Р.блрлоу • Ф.ПрОШАН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
НАДЕЖНОСТИ
RICHARD E. BARLOW
FRANK PROSCHAN
MATHEMATICAL THEORY
OF RELIABILITY
John Wiley & Sons, Inc.,
New York, London, Sydney.
Р. БАРЛОУ, Ф. ПРОШАН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ
Перевод с английского И. А. Ушакова
Под редакцией академика АН УССР
Б. В. Гнеденко
Издательство «Советское радие»
Москва —1969
УДК 621.396.6.019.3
Р. Барлоу, Ф. П р о ш а н. Математическая теория надежности.
Пер. с англ., под ред. Б. В. Гнеденко. М., изд-во «Советское ра-
дио», 1969, 488 стр., т. 21 000 экз., ц. 1 р. 74 к.
Авторы книги хорошо известны советскому читателю по
большому количеству статей, многие из которых переведены
на русский язык.
В книге основное внимание уделено исследованию так на-
зываемых «стареющих» систем. С этой позиции рассмотрено
большое количество вероятностных моделей, имеющих важное
практическое значение: задачи оптимальных проверок и про-
филактических замен, задачи оптимального резервирования
и др.
Поскольку авторы нигде не делают каких-либо оговорок
о конкретных типах функций распределения времени безотказ-
ной работы, их результаты могут быть использованы в самых
различных областях техники (радиоэлектроника, автоматика,
машиностроение, приборостроение и т. д.). Следует отметить,
что оба автора в момент написания книги активно сотрудни-
чали с авиационной компанией «Боинг» (США).
Книга написана доступно, но в то же время на серьезном
математическом уровне. Она полезна всем инженерам и мате-
матикам, сталкивающимся в своей практической деятельности
с вопросами проектирования и эксплуатации сложных систем,
а также студентам и аспирантам технических и математиче-
ских спецальностей.
Табл. 29, рис. 48, библ. 207 назв.
3-3-14
76-68
Р. БАРЛОУ, Ф. ПРОШАН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ
Редактор А. А. Александрова
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор А. А. Белоус
Корректоры Т. Л. Князева, Н. Н. Поспелова
Сдано в набор 21/Х-68 г.	Подписано в печать 17/IV-69 г.
Формат 84х108/м	Бумага типографская № 2
Объем 25,62 усл. п. л.	Уч. изд. л. 23,601
Тираж 21 000 экз.	Зак. 1563
Издательство .Советское радио*, Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб., 10.
Цена 1 р. 74 к.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Советскому читателю предлагается еще одна книга
по теории надежности. За последние годы в различных
издательствах появилось по меньшей мере два — три
десятка книг, посвященных этой теме. Может возник-
нуть вопрос, нужно ли переводить и издавать еще? На
мой взгляд, переводить и издавать книги по надежности
нужно. Систематическая разработка этой области иссле-
дований только еще начата, и поэтому в ней многие проб-
лемы не только не решены, но даже еще и не поставле-
ны. Однако переводить и издавать следует не все, что
предлагают издательствам, а лишь то, что вносит вклад
либо в теорию и практику вопроса, либо в систему из-
ложения.
Книга Р. Барлоу и Ф. Прошана интересна тем, что она
подводит итог исследований двух ведущих американских
специалистов в области математической теории надеж-
ности, выполнивших за последние годы большое число
работ в ряде направлений. Решение некоторых проблем
начато как раз по их инициативе. При этом важно отме-
тить, что авторы очень близки к практике обеспечения
надежности в сложных и ответственных устройствах,
поскольку оба они тесно связаны с компанией «Боинг».
Книга не повторяет имеющиеся монографии, а прово-
дит свою особую линию. Пожалуй, наиболее характерной
чертой для нее является стремление рассматривать ста-
реющие элементы и системы и разработать по возмож-
ности адекватную математическую теорию. Этот подход
не только естественен, но и необходим, особенно если
иметь в виду такие области техники, как приборострое-
ние, машиностроение, автоматику. Нужно сказать, что
независимо подобная работа началась и у нас в стране:
по стареющим системам ряд работ был опубликован
А. Д. Соловьевым и И. А. Ушаковым. Эти исследования
в СССР и США шли параллельно и, само собой разуме-
ется, в некоторых вопросах удалось пойти дальше аме-
риканским исследователям, а в некоторых — нашим. Тем
5
интереснее и актуальнее становится появление книги
Р. Барлоу и Ф. Прошана в русском переводе.
Второй характерной особенностью книги является
широкое освещение авторами оптимальных задач теории
надежности. Несомненно, что в этой области исследо-
ваний им принадлежит большое число работ, которые
смело можно назвать основополагающими. Ричард
Барлоу много и успешно трудился над задачами опти-
мальных сроков профилактических работ. Фрэнк Прошан
исследовал вопросы оптимального резервирования. Впро-
чем, такое искусственное разделение не совсем удачно,
поскольку оба они публиковали интересные статьи и в том
и в другом направлении, и предыдущими словами мне
хотелось только подчеркнуть основные их интересы. Кста-
ти, некоторые оригинальные статьи обоих авторов поме-
щены в недавно появившемся интересном сборнике пере-
водов «Оптимальные задачи теории надежности» под
редакцией И. А. Ушакова (Изд-во стандартов, 1968).
Я рекомендую эту книгу, поскольку в ней содержатся не
только переводы основных американских работ по опти-
мальным задачам теории надежности, но и хорошие
статьи редактора перевода сборника, содержащие обзор
того, что уже сделано, постановки некоторых нерешен-
ных вопросов и полезную библиографию.
Книга Барлоу и Прошана совсем не затрагивает ста-
тистических задач теории надежности, хотя они составля-
ют значительную часть содержания всей теории. Мне ка-
жется, что было бы полезным подготовить к изданию
сборник переводов основных оригинальных работ по ста-
тистическим задачам теории надежности. В этот сборник
следовало бы включить и оригинальные исследования
авторов книги, опубликованные ими в ряде специальных
журналов, в том числе и трудно доступных.
Книга, предлагаемая в русском переводе, далеко не
проста для чтения. В этом повинно не только то, что ав-
торы широко используют разнообразный математический
аппарат, но и система изложения—очень скупая, свой-
ственная скорее научным статьям, чем монографиям.
Однако читатель, нашедший в себе силы для преодоле-
ния этих трудностей, будет вознагражден сторицей, по-
скольку он войдет в живую и важную область исследо-
ваний и познакомится с новыми и полезными методами
исследований.
6
Авторы книги были поставлены в известность о под-
готовке русского перевода их книги. Они живо откликну-
лись на это и сообщили о замеченных ошибках и опе-
чатках, вкравшихся в американское издание, а также
указали на ряд их новых работ, которые могли бы со-
ставить полезное дополнение к книге. В связи с этим
настоящее издание выгодно отличается от оригинала,
поскольку в нем уже исправлены обнаруженные ошибки.
Кроме того, вместо имеющихся в американском издании
добавлений в предлагаемом тексте помещены некоторые
работы авторов, составляющие хорошее продолжение со-
держания основного текста.
Хотелось бы надеяться, что выход в свет настоящей
книги на русском языке послужит новым шагом в уста-
новлении систематических научных связей между амери-
канскими и советскими исследователями в области тео-
рии надежности.
Б. ГНЕДЕНКО
ПРЕДИСЛОВИЕ
Что такое математическая теория надежности?
Вообще говоря, это система определенных идей, матема-
тических моделей и методов, направленных на решение
проблем предсказания, оценки и оптимизации различных
показателей надежности (например, вероятности безот-
казной работы, средного времени безотказной работы,
вероятности того, что система будет исправна в некото-
рый заданный или произвольный момент времени, и пр.).
В большинстве случаев надежность функционирования
существенно зависит от организации, которая охватыва-
ет замену отказавших элементов, ремонт, проверки и т. п.
Поскольку теория надежности в основном связана с
нахождением вероятностей, средних значений, распреде-
лений вероятностей и т. д., то может создаться впечатле-
ние, что она является простым применением стандартных
вероятностных методов и не нуждается в каком-либо
специальном изучении. Несостоятельность такой точки
зрения можно показать, продолжив подобные рассужде-
ния: ведь, в свою очередь, теория вероятностей сама есть
простое применение общих математических методов и,
следовательно, также не нуждается в самостоятельном
развитии.
Проблемы надежности имеют свои собственные ха-
рактерные черты и сами, в свою очередь, способствуют
развитию новых разделов теории вероятностей. Это будет
наиболее ясно видно на примере развития и применения
концепций монотонной интенсивности отказов, а также
на примере новых результатов в теории восстановления,
полученных при сравнении конкурирующих правил замен
элементов.
В данной монографии дается обзор ряда математи-
ческих моделей, полезных для решения проблем надеж-
ности. Эти модели носят вероятностный характер, когда
на основании информации о исходных распределениях,
таких, как распределение времени безотказной работы,
делаются заключения относительно времени безотказной
8
работы системы, оптимального построения системы и пр.
Статистические проблемы, такие, как оценка времени
безотказной работы элемента или системы по результа-
там испытаний, в книге не рассматриваются. Статисти-
ческим проблемам теории надежности можно было бы
посвятить большую по объему и, возможно, более полез-
ную книгу. Однако мы предпочли ограничить себя более
разработанными вероятностными моделями теории на-
дежности.
Во всей книге мы старались делать минимальное ко-
личество различных ограничивающих предположений и
только такие, которые вытекают из физической сущности
рассматриваемых явлений, поэтому окончательные мате-
матические результаты могут быть отнесены к широкому
классу явлений, встречающихся в области надежности.
Так, очень часто делалось предположение лишь о том,
что распределение времени безотказной работы имеет
возрастающую (или убывающую) * ** интенсивность отказов
и что известен единственный параметр этого распределе-
ния—математическое ожидание. При этих очень скром-
ных предположениях может быть получено удивительно
большое количество полезных результатов. Эта идея мо-
нотонной интенсивности отказов является одним из ос-
новных моментов в нашей попытке дать цельное изложе-
ние существующей теории надежности.
При подборе материала, нужно признаться, мы пред-
почитали рассматривать те модели, над которыми при-
ходилось работать нам самим. Этот метод отбора мате-
риала, возможно, не слишком плох, поскольку первона-
чально обращается внимание на отдельные модели, их
важность в теории надежности и их математическую ори-
гинальность. Однако мы серьезно опасаемся за возмож-
ность упущений и пробелов. Мы надеемся, что, если
такие упущения будут слишком значительными, это по-
будит пытливого читателя написать монографию, допол-
няющую даваемую нами картину.
Для кого предназначается эта книга? Как и все кни-
ги из «Серии прикладной математики *♦», наша книга ад-
ресована в первую очередь математикам-прикладникам.
* Во всей книге используется термин «возрастание» вместо тер-
мина «неубывание» и «убывание» вместо «невозрастание».
** Серия математических прикладных монографий, выпускаемая
издательством John Wiley and Sons. \(Прим. перев.)
9
Мы надеемся, что книга будет интересной не только для
тех, кто уже занимается проблемами надежности, но
также и для ученых и инженеров, работающих в других
областях, но интересующихся вопросами применения
теории вероятностей в новых направлениях. Математиче-
ским аппаратом, используемым в основном в данной мо-
нографии, является теория вероятностей и в ограничен-
ной степени идея абсолютной положительности.
В первой главе дается обзор истории предмета. Тако-
го рода обзор нам кажется крайне необходимым, посколь-
ку слишком часто проводятся исследования и публику-
ются работы по теории надежности, из которых видно,
что авторы плохо осведомлены об имеющихся результа-
тах и не используют работ, вышедших ранее. Эта глава
завершается построением математической модели, кото-
рая при соответствующей конкретизации позволяет полу-
чать основные количественные соотношения, представля-
ющие интерес в теории надежности.
В гл. 2 приводится обзор вероятностных распределе-
ний, представляющих наибольший интерес в теории на-
дежности. Основная задача этой главы состоит в иссле-
давании свойств не каких-либо специфических распреде-
лений, а широкого класса распределений, характеризуе-
мого естественными физическими свойствами. Так, в кни-
ге изучены свойства класса распределений с возраста-
ющей функцией интенсивности (ВФИ-распределений),*
что соответствует физическому явлению износа. Основы-
ваясь на этих скромных допущениях, справедливых для
огромного количества реальных ситуаций, можно полу-
чить удивительно большое количество результатов.
Гл. 3 и 4 посвящены рассмотрению моделей эксплуа-
тации. В гл. 3 приводятся различные вероятностные
аспекты, связанные с различными правилами эксплуа-
тации, а в гл. 4 даны методы оптимизации этих правил.
В гл. 3 получен неожиданный интересный результат: при
сравнении двух правил обслуживания найдены полезные
оценки для функции восстановления. Для ВФИ-распре-
* В оригинале этот класс распределений назван IFR (increasing
failure rate) distribution, т. e. распределениями с возрастающей ин-
тенсивностью отказов. Аналогичным образом DFR (decreasing fai-
lure rate) distribution называется нами в тексте УФИ-распределе-
нием (распределением с убывающей функцией интенсивности).
(Прим, перев.)
10
делений при условии, что известно одно лишь математи-
ческое ожидание, использование этих оценок позволяет
определить функцию восстановления с ошибкой, рав-
ной 0,5. В гл. 4 получены оптимальные стационарные и
нестационарные правила эксплуатации или их характе-
ристики, описанные для большого количества математи-
ческих моделей замены, ремонта и проверки оборудования.
Предположение о возрастании (убывании) интенсивности
отказов, как будет показано, играет первостепенную
роль в упрощении решения и в получении полезных
количественных результатов, связанных с конкретным
видом оптимального правила эксплуатации.
В гл. 5 рассматриваются вероятностные модели слож-
ных систем. Основным вероятностным аппаратом здесь
являются марковские и полумарковские процессы. С ис-
пользованием этого аппарата развиваются правила опти-
мального контроля, решаются проблемы, связанные с
ремонтом, и анализируются правила контрольных и мар-
гинальных проверок.
Гл. 6 и 7 посвящены моделям резервирования. В гл. 7
показано, как размещать резервные элементы в различ-
ных подсистемах в целях максимизации надежности сис-
темы при условии, что на систему наложен ряд линейных
ограничений по весу, объему, стоимости и т. д. Эта мо-
дель применима как в задачах, связанных с проектиро-
ванием систем, так и в задачах обеспечения их необхо-
димым количеством запасных элементов. В гл. 7 даются
количественные соотношения между надежностью систе-
мы и надежностью ее элементов. Так, например, приве-
дены условия, при которых система обладает возрастаю-
щей интенсивностью отказов при условии, что каждый
из ее элементов также обладает возрастающей интенсив-
ностью отказов.
Сентябрь 1964
РИЧАРД Е. БАРЛОУ
ФРЭНК ПРОШАН
* ♦
*
Прежде всего нам хотелось бы выразить глубокую
признательность Ларри К. Хантеру, который написал
первую редакцию гл. 4, дал полезные советы и предложе-
ния, касающиеся остальных глав, а также впервые pe-
ll
шил совместно с нами ряд проблем, вошедших в эту кни-
гу. Стюарт Бесслер, Р. Ф. Дреник, Джеймс Изари, Бетти
Флехингер, Сэмуэл Карлин, Алберт Маршалл, Роналд
Пайк, Джуда Розенблатт, Джоуан Розенблатт,
И. Р. Сэвидж и Джордж Вайсс сделали ряд полезных
замечаний и предложений, за что мы выражаем им свою
благодарность. Кроме того, мы благодарны Научно-ис-
следовательским лабораториям компании Боинг, Джене-
рал Телефоун энд Электронике Леборетериз Инкорпо-
рейшн и Сильванским лабораториям электроники мини-
стерства обороны США за их постоянную поддержку.
Наконец, мы признательны миссис Элин Тернер за ее
терпеливость и мастерство при перепечатывании ру-
кописи.
Р. Е. Б.
Ф. П,
ВВЕДЕНИЕ
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
В данном параграфе приводится, безусловно, не-
полный, но, мы надеемся, достаточно (Представительный
обзор основных событий и работ, определивших все то,
что в настоящее время называется математической тео-
рией надежности. К областям теории надежности, кото-
рые мы здесь рассматриваем, относятся испытания на
надежность, вопросы структурной надежности (включая
резервирование), проблемы обслуживания систем, яв-
ляющиеся частью теории очередей, и проблемы замен,
тесно связанные с теорией восстановления. К областям
теории надежности, которых мы не затрагиваем, отно-
сятся: контроль качества, теория экстремальных значе-
чений, порядковые статистики и выборочный контроль.
Математическая теория надежности возникла в связи
с возрастающими требованиями современной техники, и
в частности, в связи с опытом эксплуатации сложных
военных систем в годы второй мировой войны. Одной
из первых областей надежности, в которой были достиг-
нуты определенные результаты при математическом
решении, является область обслуживания систем
(А. Я. Хинчин [106], К. Пальм [126]). Математический
аппарат, использованный для решения этих задач, опи-
рался на успешный опыт решения проблем телефонии
А. К- Эрлангом, К. Пальмом и др. Опыт доказательства
того, что распределение Пуассона хорошо описывает
входящий поток телефонных вызовов, также лег в осно-
ву использования экспоненциального распределения в
качестве основного закона надежности сложных систем.
Эрланг и Пальм опирались на эвристические аргументы
при обосновании того, что распределение Пуассона яв-
ляется предельным распределением для телефонных вы-
зовов. Наконец, А. Я. Хинчин [107] и Г. А. Ососков [124]
13
дали математически строгое доказательство этого факта
и привели необходимые и достаточные условия.
Применение теории восстановления для решения за-
дач замены рассматривал уже А. Дж. Лотка в 1939 г.,
обобщивший также более ранние работы. Н. Р. Кэмпбелл
в 1941 г. также решил проблему замен, используя ап-
парат теории восстановления. Превращением в самосто-
ятельную математическую дисциплину теория восстанов-
ления обязана работам В. Феллера [57, 58].
В конце 30-х годов В. Вейбулл [166], Э. Гумбель [72],
а позднее Б. Эпштейн [48] и другие изучали проблему
усталости материалов и связанную с ней теорию экстре-
мальных значений. Позже в книге Э. Гумбеля [73] были
тщательно подобраны примеры, иллюстрирующие ис-
пользование асимптотических распределений экстремаль-
ных значений для описания времени жизни. В 1939 г.
Вейбулл, профессор Королевского технологического ин-
ститута Швеции, предложил распределение, удобное для
описания длительности жизни материалов и названное
его именем. Он не подозревал сначала, что это есть
распределение экстремальных значений*. Рассматри-
вая лишь класс распределений отказов в форме
F(x)=l— е"ф(х), Вейбулл [167]предлагал следующие ар-
гументы:
«Единственным необходимым условием, которо-
му должна удовлетворять функция <р(х), является
то, что она должна быть положительной неубываю-
щей функцией, стремящейся к некоторой величи-
не хи, не обязательно равной нулю.
Наиболее простой-функцией, удовлетворяющей этому
(х_________________х
условию, является -————» и поэтому мы положим
F(x) = 1 - exp {—} •
Единственным достоинством этого распределения
является простота математического выражения при
выполнении необходимых общих условий. Опыт
показывает, что во многих случаях это распреде-
ление лучше описывает некоторые наблюдения, чем
другие известные функции».
* Доказательство этого факта принадлежит Б. В. Гнеденко.
(Прим, пере в.)
14
Вейбулл завершает свои рассуждения следующим
замечанием:
«Представляется, что единственным практиче-
ским путем достижения успеха является выбор
простой функции, эмпирическая ее проверка и за-
теям ее окончательный выбор, если нет ничего
лучшего».
Позже X. Е. Даниэле [36] и Ц. В. Бирнбаум и
С. К. Саундерс [20] предложили математические модели,
соответствующие гипотезам о нормальных и гамма-рас-
пределениях.
На протяжении 40-х годов основные усилия в облас-
ти статистических проблем надежности были направле-
ны на задачи статистического контроля качества. Об-
суждение результатов в этой области мы пропускаем и
интересующегося читателя отсылаем ко введению в ра-
боте А. Дж. Дункана [47].
В начале 50-х годов вопросы надежности, в особен-
ности испытания на надежность и задачи повышения на-
дежности ракет и электронного оборудования, начали
привлекать внимание как математиков-статистиков, так
и инженеров, связанных с исследованием сложных воен-
ных и промышленных комплексов. Одними из первых
столкнулись с серьезной проблемой ненадежности
электровакуумных приборов коммерческие авиакомпа-
нии [28]. Поэтому авиакомпании образовали организа-
цию ARINC, которая среди прочих функций занималась
сбором и анализом отказавших электровакуумных при-
боров и возвращала их на заводы-изготовители. За время
деятельности этой организации были достигнуты значи-
тельные успехи в повышении надежности большого коли-
чества типов электровакуумных приборов. С 1950 г. эта
организация сконцентрировала свои усилия на пробле-
мах надежности в военных исследованиях.
В декабре 1950 г. ВВС организовали группу по на-
дежности радиоэлектронного оборудования для изуче-
ния проблемы надежности и выработки мер по повыше-
нию надежности и сокращению эксплуатационных зат-
рат. К концу 1952 г. министерство обороны образовало
консультативную группу по надежности радиоэлектрон-
ного оборудования. Первый отчет этой группы был
опубликован в июне 1957 г.
15
В 1951 г. Б. Эпштейн и М. Собол, начав работу в
области испытаний на срок службы, и положили начало
обоснованию гипотезы об экспоненциальном законе рас-
пределения применительно к электронному оборудова-
нию. Они дали следующее краткое объяснение выбора
экспоненциального распределения [50]:
<«После определенного анализа и бесед с рядом
специалистов в области радиоэлектроники мы ре-
шили обратить наше внимание на распределения,
отличающиеся от нормального. В частности, мы ре-
шили изучить случай, когда исследуемая величи-
на х имеет экспоненциальное распределение с
плотностью/(х); 0) вида
f(x;0) = -|-exp f--где 0>О, х>0.»
В области ракетостроения большой интерес к проб-
леме надежности был проявлен еще в 1952—53 гг.
В 1952 г. Д. Дж. Дэвис опубликовал статью, содер-
жащую статистические данные об отказах и результаты
применения нескольких критериев годности для различ-
ных конкурирующих гипотез о распределениях отказов.
Эти данные отчетливо показали область применения
экспоненциального распределения, и, видимо, поэтому
статья многократно цитировалась в подтверждение спра-
ведливости использования экспоненциального распреде-
ления. С публикацией этой статьи, а также статьи
Б. Эпштейна и М. Собола [50], экспоненциальное рас-
пределение заняло совершенно уникальное положение в
задачах, связанных с испытаниями на срок службы.
Это положение еще более окрепло в 1957 г. с появлени-
ем доклада AGREE.
Основная причина популярности и широкого распро-
странения экспоненциального распределения в работах
по надежности заключается в легкости вычислительных
работ и в простоте формы исходных данных. Однако,
уже начиная с 1955 г. начали проводиться серьезные
исследования и других распределений. Дж. X. Као [86,87]
обратил внимание на распределение Вейбулла. Интерес
к распределению Вейбулла продолжал с этого момента
возрастать и, наконец, в 1959 г. достиг своеобразной
кульминации с появлением работы М. Зелена и М. Дан-
немиллера [175], указывающей на то, что многие проце-
16
дуры испытаний, основанные на гипотезе об экспонен-
циальном распределении, не дают осмысленных резуль-
татов.
Проблема надежности управляемых снарядов может
быть рассмотрена в терминах доверительных интервалов
для произведений биномиальных параметров [26]. На
эту же проблему обратил внимание Дж. П. Стек [155],
Дж. Р. Розенблатт [144], А. Мадански [113].
Проблема надежности управляемых снарядов также
нашла свое отражение в работах 3. У, Бирнбаума и его
соавторов. В статье, опубликованной в 1955 г., (проблема
формулируется следующим образом:
«Если конструктивные компоненты некоторого
механизма являются массовой продукцией, то пре-
дел прочности У, при котором происходит отказ
каждого одельного компонента, может рассматри-
ваться как случайная величина. Компонент уста-
навливается в конструкцию и подвергается в ней
нагрузке, которая достигает максимального значе-
ния X, являющегося, в свою очередь, также слу-
чайной величиной. Если У<Х, то наступает отказ
данного компонента во время его использования».
3. У. Бирнбаум показывает, как может быть вычис-
лена вероятность такого события.
Важная математическая статья Э. Мура и К. Шен-
нона появилась в 1956 г. В ней рассматривалась проб-
лема надежности релейных сетей, которая достаточно
детально рассматривается в гл. 7 данной книги. Э. Мур
и К. .Шеннон исходили из идей Дж. фон Неймана, опи-
савшего определенные детали функционирования чело-
веческого мозга и объяснившего возможные причины вы-
сокой надежности/достигаемой биологическими организ-
мами. Также в 1956 г. появился доклад Дж. Вайсса, в
котором показывалось использование полумарковских
процессов для решения проблем технического обслужи-
вания систем.
В 1958 г. изящное обобщение известных математи-
ческих результатов теории восстановлений было дано
У. Смитом [153]. Как мы уже упоминали, эта теория
имеет много приложений в задачах замены оборудова-
ния (см. гл. 3 книги).
Исследуя проблему вибрации в новых коммерческих
реактивных самолетах, 3. У. Бирнбаум и С. К. Саундерс
2—1563	17
в 1958 г. рассмотрели блестящую статистическую модель
длительности жизни системы, подверженной динамиче-
ским нагрузкам. Их модель (позволила выразить распре-
деление длительности жизни в зависимости от нагрузки,
являющейся функцией времени, и от износовых явлений,
происходящих независимо от нагрузки. Частный случай
постоянной или периодической нагрузки с постоянной
амплитудой привел их к предположению о гамма-рас-
пределении для длительности жизни в определенных
-ситуациях.
В конце 1958 г. М. Собол и Дж. Тишендорф предста-
вили новый приемочный план, обеспечивающий новую
основу для записей требований к испытаниям на срок
службы. Этот выборочный план был основан на экспо-
ненциальном распределении, а позднее был распростра-
нен С. Гупта и М. Соболом на другие распределения.
Частично основываясь на работе 3. У. Бирнбаума и
С. К. Саундерса [20], Р. Ф. Тейт в 1959 г. взялся за ре-
шение проблемы получения несмещенной состоятельной
оценки для (параметров гамма-распределения, распреде-
ления Вейбулла и двухпараметрического экспоненциаль-
ного распределения [163]. В частности, Р. Тейт получил
несмещенную состоятельную оценку для вероятности
того, что система безотказно проработает в течение за-
данного времени, при условии, что в результате испыта-
ний наблюдалось фиксированное число отказов.
В 1959 и 1960 гг. класс новых задач был рассмот-
рен в работах Дж. Блэка и Ф. Прошана [21]. Эти мате-
риалы обсуждаются в гл. 6 данной книги. Также в
1961 г. появилась статья 3. У. Бирнбаума, Дж. Изари и
С. К. Саундерса [19], которая значительно расширила
раннюю работу Э. Мура и К. Шеннона (119]. Работы в
данной области продолжаются и в настоящее время.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
При рассмотрении различных проблем надежности
будем интересоваться исследованием и оценкой опреде-
ленных количественных показателей, называемых в ли-
18
тературе «надежностью», «готовностью», «интервальной
готовностью», «эффективностью» и пр.*
К сожалению, определения, даваемые в литературе,
иногда страдают неточностью или неясностью формули-
ровок и при этом у различных авторов отличаются одна
от другой. Мы надеемся, однако, что читатель не будет
испытывать существенных затруднений при чтении на-
шей монографии, поскольку интересующие нас характе-
ристики будут в каждом случае точно определены в тер-
минах вероятностей и математических ожиданий.
Рассмотрим обобщенную количественную характе-
ристику, которая позволяет найти большинство основ-
ных количественных показателей надежности. Предпо-
ложим, что в момент времени t состояние системы опи-
сывается случайным вектором X(0 = (Xi(Z), ..., Xn(t)).
Например, Х(0 может быть одномерной переменной,
принимающей всегда два значения: 1, если система ра-
ботоспособна, и 0, если система находится в состоянии
отказа. Компоненты вектора Х(0 могут быть значения-
ми различных параметров системы, способными прини-
мать значения на всей действительной оси. Случайный
вектор Х(/) характеризуется распределением вероятно-
стей
Л(%Ь ..., хп\ t),
т. е. вероятностью того, что
Xi (0	..., Хп (0
Каждому состоянию х= (хь ..., хп) (поставим в соответ-
ствие некоторую числовую функцию g(x). Для приве-
денного выше примера с двумя состояниями положим
g(l) = l и g(0)=0. Математическое ожидание этой це-
левой функции (функции выигрыша) G(0 в момент вре-
мени /, являющееся интересующей нас величиной, может
* В отечественной литературе обычно используются другие тер-
мины. См. об этом подробнее сноски к данному разделу. (Прим,
tie рев.)
2*	19
быть вычислено по формуле
G (0 = Eg (X (/)) = J • • • ...,xn)dF(xlt ...,Хп, t).
(2.1)
Наконец, можем усреднить саму функцию G(t) на неко-
тором интервале времени	с учетом некоторой
весовой функции W(t) и получить
ь
H(a,b)=^G(t)dW(t).	(2.2)
а
Теперь определим входящие в (2.1) и (2.2) функции
так, чтобы из этих выражений получить различные ко-
личественные показатели, встречающиеся в теории на-
дежности.
1.	Надежность (Reliability) есть вероятность того, что
устройство выполняет свои функции в соответствии
с предъявляемыми требованиями в течение заданного
интервала времени [139] *.
Обычно рассматривается постоянный интервал вре-
мени [0, /]. Пусть Х(и) = 1, если в момент времени и
устройство функционирует нормально, и Х(и)=0 в про-
тивном случае. Предположим, что нормальное функцио-
нирование в момент времени t эквивалентно нормально-
му функционированию устройства и на всем интервале
времени [0, /]. Тогда из (2.1) получаем
G(p=Eg(X(/))=P[X (/) = !],
— вероятность того, что устройство нормально функцио-
нирует в течение интервала времени [0, /].
Таким образом, G(/) есть надежность устройства
в соответствии с приведенным выше определением. Во-
обще говоря, будем предполагать, что если не произво-
дятся ремонты устройства или замены отказавших эле-
* В отечественной литературе указанный показатель называется
«вероятностью безотказной работы», -поскольку «надежность» — это
свойство, а не количественный показатель. В дальнейшем -по тексту,
где это возможно, нами будет использоваться терминология, приве-
денная в книге Б. А. Козлова и И А. Ушакова «Краткий справочник
по расчету надежности радиоэлектронной аппаратуры» Изд-во «Со*
ветское радио», 1966 (Прим, персе.)	|
20
ментов, to состояние в момент Времени / полностью
определяет характер поведения системы в интервале
времени [0, /].
2.	Мгновенная готовность (pointwise availability) —
вероятность того, что система будет способна успешно
функционировать в требуемый момент времени * [79].
Как и в предыдущем случае, положим Х(/) = 1, если
система нормально функционирует в момент времени
t и Х(/)=0 в противном случае. Пусть, как и раньше,
£(1) = 1 и g(0)=0. Теперь, однако, мы не будем исклю-
чать возможность проведения ремонтов или замен до
момента времени t. Тогда
G(t)=Eg(X(/))=P(X(/) = l],
— вероятность того, что система нормально функциони-
рует в момент времени t.
Таким образом, в данном случае G(/) обеспечивает
мгновенную готовность в момент времени t.
3.	Интервальная готовность (interval availability) —
математическое ожидание доли времени нормального
функционирования системы в течение заданного интер-
вала времени** [79]. В этом случае допускаются и ре-
монты, и замены.
Предположим, что [а, Ь] есть заданный интервал вре-
мени. Тогда, если X и g определены, как в пункте 2, а

то из (2.2) найдем
b
^EgQL(t))dt
а
ь
а
* В отечественной литературе этот .показатель называется не-
стационарным коэффициентом то тонное ти. (Прим, перев.)
** Подобный показатель редко используется ъ отечественных
работах. По существу это усредненный на заданном интервале не-
стационарный коэффициент 'готовности. (Прим, перев.).
21
или при соответствующих условиях регулярности
ь
/ Js<x(<»«a
что является математическим ожиданием доли времени
нормального функционирования системы на интервале
времени [а, д]. Таким образом, Н(а, Ь) есть готовность
на интервале [а, д].
4.	Предельная интервальная готовность (Limiting in-
terval availability) — математическое ожидание доли
времени нормального функционирования на бесконечном
интервале времени *.
Для получения этой характеристики нужно просто
вычислить
lira Н (О, Т).
Т-юо
5.	Интервальная надежность (Interval reliability)
есть вероятность того, что в требуемый момент времени
система находится в работоспособном состоянии и еще
проработает безотказно в течение интервала времени,
например, х [9] **. При этом в процессе работы допу-
скаются ремонты и замены, но не в рассматриваемом
интервале.
Для получения этого показателя положим Х(/) = 1,
если система нормально функционирует в момент вре-
мени t и Х(0=0 в противном случае. Тогда интерваль-
ная надежность J?(x, Т) для интервала времени дли-
* В отечественной литературе этот показатель называют ста-
ционарным коэффициентом готовности или просто коэффициентом
готовности. Он равен
где Т — среднее время безотказной работы, а т —среднее время ре-
монта. (Прим, персе.)
** В «Кратком справочнике по расчету надежности радиоэлек-
тронной аппаратуры» (М., 1966, изд-во «Советское радио») пред-
лагается этот показатель называть нестационарным коэффициентом
надежности. (Прим, перев.)
22
тельности х, начиная с момента времени Т, будет опре-
деляться как
/?(х, Т)=Р[Х(0 = 1,	(2.3)
6.	Предельная интервальная надежность (Limiting
interval reliability) есть просто предел R(x, Т) при
Т—>-оо *.
Дреник [45] сформулировал иную модель, позволяю-
щую получать также различные показатели надежности
при соответствующей конкретизации. Эта формулировка
использует термины теории восстановления. Пусть отка-
зы происходят на интервале времени [0, /] в моменты
6. ^2. • • ., tn, где t\<tfz< • • • <Лп, а ремонты производятся
немедленно после возникновения отказов. Функция вы-
игрыша задается в виде №n(t, /), где t=i(fi, /2. • • •> tn)-
Таким образом, математическое ожидание функции вы-
игрыша за время t определяется как
U(t) = £ J (tj) f (t I n,t)dtP [Af (0 = n], (2.4)
л=0
где f(t|n, t) — совместная условная плотность вероятно-
сти отказов в моменты времени	. <tn при ус-
ловии, что N(t) = п, N\(t) — количество отказов на интер-
вале [0, /].
* Этот показатель удобно назвать стационарным коэффициен-
том надежности или просто коэффициентом надежности. Заметим,
что в случае, когда время безотказной работы имеет ВФИ-распре-
деление, может быть получена очень удобная оценка в виде
К (1 -х/Т )^U(t)^ Кехр (х/Т),
00
где Т — {G(t)dt. (Прим, перев.)
5
2
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
1. ВВЕДЕНИЕ
Для м нематического описания продолжительности
безотказной работы различных устройств и систем ис-
пользуются распределения вероятностей. Физика про-
цессов отказа и типы возможных отказов существенным
образом определяют характер распределения времени
безотказной работы.
Отказы устройств могут возникать вследствие самых
различных причин, причем иногда у одного и того же
устройства может появиться сразу несколько типов раз-
личных отказов. Так, например, отказы могут возникать
из-за воздействия внешней нагрузки, нестабильности
источников питания, химической коррозии, усталостных
явлений и пр. Электронные устройства могут отказать
из-за ухода с течением времени определенных парамет-
ров за пределы поля допусков вследствие воздействия
температуры, влажности, давления и т. д. Ранние отка-
зы оборудования возникают вследствие недостатков и
ошибок проектирования, использования плохих материа-
лов, а также нарушения правил эксплуатации.
К сожалению, выбор конкретного вида распределе-
ния времени безотказной работы на основании подобных
соображений, связанных с анализом физики протекаю-
щих процессов, слишком сильно зависит от интуиции
исследователя. В некоторых случаях, однако, имеются
вполне определенные зависимости между механизмом
отказов и функцией интенсивности отказов, позволяю-
щие сделать обоснованный выбор распределения.
На основании наблюдений за моментами отказов бы-
вает трудно сделать выбор среди различных несиммет-
ричных функций распределений. Так, различия между
гамма-распределением, распределением Вейбулла и ло-
гарифмически-нормальным распределением становятся
24
заметными лишь на «хвостах» распределения, но реаль-
ные наблюдения в силу ограниченности выборки плохо
отражают именно «хвосты» распределений. Поэтому для
того, чтобы выбрать из многих функций распределения
нужную, необходимо учитывать физику реальных про-
цессов.
Если распределение отказов F имеет плотность /,
функция интенсивности отказов r(t) определяется для
тех значений /, для которых F(/)<1, как
где, как и далее в книге, ^(/) = 1—F(f). Эта функция
имеет следующий вероятностный смысл: r(t)dt есть ве-
роятность того, что устройство с наработкой i откажет
в интервале времени [/, t+dt]. Эта функция оказывается
очень важной в большом числе различных приложений,
в каждом из которых она имеет свое название. Демогра-
фы используют ее при составлении статистических таб-
лиц смертности [156]. В статистике применительно к нор-
мальному распределению она известна как «отношение
Миллса». Она играет немаловажную роль при определе-
нии формы функции распределения экстремальных зна-
чений, причем в теории экстремальных значений она на-
зывается функцией интенсивности [73]. В теории надеж-
ности эта функция называется интенсивностью отказов.
Во многих прикладных задачах естественно предпо-
лагать, что для достаточно удаленного момента времени
функция г (’/) не убывает вследствие того, что происхо-
дит неизбежное ухудшение (старение) характеристик
устройств. Существуют, впрочем, случаи, когда наблю-
дается уменьшение интенсивности отказов. Можно ожи-
дать, что это справедливо для материалов, которые
проходят своеобразную закалку в процессе работы.
Можно предполагать также, что определенная часть
электронных схем на твердом теле имеет убывающую
интенсивность отказов. Имеются некоторые эксперимен-
тальные данные, подтверждающие, что во многих слу-
чаях первоначальная интенсивность отказов совершенно
новых компонентов отличается от нуля [38].
Математические методы хорошо развиты для экспо-
ненциального распределения времени безотказной рабо-
ты, причем следует отметить, что гипотеза экспоненци-
альное™ хорошо подтверждается в определенных слу-
25
чаях на практике. Заметим также, что для математиче-
ского обоснования экспоненциального распределения
необходимы лишь весьма общие предположения (см.
§ 3 данной главы). Рассмотрим, например, электронную
вычислительную машину. Предположим, что интенсив-
ность отказов всего устройства равняется сумме интен-
сивностей отказов отдельных элементов. Если каждый
элемент после отказа восстанавливается мгновенно и
длительности безотказной работы отдельных элементов
статистически независимы, то поток отказов всего обо-
рудования есть просто суперпозиция потоков отказов
отдельных элементов. При -весьма слабых условиях на
распределения времени работы элементов и большом
числе элементов поток отказов оборудования в целом по
истечении достаточно большого времени хорошо аппро-
ксимируется пуассоновским потоком (см. теорему 3.2).
Этот результат сохраняется, если средние значения
времени безотказной работы всех элементов ограничены
и распределения отказов для всех элементов характери-
зуются возрастающей интенсивностью отказов. Посколь-
ку интервалы времени между событиями пуассоновского
процесса взаимно независимы и распределены экспонен-
циально, этот результат часто используется для под-
тверждения гипотезы об экспоненциальном законе рас-
пределения отказов.
Можно показать, что эта модель эквивалентна си-
туации с телефонными вызовами при работе сети с боль-
шим числом абонентов. Распределение интервалов вре-
мени между вызовами по истечении достаточного вре-
мени с начала работы стремится к экспоненциальному
при условии, что число абонентов данной телефонной
сети велико. Полезным следствием этого факта является
то, что параметр экспоненциального распределения за-
висит лишь от среднего значения времени безотказной
работы отдельных элементов.
Однако для того, чтобы ответить, например, на во-
просы, связанные с оптимальным правилом поведения
индивидуальных профилактических замен, обычно необ-
ходимо знать больше, чем только среднее значение вре-
мени безотказной работы. К тому же лишь в отдельных
случаях экспоненциальное распределение хорошо при-
ближает распределение времени работы до первого от-
каза таких устройств, у которых все элементы в началь-
26
ный момент являются новыми. Вообще, за исключением
больших систем с восстанавливаемыми элементами, при-
ходится в различных приложениях использовать разно-
образные семейства распределений. Чаще всего исполь-
зуются гамма-распределение, нормальное, логарифмиче-
ски-нормальное и Вейбулла (см. § 2). Все эти семейства
распределений, кроме логарифмически-нормального,
имеют возрастающую интенсивность отказов для опре-
деленных численных значений параметров. Поскольку
интенсивность отказов логарифмически-нормального рас-
пределения сначала возрастает, а затем падает до
нуля, оно считается неудобным для использования в ка-
честве распределения времени безотказной работы [65].
Однако можно предполагать, что это распределение
удобно для описания распределения времени восстанов-
ления отдельных частей оборудования [71]. Действитель-
но, если восстановление не закончено по истечении до-
статочно большого интервала времени, то имеется мало
шансов, что оно будет вообще закончено. Можно приве-
сти определенные психологические и чисто технические
факторы для подтверждения этого положения. Так, на-
пример, обслуживающий персонал может быть доведен
до состояния полной беспомощности после изнуритель-
ных и безрезультатных поисков отказа. Резкое увеличе-
ние времени восстановления может наблюдаться и
вследствие отсутствия необходимых запасных частей.
До сих пор мы обсуждали свойства специально ото-
бранных семейств распределений отказов. Возможно,
наиболее плодотворным путем исследования является
изучение некоторых характеристик, основанных на рас-
смотрении физических свойств. Интуитивно мы ожидаем,
что условное математическое ожидание остаточного вре-
мени безотказной работы элемента, уже проработавшего
некоторый срок, меньше, чем у совершенно нового эле-
мента. При более сильных условиях распределение
F(x) имеет убывающее математическое ожидание оста-
точного времени безотказной работы тогда и только
тогда, когда для элемента, уже проработавшего вре-
мя /, функция
00
С F(x)dx
27
убывает с ростом /. Для класса этих распределений мо-
гут быть получены весьма интересные результаты [14].
Естественным расширением этой концепции является
предположение о том, что с ростом времени увеличива-
ется условная вероятность отказа при условии, что к мо-
менту времени / отказ не произошел, т. е. что интенсив-
ность отказов г('/) возрастает со временем t. В даль-
нейшем будем говорить для краткости о ВФИ- и
УФИ-распределениях, понимая под этим распределения
времени безотказной работы элементов, характеризую-
щиеся соответственно возрастающей или убывающей во
времени интенсивностью отказов. Для этих случаев
можно получить точные границы для вероятности без-
отказной работы в терминах моментов распределения и
квантилей. Верхняя и нижняя границы вероятности
безотказной работы, выражаемые через первые два мо-
мента распределения, табулированы в статье 5 дополне-
ния. Эти границы уже, чем классические границы, полу-
чаемые на основании неравенства Чебышева без предпо-
ложения о том, что распределения характеризуются воз-
растающей или убывающей функцией интенсивности.
В последующих главах мы часто будем обращаться
к предположению, что распределения имеют возрастаю-
щую или убывающую функцию интенсивности, посколь-
ку эти распределения обладают рядом интересных
свойств и часто используются «во многих приложениях.
Так, для некоторых типичных структур систем можно
сразу сделать вывод о характере интенсивности их от-
казов, если известен вид интенсивности отказов отдель-
ных элементов.
2. ТИПИЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ
Для описания распределений времени безотказной
работы используются несколько в равной степени удоб-
ных функций, а именно: плотность вероятности /(/), ког-
да она существует, функция распределения Л(/) и ин-
тенсивность отказов r(t).
28
Эти характеристики связаны между собой следую-
щим образом:
t
F (t) = С f (%) dx,
о
t
F (/) = exp — J r (x) dx ,
oJ
(2.1)
где F(/)='l—F(/). Во всей книге будет предполагаться
без каких-либо дополнительных оговорок, что
/’(0-)=0, F( + oo) = l
и что F непрерывна справа.
Рассмотрим типичные распределения, используемые
для описания усталостных отказов различных материа-
лов, а также для описания отказов электронных и ме-
ханических устройств. (Интенсивности отказов приво-
дятся лишь в тех случаях, когда они имеют простую
форму.)
1.	Экспоненциальное распределение
f(/) = Ze-w, г(О = Л, 2>0, />0.
2.	Гамма-распределение
3.	Распределение Вейбулла
f(t) = Zata~'e~ua, r(t) = Xata~\ Z,a>0,/>0
4.	Модифицированное распределение экстремального зна-
чения
Н0=4"е?ср[—г(0=-у-. *>о,
5.	Усеченное нормальное распределение
/(0 =---^ехр[—	°>0’ — °°<Н<оо.
ао у 2тс L	J
оо,
где ti — нормирующая константа.
29
6.	Логарифмически-нормальное распределение

— оо<р,<оо, о>0, /^0.
Обобщения распределений 1, 2, 3 и 4 могут быть по
лучены путем замены t на t—а, где а есть так называе
интенсивность отказов
Рис. 2.1. Кривые интенсивности
отказов для гамма-распределения
при Х=1.
Рис. 2.2. Кривые интенсивно-
сти отказов для распределения
Вейбулла при Х=1.
мое гарантированное время, означающее, что отказ не
может произойти до момента времени а. Интенсивность
отказов для экспоненциального распределения постоян-
на, а для гамма-распределения (рис. 2.1) и распределе-
ния Вейбулла (рис. 2.2) при а>1 возрастает.
Модифицированное распределение экстремального
значения и нормальное (рис. 2.3) имеют возрастающую
интенсивность отказов. Логарифмически-нормальное рас-
пределение имеет убывающую интенсивность отказов
в сравнительно широком диапазоне, поэтому вызывает
сомнение, что оно может быть использовано для описа-
ния таких физических явлений, как усталостные процес-
сы в материалах.
30
Семейство экспоненциальных распределений наибо-
лее известно и чаще всего используется [49]; оно имеет
множество полезных математических свойств, но его
применение ограничено по следующей причине: можно
доказать, что если устройство имеет экспоненциальное
распределение времени до отказа, то предварительное
использование устройства
никак не влияет на остаточ-
ное время его жизни. Дру-
гими словами, если устрой-
ство еще не отказало к мо-
менту времени /, то распре-
деление его времени безот-
казной работы будет таким
же, как если бы в этот мо-
мент времени начало исполь-
зоваться совершенно новое
устройство. Это, безусловно,
противоречит многим есте-
ственным представлениям.
Экспоненциальное распре-
деление является единствен-
ным распределением, обла-
дающим подобным свойст-
вом [59]. Имеются, конечно,
Рис. 2.3. Кривые интенсивно-
сти отказов для нормального
распределения при <т=1.
устройства с подобными
свойствами, например электрические предохранители
(в предположении, что они еще не оплавились частич-
но), у которых распределение времени до отказа прак-
тически не изменяется до тех пор, пока не наступит от-
каз. Можно также представить себе ситуацию, в которой
некоторое устройство находится на испытаниях во внеш-
них условиях, которые могут быть описаны некоторым
случайным процессом. Представим, что этот случайный
процесс имеет пиковые выбросы и что именно эти пико-
вые изменения внешних условий могут воздействовать
на рассматриваемое устройство, т. е. устройство может
отказать лишь в момент указанного пикового выброса.
Если поток выбросов является пуассоновским, то распре-
деление отказов данного устройства является экспонен-
циальным и в этих условиях действительно предшест-
вующее использование устройства не скажется на остав-
шейся длительности безотказной работы.
31
Однако ясно, что это свойство экспоненциального
распределения не позволяет использовать это распреде-
ление для описания устройств, которые в процессе нор-
мальной эксплуатации подвергаются воздействиям,
влияющим на длительность их последующей безотказ-
ной работы. Замечательным исключением из этого пра-
вила являются сложные системы, элементы которых вос-
станавливаются в процессе функционирования. Для та-
ких систем распределение времени между отказами
может быть принято приближенно экспоненциальным
(см. § 3). В [38] приводится исследование данных об от-
казах для широкого класса элементов. Определенные
радиоэлектронные элементы, такие, как упоминавшиеся
выше 'предохранители, по-видимому, имеют экспоненци-
альное распределение времени работы до отказа. Впро-
чем -в [38] отмечается, что те же элементы при условии
жесткого контроля процесса производства и условий
испытаний имеют распределение отказов нормального
типа. Однако большинство распределений, встречающих-
ся в практических приложениях, обычно не являются
нормальными, поскольку они заметно несимметричны,
тогда как нормальное распределение симметрично.
Гамма-распределение является несимметричным, и
поэтому, может быть, естественнее использовать его,
а не нормальное распределение. Это распределение при
а>1 имеет возрастающую интенсивность отказов, огра-
ниченную сверху величиной X. При а<1 интенсивность
отказов гамма-распределения убывает. Предположим, что
некоторый объект при данных условиях отказывает не ра-
нее, чем после появления k^l пиковых выбросов. Если
поток этих выбросов является пуассоновским с парамет-
ром X, то плотность вероятности отказа равна
f(t) =	f >0,
что является ^-кратной сверткой плотности экспоненци-
ального распределения.
Распределение Вейбулла характеризуется возрастаю-
щей интенсивностью отказов при а>1, причем в этом
случае интенсивность отказов возрастает неограниченно.
Это распределение названо асимптотическим распреде-
лением третьего типа для экстремальных значений [73].
32
Пусть Xt, Хг,..., Хп — результаты независимых наб-
людений случайной величины X, имеющей распределение F
и Уп = min (Xi,..., Хп). Предположим, что F (х) ъсха при
стремлении х к нулю (а>0). Тогда случайная величина
(nc)'laYn имеет предельное распределение Вейбулла [31J,
т. е.
Р[(пс),/вУп>/]~е-<а.
Более общая форма этой плотности дана на стр. 29
(см. п. 3). Там же приводится выражение и для интен-
сивности отказов г (t) =	. Сам Вейбулл чувство-
вал, что данное распределение является хорошей ап-
проксимацией функции интенсивности отказов, чем и
объясняется его интерес к этому закону. Распределение
Вейбулла применимо для описания усталостных отказов
[166], отказов вакуумных приборов [87] и шарикоподшип-
ников [111]. Возможно, в настоящее время это одно из
наиболее популярных распределений времени безотказ-
ной работы.
Распределение экстремальных значений вводится
следующим путем. Пусть Х2,..., Хп,.... — последо-
вательность независимых наблюдений случайной вели-
чины X. Пусть
Yt = Хи Уг = шах (ХМ.......Yn = max (Xt, Хг, ..., Хп),
и
Z. = X» zt = min (Xit Xt),..., Zn = min (XM..., Xn).
Случайные величины Yn и Zn являются экстремальными
значениями (соответственно максимальное и минималь-
ное) независимых наблюдений Ху Х2,..., Хп. Асимпто-
тическое распределение (т. е. распределение для боль-
шого числа случайных величин в выборке и) экстре-
мальных значений Yn и Zn может быть нескольких ти-
пов в зависимости от поведения функций распределения
порождающих его величин Х2,..., Хп,... Подробное
обсуждение асимптотического распределения экстре-
мальных значений можно найти в книге Э. Гумбеля
[73].
То, что мы ранее назвали модифицированным рас-
пределением экстремальных значений, есть модификация
3—1563	33
асимптотического распределения первого типа, опреде-
ляемого как
Г(0=1-ехр(-еХ('-и)),
где —о°<Гр»<оо, ^>0; —оо<^/<^оо.
Как отмечено выше, логарифмически-нормальное рас-
пределение обладает такими математическими свойст-
вами, которые не позволяют рекомендовать его в качест-
ве распределения времени безотказной работы. Видимо,
логарифмически-нормальное распределение хорошо под-
ходит для описания распределения времени восстанов-
ления, чему будет уделено внимание в последующих
главах.
При изучении усталостных отказов время до отказа
измеряется, <по существу, количеством проведенных цик-
лов до наступления отказа, т. е. является дискретной
случайной величиной. В этой связи будет полезно сде-
лать несколько замечаний относительно дискретных рас-
пределений. Основными дискретными распределениями,
используемыми в теории надежности являются следую-
щие:
7.	Геометрическое распределение
pk=p(l-p)\ 0<р<1, £=0, 1,2,...
8.	Отрицательное биномиальное распределение (рас-
пределение Паскаля)*
Ръ = [	Р= 1 —а> 0, k=0; 1; 2;..
9.	Биномиальное распределение

* Смысл использованного далее обозначения таков: для любого
целого положительного k
Р \ _Р(Р— О--- (Р —О .
k) k\ Ч°/
/— а \	— а (— а — 1) (— а — 2)	z _	_ .
Например, I ] =-------------gj----------• (Прим, ред.)
34
где п — положительные числа,
0<р< 1, k = 0, 1,2,..., п.
10.	Распределение Пуассона
А=^ехр(-2)> 2>0) А = 0;1;2;. . .
Имеется, конечно, естественный аналог 'интенсивно-
сти отказов r(t) для этих дискретных распределений. Ин-
тенсивностью отказов дискретного распределения
W=o
следует называть
Заметим, что в этом случае г(й)^1. Отрицательное би-
номиальное распределение имеет возрастающую интен-
сивность отказов при а>1 и убывающую при ia< 1. Это
распределение совпадает с геометрическим распределе-
нием при ia=d, и в этом случае интенсивность отказов
является постоянной. Биномиальное и пуассоновское
распределения имеют возрастающую интенсивность от-
казов.
3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ НАДЕЖНОСТИ
СЛОЖНОГО ОБОРУДОВАНИЯ
Как отмечено в § 2, оборудование, имеющее экс-
поненциальное распределение отказов, является, по су-
ществу, нестареющим. По этой причине считается, что
экспоненциальное распределение имеет ограниченное
применение. Однако в определенных случаях экспонен-
циальное распределение играет основную роль. Рассмот-
рим систему, состоящую из большого количества элемен-
тов. При некоторых общих предположениях распределе-
ние времени между отказами системы в целом прибли-
жается к экспоненциальному при увеличении времени
функционирования и росте числа элементов системы.
3*	35
Рассмотрим сложное устройство, которое после того,
как оно начало функционировать, остается непрерывно
включенным. Сделаем следующие предположения:
1)	различные элементы не обязательно идентичны,
но взаимно независимы;
2)	отказ каждого элемента приводит к отказу всей
системы в целом;
3)	в случае отказа каждый из элементов мгновенно
заменяется на исправный;
4)	предполагается, что процесс обнаружения и оты-
скания неисправностей и их последующего устранения
практически не занимает времени.
Нас интересует функция распределения длительности
между отказами системы после того, как прошло доста-
точно много времени, при условии, что количество эле-
ментов системы п очень велико. Метод решения предпо-
лагает рассмотрение стационарного случая (время функ-
ционирования стремится к бесконечности), а также
устремления к бесконечности величины и.
С течением времени каждый из элементов системы,
стоящий на определенной позиции, порождает бесконеч-
ную последовательность отказов, которые образуют слу-
чайный процесс, называемый процессом восстановления
(см. гл. 3). Таким образом, результирующий поток отка-
зов системы в целом представляет собой суперпозицию
множества таких процессов восстановления. Обозначим
через Nni(t) случайное количество отказов элементов
/-го типа, происходящих в системе из п элементов в те-
чение интервала времени t. Если система начала функ-
ционировать в бесконечно удаленный момент времени
в прошлом, то количество отказов в интервале времени
[О, /] зависит лишь от его длины, поскольку рассматри-
вается стационарное состояние.
В § 2 показано, что для стационарной последователь-
ности отказов f-го элемента.
t
О
где Nni(t) — число отказов за время /; Fni(x) — распре-
деление длительности жизни Z-го элемента и mni — его
среднее значение.
36
Параметр i-ro элемента определяется как
/->0	*
Всюду предполагаем, что вероятность появления двух
или более отказов в один и тот же момент времени рав-
на нулю.
Теперь сформулируем задачу строго. Рассмотрим
Nn(t);
AW), A^22(Z);
AW), Nn2(t), ..., Nnn(t)
—двойную последовательность процессов, независимых
в каждой из строк. Через Nn(t) обозначим их суперпо-
зицию (сумму) в n-й строке. Введя в рассмотрение пара-
метры процессов в каждой из рассматриваемых строк,
получим параметр суммарного процесса
J_ = _!_ + _L
Л„ mni 1 тп2
1
тпп
Для упрощения предположим, что АП = Л, т. е. суммар-
ный параметр остается постоянным при возрастании п.
Проблема состоит в нахождении таких ограничений
на вид распределений Fnu чтобы с ростом п суммарный
процесс сходился к пуассоновскому процессу с парамет-
ром 1/Л. (Распределения предполагаются нерешетчаты-
ми.) Приведем без доказательства следующую теорему
[124]. Более полное обсуждение слегка отличающейся по
формулировке теоремы можно найти в [107].
Теорема 3.1.
Если:
’>	-----(3.1)
<=1
37
2) [Mn»(O; ^0] есть стационарный процесс восста-
новления для i=l,2,..., п;
3) М)=£О);
Z=1
то
НтР[Ап^) = ^, 1 </<$] =
л->оо
где X=il/A; tQ = ko=O\ s — любое положительное целое
число; 0</i</2< ... </s;	. ^kSi а все
ki — неотрицательные целые числа (это означает, что
[Nn(t)\ /^0] сходится к пуассоновскому процессу с па-
раметром 1/Л).
Если условия 2, 3 и равенство (3.2) выполняются и
если для произвольного малого сг>0 существует такое
По, что
max—?—<а,	(3.3)
l^n mnt	'
для всех и^По, то (3.1) выполняется автоматически.
Можно показать, что бесконечная малость парамет-
ров суммируемых процессов является простым следст-
вием (3.1).
Таким образом, условие (3.3) является как необходи-
мым, так и достаточным для сформулированной теоре-
мы. Требование бесконечной малости параметров сум-
мируемых потоков является вполне обоснованным.
Оно исключает возможность того, что какой-либо
процесс Nni(t) с параметром Л мог стать предельным
для Nn(t) (для этого достаточно, например, в каждой
последовательности взять процесс Nni(t) в качестве пер-
вого слагаемого, а в качестве остальных слагаемых
взять фиктивные процессы, характеризующиеся отсутст-
вием отказов). Условие (3.1) исключает возможность
того, что большинство отказов будет связано лишь с не-
большой группой элементов.
Заметим, что вместо того, чтобы предполагать посто-
янство Ап, можно нормировать суммарный процесс пу-
тем деления среднего значения распределения отказов
38
каждого элемента на Ап. В этом случае достаточно Ис-
пользовать лишь один индекс для обозначения распре-
деления отказов элемента, так как
Fni(0=^(^An).
Теперь без использования двойной индексации мож-
но сформулировать теорему при более широких, хотя и
более интуитивных предположениях. Заметим, что в со-
ответствии с § 2 для стационарного процесса вероят-
ность отсутствия отказов у системы, состоящей из п эле-
ментов, (0, /) равняется
п
G п (0 = П
Г Ft(x)dx
J mi
t
(3.4)
Теорема 3.2 [46].
Если:
1) lim sup-^7- = 0;
л-»оо 1^1’сл
2) Л(/)^Д/’,Д>0, о>0 при / —0; i= 1,2,..., п;
то lim Gn (’An) = е-’ для т > О,
п-мо
где С?п(т) есть стационарная вероятность того, что си-
стема из п элементов проработает безотказно в интер-
вале времени [0, т].
Эти условия, хотя и более интуитивные, чем анало-
гичные условия в теореме 3.1, являются вполне доста-
точными. Условие 1 требует, чтобы Ап—И) при п—>оо.
Оно также требует, грубо говоря, чтобы не было слиш-
ком плохих элементов в системе, а именно таких элемен-
тов, у которых среднее время жизни настолько мало,
что Kn/nii возрастает с ростом п, хотя Ап убывает. Это
могло бы быть, например, если т, ограничено снизу. Ус-
ловие 2, заимствованное из [32], описывает поведение
функции распределения отказов в окрестности нуля.
Этим условием исключаются распределения с интенсив-
ностью отказов, стремящейся к бесконечности при
t—>0, по крайней мере быстрее, чем 1/Z, но сохраняются
все обычно встречающиеся распределения отказов. Если,
например, 1/т<^Д и распределения F* имеют возра-
39
стающую интенсивность отказов для всех Z, то Л(/)^
[см. уравнение (7.1)] в окрестности
нуля и все условия теоремы 3.2 являются выполнен-
ными.
Можно поставить вопрос, нельзя ли получить анало-
гичные результаты для вероятности безотказной работы
на начальном периоде функционирования (т. е. неста-
ционарного процесса). Иными словами, нас интересует
вероятность безотказной работы системы в интервале
времени [0, /] после того, как система впервые начала
функционировать. В общем случае на распределения от-
казов отдельных элементов должны быть наложены бо-
лее жесткие требования для исследования предельного
распределения при п—>оо. Класс распределений Вей-
булла, включающий экспоненциальное распределение
как частный случай, представляет собой весьма узкий
класс распределений. Если распределение отказов эле-
мента ведет себя в окрестности нуля, как р/а для не-
которых положительных а и р, то для больших п
6„(/)^е-^в.
Подробное обсуждение распределений экстремальных
значений можно найти в [73].
4. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ
ИНТЕНСИВНОСТИ
Класс распределений отказов, имеющих возрастаю-
щую функцию интенсивности (ВФИ-распределения),
представляет особый интерес, поскольку большинство
материалов, структур и устройств с течением времени
подвергается износу, «стареет». Определенный интерес
представляют и распределения отказов с убывающей
интенсивностью отказов (УФИ-распределения) в связи
с явлением упрочнения определенных материалов, а так-
же в связи с так называемой приработкой сложных си-
стем. Можно, конечно, привести примеры, когда функ-
ция интенсивности отказов является немонотонной (на-
пример, системы с динамической нагрузкой). Системы,
подверженные подрегулировкам и доработкам, также
могут иметь немонотонную интенсивность отказов.
40
Можно говорить об интенсивности отказов, монотон-
ной не только во времени. Например, предположим, что
система подвержена постоянно возрастающей нагрузке
таким образом, что уровень нагрузки, при котором про-
исходит отказ, в общем является случайным, равным,
например, х. Поскольку условная вероятность отказа
возрастает с ростом уровня нагрузки, то случайная ве-
личина х имеет ВФИ-распределения.
Предположение о том, что распределение отказов
имеет монотонную функцию интенсивности, является,
как покажем дальше, очень сильным. Такие распределе-
ния отказов обладают множеством полезных и интерес-
ных свойств. Результаты данного параграфа основаны
на работах [14, 13].
Определения
Интенсивность отказов определяется иногда как
вероятность отказа в течение конечного интервала вре-
мени х при условии, что возраст элемента равен t. Если
через F обозначить распределение времени безотказной
работы, то интенсивность отказов в соответствии с толь-
ко что приведенным определением была бы записана как
F(t + x)-F(t)	и п
F(t) ’
Если поделить найденную величину на х и положить
х—Ч), то получим r(t). Нам полезнее определить
ВФИ (УФИ)-распределения не через г(/), а в терминах
(4.1). Сначала проведем различие между дискретными
и непрерывными распределениями. Распределение назы-
вается дискретным, если вероятностная мера концентри-
руется не более чем на счетном множестве точек.
Определение 1. Непрерывное распределение F являет-
ся ВФИ (УФИ)-распределением тогда и только тогда,
когда Г(0)=0 и (4.1) является возрастающей (убываю-
щей) функцией от t при х>0, таких, что F(/)<1.
ВФИ-распределения можно определить, не ограничи-
вая t областью неотрицательных значений. Но для
УФИ-распределений область существования t не может
быть расширена до —оо. Заметим, что если распределе-
ние имеет убывающую интенсивность отказов, то F(t)>
>0 для всех />0. Преимуществом определения 1 явля-
ется то, что нам нет необходимости делать предположе-
41
ния о существовании у рассматриваемого распределения
плотности. Распределение может быть ВФИ (УФИ)-рас-
пределением и иметь точки разрыва на правом (левом)
конце интервала существования.
Следующая лемма показывает эквивалентность на
положительной полуоси ВФИ (УФИ)-распределений,
имеющих плотности, и распределений, у которых функ-
ция /•(/) возрастает (убывает).
Лемма 4.1. Предположим, что распределение F имеет
плотность f, причем 7?(0~) =0. В этом случае F есть ВФИ
(УФИ)-распределение тогда и только тогда, когда r(t)
является возрастающей (убывающей) функцией.
Доказательство. Заметим, что, поделив (4.1)
на х и устремив х к нулю, получим r(t). Нам надо дока-
зать, что возрастание (убывание) с ростом t функции
r(t) влечет за собой возрастание (убывание) выражения
(4.1). Для Х1^Хг имеем
г (х,) < г (х2),
поэтому
t
Иначе говйря,
Xi + t
а так как
exp — С г (и) du < exp — ( г (и) du ,
•	J
L x2	J	L х,
г t	•
F (/) = exp — Jr («)du ,
о
(4.2)
то
F (x, +_<) - F (x,) F (x, + Q - f (x,)
F (*2)	<c) r
Определение 2. Дискретное распределение "_0 есть
ВФИ (УФИ)-распределение тогда и только тогда, когда
отношение
Рк
00
Ypi
i=k
неубывающее (невозрастающее) для £=0, 1, 2,...
42
Естественным обобщением отношения	яв-
ляется отношение
НО
(4.3)
Плотности f, для которых (4.3) является неубывающей
функцией t во всей области, где знаменатель не обра-
щается в нуль для всех действительных Л, принято на-
зывать плотностями Пойа 2-го порядка (ПП2). Это огра-
ничение будет накладываться на плотность распре-
деления отказов в моделях, которые будут исследовать-
ся ниже. Определение частотной функции Пойа перво-
начально было сформулировано в терминах определи-
телей. В ряде приложений подобная формулировка ока-
зывается более полезной, чем утверждение о возраста-
нии функции (4.3).
Определение 3. Функция р(х), определенная на всей
действительной оси, является ПП2 тогда и только тогда,
когда р(х) ^0 для всех х и
р(х,— yt) p(xt — уг) |>0
p(xt — yt) р(х2 — уг)\"
для любых —оо<х1^х2<°о и —Легко
проверить, что р(х) есть ПП2 тогда и только тогда, ког-
да р (х)	0 для всех х и
Р(х — &)
Р(х)
(4.4)
возрастает с ростом х для {х|р(х)>0} и Д>0. Исполь-
зуя этот результат, можно показать, что f является
плотностью ПП2 тогда и только тогда, когда (4.3) воз-
растает с ростом t.
Понятие функции ПП2 может быть естественным об-
разом расширено следующим образом.
Определение 4. Функция р(х,у), определенная для
всех х£Х п y£Y(X и Y линейно упорядоченные множес-
тва), является вполне позитивной функцией 2-го порядка
(ВПФ2) тогда и только тогда, когда р (х,у) > 0 для всех
х£Х, y£Y и
Р{хиух) р(хиу2)
Р{хг,ух) р(хг,у2)
>0
ДЛЯ любых	И У1<Уг(х1,Х2^Х', У1,Уг£У).
43
Это понятие было введено и изучено в [102]. ПП2
только в словесной формулировке отличаются от ВПФ2.
Покажем, что F. есть ВФИ (УФИ)-распределение тогда
и только тогда, когда F(x—y)(F(x+y)) есть ВПФ2 Для
действительных х, у, таких, что выполняется условие
(х+у)^0.
Для дальнейшего важно показать эквивалентность
следующих определений.
Теорема 4.1. В предположении, что f (0_)=0, следую-
щие утверждения эквивалентны:
a)	F есть ВФИ (УФИ)-распределение;
б)	функция IgF(Z) является вогнутой (выпуклой)
для всех /^0, для которых выполняется условие F(t)<
в)	F(t) есть ПП2-функция (F(x+y) и есть ВПФ2-
функция для всех х и у, таких, что x+t/J^O).
Доказательство. Эквивалентность а и б.
Пусть F (t) =	. Тогда
Д) —(0 _ । _ е-((?(<+Д)-л«л
rtf)
и F есть ВФИ (УФИ)-распределение тогда и только тог-
да, когда J? (/4-А)—R'(t) возрастает (убывает) с ростом
t для любых А>0. Таким образом, F. есть ВФИ (УФИ)-
распределение тогда и только тогда, когда функция
/?'(/) выпукла (вогнута).
Эквивалентность айв. Распределение F есть ВФИ
(УФИ)-распределение тогда и только тогда, когда
F (tt) —F Щ-^-х) F(tt)—F(tt + x)
F(tt)	F(t2)
<0
для t\^t2 и x^O. Вычитая вторую строку из первой,
видим, что нами получено условие, что функция F
есть ПП2.
Теорема, аналогичная теореме 4.1, может быть дока-
зана для дискретных ВФИ (УФИ)-распределений.
Поскольку измеримая выпуклая функция непрерывна
внутри области, в которой она определена, из пункта б
теоремы 4.1 видим, что распределение F. не может иметь
точек разрыва внутри области существования, если F
44
есть ВФИ или УФИ-распределение. Если F есть ВФИ-
распределение, то оно может обладать точкой разрыва
только на правой границе области существования и,
следовательно, F(0~) =F(0) =0. Если F есть УФИ-рас-
пределение, то оно может обладать точкой разрыва
лишь в нуле. Если у УФИ-распределения F существует
плотность f, то она обязательно убывает, так как если
бы она возрастала, то точно так же вела бы себя и
функция f(t)lF(t). Дополнительно заметим, что обла-
стью существования f является полуоткрытый интервал
[О, оо). Действительно, если бы область существования f
была конечна, скажем [0, 6], то в силу (4.2)
lim
t-+b
1 — ехр

и, следовательно, limr(/) = oo. Но это противоречит пред-
м
положению о том, что г — убывающая функция. ВФИ
(УФИ)-распределение F является непрерывной функци-
ей, кроме, быть может, правого (левого) конца интер-
вала существования. Действительно, можно показать,
что в любом случае непрерывная часть функции F явля-
ется абсолютно непрерывной. Допустим, что F есть
ВФИ-распределение. Пусть е>0. Выберем такое z, что-
бы U(z)=^—\gF(z) <оо.
Пусть 0^ai<Pi<a2<P2<.. .<arn<prn^z есть точки,
удовлетворяющие условию
т
£ (Pi — a,) < e/t/+(z),
/=1
где
t/+ (z) = lim р (z + 8) — U(2)}lb< оо,
а 4.0
потому что U есть выпуклая функция. Тогда
т	т
£ | и (pf) - и (a.)| = £	(pi. - М <
tn
45
Таким образом, функция U абсолютно непрерывна
на отрезке [0, z], откуда и следует требуемый результат.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и
в случае, когда ^есть УФИ-распределение.
Сравнение с экспоненциальным распределением
Поскольку экспоненциальное распределение имеет по-
стоянную интенсивность отказов и является граничным
распределением между ВФИ- и УФИ-распределениями,
то естественно, что оно позволяет получать оценки для
вероятности безотказной работы для этих распределе-
ний. В частности, если F есть ВФИ-распределение, то
функция F(t) пересекает функцию самое большое
один раз при а>0, если только обе они не совпадают
полностью. Это можно легко показать, поскольку обе
эти функции в нуле равны и
lgF(0 — (—at)
может превратиться в нуль по крайней мере один раз
при />0.
Пусть распределение F имеет среднее значение р^. Тог-
__
да функция F (t) должна пересекать е И1 ровно один раз,
проходя сверху вниз. Это замечание говорит нам о том,
что «хвост» функции F(t) убывает быстрее, чем экспо-
ненциально. Следующая лемма является более точным
утверждением этого факта.
Лемма 4.2. Если F есть ВФИ (УФИ)-распределение,
то
убывает (возрастает) с ростом /.
Доказательство. Предположим, что^F есть ВФИ
(УФИ)-распределение. Тогда функция F(t) вогнута
(выпукла) по t и
lgF(Q-lg^(0-)
/ — О
убывает (возрастает) с ростом t. Следовательно, функция
также является убывающей (возрастающей) по t.
По лемме 4.2 F(x)< [F(t)]xlt для
46
и
j xrF (х) dx < f xr [F (t)]xl‘dx < oo,
t	t
когда F (t)<Z 1 и r > 0. Следовательно, ВФИ-распределе-
ние имеет конечные моменты всех порядков.
Теорема 4.3. Если F есть ВФИ (УФИ)-распределение
и Г(£р) =р, т. е. есть p-я квантиль, то
>е~а/, t<^„
где
__ 1g (1— д)
а~~ *
Доказательство. Указанные неравенства немед-
ленно следуют из леммы 4.2.
Для функции F(t) может быть получена замечатель-
ная нижняя оценка, когда F есть ВФИ-распределение.
Теорема 4.4. Если распределение F имеет 'математи-
ческое ожидание щ и есть ВФИ-распределение, то
(е”//И,ПрИ	(4.6)
(0 при t Р4.
Неравенство является строгим.
Доказательство. Поскольку мы всегда можем
любое ВФИ-распределение сколь угодно хорошо аппрок-
симировать непрерывным ВФИ-распределением, то без
потери общности можно предположить, что распределе-
ние F является непрерывным. Пусть X есть случайная
величина с распределением F. Тогда функция lg F(t)
является вогнутой по t «и в соответствии с неравенством
Йенсена
_ Поскольку распределение F является непрерывным,
F(X) равномерно распределена на интервале [0, 1] и
1
£llgF(.¥)]= Jlg«d«=-1.
о
47
Следовательно,

и
F (Hi) > е-1.
В соответствии с леммой 4.2
F (/)]'">
для и, следовательно,
ДЛЯ t
Экспоненциальное распределение со средним щ дает
нижнюю оценку при /<ць а вырожденное распределе-
ние с точкой концентрации дает нижнюю оценку для
Заметим, что неравенство (4.6) действительно строгое
для	если только F не совпадает с e-z/11*.
Эти оценки часто используются. Например, предста-
вим, что система состоит из п независимых последова-
тельно соединенных элементов, каждый из которых име-
ет распределение времени работы до отказа Fi, с воз-
растающей интенсивностью отказа, причем соответст-
вующие средние значения этих распределений равны
2, ..., п). Тогда, используя выражение (4.6), мож-
но для вероятности безотказной работы системы запи-
сать
п
П ^(0>
Z=1
для
для осталоныл значений t.
Оценка является строгой, что и объясняет, почему ве-
роятность безотказной работы системы часто оказывает-
ся выше, чем в результате предсказания на основании
расчета по элементам.
Аналогичным образом для параллельной системы,
элементы которой имеют распределения с возрастающей
48
функцией интенсивности, можно записать
п
п л(о<
Z=I
п (1 -е~'/|Х<) ДЛЯ t <min (щ,..|ч).
i=i
1	для остальных значений t.
Обобщение этих результатов дается в теореме 3.1 гл. 7.
Наилучшая верхняя оценка для когда F есть ВФИ-
распределение, получена в следующей теореме.
Теорема 4.5. Если распределение F, имеющее мате-
матическое ожидание ць есть ВФИ-распределение, то
*(0<{Lr ПРИ	(4-7)
|е при
где <о зависит от t и удовлетворяет условию
1	—со/
Доказательство. Заметим, что F(x) может пе-
ресекать функцию
G(x)=Je прих<7,
(О при х > t .
самое большое один раз при x<t, и если это пересечение
действительно имеет место, то функция F(x) пересекает
Рис. 4.1.
функцию G(x) сверху (рис. 4.1). Если />ць мы можем
всегда определить w таким образом, чтобы
e-ejcdx=ih.
4—1563
49
Предположим, что G(x)gfeF(x) при выбранном_ал Тогда
F(x) не может мажорировать функцию G(x) при
всех О.^х^/, потому что это повлекло бы за собой
00	t
= J F (x) dx >• J G (x) dx — p-p
о	o’
Следовательно, F(t)<Z^ Ы пока F не совпадает полнос-
тью c G. Поскольку G есть ВФИ-распределение, полу-
Рис. 4.2. Границы значений вероятности
безотказной работы для ВФИ-распределе-
НИЙ (Ц1=1).
ченная оценка является строгой. Вырожденное распре-
деление с точкой концентрации щ дает верхнюю оценку
ДЛЯ /^Ц|.
Как можно показать, верхняя оценка, полученная в тео-
реме 4.5, асимптотически эквивалентна e-z/|i'. На рис. 4.2
показаны наилучшие верхняя и нижняя оценки для
F(t), когда F есть ВФИ-распределение pii=l. В пятой
статье дополнения приводятся табулированные значения
этой верхней оценки. Обобщение теорем 4.4 и 4.5 дается
в § 6.
Можно также получить оценки для квантилей в тер-
минах средних значений, а также средних значений
в термйнах квантилей.
50
Теорема 4.6. Предположим, что F есть ВФЙ-распрё-
деление. Если —е-1, то
[- 1g(1 -/ОЬ.<<[- -lg(--~p) )
и если />> 1 —е-’, то
Hi «р I	- I Н1>
где
5р = sup | F(/)<pb
Неравенство является строгим.
Доказательство. Сначала получим верхнюю
оценку. Используя лемму 4.2, запишем
Hi = р (х) dx > j IJ	.
о	о
Решая относительно получаем
?	-'g(l-P)
«р н» р
для всех 1 >р>0.
Предположим, что	—е-1. Если £Р<ръ то по тео-
реме 4.4
1-р = ^(Вр)^е"^,
откуда следует
6р> И1[—lg(l- р)].
Аналогичным образом, если то
-р^е-^е-^*1'.
Решив относительно £р, получаем
£р5э=|Х1[—lg(l—р)],
где р^1—е-1.
4»
51
Предположим, что e-t и ёР<р,ь Тогда F(lP)=*
=р, поскольку распределение F. не может иметь точек
разрыва слева от щ. Следовательно,
Р (»ч) > е-* 1 — р = Р (Вр),
что влечет за собой	Из полученного противоречия
следует, что если е-1, то
ВФП-распределепия с заданными квантилями, дости-
гающими указанных границ, могут быть легко построе-
ны на основании этих рассуждений.
При выборочных испытаниях на срок службы неко-
торые испытываемые элементы могут не отказать в те-
чение всего срока испытаний. В связи с этим обычное
выборочное среднее не может быть построено. Однако
всегда возможно получить некоторые оценки для кван-
тилей. Заметим, что, используя теорему 4.6, можно по-
лучить оценки для среднего значения ВФИ-распределе-
ния в терминах квантилей. Например, если М есть ме-
диана, то
Для УФИ-распределения F верхняя оценка для P(t)
может быть получена в терминах первого момента рас-
пределения, как это показано в следующей теореме.
Теорема 4.7. Если F есть УФИ-распределение, имею-
щее математическое ожидание ць то



t
(4.8)
Неравенство является строгим.
Доказательство. Пусть L = 1g Р (t). Поскольку
функция Р(х) выпуклая (рис. 4. 3), существует a(L<a<
<0) такое, что
Ig^W^
t а x-f-a, х'О,
или
^(х)>ехр (L ta- х
52
Рис. 4.3. Пояснение доказа
тельства теоремы 4.7.
Таким образом, для некоторого a(L<a<0)
00	оо
щ = J р (х) dx > е*Р	х 4- а) dx =
о	о
или
/ра
L<a—^г=<р(а)-
Для а < О функция <р (а) принимает максимальное значение
при
ао  {	л
(	0	, /Ср,,,
и из условия L^<p(oo) следует (4.8). Равенство дости-
гается только для распределения <?, для которого
lgG(*)={ х
I t
О при х < О,
{-1g -у- при х>0 для
Оценки, выраженные в терминах r-момента распре-
деления, легко получить тем же образом. Теорема 4.4
может быть доказана тем же методом, что и теорема 4.7.
Строгой нижней оценкой F(t) для УФИ-распределе-
ния является нуль. Для того чтобы показать это, рас-
смотрим некоторое произвольно малое е>0 и
G(x) =
{1 при х < О,
ее~аХ при х > О,
где а=е/р,,. Тогда G есть УФИ-распределение с разрывом
в нуле и С (х) < е для всех х > 0.
53
Следующая теорема дает полезные неравенства для
моментов. Для удобства обозначим экспоненциальное
распределение через G(t).
Теорема 4.8.
Если:
a)	F есть ВФИ-распределение, имеющее среднее зна-
чение ць а
G (х) = е_х/|Х‘;
б)	<р(х) есть возрастающая (убывающая) функция,
то
00	00
J <Р W F (х) dx^ J <Р (х) G (х) dx.	(4.9)
О	о
Доказательство. Допустим, что ф возрастает и
F не равна тождественно G. Поскольку F есть ВФИ-рас-
пределение и G есть экспоненциальное распределение
с тем же самым средним значением, F пересекает G ров-
но один раз сверху вниз_в некоторый момент времени,
например, /0, т. е. F(/o) =G(/0). Тогда
j <Р (х) F (х) dx — С <Р (х) G (х) dx = J [<р (х) — <р (/„)] X
ООО
X (*) — (*)] dx О,
что и доказывает (4.9). При доказательстве этой теоре-
мы для убывающей функции ф следует лишь заменить
Ф на —ф.
Заметим, что аналогичная теорема справедлива для
УФИ-распределения, при этом все знаки неравенства
изменяются на противоположные. Из теоремы 4.8 можно
немедленно получить сравнение между моментами ВФИ-
распределения и соответствующими моментами экспо-
ненциального распределения с тем же средним значе-
нием.
Следствие	4.9. Если F есть ВФИ	(УФИ) -распределе-
ние и имеет г-	й момент, равный цг, то	
(а)	р-г < 00	^г(г+1)и;, r^i, (|)Г(г+ 1)К’ о<г<1’	(4-10)
(«) р 0	-sxdF(x) «-г-г5	.	(411)
54
Доказательство.
а)	Выберем в теореме 4.8 <р(х) =хг-1. Тогда
|xr=rfxr }F(x)dx J / 'в (х) dx— Г (г1)^
о	о
при г 2^1. Заметим, что при O^r^l функция (p(x)=xr-i
является убывающей и, таким образом, неравенства из-
меняются на противоположные.
б)	Поскольку e~sx убывает по х при s>0 и
ОО	00	00
dF (х) = J e~sxF (х) dx(g} j <Г°ХО (х) dx =
О	0	0
s ’
получаем (4.11).
Заметим, что для ВФИ-распределения
»*2 <
и, следовательно, дисперсия о2 удовлетворяет условию
о2^Р12 и коэффициент вариации cf/juli не превосходит
единицы. Для УФИ-распределений неравенства изме-
няют знаки. Из доказательства следствия 4.9 видно, что
все неравенства являются строгими до тех пор, пока рас-
пределение F не равно тождественно экспоненциальному
распределению.
Теперь покажем, что среднее время безотказной ра-
боты последовательной системы, элементы которой име-
ют распределения с возрастающей функцией «интенсив-
ности и значения среднего времени безотказной работы
(/= 1,2,..., и), превышает среднее время безотказной
работы последовательной системы, элементы которой
имеют экспоненциальные распределения времени безот-
казной работы с теми же средними значениями щ (i = 1,
2, ..., и). Для параллельных систем справедливо как
раз обратное утверждение.
55
Следствие 4.10. Если /\(х)есть ВФИ (УФИ)-распреде-
ление
a)
6)
со средним значением м и Gi(x) = e /и‘, то
( П W dx(l) f П	W dx = ——:
6 *=1	О 1=1
1
п
п
— n (*) dx&> $ 1 — П G<w dx-
0
Z=1	л
П (я) П	G i (x)dx*
;=i	/=z+i
°° п
О
Доказательство. Сначала покажем справедли-
вость а. По теореме 4.8 для	имеем
J IП П W (х) ^(В)
о и=1	/=/ + 1
00
(В) j
О
Рекуррентно получаем
оо	. ft
f П <*) dx(2) f П (*) dx= -n^--------•
о 1=1	о J=t	£ 1/M
/=1
Доказывая справедливость б, заметим, что по теореме 4.8
00 1—1	л
J П Fi (*) П G3 Ъ (*) dx&)
Q /=1	/=/ + 1
(5) У П (%) П @1W dx*
о /=1	/=z+i
что, в свою очередь, влечет
оо Г I	п
{ 1 —П ги*) П	dx
О	•	• • • *
(^)
7=Z+1
n
<f)J	dx-
о
/=1
56
Рекуррентно получаем
Т 1 —IjGj(x) dx.
Когда p,i = p,j (i=l, 2, ..п) и F есть ВФИ (УФИ)-рас-
пределение, из б следует
Используя теорему 4.8 и метод доказательства, предло-
женный в [92] и [145], мы получаем следующую теорему.
Теорема 4.8'.
Если:
1)	F есть ВФИ-распределение, F(0)=0;
2)	JxdF(x) = K,
о
3)	функция <р(х, у) выпукла (вогнута) по у и дваж-
ды дифференцируема по у,
4)	дф(х, у)!ду не возрастает (не убывает) по х;
5)	изменение порядка интегрирования и дифферен-
цирования по X возможно в (4.12),
то j <р (х, 25 (x)) dx ( Ч> (х, F (х)) dx (> j <? (х, е-х/И1) dx.
о	oJ	о
Предполагается, что все интегралы существуют. Здесь
£>(х) =0 для х<р и £>(х) = 1 для х^р,.
Доказательство. Найдем нижнюю оценку, предпо-
лагая, что функция <р (х, у) выпукла по у и частная производ-
ная <р (х, у) не возрастает по х. Положим Go (х) = е—*Л‘*
и обозначим
/ (X) = J <? (х, iGo (х) + (1 - X) F (х)) dx	(4.12)
для OCX^l. Используя 3, легко проверить, что 2(Х) вы-
пукла относительно X. Следовательно, если Go(x) мини-
57
мйзйрует (4.12), то /(X) достигает своего минимума прй
%=1. Это возможно тогда и только тогда, когда
Г Wlx=> Бо-
далев,
00
г (*) k=I = J	? (*- Go W) 1^0 (X) — F (*)] dx.
О
По условию 4 частная производная дф(х, у)/ду не воз-
растает по х. По условию 3 частная производная
дф(х, у)1ду не убывает по у. Но
Я.».м
не возрастает по х. Следовательно, по теореме 4.8
J i т <*	.».wd х ” J k» (х'L -т,. w *
о	о
откуда вытекает, что Г (Л) |х==1 < 0. Следовательно,
(<Р (х, F (х)) dx> J <Р (х, Go (х)) dx.
О	о
Если предположить, что функция <р (х, у) вогнута по у
09 (Xt У)	/Г
и частная производная т v *- - не убывает по х, все нера-
венства изменят знаки на обратные. Верхняя оценка на-
ходится аналогичным образом.
Теорема 4.8 действительно является частным случаем,
когда ф(х, у)=ф(х)(1—у) линейна относительно у.
Теоремы 4.8 и 4.8' и следствия 4.9 и 4.10 могут быть
также получены как частные случаи следствия, приве-
денного в [56, стр. 630].
5.	СОХРАНЕНИЕ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ
ИНТЕНСИВНОСТИ
Гипотеза о возрастании интенсивности отказов эле-
ментов, подверженных предварительной приработке и
работающих в условиях, не предопределяющих возник-
58
новение отказов, «интуитивно понятна и вполне приемле-
ма. Однако возникает вопрос: какие структуры характе-
ризуются возрастающей интенсивностью отказов, если
их отдельные элементы обладают таким свойством? По-
кажем, что система, -состоящая из единственного основ-
ного элемента с возрастающей интенсивностью отказов
и п—1 таких же ненагруженных резервных элементов,
обладает указанным свойством. Другими словами,
свертка ВФИ-распределений дает снова ВФИ-распреде-
ление. Подобным же образом порядковые статистики
случайных величин, имеющих ВФИ-распределение, так-
же имеют ВФИ-распределения.
Время безотказной работы системы, в которой допу-
скается отказ k из п элементов (см. § 5 гл. 7), соответ-
ствует k-й порядковой статистике. В гл. 7 вопрос сохра-
нения интенсивности отказов изучается для более слож-
ных систем.
Теорема 5.1. Если F^ и F2 есть ВФИ-распределения,
их свертка H=Ft % F2 также есть ВФИ-распределение.
Доказательство. Предположим, что распределе-
ния Fi и F2 имеют плотности fi и f2. Для fi<f2, И1<н2
можно по лемме 1 приложения записать
D = | Н{Ц — Uj) /=1>2 = | J Л (ti — s) Д (s — Mj) ds | =
= J J IЛ (ti — sft) 11 f2 (sh — Uj) I ds2dSi.
Sl<$2
Интегрируя по частям, получаем
D= С Г (G — ^0 Л (G — s2)
.) J Fi (^2 — Si) fi (t2 — s2)
$1<$2
Знак первого определителя
А (^2 — s2) Fi (t2 — s2)
Fi (^2 — $2) Fi (^2 — si)
h (Si - «>)	- «2) 1^^
F2 (s2 — th) F2 (s2 иг) I
тот же, что и выражения
fi (Л — $2) Fi (ti — s2)
Fi (ti — s2) Fi (ti — Si)
в предположении, что знаменатель не обращается в нуль.
Но в соответствии с принятой гипотезой
f 1 (G — ^2)	f 1 (^1 — s2)
Fi(t2-s2) F(ti-s2) ’
59
откуда по теореме 4.1
Fl j— Si) p\{t\ — Si)
Таким образом, первый определитель неотрицателен.
Аналогичные аргументы могут быть приведены и для
второго определителя, так что D^O. Но по теореме 4.1
это означает, что Н есть ВФИ-распределение.
Если хотя бы одно из распределений F или G имеют
плотность, данная теорема может быть доказана подоб-
ным же образом с использованием предельного пере-
хода.
Теорема 5.1 справедлива и для дискретного случая,
причем доказательство проводится аналогично.
Интересно заметить, что свойство убывания функции
интенсивности не сохраняется при применении преобра-
зований типа свертки. В качестве примера достаточно
рассмотреть случай, когда распределения F\ и F% имеют
плотности
fi(^) = f»(^) = Xr(l^) Х.
с 1/2<а<>1. Однако взвешенная сумма УФИ-распреде-
лений также есть УФИ-распределение.
Теорема 5.2. Если Fi(t) есть УФИ-распределение и
00
а^О для всех i=l, 2, ..., причем 2 а4=1, тогда
<=1
0(о=§ a<Fi(z)
z=i
есть УФИ-распределение.
Доказательство. Предположим, что каждое рас-
пределение Fi имеет дифференцируемую плотность Д-.
Так как Ft есть УФИ-распределение, то функция f, яв-
ляется убывающей. В соответствии с неравенством
Шварца
2	f at (- ft) > R а<	''Т -
1~1	1 = 1	l»=l	J
60
Поскольку fi[Ft убывает, то Д(—/'<)>/*. Таким образом,
Is
v=l	}	V=1 J
откуда следует, что G есть УФИ-распределение.
Если какое-либо из распределений Fi не имеет диф-
ференцируемой плотности, данный результат может быть
получен предельным переходом.
Взвешенная сумма ВФИ-распределений не обязатель-
но дает ВФИ-распределение. Например, взвешенная сум-
ма двух различающихся экспонент в соответствии с тео-
ремой 5.2 является УФИ-распределением. Эта теорема
может быть использована для различения параметров
в объединенных выборках, каждая из которых пр шзво-
дится из совокупности экспоненциально распределенных
величин [134].
Заметим, что в теореме 5.1 никак не использовалось
предположение о том, что распределения, Fi и Ft соот-
ветствуют положительным случайным величинам. Двой-
ственным по отношению к интенсивности отказов являет-
ся отношение
Нх)/Е(х).	(5.1)
Если X имеет смысл времени и мы изменим его знак, то
f(—x)/F(—х) становится интенсивностью отказов. Таким
образом, случайная переменная X имеет возрастающую
функцию интенсивности тогда и только тогда, когда —х
имеет убывающее отношение (5.1). Заменяя х на —х,
мы получаем из теоремы 4.1 (в), что (5.1) убывает по х
тогда и только тогда, когда распределение F является
ППг-распределением. То, что это свойство также консер-
вативно относительно свертки, окажется полезным при
рассмотрении проблемы оптимального размещения ре-
зервных элементов, излагаемой в гл. 6.
Теорема 5.3. Если распределения Л и F2 логарифми-
чески вогнуты, то
H(t)= ^F1(t-x)dFt(x)
О
также логарифмически вогнута.
61
Доказательство. Заменим в теореме 5.1 X на
—X и используем замечание, только что сделанное от-
носительно отношения (5.1).
Теорема 5.1 утверждает, что система, состоящая из
одного элемента и любого числа запасных ненагружен-
ных элементов, имеет ВФИ-распределение времени без-
отказной работы, если ее элементы имеют каждый ВФИ-
распределение времени безотказной работы. В терминах
интенсивности отказов это означает, что такая система
имеет возрастающую интенсивность отказов, если все ее
элементы также имеют возрастающую интенсивность от-
казов. Как и следовало ожидать, интенсивность отказов
системы всюду ниже, чем интенсивность отказов каждого
из элементов, если все ее элементы имеют ВФИ-распре-
деления времени безотказной работы.
Теорема 5.4. Если распределения Fx и F2 имеют ин-
тенсивности отказов fi(Z) и г2(0 соответственно и Н*
есть их свертка с функцией интенсивности то
гНО^пмпр-Д/), г, (01-
Доказательство. По определению
fl (t — X) ft (х) dx
rh =
J Fi (t-x)ft(x)dx
< G (0 -------Щ7)-------= G (0
и неравенство становится ясным из того, что
Л' (0 = J Д (t — х) dFt (х).
0
Аналогичным образом, rh(t)<r2(t).
Теорема 5.5. Пусть X есть случайная величина
с ВФИ-распределением F, имеющим плотность /. Если
62
%n— независимые наблюдения случайной ве-
личины X, то порядковые статистики
t/i • • '<Un>
образованные из также являются ВФИ-распределе-
ниями.
Доказательство. Пусть Н обозначает распреде-
ление Uk и p = F(t). Тогда
п
 /Mr? t? м f хк~' 0 —Х^-Мх
г (k) г (п + 1 — k) J '	7
о
5(0	1
н' (t)-f(t)
Положив u—xfp, мы имеем
н(0
Н' (0
Поскольку обе функции p/f(t) и (1—мр)/(1—р) убы-
вают по t постольку^# (/)///'(/) также убывает или, что
то же самое,	возрастает по t.
В частности, теорема 5.5 говорит нам о том, что па-
раллельные и последовательные соединения идентичных
элементов, имеющих ВФИ-распределения времени без-
отказной работы, также имеют ВФИ-распределения
времени безотказной работы. Для последовательного
соединения, конечно, элементы не должны быть обяза-
тельно идентичными, потому что функция
п	п
lg77(0=lg[pi(0 = Vlg^(0
1=1	1=1
63
вогнута по t, если функция Fi(t) вогнута по t (i=l,
2, ...» п). Отсюда следует, что Н есть ВФИ-распределе-
ние. Количественные соотношения для более сложных
соединений получены в § 6 гл. 7.
6.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Следующее обобщение теоремы 4.4 является важ-
ным потому, что оно дает дополнительные оценки для
вероятности безотказной работы в случае ВФИ-распре-
деления.
Теорема 6.1. Если F есть ВФИ-распределение,
Н(х)—неотрицательная выпуклая возрастающая функ-
ция и
H(t)<^H(x)dF (х),
о
то
00	00
С И (х) dF (х) < [ Я (х) e~Lx,t dx.
где L= —lgj(/).
Доказательство. Поскольку функция Р(х)
вогнута, существует такое z(O^z^Z), что
1,
0<x<z,
Р(х)<
ехр
(— L) , x>z.
Н является неотрицательной и возрастающей функцией,
следовательно, интегрируя по частям, получаем
00	ео
Н (X) dF (X) <	j Н (X) exp
О	г
(—L) dx<
< L J Н [г (1 - у) + ty\ e~Lydy = f (z).
о
64
Итак, функция ф выпукла, поскольку Н выпукла по
предположению. Следовательно,
J Н (х) dF (х) < <е (0) или <p(t).
Но условие
<t(t)=H(t)^H(x)dF(x)
о
противоречит исходной гипотезе теоремы, следовательно,
J Н (х) dF (х) < ф (0) = J Н (у) /- e~Lff/tdy.
о	о
Следствие 6.2. Если F есть ВФИ-распределение,
г>1 и
Рт= j xrdF(x),
ТО

еХР(~Х^) П₽И /<,кг/Г«
0 при остальных t.
где 1т=ъ/Г(г+1).
Доказательство. Положим в теореме 6.1 Я(х) =
=хг для г2>’1.
Аналогичные оценки могут быть получены для F(t)
в терминах моментной производящей функции или в тер-
минах преобразований Лапласа.
Обобщением теоремы 4.5 является следующая тео-
рема.
Теорема 6.3. Если F, есть ВФИ-распределение, г>0 и
|4r= jxrdF(x),
то
в—ювз
Г 1 при/<|»уг,
le”"* при
м
где <оо — единственное решение уравнения
Иг = г f xr’ltT*xdx.
о
Неравенство является строгим.
Опустим доказательство и отошлем читателя к рабо-
те [13]. Подобное обобщение возможно провести и для
теоремы 4.7.
Теорема 6.4. Если F есть УФИ-распределение, г>0 и
Hr = f xrdF (х) < оо,
0
то
F(x)<
ехр(~к7')’ t<rlrr’
fe_ r|*r
г(г 4-1)^ «

Верхняя и нижние оценки для когда F есть
ВФИ-распределение с щ —1 и заданным ц2, табулиро-
ваны и приведены в пятой статье дополнения. Верхняя
оценка для U(t) при p.i = 1 и заданном ц2 определяется
как:
U(t) = 1, 0</<1 — /щ — 1,	(6.1)
U(t) = e~aim, 1 —< —lg	(6.2)
{/(/) = e~6 t >lg ((6.3)
где a (0<a<l) удовлетворяет условию
и а, есть решение
1 = 1—е~Я1< . е~а‘*
ei ' о?-’
14 _ 1 - (I + о.О е~“*‘ , (> + а^)
"5--------------1----------
at	й2
М
для некоторого a2^at, где, в свою очередь, t удовлетво-
ряет условию (6.2). Значения ft и о удовлетворяют так-
же условиям

где t удовлетворяет условию (6.3).
Нижнюю оценку при двух известных моментах опре-
делить труднее. Любопытно, однако, что неравенство
Лт) >е-’
не может быть улучшено даже в случае, если два пер-
вых момента заданы и F есть ВФИ-распределение.
В пятой статье дополнения приведены значения для
нижней оценки F(t), когда F есть УФИ-распределение,
а Ц| = 1 при р.2, изменяющемся от 2 до 4 с шагом 0,1.
7.	ОБЩИИ ХАРАКТЕР ИНТЕНСИВНОСТИ
ОТКАЗОВ
Функция интенсивности отказов является весьма
естественной характеристикой для описания распределе-
ния отказов при рассмотрении задач надежности. По-
скольку интенсивность отказов иногда не является мо-
нотонной, обсудим некоторые общие свойства функции
интенсивности отказов. Например, можно показать, что
r(t) пересекает горизонтальную линию, проходящую на
уровне 1/ц.ь по крайней мере, один раз. Если интенсив-
ность отказов является возрастающей функцией, она
пересечет указанную прямую снизу, и поэтому
7(0)~г(0)С1/И1.
(7.1)’
Только в случае экспоненциального распределения вре-
мени безотказной работы в приведенном выражении бу-
дет стоять знак строго равенства. Однако условие
(7.1) выполняется и при гораздо более слабых ограни-
чениях. Если г(0)^г(/) для всех Л то /(0) Чтобы
5е	Ь/
показать это более отчетливо, заметим, что по предпо-
ложению
f(0)
l-F(O)
f(0
1-F(O
<0.
Наше утверждение становится ясным, если проинтегри-
ровать данное выражение по t от 0 до оо.
Ограниченность значений интенсивности отказов игра-
ет значительную роль при определении свойств распреде-
лений отказов. Для того чтобы F(oo) достигала значе-
ния 1, интеграл
t
J г (х) dx
о
должен стремиться к бесконечности при стремлении t
к бесконечности. Это условие накладывает определенные
ограничения на скорость стремления функции г(х) к ну-
лю. В теореме 7.1 будет доказано, что все моменты рас-
пределения отказов конечны, если limr(/)>0. Понятно,
/-♦оо
почему особенно интересны распределения отказов,
имеющие конечные моменты всех порядков. Предел
интенсивности отказов также определяет скорость роста
распределения.
Теорема 7.1. Если 0<1/а^г(/) ^1/£<оо для всех /,
то:
00
щ = x’f (x)dx< оо, $>•—1,
6
(0<е~'/а,
р» < Л8 < а«, s > — 1,
inf г (t) < 1 /|»i < sup г (t).
t	t
(7.2)
(7.3)
(7-4)
(7-5)
(7.6)
Доказательство. Условие (7.3) следует непо-
средственно из
t
Р(О = ехр[— J r(x)dx],
68
поскольку в соответствии с принятой гипотезой
t
о
Это, в свою очередь, влечет за собой (7.4) и (7.5). Усло-
вие (7.2) является следствием (7.5). Условие (7.6) по-
лучается из (7.5) при s=l.
Соответствующая теорема верна и для дискретных распре-
/00
Pi'
l=k
Теорема 7.1'. Если 0<(14-a)-1<r(jfe)<(l
k = Q, 1,..., то {рл}* имеет конечные моменты:
1...
i=k
1 ( Р < 1 Р V
14-a^l+pJ	+
^т<Вт<ат,
inf	< sup г (А),
где
Вт== S ( >т ) Pi'
l=o
Опустим доказательство этой теоремы, так как оно
аналогично доказательству теоремы 7.1.
Заметим, что равенство слева для $=5^0 в (7.5), на-
пример, приводит к равенству слева и в (7.3), а следо-
вательно, к равенству слева в (7.5) для всех s.
Аналогично, строгие неравенства выполняются
в (7.6), за исключением случая экспоненциального рас-
пределения.
Вывод (7.2) может быть получен при значительно более
слабых условиях, чем limr (0>[О. В этом случае услов-
/-*оо
69
ная плотность fs(t) = f (t-}-x)[P(x)(t'>x) должна иметь
функцию интенсивности rx(t) — r(t+x), ограниченную
для значений х, достаточно удаленных от нуля. Та-
ким образом, fx, а следовательно, и fx, имеет конечные
моменты всех порядков.
Многие из свойств которыми обладают ВФИ-распре-
деления, формулируемые в терминах моментов, справед-
ливы при менее жестких ограничениях. Например, пред-
положим, что распределение F имеет убывающее сред-
нее значение остаточного времени безотказной работы,
т. е.
Г Р (x)dx
] F(0
t
убывает по t. Пусть
„ ____f ^ч'+j-i» F/^o,
где X, = pi/r!. При этих допущениях можно утверждать,
что отношение a^fai убывает по i для значений I и k,
равных 0, 1,2,... [14].
В 'частности, является последовательностью ФП„
следствием*чего является убывание Я^ по i.
Следующая теорема дает значения оценок для веро-
ятности безотказной работы для различных ограничений,
накладываемых на функцию интенсивности. Доказатель-
ство этой теоремы читатель может найти в [13].
Теорема 7.2. Если г’(х)>а для всех х>0 и
00
J xf(x)rfx=|*1,
то
1 е~f < —(l/a)lg(l — ащ) = /ф,
[ 1 — е--
р(/)'> I1 “Ь® "* • *<
1о	. t>tt.
Указанные неравенства являются строиги,
70
Теорема 7.3. Если F есть ВФИ-распределение, г(х) < р
для всех х? 0 и
ОО
j xf (x)dx = j»i.
О
то
при /<1Ч — 1/р,
I <о0 при —1/Р,
где ®t есть единственное решение уравнения
„ _ <(1 —”)_1 ”>
™	1g <0	* р
И


Указанные неравенства являются строгими.
Теорема 7.4. Если г(х)<р для всех х>0 и
то
оо
1/₽.
/<1Ч —1/₽.
О
и ,
где г0 есть единственное решение уравнения (/ — z)e ?г =
= Рч — 1/Р. удовлетворяющее условию O<zo<f,
F(/)>e^.
Указанные неравенства являются строгими.
Теорема 7.5. Если F есть ВФИ-распределение, г (х) а
для всех х^О и
Jxf(x)dx=|iI,
то
le-и, t>tt,
n
где у есть решение уравнения (1—e~vt)/y=p,i;
(е-//|Л‘,
F (/) J £—(«*+•)
10
Hi < t "С tv>
t>t„,
где z есть решение уравнения
1— ^=[1 — a(t— z)]e~aZ.
Указанные неравенства являются строгими.
Большое количество подобных оценок может быть
получено и собственно для г(х) и для плотности [13].
3
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРАВИЛ
ОБСЛУЖИВАНИЯ
1. ВВЕДЕНИЕ
Во многих случаях отказ элемента в процессе функ-
ционирования приводит к опасным последствиям или
к экономическим потерям. Если элемент характеризует-
ся возрастающей во времени интенсивностью отказов,
то может оказаться целесообразным произвести преду-
предительную замену элемента до того, как он слишком
«состарится» и приобретет большую вероятность отказа
в процессе работы.
В данной главе основное внимание будет уделено
получению количественных характеристик некоторых
наиболее часто применяемых правил предупредительной
замены элементов. Под количественными характеристи-
ками в данном случае понимаются такие характеристи-
ки, как распределения числа отказов и суммарного ко-
личества замен, среднее время до отказа в процессе
функционирования и т. д. По этим характеристикам
можно оценивать и сравнивать качество различных кон-
курирующих правил предупредительной замены элемен-
тов. Дальнейшее рассмотрение относится преимущест-
венно к отдельному элементу. Оптимальные правила
предупредительной замены элементов для различных
функций стоимости рассмотрены в следующей главе.
Обычно правило предупредительной замены элемен-
тов основывается на их наработке (замена по нара-
ботке). В этом случае элемент всегда заменяется либо
после отказа, либо через период времени Т после его
установки. За исключением некоторых специальных слу-
чаев, период Т выбирается постоянным. Если Т являет-
ся случайной величиной, то в этом случае будем гово-
рить о предупредительной замене по случайной наработ-
73
ке. При групповой предупредительной замене элементы
могут заменяться в некоторые дискретные моменты
времени kT (£=1,2,...) ив момент отказа. Это правило
предупредительной замены получило свое развитие от
обычно применяемой на практике системы замены целых
групп элементов в заранее назначенные моменты
времени kT (£=1, 2, ...) независимо от того, когда и ка-
кие отказы наблюдались в системе до этого.
Для анализа способов замены могут быть выбраны
различные критерии. В [62] детально изучены следую-
щие две характеристики: математическое ожидание ко-
личества отказов и математическое ожидание количе-
ства плановых предупредительных замен в заданном ин-
тервале времени. Другой интересной характеристикой
является вероятность безотказной работы в интервале
времени требуемой длительности. В частности, в [168]
получено распределение времени работы до первого от-
каза системы.
Для каких же распределений отказов элементов вы-
годно проведение предупредительных замен? Этот во-
прос рассматривался в нескольких работах. В [77] в ка-
честве критерия выбрана зависимость интенсивности
отказов от времени: если интенсивность отказов—возра-
стающая функция от времени, то замена элемента может
оказаться целесообразной. В [168] рассмотрены замены
по наработке, которые проводятся по окончании интер-
вала времени Т, если только отказ не произошел раньше.
Показано, что замены по наработке могут быть целе-
сообразными, если среднее время до появления непре-
дотвращенного отказа в процессе функционирования
есть убывающая функция Т. Другим рассмотренным
критерием является среднее значение остаточного вре-
мени безотказной работы. Если условное математическое
ожидание времени безотказной работы элемента, харак-
теризуемого наработкой убывает с ростом /, то про-
ведение предупредительной замены по наработке может
также оказаться целесообразным.
Одной из самых ранних работ, посвященных пробле-
ме предупредительных замен, является [112]. В [27] про-
веден сравнительный анализ двух методов замены улич-
ных источников освещения: одновременную замену всех
ламп сразу и замену отдельных ламп по мере их отка-
зов.
74
Ясно, что эксплуатационные затраты, приходящиеся
на одну лампу при замене всех ламп сразу, будут мень-
ше, чем во втором случае.
Дополнительные затраты на смену еще не отказав-
ших ламп, которые приходится менять при предупреди-
тельной замене, должны быть при этом не больше, чем
полученная ранее экономия.
Зависимость надежности системы и стоимости обслу-
живания для двух способов предупредительной замены
по наработке по возрасту — детерминированного и ран-
домизированного— исследована в [168—170].
Может быть рассмотрена также математическая мо-
дель замен, в которой предусматривается, что само вре-
мя замены не является пренебрежимо малым. Это уточ-
нение приводит к рассмотрению простого вероятностного
процесса с двумя состояниями: работоспособности и от-
каза. Подобная модель была изучена в [161]. Обзорную
статью, посвященную приложениям этих методов, чита-
тель может найти в [9].
При оценке конкурирующих способов предупреди-
тельной замены представляют интерес следующие коли-
чественные характеристики:
—	вероятность того, что элемент будет находиться
в исправном состоянии в требуемый момент времени;
—	вероятность того, что элемент будет нормально
функционировать в течение требуемого интервала вре-
мени;
—	средняя доля времени, в течение которого эле-
мент будет функционировать в течение требуемого ин-
тервала времени;
—	распределение количества отказов в течение тре-
буемого интервала времени;
—	среднее количество отказов в течение требуемого
интервала времени.
Все задачи о предупредительных заменах могут быть
сформулированы в терминах теории восстановления.
Прежде чем далее развивать эту проблему, необходимо
привести некоторые основные сведения из теории вос-
становления. 'Поскольку плановые предупредительные
замены наиболее целесообразны для стареющих элемен-
тов, особо следует отметить случай, когда интенсивность
отказов возрастает во времени.
75
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Рассмотрим важнейшие идеи и результаты теории*
восстановления. Наиболее общее изложение теории вос-
становления можно найти в обзорной статье [153],
а некоторые новые результаты для стареющих элементов
приводятся в работах [13] и [14].
Определения
Процессом восстановления называется последова-
тельность независимых, неотрицательных и одинаково
распределенных случайных величин Х2, ..., которые
все не равны нулю с вероятностью единица. Обозначим
через F распределение случайной величины и через
FW — распределение случайной величины
•S*=A’i+X2+ ... + Xki
т. е. FW представляет ^-кратную свертку распределения
F. Определим дополнительно
F<°> (0 =
1 для />0,
О для /<0.
Одной из наиболее важных характеристик в теории вос-
становления является число восстановлений N(t) в ин-
тервале времени [0, /]. Более точно, N(t) представляет
собой максимальное значение величины k, для которой
Sk^t при условии, что N(t)=0, если Xi>t. Ясно, что
Р	(/) = п] = Р [X. +... + Хп< t
и X. +... + Хп+1 > /] = FW (/) _ f(n+i) (/).	(2 1)
•Следовательно P[N(t) ^n]=77(n>(Z). Можно просто
показать, что N(t) имеет конечные моменты всех поряд-
ков, если только F является -невырожденной функцией
распределения. N\t) называется случайным числом вос-
становлений, а процесс /^0} известен под назва-
нием счетного процесса восстановления.
76
Как отмечено в теореме 4.4 гл. 2, если F есть ВФИ-
распределение со средним значением рь то для Z<'gi
fi”) (t) < 1 —
/=о
Поэтому
Р [У (0 n] <	е-//|Х' •
]=п
Таким образом, мы получили элементарный, но край-
не важный результат: распределение Пуассона дает
верхнюю оценку вероятности появления не менее п со-
бытий в интервале [0, t\ для ВФИ-распределения для
случая, когда t не превышает среднего времени безотказ-
ной работы отдельного элемента.
Пример. Проблема обеспечения запасными элемен-
тами. На практике часто приходится сталкиваться со сле-
дующей проблемой обеспечения систем запасными эле-
ментами: какое количество запасных элементов следо-
вало бы иметь для того, чтобы быть уверенным в том,
что система с вероятностью а будет бесперебойно функ-
ционировать в течение времени /?
Для конкретности рассмотрим систему, состоящую
из и различных элементов, например электронных ламп.
Для общности будем полагать, что каждая из ламп
в зависимости от ее места в схеме позиций может нахо-
диться во'включенном состоянии не все рассматривае-
мое время /, а лишь некоторое время tj^t. Будем счи-
тать, что время замены отказавшей лампы на исправную
пренебрежимо мало. Обозначим, далее, через Nj(tj)
число отказов (или, что то же самое, число произведен-
ных замен, если запасные элементы имеются в достаточ-
ном количестве), которое наблюдается на /-й схемной
позиции в течение времени tj. Отметим, что количество
запасных элементов должно быть не менее количества
возникших отказов, если мы хотим, чтобы система функ-
ционировала бесперебойно.
Необходимо найти для заданной вероятности а такое
наименьшее из всех возможных целых чисел W, чтобы
выполнялось условие
р	Л) + N. (Q + ...+Nn (tn) < tf] > а.
77
Если отказы всех ламп рассматриваемой системы взаим-
но независимы и распределения времени безотказной
работы каждой из них являются экспоненциальными
с параметром Л, т. е.
<(/) = 1 — е~и
то сумма вида
(6) +^2(^2) +• • - +\Nn(tn)
есть случайная величина, подчиняющаяся закону Паус-
сона с параметром [127]
•=ф,.
т. е.

1=0
Если вся информация о законе распределения F за-
ключается лишь в том, что это ВФИ-распределение со
средним значением 1/Х, и известно, что каждая из ве-
личин ti <11/Л, то
Р1ЛГ1(Л) + ^а2) + ... +AM*n)< Aq>y] j-e-’.
/=0
В этом случае необходимое количество запасных эле-
ментов N может быть выбрано таким, что с большой ве-
роятностью можно гарантировать, что не произойдет не-
достатка в запасных элементах.
Если электронные ламы, стоящие на различных
схемных позициях, характеризуются различными значе-
ниями среднего времени безотказной работы, то перед
нами возникает множество возможных путей обеспече-
ния требуемой надежности системы. Если при этом при-
нять во внимание то, что обычно элементы различного
типа имеют различную стоимость, то возникает пробле-
ма оптимального размещения средств, решению которой
посвящается гл. 6.
Функция восстановления
Функция восстановления M(t) определяется как
среднее число восстановлений в интервале времени [0, /],
т. е.
Эта функция является одной из важнейших в теории
восстановления, и будет многократно использоваться
в дальнейших моделях. Из (2.1) следует
М (0 = Е [У (Z)] = YkP (0 = *1
ft=I
или
k=l
Используя то, что
t
F(k+V> (f) = J F»Y(f — x) dF (x),
получаем основное уравнение восстановления
00 t
F (f)f FM(t — x)dF(x)
Л=1 o’-
или
t
\ [1+Af(f —x)]dF(x).
(2.2)
(2.3)
Если распределение F имеет плотность f, дифференцируя
(2.3), получаем
(2.4)
О
где величина m (t) = M (t) есть так называемая плот-
ность восстановления. Она может быть также выражена
в виде
т(0 = У fw(0.
где /<*> есть ft-кратная свертка плотности f.
(2.5)
79
Из выражения (2.5) видна весьма полезная вероят-
ностная интерпретация: m(t)dt представляет собой ве-
роятность того, что восстановление произойдет в интер-
вале времени [/, t+dt].
Из (2.3) может быть получено преобразование Ла-
пласа-Стильтьеса для
00
М* ($) = у e~‘*dM (X) = 1^7),	(2.6)
о—
где F*(s) обозначает преобразование Лапласа от F.
Поскольку из (2.6) непосредственно вытекает выражение
f*(s)=Af*(s)/[l+M*(s)]
видно, что M(t) и F(t) взаимно определяют друг друга.
Теорема 2.1. Если распределение F имеет среднее |it,
то сходится по вероятности к — . (Предполагается,
Г
что — = 0, когда }ii=oo.)
Доказательство. Предположим, что fii<oo. За-
метим, что
SAf(O <	SN(t)+l
N{t)
£
При — отношение строго сходится по
вероятности к величине р^. Следовательно, сходится по
вероятности к
Если же ^i=oo, используя метод усечения, можно
Sfl <0	I
показать, что сходится по вероятности к -f-oo.
Известно, что если
_____________________________
F(t)=l — е ’1‘,
то
ж (0=т-
для всех t и, следовательно,	— M(t) = —.
во
Таким образом, для пуассоновского процесса матема-
тическое ожидание числа восстановлений в интервале
длины h равняется просто отношению величины h к сред-
нему значению времени между двумя соседними момен-
тами восстановления. Интуитивно можно полагать, что
это имеет место для любого процесса восстановления по
прошествии достаточно большого времени. И действи-
тельно, это предложение является ключевой теоремой
теории восстановления для случайных величин с нере-
шетчатым распределением. Напомним, что случайная
величина называется решетчатой (периодической), если
существует h>0 такое, что
P[X=nh, /г = 0, 1, ...]=1.
Теорема 2.2 (теорема Блекуэлла). Если F есть нере-
шетчатое распределение с математическим ожиданием
щ, то
lim [М (t + h) — М (01 = —.
Элементарное доказательство этой фундаментальной
теоремы можно найти в [55].
* Для дальнейшего будет удобно ввести понятия слу-
чайного значения «недоскока»
= t —	(2.7)
и случайное значение «перескока»
(2.8)
Наглядное интуитивное представление этих случай-
ных величин состоит в следующем: $(</) —это наработка
элемента, который используется в момент времени /,
а у(/) —это остаточное к моменту времени t время ра-
боты элемента до отказа. Заметим, что
и

6—1563
81
Лемма. Если Fi(O) =/72(0), Fi(x)>F2(x) для О^х^/
и Q(x) >:О не возрастает на [О, fl, то
,(x)>jQ(x)dF,
при условии, что интеграл существует.
Доказательство. Допустив, что возможно ин-
тегрирование по частям, получаем
<Q(x)dFi(x) = Q(x)Fi(x) J —
- J (x)dQ(x) = Q (fl Fi (t) - Q (0) Fi (0) +
0
о
Поскольку Q является невозрастающей функцией, то
—Q является неубывающей, и тогда
Q (0 Л (fl + J Л (х) d [- Q (х)] > Q (fl Fs (fl +
+ Jra(*M[- Q(<
о
Если интегрирование по частям производить нельзя,
то тот же самый результат может быть получен предель-
ным переходом.
Следующий результат также имеет интуитивно по-
нятный смысл.
Теорема 2.3. Если р есть ВФИ-распределение, то
Доказательство. Пусть
82
г. е. Fx(t) —условное распределение времени до отказа
элемента, проработавшего время х. Тогда
Л1(/ + Л) — M(t) =
J J [1 + М (Л - «)] dFx (и) dxP[4t)< х>
[1 4- М (Л - u)] dF (и) dxP [S (0 < х],
поскольку Fx(t) есть возрастающая функция х. Отсюда
t
М (t + h) — М (I) > Ж (A) J dxP [8 (0 < х] = Ж (А).
oJ
Таким образом, если F есть ВФИ-распределение, то
для всех Л в соответствии с теоремами 2.2 и 2.3 выпол-
няется условие
Л4(Л)<Нт[М(^4-Л) —	—.	(2.9)
Г-.00 '	Нч
Это неравенство действительно выполняется при весьма
слабых ограничениях. Теперь нам необходим один по-
лезный результат, полученный Ю. В. Прохоровым и
А. Н. Колмогоровым.
Теорема 2.4.
Элементарное доказательство этой теоремы имеется в [83].
Стационарным процессом восстановления {Ли}^_1 назо-
вем такой процесс, у которого случайные величины
имеют распределение
t
J F (x)dx
и все Хц (k = 2, 3,...) взаимно независимы и одинаково
распределены в соответствии с функцией F. Обозначим
6*	83
стационарный процесс восстановления со счетным чис-
лом состояний через t^O}. Известно [31], что для
этого процесса E[N(/)]=//ць Сравнивая процесс восста-
новления со счетным числом состояний со связанным
с ним стационарным процессом, можно получить и для
этого случая условие (2.9), сделав лишь единственное
предположение о том, что математическое ожидание
времени работы до отказа нового элемента больше, чем
для элемента, проработавшего уже некоторое время.
Математическое ожидание времени работы элемента,
проработавшего уже время /, до наступления отказа рав-
няется
J F(x) dx
о______
Эта величина называется также математическим ожида-
нием остаточного времени работы до отказа.
Теорема 2.5.
а)	Для любого процесса восстановления имеет место
неравенство М(/) ^//рц—1 для всех
б)	Если
? F (х) dx
J F(t)
t
00
для всех t > 0, где Hi = j xdF (х), то для всех t > 0 вы-
oJ
полняется
1----1<W)<£W)]= '	(2.10)
С*1	Г*1
Доказательство.
а)	Из теоремы 2.4 следует, что
так что неравенство
справедливо для произвольного процесса восстановле-
ния.
84
б)	Из самих предположений непосредственно следу-
ет, что
t
J F (х) dx
Отсюда вытекает, что
t
Р[Я (0>n] =	—x)dFt(x)>
0
t
^[F^^(t — x)dF (x) = P \N (t) > n].
о
Просуммировав по n, получим (2.10).
Далее будет показано, что в предположении возрас-
тающей интенсивности отказов, действительно
— — 1 < -t— ------ttF(t}
*** г _	г _	н
\ F(x)dx	I F(x)dx
о	о
Следствие 2.5. Если F есть ВФИ (УФИ)-распределение
со средним значением	то
а)	£рт(()1 < V ("'и)'.-"'-' ,
,иЙ	'
6)	D(JV(<)1 <£[№)!< ±
&) н
для всех 6=0, 1,... и 0^/<оо.
Доказательство.	।
а)	Пусть Bm(t)=E есть факториальный мо-
мент /n-го порядка случайной величины N(t). Нетрудно
проверить, применив преобразование Лапласа, что
Bm(t)	где через обозначена /п-кратная
свертка М (/). Поскольку [84]
А+1
д 1^(01 = 2
т=1
где S™ — числа Стирлинга второго рода и > 0, то а сле-
дует мгновенно.
85
б)	Из равенства
Ва(1) = Е ^*<0—	= MW (/)
можно вычислить дисперсию как
t
D {N (0J = 2 С М (t — х) dM (х) 4- М (t) — [М (/)] ’•
о
Для доказательства б нам достаточно показать только, что
t
j [2М(t — x)—M(/)]dM(х)<0.
о
Но, поскольку из теоремы 2.3 M(x)^M(t)—M(t—х),
необходимо показать лишь, что
рЛфЬх)-адДМ(х)<0.
о
Очевидно,
г
j [М (t — х) — М (х)] dM\x) =
о
Z/2
= j [М (t — х) — М (х)] dM (х) 4-
о
t
4-	J [М (t — х) — М (x)l dM (х).
//2
Пусть y — t — х, тогда
t
j —х) —M(x)]dAl(x) =
«/2
</2
= j [Л4 (t - у) - М (у)] dMv(t- у).
О
Следовательно, нам нужно лишь показать, что
j — — M (х)] dM (х) <
^/2
< ( [Af (t — x) — M (x)J d [Af (0 — M (t — X)].
86
А это следует немедленно, поскольку M(t—х)—М(х) не
возрастает по х, [М(t—х)—Л4(х)]^0 для 0^x^t/2 и
по теореме 2.3
M(x)^M(t)—M(t—x).
Все неравенства меняют знаки, если F есть УФИ-
распределение. Строгие равенства достигаются для слу-
чая пуассоновского процесса.
Следующая так называемая элементарная теорема
восстановления вытекает из теоремы Блекуэлла. Ввиду
ее важности приведем элементарное доказательство, сле-
дуя Дж. Дубу.
Теорема 2.6 (элементарная теорема восстановления).
Если распределение F имеет среднее значение ць то
Иш ^0 = J_.
t-vx г
Доказательство. Согласно теореме 2.5 для про-
извольного процесса восстановления для любых t выпол-
няется неравенство
1*1

Отсюда
f^OO t " Р-.
Введем следующее определение: А'*’’ = min (Xi, с). Тогда'f
ЛГ<«> (/) > N (t) и Af(c>(/)>Af (/), где индекс сверху означает
принадлежность величины к процессу восстановления {Х^ ;
*’>!}. По теореме 2.4 имеем
Л*<‘)(/)+1______1 । g[T<c>(0)	1  с
<	~ ^*>“г	р.Н’Г\(1с)’
поскольку	Следовательно, для всех <?>0
t-«> * t^o *	l*(c)
87
Заметим, что — при с—*оо. Следовательно,
/-.оо	‘
что завершает доказательство для случая щ < оо. Если
|Л1 = -|-ОО, то
lim	< —U — 0 при с —»оо.
/-<» * н(с)
Следовательно,
itawi>=o.
t-*QO
Ниже дается следующее расширение элементарной тео-
ремы восстановления без доказательства.
Теорема 2.7. Если jui2<00 и распределение F является
нерешетчатым, то при t—>оо
M(t)= -ir+vr -14-0(1).
ri 2р.|
Доказательство этой теоремы приводится в [151].
В общем случае бывает трудно найти обратное пре-
образование Лапласа для функции M(t) и выразить его
в терминах распределения F. Известен вид М(1) для не-
которых, но, нужно сказать, важных случаев, которые и
приводятся ниже.
Предположим, что f есть плотность гамма-распреде-
ления порядка k, т. е.
- (£— 1)! е *
Очень просто убедиться в том, что f есть А-кратная
свертка экспоненциального распределения fe парамет-
ром X. Следовательно, вероятность п восстановлений
в интервале времени [0, f\ для процесса восстановления,
определяемого плотностью f, равна вероятности того, что
для пуассоновского процесса с параметром Л в интервале
88
времени [0, /] произойдет либо nk, либо nk+\, ..либо
nk+k—1 событий. Итак,
р Ш= (^е-ц+^+-
1	— п1— (nk)i е	(nk + I)!
I (М)”*+*-* с-м
'(л^+fe— 1)!
(2.П)
Пусть m(t) обозначает плотность восстановления для
случая гамма-распределения Л-го порядка. В частности,
для k= \, т. е. для плотности экспоненциального распре-
деления, т(/)=Х. Поскольку m(t)dt есть вероятность
восстановления в интервале времени [/, t+df\, можно
записать в данном случае
/=1
В правой части этого равенства под знаком суммы стоит
просто вероятность того, что в интервале времени [0, /]
произойдет kj—1 событий пуассоновского процесса с па-
раметром %, умноженная на вероятность того, 4jo допол-
нительно произойдет одно событие в интервале времени
[/, t+dt]. Когда k=2, имеем
т (t) = Л/2 — (Л/2) e“2W	(2.13)
И
М (/) = и,12 — 4-+т е”Ш •	(2-14>
В общем случае, из (2.12) можно получить
1
/=1
где б = е(2х//А). Детальное изложение этого вопроса можно
найти в [127].
Величина M(t) может быть также вычислена для
сдвинутого экспоненциального распределения
89
В этом случае [9]
г / л	е—
мт= [т]+Е Е
/=О 4=0 „
где символ [х] обозначает целую часть х [9].
Можно записать выражение M(t) и для усеченного
экспоненциального распределения
=	1<Т.
11	, 1.Г
В этом случае [81]
М(0.= —Д^Г)1 {/-(/Н-Г-Пе^-е-27-
—(/4-1 — ^)e-*r+
-Н/4-1— (k—1)7] е_<*+1)Г}	(2.16)
для (k—\)T^t<kT и k= 1, 2,...
Функции распределения случайной величины «недо-
скока» 6(/) (2.7) и случайной величины «перескока»
у(0 (2.8) могут быть выражены непосредственно через
функцию восстановления.
Теорема 2.8. Для всех />0
а) Р[8(/)<х] =
(<-*)- (2<1б) 7)
. 1,	х>/;
б) Р[Т(0<*1= /[F(/-u + x)-f(<-«)]dM(«) +
+ F(/ + x)-f(0.	(2.18)
9Q
Доказательство.
а)	PP(O<x]=P[S,w>f-xl«
=	— x<Sn<t N(t)=n] =
п=0
=j?p[/-x<s„</<sn;j =
л=0
=S jw-«)id77(n)(«)=
л=0(«—ж)-
t
= f [P(/-u)]<Mf(a),
(i-x)
если x<.t. Если же х>/, то P|8(/)<x]=l.
6)	P[Y(O<xl = £P(Sn</<Sn+I</-x] =
л=0
= 5 J (F(/4-x-a)-F(/-tt)]dF(*>(«) =
»=o*o-
= f [F(t+x — u) — F(t — u)]dM(u) + F(t + x) — Ftf).
Если распределение F имеет плотность Xe w, то легко
показать, что
Эта плотность является единственной, для которой
распределение случайной величины у(?| не зависит от t.
Если распределение F имеет плотность то, ис-
пользуя (2-18), можно найти, что у(/) имеет плотность
распределения
l’xe*u (4)П	+	~е“2М)-
91
Заметим, что Р[б(/) есть вероятность того, что в ин-
тервале времени [/—ш, /] произойдет восстановление,
или вероятность того, что случайное значение «переско-
ка» в момент времени t—w меньше величины w, т. е.
Следовательно, для w<jt
Р [8 (/) < w] = Р fy (t — w) < ay]
и поэтому
lim Р [8 (t) < w] = lim P [y (0 < w],	(2.19)
/->QO	/->00
хотя оба эти распределения различны, вообще говоря,
для конечного времени t.
Используя распределение «недоскока», можно найти
границы для плотности (восстановления т(1), выражен-
ные через интенсивность отказов r(t). Поскольку m(t)dt
есть вероятность восстановления в интервале времени
[Л t+dt\, то
t
ni(t) = f г (х) dxP [8 (/) < х].
о
Отсюда
min г (х) < т (/) < шах г (х),
О^х^/	О^х^/
и если F есть ВФИ-распределение, то	Эта
оценка в общем случае плоха, за исключением случаев,
когда принимает относительно малые значения. За-
метим, что для гамма-распределения 2-го порядка имеет
место следующая оценка:
/га(0 = "2	< г 1 + w ’ ^до-
следующая фундаментальная теорема восстановле-
ния эквивалентна теореме Блекуэлла (теорема 2.2), од-
нако результаты в ней представлены в столь удобной
форме, что она заслуживает самостоятельного рассмот-
рения.
Теорема 2.9. (Фундаментальная теорема восстановле-
ния). Если g имеет ограниченную вариацию на интерва-
ле [0, оо] и распределение F нерешетчатое, то
t	ев
lira С g (t — и) dM (и) s= С g (и) du (2.20)
/-►в* J	Г1 J
о	о
92
при условии, что интеграл в первой части равенства су-
ществует. Элементарное доказательство этой теоремы
можно найти в [162].
Следствие 2.10. Если распределение F нерешетчатое,
то
j F (и) du
limP[8(/)>x] = limP[Y(0>x] = ---------------. (2.21)
<->0О	<-ю>	Iх*
Доказательство. Используя (2.18), можно написать
t
P(Y(fp x]= С F(t — u-\-x)dM(u)-\-F(i-\-x).
о	4
Положив в теореме 2.9 g (и) — F (и -|- х), получаем
t	ео
lim f F (t — u -[- x) dM (u) = — f P («) du.
t->eo J	Hi J
0	x
Совместно c (2.19) это и завершает доказательство.
Ради полноты изложения, воспроизведем также тео-
рему о плотности восстановления, доказательство кото-
рой можно найти в [151].
Теорема 2.11 (теорема о плотности восстановления).
Если f — такая плотность, что f(x)—»-0, когда х—>-оо, и
если для некоторого р>1 функция |f(x)|p интегрируе-
ма, то m(t)—>-l/p,i при t—>-оо.
Некоторые свойства положительности функции N(t)
для ВФИ-распределений будут необходимы в гл. 6
для решения задач оптимального резервирования. По-
этому докажем, что P[N(t)^n] представляет выпуклую
последовательность относительно n=0, 1, 2 .... если F
есть ВФИ-распределение.
Теорема 2.12. Если F есть ВФИ-распределение, то
P[W(/)<n] — логарифмически выпуклая функция при
п=1, 2, . . .
93
Доказательство. В соответствии с теоремами
5.1 и 4.1 из гл. 2 имеем
1 —Н»)(0	1 — я»*’) (О
1 — Я») (t—х) 1 — н»+’> (t—х)
Л1 —F(-)(0	1 ——u)
\ — F(*)(t — x) l — F(*)(t — x — u)
dF (u) < 0.
Из свертки членов последней строки первого опреде-
лителя с функцией распределения F следует, что.
1—F&Ht) =P[N(t) <п] есть ВПФ2 в разностях п или в со-
ответствии с теоремой 4.1 гл. 2 логарифмически выпукла
по п= 1, 2, ...
Если распределение F имеет плотность f, являющую-
ся ПП2 и f(x)=O, можно получить более сильный ре-
зультат.
Теорема 2.13. Если f есть ПП2-плотность и
f(x) =0 для х<0, то P[N(t) =п] логарифмически выпукла
по n=0, 1., ...
Доказательство этого и более общего результатов
можно найти в [100].
3. ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕНЫ,
ОСНОВАННЫЕ НА НАРАБОТКЕ
В § 1 мы определили предупредительную замену
по наработке как замену, при которой элемент заменя-
ется либо через Т часов после его установки в аппара-
туру, либо после его отказа, в зависимости от того, ка-
кое из этих событий наступит раньше. Период времени Т
берется постоянным. В этом случае для некоторого за-
данного интервала времени важно знать распределение,
среднее количество предупредительных замен, количест-
во отказов, а также полное количество замен как пре-
дупредительных, так и аварийных. Эти характеристики
будем называть оперативными характеристиками для
правил предупредительной замены. Вся эта информация
необходима для сравнения различных режимов проведе-
ния предупредительных замен и для определения коли-
чества запасных элементов, необходимых для нормаль-
ного обслуживания оборудования.
94
В большинстве случаев имеются веские причины
предполагать, что отказы возникают из-за явлений из-
носа («старения»). В этом случае интенсивность отказов
является возрастающей функцией времени. Для некото-
рых специфических режимов предупредительной замены
нам часто удается использовать оперативные характери-
стики, вычисляемые для экспоненциального распреде-
ления отказов, которое дает консервативную оценку для
истинных оперативных характеристик. Некоторые мо-
менты распределения отказов, в особенности среднее
значение, будут предполагаться известными, например,
из предварительного эксперимента.
Среднее время до отказа с учетом замен
Пусть <?т(0 обозначает вероятность того, что эле-
мент не откажет в процессе функционирования к момен-
ту времени Л Предположим, что замена элемента про-
исходит либо в момент отказа, либо через Т часов после
установки данного элемента, в зависимости от того, что
раньше наступит. Тогда
ST(t)=[F(T)mt-nT),	(3.1)
где F — распределение времени работы элемента до от-
каза, F=1—F и пТ^/<(п+1)Г.
Предположим, что распределение F имеет плотность,
и продифференцируем Sr(t) по Т. Тогда можно заме-
тить, что
^г,(0>Л.(0	(3.2)
для всех Т^Т2 тогда и только тогда, когда F есть
ВФИ-распределение. В частности,
для всех Т^О, если F есть ВФИ-распределение. Полу-
ченный результат показывает, что замены по наработке
повышают вероятность безотказной работы, если эле-
менты имеют ВФИ-распределения времени работы до
отказа, т. е. интенсивность отказов у которых возрастает
во времени. Конечно, эти выводы теряют свою справед*
ливость для УФИ-распределения.
95
Выражение (3.1) позволяет вычислить п-й момент
Е("} (Г) распределения времени до первого отказа в про-
цессе активного функционирования. В частности,
т
J F(x)dx
£,(Г)=Е|',(Г) = НТГ)- <3-3)
И
т	т
2 У xF (х) dx 2TF (Г) J F (х) dx
р^>(Т\____ о______________I_________9_________
I V)— F(T)	[/’(Г)]’
В [168] найден n-й момент распределения, выражен-
ный через числа Стирлинга второго рода.
Если F есть ВФИ-распределение, то из (3.2) следует,
что для Ti<Ti
г,	т,
{F(x}dx	j F(x)dx
о	> о
F(Tt) F(Tt) •
Как и следовало ожидать, для ВФИ-распределений на-
блюдается следующий эффект: чем чаще производятся
предупредительные замены, тем больше становится зна-
чение среднего времени работы до аварийного отказа
в процессе активного функционирования.
Верхняя граница Ei (T), выраженная через два пер-
вых момента распределения F (в предположении воз-
растания функции интенсивности этого распределения),
может быть получена на основании верхней границы
F(i)z которая табулирована в пятой статье дополнения.
Из 5t(/)^F(/) естественно следует, что
^(Т)»!!,	(3.4)
где
H=fWF(0.
96
В некоторых случаях нам удобнее иметь информацию
о распределении не в виде моментов, а в виде кванти-
лей. Нижняя граница может быть выражена через
р-квантили £р, если
Теорема 3.1. Если F есть ВФИ-распределение с плот-
ностью f и имеет среднее значение pi, то:
a)	p^E^^l/RO),
б)	Т<1Р,	(3.5)
где
5p = sup [t\F(t)<p]>T.
Доказательство.
а)	Верхняя граница находится на основании того
факта, что
/(О)^/(х)/Р(х).
б)	По лемме 4.2 гл. 2 Р(х)> [^(5р)]лЛр для по-
этому имеем
О
и
что влечет за собой
т
^F(x)dx
р (Т\ — °______Ер	Ер
C,U'— F (Т) -lgF(g„) >_lg(l_p)-
Отметим, что если 61/2 есть медиана распределения
(р= 1/2), то из условия
Е. (Т) > В1/21g 2
следует, что
7-<S„2.
7—1563
97
Замены в системах с резервированием
Рассмотрим систему, состоящую из п элементов, и
обозначим через Gn(t) распределение времени ее работы
до отказа, если предупредительные замены не произво-
дятся. Пусть F обозначает распределение времени ра-
боты до отказа одного элемента. Предположим, что вся
эта система заменяется либо через время Т после начала
работы, либо после отказа, в зависимости от того, что
произойдет раньше. Обозначим через Еп(Т) среднее
время работы системы до аварийного отказа в процес-
се активного функционирования. Тогда, поскольку сред-
нее время до отказа вычисляется для системы также,
как и для отдельно взятого элемента, можно записать
т
J Gn (x)dx
(см. уравнение (3.3)).
Если система состоит из п включенных последова-
тельно идентичных элементов, имеющих ВФИ-распреде-
ление времени работы до отказа, то в соответствии со
следствием 4.10 гл. 2.
Gn(t) = 1—и Еп(оо)^щ/п.
Уже было показано (§5 гл. 2), что распределение вре-
мени до отказа последовательного соединения элемен-
тов является ВФИ-распределением, если каждый из эле-
ментов имеет ВФИ-распределение времени работы до
отказа. Следовательно, Еп(Т) является в нашем случае
убывающей функцией Т и
Еп(Т)>Р1/п.
Полученная оценка является строгой. В этом случае
эффект замены не выявляется при нахождении нижней
оценки. Однако он проявляется в случае параллельной
системы.
Если система состоит из п идентичных элементов,
включенных параллельно, и каждый из элементов имеет
распределение времени работы до отказа F, то
Gn(t) =[F(t)]n
98
и
Sr (0 = {1 — [F (Г)]"}* {1 — [F (f — kT)]-}
для kT^t<(k + \)T. Если F есть ВФИ-распределение
и Т<ць то
Sr (t) 3* [1 — (1 — e-r/|X1)nlft П —(1 — е~<г-*Г)/|1‘)”]
для (k — 1) Т < t < kT. Следовательно,
т
§ [1 —(1 — е~х/и‘)п] dx
£.(Г)>0	„„-г,.,.—.
откуда получаем
п
Еп (Т) > I	S “—’ Т<^'	(3.6)
I k=l
V JJLi,	Т > |lj.
Вторая нижняя оценка может быть получена на ос-
новании неравенства
т
J S’tl (-V)	QQ	QQ
q*	У n (я) dx у P (x) dx = .
о	0
Поскольку для T<pi равенство достигается при экспо-
ненциальном распределении со средним значением щ
и для равенство достигается для вырожденного
распределения, сосредоточенного в щ, то оценки, полу-
ченные в (3.6), являются строгими.
На рис. 3.1 представлены графики для оценок (3.6)
при pi = 1.
При |х|< 1 можно записать
п
Л=1
откуда, положив х= 1 — ег/и‘, получаем для
k	> (1_е-^)п	е-г^’	(3’7>
Л=1
7*
99
Неравенство (3.7) показывает, что при использовании
режима предупредительных замен по наработке нижняя
оценка среднего времени работы системы до отказа воз-
растает асимптотически экспоненциально с увеличением
количества резервных элементов.
Если предупредительные замены отсутствуют, т. е.
Т=4-оо, a F есть ВФИ-распределение, то для параллель-
ного соединения элементов в системе имеем
п
k=l
Верхняя оценка может быть получена на основании
следствия 4.10 гл. 2. Поскольку
п 1
Hi Hi US п + О»
Л=1
видно, что повышение среднего времени безотказной ра-
боты системы только путем использования резервирова-
ния происходит не быстрее, чем логарифмически при
увеличении количества резервных элементов, в то вре-
мя как при резервировании и одновременном исполь-
зовании предупредительных замен среднее время без-
отказной работы при прочих равных условиях возра-
стает по крайней мере экспоненциально.
Следовательно, требуемого значения среднего вре-
мени безотказной работы системы можно достичь путем
изменения периода проведения предупредительных за-
мен или путем увеличения количества резервных эле-
ментов. Используя график на рис. 3.1, можно опреде-
лить, как влияет каждый из этих методов на повышение
среднего времени безотказной работы системы.
100
Экспоненциальные оценки для оперативных
характеристик
В данном разделе будем рассматривать ВФИ-распре-
деление F со средним значением щ. Во многих случаях
регламент предупредительных замен определяется до
того, как оценивается среднее время работы элемента
до отказа. В этих случаях могут быть использованы
консервативные оценки для распределения полного чи-
сла замен (как при предупредительных заменах, так и
после наступивших аварийных отказов) и для распре-
деления числа отказов. В частности, обозначим через
число замен в течение интервала времени (0, d,
имеющих место при использовании режима предупре-
дительных замен по наработке. Если определить
1 —е-*,
1,
х
Gr
1,
х>Т,
и положить для удобства, что щ=1, то FT(x) ^Gt(x)
для всех х, когда Т<1 и F есть ВФИ-распределение
При этих предположениях
Р [Na (t) > n] = F™ (0 < G™ (t),
где F<rt>—n-кратная свертка F. В [81] вычислено G^\(t) и
показано, что
О
(/_/yy+m-J
(n — / + лп)!
(3-8)
для (k— \)T^t^kT (6 = 1, 2, ...).
В той же работе приводится выражение для сред-
него числа восстановлений в интервале времени (0, /]
101
для экспоненциального распределения времени работы
элемента до отказа со средним значением щ = 1
Е Фа <0] < Lk, {< - (/ + Т - 1) е"г - е"2Г -
V е )
— (/-Ь1 — W) е—*г-f-[/-|-1 — (k — 1)7']е“(*+,,г}	(3.9)
для (k—\)T^t^kT и при 7’<1. Экспоненциальное рас-
пределение позволяет также найти оценку для среднего
времени между двумя соседними восстановлениями для
всех значений Т, но в этом случае нижняя оценка
т	т
dx > J e~xl*‘ dx = (1 —fTrht‘) fi, (3.10)
о	о
определяется в предположении, что F есть ВФИ-распре-
деление. Поскольку F(x) ^е-х/|1,для х<ць данное нера-
венство очевидно для Т<ц\. К тому же функция F(x)
пересекает е-*/|Х1 ровно один раз. Следовательно, если
бы знак неравенства мы изменили на обратный и сдела-
ли бы неравенство строгим, то получили бы
(л, = J F (х) dx < С е dx =
о	oJ
что невозможно.
Предположив, что F есть ВФИ-распределение, в со-
ответствии с теоремой 2.5 находим, что Е[Л(*д(/)] —
среднее число отказов в интервале времени [0, /]—
удовлетворяет неравенствам
-----1 < Е «)]< /(Г)	< ±
^F(x)dx	(j’(x)dx
для всех Т>0 и для всех Аналогичные оценки мо-
гут быть получены для среднего числа предупредитель-
ных замен.
102
4. СРАВНЕНИЕ ПРАВИЛ
ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕН
ПО НАРАБОТКЕ И ГРУППОВЫХ ЗАМЕН
При групповых предупредительных заменах все
элементы данного типа заменяются одновременно в мо-
мент времени kT (£=1, 2, ...) независимо от всей пред-
ыстории системы. Эти правила предупредительных замен
иеследованы в [45, 62, 172]. Подобное правило преду-
предительных замен, возможно, является более удобным
для практики, поскольку при этом не требуется вести
учет текущей наработки каждого элемента. Групповые
предупредительные замены используются обычно при
эксплуатации электронных вычислительных машин и
других сложных электронных устройств.
Было бы весьма полезно сравнить правило групповых
замен с правилом предупредительных замен по наработ-
ке для случая, когда то и другое правила используются
для одного и того же интервала времени Т. Например,
групповые предупредительные замены связаны с боль-
шими затратами, поскольку, как это будет показано, при
этом правиле по сравнению с заменами по наработке
производится большее количество замен элементов, ко-
торые еще не стоило на самом деле заменять. К тому
же и общее число замен как в результате предупреди-
тельных замен, так и в результате аварийных ре-
монтов в этом случае больше. Однако можно предпо-
лагать, что для элементов с возрастающей интенсив-
ностью отказов среднее число отказов при предупреди-
тельных групповых заменах будет меньше. Действитель-
но, при правиле групповых замен в интервале времени
[О, /] может быть произведено ровно [t/T] предупреди-
тельных замен элементов, а при тех же условиях при
правиле'предупредительных замен по наработке таких
замен может быть и меньше.
В дальнейшем будет удобно обозначить число за-
мен в интервале времени [О,/] для правила групповых за-
мен через	а для правила замен по наработке,
как и в § 3, через -МаСО- Как будет показано ниже,
в среднем А/в(0 больше, чем NA(i)-
Теорема 4.1.
для n=0, 1, 2, ...
Юз
Доказательстйо. Пусть PG}“=1 обозначает реали-
зацию наработок успешно проработавших элементов. Рас-
смотрим, что происходит при групповых заменах и заменах
по наработке. Пусть ТА обозначает момент п-го восстанов-
ления при правиле замен по наработке, а Т" — момент п-го
восстановления при правиле групповых замен. Тогда
ТпА = min (Тп~' + Т, Тп-' + Хп),
rB = min(7’r, + «. Т’Г' + ^п).
где а(О^а^Т’) представляет собой оставшееся время
до запланированной предупредительной замены.
Поскольку первоначально 7'А = 7',д по индукции полу-
чаем ТА > Тд. Таким образом, для произвольной реализации
{А’л} величина NA(t) меньше, чем
Пусть N*A(f) обозначает количество отказов в ин-
тервале времени (0, /] при заменах по наработке,
a N*B(t) —количество отказов в том же интервале вре-
мени при групповых заменах, причем в обоих случаях
предполагается, что выбранный период проведения замен
одинаков и равен Т. Следующая теорема показывает,
что количество отказов на единицу времени при группо-
вых заменах с периодом Т равняется в пределе величине
где
/=1
Теорема 4.2.
(/-wo г >	1	)
(4.1)
Доказательство. Пусть N*Bt(T) обозначает ко-
личество отказов в интервале времени [(/—1)Т, 17]. Ясно,
что случайные величины N*Bi(f) взаимно независимы и
104
одинаково распределены и для kT^t<(k+l)T выпол-
няются неравенства
п Л"а<г>
(*+1) 1
t
k
Л+1
N*Bl (Л
(4-2)
fs (k+i)T
lim «чт ™
/—►оо ‘	1
по усиленному закону больших чисел.
Из (4.2^ видно также, что
lim ^-,И1 = лцп.
/-►00	*	'
(4.3)
Поскольку число восстановлений при групповых заме-
нах в среднем больше, чем число восстановлений при за-
менах по наработке, то в соответствии с теоремой 4.1
lim * Ив (OR.. £Ил(0]
lim----т----lim------7----•
/-►00	Г	/-►00	г
(4.4)
Но, используя (4.3), можно записать
lim E[Ne{t}]	> 1
^со * т -Г Т'
lim ЕРМО] =1----------
F(x)dx
в соответствии с элементарной теоремой восстановления
(теорема 2.6), поскольку для замены по наработке ин-
тервалы времени между восстановлениями образуют
105
процесс восстановления. Далее, подставив полученное
выражение в (4.4), получаем
т
1 1
Т т
^F(x)dx
О
или
-------1,
£ F(x)dx
(4.5)
что и дает нижнюю оценку для функции восстановления
для всех Т. Это неравенство, справедливое для всех
законов распределения F, является более сильным, чем
неравенство
М(Г)»2_-1,
записанное в теореме 2.5, поскольку
т
f Р (х) dx < I*,.
о
Обозначим через {У/} интервалы времени между от-
казами для правил групповых замен при условии, что
период проведения замен равен Т. Для получения сред-
него времени между отказами для этого правила преду-
предительных замен докажем следующую теорему.
Теорема 4.3.
о/г Г, + Гг+’-- + У^в(0
Р { 1|т ------ПЗ—7Л-------
Т
М(Т)
Доказательство. Заметим, что
У1 +	----
<
ЛГ*в'.(О
Ti + К, 4--h Yn,b (<) + ]
N*B(t)+l ["*3(0+4
t
Положив t—>-oo и применив теорему 4.2, получаем же-
лаемый результат.
106
Следующая теорема приводит к полезной верхней
оценке для М(Т).
Теорема 4.4. Если F есть ВФИ (УФИ)-распределение,
то
Р[ЛГ(/)>«] >P[N*(t)>n]>P[N*.At)>n]
(О	(«э	°	“
для />0, 7'>0, п = 0, 1, 2,... Равенство достигается
при экспоненциальном распределении F(x)=l—е—
где щ обозначает среднее значение распределения F.
Доказательство. Предположим, что F есть ВФИ-
распределение. Пусть сначала	где Т — период
времени между предупредительными заменами. Обозна-
чим через N(t, х) число восстановлений в интервале вре-
мени (0, /] для модифицированного процесса восстанов-
ления, в котором наработка элемента, функционирующе-
го в момент времени 0, равна х, а через N*A(t> х) —ко-
личество отказов в интервале [0, /] при условии проведе-
ния предупредительных замен по наработке, когда на-
работка элемента, функционирующего в момент 0, рав-
на х. Покажем, что
Р \N (t, х) > п]^Р [N*A (t, х) > n]
(4.6)
Для п = 0 справедливость (4.6) совершенно очевидна.
Для п>0 (4.6) можно переписать в виде
t	t
F<W (f — и) dFx(и) > [ (t — и) dFTx (и)>
6
t
Г /?(»-’> (f — U) dF (u),	(4.6')
где F<n> обозначает n-кратную свертку F, a
F*(u) является распределением времени до первого отказа
для случая, когда наработка элемента, функционирую-
107
Щего в момент времени 0, равна х й предупредительная
замена назначена через время Т—х, если до этого не
произойдет отказа. Нам достаточно определить распре-
деление FTX (и) лишь на интервале [О, /]:
F{x + “]~F{x\ если и<Т-х,
Fx(u)=J F{x}
х \F^~F <*) + W ^—r+х) если T_X<U<L
F(x)
Для доказательства (4.6') нам необходимо лишь показать,
что
Fx(и)> FTx (и)>F(u) для 0<ы</,
(4-7)
поскольку Fn~l (t— и) является убывающей функцией от
«."Для и < Т — х
Fx(u) = F^u) = f(X-+/(x7f(X)	(ц)
потому, что F есть ВФИ-распределение. Для Т — х < и < t
имеем
F (х + и — Т + Т) — F (Т) _ р . .
——------рщ-1-------— > F (х + и — Т),
что влечет за собой
F (х + и) > F (Т)+F (Т) F (и — Т + х),
а также
F(x)-F(T) + FiT)F[u-T + x) _Рт(,л
>	F(x)	—rxW-
Это и доказывает первое неравенство в (4.7). Более того,
для Т — х<Z.u<t
F(a — T + x)
F(u)
возрастает по и, поскольку F является ПП2 и можно до-
пустить, что х^Т. Поэтому
Г(«-Г4-х) F(x)
F(u) <F(ry
108
если 0<u<7. Переписав неравенство, получаем
P(u)=. Г<Г)Г(“-Г-|-ж>
F(x)
откуда
Fr ,.Л	F(x)-F(T)+F(T)F(a-T+x)
х	F(x)
>F(u),
что и завершает доказательство неравенства (4.7). Из (4.7)
можно вывести, что для х>0 и Q<t<T.
P[N(t, x)^n\^P\N*A(t, x)>n]>
>P\N*B(t)^n\.
Теперь предположим, что kT<.t^>(k + l)T, где До-
казательство проводится по индукции. Допустим, что
(4.6) справедливо для O^t^kT. Для п = 0 справедли-
вость (4.6) очевидна. Для п>0 можно записать:
Р^(0>п] = 2 |{Р^(7’)=г|8(Г) = х1Х
г .-=0 0
ХР[Л^-Т, 4>n-r]}dxP[8(T)<x],
P[N*A(t)>n] = f |{Р[У*л(7) = г|8(7) = х] X
г=0 0
XP{N*A(t-T, x}>n-r}}dxP[4T}<x\
и
p \N\ (0 > n] = £ j (T) = r |8 (7) = x] x
XP^%a-T)>n-r]}dx/W)<x],
где 8(7) — случайная величина, обозначающая возраст эле-
мента, функционирующего в момент времени 7. По индук-
ции
P[N(t — 7, x)^n — r]>P[N*A(t — 7, x)>n —г]>
^P[N*B(t-T)^n-r].
109
К тому же
р pv (Т) = г\ЦТ) = х\ = Р [N*A (Г) =г |$ (Г) = х\ =
= P\N*B(T)^r\l{T) = x\t
поскольку все три правила замены совпадают на интер-
вале [О, Т]. Следовательно, (4.6) следует для
^(fe+1) при всех k^A по индукции.
Для УФИ-распределения F доказательство проводит-
ся аналогично с заменой знаков соответствующих нера-
венств.
Следствие 4.5. Если F есть ВФИ-распределение, то
/И (/) < —------ дЛЯ всех /.
j F (х) dx
о
Доказательство. По теореме 4.4.
..	£[*%(/)]	£[УЛ(О1
lim	—
< lim--------г
У кгл	*
(4-8)
t
На основании (4.3)
lim
/-►оо
(/)]
t
М(Т)
т ’
(4.9)
и, наконец, на основании
становления
(3.3)
элементарной теоремы вос-
и
lim
/-►оо
E[N*a
(01
t
Р(Т)
т
С F (х) dx
о
(4.Ю)
Из (4.8), (4.9) и (4.10) вытекает доказательство след
ствия.
На основании (4.5) и следствия 4.5 для случая, ког-
да F есть ВФИ-распределение, получаем следующие
оценки для функции восстановления:
—— ----------------1 < М (t) <	(<)—
С F (х) dx	\F (х) dx
о	о
(4.Н)
по
Эти неравенства могут быть, конечно, использованы для
оценки затрат при групповых заменах, отнесенных к еди-
нице времени для бесконечного интервала времени.
5. ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ ЧЕРЕЗ СЛУЧАЙНОЕ
ВРЕМЯ
Иногда практически невозможно производить за-
мены элементов строго через постоянное время. Напри-
мер, некоторые устройства должны работать в течение
вполне определенного цикла без перерыва, причем сами
циклы могут быть различными. В этом случае произво-
дить замену -посреди такого цикла, т. е. фактически пре-
рывать нормальное функционирование оказывается либо
нецелесообразным, либо даже практически невозмож-
ным. В этом случае, по существу, замену элементов при-
ходится производить через случайные интервалы време-
ни по мере того, как в процессе работы системы возни-
кает возможность проведения замен без ущерба для вы-
полняемых системой задач.
С правилом замен через случайное время связано
несколько процессов восстановления, которые опреде-
лены ниже. Сначала предположим, что замена элементов
производится только по мере их отказа. Тогда интер-
валы времени между заменами	являются незави-
симыми одинаково распределенными случайными вели-
чинами с распределением F, т. е. образуют процесс вос-
становления. Обозначим теперь через {^л}^=1 процесс
восстановления с соответствующим распределением G,
который представляет собой последовательность случай-
ных величин, соответствующих интервалам успешных
предупредительных замен, не связанных с аварийными
отказами в процессе функционирования. Определим тре-
тий, связанный с рассматриваемым правилом замен, слу-
чайный процесс Zk, где Zk = n\in(Xki Yk). Это означает,
что	состоит из интервалов между заменами эле-
ментов, вызванными либо аварийными отказами, либо
предупредительными заменами, следующими в соответ-
ствии с процедурой замены, определяемой распределе-
нием G. Пусть Н(t) = P[Z^t], Тогда
я(о=1-£(от
ш
Среднее время между двумя заменами равняется
E[Z] = p(0?7(0dt
О
Другой интересующий нас процесс	можно полу-
чить, положив
' 1, когда Zk = Хк (т. е. если k-e восстановление
у I	происходит из-за аварийного от-
каза),
О в прочих случаях.
Заметим, что
Е [V] =Р = I F(x)dG(x),
если F или G непрерывны.
Обозначим через NA(t) полное число восстановления
в интервале времени (0, /]. Тогда
.. £[лгл(/)]
lim------------
/-►оо Г
1
ОО
f F(x)G(x) dx
(5.1)
в соответствии с элементарной теоремой восстановле-
ния.
Легко убедиться, что среднее число отказов, появив-
шихся в интервале времени [0, /], удовлетворяет уравне-
нию восстановления следующего вида:
Е {N*a (01 = J {1 + Е \N\ (t - х)]} G (х) dF (x)+
0
4- f E [N*a (t - x)l F (x) dG (x).	(5.2)
d
Теоретически решение для E[N*A(t)] можно отсюда
найти в преобразовании Лапласа. Среднее число отказов
может быть также получено на основании распределения
времени между возникшими отказами (/). Однако
II?
в общем случае для этого распределения можно запи-
сать лишь следующее уравнение восстановления:

+j<F(t-x)F(x)dG(x). (5.3)
Используя тождество
Е [V. + Уг +... + УЫа (l) + ,] = Е [V] {Е [Na (/)] + 1},
можно получить полезные оценки для E{N*A(t)], выра-
женные через E(;Va(0].
Е [V] {Е {Na (t)\ +1} - 1 < Е \N*A (/)] <
<5ЩУ]{ЩЛГл(0] + 1}-
Воспользовавшись (4.11), получаем
J F(x)dG(x) ---------
0	J S (х) dx
l<E[N*A(t)]<
^F(x)dG(x) iH{t}-------1-1
°	J H (x) dx
L о
Аналогичные выкладки могут быть проведены и для
нахождения среднего числа предупредительных замен.
В результате получим значение стационарного коэф-
фициента надежности для элемента, когда использует-
ся предупредительная замена через случайное время,
определяемое распределением G. Стационарный коэффи-
циент надежности есть вероятность того, что устройство
будет работоспособно в момент времени t при t—<x>
и проработает безотказно еще в течение интервала вре-
мени х. Элементом, правило предупредительных замен
для которого рассматривается, может быть, например,
какое-нибудь защитное устройство, начинающее функ-
ционировать лишь при возникновении определенной
8-15W	113
опасной ситуации. При этом устройство может, однако,
отказать и в то время, когда оно функционирует. В та-
ких условиях, в частности, находится оборудование, ко-
торое подвергается лишь эпизодическим инспекционным
осмотрам. В подобных случаях представляет интерес ве-
роятность того, что данное устройство не потребует за-
мен в течение интервала времени t.
Обозначим эту вероятность через R(x, /). Тогда
/?(х, =	+
+ J F (t — и + х) G (t — u) duE [Мд (и)],
О
поскольку duE[NA(u)] есть вероятность восстановления
в интервале времени [и, u + du]. Применив фундаменталь-
ную теорему теории восстановления (теорема 2.9), по-
лучаем
J F (« + х) И- (u) du
t) = °—----------------.
/-►о°	7 _
I F (u)G (u) du
0
В [62] обобщены все те результаты теории восстанов-
ления, которые были обсуждены выше, и исследованы
некоторые более сложные правила предупредительных
замен. Однако все результаты выражены в виде громозд-
ких уравнений восстановления и не приведены к явной
форме.
6. РЕМОНТ ЕДИНСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА
В данном параграфе рассматривается процесс
функционирования элемента, который после отказа ре-
монтируется и вновь начинает работать. В некоторых
случаях предполагается, что после замены или прове-
дения ремонтных работ характеристики надежности эле-
мента становятся такими же, как и у совершенно нового
элемента. Предположим, что время до отказа элемента
есть случайная величина X с распределением F и что
время, необходимое для проведения ремонта, есть слу-
114
чайная величина Y с распределением G. Ремонт элемен-
та начинается сразу же после возникновения отказа, и,
как только ремонт заканчивается, элемент возвращает-
ся на место эксплуатации для продолжения работы.
Последовательные интервалы времени между отказами
и периоды ремонта предполагаются независимыми. Про-
цесс пребывания системы в состоянии работоспособности
и отказа может быть описан при помощи двух процессов
восстановления, вложенных один в другой так, что ин-
тервалы одного из них чередуются с интервалами друго-
го. Возможно, наибольший интерес представляет рас-
пределение числа отказов и распределение времени,
в течение которого элемент находится в интересующем
нас состоянии. Также интересно найти интервал времени
безотказной работы, который рассматривался в преды-
дущем параграфе.
В [171] в связи с совпадением периодических импуль-
сов радиолокационной станции описан процесс, который
рассматривается в этой книге. В [157, 161] изучен случай
экспоненциального распределения времени между отка-
зами и произвольного распределения времени ремонта.
В обзорной статье [9] обобщены многие известные ре-
зультаты.
Распределение числа отказов
Обозначим через Н свертку распределений F и G,
т. е.
t
H(t) = ^G(t — x)dF(x).
о
Будет удобно в дальнейшем обозначить через 1 состоя-
ние работоспособности и через 0 состояние отказа. Пусть
обозначает количество попаданий в состояние /
в течение интервала времени {0, при условии, что в на-
чальный момент времени t=0 элемент находится в со-
стоянии I. Найдем сначала Мц(1)— среднее значение
величины Ntj(t). Заметим, что если элемент в момент
времени /=0 находится в рабочем состоянии, то сред-
нее число попаданий в рабочее состояние при условии,
8*	115
Что первый отказ происходит в момент времени х, рав-
няется Л101 (t—х). Следовательно,
Afn(0=J^oi(/-x)dF(x).	(6.1)
о
Аналогично, если элемент в момент времени t = 0 нахо-
дится в состоянии отказа, то среднее число попаданий
в рабочее состояние при условии, что впервые ремонт
осуществится в момент времени х, равняется 1 +
+Л1ц(/—х). Следовательно,
Af01 (0 = U1 + Мп (t - х)] dG (х).	(6.2)
о
Если распределения F и G известны, можно использо-
вать уравнения (6.1) и (6.2) для нахождения Л1ц(/) и
Л4о1 (0. Один из наиболее простых путей решения свя-
зан с использованием преобразований Лапласа—Стиль-
тьеса. Введем для обозначения этого преобразования ин-
декс «*», т. е.
о
Тогда можно записать
Af*H(s)=A4*01(s)F*(s),
М*0| (s) = G* ($) +М*П (s) G* (s).
Последние два уравнения позволяют выразить
М* ------ F*(S)G*(S)	Zg 3.
M* (s)^	°*(s)
M 01 W 1 — F* (s)G* (s)’
Аналогичным образом получаем
(/) = J [1 + (t - x)] dF (x),	(6.4)
0
t
Мол (t) = J Л410 (t - X) dG (x),	(6.5)
о
116
откуда, опять применяя преобразования Лапласа—Стильтьеса,
<6'6>
Обозначим через Рц(1) вероятность того, что эле-
мент находится в состоянии / в момент времени /, если
он в момент времени /=0 находился в состоянии I. За-
метим, что
xr	(1, если элемент включен в момент
^.о(О-^и(О=] времени Л
(О в прочих случаях.
Следовательно,
Pi0(t) = Е [АГ10(/), (0]=М,0(/) -Мп (0, (6.7)
Рц(/) = 1-Р1О(0.
Аналогичным образом,
Ро1(0=Мо1(0-Моо(0,
(6.8)
Poo(0 = l-^oi(/).
Обозначив через X случайное время до отказа, а че-
рез Y случайное время восстановления, можно записать
р	(0 = k] = Р [Х+ У, + Xt +...
...+П-1+Хы«|-/’П+у1+х,+...
p^lo(O = O]= l-F(f),
где звездочкой отмечается операция свертывания,
a означает ^-кратную свертку распределения Н.
Распределение числа отказов может быть получено
следующим образом. Пусть W(t, п) обозначает вероят-
ность того, что в течение интервала времени /, начиная
117
с состояния работоспособности элемента, произойдет п
или менее отказов. Тогда
W(t, n) = £ P[Ni<t(t)=k] = 4-F(t) +
Л=0
+ £ [Г*Я<*"‘>(/) —Г*Я<*>(0]= 1 —	(6.9)
k=0
где
Я<°> (t) =
О, если /<0,
1, если />0.
Отсюда, определив
U7*(s, n) = Je-sW(/, п),
находим
U7*(s, n) = —F*(s)[tf(s)]rt.
(6.10)
В общем случае обращение преобразований Лапла-
са — Стильтьеса затруднительно. Однако, используя
теорему 2.7, можно записать следующие асимптотиче-
ские формулы, описывающие поведение системы для до-
статочно больших I, в предположении, что распределе-
ния F и G не являются решетчатыми:
м1в(0=—т—
° ' f Hi + vi
Hi
Hi + vi
Д’) I /м
2 (H + vi)s
(6.11)
Afn (/)=—1------1 4- „ . fl2) .,-+о (1),	(6.12)
“' ’ Hi +	(	2 (p.1 + v,)’ 1	' >'	'	’
Ло (0 = Mu (0 - Mu (0=	(0.	(6.13)
Hi г vi
где gi и vi есть средние значения для распределений F
и G соответственно и /<2> — второй момент распределе-
ния Н.
118
Пример 1. Экспоненциальное распределение време-
ни работы до отказа и экспоненциальное распределение
времени восстановления. Предположим, что
F (0 = 1 — е-а/и 0(0=1—е-6'.
Тогда
F*(s)=-£-, G*(s)=-4
л 4- а ’	' '	.<? 4-
Преобразование Лапласа—Стильтьеса от среднего числа от-
казов в соответствии с (6.6) определяется как
м* — a[s + b)
ю W— s» + (a + 6)s •
Отсюда обратным преобразованием находим
м (+\ а* I	а2е~(“+ь)*
(a+b)2 “ПГ+& (а 4- 6)2 *
Аналогичным образом находим
м (f\_______________ab I аЫ I 0&е-(°+м>
(a 4- Ь)г “a + bT (a4-ft)2	’
Таким образом,
ры (о=м.. (о - (о=^-се;<а+7‘
р (t)____*_L ае-<а+ь^
rnW — a + b-V a + b •
Обратное преобразование (6.10) дает нам
л + 1	п
/=1	/=1
где
л,=«.-+£ (-и—'
л=1
в,=^-*+Г(-1)*Г л+*-/+1
Л=1
119
Пример 2. Экспоненциальное распределение време-
ни работы до отказа и постоянное время восстановления.
Предположим опять, что распределение времени работы
до отказа является экспоненциальным, но время восста-
новления является уже постоянным, равным, например,
величине р. Тогда
F* (s)=-?—, G*(s) = e~?s.
' ’ s + а' ' '
Среднее число отказов в интервале времени (0, t) стано-
вится в этом случае равным
М10
г ,	1</₽| 1
(')= t]+1+SS
/=0 Л=0
a*	(*—₽/>
[//?] 7
/=0 k=0
—a (t—ВЛ) ...	.
е	л* (t — ₽£)*
k\
["р] обозначает целую часть числа -р. Следова-
тельно,
а Ч ВЛ
7=0
Л1(0=1-Ло(0.
Распределение числа отказов может быть получено как
( п +1
t,
„р>«.
120
Распределение времени простоя элемента
Обозначим через y(t) долю времени, в течение ко-
торого элемент находится в состоянии отказа на интер-
вале (0,/). Иными словами, у(/) есть доля времени,
в течение которого элемент ремонтируется. Положим
О (Л x) = P[f(/)<x].
В [158] показано, что функция распределения для у(0
определяется как
Q (t, х) = £ G(n) (х) (t — х) — F<"+‘) (t — x)]. (6.14)
л=0
Следующая важная теорема доказана Л. Такачем.
Теорема 6.1. Пусть ^=ЕХ, vl = EY, с2—дис-
персия X,	—дисперсия Y. Если о, < оо, <з2 <оо, то
Пример 3. Асимптотическое распределение времени
восстановления. Предположим, что нам нужно вычислить
вероятность того, что элемент будет находиться более
24 час в состоянии простоя в течение 10000 час функ-
ционирования. Распределения времени работы до отказа
и времени восстановления неизвестны, но получены
(например, на основании эксперимента) следующие
оценки для средних значений и дисперсий:
щ = 1 000 час, о, = 100 000 час3,
v, = 2 час, <?2 = 4 час.
121
Воспользовавшись теоремой 6.1, можно найти для t =
=10 000 час, что величина
Y(0-v1//(p.1 + v1)	Y (10 000)-19,96
(*)• 1 + Р-1’2) </(Н + *«)’	6,66
распределена асимптотически нормально со средним 0
и дисперсией 1.
Следовательно,
Р [т (10000) > 24] = Р	247 ^’96 ] ~
«-7^ f e~“2/2du яа 0,28.
Г2П J
0,6
Таким образом, вероятность того, что элемент за
время функционирования в течение 10000 час будет
находиться в состоянии отказа более 24 час, составляет
около 0,28.
Пример 4. Экспоненциальное распределение време-
ни работы до отказа и экспоненциальное распределение
времени восстановления. Легко получить точное распре-
деление времени простоя на основании уравнения (6.14),
когда оба распределения F(t) и G(t) экспоненциальные:
F(0 =il—е-»', G(t) = 1—е-Ч
Тогда
(t — х)—F<«+1) (t — х) = е- ° < < - *>
Q (ц -|- х, х) =	е “ ““	G(n) (х).
л=0
Преобразование Лапласа—Стильтьеса будет иметь вид
Je-^d^^+x, х) = е-в“ 1,“«(а)1,
где
00
₽(S)=Je-«dG(x)=r^.
о
122
Таким образом, применив обратное преобразование, полу-
чим
____ X
Q(«-|-x, х) = е-аи 1-\-УаЬи Ce-b^t/—1/2
ХЛ {2Vabuy)dy
где Д(х)— функция Бесселя 1-го рода от мнимого эргу,
мента, определяемая как
/ 1	+ I
« ( 2 х)
11 =2 Л(/+1)! *
/=о
Подстановкой u — t — x получаем
П(/, х) = е-а“-х>
1 + Уab (t—x) J е~ьУу~,,2Х
О
XI i(2yab (t — x)y)dy
Среднее время пребывания элемента в рабочем
состоянии
Среднее время пребывания элемента в рабочем со-
стоянии в течение интервала (О, Т) определяется как
т
JPn (x)dx.
о
Чтобы показать это, положим
2(0 =
1,
О
если элемент находится в рабочем состоянии
в момент времени t,
в остальных случаях.
Пусть L равно длине интервала времени, в течение
которого элемент находится в рабочем состоянии на от-
123
резке (О, Г). Тогда, поскольку элемент начинает функ-
ционировать в момент t=0,
E[Z(t)]=Pit(f),
откуда, используя теорему Фубини, находим
т	т
\Pn(t)dt = \E[Z(t)]dt =
о	о
Из примера 1 видно, что, когда F(t)=l—e-ot и G(t) =
= 1 —в"6';
(а 4-<>)» О—е (а+Ь)Т),
о
и в этом случае ЬТ/а+Ь есть консервативная оценка
среднего времени пребывания элемента в рабочем со-
стоянии. Далее будет показано, что это в действитель-
ности так, если F есть ВФИ-распределение.
В [5] показано, что
т
lim [ ГРП (х)—	1 dx=
Г-ЮО J L	Н"! + *1 J
о
_	-Р-2 (р-1 + V1)
2 (Н +
где pi и pg — среднее значение и второй момент распре-
деления F соответственно; vi — среднее значение рас-
пределения G; /<2> — второй момент свертки F и G.
Из (6.15) можно видеть, что Tpi/(m+vi) является
хорошей оценкой для среднего времени пребывания
в рабочем состоянии на отрезке [0, 7].
Теорема 6.2. Если F есть ВФИ-распределение, то
т
lim [[>„(*)
т-юо J L
о
Н
н + V1
124
Доказательство. Предположим, что F есть
ВФИ-распределение. В соответствии с (6.15) нам необ-
ходимо лишь показать, что
Н-1
Р-2
Р-1+V1
/(»)
>0
или
д=
$P(t)dt
о
\tP(t)dt
о
^F(t-tydG(P)dt
о о
— 6) dG (Q)dt
о о
Используя лемму 1 приложения, можно записать:
о
F(G-O)
F(/,-0)
где, конечно, J’(x)=d, когда
теоремы 4.1 гл. 2, видим, что
рицательны и поэтому Д^О.
F(Z*“9) dG^)dttdtt,
F(tt— в) v 7
х<0. Используя пункт в
наши определители неот-
Следовательно, Тщ/(gi+vi) является оценкой сверху
для среднего времени пребывания элемента в рабочем
состоянии на большом интервале Т, когда F есть ВФИ-
распределение.
Надежность на интервале
Вероятность того, что элемент безотказно прорабо-
тает в течение интервала времени [/, /+х], была опреде-
лена ранее в гл. 1 и обозначена через R(x, t)
R (х, 0 = Р (t 4-х) + J Р (t - у + X) dMn (у),
о
где dMn(y) —вероятность восстановления в интервале
времени [у, y+dy]. Предел этой величины при t—>-оо
определяется на основании теоремы 2.9
J F (у) dy
lim R(x, t) =	----
125
в предположении, что распределение F или же G не
является решетчатым. Неравенство
00
I F (и) du
х х
н + н + ъ
верно всегда.
Если F есть ВФИ-распределение, то можно записать
00
Г F (и) du
— X^Ц.,е~х/И1
Н + vi Н + vi Н + *1 ’
поскольку в соответствии с замечанием, предшествую-
щим лемме 4.2 гл. 2, для всех х выполняется неравен-
ство
У F (и) du < j е~"/и' du.
X	X
Нас может также интересовать вероятность S(x, t)
того, что либо элемент нормально функционирует в мо-
мент времени t, либо в противном случае он будет отре-
монтирован в течение интервала времени х.
Рассуждая, как и ранее, получаем
t
S(x, /)=!- \G(t-y + x)dMM.
о
Применив снова фундаментальную теорему восстановле-
ния (теорема 2.9), находим
00
limS(x, 0=1-----£—г------,
/-оо v ’	н + ъ
в предположении, что распределения F или G являются
нерешетчатыми.
126
4
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕН
И ПРОВЕРОК
1.	ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3 были изучены различные правила прове-
дения предупредительных замен с целью получения ин-
формации, касающейся их основных вероятностных
характеристик, таких, как распределение числа отказов,
распределение общего числа произведенных замен, сред-
него времени до аварийного отказа в процессе активной
работы и пр. В настоящей главе делается попытка най-
ти или каким-либо образом описать оптимальные пра-
вила проведения предупредительных замен. Иначе гово-
ря, отыскиваются такие правила из класса предупреди-
тельных замен, которые минимизировали бы суммарные
потери, максимизировали готовность системы или в об-
щем случае позволяли бы достигнуть наилучшего зна-
чения требуемого показателя качества функционирова-
ния.
В данной главе будет рассмотрен широкий класс
правил предупредительных замен. В § 2 изучены прави-
ла управления заменами оборудования с целью пред-
отвращения аварийных отказов в процессе активного
функционирования. В § 3 рассмотрены правила, позво-
ляющие достичь максимума оперативной готовности для
систем, отказы в которых становятся известными лишь
в результате проведения соответствующих проверок.
В следующей главе будут рассмотрены более сложные
модели, в которых решения, связанные с заменой, ре-
монтом и проверкой, принимаются в зависимости от
состояния на каждом шаге; эта модель является мар-
ковской, поскольку решение зависит лишь от информа-
ции о настоящем состоянии системы и не зависит от ее
предыстории.
127
Правила предупредительных замен, рассматриваемые
в § 2, в дальнейшем будут подразделяться, с одной сто-
роны, на правило замен по наработке и правило груп-
повых замен, а с другой стороны, на правило периоди-
ческих замен (с минимальным ремонтом во время от-
каза) и правило последовательных замен. Замены по
наработке и групповые замены были определены и изу-
чены в гл. 3, а замены периодические и последователь-
ные введены лишь в данной главе. В моделях, рассмат-’
ривающих конечные промежутки времени, минимизи-
руются -средние затраты C(t) на интервале времени
[О, /], где затраты могут исчисляться в единицах стоимо-
сти, времени или в других подходящих единицах.
Для бесконечного интервала времени удобным кри-
терием оптимизации могут служить затраты в единицу
времени, выраженные в виде
lim	(1.1)
/->00	1
В большинстве случаев оптимальное правило замен
находится проще для бесконечного отрезка времени,
чем для конечного.
2.	ПРАВИЛА ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕН
В данном параграфе рассматривается проблема
нахождения правила замен, при котором уравновеши-
ваются затраты от аварийных отказов в процессе актив-
ного функционирования с затратами от предупредитель-
ных замен [15]. Во всех математических моделях преду-
предвд>ельных замен, которые будут рассмотрены, стои-
мости Ci включает все затраты, связанные с отказом и
последующей заменой отказавшей единицы оборудова-
ния. Предполагается, что отказы мгновенно обнаружи-
ваются и устраняются. Затраты Сг(с2<С1) связаны
с предупредительной заменой каждой неотказавшей
единицы оборудования. Пусть Ni(t) обозначает количе-
ство отказов в течение интервала времени [0, /] и W2(0
обозначает количество предупредительных замен неот-
казавших единиц оборудования в течение интервала
128
времени [0, /]. Тогда средние затраты в течение интер-
вала времени [О, /] можно выразить в виде
C(t) (t) + c2EN2(t).	(2.1)
Можно интерпретировать Ci как среднее время замены
единицы оборудования при аварийном отказе и с2 как
среднее время предупредительной замены неотказав-
шего элемента оборудования. Тогда C(t) представляет
собой среднее время простоя системы на интервале
[О, /]. Правило предупредительных замен, минимизирую-
лцее C(f), будет тогда максимизировать коэффициент
готовности системы.
Правило, минимизирующее Ct на конечном интерва-
ле, или правило, минимизирующее	на беско-
нечном интервале времени, будем отыскивать для сле-
дующих классов правил: предупредительные замены по
наработке, групповые замены, периодические замены
с минимальным ремонтом при отказе и, наконец, после-
довательная замена на интервал конечной длины.
Ясно, что ни одно из упомянутых правил предупреди-
тельных замен не будет приемлемым, если только рас-
пределение отказов характеризуется убывающей интен-
сивностью отказов, поскольку в этом случае у элемента,
уже проработавшего некоторое время, среднее значение
остаточного времени безотказной работы больше, чем
среднее время безотказной работы совершенно нового
элемента, на который этот проработавший элемент мо-
жет быть заменен.
2.1.	Предупредительные замены по наработке
Напомним, что предупредительные замены по на-
работке состоят в замене элемента на новый при усло-
вии, что работавший до этого элемент либо отказал,
либо уже имеет наработку Т. Обычно величина Т выби-
рается постоянной. Если Т является случайной величи-
ной, выбираемой для каждой очередной замены незави-
симо из одного и того же фиксированного распределе-
ния, будем говорить о правиле предупредительных замен
по случайной наработке (см. § 5 гл. 3).
1 Предупредительные замены по наработке на беско-
нечном ^интервале наиболее полно отражены в литера-
туре. Для таких правил в [121] показано, как опреде-
9—1563	129
ЛяТь период замёй, мйнймйзйрующии средние Затраты
на единицу времени, если такой период существует. На-
хождение оптимального периода предупредительных
замен по наработке на конечном интервале времени яв-
ляется существенно более сложной задачей. В [15] дока-
зано существование такого оптимального правила, и
техника нахождения оптимального периода предупреди-
тельных замен проиллюстрирована на одном специаль-
ном случае. В [44] найдено оптимальное правило преду-
предительных замен для части оборудования, в которой
принятие решения о замене зависит от состояния посте-
пенно ухудшающихся параметров, наблюдаемых в опре-
деленные моменты времени.
Бесконечный интервал времени. Если определяется оп-
тимальное правило замен на бесконечном интервале вре-
мени, то, как это показано в нижеследующей теореме,
достаточно рассмотреть лишь неслучайный период преду-
предительных замен по наработке.
Теорема 2.1. Предположим, что распределение дли-
тельности безотказной работы является непрерывным.
Тогда оптимальное правило предупредительных замен
по наработке на бесконечном интервале времени заклю-
чается в выборе неслучайного периода замен.
Доказательство. Пусть A(G) обозначает сред-
ние затраты на единицу времени на бесконечно большом
интервале времени, если осуществляется правило замен
по случайной наработке, причем каждый из этих -перио-
дов Т есть случайная величина, принадлежащая распре-
делению G. Заметим, что Т = оо соответствует тому слу-
чаю, когда замены производятся только при наступлении
аварийного отказа. В соответствии с определением имеем
Л(0)=1|тгС1гщо+с,«що1.
f->00 L 1	1 J
Использовав теорему 2.6 гл. 3, можно [показать, что [15]
сДр (л) dO (х) + сг j* G (х) dF (х)
A(G)=—--------------°---------.	(2.2)
J С (х) Р (х) dx
О
130
Выражение (2.2) можно переписать в виде
со
	Q (х) dG (х) Л(О)-^ f S (х) dG (х) 0
где	Q (х) = ctF (х)	с J? (х)
и	S (х) = f ydF (у) + x f dF (у).
Предположим теперь, что найдено минимальное зна-
чение отношения Q(x)/S(x) для х, принадлежащего от-
резку [0, оо]. Этот минимум существует, поскольку
Q(x)/S(x) непрерывна для всех х>0. Пусть Хо (возмож-
но, бесконечное) и есть то х, которое минимизирует на-
шу функцию. Тогда, поскольку
Q(x) QM
S(x) -S(xt)
^так как
QW >lim Ж,
«мл™ $(*)
если х0=оо
можно записать
со	со
jQ(x)dG(x)>^js(x)dG(x),
о	о
так что
л<°)3-?ет=л(0-’’
где Go есть вырожденное распределение, у которого име-
ется лишь одна точка роста х0, причем если х0 беско-
нечно, то замена производится лишь в случае отказа.
Таким образом, оптимальное правило предупредитель-
ных замен по наработке является неслучайным.
Для того чтобы найти оптимальный период профи-
лактических замен, если таковой существует, будем ис-
кать в теореме 2.1 величину х0, которая минимизирует
9е	131
Q(x)/S(x) для всех xt принадлежащих отрезку [6, оо].
Если распределение отказов F имеет плотность f, необ-
ходимое условие того, что Хо(*о<°°) минимизирует
Q (х) c.F (х) + c2f (х)
S(x)~ х
\ F (и) du
о
может быть получено путем приравнивания нулю произ-
водной от Q(x)/S (х). В результате получаем
r(x)\F(t)dt-F(x)=r^-,
I	v2
(2.3)
где г(х) —интенсивность отказов f(x)lF(x).
Если допустим далее, что г(х) непрерывна и возра-
стает, то и левая часть (2.3) также будет непрерывной
и .возрастающей, и оптимальное значение х0 существует
(возможно, что значение Ло окажется равным бесконеч-
ности) .
Если распределение F имеет непрерывную плотность
и решения уравнения (2.3) не существует, то, поскольку
Q(x)/5(x)—>оо при х—>0, из этого следует, что функ-
ция Q(x)/S(x) убывает с ростом х и что х0 = оо, т. е.
оптимальным правилом замен является такое, когда за-
мены производятся только лишь в случае отказа. Нако-
нец, заметим, что решение уравнения (2.3) является
единственным и конечным, если интенсивность отказов
г(х) непрерывна и строго возрастает до бесконечности.
Напомним, что для усеченного нормального распределе-
ния и для распределения Вейбулла с параметром а>1
(см. § 2 гл. 2) интенсивность отказов как раз и является
функцией непрерывной и строго возрастающей до беско-
нечности. Пусть
т ZVX  C1F(X) + C2F(x)
j F (и) du
0
132
Тогда L(0)=oo и £(оо)=с1/ц1. Приравняв нулю про-
изводную от L(x), получаем
О
В случае, когда F есть ВФИ-распределение, левая
часть последнего уравнения также является возрастаю-
щей функцией. Следовательно, функция £(х) имеет са-
мое большее один минимум (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Возможный характер функции L(x).
Далее,
для
J F (и) du
о
Таким образом, функция L(x) должна пересечь ли-
нию Ci/ц] правее точки пересечения Сг/х и Cj/gi, если
только вообще £(х) пересекает cj/gi. Но точка пересе-
чения с2/х и ci/pi есть x=(c2/ci)m- Отсюда следует, что
функция £(х) пересекает ct/pi правее точки (сг/сОрь
т. е. во всяком случае не следует планировать проведе-
ние предупредительных замен чаще, чем через (c2/g)pi
единиц времени, если F есть ВФИ-распределение.
Для случаев, когда Хо в точности удовлетворяет
уравнению (2.3) и минимизирует 4(G), достигаемый
минимум есть [8]
4 (х0) = (ci—с2) г (х0).	(2.4)
Решение для бесконечного отрезка времени примени-
тельно к усеченному нормальному распределению. Одним
из классов распределений отказов, представляющих не-
133
сомненныи практическим интерес, является усеченное
нормальное распределение. Оптимальный период прове-
дения предупредительных замен по наработке легко на-
ходится для этого случая непосредственно из (2.3).
•Плотность f(x) усеченного нормального распределе-
ния может быть записана в виде
—) при х>0,
при х<0,
где
е—*2/2.
Если ц/<г^3, то плотность f(x) очень близка к плотно-
сти обычного нормального распределения со средним ц
и среднеквадратическим отклонением а.
Сделав замену переменной #о=(хо—и опреде-
лив
гЛ,(х)=
?(*)
оо
f Т (t)dt
X
из (2.3) получим
у» «
К (yt) = rN(y9) j Cp^-e-',/2dxd/ —
—н/»«
dx—
(2.5)
Если ц/а>3, то можно приближенно считать b равным
1 и найти решение для f/o= (%о—н)/<? в зависимости от
c2/(ci—с2).
На рис. 2.2 представлен график зависимости К(уо)
для ц/<г=3. Для того чтобы получить Л(%о)» соответст-
вующее среднему значению затрат на единицу времени,
134
ЙСЙоЛьзуем рис. £.3, на котором представлен график
функции rN(y0)—интенсивности отказов для нормаль-
ного распределения со средним значением 0 и средне-
квадратическим отклонением 1. Поскольку
из (2.4) получаем
•*4 (х0) = (f j ct) — rN (t/0).
Пример 1. Многие типы электровакуумных прибо-
ров, используемых, например, в оборудовании граждан-
Рис. 2.2. Функция К(уо), необходимая для получения
строго периодического правила замены для нормально-
го распределения.
ской авиации и т. д., имеют усеченное нормальное рас-
пределение [1]. Пусть некоторый тип электровакуумных
приборов, используемых в оборудовании гражданской
авиации, характеризуется усеченным нормальным рас-
пределением времени безотказной работы со средним
значением ц=9080 час и среднеквадратическим откло-
нением <у=3027 час. Предположим, что С] = Г1ОО долл, и
С2=Ю0 долл., т. е. Ci/C2='ll. Положим K(t/0) =
=Сг/(С1—Сг)=0,1. Из рис. 2.2 видим, что у0=—1,5 и,
следовательно, Хо—4540 час, поскольку Хо=<п/о+ц- Из
рис. 2.3 находим, что rN(y0) = 0,14 и
Д (х0) = 1^- -0,14= 0,05 долл.
Следовательно, затраты на замены составляют
в среднем около 5 центов в час при условии, что приме-
135
няется оптимальное правило предупредительных замен.
В то же время затраты составляют в среднем Ci/p =
= 0,12 долл.='12 центов в час, если замену отказавших
элементов производить лишь по мере их отказа. Таким
образом, оптимальное правило проведения замен обеспе-
чивает снижение затрат на 58% по сравнению с замена-
ми только при отказах.
В fl 70] рассмотрена в некотором смысле более общая
модель предупредительных замен по наработке для бес-
Рис. 2.3. Интенсивность отка-
зов для нормального распре-
деления 2V (0,1).
конечного отрезка времени. Эта математическая модель
отличается от только что рассмотренной модели тем, что
помимо замен и отказов здесь учтен еще и собственно
ремонт (в частности, случайное время ремонта и затра-
ты, связанные с ним). Следуя только что приведенным
доказательствам, можно получить (и в некоторых случа-
ях минимизировать) величину асимптотических затрат
на единицу времени. В [170] приведен ряд простых при-
меров расчета оптимального правила замен, но показа-
но при этом, что оптимальное правило предупредитель-
ных замен не всегда существует.
Минимаксная стратегия для бесконечного отрезка вре-
мени. На практике точное распределение отказов F неиз-
вестно. Тем не менее все же можно определить границы
среднего числа отказов, среднего числа предупредитель-
ных замен и пр. для различных правил проведения пре-
дупредительных замен в предположении, что время без-
отказной работы имеет ВФИ-распределение (см. гл. 3).
Однако для нахождения оптимального правила преду-
предительных замен нам требуется более точное знание
функции распределения отказов. При отсутствии соот-
ветствующих сведений целесообразно отыскивать мини-
максное правило, т. е. такое правило предупредительных
замен, которое минимизирует максимум средних затрат,
136
где сам этот максимум берется по всем возможным рас-
пределениям отказов.
Теорема 2.2. Если известно лишь среднее значение pi
распределения F и не известен конкретный вид самого
распределения, минимаксным правилом предупредитель-
ных замен по наработке на бесконечном отрезке време-
ни является правило, в соответствии с которым замены
производятся лишь в случае отказа.
Доказательство. Обозначим через L(x, F)
асимптотическое значение средних затрат на единицу
времени при периоде замены х для случая, когда рас-
пределение отказов есть F со средним значением pj.
Пусть Fq (0=1 — е‘“//И1 .
Тогда
— = maxL(oo, F) > min max L (х, F)>
н F	х F
max min L (x, F) > min L (x, Fo) = L (oo, Fo) = —.
F x	x	H*1
Следовательно, минимаксным правилом является отсут-
ствие предупредительных замен.
Заметим далее, что соответствующим распределе-
нием отказов, максимизирующим асимптотическое зна-
чение средних затрат на единицу времени, является экс-
поненциальное распределение.
Теорема 2.3. Если нам известны лишь первые два мо-
мента р,! и а конкретный вид распределения F не из-
вестен, причем
J _
Hi	ci ’
то минимаксное правило предупредительных замен по
наработке на бесконечном отрезке времени состоит
в осуществлении замен только в случае отказа.
Доказательство. Без потери общности, предпо-
ложим, что Ц1=1. Рассмотрим сначала случай, когда
ц2^2. Пусть
0	при 0</<1 —	—1,
Л(0='	/ t —	.--r
1 — exp (------------) при f >1—1 •
137
Легко убедиться, что распределение Fo имеет первый
момент Ц1=1 и второй момент рг- Заметим, что уравне-
ние (2.3)
X
J
о
не имеет конечного решения по х, поскольку левая часть
его равна нулю при х=0, меньше -или равна c2/(ci—^2)
при х=оо и возрастает с возрастанием х. Отсюда сле-
дует, что оптимальным правилом предупредительных за-
мен для распределения Fq является правило замен толь-
ко в случае отказа.
Таким образом, если f есть класс распределений F
таких,что
£г
Ci ’
Н
TO
— = max£(oo, F)> min max £ (x, F) max min £ (x, F)>
F^g:	x	F^g: x
>min L (x, Fo) L (00, Fo) =
x	rH
Следовательно, минимаксным правилом является
правило замен только в случае отказа.
Теперь пусть р2 >• 2 и (t) = Xata~'	для t > О,
t
= jfo(u)du, где Я=а= 1/(р2—1).
о
Поскольку Fo есть УФИ-распределение, оптималь-
ное правило предупредительных замен состоит в заме-
нах только при наступлении отказов.
Можно показать, что для ВФИ-распределений, для
которых
»	|_____Ct_
Pl	Cl ’
оптимальный период предупредительных замен конечен.
138
Конечный отрезок времени. Исследование оптималь-
ного правила предупредительных замен по неслучайной
наработке на конечном интервале времени является
гораздо более сложной задачей, чем для случая беско-
нечного интервала времени. Сначала докажем, что по-
добное оптимальное правило действительно существует.
Теорема 2.4. Пусть распределение отказов F является
непрерывным. Тогда существует правило предупреди-
тельных замен по наработке, характеризующееся мини-
мальными издержками, для любого конечного интервала
времени [0, /].
Доказательство. Для достаточно малого S>0
средние затраты при использовании периода предупре-
дительных замен $<б будут больше или равны c±Al(/),
где M(t) есть количество замен, связанных с распреде-
лением Г(/). Будут рассмотрены только правила замен
с периодом замены Период s^t эквивалентен
случаю отсутствия предупредительных замен.
Пусть Сп(/, s) есть средние затраты на интервале
[О, /], связанные с п первыми заменами, произведенными
в соответствии с правилом замен на интервале $. Ясно,
что
cxF (/) при t < s’,
cxF (s)^ctF (s)
Для и = 1,2,... имеем
CAt, s) =
[Ci + Cn(t — y,s)]dF(y)
£n+i (Л s) —
при t<,S,
([et+Cn(f-y,	cn (t-s, s)] F(s)
a
при t>s.
Величина Ci(t—js, s) является непрерывной для всех s,
для которых отношение ’t/s не является целым числом
при /=0, 1, 2, ... Аналогичным свойством обладает и
величина Cn+l(t—js, s). По индукции для случая, когда
139
отношение i/s не является целым, величина СП(Л 5) яв-
ляется непрерывной по s для п = 1, 2, ...
Таким образом, {Сп(/, $)} есть последовательность
функций непрерывных по s для нецелых значений t/s.
Но Сп(/, s) сходится к С(/, s) равномерно для s^d,
потому что:
а)	самое большее может произойти t/Ъ запланиро-
ванных замен, так что для n>t/b вероятность осуще-
ствления по крайней мере п замен либо по причиКе отка-
зов, либо из-за предупредительных замен меньше, чем
вероятность того, что произойдет по крайней мере
п—[//д] отказов;
б)	эта последняя вероятность не превышает
где [х] обозначает целую часть х;
в)
У —О
равномерно по при и—>оо. Следовательно, С(/, s)
непрерывна по s в интервале [//(/+1), ///] для
/= 1, 2, ...
Итак, для любого е>0 функция С(/, $) имеет мини-
мум по s в интервале [//(/ +1), t/i—е] для /=1, 2, ...
С (/, f//) < lim С (/, t/i — s),
поскольку эти две величины отличаются по существу
лишь на величину затрат, связанных с одной плановой
заменой. Таким образом, С(/, s) непрерывна по s, за
исключением точки t/i, в которой значение функции
меньше, чем непосредственно слева при i= 1, 2, ... Сле-
довательно, функция С(/, $) имеет минимум по $.
Если этот минимум меньше, чем стоимость от исполь-
зования правила предупредительных замен на интерва-
ле [0, /], следует использовать правило предупредитель-
ных замен с периодом, минимизирующим средние
затраты. В противном случае использование предупре-
дительных замен нецелесообразно вовсе. Во всяком
случае, правило замен по наработке существует.
140
К сожалению, общих формул для Вычисления опти-
мальных травил профилактических замен по возрасту
получить не удается. Однако рассмотрим несколько ча-
стных примеров, чтобы показать, как находится опти-
мальное правило замен по наработке и как подсчиты-
ваются связанные с ним средние затраты С*(/). Пусть
f(t) есть плотность гамма-функции
и пусть затраты, связанные с заменой вследствие отка-
за, есть Ci= 10, а затраты, связанные с предупредитель-
ной заменой, Найдем период замен для правила
предупредительных замен по наработке для случая ми-
нимизации средних затрат в течение конечного интерва-
ла времени [0, /], когда 0</^6.
В теореме 2.4 показано, что существует период за-
мен st такой, что С*(/) =min С(/, s)=C(t, st). Ranee, по-
s
скольку
Л1(/) = 4-4-+4е-,
имеем
с* (0 = С1м (0=10 (4—г+4 е-2<).
если S/ = oo (т. е. предупредительные замены отсутст-
вуют) или
st
С* (/) = И10 ^-С (/ - у, st)] dF (у) +
О
+ [1 + с (^ — st, s01 (50>
если	где
F(f)=\ —F(t)= ^xe-xdx = (l-|-/)e_t.
Путем численного интегрирования для значений $=
= 0,01; 0,02; 0,03, ..., (//0,01] • 0,01 вычисляем С(/, s) из
интегрального уравнения
C(/,s) = J [Ю + С(/ —y,s)]dF(y)4-[l 4-С(/ — $,$)]/?($).
о
141
Затем выбираем S/ в качестве того значения $, кото-
рое минимизирует С(/, s). Подобное вычисление произ-
водится для всех	Величины C*(t)—ожидае-
мые средние затраты при оптимальной предупреди-
тельной замене по наработке, и соответствующие
оптимальные интервалы замены S; представлены на
рис. 2.4. Заметим, что решение может быть получено,
как и ранее, даже если функция распределения F из-
вестна только в виде эмпирической кривой.
Рис. 2.4. Ожидаемые затраты и интервал замены
для оптимального правила замены по наработке.
В разделе 2.4 будут вычислены ожидаемые средние
затраты и оптимальная последовательность замен при
условии, что сделаны аналогичные предположения о ха-
рактере затрат и плотности распределения отказов. При
этом будет произведено сравнение двух рассмотренных
выше правил замены.
2.2. Групповые замены
Напомним, что в соответствии с введенными опре-
делениями в § 4 гл. 3 при групповой замене элемент
заменяется в моменты времени kT (£=1, 2, ...) и при
отказе.
Бесконечный интервал времени. Из теоремы 4.2 гл. 3
можно заключить, что ожидаемые затраты В(Т) на
единицу времени при правиле групповых замен на от-
резке Т в пределе равны
В(Т)=-	(2.6)
142
где, как обычно, М(Т) есть функция восстановления, т. е.
среднее количество отказов на интервале [О, Т], соответ-
ствующая рассматриваемому распределению А
Если F(t) есть непрерывное распределение, то ясно,
что В(Т) также непрерывна при 0<Т<оо, причем
В(Т)—>оо, когда Т—>0. Если интерпретировать замену
в момент времени Т=оо как замену только в случае
появления отказа, то можно заметить, что В(Т) имеет
минимум при 0<7<оо.
Если распределение F имеет плотность, то из этого
следует, что М(Т) имеет производную т(/), известную
под названием плотности восстановления (см. уравне-
ние (2.4) в гл. 3). Следовательно, необходимым усло-
вием того, что конечная величина То минимизирует
В (Г), является то, что она удовлетворяет уравнению
(2.7), полученному путем дифференцирования (2.6) и
приравнивания производной нулю
Тт(Т)-М(Т) = ±.	(2.7)
Результирующее значение В(Т0) из	(2.6) равно
Cim(T0).
Пример. Пусть f(t) есть плотность гамма-распределе-
ния 2-го порядка:
f(t)
Тогда после подстановки (2.13) и (2.14) из гл. 3 в выра-
жение (2.7) и упрощения получаем
е-2Г (1 4-2Т) = 1 —	(2.8)
Заметим, что для c2/Ci^-— не существует конечного зна-
чения Т, удовлетворяющего уравнению (2.8), откуда
следует, что оптимальной является лишь замена после
наступления отказа. Для любого выбранного значения
Cz/Ci существует единственное решение Го. поскольку ле-
вая часть уравнения (2.8) является строго убывающей
функцией от Г. Упомянутое решение может быть полу-
чено по таблицам неполной гамма-функции, например,
[129] или [117].
Окончательно минимум функции определяется как
^(7'0)=A(4“4-e"2rj-
143
2.3. Периодические замены с минимальным
ремонтом при отказе
В [8] введено понятие периодических замен или ре-
монтов с минимальными восстановительными работами
при возникновении отказов. В этой модели предполага-
ется, что характер интенсивности отказов системы оста-
ется неизменным при проведении тех или иных восста-
новительных работ в промежутках между периодически-
ми профилактиками. В [8] показано, как следует
вычислять оптимальный период между заменами или
ремонтами при рассмотрении бесконечного интервала
времени, и произведено сравнение результатов, получен-
ных в данном случае, с результатами предупредитель-
ных замен по наработке.
Предполагается, что после каждого отказа произво-
дится лишь такой минимальный ремонт, при котором
характер интенсивности отказов системы г(t), соответст-
ствующей непрерывному распределению отказов F, оста-
ется неизменным. Это правило может быть применено
для таких сложных систем, как вычислительные маши-
ны, самолеты и пр. Плановые замены или ремонты про-
изводятся в моменты времени Г, 2Т, ЗТ, ... Задача со-
стоит в том, чтобы выбрать такое Т, которое минимизи-
ровало бы функцию
С (/) = lim C1ENl W +	,
/-►ОО
где Ci — стоимость минимального ремонта;
с2— стоимость предупредительной замены (с2 не
обязательно меньше Ci);
N\(t) —количество отказов на интервале [0, /];
#2 (О —количество предупредительных замен на интер-
вале [0, /].
Как было показано при получении выражения (2.6),
принос.
Для того чтобы вычислить
lim
/-►СО	*
144
сначала убедимся, что вероятность .появления по край-
ней мере одного отказа в интервале (и, u+h), есть
r(u)h+o(h) и что вероятность появления двух или бо-
лее отказов есть о(Л). Отсюда следует, что математиче-
ское ожидание числа отказов в интервале (u, u+h),
равное ENtfu + h)—ENi(u), и есть r(u)h + o(h). По-
скольку
+ [ЕЛ\ (2ft) - ENt (ft)] Н-[- ]ЕУ, (Г) - ENt (kh)\,
т
где k=[T/h], то ENl(T)= ^r(u)du.
о
Используя теорему 4.2 гл. 3, получаем
т
Ci J г (и) du + с2
С (Т) = —°------т----.	(2.9)
Заметив, что
т
— 1g F (Т) = j г (и) du,
О
и предположив, что распределение F имеет возрастаю-
щую интенсивность отказов, можно получить строгие
границы для С (Г), используя таблицы из пятой статьи
дополнения, где pi или оба момента pi и заданы.
Чтобы минимизировать С(Т), приравняем производ-
ную от этой функции нулю и получим
т
^r(T)-r(u)}du=±.	(2.10)
о
Теорема 2.5. Если существует интервал [0, Ь), где
0</?^оо, такой, что r(t) есть непрерывная и неограни-
ченная функция на [О, Ь), тогда (2.10) имеет решение
относительно Т.
Доказательство. Обозначим левую часть урав-
нения (2.10) через L(T). По определению L(t) непре-
рывна на [0,6), причем L(0)=0. Пусть L {TJ есть после-
10-1563	145
довательность такая, что O<T1<T2<T3< .... а г(Т)г<
^r(Tt) для T^Tt (t=l, 2, ...), причем limr(Ti) =оо.
Z—>0О
Такая последовательность существует, поскольку r(t)
неограничена. Тогда
т/
L (Т{) = Ttr (Ti) —\r(u)du> T j (Ti)— J г (и) du — оо
о	о
при i—>-оо. Таким образом, L(T) принимает все неотри-
цательные значения, когда Т изменяется от 0 до Ь. Сле-
довательно, уравнение (2.10) имеет решение относитель-
но Т.
Достаточное условие того, что решение уравнения
(2.10) является единственным, дает'следующая теорема.
Теорема 2.6. Пусть г (Г) есть строго возрастающая и
дифференцируемая функция. Тогда, если решение урав-
нения (2.10) существует, оно является единственным.
Доказательство. Дифференцируя L(T), получа-
ем по определению, что
L'(T) =Тг'(Т)>0.
Таким образом, решение уравнения (2.10) должно
быть единственным.
Заметим, что, если существует единственное решение
уравнения (2.10), оно должно обеспечивать минимум для
С(Т), .поскольку С(Т)—*• оо при Т—>-0.
Если То есть значение Т, минимизирующее С(Т), то
из уравнения (2.10) результирующее минимальное зна-
чение величины С(Т) равно
С(То) = йг(Т0).
Пример. Предположим, что F есть распределение
Вейбулла
F(t)=l — е_х<’,
где Х>0, а>1. Тогда г(/) = Яа/“-1 ир.= Г^-^--|-1^А,/а.
Воспользовавшись уравнением (2.10), находим, что опти-
мальное значение То удовлетворяет уравнению
А(а—1)Т“=-^-,
о Ci
Ц6
откуда
Cl 1'/*
Х(«— 1) Ci J
2.4. Последовательная замена на интервалё
конечной длины
Понятие последовательной замены уместно только
лишь для интервала конечной длины.
При последовательных заменах каждый следующий
интервал времени до предупредительной замены выби-
рается таким образом, чтобы минимизировать ожидание
затрат в течение оставшегося интервала времени. Таким
образом, мы не планируем заранее в самом начале
нашего конечного интервала времени каждую из преду-
предительных замен. Более того, после каждой очеред-
ной замены планируется только лишь время следующей
замены. Подобная гибкость правила последовательных
замен, естественно, приводит к снижению средних затрат
по сравнению с затратами, получаемыми при оптималь-
ном правиле замены по наработке. В [15] доказано суще-
ствование оптимального последовательного правила,
получены количественные результаты и приведен иллю-
стративный числовой пример, в котором производится
сравнение этого правила с оптимальным правилом за-
мен по наработке. Приводимый ниже анализ этого пра-
вила основан на работе [15].
Прежде всего покажем, что при исследовании после-
довательных замен нам достаточно рассматривать лишь
замены через неслучайный период времени. Правило,
при котором распределение Gt характеризует следую-
щий момент замены при условии, что остается т единиц
времени	(/ — первоначальный интервал време-
ни конечной длины), обозначим {Ст:0<т</}.
Под {Dt; Gx: 0 < т < t} будем понимать, что распределе
ние Dt управляет моментом следующей замены, при
условии, что остается t единиц времени до окончания
фиксированного интервала времени, а распределение
G-, управляет моментом замены, когда остается т еди-
ниц времени (0^т</). Заметим, что с вероятностью
10*	147
Ci(t) не планируется вообще ни одной замены в остав-
шемся отрезке времени т.
Лемма. Для любого заданного правила = {GT: 0 <
< т < /} существует правило Р2 — {Dr, Gz: 0 < т < /} (Dt—
вырожденное распределение), для которого затраты не
превышают затрат первого правила.
Доказательство. Пусть S;(t) обозначает мате-
матическое ожидание затрат в течение интервала вре-
мени [0, /] при использовании правила Р{, где i— 1, 2.
Если Si(/)=oo, утверждение является очевидным.
Предположим теперь, что Si(/)<oo. Тогда можно
записать
оо
(t) = ^R(x)dGt(x),
где
[с, + Sj (t — у)] dF (у) + [с2 -j- Sj (t — х)] F (х)
при 0<x<t,
/?(х) =
t
J + (t~y)\ dF (у)
о
при X > t.
Определим г как inf P(x). Если R(x0)]<r для всяко-
0 x t
го Хо>1/, то выберем Dt, для которого единичная масса
сосредоточена в точке Хо (это означает, что первоначаль-
но не планируется никаких замен). Тогда S2(Z)^
Если /?(х)>г для х>/ и если (1) г действительно до-
стижимо, например, в точке хо(0^хо^), выберем Dt,
для которого единичная масса сосредоточена в точке х0;
если (2) г не достигается на интервале [0, /], то R (х) >г
для O^Xo^f. Таким образом, Si(t)>r.
В частности, пусть St (/) = г 8, где 8 > 0. Поскольку
г— inf R(x) существует х, на интервале [0, £] такое,
0 х t
что 7?(Х1)<г+б. Выберем Dt, для которого единичная .
148
масса сосредоточена ® точке Xi. Тогда <$г(/) <г+Л- Усло-
вие S2(/)^Si(Z) выполняется либо в случае (1), либо
в случае (2).
Последовательно применяя лемму, легко получить
следующую теорему.
Теорема 2.7. Для любого заданного правила Рх —
= {Gx:0<тсуществует правило P2—{D^— вырож-
денное распределение:	для которого затраты
не превышают затрат первого правила.
Иными 'словами, для всякого последовательного пра-
вила со случайными периодами между заменами может
быть найдено последовательное правило с неслучайными
периодами замены, причем затраты для последнего пра-
вила не будут превышать затрат для правила при слу-
чайных периодах замены. Таким образом, нам нет не-
обходимости рассматривать случайные периоды замены
при исследовании оптимального последовательного пра-
вила.
Определим L(t) как минимум математического ожи-
дания затрат на интервале (0, по всем возможным по-
следовательным правилам. Используем понятие инфи-
нума, а не минимума, так как неизвестно, существует ли
оптимальное правило, достигающее значения £(/).
Приведем некоторые основные свойства функции
£(/)> полезные для установления существования опти-
мальной политики.
Теорема 2.8. L(t) есть неубывающая функция.
Доказательство. Для заданных8>0 и е>0суще-
ствует правило {Gx: 0 < -t < t -|- 8} с математическим ожида-
нием затрат S(Z-|-8) на интервале [0,/4-8], причем эти
затраты меньше, чем L(^4"^)4~8- Обозначим Gx(x) =
==GT+j(x) для	и 0</<оо. Тогда, если S(t)
есть математическое ожидание затрат в течение интервала
[О, #] для правила {GT	мы должны получить условие
L(f4_8)4_8>S(f4_8)>S(o>L(o.
Поскольку е произвольно, то £(/ + б)^Л(/).
149
От1мётйм, бдйаКО, Что утвержДеййё б тоМ, Что ДЛЯ
произвольного правила на интервале [О, /0] математиче-
ское ожидание затрат £(/) на интервале [0, /] есть
неубывающая функция от	, неверно. В каче-
стве простого противоречащего примера можно рассмо-
треть следующий. Пусть 0<6«2 и пусть F есть абсо-
лютно непрерывная функция.
Рассмотрим правило для которого G^ концентрируется
в точке Л/2 и G^ концентрируется в оо (т. е. предупре-
дительные замены не нужны). Тогда математическое
ожидание затрат S(ti)^C2, в то время как 5(^) может
быть сделано меньше, чем с2 для достаточно малого /г-
Теперь получен следующий полезный результат.
Теорема 2.9. Пусть F есть непрерывная функция. Тог-
да и функция £(/) является непрерывной.
Доказательство. Для заданного е>0существует
некоторое правило {Gz: 0 < т < /} с математическим ожида-
нием затрат S(t) в течение интервала времени [О,/], мень-
шим, чем L(t)-}-е/2. Обозначим Gx+i(x) = Gz(x) для 0<
и 0<х<оо, причем для 0<т<8 вероятность Gx
означает, что не производится никаких предупредительных
замен. Пусть S(/-(-8) означает математическое ожидание
затрат, связанных с правилом {GT:0<t</-|-8}. Тогда
L(Z + 8)-L(/)<S(f + 8)-S(O+4-<4-+
+ <?. sup [Л1(т-]-8) —М(г)],
где М — количество восстановлений, соответствую-
щее F.
Поскольку F есть непрерывная функция, М также
непрерывна и, следовательно, равномерно непрерывна
на любом замкнутом отрезке. Отсюда сразу же следует
заключение о непрерывности £(/).
Установив непрерывность L(/), можно показать су-
ществование оптимального правила, т. е. правила, обе-
150
спечивающего достижение L(t). Введем следующее обо-
значение:
W (х, t) = J [с, + L (t - у)] dF (у) +	+ L (t - х)] F (х).
Отметим, что W(x, i) 'Представляет собой математи-
ческое ожидание затрат при условии, если первоначаль-
ная замена планируется в момент времени x^t и если
нижняя грань математического ожидания затрат в тече-
ние оставшегося периода времени при этом достигается.
Лемма. Пусть F есть непрерывная функция. Тогда
W(x, t) достигает минимума в точке х, принадлежащей
интервалу [0, /]•
Доказательство. Интеграл
^[C1 + L(t-y)]dF(y)
непрерывен по х, потому что подынтегральное выраже-
ние ограничено в соответствии с теоремой 2.8. Более
того, L(t — х) непрерывна по х в соответствии с теоре-
мой 2.9. Следовательно, W(x, t) непрерывно по х на
всем интервале [О, О и, таким образом, достигает своего
минимума на этом интервале.
Теперь определим величины, необходимые для пост-
роения оптимального правила. Пусть
t/(0 = min 1^(х,0,
0 < X < t
V(t)= l{Ci-}-L(t-y)\dF{y),
3
_ |оо, если 1/(0>У(0»
Xi |х, для которых W(х, — если U (t).
Можно интерпретировать (7(0 как инфинум мате-
матического ожидания затрат, если первоначально
предупредительная замена запланирована на интервал
времени [0, /], V(t)—как инфинум математического
ожидания затрат, если первоначально не намечается
151
никаких замен, и xt как наилучший момент проведения
планируемой первоначально предупредительной замены,
когда остается t единиц времени (xt = oo означает, что
первоначально не планируется никаких замен).
Обозначение {ых: 0 < -с < /} используется для того, чтобы
выделить правило, для которого их есть интервал времени
до следующей замены при условии, что осталось т единиц
времени.
Теорема 2.10. Пусть F есть непрерывная функция.
Тогда правило {хх:0<т:</} характеризуется математичес-
ким ожиданием затрат L(t) и является, таким образом,
оптимальным.
Доказательство. По теореме 2.7 можно ограни-
читься рассмотрением лишь неслучайных замен. Пусть
S(t) означает математическое ожидание затрат некото-
рого типового 'правила. Тогда
L (t) = min
inf
0 х t
(для всех
правил)
.0
+ [сг + $0-х)]/’(х)1, inf [с[C1-\-S(t~y)]dF(y)
I (для всех j
J правил)
>minJ inf	—l/MF Q0 ++ L (* — *)] Л*)
[teSxs:/ [J
f	-j	f
H<?i + L(f — t/)] dF (y) I — min J min
'	I	1
+L (t - 0)] dF (y) + fc2 + L (t -x)] F (x)
J^ + L(/-z/)|dF(^)
о
152
поскольку по лемме к теореме 2.10 инфинум действи-
тельно достигается. Таким образом,
xt
L(0>min £(Lt; xt<f) + $ L(t-y)dF (y)±
0
t
— x^Flx,), E(L„xt= oo) + ^L(t — y)dF(y)
0
где L[ равняется математическому ожиданию затрат,
связанных с i-и заменой (если произошло менее чем I за-
мен в оставшемся интервале времени, то данная вели-
чина принимается равной нулю).
Последовательно применив данную операцию, по-
лучим
Ltf^^ELi -]-Я(п), п=1,2,...,
/=1
п
где	есть остаток на n-й стадии. Но ^ЕЦ есть
/= 1
возрастающая функция от п, ограниченная величиной L(t);
п
следовательно, ЕЦ достигает некоторого предела А<
i=i
<L(t). Но A^L(t), потому что L{t) есть инфинум мате-
матического ожидания затрат по всем возможным правилам;
следовательно, Д = £(/). Таким образом, правило {х^:0<
< т < t} имеет математическое ожидание затрат L (/) и явля-
ется поэтому оптимальным.
Заметим, что можно записать £(/) =min[(7(/), У(/)].
Далее, необходимо получить важный результат, касаю-
щийся того, что для ВФИ-распределения отказов-при
использовании оптимального правила существует /0 та-
кое, что предупредительная замена является необходи-
мой, когда оставшееся время больше to, в то время как
в противном случае при оставшемся времени, меньшем
to, такая замена не нужна. (Заметим, что to может быть
бесконечной величиной, как, например, в случае экспо-
153
ненциального распределения, что означаем, что преду-
предительные замены вообще не нужны.) Этот результат
упрощает анализ правил замены и позволяет существен-
но упростить вычислительные процедуры.
Лемма. Пусть L,(/) есть потери при оптимальном
правиле, когда первоначальные элементы имеют непре-
рывное распределение отказов F,(i=l, 2) и ГДх)^
*£^F2(x) при х^О, а последующие замены имеют непре-
рывное распределение F. Тогда ^L2(t) для /^0.
Доказательство. Запишем
Ui (0 = min СL (t—y)] dFi (у) + [<?,+L (t—x)\Fi(x)
0t^x<zf J
где L — математическое ожидание потерь при примене-
нии оптимального правила для распределения отказов F.
Проинтегрировав по частям, получим
Ui(t)= min
O^x^t
[Ci + L(t — x)]Fi(x) —
- j Ft {y) dL (t-y)+ [c* + L (t - x)] F< (x) j.
Таким образом,
U2 (0 - Ut (0	- G) [Л (X) - Л (x)l -
-[[Ft(y)-Ft(y)]dL(t-y),
о
где x есть значение, минимизирующее U2(f). Но F2—
—Fi^O по предположению и L(t—у) есть убывающая
функция по у в соответствии с теоремой 2.8. Следова-
тельно,
Аналогично
v2(0-v.(0=g ^.(П-Л(0] +
о
154
Следовательно,	Таким образом,
£,(<) = min [17, (О, V, (/)] > [<Л (t), V,(/)] =
Теорема 2.11. Пусть F есть абсолютно непрерывное
ВФИ-распределение отказов. Тогда при .использовании
оптимального правила существует значение to (возмож-
но, бесконечное) такое, что предупредительная замена
требуется, когда оставшееся время t>to, и подобная за-
мена не нужна, когда оставшееся время t<to.
Доказательство. Если xt = <x> для всех t, спра-
ведливость теоремы тривиальна. Предположим теперь,
что имеется некоторая величина т, для которой хх<^-
Рассмотрим оставшееся время Т>т. Покажем, что
математическое ожидание затрат Sj(/) при использова-
нии следующего правила предупредительных замен по
истечении Т— x-j-x., единиц времени (правило I) не
превышает величины Sz(t), равной математическому
ожиданию затрат при использовании первоначально
запланированной предупредительной замены (пра-
вило II). Отсюда следует, что хт<Т.
Различие в стоимости этих двух правил может воз-
никнуть единственно лишь в случае, если первоначаль-
но установленное устройство проработает до момента,
когда уже истекло Т—т+хт единиц времени, т. е. до
момента, пока останется т—единиц времени.
Таким образом, S1(7’)<Ss(7’), если -}-£(’ — х^<
< £ (г — xj FT_X+ ), где L (х — xj	) — математи-
ческое ожидание затрат при условии, что осталось х— х%
единиц времени и устройство, работающее в данный момент,
уже проработало Т — ’-(-х^ единиц времени. Однако
G -|~ L (г —- xj < L (т — х J Fx),
поскольку оптимальная политика требуетплановой замены
в момент времени xv если весь отрезок времени .равен т.
Более того, из леммы к теореме 2.11 и из предположе-
ния о том, что F есть ВФИ-распределение следует, что
£ (х — xj FT_^^ ) > £ (х — xj Fxt).
155
Итак, из условия
— xJFr_T+^ )>g4-L(x — xj
вытекает, что Si(T) ^S2(T), 'откуда, в свою очередь,
хт<Т.
Важно отметить, что требование теоремы 2.11 о том,
что F есть ВФИ-распределение, не может быть пол-
ностью опущено. Рассмотрим следующий пример. Хотя
нами используется дискретное распределение отказов,
однако можно аппроксимировать его достаточно хорошо
абсолютно непрерывным распределением, не изменяя
при этом каких-либо выводов.
Пусть отказ происходит в момент времени 1 с ве-
роятностью р и в момент времени 3 с вероятностью
1—р. Тогда для интервала времени [0, 1+е], где 8 мало,
предупредительная замена как раз перед 'моментом вре-
мени 1 приводит к затратам с2, в то время как после-
дующая работа без замены приводит к затратам рс\.
Предположим, что С2<рС\. Таким образом, предупреди-
тельная замена как раз перед моментом времени 1
является оптимальным правилом для интервала времени
[О, 1+е]. Рассмотрим теперь интервал времени [0, 2 +в].
Если первоначально запланированная предупредитель-
ная замена не была произведена, то математическое
ожидание затрат равняется p(ci + c2), поскольку вероят-
ность отказа в момент времени 1 равна р и при отказе
в этот момент в соответствии с оптимальным правилом
производится замена в момент времени 2. Если замена
планируется как раз перед моментом времени 1, то ма-
тематическое ожидание затрат равняется 2с2; если же
замена планируется в момент времени 2, математическое
ожидание затрат равно p(ci+c2) + (l—р)с2. Если подо-
брать р, сх и с2 таким образом, чтобы p(ci + c2) <2с2, то
оптимальным правилом для интервала времени [0, 24-е]
может оказаться То» при котором не следует планиро-
вать заранее ни одной предупредительной замены. (Для
примера, можно рассмотреть случай, когда Cj=0,9,
с2 = 0,1 и р лежит в интервале от 1/9 до 2/10.)
Далее опишем вычислительную процедуру для на-
хождения оптимального правила и определения матема-
тического ожидания затрат как функции времени. Для
156
облегчения объяснения приводится иллюстративный при-
мер. Вычислительная процедура очень проста и требует,
например, четырех минут счета на ЭВМ IBM-704.
В качестве иллюстрации определим оптимальное
последовательное правило и затраты для случая, когда
/(i/)=/e-/ Ci = 10, с2=1- Это тот же самый пример, для
которого производились вычисления при изучении опти-
мального правила замены по наработке. Вычисления
будем вести с шагом в 0,01 единицу времени. Сначала
вычислим £ (0,01 ) = V (0,01 )= Cif (0,01) -0,01. Эта вели-
чина представляет собой математическое ожидание за-
трат для случая, когда интересующий нас интервал
времени есть 0,01, поскольку предполагается, что при-
ращения времени выбраны нами малыми настолько,
чтобы избежать и предупредительной замены по проше-
ствии всего лишь 0,01 единицы времени (т. е. Xoi = oo).
Далее вычисляем интеграл
0,02
V(0,02)= j [C1 + L(t-y)]dF(y),
который может быть приближен выражением
[Cj + L (0,01)]/ (0,01) • 0,01 + cj(0,02) • 0,01.
Затем определяем величину
0,01
1Г(0,01, 0,02)= J [G 4-1(0,02 — y)]dF(y) +
о
+ [£2 + £ (0,02 - 0,01)] F (0,01)
^(g + £(0,01)]/(0,01).0,01 + [£2 + £(0,01)]£’(0,01).
Вообще говоря, Т^(х, t) нужно вычислять для каждого
приращения х<£, но в рассматриваемом случае имеется
только одно нетривиальное значение.
Оказалось, что V(0,02)	(0,01, 0,02), так что пре-
дупредительная замена не требуется, если рассматри-
ваемый интервал времени равен 0,02. Таким образом,
£(0,02) = V(0,02). Аналогичным образом вычисляем
V(t) и W(x, t) для х<Л посредством численного инте-
грирования с шагом 0,01. Для каждого значения t опре-
деляем U(t) = min W(х, t) и сравниваем его с V(t).
0<x<t
157
Пока (/(/) остается больше, чем V(f), продолжаем при-
равнивать L(t) = V(t), и в этом случае предупредитель-
ные замены не требуются. Однако, поскольку для
/ = 0,96 мы находим, что U (0,96) V(0,96), назначаем
предупредительную замену в момент х0>96=0,50, обеспе-
чивающий min 1Г(х; 96). Более того, для всякого />0,96
0<х<0,96
в соответствии с теоремой 2.11 нет необходимости вы-
числять V(/), поскольку
f(0	<е-‘_____
ЛО е-‘(1-Н)-1+*
есть возрастающая интенсивность отказов.
Рис. 2.5. Ожидаемые затраты и интервал замены
для оптимального правила последовательной за-
мены.
Таким образом, для />0,96 вычисляем только W(x,t)
для 0<х</ и полагаем L(/) = min W(x, t). Величи-
0<x<t
на х<( минимизирующая W(x, t), есть искомый интервал
предупредительных замен. На рис. 2.5 показаны L(t) 'и
Xt как функции времени для 0^/<6 (для 0^/<0,96
Xt(=oo, что на рисунке, естественно, не показано).
Интересно заметить, что х( — прерывная и кусочно-моно-
тонно возрастающая функция времени. Заметим далее,
что предельное значение величины xt при t—»-оо опре-
158
Делается в (2.3) как решение уравнения
je-‘(l+O^ — [1 — е-“(14-х)] = 0,11,
Рис. 2.6. Сравнение ожидаемых затрат для
оптимального правила замены по наработке и
последовательных замен.
W(x, t), U(t) и V(/), нужно использовать еще неизвест-
ную нам функцию L(t). Для преодоления этой труд-
ности можно предложить два .метода.
1.	Можно аппроксимировать £(/) путем экстраполя-
ции. Если результирующее значение L(t), вычисленное
рекуррентно отличается, можно выбрать новое исходное
значение и пересчитать L(t).
2.	Если t таково, что L(t) — U(t), можно, перегруппи-
ровав члены, поставить в левую часть равенства только
лишь L(i). Затем можно найти решение для L(t), имея
в виду, что L(t) и U(t) представляют собой одно и то
же, и вычислить требуемый результат. Аналогичным об-
разом проводится решение, если L(t) = V(t).
На рис. 2.6 дается графическое сравнение значений
ожидаемых затрат для оптимального последовательного
правила и для оптимального строго периодического
правила предупредительных замен. Заметим, что разли-
чие остается весьма малым и для /=6 составляет, на-
159
пример, величину около 1% от общего значения затрат.
На рис. 2.7 показано аналогичное графическое срав-
нение оптимальных интервалов замен для двух типов
правил. И в этом случае различие также невелико.
Рис. 2.7. Сравнение интервалов замены для оптималь-
ного правила замены по наработке и последовательных
замен.
3.	ПРАВИЛА ИНСПЕКЦИОННЫХ ПРОВЕРОК
В § 2 обсуждалась проблема нахождения наилуч-
шего правила проведения предупредительных замен. Для
каждого правила предполагалось, что обнаружение
отказа и замена отказавшего элемента на исправный
происходит мгновенно. В данном параграфе предпола-
гается, что отказы обнаруживаются в результате прове-
дения определенных проверок, которые производятся,
вообще говоря, спустя некоторое время после возникно-
вения отказа. Нашей задачей является нахождение пра-
вила проверок (т. е. нахождение периодичности прове-
рок), которое минимизировало бы математическое ожи-
дание полных затрат от отказов и от проведения самих
проверок.
Модели инспекционных проверок, рассматриваемые
в данном параграфе, возникли в связи с изучением ста-
реющих систем. Старение предполагается стохастиче-
ским, и поэтому состояние системы с достоверностью
может быть установлено лишь в результате проведения
инспекционной проверки.
В [10] показано, как находить оптимальные периоды
инспекционных проверок для широкого класса распреде-
лений отказов. Сходная модель рассмотрена в [146].
В [39] получено оптимальное правило проведения инспек-
ционных проверок при условии, что отсутствует какая-
либо информация о законе распределения отказов.
Предполагается, что отказ может быть не обнаружен
160
при проведении очередной инспекционной проверки,
причем рассматривается конечный интервал времени.
Иная модель дама <в [85] и затем обобщена в [141], где
доказана оптимальность инспекционных проверок для
случая, когда обслуживание данной части оборудования
зависит от состояния остальных частей.
3.1.	Минимизация средних затрат до обнаружения
отказа
В нашей первой модели предполагалось, что задача
решена, как только отказ обнаружен, в частности, сами
замены или ремонты, связанные с устранением отказа,
не рассматривались. В качестве примера новой поста-
новки задачи рассмотрим проблему обнаружения ка-
кого-либо события, например появления вражеских ра-
кет в зоне обороны или наличия у больного такой
серьезной болезни, как, например, рак, время появления
которого заранее неизвестно. С одной стороны, каждая
проверка того, не произошло ли уже интересующее нас
событие, сопряжена с определенными затратами, и по-
этому было бы .нежелательным проводить эти проверки
слишком часто. С другой стороны, существуют опреде-
ленные потери, зависящие от того, сколько времени про-
шло с момента появления интересующего нас события
до момента его обнаружения, в связи с чем мы вы-
нуждены проводить эти проверки достаточно часто.
В частности, предположим, что: а) об отказах систе-
мы становится известно только в результате специаль-
ных проверок, б) сами проверки занимают пренебрежи-
мо мало времени и никак не изменяют собственных
характеристик системы, в) система не может отказывать
во время проведения проверок, г) каждая проверка
характеризуется затратами Cj, д) каждая единица вре-
мени пребывания аппаратуры в состоянии необнаружен-
ного отказа, т. е. времени от момента появления отказа
до его обнаружения во времени проверки, связана со
штрафом в с2 единиц времени, е) проверка прекраща-
ется с обнаружением отказа [10].
Если обозначить через N(t)—количество проверок
в течение интервала времени [0, /] и через у( интервал
'времени между появлением отказа и его обнаружением
П—1563	161
при условии, что отказ 'Происходит в момент времени t,
то соответствующие затраты при этом равны
С1[Лф) + 1] + с2уь
Если известно распределение F времени работы до отка-
за, то математическое ожидание полных затрат опреде-
ляется как
С = Jfa [EN (0 + 1] +сгЕъ} dF (t).	(3.1)
Оптимальное правило проверок заключается в опреде-
лении таких моментов времени Xi<%2<*3< ••• (воз-
можно, случайных), в .которые должны проводиться про-
верки, чтобы величина С была бы минимальной.
Как и для модели последовательных замен, рассмо-
тренной в § 4 гл. 2, можно показать, что использование
системы детерминированных интервалов времени между
(Проверками может только улучшить процедуру провер-
ки по (Сравнению с системой случайных интервалов. Та-
ким образом, рассмотрение сразу начнем -со случая,
когда моменты проверок являются неслучайными. Опре-
делим Хо=О и потребуем от последовательности {хЛ},
чтобы область существования F содержалась
в [0, limXn). (В дальнейшем будет сделано предполо-
Л->00
жение о том, что с положительной вероятностью может
произойти отказ, не обнаруживаемый при проверке.)
Из (3.1) математическое ожидание затрат может быть
найдено как
оо
с = £ j к (6+1) + ^	t)]dF(t). (3.2)
*=° хк
Как доказано в [10], если F— непрерывное распределе-
ние с конечным математическим ожиданием, то опти-
мальное правило проверок существует.
Когда известно, что отказ должен произойти к мо-
менту времени Т<оо, оказывается возможным опреде-
лить для распределения F необходимое и достаточное
условие того, чтобы провека была необходима лишь
в конце этого интервала.
162
п
Теорема 3.1. Пусть F(t) = l для t^T. Если
1+(С2/С1)(г_/)
для O^t^T, то оптимальное правило проверок состоит
в проведении единственной проверки в момент време-
ни Т. Обратно, если
F ® > l+(c2/Ci)(T-t)
для некоторого	то оптимальное правило прове-
рок требует дополнительно к проведению проверки
в момент Т провести еще одну или более проверок в рас-
сматриваемом интервале.
Доказательство. Если единственная проверка
назначается на момент времени Т, математическое ожи-
дание затрат есть
т	т
(\ + G J (Г — 0 dF (0 = g + с2 J F (0 dt.
Если в момент времени х назначается дополнительная
проверка, то математическое ожидание затрат становит-
ся равным
[G + сг (х - /)] dF (0 + J [2ct + с2(Т- /)] dF (t) =
т
= с, + с, [1 - F (х)] + ct j F(0dt-c2(T-x)F(x).
о
Таким образом, единственная проверка в момент вре-
мени Т предпочтительна, если
ci[ 1 —F (х) ]-с2 (Т-х) F (х) > О,
0<хСЛ
или
(33)
163
Более того, отсюда следует, что единственная проверка
в момент времени Т предпочтительнее, чем проверка
в тот же (момент времени, но при условии, что ей пред-
шествовали проверки в моменты времени, например,
Xi и х2- Если известно, что проверка произведена в мо-
мент Xi, то единственная проверка до Т, а именно в мо-
мент х2, может быть осуществлена только тогда,
когда
FjxJ-F^) ________________1___________ п
F (х>)	1 +(^/с>) [Т - xt) - (х, - хО] *
Но из (3.4) следует, что
f(x’)> 1 + (с,/с,) (Г- хг) ’
так как
F(xt) — F(xt)
F(x.)
Это противоречит нашему предложению о том, что
i + <J,)(r-x)  °<^т-
Аналогичным образом легко показать, что из (3.3) сле-
дует, что единственная проверка в момент Т предпочти-
тельнее, чем п проверок за этот интервал времени.
Наоборот, если для некоторого х в интервале [О, Т]
условие (3.3) не справедливо, то проверки в моменты
времени х и Т обеспечивают более низкое значение сред-
них затрат, чем единственная проверка в момент вре-
мени Т. Таким образом, оптимальное травило проведе-
ния проверок потребует в дополнение к ицроверке в мо-
мент времени Т проведения еще по крайней мере одной
проверки в течение данного интервала.
Интересное применение теоремы. 3.1 можно найти
в примере 1. Если плотность распределения отказов f
есть ПП2-плотность, нахождение правила оптимальных
проверок становится исключительно простым. (Некото-
рые свойства ПП2-плотностей приведены в приложе-
нии.)
Предположим, что плотность отказов есть f, тогда
необходимым условием того, что последовательность
{Xfc} обеспечивает минимальные затраты при проведении
164
проверок, является условие dCldx^Q для всех k. Сле-
довательно, используя условие (3.2), получаем для k—
= 1, 2, 3, .... что
„ г ________ F F (•** -1) __ ci	/о с\
Хк+1 Хк—	Ci-	(д.Ь)
Если fi(Xh)=O, то Xk+i—xft=oo и, таким образом, прове-
рок (более не требуется. Последовательность величин Xk
определяется рекуррентным образом, как только мы
выбрали Ху
Теорема 3.2. Если плотность распределения отказов
есть ППд и f(x)>0 для х>0, то величины интервалов
времени между оптимальными проверками не возра-
стают с ростом номера \k.
Доказательство. Пусть 6k=Xk+i—х^ и пусть
{х*л} обозначает оптимальное правило проверок. Обозна-
чим б*л=х*л+1—х*л, где {а}, {х*л} и удовлетворяет урав-
нению (3.5). Предположим, что для некоторого k
Тогда покажем, что бл/бл-1>1, и, более того, если
где т есть мода Д то 6/t/dfc-i^r. (По теореме 2
приложения плотность f должна быть унимодальна.)
Заметим, что
s _ а _ F(xk) — F (хк-г) _F(xfe-t) —
*-1 Цх*)
По теореме 1 приложения правая часть последнего
уравнения неотрицательна, поскольку	по
предположению. Таким образом, отсюда следует, что
Теперь, если xk-2^m, то
Я.__F (хь-1) F (х&_ i) — F (л^_ t) ।
*	r*-i- f(xft)	r	Г
неотрицательно в соответствии с теоремой 3 приложе-
ния 1. Следовательно, бл-1=(Гб&-2 и из хь-ъ^т следует,
что 6fc^r6fe-i. Таким образом, можно заключить, что
165
если	для любого k, то начиная с некоторого
момента дп стремится к +оо с показательной скоростью
при п—^оо.
Покажем, что выполнение условия ^*^>6*^-1 для не-
которого k противоречит тому, что {х\} есть оптималь-
ное травило проверок. Заметим, что x*n+i есть момент
первой оптимальной проверки для условной плотности
f(t+x*n)/F(x*n). Обозначим через а(х*п) среднее зна-
чение этой условной плотности. Поскольку рассматри-
ваемая условная плотность есть ВПФ2, то
Л / у* \ С F ^п)
в соответствии с уравнением (7.1) гл. 2. Итак, по теоре-
ме 1 приложения 1
lim а (х*п) < lim -г/*.*"* < оо.
Следовательно, математическое ожидание затрат для
первой оптимальной проверки для плотности /(/ +
+x*n)/7?(x*n) по п равномерно ограничено сверху. Но
величина этих затрат
J	Г I** п)
— G +	(8n — 0	>о°
О
при бп—^-f-oo. Это и приводит к требуемому проти-
воречию. Следовательно, последовательность оптималь-
ных периодов проверки является невозрастающей.
Ниже приводится пример, показывающий, что мо-
менты оптимальных проверок, вообще говоря, не стано-
вятся все более и более частыми, как это могло бы по-
казаться.
Пример 1. Предположим, что распределение отка-
зов элемента характеризуется значением вероятности р
в точке /=1 и значением 1— р в точке / = 3. (Предста-
166
4
вим, что плотность в указанных точках имеет два резких
выброса.) Из теоремы 3.1 следует, что проверки тре-
буется проводить в моменты времени 1 и 3, если
>» с‘
Р с, + 2с, •
и что в этом случае интервалы между проверками, ско-
рее, возрастают, чем убывают. Однако данная плотность
не есть ПП2, поскольку она бимодальна.
Вычислительные аспекты при нахождении оптималь-
ных последовательных правил. Теорема 3.3 дает нам
мощное средство для вычислений, связанных с нахож-
дением оптимальных последовательных правил, когда f
есть ПП2. Для доказательства теоремы 3.3 нам необ-
ходима следующая лемма.
Лемма. Предположим, что f есть ПП2. Пусть
{х*} получена на основании (3.5) при бл>0 для k =
= 1, 2, f.., N, где .6А=хл+1— Xk- Тогда
dik
dxi f (xft) dxt
для 2, ..., N.
Доказательство, проводимое по индукции, очень
простое [11].
Теорема 3.3. Пусть f есть ПП2 с f(x+A)/f(x), строго
убывающей для х^О, Д>0 и с	для />0. Тогда
из формулировки теоремы 3.2 для некоторых положи-
тельных п при xi>x*i имеет место бп>|6п-ь а при Xi<
<x*i имеет место бп<0.
Доказательство. Функция f(x)/f(x) является
строго возрастающей в соответствии с простой перефор-
мулировкой теоремы 1 приложения. Таким образом,
возрастание xt в зависимости от x*i влечет за собой воз-
растание др Используя лемму и тот факт, что f(x+
+&)//• (х) есть убывающая функция для фиксированного
А>0, получаем, что 6n>Xi для некоторого п. Таким об-
разом, |бп>1бп-1 для некоторого п.
Аналогично, убывание Xi от x*i влечет за собой все
большее убывание дк при уменьшении k до тех пор, пока
бл остается положительным.
Действительно, убывание может быть сделано сколь
угодно существенным путем выбора достаточно большо-
го k. Таким образом, 6fe<0 для некоторого п.
167
Теперь можно сформулировать вычислительную про-
цедуру для получения оптимального правила проведения
проверок для f, удовлетворяющих предположениям тео-
ремы 3.3.
Алгоритм 1.
1.	Выбираем Xi, удовлетворяющее уравнению
X	Xi
ct = сг ( (Xj — /) dF (/) = сг § F (t) dt.
о	0
В этом случае затраты на единственную проверку
приравниваются математическому ожиданию затрат,
связанных с необнаруженным отказом, возникающим до
первой проверки.
2.	Рекуррентным образом вычисляются Хг, х3, ...
из (3.5).
3.	Если для какого-либо й выполняется условие
величина хх уменьшается и процедура повторя-
ется. Если же какое-либо бь<0, величина Х] увеличива-
ется и процедура повторяется.
4.	Процедура продолжается до тех пор, пока не бу-
дут определены все Xi<X2<x3< ... с требуемой сте-
пенью точности.
Пример 2. Предположим, что время до отказа
распределено по нормальному закону со средним а=
= 500 и среднеквадратическим отклонением <т=100.
Предположим далее, что Ci=40 и сг=1. Тогда для двух
(значений времени проведения первой проверки Xi =
=422,4 час и Х] = 422,5 час получаем в результате вычис-
лений следующие значения для моментов проведения по-
следующих проверок.
k	хк		k	хк	
1	422,50	64,29	1	422,40	64,20
2	486,79		2	486,60	
8		27,48	13		10,50
9	727,81	27,40	14	815,98	1,00
10	755,21	30,00	15	816,98	—9,00
И	785,21		16	807,98	
168
Следовательно, Xi = 422,5 час — слишком большое
значение, поскольку 6ю>йэ, a xt =422,4 час несколько
мало, так как die<0. Истинное время проведения первой
оптимальной проверки лежит между 422,4 и 422,5 час.
Пример 3. Равномерное распределение. Предполо-
жим, что время до отказа системы имеет равномерное
распределение в интервале [О, Г]. Тогда математическое
ожидание затрат для последовательности проверок
xi<x2< ••• равно
00	+ l
*=0 хк
По (3.5) решение удовлетворяет условию
*л+1 — Хл+^- = Хл — Xfc_l( 6=2,3,...
Выражая хц через х„ получаем
хь — kx _____________	с'
лк — к'л1	2с2
k 1 с
Следовательно, xt > 2	. Это означает, что нам
следует проводить лишь конечное число проверок, на-
пример п.
Поскольку требуется хп = Т, то можно найти, что
xft = ^4-6(n-6)-g-, 6 = 0, 1,2,...,п.	(3.6)
Чтобы (хь) образовывало последовательность прове-
рок, необходимо иметь Xk+t—х*>0 или
—+тг-(и — 26— 1)>0, 6=1,2........п — 1.
Для 6=п — 1 получаем
п(п-1)<^.	(3.7)
169
Но разность между средними затратами при использо-
вании п + 1 проверки и средними затратами при исполь-
зовании п проверок есть
_ ^2 п + 1 / Т — ctn \2 q
2Т~~п~\jF+n ’2сГ/< ’
Следовательно, п должно быть наибольшим целым
числом, удовлетворяющим (3.7). Для этого значения п
определяем Х1<Хг< ... <хп, соответствующие (3.6).
Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Предположим, что время до отказа имеет равномерное
распределение на интервале [0; 100] й ci = 2, сг=1. Тогда
оптимальное значение п=10, и, как можно найти из
(3.6), проверки следует проводить в моменты времени
19, 36, 51, 64, 75, 84, 91, 96, 99, 100.
Минимаксное правило проведения проверок. Теперь
предположим, что не имеется никакой информации от-
носительно вида закона распределения времени работы
до отказа F. В этом случае оказывается удобным найти
минимаксное правило проведения проверок, т. е. такую
последовательность проверок Х1<Хг<Хз< • • ., чтобы
максимально возможно средние затраты (взятые по
всем возможным распределениям отказов) были ми-
нимальными для выбранной нами последовательно-
сти {х,}.
В (39] получено такое минимаксное правило в пред-
положении, что отказ может быть обнаружен во время
данной проверки не абсолютно достоверно, а лишь с не-
которой вероятностью р>0.
Указанное минимаксное правило для случая, когда
р=1, соответствует правилу оптимальных инспекцион-
ных проверок, полученному нами в примере 3, когда
распределение отказов предполагалось равномерным на
интервале [0, 7].
Дополнительные результаты для моделей подобного
типа были получены в (143], где предполагалось, что из-
вестна одна из квантилей распределения, хотя само рас-
пределение при этом и не известно. Найдено минимакс-
ное пр'авило проведения проверок для этих предпо-
ложений.
17Q
3.2. Минимизация средних затрат при условий
восстановления при обнаружении отказа
В.§ 3.1 было получено правило проведения опти-
мальных инспекционных проверок в предположении,
что временной интервал длится лишь до тех пор, пока
не будет обнаружен отказ. Однако во многих ситуациях
после обнаружения отказа проводится восстановление
работоспособности системы путем ремонта или замены
отказавших элементов. Можно привести несколько при-
меров.
1.	Ракеты проверяются время от времени с целью
определения их готовности к выполнению требуемых
операций. При выявлении отказов или каких-либо от-
клонений от нормы проводится ремонт с целью введения
ракеты вновь в состояние полной оперативной готовно-
сти.
2.	Некоторые медицинские препараты хранятся для
использования в случае возможного возникновения эпи-
демии. Время ог времени производится их проверка
с целью определения, не потеряли ли эти средства своих
лечебных свойств. При обнаружении такой потери
свойств эти лекарства заменяются на годные. Подоб-
ные проверки, обнаружение порчи лекарств и их замена
продолжаются в течение неопределенного времени.
3.	Оборудование производит непрерывно продукцию,
измеряемую в некоторых единицах. Качество продук-
ции контролируется эпизодически с целью определения
правильности функционирования оборудования. При
наблюдении нарушения качества продукции производит-
ся ремонт оборудования, после чего продолжается вы-
пуск продукции при том же режиме контроля.
В подобных случаях оптимальным правилом прове-
дения инспекционных проверок является такое, которое
минимизирует средние затраты на единицу времени ра-
боты на бесконечном интервале времени. В данном
параграфе опишем метод, предложенный в [25] для по-
лучения таких оптимальных инспекционных проверок.
Сделаем опять те же предположения (а) — (е), кото-
рые приведены в пункте 3.1. данной главы. Заменим
лишь предположение (д) на следующее: при обнаруже-
нии отказа производится ремонт (или замена), с кото-
рым связаны затраты с3 и простой в течение времени г
171
(имеется в виду, что указанные величины могут быть
средними значениями). Предполагается, что после это-
го рассматриваемое устройство становится совершенно
обновленным и процедура продолжается.
Если проверки производятся в моменты времени
xi<*2< ..., средние затраты на единицу времени /?(х)
для бесконечного интервала времени могут быть вычи-
слены как
<3-8)
где х= (Х1, х2, ...) ;
С(х)—средние полные затраты на один цикл, т. е.
от момента завершения одного ремонта до момента за-
вершения следующего ремонта, при условии, что в тече-
ние каждого из циклов используется правило проведе-
ния проверок, описываемое вектором х, Т(х)—средняя
длительность каждого цикла при данном правиле про-
ведения проверок.
Ясно, что
ео хк+1
С(Х)=	t)]dF(t)+C),	(3.9)
Л=0 хк
оо *h+i
T(X)=M-J] J (Xb„-t)dF(t) + r.	(3.10)
Xk
Введем в рассмотрение также величину
D(a, х)=С(х)—аТ(х).
Теперь можно определить вычислительную процеду-
ру для получения такого вектора х, который минимизи-
ровал бы /?(х) для f, удовлетворяющей предположени-
ям теоремы 3.3. Заметим, что
(Ci + c3)/(p + r)^C2,
если правило проведения проверок не тривиально,
в противном случае идеальная проверка и ремонт при-
водят к ббльшим средним затратам, чем режим работы,
когда вовсе не производится ни проверка, ни ремонт.
172
Под идеальной проверкой имеется в виду такая провер-
ка, когда отказ обнаруживается мгновенно после его
возникновения при проведении первой же проверки.
Алгоритм 2.
1. Для данного кх находим такой вектор х(а), кото-
рый минимизирует D(a, х), используя для этого алго-
ритм 1 из § 3.1.
2. Подбираем значение а таким образом, чтобы най-
ти а = а*, для которого £>(а*, х(а*))=0. Такое значе-
ние а* существует, как показано ниже в доказательст-
ве. Тогда полученное значение х(а*) минимизирует
/?(х).
Доказательство. Заметим, что
Д(с2, х(с2)) =С1 + сз—с2(р + г)^0.
В то же время D(0, х(0))>0. Поскольку, как может
быть показано, D(a, х(а)) непрерывно по а для а^с2,
то отсюда следует, что существует a=ia*, для которого
D(a*, х(а*))=0. По определению х(а*) для любого х
выполняется неравенство
£>(«*, x(a*)) s£jZ)(a*, х).
Поскольку D(a*, х(а*))=0 и Z)(a*,x) = С(х) —
а*Т(х), то получаем
Но D (а*, х(а*)) = 0 влечет за собой а* =£7--<
' х	/ (х (а*))
Следовательно, для всех х имеет место
С(х) С(х(«*))
Т(х)	’
так что х(а*) минимизирует /?(х).
Если f не удовлетворяет условиям теоремы 3.3, ре-
шение требует незначительного изменения. Запишем
D(a, х) = С(х) —aT(x) =
= J] j+ [M*4-i)4^-«)(xft+i-0W0+
*=0 -«к
+g—®(н+0-
173
Необходимое условие того, чтобы функция £)(а, х) име-
ла минимум по х, определяется из уравнений
й£>(а,х) _п
дхк —и’
которые, в свою очередь, приводят к уравнениям вида
хк+1-хк-\-------Ц-)--------(3.11)
Выбрав хь определяем затем рекуррентно значения
х3, ... из (3.11) и вычисляем 2)(а, х). Варьируя хь
находим последовательность х(а), которая обеспечи-
вает минимум Z)(a, х). Как и ранее, повторяем затем
эту процедуру для различных а, пока не будет найдено
такое значение а*, для которого Z)(a*, х(а*))=0. Тогда
х(а*) есть вектор, минимизирующий /?(х). Для случая,
когда г=0, некоторые детали можно найти в [25].
3.3. Замена отдельной части в устройстве,
состоящем из нескольких контролируемых частей
Во всех изучавшихся ранее моделях предполага-
лось, что имеется устройство, состоящее лишь из одной
части. В данном параграфе рассмотрим более сложный
случай, когда характер обслуживания одной из частей
устройства зависит от состояния оставшейся части это-
го устройства. В данном параграфе используются ре-
зультаты [85, 141].
В [85] рассматривается следующая модель. Система
состоит из частей 0 и 1, соединенных последовательно.
Отказы обеих частей системы взаимнонезависимы и их
распределения есть Fo и Fi соответственно, где /ч(/) =
=1—е“х*. Часть 1 непрерывно контролируется, так что
ее состояние (работоспособности или отказа) известно
в любой момент времени. Состояние части 0 можно про-
верять только в моменты замены, так что состояние
этой части в общем неизвестно. Замена /-й части систе-
мы длится Кг единиц времени (/=0, 1), а одновремен-
174
ная замена обеих частей системы длится Koi единиц
времени, причем
Ко, Ki^Koi^Ko+Ki.
Целевой функцией, подлежащей максимизации, яв-
ляется некоторая функция среднего времени пребыва-
ния системы в работоспособном состоянии. Упомянутая
выше функция составляется таким образом, чтобы
учесть большую ценность работоспособности системы
в данную единицу времени по сравнению с некоторой
единицей времени в будущем. В частности, если (t,
t + dt) есть интервал времени, когда система находится
в работоспособном состоянии, то «вклад» этого интер-
вала в рассматриваемую функцию полного времени
есть e“af dt + o(dt), где 0^а<оо называется «коэффи-
циентом обесценивания» (discount factor).
Если рассматриваемый интервал времени является
бесконечным, целевой функцией является предельная
средняя доля времени, в течение которого система на-
ходится в состоянии работоспособности. В [85] исполь-
зуется аппарат динамического программирования и по-
казывается, что оптимальное правило замен заключает-
ся в следующем: 1) если часть 1 отказала, когда
наработка части 0 лежит между 0 и и, то заменяется
одна только часть 1; 2) если часть 1 отказала в момент,
когда наработка части 0 лежит между п и N, заменя-
ются обе части одновременно; 3) если часть 1 не от-
казала к моменту времени, когда наработка части О
достигла N, заменяется только лишь часть 0.
Дальнейшее обобщение этой модели сделано в [141].
Здесь рассматривается уже система, состоящая из Л4+1
частей, соединенных последовательно. Отказы отдель-
ных частей системы предполагаются независимыми,
подчиняющимися распределениям Л (/ = 0,1, ..., Л4),
где Fi(t) =1—е г (/=1, 2, ..., Л4), а относительно
А (О сделано лишь предположение, что оно имеет поло-
жительную плотность для всех положительных t и что
Fo(O)=O. Части I, 2, ..., М непрерывно контролируют-
ся таким образом, что любой отказ мгновенно обнару-
живается. Часть 0 не может проверяться, за исключе-
нием лишь моментов, когда производится замена. За-
мена отдельно каждой i-й части производится за Ki
175
единиц времени и требует затрат С,- (1=0, 1,
Одновременная замена частей 0 и i требует Кы единиц
времени и затрат-Со» (/=1, 2, Af), где
Ко, K.-^Koi^Ko+Ki,
Со, Ci<Coi<Ci-]-^KiCo(i= 1, 2, .... Ж),
а — «коэффициент обесценивания».
Единица времени выбрана таким образом, что функ-
ционирование системы в течение этой единицы времени
приносит доход в одну единицу стоимости.
Здесь опять с использованием аппарата динамиче-
ского программирования определено следующее опти-
мальное правило замен:
1) если z-я часть системы отказывает в момент, ког-
да наработка 0-й части лежит между 0 и пг-, то произ-
водится замена только f-й части (/=1, 2, ..., Л1); 2) ес-
ли /-я часть отказывает в момент, когда наработка 0-й
части лежит между щ и N, то производится одновремен-
ная замена и i-й и 0-й частей системы; 3) если к мо-
менту, когда наработка 0-й части системы достигла N,
не отказала ни одна из частей системы 1, 2, ..., Af, то
производится замена одной лишь 0-й части системы.
Данное правило является оптимальным относительно
следующих целевых функций: среднее значение полного
рабочего времени, за вычетом затрат; среднее значение
•полного рабочего времени, в течение которого система
находится в работоспособном состоянии; отношение
среднего полного рабочего времени к среднему значению
полных затрат. Для бесконечного интервала времени
рассматривается предельная средняя для времени пре-
бывания системы в работоспособном состоянии.
5
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
1. ВВЕДЕНИЕ
До этого рассматривались только такие системы,
которые могли находиться самое большее в двух или
трех различных состояних. В этой главе будут рассмо-
трены более сложные системы, которые в любой мо-
мент времени могут находиться в одном из множества
возможных состояний. Каждое такое состояние си-
стемы может быть описано указанием множества рабо-
тоспособных элементов. В общем случае количество
состояний системы зависит от количества элементов си-
стемы и от возможного числа состояний каждого из них.
Во всех моделях, которые будут рассмотрены, количе-
ство состояний системы предполагается конечным.
Характер перехода системы из состояния в состояние
будет обычно предполагаться марковским, т. е. таким,
что все будущее поведение системы зависит лишь
от ее настоящего состояния и не зависит от ее прошло-
го поведения. Имеется по крайней мере две существен-
ные причин^ для принятия марковской модели при опи-
сании процесса переходов системы из состояния в со-
стояние. Во-первых, если каждый из элементов системы
имеет приблизительно экспоненциальное распределение
времени работы до отказа, то и .поведение всей системы
может быть хорошо описано марковским процессом.
Во-вторых, в первом приближении описание большинст-
ва физических систем таково, что знание какой-либо
предыстории этой системы не представляет большой
ценности для предсказания ее поведения в будущем.
Марковский процесс как раз и является хорошей веро-
ятностной моделью для подобного типа процессов.
Чтобы проиллюстрировать, каким образом может
быть построено пространство состояний и диаграмма
переходов для сложной системы, рассмотрим математи-
ческую модель процесса функционирования радиолока-
2—1563	177
ционной системы дальнего обнаружения. Этот пример
будет последовательно развиваться для иллюстрации
обсуждаемых методов решения.
Пример 1.1. Основным элементом радиолокацион-
ной системы дальнего обнаружения является вычи-
слительный центр, состоящий из двух ЭВМ, включен-
ных параллельно (обе они постоянно работают, хотя
только одна из них пользуется непосредственно для ре-
шения задач). Ремонт производится сразу же по воз-
никновении любого отказа. Профилактическое обслужи-
вание ЭВМ проводится после tQ часов наработки при
условии, что одна из ЭВМ работает нормально и при
этом вторая находится в режиме резерва. Система по-
строена таким образом, что если одна из ЭВМ откажет
в то время, когда другая ЭВМ находится в состоянии
ремонта после возникшего отказа или в состоянии про-
филактического обслуживания, то это приводит к ка-
тастрофическим последствиям.
Для удобства обозначим одну из ЭВМ индексом А,
а другую — индексом В. Тогда возможные состояния
системы можно обозначить следующим образом:
AS(BS) означает, что А (В) находится в состоянии
резерва,
Аа(Ва) означает, что А (В) является основной ЭВМ,
АГ(ВГ) означает, что А (В) подвергается ремонту по-
сле возникшего отказа,
Лр(Вр) означает, что А (В) находится в состоянии
профилактического обслуживания.
На рис. 1.1 представлена диаграмма возможных пе-
реходов системы в пространстве состояний. Всего имеет-
ся 9 возможных состояний системы, перенумерованных
на рисунке от 0 до 8. Например, если система находит-
ся в состоянии 0, это означает, что ЭВМ с индексом А
используется в качестве основной в то время, как ЭВМ
с индексом В находится в состоянии резерва. Если в те-
чение времени /0, измеряемого с момента попадания в
состояние 0, не произошло ни одного отказа, произво-
дится профилактическое обслуживание ЭВМ с индексом
А, и мы попадаем в состояние /. Если отказы не воз-
никают, то можно сказать, что переходы производятся
по периметру графа, изображенного на рисунке. Если
основная ЭВМ отказывает в тот момент, когда вторая
находится в состоянии профилактического обслужива-
178
ния, то система, конечно, попадает в состояние отказа.
У рассматриваемой системы существует три таких не-
благоприятных состояния, а именно: 4, 6 и 8.
При определенных предположениях о распределении
времени работы до отказа, длительности профилактики,
длительности ремонта и т. д. процесс перехода системы
из состояния в состояние может быть описан так назы-
Рис. 1.1. Пространство состояний для си-
стемы из двух элементов.
ваемым полумарковским процессом (см. следующий
параграф). При использовании подобной системы инте-
ресно определить среднее время простоя системы в те-
чение заданного интервала времени, вероятность того,
что время простоя окажется более х минут и найти пра-
вило рационального ее обслуживания.
Для того чтобы решить подобные задачи, в § 2 бу-
дут рассмотрены некоторые наиболее важные идеи из
теории марковских цепей и полумарковских процессов.
В § 3 обсуждена одна представляющая большой инте-
рес проблема обслуживания. В § 4 изучаются марги-
нальные проверки и получены некоторые количествен-
ные результаты, касающиеся правила оптимальных замен
для систем, которые могут быть описаны ВФИ-мар-
ковскими цепями. В § 5 будет продолжено обсуждение
12*	179
правил оптимальных проверок для марковских систем,
путем сведения задачи оптимизации к проблеме линей-
ного программирования.
2. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ И ПОЛУМАРКОВСКИЕ
ПРОЦЕССЫ
Основное внимание в этом параграфе сосредото-
чено на марковских цепях, имеющих конечное число
состояний, при дискретном и непрерывном времени. Так-
же будет введен один более общий класс процессов —
так называемые полумарковские процессы, представ-
ляющие собой своеобразное объединение теории восста-
новления с теорией марковских цепей. Эти процессы
могут быть использованы для описания определенного
класса систем при изучении проблемы их проверки, ре-
монта и замены отказавших элементов.
Дискретный вероятностный процесс {Х(/); /=0,
1, ...} или непрерывный вероятностный процесс {%(/);
/^0} называется марковским, если для любой последо-
вательности моментов времени Zi<^< .*. </п и для
любых чисел Xi, х2,..., хп можно записать
P[X(tn)^xn\X(t1)=xb ..., Х(/п_1)=хп>1]=1
= P[X(tn) ^xn\X(tn^) =хп-1].	(2.1)
В интуитивных представлениях условие (2.1) означает,
что если для данного процесса определено некоторое
настоящее состояние, то будущее процесса никак не за-
висит от его предыстории.
Марковские цепи с дискретным параметром
Марковские цепи с дискретным временем зада-
ются последовательностью дискретных случайных вели-
чин {X(tn)}^=v Без потери общности можно опреде-
лить моменты перехода из состояния в состояние имен-
но в моменты времени n=0, I, 2, ..., а состояние
в момент времени п обозначать просто через Х(и).
Удобно обозначить состояния марковской цепи неотри-
цательными целыми числами i=0, 1, 2, ..., т.
Марковская цепь определена, если заданы все пере-
ходные вероятности, т. е. условные вероятности перехо-
180
да в момент времени п из состояния I в состояние /
(/, 7 = 0, 1,2,..., т):
Я] я+,= Р [X (п + 1) = /1X (п) = ф
Когда переходные вероятности зависят только от разно-
сти времени, т. е. три всех п
п, л + 1	„0,1	„
Рц =Рц=Ри>
то говорят, что марковская цепь является стационарной.
(В дальнейшем будут изучаться только стационарные
марковские цепи.) Для нестационарной цепи должно
быть задано и начальное состояние. Если предполага-
ется, что начальное состояние может быть случайным,
то в этом случае должно быть задано распределение
вероятностей возможных начальных состояний. Приня-
то величины рц представлять в виде матрицы P= (p,j),
называемой матрицей переходных вероятностей мар-
ковской цепи. Величины pi, удовлетворяют следующим
условиям:
т
#j>0, £#j=l, Z,/ = 0, 1, ..., zn,
"о
Все интересующие нас величины, такие, как среднее
число шагов, необходимых для первого достижения со-
стояния /, начиная из состояния 4, среднее количество
попаданий в состояние / за п шагов и т. д., могут быть
представлены как функции от матрицы Р. Весьма под-
робное исследование подобных вопросов при использо-
вании только элементарного математического аппарата
можно найти в (103].
Пример 2.1. В примере 1 мы рассмотрели вероят-
ностный процесс, описывающий функционирование си-
стемы с учетом ремонтов, профилактических замен
и т. д. В этой системе т+ \ =9 состояний. Через to обо-
значено время между инспекционными осмотрами.
Предположим, что распределение времени ремонта G
является экспоненциальным, т. е.
G(o= 1° «П₽И'<°’
(1 — е w при 0.
181
оо	N								
	°		2	3	4	5	6	7  1	1 8
0	0	е-2Х%	0	0	0	1—е~2Х<о 2	0	г о | кэ o’*	0
1	0	0	е“Хт	0	0	0	0	0	1—е~ Хт
2	0	0	0	е-2«в	0	1—е~2Х<о 2	0	1—е~2Х<о 2	0
3	е~?т	0	0	0	1—е—Хт	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	1	0	0	0
5	0	0	0 х+ 9	0	0	0	Л х + е	0	0
6	0	0	0	0	0	1 2	0	1 2	0
7	0 л + е	0	0	0	0	0	X х + о	0	0
8	0	0	0	0	0	0	0	1	0
Рис. 2.1. Матрица перехода 4/0.
Ц-----среднее время до отказа, -----среднее время проведения аварийного ремонта, 7 — время проведения профилактического об-
Л	О
служивания, t0 — запланированный период профилактического обслуживания.
В ЭВМ может возникать два типа отказов. Часть от-
казов может быть обнаружена непосредственно в про-
цессе функционирования, а часть отказов — только в ре-
зультате специальной проверки при полном выключении
ЭВМ. Предположим, что отказы первого рода подчи-
няются экспоненциальному закону
F(O={1
U —е
при /<0,
при />0.
Запланированные инспекционные проверки жела-
тельно построить таким образом, чтобы они позволяли
выявлять те отказы, которые нельзя обнаруживать во
время функционирования ЭВМ.
Рассматриваемый процесс содержит в себе вложен-
ную марковскую цепь с матрицей переходных вероят-
ностей, представленной на рис. 2.1. Например, роо=О,
поскольку процесс должен выйти из первого состояния
либо вследствие отказа, либо вследствие профилактиче-
ской замены. Далее poi=e~~2V° есть вероятность то-
го, что процесс перейдет из состояния 0 прямо в состоя-
ние 1, т. е. в интервале времени [0, io] не произойдет ни
одного отказа. Из состояния 4(8) процесс должен пе-
рейти прямо в состояние 5(7), если предположить, что
ЭВМ никогда не выводится на профилактические рабо-
ты более чем на d минут.
Классификация состояний марковской цепи
Два состояния называются сообщающимися, т. е. rvj,
тогда и только тогда, кода существуют целые числа щ j >0 и
такие, что 0 и	где /А есть веро-
ятность того, что, начиная движение из состояния I,
процесс окажется в состоянии / за п шагов. Эргодиче-
ским классом называется такое множество сообщаю-
щихся состояний, попав в которое процесс не может бо-
лее из него выйти. Эргодическое состояние есть элемент
эргодического класса. Видно, что множество состояний,
процесса, матрица которого изображена на рис. 2.1,
является эргодическим. Элемент i эргодического класса
называется поглощающим состоянием, когда рц=1. Со-
183
стояние называется транзитивным, если оно не является
эргодическим.	,
Назовем периодом d(i) состояния i наибольший об-
щий делитель среди всех целых чисел п^1, для кото-
рых /^>0. Если d(i) = l, то говорят, что состояние i
является непериодическим. Нетрудно показать, что если
i~j, то d(i)=d(j). Следовательно, если марковская цепь
является эргодической, т. е. все ее состояния сообща-
ются друг с другом, то для того, чтобы показать ее не-
периодичность, достаточно показать, что d(0) = l.
Поглощающие марковские цепи
Поглощающей цепью называется такая цепь, у ко-
торой все нетранзитивные состояния являются погло-
щающими. Матрица переходных вероятностей погло-
щающей марковской цепи с s транзитивными и г—s
поглощающими состояниями может быть записана
в следующей канонической форме:
г—S S
р— f_LI_LY-s
I R I Q Л ’
где I есть тождественная (единичная) матрица порядка
(г—s) X (г—s) и 0 есть нулевая матрица порядка
(г—s) Xs. Фундаментальная матрица поглощающей
марковской цепи должна иметь вид [103]
Если обозначить через количество попаданий
процесса в состояние / при условии, что он начался
в состоянии i, а через
Е=[A^ij]=rtij
математическое ожидание величины Na, то [103]
#=(««)•	(2.2)
Далее, можно получить, что
Д [Л^1 = ЛГ(2Л^-/),	(2.3)
184
где Ndg — матрица, образованная путем замены всех
недиагональных элементов матрицы W на 0. Можно по-
казать, что (2.3) и, следовательно, (2.2) всегда конечны.
Очень часто В[Кц] намного больше величины {Е[Л^]}2,
т. е. математическое ожидание является совершенно не-
удобной оценкой для марковских цепей [103].
Выражение (2.2) может быть эффективно использо-
вано при рассмотрении марковских цепей, у которых
все состояния являются сообщающимися. Предположим,
что нас интересует среднее число попаданий процесса
в состояние / до первого попадания в состояние k при
условии, что процесс начался из состояния i. Для рас-
сматриваемой цепи состояние k можно превратить в по-
глощающее, записав новые переходные вероятности
pkk=\ и pfcj=O для /=И=Л. Это превращает нашу исход-
ную марковскую цепь в поглощающую марковскую
цепь с поглощающим состоянием k. Для преобразован-
ной цепи tiij представляет интересующую нас величину.
В примере 2.1 можно найти среднее число попаданий
в состояние / из состояния i до того, как система по-
падет в состояние полного отказа—состояние 6. Предпо-
ложим, что среднее время до отказа 1/Х составляет
35 час и среднее время ремонта 1/0 составляет 10 мин.
Далее, предположим, что профилактическое обслужи-
вание производится через 24 час, причем продолжитель-
ность самих этих профилактических мероприятий по-
стоянная и равна, например, у. Матрица переходных ве-
роятностей для данной системы представлена на
рис. 2.2. Вычеркивая 6-ю строку и 6-й столбец матрицы
I—Р и находя обратную матрицу, получаем — сред-
нее число попаданий в состояние / до попадания в со-
стояние полного отказа. На рис. 2.3 показано, что си-
стема находится в состоянии 5 около 105 раз в то вре-
мя, как в состоянии 1 только 38 раз до того, как
попасть в поглощающее состояние — состояние полного
отказа системы. Этого, вообще говоря, и следовало
ожидать, поскольку среднее время работы до первого
отказа двух ЭВМ равно 17,5 час, а профилактики пла-
нируются через каждые 24 час. Среднее время пребы-
вания системы в состояниях 0, 1, 2, 3 до попадания
в состояние 6, однако, много больше среднего времени
пребывания системы в состояниях 4, 5, 7 и 8. В этом
можно убедиться, используя теорему 2.5 этой главы.
185
р	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0,268667	0	0	0	0,365667	0	0,365667	0
1	0	0	0,971833	0	0	0	0	0	0,028167
2	0	0	0	0,268667	0	0,365667	0	0,365667	0
3	971833	0	0	0	0,028167	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	1	0	0	0
5	0	0	0,995261	0	0	. 0	0,004739	0	0
6	0	0	0	0	0	д 2	0	1 2	0
7	0,995261	0	0	0	0	0	0,004739	0	0
8	0	0	0	0	0	0	0	1	0
Рис. 2.2. Переходная матрица для примера 2.1.
1/Х = 35 час, 1/6 = 46 час, 4 = 1 час, t0 = 24 час.
Я								
	° 1	 >	2	3 1	4 1	5	7 1	8
0	143,192	38,4708	142,394	38,2565	1,07758	105,507	105,513	1,08363
1	14^395	39,2567	143,148	38,4590	1,08349	105,497	105,519	1,10575
2	142,392	38,2558	143,189	38,4701	1,08359	105,511	105,505	1,07755
3	143,148	38,4589	142,395	39,2567	1,10575	105,519	105,497	1,08327
4	141,717	38,0846	142,511	38,2879	2,07846	106,011	105,005	1,07245
5	141,717	38,0746	142,511	38,2879	1,07846	106,011	105,005	1,07245
7	142,511	38,2878	141,717	38,0745	1,07245	105,005	106,011	1,07845
8	142,511	38,2878	141,717	38,0745	1,07245	105,005	106,011	2,07845
Рис. 2.3. Матрица для случая, когда состояние 6 поглощающее.
Легко вычислить вероятность hi, того, что марков-
ская цепь вообще хоть раз попадает вгсостояние /, на-
чав процесс из состояния /. Вероятность этого события
представляет собой элемент, стоящий на пересечении
i-й строки и /-го столбца, матрицы (103]:
Я=(М = (N-I)Ndg-\
Эргодические марковские цепи
Эргодической марковской цепью называется та-
кая цепь, в которой все состояния являются сообщаю-
щимися и, следовательно, имеют один и тот же период,
например, d. При рассмотрении поглощающих марков-
ских цепей матрица I—Р играет основную роль.
Пусть
, .	(1, если X(n) = /,
«j(n)= n
(О в остальных случаях.
Тогда среднее число попаданий 'процесса в состоя-
ние / за п шагов при условии, что процесс начался из
состояния Z, равно
п	п
£t[S«;(*)] =Е Р*Г
Л=1	Л=1
Эта величина может быть использована для харак-
теристики эргодических и транзитивных состояний.
Теорема 2.1. Состояние i марковской цепи является
эргодическим (транзитивным) тогда и только тогда,
когда
00
Е^=+°°« °°)’
Л=1
Доказательство этой теоремы можно найти в [127].
Если Р есть эргодическая, то можно найти вектор
решения л=(ло, Л1, ...» лт) такой, что лР=л:, причем
этот вектор будет выражаться через миноры детерми-
нанта матрицы I — Р. Пусть Di обозначает минор, по-
лучаемый путем вычеркивания Z-й строки и Z-го столбца
матрицы / — Р.
188
Теорема 2.2. Марковская цепь с матрицей переходных
вероятностей Р является эргодической тогда и только
тогда, когда Di>0 для /=0,1, ..., т. Если л= (Do,
Di, ..., Dm), то лР=л.
Доказательство этой теоремы можно найти в [64].
Обозначим через |'=(1, 1, •••, 1) вектор-строку из
единиц. Заметим теперь, что £л есть матрица, если л
есть вектор-строка.
Теорема 2.3. Если Р есть эргодическая матрица пере-
ходных вероятностей с периодом d и я = (it0,	... .itm), где
т
Di I У1, Dj,
/=0
то тогда
a)	limPnd = tn = П,
Л->00
б)	РП = ПР = П,
в)	л есть единственный вероятностный вектор, удов-
летворяющий уравнению лР = л.
Доказательство. Утверждение а есть обычная
эргодическая теорема для марковских цепей [103]. Един-
ственность указанного вероятностного вектора в в сле-
дует немедленно из а, б и теоремы 2.2.
Если марковская цепь является непериодической,
т. е. rf=l, то теорема 2.3 гласит
k=0
Заметим, что л; есть вероятность пребывания в со-
стоянии / после того, как уже осуществилось бесконеч-
ное число переходов, т. е. стационарная вероятность пре-
бывания в этом состоянии.
Можно показать [103], что существуют такие константы
би г(0<г<1), что pntj =я + е?/» причем |е"у |<Ьгп, т. е.
Pq стремится к пределу с показательной скоростью. Век-
тор стационарных вероятностей будет часто нас интересо-
вать.
Пример 2.2. На рис. 2.1 представлена матрица пе-
реходных вероятностей для системы, которая подверга-
189
Di
т
У Dk
ется инспекционным проверкам и ремонтам после отка-
зов. Для данной системы вектор стационарных
вероятностей может быть легко вычислен. Заметив
естественную симметрию пространства состояний, изо-
браженного на рис. 1.1, можно записать, что:
Я() = Л2,
Л1 = 71з,
Л» 7	Л#5,
Из-за обилия нулей в матрице Р эти стационарные
вероятности могут быть найдены из обращения опреде-
лителей при решении уравнения лР = л. Эти искомые ве-
личины оказываются равными:
ОО
Используя условие = 1» можно найти я0, а следо-
ь=о
вательно, и все стационарные вероятности.
Представляет интерес определение количества ша-
гов, требуемых для первого достижения состояния j при
условии выхода из состояния I. Обозначим эту случай-
ную величину через У^-. Пусть, далее, М=(тц), где
/п,,=Е[Уг;)] есть среднее время до первого попадания из
состояния i в состояние /.
Можно легко убедиться, что пи, удовлетворяет урав-
нению типа восстановления, а именно
niipm (mkj + 1) + ptj	(2.4)
или в матричной записи
M = P(M—Mdg)+E,	(2.5)
190
где Mdg образована из матрицы М путем замены не-
диагональных элементов нулями; Е — единичная мат-
рица, все элементы которой равны единице. Умножив
(2.5) на л, получаем
nMdg^TtE	।
или
ГПц = 1/Лг.
Для нахождения решения для матрицы М в [103]
введена фундаментальная матрица для эргодических
марковских цепей
Z=[I— (Р—П)]-1.
Можно показать, что эта матрица всегда существует для
эргодических марковских цепей и что М определяется
как
M=(I—Z+EZdg)D,	(2.6)
где £=(dij) и dit = 09 du = -^.
Дисперсия числа шагов до первого попадания вычи-
сляется просто. Пусть
тогда
W=M(2ZdgD—/) +2[ZM—E(ZM)dg].
Можно показать, что W, а следовательно, и М всегда
конечны. Более того, величина Е [У2Й] часто велика срав-
нительно с (Е[Уо]}2. Это показывает, что среднее значе-
ние шагов до первого попадания является недостаточной
оценкой для длительности этого перехода.
Другой интересной величиной является количество
восстановлений. Обозначим через Ntj(n) количество по-
паданий в состояние / за п шагов, если процесс начина-
ется из состояния I. Пусть
Yij(n)==£'[Wij(n)].
В [103] можно найти следующую теорему.
191
Теорема 2.4. Если Р есть эргодическая матрица, то:
а) lim!«W =
'	п
Л->00
б) (Ytj(n)— nnj)—т(7—П) при п—>оо.
Иногда требуется найти среднее число попаданий
в состояние j между двумя соседними попаданиями
в состояние L Можно показать, что эта величина равна
ЗТj!3"Cj•
Полумарковские процессы
Марковские цепи могут быть естественным путем
обобщены следующим образом. Пусть, как и ранее, Р=^
= (pij) обозначает матрицу переходных вероятностей
однородной во времени марковской цепи с т4-1 состоя-
нием (т. е. /, у=0, 1, ..., i/n).
Определим эвристически процесс {Z(/), /^0}, где
Z(t)=i означает, что процесс находится в состоянии i
в момент времени t. Пусть процесс находится первона-
чально в состоянии i, а дальнейший выбор состояний
осуществляется в 'соответствии с матрицей переходных
вероятностей P=(pij). Функцию распределения дли-
тельности пребывания процесса в состоянии i при усло-
вии, что следующий переход будет осуществлен
в состоянии /, обозначим через Fa(t). Пусть <^г(/) =
='(ЛД0)- Процесс является марковским только в опре-
деленные «марковские моменты» времени, в которые
осуществляется переход из состояния в состояние.
Если мы зададихм вектор начальных вероятностей (ао>
Д1, ..От), то полученный процесс будет называться
полумарковским. Если обозначить через Nj(t) число
попаданий процесса в состояние j на интервале [0, /], то
семейство векторов
...,	t^O,
называется марковским процессом восстановления [137].
Более подробные сведения, касающиеся этих процессов,
читатель найдет в [137] и [138].
Однородные во времени марковские цепи являются
полумарковскими процессами, у которых
г / \	[0, х<1,
192
Стационарный марковский процесс с непрерывным
временем есть полумарковский процесс, у которого дли-
тельности пребывания во всех состояниях имеют экс-
поненциальные распределения
FijW=l-e“V, />0,
где для всех i постоянные Х<>0. Если при этом имеется
только одно единственное состояние, марковский про-
цесс восстановления переходит в обычный процесс вос-
становления (см. § 2 гл. 3).
Нас будут интересовать следующие вопросы:
1)	Чему равно среднее время до попадания в состоя-
ние i?
2)	Чему равно среднее число попаданий процесса
в состояние i за время /?
3)	Какова стационарная вероятность того, что про-
цесс окажется в состоянии i?
В значительной степени ответы на эти вопросы мо-
гут быть найдены в (5].
Распределение времени первого попадания
для полумарковских процессов
Обозначим через Gij(t) функцию распределения
времени первого попадания из состояния i в состоя-
ние /. Уравнения в матричной форме для преобразова-
ний Лапласа можно найти в [138]. Поскольку нам по-
требуются первый и второй моменты, вычислим их не-
посредственно.
Обозначим через
т
1=0
функцию распределения безусловного времени пребыва-
ния процесса в состоянии i, а через щ — безусловное
математическое ожидание времени пребывания в со-
стоянии i, и пусть
13—1563
193
Обозначим через /,j среднее время до первого по
падания процесса из состояния i в состояние /. Тогда
hi = Ал (|Чл + hi) + Pi i Hi»
где [iij есть среднее значение для распределения Fa(t).
Поскольку
т
Hi = АлНл.
л=о
получаем
hi = У, N	(2-7)
или
L=(li}) =P[L-Ldg]+M,
где матрица Ldg получена из матрицы L путем замены
недиагональных элементов нулями.
Если все состояния сообщаются, то существует век-
тор л— (по, Я1, ..лт) стационарных вероятностей для
вложенной марковской цепи. Запишем
L = Ldg-\-L,$ и Ldg=\P—I)Lo+M.
Отсюда, умножив обе части на л, получаем nL<jg=
=лЛ4 или
<2-8>
Это очень важное соотношение, которое будет
в дальнейшем часто использоваться.
Пример 2.3. Для системы примера 2.1 легко полу-
чить следующие соотношения:
(О,
Fe(x) = F2(x)=
1 —е~2Хх,
1,
Л(х) = Р,(х)=
О,
1 — е-и,
.1,
х<0,
О < х <
x>t0;
х<0,
0<х<т>
x>y;
194
n / .	„ . .	(О, x^d,
f4W = f»W=,	?•.
U, x>d;
(x) ~ Рч(х)= 11  g—(X+0) x x-~
P,4(O,	X<°’
и
l-e-2W«
l-e-^
н = ?•,= —
P’4=f*8 = d,
________1
I*» —Fj — x+e«
_ 1
H’e — 20 •
Использовав результаты примера 2.2 и уравнение (2.8),
можно вычислить среднее время между двумя сосед-
ними попаданиями в состояние 0 следующим образом:
8
Л=0
Можно также получить рекуррентное соотношение
для второго момента распределения времени первого
попадания Iff. Пусть Уц есть случайная величина, со-
ответствующая распределению времени первого попада-
ния Gij, a Х{}— случайная величина, соответствую-
щая распределению Рц. Тогда
Z«=S Р»Е1Х* + Ы' + РнЕ[ХиУ=
м/
13*
195
Таким образом,
tt7=(^,) = -PF-^l + V + 2t/Le, (2.9)
где
АюРоо • • • РопРотп
АоР’Ю • • • PiirPim
уРгиоНтио • • • Pmrn^mm j
и
I Н2) • • • Н-Г
pf >... pf >
ц(2)	u(2)
“m ’ * “m
\ /
Если все состояния сообщающиеся, то из (2.9) можно
получить
№ =	(S М2) + 2 SE ЪРмЬч \ (2. Ю)
\ k	k^i s	J
Для марковской цепи
В дальнейшем будет получено более простое выражение
(2.10) для марковского процесса с непрерывным вре-
менем.
Полумарковский процесс (Р, & (0] является погло-
щающим (эргодическим), если соответствующая мар-
ковская цепь, определяемая матрицей Р, является по-
глощающей (эргодической) и ц,<оо (i=0, 1, ..., m).
Если марковская цепь включает транзитивные состоя-
ния и k поглощающих состояний, то путем соответст-
вующей перенумерации состояний мы можем нашу мат-
рицу Р представить в следующем виде:

lj_
\ R
О_\
Q)'
(2.П)
196
где Q — подматрица матрицы Р порядка (п—k) X
Х(и—Л). Из (2.2) мы знаем, что элемент i, j матрицы
(/—О)-1 представляет собой среднее число попаданий
в состояние / из начального состояния I до попадания
в поглощающее состояние.
Теорема 2.5. Пусть [Р, (/)] есть поглощающий полу-
марковский процесс с k поглощающими состояниями
(О, 1, .... k—1), где матрица Р представлена в норма-
лизованной форме в соответствии с уравнением (2.11).
Среднее время до поглощения, если исходным состоя-
нием является состояние i(«>ife), равно
/=Л
где
(m«)-(l-Q)-‘.
Доказательство. Обозначим через Х(п безусловное
время пребывания в состоянии j во время n-го попадания
в это состояние. Тогда {X^}^_t есть последовательность
взаимно независимых случайных величин, независимых,
кроме того, и от Ыц — количества попаданий в состоя-
ние / до момента поглощения при условии, что процесс
начинается в состоянии I. Следовательно,
Е + хф 4-... 4- Х^\ =Е (Мп1 Е (ЛГО] = wii J
по теореме 2.4 гл. 3.
Заметим, что если все состояния сообщаются, то
можно модифицировать матрицу Р таким образом, что
одно из них становится поглощающим. Таким путем
можно вычислить среднее время до попадания в задан-
ное состояние для любого конечного полумарковского
процесса.
Предельные теоремы
Рассмотрим некоторые асимптотические свойства
конечных полумарковских процессов. Распределения
будем предполагать нерешетчатыми.
197
Пусть {Z (0, t > 0} обозначает полумарковский процесс
и Рц (0 = Р [% (0 =/12 (0) = «]. В частности, нас интересу-
ют предельные значения P,j(0 и Y<j(0, где у<Д0 обозна-
чает среднее число попаданий в состояние / в течение
интервала времени (0, /] при условии, что процесс на-
чался из состояния i. Это обобщенное число восстанов-
лений является обобщением числа восстановлений, вве-
денных в гл. 3.
Теорема 2.6. (Теорема Смита). Пусть [Р,^"(0] конеч-
ный полумарковский процесс с р* < оо для всех I. Тогда
limPtj (0 =
/-►оо
н
1ц
Имея в виду, что в случае решетчатого распределе-
ния Gn величина t принимает лишь кратные значения,
где Gn(t)—функция распределения времени первого
попадания из состояния i в состояние j [152, 55].
Нам необходимо доказать следующую лемму.
Лемма 2.7.
Ти(0 = V G$(t)
k=\
и
i (0 = Ga (!) + J Gu (* — x) (x)>
6
где верхний индекс k означает ^-кратную свертку.
Доказательство. Обозначим через Nu(t) коли-
чество попаданий в состояние / в течение интервала
времени [0, /] при условии, что процесс начинается из
состояния I. Тогда
Р [ВД0 = 1] = Gij (0 - f Gii (t - x) dGji (x)
и
P [AT,, (0 = n] = Gfj^r'»(0 -	«).
198
где звездочка означает свертку. Тогда
Ча (0 п [G^G^ (О - Gfi (OJ =
/1=1
= Gii (О + { GU <! — х) dtii (4
о
Лемма 2.8. Если Gij(t) абсолютно непрерывные
функции для всех i и /, то
Р (процесс попадает в состояние / в интервале времени'
(t, t+di)[начальное состояние Z] dt=dya(t).
Доказательство. Вероятность события, стояще-
го в квадратных скобках, равняется
dGii(0 + f dGtj*Gtf(t)=dyi}(t).
/1=1
Теорема 2.9. Если [P,Jp (01 полумарковский процесс
с непрерывным параметром, у которого каждое < оо, то
k
Доказательство. Вычисляем двумя различны-
ми способами среднее время между двумя первыми по-
паданиями в состояние j по истечении времени t при
условии, что процесс начинается из состояния /. Пусть
У есть случайная величина, равная времени между по-
паданиями в состояние /. Тогда
Е [У, + У, +... + y^(t)+I] = Iii [Тя (0+11
по теореме 2.4 гл. 3. Но то же самое можно записать в
виде
//ЯТй(0+П=^+£^(0^»
k
используя марковский характер рассматриваемого про-
цесса. Искомый результат получается после деления
обеих частей равенства на 1ц.
199
Теорема 2.10. Ёсли	есть полумаркйвский
процесс с непрерывным параметром, у которого j < оо и
< оо , то
, 1
.	/(2) hi +-n- VO
------—+°v-
где w — период Gjj(t). Это есть непосредственное след-
ствие теоремы 2.7 (расширенной) гл. 3.
Теорема 2.11. Если [Р, & (/)] есть полумарковский про-
цесс с непрерывным параметром, то
Л=0
где
/-►ОО
Доказательство. Из теоремы 2.10 имеем
.	/(2)
и из теоремы 2.9 имеем
т
Г««) = -7^-1 + т^У]р;'М + о(1),
л=о
поскольку для марковского процесса с конечным числом
состояний Рц(1) стремится к своему пределу с показа-
тельной скоростью. Следовательно,
т
k=0
Эти результаты могут быть использованы для приме-
ра 2.4 и для вероятностных процессов, рассматривае-
мых в последующих параграфах.
200
Пример 2.4. В примере 1.1 состояния 4, 6, 8 были
отмечены как неблагоприятные. Среднее время, которое
система находится в этих трех состояниях в течение
времени Т часов, есть среднее время простоя в течение
интервала времени Т часов. В математических терми-
нах это записывается как
oJ
где Рц(х)—вероятность того, что процесс переходит
из состояния i в состояние j за время х. Для больших Т,
т
^Pa(x)dx^-^- ,
О
где
8
Ijj = —	itfcp.fc, a (k = 0,1,..., 8) были вычислены в при-
Л=0
мере 2.2 и р,й(&=0, 1, ..., 8) —в примере 2.3.
Ошибка, получаемая в пределе из-за использования
приближенного выражения, может быть оценена. Вели-
чина ее тем меньше, чем больше Т.
Среднее количество полных отказов в интервале
[О, 7] приближенно равно
".Г
8
ь=о
Предельная вероятность того, что система нахо-
дится в состоянии 6 — состоянии полного отказа — рав-
на по теореме 2.6
limP0,(x)=-*-.
*-»ео
Эти величины вычалены и сведены в табл. 2.1 для не-
скольких значений Л, и 0. На рис. 2.4 приведено семей-
ство зависимостей среднего времени простоя от средне-
го времени ремонту в течение 10000-часового периода
?0|
использования. Вычисления проведены для следующих
значений:
у (время проведения инспекционных проверок)—
= 1 час;
а (время переключения) = час;
to (плановый период
= 24 час.
проведения профилактики) =
Среднее бремя
ремонта 1/0, мин
Рис. 2.4. Зависимость среднего
времени простоя от среднего
времени ремонта.
Таблица 2.1
Среднее вре- мя безотказной работы 1/1, час"1	Среднее время ре- монта 1/0, час"1	Среднее количество полных от- казов (за 10 000 час)	Среднее время между полными отказами, час	Среднее вре- мя простоя (за 10 000 час), час	Рое (ое)
35	1/6	2,66	3 835	1,17	2,22.10-’
35	1/2	7,84	1293	2,90	1,96-10-3 4
60	1/6	0,90	11760	0,84	5,48-10-’
60	1/2	2,69	3 771	1,43	6,73-10-’
3. ПРОБЛЕМЫ РЕМОНТА
В данном параграфе будет обсуждаться большой
класс часто встречающихся вероятностных моделей.
В литературе они известны как проблемы ремонта (59].
Эти задачи связаны с задачами теории очередей, и на-
шей основной задачей является установление связи
202
между этими двумя областями. Дополнительное рас-
смотрение этих вопросов можно найти в [33, 162]). В на-
шем изложении будем следовать работе [4].
Предположим, что имеется т взаимно независимых
элементов, для которых придана общая группа
в п запасных элементов. Предпо-	зшсные
ложим, что все элементы начина-
ют работать в момент времени
/=0. Пусть каждый из элементов
имеет распр1еделен1ие времени ра-
боты до отказа F. Далее, пусть
для восстановления работоспособ-
ности имеется $ ремонтирующих
органов, т. е. одновременно мо-
жет ремонтироваться до s отка-
завших единиц. Предполагается
следующая дисциплина обслужи-
Э/1емент'ы части
Систем
обслухиМш
Рис. 3.1. Схема, иллю-
стрирующая ремонтную
проблему.
вания: если все ремонтные органы
заняты, то вновь отказавший элемент становится послед-
ним в общую очередь. Будем считать, что длительности
ремонта — случайные взаимно независимые величины,
имеющие распределение G. Рис. 3.1 иллюстрирует раз-
личные модели, связанные с проблемой ремонта.
Одной из причин, заставляющей нас изучать про-
блему ремонта, является желание определить, какой на-
дежности можно достичь, используя резервные эле-
менты.
Если распределения времени работы элемента до
отказа и времени ремонта экспоненциальны, изучаемая
картина описывается при помощи процесса гибели и
размножения. Очень изящное исследование этого клас-
са случайных процессов можно найти в работе (96]. Мы
изложим результаты этой работы для наиболее интерес-
ных проблем теории надежности.
Процессы гибели и размножения
Состояние системы во времени будем характери-
зовать количеством элементов, которые ремонтируются
ц стоят в очереди на ремонт. Состояния —1 и А/+1 =
=т+п+1 являются отражающими. Напомним, что
процесс гибели и размножения есть стационарный мар-
ковский процесс X(t), пространство состояний которого
203
есть неотрицательные целые числа. Матрица переход-
ных вероятностей этого процесса имеет вид
ръ(0=Р[Х(/)=/|Х(0)=1],
причем при t-—>0 выполняются условия:
Xi/+o(Z), /=/+1,
Лц(/)=^(/)+о(0. /=<—1,	(3.1)
1 — (Х,+ и»)t+o(/), /=/,
где^Х,-, gi^O для t^O. Матрица переходных вероятно-
стей P(t) ={Pjj(O] удовлетворяет дифференциальным
уравнениям
P'(t)=AP(t) и P'(t)=P(t)A
с начальными условиями Р(0)=7, где А есть матрица
Якоби
	^0	А. 0	0	... 0	0
	1*1	(^i "Ь Hi)	0	... 0	0
	0	|*а	— (*i+i*j	) *1	... 0	.0
А =	•	•		• • •
	•			
	0	О	0	0 ..	•	(^JV-1“H*W_ 1)
	0	О	0	0 .	V-N	— J*JV
Связанная с этой матрицей А система полиномов
{Qfc(x)} определяется по рекуррентным формулам:
Qo(x) = l,
—xQ0 (х) = —XoQo (х) +XoQi (х),
- xQk (х)=	, (х) - (4+нл) Qk (x)4-M?k+I (х), 0<£< N,
с нормирующим условием Qh(0) = l. Система {<2л(х)}
ортогональна относительно дискретной меры ф, спектр
которой состоит из нулей полинома
(цлг—x)Q.v(x) — H.vQw-ifx).	(3.2)
204
Известно, что нули этих 'Полиномов все действитель-
ны и положительны и что нули полиномов Qfc(x) и
Q*+i(x) перемножаются. Эти полиномы ортогональны
в том смысле, что '
jQi(x)Qj(x)d<|)(x) = M.
О
где Ро = 1 и
 Ml - » »	1
Полезное интегральное представление формул для
этих процессов получено в [96], где показано, что пере-
ходные вероятности Pij(t) могут быть записаны в виде
Pii (0 = PJ 5	(х) Q j (х)	(X).
О
Мера ф имеет скачок 1/р в точке х = 0, где р =
лг
= ^Pj. Следовательно, стационарные вероятности опреде-
/=о
ляются как
р;=1,ш р„р)=л-.
/-►00	Г
Преобразование Лапласа для распределения време-
ни до первого попадания в поглощающее состояние бы-
ло получено в [98]:
Gn (s) =' (	S^'
lQw-i(— s)/QN-j(— s),
где {Q*ft(s)} есть система ортогональных полиномов,
соответствующая тому же самому процессу гибели и
размножения, за исключением того, что в нем состоя-
ния перенумерованы таким образом, что состояние N
стало состоянием 0 и т. д. Соответствующие этому слу-
чаю параметры равны
Х*л = ^-л и =
205
Поскольку
Got (s) = V1 • ;	1)j,
П(* + М
4=1
получаем следующую явную формулу для плотности
goj распределения Go/
Г е-®**
goi (0 = (Ml • • • М.)(- 1)J V fb——- ’ (3.3)
11(—s*4-sj)
4=1 Lm* j
где — корни полинома Qj(x).	»
Для процессов гибели и размножения таким обра-
зом решается вопрос о распределении времени до на-
ступления полного отказа.
Заметим, что если Уъ(/>0 обозначает длительность
времени до первого попадания в состояние j из состоя-
ния i, то
Yir=YOj- Yoi.
Следовательно,
hj= М	^0» и = а0) °ог
Известно [98], что
7-1	k
Spr
fe=o	r=o
И
а0/ = l0j — 2 У]	J] Prior-
t=0	r=0
Первый момент распределения времени возвращения в
то же состояние равен
/ — р
п а (U + М "
По теореме 2.11 имеем
k
206
Используя теорему 2.9, можно получить точную форму-
лу для среднего числа (полных отказов в интервале вре-
мени [0, /]:
т™ (') =	- 1 + S (/) '*»  (3-4)
k
"Ion (0 = ( I1 + Inn (* — *)] dGoN W-
О
Пример 3.1. Рассмотрим модель, представленную
на рис. 3.2 (символ М стоит для обозначения экспонен-
циального распределения). Данная система имеет три
Рис. 3.2. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
Запасные
Элементы части
Система
обслуживания
следующих состояния: состояние 0 — все элементы си-
стемы исправны, состояние 1 — отказал ровно один эле-
мент, состояние 2 — отказали оба элемента. Ортого-
нальные полиномы для этого случая имеют вид:
Q.(x)=l,
Qt(x)=^,
QaW = i-ka-(2^ + tx)x + X’].
Нулями полинома (р—.r)Q2(x)—pQi(x) являются:
хо = О,
207
Используя (3.1), можно легко определить и Сц, где
поскольку Р'о(0) и Ptj(O) известны.
Нулями полинома Qz(x) являются
с . (2X+h) + V^ + h*
Si—	2	’
о _ (2Х + ц)-Г4Лц + н’
Ss------------2
Посредством (3.3) можно найти, что плотность рас-
пределения Gaz(t) есть
...	Х1е~*<	Хге~^
Яоз( )	S1 — Sj	ss— Sj
Распределение GmCO можно найти простой заменой X
на ц. и р. на X.
Для процесса гибели и размножения вложенной
марковской цепью является процесс случайного блуж-
дания. Многие вопросы, связанные с проблемой ремон-
та, могут быть решены путем рассмотрения соответст-
вующего процесса случайного блуждания. Пусть пере-
ходные вероятности процесса случайного блуждания
равны pi для перехода из состояния i в состояние г+1
и iQi—l—pi для перехода из состояния i в состояние
i—1. Тогда:
А = 1.
Л='КТЙГ’
и qN=l. Известно [76], что
(с,	1 = 0,
*i = limp** = J с	, j ф о,
*-ХЮ I ptp, . . . pj-1 >/-*-•
п
где с определяется из условия УиЛ=1.
k=0
Интересно определить вероятность того, что процесс
из состояния I достигнет состояния / по крайней мере
208
один раз до возвращения в состояние I. Обозначим эту
вероятность через 0г/
1 ।	.	। W+i • • • Qi-1 ’
^Pi+i "г ’ ‘ ‘ pt+i. . . pj-i
где /</ —1 и	[76].
Вероятность того, что процесс восстановления вер-
нется в состояние 0 ровно г раз до того, как произойдет
полный отказ, равняется (1—0олОг0ол-. Среднее число
таких возвращений равняется, как известно, в этом слу-
чае (1—Gon)/Qqn. Аналогичным образом, среднее число
попаданий в состояние i до попадания в состояние пол-
ного отказа равно 1/0^. Обозначим через Т среднее
количество шагов до полного отказа. Тогда
и Т включает по одному первому попаданию в каждое
состояние. Каждое дополнительное попадание может
быть вызвано лишь ремонтом. Следовательно, T+N
есть точно удвоенное число отказов до полного отказа
системы.
Равное количество элементов и восстанавливающих
органов при отсутствии запасных элементов
Эта модель аналогична непрерывной модели
Эренфеста для диффузионного процесса. В [97] замече-
но, что в данном случае полиномиальная система явля-
ется полиномами Кравчука, т. е.
k
где N=m. Спектральной мерой ip является биномиаль-
ное распределение с массой Xsp.N-x при х=
= 0, 1,..N.
14—15ВД
209
Явная формула для переходных вероятностей мо-
жет быть получена в этом случае без интегрального
представления. Поскольку ремонтных органов столько
же, сколько и элементов, и поскольку они независимы
друг от друга, то можно рассмотреть изолированные
пары «обслуживаемый элемент — ремонтный орган».
Таким образом, в действительности имеется W одноэле-
ментных систем. Обыкновенным перебором получаем
л, w=22 (О (V *)lAi (/)1*‘ tA° 1/701
где суммирование осуществляется по всем целым чис-
лам, удовлетворяющим соотношениям ^1+^2=/, k^i
и	а входящие в это выражение вероятности
равны

п (а——3_ _1_ t* р-а+ии
АЛО —х+це
Легко видеть, что
р;=нт рц (о=(W rj—} frx—Y"7 •
1 t-ю \1 )\K + v-J
Пример 3.2. Рассмотрим систему, представленную
на рис. 3.3. Ортогональные полиномы для этого случая
равны:
Qo«=l,
«>(*) = Т’
С1(х)=-^х*--2хг-(3а+и)х+1,
210
и нули полинома Q,(x) равны
- _ (ЗХ + ^ + ГА’ + бАц + н.»
st--------------------------------
(ЗХ4-р,) — ^A» + 6X|x + p.«
Плотность распределения времени до полного отказа
в этом случае равняется
£оа(0 =
«2— «1
Рис. 3.3. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
2Х«е-5»<
«2 — 81
Машины
Система
обслуживания
Более общая модель. Как уже было показано, для
случая экспоненциального распределения можно ответить
на наиболее интересные вопросы, если получены свя-
занные с рассматриваемым процессом ортогональные
полиномы. Принципиальную трудность представляет
нахождение нулей этих полиномов. Для неэкспоненци-
альных распределений могут быть найдены решения
только для отдельных специальных случаев. Случай,
когда имеется один элемент с произвольными распреде-
лениями времени безотказной работы и времени восста-
новления, был рассмотрен в § 6 гл. 3. Сейчас будут рас-
смотрены два специальных случая. Для обоих случаев
составим схемы, подобные схеме, представленной на
рис. 3.1.
Случай А (рис. 3.4). Решение для этого случая
получено в (159]. Обозначим через т] количество элемен-
тов, работающих в момент времени t. Пусть ti, тг, . • •.
..., Тп, ... есть моменты окончания последовательных
обслуживаний. Если ввести обозначение Хп=я (t^), то
(Xn) определяет марковскую цепь. Обозначим, далее,
14*	211
Через 1/1 среднее время работы До отказа, через $ —
среднее значение времени ремонта, а через
<р ($) = J е ** dG (х)
— преобразование Лапласа—Стильтьеса для распреде-
ления времени ремонта G. Стационарные вероятности
C/iyVlfij А
Машины
Рис. 3.4. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
обслуживания
для {Хп}, найденные в [159], равны
где Вт — r-й биномиальный момент для который
в свою очередь, определяется как
yi fm— 1 \_

уч bn— 1 \_
\ i ) Ci
/=0 Х 7	'
где Со = 1 и
/=1
Предельное распределение
limPh(0 = »h(0)]=.P*<
/-*00
212
может выть также получено в явной форме
л* _________1
*	£(/И₽Х +Лгл-О
k=l, 2,
/п,
и
Р*о = 1-
т TI 1
>n₽X + *m-i k
k=0
Среднее время до возвращения в состояние 0 для
этого процесса равняется l/AP*i. Аналогичным образом
Рис. 3.5. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
Система
обслуживания
среднее количество возвращений в состояние т, когда
все элементы исправны, равно
_ i
Среднее количество полных остановок в интервале вре-
мени [0, /] равняется MP*i + o(/).
Случай Б (рис. 3.5). Эта задача идентична за-
даче о телефонных вызовах при пуассоновском входя-
щем потоке и конечном числе каналов. Заметим, что,
когда все обслуживающие устройства заняты, ни один
из элементов не работает. Стационарные вероятности
количества отказавших машин могут быть выражены
посредством следующей формулы Эрланга. Обозначим
через Y(t) состояние процесса (т. е. количество обслу-
живающих устройств, занятых в момент времени /).
Обозначим опять через 1/А, среднее время до отказа и
через £ — среднее время ремонта. В [150] показано,
что
Р*ь = 1мп Р [У (/) = k |У (0)] =	.
2j (Х₽)<//!
1=0
213
Поскольку состояние 0 есть точка регенерации или
точка восстановления, можно получить среднее время
возвращения в состояние 0, используя фундаменталь-
ную теорему теории восстановления (теорема 2.9 гл. 3):
Ро (t) = е"w + / e~u dM. (/ — х),
О
limP0(f) = z—, 1.. = ^.
t-ьао	*oo	Ы 0
Произвольное распределение времени работы
до отказа и экспоненциальное распределение
времени ремонта
Рассмотрим два случая, тесно связанных с теми
моделями, которые были уже ранее рассмотрены. Пусть
распределение времени работы до отказа есть F со
средним а, а среднее время
ремонта равняется 1/р.
Система
обслуживания
Рис. 3.7. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
Система
обслуживания
Рис. 3.6. Схема, иллюстрирую-
щая ремонтную проблему.
Случай В (рис. 3.6). Этот случай имеет такую же
вероятностную природу, что и случай Б. Стационарная
вероятность того, что k элементов работоспособны,
равна
p*ft= МУИ
/=0
Среднее время между попаданиями в состояния полного
отказа, когда ни один из элементов не является работо-
способным, равняется 1/цР*о.
214
Случай Г (рис. 3.7). Здесь мы имеем тот же пре-
дельный процесс, что и в случае А. Стационарные ве-
роятности, перечисленные там, становятся в данном слу-
чае стационарными вероятностями количества элемен-
тов, находящихся в стадии ремонта, для данной мо-
дели. Нужно лишь заменить А, на
Среднее время до возвращения
в состояние 0, когда все элемен-
ты работоспособны, равняется
1/рР*1. Аналогично, среднее зна-
чение времени возвращения в со-
стояние s, когда в<се элементы на-
ходятся в ремонте равно
S<4* +"т-1
- 1
Замечание. Более общие моде-
Рис. 3.8. Схема, иллю-
стрирующая ремонтную
проблему.
ли, такие как, например, изобра-
женные на рис. 3.8, могут быть
также решены путем использова-
ния математического аппарата
вложенных полумарковских процессов. Для иллюстра-
ции первого случая положим, что п, Тг, ... есть момен-
ты окончания последовательных периодов обслужива-
ния. Пусть т](£) обозначает количество работающих и
работоспособных элементов в момент времени /. Вло-
женная марковская цепь задана как Хп = Ста-
ционарные вероятности для этого случая были получе-
ны в (160], где решалась одна проблема телефонных
вызовов, порождающая точно такую же вложенную
марковскую цепь. Приведенные в цитированной работе
формулы вполне пригодны для применения, однако
громоздки, в связи с чем и не приводятся здесь. Ста-
ционарные вероятности для числа работающих элемен-
тов могут быть найдены непосредственно на основании
стационарных вероятностей для марковской цепи.
4. МАРГИНАЛЬНЫЕ ПРОВЕРКИ
В гл. 4 были найдены оптимальные правила замен
в предположении, что каждый из элементов может на-
ходиться всего в двух состояниях: состоянии полной
215
исправности и в состоянии полного отказа. В данном
параграфе и далее будет предполагаться, что рассма-
триваемый элемент (или система) может находиться
во многих состояниях.
Например, если какая-либо цепь описывается со-
стоянием г параметров, а каждый из них, в свою оче-
редь, может находиться в одном из N состояний, то вся
цепь в целом характеризуется Nr различными состоя-
ниями. Отдельные параметры могут с течением времени
выходить за пределы определенного поля допусков.
Целью маргинальных проверок является определение
состояния параметров и выработка на основании этой
информации решения о том, целесообразно ли прово-
дить замену данной цепи.
Подобный тип периодических проверок элементов и
систем является общепринятым при эксплуатации про-
мышленных и военных объектов. Если определен пе-
риод проверки и характер восстановительных операций,
то задача состоит в том, чтобы найти такое правило за-
мены, которое было бы оптимальным в соответствии
с некоторым выбранным критерием надежности. В дан-
ном параграфе будет рассматриваться такой случай,
когда единственным способом восстановительных работ
является замена элемента на новый.
В [45] рассмотрена проблема выбора управления
правила замены элемента, основанного на маргиналь-
ных проверках, и определения оптимального интервала
проверки. В [63] рассмотрена модель, в которой пред-
полагается, что любой элемент может находиться
в одном из т+\ состояний: 0, 1, 2, ..., /и, причем про-
цесс изменения состояний системы есть марковский
процесс с непрерывным параметром, у которого состоя-
ние т есть состояние отказа. Когда элемент попадает
в состояние т, он мгновенно заменяется новым элемен-
том, находящимся в состоянии 0. Полученное правило
может быть сформулировано в следующей простой
форме: заменять элемент следует тогда и только тогда,
когда наблюдаемым состоянием является одно из со-
стояний A, k 4-1, ..., т—1 для некоторого определен-
ного А. Множество состояний k, А 4-1, ..., т—1 будем
называть маргинальными предельными состояниями,
а состояние k — контрольным уровнем. Проблему мар-
гинальных проверок очень удобно рассматривать как
216
Дискретную модель й предположений, что отказы могут
возникать только в момент окончания периода про-
верки. Если периодичность проверки задана, единствен-
ной задачей является нахождение множества состояний,
которые назовем маргинальными.
Формальная модель
Приведем формулировку, заимствованную из [43].
Предположим, что проверки проводятся через равные
интервалы времени и что в результате проверки опреде-
ляется, в каком из т+1 состояний: 0, 1, 2, ..., т, нахо-
дится система. Будем считать, что новая система нахо-
дится в состоянии 0, а отказавшая система — в со-
стоянии т. Проверки проводятся в моменты времени
л=0, 1, ..., и Х(п) есть наблюдаемое в момент вре-
мени п состояние системы. Предположим, что {Х(п)}
есть марковская цепь со стационарными переходными
вероятностями дц — Р{Х(п +1) =j\X(n) =/] для всех
/, /, п.
Значения вероятностей дц зависят от природы эле-
ментов и от правила замены: замена только в случае,
если элемент находится в состоянии отказа. Следова-
тельно, предполагается, что:
дю—® Для Кт,
<7^, >0 для некоторого п^1 и любого j<m,
<7m0='l •
Предположим, что если замена системы произведена
после того, как возник отказ, то это сопряжено с ущер-
бом Ci(ci>0), а если замена произведена до отказа, то
ущерб составляет величину с2 (0<c2<Ci). Критерием
для сравнения правил замены являются средние потери
в единицу времени на большом (возможно, бесконеч-
ном) интервале времени.
В [40] показано, что можно рассматривать лишь не-
рандомизированные управления, т. е. оптимальное пра-
вило замены заключается в разделении всего простран-
ства состояний на два класса: класс маргинальных со-
стояний, таких, что система подлежит замене, находясь
в одном из них, и класс остальных состояний. Такое
правило замен будет получено в результате модифика-
ции исходной марковской цепи. Пусть (ри) обозначает
217
матрицу переходов модифицированной цепи. Тогда
Pjo= 1 для одного или более (но не для всех) таких /,
что	Такая модификация соответствует замене
системы в том случае, если при проверке она оказы-
вается в состоянии j. Поскольку имеется 2’п~1—1 таких
возможных модифицированных цепей, каждая из кото-
рых соответствует одному из возможных разделений
пространства состояний, оптимальная модифицирован-
ная цепь существует. Для небольших значений т опти-
мальная модифицированная цепь может быть найдена
методом перебора. Алгоритм для вычисления оптималь-
ного решения, основанный на методах линейного про-
граммирования, приводится в следующем параграфе.
Пусть 31 означает класс описанных выше возмож-
ных правил замены. Для каждого правила R из
пусть (рц) обозначает матрицу переходных вероятно-
стей. Рассмотрим функцию стоимости
О, если pjo=O, j<m,
<?(/) = {*». если	i<m,
Ci, если j=/n.
Таким образом, с(/) обозначает затраты в момент
времени п при условии, что марковская цепь находится
в состоянии j. Если через A(R) обозначить асимптоти-
ческое среднее значение затрат при условии, что исполь-
зуется правило R, то
A(/?)=Hra-Ly]c[X(^ = y]	(4.1)
с вероятностью 1, где стационарные вероятности jtj
удовлетворяют уравнениям [29]
1=0
О < тсj < 1, / = 0, 1,..., т.
218
ВФИ-марковские цепи
Основным результатом раздела является то, что
оптимальное правило замены состоит в следующем: си-
стема заменяется тогда и только тогда, когда при про-
верке наблюдается маргинальное состояние, если соот-
ветствующая марковская цепь с матрицей переходных
вероятностей (^) есть ВФИ-марковская цепь.
Определение. Марковская цепь называется ВФИ-мар-
ковской цепью, если
Р Н (n +1) £51 *(«) = /]	(4.2)
не убывает по i для любого множества В вида
B={k, /z + 1, ..., tn} для некоторого k=0, 1, ..., т, т. е.
т
=	(4-3)
i=k
убывает по i для всех k = 0, 1, ..., т.
Это условие совершенно ясно интуитивно, так как
чем больше износ системы, тем больше номер состоя-
ния системы. Таким образом, для каждого «окончатель-
ного» множества В чем больше номер i, тем больше ве-
роятность того, что при следующей проверке система
окажется в «окончательном» множестве. Заметим, что
(4.2) есть условная вероятность, аналогичная функции
интенсивности отказов, рассмотренной в гл. 2.
Еще более сильные условия, как можно показать,
могут быть сформулированы в терминах переходных
матриц (дц). Если матрица (дц) есть ПП2 по 1=0,
1, ..., т—1 и /=0, 1, ..., т, то марковская цепь есть
ВФИ-марковская цепь. Из свойства ограниченной вариа-
ции ВПФг-функций (см. приложение) следует, что
(4.3) должно быть неубывающей функцией от i=0,
1, ..., т—1 и, следовательно, от i=0, 1, ..., tn, по-
скольку h(m) = \, если fe=0, и h(m)—0 во всех осталь-
ных случаях.
Общим классом вероятностных процессов с непре-
рывным параметром, описывающих функционирование
устройств, является процесс гибели и размножения,
219
рассмотренный в § 3. Если Рц(1) есть переходная ве-
роятность для такого процесса и

если
О, если i = т, j =£ О,
1, если i = т, j = 0
для фиксированного />0, то матрица (дц) есть
ВФИ-матрица. Это следует из абсолютной положитель-
ности Pij(t) по i и / для фиксированных />0 [96]. За-
метим, однако, что матрица (^) не есть ВПФ2 по Z=0,
1, ..., т и /=0, 1, ..., т, поскольку о=Е Следова-
тельно, марковская цепь, которая возникает в резуль-
тате наблюдения над процессом гибели и размножения
в моменты времени /, 2/, 3/, ... есть ВФИ-марковская
цепь.
Теорема 4.1. Если марковская цепь с переходными ве-
роятностями qij есть ВФИ-марковская цепь, то суще-
ствует правило управления R* (правило типа: замена
только в случае, если состояние системы — одно из мар-
гинальных) такое, что
A (R*) = min А (/?).
Эта теорема доказывается в [43].
Интервалы оптимальных маргинальных проверок
Ранее основное внимание уделялось вопросу об
определении множества маргинальных состояний.
Однако часто множество маргинальных состояний бы-
вает задано, и тогда нас интересует оптимальная по-
следовательность проверок.
Предположим, что функционирование данного эле-
мента (или системы) может быть описано процессом
чистой гибели, т. е. процесс является марковским с не-
прерывным параметром с т + 1 состояниями 0, 1, ..., т
такими, что если процесс находится в состоянии /, то
следующим состоянием, в которое попадает система,
является г + 1, а состояние т является поглощающим.
Например, рассмотрим систему из т включенных па-
раллельно элементов. Предположим, что отказы всех
элементов взаимно независимы, причем время безотказ-
220
ной работы имеет экспоненциальное распределение
с параметром Л. Состояние системы будем обозначать
количеством отказавших элементов в момент времени t.
Тогда
ptj (/)=(1 — e-w)j'	“
для Z^/^m обозначает вероятность того, это элемент
из состояния i перейдет в состояние j^i за время t.
Состояния k, & + 1,	т—1 будем называть марги-
нальными и предположим, что затраты Ci связаны с за-
меной отказавшего элемента и затраты Сг<С1 связаны
с заменой элемента, принадлежащего маргинальному
множеству. Пусть Сз есть стоимость проверки безот-
носительно от того, проводится ли после нее замена или
нет. Считая, что о состоянии элемента можно узнать
только лишь в результате проверки, найдем последова-
тельность таких величин Хо, Xi, ..., Xk-i, где величина х,
есть время до следующей плановой проверки, если в мо-
мент данной проверки элемент находится в состоянии i.
Обозначим через £?<(х) средние затраты за один цикл
для случая, когда элемент находится в состоянии I
(O^iZ<£), следующая проверка будет проведена че-
рез х часов при условии, что используется оптимальное
правило. Ясно, что оптимальная последовательность мо-
жет быть выражена рекуррентно. Тогда S*_i(x) удов-
летворяет следующему рекуррентному соотношению:
(х) = Рк-i, j (х) CiPk-i, m(x)
1=Ь
Решая его относительно 5?fc_,(x), находим, что xft_,
удовлетворяет условию
т—1
Pb-i,ilx) + ciP*-i,m(x)+ с*
g»-,(x»-,) = min	_|(J)---------=
221
Яж_,
m—1
Pk-i,i (x) -j-CxPit-i.m (x) +
4-/’л-..л-1 W^k-i(xfe-i)4-cs [1 — Рл-,.к_г(х)]-‘
И T. Д.
Вычисляя оптимальную последовательность прове-
рок и сравнивая величины£о(х0) для k=0, 1, 2, т,
можно оптимизировать как k, так и последовательность
проверок. Несмотря на рассмотрение лишь небольшого
числа возможных моделей, связанных с маргинальными
проверками, можно видеть, что данные методы решения
могут быть полезными и для решения многих близких
задач.
5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА
ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ МАРКОВСКОМ
СТАРЕНИИ
Рассматривается система с конечным числом /п+1
состояний i=0, 1, 2, ..., т. Периодически, например
раз в день, наблюдается текущее состояние системы и
затем выбирается некоторое правило dk (k—l, 2, ...,
..., К), с конечной вероятностью зависящее от преды-
стории системы. При этом, если система находится в со-
стоянии i и выбрано правило dh, то это влечет по-
тери dk и при этом система с вероятностью qa{k) пере-
ходит из состояния i в состояние /. Если задан так на-
зываемый «коэффициент обесценивания» 0 (0^:р<1)
такой, что доход от п дней в будущем составляет лишь
величину рп, то наша задача заключается в выборе пра-
вила, минимизирующего математическое ожидание пол-
ных потерь. Наиболее интересно для нас минимизиро-
вать средние потери за единицу времени при условии,
что эта величина существует.
Модель с таким «обесцениванием» изучалась в (80]
и [22]. Средние затраты за единицу времени рассматри-
вались в [40]. В этих работах доказывалось существова-
ние оптимального правила. В работе [40] задача сведена
к задаче линейного программирования. В [82] результа-
ты распространены на марковские процессы восстанов-
222
ления. Далее будем следовать терминологии [40]. Пусть
Хо, Xt, ... обозначает последовательность наблюденных
состояний системы и До, Д1, ... есть последовательность
решений. В [41] показано, что при соответствующих
ограничениях можно рассматривать так называемые
рандомизированные правила, т. е.
Р[Де=*4|-Хо, Х^ ..., Xt—i]=Dik,
так что выбранное решающее правило зависит только
лишь от последнего наблюденного состояния. В дей-
ствительности оптимальное правило будет устойчивым,
т. е. £>«л=0 или 1. Для нашей формулировки в терминах
линейного программирования, однако, будет удобнее
рассмотреть более широкий класс рандомизированных
правил.
Будем предполагать, что
к
V D<k=l.
k=i
Р [Х1+1 =j| Х9...Xt = i] = 2 qti (k) D*
*=i
для i, /=0, 1, ..., m\ /=0,1, .... где матрица (<7о(^))
такова, что
i, j=0, 1, ..., m; k=\, ..., K.
При условии, что система находится в состоянии i
величина qtj(k) есть вероятность того, что следующим
состоянии системы будет состояние /, если нами исполь-
зуется правило k.
Пусть
к
№ = S	i,j = 0, I»-» rn,
*=i
и заметим, что (рц) есть стационарная переходная ма-
трица марковской цепи. Будем предполагать, что для
каждого рандомизированного правила состояния 0,
1, ..., т результирующей марковской цепи принад-
лежат тому же самому эргодическому классу.
223
Пусть cih(/)>0 (i=0, 1,	/И; Л=1, ..К; i/=0,
1, ...) есть конечная величина, обозначающая средние
затраты к моменту t при условии, что система наблю-
дается в состоянии i в момент времени t и что было
применено управляющее правило d^. Будем предпола-
гать, что величина с<л(0=с« не зависит от t.
Пусть Ct (f=0, 1, ...) означает средние затраты
к моменту t, полученные в результате использования
данного правила R. Требуется построить такое управ-
ляющее правило, которое минимизирует средние затра-
ты за единицу времени
т
lim sup -~г	Ct,
‘ t=o
если указанный предел существует.
Будет полезен следующий результат из теории мар-
ковских цепей. Пусть (р,-3) есть матрица переходных ве-
роятностей марковской цепи {XJ (/=0, 1, ...) с конеч-
ным множеством / состояний, причем все они принад-
лежат одному и тому же классу. Пусть также
f(/)oeo есть функция, определенная на всех состоя-
ниях. Тогда	;
т
Jim	= S	(5Л)
[см. (4.1)1, гДе wi — единственные удовлетворяющие усло-
виям:
WjX),
— S *iP*i = °’	(5.2)
Kj= 1.
w
Действительно, для всех fel.
Предположив, что все состояния принадлежат
одному и тому же классу для каждого правила, пока-
жем, что задача получения оптимального правила мо-
224
жет быть сформулирована как задача линейного про-
граммирования. Положив
к
/(/) = £	/'= О, 1,..., т,
k=l
имеем из (5.1), что для каждого рандомизированного
решающего правила /?
=	z = i’--’ m- (5-3)
f=0	;=rOj Л=1
Пусть Xjk = ^jDjk(j^h £=1, ..., К). Интуитивно по-
нятно, что Xjk — стационарная вероятность принятия ре-
шения k при условии, что система находится в состоя-
нии /. Тогда (5.3) переходит в
т К
SS
7=0 Л=1
и (5.2) в
/£/, £=1,..., К,
к	к
S х*~ S S х^и^)=о> /ел (5.4)
Л=1	i£l k=\
к
Т ХЗЪ= 1 •
/£/ *=1
В силу единственности решения уравнения (5.2) каж-
дому рандомизированному решающему правилу соот-
ветствует решение (5.4) при выполнении условия
к
k=i
Более того, поскольку каждое решение (5.4) должно
удовлетворять условию
f о, /е/,
Л=1
15—1563
225
то, следовательно, положив
Djk=~^ , /£/, k= 1,..., К, (5.5)
£
k=l
получаем, что решение (5.4) соответствует некоторому
рандомизированному решающему правилу.
Таким образом, решение нашей задачи состоит в ми-
нимизации
т ! К
У, У xihcjk
i=o *=i
при ограничениях (5.4). С методами решения задач ли-
нейного программирования читатель может ознакомить-
ся в (37].
Оптимальное правило обслуживания
с ограниченными вероятностями отказов
В [42] рассматривается модификация исследован-
ной ранее структуры функции потерь для решения не-
которых важных практических задач обслуживания.
Как и ранее, предполагаем, что система может нахо-
диться в одном из т+1 состояний: 0, 1, ..., т. Однако
теперь будем считать, что состояние 0 соответствует
абсолютно новой системе, состояния т—г +1, ..., т со-
ответствуют состояниям отказа, при которых должна
проводиться замена, и состояния 1, ..., т—г такие, что
возможно производить замену или обслуживание в со-
ответствии с одним из различных правил, обозначенных
через dh (k=\, ..., К.).
Как и ранее,
<7ч(£) ==/’[^Ж=/|-^0, До, ••• Xt=i, Д< = с?л],
/=0, 1, ...; i, /=0, ..., т; 6=1, ..., К,
где qij(k) есть неотрицательные величины, удовлетво-
ряющие условию
V qtj(k)=l, / = 0, 1,..., w; 1»...» /с
/=i
26
Эти величины qij(k) предполагаются известными. Если
система находится в состоянии i и в соответствии с вы-
работанным решающим правилом следует производить
замену, то gi0(A) = l. Будем также предполагать, что
<7oj(&) >0 Для /=1, .т и £=1, Л, т. е. что система
может перейти в любое состояние за один шаг и что
система, в которой не производятся замены, окажется,
в конце концов, в одном из состояний неработоспособ-
ности т—г +1, ..., т.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда не задана
в точной форме функция затрат, а просто известно, что
затраты, связанные с заменой, выше, чем затраты, свя-
занные с обслуживанием, и что, в свою очередь, ущерб
от того, что система находится в состоянии отказа,
больше, чем затраты на замену. Таким образом, при
отсутствии точной информации о функции затрат рас-
сматриваем проблему максимизации среднего времени
между заменами при условии, что имеется следующее
ограничение: в любом одном цикле вероятность замены
для состояния / (j=m—г+1, ..., т) не больше некото-
рой заранее заданной величины п,. Величины
.., т) должны быть такими, чтобы нашла
отражение определенная нежелательность предупреди-
тельных замен для состояния /. Если количественное за-
дание этих величин невозможно, в частности, если та-
кая предупредительная замена связана с катастрофиче-
скими последствиями, величины могут быть сделаны
достаточно малыми для того, чтобы обеспечить требуе-
мый уровень защиты от нежелательных последствий.
Предположим, что Хо=О. Пусть ц обозначает наи-
меньшее положительное /, такое, что Xt = 0, и пусть
г, есть наименьшее положительное /, такое, что Xt=j
(j=tn—г+1, ..., т). Задача заключается в выборе та-
кого правила R из всех возможных правил, которое ма-
ксимизировало бы величину при ограничениях вида
j = m—г+1, ..., т.
Заметим, что Ег\ и	касаются тех Xt, для
которых /гСц. Таким образом, можно ограничиться рас-
смотрением таких правил /?, для которых повторяющим-
ся состоянием является состояние 0, т. е., когда бы си-
стема не пришла в состояние 0, последовательность
решающих правил, начиная с этого момента, будет та-
15*	227
кой же, как если бы система только начинала работу
из этого состояния в момент времени / = 0. Будем на-
зывать подобное правило циклическим, считая, что но-
вый цикл начинается с момента попадания системы
в состояние 0.
Используя усиленный закон больших чисел, можно
показать, что для этого циклического правила имеет
место
т
lim Vp(^t = /|^o = O)=^-, j =	(5.6)
t=l
где 0Oj означает среднее число раз попадания системы
в состояние j в течение одного цикла. При данном выше
определении цикла имеем, что 0Оо= 1, и поэтому из (5.6)
следует
+	(5.7)
Г00
где ло; есть левая часть (5.6). Более того, поскольку со-
стояния / (j=m—г+1, ..., т) входят в любой цикл не
более одного раза, то только при т;<т) имеем
0Oj = P(Tj<T]), j=m—г+1, ..., т. (5.8)
Следовательно, из (5.6), (5.7) и (5.8) получаем
^(хз<^)=^2-> i = rn —	, т. (5.9)
^00
В новой формулировке наша задача состоит в на-
хождении такого правила R из класса циклических пра-
вил, которое минимизировало бы лоо при наличии огра-
ничений вида
ло;—аргоо^О,	j = m—г +1, ..., т.
Рандомизированные правила образуют подкласс
циклических правил. Для любого рандомизированного
правила R последовательность {АД (/=0, 1, ...) есть
неприводимая марковская цепь со стационарными пере-
ходными вероятностями
к
Рн='£ qij(k)Dik, i, j = 0....т. (5.10)
228
То, что цепь является непроводимой, следует из пред-
положений относительно	Более того, из теории
марковских цепей известно, что nOj=nj (/=0, ..., m),
где Яг есть положительные величины, удовлетворяющие
условиям
к
= itj 0, j = 0,..., т,
1=0
т
S ^=1-
/=0
(5.Н)
Как следствие из теоремы, доказанной в [41], выте-
кает, что при поиске оптимальных правил в исследуе-
мом случае достаточно рассматривать лишь класс ран-
домизированных решающих правил. Поэтому задача
может быть еще раз переформулирована следующим
•образом: требуется найти такие которые минимизи-
ровали бы ло при условии, что выполняются ограниче-
ния вида (5.11) и что
j=\tn—it+ 1, ..., tn.
Теперь применим описанный выше метод. Пусть
4=0, ..., т\ fe = l,..., Д’.
к
Тогда кг- = ^? Xi&>0, 4 = 0,...,/п,
Л=1

К
^Xik, i=o,
*=i
т\ k = 1,..., К.
Используя (5.10), уравнения (5.11) можно привести
к виду
Ж	к
у, У Xi^qi j (k) = £ xjk, j = 0,...,m,	(5.12)
4=0Л=1	Л=1
т К
Ур V 1.
4=0 Л=1
229
Следовательно, наша задача может быть сформулирова-
на в форме задачи линейного программирования. Требуется
выбрать такие хг*, чтобы минимизировалась линейная форма
к
xoft при наличии ограничений xift>0, где все xlft удов-
Л=1
летворяют (5.12), и
к	к
У Xjfe — ajY	/ = от —r+1,..., т.
Ясно, что допустимое решение будет существовать
тогда и только тогда, когда для некоторых k будем
иметь
j=m-^r+\, ..., tn.
6
ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будут рассмотрены математические
модели, касающиеся вопросов оптимального резерви-
рования. Первой обсуждаемой проблемой будет задача
максимизации надежности последовательной системы,
для которой имеется одно или несколько ограничений
на суммарные затраты, выражаемые в единицах стои-
мости, веса, объема и пр. Эта проблема имеет большое
количество разновидностей, зависящих от характера
резерва (нагруженное или ненагруженное резервирова-
ние), а также от различных специфических ограничений
и от их числа. Подробно различные постановки задачи
рассматриваются в § 2.
В работах [116, 122] получены приближенные реше-
ния для случая нагруженного резерва (см. модели А
и Б в § 2 данной главы). Точное решение этой задачи,
основанное на методе динамического программирова-
ния, приведено в [105]. Алгоритм, основанный на методе
динамического программирования, позволяющий ма-
ксимизировать надежность системы при наличии двух
ограничений, приведен в [17]. Применительно к задаче
обеспечения системы оптимальным количеством запас-
ных элементов, минимизирующим суммарный вес
(см. модели В и Г в § 2 данной главы), задача решена
в [67]. Обсуждение общей проблемы оптимального раз-
мещения средств можно найти в [54, 174].
В большинстве статей, включая упомянутые выше,
исследуются проблемы оптимального обеспечения на-
_ дежности в предположении, что возможны лишь два со-
стояния элементов системы, а именно: состояние рабо-
тоспособности и состояние отказа.
В некоторых случаях оказывается полезным разде-
лить все отказы на два класса в зависимости от того
воздействия, которое они оказывают на результат функ-
ционирования системы. Например, в цепочке последова-
231
тельно соединенных реле отказ типа обрыв приводит
к отсутствию на выходе системы сигнала. С другой сто-
роны, короткое замыкание всех реле также приводит
к нежелательному эффекту, так как в этом случае сиг-
нал всегда наблюдается на выходе, даже когда он не
должен там присутствовать. Введение дополнительных
последовательно включенных реле в такую цепочку уве-
личит вероятность отказа за счет обрывов, но в то же
время уменьшит вероятность отказа за счет короткого
замыкания всех реле, входящих в состав этой цепочки.
Таким образом, проблема состоит в том, чтобы найти
оптимальное количество реле, включенных последова-
тельно. При рассмотрении этой задачи не учитываются
никакие ограничивающие факторы.
В [119] показан метод достижения произвольно вы-
сокой надежности для сетей, состоящих из реле, для
которых известны вероятности обрыва и короткого за-
мыкания (см. § 2 гл. 7). В [74] рассмотрена цепь, со-
стоящая из элементов, подверженных отказам двух ти-
пов, и найдены показатели надежности в предположе-
нии экспоненциальности распределения времени до
отказа отдельных элементов. В [10] показано, каким
образом можно определить количество последователь-
ных подсистем, включаемых параллельно, в целях ма-
ксимизации надежности системы. Там же получены ко-
личественные соотношения между количеством этих
подсистем и различными параметрами входящих в со-
став системы элементов. Эти результаты легли в основу
§ 6 данной главы. Близкая модель, но для специфиче-
ской целевой функции исследована в [70].
2. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ
ФАКТОРОВ
Вводные замечания
При проектировании высоконадежных систем при-
ходится сталкиваться со следующей дилеммой. С одной
стороны, желательно обеспечить каждый из элементов
системы как можно большим количеством резервных
элементов, но, с другой стороны, нельзя проектировать
систему со слишком большими значениями стоимости,
232
веса или объема. Действительно, возможно наличие
определенных ограничений по стоимости, весу, объему
или даже одновременно по нескольким факторам. Ка-
ким образом в этом случае можно достигнуть опти-
мального размещения резервных элементов в системе,
т. е. добиться максимальной надежности системы, не
превышая некоторых допустимых значений стоимости,
веса, объема и пр.?
Ограничимся рассмотрением последовательных си-
стем, т. е. будем предполагать, что система, состоящая
из k подсистем, работоспособна тогда и только тогда,
когда работоспособны одновременно все ее подсистемы.
Но даже и в этом случае, однако, существует несколько
разновидностей этой общей задачи.
1.	Резервные элементы могут активно функциониро-
вать, т. е. находиться в нагруженном или же, наоборот,
в ненагруженном резерве, используемом лишь для за-
мены отказавших основных элементов. Предполагается,
что резервные элементы могут отказывать в ненагру-
женном режиме.
2.	Могут существовать определенные ограничения по
стоимости, весу, объему и т. д., превышать которые не
разрешается. В этом случае желательным является та-
кое размещение резервных элементов, которое обеспе-
чивает максимально возможную надежность системы
при соблюдении требуемых ограничений. Но возможно,
что на систему и не наложено каких-либо определенных
ограничений на стоимость, вес, объем и пр. Более того,
нам часто желательно иметь такое семейство возмож-
ных размещений резервных элементов, чтобы каждое
из них было бы в определенном смысле оптимальным.
Иначе говоря, любой из вариантов оптимального раз-
мещения резервных элементов, характеризующийся
большим значением показателя надежности, должен
обязательно требовать и больших затрат того или иного
вида. Такое семейство оптимальных размещений, хотя
и продолжает включать в себя очень большое количе-
ство членов, все же очень резко сокращает общее коли-
чество различных возможных резервных элементов, ко-
торые должны быть проанализированы для принятия
решения. При этом, производя выбор среди членов это-
го семейства оптимальных размещений резервных эле-
ментов, можно быть полностью уверенным, что если
233
только все возможные ресурсы хотя бы по одному из
ограничений (по стоимости, весу или габаритам) пол-
ностью израсходованы, то при этом достигнуто макси-
мально возможное значение показателя надежности при
указанных ограничениях.
Для ясности и простоты последующего изложения
перечислим математические модели, которые будут
нами исследоваться.
А. Нагруженное резервирование при наличии ограни-
чений. Предполагается, что Ля подсистема состоит из
пг + 1 параллельных взаимно независимых элементов,
каждый из которых имеет вероятность отказа qi
(0<<7г<1). Заданы линейные ограничения на n=-(/ii,
n2i ..., rik) в виде
k
V сцги j = 1, 2,..., r,
(2.1)
где каждое из Cij больше 0. Требуется найти вектор п,
компонентами которого являются неотрицательные це-
лые числа, максимизирующие вероятность безотказней
работы системы. Для рассматриваемой модели вероян
ность безотказной работы определяется как
k	.
R („) = П С -?"' )•
(2.2)
Для описания следующей модели нам понадобится
понятие доминирующей последовательности векторов п.
Будем говорить, что вектор п° является доминирующим,
если из условия /?(п)>/?(п°) для некоторого / следует
сДп) >сДп°), в то время как/?(п) = /?(п°) влечет за собой
либо c;(n)=Cj(n°) для некоторого /, либо сДп) =сДп°)
для всех /, где
k
<?Дп)= V СцЩ.
1=1
Б. Нагруженное резервирование без определенных
ограничений. Как и в случае А, Ля подсистема состоит
из п+1 параллельных взаимно независимых элементов,
234
каждый из которых имеет вероятность отказа qi(O<qi<
<1). Однако в этом случае не задано никаких опреде-
ленных ограничений вида (2.1) и требуется построить
семейство векторов {п*}, являющихся доминирующими.
В. Ненагруженное резервирование при наличии огра-
ничений. Требуется, чтобы система бесперебойно функ-
ционировала в течение интервала времени [О, /0]« При
отказе какого-либо из элементов производится мгновен-
ная замена его на запасной элемент того же типа, если
таковой имеется в распоряжении. Если элемента тре-
буемого типа не оказывается среди запасных, это при-
водит к отказу системы. Предполагается, что для заме-
ны могут использоваться лишь первоначально запасен-
ные элементы, т. е. в течение интервала времени [0, /о]
не производится дополнительного пополнения запасных
элементов.
Опишем подробнее рассматриваемую систему. Бу-
дем считать, что система состоит из di схемных позиций,
на каждой из которых может находиться элемент /-го
типа (4=1, 2, ..., А). Различные элементы одного и того
же типа могут использоваться с различной степенью
нагрузки и могут быть помещены в различные окру-
жающие условия, поэтому ради общности будем пред-
полагать, что время безотказной работы /-го элемента
i-ro типа (обозначим позицию этого элемента через/,j)
имеет распределение Рц.
Каждый запасной элемент этого типа, помещенный
на данную позицию, будет иметь точно такое же рас-
пределение времени безотказной работы. Отказы раз-
личных элементов системы предполагаются совершенно
независимыми. Наконец, не требуется, чтобы позиция
с номером /, j находилась в состоянии функционирова-
ния в течение всего интервала времени (О, /0]. Соответ-
ствующее время функционирования позиции /, / обозна-
чим через tij^to.
Задача состоит в том, чтобы выбрать такое количе-
ство запасных элементов /-го типа (/=1, 2, ..., k), ко-
торое максимизировало бы J?(n)—вероятность беспере-
бойного функционирования системы (т. е. функциониро-
вания, при котором допускаются отказы, но не допу-
скаются остановки из-за недостатка запасных элемен-
тов) в течение требуемого интервала времени [0, /о] при
условии, что требуемые ограничения (2.1) выполняются.
235
Т. Ненагруженное резервирование без определенных
ограничений. Эта модель полностью соответствует моде-
ли В, за исключением того, что вместо максимизаций
функции /?(п) при наличии ограничений (2.1) мы
строим семейство доминирующих векторов {п*}.
Общее решение проблемы оптимального
резервирования
Обозначим через /?(п) надежность системы в слу-
чае, когда имеется tii резервных элементов Z-го типа
(/=1, 2, ...,&). В моделях А и Б это означает, что па-
раллельно включены Пг+1 элементов Z-го типа, а в мо-
делях В и Г это означает, что имеется запасных эле-
ментов /-го типа среди общего числа. Поскольку пред-
полагается, что рассматриваемая система имеет структу-
ру последовательного соединения, можно записать при
сделанных ранее допущениях о независимости отказов,
что
k
Я(п) = П Ш	(2-3)
где Ri(rii)—вероятность безотказной работы участ-
ка системы, состоящего из элементов гго типа, при
условии, что всего имеется иг- резервных элементов это-
го типа.
Сначала изучим некоторые отношения между при-
веденными выше математическими моделями. Для мо-
делей Б и В отыскиваем доминирующие последователь-
ности. Допустим, что в модели Б найдена полная доми-
нирующая последовательность, т. е7 последовательность,
включающая в себя все возможные доминирующие век-
торы. Тогда любую частную задачу типа А можно ре-
шить на основании этой доминирующей последователь-
ности, поскольку ее решение должно принадлежать этой
последовательности. Действительно, решение такой за-
дачи должно быть одним из членов полной последова-
тельности решений, при которых достигается макси-
мальная надежность при выполнении ограничений (2.1).
Конечно, подобные соотношения существуют и между
моделями В и Г. Таким образом, решение задачи Б и Г
обеспечивает решение задач А или В соответственно.
236
Рассмотрим методы построения полной доминирую-
щей последовательности и неполных доминирующих по-
следовательностей. Хотя получение неполных домини-
рующих последовательностей является менее желатель-
ным с точки зрения точности решения, само их нахожде-
ние производится более быстро и просто и обеспечивает
приближенное решение для моделей А и В.
Начнем наше изучение проблемы оптимального ре-
зервирования с процедуры построения неполной доми-
нирующей последовательности, которая является интуи-
тивно хорошо обоснованной для случая одного ограни-
чения. Основная идея состоит в том, что можно по-
строить последовательность достаточной длины, прибав-
ляя на каждом шаге процесса по одному резервному
элементу. При этом в систему добавляется такой оче-
редной резервный элемент, который обеспечивает наи-
большее приращение выбранного показателя надежно-
сти системы, отнесенное к единице стоимости. Покажем,
что любое размещение резервных элементов, получен-
ное подобным образом, дает доминирующую последо-
вательность, если функция /?(п) является вогнутой. Да-
лее, покажем, что для модели А функция lg/?(n) явля-
ется выпуклой (§ 3), а для модели В функция lg/?(n)
выпукла, если каждое из распределений имеет воз-
растающую интенсивность отказов (§ 4).
Из (2.3) можно написать
k
1g Я (n) = £ 1g/?<(«*)•	(2.4)
/=1
Уравнение (2.4) удобнее, чем (2.3), поскольку каж-
дое из слагаемых данной суммы зависит только от одно-
го переменного. Для определения прироста логарифма
результирующей надежности системы от добавления
очередного резервного элемента /-го типа нам необхо-
димо лишь отыскать приращение для lg/?t(nz). Более
того, поскольку 1g х— монотонно возрастающая функ-
ция х, максимизация lg/?(n) эквивалентна максимиза-
ции J?(n).
Процедура 1 (единственное ограничение)
Допустим, что г=1. Начнем с варианта размеще-
ния резервных элементов, характеризующегося наимень-
шей стоимостью (0, 0, ..., 0). Определим следующее
237
правило размещения резервных элементов при увеличе-
нии затрат. Пусть в некоторый момент система характе-
ризуется размещением резервных элементов п. Опреде-
лим среди индексов Z=l, 2, ..k такой индекс (пусть
это будет индекс /о), для которого величина
i'll
является наибольшей. (Если искомый максимум дости-
гается более чем на одном индексе, то в этом случае
выбирается, например, наименьший среди них.)
Тогда для следующего момента размещение резервных
элементов будет иметь компоненты ..., п. _р п. —1»
П/о+1,..., иначе говоря, к исходной совокупности до-
бавляется один элемент резервный /0-го типа.
Заметим, что прибавление к lg/?(n) слагаемого
с наиоильшим приращением на единицу стоимости экви-
валентно умножению функции /?(п) на множитель, даю-
щий наибольшее увеличение этой функции на единицу
стоимости*. Далее из теоремы 2.1 данной главы будет
видно, что процедура 1 позволяет находить доминирую-
щие последовательности размещения резервных элемен-
тов, если функция /?(п) вогнута. Но сначала рассмотрим
обобщение этой процедуры для случая, когда имеется
несколько ограничивающих факторов.
достигается для i — 1
* Заметим, что это не всегда так. Рассмотрим, например, систе-
му, состоящую из трех последовательных подсистем:
<7i = O,31, Ci = 3; </2 = 0,2, с2 = 2; </3=0,1, с3=.1, и для каждой из
подсистем
Ri (nt) = 1 — </”г +1 , а с (n) = Scfzif.
Тогда
max [lg Ri (2) -lg /?/(!)]
будет иметь место для i = 3, а в то же время
[/?»(2)- Ri (1)] П ^(1)
_______________
Ci
высказывание справедливо, если каждая из
функций Ri логарифмически вогнута. (Прим, перев.)
238
max
ное
Процедура 1 (несколько ограничений)
Начнем наш процесс опять с варианта (0, 0, ..0).
Будем строить искомое распределение таким же обра-
зом, как и ранее. Пусть в некоторый момент система
характеризуется размещением резервных элементов п.
Определим среди индексов /=1, 2, ..., k такой индекс,
например /о» Для которого величина
-----[1g R< (п< +1) - 1g Ri (л,)]
J} ajCij
/=1
является наибольшей. (Если искомый максимум дости-
гается более чем на одном индексе, то в этом случае
для определенности выбирается наименьший.) Величины
а\, ..., аг есть неотрицательные весовые коэффициенты
г
такие, что V Oj = 1.
/=i
Способ их выбора будет обсуждаться несколько позд-
нее. Тогда для следующего момента размещение резервных
элементов будет ..., nlo_}, nZo+1, п/о+1,..., пк, иначе
говоря, к исходной совокупности и добавляем один резерв-
ный элемент Z0-ro типа.
Векторы (аь ..., аг) можно строить, варьируя зна-
чения aj с шагом, равным, например, Д, до тех пор, пока
не исчерпываются все возможные варианты от (1, 0,
0, ..., 0) до (0, 0, ..., 0, 1).
Заметим, что процедура 1 для одного ограничиваю-
щего фактора есть частный случай процедуры 1 для не-
скольких ограничивающих факторов, получаемый путем
подстановки «1 = 1, 02=0, ..., яг=0.
Теорема 2.1. Если функция 1g/? (и) вогнута, любое
размещение резервных элементов, получаемое при ис-
пользовании процедуры 1, образует доминирующую по-
следовательность.
Доказательство. Пусть размещение резервных
элементов получено в соответствии с процедурой 1 пу-
тем использования выпуклой комбинации ..., аг-
Пусть последним элементом, добавленным к системе пе-
239
ред -получением окончательного вектора п*, является
элемент с индексом 10. Введем обозначение
1=^-------11g	.“!)!
X “Л'./
/=!
Пусть и является некоторым другим размещением эле-
ментов, для которого /?(п) >/?(п*). Обозначим подмно-
жество индексов, для которых П|>п*г, через /ь а под-
множество индексов, для {которых nt-<n*6 через Л-
Тогда, поскольку каждая из функций lgi/?z(n) вог-
нута,	!
О < 1g R (п) - 1g R (n*) = V [1g Ri (щ) - 1g Ri («*<)] -
-v [ig^^-ig^M^
zg/,
ni- n*i
= S X №+ h)-lgRi(«*.• + h— 1)J-
i£l, h=l
-S S [lgRi(n*i-h)-lgRi(n*i-h-V)]<.
i£It h=0
< £ (щ - n*i) [1g Ri (п\+1) - 1g Ri (n*t)l -
- £ (П\ - nJ [1g Ri (n*i) - 1g Ri (n*t - 1 )1.
Однако последнее выражение не превышает
V (т — fii)* Л У GjCij — У (n*i — ni) Z у a fin
i£ll	/=1	1^1,	/=|
в случае, если во время процедуры 1 приращение лога-
рифма надежности есть убывающая функция. Посколь-
ку Х>0, имеем
Г	k	г	k
О tZj	•
/=1 Z=1	/=1
240
Отсюда следует, что для некоторого индекса j
k	k
£ Cijrii	i'
Z=1	i-1
Аналогичным образом, допустив, что R (п) = R (п*), можно
k	к
доказать, что либо £	> £ с^п*\ для некоторого /,
k	k
либо £ Cjjtii = £ для всех /.
i=\	i = \
Таким образом, п* есть размещение резервных эле-
ментов, являющееся членом доминирующей последова-
тельности.
Хотелось бы особо отметить, что семейство членов
доминирующей последовательности, полученное при ис-
пользовании процедуры 1 в случае, когда все функции
lg/?z(n) вогнуты, не содержит всех существующих ре-
шений, даже если бы при этом использовались бы все
выпуклые комбинации весовых коэффициентов ян, .. ,,аг-
На практике, однако, члены доминирующей последова-
тельности и последовательности, полученной при помо-
щи процедуры 1, достаточно близки друг к другу, так
что выбор определенных членов из полной совокупно-
сти дает хорошую аппроксимацию истинного точного
решения для моделей А и В.
Наша следующая процедура позволяет получать,
так же как и предыдущая, неполную доминирующую
последовательность оптимальных размещений резервных
элементов для случая, когда каждая из функций \gRi(n)
вогнута. Эвристически эта процедура основывается на
идее о том, что оптимальное размещение достигается
при условии, что приращение логарифма надежности на
единицу стоимости (или в более широком смысле на
единицу взвешенной в указанном выше смысле эквива-
лентной стоимости) для всех типов элементов равно по-
стоянной величине в пределах ограничений, накладывае-
мых дискретностью величин .., пь-
16—1563	241
Процедура 2.
Пусть X=(Xi, ..кг), где каждая из величин
(но только не все kj равны нулю). Для 1=1, 2, ..., k по-
лучим tii(k) как наименьшее из целых чисел т, удовлет-
воряющих условию
lg Ri (т + 1) — lg Ri (т) <	IjCij.	(2.5)
/=i
Теорема 2.2. Если функция lg/?(n) вогнута, то n(X),
полученное с использованием, процедуры 2, есть член
доминирующей последовательности.
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы 2.1. Для любого п, которое удовлет-
воряет условию /?(п)>/?(п(1)), выразим lg/?(n)—
—lg/?(n(X)), как в теореме 2.1. Предположим, что
сДп) >Cj(n(X)) для некоторого j и также для п, для
которого /?(п) = /?(n(Z)). Предположение о вогнутости
lg/?(n) является принципиальным.
Процедура 2 имеет то преимущество, что она не тре-
бует построения достаточно длинной доминирующей по-
следовательности. Более того, выбрав соответствующее
значение к, можно получить сразу же оптимальное раз-
мещение резервных элементов для весьма громоздких
задач. Затруднение в этом случае связано лишь с тем,
что заранее не известно, какое значение к позволит нам
получить искомое значение. Однако, подбирая опреде-
ленным образом различные значения к и вычисляя со-
ответствующие значения и (k)f R (n (X)), ci (n (X)), ...,
сг(п(Х)), можно получить интересующее нас оптималь-
ное решение. При проведении таких пробных вычисле-
ний очень полезным может быть то, что согласно (2.5)
каждая из tii(k) есть убывающая функция от каждой
из kj, если 1g/? (п)—функция вогнутая. Следовательно,
/?(п(Х)) и каждая из функции гДп(Х)) являются убы-
вающими функциями от ..., к2-
Варьируя к в процедуре 2, можно получить все те
члены доминирующей последовательности, которые по-
лучаются и при использовании процедуры 1, кроме слу-
чаев, когда при процедуре 1 максимальное значение от-
ношения достигается одновременно для нескольких ин-
дексов. Для многих задач типа Б или В наиболее удоб-
242
ным путем получения интересующей доминирующей по-
следовательности является следующая комбинация 1-й
и 2-й процедур. Сначала, используя процедуру 2, нахо-
дим такое значение п(Х), для которого соответственно
величины показателей надежности или стоимости близки
к требуемым. Затем, используя процедуру 1, строим до-
минирующую последовательность путем последователь-
ного добавления по одному резервному элементу. Ко-
нечно, в случае наличия нескольких ограничивающих
факторов (т. е. при г>1) может оказаться необходимым
использовать несколько начальных значений для проце-
дуры 1 (соответственно для нескольких выпуклых ком-
бинаций аь ..., аг).
Более частные детали и примеры различных проце-
дур в специальных случаях нагруженного и ненагру-
женного резервирования будут даны в двух следующих
параграфах.
3.	ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ НАГРУЖЕННОГО
РЕЗЕРВИРОВАНИЯ
Теперь применим общее решение задачи оптималь-
ного резервирования, .полученное в § 2 для моделей А
и Б, для системы с нагруженным резервом. Приведем
численный пример для того, чтобы проиллюстрировать
все детали рассматриваемого метода.
Напомним, что оптимальность процедур 1 и 2, опи-
санных в § 2, была доказана для случая, когда функ-
ция lg^(n) является вогнутой функцией п, где /?(п)
определяется в соответствии с (2.2). Запишем
д-lg = ДЧК(>-') = 1g 11
где Af(n) =f(n+1)—f(n). Знаменатель последней дро-
би больше, чем числитель, так как
(1 - <7"+2)2 - (1 - ?"+3) (1 - <7"+1) =	- 1)’ > 0.
Следовательно, A2 lg/?z(n) <0 и, таким образом, каж-
дая из функций lg вогнута. Поскольку сумма вогну-
16*	243
тых функций есть снова вогнутая функция, то это в на-
шем случае означает, что функция
k
1g Я (n)=£ 1g/?<(«<)
также вогнутая.
Пример 1> Процедура 1 (единственный ограничи-
вающий фактор). Для иллюстрации 'использования про-
цедуры 1 при одном ограничивающем факторе к моде-
лям А и Б рассмотрим пример, приведенный в [105].
Возьмем систему, состоящую из четырех подсистем,
резервные элементы которых работают в нагруженном
режиме (модели А и Б). Показатели надежности и стои-
мости резервных элементов приведены в табл. 3.1.
Т а б л и ц а 3.1
Номер под- системы 1	Стоимость Сц	Ненадежность Ъ
1	1,2	0,2
2	2,3	0,3
3	3,4	0,25
4	4,5	0,15
Требуется построить доминирующую последователь-
ность размещения резервных элементов (это соответ-
ствует модели Б) и найти такое размещение резервных
элементов, чтобы при минимальных затратах надеж-
ность системы в целом была бы не ниже 0,99 (это соот-
ветствует модели А). (Отметим, что задача достижения
заданной надежности системы с минимально возмож-
ными затратами на резервные элементы является двой-
ственной по отношению к задаче достижения макси-
мально возможной надежности при суммарных затратах
на резервные элементы, не превышающие некоторого
заданного уровня.)
1. Для того чтобы построить семейство возможных
размещений резервных элементов, образующих домини-
рующую последовательность, используя процедуру 1 при
единственном ограничивающем факторе, начнем с исход*
244
ного распределения (0, 0, 0, 0), которое соответствует
полному отсутствию резервных элементов, т. е. в каж-
дой подсистеме имеется лишь по одному рабочему эле-
менту. Чтобы определить, элемент какого типа должен
быть выбран в качестве первого резервного элемента
системы, производим сравнение величин:
A [1g (1 _ $ - 1g (1 - ?,)] = 0,0660,
Си	1
-1- [lg (1 - q\) - 1g (1 - ?2)1 =0,0495,
-Г [1g (1 - $ - 1g (1 - <Л)1 = 0,0285,
С31	3
llg (1 - q2t) — 1g (1 — qj] = 0,0135.
C41	4
Так как первая величина оказывается наибольшей, до-
бавляем резервный элемент первого типа, переходя при
этом к новому исходному размещению резервных эле-
ментов перед вторым шагом, а именно (1, 0, 0, 0).
Покажем в деталях вычисления, связанные с нахож-
дением следующего размещения резервных элементов.
Снова сравним:
i^2 [1g (1 — 0,2s) - 1g (1 — 0,22)] = 0,0119,
gyg [lg (1 — 0,32) — lg (1 — 0,3)] = 0,0495,
[1g (1 — 0,252) — 1g (1 — 0,25)] = 0,0285,
[1g (1 — 0,152) — 1g (1 — 0,15)] = 0,0135.
Так как теперь наибольшей величиной является вторая,
мы добавляем резервный элемент второго типа и полу-
чаем новое размещение элементов (1, 1, 0, 0).
Продолжая аналогичным образом прибавлять йа
каждом шаге процесса по одному резервному элементу
того типа, который обеспечивает наибольшее прираще-
ние логарифма надежности на единицу стоимости, полу-
чаем семейство доминирующих размещений, которое изо-
245
бражено на рис. 3.1. Напомним читателю, что ато се-
мейство не является обязательно полным. Действитель-
но, используя алгоритм Кеттеля (процедура 3 в § 5)
для решения той же задачи, можно получить некоторые
дополнительные члены доминирующей последовательно-
сти (см. табл. 5.3). Сравнение рис. 3.1 с табл. 5.3 под-
Рис. 3.1. Доминирующая последовательность для слу-
чая единственного ограничивающего фактора.
тверждает то, что все члены доминирующей последова-
тельности, показанные на рис. 3.1, имеются и в табл. 5.3
(заметим, что в табл. 5.3 диапазон ограничений боль-
ше).
2. Для того чтобы получить члены семейства, изобра-
женного на рис. 3.1, которые обеспечивают достижение
надежности 0,99 при минимальных затратах, находим
на графике самую левую точку, лежащую не ниже уров-
ня 0,99. Подобной точкой является точка, соответствую-
щая размещению резервных элементов (3, 4, 4, 2), т. е.
в этом случае система имеет 3, 4, 4 и 2 нагруженных
резервных элемента 1-го, 2-го, 3-го и 4-го типов соот-
ветственно. При этом при затратах, равных 35,4 едини-
цы, действительная надежность равна 0,992.
Заметим, что решение (3, 4, 4, 2) может считаться
только приближенным, поскольку доминирующая по-
246
следовательность, получаемая в случае 1 не является
полной. Но поскольку ближайшая точка слева от точки
(3, 4, 4, 2) на рис. 3.1 имеет значение суммарной стои-
мости 32,0, погрешность нашего решения не превышает
стоимости равной 35,4—32,0 = 3,4. Действительно,
используя алгоритм Кеттеля, получаем, что требуемый
уровень надежности 0,99 может быть достигнут в точке
(4, 4, 3, 2) при суммарных затратах в 33,2 единицы
стоимости (см. табл. 5.3).
Точные формулы для процедуры 2
При применении процедуры 2 оказывается полез-
ным использовать приводимую ниже точную формулу
(3.1) для П{(к) (/='1, ..k). Напомним, что по опреде-
лению, п,(Х) есть наименьшее целое число, удовлетво-
ряющее условию
_L	1 ап+2
J] IjCii >MgRi (n) = lg
или после потенцирования
l-tf+2
Pi

что эквивалентно
exp I	Ijaj j — 1
j— qi
Отсюда следует, что точное выражение имеет вид
1
ni(k) =
exP L
—!— lg —_Zsi
lg<7Z fv. I
exp I \jCij I — qt
(3.1)
где [x] обозначает целую часть x, a i= 1, 2, ..., k.
247
Пример 2. Процедура 1 (несколько ограничений).
Рассмотрим ту же систему, состоящую из четырех под-
систем, что и в примере 1. Однако предположим, что
помимо стоимости элементов существенную роль играет
и их вес. Запишем все необходимые исходные данные
в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Подсистема	1	2	3	4
Стоимость элемента сц	1,2	2,3	3,4	4,5
Вес элемента с/2	5,0	4,0	8,0	7,0
Ненадежность элемента qi	0,2	0,3	0,25	0,15
Нашей задачей является построение такой домини-
рующей последовательности, чтобы суммарная стои-
мость системы не превышала 56 стоимостных единиц,

11Z -
96
во
64
- з,з,г,2
0,972
3,3,2,1
0,953-
5,6,5,3
0,9990 ----
V,*,2	5Д АД W,3	53 0,9991
0,9И^}д’х °’9Яв\
9,9,3,2	9,9,9^-^	• 9<5,9,3
0,990\ 0,993	0,997	3,5,9,2
' 0,993
3,W^\
О,$92 \ J
3,3,З^У
0,983^
48
3,5,3,3
0,993
3,5,3,2
0,990
32
16
\	2,3,3,2
1,0,0,0	*Z,3,ZJ\ °'977
0,93	0,95 \
/ ’’oatL't’w	\ад2’2
/	O,8S\,	0,965
0,1,0, о
0,96
О,О,О,О
0,36
10 Z0 30	40	50	60
/ 0,70
" 1,1,0,0
о
Стоимость
Рис. 3.2. Доминирующая последовательность для слу-
чая двух ограничивающих факторов.
248
а суммарный вес ее не превышал 120 весовых единиц.
Используя процедуру 1, начнем процесс решения со зна-
чений «1 = 0 и «2=1 и будем строить шаг за шагом по-
следовательность доминирующих вариантов, добавляя
на каждом шаге очередной элемент, как это делалось
в примере 1. Полученное таким образом решение ока-
зывается равным (5, 6, 5, 4). Используя далее последо-
вательно весовые коэфициенты, равные соответственно
«1=0,25 и «2=0,75, «1 = 0,50 и «2=0,50, «1=0,75 и «2 =
= 0,25, и, наконец, «1 = 1 и «2=0, получим в соответст-
вии с процедурой 1 ряд решений по размещению резерв-
ных элементов в системе (рис. 3.2).
Пример 2. Процедура 2. Определим теперь, как раз-
местить резервные элементы в системе для достижения
максимальной надежности при ограничениях по стои-
мости в 56 стоимостных единиц и по весу в 120 весо-
вых единиц, используя процедуру 2.
Используя эту процедуру, вычислим п(Х) в соответ-
ствии с выражением (3.1) для ряда значений Xi и Х2.
Среди полученных значений п(Х), для которых стои-
мость и вес не превышают заданных ограничений, на-
ходим, что при распределении резервных элементов (5,
6, 5, 4) достигается максимум надежности /?(п) =0,997.
4. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ
НЕНАГРУЖЕННОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ
Наконец, применим общее решение задачи об оп-
тимальном размещении резервных элементов, получен-
ное в § 2, к моделям В и Г, касающимся ненагруженного
резервирования. Снова будет рассмотрен численный при-
мер иллюстрации отдельных деталей изложения.
Как и ранее, для того чтобы обосновать оптималь-
ность процедур 1 и 2, необходимо сначала установить,
при каких условиях lg R(n) —вогнутая функция. (Здесь
опять /?(п) есть вероятность безотказной работы систе-
мы в интервале времени [0, /0].) Оказывается, что
lg/?(n) не является вогнутой функцией для всех видов
распределения отказов элементов Fij. Однако, как будет
показано в теореме 4.1 данной главы, рассматриваемая
функция является вогнутой для всех ВМИ-распределе-
ний. (Как и обычно, очень естественное предположение
249
о возрастании интенсивности отказов приводит к значи-
тельным упрощениям решений).
Прежде всего требуется установить соотношение
между /?(п) (назовем эту функцию надежностью си-
стемы) и Fij для моделей В и Г. Время жизни элемента
на позиции i, j и последующие его замены порождают
процесс восстановления (до тех пор, пока имеются за-
пасные элементы). Пусть Nij есть число отказов, произо-
шедших на позиции i, j в течение интервала времени
[О, /0]. Тогда
p^=n] = 47(^)-FS+,)(^)-
Вероятность того, что запасных элементов f-го типа
окажется достаточно на период времени {О, /0] при усло-
вии, что в запасе имеется п элементов i-ro типа, опре-
деляется как
Ri(n) —Р[Мц + М2+ • •• +
или, более точно, как
di
/?<(«) = £ П
nx+,„+nd^n /=1
(4-1)
Теперь может быть доказана следующая теорема.
Теорема 4.1. Если каждое из F ц есть ВФИ-распреде-
ление, то тогда lg/?(n) является выпуклой функцией.
Доказательство. В соответствии с теоремой
2.12 гл. 3 функция lg P[Nij^n] вогнутая по п. В соот-
ветствии с теоремой 5.3 гл. 2 это свойство сохраняется
для свертки, т. е. функция /?t(n) = P[Nn + ... +Nidt ^.п]
также является вогнутой по п. Отсюда следует, что
k
1g/?(«) = £ 1g/?<(”<)
является функцией, вогнутой по п.
Таким образом, процедуры 1 и 2 могут быть приме-
нены для ненагруженного резервирования в моделях В
и Г. Применение их, как будет показано, оказывается
особенно простым в случае экспоненциального распре-
деления отказов.
250
Экспоненциальное распределение отказов
Предположим, что
.	t
I 1 v-H
= 7Ц]е для/>0,
*0 для /<0.
Тогда
(W -hl
p[Ni. = n]=^^e
есть пуассоновское распределение с параметром hl, [3].
Г** J
Следовательно,
₽i(n)=e
/=о
(4.2)
где
поскольку свертка пауссоновских распределений есть
снова пуассоновское распределение с параметром, рав-
ным сумме параметров [34].
Пример 3 [133]. Система, состоящая из УКВ и КВ
приемных устройств, должна быть испытана в полевых
условиях в течение трехмесячного периода. Электрова-
куумные приборы приемников имеют наибольшую по
сравнению с остальными элементами интенсивность от-
казов, поэтому будем определять только лишь количест-
во запасных ЭВП. Будем предполагать, что время без-
отказной работы каждой лампы имеет экспоненциаль-
ное распределение (средние значения времени безотказ-
ной работы ламп каждого типа приведены в табл. 4.1),
причем отказы ламп происходят независимо.
251
Таблица 4.1
1	Среднее время без- отказной работы, час	Стоимость одного ЭВП СИ, долл.	Количество в УКВ прием- нике для ис- пользования в теч. 332 час	Количество в КВ прием- нике для ис- пользования в течение 2 160 час	Ожидаемое количество отказов
1	2500	240	4	4	4,0
2	4000	1025	2	5	2,9
3	8000	1158	4	0	1,7
4	6000	750	2	0	0,11
Задача. Требуется построить доминирующую последо-
вательность для распределения запасных электровакуум-
ных приборов, начиная со значений показателя надеж-
ности, равного 0,75, до значений, достаточно близких
к единице.
Решение. Сначала вычислим ожидаемое количест-
во отказов ЭВП каждого типа в течение рассматривае-
мого периода испытаний:
= 2I00 (4 X 332 + 4 X 2 160) = 4,0,
Н, = Тббб <2 X 332 + 5 X 2 160) = 2,9,
«*, = 8бо(4Х332)=1,7.
^ = 6W(2X332) = 0,ll.
Вычисленные значения внесены в последний столбец
табл. 4.1.
Используем комбинацию процедур 1 (для одного
ограничивающего фактора) и 2. Для того чтобы полу-
чить первое значение X для процедуры 2, поступим сле-
дующим образом. Поскольку требуется достигнуть зна-
чения надежности всей системы не менее 0,75, для каж-
252
дого типа ЭВП, грубо говоря, она должна быть порядка
^б?75 = 0,93.
Из таблиц пуассоновского распределения (117] нахо-
дим - соответствующее параметру pi =4,0 значение
/?1 (7) =0,9489, являющееся ближайшим к величине 0,93.
Таким образом, в качестве начального значения X мож-
но взять величину, немного превышающую
250	<8)- К (7)1 = 0.00005577.
При Z = 0,000056, используя (2.5), получаем
ti\(0,000056) =7,
п2 (0,000056) =4,
из (0,000056) =3,
п4 (0,000056) =0.
Далее используем процедуру 1 (единственный огра-
ничивающий фактор) для получения точек, представлен-
ных на рис. 4.1.
Стоимость запасных элементов, 103 долл.
Рис. 4.1. Зависимость «надежность—стоимость» для
доминирующей последовательности.
Пример 4. Рассмотрим ту же систему, что и в при-
мере 3, но дополнительно кроме стоимости в долла-
рах будем интересоваться общим количеством ЭВП, ис-
253
пользуемых в качестве запасного имущества, что может
быть грубой мерой веса, объема и пр. Это означает, что
все величины с/2 равны 1 для всех /=1, 2, ..., k и что
k
с2(п) = £ nt.
i=l
Для полноты изложения сведем исходные данные
в табл. 4.2.
1. Построим доминирующую последовательность для
размещения резервных элементов (т. е. запасных эле-
ментов), начиная с размещения (0, 0, 0, 0) до стоимо-
сти, не превышающей 18 000 долл., и до суммарного
количества ламп не более 25.
Таблица 4.2
i	Стоимость одной лампы ДОЛЛ.	Ci2	Ожидаемое коли- чество отказов ну
1	240	1	4,0
2	1025	1	2,9
3	1158	1	1,7
4	750	1	0,11
Используя процедуру 1, начнем решение со значе-
ний коэффициентов 01 = 0 и 02=1. Используя то, что
7?г(и) определено в (4.4), легко построим последова-
тельность точек (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0,),
(1, 1, 1, 0) и т. д., которые показаны на рис. 4.2 (значения
надежности обозначены на том же рисунке под соот-
ветствующими точками). Процесс прекращается, либо
когда стоимость превысит сумму в 18 000 долл., либо
когда количество запасных ламп превысит 25 шт. Затем
выбираем «1 = 0,1 и 02=О,9 и, используя процедуру 1,
строим последовательность точек (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0),
(2, 0, 0, 0), (3, 0, 0, 0) и т. д. Далее производим вычи-
сления в соответствии с процедруой 1 для значений
равных 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 и т. д. до 1,0, имея в виду, ко-
нечно, что 02=1—0ь Последовательность возможных
размещений резервных элементов, показанная на рис. 4.2,
определяет доминирующую последовательность.
254
2. Находим размещение резервных элементов для
случая, когда стоимость не превышает суммы в
18 000 долл, и число ламп не превышает 25 шт., и при
этом достигается максимальное значение показателя на-
дежности системы.
§ 7000
§ 5000-
g 3000-
1000
о,о,о,о
Число запасных ламп
Рис. 4.2. Доминирующая последовательность для случая двух огра-
ничивающих факторов.
Из рис. 4.2 видно, что решением в данном случае
является набор из 11 ламп 1-го типа, 7 ламп 2-го типа,
5 ламп 3-го типа и 1 лампа 4-го типа. Стоимость подоб-
ного комплекта ламп составляет 17105 долл., общее
число ламп — 25 шт. и результирующий показатель на-
дежности равен 0,981. Заметим, что полученное решение
является приближенным, поскольку построенная доми-
нирующая последовательность может не быть полной.
Гамма-распределение времени работы до отказа
Если время безотказной работы элемента подчи-
няется гамма-распределению, для вычисления доми-
нирующих последовательностей может оказаться полез-
ным использование некоторых графиков из [120]. В этой
255
работе содержится несколько графиков зависимости ве-
роятности безотказной работы подсистемы, состоящей
из d одинаковых рабочих компонентов и из k резервных
компонентов, для различных значений времени работы
системы при небольших значениях d и k. Одна группа
графиков соответствует плотности распределения
и другая — плотности
,/(/) = (/3/3!)еЧ
5. ПОЛНАЯ ДОМИНИРУЮЩАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Теперь рассмотрим процедуру построения домини-
рующей последовательности для случая единственного
ограничивающего фактора, т. е. для случая г=1. Метод,
развитый в [100], предложен для нагруженного резерви-
рования, но ясно, что он подходит и для случая нена-
груженного резервирования. Основу алгоритма Кеттеля
составляет получение доминирующей последовательно-
сти для больших подсистем на основании доминирую-
щих последовательностей меньших подсистем, являю-
щихся частью этой большой подсистемы. Этот алго-
ритм для получения оптимального решения не требует,
чтобы функция /?(п) была вогнутой. Перейдем непо-
средственно к описанию алгоритма.
Процедура 3 (алгоритм Кеттеля для случая
единственного ограничивающего фактора)
Самым простым и понятным способом объяснения
алгоритма Кеттеля является его иллюстрация на чи-
словом примере. Рассмотрим пример 1 из § 3.
Задача. Построить полную доминирующую последо-
вательность размещений резервных элементов до зна-
чения показателя надежности системы, равного по край-
ней мере значению 0,99.
Решение. 1. Построим сначала доминирующую по-
следовательность для подсистемы, состоящей всего
лишь из двух подсистем 1 и 2. Для построения обра-
256
тимся К табл. 5.1, в которой в заголовках столбцов стоят
значения п\, «1Сц и q"l+ , а в заголовках строк —
значения П2, П2С21 и q^*1  Значения в клетках табли-
цы представляют собой размещение резервных элемен-
тов в соответствующем члене доминирующей последо-
вательности, стоимость и ненадежность участка, состоя-
щего из подсистем 1 и 2. Так, клетка (1, 0) соответст-
вует zii — 1 и «2=2 при стоимости 1,2 едниницы и при
ненадежности участка системы, равной 0,04+0,30—
—0,04-0,30 = 0,33. Клетка таблицы (2, 1) соответствует
«1=2 и «2=1 при стоимости 4,7 единицы и при нена-
дежности участка системы, равной 0,9 + 0,008 = 0,098. Да-
лее вычисляем ненадежность участка по приближенной
формуле Q1 + Q2, где Qi — ненадежность первой подси-
стемы и Q2 — ненадежность второй подсистемы, если
произведение Q1Q2 представляет собой величину, мень-
шую 0,01. Можно .показать [100], что отбрасывание чле-
на— Q1Q2 на каждом шаге процесса приводит к ошиб-
ке в вычислении значения Q не более чем на величи-
ну Q2.
2.	Начнем с размещения (0, 0), являющегося первым
членом доминирующей последовательности.
3.	Вторым членом доминирующей последовательности
является тот, ненадежность которого не превышает 0,44
при минимальной стоимости. Поскольку (1,0) характе-
ризуется меньшей стоимостью по сравнению с вариан-
том (0,1) (1,2 единицы стоимости по сравнению с 2,3
единицы), выбираем первый вариант (1,0).
4.	В общем случае последующим членом доминирую-
щей последовательности является всегда тот, который
характеризуется наименьшей стоимостью из числа воз-
можных вариантов и имеет при этом меньшую ненадеж-
ность по сравнению с только что достигнутой. Если
несколько вариантов резервирования имеют равную
стоимость, выбирается тот из них, у которого наимень-
шей является величина ненадежности. Если подобных
вариантов имеется несколько, то из них выбирается тот,
который соответствует, например, меньшему порядково-
му номеру подсистемы.
Иногда остаток клеток, принадлежащих определен^
ному столбцу или строке, может быть сразу отброшен
как не принадлежащий доминирующей последовательно-
17—1563	257
Таблица 5.1
ПОДСИСТЕМА 1
	Число резервных элементов Стоимость Ненадежность	0 0 0,2	1 1,2 0,04	2 2,4 0,008	3 3,6 0,0016	4 4,8 0,00032	5 6,0 0,000064	6 7,2 0,0000128	7 8,4 0,00000256	8 9,6 0,000000512
	0 0 0,3	0; 0 0* 0,44	1; о 1,2* 0,33	2,4						
	1 2,3 0,09	0;1 2,3* 0,27	1; 1 3,5* 0,13	2; 1 4,7* 0,098	5,9					
	2 4,6 0,027	4,6	1;2 5,8* 0,067	2; 2 7,0* 0,035	3; 2 8,2е 0,0286	9,4				
СТЕМА 2	3 6,9 0,0081		8,1	2;3 9,3е 0,0161	3; 3 10,5е 0,0097	4; 3 11,7е 0,00842	12,9			
										
ПОДСИ
4 9 2 0*00243			2; 4 11,6 0,01043	3; 4 12,8* 0,00403	4; 4 14,0* 0,00275	15,2			
5 11,5 0,000729			13,9	3; 5 15,1е 0,002329	4; 5 16,3* 0,0010	5; 5 17,5* 0,00079	18,7		
6 13,8 0,0002187				17,4	4; 6 18,6* 0,00054	5; 6 19,8* 0,00028	6; 6 21,0* 0,00023	22,2	
7 16,1 0,00006561					20,9	5; 7 99 1* 0,00012	6; 7 23 3* 0,000078	7; 7 24,5* 0,000068	25,7
8 18,4 0,000019683						5; 8 24 4 0,000084	6; 8 25,6* 0,000032	7; 8 26,8* 0,000022	8; 8 28,0 0,000020
9 20,7 0,0000059049						26,7	6; 9 27 9* 0,000019	7; 9 29,1	8; 9 30,3
Примечание. Звездочкой отмечены члены доминирующей последовательности
сти. Пусть Cij есть стоимость варианта резервирования,
стоящего на пересечении i-й строки и /-го столбца,
a Qzj — значение соответствующей ненадежности. Пусть
Go и Qto являются соответственно значениями стоимо-
сти и ненадежности, стоящими в заголовке i-й строки.
Если Qij<ZQlfo, где i'<i, все клетки таблицы, стоящие
в строке Z, для которой стоимость Gj больше, не могут
быть члёнами доминирующей последовательности. Это
следует из условия
То же самое справедливо и для столбцов. Для при-
мера заметим, что в табл. 5.1 клетка (0, 1) доминирует
над всеми клетками первой строки, начиная с клетки
(2, 0), поскольку ненадежность варианта (0, 1), равная
0,27, меньше, чем значение 0,3, получающееся при ис-
пользовании 0 резервных элементов для второй подси-
стемы, и стоимость первого варианта, равная 2,3 еди-
ницы, меньше, чем значение стоимости всех вариантов,
стоящих в строке, начиная с клетки с номером (2, 0).
В табл. 5.1 доминирующая последовательность от-
делена от остальной части жирной линией.
5.	Для подсистем 3 и 4 таким же образом строим
аналогичную доминирующую последовательность
(табл. 5.2), далее строим доминирующую последова-
тельность для подсистем 5, 6 и т. д.
6.	Затем строим доминирующую последовательность
для участка системы, состоящего из подсистем 1, 2, 3,
4, используя доминирующие последовательности для
участков системы, состоящих из 1-й и 2-й подсистем и
3-й и 4-й подсистем, как это показано в табл. 5.3. Дан-
ная доминирующая последовательность получается на
основании того же принципа, который описан в п. 4.
7.	Аналогичным образом объединяем подсистемы 5,
6, 7, 8 и т. д. до тех пор, пока все подсистемы не будут
объединены в один обобщенный участок. Совсем не
обязательно, чтобы объединяемые участки системы бы-
ли бы одного порядка сложности, хотя практика прове-
дения расчетов показывает, что желательно все же объе-
динять участки равного размера. Результирующая по-
следовательность доминирующих членов является пол-
ной, как это будет доказано в теореме 5.3 данной главы.
Теорема 5.1. Доминирующая последовательность, по-
лучаемая при помощи процедуры 3, является полной.
260
Таблица 5.2
ПОДСИСТЕМА 3
	Число резервных элементов Стоимость Ненадежность	0 0 0,25	1 3,4 0,0625	2 6,8 0,0156	3 10,2 0,003906	4 13,6 0,00097	5 17,0 0,00024	6 20,4 0,000061	7 23,8 0,000015	8 27,2 0,000004
1	ПОДСИСТЕМА 4	0 0 0,15	0; 0 0* 0,36	1;0 3,4* 0,20	2; 0 6,8* 0,17	10,2					
	1 4,5 0,0225	4,5	1; 1 7,9* 0,08	2; 1 11,3* 0,038	3; 1 14,7* 0,026	18,1				
	2 9,0 0,003375		12,4	2; 2 15,8* 0,019	3; 2 19 2* 0^00728	4; 2 22,6* 0,0044	5; 2 26,0* 0,0036	29,4		
	3 13,5 0,00051			20,3	3; 3 23,7 0,0044	4;3 27,1* 0,00148	5; 3 30,5* 0,00075	6,3 33,9* 0,00057	37,3	
	4 18,0 0,000076				28,2	31,6	5; 4 35,0* 0,00032	6; 4 38,4* 0,000137	7; 4 41,8* 0,000091	45,2
	5 22,5 0,000011						39,5	6; 5 42,9* 0,’000072	7; 5 46,3* 0,000026	
	6 27,0 0,0000017							47,4		
П р и м е ч а а и е. Звездочкой отмечены члены доминирующей последовательности.
ДОМИНИРУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
I ДОМИНИРУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЛЯ ПОДСИСТЕМ Зи4	Число резерв- ных элементов Стоимость Ненадежность	о.о 0 0,44	1; 0 1,2 0,33	0; 1 2,3 0,27	1; 1 3,5 0,13	2; 1 4,7 0,098	1; 2 5,8 0,067	2; 2 7,0 0,035	3; 2 8,2 0,0286
	0;0 0 0,36	0; 0; 0; 0 0* 0,64	1; 0; 0; 0 1,2* 0,57	0; 1; 0; 0 2,3* 0,54	1; 1; 0; о 3,5* 0,45	2; 1; 0; 0 4,7* 0,42	1; 2; 0; 0 5,8* 0,41	7,0	
	1; о 3,4 0,20	0; 0; 1;0 3,4 0,55	1; 0; 1; 0 4,6 0,46	0; 1; 1;0 5,7 0,42	1; 1; 1;0 6,9* 0,30	2; 1; 1;0 8,1* 0,28	1; 2; 1; 0 9,2* 0,26	2; 2; 1; 0 10,4* 0,23	11,6
	2; 0 6,8 0,17	6,8	8,0	0; 1; 2; 0 9,1 0,40	1; 1; 2; о 10,3 0,28	2; 1; 2; 0 11,5 0,25	1; 2; 2; 0 12,6 0,23	13,8	
	1; 1 7,9 0,08			10,2	1; 1; 1; 1 11,4* 0,20	2; 1; 1; 1 12,6* 0,178	1; 2; 1; 1 13,7* 0,147	2; 2; 1; 1 14,9* 0,115	3; 2; 1; 1 16,1* 0,109
	2; 1 11,3 0,038				1; 1; 2; 1 14,8 0,168	2; 1; 2; 1 16,0 0,136	1; 2; 2; 1 17,1* 0,105	2; 2; 2; 1 18,3* 0,073	3; 2; 2; 1 19,5* 0,067
	3; 1 14,7 0,026				18,2	19,4	20,5	2; 2; 3; 1 21,7 0,061	3; 2; 3; 1 22,9 0,055
	2; 2 15,8 0,019							2; 2; 2; 2 22,8 0,054	3; 2; 2; 2 24,0 0,048
	3; 2 19,2 0,00728							26,2	3; 2; 3; 2 27,4 0,036
	4; 2 22,6 0,0044								30,8
	5; 2 26,0 0,0036								
	4; 3 27,1 0,00148								
	5; 3 30,5 0,00075								
	6; 3 33,9 0,00057								
Примечание. Звездочкой отмечены члены доминирующе)! последователь
262
дл:я ПОДСИСТЕМ 1 и 2
Таблица 5.3
2; 3 9,3 0,0161	3; 3 10,5 0,0097	4; 3 11,7 0,00842	3; 4 . 12,8 0,00403	4; 4 14,0 0,00275	3; 5 15,1 0,00233	4; 5 16,3 0,0010	5; 5 17,5 0,00079	4; 6 18,6 0,00054	5; 6 19,8 0,00028
									
			—						—
2; 3; U1 17,2* 0,096	18,4								
2; 3; 2; 1 20,6* 0,054	3; 3; 2; 1 21,8* 0,048	4; 3; 2; 1 23,0* 0,046	3; 4; 2; 1 24,1 0,042	25,3					
2; 3; 3; 1 24,0* 0,042	3; 3; 3; 1 25,2 0,036	4; 3; 3; 1 26,4 0,034	3; 4; 3; 1 27,5 0,030	28,7					
2; 3; 2; 2 25,1* 0,035	3; 3; 2; 2 26,3* 0,029	4; 3; 2; 2 27,5* 0,027	3; 4; 2; 2 28,6* 0,023	29,8					
2; 3; 3; 2 28,5* 0,0234	3; 3; 3; 2 29,7* 0,0170	4; 3; 3; 2 30,9* 0,0157	3; 4; 3; 2 32,0* 0,0113	4; 4; 3; 2 33,2* 0,0100	3; 5; 3; 2 34,3* 0,0096	4; 5; 3; 2 35,5* 0,0083	36,7	-	
2; 3; 4; 2 31,9 0,0205	3; 3; 4; 2 33,1 | 0,0141	4; 3; 4; 2 34,3 0,0128	3; 4; 4; 2 35,4* 0,0084	4; 4; 4; 2 36,6* 0,0071	3; 5; 4; 2 37,7* 0,0067	4; 5; 4; 2 38,9* 0,0054	5; 5; 4; 2 40,1* 0,0052	41,2	
35,3	36,5	37,7	3; 4; 5; 2 38,8 0,0076	4; 4: 5; 2 40,0 0,0064	3; 5; 5; 2 41,1 0,0059	4; 5; 5; 2 42,3 0,0046	43,5		
			3; 4; 4; 3 39,9 0,0055	4; 4; 4; 3 41,1* 0,0043	3; 5; 4; 2 42,2* 0,0038	5 4; 5; 4; 2 43,4* 0,0025	5; 5; 4; 2 44,6* 0,0023	1 4; 6; 4; 3 45,7* 0,0020	5; 6; 4; 3 46,9* 0,00176
			43,5	44,5	45,6	4; 5; 5;2 46,8* 0,0018	5 5; 5; 5;2 48,0* 0,0015г	1 4; 6; 5; 2 49,1* 1 0,00121	50,3 ) 0,00103
							51,4 0,0013€		
ности.
263
Доказательство. Сначала по Индукции дока-
жем, что размещение резервных элементов, получаемое
при помощи процедуры 3, включает в себя все возмож-
ные доминирующие члены. Для системы, состоящей все-
го из одной подсистемы, размещение резервных элемен-
тов, получаемое путем последовательного добавления
резервных элементов, содержит все возможные вариан-
ты и, следовательно, включает все члены доминирующей
последовательности.
Допустим теперь, что размещение резервных элемен-
тов, полученное для j подсистем, где /=1, 2, ..., k—1,
включает в свой состав все возможные доминирующие
члены. Рассмотрим некоторое произвольное размещение
резервных элементов п='(пь ..., Ил). Тогда по индукции
размещение (иь ..., п,), где j<k, доминируется или
эквивалентно некоторому доминирующему размещению
(ra*i....n*j), полученному при помощи процедуры 3.
Аналогичным образом (nj+i, ..., «л) доминируется или
эквивалентно некоторому доминирующему размещению
резервных элементов (п*,+ь ..., п*ь), также полученному
при помощи процедуры 3. Таким образом, либо
1= 1, ..., /, либо
/?(«,, ..., rij)	..., n*j),
Cl(«l, ..., n;)^Ci(n*i, ..., n*j),
где по крайней мере одно из неравенств является стро-
гим. Аналогичным образом либо nz=n*,-, г=/+1, ..., k,
либо
R(nj+i, .., пк) s^R(n*j+1, ..., n*k),
Ci(nj+I, . . ., nk) >Ci(n*j+l, • • , n*k),
причем по крайней мере одно из неравенств является
строгим. Отсюда либо nz=n*,-, i=l, .... k, либо
J?(n)=2?(n1, ..., nj)R(nj+it ..., nft)^
<R(n* lt ..., n*})7?(n*i+1, .., n*ft) =7?(n*)
и
Ci(n)=C1(m, ..., nj)+Ci(nj+i, ..., nft)>
>Cl(n*i, . . ., n*j) +c(n*j+i.n*k) = Ci(n*),
причем одно из неравенств является строгим, так что
размещение резервных элементов и либо эквивалентно,
либо доминируется размещением п*.
264
Остается доказать, что п* либо доминируется разме-
щением, полученным при помощи процедуры 3, либо
эквивалентно ему. В последующих утверждениях будем
предполагать для простоты, что какие-либо зависимости
от стоимости между различными размещениями резерв-
ных элементов отсутствуют. (В случае, когда подобного
рода зависимости имеют место, желаемые результаты
могут быть найдены подобным же образом.) Предполо-
жим, что п* не является одним из размещений резерв-
ных элементов, полученных при помощи процедуры 3.
Пусть п' является первым размещением, полученным
на основании процедуры 3 при объединении участков
системы, состоящих из подсистем 1, ..., j для одного
из них и из подсистем j+1, ..., k для другого, таким,
что для этого размещения стоимость превышает величину
Ci(n*). Пусть, далее, п° есть последнее размещение,
стоимость которого менее Ci(n*). Тогда /?(п°) >7?(п*),
поскольку если бы i/? (п°) ^/?(п*), то п* лежало бы меж-
ду п° и п' при процедуре 3, вопреки предположению.
Таким образом, п* доминируется размещением п°, что
завершает доказательство по индукции.
Необходимо также доказать, что каждое из разме-
щений резервных элементов, полученных на основании
процедуры 3, является размещением, принадлежащим
доминирующей последовательности. Допустим, что раз-
мещение п° получено при помощи процедуры 3. Тогда,
если п° доминируется каким-либо другим размещением,
оно должно также доминироваться и некоторым домини-
рующим размещением. Но только что было доказано,
что все доминирующие размещения получаются при ис-
пользовании процедуры 3. Таким образом, размещение
п° доминируется, например, размещением п', также по-
лученным при помощи процедуры 3. Однако это явля-
ется противоречием, поскольку п° и п' получены при
помощи процедуры 3, и, следовательно, либо
7?(п°)</?(п') и С1(п°) <ci(n'),
либо
7?(п°) =/?(п') и сДп0) =ci(n'),
либо
Я(п°) <R(n') и Ci(n°)>c1(n/).
205
Пример 1. Процедура 3. Как и ранее, нам требует-
ся найти размещение резервных элементов, обеспечи-
вающее надежность системы не менее 0,99 при наимень-
ших затратах, для системы, состоящей из 4 подсистем
(см. пример 1 § 3).
Из табл. 5.3 определяем первое доминирующее раз-
мещение, у которого значение ненадежности не превы-
шает 0,01. Таким размещением является (4,4,3,2) со
значениями ненадежности 0,0100 и стоимости 33,2. Дей-
ствительно, нет необходимости строить доминирующую
последовательность, начиная с размещения (0, 0, 0, 0).
Вместо этого можно было бы построить варианты усе-
ченных таблиц типа 5.1, 5.2 и 5.3, в которых не было
бы вариантов, имеющих значения ненадежности выше
0,01. В этом случае первым заголовком столбца
в табл 5.1 был заголовок, соответствующий значению
П1=2 с ненадежностью первой подсистемы, равной
0,008, а первым заголовком строки был заголовок, соот-
ветствующий значению П2=3 с ненадежностью второй
подсистемы, равной 0,0081. Аналогичным* образом пер-
вым заголовком столбца в табл. 5.2 был бы столбец
с пз = 3 при ненадежности третьей подсистемы 0,0039,
а первым заголовком строки был бы заголовок с п4=2
с ненадежностью четвертой подсистемы 0,003375. Нако-
нец, первым заголовком столбца в табл. 5.3 был бы
заголовок со значениями rzi = 3 и П2=3 при ненадеж-
ности 0,0097, а первым заголовком строки был бы заго-
ловок со значениями и3 = 3 и ^2=2 при ненадежности
0,00728.
В настоящее время нами получено обобщение про-
цедуры Кеттеля для случая, когда имеется несколько
ограничений (г>1). Как и в процедуре Кеттеля, строим
доминирующие последовательности для отдельных уча-
стков системы, состоящих из ряда подсистем, которые,
в свою очередь, служат для построения доминирующих
последовательностей более крупных участков системы.
Подобное построение продолжается до тех пор, пока не
будет получена полная доминирующая последователь-
ность для всей системы в целом. Детальное изложение
этого обобщения метода Кеттеля приведено в (135]*.
* См. перевод этой статьи в дополнении.
266
6. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
ПРИ ДВУХ ТИПАХ ОТКАЗОВ
В этом параграфе будет рассмотрена проблема оп-
тимального резервирования для определенного класса
систем в предположении, что отказы могут быть разде-
лены по своим последствиям на два типа. Далее пред-
полагается, что все компоненты имеют одинаковую на-
дежность и не накладывается никаких ограничений на
количество используемых резервных элементов в систе-
ме. Таким образом, данная математическая модель су-
щественно отличается от математической модели, рас-
смотренной в § 2, 3 и 4. Материал данного параграфа
основывается на работе [10].
Для примера рассмотрим соединение реле, состоя-
щее из т параллельных цепочек, каждая из которых,
в свою очередь, состоит из п последовательно соединен-
ных реле. Подобное соединение будем называть парал-
лельно-последовательным соединением. Отказ типа «об-
рыв любого реле в каждой цепочке» приводит к от-
сутствию сигнала на выходе всей системы. Отказ типа
«короткое замыкание во всех реле хотя бы одной це-
почки» приводит к тому же результату. Аналогичным
образом можно рассмотреть систему, состоящую из п
включенных последовательно подсистем, каждая из ко-
торых содержит по т параллельно работающих реле
(последовательно-параллельное соединение). В такой
системе отказ типа «короткое замыкание» в каждой из
подсистем приводит к отказу системы в указанном вы-
ше смысле. Отказ типа обрыв всех реле, включенных в
одной из подсистем, также приводит к отказу системы.
Можно привести следующий простой пример с авто-
пилотной системой самолета. Один из нескольких
автопилотов может отказать, просто прекратив свое
функционирование либо начав выдавать команды, кото-
рые могут привести к опасным маневрам. В подобном
случае при отказе первого рода лишь уменьшается чи-
сло средств, способных осуществлять пилотирование са-
молета, а во втором вся система выходит из строя. За-
метим, что во всех приведенных примерах систем до-
полнительные резервные элементы способствуют умень-
шению вероятности отказа за счет одного фактора и
в то же время приводят к увеличению вероятности от-
267
каза из-за другого фактора. Таким образом, возникает
задача по определению оптимального числа резервных
элементов, которое должно использоваться в системе.
Можно было бы вести изучение абстрактных систем
подобного типа, однако для простоты и удобства интер-
претации рассматриваемых явлений все обсуждение мо-
дели будет проводиться в терминах различных соедине-
ний реле. Заметим все же, что результаты могут быть
применены не только для соединений электрических эле-
ментов. Единственным условием общего типа является
то, что система отказывает, если хотя бы один элемент
в каждой подсистеме будет подвержен отказу первого
типа (отказ типа обрыв в параллельно-последователь-
ном соединении) или если каждый из элементов одной
из подсистем будет подвержен отказу второго типа (от-
каз типа короткое замыкание в параллельно-последова-
тельном соединении реле).
Изучим два варианта проблемы. Сначала покажем,
как максимизировать надежность системы, а затем как
максимизировать среднее время безотказной работы си-
стемы.
Максимизация надежности системы
Пусть имеется параллельно-последовательное со-
единение, состоящее из т цепочек, каждая из которых
содержит и последовательно соединенных реле. Каждое
Рис. 6.1.
реле имеет вероятность от-
каза типа 'обрыв pi>0 и ве-
роятность отказа типа корот-
кое замыкание р2>0, при-
чем pi +р2<1- Каждое реле
может отказать лишь одним
способом, причем если отказ
какого-либо типа произо-
шел, то после него у того же
элемента не может про-
изойти отказ второго типа. Принято, что восстановления
отказавших элементов не производится. При данном зна-
чении п найдем значение т, максимизирующее надеж-
ность системы, т. е. вероятность того, что система в це-
лом нормально функционирует.
268
Сначала заметим, что надежность системы опре-
деляется как
=	(6.1)
где qt=l—Pi, /=1,2; (1—р") — вероятность того, что
не все элементы в данной цепочке подвержены отказу ти-
па короткое замыкание; а (1—р")т — вероятность того,
что ни одна из цепочек системы не является коротко зам-
кнутой; (1—q“)— вероятность того, что по крайней мере
одно из реле в данной цепочке подвержено отказу типа
обрыв; (1—— вероятность того, что каждая из цепо-
чек имеет по крайней мере один элемент, который имеет
отказ типа обрыв.
Итак, надежность системы представлена как вероят-
ность того, что система не откажет из-за коротких за-
мыканий, минус вероятность того, что система откажет
из-за отказов типа обрыв, причем используется то, что
отказы обоих типов у одного и того же элемента не мо-
гут произойти.
Легко заметить, что мы не можем найти пару чисел
т и п, максимизирующих надежность системы R, так
как R может быть сделано сколь угодно близким к еди-
нице при соответствующем выборе тип. Чтобы убе-
диться в этом, положим
a=‘gA~!g<71, Мп = р~п1{,+а\ тп=\Мп\,
1g Р2 + 1g <71	1 J
где (х] равняется наибольшей целой части, не превос-
ходящей х.
Для данного п возьмем т = тп. Надежность системы
будет определяться в этом случае как
Таким образом,
lim R = lim [(1 — Af7(I+о)Гп— (1 —	=
Л-»ОО П-+ОО	п / J
поскольку а>0.
269
Для фиксированного п, однако, можно найти значе-
ние т, максимизирующее надежность системы R(m),
как это показано в следующей теореме.
Теорема 6.1. Для фиксированных п, ри р2 максимум
величины R(m) достигается при m*=[m0]+l, где
Если т0— целое число, то функцию R(m) максимизиру-
ют как т0, так и /по+1.
Доказательство. Используя (6.1), можно запи-
сать
О = AR (/и) = R (т + 1) — R (т) =
= - Pl (1 - Р" )т + я" (1 ~я" )т-
Если определить т0 как решение, то оно может быть
найдено с помощью (6.2).
Заметим, что AR(/n)>0 для т<^тй и Д#(/га)<0 как
только т. > та. Это следует из того, что 1 — р” > 1 —
— q" (поскольку qt > р2). Таким образом, [/n0] -|- 1 макси-
мизирует R(m). Наконец, если то есть целое число, то
AR(/n0) =0, так что R(m0) =R(m0+1) и функцию R(m)
максимизируют как т0, так и т’0+1.
Важно знать, что решение т* зависит от различных
параметров. Сначала изучим поведение то для различ-
ных п. Докажем следующую теорему.
Теорема 6.2. то/п есть строго возрастающая функ-
ция п.
Доказательство. Из (6.2) видно, что достаточно
доказать строгое убывание по п функции
(1-Х)/(1 -я")
или, что эквивалентно, убывание по п функции
__ 1 + Рг + •••+ р2 1
ап—1 — г-;	;	; n_i •
1 + <h +••• + Я\
270
Нам необходимо лишь показать, что
sgn{an —an+1}= sgn
1 + АН----/?2 + *
)>0’
I <=0	<=0 J
что следует из почленного сравнения с учетом P2<q\-
Из (6.2) видно, что при п—>оо
w° ~ fig ?1 V 1 V
«	\ Рг J \4i J ’
которое стремится в бесконечность с показательной ско-
ростью, поскольку 1><71>Д2-
Теорема 6.3.
а)	та < 1, если q" -|- р" > 1;
б)	тй = 1, если q" -|- рп2 = 1;
в)	zn0>l, если р" •< 1.
Доказательство. Проведем доказательство толь-
ко для случая /По<1, поскольку в остальных случаях
оно полностью аналогично. Из (6.2) следует, что
гпо<1 тогда, когда
1-%
&
т. е. когда q* -\-р" > 1.
Сделав следующие дополнительные предположения,
получим дальнейшие качественные результаты относи-
тельно поведения т0.
-Предположение А. Каждый элемент имеет не-
зависимую вероятность F(f) отказа в момент времени t
(0^/<оо), причем F(0) =0. При условии, что отказ про-
изошел, условная вероятность отказа типа обрыв есть р,
а условная вероятность отказа типа короткое замыкание
271
есть q, (p + q=l), причем эти условные вероятности са-
ми не зависят от времени наступления отказа.
Теорема 6.4. есть строго возрастающая функция
р для 1, 0<F(/) <1.
Доказательство. Поскольку pi = pF(t) и р2=
= qF(t). Уравнение (6.2) приводится к виду
0— Ig{1 -[^(0]"}- 1g{1 -(1 -1 }
Числитель строго возрастает по р, поскольку строго воз-
растает отношение (1—pF) (F—pF). Для того чтобы убе-
диться, что знаменатель строго убывает по р, запишем
1 —(?ЛП _ 1 —(#)" _
1—(1—pF)"	1— (F+qF)”
________________1______________
F” + nF”-1 (qF) +...+nF(qF)”~1 ’
1 ~	1 - (qF)”
где F—1—F. Так как
F^ + nF”-1 (qF)+...+ nF (qF)”-1
\-(qF)”
строго убывает по p, можно сделать вывод, что знамена-
тель (6.3) строго убывает по р. Отсюда следует искомый
результат.
Теорема 6.5. т0-—при t—>-0; тй—>(1—qn)!qn при
t—*-оо.
Доказательство. Результат следует немедленно
из применения правила Лопиталя к (6.3), если рассмот-
реть гщ как функцию F и использовать затем непрерыв-
ность функции F в нуле и в бесконечности.
Теорема 6.6. Для п = 1 и-^-</?<1, та есть строго
возрастающая функция F.
Доказательство. Пусть y=F/F. Из (6.3) полу-
чаем
т - lg(l + g/<7)
0— 1g (1 +У/Р) ’
272
Здесь dtnjdy имеет тот же знак, что и
(р+у} ig (1 + у Ip)—(q+у) 1g (1 + ylq) = W (у).
Но Г(0)=0и
dW'/dy = lg(l +y/p)—lg(l +y/q) <0
для у>0, так как p>q. Таким образом, 1Г(г/)<0 для
z/>0 и тогда /п0 строго убывает по у. Так как у строго
убывает по F, можно заключить, что /По строго возра-
стает по F.
Максимизация среднего времени безотказной
работы системы
Ранее было показано, как определить количество
цепочек, требуемых для максимизации вероятности без-
отказной работы системы за некоторое заданное время
при известном законе распределения отказов реле. Ча-
сто, однако, длительность периода необходимого функ-
ционирования бывает неизвестна. В этих случаях пред-
ставляется целесообразным максимизировать среднее
время безотказной работы системы.
Получим общее выражение для ожидаемого времени
работы системы до отказа для случая n=il и покажем,
как выбирать количество элементов, требуемое для мак-
симизации этой величины. Используя эти результаты,
найдем решения для случая экспоненциального и рав-
номерного распределений отказов.
Как и ранее, рассмотрим систему, состоящую из т
параллельных цепочек, но в данном случае будем счи-
тать, что в каждой цепочке имеется всего по одному
реле. Допустим предварительно, что выполняется ранее
приведенное предположение А, т. е. все элементы неза-
висимы и каждый элемент имеет время безотказной ра-
боты с распределением F(t) (невырожденным), причем
условная вероятность отказа типа обрыв р>0 и услов-
ная вероятность короткого замыкания равняется q=
= 1— р. Обозначив через Lm(p) ожидаемое время жизни
системы, получим
т=\
^rn(p)^y£iV-i.mpi'xq-\-v^,mpm~\ (6.4)
i=i
18-1563
273
где gi,m равняется ожидаемому значению Z-го наимень-
шего наблюдения в независимой выборке объема т,
взятой из генеральной совокупности с распределением
Уравнение (6.4) показывает, что отказ системы
может произойти при /—1 отказах типа обрыв, предше-
ствующих первому отказу типа короткое замыкание, при-
чем среднее время безотказной работы системы в этом
случае составляет (/=1, 2, ..., т—1). К тому же
можно иметь т—1 отказов типа обрыв, предшествую-
щих последнему отказу реле, который может быть лю-
бого типа, причем среднее время безотказной работы
системы в этом случае равняется
Теперь требуется показать, как находить число
реле т, необходимое для максимизации функции Lm(p).
Образуем следующее приращение функции:
(р) = ^тп+1 (р) ^тп(р)*	(6*5)
Будем искать для данного р такое значение /и, чтобы
для Меньших значений ДЛт(р)>0, в то время как для
остальных значений Д£т(р)<0. Таким образом, это зна-
чение т максимизирует ожидаемое время жизни систе-
мы для заданного значения вероятности р. Сначала до-
кажем следующую лемму.
Лемма 6.7. Д£гп(р)=0 имеет единственный корень гт
в интервале [0, 1]. Для 0^p<rm имеем Д£гп(р)<0 и
для гт<р^Л имеем ALm(p)>0.
Доказательство. Из (6.4) и предположения А
имеем
Lm (Р) = J{[1 - qF (ОГ - [pF (О]"*} dt,
О
так что
Д£т (р) = - J [1 - qF (t)]mqF (t) dt +
О
+ {LpF(/)]m[l-^(0]d£	(6.6)
Заметим, что, когда /п>0:
Д£т (0) = - J [1 - F (О]mF (t) dt < 0,
274
Д£м (1) = (ОГ [1 — F (/)] dt > 0.
'Следовательно, ALm(p) имеет по крайней мере один
корень в интервале 0<р<1. Более того, из (6.4) можно
написать
Д£м (р) = £ агр* ~1 q + am+1pm,
i=l
где
__ (Р*г, m^i Р*г, ти АЛЯ /=1,2,...,W,
IPttJ+i, m+i	Р’тм, m ДЛЯ 1=-Ш—|— 1.
Пусть
m
1=1
и заметим, что &Lm(p) =pm[f(p) 4-am+i] имеет столько же
корней в интервале 0<р<1, сколько и f(p)+am+i. По-
скольку а,-^0 (/=1, 2, .... т) и (1—р)!рт~1—убываю-
щая функция, f(p)+am+1 имеет по крайней мере один
корень на интервале 0<р<1. Следовательно, ALm(p)
имеет самое большее один корень на интервале 0<
<Р_<1.
В следующей лемме доказывается одно свойство кор-
ней, касающееся их монотонного характера.
Лемма 6.8. 0,5=Г1<Г2<Гз< . •.
Доказательство. Из (6.6) имеем
Д£т(^) = -С[1 — qF(t)}mqF(t)dt-\-
о
+ J[pF(01m
Следовательно,
ALm+l (rm) = - f [1 - (1 - rm) F (t)\ "* X
18*
275
X(i - Гт) F (/)[!— (1 - Гт) F (OJ dt +
+ J [rmF (/)]"• [1 rm F (01 [rmF (01 dt <
0
< rm /- ?[1 - (1 - rm) F (01m (1 - rm) F (0 dt +
l о
+ J[rmF (/)!- [1 —rm F (01} dt = rmUm (rm) = 0.
0
В соответствии с леммой 6.7 rm+i>rm для т= 1, 2, ...
Наконец, заметим, что
Д£,(р) =-q^[l-qF (01 F (0dt +
+^Jf(0[1-f(01^=0
о
имеет корень Г]=0,5.
Используя эти леммы, окончательно получим значе-
ние т, максимизирующее ожидаемое время жизни си-
стемы в зависимости от величины р.
Теорема 6.9. Для rm-i<p<rm количество элемен-
тов, обеспечивающих максимизацию среднего времени
жизни системы, равно т. Для случая р=гт оба значе-
ния т и /п+1 обеспечивают максимум ожидаемого вре-
мени жизни системы.
Доказательство. При р<гт имеем ALj (р) <0
для 1=т, т+1, /п+2, ... в предположении, что /п явля-
ется более предпочтительным, чем /п+1, /п + 2, ...; при
р>гт-\ имеем АЛ,(р)>0 для /=1, 2, ..., т—1 в предпо-
ложении, что т является более предпочтительным, чем
1, 2, ..., т—1. Таким образом, для rm-i<p<rm значе-
ние т максимизирует ожидаемое время жизни системы.
Для р=гт имеем ALm(p)=0 в предположении, что
как т, так и /п+'l обеспечивают одинаковое значение
ожидаемого времени жизни системы.
276
В частности, заметим, что поскольку и =0,5, то для
/>^0,5 оптимальное количество резервных элементов
равно 1.
Экспоненциальное распределение отказов
Теорема 6.9 дает процедуру определения количе-
ства параллельно включенных элементов, максимизи-
рующего среднее время безотказной работы системы.
Проиллюстрируем предложенный метод для случая
F(t) = 1 — е~и, Z>0, 0<t<oo.
В этом случае сразу можем записать
т—1
Lm (р)= -j- j]
1-0
поскольку 1/mX — среднее время до первого отказа;
р[(т—1)Л— среднее значение дополнительного отрезка
времени от первого отказа до второго, умноженное на
вероятность того, что первый отказ был отказом типа
обрыв цепи; р^Цт—2) А,— среднее значение, дополнитель-
ного отрезка времени от второго отказа до третьего,
умноженное на вероятность того, что оба предыдущих
отказа были отказами типа обрыв цепи, и т. д.
Следовательно, приращение функции
(т	т— 1	\
1=0	i=0	'
позволяет определить мули гт, необходимые для нахож-
дения оптимального значения т. Заметим, что эти кор-
ни не зависят от X. Действительно, из (6.4) и (6.5) мы
видим, что нули Гщ, а следовательно, и оптимальное зна-
чение т независимы от какого бы то ни было масштаб-
ного коэффициента распределения отказов элемента.
В табл. 6.1 приводятся итоговые численные резуль-
таты.
277
Равномерное распределение отказов
Поскольку для равномерного распределения на ин-
тервале [0, а] для всех 1=2, 3, ..т имеем [34]
Pi,m=a/(m +1) и pi,m—in-i,m=a/(m+1),
то можно записать
т
1=1
Заметим, что а/(т+1) —среднее время до первого отка-
за; [a/(m+\)]p — среднее значение дополнительного от-
резка времени от первого отказа до второго, умноженное
на вероятность того, что первый отказ был отказом типа
обрыв; [а/(т+1)]р2— среднее значение дополнительного
отрезка времени от второго отказа до третьего, умно-
женное на вероятность того, что оба отказа были отка-
зами типа обрыв и т. д.
Таблица 6.1
Элементы с экспоненциальным
распределением отказов*
Интервал значений р	Число элементов, требуе- мое для максимизации среднего времени без- отказной работы системы
0,000 </><0,500	1
0,500 </><0,728	2
0,728 </><0,825	3
0,825 </><0,875	4
0,875 </><0,904	5
0,904 </><0,923	6
0,923 </><0,937	7
0,937 </><0,946	8
0,946 </><0,954	9
0,954 </><0,960	10
0,960 </><1,000	>ю
• Таблица взята из (11].
278
Следовательно, нули уравнения
не зависят от а, как это уже было отмечено в более об-
щей форме выше. Переписав это уравнение, получим
(rn-Hl)pm+1—(m+2)pm+'l=0.	(6.7)
Численно решение уравнения приведено в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Элементы с равномерным
распределением отказов*
Интервал значений р	Число элементов, требуе- мое для максимизации среднего времени безот- казной работы системы
0,000< /><0,500	1
0,500 </>< 0,770	2
0,770 </><0,870	3
0,870< /><0,920	4
0,920</><0,940	5
0,940<р<0,960	6
0,960 </><0,968	7
0,968 </><0,974	8
0,974<р<0,979	9
0,979 </><0,984	10
0,984 <р< 1,000	>ю
• Таблица взята из [11].	
Подобные таблицы могут быть составлены и для дру-
гих распределений отказов, например, для Вейбулла
F(/)=l—е-'", f>0, а>0.
В [НО] приводится выражение

т\
(/_!)! (m-iy.
X S (- Iff “ ’) (/n + n-i + l)-1-1'».
|*=0
279
Как и ранее, используя эти выражения для рц.т, можно
найти гт и затем получить оптимальные значения т.
В [30] дано следующее разложение для произволь-
ного распределения F(t) с плотностью f(t) в предполо-
жении, что существуют все требуемые производные:
„	_	1______Г <И+1 —О I
г( ‘ \	2Р'(/п+1)г(т 4-2)1"
V”+U
1.3(f)*-fl"	।
"f 6f>	' (и+ l)’(m+ 2)(m-|-3) 1	’
где штрих означает производную, а аргументом f и ее
производных является 1/F	В принципе можно бы-
ло бы получить нули Гт и соответственно максимизирую-
щие значения т для любого дифференцируемого распре-
деления отказов элементов F(/), хотя необходимые вы-
числения были бы в общем случае достаточно трудо-
емки.
7
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
1. ВВЕДЕНИЕ
В дайной главе будут рассмотрены модели резер-
вирования и их обобщения и получены количественные
соотношения между показателями надежности отдель-
ных элементов и систем в целом.
(Проблема создания надежных систем из ненадежных
элементов путем соответствующей организации избыточ-
ности, обсуждаемая (в § 2, впервые была изучена
Дж. Нейманом [165]. Он показал, как путем использо-
вания ненадежных логических элементов типа штрих
Шеффера можно построить новый элемент, принцип
функционирования которого не изменяется, а надеж-
ность в то же время может достигнуть любой наперед
заданной величины. (Логический элемент типа штрих
Шеффера представляет собой устройство с двумя входа-
ми и одним выходом, которое реализует одну из основ-
ных логических функций А&В (не-А и не-В), через
которую могут быть выражены все прочие логические
операции.) Э. Мур и К- Шеннон [119], исходя из идей ра-
боты Дж. Неймана, провели изящный анализ для релей-
ных схем, показав, что из ненадежных реле может быть
построена сеть с любой наперед заданной надежностью.
Им были найдены границы для числа элементов, необ-
ходимых для достижения требуемых показателей надеж-
ности. Было также доказано, что зависимость между на-
дежностью сети и надежностью отдельного реле имеет
S-образную форму. Это свойство функции надежности
сети играет решающую роль в построениях релейных
сетей произвольной надежности.
В [19] обобщены идеи Э. Мура и К. Шеннона и полу-
чены некоторые более общие результаты (включающие
и свойство S-образности функции надежности сети) для
широкого класса весьма естественных так называемых
281
монотонных структур, основным свойством которых яв-
ляется то, что замена отказавшего элемента на исправ-
ный не может привести к отказу структуры.
В § 3 используются результаты этой работы, а также
ряд новых результатов из [51—52] для случая, когда мо-
нотонные структуры состоят из элементов с отличающи-
мися показателями надежности. Здесь же будут приве-
дены удобные оценки, полученные путем аппроксимации
заданной структуры сначала параллельным, а затем по-
следовательным соединением. В § 4 приводится обобще-
ние свойства S-образности функции надежности для мо-
нотонных структур, состоящих из элементов с различны-
ми показателями надежности. В § 5 рассматривается
важный класс структур, условие работоспособности k
элементов из общего числа п элементов системы. Эти так
называемые структуры типа «k из п» являются в опре-
деленном смысле оптимальными монотонными структу-
рами. Они включают последовательные, параллельные
структуры и структуры, защищенные от любого одного
отказа. Сравнительная простота математического иссле-
дования таких систем позволяет получить большое чис-
ло полезных результатов, касающихся их надежности,
включая оценки типа чебышевских, при минимальных
предположениях относительно видов распределений
отдельных элементов.
Наконец, в § 6 будут изучены соотношения между
интенсивностью отказов структуры и интенсивностями от-
казов отдельных элементов. Будет показано, например,
что структуры типа «k из и» и структуры, образованные
из них путем композиции, имеют возрастающую интен-
сивность отказов, если элементы, из которых состоят эти
структуры, имеют произвольное распределение времени
безотказной работы с возрастающей интенсивностью
отказов. Для систем, состоящих из неодинаковых эле-
ментов, будут получены оценки для интенсивности отка-
зов структуры, выраженные через интенсивности отказов
отдельных элементов. Для случая структуры типа *>k из
п» и для композиции таких структур показано, что оцен-
ки обладают свойствами монотонности.
2. ПОСТРОЕНИЕ НАДЕЖНЫХ РЕЛЕЙНЫХ
ЦЕПЕЙ
В работе [119] приводится полное формальное ре-
шение, полученное изящным и простым способом, задачи
о построении релейных .сетей с произвольной наперед за-
данной надежностью из элементов, имеющих любую на-
чальную степень надежности. Точное описание данной
модели может быть дано следующим образом.
Предположим, что некоторое идеализированное реле
подвержено двум типам отказов: отказ типа обрыв,
т. е. такой отказ, когда не существует ни одного пути,
соединяющего вход сети с выходом при условии, что по-
дана команда на замыкание сети; отказ типа короткое
замыкание, т. е. такой отказ, когда имеется хотя бы один
путь, соединяющий вход сети с выходом при условии,
что подана команда на размыкание сети. Все реле отка-
зывают независимо друг от друга, причем вероятность
ложного замыкания, т. е. замыкания при команде на раз-
мыкание, равна pi (обычно эта величина достаточно ма-
ла), а вероятность правильного замыкния, т. е. замыка-
ния при команде на замыкание, равна р2 (обычно эта
величина достаточно близка к единице). Эти вероятно-
сти не изменяются во времени. Задача состоит в дости-
жении требуемой малой вероятности h(p1) того, что сеть
будет замкнута при команде на размыкание, и требуе-
мой близкой к единице вероятности h(p2) того, что сеть
будет замкнута при команде на замыкание. Для дости-
жения этих величин допускается использование соответ-
ствующего соединения достаточного количества исходных
элементарных реле.
Вскоре станет ясным, что данный анализ может быть
проведен более просто путем изучения функции h(p) —
вероятности того, что сеть замкнута, в зависимости от
р — вероятности того, что будет замкнуто отдельное эле-
ментарное реле. Для малых р (соответствующих случаю,
когда подана команда на размыкание) желательно до-
стигнуть величины h(p)<p, в то время как для боль-
ших р (соответствующих случаю, когда подана команда
на замыкание) желательно достичь величины h(p)>p.
Таким образом, релейная сеть представляет собой уст-
ройство с повышенной надежностью по отношению к от-
дельному реле, когда функция Л(р) имеет S-образную
283
форму. Например, рассмотрим сеть и связанную с ней
функцию, представленные на рис. 2.1.
Заметим, что связанная с этой сетью функция на-
дежности
Ц(р) =[1 —(;1_р)2]2=4р2_4рЗ + /,4
действительно имеет S-образную форму, причем h(p)<p
при р<0,382 и h(p) >р при р>0,382.
Рис. 2.1. Последовательно-параллельное соеди-
нение.
Таким образом, в данном случае, если вероятность
отказа типа обрыв для реле меньше 0,618, то данная по-
следовательно-параллельная сеть представляет соедине-
ние, надежность которого выше надежности отдельного
реле.
Могут быть получены некоторые общие свойства
функции Л(р). Отметим сначала, что
п
h(p) = ^AiPm-pr-\	(2.1)
1=0
где п — полное число реле в сети и Л,-— количество спо-
собов, которыми можно выбрать подмножества из i реле
в сети таким образом, чтобы при условии, что эти реле
замкнуты, а остальные реле разомкнуты, сеть была бы
замкнута.
Важный и интересный общий результат, касающийся
формы кривой h(p), заключается в следующем.
Теорема 2.1. (Теорема Мура и Шеннона). Пусть
h(p)^p есть произвольная функция надежности сети.
Если h(po)=po для некоторого ро (0<р0<1), тогда
h(p)<p для О<р<р0 и h(p)>p для ро<Р^ 1.
284
Это означает, что для любой сети функция Л(р) пере-
секает функцию h(p)=p (диагональ) на интервале
(О, 1) самое большее один раз, причем пересечение этой
диагонали происходит снизу вверх. Доказательство этой
теоремы основывается на доказательстве неравенства
Г1 - h (р)} h (р) > (\-р)р' 0 < р < 1 •	(2 2)
Теорема 2.1 следует отсюда, поскольку одно решение,
соответствующее равенству
к (Р)	_	1
[1 — h(p)}h (р)	(1 — р)р
есть решение h(p)=p, т. е. из неравенства следует, что
в точке пересечения функция й(р) имеет производную
Л'(р)>1, причем возможно самое большое одно пересе-
чение. Не будем приводить детально доказательство этой
теоремы, поскольку в § 4 будут получены результаты
для сетей более общего класса.
Другая верхняя оценка для функции ft(p) может
быть найдена для сетей, состоящих из п реле. Рассмот-
рим не только реализуемые функции Л(р), но вообще
все функции вида
п
h(p) = ^iAip4l-p)r(-i,
z=o
где	) с i = 0,1,2,...,п. (Это последнее неравен-
ство означает, что имеется всего не более ( j способов,
\ / /
при которых i реле находятся в замкнутом состоянии,
а п—i — в разомкнутом, причем сеть в целом остается
замкнутой). Мур и Шеннон называют функцию hQ(p)
кворум-функцией, если для некоторого	выпол-
няется условие
п
- hQ(p) = A&p*(\-p>T»+ £	(2.3)
где As<( п ). Кворум-функция соответствует сети, ко-
\ S /
торая замкнута при условии, что для некоторого
285
O^s^Zn более чем s реле замкнуто, и, наоборот, разомк-
нута, если для некоторого	замкнуто менее чем s
реле. Тогда можно показать, что для сети, состоящей из
заданного количества реле, например м, кворум-функция
наиболее чувствительна по отношению к надежности от-
дельного реле (т. е. понижается вероятность замыкания
Рис. 2.2. Повторная «компози-
ция».
же из п элементов. Если
<1) выполняется условие К
сети для малых вероятно-
стей замыкания отдельных
реле и повышается вероят-
ность замыкания сети для
больших вероятностей замы-
кания отдельных реле).
Теорема 2.2. (Теорема
Мура и Шеннона). Пусть
hQ(p) есть кворум-функция
сети, состоящий из п
элементов, a h(p) соот-
ветствует любой дру-
гой сети, состоящей так-
для некоторого р0 (0<р0<
?(p)=/l(p0), то
кд(р)<1г(р), О^р^ро и наоборот
ро<р^ 1.
Доказательство этой теоремы не приводится, однако
в дальнейшем в § 5 будет получен аналогичный резуль-
тат более простым способом для более общих сетей.
Сети можно строить различными способами.
1.	Если сеть 1, имеющая функцию fti(p), соединяется
последовательно с сетью 2, имеющей функцию h2(p), ре-
зультирующая сеть будет иметь функцию надежности
ht(p)h2(p).
2.	Если две сети соединены параллельно, то резуль-
тирующая сеть будет иметь функцию надежности
1—11—Л1(Р)][1—Л2(Р)].
3.	Если сеть 1 построена из элементов, каждый из ко-
торых сам по себе представляет сеть 2, то результирую-
щая сеть имеет функцию надежности
й(р)=й1(Мр))
286
Если hi^h2=h. и подобный процесс «композиции» по-
следовательно используется для построения сети, то по-
лучаем
h^(p)=h(h(h...h(p)...)).
Это может быть графически представлено на рис. 2.2.
Заметим, что последовательная композиция функции
h(p) привела бы в пределе к ступенчатой функции
lim Л(п> (р), поскольку ординаты слева от точки ро (где
«-►оо
h(po)=Po) стремились бы к 0, а ординаты справа от
точки р0 стремились бы к 1, в то время как Л(п)(ро) оста-
валась бы равной ро для любых значений п.
Строго это утверждение можно получить следующим
образом. Предположим, что Л(ро)=Ро Для некоторого
О<ро<1. Тогда для р<ро имеем й(р)<р, что влечет
/г(’1)(р)<й<"-1)(р) <...<р.
Поэтому ft(”>(p) убывает до некоторого предела, напри-
мер до L для р<ро- Поскольку й(р) есть полином не-
прерывный по р, то мы имеем
h(L) = h [lim h™ (р)] = lim h [hW (p)] =
«-►оо	«->oo
=±lim/iW(jt>) = L.
«-►00
Поэтому h(L)=L и L должно быть равным 0 по теоре-
ме 2.1, поскольку /и(р) может пересекать диагональ са-
мое большое один раз на открытом интервале '(О, 1).
Аналогичным образом доказывается и то, что
lim/t<n>(p) = 1 для р>ро-
«-►00
Как было отмечено выше, основной задачей работы
Мура и Шеннона была задача о построении сети с про-
извольной сколь угодно высокой надежностью из сколь
угодно ненадежных реле. Основной результат заключает-
ся в том, что для произвольного |&>0 и 0<а<с<1 мож-
но построить сеть такую, что
й(а)<б и Л(с)>1—б,
287
используя не более чем Лг реле, где
W = 81
1g 9
( 1 V®3/2 f>g И8~а Y
к c - “J \ lg K8” J ’
<	fa + c «
d = max I —1 —
Это означает, что из реле, вероятность ложного за-
мыкания которых равна а и вероятность ложного раз-
мыкания равна с, мы можем построить сеть, для которой
аналогичные значения ненадежностей могут быть меньше
любого произвольного положительного S. Количество
требуемых для этого реле ограничено величиной N, за-
писанной выше.
Можно найти нижнюю границу числа реле, требуе-
мых для достижения необходимой надежности сети. Для
сети, удовлетворяющей условиям
h(a) ^бь
S2,
требуется количество реле, равное по меньшей мере
(Н9]:
lg 1g Ъ
lg a ’lg (1 — с)'
Хотя указанные результаты были получены в предпо-
ложении о том, что вероятность замыкания реле остает-
ся постоянной во времени, они могут быть распростра-
нены и на другие случаи. Рассмотрим сеть, состоя-
щую из п реле, вероятность замыкания каждого из ко-
торых равна F(t) в момент времени /, причем отказы
всех реле независимы. Тогда вероятность того, что сеть
замкнута к моменту времени есть простоh(F(t)). Если
сеть должна быть замкнута в определенный момент вре-
мени /о, то нужно построить сеть таким образом, чтобы
Л(Г(/)) было бы меньше для t<t0 и больше для />/о.
В этом смысле могут быть просто интерпретированы
теоремы 2.1 и 2.2 данной главы. Теорема 2.1 показывает,
что сеть, состоящая из единственного реле, либо не мо-
жет быть сравнена с данной сетью, либо обеспечивает
288
худшее срабатывание. Теорема 2.2 показывает, что кво-
рум-сеть обеспечивает наиболее точное срабатывание по
сравнению со всеми остальными сетями такого же
объема.
3.	МОНОТОННЫЕ СТРУКТУРЫ
Структурная функция
В данном параграфе будут проведены исследова-
ния избыточных систем, приводящие к общим количест-
венным соотношениям, справедливым для широкого
класса структур. Подобного рода исследования система-
тически проводились в [19]. Здесь приводятся частично
результаты из этой работы, а также некоторые дополни-
тельные результаты, полученные в [51, 52].
Рассмотрим системы, которые могут находиться
в двух состояниях: состоянии полной работоспособности
и в состоянии полного отказа. Состояние системы будем
обозначать символом ср, который принимает значение 1,
если система работоспособна, и значение 0, если она от-
казала. Состояние каждого из и элементов рассматри-
ваемой системы обозначим символом xit который прини-
мает значение 1, если i-й элемент исправен, и значение О,
если i-й элемент отказал (f=U, 2, ..., м).
Предполагается, что состояние системы зависит впол-
не определенным образом от состояния ее элементов,
т. е. что ф есть функция от х= (хь х2, . • хп). Функцию
ф(х) будем называть структурной функцией системы.
Для систем, в которых нормальное функционирова-
ние каждого элемента может лишь способствовать нор-
мальному функционированию всей системы, из совер-
шенно интуитивных соображений могут быть приняты
следующие гипотезы:
I.	ф(1) = 1, где 1 = (1, 1, ..., 1),
II.	ф(0)=0, где 0= (0, 0, ..., 0),
III.	ф(х) ^ф(у) при условии, ЧТО X^yh f=l,
2, ..., и.
Гипотеза I означает, что если все элементы системы
нормально функционируют, то и система в целом функ-
ционирует нормально. Гипотеза II означает, что в слу-
чае, если все элементы системы отказали, то и вся систе-
19—1563	289
ма в целом отказала. Наконец, гипотеза III означает,
что нормальное функционирование любого из элементов
не может служить помехой для нормального функцио-
нирования системы в целом.
Системы, удовлетворяющие этим вполне естественным
условиям, будем называть системами с монотонной
структурой, поскольку они характеризуются монотон-
ными структурными функциями.
Приведем несколько примеров систем с монотонными
структурами.
Пример 1. (Система на замыкание.)
<р(х) = XiX2 + Xi(l—Х2)х3.
Xi —	-
Хэ
Пример 2. (Система на размыкание.)
ф (X) = Х\Х2 +' (1 —Х1) х2х3 + X, (1 — х2) х3.
(Понятно, что оба элемента х{ одновременно находятся
либо в состоянии 1, либо в состоянии 0.)
Пример 3. Система, работающая но принципу «два
из трех» (система работоспособна, если исправны по
крайней мере 2 элемента):
ф(х) =xix2(l— х3) +xi(l—х2)х3 4-1(1—хОхгХз+х^аХз.
«Пути» и «сечения»
Сети с одним входом и одним выходом, у которых
элементы могут находиться в двух состояниях, имеют
монотонные структуры. Для таких сетей термины «путь»
и «сечение» имеют понятный физический смысл. Эти же
термины совершенно естественным образом распростра-
няются и на системы, которые могут находиться в двух
290
состояниях и сами состоят из элементов, имеющих
два состояния. Для каждого состояния системы
х=(хь хг, .. •, хп) могут быть выделены два подмноже-
ства Л и В, такие, что
А ={/: хг= 1}, B = {i: Xj = 0}.
Если ф(х) = 1 и ф(у)=О для любого у^х, но не тож-
дественно равного х, то А есть минимальный путь систе-
мы. Если <р(х) =0 и ф(у) — 1 для любого у^х, но не
равного тождественно х, то В называется минимальным
сечением. Для монотонных структур минимальный путь
представляет собой минимально возможное множество
элементов, которое обеспечивает нормальное функцио-
нирование системы. Минимальное сечение — это мини-
мальное множество элементов, отказ которых приводит
к отказу системы. Размер минимального пути (минималь-
ного сечения) определяется числом элементов, принад-
лежащих этому пути (сечению). С каждым минималь-
ным путем Ajf j = l, 2, ..., г, можно связать двоичную
функцию
aj(x)= п	(3-1)
которая принимает значение 1, если все элементы в ми-
нимальном пути нормально функционируют, и 0 в про-
тивном случае. Очевидно, что а;- есть структурная функ-
ция системы, у которой все элементы, принадлежащие
/-му минимальному пути, соединены последовательно.
Аналогичным образом каждому минимальному сечению
Вь, Л='1, 2, ..., $, можно поставить в соответствие дво-
ичную функцию
Р*(х)=1- П (1 -*<).	(3.2)
которая принимает значение 0, если все элементы k-ro
минимального сечения неисправны, и 1 в противном слу-
чае (т. е. если нормально функционирует хотя бы один
из элементов этого сечения). Таким образом, р* есть
структурная функция системы, в которой все элементы,
принадлежащие k-му минимальному сечению, соединены
параллельно. Можно, как показано в [19], представить
19*	291
структурную функцию ф монотонной системы в терминах
an az, ..аг либо 02, •.₽s, а именно
или
f(x) = 1-П [1 - «Их)]	(3.3)
/=1
Ф(х)=П₽*<х)’	(3-4)
Л=1
т. е. как структуры, у которых минимальные пути соеди-
нены параллельно, или же структуры, у которых мини-
мальные сечения соединены в последовательную цепь.
П р и м е р 4. Мостиковая схема
ах = х1х5х4,
0С2 -
= XiX3,
а4 = х2х4,
Надежность
₽1=1-(1-х1)(1-х2),
р2=1-(1-х,)(1-х4),
1 — (1 — ХГ)(1 — Хв)(1 — Х4),
р4=1—(1—х,)(1—х5)(1—х2).
Теперь рассмотрим распределение вероятностей
состояний элементов. В частности, пусть
P1=P[Xi=l]=EXi
есть надежность i-го элемента, где Xi— двоичная слу-
чайная величина, принимающая значения 0 и 1 и обо-
значающая состояние /-го элемента. Структурная функ-
ция ф(х) системы — теперь двоичная случайная величи-
на с распределением вероятностей, определяемым
совместным распределением вероятностей величин
Х2, •. , Хп.
292
Назовем
Л=Р[ф(Х) = 1]=Еф(Х)
надежностью системы. В случае, когда состояния эле-
ментов взаимно независимы, как и будет предпо-
лагаться в этой главе, совместное распределение вели-
чин Хи Х2,..., Хп определяется значениями Рь р2, ..., рп
и, таким образом, мы можем записать
Л=/г(р),
где р=(Р), рг, ..., рп) - В дальнейшем функцию Л(р) бу-
дем называть функцией надежности системы. Если
pl=p2=.. ,—pn=pt то будем записывать просто h(p).
Заметим, что для монотонных структур с независи-
мыми элементами
Л(0)=Е[ф(Х)|Р1=0, .... рп = 0]=ф(0)=0,
Л(1) =Е1ф(Х)|Р1 = 1, ..., Рп=1]=Ф(1) =1.
У
Более того, Л(р) —возрастающая функция по каждо-
му из pi, как будет показано. Для /г(р) можно запи-
сать
h (р) = E<f (Xi.Х„) = pnE<f (Xlt... ,Хп - о 1) +
+ qnEf(Xi....Хп-иО) =
= Д? (Xi...Хп.и 0) + pnE [? (Xi Хп.и 1) -
~<?(Xi...Xn.i,Q)].
Поскольку для монотонной структуры по определе-
нию ф(Х1, ..Xn-i, 1)—ф(Аь ..., Xn-i, 0)>0, указан-
ное утверждение следует для Л(р) как функция рп- Ана-
логичным образом это же утверждение следует и для
h(p) как для функции pi, ..pn-i-
Используя это, можно получить следующую нижнюю
оценку для надежности системы с монотонной струк-
турой.
Теорема 3.1. Пусть Л есть ВФИ-распределения отка-
зов элементов системы с монотонной структурой, а сред-
ние значения этих распределений равны щ (/=1, ..., п).
Тогда для /<min(Pl, .... рп) для функции надежности
293
системы можно записать
/г:(Л(0>-.^п(0)- h ...,е-//и").
что соответствует случаю, когда в данной системе про-
изведена замена элементов с ВФИ-распределениями на
элементы с экспоненциальными распределениями време-
ни работы до отказа, но с теми же средними значениями.
Доказательство. Сначала напомним, что функ-
ция Л(рь ..., рп) монотонно возрастает по каждому из
аргументов. Затем заметим, что из теоремы 4.4 гл. 2 сле-
дует, что для t < min(p.n..., рчО,
е //и/, /=
Отсюда следует, что для tрч»),
л (Л (0>• • • > Рп (0) > Л (е“.е4^”).
Заметим, что теорема 3.1 обобщает соответствующий
результат для последовательных и параллельных струк-
тур, вытекающий из теоремы 4.4 гл. 2. Аналогичным об-
разом можно доказать следующую теорему.
Теорема 3.2.
Пусть монотонная структура, имеющая функцию на-
дежности А(р), состоит из идентичных элементов, каж-
дый из которых характеризуется ВФИ-распределением
времени безотказной работы общего типа (т. е. неэкс-
поненциального) со средним значением ц. Пусть /о>Ц
есть точка, в которой функция F(t) пересекается с е~//и.
Тогда функция надежности системы h(F(t)), в которой
элементы имеют ВФИ-распределение, пересекает функ-
цию надежности системы, элементы которой имеют экс-
поненциальное распределение, только один раз в точке/о,
причем сверху вниз.
Оценки надежности системы с использованием
минимальных путей и минимальных сечений
В [52] получены следующие оценки для надежно-
сти систем с монотонной структурой, состоящих из не-
зависимых элементов:
п Р (X) =-1] < р (f (X) = 11 <! - П {I - р К(Х)=1]},
k=\	/=1
(3.5)
294
где а, (/= 1, 2, ..., г) и (й= 1, 2, ..s) есть структур-
ные функции минимального пути и минимального сече-
ния, определенные в соответствйи с (3.1) и (3.2).
Вероятности в выражениях для этих оценок могут быть
найдены из простых формул параллельных и последова-
тельных соединений
РЫХ)=1]=Пя.	(3-6)
Wi
Р(Рм(Х)=1] = 1- п (1-А).	(3-7)
Эти оценки для функции надежности системы
й(р)=Е<р(Х) являются в некотором смысле аналогами
выражений (3.3) и (3.4) для структурных функций.
Интуитивные обоснования для этих функций совер-
шенно просты. Например, выражение (3.3) соответст-
вует последовательному включению всех элементов
минимального пути и последующему параллельному
включению таких последовательных цепочек. Конечно,
один и тот же элемент в действительности может вхо-
дить в состав более чем одного минимального пути.
Поэтому, рассматривая подобные структуры с физиче-
ской точки зрения, следовало бы предполагать наличие
некоторого механизма, который приводил бы к тому, что
один и тот же элемент во всех параллельно включенных
цепочках всюду находился бы в одном и том же состоянии.
В то же время правая часть выражения (3.5) представ-
ляет собой надежность системы, в которой элемен-
ты, стоящие в различных цепочках, являются независи-
мыми, т. е. подобная система характеризуется завышен-
ной надежностью по сравнению с оцениваемой структу-
рой. Сходная аналогия существует и между выражением
(3.4) и левой частью неравенства (3.5).
Теоретический интерес этих оценок заключается
в том, что они позволяют исследовать надежность про-
извольных систем на основе структур, имеющих только
последовательные или параллельные соединения.
Практический интерес эти оценки представляют для
таких систем, точное вычисление показателей для
которых слишком громоздко, а в то же время минималь-
295
ные пути и минимальные сечения могут быть найдены
тем или иным специальным образом. Можно привести
большое количество практических примеров, когда
подобный подход оказывается полезным.
Детальное доказательство справедливости оце-
нок (3.5) приводится в [52]. Приведем лишь основные
идеи этого доказательства. В основе получения этих
результатов, так же как и других результатов, относя-
щихся к исследованию структурной надежности, лежит
одна из модификаций неравенства Чебышева [75], гла-
сящая, что ковариация * двух возрастающих функций
от независимых двоичных случайных переменных неот-
рицательна.
Теорема 3.3. Пусть Хь Х2, ..., Хп есть независимые
двоичные случайные величины. Пусть /<(Х) (Z=l, 2)
есть возрастающая (убывающая) функция. Тогда
cov[f,(X). f2(X)]^O.
Доказательство теоремы 3.3 может быть легко по-
лучено, если показать, что для всякой функции f(X)
имеет место
Ef(X)=piEf(\i, X)+qlEf(Ol, X),	(3.8)
где
f(l„ X)=f(Xb ...,	1, Хг+1, ..., Хп),
f(0{, X) =№,   Xi-г, О, Х+1, ..., Хп).
Отсюда сразу следует, что для всякой функции /ДХ)
(/=1, 2) и любого Xi, выбранного из числа взаимно не-
зависимых случайных величин Л), ..., Хп:
cov [f,(X), ft (X)] = Picov [А (1Ъ X), A (A. X)] +
+ 4i cov [А (О,-, X), A (Of, X)] + ptfiE [A (1 j, X) -
- А (Оь X)] E [A (A, X) - f, (Оь X)].	(3.9)
* В отечественной литературе по теории вероятностей чаще
используется в подобных случаях понятие коэффициента корреля-
ции р(х, у) случайных переменных х и у. Связь между коэффи-
циентом корреляции и ковариацией объясняется следующим соот-
ношением:
cov (х, у)
₽(* ») =  d;-dv ’
где Dx и Dy соответственно дисперсии случайных величин хну.
(Прим, перев.)
296
Наконец, по индукции для системы из п элементов легко
убедиться из (3.9), что утверждение теоремы 3.1 спра-
ведливо.
Используя теорему 3.3, можно легко доказать нера-
венство (3.5). Поскольку Pfe(x)—возрастающая функ-
ция хь ..., хп, из (3.4) имеем неравенство
S	S	S
E<f (X) =£П ₽* (X) > п (X) =п Р	(X)=11,
*=1	Л=1	*=!
получающееся путем последовательного использования
теоремы 3.1. Аналогично из (3.3)
Е [1 - ? (X)] = £ П [1 - aj (Х)1 > П Е [1 - a, (X)] =
7=1	7=1
= ПР[1-аДХ)].
7=1
В качестве примера рассмотрим двухполюсник, по-
казанный на рис. 3.1. Нетрудно видеть, что минималь-
ными путями рассматриваемой .системы являются
12	156	1476	14896	342
3456	376	3752	3896
Аналогично, минималь-
ными сечениями являются
13 1478 1479 1456
2543 2578 2579	26.
На основании этих ми-
нимальных путей и сече-
ний для случая идентич-
ных элементов на основа-
Рис. 3.1. Двухполюсная сеть.
38952.
Надежность элемента р
Рис. 3.2. Границы для значе-
ний показателя надежности
двухполюсной сети.
297
нии формулы (3.5) сразу же получим
hL(p) ^h(p)^hu(p),
где
Ш = (Н2)2(Н4)6
и
hu(p) =1-(1-P2) (1-р3)3(1-р*)4(1-р5)2.
На рис. 3.2 представлены графики функций h(p),
hL(p) и hu(p).
4. S-ОБРАЗНЫЕ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ
ДЛЯ МОНОТОННЫХ СТРУКТУР
Как было показано в § 2, для релейных сетей S-об-
разпая функция показывает повышение надежности сети
в зависимости от надежности отдельного элемента. Кро-
ме того, из теоремы 2.1 следует, что функция надежно-
сти сети, если только она пересекает диагональ, пересе-
кает ее ровно один раз, причем снизу вверх, т. е. имеет
именно S-образную форму. Этот результат обобщен
в [19] на функции надежности монотонных структур при
идентичных элементах. Наконец, в [52] указанные свой-
ства распространены на функции надежности монотон-
ных структур, элементы которых не обязательно иден-
тичны.
Следовало бы, однако, отметить, что S-образность
функции вероятности замыкания релейной сети имеет
иной смысл, чем S-образность функции надежности моно-
тонных структур. Для релейной сети малая вероятность
замыкания реле соответствует команде на размыкание
(см. § 2), т. е. нам желательно получить как можно
меньшее значение вероятности h(p) того, что сеть замк-
нется для малых величин р. С другой стороны, в случае
надежности монотонных структур мы почти никогда не
желаем получить для системы надежность ниже, чем для
отдельно взятого элемента, даже если р мало. Однако
полезно знать, что для некоторого Ро надежность систе-
мы выше, чем надежность отдельного элемента для
р>Ро. Таким образом, нас интересует S-образность как
функции надежности системы, так и соответствующей
функции для релейных сетей.
Для установления S-образности функции надежности
монотонных структур докажем следующую лемму.
298
Лемма 4.1. Пусть ср(х) есть структурная функция мо-
нотонной системы, элементы которой характеризуются
соответственно надежности pi, рг, • •., рп. Тогда
cov
11
<р(х),£х<
/=1
var <р (X).
(4-1)
Доказательство. Достаточно доказать, что
п
cov ?(X),£Xi —<Р (X)
1
0.
(4-2)
Но последнее неравенство следует из теоремы 3.3, так
п
как обе функции <р (X) и Xi — <f (X) возрастающие.
I
Действительно, если система с монотонной структу-
рой имеет по крайней мере два существенных элемента,
то, как показано в [52], для (4.1) имеет место строгое
неравенство. (Элемент называется существенным, если
Ф(I,-, x)^<p(Oj, х) для всех х.)
Допустим, что в (3.9) выбраны /ДХ) =ф(Х), /2(Х) =
—Xi. Тогда
covfo(X), Х^ = р^Е{^\1, Х)-ф(0,., X)].	(4.3)
Но поскольку
Л(р) =Р(£ф(1ъ X)+qiEq(Qi, X),
дифференцирование дает нам
= E<f (h, X) - Е<? (0{, X).	(4.4)
После подстановки в (4.3) находим
cov [<р(X), А\] = PiQi-jfi’
Просуммировав по Z, получаем
cov
п	п,
х=1 -J i—1
(4-5)
299
Поскольку <р(Х) есть двоичная переменная, то, как из
вестно,
var(p(X) =Л(р)[1— Л(р)].
(4.6)
Подстановка (4.5) и (4.6) в (4.1) дает нам следующее
обобщение неравенства Мура—Шеннона (см. выраже-
ние (2.2)).
Теорема 4.2. Пусть Л(р) есть функция надежности
монотонной структуры, состоящей из независимых эле-
ментов, причем по крайней мере два из них являются
существенными. Тогда:
п
1)}]^^>/г(р)[1-Л(р)]->
/=1
(4.7)
2) если р1 = р2 = ., , = рп = р и Ii(pq)=pq для некото-
рого 0<р0<1, то h(p)<p для О^р<ро, поскольку
h(p)>p для р0<р<1.
В частном случае, когда р1=р2 = .. . = рп = р, усло-
вие 1 есть неравенство Мура—Шеннона (2.2), получен-
ное для двухполюсной сети в [119] и для монотонной
структуры в [19]. Как отмечено в § 2, из (2.2) следует,
что в точке пересечения функции h(p) с диагональю про-
изводная й'(р)>1, так что h(p) может пересечь диаго-
наль не более чем один раз, причем, если это имеет
место, пересечение происходит снизу, т. е. функция h(p)
имеет S-образную форму.
В [119], где рассматривается случай только идентич-
ных элементов, вводится семейство кривых
=	°>0.	(4 8)
Для этого семейства fc(0) =0, fc(l) = 1 и fc есть моно-
тонно возрастающая функция от р. Сама диагональ
fc(p)=p соответствует условию с=1. Если функцию
fc(p) интерпретировать как надежность системы с эле-
ментами, имеющими надежность р, то тогда дробь
fc/1— fc, характеризующая надежность системы, пропор-
циональна дроби р/1—р, характеризующей надежность
элемента.
300
Беря логарифм от обеих частей (4.8) и производя
дифференцирование, убеждаемся, что удовлетворяется
следующее равенство:
Применяя неравенство Мура—Шеннона (2.2), видим,
что, если Л(ро) =fc(Po) для некоторого ро(О<Ро<1)> т0
в точке р0
р0 (I - Д) > Л (А) [1 - h (А)] =
= fc (Л) [1 - fc (Ра)] = Ро (1 - А) Лг1-’
так что
dh(p9) dfc(Po) .
dp	dp
Таким образом, функция надежности монотонной си-
стемы с идентичными элементами при условии, что
в структуре -системы имеется не менее двух существен-
ных элементов, может пересекать кривую fc не более
чем один раз, причем, если такое пересечение имеет
место, то оно происходит снизу. Для систем, имеющих
ровно один существенный элемент (т. е. при h(p)=p),
функция надежности Л(р) совпадает с диагональю. Оце-
ним dh(p)ldp в точках р = 0 и р=1. Из (4.4) получаем
п	п
^L=S^L^=S£I’>(,<. Х)-Т(О„Х)|,
Z=1	i=l
так что
п	п
-о=Х(1<’0) _ ? (Ой 0)1 =Е? (1<> 0)*
р~	s
поскольку
Е [?(!<, X) |/> = 0] = MU0)
и
Е [?(0ъ Х)|р = 0] = <р(04,0) = 0.
301
Напомним, что
?(1<,Х)=т(Х1,Л’„...,Х<-1.1,Х<+1...........Хп),
? (0f, X) == ? (Xit X.Xi 0, Xi+t,...,Xn).
Поэтому <p(l,-, 0) равно 1 тогда и только тогда, когда
Z-й элемент есть минимальный путь размера 1. В про-
тивном случае <р(1,, 0) =0. Таким образом,	Рав"
няется количеству минимальных путей размера 1.
Аналогичным образом,
1=1
=2 {1 -?(°ь 1)},
т. е. равняется количеству минимальных сечений разме-
ра 1.
Для кривых fc можно записать
Сравнение производных в точках р=0 и р=1 приводит
нас к следующей классификации, которая в § 5 будет
применена для структур типа «k из п» (см. табл. 4.1).
Понятие S-образности возникло [19] в связи с фор-
мой функции надежности монотонной структуры, не
имеющей ни минимальных путей, ни минимальных сече-
ний размера 1.
Теперь применим обобщенное неравенство Мура—
Шеннона (4.7) для установления свойства S-образности
функции надежности монотонной структуры, состоящей
из элементов с разной надежностью. В этом случае
функция надежности структуры, состоящей из п элемен-
тов, образует n-мерное пространство. Для удобства ис-
следования формы функции надежности рассмотрим
случай, когда надежности отдельных элементов есть
функции какого-либо общего параметра. Так, например,
надежность различных элементов может возрастать
одновременно в результате определенной программы
302
Таблица 4.1
Количество путей размер 1	Количество сечений размер 2	Наклон функции h (р) относи- тельно fe (р)
0	0	h' (0) = 0 Л' (1) = 0; h(p) пересекает каждую кривую fc (р) (0 <С с < со) в некото- рой точке р0 (0< р0 < 0
j (1 < 1 < п)	0	h' (Q)=j, Л' (1) = 0; h (р) является касательной к fj (р) в точке р=0, h (р) пересе- кает каждую кривую fc (р) (j с °°) в некоторой точ- ке р0 (0< р0 < 1)
0	k (1 < k < n)	h' (1 )=0, Л' (\)=k\ h (р) яв- ляется касательной к fiz* (р) в точке р=1, h (р) пересека- ет каждую кривую fc (р) (0 < с <С 1/&) в некоторой точке р (0 < р < 1)
1	1	h (р)=р =fi (р); система имеете ровно один существен- ный элемент
технических усовершенствований. В этом случае надеж-
ность Z-ro элемента pi(t) может рассматриваться как
функция общего параметра—времени. Таким аналогич-
ным общим параметром, определяющим надежность эле-
ментов, 'может также являться общее количество матери-
альных средств, затраченных на усовершенствование
системы. Для подобной ситуации представляет интерес
следующий результат.
Теорема 4.3. Пусть р,(0) удовлетворяет для всех
I— 1, 2, ..., п. условию
0(1 -0)/Д0)>^(О) [1 -Л(0)Ь 0<6<1. (4.9)
Пусть й(р) есть функция надежности монотонной струк-
туры, имеющей по крайней мере два существенных эле-
мента. Тогда:
1) 0 (1 _ 6) -d/l(P<9» > h (р (D)) {1 - h (р (0))}, 0< 0 < 1;
(4.Ю)
303
2) А[р(0)] пересекает диагональ 8 самое большее
один раз, причем если такое пересечение и имеет место,
то снизу.
Доказательство. Из (4.7) имеем
п
Л(р)
1=1
п
i= 1
Заметим, что теорема 4.3 устанавливает, что нера-
венство (4.7) сохраняется и для композиции отдельных
элементов. (Условие (4.9) соответствовало бы, грубо го-
воря, все большему и большему возрастанию надежно-
сти с ростом 0 до некоторой точки 0О, после которой на-
дежность стремилась бы к единице все более и более
медленно.) В приводимом ниже следствии даются усло-
вия, при которых функция Л(р(0)) действительно пере-
секает диагональ ровно один раз.
Следствие. Дополнительно к условиям теоремы 4.3
предположим, что каждое из p;(0) действительно пере-
секает диагональ один раз и что функция'h(р) —функ-
ция надежности системы при идентичных элементах —
действительно пересекает диагональ ровно один раз.
Тогда функция Л(р(0)) пересекает диагональ ровно один
раз.
Доказательство. Для 0, достаточно близкого
к нулю, для которого Р/(0)^8, имеет место Л(р(0))
^Л(0)<О. Аналогично для 0, достаточно близкого к еди-
нице, для которого рД0)^0, имеет место /г(р(0))
Л(0)>8. Таким образом, Л(р(0)) пересекает диагональ
по меньшей мере один раз. Поскольку из теоремы 4.3
известно, что Л(р(0)) пересекает диагональ не более
одного раза, искомое утверждение следует сразу же.
Применим теорему 4.3 в случае, когда надежность
каждого из элементов рг есть функция времени, т. е.
пусть pi(t) = 1— где Л;(0 есть распределение вре-
мени жизни z-ro элемента (Z=l, 2, ..., п). Если каждое
из распределений есть ВФИ-распределение, то Л(р(О)
обладает определенным свойством гладкости.
304
Теорема 4.4. Предположим, что Л(р) есть функция
надежности монотонной структуры, имеющей по край-
ней мере два существенных элемента. Предположим
также, что длительность времени жизни Z-го элемента
имеет ВФИ-распределение. Тогда Л(р(/)) пересекает
каждую из кривых с/(с+1), где с>0, самое большее
один раз, причем если это имеет место, то пересечение
происходит сверху.
Доказательство. Пусть / = с(1/0—1), так что
Q = c/(c + t). Тогда надежность Z-го элемента определяет-
ся через рг(0) или через Fi(t) = 1—Л(/). Таким обра-
зом, если Г/(/) есть интенсивность отказов Z-го элемента,
то
п (0 =
МО />Ч(9)-97с
А (0 - Pt (9)
(4.Н)
Поскольку Fi есть ВФИ-распределение, то
A.W МО
/ЗДЛ(0
<0
для Неравенство сохраняет справедливость, если
заменить Fi(x) на 1. Интегрируя по х от 0 до t, полу-
чаем
МО
Совместное решение с (4.1) дает нам
в2
/^р;.(0)>л(0) [1-Л(0)].
Поскольку tb/c = 1 —0, можно записать
О (1 - 0) P'i (6) > Pi (0) [1 - Pi (0)], i = 1,2.n.
Применив теорему 4.3, получим желаемый результат.
Таким образом, структурная надежность как функ-
ция времени пересекает каждую кривую из семейства
гиперболических не более чем один раз при условии, что
каждый из элементов имеет ВФИ-распределение време-
ни работы до отказа.
Теорема 4.3 дает нижнюю оценку для dft(p(0))/rfO,
когда Pi(0) удовлетворяет условию (4.9). Можно также
20—1563	305
получить верхнюю оценку при соответствующих предпо-
ложениях относительно pi(9).
Теорема 4.5. Пусть р>(0) удовлетворяет для всех
Z= 1, 2,..п следующим условиям:
6(1 -6)р'ае)<л(0)11 -А(0)]> О<0<1. (4.12)
Пусть й(р) есть функция надежности монотонной струк-
туры, имеющей по крайней мере два существенных эле-
мента. Тогда
0(1-6)
dft(p(9))
d6
А(0) [1-jMO)].
(4.13)
Доказательство.
((i-d)4 = (i(i_«)£-«
/=1
п
= cov
(п
/=1
<
D?(X)DSXi ,
т. е. коэффициент корреляции не может достичь 1. За-
метим, что последнее равенство записано на основании
(4.12), а последнее неравенство — на основании (4.5).
Поскольку
£)<р(Х) = й(1 — й),
DSXi=£A(0)[l - А(0)],
Т
то мы получаем условие (4.13).
306
в частном случае идентичных элементов, когда
pt(Q) =р (/=1, 2, ..., п), мы получаем известный резуль-
тат [119]
dft(/>)	-Л)
dp "-V (1-р)р
5. СТРУКТУРА ТИПА «А из п»
Напомним, что структура типа «А из п» — это та-
кая структура n-го порядка, которая нормально функ-
ционирует тогда и только тогда, когда работоспособны
по крайней мере k элементов, где	Такие струк-
туры занимают важное место, потому что, как будет по-
казано ниже, среди всех структур n-го порядка они ха-
рактеризуются наиболее чувствительной функцией на-
дежности (см. теорему 5.2). С математической точки
зрения использование структур типа «Л из п» также
удобно, поскольку количественные результаты в этом
случае легко получаются. Заметим, что частный случай
k=n соответствует хорошо известному последовательно-
му соединению, а частный случай Л=1 —параллельному
соединению. Интересным случаем, важным для практи-
ки, является случай, когда k=n—1, т. е. такая система,
в которой отказ одного элемента не нарушает работо-
способности системы, а отказ хотя бы двух элементов
приводит уже к отказу системы.
Исследуем случай, когда все элементы имеют одина-
ковую надежность р и отказы элементов являются неза-
висимыми.
В этих предположениях надежность структуры типа
«Л из п» определяется по формуле
п
h(p-, k, п) =	(1 -Р)ПЧ (5.1)
i=k 4
что по хорошо известной формуле [118] эквивалентно
к (р; *«)=(„_ ,,ц„_4х*" " “	(52)
О
Из неравенств Мура—Шеннона для монотонных
структур (2.2) известно, что h(p-, k, п) пересекает диа-
20*	307
гональ не более одного раза. Если 1<&<п, из табл. 4.1
можно заключить, что функция ft(p; k, п) действительно
пересекает диагональ ровно один раз. Дальнейшую ин-
формацию, касающуюся вида функции надежности, мож-
но получить, беря вторую производную. Находим, что
h"(p-,k,n)>0, 0<р<£-1
h"(p-,k,n)<0, ^<р<1
для \<k<n. Таким образом, функция h(p\ k, п) являет-
ся выпуклой по р для O^.p^(k—1)/(п—1) и вогнутой
для (k— l)/(n— 1)
Для 1<£<п точка пересечения функции ft(p; k, п)
с диагональю находится как корень pk,n уравнения
/г(р; k, п) = р,
где /г(р; k, п) задается уравнением (5.1) или (5.2). Чис-
ленные значения корней pk,n табулированы в табл. 5.1
[19] для п=2(1)25 и & = 2(1)п—1. Заметим, что pk,n=
~ 1 pn+l—fe,n«
Из табл. 5.1 сразу видно, является ли структура
типа «к из п» более надежной, чем одиночный элемент
с заданной надежностью р, или нет.
Продолжим доказательство того, что структура типа
«k из п» наиболее чувствительна к изменению надежно-
сти отдельных элементов среди структур п-го порядка.
Сначала нам необходимо доказать одну основную лем-
му, позволяющую сравнивать между собой две любые
структуры одного и того же порядка. Пусть Лг- равняет-
ся количеству различных способов функционирования
ровно I элементов таким образом, что и вся структура
в целом при этом нормально функционирует.
Лемма 5.1. Пусть
hU}(p) =	1= 1 -2.
308
Таблица 5.1
Решение pfcn уравнения h(p\k, п) = р для ре (0,1)
п	k											
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	н	12	13
3	0,500											
4	0,232											
5	0,131	0,500										
6	0,083	0,347										
7	0,058	0,256	0,500									
8	0,042	0,197	0,395									
9	0,032	0,158	0,322	0,500								
10	0,025	0,129	0,268	0,421								
11	0,020	0,108	0,228	0,361	0,500							
12	0,016	0,092	0,197	0,314	0,437							
13	0,013	0,080	0,172	0,276	0,387	0,500						
14	0,011	0,070	0,152	0,246	0,345	0,448						
15	0,010	0,062	0,136	0,220	0,311	0,405	0,500					
16	0,010	0,055	0,122	0,199	0,282	0,368	0,456					
17	0,008	0,050	0,111	0,181	0,257	0,337	0,418	0,500				
18	0,007	0,045	0,101	0,166	0,236	0,310	0,385	0,462				
19	0,006	0,041	0,092	0,153	0,218	0,286	0,356	0,428	0,500			
20	0,006	0,037	0,085	0,141	0,202	0,266	0,331	0,398	0,466			
21	0,005	0,034	0,079	0,131	0,188	0,247	0,309	0,372	0,436	0,500		
22	0,005	0,032	0,073	0,122	0,175	9,231	0,289	0,349	0,409	0,470		
23	0,004	0,030	0,068	0,114	0,164	0,217	0,272	0,328	0,385	0,442	0,500	
24	0,004	0,027	0,064	0,107	0,154	0,204	0,256	0,309	0,363	0,418	0,473	
25	0,004	0,025	0,060	0,101	0,145	0,193	0,242	0,292	0,343	0,395	0,448	0,500
о Для k > п/2 : р. = 1 — р
о	k, п гл + 1 — k, п
есть функция двух структур n-го порядка. Предположим,
что существует целое число k	такое что
А("<А%\ t = 0,
i = 6+l, 6 + 2,...,/?,
причем некоторые неравенства являются строгими. Тогда
h№(p) пересекает №(р) не более одного раза при
0<р<1, и если h^(p) действительно пересекает №(р)
на этом интервале, то пересечение происходит снизу.
Доказательство. Запишем
Л(1) (р) _	(р) = £ (Л<') - Д<2>) р<. q- - i,
i=0
где
д(1)_д(2) (<0, 1 = 0,1,..., 6,
*	1‘ |>0, / = 6+1, 6 + 2,...,п,
при выполнении строгого неравенства по крайней мере
в одном случае. Пусть
h^(p)-h^(p)=q-g(x),
где x=pfq. Заметим, что q есть многочлен от х, причем
с изменением р от 0 до 1, х изменяется от 0 до оо. В со-
ответствии с правилом знаков Декарта функция g(x)
имеет не более одного положительного действительного
корня, поскольку коэффициенты имеют не более одной
перемены знаков. Таким образом, h^(p)—№(р) имеет
не более одного положительного действительного корня
на интервале 0<р<1.
Предположим, что Я(1)(р)—№(р) действительно име-
ет положительный реальный корень на интервале (0, 1).
Тогда для некоторого I (О^/’^б) будет выполняться
условие А^} < А^. Следовательно, для положительного
р, достаточно близкого к 0, А(1)(Р)—6(2)(р)<0. Таким об-
разом, разность h^(p)—№>(р) отрицательна слева от
корня и положительна справа.
Лемма 5.1 дает простые достаточные условия для
определения того, какая из двух структур обладаем бо-
310
лее «крутой» функцией надежности. Заметим, что не де-
лалось предположения о том, что структура является
монотонной. Лемма 5.1 была использована для доказа-
тельства того, что структура типа «£ из п» имеет наибо-
лее «крутую» функцию надежности среди любых струк-
тур п-го порядка. Этот результат обобщает теорему 2 из
[119]. (Хотя рассматриваемые в этой работе кворум-
функции незначительно отличаются от функций типа «k
из п», доказательство указанной теоремы может быть
проведено аналогично доказываемой ниже теореме.)
Теорема 5.2. Пусть h(p) представляет функцию на-
дежности произвольной структуры п-го порядка, не иден-
тичную функции h(p; k, п) структуры типа «& из п».
Тогда h(p) и h(p; k, п) пересекаются на интервале (0, 1)
самое большее один раз. Если же они действительно пе-
ресекаются, то h(p; Ji, п) пересекает h(p) снизу.
Доказательство. Запишем
' h (р; k,~n)'= У А^р{дп~',
1=0
где
( 0, i = 0,1,. ,,k— 1,
ч
1’	]("\ i = kt fe+l,...,n,
и
h(p) = yi А1?р*д”~{.
i=0
Ясно, что Л’.1’<Л*.2) для г = 0, 1,..., k—1 и Л^^Л/2*
для t=k, £+1, ..., п, причем строгое неравенство выпол-
няется хотя бы для некоторых i. Доказываемое утверж-
дение тогда сразу следует из леммы 5.1.
Наконец, если рассмотреть структуру типа «£ из п»,
у которой каждый из элементов имеет ВФИ-распределе-
ние F со средним ц, причем все элементы взаимно неза-
висимы, можно получить следующие оценки для надеж-
ности структуры:
311
е—//|х
А (/-(/))
(k— 1)!(п — 4)! j хк ’(1 kdx,t<p,
о
П\ I -Хч
<(k-\)\{n- k)\ f — x)n-kdx,t^i>..
0
где х0 удовлетворяет уравнению 1—x0 = e *о/и’
(см. теорему 4.5 гл. 2). Если известны два первых мо-
мента, то полученные оценки могут быть улучшены при
помощи таблиц, помещенных в пятой статье дополнения.
6. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ
ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ОТКАЗОВ СИСТЕМЫ
И ИНТЕНСИВНОСТЯМИ ОТКАЗОВ
ЭЛЕМЕНТОВ
1. ВВЕДЕНИЕ
Как уже неоднократно указывалось, большое коли-
чество интересных и важных результатов может быть
получено, если известно, что интенсивность отказов си-
стемы является возрастающей. Ясно, что было бы жела-
тельным получить простые достаточные условия, при
которых система имеет возрастающую интенсивность
отказов, если каждый из ее элементов имеет возрастаю-
щую интенсивность отказов. В данном параграфе будет
получено такое условие для системы, состоящей из
идентичных элементов. Для систем, состоящих из эле-
ментов с различной надежностью, будут найдены верх-
няя и нижняя оценки, которые являются возрастающими
функциями. В дополнение получим более общее соот-
ношение между интенсивностью отказов системы и ин-
тенсивностями отказов отдельных элементов. Изложен-
ное основывается на работе [53].
Основная теорема для систем с идентичными
элементами
Предположим, что система состоит из идентичных
и взаимно независимых элементов. Время работы до от-
каза каждого элемента распределено по произвольному
312
закону F(t)- В любой заданный момент времени t на-
дежность элемента равняется р=/’(/)• Соответствующую
функцию надежности системы обозначим, как и ранее,
через h(p).
Основной результат этого параграфа заключается
в следующей теореме.
Теорема 6.1. Предположим, что система, состоящая
из независимых элементов, имеет функцию надежности
Л(р) и каждый из элементов характеризуется распре-
делением времени безотказной работы F, имеющим плот-
ность f. Тогда:
R(t) _phr (р)
r(t) h(p)
P=F(t)
где r(t)=f(t)/F(t) обозначает интенсивность отказов
элемента в момент времени t и \R(t) обозначает интен-
сивность отказов системы в момент времени /;
2) R(t)/r(t) есть возрастающая функция от <t тогда
и только тогда, когда ph' (p)]h\p) есть убывающая функ-
ция от р;
3) если r(t) есть возрастающая функция от t и
ph' (p)/h(p) есть убывающая функция от р, то R(t) есть
возрастающая функция от /.
Результат 3 дает нам простое и достаточное условие
того, что система сохраняет монотонную интенсивность
отказов, если она состоит из идентичных и взаимно не-
зависимых элементов. Приведем важный класс систем,
удовлетворяющих этому достаточному условию.
Для того чтобы доказать /, обозначим через S(t) ве-
роятность того, что система не откажет до момента вре-
мени /, т. е. S(t) =h(F(t)). По определению
— Ю_Л' (р)
S(0 “ h(p)
_f(0 =
р=т
рПр)|
(Р) I p=Jp(t) F (0 9
так что
/?(/) =ph' (р)|
Г (0 h (Р) I p=F(t)
что и доказывает /.
313
Для доказательства 2, заметим просто, чтоp=F(t) есть
убывающая функция от t.
Наконец, 3 немедленно следует из 2 и из того, что
р есть убывающая функция от t.
Важнейшим классом структур, для которых
ph' (p)/h(p) является убывающей функцией р, являются
структуры типа «Л из п», рассмотренные в § 5. Для
этого класса структур в теореме 5.5 гл. 2 доказано, что
если элементы независимы и имеют одинаковое ВФИ-
распределение времени безотказной работы, то время
безотказной работы такой системы также имеет ВФИ-
распределение. Приводимый ниже пример показывает,
что этот результат не имеет места, если распределение
времени безотказной работы отдельных элементов не
являются ВФИ-распределением.
Действительно, можно составить новую систему, у ко-
торой ph'(p)lh(p) является убывающей функцией, путем
композиции систем, имеющих такие же свойства. Под
композицией будем понимать такую новую систему, каж-
дый элемент которой есть исходная система. Если Л =
—fig) с g'(P) то> поскольку
pH (р).._ gf' (g). Pg' (р)
Л(Р) Hg) ' g(P) ’
указанное свойство сохраняется и для^композиции.
Применения
Для систем, состоящих из идентичных взаимно не-
зависимых элементов, каждый из которых имеет экспо-
ненциальное распределение времени работы до отказа,
применение теоремы 6.1 является крайне простым. Для
заданной системы из идентичных элементов с распреде-
лением отказов F(/) = l—e~xt интенсивность отказов как
функция /?(/) имеет столько же перемен знака произ-
водной, сколько ph'(p)lh(p) как функция р. Более того,
эти изменения происходят в противоположном порядке.
В частности, если ph'(р) /h(p) убывает, то R(t) возраста-
ет. Это следует из того, что поскольку r(t) =Л, то на ос-
314
новании утверждения 1 теоремы 6.1 имеем
р (/\_____3 Ph'
P=F{t)
Поскольку р=/?(/) есть убывающая функция /, наше ут-
верждение справедливо.
Пример. В теореме 6.1 показано, что системы, со-
стоящие из одинаковых элементов с экспоненциальным
распределением времени до отказа, не обязательно име-
ют монотонную интенсивность отказов. Например, рас-
смотрим систему, представленную на рис. 6.1. Эта система
состоит из двух подсистем, соединенных параллельно.
Первая из них имеет k последовательно соединенных
элементов, а вторая состоит всего из одного элемента.
Рис. 6.1. Структура системы для примера.
Предположив, что все элементы взаимно независимы и
имеют экспоненциальное распределение отказов
£(i/)=4— еЧ
вычислим вероятность S (t) того, что система не откажет
к моменту времени /:
S(/) = l—(l—e-9(l—e-ft9.
Таким образом,
P(f\—	s'(0 __e~' +	— (k+ 1)е-(л + П«
S(0”:	е-* + е-*‘ —е-(* + Ф
и, следовательно,
sgn /?'(t) = sgn [— (k — I)2 + k2e~1 + e-M].
Заметим, что для любого целого числа k>\ для / = 0
знак положителен, в то время как для /=оо знак отри-
цателен. Таким образом, опасность отказов рассматри-
ваемой системы не монотонна для k>\.
315
Этот же пример является примером, подтверждаю-
щим предположение о том, что системы типа «k из и»,
состоящие из неидентичных'элементов с ВФИ-распреде-
лениями, сами не обязательно имеют ВФИ-распределе-
ния. (Для этого достаточно для данного примера счи-
тать, что группа последовательно соединенных элементов
есть один элемент.) В качестве следующего примера,
когда система не имеет ВФИ-распределения, несмотря
на то, что каждый из ее элементов имеет ВФИ-распре-
деление, рассмотрим параллельное соединение, у кото-
рого Z-й элемент имеет распределение отказов Fi (/=1,
2, ..., п). Пусть распределение F{ разрывно в точке /0,
являющейся концом интервала существования этого рас-
пределения. Пусть, далее, распределение F2 непрерывно
в точке /0> причем F2(tfo) <1-
Тогда распределение времени безотказной работы систе-
п
мы	является разрывным в точке t0, причем
|’=1
п
П (0 < 1 > и таким образом, распределение времени без-
= 1
отказной работы системы не может быть ВФИ-распреде-
лением, поскольку ВФИ-распределение может иметь раз-
рыв только в точке, являющейся правым концом интер-
вала существования.
Легко убедиться, что для структурной функции си-
стемы, имеющей k независимых, соединенных последова-
тельно элементов, R(t)/r(t) =k. Заметим, что
*(0 = “^=^).
Интересно отметить, что возможно следующее преоб-
разование этого результата. Пусть имеется система,
у которой Л(1) = 1 и R(t)/r(t)=k для всех 0^tf<oo.
Тогда отсюда следует, что k должно быть целым числом
и данная система должна состоять из к последовательно
соединенных элементов, а остальные элементы, если та-
ковые вообще имеются, должны быть несущественными.
(Несущественными элементами назовем такие элементы,
состояние которых никак не оказывает влияния на со-
стояние системы в целом.) Чтобы убедиться в справед-
316
ливости этого утверждения, заметим, что условие
R(t)/r(t)=k влечет за собой в соответствии с теоре-
мой 6.1 выполнение условия ph'(p)/h(p)=k. Отсюда,
интегрируя, получаем h(p)=dp\ где d есть некоторая
константа. Используя предположение Л(1) = 1, находим,
что d долж|но быть равно 1. Таким образом, Л(р)=/А
Поскольку система состоит из конечного числа элемен-
тов, /г(р) должна быть многочленом, и, следова-
тельно, k должно быть целым числом. Единственной ко-
нечной системой, состоящей из независимых элементов,
с функцией надежности рк является последовательное
соединение k элементов с любым добавлением несущест-
венных элементов.
Оценки для интенсивности отказов систем,
состоящих из неидентичных элементов
Теперь рассмотрим систему из п независимых эле-
ментов, причем вероятность безотказной работы Z-ro эле-
мента за время t равняется p{(Z)=l—Fi(t) (Z=l,
2, ..., и). Если Л(р)—функция надежности системы
(где p=(pi, ..., рп)); S(Z)—вероятность безотказной
работы системы за время Z; R(t)—интенсивность отка-
зов системы, то, поскольку S(Z) =h(p (/)), получаем
п	п
dS___«Л dh / dpt\___dh f
dt~2jdpi\ dt )—2j dpt fi( )'
i = l	1=1
Следовательно,
n (t\ — ~dS/dt _ V (0 fi (0 _
S(t)	S(t) dpt Ft(t)~
i=l
(6->)
i=l
Уравнение (6.1) показывает, что интенсивность отка-
зов системы есть скалярное произведение двух векто-
ров: вектора, у которого Z-я компонента есть
pidh/dpi
\(Р) ’
317
и вектора, у которого /-я компонента есть г< (/). Заметим,
что первый вектор есть структурная функция безотноси-
тельно к интенсивностям отдельных элементов, а второй
вектор есть функция интенсивностей отказов элементов,
не зависящая от структуры системы.
Используя (6.1), можно получить оценки для интен-
сивности отказов системы R(t) в следующем виде:
- п
Spjdh/dpi
h(9)
L i=l
min (0 <
- n
<*«><
-1=1
max Г{ (/).
Далее, покажем, что для систем типа „k из п* сумма
п
вида J Pih(Q)Pi является строго убывающей по каждому
i=i
из pi, ..., рп. Таким образом, для системы типа «й из п»
можно найти оценки сверху и снизу, такие, что они будут
строго возрастающими функциями при условии, что ин-
тенсивности отказов элементов возрастающие. Этот ре-
зультат особенно интересен в связи с тем, что, как видно
из примера в данном параграфе, функция R(t) не обяза-
тельно возрастает для систем типа из п», состоящих
из неидентичных элементов, каждый из которых имеет
ВФИ-распределение времени безотказной работы.
Теорема 6.2. Пусть Л(р) есть функция надежности
системы типа «k из п», состоящей из независимых эле-
ментов. Тогда
“(p)=S^
i=l
строго убывает на интервале O^p^'l (/=1, 2, ..п).
Доказательство. Функцию h(р) можно предста-
вить в развернутом виде
А(Р) = АЙ(1йР) + (1-Л) л (ОйР).
319
где h(lt, р) — условная функция надежности при исправ-
ном элементе и Л(0<, р) есть условная функция надеж-
ности при отказе Z-ro элемента. Отсюда следует, что
^ = Л(11,/;)-Л(О1-,р) =

где Xj= l или 0 в зависимости от того, исправен j-й эле
мент системы или нет.
Следовательно,
1^1
Таким образом,
п	п
1—
Zsil	1=1 L	]чЫ
= kP \£Xi = k}
каждый член, используемый при вычислении 'ZXj=k, бу-
дет появляться ровно k раз, как при вычислении
£ppG=l, =
Итак, достаточно будет доказать, что
Р [SXi = £]
P[^Xj^k\
строго убывает по pi (Z=l, 2, ..., и) или, что эквива-
лентно,
P{zxy2>k+ 1]
P\VXi^k\
319
строго возрастает по pi (/—1, 2, ..., п). Это, в свою оче-
редь, эквивалентно доказательству того, что для Pi<p'i
P[^Xi>k+l\Pi]
|р\1
= At
LXpk
м*
>k— 1

Ho Ai = Piq'i — p'tqi<,0. Более того, легко убедиться, что

функция р
является вполне позитивной бес-
конечного порядка в разностях по k [100], поэтому за-
писанный определитель не отрицателен. Действительно,
можно доказать, что он даже положителен. Таким обра-
зом, требуемое утверждение доказано.
320
ДОПОЛНЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ
НАБЛЮДАЕМОГО УБЫВАНИЯ
ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ*
Ф. ПРОШАН
1. ВВЕДЕНИЕ
Легко принять предположение о том, что элемент
имеет возрастающую интенсивность отказов, поскольку
это можно хорошо объяснить явлениями износа.
Гораздо труднее объяснить, почему элемент может
иметь убывающую интеноивность отказов. Обычно счи-
тается, что убывающая интенсивность отказов соответст-
вует некоторому физическому механизму улучшения
характеристик с течением времени. Однако имеется ряд
ситуаций, когда какие-либо процессы улучшения харак-
теристик отсутствуют, но все же наблюдается убываю-
щая интенсивность отказов.
В разделе 5 данной работы будет показано теорети-
чески, почему распределение времени жизни может иметь
убывающую интенсивность отказов при определенных
условиях. Затем будет применен один новый критерий
проверки монотонного изменения интенсивности отказов
на основании данных о наработке.
Исследуемые данные были получены при наблюдении
за отказами системы кондиционирования воздуха в са-
молетах Боинг-720. В табл. 1 приведены реализации
интервалов между отказами. Примерно через 2 000 час
работы самолет подвергается капитальному ремонту.
Выявленные во время ремонта отказы в список отказов
не включаются.
Основной целью сбора статистических данных явля-
лось, конечно, получение информации о распределении
времени безотказной работы системы кондиционирова-
ния воздуха для предсказания надежности, выработки
правил технического обслуживания и определения необ-
ходимого количества запасных частей.
* F. Proschan. Theoretical Explanation of Observed Decrea-
sing Failure Rate. Technometrics, 1963, vol. 5, № 3, p. 375—383.
21—1563	321
Таблица 1
Интервалы между отказами
Номер самолета
7907	7908	7909	7910	7911	7912 |	7913	7914	7915	7916	7917	8044	8045
194	413	90	74	55	23	97	50	359	50	130	487	102
13	14	10	57	320	261	51	44	9	254	493	18	209
41	58	60	48	56	87	И	102	12	5		100	14
29	37	186	29	104	7	4	72	270	283		7	57
33	100	61	502	220	120	141	22	603	35		98	54
181	65	49	12	239	14	18	39	3	12		5	32
	9	14	70	47	62	142	3	104			85	67
	169	24	21	246	47	68	15	2			91	59
	447	56	29	176	225	77	197	438			43	134
	184	20	386	182	71	80	188				230	152
	36	79	59	33	246	1	79				3	27
	201	84	27	**	21	16	88				130	14
	118	44	♦*	15	42	106	46					230
	*♦	59	153	104	20	206	5					66
	34	29	26	35	5	82	5					61
	31	118	326		12	54	36					34
	18	25			120	31	22					
	18	156			11	216	139					
	67	310			3	46	210					
	57	76			14	111	97					
	62	26			71	39	30					
	7	44			11	63	23					
	22	23			14	18	13					
	34	62			11	191	14					
		**			16	18						
		130			90	163						
		208			1	24						
		70			16							
		101			52							
		208			95				<			
(•• — капитальный ремонт).
322
2. АРГУМЕНТЫ ПРОТИВ ПРИЕМЛЕМОСТИ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДЛЯ СГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ
Поскольку первоначальной задачей проводимого
анализа являлось предсказание надежности и выработка
рекомендаций для парка самолетов Боинг-720, а не для
отдельных экземпляров, то при предварительном анали-
зе ‘интервалы между отказами для различных самолетов
были сгруппированы вместе и была построена единая
общая гистограмма, характеризующая эмпирическую
функцию распределения времени безотказной работы
(рис. 2.1). Затем было вычислено среднее значение х для
всех интервалов: х=93,14. Экспоненциальное распреде-
ление времени безотказной работы для этих сгруппиро-
ванных данных
J(/)=e~</93,14.	(1)
По критерию Колмогорова—Смирнова было оценено со-
ответствие экспоненциального распределения опытным
данным [193]. При правильности гипотезы экспоненцналь-
ности распределения для больших п примерно с вероят-
ностью 0,95 эмпирическая частота не отличается от вы-
ражения (1} более чем на 1,3581 /ГТ. В данном случае
21*	323
верхняя и нижняя оценки эмпирической частоты получа-
ются путем прибавления и вычитания величины
=0,0931 из (1), как это показано на рис. 2.1.Заме-
тим, что эмпирическая частота полностью лежит между
верхней и нижней оценками. (Следует заметить, что кри-
терий Колмогорова—Смирнова не используется для
оценки параметров, а позволяет сравнивать эмпириче-
ское распределение с известным точным распределением.
Однако, поскольку предварительный анализ основывает-
ся на большом числе наблюдений, различие между оцен-
кой и истинным средним значением мало.)
Однако в действительности экспоненциальное распре-
деление не является подходящим, хотя критерий Колмо-
горова—Смирнова и не отвергает этой гипотезы. Это
видно из того, что эмпирическая кривая систематически
лежит ниже соответствующей экспоненциальной функции
для 0^1/^150 и выше для 150. При этом эмпири-
ческая зависимость пересекает экспоненту ровно один
раз, причем снизу. Это позволяет сделать предположе-
ние, что распределение времени между отказами имеет
убывающую интенсивность отказов, которая подтверж-
дается теоремой.
Теорема 1. Пусть F есть распределение с плотностью f,
удовлетворяющее условиям:
a)	F(t) =0 для '/<0;	_
б)	интенсивность отказов r(t) —fубывает
при t^Q;
в)	F(iP) —р, т. е. есть p-я квантиль.
Тогда
W) Г «е-для «st,,
I >е для
где а = — lg(l— р)Цр.
Доказательство. Утверждение следует немед-
ленно из следующих лемм.
Лемма 1. При предположениях а и б теоремы 1 функ-
ция lg.F(0 выпуклая для 0^/^оо.
Доказательство. Производная от lgF(0 есть
—/(f)/P(/), т- е- возрастающая функция для
по предположению.
324
Лемма 2. При предположениях а и б функция
{J(/)}I/Z возрастает для
Доказательство. По лемме 1
lgF(0-lg^(0)
/ — О
возрастает при /^0. Следовательно,	возрастает
при
3. ОТНОСИТЕЛЬНО ТЕНДЕНЦИИ
ИЗМЕНЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ
ОТКАЗАМИ
Для определенного самолета может оказаться, что
имеет место тенденция увеличения или уменьшения ин-
тервалов между отказами с течением времени. Увеличе-
ние интервалов времени между отказами может быть
следствием того, что растет опыт обслуживания персо-
нала, происходит «выжигание» слабых мест, устранение
дефектных узлов. Уменьшение же этих интервалов мо-
жет быть результатом износа, старения или плохого тех-
нического обслуживания.
Для определения того, имеется ли какая-либо тен-
денция изменения интервалов между отказами, исполь-
зуется непараметрический критерий, разработанный
в [114]. Пусть Х2, ..., Х„ — интервалы между отказа-
ми для данного самолета. Пусть Тп есть число случаев,
когда более ранний интервал меньше одного из более
поздних интервалов (т. е. это число неравенства Xi<Xj
при Kj). Если два интервала равны, то к величине Тп
следует добавить 1/2. Так, для самолета № 7907 Т6 = 8,
поскольку среди 15 возможных сравниваемых пар
в 8 случаях ранний интервал меньше более позднего.
В табл. 2 приводятся результаты наблюдений. Заме-
тим, что статистика для периода времени, предшество-
вавшего капитальному ремонту, отделена от последую-
щей статистики (в таблице все, что относится к периоду
после капитального ремонта, отмечено индексом «МО»,
стоящим после номера самолета). В столбце 2 стоит
п — число наблюдавшихся интервалов. В столбце 4 сто-
ит математическое ожидание ЁТп случайной величины
325
co
ю
О)
Таблица 2
Критерий Майна для оценки тенденции изменения интервалов между отказами
Номер самолета	п	Тп			Гп + -1--£7п	Р [Тя>7яавж]	igP
					’ (Г»)		
7907	6	8	7,5	7,08	1	0,5000	0,69897—1
7908	13	47	39	67,17	1,04	0,1492	0,17377—1
7908МО	10	22	22,5	33,75		0,5000	0,69897—1
7909	24	142,5	138	406,33	0,22	0,4129	0,61584—1
7909МО	5	5,5	5	4,17		0,3250	0,51188—1
7910	12	27,5	33	53,17	—0,69	0,7549	0,87789—1
79ЮМО	3	2	1,5	0,92		0,1670	0,22272—1
7911	11	26	27,5	41,25	—0,16	0,5636	0,75097—1
7911МО	3	2	1,5	0,92		0,1670	0,22272—1
7912	30	173,5	217,5	785,2	—1,55	0,9394	0,97285—1
7913	27	177,5	175,5	575,25	0,10	0,4602	0,66295—1
7914	24	120	138	406,33	—0,87	0,8078	0,90730—1
7915	9	17	18	23,00		0,5400	0,73239—1
7916	6	6	7,5	7,08		0,6400	0,80618—1
7917	2	1	0,5	0,25		0,5000	0,69897—1
8044	12	30	33	53,17	—0,34	0,6331	0,80147—1
8045	16	58,5	60	123,33	—0,900	0,5359	0,72908—1
				2 = 2888,59			Б = —5,91508
йри условий, чФо справедлива гипотеза Но, соответст-
вующая отсутствию исследуемой тенденции. В [114] по-
казано, что эта величина равняется п(п—1)/4. В столб-
це 5 даны значения дисперсии о2(Тп) величины Тп при
условии, что справедлива гипотеза Но. Эта величина
в соответствии с [114] определяется как (2+5) (п—1)п/72.
Показано, что при выполнении гипотезы Но случайная
величина Тп имеет асимптотически нормальное распре-
деление. Таким образом, нормированное отклонение
(Гп+’/г—£Гп)/а(гя>> представленное в столбце, имеет
близкое к нормальному распределение со средним зна-
чением 0 и дисперсией 1, если выполняется гипотеза Hq.
(Добавление величины 1/2 требуется вследствие дискрет-
ной природы результатов.) Вероятность того, что вели-
чина Тп примет значение, большее, чем наблюдаемое,
при условии гипотезы Но, показана в столбце 7. Для
п>10 может быть использовано нормальное распреде-
ление, а для точная вероятность табулирована
в [114]. Наконец, в столбце 8 дан десятичный логарифм
данной вероятности.
Для дальнейшей обработки данных используем про-
цедуру ‘Фишера [184], которая основана на том, что при
справедливости гипотезы Но каждый lg Р, записанный
в столбце 8, после умножения на —4,605 имеет х2-рас-
лределение с двумя степенями свободы. В этом случае
сумма по всем 17 строкам
—4,60521g Р
имеет х2‘Распределение с 34 степенями свободы. Вычис-
ленное значение этой суммы, равное 27,239, соответст-
вует вероятности 0,21 для левого «хвоста» распределе-
ния и дает около 0,42 при двухсторонней оценке. Таким
образом, существенной тенденции изменения интервалов
между отказами не имеется.
Подтверждение этого вывода может быть получено
следующим образом. Вычислим величину
l/= S ^„ + 4— ЕТп ) //Еаа(Тп),
где суммирование производится по всем 17 строкам. Ве-
личина U должна быть нормально распределена даже
в случае, если некоторые из слагаемых соответствуют
327
малым значениям п. Результирующее значение U= —1,00
соответствует вероятности 0,16 для левого «хвоста» нор-
мального распределения и вероятности 0,33 для двух-
сторонней оценки. И в этом случае не замечается опре-
деленной тенденции в изменении длины интервалов меж-
ду отказами.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ
ДЛЯ ОТДЕЛЬНЫХ САМОЛЕТОВ
Из анализа, приведенного в предыдущем пара-
графе, видно, что для характеристики интервалов между
отказами отдельно рассматриваемых самолетов было бы
полезно использовать единое распределение. Для про-
верки того, является ли это распределение экспоненци-
альным, мы построим табл. 3. Величина Vn, приводимая
в столбце 3, вычисляется следующим образом:
1.	Для каждого самолета расположим интервалы
между отказами У, в порядке возрастания У1<Уг<. . .<
<УП. Так, например, для самолета № 7907 этот ряд бу-
дет иметь вид 15, 29, 33, 41, 181, 194 (см. табл. 1).
2.	Вычислим величину Di=Yi—У4_ь где Уо=О по
определению. Так, для самолета № 7907 имеем D\ =
= 15—0=15, Z>2=29—15=14, D3=4, Z>4 = 8, D5= 140,
Z>6=13.
3.	Вычислим нормированные величины Di—(n—1+
+ !)£>,•. Для самолета № 7907, например, имеем £>i =
= 6-15 = 90, Л2=5-14=70, Д>=16, Л4=24, D5=280,
£>6=13.	(
4.	Для каждого самолета Vn вычисляется как коли-
чество пар /</, для которых £>i>£)j, причем в случае
равенства указанных величин к величине Vn прибав-
ляется 1/2. Так, для самолета № 7907 имеем Кв=Ю.
Как указано в [136], при справедливости гипотезы об
экспоненциальном распределении (гипотеза Но) мате-
матическое ожидание и дисперсия случайной величи-
ны Vn находятся как
о*(И„) = (?"+j>L"-l)"..
328
Таблица 3
Проверка экспоненциальное™ распределения времени
между отказами отдельных самолетов
Номер самолета	п	Vn	EV„	”<V„)
7907	6	10	7,5	7,08
7908	13	38,5	39	67,17
7908МО	10	30,5	22,5	33,75
7909	24	142	138	406,33
7909МО	5	8	5	4,17
7910	12	35	33	53,17
7910МО	3	1	1,5	0,92
7911	11	34	27,5	42,25
7911МО	3	1	1,5	0,92
7912	30	193	217,5	785,42
7913	27	197	175,5	575,25
7914	24	134,5	138	406,33
7915	9	10,5	18	23,00
7916	6	6	7,5	7,08
7917	2	0	0,5	0,25
8044	12	25,5	33	53,17
8045	16	67	60	123,33
		2 = 933,3	2 = 925,5	2 = 2588,59
Значения EVn записаны в столбце 4, а значения
cr2(Vn) —в столбце 5 табл. 3. Более того, показано, что
величина Vn распределена асимптотически нормально
при условии справедливости гипотезы Но. Естественной
альтернативной гипотезой Н1 была гипотеза о возраста-
нии интенсивности отказов. Таким образом, критерий, раз-
витый в (136], заключается в отклонении гипотезы п0 и
в принятии гипотезы Hi, если значение Vn превышает
некоторое критическое значение, зависящее от п.
Количество данных по каждому самолету в отдельно-
сти относительно мало, в то время как для проверки ви-
329
да распределения требуется большее их количество. Для
того чтобы преодолеть эту трудность, сгруппируем дан-
ные для различных самолетов без предположения о том,
что интервалы между отказами для различных самоле-
тов имеют одинаковое распределение. Более того, для
подтверждения гипотезы Но необходимо проверить лишь
постоянство интенсивности отказов (что эквивалентно
- предположению об экспоненциальности распределения),
причем значение интенсивности отказов может быть раз-
личным для различных самолетов. Таким образом, мы
вычисляем
S +Ц- -	//2а’ (Уп),
где суммирование производится по всем 17 индексам.
Численно получаем
(933,5 -f- 8,5 — 925,5)//2588,59=0,32.
Используя то, что при справедливости гипотезы Но ча-
стота распределена асимптотически нормально, находим,
что вероятность превышения величины 0,32 равна 0,25.
Таким образом, нет сколько-нибудь явного предпочтения
одной гипотезы по отношению к другой. Более опреде-
ленно говоря, можно оставить экспоненциальное распре-
деление в качестве распределения интервалов между
отказами, хотя каждому отдельному самолету может со-
ответствовать свой параметр распределения.
5.	ОТНОСИТЕЛЬНО РАЗЛИЧИЯ
ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ У РАЗЛИЧНЫХ
САМОЛЕТОВ
Если бы все исследуемые самолеты имели одинако-
вую интенсивность отказов, то интервалы между отказа-
ми, сгруппированные для различных самолетов, описы-
вались бы одним и тем же экспоненциальным распреде-
лением. (Это и есть гипотеза Но). С другой стороны, если
каждому из самолетов в отдельности соответствует раз-
личная, хотя и постоянная интенсивность отказов, то
330
сгруппированные интервалы между отказами должны
иметь УФИ-распределение. (Назовем эту альтернатив-
ную гипотезу Hi.) В подтверждение сказанного приве-
дем следующую теорему из [14].
Теорема 2. Если Fi(t) есть УФИ-распределение I—
= 1, 2, ...» л, то G(/)=V Pi Fi(t) также есть УФИ-рас-
пределение, где
А>0,^ Pi=l.
Доказательство. Сначала предположим, что
Fi(t) имеет дифференцируемую плотность fi(t), 1=1,
2, ..., п. Поскольку .плотность любого распределения
с убывающей функцией интенсивности должна быть убы-
вающей функцией, то в соответствии с неравенством
Шварца имеем
п	п	in
£ PiPi^	£^[лю{-п(0}],/2
Поскольку fi(t)lFi(t) убывает по t, мы должны иметь
Л(/)П(ПС-{М0}2.
Следовательно,
S	£ РМ)
т. е.

так что G есть распределение с убывающей функцией
интенсивности. (Здесь g(t)—плотность распределения
6(/).)
Если Fi не имеет дифференцируемой плотности, то
тот же самый результат может быть получен путем пре-
дельного перехода.
331
Теперь заметим, что поскольку экспоненциальное рас-
пределение есть частный случай распределения с убываю-
щей (точнее, с невозрастающей) функцией интенсивности,
то из теоремы 2 следует, что выпуклая комбинация экс-
понент имеет убывающую функцию интенсивности.
В данном случае объединение «интервалов между от-
казами, имеющих различные экспоненциальные распре-
деления для различных самолетов, соответствует в неко-
тором смысле образованию выпуклой комбинации таких
экспоненциальных распределений. Это обстоятельство
может объяснить выбор конкурирующей гипотезы Н\.
Однако подобное объединение только лишь приближен-
но соответствует выпуклой комбинации экспоненциаль-
ных распределений по следующей причине. Количество
интервалов между отказами для z-ro самолета в течение
2 000 час работы до момента проведения капитального
ремонта равняется приблизительно 2 000Хг-, где есть
интенсивность отказов Z-ro самолета. Таким образом,
в теореме 2 можно взять рг = 2 000%г-. Следовательно,
можно сказать, что подобное описанному выше объеди-
нение только приближенно соответствует выпуклой ком-
бинации, поскольку действительное количество наблю-
даемых интервалов для данного самолета является слу-
чайной величиной, зависящей от действительной длины
наблюдаемых интервалов. Однако в соответствии с фун-
даментальной теоремой восстановления эта случайная
величина не должна сильно отличаться от постоянной р»
определенной выше.
Для сравнения гипотез и Нх расположим все ин-
тервалы между отказами для различных самолетов в од-
ну последовательность У1<Уг<.• .<Киз- Затем вычис-
лим, как и ранее, £)г = Уг—Уг-1, Di=(n—i+l)Di для
Z=l, 2, .. ., 213. Наконец, подсчитываем число У21з Раз‘
личных пар, для которых Di>Dj при /</. 'При выполне-
нии гипотезы Нх нужно было бы ожидать меньшее зна-
чение величины V213, чем при выполнении гипотезы Яо,
соответствующей постоянной интенсивности отказов [114].
Действительно, при условии правильности гипотезы
Но величина V213 распределена асимптотически нормаль-
но со средним
£Vn==11,289
332
и со среднеквадратическим
/V \	1/431-212-213
o(Vtl,)= у ------72--
519,9.
Из таблиц нормального распределения сразу же на-
ходим, что только с вероятностью 0,007 случайная вели-
чина может быть меньше, чем наблюденная:
^213 + 1/2 - £^213 _	2 46
°(^21з)	’
Таким образом, следует отвергнуть гипотезу Яо и
принять гипотезу Н\. Иными словами, можно сделать
заключение, что объединенное распределение имеет убы-
вающую функцию интенсивности, как и следовало ожи-
дать, если отдельные самолеты имеют различные, но по-
стоянные интенсивности отказов.
2.	ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
В ПРОЦЕССЕ ПРОВЕДЕНИЯ
ПРОГРАММЫ ИСПЫТАНИЯ *
Р. БАРЛОУ, Э. ШОЛЕР
1.	ВВЕДЕНИЕ
Обычно в процессе проектирования системы произ-
водятся различные мероприятия по улучшению конструк-
ции и ее доработке с целью устранения ошибок, что,
в конечном счете, повышает надежность.
Рассмотрению различных моделей повышения на-
дежности посвящен ряд работ.
В [194] рассмотрена следующая математическая мо-
дель. Если во время испытаний система работает
успешно, то она не подвергается никаким доработкам.
Если же возникает отказ, то принимаются некоторые ме-
ры, которые с определенной вероятностью приводят
к успеху. Такая постановка задачи приводит к модели
с экспоненциальным ростом надежности
Яп='1— Де-^-П,	(1)
где Rn— надежность системы после n-го испытания; А
и С — параметры, которые следует оценить. В этой же
работе рассматривается случай, когда программа испы-
таний включает N стадий, причем повышение надежно-
сти описывается зависимостью
Rk = Rm-a/k,	(2)
где Rk — надежность на k-й стадии испытаний, a Ra> —
требуемая надежность; а — некоторый параметр. В [194]
приводятся оценки по критерию максимума правдопо-
* R. Barlow, Е. Scheuer. Reliability Growth During a De-
velopment Testing Prorgam. Technometrics, 1966, vol. 8, № 1,
p. 53—60.
334
добия и по критерию наименьших квадратов для /?«> и
а, а также нижняя доверительная оценка для /?&. Нако-
нец, сделан ряд выводов относительно возможных форм
зависимости надежности для подобных моделей.
В [207] рассматривается модель, в которой произво-
дится различие между случайными отказами и отказами,
причины которых могут быть выявлены в процессе пред-
варительных испытаний. Предполагается, что количество
отказов второго типа известно и что все они имеют рав-
ную вероятность в процессе предварительных испыта-
ний. Далее, если отказ этого типа наблюдается в про-
цессе испытаний, то принимаются соответствующие ме-
ры, предотвращающие его появление в дальнейшем.
Рассматривается задача об определении вероятности
того, что все конструктивные недоработки будут выявле-
ны в процессе п испытаний в предположении, что из-
вестны вероятности возникновения отказов обоих типов.
Таким образом, в [207] рассматривается вероятностная
модель, а в данной работе будет исследована статисти-
ческая модель того же процесса.
В [205] приведен анализ некоторых данных об испы-
таниях ракет типа «Тор» и «Атлас». Там также приво-
дится определенный анализ случайных отказов и устра-
нимых конструктивных отказов, но статистическая мо-
дель не используется в сколько-нибудь явном виде.
Похожая модель рассмотрена также в [206]. Две
сходные задачи рассматриваются в [180] и [183].
2.	МОДЕЛЬ С ТРЕМЯ ВОЗМОЖНЫМИ
ИСХОДАМИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ УВЕЛИЧЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ
Предлагается следующая модель. Программа ис-
пытаний состоит из К стадий. На каждой стадии испы-
таний исследуются идентичные образцы. Результаты ис-
пытаний каждой партии образцов служат для проведе-
ния определенных мероприятий по устранению причин
отказов в образцах, которые предъявляются на следую-
щие стадии испытаний. На каждой «стадии испытаний
производим запись трех величин: сц— количества слу-
чайных отказов, bi — количества устранимых конструк-
тивных отказов и Ci — количества образцов, прошедших
335
испытания без отказов. Предполагается, что вероятность
появления случайного отказа q0 постоянна для всех
•стадий испытаний. Вероятность появления устранимого
конструктивного отказа на l-й стадии испытаний рав-
на qi. Каждый из опытов приводит к одному из трех не-
совместимых результатов: случайному отказу, отказу
из-за устранимого конструктивного отказа или безотказ-
ной работе. Предполагается, что последовательность ве-
личин qi является невозрастающей. Это, по существу,
означает, что мероприятия по устранению конструктив-
ных отказов не приводят к ухудшению показателей на-
дежности системы. Вероятность проведения успешного
испытания, или надежность, как будем говорить дальше,
равняется Гг=1—qo—qi- Под увеличением надежности
подразумевается увеличение величины Гг от испытания
к испытанию. Нами будет получена оценка по критерию
максимума правдоподобия для q$ и для qi в предполо-
жении невозрастания последовательности этих величин,
а также консервативная нижняя оценка для гк, которая
представляет собой надежность системы на конечном
этапе испытательной программы.
3.	ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ И ОЦЕНКА
ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ
Функция правдоподобия, соответствующая сц слу-
чайным отказам, bL устранимым конструктивным отка-
зам и Ci успешным исходам на i-й стадии испытаний
(/= 1, ..., К), есть
L (Gj, Cj ,...,	b^, c q0, q^t ..., q^)
к
__fl (ai+bi + cj)l na* nbi	n n\ci	/Q\
- II ai\bi\Ci\ ' Vi U -	- Яг) •	V3)
Дифференцируя логарифм этого выражения по q^ и qi
и полагая производную равной нулю, находим оценку
максимума правдоподобия
к к
=	/ V (af + bi + Ci)	(4)
Z=1 Z — 1
И
=	—q0)bi/(bi-]-Ci), i=(5)
336
Уравнения (5) есть уравнения максимума правдопо-
добия для q% в общем случае. Нам же нужно получить
оценки максимума правдоподобия для qi при условии,
что	Это соответствует предположению
о том, что надежность не убывает от этапа к этапу. Ни-
же будут приведены в сжатой форме результаты из [176].
Пусть gi, 72, . Як есть оценки по максимуму правдо-
подобия для величин q\, q2, ..qn при условии, что
имеет место q\^q2^.. .^qK-
Если	то qj — 'qi для i= 1, ..., Д.
Если^г<?£+1 Для некоторой стадии испытаний j (j =
= 1, ..., Д—1), то для /-й и (/ +1) -й стадий вычисляются
оценки максимального правдоподобия для qi в соответ-
ствии с уравнением (5). Подобная процедура продол-
жается до тех пор, пока оценки для qi не образуют не-
возрастающей последовательности. Эти оценки представ-
ляют собой оценки максимального правдоподобия для
величин qi при условии 91^92^-•Можно дать
и точное выражение для qc
Ь I I ь
?•< = О •-<7о) max min b,'+"Tb',c •
5 i Г °r I Cr I • • • I °8 I C8
Эта процедура будет проиллюстрирована в § 4, но сна-
чала докажем ее справедливость.
Зафиксируем qQ и перепишем уравнение правдоподо-
бия (3) в виде
Г jai /1	„ \1(bi+ ci} П (ai + bi + Ci)\
p0 V1	Ho)	11 ai\bi\Ci\
(6)
Выберем pi = qil(\—q„) таким образом, чтобы
и заметим, что pi £ [0, 1], поскольку
€ [ОЛ — <7о1 • Заметим также, что при максимизации L
относительно qt никак не затрагивается выражение,
22—1563	337
стоящее в квадратных скобках уравнения (6), т. е. дан-
ная ситуация полностью соответствует той, которая рас-
смотрена в {176], где найдена оценка максимального
правдоподобия для которые удовлетворяют условию
Таким образом, оценка максимума
правдоподобия, полученная там, может быть использова-
на «в нашем случае для с учетом поправки в виде со-
множителя (1—<7о). Максимизируя по ^0, получаем оцен-
ку максимального правдоподобия из уравнения (4) для
q0, что подводит нас к оценкам максимального правдо-
подобия для qi, полученным в предыдущем параграфе.
Оценка максимального правдоподобия для надежно-
сти системы на i-й стадии равняется
П = 1 — qi —Йо-
Заметим, что устраняемые отказы могут «замаскировы-
вать» случайные отказы. Например, если на всех ста-
диях испытаний все отказы были устранимыми конструк-
тивными, то тогда 9о = 0. Это, однако, не должно озна-
чать, что надежность, определяемая только случайными
отказами, очень высока, поскольку по мере устранения
конструктивных отказов доля случайных отказов в об-
щем их числе начинает возрастать. Поэтому Ti является,
возможно, единственной оценкой, которая подвергается
проверке.
4.	ПРИМЕР
Предположим, что испытания дали нам результа-
ты, представленные в табл. 1. Каждая из стадий испы-
таний, кроме последней, прекращалась как только про-
исходил устранимый конструктивный отказ. После каж-
дого отказа принимались меры по устранению причин,
его породивших. Таким образом, испытуемый объект на
каждой стадии отличался от того, который испытывался
на предыдущей стадии, но в течение отдельно взятой
стадии процесс предполагался однородным по времени.
Заметим, что последнее условие является определяющим
для справедливости всего изложения.
338
Исходные данные
Таблица 1
Стадия испытаний i	Количество случайных отказов ai	Количество устранимых отказов bi	Количество успешных испытаний ci	I ai + bi + ci	bi
					bi + ci
1	0	1	0	1	1
2	0	1	0	1	1
3	0	1	0	1	1
4	1	1	1	3	1/2
5	0	1	4	5	1/5
6	0	1	0	1	1
7	0	1	0	1	1
8	0	1	3	4	1/4
9	9	1	27	37	1/28
Итого;	10	9	35	54	—
Таблица 2
Результаты группировки данных
i	bi	ci	bi	Первое объединение	Второе объединение
			bi + ci		
1	1	0	1	1	1
2	1	0	1	1	1
3	1	0	1	1	1
4	1	1	1/2	1/2	1/2
5	1	4	1/5 1	1/3	
6	1	0	1 J		3/7
7	1	0	1	1	
8	1	3	1/4	1/4	1/4
9	1	27	1/28	1/28	1/28
22е
339
Сначала заметим, что q0= 10/54 = 0,1852. Построение
оценок максимума правдоподобия для qi при условии,
что их последовательность является невозрастающей,
осуществляется объединением стадий испытаний так,
чтобы отношения 6</(6< + с<) образовали невозрастающую
последовательность. Табл. 2 показывает, каким образом
подобная группировка осуществляется. Замечаем, что
Ь,	Ь,
^5 + с5 Ь, + С„ ’
и в этом случае объединяем стадии 5 и 6. (В новой ну-
мерации эту объединенную стадию будем называть 5-й,
а все остальные стадии, начиная с 7-й, будут иметь но-
мер на единицу меньше.) Однако теперь видим, что на-
блюдается нарушение условия невозрастания для этой
новой 5-й и новой 6-й стадий (7-й стадии по прежней
нумерации). Это приводит нас к необходимости объеди-
нить и эти две стадии в одну. Теперь путем такого объ-
единения построена строго невозрастающая последова-
тельность, для которой можно построить оценки макси-
мального правдоподобия для
= цг - - q3 = 22/27 = 0,8148,
qt= 11/27 = 0,4074,
= q* = q4 = 22/63 = 0,3492,
qa= 11/54 = 0,2037,
q9 = 11/378=0,0291.
Таким образом, оценка максимального правдоподо-
бия для г9, представляющего собой надежность системы
в результате проведенных испытаний, есть
ra = 1 —• q9 — qt — 0,7857.
Если не делается никаких предположений относительно
возрастания надежности (испытуемого образца, т. е. если
процесс ошибочно считается однородным для всех ста-
дий испытаний и если не делается различий между слу-
чайными и устранимыми отказами, то для этого случая
оценка надежности окажется равной
= ScVS + Ьг + а) = 35/54 = 0,6481.
340
5.	КОНСЕРВАТИВНАЯ НИЖНЯЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ГРАНИЦА
ДЛЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ
В данном параграфе нет необходимости делать раз-
личия между случайными и устранимыми конструктив-
ными отказами. Рассмотрим, как и «раньше, модель, для
которой надежность (вероятность успешного функциони-
рования) не убывает от одной стадии 'испытаний к дру-
гой, т. е.	'Построим процедуру для по-
лучения 100(1—ia) %-ной нижней доверительной границы
для гк- Покажем, что эта процедура состоит в анализе
исходных данных на предмет возрастания, поскольку
если такого возрастания нет, то может быть использо-
ван обычный метод получения односторонней нижней
доверительной оценки для биномиального распределе-
ния при наблюдении 5 успехов в п испытаниях.
Точнее говоря, нижняя доверительная граница pL
для биномиального параметра р в этом случае находит-
ся как решение уравнения
п
<7)
i-s
или же эквивалентного уравнения
s— 1
2(")р41 -p^'i=1 -a (8>
при s^l. Если s = 0, величину рь обычно полагают рав-
ной нулю для всех а.
Возвращаясь к нашей задаче, если /в пг- опытах на-
блюдалось Ci успешных исходов на l-й стадии (i =
= 1,..., /<), можно записать
к	к
5 = £ Ci, П=.-.^Пг
i =1	z—1
и, если 1
l|r1C...<r/(=rJ>P[S<« — lUi =
u— 1
= • • • rK = rJ = 2	-rJ«-<	(9)
z=0 4
341
Определим и (г) как наименьшее из и, удовлетворяю-
щих
(Ю)
и определим г0 как наибольшее г, такое, что
u(r) — \=S.	(11)
Теперь получаем
=	(12)
поскольку и (г) возрастает по г. Используя уравнения
(9) и (12) и определение и (г), делаем вывод о том, что
P[rK>r°|rt<...<rK]>l-a.	(13
Таким образом, чтобы найти 100(1—а)%-ную ниж-
нюю доверительную границу для гк при наблюдении Ci
успешных исходов при п,- опытах на Z-й стадии испыта-
ний (/=!,...,/<), полагаем
к	к
S = £ Ct и п = £ nt
i=\	i=l
и находим Го, наибольшее из г таких, что
S—1
г^(1 —	а,	(14)
7=0
и затем принимаем г0 в качестве 100 (1—а)%-ной ниж-
ней доверительной границы для гк в соответствии
с уравнением (13).
Эта нижняя доверительная граница для гк является
наилучшей из всех возможных для сделанных предполо-
жений, поскольку равенства достигаются в неравенстве
(9) в случае, когда все равны, т. е. когда не наблю-
дается возрастания надежности от стадии к стадии.
Пример. В § 4 был рассмотрен пример, когда на
9 стадиях испытаний при 54 опытах наблюдалось 35 ус-
342
пешных исходов. Используя таблицы биномиального
распределения, находим, что г°=0,53 для 95%-ного до-
верительного уровня. Это, иными словами, означает, что
г9^0,53 с достоверностью 0,95. Как отмечалось ранее,
эта оценка является консервативной. Действительно, ту
же оценку можно получить, предположив, что надеж-
ность не возрастает от стадии к стадии, т. е. если г{ =
= Г2=- • - = ГК-
Заметим, что если рассмотреть результат одной
только 9-й стадии испытаний, когда из 37 опытов наблю-
далось 27 успешных исходов, то при доверительной веро-
ятности 0,95 получаем доверительную оценку для надеж-
ности 0,58. Этот пример просто показывает, что если
имеется достаточное количество данных по последней
стадии, то может быть выбрана обычная оценка для би-
номиального распределения.
6.	СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ
ВОЗМОЖНЫМИ ИСХОДАМИ
В данном параграфе построим пример, показываю-
щий, что биномиальная модель плоха при использовании
метода максимального правдоподобия для случая роста
надежности, рассмотренного в § 3.
Предположим, что рассматривается биномиальная
модель, для которой не делается различий между слу-
чайными и устранимыми отказами. Обозначим вероят-
ность успешного исхода в /-м опыте через г» и предполо-
жим, как и ранее, что
Предельной оценкой максимального правдоподобия
для л является 0 или 1, в зависимости от того, какой
исход наблюдался в z-м опыте — отказ или успех. Для
получения оценок максимального правдоподобия для
при условии, что	можно использовать
ту же процедуру, которая использовалась в § 3. Однако
если в результате n-го опыта был получен успешный ис-
ход, то оценка максимального правдоподобия для гп
равна 1 независимо от того, какие исходы наблюдались
при предыдущих испытаниях. В частности, такая оценка
была бы нами получена, даже если при всех предыду-
щих опытах наблюдались только одни отказы. С другой
стороны, если n-й опыт был успешен, наш метод, исполь-
343
зующий модель с тремя состояниями, дал бы оценку
максимального правдоподобия для гп, пропорциональ-
ную всем наблюденным успешным исходам в п опытах
при условии, что все наблюденные отказы являются слу-
чайными.
7.	КРИТЕРИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Ранее предполагалось, что вероятность появления
устранимых отказов не возрастает в процессе испыта-
ний. Понятно, что данная гипотеза подтверждается ин-
женерным опытом.
В [114] предлагается два критерия для определения
наличия тенденции понижения этой вероятности и при-
водятся таблицы для практического использования.
В частности, пусть даны X2, ..Хп в таком задан-
ном порядке. В качестве нулевой гипотезы принимаем
гипотезу о том, что все X размещены случайным обра-
зом. Альтернативной гипотезой является предположение
о том, что все Xi есть реализации непрерывных распре-
делений, таких, что Fi(t)<Fi+k(t) для каждого Z, каж-
дого t и любого 6>0, т. е. последовательность Xi яв-
ляется стохастически убывающей. Чтобы проверить на-
личие тенденции возрастания достаточно просто прове-
рить величины —Xi, —Х2, ..—Хп на тенденцию убы-
вания.
Предположим, что каждая стадия испытаний закан-
чивается, как только наблюдается устранимый отказ.
Определяем случайную величину Xi количеством опытов
до появления последнего устранимого отказа. Величи-
ны Xi должны возрастать, если имеет место возрастание
надежности. Заметим, однако, что здесь приходится
иметь дело с дискретными случайными величинами, по-
этому распределение не является непрерывным. Нашу
задачу можно преобразовать, прибавив к каждой из ука-
занных величин по равномерной случайной величине,
заданной на интервале [0, 1], таким образом, чтобы не
изменялась вероятность нулевой гипотезы. Проделав по-
добную процедуру, мы можем затем применить метод,
предложенный в [114].
з.	ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ
С ПРИМЕНЕНИЕМ К ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ *
Р. БАРЛОУ
1.	ВВЕДЕНИЕ
Определенные статистические задачи в испытаниях
на срок службы и другие задачи теории надежности при-
водят к рассмотрению минимизации и максимизации ин-
тегралов вида
^<f(x,F(x))dx, F(x) = l—F (х)
о
в предположении, что распределение характеризуется
возрастающей функцией интенсивности- и что известны
один или два момента распределения. Минимизирующие
(максимизирующие) распределения для специальных
случаев являются членами экстремального класса, рас-
смотренного в [13]. Оценки математических ожиданий
минимальных и максимальных порядковых статистик,
так же как и характеристики правил замены, основан-
ных на наработке, получены при этих предположениях.
2.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ
Для многих статистических задач в области испы-
таний на срок службы и для других задач надежности
естественно предположить, что время безотказной рабо-
ты имеет ВФИ-распределение.
В добавление к этому качественному предположению
может быть априорно известна и некоторая дополнитель-
* R. В а г 1 о w. Bounds on Integrals with Applications to Reliabi-
lity Problems. The Annals of Mathematical Statistics, 4965, vol. 36,
№ 2, p. 565—574.
345
мая количественная информация в ваде, например, сред-
него значения щ и дисперсии о2. Поскольку для ВФИ-
распределения a/pi^l (с равенством лишь для экспо-
ненциального распределения), оценка коэффициента ва-
риации юг/ц! может служить для статистика подтвержде-
нием того, насколько данное распределение близко к экс-
поненциальному.
Рассмотрим задачу минимизации и максимизации
определенных интегралов вида
J (x))dx	(2.1)
о
в предположении, что нам известны среднее значение и
дисперсия (F есть ВФИ-распределение). Интегралы от
таких функций были рассмотрены в [95, 145]. Связанная,
но более специальная задача заключается в минимиза-
00
ции или максимизации интегралов вида J p(x)dF(x)
о
в предположении, что определенные моменты распреде-
ления заданы (теорема 4.1). Близкая задача была реше-
на в (199]. Методы, изложенные там, как и методы [191],
используют тот факт, что класс всех исследуемых рас-
пределений с заданными ограничениями на моменты мо-
жет быть ограничен выпуклыми комбинациями. Однако
класс ВФИ-распределений не обладает этим свойством,
и поэтому в данном случае нельзя использовать класси-
ческие методы. Вместо этого рассмотрим весьма специ-
фический метод, используемый в [13]. Будут получены
точные оценки, которые могут быть легко вычислены на
ЭВМ. Результаты § 3 следуют из теоремы Кай Фана и
Дж. Дж. Лоренца. Основной результат данной работы
приводится в § 4.
Интегралы вида (2.1) часто появляются в приклад-
ных задачах статистики. Например, пусть величины
. .^Un обозначают п порядковых наблюдений
из ВФИ-распределения F. Пусть величина 1Гп = 1/п—U\
обозначает размах выборки. Тогда можно найти мини-
мум (максимум)
Е (^n) = J [1 - F (х)* - (Р (х))«] dx,
О
346
где F(x) = l—F(x). Подынтегральное выражение имеет
вид
<р(х, у) = 1—(Д—у)п—уп
и является выпуклым по у.
В качестве другого примера рассмотрим правило за-
мен типа: «Замена производится либо при наработке
равной t, либо в момент отказа, если он происходит
раньше». Тогда нужно искать минимум (максимум)
интегралов вида:
t
1)	^P(x)dx,
о
т. е. среднее время между двумя последовательными
заменами независимо от того, была ли просто плановая
замена или имел место отказ;
2)	p(x)dx/F(/),
о
т. е. среднее время между заменами, произведенными
только в результате отказов, при условии, что использо-
валось указанное правило замен. Обратная величина мо-
жет служить верхней оценкой для функции восстановле-
ния, деленной на t;
t
3)	jP(x)dx/F(0,
о
т. е. среднее время между плановыми заменами в мо-
мент t. Связанное с этим выражением имеет вид
4)
т. е. среднее время остаточной жизни элемента, имеюще-
го наработку t.
Оценки для плотностей и интенсивностей отказов
будут рассмотрены в отдельной статье [177].
347
3. ОЦЕНКИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ, КОГДА F
ЕСТЬ ВФИ (УФИ)-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
С ИЗВЕСТНЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ
ОЖИДАНИЕМ
Если <р(х, у)—достаточно гладкая функция, за-
дача минимизации (максимизации) интеграла
f ?(х. F{x))dx
О
сравнительно проста. Для того чтобы сделать это, сна-
чала установим более общий результат [56].
Рассмотрим систему убывающих ограниченных функций
A, gu где fiSgi, Z= 1,2».. .,п. Обозначение fSg соот-
ветствует тому, что
X	X
^f(t)dt<^g (t) dt для всех х > О
о	о
и
00 f(t)dt=]g(t)dt.
о	6
Теорема 3.1 (Кай Фан и Дж. Дж. Лоренц). Если:
1)	Si ограниченные и убывающие /=1, 2, ..., п;
2)	/=1,2,..., л;
3)	ф(х, у\, У2, .... уп) имеет непрерывную вторую
производную;
4)	d*<tfdytdyj 0, д*у{дхду1 < О, I, j — 1,2,..., п,
тогда
5<Р(х.А, А. • • • ,fn)dx<^<p(x,gt.gn)dx,
О	6
когда интегралы существуют.
Фан и Лоренц установили этот факт в качестве одно-
го из следствий для интервала [0, 1]. Данная теорема
может быть распространена на [0, оо) путем предельных
348
переходов для аргументов при условии, что указанные
интегралы существуют.
Заметим, что если F, есть ВФИ-распределения со сред-
ними значениями а ^(х) = е	то	Если
Fi являются УФИ-распределениями со средними значе-
ниями то будем иметь противоположное отношение.
Пусть
G
v-i
(х) ={
1. о < X < ,
О, X =
Тогда всегда имеем Pi^G,- Следовательно, предполо-
жив, что Fi есть ВФИ-распределение, и учтя условия 3
и 4 теоремы 3.1, имеем
J Г (х>	(*)) dx 33 J ? (*’ А (*))dx >
> J <р (х, е dx.
о
Пусть Xi, Х2, ..., Хп есть п взаимно независимых
наблюдений над случайной величиной X, имеющей
ВФИ-распределение А Пусть далее,	. .^Un
есть связанные с этими наблюдениями порядковые ста-
тистики. Тогда
Е \Un - УД = J {1 - [2? (х)]« - [1 - Р (х)]*} dx =
О
ео
= j Ч> (х, Р (х)) dx,
о
где <р(х, у) = 1—уп—(1—у)п. Применив теорему 3.1, по-
лучим точные верхнюю и нижнюю оценки для матема-
тического ожидания размаха:
Л —1
0<£[[7п- [/,]<!»,? 1/А>.
А = 1
349
Это неравенство качественно означает, что наблюдения
над случайной величиной, имеющей ВФИ-распределение,
группируются более концентрированно по сравнению
с наблюдениями, полученными из экспоненциального
распределения с тем же средним значением. Аналогич-
ным же образом могут быть получены верхняя и нижняя
оценки математического ожидания для минимального и
максимального наблюдений:
V.Jn < Е [t/,] = J [J* (x)]rt dx < j*!,
О
(3.1)
• Ih <Е [t7n] = f [1 - Р* (x)l dx < H £ 1/k.	(3.2)
о	k=l
Неравенства (3.1) и (3.2) следуют также из следст-
вия 3.1.
Следствие 3.1. Если Рл (1=1, 2, ..., л) есть ВФИ
(УФИ)-распределение со средним значением щ, то:
00	п	00	л
1) fа х’-1 f| Fi (x)dx (Jj j <xx“-1 f| Ci (x) dx
0	z=l	0	i=l
для 0 < a < 1,
2) J ax’"1
о
i-n^w
dx
i-пад
для 1.
Это следствие является простым видоизменением тео-
ремы 3.1. В терминах теории надежности условие 1
означает для а=1, что среднее время безотказной рабо-
ты последовательного соединения элементов, распределе-
ния времени безотказной работы которых имеют воз-
растающие функции интенсивности и средние значения
|л< (1=1, 2, ..., п), больше среднего временя безотказ-
ной работы такого же соединения, каждый из элементов
которого имеет экспоненциальное распределение с тем
же средним значением соответственно. Однако для
параллельных систем справедливо противоположное
утверждение.
350
4. ОЦЕНКИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ, КОГДА Р
ЕСТЬ ВФИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ С ИЗВЕСТНЫМИ
МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ
И ДИСПЕРСИЕЙ
Предположим теперь, что F есть ВФИ-распреде-
ление и известны значения щ и ц2. В [13] определен
класс экстремальных распределений для оценки таких
распределений F. Двумя существенными членами этого
класса являются
1 — GT (х) — ( ехР(—а«х)’ *<ri.
г* 10,	х>7\,
И
1-G(X) = (1’	х<1-(|*-1),/2=7'0,
Го (ехр [-(х-ГоХи,-!)-1'2 ], х>
где ао и 1\ выбраны так, чтобы удовлетворять требова-
ниям, предъявляемым к моментам распределения.
Теорема 4.1. Если:
1)	F есть ВФИ-распределение и Г(0)=0,
2)	pi = l и ipia — известная величина,
3)	р(х) —выпуклая функция,
то тогда
J Р (х)	(х) dx < J р (х) F (х) dx < у р (х) UTa (x)dx.
о	оо
Доказательство. Из [13] известно, что F(x)—
— GT° (х) имеет ровно две перемены знаков, например,
в точках Xi и х2. Более того, порядок знаков этой функ-
ции следующий:---1---. Определим линию /(х) таким
образом,чтобы
p(xi)=/(x0 и р(х2)=/(х2).
Поскольку р — функция выпуклая, р(х)—/(х) меняет
знак в точках X] и х2, причем порядок знаков в данном
случае: -|--1-. Поэтому
[р(х)-/(х)]1^(х)-&Гв(х)]<0
351
для всех х. Интегрируя по х, получим верхнюю оценку
00
для j* р (х) Р (х) dx. Нижняя оценка получается аналогичным
о
образом, если использовать GTi (х) вместе GTq (х).
'Порядок знаков р(х)—/(х) 'изменяется, конечно, если
р — функция вогнутая. Используя теорему 4.1 и полагая
р(х) =хг для г>0, можно получить оценки для (г>2)»
выраженные через щ и р2-
Общая проблема нахождения оценок для -интегралов
вида
00
J<p(x, F(x)) dx,
о
когда F есть ВФИ-распределение с известными значе-
ниями pi и цг, представляется весьма сложной. Однако
возможно много различных путей исследования, исполь-
зующих свойства экстремальных значений, рассмотрен-
ные в [13]. Можно предположить без потери общности,
что Ц1 = 1. Отсюда следует, что ц2 удовлетворяет усло-
вию 1^Ц2^2. Пусть
Т’о=1-(Н2-1),/2 и 7\ = -a-' lg(l - ай),
где Яо принадлежит интервалу [О, 1] и Л одновременно
удовлетворяет следующим уравнениям:
т,	т,
je“а°хdx = j»! = 1, J хе~а°х dx = ~
о	о
В [13] показано, что решение существует. Положим
^з={Ст:7’>7’1},
где
Г 1,	х<Д,
1—6г(х)= J е-а(х-4), Д<х<7’,Т>7’1,
( 0,	х>7\
352
где а и Д (О^Л^То) выбраны так, чтобы удовлетворять
требованиям, предъявляемым к моментам, т. е.
J[1 -Gr(x)l dx = |4 = l, Jx(l-Gr(*)]dx=4-lh.
о	о
Положим
$4={GT'.Tt<T<Tt},
где
।__q /у\_[ е^Р ( thx),	х^Т,Т4^Т
т I ехр(—а,Т—а2{х—?)),%> Г,
и а^ог выбраны, как и ранее, чтобы удовлетворялись
требования, предъявляемые к моментам. В [13] показано,
что для /^0
inf [1 — GT(/)] < 1 — F (/) < sup [I — GT (0),
где Ъкстремумы берутся по области $S(J£?4. Эти оценки
табулированы для выбранных значений щ(Кщ<2) в [13].
4.1. Среднее время между заменами
Если случайная величина X имеет распределе-
ние F, то
t
E[min(X /)]= \F{x)dx.
Для правила замен по наработке это выражение озна-
чает среднее время между заменами, определяемое пе-
риодом t.
Теорема 4.2. Если F есть ВФИ-распределение, F(0)«
=0 и Ц1 = 1, а |а2 — известная величина, то:
t	t
1) С & (х) dx^	J	(х) dx,
23—1563
353
i
2) C F (x) dx =
a
(</,
/<Г0=1-(ц2-1)'/2,
= <suPgj.6^4 J gt Wdx>	7\,
0
1>	t>Tt.
Все неравенства строгие.
Доказательство. Пусть F — (£/, (J $4), где &
есть семейство всех ВФИ-распределений с известными
моментами Ц1='1 и р2- Пусть 7’>7'1 и s(T) есть пересе-
чение в (Д, Т} сверху функции 1—GT функцией 1—F.
Используем решающим образом то, что s(T) непрерыв-
на по Т.
Случай 1. t<s(Т^. Из определения Gr можно видеть,
что F(x)>GT (х) для 0<x<s(7'1) и, следовательно,
t	t
j* (х) dx > С GTi (х) dx.
6	о
Случай 2. />s(oo). F(x) пересекает (?Го(х) сверху
в точке s (оо) и F (х) < GГо (х) для x>s(oo).
Следовательно,
00	оо *
С F (х) dx < J (7^ (х) dx
f	t
влечет за собой
t	t
С F (х) dx > J GT° (х) dx.
о	о
Случай 3. s(Tt)<f<s(po). Поскольку s (Г) непре-
рывна по Т, выберем Т"5*1\н &(O<b.<To) так, чтобы
s(T) = t. В таком случае (Рис- 4.1). Положим
, . fl, x<.t,
(О, х>/,
и определим линию /(х) так, что /(Х])=1 и /(Т) =0. По-
скольку ясно, что
[<}>t(x)-/(x)HF(x)-^r(x)]>0
354
для всех х, то
J [?t (*) —1 (ХЯ W — &т widx =
t	t
= С Р (х) dx — [ GT (X) dx > 0.
Рис. 4.1. Графическая иллюстрация для слу-
чая 3.
Для того чтобы доказать 2, сначала отметим, что
Р(х)<(?г (х) = 1 для 0<х<Г0 и, следовательно,’неравен-
t
ство j Р (х) dx < t для t < Тл является строгим. Аналогично
о
Р(х)>&т (х) для х>7\ влечет за собой то, что
t	t
J Р, (х) dx < С GTi (х) dx = = 1
о	о
для t^Ti является строгим. Для того чтобы завершить
доказательство, нам нужно определить функцию и(Т)
для То^Т^Ту Пусть и(Т) есть пересечение в [Г, оо]
снизу функции &г функцией Р. Можно показать, что
и(Т) всегда существует. Используем существенным об-
разом то, что и(Т) изменяется непрерывно от a(To)>7'o
до u(Ti)=Ti.
Случай la. t<u(T0). Ясно, что P(x)<Gr°(x) для
х<и(Т9) влечет за собой
t	t
J Р (х) dx < j irrt (x) dx.
23’	355
Случай 2а. Тл<и(Tt)<Zt<Zu(7\) = 7\. Исходя из
непрерывности и (Г) можем выбрать Т таким образом, чтобы
ы(Г)=/. В этом случае GT£&4 (рис. 4.2). Если F(x)<
<^г(х) для х</, то доказательство очевидно.
Следовательно, предположим, что F(x) пересекает
&г(х) сверху в точке Хр Если х2=оо, то доказательство
Рис. 4.2. Графическая иллюстрация для случая 2а.
также очевидно. Теперь предположим, что Хг<оо. Пусть
*(*)=
1, x<t,
О, x>t,
и построим линию /(х) так, чтобы /(Х]) = 1 и /(х2)=0.
Поскольку
[?tW-Z(x)l^(x)-^r(x)]<0
для всех х, то имеем
J (х) — I (х)] [F (х) — GT (х)] dx =
6
t	t
= J F(x)dx — jCr(x)dx<0.
о	0
Если puj есть единственный известный момент ВФИ-
распределения, то
t	,
I», [1-е-//и*]< [F(x)dx< К
oJ	1Н1.
Все неравенства являются строгими.
356
Нижняя оценка следует из того, что F(x) пересекает
функцию е-х/и* самое большое один раз и при этом сверху.
Это неравенство понятно для малых t. Но если бы это
неравенство нарушалось где-нибудь, то оно тем более
было бы нарушено для t= + оо, что невозможно.
4.2. Дополнительные оценки
Дадим дополнительные оценки для различных ха*
рактеристик, связанных с проблемами замен по наработ-
ке. Среднее время остаточной жизни элементов, имею-
щих возраст t, определяется как
| F(x)dx[F(t).
Если F есть ВФИ-распределение, это отношение должно
быть обязательно неубывающей функцией от t.
Теорема 4.3. Если F есть ВФИ-распределение, Г(0) =
=0 и Ц1 = 1, а |х2 — известная величина, то:
1)
F(x)dx[F(t)
’ Hl —
t<T„
inf°re^ [I Gr w dxI^T (')] > Л < t < Л,
o,	t > r1(
^E{x)dx[E{t)<.
Hi=l>	f = 0,
SUpGrgg, [ J GT (*) dx/^T (0] > 0 < t < co,
(и.-1),/2.
Все неравенства являются строгими.
357
Доказательство может быть получено с использова-
нием методов теоремы 4.2.
Легко показать, что если для ВФИ-распределения
известно только то тогда следующие неравенства яв-
ляются строгими:
jF(x)dx/F(t)>^
F(x)dxfF
Среднее время между заменами из-за отказов. Если
элемент заменен в момент времени t или в момент от-
каза, если последний произошел раньше, то среднее вре-
мя между заменами из-за отказов будет равно
t
^F(x)dx/Fl(t).
О
Это отношение, встречающееся также при получении
оценки для функции восстановления, является невозра-
стающим по /, если F есть ВФИ-распределение. Пред-
положим, что F есть ВФИ-распределение и N(t) есть
количество восстановлений на интервале [О, /] для со-
ответствующего процесса восстановления. Тогда можно
показать [153], что
t
Е [АГ (0] < tF (t)/^ F (х) dx < t/^. .
0
В этой связи представляет интерес получение оценок для
данного отношения.
Теорема 4.4. Если F есть ВФИ-распределение, Е(0)=*
^0 и Ц1 = 1, а |Л2 — известная величина, то:
t
о
IS (х) dx/Cr (0] . t < = 1.
о
[/ (х) dx!°T (/)] ’111 <
и.,	О Г1?
358
2) ^F(x)dx/F(t)<
<{ [J T dxfGj. (/)j ,
I suPOr^,	I Gt (Ob

t>T\.

Все неравенства являются строгими.
Доказательство теоремы опускаем.
Асимптотическое значение затрат иа единицу вре-
мени для правила замен по наработке, когда замена про-
изводится либо в момент времени I, либо после отказа,
если он произошел до этого момента, определяется как
С (0 = [(г, - са) F (t) + cj j f F (x) dx (ct > c2).
Методы теоремы 4.4 позволяют также обеспечивать
оценки для этой функции.
Если только щ известно, то для ВФИ-распределения
F следующие неравенства являются строгими:
t
§F(x)dx/F(t) для всех t,
о
*	( ОО»	t < JJL.
С F(x) dx/F(t)
oJ	1^/(1 — e-wt), />1*1,
где w зависит от t и определяется из условия
t
$ e-wxdx = |*l = 1.
О
Первое неравенство достигается экспоненциальным рас-
пределением, второе — вырожденным и усеченным спра-
ва экспоненциальным.
Среднее время между плановыми заменами. Если эле-*
мент заменяется либо в момент времени I, либо в момент
359
отказа при условии, что последний произошел раньше,
то среднее время между плановыми заменами рав-
няется
t
§ F(x)dx/P(t).
О
Это отношение всегда не убывает по /.
Теорема 4.5. Если £ есть ВФИ-распределение, F (0) =
=0'И pi=il, а Ц2 — известная величина, то
t

0
t,
П^4 [I dX^T W]»
0 .
inf^ [jGr(x)dx/^(0],
o’
о»
Л;
о
t
0</<Г0,
t
[ J &т W dx/G t*(OJ ’
4 6
oo,
о
Все неравенства являются строгими.
Детали доказательства опускаем.
Если единственный известный момент есть щ, то для
ВФИ-распределения являются строгими следующие не-
равенства:
360
где
{e~wx, х<Г,
О, x>7\
w и T выбираются таким образом, чтобы удовлетворялось
т
^^wxdx = ^
о
и
1,	0<х<Д,
ехр [— (х — Д)/(|ы — Д)], * > Д
(0<Д<щ). Доказательство аналогично предыдущим и ис-
пользует методы [13].
W =
4. ОЦЕНКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ
СЕМЕЙСТВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ*
Р. БАРЛОУ, А. МАРШАЛЛ
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно большое количество улучшений классиче-
ских чебышевских неравенств, зависящих от различных
ограничений, накладываемых на моменты распределе-
ний. Большинство из них касаются результатов, связан-
ных с получением границ для функции распределения
P{X^.t}. Здесь будут исследованы оценки для P{s<X^Z
^/}, P{s<X^.t\X^.t} и P{s-<X^.t\X>s}, а также для
плотности распределения и функции интенсивности. Эти
оценки получены при различных ограничениях, но всюду
использован один и тот же метод, позволяющий нахо-
дить все результаты как специальные случаи одной и
той же теоремы.
Накладываемые ограничения позволяют получить
сильно улучшенные результаты по сравнению с теми,
которые известны для случаев, когда ограничения нало-
жены только на моменты распределения. При этом неко-
торые из этих условий важны для практических прило-
жений и имеют естественный физический смысл. Во всех
случаях рассматриваются неотрицательные случайные
величины.
Одним из естественных условий является то, что
функция
1— F(x)=P{X>x}
выпуклая на интервале (0, оо). Для этого случая оценки
были найдены еще Гауссом, а большое количество до-
полнительных результатов получено в [185]. Такие оцен-
ки чаще всего устанавливаются в виде неравенств для
* R. Barlow, A. Marshall. Bounds on Interval Probabilities
for Restricted Families of Distributions. Operations Research Center
Report ORC 65—25, September, 11965.
362
______/п|>х}, где Y имеет унимодальное распределение
с модой т. Конечно, отсюда следует, что X=\Y—т\
удовлетворяет условию Р{Х^0}= 1 и Р{Х>х} выпукла.
В [13] рассмотрен случай, когда распределение имеет
монотонную интенсивность отказов, а также более жест-
кие условия, когда плотность распределения является
ППг, т. е. логарифмически выпукла.
В [179] приводятся оценки для распределений с воз-
растающей в среднем функцией интенсивности.
Другие дополнительные ограничения, накладываемые
на функции распределения, позволяют получать различ-
ные оценки. Упомянем, в частности, работы [195, 196],
где получены неравенства для распределений, первые s
производных которых удовлетворяют определенным огра-
ничениям, а также условиям на перемену знака. Подоб-
ные ограничения в нашей работе не рассматриваются.
Нам представляется, что границы для вероятностей
на интервале могут представлять больший практический
интерес, чем границы для функций распределения.
Однако в литературе приводится крайне мало подобных
оценок. В большинстве случаев приводятся границы для
Р{|Х—EXITS'/}, которые являются оценками для функ-
ции распределения положительной случайной величины
IX—ЕХ|. Наиболее значительные результаты в этой
части получены в [204]. Более общие, хотя и менее чет-
кие результаты имеются в [190] и [145].
В [195] описан метод получения оценок для плотно-
стей, близкий к тому, который предлагается здесь. Одна-
ко сами оценки подобного рода, видимо, ранее не были
известны. Одной из причин, возможно, является то, что
в данной работе сделаны некоторые дополнительные
ограничения относительно естественных свойств плотно-
стей распределений.
2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Пусть & есть класс распределений, для которых нужно
получить оценки, и предположим, что F из в? таковы, что
Е(0—) = 0. Например,	может быть классом ВФИ-рас-
пределений, у которых при этом первый момент равен щ.
Для некоторых & возможно определить класс «экстремаль-
ных* распределений & и показать, что определенные экст-
ремумы на f соответствуют экстремумам на Если
363
класс 3 является достаточно простым, то указанные экст-
ремумы могут быть легко получены.
Поскольку предполагается У7 (0—) =0, часто оказы-
вается более удобным рассматривать функцию F(x) =
= 1—F(x) вместо F(x). Заметим, что
F(t)-F(s) = F(s)-F(t)
и
J F (х) dx = | xdF (х).
о	о—
Для определенности будем ' всюду далее предпола-
гать, что рассматриваемые функции распределения не-
прерывны справа.
В (13] было показано, что точки пересечения функции
распределения из экстремального семейства $ с фиксиро-
ванной функцией распределения F из & непрерывны по па-
раметру, определяющему *7. Используя этот факт, можно
сделать вывод, что упомянутая точка пересечения принад-
лежит интервалу [0,оо]. Таким образом, существует такое
G из семейства что <7 (t — ) F (t) G (f) и, следова-
тельно
sup G (t —) > F (t) > inf G (t).
$	IS
Рассмотрим более подробно взаимное пересечение
распределений S с фиксированным распределением F
из’^. В частности, потребуем, чтобы для 0^s</^oo
существовало Gi из S (G2 из S), чтобы ^1(^2) пересека-
ло F ровно один раз на (s, /] и это пересечение происхо-
дило бы сверху (снизу). При этом для каждого s<t
имеем Gj и G2 такие, что (рис. 2.1)
G, (s-)>F (s) > G. (s), Ga (t -) > F (7) > G, (t).	(2.1)
Отсюда немедленно следует, что
Хотя существование Gi и G2 в 37 и гарантируется, часто
не удается дать более конкретных границ, чем
364
inf [С («) — (z —(s) —* (0 < sup 1^1 (s —) — G (/)].
Из отношен'ий между Gb G2 и F можно получить боль-
ше. Пусть q>(y, z), Ь^у, z^l, есть функция, возрастаю-
щая по у и убывающая по z. Тогда
? (&2 (5), G 2 it -)) < ? (Р (s), Р (/)) < ? (6\ ($ -), G t (0)
и, следовательно,
inf ? (С ($), G (t —)) < ? (F (s), F (0) < sup ? (G (s —)• G (/))•
&	3
В настоящей работе рассматриваются функции
Фж (f/. z) = 1 — z/y и <р2 (у,г) = 1 — (1 — у)/(1 — г).
Тогда
(F (s), F (0) = Р ($) - F (/)] [F (s) = Р {$ < X < 11X > s)
И
Ъ (F (5), р (0) = (0 - F (s)MF (0= Р {s<Z X < 11X < t}.
Определение, которое было дано для «экстремально-
го семейства», мотивируется частично требованием су-
ществования Gi и G2, связанных с F. Подробное объяс-
нение этого определения преследует цель показать, что
различные простые распределения которые будут
в дальнейшем рассмотрены, являются в действительно-
сти экстремальными семействами. Однако, поскольку от-
дельные детали могут остаться неясными, начнем с рас-
365
смотрения в качестве примера класса У распределе-
ний F, удовлетворяющих следующим условиям:
1)	F есть ППг, т. е. функция lg/(х) вогнутая в об-
ласти конечных значений х;
2)	F(0) =0 и для удобства F(x)<l, х>0;
ОО
3)	J С (х) f (х) dx = v, где С есть возрастающая функция
на [0, оо], такая, что С(0)э=0. Пусть t0* = C_,(v) и пусть
^Ю(Х) = [1’ x<w’ 0<да<да*,	(2.2)
' I Q-a(x—w) * х W,	v '
G W (я) —
' 1,	х<0,
1—(1—е-Ьх)/(1—е-ь“’), 0 <х<да, да> w*,
0,	х>да, (2.3)
оо
где а и b определяются условием С С (х) dGw (х) == V.
о
Пусть 3 =	(Jg2, где	= {Gw:0 < w < да*},
£2 = {Gw!w> да*}.
Поскольку функция lgf(x) вогнутая, можно пока-
зать, что F и Gw из F пересекаются самое большое два
раза. В соответствии с моментным условием они пересе-
каются по крайней мере один раз. Обозначим точку пе-
366
ресечения функции F сверху через uw, а точку пересече-
ния снизу —через vw (рис. 2.2).
Когда аи = 0, существует ровно одна точка пересече-
ния, причем снизу (на рис. 2,3 она обозначена через t»o).
Можно показать (13], что и™ лежит в интервале {0, utB,=
=а>*|, а о» — в интервале (уо, °°]> когда w принадлежит
[0, ге>*].
Поскольку lg f (х) вогнутая, следует также, что F и
Gw из пересекаются не более двух раз (рис. 2.4).
Можно показать, что мю лежит в интервале [а>*, оо],
a vw — в интервале [0, t»0], когда w приналежит [да*, оо].
Рис. 2.4. Поведение функции Cw из
Указанные выше свойства экстремальных распреде-
лений, соответствующие семейству распределений с за-
данным математическим ожиданием, приводят к следую-
щему определению.
367
Определение 2.1. Семейство £= {Gw:0 < а><оо} эк-
стремально для ер, если:
I.	G^.5»’ и F£ep пересекаются самое большое дважды.
Пусть [т, М] есть область существования для выбранного
F из f (наименьший замкнутый интервал, на котором
F достигает единицы). Пусть_точки ию есть пересечение
функции F сверху функцией Gw, если такое пересечение
Рис. 2.5. Поведение функции
существует. В противном случае пусть uw=m. Пусть точ-
ка vw есть пересечение функции F снизу функцией Gw,
если таковое пересечение существует; в противном слу-
чае пусть vw=M.
II.	Существует такое w*, что:
а)	функция Gw, пересекает функцию F 'ровно 'один раз,
причем сверху (рис. 2.5);
б)	когда w убывает от w* до 0, то:
1)	и принимает непрерывные значения от uw, до т,
2)	v принимает непрерывные значения от М до t»o.
3)	u<v (см. рис. 2.2)	_
в)	при о» = 0 функция Gw=Go пересекает F не более
одного раза, причем в точке это пересечение происхо-
дит снизу. Если такового пересечения не существует, то
v=M (см. рис. 2.3);
г)	когда w возрастает от w* до оо, то:
1)	и принимает непрерывные значения от и^, до М,
2)	v принимает непрерывные значения от т до
v0=voo,
3)	u>v (см. рис. 2.4).
365
Замечание. В приведенном выше определении пред-
полагалось, что пересечение происходит в строго известной
точке. Однако для определения & и S в некоторых спе-
циальных случаях может оказаться, что пересечение
функции F из У" и Gw из S в действительности происхо-
дит на интервале, где F и Gw полностью совпадают.
В таких случаях можно говорить, что пересечение про-
изошло в любой точке этого интервала. Непрерывность
точек пересечения требуется только для уверенности
в том, что нет «окон», в которых пересечения сверху или
снизу не могут произойти. В случае совпадения этих
функций на интервале, т. е. когда uwt=[a, &], достаточ-
но, чтобы
lim uw > а и lim uw < b
или
Пт«ш<6 и lim«ui>a.
W t W*	W I w*
Более точно, точки пересечения могут рассматриваться
как интервально-оцениваемые функции и требуется, что-
бы они были полунепрерывными сверху [178].
Теорема 2.2. Если есть экстремальная функция для
$, FQf h0<s<7<oo, то существуют такие Gt и Ga
из что
Gj(s—) ^Fi(s) ^G2(s),
G2(/-)
Доказательство. Рассмотрим сначала существо-
вание Gi.
Случай 1. s<t^m. В соответствии с первым пунк;
том условия Пб существует w^w* такое, что uw=m.
Тогда F(t)^G(t). Далее, в соответствии с третьим
пунктом того же условия F(s) —Gw(s) =0.
Случай 2. s•<т<t<uw<t или т<s<t<uw„. В со-
ответствии с первым пунктом условия Пб существует такое
w<w*, что uw=t. Если F и Gw непрерывны в Ч, то F(0 =
= Gw(f) и всегда F(t)^Gw(t+)=Gw(t). Наконец, в со-
ответствии с третьим пунктом того условия, F(s) ^Gw(s).
Случай 3.	Возьмем GjWG^..
24—1563
369
Случай 4. uw.<s<t. Чтобы избежать тривиального
случая, предположим, что s<M. По первому пункту
условия Пг существует такое w^w*, что uw=s. Если G,o
непрерывна в точке s, то F(s) = Gw(s) и всегда Gw(s—) sC
В соответствии с третьим пунктом того же
условия F(t)^'Gw(t).
Теперь рассмотрим существование G2.
Случай 1.	Выберем G2=GW..
Случай 2.	или m.^.s<t^.v0. По вто-
рому пункту условия Пг существует такое w^w*, что
vw=t. Если F и Gw непрерывны в точке /, то F(t) —
= Gw(t) и всегда Gw(t—)^Gw(t)^F(t). По третьему
пункту того же условия F,(s) ^Gw(s).
Случай 3. s<vo<t. Выберем G2=G0.
Случай 4. v0^s<t. Чтобы избежать тривиального
случая, предположим, что s<M. По второму пункту
условия Пб существует такое w^Zw*, что vw=s. Если F
и Gw непрерывны в точке $, возьмем G2= GW.
В противном случае, по пунктам первому и второму того
же условия существует такое wt, что u(c,i<C-s<u(o •</.
Выберем G2 = Gw .
Если $ есть экстремальное семейство, используем обо-
значения {Gw:0<u><tw*} и ^t = {Gw:w^ w*}.
Теорема 2.3. Пусть есть экстремаль для $.
Если F£&, 0 < s < / < 00 и если <р(y,z) возрастает
по у и убывает по г, то

inf <р (G (s), G (t —)), s < t < »0,
G6^
<f (G 0 (s),G о (t —)), s < v0 < G
inf <p (G (s), G (/—)),	»0 < s < t;
? (F (s), F(/))<
sup <p (G (s —), G (/))>
G6^i
s<t<uw„
? (Gw. (s —), Gw. (0). « < uw.<t,
sup ? (G (s —), G (0).
1

Из теоремы 2.2. непосредственно следует, что
inf <р (G (s), G (0) < f (F (s), F (0) < sup <p (G (s), G (/)).
370
Более подробно результаты теоремы 2.3 могут быть по-
лучены непосредственно из доказательства теоремы 2.2,
которые оказываются полезными в случае, когда
или fo известны. Они также полезны даже в случае,
когда известны лишь границы для uw, или о0- В про-
тивном случае точные результаты можно получить толь-
ко путем вычисления экстремума по всему классу
£ =	(J^2.
Теорема 2.4. Если есть экстремаль для & и если
влечет за собой, что последовательность {Fn}n_Oj
Fn € такова, что Fn —► G в смысле распределения, то не-
равенства теоремы 2.3 являются строгими.
Конечно, эта очевидная теорема выполняется, если
$ Однако в специальных случаях, рассмотренных ниже,
где & есть класс УФИ-распределений или класс распреде-
лений с убывающей плотностью и фиксированным моментом
00
£C(x)dF(x), to^Q^F» поскольку моментное условие может
о
быть нарушено. В этих случаях теорема 2.4 используется
для получения строгого выполнения неравенств.
3. ОЦЕНКИ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НА ИНТЕРВАЛАХ
Чтобы применить теорему 2.3, нужно сначала, ко-
нечно, определить экстремальное семейство. Такие се-
мейства, отвечающие определению 2.1, не всегда сущест-
вуют. Действительно, требование, чтобы функция G из
У пересекала функцию F нз 3 самое большое дважды,
связано с семействами распределений 3, удовлетворяю-
щими моментному условию. Здесь не предлагается ни-
какого способа определения того, существует ли экстре-
мальное семейство или нет, или же способа нахождения
этого семейства, когда оно действительно существует.
До обсуждения интересных примеров, отметим случай, ког*
да & ограничено условием F(0—)—0 и моментным уело*
оо
вием J С (х) dF (x)=v, где С строго монотонна и неотрицателfa-
24*
371
на. В этом случае функция Gw из есть вырожденная
функция распределения для 1 (v) и Gw из име-
ет меру (u-^;(0)]/[t;(w)— £(0)]=р при	и меру
1—р в нуле. Здесь большинство границ теоремы 2.3 три-
виально равны 0 или 1. При £(х)=х, v = g<s можно
также получить, что P{s X^.t}^ ц/s и
P{s^zX^zt}^iL/s. Обе эти оценки немедленно следуют
из классических результатов Чебышева.
Оставшаяся часть этого раздела посвящена приме-
рам, которые не столь тривиальны, как этот классиче-
ский случай.
Для того чтобы дать точные результаты в точках
разрыва, предположим в оставшейся части данной
статьи, что F непрерывна справа.
	3.1. Убывающие плотности
Пусть & есть класс распределений F таких, что
F (0—) = 0, функция Р (х) выпуклая в интервале [0, оо) и
00
J С (х) dF (х) = v < оо, где С есть неотрицательная строго
монотонная функция на [0,оо). В этом случае w* опреде-
ляется из
	J С (х) dx = ai*v, 0- ^1 = {Gw:0<w<w*},
где	1,	х<0, 'Gw (х) = /1 — x/w, 0 < х < w, 0,	х>ш>	(см. рис. 3.1)
и	$t = {Gw-.w^w*},
где	' 1,	х<0, Gw (х) а (1 — x/w), Q<x<w, 0,	x^>w (см. рис. 3.2).
372
Постоянная а определена моментным условием
j C (x)dGw(x) = v.
В этом случае и<0. зависит от F и о0=ЛГ.
Используя теорему 2.3, приходим прямо к получению
точных результатов, когда Цх)=хг. В этом случае обо-
значим v=pr и получим следующую теорему.
Теорема 3.1. Если F(0—)=0, Р(х) — функция вы-
ОО
пуклая на [0,оо) и J xrdF (х) = р.г, то тогда для всех
0<s</
F(t)-F(s)<
f [r/(r+	I(r + l)K]',r<(r+l) sjr<t,
I (r+1)Hr(t— s)/tr+i, w*<t<(r+ l)s[r,
1 — s[(r+l)nrr',r.	(3.1)
1 — s[t„	t^w*.
Частный случай этой теоремы получен в [186] путем
предельного перехода t—>-оо. Другие оценки, вытекаю-
щие из теоремы 2.3, тривиальны (0 или 1), за исключе-
нием верхней границы для [F(t)—F(s)]/F(/), которая
совпадает с верхней границей для F(i)—F(s), получен-
ной в предыдущей теореме.
373
3.2. Возрастающая функция интенсивности.
Рассмотрим теперь класс & ВФИ-распределений F
ОО
таких, что F (0—) = 0 и J С (x)d F(x)= v< оо, где С
о—
есть неотрицательная строго монотонная функция на
[О, оо). В этом случае o)* = £-1(v), l={Gw:0^w^.w*},
где Gw определяется из (2.2) и
%2={Gw' w^w*},
где
^»(х)=Р’ЬЖ’ °^ХО>	(3.2)
10, x^w,
ОО
и Ь определяется из моментного условия J C(x)dGw(x)=v.
о—
Нетрудно видеть, что для всех w^w* существует Ь,
удовлетворяющее этому условию.
Непрерывность точек пересечения uw и vw может быть
проверена путем, приведенным в [13].
Поскольку Gw* является вырожденной функцией в
w*, следует, что uw*— =	(v) (детали теоремы 2.3
полезны для вычисления верхних оценок).
Ясно из определения Gw, что w<uw<vw, когда w<
<w* и vw<w = uWt когда w>w*. Используя эти факты,
можно на основании доказательства теоремы 2.2 полу-
чить следующее улучшение теоремы 2.3.
Если <р(у, z) возрастает по у и убывает по г, то:

sup(Gw (s), Gw(0)>	5</<ww.=C_,(v),
W^t
?(GS(« — ),0),
C-‘(v)<s<t
Хотя v0 зависит от F, известно (см. леммы 3.1 и 3.2
в [13]), что когда функция £(х) возрастающая и выпук-
лая, то Это оказывается полезным при вычисле-
нии нцжних оценок, поскольку t^v влечет за собой
s^Uo-
374
Приведем несколько неравенств для ВФИ-распреде-
лений, важных для приложений в теории надежности.
Поскольку в основном представляет интерес случай
g(x)=xr, сформулируем соответствующие результаты,
хотя -без каких-либо трудностей могут быть получены и
более общие результаты.
Теорема 3.2. Если F(0)=0, F есть ВФИ-распределе-
ние и
J xrdF (x) = |ir,r> 1,
о
то
Г(/)-Г(5)>
О, S < t ИЛИ	< S <
Г	1	1/
wmin|e sl r —е /Xr , е~Ьа — е-ь<], s <Hr/r < Л
t
где b удовлетворяет г j хг-,е-дх^х = р.гиЯг== рг/Г(г-|-1).
о
Доказательство. Нижняя оценка достигается вы-
рожденным распределением, которое, по определению, непре-
рывно справа. Предположим, что	и w=t, так
что Gw£^a. Если	то, поскольку Gt(t—)>
>J(0 (рис. 3.3),
F(f)_F(s)^Gt(/-)-Gt(s).
Далее предположим, что F (s)<^Gt(s) (рис. 3.4). t
?75
Поскольку г > 1, хт выпукла, и отсюда следует, что
Но и изменяется монотонно на интервале [0, о0],
когда w изменяется на К/г, «>]• Следовательно, существует
такое что vw=s, и тогда
F(0 —F(s)>inf(e-b» —
W
где b удовлетворяет условию г Jxr~,e1~bIdx= рг.
о
Поскольку экстремальные распределения удовлетво-
ряют моментному условию, они должны пересекаться по
крайней мере один раз и тогда можно заключить, что
Ь — монотонно возрастающая функция w. Дифференци-
руя по Ь, видим, что е-6’—e~bt возрастает для 6^
—s)-'lg/|s и убывает в противном случае. Следо-
вательно, инфинум достигается для или ш = оо.
Предыдущая теорема может быть сформулирована для
оо
более общего условия, когда £ С (х) dF (х) = v, где С (х) >
о
>0 — выпуклая и строго возрастающая функция. Реша-
ющим фактом, используемым при доказательстве, является
то, что o0>C-1(v).
Теорема 3.3. Если F(0) = 0, F есть ВФИ-распределе-
ОО
ние и JC(x)dF(x)= оо, где С есть строго монотонная
о
неотрицательная функция на [0, оо), то
шах < SUP Ге-а(«-ш)_________g-a(J-w)
I L
F(0-F(s)<.
I
sup
s^w^t
1,
e-6*,
s<7<C~’(v),
376
00
где а удовлетворяет условию J С (х) ае* e(x “ w) dx = v, a b—
w
00
условию J C (x) be"bx dx C (s) e“bB = v.
Если C(x) = x так, что v = ji1, то мы получаем более
простое неравенство
F (/) — F (s) < 1 — е-(/-,)/(^), « «К
Доказательство. Предположим, что s</<£-1(v).
Тогда существует такое w, что tw^i/=uw<^_1(v)
(рис. 3.5), поскольку Uw>w изменяется непрерывно
Рис. 3.5. Графическая иллю-
страция к доказательству тео-
ремы 3.3.
в интервале (0, £-1(v)], когда w изменяется в том же са-
мом интервале. Следовательно,
F(t) — F(s)< sup \GW (0 - Gw (s)],
т. e. получена первая граница.
В случае, когда Цх) —х и v=pi = l, имеем а= .
Если w<s, то
Q-<^[Gw(0-Gw(s)l =
= (1 — s)	— (1 — /) е-<'-®)/(|-®> > О,
поскольку s<t и супремум для 0<а»<в достигается при
w=s. Если s<w</, то
(1	[1 -е-(,-о’)/(,-и”] = (/-®)е-(/-,в’Л,-“’<0
и опять супремум достигается при w=s.
377
Граница для s<£~'(v)^/ достигается при вырожден-
ном распределении в точке £_|(v).
^Если £-1(v) ^s</, то поскольку G(s—) =e-bs^F(s)
и Gs(s + )=0, последняя граница следует немедленно.
Теорема 3.4. Если F(0) = 0, F есть ВФИ-распределе-
00
ние и §xrdF(x) = р.г при г>1, то
о
F(t)
°.
V-r'
<s<t,

s
где lr = р.г/Г(г+ 1).
Доказательство. Для <Z.s граница дости-
гается при Gw£$2 и w=s.
Предположим, что s<^r. Поскольку г>1, то
> 1*УГ. Следовательно, по теореме 2.3 нам необходимо рас-
смотреть только $2. Легко видеть, что [Gw (/) — Gw (s)]/Gw (О
убывает по w,	и, следовательно,
[F(t)-F(s)]/F(fp* inf [Gw (0 - Gw (s)]/Gw (/),
W^t
т. e. нужно найти такое wZ^t, которое максимизирует
Gw (s) Gw (/) = (1 - e-b«)/(l - e- b‘),
w
где b удовлетворяет условию г ^xr~*e~bx dx = y.r. По-
скольку b есть возрастающая функция от w, максимизи-
руем относительно b > 0. Далее, (Gw ($) | Gw (/)) 2s 0.
тогда и только тогда, когда tebs—sebt<t — s. Поскольку
.lL(tebs — sebt)<0, при t>s, имеем, что teb* — se~bt<
<0</ — s. Положив w—oo, получаем Ь=Л/аУг, т. е.
вторую границу.
Как и в случае с теоремой 3.2, используя то, что
oo^C-1(v)> мы могли бы получить аналогичные оценки,
если ^>=0 есть выпуклая и врзрастающая функция.
378
Теорема 3.5. Если F(0) = 0, F есть ВФИ-распределе-
ОО
ние и | C(x)dF(x)= v< оо, где ОО есть строго моно-
тонная функция в интервале [0, оо), то
F(f)-F(s) р,	s<C-*(v),
"|1— Gs(s) = e~6e, s>C"‘(v),
где b удовлетворяет условию.
С(х)6е-Ьх
dx-|-C(s)e~be = v.
Доказательство. Оценка для s<£-1 (v) достигает-
ся при Gw из ,У1,при s<w<t. Для	нам необхо-
димо рассмотреть только и на основании монотонно-
сти, полученной при доказательстве теоремы 3.4, требуе-
мый результат следует сразу же.
Теорема 3.6. Если F(0)=0, F есть ВФИ-распределе-
ние и
F(t)-F{s)
l-f(s)
J xrdF (х) = рг,
о
то

S < t < p.yr,
где b удовлетворяет условию
t
r J xr-*e'bIdx=i*l..
о
Доказательство. Доказательство близко к доказа-
тельству теоремы 3.2. Ясно, что, если	оценка до-
стигается при Предположим, что и s<o,.
Если F(s)>Gt(s) (см. рис. 3.3), то
F(t)-F(s) _
j(s) —
_ ISO. > 1 _ gt«~) Gt(i-)-Gt(s)
F(s)^1 Zt(s) ~ Gt(s)
379
Если F(sXEt(s) (см. рис. 3.4) и s<t>0, выберем w>t
так, чтобы vw = s. В этом случае
F(t)-F(s)	G„(Q-Gw(s) 11 _p-b(t-8)
F(s)	<?»(«)
00
где b удовлетворяет условию r^xr~* 1e~bxdx = fir.
Поскольку b возрастает no w и 1—e-b(f-e) возрастает
по b, минимум достигается при w = t, как и раньше.
Рис. 3.6. Случай vw=s.
Теперь положим Выберем Gw £	0 < w <	,
так, чтобы ^w(s)=F(s), т. е. vw = s (рис. 3.6). Ясно, что
F(t)-F(s)	G«, (f) — Gw'(s)
F(s)	Ga(s) "
Однако e-0^-*) максимизируется для a/=0, поскольку a
возрастает no w. Теперь 0^ = 0^, так как уже было най-
дено, что
1 —e-b(i-«)< 1 —"e-a(i-»)>
где а и b удовлетворяют условию
t	со
г J хг  *е ' bxdx = цг = Jxrae ~ aadx.
о	о
Теорема 3.7. Если F(0) = 0, F есть ВФИ-распреде-
СО
ление и ft(x)dF(x) =
o'
v«<oo, где О 0 есть строго возра-
стающая функция в интервале [0, оо), то
f(0—F(s) f SUP 1—e-0(f'w> при ««^'/^^^‘(v),
1—F(s)	\
1 (I	при *(v),
380
00
где а определяется из ^(x)ae~a^-w>dx= v.
00
Если С(х) = х так, что v = p1, то получаем
F(f) —F(s) .
\ — F(s) *'1—е	’ «<.г<чlh-
Дока э-ательств о. Сначала предположим, что $ < / <
<^C-l(v). Выберем и»</ так,_чтобы uw = t (см. рис. 3.5).
Тогда p(t) = Gw(t) и Р (s)<(2w(s). Следовательно,
F(t)-F(s).	F(t) .	е-0’'-*), w<s,
l-f(s) "	*	^“(i-e-aft-w», w>Sf
где а определяется из
ОО
Jc (x)ae_a(a-w>dx
00
(C(x+a>)
ae~axdx = v.
Поскольку C — возрастающая функция, то a возрастает
no w. Далее, так как 1—возрастает по а, можно
еделать заключение, что шах!—е-а(‘~,) имеет место при
w=s. Ясно, что оценка для С”*(v) достигается любым
Gw при C_|(v)<w<t
Заметим, что используя теоремы 3.6 и 3.7, также нахо-
дим оценки для	[1 —F(/)]/[l —F(s)],
1 — F (t)	,	F(t) — F(s)
поскольку -j—= 1------------—------—
l-F(s) •
3.3	Плотность Пойя 2-го порядка (ПП2)
Пусть обозначает класс распределений F (/) таких,
что F(0) = 0, f = F' есть ПП, в интервале [0, оо) и
ео
JC(x)dF(x)=v< оо, где О 0 строго монотонна на [0,оо].
о
Экстремали для этого случая введены в (2.2) и (2.3).
Используя теорему 2.3 совместно с характеристиками
экстремалей для ПП2, приведенными в [13], получаем
следующую теорему.
381
[О,
Теорема 3.8. Если F(0) = 0, f есть ПП, в интервале
ОО
оо) и
J? (х) f (x)dx =
v < оо, где О 0 есть строго мо-
нотонная функция в интервале [0, оо), то
F(t)-F(s)>
F(t) — F(s)<
О при 0<$<7<C_,(v) = a>*
или С_‘ (v)<s< t,
inf \be~bxdx/[l—e~b№]
W^t S
при s<^C-1(v)<^,
max{sup (e~a<»-w)—e-a(/"tt>],
sup [1—e-o(f_№>]} при s<^t<XC-1 (v),
1	при S<C-1(v)</,
t
sup ffee-bxdx/[l—e-bw] при C_‘(v)<s</,
s
где а и b выбраны так, чтобы удовлетворять условию
W	оо
§ t(x)be~bxdx/[l —e-bw] = JC(x)ae_o(*'w>dx= v.
О	a>
В § 4 будут получены для одного частного случая
более простые границы, основанные на границах для
плотности.
Доказательство. Для нахождения нижней оцен-
ки предположим сначала, что t>v0 и $<а»*=£-1(у).
Ясно, что
F(t) — F(s)^G„(t) — G0(s) = e'be — t~bt,
ОО
где Jc (х) bt~bxdx = v.
oJ
Бели s<w*<t<v0, выберем Gw из так, чтобы
vw=t (рис. 3.7). Это возможно, поскольку vw пробегает
интервал [0, t>0] при изменении w в интервале [w*. оо].
382
Ясно, что Л(0——Fw(s). Оставшаяся ниж-
няя оценка достигается на вырожденном распределении.
Верхняя оценка в случае s<g-1(v) дана в теоре-
ме 3.2. Предположим, что £-I(v) Существует един-
ственное пересечение f снизу плотностью gw распределе-
Рис. 3.7. Поведение функ- Рис. 3.8. Случай х*<ю<з.
ции Gw, у которой vw=t.
ния Gw при w>w* [13]. Обозначим это пересечение че-
рез x*w. Если5>х*00, оценка находится просто (рис. 3.8).
Если s<x*oo, существует такое w, что x*w=s (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Случай x*w>s.
В [13] показано, что для этого w
^f(x)dx< ^be~bxdx/[l—e~bw],
s	s
и, поскольку 6e~bx>f(x) для s<x<a>, нетрудно видеть,
что
t	t
J f (x)dx< J be~bxdx)\\ —e’6w]
s	s
для всех /_>s>C-,(v).
383
3.4.	Убывающая функция интенсивности
Пусть есть класс УФИ-распределений F таких, что
00
F (0—) = 0 и J С (х) dF(x)=v<oo, где О 0 есть строго воз-
о—
растающая функция в интервале [0, оо). Пусть w* опреде-
со
ляется из ( t(x)e~xlw*dx=w*v и пусть
о—
где
_ , . (1,	х<0,
Gw(x)-|e_x/„ х>0,
пусть
где
Gw(x)=l	<
(ае ' , х^О,
со
и а определяется из J С (х) dGw (х) = v. Можно показать,
что {Gw:0<a>< оо} есть экстремаль для ср, о0=оо,
и и^, есть единственная положительная точка пересечения
F и G*,, зависящая от F.
ОО
В этом случае $ qt потому что J С (х) dGw (х) v
для ay<w*. Однако легко видеть, что Gw может быть
аппроксимировано распределением из $, которое состоит из
двух экспоненциальных участков.
Теорема 3.9. Пусть F есть УФИ-распределение,
F(0—) = 0 и j xrdF (х) = Hr- Обозначим [|*г/Г(г-|- 1)]|,г
О—
через 0 и t/s — через р.
384
Если 0 < s < t, то
Q<F (t) —
-F(s)<
Р s/(/ s) — p w s) при (t — s)/Q < lg p,
e-^9— e-//e при lg p < (t —
<lg[(rO-0/(r6-s)l,
przr(e-8* — e_,z) при lg [(rO — <)/(r6— s)<
где z находится как решение lg [(г — tz)[(r — sz)] =(/ — s)z.
Доказательство. Нижняя оценка легко находится,
поскольку lim [Gw (t) — Gw(s)] = 0, когда s>0. Для того
чтобы получить верхнюю оценку, сначала рассмотрим
sup [G (t) — G ($)] = max [е~5/и— e-//ro],
4^	tafega>*
где w* определяется из
p.rw* = ^xre~x/w'dx = Г (r +1 )tt)*r+1
или te>*=0. Таким образом,
max [e-s/t® — e-s/“’ ] max [e ",z— e ~tz].
Дифференцируя e-sz — e_<2, видим, что максимум этого
выражения достигается при z=lgp/(/— s). Следовательно,
p	p , lgp/П	,
e-s/e—e-//e, lgp/(f — «)<#**.
Далее рассмотрим
sup [G (0 — G (s)] = max a — e-//ffl],
“^e
где a удовлетворяет
щ.= CxrdGw(x)= т Cxr'lae_x/a,dx = axrr(r-|-1)»
26—1663
386
или а = (О/а>)г. Таким образом,
max а(е— s/a> — е~ ‘lw\ — шах (6z)r [e-eZ — е” **].
z<fl— 1
Вычисляем
-J7 zr [e’4Z — е~ tz[ = zr~* {e-sX(r — sz) — e" tz(r—tz)}.
Для того чтобы исследовать эту производную, рассмот-
рим е-хх(г — хг) как функцию х. Выражение
^-е“х2 (г — хг) = ze-xX [xz — (г +1)]
меньше 0 для x<(r-}- 1)/2> равно 0 для x = (r -f-l)/z и
больше 0 для x>(r-|-l)/z.
Предположим, что е-*9’’ (г — <0 ” *) > е-®9"’ (г—S0 ~ *). Тог-
да из рис. 3.10 для г = 0~’ ясно, что f>(r-|-l)9. По-
Рис. 3.10. Функция 1-11(г—хг) в зависимости
от г при фиксированном х.
скольку e~xz(r— хг) симметрично относительно х и г, гра-
фик этой функции для фиксированного х при переменном г
такой же, как и график на рис. 3.10 .'с [соответствующей
заменой х и z. Уменьшая z от О-1 до (r-|- l)/t и исполь-
зуя	видим из этого графика при x=t, что
функция е~tz (г—tz) убывает от e~w'* (г —tf)~ *) до — е~ <г+1).
Аналогично из рис. 3.10 при замене х на г при x=s мы
видим, что е-м(г — sz) изменяется от е-®9" (г —S0"1) к
е—(r+ije/fp. —	— е_(г+1>. Таким образом, из не-
прерывности следует, что существует такое
0“Ч, что e^Cr —/z„) = e“®°(r —sz0).
Далее, предположим, что е~//9*‘ (г — tO "*) < е~®8'' (г —
— вб"1). Тогда, если решение zt уравнения е~**(г—sz) =
s=e~tz(r — tz) существует в интервале [0, в'1], то в соот-
386
ветствии с рис. 3.10 s<(r-|-l)/z4< t Когда z убывает от
в"1 до (г + 0/^» Функция е-/х '(г— /А-1) убывает, а функ-
ция е''л’(г— si-1) возрастает таким образом, что решения
не существует, и на самом деле е_*2(г— sz)>e_(2(r—tz),
O<z<0_‘. В этом случае max Az (е~si — e~tz) будет при
г<9"'
z = 0-1 и равен е~®/9 — е~</9. Возвращаясь к результатам
для sup[G(f)— G(s)|, видим, что
p—s/Q — g-W <1 п~~s/(t~s) Q—
с	Н	г
Следовательно,
sup[G(/) — G(s)] =
£
(
p_s/a_s)_p_,/(,_i) при (/_s)/lgp<0i
еГ^19 — eTtl9 при (/ — $)/1gр>6 и
е-'9" (г — /0 - ‘) < е-49"‘ (г — s0 -»),
Az(e-42—е_<2) при е~а'(г—/0“*)>
>e"*x'*(r — S0'1),
где z £ [(г—f— 1)//, Л-1] единственным образом удовлетво-
ряет уравнению е~'2(г— /z) = e~eZ(r— sz). Поскольку
е~^’(г— rt“1)>e‘'s9*’(z— S0’1) влечет s>r(0-1 (см.
рис. 3.10 при z = 0-1), то е-49 *^ —	— «О"1)
тогда и только тогда, когда (г — /0_1)/(г —	е9',</-в)
или (t —s0-*)>lg[(r — <0-‘)/(г—s0-‘)|.
Условие lgp<(f—s)/0<lg(rO—t)/(rO — s) имеет смысл,
когда s>ri. В противном случае, lgp>lg(r© — f)/(rt — s).
3.5.	Возрастающая в среднем функция
интенсивности
Пусть & есть класс распределений F таких, что Fs’(0>=
«®=0, F имеет возрастающую в среднем функцию интенсив-
•О
ности (ВСФИ-распределение) и	(х)=ят<оо, где
С э*0 есть монотонная функция на fO, оо). Пусть ®*=s
S5ssC“‘(v) И S?,e=s {G«,!0<и><®*}, ГДв
I е х^»ш.
85*
зет
и Ь определяется моментным условием
ое
f С (х) dGw (х) = V.
О"
Пусть £72 = {Gw:w^w*}, где Gw задано в соответствии
с (3.2).
Отметим, что w* и те же самые, что и в слу-
чае с простой возрастающей функцией интенсивности.
Это означает, что верхние границы для <p(F(s), J(Z)),
полученные в теореме 2.3 для t>uw„ те же самые, что
и в случае с возрастающей функцией интенсивности.
В противоположность случаю с возрастающей функ-
цией интенсивности в данном случае возможно, что F
из f и G из $ совпадают на целом интервале, где
0<7^(x) =G(x) <1. Таким образом, пересечение в дейст-
вительности может наблюдаться не в точке, а на целом
интервале. В частности, у0 может быть интервалом. Что-
бы избежать усложнения в обозначениях, будем изла-
гать последующие доказательства так, как если бы точки
пересечения были бы строго определены. Под s = vQ бу-
дем понимать, что s принадлежит интервалу пересечения
vQ, а под s<t>o (s>^o) будем понимать, что s лежит
слева (справа) от любой точки данного интервала. (См.
замечание, следующее за определением 2.1.)
Теорема ЗЛО. Если F(0) = 0, F есть ВСФИ-распреде-
00
ление и £ xTdF (х) =	для г > 0, то
о-
О при s < t <	или < s < t,
. _ — Ьла	—b-ts	—bft
mm [e — e , e — e ’
при s
где Ь, находится из

ft-
и bt находится из
Г хг"‘е~41Д1^х = )*r.
388
Доказательство. Нижняя граница достигается при
вырожденном распределении. Предположим, что
и положим_ау=/, так_ что Gw^2. Если /’Js) S3 G t (s), то,
поскольку Gt(t—)>F(t) (рис. 3.3), имеем
F(t) — F (s) Gt (f-) - Gt (s) = e“b‘‘ - e-"''.
Если F(s) <Gt(s) и s^v0 (рис. 3.4), то существует такое
w^t, что vw = s, откуда следует, что
F (0 — F (s) > inf [е - ь» —'е - ь * J,
W^t
где b удовлетворяет условию
г J xr-1e"bxdx = p.r.
о
(3.3)
Если, с другой стороны, s>y0, то существует такое
w<s, что vw=s (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Случай vw=s.
Тогда 67w(i/) и отсюда следует, что
F(t) — F(s)>inf [e‘bl— е~ b*J,
00^1
где b удовлетворяет условию
ОО
wT (1—e"bw)-|-J хгЬе-Ьх dx = цг.	(3.4)
Теперь Gw(f)—G„(s) »е~Ьв—е~Ь( как для Gw на Зи так
и для Qv иа .9,. В обоих случаях Ь — возрастающая
функция от ш (два экстремальных распределения долж-
389
ыы пересекаться, чтобы иметь r-й момент р*.). Следова-
тельно,
inf [e-b* —e-b<J = inf [е — е 6w<],
где b = bw определяется из (3.3) и
inf[е-ь*— e-b<] = inf[e bwS — е
b^bw^b9
где b = bw определяется из (3.4). Поскольку ba = b<x>, то
определяем
min {inf [е _ ь* — е _ ь 1 ],	inf [е _ bl—е _ ь f]} = inf [е ‘ ь* — е- ь
ob^s	w^t	b^b^bt
Далее, e-b*—е~ь* возрастает по b<(t — s)_| lg(t/s) и убы-
вает по b > (t — $)"1 lg (tfs). Следовательно,
inf [e"be— e-bt]
b^b^ba
имеет место на крайней правой точке.
Теорема 3.11. Если F(0) = 0, F есть ВСФИ-распреде-
ОО
ление и JC(x)dF(x)= v< оо, где С есть строго монотон-
oJ
ная неотрицательная функция в интервале [0, оо), то
F(t)-F(s)<
I
при <C-1(v),
при
при С-1 (v)<s< t,
где b, определяется
определяется из
и bt
?(/)(! ~-e-bq-+-jC(x)fee-fc-Mx== v.
Доказательство. Если «<<<£-’(v), то 5<(s)>
5»P(sJ и	В противном случае R н Gt не
пересеклись бы (рис. 3.11 при ®«1). В случае (v)
искомые оценки следуют из теоремы 3.3 и замечания,
предшествовавшего теорема ЗЛО.
зм
3.6.	Оценки для интегралов
Оценки для интегралов
вида
приведен-
ные в статье 3 дополнения, получены в предположении,
что F^^ имеют возрастающую функцию интенсивности
в предположении известных значений математического ожи-
дания и дисперсии. В этом случае экстремали Gw£3 бы-
ли составлены из участков экспонент. Эти экстремали не
пересекали F £ & более трех раз, но они не являются
экстремалями в смысле определения 2.1. Однако
^•(x)=J/(u)du и &..(x)=*^w(x)dx
X	X
могут пересекаться самое большое дважды, поскольку они
совпадают в точке х = 0. Следовательно, можно показать,
что $* = {G*w: Gw £ 3} есть экстремаль в смысле опреде-
ления 2-1 для {F* :F£ р} и теорема 2.3 может
быть применена. Следовательно, например,
t	t	t
inf (x) dx < fF (x) dx < sup	(x) dx.
op J	•)	at J
s	s	s
С другой стороны, если положить fi (х) =J'(x)/pi, то
имеем действительно готовые границы для класса рас-
пределений, имеющих убывающие ПП2, ограниченные
заданным значением математического ожидания.
4. ОЦЕНКИ ДЛЯ ПЛОТНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ
ИНТЕНСИВНОСТИ
Вообще говоря, оценки для плотности не сущест-
вуют даже при ограничениях, которые гарантируют су-
ществование самих плотностей. Поскольку плотность f
должна удовлетворять только условию
P{X£A}=^f(x)dx
для измеримого А, то она может быть произвольным
образом определена в некоторой заданной точке таким
391
образом, что при этом -нарушит любую нетривиальную
оценку. Однако, когда F дифференцируема, наиболее
естественным выражением для плотности является f (/) =
=lF,(i/), для которого часто могут быть найдены нетри-
виальные оценки.
Если & есть экстремаль для то для любого t >0
и всякой F£^ существует G£& такое, что G пересека-
ет F сверху в точке /. Если существует F' (/) = f (t) и
G'(t) = g(t), то ясно, что f(t)<g(t).
Аналогичным образом, существует G из $ такое,
что G пересекает F снизу в точке t. Если существуют
^,(l0=f(0 и G'(/)=g(Z), то	Следовательно,
если 3 есть экстремаль для р, то
inf g	sup g(t).	(4.1)
£	S7
Но даже если F не дифференцируема в точке t, может
оказаться, что производная справа
(0 = Нт[ГаН-А> —F(0]/A
д;о
и производная слева
Д|0
существуют по крайней мере для некоторых t. В этом
случае рассматриваются оценки для любых видов плот-
ностей f(Z), лежащих между f+(/) и f-(t). Аналогичным
образом, не требуется дифференцируемости G £2? в точ-
ке t. Используем max(g+(/), g-(t)) для определения
верхней оценки и min(g+(/), g-(t)) для нижней оценки.-
При этих условиях (4.1) продолжает выполняться.
Конечно, если существует функция G из 2?, разрывная
в точке it, то тогда не существует верхней оценки F из &
в точке t. Аналогично, если существует G из 3 такое, что
G(f) =0 или 1, то нижняя оценка для f(t) есть 0.
Из определения экстремального семейства и положе-
ния t относительно uw. и vOf можно легко убедиться,
принадлежит ли экстремальное g классу или &2.
Оценки интервальных вероятностей обеспечивают
соответствующие оценки на плотности через обычные
предельные переходы, а оценки на условные вероятно-
сти P{s<X^t\X>s} аналогичным образом обеспечива-
ют границы на функцию интенсивности q. Здесь не при-
392
водится доказательства того, что подобные оценки явля-
ются строгими, если строгими являются оценки для пер-
воначальных функций, однако это можно легко показать.
4.1.	Убывающие плотности
Если F(0~)=0 и функция F(x) выпуклая по
х^О, то существуют конечные правая и левая произ-
водные F, за исключением, возможно, точки 0. Пусть f
есть вид плотности, удовлетворяющей этим требова-
ниям. Тогда, переходя к пределу в (3.1), получаем
f(0<((r+ 1)|ХГ/Г+1 при f<l(r + l)p.r]l,r.
( Г* при fSH(r+W,r.
Нижняя оценка для f(t) тривиальна, за исключением
случая, когда /=0. В этом случае из (3.1) имеем
f (s)>s[(r+l)’|Ar]_I/r при /=оо
и, следовательно,
/(0)>[(г+1)цг]-,,г.
4.2.	Распределение с возрастающей функцией
интенсивности
Если F есть ВФИ-распределение, то, как показано
в (197], F абсолютно непрерывна, кроме, возмож-
но, лишь скачка на правом конце интервала суще-
ствования. Таким образом, q(x)=f(x)/F(x) существует
для таких х, что /’(х)<1, и такой вид f, для которого q
есть возрастающая функция. Следующие оценки приме-
нимы для любого такого вида f, который при возраста-
нии q должен удовлетворять f-(t)	(t)
Теорема 4.1. Пусть F есть ВФИ-распределение и
Г(0)=0. Если
оо
xdF (х) = |л„
то

1/(Р1 — 0 при <<11»
оо при
(4.2)
393

оо
Если	= то
t<v"2,
(4.3)
оо,
Неравенство (4.2) просто следует из теорем 3.2 и
3.6. Неравенство (4.3) следует из приводимой ниже тео-
ремы 4.3.
Точные строгие оценки для произвольного r-го мо-
мента получить не представляется возможным. В сле-
дующей теореме даются точные оценки, которые явля-
ются строгими только для г=1 или t=0.
Теорема 4.2. Если F есть ВФИ-распределение, F(0)= О
00
H^xrdF(x) = nr для г>1, то
f (0 < я (О < [г (г +1)]’'7(Рг/г - 0. о < t <	(4-4)
Доказательство. Поскольку q(x) возрастает по х,
то для t <
pj/r
<7(0 (нУГ—1)< j q(z)dz.
Правая часть неравенства следует отсюда и из оценки
/Ч^>еХр{-[Г(г+1)1,/г},
полученной в {13].
Равенство достигается в (4.4) при /=0 для экспо-
ненциального распределения. При г=1 результат со-
впадает с (4.2).
Метод доказательства, который будет приведен
в следующих теоремах, позволяет легко провести обоб-
щение свойства возрастания функции интенсивности.
Предположим, что для некоторого заданного 0(х)^О
функция a(x)—Q(x)q(x) возрастает по х^О. Представ-
ляет интерес частный случай 0(х)=О, х<х0, 0(х) = 1,
х^х0, для "^которого гипотеза о возрастании функ-
ции а(х\ переходит в гипотезу о возрастании функ-
ции q(x) по х^х0. Таким образом, допускается перво-
394
начальное убывание функции q. Для этого случая мо-
жет быть получена нетривиальная верхняя оценка для
плотности.
Для того чтобы получить этот результат, зафикси-
руем t, предположим, что 0(х)>О для x>w, и положим
1	при х<и>,
G„(x; а) =
expj— a Jdz/0 (г)1при х>о».
I W	)
В случае 0(х)>О для всех x^Zw, положим
(	(	*	1
!ехр < — a Cdz/O(z)lnpH 0<х<а>,
I о J
[	0	при х>го.
Замечание. Если 1/0 (х) интегрируема на всем интер-
вале и если а определено моментным условием
J С (x)'dGw (х; dj'— j С (х)	(х; а) = v,
тогда распределения вида Gw и Hw образуют экстре-
мальное семейство для распределений, рассмотренных
в теореме 4.3 и 4.4. Случай, когда 1/0 (х) не интегри-
руема на всех интервалах, является более сложным.
Теорема 4.3. Пусть есть строго монотонная функ-
ция в интервале [0, оо) такая, что
С С (x)dF(x)= v< оо.
о
Пусть 0 такова, что С dz/0(z)<oo для всех конечных
Г
x^>t. Если а(х) возрастает по х>0, то существует
оо
единственное решение at для v= JC(x)dGt(x; а>) для <<
<С_*(0). Более того,
/(/)<<?(/)<
(at/0(/) при /<C-‘(v),
I оо при /S®C"*(v).
395
Теорема 4.4. Пусть О 0 есть строго монотонная функ-
00
ция в интервале [0, оо), такая, что С (х) dF (х) = v < оо.
о
X
Пусть 0 такова, что j‘dz/6 (г)<; оо для всех	Если
6
а(х) возрастает по х^О, то существует единственное ре-
00
шение а2 для v= JC(x)dHw(x; а2) при Z>»C_1(v). Более
того,
(п> (а2/0(О при Z>C-‘(v),
чу,'\ о при f<£-*(*)
и
f(O>o.
Доказательства этих теорем основаны на том, что если
F(x) (х) для всех х и С (х) возрастает по х > 0, тогда
ОО	00
С C(x)dF(x)[^') (C(x)dG(x).
oJ
Если a(x) возрастает по х>0, тогда
(4.5)
иаМ^[ 0 Пр„х«.
I оо при x>f	\a(t) при x^t,
так что
,W< [°М№> "Р" х<‘- и ,Wa( 0	"Р" х<‘-
| оо при х>/	|а(/)/0(х) прих>Л
Следовательно,
•	х
х	la(t)dz[b(z) при x<f,
Q (х)= ^q(z)dz < . (У
оо при х
и
О при х <
Q(x)>
при x^t
396
или
Ht(x\ a(t))<F(x)<Gt(x\ a(t)).	(4.6)
Доказательство теоремы 4.3. Предположим,
что С(х) возрастает по х, тогда из (4.5) и (4.6) имеем
V = jC (х) dF (х)<(х) dGt (х, a(t)) = (а (/))•
о	о
Ясно, что функция <Pi (а) строго убывает и непрерывна по а и
lim <fi (а) = lim С (х) > v, lim (а) = ?(/)•
а->0	Л-»Оо
Таким образом, если v>£(/), то существует единствен-
ное решение для уравнения <pi(ai)=v. Более того,
ai>a(/) завершает доказательство. Доказательство для
убывающей функции £ аналогично.
Доказательство теоремы 4.4. Опять пред-
положим, что £(х)—возрастающая функция. В этом
случае из (4.5) и (4.6) следует, что
v =
00	оо
(t) (*)=М°(0)-
Ясно, что функция <р2(а) строго убывает и непрерывна по
а и
lim <р2 (а) = С (t), lim у2 (а) = С (0) < v.
а->0	а-* оо
Таким образом, если £(/)>v, то существует един-
ственное решение а2 для уравнения <р2(а) =v. Более
того, а2^а(/), что и завершает доказательство.
Неравенства теорем 4.3 и 4.4 являются строгими,
однако доказательство этого опускаем.
4.3.	Плотности ВПФ2
Оценки для плотностей ВПФ2 могут быть получены
из теоремы 3.8 предельным переходом. Однако, если
предположить, что £(х)=хг, можно получить более точ-
ные результаты другим методом.
397
Теорема 4.5. Если f есть ВПФ,*плотность в интервале
[О, оо), f(x)—O для х<0 и
xr/(*)dx = fir,r>l,
f(0<
0
«1	при /<|л'/г,
оо	при f = p.’/r,
be~bt/[l—е-ь<] при
при t<Zv-',r или
[Г(г+ 1)/Иг],/ге-1(г+1)”/г при / =
(4.7)
(4.8)
где ах есть единственное решение уравнения
00
^xra1e~ai{x"~t)dx = jx,
о
и Ь есть единственное решение уравнения
J xr6e“dxdx/(l —e“bt) = p.r.
о
Оба неравенства строгие.
Из границы для f(pr/r) можно получить точную ниж-
t
нюю границу для j f (х) dx, что дополняет строгий, но не-
точный результат теоремы 3.8. Из (4.8) имеем
t	i
J f(x)dx>J g(x)dx,	(4.9)
ц,1/г	уМГ
когда t — уУг достаточно мало. Здесь
g (х) = [Г(г + ШГехр { - [Г(г + l)/txr],/rx}.
Поскольку f пересекает g сверху и ровно один раз справа от
398
непосредственно из (4.9) для некоторого t следует,
что
ОО	00
J f(x)dx<J g(x)dx.
ц1/<	и1/г
(4.10)
Это противоречит теореме 3.8 из [13]. Следовательно, (4.9)
справедливо для всех t>v'rlr.
Доказательство выражения (4.7). Неравенство
для следует из теоремы 4.3. Для выберем
(Ье~Ьх/(1 — е-ь<) при 0<х<Л	.. ...
gtW = L	<411)
(О	при х>/
и предположим, что f^gt- Поскольку lgf(x)— есть вог-
нутая функция, a lggt(x) — линейная по х£[0, f], имеется
самое большое два пересечения функции f функцией gt.
Поскольку f и gt представляют собой плотности с г-ми
моментами |ir, они пересекаются минимум два раза.
Следовательно, f и gt пересекаются ровно два раза
в интервале [0, t). Более того, второе пересечение функ-
ции f функцией gt должно происходить снизу, откуда
заключаем, что f(t)^gt(.t), как и утверждалось. Ко-
нечно, равенство в выражении (4.7) при t> у.\!г дости-
гается для gt.
Чтобы доказать выражение (4.8), нам необходимы
следующие лемма и теорема.
Лемма 4.6. Если j’<p(x)f1(x)dx=J<p(x) f2(x)<ix< оо и если
область определения ft заключена в области определе-
ния ft, то
^(x)ft(x)lS[ft(x)fft(x)]dx>Q.
Доказательство.
J ? (х) ft (х) lg [f, (x)/f, (x)] dx = — y?(x)ft(x) lg \ft(x)fft(x)\dx >
> j?(x) fi (x) [1 — ft (x)fft(x)] dx = J? (x) ft (x) dx —
— Ут(х)7,(х)с1х=0.
399
Неравенство следует непосредственно из условия
—1, z>0.
Замечание. При <р(х) = 1 это неравенство соответ-
ствует хорошо известному неравенству из теории инфор-
мации.
Теорема 4.7. Пусть <р есть неотрицательная функция
и X — такая величина, что
О <	(х) f (х) dx = [<? (х) 2е“Хх dx < оо.
о	6
Если f есть ВПФ2 и f(x) = O, х<0, то
f (а) > 2е~Ха ,
где
а = (У*? (х) f (х) dx)/(J? (х) f (х) dx).
Замечание. Я, удовлетворяющая условию
j? (х) f (х) dx = (<р (х) 2e-Xjc dx,
о	о
вообще говоря, не обязательно существует. Однако
если <р монотонна, то такая % существует всегда.
Доказательство. Поскольку f логарифмически
вогнута, lgf (х) лежит под ее касательной в точке а,
т. е.
(x-a)r(x)/f(a) + lgf(a)>lgf(x).
Если ?(х)>0, то
Т (х) (х — a) f (a)/f (а) + ? (х) lg f (а) > ? (х) lg /(х)
и, интегрируя, получаем
7^- J ?(х)(х —a)/(x)dx + lgf(a)J ?(x)f(x)dx>
О	о
>[?(x)f(x)lgf(x)dx>
б
> J? (х) f (х) [lg г — lx]dx = (lg X — аЛ)J ? (X) f (х) dx.
О	о
400
Второе неравенство следует из леммы 4.6. По определе-
нию величины а первый член в левой части неравенства
есть 0, и мы имеем
об	оо
lg f (a)	—
О	о
Доказательство выражения (4.8). Если
г=1, то требуемый результат следует из теоремы 4.7
при ф(х) = 1. Если г>1, то выберем
? (х) = X' + (!Лг+1 - ^+1"г) /(ц/г- И1).
Тогда, поскольку возрастает по $ >0, то отсюда сле-
дует, что <р (х) > 0. Алгебраически находим, что а = р.’/г.
Таким образом,
1=[Г(г+1)/М’,Г.
что и доказывает (4.8).
Теорема 4.8. Если f есть ВПФ2, f (х) =0, х<0 и £ есть
непрерывная и строго монотонная функция на [0, оо),
такая, что существует конечный интеграл
J? (х) f (х) dx = v,
o'
то
npHf<C*(v),
(оо при /?C-1(v),
О	при /<c_,(v),
q (t) >	/г
inf gm(t) \gm(x)dx при
где gm(x) определяется в (4.11), b единственным обра-
зом находится из
т
^(x)gm(x)dx=v,
6
а а\ находится из
00
Jc(x)ae-a(x~<)dx= v.
t
26—1563
401
Доказательство. Верхняя оценка следует из
теоремы 4.3. Чтобы показать нижнюю оценку, рассмо-
трим такую единственную точку х*(т), в которой gm
пересекает f снизу и предположим сначала, что
/<х*(оо). Тогда существует такое mo>i, что f(t) =
=gmJt). (Доказательство этого факта в случае, когда
возрастает, приводится в [13], а необходимые модифи-
кации для случая убывающей £ очевидны и не приво-
дятся). Но f (/) = gm^) вместе с условием [177]	,
т0
1—
г
обеспечивает желаемый результат.
Остается рассмотреть случай /^х*(оо)=х*. Рас-
суждая так же, как и в случае /<х*, получаем
00
*•
что вместе с условием возрастания q обеспечивает ниж-
нюю оценку в этом случае.
4.4.	УФИ-распределения
Если F есть УФИ-распределение, то F абсолютно
непрерывна всюду, кроме, возможно, нуля [197]. Сле-
дующие оценки применимы для любых видов функций
плотности f, удовлетворяющих условию
>f+(i) в случае, когда q(x) =f(x)/F(x) убывает.
Теорема 4.9. Если F есть УФИ-распределение и
есть монотонная функция в интервале [0, оо), такая,
J C(x)dF(x) = v<oo,
тогда
f (/)<max [supaae~at, sup6e"bt],
0<cu^l	b^a*
где для каждого а величина a = a(a) удовлетворяет усло-
вию
аа j* C(x)e”axdx-|-(1 — а) С (0) = v,
о
402
в O*sxa(l)
a*k(x)e"*’xdx= v.
Доказательство.
supg(/) = supte'M и supg(0 = supaaeo,,
b^a*	<0*	OCaegl
где и определены в § 3.4. Требуемый результат, та-
ким образом, следует из замечания, приведенного в начале
§ 4.
Следствие 4.10. Если F есть УФИ-распределение и
ОО
С xrdF (х) = р.г < оо,
о
то
Ше)“
при
при <(г+ 1) Я1",
2_1/г е-//х"'
Хг (г±1у+’е-('+1) при />(г+
где гг = |»г/Г(г4-1).
Г.З Требуемый результат может быть получен из теоремы
4.9 или из теоремы о. 8.
Теорема 4.11. Если F есть УФИ-распределение и
Hr = J xTdF(x),
О
то
f(0) = <7(0)>V'/r-
Доказательство. Поскольку функция Q(x) =
= — lg (1 —F(x)) вогнута, Q(x)/x убывает по х и
<7(0) = Нш(?(х)/х^(?(нУЖ,г.
х->0
Но в соответствии с [13]
l_F(^)<e-ir(r+,,,'/r.
откуда следует требуемый результат.
26*	403
Верхние оценки для q, аналогичные результатам, по-
лученным в теоремах 4.3 и 4.4, приводятся в [177] для
случаев, когда функция £(х) убывающая и £(х) воз-
X
растающая, но ограниченная^ dz/0(z)<oo для всех
и
х>0 и а(х)—убывающая функция. В этой работе по-
казывается невозможность получения нетривиальных
нижних оценок для t>0.
5. ТАБЛИЦЫ ВЕРХНИХ И НИЖНИХ
ОЦЕНОК ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
С МОНОТОННОЙ ФУНКЦИЕЙ
ИНТЕНСИВНОСТИ *
Р. БАРЛОУ, А. МАРШАЛЛ
1.	ВВЕДЕНИЕ
В работе приводятся оценки для ВФИ (УФИ)-рас-
пределений и для распределений, плотности которых
есть ВПФз.
Оценки, приведенные в § 2 и 3, выражены главным
образом через pi и цг, где
Ь00
|ir = J xrdF (х)
есть r-й момент распределения F. Все эти оценки без
исключения основаны на предположении, что F(0—)=0
и могут быть, таким образом, рассмотрены как улучше-
ния неравенства Маркова
0<1 —F(t)<	(1.1)
Заметим, что [14] для ВФИ-распределений
а для УФИ-распределений р.2 > 2^.
Все установленные неравенства являются наилучши-
ми в том смысле, что без каких-либо дополнительных
предположений не могут быть получены никакие более
узкие оценки.
♦ R. Barlow, A. Marchall. Tables of Bounds for Distribu-
tions with Monothone Hazard Rate. Journal of the American Statisti-
cal, Association, September 1965, vol. 60, p. 872—890.
405
Предполагается, что функции распределения явля-
ются непрерывными слева. В противном случае некото-
рые из оценок могут быть неверными, если t есть точка
разрыва. Во всяком случае, оценки остаются справед-
ливыми, если заменить 1—F(t) на 1—F(t—).
2.	ОПИСАНИЕ ОЦЕНОК
В данном параграфе перечисляются оценки для
распределений с монотонной функцией интенсивности.
Доказательства и различные обобщения приведены
в [13].
1.	F есть ВФИ-распределение, момент цг известен.
Если F есть ВФИ-распределение, р,г — r-й момент и
Хг=|1г/Г(г+1), то для
и для г>0
exp [— t/^r] при
О при />^"'
( 1 при
1—
[а,, при /	,
(2.1)
(2-2)
1-F(0>
где а»0 удовлетворяет условию
р.г = гГ С xr"‘o£dx.
В табл. 2.1 приведены значения а>о в зависимости
от t для случая г=1 и щ=1, т. е. табулирована вели-
чина w0, где (\gwo)/(wo—1)=/.
2.	F есть УФИ-распределение, момент цг известен.
Если F есть УФИ-распределение и r-й момент—р.г, то
ехр[—t/^r]	при
при
(2.3)
При выполнении условия (2.3) не могут быть полу-
чены нетривиальные оценки.
406
1 ~F(t)<
Замечание. В случае r= 1 могут быть получены
уточнения для верхних оценок, если известны оценки для
функции интенсивности [13]. Верхняя и нижняя оценки
для 1—F(t) могут быть получены, если вместо р,г из-
ОО
вестно преобразование Лапласа Je_,IdF(x).
о
Оценки для вероятности безотказной работы, полу-
ченные в виде квантилей, могут быть найдены из усло-
вия, что (1—F(x)]1/X убывает (возрастает), если F есть
ВФИ (УФИ)-распределение [14]. Оценки для квантилей
в зависимости от цг приведены в [13].
3.	Плотность f есть ВПФ2 и известен момент цг. Если
f есть ФП2 с r-м моментом р,г, то
1	при
sup[1 —(1 —е-ь/)/(1 —е-Ьт)] при
m>t
где Ь определяется из
pr= J xr6e-bxdx/(l — е *”").
Эта оценка табулируется для г=1 в табл. 2.2.
Нижняя оценка (2.1), справедливая для ВФИ-рас-
пределений, в данном случае также справедлива, по-
скольку F есть ВФИ-распределение, если f есть ВПФ2.
Равенство в (2.1) достигается при экспоненциальном
распределении (/<|*уг), которое также является ВПФ2.
Таким образом, в предположении, что f есть ВПФ2, оцен-
ки (2.1) не могут быть улучшены.
4.	F есть ВФИ-распределение, |ii и р.2 известны. Для
того чтобы установить оценки, нам необходимы следую-
щие выражения:
Г.= 1-К-1)’/2	(2.4)
7’1 = -a0-,lg(l-a.)>	Г(2.5)
где а0 принадлежит интервалу [0, 1] и удовлетворяет
условию
Ъ = 2а~' [Г+Х1 -a.)a?' lg(l -a.)].
407
Верхние границы для 1—F (t), когда
t	0,00	0,01	0,02	0,03
1,0	1,0000	0,9803	0,9610	0,9423
1,1	0,8239	0,8086	0,7937	0,7791
1,2	0,6863	0,6743	0,6625	0,6509
1,3	0,5770	0,5674	0,5579	0,5487
1,4	0,4890	0,4812	0,4735	0,4660
1,5	0,4172	0,4108	0,4045	0,3983
1,6	0,3580	0,3527	0,3475	0,3423
1,7	0,3088	0,3044	0,3000	0,2957
1,8	0,2676	0,2638	0,2602	0,2565
1,9	0,2328	0,2296	0,2265	0,2234
2,0	0,2032	0,2005	0,1978	0,1952
2,1	0,1780	0,1756	0,1734	0,1711
2,2	0,1563	0,1543	0,1523	0,1504
2,3	0,1376	0,1359	0,1342	0,1325
2,4	0,1214	0,1199	0,1184	0,1170
2,5	0,1074	0,1061	0,1048	0,1035
2,6	0,0951	0,0940	0,0929	0,0918
2,7	0,0844	0,0834	0,0825	0,0815
2,8	0,0750	0,0742	0,0733	0,0725
2,9	0,0668	0,0660	0,0653	0,0645
3,0	0,0595	0,0589	0,0582	0,0575
3,1	0,0531	0,0525	0,0519	0,0514
3,2	0,0475	0,0469	0,0464	0,0459
3,3	0,0424	0,0420	0,0415	0,0411
3,4	0,0380	0,0376	0,0372	0,0368
3,5	0,0340	0,0337	0,0333	0,0329
3,6	0,0305	0,0302	0,0299	0,0295
3,7	0,0274	0,0271	0,0268	0,0265
3,8	0,0246	0,0243	0,0241	0,0238
3,9	0,0221	0,0218	0,0216	0,0214
408
Таблица 2.1
f есть ВФИ-распределение с р. = 1
0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,9241	0,9063	0,8890	0,8721	0,8556	0,8396
0,7649	0,7510	0,7375	0,7242	0,7113	0,6987
0,6397	0,6287	0,6179	0,6073	0,5970	0,5869
0,5396	0,5307	0,5220	0,5135	0,5052	0,4970
0,4586	0,4513	0,4442	0,4373	0,4305	0,4238
0,3922	0,3862	0,3804	0,3746	0,3690	0,3635
0,3373	0,3323	0,3275	0,3227	0,3180	0,3134
0,2915	0,2873	0,2832	0,2792	0,2753	0,2714
0,2530	0,2495	0,2460	0,2426	0,2393	0,2360
0,2204	0,2174	0,2145	0,2116	0,2087	0,2060
0,1926	0,1901	0,1876	0,1851	0,1827	0,1803
0,1689	0,1667	0,1646	0,1624	0,1604	0,1583
0,1485	0,1466	0,1447	0,1429	0,1411	0,1393
0,1308	0,1292	0,1276	0,1260	0,1245	0,1229
0,1156	0,1142	0,1128	0,1114	0,1100	0,1087
0,1023	0,1010	0,0998	0,0986	0,0974	0,0963
0,0907	0,0896	0,0885	0,875	0,0865	0,0854
0,0805	0,0796	0,0787	0,0777	0,0768	0,0759
0,0716	0,0708	0,0700	0,0692	0,0684	0,0676
0,0638	0,0631	0,0623	0,0616	0,0609	0,0602
0,0569	0,0562	0,0556	0,0550	0,0544	0,0537
0,0508	0,0502	0,0496	0,0401	0,0485	0,0480
0,0454	0,0449	0,0444	0,0439	0,0434	0,0429
0,0406	0,0402	0,0397	0,0393	0,0388	0,0384
0,0364	0,0360	0,0356	0,0352	0,0348	0,0344
0,0326	0,0322	0,0319	0,0315	0,0312	0,0380
0,0292	0,0289	0,0286	0,0283	0,0280	0,0277
0,0262	0,0259	0,0257	0,0254	0,0251	0,0248
0,0235	0,0233	0,0230	0,0228	0,0226	0,0223
0,0212	0,0209	0,0207	0,0205	0,0203	0,0201
409
Верхние границы для 1—F(f),
t	0,00 0,50	0,05 0,55	0,10 0,60	0,15 0,65
1,00	0,6322	0,5492	0,4942	0,4497
	0,2431	0,2461	0,2306	0,2164
2,00	0,1427	0,1349	0,1277	0,1208
	0,0832	0,0790	0,0750	0,0713
3,00	0,0499	0,0475	0,0451	0,0429
	0,0302	0,0288	0,0274	0,0260
4,00	0,0184	0,0175	0,0166	0,0158
	0,0111	0,0106	0,0101	0,0096
Если F есть ВФИ-распределение с р4=1 и известным
вторым моментом ц2, то
1—F(0>
infe-a(/_4) T^Tt	при	/<1,
e-1	при	/ = 1.
mfe“a,r~a,(/'	"Г) при	к к г
0	при	
(2-6)
где а и Д определяются выражениями
1 = Д + a~l [1 — е~°<Г-А>] = Д + ( e-^^dx (2.7)
I
И
1*в=д» — 2а-,(а7’ + 1)е-“<г_4) + 2а-1(аД+ 1) =
т
= Д'4-2 [re~*(x_A)dx;	(2.8)
410
Т а б л  ц a 2.2
когда f есть ВПФ1 с щ-1
0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45
0,70	0,75	0,80	0,85	0,90 .	0,95
0,4120	0,3794	0,3507	0,3252	0,3023	0,2818
0,2033	0,1912	0,1800	0,1697	0,1600	0,1511
0,1144	0,1084	0,1027	0,0974	0,0924	0,0877
0,0677	0,0643	0,0611	0,0581	0,0552	0,0525
0,0408	0,0388	0,0369	0,0351	0,0334	0,0318
0,0248	0,0236	0,0224	0,0213	0,0203	0,0193
0,0150	0,0143	0,0136	0,0129	0,0123	0,0117
0,0091	0,0087	0,0083	0,0079	0,0075	0,0071
at<at определяются из
1 = а7' (1—е~°,г) + а^' е~о,г= f €~a'xdx-\-
а,х+а,(х—Т)
dx
(2.9)
и
(1 -(1 + а,Г) е-*г] +
4- 2а* (1 + *Л") ®~*,г2 f xtF^'dx +
(2.10)
411
Для T=i в записанных выше уравнениях, определяю-
щих a, A, (ц и а2, можно записать
1-F(t)<
1
е-а*'
е-а«-Д)
при 0<t<To,
при То < t < Тг,
при t > 7\.
(2.П)
К сожалению, не удается получить явных аналити-
ческих выражений. Вычисление нижних оценок вклю-
чает в себя минимизацию функций, которая в каждой
точке определяется путем решения двух трансцендент-
ных уравнений. Эти нижние оценки приведены
в табл. 2.3 для p,i=l и Ц2=1,00 (0,05) 2,00. Верхние
оценки получаются относительно более просто. Значе-
ния для них приведены в табл. 2.4 для pi=l и цг=
= 1,00 (0,05) 2,00.
5. F есть УФИ-распределение, щ и р2 известны. Если
F есть УФИ-распределение с щ=1, то
1— F(t)>
2р21 при t = О,
е-а,/ при £>0,
(2-12)
l-F(0<
е_<	при 0</<1,
(/е) 1	при	1 < t < |*а/2,
при щ/2 < t < щ, (2-13)
8upe“e,f+<e*-e,)r
o<r<r
где Oi и а« определяются из (2.9) и (2.10). Нижняя
оценка (2.12) приведена в табл. 2.5.
412
Таблица 2.3
Нижние границы для 1 — F (О, когда F есть ВФИ-распределение с = 1 и известным н
	Р-2									
t	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
0,05	0,9931	0,9871	0,9819	0,9775	0,9736	0,9703	0,9673	0,9648	0,9625	0,9606
0,10	0,9862	0,9743	0,9642	0,9555	0,9480	0,9414	0,9357	0,9308	0,9265	0,9227
0,15	0,9793	0,9618	0,9468	0,9340	0,9230	0,9134	0,9052	0,8980	0,8917	0,8863
0,20	0,9725	0,9494	0,9297	0,9130	0,8986	0,8863	0,8756	0,8663	0,8583	0,8514
0,25	0,9658	0,9371	0,9129	0,8924	0,8749	0,8599	0,8470	0,8358	0,8262	0,8178
0,30	0,9590	0,9250	0,8965	0,8723	0,8519	0,8343	0,8193	0,8064	0,7952	0,6856
0,35	0,9524	0,9131	0,8803	0,8527	0,8294	0,8095	0,7925	0,7780	0,7654	0,7546
0,40	0,9450	0,9008	0,8642	0,8335	0,8075	0,7855	0,7666	0,7506	0,7367	0,7248
0,45	0,9359	0,8861	0,8461	0,8132	0,7856	0,7620	0,7416	0,7241	0,7091	0,6963
0,50	0,9244	0,8683	0,8247	0,7897	0,7609	0,7367	0,7161	0,6982	0,6825	0,6688
0,54	0,9131	0,8513	0,8048	0,7683	0,7388	0,7144	0,6937	0,6761	0,6607	0,6472
0,58	0,8991	0,8312	0,7819	0,7443	0,7144	0,6901	0,6697	0,6525	0,6376	0,6247
0,6)	0,8866	0,8139	0,7627	0,7245	0,6946	0,6705	0,6506	0,6338	0,6195	0,6070
0,64	0,8718	0,7942	0,7415	0,7030	0,6734	0,6499	0,6306	0,6144	0,6007	0,5888
0,65 5 		0,8605	0,7797	0,7262	0,6878	0,6586	0,6355	0,6167	0,6011	0,5879	0,5765
Продолжение табл. 2.3

г	>,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1.35	1,40	1,45	1,50
	0,8478	0,7640	0,7100	«0,6718	0,6431	0,6207	0,о025	0,5875	0,5748	0,5639
0,70	0,8335	0,7470	0,6927	^0,6551	0,6271	0,6054	0,5880	0,5736	0,5615	0,5512
0,72	0,8175	0,7285	0,6745	0,6376	0,6106	0,5898	0,5731	0,5595	0,5481	0,5383
0.74	0,7995	0,7087	0,6553	0,6195	0,5936	0,5738	0,5580	0,5452	0,5345	0,5254
0,76	0,7793	0,6873	0,6351	0,6007	0,5761	0,5575	0,5428	0,5308	0,5209	0,5124
0,78	0,7566	0,6645	0,6139	0,5814	0,5583	0,5409	0,5273	0,5163	0,5071	0,4994
0,80	0,7312	0,6401	0,5920	0,5615	0,5402	0,5242	0,5118	0,5018	0,4935	0,4864
0,82	0,7030	0,6144	0,5694	0,5413	0,5219	0,5075	0,4963	0,4873	0,4798	0,4736
0,84	0,6718	0,5875	0,5461	0,5209	0,5035	0,4907	0,4808	0,4728	0,4663	0,4608
0,86	0,6376	0,5595	0,5226	0,5003	0,4851	0,4740	0,4655	0,4586	0,4529	0,4482
0,88	0,6007	0,5308	0,4988	0,4798	0,4670	0,4576	0,4503	0,4446	0,4398	0,4358
0,90	0,5615	0,5018	0,4752	0,4596	0,4491	0,4414	0,4356	0,4309	0,4270	0,4237
0,92	0,5209	0,4728	0,4520	0,4398	0,4317	0,4257	0,4211	0,4175	0,4145	0,4119
0,94	0,4798	0,4446	0,4295	0,4207	0,4148	0,4105	0,4071	0,4045	0,4023	0,4005
0.96	0,4398	0.4175	0,4079	0,4023	0,3485	0,3958	0,3936	0,3919	0,3905	0,3903 ।
0,98	0,4023	0,3919	0,3874	0,3847	0,3829	0,3816	0,3805	0,3797	0,3790	0,3785
1,00	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679
1,02	0,3391	0,3467	0,3503	0,3525	0,3540	0,3551	0,3560	0,3567	0,3572	0,3578
1,04	0,3102	0,3255	0,3328	0,3371	0,3402	0,3424	0,3442	0,3456	0,3468	0,3478
1,06	0,2832	0,3055	0,3161	0,3224	0,3269	0,3301	0,3327	0,3348	0,3366	0,3381
t				
	1,05	1,10	1,15	1,20
1,09	0*	0,2779	0,2926	0,3015
1.12	0	0,2527	0,2707	0,2820
1,15	0	0,2295	0,2505	0,2637
1,20	0	0*	0,2200	0,2357
1.25	0	0	0*	0,2107
1,30	0	0	0	0,1882
1,35	0	0	0	0*
1,40	0	0	0	0
1,45	0	0	0	0
1,50	0	0	0	0
1,55	0	0	0	0
1,60	0	0	0	0
1,65	0	0	0	0
1,70	0	0	0	0
1,75	0	0	0	0
1,80	0	0	0	0
1,85	0	0	0	0
1,90	0	0	0	0
2,00	0	0	0	0
Продолжение табл. 2.3

1.25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
0,3078	0,3126	0,3163	0,3194	0,3219	0,3241
0,2899	0,2960	0,3007	0,3046	0,3078	0,3107
0,2730	0,2802	0,2859	0,2905	0,2944	0,2978
0,2470	0,2557	0,2627	0,2684	0,2733	0,2774
0,2235	0,2334	0,2414	0,2480	0,2536	0,2585
0,2021	0,2130	0,2218	0,2291	0,2354	0,2408
0,1828	0,1943	0,2038	0,2117	0,2185	0,2244
0,1649	0,1773	0,1872	0,1956	0,2028	0,2090
0*	0,1616	0,1720	0,1807	0,1882	0,1948
0	0,1458	0,1579	0,1669	0,1747	0,1815
0	О’	0,1442	0,1541	0,1621	0,1690
0	0	0,1301	0,1418	0,1504	0,1575
0	0	0’	0,1297	0,1391	0,1467
0	0	0	0,1173	0,1282	0,1363
0	0	0	0,1037	0,1175	0,1264
0	0	0	О’	0,1068	0,1167
0	0	0	0	0,0956	0,1074
0	0	0	0	О’	0,0981
0	0	0	0	0	0,0787
Продолжение табл. 2.3
о>	 t	и*									
	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
0,05	0,9589	0,9574	0,9561	0,9550	0,9540	0,9532	0,9525	0,9519	0,9515	0,9512
0,10	0,9194	0,9166	0,9141	0,9120	0,9101	0,9086	0,9073	0,9062	0,9059	0,9048
0,15	0,8816	0,8775	0,8740	0,8709	0,8683	0,8660	0,8642	0,8627	0,8615	0,8607
0,20	0,8453	0,8401	0,8356	0,8317	0,8283	0,8255	0,8231	0,8212	0,8197	0,8187
0,25	0,8106	0,8043	0,7989	0,7942	0,7902	0,7869	0,7840	0,7818	0,7800	0,7788
0,30	0,7772	0,7700	0,7638	0,7585	0,6539	0,7500	0,7468	0,7442	0,7422	0,7408
0,35	0,7452	0,7372	0,7303	0,7243	0,7192	0,7149	0,7113	0,7084	0,7062	0,7047
0,40	0,7146	0,7058	0,6982	0,6917	0,6861	0,6815	0,6776	0,6744	0,6719	0,6703
0,45	0,6852	0,6757	0,6675	0,6605	0,6546	0,6496	0,6454	0,6420	0,6393	0,6376
0,50	0,0570	0,6469	0,6382	0,6308	0,6245	1,6192	0,6147	0,6111	0,6083	0,6065
0,55	0,6299	0,6193	0,6102	0,6024	0,5958	0,5902	0,5855	0,5818	0,5789	0,5769
0,60	0,6019	0,5920	0,5832	0,5753	0,5684	0,5626	0,5577	0,5538	0,5508	0,5488
0,65	0,5725	0,5636	0,5556	0,5485	0,5421	0,5362	0,5312	0,5272	0,5241	0,5220
0,70	0,5422	0,5344	0,5274	0,5212	0,5156	0,5106	0,5060	0,5019	0,4987	0,4966
0,75	0,5114	0,5048	0,4989	0,4938	0,4891	0,4849	0,4811	0,4776	0,4745	0,4724
9
Продолжение табл. 2.3
1	1 -1563	t	Hi									
		1,65	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
	0,80	0,4804	0,4752	0,4706	0,4665	0,4629	0,4596	0,4566	0,4539	0,4514	0,4493
	0,85	0,4501	0,4463	0,4430	0,4400	0,4374	0,4350	0,4228	0,4309	0,4290	0,4274
	0,90	0,4210	0,4186	0,4165	0,4146	0,4129	0,4114	0,4100	0,4088	0,4076	0,4066
	0,95	0,3935	0,3924	0,3914	0,3905	0,3898	0,3890	0,3884	0,3878	0,3872	0,3867
	1,00	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679	0,3679
	1,05	0,3440	0,3450	0,3458	0,3466	0,3473	0,3479	0,3485	0,3490	0,3495	0,3499
	1,10	0,3216	0,3235	0,3251	0,3265	0,3278	0,3290	0,3301	0,3311	0,3320	0,3329
	1,15	0,3007	0,3033	0,3055	0,3076	0,3094	0,3111	0,3127	0,3141	0,3154	0,3166
	1,20	0,2811	0,2843	0,2872	0,2898	0,2921	0,2942	0,2962	0,2980	0,2996	0,3012
	1,25	0,2627	0,2665	0,2699	0,2729	0,2757	0,2782	0,2805	0,2827	0,2847	0,2865
	1,30	0,2456	0,2499	0,2536	0,2571	0,2602	0,2631	0,2657	0,2682	0,2704	0,2725
	1,35	0,2296	0,2342	0,2384	0,2422	0,2456	0,2488	0,2517	0,2544	0,2569	0,2592
	1,40	0,2146	0,2196	0,2241	0,2281	0,2318	0,2353	0,2384	0,2413	0,2441	0,2466
	1,45	0,2006	0,2058	0,2106	0,2149	0,2188	0,2225	0,2258	0,2286	0,2319	0,2346
«и* *—•	1,50	0,1875	0,1930	0,1979	0,2024	0,2066	0,2104	0,2139	0,2172	0,2203	0,2231
»$*•
Продолжение табл. 2.3
00 			 t	Hi									
	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
1 55	0,1753	0,1809	0,1860	0,1907	0,1950	0,1989	0,2026	0,2060	0,2092	0,2122
1 60	0Д638	0,1696	0,1748	0,1796	0,1840	0,1881	0,1919	0,1955	0,1988	0,2012
1 65	0,1531	0,1590	0,1643	0,1692	0,1737	0,1779	0,1818	0,1854	0,1888	0,1920
1 70	о’1431	0,1490	0,1544	0,1594	0,1639	0,1682	0,1722	0,1759	0,1794	0,1827
1*75	о; 1335	0,1396	0,1451	0,1501	0,1547	0,1591	0,1631	0,1669	0,1704	0,1738
1 80	0,1243	0,1307	0,1363	0,1414	0,1461	0,1504	0,1545	0,1583	0,1619	0,1653
1,85	0,1155	О;1222	0,1279	0,1331	0,1379	0,1422	0,1463	0,1502	0,1538	0,1572
1,90	0,1070	0,1140	0,1200	0,1353	0,1301	0,1345	0,1386	0,1425	0,1461	0,1496
2,00	0,0908	0,0987	0,1051	0,1106	0,1156	0,1201	0,1243	0,1282	0,1319	0,1353
2Л0	0,0749	0,0845	0,0915	0,0974	0,1025	0,1071	0,1114	0,1153	0,1190	0,1225
2,17	0,0621	0,0750	0,0827	0,0888	0,0941	0,0988	0,1031	0,1070	0,1107	0,1142
2*20	0,0*	0,0711	0,0791	0,0853	0,0907	0,0954	0,0997	0,1036	0,1073	0,1108
2^30	0	0,0574	0,0675	0,0744	0,0799	0,0848	0,0891	0,0931	0,0968	0,1003
2^33	0	0,0527	0,0642	0,0713	0,0769	0,0818	0,0862	0,0902	0,0938	0,0973
2*40	0	0*	0,0565	0,0643	0,0702	0,0752	0,0796	0,0736	0,0773	0,0907
2,50	0	0	0,0451	0,0550	0,0613	0,0635	0,0710	0,0750	0,0787	0,0821
2*70	0	0	0*	0,0372	0,0458	0,0515	0,0561	0,0602	0,0639	0,0672
2*75	0	0	0	0,0316	0,0422	0,0481	0,0529	0,0569	0,0606	0,0639
2^80	о	0	0	0*	0,0388	0,0450	0,0498	0,0538	0,0575	0,0608
3^00	0	0	0	0	0,0244	0,0335	0,0387	0,0429	0,0465	0,0498
to	Таблица 2.4
* Верхние границы для 1—F (/), когда F есть ВФИ-распределение с щ = 1 и известным р2
t	На									
	1,05	1,10	1,15	1,20	1.25	1,30	0,35	1,40	1,45	1,50
0,30	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9930*
0,33	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9992°	0,9642
0,36	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9704	0,9364
0,39	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,0000	0,9785*	0,9425	0,9093
0,42	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9889*	0,9507	0,9154	0,8830
0,45	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9611	0,9236	0,8892	0,8574
0,48	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9742*	0,9340	0,8973	0,8636	0,8327
0,51	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9908*	0,9472	0,9077	0,8718	0,8389	0,8080
0,54	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9638	0,9210	0,8822	0,8470	0,8148	0,7853
0,57	1,0000	1,0000	1,0000	0,9846*	0,9376	0,8955	0,8575	0,8230	0,7915	0,7626
0,60	1,0000	1,0000	1,0000	0,9587	0,9123	0,8708	0,8335	0,7997	0,7689	0,7407
0,63	1,0000	1,0000	0,9852*	0,9334	0,8876	0,8468	0,8108	0,7770	0,7469	0,7193
0,66	1,0000	1,0000	0,9603	0,9090	0,8638	0,8236	0,7876	0,7551	0,7256	0,6986
0,69	1,0000	0,9950*	0,9362	0,8853	0,8406-	0,8010	0,7656	0,7338	0,7049	0,6785
0,72 S 			1,0000	0,9715	0,9129	0,8624	0,8182	0,7792	0,7444	0,7131	0,6848	0,6590
Продолжение табл. 2.4
На
Г	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
0,75	1,0000	0,9490	0,8904	0,8402	0,7965	0,7580	0,7237	0,6930	0,6653	0,6401
0,78	0,9975*	0,9274	0,8687	0,8187	0,7754	0,7374	0,7037	0,6736	0,6464	0,6217
0,81	0,9774	0,9065	0,8478	0,7980	0,7550	0,7175	0,6843	0,6547	0,6280	0,6039
0,84	0,9586	0,8866	0,8276	0,7779	0,7353	0,6982	0,6655	0,6364	0,6102	0,5866
0,87	0,9408	0,8676	0,8082	0,7585	0,7162	0,6795	0,6472	0,6186	0,5930	0,5698
0,90	0,9243	0,8495	0,7895	0,7398	0,6977	0,6613	0,6295	0,6013	0,5762	0,5535
0,93	0,9091	0,8323	0,7716	0,7217	0,6798	0,6438	0,6123	0,5846	0,5599	0,5377
0,96	0,8954	0,8161	0,7544	0,7043	0,6625	0,6267	0,5957	0,5684	0,5441	0,5224
0,98	0,8871	0,8059	0,7434	0,5931	0,6512	0,6157	0,5849	0,5549	0,5339	0,5124
1,00	0,8798	0,7961	0,7327	0,6821	0,6403	0,6078	0,5743	0,5475	0,5238	0,5026
1,01	0,8763	0,7914	0,7275	0,6767	0,6349	0,5995	0,5691	0,5424	0,5189	0,4978
1,02	0,8731	0,7868	0,7224	0,6714	0,6296	0,5943	0,5639	0,5374	0,5140	0,4930
1,03	0,8702	0,7824	0,7174	0,6662	0,6243	0,5891	0,5588	0,5324	0,5091	0,4883
1,04	0,8676	0,7781	0,7124	0,6610	0,6191	0,5839	0,5537	0,5275	0,5043	0,4836
1,05	0,8652	0,7739	0,7076	0,6560	0,6140	0,5788	0,5487	0,5226	0,4995	0,4790 .
Продолжение табл. 2.4
н»
t	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1.45'**'	1,50
1,06	0,8632	0,7699	0,7029	0,6509	0,6089	0,5738	0,5438	0,5178	0,4948	0,4744
1,07	0,8615	0,7661	0,6982	0,6460	, 0,6039	0,5688	0,5389	0,5130	0,4902	0,4699
1,08	0,8507*	0,7624	0,6937	0,6411	0,5989	0,5639	0,5341	0,5082	0,4856	0,4654
1,09	0,8172	0,7588	0,6892	0,6363	0,5940	0,5590	0,5293	0,5036	0,4810	0,4610
1,10	0,7822	0,7555	0,6848	0,6316	0,5892	0,5542	0,5245	0,4989	0,4765	0,4566
1,11	0,7463	0,7523	0,7806	0,6270	0,5844	0,5494	0,5198	0,4943	0,4720	0,4522
1,12	0,7101	0,7493	0,6764	0,6224	0,5897	0,5447	0,5152	0,4898	0,4676	0,4479
1,13	0,6738	0,7466	0,6724	0,6179	0,5751	0,5401	0,5106	0,4853	0,4632	0,4436
1,14	0,6379	0,7441	0,6685	0,6135	0,5705	0,5355	0,5061	0,4808	0,4588	0,4394
1,15	0,6027	0,7418	0,6647	0,6091	0,5660	0,5309	0,5016	0,4764	0,4545	0,4352
1,16	0,5685	0,7350*	0,6610	0,6048	0,5615	0,5264	0,4971	0,4721	0,4503	0,4311
1,17	0,5354	0,7093	0,6574	0,6006	0,5571	0,5220	0,4927	0,4678	0,4461	0,4270
1,18	0,5035	0,6836	0,6540	0,5965	0,5527	0,5176	0,4884	0,4635	0,4419	0,4229
1,19	0.4731	0,6581	0,6507	0,5925	0,5485	0,5132	0,4841	0,4593	0,4378	0,4189
1,20	О;4440	0,6329	0,6475	0,5885	0,5442	0,5090	0,4798	0,4551	0,4337	0,4149
1,21	0,4165	0,6080	0,6445	0,5847	0,5401	0,5047	0,4756	0,4509	0,4296	0,4110
1,22	0,3904	0,5836	0,6417	0,5809	0,5360	0,5005	0,4714	0,4468	0,4256	0,4071
1,23	0,3658	0,5596	0,6390	0,5772	0,5319	0,4964	0,4673	0,4428	0,4217	0,4032
1,24	0,3426	0,5363	0,6365	0,5736	0,5280	0,4923	0,4632	0,4388	0,4187	0,3994
1,25	0,3208	0,5136	0,6226*	0,5701	0,5240	0,4883	0,4592	0,4348	0,4139	0,3956
Продолжение табл. 2.4
Pt
t	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
1,26	0,3003	0,4916	0,6024	0,5667	0,5202	0,4843	0,4552	0,4309	0,4100	0,3919
1,27	0,2812	0,4703	0,5825	0,5634	0,5164	0,4804	0,4513	0,4270	0,4062	0,3882
1,28	0,2632	0,4497	0,5629	0,5602	0,5127	0,4765	0,4474	0,4232	0,4025	0,3845
1,29	0,2465	0,4299	0,5438	0,5571	0,5090	0,4727	0,4436	0,4194	0,3988	0,3809
1,30	0,2308	0,4108	0,5250	0,5541	0,5055	0,4689	0,4398	0,4156	0,3951	0,3773
1,31	0,2161	0,3924	0,5067	0,5512	0,5019	0,4652	0,4360	0,4119	0,3914	0,3737
1,32	0,2024	0,3748	0,4889	0,5485	0,4985	0,4615	0,4323	0,4082	0,3878	0,3702
1,33	0,1897	0,3578	0,4715	0,5458	0,4951	0,4579	0,4286	0,4046	0,3842	0,3667
1,34	0,1778	0,3416	0,4546	0,5354*	0,4918	0,4543	0,4250	0,4010	0,3807	0,3633
1,35	0,1666	0,3261	0,4382	0,5193	0,4886	0,4508	0,4214	0,3974	0,3772	0,3598
1,36	0,1563	0,3113	0,4223	0,5035	0,4854	0,4473	0,4179	0,3939	0,3737	0,3565
1,37	0,1466	0,2971	0,4068	0,4881	0,4823	0,4439	0,4144	0,3904	0,3703	0,3531
1,38	0,1376	0,2836	0,3913	0,4731	0,4793	0,4406	0,4109	0,3870	0,3669	0,3498
1,39	0,1291	0,2707	0,3775	0,4584	0,4764	0,4373	0,4075	0,3835	0,3636	0,3465
1,40	0,1213	0,2583	0,3635	0,4440	0,4736	0,4340	0,4041	0,3802	0,3603	0,3433
Продолжение табл. 2.4

t	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
1,42	0,1070	0,2354	0,3370	0,4165	0,4682	0,4277	0,3975	0,3735	0,3537	0,3369
1,44	0,0946	0,2145	0,3124	0,3904	0,4532*	0,4216	0,3911	0,3671	0,3473	0,3306
1,46	0,0838	0,1956	0,2895	0,3658	0,4281	0,4157	0,3848	0,3607	0,3411	0,3245
1,48	0,0743	0,1784	0,2683	0,3426	0,4041	0,4100	0,3787	0,3545	0,3349	0,3185
1,50	0,0660	0,1629	0,2486	0,3208	0,3813	0,4046	0,3728	0,3485	0,3289	0,3126
1,53	0,0553	0,1422	0,2219	0,2906	0,3493	0,3970	0,3642	0,3397	0,3202	0,3040
1,56	0,0466	0,1244	0,1981	0,2632	0,3199	0,3691*	0,3560	0,3312	0,3117	0,2956
1,59	0,0393	0,1089	0,1770	0,2385	0,2928	0,3406	0,3483	0,3221	0,3035	0,2875
1,62	0,0332	0,0956	0,1583	0,2161	0,2680	0,3143	0,3410	0,3152	0,2956	0,2797
1,65	0,0282	0,0840	0,1417	0,1960	0,2453	0,2899	0,3300*	0,3077	0,2879	0,2721
1,68	0,0240	0,0739	0,1270	0,1778	0,2246	0,2674	0,3063	0,3005	0,2805	0,2648
1,71	0,0204	0,0652	0,1140	0,1614	0,2057	0,2467	0,2842	0,2936	0,2734	0,2576
1,75	0,0166	0,0552	0,0988	0,1420	0,1831	0,2216	0,2573	0,2850	0,2643	0,2485
1,79	0,0135	0,0469	0,0858	0,1251	0,1631	0,1991	0,2329	0,2644*	0,2556	0,2398
1,83	0,0110	0,0400	0,0746	0,1104	0,1455	0,1791	0,2109	0,2409	0,2474	0,2314
Продолжение табл. 2.4
p-t
t	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
1,87	0,0090	0,0341	0,0651	0,0976	0,1299	0,1612	0,1911	0,2196	0,2397	0,2235
1,91	0,0074	0,0292	0,0568	0,0864	0,1161	0,1452	0,1733	0,2002	0,2258*	0,2159
1,95	0,0060	0,0251	0,0497	0,0765	0,1039	0,1309	0,1572	0,1826	0,2069	0,2086
2,00	0,0047	0,0207	0,0422	0,0660	0,0905	0,1152	0,1393	0,1629	0,1856	0,2001
2,05	0,0037	0,0172	0,0359	0,0570	0,0791	0,1015	0,1337	0,1454	0,1666	0,1872*
2,10	0,0029	0,0143	0,0306	0,0493	0,0692	0,0895	0,1099	0,1300	0,1497	0,1690
2,15	0,0023	0,0120	0,0261	0,0428	0,0606	0,0791	0,0978	0,1164	0,1347	0,1527
2,20	0,0018	0,0100	0,0224	0,0372	0,0532	0,0700	0,0871	0,1043	0,1213	0,1380
2,25	0,0015	0,0084	0,0192	0,0323	0,0467	0,0621	0,0777	0,0935	0,1093	0,1249
2,30	0,0012	0,0070	0,0165	0,0282	0,0412	0,0551	0,0694	0,0840	0,0986	0,1131
2,35	0,0009	0,0059	0,0142	0,0546	0,0364	0,0490	0,0621	0,0755	0,0890	0,1026
2,40	0,0007	0,0050	0,0123	0,0215	0,0321	0,0436	0,0556	0,0680	0,0805	0,0931
2,45	0,0006	0,0024	0,0106	0,0189	0,0284	0,0389	0,0499	0,0612	0,0728	0,0845
2,50	0,0005	0,0035	0,0092	0,0166	0,0252	0,0347	0,0448	0,0552	0,0660	0,0768
2,55	0,0004	0,0030	0,0079	0,0145	0,0223	0,0310	0,0402	0,0499	0,0598	0,0699
2,60	0,0003	0,0025	0,0069	0,0128	0,0198	0,0277	0,0362	0,0451	0,0547	0,0637
2,70	0,0002	0,0018	0,0052	0,0099	0,0157	0,0222	0,0294	0,0369	0,0448	0,0530
2,80	0,0001	0,0013	0,0039	0,0077	0,0125	0,0179	0,0239	0,0304	0,0372	0,0442
2,90	0,0001	0,0009	0,0030	0,0060	0,0099	0,0145	0,0196	0,0251	0,0309	0,0370
3,00	0,0000	0,0007	0,0023	0,0047	0,0079	0,0118	0,0161	0,0207	0,0258	0,0310
Продолжение табл. 2.4
t	Ня									
	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
0,05	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9756	0,9512
0,10	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9783	0,9525*	0,9280	0,9048
0,15	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9841*	0,9566*	0,9306	0,9061	0,8828	0,8607
0,20	1,0000	1,0000	0,9938*	0,9641*	0,9363	0,9101	0,8853	0,8619	0,8397	0,8187
0,25	1,0000	0,9759*	0,9457	0,9174	0,8908	0,8658	0,8422	0,8199	0,7988	0,7788
0,30	0,9598*	0,9299	0,9000	0,8729	0,8475	0,8237	0,8012	0,7799	0,7598	0,7408
0,35	0,9137	0,8841	0(,8565	0,8306	0,8064	0,7836	0,7621	0,7419	0,7228	0,7047
0,40	0,8699	0,8415	0,8150	0,7903	0,7672	0,7455	0,7250	0,7057	0,6875	0,6703
0,45	0,8281	0,8009	0,7756	0,7520	0,7299	0,7092	0,6897	0,6713	0,6540	0,6376
0,50	0,7884	0,7624	0,7382	0,7156	0,6945	0,6747	0,6561	0,6386	0,6221	0,6065
0,55	0,7507	0,7257	0,7025	0,6809	0,6607	0,6419	0,6241	0,6075	0,5918	0,5769
0,60	0,7147	0,6908	0,6686	0,6479	0,6287	0,6106	0,5938	0,5779	0,5629	0,5488
0,65	0,6805	0,6576	0,6363	0,6165	0,6981	0,5809	0,5648	0,5497	0,5355	0,5220
0,70	0,6480	0,6260	0,6056	0,5867	0,5691	0,5527	0,5373	0,5229	0,5094	0,4966
0,75	0,6171	0,5959	0,5764	0,5583	0,5415	0,5258	0,6112	0,4974	0,4845	0,4724
Продолжение табл. 2.4
Р-2
t	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
0,80	0,5876	0,5673	0,5486	0,5313	0,5152	0,5003	0,4863	0,4732	0,4609	0,4496
0,85	0,5596	0,5401	0,5221	0,5056	0,4902	0,4759	0,4626	0,4501	0,4384	0,4274
0,90	0,5330	0,5142	0,4970	0,4811	0,4664	0,4528	0,4401	0,4282	0,4170	0,4066
0,95	0,5076	0,4896	0,4731	0,4579	0,4438	0,4308	0,4187	0,4073	0,3967	0,3867
1,00	0,4835	0,4666	0,4503	0,4357	0,4223	0,4099	0,3983	0,3875	0,3774	0,3679
1,05	0,4606	0,4439	0,4286	0,4147	0,4018	0,3899	0,3789	0,3686	0,3590	0,3499
1,10	0,4387	0,4227	0,4080	0,3947	0,3824	0,3710	0,3605	0,3506	0,3415	0,3329
1,15	0,4180	0,4025	0,3884	0,3756	0,3638	0,3530	0,3429	0,3335	0,3248	0,3166
1,20	0,3983	0,3833	0,3698	0,3575	0,3462	0,3358	0,3262	0,3173	0,3090	0,3012
1,25	0,3795	0,3651	0,3521	0,3402	0,3294	0,3195	0,3103	0,3018	0,2939	0,2865
1,30	0,3616	0,3477	0,3352	0,3238	0,3135	0,3040	0,2952	0,2871	0,2796	0,2725
1,35	0,3446	0,3312	0,3191	0,3082	0,2983	0,2892	0,2809	0,2731	. 0,2659	0,2592
1,40	0,3285	0,3155	0,3039	0,2934	0,2839	0,2752	0,2672	0,2598	0,2530	0,2466
1,45	0,3131	0,3005	0,2893	0,2793	0,2701	0,2618	0,2542	0,2472	0,2406	0,2346
1,50	0,2986	0,2863	0,2755	0,2658	0,2571	0,2491	0,2418	0,2351	0,2289	0,2231
Продолжение табл. 2.4

t	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	485	1,90	1,95	2,00
1,60	0,2715	0,2600	0,2499	0,2409	0,2328	0,2255	0,2189	0,2128	0,2071	0,2019
1J0	0,2471	0,2361	0,2267	0,2183	0,2109	0,2042	0,1981	0,1925	0,1874	0,1827
L80	0,2250	0,2146	0,2057	0,1979	0,1910	0,1849	0,1793	0,1742	0,1696	0,1653
1 »90	0,2052	0,1951	0,1867	0,1794	0,1731	0,1674	0,1623	0,1577	0,1535	0,1496
2i00	0,1874	0,1776	0,1695	0,1627	0,1568	0,1516	0,1469	0,1427	0,1389	0,1353
2,05	0/1793	0,1695	0,1616	0,1550	0,1493	0,1443	0,1398	0,1358	0,1321	0,1287
2Д0	0,1716	0,1618	0,1540	0,1476	0,1421	0,1373	0,1330	0,1291	0,1257	0,1225
2,15	0,1643	0,1545	0,1469	0,1406	0,1353	0,1306	0,1265	0,1229	0,1195	0,1165
2,20	0,1545*	0,1476	0,1401	0,1339	0,1288	0,1243	0,1204	0,1169	0,1137	0,1108
2,25	0,1403	0,1411	0,1336	0,1276	0,1226	0,1183	0,1145	0,1112	0,1082	0,1054
2,30	0,1275	0,1349*	0,1274	0,1216	0,1167	0,1126	0,1090	0,1058	0,1029	0,1003
2,35	0,1160	0,1291	0,1216	0,1159	0,1112	0,1072	0,1037	0,1006	0,0979	0,0954
2,40	0,1056	0,1181	0,1161	0,1104	0,1058	0,1020	0,0987	0,0957	0,0931	0,0907
2,45	0,0963	0,1080	0,1109	0,1053	0,1008	0,0971	0,0939	0,0911	0,0886	0,0863
2,50	0,0878	0,0988	0,1059	0,1003	0,0960	0,0924’	0,0893	0,0866	0,0842	0,0821
2,60	0,0732	0,0828	0,2950*	0,0913	0,0871	0,0837	0,0809	0,0784	0,0762	0,0743
2,70	0,0613	0,0697	0,0782	0,0831	0,0790	0,0759	0,0732	0,0710	0,0690	0,0672
2,80	0,0514	0,0588	0,0663	0,0738*	0,0718	0,0688	0,0663	0,0642	0,0624	0,0608
2,90	0,0433	0,0497	0,0563	0,0630	0,0652	0,0623	0,0600	0,0581	0,0565	0,0550
3,00	0,0365	0,0422	0,0480	0,0539	0,0593	0,0565	0,0544	0,0526	0,0511	0,0498
Таблица 2.5
Нижние границы для 1—Г(/), когда F есть УФИ-распределение с р.1==1 и известным р»2

t	2,10	2,20	2,30	2,40	2,50	2,60	2,70	2,80	2,90	3,00
0,00	0,9524	0,9091	0,8696	0,8333	0,8000	• 0,7692	0,7407	0,7143	0,6897	0,6667
0,05	0,9059	0,8648	0,8273	0,7929	0,7613	0,7321	0,7051	0,6800	0,6567	0,6349
0,10	0,8618	0,8227	0,7871	0,7544	0,7244	0,6967	0,6711	0,6474	0,6252	0,6046
0,15	0,8198	0,7826	0,7488	0,7178	0,6894	0,6631	0,6388	0,6163	0,5953	0,5758
0,20	0,7798	0,7445	0,7124	0,6830	0,6560	0,6311	0,6081	0,5867	0,5669	0,5484
0,25	0,7418	0,7083	0,6778	0,6499	0,6243	0,6007	0,5788	0,5586	0,5398	0,5222
0,30	0,7056	0,6738	0,6448	0,6183	0,5941	0,5717	0,5510	0,5318	0,5140	0,4974
0,35	0,6712	0,6410	0,6135	0,5884	0,5653	0,5441	0,5245	0,5063	0,4894	0,4737
0,40	0,6385	0,6098	0,5837	0,5598	0,5380	0,5179	0,4993	0,4821	0,4661	0*4512
0,45	0,6074	0,5801	0,5553	0,5327	0,5120	0,4929	0,4753	0,4590	0,4438	0,4297
0,50	0,5778	0,5518	0,5283	0,5069	0,4872	0,4691	0,4525	0,4370	0,4227	0,4093
0,50	0,5496	0,5250	0,5026	0,4823	0,4637	0,4465	0,4307	0,4161	0,4025	0,3898
0,60	0,5228	0,4994	0,4782	0,4589	0,4413	0,4250	0,4100	0,3962	0,3833	0,3713
0,65	0,4973	0,4751	0,4550	0,4363	0,4199	0,4045	0,3904	0,3772	0,3650	0,3537
0,70	0,4731	0,4520	0,4329	0,4155	0,3996	0,3851	0,3716	0,3592	0,3476	0,3369
0,75	0,4500	0,4300	0,4119	0,3954	0,3803	0,3665	0,3538	0,3420	0,3311	0,3209
Продолжение табл, 2.5
Hs
t	2,10	2,20	2,30	2,40	2,50	2,60 7	2,70	2,80	2,90	3,00
0,80	0,4281	0,4090	0,3919	0,3762	0,3620	0,3489	0,3368	. 0,3257	0,3153	0,3057
0,85	0,4072	0,3891	0,3728	0,3580	0,3445	0,3321	0,3207	0,3101	0,3003	0,2912
0,90	0,3874	0,3702	0,3547	0,3407	0,3279	0,3161	0,3053	0,2953	0,2860	0,2774
0,95	0,3885	0,3522	0,3375	0,3242	0,3120	0,3009	0,2907	0,2812	0,2724	0,2642
1,00	0,3505	0,3350	0,3211	0,3085	0,2970	0,2864	0,2767	0,2678	0,2595	0,2517
1,05	0,3334	0,3187	0,3055	0,2935	0,2886	0,2727	0,2635	0,2550	0,2471	0,2398
1,10	0,3172	0,3032	0,2907	0,2893	0,2690	0,2595	0,2508	0,2428	0,2354	0,2285
1,15	0,3017	0,2885	0,2766	0,2658	0,2560	0,2471	0,2388	0,2312	0,2242	0,2175
1,20	0,2870	0,2744	0,2632	0,2530	0,2437	0,2352	0,2274	0,2202	0,2135	0,2074
1,25	0,2730	0,2611	0,2504	0,2407	0,2319	0,2239	0,2165	0,2097	0,2034	0,1975
1,30	0,2597	0,2484	0,3882	0,2291	0,2208	0,2131	0,2062	0,1997	0,1938	0,1882
1,35	0,2471	0,2363	0,2267	0,2180	0,2101	0,2029	0,1963	0,1902	0,1846	0,1793
1,40	0,2350	0,2248	0,2157	0,2075	0,2000	0,1932	0,1869	0,1812	0,1758	0,1709>
1,45	0,2236	0,2139	0,2052	0,1974	0,1904	0,1839	0,1780	0,1725	0,1675	0,1628
1,50	0,2127	0,2035	0,1953	0,1879	0,1812	0,1751	0,1695	0,1643	0,1596	0,1551
Продолжение табл. 2.5
Hi
t	2,10	2,20	2,30	2,40	2,50	2,60	2,70	2,80	2,90	3,00
1 55	0,2023	0,1936	0,1858	0,1788	0,1725	0,1667	0,1614	0,1565	0,1520	0,1478
ГбО	0,1925	0'1842	0,1768	0,1702	0,1642	0,1587	0,1537	0,1491	0,1448	0,1408
165	0Д831	0'1752	0,1682	0,1619	0,1563	0,1511	0,1463	0,1420	0,1379	0,1342
170	о’, 1742	0,1667	0,1601	0,1541	0,1487	0,1438	0,1394	0,1352	0,1314	0,1279
Ь75	о;1657	0,1586	0,1523	0,1467	0,1416	0,1370	0,1327	0,1288	0,1252	0,1219
1 80	0,1576	0,1509	0,1449.	0,1396	0,1348	0,1304	0,1264	0,1227	0,1193	0,1161
1*85	0,1499	о;1435	0,1279	0,1328	0,1283	0,1241	0,1204	0,1169	0,1136	0,1107
1*90	0,1426	0,1366	0,1312	0,1264	0,1221	0,1182	0,1146	0,1113	0,1083	0,1055
195	0,1357	0,1299	0,1249	0,1203	0,1163	0,1125	0,1092	0,1060	0,1032	0,1005
2^00	0,1291	0,1236	0,1188	0,1145	0,1107	0,1072	0,1040	0,1010	0,0983	0,0958
2,10	0,1168	0,1119	0,1076	0,1037	0,1003	0,0972	0,0943	0,0917	0,0892	0,0870
2,20	0,1057	0,1013	0,0974	0,0940	0,0909	0,0881	0,0855	0,0832	0,0810	0,0790
2^30	0,0956	0,0917	0,0882	0,0851	0,0824	0,0799	0,0776	0,0755	0,0736	0,0718
2,40	0,0866	0,0830	0,0799	0,0771	0,0747	0,0724	0,0704	0,0685	0,0668	0,0652
2,50	0,0783	0,0751	0,0723	0,0699	0,0677	0,0656	0,0639	0,0622	0,0607	0,0592
2,60	1,0709	0,0680	0,0655	0,0633	0,0613	0,0596	0,0579	0,0565	0,0551	0,0538
2,70	0,0641	0,0616	0,0593	0,0574	0,0556	0,0540	0,0526	0,0513	0,0500	0,0489
2,80	0,0581	0,0557	0,0537	0,0520	0,0504	0,0490	0,0477	0,0465	0,0455	0,0444
2 90	0,0525	0,0505	0,0487	0,0471	0,0457	0,0444	0,0433	0,0423	0,0413	0,0404
з’оо	0,0475	0,0457	0,0441	0,0427	0,0414	0,0403	0,0393	0,0384	0,0375	0,0367
Продолжение табл. 2.5

t	3,10	3,20	3,30	х 3,40	3,50	3,60	3,70	3,80	3,90	4,00
0,00	0,6452	0,6250	0,6061	0,5882	0,5714	0,5556	0,5405	0,5263	0,5128	0,5000
0,05	0,6145	0,5954	0,5775	0,5606	0,5446	0,5296	0,5154	0,5019	0,4891	0,4770
0,10	0,5853	0,5672	0,5502	0,5342	0,5191	0,5049	0,4914	0,4787	0,4665	0,4550
0,15	0,5575	0,5404	0,5443	0,5091	0,4948	0,4813	0,4686	0,4565	0,4450	0,4341
0,20	0,5310	0,5148	0,4995	0,4852	0,4717	0,4589	0,4468	0,4354	0,4245	0,4142
0,25	0,5058	0,4904	0,4760	0,4624	0,4496	0,4375	0,4261	0,4152	0,4049	0,3952
0,30	0,4818	0,4673	0,4536	0,4407	0,4286	0,4171	0,4063	0,3960	0,3863	0,3770
0,35	0,4590	0,4452	0,4322	0,4201	0,4086	0,3977	0,3875	0,3777	0,3685	0,3597
0,40	0,4372	0,4242	0,4119	0,4004	0,3895	0,3792	0,3695	0,3603	0,3515	0,3432
0,45	0,4165	0,4041	0,3925	0,3816	0,3713	0,3616	0,3524	0,3437	0,3354	0,3275
0,50	0,3968	0,3851	0,3741	0,3637	0,3540	0,3448	0,3361	0,3278	0,3200	0,3125
0,55	0,3780	0,3669	0,3566	0,3467	0,3375	0,3288	0,3205	0,3127	0,3053	0,2982
0,60	0,3601	0,3496	0,3397	0,3305	0,3217	0,3135	0,3057	0,2983	0,2913	0,2846
0,65	0,3431	0,3331	0,3238	0,3150	0,3068	0,2989	0,2916	0,2845	0,2779	0,2716
0,70	0,3268	0,3174	0,3086	0,3003	0,2925	0,2851	0,2781	0,2715	0,2652	0,2592
0,75	0,3114	0,3025	0,2941	0,2863	0,2789	0,2719	0,2652	0,2590	0,2530	0,2473
Продолжение табл. 2.5
14
t	3,10	3,20	3,30	3,40	3,50	3,60 I	|	3.70	|	3.80	|	3,90	|	4,00
0,80	0,2967	0,2882	0,2803	0,2729	0,2659	0,2593	0,2530	0,2471	0,2414	0,2361
0,85	0,2827	0,2747	0,2672	0,2602	0,2535	0,2473	0,2413	0,2357	0,2304	0,2253
0,90	0,2693	0,2618	0,2547	0,2480	0,2417	0,2358	0,2302	0,2249	0,2198	0,2150
0,95	0,2566	0,2495	0,2428	0,2365	0,2305	0,2249	0,2196	0,2146	0,2098	0,2052
1,00	0,2445	0,2377	0,2314	0,2254	0,2198	0,2145	0,2095	0,2047	0,2002	0,1950
1,50	0,2330	0,2266	0,2206	0,2149	0,2096	0,2046	0,1998	0,1953	0,1911	0,1870
1,10	0,2220	0,2159	0,2103	0,2049	0,1999	0,1951	0,1902	0,1864	0,1823	0,1785
1,15	0,2115	0,2058	0,2004	0,1954	0,1906	0,1861	0,1819	0,1778	0,1740	0,1704
1,20	0,2016	0,1962	0,1911	0,1863	0,1818	0,1775	0,1735	0,1697	0,1661	0,1626
1,25	0,1921	0,1870	0,1822	0,1776	0,1734	0,1694	0,1656	0,1619	0,1585	0,1552
1,30	0,1830	0,1782	0,1737	0,1694	0,1654	0,1616	0,1579	0,1545	0,1513	0,1482
1,35	0,1744	0,1699	0,1656	0,1615	0,1577	0,1541	0,1507	0,1475	0,1444	0,1415
1,40	0,1662	0,1619	0,1578	0,1540	0,1504	0,1470	0,1438	0,1407	0,1378	0,1351
1,45	0,1584	0,1543	0,1505	0,1469	0,1435	0,1402	0,1372	0,1343	0,1316	0,1280
1,50	0,1510	0,1471	0,1435	0,1401	0,1368	0,1338	0,1309	0,1282	0,1256	0?123l
Продолжение табл. 2.5
28—1563
На
t	з,ю	3,20	3,30	3,40	3,50	3,60	3,70	3,80	3,90	4,00
1 55	0,1439	0,1402	0,1368	0,1336	0,1305	0,1276	0,1249	0,1223	0,1199	0,1175
1 60	0,1371	0,1337	0,1304	0,1274	0,1245	0,1218	0,1192	0,1168	0,1144	0,1122
1 65	0,1307	0,1274	0,1244	0,1215	0,1188	0,1162	0,1137	0,1114	0,1092	0,1071
1 70	0,1246	0,1215	0,1186	0,1158	0,1133	0,1108	0,1085	0,1064	0,1043	0,1023
1,75	0,1187	0,1158	0,1131	0,1105	0,1081	0,1058	0,1036	0,1015	0,0995	0,0977
1 80	0 1132	0,1104	0,1078	0,1054	0,1031	0,1009	0,0988	0,0969	0,0950	0,933
1 85	0,1079	0,1053	0,1028	0,1005	0,0983	0,0963	0,0943	0,0925	0,0907	0,0891
1 90	0,1028	0,1003	0,0980	0,0959	0,0938	0,0919	0,0900	0,0883	0,0866	0,0850
1,95	0,0980	0,0957	0,0935	0,0914	0,0895	0,0877	0,0859	0,0843	0,0827	0,0812
2’,00	0,0934	0,0912	0,0891	0,0872	0,0854	0,0836	0,0820	0,0802	0,0790	0,0775
2 10	0,0849	0,0829	0,0811	0,0793	0,0777	0,0762	0,0747	0,0733	0,720	0,0707
2,20	0,0771	0,0754	0,0737	0,0722	0,0707	0,0694	0,0680	0,0686	0,0656	0,0645
2,30	0,0701	0,0685	0,0671	0,0657	0,0644	0,0632	0,0620	0,0609	0,0598	0,0588
2,40	0,0637	0,0623	0,0610	0,0598	0,0586	0,0575	0,0565	0,0555	0,0545	0,0536
2,50	0,0579	0,0567	0,0555	0,0544	0,0534	0,0524	0,0515	0,0506	0,0497	0,0489
2,60	0,0526	0,0515	0,0505	0,0495	0,0486	0,0477	0,0469	0,0461	0,0454	0,0446
2,70	0,0479	0,0469	0,0459	0,0451	0,0442	0,0435	0,0427	0,0420	0,0414	0,0407
2,80	0,0435	0,0426	0,0418	0,0410	0,0403	0,0396	0,0389	0,0383	0,0377	0,0371
2,90	0,0396	0,0388	0,0380	0,0373	0,0367	0,0361	0,0355	0,0349	0,0344	0,0339
3^00	0,0360	0,0353	0,0346	0,0340	0,0334	0,0329	0,0323	0,0318	0,0314	0,0309
3. РОДСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ
Здесь будут приведены для сравнения некоторые
другие оценки и будет дано их краткое описание.
Классическая оценка по неравенству Чебышева
Если F есть произвольное распределение, удовле-
творяющее условию F(0—) =0 с Ц1=1 и известным
значением ц2, то
1-ЛП.4 (1-07[(рг-1)+(1-П]при0</<1,	3
\ 0	при/>1,
l-F(0<
1	при 0 < t < 1,
t~l	при 1 < t<(3.2)
(lh—1)/Ь—! + (* —О2] ПРИ О Р-2-
Эти результаты вытекают из более общих утверждений,
сформулированных Чебышевым.
Обобщенная оценка Гаусса
Если Г(0—) =0 и функция F вогнутая в интер-
вале [0, оо) (т. е. плотность f — убывающая функция)
и известен r-й момент рг, то
1_,/(г+1)'/'иу'
1— F
при t<ta — r^r'r /(r+ 1)' 1/г>
[Иг/d [г/(г+1)Г
при t^ta.
(3.3)
Для г=2 этот результат получен еще Гауссом [186]. Для
произвольного г результаты были получены независимо
в [181] и [198], а затем в [185] в приведенной выше за-
писи.
Заметим, что если F есть УФИ-распределение, то
функция F вогнутая в интервале [0, оо), так что (2.3)
может считаться определенным улучшением по отноше-
нию к оценке (3.3), полученной за счет более сильных
предположений.
434
Ройденовское улучшение оценки Чебышева
Если Г(0—) =0, функция F вогнутая в интервале
[0, оо) и Ц1=1, а ц2 известен, то
1 _F{t}> ( (2-07(3^-20 при 0</<2,
( 0	при />2,
(3.4)
I - F{t) <
' 1 —f/2
(20-1
4(3|*2-20/9|**
Зр-г — 4
4 (За2—4а) +3р.2
при 0</<2,
при 1 < t <- 3|х2/4,
при 3}»г/4< t <р2,
При Op2,
(3.5)
где а есть единственный корень, больший или рав-
ный //2 для /=[16а2(а—1)][4(3а2—4а) Ч-Зцг]-1- Эти оцен-
ки [202] объединяют условия Гаусса для усиления ре-
зультата Чебышева.
Унимодальная плотность
Если плотность / является унимодальной с неизвест-
ной модой и первым моментом щ=1 и если Г(0—) =0,
то
Г 1 при 0 < t < 1,
1—F(0< ( 2Г1 —1 при К/<3/2,	(3.6)
[ 1 /2( при t > 3/2.
Эта оценка следует из общей теории, развитой в [196].
Обширная библиография литературы по данному во-
просу имеется в [146, 187].
4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
Надежность, время безотказной работы
Рассмотрим систему, состояние которой в момент
времени t характеризуется некоторой функцией Ф от
состояний отдельных элементов этой системы (7=
= (t/i, ..., Un)- Величина Vi принимает значения 0
или 1 в зависимости от того, отказал ли или работоспо-
собен i-й элемент системы в момент времени /, а Ф рав-
28»	435
няется 0 или 1 в зависимости от того, отказала ли при
этом или работоспособна система в целом. Предполо-
жим, что состояния элементов Ui являются взаимно
независимыми случайными величинами. Предположим
далее, что Ф есть такая монотонно возрастающая функ-
ция, что система может быть только улучшена, если ка-
ким-либо образом улучшены ее элементы. Тогда
Еф(1/) = P{X^t}, где X есть время безотказной ра-
боты системы. Далее известно, что P{X^t} есть воз-
растающая функция от вероятностей безотказной рабо-
ты отдельных элементов. По этой причине оценки для
вероятностей безотказной работы элементов обеспечи-
вают соответствующие оценки для вероятности безот-
казной работы системы в целом. Системы, подобные
описанным выше, исследованы в [19].
Система типа «k из /г». Указанная система считается^
нормально функционирующей, если не менее k из обще-
го числа п элементов функционируют нормально. Если
все элементы системы взаимно независимы и характе-
ризуются распределениями отказов F, то вероятность
P{X^t} того, что система проработает безотказно в те-
чение t или более единиц времени, определяется непол-
ной бета-функцией:
=	(k,n-k+\) =
~F(t)
— j (k— ])!(/г_£)1 О ~Х)П ''dx’
0
где — \—F(/). Оценки для P{X^t} могут быть
легко получены на основании оценок для вероятностей
безотказной работы отдельных элементов F(t) по таб-
лицам неполной бета-функции [201].
Пример 1. Рассмотрим систему из 10 элементов,
которая нормально функционирует, если исправны по
крайней мере 7 ее элементов. Предположим, что сред-
нее время безотказной работы каждого элемента со-
ставляет 103 час, известен второй момент распределения
времени безотказной работы, равный 1,5 «Ю6 час, а так-
же известно, что само распределение имеет возрастаю-
щую функцию интенсивности.
436
Из табл. 2.3 находим, что вероятность того, что эле-
мент проработает безотказно 50 час, не менее 0,9606.
Далее по таблице неполной бета-функции находим, что
для системы в целом вероятность безотказной работы
будет не менее 0,9996.
Из табл. 2.4 находим, что вероятность того, что эле-
мент проработает безотказно 1800 час, составляет не
более 0,2377. Из таблиц неполной бета-функции в этом
случае получаем Р{Х^Л 800)^0,0026.
Последовательное соединение. Система типа «п из и»
обычно в теории надежности называется последователь-
ной.
Пример 2. Предположим, что последовательная
система состоит из трех элементов, средние значения
времени безотказной работы которых равны соответ-
ственно 900, 833 и 625 час. Предположим, что элементы
взаимно независимы и имеют ВФИ-распределения вре-
мени их безотказной работы. Для определения верхней
оценки вероятности того, что система не откажет за
1000 час, можно использовать табл. 2.1, откуда
р/узиоосн___р/ к* ~ 1 ем 1 р I ~ * вое 1
900 55 900 /^(833^ 833
Р Ж > -S4 < 0.82 • 0,68 • 0,36 = 0,20.
Для определения нижней оценки вероятности безотказ-
ной работы системы за 1000 час используем неравен-
ство (3.1) и таблицу экспоненциального распределения
Р(А> 100} >0,895 • 0,887 • 0,852=0,68.
Конечно, обе эти оценки могут быть улучшены, если
известны вторые моменты. В этом случае нужно исполь-
зовать табл. 2.3 и 2.4.
Страхование
Вознаграждение по страховке за риск при ката-
строфе, например, при страховании жизни, может быть
подсчитано на основании функции R(x) =L(x)/L(x0),
х>хо, где L(x) есть количество лиц в возрасте х, за-
страховавшихся на возраст Хо. Функция /?(х) есть эмпи-
рическая оценка вероятности 1—F(x), которая во мио-1
гих ситуациях является ВФИ-распределением.
29—1563	437
Если страхование производится на новый вид рискй,
то может оказаться, что оценки для моментов распре-
деления иногда удается получить легче, чем для самого
распределения. В таком случае нижние оценки для
1—F(x) могут быть использованы для вычисления кон-
сервативных вознаграждений.
Доверительные оценки
В [154] приводятся планы выборочного контроля
для заданного риска в предположении, что распределе-
ние отказов является экспоненциальным. В [189] и [188]
эти планы распространяются на различные другие рас-
пределения и указывается, что оценки (2.1) и (2.2) мо-
гут быть использованы для построения непараметриче-
ских выборочных планов для испытаний на срок
службы. Эти же соображения могут быть использованы
для получения верхней и нижней доверительных оценок
для времени безотказной работы.
Предположим, что на испытания поставлено п эле-
ментов и в интервале [О, Т] произошло X отказов. Верх-
няя (1—а) 100%-ная доверительная оценка для бино-
миального параметра р=р (Т) может быть получена
как решение относительно р0 уравнения
/=0Х
Нижняя оценка для ^находится из (2.2) при г=1.
Заметим, что

при Т <
при
где
т
Р — К’м х
= I е H dx.
о
(4.1)
Следовательно,

438
с вероятностью, не меньшей 1 — л. Выберем р.о таким
образом, чтобы
6 (Г)=1^Г=Л.
Используя (4.1) и решая его относительно р.о, получаем
и=________________________Гл_____.
Из (4.1) видим, что b (Т) убывает по |*Р Поэтому
Tpt____
Hi-'Но— _lg(i_Pe)
с вероятностью, не меньшей 1 — а.
Верхняя доверительная оценка для pi может быть
получена аналогичным образом из (2.1) для г=1. Если
р* удовлетворяет уравнению
п
то
Т
— lg(l —р*)
с вероятностью, не меньшей 1—а.
Аналогичным образом можно получить доверитель-
ные оценки для квантилей, используя то, что [1—F(i)]l/t
убывает (возрастает), когда F есть ВФИ (УФИ)-рас-
пределение.
Испытания на срок службы
Оценки чебышевского типа для ВФИ-распределе-
ний могут быть также применены для решения стати-
стических задач различения гипотез. Рассмотрим сле-
дующую задачу статистических испытаний. Имеются
две гипотезы:
—	прямая гипотеза щ^0,
—	альтернативная гипотеза щ<0,
при этом предполагается, что исследуемое распределе-
ние есть ВФИ-распределение. Если распределение
отказов экспоненциальное, то равномерно наиболее
мощным критерием в данном_ случае является отверже-
ние прямой гипотезы, когда X^Zca, где X есть выбороч-
29е	439
ное среднее и <?а удовлетворяет условию
Р{Л-<са|р.1 = 6} = а.
Если са < 8/и, то
Р {X < са | ры — 0. Р есть ВФИ-распределение} <
<Р{Х<са|н=б> Р(О= 1 — е-//|Л,} = а
в соответствии с (2.1). Табулированные оценки для
ВФИ-распределений могут быть легко использованы
для получения оценок функций мощности критерия.
5. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Неравномерные значения величин t в табл. 2.3—2.5
выбраны таким образом, чтобы линейная интерполяция
в вертикальном направлении не приводила бы к ошиб-
кам, большим 0,0005. Однако для того, чтобы быть до
конца точным, следует избегать интерполяции между
соседними значениями, помеченными звездочкой. Для
целей интерполяции в этих случаях следует воспользо-
ваться приводимой ниже табл. 5.1.
Нижние оценки, приведенные в табл. 2.3, не явля-
ются непрерывными в точке t=7\ для уравнения
(2.5). Для t>Ti в качестве нижней оценки может
быть дана лишь тривиальная — нуль. В табл. 5.1
приведены значения Л для различных значений цг,
а также приведены левые предельные значения
L(l\—) нижней оценки в точке Ть Для того чтобы
было понятно, как в данном случае должна произво-
диться интерполяция, рассмотрим следующий пример.
Из табл. 2.3 нельзя сказать непосредственно, является
ли нижняя оценка при ц2= 1,15 и /=1,24 тривиальной
или нет, но из табл. 5.1 находим, что оценка является
нетривиальной для /<1,2436. Линейная интерполяция
между величиной 0,2200 (из табл. 2.3) в точке /=1,20
и величиной 0,1963 (из табл. 5.1) в точке /=1,2436 дает
значение 0,1983 для искомой оценки в точке /=1,24.
Верхние оценки в табл. 2.4 имеют разрывные произ-
водные в точках То и 7\, определеямых из (2.4) и (2.5).
Следовательно, линейной интерполяции для значений /,
440
Таблица для интерполяции
Таблица 5.1
Hi	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35	1,40	1,45	1,50
То	0,7764	0,6969	0,6127	0,5528	0,5000	0,4523	0,4084	0,3675	0,3292	0,2928
Т,	1,0769	1,1580	1,2436	1,3342	1,4305	1,5332	1,6432	1,7614	1,8895	2,0289
и (Л)	0,8606	0,7401	0,6356	0,5447	0,4655	0,3962	0,3356	0,2826	0,2361	0,1954
Л (Г,-)	0,2622	0,2237	0,1963	0,1738	0,1532	0,1340	0,1162	0,0998	0,0834	0,0710
П родолжение
и»	1,55	1,60	1,65	1,70	1,75	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00
То	0,2584	0,2254	0,1938	0,1633	0,1340	0,1056	0,0780	0,0513	0,0253	0,0000
Л	2,1821	2,3522	2,5433	2,7619	2,0174					
" (Л)	0,1599	0,1288	0,1018	0,0784	0,0583					
£(Т,-)	0,0585	0,0471	0,0331	0,0287	0,0210					
расположенных по разные стороны от точек TQ или Л,
следует избегать. Для обеспечения точной интерполяции
в табл. 5.1 приведена верхняя оценка и(1\) в точке
для различных значений р,2. Верхняя оценка в точке TQ
есть 1.
Относительно точности линейной интерполяции в го-
ризонтальном направлении в табл. 2.3—2.5 не сделано
никаких предостережений, однако заметим, что если
распределение F имеет монотонную функцию интенсив-
ности, |11=1 и (12=2, то необходимо, чтобы 1—F(t) =
= е-*, так что это обеспечивает одновременно и верх-
нюю и нижнюю оценки. Эти соображения при p,2=2 мо-
гут быть полезны для интерполяции в горизонтальном
направлении (они не включены в табл. 2.5 из-за огра-
ниченности объема).
В табл. 2.3 и 2.4 интерполяция в горизонтальном на-
правлении неточна для значений р,2, близких к единице.
Если F есть ВФИ-распределение и |и = ц,2=1, то F
должно быть вырожденным в точке /=1, так что и
верхняя и нижняя оценки равны единице для /<1 и
нулю для />1. Этот факт является бесполезным для
точной интерполяции.
6. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
ПРИ НАЛИЧИИ НЕСКОЛЬКИХ
ОГРАНИЧЕНИЙ*
Ф. ПРОШАН, Т. БРЕИ
В [105] разработана модификация алгоритма ди-
намического программирования для распределения из-
быточности в системе с целью достижения ее макси-
мально возможной надежности при ограничении по
стоимости (или в двойственной задаче с целью дости-
жения требуемой надежности при минимально возмож-
ных затратах). В данной работе предлагается обобще-
ние этого алгоритма для решения более общей задачи,
заключающейся в максимизации надежности системы
при нескольких ограничениях, заданных в виде линей-
ных форм.
Рассмотрим систему, состоящую из k последователь-
но соединенных подсистем. Система считается работо-
способной тогда и только тогда, когда работоспособна
каждая из ее подсистем. Предполагается, что i-я подси-
стема состоит из rii элементов ьго типа, включенных
параллельно, и она считается работоспособной, если
нормально функционирует хотя бы один из ее элемен-
тов. Предположим, что каждый элемент f-го типа
характеризуется / типами различных затрат, т. е. вели-
чина Cij есть затраты /-го типа на f-й элемент. Напри-
мер, первым типом затрат может быть вес, вторым —
объем, третьим — стоимость. Для каждого типа за-
трат определены линейные ограничения следующего
вида:
k
^ецп{<С),	(1)
i =1
♦ F. Proschan, T. Bray. Optimum Redundancy under Multip-
le Constraints. Operations Research, 1965, vol. 13, № 5, p. 800—814.
443
Так, например, может требоваться, чтобы полный вес
системы не превышал некоторой заданной величины
полный объем — величины С2, а полная стоимость в дол-
ларах— величины С3.
Каждый элемент Z-ro типа характеризуется вероят-
ностью безотказной работы pi независимо от того, ра-
ботают или не работают другие элементы системы. Та-
ким образом, надежность системы Р(п), где п =
= (П1, ..., пд), определяется как
k
Р(п) = П (1-^).	(2)
j=l
где qi = 1 —
Наша задача состоит в нахождении такого век-
тора п, компонентами которого являются положитель-
ные целые числа, чтобы максимизировать функцию Р(п)
при выполнении условий (1).
1.	ДОМИНИРОВАНИЕ
k
Пусть £j(n) = ^ Cijtii — суммарные затраты /-го
типа на систему в целом, если резервируемая система
характеризуется вектором п. Далее будем говорить, что
п1 доминирует п2, если сДп1) ^сДп2), /=1, ..г, в то
время как Р(п1)^Р(п2). Если при этом по крайней
мере одно из неравенств является строгим, то будем го-
ворить, что п1 строго доминирует п2. Последователь-
ность S, состоящая из векторов п\ Л=1, 2, ..., удовле-
творяющих условиям (1), будет называться доминирую-
щей последовательностью, если ни один из векторов п'1
не доминируется строго никаким другим вектором.
1 Ясно, что для решения нашей задачи нам необхо-
димо рассмотреть лишь члены доминирующей последо-
вательности S.
Процесс построения доминирующей
последовательности для системы, состоящей
из двух подсистем
Чтобы построить доминирующую последователь-
ность для системы, состоящей только из двух подси-
444
стем 1 и 2, составим следующую таблицу с двумя вхо-
дами: в клетке таблицы, стоящей на пересечении стро-
ки ni и столбца «2, содержится вектор
[Сх (л„ nt), с2 (и,, и2),..сг (nt, л2>), Q (пп га2)],
где
=	+	/= 1,... г,
И
Q(«l,n2)=l-(1-^) (1-#).
Этот вектор содержит информацию о ненадежности
и о затратах на систему, имеющих место в случае, если
в системе использовано элементов типа 1 и п2 эле-
ментов типа 2. В таблицу включаются лишь такие век-
торы, которые удовлетворяют условиям (1). Затем
исключаехМ из таблицы все доминируемые векторы, т. е.
такие векторы, для которых в таблице существует по
крайней мере один доминирующий их вектор. Остав-
шиеся после указанной операции исключения векторы
составляют доминирующую последовательность. Для
уяснения этого процесса ниже будет приведен числен-
ный пример.
Далее покажем, что доминирующая последователь-
ность для системы, состоящей из s подсистем, может
быть построена на основании доминирующей последо-
вательности для части той же системы, состоящей из
s—1 подсистем. Тем самым по индукции доказывается
существование доминирующей последовательности для
системы, состоящей из произвольного количества под-
систем. Процесс состоит в следующем: сначала строит-
ся доминирующая последовательность для подсистем 1
и 2, затем, оперируя результирующей доминирующей
последовательностью для этих подсистем и характери-
стиками подсистемы 3, строится доминирующая после-
довательность для части системы, состоящей из подси-
стем 1, 2 и 3, и так далее до тех пор, пока не будет
построена доминирующая последовательность для всей
системы в целом.
Процесс для системы, состоящей из s подсистем
Построим таблицу, в которой строка п8 соответ-
ствует п8 элементам типа $, а й-й столбец соответствует
445
вектору п\ который является Л-м членом доминирую-
щей последовательности для первых s—1 подсистем.
На пересечении столбца h и строки ns стоит вектор
[ci(n\ ns), c2(n\ ns), cr(n\ ns), Q(n\ ns)], т. e. век-
тор ненадежности и затрат на систему, если последняя
характеризуется вектором (n\ ns). Заметим, что и
в общем случае сДп\ ns) =Cj(nh) +cSjfiSi /=1, ..., r,
и
Q(n\ nt)= 1 — [1 — Q(nh)] (1 —
В таблицу включаются лишь векторы, удовлетворяю-
щие ограничивающим условиям, причем исключаются
все строго доминируемые векторы. Оставшиеся в таб-
лице векторы образуют, как это мы докажем в тео-
реме 1, доминирующую последовательность для подси-
стем 1,2,..., s.
Теорема 1. Векторы, которые остаются строго недо-
минируемыми в описанной выше таблице, образуют до-
минирующую последовательность для системы из $ под-
систем.
Доказательство. Нам нужно доказать, что два
утверждения: 1) векторы, получаемые при помощи ука-
занного процесса, включают в себя все строго недоми-
нируемые векторы и 2) каждый из векторов, получае-
мых с использованием этого процесса, является строго
недоминируемым.
Первое утверждение докажем по индукции. Вначале
заметим, что для системы, состоящей из единственной
подсистемы, все векторы являются строго недоминируе-
мыми. Предположим теперь, что векторы, полученные
при помощи нашего процесса для системы из j подси-
стем /=1, 2, ..., s—1, включают все строго недомини-
руемые векторы, удовлетворяющие условию (1). Рас-
смотрим произвольный вектор n=‘(ni, ..., Из), удовле-
творяющий условию (1). Тогда по индукции вектор
(ль ..ns-i) доминируется некоторыми недоминируе-
мыми векторами (и*ь ..., n*s-i), полученными в резуль-
тате того же процесса. Таким образом, по определению
Q(ni, ..., ns_i)>Q(n*i, ...,
/=1, ..., г.
446
Отсюда следует, что
Q(n) = 1— P(tii, ..ns-x)P(ns)
^1—P(n*i,	n*s-i)P(n*s)=Q(n*),
где
n*s=ns,
и что
сДп)=сДп1, ..n8_i) +Cj(ns)
>Q(n*l, n*s_i)+Cj(n*s) =Q(n*), /=1, Г,
т. е., что вектор п доминируется вектором n*. С другой
стороны, вектор п*, принадлежа указанной таблице,
сам доминируется вектором, полученным при помощи
нашего процесса. Итак, доказано, что всякий вектор,
удовлетворяющий условию (1), доминируется некото-
рым вектором, полученным на основании описанного
выше процесса. Следовательно, доказательство первого
утверждения завершено.
Для доказательства второго утверждения предполо-
жим, что п° есть некоторый вектор, полученный при по-
мощи нашего процесса. Если п° строго доминируется
каким-либо вектором, удовлетворяющим условию (1),
он должен в то же время строго доминироваться неко-
торыми недоминируемыми векторами, также удовле-
творяющими условию (1). Но мы только что доказали,
что все недоминируемые векторы, удовлетворяющие
условию (1), получаются в процессе применения нашего
процесса. Таким образом, вектор п° строго доминирует-
ся, например, вектором п1, также получаемым нашим
процессом. В результате получено противоречие, по-
скольку никакой вектор, получаемый при помощи опи-
санного ранее процесса, не может доминировать какой-
либо другой вектор, полученный этим же процессом.
Тем самым доказано второе утверждение.
2.	ПРИБЛИЖЕНИЯ
При практических использованиях описанного
процесса построения доминирующей последовательности
можно обычно сделать следующее допущение. Вместо
использования выражения
447
Q (л„ пг) = 1 - (1 - q"') (1 - #) = <tf*+	q^’q"*,
можно, пренебрегая произведением в последнем равен-
стве, использовать выражение
Q(«i. nj^qf+q”'.
Аналогичным образом для системы, состоящей из $
подсистем, можно приближенно записать
Q(n, ns) ~Q(n)+<7«,	(3)
где п= («1, ..., ns_i).
В [105] показано, что использование данного прибли-
жения для случая г=1 приводит к ошибке в достигае-
мой надежности системы Р, не превышающей величи-
ны Q2 (здесь Q=1—Р). Для случая г>1 доказатель-
ство аналогично тому, которое приведено в [105].
Во всех применениях описанной процедуры опти-
мального распределения резервных элементов будем
в дальнейшем использовать приближенное выраже-
ние (3).
Еще одно приближение позволяет уменьшить длину
доминирующей последовательности. При сравнении
пары векторов в таблице можно ввести в рассмотрение
допустимую погрешность е, по стоимости J-го типа,
а также допустимую погрешность по ненадежности.
Теперь, если какие-нибудь два вектора в таблице отли-
чаются друг от друга по затратам J-го типа на вели-
чину ej или менее, то по этому типу затрат они
считаются идентичными. (То же относится и к векто-
рам, отличающимся друг от друга по ненадежности на
величину или менее.) В результате длина каждой до-
минирующей последовательности уменьшается. Некото-
рые задачи, которые практически не могут быть решены
из-за огромных по своей длине доминирующих последо-
вательностей, иногда удается приближенно решить,
вводя допустимые погрешности по одному или более
факторам. Сначала следует попытаться решить требуе-
мую задачу точными методами. Затем, если доминирую-
щие последовательности оказываются слишком длинными
для того, чтобы получить решение без соответ-
ствующих затруднений вычислительного характера, вво-
448
дится незначительная допустимая погрешность по нена-
дежности. Если и после этого доминирующая последо-
вательность остается слишком длинной, можно либо
увеличить допустимую погрешность е7, либо ввести до-
полнительные допустимые погрешности Sj по некоторым
типам затрат. Подобное увеличение допустимых по-
грешностей или увеличение их количества продолжается
до тех пор, пока не будет достигнуто искомое решение.
3.	НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Ъ
Как будет показано ниже, размеры доминирую-
щих последовательностей определяют масштабы задачи,
которая может быть решена на вычислительной ма-
шине, а также время, необходимое для получения ре-
шения. Поэтому крайне важно стремиться сделать дли-
ны доминирующих последовательностей как можно бо-
лее короткими. Одним из способов уменьшения длины
доминирующих последовательностей является использо-
вание наибольших начальных значений иг-, какие только
возможно подыскать.
Метод нахождения таких наибольших начальных
значений заключается в следующем:
1)	Будем прибавлять по одному элементу каждого
типа до тех пор, пока, наконец, при добавлении очеред-
ного элемента не произойдет нарушение хотя бы одного
из ограничений.
2)	Вычислим значение надежности Р для построен-
ной таким образом системы.
3)	Из выражения
л®
(4)
определим — минимальное количество элементов Z-ro
типа, необходимых для достижения надежности, рав-
ной Р или более. Ясно, что искомое решение задачи
оптимального резервирования будет достигаться для ве-
личин tii, которые по крайней мере не меньше получен-
О
ных величин nv
4)	Таким образом, в качестве начальных значений /ц
могут быть взяты величины п*.
449
Выгодность использования начальных значений мо-
жет быть видна из следующих примеров, для которых
были проведены численные расчеты. Так, для системы,
состоящей из 10 подсистем, при трех ограничениях
использование описанного способа привело к уменьше-
нию длины доминирующей последовательности от на-
чала вычислений до момента нарушения одного из огра-
ничений с 334 до 62 членов. Для системы из 20 подси-
стем при трех ограничениях длина доминирующей по-
следовательности для этапа решения, охватывающего
10 подсистем, оказалась равной 559 членам в то время,
как использование начальных значений позволило прий-
ти к решению при результирующей длине доминирую-
щей последовательности, равной всего 69 членам.
Другим методом нахождения начальных величин /2*
является использование допустимых погрешностей, как
это описано в § 2 для нахождения приближенного ре-
шения. После получения приближенного решения сле-
дует использовать приведенные выше пп. 2, 3 и 4.
4.	ПРИМЕР
Проиллюстрируем применение алгоритма на сле-
дующем примере [105]. Рассмотрим систему из четырех
подсистем, характеризующуюся следующими показате-
лями:
Номер подсистемы i	1	2	3	4	Ограничения
Стоимость Cix	1,2	2,3	3,4	4,5	47,0
Вес щ2	1,0	1,0	1,0	1,0	20,0
Ненадежность qi	0,20	0,30	0,25	0,15	
Нам требуется выбрать /22, /23, ^4 таким образом,
чтобы максимизировать надежность системы
Р(п19 п2, п3, и4) = (1 — 0,2Л1)(1— 0,3Пя)(1—0,25Лз)(1 — 0,15л<)
при условии, что ограничения заданы в виде
1,2/ii 4~ 2,3/12 4“ З,4п3 4* 4,5/24 47,0,
/214" /22 4- /2з 4" /24 20,0.
450
Найдем начальные значения иг-, следуя методу, опи-
санному в предыдущем разделе. Начав с П1=1, И2=1,
п3=1, п4=1, будем добавлять в каждую подсистему по
одному резервному элементу до тех пор, пока не на-
рушится хотя бы одно из ограничений (табл. 1). В ре-
зультате получим систему, характеризуемую вектором
(5, 4, 4, 4) и надежностью 0,9872. Минимальное значе-
о
ние находим из условия
1—0,2" >0,9872,
откуда п”=3. Аналогичным образом находим п°2 = 4,
п°3 =4, п° = 3, что поясняется в табл. 2.
Таблица 1
Вычисление пробного значения надежности
до момента нарушения ограничений
№ шага	Подсисте- ма 1	Подсисте- ма 2	Подсисте- ма 3	Подсисте- ма 4	Стоимость /=1	Вес /=2
1	1	1	1	1	11,4	4
2	2	1	1	1	12,6	5
3	2	2	1	1	14,9	6
4	2	2	2	1	18,3	7
5	2	2	2	2	22,8	8
6	3	2	2	2	24,0	9
7	3	3	2	2	26,3	10
8	3	3	3	2	29,7	11
9	3	3	3	3	34,2	12
10	4	3	3	3	35,4	13
11	4	4	3	3	37,7	14
12	4	4	4	3	41,1	15
13	4	4	4	4	45,6	16
14	5	4	4	4	46,8	17
15	5	5	4	4	49,1	18
Примечание. Первое ограничение 47,0. Второе ограничение 20,0. Дос-
тигнутая надежность 0,9872 (на 14-м шаге).
451
Таблица 2
Вычисление начальных значений и®
Подсистема 1		Подсистема 2		Подсистема 3		Подсистема 4	
A й • QJ i Ч щ g3®o S3 ч * я О о 3 Щ	Надеж- ность	эличест- • резерв- IX эле- JHTOB	QJ JQ Sx	• a> , Q In g 3 ® о ч as	* 0J >0 s«	Количест- во резерв- ных эле- ментов	£ О» Л
		И SC S	xg		xg		xg
1	0,8000	JJ	0,7000	1	0,7500	1	0,8500
2	0,9600	: ,2	0,9100	2	0,9375	2	0,9775
3	0,9920	L3!	0,9720	3	0,9844	3	0,9966
		141	0,9919	4	0,9961		
Таблица 3
Доминирующая последовательность для
подсистем 1 и 2
ПОДСИСТЕМЫ 1 и 2
	Ci Ct Q	3,6 3 0,0080	4,8 4 0,0016	6,0 5 0,00032	7,2 6 0,000064	8,4 7 0,000013
1	ПОДСИСТЕМА 2	1	9,2 4 0,0081	12,8 7* 0,0161	14,0 8* 0,0097	15,2 9* 0,00842	16,4 10 0,008164	17,6 11 0,008113
	11,5 5 0,00243	15,1 8 0,01043	16,3 9» 0,00403	17,5 10* 0,00275	18,7 11 0,002494	19,9 12 0,002443
	13,8 6 0,000729	17,4 9 0,008729	18,6 10* 0,002329	19,8 11* 0,001049	21,0 12* 0,000793	22,2 13 0,000742
	16,1 7 0,00022	19,7 10 0,00822	20,9 11 0,00182	22,1 12* 0,00054	23,3 13* 0,000284	24,5 14* 0,000233
452
Затем строим описанным ранее образом доминирую-
щую последовательность для подсистем 1 и 2 (табл. 3).
Заметим, что в этой таблице значения различных видов
затрат и ненадежности для первой подсистемы записы-
ваем для различного количества резервных элементов,
начиная со значения п\ =3 и далее, прибавляя после-
довательно по единице. Эти характеристики записыва-
ются над столбцами таблицы. Соответствующие харак-
теристики для второй подсистемы, начиная со значения
п2 =4 и далее, записаны соответственно слева от строк
той же таблицы. Векторы внутри таблицы получаются
следующим образом: на пересечении каждого столбца
с каждой строкой записываются значения суммарных
затрат каждого типа, равных сумме соответствующих
величин, записанных в заголовках этих столбцов и
строк, а также значение ненадежности, равное сумме
соответствующих ненадежностей, взятых из тех же за-
головков столбцов и строк. В таблицу заносятся лишь
те векторы, которые удовлетворяют заданным ограниче-
ниям. Затем, последовательно сравнивая пары векторов
таблицы, исключаем из нее все строго доминируемые
векторы. Так, вектор, стоящий на пересечении 1-й стро-
ки и 4-го столбца, исключается, поскольку он домини-
руется вектором, стоящим на пересечении 2-й строки
и 2-го столбца. (Заметим, что каждый вектор имеет
меньшее значение ненадежности по сравнению с векто-
ром, стоящим левее или выше его.) В таблице все стро-
го доминируемые векторы отделены жирной чертой, век-
торы оставшиеся внутри очерченой зоны, не строго до-
минируемы. Отметим, что показана лишь часть пол-
ной таблицы; вообще говоря, построение векторов таб-
лицы должно продолжаться до тех пор, пока не будет
нарушено какое-либо из ограничений.
В табл. 4 к доминирующей последовательности для
подсистем 1 и 2 подсоединяется подсистема 3 и произ-
водится построение следующей доминирующей последо-
вательности. В заголовках столбцов табл. 4 записаны
векторы доминирующей последовательности, полученной
в табл. 3 для подсистем 1 и 2. В заголовках строк за-
писаны векторы для 3-й подсистемы, начиная со значе-
ния nQ3 =4 и далее для больших значений чисел резерв-
ных элементов 3-го типа. В эту таблицу также заносят-
453
Доминирующая последователь
подсис
	?1 Q	12,8 7 0,0161	14,0 8 0,0097	15,2 9 0,00812	16,3 9 0,00403	17,5 10 0,00275
।	ПОДСИСТЕМАЗ	j	13,6 4 0,0039	26,4 И* 0,0200	27,6 12* 0,0136	28,8 13* 0,01232	29,9 13* 0,00793	31,1 14* 0,00665
	17,0 5 0,00097	29,8 12 0,01707	31,0 13 0,01067	32,2 14 0,00939	33,3 14* 0,00500	34,5 15* 0,00372
	20,4 6 0,00024	33,2 13 0,01-634	34,4 14 0,00994	35,6 15 0,00866	36,7 15 0,00427	37,9 16 0,00299
	23,8 7 0,000061	36,6 14 0,016161	37,8 15 0,009761	39,0 16 0,008481	40,1 16 0,004091	41,3 17 0,002811
ся лишь те векторы, которые удовлетворяют требуемым
ограничениям. Опять производится последовательное
попарное сравнение векторов таблицы, в процессе кото-
рого исключаются доминируемые векторы. Так, вектор,
стоящий на пересечении 2-й строки и 2-го столбца,
исключается, так как он доминируется вектором, стоя-
щим на пересечении 1-й строки и 4-го столбца. Остав-
шиеся после такого исключения векторы составляют
доминирующую последовательность.
Наконец, строим табл. 5 для получения доминирую-
щей последовательности для уже объединенных подси-
стем 1, 2 и 3 и подсоединяемой к ней 4-й подсистемы.
Аналогичным образом получаем доминирующую после-
довательность для всей системы в целом. Решением на-
шей задачи является вектор таблицы, характеризую-
щийся наименьшим значением ненадежности, а именно
вектор со стоимостями Ci = 46,9, с2=18 и ненадеж-
ностью 0,008349. Чтобы получить соответствующий со-
став системы, нужно пройти табл. 5, 4 и 3 в обратном
направлении. Из табл. 5 находим оптимальное количе-
ство резервных элементов для четвертой подсистемы
454
Таблица 4
ность для подсистем 1, 2 и 3
ТЕМЫ 1 и 2
18,6 10 0,002329	19,8 11 0,001019	21,0 12 0,000793	22,1 12 0,00051	23,3 13 0,000284	24,5 14 0,000233
32,2	33,4	34,6	35,7	36,0	38,1
14*	15*	16	16	17	18
0,006229	0,004949	0,004693	0,00444	0,004184	0,004133
35,6	36,8	38,0	39,1	40,3	41,5
15*	16* '	17*	17*	18*	19
0,003299	0,002019	0,001763	0,000151	0,001254	0,001203
39,0	40,2	41,4	42,5	43,7	44,9
16	17*	18*	18*	19*	20
0,002569	0,001289	0,001033	0,00078	0,000524	0,000473
42,4 17 0,002390	43,6 18 0,001110	44,8 19 0,000854	45,9 19 0,000601		
«4=3, а из табл. 4 — для третьей «3=4. Из табл. 3 на-
ходим оптимальные значения «1=5 и «2=6. Практиче-
ски же при вычислении на ЭВМ программа составляет-
ся таким образом, чтобы на каждой стадии процесса
решения состав системы был бы известен, чтобы избе-
жать необходимости возвращения к исходным результа-
там (см. § 5).
Итак, наше решение представляется следующим на-
бором резервных блоков: «1=5, «2=6, «з=4, «4=3,
причем получающаяся при этом надежность по фор-
муле (5) равна величине
Р(5, 6, 4, 3) = (1— 0,25)(1 — 0,3е) (1—0,254) (1—0,153) =
=0,9917.
Заметим в заключение, что ошибка из-за использова-
ния приближенного выражения (3) во время проведе-
ния всех расчетов не превышает 0,0083492=0,000070.
455
Таблица 5
Доминирующая последовательность для подсистем 1, 2, 3 и 4
ПОДСИСТЕМЫ 1, 2 и 3
ПОДСИСТЕМА
Cl С» Q	26,4 И 0,0200	27,6 12 0,0136	28,8 13 0,01232	29,9 13 0,00793	31,1 14 0,00665	32,2 14 0,006229	33,4 15 0,004949
13,5 3 0,0034	39,9 14* 0,0234	41,1 15* 0,0170	42,3 16* 0,01572	43,4 16* 0,01133	44,6 17* 0,01005	45,7 17* 0,009629	46,9 18* 0,008349
18,0 4 0,00051	44,4 15 0,02051	45,6 16 0,01411	46,8 17 0,01283				
22,5 5 0,000076							
33,3 14 0,00500	34,5 15 0,00372
46,8 17* 0,00840	48,0 18 0,00712
	
	
5.	ёычислйтёльнАя ПРОГРАММА
Описанный в § 2 процесс построения доминирую-
щей последовательности был запрограммирован для
вычислительной машины IBM-7090. Программа была со-
ставлена для одного, двух и трех ограничений для си-
стем, состоящих не более чем из 64 подсистем. Допуска-
лось не более 20 элементов в каждой подсистеме. Длина
любой из доминирующих последовательностей, обра-
зующихся в процессе вычислений, не должна превы-
шать 1024 членов.
Основная идея программы поясняется блок-схемой
алгоритма на рис. 5.1. На этой блок-схеме используются
следующие обозначения.
Входные данные:
k — количество подсистем в системе;
г — количество ограничений;
с, — значение ограничения по /-му типу затрат;
Ctj — затраты j-го типа, связанные с одним элемен-
том i-й подсистемы;
pi — надежность одиночного элемента i-й подси-
стемы;
Eq — допустимая погрешность на надежность;
Ej — допустимая погрешность на затраты /-го типа.
Вычисляемые данные:
qi — ненадежность одиночного элемента i-й под-
системы;
St — количество элементов i-ro типа к моменту
начала вычислительной процедуры;
Ро— пробное значение надежности системы;
Hi — максимально допустимое количество строк
в таблице для i-й подсистемы;
NCih — количество элементов i-й подсистемы, запи-
санное над столбцом й-го столбца таблицы;
М — номер столбца;
/ — индекс подсистемы, которая в данный мо-
мент подсоединяется для образования до-
минирующей последовательности;
QCHh — ненадежность системы в заголовке й-го
столбца таблицы;
QRHh — ненадежность элементов I-й подсистемы
в заголовке й-й строки таблицы;
30—1563
457
CCttjh — затраты /-го типа на систему в заГоЛойкё
ft-й строки таблицы;
CRHjh — затраты /-го типа на элементы /-й подси-
стемы в заголовке Л-й строки таблицы;
TEij — индикатор векторов таблицы на пересече-
нии f-й строки и /-го столбца (0 показы-
вает, что вектор принадлежит к домини-
рующей последовательности, а 1 показывает,
что вектор не принадлежит к ней);
TNCih — временное запоминание количества элемен-
тов i-й подсистемы в заголовке h-ro столб-
ца таблицы.
Номера в кружочках на блок-схеме расшифровыва-
ются следующим образом:
| Ввод] 1
qt=1-Pi для i=1,...,k
Si=1 для i=1,...,k
~~r h+sr~1
QKHh=qj
для h=1r... Hi
13
CBHjh=(h^st-1)cij
для
74
i=i * 1
$i=Sj + 1
7( i=K?
NCi'h-Sf+i-b
для h=s1r..,H1
Вычисл. Hi q
для 1=1,..., к
Да
{Ewtjiq для'^г.
\^em
I
Нет
Да
9
I i=o I#
t-t+1
1-0
15
10
1=2
M=Hi~s-j+1
15
\Нет
15
st=O
для i=1,...,k
для h=1,..., M
12
NCjjiCtj
для h=1r..,M;j=1,...,r
ЪгО |—T—
Мд
' f 15
T£ty-1

3
5
6
2
7 I s*~si

А

I
Рис. 5.1. Блок-схема
458
1	— входные данные, ввод которых в вычислитель-
ную машину должен производиться соответствующим
входным устройством;
2	— вычисляется ненадежность для элементов каж-
дой из подсистем. Каждая из величин Si первоначально
полагается равной единице.
17
17
программы для ЭВМ.
30е
459
3	— цикл, согласно которому производится последо-
вательное добавление по одному элементу в каждую
подсистему до тех пор, пока одно из стоимостных огра-
ничений не будет нарушено;
А— последняя из величин $г, к которой был добав-
лен элемент, уменьшается на единицу. Таким образом,
полученная избыточная система с элементами в Лй
подсистеме (/=1, ...» k) является одним из возможных
вариантов системы, для которого не нарушается ни одно
из ограничений;
5	— вычисляется пробное значение надежности для
данной системы Ро;
6	— величины Si приравниваются нулю;
7	— цикл, согласно которому находятся такие коли-
чества элементов Si для каждой из подсистем, чтобы на-
дежность каждой подсистемы была бы по крайней мере
не ниже пробного значения надежности системы PQ. По-
лученные в результате величины Si используются в ка-
честве начальных значений в основном вычислительном
алгоритме;
8	— для Лй подсистемы вычисляется номер стро-
ки Hi такой, чтобы он не превышал максимально допу-
стимого количества элементов в каждой подсистеме;
9	— число элементов первой подсистемы NCih за-
писывается в заголовке й-го столбца;
10	— индекс / подсистемы, которая подсоединяется
для образования доминирующей последовательности.
Устанавливается число заголовков столбцов;
11	— вычисляется ненадежность системы и записы-
вается в заголовке столбцов;
12	— вычисляются значения затрат каждого типа
в заголовках столбцов;
13	— вычисляется ненадежность подсоединяемой под-
системы для разного числа элементов в заголовках
строк;
14	— вычисляются значения затрат каждого типа
для подсоединяемой подсистемы и записываются в за-
головках строк;
15	— векторы в таблице вычисляются следующим
образом: на пересечении соответствующего столбца и
строки ставится значение затрат /-го типа, равное сумме
соответствующих величин, стоящих в заголовках дан-
ного столбца и данной строки.
460
Если по одному из типов затрат происходит наруше-
ние ограничений, то данный вектор отмечается как не
принадлежащий доминирующей последовательности,
в противном случае он считается принадлежащим до-
минирующей последовательности;
16	— производится поочередная индикация векторов
таблицы на предмет того, могут ли те или иные векторы
принадлежать доминирующей последовательности. В слу-
чае отрицательного результата цикл продолжается,
а в случае положительного выполняется новый цикл;
17	— сравниваются только что выбранные векторы
таблицы с каждым из остальных векторов доминирую-
щей последовательности, и каждый из векторов, кото-
рый доминируется данным вектором, исключается. Да-
лее осуществляется возвращение к циклу, описанному
выше в 16;
18	— после того как все циклы, описанные в 16,
оканчиваются, все векторы таблицы, отмеченные индек-
сом нуль, являются векторами, принадлежащими истин-
ной доминирующей последовательности;
19	— производится выделение векторов, принадлежа-
щих истинной доминирующей последовательности;
20	— если не все подсистемы были использованы при
составлении доминирующей последовательности, то
индекс 1 переходит к очередной подсистеме. Домини-
рующая последовательность, полученная ранее, записы-
вается над столбцами и программа повторяется с пунк-
та А;
21—когда для составления доминирующей последо-
вательности были использованы все подсистемы, выби-
рается вектор, который характеризуется максимальной
надежностью. По этому вектору таблицы и находятся
компоненты вектора п, представляющие оптимальный
состав резервированной системы;
22	— вектор п выводится на соответствующее печа-
тающее устройство.
6.	НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В данном параграфе описываются некоторые ре-
зультаты, полученные при решении задач различного
объема и различной сложности. Для численного реше-
ния была использована программа, описанная в преды-
461
дущем параграфе. Приводимое ниже обсуждение ре-
зультатов включено в связи с тем, что очень часто
бывает трудно предсказать заранее, является ли практи-
чески возможным решение какой-либо задачи, если пол-
ностью отсутствует опыт решения сходных задач. На-
пример, может оказаться, что основные параметры
задачи вполне соответствуют требованиям вычислитель-
ной программы, но практически получить решение не
удается ввиду того, что объем доминирующей последо-
вательности превышает объем памяти вычислительной
машины. Может также случиться, что решение потре-
бует чрезмерно большого машинного времени. Те ре-
зультаты, которые приведены в этом параграфе, дают
некоторое представление о практической возможности
решения задач, которые могут возникнуть в будущем.
Для систематического исследования составленной
программы было составлено несколько задач. В табл. 6
Таблица 6
Некоторые задачи и результаты их решения
Количест- во подсис- тем	Количест- во ограни- чений	Ограниче- ние на кол-во эле- ментов в каждой подсисте- ме	Допусти- мая пог- решность	Средняя длина домини- рующей последо- ватель- ности	Макси- мальная длина до- минирую- щей после- дователь- ности	Ошибка в вычислен- ном Р
10	3	6	0	62	113	0
10	3	6	io-7	35	62	0
10	3	6	10“’	21	47	0
10	3	6	10-®	9	19	0
10	3	6	10”*	2	3	17-10”*
20	2	5	0	198	341	0
20	2	5	io-7	174	155	0
20	2	5	10”®	27 '	48	63-10”’
20	2		10”’	15	21	10”’
20	3	5?	0	124	214	0
20	3	5	ю-7	98	150	0
20	3	5	10”®	64	112	0
20	3	5	ю-8	31	58	78-10“7
462
приведены исходные данные для ряда задач и характе-
ристики окончательных результатов. Решение еще одной
задачи, в которой рассматривалась система из 25 под-
систем, не было завершено, так как объем доминирую-
щей последовательности был столь большим, что потре-
бовал недопустимо большого времени вычисления.
Однако это не означает, что решения задач для систем,
состоящих более чем из 20 подсистем, практически
не удается получать. Единственным правильным спосо-
бом проверить, решается ли данная задача или нет,
заключается в попытке найти решение.
7.	ДРУГИЕ ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ МОЖНО
РЕШИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ДАННЫЙ МЕТОД
Развитый выше метод применим ко множеству за-
дач, отличных от задачи оптимального резервирования.
1. Запасные детали [133]
Требуется, чтобы система функционировала в тече-
ние интервала времени [0, /]. Если какая-нибудь деталь
отказывает, то она мгновенно заменяется на аналогич-
ную из числа запасных, если она имеется в запасе. Счи-
тается, что детали системы взаимно независимы и на-
личие каждой из них необходимо для нормального
функционирования всей системы в целом, т. е. нехватка
хотя бы одного типа запасных деталей приводит к пре-
кращению ее функционирования. Предполагается, что
запасными деталями система обеспечивается в начале
периода функционирования.
Пусть Р»(п) есть вероятность того, что за время
функционирования системы потребуется «i или менее
запасных деталей i-ro типа, 1=1, ..., k, т. е. в течение
интервала времени [0, /] произойдет не более п, отказов
деталей /-го типа. Тогда, если система обеспечена сле-
дующим составом запасных деталей n=(ni, ..., nft), то
вероятность бесперебойной работы системы в течение
интервала времени [0, 1] определяется как
k
Р(п)= П Pi irii).
/=1
463
Задача состоит в выборе такого вектора ft, имеющего
положительные компоненты, который максимизировал
бы функцию Р(п) при наличии линейных ограниче-
ний (1).
Заметим, что чаще всего распределение времени до
отказа деталей i-ro типа предполагается экспоненциаль-
ным, т. е. 1—е-***. В этом случае Pi(n,) имеет распре-
деление Пуассона
=	[1	+... +(^)Л7М-
2. Оптимальное количество запасных деталей
с учетом возможности восстановления
Как и выше, требуется, чтобы система функциони-
ровала в течение интервала времени [0, i]. Если какая-
нибудь деталь отказывает, то она заменяется на запас-
ную, если это возможно. Отказавшая деталь сразу же
начинает ремонтироваться. В системе непрерывно долж-
но функционировать Wt деталей i-ro типа, причем в за-
пасе имеется п» деталей того же i-ro типа, i=l, ..., k.
Каждая из деталей характеризуется экспоненциальным
распределением времени работы до отказа 1—е“•
в то время как распределение времени восстановления
произвольно со средним значением р,-, причем a?Aigi<l.
Все случайные величины времени безотказной работы и
времени восстановления взаимно независимы.
Рассматриваемая система считается отказавшей,
если в момент отказа какой-либо детали среди запас-
ных не найдется соответствующей замены. Иначе го-
воря, это случается, если происходит отказ одной из
функционирующих деталей i-ro типа в то время как
все П{ запасные детали этого же типа находятся на ре-
монте. Как может быть показано с учетом сделанных
предположений [192], стационарная вероятность Р(п)
того, что система будет находиться в состоянии готов-
ности (т. е. не будет простаивать из-за того, что отсут-
ствует деталь для замены в момент отказа) определяет-
ся как
k
Р(п)=Пл-(п<),
/=1
464
где
ni
л=о
rtj’ + l
(w/XfM)A Г VI («tf*iW)A 1-'
Л1 L2j Л1 J
/1=0
Как и ранее, задача состоит в выборе вектора п,
максимизирующего Р(п) при наличии ограничений (1).
В (192] приведено приближенное решение этой задачи
для случая, когда имеется одно ограничение.
Описанный выше алгоритм применим для решения
обеих только что описанных задач. Единственным из-
менением, которое нужно внести, является использова-
ние соответствующей функции Pi(ni).
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВПОЛНЕ ПОЗИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
В данном приложении мы подытожим некоторые
свойства вполне позитивных функций (ВПФ), полезных
для изучения .проблем, связанных со свойствами ВФИ-
и УФИ-распределений. Многие из наиболее полезных
следствий этих свойств проистекают из того факта, что
распределения с монотонными функциями интенсивно-
сти принадлежат к классу вполне позитивных функций.
Теория вполне позитивных функций нашла широкое
применение в математике, статистике, экономике и ме-
ханике [3, 66, 78, 89, 90, 92, 98, 99, 102] и, как мы на-
деемся, продемонстрирована в данной книге; вполне по-
зитивные функции второго порядка (в особенности рас-
пределения с монотонной функцией интенсивности) мо-
гут быть весьма продуктивно использованы в теории на-
дежности.
Функция /(х, у) двух переменных, определенных на
линейно упорядоченных множествах X и У, соответст-
венно называется вполне позитивной порядка k (ВПФ&),
если для всех
У1<У2<    <Ут (Xi £ X, Hi € У)
и всех
f(xt, yt) f(xt, Уг) ... f(xt, ут)
[(Xz, У1) f(Xsf У2) ••• f(X2> Ут)
f(Xmt У1) f(Xm* Уг) ••• f(Xm* Ут)
Обычно X есть интервал на действительной оси или
счетное множество дискретных величин на действитель-
ной оси, как, например, множество всех целых чисел или
множество неотрицательных целых чисел (это же отно-
сится и к У). В случае, когда X или У являются множесь
йом Целых чисел, мы можем Использовать термин «по-
следовательность» с большим основанием, чем термин
«функция».
Подобная концепция относится к реверсивной регу-
лярности знака. Функция f(x, у) реверсивно регулярна
порядка k, если для каждого Х1<хг< ••• <хт, yi<\
<У2< ... <Ут И
(__ |— 1)/2 j/Xj » Х2, ... , Хщ\Q
\У1> Уг...Ут )
Если ВПФй-функция есть плотность распределения
вероятностей одной переменной, например х, относитель-
но а конечной меры ц.(х) для каждого фиксированного
значения у и является выразимой как функция }(х—у)
разности х и у, то тогда функция f называется плот-
ностью Пойя порядка k (ПЩ). Аргумент меняется по
действительной оси. Если аргумент целочисленный, то
мы будем говорить о последовательности Пойя поряд-
ка k.
Многие структурные свойства вполне позитивных
функций могут быть получены на основании результа-
тов, приводимых в [130].
Лемма 1. Если
г (х, w) = jр (х, t) q (t, w) da (t)
и интеграл сходится абсолютно, то
rf xlt х2...хк\_ГГ Г (xt, хг, ...xk\y
\da(tl)da(ti)...da(tk).
Для случая, когда аргументы представлены в разно-
стях, доказательство может быть найдено в [148 и 78].
В частности, мы получаем из леммы 1 следующий полез-
ный результат.
Лемма 2. Если f(x, /) есть ВПФт и а») есть
ВПФП, то
h (х, w) = j f (х, t) g (t, да) da (t)
есть ВПФ^П(т, n) при условии, что o(t) есть регулярная
о-конечная мера.
Важной особенностью вполне позитивных функций
является свойство убывания вариации.
467
СВОЙСТВО УБЫВАНИЯ ВАРИАЦИИ
Предположим, что К(х, у) есть ВПФг-функция и
f(y) меняет знак* j^r—1 раз. Пусть
= у) f (у) dy. (у)
— абсолютно сходящийся интеграл, где ц— а-конечная
мера.
Тогда g(x) меняет знак самое большее j раз. Более
того, если g(x) действительно меняет знак / раз, то g(x)
должна иметь то же самое распределение знаков, что
и f(y), когда х и у пробегают соответственно свои зна-
чения слева направо.
Свойство уменьшения вариации в действительности
эквивалентно неравенству (1). Это свойство лежит
в основе многих приложений вполне позитивных функций
[148, 149, 93].
Многие свойства вполне позитивных функций, пред-
ставляющие особый интерес в теории надежности, раз-
виты в данной книге, например свойства распределений
с монотонной функцией интенсивности.
Изучим некоторые дополнительные свойства ППг-
функций, понадобившиеся для исследования математи-
ческих моделей проверок (§ 3 гл. 4)
Сначала докажем эквивалентность двух определений
ППг-функций, приведенных в § 4 гл. 2.
Теорема 1. Плотность f является ППа в определенном
выше смысле тогда и только тогда, когда для всех Д1
f(x-M)-f(x)
Лх)
убывает по х.
Доказательство. Условие (2) эквивалентно
условию, что для всех Д^О
F(x4-A)-F(x)
П*)	(3)
убывает по х и для всех Д>0
F(x)-F(x-A)
_________ f(x)
* Число перемен знака U(f) функции действительного перемен-
ного / равно sup (Д/(х<)], где СТ/(х<)] обозначает число перемен зна-
ка последовательности f(xi), f(x2), ..., f(xm) (нулевые значения
исключаются), причем х,- выбраны произвольно из области определе-
ния f и упорядочены таким образом, что х,<х2< ... <хт (т— про-
извольное целое число).
468
возрастает по х.
Сначала покажем, что из (3) и (4) следует то, что f
есть ППд.
Условие (4) влечет для х<«/
f(x-A) Г F(x)-F(x-A) 1	ГЛ«/)-^(«/-А)1
f(x) | f(x-A)	Цу) [	f(«/-A) J*
Использовав (3), получаем
f(x-A) f(y-A)
f(x) C f(y) ’
что и завершает доказательство.
Если f есть ППг для x<z/
f(x + t) f(y + t)
f(x) Ну)
•при />0. Отсюда следует
(Hi+o	Л,
J fM J Пу)
о	о
Ну)
так что
‘ f (x + A)-F(x) f (у + Д)-Р..(у)
f(x)
Более того, для х<у
f(x-t) f(y-t)
Н*) < f(y) ’
откуда следует
C dt< dt,
J /W J Ну)
о	о
что обеспечивает справедливость (4).
Важным свойством формы ППг является их унимо-
дальность.
Теорема 2. Если f(u) есть ППг, то f(u) унимодальна.
Чтобы избежать чисто технических тонкостей, пред-
положим, что f(y)>0 и f'(u) существует всюду. Путем
вычитания первого столбца из второго в определяющем
ППг неравенстве и перехода к пределу получаем
f(xi — y) — f'(xt — y) >0
f(xt — у) — f' (х2 — у)
для Xi<x2 и произвольного у. Если f'(«o)=O для неко-
торого «о, мы делаем заключение, что	для
u<Uq и	для и>и0. Таким образом, f(u) унимо-
дальна.
469
При построении математической моДелй Нр.оверок
в § 3 гл. 4 нам необходим следующий результат.
Теорема 3. Если f есть ПП2, х<у, г^1, Д^О, то
F (у) — F (у — r&) F(x) — F(x — b)
Г(У)	fix)
при x — rb~>m,
F(x + rL)-F(x) , F (у + b)—'F(y)'
Hx)	fly)
при y+r&t^m, где m есть мода f.
Доказательство. Мы докажем только первое
неравенство, поскольку доказательство второго анало-
гично. Поскольку f унимодальна по теореме 2, у—
и г2>1, то отсюда следует, что
гД|
J f(y-t)dt
J f(y-t)dt
О
Для х<У
f f(y-t)
J НУ)
О
Цу-ty
f(y)
f(x-t)
fix)
dt,
О
поскольку f(x—t)lf(x) возрастает по x для />0, как
видно из (4.4) гл. 2.
ЛИТЕРАТУРА*
1.	Aeronautical Radio, Inc., Reliability Research Dept, Washington,
D. C., 11958, A selection of electron tube reliability functions, Pub-
lication N U10.
2.	Agree Report, 1957, Advisory Group on Reliability of Electronic
Equipment, Reliability of Military Electronic Equipment, Office
of the Assistant Secretary of Defense (Research and Enginee-
ring).
3.	Arrow K. J., Karlins S., and H. Scarf, '1958, Studies in
the mathematical theory of inventory and production Stanford
University Press, Stanford, Calif.
4.	Barlow R. E., 1962, Repairman Problems, Studies in Applied
Probability and Management Science, Chap. -2, edited by Arrow,
Karlin, and Scarf, Stanford University Press, Stanford, Calif.
5.	Barlow R. E.,(1962, Applications of semi-Markov processes to
counter problems, Studies in Applied Probability and Manage-
ment Science, Chap 3, edited by Arrow, Karlin, and Scarf, Stan-
ford University Press, Stanford, Calif.
6.	Barlow R. E., and L. C. Hunter, 1960, System and reliabi-
lity, Technometrics, v. 2, N 1, p. 43—53.
7.	Barlow R. E., and L. C. Hunter, 1960, Mathematical models
for system reliability. The Sylvania Technologist, v. XIII, N 1, 2.
8.	Barlow R. E., and L. C. Hunter, 1960, Optimum preventive
maintenance policies, Operations Res., v. 8, № 1, p. 90—100.
♦	9. Barlow R. E., and L. C. Hunter, 19611, Reliability analysis
of a one-unit system, Operations Res., v. 9, № 2, p. 200—208.
♦	10. В a r 1 о w R. E., L. C. Hunter, and F. Proschan, 1963,
Optimum checking procedures, J. Soc. Indust. Appl. Math., v. 11,
№ 4, p. 1078—1095.
♦	11. Barlow R. E., L. C. Hunter, and F. Proschan, 1963, Op-
timum redundancy when components are subject to two kinds of
failure, J. Soc. Induct. Appl. Math., v. Ill, № 1, p. 64—73.
12.	Barlow R. E., and A. W. Marshall, 1963, Tables of bounds
for distributions with monotone hazard rate, Boeing Scientific
Research Laboratories DL-82-0249.
13.	Barlow R. E., and A. W. Marshall, 1964, Bounds for distri-
butions with monotone hazard rate, I and II, Ann. Math. Sta--
tist., v. 35, № 3, p. 1234—1274.
14.	Barlow R. E., A. W. Marshall, and F. Proschan, 1963,
Properties of probability distributions with monotone rate, Ann.
Math. Statist., v. 34, № 2, p. 875—389.
♦ Работы, переведенные на русский язык, отмечены звездочкой
и приводятся дополнительно под теми же номерами, после источни-
ков на английском языке. (Прим, ред.)
471
15.	Barlow R. E., and F. Proschan, 1962, Planned replacement,
Chap. 4, Studies of Applied Probability and Management Science,
edited by Arrow, Karlin, and Scarf, Stanford University Press,
Stanford, Calif.
16.	Barlow R. E., and F. Proschan, 1964, Comparison of repla-
cement policies, and renewal theory implications, Ann. Math.
Statist., v. 35, № 2, p. 577—589.
*17. Bellman R., and S. Dreyfus, 1958, Dynamic programming
and the reliability of multicomponent devices. Operations Res.,
v. 6, № 2, p. 200—206.
18.	Birnbaum Z. W., 1955, On a use of the Mann — Whitney sta-
tistic, Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathe-
matical Statistics and Probability. University of California Press,
Berkeley and Los Angeles, v. 1, p. ИЗ—17.
19.	Birnbaum Z. W., J. D. E s a r y, and S. C. Saunders, 1961,
Multicomponent systems and structures and their reliability,
Technometrics, v. 3, № 1, p. 55—77.
20.	Birnbaum Z. W., and S. C. Saunders, 1958, A statistical
model for life-length of materials, J. Amer. Statist. Assoc., v. 53,
№ 281, p. 151—160.
*21. Black G., and F. Proschan, 1959, On optimal redundancy,
Operations Res., v. 7, № 5, p. 581—588.
22.	Blackwell D., /1962, Discrete dynamic programming. Ann.
Math. Statist., v. 33, № 2, p. 719—726.
23.	В о u r g i n D. G., 11939, Positive determinants, Amer. Math.
Monthly, v. 46, p. 225—226.
24.	В r e n d e r D. M., 1959, The statistical dynamics of preventive
replacement, Wesccn Conv. Record, p. 23—36.
25.	Brender D. M., 1963, A survellance model for recurrent events,
IBM Watson Research Center report.
26.	Buehler R. J., 1957, Confidence intervals for the product of
two binominal parameters, J. Amer. Statist. Assoc., v. 52, p. 482—
493.
27.	Campbell N. R., /1941, The replacement of perishable members
of a continually operating system, J. Roy. Statist. Soc., v. 7,
p. 110—Q30.
28.	Carhart R. R., 1953, A survey of the current status of the
electronic reliability problem, The RAND Corporation, ASTIA Do-
cument AD 80637.
*29. Chung K. L., 1960, Markov chains with stationary transition
probabilities, Springer — Verlag, Berlin.
30. Clark С. E., and G. T. Williams, 4958, Distributions of the
members of an ordered sample, Ann. Math. Statist, v. 29, № 3,
p. 862—870.
♦31. Cox D. R., 1963, Renewal Theory, John Wiley and Sons, New
York.
32. Cox D. R., and W. L. Smith, 1954, On the superposition of
renewal processes, Biometrika, v. 41, p. 91—99.
♦33. Cox D. R., and W. L. Smith, 1961, Queues, Methuen Mono-
graphs, London.
♦34. Cramer H., 1946, Mathematical Methods of Statistics, Prince-
ton University Press, Princeton, N. J.
47?
35.	C reveling С. J., 4956, Increasing the reliability of electronic
equipment by the use of redundant circuits, Proc. IRE, v. 44,
p. 509—515.
36.	Daniels H. E., 1945, The statistical theory of the strength of
bundles of threads, Proc. Roy. Soc., London, v. 183, p. 405—435.
37.	D a n t z i g G. B., '1963, Linear Programming and Extensions,
Princeton University Press, Princeton, N. J.
38.	Davis D. J., 1952, An analysis of failure data, J. Amer. Sta-
tist. Assoc., v. 47, № 258, p. Г13—150.
39.	Derm an C., 1961, On minimax surveillance schedules, Naval
Research Logistics Quartely, v. 8, № 4, p. 4Г5—419.
40.	D e r m a n C., 1962, On sequential decisions and Markov chains,
Management Science, v. 9, № 1, p. 16—24.
41.	Derma n C., 1963, Stable sequential control rules and Markov
chains, J. Math. Analysis and Applications, v. 6, № 2, p. 257—265.
42.	D e r m a n C., 1963, Optimal replacement and maintenance under
Markovian deterioration with probability bounds of failure, Ma-
nagement Science, v. 9, № 3, p. 478—481.
43.	D e r m a n C., 1963, On optimal replacement rules when changes
of state are Markovian, Chap. 9, Mathematical Optimization Te-
chniques, edited by Richard Bellman, University of California
Press, Berkeley and Los Angeles, p. 201—210.
44.	De rm an C., and J. Sacks, 1960, Replacement of periodically
inspected equipment, Naval Research Logistics Quarterly, v. 7,
№ 4, p. 597—607.
45.	Dr enick R. F., 1960, Mathematical aspects of the reliability
problem, J. Soc. Indust. Appl. Math., v. 8, № 1, p. 425—1149.
46.	D renick R. F., 1960, The failure law of complex equipment, J.
Soc. Indust. Appl. Math., v. 8, № 4, p. 680—690.
47.	Duncan A. J., 1953, Quality Control and Industrial statistics,
Richard D. Irwin, Homewood, III.
48.	Epstein B., 1948, Application of the theory of extreme values
in fracture problems, J. Amer. Statist. Assoc, v. 43, p. 403—412.
49.	Epstein B., 4908, The exponential distribution and its role in
life-testing, Industrial Quality Control, v. 15, № 6, p. 2—7.
50.	Epstein B., and M. Sobel, 1953, Life testing, J. Statist. As-
soc., v. 48, № 263, p. 486—502.
*51. Esary J. D., and F. Proschan, 4962, The reliability of cohe-
rent systems, Redundancy Techniques for Computing Systems,
Spartan Books, Washington, D. C., p. 47—61.
52.	E s a г у J. D., and F. Proschan, 1963, Coherent structures of
non-identical components, Technometrics, v. 5, № 2, p. 191—209.
53.	Esary J. D., and F. Proschan, 4963, Relationship between
system failure rate and component failure rate, Tech no metrics,
v. 5, № 2, p. 183—189.
*54. Everett III, H., 1963, Generalized LaGrange multiplier method
for solving problems of optimum allocation, of resources, Opera-
tions Res., v. 14, p. 399—417.
55.	Fabens A. J., 1961, The queueing and inventory models by
semi-Markov processes, J. Roy. Statist. Soc., Series B., v. 23m,
№ 1, p. 143—127.
56.	Fan K., and G. G. Lorentz, 4954, An integral inequality,
Amer. Math. Mobthly, v. 61, p. 626—631.
31—15Q3	47?
57.	Feller W., 4941, On the integral equation of renewal theory,
Ann. Math. Statist., v. 12, p. 243—267.
58.	Feller W, 4949, Fluctuation theory of recurrent events. Trans.
Amer. Math. Soc., v. 67, p. 98—419.
*59. Feller W, 1957, An Introduction to Probability Theory and
Its Applications, v. 1, 2 nd ed., John Wiley and Sons, New York.
60.	Feller W., 1961, A simple proof for renewal theorems, Comm,
of Pure and Appl. Math, v. >14, p. 285—293.
61.	Fl eh in ger B. J., 4958, Reliability improvement through re-
dundancy at various system levels, IBM Journal of Research and
Development, v. 2, № 2, p. 148—Г58.
62.	Fl eh in ger B. J., 1962, A general model for the reliability
analysis of systems under various preventive maintenance poli-
cies, Ann. Math. Statist., v. 33, № 1, p. 137—456.
63.	Fl eh in ger B. J., 1962, A Markovian model for the analysis
of the effects of marginal testing on system reliability, Ann.
Math. Statist, v. 33, № 2, p. 754—766.
64.	Frechet M, 1950, Recherches Theoriques Moderne sur le Calcul
des Probabilities, 2nd ed, v. 1, 2, Gauthier — Villars, Paris.
65.	F r e u d e n t h a 1 A. M, 1960, Prediction of fatigue life, J. Appl.
Phys, v. 31, № 12, p. 2196—2198.
66.	Гантмахер Ф. P. и К'рейн M. Г. Осцилляци-онные матри-
цы, ядра и малые колебания механических систем. Изд. 2-е.
Гостехиздат, 1950.
67.	G е i s 1 е г М. A, and Н. W. Karr, 1956, The design of military
supply tables for spare parts, Operations Res, v. 4, № 4, p. 434—
442.
68.	G our ary M. H, 1956, An optimum allowance list model, Na-
val Resrarch Logistics Quarerly, v. 3, № 3, p. 177—191.
69.	G our ary M. H, 1958, A simple rule for the consolidation of
allowance lists, Naval Research Logistics Quarterly, v. 5, № 1,
p. 1—15.
*70. Gordon R, 4957, Optimum component redundancy for maxi-
mum system reliability, Operations Res, v. 5, № 2, p. 229—243.
71.	Green A. W, and R. C. Horne, 1961, Maintainability of
shipboard electronic systems, Arinc Research Corporation,
N 118—4—228, Washington, D. C.
72.	G u m b e 1 E. J, 4935, Les valeurs extremes des distributions sta-
tistiques, Annales de Г Institute Henri Poincare, v. 4, Fasc, 2,
p. 1115.
♦73. G u m b e 1 E. J, 1958, Statistics of Extremes, Columbia Univer-
sity Press, New York.
74. H a n n e J. R, 4962, Optimizing simple circuitry for reliability
and performance by failure mode, Applications and Industry,
American Institute for Electrical Engineers.
♦75. Hardy G. H, J. E. Littlewood, and G. Polya, 1952, Ine-
qualities, Cambridge University Press, New York.
76.	Harris T. E, 1952, First passage and recurrence distributions,
Trans. Amer. Math. Soc, v. 73, № 3, p. 471—486.
77.	Herd G. R, 1955, Failure rates, ARINC Monograph 2, Aero-
nautical Radio Inc, Washington, D. C.
♦78. Hirschmann I. I, and D. V. W i d d e r, 1955, The Convolu-
tion Transform, Princeton University Press, Princeton, N. Yi
474
79. Й о s f о r d J. Ё., I960, Measures of dependability, Operations
Res., v. 8, № 1, p. 53—64.
*80. Howard R. A., 1960, Dynamic Programming and Markov Pro
cesses, M. I. T. Press.
81.	Hunter L. C., and F. Proschan, 1961, Replacement when
constant failure rate precedes wearout, Naval Research Logistics
Quarterly, v. 8, № 2, p. 127—136.
82.	Jewell W. S., 1963, Markov-renewal programming, I and II,
Operations Res., v. 1<1, № 6, p. 938—971.
83.	Johnson N. L., 1959, A proof of Wald’s theorem on cumulative
sums, Ann. Math. Statist., v. 30, № 4, p. 1245—'12147.
84.	Jordan C., 1950, Calculus of Finite Differences, Chelsea Publi-
shing Co., New York.
85.	Jorgenson D., and R. R a d n e r, 1962, Optimal replacement
and inspection of stochastically failing equipment, Chap. 12, Stu-
dies in Applied Probability and Management Science, edited by
Arrow, Karlin, and Scarf, Stanford University Press, Stanford,
Calif.
86.	Kao J. H. К.» 1956, A new life-quality measure for electron tu-
bes, IRE Transactions on Reliability and Quality Control,
PGRQC-7.
87.	Kao J. H. K., 1958, Computer methods for estimating Weibull
parameters in reliability studies, IRE Transactions on Reliability
and Quality Control, PGRQC-13, p. 15—22.
88.	К a r 1 i n S., 1955, The structure of dynamic programming mo-
dels, Naval Research Logistics Quarterly, v. 2, № 4, p. 285—-294.
89.	К a r 1 i n S., 1956, Decision theory for Polya type distributions.
Case of Two Actions, I, Proceedings of the Third Berkeley Sum-
posium on Mathematical Statistics and Probability, University
of California Press, Berkeley and Loss Angeles, v. 1, p. 1115—'128.
90.	Karlin S., 1957, Polya-type distributions, II, Ann. Math. Sta-
tist., v. 28, № 2, p. 281—308.
91.	Karlin S., 1958, Steady state solutions, Chap. 14, Studies in
the Mathematical Theory of Inventor and Production, edited by
Arrow, Karlin, and Scarf, Stanford University Press, Stanford,
Calif., p. 223^269.
*92. Karlin S., 11959, Mathematical Methods and Theory in Carnes
Programming and Economic, Addison — Wesley Publishing Co.,
Cambridge, Mass.
93.	К a r 1 i n S., 1963, Total positivity and convexity preserving
transformations, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics,
vol. VII, Convexity. American Mathematical Society.
94.	К a r 1 i n S., 1964, Total positivity, absorption probabilities, and
application, Trans. Amer. Math. Soc., v. Ill, № 1, p. 33—-107.
95.	Karlin S. (in preparation), Total Positivity and Applications
to Probability and Statistics, Stanford University Press, Stan-
ford, Calif.
96.	К a r 1 i n S., and J. McGregor, J957, The classification of birth
and death processes, Trans. Amer. Math. Soc., v. 86, p. 366—400.
97.	Karlin S., and J. McGregor, 1958, Linear growth, birth and
death processes, J. Math, and Meeh., v. 7, № 4, p. 643—662.
98.	Karlin S., and J. McGregor, 1959, Coincidence properties
of birth and death processes, Pacific J. Math., v. 9, № 4,
p. 1109—4140.
31*
475
99.	К a г 1 i n S., and J. McGregor, 4959, Coincidence probabi-
lities, Pacific J. Math, v. 9, № 4, p. 1141—1164.
100.	Karlin S., and F. Proschan, 1960, Polya type distribution of
convolutions, Ann. Math. Statist., v. 31, № 3, p. 721—736.
101.	Karlin S., F. Proschan, and R. E. Barlow, 19611, Moment
inequalities of Polya frequency functions, Pacific J. Math, v. 11,
№ 3, p. 1023—1033.
102.	Karlin S., and H. Rubin, 1956, The theory of decision pro-
cedures for distribution with monotone likelihood ratio. Ann.
Math. Statist, v. 27, № 2, p. 272—299.
103.	К e m e n у J., and J. Snell, 1960, Finite Markov Chains, D.
Van Nostrand Co., Princeton, N. J.
104.	Kendall M. G., 1938, A new measure of rank correlation, Bio-
metrika, v. 30, p. 81—93.
*105. Kettelle J. D., Jr., 1962, Least-cost allocation of reliability
investment, Operations Res., v. 10, № 2, p. 249—265.
106.	Хинчин А. Я. Математическая теория стационарной очереди.
Математический сборник, 1932, 39, № 4.
107.	Хинчин А. Я. Математические методы теории массового
обслуживания. Труды математического института им. В. А. Стек-
лова, т. 49, изд. АН СССР, 1955.
108.	Klein М., 1962, Inspection — maintenance — replacement sche-
dules under Markovian deterioration, Management Science, v. 9,
№ 1, p. 25—32.
109.	Khun H. W., and A. W. Tucker, (1951, Nonlinear programming.
Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathemati-
cal Statistics and Probability, University of California Press,
Berkeley and Los Angeles, p. 481—492.
Г10. Lieblein J., 1953, On the exact evalution of the variances
and covariances of order statistics in samples from the extreme
value distribution, Ann. Math. Statist., v. 24, № 2, p. 282—287.
LU. Lieblein J. and M. Zelen, 1956, Statistical investigation of
the fatigue life of deep-groove ball bearings, J. Res., Nat. Bureau
Stand., v. 57, p. 273—316.
112. Lotka A. J., >1939, A contribution to the theory of self renewing
aggregates with special reference to industrial replacement, Ann.
Math. Statist., v. 10, p. 1—«25.
1'13. Madansky A., 1958, Uses of tolerance limits in missile eva-
luation, Proceedings of Statistical Techniques in Missile Evalua-
tion Symposium, Virginia Polytechnic Institute, Aug., 4—8.
114.	Mann H. B., 1945, Nonparametric tests against trend, Econo-
metrica, v. 13, p. 245—259.
115.	Manne A. S., 1960, Linear programming and sequential deci-
sions, Management Science, v. 6, № 3, p. 259—267.
*116. Mine H., 1959, Reliability of physical system, Transactions of
the 4959 International Symposium on Circuit and Information
Theory.
117.	Molina E. C., 1942, Poisson’s Exponential Limit, D. Van Nost-
rand Co., Princeton, N. J.
118.	Mood A. M., 1950, Introduction to the Theory of Statistics,
McGraw-Hill Book Co., New York.
476
119.	Moore Ё. E., and С. E. Shannon, 1956, Reliable circuits
using less reliable relays, J. of the Franklin Institute, v. 262,
Pt. I, p. 191—208, and v. 262, Pt. II, p. 281—297.
120.	Morrison D. F., and H. A. David, 1960, The life distribu-
tion and reliability of a system with spare components, Ann.
Math. Statist., v. 31, № 4, p. 1084-^1094.
121.	Morse P. M., 1958, Queues, Inventories, and Maintenance,
Chapter II, John Wiley and Sons, New York.
*1212. Moskowitz F., and J. B. McLean, 1956, Some reliability
aspects of system design, IRE Transactions on Reliability and
Quality, PGRQC-8, p. 7—35.
123.	National Bureau of Standards, 1950, Tables of the Binomial Pro-
bability Distribution Applied Mathematics Series 6.
124.	О cock о в Г. А. Одна предельная теорема для потоков одно-
родных событий. «Теория вероятностей и ее •применеагия», 1956,
т. 1, вып. 2.
1(25. Palm С., 1943, Intensitatsschwankungen im Fernsprechverkehr,
Ericsson Technics, № 44, S. 3—189.
1'26. Palm C., 1947, Arbetskraftens Fordelning vid betjaning av auto-
matskiner, Industritidningen Norden, 75.
127.	P a r z e n E., 1962, Stochastic Processes, Holden — Day, San-
Francisco, Calif.
128.	Pearson K., 1932, On the mean character and variance of a
ranked individual, and on the mean and variance of the inter-
vals between ranked individuals, Biometrika, v. 24, p. 203—279.
129.	Pearson К.» 1934, Tables of the Incomplete Gamma Function,
Cambridge University Press, New York.
*130. Polya G., and G. Szego, 1925, Aufgaben and Lehrsatze aus
der Analysis, Bd. 1. Springer — Verlag, Berlin.
131.	Product Engineering, 11960, A Manual of Reliability, McGraw-Hill
Pub. Co., New York.
132.	Proschan F., 1960, Polya Type Distributions in Renewal
Theory, with an Application to an Inventory Problem, Prentice-
Hall, Englewood, N. J.
133.	Proschan F., I960, Optimal system supply, Naval Research
Logistics Quarterly, v. 7, № 4, p. 609—646.
♦134. P г о s c h a n F., 4963, Theoretical explanation of observed dec-
reasing failure rate, Technometrics, v. 5, № 3, p. 375—383.
♦135. Proschan F., and T. A. Bray, 1963, Optimum redundancy
under multiple constraints, Boeing Scientific Research Laborato-
ries Document DI-82-0253.
136.	Proschan F., and R. Pyke. Tests for increasing failure rate,
Boeing Scientific Research Laboratories Document, DI-82-0422.
137.	Pyke R., 1961, Markov renewal processes: Definitions and preli-
minary properties, Ann. Math. Statist., v. 32, № 4, p. 1231—1242.
138.	Pyke R., 1961, Markov renewal processes with finitely many
states, Ann. Math. Statist., v. 32, № 4, p. 1243—1259.
139.	Radio-Electronics-Television Manufacturers Association, 1955,
Electronic Applications Reliability Review, v. 3, № 1, May, p. 18.
140.	Radner R., 1959, Limit distributions of failure for series-paral-
lel systems, Cowles Foundation Paper 139.
477
Ml. Rad ner ft., and D. W. Jorgenson, 1&63, Opportunistic rep-
lacement of a single part in the presence of several monitored
parts, Management Science, v. 10, № 1, p. 70—84.
142. Renyi A., 1953, On the theory of order statistics, Acta Math.
Acad. Science Huhgar, v. 4, p. 191—231.
Г43. R о e 1 о f f s R., 1962, Minimax surveillance schedules, Technical
Report 16, Statistical Engineering Group, Columbia University,
New York.
144.	Rosenblatt J. R., 1963, Confidence limits for the reliability
of complex systems, Statistical Theory of Reliability, edited by
M. Zelen, University of Wisconsin Press, Madison, Wis., p. 1115—
148.
145.	Rustagi J. S., 1957, On minimizing and maximizing a certain
integral with statistical applications, Ann. Math. Statist., v. 28,
p. 309—328.
146.	Savage I. R., >1966, Cycling, Naval Research Logistics Quar-
terly, v. 3, № 3, p. 163—1175.
147,	Saunders S. C., 1960. On classes of S-shaped functions,
Boeing Scientific Research Laboratories Mathematical, Note 216.
Г48. Schoenberg I. J., 11951, On Polya frequency functions I, The
totally positive functions and their Laplace transforms, Journal
d’Analyse Mathematique, Jerusalem, v. 1, p. 331—374.
149.	Schoenberg I. J., 1953, On smoothing operations and their
generating functions, Bull. Amer. Math. Soc., v. 59, № 3, p. 199—
230.
150.	С е<в а сть я н св Б. А. Предельная теорема для марковских
процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами.
Теория вероятностей и ее применение II, № 1, 1957.
151.	Smith W. L., 1954, Asymptotic theorems. Proc. Roy. Soc. Edin-
burgh, Sect A, v. 64, Pt. 1 (№ 2), p. 9—48.
152.	Smith W. L., 1955, Regenerative stochastic processes, Proc.
Roy. Soc., London, Ser. A., v. 232, p. 6—31.
*153. Smith W. L., 1958, Renewal theory and its ramifications, J.
Roy. Statist. Soc., Ser. B., v. 20, № 2, p. 243—302.
154.	Sobel M., and J. A. Tischendorf, 1959, Acceptance samp-
ling with new life test objectives. Proceedings Fifth National
Symposium on Reliability and Quality Control, IRE, p. 108—‘118.
155.	Steck G. P., »1957, Upper confidence limits for the failure pro-
bability of complex networks, Sandia Corporation Research Re-
port, SC-4133 (TR), Albuquerque, New Mexico.
156.	Stef fensen J. F., 1950, Some Recent Researches in the Theory
of Statistics and Actuarial Science, Cambridge University Press,
New York.
157.	Takacs L., 1951, Occurrence and coincidence phenomena in
case of happenings with arbitrary distribution law of duration,
Acta. Math. Acad. Sci. Hungar, p. 275—298.
158.	Takacs L., 1957, On certain sojourn time problems in the theo-
ry of stochastic processes, Acta Math. Acad. Sci. Hungar.
159.	Takacs L., 1957, On a stochastic process concerning some
waiting time problems, «Теория вероятностей и ее применение»,
т. 2, стр. 92—105.
160.	Takacs L., 1958, On a combined waiting time and loss prob-
lem concerning telephone traffic, Ann. Univ. Scient. Budapest,
Eotvos, Sect., Math. I, p. 63—82.
478
161.	Takacs L., 1959, On a sojourn time problem in the theory of
stochastic processes, Trans. Amer. Math. Soc., v. 93, p. 531—540.
162.	Takacs L., 1962, Introduction to the Theory of Queues, Oxford
University Press, New York.
163.	Tate R. F., 1959, Unbiased estimation: Functions of location
and scale parameters, Ann. Math. Statist, v. 30, № 2, p. 341—
366.
*»Г64. T r u e 1 о v eT A. J., 1961, Strategic reliability and preventive
maintenance, Operations Res., v. 9, № 1, p.- 22—29.
*165. Von Neumann J., 1956, Probabilistic logics, Automata Stu-
dies, edited by С. E. Shannon and J. McCarthy, Princeton Uni-
versity Press, Princeton, N. Y.
166.	Wei bull W., 1939, A statistical theory of the strength of
materials. Ing. Vetenskaps Akad. Handl, № 161.
167.	Weibull W., 1951, A statistical distribution function of wide
applicability, J. Appl. Meeh. 18, p. 293—297.
'168. Weiss G., 1956, On the theory of replacement of machinery
with a random failure time,«Naval Research Logistics Quarterly,
v. 3, № 4, p. 279—293.
169.	Weiss G., 1956, The reliability of a redundant system which
operates repetitively, NAVORD 4348, Naval Ordnance Labora-
tory, White Oak, Maryland.
170.	Weiss G., 1956, On some economic factors influencing a reliabi-
lity program, NAVORD 4256, Naval Ordnance Laboratory, White
Oak, Maryland.
171.	Weiss G., 1956, A note on the coincidence of some functions,
Quart. Appl. Math., v. 14, № 1, p. 103—(107.
*172. Welker E. L., 1959, Relationship between equipment reliability,
preventive maintenance policy, and operating costs, ARINC Mo-
nograph 7, Aeronautical Radio Inc., Washington, D. C.
173.	Welker E. L., and R. C. Horne, Jr., Concepts associated with
system effectiveness, ARINC Monograph № 9, Aeronautical Ra-
dio Inc., Washington, D. C.
174.	Z a h 1 S., 1963, An allocation problem with applications to ope-
rations research and statistics, Operations Res., v. 11, p. 426—
441.
175.	Zelen M., and M. C. Dannemiller, 1961, The robustness of
life testing procedures derived from the exponential distribution,
Technometrics, v. 3, № 1, p. 29—49.
176.	Ayer, M., H. D. Brunk, G. M. Ewing, W. T. Reid, and
E. Silverman, 1955. An empirical distribution function for
sampling with incomplete information. Ann. Math. Statist., 26,
p. 041—647.
177.	Barlow R. E., and A. W. M a r s h a 11, 1964, Bounds on den-
sities and hazard rates. Boeing Scientific Research Laboratories
Document DL82-0338; Operation Research Center report ORC
64-9 (RR), University of California, Berkeley.
178.	Berge C., 1963, Topological Spaces, Macmillan, New York.
179.	Birnbaum Z. W., Esary J. D., and A. W. Marshal, 1966.
Stochastic characherization of wear-out for components and sys-
tems. Boeing Scientific Research Laboratories Document
DI-82-0460.
47?
180.	Bresenham J. E. 1964, Reliability growth models. Technical
Report № 74, Department of Statistics, Stanford University.
181.	Camp В. H., 1922, A new generalization of Tchebyscheff’s sta-
tistical inequality. Bull. Amer. Math. Soc., v. 28, 427—32.
182.	Chebyshev P. L., 1874, Sur les valeurs des limites integrals.
J. Math. Pures et Appl., (2) 19, 157—60.
183.	Corcoran W. J., H. Weingarten, and P. W. Zehna,
1964, Estimating reliability after corrective action. Management
Science, v. 10, 786—795.
184.	Fisher R. A., 1958, Statistical Methods for Research Workers,
13th ed., Oliver and Boyd.
185.	Frechet M., 1950, Generalities sur probabilites. Elements alea-
toires (2nd ed.) (Borel Senes, Traite du calcul des probabilites
et de ses applications, Div. 1, Pt. Ill, vol. 1. Gauthier-Villars,
Paris.
186.	Gauss C. F., 1821, Theoria combinations observationum. Werk
(11880), 4, 10—il’l (Goettingen).
187.	Godwin H. J., '1964, Inequalities on Distribution Functions.
Hafner Pub. Co., New York.
188.	Gupta S. S., 1962, Life test sampling plans for the normal and
lognormal distributions. Technometrics, 4, 151—75.
189.	Gupta S. S., and Groll P. A., 1961, Gamma distribution in
acceptance sampling based on life tests. J. Amer. Statist. Assoc.,
v. 56, p. 942—70.
190.	Hoeffding W., 1955, The extrema of the expected value of
a function of independent random variables. Ann. Math. Statist.,
v. 26, p. 268—275.
’191. Karlin S., and Shapley L. S., 1953, Geometry of moment
spaces. Memoir № 12 of the Amer. Math. Soc.
192.	Karush W., 1957, A Queueing model for an inventory problem,
Operations Res., v. 5, p. 693—703.
193.	Kendall M. G., and A. Stuart, 4961, The Advanced Theory
of Statistics, vol. 2, Hafner Publishing Co., New York.
194.	Lloyd D. R., and M. L i p о w, 1962, Reliability: Management,
Methods, and Mathematics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J.
195.	Mallows C. L., 1956, Generatizations of Tchebycheff’s inequa-
lities. J. Roy. Statist.. Soc., Ser. В. B. 28, p. 139—^176.
196.	Mallows C. L., 1963, A generalization of the Chebyshev ine-
qualities. Proc. London Math. Soc., 3, 13, p. 385—412.
197.	Marshall A. W., and Proschan F., 1965, Maximum like-
lihood estimation for distribution with monotone failure rate,
Ann. Match. Statist., v. 36, p. 69—77.
198.	M e i d e 11 B., 1922, Sur une probleme due calcul des probabi-
lites et les statistiques mathematiques, C. R. Acad. Sei, 175,
806—8.
199.	Mulholland H. P., and C. A. Rogers, 1958, Representa-
tion theorems for distribution functions, Proc. London Math,
Soc, v. 8, № 30.
200.	Palm C., 4957, Research on telephone traffic by full availabi-
lity groups. Tele., I, The Royal Board of Swedish Telecommuni-
cations, Stockholm.
480
201.	Pearson К., 1934, Tables of the incomplete betafunction. The
Proprietors of Biometrika, Cambridge.
202.	Roy den H. L., 1953, Bounds on a distribution function when
its first n moments are given, Ann. Math. Stat., v. 24, p. 361—76.
203.	Savage I. P., 1961, Probability inequalities of the Tchebycheff
type, J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 65, 21!1—22.
2tf4. S e 1 b e r g H. L., 1940, Zwei ungleichungen zur Erganzung des
Tchebycheffschen Lemmas. Skand. Aktuarietidskr. 23, 121—125.
205.	Madansky, and M. P. P e i s а к о f f, .I960, Thor and Atlas
in — flight reliability growth (U). The RAND Corporation,
RM-2598, (Confidential).
206.	Weiss H. К.» 1956, Estimation of reliability growth in a com-
plex system with a Poisson-type failure. Operations Research, 4,
532—545.
207.	Wolman W., 1963, Problems in system reliability analysis, Sta-
tistical Theory of Reliability, edited by M. Zelen, University of
Wisconsin Press, Madison, Wise.
РУССКИЕ ПЕРЕВОДЫ
9.	Барлоу P., Хантер Л. Оптимальный порядок проведения
профилактических работ. В сб. переводов «Оптимальные задачи
надежности», под ред. И. А. У ш а к о в а. Изд-во стандартов, 1968.
10.	Барлоу Р., Хантер Л., Пр о шан Ф. Оптимальные планы
•проверки. В об. переводов «Оптимальные задачи надежности»,
под ред. И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
11.	Барлоу Р., Хантер Л., Прошан Ф. Оптимальная избы-
точность при двух типах отказов элементов. В сб. переводов
«Оптимальные задачи надежности», под ред. И. А. Ушакова.
Изд-во стандартов, 1968.
17. Беллман Р., Дрейфус С. Динамическое программирование
и надежность многоэлементных устройств. В сб. переводов
«Оптимальные задачи надежности», под ред. И. А. Ушакова.
Изд-во стандартов, 1968.
21. Блэк Г., Прош а нФ. Оптимальное резервирование. В сб.
переводов «Оптимальные задачи надежности», под ред.
И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
29. Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова. Пер. с англ.,
под ред. С. X. Сираждинова. Изд-во «Мир», 1964.
31.	153. Кокс Д. Р., Смит В. Л. Теория восстановления. Пер.
с англ., под ред. Ю. К. Беляева. Изд-во «Советское радио»,
1967.
33.	Кокс Д. Р., Смит У. Л. Теория очередей. Пер. с англ., под
ред. А. Д. С о л о в ь е в а. Изд-во «Мир», 1966.
34.	Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ.,
под ред. А. Н. Колмогорова. Изд-во иностранной литера-
туры, 1948.
51. Э зари Дж., Пр ошан Ф. Надежность связанных систем.
В сб. переводов «Методы введения избыточности для вычисли-
тельных систем». Пер. с англ., под ред. В. С. Пугачева.
Изд-во «Советское радио», 1966.
481
54. Аверетт X. Решение задач ойтиМальйОго распределения Ре-
сурсов с помощью обобщенного метода 'множителей Лагранжа.
В сб. переводов «Оптимальные задачи надежности», под ред.
И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
59. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
ния. Пер. с англ., т. 1, под ред. Е. Б. Дынкина (1£>64), т. 2,
под ред. Ю. В. Прохорова (1967). Изд-во «Мир», 1964.
70. Гордон Р. Оптимальное резервирование с целью достижения
максимальной надежности. В сб. переводов «Оптимальные за-
дачи надежности», под ред. И. А. Ушакова. Изд-во стандар-
тов, 1968.
73. Г у м б е л ь Э. Статистика экстремальных значений. Пер.
с англ., под ред. Д. М. Чибисова. Изд-во «Мир», 1965.
75. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г. Неравен-
ства. Пер. с англ. В. И. Левина. Изд-во иностранной литера-
туры, 1948.
78. X и р шм ан И. И., У и д д е р Д. В. Преобразования типа сверт-
ки. Пер. с англ., под ред. А. О. Гельфонда. Изд-во ино-
странной литературы, 1958.
80. X о в а р д Р. Динамическое программирование и марковские
процессы. Пер. с англ., под ред. Н. П. Б у с л е н к о. Изд-во
«Советское радио», 1964.
92. Карли н С. Математические методы в теории игр, програм-
мировании и экономике. Пер. с англ., под ред. Н. Н. Воробье-
fi а. Изд-во «Мир», 1964.
105. Кеттель Дж. Увеличение надежности при минимальных за-
тратах. В сб. переводов «Оптимальные задачи надежности»,
под ред. И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
116. Майн X. Надежность реальных систем. В сб. переводов «Опти-
мальные задачи надежности», под ред. И. А. Ушакова.
Изд-во стандартов, 1968.
122. Московиц Ф., Маклин Дж. Некоторые вопросы надежно-
сти при проектировании систем. В сб. переводов «Оптимальные
задачи надежности», под ред. И. А. У ш а к о в а. Изд-во стандар-
тов, 1968.
130. Полна Г. и Сеге Г. Задачи и теоремы их анализа, ч. 1 и 2
Гостехнздат, 1956.
134. Прошан Ф. Теоретическое объяснение наблюдаемого убыва-
ния интенсивности отказов. (См. дополнение к этой книге.)
135. Прошан Ф., Брей Т. Оптимальное резервирование при на-
личии нескольких ограничений. (См. дополнение к этой книге.)
153. См. [31].
164. Трулав А. Эксплуатационная надежность и профилактиче-
ские работы. В сб. переводов. «Оптимальные задачи надежно-
сти», под ред. И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
165. Нейман Дж. Вероятностная логика и синтез надежных орга-
низмов из ненадежных компонент. В сб. статей «Автоматы»,
пер. с англ., под ред. А. А. Ляпунова. Изд-во иностранной
литературы, 1956.
172. Уэлкер Е. Соотношение между надежностью оборудования,
режимом проведения профилактики и расходами на функцио-
нирование. В сб. переводов «Оптимальные задачи надежности»,
под ред. И. А. Ушакова. Изд-во стандартов, 1968.
482
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Барлоу Р. Е. (Barlow >R. Е.) 22,
28, 41, 72, 75, 76, 115, 124,
128, 130, 144, 145, 147, 160,
175, 193, 203, 232, 267, 278,
279, 331, 334, 346, 347, 351—
353, 301—363, 367, 374, 381,
391, 402—404, 405, 407
Беллман Р. (Bellman R.) 231
Бирнбаум 3. У. (Birnbaum
Z. W.) 15, 17—18, 289, 291,
298
Блэк Дж. (Black G.) 18
Брей Т. 443
Вайсс Дж. (Weiss G.) 17, 74,
96, 115, 136, 335
Вейбулл В. (Weibull W.) 14, 16,
33
Гаусс К. Ф. (Gaus С. F.) 373,
• 434, 435
Гнеденко Б. В. 7, 14
Гордон Р. (Gordon R.) 232
Гумбель Э. (Gumbel Е. J.) 14,
25, 32, 33, 40
Гупта С. С. (Gupta S. S.) 18,
438
Даниэле X. Е. 15, 468
Даннемиллер М. 16
Дункан А. Дж. 15
Дэвис Д. Дж. (Davis D. J.) 16,
25, 32
Зелен М. 16
Изари Дж. 18
Кай фан 346, 348
Карлин С. (Karlin S.) 44, 94,
131, 203, 205, 206, 209, 220,
320, 346, 405
Кеттель Дж. 266
Козлов Б. А. 20
Кокс Д. Р. (Сох D. R.) 76
Колмогоров А. Н. 83
Крамер Г. (Cramer Н.) 231,278
Кэмпбелл Н. Р. (Campbell
N. R.) 12, 74
Лоренц Дж. Дж. 346, 348
Лотка А. Дж. 14, 74
Мадански A. (Madansky А.) 16,
335
Майн X. (Mine Н.) 211
Маршалл А. В. (Marshoil A. W.)
96, 145, 362, 402, 405
Московии Ф. (Moskowitz F.) 231
Мур Э. (Moore Е. Е.) 17, 18,
232, 266, 281, 283—287, 300,
307, 311
Нейман Дж. фон (Neumann J.
von) 17, 281
Ососков Г. А. 13
Пальм К. 13
Полна Г. 477
Прохоров Ю. В. 83
Прошан Ф. (Proschen F.) 5, 6,
18, 251, 266, 321, 328, 329,
442, 463
Розенблатт Дж. Р. (Rosen-
blatt J. R.) 12, 17
Саундерс С. К. 15, 17, 18
Севастьянов Б. А. 213
Смит У. (Smith W. L.) 17, 76,
93, 115, 198, 358
Собол М. (Sobel М.) 16—18,
438
Соловьев А. Д. 5
Стек Дж. П. (Steck G. Р.) 17
Такач Л. (Takacs L.) 75, 93,
115, 121, 203, 211, 212, 215
Тейт Р. (Tate R. F.) 18
Титендорф Дж. 17
Трулов А. 477
Ушаков И. А. 5, 6, 10, 20
Уэлкер 477
483
Феллер В. (Feller W.) 31, 202
Фишер Р. A. (Fisher R. А.) 327
Харди Г. Г. 296
Хинчин А. Я. 1, 3, 137
Хиршман И. И. 477
Ховард Р. (Howard R. А.) 222
Чебышев П. Л. 296, 434, 435
Чжун Кай-лай (Chung К. L.)
218
Шайер Е. (Scheuer Е.) 334
Шеннон К. (Shennon К.) 17, 18,
281, 284—287
Шеффер 281
Эверетт X. (Everett Н.) И, 231
Эпштейн Б. 14, 15—18, 31
Эрланг А. К. 13
Arrow К. Т. 251
Auer М. 337, 338
Berge С. 369
Blackwell D. 222
Brender D. М. 171, 174
Bresenham Т. Е. 335
Camp В. Н. 434
Carhart R. R. 15
Clark С. Е. 280
Coch О. R. 39, 84, 115, 203
Corcoran W. Т. 335
Dantzig G. В. 226
Derman С. 130, 160, 217, 220
222, 223, 226, 229
Dremck R. F. 39, 103, 216
Esary J. D. 282, 289, 296, 298,
299, 312, 476
Fabens A. J. 81, 198
Fan K. 348
Flehinger B. J. 74, 103, 114, 216
Frechet M. 188, 434
Freudebthal A. M. 27
Geisler M. A. 231
Godwin H. T. 435
Green A. W. 27
Hanne J. R. 232
Hardy G. H. 296
Harris T. E. 209
Herd G. R. 74
Hoeffding W. 363
Hosford T. E. 20, 21
Hunter L. C. 20, 101
Jewell W. S. 222
Johnson N. L. 83
Jorgenson O. 161, 474, 175
Kao J. H. K. 16, 33
Karush W. 464, 465
Kemeny J. 181, 184, 185, 188,
189, 191
Kendall M. J. 323
Kettelle T. D. 231, 244, 443, 448,
450
Lieblein J. 33, 279
Lloyd D. R. 334
Mallows C. L. 364
Meidell B. 434
Molina E. C. 253
Mood A. M. 307
Morse P. M. 129
Moun H. B. 325, 327, 332, 344
Mullholland H. P. 346
Murrison D. F. 255
Parzen E. 89, 188
Pearson K. 436
Pyke R. 192, 193
Radher R. 161, 174, 475
Rougen H. L. 435
Rustagi T. S. 346, 363
Savage I. R. 160, 435
Schoenberg I. T. 405
Selberg H. V. 363
Stef fensen T. F. 25
Welker E. L. 103
Wolman 335
Zahl S. 231
ПРЕДМЕТНЫЙ
Вероятностные модели сложных си-
стем 8, 177
Время безотказной работы 24—72
Готовность 18
Границы для 1—F(0 при ВФИ
распределении 408
----при УФИ распределении 428
Доверительные оценки 438
Доминирующая последовательность
444, 452
----, вычислительная программа
457
----для двух ограничивающих
факторов 248, 255
— — для единственного ограничи-
вающего фактора 246
---- , построение 444
Зависимость интенсивности отказов
от времени 74
— надежности от стоимости обслу-
живания 75
— надежность — стоимость для до-
минирующей последовательности
253
— среднего времени простоя от
среднего времени ремонта 202
Замена оборудования 17
— части в устройстве из несколь-
ких контролирующих частей 174
— элементов 73, 216
Замены групповые 103, 142
----предупредительные 73, 103
— , минимаксная стратегия 136
— по наработке 73, 103, 160
— периодические с минимальным
ремонтом при отказе 144
— последовательные на интервале
конечной длины 147
—• в системах с резервированием 98
— , существование оптимального
правила 139
Интенсивность отказов 8, 25, 41, 67,
282, 317
----возрастающая 13
м — для гамма-распределения 30
----дискретного распределения 35
----для нормального распределе-
ния 31
----, определение 41
—	— для распределения Вейбулла
30
----убывающая 13, 321
Интервальная - готовность (Interval
availability, нестационарный
коэффициент готовности усред-
ненный) 18, 21
—	надежность (Interval reliability,
нестационарный коэффициент на-
дежности) 22
Кворум-функция 285
Кеттеля алгоритм 247, 256
Ковариация 296
УКАЗАТЕЛЬ
Количественные характеристики
правил предупредительной заме-
ны элементов 73
Кравчука полиномы 209
Критерий Колмогорова — Смирнова
323-324
— максимума правдоподобия 336
— Манна 326
Маргинальные проверки 179, 215
Марковские процессы 216, 222
цепи 180
----с дискретным параметром 180
----поглощающие 184
----стационарные 181
---- эргодические 188
Математическое ожидание остаточ-
ного времени работы до отка-
за 84
Матрица переходных вероятностей
184
Мгновенная готовность (pointwise
availability, нестационарный ко-
эффициент готовности) 20
Медиана 52, 97
Метод динамического программиро-
вания 231
Методы построения доминирующих
последовательностей 237
Минимаксная стратегия для бес-
конечного отрезка времени 136
Минимаксное правило проведения
проверок 170
Минимальное сечение 291
Минимальный путь 291
Модели замены, ремонта и провер-
ки оборудования 8
— нагруженного резервирования 243
— резервирования 8, 243, 281
Монотонные структуры 282
---- , S-образные функции надеж-
ности 298
Мостиковая схема 292
Мура — Шеннона неравенство 284,
300—302, 307
Нагруженное резервирование 234
Надежность (Reliability, вероят-
ность безотказной работы) 19,
435
Ненагруженное резервирование 235,
236
Оптимальное резервирование 231,
236
“ — для двух типов отказов 267
Оптимальные правила замен на
бесконечном интервале времени
128, 130
------на конечном интервале вре-
мени 139
----обслуживания при марковском
старении 222
----предупредительных замен и
проверок 127
485
----профилактических замен 141
Оптимальные правила эксплуата-
ции 8
Основное уравнение восстановления
79
Оценки Гаусса (обобщенные) 434
— Чебышева 435, 439
Параллельно-последовательные со-
единения 267
Переходная матрица 182, 186
Плотности Пойя 2-го порядка
(ПП2) 43
Поглощающее состояние 183
Поглощающие марковские цепи 184
Полумарковские процессы 179, 197
----, распределение времени пер-
вого попадания 193
Последовательно-параллельное со-
единение 267, 284
Построение надежной сети из не-
надежных реле 287
Правила инспекционных проверок
160
------, минимизация средних за-
трат 161, 171
— оптимальных замен 179
— оптимальных проверок 180
Правило замены через случайное
время 111
Предельная интервальная готов-
ность (Limiting interval availabi-
lity, коэффициент готовности) 21
Проверки маргинальные 217
Процесс восстановления 76
— диффузионный 209
— марковский 216, 222
Предупредительные замены по на-
работке 94, 129
Процессы альтернирующие 115
— гибели и размножения 203
Пуассоновский поток 26, 32
— процесс 81
Распределение асимптотическое эк-
стремальных значений 32, 33
— биномиальное 34
- Вейбулла 18, 24, 27, 29, 32, 33,
146, 279
— ВФИ (УФИ) 14, 28, 40—42
— гамма 24, 29, 255
геометрическое 34
—	логарифмически нормальное 24,
27, 29, 34
— модифицированное экстремально-
го значения 29, 33
—	нормальное 27
— Паскаля 34
— Пуассона 11, 35, 77, 251, 464
— усеченное нормальное 29
— УФИ 14
— экспоненциальное 11, 15, 18, 26,
29, 31, 35, 46, 102, 115, 211, 323
— экстремальных значений 40
Резервирование при ограничиваю-
щих факторах 232, 251, 443
— оптимальное 231, 236, 267
Состояние транзитивное 184
Среднее время безотказной работы
273, 350
---между заменами 353, 358, 359
---до отказа с учетом замен 95
--- пребывания элемента в ра-
бочем состоянии 123
Стационарные марковские цепи 181
Стационарный коэффициент на-
дежности 113
Структурная функция 289
Структуры типа «£ из п» 282, 307
Теорема Блекуэлла 81, 87, 92
—	восстановления элементарная 87,
105
---фундаментальная 92
—	Мура и Шеннона 284
—	о плотности восстановления 93
—	Смита 198
Убывающая функция интенсивности
384
Убывающие плотности 372, 393
Унимодальная плотность 435
Экстремальные свойства 363
Элемент существенный 299
Эргодические марковские цепи 188
Эргодический класс 183
Эренфеста модель 209
Эффективность 18
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию............................ 5
Предисловие..............................................  8
Глава 1. Введение.........................................13
1. Исторический обзор математической теории на-
дежности ...............................  13
2. Определение	надежности........................18
Глава 2. Распределение времени безотказной работы .	24
1.	Введение....................................24
2.	Типичные распределения времени безотказной
работы.........................................28
3.	Экспоненциальное распределение для описания
надежности	сложного оборудования	...	35
4.	Монотонная	функция интенсивности	...	40
5.	Сохранение	монотонности функции	интенсив-
ности 	58
6.	Дополнительные неравенства.................64
7.	Общий характер интенсивности отказов .	.	67
Глава 3. Характеристики правил обслуживания .	.	73
1.	Введение...................................73
2.	Элементы теории восстановления ....	76
3.	Предупредительные замены, основанные на на-
работке .......................................94
4.	Сравнение 'правил предупредительных замен по
наработке и групповых замен .....	103
5.	Правило замены через случайное время .	.	111
6.	Ремонт единственного элемента.............114
Глава 4. Оптимальные правила предупредительных замен и
проверок............................................127
1.	Введение...................................127
2.	Правила предупредительных замен .	.	.	128
3.	Правила инспекционных проверок ....	160
Глава 5. Вероятностные модели сложных систем .	.	177
1.	Введение...................................177
2.	Марковские цепи и	полумарковские процессы 180
3.	Проблемы ремонта..........................202
4.	Маргинальные проверки.....................215
5.	Оптимальные правила обслуживания при мар-
ковском старении.............................	222
487
Глава 6. Оптимальное резервирование..................
1.	Введение.................................231
2.	Оптимальное резервирование при наличии огра-
ничивающих факторов..........................232
3.	Применение модели нагруженного резервиро-
вания  .....................................243
4.	Применение модели ненагруженного резервиро-
вания  .....................................249
5.	Полная доминирующая последовательность .	256
6.	Оптимальное резервирование при двух типах
отказов................................267
Глава 7. Количественные	соотношения	для	сложных систем	281
1.	Введение............................281
2.	Построение	надежных	релейных	цепей	.	.	.	283
3.	Монотонные структуры.....................289
4.	S-образные функции надежности для монотон-
ных структур................................298
5.	Структура типа d из л»...................307
6.	Соотношение между интенсивностью отказов
системы и интенсивностями отказов элементов 312
Дополнение.............................................321
Ф. П р о ш а н. Теоретическое объяснение наблюдаемого убы-
вания интенсивности отказов (1)	321
Р. Барлоу, Э. Ш о й е р. Повышение надежности в процессе
проведения программы испытания (2)	334
Р. Барлоу. Оценки интегралов с применением к теории на-
дежности (3).....................................345
Р. Барлоу, А. Маршалл. Оценки для ограниченных се-
мейств распределений (4).........................362
Р. Барлоу, А. Маршалл. Таблицы верхних и нижних оце-
нок для распределений с монотонной функцией ин-
тенсивности (5).......................................405
Ф. П р о ш а н, Т. Брей. Оптимальное резервирование при на-
личии нескольких ограничений (6)	..... 443
Приложение.............................................466
Литература.............................................471
Именной указатель .	.	.	.	,	.	.	.	.	.	483
Предметный указатель.	.	.	•	.	•	,	,	.	485
1 р. 74 к.
/ \