
C-1)
В диаграммном представлении, приведенном нэ фиг. 3.1, фотон
описывается штриховой линией.
Материальная система, описываемая гамильтонианом Жм,
имеет энергетический спектр {£„}. Энергия основного состоя-
состояния Ео принимается равной нулю. Все остальные собственные
состояния п имеют энергию возбуждения Е„ и в некотором при-
приближении могут описываться как суперпозиция элементарных
возбуждений: одноэлектронных, дырочных, экситонных возбуж-
возбуждений, фонопов, спиновых волн или плазмонов в твёрдом теле;
электронных, колебательных или вращательных мод в моле-
молекуле или электронных возбуждений в атоме. Графические пред-
представления некоторых из этих возбуждений показаны на фиг. 3.1.
Рассмотрим процесс рассеяния, графически изображенный
на фиг. 3.2, а. Он включает изменение состояния материальной
системы от начального к конечному и обмен энергией с полем
Резонансное комбинационное рассеяние
103
Фотон
Электрон
Дырка
Экса той
Л/W Фоном
о
i Взаимодействие электрона.
^ с излучением
п . Элетрон-фононное взам/нодействив
wmmtiftrm Возбуждение материальной
<■ системы в оёщем случае
Фиг. 3.1. Диаграммное описание различных возбуждений и взаимодействий
поля излучении и материальной системы.
Предполагается, что время возрастает слева направо.
излучения (неупругое рассеяние). Поле излучения может в об-
общем случае либо отдавать энергию материальной системе
(стоксова линия), либо получать от нее энергию (антистоксова
линия). Этот последний процесс может происходить только
тогда, когда материальная система первоначально находится
в состоянии, отличном от основного, т. е. в термически или дру-
другим способом возбужденном состоянии. Мы ограничимся только
случаем стоксовой линии при очень низких температурах. Вна-
Вначале, как показано на фиг. 3.2, а, материальная система нахо-
находится в основном состоянии. Начальное состояние содержит,
кроме того, фотон (к^) с частотой Ю[, который в конечном
состоянии превращается в рассеянный фотон (к2?*2) с частотой
й>2, оставляя материальную систему в возбужденном состоянии
с энергией Es. Закон сохранения энергии требует
fid), = /ici>2 + -Ef. C.2)
Дифференциальное сечение рассеяния da для комбинацион-
комбинационного рассеяния начального фотона (k^i) с возбуждением рас-
рассеянного фотона с частотой в интервале от со2 до (<Ч2 + "ыг),
поляризацией \2 и волновым вектором к2, направленным в пре-
пределах малого телесного угла dQ относительно направления 9,
дается.следующим выражением [3.1]:
= Bфс)
' У, 1
f
б (Нщ + Ef-
C.3)
где суммирование по к2 ограничено малым объемом в ft-npo-
страиство и К есть соответствующий «матричный элемеш иы-
104
Глава 3
Фиг. 3.2. Диаграммное представление.
а —общий процесс комбинационного рассеяния; б-—лна основных матричных элемента для
комбннанионйого рассеання света; я — простейший процесс резонансного комбина-
комбинационного рассеяния; г — процесс реуонацсного комби цац ноли о го рассеяния в общем случае;
д—доойиой резонансный процесс комбинационного рассеяния в общем случае.
сокого порядка» по Mm.s, связывающий начальное и конечное
состояния (фиг. 3.2, а). Приведенное уравнение может быть уп-
упрощено посредством суммирования по к2. Это дает
rift /If 1 ■ i-\ QI \ — I/7О//Лчт"/? /'^Ч 7 [ Tf I* iPtti\- — F i /4 j1\
UU I ti l/wli 1ЛпОДо I ^^ l UAu/l ^iv ib Is PI / , I *\9f TO ! \»"Ш£ '-' ff t X f
где суммирование теперь ограничено теми состояниями, для ко-
которых
На-2 < ЙЫ] — Ej < Й (й>2 -j- £?й>а). C.5}
Можно выделить три различных случая.
1. Конечные состояния /, удовлетворяющие C.5), таковы,
что Ef находится в дискретной части спектра {Ет}; это имеет
место, например, когда материальной системой является моле-
молекула и состояние / есть данная колебательная мода. Если пред-
предположить, что существует только одна такая мода, и записать
= \ da,
Резонансное комбинационное рассеяние
105
то мы получим известный результат [3.1]:
,*,; вХ2) = |
(fto, - Eff dQ/DjisftV). C.6)
Частота рассеянного фотона находится в очень узком частот-
частотном диапазоне вблизи Ы% = Ъ®, — Ef. Другими словами, спектр
рассеянных фотонов имеет контур в виде дельта-функции.
2. Конечные состояния /, удоплетворяющие C.5), таковы,
что Е; находится в непрерывной части спектра {Ет}\ из правил
отбора следует, однако, что матричный элемент К отличен от
нуля только для одного (или конечного числа) из возможных
конечных состояний. Это имеет место в случае обычного комби-
комбинационного рассеяния света первого порядка в кристалле, при
котором конечное состояние содержит фонон с волновым век-
вектором q ветви v с энергией Ef = fiwv(q). Сохранение квазиим-
квазиимпульса требует, чтобы
k, = k2 + q, C.7)
и поскольку \k\\ ж \ki\ и оба этих волновых вектора много
меньше, чем волновой вектор,, соответствующий краю зоны
Бриллюэна, то q яь 0. В этом случае C.6) также верно, если
Ef заменить на Ег = fi«v(k[ — k2) яь fi«v@).
3. Конечные состояния / в C.4), удовлетворяющие C.5), на-
находятся 8 непрерывной части спектра [Ет], и бесконечный (не-
(непрерывный) набор этих состояний имеет отличный от нуля мат-
матричный элемент К, связывающий их с основным состоянием.
Если мы теперь выразим зависимость К от Ef в явном виде и
обозначим через р(Е;) плотность состояний материальной си-
системы, то C.4) сведется к
4)] (щJ\ К {Es = ftm,—
fta^-ftcoj). C.8)
Уравнение C.8) дает отличное от нуля сечение рассеяния для
тех частот рассеяния соэ, для которых произведение \K(Ef =
= fio>j — Ьи>2) \2p(Ef = Ив, — fico2) не обращается в нуль. Это
приводит к непрерывному спектру для любого направления 6.
Примером такого случая является обычное комбинационное рас-
рассеяние света второго порядка в кристалле, при котором излу-
излучаются два фонона ветви v с волновыми векторами qi и q2. Со-
Сохранение квазиимпульса требует, чтобы
ki = k2 + q!+q2; . C.9)
это условие можно приближенно записать как
^ qi ** — q2 = q-
106
Глава 3
Если плотность однофононных состояний частоты щ и ветви v
обозначить через ри(Ыч), то полная плотность конечных со-
состояний, которая входит в C.8), при учете закона сохранения
квазиимпульса есть
Уравнения C.6) и C.8) являются основными в теории ком-
комбинационного рассеяния света. Вся информация, которую мы
ищем, содержится либо в \К\2, либо в произведении |/\|эр.
Следовательно, изучение матричных элементов К является са-
самой важной задачей, оно и служит темой нашего следующего
раздела.
3.2. Матричные элементы для комбинационного
■рассеяния света
Поскольку в процессе комбинационного рассеяния участвуют
два фотона (один поглощенный, другой излученный), он яв-
является с точки зрения формальной квантовой электродинамики
[3.1] процессом второго порядка по Жмр- Два основных мат-
матричных элемента второго порядка, которые дают вклад в сече-
сечение рассеяния, показаны на фиг. 3.2,6, и их вклад можно запи-
записать как
C-10)
где 0, t и / обозначают основное, промежуточное и конечное
состояния материальной системы. Кет-вектор \a>sl) обозначает
присутствие фотона с частотой ш5, а \Ы) означает, что этот фо-
фотон был уничтожен. Полезно сравнить приведенное выше выра-
выражение с выражением для обобщенной восприимчивости
- Я»
Отметим следующие особенности:
а) оба выражения состоят из членов, которые содержат по
два матричных элемента Жми в числителе и имеют линейно за-
г.пенший от частоты знаменатель;
Резонансное комбинационное рассеяние
507
б) в (ЗЛО) и C.11) первые члены могут стремиться к беско-
бесконечности по линейному закону, когда Ьац или йсо приближаются
к значению собственной энергии Et (резонансный знаменатель);
н) числители в C.11) являются положительно определенными
величинами; числители в C.10) являются произвольными ком-
комплексными числами, которые могут интерферировать друг с дру-
другом, таким образом частично или полностью взаимно компенси-
компенсируя свои индивидуальные вклады.
Уравнение C.10) дает вклад самого низкого порядка в ма-
матричный элемент К- В общем случае использование C.10) яв-
является недостаточным для интерпретации экспериментальных
данных по РКРС. Это вызвано двумя различными причинами.
1. Спектр {ЕЦ и собственные состояния \i) материальной си-
системы в общем случае неизвестны, и поэтому их следует изу-
изучать, используя подходящие приближения. Эти приближения
обычно включают описание с помощью квазичастиц или элемен-
элементарных возбуждений (электронов, дырок, фононов, плазмонов,
магнонов и др.) и их многократных взаимодействий. При таком
описании матричный элемент К может включать различные по-
порядки теории возмущений по некоторым взаимодействиям ме-
между квазичастицами. Например, простой случай однофононного
комбинационного рассеяния является по крайней мере процес-
процессом первого порядка по электрон-фононному взаимодействию,
в то время как двухфононный процесс требует по крайней мере
вкладов второго порядка. Приближенное описание спектра {£;}
также учитывает, что состояния |t), которые мы включаем в вы-
выражение C.10), не являются истинными собственными состоя-
состояниями Жм, и эти состояния соответственно распадаются на дру-
другие состояния, имея определенное время жизни т/. Это эквива-
эквивалентно утверждению, что энергия Е-, имеет небольшую мнимую
компоненту
lm{Ei}=Hyi = H/xl, C.12)
которая описывает эффекты, обусловленные конечным временем
•жизни.
2. Ограничение вторым порядком теории возмущений при
рассмотрении К (в ЗЛО) приводит к пренебрежению важными
эффектами, которые существенны во многих случаях. Следует
отметить два таких эффекта. Во-первых, многократное взаимо-
взаимодействие вещества и излучения приводит к возбуждению со-
состояний \i) материальной системы с собственным (излучатель-
чным) временем жизни. Другими словами, существует вклад
в yi C.12), возникающий вследствие многократного поглощения
и излучения фотонов. Даже в гипотетическом случае, в котором
Мы бы точно знали спектр Жм, эффекты более высокого порядка
По Жмр, давали бы конечное время жизни для каждого состоя-
108
Глава 8
иия ](). Во-вторых, многократное взаимодействие фотонов с ве-
веществом приводит к образованию смешанных возбуждений, ко-
которые могут влиять на интерпретацию процесса комбинацион-
комбинационного рассеяния. Например, оптический фонон и фотон или экси-
тон и фотон сильно взаимодействуют, так что образуется поля-
ритон с дисперсионным соотношением, отличным от соотноше-
соотношения для фонона, экситона или фотона. В общем случае взаи-
взаимодействие фотона с веществом приводит к изменению диспер-
дисперсионного соотношения для фотона; при этом соответственно из-
изменяются параметры, которые характеризуют распространение
фотона (волновой вектор, групповая скорость и т. д.).
Однако важно отметить, что когда все эти замечания учтены,
т- е. когда \i) рассматривается как смешанная мода, описывае-
описываемая только приблизительно посредством суперпозиции различ-
различных элементарных возбуждений, и в £; включены эффекты ко-
конечного времени жизни с помощью «довольно малого» мнимого
члена, выражение (ЗЛО) является очень хорошим приближением
для описания сечений рассеяния при комбинационном рассеянии
света C.6) и C.8).
Процесс РКРС является таким процессом, при котором ча*
стота падающего света ш; удовлетворяет соотношению
где It) есть состояние материальной системы, которое может
быть достигнуто из основного состояния посредством поглоще-
поглощения электромагнитного излучения. Наиболее простой пример
РКРС иллюстрируется на фиг. 3.2, в. Он соответствует первой
диаграмме на фиг. 3.2,6, примененной к случаю, когда удовле-
удовлетворено соотношение C.13). Общий процесс РКРС представлен
на фиг. 3.2, г, где прямоугольники содержат все необходимые
промежуточные состояния, позволяющие осуществить переход
от |0) к It) и От |(> к |f). Важно отметить, что вблизи резо-
резонанса только некоторые из членов в (ЗЛО) дают большой (ре-
(резонансный) вклад. Чтобы описать в достаточно хорошем при-
приближении частотную зависимость матричных элементов, можно
оставить в (ЗЛО) только члены с малыми знаменателями,
где сумма ограничена областью энергий вблизи йш,. Это озна-
означает, что только некоторые, а в общем случае очень малое число
из многих диаграмм, которые дают вклад в данный процесс
рассеяния света, могут быть резонансными. Например, вторая
диаграмма на фиг. 3.2,6, соответствующая сначала излучению,
затем поглощению, никогда не может быть резонансной.
Резонансное комбинационное рассеяние
109
Возможно, однако, существование нескольких состояний j£>,
|/> и т. д. с приблизительно одинаковой энергией E-t ж Ej ж йщ,,
которые могут быть в резонансе одновременно. Если исполь-
используется приближенное описание состояний ]i> и |/> и данное воз-
возмущение связывает их некоторым известным образом, то могуг
иметь место также последовательные многократные резонансы,
как показано на фиг. 3,2, д. Таким процессам в формальной тео-
теории возмущений соответствуют члены, в знаменателях которых
два множителя одновременно стремятся к нулю. Резонансное
усиление в подобных случаях может приводить к появлению до-
дополнительных особенностей в спектре.
Теперь мы обсудим частотную зависимость К для различных
случаев. Аналогично распределению по свойствам конечного
состояния |/> в разд. 3.1 мы распределим их в соответствии со
спектральными свойствами промежуточного состояния It).
1. Резонансное состояние t таково, что Et находится в ди-
дискретной части спектра {Ет}.
2. Хотя Ei попадает в середину области непрерывного
спектра {Ет), правила отбора приводят к тому, что только одно
(или конечное число) из состояний ]/> имеет отличный от нуля
<со2/|^мй|0() или (Otj^Mffjcoio). Для каждой пары начальных
jtflio) и конечных |co2f> состояний имеется только одно резонанс-
резонансное промежуточное состояние jOi)-
3. Имеется бесконечное (непрерывное) число состояний
в резонансной области C.13).
В первом случае, если существует только одно состояние
в резонансной области, можно записать
(ЗЛ5)
(ЗЛ6)
C.17)
Подстановка в C.14) дает выражение
C.18)
которое следует подставить в C.6), чтобы получить сечение
рассеяния. Можно качественно различить две резонансные об-
области: очень близко к резонансу, Aoijssjeoj — <ш]<\;, сечение
рассеяния сильно зависит от времен жизни состояний, так же
как и в случае резонансной флуоресценции [3.1]
ю f ж 1 MsMq
C.19)
по
Глава 3
если Дш/ > у,-, но вклад (-состояния по-прежнему является до-
доминирующим, то
[ Klf. ю i2 »I M,MQ P/ft* К - %)г, Аа>; > уг. C.20)
Имеется, конечно, непрерывный переход от C.19) к C.20), как
это следует из C.18).
Изучение спектра, т. е. зависимости от частоты ь>1 сечений
рассеяния C.6) и C.8), тесно связано с изучением временной
эволюции процесса комбинационного рассеяния. Как известно
из квантовой электродинамики [3.1], параметр ширины линии
%; вследствие эффектов конечного времени жизни прямо свя-
связан с временной задержкой между поглощением падающего
фотона Mi и излучением рассеянного фотона Ш2- Процесс, опи-
описываемый C.18), имеет типичную экспоненциальную времен-
временную зависимость со временем релаксации т; = l/у;. Посред-
Посредством обычных фурье-преобрэзований (или с помощью прин;
ципа неопределенности Гейзенбсрга) мы можем связать резо-
резонансную область C.19) — область с малой неопределенностью
в энергии — с медленными процессами и область вне резонанса
C.20)— область с большей неопределенностью в энергии —
с быстрыми процессами. Различие между медленными и быст-
быстрыми процессами становится заметным только в том случае,
если при измерениях существует внешняя временная шкала, за-
задаваемая условиями эксперимента. Например, если падающие
фотоны излучаются лазером с малым временем включения и
выключения TL{\itL < 1). который включается во время t = О
и выключается при t = TL, интенсивность комбинационного рас-
рассеяния как функция времени при резонансе <oi = ю, есть
/(О
t<TL.
t>TL,
в то время как вдали от резонанса, Дш; ^> у,,
Г (A«,-)[I-exp(-//TL)f, i<TL,
\l(TL) exp [- 2 (/ - rj/tj, / > TL.
C.21)
C.22)
Другими словами, при Айн <. yi все процессы являются медлен-
медленными и зависят главным образом от времен жизни; при Дш/ > \;
все процессы являются быстрыми (мгновенными) и зависят от
экспериментальных условий.
Изложенные выше рассуждения можно просто распростра-
распространить на системы, которые неоднородно уширены, т. е. являются
набором независимых систем (например, молекул), имеющих
распределение уровней и,- вблизи среднего значения <о*о- Эта
беспорядочность в ш; может быть вызвана столкновениями, не-
неРезонансное комбинационное рассеяние
111
упорядоченным окружением и т .п. Если вероятность того, что
данная система имеет только одно резонансное состояние jt>
с энергией между Sto,- и b(tai-\-dm) есть Р (ь>,) йщ, то взвешен-
взвешенное среднее значение \К\2 равно
I JCaf, и I -1 MfiMl
(8.23)
Интересно отметить, что в этом специальном случае некоторые
члены ансамбля могут находиться в «быстром» режиме
|ft)i~ ti)jj S> ус, в то время как другие члены могут быть в резо-
резонансе или в «медленном» режиме \т — tojj <C у,-.
Если Ei находится в непрерывной области (Ет), но правила
отбора допускают только одно состояние \ь) в качестве проме-
промежуточного состояния (случай 2), то выражение C.18) по-преж-
по-прежнему справедливо. Важной особенностью в этом случае, од-
однако, является то, что данное состояние jt> будет изменяться
в зависимости от волнового вектора, частоты и поляризации па-
падающего и рассеянного фотонов, а также от природы конечного
состояния jf>. Эта зависимость может иметь важные следствия
при интерпретации экспериментальных данных. Например, если
имеется непрерывная область возможных конечных состояний
(случай 3 разд. 3.1) и однозначное соответствие между конеч-
конечным состоянием и промежуточным резонансным состоянием
f+->i (случай 2 настоящего раздела), то из C.4) и (8.18) следует
da (kfa <в2ё>„2)= .
_ щ. (f)]a
где суммирование проводится с ограничениями, даваемыми
C.5). Суммирование в C.24) проводится по конечным состоя-
состояниям, но вследствие однозначного соответствия / *->■ f оно яв-
является также суммированием по промежуточным резонансным
состояниям. Следует здесь отметить, что в этом случае мы
в действительности суммируем |^|э по промежуточным состоя-
состояниям. Так как все промежуточные состояния дают различные
конечные состояния, эффекты являются аддитивными, я интер-
интерференции не происходит. Этот результат очень похож на ре-
результат, соответствующий случаю неоднородного уширения.
: Разница заключается в том, что матричные элементы Mfi и
'Mia и энергии h®i(}) могут быть некоторыми функциями конеч-
конечного состояния. Точно так же, как и ранее, имеются вклады от
.медленного и быстрого рассеяния с относительной интенсивно-
интенсивностью, зависящей от конкретных условий.
, Если существует несколько дискретных уровней в резонанс
Ной области, то могут возникать интерференционные эффекты
112
Глава 3
между различными членами в C.14), которые должны склады-
складываться перед тем, как К возводится в квадрат:
I K.2f, 10 Р :
мпмт
C.25)
Форма резонанса определяется фазой и функциональной зави*
симостью матричных элементов и положением полюсов. Нет
необходимости в перечислении многих возможных случаев, но
мы отметим, что формулы, подобные C.25), которые требуются
для определения сечения рассеяния РКРС в широком диапа-
диапазоне частот, могут давать большое разнообразие типов резо-
нансов.
Наконец, в случае 3 имеется непрерывный спектр состоя-
состояний i, которые находятся в резонансе с каждой парой началь-
начальных |ю1О) и конечных |о)г/> состояний. В этом частном случае
суммирование в C.14) может быть заменено интегралом
К?!. ю:
(о, — (о; — j-y (raj)
C.26)
который необходимо оценивать в каждом частном случае. Мы
отметим также, что C.26) описывает и случай дискретных со-
состояний, если р( состоит из одной дельта-функции или суммы
дельта-функций.
Может представлять интерес расчет C.26) в случае постоян-
постоянного М;Ма, постоянного у и различных видов р;. Если мы возь*
мем
{0, со<Д,
а(ю —A)W-«№, Д<(о<Д + ©в, C.27)
0, ш>Д+сов,
где d есть индекс, представляющий размерность (й = I, 2 или
3), Д — энергетическая щель и тс—граничная энергия, то по-
получим
где мы обозначили
C.28)
C.29)
Резонансное комбинационное рассеяние
ИЗ
Резонансный эффект в C.28) очевиден. В пределе больших вре-
времен жизни, у -^ 0, когда wi приближается, к пороговому значе-
значению Д, дла j^j2 имеет место расходимость (wj — Д) в одном
измерении, слабая логарифмическая расходимость в двух изме-
измерениях и сходящийся результат (возрастание, но не расходи-
расходимость) в трех измерениях. Важно подчеркнуть, что выражение
C.28) применимо, только если Mf и Mi могут считаться не за-
зависящими от coi. Интересно также отметить, что в предыдущих
случаях мы имеем
f, ю (со,)
C-30)
если считать матричные элементы постоянными; /(оч) в C.30)
есть резонансный вклад в диэлектрическую восприимчивость.
Это верно для дискретного промежуточного состояния, когда
X(o)i) есть функция Лоренца, для случая неоднородного ушире-
ния, когда x(wi) также учитывает уширение, и для случая не-
непрерывного спектра. Следует подчеркнуть, что % в C.30) есть
полная резонансная восприимчивость. Говоря на языке квази-
квазичастиц, она включает не только прямые переходы, но также
переходы с участием нескольких возбуждений кристалла, на-
например излучение н поглощение света с участием фопона. Если
матричные элементы не могут считаться постоянными, уравне-
уравнение C.30), разумеется, неприменимо. Это с очевидностью сле-
следует из C.25), где относительные фазы и величины матричных
элементов качественно изменяют форму линии резонанса.
В каждом из рассмотренных примеров природа промежуточ-
промежуточных состояний полностью скрыта в матричных элементах. Фор-
Формальное предположение о постоянстве матричных элементов
было необходимым для предыдущего анализа. Это, однако,
имеет место лишь в нескольких специальных случаях. Чтобы
пойти дальше такого предположения, удобно описывать Жм
с ломошью приближенных состояний квазичастиц и ввести в ка-
качестве возмушения гамильтониан взаимодействия квазичасти-
ца — квазичастица Жм- Рассмотрим теперь случай, в ко-
котором состояние [Г) (приближенное) связывается с |о) посред-
посредством
состояние [/) связано с \f) также посредством
и состояния |() и |/) связаны друг с другом посредством
114
Глава 3
^Ч)—
Фиг. 3.3. Диаграммное представление процессов комбинационного рассеяния
с участием фон о нов.
а — однофононный процесс, обуслоиленный возбуждением электронно-дырочной пары:
6—двухфокониый процесс, происходящий посредством возбуждении алектронно-лыро'шой
лары; в — однофононный процесс, происходящий посредством возбуждения экситона.
Разлох^ение собственных функций и собственных значений Жм
в ряд теории возмущений по Жщ приводит к новым выраже-
выражениям для матричного элемента К вблизи резонанса C.14). В пер^
вом порядке по Жм мы получаем
к
у Г
г. ю - L [
у
яг. ю - L [ Пг (со, -о,- tyt) (», - (о, -
во втором порядке по Ш'м имеем
Vsf.io — Zj| A* №,-«,-■
c/ft
C.32)
и т. д. до любого желаемого порядка. В C.31) и C.32) так же,
как и в C. |4), :лы оставили лишь члены, наиболее ^л;;з;;;;с
к резонансу.
Примеры диаграмм более высокого порядка, соответствую-
соответствующих этим уравнениям, приведены на фиг. 3.3. На трех диаграм-
диаграммах рассмотрен наиболее общий случай, при котором излуче-
излучение взаимодействует непосредственно только с электронной ча-
частью материальной системы. Таким образом, вершины, пред-
представляющие взаимодействия Э@мв, всегда содержат рождение
или уничтожение электронных состояний; никакие другие ква-
зииастицы в эти вершины не входят. Следовательно, в C.31) и
Резонансное комбинационное рассеяние
115
C.32) состояние |t) является чисто электронным возбужденным
состоянием, и состояние |/) содержит в дополнение к возбуж-
возбужденному электронному состоянию квазичастицы, обнаруживае-
обнаруживаемые в состоянии |/>. В первом порядке теории возмущений по
Эём, как показано в C.31), матричный элемер[т Жц должен
рождать квазичастицу (фонон), обнаруживаемую в конечном
состоянии. Следовательно, энергия |/) состояния Ъщ представ-
представляет собой сумму, электронной энергии Нае, и энергии конеч-
конечного состояния batf. Выражение C.31), таким образом, может
быть переписано как
— А ~г7 в : т? ;—^
Здесь мы использовали закон сохранения энергии C.2) и от-
отметили, что cof и asj являются энергиями чисто электронных
возбуждений.
Существуют две различные области для C.33): I) область,
где только один множитель в знаменателе является резонанс-
резонансным, а другой множитель находится вдали от резонанса; этот
второй множитель может сиитаться постоянным и быть вынесен
за знак суммирования по резонансным состояниям; 2) область,
где одновременное изменение двух сомножителей в знаменателе
является существенным.
Второй случай может быть назван «двойным резонансом»
или «многократным резонансом» при использовании более вы-
высоких порядков теории возмущений и большем числе сомножи-
телей в знаменателе, Первый случай, очевидно, ведет к резуль-
результатам такого же вида, как и результаты, даваемые C.15) —
C.30). Единственное различие состоит в том, что в C.33)
имеются две резонансные области, содержащие одна и,, дру-
другая из- Предполагая, что матричные элементы для взаимодей-
взаимодействия между квазичастицами являются постоянными, мы, таким
образом,находим
(ad. C.34)
В отличие от C.30) здесь /г описывает резонансный вклад в вос-
восприимчивость только электронных состояний
%, и=
?[
(°> - < - 'Vi)
здесь суммирование ограничено лишь возбужденными электрон-
ными состояниями, такими, что ш| яй q. Постоянные Ах и А2
в C,34) суть эффективные постоянные связи. В общем они не-
Щ- зависимы друг от друга. Однако в случаях высокой симметрии
lie
Глава S
(например, для поляризации фотонов ё[ и s2 вдоль эквивалент-
эквивалентных направлений в кристалле), когда Мы = Мц мы имеем
А] яй Al- В пределах сделанных приближений выражения C.34)
и C.35) одинаково пригодны для промежуточных состояний как
в непрерывной, так и в дискретной частях спектра.
Можно привести большое число возможных случаев двой-
двойного резонанса, например два дискретных уровня, один дискрет-
дискретный уровень и непрерывный спектр и т. д. Обсуждение, если
проводить его подробно, включало бы длинное перечисление
случаев, подобных случаю с одним резонансным состоянием
|[). Поэтому мы ограничим наше обсуждение двумя примерами,
представляющими особый интерес; в обоих примерах |t) и |/>
находятся в непрерывной части спектра {Ет}.
В первом случае, который мы хотим обсудить, произведение
матричных элементов (MfiJtaMit,) предполагается не зависящим
от состояний |i) и |/) внутри мультиплетов (]А) и { /)}. Это
означает, что мы связываем любое |£) с любым [/) с приблизи-
приблизительно одинаковой силой, з также |£> с ]о) и ]/) elf) с по-
постоянной силой независимо от состояний \i) и |/). При этих
условиях, которые мы называем условиями независимого двой-
двойного резонанса,
X
(У
что можно переписать как
Для
<3-36>
C.37)
Мы можем интерпретировать C.36), сказав, что в случае
независимого двойного резонанса матричные элемент комби-
комбинационного рассеяния света пропорциональны произведению
двух функций восприимчивости. Рассмотренный пример может
быть подходящим приближением теории возмущений для РКРС
молекулой, у которой | (> и |/) — состояния в области непрерыв-
непрерывного спектра, соответствующего диссоциации молекулы.
Вторым примером двойного резонанса служит резонанс,, на-
называемый двойным связанным резонансом. В этом случае со-
состояния [ (> и | /) также находятся в непрерывной области
{Ет}, ко Мц таковы, что вследствие правил отбора не равны
нулю компоненты только для одних, строго определенных пар
Резонансное комбинационное рассеяние
117
t <-*■ /. Для каждого i имеется только одно /, при котором
Ж if Ф 0, и наоборот. Если мы изменим обозначения, чтобы сде-
сдеб й ii \Ы
f , р
лать эту однозначную связь более очевидной, i
\ I t.ot bi, as о
ai, \
Ы, то
,п по.
что в предположении о постоянстве матричных элементов сво-
сводится к
\ЦЛ C-39)
Л.
bi)}
Рассмотрим теперь случай, когда а>еа1 = ю|[., т. е. при рас-
рассеянии квазичастицы переходят в одни и те же или вырожден-
вырожденные электронные состояния. Используя тождество
=Гй1 <3-40)
(х -А){х~ В)
A-BLx-A
и определение C.35), можно написать
h (at2 — ш.
C.41)
Уравнение C.41) показывает, что Kif, m включает резонансные
свойства восприимчивости как на частоте падающего света щ,
так и на частоте рассеянного света иг. Если в частном случае
функция %е(а>) плавно меняется в интервале между соэ и wu то
C.41) можно приближенно записать в виде
C.42)
Другими словами, матричный элемент для рассеяния света при
двойном резонансе с участием фонона и при гладко изменяю-
изменяющейся функции х(ю) пропорционален производной от функции
восприимчивости по частоте. Часто предполагается, что
0Wf/Mg)= I в C.41) и C.42). В этом случае можно непосред-
непосредственно измерять Мьа-
Оценка C.39) для различных случаев и моделей осуще-
осуществляется в соответствии со стандартным методом расчета.
Обычно делаются следующие замены:
что дает
е= Q(to) — (Wi —со2),
ра (Еа; = Лей) da
(ш, - ш - ,
C.43)
-. C.44)
118
Глава 3
В частности, для линейной связи между Q и to
и C.39) принимает вид
рл (Йш) rfra
C.45)
_ ,.., — га — ly)(et, ~ Qa — va, ~ iy) " ' " J
Пример C.41) представляет собой частный случай C.46) и
соответствует
<*2 = Mi — щ = щ — Qo C.47)
и v = 1. Если при этом взять выражение для ра(йа)), даваемое
C.27), то мы получим хорошо известные результаты, примени-
применимые к однофононному РКРС [3.4—3.8] при ©с -> со (большая
граничная частота)
(I/mo) In [tffb1], d = 2, C.48)
(in/оно) [i ~ &J, d=3,
где а определено в C.29) и
b e= (ша — Д — /уO' = (а, — а0 — Д — /У)'\ C.49)
Результаты C.48) могут быть также получены непосредственно
из C.39), C.41) и C.30) с использованием плотности состояний
частного вида C.27) и C.28). Мы снова видим, что в случае
трех измерений имеет место возрастание, но не расходимость
и что существуют расходимости типа (u>f'/!) и (in щ) для
он = А и Ю[ = Д + ш0 в случаях одного и двух измерений соот-
соответственно. Эти расходимости имеют такой вид только в пре-
пределе у -> 0.
В реальных случаях РКРС часто хорошим приближением
является рассмотрение матричных элементов для комбинацион-
комбинационного рассеяния в виде линейной комбинации трех типов членов:
один резонансный, подобный C.34), второй резонансный, по-
подобный C.41), и третий постоянный нерезонапсный член.' Та-
Таким образом, с точностью до членов первого порядка по Жц
мы находим
Kaf. m = О/а) И, + А2)
+ В [ъ (ш,) - Ге HI (Щ -<*2Г1+ С. C.50)
Типичные выражения для Хв(еэ) даны в C.28). Коэффициент В
в C.50) зависит через (А{— А2) как от рассеяния внутри одной
Резонансное комбинационное рассеяние
119
электронной оболочки C.41), так и от рассеяния с переходами
между оболочками C.34). Следует отметить, что %е является
в точности резонансным вкладом в электронную восприимчи-
восприимчивость. Однако если другие вклады в полную восприимчивость х
можно считать постоянными, то C.50) также может выпол-
выполняться, если при этом %е заменить полной восприимчивостью
х(со) и дать другую интерпретацию постоянной С.
Полезно отметить, что свойства РКРС, связанные с %(щ),
называются резонансами в выходном канале, а свойства, свя-
связанные с х(ш2), — резонансами во входном, канале. В каждом
рассмотренном нами случае сделанные предположения приво-
приводили к резонансам, которые могли быть описаны с помощью
резонансов во входных и выходных каналах.
В общем случае могут иметь место резонансы другого типа,
которые характерны только для многократных резонансов. Это
можно видеть из C.46). Если при однозначном соответствии
I *r+ j двух последовательных резонансных состояний энергия
Ei возрастает, в то время как Е, падает, или наоборот, то имеет
место очень сильное возрастание К21, ю- Этого дополнительного
возрастания не происходит, если Ei и £,■ изменяются в трм же
направлении. Чтобы нагляднее представить этот эффект, по-
полезно принять плотность состояний в C.46) за постоянную ве-
величину ро(й<о) = ря. Интеграл от —оо до +оо непосредственно
вычисляется, и мы имеем
X
0, если v > 0,
(. 2ш
0 + I v 0"' I(Qi — »,) + ivl» если v < 0,
C.51)
где
Рассмотрение C.51) показывает, что при этой довольно не-
нереальной модели имеет место фазовая компенсация (полная
компенсация в данном случае), когда v > 0, и возрастание рас-
рассеяния с лоренцевой формой линии резонанса при v <. 0. Ком-
Компенсация при v > 0 возникает вследствие отрицательной интер-
интерференции двух полюсоз в C.46). Эти два типа резонансного
поведения, как показал Якоби [3.67], являются характерной
чертой двойного резонанса.
Чтобы обсудить применимость формулы C.50) к РКРС в кри-
кристаллах и появление дополнительной структуры, предсказывае-
предсказываемой C.51), рассмотрим одномерный полупроводниковый кри-
кристалл. Предположим, что "электронная зона с конечной эффек-
эффективной массой и прямая дырочная зона (бесконечная эффектив-
эффективная масса), представленные на фиг. 3.4, описывают электронные
120
Глава 3
Фиг. 3.4. РКРС первого порядка, соответствующее диаграмме, представченной
на фиг. 3.3, а.
Парабола опясыпает днсперспоидос соотношение для электронного промежуточного со-
"™HHf.' Т™"вл,е'"")* РЯ«енние соответствует случаю двойного резонанса, который
состояния. Энергия возбуждений является функцией только им-
импульса электрона
Eai (k) = Haai = ПА -f h2k*f2m. C.52}
Второе резонансное состояние |/> имеет тот же вид, что и ji>
но оно содержит фоцон с известной частотой a>0(q) и волновым
вектором (~q). Закон сохранения волнового вектора тогда тпе-
бует, чтобы (фиг. 3.4)
Еы ^Пщ{ = А (<а0 -l Д) -f Йа(k -f ?J/2m. C.53)
Предполагая, что матричные элементы Ш0ЖаьМА постоянны
используя определения C.52) и C.53) и считая, что граничный
импульс в «-пространстве ke таков, что kc » q выражение C 39}
можно свести к v ' '
f. m (Щ, в>а)
X
! — Д — ;у —
C.54}
где L есть длина, по которой нормирована система. Этот ин-
интеграл может быть непосредственно вычислен:
% ш (o>i, сй2) = (MfJ{abM0) Dя*т7А*) (^/2я) X
-*?1 }■
Резонансное комбинационное рассеяние
121
здесь мы обозначили
%щ\*1т = @! — Д — i\, lm {
^ ш2 — Д — ^v = и! — соо — Л — /
0,
0.
C.56}
Простое преобразование уравнения C.55) дает следующее вы-
выражение для матричного элемента комбинационного рассеяния
света:
(со,, со2) = (-
) (Lf2n) X
Y ' ' '
Это выражение описывает резонанс с соответствующим ушире-
нием в случае одного измерения (ш, — aR)-'!i при резонансной
частоте ыя = Л, при mr = Д + мо, и, если
hq2f2m > (о0,
C.58)
оно описывает также резонанс лореицева типа при
B/п/Й) [(cofi ~ A)Vl + К ~ А - щ)'1'] = q. C.59}
Этот результат можно интерпретировать следующим образом:
в подобном одномерном случае всегда имеются два пороговых
резонанса приь>1 = Д (входной капал) иа2 = Л (выходной ка-
канал). Для любого q, которое удовлетворяет C.58), имеется до-
добавочный резонанс при значении :о,, удовлетворяющем C.59).
Наоборот, для любого coi > Л + ^о имеется одно значение q,
которое удовлетворяет C.59) и дает дополнительный резонанс.
Это, конечно, эффект, рассмотренный в C.50), поскольку, как
видно из фиг. 3.4, для достаточно больших (и фиксированных)
значений q энергия состояния, стоящего слева, уменьшается,
в то время как энергия правого состояния возрастает.
Подобный эффект двойного резонанса происходит в двух и
трех измерениях, Условия резонанса такие же, C,58) и C,59),
но частотная зависимость резонанса изменяется на зависимость
типа обратный квадратный корень для d = 2 и на логарифмиче-
логарифмическую зависимость для d = 3. В "общем случае двойной резо-
резонанс в обычной критической точке в случае d измерений имеет
форму простого резонанса п случае d — I измерений.
Важно отметить, что рассмотренные выше условия выпол*
няются только для волновых векторов, много больших, чем вол-
волновые векторы фотонов. Таким образом, для типичного случая
РКРС первого порядка, в котором значения импульсов опреде-
определяются сохранением волнбвых векторов
122
Глава 3
матричный элемент для комбинационного рассеяния только
слабо зависит от волновых векторов ki, кз и q. Такой матричный
элемент можно разложить по степеням волнового вектора q.
Например, C.57) можно представить как
/. ю (М[ЛаЬМ0) (я/m'/A3) (L/2n) X
1 Г 1 1 "I Г,
X
Первый член, не зависящий от q, соответствует одномерному
случаю C.41). Этот простой пример показывает, что в общем
случае соотношение C.50) описывает адекватно РКРС пер-
первого порядка в кристалле, когда мы пренебрегаем зависимостью
матричного элемента от волнового вектора. Второй член в C.60),
который может быть важным в РКРС, как это обсуждается
в разд. 3.3, вводит новый вид резонанса: особенности имеют
место только при входном и выходном резоиапсах, но общая
форма линии изменена посредством множителя (%\ + адJ-
Только когда q сравним с v.x -\-~fo, возникает новая особенность.
Как это будет видно ниже, новые резонансные свойства ясно
заметны в двухфононном рассеянии.
Наконец, рассмотрим случай 3, когда имеется непрерывный
спектр конечных состояний. Главным примером может служить
двухфононное рассеяние в кристаллах. Если учитывать ангар-
ангармонические эффекты, при которых в одной вершине (вершина
с четырьмя квазичастицами) излучаются два фоиона, то все
матричные элементы как функции частоты падающего фотона
имеют ту же форму линии резонанса, что и в случае однофонон-
ного рассеяния. Однако, когда мы рассматриваем случай после-
последовательного излучения, как на фиг. 3.3, б, существенным яв-
является матричный элемент более высокого порядка C.32);
в этом случае форма линии резонанса может резко меняться.
Вследствие однозначного соответствия между промежуточными
и конечными состояниями с учетом предположения о постоян-
постоянстве матричных элементов выражение C.32) преобразуется к
*2Л ш = ЩсЛсЬМЬата^) X
Х \ L(<*> - ®а1
- ш» ~ <?е() J '
Оценка C.61) связана с некоторыми дополнительными трудно-
трудностями, но в общем случае она осуществляется в соответствии
с общим методом, рассмотренным для двойных резонансов. На-
Например, для случая, представленного па фиг. 3.3, б, если первый
фонон имеет волновой вектор qb а второй — волновой вектоо q2,
Резонансное комбинационное рассеяние
123
то сохранение квазиимпульса требует
C.62)
Если, кроме того, два фонола принадлежат той же ветви v
то сохранение энергии учитывается выражением
со2 — со] =2©ч, C.64)
и для случая внутризонного рассеяния можно записать
иа; = Л + А*я/2т,
Щ1 = Л + A (k + qfftm + cv C.65)
Тогда в предположении, что матричные элементы постоянны,
C.61) сводится к
где
X
?/2т = e>i — Л ~ i'Y.
щ/Ът = «и — Д ~ «, — iy,
nl/Ztn = oi — Д — 2a? ~r /Y.
- хШ X
3—5О C-66)
C.67)
Отсюда
Klh w =
r f
x 1 {
где два интеграла подобны интегралу в C.54); в случае одного
измерения й = 1 они полностью идентичны. Следовательно,
можно видеть, что C.68) имеет резонансы для фиксирован-
фиксированного ц при значениях cm, равных Л, Л +_ щ, Л + 2^^, а также
для сй|, соответствующих
Bm/A)Vl [(и, - АO; + (а, - а», - А)'''!] = Я,
{1mlh)'![(и, - со, - АO' + (Щ - 2ш, - А)''"] = q, C.69)
124
Глава В
Другими словами, имеются пять возможных резонансных пиков
для фиксированного волнового зектора д.
Резонансы при Л и (Л + 2со3) представляют собой знакомые
нам входные и выходные резонансы с такой же функциональ-
функциональной формой, что и у восприимчивости %. Резонанс при (Л -+- со9)
имеет ту же форму. Он является промежуточным входным ре-
резонансом, и мы видим, что он ослаблен вследствие взаимной
компенсации двух членов в интеграле C.68). Два последних ре-
резонанса C.69) являются двойными резонансами, не связан-
связанными ни с какой структурой в частотной зависимости восприим-
восприимчивости. Если бы волновой вектор фононов можно было со-
сохранять в эксперименте постоянным (например, если диспер-
дисперсия по ыч достаточно велика, так что данная часть спектра мо-
может быть приписана малой области векторов q), то возраста-
возрастание рассеяния при этих двойных резонансах можно было бы
в принципе измерить. Большой интерес представляет тот факт,
что они являются более резкими, чем обычные пороговые резо-
резонансы, и имеют место только для фононов с значениями |q|,
большими, чем минимальное значение, даваемое C.69).
Следует отметить, что для фиксированной частоты ьц вблизи
резонанса форма линии резонанса в сечении рассеяния как
функции со2 определяется матричным элементом Л^, ю. В на->
стоящих примерах при постоянном Ж величина \Кли ю|2 умень-
уменьшается как q~* для больших q. Даже в случае трех измерений
это уменьшение матричного элемента превосходит возрастание
плотности конечных состояний, пропорциональное q2, и соответ-
соответственно вызывает пик в интенсивности двухфононного комби-
комбинационного рассеяния. Таким образом, в действительности
спектр двухфононного рассеяния вблизи резонанса отличается
от обычной монотонной частотной зависимости типа корень
квадратный и имеет пик для фононов с такими q и щ, при ко-
которых выполняются условия для двойного резонанса. В случае
меньшего числа измерений этот пик должен быть более резким.
Кроме того, если матричный элемент электрон-фононцого взаи-
взаимодействия Ж изменяется с q, как в случае фрёлиховского взаи-
взаий [39312] Ж l б
модействия [3.9—3.12], когда
ф
q~l для больших q, то
может иметь резкий пик при волновых векторах q, больших по
сравнению с волновыми векторами фотонов, но часто малым по
сравнению с волновыми векторами у границ зоны Бриллгоэна.
3.3. Гамильтонианы, симметрия и правила отбора
В этом разделе мы кратко обсудим различные гамильто-
гамильтонианы, используемые при изучении явления РКРС, рассмотрим
их свойства симметрии и правила отбора, вытекающие из
свойств симметрии,
Резонансное комбинационное рассеяние
125
Наиболее важным членом в гамильтониане, который глав-
главным образом ответствен за РКРС, является Жмя, описывающий
взаимодействие вещества и излучения. Этот член может быть
записан как [3.!]
Эвмя = (Ie I/me) Z Ра ■ А (га), (з.7О)
где суммирование проводится по всем электронам а в мате-
материальной системе, ра — импульс электрона к и А(га)—кванто-
А(га)—квантованный векторный потенциал поля излучения, измеренный в об-
области электрона а:
А(г) = [2яс3А/Кд]1/1£»Г1'1Х
X ^ Кехр (ikk ■r) + at exp (- /b, • г)}. C.71)
В C.71) Vr есть объем, по которому нормировано поле излуче-
излучения, % указывает фотонную моду с волновым вектором кх и по-
поляризацией гк, ах и а\— соответственно операторы уничтоже-
уничтожения и рождения фотона. Единственными отличными от нуля
матричными элементами ак и а+ являются
(«л | at I яг. — 1} = {п% — 11 at, Iпа) =
C.72)
В C.70) мы пренебрегли членами, пропорциональными JA(ra)J2,
которые не являются резонансными. При вычислении матричных
элементов Жмя поле излучения дает множитель, который равен
либо нулю, либо (ял)'. Часть системы, связанная с веществом,
дает другой множитель, который есть либо
Pis. х = (И S Ра
ra) [ 2)
C.73)
для поглощения фотона, либо
Рц х = A IZ А, ехр (- гкл ■ ra) [ 2) C.74)
a
для излучения фотона.
Так как длина волны света велика по сравнению с разме-
размерами атомов, матричные элементы, могут быть оценены посред-
посредством мультипольного разложения экспоненциальных множи-
множителей в C.73) и C.74). Например, основной матричный элемент
для поглощения фотона в (ЗЛО) можно записать как
@/1 Шт | ш10) = (i е Цтс) [2nc2ft/ VRf <*'{< X
X Z К ■ СI Pa 1 о) + Л, ■ {t \ pa ■ ra | o) ■ Kl + ...}. C.75)
Первый член в разложении C.75) есть электрический диполь,
второй — электрический квадруполь и магнитный диполь и т. д!
126
Глава 3
Обычно оставляют только электрический дипольный член [3.1,
3.9], так как он примерно в а = 137 раз больше, чем члены
более высокого порядка. При этих условиях <Oi|<3f?ju«jcoici> есть
матричный элемент ej,-компоненты оператора полного импульса.
Он зависит от поляризации фотона е*,, но не от направления рас-
распространения или длины волны фотона.
В дипольном приближении гамильтониан Жмя не связывает
состояния одной и той же четности. Существование в системе
центра инверсии ограничивает число состояний, которые могут
служить в качестве промежуточных состояний в РКРС. Кроме
того, билинейная зависимость KzfT m от Жми требует, чтобы ко-
конечное состояние имело ту же четность, что и основное состоя-
состояние, т. е. j/> не может быть нечетным состоянием. В общем
случае билинейная зависимость K,2f, 10 от векторов поляризации
может быть использована для введения тензора комбинацион-
комбинационного рассеяния света R, который определяет матричные эле-
элементы для любого направлений поляризации падающего и рас-
рассеянного фотонов
Kv.io~*rR-*2- C.76)
Тензор R является функцией частот фотонов о^ и <м2 и зависит
от свойств конечного состояния |/>. Отличные от нуля компо-
компоненты R, соответствующие различной симметрии состояния )/>
и различным кристаллическим классам, подробно обсуждались
в дипольном приближении и представлены в таблицах Лоудо-
ном [3,9]. Вся эта информация содержится в явном виде в мат-
матричных элементах М и Л предыдущего раздела.
Электрический квадрупольный член в C.75) соответствует
другим правилам отбора. Он связывает состояния одинаковой
четности. Если в общем выражении (ЗЛО) используются один
электрический квадрупольный и один электрический дипольный
матричные элементы для Жми, то конечное состояние при рас-
рассеянии света |/> может иметь противоположную четность по от-
отношению к |о>, т.е. оно может быть нечетным. В этом частном
случае мы можем ввести два тензора комбинационного рассея-
рассеяния третьего ранга R■ (/, юь соэ) и R2(f, au о>2), таких, что
з
AV. Ш = Zj e]a62B {Raeykly -+- #аЗу&2у)' C.77)
а, В. v = l
Эти определения могут быть непосредственно распространены
на случай более высоких мультиполей.
Правила, которые мы сейчас описали, в случае РКРС яв-
являются «мягкими» правилами отбора. Одна из причин их на-
нарушения заложена в самой природе механизма резонансного
возрастания. Возрастание рассеяния вследствие близости к ре*
Резонансное комбинационное рассеяние
127
зонансу «запрещенного» электрического квадрупольного или
магнитного дипольного перехода может быть в общем случае
больше, чем понижающий множитель — A37)а, характеризую-
характеризующий отношение интенсивностей дипольного и квадрупольного
рассеяния, и, следовательно, обычно «запрещенные» линии мо-
могут проявляться с необычно большой интенсивностью. Другими
словами, интенсивности «запрещенных» линий в РКРС могут
быть больше (и это часто имеет место), чем интенсивности обыч-
обычных «разрешенных» вне резонанса лилий. Это нарушение правил
отбора также наблюдается для полярных колебаний, вообще
разрешенных в комбинационном рассеянии, но запрещенных
в данной поляризационной конфигурации.
Второй причиной нарушения обычных правил отбора яв-
является тот факт, что в РКРС промежуточные состояния |j>
часто имеют большую пространственную протяженность а, на-
например экситопы Ванье. В этих случаях параметр разложения ka
может быть большим, что приводит к эффектам пространствен-
пространственной дисперсии как в восприимчивости, так и о матричных эле-
элементах комбинационного рассеяния. Соответствующие примеры
обсуждаются в разд. 3.4.
Обсуждение гамильтониана Жм, соответствующего мате-
материальной системе, зависит, конечно, от рассматриваемой си-
системы, и его трудно проводить в общей форме без учета кон-
конкретных особенностей. В наиболее общих случаях Жм состоит
из нескольких членов, в число которых входят:
а) электронная часть, представляющая квазичастицы (элек-
(электроны и дырки в твердом теле) или одночастичные возбуждения
системы;
б) член, соответствующий электрон-электронному взаимодей-
взаимодействию, который описывает образование экситопов и других бо-
более сложных много частичных и коллективных возбуждений;
в) член, соответствующий движению ядер, который описы-
описывает фононы в твердом теле и вращательные, трансляционные и
колебательные движения в молекуле или жидкости;
г) спиновый (магнонный) гамильтониан, который описывает
магпитньге свойства твердого тела или жидкости с помощью
локализованных атомных или молекулярных спинов;
д) набор членов, соответствующих различным взаимодей-
взаимодействиям, элекгрон-фоноипым, элсктроп-магноццым, фоион-фонон-
ным, фокон-мапюпным и т. п.
Какие из этих членов следует считать «основными» и какие
рассматривать и качестве «возмущений*, зависит решающим
образом от типа изучаемой проблемы. Наиболее часто рассма-
рассматриваются случаи фопонов в' диэлектрических кристаллах. При
этом «невозмушеипая» часть гамильтониан;] состоит из элек-
электронного вклада (электроны и дырки), фошшюго вклада н
128
Глава 3
в некоторых случаях вклада электронно-дырочного взаимодей-
взаимодействия (экситоны). «Возмущающей» частью гамильтониана Жм
является электрон-фоионное взаимодействие, которое в общем
виде может быть записано как
3№м (е — р)= Vt'l Z {9 (vre) exp (fqv • re) &v +
то
+ 6* (v, r.) exp (- *q, ■ ra) b%), C.78)
где r0 — координата электрона a; Vc — объем кристалла; v —
фопонная мода с волновым вектором q^; bv и by— соответ-
соответственно операторы уничтожения и рождения фонона v; 9(v,r) —
функция координаты электрона, зависящая от волнового век-
вектора и поляризации фонона, ее свойства в значительной степени
определяются пространственной протяженностью взаимодей-
взаимодействия. Для заданной ветви оптических фононов в диэлектрике 0
может быть обычным деформационным потенциалом (DP)
[3.13, 3.14] или так называемым фрёлиховским взаимодействием
(F) [3.9—3.12]. В приближении деформационного потенциала
О = Оор взаимодействие является короткодействующим. В этом
случае в расчетах матричных элементов электроп-фононного
взаимодействия зависимостью от волнового вектора можно пре-
пренебречь. Тогда правила отбора определяются симметрией фо-
понов с q = 0, а матричные элементы Шмп и члены их мульти-
польного разложения — по описанному выше методу.
Фрёлиховское взаимодействие является дальнодействующим,
и его можно записать в q-пространстве как
*. г)
C.79)
где уч определяется макроскопическим электрическим полем, со-
сопровождающим фонон. Коэффициент Yv равен нулю до тех пор,
пока фонон v не имеет продольной компоненты. Важной осо-
особенностью C.79) является то, что в добавление к обычному
междузонпому вкладу в рассеяние оно даст дополнительный
внутризонный матричный элемент. Когда в матричный элемент
для комбинационного рассеяния света подставляется первый
член в разложении C.79) по степеням д, пропорциональный
q~l, матричный элемент всегда равен нулю вследствие компен-
компенсации двух разных вкладов противоположного знака от элек-
электрона и дырки, созданных фотоном. Это с очевидностью следует
из того факта, что фотон может создавать только нейтральные
(незаряженные) экситоны в твердом теле. Линейный член опи-
описывает междузонный электрооптический эффект. Важный квад-
рупольный член в мультипольном разложении экспоненты
в C.79) имеет вид
Резонансное комбинационное рассеяние
129
и является линейным по ц. Этот член не компенсируется, когда
учитываются вклады от электрона и дырки, и он может дать
сильно зависящий от д вклад в матричный элемент для комби-
комбинационного рассеяния [3.10—3.12]. В этом случае, если оба
матричных элемента Жми соответствуют дипольным переходам,
матричный элемент для рассеяния света может быть записан
как
а
<\2!, 10= 2j PaBvEaB0?V C.80)
Поскольку при фопонном РКРС первого порядка
q = Id — k2,
сеченне рассеяния очень сильно зависит от угла рассеяния фо-
фотонов.
В качестве конкретного примера этого эффекта рассмотрим
одномерный случай, характеризуемый соотношением C.60).
При этом Жаь —' (Y/<iO' b матричный элемент принимает вид
%е
h (со i — <й2)
)
C.81)
где а есть характеристическая длина
а = (к, + иг)~' = (Й/2т)';' [(и, — Д — iy)'1' +
+ <pt-&-y)'T\ C.82)
Матричный элемент C.81) описывает такие же входные и вы-
выходные резонансы, что и C.41), разница заключается лишь
в дополнительных множителях в C.81). Частотная зависимость
характеристической длины о, даваемая C.82), явно имеет ре-
резонансный характер. Максимальное значение \а\ достигается
при ю2 < Л < щ. Для эффективной массы электрона 0,1"*,. (ма-
(малая масса) и энергии фонона 0,025 эВ
I а Цкс м (П/2тщ)''! ж 35 А.
При этой большой характеристической длине
н, следовательно, мы можем ожидать сильных зависящих от
волнового вектора взаимодействий. Дзльгюдействующий харак-
характер фрёлиховского взаимодействия виден в C.81), откуда сле-
следует также, что фрёлнховска'я энергия связи уа пропоршгональ-
на характеристической длине а. По этой причине можно ожи-
ожидать, что фрёлиховское взаимодействие дает большой вклад
5 Эак, i[7S
120
Глава 3
в РКРС в полярных веществах вблизи критических точек. По-
Подобные рассуждения могут быть применены к РКРС вблизи
экситонных состояний большого радиуса, когда матричный эле-
элемент имеет вид C,8!), но а имеет частотную зависимость, от-
отличную от C.82). В этом случае вблизи экситошюго резонанса а
представляет собой радиус экситона [3.10—3,12].
3.4. Обсуждение специальных случаев
Предыдущие разделы были посвящены изложению теорети-
теоретических основ, необходимых для понимания процесса взаимодей-
взаимодействия света с веществом. Из общей теории взаимодействия ма-
материальной системы и системы излучения были получены выра-
выражения для сечения рассеяния при неупругом рассеянии света и
было рассмотрено рассеяние в тех случаях, когда фотоны на-
находятся в резонансе или вблизи резонанса с возбужденными
электронными состояниями вещества. Естественная схема клас-
классификации такого резонансного комбинационного рассеяния, как
было показано, основана на разделении конечных и резонанс-
резонансных промежуточных состояний вещества па дискретные и не-
непрерывные состояния.
В этом разделе мы обсуждаем специальные эксперимен-
экспериментальные и теоретические примеры РКРС, Примеры распреде-
распределены в соответствии со схемой, основанной на разделении по
дискретным и непрерывным состояниям, а не на разделении по
типам веществ. Таким образом, мы группируем в каждом раз-
разделе экспериментальные и теоретические результаты по рассея-
рассеянию в совершенных кристаллах, на примесных состояниях
в кристаллах, на молекулах в газовой фазе, Основное внимание
уделяется рассеянию в твердых телах, Однако понимание ос-
основных свойств РКРС облегчается с помощью рассмотрения об-
общих свойств РКРС в любом материале. Конечно, невозможно
обсудить подробно все относящиеся к данному вопросу экспе-
эксперименты и теории. Поэтому мы попытались выбрать только те
примеры, которые наилучшим образом иллюстрируют главные
свойства каждого типа рассеяния,
Для иллюстрации и обсуждения резонансных взаимодействий
мы будем использовать диаграммные методы, рассмотренные
в предыдущих разделах. Определения диаграммных символов
даны на фиг, 3,1, и основные диаграммы Для комбинационного
рассеяния показаны на фиг. 3.2. В разд. 3.2 был представлен
теоретический анализ нескольких интересных случаев. В данном
разделе мы сравниваем результаты экспериментов с этими тео-
теоретическими результатами. В некоторых примерах для интер-
интерпретации явлений потребовалось дальнейшее развитие теорети-
теоретических выводов.
Резонансное комбинационное рассеяние
131
3.4.1. Общие аспекты РКРС
В разд. 3.2 были даны общие выражения для тензора ком-
комбинационного рассеяния, основанные на матричных элементах
гамильтониана взаимодействия излучение — вещество. Эти вы-
выражения сравнивались с подобными выражениями для линейной
диэлектрической восприимчивости [см. (ЗЛО) и C.11)]. Из этого
сравнения было ясно, что оба типа выражений включают те же
самые промежуточные состояния материальной системы, но
имеют различные матричные элементы. Сравнение Д"(ш) и %(&)
представляет собой один из главных методов для интерпретации
РКРС в данном разделе.
Рассмотрим область прозрачности для фотонов с частотами,
меньшими, чем частоты электронных возбуждений в диэлек-
диэлектрике. Как показано в C,И), х(ш) содержит положительно оп-
определенные квадраты матричных элементов, деленные на энер-
энергетические знаменатели, которые в этом случае все положи-
положительны, Следовательно, /(со) есть монотонно возрастающая
функция частоты фотонов ш. С другой стороны, тензор рассея-
рассеяния содержит произведения различных матричных элементов,
которые в общем случае являются комплексными и могут иметь
любую фазу. Вследствие этого даже в области прозрачности
диэлектрика в тензоре рассеяния могут содержаться интерфе-
интерференционные эффекты, такие, что сечение комбинационного рас-
рассеяния может иметь немонотонную зависимость от и. В области,
далекой от любых резонансов, такая структура в сечении рас-
рассеяния в основном не зависит от детальных свойств промежуточ-
промежуточных состояний. Поэтому, прежде чем перейти к изучению при-
примеров точных резонансов в Д"(и), мы рассмотрим общее резо-
резонансное поведение в области прозрачности.
Имеется много примеров либо монотонного, либо немонотон-
немонотонного изменения сечения комбинационного рассеяния как функ-
функции частоты света ». Возможно, наилучшим примером, в кото-
котором наблюдались различные типы резонансного поведения, яв-
является рассеяние света фононами в CdS. Впервые нулевая точка
в сечении рассеяния наблюдалась в работе Ралстона и др. [3.15].
Результаты их работы представлены на фиг, 3,5, откуда видно,
что два типа поперечных (ТО) оптических фононов имеют по-
подобные, но не идентичные минимумы в частотной зависимости
сечения рассеяния при энергии фотонов, составляющей около 0,8
От ширины запрещенной зоны, Интенсивность рассеяния про-
продольными (LO) фононами, наоборот, монотонно возрастает. По-
Полученные результаты были интерпретированы авторами как
следствие интерференции постоянного члена в матричном эле-
элементе для рассеяния с зависящим от частоты членом, представ-
представляющим вклад самых низких зон. Они выбрали Д" в виде C.5Q1
132
Глава 3
1,0 1,1 1,4 1,6 1,8 г,0 2,2 2,4
Е. эВ
Фиг. 3.5. Эффективность рассеяния света в CdS (80 К) по отношени
сеянию в CSj как функиия энергии падающего фотона.
но к рас-
Е, —ширина запрещенной зоны CdS. Крип
простой дис
l|Qhi формул!
i об щеп
обсуждаемой в тексте. Включены также аанные работы [8] нэ [3.15[, приведенные к
масштабу при 3,47 зВ. ttlo данным Ралстона н др. [3.15].!
t-TO B28 си) Л<; 2~ТО B43 см) fii; 3-LO (зО6 см"') Е,\ 4-ТО (си. [81 и.
с Л, — Л2 = 0 и [х(й|) —%(щ)], даваемым выражением C,48)
для свободных электронов в случае трех измерений. Подогнан-
Подогнанные теоретические кривые показаны па фиг. 3.5. Теоретические
кривые недостаточно чувствительны к виду резонансного уси-
усиления, и поэтому невозможно различить типы зонных или экси-
тонных промежуточных состояний. Однако анализ позволяет ка-
качественно установить тот факт, что матричные элементы в (ЗЛО)
для Лу и с, ГО-фоноцов имеют разные знаки для самой низкой
зоны и усредненных верхних зон. Кроме того, при больших дли-
длинах волн доминирующий вклад в рассеяние дают промежуточ-
промежуточные состояния в более высоких зонах. С другой стороны, для
Резонансное комбинационное рассеяние
Ш
LO-фононов эффект компенсации не имеет места. Поскольку
они отличаются от ГО-фононов только наличием макроскопиче-
макроскопического электрического поля, дополнительное фрёлиховское вза-
взаимодействие [3.9—3.12] между электронами и LO-фононами,
обусловленное электрическим полем, должно качественно изме-
изменять матричные элементы в C.10), так что эффект компенсации
не имеет места.
Такого же типа наблюдения были сделаны Даменом и Скот-
Скоттом [3.16] для ГО-фононов .Е-типа низшей энергии в CdS, для
которых имеет место эффект компенсации. Календер и др. [3.17]
также провели подробные измерения в CdS и ZnO. Сравнивая
рассеяние LO- и ТО-фононами в ZnO [3.17], им удалось уста-
установить, что вклад деформационного потенциала и фрёлиховский
вклад в рассеяние LO-фононами стремятся скомпенсировать
друг друга. Конкуренция между двумя механизмами рассеяния
приводит к изменению знаков в матричных элементах в C.10)
для рассеяния LO-фононами и к существованию точки компен-
компенсации для фотонов с энергией ниже края поглощения. Резонанс-
Резонансные эффекты, включая компенсацию, для фотонов с частотой,
близкой или равной частоте промежуточных состояний, зависят
от детальных свойств промежуточных состояний и будут рас-
рассмотрены в следующих разделах.
Прежде чем перейти к другим примерам резонансных эф-
эффектов, уместно упомянуть о некоторых аспектах резонансного
рассеяния, которые не обсуждаются здесь, но о которых следует
помнить в последующем рассмотрении. Первый аспект — это
влияние диэлектрической дисперсии, т. е. поляритонные эф-
эффекты. Для сильных взаимодействий может оказаться важным
продолжение ряда теории возмущений по Шмк до более высоких
порядков. Это было сделано для нескольких специальных слу-
случаев [3,18—3.21]. Мы не будем рассматривать эффекты более
высокого порядка, за исключением случая с введением диспер*
сии, т. е. коэффициента преломления, для фотонов в кристаллах.
Так как основные резонансы происходят при тех значениях
частот, при которых свет поглощается, следует учитывать воз-
возможные следствия конечной величины глубины проникновения
света н свойства вещества в пределах объема проникновения,
Это может играть существенную роль в кристаллах, поскольку
ограничение объема рассеяния поверхностной областью приво-
приводит к нарушению законов сохранения квазнимпульса. Как было
показано Уильямсом и Порто [3.47] и Мартином [3.22], влияние
поглощения приводит в некоторых случаях к качественному из-
изменению свойств рассеяния. Кроме того, тот факт, что поверх-
поверхность имеет симметрию, отличную от симметрии объема, может
вызывать изменение правил отбора. Это наблюдалось во многих
полупроводниках [3,7, 3.23], в которых барьеры Шоттки приво-
134
Глава 3
дят к возникновению больших поверхностных электрических по-
полей проникающих в образец на расстояния, срзвнимые с ти-
типичными глубинами проникновения света. Возможность суще-
существования таких поверхностных эффектов следует учитывать
в РКРС, но они не обсуждаются в данной работе, поскольку
это просто один из примеров влияния примеси или неоднород-
неоднородности на свойства твердого тела.
3.4.2. Одиночные дискретные промежуточные
н конечные состояния
Наиболее наглядным примером РКРС является случай, когда
имеют место одиночное дискретные конечное и промежуточное
состояния, которые дают доминирующий вклад в некоторой
области частот падающих фотонов. Как показано в разд. 3.2,
интенсивность комбинационного рассеяния как функция частоты
падающего фотона имеет в этой области резонанс лоренценой
формы C.18). Резонанс комплексного матричного элемента для
комбинационного рассеяния (и тензора рассеяния) К(<и) яв-
является таким же, как и резонанс диэлектрической восприимчи-
восприимчивости х(ы), т- е. частота резонанса равна частоте поглощения и
его ширина определяется временем жизни промежуточного со-
состояния. Интересно отметить [3.24], что частотная зависимость
интенсивности рассеяния лоренцевой формы неотличима от ча-
стотной зависимости для двухступенчатого процесса, состоящего
из поглощения падающего фотона и последующего распада
промежуточного состояния через любые каналы, одним из кото-
которых является излучение рассеянного света.
Мы будем относить к РКРС процессы рассеяния как в резо-
резонансе, так и вне резонанса в области крыльев лоренцевпй функ-
функции. Единственным отличием является то, что при резонансе
интенсивность определяется главным образом временем жизни
промежуточного состояния, тогда как вне резонанса она опре-
определяется сдвигом частоты от резонанса. Это в свою очередь
приводит к тому {разд. 3.2), что вдали от резонанса рассеяние
является мгновенным, в то время как при резонансе рассеян-
рассеянный свет излучается с временем задержки, зависящим от вре-
времени жизни.
В ряде работ были введены определения, в которых рассея-
рассеяние при резонансе называлось «резонансной флуоресценцией»
[3.1, 3.2] или «горячей люминесценцией» [3.25, 3.26]. Мы сохра-
сохраним подобные термины для случаев, в которых существенно
(а не просто возможно) описывать рассеяние как многократный
ступенчатый процесс с потерей фазовой памяти между ступе-
ступенями. Формальное описание различия между РКРС и РФ или
ГЛ представлено Шеном [3.26]. Он ввел случайные поля, ко-
Резонансное комбинационное рассеяние
135
торые могут взаимодействовать с промежуточным состоянием.
Свет, излученный разупорядоченными таким путем состояниями,
называется «горячей люминесценцией». В каждом конкретном
случае необходимо определять, существуют ли такие случайные
поля. Мы отметим, что это разделение является несуществен-
несущественным в рассматриваемом примере, в котором имеется только одно
промежуточное состояние. Фаза состояния важна только в тех
случаях, когда имеются вырожденные или почти вырожденные
промежуточные состояния. Тогда различные вклады в ампли-
амплитуды рассеяния должны добавляться с учетом соответствующих
фазовых соотношений.
Тот факт, что лишь одно промежуточное состояние дает
основной вклад в рассеяние, может быть обусловлен двумя при-
причинами: 1) имеется только одно состояние системы вблизи ре-
резонанса; 2) только одно состояние взаимодействует со светом
вследствие правил отбора. Первое положение может иметь ме-
место в случае изолированных примесных состояний в твердых
телах или (приблизительно) в случае дискретных возбужденных
состояний молекулы. Во втором случае может быть выделено
одно промежуточное состояние из непрерывного спектра в со-
совершенном кристалле. Например, закон сохранения волнового
вектора требует, чтобы взаимодействие фотона с волновым век-
вектором к происходило только с теми возбужденными состоя-
состояниями, которые имеют такой же волновой вектор. Твердые тела
при низкой температуре имеют хорошо определенные дискрет-
дискретные экситонные зоны. Если фотон имеет заданный волновой
вектор, то рассеяние вблизи резонанса с экситонной полосой
может часто рассматриваться как рассеяние с одиночным про-
промежуточным состоянием. Подобным образом конечное состоя-
состояние в кристалле может быть выделено из непрерывного спектра
вследствие закона сохранения волнового вектора в процессе
рассеяния. Отметим, что в действительности промежуточное со-
состояние может быть вырожденным и в случае экситонпв яв-
является существенно вырожденным с другими состояниями, имею-
имеющими слегка отличающийся волновой вектор к. Чтобы сравни-
сравнивать результаты с простой лоренцевой формулой, необходимо
быть уверенным, что рассматриваются только те аспекты рас-
рассеяния света, которые могут быть описаны с помощью одиноч-
одиночного Промежуточного состояния.
РКРС Первого порядка в Си«О
Рассмотренные выше условия для одиночного промежуточ-
промежуточного состояния, как показано в экспериментальной работе Ком-
паана и Каминса [3.27] и в теоретической работе Бирмана
[3.28], выполняются в случае рассеяния света в Си^О. Компаан
136
Глава 3
и Камине измеряли интенсивность комбинационного рассеяния
первого порядка, используя в качестве источника света лазер
на красителе, частота излучения которого могла непрерывно
изменяться, проходя через значение частоты, соответствующее
самой низкой по энергии линии экентона «желтой» серии
в Си2О. ls-экситоны «желтой» серии в центре зоны являются
четными состояниями и не активны в поглощении света в ди-
польном приближении. Взаимодействие с излучением MKr для
этих состояний осуществляется посредством слабой квадру-
польной связи. Поглощение света достаточно мало, чтобы мож-
можно было пренебречь поляритонными эффектами и считать вол-
волновой вектор фотона хорошо определенным. Но все же взаимо-
взаимодействие достаточно сильно по сравнению с временем жизни
экситонов, так что резонансное усиление рассеяния отчетливо
наблюдается. Кроме того, поскольку поглощение мало, рассея-
рассеяние происходит в объеме кристалла, и правила отбора могут
быть однозначно использованы для проверки теоретических
предсказаний.
На фиг. 3.3, s приведена основная диаграмма для рассеяния,
которая представляет рождение экситона с волновым векто-
вектором kj, равным волновому вектору падающего фотона, посред-
посредством квадрупольного взаимодействия, и последующий радиа-
радиационный распад зкеитона с участием фонона. Резонансным со-
состоянием является is-экситон «желтой» серии, который мы бу-
будем в дальнейшем называть а-экситоном. Когда частота mi до-
достаточно близка к линии поглощения а-экситона, рассмотренная
диаграмма является доминирующей при рассеянии, несмотря
на слабое квадрупольное взаимодействие. Возможность наблю-
наблюдения такого процесса зависит от времени жизни промежуточ-
промежуточного состояния, которое достаточно велико в Си2О. КваДрУП0ЛЬ-
ное поглощение света а-экситонами в СщО хорошо исследовано
[3.29]. Изучено также излучение света а-экситонами с участием
фононов [3.30]. Следовательно, при РКРС, состоящем из ком-
комбинации этих двух процессов, имеется много возможных спосо-
способов сравнения теоретических и экспериментальных резонанс-
резонансных кривых.
Квадрупольное взаимодействие изучалось в разд. 3.3 [см.
C.75) и C.77)]. Так как одно из взаимодействий между светом
и веществом является квадрупольным и, следовательно, четным,
в рассеянии участвуют только нечетные фононы. Конкретные
поляризационные правила отбора были выведены Бирманом
[3.28], Согласно этим правилам, все нечетные фононы должны
наблюдаться в спектре рассеяния. Квадрупольное взаимодей-
взаимодействие зависит от волнового вектора падающего фотона к]. Для
каждого волнового вектора ki может быть дал тензор комби-
комбинационного рассеяния, связывающий векторы поляризации па-
Резонансное комбинационное рассеяние
137
Фиг. З.б. Диаграмма, соответствующая квадрупаль-диполыншу РКРС в Си2О.
Is—экситон «желтой» серии обозначен а, другие нерезанансные возбуждения —В. Электпои-
фоточное вэааыодеистиие для а-эксн-пыз яялястея квадру ноль ним [Q). Реза^анс с падаю-
щин фотоном обозначен с-срелкашг. Образующийся фонон является ксчетаын фотоном.
дающего и рассеянного света. Зависимость этого тензора от на-
направления волнового вектора ki падающего фотона выведена
Бирманом [3.28].
Электрон-фононная связь, приводящая к излучению света
с участием фононов, может быть описана посредством разло-
разложения в ряд по степеням электрон-фоношюго взаимодействия.
Диаграмма для случая, когда падающий фотон находится в ре-
резонансе, представлена на фиг. 3.6. Квадрупольное взаимодей-
взаимодействие обозначено через Q и принято во внимание, что нечетные
фононы Г~ должны рассеивать а-экситоны в некоторое перезо-
иансное электронное состояние, обозначенное р. Так как состоя-
' ние р является нерезонансным, оно обеспечивает лишь эффек-
эффективный путь для рекомбинации с участием фонона и никаким
способом не влияет на резонансное усиление рассеяния. Относи-
Относительные сечения рассеяния для различных Г"-фононов можно
оценить, рассматривая возможные р-состояния, которые раз-
различны для разных фононов. Бирман [3.28] сделал вывод, что
наиболее сильной является электрон-фоно^ная связь для Г^-
фононов в соответствии с результатами измерений излучения
с участием фононов [3.30].
Экспериментальные результаты Компаана и Каминса [3.27]
подтверждают каждый аспект теории для одного выбранного
направления распространения света ki. На фиг. 3.7 представ-
представлены их данные для рассеяния как вдали от резонанса, так и
при резонансе. В первом случае наблюдается лишь один двух-
фононный пик (четное возбуждение). При резонансе, однако,
все нечетные фононы появляются в спектре комбинационного
рассеяния света первого порядка. На фиг. 3.8 приведены дан-
данные, демонстрирующие резонансное усиление самой сильной ли-
линии РКРС —линии, соответствующей Г^-фонону. Резонансная
кривая имеет приблизительно лоренцеву форму с полушириной
порядка !,5 см-1, нто немного больше, чем полуширина линии
поглощения 0,75 см-' [3.29]. Детального сравнения формы ре-
резонансной кривой для РКРС и для оптической восприимчивости
139
Глава 3
■4 200
Сдвиг частоты, см~
Фиг. 3.7. Спектры комбинационного рассеяния Си3О при 4,2 К пря мощности
возбуждающего лазерного излучения 12 мВт.
Поляризация падающего светя №0]]. поляризация рассеянного света |001]-НП0]. Инстру-
Инструментальное разрешение 2 см . а—частота лазера на 1С см больше, чем частота
1.5-зкснтана «желтой» серии; б—лааер в резонансе с ls-экситояом «желтой» серив. Лннян.
обозначенные L. соответствуют люминесценция с участием фононов. обсуждаемой в тексте.
(По данным Коыпаапа и Камннса [3.271.)
не проводилось. На фиг. 3.8 представлены также данные, кото-
которые указывают на полное отсутствие резонансного возрастания
интенсивности линии четного возбуждения, соответствующего
образованию двух Г|2-фононов.
Поляризационные правила отбора для одного направления
распространения фотона к, находятся в хорошем соответствии
с теорией. Однако измерений по проверке зависимости РКРС
от направления падающего света относительно кристаллографи-
кристаллографических осей не проводилось. Так как поглощение является сла-
слабым, СииО представляет собой идеальный кристалл для изу-
изучения предсказанной зависимости.
Теперь мы можем провести различие между РКРС и «горя-
«горячей люминесценцией» и показать, что рассмотренное выше рас-
рассеяние есть РКРС. Различие основывается на том факте, что
в кубическом кристалле экситоииые состояния вырождены. Если
бы экситоны были достаточно долго живущими, так чтобы они
Резонансное комбинационное рассеяние 139
«деполяризовывались», например, посредством упругого рас-
рассеяния на примесях в вырожденные экситонцые состояния с дру-
другой поляризацией, то поляризация излученного света не имела
бы никакого отношения к поляризации падающего света. В экс-
эксперименте не обнаружено деполяризации, следовательно, в этом
конкретном случае нет указании на разрушение связи между
состояниями, т. е. потери фазовой памяти в промежуточном со-
состоянии.
Имеется, однако, и излучение, которое не может быть опи-
описано просто как РКРС. Существуют резкие максимумы, обозна-
обозначенные L на фиг. 3.7, соответствующие люминесценции с уча-
участием фононов. Эта люминесценция является результатом ре-
рекомбинации а-экситонов, которые поглотили энергию для тер-
мализации и расположены примерно на kT выше дна зоны, где
/О4
16386 F396 fSi-06
Частота излучения мазера см~'
Фиг. 3.8. Резонансное усиление линии первого порядка 109 см-1 соответствую-
соответствующей Г^-фоцону, и частотная зависимость двухфунонной линии 218 см-', со-
соответствующей лвум'Г^-фоионам.
Для наглядности через экспериментальные точки проведены непрерыввые кривые. Частота
Is-sKCHTOHa [6 396 ±0,6 см~ была измерена нз спектроя люминесценции. (По данным Ком-
паанз а К.амицса |j.27|.j
1—Ю)=Шв см~'; 2—SiD(=»2i8 см^1.
140
Глава 8
происходит поглощение. В СигО ширины линий а-экситонов и
фононов в конечном состоянии узки по сравнению с kT, даже
при 4 К. Следовательно, в случае РКРС при возбуждении в пре-
пределах ширины линии а-экситона линии люминесценции всегда
отделены от линий РКРС. В целом процесс люминесценции от-
отличен от конкретных случаев РКРС, рассмотренных здесь, глав-
главным образом тем, что он всегда должен сопровождаться погло-
поглощением акустических фоионов малой энергии. Эти фононы, ко-
которые непосредственно не обнаруживаются при эксперименте,
обеспечивают потерю фазы, что заставляет рассматривать про-
процесс люминесценции как двухступенчатый (или более сложный)
процесс.
РК.РС в молекулах Ь
Спектр возбуждений- двухатомной молекулы состоит как из
дискретных состояний, так я из полос [3.31]. Дискретные со-
состояния представляют собой колебательно-вращательные уровни
молекулы, а полосы — непрерывные состояния диссоциирован-
диссоциированной молекулы, связанные с каждым электронным уровнем, При
комбинационном рассеянии света начальное и конечное состоя-
состояния молекулы соответствуют различным колебательно-враща-
колебательно-вращательным уровням основного электронного состояния. Если учи-
учитывать только дискретные уровни основного электронного со-
состояния, то спектр рассеяния будет состоять из серий резких
линий, представляющих все возможные разрешенные переходы.
Вследствие неравного расстояния между колебательными и
вращательными уровнями каждая линия связана с переходами
между определенными промежуточными и конечными состоя-
состояниями. Рассмотрим одну такую линию и обозначим начальное
состояние для этой линии через а и конечное через f. Рассея-
Рассеяние, соответствующее этой линии, является резонансным, если
энергия падающего фотона близка к энергии разрешенного пе-
перехода из состояния а в промежуточное состояние молекулы,
обозначенное I. Состояние ( в общем случае содержит электрон-
электронное возбуждение и может быть либо дискретным, либо непре-
непрерывным колебательно-вращательным состоянием возбужденного
электронного состояния. В данном разделе мы рассматриваем
только тот случай, когда t является дискретным состоянием.
Соответствующая диаграмма представлена на фиг. 3.2, в, где i
есть резонансное состояние.
«Дискретное» возбужденное состояние, конечно, уширено
вследствие столкновений, доплеровского сдвига, сверхтонкого
расщепления и т. п. Следовательно, можно ожидать, что теория,
построенная на основе одиночного неоднородно уширенного
промежуточного состояния [см. C.23)], должна описывать
Резонансное комбинационное рассеяние
141
РКРС. Нас будет интересовать главным образом разделение
рассеянного света на «медленную» и «быструю» компоненты и
механизм РКРС вблизи резонанса. Как отмечалось в разд. 3.2,
мы можем ожидать одновременного существования двух типов
зависящего от времени РКРС, описываемых соответственно вы-
выражениями C.21) и C.22).
В качестве примера рассмотрим молекулу 1г, которая имеет
удобно расположенные дискретные линии поглощения, так что
можно проходить через них, выбирая различные возможные моды
аргонового ионного лазера внутри уширенного доплеровского
контура усиления [3.32]. Интенсивность комбинационного рас-
рассеяния света как функция частоты излучения лазера изучалась
с помощью этого метода несколькими группами исследователей
[3.33—3.36]. В соответствии с традицией в этом случае спектр
называется резонансной флуоресценцией (РФ) [3.3, 3.33—3.36],
так как спектр зависит от времени жизни состояний. На опыте
это означает, что спектр является деполяризованным и изме-
изменяется в зависимости от парциальных давлений различных га-
газов [3.33]. Такого типа подход, однако, не является достаточ-
достаточным для того, чтобы однозначно определить роль времени жизни
состояний в РКРС. Во-первых, деполяризация не является чер-
чертой, характерной только для РФ. Простое рассмотрение кине-
кинематики вращающейся молекулы показывает, что излученный
свет является деполяризованным в тех случаях, когда посред-
посредством резонансных эффектов усилены вращательные переходы
одного типа, включающие состояние с / Ф 0. Это не зависит от
времен жизни состояний. Кроме того, повышение давления газа
приводит как к однородному, так и к неоднородному уширению
лоренцевой линии, так что зависимость РКРС от времени жизни
непосредственно не измеряется.
Точным методом исследования влияния времени жизни со-
состояний является использование спектроскопии комбинацион-
комбинационного рассеяния с временным разрешением для определения об-
обсуждавшейся в разд. 3.2 экспоненциальной временной зависимо-
зависимости, зависящей от времени жизни. Первый изящный экспери-
эксперимент по определению времени задержки был проведен Уильям-
сом и др. [3.3]. Они использовали импульсное лазерное возбуж-
возбуждение с длительностью импульса 100 не и исследовали излучение
света смещенной частоты как функцию времени в течение им-
Пульса и после него. Примеры временной зависимости представ-
представлены на фиг. 3.9. При резонансе с линией поглощения (кривая,
обозначенная 0 ГГц) интенсивность излученного света медленно
возрастает и имеет постоянную затухания порядка i икс, что
совпадает с предыдущими измерениями времени жизни в РФ.
При возбуждении, смещенном от резонанса (например, кривая
для 1,2 ГГц), имеется как быстрая (<!0 не) компонента, так
142
Глава S
-т—i—i—i—i—]—i—г
Лазерный, импульс
т-ттт
\
11
1,2 ГГЦ
J 1 1 L
2,2
0,5
Время, мкс
Фиг. 3.9. Временная зависимость излучения Q-ветвей переходов Р A35 и
R A5) Ли = 1 в молекуле иода.
Различные частотные сдвиги соответствуют сдвигу лазерной частоты относительно накси-
мума флуоресценции- Импульс падающего излучение предстанлен вверху слена. а его
ширин» равва примерно 100 не. При резонансе {кривая 0 ГГц) излученный свет имеет
заметную врвменн^ю задержку, и то время как вне резонанса (кривые, обозначенные [,2
н 2.2 ГГд) часть снета излучается с задержкой меньше чем 10 не. (По данным Унльямсн
в др. [3.31.)
и та же самая медленная компонента, уменьшенная по ампли-
амплитуде. Авторы пришли к заключению, что вследствие неоднород-
неоднородного распределения осцилляторов в «дискретной» линии рас-
рассеянный свет содержит как часть, не зависящую от времени
жизни, так и часть, которая зависит от него, т. е. РФ. Это нашло
дальнейшее подтверждение при изучении рассеяния с времен-
временным разрешением при более высоких давлениях газа, когда
интенсивность медленной компоненты возрастает. Авторы интер-
интерпретировали возрастание интенсивности медленной компоненты
как проявление возрастающего неоднородного уширения при
увеличении давления газа, хотя действительное время жизни,
измеряемое как временная задержка излучаемого света, срав-
сравнительно мало чувствительно к давлению.
В рассмотренной области частот как быстрая, так и мед-
медленная компоненты рассеяния были деполяризованы. Как ука-
Резонансное комбинационное рас
143
зывалось выше, это служит просто проявлением того факта, что
основными промежуточными состояниями как для быстрых, так
и для медленных процессов являются определенные вращатель-
вращательные состояния. Только вдали от резонанса, когда промежуточ-
промежуточные состояния должны суммироваться по большому числу вра-
вращательных состояний, РКРС поляризовано таким образом, что
оно подчиняется правилам отбора для молекулы.
Теоретическое рассмотрение, проведенное в разд. 3.2, доста-
достаточно для того, чтобы выяснить основные вопросы. При неод-
неоднородном уширении нормированная функция распределения
P(coj) в C.23) имеет максимум при некоторой частоте со° с ха-
характеристической шириной Дм и быстро уменьшается при
со, —соР) 3> Ли. Мы предполагаем, что неоднородное уширение
значительно больше, чем уширение за счет конечного времени
жизни, y <£ Д"- Тогда определяемый временем жизни вклад
(т. е. медленный вклад) в квадрат матричного элемента C.23)
равен
\К . I" -—{ Й~31 М. М |3 И Р №? ,„ „„,
I -".Sf. 10 Js ■—' " I mfi'VIi0 I уГТГТ. (d.SJJ
Интегральная интенсивность медленной компоненты рассеяния
пропорциональна C.83), и, следовательно, измеряя ее, можно
непосредственно определять отношение функции распределения
к времени жизни при частоте возбуждения со,. При одновремен-
одновременном прямом измерении \(иц) из таких экспериментов с времен-
временным разрешением можно непосредственно определить неодно-
неоднородное распределение. «Быстрая» компонента является более
сложной функцией распределения Р(ы{). Вдали от резонанса,
to, — ш^[3>Д<о, она описывается простой формулой для оди-
одиночного осциллятора:
1
\К:
2f, 10 If
Mf!Mtl
C.84)
В случае дополнительного неоднородного уширения линии
лоренцевой формы легко видеть, что два вклада C.83) и C.84)
сравнимы по величине. Следовательно, до тех пор пока Р(<!ц)
и y(b>i) не могут быть определены независимым образом, экс-
эксперименты с временным разрешением, подобные проведенным
Уильямсом и др. [3.3], существенны для полного анализа РКРС
и для получения информации о неоднородном распределении,
характеризующем данное возбужденное промежуточное состоя-
состояние. С помощью такой информации в принципе возможно ис-
исследовать кинетику каждого отдельного дискретного возбужден-
возбужденного состояния молекулы, которое связывается с основным элек-
электронным состоянием посредством взаимодействия излучение —
вещество Жмя-
144
Глава 3
РКРС первого порядка в CdS
Примером РКРС, Привлекшим наибольшее внимание, яв-
является рассеяние в CdS [3.10—3.12, 3.37—3.45]. Это обуслов-
обусловлено тем, что ряд линий излучения аргонового ионного лазера
имеет энергию, близкую к ширине низшей запрещенной зоны
CdS, равной ~2,6 эВ. Результаты для CdS типичны для рассея-
рассеяния в других полупроводниках [3.17, 3.37, 3.38, 3.46—3.49], и
мы обсудим только рассеяние в CdS. Изучение рассеяния в CdS
несколько затруднено по сравнению с предыдущим случаем
Сп2О. Первой причиной служит то, что резонансный оптический
переход является разрешенным в дипольном приближении. Силь-
Сильное экситон-фотонное взаимодействие приводит к поляритон-
ным эффектам и конечной глубине проникновения света при ре-
резонансе. КРоме т°го, наличие вблизи края поглощения примес-
примесных состояний, имеющих «гигантские» силы осцилляторов [3.50],
усложняет анализ резонансного поведения. С другой стороны,
тот факт, что оптический переход является разрешенным, при-
приводит к интенсивному РКРС первого порядка, которое прости-
простирается на значительно большую область энергий, чем в случае
СО
Главный интерес в рассеянии первого порядка в CdS пред-
представляет линия рассеяния, соответствующая продольному оп-
оптическому фонопу (LO). Сечение рассеяния £,О-фононами силь-
сильно возрастает вблизи резонанса, и рассеяние наблюдается для
поляризаций фотонов, запрещенных обычными правилами от-
отбора [3.10—3.12]. Такого типа рассеяние является, по-види-
по-видимому, основной чертой РКРС в полярных полупроводниках
[ЗЛ1, 3.39—3.41], хотя подобного типа рассеяние LO-фононами
может быть также вызвано примесями [3.43—3.45]. Основой
для интерпретации РКРС LO-фононами в CdS являются 1) ка-
качественные аргументы, основанные на соответствии РКРС и лю-
люминесценции [3.39—3.41], и 2) количественные расчеты [3.10—
3.12, 3.43] сечения рассеяния с учетом фрёлиховского электрон-
фононного взаимодействия.
Известно, что доминирующим электрон-фононным взаимо-
взаимодействием вблизи края поглощения в полярных полупроводни-
полупроводниках является внутризонное фрёлиховское взаимодействие [3.9,
3.12], обсуждавшееся ранее C.79). Посредством этого меха-
механизма электрон или дырка рассеиваются в пределах одной зоны
макроскопическим электрическим полем LO-фонона. Это же
взаимодействие приводит к поляронным эффектам, решеточному
экранированию экситонной энергии связи и т. п. Сильная лю-
люминесценция с участием lLO-фононов также интерпретирована
на основе фрёлиховского взаимодействия [3.51]. Кроме того,
динамика электронов, возбужденных высоко в зоне проводимо-
проводимоРезонансное комбинационное рассеяние
145
сти, как показано в [3.52, 3.53], также определяется рассеянием
электронов на LO-фононах посредством этого механизма. Отме-
Отметим, в частности, тесную связь РКРС с люминесценцией с уча-
участием фононов (см. случай Сп2О, обсуждавшийся в п. 3.4.2).
Следовательно, можно ожидать, что аномальное РКРС LO-фо-
LO-фононами можно объяснить с помощью фрёлиховского электрон-
фононцого взаимодействия.
Диаграмма низшего порядка для рассеяния представлена
на фиг. 3.3, в. В этом случае мы считаем, что падающий фотон
находится в резонансе с экситоном. Рассмотрение только ди-
польного электрон-фотонного взаимодействия и предположение,
что экситонная огибающая функция есть собственная функция
определенной четности, являются достаточно хорошими прибли-
приближениями. В этом случае каждое экситонное Промежуточное со-
состояние имеет s-симметрию, и внутризонные фрёлиховские мат-
матричные элементы равны нулю в длинноволновом пределе [ди-
польное приближение, см. C.79)]. При малом конечном волно-
волновом векторе ц взаимодействие является линейным по ц (квадру-
польным) и имеет максимум при ^даа^'.где а0 есть радиус
экситона [3.11]. Характерным параметром разложения для силы
квадрупольного взаимодействия является (qct0J. Как обсужда-
обсуждалось а разд. 3.3, это зависящее от волнового вектора фрёлихов-
фрёлиховское взаимодействие может быть сравнимым с другими типами
электрон-фононного взаимодействия даже прн малых волновых
векторах q = (ki — k3) при РКРС первого порядка.
Рассеяние в CdS аналогично рассеянию в СигО, за исключе-
.нием того, что в случае CdS зависящее от волнового вектора
квадрупольное взаимодействие является электрон-фопоицым
взаимодействием, а не электрон-фотонным. Поляризационные
правила отбора для данного случая очень просты. Внутризонное
фрёлнховское взаимодействие имеет симметрию Г|, так как оно
связывает s-состояния. Следовательно, тензор РКРС имеет ту
же симметрию," что и тензор диэлектрической восприимчивости.
В частности, в CdS он является диагональным и имеет резо-
нансы при тех' же частотах, что и главные компоненты тензора
диэлектрической восприимчивости. Новые правила отбора для
РКРС применимы только к LO-фононам и лишь в случае резо-
резонанса фотонов с экситонными или зонными состояниями [3.10—
3.12],
Два эксперимента подтвердили существование сильного
комбинационного рассеяния света первого порядка LO-фоно-
нами, которое зависит от волнового вектора. Наиболее непо-
непосредственное наблюдение осуществили Гросс н др. [3.39—3.41],
использовавшие монохроматор для возбуждения комбинацион-
комбинационного рассеяния в области экситопного резонанса. Вследствие
большого поляритонного эффекта волновой вектор фотонов вну-
146
Глава 3
f 3. 3
Относительная интенсивность
Фиг. 3.10. Зависимость относительной интенсивности S = lu.olhi.o неупругого
рассеяния поляритетов \LO и 210 от энергии поляритоноп, CdS, T — 4,2 К.
Ьелые и черные кружки соответствуют экспер!
различными метода ни {см. текст). Сплошная j
из дисперсионного соотношении лли поляритонон
нёнтнльным точкам, полученным двумя
(вив —теоретическая кривая, полученная
(По данным Гросса и др. [3.4A.)
три образца и соответственно волновой вектор q участвующего
в рассеянии фонона могли изменяться как функция частоты па-
падающего света Ш]. Соотношение между q и щ можно было легко
определить из известных параметров экситонов. Ожидалось, что
внутри рассмотренной малой области частот все линии комби-
комбинационного рассеяния будут иметь в частотной зависимости ре-
резонанс с лоренцевой формой линии. Но LO-рассеяние первого
порядка должно было иметь дополнительное изменение, вызван-
вызванное изменением q. Например, в отношении интенсивпостей
hbolhio все другие резонансные множители сокращаются и оно
должно зависеть от волнового вектора как IhoIUlo ~ q2-
Эта зависимость была проверена экспериментально, и резуль-
результаты представлены на фиг. ЗЛО. Сильные электрон-фононное и
электрон-фотонное взаимодействия в данном случае не позво-
позволяют разделить РКРС и люминесценцию. Зависимость, пред-
представленная на фиг. 3.10, измерялась в частотном диапазоне, про-
простирающемся от РКРС до неполностью термализованной лю-
люминесценции [3.391. Хотя интенсивности изменяются очень силь-
сильно, отношение lyno/hLo изменяется просто как q2.
Аномальное РКРС LO-фононами первого порядка изучалось
также Мартином и Дамеиом [3.11], которые сообщили об из-
измерениях резонансного усиления рассеяния lLO-фононами в по-
поляризационной конфигурации, в которой запрещено обычное
комбинационное рассеяние, по РКРС разрешено модифициро-
модифицированными правилами отбора. Частота падающего света была до-
достаточно далека от области сильного поглощения, так что рас-
рассеяние происходило в объеме образца, регистрировалось под
углом 90° к падающему свету и вводились лишь небольшие по-
поправки к интенсивности рассеяния, обусловленные поглощением
света [3.11]. Аномальное возрастание интенсивности запрещен-
запрещенной линии lLO-фононов показано на фиг. 3.11. На более низко
расположенных спектрах, которые соответствуют рассеянию
Резонансное комбинационное рассеяние
147
вдали от резонанса, запрещенное рассеяние очень мало по срав-
сравнению с разрешенным рассеянием lLO-фононами. Ближе к ре-
резонансу, однако, интенсивность запрещенного рассеяния резко
возрастает, тогда как разрешенное рассеяние в действительности
ослабевает, как это видно из выше расположенных спектров.
Теоретическое выражение C.33) для сечения РКРС, соответ-
соответствующее третьему порядку теории возмущений, было примене-
применено для этого случая Мартином [3.12], который использовал
предположение о существовании изотропных водородоподобных
экситонных промежуточных состояний и обнаружил, что точный
расчет абсолютного сечения рассеяния при конечном волновом
векторе q требует суммирования по всем промежуточным со-
состояниям, включая область непрерывных состояний экситона.
Только в случае, когда падающий или рассеянный фотон очень
S.IO
LO
(запрещено)
A.rol
4S8O A j
xfzziy
2L0
Фиг. 3.11. Экспериментальные записи спектров рассеянного снега аПлизи резо-
резонанса a CdS для различных частот падающего света и различных поляриза-
поляризационных конфигураций.
Вблизи резонанса lLO-линия в разрешенной конфигурации х (гх) у елайэ, и то времл как
в запрещенной х (гх) у очень сильна. Резонанс имеет ме;то в области lsS-экеитона при
1&Л к. 2ИЗ-диння также очень сильна. (По данным Мартина и Даыеца 13,11].]
148
Глава 3
близок к резонансу, суммирование по промежуточным состоя-
состояниям может быть сведено к одному члену. Даже тогда вторую
сумму по промежуточным состояниям для другого фотона ко-
который не находится в резонансе, следует брать по всем состоя-
состояниям сЭти результаты вместе с экспериментальными точками
[3.11] представлены на фиг. 3.12. Сильный резонансный хапак-
тер «запрещенного» рассеяния очевиден из резкого уменьшения
сечения рассеяния вдали от резонанса по сравнению с сечением
рассеяния для разрешенного рассеяния, также представленного
на фиг. 3.\2.
Строгой проверкой подобной интерпретации является срав-
сравнение расчетного и экспериментального значений абсолютной
интенсивности рассеяния. Так как параметр электрон-фононной
Фиг 3.12. Сравнение теории с экспериментом [3.11] при конфигурации
в CdS для трех значений энергии падающих фотонов.
?"™ ™Н<5?.Г?.Р*Ц1!Н Ра^енниа £0-фононвмн запрещено. Ниелены попояя*» „о „,
тнаа [ЗЛ2] f
между теорией и экспериментом для Л.ГО-фононов ножетбыгь
которое , дан„0М еЛучае не учнтюмосьТ (По даннымМар
Резонансное комбинационное рассеяние
149
связи точно известен для случая фрёлиховского взаимодействия
и все параметры экситонов приблизительно известны [3.12],
можно предсказать величину сечения рассеяния. Теоретическое
значение для интенсивности рассеяния на единице длины для
случая рассеяния света на угол 90° при частоте лазера, наибо-
наиболее близкой к резонансу, равно 2,8-10~е (см-ср)~] [3.12], что
примерно в два раза больше, чем экспериментальное значение
1,3±0,1-10 (см-ср). Подобные результаты получены и для
других частот лазера. Если учесть приближенный характер
параметров экситонов [3.12], совпадение можно считать очень
хорошим.
Следует подчеркнуть, что, несмотря на согласие между тео-
теорией и экспериментом в отношении интенсивности и правил
отбора, прямых экспериментальных проверок зависимости се-
сечения РКРС от направления распространения фотонов не про-
проводилось. Так как q = k,—кг, «запрещенное» рассеяние ILO-
фононами должно исчезать при рассеянии вперед и быть макси-
максимальным при рассеянии назад.
Большое влияние примесных состоянии на оптические свой-
свойства полупроводников вблизи края поглощения может обусло-
обусловить появление другого механизма для сильного «запрещенного»
рассеяния. Отсутствие трансляционной симметрии для примес-
примесных состояний нарушает закон сохранения квазиимпульса, так
что волновые векторы фононов не определяются волновыми век-
векторами фотонов. Участие фононов с G ^> ^ ki ■— ka| приводит
к сильному увеличению lLO-рассеяния, зависящего от ц, по-
посредством внутризонного фрёлиховского взаимодействия и в то
же время мало влияет на другие свойства РКРС. Зависимость
от поляризации фотонов этого рассеяния с участием примесей
является такой же, как и для обсуждавщегося выще непримес-
непримесного рассеяния, хотя, конечно, нет взаимосвязи между интенсив-
интенсивностью рассеяния и волновыми векторами фотонов.
Колуэлл и Клейн [3.43] рассмотрели рассеяние, обусловлен-
обусловленное примесями, на основе хорощо известных связанных экси-
тонных состоянии [3.50, 3.54]. Четырьмя основными чертами
рассеяния при этом механизме являются:- 1) отсутствие зависи-
зависимости от волновых векторов фотонов; 2) участие LO-фононов
с волновыми векторами порядка обратной величины радиуса
примесного состояния (они обычно много больше, чем волновые
векторы фотонов, но много меньше, чем векторы у границы зоны
Бриллюэна); 3) наличие резких резонансов при значениях энер-
энергии связанных экситонов, которые образуют дискретные уровни
ниже уровней свободных экситонов; 4) зависимость От концен-
концентрации примесей. Колуэлл и Клеин [3.43] наблюдали рассеяние
lLO-фононами в CdS, согласующееся с этим механизмом.
В частности, измеренная интенсивность была много больше (по
150
Глава 3
отношению к разрешенному 2£О-рассеянию), чем интенсивность,
измеренная Мартином и Дамсном [3.11]; это соответствует свой-
свойству 4, и они обнаружили, что не существует асимметрии между
рассеянием вперед и назад (свойство 1).
Резонансы (свойство 3) при РКРС, обусловленном приме-
примесями, расположенные вблизи уровней связанных экситонов, на-
наблюдали Дамен и Шах [3.45] с помощью импульсного лазера
на красителе, частота которого перестраивалась в интервале,
включающем основные экситопные уровни. Наблюдавшиеся ре-
резонансы имели приблизительно лоренцеву форму линии и со-
совпадали по частоте с пиками поглощения света примесными
состояниями. Интенсивности, как и ожидалось, согласовывались
с концентрациями примесей. Детальный анализ этих резонап-
сов, по-видимому, должен быть подобен анализу неоднородно
уширенных молекулярных резонансов.
Дамен и Шах [3-.45] наблюдали также, что примесные ре-
резонансы были расположены на фоне рассеяния, зависящего от
частоты и не зависящего от приготовления образца. Этот вклад
является, вероятно, вкладом от идеального образца и может
быть обусловлен обсуждавшимся выше рассеянием, зависящим
от волнового вектора.
Из рассмотренных экспериментов можно заключить, что
в РКРС первого порядка в полярных полупроводниках основной
вклад дает запрещенное рассеяние lLO-фононами, которое мо-
может использоваться для изучения либо примесных, либо соб-
собственных промежуточных состояний. В каждом случае рассея-
рассеяние описывается в некоторой области энергий резонансами
с приблизительно лоренцевой формой линии с одним дискрет-
дискретным промежуточным состоянием. Вне этих областей энергии
фотонов в общем случае имеют место оба типа рассеяния, и
точное описание рассеяния требует суммирования по некоторому
набору промежуточных состояний. Вследствие того, что энергии
взаимодействия дырок и электронов в экситонах и энергии связи
экситонов с примесями малы, такое простое резонансное пове-
поведение наблюдалось только в тех экспериментах, в которых ча-
частоту падающих фотонов а можно было непрерывно изменять
до желаемого значения частоты резонанса. Кроме зависимости
сечения рассеяния от частоты, свойства промежуточного состоя-
состояния проявляются в зависимости сечения рассеяния от волнового
вектора фононон.
3.4-3. Непрерывный спектр промежуточных состояний: Одно
промежуточное состояние для данного конечного состояния
Здесь мы рассмотрим случаи, когда имеется некоторое рас-
распределение или непрерывный спектр промежуточных состояний,
но существует ограничение, что в любом данном матричном эле-
Резонансное комбинационное рассеяние
151
менте для комбинационного рассеяния необходимо рассматри-
рассматривать только одно промежуточное состояние. Причина для вы-
выделения этого частного случая ясна: если имеется лишь одно
доминирующее промежуточное состояние, в матричном элементе
для комбинационного рассеяния не будет происходить интерфе-
интерференции. Общее выражение для сечения комбинационного рассея-
рассеяния дано в C.24). Важным свойством C.24) является то, что
полное сечение рассеяния является взвешенной суммой по
всем положительным определенным вкладам от набора рас-
сеивателей.
Для РКРС рассматриваемого типа важной проблемой яв-
является определение того промежуточного состояния, которое яв-
является доминирующим в рассеянии при данной частоте возбуж-
возбуждения. Так как промежуточное состояние может изменяться
в зависимости от частоты света, спектр резонанса может быть
не похож па спектр лоренцевой формы, имеющий место при оди-
одиночном дискретном состоянии. В отличие от случаев дискретного
состояния или неоднородно уширенного состояния, рассмотрен-
рассмотренных в п. 3.4.2, в данном случае не существует универсальной
функциональной формы н свойства резонансного усиления рас-
рассеяния должны рассматриваться в отдельности для каждого
частного примера.
В предыдущем пункте мы использовали правила отбора для
выделения одного дискретного промежуточного состояния для
РКРС первого порядка в Си2О. В данном пункте мы рассмо-
рассмотрим этот же кристалл при рассеянии более высокого порядка.
Диаграмма для такого рассеяния, представленная на фиг. 3.13,
является в сущности такой же, что и па фиг. 3.3, б, за исключе-
исключением добавленных для настоящего случая специальных обозна-
обозначений. Как это обсуждалось в разд. 3.2, закон сохранения им-
пульса в кристалле требует, чтобы при фиксированных волно-
волновых векторах фотонов и фопонов, образующихся в конечном со-
состоянии, импульс каждого промежуточного состояния был
фиксированным. Кроме того, в случае экситонных зон в кри-
кристаллах набор промежуточных состояний с заданными волно-
фиг. 3.13. РКРС второго порядка в CiijO.
ООозна
. J.6. Ре
промежуточные состояния 6 н'ереэонаисны. Фононы являются нечетными.
i аэкентон. Другие
152
Глава 3
выми векторами образует набор дискретных уровней. При энер-
энергиях фотонов и фононов, таких, что вблизи резонанса находится
одно промежуточное состояние, в формальном выражении для
тензора комбинационного рассеяния следует рассматривать
только одно промежуточное состояние для каждого конечного
состояния. Импульсы отдельных фононов в опытах не фикси-
фиксируются, и необходимо проводить суммирование по конечным со-
состояниям, как зто показано в C.24).
Рассмотрим специальные случаи, применимые к рассеянию
света второго порядка в Си2О, наблюдавшемуся Ю и др. [3.55].
Так как ls-экситоны «желтой» серии запрещены в поглощении
света в дипольном приближении, доминирующий вклад в рас-
рассеяние второго порядка вносят поглощение и излучение фотонов
с участием фононов, т. е. средним промежуточным состоянием
на фиг. 3.13 является резонансный (а) экситон и два других
промежуточных состояния представляют собой нерезонансные
(р) возбуждения. Резонансное промежуточное состояние а об-
образует зону, причем наинизшей частотой будет частота линии
поглощения, обсуждавшейся в п. 3-4.2. В зоне промежуточных
состояний имеется в точности одно состояние для каждого зна-
значения волнового вектора.
Как и всегда при рассеянии второго порядка, волновыми
векторами фотонов можно пренебречь, так что фононы имеют
волновые векторы ±q. В случае, рассмотренном Ю и др., дис-
дисперсия пренебрежимо мала [(o0(q) я» (оо], и может быть изме-
измерена только интегральная интенсивность резкого двухфононпого
максимума. Используя изотропное параболическое дисперсион-
дисперсионное соотношение coa(q)—«a@)~i?2 Для экситонпой зоны при
замене суммы по конечным состояниям q в C,24) на интеграл
по частоте промежуточного состояния аа, мы имеем
Резонансное комбинационное рассеяние
153
da (щ)
C.85)
где обратное время жизни у есть произвольная функция частоты
промежуточного состояния, измеренной по отношению к дну
экситонной зоны w<z@). Интеграл легко берется в пределе боль-
больших времен жизни, у[<оа — ша@)] <£ юа —юа{0); в результате
получаем
'О, и, — щ < <оа @),
М|_Мо_(оа(о)['''! . ,_, C-86)
[»,-«.-». @I ' »1-«»>««<Р>-
В этом случае в отличие от неоднородного ушнрепия плот-
ность состояний гладко изменяется как функция частоты. Вклад
в рассеяние состояний с конечным временем жизни значительно
преобладает над вкладом «быстрых» виртуальных промежуточ-
промежуточных состояний. Таким образом, следуя Ю и др. [3.55], можно
считать, что хорошим приближением является пренебрежение
вкладами всех виртуальных состояний для фотонов, имеющих
частоты выше и ниже края поглощения ©j = соа@)-гчо0. Пред-
Предсказываемое рассеяние соответствует резонансной флуоресцен-
флуоресценции и зависит от времени жизни промежуточных состояний в от-
отношении как интенсивности, так и временной зависимости излу-
излученного света. Следует ожидать, что C.85) адекватно описывает
рассеяние, за исключением области вблизи возникновения РКРС
при toi —- (»о » toa@), в которой интеграл C.85) требует более
точного рассмотрения.
Экспериментальные результаты Ю и др. [3.55] представлены
на фиг. 3.14. Наблюдавшаяся линия комбинационного рассея-
рассеяния представляет собой обертон второго порядка Г^-фонона. Тот
факт, что эта линия является самой сильной в спектре, соот-
соответствует теоретическим предположениям, так как известно, что
Г1а-фононы дают доминирующий вклад в поглощение и излуче-
излучение света Is и-экситоном «желтой» серии с участием фононов.
В соответствии с теорией интенсивность рассеяния быстро воз-
возрастает при пороге, где щ = <оа@)+ ©о. Уменьшение интенсив-
интенсивности при более высоких энергиях приписывается быстрому
уменьшению времени жизни, особенно для toi > юа@) + 3wo,
когда экситон может распадаться посредством излучения двух
Г^-фононов. Из фиг. 3.14, а видно очень хорошее согласие ме-
между экспериментальными значениями интенсивности рассеяния
и теоретическими данными, полученными на основе параметри-
зованного выражения для времен жизни. Изменения в интенсив-
интенсивности при более высоких температурах, представленные на
фиг. 3.14,6, не анализировались, но, по-видимому, они соответ-
соответствуют изменению времени жизни как функции температуры
[3 55].
Выражения для сечения рассеяния C.24) и C.86) можно
Записать в более наглядной форме. Подставляя матричные эле-
элементы и функции плотности состояний в C-86), мы получаем
Дростой результат:
^C-87)
aD(co,)—| ^ г^г-
р\ и т [о>| — <а0 — юа @)]
, Здесь п^,щ) есть коэффициент поглощения (~ [«i—&>о—<оа @)]'А)
i для поглощения света а-экситопом с участием фононов; у —
i полное уширение линии экситона, обусловленное конечным
у временем жизни и зависящее от положения экситонного уровня
S. относительно минимума зоны а>| — oja — coa@); yr ~ вероятность
154
Глава 3
Энергия падающих (ротонов, см~'
16500 17000 17500
2.00
2,0
1,0 -
г.и?
О), Щ-HOt, ttlf+3t0t
-i—i—liiUfAl L
17000
17500
\ \
6
—
+-Ы- + 1
+
tt,+u
1 I 1
+
+■
+
+ _l
III -\-J//)n
1 ,+, ,
1 [ ' '
Разрешение
+ + + + +
[ , , , f
+
1
1 '
++ +
+ +
Woo
it i i
2,05 2.10 2,0
Энергия падающих '(ротонов, эВ
Фиг. 3.14. Сечение комбинационного р а сеяния для линии 220 см~' в Си^О
при авух различных температурах: а—16 К и б — 80 К. [Эта температуры
соответствуют температуре решетки и определены по форме линии спектра
рекомбинанионного излучения свободного экситона с участием фонона (слу-
(случай а) и по положению 1$-экситоиа яжелтой» серии в спектре люминесценции
(случай 6),\
Вставка в о - спектр поглощения Си,0 при 4,2 К из работы П. В. БаумеЙстера |Phys. Rev.,
121. 359 A9611]. Штриховая лннив в а — график, соответствую щи а теоретическому выр1жа-
нню. приведенному в тексте. (По данным Ю и ар. |3.55|.|
рекомбинзционного излучения с участием фононов данного экси-
тонного состояния, которая почти не зависит от энергии экси-
экситона. Уравнение C.87) представляет собой фактически вероят-
вероятность поглощения света на единице длины, умноженную на ко-
коэффициент распада, который описывает, какая часть экситона
рекомбинирует излучательно без участия других неупругнх про-
процессов. Такого типа описание с использованием коэффициента
Резонансное комбинационное рассеяние
155
распада соответствует РКРС в случаях, когда рассеяние зави-
зависит от времен жизни промежуточных состояний и не имеется
интерференции между различными промежуточными состоя-
состояниями.
В экспериментах, описанных выше, волновые векторы фоно-
фононов не могли быть измерены экспериментально и вводились из
теоретических расчетов. В тех случаях, когда фонолы имеют
большую дисперсию, волновые векторы могут быть определены
экспериментально по дисперсионному соотношению <o0(q). Это
было проделано недавно Ю и Шеном в Си2О [3.56]. Они иссле-
исследовали максимумы РКРС, для которых изменение энергии в про-
процессе рассеяния щ — со2 изменялось в зависимости от частоты оц.
В частности, положение максимума Г^ + Г^ (ТО) смещалось
в сторону низких энергий, а положение максимума Г^ + Г^
(LO) — в сторону высоких энергий, когда частота щ возрастала
свыше щ = (йа@) + (Оо(Гм)). Было обнаружено, что сдвиг яв-
ляется'липейцым в зависимости от Ш], что следует из параболи-
параболических дисперсионных соотношений как для экситонов, так и
для фононов. Измеренные сдвиги находились в соответствии
с дисперсией экситонов, определенной из других экспериментов
Ю и Шена, описанных ниже.
Ю и Шеи [3.56] также интерпретировали некоторые макси-
максимумы в своих измерениях РКРС как обусловленные возбужде-
возбуждением трех и четырех фононов — двух Г^-фопонов и одного или
двух акустических фононов соответственно. Для обсуждавше-
обсуждавшегося выше РКРС второго порядка рассеяние экситона акусти-
акустическими фононами являлось механизмом, ответственным за за-
затухание экситона. Настоящий случай является следствием того
факта, что экситопы, рассеянные на акустических фопонах,
в свою очередь могут участвовать в рассеянии света. Резуль-
Результаты теоретического анализа представлены с использованием
коэффициентов распада. Для процесса третьего порядка с уча-
участием одного акустического фонона сечение рассеяния равно
do(@|, to?) ~
Y(ffl,
■ ш0 — щ (О))
X—:
Первый коэффициент распада есть вероятность излучения
акустического фонона с энергией <,)а (qa) = ai — т — 2шо, где
щ есть энергия Г1гфонона, имеющего очень малую дисперсию.
Полный коэффициент распада п скобках записан как сумма по
коэффициентам распада для излучения акустических фононоп
156
Глава 8
с определенными волновыми векторами. Последний коэффициент
распада представляет собой вероятность излучения света экск-
тоном после его рассеяния акустическим фононом.
В общем случае фигурная скобка в C.88) содержит слож-
сложное усреднение. Основной чертой, однако, является то, что уа
изменяется непрерывно как функция qa вплоть до <7а = <7и(макс),
которое равно
да (макс) = [2М (ац — щ — юа @))]Vt +
+ [2Af (to, - coo ~ шд (qa) - <оа @))]'Л. C.89)
Для больших qa величина уа резко падает до нуля, так как экси-
тон не может распадаться с излучением фононов при ца >■
> qa (макс). Здесь М есть полная масса экситопа. Рассеяние
с участием акустического фонопа с максимальным волновым
вектором может быть проиллюстрировано при помощи фиг. 3.4,
если параболу идентифицировать как экситонную зону и произ-
произвести следующие замены: q — qfl, o>o — иь (q) > И| — щ — щ,
йJ -*- «2 + мо- Если предположить также, что скорость звука изо-
изотропна, coo(qa)= vsqa, то из-за распределения плотности состоя-
состояний акустических фононов максимум рассеяния будет при
с/а (макс), т. е. сечение РКРС будет иметь сильный максимум
при
C.90)
Из C.89) и C.90) следует, что положение максимума рассеяния
для трехфононного рассеяния как функция частоты падающего
света cot зависит от скорости звука vs и массы экситопа.
Из экспериментального измерения такой зависимости в CujO
и приближенного изотропного рассмотрения акустических фо-
фононов Ю и Шеи получили для массы экситопа значение М =
= 3,0 ± 0,2 те. Это значение находится в противоречии с дру-
другими измерениями, что указывает на необходимость дальнейших
исследований. Тем не менее эксперименты ясно продемонстри-
продемонстрировали, что РКРС высших порядков может быть использовано
для детального изучения электронных состояний кристаллов
с волновыми векторами, значительно большими, чем волновой
вектор света. В частности, Ю и Шен [3.56] показали, что как
фонопьц, так и экситоны, участвующие в рассеянии, могут изу-
изучаться в области вплоть до 'Д части зоны Бриллюэна.
3.4.4. Непрерывный спектр промежуточных состояний
с дискретными конечными состояниями
В данном пункте мы обсудим примеры комбинационного рас-
рассеяния, которые качественно отличны по своей теоретической
интерпретации от предыдущих примеров. Здесь будут рассмо-
Резонансное комбинационное рассеяние
157
трены случаи, в которых необходимо проводить суммирование
по многим промежуточным состояниям при вычислении ампли-
амплитуды рассеяния C.10). Основные черты РКРС при этом опре-
определяются суммарной и разностной интерференциями в ампли-
амплитуде рассеяния. Сначала мы рассмотрим простейшие случаи рас-
рассеяния в твердом теле, когда фотоны находятся в резонансе
с непрерывным спектром поглощения. Как и в предыдущих раз-
разделах, РКРС в молекулах также представляет особенно нагляд-
наглядный пример такого типа рассеяния.
Полосы непрерывного спектра в твердых телах
Анализ РКРС заметно облегчается, если проводить сравне-
сравнение с частотной зависимостью диэлектрической восприимчиво-
восприимчивости. Основным уравнением является C.50), которое было вы-
выведено для рассеяния первого порядка. Используя одномерный
пример, мы показали, что эта связь с тензором диэлектрической
восприимчивости должна быть верной для разрешенного РКРС
первого порядка в кристаллах, причем существенные поправки
"необходимы только в том случае, если имеются невырожденные
зоны, близкие по энергии, например зоны, расщепленные за счет
спин-орбитального взаимодействия, когда требуются несколько
более сложные формулы [3.8, 3.57—3.60]. Полезно отметить, что
формула C.50) также верна, если учитывать влияние экситонов
в приближении эффективной массы. Единственным необходи-
необходимым условием является предположение о постоянстве матричных
элементов электрон-фононного взаимодействия. Таким образом,
формулы с использованием % в принципе содержат все экситон-
ные эффекты и эффекты уширения линий промежуточных со-
состояний.
Проводилось много исследований РКРС в полупроводниках,
при которых сравнивались экспериментальные частотные зави-
зависимости тензоров РКРС и диэлектрических функций [3.7, 3.8,
3.57—3.62], В каждой из этих работ наблюдались ожидавшиеся
общие критические свойства. Однако при внимательном рассмо-
рассмотрении во многих случаях |3.58—3.62] имеются определенные
разногласия между положениями критических точек, даваемых
РКРС и модуляционной спектроскопией. Для наших примеров
мы выбрали эксперименты, которые проводились достаточно
подробно, чтобы можно было проверить простую теорию. -
Наиболее наглядно интерпретируемым экспериментом яв-
является "работа Белла и др. [3.58], которые наблюдали РКРС
вблизи самых низких по энергии прямых междузонных перехо-
переходов в GaP. В этом случае критическая точка хорошо известна —
это точка Мо', и волновые функции с учетом спин-орбитального
158
Глава 3
расщепления известны для GaP и других полупроводников. Этот
случай представляется идеальным для сравнения эксперимен-
экспериментально измеренных интепсивностсй РКРС с соотношениями, со-
содержащими диэлектрическую восприимчивость. Кроме того, эк-
ситонные эффекты малы, и следует ожидать, что могут быть
использованы теоретические выражения для восприимчивости,
полученные на основе модели свободных электронов.
Единственным усложнением в этом случае является то, что
спин-орбитальное расщепление валентных зон образует две кри-
критические точки, разделенные энергией только 0,08 эВ. Так как
энергия фононов есть соо ~ 0,05 эВ, вклады, обусловленные кри-
критическими точками при d)i и а>2 = а>\ —«о, будут перекрываться
и интерферировать. Это было учтено Кардопой [3.8] па основе
приближения, при котором пренебрегается частотой фононов,
временами жизни электронов и рассеянием в другие зоны. Тео-
Теоретическая формула представляет собой специальный случай
формулы C.91), даваемой ниже, когда постоянный член равен
нулю и постоянные А и В связаны простым соотношением [3.8].
Результаты Белла и др. [3.58] для частотной зависимости
интенсивности РКРС ГО-фопонами представлены на фиг. 3.15.
Экспериментальные данные указывают на существование макси-
максимумов вблизи каждой критической точки и имеется намек на
существование предсказанного ослабления рассеяния между
критическими точками. Теоретические результаты представлены
в виде непрерывной линии. Общее согласие является очень хо-
хорошим, и учет эффектов конечных времен жизни и конечной
частоты фононов смягчил бы резкие особенности теоретической
кривой и улучшил бы согласие. В заключение отметим, что
в подобном случае экспериментально наблюдаемое РКРС хо-
хорошо описывается простой теорией и что при соответствующем
введении времен жизни, фопонных частот, экситонных эффектов
и т. п. с помощью теоретического анализа РКРС можно опреде-
определить электрон-фоноиное взаимодействие [3.8, 3.57].
Обсудим результаты экспериментальных исследований РКРС
[3.59—3.62] вблизи критических точек Е\ и Е\ + &{ в полупро-
полупроводниках [3.63]. Эти критические точки являются сильно ани-
анизотропными, имеют одну тяжелую массу и соответствуют со-
состояниям в произвольных точках вдоль линии симметрии в зоне
Бриллюэна. Для правильного описания диэлектрической вос-
восприимчивости, очевидно, необходимо учитывать экситонные эф-
эффекты [3.63—3.65]. Зонные и экситонные состояния для крити-
иеских точек £i и Е\ -f- Д| не столь хорошо изучены, как для
состояний Ео и Еа-{- До, и теоретические предсказания более
сложны. Однако сравнения частотной зависимости РКРС и
структуры в экспериментальных спектрах восприимчивости про-
проводились.
Резонансное комбинационное рассеяние
159
2,4 2£ 2,8 3,0 3,2
Энергия падающих (ротонов, эВ
Фиг. 3.15. Сечение комбинационного рассеяния как функция энергии падаю-
падающего фотона для разрешенного рассеяния фононами первого порядка в GaP
при комнатной температуре.
альные результаты (крестики) и теоретические результаты (iienpi
т) были совмещены при 2.64 эВ. (По данным Белла и Др. [3.58] J
вная крн-
Наиболее изученным случаем является РКРС в lnSb, изучав-
изучавшееся двумя группами ученых [3.60, 3.61]. Полученные два на-
набора результатов представлены па фиг. 3.16 и 3.17. Они в основ-
основном согласуются, но имеются и различия. Дрейбродт и др. [3.60J
измеряли интенсивность РКРС ГО-фононами в диапазоне энер-
энергий, включающем Е, и Е{-\- Д^ Их результаты представлены
на фиг. 3.16. Из экспериментальных данных можно видеть, что
существуют две хорошо разделенные критические точки с не-
небольшим промежуточным максимумом. Эти авторы сравнивали
свои результаты с предсказанной частотной зависимостью РКРС
(штриховая кривая), основанной на экспериментально измерен-
измеренной частотной зависимости %. Таким образом, явно учтены влия-
влияние конечного времени жизни и экситонные эффекты. Однако
авторы пренебрегают частотой фононов. Их выражение для
[60
Глава S
500
400
• 300
ZOO
@0
- lnSb 77 К x4z,f№
I TO
теория f, n (разрешив)
It
I!
1,8 1,9 Z,0 2,1 2,2 2,3 Z,4 2,5 2,6
Ьш, эВ
Фиг. 3.16. Экспериментально измеренный резонанс в сечении комбинационного
рассеяния InSb для разрешенного рассеяния ГО-фоноиаыи при 77 К-
Штриховая линия соответствует расчету, описанному а тексте. (По данным ДрейброЛта
в др. 13.60].)
матричного элемента для комбинационного рассеяния имеет вид
Здесь х+ и х~ — соответствующие вклады в % зон, расщеплен-
расщепленных спин-орбитальным взаимодействием. В этом случае спин-ор-
спин-орбитальное расщепление велико и оба вклада могут быть раз-
разделены. Рассмотрим более низкий максимум Е\, для которого
Х~~ « 0. Тогда выражение C.91) упрощается:
К~Ах + В-£-х + С. C.92)
Это есть общая линейная комбинация трех членов различного
типа, даваемых в C.50), с пренебрежением частотой фононов.
Резкий пик на теоретической кривой на фиг. 3.16 обусловлен
членом dyjdai в C.92), и более сглаженная структура обуслов-
обусловлена другими членами. Постоянная С подобрана таким обра-
образом, чтобы вещественная часть матричного элемента была равна
нулю в области как раз над максимумом Е\. Это дает минимум
в теоретической частотной зависимости интенсивности РКРС,
что находится в общем согласии с измеренной зависимостью.
Самой заметной особенностью при сравнении теории и экс-
эксперимента является то, что резкий максимум в РКРС имеет
Резонансное комбинационное рассеяние
161
Длина, волны,
6Z0Q 6100 6000
5800
1,9В Z,00 2,05 2,@
Энергия падающих (ротонов, зВ
Фиг. 3.17. Экспериментально измеренное сечецие комбинационного рассеянна
в InSb как функция частоты падающих фотонов.
/ — рассеяние LO-фоновамн, вызванное поверхностным электрическим полей (Г = 12К):
2—разрешенное рассеяние LQ-фононами (Г=14 Ki; 3 —разрешенное рассеяние ГО-фовонамн
(Г=ЮК). Взаимное расположение поверхности образца и векторов поляризации света
описано в |3.81]. Штриховая линия —частотная зависимость Idx/dml' полученная изI эвспе-
римевтального спектра отражепия InSb ири частотной модуляции, Г=5К [3.S6] (По Дан.
ныи Ю и Шена [3.61].)
место цри более высокой энергии, чем это предсказывается из
оптических измерений положения критических точек [3.65, 3.66].
Подобный сдвиг наблюдался также при резонансном усилении
рассеяния другими фононами. Это явление лучше всего иллю-
иллюстрируется' результатами Ю и Шена [3,61], представленными
В Зая, U7S
162
Глава 3
на фиг. 3.17, где приведены часютные зависимости РКРС для
нескольких линий комбинационного рассеяния. Все линии имеют
резкие максимумы интенсивности, подобные максимуму в ча-
частотной зависимости \d%jdfn\2, но они смещены в сторону более
высоких энергий на ~0,05 эВ. Подобные сдвиги наблюдались
и в других веществах вблизи критической точки £i [3.59, 3.62].
Кроме того, Ю и Щеп [3.61] показали, что максимум РКРС не
сдвигается при изменении температуры точно так же, как кри-
критическая точка.
Сдвиги в положении максимумов в спектрах РКРС к более
высоким энергиям по отношению к положениям максимумов,
наблюдавшихся с помощью модуляционной спектроскопии, об-
обнаружены также в других аналогичных полупроводниках [3.59,
3.62]. Например, при РКРС вблизи £, и EY + Ai в Ge [3.59]
наблюдался только один максимум, расположенный между EY
и Ei -f- Дь Это явление можно объяснить, предположив, что член,
соответствующий впутризониому рассеянию, пропорциональный
А в C.91), пренебрежимо мал. Положение максимума, однако,
сдвинуто примерно па 45 мэВ выше положения, предсказывае-
предсказываемого C.91). Во всех работах, в которых сообшалось о сдвигах,
исследовались энергетические щели Ei или Е\ -f-A]. Пока все
еще не ясно, является ли это общим свойством щелей с большей
энергией или же это специфические особенности щелей Ей
Удовлетворительного объяснения этих сдвигов пока не су-
существует. По-видимому, включение правильной энергии фононов
@,02 эВ) в теорию не приведет к согласию теории и экспери-
эксперимента. Как мы указывали, экситоны уже включены должным
образом в восприимчивости, определенные экспериментально,
так что сдвиги не могут быть просто отнесены к «экситонным
эффектам». Дрейбродт и др. [3.60] показали, что взаимная ком-
компенсация различных членов в матричном элементе для комби-
комбинационного рассеяния может привести к появлению структуры
в частотной зависимости РКРС, но, по-видимому, сдвиг глав-
главного максимума этим объяснить нельзя.
Предполагалось также [3.61], что этот сдвиг обусловлен эф-
эффектом двойного резонанса, зависящим от волнового вектора
фонона. Однако, как впервые было показано Якоби [3.67] и
обсуждалось более подробно в разд. 3.2 и в работах [3.22, 3.68,
3.69], двойной резонанс и данном случае не приводит к допол-
дополнительному усилению. Это ясно показано на одномерном при-
примере C.52) —C.59), из которого следует, что дополнительные
максимумы могут иметь место только для волновых векторов,
превышающих минимальную величину. Эти же аргументы мо-
могут быть применены к настоящему случаю, и можно показать,
что типичные значения волновых векторов фононов много
меньше, чем это минимальное значение,
Резонансное комбинационное рассеяние
163
Полосы непрерывного спектра в молекулах
Среди возможных промежуточных состояний двухатомной
молекулы, рассматривавшихся в п. 3,4.2, могут быть полосы
непрерывного спектра, которые являются колебательно-враща-
колебательно-вращательными состояниями свободной молекулы. Для фотонов, сов-
совпадающих по энергии с такой полосой, состояния этой полосы
могут быть основными промежуточными состояниями [3.70—
3.72]. Процесс рассеяния в этом случае весьма подобен рас-
рассеянию с участием полос непрерывного спектра в твердых телах,
за исключением того, что 1) правила отбора являются намного
менее строгими, так как пет трансляционной симметрии и
2) сильное электронно-колебательное взаимодействие приводит
к необходимости использования при количественных расчетах
методов, не связанных с теорией возмущений.
Выражение для матричного элемента остается тем же C.10),
и диаграммное представление дано на фиг. 3.2, в. Матричные
элементы Жмя, используемые в C.10), представляют собой
в данном случае перекрытия ядерных волновых функций, взве-
взвешенные посредством матричных элементов дипольных переходов
между основным и возбужденным электронными состояниями.
В границах приближения Франка — Кондона эти величины мо-
могут быть рассчитаны на основе уравнений движения атомов
с функциями потенциальной энергии Vg(r) и Vex{r) для основ-
основного и возбужденного электронных состояний соответственно.
Здесь г есть расстояние между ядрами в двухатомной молекуле.
Таким образом, этот метод является трудоемким, но прямым
методом расчета вклада любого промежуточного состояния
в матричный элемент для комбинационного рассеяния света.
Главной темой нашего обсуждения является суммирование
по промежуточным состояниям в области непрерывного спектра.
Основные особенности ясно видны при приближенном рассмо-
рассмотрении, когда электронно-колебательное взаимодействие учиты-
учитывается как возмущение Ж'т. Тогда приближенные собственные
состояния нулевого порядка соответствуют несвязанным ато-
атомам, которые обладают некоторой кинетической энергией, и
функция плотности состояний имеет вид квадратного корня, так
же как и в случае трехмерной зоны и приближении эффективной
массы в твердом теле. Сделав предположение о постоянстве
матричных элементов, мы приходим к выражениям C-36) и
C.37), описывающим «независимый двойной резонанс». Эти вы-
выражения тесно связаны с подобными выражениями для твер-
твердых тел; основным различием является только то, что отсут-
отсутствие Трансляционной симметрии приводит к выражению C.37),
представляющему собой произведение «входных» и «выход-"
пых» во'сприимчивостей, а не к разностному выражению C.41),
в*
164
Глава 3
соответствующему «связанному двойному резонансу» н твердых
телах.
В качестве частного примера мы рассмотрим случай молеку-
молекулы 12, который был подробно изучен [3.33, 3.70, 3.73, 3.74].
В этом случае в отличие от обсуждавшегося в п. 3.4.2 резонанса
при дискретных состояниях возрастание рассеяния имеет место
одновременно для многих возможных переходов, происходящих
при рассеянии. Спектр является очень сложным и состоит из
многих колебательных порядков, каждый из которых расщеплен
на вращательные и колебательные уровни с различным расстоя-
расстоянием между ними. Примеры тонкой структуры в определенных
колебательных порядках представлены на фнг. 3.18, взятой из
работы Уильямса и Руссо [3.70]. Каждый пик в спектре комби-
Наблюдаемые спектры Рассчитанные спектры
4579 А
1680 то то /его то то то iw то то
Сдвиг частоты, см-'
Фиг. 3.18. Экспериментально измеренные и теоретически рассчитанные спектры
РКРС в молекулах иода для переходов Аи" = 8. S-числа соответствуют на-
начальному и конечному колебательному состояниям -S-ветаей. (По данным
Уильямса и Руссо [3.701.}
Резонансное комбинационное рассеяние
165
национного рассеяния соответствует конкретным начальным и
конечным состояниям и может изучаться в отдельности.
На фиг. 3.18 показаны также результаты теоретических рас-
расчетов Уильямса и Руссо [3.70], которые рассчитали матричные
элементы, используя приближение Франка — Кондона, и про-
провели численное интегрирование по состояниям непрерывного
спектра. Их численные результаты для относительных ампли-
амплитуд различных линий спектра рассеяния как функций частоты
сильно зависят от выбора потенциалов Vg{r) и VeJ(r), которые
подбирались так, чтобы наилучшим образом соответствовать экс-
экспериментальным данным. Таким образом, РКРС в случае полос
непрерывного спектра дает информацию о межъядерном взаимо-
взаимодействии Vet С") для определенных электронных состояний в
дополнение к информации, получаемой из резонанса с дискрет-
дискретными состояниями. Состояния непрерывного спектра особенно
чувствительны к виду функции Vex{г) как при малых, так и при
больших г. Следует отметить, что этот метод может быть ис-
использован также для несвязанных электронных состояний, для
которых существует только непрерывный спектр и нет дискрет-
дискретных состояний.
3.4.5. Промежуточные и конечные состояния
в области непрерывного спектра
В этом пункте мы рассмотрим последний тип РКРС, при ко-
тором необходимо проводить суммирование по непрерывному
спектру конечных состояний и для каждого конечного состояния
оценивать матричный элемент посредством суммирования по
непрерывному спектру промежуточных состояний. Все теорети-
теоретические расчеты подобны расчетам, проводившимся в предыду-
предыдущем пункте, но при сравнении с экспериментом качественное
различие вносит сумма по конечным состояниям. В данном слу-
случае следует рассматривать интенсивность рассеяния как функ-
функцию частоты падающего света toi и форму линий спектра рас-
рассеяния как функцию частоты рассеянного света <о2 для фикси-
фиксированной частоты аи. Наиболее простыми примерами являются
те, в которых резонансные множители в основнем постоянны
для всех конечных состояний. В этом случае применимы все
выводы, полученные для одиночного конечного состояния, с един-
единственным изменением, заключающимся в том, что формы линий
в спектре рассеяния определяются плотностью конечных состоя-
состояний. Мы не будем рассматривать подобных примеров и огра-
ограничимся случаями, при которых резонансные множители сильно
меняются для различных возможных конечных состояний.
РКРС высшего порядка в кристаллах является наилучшим
теоретическим и экспериментальным Примером рассеяния рас-
Глава 3
сматриваемого типа- Согласно закону сохранения импульса,
полный импульс конечного состояния определяется условиями
эксперимента. Для данного полного импульса существует не-
непрерывный спектр возможных конечных состояний, соответст-
соответствующих импульсам отдельных возбуждений. Промежуточные
состояния подобным же образом выбираются по их импульсам.
Аналитические соотношения между энергией и импульсом для
возбуждений кристалла приводят к резонансным эффектам, ко-
которые могут коренным образом различаться для разных конеч-
конечных состояний.
Наиболее очевидным примером зависимости резонанса от
волнового вектора является случай двойного резонанса, проис-
происходящего в области непрерывного спектра. Он обсуждался
в разд. 3.2, где было показано, что при рассеянии второго по-
порядка, когда фотоцы находятся в области непрерывного спектра
поглощения, интенсивность РКрС сильно возрастает для фоно-
нов, удовлетворяющих условиям двойного резонанса. В случае
одномерного кристалла, рассмотренного в разд. 3.2, двойной ре-
резонанс проявляется как максимум лоренцевой формы в зависи-
зависимости сечения рассеяния от волнового вектора q каждого фо-
[[Она. В этом случае двойной резонанс может давать основной
вклад в рассеяние второго порядка, а импульс фонопов может
быть ограничен узкой областью, которая является функцией ча-
частоты падающего света.
Результаты расчетов для трехмерного случая [3.22, 3-68]
также кратко обсуждаются в разд. 3.2. В этом случае двойной
резонанс ведет только к слабой логарифмической частотной за-
зависимости. Усиливается ли рассеяние лишь небольшой частью
фононов с определенным волновым вектором в случае трех из-
измерений, зависит от времен жизни электронов и природы взаи-
взаимодействия. Зависящее от q фрё'лиховское взаимодействие, важ-
важное в РКРС, приводит к увеличению рассеяния фононами с ма-
малыми волновыми векторами {q значительно меньше волновых
векторов, соответствующих границе зоны Бриллюэна). Это мо-
может вызывать сильное РкрС на /.О-фононах с волновыми век-
векторами вблизи центра зоны Бриллюэна. Следовательно, можно
ожидать, что в полярных полупроводниках фрёлиховское взаи-
взаимодействие может приводить к сильному, с резким максимумом
РКРС с основным вкладом двойного (многократного) резонанса.
В случае рассеяния, обусловленного деформационным потенциа-
потенциалом, линии не изменяются столь сильно, хотя могут иметь место
максимумы, не связанные с критическими точками [3.22, 3.68].
Обратимся теперь к экспериментальным результатам, где
качественные особенности такого рассеяния ясно выражены.
Сначала рассмотрим случай, при котором фотоны находятся
вблизи резонанса, но не в резонансе с экситонными и зонными
Резонансное комбинационное рассеяние
167
состояниями в полупроводнике. Резонансное усиление РКРС
второго порядка LO-фононами рассматривалось многими авто-
авторами [3.17, 3.37—3.46, 3.57, 3.75—3.77]. В этом случае наблю-
наблюдаются резкие максимумы п спектрах рассеяния. Влияние мат-
матричных элементов, приводящее к ограничению фононов центром
зоны Бриллюэна, является столь сильным, что вклад множите-
множителей, описывающих плотность состояний, совершенно незаметен.
Пример рассеяния вблизи резонанса представлен па фиг. 3.11,
откуда можно видеть, что максимум 2Z.0 почти такой же узкий,
как и максимум 1Z.O. Для фотонов с энергией выше края погло-
поглощения этот максимум становится еще уже [3.42]. Кроме того,
наблюдались также комбинационные максимумы LO + ТО.
Наиболее изученным является случай Gap, для которого Вашг-
штейн и Кардона [3.57] измеряли интенсивности рассеяния для
фотонов с энергией вблизи края прямых междузонных перехо-
переходов. Максимумы для 2LO и LO-\-TO, не связанные с критиче-.
скими точками, представлены па фиг. 3.19. Расчеты интеграль-
интегральной интенсивности рассеяния для трехмерного случая, соответ-
соответствующие этим экспериментам, проведены Цайером [3.68]. Со-
Согласие для LO -j- TO и 2Z.0 было очень хорошим. Цайер [3.68]
предсказал также форму линии фононных максимумов. В слу-
случае GaP не наблюдалось дополнительных пиков для 2ГО-фоно-
нов вблизи центра зоны. Следует отметить, однако-, что в Ge
вблизи двумерной критической точки Е\ (где множители двой-
двойного резонанса являются более существенными, как это об-
обсуждалось в разд. 3.2) наблюдались дополнительные макси-
максимумы для 27'0-фононов с волновыми векторами вблизи центра
зоны Бриллюэна [3.78].
Подобного типа изменения в двухфононных спектрах проис-
происходят и при резоцапсах с непрямыми переходами. В этих слу-
случаях в рассеянии участвуют фононы с волновыми векторами,
соответствующими обращению в нуль одного из энергетических
знаменателей в теоретическом выражении C.32). Так как только
один из знаменателей является резонансным, суммы по проме-
промежуточным состояниям имеют вид, даваемый C.26) — C.29). Ре-
Результатом является то, что двухфононный спектр изменяется
таким же образом, как и в случае двойных резонансов, т. е- ин-
интенсивность рассеяния в зависимости от частоты стремится
.к бесконечности по линейному закону в одномерном случае, как
корень квадратный в двумерном случае и по логарифмическому
закону в трехмерном случае. Резонансы с непрямыми перехо-
переходами наблюдались в работах [3.77, 3.79]. При этом имелись из-
изменения в форме спектров второго порядка, по не наблюдалось
дополнительных максимумов.
Интересно отметить, что теоретическая формулировка рас-
рассеяния 'вблизи резонанса с непрямыми переходами является та-
168
Глава 3
100 ZOO 300 400 500 600 700 BOO
Si ,CM'f
Фиг. 3.19. Спектры комбинационного рассеяния GaP, нормированные по отно-
отношению к интенсивности рассеяния первого порядка ГО-фононаМи.
Обозначение ш^—щ соответствует разнице энергий лазерного излучения н энергетической
щели для пряных перетопйн. Линии, обозначенные ТО + LO (Г) и '1LO (Г), сильнее возра-
возрастают при резонансе, чем другие линии. (По данный Вайищтейна и Карданы 13,57].)
Резонансное комбинационное рассеяние:
169
710
9L0
1800 1500
зоа еоо зоо а
-E—- Сдвиг частоты, см~'
Фиг. 3.20. Верхний спектр: нескорректированный спектр рассеяния в CdS при
300 К при возбуждении 4579 Д. Ниже: скорректированные значения интеисив-
постей мкогофоконных максимумов в спектрах рассеяния CdS как функции
температуры и частоты лазера. Стрелки указывают примерные значения энер-
энергии свободного экслтона с п = 1 и связанных экситонов h и !$■ (По данным
Лейте и др. [3.75].)
кой же, как и для рассеяния вблизи резонанса с запрещенным
переходом. Анализ, проведенный для двухфононного рассеяния
в Си2О (п. 3.4.3 и [3:55]), также может быть применен к случаю
непрямых экситонпых переходов, а проведенный выше анализ
применим к резонансу с областью непрерывных состояний низ-
низшей (а) зоны в Си2О.
Для фотонов с энергией выше края поглощения в области
непрерывного спектра поглощения рассеяние высшего порядка
170
Глава 3
еще более ярко выражено. Как и в предыдущих случаях, луч-
лучшим примером является CdS [3.42, 3,75, 3.76]. Лейте и др. [3.75]
и Клейн и Порто [3.76] исследовали спектры РКРС в CdS,
используя для возбуждения несколько линий аргонового ион-
ионного лазера, имеющих энергию, соответствующую области не-
непрерывного поглощения электронами в зоне. На фиг. 3.20 пред-
представлены результаты Лейте и др, [3.75]. Показаны резкие
пики n-LO от п = 1 до п = 9. Других линий комбинацион-
комбинационного рассеяния на фиг. 3.20 пет, хотя комбинационные линии
ТО -{- LO также могут наблюдаться в некоторых случаях [3.42].
Подобные результаты получены и для других полярных полу-
полупроводников [3.37, 3,38, 3.46], поэтому очевидно, что интенсив-
интенсивные, резкие многократные LO-линии характерны для РКРС
в этих материалах.
Наиболее необычной чертой рассеяния при частоте возбуж-
возбуждающего света выше края поглощения является большая интен-
интенсивность рассеяния высокого порядка, которая не понижается
с увеличением порядка, как это следует из простой теории воз-
возмущений. Это явление было интерпретировано Мартином и Вар-
мой [3.80] как каскадный процесс, подобный процессам высо-
высокого порядка в Си2О, обсуждавшимся в п. 3.4.3. Анализ в этом
случае очень сложен вследствие интерференции между различ-
различными промежуточными состояниями в области непрерывного
спектра, по которым должно производиться правильное сумми-
суммирование. Предложение о каскадном описании было поддержано
анализом Цайерз [3.69] и Мартина [3.22], которые заключили,
что описание с помошью коэффициентов распада приблизитель-
приблизительно верно для порядков рассеяния п > 3, хотя и не верно для
п = 1. В этом случае РКРС явно зависит от времен жизни про-
промежуточных состояний и имеется характеристическое время за-
задержки, как и в резонансной флуоресценции, но расчет вероят-
вероятностей комбинационного рассеяния должен учитывать интерфе-
интерференцию между различными промежуточными состояниями в об-
области непрерывного спектра [3.22, 3.69, 3.80].
3.5. Заключение
Выведены основные теоретические формулы, описывающие
РКРС, и в некоторых типичных случаях рассмотрены след-
следствия, вытекающие из них. Основной формулой является выра-
выражение для матричного элемента C.10), полученное во втором
порядке теории возмущений по взаимодействию излучение —
вещество. Разложение этого выражения по приближенным соб-
собственным состояниям материальной системы приводит к часто
используемому выражению C.33) и аналогичным выражениям
Резонансное комбинационное рассеяние
более высокого порядка по взаимодействию между приближен-
приближенными собственными состояниями. В каждом случае основными
теоретическими различиями являются различия между дискрет-
дискретными и непрерывными промежуточными и конечными состоя-
состояниями, разные комбинации которых образуют те типы резонанс-
резонансного рассеяния, которые обсуждались в разд. 3.2.
Было обнаружено, что два понятия являются наиболее важ-
важными при интерпретации РКРС: 1) связь матричного элемента
для комбинационного рассеяния с диэлектрической восприимчи-
восприимчивостью и 2) двойные (многократные) резонансы, которые опи-
описывают эволюцию участвующих в рассеянии состояний мате-
материальной системы с помощью последовательного рассеяния ме-
между приближенными собственными состояниями. Основное вы-
выражение C.10) показывает, что полюсы в матричном элементе
для комбинационного рассеяния имеют место при тех же часто-
частотах, что и полюсы в диэлектрической восприимчивости, но мат-
матричные элементы взаимодействия излучение — вешество в обоих
случаях различаются. Это очень полезно при интерпретации
случаев, когда различие матричных элементов мало по сравне-
сравнению с изменением плотности состояний. Двойной или многократ-
многократный резонанс описывает случаи, в которых формальный матрич-
матричный элемент взаимодействия излучение—вешество сам по себе
является очень сложной функцией частот фотонов. В таких си-
ситуациях зависимость РКРС от промежуточных состояний за-
заметно отличается от зависимости диэлектрической восприимчи-
восприимчивости.
Применение основных формул к частным случаям для каж-
каждого типа рассеяния обсуждалось в разд. 3.4 с помошью ре-
результатов, выведенных в разд. 3.2 и 3.3. В большинстве случаев
экспериментальные результаты и сравнения с теоретическими
расчетами могли использоваться для иллюстрации основных
особенностей теоретических формул. Этими особенностями яв-
являются различные виды резонансов лоренцева типа с дискрет-
дискретными промежуточными состояниями, обсуждавшиеся в пп. 3.4.2
и 3.4.3, и интерференция между промежуточными состояниями
в области непрерывного спектра, рассмотренная в пп. 3.4.4 и
3.4.5. В случае рассеяния последнего типа с промежуточными и
конечными состояниями в области непрерывного спектра экспе-
экспериментальных данных недостаточно для количественного изуче-
изучения резонансных изменений в форме линий в спектре рассеяния.
В этом случае простая модель одномерного кристалла для фо-
нонного рассеяния высокого порядка, описанная в разд. 3.2,
достаточна при рассмотрении дополнительной структуры в спек-
спектрах рассеяния. Эта структура является функцией энергии фо-
нонов и зависит от природы резонансных промежуточных со-
состояний.
172
Глава 3
Литература
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.1S.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
3.38.
3.39.
3.40.
Hetiler W., The Quantum Theory of Radiation, 3rd ed., Oxford at the
Clarendon Press, Oxford, 1957. (Имеется перевод: В. Гайтлер, Квантовая
теория излучения, ИЛ, 1956.)
Суищнский М. М., Спектры комбинационного рассеяния молекул и кри-
кристаллов, изд-но «Наука». 1969.
WlHiams P. F., Rousseau D. I., Dworetsky S. Я., Phys. Rev. Letters, 32,
196 A974).
Loudon R., Proc. Roy. Soc. (London), A275, 218 A963).
Ganguly A. K-. Birman J. L, Phys. Rev., 162, 80S A967),
Birrnan J. L., в книге: Light Scattering in Solids, ed. by ,4. Balkanski,
Flammarion, Paris, 1971, p-15.
Pinczuk A., E. Burstein s книге: Proc. 10th Intern. Conf- Physics ol Semi-
Semiconductors. Cambridge,' Mass. 1970, U. S. AEC, Tech. Inform. Div., Oak
Ridge, Tenn. 1970, p. 727.
Cardona M. Surface Sci, 37, 100 A973).
Loudon /?., Advan. Phys., 13, 423 A964).
Martin R. M., в книге: Light Scattering in Solids, ed. by Balkanski, Flam-
marion, Paris, 1971, p. 25.
Martin R. M., Datnen Т. C, Phys. Rev, Letters, 26, 86 A971).
Martin R. M., Phys. Rev. B4, 3676 A971).
Bendow B. Birman J. L, Phys. Rev,, BI, 1678 A970).
Бир'Г. А., Пикис Г. Е., ФТТ 2, 2287 (I960).
Ralston J. M. Wadsack R. L., Chang R. K-, Phys. Rev. Letters, 25, 814 A970).
Damen Т. С Scott J. F., Solid State Commun, 0, 383 A971).
Callender R. H. Sussman S. S., Seiders M., Chang R. K., Phys. Rev. B7,
3788 A973).
Berkowicz R., Price D. H.. Solid State Commun., 14, 195 A974).
Mills D. L. Burstein E., Phys. Rev. 188, 1465 A965).
Bendow B. Phys. Rev., B2, 5051 A970).
Zeyher R., 'Ting C. Birman J. £., Phys. Rev., B10, 1725 A974).
Martin R. M. Phys. Rev. BlO, 2620 1974).
LeiteR. С. С, Scott J. F., Phys. Rev. Letters, 22, 130 A969).
Klein M. V., Phys. Rev., BS, 919 A973).
Ребане К. К., Элементарная теория колебательной структуры спектров
примесных центров кристалла, изл-во «Наука», 1968.
Shen У. R., Phys. Rev., В9, 622 A974).
Compaan A., Cummins H. Z., Phys, Rev. Lelters, 31 41 A973).
Birman J. L, Solid State Commun., 13, H89 A973).
Гросс E. Ф., Жи-гиц А. Г., Захарченя Б. П., Варфаломеев А. В. ФТТ 3
1445 A961).
Compaan A., Commins Н. 2., Phys. Rev., B6, 4753 A972).
Herzberg G.t Molecular Spectra and Molecular Structure, Vol. 1 van
Nostrand-Reinhold, New York, 1950.
Steinfeld J. L., Campbell J- D.t Weiss N. A. J. Mol. Spectrosc, 29, 204 A969)
Holzer W., Murphy W. F., Berstein H. /., J. Chem. Phys. 52 399 A970).
Kroll M. Swanson D. Chem. Phys. Letters. 9 115 A971).
Foucke D. G., Chang R. K., Phys. Rev. Letters, 29, 536 A972).
Peters R. L. St., Sltverstein S. D. Lapp M. Penney С. М. Phys. Rev.
Letters, 30, 191 A973).
Scott J. F., Leite R. C, Damen Т. С, Phys. Rev., 188, 1285 A969),
Leite R. С. С, Damen Т. С, Scott J. F., в книге: Light Scattering in
Solids, ed. by G. B. Wright, Springer-Verlag New York liN9, p. 359.
Fpocc E. Ф., Пермогоров С. А., Травников В. В., Селькин А. В. ФТТ,
13, 699 A971),
Пермогоров С. А., Травников В. В., ФТТ, 13, 709 A97П.
Резонансное комбинационное рассеяние
173
3.41. Гросс Е. Ф., Пермогоров С. Л., Травников В. В., Селъкин А. В., в книге:
Light Scattering in Solids, ed. by M. Balkanski Flammarion, Paris, 1971,
p. 238—243.
3.42. Damen Т. С, Leite ij. С. С, Shah /., и книге: Proc. 10th International
Conference on lhe Physics of Semiconductors Cambridge Mass. ed. by
S. P. Keller. J. C. Hensel, F. Stern USAEC Div. of Technical Information
Extension. Oak Ridge, Tenn., 1970, p. 735.
3.43. Colwell P. J., Klein M. V., Solid State Commun., 8, 2 2095 A969).
3.44. Williams P. F.. Porto S. P. S., в книге: Light Scattering in Solids, ed. by
M. Balkanski, Flammarion, Paris. 1971, p. 70, 71.
3.45. Damen Г. C. Shah J.. phys. Rev. Letters, 27, 1506 A971).
3.46. Seal! J. F., Damen Г, C., Sitfvast W. Г., Leite R. С G., Cheesman L £.,
Opt. Commun., 1, 397 A970).
3.47. Williams P. F., Porto S. P. S., Phys. Soc. Japan 32, 1674 A972).
3.48. Fukumoto T. Yoshida H., Nakashima S., Mitsuishi A., J. Phys. Soc. Japan,
32, 1674 A972).
3.49. Гросс Е, Ф., Плюхин А. Г., Суслика JI. Г., Шадрин Е. Б. Письма в
ЖЭТФ 15, 312 A972).
3.50. Рашба Е. И., Гургешшеили Г., ФТТ. 4, 1029 A962).
3.51. Tait W. С. Wether R. L.. Phys. Rev., 166, 769 A968).
3.52. Conradi J., Haering R. R. Phys. Rev., 185, 1088 A969).
3.53. Vella-Coleiro G. P., Phys. Rev. Letters, ЭЗ, 697 A969).
3.54. Thomas D. G-, Hopfield J. /.. Phys. Rev., 128, 2135 П962).
3.55. Yu P. Y. Shen Y. R., Petroff Y., Falicov L. M., Phys. Rev. Letters, 30,
283 A973).
3.56. Yu P. Y., Shen Y. R., phys. Rev. Letters, 32, 939 A974).
3.57. Weinstein B. A., Cardona M., Phys. Rev., B8, 2795 A973).
3.58. Beil M. I., Tyte R. N. Cardona M. Solid State Commun.. 13, 1833 A973).
3.59. Cerdeira F. Dreybrodt W. Cardona M. Solid State Commun. 11, 1127
A972).
3.60. Dreybrodt W- Richter W. Cardona M., Solid State Commun., 11, 1127
A972).
3.61. Yu P. Y., Shen Y. R., Phys. Rev. Letters 29, 468 A972).
3.62. Rubloif G. W., Anastassakis £., Pollak F. H., Solid State Commun.. 13,
1755 A973).
3.63. Phillips J. С, в книге: Solid State Physics, ed. by F. Seitz and
D. Turnbull, Vol. 18, p. 56, Academic Press, New York, 1966.
3.64. Kane E. O. Phys. Rev.. 180, 852 A969).
3.65. Zucca R. R. L. Shen Y, В.. Phys. Rev.. Bl, 2668 A970).
3.66. Shaklee K- L., Rowe J. E., Cardona M., Phys. Rev., 174, 828 A968)
3.67. Yacoby Y., Solid State Commun., 13, 1061 A973).
3.68. Zeyher R., Phys. Rev., B9, 4439 A974).
3.69. Zeyher R., Solid State Coinmun.. 18, 49 A975).
3.70. Williams P. F., Rousseau D. L., Phys. Rev. Letters, 30, 95l A973).
3.71. Beriot M., Jacon M., Bernard L.. Optics Commun. 4, 246 A971).
3.72. Behringer J., Z. Physik, 229, 209 A969).
3.73. Kiejer W., Bernstein H. J., J. Mol. Spectrosc, 43, 366 A972).
3.74. Beriot M., Jacon M.. Bernard I., Opt. Commun., 4, 117 A971).
3.75. Leite R. С. С, Scott I. F., Damen Т. С, Phys. Rev. Letters, 22, 780
A969).
3.76. Klein M. V., Porto S. P. S., Phys. Rev. Letters, 22, 782 A969).
3.77. Klein P. В., Masui И. Song J., Chang R. K-, Solid State Commun., 14,
11S3 A974).
3.78. Renucci M. A. Renucci J. В., Zeyher R., Cardona M., Phys. Rev., BIO, 4309
A974).
3.79. Boitger G. L., Damsgard С V., Solid State Commun., 9, 1277 A971).
3.80. Martin R. ill, Varma С. М., Phys. Rev. Letters, 29, 124l A971).
4. Электронное комбинационное
рассеяние света
М. В.Клейн1)
В полупроводниках может существовать большое разнообразие
электронных возбуждений, и многие из них можно изучать ме-
методом комбинационного рассеяния света, что и является темой
данной главы. Из рассмотрения исключен класс электронных
переходов с глубоких уровней, связанных с переходными метал-
металлами или атомами редкоземельных элементов в полупроводни-
полупроводниках и окислах. Рассматриваются почти все возбуждения, обус-
обусловленные мелкими уровнями в полупроводниках, которые на-
наблюдались экспериментально или предполагались теоретически,
за исключением имеющих важное значение возбуждений, на-
наблюдаемых в магнитном поле. Таким образом, возбуждения, свя-
связанные с переворотом спина в магнитном поле, не будут обсуж-
обсуждаться, если не считать нескольких замечаний в конце разд. 4.6.
После такого введения мы начнем в разд. 4.1 с обсуждения
рассеяния света свободными носителями в простых полупровод-
полупроводниках, обусловленного взаимодействием полей оптического из-
излучения с флуктуациями плотности носителей. Дальнодействую-
щие кулононские взаимодействия рассматриваются в прибли-
приближении случайных фаз, а это приводит к обсуждению рассеяния
_ плазмонами и (в полярных кристаллах) связанными плазмон-
LO-фононными модами.
Разд. 4.2 посвящен рассеянию (слабо) связанными электро-
электронами и дырками. Приближение эффективной массы дает хоро-
хорошую основу для обсуждения некоторых экспериментально на-
наблюдаемых разрешенных процессов комбинационного рассеяния.
В этом разделе излагается новая теория переходов с акцептор-
акцепторного уровня.
В разд. 4.3 обсуждается .комбинационное рассеяние света
различными связанными электрон-фононными возбуждениями.
Некоторые из этих возбуждений локализованы в пространстве,
другие нелокализованы. Но все они обладают особенностями,
общими для проблемы связанных мод. а именно они вызывают
смещения частоты, изменение формы линий и интерференциоп-
') Klein Miles V.. University of Illinois at Urbana-Champaign, Physics De-
Department, Urbana, USA.
Электронное комбинационное рассеяние
175
ные эффекты. Теоретическое обсуждение этих вопросов содер-
содержит новый материал.
В разд. 4.4 мы возвращаемся к обсуждению рассеяния света
одночастичными возбуждениями, которое было начато в разд. 4.1.
Особое внимание уделяется природе флуктуации, таких, как
флуктуации спиновой плотности или флуктуации плотности
энергии. Взаимодействием света с такими флуктуациями опре-
определяются интенсивности процессов рассеяния и вид спектров.
Рассеяние света многокомпонентной плазмой рассматри-
рассматривается в разд. 4.5. Здесь особое внимание уделено многодолин-
многодолинным полупроводникам я-типа и возможности рассеяния света
междолиннымн флуктуациямп плотности. Будет рассмотрено
также рассеяние акустическими плазмонами. В отличие от дру-
других этот раздел носит в основном теоретический характер.
Завершает главу разд. 4.6, в котором приводятся некоторые
замечания о возможных направлениях последующих работ и
о комбинационном рассеянии света с переворотом спина.
4.1. Рассеяние света свободными носителями
в полупроводниках
Рассмотрим сначала такие аспекты явления рассеяния света,
которые являются прямым обобщением свойств рассеяния света
свободным электронным газом. Здесь особенно уместно со-
сослаться на недавно изданную книгу Платцмана и Вольфа [4.1].
4.1.1, Теория рассеяния света свободным
электронным газом [4.1, 4.2]
Гамильтониан взаимодействия электрона с зарядом —е
в точке г с нолем излучения, имеющим векторный потенциал
А(г, /), равен
т ^;Л|а , 1 е(Р'А) , 1 МА-р) ,-,.,
^эл.-изл 2mc, -I- 2 тс Л- 2 тс • D.J)
Пусть -4iei exp[i(kt -r — o)i/)]+ эрмитово сопряженные члены
(э. с.) и A2t2 exp[i(ks-r — ©20]+ э- с- ~~ векторные потенциалы
падаюшнх и рассеянных фотонов соответственно. Член | А |2
в D.1) описывает силу Лоренца, действующую на электрон, ко-
которая определяется векторным произведением скорости, приоб-
приобретаемой электроном в поле Е, и поля В. Его диагональные
члены дают основной вклад при описании процесса рассеяния
света. Т.огда гамильтониан рассеивающей системы равен
' = го(е, -е2)/!
с,
D.2)
Глава 4
где q = ki—к2 и <о = <ог — о2, причем г0 = е2/(тс2) =
= 2,82- 1(Н3 см — классический радиус электрона. В D.2) пред-
предполагалось, что сила, действующая на электрон, направлена
вдоль q. Если |i> и |/> обозначают начальные и конечные со-
состояния для электрона, описываемые плоскими волновыми
функциями, то, использовав теорию возмущений, зависящих от
времени («золотое правило»), с возмущением D.2), можно по-
получить поперечное сечение рассеяния по мощности
XS(i»~fflf + 4 D.3)
Поперечное сечение рассеяния фотона равно отношению
(©i/сог), умноженному на D.3).
Для газа невзаимодействующих электронов функция
exp(!qT) заменяется оператором, который является по существу
фурье-компонентой плотности электронов
— Т exp (<q • г/
i
= Z Ск+
К
чСк,
где Ск+д и С*; — операторы рождения и уничтожения.
Тогда выражение D.2) приобретает вид
Ж' = го (в] ■ е2) ЛИ1 ехр (— Ш) pq -f- э. с.
D.4)
D.5)
После использования «золотого правила» выражение D.5) дает
следующий результат для «эффективности рассения» или попе-
поперечного сечения рассеяния для п электронов в телесный угол dQ
в частотном интервале da:
= я-
dwdQ dadSi
где
S {q, a) = Avt p I <f IP, 10 I2 б (fflft - «)]
D.6a)
D.66)
— «динамический структурный фактор» и где Лу;[ ] представ-
представляет статистическое усреднение по состоянию | i). Состояния
|г> и |/> теперь являются точными состояниями мпогочастичной
системы [4.3]; S(q, ш)—величина, характеризующая равновес-
равновесное свойство электронной системы в отсутствие возмущения Ш'■
В таком случае среднее значение флуктуации плотности элек-
электронов <Рч> равно нулю. Полное среднеквадратичное значение
флуктуации плотности электронов дается выражением
= Ло(((|р„ \i), D.7а)
Электронное комбинационное рассеяние
177
которое можно записать как
= \Avl'El(f !p,!0 I26(<%-*>)<*© =
= JS(?, at) dm.
D.76)
Выражения D.6a), D.66), D.7a) и D.76) показывают, что
спектр рассеяния света пропорционален динамическому струк-
структурному фактору S(q, ш), который в свою очередь можно интер-
интерпретировать как мощность флуктуации плотности при угловой
частоте а.
,Из выражения D.6) невозможно вычислить d2R/d®dQ, по-
поскольку неизвестны точные состояния многоэлектронной си-
системы |г> и |/). Однако можно использовать весьма полезное
приближение ПСФ (приближение случайных фаз), если сна-
сначала воспользоваться «флуктуационно-диссипационной теоре-
теоремой» [4.4]. Согласно этой теореме, S(q,a)—мощность флуктуа-
флуктуации плотности — равна (—л~*), умноженному на мнимую часть
функции плотность—плотность [обозначим ее через F(q,<a)] и
умноженному на зависящий от температуры коэффициент A +пм),
который будет определен ниже. Функция F(q, ©) описывает от-
отклик системы на внешний, зависящий от времени потенциал
фвнешн = ехр(~— tat). Предполагается, что гамильтониан возму-
возмущения имеет форму D.5), а именно Ж'= —арвнешнр7 -f-э. с. Это
возмущение создает отличную от нуля индуцированную плот-
плотность заряда ринд = <P<j>, которая в низшем пОрядке теории воз-
возмущений, зависящих от времени, будет пропорциональна qWmH-
Коэффициент определяет функцию F(q, «)
Мцогоэлектропные эффекты, обусловленные кулоновским
взаимодействием, следует включить в F. Если пренебречь такими
взаимодействиями, можно использовать ПСФ, но рй и фйцд вво-
вводятся самосогласованным образом. Электрический потенциал
финд, связанный с индуцированной плотностью заряда —ер,шд,
можно найти из рИНд, решая уравнение Пуассона. Эти взаимо-
взаимодействия добавляют член вида Ш'^ ~ — ефнн р Л- э. с. к га-
гамильтониану возмущения. Линейный отклик на Ж„„а-\-3$' мож-
можно определить с помощью теории возмущений, рассматривая
рассеивающую систему как газ невзаимодействующих электро-
электронов [4.1,4.4, 4.5]:
Рпнд =* - е (Фмш + Фюа) F {Я, <о). D.8а)
178
Глава 4
Здесь F(q, w) есть функция отклика для газа свободных элек-
электронов, определяемая выражением
RF (д, ш) = У "(Ц-яС + Ч) , D.8б)
I — со (к + q)
где л (к) — зависящие от температуры числа заполнения (на
единицу объема).
Диэлектрическая функция для газа свободных электронов
имеет вид
. . , ine'F (д, а) ,, ЛЛ
в {q, (о) = 1 ^~]-. D.9)
Тогда эффективность рассеяния света дается следующим
выражением [4.5]:
D.10а)
dm <Ш
D.106)
гдш [р(/^) ]
Если пренебречь поправкой ПСФ, то е в выражении D.10а}
заменится единицей, и тогда мы имеем d2R/dadQ ~ я-1 1т{Р),
спектр возбуждения свободной частицы. Если рассматривать ку-
лоповское взаимодействие в рамках ПСФ, то это выражение
экранируется множителем |е|~2. Характер экранирования зави-
зависит от величин q и ш. При малых ц и низких частотах, когда
ы <£ qve [vB есть либо фермиевская скорость vt, либо тепловая
скорость электронов vT =BkBT/m}'i>, e определяется выраже-
выражением
а
D.11)
Экранированный волновой вектор qs дается соотношением Фер-
Ферми—Томаса
= УЗ-^ D.12а}
L = y3-^- D.126)
или Дебая — Хюккеля
для случая квантового вырождения и в классическом пределе
соответственно.
В случае вырождения, малых ц и Т = 0 спектр возбуждения
свободных частиц (—lm (Г}) пропорционален в от oi = 0 до
Электронное комбинационное рассеяние
!79
ш = qvj и затем спадает до пуля при (о = qvf -j- bq2/2m [4.4].
При конечном значении температуры будет иметь место допол-
дополнительное скругление вблизи ы = qv? вследствие затухания, об-
обусловленного конечным Временем жизни электрона. Этот эффект
обсуждался в работе Мермина [4.6]. При отличных от нуля
температурах функция (—Im (F}) не равна нулю при отрица-
отрицательных «. Это дает отличное от нуля антистоксово рассеяние
света.
В классическом пределе высоких температур имеется макс-
велловский спектр возбуждений
Как в вырожденном, так и в классическом случаях в пределе
Я <£ <?s экранирование множителем |е|-2 значительно, вследствие
чего exiql/q2, и, согласно выражению D.10а), имеем
*(lm(F})(-f
D.13)
Известно, что 5(^, и} удовлетворяет условиям нескольких
точных правил сумм [4.3, 4.4], одно из которых приводит При
низких температурах к следующему точному результату для по-
поперечного сечения рассеяния на один электрон:
о
Выражение D.13) после интегрирования дает для малых q ве-
величину значительно меньшую, чем это следует из D.14). Это
несоответствие снимается, если использовать выражение D.106),
которое равно D.10а}, когда Im (F) Ф 0, но которое дает основ-
основной вклад в эффективность рассеяния в тех областях, где е (или,
строго говоря, его реальная часть) равна нулю. Такое поведение
имеет место на плазменных частотах щ„, дисперсионная зависи-
зависимость которых определяется следующим выражением [4.3]:
D.15а)
где
Dnne2/m}Vl
D.156)
есть плазменная частота при q ~ 0. Для и вблизи шР можно
показать,.что [4.3]
8 (д -» 0, и} = 1 —
г -j- iaT '
D.16}
180
Глава 4
Здесь добавлено феноменологическое время жизни электронов
Г~!. Если выполнено условие щ ^> Г, то выражение D.106) дает
лоренцеву линию па плазменной частоте с интегральным попе-
поперечным сечением на один электрон, которое для низшего порядка
по q имеет вид («йМ)г (е, ■ е2у ryfiq^jiimu в соответствии с вы-
выражением D.14).
При достаточно больших ц частота юВ(?, определяемая выра-
выражением D.15а), будет находиться в области спектра одночастич-
ных возбуждений. Плазмоны перестают существовать как эле-
элементарные возбуждения. Такой эффект называется «затуханием
Ландау».
4,1,2. Рассеяние света блоховскимн электронами
Движущиеся в пределах зоны проводимости (валентной
зоны) электроны (или дырки) в совершенных кристаллах будут
вызывать внутризоипое рассеяние света, описываемое членами
вида |Л|2 в выражениях D.1) и D.2), Члены р-А в выражении
D,1) при использовании теории возмущений второго порядка
дают виртуальные внутризонные и виртуальные междузонные
переходы. Первые из них пренебрежимо малы При малых ско-
скоростях электронов [4.7]. Виртуальный междузопный переход
должен вызывать реальное внутризонное и междузонпое рас-
рассеяние блоховского электрона (дырки), сопровождаемое погло-
поглощением одного фотона и излучением Другого фотона. Мы рас-
рассматриваем рассеяние, обусловленное реальным внутризонным
переходом, Амплитуда рассеяния пропорциональна сумме двух
членов, имеющих знаменатели вида ие — аи и <оа -f- <оэ, где Л<ой
есть соответствующий энергетический зазор для междузонных
переходов. Для простого случая такое рассеяние обсуждается
в работе Вольфа [4,7] и в более обобщенном виде — в работе
Яха [4.8] и Блума [4.9], Для малых ц и при <щ значительно
меньших, чем (os, эти знаменатели можно заменить на со, и
если затем добавить вклад от члена вида 1Л|Э через &>/?-пред-
ставление эффективной массы, то можно получить гамильто-
гамильтониан рассеяния
Электронное комбинационное рассеяние
181
(— /со/) р,,
D.17)
для носителей в простой зоне, для которой |Х = е1-ц-е2, где
ц— тензор обратной эффективной массы, умноженный на т.
В случае когда энергия падающих фотонов B(oj близка к ширине
запрещенной зоны, выражение D.17) надо умножить на множив
тель резонансного усиления R\v который для носителей с ма-
лои массой равен
D.18)
С этими изменениями ПСФ приводит к тому, что D.10а} и
D,106) по-прежнему дают эффективность рассеяния [4,9]
(Ш ^ <> + ) S '" { } <" 19>
где в определяется соответствующей модификацией выраже-
выражения D,9), учитывающей экранирование свободных носителей
При виртуальных внутризонных переходах в кристалле. Урав-
Уравнение D.19) не закончено, поскольку оно № содержит членов,
описывающих фононные эффекты.
Правила отбора по поляризации отражены в определении ц.
Отметим, что правило отбора (ej -e2) =Н= 0, подразумеваемое в
D.10), в выражении D.17) заменяется па ц Ф 0, которое для
простых изоэпергстических поверхностей дает «параллельные*
правила отбора по отношению к главным осям эллипсоидов,
4.1.3. Экспериментальные результаты для GaAs
Мурадян выполнил ряд экспериментов по рассеянию света
свободными носителями в GaAs [4.10—4.13], используя излу-
излучение с длиной волны 1,06 мкм лазера на ИАГ: NtHA При ком-
комнатной температуре для концентрации электронов п < 101а см~3
плазмоны не существуют. Как и предполагалось, одночастичное
рассеяние дает симметричный гауссов спектр с центром При ну-
нулевом смещении частоты. Такое рассеяние будет более подробно
обсуждаться в разд. 4.4.
Для п > 10'6 см-3 плазменная линия появляется из спектра
одночастичного рассеяния, Фиг. 4.1 служит хорошим примером.
Обозначения обычные; £,, £2, еь еа — направления распростра-
распространения падающего и рассеянного света и соответственно направ-
направление их поляризаций. Плазмон обнаруживается в (гг)-спектре
на частоте 130 см. Видны также спектр одночастичного рас-
рассеяния и резкие линии поперечного оптического фонона (ТО)
При «г = 272 см-' и продольного оптического фонона (LO) при
(ot = 296 см~'. Плазмонная линия смещается с увеличением
концентрации пропорционально п'1\ пока не приблизится к ли-
линии 7-фонона. Затем для кристаллов без центра инверсии, ка-
каковым является GaAs, плазмоны взаимодействуют с LO-фоно-
нами, образуя связанные моды L+ и L_ на частотах м+ и ©_
[4,14—4,16]. Эти моды можно видеть на двух нижних спектрах
фиг. 4.2. Здесь представлен спектр рассеяния света в сильно
x(yx)y
x(yz)y
х(гг)у
400
ZOO 0 200
Смещение частоты,см-
400
Фиг. 4.1. Поляризованные спектры комбинационного рассеяни
n-GaAs при комнатной температуре, п = 1,75-10" ем ' [4.131.
я света для
too гоо зоо 400
Смещение частоты см-1
Фиг 4 2 Поляризованные спектры комбинационного рассеяния света для
*GaAe при 2 К, л - J,4-1013 см-5 [4.12].
Электронное комбинационное рассеяна»
183
легированном кристалле при 2 К- ГО-фононы не образуют свя-
связанного состояния, a (LO)-фонон и плазмой перестают суще-
существовать.
Фиг. 4.2 позволяет увидеть другое новое явление. Спектр од-
ночастичного рассеяния обнаруживает спад вблизи qvf, но этот
спектр появляется в конфигурации рассеяния с (yz) -поляриза-
-поляризацией, что оказалось неожиданным, поскольку эффективная масса
изотропна. Причина такого поведения спектра одпочастнчного
рассеяния будет рассмотрена ниже при обсуждении рассеяния
света флуктуациями спиновой плотности. Пики L± появляются
в (гг)-конфигурации, как это и предполагалось для рассеяния
света,, обусловленного флуктуацией плотности заряда в кубиче-
кубическом кристалле, по они появляются также и в (yz) -конфигура-
-конфигурации, при которой LO-фононы разрешены обычными правилами
отбора [4.17].
4.1.4. Рассеяние света связанными
tO-фонон-плазмониымн модами
- /.О-фононы и плазмоны взаимодействуют, поскольку каждый
из них создает продольное электрическое поле (или скалярный
потенциал), которое взаимодействует с плотностью заряда дру-
другого [4.14]. Частоты результирующих связанных мод опреде-
определяются корнями уравнения Re {е} ф 0, где для малых q завися-
зависящая от частоты диэлектрическая функция равна
- о2 - /«0+
D.20)
Здесь е5 — вклад связанных электронов; первый член — вклад
связанных электронов и фононов, второй член обусловлен плаз-
монами. Уравнение Re {ej = 0 является квадратичным относи-
относительно а2. Два его решения удовлетворяют неравенствам ац. >
> (oi, юр и <о_ < юг, «д. Сравнение экспериментальных данных
и теоретической зависимости для ш± (на фиг. 4.3 L±) для
/j-GaAs представлено на фиг. 4.3.
Три механизма ответственны за рассеяние света связанными
модами. Обозначим их р-, и- и Е-механизмами. Для р-механизма
основным является, как это указано в D.17), умноженная на
' гйА^А\ флуктуация электронной плотности заряда р„. Рассея-
Рассеяние, обусловленное флуктуацией плотности ионов, незначитель-
незначительно, так как оно включает томсоновский радиус (mra/M) < г0.
Для «-механизма рассеяние осуществляется посредством моду-
модуляции поляризуемости связанных электронов % смещением атома
из положения равновесия и. Этот механизм, часто называемый
механизмом «деформационного потенциала^, подробно обсуж-
184
Глава 4
Q i-10
4-Ю'8
!0'
Фиг. 4.3. Сдвиг частоты при комбинационном рассеянии света, обусловленном
связанными фсшон-плазмонными модами L+, для GaAs при комнатной темпе-
температуре [4.11].
Сплошными линиями представлены вычисленные корни уравнения Re{£((T-»0, ш)|=0.
дается в гл. 2 и 3. Соответствующий гамильтолиан рассеяния
можно получить, рассматривая модуляцию энергии поляризации
связанных электронов в присутствии электрического поля опти-
оптического излучения Ео
Интересующие нас диагональные члены гамильтониана рассея-
рассеяния имеют вид
где
}A^уеХ]){-Ш)(Щия+э. с, D.21а)
'Jq^\u (R) exp (/q • R) d3R D.216)
|* = V (-|£L)eieej61X . D.21В)
Электронное комбинационное рассеяние
Для Е-механизма модуляция энергии поляризации осуще-
осуществляется суммарным продольным полем Е. Этот механизм ча-
часто называется «электрооптическим механизмом». Гамильто-
Гамильтониан рассеяния для этого механизма имеет вид
(-toO {%) В* + э. с, D.22)
где Еа и дх/дЕ являются аналогами Ua и д%/ди '). LO-фононная
часть связанных мод содержит и вклад от отклонения и, и вклад
от поля Е; следовательно, в данном случае рассеяние света опи-
описывается выражениями D.21) и D.22). Вклад плазмонной части
связанных мод в рассеяние света описывается выражениями
D.17) и D.22). Эти механизмы для плазмона сдвинуты по фазе
на 90°, поскольку из уравнения Пуассона следует, что вклад от
оператора плотности заряда pq сдвинут по фазе на 90° относи-
относительно плазмонного вклада Eq, Эти два механизма не интерфе-
интерферируют, и, следовательно, интенсивности рассеяния просто скла-
складываются.
Эффективность рассеяния света связанными модами, обус-
обусловленная флуктуациями плотности электронов, равна [4.18]
Й, К + 1) (^
где
Д =
D - фУ±, D.23)
D.24)
Первый член в квадратных скобках в D.24) обращается в нуль
при ш — ш+. Отметим наличие члена вида (со2 — <и~Л2 в числи-
числителе D.23). Этот член приводит к тому, что интенсивность рас-
рассеяния равна нулю на частоте aL для всех значений затуха-
затухания Г.
Эффективность рассеяния света связанными модами, обуслов-
обусловленная механизмом деформационного потенциала и электрооп-
электрооптическим механизмом, равна [4.11, 4.18, 4.19]
дш<Ш
C)'Ш
)'ШУШ (")'
w--^т-
*) Мы обозначил!] компоненты Е латинскими буквами, чтобы отличить их
От собственных значений энергии.
186
Глава 4
где
c =
D.26)
D.27)
здесь е* — эффективный заряд, связанный с оптическими фоно-
нами, и М — приведенная масса, определяющая частоту опти-
оптических фононов.
По-видимому, [4.]8] является единственной работой, где выведено выра-
выражение D,23), Блум и Мурадян [4.20] точно вывели это выражение, но при
этом они сослались на Мурадяна и Мак-Уартера [4.11]. Эти авторы дали
формулу, которая приводит к правильному значению для ю вблизи о»+ или
ш— Большое затухание плаамона Г приводит к значительному рассеянию
вдали от ш^ и ш-; в таком случае их результат дает неправильную форму
спектра.
Параметр С называется коэффициентом Фауста — Генри [4.21]. Он обо-
обозначается через С, в [4.11] и через 1/у в работах [4.18] и D.19|L Этот коэф-
коэффициент определяет отношение эффективностей рассеяния LO- и ТО-фононами
в нелегированном кристалле
\dajj
D,28)
Коэффициент С является также важный параметром я теории рассеянии света
поляритонами [4.23].
Уравнение D.25) показывает, что интенсивность рассеяния
равна нулю при ю = ш0 для («, Е)-механизма, тогда как, со-
согласно D.23), она равна нулю при ш = taL для р-механизма.
В обоих случаях спектры состоят не просто из двух пиков при
ы =г= й+ и и = <в— Это подробно иллюстрируется эксперимен-
экспериментальными данными для кристаллов CdS [4.24], GaP [4.19] и SiC
[4.18] и-типа. Во всех этих трех случаях доминирует (и, Е)-ме-
ханизм. Детальное обсуждение теоретической функции отклика
и спектров, обусловленных (и, Е)-механизмом, дано в работе
Хона и Фауста [4.19]. Они показали, что для больших Г плаз-
мон-фононная ветаь L_ может быть настолько искаженной и
размазанной, что практически ее невозможно наблюдать. На
фиг. 4.4 приведены их данные для 1+-области. Отметим, что
плазмоиы являются сверхзатухающими (Г^,юр). Для GaP па-
параметр С равен —0,53, что дает значение частоты щ = 250 см"".
Рассеяние в этом частотном диапазоне было настолько слабым,
что невозможно было заметить нуль в интенсивности рассеяния
ПрН Ш = WQ.
Электронное комбинационное рассеяние
410 420
Частота, см~{
Фиг. 4.4. Спектры комбинационного рассеяния для чистого и легированного
, n-GaP [4.19].
- Сплошные линии получены теоретически с испольэонаниеы параметров, прваеденных
. - * таблице.
Непосредственное сравнение теоретических спектров, обус-
обусловленных (и, Е)- и р-механизмами, выполнено для SiC в ра-
работе Клейна и др. [4.18]. Здесь Г приближенно равнялось 3ww.
Наблюдался нуль интенсивности рассеяния при ю = wo- Опре-
Определено экспериментальное значение С = -j-0,39. Из этих данных
и из ранее определенного значения дххх1дЕг получено значение
В кристаллах CdS гс-типа Скотт и др. [4.22] наблюдали нуль
ннтенсизности рассеяния при ш = ш0 и нашли С= +0,50.
В кристаллах GaAs затухание Г относительно мало. Мура-
дян и Мак-Уортер сумели измерить поперечное сечение для рас-
188
Глава 4
сеяния света L+ и L_ модами, обусловленного как р-, так и
(и, Е)-механизмами. Эти механизмы можно было выделить по-
поляризационными правилами отбора (фиг. 4.2). В спектре x(yz)y
(в обозначении авторов |], -L) проявляется (и, Е)-механизм.
В спектре х(гг)у проявляется р-механизм. Из спектра, приве-
приведенного на фиг. 4.2, видно, что в GaAs оба механизма вызывают
сравнимое рассеяние света с длиной волны 1,06 мкм. Мурадяп
и Мак-Уортер получили хорошее согласие между наблюдаемыми
и расчетными значениями иптенсивностей, вычисленными из вы-
выражений, эквивалентных D.23) и D.25), для разных концентра-
концентраций электронов.
В дополнение к кристаллам, которые обсуждались выше, рас-
рассеяние связанными плазмон-фононными модами также наблю-
наблюдалось в кристаллах CdTe и InP [4.12] при использовании ла-
лазера с длиной волны 1,06 мкм. Рассеяние плазмонами в lnSb
наблюдалось с использованием излучения лазера с длиной волны
10,6 мкм [4.25]. Исследование связанных плазмон-фононных
мод в зависимости от концентрации электронов выполнено
в InSb с использованием излучения лазера с длиной волны
5,39 мкм [4.20].
В этом разделе мы указали общие направления эксперимен-
экспериментальных работ по исследованию связанных плазмон-фононных
мод. Рассеяние в кристалле GaAs, наблюдаемое с излучением
с длиной волны 1,06 мкм, показало, что (и, Е)- и р-механизмы
сравнимы по интенсивности. Для материалов с меньшей шири-
шириной запрещенной зоны, исследуемых с более длинноволновыми
лазерами, определяющим является р-механизм. Для полупро-
полупроводников с большей шириной запрещенной зоны, исследуемых
с помощью лазеров, излучающих в видимой области спектра,
определяющим является (и, Е) -механизм. Эта тенденция может
быть объяснена, если рассмотреть, как различные величины
в D.23) и D.25) или правила сумм, выведенные из этих урав-
уравнений [4.28], соизмеряются с шириной запрещенной зоны. Сде-
Сделав это сравнение, надо использовать те длины волн излучения
лазеров, энергия которых примерно пропорциональна соответ-
соответствующей ширине запрещенной зоны.
4.2. Комбинационное рассеяние связанными
электронами и дырками
Электроны на донорных атомах или дырки на акцепторных
атомах весьма эффективно рассеивают свет при переходах ме-
между связанными состояниями. Оци имеют сходство с хорошо
известными инфракрасными возбуждениями [4.26, 4.27]. Мы по-
покажем, что в отличие от рассеяния света флуктуациями плотно-
Электронное комбинационное рассеяние
189
сти электронов поперечное сечение в данном случае не зависит
от ц и равно по порядку (r0m/m*J, умноженному, где это не-
необходимо, на коэффициент резонансного усиления. Для элек-
электрона или дырки этот коэффициент больше, чем для плазмонов.
Полные расчеты интенсивности рассеяния начинаются с со-
составления гамильтониана D.1) [4.28, 4.29]. Как показано ниже,
определяющий член можно легко получить, используя прибли-
приближение эффективной массы.
Измерения интенсивностей и положений линий рассеянного
света донорами и акцепторами, а также правила отбора в прин-
принципе могут дать подробные сведения о примесных волновых
функциях и о зонной структуре самого кристалла. Сначала мы
рассмотрим имеющиеся экспериментальные данные, а затем об-
обсудим теорию рассеяния в приближении эффективной массы.
4.2,1. Экспериментальные результаты для акцепторов
Первые эксперименты такого типа были выполнены Генри
и др. [4.301 в кристаллах GaP, содержащих акцепторные центры
Zn и Mg. Они наблюдали пять линий или полос: Л, А'В, С и D,
четыре из которых схематически представлены на фиг. 4.5. Про-
Происхождение этих линяй можно объяснить следующим образом.
Основное состояние акцептора отстоит от потолка валентной
зоны и образовано четырехкратно вырожденным состоянием
р,. или валентной зоной Г8. В приближении эффективной массы
акцепторное состояние описывается произведением блоховских
функции этих зон и валентной зоны и (преимущественно)
15-стандартной огибающей функцией атома водорода. При де-
деформации этот уровень расщепляется на два крамеровских дуб-
дублета. Л-линия наблюдалась при практически нулевом смещении
энергии, и она приписывается переходу между этими дублетами,
расщепленными остаточными деформациями в кристалле. Л'-ли-
ния приписывается переходу А, сопровождаемому излучением
акустического фонона. Как показано на фиг. 4.5, при деформации
Л-линия смещается вверх по энергии. 5-липия появляется при
33,3 мэВ для акцепторного центра Zn и при 34,7 мэВ для ак-
акцепторного центра Mg. Найдено, что при низких температурах
ее смещение равно половине смещения Л-линии под влиянием
деформации, и она расщепляется на дне компоненты при высо-
высоких температурах [4.31 ]. Следовательно, конечные состояния
для этой линии должны состоять из крамеровского дублета Гб
или Г>. С-линия приписывается неразрешенным переходам в бо-
более высокосвязанные состояния, преимущественно образован-
образованные валентной зоной Г8. О-линия-приписывается переходам
в валентную зону,
190
Глава 4
Более подробное изучение акцепторных состояний в GaP
выполнено Менчоном и Дином [4.31]. Они показали, что энер-
энергия В-переходов несколько уменьшается с увеличением энергии
связи дырки с акцептором. Спектры, полученные ими для трех
типов акцепторов, показаны на фиг. 4.6. Они также изучали
расщепление В-лииии в образцах, легированных цинком.
Райт и Мурадян [4.28] исследовали рассеяние света, обус-
обусловленное акцепторным центром бора в Si. Обнаружена резкая
линяя В-типа при 23,4 мэВ. Эта линия деполяризована, как и
линия оптического фонона. В последующей работе они показали,
что эта линия, как и В-линия в GaP, при деформации расщеп-
расщепляется [4.32].
Расщепление В-линии, обусловленное акцепторным центром
бора в Si, при деформации и в магнитном поле подробно изу-
изучали Черлоу и др. [4,33]. Они определили деформационные по-
потенциалы, обусловленные расщеплением основного состояния
акцептора 15Гб и параметра гамильтониана спина для этого же
состояния. Возбужденное состояние в обоих случаях оставалось
нерасщепленным. Параметры спинового гамильтониана, полу-
полученные ими, не совпадают с параметрами спинового гамильто-
гамильтониана, полученными из измерений магнитного резонанса.
Райт и Мурадян наблюдали сииглетные линии, обусловлен-
обусловленные акцепторными центрами Cd, Zn, Mn и Mg в GaAs [4.32,
4.34]. В первых двух случаях эти линии наблюдались при
25 мэВ. Исследование влияния деформации не проводилось.
Дехлер и др. изучали поведение акцепторных центров Ga
в Ge с использованием излучения ABC—ИАГ-лазера с длиной
Без давления
Под давлением
А в
1shfrra —i-ir- 4—{■ \ I
Рз/г ■
В(Т>0)
I ,
Фнг. 4.6. Схема экергетических уровней для акцепторных переходов [4.30];
Электронное комбинационное рассеяние
30 4Q 50 60 ~70 Z0 30 40 50 60 70
Энергия, мзВ
Фиг. 4.6. Спектры комбинационного рассеяния света, обусловленные акцеп-
акцепторными центрами (о —в) и донорными центрами (в) в GaP при Т = 20 К-
о—GaP, легированный Zn, 5 - Ш17см~; б—GaP, легировавши Mg: e—QaP. легирооан-
пый С; г — GaP, легированный Те, 2 ■ Ш13 см~г 14.31].
волны 2,1 мкм [4.35]. Они не обнаружили В-линию, но наблю-
наблюдали полосу неразрешенных линий С-типа в диапазоне 6,5—
10,5 мэВ в кристаллах, содержащих 2,5- Ю1в см-3 акцепторов.
При более низком уровне легирования появлялось несколько
разрешенных линий [4.36].
Линии, соответствующие переходам между акцепторными
1 уровнями в гетерополярных решетках GaP и GaAs, щире, чем
в гомополярной решетке SI. Такое поведение приписывается бо-
более сильному взаимодействию с фононами, а следовательно, и
более короткому времени жизни в случае гетерополярных кри-
кристаллов.
В табл..4.1 для различных кристаллов приведены некоторые
сведения об экспериментально наблюдаемых переходах между
Основными и нижайшими состояниями акцепторов.
192
Глава 4
Электронное комбинационное рассеяние
193
Таблица 4.1
Экспериментально наблюдаемые переходы между основным и
нижайшими состояниями акцепторов при комбинационном
рассеянии света
Кристалл
Энергия
перехода
Литера
тура
Энергия
связи,
MSB
Si
GaP
44 [4.371
100 [4.39]
44,32 [4.38] В
Ge 300 [4.39]
GaAs 330 [4.39]
С
Mg
Zn
Ga
Cd
Zn
22,7 [4.33]
36,5 [4.31]
34,7 [4.31]
33.3 [4.31]
6,5-10,5 [4.35]
25.4 [4.32]
21 [4.32]
48 [4.40]
53,5 [4.40 [
64 [4.40]
11 [4.41]
21 [4.41]
24 [4.41]
4.2.2. Экспериментальные результаты для доноров
Райт и Мурадян [4.28] впервые в экспериментах по рассея-
рассеянию света наблюдали донорный переход при 13,1 мэВ в Si, ле-
легированном Р. Линия, соответствующая этому переходу, была
поляризованной и, как показал теоретико-групповой анализ,
имела преимущественно £-симметршо. Ее положение находилось
в согласии с энергией перехода между уровнями 1S(<4j)->1S(£),
расщепленными долинно-орбитальным взаимодействием. Раит и
Мурадян разработали теорию рассеяния и показали, что такие
переходы между уровнями, расщепленными долинно-орбиталь-
долинно-орбитальным взаимодействием, должны быть наиболее сильными донор-
ными переходами. Позже Райт и Мурадян сообщили о наблю-
наблюдении таких же переходов для донорных центров As и Sb в Si
и Те в AlSb [4.34].
Менчон и Дин наблюдали переходы lS(/li)-* 1S(£), обус-
обусловленные донорными центрами Se, S и Те в GaP [4.31]. Эта
линия симметрично расщепляется при деформации, откуда сле-
следует, что она действительно связана с этим переходом.
Колуэлл и Клейн наблюдали линии £г-симметрии при 13,0,
60,3 и 62,6 мэВ в бЯ-политипе SiC, легированного донорными
центрами JV [4.29] (фиг. 4.7). Они приписали эти линии пере-
переходам 15(Л,)-> 15 {£2) между донорными уровнями, расщеплен-
расщепленными долинно-орбитальным взаимодействием. В этой решетке
донорные центры занимают три неэквивалентных положения
атомов углерода. В политипе \5R наблюдались четыре и, воз-
возможно, пять линий, что согласуется с существованием пяти не*
~0 Ю 20 30 40 SO SO 70
Энергия, мэВ
Фиг. 4.7. Спектр комбинационного рассеяния света в бЯ-политипе SIC, с до-
дозорными центрами N; Т = 6,4 К [4.29].
При такой конфигурации рассеяния S ixx) z активны возбуждения А,- и Е,-симметрии.
Лнанн, обусловленные переходами между уровнями, расщепленными лолиино-орбцтали-
вым взаиыодеЯствием, наблюдаются при S3JJ, 50,3 ц С2,6 sisB. Лнняя при 78.8 мэВ, по-
видимому, является локальной фонопной модой, А: (£.0)-фонон наблюдается при 119,5см.
iii-фоаопы наблюдаются при 18,0. 32,5, 95,0 а У7,7 мэВ.
эквивалентных положений атома углерода в этой решетке. Для
политипа 6Я тот факт, что наблюдаются точно три линии Е2-
симметрии, указывает на то, что минимум зоны проводимости
находится вдоль линии ML на краю зоны Бриллюэна [4.29,
4.42]. Линии донорных центров наблюдались также в 6Я SiC
Дином и Гартманом [4.43].
Дехлер и др. [4.35] наблюдали при 34,6 см-' {4,3 мэВ) пе-
переход между уровнями lS(A{)-> \S(T2), расщепленными до-
линно-орбитальным взаимодействием для донорных центров As
в Ge. Экспериментальное измерение дало значение поперечного
сечения рассеяния в три раза большее, чем предсказывалось
теоретически.
Как уже указывалось, наиболее сильные донорные или ак-
акцепторные переходы, которые имеют место между уровнями,
расщепленными из основного состояния, должны быть типа
15 -> 15. Причиной наблюдения перехода с конечной энергией
является то, что вырождение зон снимается (и они расщеп-
расщепляются) долинно-орбптальным взаимодействием для случая до-
доноров и спин-орбиталышм взаимодействием для случая акцеп-
акцепторов. Для доноров в GaP [4.31] и S1C [4.29] данные по рассея-
рассеянию света были первыми непосредственными измерениями рас-
расщеплений 15{Л)-*- 15(£). Другие переходы хотя и разрешены
условиями симметрии, являются значительно более слабыми,
что затрудняет их наблюдение.
Исключение составляют случаи вблизи резонансов, когда по-
поперечное сечение рассеяния значительно увеличивается. Так,
в кристаллах CdS нет переходов между уровнями, расщеплен-
расщепленными долинно-орбитальным взаимодействием, поскольку зона
проводимости имеет минимум при k = 0, но в этих кристаллах,
легированных С1, которые образуют донорные уровни, Генри и
1S4
Глава 4
Haccay [4.44] наблюдали рассеяние света, обусловленное пере*
ходами 1S->2S и IS -> 2Р* между уровнями доноров [4.44].
Эксперимент был выполнен с использованием излучения арго-
аргонового лазера с длиной волны 4880 А при условиях, близких
к резонансным.
4.2.3. Теория комбинационного рассеяния света,
обусловленного переходами между донорными
уровнями, в приближении эффективной массы
Волновые функции электрона, связанного с донором (или
дырки с акцептором), получаются из блоховских функций fi(r)
зоны проводимости вблизи наинизшего минимума зоны проводи-
проводимости (наивысшего максимума валентной зоны). Предпола-
Предполагается, что они вырождены. Волновые функции донорных и ак-
акцепторных состояний можно записать в виде [4.45]
D.29)
где F?—«огибающие функции», медленно изменяющиеся на
расстояниях порядка постоянной решетки. Волновое уравнение
эффективной массы имеет вид
Е ( Л-ir + Z DifoaPb + [U (г) - Б] йц') П И - 0. D.30)
Г I oB J
Здесь матрица Ац- представляет спии-орбитальное взаимодей-
взаимодействие. Это важно для состояний валентной зоны р-тнпа. Коэф-
Коэффициенты D являются обобщенными параметрами обратных эф-
эффективных масс. Они получаются в результате междузонных пе-
переходов в состояния /, отличные от состояний /:
Et-E,
2т
(/(r) = e2/8s(r)— кулоновский потенциал для донора или акцеп-
акцептора, Е—собственное значение энергии относительно экстре-
экстремума зоны. В приближении эффективной массы гамильтониан
для рассеяния излучения можно получить из выражения D.30),
заменив р иа р + еА/с и сохранив члены с А\ Такая трактовка
обоснована при условии, что длина волны фотонов значительно
больше постоянной решетки и что энергии фотонов значительно
меньше ширины запрещенной зоны. Матричный элемент для
перехода из состояния п в состояние п' равен
D.32)
Электронное комбинационное рассеяние
196
Вклад такого перехода в поперечное сечение рассеяния есть
^dffl ^{—JrlRWll ]f. D.33)
где незаполненная квадратная скобка обозначает множитель
в квадратной скобке в выражении D.32). Мы ввели множитель
R2i2, определяемый выражением D.18), чтобы можно было при-
приближенно учесть влияние условий, близких к резонансным
[4.28, 4.29].
Для донорных центров в кристалле, имеющем многодолин-
ную зону проводимости, матрица D диагональна по индексу
долины / и равна р\Ц(?т~1), гДе 1*!$ ~ (т/т\в для Д°лины /■
В приближении эффективной массы функцию F" можно запи-
записать как F* = a"#/n), где Я? (г) образуют замкнутый ортонор-
мированный ряд водородоподобных волновых функций, в кото-
которых в принципе учтена анизотропия массы долины /; aj? —
численные коэффициенты, которые определяются из соображе-
соображений симметрии точечной группы донорного состояния [4.45].
Тогда поперечное сечение рассеяния можно записать в следую-
следующем виде [4.29]:
da (П, П1) _ /JO; \г„2г,2 w
X
Hh,[n)'i
D.34)
Интеграл перекрытия дает следующее правило отбора: h(n) =
= h(n'), т.е. квантовые числа водородоподобных состояний
должны быть одинаковыми. Таким образом, если п относится
К основному состоянию, то, согласно методу эффективной массы,
разрешены только переходы между уровнями lS-мультиплета.
Расчеты, учитывающие виртуальные междузонные переходы, ко-
которые описываются в гамильтониане членами вида р-А, показы-
показывают, что другие переходы, разрешенные по симметрии, значи-
значительно слабее рассматриваемых здесь переходов [4,29].
Члены в квадратных скобках в выражении D.34) легко вы-
вычисляются. Так, в Si и GaP долины находятся вдоль направле-
направлений <Ш0)> и Для них в соответствии с этими направлениями тен-
тензор |i будет иметь параллельные и перпендикулярные компо-
компоненты. Для рассеяния при £-конфигурации —е, || [ПО] и ег II
[НО] мы нашли, что квадратная скобка в выражении D.34)
равна (|i.. — |i.)/V6-B германии имеются четыре долины вдоль
Направлений <Ш>- Переход между уровнями, расщепленными
долинно-орбитальным взаимодействием, имеет симметрию Т2-
Для е\ К х и е2\\ у квадратная скобка равна (nt — l*i)/3 [4.33a].
196
Глава 4
В 6tf SiC имеются три долины. Они находятся вдоль линий
ML в центре прямоугольных граней зоны Бриллюэна для гекса-
гексагональной решетки. Для рассеяния при ^-конфигурации
[(хх), (уу), (ху)] квадратная скобка равна (цхх— \\.УуIл/&,
Здесь ось г направлена вдоль гексагональной оси, ось х перпен-
перпендикулярна уже упомянутой грани зоны, ось у параллельна этой
грани. Таким образом,
da (ISA ISE)
d&
dc(\SA, \ST2)
|i±)
для Si, D,35a)
для Ge, D.356)
da {ISA, ISEn)
для 6tfSiC. D.35в)
Кроме того, должно наблюдаться упругое (релеевское) рассея-
рассеяние света с поперетным сечением
"jo" I ~.— ] ПЖ12Ц , D.ООГ)
где р,= ej-[j4p/f*('>]-е2. Дехлер и др. [4.35] вычислили d<r/dQ
согласно уравнению D.356) для Ge и получили величину, рав-
равную 1,4-10~24 см2/ср для случая рассеяния света, обусловленного
переходами между уровнями, расщепленными долинно-орби-
тальным взаимодействием. Использовалось излучение лазера
с длиной волны 2,1 мкм.
4.2.4. Теория комбинационного рассеяния света,
обусловленного переходами между акцепторными
уровнями, в приближении эффективной массы
За исключением замечания Райта и Мурадяна [4.32], во-
вопросы теории рассеяния света, обусловленного переходами ме-
между акцепторными уровнями, по-видимому, в литературе не рас-
рассматривались. Здесь мы опишем в общих чертах такую теорию.
Начнем с матричного элемента (т\Ж\п): определенного вы-
выражением D.32). Выражения для коэффициентов D сравнитель-
сравнительно просты, если волновые функции /-состояния преобразуются,
подобно произведению функций р-тнпа на спиновые волновые
функции со спином 7а- Матрица спин-орбитальцого взаимодей-
взаимодействия диагонализована в /my-представлении. Тогда матрица
" " ' аО D-36)
в этом представлении имеет ту же форму, что и матрица в ра-
работе Дрессельхауза и др. ([4.46], уравнение F2)), если заме-
Электроннае комбинационное рассеяние
197
нить в последней матрицу kak& на Sa& = l/2(e,ae2^ + elPe2a), Та-
Таким образом, детальная структура коэффициентов Оц зависит
от направления векторов поляризации фотонов ei и е2, но в об-
общем как внутри, так и между блоками будут иметься отличные
от нуля компоненты, представляющие мультиплеты с J = 3/э и
J = 7г.
Последнее утверждение справедливо только для части мат-
матрицы 5ар, след которой равен нулю. Рассеяние света с конечным
значением смещения частоты, связанное с полносимметричным
состоянием А\ (или Г[), не будет иметь места. Это можно было
бы показать, если заменить Sa$ на б^р. Тогда Т)ц примет форму
Dubjj-, и если это ввести в уравнение D.32) и использовать со-
соотношение D.39), данное ниже, то можно найти, что {п'\Ж\п)
пропорционально Ьпп\
Симметрия точечной группы есть Td, двойная тетраэдриче-
ская группа [4.471. Рассмотрим переход между акцепторными
уровнями 15p./,(Fg) и ISp,^ (TV) (фиг. 4.5). Симметрия наблю-
наблюдаемой линии в результате перехода между этими уровнями
будет либо Гз(£), например, при е, || [ПО] и е2 || [ПО], либо
Г) (Г9), например, при е1 \\ х я е2 ]| у. Огибающие функции Ff (т)
в выражении D.32) имеют компоненты, связанные с состоя-
состояниями 15, 3D и т. д., принадлежащими представлениям Га" или
Г* в обозначении Шехтера. Для оценки поперечного сечения
рассеяния предположим, что все функции Ff одинаковы. Такое
предположегше будет грубой оценкой для численного значения,
но отношения ап{Е)!ав(Т2) и оа(Е)/оа(Т2), которые можно по-
лучить из уравнений D.37а), D.38а) и D.386) в приближении
эффективной массы, будут точными. Определяя таким образом
О/у, как это описывалось выше, можно вычислить поперечные
сечения Е- и ^-компонент для переходов В и А, указанных на
фиг. 4.5. Для перехода В, предполагая, что это переход
lSp!/(r8+)^l5Pl/(r7+), имеем
da(E)
з VM й2 J '
1 apS [2ntffV
dQr
D.37a)
D.376)
Безразмерные величины 2m|L — M\/h2 и 2m].V|/fia определя-
определялись Дрессельхаузом и др. [4.461 и равны соответственно 2,25
и 9,36 для Si [4,48] и 25,9 и 33,7 для Ge [4.49]. Л-линия полу-
получается в результате расщепления при деформации состояния
с т.; =, ± 3/а и обусловлена переходом между состояниями
7 У 3 П
с ту = ±7г мулыиплета с
3/2. Поперечные сечения для
198
Глава 4
этого перехода равны
2m 'L ~
dQ,
D.38a)
D.386)
Полоса С, наблюдаемая в GaP [4.30, 4.31], была приписана
неразрешаемым переходам из основного состояния в выше ле-
лежащие связанные состояния [4.30]. Если бы для каждого из
этих состояний имелась одна огибающая функция, то она
должна была бы быть ортогональной огибающей функции ос-
основного состояния. Согласно выражению D.29), для каждого
состояния п имеется серия F" (г) огибающих функций; условие
ортогональности можно представить в виде
£$/^>?Л=6„„,. D.39)
/
Таким образом, в общем случав выражение в квадратной скобке
в уравнении D.32) с учетом D.36)
Pi
D.40)
2_,
ir
не будет равно нулю для п ф ri'. Действительное значение этой
величины зависит от конкретной формы огибающих функций
[4.47, 4.50—4.52]. Дать сколь-либо общую теорию интенсивно-
интенсивности рассеянного света, связанного с С-переходом, невозможно
без подробных расчетов для каждого конкретного кристалла.
4.2.5. Обсуждение
Общие черты рассеяния света, обусловленного переходами
между донорными уровнями, расщепленными долинно-орби-
тальным взаимодействием, по-видимому, хорошо понятны. Не-
Некоторые трудности представляют акцепторные переходы. При-
Приведенная здесь интерпретация перехода В предполагает нали-
наличие некоторых дополнительных данных. Если В-линия обуслов-
обусловлена переходом «15 -> 15», то по энергии она должна отстоять
на величину, равную энергии спин-орбитального расщепления
валентной зоны До, плюс поправка, связанная с различием эф-
эффективных масс в энергии связи двух состояний, и плюс по-
поправка, связанная с различием в энергии возмущения централь-
центральной ячейки. Мендельсон и Шульц [4.51] в приближении эффек-
эффективной массы рассчитали энергии для различных акцепторных
уровней в Si. Они предсказали для энергии связи основного со-
Электронное комбинационное рассеяние
199
стояния величину, равную 37,1 мэВ, и для энергии В-перехода
величину, равную 30,2 мэВ. Следовательно, на основании дан-
данных табл. 4.1 мы заключаем, что поправка на энергию возмуще-
возмущения центральной ячейки для основного состояния должна быть
равна 44,3—37,1 = 7,2 мэВ; различие в поправке на энергию
возмущения центральной ячейки должно составлять 30,2—22,7=
= 7,5 мэВ; тогда поправка на возмущение центральной ячейки
для состояния 5>/,(Г+т) должна быть равна 7,5 + 7,2 = 14,7 мэВ.
Данные для GaP могут также означать, что энергия возмущения,
центральной ячейки для верхнего уровня больше, чем энергия
возмущения центральной ячейки для основного состояния, и что
с возрастанием энергии связи акцептора она увеличивается для
верхнего уровня значительно быстрее, чем для основного со-
состояния,
Для В-линии был выдвинут другой вариант объяснения, ко-
который не требует такого большого различия в поправке на энер-
энергию возмущения центральной ячейки. Менчон и Дин [4.31] пред-
предположили, что спин-орбитальное расщепление может быть
уменьшено динамическим эффектом Яна-Теллера. Морган [4.53]
предположил, что В-линия есть обусловленное эффектом Яна-
Теллера крыло Л-линии. Экспериментальные данные недоста-
недостаточны для того, чтобы сделать выбор между этими объясне-
объяснениями. Требуется проведение дополнительных теоретических и
экспериментальных работ по акцепторным переходам.
4.3. Комбинационное рассеяние света
связанными электрон-фононными возбуждениями
В разд. 4.1 мы обсудили рассеяние света связанными LO-фо-
нон-плазмонными возбуждениями. Другие типы связанных воз-
возбуждений будут рассмотрены в данном разделе,
4.3.1. Теоретическое введение
Представленные ниже экспериментальные данные будут объ-
объяснены с использованием различных модификаций простой си-
системы, представленной на фиг. 4.8 и состоящей из двух связан-
связанных возбужденных уровней. Невозмущенная снетема имеет ос-
основное состояние |g), возбужденное электронное состояние \е)
с энергией возбуждения Ее и одцофононное возбужденное со-
состояние \р) с энергией Ео = fico0. Обычно более высокие колеба-
колебательные состояния фононов не будут учитываться. Переходы
в состояния \е) и \р) активны в комбинационном рассеянии
света. Матричные элементы для процесса комбинационного рас-
рассеяния евета, связывающие эти состояния с основным состоя-
состоянием, равны Те и Тв- Предполагается, что электроп-фоцопное
200
Глава 4
\Р)
\9>
Те
■Е =
Фиг. 4Я Система с двумя возбужденными состояниями, взаимодействующими
с помощью матричного элемента V.
взаимодействие входит в матричный элемент V для перехода
между состояниями \е) и \р) и это вызывает взаимное отталки-
отталкивание уровней Ее и Ео в положения Е±, которые определяются
как корни секулярного уравнения
(E0-E)(Ee-E)-V: = Q D.41)
(для простоты предполагается, что V не содержит комплексных
величин).
Для расчета ннтенсивностей, вместо того чтобы рассматри-
рассматривать соответствующие собственные состояния |±), значительно
удобнее использовать оператор функции Грина [4.54]
I, V Ее-г)
Интенсивность линий в спектре комбинационного рассеяния про-
пропорциональна
D.43)
Т,A\О(г)\1)ТЛ
I
(Для простоты мы предположим, что матричные элементы Те
и Т„ также не содержат комплексных величин.) Обратное пре-
преобразование матрицы в выражении D.42) легко выполняется,
и из D.43) получаем
1Ш
Полюсы в знаменателе выражения D.44) при Е = Е+ при-
приводят к дельта-функции. Интенсивность можно записать раз-
Электронное комбинационное рассеяние
201
личными способами, один из которых дает
D.45)
Последний множитель в выражении D.45) показывает, что ме-
между двумя амплитудами для перехода g—>e в спектре комби-
комбинационного рассеяния света имеет место интерференция, а имен-
именно между прямым переходом первого порядка с амплитудой Те
и непрямым переходом второго порядка q—t-p-*-e с амплиту-
амплитудой Tp(E — EQ)-*V.
Теперь обсудим пример, который впервые рассмотрел Фано
[4.55] и затем многие другие авторы в различных вариантах
(перечень ссылок приводится в работе Нитцана [4.54]), — взаи-
взаимодействие четкого (фононного) уровня р с (электронным) кон-
континуумом а(п). Для простоты предположим, что взаимодействия
каждого уровня континуума е с основным состоянием описы-
описываются одним и тем же матричным элементом Те и с возбужден-
возбужденным фононным состоянием одним и тем же матричным элемен-
элементом V. Тогда выражение D.44) все еще будет справедливым,
если произвести замену
(Ее ~ Z)
где
D.46)
есть невозмущенная функция Грина для электронного конти-
континуума. Величина
P(E) = ±\m{g(E + tQ+)} D.47а)
есть число электронных возбуждений в единичном интервале
энергий. Преобразование Гильберта для нее равно
R (Е) = - Re {g(E + i0+)} = PL(E- ЕеГ!=? $ Р(Я - ЯГ1 dE>,
D.476)
где Р обозначает «главное значение».
После того как сделаны эти замены в выражении D.44), взяв
мнимую часть, можно получить следуюшее выражение:
1{Е):
o (Ef
D.48)
202
Глава 4
Знаменатель в D.48) показывает, что электрон-фононное взаи-
взаимодействие с матричным элементом V определяет ширину фо-
нонного возбуждения 2nV2p(E). Вследствие взаимодействия оно
смещается и теперь имеет максимум при Е = Ео -J- V2R(E). Вы-
Выражение D.48) можно записать в том виде, в котором оно будет
эквивалентно выражению, полученному Фано, а именно:
D.49а)
где
Е - Ео - V*R (Я)
л V*p (E)
V (Тр/Те) + V*R (Е)
пК'р (Е)
D.496)
D.49в)
Выражения D.48) и D.49) отличаются от выражений, которые
получены в работе Фано [4.55]. Мы включили плотность со-
состояний р(Е), так как волновые функции нашего (квази-) кон-
континуума |е) нормированы к единице, в то время как в работе
Фано они нормированы дельта-функцией [4.56]. Форма линии,
получаемая из D.49), особенно важна, когда континуум на-
настолько широк, что зависимостью р и R от энергии можно пре-
пренебречь. Тогда q—-константа и б отражает изменение интенсив-
интенсивности рассеяния с изменением энергии.
Если р{Е)ф 0 при Е = Еа = Е0— V{TP/T.), или, что экви-
эквивалентно, в = —q, то функция спектрального распределения
1(Е) будет испытывать «антирезонанс» при Е = Еа; в таком
случае будет иметь место точная взаимная компенсация между
амплитудами Те и ТР(Е — Ео)-1 у.
4.3.2. Интерференция рассеяния на фононах с рассеянием
на междузонных переходах дырок в кремнии
В сильно легированных образцах кремния р-тнпа линии
/-О-фононов, активных в комбинациоином рассеянии света, силь-
сильно уширяются и искажаются вследствие взаимодействия со сво-
свободными дырками [4.57]. Сердсйра и др. [4.56, 4.58] подробно
изучили этот эффект и обнаружили рассеяние, обусловленное
континуумом и интерференцией Фапо между линией LO-фонона
и этим континуумом. В качестве примера на фиг. 4.9 приведены
результаты их исследований. Точками представлены эксперимен-
экспериментальные данные. Сплошные линии получены в результате рас-
расчета по формуле D.49а) при условии, что R(E) есть константа,
Г S3 nV2p = 8,24 см-1 и параметр w — п равен Е~Еа— Vя/?.
Электронное комбинационное рассеяние
203
Фиг. 4.9. Спектры комбинационного рассеяния для p-Si при комнатной тем-
температуре [4.56. 458],
Для удобства наблюдения кривые смещены в вертикальном направлении относительно
друг друга. Точками представлены эксверимевтальвые данные; сплошные кривые получены
расчетом с помощью выражевия {4.40а) при востоянных Р п Ч. р = 1,6.Ш ° см .
Длины волн возбуждающего излучении: /—4545 А; 2—4880 А; 9—5145 А; 4—5682 Ач
5—6471 А.
Наблюдаемое смещение частоты есть Ш= + V2R= —4,9 см~1
для всех кривых.
Кривые, представленные на фиг. 4.9, имеют различную форму
вследствие того, что параметр q зависит от длины волны излу-
чения лазера ~ он изменяется от значения, равного 7,0 при
4545 А, до 2,0 при 6471 А. Сердейра и др. нашли, что зависимость
параметра q от энергии фотонов лазера (El) хорошо аппрокси-
аппроксимируется посредством q ~ C,3 эВ — El)~1, за исключением зна-<
чения величины q при 6471 А. Они предположили, что такая за-
зависимость" обусловлена резонансным поведением отношения
(Тр/Те) ~ C,3 — EL)~l для энергий фотонов вблизи критической
точки Е'о при 3,3 эВ.
204
Глава 4
Согласно выражению D.49в), более точное рассмотрение
этих линий наводит на мысль, что q — R[np)~[ = (T0ITe) (nVp)-1
должно изменяться как C,3 — EL)~]. Поправка — /?(.-тр)-' до-
достигает численного значения -]-0,59. Автор перенес данные Сер-
дейры и др. [4.58] на новые кривые с этой поправкой и нашел,
как и следовало ожидать, действительно лучшее согласие.
Природа электронного континуума экспериментально подроб-
подробно не исследовалась. Уместно отметить теоретические работы
Милса и др. [4.59], а также Райта и Балканского [4.60]. Пред-
Предполагается, что континуум возникает вследствие почти верти-
вертикальных переходов между заполненными состояниями зоны лег-
легких дырок и незаполненными состояниями зоны тяжелых дырок
[4.56]. При условии что уровень Ферми расположен примерно
на 100 мэВ ниже потолка валентной зоны, что соответствует
концентрации дырок порядка 10го см-3, и при известной боль-
большой анизотропии в расстоянии между зонами, можно объяснить
существование очень широкого сплошного спектра от почти ну-
нулевого значения до энергии до значения энергии, примерно рав-
равного энергии Ферми [4.56].
Сердейра и др. [4.561 дали приблизительное значение вели-
величины параметра Г = л0р, появляющегося в выражениях D.48)
и D.49). Проведем оценку этой величины. Матричный элемент
У=(е\Нэл..фои\р) примерно равен du(g\u\p)/a, где d0 ~ 29 эВ—
деформационный потенциал валентной зоны, « — смещения ато-
атома из положения равновесия и а —постоянная решетки. При
низких температурах мы имеем | (g\u\p) |2= hftMNiui)-1, где
fioji = £q, M — приведенная масса элементарной ячейки, N —
число элементарных ячеек. Приближенно плотность состояний
есть р ~ {Nh~Ni)l\i-, где JVft и Nt — число дырок в верхней и
нижней валентных зонах соответственно и и. — энергия Ферми.
Таким образом,
4D)(^) D.50)
Предположим, что для образца, спектры которого представлены
на фиг. 4.9, (Nh — Ni)/N = 1,5- Ю~а, и если принять и. = 0,1 эВ,
то получим знамение Г ~ 3 мэВ = 24 см~~', которое в три раза
больше экспериментального значения. Оценка Сердейры и др.
[4.56] была больше экспериментального значения в пять раз.
Сердейра и др. [4.56] выполнили дополнительные измерения
в образцах с различной концентрацией при 77 и 300 К, а также
исследовали спектр при деформации образцов (которая рас-
расщепляет состояния у потолка валентной зоны).
Совсем недавно они наблюдали интерференцию Фано между
электронным континуумом и локальными оптическими фонон-
ными модами примесных атомов бора в Si [4.61].
Электронное комбинационное рассеяние
205
4.3.3. Взаимодействие оптических фононов
с нейтральными донорами в GaP
Используя методы комбинационного рассеяния света и фото-
фотолюминесценции, Дин и др. [4.62] наблюдали локальные LO-фо-
нонные моды в кристаллах фосфида галлия, содержащих ней-
нейтральные доноры. Их данные по комбинационному рассеянию
света представлены па фиг. 4.10. Локальные моды, обозначенные
стрелками, расположены по энергии на 0,8—1,6 мэВ ниже от
невозмущешюго фоиоиа (LO(F)) с £0 = 50,2 мэВ. Локальные
моды обусловлены связанными состояниями, которые обра-
образуются в случае, когда «свободные», т. е. описываемые? плоскими
волнами, фононные состояния связываются с пространственно-
локализованными электронными возбуждениями, имеющими не-
несколько большую энергию. Для данных, представленных на
фиг. 4.10, предполагается, что комбинационное рассеяние света
обусловлено переходами между донорными состояниями 15(Л,)
и 2Р [4.62]. Согласно нашему обсуждению, проведенному в
п. 4.1.3, предполагается, что чистый допорный переход 15 —> IP
С;
1
53
4
Эффективная
ширина щем
—1 h-
Т=Ж
LOiT
s
те 1.
1 л
с ' / ■
Sfl ;■,/ ;
JIV
1 1 1 1
47 48 49
Энергия, мэВ
50
Фиг. 4.10. Локальные фононные моды, обусловленные нейтральными донор-
донорными центрами Sn, Те и S в GaP [4.62],
Концентрации доноров лорядка 10 ем . Длина волны возбуждающего лазерном излу-
излучения 5145 А.
206
Глава 4
дает сравнительно слабое комбинационное рассеяние. Параметр
Г# для этого случая приблизительно равен нулю. Вопросы элек-
трон-фононных и экситон-фононных связанных состояний рас-
рассмотрели в недавно опубликованном обзоре Левннсон и Рашба
[4.63].
Теперь опишем в общих чертах теорию связанных локальных
фонониых мод в кристаллах GaP л-типа. Мы слегка видоизме-
видоизменили оригинальное обсуждение, данное в работе Дина и др.
[4.62], чтобы лучше приспособиться к обозначениям данного
раздела.
Электрон-фононная связь обусловлена фрёлиховскнм взаи-
взаимодействием. Гамильтониан взаимодействия можно записать
в виде
*
Здесь е* = ило[Муое.^(ез— e«)/DnES)]'/i — эффективный заряд
фонона, уже использовавшийся в выражении D.27), у0 —объем
элементарной ячейки, ^ и ijjf — огибающие электронные функ-
функции начального и конечного состояний доноров, Uk определялось
выражением D.216). Возбужденные фононные состояния, обо-
обозначенные в пп. 4.3.1 и 4.3.2 как \р), теперь являются серией
(почти) вырожденных состояний Щ. Матричный элемент D.51)
перехода между однофононным возбужденным состоянием с вол-
волновым вектором k, обозначенным \k), и возбужденными состоя-
состояниями донорного перехода IS -*■ 2Pj (j = х, у или г), обозна-
обозначенным \е)), равен
(ej | ^
1Щ
Аяее* I
ft F, №
2MNIOJ ik
D.52)
где функция Fj(k) есть интеграл в квадратных скобках в вира*
жении D.51). Она удовлетворяет условию
D.88)
Здесь ао — боровский радиус донора и k, — /-я составляющая
вектора к в декартовых координатах.
Запишем выражение D.52) в виде
D.54а)
Электронное комбинационное рассеяние
207
где функции
ражением
нормированы к единице и определяются вы-
I
Если пренебречь дисперсией фонона, то выражения D.54а)
и D.546) имеют простое объяснение; состояния \k) вырожде-
вырождены. В частности, их линейная комбинация, а именно \pj)ss
^Z%(&)|&), связывается с состоянием ]ej) электронного
к
перехода 15 —* 2Pf.
фОН| pft—V. D.55)
Все другие линейные комбинации, ортогональные состоянию
\р}), не будут связаны с состоянием \ej). Их энергия остается
■равной Ео = Ьиц. Таким образом, мы возвращаемся к эффектив-
эффективной двухуровневой связанной системе, представленной на
фиг. 4.8. Здесь i|)/(fe)—волновая функция фонона в fe-простран-
стве. Уравнение D.41) справедливо н для возмущенных значе-
значений энергий, а именно
(EO-E)(ES-E)=V\ D.41)
и Ее = Е3р — Еи. Параметр Vs определяется выра-
56 е* ( I \\ ^
где Еа =
жением
V2--
6561 я0
D.56)
Теперь Ео меньше Ее, и, за исключением случая донорной
примеси Sn в GaP, Ео довольно сильно отличается от Е„, так
что во втором порядке теории возмущений
ЕВ±=ЕО — Е.. = \'-i{Es — Eg) D.57)
является хорошим приближением для энергии связи, если в ка-
качестве решения уравнения D.41) выбрать значения с меньшей
энергией. Собственные функции в основном будут собственными
функциями фононного состояния \pj). В действительности вы-
выражение D.57) не совсем точное, поскольку оператор U/, в вы-
выражении D.51) может быть как оператором рождения, так и
оператором уничтожения фонона. Более точное выражение для
Ев во Втором порядке теории возмущений в выражении D.57)
содержит вклад виртуального перехода в двухфононное воз-
Глава 4
бужденное состояние с энергией 2£0 + Ее [4.62]:
2E.V2
D.58)
Дин и др. сравнили экспериментальные величины Ев для до-
норных примесей S, Те и Si с величинами Ев, вычисленными по
формуле D.58). Для случая донорной примеси Sn им пришлось
использовать результат теории связанных мод в соответствии
с выражением D.41), с поправкой по теории возмущения для
двухфононно возбуждаемого электронного состояния с энергией
2Е0 + Ее. Расчетные данные для Ев не совпадают с эксперимен-
экспериментальными. И это не удивительно, так как в действительности
в выражении D.58) необходимо провести суммирование по всем
возбужденным электронным состояниям е.
Гамильтониан для комбинационного рассеяния света как для
обычного £0-фонона, так и для связанного состояния \pj)
можно получить из выражений D.21) и D.22) с незначитель-
незначительными изменениями. Рассмотрим конфигурацию рассеяния света
с поляризацией (ху). Тогда для LO-фононов в кристаллах со
структурой цинковой обманки отличными от пуля производ-
производными поляризуемости являются лишь d%xyjduz и д^У1дЕг. Про-
Продольное электрическое поле и смещение LO-фоиопа связаны
следующим образом:
4пе*£/й
Е' = —^Г- <4-59>
Гамильтониан для процесса рассеяния равен
diia-r- -It-iE — 1
где
х1
ехр (- Ш) x'U.f, D.60)
ди.
дЕ,
Матричный элемент Vq для перехода из основного состояния
в невозмущенное состояние LO-фонона с волновым вектором q
равен
а для перехода в связанное фононное состояние | pj) = £ ^/ (к) I k)
равен
D.62)
Электронное комбинационное рассеяние
209
Таким образом, отношение интенсивностей линий комбинацион-
комбинационного рассеяния света для всех доноров Na = tidNvo равно
После выполнения суммирования i\>t(qJ по / расчет выполнен
в приближении ^ = 0. Это возможно, так как q <£; а~1.
Выражение D.63) в 32/7 раз больше, чем результат Дина
и др. [4.62]. Правильность отношения D.63) подтверждена не-
независимым расчетом [4.64].
Баркер [4.65] показал, что можно понять многие свойства
локальных £0-фононных мод, если использовать феноменоло-
феноменологическое приближение. Атом донора заменяется диэлектриче-
диэлектрической, сферой, погруженной в полярную среду. Резонансная ча-
частота такого диэлектрика близка к резонансной частоте среды.
На этих частотах происходит взаимодействие через электриче-
электрическое поле фонона, которое поляризует диэлектрик. В резуль-
результате образуется связанная фононная мода. По существу, теория
Баркера согласуется с микроскопической теорией Дина и др.
[4.62], если предположить, что плотность заряда перехода
~ei|if(r)*i|],(r) в выражении D.51) есть константа для г, мень-
меньших, чем радиус сферы, который порядка аа, и равна нулю для г
больше этого радиуса.
4.3.4. Связанные состояния возбуждения,
обусловленного переходом между уровнями,
расщепленными долинно-орбитальным
взаимодействием, и фононом
Ег-симметрии в SiC.
В п. 4.2.2 обсуждалось комбинационное рассеяние света, об-
обусловленное переходом £г-симметрни между уровнями, расще-
расщепленными долинно-орбитальным взаимодействием, в кристаллах
fitf.Si'C. легированных азотом. При концентрации доноппи
4-1018 см3 Я2-линия с энергией 13 мэВ имела полуширину (по-
(половина ширины линии на половине высоты), равную 1 мэВ
[4.29]. «Хвост» этой линии с высокоэнергети^еской стороны об-
обнаруживает антирезонанснос взаимодействие с фононом ^-сим-
^-симметрии. Энергия этого фонона 18 мэВ. На фиг. 4-7 это взаимо-
взаимодействие едва заметно. Оно проявляется как спад со стороны
высоких энергий фононного пика, но оно хорошо видно на
спектре-с более высоким разрешением, опубликованном в ра-
работе Квлуэлла и Клейна [4.29]. Аналогичный эффект взаимо-
взаимодействия между фононной линией с энергией 22 мэВ и широкой
210
Глава 4
0 10 20 30 40 SO SO 70 80 90
Энергия, мэВ
НО № 130
Фиг. 4.!t. Спектры комби наци о нтюго рассеяния света для 6// SiC; N
(б-Ю1» см~а) при 9,8 К [4.29].
При конфнгурацни рассеяния z (ху) г актинны только возбуждения Ei-сямметрни. При кон-
конфигурации рассеяния z {XX} z активны возбуждения А,- в Ej-сиыметрин. Пра энергиях 1В в
33 из В аидны линии рассеяаия, иллюстрирующие форму ноитура Фэно, возникающего
вследствие интерференции рассеяния фоноиани £,-сикметрии с непрерывным спектром
электронного рассеяния. При анергии ?25 мзВ видна линия, соответствующая связанной
ЬО-фонон'ПлазмонноВ моде- Длина волны возбуждающего излучения 5Т15А.
полосой, обусловленной переходом между уровнями, расщеплен-
расщепленными долинно-орбитальным нзаимодействием, наблюдался а по-
политипе \5R кристалла SiC [4.29].
На фиг. 4.11 представлен спектр комбинационного рассеяния
света в кристалле QHSiC, легированного азотом с концентра-
концентрацией 6-Ю'9 см~3 [4.29]. Такой образец обнаруживает металли-
металлическую проводимость, и, как уже обсуждалось в разд. 4.1, в нем
наблюдается широкая £О-фонон-плззмонная мода с энергией
приблизительно 125 мэВ. При энергиях примерно 18 и 33 мэВ
легко видеть линию рассеяния, иллюстрирующую форму контура
Фано, возникающего вследствие интерференции рассеяния фо-
ионами ^-симметрии с непрерывным спектром электронного
рассеяния.
Колуэлл н Клейн [4.29] сопоставили свои данные в диапа-
диапазоне 10—25 мэВ в образце с концентрацией 4-10'8 см-3 с теоре-
теоретической кривой спектрального распределения интенсивности,
используя D.48). Они предположили, что р(Е) имеет лоренцеву
форму с центром при 13 мэВ. Использование этого уравнения
в данной ситуации является сильным упрощением, поскольку
в нем не учитывается ни локальный характер связанных мод,
ни одновременное наличие комбинационного рассеяния невы-
невырожденными фононными модами.
Рассмотрим подробно более точную теорию. В основном она обобщает
положения, изложенные в пп. 4.3.1 н 4.3.3. Хотя детали электрон-фононного
взаимодействия в кристаллах 6// SiC специфичны, это обсуждение пригодно
и для более общих случаев.
Как указывалось выше в пояснении к формуле D.34), фактически
имеются три долины в зоне проводимости кристалла 6Н SiC- Рассмотрим
состояния примесных центров соответственно при At. Аг я ka. Будем предпо-
предполагать, что они взаимодействуют С фононами ^-симметрии (Для которых
Электронное комбинационное рассеяние
211
.' смещение из положения равновесия есть и) и тем самым изменяют свою
?; энергию на величину
W bE (ft") =° - ЪЕ (fe3> =° &£, и 641
где 6Е ==■ udfa, d — соответствующий деформационный потенциал
Если предположить, что огибающие функция для *;(r) fl выражении
D 29) не зависят от индекса долины / (и от л), то в приближении эффектив-
эффективной массы волновые функции для состояний, расщепленных долинно-орбнталь-
ным взаимодействием, в случае 15(.4)-уровня равны
V3
в в случае 15(Я()-уровня равна
(#!
+*»)/(<■)
I
D.6ба)
D.656)
Теперь f(Л—функция, медленно меняющаяся на расстояниях порядка а (по
Крайней мере в приближении эффективной массы). Для смещений фононов
&.. и\т) она также медленно меняющаяся функция, и из выражении D.Ь4> и
'т' D.65) имеем
Введем U,, исходя ив формулы D.216). с помощью выражения
*?"; и найдем
D,66а)
D.666)
для огибающей функции f(r) IS-состояния.
Используя пыпижрний D-fill. мы найаем. что лля взаимодействия фонон-
« кого "состояния Яг-снмнетрни, имеющего волновой вектор ft, и возбужденного
> состояния £(, расщепленного долинно-орбитальным взаимодействием, справед-
~У' лвво выражение
;г Перепишем >то выражение в форме, подобной D.54):
Д (*)«-!.
212
Глава 4
Если аппроксимировать частоту и* величиной (Оо = (Оц^о, то получ
И{к) =
/г_Л
D.68Й)
Связанные моды можно описать, используя обобщение Функции Грина,
определяемое соотношением D.42). Опять допустим, что 0{г) — {Н — г)~\
где теперь (е | 381 е) = Я& {к\Эв\к)=> Ek = ba>k и (е\Эв\Щ=*{к\Эв\в) =
= Vff (ft). Тогда найдем, что
,-(e|O|e)-
Ek — z
D.69а)
D.696)
D.69в)
е - К~и ~> K~k' "I
Амплитуда линии ТР будет описываться соответствующим матричным эле-
элементом 3@u~%Uq для q « 0. Таким образом, используя уравнение D.43),
получаем следующее выражение для спектрального распределения интенсив-
интенсивности при комбинационном рассеянии:
Ьии'
2Я (А) Я (к1) ge
Этот результат справедлив для одного электронного центра. Если имеется Л'л
невзаимодействующих центров, то второй член в выражении D.70) необхо-
необходимо умножить на Nit.
Выражение D.70) упростится, если пренебречь дисперсией фонона и поло-
положить Ем = Ео. Тогда получаем
ЦБ)
= 1га|-
№ @) T0Te + Я (ОJ
, - г)]
- г) - V2
D.71)
Первый член в формуле D.71) описывает процесс рассеяния невозмущенным
фононом с энергией Ец, и интенсивность такого рассеяняя равна интенсивно-
интенсивности рассеяния в иелегированном кристалле, умноженной на величину
[1 — JiW/@J]. Этот множитель является поправкой к интенсивности фонон-
ного рассеяния. Второй член Этой формулы дает интенсивность рассеяния
света связанными модами.
Электронное комбинационное рассеяние
213
Второй член в формуле D,71) рапен ранее полученному выражению D.44),
умноженному на Na, с заменой Тр на Н@)Те. После этих замен можно сде-
сделать те же преобразования, которые были выполнены с выражением D.44).
В частности, если электронный уровень Е„ однородно уширен и имеет плот-
плотность состояний р(£), то соответствующим образом замененный вариант вы-
выражения D.48) заменит второй член п формуле D.71), и Mb] получим
I (Е) = пТ% [1 - NdH (ОJ] б (Е - Ео) +
р (Е) \е» - Е - VH @) Щ2
4-itV Г2 L 'eJ
"I" n-"d' e [Ea _ E + V2R {E)y + atytp {E)i •
При конечной концентрации доноров (меньшей, чем эхо необходимо для
перехода металл — диэлектрик) энергия перехода между донорными уровня-
уровнями Ее неоднородно уширена вследствие флуктуации потенциала, вызываемых
изменением концентрации. Если Ndp(Ec)aEs представляет собой число доно-
доноров с энергией возбуждения между Ёс и Es -f d£s, то выражение D.71) при-
приобретает вид
/ (£) = я7^[1 - NdH (ОJ] Ь (£ - Бо) +
f f [(Ео ~s)Tl- 2VH @) Т^„ + Я (ОJ Т\ (Ее - г)] 1
D.73а)
D.736)
Уравнение D.736) получено путем вычисления D.73а) в его полюсах и при
условии, что р(£е) достаточно хорошо определена.
За исключением лоренцевой функции р(Е), уравнения D.72) и D.73)
дают различные результаты. Колуэлл и Клейн [4.29] для сопоставления с
зкеп ер и ментальным и данными в случае кристалла SIC : N с малой концентра-
концентрацией азота использовали второй член уравнения D,72) с лоренцевой функ-
функцией &{Е) н пренебрегли первым членом. Чтобы экспериментально определить,
является ли данный электронный переход однородно или неоднородно уши-
уширенным, необходимо получить еще более обширные данные и повторить ма-
машинные вычисления для различных концентраций меньших и больших того
значения концентрации, при котором происходит переход металл — ди■
электрик.
4,4. Спектры одночастнчного рассеяния
4.4.1. Введение
В пределе малых q электрон, движущийся со скоростью v,
будет рассеивать фотон вследствие эффекта Доплера. Смещение
частоты будет равно q-v. Следовательно, для газа свободных
214
Глава 4
невзаимодействующих электронов спектр рассеяния света дол-
должен представлять собой суперпозицию таких линий, смещенных
в результате эффекта Доплера. Результатом такого обсужде-
обсуждения, а также ранее упомянутых уравнений D.8) н D.10) яв-
является следующее выражение:
Л
(Ра
dadQ)
datdQ
D.74)
Отклик простого электронного газа на процесс рассеяния
1 —»2 можно трактовать на основе гамильтониана рассеяния
в виде (ej ■ еа) • TuAiA^p4 ехр (— Ш), полученного в D.5). Газ сво-
свободных электронов должен реагировать на это возмущение, при-
причем поперечное сечение описывается в виде D.74). Однако если
учитывать электрон-электронное кулоиовское взаимодействие
в рамках ПСф, то продольное электрическое поле, связанное
с pQ, подавляет этот отклик. В результате такого рассмотрения
выражение D.74) нужно было бы умножить на \e(q, ш)]~^, ко-
которое значительно меньше единицы для значений д, меньших
волнового вектора экранирования qs.
4.4.2. Рассеяние, обусловленное флуктуация ми спиновой
плотности
В твердом теле можно использовать некоторые эффекты зон-
зонной структуры, чтобы описать поведение электронного газа под
действием внешних полей излучения А\ и А\ несколько иным
способом, отличным от флуктуации плотности заряда. Такой
механизм описывается оператором флуктуации спиновой плот-
плотности
ff(q)-
D.75а)
который, по существу, является фурье-образом оператора спи-
спиновой плотности о (г). Связь с р? можно установить следующим
образом. Если ось г выбрать осью квантования спина и если
взять след по спиновой переменной o(q), то мы найдем, что
S р о (q) = £ (р?А — р^), D.756)
где р?А и р + — операторы флуктуации плотности электронов со
спином верх н со спином вниз. Так как общая флуктуация элек-
Электронное комбинационное рассеяние
215
тройной плотности Рд = Ра. ~Ь Poi в этих процессах остается не
возбужденной, то флуктуация спиновой плотности, описываемая
выражениями D.75а) или D.756), не будет экранироваться
дальнодействующим кулоновским взаимодействием.
Подробная теория процесса рассеяния света, обусловленного
флуктуацией спиновой плотности, впервые была дана Гамильто-
Гамильтоном и Мак-Уортером [4.66]. Механизм взаимодействия с a(q)
аналогичен механизму, рассмотренному Яфетом [4.67] в данной
им теории комбинационного рассеяния света с переворотом
спина в магнитном поле, но динамика процесса рассеяния в этих
двух случаях различна. В указанной теории делалось предпо-
предположение, что материал имеет простую зонную структуру [4.68].
Этот эффект основан на смешивании спин-орбитальным взаи-
взаимодействием трех р-состояний у потолка валентной зоны для
получения состояний со смешанным орбитальным характером.
В таком случае может происходить рассеяние с переворотом
спина, когда поле световой волны вызывает соответствующие
виртуальные переходы между зоной проводимости и валентной
зоной. Этот эффект имеет место и для электронов, и для дырок,
но мы ограничимся рассмотрением только электронов. Здесь мы
обращаем внимание лишь на физическое представление про-
процесса рассеяния. Для более детального обсуждения теории и
для подробного сравнения с экспериментальными данными ре-
рекомендуются работы [4.8, 4-66, 4.11, 4.13].
Для понимания механизма флуктуации спиновой плотности
сначала рассмотрим спин-орбитальное взаимодействие
D.76)
в рамках теории возмущений. Рассмотрим рассеяние электрона
в зоне проводимости с волновым вектором к и спиновым состоя-
состоянием а в состояние зоны проводимости с волновым вектором
k -I- q и спином р в рамках теории возмущений третьего порядка
с учетом членов вида р-А в D.1) для Жэл.-нэл, использованных
дважды, и для Жсп.-орб, использованных один раз. Пусть век-
векторы поляризации падающего и рассеянного света ei и ег на-
направлены вдоль осей х и у и пусть состояния зоны проводимо-
проводимости будут s-типа и их будем обозначать как |scc> н |sp>; допу-
допустим также, что состояния валентной зоны преобразуются как
х, у и г, и состояния дырок в валентной зоне обозначим чертой
над символом: )жа> и т. д. Пренебрежем зависимостью от вол-
волнового вектора междузонных матричЕшх элементов импульса р
и, на время, ширины запрещенной зоны Ео. Спин-орбитальное
взаимодействие Жсп.-орв вызывает переходы между состояниями
дырок [4*69]. Матричный элемент уа$, использованный Блумом
216
Глава 4
[4.9], а также Гамильтоном и Мак-Уортером [4.66], равен
X
(sa | Рх | *Р, sa, sP) (sft, sa, s$ | Э8СП|.орб | у a, sa, s$) (ya, sa, sPj py |
(set| p9 | ij$, so, sP) ((/p\ sa,
| xa, sa, sP) (Й, sa,
D.77)
Мы использовали приближение щ2 = «и и соотношение
(■ф| Жсп.-орс \уа) = — (ур[Жс„..орб |ха) = — ^-(а[ «х.|р), D.78)
где До — спин-орбиталыюе расщепление (фиг. 4.5). Кроме того,
допустим, что Р s= i(x \ рх \ s) = —/(,? | ру j //> и т. д. Тогда
D.79)
Выражение D.79) спразедливо в пределе i0 <^; £"G.
Основной результат, полученный Гамильтоном и Мак-Уорте-
Мак-Уортером [4.66] для рассеяния, зависящего от спина, в случае зонной
модели Кейна [4.68] имеет вид
где
В = -
D.80а)
D.806)
плюс члены, анизотропные по к, которыми мы пренебрегаем.
Энергия Ei представляет собой энергию, отсчитанную по верти-
вертикали между зоной проводимости и i-й валентной зоной с вол-
волновым вектором к. Для зоны тяжелых дырок г = I, для зоны
легких дырок £ = 2 и для зоны, отщепленной спин-орбитальным
пзанмодействием, i = 3.
Множитель ( в выражении D.80а) отсутствует в аналогич-
аналогичном выражении для не зависящей от спина части ^ле (см. ниже
выражение [4.89]). Его наличие означает, что два типа рассея-
рассеяния не могут интерферировать.
Если положить Ег = £, = Eg и Е3 — Eg + До, то выраже-
выражение D.80) станет равным
if 2Лш, BЕ^Д0 + Ag) [(е, X еа) ■ (а | о | р)]
(8)
Электронное комбинационное рассеяние
217
Выражение D.81) сводится к D.79) для малых До и при соот-
соответствующей конфигурации векторов поляризации падающего
и рассеянного света.
Если переписать уравнения D.79) —D.81) в виде
„ ,•„, | a. v" p I In I п [Й\ /Л. Й9я\
где ось 2 направлена вдоль et X е2, и если теперь ввести опера-
операторы рождения и уничтожения Cl+q, „ и С*, р, то мы найдем, что
оператор перехода М, матричные элементы которого суть уа$,
можно записать в виде
= ( Z
k, a,
D.826)
Используя очевидное обобщение определения D.4) для р„, най-
найдем
Гамильтониан рассеяния в соответствии с выражением D.82)
равен
3t = i\u | е, X е21 AjA+e-M(р|?л - prt) + э. с. D.83)
Поперечное сечение рассеяния в телесный угол dQ, в частотном
интервале dm равно [4.9]
ш). D.84)
Это выражение можно сравнить с D.6) и D-7)-
При вычислении выражения D.84) используется флуктуа-
ционно-диссипационная теорема, и в рамках ПСФ кулоновское
взаимодействие не дает вклада, поскольку электростатический
потенциал, индуцированный зарядом — р^, компенсировался
электростатическим потенциалом, индуцированным зарядом рч+.
Результат равен
где функция F определялась в D.8). К выражению D.85) мы
должны добавить вклад, обусловленный не зависящими от спина
процессами D.19) [см. далее выражение D.104)].
Когда нельзя пренебречь зависимостью ширины запрещенной
зоны от волнового вектора k, то у\Р в D.85) заменяется более
сложной суммой по k [4.66]. Это будет влиять на форму спектра
в резонансных условиях.
Поскольку F является функцией отклика для газа невзаимо-
невзаимодействующих электронов, lni(F) удовлетворяет правилу сумм
■21S
Глава 4
[4.3, 4.4], которое приводит для низких температур к следую-
следующему результату, аналогичному выражению D.14):
(О
rV-KrI
N
D.86)
о
Для случая вырожденного газа электронов при малых q инте-
интеграл в левой части выражения D.86) равен 2qvf \ (d2RfdadQ) йш/3.
о
Следовательно, интегральная эффективность рассеяния равна
Последний мжнкитель (bq/mvf) представляет собой относитель-
относительное количество электронов, которым по принципу Паули разре-
разрешено участвовать в рассеянии. При fico, < Ег оценка по порядку
величины дает
тНГйг)- <4-87)
ДО
в пределе малых До [4.8] и
D.88б)
в пределе больших До.
Мурадян [4.12] сравнил рассчитанные значения поперечного
сечеиия рассения, обусловленного флуктуациями спиновой
плотности и плотности заряда, с измеренными значениями ин-
тенсивностей в кристалле GaAs с различной концентрацией но-
сятелей и для различных конфигураций векторов поляризации
падающего и рассеянного света. При малых концентр алиях сво-
свободных носителей и высоких температурах, когда q > qs, экра'
нирование не имеет места и доминирует процесс рассеяния, об-
обусловленный флуктуацией плотности заряда. При q < qs доми-
доминирует рассеяние, обусловленное флуктуацией спиновой плот:
ности, за исключением области высоких температур, при кото-
которых сравнимый вклад в рассеяние обусловлен механизмом флук-
флуктуации плотности энергии. ■
4.4.3. Рассеяние света, обусловленное флуктуацией
плотности энергии
Этот механизм, впервые предложенный Вольфом [4.70, 4.5],
связан с непараболичностью энергетических зон в полупровод-
полупроводниках. Используя упрощенную модель энергетических зон Кейна
[4.68], Гамильтон и Мак-Уортер [4.66] получили следующее
Электронное комбинационное рассеяние
219
выражение для не зависящей от спина части матричного эле-
элемента, описывающего процесс рассеяния фотона, сопровождае-
сопровождаемого рассеянием электрона из состояния с волновым вектором к
в k + q:
Ч*ъ = уЬч, D.89а)
где
D.896)
и где, за исключением сильных резонансных условий, которые
будут обсуждаться ниже, А зависит от к и не зависит от q
в пределе малых q
D.89в)
Здесь использованы такие же обозначения, что и в D.80); Ei,
Е2 и Еъ — энергии при к, взятые в вертикальном направлении
между потолком трех валентных зон и зоной проводимости.
В пределе малых щ тензор А в выражении D.89в) стано-
становится равным тензору (т/т*) для электронов. Если пренебречь
зависимостью А от волнового вектора к, результирующее возму-
возмущение электронной системы Ж пропорционально флуктуации
плотности pq. Как уже упоминалось в пояснении между выра-
выражениями D.7) и D.8), это возмущение принимает форму
н в рамках ПСф полный эффективный гамильтониан равен
5^эфф = Ж —■ бфнввелрд. В пределе малых q потенциал, вызывае-
вызываемый индуцированной плотностью заряда, удовлетворяет условию
физвед = — фввеши, ТЭК ЧТО ПрИ q, СТрвМЯщеМСЯ К НуЛЮ, Ж9фф
также стремится к нулю. Таким образом, флуктуации плотности
экранируются.
■ Если зависимостью А и, следовательно, у от к в выражениях
D.89а) и D.896) нельзя пренебречь, то гамильтониан возму-
возмущения можно записать в виде
ЯГ~£т(к)С!+,С,. D.90)
h
Для вырожденного газа Ферми вдали от резонанса первый член
в D.89в) изотропен. Однако его вклад в Ж будет экранирован,
так как мы можем написать следующее соотношение:
Ybsotp (k) = Vhsotp (*) « Yh3o*P (ftf) = СОПИ.
220
Глава 4
Тогда основной вклад обусловлен анизотропным вторым членом
в выражении D.89в) [4.70]. Если использовать значения Я, и
£2 при к = 0 (обозначенное Ei0 и £2о), то для е, |[ е2 найдем,
что уанизотр, анизотропная часть у, равна
где р — угол между к и в], Здесь мы воспользовались следую-
следующим соотношением: E2 — E,=2P2ft2kz/Cm2El) [4-68].
Возмущение электронной системы, определенное выраже*
ниями D.90) и D.91), может описываться зависящей от на-
направления флуктуацией плотности энергии. Она не экрани-
экранируется. Выражение для поперечного сечения рассеяния, полу-
полученное в результате расчета, имеет сложный вид. Оценка усред-
усредненного по всем направлениям поляризации значения попереч-
поперечного сечения дана в работе Вольфа [4.70]:
da
Во многих случаях этот вклад мал по сравнению с вкладом, оп-
определяемым выражением D.88), и такой процесс, вероятно, не
имеет важного значения.
При конечных значениях температуры возможен другой вид
флуктуации плотности энергии. Запишем
К, D.93)
где К = fi2k2l2me — кинетическая энергия электронов, ms —
масса электрона и mt — масса дырки в золе /, Если разложить
изотропную часть А в выражении D.89в) около к = 0, то най-
найдем, что
D.94)
Далее, если для расчета эффективности рассеяния исполь-
использовать флуктуациопно-днесипационную теорему в рамках ПСФ,
то для малых q имеем
~Md^ = ~~lCVlf) (/I»+1)Im t T~~ \l4 \> D-95)
Электронное комбинационное рассеяние
221
где Lo равняется функции F, определенной выражением D.8),
и где
= У
Y + + ш (к) - <а (к + q)
теперь у = (ei/e2)^4HJoTp. Введем для пояснения
D.97)
как средневзвешенное значение [в смысле выражения D.96)]
у'. Тогда мы имеем
- {4.
Можно показать, что при высоких температурах
D.99)
Постоянный (первый) член в выражении D.94) опускается,
поскольку он не содержит флуктуации. Если пренебречь слабой
зависимостью (у) и (у2) от со, то мы найдем, что интегральное
поперечное сечение пропорционально {(/(—(ЮУ), среднеквад-
среднеквадратичной флуктуации кинетической энергии К; в основном она
равна (квТJ.
Вольф [4.70] вычислил интегралы L/ для максвелловского
распределения электронов, используя и изотропные, и анизотроп-
анизотропные части у. После усреднения по всем направлениям поляриза-
поляризации интегральное поперечное сечение равно
da
D.100)
Для вырожденного электронного газа это значение надо умно-
умножить на hqjtnVf.
Вольф обнаружил, что зависимость поперечного сечения от
частоты должна быть слегка уширена по сравнению с гауссовой
кривой [4.70]
2КТ
Описанным " выше механизмом флуктуации плотности энер-
энергии можно объяснить сильное поляризованное рассеяние, на-
Глава 4
блюдаемое в легированном кристалле GaAs в области </<(/.
пои комнатной температуре [4.12, 4.13]. При концентрации но-
носителей, равной 1,4.10" смЧ интенсивности поляризованной и
деполяризованной компонент примерно равны.
4.4.4. Поляризованное одночастичное рассеяние
в условиях сильного резонанса
Из выражений D.92) и D.100) видно, что вдали от резо-
резонанса интенсивность рассеянного света, обусловленного флук-
флуктуацией плотности энергии вырожденного электронного газа,
мала В условиях «сильного резонанса» положение резко ме-
меняется В л-GaAs Пянзак и др. [4.71] наблюдали сильное резо-
резонансное увеличение интенсивности поляризованных спектров при
10 К в образце с концентрацией 1,3.10" см-3 при длине волны
падающего света, равной 6471 А A,92 эВ), и в образце с кон-
концентрацией 4^*10™ см-3 при длине волны падающего света
6328А A96 эВ). Их данные для первого случая показаны на
фиг. 4.12.'Видно, что поляризованное рассеяние почти столь же
сильно, как и деполяризованное рассеяние.
В экспериментах, выполненных Пинзаком и др. [4.71], имел
место резонанс с зоной, отщепленной спин-орбитальным взаимо-
взаимодействием обозначенной выше как Е%. Энергия, необходимая
для вертикального перехода из этой зоны к потолку поверхно-
поверхности Ферми, равна Е3 = Езо + ц^, где ц = A+ т,/пи,) и те —
масса электрона, тн — масса дырки в третьей валентной зоне.
«Сильный резонанс» означает, что энергия лазерного излучения
Лай с точностью до qvt равна энергии Es. Тогда становятся очень
важными невертикальные переходы из валентной зоны в зону
проводимости. Рассмотрим междузонный переход, при котором
электрон переводится из состояния k ниже поверхности Ферми
в состояние к + q выше нее. Фотон падающего излучения с вол-
волновым вектором ki возбуждает электрон с волновым вектором
k _l „ — к; из заполненной валентной зоны а зону проводимости
с волновым вектором k + q. Далее электрон при к ниже поверх-
поверхности Ферми переходит в состояние дырки в валентной зоне
при k-f-q — kx = k — к2 и излучается фотон с волновым векто-
вектором кг- Энергетический знаменатель равен
Выражение, полученное Гамильтоном и Мак-Уортером для
матричного элемента перехода, равно [4.66]
Yn|1 = e1-A.eAIp-'(eiXea)-(aI«|P)B, D.102)
где В и А определялись соответственно выражениями D,800)
Электронное комбинационное рассеяние
223
1 J
!
-* i i
Ж ^
1 1
a
6
t
(i,ii)
A1,11)
о гоо 4oo 600
Частота, см~'
Фиг. 4.12. Спектры одночастичного рассеяния и рассеяния связанными LO-фо-
нон-плазжшными модами (£±) для n-GaAs, я = 1,3-10" см~3, Т = 10 К.
Длин» волны возбуждающего излучения 6471 Д. Энергия падающих фотоаоа близка
к энергия ыеждузониого оерехода из отщепленной зоны на уровень Ферин. Оцеиеваый
фоя люминесценции представлен штриховое линией |4.71|.
Л" и D.896). Члены в уав. описывающие сильный резонанс с зоной
£3. Дают
V.fl«-55r[ei-eAe + '(eiXea).(a|ff|P)]. D.103)
'" Эффективность рассеяния равна [4.66]
X {I е, X е2 Р lm Ш + (е, ■ e2f lm
Ю4а)
i; где
D.1046)
224
Глава 4
и где
1
о {к) - а (к + я)
1
В приближении D.103) имеем
Р2
D.104b)
D.104г)
D.105а)
D.1056)
Кг=/.2. D.105b)
Используем D.104в) для случая Т = 0. Пусть к; — волно-
волновой вектор на поверхности Ферми. Множитель [п(к.)—n(k-j-q)]
указывает на то, что k-j-q может иметь значения от к/ до
kf -f- q. В связи с этим определим безразмерную переменную и,
0 < и ^ 1 так, чтобы k + q = kf + wq. Пусть б будет угол ме-
между kf и q. Тогда выражение D.104 г) примет вид
1
4л3
dud cos 9
2яЩд cos 6
cos6 — (о — /0+)
3mD
D.106)
Если предположить конфигурацию рассеяния назад, при кото-
которой ki = q/2, то
--^f-)- DЛ07)
Теперь P2j3m порядка Eg. В сильно резонансных условиях
величина (P2/3mD) будет большой и будет быстро меняться как
функция и и 9. Для члена вида (ei-e2J флуктуация
<(ZH — <О"'))г), вероятно, будет определяться как <Ь~2), да-
давая при этом почти такой же большой вклад, как и вклад от
члена |eiXea|a, обусловленного резонансно усиленными флук-
туациями спиновой плотности.
4.4.6. Распределения электронов по скоростям
При комнатной температуре в случае кристалла GaAs с ма-
малой концентрацией электронов (~ 10ls см~*) q Э> qs и флуктуа-
флуктуации плотности заряда не экранированы. Доминирующий член
в формуле для эффективности рассеяния, определенный выра-
выражением D.104), равен
d2R A 2
Электронное комбинационное рассеяние
225
Если пренебречь зависимостью А от волнового вектора k, то
получим
- A + л.) Im {L2} = - Л2 A + иш) lm {F}. D.1086)
Для распределения Максвелла [4.70] имеем
где Л^(С)—функция распределения Максвелла. И это приводит
к следующему выражению:
- О
D.109)
с ц^ = 2kBTjiTC.
На фиг. 4.13 приведен спектр одночастичного рассеяния для
n-GaAs, полученный при возбуждении излучением лазера с дли-
длиной волны 1,06 мкм [4.13]. Теоретическая кривая получена
с учетом слабой, но не пренебрежимо малой зависимостью А
от k.
Если А рассматривать как константу, эффективность рас-
рассеяния пропорциональна выражению D.74), из которого видно,
что спектр рассеяния представляет собой распределение элек-
электронов, имеющих скорость в направлении q, равную is>jq. Для
50 Ю0
Частота, см'1
№
Фиг. 4.13. Поляризованный спектр одночастичного рассеяния света для
при комнатной температуре [4.13].
I — теоретическая кривая (маисвелловское распределение! получена по !4>IU3); I —
Ъ З 10|п /^
226
Глава 4
-p -4 -г
i i i
—о— Эксперимент, Еа
Теория, vB =/.3
0
2 4-
1 1
~№ОВ/см
fO7CM/c
I Экспериментальная
ош.и5н& /
J
5s
Анти,стоксовы Л
кривые Л
1/
/
^\
N
_l J
5U
6 &
i i
300 К
ho
, Стасовы
' кривые
\\
100
Частота
т~
Фиг. 4.14. Спектр одночастичного рассеяния для л-GaAa при наличии внеш-
внешнего электрического поля.
Рассеянный свет наблюдался пая углои 90° относительно падающего. Пунктирные кривые
рассчитаны но увавненияи D.1081 с использованием сиещенной макс вел лове кой функции
распределении [4.13].
анизотропных кристаллов будет иметь место зависимость от
направления q [4.72].
При наличии постоянного электрического поля Ео функция
распределения электронов по скоростям будет иметь свое сред-
среднее значение при дрейфовой скорости vD = jiE0, где |i — подвиж-
подвижность. На фиг. 4.14 представлены данные Мурадяна [4.73, 4.13]
для такой системы. Теоретические кривые по существу являются
гауссовыми, и для двух значений температуры электронов они
смещены одна относительно другой, поскольку каждая из них
имеет центр при ю = qva. Соответствие недостаточно хорошее,
и высказывалось предположение, что распределение электронов
искажено, а также смещено. Отметим спад интенсивности при
ш = ± q-viQ- В этой точке электроны обладают достаточной
энергией, чтобы возбудить LO-фононы, и поэтому они значи-
значительно быстрее возвращаются в равновесное состояние.
Более подробное исследование рассеяния света «горячими»
электронами оказалось бы ценным для понимания неравновес-
неравновесной плазмы в твердых телах [4.74—4,76].
Электронное комбинационное рассеяние
227
Желательно также было бы экспериментально исследовать
влияние различных процессов затухания на форму одночастич-
одночастичного спектра [4.6, 4.77]. Сильное затухание должно приводить
электронную систему в «контролируемый столкновениями» ре-
режим. При этом функция отклика определяется из уравнений
гидродинамики [4.1, 4.4, 4.75, 4.76]. При соответствующих ус-
условиях можно наблюдать «связанное с движением сужение»
одночастичного спектра, подобно тому как это предполагалось
для линии спонтанного комбинационного рассеяния с переворо-
переворотом спина [4.78, 4.80].
4.5. Многокомпонентная плазма
Пока проведено мало экспериментальных работ по рассея-
рассеянию света в полупроводниках, содержащих носители двух или
более типов, но имеются очень интересные теоретические иссле-
исследования, начавшиеся с работы Платцмана [4.81]. В этом раз-
разделе мы рассмотрим носители в многодолинных полупроводни-
полупроводниках, таких, как n-Si, л-Ge или халькогениды свинца, в которых
каждая компонента плазмы анизотропна, что приводит к новым
особенностям в спектрах рассеяния света.
4.6.1. Вводные замечания
Рассмотрим электроны 'в /-й долине, для которой тензор об-
обратной эффективной массы есть т~1 щ. Пусть их оператор флук-
флуктуации плотности заряда равен р„>. В рамках ПСФ индуцирован-
индуцированный отклик (р,/> к общему продольному возмущению, имею-
имеющему волновой вектор q, описывается функцией F}-(q, о), яв-
являющейся обобщением функции F(q, со), определенной в D.8)
[4.81]:
D.110а)
_—tf) {Ь + q)
где
Ч4.110Й)
функция Fj будет зависеть от ориентации волнового вектора q
относительно главных осей тензора |д,;.
Для процесса рассеяния света многокомпонентным газом
свободных носителей механизмы взаимодействия те же, что и
рассматривались в разд. 4.4. Теперь каждая из флуктуации
плотности заряда р„/ взаимодействует со светом раздельно
Глава 4
посредством следующего обобщения выражений D.17) и D.18):
iAtехР (- ш)
э. с,
D.111)
где
e,
С изменением направления векторов поляризации в[ и е2 внеш-
внешние поля «возбуждают* различные линейные комбинации рд1.
Важную роль играет деполяризованное рассеяние ei J_ e2, кото-
которое вызвано только относительными флуктуациями типа
(рд; —рз/), в то время как общая флуктуация плотности
Рв=-Ер«/ D.112)
остается невозбужденной, что можно видеть из следующей за-
записи:
1 + Z (М/ " ."■/) (PqJ —
D.113)
где тензор jicP является усредненным значением ц,- по всем до-
долинам. Тензор Aср будет иметь полную симметрию кристалла и
для кубического кристалла будет кратен единичному тензору.
Взаимодействия с флуктуацией р? нет, в то время как взаимо-
взаимодействие, связанное с флуктуацией (р„; — р„,)> напоминает си-
ситуацию с механизмом флуктуации спиновой плотности. Согласно
D.83), это взаимодействие имеет вид ] ei X е21 (р„А — р ,).
Если долина / имеет аксиальную симметрию относительно
направления, представленного единичным вектором п,-, с глав-
главными значениями ц, параллельными и перпендикулярными П/,
обозначенными щ и (j,j., то
1\ = М-_|_1 + (йц ~~li±)ninj> D.114)
и для кубического кристалла
+ 0*1 - Ы Z Kni ■ е0 (п- ■ е2> - (п/ * е.) (п/ * е2>] (Р„ - Р,у).
D.115)
Второй член в выражении D.115) в дальнейшем можно перепи-
переписать, используя данные симметрии, и тогда останутся только
те линейные комбинации флуктуации (р„г — р^), которые при-
принадлежат неприводимым представлениям, получаемым в резуль-
результате понижения ранга тензоров (п,-п,-— П/П/), сумма диагональ-
диагональных элементов которых равна нулю.
Электронное комбинационное рассеяние
229
Фиг. 4.15. Конфигурация депо ля риМов энного рассеяния света для электронов
в двух долинах, вытянутых вдоль взаимно перпендикулярных осей.
В качестве примера рассмотрим применение выражения
D.115) для случая двух долин, приведенных на фиг. 4.15. Имеем
= О1!! -
D.116)
Фиг. 4.15 и выражение D.116) также применимы для плоскости
ху кубического кристалла с тремя долинами, вытянутыми вдоль
направлений A00). Рассматриваемое представление тензора
есть одна компонента ^-симметрии, которая преобразуется
как (х2 — у2). Другое представление тензора, след которого ра-
равен нулю, для кубического кристалла есть Та с тензорными пред-
представлениями, преобразующимися как {ху, уг и zx). В этом слу-
случае взаимодействие с долинами, вытянутыми вдоль направле-
направлений <100), отсутствует. Однако будет иметь место рассеяние
света, обусловленное механизмом флуктуации спиновой плот-
плотности, описываемое произведением (ei X ег) <а|<г?|Р) в выра-
выражении D.80). Таким образом, для ^-конфигурации рассеяние
связано как с флуктуациями спиновой плотности, так и с «меж-
«междолинными флуктуациями»1), в то время как для ^-конфигу-
^-конфигурации рассеяние обусловлено только флуктуацией спиновой
плотности.
Ситуация прямо противоположна для долин, вытянутых
вдоль направлении <100) в кубических кристаллах. В этом слу-
') Весьма заманчиво использовать термин «междолинный переход» [4.75]
или «междолинная флуктуация» для описания отклика, индуцированного
оператором (pet~ р,;). Оператор р,< вызывает флуктуацию плОтвости элек-
троков с волновым вектором g в i-й доливе; этот оператор не мевяет числа
электронов в этой долине. Следовательно, оператор (р,[ — р,,;) не вызы-
вызывает перераспределения электронов между долинами I и /; бра вызывает
флуктуации плотности противоположного знака в этих долинах. В этом смыс-
смысле мы и используем термин «междолинная флуктуация».
230
Глава 4
чае тензор (п;П; —П/П/) принадлежит представлению Тг, и для
7Уконфигурации рассеяние света обусловлено флуктуацией спи-
спиновой плотности и междолинной флуктуацией, тогда как для
Я-конфигу рации оно обусловлено только флуктуацией спиновой
плотности.
4.5.2. Теория
Платцман [4.81] вывел соответствующие теоретические фор-
формулы для рассеяния света флуктуациями плотности электронов
в многодоливных полупроводниках. Он рассчитал также кривые
для поперечного сечения рассеяния (d2o/dadQ) для случая двух
эллипсоидов, как это показано на фиг. 4.15, а также рассмотрел
условия наблюдения «акустических плазмонов» (см, ниже).
В дальнейшем эти вопросы обсуждались Платцманом и Воль-
Вольфом в [4.1]. Цоар и Фу [4.82] рассчитали теоретические спектры
для случая четырех долин, вытянутых вдоль направлений <111),
н для различных комбинаций векторов ei и е2. Они использовали
параметры для кристалла РЬТе.
Далее Фу и Цоар [4.83] рассмотрели механизм рассеяния,
обусловленный флуктуацией спиновой плотности для каждой
долины. Они отметили, что для £-конф игу рации [6,11A10),
•я II(НО)] рассеяние обусловлено только флуктуацией спиновой
плотности. Расчет проводился для прямозонного полупровод-
полупроводника РЬТе, в котором и минимум зоны проводимости, и макси-
максимум валентной зоны находятся на краю зоны Бриллюэна вдоль
направлений <111>. Они использовали множители Л и В [урав-
[уравнения D.80) и D.89)], определенные соответственно для такой
структуры зон численным расчетом в работе Яха [4.84, 4.85].
Эти множители нельзя использовать для Ge, хотя в обоих слу-
случаях эллипсоиды вытянуты вдоль направлений <Ц1>, поскольку
в остальном структура зон и главным образом спин-орбиталь-
ные взаимодействия сильно отличаются.
Результаты Платцмана для рассеяния света, обусловленного
флуктуацией плотности заряда, в принятых нами обозначениях
имеют вид [4.81]
D.117а)
где Ф = 4пе2/?2 и диэлектрическая постоянная теперь опреде-
определяется следующим образом:
1-
,F,.
D.1176)
Электронное комбинационное рассеяние
231
Член в квадратных скобках можно записать как
В.пределе q —* 0 имеем
D.119)
Выражение D.119) показывает, что только анизотропная часть,
(у,. — ^.)n,n., тензора ц/ дает вклад в неэкранированное попе-
поперечное сечение рассеяния.
Часто удается так выбрать направление волнового вектора q,
чтобы все функции Fj(q, ю) были равны между собой. Это слу-
случай, когда q || A00) для долин, вытянутых вдоль направлений
<111>, или q 11A11) для долин, вытянутых вдоль направлений
<100). Тогда из выражений D,117а) и D.Ц9) получаем
d"-R fo _а ,. . , -о . ,2. f f,{q, ш)
dadQ
1
где г —число долин. Выражение D.120) равно неэкранирован-
ной эффективности рассеяния от одной долины, умноженной на
коэффициент 2 (ji; — \ijJ/r.
В пределе высоких температур, когда справедливо D.99),
уравнение D.120) дает поперечное сечение для одного элек-
электрона, которое с точностью до множителя порядка единицы рав-
равно поперечному сечению рассеяния, обусловленному переходом
между уровнями, расщепленными долинно-орбитальным взаи-
взаимодействием, и определяемому выражением D.35). Из рассмо-
рассмотрения выражений D,81), D.82а) и D.84) видно, что вблизи
резонанса механизмы флуктуации спиновой плотности и флук-
флуктуации плотности электронов D.120) могут дать сравнимые зна-
значения поперечного сечения. Вдали от резонанса выражение
D.120) содержит множитель $*2 — Е\ (Е\ — /&aj)~2, который
стремится к единице, в то время как аналогичный множитель
в D.81) для механизма флуктуации спиновой плотности стре-
митсй к (й©!До/Е^J для До < Ее и к (!ia>i/EgJ для &о'^Ее [см.
D.88)]. Это означает, что для объемного рассеяния в полупро-
полупроводниках с непрямым краем поглощения, когда licoi должно быть
меньше ширину запрещенной зоны для непрямого края, Ььц
обычно будет удовлетворять неравенству (№]) <£ £|, где Es —
ширина запрещенной зоны для прямого края. В этом случае
232
Глава 4
рассеяние, вызываемое флуктуацией междолинной плотности
заряда, будет значительно сильнее, чем рассеяние, обусловлен-
обусловленное флуктуацией спиновой плотности.
Платцман [4.81] показал, что функция отклика для /-Й до-
долины Fj(q, со) может быть связана с изотропной функцией от-
отклика F(q, со), определенной выражением D.8) и вычисляемой
для того же числа электронов с использованием эффективной
массы свободного электрона т. Для долин с аксиальной сим-
симметрией результаты Платцмана имеют вид
где
Здесь
D.1216)
D.121в)
т. е. q(| и q±— компоненты волнового вектора q, параллельные
и перпендикулярные оси долины.
4.8.3. Акустические плазмоны
Мы видели, что общее выражение D.119) упрощается, когда
все функции Fj одинаковы. Чрезвычайно интересен другой слу-
случай, когда функции F\ различаются, насколько это возможно.
Такая ситуация может иметь место, когда долины сильно ани-
анизотропны, так что |ij_;3? |1ц, и если направление волнового век-
вектора q можно выбрать таким образом, что для одних долин от-
отношение |q(/l|A/ — наибольшее, а для других долин это отно-
отношение — наименьшее из возможных. Тогда имеются частоты,
для которых [4.81]
Re {8 (q, <oa)} = 1 + (^) Re | £ F, (q, щ) | = 0, D.122а)
а
1ш(е)< 1. D.1226)
Моду, удовлетворяющую D.122), можно назвать «акустиче-
«акустическим плазмоном». Сначала рассмотрим такую коллективную
моду для очень простого случая.
Исследуем двухкомпонентную плазму, образованную лег-
легкими носителями с плазменной частотой сор и тяжелыми носи-
носителями с плазменной частотой Qp. Будем рассматривать случай
Электронное комбинационное рассеяние
238
малых значений q и частотный диапазон, где [4.86]
q*v\ < ю2 < q2v]. D.123)
Здесь Vi и vh — среднеквадратичные значения фермиевских ско-
скоростей для легких и тяжелых носителей. Тогда комплексную ди-
диэлектрическую постоянную можно записать как [4.1]
D.124а)
где
D.1246)
Здесь q2. = 3®2)fv2 — параметр экранирования для легких носи-
носителей. Частота акустического плазмона удовлетворяет условию
Re {е} = 0, или (для q <S. qs)
_ "рч
D.125)
где а\ должна также удовлетворять условию D.123).
Если заряды носителей имеют противоположные знаки, то
обе компоненты колеблются в фазе друг с другом, н заряды лег-
легких носителей почти полностью экранируют электрическое поле,
обусловленное зарядами тяжелых носителей. Таким образом,
«акустические плазмоны» названы по аналогии с акустическими
фононами. Если компоненты плазмы имеют одинаковые заряды,
то они будут колебаться в противофазе друг с другом и будут
почти полностью экранированы.
Формула Платцмана [4.81], приведенная в D.117) или
D.118), автоматически предусматривает наличие акустических
плазмонов. Если выполняются условия D.122а) и D.1226), то
функция е~' имеет полюс, и поперечное сечение рассеяния силь-
сильно возрастает по сравнению с поперечным сечением, определяе-
определяемым формулой типа D.120).
Практически трудно будет удовлетворить для со„ неравенству
типа D.123) в случае многокомпонентной электронной плазмы
в твердых телах. Обычно мы можем предположить, что значе-
значение 1ш (г} достаточно велико, чтобы вызвать существенное за-
затухание Ландау для акустического плазмона, т. е. распад плаз-
плазмона на одночастнчпые возбуждения.
Известно, что затухание можно уменьшить и увеличить по-
поперечное сечение, если приложить постоянное электрическое
поле, чтобы придать носителям дрейфовую скорость v0. Это об«
234
Глава 4
условлено тем, что часть энергии дрейфующих носителей будет
передаваться плазменной волне [4.86]; это и было подтверж-
подтверждено расчетами Платцмана [4.81] для вырожденной двухком-
понентной плазмы. Он показал, что расчетная кривая попереч-
поперечного сечения имеет связанный с акустическим плазмоном пик
при ю ~ qfr, где ит — фермиевская скорость тяжелых носите-
носителей. Этот пик сильно возрастает с увеличением скорости дрейфа,
что предвещает о начале так называемой «двухпотоковой не-
неустойчивости», при которой акустическая волна нарастает по
времени получая энергию от постоянного электрического поля
[4.86].
4.6.4. Переход металл — полупроводник
В полупроводниках при увеличении концентрации, например,
допоров волновые функции отдельных соседних доноров начи-
начинают перекрываться н донорные уровни неоднородно уши-
уширяются. В многодолинных полупроводниках /i-типа это приво-
приводит к уширению линий комбинационного рассеяния света, об-
обусловленных переходами между уровнями, расщепленными до-
долинно-орбитальным взаимодействием. При достаточно высокой
концентрации доноров пт происходит «переход Мотта», при ко-
котором основное состояние донора расширяется в проводящую
примесную зону и полупроводник становится металлом [4.87]^.
Проводимость примесной зоны характеризуется средней длиной
свободного пробега электрона, равной по порядку величины
расстоянию между донорными центрами [4.87]. По мере даль-
дальнейшего увеличения концентрации примесная зона переходит
в зону проводимости. В предыдущем разделе мы рассмотрели
рассеяние света многокомпонентной плазмой, образованной
сравнительно свободными электронами.
Спектр, приведенный на фиг. 4.11 [4.29] для л-SiC, иллю-
иллюстрирует рассеяние света образцом, легированным до уровня,
при котором образуется примесная зона. Три £2-липии при 13,
60 и 62 мэВ, связанные с рассеянием света, которое обусловлено
переходами между уровнями, расщепленными долннно-орби-
тальным взаимодействием, для слаболегированного образца
(фиг. 4.7) расширяются в континуум. Для определения уровня
концентрации, при которой еще происходит переход между уров-
уровнями, расщепленными долинно-орбитальным взаимодействием,
в металлическом состоянии, и для изучения того, как спектр,
связанный с рассеянием света, обусловленным переходом между
уровнями, расщепленными долинно-орбитальным взаимодей-
взаимодействием, трансформируется в спектр, характерный для многоком-
многокомпонентной плазмы недавно были выполнены исследования па
ft-Ge [4.88] и re-Si [4.89].
Электронное комбинационное рассеяние
236
4.6. Заключительные замечания
4.6.1. Имеющиеся сведения и возможные направления
развития исследований в будущем
Механизмы рассеяния света электронными возбуждениями,
которые обсуждались в этом обзоре, в основном хорошо по-
понятны. Обычно сущность самих возбуждений не является во-
вопросом, хотя это и несправедливо для акцепторных переходов
между связанными состояниями и для континуума наблюдае-
наблюдаемого в металлическом SIC, Ge и Si.
,,, В дальнейших работах в этой области особое внимание
должно уделяться исследованию формы и ширины различных
спектральных линий. Необходимы более подробные сведения
о влиянии столкновений на форму линий плазмонных и связан-
ных плазмон-фононных мод -и на форму спектров одночастич-
пого рассеяния. Это особенно справедливо для области концен-
концентраций, при которых образуется примесная зона, когда одно-
электронные собственные состояния недостаточно хорошо опи-
описываются блоховскими функциями и, в частности, имеют место
переходы, индуцированные столкновениями.
Необходимо выполнить еще много экспериментов по неравно-
неравновесной плазме. Дальнейшего изучения заслуживает многоком-
многокомпонентная плазма, и необходимы также усилия для создания
плазменных неустойчивостей и изучение их с помощью рассея-
рассеяния света.
4.6.2. Замечания о рассеянии света с переворотом спина
Мы намеренно исключили из рассмотрения рассеяние элек-
электронными возбуждениями в магнитном поле. Эта тема имеет
важное значение и достаточно сложна, чтобы ее рассматривать
просто как часть такого обзора. Спонтанное комбинационное
рассеяние, обусловленное переворотом спина в магнитном
поле, — одно из этих важных не включенных в рассмотрение
процессов, поскольку оно привело к изобретению лазера, осно-
основанного на эффекте комбинационного рассеяния света с перево-
переворотом спина. Обсуждение этого процесса потребовало бы рас-
рассмотрения новых разделов физики твердого тела.
В гл. 7 Шеи кратко обсуждает спонтанное комбинационное
рассеяние света с переворотом спина и дает несколько основных
ссылок. К этим ссылкам можно добавить две обзорные статьи
Лэкса [4.90] и Патела [4.91], опубликованные в трудах недавно
прошедших конференции. Следует отметить также исследования
процесса рассеяния света с переворотом спииа в полупроводни-
полупроводниковых соединениях A"BV1, выполненные Томасом и Хопфилдом
[4.92], Флёри и Скоттом {4.93], Скоттом и Даменом [4.94];
236
Глава 4
Скоттом и др. [4.95], а также Холлисом и др. [4.96], с исполь-
использованием лазеров, длины волн излучения которых находятся
в видимой области спектра.
Благодарности
Автор выражает благодарность М. Алтарелли за ряд полезных
обсуждений. Данная работа выполнена при поддержке Нацио-
Национальной организации содействия развитию науки и Агентства по
развитию научно-исследовательских работ (США).
Литература
4.1. Platzman P. M., Wolff P. A. Waves and Interactions in Solid State Plas-
Plasmas, Academic Press, New York, 1973. (Имеется перевод: Ф. Платцман,
П. Вольф, Волны и взаимодействия в плазме твердого тела, нзд-во
«Мир», 1975.)
4.2. Platzman P. M., Tzoar N., phys. Rev., 136, All A964).
4.3. Pines D.t Elementary Excitations in Solids, Benjamin, New York, 1963.
(Имеется перевод: Д- Пайнс, Элементарные возбуждения в твердых те-
телах, изд-во «Мир», 1965л
4.4. Pines D., Nozieres P., The Theory of Quantum Liquids, W. A. Benjamin.
New York, 1966. (Имеется перевод: Д. Пайнс. Ф. Нозьер, Теория кванто-
квантовых жидкостей, изд-ао «Мир». 1967.)
Wolff P. А. в книге: Light Scattering Spectra of Solids, ed. by
G. B. Wright Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1968, p. 273.
Mermin N, D. Phys. Rev., Bl 2362 A970).
Wolff P. A., Pbys. Rev. Letters 16, 225 A966).
Jha S. S., Nuovo Cimento, 58, B, 331 (]969).
Blum F. A., Phys. Rev-. Bl, 1125 A970).
Mooradian A., McWhorter Л. L., Phys. Rev. Letters, 19, 849 A967).
Mooradian A, McWhorter A. L. в книге: Light Scattering Spectra of So-
Solids ed. by G. B. Wright Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1968,
p. 297.
Mooradian А., в книге: Light Scattering Spectra of Solids, ed.
G. B. Wright, Springer, New York, Heidelberg, Berlin. 1968, p. 285.
Mooradian А. в книге: Laser Handbook, ed. by F. T. Arecchi and
E. O. Schulz-duBois, North-Holland Publishing Co. Amsterdam, [972, v. 11,
p. |309.
Varga В. В. Phys. Rev, 137, Al896 A965).
Mooradian A. Wright G. В., Phys. Rev. Letters, 16, 999 A966).
Burstein £., Pinczuk A., Iwasa S., Phys. Rev. ]57, 611 A967).
Loudon R,, Advan. Phys,, 13, 423 A964).
Klein M. V. Ganguly B. N. Colwell P. J,, Phys. Rev., B6, 2380 A972).
Hon D. Т., Faust W. L, Appl. Phys., I, 241 A973).
Blum F. A. Mooradian А., в книге: Proc. 10th Intern. Conf. Physics of
Semiconductors, ed. by S. P. Keller, J. C. Hens?! and F. Stern, USAEC
Division of Technical Information Extension, Oak Ridge, Tenn., 1970,
p. 755.
Fftust W. L, Henry С. Л., Phys. Rev. Letters, 17, 1265 ((966).
Scott J. P. Damen Т. С Shah J. Opt. Commun 3, 384 A971).
Burstein £.. Ushioda S., Pinczuk J. F- Scott J. F., в книге: Light Scat-
Scattering Spectra of Solids, ed by G. B. Wright, Springer, New York, Heidel-
Heidelberg, Berlin, ]969, p, 43.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8. /ft.
4.9.
4.|0.
4.11.
4.12.
4.13.
4.]4.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.Й0.
4.21.
4.22.
4.23.
Электронное комбинационное рассеяние
237
4.24.
4.25.
4.26.
4.27,
4.28.
4.29
4.30.
4.31.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
4.36.
4.37.
4.38.
4.39.
4.40.
4.41.
4.42.
4.43.
4.44.
4.45.
4.46.
4.47.
4.48.
4.49.
4.50.
4.51.
4.52.
4.53.
4.54.
4.55.
4.56.
4.57.
4.58.
4.59.
4.60.
4.61.
4.62.
4.63.
Scott J. F., Damen T. C, Ruvalds J., Zawadowskl A. Phys. Rev. B3, 1295
A971).
Patel C. K, Slusher R. £., Phys. Rev., 167. 413 A968).
Fisher P.. Ramdas А, К... в книге: Physics ol the Solid State, ed. by
S. Balakrishna, M. Krishnamnrthi, and B. Ramachandra Rao Academic
Press, New York. 1969, p. 149.
Chandrasekhar H. R. Fisher P., Ramdas A. K- Rodriguez S Phys Rev
B8, 3836 A973).
Wright G. В.. Mooradian A., Phys. Rev. Letters 18, 608 A967).
Colwell P. J., Klein M. V., Phys. Rev. B6, 498 A972).
Henry C. H., Hopfield J. J., Luther L, C. Phys. Rev. Letters 17 1178
A966).
Manchon D. D., Jr., Dean P. /., Proc. !Oth Intern. Conf. Physics of Semi-
Semiconductors ed. by S. P. Keller, J. С Hensel, and F. Stern. USAEC Divi-
Division of Technical Information Extension, Oak Ridge. Tenn., 1970, p. 760.
Мурадян А., Райт Дж._ Труды IX Междупарадной конференции по фи-
физике полупроводников, изд-но «Наука», 1969, т. II, стр. I07H.
Cherlow J. M.. Aggarwal R. L.r Lax В. Phys. Rev., B7 4547 A973)-
Erratum Pnys. Rev., B9, 3633 (tS74).
Wright G, В., Mooradian A. Bull. Am. Phys. Soe. 13, 479 A968).
Doehler J., Colwell P. /., Sblin S. A. Phys. Rev..'B9, 636 A974).
Colwell P. J., Doehler J., Solin S. A. Bull. Am. Phys. Soc. 19 22S A974).
Zwerdllng S. Button K. J. Lax В., Roth L. M., Phys. Rev. Letters 4, 173
A960).
Onton A.. Fisher P., Ramdas A, /f., Phys. Rev., 163, 686 A967).
Cardona M., Shaklee K,. L, Pollak F. H., Phys. Rev., 154, 696 A967).
Dean P. J, Schonherr E. G., Zetterstrom R. В., J. Appl. Phys. 41 3475
{1970).
Sze S. M., Irwin J. C, Solid State Eledron. II 599 A968).
Patrick L, Phys. Rev., B5, 2198 A972).
Dean P. J., Hartman R. L, Phys. Rev. B5, 4911 A972).
Henry С. Я., Nassau К., Phys. Rev.. B2, Q97 A970).
Kohn W., в книге: Solid Stale Physics, ed. by F. Seitz and D. Turnbull,
Academic press, Nev York, 1957, v. 5, p. 257.
Dre-sselhaus G.. Kip A. F., Kittel C. Phys. Rev. 98 368 A955).
Schechter D., J. Phys. Chcm. Sol., 23, 237 {1962).'
Hensel J. C, Feher G. Phys. Rev. 129, 1041 A963).
Levinger B. W-, Fran'kl D. R., J. Phys. Chem. Sol., 20, 281 {1961).
Mendelson K. S., James H. M., J. Phys. Chem. Sol., 25, 729 A964).
Mendelson K. S. Schutz D. Д., Phys. Stat. Sol. 31, 59 A969).
Baldereschi A,, L'iparl N. Phys. Rev., B8, 2697 (l'973).
Morgan T. N. Phys. Rev. Letters, 24, 887 A970).
Nitzan A., Mol. Phys.. 27, 65 A974).
Fano U. Phys. Rev., 124 1866 A961).
Cerdeira F.. Fjeldly T. A., Cardona M.. Phys. Rev., B8, 4734 A973).
Besemian R., Jouanne M., Balkanski М„ а книге; Proc. llth Intern. Conf.
Physics of Semiconductors, Warsaw, 1972: PWN-Polish Scientific Warsaw,
1972, p. 1181.
Cerdeira F-, Fjeldly T. A,, Cardona M,, Sol. Slate Commun. 13, 325
A973).
Mills D. L. Wullis R. F., Burstein E-. в книге: Light Scattering in Solids,
ed. by M. Balkanski Flammarlon Sciences Paris. 1971, p. 107.
Wright G. В., Batkanskl M. Mat. Res. Bull.'. 6 1097 A971).
Cerdeira F., Fjeldly T. A., 'Cardona M. Phys.'Rev. B9, 4344 A974).
Dean P. ]., Manchon D. D., Hopfield 1. J. Phys.' Rev. Letters 25, 1027
A970).
Левинсон И. В., Рашба Э. И., Rep. Progr. Phys., 36, 1499 A973).
238
Глава 4
4.64
4.65.
4 66
4.67.
4.6a
469.
4.70.
4 7[
4.72,
4.73,
4.74.
4.75.
4 76
4.77.
4,78,
4.79.
4.80.
4.81
4.82,
4.83.
4.84.
4,85.
4,86.
4.87.
4.88.
4.89.
4.90.
4.9[.
4,92.
4.93.
4.94.
4.95.
4.96.
Но afield J. J,. частное сообщение.
Barker A. S.. Ir., Phys. Rev., B7, 2507 {1973). _
Hamilton D. С. McWhorter A. L.. в книге: Light Scattering Spectra of
Solids ed. by Q. B. Wright. Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1969.
p. 309!
Yafet Y.. Phys. Rev., 152, 858 A966).
Kane £. 0.. J. Phys. Chem. Sol., 1, 249 ([957).
Wherrett B. S. Harper P. Q., Phys. Rev.. 183, 692 {[969).
Wolff P. A., Phys. Rev. 171, 436 A968).
Plnczuk A.. Briltson L. Burstein E., Anastassakis £., Phys. Rev. Letters.
27, 3[7 A971).
Healey D.. McLean T. p., Phys. Letters. 29A, 607 {[969).
Mooradian A. McWhorter A. L. в книге: Ргос. 10th Intern. Conf. Physics
of Semiconductors, ed., by S. P. Keller, J. С Hensel, and F, Stern USAEC,
Oak Ridge, Tenn., |970. p. 380.
Томчук П. М., Шендеровский В. А.. ЖЭТФ. 62, 1131 A972).
Ганцввич С. В., Гуревич В. Л., Каган В. Д.. Цатилюс Р.. в книге: Light
Scattering in Solids, ed. by M. Balkanski, Flammarion, Parts, [971, p. 94.
Ганцевич С. В. Гурееич В. Д.. Катилюс Р.. ЖЭТФ, 57, 503 A969).
Liu S. И.. Arm.'Phys.. 59, 165 A970).
Daoies R. W. Blum P. A., Phya. Rev., B3, 3321 {[971).
Dames R. №.. Phys, Rev. B7, 3731 A973).
Yuen S. Y. Wolff P. A. Lax В.. Phys. Rev., B9, 3394 A974).
Platzman P, M.. Phys. Rev. 139A, 379 A965).
Tzoar N.. Foo E. M, в книге: Light Scattering in Solids, ed. hy M. Bal-
Balkanski, Flamrnarion, Paris 1971, p. 119.
Foo E. N.. Tzoar H, Phys. Rev. B6, 4553 A972).
Jha S- S., Phys. Rev. J79, 764 {1969)-
Jha S. S., Pbys. Rev., 182, 815 A969).
Pines D.. Sc/trieffer J. R.. Phys. Rev.. 124, 1387 A96|).
Mott N. F., Adv. Phys.. 21 785 A971).
Doekter J.. Colwell P. J.. Solin S. A., Phys. Rev. Letters, 34, 584 {1975).
Jain K., Klein M. V.. в печагк.
Lax В., в книге: Ргос. Nth intern. Conf. Physics of Semi conductors. War-
saw, Elsevier, Amsterdam, 1972, p. I [[5.
Patel С. К. N. в книге: Fundamental and Applied Laser Physics ed, hy
M. S. Feld, A. Javan and N. A. Kurnit, Wiley. New York, |973.
Thomas D. G. Hopfield J. J.. Phys. Rev., 175, 1021 {1968).
Fleury P. A. Scott J. F., Phys. Rev. B3, [979 {1971).
Scott J. F., bamen T. C, Pbys. Rev. Letters, 29, [07 A972).
Scott J. F Damen Т. С Fleury P, A. Phys. Rev., B6, 3856 A972).
Hollis R- I. Ryan J, F. Toms D, J., Scott J. F. Phys. Rev. Letters 31,
1004 A973),
5. Комбинационное рассеяние света
в аморфных полупроводниках
М. X. Бродский'
Многие исследования по комбинационному рассеянию света
в кристаллах посвящены разрешенным одиофононным процес-
процессам. При изучении аморфных материалов большой интерес
представляет нарушение правил отбора и наличие широкого
разнообразия разрешенных процессов рассеяния. Поскольку
в аморфных материалах отсутствует строго определенный им-
импульс возбуждении, в этом случае с помощью комбинационного
рассеяния света можно получить большую информацию о коле-
колебательных спектрах, чем в кристаллах. В этой главе мы рассмо-
рассмотрим экспериментальные и теоретические результаты, получен-
полученные для типичных элементарных и сложных аморфных полупро-
полупроводников, а также обсудим вопрос о том, как эти результаты
могут быть использованы при изучении колебательных уровней
и структуры аморфных веществ. Данные пси структуре, полу-
полученные с помощью комбинационного рассеяния света, допол-
дополняют информацию, получаемую с помощью традиционных ме-
методов структурного анализа посредством дифракции рентгенов-
рентгеновских лучей, электронов и нейтронов.
Аморфное состояние вещества [5.1, 5.2] можно характеризо-
характеризовать отсутствием ряда свойств, присущих кристаллам. Оно не
является формой материи с дальним порядком; оно не имеет
больших областей, в которых атомы расположены в периодиче-
периодической структуре; в нем нет кристаллических областей такой ве-
величины, чтобы можно было получить брэгговские дифракцион-
дифракционные полосы или пятна. Часто в научной литературе, так же как
и в настоящей главе, попеременно используются термины
«аморфный», «некристаллический», «стеклообразный». Стекло-
Стеклообразное состояние обладает некоторыми характеристиками, ко-
которые не установлены для многих аморфных полупроводников,
такими, например, как температура перехода в стеклообразное
состояние. Мы не будем проводить подобных тонких различий.
Термин «неупорядоченный» является более обшим, чем «аморф-
«аморфный», и может относиться как к кристаллам, так и к стеклам.
!) Brodsky Marc H. IBM Thomas J. Watson Research Center Yorktown,
Heights, USA. - '
240
Глава 5
Кристаллические сплавы, например, могут быть неупорядочен-
неупорядоченными по отношению к расположению составляющих атомов
в заданных решеточных узлах. Жидкости, конечно, представ-
представляют собой основной пример аморфного состояния, но мы не
будем обсуждать жидких полупроводников, ограничиваясь крат-
краткими упоминаниями о них.
В основе определения «аморфный» лежит различие между
дальним и ближним упорядочением. Простые аморфные мате-
материалы имеют близкое упорядочение на расстояниях от трех до
четырех длин связи [5.1], Более далекие корреляции наблю-
наблюдаются только в кристаллах. По-видимому, не существует не-
непрерывного изменения корреляционной длины от значений по-
порядка расстояния между атомами до значений порядка разме-
размеров всего кристалла. Другими словами, имеется нижний предел
размеров кристаллических областей (около 30—40 А для крем-
кремния) и верхний предел корреляционной длины в аморфных по-
полупроводниках (около 12—-15 А для кремния). Практическим
методом определения типа структуры является ширина первого
брэгговского дифракционного пика. Он либо широк в случае
стекла, либо узок в случае кристалла. В нашем рассмотрении
предполагается, что не существует промежуточных случаев, за
исключением небольшого уширения брэгговского пика для очень
малых кристаллов. Соответствующие примеры, указывающие
на отсутствие промежуточных случаев, можно обнаружить
в спектрах комбинационного рассеяния света: например, данные
о положении и ширинах линий аморфного Si (a —Si) и подоб-
подобных ему аморфных полупроводников с тетраэдральной связью.
Следует отметить еще одну особенность беспорядка в аморф-
аморфном состоянии. В общем случае это топологический беспорядок.
Невозможно установить прямое соответствие между положе-
положениями атомов в стекле и узлами решетки соответствующего кри-
кристалла. Например, аморфное твердое тело неверно представлять
в виде «горячего» кристалла, в котором каждый атом смещен
на малые беспорядочные расстояния относительно узлов ре-
решетки [5.3].
Имеется много других аморфных материалов, кроме полу-
полупроводников, которые могут изучаться и изучались с помощью
комбинационного рассеяния света. Большое количество теоре-
теоретических [5.4, 5.5] и экспериментальных [5.6, 5.7] исследований
было посвящено обычным стеклам. Хотя вследствие улучшения
экспериментальных методов появились работы по изучению
комбинационного рассеяния света в металлических [5.8] и маг-
магнитных [5.9] кристаллах, пока еще не сообщалось о получении
спектров комбинационного рассеяния аморфных металлических
сплавов или аморфных магнитных систем, представляющих зна-
значительный интерес [5.10—5.12].В настоящей главе мы рассмо-
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
241
трим колебательные спектры аморфных полупроводников. По-
Последние, обзоры по общим свойствам колебательных спектров
были написаны Луковским [5.13] для аморфных полупроводни-
полупроводников, Бёттгером [5.14] для некристаллических твердых тел и Бел-
лом и Диком для оксидных стекол [5.4, 5.5].
Шукер и Гамон [5.15, 5.16] предложили переход от понятия
нарушенных беспорядком правил отбора к количественному
описанию плотности колебательных состояний, измеряемой по-
посредством комбинационного рассеяния света. В действительно-
действительности получаемая плотность состояний является «эффективной
плотностью состояний для комбинационного рассеяния света»,
которая представляет собой свертку истинного колебательного
спектра с матричными элементами, зависящими от типа коле-
колебаний. В этой главе будут рассмотрены различные методы рас-
расчета матричных элементов для комбинационного рассеяния
света. Один из методов рассмотрения нарушения правил отбора
для q = 4k да 0, где q есть волновой вектор фонона и Дк —
разность между волновыми векторами падающего и рассеян-
рассеянного фотонов, основан ка введении корреляционной длины Л,
которая характеризует пространственную протяженность нор-
нормальной колебательной моды. Конечно, в совершенном гармо-
гармоническом кристалле Л —* <х> и нормальная колебательная мода
является фононом, представляющим собой плоскую волну с хо-
хорошо определенным волновым вектором. Если предположить,
что в аморфном твердом теле колебательные моды лучше рас-
рассматривать как почти локализованные [5.4, 5.5], нормальные
моды можно считать пропорциональными произведению множи-
множителя плоской волны exp(iq-r) на множитель пространственного
затухания ехр (—г/Л) [5.16]. Величина q больше не является
хорошим квантовым числом, и в принципе не существует пра-
правил отбора по волновому вектору при q да 0. Экспоненциаль-
Экспоненциальное затухание смешивает ранее различающиеся состояния q.
Шукер и Гамон [5.16] предположили, что пространственно-вре-
пространственно-временная корреляция пропорциональна
еч> е E.1)
для моды /. Фурье-образ выражения E.1) пропорционален ин-
интенсивности комбинационного рассеяния света модой /. Сумми-
Суммируя по всем модам и предполагая, что все q,- дают вклад
в сумму, они получили, что нерезонансная стоксова компонента
с частотным сдвигом со описывается выражением
i)
242
Глава S
а антистоксова компонента — выражением
W («•) =-
где
—I]
E.4)
есть функция распределения Бозе — Эйнштейна при температуре
t. Для простоты предполагается, что каждая зона колебатель-
колебательных состояний Ь имеет постоянную связи С" (индексы оф и
у% описывают поляризацию падающих и рассеянных фотонов).
Кроме того, имеется дополнительный множитель (сщ±шL, где
(Ol — частота падающего фотона. Уравнения E.2) и E.3) яв-
являются главными результатами расчетов Шукера и Гамона и
показывают, что измеряемый спектр комбинационного рассея-
рассеяния аморфного твердого тела может быть представлен как про-
произведение функции распределения Бозе — Эйнштейна, множи
теля 1/©, соответствующего гармоническому осциллятору с ча-
частотой й, вероятностей перехода и, наконец, искомой функции
плотности колебательных состоянии. Если /р(ш) есть измеряе-
измеряемая стоксова часть спектра комбинационного рассеяния в оп-
определенной поляризационной конфигурации, то приведенный
епектр комбинационного рассеяния можно записать как
E.5)
В дальнейшем обсуждении мы будем часто использовать вы-
выражение E.5). Приведенный спектр комбинационного рассеяния
включает только плотность состояний и зависящие от частоты
множители, характеризующие вероятности переходов, которые
мы будем считать гладкими, слабо меняющимися функциями и
которые в некоторых случаях можно рассчитать.
В п. 5.1.3 мы опишем другой метод расчета комбинацион-
комбинационного рассеяния света, вызванного неупорядоченностью, основан-
основанный на больших элементарных ячейках со многими атомами
в ячейке и соответственно со многими фононами с q = 0, кото-
которые потенциально активны в рассеянии света. Наконец,
в разд. 5.2 будет рассмотрено использование молекулярных
представлений и правил отбора при интерпретации спектров
комбинационного рассеяния света тех материалов, в которых
содержатся определенные молекулярные элементы.
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
248
5.1. Аморфные полупроводники
с тетраэдральной связью
В этом разделе мы обсудим спектры комбинационного рас-
рассеяния сравнительно простого класса аморфных полупроводни-
полупроводников, а именно тех, в которых химическая связь приводит к обра-
образованию тетраэдральной координации. Сначала будут описаны
основные свойства изучаемых материалов, а затем приведено
краткое изложение основных экспериментальных данных об
аморфных Si и Ge. Мы опишем также различные теоретические
подходы к интерпретации спектров на основе структурных мо-
моделей. В заключение кратко обсуждается информация, которую
можно получить из исследований комбинационного рассеяния
света в других аморфных полупроводниках с тетраэдральной
связью.
5.1.1. Пленки из элементов [V группы!
основные представления
В качестве прототипов аморфных полупроводников в по-
последние годы изучались Si и Ge [5.17]. Это обусловлено двумя
причинами. Во-первых, как аморфные материалы они имеют
значительно более простой состав и структуру по сравнению
с обычными стеклами. Во-вторых, вследствие их широкого тех-
технического применения и детального физического изучения ин-
информация об их кристаллическом состоянии весьма обширна.
Многие ученые надеялись использовать данные о свойствах кри-
кристаллической фазы и исследования аморфной фазы для дости-
достижения общего понимания свойств аморфных полупроводников.
Этот подход не оправдал надежд в отношении фундаменталь-
фундаментальных представлений об энергетических электронных состояниях,
но оказался весьма успешным в интерпретации данных по коле-
колебаниям атомов, полученных с помощью комбинационного рас*
сеяния света, инфракрасного поглощения и рассеяния нейтро-
нейтронов. Причиной такого положения является пока неразделимое
смешивание дальнодействующих и близкодействующих элек-
электронных взаимодействий и существование доминирующего
вклада близкодействующих сил в колебательные свойства кова-
лентно связанных твердых тел. Подобные рассуждения лежат
в основе дальнейшего рассмотрения.
Кремний и германий могут быть приготовлены в виде тонких
аморфных пленок несколькими методами. Общей чертой боль-
большинства успешно применяемых способов осаждения является
конденсация распыленных атомов или малых групп атомов (на-
(например, пара) на сравнительно холодной подложке. В типичных
244
Глава 5
случаях температура подложки не выше 450 °С для Si и 250 "С
для Ge, хотя на практике пределы температуры могут изме-
изменяться на сотни градусов в зависимости от метода приготовле-
приготовления, материала подложки, скорости осаждения и присутствия
примесей. Обычно используемыми методами приготовления
[5.1, 5.18] являются испарение с последующим осаждением
пара, катодное распыление при постоянном или переменном токе
в разряде в инертном газе, ионная бомбардировка кристалличе-
кристаллической поверхности с большой дозой облучения, пиролитическое
разложение и разложение в тлеющем разряде силана (SiH4)
или германа (GeH*) и электролитическое осаждение. В общем
случае аморфные Si или Ge не могут быть получены с помощью
обычного процесса приготовления стекла посредством охлажде-
охлаждения расплавленной фазы для образования вязкого стеклообраз-
стеклообразного состояния. Это обусловлено тем, что атомы Si и Ge не свя-
связаны ковалентно в жидкой фазе и расположены в плотно упа-
упакованной металлической конфигурации. Близкий порядок
в твердых аморфных Sf и Ge больше похож на их ковалентно
связанные кристаллические фазы со структурой алмаза. Ана-
Анализ парных корреляционных функций, проведенный на основе
дифракционных данных, показал, что ковалентные связи между
ближайшими соседями, т.е. тетраэдральная координация и
длины связей, в основном идентичны в кристаллических и
аморфных Si и Ge [5.1]. Это сохранение ковалентцой связи ясно
видно из исследований комбинационного рассеяния света, опи-
описываемых в настоящей главе. На расстояниях больших, чем до
четырех ближайших соседей, искажения возрастают и парная
корреляционная функция теряет свои отчетливые пики для
атомных расстояний, больших 12—14 Д. Точное расположение
атомов в пределах корреляционной области в 12—14 А привело
к многолетним спорам о пригодности микрокристаллической мо-
модели или модели с беспорядочной сеткой [5.19]. Аналогичные
споры возникали также по поводу структуры SiO2 и подобных
стекол. Спектры комбинационного рассеяния света и инфракрас-
инфракрасного поглощения а—Si и а — Ge лучше соответствуют модели
сетки и могут дать некоторую информацию о параметрах ши-
широко применяемых плотных беспорядочных сеток. Однако важно
отметить, что не существует какой-либо одной универсальной
модели сетки или микрокристаллической модели. Есть надежда,
что исследования комбинационного рассеяния света смогут по-
помочь сравнить различные модели с результатами экспериментов.
Спектры комбинационного рассеяния света получены и для
некоторых других материалов IV группы, которые были приго-
приготовлены в виде аморфных пленок, например С, SiC, сплавы
Ge — Si и Ge — Sn. Предполагается, что все эти аморфные по-
полупроводники, за исключением аморфного С(а — С), обладают
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 245
тетраэдральной координацией. Спектры комбинационного рас-
рассеяния света использовались для проверки этих представлений
о структуре.
5.1.2. Спектры комбинационного рассеяния света
аморфных Si и Ge
Имеются два общих и важных физических результата, кото-
которые могут быть получены из экспериментальных спектров ком-
комбинационного рассеяния света аморфных Si или Ge.
1) Спектр комбинационного рассеяния первого порядка от-
отражает весь колебательный энергетический диапазон, тогда как
в соответствующем кристаллическом состоянии в рассеянии
света активны только оптические фононы в центре зоны Брил-
люэца.
2) Наблюдаемый спектр комбинационного рассеяния описы-
описывает основные черты плотности колебательных состояний аморф-
аморфного вещества, которая очень похожа на плотность состояний
соответствующего кристалла.
Спектры комбинационного рассеяния аморфных Si и Ge,
а также ряда аморфных полупроводников III—V групп пер-
первыми наблюдали Смит и его сотр. [5.20]. Непосредственная за-
запись типичного низкотемпературного B7 К) спектра аморф-
аморфного Si представлена на фиг. 5.1. Из E.2) можно видеть, что
стоксов спектр комбинационного рассеяния первого порядка
пропорционален множителю «(а, Г)+1, где я(ш, Т) — распре-
распределение Бозе — Эйнштейна при температуре Т для колебатель-
колебательной энергии ш. Антистоксов спектр пропорционален просто
п (ш, Т) и исчезает, когда функция распределения стремится
■, яг
Фиг. 5.1. Спектр комбинационного рассеяния света аморфного Si при 27 К
[5.20].
a—SI выл приготовлен посредством ноавой бомбардировки. СавКТР получен арн рассеяния
назад, длина аодны лазерного излучения 488 мкм. мощность 0,25 Вт.
246
Глава 5
к нулю при понижении температуры. При 27 К и © > 100 см™1
п(&, Т)'"£. 1 (что можно видеть по отсутствию антистоксова
спектра) н стоксов спектр не зависит от функции распределе-
распределения. Следовательно, представленный спектр отличается от плот-
плотности колебательных состояний только присутствием слабо ме-
меняющихся множителей, соответствующих дисперсии электронно-
колебательной связи. Смит и др. обнаружили, что при энергиях
меньше 550 см~' этот спектр рассеяния имеет сходство с плот-
плотностью колебательных состояний кристаллического кремния, и
они сделали предположение, что 1) дисперсия электронно-коле-
электронно-колебательной связи мала, 2) колебательные спектры аморфной и
кристаллической фаз кремния очень похожи. Непрерывный
спектр, расположенный по энергии выше спектра первого по-
порядка вплоть до 1050 см-1, вероятно, соответствует рассеянию
второго порядка. Это подтверждается температурной зависи-
зависимостью. Анализ Албена и др. [5.21], который мы обсудим
в п. 5.1.3, также подтверждает основные предположения о сла-
слабой зависимости от частот колебаний электронно-колебатель-
электронно-колебательной связи, что позволяет измерять плотность колебательных
состояний.
Общей проблемой при изучении аморфных материалов яв-
является разнообразие результатов, получаемых на различных об-
образцах [5.18]. Смит и др. [5.20] и Уил и др. [5.22] провели
различные эксперименты, чтобы установить, что получаемые
спектры характерны для аморфных Ge и Si и не зависят от
метода и температуры приготовления. Смит и др. [5.20] полу-
получали аморфный Si на поддожках, имеющих температуру от 300
до 750 К. Кроме того, применялись следующие методы приго-
приготовления аморфного материала: осаждение из пара Si или Ge-,
осаждение Si из газовой фазы посредством разложения SiH4,
высокочастотное распыление Si или Ge, бомбардировка ионами
высоких энергий поверхностей монокристаллов Si или Ge.
В спектрах комбинационного рассеяния существенных.различий
не наблюдалось. Уил и др, [5.22] наблюдали различие в 2—3%
в положении высокочастотного пика в аморфном Ge, приготов-
приготовленном электролитическим методом и другими методами (ка-
(катодное распыление или испарение), и связали это с различием
в плотности. Однако это малое различие, по-видимому, не имеет
большого физического значения.
Насколько нам известно, на образцах, приготовленных и
поддерживаемых при температурах ниже комнатной, не прово-
проводилось структурных исследований или исследований комбина-
комбинационного рассеяния света. Это является важным упущением,
так как возможно, что в пленках, охлажденных до очень низ-
низких температур, могут происходить изменения в ближнем по-
порядке.
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 247
0 100 200 300 400 500 600
Энергия, см-'
Фиг. 5.2. Верхняя часть. Приведенный спектр комбинационного рассеяния
света {штриховая линия) аморфного Si, полученный из данных при комнат-
комнатной температуре [5.20].
Для сравнения представлена также зэвясвыоегь постоянной поглощений икфпакраг.ного
излучения от энергии при комнатной температуре (еллошяан дивнн) [5.27]. Максимальное
значение постоянной поглощения 360 см~'. Вертикальная штриховав лнннв соответствует
лоложеянш резкого максимума в олнофоконном спектре комбинационного рассеивая
Т | Р
Нижняя часть. Плотность состояний кристаллического Si {штрихован линия),
полученная с помощью оболочечной модели из данных по рассеянию ней-
нейтронов [5.24].
Сплошная линия представляет собой плотность состониий кристалла, ушнренвую посред-
посредством свертка с гауссовой функцией с полушириной 25 см~' I5.20].
В верхней части фиг. 5.2 представлен приведенный спектр
комбинационного рассеяния света аморфного Si [5.20]. Приве-
Приведение спектра соответствует умножению стоксова спектра на
множитель ш/[п(ю, Г)+ I] [см. E.5)]. Шукер и Гамон [5.15,
5Д6] показали, что в отсутствие влияния различия матричных
элементов форма такого приведенного спектра должна быть
идентична форме плотности колебательных состояний. На
фиг. 5.3 представлены подобные данные для аморфного Ge
[5.23]. Результаты Уила и др. [5.22] находятся в хорошем со-
согласии с результатами, представленными на фиг. 5.3. В нижней
248
Глава 5
О 50
100 150 ~300 250 300 350
Энергий, см~'
Фиг. 5.3. Верхняя часть. Приведенный спехтр комбинационного рассеяния
света {штриховая линия) аморфного Ge, полученный иа данных при комнат-
комнатной температуре [5.23].
Для сравнения представлена также зависимость постоянной поглощения и а Фрак раскосо
излучения от энергии при комнатной температуре [5.271. Максимальное значение постоян-
постоянной поглощения 170 см. Вертикальнее щтрихоаав линия соответствует положению
резкого максимума в оДнофононном спектре комбинационного рассеяния света а кри-
кристалле Ge.
Нижняя часть. Плотность состояний кристаллического Ge {штриховая линия),
полученная с помощью оболочечной модели из данных по рассеянию нейтро-
нейтронов [5.24].
Сплошная линия представляет собой плотность состояний кристалла, уширенную посрел.
стбом свертки с гауссовой функцией с полушириной 25 см™ |5.20].
части фиг. 5.2 и 5.3 представлены плотности колебательных со-
состояний кристаллов [5.24], а также плотности состояний с уче-
учетом уширения. Очевидно, что общие черты приведенных спек-
спектров комбинационного рассеяния света хорошо соответствуют
спектру плотности колебательных состояний кристалла, хотя
низкочастотные моды приведенного спектра комбинационного
рассеяния несколько ослаблены,
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
249
В дополнение к комбинационному рассеянию света подобная
информация о плотности колебательных состояний а — Si и
а — Ge была получена с помощью инфракрасной спектроскопии
[5.25—5.27]. Менее подробные результаты были также полу-
получены с помощью методов туннелирования электронов низкой
энергии [5.28], энергетических потерь электронов высокой энер-
энергии [5.29] и рассеяния нейтронов [5.30],
Ланннн [5.31—5.33] исследовал частотную зависимость по-
постоянных связи Сь в E.2). Он обнаружил, что в спектральной
области, где может выполняться дебаевское приближение
£*(ю)~ ш2, ю'<<?65 см Для Si и ш.^/35 см~' для Ge, Сь(ш)~
~ ю* как для a —Si (фиг, 5.4), так н для й —Ge. Некоторые
авторы [5.26, 5.34, 5.35] пытались рассчитать спектральный вид
Сь, и их результаты находятся в общем согласии с наблюде-
наблюдениями Ланнина. Если Сь{а) пропорциональна ш2 для малых со и
если имеется подобная простая аналитическая форма для низ-
низкочастотного инфракрасного поглощения, то возможно количе-
количественное сравнение функций плотности колебательных состоя*
Фиг. 5.4. Зависимость интенсивности комбинационного рассеяния света (точ-
(точки) аморфного Si от юэ[п{«, 7")+ I] для низких частот [5.32].
250
Глава 5
ний, полученных с помощью комбинационного рассеяния света,
инфракрасного поглощения н рассеяния нейтронов. Коннел
[5.36] предположил, что С»(ш)~ о2, тогда из E.2) следует
[«(со,
E.6)
для интенсивности стоксова рассеяния /(м) при достаточно низ-
низких частотах. Здесь £д(со) есть плотность колебательных со-
состояний, соответствующая комбинационному рассеянию света
е поправками на влияние матричных элементов. Коннел также
использовал выводы Преттла и др. [5.26], которые предсказали,
что коэффициент инфракрасного поглощения света а(и) может
быть выражен через плотность состояний, соответствующую ин-
инфракрасному поглощению:
Sir (и)
E.7)
На фиг. 5.5 мы воспроизводим сравнение [5.36] функций
£«(м) и gj«(w) с плотностью gn(a>) колебательных состояний,
соответствующей рассеянию нейтронов и полученной Эксом
и др. [5.30] для аморфного Ge. Все три типа измерений дают
пик в g(u>) вблизи 88 см~1. Затем Коннел использовал g(ta) для
анализа данных Кинга и др. [5.37] по удельной теплоемкости
и обнаружил, что он может объяснить понижение дебаевской
температуры аморфного Ge по отношению к кристаллическо-
кристаллическому Ge. ,
£ 40
a
- • J
-
i—
—r r 1
■mPs
Г
T
■■ i .
<
0 20 40 fiP 50 100
Энергия, ш~'
Фиг. 5.5. Плотность колебательных состояний аморфного Ge. полученная
[5.36] из данных по комбинационному рассеянию света [5.31] {I), инфра-
инфракрасного поглощении [5.25] B) н рассеяния нейтронов [5.30] C).
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
251
Вопрос о форме спектра комбинационного рассеяния при
низких частотах не относится только к аморфным полупровод-
полупроводникам. В-действительности Шукер и Гамон первоначально при-
применили свой анализ к стеклообразному S1O2. Xacc [5-7] указал,
что пренебрежение коэффициентом заселенности состояний
Бозе — Эйнштейна приводит к неправильной интерпретации бо-
более ранних высокотемпературных измерений в области низко-
низкочастотного спектра [5.38]. Другой пример вывода и применения
E.2) был дан Баркером [5.39] для случая низкочастотных мяг-
мягких мод, связанных с сегнетоэлектрическими фазовыми пере-
переходами. Баркер также сравнивает информацию, получаемую
с помощью комбинационного рассеяния света и инфракрасного
поглощения. Однако результаты Шукера и Гамона [5.40] по
удельной теплоемкости а — SiO2 [5.38] находятся в противоре-
противоречии с анализом данных по удельной теплоемкости а — Ge, про-
проведенным Коннелом [5.36]. Шукер и Гамон предполагали, что
постоянная связи Сь не зависит от частоты, в то время как Кон-
пел предполагал существование квадратичной зависимости,
предложенной Ланнином [5.31]. Результаты обеих работ нахо-
находятся в хорошем согласии с данными по удельной теплоемкости
в температурном интервале от 3 до 15 К, хотя результаты Шу-
Шукера и Гамона могут быть несколько улучшены при учете ча-
частотной зависимости Сь. Чтобы сделать надежные заключения,
необходимо провести более детальный анализ постоянной связи
при низких частотах в аморфных материалах.
Комбинационное рассеяние света может успешно использо-
использоваться для изучения одного из наиболее интересных методов
приготовления аморфных Si или Ge, а именно ионной бомбар-
бомбардировки [5.20, 5.23. 5.41—5.43]. При больших дозах облучения
порядка 1015 ион/см2 или больше на поверхности кристалла-ми-
шенй образуется непрерывный аморфный слой. Толщина слоя
зависит от массы и энергии падающих ионов. В случае кремния
аморфный слой толщиной около 0,5 мкм образуется при полном
потоке ионов не менее 10lS ион/см2 при использовании ионов Si28,
ускоренных до 300 кэВ. Механизм образования слоя пока неиз-
неизвестен, т. е. мы не знаем, растет ли аморфный слой из перекры-
перекрывающихся цилиндрических областей повреждения вокруг каж-
каждого ионного трека или же сначала образуется в глубине тонкий
аморфный слой, который растет, сохраняя плоскость симметрии,
по направлению к поверхности. Чтобы определить механизм
роста аморфного слоя, Бургуан и др. [5.43] зондировали обла-
области кремция, поврежденные ионной бомбардировкой, с помощью
комбинационного рассеяния света. Удобством этого метода яв-
является то, что с его помощью можно одновременно наблюдать
резкий максимум, соответствующий рассеянию в кристалличе-
кристаллической фазе с частотой 522 см-1, и непрерывный спектр аморфного
252
Глава 5
Энергия,см
ЛЕ, зв/см'3
Фиг. 5.6. а —спектры комбинационного рассеяния, полученные с поверхности
монокристалла Si до и после облучения возрастающими дозами облучения
ионами аргона энергии 70 кэВ. Верхний и нижний спектра характеризуют
соответственно кристаллическую и аморфную фазы; б — сигнал спинового
резонанса (!) и интенсивность комбинационного рассеяния света B) как
функции суммарной энергии бомбардирующих ионов [5.43].
Si с широким пиком при 480 см™1. Бургуан и др. [5.43] сравнили
ионные дозы, необходимые для достижения насыщения в об-
образовании спектра рассеяния, соответствующего аморфному ма-
материалу, с ионными дозами, необходимыми для аналогичного
насыщения сигнала электронного спинового резонанса (ЭПР)
(фиг. 5.6). Сигнал ЭПР, который соответствует нарушенным
связям [5.44, 5.45], требует больших доз для насыщения.
Спектры комбинационного рассеяния света показывают, что по-
посредством ионной бомбардировки образуется непрерывный
аморфный слой, который затем при продолжающемся облуче-
облучении повреждается еще сильнее. Это заключение согласуется
с другими измерениями повреждений, обусловленных ионной
бомбардировкой аморфного Si [5.46].
Как было показано выше, а также а других исследованиях
[5.23], комбинационное рассеяние света является уникальным
методом для определения в образцах аморфного Si или Ge сле-
следов кристаллической структуры. В лаборатории фирмы IBM
мы обычно исследуем осажденные образцы Si посредством ком-
комбинационного рассеяния света. Наличие резкой линии 522 см-1
в спектре рассеяния указывает на присутствие кристаллической
структуры и является причиной отказа от образца как не пол-
полностью аморфного. Такие же результаты могут быть получены
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
253
с помощью дифракции рентгеновских лучей, но в случае тонких
пленок Si спектр комбинационного рассеяния в нужной области
может быть получен в течение 5 мин, тогда как метод дифрак-
ции рентгеновских лучей требует нескольких часов. Аналогич-
Аналогичным образом можно изучать индуцированную кристаллизацию
аморфных материалов, вызываемую, например, отжигом [5.47]
или световыми и тепловыми воздействиями падающего лазерного
луча, используемого для опытов по рассеянию [5.48]. Пример
будет дан ниже в п. 5.2.5.
До настоящего времени мы не обсуждали спектра комбина-
комбинационного рассеяния света аморфного углерода (а —С). Аморф-
Аморфный углерод во многих отношениях подобен а— Si или о — Ge,
но исследования с помощью комбинационного рассеяния света
[5.23, 5.41, 5.42, 5.49—5.51] показали, что о—С не обладает
настоящей тетраэдральной связью с таким же ближним поряд-
порядком, что и алмаз. Спектр комбинационного рассеяния света по-
показывает, что бесструктурная функция плотности состояний
1.0
Облученный, ионами
— Алмаз
— Графит
\Грщат
XTL .
1000 1500
Энергия, см'1
ZOOU
Фиг. 5.7. Спектры комбинационного рассеяния света слоев, образованных бом-
бомбардировкой ионами высоких энергий алмаза и графита.
Указаны положения лнннй первого порядка соответствующих кристаллов. Данные полу-
получены пра рассеянии назад 15.42].
234
Глава S
а—С больше соответствует графиту, чем алмазу. На фиг. 5.7
представлены спектры комбинационного рассеяния двух образ-
образцов а —С, одного, приготовленного ионной бомбардировкой ал-
алмаза, другого — ионной бомбардировкой графита [5.42]. Видно,
что оба образца дают в основном одинаковые спектры, за исклю-
исключением того, что в первом образце имеется сильная линия, со-
соответствующая кристаллу алмаза и появляющаяся вследствие
того, что лазерный луч проходит через аморфный слой. Указаны
также частоты фононов вблизи центра зоны Вриллюэна, актив-
активных в комбинационном рассеянии света в алмазе и графите. Эти
частоты приблизительно соответствуют максимальным частотам
фононов в этих кристаллах. В отличие от случая а — Si
(фиг. 5.2) мы видим, что спектр комбинационного рассеяния
а — С не может быть хорошо представлен уширенным вариан-
вариантом плотности колебательных состояний алмаза, и мы приходим
к выводу, что ближний порядок в а — С больше похож на ближ-
ближний порядок в графите. Этот вывод подтверждается результа-
результатами других исследований спектров комбинационного рассея-
рассеяния света различных форм стеклообразного углерода [5.49—
5.51].
5.1.3. Количественная теория
Интуитивно легко понять. 1ito колебательные спектры кова-
лентпо связанных аморфных твердых тел с большой вероят-
вероятностью должны быть очень похожи ца спектры соответствующих
им кристаллов вследствие сохранения ближнего порядка. Это
следует из ярко выраженного короткодействующего характера
ковалентных сил и доминирующего влияния короткодействую-
короткодействующих сил на колебательные спектры. Для подобной аморфной
системы естественным является использование ограниченного
числа постоянных для короткодействующих сил и последующий
расчет колебательных спектров. На практике требуются гро-
громоздкие расчеты, так как необходимо использовать модель со
значительным числом атомов, чтобы полученные результаты
в действительности характеризовали аморфное твердое тело,
а не просто молекулоподобную группу атомов. Белл и Дин
[5.4, 5.5] провели подробный анализ такого вида для SiO2. и
в более позднее время Албен и его сотрудники [5.21, 5.52, 5.53]
рассчитали колебательные спектры для различных моделей
аморфных Si и Ge. Кроме того, Албен н др. рассчитали спектры
комбинационного рассеяния света, инфракрасного поглощения
и неупругого рассеяния нейтронов для моделей, основанных на
простых интуитивных представлениях о распределении связей.
Наже мы обсудим их предположения и результаты расчетов.
Известно, что для кристаллических Si и Ge любая из не-
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 255
скольких существующих моделей растяжения и изгибания свя-
связей с ближайшими соседями может объяснить основные особен-
особенности колебательных дисперсионных кривых. Чтобы получить
точные дисперсионные кривые, необходимо учитывать более
далекие взаимодействия, но основные физические свойства хо-
хорошо описываются короткодействующими силами. Албен и др.
предпочли использовать потенциальную энергию короткодей-
короткодействующего взаимодействия в форме Китинга [5.54]
1
/ {ДД')
<5-8>
,где а и р — силовые постоянные для растяжения и изгиба связи
соответственно. Здесь гд(/)—единичный вектор, направленный
из положения равновесия атома / к его соседу /Д; и( и и;д — сме-
смещении атома / и его соседа /Д. Используя приведенный выше
вид U и некоторые модели аморфного состояния, которые были
выбраны из-за их физического соответствия и удобства расчета,
Албен и др. [5.51] рассчитали собственные значения колеба-
колебательной энергии и собственные векторы для длинноволновых
колебаний. Частоты длинноволновых колебаний дают удовлетво-
удовлетворительную информацию обо всем колебательном спектре, как
это можно видеть из схемы, приведенной на фиг. 5.8. На
фиг. 5.8, а представлены дисперсионные кривые, описывающие
зависимость энергии Е от волнового вектора ц в некотором про-
произвольном направлении ц в кристалле, таком, как, например, Si,
со структурой алмаза с двумя атомами в элементарной ячейке.
Имеются только п X 3 = 6 собственных значений колебательной
энергии в длинноволновом пределе, когда q —♦ 0. Однако если
мы, 'например, исказим кристалл таким образом, чтобы элемен-
элементарная ячейка удвоилась, что соответствует Si со структурой
«вюрцита» [5.55], то размеры зоны Бриллюэна уменьшатся в
два раза. На фиг. 5.8,6 показано, как дисперсионные кривые
переносятся в первую зону и в атом случае появляется лХЗ =
= 12 фононных ветвей в центре зоны Бриллюэна. Наконец, на
фиг. 5.8, в показано, как в случае, если элементарная ячейка
содержит много атомов, в центре зоны появляется много фонон-
фононных мод, которые в совокупности адекватно представляют плот-
плотность состояний всего колебательного спектра. Албен и др. [5.53]
использовали несколько периодических моделей аморфных Si
или Ge, которые имели около 60 атомов в элементарной ячейке;
каждый атом имел слегка искаженное тетраэдральное окруже-
окружение. Хотя эти модели были периодическими и, следовательно,
строго говоря, кристаллическими, наличие шестидесяти атомов
256
Глава 5
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
25?
Фиг. 5.8. Схематическое представление «складывания» кривых зависимости
энергии от волнового вектора при увеличении числа атомов в элементарной
вчейке.
й~дисперсионные кривые длн двуя атомов в элементарной ячейке, например SI со струк-
структурой алмаза; б~дисперсионные кривые лля четырех атомов в влементариой ячейке,
например St со структурой вйэртцита (сплошные линии); в—дисперсионные кривые длн
шестнадцати атомов в элементари&й ячейке, например периодически модель аморфного S1
с шестнадцатью атомами (сплошные линии). Штрвховые линии вбив представляют собой
дисперсионные кривые Ллн случаи двух атомов в элементарной ячейке.
в элементарной ячейке давало возможность определения полной
плотности состояний, возможность проведения расчетов и соот-
соответствовало достаточной степени неупорядоченности в пределах
элементарной ячейки, чтобы давать реальную модель аморфного
твердого тела. В то время как изолированные группы атомов
примерно такого же размера, как эти элементарные ячейки,
также можно использовать в расчете, их недостатком является
то, что они не имеют хорошо определенных и реальных гранич-
граничных условий для внешних атомов, как это имеет место прв рас-
рассмотрении периодической структуры. Однако Албен и др. [5.53]
рассчитали также плотности состояний для различных неперио-
непериодических моделей с группами атомов и получили в основном
такие же результаты, учитывая, конечно, некоторым образом
граничные эффекты. Недавно Торп [5.56] предложил новый ме-
метод рассмотрения граничных ятомов малых групп атомов (см.
п. 5.1.4).
На фиг. 5.9, в представлены результаты расчетов плотности
состояний для периодической структуры с 61 атомом в ячейке.
Силовые постоянные аир выбраны таким образом, чтобы они
соответствовали дисперсионным кривым кристаллического крем-
кремния. На фиг. 5.9, г и д показаны также результаты расчетов
спектров инфракрасного поглощения и комбинационного рассея-
рассеяния света. Албен и др. произвольно выбрали наиболее простые
механизмы для инфракрасного поглощения и комбинационного
рассеяния света. Предполагаемый ими механизм инфракрас-
инфракрасного поглощения, иллюстрируемый на фиг. 5.10, полностью об-
обусловлен дипольным моментом пар связей и пропорционален
разнице в сжатии (или растяжении) соседних связей. Общая
интенсивность инфракрасного диполыгого поглощения рассчи-
рассчитывается при каждой частоте посредством суммирования по
всем парам связей. Естественно, что эта сумма стремится к нулю
Плотносщь
состояний
ZOQ 400 600
20S 400 В0О
Энергия, см-'
200 400
Фиг. 5.9. Сравнение теоретичной [5.2]] модели периодической непрерывной
беспорядочной сет^и (НБС) для аморфного Si [5.211 с данными по комби-
комбинационному рассеянию света и инфракрасному поглощению, представленными
iia фиг. 5.2.
Теоре
ие спектры получены посредством суммирования взвешенных лоренцовых
колебаний а ч=0. Весовые множители дартся выра жениими E.9)—EЛ2), как
еисте
9 Зак. ЦГ5
258
Глава 5
М.
Фиг. 5.10. Схематическое представление механизма, описываемого E.9), для
появления активности н инфракрасной поглощении.
Во время колебания связанный заряд движется от растянутой сняан к сжатой, что вызы-
вызывает появление локального электрического двпольного момента М. Локальные моменты
компенсируют друг лруга прн колебаниях кристаллической структуры типа влмааа, но оаи
не компенсируются в аморфной структуре.
для кристаллического Si, как и должно быть для всех гомопо-
лярных кристаллов с менее чем тремя атомами в элементарной
ячейке [5.57]. Инфракрасное поглощение пропорционально
"<"'> E.9)
где М есть результирующий дипольный момент, возникающий
вследствие переноса заряда от растянутой к сжатой связи.
Активность в комбинационном рассеянии света обусловлена
индуцированной поляризуемостью, которая должна быть тен-
тензором второго ранга, линейным относительно смещений ii/, Ал-
бен и др. [5.21, 5.52, 5.53] выразили эту поляризуемость в виде
суммы вкладов от отдельных связей, подразумевая существо-
существование инвариантности по отношению к трансляциям и инвер-
инверсиям. Они ввели также еще одно ограничение, сделав предпо-
предположение о наличии цилиндрической симметрии вокруг связи,
так что каждая связь могла рассматриваться в точности как
гомополярная диатомная молекула. В конце концов они полу-
получили три независимых выражения для поляризуемости:
°1=£[гд<О'д(о-т1]и(-гА«>. EЛ°)
<5Л1>
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
259
Следует отметить, что первое и третье выражения зависят только
от сжатия (и; — и;й)-гд(/) каждой связи. Имеется важное раз-
различие между первым выражением и двумя другими. Два по-
последних выражения становятся равными пулю в случае совер-
совершенной тетраэдральной связи, так как в этом случае
?гд@=0. E.13)
Первое выражение, с другой стороны, имеет квадратичную за-
зависимость От векторов связи Гд(/) и, следовательно, не обра-
обращается в нуль. Если Y, гд @ очень мала для данной струк-
д
туры, очевидно, что аг и аз будут давать малый вклад в комби-
комбинационное рассеяние света. Однако для рассматриваемых струк-
структур /_, г. (/) в типичном случае имеет величину порядка 0,2 от
д
расстояния между ближайшими соседями и нельзя пренебре-
пренебрегать а2 и аз на основании приближенной симметрии.
Весовые множители различных вкладов в комбинационное
рассеяние света определялись следующим образом. Механизм
рассеяния, обусловленный «з, характеризуется нулевым деполя-
ризационным отношением. Тот факт, что наблюдавшийся спектр
имел одинаковый вид в поляризации НН (падающий и рассеян-
рассеянный свет поляризованы параллельно друг другу) и в поляриза-
поляризации HV (падающий и рассеянный свет поляризованы перпен-
перпендикулярно друг другу) с деполяризациопным отношением
0,8 ± 0,1 [5.20, 5.32], указывает на то, что поляризуемость аз
должна иметь нулевой весовой множитель, Остается определить
только (за исключением общей шкалы) отношение коэффициен-
коэффициентов у а, и а2- Поляризуемость at хорошо описывает высокоча-
высокочастотную половину спектра, но дает слишком малый вклад к низ-
низкочастотную половину. Учет аг исправляет этот недостаток.
В расчетах, представленных на фиг. 5.9, д, использовалось от-
отношение 3 : I для весовых множителей у «i и аг соответственно,
В заключение можно сказать, что количественная теория
комбинационного рассеяния света в аморфных Si и Ge хорошо
согласуется с опытом при наличии всего лишь одного подго-
подгоночного параметра. Эта подгонка необходима, так как пока еще
нет теории, дающей отношение интенсивностей рассеяния, обус-
обусловленных теми двумя типами деформации связей, которые со-
соответствуют экспериментальным данным,
5.1.4. Другие теоретические методы
Торп [5.56] предложил другой метод получения физически
пригодных граничных условий для свободных связей поверх-
поверхностных атомов. Он использовал малые группы атомов [5.58]
260
Глава 5
для расчета колебательных спектров. В методе Торна рассма-
рассматривается малая группа атомов, расположенная в бесконечном
твердом теле, представленном средним потенциалом. Каждый
атом на поверхности имеет приложенной дополнительный по-
потенциал такой величины, что поверхностный атом и атом в объе-
объеме имеют в среднем одинаковые среднеквадратичные смещения.
Внутри группы атомов для расчета плотности колебательных
состояний применяется модель Борна [5.59] с взаимодействием
между ближайшими соседями. До настоящего времени эта мо-
модель применялась к группе из одного атома, к группе в виде
гексагонального «стула» из шести атомов и к группе в виде коль-
кольца из пяти атомов. Проводился лишь расчет плотности состоя-
состояний, но эта модель может быть использована и для расчета ин-
интенсивности комбинационного рассеяния света.
Фон Хаймендал [5.35] и Митра и др. [5.60] попытались рас-
рассчитать колебательные спектры с помощью методов, которые
основаны па уширении спектров кристаллов в соответствии
с уширением парной корреляционной функции. Фон Хаймендал
[5.35] использовал собственные векторы решетки, узлы которой
списываются посредством гауссовой функции распределения
р (г - х) = (ясйс)" Vl ехр [- (г - х)я/<Ас],
E.14)
где г — реальные векторы решетки, х — положения атомов по
отношению к локальной системе координат, расположенной
в узле аморфной системы, и а — «параметр беспорядка в рас-
расположении». Тетраэдры, расположенные в узлах х, также раз-
упорядочены по углам по отношению к своим соседям. Для рас-
расчета собственных векторов использовалась модель Китинга
[5.54]. Тензор комбинационного рассеяния света первого по-
порядка рассчитывался на основе поляризуемости одной связи
гд (п) -u(n)t
E.15)
где гь(п)а — декартовы координаты компонент векторов, соеди-
соединяющих положение равновесия атома с его ближайшими сосе-
соседями D = 1,2,3,4). Смещение атома п есть и(п). Одним из глав-
главных результатов расчета является то, что прямо пропорциональ-
пропорциональная зависимость интенсивности приведенного спектра комбина-
комбинационного рассеяния света от ш2 в области низких частот полу-
получена аналитически.
На фиг. 5.П представлены результаты для a— Si или a— Ge
при соответствующем выборе параметров беспорядка по поло-
положению и углу. Из сравнения с фиг. 5.2 можно видеть, что основ-
основной вид приведенного спектра комбинационного рассеяния света
воспроизводится.
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
261
Фиг. 5.11. Расчетный спектр комбцпаиионного рассеяния света [5.351' Для си-
системы тетраэдральных элементов, расположенных беспорядочно по положе-
положению п углу относительно друг друга.
Сравнить с фиг. 5.2 и 5.3; од есть частота линии комбинационного рассеяния а кристалле.
Митра и др. [5.60] предположили, что в спектрах а — Si и
а — Ge появляется уширенная линия, которая обусловлена влия-
влиянием неупорядоченности на узкую линию в спектрах комбипа-
комбипационпого рассеяния света соответствующих кристаллов. В до-
дополнение к этой широкой линии, расположенной в области вы-
высоких частот, имеется часть спектра, обусловленная неупоря-
неупорядоченностью, появляющаяся вследствие нарушения правил от-
отбора по волновому вектору. Авторами используется метод с под-
подгоночным параметром для вычитания вклада широкого главного
пика и определения вклада, обусловленного неупорядоченно-
неупорядоченностью. Этог вклад сравнивается с инфракрасным спектром, кото-
который полностью обусловлен неупорядоченностью в случае гомо-
полярных а — Si и а — Ge. Хотя сообщается о полном согласии
с опытом, в этом методе имеются некоторые недостатки. Во-пер-
Во-первых, Митра и др. [5.60] произвольно предположили, что 70%
главного широкого пика в спектре комбинационного рассеяния
света й —Ge обусловлены механизмом уширения и 30% обуслов-
обусловлены вкладом комбинационного рассеяния, возникающего вслед-
вследствие неупорядоченности. Во-вторых, уширенный за счет неупо-
неупорядоченности максимум комбинационного рассеяния расположен
при заметно меньшей частоте, чем частота активных в комбина-
комбинационном рассеянии света фононов кристалла с нулевым волно-
волновым вектором. Одно лишь уширение линии не может объяснить
сдвига в положении максимума [5.41].
Уиэр и Албен [5.61] сформулировали теорему, которая по-
полезна для понимания общих свойств плотности колебательных
состояний тетраэдрально связанных твердых тел. Эта теорема
может быть применена, например, к приведенному спектру ком-
комбинационного рассеяния, показанному на фиг. 5.2 и 5.3.
262
Глава 5
Теорема Уиэра — Албена утверждает, что плотность фонон-
ных состояний системы с тетраэдральной координацией с по-
потенциальной энергией E.8) (потенциалом Китинга) должна
иметь вид, представленный в верхней части фиг. 5.12. Характер-
Характерной особенностью является наличие трех зон состояний: 1) зоны,
обозначенной ТА, которая в пределе р/а —* 0 является дельта-
функцией с максимумом на нулевой частоте, 2) зоны, обозна-
обозначенной ТО, которая в том же самом пределе превращается
в дельта-функцию максимумом при 8а, и 3) широкой зоны, обо-
обозначенной LA и LO, которая имеет такой же вид, что и плот-
плотность электронных состояний приведенного ниже «однозонного»
гамильтониана, который широко используется для расчета элек-
электронных энергетических зон в приближении сильной связи [5.62]
E.16)
Здесь / есть единичный оператор; с каждым узлом решетки свя-
связано одно состояние \1}. Каждая зона, построенная в виде функ-
функции от (о2, имеет общее число состояний, равное числу атомов.
В нижней части фиг. 5.12 представлена для сравнения плот-
плотность фононных состояний кристалла Si, полученная с помощью
подбора соответствующей оболочечнои модели к данным по рас-
рассеянию нейтронов [5.24]. Очевидно, что даже когда р/се Ф О,
имеются легко определяемые зоны, соответствующие дельта-
функциям ТА и ГО и состояниям LA и LO «одкозонного» га-
гамильтониана. В случае электронных состояний возникают дис-
дискуссии по поводу того, какой смысл имеет наблюдавшееся ис-
исчезновение в аморфном Ge глубокого минимума между двумя
максимумами плотности состояний, даваемой «одпоэоиным» га-
гамильтонианом. Например, некоторые расчеты [5.63] показы-
показывают, что минимум исчезает, если присутствуют кольца из пяти
связанных атомов наряду с кольцами из шести атомов, соответ-
соответствующими кристаллическому состоянию. Однако более позд-
поздние расчеты для электронных [5.64] и колебательных [5.53]
состояний не указывают на исчезновение минимума. Албсп
[5.65] следующим образом интерпретирует количественную тео-
теорию п. 5.1.3 и ее соответствие данным по инфракрасному по-
поглощению и комбинационному рассеянию света в аморфном Si.
В спектре аморфного вещества имеются три широких макси-
максимума. Максимум в области низких энергий соответствует ТА на
фиг. 5.12; сильный максимум в области высоких энергий соот-
соответствует смешиванию ГО-зоны и LO-части спектра «однозон-
ного» гамильтониана; средний максимум соответствует L/1-ча-
L/1-части спектра «однозонпого» гамильтониана. Эта идентификация
подтверждается подсчетом числа состояний, даваемых расчетной
моделью, которая представлена на фиг. 5.9; минимум в области
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 263
2Q0
Ш
60Q
ТО
LA LQ
200 АОО
Энергия, см-'
600
Фиг. 5.12. а — фононный спектр кубического Si со структурой алмаза сле-
следующий из модели Китинга E.8) с а = 0,495-105 дин/си и 0 = 0; 6-функции
представлены с некоторой конечной шириной, так чтобы был виден их полный
вклад [5.61];
6 — фононный спектр кубического Si со структурой алмаза, полученный
с помощью оболочечнои модели [5.24] из экспериментальных данных по рас-
рассеянию нейтронов.
350 см~' делит общее число состояний пополам. Подобная иден-
идентификация вызывает сомнения относительно правильности су-
существующей в настоящее время структурной интерпретации
плотности электронных состояний, указывающей па наличие
колец из пяти атомов в аморфном Ge и на отсутствие колец из
пяти атомов в аморфном GaAs [5.36, 5.66]. Эта интерпретация
основана на предположении, что минимум в плотности состоя-
состояний, даваемой «однозонным» гамильтонианом, существует при
отсутствии колец из пяти атомов и исчезает при их наличии.
Однако данные, представленные на фиг. 5.9, указывают, что
минимум может существовать при наличии колец из пяти ато-
атомов.
264
Глава 5
5.1.5. Аморфные соединения элементов III—V групп
Спектры комбинационного рассеяния света аморфных соеди-
соединений элементов III—V групп были получены в нескольких ра-
работах [5.20, 5.22, 5.23, 5.26, 5.31, 5.41, 5.67]. В некоторой степени
основные результаты, полученные для Si и Ge, также подходят
и для соединений элементов III—V групп. Плотность колеба-
колебательных состояний аморфных зеществ в первом приближении,
по-видимому, представляет собой уширенный вариант плотности
колебательных состояний кристалла, и, так же как и в случае
полупроводников IV группы, спектры комбинационного рассея-
рассеяния имеют структуру, характерную для всего колебательного
спектра, а не состоят всего лишь из линий, соответствующих
фононам с нулевым волновым вектором, активным а комбина-
комбинационном рассеянии света. На фиг. 5.13 представлен спектр ком-
iOO ZOO ■ 300
Энергия, см~1
400
Энергия, см-'
'иг. 5.13. а — приведенный спектр комбинационного рассеяния света аморф-
ого GaAs, полученный из данных при комнатной температуре [5.23].
Штриховые линии указывают положение активных и комбинационном рассеянии света
фонолой кристалла GaAs;
б — плотность состояний кристаллического GaAs (штриховая линия), по-
полученная с помощь^ оболочечной модели из данных по рассеянию нейтронов
[5.24].
Сплошная лилия представляет собой плотность состоя
ством свертки с гауссовой функцией с полушириной 25
кристалла,
' [5.23].
уширенную по сред.
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
265
§
!
1
=3
О;
03
1
G
а
а-InP
i i
i i i
XTAL
TOLO
АЛ
/
/
\ Р-Р
^\
\
\
1 i
t? 100 200 300 400 500
Энергия, см'1
Фиг. 5.14. Приведенный спектр комбинационного рассеяния света аморфного
ГпР [5.22].
Вертикальные штрняипунктирные линии указывают положение активных в комбинацион-
комбинационном рассеянии слета фононов кристалла 1пР. Максимум, обозначенный г — i воллзи
410 см"~ , соответствует связям фосфор — фосфор. Спектр получен при рассеянии назад.
бинационного рассеяния света аморфного GaAs, который срав-
сравнивается с плотностью колебательных состояний кристалла без
учета и с учетом уширения.
На фиг. 5-И представлен спектр аморфного InP, на котором
можно видеть интересные и пока не выясненные особенности,
характерные для многих соединений элементов 111—V групп.
В добавление к той части спектра, которая характеризует плот-
плотность колебательных состояний, имеется также дополнительный
широкий максимум, расположенный по энергии слегка выше
400 см~'. Этот максимум приписывается колебаниям фосфор —
фосфор. Проблема заключается в том, приписать ли Р — Р-связи
неоднородностям в образце, т. е. осажденному фосфору, или
считать, что имеются изолированные Р — Р-связи, разбросанные
по аморфной структуре InP. Существование или отсутствие этих
связей является важным неразрешенным вопросом для тех, кто
интересуется структурой тетраэдрально связанных аморфных
полупроводников. По всей видимости, результатов, полученных
только лишь с помощью комбинационного рассеяния света, не-
недостаточно для выяснения этой проблемы [5.36, 5-67].
5.1.6- Аморфный SIC и сплавы элементов
IV группы
Были получены спектры комбинационного рассеяния света
стехиометрических или почти стехиометрических аморфных SlC
[5.68], SiGe [5.33, 5.69] и GeSn [5.3I]. Из этих материалов
лишь SiC имеет стабильную кристаллическую структуру, хотя
и со многими вариантами политипов. SiGe как кристалл суще-
266
Глава 5
ствует только в виде сплава. Имеет место лишь очень слабая
растворимость Ge а кристаллическом Sn или наоборот. Есте-
Естественно поэтому думать, что «неправильные связи» наиболее ве-
вероятны в аморфных сплавах элементов IV группы, так как
в этом случае с точки зрения химии не имеется сильного пред-
предпочтения для «подобных связей», как в кристаллических и
аморфных соединениях элементов III—V групп. Спектры ком-
комбинационного рассеяния света SiC, SiGe и GeSn указывают на
существование трех видов связей. Например, спектр SiC [5.68]
имеет максимумы, характерные для связей Si—С, а также для
связей Si—Si и С—С. Сплавы Sii_iGe, исследовались в полной
области значений х@^.х^. 1) [5.33], и в них наблюдались
три типа связей для всех х, за исключением х = 0 или 1. Ин-
Интересно отметить, что спектры комбинационного рассеяния свега
могут давать важную информацию о короткодействующих свя-
связях, которую в общем случае трудно получить с помощью ди-
дифракционных измерений [5.69].
6.2, Аморфные халькогены и халькогениды
В этом разделе обсуждаются спектры комбинационного рас-
рассеяния стеклообразных полупроводников, содержащих S, Se или
Те. Мы сначала проведем классификацию типов рассматривае-
рассматриваемых материалов, а затем обсудим молекулярную интерпрета-
. цию их спектров. Затем будут рассмотрены по очереди три
класса материалов: элементарные халькогены, халькогениды
мышьяка и халькогениды германия.
5.2.1. Элементы IV группы в аморфных полупроводниках
В противоположность описанным выше тетраэдрально свя-
связанным полупроводникам многие из халькогенов и халькогени-
дов являются стеклами в точном значении этого слова. Они мо-
могут быть получены посредством охлаждения расплава и имеют
определенную температуру перехода в стеклообразное состоя-
состояние, при которой происходит размягчение. Кроме того, они могут
иметь непрерывный набор свойств, — от свойств, характерных
для стеклообразного твердого тела, до свойств настоящей не-
невязкой жидкости. В некоторых случаях (например, Те и
Ge^Te,) область существования аморфной фазы, зависящая
от состава и температуры, может быть расширена посредством
процессов осаждения, аналогичных процессам, описанным
в п. 5.1.1. Здесь, как и для тетраэдрально связанных материа-
материалов, колебательные спектры изучаются в основном в связи со
структурой. Изучение аморфных халькогеиидов и их соедине-
Конбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
267
ний имеет также технологическое значение. Аморфные Se и
Asi-jSe.! используются в ксерографических процессах [5.70];
из стекол на основе халькогенида мышьяка изготовляются
линзы, окна и другие компоненты для инфракрасной оптики
[5-71]; халькогениды на основе Ge—Те часто применяются как
главные компоненты сплавов, которые перспективны для ис-
использования в качестве переключающих и запоминающих эле-
элементов электронных схем [5.72]. Все эти применения зависят
от расположения атомов в структуре; спектроскопия комбина-
комбинационного рассеяния света и инфракрасная спектроскопия ши-
широко использовались для идентификации расположения атомов,
а также его изменений при внешних воздействиях.
Главное внимание мы уделим трем типам материалов. Сна-
Сначала обсудим элементарные аморфные халькогены S, Se и Те
[5.1]. Только жидкая фаза серы является аморфной; твердая
фаза имеет различные аллотропические кристаллические формы.
Селен в своих кристаллических формах является либо моно-
моноклинным с кольцами из восьми атомов, упакованными различ-
различными способами, что приводит к образованию различных алло-
аллотропических модификаций, либо он является тригональным
с бесконечными геликоидальными цепочками, плотно упакован-
упакованными параллельно одной оси. Кристаллический теллур состоит
из цепочек и имеет обычно такую же структуру, что и триго-
нальный селен. Исследование комбинационного рассеяния света
в этих веществах проводилось с целью обнаружения остатков
кристаллических структурных элементов в аморфных формах.
Затем мы обсудим стекла с мышьяком, As2S3 и AsjSeg [5.1],
которые имеют соответствующие кристаллические фазы, пред-
представляющие собой слюдообразные слоистые структуры, состоя-
состоящие из сильно связанных пирамидоподобных элементов АХ3, где
X = S или Se, которые расположены в каждой плоскости. Пло-
Плоскости в свою очередь только слабо связаны друг с другом. Из-
Измерения деполяризации спектров комбинационного рассеяния
света и расчеты на основе четырехатомной модели показали, что
эти стекла являются почти молекулярными, хотя и приведенные
спектры комбинационного рассеяния выглядят подобно уши-
уширенной функции плотности состояний кристалла. Другим под-
подтверждением остаточных молекулярных свойств является свой-
свойство дополнительности в активности в инфракрасном поглоще-
поглощении и комбинационном рассеянии света.
И наконец, мы рассмотрим халькогениды германия Gei_KY,,
где х указывает содержание S, Se или Те. Основное внимание
здесь будет сконцентрировано на несколько иных вопросах, так
как существуют еще значительные противоречия по поводу типа
ближнего порядка, существующего в аморфных сплавах Ge^Yx.
Двумя конкурирующими моделями являются молекулярные
268
Глава 5
группы GeY2 с атомами Ge с координационным числом четыре
и атомами халькогенов с координационным числом два и группы,
в которых атомы Ge и халькогенов имеют координационное
число три. Второй случай аналогичен кристаллам со структурой
мышьяка, так как при х = 0,5 соединения Gei_*Y* имеют в сред-
среднем по пять валентных электронов на атом и, таким образом,
подобны элементам V группы.
5.2.2. Интерпретация спектров комбинационного рассеяния
света на основе молекулярных моделей
Мы видели, что спектры комбинационного рассеяния света
тетраэдрально связанных аморфных полупроводников могут
быть интерпретированы на основе полной плотности колеба-
колебательных состояний трехмерной сетки, которая связывает дви-
движения атомов. Традиционный подход к изучению колебательных
спектров халькогенов и халькогенидов использует молекуляр-
молекулярную точку зрения. Луковский и сотр. [5.13, 5.73—5.75] подробно
обсудили относительные преимущества молекулярного подхода
для изучения различных аморфных систем по отношению к под-
подходу, основанному на плотности состояний. Они указали, что
спектры комбинационного рассеяния молекулярных твердых тел
часто имеют более резкие максимумы, чем максимумы, которые
можно интерпретировать с помощью функции плотности состоя-
состояний. Бродский и др. [5.47] и Смит и др. [5.76] показали, что
в молекулярном подходе имеются ограничения, обусловленные
взаимодействиями в твердом теле, и что даже для предположи-
предположительно молекулярных твердых тел, таких, как аморфные Se и
Те, применим подход, основанный на плотности состояний.
Молекулярные колебания могут наблюдаться с наибольшей
вероятностью в спектрах комбинационного рассеяния света тех
аморфных твердых тел, которые образованы из идентифицируе-
идентифицируемых, но слабо связанных между собой небольших молекулярных
элементов [5.13]. Например, тетраэдрально связанные мате-
материалы, подобные кремнезему (аморфный S1O2), являются под-
подходящими кандидатами для молекулярного анализа вследствие
относительной «мягкости» силовых постоянных для изгиба свя-
связей, соответствующих кислородным атомам, которые соединяют
сильно связанные тетраэдры SiCi. Это противоположно случаю
немолекулярного аморфного кремния, в котором соединяющие
атомы Si являются такими же, что и центральные атомы тетра-
тетраэдральных элементов SiSU. Таким образом, для объяснения
спектра a—Si необходимы полностью связанные моды, в то
время как некоторые особенности спектра о — SiO2 в области
высоких частот можно интерпретировать как молекулярные по
природе.
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
269
—______£
Ч - ЖЕ)
Фиг, 5.15. Схематическое предстзвление дисперсионных кривых (слева) и
плотности колебательных состояний (справа) для твердых тел, которые могут
изучаться посредством подхода, основанного на плотности состояний (а), или
посредством молекулярного подхода (б).
С формальной точки зрения нет очень большого различия
между этими двумя подходами. На фиг. 5.15 схематически по-
показано, как дисперсионные кривые и функции плотности состоя-
состояний могут выглядеть в двух экстремальных случаях. Представ-
Представленные дисперсионные кривые соответствуют простым кристал-
кристаллам либо с молекулярными элементами (фиг. 5.15,6), либо без
них (фиг. 5,15, а).
Посредством сглаживания функции g(E), уничтожающего
резкие сингулярности а критических точках, которые обуслов-
обусловлены лишь наличием дальнего порядка, мы привели g(E) в со-
соответствие с аморфным веществом. Взаимосвязь между атомами
на фиг. 5.15, а проявляется в относительной ширине полос, со-
соответствующих каждой ветви. В энергетическом пространстве
ни акустические, ни оптические ветви не являются узкими. На
фиг. 5.15,6 иная ситуация. Здесь разделению групп на молеку-
молекулярные элементы соответствуют почти прямые, параллельные
оси абсцисс ветви оптических колебаний. Следовательно, эти
ветви занимают лишь небольшую часть энергетического про-
пространства. В правой части фиг. 5.15 отчетливо видно, что ши-
широкие зоцы соответствуют широким максимумам в g(E) и, сле-
следовательно, в спектрах комбинационного рассеяния света, в то
время как узкие зоны соответствуют узким максимумам молеку-
молекулярного типа в g(E) и, следовательно, в спектрах комбинацион-
комбинационного рассеяния света. Спектры комбинационного рассеяния
270
Глава S
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
271
реальных молекулярных систем обычно содержат эти сравни-
сравнительно резкие и идентифицируемые характеристические макси-
максимумы, которые могут быть использованы для определения моле-
молекулярных элементов и характера близкого упорядочения в них.
Естественно, что многие авторы пытались использовать анало-
аналогичные подходы для интерпретации спектров аморфных твердых
тел. Ниже мы обсудим некоторые преимущества и недостатки
молекулярного подхода.
5.2,3. Комбинационное рассеяние света
в аморфных S, Se и Те
Сера как твердое тело имеет много аллотропических кристал-
кристаллических форм, но наиболее изученной с помощью комбинаций^
ного рассеяния света является ромбическая форма [5.77—5.80].
Ромбическая сера состоит из связанных восьмиатомных колец
(S8), которые являются молекулярными элементами. С помощью
комбинационного рассеяния света можно было идентифициро-
идентифицировать кольца S3 в аморфной (т. е. жидкой) сере, так как относи-
относительная величина внутримолекулярных ковалентных сил много
больше сил межмолекулярных взаимодействий как в кристал-
кристаллической, так и в жидкой фазах. На фиг. 5-16 представлены
данные Уорда [5.77] для кристаллической серы при 25 °С и
жидкой серы при 213 °С. Кристаллические колебательные моды
474
Энергия, см'
Фиг. 5.16, Спектры комбинационного рассеяния света серы при двух темпера-
температурах [5.77].
При 25 "С сера является кристаллом, при !13 "С — жидкостью (аморфным вещестшм).
с частотами свыше 75 см~' являются внутримолекулярными
[5.79] и хорошо сохраняются в жидкой фазе с некоторым уши-
рением, но с очень малым частотным сдвигом. Таким образом,
сера является идеальным примером, соответствующим молеку-
молекулярному случаю (п. 5.2,2). Детали относительно классификации
колебаний могут быть найдены в [5-77, 5.78].
Успех молекулярного подхода в случае серы стимулировал
многих авторов ранних работ попытаться использовать анало-
аналогичный подход для Se с целью различения колец Se от длинных
геликоидальных цепочек [5.82—5.85]. На фиг- 5.17 представлена
первоначальная интерпретация спектра комбинационного рас-
рассеяния аморфного Se. Представленные спектры получены при
температуре. жидкого гелия и соответствуют тригональному
(цепочки), а-моноклинному (кольца) и аморфному Se [5.84].
Максимум при 235 см^1 в верхнем спектре характеризует це-
цепочки в тригональцом Se. Структура вблизи 255 см~' э нижнем
спектре характеризует кольца в моноклинном a-Se. Следующим
100 200
Ssils чистоты ш~
300
Фиг, 5,17. Спектры комбинационного рассеяния света селена в трех фазах:
тригональный кристалл, аморфное вещество и иоиоклинцый кристалл [5.84].
272
Глава 5
шагом в рассуждении было идентифицировать главный пик
в спектре аморфного Se (средний спектр) как смесь пиков 235
и 255 см-1 и заключить, что аморфный Se имеет смесь колец и
цепочек [5.82, 5.84]. В дальнейшем анализе из спектров комби-
комбинационного рассеяния света попытались определить концентра-
концентрацию колец в аморфных сплавах Se—S, Se—Те и Se—As [5.85].
Хотя имеются достаточные основания [5.86, 5.87] предполагать,
что в аморфном Se присутствуют как кольца, так и цепочки,
мы увидим из последующего обсуждения, что спектр комбина-
комбинационного рассеяния света не может быть с полной достовер-
достоверностью интерпретирован столь простым образом. В сущности
проблема состоит в том, что частоты, которые характеризуют
кольца или цепочки в одном кристаллическом окружении, не
обязательно остаются неизменными, когда кольца и цепочки
переносятся в новое окружение, такое, как другая кристалличе-
кристаллическая полиморфная фаза или аморфное состояние [5.47, 5.76,
5.88],
Обычно считается, что отношение числа колец к числу цепо-
цепочек в аморфном Se изменяется при плавлении и может также
зависеть от таких параметров приготовления, как скорость ох-
охлаждения и температура расплава — при приготовлении из рас-
расплава [5.87] или температура подложки — при приготовления
осаждением из пара [5.89]. Смит и др. [5.76] наблюдали, что
относительный вклад максимумов 23о и 255 см-1 в главный
максимум не изменялся, когда аморфный Se нагревался до тем-
температуры выше температуры перехода в стеклообразное состоя-
состояние. Такое же явление было обнаружено на различных больших
образцах аморфного Se, приготовленных при разных скоростях
охлаждения, и на тонкопленочньгх образцах, осажденных из
паровой фазы на подложки при низких температурах порядка
80 К или при бысоких— порядка 320 К- При таком разнообра-
разнообразии условий изменения в спектрах комбинационного рассеяния
света, обусловленные различным вкладом колец и цепочек,
должны были бы наблюдаться, если первоначальная интерпре-
интерпретация является верной. По-видимому, как кольца, так и цепочки
дают вклад в спектр комбинационного рассеяния света аморф-
аморфного Se, но частоты и спектре рассеяния, которые им соответ-
соответствуют, неразличимы. Как кольца, так и цепочки имеют кова-
лентно связанные атомы с координационным числом, равным
двум. Угол связи в обоих случаях составляет около 105°. Доми-
Доминирующий максимум вблизи 255 см-1 может быть хорошо объ-
объяснен посредством расчета, основанного на молекулярных силах
[5.13, 5.73, 5.75, 5.88] в трехатомпой группе с двумя связями,
направленными под углом 105°. Если учесть также межмолеку-
межмолекулярные силь| (взаимодействие цепочка — цепочка), то можно
рассчитать частотные сдвиги в тригональном кристаллическом
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 273
—i—i—i—п—i—г—т—1—I—г
45 50 75 100 № 150 i?5
Сдвиг частоты, см-'
Фиг. 5.18. Спектры комбинационного рассеяния света теллура.
л —спектр комбинационного рассеяния света аа
лического (штриховая лиг[Ин) теллура [5.471
6 — приведенный спектр комбинационного рассе
а —спектр комбинационного рассеяния света аморфного (Сплошная линия! и поликпистал-
лического (штрихован лиг[Ин) теллура [5.471 (данные получены при рассеянии назадI
б вета аморфного Те.
Se [5.75, 5.88], которые, как было обнаружено, согласуются
с верхним спектром на фиг. 5.17. Как моноклинная, так и аморф-
аморфная фазы предположительно имеют очень малые межмолекуляр-
ные вклады.
В случае Те имеется еще большее различие между изолиро-
изолированными цепочками в аморфной фазе и плотноупакованными
связанными цепочками тригонального кристалла. На фиг. 5.18, а
представлен спектр комбинационного рассеяния света [5.47]
аморфного и поликристаллического Те, полученный при 77 К-
Аморфный Те кристаллизуется при 280 К, поэтому было необ-
необходимо приготовлять и поддерживать аморфный образец при
низкой температуре. На фиг. 5.18,6 показан приведенный
спектр комбинационного рассеяния света E.5) аморфного Те.
Наиболее важной особенностью приведенного Спектра является
то, что, подобно а — Si л а — Ge, спектр рассеяния в общих чер-
чертах похож на спектр полной плотности колебательных состоя-
состояний и что в отличие от а — Si и а — Ge этот спектр отличается
274
Глава 5
от уширенной функции плотности состояний соответствующего
кристалла [5.90]. Действительно, главный вклад в аморфный
спектр имеет место вблизи широкого пика при 157 см-1, частоте,
которая заметно выше, чем любое однофоцокное возбуждение
в кристалле Те. Низкотемпературные исследования фононного
спектра кристалла показывают, что плотность состояний имеет
максимум вблизи 130 см~'. Оптические фононы с волновыми
векторами вблизи центра зоны, активные в комбинационном
рассеянии света, соответствуют максимумам 123 и 143 см~', на-
наблюдаемым в спектре поликристаллического образца, представ-
представленном на фиг. 5.18. Бродский и др. [5.47] объяснили различие
в колебательных частотах межцепочечными тормозными эффек-
эффектами, которые сильнее понижают частоты колебаний в плотно
и регулярно упакованной тригональной структуре, чем в неупо-
неупорядоченной структуре. Луковский и Мартин [5.78, 5.75, 5.88]
рассчитали межмолекулярпые и внутримолекулярные вклады
для Se и Те в аморфной и кристаллической фазах. Их модель
объясняет наблюдавшиеся различия между частотами почти
свободных колебаний цепочек или колец в аморфных Se и Те
и частотами колебаний тех же молекулярных единиц в кристал-
кристаллах, где имеются заметные межмолекулярные взаимодействия.
Хотя в настоящее время интерпретация спектров комбина-
комбинационного рассеяния света а — Se не позволяет нам сделать твер-
твердых заключений по поводу важного вопроса об относительной
статистике колец и цепочек, есть вероятность, что необходимая
информация может быть получена с помощью резонансного ком-
комбинационного рассеяния света. Резонансное комбинационное
рассеяние света с частотами падающих фотонов вблизи резо-
резонансных электронных переходов [5.89], характерных для кон-
конфигураций в виде колец или цепочек, может послужить подхо-
подходящим методом.
5.2.4. Сульфид мышьяка и соответствующие стекла
Сульфид мышьяка AS2S3 и селенид мышьяка As2Se3 изуча-
изучались в течение нескольких лет посредством комбинационного
рассеяния света и инфракрасной спектроскопии в кристалличе-
кристаллической [5.91, 5.92] и стеклообразной [5.93—5.100] фазах. Большой
интерес представляют колебания атомов в кристалле, так как
кристаллы являются слоистыми структурами с большими си-
силами внутри слоев и слабыми силами между слоями. Таким об-
образом, соединения мышьяка образуют молекулярные кристаллы
и подобны сере [5.80]. Недавние измерения, проведенные Коб-
лвской и Соливом [5.96—5.98], а также Финкманом и др. [5.48,
5.100], показали, tjto спектры комбинационного рассеяния света
аморфных AssS3 и AsjSej могут быть интерпретированы как по-
Комбинационное рассеяние о аморфных полупроводниках
275
средством подхода, основанного на приведенной плотности ко-
колебательных состояний [5.15], так и посредством молекулярной
модели Луковского и Мартина [5-73]. Причиной подобного по-
положения является то, что главный вклад в плотность состояний
дают колебания молекулярного типа, даже в кристаллической
фазе.
На фиг. 5.19 [5.97] представлена температурная зависимость
стоксовых и антистоксовых спектров комбинационного рассея-
рассеяния света стекла As2S3 в интервале температур от 20 до 448 К.
Низкочастотный пик при 30 см-' является ложным пиком, обус-
обусловленным частотной и температурной зависимостью множите-
множителей в E.2) и E.3). В приведенных спектрах не существует низ-
низкочастотного пика. Приведенные спектры (фиг. 5.20) в основном
не зависят от температуры н, таким образом, подтверждают
правильность метода Шукера и Гамона [5.15] для приведения
500-400-300-т-ЮО 0 №200300400500
Сдвиг частоты, см'1
Фиг. 5.19. Спектры комбинационного рассеяния света аморфного AssS3 запи-
записанные при указанных температурах [5.98].
Данные получены при рассеявии ва угод 9i)° н прозрачном образце. Падающее в рас-
рассеянное излучения поляризованы перпендикулярно плоскости рассеяния. Вблизи рзлеен-
скоЯ лианн изменена шкала интенсивности рассеяния.
276
Глава 5
-500-400-300-200-100 0 100100 300 400
Сдвиг час/поты, см'1
Фиг. 5.20. Приведенный спектр комбинационного рассеяния снега аморфного
AsjSa, полученный из данных, представленных на фиг. 5,19.
спектров в стеклах. Как указывалось выше в п. 5.1.2, подобные
ложные низкочастотные пики наблюдались в оксидных стеклах
и вплоть до недавнего времени неправильно интерпретировались
как максимумы в колебательных спектрах. Особенно важно со-
соблюдать осторожность при анализе низкочастотного спектра
в АзгБз вследстние существования колебательных мод, соответ-
соответствующих колебаниям «жестких слоев» [5.92], в частотной об-
области ниже 75 см-|. Кроме того, в настоящее время ведется
дискуссия по поводу излишней удельной теплоемкости в стек-
стеклах, и большая часть моделей основана на деталях низкоча-
низкочастотного колебательного спектра [5.101]. Финкман и др. [5.100]
провели измерения, подобные представленным на фиг. 5.19 и
5.20, при температурах вплоть до 1040 К- Они обнаружили, что
даже в расплавленном состоянии в As2S3 частоты максимумов
и их ширины в спектрах комбинационного рассеяния света
остаются неизменными. По их утверждению, это указывает на
сохранение слоистой структуры [5.102] с молекулярными коле-
колебаниями пирамидальных единиц AsS3 и водоподобных молекул
AsaS внутри слоев [5.73, 5.93].
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
27?
Другое доказательство сохранения молекулярных правил от-
отбора в комбинационном рассеянии снета в AsjS3 было дано Лу-
ковским [5.13, 5.95]. Как указывалось в рассуждениях, пред-
представленных в разд. 5.1, подтверждением подхода, основанного
на плотности состояний, является то, что приведенный спектр
комбинационного рассеяния подобен плотности колебательных
состояний, за исключением огибающей функции, обусловленной
медленно меняющимся множителем, описывающим вклад раз-
различных матричных элементов. Поэтому следует ожидать, что
инфракрасный спектр поглощения также можно свести к по-
подобной эффективной плотности состояний, которая должна
иметь примерно такой же вид, что и приведенный спектр ком-
комбинационного рассеяния [5.27]. Мы уже показали, что это
имеет место для а — Si и а — Ge. Однако, как следует из фиг.
5.21, существует взаимодополняемость эффективных плотностей
состояний, полученных с помощью комбинационного рассеяния
света и инфракрасного поглощения. В высокочастотной области,
в которой мы считаем колебания более локализованными [5.13],
применима молекулярная модель. Эта модель дает две колеба-
колебательные моды, растягивающие связи, одна из которых является
антисимметричной и более активной в инфракрасном поглоще-
поглощении, другая, симметричная мода, более активна в комбинацион-
комбинационном рассеянии света [5.95]. Другой проверкой сохранения мо-
молекулярного характера локальных колебаний является исследо-
too гоо зоо 4oo
Сдвиг частоты, см-'
500
Фиг. 5.21. Сравнение приведенного спектра комбинационного рассеяния света
(сплошная линия) аморфного As2Ss с инфракрасным спектром поглощения
(штриховая линия) ш2вг, который также дает эффективную плотность состоя-
состояний [5.95].
Стрелки укизынают частоты колебаний молекулы AaSj.
278
Глава 5
109 ZOO 300 400
Сдвиг частоты, см-'
Фиг. 5.22. Частотная зависимость коэффициента деполяризации аморфного
As2S3 [5,98].
Стрелки указывают частоты колебаний молекулы AsS, [5.95].
вание деполяризации спектра комбинационного рассеяния света.
Коблиска и Солин [5.98] измерили отношение рассеяния н по-
поляризациях HV и VV в аморфном As2S3, и полученный ими ре-
результат представлен на фиг. 5.22. Как и ожидалось, симметрич-
симметричные колебания более высокой частоты дают почти поляризован-
поляризованное рассеяние, что следует из уменьшения коэффициента депо-
деполяризации в области максимума рассеяния (ср. фиг. 5.21 и 5.22).
До настоящего времени резонансное комбинационное рас-
рассеяние света наблюдалось лишь в единственном аморфном полу-
полупроводнике— сульфиде мышьяка. Коблиска и Солин [5.96] ис-
использовали лазер фиксированной частоты и изменяли положе-
положение края поглощения образца посредством изменения темпера-
температуры. Хотя характеристическая энергия, соответствующая краю
поглощения, является несколько произвольной величиной, Коб-
Коблиска и Солин выбрали эту энергию в следующем виде:
Es (Т) = [2,32 + 6.70 - I О*4 C00 - 71)] [эВ], E.17)
где Т — температура, при которой проводились измерения. Энер-
Энергетическая щель при комнатной температуре Es C00)— 2,32 эВ
не является столь хорошо определенной величиной, как в кри-
кристаллах, но она может быть полезна при обработке данных. На
фиг. 5.23 представлена зависимость нормированной эффектив-
эффективности комбинационного рассеяния света от энергии падающего
фотона, отсчитанной от Eg E.17). Представлены эффективно-
эффективности рассеяния в трех различных областях спектра комбинацион-
комбинационного рассеяния света, приведенного на фиг. 5.19, а именно при
62, 161 и 342 см~' как для стоксова, так и для антистоксова рас-
рассеяния. Очевидно, что существуют эффект возрастания рассея-
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
279
вия вблизи Ев, а также более слабые эффекты неизвестной
природы в области от 0,4 до 0,5 эВ ниже края поглощения. Пока
еще нет теории для анализа резонансного рассеяния света
в аморфных полупроводниках.
С помощью комбинационного рассеяния света изучалось
развитие во времени процесса кристаллизации AssSe3 [5.48].
Кристаллизация в температурной области выше перехода в
1,0 -
6Z
161
342
1—г
Об
-Op -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -OJ О
(Ei-Eg), эв
Фиг. 5.23. Спектры резонансного комбинационного рассеяния света аморфного
As^Ss, полученные при рассеянии на угол 90"
Резонанс достигался посредством температурной подстройки спектра поглощения счета.
Величины, откладываемые по оси абсцисс, намерялись по отношевию к величине £\,,
определяемой E.17). Интенсивность рассеяния намерилась при частотных сдвигах, указан-
указанных на вставке [о.96].
Глава 5
стеклообразное состояние Тв и ниже температуры плавления
Тт происходила только в том случае, когда стекло подвергалось
воздействию света. As2Se3 является чрезвычайно стабильным
стеклом и обычно не кристаллизуется в темноте в данном тем-
температурном интервале. Освещение осуществлялось тем же са-
самым лазерным лучом (длина волны 5145 А), который исполь-
использовался для исследования рассеяния. На фиг. 5.24 показано,
что спектр комбинационного рассеяния постепенно со временем
превращается из спектра аморфного As2Se3 в спектр кристалли-
кристаллического As2Se3- Исследуя сдвиг плотности спектра в процессе
кристаллизации, Финкман и др. [5.48] обнаружили, что фонон-
ные дисперсионные кривые кристалла As2Se3 более тесно сгруп-
сгруппированы в области края зоны Бриллюэна, чем в центре зоны.
На фиг. 5.25 представлено схематическое изображение их выво-
выводов. Они смогли прийти к таким заключениям, потому что
спектр кристалла дает информацию только о фононах в центре
100 200
Частота, c#f~f
фиг. 5.24. Изменения в спектре комбинационного рассеяния света As3Se3 в
процессе кристаллизации.
Пунктирная линия представляет собой приведенный спектр аморфного AsiSej [3.©].
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках 281
300
?-00
100
Волновой вектор
Фиг. 5.25. Схематическое представление дисперсионных кривых кристалла
AssS3, полученных из данных, представленных на фиг. 5.24.
Дисперсионные кривые, слабо зависящие от волнового вектора, представлены как гори-
горизонтальные линии [3.481.
зоны, в то время как спектр аморфного состояния характеризует
плотность состояний, и большой вклад в него дают колебания
с волновым вектором вблизи края зоны вследствие возрастания
фазового объема При увеличении волнового вектора.
Методы, использующие временное развитие комбинационного
рассеяния света, должны найти широкое применение при иссле-
исследовании халькогенидных стекол, в которых существует интерес-
интересное явление фотокристаллизации [5.103]. Здесь, как и в тетра-
тетраэдральных полупроводниках, с помощью комбинационного рас-
рассеяния света можно определять присутствие кристаллической
фазы- Кроме того, в некоторых случаях в сложных стеклах
можно определять разделение фаз. Например, As2Te3 более
трудно приготовить в стеклообразной фазе, чем As2S3 или Аэ^ез.
Комбинационное рассеяние света использовалось для исследо-
исследования сегрегации аморфного или кристаллического Те [5.47].
5.2.5. Структура халькогевидов германия
Комбинационное рассеяние света исследовалось в трех стек-
стеклообразных системах германиевых халькогенидов Ge^Y*, где
Y = S, Se или Те. Наибольшее число результатов получено на
сплавах, богатых халькогенами (х > 0,5), с выделением наибо-
наиболее стабильной области формирования стекла вблизи х = 2/з-
282
Глава 8
S3(A,}
iOO ZOO 300 400 500 600
Частота,см-'
Фнг. 5.26. Спектры комбинационного рассеяния света аморфного Gej-iSr для
составов, богатых серой, сравнимаемые со спектром GeSa [5.105].
Указаны максимумы, соответствующие молекулам Sa.
В случае GeY2 структура исследована с помощью комбинацион-
комбинационного рассеяния света [5.104—5.107] и других методов [5.108,
5,109] и представляет собой атомы Ge с координационным чис-
числом четыре и атомы халькогенов с координационным числом
два, расположенные в тетраэдрах GeY4, причем атомы Y соеди-
соединяют тетраэдры между собой. В данном случае имеется анало-
аналогия со структурой аморфного кварца [5.110].
Существуют предположения, что в случае сплавов, содержа-
содержащих больше германия, чем при х = 2/3, когда х приближается
к [/2, координационное число может равняться трем. Возможно,
в действительности имеется большое число атомов Ge и халь-
халькогенов с координационным числом три.
Луковский и др. [5.104, 5.105] изучали спектры инфракрас-
инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света Ge^S*
в области 0,55 < х < 0,90. Они учитывали тот факт (п. 5,2.4),
Комбинационное рассеяние о аморфных полупроводниках
0 100 200 300 400 500 600
Частота ш~'
Фиг. 5.27. Спектры комбинационного рассеяния света аморфного Ge^-iSi для
составон. богатых германием, сравниваемые со спектром GeSa [5.105].
что в случае молекулярных колебаний может существовать до-
дополнительность между активностью в инфракрасном поглоще-
поглощении и комбинационном рассеянии света, которая может быть
использована для выбора одной из структурных моделей. В этом
случае полезны были также спектры деполяризации рассеяния,
но они не были полностью падежными из-за оптических неод-
нородностей в некоторых образцах. Сначала Луковский и др,
[5.105] показали (фиг. 5.26 или 5.27), что в спектре комбина-
комбинационного рассеяния света стекла GeSs (jk=0,67) имеется сильно
поляризованный максимум 342 см-1, который вместе с макси-
максимумом 367 см~: в инфракрасном поглощении характерен для
тетраэдрального элемента GeS,i. Максимум 342 см-1 может на-
наблюдаться в спектрах комбинационного рассеяния в стеклах
другого состава. Например, максимум 342 см~' (фиг. 5.26) при-
присутствует во всех стеклах с большим содержанием серы
(х > 0,67), Кроме того, в спектрах стекол с большим содержа-
содержанием серы имеются максимумы, характерные для колец Sg. Дан-
284
Глава 5
ные по инфракрасному поглощению использовались для обна-
обнаружения присутствия колец при образовании S—S-свчзей между
атомами Ge. На фиг. 5.27 представлены спектры некоторых со-
составов, богатых Ge (по сравнению с GeS2). Имеет место посте-
постепенное исчезновение характерного для GeS4 максимума при воз-
возрастании содержания Ge. Эти результаты интерпретируются на
основе модели с ограниченной беспорядочной сеткой [5.111]
с тетраэдрами GeS4, GeS3Ge, GeSaGea, GeSGe3 и GeGe4, которые
дают постепенно возрастающее число связей Ge—Ge. Ограни-
Ограниченное число составов, исследовавшихся авторами, не позволило
сделать определенных выводов о возможности существования
координационного числа, равного трем, в области составов,
близких к GeS (x = 0,5). На фиг. 5.28 схематически представ-
представлены выводы о структуре Ge^S* [5.105].
Троик и др. [5.106] изучали область составов стекол
Ge^Se*. богатых Se (х > 0,67), с помощью спектроскопии ком-
комбинационного рассеяния света совместно с измерениями края
основного оптического поглощения. Они заключили, что для
этой системы также не существует связей Ge—Ge и что изли-
излишек Se размещается посредством нарушения последовательно-
последовательностей Ge—Se—Ge. К настоящему времени они не смогли прове-
провести измерений в области х < 0,6 для проверки гипотезы о су-
существовании координационного числа, равного трем.
Спектры комбинационного рассеяния света и инфракрасные
спектры Ge^Te* были получены Фишером и др. [5.107] в об-
пасти составов 0,33 <jc< 0,8. Оци рассмотрели вопрос о коор-
Х>0,67
х<0,67
Фиг. 5.28. Схема[цческог представление модели аморфных сплавов Gej_-Sx
с составами, богатыми германием (х < 0,67), GeSa (я = 0,67J и серой
(*> 0,67) [5.105].
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводник
285
юо гоо зоо
Частота, см~'
Фиг. 5.29. Приведенные спектры комбинационного рассеяния света аморфных
сплавов Gei-Ле* д-тя трех значений х [5.107].
динации в аморфном GeTe (л: =0,5). На фпг. 5,29 представлены
их данные для экстремальных значений х и для х = 0,5. Авторы
интерпретировали эти данные на основе вкладов связей Ge—Те
(«230 см-1), Те—Те («85 и як 165 см-i) и Ge—Ge B75 см-1).
Поскольку они смогли интерпретировать все свои результаты
считая, что координационное число Те равно двум и координа-
координационное число Ge равно четырем, они исключили возможность
существования координационного числа, равного трем. Тот факт,
что в большом диапазоне составов спектры непрерывно перехо-
переходят друг в друга, также подтверждает их заключение. Однако
по изложенным ниже причинам мы все же считаем, что суще-
существование или Отсутствие координационного числа, равного
трем, при х = 0,5 является вопросом нерешенным.
Важно иметь лучше контролируемые, чем состав, экспери-
экспериментальные параметры, чтобы получить с помощью' комбина-
комбинационного рассеяния света действительно однозначные заключе-
заключения о структуре. В то время как зависимость различных коле-
286
Глава 5
баний, активных в комбинационном рассеянии света, от состава
является важным шагом для построения структурных моделей
сплавов а — Ge^X^ и а — Аэго^Хз*, существенна также про-
проверка самосогласованности модели посредством, например, оп-
определения зависимости спектров от температуры и давления.
Независимость спектров комбинационного рассеяния а—Se от
температуры Приготовления образцов привела Бродского и др.
[5.47] к предположению о модели со смесью колец и цепочек,
так как считается, что отношение числа колец к числу цепочек
зависит от температуры приготовления [5.87].
Благодарность
В этой главе изложены идеи, сформировавшиеся в течение не-
нескольких лет во многих дискуссиях и беседах с моими колле-
коллегами. Я особенно благодарен Р, Албену, Е. Бурштейну, Г. Лу-
ковскому, Дж. Е. Смиту мл. и Д. Уиэру за их интерес, сотруд-
сотрудничество и помощь прн написании этой главы.
Литература
5.1. Mott N. F., Davis E. A., Electronic Processes in Non-Crystalline Mate-
Materials, Oxford Universily Press, London, 1971. (Имеется перевод: И. Мотт,
Э. Дэвис, Электрические процессы в некристаллических веществах,
изя-во «.Мир». 1974.)
5.2. Stuhe ]., Brennig IF. (Eds.), Proc. 5th Intern. Conf, Liquid and Amor-
Amorphous Semiconduclors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis, London, 1974.
5.3. Ziman J. M., J. Phys. C2, 1704 A969).
5.4. Bell ft. /., Rep. Progr. Phys., 35, 1315 A972).
5.5. Dean P., Rev. Mod. Phys., 44, 127 A972).
5.6. Wong J., Angell С A., Appl. Spectrosc. Rev., 4, 155 A971).
5.7. Hass M., J. Phys. Chem. Solids, 31, 415 A970).
58. Grant W. В.. Schulz ti., НЩпег S.. Pelzi J.. Phys. Stat. Sol. (b), 60 331
A973).
5.9. Balkanski M. (Ed.), Proc. 2nd Intern. Conf. Ljghl Scattering in Soljds
Paris, 1971. Flammarion, Paris, 1971, Chapter IV,
5.10 Chaudari P., Cuomo I., Gambino R. J,. Appl. Phys. Letlers, 22, 337
A973). .
5.11. Hooper H. O., de Graaf A. M. (Eds.), Amorphous Magnetism, Plenum
New Y0rk. 1973.
5.12. Robinaon A. I... Science, 182, 908 A973).
5.13. Lucov^ky G., в книге: Proc. Ijlh fntern. Conf. Liquid and Amorphous
Semiconrluclors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis, London, 1974,
p. 1099.
5.14. Botlger H.. Phys. Stat So|. (b), 62, 9 A974).
5.15. Shuker ft.. Gamon ft.. Phys. Rev. Letters, 25, 222 A970).
5.16. Shuker ft.. Gamon R. W.. в книге: Proc 2nd Intern. Conf. Light Scatler-
ing in Solids, Paris. 1971, Flammarion Sciences, Paris, 1971, p. 334.
5.17. Brodsky M. N.. Kirkpatrick S.. Weairn D. (Eds.), Proc. Intern. Tetra-
Tetrahedrally Bonded Amorphous Semiconductors, American Institute of Phy-
Physics, New York, 1974.
5.18.
5.19.
5.20.
5.22,
5.23.
5,24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5,41.
5.42.
5.43.
5.44.
5.45.
5.46,
5.47.
5.48,
5.49.
Комбинационное рассеяние о аморфных полупроводниках 287
Brodsky М. И., J. Vac. Sci. Technol, 8, 125 A971),
Moss S. С., Adler D., Comments in Solid Stale Plrys. 5, 47 A973).
Smith 1. E., Jr. Brodsky M, H,, Crowder B. L, Nathan M. I., Pinczuk A.,
Phys. Rev. Letters, 26, 642 A971).
Alben R. Smith J. E,, Jr., Brodsky M. H. Weaire D. Phys. Rev. Letters
30 1141 'A973).
Wthl M., Cardona M Tauc J, J. Non-Cryst. Solids, 8—10, 172 A972).
Smith J. E-, Jr., Brodsky M. H.. Crowder B, L, Nathan M. /., в книге:
Proc. 2nd. Intern. Conf. Light Scattering in Solids Paris 1971 Flamma-
Flammarion, Paris, 1971 p. 330.
Dolling G., Co-Mey R. A., Proc Phys. Soc. London, 88, 463 A966).
Stimets ft. IP.. Waldman J., Lin X, Chang T. S.. Temkin R, J., Con-
nell G. A. N.. Sol, Stat. Comm., 13, 1485 A973).
Prettl W. Shevchik N. J. Cardona M., Phys. Stat. Sol., (b) 59, 241
A973). '
Brodsky M. N.. Lurio A., Phys. Rev. Б9, 1646 A974).
Ladan F. R., ZylbeTsztein A., Phys. Rev. Letters, 28, Ц98 A972).
Schroder В., в книге: In Proc. Inlern Conf. Tetrahedrally Bonded Amor-
Amorphous Semiconductors Vorktwon 1974 American Institute of Physics,
New York, I974( p. 114.
Axe J. D,, Keating D. T Car gill G. S., 1П. Alben R., в книге: Proc.
Intern. Conf. Tetrahedrally Bonded Amorphous Semiconductors, York-
town, 1974, American Institute of Physics New York, 1974 p. 279.
Lannin J. $., Sol. Stat. Comm. 11, 1523 A972).
Lannin J. $., Sol. Stat. Comm,, 12, 947 A973).
Lannin J. S., в книге; Ргое. 5th Intera Conf. Amorphous and Liquid
Semiconductors Garmisch, 1973, Taylor and Francis, London, 1974,
p. 1245.
Martin A. J., Brenig W., Phys, Stat. Sol. (b), 64, 163 A974).
Heimendahl L. von, в книге: Proc. Intern. Conf. Tetrahedrally Bonded
Amorphous Semiconductors, Yorklown, 1974, American Institute ol Phy-
Physics, New York, 1974 p. 274.
Connell G, A. N, Phys. Stat. Solidi (b), 69 9 A975).
King С N. Phillips W. A, de Neufville J. P., Phys. Rev. Letters, 32, 538
A974).
Flubacher P.. Leadbetter A. J, Morrison J. A., Stoicheff B. P., 3. Phys.
Chern. Solids, 12, 53 A959).
Barker A. S., в книге: Far Infrared Properties of Solids, ed, by S. S. Mit-
ra and S. Nudelman, Plenum Press, New York, 1970, p. 247.
Shuker ff, Gamon R.. Phys. Lett., 33A, 96 A970),
Crowder B. L.. Smith J, E., Jr., Brodsky M. H., Nathan M. /., в книге":
Proc. Second Intern. Conf. Ion linplanlation. Garmisch, 1971, p. 255.
Smith J. E., Jr. Brodsky M. //., Crowder B. L. Nathan M. I, J. Non-
Cryst. Solids, 8—10, |79 A972).
Bourgoin J. C, Morhange J. F., Beserman R., Rad Effects. 22, 205 A974).
Brodsky M. H., Title ft. S., Phys. Rev, Letters, 23, 581 A969).
Title R. S., Brodsky M, H., Crowder B. L., в книге; Proc. 10th Intern.
Conf, Physics of Semiconductors, Cambridge Mass. 1970, U. S. Atomic
Energy Comm., Oak Ridge, 1970. p. 794.
Beyer W., Stuke J,, а книге: Proc. 5th inlern. Conf. Amorphous and Li-
Liquid Semiconductors, Garmisch, 1973. Taylor and Francis, London, 1974
p. 251.
Brodsky M, #., Gambrino R. J-, Smith J. E., Jr., Yacoby Y.. Phys. Stat
Sol. (b), 52, 609 A972).
Finkman E., Defonzo A. A, Tauc J., в книге: Proc 12th Intern. Conf. on
the Physics of Semiconductors. Stutlgart, 1974, p. 1022.
Solin A., Kobliska R. J.. в книге: Proc. 15th Intera Conf. Liquid and
Глава S
Комбинационное рассеяние в аморфных полупроводниках
289
Amorphous Semiconductors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis, London,
1974, p. 1251.
Morhange 1. P., Beserman R., Bourgoln J. C, Brosius P. R., Lee Y. #.,
Cheng L. J., Corbett J. W., Proc. Intern. Conf. Ion Implantation, Kyoto
A974).
Nathan M. J. Smith J. £., Jr., Tu K. N.. I. Appl. Phys,, 45, 2370
A974).
Alben R., Weaire D., Smith J. E., Jr., Brodsky M. H., в книге: Ргос.
5th intern. Cond. Amorphous and Liquid Semiconductors, Garmisch, 1973,
Taylor and Francis, London 1974 p. 1231.
Alben R., Weaire D. Smith J. £., Jr., Brodsky M. #., Phys. Rev. Bll,
227] A975).
Keating P. N., Phys. Rev., 145, 637 A966).
Wentorf R. H. Jr. Kasper J. S. Science, C9, 338 A963).
Thorpe M. F. Phys. Rev. B8, 5352 A973).
Zallen R., Phys. Rev., 113, 824 A968).
Thorpe M. F., в книге: Ргос. Intern. Conf. Tetrahedrally Bonded Amor-
phous Semiconductors Yorktown, 1974, American Institute of Physics,
New York. 1974, p. 267.
Born M.. Ann. Phys. (Leipzig), 44, 605 A914).
Mitra S. S. Paul D. K., Tsay Y. F., Bendote В., в книге: Proc. Intern.
Conf. Tetrahedrally Bonded Amorphous Semiconductors, Yorktown, 1974,
American Institute of Physics New York, 1974, p. 284.
Weaire D., Alben R. Phys. Rev. Lett., 29, 1505 A972),
Weaire D., Thorpe M. F., Phys. Rev.. B4, 2508 A971).
Thorpe M. F., Weaire D. Alben Д., Phys. Rev., B7, 3777 A972).
Alben R.t Weaire D. Sieinhardt P.. J. Phys., C6, L384 A973).
Alben R. в книге: Ргос. Intern. Conf. Tetrahedrally Bonded Amorphous
Semiconductors Yorktown 1974 American Institute of Physics, New York,
1974, p. 249.
Connell G. A. N. в книге: Proc. I2th Intern. Conf. Physics ol Semicon-
Semiconductors, Stuttgart. 1974, p. 1003.
Lannin J. S. в книге: Proc. [nlern- Conf. Tetrahedrally Bonded Amor-
Amorphous Semiconductors, Yorktown, 1974, American Institute of Physics,
New York. 1974 p. 260.
Gorman M. Solin S. A. Solid State Comm., 15, 761 A974).
Shevchik N. /., Lannin J. S., Tejeda J. Phys. Rev.. B7, 3987 A973).
Mart J. в книге: Ргос. 5th Intern. Coni. Amorphous and Liquid Semicon-
duclors Garmisch 1973, Taylor and Francis, London, 1974, p. ]361.
Hilton A. R., Appl. Optics 5, 1877 A966).
Ovshinsky S. R., J. Non-Cryst. Soldis, 2, 99 A970).
Lucovsky C, Martin R. M., J. Non-Cryst. Solids, 8—10, 185 A972).
lucovsky G., White R. M.. Phys. Rev., B8, 660 A973).
Lucovsky O., Martin R. M., а печати.
Smith J. E. jr. Brodsky M. #., Gambino R. /., Bull. Am. Phys. Soc, II,
17, 336 A972). '
Ward A. T. J. Phys. Chem., 72, 4133 A968).
Srb I. Vasko A. Czech J. Phys., B13, 827 A963).
Anderson A., Loh Y. T. Canad. J. Chem. 44, 879 A969).
Zallen R.. Phys. Rev. B9 4485 (t974).
Gevding H. Westrik R. Recueil Trav. Chim. Pays-Bas 62, 68 A943).
Lucovsky G., Mooradian A. Taylor W., Wright G. В., Keezer R. C, Solid
State Comm., 5. ЦЗ A967).
Lucovsky G., в княге: Physics of Selenium and Tellurium, ed. by
W. С Cooper, Pergamon Press. Oxlord, 1964, p. 255.
Mooradian A.. Wright G. В. в книге: Physics of Selenium and Tellurian,
ed. by W. С Cooper, Pergamon Press, Oxford, 1969, p, 169,
5 50.
551.
5.52.
553.
5.54.
5.55.
5.56.
5.57.
5.58.
5.59.
5.60.
5.61.
5.62.
5.63.
5.64.
5.65.
5.66.
5.67.
5.68.
5.69.
5.70.
5.71.
5.72.
5.73.
5.74.
5.75.
5.76.
5.77.
5.78.
5.79.
5.80.
5.81.
5.82.
5.83.
5.84.
5.85.
5.86.
5.87.
5.88.
5.89.
5.90.
5.91.
5.92,
5.93.
5.94.
5.95.
5.96.
5.97.
5.98.
5.99.
5.100.
Schottmilter /., Tabak M., Lucovsky G. Ward A. J. Non-Cryst. Solids 4
80 A970).
Brielleb O., Z. Phys. Chem A144, 321 (]929).
Eisenberg A, Tobalsky A. V., J. Polym. Sq., 46 19 A960).
Martin R. M., Lucovsky С, а книге: Ргос. 12th Intern. Conf. Physics of
Semiconductors, Stuttgart, 1974.
Захарова Н. В., Черкасов Ю. Л., ФТТ, 12, 1977 A970).
Pine A. S., Dresselhaus G. Phys. Rev.. B4, 356 A971).
Zallen R. Stade M. L., Ward А. Г., Phys. Rev. B3, 4257 A971).
Zallen fl., Slade M., Phys. Rev., B9, 1629 A974).
Austin I. O., Garbelt E. S.. Phil. Mag. 23. 17 A971).
Ward А. Т., Myers M. В., J. Phys. Chem., 73, 1374 A969).
Lucovsky G. Phys. Rev., B6, 1480 A972).
Kobliska R.'/., Solin S. A. Solid State Somm., 10, 231 A972).
Robliska R. ]., Solin S. A., 3. Non-Cryst. Solids 8—10, 91 A972).
Kohllska R. J. Solin S. A., Phys. Rev., B8, 756 A973).
Маркое Ю. ф'., Решетняк Н. £., ФТГ, 14, 1242 A972).
Finkman £., Defonzo A.t Tauc Л, в книге: Proc. 5th Intern. Conf. Amor-
Amorphous and Liquid Semiconductors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis
London, 1974 p. 1275.
Pohl R. O., Love W_. F., Stephens R. В., в книге: Ргос. 5th Intern. Conf.
Amorphous and Liquid Semiconductors, Garmisch., 1973, Taylor and
Francis, London 1974. p. Ц2].
Taylor D. C. Bishop S. G. Mitchell D. L. Phys. Rev. Letters 27, 414
A973).
Neujyille J. P. de, в книге: Ргос. 5th Intern. Conf. Amorphous and Liquid
Semiconductors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis London t974,
p. 1351.
Lucovsky G. de Neufville J. P. Galsener F. L. Phys. Rev. B9, 1591
A974).
Lucovsky G. Qaleener F. L. Keezer R. C. Geils R. H. Six H. A., Phys.
Rev., B10, 5134 A974).
Tronc P. Bensoussan M., Brenac A. Sebenne C. Phys. Rev. B8, 5S47
A973).
Fisher G. В., Tauc J., Verhelle У., в книге: Proc. 5th Intern. Conf.
Liquid and Amorphous Semiconductors, Garmisch 1973, Taylor and Fran-
Francis, London. 1974, p. 1259.
Rowland S. C. Narusimhan S., Bienenstock A._ J. Appl. Phys., 43, 2741
5.101.
5.102.
5.103.
5.104.
5.105.
5.106.
5.107.
5.108.
ii j i *■/ ■
5.109. Cervinka Z,.p Hruby А., в книге: Proc. 5th Inlern. Conf. Liquid and Amor-
Amorphous Semiconductors, Garmisch, 1973, Taylor and Francis London, 1974,
p. 431.
5.110. Mozzi R. L., Warren В. Е. J. Appl. Cryst, 2 164 A964).
5.111. Phillip #., J. Non-Cryst. Solids, 8—10, 627 A972).
10 Зак. П75
6. Рассеяние Мандельштама — Вриллюэна
в полупроводниках"
А. С.Пайн2)
Известно, что рассеяние Мандельштама — Брнллюэна может
успешно использоваться для изучения акустических фононов
в газах, жидкостях и твердых телах. В настоящей главе будут
рассмотрены особенности рассеяния Мандельштама — Брил-
люэна в полупроводниках. Скорость звука непосредственно оп-
определяется из сдвига частоты рассеянного света, следовательно,
с помощью рассеяния Мандельштама — Бриллюэпа могут изу-
изучаться упругие постоянные и анизотропия скорости звука, ре-
релаксационные процессы, фазовые переходы и различные виды
взаимодействий акустических фононов с другими низкочастот-
низкочастотными возбуждениями. Ширина линии рассеянного света, которая
может быть определена с помощью спектрометров высокого
разрешения, дает информацию о затухании акустических фоно-
фононов вследствие энгармонизма, взаимодействия с носителями,
структурных релаксационных явлений и других возможных ме-
механизмов. Интенсивность рассеяния света и правила отбора ха-
характеризуют взаимодействие фононов с электронными возбуж-
возбуждениями, которые ответственны за оптические свойства вещества,
и связаны с характеристиками различного вида пьезо- и акусто-
оптических приборов.
6.1. Общее описание рассеяния
Мандельштама — Бриллюэна
В типичном случае рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
является дополнительным методом к стандартной ультразвуко-
ультразвуковой технике, используемой для изучения акустических свойств.
Обычно рассеяние Мандельштама — Бриллюэна позволяет ис-
исследовать фононы с более высокой частотой, более сильным за-
затуханием; кроме того, могут исследоваться меньшие объемы
вещества. Часто бывает удобнее исследовать образец оптиче-
оптическим способом, чем посредством пьезоэлектрических контактов.
Хотя в прошлом рассеяние Мандельштама — Бриллюэна иссле-
') Работа была поддержана ВВС США.
2) Pine Alan S., Massachusetts Institute of Technology, Lexington, USA.
Рассеяние Мандельштама— Бриллюэна
291
довалось лишь в прозрачных средах, в настоящее время оно
может наблюдаться в полупроводниках в области энергий фо-
фотонов выше края оптического поглощения, и, по-видимому,
с улучшением техники можно будет исследовать рассеяние в ме-
металлах.
В настоящей главе будут обсуждаться следующие аспекты
рассеяния Мандельштама — Бриллюэна в полупроводниках: оп-
определение скорости звука, энгармонизм, взаимодействие акусти-
акустических волн со свободными носителями, влияние поглощения
света па спектральное распределение рассеянного света, резо-
резонансные эффекты вблизи края поглощения, вынужденное рас-
рассеяние Мандельштама — Бриллюэна. Особое внимание уделено
рассеянию тепловыми фононами, хотя будут также рассмотрены
несколько опытов с ультразвуковыми волнами, возбужденными
посредством пьезо- или акустоэлектрического эффекта. Вначале
будут кратко рассмотрены принципы рассеяния, фотоупругое
взаимодействие и некоторые типичные экспериментальные уста-
6.1.1. Кинетика процесса рассеяния, скорость звука,
время жизни фононов
Кинематика процесса рассеяния определяется непосредственно
законами сохранения энергии и импульса
@s = @£±@q, F.1)
к,=к,±ч F.2)
при взаимодействии падающего (;') и рассеянного (s) фотонов
и фоцона (q). Знак плюс указывает на то, что фонон погло-
поглощается при рассеянии (антистоксов сдвиг частоты), знак ми-
минус— что фонон излучается (стоксов сдвиг частоты). Поскольку
k,, s = п,, лв,-р sic, где л,-, s — показатель преломления для соот-
соответствующей световой волны, и ц = <aqjvq, где vq— фазовая ско-
скорость звука, из уравнений, описывающих законы сохранения,
может быть определен сдвиг частоты:
% * a>i (vjc) [(«; - «Л2 -V 4и,л, sin2 (е/2)]'/=. F.3)
Здесь 6 — угол рассеяния, arc cos(£v#s). С классической точки
зрения эти соотношения для рассеяния идентичны соотноше-
соотношениям для брэгговского отражения света от решетки с периодом
2я/<7, движущейся со скоростью и„.
В уравнении F.3) пренебрегается поправками более высо-
высокого порядка по (Vq/c). Например, точное выражение для рас-
рассеяния назад 6 = я, вытекающее из F.1) и F.2), имеет вид
«V=mi К/с) ("i + ".) [1 т (»л/<0Г- F-4>
292
Глава 6
Антистоксов частотный сдвиг щ+, даваемый уравнением F.4),
немного больше, чем стоксов сдвиг щ— Эта асимметрия в ча-
частотных сдвигах была предсказана несколькими авторами, но
все еще не наблюдалась экспериментально. Другого типа асим-
асимметрия может иметь место вследствие дисперсии показателя
преломления ns в области между частотами стоксова и анти-
стоксова рассеяний. Полупроводники являются подходящими
веществами для наблюдения подобной асимметрии, поскольку
они обладают большими показателями преломления и большой
дисперсией показателей преломления, особенно вблизи резо-
резонанса.
На форму линий спектра рассеянного света, который воз-
возбуждается монохроматическим светом, падающим на прозрач-
прозрачный кристалл, влияют аппаратная функция, конфигурация рас-
рассеяния, скорость фононов, анизотропия скорости и время жизни
фононов. Влияние конфигурации рассеяния на форму линии об-
обусловлено конечным телесным углом 69, в пределах которого
распространяется рассеянный свет с разбросом по частоте fitaj.
Это следует из угловой зависимости F.3) и из анизотропии ско-
скорости звука. С точностью до второго порядка по 69 этот раз-
разброс по частоте равен
(9.5)
Здесь было принято, что л; = ns в (9.3) и анизотропная поверх-
поверхность скоростей может быть выражена как bva/vq = Л69'1 -(-
-|-В69'2, где разброс направлений фононов 69' равен половине
разброса направлений рассеянного света 69. Разброс частоты,
обусловленный членом, линейным по 69, обычно значительно
превосходит естественную ширину линии рассеянного света, со-
соответствующую затуханию фононов. Исключение составляет слу-
случай рассеяния назад (9 = я) в области экстремума поверхно-
поверхности постоянной скорости (Л =0).
Нормированная форма линии в спектре рассеянного света,
обусловленная конечным временем жизни фонона тя, есть ло-
ренцева функция
5 К, q) = Гч/я [(«ij — га, =F и,)'1
Кб)
где постоянная экспоненциального затухания есть Г г=х~1 =
= ао, а —коэффициент поглощения звука. Измеряя эту
естественную ширину линии с помощью спектрометров высокого
разрешения, можно изучать различные механизмы затухания
фононов.
Рассеяние Мандельштама — Бриллюзна
293
6.1.2. Фотоупругие постоянные
Связь между светом и звуком феноменологически описы-
описывается тензором фотоупругих постоянных, или постоянных По-
кельса [6.1], который определяет интенсивность и поляриза-
поляризационные свойства рассеяния. Бенедек и Фритш [6,2] и Борн
и Хуанг [6.3] подробно рассмотрели рассеяние света в куби-
кубических кристаллах, а Ландау и Лифшиц [6.4] обсудили случай
амопфных твердых тел.
В общем случае мощность Ps света, рассеянного в пределах
телесного угла 6Q в частотном интервале дю5, связана с коэф-
коэффициентом рассеяния Мандельштама — Бриллюэна ов и мощ-
мощностью падающего света Р,- соотношением 32Р5/сЮд&ь =
= ai)PiLS((us, q)/2, где L — длина области рассеяния. Коэффи-
Коэффициент рассеяния Мандельштама— Бриллюэна есть
F-7)
Здесь ?.s 1=3 2njks\ nq — числа заполнения для фононов, nq -)- 1
для антистоксова и nq для стоксова рассеяния; р—плотность
вещества; т —вектор в направлении дипольного момента, обус-
обусловленного взаимодействием звуковой волны с электрическим
полем падающего света Е,-
т = е.р-е : Ё^йч, F.8)
где и — вектор смещения в акустической волне, 8 и р — соот-
соответственно тензор оптической диэлектрической проницаемости и
тензор фотоупругих постоянных среды, Свернутое произведение
е-р-е, являющееся тензором четвертого ранга, свернуто с тремя
единичными векторами к,, q~, uq (символ : ), в результате чего
получен вектор т. Угол ф есть arc cos(rh-is)- Для теплового
рассеяния nq= [еяр(Й<о1,/й7')— 1]-[. Обычно кТ 3> Ь,щ, следова-
следовательно, (nq -f 1)—(«о)= кТ/Ьщ и интенсивности стоксова и ан-
тистоксова рассеяний одинаковы, В случае возбуждения звука
посредством пьезоэлектрического или акустрэлектрического эф-
эффекта п„ может бь[ть на несколько порядков больше, чем тепло-
тепловое значение, и выбор стоксова или антистоксова рассеяния мо-
может осуществляться посредством конфигурации с бегущей, а не
стоячей волной.
Симметризованные тензоры фотоупругих постоянных, кото-
которые приводятся в стандартных учебниках, подобных учебнику
Ная [9.1], характеризуют упругооптическое взаимодействие.
Нелсон и Лезей [6.5] показали, что вращательные компоненты
поперечных акустических воли дают дополнительную антисим-
антисимметричную тензорную упругооптическую связь в двулучепрелом-
294
Глава 6
ляющих кристаллах. Нелсон и Лэкс [6.6] разработали феноме-
феноменологическую теорию этого эффекта, привели формы антисим*
метричных тензоров фотоупругих постоянных для различных
кристаллографических классов и оценили порядки величин этих
постоянных. В микроскопическом рассмотрении фотоупругих
постоянных учитывается роль электронных состояний. Влияние
электронных состояний будет обсуждаться в разд. 6.4 в связи
с резонансным рассеянием.
6.1,3. Экспериментальные установки
Здесь будут описаны экспериментальные установки для ис-
исследования рассеяния Мандельштама — Бриллюэна тепловыми
фононами. Рассеяние света ультразвуковыми волнами, возбуж-
возбуждаемыми акустоэлектрически или пьезоэлектрически, можно
легко наблюдать, используя лазеры или другие источники света,
и из угловой зависимости можно определять либо скорость
звука, либо частоту рассеянного света при условии, что одна из
этих величин известна. Особенно простая, по универсальная
установка для подобных исследований была разработана Герро-
дом и Брейем [6.7] для изучения резонансного рассеяния Ман-
Мандельштама — Бриллюэна акустоэлектрическими доменами в
GaAs. Тепловое рассеяние Мандельштама — Бриллюэна значи-
значительно слабее, т&к Что используются обычно лазеры и интер-
ферометрические спектральные приборы. Были разработаны
спектрометры высокого разрешения с большой чувствительно-
чувствительностью для исследования теплового рассеяния в прозрачных сре-
средах [6.8, 6.9]. Для наблюдения рассеяния Мандельштама —
Бриллюэна в полупроводниках вследствие более сильного фона
света несмещенной частоты, обусловленного поверхностью кри-
кристалла и дефектами, требуются дополнительные изменения. Два
высококонтрастных спектрометра, разработанных для этой цели,
представлены на фиг. 6.1. Двойная интерферометрическая си-
система, состоящая из конфокального сферического интерферо-
интерферометра Фабри — Перо (КСФП) и плрскопараллельного интерфе-
интерферометра Фабри — Перо (ППфП), играющего роль предвари-
предварительного фильтра, использовалась Пайном [6.10] для анализа
рассеянного света, имеющего частоту вблизи края оптического
поглощения в CdS. Постоянная предварительного фильтра под-
подбиралась таким образом, чтобы соседние порядки стоксовой и
антистоксовой компонент могли перекрываться, и фильтр на-
настраивался на это перекрывание. Инструментальное и конфи-
конфигурационное уширение линии рассеянного света было сведено
к минимуму посредством использования конфигурации рассея-
рассеяния назад и одномодового лазера. Многократное сканирование
для накопления данных в многоканальном анализаторе (МД),
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
295
а
ДзоНиоп.
ан/пер/рерометри чеснап.
спектрометр
Образец,
«.О
ретроре/рлектары
Многопроходной,
интерферометр
ППФП
Фиг. 6.1. Спектрометры i: высоким контрастом для изучения теплового рас-
рассеяния Мандельштама — Бриллюэна.
описанное Дюраном и Пайном [6.9], позволяло компенсировать
нестабильности лазера или интерферометра.
Многопроходная интерферометрическая система, представ-
представленная на фиг. 6.1, была разработана и описана Зандеркоком
[6.11] для исследования рассеяния света с частотой выше края
оптического поглощения в Si и Ge. Было достигнуто значение
и значение контрастности С„ =
четкости Fp = Fj
= BFi/nJ", где Fi — четкость при однопроходном режиме, /? —
число проходов. Значение F, несколько хуже, чем теоретическая
четкость FR =л -\/Ж/A — R), вследствие отклонения поверхно-
поверхностей интерферометра от плоской формы и параллельности. Угол
приема арр для центрального пятна многопроходного интерфе-
интерферометра Фабри —Перо есть Bk/lFp)''\ где I — длина волны па-
падающего света и /—расстояние между зеркалами. Эффектив-
Эффективность сбора рассеянного света пропорциональна произведению
a2Fp на площадь светового пучка. Так как площадь пучка по
крайней мере в р раз меньше, чем площадь зеркала, эффектив-
эффективность сбора света уменьшается во столько же раз по сравнению
с однопроходным интерферометром с такими же пластинами и
четкостью, равной Fp. Вследствие пониженной эффективности
29S
Глава 6
сбора света для данного значения разрешающей способности
многопроходная система лучше подходит для исследований с ма-
малым разрешением, в то время как однопроходную или двойную
систему лучше использовать в опытах, где требуется высокое
разрешение. Конечно, в тех случаях, когда необходим высокий
контраст, например при исследовании рассеяния в непрозрач-
непрозрачных, сильно поглощающих или малых образцах, многопроход-
многопроходной интерферометр является незаменимым.
6.2. Акустоэлектрические эффекты
6.2.1. Доменный зонд
Взаимодействие фононов со свободными носителями в полу-
полупроводниках исследовалось с помощью рассеяния Мандель-
Мандельштама — Бриллюэна во многих работах. В частности, изучались
динамические характеристики акустоэлектрических доменов.
Как показали Хатсон и Уайт [6.12], в пьезоэлектрических полу-
полупроводниках, где взаимодействие особенно сильно, акустические
волны могут усиливаться носителями, движущимися со ско-
скоростью va, превышающей скорость звука. Когда приложены
большие поля дрейфа, наблюдаются интенсивные пакеты аку-
акустических волн, движущиеся вдоль образца со скоростью звука.
С теоретической точки зрения [6.12] эти акустоэлектрические
домены состоят из усиленных тепловых фононов в узком ин-
интервале частот вблизи шмакс = (ffifituD)'/l, где шс = о/е — частота
диэлектрической релаксации, <oD = v2jD — диффузионная ча-
частота, о — проводимость и D — коэффициент диффузии носите-
носителей в полупроводнике. Спектр таких доменов в CdS с помощью
рассеяния Мандельштама — Бриллюэна впервые наблюдали Цу-
кер и Земон [6.13]. Они обнаружили, что частоты усиливаемых
фононов на порядок меньше, чем шманс. Цукер и Земон предпо-
предположили, что начальный фононный поток генерировался вслед-
вследствие пьезоэффекта фурье-компонентами токового импульса, а не
тепловыми фононами и этот поток усиливался до уровня насы-
насыщения. Последующие многочисленные исследования с помощью
рассеяния света показали, что в распределении фононов по ча-
частотам сначала появляется пик на частоте вблизи юмакс, затем
частота фононов понижается при движении пакета по кристаллу
вследствие ангармонического параметрического преобразования.
Подобные опыты, проведенные вплоть до 1970 г., подробно рас-
рассмотрены в обзоре Мейера и Йоргенсена [6.14], так что нет не-
необходимости обсуждать их здесь. Впоследствии Спирс [6.15]
в детальном исследовании рассеяния света акустоэлектрически-
ми доменами в GaAs доказал пригодность обобщенной теории
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
297
Хатсона — Уайта, разработанной Якобони и Проховским [6.16],
для случая qle ~ 1, где 1е есть длина свободного пробега элек-
электрона. Он также наблюдал нелинейное параметрическое умень-
уменьшение частоты в пределе сильного фонониого пучка. Мэни и
Джелбарт [6.17] показали, что усиленный тепловой пучок мо-
может иметь спектр Хатсона — Уайта при тщательном формирова-
формировании токового импульса, необходимом для избежания ударов,
формирующих домены. Несколько новых высокочувствительных
акустоэлектрических исследований по влиянию носителей и по-
полей на частотный сдвиг при рассеянии, ширину линии и интен-
интенсивность рассеяния будут обсуждаться в следующем разделе.
Кроме того, некоторые эксперименты по частотной зависимости
вблизи края оптического поглощения будут рассмотрены в раз-
разделе, посвященном резонансным эффектам.
6.2.2. Влияние акустоэлектрического взаимодействия
на тепловые фононы
Теории акустоэлектрического взаимодействия при малом сиг-
пале могут быть проверены посредством исследований влияния
носителей и электрических полей на тепловые фононы. Для этой
цели несколькими авторами бьшо использовано рассеяние Ман-
Мандельштама — Бриллюэна. Пайн [6.10] измерил скорость и зату-
затухание продольных акустических фононов частоты 35 ГГц в CdS,
распространяющихся вдоль оси с. как функцию температуры
в образцах с высокой и низкой проводимостью, используя двой-
двойной спектрометр, изображенный на фиг. 6.1. Спектр образца
Фиг. 6.2. Данные по рассеянию Мандельштама — Вриллкша. полученные при
высоком разрешении.
Рассеяние назад 1Л-фоиоиами, распространяющимися вдоль с-оси в CdS (о,=0,07 Си/см),
при возвужяенни светом йлиной волны бЗНв А. Свободный спектральный интервал кнгеп-
феромегра 1,5 ГГц.
298
Глава 6
до
34,9
34.8
1
о
•
i
0
**
1 i 1 1
"s'?«4..
■б/»::;.
i i i i
60
40
20
• 1
о 2
-
** *
I i I I
•■к "
'*. •..• ^/Ангармонический
~^Г Ацстоэлектрчческш-
^^_/ вклад
i I I I
too
200
T.K
300
400
Фиг. 6.З. Температурная зависимость частотного сдвига и ширины линии ком-
компоненты Мандельштама — Бриллюэна в образцах CdS с высокой (/) и низ-
низкой B) проводимостью о.
Слвнг частоты и ширина линнн в сульфиде кадмия при рассеянии продольными акустиче-
акустическими фоновамн рвспростраiечющинися вдоль £-оси,
с высокой проводимостью о при 95 К представлен на фиг. 6.2.
Акустоэлектрический и ангармонический вклады в ширину ли-
линии рассеянного света, а следовательно, и в затухание звука
различаются по их зависимости от температуры и электронной
концентрации, как показано на фиг. 6,3, Затухание вследствие
ангармонизма в образцах с малой проводимостью о возрастает
монотонно с температурой, подобно тому как это наблюдалось
ранее в а-кварце. Кроме того, скорость звука, которая пропор-
пропорциональна сдвигу частоты При рассеянии света, заметно меньше
в той температурной области, в которой электроны могут экра-
экранировать пьезоэлектрическое ужестчеиие упругих постоянных.
Акустоэлектрическая теория Хатсона и Уайта [6.12] для ре-
релаксации скорости и затухания фононов ограничена областью
qte<£il, так как авторы предполагают существование локаль-
локальной связи между токами и полями. Некоторые авторы [6,16,
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
299
(\ - »о)/"о = - *Sp + (К*. + К%) Re {HI
я = [i + Go)>D]/[i + i
6.18, 6.19] использовали уравнение Больцмана для обобщения
теории на все значения qte. Их результаты для случая отсут-
отсутствия внешних полей имеют вид
F.9,
F.10,
F.11,
Здесь v0— низкочастотная (й, < шс) скорость звука в случае,
когда пьезоэлектрическое ужестчение полностью экранируется
свободными носителями.- f обозначает незахваченную ловуш-
ловушками часть носителей заряда, Электромеханические постоянные
связи для пьезоэлектрического взаимодействия и взаимодей-
взаимодействия через деформационный потенциал имеют вид
^^3/2^33, F.12,
^-«WV/SAW FЛЗ,
Пьезоэлектрическая постоянная йъъ, диэлектрическая проницае-
проницаемость при постоянном токе е3 и упругая постоянная с3з харак-
характеризуют в данном случае продольные акустические {LA) фо-
цоны, распространяющиеся вдоль оси с. В случае CdS /fpj.^
= 0,012. При значении деформационного потенциала порядка
X <-' 10 эВ Клр~ 10" К2ре, и, следовательно, пьезоэлектрическая
связь является доминирующей.
Частота диэлектрической релаксации ас и частота диффузии
носителей <оо могут быть выражены через зависящую от частоты
и волнового вектора проводимость как
«Ц» =■<*(»,. <?)/е3, F.14)
F.15)
F.16)
Здесь пе — концентрация свободных носителей, те — бремя жизни
электронов, полученное из измерений подвижности носителей
. = exejtn*, где т* — эффективная масса. Длина свободного
яробега электронов для случая невырожденной статистики есть
F.17)
iti>qXe)lqle, обобщенную
Причем
Зводя безразмерный параметр д:=A
проводимость можно записать в виде
'Л Х F (х)],
F.19)
300
Глава 6
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
301
где F(x) есть плазменная дисперсионная функция [6.20]
F (х) = 2я-'/> ехр (х2) \ ехр (-t2) dt. F.19)
X
К Пределу Хатсона — Уайта можно перейти, положив qle —» 0;
при этом [6.20] a(<Aj, ц) -^оо = пйец есть проводимость при по-
постоянном токе.
В работе [6.10] было обнаружено, что акустоэлектрический
вклад в затухание фононов, представленное на фиг. 6.3, не мо-
может быть объяснен рассмотренной выше теорией при предпола-
предполагаемом значении / <= 1, соответствующем отсутствию захвата
носителей ловушками. Для согласия с экспериментальными дан-
данными необходимо ввести модель центров захвата со свойствами,
зависящими от температуры. Так как захват носителей При этих
высоких частотах нельзя измерять непосредственным способом,
но можно предположить, что он пренебрежимо мал, разногласие
между опытом и теорией является значительным, и, по-види-
по-видимому, оно может быть вызвано сделанным в теории предполо-
предположением об одном времени релаксации в больцмановском инте-
интеграле для столкновений. Якобони и Проховский [6.21] развили
теорию акустоэлектрического затухания, используя времена ре-
релаксации, зависящие от энергии. Однако на опыте измерялось
только среднее время жизни, так что трудно проверить пригод-
пригодность модели с распределенным те-
Вакита и др. [6.22] также изучали тепловое рассеяние Ман-
Мандельштама — Бриллюэна в CdS. Они определили три .упругие
постоянные сц, сц и с12 по спектрам рассеяния света длины
волны 6328 А на угол 90°. Разрешающая способность их одно-
Проходного интерферометра была недостаточной для определе-
определения релаксации скорости или акустоэлектрического затухания.
Однако Вакита и др. [6.23] наблюдали также формирование
акустоэлектрического распределения плотности энергии фононов
из теплового потока в случае, когда прикладывались большие
поля. Акустоэлектрический поток мог затем измеряться по от-
отношению к тепловому потоку, так как При этой же конфигурации
была определена эффективность рассеяния света тепловыми
фононами. Смит [6,24] провел подобный эксперимент несколько
ранее. Он смог проследить возрастание потока от теплового
уровня по крайней мере на шесть порядков.
Развивая свою предыдущую работу, Смит [6.25] показал,
что в случае малых полей дрейфа тепловой поток может не
только возрастать при q, параллельном Vd, но он может и пони-
понижаться при q, антипараллельном vd. Уменьшение потока обус-
обусловлено тем, что электронная компонента акустического зату-
затухания возрастает для носителей, движушихся в направлении,
Противоположном направлению распространения фононов. Это
был трудный эксперимент вследствие дополнительной асимме-
трйи, вносимой неточностью установки зеркал интерферометра
и их кривизной.
Перед тем как закончить обсуждение акустоэлекгрических
эффектов, следует отметить, что свободные носители также рас-
рассеивают свет либо как отдельные частицы, либо как коллектив-
коллективные возбуждения — плазмоньь когда (пРте > 1, где плазменная
частота щ =DлПее2/т*к)Ч* [6-26, 6.27]. Рассеяние от сгустков
носителей в акусгоэлектрических доменах может быть отделено
от рассеяния света фононами. посредством поляризационных
правил отбора или зависимости от длины волны света, и оно мо-
может служить дополнительным методом излучения электрон-фо-
нонного взаимодействия в полупроводниках.
6.3. Влияние поглощения на форму линии
В непрозрачных Кристаллах может происходить уширение
линии в спектре рассеянного света в большей степени, чем это
вызвано влиянием спектрометра, конфигурации рассеяния и ко-
конечного времени жизни фонопов, обсуждавшимися ранее. Это
дополнительное уширение обусловлено распределением волно-
волновых векторов, связанных с фурье-компонентами экспоненциаль-
экспоненциально затухающего падающего и рассеянного света. При рассеянии
назад вблизи границы полубесконечной среды, имеющей ком-
комплексные показатели преломления ti;i s = т|,-р л + Ы;_ s, распреде-
распределение волновых векторов, переданных фононам [6.27], имеет
вид
5(я) «
F.20)
Здесь волновой вектор света н коэффициент поглощения выра-
выражены следующим образом: q<> = 2л (i\if fa + i\s/hs) и ао =
= 2п(к/Д,- + y.s/fa:)- Это распределение волновых векторов Пря-
Прямым ебразом связано с частотным распределением рассеянного
света через скорость звука. В случае слабого поглощения
x/.s-dl;, s, 0 при q ~ qa F.20) сводится к простой лорениевой
функции S(q) ~ ао/я[(<7 — q^f + aj;], так что дополнительное уши-
уширение есть 6«о —aO£V Наиболее ясцой иллюстрацией этого уши-
рения, вызванного поглощением, являются результаты работы
Зандеркока [6.28] по рассеянию Мандельштама — Бриллюэна в
Si и Ge при частоте света выше частоты, соответствующей краю
оптического поглощения, где х <£ т\. Его спектры, полученные
с многопроходным интерферометром, представлены на фиг. 6.4.
Зандеркок получил из этих спектров точные значения комплекс-
комплексных показателей преломления в Si и Ge, так как скорости звука
302
Глава 6
в этих материалах хорошо известны, Полученные им значения"
находятся в общем согласии с более обычными измерениями
отражения и пропускания света. Следует отметить, что асимме-
асимметричная форма линии, даваемая F,20), лучше соответствует ре-
результатам Зандеркока при к ~ ц, чем симметричная лоренцева
форма линии,
Пайи [6.29] также наблюдал уширение линии рассеянного
света в CdS вследствие поглощения при частоте света, слегка
меньшей, чем частота, соответствующая краю оптического погло-
поглощения. Спектры, возбуждаемые светом с длиной волны 5145 А
L R L
-3 -2-70/25
L T R TL
-6 -4 -2 0 2 4 G
Ge(/OT
Д-4880Д
~8-в~4-г о г 4 е е
Сдвиг час/поты, см-'
Фиг. 6,4. Уширекие максимумов Мандельштама — Бриллюзиа в S1 и Ge вслед-
вследствие поглощения света,
Рассеяние Мандельштама — Брилмоэна
303
1610-
л
-7,5 ГГц
1
j
! |
I
\
\
\
Г
ил
Рассеяние назад в CdS при Л-5145А
Фиг, 6.5. Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна в направлении назад вблизи
резонанса в CdS при длине волны света 5145 А.
при температурах 295 и 203 К, когда кристалл является со-
соответственно поглощающим и прозрачным, представлены па
фиг. 6,5, Уширение, заметное при более высокой температуре
при данном разрешении, соответствует коэффициенту поглоще-
поглощения света, примерно в два раза большему, чем значение, полу-
полученное Даттоном [6.30] посредством прямых измерений пропу-
пропускания света тонкими образцами. Согласие является удовле-
удовлетворительным, если учесть различия в приготовлении образцов
и в качестве поверхностей, а также возможное влияние локаль-
локального нагрева образца и генерации носителей лазерным лучом.
304
Глава 6
6.4. Резонансное рассеяние
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна должно резонансно
возрастать, когда падающий или рассеянный свет имеет ча-
частоту, близкую к частоте электронных переходов в среде. Это
возрастание наблюдалось для частоты света, меньшей частоты,
соответствующей краю оптического поглощения в нескольких
полупроводниках. Теории этого эффекта, аналогичные теориям,
развитым в предыдущих главах для резонансного рассеяния
света, будут кратко рассмотрены в настоящем разделе. Пред-
Представленные ниже экспериментальные результаты находятся в ка-
качественном согласии с теорией, хотя возрастание является мень-
меньшим, чем это следует из теории, и значительно меньшим, чем
резонансное возрастание комбинационного рассеяния света.
6.4.1. Теория рассеяния
Существует несколько моделей различной сложности для
объяснения частотной зависимости рассеяния Мандельштама —
Бриллюэна. Самые простые из них предполагают, что свет взаи-
взаимодействует только с флуктуациями плотности, сопровождаю-
сопровождающими £Л-фононы. В этом случае тензор упругооптических по-
постоянных может быть рассчитан из закона Лорентц — Лоренца
|е.р.е| —■ (е — 1) (е + 2)/3. Это приближение применимо, когда
частоты падающего и рассеянного света находятся значительно
ниже края оптического поглощения в жидкостях и твердых те-
телах. Однако оно дает слишком слабое резонансное возрастание
рассеяния вблизи края поглощения, поскольку в Re {в} домини-
доминирующий вклад дают переходы с более высокой энергией, тогда
как рассеяние сильно зависит от влияния напряжений на бли-
ближайшую энергетическую щель. Кроме того, модель, построенная
на основе закона Лорентц — Лоренца, не может описывать эф-
эффекты пьезодвулучепреломления или рассеяния света сдвиго-
сдвиговыми волнами.
Более подробное микроскопическое рассмотрение проблемы
рассеяния света в кристаллах было дано Лоудоном [6.31]. Он
получил следующие выражения:
kT м, Ri4 г
е V
J
hmc )
2pt>; ai
F.21)
F.22)
Его теория представляет собой описание с помощью теории воз-
возмущений процесса, посредством которого фотон (ы,-, к,-), падаю-
падающий на кристалл, находящийся в основном состоянии |0>, соз-
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
305
дает виртуальную электронно-дырочную пару в зоне ц с волно-
волновым вектором к. Электрон или дырка затем взаимодействует
с фонолой (оач, q, ветвь /) через деформационный потенциал
%1^„ изменяя свое состояние к ц', и затем рекомбинирует, излу-
излучая рассеянный фотон (ш5, к5) со смещенной частотой- Волно-
Волновые векторы фотонов и -фононов считаются пренебрежимо ма-
малыми по сравнению с волновыми векторами электронно-дыроч-
электронно-дырочной пары (вертикальные переходы). В данном выражении V
есть объем кристалла, <jpj> — матричный элемент дипольного
момента, йсо^ — энергия состояния пары, отсчитанная от |0>.
Используемое определение деформационного потенциала свя-
связано -с определением, даваемым Лоудоном, соотношением х ==
= qaE. Резонансные эффекты обусловлены знаменателем в F.22),
который уменьшается, когда частота света близка к частоте воз-
возбужденных электронных состояний. Члены со знаменателями
вида (со^ -|- ш,-, s) были опущены.
Теория Лоудона в принципе может объяснить приведенные
ниже экспериментальные данные по резонансному рассеянию
света вследствие возможности выбора различных параметров
зон. Однако многие из этих параметров определяются из опти-
оптического поглощения, и детали теории, по-видимому, менее
важны, чем взаимосвязь между сечением рассеяния и поглоще-
поглощением. Поглощение в соответствии с Зейтцем [6.32] есть
' у
у L
Здесь Уд* — электронное затухание и т],-(<т)— медленно меняю-
меняющаяся функция в рассматриваемой области частот. По-преж-
По-прежнему частотная зависимость в основном обусловлена резонанс-
резонансным знаменателем. Из F.22) и F.23) ясно, что если (о)ц^ — вц)
много больше, чем ©, и уцй, то ов ~ а21г если x'S Ф 0 (разре-
(разрешено внутризонное электрои-фононное рассеяние), или ав~ш,
если XjS£. = 0 (междузонное электрон-фононное рассеяние). Это
двух- и трехзонные члены, обсуждавшиеся в гл. 2. На опыте,
однако, коэффициент рассеяния Мандельштама — Брнллюэна
может возрастать не так сильно, как поглощение. Это ясно
видно из фиг. 6-5, где общая интенсивность рассеяния падает,
когда энергетическая щель подгоняется по частоте к частоте
возбуждающего света посредством нагреча кристалла. Как по-
показано Лоудоном [6.33], расходимость ое при й>г-»-Юц* не имеет
места для модели сферических зон вследствие очень малой
плотности электронных состояний. Пайн [6.29] получил, что
указанное выше соотношение между ав и «j для внутризоиного
рассеяния сохраняется для модели сферических зон.
306
Глава 6
В более поздней работе Бурштейн и др. [6.34] распростра-
распространили теорию Лоудона для резонансного рассеяния Мандель-
Мандельштама— Бриллюэна на случай кристалла с экситонами. Они
рассматривали сильно связанные между собой свет и квазило-
кализованную электронно-дырочную пару как поляритон и изу-
изучали рассеяние поляритонов фононами. Полученное ими выра-
выражение для эффективности рассеяния может быть записано как
kT
F.24)
Здесь Ор(ш) и t>e(<o)—фазовые и групповые скорости поляри-
поляритонов частоты со и S|1(co)— так называемая экситояпая сила
поляритона. Эти величины определяются следующими соотно-
соотношениями:
■M«)
J'
F.27)
где сила осциллятора 6^ может быть выражена через матрич-
матричные элементы дяпольиого момента
2e2N
F.28)
Результаты Лоудона [6.31], основанные на теории возмуще-
возмущений, в пределе узких зон без дисперсии (таких, что Z-*WY
аналогичны результатам рассмотренной поляритонной теории,
за исключением множителя Vp(a>i)/vp((i>s), который всегда бли-
близок к единице. Следовательно, нет заметного различия в пред-
предсказываемом резонансном поведении между двумя рассматри-
рассматриваемыми теориями. С другой стороны, если учитывать электрон-
фононное взаимодействие, осуществляемое посредством элек-
электрического поля, сопровождающего полярные фононы или фо-
ионы в пьезоэлектрике, то важно различать экситонцые и зон-
зонные состояния. Учет электрического поля приводит к увеличе-
увеличению элсктрооптического вклада в рассеяние света, в котором
участвуют главным образом экситонные промежуточные состоя-
состояния. Доказательством этого является большая интенсивность
Рассеяние Мандельштама — Ёри.глюэна
307
резонансного комбинационного рассеяния продольными оптиче-
оптическими (LO) фононами по отношению к рассеянию поперечными
оптическими (ТО) фонолами в CdS [6.35]. Однако, как пока-
показали Бурштейн и др. [6.34], электрическое поле, сопровождаю-
сопровождающее £Л-фононы в CdS вследствие пьезоэффекта, составляет все-
всего лишь несколько процентов от поля £0-фононов, поэтому сле-
следует ожидать, что электрооптический вклад в рассеяние Ман-
Мандельштама— Бриллюэна невелик. На опыте [6,29] резонансное
возрастание рассеяния одинаково для £Л-фононов, распростра-
распространяющихся как вдоль пьезоэлектрически неактивной а-оси, так
и вдоль пьезоэлектрически активной с-оси в кристалле CdS, что
подтверждает ожидаемое.
6.4.2. Экспериментальные значения коэффициентов
рассеяния
Существуют три типа экспериментов по рассеянию Мандель-
Мандельштама— Бриллюэна, в которых наблюдалась резонансная дис-
дисперсия коэффициента рассеяния вблизи края оптического погло-
поглощения в полупроводниках. Первыми были эксперименты Телла
и др. [6.36], в которых изучалось рассеяние света на малые
углы L/1-фононами с частотой 50 МГц, распространяющимися
вдоль а-оси в CdS и ZnO и генерируемыми внешним источни-
источником. Частота падающего света, идущего от дуговой ксеноновой
лампы, могла изменяться с помощью монохроматора в диапа-
диапазоне нескольких тысяч ангстрем вплоть до предела прозрачно-
прозрачности кристалла. В этом широком спектральном диапазоне компо-
компоненты /K1 и p2i тензора упругооптических коэффициентов изме-
изменялись почти в десять раз, а дисперсия компоненты pix была за-
заметно меньше.
Вторым экспериментом было измерение теплового рассеяния
Мандельштама — Бриллюэна £Л-фононами, распространяющи-
распространяющимися вдоль с-оси в CdS, проведенное Пайном [6.29]. В этом
случае ширина энергетической щели изменялась посредством
нагрева кристалла, так это излучение аргонового лазера с дли-
длиной волны 5145А попадало в хвост оптического поглощения, и
при этом наблюдалось сильное возрастание коэффициента рас-
рассеяния. Коэффициент рассеяния определялся по данным об ин-
интенсивности рассеяния с учетом поправок на поглощение све-
света в кристалле, используя соотношение
hlh = я6 A - ехр (- 2atL)]f2at. F.29)
Для прозрачных образцов hjh •— ®bL, в то время как для по-
поглощающих образцов ls/Ii ~- Ов/2и„ Во втором случае, если
<7S ~ at (или af), как в теории Лоудона для междузонного
(или внутризонного) электрон-фононного взаимодействия, изме-
308
Глава S
ряемая интенсивность рассеяния должна быть независима от
поглощения (или пропорциональна ему). Вместо этого было об-
обнаружено, что ов приблизительно пропорционально a'j*, как это
показано на фиг. 6.6. В коэффициент рассеяния, представленный
на фиг. 6.6, введены температурные поправки в соответствии с
F.7), F.21) или F.24), так как ширина энергетической щели
изменяется посредством нагрева. Шкала, названная «частота
ниже края оптического поглощения», получена с помощью соот-
соотношения ES(T) = B0840 — 3,82т1) сиН, вытекающего из дан-
данных Даттона [6.30].
В экспериментах третьего типа по резонансному рассеянию
Мандельштама -7- Бриллюэна изучалось рассеяние света дуго-
дуговой лампы, профильтрованного монохроматором, поперечными
акустическими фононами в акустоэлектрических доменах. Гер-
род и Брей [6.7] обнаружили резкий минимум в частотной зави-
зависимости интенсивности рассеяния, расположенный примерно на
i
1 С
Частота тше края оптического поглощения, ш'
im 19D0 №0 BOO 600 400 Z00 1П4
0 50 00
150 200 250 300
Т. К
350
Фиг. 6,6, Оптическое поглощение и коэффициент резонансного рассеяния Ман-
Мандельштама— Бриллюэпа a CdS при длине волны света 5145 А.
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
309
0.001 г
1,31
1,35 !Л0
Энергия фотонов, эВ
Фиг. 6.7. Дисперсионные кривые для рассеяния Мандельштама — Бриллюэна
сдвиговыми волнами в GaAs, генерируемыми акустоэлектрическим способом.
Выше расположенные кривые соответствуют ббльшни ннустнческиы потоквм.
30 мэВ ниже края оптического поглощения в GaAs (фиг. 6.7).
Существование этого минимума было объяснено взаимной ком-
компенсацией вкладов в F.22) от резонансной полосы и нерезо-
нерезонансных состояний, имеющих противоположные знаки. Однако
остаточное рассеяние в области минимума не было равно кулю
и зависело от интенсивности акустического потока. Можно пред-
предположить, что пространственные неоднородности в энергетиче-
энергетической щели, вызванные неоднородным акустическим потоком,
приводят к размытию минимума и отличию интенсивности рас-
рассеяния от нуля в минимуме. Дисперсия коэффициента рассея-
рассеяния Мандельштама — Бриллюэна в точности соответствовала
данным по дисперсии pw, полученным с помощью пьезодвулуче-
преломления при энергиях ниже 1,38 эВ. Следует отметить, что
данные, представленные на фиг. 6.7, нормированы по отноше-
отношению к свету, пропускаемому образцом, что вносит поправки па
поглощение света вдоль оптического пути. Однако h/h никогда
не превышает единицы, и h и /< стремятся к нулю при прибли-
приближении к краю поглощения. Это показывает, что интенсивность
резонансной части рассеяния Мандельштама — Бриллюэна воз-
возрастает медленнее, чем поглощение, так же как и в случае ком-
компоненты |р3з|2 в CdS. Ямада и др. [6.37] наблюдали аналогич-
аналогичную резонансную компенсацию в частотной зависимости \рц\2
в CdS, акустоэлектрическй возбуждая сдвиговые волны.
310
Глава 6
6.4.3. Предсказание существования новых типов волн
Рассмотрение рассеяния Мандельштама — Бриллюэна на
основе экситонов — поляритонов [6.34] позволило Бренигу и др.
[6.38] предсказать существование некоторых новых типов волн,
участвующих в рассеянии при энергиях падающего света выше
резонанса со свободными экситонами. Свободный экситон имеет
конечную эффективную массу, поэтому фотонно-экситоштый по-
ляритон характеризуется пространственной дисперсией, что по-
показано схематически на фиг. 6.8. В отсутствие фотошю-экситон-
ной связи частота экситона при нулевом волновом векторе есть
«и- При частотах ниже этого резонанса происходит обычное
рассеяние Мандельштама — Бриллюэна, обозначенное низшей
линией К2->К2- В области выше резонанса падающий фотон
частоты ш может рассеиваться по четырем каналам <и', соответ-
соответствующим парам волновых векторов Ki-*-Ki, Ki-*-Ki, K2-*-Ki
и K'i->-K]- Последние три комбинации соответствуют новым мо-
■дам, возбуждение которых осуществляется через экситоноподоб-
ную ветвь. Представлен только стоксов процесс для рассеяния
назад с участием одной фононной ветви. Наклоны линий со
стрелками характеризуют фазовые скорости фононов. Исследо-
Исследование этих новых мод может применяться для измерения дис-
дисперсии акустических фононов или экситонов в области больших
волновых векторов, если дисперсия одних из этих возбуждений
известна из независимых измерений.
Фиг. 6.8. Дисперсионные кривые для полпрнгопов. образованных фотонами и
свободными экситонами. и переходы при рассеянии Мандельштама — Брил-
Бриллюэна в направлении назад.
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
311
Сечение рассеяния для каждого из этих каналов содержит
смесь фотонных и экситонных сил в начальном и конечном по-
ляр'итошшх состояниях, как это дается F.27), F.26) для свя-
связанного экситона. Брениг и др. [6.38] показали, что новые моды
могут наблюдаться на опыте вблизи резкого резонанса, соот-
соответствующего свободному экситону.
Можно отметить, что из дисперсионных кривых на фиг. 6.8
следует, что разрешенным является рассеяние на малые углы
с переходами между поляритонными ветвями или на одной вет-
ветви вблизи ve(a) =vq. Такого типа рассеяние из-за большого
поглощения света можно наблюдать, по-видимому, лишь на
очень тонких образцах. Кроме того, рассеяние в направлении
назад может не наблюдаться, если сечение рассеяния растет
слабее, чем поглощение, как в рассмотренных ранее случаях ре-
резонансного рассеяния Мандельштама — Бриллюэна.
6.5. Вынужденное рассеяние
Мандельштама — Бриллюэна
При сильном оптическом возбуждении стоксова компонента
рассеяного света и акустическая волна могут экспоненциально
усиливаться посредством параметрического процесса. Этот эф-
эффект, известный под названием вынужденного рассеяния Ман-
Мандельштама — Бриллюэна, наблюдался впервые в а-кварце и
сапфире Чао и др. [6.39]. Экспоненциальный коэффициент уси-
усиления, следующий из их теории для стационарного состояния,
имеет вид
гв = 2я81г.р.груед>и?г,. F.30)
Он включает коэффициент рассеяния Мандельштама — Бриллю-
Бриллюэна ов и коэффициент затухания фононов Го. Обычно наиболь-
наибольшее усиление имеют продольные акустические волны, и они воз-
возбуждаются наиболее сильно. При импульсном возбуждении,
когда длительность импульса меньше, чем Г^', усиление умень-
уменьшается.
Хотя вынужденное рассеяние наблюдалось во многих твер-
твердых телах и жидкостях, а полупроводниках, имеющих большие
фотоупругне коэффициенты, происходит паразитный нагрев, ко-
который уменьшает интенсивность или делает невозможным вы-
вынужденное рассеяние Мандельштама — Бриллюэна. Однако
Азам и др. [6.40] наблюдали вынужденное рассеяние Мандель-
Мандельштама — Бриллгоэна в обратном направлении в Ge при исполь-
использовании излучения СОг-лазера с модулированной добротностью.
Измеренный ими коэффициент усиления соответствовал F.30).
причем фотоупругие коэффициенты брались в лореццевом при-
312
Глава 6
ближении. До 20% падающего света преобразовывалось в сток-
сово излучение. Возбуждаемый при этом акустический поток по
оценкам составлял примерно 500 Вт/см2, хотя непосредствен-
непосредственным образом он не измерялся.
Крессель и Мироп [6.41] предположили, что разрушение ин-
жекцнонных лазеров из GaAs может быть обусловлено вынуж-
вынужденным рассеянием Мандельштама — Бриллюэна. Образование
ямки на поверхности зеркала при этом может быть вызвано
сильным акустическим потоком. Порог разрушения возрастал с
температурой в соответствии с возрастанием Yq. Он также воз-
возрастал для более коротких импульсов, что указывает на умень-
уменьшение коэффициента усиления в переходном режиме. Однако
прямого наблюдения рассеянного света с частотным сдвигом не
проводилось, поэтому механизм разрушения окончательным об-
образом не установлен.
Литература
Nye J. P., Physical properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1964,
Chapter 13. (Имеется перевод: Дж. Най: Физические свойства кристал-
кристаллов, изд-во «Мир», 1967.)
Benedek G. В., Fritsch К., phys. Rev., 149, 647 A966).
Born М., К- Huang, Dynamical Theory of Crystal Lattices, {Clarendon
P Ofod; 1954 Seti 50)
6.1.
6.2.
6.3.
Press, Oxford; 1954, Section 50).
6.4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М„ Электродинамика сплошных сред, Физ-
1959
Born М., К- ung, Dynamical
Press, Oxford; 1954, Section 50).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М„
матгиз, 1959.
6.5. Nelson D. F., Lazay P. D., Phys. Rev. Letters, 25 1187 A970).
6-6. Neison DsF., Lax M., Phys. Rev. B3, 2778 A971).
6.7. Garrod D. K., Bray Д., Phys. Rev., B6, 1314 A972).
6.8. Shapiro S. M., Gammon R. W., Cummins H. Z. Appl. Phys. Letters, 9,
157 A966).
6.9. Durand G. E., Pine Л. S., IEEE J. Quant. Electron., QE 4, 523 A968).
6.10. Pine A. S Phys. Rev., B5, 2997 A972).
6.11. Sandercock I. R,, в книге: 2nd Intern. Conf. on Light Scattering in Solids,
ed. by M. Balkanski, Flammarion Paris, 1971 p. 9.
6.12. Hulson A. R., White D. L. J. Appl. Phys., 33, 40 A962).
6.13. Zucker J., Zemon S., App]. Phys. Letters, 9, 398 A966).
6.14. Meyer N. I., Jdrgensen M. Я., Advances in Solid State Physics Pergamon
Press, Vieweg, 1970, Chapter 2.
6.15. Spears D. L, Phys. Rev., B2, 1931 A970).
6.16- Jacoboni C, Prohofsky E. W., J. Appl. Phys. 40, 454 A9G9).
6.17- Many A., Geibart V., Appl. Phys. Letlcrs, 19, 192 A971).
6.18. Spector II. N.. в книге: Solid Slate Physics, ed. by F. Seitz and D. Turn-
bull, Academic Press New York, 1966, vol. 19, p. 291.
6.19. Nill K. W., Ph. D. dissertation, MIT Eleclr. Engrng. Dept., 1966, пеопуб-
ликовано.
6.20. Fried В. D Conte S. D., The Plasma Dispersion Function, Academic
Press, New York, 1961.
6.21. Jacoboni C, Prohofsky E. W., Phys. Rev., Bl, 697 A970).
6.22. Wakita K., Umeno M., Takagi K-, Miki S., J. Phys. Soc. Japan 35 149
A973).
6.23. Wakita K., Umeno M., Hamada S,, Miki S., Jap. J. Appl. Phys- 12, 706
11973).
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
313
6.42.
6.25.
6.26.
6.27.
6.27a.
6.276
6.27в,
658.
6.29.
6.30.
6.31.
6.32.
6.33.
6.34.
6.35.
6.36.
6.37.
6.38.
6.39.
6.40.
6.4].
Smith R. W., в книге 1st Intern. Con!, on Light Scattering Solids, ed. by
Q. B. Wright, Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1969, p. 611.
Smith R. W, 3. Acoust Soc. Am., 49, 1033 A970).
Mooradian A., Wright G. В., Phys. Rev. Letters, 16, 999 A966).
Scott J. F., Damen T. C, Leite R. С. С, Shah J., Phys. Rev., Bl. 4330
A970).
Dressethaus C, Pine A. S., Solid State Commun., 16, 1001 A975).
Pine A. S., Dresselhaus G-, в книге: 3rd Intern. Conf. on Lighl Scattering
in Solids, ed. by M. Balkanski, Flammarion, Paris, 1976, p. 138.
.Bennett B. !., Maradudin A. A., Swansoa L. R., Ann. Phys. (N. Y,) 71
357 A972).
Sandercock J. R., Phys. Rev. Letters, 28, 237 A972).
Pine A. S., Phys. Rev., B5, 3003 A972).
Dutton D., Phys. Rev., 112, 785 A958).
Loudon Д., Proc. Roy. Soc. (London), A275, 218 A963).
Seitz F., Modern Theory of Solids, McQraw-Hil, New York, 1940, Chap-
Chapter 17. (Имеется перевод: Зейтц Ф., Современная теория твердого тела
Гостехиздат, М. — Л. 1949.)
Loudon R., J. Phys. Radium, 26, 677 A965).
Burstein E. Ito R. Pinczuk A. Shand M. J. Acousl. Soc. Am. 49, 1013
A971).
Leite R. C. C, Damen T. C, Scott J. P., в Книге: 1st Inlern. Conf. on
Light Scattering in Solids, ed. by Q. B. Wright, Springer, New York,
Heidelberg, Berlin, 1969, p. 359.
Teii В., Worlock J. M., Martin R. J., Appl. Phys. Letters, 6, 123 A965).
Yamada M., Ando K., Hamagucki C, Nakai ]., J. Phys. Soc. Japan, в пе-
печати.
Brenig W., Zeyher R., Birman J. L. Phys. Rev. B6, 4617 A972).
Chiao R. Y., Townes С. И., Stocheff В. P., Phys. Rev. Letlers 12 592
A964).
Asam P Deuflhard P., Kaiser W., Phys. Letters, 27A, 78 (!968).
Kressel H., Mierop H., J. Appl. Phys., 38, 5419 A967).
7. Вынужденное комбинационное
рассеяние света
И. Р. Шен О
Вынужденное комбинационное рассеяние света было случайно
открыто Вудберн и Нгом в 1962 г. [7.1]. При исследовании мо-
модуляции добротности рубинового лазера с помощью ячейки
Керра из нитробензола они обнаружили интенсивное инфракрас-
инфракрасное излучение, идущее от ячейки Керра, происхождение кото-
которого они первоначально не определили. Первая правильная ин-
интерпретация этого явления как вынужденного комбинационного
рассеяния света в нитробензоле была предложена Экхартом
[7.2] и вскоре проверена экспериментально Экхартом и др. [7.3].
В последующем подобный эффект наблюдался во многих
других жидкостях Экхартом и др. [7.3], Геллером и др. [7.4] и
Стоичевым [7.5], в некоторых твердых телах Экхартом и др.
[7.6] и в газообразном водороде Минком и др. [7.7]. Первое
теоретическое рассмотрение вынужденного комбинационного
рассеяния было проведено Хеллуортом [7.8].
В табл. 7.1 приведены данные для некоторых материалов, в
которых наблюдалось как спонтанное, так и вынужденное ком-
комбинационное рассеяние света. Как видно из этой таблицы, для
того чтобы возбудить из шумовых фотонов е30 фотонов, соответ-
соответствующих вынужденному комбинационному рассеянию, необхо-
необходимо использовать лазерный пучок с интенсивостью 1 ГВт/см2,
распространяющийся в ячейке с нитробензолом длиной 15 см.
Эти данные примерно одинаковы для большинства жидкостей,
в которых наблюдалось вынужденное комбинационное рассея-
рассеяние света. Однако в ранних экспериментах по вынужденному
комбинационному рассеянию применялись лазерные пучки с ин-
интенсивностью менее 100 МВт/см2 и все же наблюдалось более
чем е30 фотонов в секунду, соответствующих рассеянию света;
Эта аномалия, а также ряд других наблюдавшихся аномалий
[7.5], таких, как чрезвычайно резкий порог для вынужденного
рассеяния, асимметрия в интенсивности рассеяния вперед и на-
назад, заметное спектральное уширение рассеянного излучения и
т. я'., были в течение нескольких лет непонятны исследователям,
работавшим в данной области. Как мы увидим в последующих
') Shen Yuen-Rom, University of California, Department of Physics, Ber-
Berkeley. USA.
Вынужденное комбинационное рассеяние
315
Таблица 7.1
Сдвиг частоты, ширина линии и сечение рассеяния для спонтан-
спонтанного комбинационного рассеяния света, а также соответствующие
коэффициенты усиления вынужденного расстояния в некоторых веществах
Вещество
Нг, газа)
О2, жидкий
№, жидкий
Бензол
Сероуглерод
Нитробензол
Нлобат лития
(LiN'bOg)
InSb б)
"I Hagenlocker
б> Длн конценг
Сдвиг
частоты.
см-1
4155
1522
2326,5
992
655,6
1345
248
0-300
Е. Е., Mlnck
pa пи и носите
Ширина
анини 2 Г
СИ
0,2
0,177
0,067
2,15
0,50
6,6
7
0,3
R. №.. Rado
-.лей пе" l"Ifi
Сечение рассеян
rfa/dfMOe.
ем .ср
0,48iO,14
0,29+0,09
3,06
7.55
6,4
262
10
IF. С. Phys. Rgv,
— 3
ия Коэффициент уси-
усиления Oj;.i03r
см/МВт
1,5
C00 К, 10 атм)
!4,5±4
17^5
2,8
24
2,1
28,7
1.7-104
, 154. 226A967).
разделах, в настоящее время предполагается, что эти аномалии
вызваны самофокусировкой падающего лазерного луча в среде.
При вынужденном комбинационном рассеянии света наблю-
наблюдаются как стоксово, так и аитистоксово излучения. Наблюде-
Наблюдение вынужденного антистоксова комбинационного рассеяния
[7.9] было неожиданным, так как из простой теории двухфотон-
ных переходов следует, что коэффициент усиления для анти-
антистоксова рассеяния при тепловом равновесии, как это мы уви-
увидим позднее, является отрицательным. Антистоксово излучение
в действительности генерируется посредством параметрического
связывания с лазерным и стоксовым излучением. Это также объ-
объясняет, почему антистоксово излучение, генерируемое в жидко-
жидкостях и твердых телах, всегда имеет интенсивные компоненты,
распространяющиеся под углом к падающему лазерному лучу.
Часто наблюдались также стоксово и антистоксово рассея-
рассеяния высокого порядка [7.9, 7.10]. По-видимому, это рассеяние
можно объяснить ступенчатыми процессами. Вследствие очень
большой интенсивности лазерного излучения в среде (обычно в
локальных областях из-за внешней фокусировки или самофоку-
самофокусировки) сначала генерируются интенсивные стоксово и анти-
антистоксово излучения первого порядка, которые s свою очередь
могут стать достаточно интенсивными, чтобы генерировать ком-
комбинационное рассеяние более высокого порядка. Как мы увидим
316
Глава 7
позднее, теоретическое описание этого ступенчатого процесса
вынужденного комбинационного рассеяния очень сложно.
Сначала интерес к вынужденному комбинационному рассея-
рассеянию света был обусловлен тем, что оно давало интенсивное ко-
когерентное излучение на новых частотах и могло объяснять ме-
механизм потерь при распространении мощных лазерных пучков
в среде, например в атмосфере. Позднее было показано, что ча-
частоту вынужденного комбинационного рассеяния фононами, ко-
которые активны в рассеянии и поглощении света, можно непре-
непрерывно изменять в определенной области посредством изменения
направления распространения пучков света в кристалле [7.11].
Это явление известно под названием вынужденного рассеяния
света поляритонами. В этом случае одновременно с вынужден-
вынужденным рассеянием генерируется перестраиваемое по частоте излу-
излучение в далекой инфракрасной области [7.12]. Затем было об-
обнаружено, что вынужденное комбинационное рассеяние света
может также происходить при двухфотонных переходах с пере-
переворотом спина в полупроводниках (впервые наблюдалось в
inSb) [7.13]. Частота рассеянного света также может варьиро-
варьироваться непрерывно с помощью изменения зеем а невского расщеп-
расщепления внешним магнитным полем. Так как переходы с переворо-
переворотом спина могут вызываться непосредственно излучением в да-
далекой инфракрасной области, эта проблема имеет много общего
с проблемой вынужденного рассеяния света поляритонами. Дей-
Действительно, мы можем использовать теорию вынужденного рас-
рассеяния света поляритонами для корректного описания как вы-
вынужденного рассеяния, так и генерации излучения в далекой
инфракрасной области при переходах с переворотом спина в
InSb [7.14].
Времена релаксации при комбинационном рассеянии света
в жидкостях и твердых телах обычно очень малы, порядка пи-
косекунд. Следовательно, при лазерных импульсах длитель-
длительностью порядка наносекунд комбинационное рассеяние света
(при отсутствии самофокусировки) может несомненно рассмат-
рассматриваться как квазистационарный процесс. Но когда используют-
используются пикосекундные лазерные импульсы, могут становиться важ-
важными переходные эффекты в рассеянии [7.15]. Теория переход-
переходных процессов при вынужденном комбинационном рассеянии
света сейчас достаточно развита [7.16]. В экспериментах пере-
переходные процессы в рассеянии использовались для возбуждения
когерентных молекулярных колебаний или колебаний фононов
в среде. Исследуя затухание таких вынужденных колебаний,
можно измерять соответствующие колебательные времена ре-
релаксации [7.17, 7.18]. К настоящему времени это служит един-
единственным методом прямого измерения времен релаксации коле-
колебаний в жидкостях и твердых телах.
Вынужденное комбинационное рассеяние
817
В разд. 7.2 мы обсудим классическую теорию вынужденного
комбинационного рассеяния света. Будет использоваться метод
связанных волн [7.19] для описания генерации стоксова и анти-
стоксова излучений первого и более высокого порядков [7.20].
В разд. 7.3 приведен обзор экспериментальных результатов по
вынужденному комбинационному рассеянию света и показано,
как можно объяснить различные аномальные эффекты, которые
наблюдаются при вынужденном рассеянии. В разд. 7.4 и 7.5 об-
суждаются два специальных случая вынужденного комбинаци-
комбинационного рассеяния, а именно вынужденное рассеяние света поля-
поляритонами и вынужденное рассеяние при переходах с переворо-
переворотом спина. В разд. 7.6 рассматриваются переходные процессы
при вынужденном рассеянии света, когда ширина импульса по-
поля накачки меньше или сравнима с време?1ами релаксации воз-
возбуждений, участвующих в рассеянии. В разд. 7.7 мы обсудим
различные возможные применения вынужденного комбинацион-
комбинационного рассеяния света. К ним относятся измерения времен релак-
релаксации фононов или колебаний атомов, измерения нелинейных
коэффициентов преломления третьего порядка, определение ма-
малой концентрации веществ, спектроскопические исследования
возбуждений малой энергии, нагрев плазмы, распространение
лазерных пучков большой мощности в среде. Наконец, в разд. 7.8
приведены краткие заключительные замечания о предполагае-
предполагаемом развитии исследований в данной области в будущем.
В литературе уже имеется несколько обзорных статей по вы-
вынужденному комбинационному рассеянию [7.21, 7.22] '). В на-
настоящей работе мы уделим наибольшее внимание основным
принципам эффекта и более новым достижениям в этой области.
Ссылки, приведенные здесь, являются далеко не полными. Бо-
Более подробный список литературы дан в работах [7.2], 7.22]..
7.1. Основные принципы
Хорошо известно, что комбинационное рассеяние света яв-
является прямым двухфотонным процессом. В этом процессе одно-
одновременно поглощается один фотон с частотой coi(k,) и излучает-
излучается другой фотон с частотой W2(k2),тогда как вещество переходит
из начального состояния |i) в конечное состояние [/) (фиг. 7-1).
Закон сохранения энергии требует, чтобы величина Ь(ац—шг)
равнялась разности энергий двух состояний Е; — Ei = Нац
с точностью, определяемой шириной линии. Мы можем иметь
и, > шг или <Л| < из. Первый случай соответствует стоксову
рассеянию, второй — антистоксову.
') Вследствие пропуска ссылки [7.2] в работе [7.21] неправильно опи-
описана история открытия вынужденного рассеяния света.
318
Глава 7
hw,(k,)
На)г(кг)
Фиг. 7.1. Схематическое изображение переходов из начального состояния ]<)
в конечное состояние |/) при стрксовом (Wi >■ со2) и антистоксовом (W|-<W2)
комбинационном рассеянии света.
Прямой расчет с помощью второго порядка теории возмуще-
возмущений дает следующее выражение для вероятности перехода, соот-
соответствующего комбинационному рассеянию света, в единицу
времени, в единице объема, в единичном интервале энергии
[7.23]:
,) | <f | М Ю Р | <af
М =
L-i\_
t — <oSf)
g (До),
fcl'r (P -
й (
"I
G.1)
Здесь ЛГ есть число молекул или элементарных ячеек в единице
объема среды, е— диэлектрическая проницаемость, р — опера-
оператор импульса, ё обозначает поляризацию поля, |s) — промежу-
промежуточное состояние материальной системы, |а) — состояние поля
излучения, <з+ и а — операторы рождения и уничтожения фото-
фотонов соответственно и, наконец, £(Дш = со, — юг — (D/,)—комби-
(D/,)—комбинированная плотность состояний для перехода. Если переходу
при рассеянии соответствует лоренцева форма линии, то£(Дш) =
=Г/л [(Дю)а + Г2], где Г есть полуширина линии.
Вероятность перехода W^i в G.1) пропорциональна
/ а, Iа\а I аД |г. Если процесс рассеяния происходит практически
в отсутствие фотонов с частотой сог, то он называется спонтап-
Зьшужденное комбинационное рассеяние
319
ным комбинационным рассеянием света. В этом случае величи-
величина Wfi просто пропорциональна |<а/]а, |се,)|2. Если же фотоны
с частотой юг присутствуют, то рассеяние называется вынужден-
вынужденным комбинационным рассеянием. В частном случае, когда со-
состояния содержат целые числа фотонов с частотами ш, и <ог, так
что |а,-> = |«i, лг> и |ее/> = |/ij — 1,п2+ 1), мы имеем W;i ~
~ П] (п2 + I); спонтанное комбинационное рассеяние соответ-
соответствует п2 = 0. В общем случае состояния поля излучения более
. сложны [7.24], и такое простое соотношение не выполняется.
Однако если средние числа фотонов щ и «г с частотами ш; и тз
значительно больше чем 1, приближение
является очень хорошим [7.24].
Таким образом, мы предполагаем, что сечение рассеяния для
спонтанного комбинационного рассеяния света должно быть пря-
прямо пропорционально коэффициенту усиления при вынужденном
рассеянии. По определению, дифференциальное сечение рассея-
рассеяния d2a/d(foa>2)dQ есть вероятность рассеяния падающего фо-
фотона с частотой o)i в единице объема вещества с возбуждением
фотона с частотой «а заданной поляризации, распространяюще-
распространяющегося в единичном телесном угле вокруг О, с энергией в единич-
единичном интервале энергии вблизи Во2. Так как плотность мод излу-
излучения в единичном телесном угле есть gE 4<а2 = k\ 4Ь2/BтсK, мы
имеем
\{af
PigE [dWnjd (
«,>!'*=
г, G.2)
где Мц =j </|Af |/> и pi есть заселенность состояния |i). При уси-
усилении вынужденного комбинационного рассеяния изменение
числа неупруго рассеянных фотонов в одной моде на единицу
длины равно [7.8]
(GR — a2) n2, если «,, n2 > I, G.3a)
в, ea) J Mfl f g (Да) (P/ - Pf) n, ($/c)
= Jf^!ii_ №j _ pf) / *° \,
G.36)
где «a — постоянная поглощения при юг, \Е\ |гг,.,/2л = и,ЙЮ| —
энергия поля в единице объема, ei., — вещественная часть ди-
диэлектрической проницаемости. Из уравнения G.3) следует, что
320
Глава 7
G* есть коэффициент усиления при вынужденном комбинацион-
комбинационном рассеянии и что он пропорционален d2a/d(baJ)dQ. В сле-
следующем разделе мы покажем, что можно получить такое же вы-
выражение для С* с помощью нелинейной оптической восприимчи-
восприимчивости третьего порядка, называемой также комбинационной вос-
восприимчивостью.
Как видно из табл. 7.1, самым большим коэффициентом уси-
усиления вынужденного комбинационного рассеяния обладает InSb.
Из G.3) следует, что - ПцЩ = ft2@)exp [(Gr — а2)П- Тогда да-
даже в InSb для получения е*° рассеянных фотонов из одного шу-
шумового фотона в кристалле длиной 1 см необходимо, чтобы
интенсивность падающего луча СОг лазера составляла 2 МВт/см2.
По этой причине вынужденное рассеяние смогла наблюдать
только после того, как были разработаны высокомощные ла-
лазеры.
7.2. Теория вынужденного комбинационного
рассеяния света
В последующем теоретическом рассмотрении вынужденного
комбинационного рассеяния света (ВКР) мы будем использо-
использовать только полуклассическое описание, т. е. не будем проводить
квантования электромагнитных полей. Это, конечно, неверно,
когда число фотонов в рассеянной моде мало, например когда
ВКР только начинает возбуждаться спонтанно рассеянными фо-
фотонами. Следовательно, приведенное описание пригодно только
для того режима усиления ВКР, при котором излучение, обус-
обусловленное комбинационным рассеянием света, достаточно ин-
интенсивно. Для ВКР, начинающего формироваться из спонтан-
спонтанного рассеяния, мы должны использовать полное квантовое опи-
описание, например G.3а), с W;i ^ щ(п2+\) и Wif ~ {nt -f l)/is
[7.25]. Имеется много работ по теории ВКР (см., например, [7.8,
7.26—7.30]). В этом разделе мы обсудим только метод описания
усиления ВКР, основанный на связанных волнах [7.19, 7.20],
7.2.1. Связь между волной накачки и стоксовой волной
Рассмотрим задачу о ВКР в среде с энергетическими уров-
уровнями, представленными на фиг. 7.1. Предположим сначала, что
присутствуют только две компоненты с частотами ш, и (о2, при-
причем ©1 > ©а (т- е. мы рассматриваем лишь стоксово рассеяние
первого порядка). В полу классическом рассмотрении эти две
компоненты поля могут быть представлены волнами
Е, = X] exp (ft, • г — toiO. ,? 4)
Е2 = %3 exp (tk2 ■ г — над
А —
красное центральное пятно: 5-
леные кольца.
■желто-зеленое кольцо; В — зе-
Вынужденное комбинационное рассеяние 321
В стационарном состоянии они подчиняются волновым уравне-
уравнениям
га? 4 л ш?
V X (V X Е,) - -^ е, ■ Е, = -^- Р<3> (со,),
4 4*4 , G'5)
V X (V X Е2) - -^ е2 • Е2 = -^- Р<31 (со2).
Нелинейные поляризации fNL в среде с центром инверсии имеют
вид [7.31]
где х'31 — нелинейные восприимчивости третьего порядка. Для
простоты мы будем считать хC> скаляром.
Можно видеть, что два волновых уравнения G.5) в действи-
действительности связаны друг с другом через члены %<$ в РC>. Эта
связь между Е[ и Е$ вызывает эффективную передачу энергии
между двумя волнами. Величины %$' известны под названием
комбинационных восприимчивостей. Члены xf и х!,31 в Р1Э) про-
просто изменяют диэлектрические проницаемости e(coi) и е(шг)
в G.5). Они ответственны за самофокусировку интенсивных све-
световых пучков с конечным поперечным сечением. В последующем
мы будем, однако, предполагать, что в среде распространяются
бесконечные плоские волны, и, следовательно, будем пренебре-
пренебрегать членами х'3' и %f\
Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль 2. Для куби-
кубической или изотропной среды $ X V X Е) = —д2Е/дг2. Если
скорость передачи энергии между Е[ и Е2 не слишком велика,
S\ и &2 могут рассматриааться как медленно меняющиеся функ-
функции (\д2ё/дгЦ <.k\dg/dz\). Тогда G.5) сводится к
xjg | Bl f ё2, GJ)
где к = ав^(с.Из G.7) мы получаем
д | 8l fjdz = - (in^/сЧ,) (Im %f{) \ff{\2\ $212,
д | %\ \*/дг = - Djt<uj/c%) (Im 5$) | «", |21 ёя \2. {7Я)
Мы можем теперь сравнить второе уравнение G.8) непосредст-
непосредственно с G.3), учитывая что |^2]2e((Oi)/2n = й2й<о2- Тогда сразу
же находим
ym= -**i fo _D4 ! ^£_ + cY№4 t7i9)
X» a^'fa ^l р" я [(ш, - ш2 - «„) - (Г] aa ^ VWhr-
Vail Зак. [175
322
Глава 7
Мы предполагаем здесь, что g(Ao>) имеет лоренцеву форму и
(%rI)nr есть нерезонапсный член, обусловленный нсрезонансны-
ми виртуальными переходами. Отсюда получаем микроскопиче-
микроскопическое выражение для %<&:
Если поле при ю, не находится непосредственно в резонансе
с переходами в среде, то на каждый фотон, поглощенный при ац,
имеется фотон, излученный при а>2. Применяя этот закон сохра-
сохранения к G.8), получаем
и с помощью соотношений Крамерса — Кронига находим
G.11)
что является хорошо известным соотношением симметрии для
комбинационных восприимчивостей [7.31].
При учете сохранения числа фотонов
(IBs) | &2 |>2] = К
решение G.8) имеет вид
i *i (г) Is
I &i @) ]2 ■
: (*) Is
К)
G.12)
@) I2
@} f -
Если
|2 3»
г, мы получаем знакомый результат:
G.13)
который наглядно демонстрирует экспоненциальное возрастание
стоксова поля.
В этом случае, когда волна накачки и стоксова волна рас-
распространяются в среде от плоской границы г = 0 вдоль направ-
направлений, отличных от г, волновые векторы kY и кг в G.8) должны
быть заменены проекциями к, и к2 на г. Это очевидно, так как
ё\ и &% являются функциями только г,
Вынужденное комбинационное рассеяние
323
7.2.2. Комбинационные восприимчивости
Микроскопическое выражение для уЗ, конечно, может быть
получено квантовомсханнческим расчетом с помощью теории
возмущений Вывод является последовательным, по громоздким
[7.20, 7.31, 7.32]. Однако мы можем вывести это выражение
очень просто, предполагая, что в отношении отклика материала
на поле двухфотонный процесс может считаться эквивалентным
однофотонному процессу.
Рассмотрим вероятность двухфотонного процесса, даваемую
выражением G.1). Она может быть получена непосредственным
образом в нервом порядке теории возмущений, если мы будем
рассматривать переход как прямой переход с эффективным га-
гамильтонианом взаимодействия
, = — ME\E'i -\- компл. сопр.
G.14)
Это можно легко доказать, если вспомнить, что E={2nhc'1j■■<>)" а
и Я* = {2яЙсг/<в)'й а+, я использовать золотое правило для вы-
вывода dWfi/d(b(i>).
Аналогичным образом мы можем вывести xf\ подставляя
■2$эфф в уравнение для линейной поляризации [7.33]. Тогда мы
Имеем для нелинейной поляризации третьего порядка Р<31
G-15)
где для простоты мы пренебрегли нерезонансным членом. Это
уравнение вместе с Щ~%%\ ™^,X£f :<?,£,£, сразу приводит к
тому же микроскопическому уравнению для хй2, что и G.10),
при условии пренебрежения членом (x^l)NR-
При более общем рассмотрении выражение G.10) также
можно вывести, предполагая, что состояния |£> и |f> когерентно
смешиваются посредством гамильтониана взаимодейств1 ■■ ^Е'»*),.
Обозначим возмущенные состояния как |£'> и |f>. Они должны
подчиняться уравнению Шредингера
о+Жфф),
) [ /') ( ' '
где 5ёо есть невозмущепныи гамильтониан для материальной си-
системы. Если использовать представление взаимодействия, то в
первом приближении получим
<7Л7>
324
Глава 7
Здесь мы включили феноменологическую постоянную затуха-
затухания Г для o)f/. При ЖЭфф, выражаемом G.14), решение G.17)
для частоты wi
юа есть
~ со2 - а>/( + /Г). G.18)
Нелинейная поляризация, возникающая вследствие этого возму-
возмущения, имеет вид
Р13) Ы = JV <- дЖ9фф/д1?2) ~ (<f | О* Pl + <f 10* р,) ЫМпЕ, =
= (/'|O*(p;-Pf)iVAIfi£|. G.19)
Здесь мы снова рассмотрели только резонансный член. Исполь-
Используя выражение для </|(>. даваемое G.18), мы снова получаем
то же самое микроскопическое выражение для й.
Интересно отметить, что мы рассматриваем здесь г|>,- = <f|i'>
и iff = <//|i) физически как волны возбуждения (при частоте
<!>[ — «г) в среде [7.16]. Они связаны с Е1 и Е2 посредством
энергии связи
(зКфф)=«'I ^ЭФФIО р( + (Г I ^ЭФФIП pf=
= ™ AIfi (р; — pf) E,^* + компл. сопр. G.20)
Как следует из G.17), эти две волны подчиняются уравнениям
вынужденных колебаний
G.21)
Посредством связи с EY и Е2 эти волцы возбуждений индуци-
индуцируют нелинейные поляризации
которые в свою очередь действуют как источники в уравнениях
вынужделных колебаний для Е: и Е%в G.5). Вынужденное ком-
комбинационное рассеяние света является результатом нелинейной
связи трех волн ф; = — фг, £j и £2 и может быть описано по-
посредством решения связанных уравнений G.5) и G.21). Сле-
Следует отметить, что, за исключением множителей р( и pf, которые
имеют квантовую природу, мы можем рассматривать теперь ма-
материальные возбуждения и излучение как классические волны
вынужденное комбинационное рассеяние
325
и ВКР как результат нелинейного связывания этих классиче-
классических воли.
До сих пор мы считали р* и р/ постоянными. Однако, когда
интенсивности полей столь высоки, что вероятность комбинаци-
комбинационных переходов Wif велика, населенности р,- и pf могут заметно
изменяться во время процесса рассеяния. Основываясь на физи-
физических соображениях, мы можем непосредственно записать ки-
кинетические уравнения для р; и pf [7.32, 7.34]:
dp,
компл. сопр. =
G.23)
В простом случае, когда Eр/5()ЭятуханиЕ мало по сравнению с
беспорядочной релаксацией между |i> и |/>, мы имеем
Др = Р, — Р? Т= — (Рг
Ар _ ,« п
G.24)
где р' и р°- населенности при тепловом равновесии и Т\ —вре-
—время продольной релаксации, отличающееся от времени попереч-
поперечной релаксации Т% = 1/Г. Комбинационные переходы и комби-
комбинационные восприимчивости в этом пределе насыщения обсуж-
обсуждаются в [7.32].
Приведенные выше рассуждения относятся к локализован-
локализованным электронным возбуждениям, но общий формализм, конечно,
пригоден для любых возбуждений материальной системы, на-
например молекулярных колебаний, фононов [7.20], магнонов
[7.35], экситонов, плазмонов [7.36], поляритонов [7.37] и т.д.
Волновые уравнения обычно различаются для разных типов воз-
возбуждений. Следовательно, уравнение G.21) должно заменяться
волновым уравнением, соответствующим рассматриваемому воз-
возбуждению. Постоянная связи Mf! в G.21) и G.22) также долж-
должна быть соответственно изменена. Существует различие между
возбуждениями типа бозонов и локализованными возбуждения-
возбуждениями при переходах между двумя уровнями. Для локализованных
возбуждений мы используем G.24), а для бозоноподобных иоз-
U Зан. 1175
326
Глава 7
буждений мы имеем Wf,p; ~ 1 4- щ, Wifpf ~ п$ и (d/dt -+-
-+- 1/7\) («ч,— «ф) = WfiPi— Wifpf, где Пф есть среднее число
бозонов при тепловом равновесии. Общий формализм пригоден
также для любых процессов с двухфотонпыми переходами. На-
Например, он может быть применен к проблеме двухфотонного по-
поглощения и генерации второй гармоники вблизи экситонного
резонанса, например в CuCl [7.38—7.40].
7.2.3. Параметрическая связь между фотонами и фоновами
В этом пункте мы рассмотрим частный случай, когда в про-
процессе комбинационного рассеяния света в среде возбуждаются
молекулярные колебания или фононы. Этот случай является наи-
наиболее важным, так как по крайней мере 90% всех опубликован-
опубликованных работ по комбинационному рассеянию света посвящены
рассеянию молекулярными колебаниями или фононами. Мы мо-
можем, конечно, использовать квантовую механику для описания
молекулярных колебаний или фононов [7.S, 7.25]. Однако, как
показано в предыдущем разделе, усиление при вынужденном
комбинационном рассеянии света можно описать классически
как результат параметрической связи между электромагнитны-
электромагнитными волнами и волнами возбуждений в веществе. Здесь мы пред-
представим только классическое описание [7.20].
Рассмотрим сначала связь между фотонными и фонон-
еыми волнами. Она определяется энергией взаимодействия
[7.20] с заменой (чтобы следовать общепринятым обозначе-
обозначениям [7.2]]) ф на Bojs/ft)'''Q. где Q есть фононная волна с ча-
частотой ш3 s £0| — Ш2- Сравнивая с обычным выражением
(ЖВфф)=" — (da/dCf) EiE*2Q -j- компл. сопр., мы имеем Мц =
= (da/dQ)/B(o.)/ft)V!, где а есть поляризуемость [7.20]. Постоян-
Постоянная связи Мц также может быть получена из общего выраже-
выражения для М G.1). Как показано в G.9) и G.10), дифференциаль-
дифференциальное сеиение спонтанного комбинационного рассеяния света
daldQ прямо пропорционально lMf,-j2. Мы не будем рассмат-
рассматривать детальной микроскопической теории сечения рассеяния
для данного случая, так как она уже обсуждалась в других гла-
главах этой книги. Для наших целей достаточно помнить, что по-
постоянная связи Mjt может быть легко получена из дифферен-
дифференциального сечения da/dQ спонтанного комбинационного рассея-
рассеяния света.
Волновое уравнение для фононов имеет вид [7.20]
с7-25)
Вынужденное комбинационное рассеяние
327
где р— постоянная, которая характеризует дисперсию фононов
вблизи k — 0, too — частота фононов при k = 0 и Г — постоянная
затухания. ВКР фононами можно полностью описать,-решая три
связанных волновых уравнения G.25) и G.5), где P<i}(wi) и
PC)(d»2) даются выражением G.22), причем tyt = —tyf заменяет-
заменяется на Bв>3/й)Ч?-
В зависимости от значений р и ш0 могут иметь место несколь-
несколько различных случаев. Если р < 0 и шо = 0, то уравнение G.25)
описывает акустические волны. Вынужденное рассеяние акусти-
акустическими фононами известно как вынужденное рассеяние Ман-
Мандельштама— Бриллюэна [7.41]. Из приведенных выше рассуж-
рассуждений ясно, что вынужденное рассеяние Мандельштама — Брил-
Бриллюэна является просто частным случаем ВКР. Мы не будем
обсуждать вынужденное рассеяние Мандельштама — Бриллюэ-
Бриллюэна в этой главе, так как оно обсуждается в гл. 6. Для волн
оптических фононов мы имеем соо Ф 0 и р ф 0 (обычно Р>0).
В пределе, когда взаимодействием между молекулами можно
пренебречь, оптические фононы не имеют дисперсии и соответ-
соответствуют молекулярным колебаниям. В большинстве случаев на-
наблюдается ВКР оптическими фононами или молекулярными ко-
колебаниями.
Волновой вектор фотонов и фононов, участвующих в ВКР,
порядка 105 см^1 или меньше. Следовательно, член pV2Q в G.25)
для оптических фононов часто пренебрежимо мал. Тогда
Q = -
2(оэГ),
G.26)
где юз = а>1 — «j. Из уравнения G.22), учитывая нерезонансный
член, получаем для <о3 ~ «о
ИЙ = ■
(Pi -
$
что эквивалентно G.10). Соответственно выражение для коэф-
коэффициента усиления GR G.9) и решение связанных волновых
уравнений G.12) (если считать pi и pf постоянными) пригодны
и для настоящего случая.
7.2.4. Связь между стоксовыми и антистоксовыми
компонентами
До сих пор мы предполагали, что при ВКР в среде присут-
присутствуют только, электромагнитные волны при ю, и о>2. Сейчас мы
покажем, что в общем случае стоксовы и антистоксовы волны
(о>1 ± из) в действительности генерируются одновременно при
вынужденном рассеянии даже при температуре 0К- Этот случай
328
Глава 7
существенно отличается от случая спонтанного рассеяния, когда
при О К не происходит антистоксова рассеяния.
Одновременную генерацию стоксовых и антистоксовых ком-
компонент лучше всего рассмотреть, используя метод связанных
волн. Падающая волна частоты Ш[ сначала смешивается с вол-
волнами <0[ ±«з и создает волну возбуждений среды при tos. Вол-
Волна возбуждения среды в свою очередь смешивается с падающей
волной при со, и создает нелинейную поляризацию с частотой
а» ± газ [7-26, 7,27]. Эти волны нелинейной поляризации затем
служат источниками для усиления стоксовой («ц — «з) и анти-
антистоксовой (©, -j- «э) воли в среде.
Пусть индексы s и а обозначают стоксову и антистоксову
волны соответственно. Тогда мы имеем со, — tns = ©0 — Ш[ = шз-
Энергия взаимодействия для связи между Е\, Es, Еа и ф есть
<38W = - M'tt (р( - pf) £,£;+' -
— M"t (р; — рЛ ЕаЕ*^* + компл. сопр., G.28)
где Mfi и Ми идентичны Мц, за исключением того, что tos за-
замещает Ы2 в Mfi и Ид и ш; замещают СО] и юа соответственно в
Mfj. Если дисперсия Мц пренебрежимо мала, то Мр я» Мац.
Нелинейные поляризации при cos, to0 и wi теперь имеют вид
G9)
Р. - Pf) £1
где мы исключили нерезонансные члены. Уравнение вынужден-
вынужденных колебаний для ф есть
G.30)
Генерация стоксовых и антистоксовых волн при ВКР описывает-
описывается решением четырех связанных волновых уравнений, т.е. G.30)
и уравнений для Е[, Es и Еа.
Мы можем из G,30) найти ф}
— - {M'ftEiEl +
(a* - и» + ff).
G.31)
Затем после подстановки выражения для -ф в G.29) волновые
уравнения для Eit Es, Ea в стационарном режиме приобретают
Вынужденное комбинационное рассеяние
329
ВИД [7.20]
v X (V X Е,) --
Г£:
G.32)
где
КЙ ~ (xa)w " ^ IК f (P. "
Решение уравнений G.32) значительно упрощается, если пре-
пренебречь ослаблением падающей волны Е\ в процессе ВКР, так
как тогда мы будем иметь всего лишь набор из двух линейно
связанных уравнений для Es и Еа. Предполагая наличие изо-
изотропной среды с плоской границей при г=0 и слабое изменение
амплитуд Е3 и Еа, получаем [7.20] (фиг. 7.2)
p (f Д/С+г)
aszz),
E*a = |>*0+ exp (i ДЗД + 8*a- exp (i AK-z)] X
X exp [— tka ■ r — (( Ak + ааг) г],
где
G-34)
0 = 2fe]Jti у — ksx, у — kax, yi
Ak = 2ku — ksz — kaz, kz^k-z,
f - (Mi) A]7',
Я = (towfyc'k,,) xg} | £, |2, a, = o.V7c2ft, -a (ft/ftz).
Для простоты мы пренебрегли здесь дисперсией коэффициента
поглощения «г и Bn«2A2Re (k/i})x|3)- Более общее решение
с учетом дисперсии, конечно, может быть записано непосред-f
330
Глава 7
Ак
Ak
Фиг. 7.2. Общее соотношение между волновыми векторами стоксовой, анти-
антистоксовой и лазерной волн, вытекающее из G.34) [7.22].
ствеииым образом. Если ^fs0 и Еяо — граничные значения Ss и
$а при г = 0, то имеем
К-
G.35)
Ряд физических результатов следует немедленно из решений
G.34) и G.35).
-4 -2. 0 г 4
Фазовое рассогласование Ак/6Я ——
Фиг. 7.3. Коэффициент усиления стоксова излучения как функция нормирован-
нормированного рассогласования импульсов bkIGg в направлении г.
Асимметрия обусловлена нерезона не ной частью вд^=0.' I Тш Ч-Ii |иак \1Щ-
Вынужденное комбинационное рассеяние
331
фф у
по тщнклш,, дв
Гд((и
Фиг. 7.4. Интенсивность антистокедва излучения в зависимости от рассогла-
рассогласования импульсов Д£ (нормированного посредством коэффициента усиления
стоксова излучения G").
Аеимметрня обуелоиленя
(макс I7'33'-
1. Если фазовое рассогласование Ak достаточно велико или
X^j^iJ2 достаточно мало, так что \Ak\ > |Я|, то стоксово и
антистоксово поля фактически не сиязаны. Две части решения
приводятся к
(Отметим, что —1т(Я) = GR/2.) ' Первая часть соответствует
почти чистой стоксовой волне с экспоненциальным коэффициен-
коэффициентом усиления Gr. Этих результатов следует ожидать, когда
имеется слабая связь стоксовой и антистоксовой компонент, как
это обсуждалось в предыдущих разделах. Следует отметить, что
при тепловом равновесий почти чистая антистоксова волна
332
Глава ?
имеет отрицательный коэффициент усиления, так как ее энергия
используется в процессе ВКР для усиления волны накачки.
2. Если условие фазового согласования Aft = 0 удовлетворе-
удовлетворено, то &К± = 0 и | ee±l$s± | = 1. В этом случае нет экспонен-
экспоненциального усиления как для стоксова, так и для антистоксова
полей. Хотя связь между стоксовой и антистоксовой компонен-
компонентами в данном случае максимальна, положительная работа, про-
производимая в стоксовом поле, в точности компенсируется отрица-
отрицательной работой, производимой в антистоксовом поле. Это хо-
хорошо известно в теории параметрического усилителя, когда не
может быть получено усиления при g>s = t»i—а>з, если другая
компонента при ща = coi + юз не подавлена.
3. Когда Ak постепенно возрастает от нуля, положительный
экспоненциальный коэффициент усиления быстро возрастает до
значения Go, как это показано на фиг. 7.3, в то время как
&al&s\ понижается от 1 в направлении к нулю. Соответствен-
Соответственно при некотором значении |Д£| мощность антистоксова излу-
излучения, генерируемого в процессе ВКР, проходит через макси-
максимальное значение. Это показано на фиг. 7.4 для двух различных
значений GpZ. Таким образом, мы ожидаем, что антистоксово
излучение должно появляться в виде двойных конусов в fc-про-
странстве. Более детальное рассмотрение расчетов дано в [7.20].
Мы рассмотрим экспериментальные результаты, соответствую-
соответствующие этим теоретическим предсказаниям, в одном из следующих
разделов.
7.2.S. Комбинационное рассеяние света более высокого
порядка
Интенсивные стоксовы и антистоксовы поля более высоких
порядков также могут генерироваться при ВКР [7.3—7.9]. Они
генерируются последовательно индуцированными нелинейными
поляризациями третьего порядка Я<*> при соответствующих час-
частотах. Например, второе стоксово поле ES2 может генерировать-
генерироваться посредством
Компоненты, соответствующие рассеянию второго порядка,
должны проявляться наиболее интенсивно вокруг направлений
фазового согласования, даваемых условиями kS2 == ks + k's ~ k,
и к52 = k, -f- ks — ка. Генерация стоксова поля второго порядка,
очевидно, является эффектом более высокого порядка, так как
Р|3|(ш5г) здесь линейно пропорционально полю накачки |Я]|,
a pC>(cos) и Р'3>(ша) пропорциональны |£i|s- Когда первое сток-
стоксово поле E((ns) становится достаточно интенсивным, EtZ может
Вынужденное комбинационное рассеяние
333
Фиг. 7.5. Эффект насыщения для одпомодового лазерного пучкз бесконечной
ширины.
Интенсивности стоксовых dcuih различных порядков нормированы посредством интенсив-
интенсивности Падаюшего лазерного луча. Расстояние т&кд1в приведено к безразмерной величине
a2?)Vr>z 17-23].
генерироваться также посредством РC) (as2) = x£Jj | Es |2 Яй +
+ ~$ь ЩЩ&> гДе Е<*2 — антистоксово поле второго порядка. Подоб-
Подобным же образом могут быть записаны нелинейные поляризации,
ответственные за генерацию стоксовьтх и антистоксовых полей
других высоких порядков. Полное описание этих эффектов ВКР
более высоких порядков может быть получено из решения мно-
многих волновых уравнений, которые нелинейно связаны посред-
посредством нелинейных поляризаций. В общем случае это трудная
задача.
В частном случае, в котором мы предполагаем, что генери-
генерируются только стоксовы волны вдоль -f-z, система связанных
уравнений имеет вид [7.20]
, = - <4л^/сг) X<f | Es |2 Et,
э Iя ^
Решение системы G.36), полученное путем численных расче-
расчетов для бесконечных плоских волн, показано на фиг. 7.5. Видно,
что мощность стоксова поля первого порядка сначала постепен-
постепенно возрастает, затем резко возрастает до максимального значе-
значения, в то время как мощность накачки очень сильно падает.
334
Глава 7
При дальнейшем возрастании z стоксово поле -нервого порядка
остается почти постоянным некоторое время, а затем резко исто-
истощается при генерации второго стоксова поля и т. д. Как мы уви-
увидим ниже, это было продемонстрировано в соответствующем
эксперименте фон дер Линде и др. [7.42].
7.3. Экспериментальные исследования
После случайного открытия ВКР в нитробензоле [7.1] в
1962 г. ВКР сразу же привлекло большой интерес. Ранние де-
детальные экспериментальные исследования ВКР проводились
большей частью на жидкостях с большими постоянными Керра.
Схема типичной экспериментальной установки представлена на
фиг. 7.6. Затем было замечено, что мощность вынужденного рас-
рассеяния значительно больше, чем это следовало из теории. На-
Например, из данных по спонтанному комбинационному рассеянию
света можно рассчитать, используя G.3), что максимальный
коэффициент усиления ВКР в нитробензоле составляет 2,8-КН
см/МВт (см. табл. 7.1), т. е. для того чтобы усилить рассеян-
рассеянное излучение от уровня шумов в е28 раз в ячейке длиной 10 см,
входная интенсивность лазерного излучения должна составлять
1000 МВт/см2. Интенсивность импульса лазера с модулирован-
модулированной добротностью, использовавшегося в экспериментах, была,
однако, всегда около 100 МВт/см2 или меньше, что должно бы-
было бы быть недостаточным для генерации заметного вынужден-
вынужденного рассеяния. Эта наблюдавшаяся аномалия в коэффициенте
усиления [7.43] вместе с другими подобными аномальными эф-
эффектами, такими, как асимметрия в рассеянии в направлении
вперед — назад [7.44], спектральное уширение [7.44], аномаль-
аномальные антистоксовы кольца [7.44, 7.45] и т. п., стимулировали ис-
исследования в данной области. Только через несколько лет стало
понятно, что большая часть этих аномальных эффектов была
в действительности вызвана самофокусировкой входного пучка
Фиг. 7.6. Типичная экспериментальная установка для исследования вынужден-
вынужденного комбинационного рассеянии света.
РШ. РМ2, РШ —фотодеГекторы, измеряющие интенсивности лазерного излучения, комби-
комбинационного рассеяния а направлении ailepeu и комбинационного рассеяния а направлении
паза;: соответственно.
Вынужденное комбинационное рассеяние
335
[7.46]. Следовательно, прежде чем сравнивать эксперименталь-
экспериментальные результаты с теорией, мы должны кратко обсудить влияние
самофокусировки на ВКР.
7.S.I. Аномальные эффекты, обусловленные
сам офокусиров кой
Аномалия в коэффициенте усиления иллюстрируется на
фиг. 7.7. Кривая зависимости интенсивности первого стоксова
поля от входной мощности имеет резкий порог. Наклон кривой
в области порога соответствует аномально большому коэффи-
коэффициенту усиления, который не может быть объяснен теорией ВКР.
В настоящее время известно, что это вызвано самофокусиров-
самофокусировкой. Самофокусировка возникает вследствие возрастания пока-
показателя преломления, вызванного световым полем. Рассмотрим
пучок с конечным поперечным сечением. Центральная часть
пучка, более интенсивная, распространяется в среде с большим
показателем преломления и поэтому замедляется по сравнению
с краями. Соответственно искажается волновой фронт. Так как
Лучи должны всегда распространяться перпендикулярно волно-
Ю 20 30
Длина ячейка,см
Фиг. 7.7. Интенсивность стоксова рассеяния первого порядка в направлении
вперед (/) и назад B) как функция длимы ячейки с толуолом при трех зна-
значениях интенсивности лазерного луча: Р\ — 80, Pi = 67 и Р} = 53 МВт(сы!
[7.133].
338
Глава 7
вому фронту, они будут отклоняться к оси и самофокусиро-
самофокусироваться. Фокус находится в точке [7.47]
где К и Per — постоянные, зависящие от характеристик пучка и
свойств материала. В то время как возрастает мощность лазера
Р, Zf уменьшается. Когда Zf находится в области вещества, ин-
интенсивное излучение генерирует ВКР- Это объясняет резкий
порог для ВКР. В настоящее время точно установлено, что ВКР
в жидкостях, в которых существует самофокусировка, всегда
возникает в фокальной области [7.48, 7.49].
Посредством самофокусировки можно также объяснить асим-
асимметрию в рассеянии вперед — назад в ВКР. В случае входного
пучка с конечным поперечным сечением интенсивности рассея-
рассеяния в различных направлениях должны быть различными вслед-
вследствие разных активных длин, но в направлениях вперед и назад
интенсивности рассеяния предполагались равными вследствие
симметрии. Экспериментальные результаты в жидкостях, в ко-
которых существует самофокусировка, указывают на существова-
существование асимметрии в рассеянии вперед—назад, как это видно на
фиг. 7.7. Это снова обусловлено самофокусировкой. Так ка^
ВКР сначала возникает в первом фокусе в конце ячейки, излу-
излучение, рассеянное в направлении вперед или назад, должно
иметь сильно различающиеся коэффициенты усиления. Кроме
того, тот факт, что излучение, рассеянное в направлении назад,
всегда встречается с неистощенным входящим лазерным пуч-
пучком, может приводить к генерации очень короткого субнаносе-
кундцого импульса рассеянного излучения [7.50].
Самофокусировка также приводит к сильной частотной мо-
модуляции пучка. Это объясняет наблюдавшееся спектральное
уширепие как лазерного, так и рассеянного излучения в жидко-
жидкостях, в которых существует самофокусировка [7.51]. В средах
без самофокусировки спектральное уширепие может быть обус-
обусловлено последовательным смешиванием до многих порядков
лазерного и рассеянного излучений [7.52, 7.53].
Антистоксово излучение первого порядка должно наблюдать-
наблюдаться в направлении, определяемом ка = 2k, — ks. Однако в жидко-
жидкостях, в которых существует самофокусировка, может наблюдать-
наблюдаться другой конус антистоксова излучения при несколько больших
по Отношению к оси углах [7.45], Это, по-видимому, обусловле-
обусловлено антистоксовым излучением, генерируемым в областях фо-
фокальных нитей, так как в данном случае становятся существен-
существенными условия фазового согласования вдоль поверхности нити
[7.54],
Вынужденное комбинационное рассеяние
337
7.3.2. Вынужденное комбинационное рассеяние света
в средах, в которых отсутствует самофокусировка
Даже в среде без самофокусировки изучение ВКР с исполь-
использованием экспериментальной установки, представленной на
фиг. 7.6, указывает на существование резкого порога в росте
интенсивности стоксова рассеяния в зависимости от мощности
лазера. Пример приведен на фиг. 7.8, где представлена зависи-
зависимость мощности стоксова рассеяния от мощности входного ла-
лазерного излучения в жидком азоте [7.55]. Самофокусировка в
данном случае не наблюдалась. При возрастании мощности ла-
лазера стоксово излучение сначала возрастает линейно в резуль-
результате спонтанного рассеяния и затем растет квазиэкспоненциаль-
но. При определенной входной мощности 1и мощность стоксова
излучения резко возрастает. Наконец, происходит насыщение
вследствие истощения входного лазерного пучка. Первоначально
О ОЛ 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 <А 1,6 1,8
Интенсивность лазерного
излучения /ц/1С
Фиг. 7.8. Сравнение экспериментальной [7.55] и теоретической [7.25] зависи-
зависимостей интенсивности стоксова излучения первого порядка от интенсивности
лазерного излучения в жидком азоте.
Глава?
предполагалось, что этот резкий порог обусловлен обратной
связью с релеевским рассеянием [7.55]. Недавно Спаркс [7.25]
показал, что это в действительности есть свойство ВКР, обус-
обусловленное параметрической нестабильностью. Используя пол-
полное квантовое описание [уравнение G.3а) с Wfipi ~
(l)Kl ~ {nt + l)ntnt и [д/dt+l/T^X
где пф есть число термически
возбужденных фононов], он получил решение связанных урав-
уравнений. Его расчетные результаты для ВКР в жидком азоте хо-
хорошо согласуются с экспериментальными данными, как это по-
показано на фиг. 7.8. Однако следует указать, что для жидкого
азота, по-видимому, лучше использовать модель с локализован-
локализованными молекулярными колебаниями, чем модель гармонических
фононов, т. е. следует использовать р,-, р/ и G.24) вместо nf и
дифференциального уравнения для nf.
Недавно Хайдахер и Майер [7.132] показали, что аномаль-
аномальный порог в рассеянии света обусловлен не параметрической
нестабильностью, а диффузным отражением от окон ячейки.
7.3.3. Измерения коэффициента усиления вынужденного
комбинационного рассеяния света
Экспериментальная установка, представленная на фиг. 7.6,
конечно, пригодна только для изучения рассеяния света. Чтобы
изучать усиление вынужденного рассеяния, необходимо исполь-
использовать не просто систему с одним осциллятором, а систему с
комбинацией осциллятора и усилителя [7.57]. Типичная экспе-
экспериментальная установка представлена на фиг. 7.9. Коэффициент-
усиления может быть получен посредством измерения отноше-
отношения стоксова входного сигнала к стоксову выходному сигналу
усилителя. На фиг. 7.10 представлены результаты Лаллеманда
и др. [7.57], полученные в газообразном водороде, которые нахо-
находятся в хорошем соответствии с теоретической кривой. Подоб-
Подобного типа измерение коэффициента усиления ВКР, однако, не
очень хорошо подходит для жидкостей, в которых существует
Лазер
сяакща
Усилитель
рассеянного
света
Поглотатель\ д
стоксова. J—11-
Генератор
ВКР
Фиг. 75. Экспериментальная установка для измерения коэффициента усиле-
усиления стоксова излучения в направлении назад [757].
Вынужденное комбинационное рассеяние
339
30 40 ТО
р, атм
Фиг. 7.10. Коэффициент усиления Стоксова излучения в газе Нг как функция
давления.
Экспериментальные значении X для коэффициента усиленна в направлении вперед следует
сраинннать со штриховой теоретической кривой (длина ячейки 80 снг интенсивность лнэер-
ного импульса 20 МВт/cu1]. Экс нерп ментальные аиячевия + дли коэффициента усиления
и направлении назад следует сраниниать со сплошной теоретической крииой (длина нчейки
30 см. интенсивность лнзерпого импульса 60 МВт/см*) [Т.87].
самофокусировка, так как самофокусировка происходит в уси-
усилителе раньше, чем множитель, описывающий усиление, начи-
начинает заметно отличаться от 1 [7.58].
7.3.4. Антистоксово рассеяние первого порядка
и рассеяние более высоких порядков
Ацтистоксово вынужденное комбинационное рассеяние света
впервые наблюдалось Терхыоном [7.9]. Как показано на
фиг. 7.11, оно проявляется в виде ярких разноцветных колец.
Различные кольца часто соответствуют разным порядкам аити-
стоксова рассеяния. В жидкостях антистоксовы кольца до чет-
четвертого порядка могут быть легко сфотографированы на цветной
пленке. Чао и Стоичев [7.33] показали на примере кальцита,
что антистоксово излучение в действительности излучается в
виде конусов с углами, даваемыми соотношением фазового со-
согласования ка,„ = кагП-1 -j- ki — kSr „, где целое число п ука-
указывает порядок рассеяния. Мы можем вспомнить, что теория
(п. 7.2.4) предсказывает для антистоксова рассеяния первого
340
Глава 7
порядка кольцо с темной полосой в направлении фазового со-
согласования. Тот факт, что темная полоса не наблюдалась, обус-
обусловлен, по-видимому, тем, что реальный лазерный луч имеет
разброс в k-пространстве, приводящий к размазыванию темной
полосы в антистоксовом кольце.
Гармайер [7.45] провел подробное изучение антистоксовых
колец, производимых в жидкостях, в которых имеет место само-
самофокусировка. Наблюдалось два набора колец, класса 1 и клас-
класса II. Кольца класса I наблюдались в направлениях нормаль-
нормального фазового согласования, а кольца класса II — в некоторых
аномальных направлениях, предположительно обусловленных
фазовым согласованием у поверхностей вдоль нитей, создавае-
создаваемых самофокусировкой [7.45, 7.54].
Стоксово излучение более высоких порядков также наблю-
наблюдалось в большинстве случаев вдоль оси в направлениях впе-
вперед и назад. Количественные исследования генерации стоксова
излучения более высокого порядка обычно трудны, поскольку
происходят многие конкурирующие нелинейные процессы. Одна-
Однако фон дер Линде и др. [7.42], используя субпаиосекупдные ла-
лазерные импульсы, смогли провести количественные измерения
в одном частном случае. Применение короткого входного им-
импульса эффективно подавляет как вынужденное рассеяние Ман-
Мандельштама— Бриллюэна, так и вынужденное комбинационное
рассеяние в направлении назад. Используя импульс высокой
интенсивности, можно было также сводить к минимуму влияние
100 200 300 4-00
Интенсивность лазерного
излучения !J0,0)! М8т/смг
500-
Фиг. 7.12. Нормированная интенсивность мощности лазерного (Rl), первого
стоксова U?si) и второго стоксова {Rs2i излучений, прошедших через обра-
образец, как функция интенсивности падающего лазерного луча h @, 0).
Экспериментальные данные для Й£. Д51 и &S2 представлены Б виде кружков, квадратов
и ромбов соответственно. Криныс рассчитаны в соответствии с теорией, рассмотренной
в в. 7.2.S с учетом конечного поперечного сечения пучкв 17.42].
Вынужденное комбинационное рассеяние
341
самофокусировки. Тогда ВКР в направлении вперед становилось
единственным эффективным нелинейным процессом в среде. Это
как раз есть то условие, при котором выполняется {7.36]. На
фиг. 7.12 показано, что экспериментальные результаты очень
хорошо согласуются с теоретическими кривыми, рассчитанными
по [7.36], с учетом профиля использовавшегося лазерного пучка.
7.3.5. Вынужденное поглощение антистоксова рассеяния
Как было показано в п. 7.2.4, коэффициент усиления вынуж-
вынужденного антистоксова рассеяния первого порядка является отри-
отрицательным в тех направлениях, в которых связь стоксовой и ан-
антистоксовой компонент слаба. Когда присутствуют и лазерное,
и антистоксово излучения, лазерное поле будет усиливаться за
счет антистоксова излучения. Таким образом, если лазерный пу-
пучок и пучок от источника с широким спектром, включающим ч>й,
распространяются вместе в среде, следует ожидать появления
темной полосы поглощения при &>„ в широком спектре. Это явле-
явление наблюдалось Джонсом и Стоичевым [7.59], и было предло-
предложено использовать его как новый спектроскопический метод для
изучения молекулярных колебаний.
7.3.6. Конкуренция между различными модами,
участвующими в рассеянии
В нормальных условиях при наносекундном импульсном воз-
возбуждении только одна мода, которая имеет максимальный коэф-
коэффициент усиления, участвует в ВКР. Обычно это мода с боль-
большим сечением рассеяния и узкой шириной линии. Эффективная
перекачка мощности лазера в эту моду препятствует возникно-
возникновению ВКР на других модах. Однако в случае ВКР в переход-
переходном режиме можно наблюдать несколько мод одновременно, что
мы увидим позднее.
7.3.7. Конкуренция между вынужденным комбинационным
рассеянием света и другими нелинейными
оптическими процессами
Мы уже обсуждали влияние самофокусировки на ВКР. Дру-
Другие нелинейные процессы, такие, как вынужденное рассеяние
Мандельштама — Бриллюэна, двухфотонное поглощение и т. п.,
также могут влиять на ВКР. Оки могут конкурировать с ВКР
в перекачке лазерной мощности и соответственно подавлять ВКР
[7.50]. Количественных исследований влияния других нелиней-
нелинейных процессов на ВКР еще не проводилось,
342
Глава 7
7.3.8. Вынужденное комбинационное рассеяние света
в твердых телах
В табл. 7.2 приведен список кристаллов, в которых наблю-
наблюдалось ВКР. Исследований ВКР в кристаллах проводилось не
столь много, как в жидкостях, главным образом потому, что
кристаллы менее удобны для исследований и часто очень до-
дороги.
Таблица 72
Л в нив вынужденного комбинационного рассеяния света,
наблюдавшиеся в некоторых кристаллах
Крнс
Сдвнг
Литература
СаСо»
Si
Алмаз
lnSb
LiNbOj
а-сеpa
CaWO,
(KDP)
108В
521
1332
0—300
42—200
216,470
911
915,93
а)
б)
а)
в)
г)
а)
а)
Д>
а) Eckardt О., IEEE J. Quantum EJeclron. 2. 1 {1966).
б) Ralston J. M., Chang R. K., Phys. Rev., B2, 1858 {1Э70}.
a! Patel C. JC. N.. Shaw F. D., Phys. Rev.. B3. 1279 {1971).
r) Oeibwachs J., Panteli R. H., Puthoff ti. E., Yarborough.. J. M. Appl. Phys. Lell.,
H, 258 A969).
д) Srica&tava M. K., Crow R. IP., Optics Commun., 8, 82 A973).
7.4. Вынужденное комбинационное рассеяние
света полярными колебаниями
В более общих случаях возбуждение материальной системы
if, обсуждавшееся в разд. 7.2, может иметь место не только в
процессе комбинационного рассеяния света (или в двухфотон-
ном процессе), но также и посредством прямого (однофотон-
ного) инфракрасного поглощения. Другими словами, возбужде-
возбуждение активно и в поглощении света, и в рассеянии. Это имеет
место, например, для фотонов в полярных кристаллах. Связыва-
Связывание решеточных колебаний и инфракрасной волны впервые изу-
изучалось Хуангом [7.60]. Обычно смешанная волна возбуждений,
представляющая связанные между собой фотон и возбуждение
вещества, называется поляритоном [7.61] и характеризуется так
называемой поляритонпой дисперсионной Кривой,
Вынужденное комбинационное рассеяние
343
ВКР в такой среде будет возбуждать смешанную волну из
инфракрасного излучения и возбуждения вещества или просто
поляритонную волну и может быть названо поэтому вынужден-
вынужденным комбинационным рассеянием света на поляритонах
(ВКРП). Теория ВКРП обсуждалась Лоудоном [7.37], Батче-
ром и др. [7.37], Шеном [7.62], Генри и Гарреттом [7.63] и мно-
многими другими [7.64]. Мы представим здесь рассмотрение, осно-
основанное на методе связанных волн [7,14, 7.62].
Рассмотрим четыре волны, взаимодействующие Друг с дру-
другом в процессе ВКРП: лазерную волну £,, стоксову Es, инфра-
инфракрасную Е3, волну возбуждений вещества i|>. Если пренебречь
истощением лазерной волны, то волновые уравнения для трех
Других волн могут быть записаны как (см. разд. 7.2)
[V2 + (®&/с2)] Е„= — Dяй>2/с2) PNL (юя),
[V2
PNL К)], G.37)
ГДе (Оз = ©1 — Шг-
Мы предположили, что if имеет резонансную частоту сй/;, не
зависящую от волнового вектора. Прямая связь между £ н -ф
приводит к эффективной энергии взаимодействия
- NA,( (р, —- рЛ tp*Es + компл. сопр., G.38)
> и Ж есть гамильтониан взаимодействия
между светом и веществом. Затем мы получаем
ра> /а\ = -д (ЖЦЛ/дЕ: = NA' (р. - р ) i[>,
П 391
ЯП = + д C%%)/д[$> N (Р; — Pf)] = — A\tEi-
Нелинейная связь между волнами приводит к следующему вы-
выражению:
где
= - NM'ft (Р( - Pf) £,£*,+* - х
откуда мы находим
P"L К) =
компл. сопр., G.40)
-Pf)£,f,
G-41)
Исключение ■$ из G.37) дает [7.14]
G.42)
344
Глава 7
где
X»
>,-pf)/[AK-«V-f-T)],
e3 - M\ An p (P( - p,y[ft (<o2 - o,f/ -f /Г)], <73>
Мы предположили для простоты, что АцМ% — веществетщое чи-
число. Следует отметить, что k3 — («з/с) • (8з)э1ф описывает поляри-
тонную дисперсионную кривую.
Уравнения G.42) имеют ту же форму, что и волновые урав-
уравнения, описывающие параметрическое усиление [7.65]. Они так-
также подобны уравнениям G.32), описывающим связь стоксовой
и антистоксовой компонент. Решение G.42) подобно G.34) и
G.35) и может быть легко записано. Для волн, распространяю-
распространяющихся в среду от плоской границы при г = 0, имеем [7.14]
E*s = [#*+ ехр (/ АК+z) + $\- ехр {I ДЛ^г)] exp (— iks ■ ту
Е3«= [^3+ ехр (I AK+z) + ^э- ехр (/ Д^С_г)] ехр (ik3-г +' Д*г), ^М)
где
Ak
v — kS2 ~
kz = k ■ 2,
= j (Ъ ~ Va) ± j KV, + Y3J -
= —ДА —
G.45)
— 2 Im {ДХ±}. Мы рассматриваем
Усиление соответствует G
только моду с G>0.
Следует упомянуть два частных случая. Во-первых, если нет
линейной или нелинейной связи между Es и Другими волнами,
т. е. Л?; = 0 и у}2) s= 0, то задача сводится к задаче о генерации
стоксова излучения с G — GR. Во-вторых, если нелинейная связь
между i[> и En исчезает, т- е. ,Mf,==0, то задача сводится к про-
стому случаю параметрического усиления [7.65]. Здесь приве-
приведенные выражения для G и \<S%l<B\\ также сводятся к выраже-
выражениям Генри и Гарретта [7.63], если i[> заменить на B<л3/Н)''!Q,
Вынужденное комбинационное рассеяние
345
5,0-10^
Фиг. 7.13. Значения {Ы*=«с. «i и St/S2 в GaP,
а—относительны!! параметрический коэффициент усиления (а>)на
обл
я* гтп.-лоптения hhiIjol , _ _ .
холостой волны Si к плотности потока излучен
щени
исимости от ча
фосфиде галлия; непрерывная часть кривой соответствует той
волны, в которой иозможно фазовое согласование; б—коэффн-
инфракрасного излучения а фосфиде галлия при Г—4 см ; в—отцо-
-" - сигнала Si I7.631.
пренебречь коэффициентом поглощения as и считать ез веще-
вещественной величиной.
Для заданной щ усиление является максимальном при усло-
условии фазового согласования Д£ = 0, если резонанс при Щ1 доста-
достаточно узок. Генри и Гарретт [7.63] рассчитали GMaKc и соответ-
соответзначения
v,UJ.VJ4™ i~«--i для ^а^ при частотах в области
частоты фонондой моды 366 см-1. Их результаты представлены
на фиг. 7.13. В этом случае только в малой области ниже oif( ^
^ о>о может соблюдаться фазовое согласование. Два члена в
Хэфф в (^-43) имеют противоположные знаки при щ < шп в GaP.
В результате GHaKc постепенно уменьшается до нуля при соз-*
-»-250 см-!. Суссман [7.66] провел подобные расчеты для фонон-
346 .
Глава 7
го
( \
Г 6
1
i
■ ЮаВт/ше
6943 А
\
\
i
SO ШISO 200
\—,f—l I...- .-I
V[ , CM'1
Фиг. 7.14. Графики зависимости коэффициента усиления вынужденного рас-
рассеяния (gs) от частоты холостой волны для моды 248 см (кривая и, верх-
верхняя ось абсцисс) н моды 628 см~' (кривая б, нижняя ось абсцисс) [7.66].
ной моды 248 см-1 в LiNbO3. Его результаты представлены на
фиг. 7.14. Два члена в %®. имеют одинаковые знаки при ш3 <С
< шо, и, следовательно, GMaK[ возрастает постепенно при ш3<Сшо.
Экспериментально ВКРП впервые наблюдали в LiNbO3 КурЦ
и др. [7.11]. Гелбвахс и др. [7.12] показали, что частота сток-
сова рассеяния может перестраиваться в узкой области посред-
посредством изменения относительного угла между ki и ks для дости-
достижения фазового согласования; частота ю3 при этом соответствует
поляритонной дисперсионной кривой. В резонаторе до 70% ла-
лазерной мощности может быть преобразовано б стоксово излуче-
излучение. Так как инфракрасное излучение £3 также должно генери-
генерироваться одновременно со стоксовым излучением ESi ВКРП
может быть использовано для генерации перестраиваемого по ча-
частоте когерентного излучения в далекой инфракрасной области.
Используя рубиновый лазер с модулированной добротностью
мощностью 1 МВт с диаметром пучка около 2 мм, а также лин-
линзу с фокусным расстоянием 50 см для фокусировки пучка в кри-
кристалл LiNfaOa длиной 3,3 см вдоль оси а, Ярборо и др. [7.67]
обнаружили излучение в далекой инфракрасной области с мощ-
мощностью в максимуме 5 Вт я перестройкой частоты от 50 до
238 см-'. К сожалению, LiNbO3 имеет низкий порог оптического
повреждения. Для устранения пространственной неоднородности
Вынужденное комбинационное рассеяние
347
в пучке, которая повышает вероятность повреждения, необхо-
необходимо использовать хороший одномодовый лазер. Сообщалось
также о наблюдении инфракрасного излучения при ВКРП в
кварце [7.68].
7.5. Вынужденное комбинационное рассеяние
света с переворотом спина
В предыдущих разделах мы подчеркивали, что возбужде-
возбуждениями материальной среды, участвующими в рассеянии, могут
также быть электронные возбуждения. Особый интерес пред-
представляет ВКР в InSfa «-типа с участием электронов, испытываю-
испытывающих переходы с переворотом спица. Соответствующий процесс
комбинационного рассеяния представлен схематически на
фиг. 7.15.
Спонтанное комбинационное рассеяние света на электронных
переходах с переворотом спина впервые наблюдали Слашер
И др. [7.69] вслед за теоретическими предсказаниями Вольфа
[7.70] и Яфета [7.71]. Яфет показал, что переход при рассеянии
света между двумя состояниями со спином вверх и спином вниз
может рассматриваться как прямой переход, обусловленный эф-
эффективным гамильтонианом взаимодействуя
(А, X AJ},
G.46)
где ms есть спиновая масса, которая связана с массой свобод-
свободного электрона m и спиновым g-фактором соотношением tns =
= 2m/1 g[; Eg — ширина энергетической щели; ш, — частота
Фиг. 7.15. Схематическое представление процесса комбинационного рассеяния
света с переворогом спина в rc-lnSb.
348
Глава 7
света; о — оператор спина; Ai и А2 — векторные по-
потенциалы падающего и рассеянного излучений соответственно.
Частота переворота спина, или сдвиг частоты при рассеянии
света, есть
&<o = 2g\iBB, G.47)
где |Хв— магнетон Бора и S —приложенное магнитное поле.
С помощью золотого правила и G.46) мы находим, что диффе-
Длина волны падающих фотонов, мкм
61 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 55 5,4 5,3 5,2
, j j_
200 205 210 815 220 225 230 235 2£О
Энергия падающих фотонов, мзВ
Фнг. 7.16. Резонансное возрастание спонтанного комбинационного рассеяния
света с переворотом спина как функция энергии падающего фотона
(п = 1 -Ю1в см-3. Я = 40 кГс, Г - 30 К) [7.72].
вынужденное комбинационное рассеяние
349
ренциальное сечение комбинационного рассеяния света с перево-
переворотом спина имеет вид
(da!dQ)SF « (eymscy (*,/«,) [Е^ЦЕ* - h^)f G.48)
для случая, когда вектор Aj перпендикулярен А2.
В InSfa, поскольку g « 50, имеем ms « 0,04m, и если
Е Яш, « (Е2 — Й2ш^), величина (da/dQ)SF должна быть пример-
примерно в 600 р.аз больше, чем сечение томсоновского рассеяния для
свободных электронов. Для й«м я* Es (da/du)SF может быть
еще намного больше в результате резонансного усиления.
Используя СОг-лазер (cl>j = 940 см-1), Слашер и др. [7.69]
обнаружили экспериментально в InSb, что (da/dQ) sf ж
& 10-23 см2/ср, что хорошо согласуется с теоретическим пред-
предсказанием, даваемым G.48). Используя СО-лазер («м =
= 18S0 см-1, Ее/Ь= 1900 см-1), Бруек и Мурадян [7.72] наблю-
наблюдали сильное резонансное усиление рассеяния и обнаружили,
что (da/dQ)Sp может быть в 10s больше, чем сечение томсонов-
томсоновского рассеяния (фиг. 7.16). Ширина линии рассеяния с перево-
переворотом спина очень мала при низких температурах. Ширина ли-
линии зависит от концентрации носителей и к,-В, где ks — волно-
волновой вектор возбуждения, участвующего в рассеянии. При « =
= Ы016 см-3 полуширина линии составляет 0,16 см^1 [7.73].
Приведенные выше данные по спонтанному рассеянию ясно
показывают, что в InSfa можно легко наблюдать ВКР. Предпо-
Предполагая, что форма линии рассеянного света описывается лоренце-
вой функцией с полушириной Г = 2 см-', и используя G.8) с
pi — pi = 1, мы получаем, что коэффициент усиления ВКР с пе-
переворотом спина составляет Gfl = l,7*10-5 / см в InSfa «-типа
с n = tf =?3-1016 см-3, где / есть интенсивность СО2-лазера в
Вт/см2 [7.74]. Как следует из табл. 7.1, это самый большой ко-
коэффициент усиления ВКР из всех известных материалов. Можно
добиться еще большего усиления, подбирая подходящим образом
л для уменьшения Г и смещая froi по направлению к Eg. При
использований СО-лазера GR становится равным 6-10-4 / см-'
для того же значения п, как это следует из G.48).
Из расчетных значений коэффициентов усиления можно ожи-
ожидать, что ВКР с переворотом спина может легко наблюдаться
в образцах InSfa длиной в несколько миллиметров с интенсив-
интенсивностью лазерного пучка — I05 Вт/см2 при длине волны 10,6 мкм
(COg-лазер) или~Ю3 Вт/см2 при 5,3 мкм (СО-лазер). Пател
и Шо [7.13] впервые наблюдали ВКР с переворотом спина в
InSfa, используя в качестве накачки СОа-лазер с модулирован-
модулированной добротностью, работающий на длине волны 10,6 мкм. При
пиковой мощности падающего лазерного луча 1 кВт, сфокусиро-
сфокусированного в пятно сечением Ю-3 см2, в образце длиной ^5 мм
350
Глава 7
с п & 1016 см при Г л IS К пиковая мощность стоксова излу-
излучения составляла примерно 10 Вт. Частота стоксова излучения
перестраивалась посредством приложенного магнитного поля в
соответствии с G.47). Длина волны могла изменяться в преде-
пределах от 10,9 до 13,0 мкм при изменении магнитного поля В от 15
до 100 кГс {7.74]. Таким образом может быть получен пере-
перестраиваемый когерентный источник инфракрасного излучения.
Стоксово излучение имело Ширину линии менее 0,03 см~' [7.74].
Бруек и Мурадян [7.75) обнаружили, что ВКР с переворо-
переворотом спина в InSo может происходить в непрерывном режиме при
использовании в качестве накачки СО-лазера с длиной волны
излучения 5,3 мкм. Применяя одномодовыи пучок СО-лазера,
сфокусированный в пятно площадью порядка 5-Ю^5 см2, в об-
образце lnSfa длиной 4,8 мм с яяМ0|6см^3 при Т та 30 К, они
получили ВКР с порогом менее-чем 50 мВт с эффективностью
преобразования энергии порядка 50% н с выходной мощностью
более 1 Вт. Де Силе и Пател [7.76] достигли эффективности пре-
преобразования в 80% При использовании слабых магнитных полей.
Непрерывное стоксово излучение могло иметь ширину линии ме-
менее 1кГц [7.77].
Антистоксово и стоксова излучения до четвертого порядка
наблюдались при ВКР с переворотом спина [7.75, 7-76, 7.7S,
"~7.79]. Антистоксово излучение генерируется посредством связы-
связывания со стоксовым излучеыием (п. 7.2.4), и стоксово излучение
гс-го порядка генерируется стоксовым излучением (п—1)-го по-
порядка (п. 7.2.5).
Недавно вынужденное рассеяние с переворотом спина наблю-
наблюдалось также в InAs Энгом и др. [7.79] с использованием в ка-
качестве источника накачки лазера на HF. Пороговая мощность
была порядка 15 Вт и эффективность преобразования достигала
20%. ВКР в InAs может стать важным перестраиваемым по ча-
частоте источником излучения в области 3—5 мкм. Сэтлер и др.
[7.79] наблюдали рассеяние света с переворотом спина в
Hgor77Cd0,23Te при накачке СОг-лазером с поперечным разрядом
(TEA). Выходная мощность могла достигать 1 Вт. Предпола-
Предполагается, что это перестраиваемое по частоте излучение также
представляет собой результат вынужденного рассеяния.
Переходы с переворотом спина могут также возбуждаться не-
непосредственно инфракрасной волной через магнитное дипольное
взаимодействие. Гамильтониан взаимодействия для этого пря-
прямого Процесса имеет вид
gHBa • В.
G.49)
Так как возбуждение с переворотом спина может возбуждаться
как в процессе рассеяния, так и посредством прямого поглощв-
Вынужденное комбинационное рассеяние
351
ния света, для описания ВКР с переворотом спина мы должны
использовать теорию вынужденного рассеяния света полярито-
наии, рассмотренную в разд. 7.4. В этом случае эффективные
энергии взаимодействия <Л^Ф) и (Ж**) в G.3S) и G.40) мо-
могут быть легко получены из G.49) и G.46) и, следовательно, бу-
будут определены Afi и Ми [7.14]. Тогда решения G.44) и G.45)
могут быть непосредственно применены к ВКР с переворотом
спина.
В настоящем случае мы всегда имеем (у„ + -узJ > Л, так
как поглощение при частоте <о3 является сильным. В результате
этого усиление при вынужденном рассеянии поляритонами почти
точно равно усилению при ВКР в предположении, что Л = 0,
как показано на фиг. 7.17. Однако мы должны отметить, что при
вынужденном рассеянии света поляритонами следует ожидать
генерации вместе со стоксовым излучением излучения в далекой
инфракрасной области. На фиг. 7-17 представлено также отно-
отношение интенсивности излучения в далекой инфракрасной обла-
области к интенсивности стоксова излучения для коллинеарного слу-
случая без фазового согласования и для неколлинеарного случая
с фазовым согласованием. В неколлинеарном случае с фазовым
Фиг. 7.G. Теоретические кривые для коэффициента усиления еынужденного
рассеяния g и д^я отношения мощности излучения в далекой инфракрасной
области /"(й)з) к мощности рассеянного излучения Я(иа) в коллинеаряом
случае без фазового согласования и в неколлинеарном случае с фазовым со-
согласованием [7.16].
852
Глава 7
согласованием интенсивность излучения в далекой инфракрас-
инфракрасной области выше.
О наблюдении далекого инфракрасного излучения при ВКР
с переворотом спина еще не сообщалось и исследовался только
коллинеарный случай без фазового согласования [7.80]. Однако
когда на кристалл inSfa направлялись лазерное и стоксово излу-
излучения, наблюдалось импульсное излучение в далекой инфра-
инфракрасной области. Его максимум имел место точно при резонансе
[7.S1]. Полученные результаты очень хорошо согласуются с
Предсказаниями теории вынужденного рассеяния света поляри-
тонами [7.14, 7.S2]. Излучение в далекой инфракрасной области
в InSfa, конечно, может перестраиваться в том же интервале
частот, что и стоксово излучение [7.S3]. Это дает нам потенци-
потенциальный источник излучения в далекой инфракрасной области,
которое является интенсивным, когерентным и перестраиваемым
по частоте. Возможно также, что ВКР с переворотом спина в
непрерывном режиме может привести к созданию перестраивае-
перестраиваемого по частоте непрерывного источника в далекой инфракрас-
инфракрасной области с чрезвычайно узкой линией.
7.6. Вынужденное комбинационное рассеяние
света в переходном режиме
До сих пор мь] рассматривали только стационарный случай
вынужденного рассеяния. Это проявляется в том, что мы ис-
использовали в теории не зависящие от времени волновые уравне^
ния. В экспериментах, однако, часто используется импульсное
лазерное излучение. Следовательно, в общем случае мы не мо-
можем пренебрегать временнбй зависимостью в волновых уравне-
уравнениях.
Можно, однако, предполагать, что амплитуда поля изменяет-
изменяется медленно. Зависящие от времени волновые уравнения, соот-
соответствующие G.5), G.29) и G.32) для бесконечных плоских
волн, распространяющихся в направлении вперед вдоль £ в изо-
изотропной среде, имеют вид
д 1
U
( д I д
U+-. -ш
N
где $\ и &г были определены в G.4); А определяется из соотно-
соотношения т|з = А ехр [i(ki — кя)г — №fit]; o>s = coi — щi\ v\ и vs —
групповые скорости при оси и со? соответственно,
Вынужденное комбинационное рассеяние
353
Рассмотрим сначала случай, когда изменения амплитуд Е\ и
Es происходят достаточно медленно, так что \dA/dt\ пренебре-
пренебрежимо мало по сравнению с \ТА\. Тогда возбуждение материаль-
материальной системы Л (г, t)=>iM^&iBslhT следует почти мгновенно за
Временным изменением &х • Шs. Если дисперсией среды можно
пренебречь, то vx = vs. После замены переменных г'=2 и f =
= t — z/v система G.50) сводится к
G.51)
Эти уравнения идентичны G.7), за исключением того, что Шх и
Ss теперь являются функциями z и (— г/v. Другими словами,
г?, и Ss следуют изменениям, характерным для стационарного
состояния, но с замедленной временной координатой. Это есть
случай квазистационарного состояния. При использовании «за-
«замедленного» времени все наши предыдущие теоретические рас-
рассуждения верны и для настоящего случая.
Однако при рассеянии назад мы должны заменить vs в G.50)
на —vs. Решение для стационарных условий более непригодно,
так как изменения амплитуды входящих импульсов не являются
пренебрежимо малыми в течение времени, за которое свет пере-
пересекает всю длину образца. Майер и др. [7.50] получили следую-
следующее общее решение для этого случая (в предположении, что
к1Ч|)
(t +
ехр [-/>,(< - г/v)]
где
, y)fdy,
G.52)
Для заданных начальных условий при г = 0 можно рассчитать
выходную мощность стоксова излучения. Пример приведен на
фиг. 7.18. Видно, что при достаточно длинном образце импулыз
354
Глава 7
Время t -tj, не
0,1 0,г 0,3
Фиг. 7,(8. Расчетная нормированная интенсивность импульса рассеянного све-
света как функция времени при начальном условии \E;\ = \Es0\(t — teK для
( > /0.
Кривые описывают развитие импульса в интервала* Д) =2,77/0.0 предстовлвет собой
коэффициент усиления вынужденного рассеяния и равен 0,7 см в GS,. Нвжиии шкала
дана в безразмерных единицах; верхняя шкала соответствует экспериментальным усло-
условиям [7.501.
стоксова излучения, распространяющийся в направлении назад,
становится значительно уже вследствие усиления. Физически
зто сужение происходит вследствие того, что волновой фронт
рассеянного назад импульса стоксова излучения постоянно взаи-
взаимодействует с неистощенным входящим лазерным лучом и испьг->
тывает максимальное усиление, в то время как следующая сзади
часть импульса не испытывает его. Это явление впервые наблю-
наблюдалось в жидкостях с эффектом Керра, в которых первоначаль-
первоначальный стоксов импульс генерировался при самофокусировке в
конце ячейки [7.50].
Рассмотрим другой случай, когда %•$, изменяется быстро,
так что \dA/dt\ в G.50) больше не является пренебрежимо ма-
малой величиной по сравнению с | ТА \. Это означает, что даже воз-
возбуждение материальной среды не может достичь стационарного
состояния в течение импульса. Соответственно генерация сток-
стоксова излучения в направлении вперед также носит переходный
характер. Этот тип ВКР в переходном режиме имеет место,
когда длительность импульса лазерного излучения ТР меньше
или сравнима по величине с временем дефазировки 7*2 = 1/Г
возбуждения материальной системы или, более строго, когда
Тр < GRmlTi, где Gp,m — коэффициент усиления вынужденного
Вынужденное комбинационное рассеяние
355
рассеяния в стационарном состоянии G.9) при максимуме вход-
входного импульса и /—длина образца [7.84, 7.85]. В газах вели-
величина Т2 порядка КН с или больше. В жидкостях Ti обычно по-
порядка пикосекунд. В общем случае для изучения переходного
ВКР следует использовать пикосекупдные импульсы, генерируе-
генерируемые лазером с синхронизацией мод, хотя в некоторых газовых
средах могут использоваться импульсы от лазеров с модулиро-
модулированной добротностью [7.86]. При использовании пикосекундных
импульсов интенсивность рассеяния назад чрезвычайно мала
вследствие очень малой длины взаимодействия с входящим ла-
лазерным импульсом. Мы можем, следовательно, ограничить наше
рассмотрение лишь ВКР в направлении вперед.
Теория ВКР в переходном режиме обсуждалась многими
авторами [7.S5, 7.87—7.91]. Она очень похожа на теорию вы-
вынужденного рассеяния Мандельштама—Бриллюэна в переход-
переходном режиме [7.84]. Предположим, что истощение мощности ла-
лазера и индуцированное изменение заселенности (р;— pf) прене-
пренебрежимо малы. Тогда уравнения G.50) в предположении, что
Vi =VS, СВОДЯТСЯ К
G,53)
где
и $\(t — z/v) задается начальными условиями.
Комбинируя два уравнения G.53) и заменяя переменные
г' = га t' = t — г/v, мы получаем дифференциальное уравнение
в частных производных второго порядка [7.91]
' дг' - f|,tij | ЯГ, (С) \2} U = 0, G,54)
где £/= F exp (IT) и F обозначает А* или %s. Определив
т== \ | В\ {(") |2 dt" как интегральную энергию в лазерном им-
импульсе до времени t', мы сводим уравнение к стандартному урав-
уравнению гиперболического типа
(д2/дхдг' —
356
Глава!
которое может быть теперь решено при произвольных граничных
условиях. Решение записывается* как [7.91]
v
(О -1 (ПГ"г X
X № (П %* (О,
X /, B [^ (т (О - т (Г)) 2']1/s)} dt\ G.55)
") #, <°- <*) ^ B к*ь (т г) - т г» <]*)} л*,
где начальные условия имеют вид Д*(г') = 0 при f'-s—оо и
$%(z' (') = $% (О, /') при г = г'= 0, и /; есть функция Бесселя
i-ro порядка от мнимого аргумента.
функции Бесселя имеют асимптотические пределы, такие, что
Ia(x) ssl и /i(x) тх для .t < 1 и ]{{х) « Bлдг)'/' ехр(х) для х»1.
Таким образом, амплитуда стоксова излучения сначала возра-
возрастает линейно с г. Затем в пределе большого усиления она изме-
изменяется экспоненциально как
\(П
"'X
(т(П-т(НJ/]'/!}- G-56)
Для лазерного импульса прямоугольной формы легко показать
из G.56), что в случае достаточно длительного импульса ампли-
амплитуда Ss испытывает экспоненциальное стационарное усиление,
когда (/—Щ> GrzT2, где /0 есть время прихода импульса. По
этой причине условие ТР (ширина импульса) < GRmZTz принято
как условие существования переходного режима ВКР, что упо-
упоминалось выше.
Если ГР < Гг, то множителем ехр[—Г(Г — t")] в течение
лазерного импульса можно пренебречь. Мы можем видеть из
G.55) и G.56), что генерируемое стоксово излучение не возра-
возрастает заметным образом в передней части лазерного импульса
и быстро растет в средней части импульса. Затем оно падает,
следуя форме заднего фронта лазерного импульса. Следователь-
Следовательно, пик стоксова излучения всегда появляется вслед за лазер-
лазерным пиком и импульс стоксова излучения всегда должен быть
уже, чем лазерный импульс. Возбуждение материальной среды
ведет себя подобным же образом, но к концу импульса оно зату-
затухает экспоненциально как ехр(—Г7) даже после того, как мощ-
мощность лазера упала почти до нуля. В пределе большого усиления
Вынужденное комбинационное рассеяние
357
мы имеем из G.56) [7.91J
где коэффициент усиления в переходном режиме GT есть
G.57)
{\8X?)TP^ \ \Sx{t)fdt.
Этот коэффициент усиления в переходном режиме не зависит от
формы лазерного импульса. Было показано [7.91], что для им-
импульса формы Ш\ (/') = Ш^т ехр (— | t'/T |я) пик стоксова импуль-
импульса задержан по отношению к лазерному пику на время tD =
Карман и др. [7.91] провели численные расчеты ВКР в пере-
переходном режиме для различных форм лазерных импульсов. Их
результаты для GtZ как функции максимального коэффициента
усиления в стационарном состоянии G%mz в случае гауссовых
лазерных импульсов с различными ширинами представлены на
фиг. 7.19. Эти результаты показывают, что при ТР > GRmzT2 мы
имеем От » GRm; в противном случае GT <. Grm, как и должно
быть для коэффициента усиления в переходном режиме. При
достаточно больших GRmz кривые дают для Gtz зависимость г1'*,
как и следует из G.57). Изменения времени задержки tD в зави-
,0-1
Фиг. 7.19. Коэффициент усиления вынужденного рассеяния в переходном
режиме при лазерных импульсах гауссовой формы с одинаковой полной
энергией, но различной шириной.
Коэффициент усиления для стационарных условий G соответствует постоянной мощности
дааера, равной максимальной мощности лазерного импульса [7.911.
358
Глава 7
Фиг. 7.20. Изменение ширины стоксова импульса Is и времени задержки (о
в зависимости от коэффициента усиления в переходном режиме для входных
лазерных импульсов гауссовой формы с различными ширинами 1Р, определен-
определенными по отношению к временам дефазировки оптических фоноиов Г ! [7.9Ц.
симости от О?- для лазерных импульсов различной ширины пред-
представлены па фиг. 7.20. Как и ожидалось, tD возрастает с От,
причем возрастает быстрее^при больших значениях От-. Сужение
импульса стоксова излучения при возрастании От- также пока-
показано на фиг. 7.20. Кроме того, были изучены эффекты фазовой
модуляции и линейной дисперсии [7.91].
Ранние эксперименты Хагенлокера и Др. [7.S6] впервые ука-
указали на существование переходного режима ВКР в газах при
использовании лазерных импульсов, генерируемых рубиновым
лазером с модулированной добротностью, Позднее при исполь-
использовании пикосекундных импульсов от лазеров с синхронизацией
мод переходные эффекты были обнаружены при ВКР в жидко-
жидкостях [7-92—7.97]. Поскольку коэффициент усиления в переход-
переходном режиме От- Зависит только от полного сечения рассеяния
(~г|[Т1й), тогда как коэффициент усиления в стационарном ре-
режиме Ькт, кроме того, обратно пропорционален ширине линии
Г, при ВКР в переходном режиме можно наблюдать некоторые
колебательные моды, которые не наблюдаются при стационар-
стационарном ВКР [7.96]. Более чем одна колебательная мода может
проявляться при ВКР в переходном режиме [7.96, 7-98]. Карман
и Мак [7.99] недавно провели количественные исследования
ВКР в переходном режиме в газе SF6, Они выбрали SF6 вслед-
вследствие малой дисперсии показателя преломления и отсутствия
других нелинейных эффектов при ВКР. Их результаты хорошо
согласуются с предсказаниями теории. Однако для проверки
Вынужденное комбинационное рассеяние
859
теории ВКР в переходном режиме лучше было бы произвести
эксперимент, в котором измерялось бы временнбе изменение
усиления стоксова излучения в усилительной ячейке, как это
обсуждалось ранее в п. 7.3.2. Такого типа экспериментов пока
еще не проводилось.
7.7. Применения вынужденного
комбинационного рассеяния света
Мы видели, как можно использовать ВКР Для генерации ко-
когерентного света на новых частотах. Имеется и ряд других при-
применений ВКР- Обсудим кратко некоторые из них.
7.7.1. Измерение времен жизни колебаний
По аналогии со случаем магнитного резонанса имеются два
характеристических времени жизни для каждого молекулярного
или решеточного колебания: продольное время жизни Г, и попе-
поперечное Время жизни (или время дефазировки) Т2 [7.34]. Эти
времена жизни не могут быть получены просто из измерений
ширины линии. Только в пределе однородного уширения Гг рав-
равно обратному значению ширины линии, но и тогда Т2 может
сильно отличаться от 7\. Однако эти два времени жизни можно
измерить непосредственным путем, наблюдая затухание колеба-
колебания после возбуждения коротким импульсом. Как импульсное
возбуждение, так и контроль за затуханием колебания могут
быть осуществлены посредством рассеяния света. В случае ве-
вещества в конденсированном состоянии колебательные времена
жизни часто имеют величину порядка пикосекунд. Тогда метод
с использованием ВКР является, по-видимому, единственным
методом прямого измерения колебательных времен жизни.
Как обсуждалось в разд. 7.2 и 7.6, зависящее от времени
возбуждение когерентного колебательного поля и молекулярное
колебание описываются следующей системой уравнений [из
G.50), G.24) и G.25)]:
*> <2- о=' It^J n hr) K) (p, - p,) #я
360
Глава 7
Мы предполагаем, что в эксперименте имеет место пренебре-
пренебрежимо малое истощение поля Ш\, и Др <§; (рУ — р°). Таким обра-
образом, при ё>\ = const и (р; — pf), замененном на (р° — р°\ реше-
решение для <$\{z, t) и Q(z,t). есть то же самое решение для пере-
переходного режима, обсуждавшееся в предыдущем разделе [7.91].
Решение для ДрB, t) может быть затем получено из уравнения
для Др с рассчитанными Bs{z, t) и Q(z, t). Временное поведе-
поведение Q и Др может контролироваться экспериментально посред-
посредством зондирующего луча. Когерентное колебательное поле Q
должно рассеивать зондирующий луч когерентно в направлении
фазового согласования. Изменение населенности Др приводит
к изменению интенсивности некогерентных стоксова и аптисток-
сова излучений.
Однако, поскольку 7", и Т2 в конденсированном веществе
имеют величины порядка пикосекунд, трудно контролировать
изменение во времени рассеяния зондирующего луча с помощью
электронных устройств. Следует применять оптические методы,
основанные на пикосекундных импульсах. Мы можем использо-
использовать пикосекундный импульс при частоте ац для возбуждения
колебания посредством стоксова рассеяния и затем другой пико-
пикосекундный импульс при из, задержанный на время tD по отноше-
отношению к первому импульсу, с помощью которого можно зондиро-
зондировать Q и Др посредством антистоксова рассеяния. Для когерент-
когерентного антистоксова рассеяния в условиях фазового согласования
антистоксово поле &а(%, t) при частоте <а2 + а>с подчиняется
уравнению (см. разд. 7.2)
о=
X (Л«°)* (р? -
х
(г, 0 Q(z,
tD), G.59)
где tgi— поле зондирующего импульса. Нерезонансным вкладом
в нелинейную поляризацию мы пренебрегли. Интенсивность ан-
антистоксова излучения как функция времени задержки tD имеет
вид
\
= (const) J dt' | J dz$t(z, t')Q(z, t' + tD) 2. G.60)
Некогерентное антистоксово рассеяние имеет интенсивность
\ г, t+tD).- G.61)
Зная возбуждающий и зондирующий импульсы и решение для
Q(z, f) в G.55) [если заменить А на Baio/fi)I/sQ], мы можем из
Вынужденное копбинационнов рассеяние
361
КОРЩ
Ft
Фиг. 7.21. Схема экспериментальной установки для измерения аремен жизни
фононов.
Пучок накачки В npn A s, 1,05 мк„ ..
ствуют в образце RS. FD — стеклянный i
7PF —снстемз с двухфото1щой люмииесгюннисй [7-104
юндирующий пучок &9 при Л=0,5Э нкм нзаниодой-
ржень для оптической ляики задержки;
" " :ки: F—фильтр: Р —фото детектор:
приведенных выше уравнений рассчитать SKOT и 5неког. Можно
показать из G.55), что если возбуждающий импульс имеет ши-
ширину Тр, которая меньше или сравнима с Тъ, то Q(z, t) будет
иметь экспоненциальное затухание ехр(—t/Tz) при больших t,
или 5ког(^о) ~ ехр(—(о/Гг) Для tD > T2- Аналогичным образом
из уравнения для Др в G.58) можно получить, что Др(г, t) или
5"екОг(*о) будут иметь экспоненциальное затухание с постоянной
времени Т\. Таким образом, если Тр ^ Т\, Т2, то можно получить
значения Т\ и Т2 непосредственным путем, измеряя экспонен-
экспоненциальное затухание SKor(fo) и 5неког((о).
Де Мартини и Дюкюэн [7.100] первыми использовали такой
метод для измерения времени релаксации Ti колебательного
возбуждения с частотой 4155 см газообразного На. В этом слу-
случае Т\ имело величину порядка 30 мке при давлении 0,03 атм.
Для таких измерений не требуются ультракороткие лазерные
импульсы. Недавно Альфано и Шапиро [7.101] и Кайзер и сотр.
[7.102—7.105] использовали импульсы, генерируемые лазерами
с синхронизацией мод, для измерения 7\ и Т2 молекулярных или
решеточных колебаний в жидкостях и твердых телах. Одна из
их экспериментальных установок представлена па фиг. 7.21. Им-
Импульс от лазера на неодимовом стекле, работающего в режиме
синхронизации мод, используется для возбуждения колебания
посредством ВКР, и Вторая гармоника этого импульса приме-
применяется для зондирования колебательного возбуждения. Пример
их результатов представлен на фиг. 7.22. Экспоненциальные
хвосты кривых 5не1<ог(^о) и 5ког(?о) на фиг. 7.22 позволяют с
легкостью определить Т\ и 7Y Эти измерения были первыми
12 Зэя. П75
362
Глава 7
о да so 3d 40
Время задерн/ш tD,nc
Фиг. 7.22. Намеренные интенсивности некогерентного рассеяния SHeKor (/вУ^иаксГ
(темные кружки) и. когерентного рассеяния SKQr (lD)/S™KC (сретлые кружки)
в этиловом спирте в зависимости От времени задержки.
Сплошные н штриховые кривые нпляются расчетными кривы ии |7.104|.
прямыми измерениями колебательных времен релаксации в кон-
конденсированном веществе. Эта же самая методика, конечно, мо-
может быть применена к измерениям зремен релаксации других
типов возбуждений. Измеряя некогерентный антистоксов сигнал
при различных частотах <оя как функцию to, можно также изу-
изучать каналы распада данного возбуждения [7.106, 7.107].
7.7.2, Измерения нелинейных восприимчнвостей третьего
порядка
Рассмотрим теперь случай стационарного режима, когда воз-
возбуждение материальной системы if с резонансной частотой шо
производится полями Ei и Es с частотами <»! и o)s соответственно.
Третье поле Е2 с частотой ©г используется для зондирования if,
и измеряется интенсивность когерентного антистоксова рассеяния
с частотой wQ = o)i — «s + <о2. Как следует из рассмотрения, про-
проведенного в п. 7.2.4, антистоксово поле Еа подчиняется урав-
уравнению
G.62)
где
X? - ~ ЛЧ «У W "
Вынужденное комбинационное рассеяние
353
и x!v« является нерезонансным вкладом в y}sK При фазовом со-
согласовании Sk = 0 интенсивность антистоксова излучения есть
G.63)
О)
При постоянных интенсивностях входных лучей величина
как функция щ — G>s максимальна, когда максимальна |х
Если резонанс при ©о узок и другие резонансы достаточно
удалены, то дисперсия 'х$д пренебрежимо мала, когда wi — <os
изменяется вблизи щ в пределах нескольких ширин линий. То-
Тогда мы можем легко показать из G.62), что максимум и мини-
минимум функций |хCМ имеют место при (oji — о>5)+ и («i —<в*)-
соответственно, причем
(Ml —i
<7-64)
где
так что
от
— е>5) вблизи
— os — ю() + tFV Пример зависимости |Хд|
юо представлен на фиг. 7.23. Из G.64) имеем
G.65)
Во многих случаях, где |а/х'Д| > Г, максимум [х|3|| имеет ме-
место при a>i — ы5—шо, и тогда чз G.65) мы можем найти a/zjjo
и Г, измеряя (о)] — ь>$)±- Мы можем, конечно, с легкостью опре-
определить шо и Г из измерения спонтанного рассеяния. Интересно,
что мы можем теперь получить значение a/x$'ft непосредственно
из частотных измерений и, определив значение коэффициента a
из сечения рассеяния для спонтанного комбинационного рассея-
рассеяния света, можем получить y$R. Если данная мода, участвую-
участвующая в рассеянии, далека от других мод по частоте, то х$я об-
обусловливается главным образом электронным вкладом. Мы мо-
можем также получить значение xS'ri измеряя абсолютную интен-
интенсивность когерентного антистоксова излучения, но частотные
измерения более точны, чем измерения абсолютной интенсивно-
интенсивности рассеяния.
Эксперименты такого типа по смешиванию волн со значе-
значениями coi — cuj вблизи частот колебательных мод, активных в
рассеянии света, были проведены в различных материалах Уин-
ном [7.108, 7.109]. Недавно, используя этот метод, Левенсоп
[7.Ц2] и Левенсон и Бломберген [7.110—7.113] измерили %$е
384
Глава 7
для большого числа жидкостей и твердых тел. Их эксперимен-
экспериментальная установка показана на фиг. 7.24. Два лазера на краси-
красителях, накачиваемых ^-лазером, использовались в качестве ис-
источников света с перестраиваемой частотой. Полученные нми
результаты для кальцита представлены на фиг. 7.23. Когда
имеется несколько участвующих в рассеянии света мод, близ-
близких друг к другу по частоте, анализ усложняется, но ясно, что
с помощью спонтанного рассеяния света мы все же можем опре-
определить xlvk из результатов по смешиванию волн [7.113]. В кри-
кристалле без центра инверсии колебательные моды могут быть
активны в рассеянии света и в инфракрасном поглощении. Свя-
Связанные электромагнитные волны и волны возбуждений матери-
материальной системы, т. е. поляритоны, обсуждавшиеся в разд. 7.4,
должны теперь использоваться вместо ij> в рассмотренном выше
10 J\-
-10 О Ю 20 30 40 50
Фиг. 7,23. Типичные результаты для интенсивности антистоксова рассеяния
при частоте ша и кальците.
Поляризации падающего и иааднниого света перпендикулярны дпгнческой оси каль-
инта [7.U2J.
Вынужденное комбинационное рассеяние
365
Колесо
с шярпзщионшш
рмьтром
**—7Г~ ч> i/- ■'"■vfil"*"t:i'ft- V f fi
на кр&ш I «У*»*» Шшс Ji' "mwuT
,0
Образец щ
Ф1Т. 7.24. Экспериментальная установка для нелинейной спектроскопии.
Выходйэе излучение лазера I показано штриховой линией, излучение лазера 2 —пунктир-
—пунктирной линией. Оба лазерных дума перекрываются после образцов и излучение, обусловлен-
обусловленное смешиванием Bo.iii, собирается it направляется на монохроматорЫ [7.1121. Сигнал из
контрольной схемы не пользуется для компенсации флуктуации мощности лазера.
формализме. Кроме того, поле с частотой ю0 =g>i — оь + «2 мо-
может генерироваться посредством другого двухступенчатого про-
процесса, при котором сначала создается поле суммарной частоты
Й {а>! -J- coa), затем оно смешивается с £*(«s) и создает Е(а>а)-
Анализ этого случая более сложен, но вполне последователен
[7.111, 7.115]. Интерференция между различными вкладами в Еа
может иметь место при измерениях частотной дисперсии [7.111].
Следует еще раз отметить, Что приведенный выше анализ при-
применим к любым возбуждениям материальной системы, таким,
как мапюньь плазмоны и т. п., хотя эксперименты пока прово-
проводились лишь на активных в рассеянии колебательных модах.
7.7.3. Обнаружение вешеств с низкой концентрацией
Как известно, колебательные моды, участвующие в рассея-
рассеянии, могут использоваться для идентификации вещества. Ана-
Аналогичным образом резонансная кривая \%3\ или \Еа\2, даваемая
G.63), может быть использована для идентификации вещества
или обнаружения веществ с низкой концентрацией в смесях При
условии, что [хд1 ,а(с ^ |Х$'д I D G.62). Этот метод может наилуч-
наилучшим образом использоваться в газовых смесях, в которых шири-
368
Глава 7
ны линий рассеянного света очень узки и, следовательно, вели-
величина |х(к'1макс может быть очень большой даже для низких кон-
концентраций [см. G.62)].
Ренье и Таран [7.П6] показали, что при мощностях лазера
порядка 1 МВт можно определить концентрацию На порядка
1 ■ 10-5 в газе N2 при давлении 1 атм. Для сравнения можно ука-
указать, что в смеси, содержащей 1 ■ 10~4 Нг в N2, при мощности
входного лазерного пучка 1 МВт когерентный антистоксов сиг-
сигнал достигает мощности примерно 1 Вт, в то время как спонтан-
спонтанное стоксово рассеяние из того же объема при мощности воз-
возбуждающего лазерного луча 1 МВт имеет мощность порядка
jg-io Вт на единицу телесного угла. Чувствительность метода,
конечно, может быть значительно улучшена, если coi или ю2 при-
приблизить к частоте электронного резонанса. Вследствие резонанс-
резонансного возрастания Мц в G.1) величина |х$'| Для газовой среды
может возрастать иа пять-шесть порядков величины. Этот ме-
метод можно использовать для изучения газовых смесей в пла-
пламени, в двигателе внутреннего сгорания или 8 сверхзвуковом
потоке ракетного двигателя [7.П6], По-видимому, эта техника
может использоваться для контроля загрязняющих примесей в
заводских дымах и в выхлопных газах автомобилей.
7.7.4. Другие применения
Плазменные волны как возбуждение материальной среды
могут генерироваться при ВКР [7,36, 7.П7]. Возбужденные плаз-
плазменные волны будут, конечно, затухать с обращением энергии
колебаний в тепло. Это явление было предложено в качестве
возможного метода нагрева плазмы для контролируемой термо-
термоядерной реакции [7.118]. Однако достоверных экспериментов
по ВКР в плазме пока еще не проводилось.
Вынужденное антистоксово поглощение света (п. 7.35), ино-
иногда называемое «обратным эффектом рассеяния», представляет
собой новый спектроскопический метод [7,59, 7.119, 7.120]. По-
Подавая на образец лазерный импульс и импульс света с непре-
непрерывным спектром, спектр рассеяния можно получить за одну
вспышку. Недавно этот метод был применен в пикосекуцдном
режиме при использовании импульсов от лазеров с синхрониза-
синхронизацией мод [7.120].
ВКР является одним из эффектов, которые препятствуют
распространению интенсивных лазерных пучков в средах. Оно
играет особенно важную роль при распространении в воздухе
интенсивных лазерных пучков, используемых для оптической
связи или других целей. Мы видели в G,2), G,3), что коэффи-
коэффициент усиления ВКР GR пропорционален щ\Мг,\2\Е\\\ где
Вынужденное комбинационное рассеяние
367
Ш;;|2 обычно возрастает при возрастании ©i. Соответственно
ВКР слабее при более низких частотах. Следовательно, для
того чтобы пропускать интенсивный лазерный пучок через сре-
среду, необходимо уменьшать Gr, используя пучки возможно боль-
большего диаметра и более низкой частоты.
7.8. Заключительные замечания
Объем статьи не позволил нам рассмотреть некоторые аспек-
аспекты ВКР. Мы не обсуждали тензорную форму комбинационной
восприимчивости Х<|> в зависимости от симметрии среды н ее
тензорную связь с дифференциальным сечением комбинацион-
комбинационного рассеяния da/dQ. He рассматривалось ВКР в анизотроп-
анизотропных кристаллах [7.122] и в оптических волноводах [7.123]. Мы
также не обсуждали резонансное ВКР [7.124]. Это рассеяние
особенно интересно в системах, состоящих из паров щелочных
металлов [7.125—7,129]. Резонансное ВКР недавно использова-
использовалось для генерации перестраиваемого по частоте инфракрасного
излучения [7.130] и ультрафиолетового излучения [7.131] при
оптическом смешивании волн в парах щелочных металлов.
В заключение можно сказать, что физические основы ВКР в
принципе ясны. В реальных экспериментах ВКР может услож-
усложняться другими конкурирующими нелинейными оптическими
эффектами. Влияние других нелинейных эффектов на ВКР и на-
наоборот во многих случаях качественно понятно, но количествен-
количественный анализ часто очень труден. ВКР уже применяется в некото-
некоторых случаях в технике, В связи с появлением перестраиваемых
по частоте лазеров ожидается, что в ближайшем будущем рас-
расширится круг исследований по резонансному ВКР-
Благодарность
Эта работа была частично поддержана Комиссией по атомной
энергии США.
Литература
7.1. Woodbury Е. Л, Ng W. К.., Ргос, ШЕ, 50, 2347 A962).
7.2. Woodbury Е. 1., Eckhardt G. М., US Patent № 3, 371, 265 B7 February
1968).
7.3. Eckhardt G., Hettwarth R. W., McCtung F. !., Schwartz S. E., Weiner D.
Woodbury E. /., Phys. Rev Letters, 9, 455 A962).
7.4. Geller M., Bortjeld D. P., Sooy W Д., Appl. Phys. Letters, 3, 36 A963).
7.5. Stoicheff B. P., Phys. Letters, 7, 186 A963).
7.6. Eckhardt G., Bortfetd D. P., Getter Л1., Appl. Phys. Letters, 3, 137 A963).
7.7. Mtack R. W., Terhune R. W., Rado W. G., Appl. Phys. Letters, 3, 181
A963),
368
Глава 7
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7 12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.
7.31.
7.32.
7.33.
7.34.
7.35.
7.36
7.37.
7.38.
7.39.
7.40.
7.4|.
7.42.
Hellwarik R. W., Phys. Rev., 130, 1850 A963)- Appl. Opt. 2, 847 A963).
Terhune R. W., Solid State Design, 4, 38 A963).
Zeiger H. J., Tannenwald P. E., Proc. 3rd Intern. Conf. Quantum Electro-
Electronics, Paris, A963) ed. by P. Grivet and N. Bloombergcn, Columbia Uni-
University Press, New York 1964, p. 1589.
Chiao R. Y., Stoiche}f B, P.. Phys. Rev. Letters, 12, 290 A964).
Kurtz S. K-. Giordmaine J. A., Phys. Rev. Letters. 22, 192 A969).
Gelbwachs L, Pantell R. Я., Putho]] H. E., Yarborough J. M, Appt. Phys.
Letters, 14, 258 A969).
Pate! C. K. N. Shaw E. D., Phys. Rev. Letters, 24 451 A970).
Shen Y. Д.. Appl. Phys. Letters, 23, 516 A973).
Shapiro S, I., Giordmaine J. Л., Wecht K. W., Phys. Rev. Letters, 19,
1093 A967).
Wang С S._ Phys. Rev., 182, 482 A969).
Linde D. von der, Laubereau A, Kaiser W. Phys. Rev. Letters, 26, 954
A971).
Alfano R. R-, Shapiro S. L., Phys. Rev. Letters, 26, 1247 A971).
Armstrong J. A., Bloembergen N.. Ducuing I., Pershan P. S.. Phys. Rev.
127, i9S A962).
Shen Y. R., Bloembergen Л'., Phys. Rev., 137, A1786 A965).
Bloembergen M, Am. J. Phys., 35, 989 A967).
Kaiser W., Maier M., в книге; Laser Handbook, ed. by F, T. Arecchi and
E. O. Schulz-Dubois, North-Holtand Publishing Co., Amsterdam. 1972,
p. 1077.
Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, 3rd ed., Cambridge Uni-
University Press, New York, 1954 p. 192. (Имеется перевод; В. Гайтлер,
Квантовая теория излучения, ЙЛ 1956.)
Glauber R-, Phys. Rev.; 130, 2529 A963); 131, 2766 A963).
Sparks M., Phys. Rev. Letters. 32, 450 A974).
Gannire E., Pandarese £., Townes С. Н. Phys. Rev. Letetrs, 11, 160
A963).
Bloembergen N. Shen Y. R., Phys. Rev. Lellers 12, 504 A964).
Ллатоненко В. Г., Хохлов Р. В., ЖЭТФ, 46, 555 A964).
Tang С. L, Deulsch Г. F., Phys. Rev., 138, Al A965).
ilaus Я., Kelley P. L., Zeiger H., Phys. Rev., 138, A690 A965).
Bloembergen N.. Nonlinear Optics, W. A. Benjamin, Inc., New Ycrk, 1965.
(Имеется перевод; Н. Бломберген, Нелинейная оптика изд-во «Мир»,
1966.)
Bloembergen N.. Shen У. Д., Phys. Rev. Al33 37 A964).
Chiao R. У., StoicheU В. A, Phys. Rev. Letters, 12 290 A964).
Abragam A., Principles of Nuclear Magnetism, Oxford, University Press,
Oxford, 1961. (Имеется перевод: А. Абрагам, Ядерный магнетизм, ИЛ,
19E3.)
Hubbard P. S., Rev. Mod. Phys., 33 24Э A961).
Shen Y. R., Bloembergen N.. Phys. Rev., 143, 372 A966).
Bloembergen N., Shen Y, R., Phys. Rev. 141, 298 A966).
Loudon R-. Proc. Phys. Soc, 82, 393 A963).
Butcher P. N.. Loudon R., McLean Г. P., Proc. Phys. Soc
A965).
Froklidi D., Mokler E., Wiesner P. Phys. Rev. Letters
■1971).
'aueisen D. C, Mahr H., Phys. Rev. Letters, 26 838 A971); Phys. Rev.,
B8 2969 A973).
Boggett D-, Loudon R., Phys. Rev. Letters, 28, 1051 A972).
Chiao fi. У., Townes С. Я., Stoichejf В. Р.. Phys. Rev. Letters, 12, 592
A964).
Linde D. von der, Maier M., Kaiser W., Phys. Rev., 178, li
(
H
85, 565
26, 554
Вынужденное комбинационное рассеяние
369
7.43.
7.44.
7.45.
7.46.
7.47.
7.48.
7.49.
7.50.
7.51.
7.52.
7.53.
7.54.
7.55.
7.56.
757.
7.58.
7.59.
7.60.
7.61.
7.62.
7.63.
7.64.
7.65.
7.66.
7.67.
7.68.
McClung F. J., Wagner W- G,, Weiner D., Phys. Rev. Letters, 15, 96
A965)-
Bret б Compt. Rend. Acad. Sci., 259, 2991 A964); 260, 6323 A965).
StoicheU B. P., Phys. Leters, 7, 186 A963).
Terhune R. W., Solid State Design, 4, 38 A934);
Zeiger H 3. Tannenwald P. E., Kern S., Burendeen R-, Phys. Rev., Let-
Letters, II, 4l9'A963);
Garmire E, в книге: Physics of Quantum Electronics, ed. by P. L. Keliey,
В Lax, and P. E. Tannenwald McGraw-Hitt Book Co., New York, 1966,
p. 167;
Garmire E.. Phys. Letters, 17, 251 A965).
Hauchtcorne G, Mayer G.. Compt. Rend. Acad. Sci., 261, 4014 A965);
Shen У. R., Shaham Y, У., phys. Rev. Letters, 15, 1008 A965);
Lallcmand P., Bloembergen N., phys. Rev. Letters 15, \0\Q A965).
Kelley P. L Phys. Rev. Letters, 15, 1005 A965).
Wang С. С, Phys. Rev. Letters, 16, 344 A966).
Loy M. Al. T. Shen К R. Appl. Phys. Letters, 19 285 A971).
Maier M., Kaiser W., Giordmaine J. Л., Phys. Rev., 177, 580 A969);
Phys. Rev. Letters, 17, 1275 A966).
Shen Y. R, Loy M. M. T. Phys. Rev., A3, 2099 A971).
Wong G. K. L., Shen Y. R._ Appl. Phys. Letters, 21, 163 A972).
Bloembergen N._ Lallemand P., Phys. Rev. Letters, ]6, Si A966).
Pemkofer A. Laubereau A., Kaiser K., Phys. Rev. Letters 31 863
A97J).
Sacchi С A. Townes C, #., Lijshitz I. R,, Phys. Rev. G4 439 A9G8).
Gnm J- В., McQuillan A. K-, Stolcheff B. P., Phys. Rev., 18*0 61 1969).
Dennis J. //., Tannenwald P. £., Appl. Phys. Letters, 5, 58 A964);
Takuma П., Jennings D. A, Appl. Phys. Letlers, 4, 185; 5, 239 A964).
Bloembergen N,, Bret G. LalUmarld P., Pine A. Simaua P. IEEE J.
Quant. Electron., QE3, 197 A967); Lallemand P.' Simova P.\ Bret G.,
Phys. Rev. Letters, 17, 1239 A966).
Bloembergen N., Lallemand P., в кшаге: Physics of Quantum Electronics
ed. by P. L. Kelley, B. Lax, and P. E. Tannenwald, McGraw-Hill Book
Co., New York, 1966, p. 137.
Jones W. !., Sloicheff B. P., Phys. Rev. Lelters, 13, 657 (t964);
McQuillan A. K,, Stoichef} В. Р., л книге; Physics of Quantum Electro-
Electronics, ed. by P. L. Kelley, B. Lax, P. E. Tannenwald (McGraw-Hill Book
Co., New York, 1966, p. 192.
Huang A'., Nature. 167, 779 A951)' Proc. Roy. Soc. (London), A208 352
A951);
Born M., Huang K., Dynamic Theory of Crystal Lattices, Oxford Univer-
University Press, London, 1954, Chapter It. (Имеется перевод: М. Бори, Хуан
Кунь, Динамическая теории кристаллических решеток, ИЛ, 1958.)
Hopfield J. J Phys. Rev., 112, 1555 A958).
Shen Y. Д., Phys. Rev^ 138 A1741 A965).
Henry С H., Gar,ett C. G. В., Phys. Rev., 171, 1058 A968).
Pulhoff H. E., Panietl R. H-, Huth B. G. J. Appl. Phys. 37 860 A966);
de Martini Г:, J. Appl. Phys., 37, 4503 A966);
Акансв Б. А., Лхманое С. Л., Хронопуло Ю. Г.. ЖЭТФ, 57, 256 A969^.
Bloembergen N._ Nonlinear Optics, W. A. Benjamin, Inc., New York, 196o,
Section 4. 4. (Имеется перевод; Н. Бломберген, Нелинейная оптика,
изД-во «Мир», 1966.) v
Sussman S. S., Microwave Lab. Report ,\b 1851, Stanford University
A970).
Yarborough J. M. Sussman S, S. Puthoff H. E,, Pantell R. H. John-
Johnson В. С, Appl. Phys. Letters, 15, 102 A963).
Biraud-Laval S., Charter G., Phys. Letters, A30, 177 A969).
370
Глава 7
7.69- Stusher R. E., Patel С. К. N.,Flewy P. A., Phys. Rev. Letters. 18, 77
A967).
7 70 Wolff P. A.. Phys. Rev. Letters. 16, 225 A966).
7.71. Yafel Y. Phys. Rev., 152, 858 A966).
772 Brueck S R. I., Moomdian A. Phys. Rev. Letters. 28, 161 (t972).
773 Brueck S. R. J. Mooradian A., Phys. Rev. Letters, 28, 1458 A972).
774. Patel C. K. N.. Shaw E. D. Phys. Rev., B3, 1279 A971).
7.75. Mooradian A.. Brueck S. R. /., Blum F. A., Appl. Phys. Letters, 17, 481
A970);
Brueck S. R. J., Mooradian A., Appl. Phys. Letters, 18, 229 A971).
7.76. DeSilets С S., Patel С. K. N.. Appl. Phys. Letters, 22, 543 A973).
7.77. Patel С. К. N.. Phys. Rev. Letters, 28, 649 A972).
7.78. Shaw E. D., Patel C. K. N, Appl. Phys. Letters, |8, 215 A97|).
7.79. Eng R. S. Mooradian A. Fetterman H, R., Appl. Phys. Letters, 25, 453
A974);
Sattier J R. Weber B. A., Nemarick Л, Appl. Phys. Letters. 25, 451
A974).
7.80. Nguyen V. Т., Bridges T. J., в книге: Proc. Laser Spectroscopy Confe-
Conference Vail Colo [973 ed. by R G. Brewer and A. Mooradian Plenum
Press." New York. 1974, p. 513.
Nguyen V- T. Bridges Т. Л, Phys Rev. Letters, 29, 359 A972).
Brown T. L, Wolff P. A., Phys. Rev. Letters, 29, 362 A972).
Bridges T. J.. Nguyen V. Т.. Appl. Phys. Letters, 23, 107 A973).
Kroll N. M., J. Appl. Phys. 36, 34 A965).
Wang С S., Phys. Rev., |82, 482 A969).
Hageniocker E. £., Mlnck R. W., Rado W. G., Phys. Rev.. 154, 226
A967).
Ахманов С- A.. Mat. Res. Bull.. 4, 455 A969).
Ахманов С- А. Сухорукое А. П., Чиркин А. С, ЖЭТФ, 55, 143 A968).
Кузнецова Т. И., Письма в ЖЭТФ, 10, 153 A969).
Kroll N. М- Kelley P. L., phys. Rev., A4, 763 A971).
Carman R, 'L. Shimizu F., Wang C. S., Bloembergen N.. Phys. Rev., A2,
60 A970).
Shapiro S, L Giordmaine J. A., Wecht K. W., Phys. Rev. Letters, |9,
1093 A967).
Brel G. Weber H. IEEE J. Quant. Electron., QE4, 807 A968).
Colles M. J., Opt. Coramun.. 1 169 A969).
Большое M. A . Голяев Ю. Я., Днепровский В. С, Мурманский И. И.,
ЖЭТФ. 57. 346 A969)
Carman R. L, Mack M. £.. Shimizu F., Bloembergen N.. phys. Rev. Let-
Letters. 23, 1327 A969).
Colles M. ]. Walrafen G. E., Wecht K. W., Chem. Phys. Letters, 4, 621
7.81.
7.82.
7.83.
7.84.
7.85.
7.86.
7.87.
7.88.
7.89.
7.90.
7.91.
7.92.
7.93
7.94
7.95
7.96.
7.97.
7.98.
7.99.
7.100.
7.101.
7102.
7.103.
7.104.
7.105.
7.106.
ack M. £., Carman R. L., Relnljes /., Bloembergen N., Appl. Phys.
Letters, 16, 209 A970).
Carman R. L, Mack M. E., Phys. Rev.. A5, 341 A972).
Martini p. de Ducuing J., Phys. Rev. Letters, 17, 117 A966).
Alfano R. R., Shapiro S. £,.. Phys. Rev. Letters, 26, 1247 A971).
Linde D. von der. Laubereau A., Kaiser W., Phys. Rev. Letters, 26, 954
A971).
Laubereau A. von der Linde D., Kaiser W., Phys. Rev. Letters, 27, 802
A971).
Laubereau A. von der Linde D., Kaiser W.. Phys. Rev. Letters. 28, 1162
A972).
Laubereau A. von der Linde' D., Kaiser ff\. Opt. Commun., 7, 173
0973).
■Alfano R, R,, Shapiro S. L, Phys. Rev. Letters, 29, 1655 A972).
Вынужденное комбинационное рассеяние
371
7.107. Laubereau A., Kirchner L., Kaiser W., Opt. Commun., 9, 182 A973).
Laubereau A., Kehl G., Kaiser W. Opt. Commun., II, 74 A974).
7.108. Wynne J. J.. Phys. Rev. Letters 29, 650 A972).
7.109. Wynne J. J., Phys. Rev.. B6, 534 A972).
7.HO. Levenson M. D. Flytzanis С Bloembergen M. Phys Rev B6 3462
A972).
7.111. Yabtonovitch E., Flytzanis C, Bloembergen N. Phys. Rev. Letters, 29,
865 A972).
7.112. Levenson M. D., IEEE J. Quant. Electron. QE 10, 110 A974).
7.113. Levenson M. D-, Bloembergen N. Phys. Rev. BlO, 4447 A974 ; J. Chem
Phys., 60, 1323 A974).
7.114. Ахманов С. А., Дмитриев В. Г., Ковригин А. И., Коротеев Я. И., Тун-
кин В. Г., Холодных А. И., Письма в ЖЭТФ, 15, 600 A972).
7.1 На. Ахманов С. А.. Коротеев И. И., Холодных А. И., J. Raman Spectrosc
2 239 A974).
7.115. Flytzanis С, Phys. Rev, B6, 1264 A972).
7.116. Regnier P. R., Taran J. P.E., Appl. Phys. Letters 23, 240 A973).
7.117. Kroll N. M.. Ron A., Rostoker N., Phys. Rev. Letters, 13, 83 A964);
Comisar G. C, Phys. Rev., |4I, 200 A956).
7.118. Cohen B. L, Kaufman A. N, Watson К. М., Phys. Rev. Letlers, 29, 581
A973).
7.119. McLaren R. A., Stoicheff B. P. Appl. Phys. Letters. 16, 140 A970).
7.120. Dumartin S., Oksengorn В., Vodar В., Compt. Rend. Acad. Sci., 261, 3767
A965). .
7.121 Alfano R. R., Shapiro S. L.. Chem. Phys. Letters, 8, 43 A971).
7.122 Стрижевский В. Л.. Обуховский В. В., Попат Г. Э. ЖЭТФ. 61, 537
A971).
7.123 Stolen Ч. Я.. Ippen E. P., Tynes A. R., Appl. Phys. Letters 20 62 A972)*
Stolen R. И., Ippen E. P._ Appl. Phys. Letters. 22, 276 A973)
7.124. Нобовш Я. С, Борткевич А. В., УФН. 103, 3 A971).
7.125. Sorokin P. P., Shiren N S., Lankard J. R., Hammond E. C. Kazya-
ka Т. С. Appl. Phys. Letters, 10, 44 A967).
7.126. Roknl M., Yatstv S.. Phys. Letters. A24, 277 A967): IEEE J. Quant.
Electron., QE3, 329 A967).
7.127. Yatsiv S.. Rokni M.. Barak S.. IEEE J. Quant. Electron. QE4, 900 A968).
7.128. Barak S., Rakni M., Yatsiv S., [EEE J. Quantum Electron.. QE5 448
A969)
7.129 Barak S.. Yatsiv S.. Phys. Rev., A3. 382 A971).
7.130. Sorokin P. P.. Wynne ]. J., Lankard J. R.. Appl. Phys Letters. 22. 342
A973).
7.131 Hodgson Д. Т.. Sorokin P. P., Wynne I. /., Phys. Rev. Letters. 32, 343
A974).
7.|32. Hadacher G.. Maier M., V[[l Intern. Quant. Eleclron. Conf.. San Fran-
Francisco A974), post-deadline paper Q. 7.
7.133. Shen Y. R., Shaham Y. J.. Phya. Rev., 163, 224 A967).
7.134. Yariv A., Quantum Electronics, John Wiley, Inc., New York, 1967.
Дополнительная литература
Proceedings of ihe Third International Conference on Light Scattering in
Solids. Campinas, Brazil. 1975 (Flammarion. Paris. 1976).
Anastassaki's E.. Bitz H., Cardona M., Gntnberg P.. Zinn W., Acoustic and
Optical One-Phonon Density of Slates in Antrferromagnetic GdS.
Bendow В.. Tsay Y. P., Mitva S. S.. Statistical [nlerpretatlon of Raman Spectra
of Amorphous Solids.
Buchner S., Burstein F,., Pinezuk A,, Allowed, Field-Indiiced find Wave Vector-
Dependent Resonance Raman Scattering at the E, Gap of InAs.
Cerdeka F., Raman Scattering by Coupled Eleclron-Phonon Excitations In
Heavily Doped Silicon.
Chen Y. Л. Chen W. P., Burstein E.. Mills D. L.. Inelastic Light Scattering
Using Surface Electromagnetic Waves.
Compaan A., Genack A., Washington M., Cummins И. Z., Experimental Tests
of the Quadrupole-Dipole Raman Scattering Tensor In CiisO.
Compaan A., Macdonatd J. ff.. Resonance Raman Sludy oi lou-Implantation
Produced Damage in СигО.
Defonzo A. P., Tauc /., Raman Scattering in Amorphous Syslems.
Doehler J., Colwetl P. J., Sotin S, Л., Raman Studies oi the Semiconductor lo
Metal Transition in Ge(As).
Fattcov L. M., Resonan] Raman Scattering.
Favrot 0. Aggarwal R. L, Lax В., Slimulaied Spin-Flip Raman Scattering in
TnSb at Magnetic Fields up to 180 KOe.
Galeener F, L, Second Order Vibrational Spectra of Disordered Solids.
Genack A. Z., Cummins H. Z.. Washington M. A., Compaan A., Symmetry-For-
Symmetry-Forbidden Resonant Raman Scattering from polar phonons in Cu5O.
Go S., Bite H., Cardona M., Bond Polarizabilities and Energy Bands of Cova-
rialenl Semiconductors.
Hirlimann G.. Beserman R., Batkanski M., Chevalier J., Raman Study of One
and Two'phonons Coupling in Mixed Ga.Int-^P.
Jain K. P.. Batkanski M.t Theory of Raman Scaltlcring Line-Shapes in Semi-
Semiconductors: Interference Effects.
Jain K.. Klein M. V.. Valley-Orbit Raman Scattering from Bound and Dc-loca-
lized Electrons in fi-Si.
Jouanne M., Beserman R.? Balkanski M., Electron-Phonon Interaction in [fea-
vlly Doped Silicon.
Keller 0., Theory of Brillonin Scattering.
Kiefer W., McCombe 8. D., Richter W., Schmidt R. L, CaTdona M., Second
Order Raman Scattering in Zincblende-Type Semiconductors.
Lin-Chung P. J., Ngai K. L., Intervalley Phonon Raman Scattering in Many-Val-
Many-Valley Semiconductors.
Muzart J., Lluesma E. G.. Arguetto C. A., Leite R. С. С, Photon Induced Re-
Resonant Raman Scattering in CdS.
Onari S., Anastasxakis E,, Cardona M., Reson.int Raman Scattering In -Mj^aSi
■ and MgzGe.
Дополнительная литература
373
Parsons В. J., Clark C. D., Laser Raman Speetroscopy of Diamond at High
Pressures.
Petro}} Y.. Carillon C. Shen Y. R.. Some Aspects of Resonant Raman Scattering
and Luminescence in Cu2O.
Pine A. S., Dresselhaus 0., Lineshape Asymmetries in Light Scattering from
Opaque Materials.
Rahn L. A., Colwell P. J., Choyke W. J., Raman Scattering from fon-fmplanted
Silicon Carbide.
Reydellet J., Besson J. M.. Resonant Raman Scattering on Single Phonon Mo-
Modes of GaSe.
Richter W., Zeijher R.. Cardona M., Resonant Raman Scattering under Uniaxial
Stress: Ei — E, + Д, Gaps.
Romestain R.. Geschuiind S., Devlin G. E., Determination of Spin-Flip Raman
Scattering Cross Section from the Faraday Rotation.
Sanderc.ock J. R.. A High Resolution, High, Contrast Interferometer, and [ts
Application to Brillouin Scattering from Magnetic Systems.
Shah J., Mattos J. C, Raman Scattering from Photoexcited Non-Equilibrium
Excitations in Semiconductors.
Sotin S. A., Gorman M., Doehler J., Uniaxial Stress Dependence of the Electro-
Electronic Hainan Spectra of Ge(As).
Solin S, A., Nemanich R. J., Lucovsky G.. Vibralional Modes of Amorphous
As2S3 —GeS3 and AsaSes — GeSea.
Tekippe V, J., Silberstein R. P.. Schmutz L. E., Dresselhaus M S., Aggar-
wai R. L., Inelastic Light Scattering in Magnetic Semiconductors
Tsay Y. F.. Bendow В , Mitra S. S.. Theory of Brillouin Effect: Calculation of
Photoelastic Constants of Diamond and Zinblende Semiconductors.
Tsu R., Esaki L, Raman Scattering for LO Phonons via Quantum States.
Tsu R.. Rutz R., Raman Scattering in A[N Single Crystals.
Tubino P.. Birman J. L._ R.Tman Intensities in Covalent Crystals: The Two
Phonon Raman Spectrum of Diamond.
Vshioda S., Prieur J. У.,. Ramrn Scattering from SHrface Polarltons.
Washington M. A._ Genack A. Z._ Cummins И. Z., Compaan Л.. First Order Re-
Resonant Raman Scattering in the Excited Yellow Exciton' Series of C113O.
Wintevllng G., Very f.ow Frequency Raman Scatlering From Glasses.
Wright G. В., Temkin И., Electronic Raman Scattering from Shallow Acceptors.
Yu P. Y.. Amer N. M., Petro]] K. Shen Y. R., Resonant Raman Scattering in
SbSI near the Absorption Edge.
Zeyher R., Calculation of Effective Electron-Two Phonon Delorrnation Poten-
Potentials in Semiconductors.
Zigone M.. Beserman R.. Pressure Dependence of Impurity Induced vibrational
Modes in I[~VI Compounds.
Ando K., Hamaguchi C, Resonant Brilouin Scattering by Amplified Phonons in
CdS. Phys. Rev., 10, 3S76 A975).
Bechsledt F., Enderlein R.. Peuker K.. Theory of inter-Valence-hand Rleclronic
Raman Scattering in Cubic Semiconductors without and with an External
Cl,.,i-in CJ^IH Dli"*. C(-o4- Crti fU\ CD 10 лfl-тC^
Be
Eleclrlc Field. Phys., Stat. Sol., (b), 68, 43 A975).
'nz G., Conradt R. Anti-Stokes Light Scattering by a Band-to-Band Transi-
Transition in GaSb. Phys. Rev. Lett., 34, 1551 A975).
Berkowlcz R. Kieiis B. P., Multiple Brillouin Scattering from Intense Acoustic
Monochromatic Flus in CdS. Phys. Stat. Sol. (a), 29, 451 A975).
Braun W., Lannin J. S., Densities of Valence Slates and Raman Scaltenng in
Amorphous CiiGaSea. в книге Proc. ]2th Intern. Conf. Physics of Semicon-
Semiconductors. Stuttgart A974). p, 1308.
Ганцевич С. В., Катилюс Р._ Устинов И. Г, Рассеяние свега, контролируемое
столкновениями в многодометшы полупроподцике. ФТТ, 16, Ц14 A974).
374
Дополнительная литература
Jotumne M., Beserman R., Ipatova I., Subashiev A., Elect ron-Phonon Coupling
in Highly Doped it-Type Silicon. Solid State Commun., 16, Ю47 A975).
Keezer R. C, Lucovsky G., Martin R. N., Infrared Studies of the Ring-Chain
Concentration in Amorphous S and Se. Bull. Am. Phys. Soc, 11, 20, 323
A975).
Keller O., Brillouin — Scattering Cross Section o[ Oil-Axis Phonons in CdS.
Phys. Rev., 11, 5059 A975).
Kfauzman M_, Pick if. lii., Poulet H. Hamel G., Prevot В., Raman Detection
of Опе-Phonon-Two-Phonon Interactions in CuCI. Phys. Rev. Lett., 33, 528
A974).
Левинсон И. 5., Рашба E. //., Пороговые явления и связаннее состояния в
поляровкой проблеме. УФН, Ш, 683 A973).
Левинсон И. £., Рашба Е. И., Нелинейное поляризационное взаимодействие
электронов с коротковолновыми фононаии. Письма в ЖЭТФ, 20, 27
A974).
Morhange J. F., Beserman R., Balkanski M.. Raman Study ol the Vibrational.
Properties of Implanted Silicon. Phys. Stat. Sol. (a), 23, 383 A974).
Murase K-, Katayama S., Ando Y., Kawamura #., Observation o[ a Coupled
Phonon-Damped-Plasmon Mode in n-GaAs by Ranian Scattering. Phys. Rev.
Lett., S3, 1481 A974).
Nakashima S., Raman Study of Polytypism in Vapor-Grown Pbh. Solid State
Commun., 16, 1059 A975).
Nakashima S., Kojima И., Raman Scattering from Piasmon-LO Phonon Coupled
Modes in ZnTe. Solid Slate Commun., 15, 1699 A974).
Papatheodorou G. N.. Solin S. A., Vibralional Modes of Vitreous As2O3. Solid
State Commun.. 16, 5 A975).
David peat F. Anisotropic Eleclron-Phonon Coupling. Phys. Rev., B3, 3149
A971).
Рашба Е. //., Теория связанных состояний фоцонов с примесными центрами
н экситонами. Письма в ЖЭТф, 15, 577 A972).
Razzetti С, Fontana M. P., Resonant Raman Scattering in Amorphous As2Sj.
Phys. Slat. Sol. (в печати).
Renucci J. В., Tyte ft. N., Cardona M., Resonant Raman Scattering in Silicon.
Phys. Rev., 16, 3885 A975).
Reydellet J. Besson J. M., Double Resonance in Raman Scattering oE Single
Phonon Modes of GaSe. Solid State Commun., 17, 23 A975)
Richter W., Ploog K., Raman Active Phonons in a-Boron. Phys. Stat. Sol. (b),
68,201 A975).
Scheuermann W., Electronic Raman Scattering by Germanium p-Acceptors and
Luminescence in GaAs. J. Raman Spectrosc. 3, 101 A976).
Стрижевский В. Л., Яшкир Ю. Н. The theory of Raman Scattering by Surface
Polaritons. Phys. Stat. Sol., (b), 69, 175 A975).
Стрижевский В. Л._ ^шкир Ю. //., Ponat H. £., The Influence of Polariton
Richter W., Ploog K-, Raman Active Phonons in -Boron, Phys. Stat. Sol. (b),
69, 673 A975).
Strom V., Hendrickson J. ft., Wagner ft. J., Taylor P. C, Disorder-Induced Far
Infrared Absorption in Amorphous Materials. Solid State Commun., 15,
1871 A974).
Tanaka M,, Yamada A!.. Hamaguchi C, Brillouin Scattering in GaSe. J. Phys.
Soc. Japan, 38, 1708 A975). ■
Tronc p., Bensoussatt Al., Brenac A., Errandonea G., Sebenne C, Optical Ab-
Absorption Edge and Raman Scattering in GejSe,.,; Glasses tor 1/2>х>1/3"
(в печати).
Tsu ft., Kawamura H., Esaki t., Raman Scattering in the Depletion Region oE
GaAs. Solid State Commun., 15, 321 A974).
T-ubiiw Д., Pisen L,t A Bond-Polarizability Approach. Phys. Rev., 11, 5145
A975).
Дополнительная литература
Turtelti R. S., de Castro A. R. В Leite r r <z; \ ™ . .
Hot Electrons in GaAs. Solid Stat, Commun йГэт'п\$ъ ScitterIn« Irom
Земский В. //., Ивченко Е. Л., Мирлин Д. Н ' Реши» г* и им -
Plasmon-Phonon Modes in Semiconductors: ЧапС&йийпЛТй e°d
Spectra. Solid State Commun.. 16, 221 A975). S and lafr^ed
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
К ГЛ. 1.2
Агранович В. М., Лескова Т. А.
К теории комбинационного рассеяния света на поверхностных полярнто-
нах, ФТТ, 17, 1367 A975).
Агранович В. М., Лескова Т. А.
Вопросы теории рассеяния света на поверхностных поляритонах и эффект
компенсации, ФТТ, 19, 804 A977).
Артамонов В. S., Бережинский Л. И.т Валах М. Я., Круликовский Б. К,, Ли-
Лисица М. П.
Колебательные спектры кристаллов 5Ыз и Bi[3, ФТТ, 17, 3621 A975).
Артамонов В. В., Бережинский Л. И., Валах М. #., Горбань И. С, Луго-
Луговой В. И., Тычина И. И.
Резонансное взаимодействие колебательных состояний дифосфидов цинка
и кадмия, ФТТ, 18, 1418 A976).
Ахманов С. А., Коротеев Н. И., Орлов Р. Ю., Шужй И. Л.
Активная спектроскопия комбинационного рассеяния света в непрерывном
режиме; возможность спектроскопии сверхвысокого разрешения комбинаци-
комбинационных переходов, Письна в ЖЭТф, 23, 276 A976).
Ахманов С. А., Бункин А. Ф., Иванов С. Г., Коротеев Н. И.
Когерентная элипсометрия комбинационного рассеяния света. Письма в
ЖЭТФ. 25. 444 A977).
Васько Ф. И.
Неравновесные оптические фонолы, генерируемые в поле лазерного излу-
излучения, ФТТ. 19, 3279 A977).
Байрамов Б. X.t Хашхожев 3. М.
Исследование энгармонизма колебаний решетки кристаллов CdS с по-
помощью рассеяния света. ФТТ, 17, 1358 A975).
Байрамор Ь'. X. Предтеченский Б. С., Старостина М. С, Хашхожев 3. М,- ■
Рассеяние света Г1:,-фононами и электрооптический эффект в кристаллах
Си2О, ФТТ. 17, 2030 A975).
Баптизманскип В В., Новак И. И.
Наблюдение асимметричного уширения сдвига фононных линий a GaAs
методом комбинационного рассеяния света в отражении, ФТТ, 17, 3102 A975).
Виноградов Е. А., Водопьянов Л. К-
Силы осцилляторов в смешанных крисгаллах полупроводниковых соеди-
соединений АгВ«, ФТТ, 17, 3161 A975).
376
Дополнительная литература
Горбань И. С, Горыня В. Л., Луговой В И., Тычина И. И.
Комбинационное рассеяние в кристаллах, ZnGePj, ФТТ, |7, 2631 A975).
Горбань И. С, Луговой В. И.
Комбинационное рассеяние в кристаллах ЗЯ-SiC, ФТТ, 17, 2ЦЗ A975).
Горбань И. С, Горыня В. Л., Луговой В. И., Тычина И. И., Ткачук И. Ю.
Комбинационное рассеяние в CdSiPj, ФТТ, 18, 1777 A976).
Григорьева В. С, Марков Ю. Ф., Рыбакова Т. В.
Комбинационное рассеяние в монокристаллах ZnGeP2, ФТТ, 17, 1993
A975).
Ивченко Е. Л., Лат И. Г., Павлов С. Т.
Теория резонансного вторичного свечения в полупроводниках, фТТ, 19,
2751 A977).
Левинсон И. В., Максимов И. Л.
Пороговые явления при комбинационном рассеянии света ца чолярнтоная,
Письма в ЖЭТФ, 23, 3 A976).
Лескова П. Л., Маврин Б. Н., Стерин X. Е.
Ширина линии поляритона в К-пространстве; ангармоничность и диэлек-
диэлектрическая проницаемость кристалла Gap, фТТ, |8, 3653 A976).
Маврин Б. Я., Стерин X. Е., Гасанлы И. М., Халафов 3. Д., Салаеа Э. Ю.,
Аллахвердиев К. Р., Сардарлы Р. М.
Оптические фопоны в слоистых кристаллах TIGaSa, p-TllnSa, TIGaSe^,
ФТТ, 19, 2960 A977).
Марков 10. ф., Громова Т. М._ Рудь Ю. В.
Спектры комбинационного рассеяния монокристаллов ZnSiAs2, фТТ, 17,
1226 A975).
Мирлнн Д. И., Реишна И. И.
Спектр комбинационного рассеяния света в металлической и полупровод-
полупроводниковых фазах УзОа, фТТ, 19, 201 A977).
Митягин Ю. Л., Плотниченко В. Г., Водопьянов Л. К., Буденная Л. Д.
Длинноволновые оптические фононы в системе твердых растворов
CdTej-.-S*, фТТ, 19, 3099 A977).
Плотничепко В. Г., Голубев Л. В., Водопьянов Л. К-
Спектры комбинационного рассеяния света и кристаллах CdTe^.tSe^TT,
19, 2703 A977).
Плотниченко В. Г., Митягин Ю. А., Водопьянов Л. К-
Исследование фундаментальных колебаний в CdSe мотодами комбина-
комбинационного рассеяния света, фТТ, 19, 2706 A977),
Стефанович В. Л., Сливка В. Ю., Ворошилов Ю. В.. Ж.даикин А. П. Голо-
ееы М. И.. Роман И. Ю.
Комбинационное рассеяние и длинноволновые ИК. спектры кристаллов
TljAsS,, ФТТ, 17,3643 A975),
Дополнительная литература
377
Вепйош В. Р„ Multiphonon Raman Scattering in Semiconducting Crystals. Pro-
Proceedings of the First Soviet-American Symposium. Theory of Light Scat-
Scattering in Solids, Moscow, 1975. cd. Agranovich V. №., Birman J. L., «Nau-
ka8, M, 1976, p. 328.
Buchner S,, Ching L. Y. Burstein £., Raman Scattering at the (Ш) and A11)
Surfaces of n-and-p InAs. Phys. Rev. B14, 4459 A976).
Kiefer W., Richter W., Cardona M., Second Order Raman Scattering in tnSb.
Phya. Rev., B12, S346 A975).
Lannin J. S., Calleja J. M., Cardona M., Second-order Raman Scattering in the
Group Vb Semimetals; Bi, Sb, and As. Phys. Rev., B12, 585 A975).
Mills D. L, Chen У. l._ Bumstein E., The Scattering of Light from Surface
Polaritons: Line Intensities and Line Shapes, Procsedings of the First
Soviei-American Symposium. Theory oE Light Scattering in Solids, Moscow,
1975, ed. Agranovich V. №., Birman J. L., «Nanka», M., 1976, p. 426.
Mills D. L._ Chen Y. J., Burslein £., Raman Scattering o[ Light by Polaritons
in Thin Films; Surface Polaritons and Size Effccis. Phys. Rev., B13, 4419
A976).
Овандер Л, И., Заворотнев Ю. Д., Theory of Light Scattering from Light in
Molecular Crystals. Proceedings oE the First Soviet-American Symposium,
Theory of Light Scattering in Solids Moscow, 1975, ed. Agranovich V- M.,
Birman J. L_, «Nauka», M., 1976, p. 284.
Weinstein B. A., Piermarini G. J., Raman Scailering and Phonon Dispersion in
Si and GaP at Very High Pressure. Phys. Rev., BI2, 1172 A975).
К ГЛ. 3
Абумаликов А. А., Клочихин А. А.
Двойкой резонанс в двуяфононном комбинационном рассеянии на LO-фо-
ноыах, фТТ, 18, 1765 A976).
Абумаликов А. Л., Клочихин А. А., Шабельский Ю. М.
Размерный резонанс а комбинационном рассеянии света, Письма в ЖЭТФ,
23, 444 A976).
Буляница Д. С, Клочихин А. А.
Однофононпое резонансное разрешенное и запрещенное рассеяние света
ФТТ, 18, 458 A976).
Власов Г. К., Бродин М. С, Крицкий Л. В., Купченко Ю. А., Колепков Г. С.
Ант1[стоксово резонансное комбинационное рассеяние света экситонами
в кристалле CdS, ЖЭТФ, 71, 310 A976).
Клочихин А. А._ Илюхин А. Г.
Резонансное комбинационное рассеяние света в области основного со-
состояния экситопа, Письма в ЖЭТФ, 21, 267 A97о).
Клочихин А. Л., Плюхин А. Г., Суслина Л. Г., Шадрин Е. Б.
Резонансное комбинационное рассеяние света на продольных оптических
фононах в смешанных кристаллах, ФТТ, 18, 1909 A976).
Клочихии А. А._ Перчогоров С. А., Резнищий А. И.
Размерный резонанс и запрещенное рассеяние света первого порядка на
LO-фОнОцах, фТТ, 18, 2339 A976).
Клочихан А. Л., Пермогоров С. Л., Резницкий А. Н.
Мно1'офононные процессы в резонансном рассеянии и экситонной лгоми-
нисцеинии кристаллов, ЖЭТф, 71, 2230 A976).
378
Дополнительная литература
Ланг И Г, Павлов С. Т., Яшин Г. Ю.
Многофопонный каскадный процесс и полоса вторичного излучения в по-
полярных полупроводник ах, Письма в ЖЭТФ, 26, 429 A977).
Мельник Н. //., Виноградов Е. А.
Резонансное комбинационное рассеяние света в селеняде цинка, ФТТ, 18
3529 A975).
Bechstedt F., Henneberger P., Two-photon Resonance Raman Scattering by Exci-
tons via an Intermediate Excitonic Molecule (I). Phys. Slat. Sot (b), 81,
211 A977).
Birman 1. Z,., Symmetry Effects in Resonance Scattering, Proceedings of the
First Soviet-American Symposium. Theory of Light Scattering in Solids,
Moscow, 1975, ed. Agranovich V- M., Birman J. L. eNauka», M. 1976,
P- 517.
Briggs R. /., Ramdas A. K., Piezospedroscopic Study of the Raman Spectrum
of Cadmium SulfLde. Phys. Rev., B13, 5518 A976).
Catteja 1. M. Cardona M., Resonant Raman Scattering in ZnO. Phys. Rev. B16,
3753 A977).
Eisenberger P., Ptatzman P. M. Winick H. Resonant ^-Ray Ranan Scattering
Studies Using Synchrotron Radiation. Phys. Rev., B13, 2377 A976).
Enderlein ff., Peuker K-, Resonance Raman Scattering in a Strong Electric
Field. Phys. Stat. Sol., B78, 711 1A976).
Frota-Pessoa S,, Luzzi Д., Resonanl Raman Scattering by LO Phonons in the
Presence of a Static Magnetic Fieli Phys. Rev., B13, 5420 A976).
Genack A. Z.t Gummins H. Z.t Washington AJ. Д., 'Comp'aan A., Quadrupole-
dipole Raman Scaltering at the IS Yellow Exciton in Cu2O. Phys. Rev.,
BI2, 2478 A975).
Hizhnyakov V. Tehuer /., On the Theory of Hot Luminescence and Resonant
Raman Effect of Impurity Centres. Phys. Stat. Sol. (h), 82, K89 A977).
Kotani A, Toyozama Y., Resonanl Lighl ScaUering and Luminescence in Weakly
Coupled Localized Electron-phonon System, j. Phys. Soc. Jap. 41 1699
A976).
Manuel P., Sai-Halasz G. A., Chang Chin-An-Chang L. L, Esaki L., Resonant
' Raman Scattering in a Semiconductor Superlattice. Phys. Rev Lett. 37
1701 A976).
Masumolo Y., Temperature — Dependenl Polarization of Resonance Raman Scat-
Scattering in CdS. Solid Stafe Commun., 20, 851 A976).
Martin T. P. Merlin R., Huffman D. ff., Cardona M. Resonant two Magnon
Raman Scattering in a-Fes03. Solid State Comm., 22, 565 A977).
Onan S.. Cardona M., Resonant Raman Scattering in the II—IV Semiconduc-
Semiconductors Mg2Si, MgaGe and Mg2Sn. Phys. Rev./BI4, 3520 A976).
Planet R., Nawrocki M., Benoit a la Gu'dlaume C, Optical Orientation ol Exci-
tonic Polaritons and Resonant Faraday Elfect in CdSe. Nuovo Cimento,
39B, Ser 2, 519 A977).
Пермогоров С. 'Л., Ретицкий А Д., Wave-Vector Conservation In the First
Order Resonant Raman Scattering. Solid State Commun., 18, 781 A976).
Пермогоров С. А., Травников В. В., Resonant Scattering of Exciton-Polaritons
in CdS Samples. Phys. Stat. Sol. (b) 78, 389 A976).
Рашба Е. й., Зимин A. fi., Light Absorption and Raman Scaltering by Phonons
Bound to Impurity Centers. Proceedings of the First Soviet-American Sym-
Symposium. Theory of Light Scattering in Solids Moscow, 1975. ed, Agrano-
Agranovich V. M.,'Birmar, J. L, «Nauka», M.. 1976, p.'53O.
Редане К- К-, Техвер И. Ю., Хпжняков В. В., Theory of Resonant Secondary
Radiation: Scattering, Luminescence, Hot Luminescence, Proceedings of the
Дополнительная литература
879
First Soviet-American Symposium. Theory of Light Scattering in Solids,
Moscow, 1975. ed. Agranovich V. M. Birman J. L., eNauka», M., 1976,
p. 467.
Reydellet J., Balkanskl M. Besson J. M., Mulliple-Phonon Resonant Raman
Scattering Processes in GaSe. J. Phys. Lett, 37, L2l9 (|976).
Shen У. ff., Resonanl Raman Scattering Near Excilonic Transitions. Proceedings
of the First Soviet-Am eric an Symposium, Theory of Light Scattering in
Solids Moscow, |975. ed. Agranovich V. M. Birman I. L. «Nauka» M.
1976, p. 487.
Trommel R., Cardona M.t Resonant Raman Scattering by ITO Phonons and the
Ordering of Conduction Band Minima in GaAs. Solid Stale Comm. 21 153
A977).
Washington Al. A., Genack A. Z., Cummins tf. Z., Bruce R. Я., Compaan A.t
Forman R, A.' Spectroscopy of Excited Yellow Exciton States in CuzO by
Forbidden Resonant Raman Scattering. Phys. Rev. B15, 2145 A977).
Yy P. У., Amer N.. Shen Y. R. Petro}f Y., Resonant Raman Study of Trigonal
Se. Phys. Rev. B14, 644 (|976).
К ГЛ. 4
Андреев Д. Д., Ипатова И. П., Субашиев А. В.
Длинноволновые колебания решетки в вырожденных гомеополярпых по-
полупроводниках в квантующем магнитном поле, ФТТ, 17, 3022 A975).
Андреев Д. Д., Ипатова И. П., Субашиев А. В.
Фонониый нулевой звук в вырожденном германии в квантующем магннт-
ноы поле, ЖЭТФ 70, 1412 A976).
Артамонов А. А., Валах М. Я., Лисица М. П., Мигаль В. И.
Особенности локальных колебаний примеси Mg в кристаллах ZnSe, ФТТ,
18, 789 A976).
Байрамов Б. X.
Рассеяние света связанными илазмоц-фонокными колебаниями в p-GaP и
время жизпн оптических фонопов с к = 0 в изолирующем GaP, ФТТ 19, 455
A977).
Власов F. К.
Комбипанионное рассеяние света на уровнях Ландау в полупроводниках
в дальней инфракрасной области. ФТТ, 17, 3385 A975).
Земский В. И., Ивченко Е. Л., Мирлин Д. #., Решила И. И.
Пространственная дисперсия и затухание плазмон-фононных колебании в
полупроводниках, ФТТ, 17, 22? A975).
Иванов М- А., Пинкевич И. П.
Резонансные явления в комбинационном рассеянии света квазилокаль-
квазилокальными колебаниями, ФТТ, 17, 1035 A975).
Ивченко Е. Л., Мирлин Д. Я., Решина И. И.
Пространственна и дисперсия LO-фонона в n-InAs, (спектры комбинацион-
комбинационного рассеяния), ФТТ, 17, 2282 A975).
Ипатова И. Я., Субашиев А. В.
Влияние свободных носителей на комбинационное рассеяние света в полу-
полупроводниках со еяожцой зонной структурой, ФТТ, 18, 2145 A976).
380
Дополнительная литература
Натадзе А. Л., Певницкий И. В., Рыскин А. Я., Хилько Г. И.
Комбинациочное рассеяние света в кристаллах сульфида цинка, активи-
активированных марганцем, железом, кобальтом и никелем, ФТТ. 18, 1933 A976).
Рашба Э. И.
Оптические спектры фононоа, связанных с примесными центрами, ЖЭТФ,
71, 319 A976),
Багаев В. С, Замковец Н. й., Сибельдип Н. П., Investigation of Exciton Соп>
densation in Germanium by Lighl Scattering Method. Proceedings of the
First Soviet-American Symposium. Theory of Light Scattering in Solids,
Moscow 1975, Eds. Agranovich V. M, Birman J. L, «Nauka», M., 1976,
p. 175.
Chandrasekhar M., Cardona M., Kane E. 0, Inlraband Raman Scattering by
Free Carriers in Heavily Doped rt-Si, Phys. Rev., B16, 3579 A977).
Chase L. L, Hayes W., Ryan J. F., Raman Studies of the Zn Acceptor in GaP.
J. Phys. C, 10, 2957 (i977).
Doehler I., Raman Scatlering from Electronic Excitations in Ge. Phys. Rev.
B12, 2917 A975).
Glehler M.t Jahne E., Effect of Damping on the plasmon-PIwnon Coupling in
CclS and GaP, Phys. Stat. Sol. (b), 503, 73 A976).
Ипптова И. Л., Субашиев А. В., Raman Scattering in Metals and Heavily
Doped Semiconductors. Proceedings of the First Scattering in Soiids, Mos-
Moscow, 1975. Eds. Agronovich V. M., Birman J. L, «Naiikas, M, 1976, p. 248.
Jain K., Lai Sh., Klein M. V., Electronic Raman Scattering and the Metal-Insu-
Metal-Insulator Transition in Doped Silicon, Phys. Rev., Б13, 5448 A976).
Klein M. V.t Electronic Raman Scattering- Proceedings of the First Soviet-
American Symposium. Theory of Light Scattering in Solids, Moscow, 1975.
Eds. Agranovich V. M., Birman J. L., «Nauka», M., 1976, p. 558.
Lin-Chung P. /., Ngai K. L, InterValiey Phonon Raman Scattering in Many-
Valley Semiconductors. Proceedings of the First Soviet-American Sympo-
Symposium. Theory of Light Scattering in Soiids, Moscow, 1975. Eds. Agrano-
Agranovich V. M-, Birman J. L., «Nauka», M., i976, p. 158.
Лозовик Ю. £., Нишанов В. H.r Ядсон В. И., Raman Scattering by Local Plas-
mons and Electron-Hole Drops, Proceeding of the First Soviet-American
Symposium. Theory of Light Scattering in Solids, Moscow, 1975. Eds. Agra-
Agranovich V- M., Birman J. L., «Nauka», M., 1976, p. 237.
Pinczuk A., Abstreiter G., Tromtner R., Cardona M., Raman Scattering by Wave
Vector Dependent Coiipied Plasmon-Lo Phonons of л-GaAS. Solid State
Comm., 21, 959 A977).
Romestain R., Geschwind S., Devlin G. E., Measurement of Spin-Flip Raman
Scattering Cross Section and Exchange Effects for Donors in CdS by Fa-
raclay Rotation, Phys. Rev. Lett., 35, 803 A975).
Scott J. F., Hollis R. L. Nakashima S., Kojima H., Hattori 7\, Spin-flip Light
Scattering from Phosphorous Acceptors in Zinc Tellurlde. Solid State
Comm., 20, 112 A976). .
Стрижевский В. Л., Кисленко В. Л., Маршевский Ф. Я., Яшкир Ю. Н.
Some Features of Light Raman Scattering by Butk 1'nlaritoiis. Proceeding
of the First Soviet-American Symposium. Theory of Light Scattering in
Solids, Moscow. 1975. Eds. Agranovich V- M,, Birman J. L, «Nauka», M.,
1976, p. 541.
Vasconceltos A. R.t Luzzi R., Inelaslic Scattering of Light from Magnetoplasma
Excitations in Soiids, Phys. Rev., BI4, 3532 (|976),
Дополнительная литература
381
Va.
sconceltos A R Tuttelli R. S., de Castro A. R. В., Raman Scattering fro
Optically Pumped Electron-Hole Plasma in Insulating GaAs. Solid Stat
Conmi., 22, 97 A977). , „,. ,. „,
f Fl L Sh
К ГЛ. 5
Bermejo Z>., Cardona M., Brodsky M. H., Resonant Raman Scattering in Amor-
Amorphous Silicon. Amorphous and Liquid Semiconductors. Proceedings of the
Seventh Inlernational Conference on Amorphous and Liquid Semiconduc-
Semiconductors, Edinburgh, June 1977, ed by W. E. Speak, University of Edinburgh,
1977, p. 120.
Bhar P. K.. Bhatia K. L, Far Infrared Transmission and Raman Scattering in
Pb-Aa-S Semiconducting Glasses. Solid State Comm.. 22, 789 A977).
Brodsky Д1. #., Cardona M., Cuomo ]. !,t Infrared and Raman Spectra of the
Silicon-Hydrogen Bonds in Amorphous Silicon Prepared by Glow Discharge
and Sputtering. Phys. Rev.. B16, 3558 A977).
Kumagi N.. Shirafu'si J., inushi Y., Raman and Infrared Studies of Qe-Se Glas-
Glasses. J. Phys. Soc. Jap.. 42, 1262 A977).
Lannin J. S., Ramaii Scattering in Amorphous C, MoS2 and GaSe. Amorphous
and Liquid Semiconductors.1 Proceedings of the Seventh International Con-
Conference on Amorphous and Liquid Semiconductors. Edinburgh, June i977,
ed. hy W. E. Spear. University of Edinburgh, 1977, p. 110.
Lannin I. S., Raman Scattering Properties ot Amorphous As and Sb. Phys.
Rev, B15, 3863 A977).
Nemanich R. J.. Gorman M., Solin S. A., Raman-Brillouin Scaltering Determi-
Determination of the Slructiir.il Correlation Range in GeSa Glass. Solid State
Comm.. 21, 277 A977).
Solin S. A., Papatheodorou G. N., Irreversible Thermostructural Transformations
in Amorphous AszSs Fiims: a Light Scattering Study. Phys. Rev., R15, 2084
A977).
К ГЛ. 6
Biegelsen D. K., Frequency Dependence of the Pholoelastic Coefficient of Sili-
Silicon. Phys. Rev., B12, 2427 A975).
Ганцееич С. В., Гуревич В. Л., Каган В. Д., Цагилюс P., Light Scattering as
a Method of Sludying the Transformation of Incoherenl Phonon Flux into
a Coherent Acoustical Signal. Proceedings of the First Soviet-American
Symposium. Theory of Light Scaltering in Solids. Moscow. 1975. ed. Agra-
Agranovich V. M., Birman -I. L, «Nanka», M, 1976, p. 352.
Keller O., Theory of Bnllouin Scaltering in Anisotropic, Piezoelectric Semicon-
Semiconductors. Phys. Rev, B13, 4612 A976).
382
Дополнительная литература
Ulbrich R. G.. Weisbuch С, Resonant Brillouin Scattering of Escitonic Pola-
rilons in Gallium Arsenide. Phys. Rev. Lell., 38,865 A977).
Winterling G., Koietes E. S. Cardona M., Observation of Forbidden Brillouin
Scattering Near and Esciton Resonance. Phys. Rev. Lett., 39, 1286 A977).
К ГЛ. 7
Алиев M. Р., Козлов Д. H.t Смирнов В. В.
Когерентная спектроскопия комбинационного рассеяния высокого разре-
разрешения. Письма в ЖЭТФ. 26, 31 A977).
Бакланов Е. В., Бетеров И. М., Дубецкип Б. Я-, Чеботаев В. П.
Нелинейные эффекты в линии резонансного ВКР в газе в голе стоячей
волны. Письма н ЖЭТФ, 22, 289 A975).
Баклшиина М. И., Зельдович Б. Я., Мельников Н. Л., Пилипецкий И. Ф., Рай-
звр Ю. П., Сударкин А. Н., Шкунов В. В.
Эволюция изменений рефракционных свойств, нычваиных вынужденным
комбинационным рассеянием света, ЖЭТФ, 73, 831 A977).
Венкин Г. В., Крочик Г. М., Кулюк Л. Л., Малеев Д. П., Хронопуло Ю. Г.
Влияние параметрических процессов на генерацию стоксодых компонент
ВКР при бигармонической накачке. Письма в ЖЭТФ, 21, 235 A975).
Газенжель Ж-, Кудрявцева А. Д., Ривца Ж., Соколовская А. И.
ВКР и самофокусировка света в веществах с разным эффективным сече-
сечением комбинационного рассеяния енета, ЖЭТФ, 71, 1748 A976).
Джотян Г. П., Дьяков Ю. £., Зубарев И. Г., Маронов А. Б., Михайлов С. И.
Усиление при ВКР немонохроматической накачки, ЖЭТФ, 73, 822 A977)-
Ильинсшй Ю. Л., Таранухин В. Д.
Активная спектроскопия гиперкомбинационного рассеяния света, ЖЭТФ,
69, 833 A975).
Кравцов Н. В., Наумкан Н. И.
Некоторые особенности вынужденного комбинационного излучения в слу-
случае «длинной» ВКР — активной среды, ФТТ, 17, 3383 A975).
Кравцов Н. В., Наумкин Н. И.
«Быстрое» изменение поляризуемости прн возбуждении ВКР в водороде,
Письма в ЖЭТФ, 21, 551 A975).
Королев Ф. А., Одинцов В. И.
Вынужденное рассеяние при возбуждении излучением с широким спек-
спектром, Письма в ЖЭТФ, 22, 68 A975).
Королев Ф. А., Вохнин О. М., Одинцов В. И.
Параметрическое возбуждение стоксоных ноли при ВКР с просчрапствен-
но-неоднородной накачкой. Письма в ЖЭТФ, 26, 736 A977).
Летохов В. С.
Проблемы лазерной спектроскопии, УФН, 118, 199 A976).
Лихолит Н. И., Стрижевский В. Л., Яшкир Ю. Н.
Вынужденное комбинационное рассеяние света на поверхностных полярн-
тонах. Письма в ЖЭТФ, 25, 269 A977),
Дополнительная литература
383
Луговой В. Н., Прохоров А. М.
К теории вынужденного комбинационного рассеяния в фокусированных
светоных пучках, ЖЭТФ, 69, 84 A975).
Луговой В. И.
О вынужденном комбинационном излучении и частотном сканировании в
оптическом волноводе, ЖЭТф, 71, 1307 A976).
Махвиладзе Т. М., Сарычев М. Е., Шелепин Л. А.
Комбинационное рассеяние света на возбужденной среде, ЖЭТФ, 69, 499
A975).
Махвиладзе Т. М., Сарычев М. Е.
Солито1|Ные режимы вынужденного комбинационного рассеяния, ЖЭТФ
71, 896 A976).
Михайлов В. А., Одинцов В. И., Рогачева Л. Ф.
Действие широкополосной накачки при возбуждении ВКР вблизи резо-
резонанса, Письма в ЖЭТФ, 25, 151 A977).
Морозова Е. А., Соколовская А. И.
Самофокусиронка высших стоксовых и антитоксовых компонент ВКР
света в жидком сероуглероде, ЖЭТФ, 69, 488 A975).
Песин М. С, Фабелинский И. Л.
Пикосекундиая спектроскопия и научение быстропротекающих процессов,
УФН, 120, 273 A976).
Поливанов Ю. И., Суходольский А. Т.
Наблюдение интерференции прямых и каскадных процессов при активной
спектроскопии и од яри то нов, Письма в ЖЭТФ, 25, 240 A977).
Ахманов С. А., Коротеев Н. И.г Coherent Active Spectroseopy ol Raman Scat-
Scattering: Comparison with Spectroscopy of Spontaneous Scattering. Proceed-
Proceeding of the First Soviet-American Symposium, Theory of Light Scattering
in Solids, iMoscow, 1975. Eds. Agranovich V. M., Birman J. L., *Nauka>,
M., 1976, p. 293.
Именной указатель
Азам (Asam) 311
Албен (Albcn) 246, 254, 255, 256, 257
262, 286
Алтарслли (AHarelli) 23Q
Альфапо (А1Гапо) 361
Апастассакнс (Anastassakis) 82, 90
Андерсон (Anderson) 12
Аржирес (Argyres) 68
Балканский (Balkanskj) 204
Баркср (Barker) 72, 209, 251
Багчер (Butcher) 343
Белл (Bell) 16, 80, 86 91, 157 158,
159, 241, 254
Бендоу (Bendow) 27
Бенедек (Benedek) 293
Бенсон (Benson) 71
Бсттгср (Biiliger) 241
Бирман (Birman) 12, 26, 27, 29 54
535, 130, 137
Бломбергеп (Blombergen) 363
Блум (Blum) 180, 186
Борн (Born) 23, 293
Брандмюллср (Brandmiillcr) 12
Брей (Вгау) 294, 308
Брениг (Brenig) 27, 310, Зц
Бриллюэн (Brillouin) 11, 20
Бродский (Brodsky) 49, 268 274
Бруек (Вшеск) 349, 350
Бургуан (Bourgoin) 251, 252
Бурштепн (Burslein) 16, 60 SI, 76
96, 286, 306, 307
Вайншгейн (Wclnstein) 167, 168
Вакнта (Wakita) 300
Валлис (Wallis) 52
Варма (Varffla) 170
Волькен штейн (Wolkenstein) 22
Вольф (Wollf) 180, 218, 220, 22|, 347
Вудбери (Woodbury) 3|4
Гай (Gay) 95
Гамильтон (Hamilton) 63, 85, 216, 2|8
Гамон (Gamon) 241, 242, 247, 25|,
275
Гангули (Ganguly) 27, 29. 54
Гармейер (Garmlre) 340
Гарретт (Garrett) 343, 344, 345
Гаррод (Garrod) 294, 308
Гартман (Harlman) 193
Гелбпахс (Gelbwachs) 346
Геллер (Geller) 314
Генри (Henry) 14, 189, 193, 343, 344
345
Гречко {Grecliko} 24
Гримздич (Grinisilitch) 20
Гросс (Gross) M5
Дамен (Damen) 17, 18, 78, 133 146
147, 150. 235
Даггон (Dulloji) 303, 308
Де Мартини (De Martini) 361
Де Силе (De Silels) 350
Дсхлер (Dochler) 190, 193, |96
Джанн (Jain) 86. 87
Лжелбарт (Gdbari) 297
Дни (Dean) 190, 192, 193. 199 205
241, 254
Дрейбродт (Dreybrodt) 160, 162
Дрессельхауз (Dfcsselhaus) 196, 197
Дюкюэн (Ducning) 361
Дюран (Dur.nnd) 295
Зандеркок (Sandercock) 301, 302
Зейтц (Seitz) 305
Земон (Zemon) 296
Йоргенсец (Jorgensen) 296
Кайзер (Kaiser) 361
Календер (Calender) 133
Камине (Cummins) 135 136 137 I38,
139
Кардона (Cardona) 59, 84, 88, 158,
Именной указатель
885
167, 168
Карман (Carman) 357, 358
Каули (Cowky) 25, 2В, 70
Кейн (Капе) 2|8
Книг (King) 250
Китипг (Keating) 255, 260, 263
Клейн (Klein) 33 53, 66, 149, 187,
192, 209, 2|0, 213
Коблиска (Kobliska) 274, 278
Колуэлл (Cohvell) 149, 192, 209, 210,
213
Kovnaan (Compaan) 135, 137, 138,
139
Ковпел (Connell) 250
Корден (Corden) 49
Крессель (Kressel) 312
Курц (Kurtz) 346
Кушида (Kuslilda) 17
Кюнк (Кипе) 29
Лаллеман (Lallcmand) 338
Ландау Л. Д. 293
Ландсберг Г. С- |2
Лащшп (Lannln) 249, 251
Левспсон (Levenson) 363
Леаиксон И. Б. 206
Леэей (Lazay) 293
Лейте (Leite) 16, 169, I7O
Лин-Чун (Lin-Chung) 31
Лнфшип Е, М. 293
Лоудоп (Loudon) 23, 34 43. 47, 51
52, 60, 72, 85, 304, 305, 306, 343 '
Луковский (Lucovsky) 241 268, 274
275, 277 282, 283, 286
Лэкс (Lax) 235, 294
МаЙер (Maier) 338, 352
Мац (Mack) 358
Мак-Уортер (McWhorter) 68, 186, 187,
188, 2|5, 216, 218
Мандельштам Л. И. 12
Марадудин (Maradudln] 32, 52, 71
Мартиц (Martin 18, 27, 57. 92, 133
146, 147, 148. 150, 170, 274, 275
Майер (Meyer) 296
Мендельсон (Mcndelson) 198
Менчон (Manchon) 190, 192, 199
Мермип (Mermin) 179
Миле (Mills) 49, 61, 71, 97, 204
Мшк (Minck) 3|4
Мироп (Mlerop) 312
Митра (Mitra) 260, 261
Морган (Morgan) 199
Мурадян (Mooradjan) |2. 13, 186,
187. 188, 190, 192, 196 218 226, 349
350
Муни (Мацу) 297
Най (Nye) 297
Нассау (Nassau) 194
Нг (Ng) 314
Нелсои (Nelson) 293, 294
Нитцан (Nitzan) 201
Овандер (Ovander) 24, 52
Ока (Ока) |7
Пайн (Pine) 294, 295 297, 302, 305,
307
Паркер (Parker) 13
Пател (Patel) 345, 350
Перри (Perry) 82
Пёкер (Pcuker) 96
Пинзак (Pinczuk) 15 60, 76, 222
Платцуаи (Plafzman) 227 230, 232
234
Порто (Porto) 13, |33, 170
Преттл (Prefll) 250
Проховский (Prohofsky) 297, 300
PailT (Wright) 13, 190, 192, 196, 204
Ралстон (Ralston) 79, 13|, 132
Раман (Raman) 12
Рамдас (Ramdas) 20
Рассел (Russel) 13
Рашба Э. И. 206
Ренучи (Renucci) 16
Репье (Regnier) 366
Руссо (Rousseau) 164, |65
Свенсон (Swenson) 32
Сердсйра (Cerdeira) 81, 202, 203, 204
Скотт .(Scott) 16, 71, 133, 235, 233
Слашер (Slusher) 347. 349
Смекал (Smekal) 11
Смит (Smith) 245, 268 272 286, 300
Солин (Solin) 274, 278
Сиире (Spears) 29S
Стои'|ев (Stojchefi) 314, 339, 34|
Суссмаи (SussmanJ 345
Сэтлер (Satiler) 350
Таран (Та ran) 366
Терхьюн (Terhime) 339
Томас (Thomas) 235
Торп (Thorpe) 257, 259
Троык (Tronc) 284
Уайт (White) 296, 298
Уил (Wihl) 247
386
Именной указатель
Уильяме (Williams) 133, 142, !64, 165
Уинн (Wynne) 363
Уиэр (Weaire) 286
Уорлок (Worlock) 71
Ушиода (Ushioda) 71
Фаликов (Fab'cov) 57. 92
Фано (Fano) 201, 202
Фауст (Faust) 73, 186
Финкман (Finkman) 274, 276, 280
Фишер (Fisher) 284
флёрн (Fleury) 235
фон дер Линде (von der Linde) 293,
340
Фон Хаймендал (Von Heimendahl)
260
Фритш (Fritsch) 293
Фу (Foo) 230
Хагенлокер (Hagenlocker) 358
Хайдахер (Haidacher) 338
Хасс (Hass) 251
Хатсон (Hutson) 296, 298
Хеллуорт (Hellwarth) 314
Холлис (Hollis) 236
Хои (Hon) 73, 186
Хопфилд (Hopfjeld) 235
Хуанг (Huang) 23, 293, 342
Цайер (Zeyher) 27, 33, 49, 85, 86, 167,
170
Цоар (Tzoar) 230
Цукер (Zucber) 296
Чао (Chiao) 311, 339
Черлоу (Cherlow) 190
Чудхури (Choudhnry) 86, 87
Шапнро (Shapiro) 361
Шах (Shah) 17, 78 150
Шен (Shen) 19, 33,' 134, 155, 156 161,
162, 235, 343
Шенд (Shand) 96
Шехтер (Schechter) 197
Шо (Shaw) 349
Шукер (Shnker) 241, 242, 247, 251,
275
Шульц (Schultz) 198
Экс (Axe) 250
Экхарт (Eckliardt) 314
Экг (Eng) 350
Ю (Yu) 19, 152, 153, 154, 155, 156,
161, 162
Якоби (Yacoby) 119, 162
Якобопи (Jacoboni) 297, 300
Ямада (Yamada) 309
Ярборо (Yarboroiigh) 17, 346
Яфет (Yafei.) 215, 347
Яха (Jha) 180, 230
Предметный указатель
Абсолютная интенсивность рассеяния
19, 79
Аксиальный вектор 52, 74
Алмаз 13, 14, 20, 71, 91
— структура 59, 74, 81, 87
Аморфные материалы 14, 49, 239
— полупроводники 22, 239
— сплавы, топкие пленки 243
-"— — элементен 111—V групп 245
IV группы 265
Антирезонанс 202
— для рассеяния света ГО-фонона-
ми 16
Антистоксово рассеяние 327
— — вынужденное 339
высоких порядков 339
когерентное 360, 362р 366
Взаимодействие ангармоническое 24
— долинно-орбитальиое 192, 196, 209
— кулоновское 53, 177
— С|1ин-орбитэлы|ое 46, 99, 215
— матрица 194, 196
— фрелиховское 26, 33, 60, 63
электрон-плазмонное 67
— электрон-двухфононное 18, |9, 29,
32
— электрон-излунательное 42, 51, 53
— электрон-однофононное 18, 19, 29,
32
— электр0|1-полярито|пюе 60
— электр он-решеточное 46, 58, 60
— электрон-фонойное 20
Время релаксации 317
— — колебательное 317, 359, 361
поперечное 325
продольное 325
Генерация второй гармоники 47
Горячая люминесценция 33, 102 135,
139
Граничные условия для полярнтонов
27
Грина функция 2Г>, 212
зависящая от температуры 69
Деформационный потенциал 15, 60,
84, 190
— — для критической точки Щ |85
— — механизм рассеяния 183
смещения атомов 61
упругой деформации 58
Диаграмма рассеяния 29, 46, 55, 103,
104, 114, 137
Динамический структурный фактор
45, 176
Диэлектрическая функция, вклад сво-
свободных носителей 183
— — для газа свободных электронов
178
отклика 45
Длина поглощения 43, 49
— рассеяния 13
Доплера эффект 214
Интерференция рассеяния света фо-
нонами с непрерывным спектром
электронного рассеяния 20, 210
— Фаио между LO-фоионами и элек-
электронным континуумом 202
— — — электронным континуумом
и локальными оптическими фоно-
пами 204
Интерферометр Фабри — Перо, двой-
двойной 294
конфокальный 294
многопроходной 13, 295
Каменная соль, структура 74
Квадрупольное поглощение 125, 136
137
Кейна модель 218
Кинематика иеупругого рассеяния
света 47
Когерентное энтистоксово комбина-
комбинационное рассеяние (КАСцР) 34,
360, 362, 366
Критическая точка Ео I58
Е! 158
Предметный указатель
— — Mo 85, 86, 157
М, 86, 87
Лазер ABC —ИДГ 190
— Аг+ 12, 13, 16, 204, 205
— ИАГ;Ш+ 13, 181, 188, 225
— Не —Ne 12, 13
— перестраиваемый на красителях,
импульсный 16, 17
— — — — непрерывный 17
— СО 188
— СО2 188
— Кг+ 12, 203
Маг ноны 38, 46
Матрица плотности 33
Модуляция электронной поляризуе-
поляризуемости 39
Морфические эффекты 53, 75, 76, 89
Матта переход 234
Найквиста теорема 72
Обобщенный параметр обратных эф-
эффективных масс 194
Огибающая функция 83, 95, 194, 2!1
Плазма многокомпонентная 66, 227,
234, 235
— неравновесная 226
Плазменная неустойчивость 235
— частота 179
Щазмоны 24, 41, 53, 66, 180
— акустические 230, 232
— сверхзатухающие 186
Плотность состояний 28, 85
— — двухмагнонная 39
— — двухфононная 39
— — олнофононная 14, 39 247 248,
2!}0
Поляризуемость 22
— перехода 2|, 39, 53
антисимметричная часть 51
— — второго порядка 28, 47, 63, 91
первого порядка 28, 54
— вклады, не зависящие от
волнового вектора 65
вычисления 54
— — оператор 44, 46
третьего порядка 93
— связи теория 22
— — поперечная 28
— — продольная 28
Поляриюны 24, 27, 38, 53, 69, 146,
342
Полярный вектор 52
Поперечное сечение для упругого (ре-
леевского) рассеяния 196
комбинационного рассеяния
света 41
— ■ — — абсолютное 19
— — — блоховскими электро-
электронами 181
— — — — — вне кристалла 50
— — — внутри кристалла 49
_ _ для газа свободных
электронов I78
— обусловленное пере-
переходами между уровнями, расщеп-
расщепленными долинно-орбита^ьцым
взаимодействием 196
— — — связанными LO-фо-
нон-плазмонными модами 185
— — флуктуациями
плотности заряда в мпогололннных
полупронодниках 230
— — — — — — — плотности энер-
энергии 221
— — — — — спиновой плот-
плотности 217, 230
рассеяния Мандельштама —
Бриллюэна, измерение 20
Правило золотое 33, 176
— отбора, нарушение 76
Д.ПЯ рассеяния света блохов-
скими электронами 181
— индунированногоэлек-
индунированногоэлектрическим полем 77
— — лкнёйно зависящего
от волнового вектора 76
не зависящего от вол-
волнового всцтора 38, 51, 57
— сумм 179, |88
Приближение адиабатическое 42, 54
— диполыюе 18, 23, 51
— случайных фаз (ПСФ) 42 54, 174
177, 219
— Франца — Кондона 174, 194
Рассеяние Мандельштама — Бриллю-
Бриллюэна 79. 21, 46, 57, 290
поляризуемость перехода
первого порялка 57
— — — резонансное 15, 55, 304, 308,
309
— слета комбинационное блоховски-
ми электронами 180
влияние поверхности 27
вперед 24, 25, 48
Предметный указатель
389
второго порядка 13, 14, 28,
39, 47, 78
— последовательно по-
повторяющееся резонансное 25, 170
вынужденное 39, 314
— зависящее от волнового век-
вектора 53, 70, 75
_ — _ запрещенное 26, 51
— индуцированное дефектами
39
— деформацией 36, 44, 77
коллективными возбужде-
возбуждениями 39, 53
магнопами 22, 39
«мягкими» оптическими фо-
нонами 71
назад 13, 27, 48
— обусловленное переходами
между акцепторными уровнями 196
донорными уровня-
уровнями 194, 205
— — флуктуациями спиновой
плотности 214
_ _ междолишшми 175,
229
— — энергии 2]8
одночастичное 18!
— — в условиях сильного ре-
резонанса 222
— оптическими фонопами 60
первого порядка 13, 23, 28,
46, 53
не зависящее от вол-
волнового вектора 57
— — — плазмонами 56, 66
— — — под малым углом 13, 48
— — — поляритопами 24, 27, 71
— разрешенное 33, 52, 70, 74
— — — резонансное 15, 16, 19, 33
78, 84, 101
свободным электронным га-
газом 175
— связанными LO-фонон-плаа-
монпыми модами 73, 183
— электронами и дырками
188
. спонтанное 39
. — с переворотом спина 175,
235
спонтанное 235
— электрический полем 26, 40,
77, 95, 96
электрон -фононпыми воз-
возбуждениями 199
Режим, контролируемый столкнове-
столкновениями 227
Связь, модель растяжения 254
— — изгибания 254
Селен аморфный 271
Серое олово 74
Соотношение Ферми —Томаса 178
— Дебая — Хюккеля 178
Теллур аморфный 273
— структура 74
Тензор комбинационного рассеяния
света 21, 24, 39
— абсолютное значение 20
антисимметричный 22, 74
— ■ — второго порядка 21
■ днухзонный электроопти-
ческий 64
— зависимость от волнового
вектора 75, 89
«запрещенный» 26
анак 20
— неприводимые компоненты
обусловленный смещением
атомов 83
электрооптнческий 91
Углерод 244
— аморфный 244, 254
— Стеклообразный 254
Упругооптические коэффициенты 23
60, 293, 294
Уширение 30, 33, 60, 111
— неоднородное !Ц, 140, 142 213,
234 '
— однородное 213
— спектральное 296
Фауста—Генри коэффициент 66, 186
&ТУаИИ п
пИИ плотности> междолинные
— — электронов 56, 67 185 230
— — энергии 218
— спиновой плотности 46, 214 230
— электронной поляризуемости 44
Фл уктуацион но-диссипа иионная тео-
теорема 24, 177 217, 220
Франца — Келдыша эффект 90 91 93
Халькогениды аморфные
— германия 286, 281
— мышьяка 266
— свинца 227
Халькогемы 286
Цинковая обманка, структура II 16,
59, 37, 88, 91
390
Указатель соединений
Щелочно-галоидные кристаллы 14, 25
Эйнштейна модель 30
Эйри функция 96
Экснтон II, |8, 27, 137
Экситонный поляр итом 27, 146
Электрооптический механизм рассея-
рассеяния 93, 185
— тензор линейный 9!
— эффект первого порядка 24, 26
Энергетический зазор (щель) Ео,
Ео + Д0 16, 86, 89, 91, 158
Б,, Е, +Ai 16, 89, 91, 158
Ее, П{, Е2' 20
Яна— Теллера динамический эффект
199
УКАЗАТЕЛЬ СОЕДИНЕНИИ
AlSb 13, 79, 192
AssSa 274
— аморфный 267, 274, 278
AssSe 267
— аморфный 280
CdS 6, ГЗ, 16, 33, 77, 78, 79, 80. 82,
86 91, 95 96, 132, 144, 149, 169,
186 193 300, 302, 307
CdTe'l88
Cu2O 5 11 18 18, 78, 79, 82, 89, 135,
144 151 155, 156, 169, 170
GaAs 13 19, 24, 181, 184, |88, 218,
223, ,325, 226 309
— аморфный 263
GaSb 81, 82
GaP |3 16, 17, 78, 80, 86, 88, 159
168 186 189, 192, 193, 195, 199, 205,
345
Ge 13 16, 18 24, 7|, 81, 89, 192, 193,
227, 230, 234
— аморфный 243, 245, 254
Ge.^S, 282
Ge.-^Tex 285
Ge —Si |6
Is 140, 164
InAs 16, 77, 81, 82, 89, 90; 36
laSb 16, 77 81 82 89, 96, 159, 188,
347
lnSb1_IAs1 81
InP 13. 188
— аморфный 265
КаТаОз 77
РЬТе 96, 230
S+ аморфный 270
Si 13, 16 20 71, 78 192. |95, 198,
203, 227, 234
— аморфный 245
SiC 188, 193, 209, 234
— аморфный 254, 265
Se 84
— аморфный 27]
SnTe 96
SrTiOi 77
Те 84
— аморфный 273
T1CI 82
ZnO 13, 133
ZnS 79, 86
ZnSe 79, 86
ZaTe 17, 79
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ , 8
1. ВВЕДЕНИЕ- М. Кардона . II
1.1. Исторические замечания . . , . , . . . 11
1.2. Рассеяние снета фононами н полупроводниках 13
1.3. Резонансы при рассеянии света фононами 15
1.4. Теория рассеяния света фононами 20
Литература 34
2. ОСНОВЫ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА В ПОЛУПРОВОД-
ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ. А. Пинвак, Е. Бурштейн 38
2.1. Процесс неупругого рассеяния света 41
2.2. Комбинационное рассеяние света коллективными возбуждениями в
полупроводниках и диэлектриках ... 53
2.3. Частотная зависимость тензоров комбинационного рассеяния с
оптическими фононами первого порядка . , 78
2.4. Заключительные замечания 97
Литература 97
3. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА.
Р. М. Мартин, Л. М. Фаликов 10!
3.1. Главные определения и основные свойства 102
32. Матричные элементы для комбинационного рассеяния света ... 106
3.3. Гамильтонианы, симметрия и правила отбора 124
3.4. Обсуждений специальных случаев 130
3.5. Заключение 170
Литература .... . . . ' 172
4. ЭЛЕКТРОННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА.
М. В- Клейн 174
4.1. Рассеяние света свободными носителями в полупроводниках . . . 175
4.2. Комбинационное рассеяние связаи^ыми электронами и дырками 188
4.3. Комбинационное рассеяние света связанными электрон- фононными
возбуждениями 199
4.4. Спектры одночастнчного рассеяния , . , 213
4.5. Многокомпонентная плазма 227
4.6. Заключительные замечания 235
Литература 235
5. КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА В АМОРФНЫХ ПОЛУ-
ПОЛУПРОВОДНИКАХ- М. X. Бродский 239
5.1. Аморфные полупроводники с тетраэдральной связью 243
5.2. Аморфные халькогеиы и халькогениды 266
Литература 286
392
Оглавление
6. РАССЕЯНИЕ МАНДЕЛЬШТАМА — БРИЛЛЮЭНА В ПОЛУПРО-
ПОЛУПРОВОДНИКАХ. А. С. Пайн 290
6.1. Общее описание рассеяния Мандельштама— Бриллюэна .... 290
6.2. Акустоэлектрические эффекты 396
6.3. Влияние поглощения на форму лш'ии , 301
6.4. Резонансное рассеяние 304
6.5. Вынужденное рассеяние Мандельштама — Бриллюэна ..... 311
Литература , 312
7. ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВКТА.
И. Р. Шен , , , 314
7.1. Основные принципы . . . . 317
7.2. Теория вынужденного комбинационного рассеяния света .... 320
7.3. Экспериментальные исследования 334
7.4. Вынужденное комбинационное рассеяние светя полярными колеба-
колебаниями 342
7.5. Вынужденное комбинационное рассеяние света с переворотом спина 347
7.6. Вынужденное комбинационное рассеяние света в переходном ре-
режиме 352
7.7. Применения вынужденного комбинационного рассеяния светя - . 359
7.8. Заключительные замечания 367
Литература 367
Литература, добавленная при переводе 372
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ , . . 384
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ■ 387
рассеяние света в твердых телах
Пол редакцией М. Кардпцы
Редактор В. И, Самсоиова
Художник В. П. Сысоев
Художественный редактор Л. Н, Безрученков
Технический редактор Т. Д. Максимова
ИБ № 1041
Сдаво к цаEор 30.05.7S. Подписано к печати 25.12,7* Форм
00X90Vis. Бумага типограф-
ская № 2 Гарцитура латинская. Печать высокая. Объем 12,31 бум, л. Уел, печ. л. 24,Н.
в т. ч. 1 вкл. Уч.-изд л. 23.63. Изэ. №2/9151. Тираж 5000 Экз. Заказ №1173. Цена 2 р. 70 к.
Издательство «Мир>
129820, Москва И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., '
Орлеца Трудопого Красного Знамени Ленинградская типография № 'I имени Р-гсгеыйи Соко-
Соколовой «Союаполиграфпрома» при Посударгтвенном комитете СССР поделай издательству
полиграфии и книжной торговли. ШОВ, Ленинград, Л-52, Илмайловский проспект, 29.