МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
A.M. Дыхне, В.П. Крайнов
БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ
ПОДСИСТЕМЫ
В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
Московского физико-технического института
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению "Прикладные математика и физика "
МОСКВА 2002

УДК 530.145
Д91
Рецензенты:
Кафедра теоретической ядерной физики
Московского инженерно-физического института (государственного университета)
Доктор физико-математических наук, профессор A.M. Попов
Дыхне A.M., Крайнов В.П.
Д91 Быстрые и медленные подсистемы в атомной
физике: Учеб. пособие. — М.: МФТИ, 2002. — 215 с.
ISBN 5-7417-0195-7
Посвящено аналитическим методам описания различных процессов
взаимодействия атомарных систем на основе концепции быстрых и
медленных подсистем, сильно взаимодействующих друг с другом. Большое
внимание уделяется физической интерпретации теории. Пособие
представляет собой часть общего курса квантовой механики, читаемого в
Московском физико-техническом институте.
Для студентов и аспирантов, специализирующихся в области атомной
и молекулярной физики, квантовой оптики, физики плазмы и смежных
с ними областей теоретической физики, а также для всех читателей,
желающих углубить свои познания в этой области.
УДК 530.145
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2002
ISBN 5-7417-0195-7 © Дыхне A.M., Крайнов В.П., 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
Глава 1. ПРИМЕРЫ БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ
ПОДСИСТЕМ 10
1.1. Быстрые и медленные подсистемы
в стационарных задачах квантовой механики 10
1.2. Колебательные уровни молекулы 12
1.3. Возбуждение атомного ядра при пролете
быстрой заряженной частицы 14
1.4. Перезарядка при рассеянии медленного протона
на атоме водорода 18
Глава 2. ТИПЫ РЕЗКИХ ИЗМЕНЕНИЙ
ГАМИЛЬТОНИАНА КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ. . . 24
2.1. Внезапные возмущения 24
2.2. Ионизация К-оболочки при бета-распаде 26
2.3. Ионизация атомов при ядерных реакциях 28
Глава 3. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ.... 30
3.1. Переходы Ландау-Зинера 30
3.2. Переходы Ландау-Дыхне 34
3.3. Туннельная ионизация атома водорода
постоянным электрическим полем 38
3.4. Туннельная ионизация атомов
в низкочастотном электромагнитном поле 42
3.5. Связанно-связанные адиабатические переходы ... 45
Глава 4. РЕЗОНАНСНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
ПРИ МЕДЛЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 50
4.1. Объединение адиабатического и резонансного
приближений 50
4.2. Резонансное многофотонное возбуждение
атома водорода 58
3

4.3. Двухуровневая система в сильном
низкочастотном нерезонансном поле 63
4.4. Радиационные столкновения атомов 70
4.5. Радиационные столкновения атомов
в немонохроматическом поле 76
Глава 5. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗАДАЧИ 90
5.1. Системы в сильном магнитном поле 90
5.2. Электронный захват в присутствии сильного
магнитного поля 97
5.3. Изменение энергий релятивистских уровней
при столкновении тяжелых атомов 102
5.4. Релятивистская туннельная ионизация 116
Глава 6. ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ 126
6.1. Поглощение быстрым электроном
электромагнитной энергии при рассеянии
на кулоновском центре 126
6.2. Поглощение медленным электроном энергии
низкочастотного электромагнитного поля
при рассеянии на кулоновском центре 132
6.2.1. Общие замечания 132
6.2.2. Классический подход 134
6.2.3. Квантовый подход. Полные вероятности ... 139
6.2.4. Квантовый подход. Угловые распределения . 144
6.2.5. Асимптотическое представление
для гипергеометрической функции 151
6.3. Поглощение медленным электроном энергии
высокочастотного электромагнитного поля
при рассеянии на кулоновском центре 154

Глава 7. ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С УЧАСТИЕМ БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ 167
7.1. Фотоотрыв медленных электронов от
отрицательных атомарных ионов 167
7.2. Вылет быстрых и медленных электронов
из атома водорода под действием
электромагнитного поля 177
7.2.1. Фотоионизация основного состояния
атома водорода 177
7.2.2. Фотоионизация ридберговских
состояний атомов 180
7.3. Тормозное излучение при рассеянии быстрых
и медленных электронов на атомах и атомарных
ионах 190
7.3.1. Сечение тормозного излучения 190
7.3.2. Тормозное излучение быстрого электрона
на кулоновском потенциале 194
7.3.3. Тормозное излучение при рассеянии
медленного электрона на нейтральном
атоме 196
7.3.4. Тормозное излучение при рассеянии
медленного электрона на атомарном
ионе 200
7.4. Фоторекомбинация медленных электронов 208
7.4.1. Фоторекомбинация в высоковозбужденное
состояние атома 208
7.4.2. Фоторекомбинация в основное состояние
атома водорода 210
Заключение 213
Список литературы 215

ВВЕДЕНИЕ
В сложных квантово-механических системах,
характеризуемых большим числом параметров, редко бывает, что все
физические величины имеют одинаковый порядок величины.
Даже различие в три-четыре раза приводит к тому, что можно
выделить квазинезависимые подсистемы. Малости одних
физических величин относительно других могут носить
различный характер. Наиболее простая ситуация имеет место в
теории возмущений, когда влияние одной подсистемы на другую
мало относительно взаимодействий внутри каждой из
подсистем. Как стационарная теория возмущений, так и
нестационарная теория возмущений являются хорошо
разработанными разделами квантовой механики. Это учебное пособие
посвящено другим квантово-механическим системам, в
которых возможно деление на быстрые и медленные подсистемы
с сильным взаимодействием между ними. При этом обе
подсистемы могут быть квантовыми, либо одна из них -
классическая, а другая - квантовая.
Быстрыми называют подсистемы, в которых изменения
параметров происходят за относительно короткие
промежутки времени. Медленная подсистема, как правило,
подстраивается под текущее состояние быстрой подсистемы. В соот-

ветствии с этим положением волновую функцию всей
системы представляют в виде разложения по полному набору
волновых функций быстрой подсистемы (адиабатическому
базису), причем переменные величины медленной подсистемы
рассматриваются как фиксированные постоянные параметры.
В тех случаях, когда расстояние между уровнями быстрой
подсистемы близко к расстоянию между уровнями медленной
подсистемы, происходит существенный обмен энергией
между этими подсистемами. В остальных случаях такие
подсистемы можно считать не взаимодействующими друг с другом.
Движение тяжелой подсистемы (как быстрой, так и
медленной) обычно можно считать классическим, или
квазиклассическим, вводя соответствующие траектории движения,
зависящие от времени.
Адиабатическое приближение квантовой механики
является частным случаем указанного выше разделения
подсистем. В этом приближении рассматривают переходы в
подсистеме под действием сильного, но медленного внешнего
возмущения. Если ввести характерную частоту переходов в этой
невозмущенной подсистеме со и характерное время действия
медленного возмущения t, то условие адиабатического
приближения имеет вид
сот » 1.
Адиабатически медленное сильное возмущение приводит к
малым (экспоненциально, или степенным образом)
вероятностям квантово-механических переходов между состояниями.
Это относится как к переходам между состояниями
дискретного спектра, так и между состояниями непрерывного
спектра. В последнем случае роль частоты со играет величина
А?'/Л. Здесь А^" - энергия перехода в непрерывном спектре.
Экспоненциальная малость имеет место, если возмущение
как аналитическая функция не имеет особенностей на
вещественной оси времени.

Зачастую в задачах требуется сшивка решений в области
неадиабатической связи с решениями в области
адиабатической эволюции. Тогда вероятность перехода может быть
большой.
Противоположным адиабатическому приближению
является приближение внезапных сильных возмущений, при
котором выполняется условие
сот « 1.
В этом случае вероятность перехода также может быть
большой. Если же вероятность мала, то применима обычная
теория возмущений. Встряска типа включения соответствует
тому, что гамильтониан подсистемы за короткое время х
изменяется на величину порядка самого гамильтониана. Если
обозначить изменение гамильтониана А//, то в приведенном
выше условии под частотой следует иметь в виду со = АЯ/А.
Если же система подвергается сильному короткому толчку,
после чего возмущение выключается, то под ДЯ следует
понимать величину такого толчка.
Типичным в задачах быстрых и медленных подсистем
является факторизация вероятности перехода на части,
зависящие одна - от параметров быстрой, а другая - от параметров
медленной подсистемы.
Общая цель подобных подходов заключается в том, чтобы
получить по возможности аналитическое решение
поставленной задачи. Конечно, современные компьютеры позволяют
численно решать уравнение Шредингера, например, для
простых молекул, не используя адиабатическое приближение
Борна-Оппенгеймера, основанное на малости массы
электрона по сравнению с массой атомного ядра. Но такие решения
возможны лишь для небольшого набора конкретных значений
параметров, входящих в данную задачу. Поэтому
аналитические подходы сохраняют свою привлекательность, несмотря
на то, что они являются приближенными.
Большинство задач, рассмотренных в этой книге,
основаны на работах авторов, выполненных в различное время. Это

и определило извечную проблему выбора материала. Поэтому
мы не хотели сводить книгу к справочному изданию, где есть
все квантово-механические задачи, содержащие описание
быстрых и медленных подсистем, и не делали подробного
библиографического указателя по таким задачам. Тем более, что
достаточно трудно приводить простые описания решения
современных квантово-механических задач, если вы не
являетесь их автором.
Таким образом, основная цель при написании данной
книги заключалась в изложении методики решения таких задач,
чтобы читатель мог использовать ее для решения своих задач.
При этом мы старались не пропускать промежуточных
математических выкладок, чтобы книга была бы доступна для
студентов старших курсов физических специальностей самых
различных профилей.

ГЛАВА 1
ПРИМЕРЫ БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ
КВАНТОВЫХ ПОДСИСТЕМ
1.1. Быстрые и медленные подсистемы
в стационарных задачах квантовой механики
Для задач квантовой механики типична ситуация, когда
имеются две квантовые подсистемы, одна из которых
характеризуется большими частотами по сравнению с другой. При этом
взаимодействие между подсистемами является сильным, так
что обычная теория возмущений неприменима. Этот раздел
посвящен общему подходу для решения подобных задач. Мы
ограничимся здесь стационарными задачами квантовой
механики.
Представим гамильтониан всей системы в виде
H{x,y) = H^{x.y) + H2iyy
Здесь X характеризует совокупность координат быстрой
подсистемы, а J - медленной. Н\{х, у) - гамильтониан быстрой
подсистемы, включающий ее взаимодействие с медленной
подсистемой, Hiiy) - гамильтониан медленной подсистемы.
Введем систему собственных функций гамильтониана
Н\{^у у)^ рассматривая у как параметр:
Н\{х, у)(рп(х, у) = еп(у) (рп{х, у).
10

Решение общего стационарного уравнения Шредингера
находим в виде разложения по собственным функциям
быстрой подсистемы:
п
Подставляя это разложение в предыдущее уравнение,
получим
п п
Умножая слева это уравнение на (p*„(jc,y) и интегрируя по jc,
получим
п'
При этом мы предположили также, что гамильтониан Н\
коммутирует с у.
Определим коммутатор
Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде
п
Коммутатор [Нг, (рп] характеризует производную d(p,/dy, т.е.
скорость изменения волновой функции быстрой подсистемы
при медленном изменении параметра у. Эта величина
является малым параметром при применении метода последова-
11

тельных приближений, пропорциональным отношению
частот медленной и быстрой подсистемы.
В нулевом приближении из последнего уравнения
получим
[H2{y) + e,.iy)K\y) = E,„ul!l\y). A)
Мы видим, что энергия быстрой подсистемы играет роль
потенциальной энергии в эффективном гамильтониане
медленной подсистемы, а волновая функция всей системы
представляется в виде суперпозиции произведений волновых функций
быстрой и медленной подсистем.
1.2. Колебательные уровни молекулы
В качестве простейшего примера применения результатов
предыдущего раздела рассмотрим квантовое описание
колебаний двухатомной молекулы. Гамильтониан можно
представить в виде (в атомной системе единиц)
Н = HAx,R) Д„.
' 2М '
Здесь М - приведенная масса ядер двухатомной молекулы,
Д^^ - оператор Лапласа по относительной координате /?,
определяющей расстояние между ядрами, а гамильтониан Н\
описывает электронную подсистему молекулы. Электроны
являются быстрой подсистемой, а тяжелые ядра - медленной.
Соответственно параметр малости есть отношение массы
электрона к приведенной массе ядер М.
Уравнение A) для данного случая приобретает вид
[-т^А« +?Am',AR) = E,„u,AR)- B)
2Л/
12

Здесь ?„(/?) - энергии электронных уровней, зависящие от
расстояния между ядрами R как от параметра, Unk - волновые
функции ядерного движения, а Епк - энергии уровней всей
системы.
Ядра молекулы колеблются около некоторого
равновесного положения /? = /?о с малой амплитудой. Поэтому для
энергий электронных уровней можно приближенно написать
разложение по этой амплитуде:
?,(/?) = ?,(/?o)+^?jR-Ro)^- C)
Здесь обозначено
si =
d'e.
dR'
/? = /?,-
Таким образом, уравнение B) представляет собой
стационарное уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора.
Следовательно, колебательные уровни двухатомной
молекулы имеют вид
E„,=e„{R,) + {k + l/2)co„, D)
где частота классического осциллятора определяется как
со^ =.
2М
Значение целого колебательного квантового числа к меняется
от О до бесконечности. Энергии колебательных уровней
молекулы малы по сравнению с энергиями электронных
состояний, так как приведенная масса ядер Л/ » 1. Однако указан-
13

ное приближение нарушается при больших значениях
колебательного квантового числа.
Из C) можно получить и оценку амплитуды колебаний
SR = R - Rq. Так как согласно C) и D) в атомных единицах
5R^ - (On, то
SR-M'^\
Эта величина мала по сравнению с Rq.
1.3. Возбуждение атомного ядра при пролете быстрой
заряженной частицы
Рассмотрим задачу о возбуждении атомного ядра при
пролете мимо него быстрой заряженной (бесструктурной)
частицы. В этом случае, в отличие от предыдущей задачи,
быстрая подсистема имеет сплошной спектр собственных
значений. Мы предполагаем, что время пролета частицы мало
по сравнению с обратной частотой перехода атомного ядра из
основного состояния в некоторое возбужденное состояние.
Гамильтониан быстрой подсистемы Н\ складывается из
оператора кинетической энергии этой частицы и потенциала
ее кулоновского взаимодействия с нуклонами ядра
,, ^^ 1 ZZ' ^dr
/ I r-r. I г г
Здесь Z - заряд пролетающей заряженной частицы, индекс /
нумерует нуклоны атомного ядра, г, - координаты этих
нуклонов, г - координата пролетающей частицы (в системе
центра инерции), Z' - заряд атомного ядра, и, наконец, d - его
дипольный момент. Прицельный параметр соударения
предполагается большим по сравнению с размерами ядра, что
обеспечивает справедливость указанного дипольного
приближения для потенциала взаимодействия.
14

в этом же приближении потенциал V можно представить
снова в виде кулоновского потенциала, но со сдвинутым
аргументом:
Ir-d/Z'l
в задаче рассеяния на кулоновском центре
асимптотический вид кулоновской волновой функции состоит из
падающей плоской волны и расходящейся сферической волны, т.е.
f (в)
(p^ (г) = ехр(фг) + ехр(фг). A)
Здесь р - импульс налетающей заряженной частицы на
бесконечности (для относительного движения),/^(б) - амплитуда
кулоновского рассеяния.
Следовательно, волновые функции быстрой подсистемы
представляют собой кулоновские волновые функции задачи
рассеяния со сдвинутым аргументом:
(p^(r,d) = (p^(r-d/Z')exp(/pd/Z'). B)
Последний фактор в этом выражении введен для того, чтобы
волновая функция на бесконечности содержала падающую
плоскую волну в том виде, как она содержится в A).
Волновая функция B) может быть упрощена с учетом
неравенства d/Z' - R « г (здесь R - размер атомного ядра) и
соответствующего неравенства
lr-d/Z'l«r-dr/(ZV);
получаем
f^(в)
ср (г, d) = ехр(фг) + c\p(ipr + /qd / Z'). C)
15

Здесь мы определили вектор, характеризующий изменение
импульса налетающей частицы при столкновении с атомным
ядром (без существенного изменения ее энергии, так как
налетающая частица предполагается быстрой):
q = p- —г, q = 2ps'm^(e/2).
г
Волновая функция всей системы имеет вид
4'(r,R,) = (p^(r,d)wo(R,). D)
Здесь Wo - волновая функция атомного ядра в основном
состоянии, R/ - координаты нуклонов атомного ядра.
Разложим эту волновую функцию по возбужденным
собственным состояниям атомного ядра. Для этого вместо A)
для волновой функции всей системы из атомного ядра и
пролетающей кулоновской частицы имеем
Ч'(г,К,) = ехр(фгI/о(К,) + -^^2^^1Л(вК(К/)- E)
г п
Здесь Wo, Un - волновые функции атомного ядра в основном и
п-м возбужденном состояниях, соответственно, fn -
амплитуда рассеяния (которую предстоит найти) с возбуждением
атомного ядра в п-е ядерное квантовое состояние. Мы
предполагаем также, что энергия налетающей частицы велика по
сравнению с энергиями ядерных переходов, так что
рассеянная волна содержит тот же импульс, что и падающая.
Приравнивая правые части D) и E) друг другу и учитывая
C), мы находим амплитуду рассеяния/;,:
fЛв) = f^(в){u^\txp(iqd/Z]u,У

Дифференциальное сечение рассеяния определяется
соотношением
f'/""!;'' |(-..|ехр(,ча/2Ч„,)|^ <6)
all Ар sin {в 12)
Здесь М - приведенная масса сталкивающихся частиц.
В случае qd « Z\ т.е. qR « 1 (это неравенство
выполняется, например, при рассеянии на малые углы или при
умеренных скоростях налетающей частицы, что не противоречит
предположению о быстроте ее движения), экспоненту в F)
можно разложить в ряд и учесть только первый неисчезаю-
щий член, определяющий дипольные переходы атомного
ядра. Интегрирование по углу между векторами q и d дает
фактор 1/3 в сечении. Из F) получаем изотропное по углам
дифференциальное сечение рассеяния с дипольным
возбуждением атомного ядра:
da {MZf ./ II V .
dQ. Ър^ \ Ч I о/
Кулоновская сингулярность исчезает и в высших порядках
теории возмущений, как это видно из F), но изотропия
рассеяния исчезает.
Отметим также условие нормировки для сечений
рассеяния с возбуждением, вытекающее из F):
ii/„(^)i'=i/^(^)i^-
//=0
17

1.4. Перезарядка при рассеянии медленного протона
на атоме водорода
Рассмотрим процесс рассеяния протона на атоме водорода
в условиях, когда скорость налетающего протона V мала по
сравнению со скоростью электрона в атоме водорода. В этом
случае протон может подхватить электрон с собой
(перезарядка). Наша задача - определить вероятность этого
процесса. В данном случае атом водорода является быстрой
(дискретной) квантовой подсистемой, а налетающий протон -
медленной (непрерывной). В этом смысле ситуация
противоположна рассмотренной в предыдущей задаче.
Определим координату R как расстояние между
протонами, а координату электрона г будем отсчитывать от
середины этого расстояния. Тогда полный гамильтониан всей
системы из двух протонов и электрона (в системе центра
инерции протонов) запишем в виде
Я(г,К) = —А, + Ао.
2 lr-R/21 lr + R/21 R М
Здесь М - масса протона. Как и выше, мы используем
атомную систему единиц.
Будем считать для определенности, что сначала электрон
находился около протона с координатой R/2, т.е. его волновая
функция (для основного состояния атома водорода) имела
вид
ф = (р(г-К/2), <р(г) = л:"'^^ехр(-г).
Полный гамильтониан симметричен к перестановке
протонов. Поэтому можно ввести симметричные и
антисимметричные функции (р ¦*", <р" для электрона как быстрой подсистемы.
На больших расстояниях от протонов эти функции имеют
простой асимптотический вид:
18

1
<p-(r,R) = -y-[(p(r-R/2)±<p(r + R/2)]. A)
В соответствии с общей теорией быстрых и медленных
подсистем волновая функция всей системы представляется в
виде суперпозиции произведений волновых функций быстрой и
медленной подсистем:
Ч^(г, R) = C>^w^(R) + C~(p~u'(R). B)
Здесь С^ и С~- коэффициенты разложения, а симметричные
и антисимметричные протонные волновые функции задачи
рассеяния имеют следующий асимптотический вид при
большом расстоянии между протонами (Р - импульс
относительного движения протонов):
M-(R) = exp(;PR) + ^^—^ехрО'Р/?). C)
R
Здесь определены амплитуды f^wf~ рассеяния,
соответствующие симметричной и антисимметричной протонным
волновым функциям.
Полная волновая функция, соответствующая
поставленной задаче, имеет асимптотический вид:
Ч'Сг, R) = (р(г - R / 2) exp(/PR) +
+ [(p(r-R/2)/,(g) + (p(r-fR/2)/,@)]^^P^'^^\ ^^^
R
Величина f\ есть амплитуда того, что электрон останется у
своего протона, а /2 - амплитуда того, что электрон перейдет
к другому протону, т.е. амплитуда перезарядки.
19

Волновые функции B) и D) должны совпадать друг с
другом. С учетом соотношений A) и C) получим, что
С^ = С-= 1/V2
/i=r(/'+/')' /2=Т(/'-/")-
E)
Для определения амплитуд / "^ и /" мы должны решить
стационарное уравнение Шредингера для медленной
подсистемы:
м
u-(R) = E~u-{R),
Эти волновые функции имеют асимптотический вид C).
Энергия электрона ?~(R) зависит от расстояния R между
протонами как от параметра. Она определяется из решения
электронной части задачи:
._д + _
2 lr-R/21 lr + R/21 R
ср- =e-(R)(p-
Рассмотрим сначала значения прицельного параметра
рассеяния порядка боровского радиуса. Тогда амплитуды/"^ и
/ ~ содержат сильно осциллирующий фазовый множитель.
Следовательно, в соответствии с E) вероятности рассеяния с
перезарядкой и без перезарядки равны друг другу, т.е. они
равны Vi,
Более интересен случай больших прицельных параметров
рассеяния по сравнению с боровским радиусом. При R » 1
симметричная и антисимметричная энергии электрона в ионе
атома водорода близки друг к другу. Их разность экспонен-
20

циально мала, определяясь туннельным барьером между
протонами. Она определяется, используя квазиклассическое
приближение для прохождения туннельного барьера. Результат
имеет известный вид
4/?
е" -€' =—ехр(-/?). F)
е
Здесь ^ = 2.71... - основание натуральной экспоненты. В
выражении C) заменим импульс квазиклассическим импульсом,
учитывающим электронные энергии по теории возмущений.
Например,
PR^jP^dR^i ^jP^-\-2Me^(R)dR^PR'^je\R)dt.
Следовательно, разность симметричной и антисимметричной
амплитуд рассеяния имеет вид
f' -Г =f^[txp(i\e'dt)-txp(i\?-dt)l
Здесь/^ - кулоновская амплитуда рассеяния. Следовательно,
для процесса перезарядки получим
1/2^=1/^1' sin'
-j(?^ -e-)dt
2
G)
Здесь интегрирование идет по траектории налетающего
протона. Мы считаем эту траекторию прямолинейной при
больших прицельных параметрах р рассеяния. Следовательно,
уравнение траектории имеет вид
21

Здесь V « 1 - скорость налетающего протона на
бесконечности. Это соотношение позволяет заменить интегрирование
по времени в G) на интегрирование по координате /?:
RdR = V'^tdt = VyJR^ -p^dt.
Подставляя F) в G), получим для интеграла в G)
следующее выражение:
4 ^ R^ t\p(-R)dR k4i v2
При вычислении этого интеграла была произведена замена
переменной R = z^ + р и использовано условие р » 1.
Дифференциальное сечение перезарядки можно выразить
на основе G) и (8) через прицельный параметр рассеяния:
do = Inpdp sin^
П^2 v2 / ч
—— р ехр(-р)
еУ
(9)
Полное сечение перезарядки получается интегрированием
этого выражения по всем прицельным параметрам. Ввиду
условия V « 1 это интегрирование выполняется следующим
образом. В интервале переменной интегрирования О < р < ро,
где pQ =ln(l/V), синус быстро осциллирует (кроме самых
малых значений р, несущественных для вычисления
интеграла), так что его квадрат можно заменить на среднее значение,
равное Vi, Получаем (с логарифмической точностью):
ст=-Ро =-1п^—, Coci. A0)
2 2 V
22

Таким образом, полное сечение перезарядки при рассеянии
медленного протона на атоме водорода значительно больше
геометрического сечения.
При численном интегрировании (9) получим выражение,
которое с хорошей точностью аппроксимируется
зависимостью а = 2.21n^B5/V). Эта зависимость уточняет
аналитическое полуколичественное выражение (9).
23

ГЛАВА2
ТИПЫ РЕЗКИХ ИЗМЕНЕНИЙ
ГАМИЛЬТОНИАНА
КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
2Л. Внезапные возмущения
Изучим случай, когда малым параметром является время
действия возмущения, но само возмущение не мало. Можно
рассмотреть два типа таких возмущений: 1) когда
гамильтониан системы резко изменяется в какой-то момент времени от
одного стационарного выражения до другого; 2) когда
сильное возмущение действует в течение короткого времени.
Общий критерий применимости внезапной теории возмущений
состоит в выполнении условия со^^т « 1. Здесь сОпо - частота
перехода в квантовой системе, а т - время действия
возмущения. Как и ранее, мы используем атомную систему единиц.
Сначала мы обратимся к первому типу возмущений.
Пусть в момент времени / = О гамильтониан системы
мгновенно изменился от Н\ до Нг. Введем систему собственных
функций второго гамильтониана (р,, (г). Пусть при / < О
система находилась в некотором собственном состоянии гамиль-
24

тониана Н\ (р^\т). При мгновенном изменении
гамильтониана это состояние не успевает измениться. Однако базис
собственных состояний существенно изменяется. Поэтому
если разложить исходное собственное состояние по новому
базису, то коэффициенты разложения представляют собой
амплитуды перехода в новые состояния. Таким образом,
вероятность перехода в п-е квантовое состояние дается простым
выражением:
И^„=1(<Р^ l-Pi")!'- A)
Сумма всех таких вероятностей равна единице, как и должно
быть.
Во втором типе возмущений исходная волновая функция
(Pq{v) при воздействии сильного короткого возмущения V
приобретает фазовый множитель
ехр(-/|У(г,ОЛ)(Ро(г).
При этом величина Ух > 1 для сильного короткого
возмущения. Вероятность перехода дается соотношением
W^ = I ((р„ I exp(-/jV(r,OA) I (Ро) 1^ . B)
Опять сумма всех таких вероятностей равна единице, как и
должно быть.
Если имеет место сильное короткое изменение
гамильтониана, но после его окончания гамильтониан переходит не в
исходный, в новый гамильтониан, то простое обобщение A)
и B) приводит к вероятности перехода в виде
^п = I i^? I exp(-/JV(r,0^0 I ср'о') I' . C)
Выражение A) следует из C) при условии Vr« 1.
25

2.2. Ионизация К-оболочки атома при бета-распаде
Рассмотрим процесс ионизации электрона с К-оболочки
атома, происходящего при бета-распаде атомного ядра этого
атома. Заряд атомного ядра меняется при этом с Z на Z + 1.
Ультрарелятивистский электрон вылетает из атомного ядра
со скоростью, близкой к скорости света. Следовательно,
изменение гамильтониана системы является быстрым
процессом по сравнению с переходом атомного электрона из К-
оболочки атома в непрерывный спектр (если, конечно, этот
электрон не становится также ультрарелятивистским).
Водородоподобная волновая функция исходного
электрона на К-оболочке имеет вид
(p;;^ = j—exp(-zr). A)
Конечное состояние непрерывного спектра для ионизуемого
атомного электрона есть также s-состояние. Будем
предполагать, что его энергия велика по сравнению с атомной
энергией Z^/2 (но мала по сравнению с энергией бета-электрона).
Тогда атомный электрон в конечном состоянии можно
считать свободным, и его волновая функция непрерывного
спектра представляет собой нулевую гармонику плоской волны,
т.е.
(р1'' =^J^sm(kr). B)
г \7ik
Здесь - волновое число фотоэлектрона, а Е » Z -
его кинетическая энергия. Эта волновая функция
нормирована на 5-функцию от энергии.
Из характера вывода видно, что выражение для
вероятности одинаково как для вылета электрона, так и позитрона при ,
26

бета-распаде. Вероятности различались бы лишь для
небольших энергий вылетающего атомного электрона, сравнимых с
его потенциалом ионизации. Вычисляя интеграл перекрытия
начального A) и конечного B) состояний и возводя его в
квадрат, получим в соответствии с теорией внезапных
возмущений для вероятности вылета фотоэлектрона с энергией Е
следующее выражение:
^^Е=—-ПТ^Е. C)
п Е
Вероятность фотоионизации быстро убывает с ростом
энергии Е. При точном интегрировании по всем энергиям с
учетом потенциала атомного ядра для конечного состояния
получим, очевидно, единицу. Но при этом нужно учесть,
конечно, и переходы в дискретные конечные состояния.
Вероятность того, что атомный электрон останется в
исходном состоянии в процессе бета-распада, дается
соотношением
|2
Wq =l6Z\Z + lf
j e\p(-BZ + \)r)r^dr\
О
Вычисляя интеграл, получим
(Z + 1/2)^
При больших Z эта величина близка к единице.
Следовательно, вероятность возбуждения и ионизации атомного
электрона мала по сравнению с единицей.
27

2.3. Ионизация атомов при ядерных реакциях
В качестве первого примера ядерных реакций рассмотрим
упругие или неупругие столкновения нейтронов с атомными
ядрами. Время соударения имеет порядок /?/V„, где R - радиус
атомного ядра, а V,, - скорость налетающего нейтрона. Будем
предполагать нейтрон достаточно быстрым, так что его
скорость порядка или более атомной скорости электрона. Тогда
ввиду малости радиуса ядра это время мало по сравнению с
обратными частотами переходов электронов в атомах из-за
этого столкновения. Под влиянием столкновения ядро
приобретает отдачу и движется с некоторой скоростью V, которая
также может быть порядка или более атомной скорости.
Волновая функция электронной подсистемы не успевает
измениться за это время. Но базис новых состояний отличается
от базиса старых состояний тем, что каждый электрон атома
приобретает дополнительную поступательную скорость V.
Следовательно, его волновая функция приобретает фазовый
множитель
(Ро(г) ->exp(/Vr)(p()(r).
Вероятность перехода электрона в конечное состояние 1
дается соотношением
W@^1) = |((pJexp(/Vr)l(Po)l'. A)
Вычислим в качестве простейшего примера вероятность того,
что водородоподобный атом с зарядом Z останется в
основном состоянии при ударе быстрого нейтрона об его атомное
ядро.
Подставляя в A) волновую функцию начального и
конечного состояния в виде
<р{г) = .\—exp(-ZA-)
V п
28

и вычисляя интеграл, получим
/
1У@->0) =
1+-
V
2 \
AZ'
Теперь вычислим вероятность вылета электрона с
большой скоростью, значительно превышающей атомную. В этом
случае волновую функцию конечного состояния можно
заменить на плоскую волну свободного электрона:
(р, (г) = ехр(/рг), где импульс » Z . Подставляя эту
функцию в A) и вычисляя интеграл, находим искомую
вероятность:
64лг' ф
dW =
Ip-Vr ilK)
3 *
Это выражение следует усреднить по произвольным
направлениям скорости атомного ядра при отдаче. Получаем
{p-V)\p + V)' ж
Это выражение упрощается при р « V:
(/VV
пУ
29

ГЛАВА 3
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
3.1. Переходы Ландау-Зинера
В этом разделе мы обратимся к сильным, но медленным
возмущениям в квантовой механике, производящим переходы
с большой вероятностью. Вместо общего рассмотрения
лучше исследовать простой пример. В качестве такого примера
мы возьмем двухуровневую систему, возмущаемую сильным
монохроматическим низкочастотным полем:
V{t) = V sin cot.
Здесь V - амплитуда возмущения, а со - его частота. Далее
используем систему единиц, в которой постоянная Планка
равна единице. Энергию нижнего уровня A) без ограничения
общности положим равной -1, а энергию верхнего уровня
B) положим равной +1. Возмущение будем считать сильным,
так что допустимы значения V » 1, а частоту возмущения
предположим низкой (в соответствии с предположением о его
медленности), так что со « V. В то же время произведение
Q)V может принимать произвольные значения по отношению
к единице.
Ниже мы убедимся в том, что в указанных условиях
сильное возмущение происходит лишь в моменты времени в
30

окрестности г = О, когда можно разложить синус в ряд, т.е.
заменить
V sin cot - Vcot.
Здесь выбран один из периодов внешнего
монохроматического поля.
Наша цель состоит в решении квантово-механических
уравнений, описывающих динамику двухуровневой системы
в таком поле. Временной интервал можно распространить от
- «> до + оо, так как реально переходы имеют место лишь в
малой окрестности около момента времени t = 0. Следующие
периоды внешнего поля отстоят гораздо дальше этой
окрестности. Аналогичные переходы в следующие моменты
времени мы не будем рассматривать.
Уравнение Шредингера во временном представлении для
амплитуд а\ и а2 населенностей уровней 1 и 2 соответственно
может быть записано в виде
da,
f A)
i—^-«2 =ycot'a^.
dt
Диагональная часть гамильтониана содержит энергии
нижнего и верхнего уровней, а недиагональная часть смешивает оба
состояния. Далее обозначим v = Vco,
Удобно ввести новые амплитуды
а^ = а, +«2' ^- ~^1 ~^
2*
Уравнение для этих амплитуд получается из предьщущих
уравнений путем их сложения и вычитания соответственно:
31

da
i vt • a^ =-a ;
dt
da_
i Vvt-a =-fl..
dt
Невозмущенная энергия для амплитуды а+ равна vr, а для а.
равна -vt. Эти энергии называются диабатическими
энергиями.
Дифференцируя первое из этих уравнений по времени и
подставляя а. из второго уравнения, получим
дифференциальное уравнение второго порядка для а+. Соответствующее
уравнение для а. имеет аналогичный вид:
d а^ J
;^ + [(vO +i + /vK =0;
dt
d a 9
T^^-[{vtY +\-iv]a =0.
dt
Видно, что с математической точки зрения каждое из
этих уравнений описывает одномерный квантово-
механический стационарный гармонический осциллятор.
Аналитическое решение каждого из этих уравнений
выражается через функцию параболического цилиндра Е. В
частности {А- константа),
/ ; 1 Л
a^{t) = A'E\
2 2v
B)
В соответствии с известными свойствами функций
параболического цилиндра их асимптотическое поведение на
бесконечности имеет вид
\a^(t)\=Ayf2{tr'^\ ^->±оо.
32

При переходе от момента времени -оо к +оо фаза времени
увеличивается на п (при движении в верхней полуплоскости
комплексной плоскости времени). Следовательно, из
предыдущей формулы находим, что
'' =expU— C)
вид
Адиабатическое решение системы уравнений A) имеет
а, (г) ос ехр(/j E{t)dt)\ «2 (О ^ ехр(Ч| E{t)dt).
E(t) = л/ГмЛ^.
Энергии ±?"@ называются адиабатическими энергиями. При
выключении взаимодействия они переходят соответственно в
энергию верхнего и нижнего уровня двухуровневой системы.
Таким образом, диабатическое решение а+ при г = - с»
соответствует нижнему адиабатическому уровню 1, в то время как
это же решение при г = + «> соответствует верхнему
адиабатическому уровню 2. Следовательно, квадрат выражения C)
определяет вероятность перехода из состояния 1 в состояние
2 (или наоборот):
W(\ ^ 2) = ехр
4Vo)
D)
Здесь мы ввели разность невозмущенных энергий верхнего и
нижнего уровней ЛЕ (которую ранее полагали равной 2). Это
так называемая формула Ландау-Зинера.
Из D) следует, что эта вероятность обращается в нуль при
выключении взаимодействия и в единицу при сверхсильном
взаимодействии. В соответствии с видом аргумента функции
33

параболического цилиндра в B) характерное время
взаимодействия определяется из условия, что этот аргумент порядка
единицы, т.е. t ~ v"'^^. Следовательно, условие ш«1,
использованное выше, эквивалентно условию со « V, которое мы
уже предполагали в начале данного раздела.
3.2. Переходы Ландау-Дыхне
В этом разделе будет снова рассмотрен переход из одного
состояния 1 в другое состояние 2 под действием медленно
меняющегося со временем возмущения. В отличие от
предыдущего раздела, мы не будем конкретизировать вид этого
возмущения V{t), но будем предполагать, что вероятность
перехода экспоненциально мала.
Уравнение для амплитуд состояний 1 и 2 были получены
в предыдущем разделе:
—^^E\t)a,2=0, A)
at
Величина -E{t) есть адиабатическая энергия нижнего уровня
1, а величина +Д0 представляет собой адиабатическую
энергию верхнего уровня 2. В квазиклассическом приближении
эти амплитуды имеют вид
\ t \ t
аМ) ос . exp(/j?@^0; ciM) ос t\]?{-i\E{t)dt).
yJEit) О V^@ О
B)
Идея метода состоит в том, чтобы взять одну из этих
амплитуд на - оо (например, аг) и аналитически продолжить ее в
комплексной плоскости времени на + оо. При этом появится
малая добавка амплитуды а\, и мы можем вычислить
вероятность перехода из состояния 2 в состояние 1.
34

в соответствии с B) амплитуда ai появляется в тот
момент времени т, когда Е(г) = 0 (в общем случае, когда Ei(r)-
= ?2(Т), если адиабатические энергии верхнего и нижнего
уровней отличаются не только знаком, но и величиной).
Следовательно, аналитическое продолжение следует провести в
окрестности этой точки в комплексной плоскости времени. В
этой окрестности можно разложить энергию E^(t) в уравнении
A) в ряд Тейлора. Таким образом, получаем
E(t)« cVtW.
Решение уравнения A) с такой энергией возьмем в виде
a(t) = AyfrrtHlJl(^iT-tf'^
C)
Здесь //^^ - функция Ганкеля второго рода. Подобный выбор
решения обусловлен тем, что при / -^ - оо оно переходит в
а. {t -> -оо) ос —=rexpl
у1Е
ilE(t)dt-i —
т 12
D)
Согласно B) это соответствует нахождению частицы в
состоянии 1 при / ^ - оо.
Подход к точке / = т и уход от нее при аналитическом
продолжении должен идти по линиям, где
1т {E(t)dt = Im[(T - 0^^^] = const.
т 3
Действительно, квазиклассические решения B) уравнения
Шредингера являются асимптотическими решениями
дифференциального уравнения, так что обе экспоненты должны
35

иметь одинаковую мнимую часть (в противном случае
экспоненциально малое решение следовало бы выбросить).
В окрестности точки t = г мы получаем три таких линии,
расходящиеся друг от друга под углом 2я/3. Две из них идут
соответственно в^-^-оои/—> + оо. Переход с линии г —> - ©о
на линию г -^ + оо при аналитическом продолжении функции
D) соответствует увеличению фазы комплексного времени на
2я/3. Следовательно, аргумент функции Ганкеля C)
увеличивается на п. В соответствии с известными соотношениями
для функций Ганкеля имеем
ГB)/
- 17B)
/я/3 rj(l) ,
/У-Че'"г) = //-(г) + е'"''Я-(г)
Применяя это соотношение к функции Ганкеля C) и
устремляя /-» + «>, получим
a(t) <х —=гехр
( t
,5л:
+ е
in 17.
1
41
ехр
ijE(t)dt-i —
т 12
-i]E(t)dt + i —
т 12
Первое слагаемое в этом соотношении соответствует
амплитуде нахождения частицы в состоянии 1, а второе - в
состоянии 2.
Таким образом, экспоненциально малая амплитуда
перехода из состояния 1 в состояние 2 равна отношению второго
слагаемого в последней формуле к первому, т.е.
-/ехр -li\E{t)dt
\
Возводя модуль этого выражения в квадрат, получим
вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2:
36

W(l->2) = exp
-4lm]E(t)dt
0
«1. E)
При этом мы учли, что интеграл по вещественной оси
времени не дает вклада в эту вероятность. Время т находится из
уравнения Е(г) = 0.
Легко обобщить полученный результат на случай, когда
энергии верхнего B) и нижнего A) уровня не равны друг
другу по модулю:
W(\ ^ 2) = ехр
-2lmi(E,(t)-'E,{t))dt F)
О j
Здесь время г находится из уравнения Е2{т) = Е\{т).
В частности, вероятность перехода Ландау-Зинера,
найденная в предыдущем разделе, может быть получена и из E),
подставляя для адиабатической энергии выражение
?@ = VhV?", v«1.
Получим
И/A-^2) = ехр(~л:/у)«1.
Преимущество данного подхода Ландау-Дыхне состоит в
том, что он позволяет получить экспоненциально малые
вероятности перехода для различных выражений,
определяющих адиабатические энергии, в то время как подход Ландау-
Зинера относится к определенному типу адиабатических
энергий, но позволяет получать и большие вероятности
перехода. Однако предэкспоненциальный множитель в формуле
Ландау-Дыхне отличается от единицы в случае, когда вблизи
комплексной точки поворота г находятся другие особенности
адиабатической энергии.
37

3.3. Туннельная ионизация атома водорода
постоянным электрическим полем
В этом разделе мы дадим вывод вероятности в единицу
времени для туннельной ионизации атома водорода
постоянным электрическим полем, основанный на идеологии
быстрых и медленных подсистем в квантовой механике. В данном
случае медленным процессом является прохождение
электрона через потенциальный барьер ввиду достаточно слабого
электрического поля. Быстрый процесс соответствует
невозмущенному движению электрона в атоме водорода.
Основываясь на результатах предыдущего раздела, легко
получить экспоненциальный фактор в вероятности
ионизации. В данном случае энергия основного состояния равна Ei
= - Vi (всюду далее используем атомную систему единиц).
Обозначим F - напряженность постоянного электрического
поля. Тогда энергия конечного состояния (в пренебрежении
кулоновским полем атомного ядра) равна Е2 = F^t^/2 и
соответствует равноускоренному движению электрона в
постоянном электрическом поле. Точка поворота в верхней части
комплексной плоскости времени находится из уравнения Е\ =
= Е2(т) и равна т = i/F.
Вероятность ионизации основного состояния атома
водорода с экспоненциальной точностью определяется
соотношением E) предыдущего раздела:
/" ^ ^ .
W = ехр - 2 Im J (Е^ (t) - ?, )dt = exp
I 0 )
Нашей задачей является точное определение предэкспо-
ненциального фактора в этой зависимости. Невозмущенная
волновая функция основного состояния атома водорода имеет
вид
38

4'(r) = -=exp(-r). A)
л/л:
Квазиклассическая волновая функция электрона под
потенциальным барьером во время туннелирования определяется
соотношением
С (л . .я:^
B)
^(^»Р±) = -1^=-ехр ijp^dz + /~
Здесь а - некоторая точка под барьером, в которой
производится сшивка невозмущенной волновой функции A) и
квазиклассической волновой функции B). С одной стороны,
должно быть а » 1, так что мы находимся под барьером, и от
невозмущенной волновой функции нами используется
асимптотический вид (в данном случае он совпадает с самой
функцией, но в других примерах может быть и отличен от
нее). С другой стороны, а « 1/F, так что в окрестности этой
точки можно пренебречь внешним электрическим полем.
Далее будет видно, что точное положение этой точки выпадает
из ответа для вероятности ионизации.
Далее, в B) проекция импульса р^ под барьером является
мнимой величиной и определяется соотношением,
вытекающим из закона сохранения энергии (с учетом внешнего поля):
где направление оси Z выбрано вдоль направления
электрического поля, а величина р^ представляет собой импульс в
плоскости {X, У).
Таким образом, для сшивки A) и B) мы должны
предварительно разложить функцию A) в ряд Фурье по поперечным
39

импульсам /71 . Забегая вперед, отметим, что предварительно
функцию A) запишем в виде (при г » 1, когда г ~ ^):
4'(r) = -p-exp(-r + lnz). C)
ЫКГ
Разлагать в ряд Фурье по поперечным координатам jc, у
следует лишь функцию A/г)ехр(-г), так как комбинация
exp(+lnz) нужна будет для сокращения произвольной точки а
(см. ниже).
Итак, разлагая C) таким образом в ряд Фурье, получим
для фурье-компоненты:
4'(г, р^) = ^^ехр(-Л^г + In z). D)
к.
Z
Здесь обозначено
к,-ф-^р1
Сшивка B) и D) в точке z = а позволяет определить
коэффициент С в квазиклассической функции B):
С = 2ylnQ\p(-k^a + In а).
При этом мы учли, что существенные значения поперечных
импульсов р_^ « 1 (это будет доказано ниже).
Подставляя полученное значение С в B), запишем
квазиклассическую волновую функцию под барьером в виде:
2л/я (z ^ ^п ^
ijр dz-^'i—' + lna
[о 4
E)
40

Эта волновая функция нуждается в поправке, связанной с
наличием длиннодействующего кулоновского потенциала
под потенциальным барьером (так называемая кулоновская
поправка). В показатель экспоненты E) следует добавить
классическое действие, связанное с кулоновским
потенциалом:
г az\pz\ az^\-2Fz Fa
Здесь b = 1/2F - классическая точка поворота при выходе
электрона из-под потенциального барьера.
Умножая E) на exp(-/fiS), мы видим, что точка сшивки а
действительно выпадает из волновой функции, так что
волновая функция под потенциальным барьером,
скорректированная на кулоновскую поправку, записывается в окончательном
виде
Ч^(г,/?х) = -7=^^Р
i\ p.dz + i — ^-Xn —
О 4 -^
Ток вероятности этой функции в точке z-b равен:
^ b \
г
-2\ \pjdz
О
F)
Здесь с учетом малости поперечного импульса выражение
для |рг1 можно записать в виде
l/?J=Vl-2Fz +
р1
2Vl - 2Fz
41

Подставляя это разложение в F) и вычисляя интеграл,
находим
16 л:
/^ ^ ^2
J(Pi) = ^^'Jf'-^\ G)
Это выражение определяет распределение вылетевших
электронов по поперечным импульсам. Характерное значение
квадрата поперечного импульса порядка F « 1, что
доказывает справедливость разложений по нему, проведенных
выше.
Вероятность туннельной ионизации в единицу времени
получается из G) путем интегрирования по всем поперечным
импульсам:
d^p^ 4 f 2 ^
"'='^'"'-'^^=7''
3F
Показатель экспоненты был уже найден выше. Видно, что для
решения поставленной задачи не требуется, чтобы
переменные разделялись в присутствии внешнего поля.
3.4. Туннельная ионизация атомов
в низкочастотном электромагнитном поле
В предыдущем разделе была рассмотрена туннельная
ионизация атома водорода постоянным электрическим полем.
Здесь мы обратимся к туннельной ионизации атомов
переменным электромагнитным полем линейной поляризации.
Будем предполагать, что энергия фотона этого поля Йй)мала
по сравнению с потенциалом ионизации атома ?,. В
дальнейшем будем использовать атомную систему единиц, в которой
заряд и масса электрона, а также постоянная Планка равны
единице.
Низкая частота электромагнитного поля обеспечивает
условие адиабатичности возмущения. Вероятность ионизации
42

определяем с экспоненциальной точностью, так как, как мы
видели выше, вычисление предэкспоненты требует тонких
расчетов даже для основного состояния атома водорода.
Энергия начального состояния равна Е\ = -?"/. Штарковским
сдвигом этого состояния в низкочастотном поле можно
пренебречь. Его величина близка к квадратичному штарковскому
сдвигу в постоянном электрическом поле, и ниже будет
видно, что она не меняет показателя экспоненты в вероятности
ионизации.
В конечном состоянии пренебрегаем кулоновским полем
атомного остатка. Как мы видели в предыдущем разделе, оно
влияет только на предэкспоненциальный фактор. Энергия
электрона в поле линейно поляризованной электромагнитной
волны равна:
EAt) r-sin^ (Ot.
2со^
Здесь F - амплитуда напряженности поля волны. Точка
поворота в комплексной плоскости времени определяется из
условия Eiii) = ? и имеет вид
т=—arcshy; 7 =
(О F
Величина у называется параметром Келдыша. Этот параметр
безразмерен, и его величина может быть как больше, так и
меньше единицы.
Если учитывать штарковский сдвиг начального
связанного состояния атома, то к параметру Келдыша добавляется
величина порядка (oF I ^2Е.. Эта величина мала по сравнению
с у, так как напряженность поля предполагается малой по
сравнению с атомной напряженностью. Таким образом,
действительно, штарковским сдвигом можно пренебречь.
43

Вычисляем показатель экспоненты в вероятности
перехода (см. формулу F) раздела 3.2):
ft Л
w = exd -21т j(E2(t)-Ej{t))dt
[ О
/
= ехр
2Е.
—-Sir)
со
A)
Здесь обозначено
g(y) = (\ + l/2у^)arcsh7- A /2y)yll + у^.
B)
При у« 1 из A) получим туннельный предел (см.
предыдущий раздел):
2{2Е.)
W = ехр
3F
C)
Напротив, при у » I из A) получим многофотонный предел,
соответствующий (Е-/ со)-му порядку теории возмущений
(он является наинизшим для многофотонной ионизации в
соответствии с законом сохранения энергии при поглощении
фотонов внешнего поля):
W =
V7f
\
2EJC0
2coJ2E.
D)
Конечно, формула D) справедлива в отсутствие каких-либо
резонансов с дискретными возбужденными состояниями
атома.
Итак, параметр Келдыша определяет характер ионизации.
При увеличении напряженности поля многофотонная
ионизация сменяется туннельной. Полученные результаты
применимы, когда, во-первых, энергия фотона мала по сравне-
44

нию с потенциалом ионизации атома, а во-вторых,
напряженность поля F мала по сравнению с характерной атомной
напряженностью {1Е)^'^,
3.5. Связанно-связанные адиабатические переходы
В предыдущем разделе мы рассмотрели связанно-
свободные переходы под влиянием низкочастотного
электромагнитного поля. Обратимся теперь к связанно-связанным
переходам между двумя уровнями, причем энергия фотона
мала по сравнению с расстоянием между уровнями (условие
адиабатичности возмущения). Без ограничения общности
энергию верхнего уровня 2 можно снова положить равной
+1, а нижнего уровня 1 - равной -1 (как это делалось в
разделе 3.1).
Возмущение, связывающее два уровня друг с другом,
снова возьмем в форме V{t) = V sxncot. Здесь V имеет смысл
матричного элемента от поля внешней электромагнитной
волны между рассматриваемыми уровнями. Однако в отличие
от задачи Ландау-Зинера (раздел 3.1) мы не будем здесь
разлагать синус в ряд и ограничиваться первым членом (хотя и
частота внешнего поля предполагается малой). Уравнения
для адиабатических энергий имеют вид (см. формулу B)
раздела 3.2):
- а, + V sin Ш а^ = E{t)a^;
+ «2 + ^ sin cot а^ = E(t)a2.
Отсюда получаем простое выражение для адиабатических
энергий нижнего A) и верхнего B) уровней:
?i 2(Г) = Wl + V^sin^ox.
45

Точки поворота в верхней части комплексной плоскости
времени определяются из условия Е\2(г) = О, т.е.
к п i 1
т,, = + —arcsh —, п = 0, ±1, ±2,...,...,...
со (О V
A)
Все они отстоят на одинаковом расстоянии от вещественной
оси времени и по этой причине обязаны учитываться в
амплитуде перехода между уровнями.
Рассмотрим сначала вклад в амплитуду перехода в
подходе Ландау-Дыхне от точки поворота т с п = О (см. формулу
E) раздела 3.2):
т
ДA-^ 2) = ехр(-2/1?2@^0.
О
Вычисляя интеграл, находим
А(\ -> 2) = ехр
- — D{k)\ B)
(О ]
Здесь D{k) - полный эллиптический интеграл третьего рода,
и введено обозначение
1
к =
Vl + V^
Учтем теперь другие комплексные точки поворота (см.
формулу A)). Амплитуду перехода, связанную с точкой т,„
запишем в виде
Л,A->2) = ЛA-^2)ехр(/5,,).
46

Здесь определено изменение классического действия за п
полупериодов возмущения 5„ = nS\, где изменение
классического действия за один полупериод дается соотношением
п/со 4 / ч
5, =2 \E^{t)dt = EikVy
О (ок
Здесь E{kV) - полный эллиптический интеграл второго рода.
По принципу Фейнмана полная амплитуда перехода за
некоторое время Т определяется суммой всех возможных
амплитуд из начального состояния в конечное по различным
траекториям в верхней части комплексной плоскости
времени. Суммируя парциальные амплитуды за Л^ полупериодов,
соответствующих времени Т=Ы{ж/со), получим
ехр(^5,) -1
Это выражение приводит к вероятности перехода в
единицу времени, если величина S\ близка к целому числу 2л:.
Полагая
(О
где малая величина Ал- определяет расстройку резонанса, а К
- четное число, находим вероятность перехода в единицу
времени:
w = —ехр(- —D(^) ЩА^У C)
к
( Ак \
В{к)ЩА^).
I ^ )
Аргумент дельта-функции Дирака связан с законом
сохранения энергии при многофотонном переходе с учетом сдвига
уровней в сильном переменном поле. Появление этой дельта-
47

функции отражает идеализацию двухуровневой системы, в
которой не учитываются ширины уровней.
Чтобы выражение C) было бы справедливо, необходимо
ограничение по времени, иначе в двухуровневой системе
возникает режим насыщения, т.е. чтобы абсолютная вероятность
перехода с одного уровня на другой оставалась бы малой по
сравнению с единицей.
В случае слабого поля из C) получим
2@
W =
2 г,у V^
к
5B-Ксо).
В этом случае можно пренебречь штарковским сдвигом.
Полученный результат можно сравнить с результатом
прямого вычисления в рамках многофотонной теории
возмущений:
/у Y 5B-Ксо)
2со) [(К-Щ]''
w'''=2n(o'
Легко проверить, что оба выражения совпадают при К » \.
Для этого следует использовать формулу Стирлинга для
факториалов. Таким образом, в данном случае подход Ландау-
Дыхне также дает правильное значение не только
экспоненты, но и предэкспоненты в вероятности перехода.
Следует также подчеркнуть, что формула Стирлинга дает
хорошую точность и при небольших значениях К.
В заключение отметим, что если учесть следующий
порядок адиабатического приближения, переходя от функций
e\p(ij E{t)dt) к функциям
1
t\p(ij E{t)dt),
^
48

(аналогичный переход производится в квазиклассическом
приближении квантовой механики), то все полученные выше
результаты сохраняются, но число поглощенных фотонов К
становится нечетным вместо четного. Нечетность числа
поглощенных фотонов видна и из рассмотрения
многофотонного перехода в рамках многофотонной теории возмущений.
Учет резонансного перемешивания в двухуровневой
системе, имеющего место при больших временах, не приводит к
существенному усложнению задачи. Это перемешивание
полностью аналогично обычному перемешиванию Раби в
задаче двух уровней, возмущаемых резонансным внешним
полем, частота которого близка к частоте перехода.
Многофотонная частота Раби в сильном поле определяется
соотношением
D)
Заселенности уровней определяются теми же
соотношениями, что и в обычной задаче Раби, но с заменой частоты Раби
на многофотонную частоту Раби D).
Наибольший интерес гюлученные результаты
представляют в случае сильного поля, когда возмущение порядка
расстояния между уровнями, т.е. V ~ 1. При этом штарковский
(фактически статический) сдвиг может иметь тот же порядок
величины, что и расстояние между невозмущенными
уровнями. Однако вероятность перехода остается экспоненциально
малой за счет малости частоты внешнего поля в соответствии
с основами адиабатического приближения Ландау-Дыхне.
49

ГЛАВА 4
РЕЗОНАНСНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
ПРИ МЕДЛЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
4.1. Объединение адиабатического и резонансного
приближений
Как мы указывали выше, адиабатическое приближение
используется в квантовой механике для решения тех задач, в
которых сильное возмущение имеет адиабатический
характер, т.е. медленно меняется со временем за характерные для
данной невозмущенной системы времена.
Имеется глубокая внутренняя аналогия между
адиабатическим приближением в нестационарных задачах и
квазиклассическим приближением для стационарных задач
квантовой механики. Решение задачи о переходах в квантовой
системе из одного состояния в другое под действием
адиабатического возмущения математически эквивалентно
решению задачи о надбарьерном отражении в квазиклассическом
приближении. Для получения решения в адиабатическом
приближении необходимо сделать замену импульса и
координаты соответственно на энергию и время.
50

Основная ценность адиабатического приближения (как и
квазиклассического приближения) состоит в возможности
продвижения в область больших возмущений, в отличие от
теории возмущений. Разумеется, в предельном случае слабых
возмущающих полей результаты, полученные в
адиабатическом приближении, переходят в результаты теории
возмущений с точностью до членов, малых по параметру адиабатич-
ности. В данном разделе мы рассмотрим подход, в котором
адиабатическое приближение используется для описания
резонансных процессов. Простейшим примером являются
резонансные многофотонные переходы в двухуровневой
системе. Ранее такие резонансные процессы рассматривались
лишь в наинизшем отличном от нуля порядке теории
возмущений по частоте Раби. Естественно, что при описании
резонансных процессов в предельном случае слабых полей (но
малых расстроек резонанса, так что традиционная
нестационарная теория возмущений, разумеется, не применима)
результаты адиабатического приближения переходят в
результаты общеизвестного резонансного приближения квантовой
механики.
В этом разделе развивается матричный метод для
адиабатического приближения. Как и выше, в адиабатическом
приближении рассматриваются собственные функции
гамильтониана, в котором время рассматривается как заданный
параметр. С течением времени развитие квантово-механической
системы происходит таким образом, что с подавляющей
вероятностью она находится в одном из адиабатических
собственных состояний. Примесь других собственных функций
экспоненциально мала. Собственные значения энергии,
соответствующие собственным адиабатическим функциям, также
зависят от времени, как от параметра. Если при каком-то
значении времени два собственных значения совпадают, то мы
имеем дело с вырождением, причем оно приводит уже к
сильному смешиванию соответствующих двух состояний
адиабатического приближения. Иными словами, в этот
момент времени может произойти с большой вероятностью (ко-
51

торая может достигать даже значения, равного единице)
переход системы из одного адиабатического состояния в
другое.
Подчеркнем, что указанный момент времени, при
котором происходит переход, вовсе не обязан быть
вещественным. Наоборот, как правило, в рассматриваемых задачах он
оказывается комплексным. В соответствии с подходом
Фейнмана для квазиклассического приближения переход от
момента времени - «> к моменту времени + со должен
производиться с учетом всех фейнмановских траекторий в
комплексной плоскости времени. Однако существенные в задаче
траектории проходят только вблизи указанных выше точек
вырождения.
Обратимся снова к собственным значениям энергии для
дв)осуровневой системы, но в общем случае, когда
амплитуда возмущения V(t), частота внешнего поля co(t) и
энергетическое расстояние между рассматриваемыми уровнями 0J1 (О
адиабатически медленно зависят от времени (по сравнению
со временем (соц)'^). При этом мы не предполагаем
расстройку резонанса малой, т.е. рассматриваем произвольный
случай.
Система уравнений для амплитуд нижнего A) и верхнего
B) состояний двухуровневой системы уже выписывалась
выше (но для частного случая постоянного расстояния между
уровнями и постоянной частоты возмущения):
[f2@ + A / 2H)., (/)]«, (О = -V{t)a, (t) sin( j (Odt);
[П(Г) - A / 2HJ, @]^2 @ = -V(t)a, (t) sin( j (odt).
Невозмущенную энергию верхнего уровня мы обозначили
+ 0J,@/2, а энергию нижнего уровня -0J,@/2. Из этой
системы находим возмущенные адиабатические значения
энергии верхнего и нижнего уровней (т.е. частоту Раби для
сильного возмущения):
52

Qit) = ±^l-o)l^(t)+ I V(t) P sin^(jcodt).
B)
Точка в комплексной плоскости времени, в которой оба
значения адиабатической энергии совпадают, определяется,
очевидно, нулем подкоренного выражения в адиабатической
энергии. Обозначим эту точку для рассматриваемой задачи
через т. Тогда для амплитуды перехода из одного состояния
двухуровневой системы в другое на основе подхода Ландау-
Дыхнс, изложенного выше, получим
R = ехр
2i]n(t)dt
О
C)
Матричный метод заключается в том, что развитие
двухуровневой системы после прохождения точки пересечения
уровней т определяется двухрядной унитарной матрицей
А =
D -/?*
R D*
\R\^ +IDI^:
D)
Здесь \ D\ - вероятность системе остаться в том же
адиабатическом состоянии. Поскольку в точке т происходит
пересечение уровней, то величина R имеет физический смысл
амплитуды того, что система остается в невозмущенном
состоянии 1, а величина D - вероятность перехода в другое
невозмущенное состояние 2.
Точка перехода, указанная выше, обычно не является
единственной. Например, если амплитуда возмущения, его
частота и разность энергий системы не зависят от времени,
то совокупность таких точек располагаются на одинаковом
расстоянии от вещественной оси времени и на расстоянии
53

я/со друг от друга. Динамическое развитие системы при
переходе от одной комплексной точки поворота к следующей,
например, от ti, к г^+ь происходит без перехода из одного
состояния в другое, т.е. с помощью диагональной двухрядной
матрицы:
S. =
^ехрНМ,) О \ ^^^
О expC/ASj) j
Здесь величина
AS, = 1 Q(t)dt F)
Rer.
обозначает изменение классического действия при переходе
от одной точки поворота к другой.
В действительности, периодичность повторения точек
поворота является во многих задачах не строгой, а
приближенной. Следовательно, постепенно эти точки будут
двигаться как вдоль вертикальной оси в плоскосхи комплексного
времени, так и по горизонтали. Матричный метод
заключается в том, что развитие двухуровневой системы во времени
определяется последовательным перемножением
приведенных выше матриц, начиная с исходной точки поворота и
заканчивая точкой поворота, соответствующей заданному
конечному моменту времени t^:
4>(t,) = A,S,_,A,_,S,.,... S, А,Ч'(Го). G)
Разумеется, практическое выполнение такого перемножения
матриц зависит от конкретной задачи и рассматривается
ниже для ряда примеров.
54

Если точки ^0 и In не соответствуют буквально моменту
включения и выключения возмущения (скажем, эти моменты
времени будут просто О и t), то для нахождения волновой
функции системы 4^@ мы должны умножить последнее
выражение слева на диагональную матрицу типа E),
содержащую в показателях экспонент изменение классического
действия при переходе от точки t^ к t. Затем получившееся
выражение следует умножить справа на аналогичную
диагональную матрицу, содержащую в показателях
экспонент изменение классического действия при переходе от точ-
ки f = О к f = т. Результирующее выражение и будет
представлять собой искомую волновую функцию в момент
времени t.
Как хорошо известно, значение волновой функции в
произвольный момент времени осциллирует ввиду
низкочастотного характера возмущения системы. Часто интересуются
лишь значением вероятности нахождения системы в данном
состоянии, усредненном по моменту регистрации и по
моменту включения поля. Это означает усреднение вероятности
по мелкомасштабным пульсациям с характерными
временами порядка \1@. В записи волновой функции в форме G)
такое усреднение проводится элементарно, так как оно
затрагивает только матрицы Ai и Ад^.
При наличии многофотонного резонанса в волновой
функции G) появляется еще один временной масштаб:
обратная частота Раби для многофотонного перехода.
Усреднение населенности данного состояния по этому масштабу
означает усреднение по числу учитываемых точек поворота N.
В конкретных случаях и это усреднение проводится
элементарно. Таким образом, рассматриваемый матричный метод
обладает тем преимуществом, что он позволяет аналитически
усреднять вероятности по различным масштабам времени.
Если, кроме рассматриваемых двух уровней, добавить в
рассмотрение другие уровни, то общий смысл обобщения
заключается в том, что вместо двухрядных матриц мы будем
55

иметь дело с матрицами, ранг которых равен числу
учитываемых уровней. В качестве примера рассмотрим
трехуровневую систему, на которую действует внешнее
низкочастотное электромагнитное поле. Развитие системы во времени в
этом случае определяется трехрядными матрицами. Точки, в
которых происходит переход из одного состояния в другое,
как и ранее, находятся из условия равенства
соответствующих адиабатических энергий как функций времени друг
другу попарно. Таким образом, число комплексных точек
поворота здесь значительно больше, чем для двухуровневой
системы. Адиабатическое приближение позволяет описать все
промежуточные резонансы и их интерференцию в
трехуровневой системе. Например, амплитуда перехода из состояния
1 в состояние 2 через состояние 3 имеет вид
ДA -> 3 -> 2) = ехр
^13 hi
О ' О
(8)
Здесь C0i3 и 0K2 - частоты соответствующих переходов,
рассчитанные с адиабатическими энергиями состояниями 1, 2 и
3. Точки поворота находятся из условий
й),з(^1з)=0; й)з2(^з2) = 0-
Кроме того, имеется еще и амплитуда прямого перехода
из состояния 1 в состояние 2, имеющая вид
А{\ -> 2) = ехр
О
(9)
Здесь точка поворота находится из условия
й),2(Г,2)=0.
56

При определении вероятности перехода из состояния 1 в
состояние 2 появятся и интерференционные члены между
обоими переходами.
Прямой переход (9) соответствует переходу системы из
состояния 1 в квазиэнергетическое состояние с энергией Е\ +
-\- ко) и затем из последнего состояния в состояние 2. Это -
многофотонный переход в стандартной терминологии.
Напротив, выражение (8) описывает каскадный
двухступенчатый процесс, при котором сначала имеет место переход
из состояния 1 в состояние 3, а затем из состояния 3 в
состояние 2.
Если перейти к пределу слабого возмущения и
рассмотреть резонансные процессы, то данный подход
автоматически переходит в общеизвестное резонансное приближение,
которое содержит в качестве частоты Раби многофотонные
матричные элементы. Конечно, надо иметь в виду, что такой
переход происходит не точно, а в пренебрежении членами
порядка адиабатического параметра соI @^2 « 1 •
Выше предполагалось, что мы имеем дело с
невырожденными уровнями. Учет вырождения приводит к тому, что в
левой части системы уравнений A) появляются
диагональные матричные элементы возмущения V\\{t) и ^22@- Их учет
модифицирует выражение B) для адиабатических энергий
двухуровневой системы (т.е. для частоты Раби):
с этой модификацией все остальные рассуждения этого
раздела сохраняют свою силу.
57

4.2. Резонансное многофотонное возбуждение атома
водорода
Для нахождения вероятности многофотонных переходов
между состояниями реального атома нужно предварительно
определить адиабатические энергии этих уровней как
функции времени. При действии монохроматического поля на
атом время t входит в задачу только через напряженность
электрического поля Fs'max. Поэтому основная тяжесть
задачи сводится к нахождению энергии уровней в статическом
электрическом поле с произвольной амплитудой. Теория
возмущений для этой цели принципиально не применима, так
как основной интерес представляют поля, при которых
рассматриваемые атомные уровни пересекаются друг с другом.
Как мы видели выше, такие поля определяют комплексные
точки поворота. Таким образом, указанные поля не только
большие, но и комплексные. Нас интересуют поля с
наименьшей мнимой частью, лежащие в верхней полуплоскости
комплексного значения напряженности статического
электрического поля, при которых происходит пересечение
заданных уровней как функций этой напряженности. Одна
точка поворота в комплексной плоскости статической
напряженности соответствует для монохроматического поля серии
точек поворота в комплексной плоскости времени,
отстоящих одинаково от вещественной оси времени. Это приводит
к переходу от абсолютной вероятности к вероятности
перехода в единицу времени точно так же, как это было сделано
выше для двухуровневой системы. При этом возникает закон
сохранения энергии с учетом числа поглощаемых фотонов
внешнего поля, так как переход является резонансным.
Разумеется, наряду с вероятностью перехода получаются также и
общие формулы для квадратичного эффекта Штарка.
Обсудим в общем случае критерии применимости для
вероятности перехода и для квадратичного эффекта Штарка.
Если напряженность поля мала по сравнению с характерной
атомной напряженностью, то вероятность перехода пропор-
58

циональна F , где К - число поглощенных фотонов. В
следующем за наинизшим порядком мы получаем поправочный
фактор exp(aA'F^), где величина а ~ 1 а.е. определяется
структурой атома. Такой фактор следует непосредственно из
примера двухуровневой системы в сильном низкочастотном
поле, рассмотренного выше. Таким образом, критерий
применимости теории возмущений для вычисления вероятности
многофотонного возбуждения атома имеет вид (в атомных
единицах)
KF^« 1.
Он является гораздо большее жестким при К» \, чем
критерий применимости теории возмущений для расчета
квадратичного штарковского сдвига. Последний имеет вид: F « 1
(снова в атомных единицах).
Мы приведем конкретные результаты для
многофотонного возбуждения атома водорода. В постоянном
электрическом поле переменные в уравнении Шредингера разделяются
в параболических координатах. Дальнейшее упрощение
задачи возникает, если для определения энергий атомных
уровней использовать квазиклассическое правило
квантования Н. Бора.
Квазиклассические решения дают по численным
причинам хорошее приближение для описания всех уровней
энергии, кроме основного. Даже когда мы имеем дело с
многофотонным переходом из основного состояния атома водорода в
возбужденное состояние, то пересечение уровней при
определенном комплексном значении напряженности поля
происходит таким образом, что основное состояние практически
не движется, а возбужденные уровни «наползают» на него
сверху. Это ясно, например, из того факта, что квадратичный
эффект Штарка даже для состояний атома водорода с
главным квантовым числом п = 2 в 40 раз больше, чем для
основного состояния (не говоря уже о более возбужденных
состояниях, где различие еще разительней). Поэтому неточность в
59

определении штарковского сдвига основного состояния
несущественна в рассматриваемой здесь задаче.
Вычисление интегралов в правиле квантования Н. Бора
позволяет получить зависимость энергии уровня Е от
статической напряженности F в неявной форме:
4F 1 1
:' (\-2xf (l-2yf'
Здесь величины х, у находятся из неявных уравнений:
Рл1-2Е fV-2?
Rix) = in,+\/2) ^ ^ ; R(y) = Hn2+l/2) ^ ^
При этом п\, П2 - параболические квантовые числа
рассматриваемого возбужденного состояния, сохраняющиеся и при
включении постоянного электрического поля. Мы положили
здесь магнитное квантовое число равным нулю, имея в виду
дальнейшее применение для возбуждения основного
состояния атома водорода линейно поляризованным
электромагнитным полем.
Универсальная функция /?(г), входящая в эти уравнения,
определяется следующим образом:
Зк (\-2z)
Здесь К и D - полные эллиптические интегралы
соответственно первого и третьего рода. При F = О рассмотренная
система уравнений легко решается, приводя к правильным
значениям невозмущенных кулоновских энергий атома
водорода.
В квазиклассическом приближении из написанных выше
уравнений видно наличие автомодельности (которой нет в
60

точном уравнении Шредингера), а именно, возмущенная
энергия уровня зависит только от двух параметров и может
быть представлена в виде (главное квантовое число п = П] +
+ «2+ 1):
п^ [ п,+1/21
Развитая теория иллюстрируется на примере вычисления
вероятности многофотонного возбуждения основного
состояния атома водорода с переходом в первое возбужденное
состояние. Во внешнем поле это возбужденное состояние
расщепляется на два состояния: с /ii = 1, П2 = О и П2 = 1, ni = 0.
Легко видеть, что вероятности перехода в них одинаковы.
Расчет проводится в рамках многофотонной теории
возмущений по интенсивности электромагнитного поля.
Согласно результатам предыдущих разделов для
вероятности перехода в единицу времени в двухуровневом
приближении имеем
w(l -^ 2) =
2@^
к
2@
.1К
21
L5{@2^ -Ксо),
Отклонение от результата теории возмущений дается
фактором
L - ехр -
2Kz',F
2 Л
СО
21
В этих соотношениях величина со^^ есть невозмущенное
расстояние между рассматриваемыми уровнями, Zn -
матричный элемент перехода между этими уровнями.
В данной задаче, разумеется, двухуровневое
приближение несправедливо. Аналитическое выражение для сечения
перехода из основного состояния атома водорода в первое
61

возбужденное состояние в рамках многофотонной теории
возмущений на основе адиабатического приближения Лан-
дау-Дыхне получается в виде
Г~'д((Оу.-Кш)
= 2.56
E.15 10"'^ У"' см^/с
К' (вт/cM^f
Здесь величина I =cF /S7t представляет собой
интенсивность излучения (плотность потока электромагнитной
энергии).
В таблице 1 сравниваются результаты расчета по этой
аналитической формуле и результаты точных численных
расчетов вероятности возбуждения первого возбужденного
состояния атома водорода низкочастотным
электромагнитным полем.
Таблица 1
к
2
3
4
5
6
7

Адиабатическое
приближение
1.6 ю'-'
2.510"'*'
5.4-Ю-"'
\Л\0''
4.310-'*
1.4-10-^^
Точный
расчет
2.710-''
0.710"
1.810""*
1.0-10-^
4.7-10-"
3.9-10-^'
Из этой таблицы можно сделать вывод, что результаты обоих
расчетов находятся в качественном согласии друг с другом
(с учетом больших порядков величин).
Расчет величины а в факторе exp(aA'F^), определяющем
отклонение вероятности возбуждения от предсказаний
многофотонной теории возмущений, привел к значению а = 446
62

(в атомных единицах). Большая величина этого значения
приводит нас к выводу, что многофотонная теория
возмущений нарушается очень рано. Буквенный критерий ее
применимости, учитывающий величину главного квантового числа
п возбужденного состояния, имеет вид: n^K(Ff « 1. Мы
видим, что по численным причинам он оказывается еще более
жестким. Ввиду положительности величины а отклонение от
теории возмущений приводит в данном случае к увеличению
вероятности возбуждения по сравнению с предсказанием
многофотонной теории возмущений. Как видно из
приведенной выше формулы, это противоположно тому, что имеет
место для двухуровневой системы. К сожалению, не имеется
достаточно точных экспериментальных данных для атома
водорода, чтобы можно было проверить эти предсказания.
4.3. Двухуровневая система в сильном
низкочастотном нерезонансном поле
Выше мы применяли адиабатическое приближение к
случаю, когда расстояние между уровнями двухуровневой
системы было близко к нечетному кратному значению частоты
возмущения. Этот же метод может быть реализован и в
произвольном, в том числе нерезонансном, случае с помощью
надлежащего обобщения, так как адиабатическое
приближение требует лишь малости частоты поля по сравнению с
расстоянием между уровнями. При этом нерезонансность может
осуществляться как за счет увеличения расстройки
резонанса, так и за счет увеличения амплитуды возмущения, так что
эта амплитуда может быть сравнима или даже превышать
расстояние между рассматриваемыми уровнями.
Основная ценность предлагаемого подхода состоит в том,
что теория позволяет простым аналитическим способом
учесть «антирезонансные» члены в монохроматическом
возмущении. Их роль весьма существенна в условиях сильного
поля или нерезонансной частоты этого возмущающего поля.
63

Мы стартуем с системы уравнений A) адиабатического
приближения Ландау-Дыхне, уже приведенной выше в
разделе 4.1:
[Q(r) + A / 2HJ, ]«1 (О = -Уа^ (О sin(o)r);
[Q(r) - A / 2)СУ2, ]«2 (О = -V^^i (О sin(fi)r).
Предполагается лишь условие адиабатичности, т.е. со « fiJ|.
Амплитуда возмущения V, расстояние между уровнями 6J1 ^
частота внешнего поля ft) предполагаются не зависящими от
времени, в целях простоты изложения (эти условия не
обязательны).
Амплитуда заселенности верхнего уровня ^2 (О
находится с помощью матричного метода, изложенного выше.
Начальное условие зададим в виде, что в начальный момент
времени Го система находится в состоянии 1. Перемножая
матрицы для N точек поворота, находим
^2@ = {PA(tQ)B(t)exp[iS(t) - /5(Го) -h iy/ + iS] -
- RBit)B(t,) txp[iS(t) + iS(t, )]^^^^^-^
sincp
- PA(t)B(tQ)Q\p[iSitQ)- /5@ - iS - iy/] - B)
sin N(p -I I /6J1^0 I
- R * A(t)A(t^) expH5(r) - iS(t, )]-
sinq)
Здесь введены следующие обозначения:
}exd-
- частота Раби,
64

A(t) = ^{\/2)[l + co,,/n(t)];
B(t) = -^{l/2)[\-co,,/Q(t)l
Изменение действия за время t определяется как
t
S{t) = jQ{t)dt.
О
Амплитуда отражения от одной точки поворота определяется
как
/? = /exp|--^^/3D(j3)L
где D(P) - полный эллиптический интеграл третьего рода от
параметра
Угол (р определяется из соотношения
Vl/?l^ +tan^5
tan ф = •
D
Амплитуда прохождения D связана с амплитудой отражения
R законом сохранения вероятности
Величина S определяется соотношением
65

kIco 'Л
S= j a{t)dt-? —
0 2
Наконец, величина P дается формулой
\R\^ s'm^ N(p
sin^S+l/?l^ cos^5
D tan No
tany/=
Величина N обозначает число учтенных точек поворота и
связана со временем соотношением
N =[C0t/7[l
Здесь скобки [...] обозначают целую часть числа.
Мы видим, что структура волновой функции оказывается
довольно громоздкой, хотя и полностью аналитической.
Амплитуда нахождения системы на верхнем уровне 2 является
осциллирующей функцией времени. Рассмотрим масштабы
этих осцилляции. В общем нерезонансном случае имеется
всего два временных масштаба - это 1/@ и l/ohi, которые
сильно отличаются друг от друга вследствие условия адиаба-
тичности возмущения со « сОц. Далее в окрестности
многофотонных резонансов появляется третий временной масштаб
- это обратная многофотонная частота Раби l/coR. Он имеет
место, когда расстройка многофотонного резонанса мала по
сравнению с частотой возмущения. Это самый крупный
временной масштаб.
Из выражения B) получаем заселенность верхнего уровня
в момент времени г, равную 1^2@1^. При этом предполагается,
66

что возмущение включается в момент времени to. Обычно
интересуются заселенностью, усредненной как по времени
наблюдения г, так и по времени включения Го- В
аналитическом подходе усреднение по времени t разбивается на два
усреднения: по масштабу обратной частоты Раби,
определяющей частоту перескока частицы с нижнего уровня на
верхний и обратно. Второе усреднение происходит по
положению точки t между двумя последовательными точками
поворота, т.е. по периоду действия возмущающего поля.
Второе усреднение, как и усреднение по времени to
включения поля, является мелкомасштабным. Если его
выполнить, то получается усредненная амплитуда нахождения
частицы на верхнем уровне, в которой сохраняются
крупномасштабные осцилляции Раби (эта амплитуда имеет смысл в
окрестности многофотонных резонансов):
4-1/?!^ (A/2 + 22^)^^.
C)
sin^ (р
Здесь введено обозначение
К
К{х) - полный эллиптический интеграл первого рода.
Как уже говорилось выше, это выражение может быть
полезным для определения усредненной по
мелкомасштабным пульсациям (указанным выше) населенности уровней
двухуровневой системы вблизи многофотонного резонанса.
При этом следует заменить число учитываемых классических
точек поворота N на ш/к.
Далее мы усредним полученное выражение C) по частоте
Раби (т.е. по числу точек поворота N), Получаем среднюю
67

заселенность верхнего уровня (средняя заселенность нижнего
уровня получается вычитанием этой величины из единицы):
.,Л-^^'"-,""'>^'(уП^)х
x\l+\R\^ tan^
-,1-1 D)
Здесь Е(х) - полный эллиптический интеграл второго рода.
В случае слабых полей и не слишком близко к точкам
многофотонных резонансов из D) получается обычный
результат теории возмущений первого порядка, как и должно
быть:
В точках, где выполняется условие точного
многофотонного резонанса в сильном поле:
5 = Bш + 1>г, m = 0,1,2, ... E)
средняя заселенность уровня 2 согласно D) оказывается
равной Vz (как и уровня 1). Это значение является максимальной
усредненной заселенностью верхнего уровня. Это, конечно,
справедливо, только для усредненной по времени
заселенности. Для двухуровневой системы это утверждение является
точным и не связано с условием адиабатичности
возмущения.
Выражение C) для заселенности верхнего уровня,
усредненной лишь по мелкомасштабным пульсациям, также
упрощается в случае точного резонанса, определяемого
соотношением E):
68

2 К у к j
F)
Если возмущение включается в момент времени t = О и
имеет место точный многофотонный резонанс, то вместо F)
получим более простое выражение (без усреднения по
начальному моменту времени):
(l«2(OI^} = sin^
\R\ —
к
По мере увеличения кратности резонансов они сужаются,
если только возмущение не слишком велико. С увеличением
амплитуды возмущения заселенность верхнего уровня
стремится к Vi.
В экспериментах обычно по оси абсцисс откладывается
напряженность постоянного магнитного поля, которое
вследствие эффекта Зеемана расщепляет уровень на два
подуровня, образуя двухуровневую систему. Поэтому по оси абсцисс
фактически откладывается расстояние между уровнями
двухуровневой системы, а частота переменного магнитного
поля, вызывающего переходы между уровнями,
расщепленные постоянным магнитным полем, поддерживается
неизменной. Резонансы на частотах
й) = (У2р со = 6J1/3, @ = 0)^J5
и т.д. действительно хорошо наблюдаемы экспериментально,
причем ширина резонансов растет с увеличением
напряженности переменного магнитного поля. Кроме того, в
соответствии с теоретическими предсказаниями ширины резонансов
уменьшаются с увеличением их кратности. Теоретические
кривые хорошо согласуются с экспериментальными
данными, причем не только вблизи многофотонных резонансов, но
69

и в межрезонансных промежутках, где стандартное
резонансное приближение (приближение вращающейся волны)
заведомо не применимо.
Таким образом, в условиях адиабатического приближения
можно описать большой класс задач. Следует отметить, что
хотя формально адиабатическое приближение требует
малости частоты возмущения по сравнению с собственными
частотами рассматриваемой квантово-механическои системы, но
практически хорошая точность достигается и когда эти
частоты сравнимы друг с другом. Причина удовлетворительного
согласия состоит в том, что, как уже отмечалось выше,
адиабатическое приближение эквивалентно с математической
точки зрения квазиклассическому приближению квантовой
механики. А, как хорошо известно, квазиклассическое
приближение по численным причинам дает удовлетворительное
согласие с результатами точных расчетов и при параметре
квазиклассичности порядка единицы. Именно, в следующих
порядках квазиклассического приближения
(асимптотического ряда по параметру квазиклассичности) в знаменателях,
например, поправок к правилу квантования Н. Бора
появляются большие численные множители.
Разумеется, при малых временах полученные здесь
результаты (до усреднения по времени) переходят в результаты
раздела 3.5, где вычислялась вероятность перехода в единицу
времени. При этом заселенность верхнего уровня мала по
сравнению с единицей. Но, конечно, времена не должны
быть слишком малыми, чтобы само понятие вероятности
перехода, пропорциональной времени, могло образоваться (при
совсем малых временах вероятность перехода
пропорциональна квадрату времени).
4.4. Радиационные столкновения атомов
В этом разделе мы рассмотрим столкновения атомов в
присутствии электромагнитного поля - так называемые
радиационные столкновения атомов. Математически эта задача
70

эквивалентна задаче о переходах между двумя квантовыми
уровнями, имеющими точку пересечения. При удалении от
точки пересечения при радиационных столкновениях уровни
расходятся на конечную величину, которая может быть как
большой, так и небольшой. Таким образом, данная задача
является более сложной, чем задача Ландау-Зинера,
рассмотренная выше. При удалении от точки пересечения может
возникать не ситуация теории возмущений в проблеме
Ландау-Зинера, когда переходы определяются лишь
окрестностью точки пересечения, а ситуация проблемы Раби, когда
между двумя уровнями на бесконечности под действием
внешнего периодического возмущения происходят
осцилляции Раби.
Будем моделировать изменение расстояния между двумя
уровнями со временем законом, позволяющим провести
аналитическое рассмотрение задачи:
0J1 (г) = ш + Л -h 5 tanh(^ /т).
Здесь со - частота возмущения, Л - расстройка резонанса при
/ = О (в целях простоты в этом разделе, в отличие от
предыдущего, мы будем считать резонанс однофотонным).
Расстройка резонанса, хотя и изменяется со временем, но
предполагается малой по сравнению с расстоянием между
уровнями в течение всего процесса радиационного столкновения.
Будем также предполагать, что дипольный матричный
элемент перехода из одного состояния в другое не меняется в
процессе столкновения. В действительности, конечно, такое
изменение имеется, так как диполь-дипольное
взаимодействие, вследствие которого происходит изменение уровней,
меняется по мере изменения расстояния между
сталкивающимися атомами. Однако можно утверждать, что изменение
дипольного оператора по адиабатическим волновым
функциям с медленно меняющимся расстоянием между атомами
носит более плавный характер, нежели изменение уровней
71

вследствие вклада Ван-дер-Ваальсового взаимодействия
атомов, которое очень резко убывает с увеличением
межатомного расстояния. Особенно это относится к случаю не слишком
малых прицельных параметров соударения атомов.
Система дифференциальных уравнений для амплитуд
заселенности нижнего A) и верхнего B) уровней записывается
так же, как это делалось неоднократно выше:
[Q@ + A / 2HJ, @]«, (О = -V«2 (О cos(a;/);
[П(г) - A / 2HJ, @]«2 (О = -V^i (О cosicot).
Здесь частота Раби равна
Q(t) = ylcol^(t)/4-^v\os\cot).
В резонансном приближении система уравнений упрощается:
A)
[Q@ + A / 2HJ, ]«1 (О = -Vci2 (О ехр(/й)/) / 2;
[П(/) - A / 2HJ, ]«2 (О = -V'^i (О ехр(-/0)Г) / 2.
Частота Раби принимает также более простой вид:
"(o=^V^2l(o+v^
Как и выше, предполагается, что в некоторый начальный
момент времени ^ система находилась на нижнем уровне 1.
Решение системы A) выражается через
гипергеометрические функции, которые здесь не приводятся. Это решение мы
усредняем по моменту включения поля /о, которое далее
устремляется к - оо. Кроме того, решение усредняется и по
моменту времени регистрации г, которое далее устремляется к
+ <». Опуская выкладки, связанные с усреднением (они ана-
72

логичны тем, что проводились детально в предыдущем
разделе), получим следующее выражение для средней
заселенности нижнего уровня, который после столкновения стал
верхним:
1 1 sinh^(;r5T/2)
W. = - + 1 ' V B)
1 2[H-E/2V)'] l + BV/5)Sinh^(^TVv45^/4)
В целях простоты мы привели решение лишь для случая
А = 0. Этот случай отвечает ситуации, когда расстройка
резонанса одинакова по абсолютной величине до и после
столкновения, различаясь лишь знаком. Более общий случай
ненулевой расстройки решается также аналитически, но
ввиду громоздкости мы его не приводим.
Обсудим полученный результат B). Разумеется, при V = О
имеем vvi = 1, как и должно быть. В противоположном
пределе сильного возмущения V » 5 находим w\ = V2, независимо
от величины т. Это отражает факт равнозаселенности обоих
уровней двухуровневой системы в очень сильном поле.
Выражение B) зависит от двух безразмерных параметров
5т и параметра Ландау-Зинера V т 15 , Рассмотрим
зависимость вероятности B) от параметра Ландау-Зинера для
различных предельных значений параметра 5х .
Сначала предположим 5х» 1. Это неравенство означает,
что разность уровней рассматриваемой системы
адиабатически медленно изменяется со временем в течение радиацион-
2
ного столкновения атомов. Тогда при условии V т/5 < 1 из
B) получаем формулу Ландау-Зинера, которая уже выше
была найдена более простым способом в предположении
линейного изменения уровней со временем:
W, =ехр(-2л:УЧ/5). C)
73

Если же выполняется условие V^r 15 » 1, то вместо
экспоненциального убывания вероятности согласно C) мы
получим из B) другую зависимость:
1
2[l + E/2V)]'
которая представляет собой не что иное, как среднюю
заселенность уровня при осцилляциях Раби.
Таким образом, можно сделать достаточно общий вывод,
что экспоненциально малый предел теории Ландау-Зинера
никогда не реализуется, что связано с реалистическим
поведением уровней квантово-механической системы.
Вероятность перехода Ландау-Зинера набирается в окрестности
момента времени / = О (окрестность точки пересечения
уровней), в то время как вероятность в модели Раби - после того,
как уровни вышли на горизонтальное плато, когда
расстройку резонанса можно считать постоянной.
Наклон уровней вблизи точки их пересечения имеет вид
d(o^^ Idt = 5/т.
Следовательно, время перехода Ландау-Зинера имеет
следующую оценку
V Ух
t* = -
dco^J dt 5
Вероятность перехода Ландау-Зинера набирается за это
время, если безразмерный параметр Ландау-Зинера V^x15
менее или порядка единицы. Но для того, чтобы эта
вероятность действительно набиралась, необходимо выполнение
условия г*« т, т.е. V « 5. Действительно, тогда
вероятность Ландау-Зинера набирается раньше, чем уровни откло-
74

няются от линейного закона со временем в окрестности
точки их пересечения.
Общая картина набора вероятности при этом выглядит
следующим образом. Далеко слева от точки г = О система
находится на нижнем уровне 1, так как вероятность ее
переброса на верхний уровень 2 мала вследствие условия V « 5
(по теории возмущений). В окрестности точки г = О
происходит переход системы в рамках теории Ландау-Зинера.
Вероятность перехода далеко справа от точки t = О опять-таки
мала.
Таким образом, вероятность W] как функция параметра
Ландау-Зинера V^r/S при условии 8г» 1 сначала
уменьшается от значения 1, а после достижения определенного
минимума увеличивается, стремясь к значению Vi для очень
сильного поля. Такое поведение существенно отличается от
обычного механизма Ландау-Зинера, при котором эта
вероятность стремилась бы к нулю для очень сильного поля.
Обратимся теперь к противоположному пределу 5т « 1,
когда изменение разности уровней происходит практически
скачком (внезапно) в окрестности точки пересечения уровней
t = 0. Тогда из общего выражения B), разлагая
гиперболические функции в ряд Тейлора, получим следующее
выражение:
8V'+2V'5'+5'
D)
DV45^)'
Это выражение уменьшается от 1 при V «5 до значения Vi
при V » 5, но не монотонно, а проходя определенный
минимум, значение которого менее Vi. Вероятность перехода в
данном случае обусловлена не только осцилляциями Раби
при положительных и отрицательных временах, но и скачком
гамильтониана системы в момент времени t = 0.
Конечно, решение D) может быть получено и более
простым путем, сшивая решения Раби при положительных и от-
75

рицательных временах друг с другом на основе внезапной
теории возмущений, изложенной выше.
Как в случае 5т < 1, так и в случае 5т > 1 можно сделать
вывод, что в сильных полях имеет место инверсия заселенно-
стей уровней, в то время как в слабых полях такой инверсии
нет.
Относительно просто учесть в данной задаче и затухание
уровней, вызванное возможными переходами в другие
состояния. Ширины уровней могут быть как спонтанными, так
и вынужденными. Для этого необходимо добавить к
энергиям уровней рассматриваемой двухуровневой системы малые
мнимые слагаемые, определяющие релаксацию этих уровней.
Если константы релаксации обоих уровней одинаковы, то это
приводит лишь к достаточно тривиальному общему
множителю в вероятности перехода, не нарушающему внутренней
структуры приведенных выше выражений для вероятности.
Однако при большой разности констант релаксации
эффективное время перехода резко увеличивается. При этом
модель Ландау-Зинера с линейным поведением уровней как
функции времени становится нереалистичной, и необходимо
учитывать отклонение от прямолинейности, которое было
проведено в этом разделе.
4.5. Радиационные столкновения атомов
в немонохроматическом поле
В предыдущем разделе рассматривались столкновения
атомов в присутствии монохроматического
электромагнитного поля светового диапазона частот. Было найдено, что в
некоторый момент времени разность двух энергетических
термов квазимолекулы из двух сталкивающихся атомов
становится равной энергии фотона внешнего поля и происходит
квазипересечение термов в системе «квазимолекула + поле».
В результате такого пересечения может происходить
неадиабатический переход.
76

Здесь исследуется влияние немонохроматичности
излучения на такой переход. В качестве простейшего примера
немонохроматичности мы рассмотрим бихроматическое
поле, которое является суперпозицией двух монохроматических
полей с близкими частотами С0\ и coi. Матричный элемент би-
хроматического поля между нижним уровнем A) и верхним
уровнем B) запишем в виде
Vit) = V, cosco^t -\-V^_cos{co2t + а). (I)
Величина a обозначает разность фаз в момент времени / = 0.
Обозначим, как и раньше, зависящие от времени
адиабатические энергии уровней E](t) и Eiit). Следуя тому же
подходу, что был изложен выше, разлагаем разность энергий
вблизи точки квазипересечения в ряд Тейлора по времени и
ограничиваемся линейным членом:
co,,(t) = E,{t)-E,(t)^co,+Ft, B)
Для определенности начало отсчета времени выбрано в точке
квазипересечения, обусловленной первым полем.
Производная F является малой величиной, так как она
пропорциональна скорости сталкивающихся атомов w, малой по
сравнению с атомными скоростями v^. Именно,
Уд т т
Здесь т - характерное атомное время.
Далее удобно использовать безразмерную разность
частот и безразмерную амплитуду поля соответственно:
77

й), -«2 V'|2
Безразмерная амплитуда поля совпадает с параметром Лан-
дау-Зинера, введенным выше.
Сначала рассмотрим случай слабого поля, когда этот
параметр мал, т.е. vi,2« 1. Тогда, как и для
монохроматического поля, вероятность перехода может быть найдена по теории
возмущений. Амплитуда перехода в первом порядке теории
возмущений имеет вид
\dt.
12 ""
оо
¦-i J V'ljCOexp
—схэ
" ^ 1
/|аJ,(г')Л'
.0 J
Временная зависимость волновых функций в
подынтегральном выражении определена в адиабатическом приближении.
Поэтому непосредственное интегрирование по времени дает
правильный результат даже в теории возмущений только в
том случае, когда в существенной для интегрирования
области отсутствуют быстрые осцилляции. Ряд теории
возмущений в этом случае представляет собой простое разложение по
степеням параметра Ландау-Зинера. Именно такая ситуация
имеет место для перехода Ландау-Зинера в слабом поле, где
существенный для данной задачи интервал времени имеет
порядок величины 1 /
В резонансном приближении, оставляя от косинусов в
возмущении A) по одной экспоненте и учитывая разложение
B), получим вероятность перехода в виде
^12 =1^2 1^=2л:{у^-bV2-h2viV2Cos(a-Aco^/2)}. C)
Отсюда видно, что величина интерференционного члена
зависит как от исходной разности фаз а, так и от изменения
78

фазы вследствие разности частот гармоник бихроматическо-
го поля.
Если разность частот велика, т.е. Дй)»1, то нужно
усреднять вероятность по малым флуктуациям этой величины.
Это связано с тем, что в реалистическом случае обе
электромагнитные волны не являются строго монохроматическими,
а в свою очередь имеют конечную ширину спектра 5со. Такое
усреднение справедливо при выполнении условия
«8о)«\(о^ -^2 I.
I й), - ftJ I
Из этих двух неравенств правое обеспечивает существование
двух разделенных монохроматических волн, а левое -
большую по сравнению с единицей добавку к аргументу косинуса
в выражении C) из-за вклада 8со, вследствие чего и следует
производить усреднение. В результате интерференционный
член исчезает, и вероятность перехода оказывается равной
сумме вероятностей типа Ландау-Зинера от каждой из
гармоник:
{»v„) = 2;r(vf+v,^). D)
Отметим, что из-за проведенного усреднения отсутствует
интерференция между двумя точками перехода.
Теперь мы рассмотрим другой случай, когда поле
является сильным, но точки квазипересечения термов можно
считать изолированными. Для этого необходимо, чтобы
промежуток времени между точками пересечения существенно
превосходил бы время перехода в окрестности точки
пересечения, т.е.
Аб[}»тахA, Vj2). E)
79

при этом сами амплитуды возмущения могут быть
произвольными по величине, т.е. v. 2 ^ 1 или v. 2 > 1-
Поскольку при Дсу » 1 имеется эффективное усреднение
по разности фаз двух полей и отсутствует
интерференционный член, то можно перемножать вероятности, вычисленные
по теории Ландау-Зинера для каждой из точек перехода. Это
утверждение было обосновано выше в рамках теории
возмущений. Но оно справедливо и вне этих рамок.
Действительно, предположим, что вдали слева от времени первой точки
пересечения термов /, частица находится на нижнем уровне
1. Тогда ее волновая функция имеет вид
4^(t « f,) = I//, expH'^iO.
После прохождения первой точки пересечения f, вследствие
того, что время набора вероятности заселения верхнего
уровня 2 мало по сравнению со временем до следующей точки
пересечения ^2 ""^' имеем для волновой функции в
промежутке между двумя точками пересечения следующее
выражение:
4^(Г, «t «t2) =
= а^у/^ txp(-iE^t4-i(p^)-hyfl-a^y/^ cxpi-iE^t + i(p2).
Здесь обозначено
a, =ехр(-2яу^)
- вероятность остаться на нижнем уровне 1 по теории Ландау
-Зинера, а ф,, (^2 - фазы, набежавшие после прохождения
первой точки пересечения /j.
80

После прохождения второй точки пересечения термов ^2
имеем для волновой функции следующее выражение:
4^(t »^2) = V^,«2V^i expH^jf + /ф,') +
-f yla^{\-a^)\f/^ txpi-iE^t + i(p2') +
+ ^/(l-a,)a2V^2 exp(-/?'2^ + ^'^2") +
+ ^/(l-ai)(l-a2?i expH?,r + /(jo,").
Здесь обозначено
«2 = ехр(-2яУ2)
- вероятность, что частица остается на нижнем уровне 1 по
теории Ландау-Зинера, а <Pj2'> <Pi,2" ~ фазы, набежавшие
после прохождения первой точки пересечения ^2-
Вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2 определяется
выражением
W,2 =
V«l(l-«2) + V«2(l-«l) еХр[/((Р2 "-^2 ' )]|
Интерференционный член исчезает при усреднении по
разности фаз аналогично тому, как это было проделано выше
для случая теории возмущений. Таким образом,
окончательно находим
<Wi2 > = a,(l-a2) + ^2(l""^i)- F)
Для слабого поля отсюда получаем результат D) теории
возмущений, как и следовало ожидать.
Специфически новым эффектом для бихроматического
поля является появление новых комбинационных частот типа
81

ПО), -(/2-1HJ. ^^^^ расстояние между
квазимолекулярными термами близко к какой-либо из этих частот, то в
окрестности этих частот также происходят переходы Ландау-Зине-
ра. Расстояние между соседними точками перехода равно
Ао), как и расстояние между основными точками, где
разность термов составляет 0)^ или (Oj. Поэтому само понятие
изолированности этих точек справедливо при условии E).
Для рассмотрения возникающих переходов, которые
можно назвать комбинационными переходами, следует в
стандартной схеме двух уравнений, описывающих динамику
двухуровневой системы в монохроматическом внешнем поле
в окрестности точки квазипересечения термов
предварительно произвести следующую модификацию: выполнить
итерацию каждого из этих уравнений вплоть до третьего порядка
теории возмущений по vi,2 и оставить только те слагаемые,
которые содержат две комбинационные частоты 2со^ - щ
и 2С02 - 0)^. После этого система уравнений в приближении
Ландау-Зинера выглядит традиционно, только матричный
элемент vi,2 заменяется на трехфотонный комбинационный
матричный элемент. Аналогичная процедура производится
для исследования многофотонных связанно-связанных
переходов в атомах при не зависящих от времени энергиях
уровней.
В частности, для перехода на частоте 26^2 - СО^
матричный элемент имеет вид
v;"=-^. G)
Для перехода на второй комбинационной частоте нужно в
этом выражении только поменять местами индексы 1 и 2.
При указанном выше условии v, 2 « Aft) эти
многофотонные матричные элементы малы по сравнению с однофо-
82

тонными матричными элементами vi,2, что согласуется с
предположением этого раздела об изолированности точек
квазипересечения термов.
Если vi,2 « 1, то комбинационные переходы слабо
влияют на результирующую вероятность перехода, поскольку
тогда согласно G) получается v,^^ « 1. При этом прохождение
двух точек О)], Фг возвращает систему в исходное состояние,
так что результирующая вероятность перехода Ландау-Зине-
ра после прохождения четырех точек квазипересечения
термов 2@^ -0J, ft)p COj, 2@2 " ^1 имеет следующий вид:
< w,2 > = а^^^A -af) + af A -а^'^). (8)
Здесь введено обозначение:
«U =ехр[-2л:|у|^'2^|'].
Кроме того, использовано то же усреднение по разности фаз,
что и при выводе формулы F).
При vi,2 » 1 и у|д «1 , как видно из F) и (8),
вероятность перехода мала. Если оставаться в рамках выражения
F), то вероятность получается экспоненциально малой.
Гораздо большей может оказаться вероятность
комбинационных переходов, вычисляемая по формуле (8). В этом случае
она равна:
/..,. V
< w,2 > = 2K(vf -\-vl)\
V,V2
Аса
2
/
(9)
Это выражение имеет только степенную малость. Однако,
конечно, если взять разность частот Асо столь большой, что
выражение (9) будет весьма малым, то можно добиться того,
что комбинационная вероятность станет малой по сравнению
83

с экспоненциально малой вероятностью, получаемой
согласно формуле F) на основных частотах.
Все сказанное выше справедливо, когда малы следующие
пятифотонные комбинационные переходы на частотах
Зо), - 2@2' ^^2 " 2^1 • Для их описания можно повторить
все сказанное выше относительно трехфотонных
комбинационных переходов. Такое описание необходимо, когда
пятифотонные комбинационные матричные элементы становятся
сравнимыми с единицей.
Далее мы рассмотрим случай, когда частоты бихромати-
ческого поля слабо отличаются друг от друга, а именно.
Aft)« V, 2. При этом, в отличие от предыдущего случая,
время перехода Ландау-Зинера значительно превышает
временное расстояние между точками квазипересечения
уровней, и эти точки заведомо нельзя считать изолированными.
По этой же причине уже нельзя говорить о комбинационных
переходах, поскольку соответствующие точки сближаются с
точками, соответствующими основным тонам.
На первый взгляд, кажется, что в рассматриваемом здесь
случае можно говорить об одном поле с амплитудой
V, -fV2 ехр(/а).
В действительности, указанного выше неравенства
Аа)« v,2
оказывается недостаточно для такого утверждения.
Амплитуда бихроматического поля
V, + V2 ехр[/(а -\-(рАсо)]
остается постоянной в течение перехода при условии
АсоАср « 1, А(р - время перехода. В слабом поле А(р
порядка единицы и переход к случаю одного поля оправдан, так
84

как Асо« 1. Напротив, в сильном поле имеем А(р ©с Vj 2, и
два поля можно заменить одним при выполнении более
жесткого условия Асо « v,~2.
Когда возможен переход к случаю одного поля,
вероятность описывается формулой Ландау-Зинера:
<Wj2 > = 1-ехр[-2л:(у^+V2+2v,V2COsa)]. A0)
Эта формула применима, когда выполняется условие
Асо« min[v,2; v,~2].
При vi,2 « 1 отсюда получаем, как и следовало ожидать,
результат теории возмущений C) с Асо « 1.
Если разность фаз двух полей а носит случайный
характер, то выражение A0) можно усреднить по этой разности
фаз; в результате находим
<Wi2 > = 1-ехр[-2л:(у^+У2)]-/о[4яу,У2]. A1)
Здесь /о - модифицированная функция Бесселя нулевого
порядка. В частности, в случае очень сильных полей, когда
vi,2» 1, из A1) получаем
< m;i2 > = 1---^ ехр[-2л:(у,' -У2 )].
8л: у, у л
Мы видим, что в случае очень сильного поля при v^ = У2
вероятность частице остаться на исходном уровне для бихро-
матического поля может быть малой не экспоненциально по
возмущению, как для случая монохроматического поля, а
85

степенным образом. Однако при Vj Ф v^ экспоненциальная
малость сохраняется.
Перейдем теперь к случаю
когда задачу нельзя свести к случаю одного поля. При этом,
очевидно, следует считать поле сильным, т.е. Vi,2 » 1. Для
рассмотрения данной гораздо более сложной ситуации мы
ограничимся частным случаем одинаковых амплитуд
возмущений в обеих гармониках бихроматического поля:
V| = V2 = V. Система уравнений, описывающих амплитуды
засел енностей уровней 1 и 2, имеет вид (в обезразмеренной
форме):
I—^ = 2va. cos ;
dcp ' 2
A2)
.da^ _^ (pi^co-a
d(p
В предельном случае, когда
2va, cos -h(jPtt2
(pAco-a
cos-^^ >1,
из A2) получаем исследованную выше систему уравнений
Ландау-Зинера для монохроматического поля.
В общем виде система уравнений A2) не имеет
аналитического решения. Мы обратимся к квазиклассическому
решению этой системы. Оно справедливо при выполнении
условия dX I dcp « 1, где
86

я =
vcos
(joAft)~a
-1-1
- характерная де-бройлевская длина волны частицы. Это
означает, что должно выполняться условие сильного поля
V » Ай), 1, которое уже ранее предполагалось нами.
При выполнении этого квазиклассического условия
вероятность частице остаться на исходном уровне согласно
адиабатическому приближению Ландау-Дыхне (см. выше) имеет
вид
W,
ехр
-32v'J[jc'-hcos'(jC(^~a/2)]^''d[x[. A3)
Здесь обозначено ^ = 2vAu), а Ь - классическая точка
поворота в комплексной плоскости, определяемая из условия
равенства нулю подынтегрального выражения, т.е.
В случае ^ « 1, т.е. Асо « v~^, в выражении A3) можно
упростить подынтегральное выражение
cos(x^ - а / 2) -^ cos(a / 2),
и тогда точка поворота имеет простой вид b = icos{OC/2).
Тогда из A3) находим
W,, =ехр[-8яу^со5^(а/2)].
A4)
Это выражение согласуется с A0) при v, = V2 =v, как и
должно быть.
87

в случае произвольных значений уДй) мы оценим
интеграл в A3), используя условие сильного поля v » 1. Легко
видеть, что при выполнении этого последнего условия
вероятность частице остаться на исходном уровне максимальна,
когда разность фаз а близка к п. Вне этой области
вероятность быстро убывает, поэтому при вычислениях можно
ограничиться малой окрестностью указанной области. Разлагая
косинус в ряд в выражении A3), получим
w,j =ехр<
27tv^(n-ay
Ы'Г
A5)
При <^ « 1 получаем выражение, согласующееся с A4), как
и должно быть. Если же, напротив, (^ »1, то из A5)
получим
^11 =expi--
4v(Aft))
Напомним, что для применимости этой последней формулы
должно выполняться условие v~' « Асо « v.
В заключение рассмотрим, как видоизменяются
результаты при переходе от простейшей немонохроматичности в виде
двух гармоник поля к реалистическому
немонохроматическому полю, содержащему большое число близких гармоник.
Наиболее просто обстоит дело в случае применимости
теории возмущений. Обобщая формулу C), находим, что
вероятность перехода пропорциональна сумме квадратов
отдельных гармоник амплитуды немонохроматического
возмущения, разложенной в ряд Фурье, а также квадратичных
интерференционных слагаемых. Эти последние слагаемые
исчезают, когда велик так называемый корреляционный
интервал излучения, представляющий собой разность частот
88

соседних гармоник поля, либо фазы отдельных мод не
синхронизованы друг с другом.
Полученные результаты для случая двух гармоник,
сильно отличающихся по частоте, сохраняют справедливость и
для произвольного немонохроматического поля, поскольку в
реальном лазере расстояния между частотами соседних мод
одинаковы. Следовательно, новых комбинационных частот,
помимо рассмотренных выше, не возникает. Однако,
разумеется, изменяются вероятности переходов вследствие того, что
каждое значение комбинационной частоты, в том числе и
основных тонов, реализуется большим числом пар гармоник
излучения. Результативно можно сказать, что время перехода
Ландау-Зинера увеличивается до эффективной ширины
немонохроматического излучения
t^
^min-^max
если эта ширина превышает время перехода Ландау-Зинера
для одной гармоники. Величина F в этом соотношении
представляет собой типичную производную от разности энергий'
верхнего и нижнего уровня в окрестности какой-либо точки
квазипересечения уровней.
Однако в спектре лазерного излучения, помимо
суперпозиции мод, есть также немонохроматичность, обусловленная
конечной длительностью лазерного импульса и
стохастическим сбоем фазы, влияние которого на характер перехода
Ландау-Зинера требует отдельного рассмотрения и может
изменить сделанное выше заключение о времени перехода.
89

ГЛАВА 5
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЗАДАЧИ
5.1. Системы в сильном магнитном поле
Заряженные системы, помещенные в магнитное поле,
взаимодействие с которым значительно превышает
взаимодействие внутри таких систем, обладают специфическими
свойствами. Магнитное поле стремится удержать
заряженную частицу на своей силовой линии. Поэтому ларморовское
вращение вокруг силовой линии магнитного поля является
быстрым, в то время как движение частицы вдоль силовой
линии под действием сил от других частиц или какого-либо
другого силового внешнего поля является медленным. В этом
разделе вместо общего исследования мы рассмотрим
типичный пример задачи такого типа.
Простейшая система - это водородоподобный атом. В
отсутствие магнитного поля электронное облако его
основного состояния является сферически симметричным. Однако
при наложении сверхсильного магнитного поля (параметры
этого поля будут указаны ниже) облако превращается в
тонкую трубочку вдоль направления вектора магнитного поля. В
этом разделе мы будем использовать релятивистскую
систему единиц, в которой масса электрона, постоянная Планка и
скорость света равны единице.
90

в отсутствие кулоновского потенциала электрон
находится на эквидистантных уровнях Ландау, расстояние между
которыми равно ларморовской частоте еН, Здесь е - заряд
электрона, а Я - напряженность магнитного поля.
Характерный радиус цилиндрической трубки, в которой
сосредоточена волновая функция электрона, равен а - {еН)'^'^. Вдоль
силовой линии поля движение является инфинитным.
Однако если теперь имеется силовой кулоновский центр с
потенциалом —Ze / г, то движение вдоль магнитного поля
становится финитным. Здесь Z заряд атомного ядра. Таким
образом, с математической точки зрения, задача сводится к
одномерной кулоновской задаче. Кулоновский потенциал
обрезается на малых расстояниях порядка а от центра
потенциала (атомного ядра). Это расстояние предполагается
малым по сравнению с радиусом боровской орбиты \IZe^.
Энергия связи основного состояния в одномерном куло-
новском потенциале уходит неограниченно вниз, когда
fl( —> 0. Это - так называемое «падение на центр». При
конечном значении возникает логарифмическая зависимость
энергии связи от величины а. Соответственно мы увидим,
что полученные результаты для энергии верны с
логарифмической точностью по отношению к напряженности
магнитного поля Я.
Направим магнитное поле вдоль оси х. Так как энергия
основного уровня может опускаться очень сильно, то задача
является релятивистской и для ее решения нужно
использовать уравнение Дирака. Итак, мы имеем систему двух
одномерных уравнений Дирака для верхней и нижней компонент
биспинора. В направлениях, перпендикулярных направлению
магнитного поля, решение уравнения Дирака совпадает с
решением, полученным в отсутствие электрического поля
кулоновского центра.
Удобно выбрать обрезанный одномерный кулоновский
потенциал в следующей форме:
91

V(x) = -
\x\+a'
Тогда, после замены независимой переменной х + а = ^ для
X > О и - X + а = t для X < О уравнение Дирака сводится к
обычному релятивистскому кулоновскому уравнению
Дирака.
Сначала предположим, что х > 0. Выполним обычную
замену зависимых функций для компонент F и G дираков-
ского биспинора:
F =
1 + г
ч1/2
(zi+Zz); G =
1-е
ч1/2
ix^-Xi)'
Здесь ? - релятивистская энергия связи уровня. Тогда для
функций Х\^ Xi получаются независимые уравнения Уит-
текера. Их решения, обращающиеся в нуль при jc —> ©о,
имеют следующий вид:
;f,@ = W, ,BЯ0; Х20) =
\JZe
Ze
-W
2 A+l,iZc'
BЯ0.
Здесь W - функция Уиттекера; введены следующие
обозначения:
Я = л/1-е'; Л = 2^'?/Я-1/2.
Характерная область изменения координаты х вдоль
направления магнитного поля имеет порядок величины комптонов-
ской длины волны электрона, т.е. 1/Я - 1. Решение уравнения
Дирака для х <0 находится аналогичным образом.
92

Сшивая решения F и G при jc = О, получим два класса
решений, которые отличаются друг от друга своей
симметрией относительно изменения знака координаты х. Первый
класс решений соответствует четным функциям F и
нечетным функциям G, а второй класс решений - наоборот.
Состояния второго класса также имеют место в обычной
трехмерной релятивистской кулоновскои задаче. В
нерелятивистском пределе радиальная волновая функция таких
состояний rR{r), будучи приведена к одномерной задаче,
стремится к нулю при г ^ О . В данной задаче энергии таких
состояний оказываются близкими к энергиям обычной
релятивистской трехмерной кулоновскои задачи. Поэтому такие
состояния не представляют особого интереса.
Напротив, состояния первого класса отсутствуют в
трехмерной кулоновскои задаче. Правило квантования для таких
состояний имеет вид
A.iZe- ^ ^ у Л A+\jZe ^ ^
Мы предполагаем магнитное поле столь сильным, что
выполняется условие
Это означает, что Ал « 1. Таким образом, радиус тонкой
трубки вдоль направления магнитного поля, представляющей
собой возмущенное электронное облако, предполагается
малым в сравнении с комптоновской длиной волны электрона.
Тогда функции F и G почти постоянны в области вблизи
начала координат х - а. Поэтому тот факт, что точное
решение в этой области неизвестно, не является существенным
для приближенного решения задачи.
Так как Ал « 1, функции Уиттекера в последнем
уравнении могут быть разложены в степенной ряд. Тогда для энер-
93

гии основного состояния получаем следующее неявное
выражение:
f и \
? = COS
Н
Ze'ln
НоИ-е'))
A)
Здесь Но - релятивистская единица напряженности
магнитного поля, равная 1/е = 4.42-10^"^ Э. Энергии всех
возбужденных состояний первого класса оказываются близкими к
соответствующим энергиям состояний второго класса, и по этой
причине мы их не рассматриваем.
В нерелятивистском пределе косинус в выражении A)
можно разложить в ряд, и мы получаем более простое (и
явное) выражение для энергии нерелятивистского основного
состояния водородоподобного атома в сильном магнитном
поле:
2 Z'H,
Здесь введена атомная единица напряженности магнитного
поля Н^=е^ =2.35•10^ Э.
Условие применимости релятивистского решения A)
имеет вид Н » Но, а условие применимости
нерелятивистского решения B) имеет вид
Z^H^ « И « Z^H^ exp(l/Ze^).
Кроме того, релятивистское решение A) становится
неприменимым, когда магнитное поле столь сильно, что
дальнейшее уменьшение энергии основного состояния
водородоподобного атома линейно по напряженности магнитного
поля из-за аномальной поправки е^Ип к магнитному моменту
электрона. Это происходит при магнитных полях с напря-
94

женностью, превышающей litH^le =4-10'^ Э. Таким
образом, релятивистское решение A) справедливо при
следующих ограничениях на напряженность магнитного поля:
Н^«Н «2пН^/е'
Легко видеть из C), что зависимость релятивистской
энергии основного состояния от напряженности магнитного
поля обладает тем свойством, что производная от энергии по
напряженности обращается в бесконечность при некотором
критическом значении напряженности. Это критическое
значение дается формулой
Я, = Яо ехр
^ ;г ., 1 ^
21п Г--2
Ze^ 2Ze^
C)
В этой точке критическое значение энергии уровня близко к
нижней границе дираковского континуума:
?=-H-2ZV.
В частности, для случая Z = 60 значение критического поля
составляет Я^ = 610^^ Э.
Невозможно продолжить уровень энергии в область выше
критического поля C), так как в критической точке
начинается рождение электрон-позитронных пар, и задача перестает
быть одночастичной.
Из полученного решения A) видно, что энергия связи
основного состояния водородоподобного атома в сверхсильном
магнитном поле может быть порядка энергии покоя
электрона. Если магнитные поля с напряженностями порядка 10^"* Э
существуют в космическом пространстве, то спектры атомов,
попадающих в такие поля, должны сильно меняться. В част-
95

ности, должны появляться линии, соответствующие
испусканию жестких гамма-квантов.
В заключение следует оценить роль конечных размеров
атомного ядра в таких процессах. Для достаточно сильных
магнитных полей обрезание кулоновского потенциала
должно происходить не на ларморовском радиусе, а на размере
атомного ядра. Конечностью ядра можно пренебречь, если
даже при критическом поле C) радиус ядра R меньше, чем
радиус цилиндрической трубки а, т.е.
{еНУ^ >R.
Оценивая радиус ядра как классический радиус электрона,
т.е. R ~ е^, получим следук
применимости решения A):
т.е. R ~ е^, получим следующие окончательные условия для
131 = \»Z> -^—^—- - 30.
е^ е^\п{\1е^)
Левая часть этого неравенства соответствует тому, что при
значениях Z порядка 137 нельзя считать кулоновское поле
малым по сравнению с магнитным полем.
Подчеркнем, что наличие спина электрона весьма важно в
рассматриваемой задаче. Действительно, для уравнения
Клейна-Гордона, описывающего поведение бесспиновой
частицы (например, пи-мезона) в слабом кулоновском поле и
сильном магнитном поле, логарифмическое падение энергии
основного состояния подавляется положительным слагаемым
Я/2, существующим даже в отсутствие кулоновского поля.
96

5.2. Электронный захват в присутствии сильного
магнитного поля
Захват орбитального электрона из основного lsi/2
состояния водородоподобного атома с зарядом атомного ядра Z
представляет собой процесс, при котором один из протонов
атомного ядра превращается в нейтрон и испускается
нейтрино (для свободного протона такой процесс запрещен
законом сохранения энергии):
^Z + e--4^ (Z-l)-hv.
Для того чтобы такой процесс был энергетически возможен,
необходимо, чтобы разность энергий покоя начального и
конечного ядра была бы больше энергии связи электрона
?= -2^2 (здесь и далее мы используем атомную систему
единиц, в которой масса и заряд электрона, а также
постоянная Планка полагаются равными единице):
(М2-М2.,)с' >Z'/2.
Мы будем полагать электрон нерелятивистским, т.е. считать,
что заряд Z атомного ядра значительно меньше 137.
Электронный захват является процессом,
конкурирующим к позитронному бета-распаду ядра:
^Z-^^ (Z-l) + e^+v.
Позитронный распад иногда запрещен законом сохранения
энергии, так как требует затраты энергии покоя по^шрона.
Основная часть высвобождаемой энергии при
электронном захвате (несколько МэВ) уносится нейтрино, в то время
как атомное ядро получает энергию отдачи в
противоположном направлении порядка нескольких эВ.
97

Вероятность электронного захвата пропорциональна
вероятности нахождения электрона в области атомного ядра
(т.е. в начале координат). Волновая функция электрона имеет
вид
^(A*) = j—exp(-Zr),
V п
так что
7^
14^@I^=—. A)
к
Мы не будем интересоваться абсолютной вероятностью
электронного захвата, которая содержит конкретный
ядерный матричный элемент перехода, характеристики фермиев-
ского (без изменения ядерного спина) или гамов-
теллеровского (с изменением ядерного спина на единицу)
переходов и константы слабого взаимодействия. Наша цель
состоит в том, чтобы определить, как влияет сверхсильное
магнитное поле на эту вероятность. Для этого нужно
вычислить волновую функцию в начале координат в присутствии
магнитного поля.
Как мы уже говорили выше, облако вероятности имеет
вид тонкой цилиндрической трубки вдоль направления
магнитного поля. В этом случае удобна цилиндрическая система
координат. Движение в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю, не зависит от кулоновского потенциала, и
характеризуется осцилляторными волновыми функциями
уровней Ландау для свободного электрона. Для основного
состояния и проекции спина на направление магнитного поля,
равной Vi, энергия равна нулю, а нормированная волновая
функция основного осцилляторного состояния имеет вид (р -
расстояние от оси цилиндра до точки наблюдения):
98

и нормирована условием
JR\pJ7tpdp = l.
Здесь величина аи = {clHf'^ представляет собой характерный
радиус цилиндрической трубки в сверхсильном магнитном
поле с напряженностью Н.
Следовательно, на оси цилиндрической трубки имеем
/?@) = -^J^. B)
^2ка^
Теперь обратимся к движению электрона вдоль
направления магнитного поля (ось z). В этом направлении действует
одномерный кулоновский потенциал атомного ядра, который
обрезается на малых расстояниях приведенной выше
величиной ан. С логарифмической точностью мы можем
представить этот потенциал в виде:
У(.1) = --
IZ I+а„
Решение одномерного уравнения Шредингера
1 c?V
2 dz'
+ V{z)\l/ = E\if
99

выбираем в форме вариационной нормированной на единицу
волновой функции:
\l/{z) = yfktxpi-k\ z\).
Здесь к - вариационный параметр. Энергия состояния как
функция вариационного параметра имеет вид
1 сЫу/
dz
Е{к)^^\\Щ dz+\V{z)\w\^ dz.
о J /7-7 J
Вычисляя интегралы, получим
2 i z^a„
Так как к « Май, в чем мы убедимся далее, то в
существенной области интегрирования ехр(-2/:г) = 1, так что мы
находим (с логарифмической точностью):
1,2 ..,, 1
Е{к) = -к'-2ZkIn
ка.
Следуя вариационному методу, приравниваем нулю
производную от энергии по вариационному параметру:
k-lZln-
1
ка,
+ 22 = 0.
Пренебрегая последним слагаемым в левой части этого
выражения, находим искомое значение вариационного
параметра (снова с логарифмической точностью):
100

k = 2Zln-
Za,
Энергия уровня оказывается равной значению, которое уже
получалось ранее в релятивистском подходе другим
методом:
1
? = -2Z4n^
Za,
Преимущество данного подхода состоит в том, что он
позволяет получить простое выражение для волновой
функции одномерного движения в начале координат:
у/@) = л[к.
C)
Объединяя B) и C), получим полную вероятность
нахождения электрона в области атомного ядра в присутствии
сверхсильного магнитного поля:
|vp^@)P=-^ln- ^
тга.
Za
D)
н
Отношение D) к A) определяет увеличение вероятности
электронного захвата в присутствии сверхсильного
магнитного поля по сравнению со случаем, когда магнитного поля
нет:
/
7] =
а
\2
в
Za,
In- ^
Za,
E)
Здесь мы возвратились к обычным единицам, в которых бо-
ровский радиус и радиус цилиндрической трубки облака
электронной вероятности равны
101

Й' сП
^в= Г' ^н =лГ77'
те V еН
Из E) следует, что чем больше магнитное поле, тем
больше вероятность электронного захвата. В основном она
растет прямо пропорционально напряженности магнитного
поля Н (если пренебречь логарифмом). В отсутствие
магнитного поля вероятность электронного захвата растет с ростом
заряда ядра как Z . При фиксированном значении
сверхсильного магнитного поля вероятность электронного захвата
растет слабее, а именно, согласно D) пропорционально
заряду Z.
Процесс электронного захвата наблюдается по отдаче
ядер. Энергия отдачи вычисляется, исходя из законов
сохранения импульса и энергии:
?. =
[(М^-М2.,)с'-1?1]'
2М,_,с'
Здесь величина Е представляет собой энергию связи
электрона в атоме, которая имеет простой вид, как в отсутствие
магнитного поля, так и в сверхсильном магнитном поле.
5.3. Изменение энергий релятивистских уровней
при столкновении тяжелых атомов
Когда тяжелые атомы бомбардируются тяжелыми
атомами или тяжелыми ядрами (например, атомы урана ядрами
урана (Z = 92)), энергии электронных уровней внутренних
оболочек могут сильно изменяться. Действительно, если ядро
урана близко подходит к другому ядру урана, то суммарный
заряд ядер равен 184, т.е. он превышает критический заряд
Z = 170, соответствующий достижению основным
электронным состоянием нижней границы дираковского континуума.
102

Наша цель - рассчитать движение электронных уровней,
когда атомные ядра сближаются друг с другом.
Особый интерес представляют внутренние электронные
оболочки. Движение ядер происходит адиабатически
медленно. Поэтому можно рассматривать электронные уровни
внутренних оболочек при фиксированном расстоянии R
между атомными ядрами. В этом смысле реализуется
приближение, аналогичное приближению Борна-Оппенгеймера для
электронного и ядерного движений в молекулах (см. п. 1.2).
Задача является существенно релятивистской. В
противоположность уравнению Шредингера уравнение Дирака для
электрона в поле двух кулоновских центров не допускает
разделения переменных в эллиптической системе координат.
Мы исследуем здесь случай R » 1 (далее используется
релятивистская система единиц, в которой Й = с = т^ = 1;
единица длины в этой системе есть комптоновская длина волны
электрона, равная 3.86-10"'' см).
Мы рассмотрим столкновение тождественных ядер, так
как в этом случае решение имеет достаточно простую
аналитическую форму. Кроме того, как хорошо известно, в этом
случае эффект, связанный с прямым рождением электронно-
позитронных пар сильным кулоновским полем, подавлен на
несколько порядков величины.
Уравнение для компонент дираковского биспинора ^, т]
имеет вид
ap(^=(e + l-VO7; ар77 = (г-1-У)(^.
Здесь V - кулоновский потенциал обоих ядер, 8 - энергия
электронного состояния. Исключая спинор г] и делая
подстановку (^=(? + l-V)'^^(jP, получаем следующее уравнение
для функции (р:
А(р + к'^(р = 0, A)
103

которое выглядит аналогично уравнению Шредингера.
Величина к здесь определяется из соотношения
2W 4W^ W
Введено также обозначение W = г + 1 - V. Отметим, что из-
за спин-орбитального слагаемого эффективный
гамильтониан системы является неэрмитовым. Однако это не отразится
на полученных ниже результатах.
При R » 1 ищем решение в виде суперпозиции решений,
локализованных соответственно около одного и другого
атомного ядер:
(p = (po(x,y,z)±(po{-x,y,zX
Положения ядер характеризуются координатамих = R/2 их =
= -R/l.
Уравнение для функции (ро имеет вид
А(р^+Ц%=0. C)
В выражении для ко мы должны учесть не только кулонов-
ский потенциал Vo ближнего (например, правого) ядра, но и
кулоновский потенциал v от более далекого (левого) ядра.
Кроме того, под энергией уровня ? следует понимать
энергию электрона в правой потенциальной яме, содержащую
поправку Z/R от присутствия левого ядра.
Умножим уравнение A) слева на %(х,y,z), з. уравнение
B) - слева на (р . Затем вычитаем одно выражение из другого
и интегрируем по области переменных О < jc < ©о и
— оо < д;^ ^ < оо. Рассмотрим отдсльныс члены, возникающие
при таком интегрировании в выражении:
104

± J {%А(р - (pAcpQ) dxdydz = ±2J
\>0
(Po
dcp.
dydz. D)
v=0
Здесь интегрирование производится в плоскости KZ,
проходящей посередине расстояния между атомными ядрами.
Выпишем отдельные члены, возникающие при
интегрировании выражения
j ifp^k V - #oVo ) dxdydz.
\>0
Имеем
A =
-\
v>0
{e-vf-X-
So-Vr-l-
3(VV)
2 \
^x
X(p%dxdydz.
/J J
E)
Заменим (p на q\) в этом подынтегральном выражении. Это
можно делать, так как интегрирование фактически
сосредоточено в окрестности правого атомного ядра, где функция
(p^(-x,y,z) экспоненциально мала. Кроме того, в
потенциале V мы сохраним только потенциал Vq = -Z ^ / г от правого
ядра, так как вклад потенциала v от левого ядра в R раз
меньше. Тогда выражение E) приобретает более простой
вид:
v2
A = {?-?,)j
2(е.-К).'-Ш
2W'
\(pldxdydz. F)
105

Член в выражении B) для к^, содержащий - VV/2W, не
вносит никакого вклада в интеграл D). Действительно,
величина AV пропорциональна дельта-функциям Дирака в точках,
где расположены атомные ядра. В данном случае
доминирующую роль играет точка, где находится правое ядро. Нас
интересует сдвиг энергии основного состояния lsi/2.
Невозмущенное решение (ро имеет вид (без учета нормировки):
(ро =—7==exp(-Zr + ?olnr). G)
Здесь невозмущенная энергия основного состояния равна
Нижней компонентой спинора (ро пренебрегаем, так как
мы далее увидим, что в рассматриваемой задаче спин-
орбитальный потенциал несуществен. Величина
JAV
'\ 1 ^
W Wo
\Pq dxdydz
пропорциональна интегралу
j(p',W;'5(r)dr.
Так как при г —> О имеем
(РоХ"'^ехр[B?о+1Iпг],
106

то этот интеграл равен нулю. Это и доказывает
сформулированное выше утверждение о несущественности роли члена в
выражении B) для к^, содержащего - V V / 2W.
Далее оценим вклад спин-орбитального слагаемого,
содержащегося в выражении B) для к^. Из-за неэрмитовости
этого члена имеются два типа вкладов. Сначала положим
е = ?q . Тогда получаем вклад в виде
/ = J —{?>o[VV,p]cT(Po -(po[^V,p]a%]dxdydz.
х>0
Ж
Здесь введено обозначение (pQ = (j()q(--a:, }^,z). Далее мы
увидим, что из-за экспоненциального убывания функций (рои (р^
подынтегральные выражения такого типа существенно
отличны от нуля только в области, представляющей собой
тонкую трубку, соединяющую заряды. Ее длина равна /?, а
диаметр - порядка R^^^. Следовательно, объем такой трубки
имеет оценку /?^. Так как градиент
WVocR-\
то рассматриваемый интеграл имеет порядок величины
/ocexp[-Z/? + 2(?o-l)ln/?].
Ниже мы убедимся в том, что этот интеграл в R раз меньше,
чем интеграл D). Таким образом, можно пренебречь вкладом
из-за неэрмитовости спин-орбитального оператора.
Теперь оценим вклад самого спин-орбитального
оператора, который записывается в форме
7 = (?-?o)J—7(Po[VV,p]a^rfyJz.
107

Здесь уже сделана замена (р -^ (р^ по тем же причинам, что
были указаны выше.
Потенциал V состоит из двух частей. Сначала
рассмотрим потенциал Vq правого ядра. Выражение [VV,p]a
пропорционально спин-орбитальному оператору 1а. Когда этот
оператор действует на функцию <рь, он дает фактор (к + 1),
где квантовое число к для состояний с угловым моментом
у = /±1/2 равно ±G + 1/2). Для рассматриваемого
состояния Is 1/2 получаем к = -1, так что соответствующий
вклад исчезает. Вкладом от потенциала левого ядра можно
пренебречь, так как он пропорционален R^.
Собирая вместе выражения D) и F), находим
{((pod%/dx)^^,dydz
? -?о = +ТТ 1 • (8)
J к -^0 +3(УоУ /DW,')y,dxdydz
Сначала вычислим это выражение, предполагая, что функция
(ро представляет собой регулярное решение G) уравнения
Дирака в правой яме. При вычислении числителя в
выражении (8) перейдем к полярным координатам. Тогда этот
числитель приобретает вид
ZR г
Т |2яр^рехр[-22г + Bго -3Iпг].
Видно, что типичные значения координат у, z, а также
p = Vr'-/?'/4,
при которых подынтегральное выражение существенно
отлично от нуля, имеют порядок величины R^^^. Вычисляя ука-
108

занный интеграл, получим для числителя в (8) следующий
результат:
_ к
1 + го
exp[-Z/? + Beo-l)ln(/?/2)].
Вычисление знаменателя в выражении (8) приводит к
неполным гамма-функциям и их производным. Однако в
результате проведенных расчетов оказывается, что неполные
гамма-функции взаимоуничтожают друг друга, так что вся
правая часть (8) может быть записана в относительно
простой форме:
+ / ^ exphZ/? + B^0 -1)ln(Z/?)]. (9)
Тем не менее данный ответ еще не является
окончательным. Действительно, предэкспоненциальный фактор в
волновой функции (jpQ (О, у, z) меняется существенно, если учесть
влияние кулоновского потенциала левого ядра. Вычислим
это изменение. Для этого представим волновую функцию (рь
в виде произведения решения G) в правой потенциальной
яме и некоторого фактора а, который медленно зависит от
координат (т.е. меняется на расстояниях порядка /?).
Подставим такую функцию в уравнение C) и сохраним только
члены, обратно пропорциональные /?. Следовательно, мы
пренебрегаем членами, содержащими Да, спин-орбитальным
потенциалом, а также членом вида
-C/4)(VV/W)' ;
все эти члены содержат более высокие обратные степени /?.
Далее, величина а существенно зависит только от
координаты X, так как производные в направлениях у, z содержат
малый параметр R'^'^. Кроме того, важно сохранить в энергии So
109

член -Z//?, так как он обратно пропорционален первой
степени /?: этот член соответствует взаимодействию левого ядра и
электрона, находящегося вблизи правого ядра.
После всех указанных упрощений получаем следующее
дифференциальное уравнение для функции а{х):
da
dx
• + ?r
1
1
- —+ -
R R/2 + X
a = 0.
Ищем решение этого уравнения, которое обращается в
единицу вблизи правого атомного ядра:
а(х) = txp<?Q
R 2
+ ?о1п
2R
R-\-2x\
Следовательно, волновая функция (р^{0,у,г) отличается от
решения G) уравнения Дирака фактором
а@) = ехр|^1п~
A0)
В этом месте целесообразно сделать отступление от
основного изложения. При рассмотрении экспоненциально
малого расщепления уровней в случае двух одинаковых
потенциальных ям, разделенных высоким барьером, обычно
используют квазиклассическую волновую функцию частицы в
правой яме, пренебрегая левой ямой. При этом предэкспо-
ненциальный фактор в квазиклассической волновой функции
при JC = О записывается в виде
(О
2л: I р J
expj-jl p\dx\.
по

Здесь а - минимальное расстояние, на которое сближаются
атомные ядра, \ро\ - импульс частицы при ;с = О и со - частота
классического движения в яме. Однако мы увидим ниже, что
предэкспоненциальный фактор нуждается в определенной
коррекции. Для этого будем искать решение одномерного
уравнения Шредингера
сконцентрированное в окрестности правого атомного ядра,
но учитывающего также и потенциал v левого ядра, в виде
(р{х) = а{х)(р^{х), где сро - решение уравнения Шредингера,
не учитывающее потенциала левого ядра:
d^cpjdx^ +2(€-Vq)(Pq =0.
Величина а(х) является медленно меняющейся функцией (на
расстояниях порядка /?) и удовлетворяет приближенному
уравнению
dx (pQ (х)
Здесь обозначено A?=?-?q. В квазиклассическом
приближении для отношения функций имеем
(роМ 1
(Ро(х) \р{х)\
111

Подставляя его в предыдущее уравнение, решаем это
уравнение при условии, что а{х) равно единице в окрестности
правой ямы:
Ae-v
а(х) = ехр< ~ J dx
i ipi
Следовательно, поправочный фактор в квазиклассической
волновой функции (ро(х = 0) равен
„@,=ехр{1^).
Если учесть этот фактор, то экспонента в величине ^(jc = 0)
приобретает вид
ехр
- 1р1+ \dx}.
Напомним, что здесь I р 1= д/2(Уо -^о)- Эту же экспоненту с
той же степенью точности можно переписать в виде
I а I I а
expj-J^/2(Vo+v-?)G6cl = expj-J^/2(V-?)d;x
Таким образом, хорошо известный ответ для
расщепления уровней в симметричной двугорбой яме
- СО
s-€q =+—ехр
2к
-2J\p\dx^^
112

является правильным, но под величиной \р\ следует понимать
импульс частицы y2(V-e), учитывающий потенциал
обеих ям и энергию е частицы в правой яме, корректированную
на влияние левой ямы. Это существенно отражается на пре-
дэкспоненциальном факторе, если величина Аг
пропорциональна 1//?, как в рассматриваемом здесь кулоновском
случае, или же убывает с расстоянием еще медленнее.
Умножая (9) на а^@), где а{0) дается соотношением A0),
мы получаем окончательную величину расщепления уровня
lsi/2 при/?» 1:
^ 2Z'
ГBго+1)
ехр[-2/г-?о +B?o -l)lnBZ/?)].
В случае атома водорода это выражение переходит в хорошо
известный результат:
+ B/.^)/?-exp(-/?).
Чтобы найти изменение в энергии уровня, следует
добавить к этому выражению энергию взаимодействия между
левым ядром и электроном, расположенным вблизи правого
ядра, т.е. величину -Z/R. Далее, правое ядро и электрон,
расположенный вблизи него, взаимодействуют как диполь с
левым ядром. Оценим это взаимодействие. Потенциал
взаимодействия диполя с зарядом равен
(Z/R^)rcose.
Он дает вклад в энергию взаимодействия во втором порядке
теории возмущений. Обозначим этот вклад как —C(Z)/R .
Наибольший вклад в сумму по промежуточным атомным со-
113

стояниям во втором порядке теории возмущений вносят
ближайшие уровни 2рз/2, 1/2- Так, например, в случае атома
водорода их вклад в сумму составляет около 50% всей
суммы. Используя известные выражения для биспиноров
релятивистских волновых функций состояний lsi/2 и 2рз/2, 1/2,
находим, что при переходе от водорода к урану вклад
состояний 2рз/2, 1/2 в коэффициент C(Z) меняется не более, чем на
10%. Это доказывает, что данный коэффициент слабо зависит
от Z. Следовательно, можно просто воспользоваться
известным результатом для атома водорода: C(Z) = С@) = - 9/4.
Таким образом, при R » 1 изменение энергии основного
состояния определяется формулой
7 27^ Q
= + ехр{- ZR-?^+ B^0 -1) lnBZ/?)}~ -
R ГBго+1) о V и / V ^J 4/г'
A1)
Дипольный член становится доминирующим при
межъядерных расстояниях /? > 16 а.е. При /? = 12 а.е.
экспоненциальный член втрое превышает дипольный член, т.е.
расщепление уровней вполне заметно, превышая дипольный член.
Эта ситуация аналогично известному нерелятивистскому
случаю.
Для возбужденных уровней с большим числом узлов
можно использовать квазиклассическую формулу для
определения расщепления уровней. В этом случае эффективный
ядерный заряд мал из-за эффекта экранирования
внутренними электронами, так что можно использовать хорошо
известные нерелятивистские формулы. Однако эти формулы
получены для одномерного нерелятивистского случая, и их
требуется модифицировать на случай двух трехмерных
потенциальных ям, разделенных высоким потенциальным
барьером. Расщепление уровней в трехмерном случае равно:
114

-?o=+j\
(Po
Эх
dS.
/r=0
Квазиклассическая волновая функция (po в классически
запрещенной области имеет вид
^^^'^"^Г7=^лп ? ехр]-}|р, Ыг1.
Подставляя это решение в предыдущую формулу, находим
^-^0=+- J rdr——-txp\-2{\p^\dr
Интегрируя по частям этот интеграл, получим окончательно:
1 W % ,^
2l/7,@)l/?2;r П _1;'
. A2)
Здесь величина I р^. @) I представляет собой радиальный
импульс электрона в точке посередине между атомными
ядрами. Сравнивая с одномерным случаем, мы видим, что в
трехмерном случае появляется дополнительный очень малый
предэкспоненциальный фактор:
1
21рД0)/г1
«1.
Формула A2) может быть использована для определения
расщепления уровней в случае высоковозбужденных состоя-
115

НИИ атомов с большим числом узлов, для которых
применимо квазиклассическое приближение.
Итак, мы определили, как сдвигаются и расщепляются
релятивистские электронные уровни тяжелых ядер при
столкновении друг с другом. Теория была построена в
приближении, что движение ядер является медленным, а
электронов - быстрым.
5.4. Релятивистская туннельная ионизация
Здесь мы рассмотрим туннельную ионизацию атомов
низкочастотным линейно поляризованным
электромагнитным полем в условиях, когда вылетающий фотоэлектрон
является релятивистским. Общая формула Ландау-Дыхне для
вероятности ионизации
w.f ^expJ-2ImJ[?:^0 + ?^,]^^
A)
остается справедливой и в релятивистском случае.
Действительно классическое действие есть релятивистски
инвариантная величина. Координатная часть этого действия влияет
только на предэкспоненциальный фактор, а временная часть
в релятивистском и нерелятивистском случаях имеет
одинаковый вид. Здесь ?, - невозмущенная энергия связи
исходного состояния атома, а ?/ (г) - энергия конечного состояния
непрерывного спектра, учитывающая электромагнитное
поле. Здесь и далее используется атомная система единиц, в
которой масса и заряда электрона, а также постоянная
Планка полагаются равными единице. Скорость света в этой
системе равна с = 137.02. Наконец, классическая точка поворота
в комплексной плоскости времени определяется из условия
Е,(т) = -Е,.
116

Адиабатическое приближение в данном случае
применимо, если энергия лазерного фотона мала по сравнению с
потенциалом ионизации атома, т.е. ti@« Е., Таким образом,
мы можем применить формулу Ландау-Дыхне A) и в
релятивистском случае, только в качестве Ef(t) надо использовать
релятивистское выражение для энергии свободного
электрона в поле электромагнитной волны. Туннельная ионизация
реализуется при малом значении параметра Келдыша:
F
Здесь F - амплитуда напряженности электромагнитного
поля.
Классическая релятивистская энергия электрона в
линейно поляризованном поле имеет хорошо известный вид:
Здесь p{t) - импульс электрона в момент времени /, а ;7о = рФ)
- импульс электрона в начальный момент времени. При этом
мы предполагаем, что электрон вылетает вдоль направления
вектора электрического поля электромагнитной волны.
Действительно, большая часть электронов испускается в этом
направлении. Значение импульса определяется неявно из
уравнения
117

IF
sin cor
(O
1+
2 2 4
(P-Po)-^
3{рУ+с')
(p'-pII
C)
Подставляя выражение B) в уравнение A) и учитывая C),
получим энергетическое распределение вылетевших
электронов при туннельной ионизации в линейно
поляризованном низкочастотном поле (с экспоненциальной точностью).
При этом мы ограничимся умеренными значениями
кинетической энергии фотоэлектрона:
Е,=^1рУ+с' -с'<с\
т.е. когда эта энергия меньше энергии покоя электрона. Тогда
вычисление интеграла в A) упрощается, и мы получаем
w.f = Wo exp
2ЕУ Ely
Ъ(о
сое
D)
Здесь величина wq представляет собой полную вероятность
туннельной ионизации в единицу времени в
нерелятивистском пределе (она вычислялась выше).
Первый член в показателе экспоненты в выражении D)
описывает нерелятивистское распределение испущенных
фотоэлектронов в низкочастотном линейно поляризованном
лазерном поле. Нерелятивистское распределение
экспоненциально убывает с увеличением кинетической энергии
фотоэлектрона и имеет максимум при Ее = 0. Ширина
нерелятивистского энергетического распределения согласно D) равна
118

AZT ЗШ
27'*
Из D) следует, что релятивистский эффект существен при
кинетической энергии фотоэлектрона Е^>у^с^, что не
противоречит высказанному выше условию Е^ <с^, так как
у« 1.
Таким образом, из D) следует, что релятивистская
ширина энергетического распределения фотоэлектронов равна
E)
Например, при значении у = 0.01 условия с^ > Е^> у^с^
удовлетворяются для диапазона кинетических энергий
фотоэлектронов 500 кэВ > Ее> S кэВ. Согласно E) ширина
энергетического распределения равна 20 кэВ для излучения СОг-
лазера.
Таким образом, можно сделать вывод, что излучение
линейно поляризованного излучения СОг-лазера с
интенсивностью выше lO^'"" Вт/см^ производит релятивистское
энергетическое распределение фотоэлектронов вдоль направления
поляризации излучения, хотя кинетические энергии
электронов меньше их массы покоя.
Теперь мы обратимся к случаю циркулярно
поляризованного электромагнитного поля. Кинетическая энергия
классического электрона в поле циркулярно поляризованной волны
имеет вид
^ qco с 2qC0
119

Здесь введены обозначения
q = -p^-^K; к: = у1р^ +с\
где рх и р^ - компоненты импульса электрона вдоль
направления распространения электромагнитной волны и в
плоскости поляризации соответственно. Полный импульс электрона
есть
Р = л1р1+р'
Нерелятивистский предел реализуется при F «сое ир «с.
Координата х электрона связана со временем t неявным
уравнением:
X =
''' "^ \ , P,Fc . @{ct-x)
со q с
1 F'
q- Iq'co' ]
В нерелятивистском пределе имеет очевидное простое
соотношение X = pj.
Введем вспомогательную волновую переменную вместо
времени:
Тогда интеграл в выражении A) можно переписать в виде
О ^^
Классическая точка поворота в этом интеграле определяется
следующим выражением, вытекающим из предыдущих
зависимостей:
120

с=^
pF@
E.q-^-cq^+cp^q-h
lis
-c q-
CO
Как и выше, мы ограничимся туннельным режимом
ионизации, когда параметр Келдыша мал по сравнению с единицей.
Это соответствует условию на точку поворота ^ш/с«1.
Тогда можно разлагать все тригонометрические функции в
приведенных выше выражениях в ряд Тейлора, что приведет
к экспоненциальной зависимости для вероятности
туннельной ионизации.
Учитывая это туннельное условие, вычисляем
вероятность туннельной ионизации в общем релятивистском случае
для циркулярно поляризованного поля:
= ехр
_2_
3F
2с
К-
coq
'2 Л
-с + -
2qC0' j
+ 2Е,
3/2
G)
Это выражение определяет как энергетическое, так и угловое
распределение релятивистских фотоэлектронов.
В вероятности G) мы пренебрегаем предэкспоненциаль-
ным фактором. Он важен при определении полной
вероятности туннельной ионизации в единицу времени, чтобы
сравнить полученные результаты с экспериментальными
данными. Однако предэкспоненциальный фактор плавно зависит от
релятивистского параметра F/coc, в сравнении с резкой
зависимостью от этого параметра в экспоненте. Поэтому при
исследовании энергетических и угловых зависимостей
вылетевших фотоэлектронов мы можем пренебречь предэкспо-
нентой.
121

Кроме того, в расчетах предполагается, что энергия
исходного связанного состояния ?, является нерелятивистской.
В нерелятивистском пределе выражение G) сводится к
простой зависимости:
w{p,,P,) = tW
_2_
3F
V
'^-^
+2е,+р:
3/2
. (8)
Из этой зависимости видно, что нерелятивистские электроны
вылетают в основном с энергией F^ 12@^, равной
колебательной энергии электрона в поле циркулярно
поляризованной электромагнитной волны. Максимум нерелятивистского
углового распределения приходится на плоскость
поляризации электромагнитной волны. Итак, максимум
распределения (8) достигается при значениях р^ = F / СО, р^^ = 0. При
этом нерелятивистская вероятность туннельной ионизации
дается хорошо известной формулой (с экспоненциальной
точностью):
¦" 2B?:.)-''Ч
^(Рх "^^^Pz '=F/co) = txp<--
3F
Отметим существенное отличие энергетических спектров в
лазерном поле линейно и циркулярно поляризованного
излучения. В линейно поляризованном поле максимум
энергетическом спектра соответствует нулевой энергии
фотоэлектронов, в то время как в циркулярно поляризованном поле он
находится при достаточно большой энергии. Поэтому
наблюдать быстрые (в том числе и релятивистские) электроны
целесообразно в поле циркулярно поляризованной волны.
Проанализируем теперь общую релятивистскую формулу
G). Положим
р^ = pcosO, р^ = psinO,
122

где в - угол между направлением вылетевшего
фотоэлектрона и плоскостью поляризации циркулярно
поляризованного электромагнитного излучения. Максимум углового
распределения G) достигается из условия экстремума:
дв
F -IpcocosO
к- р sin в
= 0.
Таким образом, получаем очень простое соотношение для
угла во, при котором угловое распределение имеет максимум:
tan 00 =
2сос
(9)
В нерелятивистском пределе получаем во = О, как и
отмечалось выше.
Энергетическое распределение фотоэлектронов при этом
угле их вылета, очевидно, представляет наибольший интерес.
Подставляя (9) в G), находим
W(р) =е\р<
2{2Е^)
3/2
3F
1 +
fp-PoY
[ ^ )
пЗ/2
A0)
Здесь положение максимума энергетического спектра дается
соотношением:
/'o=f.|l +
f F
\2
2q)c
(И)
123

Мы видим, что максимум релятивистского энергетического
спектра сдвинут в сторону больших энергий, по сравнению с
нерелятивистским пределом, где Pq = F / й). Из выражений
A0) и A1) также следует, что в максимуме релятивистского
спектра имеет место соотношение р^ =F/co. В
соответствии с A1) величину у 1 + (F / 2сосУ можно назвать
«массовым сдвигом» электрона в сильном лазерном поле.
Ширина релятивистского энергетического спектра,
входящая в A0), равна:
Ар =
1 + 2(Г/2(ОсУ
4\ + {Flcocf
щ.
Видно, что ширина релятивистского спектра больше, чем
нерелятивистского. Экспериментально роль релятивизма может
быть проверена для многозарядных ионов тяжелых атомов,
где большая напряженность поля не приводит к переходу
режима ионизации из туннельного в надбарьерный.
Обратимся теперь к угловому распределению
фотоэлектронов при ионизации циркулярно поляризованным полем.
Наиболее интересно оно, очевидно, в максимуме
электронного энергетического спектра. В окрестности максимума это
распределение получается из общего выражения G) с учетом
A1). Получаем
w@) = w@Q)exp
{2E,y"F
Ъ(о^
1 +
V
1@С
{е-е,Г
Ширина этого углового распределения равна:
124

Ав= "^
BE,y''yfF^ + (F/2cocy
Видно, что ширина релятивистского углового распределения
уже, чем нерелятивистского.
В заключение отметим, что небольшое количество
горячих фотоэлектронов появляется в случае ионизации линейно
поляризованным полем вследствие перерассеяния на
материнском атомарном ионе, из которого вылетел данный
электрон. Вследствие периодичности поля во времени примерно
через половину лазерного периода электрон может
возвратиться (в зависимости от фазы поля) обратно к материнскому
иону и рассеяться на нем. В процессе этого движения
электрон может набрать от поля энергию, составляющую
несколько единиц средней колебательной энергии электрона в
лазерном поле F^ I Асо^, Расчеты показывают, что
максимальная энергия составляет примерно десять колебательных
энергий. Такие электроны также могут быть вполне
релятивистскими. Теоретический анализ энергетического спектра
горячих электронов может быть выполнен на основе общей
формулы A) Ландау-Дыхне. Он приводит к достаточно
протяженному плато в энергетическом спектре (от двух до
десяти колебательных энергий). Высота этого плато
относительно низкоэнергетической части спектра, не связанной с
перерассеянием, требует вычисления предэкспоненциального
фактора, пропорционального сечению рассеяния быстрого
электрона на родительском атомарном ионе.
125

ГЛАВАб
ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
6.1. Поглощение быстрым электроном
электромагнитной энергии при рассеянии
на кулоновском центре
Хорошо известно, что свободный электрон не может
реально поглощать или излучать фотоны монохроматического
электромагнитного поля. Однако в присутствии кулоновско-
го центра с потенциалом V(r) = -Z/r такие процессы
возможны (здесь, как и во многих предыдущих разделах, мы будем,
как правило, использовать атомную систему единиц, в
которой заряд и масса электрона и постоянная Планка равны
единице). Во всех параграфах этой главы будет предполагаться,
что электромагнитное поле является достаточно слабым, так
что имеют место только однофотонные процессы
поглощения или вынужденного излучения фотонов (теория
возмущений первого порядка по внешнему электромагнитному по-
126

лю). Соответствующие ограничения на напряженность поля
будут даны ниже.
Вероятности поглощения и испускания фотона были
рассчитаны Маркузом для быстрых электронов с
использованием теории возмущений также и по кулоновскому потенциалу.
Если обозначить через р импульс начального электрона (до
рассеяния), а через р - импульс конечного электрона (после
рассеяния), то условие применимости борновского
приближения (теория возмущений) для кулоновского потенциала
имеет простой вид: р » Z, р'» Z.
В рамках этого приближения волновая функция
начального состояния задается в виде плоской волны:
4^р(г) = ехр{-/рг-ф^^г/2}, A)
которая нормирована в единичном объеме.
Искомый эффект возникает во втором порядке теории
возмущений: первом порядке по кулоновскому потенциалу и
первом порядке по электромагнитному полю. Потенциал
взаимодействия электрона с полем имеет вид
V = -рА/с = pF .
(О
Здесь А - векторный потенциал, F - амплитуда
напряженности, а со - частота электромагнитной волны, предполагаемой
линейно поляризованной. Как обычно в рамках
адиабатического приближения, считаем, что оба потенциала бесконечно
медленно выключаются при t —> -©о.
Разлагаем поправку к волновой функции A) по плоским
волнам:
127

Во втором порядке теории возмущений получим
коэффициенты этого разложения:
C(p') = -^F(p-p')V(p'-pM[(p^-p^)/2±u>]. B)
Здесь введена Фурье-компонента кулоновского потенциала
4яг
V(q) = j V(r)expHqr)^/r = -
q' ¦
Знание этих коэффициентов позволяет вычислить
вероятность поглощения или излучения фотона:
Подставляя B) в C), получим вероятности поглощения
или излучения фотонов, просуммированные по импульсам р'
рассеянных электронов:
., _z4p'f (р(р'-рУ
со' J 1р'-р1' ^
Здесь /?'= ^jp'^ ± 2@ , причем знак + относится к поглощению
фотона, а знак - к излучению фотона. Величина п,
определяет концентрацию кулоновских центров, т.е. их число в
единице объема. Рассеяние на каждом центре происходит
независимо, поэтому вклады в вероятность от различных центров
просто суммируются.
Интегрирование по углам вектора импульса рассеянного
электрона в D) приводит к следующему результату:
128

w* =
vZ^nT^
+ -sin'0
2
p@
(
I J
\p
-^Ccos'0-l)+
P
(p1
1[P'
COS 0 +
/"^.'2 Л
^-1
E)
In
Здесь введен угол в между направлением импульса
падающего электрона р и направлением вектора напряженности F
электрического поля электромагнитной волны (направлением
поляризации).
Это выражение упрощается при довольно естественном
предположении, что энергия фотона мала по сравнению с
импульсом быстрого электрона, т.е. со « р^. Это
предположение с большим запасом выполняется в лазерной физике,
где энергия фотона мала по сравнению с ридберговской
энергией.
Тогда из E) получим
w"" = ^—-\ 3cos^0-H-sin^0 1n-^±
рсо [ со
±-^^U2cos'0 + Ccos'0-l)ln-^ I.
PI ^Jj
Здесь верхний знак относится к излучению, а нижний - к
поглощению фотона.
Мы видим, что вероятности поглощения и вынужденного
излучения фотона не совпадают друг с другом. Их разность
равна
\\; = W -W =¦
InZ'nT'
(рсоУ
-2cos^0 + Ccos^0-l)ln-
со
F)
129

Подчеркнем, что разность вероятностей гораздо меньше
самих вероятностей. Отношение разности вероятностей к
каждой из вероятностей имеет порядок величины со/р^ « 1.
Кроме того, второй член в F) логарифмически велик по
сравнению с первым членом. Если ограничиться только этим
логарифмическим членом, то можно сделать вывод, что есть
область углов, где 3cos^0 > 1, т.е. в < 55°, для которых w > О
и вынужденное излучение доминирует над поглощением.
Таким образом, в этом случае возможно усиление
электромагнитной волны, в поле которой происходят электрон-
ионные соударения. Этот результат называют эффектом
Маркуза.
Указанное усиление возможно только при направленном
движении электронов. К сожалению, в пучке нельзя получить
достаточно высокую концентрацию электронов, в отличие от
плазмы, и поэтому коэффициент усиления весьма мал.
Если распределение электронов по скоростям изотропно,
как, например, при распределении Максвелла, то усреднение
выражения F) приводит к исчезновению большого
логарифмического фактора, так как (cos^e) = 1/3. в результате
получаем
Умножая это выражение на энергию фотона со, получим
энергию, поглощаемую электроном в единицу времени.
Усредняя эту энергию с распределением Максвелла при
некоторой температуре Т электронов, получим (с
логарифмической точностью) среднюю поглощаемую энергию в виде
130

где частота столкновений электрона с кулоновскими
центрами (ионами) определяется известной формулой
V,.= ^^3/2 '"Л.
Величина 1пЛ представляет собой кулоновский логарифм,
связанный с интегрированием по энергиям падающего
электрона. Верхний предел интегрирования есть электронная
температура Т, Сложнее ситуация с нижним пределом,
который есть максимальная величина из энергии фотона h@,
ридберговской энергии Z^ (эта энергия ограничивает снизу
применимость борновского приближения для рассеяния
быстрого электрона на кулоновском потенциале) и энергии
плазмона:
tico^ =h^J47m^e^ /т.
Здесь Пе - концентрация электронов в плазме. Последняя
величина возникает при обрезании на нижнем пределе дебаев-
ским радиусом экранирования. Практически максимальной
из этих трех величин является 2^. Таким образом,
кулоновский (квантовый) логарифм в рассматриваемой задаче равен
A = T/Z\
Из соотношения (8) следует, что при одном акте
рассеяния электрона на кулоновском центре электрон в среднем
поглощает удвоенное значение средней колебательной
энергии:
АЕ =
20)'
Конечно, это утверждение справедливо, если со » Vei.
Действительно, при выполнении этого условия между соседними
столкновениями электрона с кулоновскими центрами
(атомарными ионами) происходит много циклов электромагнит-
131

ного ПОЛЯ, и имеют место реальные осцилляции свободного
электрона в поле электромагнитной волны.
6.2. Поглощение медленным электроном энергии
низкочастотного электромагнитного поля
при рассеянии на кулоновском центре
6.2.1. Общие замечания
Данный раздел посвящен исследованию поглощения
энергии в противоположном предельном случае медленных
электронов р « Z, р' « Z, когда применимо
квазиклассическое приближение. Конечно, всегда энергия фотона
предполагается малой по сравнению с энергией электрона, т.е. hco
« р^. Но, помимо этого критерия, имеется еще классический
безразмерный параметр /3 = Zco/p^, не содержащий
постоянной Планка. В следующем разделе будет рассмотрен
предельный случай больших частот Zoj/p^ » 1 (он не
противоречит упомянутому выше критерию h@« р", так какр « Z).
При этом существенно рассеяние электронов на большие
углы.
На практике, однако, чаще реализуется обратный
предельный случай низких частот излучения Zo//?^ « 1, если
иметь в виду частоты типичных световых лазерных
источников и электронные температуры многозарядной лазерной
плазмы кластеров в десятки эВ и выше. Поэтому здесь мы
рассмотрим задачу для медленных электронов именно в
указанном предельном низкочастотном случае Zo//?^ « 1. При
этом существенно рассеяние электронов на малые углы в
процессе поглощения или испускания фотона.
Сначала мы обратимся к решению задачи в рамках
классической теории поля. В учебниках по классической теории
поля можно найти результаты только для потерь
электромагнитной энергии, усредненных по углу в. Поэтому
представляет интерес получить простые аналитические выражения
132

для потерь энергии при фиксированном значении этого угла.
Конечно, в рамках такого классического подхода
вероятности индуцированного испускания и поглощения фотона
равны друг другу, так как постоянная Планка равна нулю в
рамках классической теории поля.
Впрочем, можно было бы вычислять работу электрона во
внешнем поле и непосредственно, определяя тем самым
напрямую разность между вероятностями поглощения и
испускания фотона. Однако для этого следует решать линейное
дифференциальное уравнение для малого возмущения
координаты электрона, рассеивающегося на KyjmnoBCKOM центре,
переменным электромагнитным полем, а это - достаточно
сложная задача. Представляется более простым обратиться к
известным результатам квантовой электродинамики для
спонтанного тормозного излучения при рассеянии электрона
на кулоновском центре, перейдя с помощью хорошо
известных правил к вынужденному излучению, и производить
необходимые упрощения результатов в квазиклассическом
пределе. Ниже это делается как для полных вероятностей
поглощения и испускания фотона, усредненных по углу ft так и
для вероятностей при фиксированном значении этого угла
между направлением падающего электрона и вектором
поляризации электромагнитного поля. Попутно в целях сравнения
всюду приводятся и известные результаты Маркуза для
быстрых электронов, изложенные в предыдущем разделе.
В заключение полученные результаты сравниваются с
известными результатами для среднего набора энергии
электрона в максвелловской плазме при одном столкновении с
ионом в присутствии внешнего электромагнитного поля. Как
для быстрых, так и для медленных электронов этот набор
равен удвоенной средней пондеромоторной энергии в
полном численном согласии с результатами расчета, исходя из
кинетического уравнения Больцмана для классических
электронов.
133

6.2.2. Классический подход
В рамках классической теории поля мы стартуем со
спектральной плотности излучения. Деля ее на hco, получим
число спонтанно испущенных фотонов с частотой со
электроном в телесный угол di2:
dN^=-^!^\er,\'dQdco, A)
Здесь величина г^, представляет собой Фурье-компоненту
классического радиуса-вектора электрона при его движении
в поле притягивающего кулоновского центра с зарядом Z, а е
- вектор поляризации испущенного спонтанного фотона.
Наконец, с - скорость света.
При переходе к вынужденным процессам испускания или
поглощения фотона мы должны заменить в выражении A):
dQdco-^
hco'
где Е - амплитуда напряженности внешнего переменного
электрического поля, а со- его частота. Тогда получаем для
числа вынужденно испущенных или поглощенных фотонов
простое выражение:
Будем полагать, что электрон рассеивается в плоскости
(х, у). Тогда Фурье-компонента его радиуса-вектора
представляется в виде разложения по единичным векторам в этой
плоскости:
^co=^Jx'^yJy^
134

Выражения для Фурье-компонент проекций радиуса-вектора
электрона хорошо известны:
(О О) V г
Здесь обозначено
K=-^«1;
Р
а
Величина е характеризует эксцентриситет гиперболической
траектории, по которой движется невозмущенный электрон в
поле кулоновского центра. Функция H^{x) - это
цилиндрическая функция Ганкеля. Величина р - прицельный
параметр рассеяния.
Единичные векторы вдоль осей jc, у представим в виде
^х =
Р-Р
2/7sin(i?/2)
ly-
Р + Р'
2pcos(i?/2)
Здесь 1? - угол рассеяния электрона, т.е. угол между
начальным импульсом электрона р и его конечным импульсом р'.
Тогда получим
г Е =
cos 0-cos 0 COS 0'+COS 0
X.. ¦ у.
"" sin(i?/2)
cos(i?/2)
Здесь 0^ - угол между конечным импульсом электрона р' и
вектором напряженности электрического поля Е. Используя
формулы сферической тригонометрии, связывающие друг с
другом углы 0, 0^ и t?, находим
135

г,Л = Е
О)
L \
. б
1}
COS 0 sin sin 0 cos—cos со -
2 2
f 7} 1?
"">'fi, COS0COS sinSsin—cos(p
B)
Здесь cp - угол между проекцией вектора р' на плоскость,
перпендикулярную вектору р, и осью от пересечения этой
плоскости с плоскостью векторов р и Е.
Усреднение по углу (р элементарно, и мы получим из A)
и B):
^.Лд>^) =
2 I -^й) I' X
4Й
б 1 .
х| cos^0sin^ —+ —sin^0cos^ —
2 2 2
Е^ , ^
COS 0COS —+—sin 0sin —
2 2 2
C)
Угол кулоновского рассеяния электрона 'д можно связать
с прицельным параметром р и эксцентриситетом е
известными простыми соотношениями:
б р 1? 1
cot —= —; sin —= —.
la Is
Это позволяет свести усреднение вероятности C) по углу "д
к интегрированию по прицельному параметру р. Для этого
следует сначала умножить безразмерное выражение C) на
iKpdp n.pw затем проинтегрировать по всем прицельным
параметрам. Здесь /г, - концентрация кулоновских центров в
пространстве, на которых происходит рассеяние данного
136

электрона. Далее от интегрирования по р перейдем к
интегрированию по г, используя соотношение pdp = a^ede.
В результате получаем число вынужденно испущенных
(поглощенных) фотонов в единицу времени в виде:
Х"^ \х..Х
+ iyj'
?' 2
/ 1 л
1--
sin^e
/
le'
-sin^0 +
cos^ e
D)
Приведенные выше Фурье-компоненты упрощаются в
пределе j3 « I:
СО
со
Здесь Ко(х), К\(х) - функции Макдональда.
Подставляя эти значения в D), вычисляем возникшие
интегралы. При этом следует пренебречь частью членов в D),
содержащих малость порядка /3« 1. Итак, получаем
2.. 172
N.je) =
рсо h
со
л о f.J.I^2,
1
cos'0- \tdtKl{t)^-\tdtK^{t) +
Р 2/3
+
^cos'e-^sm'e\5'']dtKl{t)h.
}укН'У]\-
Вычисляем безразмерные интегралы с необходимой
точностью относительно /3:
137

^r^<@ = {; JtdtKfit) = \nj--^-
^'
-dtK',it) =
2)8'
Здесь у = 1,781... = exp(C), С = 0,577... - постоянная
Эйлера. Получаем
Neje) =
InZ^i^E^
4fe2
p(o h
cos 0 + -
,„2p
\
In
-I
I }Z<o )
sin'0
E)
Этот результат является новым и основным в данном
разделе. Он дает угловое распределение для поглощения или
вынужденного испускания фотона электроном при рассеянии на
кулоновском центре в присутствии электромагнитного поля.
Так как аргумент логарифма велик, то в основном процесс
поглощения или испускания фотона имеет место, когда
электрон движется перпендикулярно поляризации поля {в= Till),
Отдельно взятое по себе поглощение или вынужденное
испускание может проявляться косвенным образом,
например, в кинетическом уравнении Больцмана при рассмотрении
радиационных процессов в плазме. Наибольший интерес,
конечно, представляет их разность, которая пропорциональна
измеряемому коэффициенту поглощения электромагнитной
волны.
Усредняя выражение E) по углу в, получим
Ъра^П' )Zu)
F)
138

При возврате от вынужденного излучения к спонтанному
следует заменить
Sco^hdo)
Е'-^-
кс'
И из F) находим
Зс hpco iL@
Энергия, излученная электроном в единицу времени (она не
содержит постоянной Планка), получается из приведенной
формулы умножением на Йй):
._ , 16Z\. Ip'
dE,,, = d@ г—^In—^—.
Ъс^р il@
Деля это выражение на п^- р , получаем в точности хорошо
известное выражение для эффективного излучения при
малых частотах, как и должно быть.
6.2.3. Квантовый подход. Полные вероятности
В квантовом подходе вероятности поглощения и
вынужденного испускания фотона отличны друг от друга. Мы
рассматриваем в этом разделе более простую задачу расчета
полной вероятности, проинтегрированной по углу О между
начальным направлением движения электрона и вектором
линейной поляризации электромагнитного излучения,
полагая j3 = Z(u/p^ « 1. Сечение спонтанного излучения фотона
электроном с начальным импульсом р и конечным
импульсом У при рассеянии на кулоновском центре с зарядом Z
дается известным соотношением квантовой электродинамики
(далее всюду полагаем постоянную Планка равной единице):
139

64л:'Z' р'
Зс' р(р-Ю'
d\F{-x)\4dx d@
X ^^— .
[1-ехр(-2яу')][ехрBлу)-1] со
Здесь обозначено
Z Z
v= —»1; v'= — »1.
Р Р'
Введено также сокращенное обозначение для полной
гипергеометрической функции F(-jc) = F(/v,/v',l;-jc) и ее
аргумента:
X = ^-^-—г » 1.
(р-рУ
Переход к вынужденному испусканию происходит путем
замены
d@-^
80)'
Тогда для вынужденного испускания фотона в единицу
времени, усредненной по всем углам, получим компактное
выражение:
8л:-'2^А2.?У'ехр(~2л:у) d I F(-jc) I
3{p-p'fco' dx
vv^ = n,pdc^ = ^" ^;;'' P--P^;---^. ^ ' ^ ^-^>' . G)
Вероятность поглощения фотона в единицу времени дается
аналогичной формулой, в которой только надо заменить
фактор exp(-27rv) на exp(-2;rv').
Гипергеометрическая функция, входящая в указанное
выражение, может быть упрощена при условии л: » 1, путем
140

перехода к комбинации гипергеометрических функций с
аргументом 1/х« 1:
F(/v,/vM;-jc) = uKv'-v)J ^.,, ^
Г(/у')ГA-/у)
г[/(у-у')]
Г(/у)ГA-/у')
+ ь.-^ '-^х-"
Здесь Г(г) - гамма-функция. При этом также использовано
условие V-V « 1, эквивалентное приведенному выше
условию низкочастотности поля Zco/p^ « 1.
Дальнейшее упрощение гипергеометрической функции
достигается с помощью формулы Стирлинга для
гамма-функций больших аргументов V, v^ » 1. Получаем
F(/v,/vM;-x) = -^jc"'"" exp(;rv )ln^. (8)
я yv
Здесь введено обозначение
V +v'
V =
Как и должно быть, асимптотическое представление (8)
гипергеометрической функции симметрично относительно
перестановки ее первых двух индексов v <-> v'.
Поправки в (8) при вычислении вероятности G) имеют
относительную малость 1/v^ « 1 либо (Zcc/p^)^ « 1. Таким
образом, эти поправки не содержат членов, линейных по
частоте испускаемого фотона со. Это весьма важно, так как при
вычитании вероятности поглощения фотона из вероятности
его вынужденного испускания основные части вероятностей
взаимно уничтожаются, и остаются как раз малые части,
линейные по величине со.
141

Подставляя (8) в G), находим для вероятности
вынужденного испускания фотона:
_ _ Ъа^п.Е^ ехр(я:у'-л:у) ^ 2(рр')
VI/ — ;; 1П
3/2
Ърсо'
jZco
(9)
Здесь р' = р -СОI р. Разлагая выражение (9) по малой
величине Zco/p^ « 1, получим
Ърсо^
\ 7И@\ ^-'
1 + —т- In
2р' 3ft)
)Zco 2р'
A0)
Аналогичным образом вычисляем вероятность
поглощения фотона. Вместо (9) получим выражение, отличающееся
только видом показателя экспоненты:
_ _27iZ^n.E^e\p(KV-7tv') 1{ррУ^
w,, — :; In
Ърсо^ ilco
(И)
Здесь теперь р' = р Л-СОI р. Разлагая A1) по малой
величине Zoj/p^ « 1, получим
_ iTtZ^n.E^
Ърсо^
1 + —г-
, 2р' 3ft)
In—^—+
l^ft) 2р'
A2)
Мы видим, что в пренебрежении линейными по частоте
добавками выражения A0) и A2) совпадают с классическим
выражением F), как и должно быть.
Вычитая A0) из A2), находим их разность,
определяющую вероятность вынужденного обратного тормозного
поглощения в единицу времени, усредненную по всем углам:
142

- - - 2^й_^2^ ^j3)
Умножая это выражение на частоту со, получим энергию,
поглощаемую электроном в единицу времени. Усредняя эту
энергию с распределением Максвелла при некоторой средней
температуре Т электронов, получим (с логарифмической
точностью) среднюю поглощаемую энергию в виде:
dt ^ "^^ Ъсо^Т"^ Z@
Так как среднее число столкновений электрона с кулонов-
скими центрами (ионами) в единицу времени дается
известным соотношением кинетической теории плазмы
4л[2^п.2\ ^
^/= ^^зп '"Л,
где Л = 7 /Zco - кулоновский (классической) логарифм
(только в случае плазмы кулоновский логарифм содержит
вместо Zco плазменную частоту), то предыдущее выражение
может быть переписано в виде
dU _ Е^
dt ~ Ко'""'^'
и, таким образом, величина E^llc^ представляет собой
среднюю энергию, поглощаемую медленным электроном при
одном столкновении с кулоновским центром. Вспоминая
обсуждение в разделе 6.1, можно сделать вывод, что она в
точности равна соответствующей энергии для быстрого электрона,
а также соответствующей энергии, получаемой из решения
143

классического кинетического уравнения Больцмана для мак-
свелловской плазмы. Различие состоит в виде кулоновского
логарифма - для быстрого электрона он является квантовым,
а для медленного - классическим.
Этот результат справедлив в высокочастотном пределе
0) » Veu когда между двумя последовательными
столкновениями электрона с кулоновскими центрами проходит много
периодов лазерного поля. В противоположном пределе
низкой частоты (О » Vei в приведенном выражении следует
заменить (о на v^,. Тогда получим, что поглощение энергии
не зависит от частоты электромагнитного поля и
определяется выражением
.2
dU _\6 Е
dt Ък V
ei
В реальных случаях, например, при взаимодействии
сверхсильных ультракоротких лазерных импульсов с
большими атомарными кластерами могут реализовываться как
высокочастотный, так и низкочастотный пределы по
отношению к частоте столкновений свободных электронов с
многозарядными ионами внутри кластера.
6.2.4. Квантовый подход. Угловые распределения
В этом разделе, являющимся основным в данной работе,
будут получены вероятности поглощения и вынужденного
испускания фотона электроном, рассеивающимся на куло-
новском центре в присутствии электромагнитного поля при
фиксированном угле в между начальным направлением
импульса электрона р и вектором напряженности
электрического поля Е.
Вероятность перехода электрона в единицу времени из
начального состояния с импульсом р в конечное состояние с
импульсом р' в первом порядке теории возмущений по полю
электромагнитной волны дается «золотым правилом Ферми»:
144

Мр^р') =
2 ^ *^ *^ "^ ^ ' BкУ
Здесь возмущение имеет вид дипольного взаимодействия
электрона с электромагнитным полем
V = ?ег,
где е - единичный вектор поляризации поля, аЕ - амплитуда
его напряженности.
Так как матричный элемент оператора координаты связан
с матричным элементом оператора импульса известным
соотношением квантовой механики
г(р-^р') = Ф(р^р')/о;,
то вероятность перехода A4) можно переписать в виде
w(p->p') =
Е п.р
llep(p->p')l'^Q,
Выражение для матричного элемента оператора импульса
имеет вид (в случае вынужденного испускания):
, . ,^, 8л:^лАп^ехр(-л:у)
1ер(р^р'I = -
coip-p'f
•X
/v/7(p'-p)e
1 + JC
F(-x) + (;7'pe-pp'e)F4--x)
Здесь, как и выше, обозначено
145

z z
v= —»1, v'= — »1.
P P'
Мы ввели также новое обозначение
ip-p'f {P-P'f 2
Угол между векторами р и р' (угол рассеяния), как и выше,
обозначен •&. Расписывая скалярные произведения векторов,
получим вероятность вынужденного испускания фотона A4)
в виде
4л:^?:^п,.2^ехр(-2лгу)
>v„ (в) = г^ ^ ^Х
со'р(р-р')'
I
iZ
-(р'С0$в'-рС05в)Р(-х) +
\ + Х
+ рр'(cose-cose')F4-xfdil ..
Здесь введен угол 0' между векторами р' и е. Дифференциал
телесного угла выразим через дифференциал переменной д::
dn„. = ^Р~Р^ dxdw.
" 2рр-
Выражая угол в' через углы 0 и 1? с помощью формул
сферической тригонометрии (как и в разделе 2) и интегрируя
по углу ср (он определен так же, как и в разделе 2), получим
вероятность вынужденного испускания фотона в виде
146

4k\;E^Z^ e\pi-27tv)
w^m= 7-^ ^—.—X
o)'p'p'(p-p'f
a f 2
J^<cos в
0 [
+—sin^0sin^t?|
iZ , t?
—(p'cosl}- p)F(-x) + 2pp'sm^ — F'(-x)\
\—F(-x)-pF4-x)\
X
= Asm^e + Bcos^e.
Здесь обозначено
a =
4pp'
ip-p'f
A5)
Ниже получено новое асимптотическое представление
для полной гипергеометрической функции, адекватное для
параметров в рассматриваемой задаче:
Fi-x) = FOV,/vM;-^:) =—ехр(;гу)д:""' К^
к
A6)
Здесь, как и выше, Kq{z) - функция Макдональда с нулевым
индексом и
V =
Представление A6) справедливо с относительной точностью
(V- vO^ « 1, что позволяет корректно учесть не только
главные члены в вероятности A5), но и поправки, линейные по
частоте со, которые и определяют разность вероятностей
поглощения и вынужденного испускания фотона.
Обратимся сначала к слагаемому А в вероятности A5).
Подставляя A6) в A5), получим
147

/z
F{-x)-pF'i-x)
г -у _
p ехрBлу)
{кхУ
—:—^0
г 0,-7- л .-7-2
2v
{4~х]
.'-К}
2v
л/1.
Подставляя это выражение в A5), легко проверить, что
слагаемое kI\1v Нх) дает малый вклад в вероятность
вынужденного испускания фотона, пропорциональный о}.
Пренебрегая им, получим
co^p b
t —
b'
K^M
Здесь обозначено
b=P^«\.
Вычисление интеграла аналогично тому, что производилось в
разделе 2. Получаем
Л =
я?:^п.2^ехрBл^ -2kv)
4
СО р
In—3-1
ybv
Теперь обратимся к расчету 5 в A5). Подставляя A6) во
второе слагаемое в A5), находим
148

— (p'cos7}-p)F(-x) + 2pp's\n^ — F\-x)\
X 2
тех
expB;rv)
{v-vfKl
^2v^
Подставляя это выражение в A5), находим
+ ibvfK}
uE^nZ expB;rv -Inv)
В = ¦ :—; X
,.4 2,
СО р р
xjdtl
b
2tKl{vt) +
( со ^
pp'f)
Khvt)
Вычисляя интегралы аналогично тому, как это делалось в
разделе 6.2.2 (здесь оба интеграла вносят сравнимые друг с
другом вклады), получим
В =
InE^n.Z^ ехрBл:у - Inv)
СО^ р
Подставляя полученные результаты в A8) и производя
разложение по о/р^ « 1 с точностью до линейных по частоте
членов, находим вероятность вынужденного испускания
фотона в единицу времени:
w,@) =
пЕ n.Z'
со^ р
1 +
TtlCO
X
2cos 0 +
Ъ(о
\
%(й 1р'
sin^e
A7)
149

Аналогично находится вероятность поглощения фотона
w,@) =
KE^nZ
2 /
4
СО р
1+-
kZco
X
2cos 0 +
* 1п-^—-1 + -
(^ ^(о 2р'j
Isin^e
A8)
При усреднении по углу в получим из A7) и A8) результаты
предыдущего раздела A0) и A2) соответственно, как и
должно быть.
При вычитании A7) из A8) получим вероятность
вынужденного обратного тормозного поглощения в единицу
времени:
^т =w,-W, =•
ЪпЕ%7}
со'р'
-sin'е.
A9)
Мы видим, что эта величина всегда положительна, т.е.
эффект Маркуза для медленных электронов не реализуется.
Усреднение A9) по углу в приводит к выражению A3)
предыдущего раздела, как и должно быть.
Из A9) также видно, что вероятность вынужденного
обратного тормозного поглощения максимальна, когда
начальное направление электрона перпендикулярно поляризации
электромагнитного поля.
Полученные результаты могут быть использованы при
анализе нагревания электронной компоненты кластеров в
поле сильного лазерного излучения.
В заключение отметим, что определенный интерес
представляет аналогичная задача, в которой имеется не одно, а
два лазерных поля, причем одно из них значительно
интенсивнее другого.
150

6.2.5. Асимптотическое представление
для гипергеометрической функции
В этом разделе будет найдено асимптотическое
представление A6) для полной гипергеометрической функции,
использованное выше. Гипергеометрическую функцию
(функцию Гаусса) f (/v,/v',1;-jc) с большим аргументом х » 1
целесообразно сначала разложить по гипергеометрическим
функциям с малым аргументом
F(/v,/vM;-jc)= П^'(^'"^I ^-^^ X
Г(/у')ГA-/у)
xF(/v,/v,l + /(v-v');-l/jc) +
+ ^[^^^""^ ^^ x"'"'F(/v',/vM + /(v'-v);-1/jc).
Г(/у)ГA-/у')
Вводя, как и в разделе 2, малую разность
дV = (v'-v) / 2 « 1 и среднее значение v = (v + v') / 2,
перепишем это выражение, пренебрегая членами порядка
(Ду)^ « 1:
ехр(л:у) _,v
'Ч лАл^7
F(/v,/v',l;-jc) = —^-^—-х' \ VWvx
4лДу [
xt\^{-li^v\n{yvl^[x)F{ivJv,\^i{v---v')'-\lx)'-
-Vv/v'expB/Avln(yv/Vjc)F(/v',/v',l + /(v'--v);-l/x) V
A)
151

Теперь рассматриваем каждую из двух новых
гипергеометрических функций:
F(/v,/v,H-/(v -v');-l/jc) = 1 +-
V^/JC
l![l + /(v-v')]
B)
2![l + /(v-v')][2 + /(v-v')]
При V » 1 в нулевом приближении получим
модифицированную функцию Бесселя:
F^^4/v,/v,l + /(v-v');-l/jc) = /oBv/VJc).
Поправка первого порядка по (v-v')«l в знаменателе B)
дает следующую комбинацию модифицированных функций
Бесселя
F^^4/v,/v,l + /(v-v');-l/jc) =
= /(v'-v)[A:oBv/V^) + ln(yv/A/I)/oBv/V]^)].
Здесь, как и выше, величина у представляет собой логарифм
константы Эйлера. Поправка следующего порядка по
(v-v') = Zu)//?-' «1
вещественна и в сочетании с учтенными членами дает вклад
в A), квадратичный по частоте (О. Мы пренебрегаем, как и
всюду выше, такой поправкой.
Далее учитываем поправки первого порядка в числителе
B) по l/v« 1:
F^^\iv Jv^ + i{v -v')'-\ Iх) ^ -аIхI A2v I^).
152

Собирая все поправки первого порядка, получаем
асимптотическое представление для первой гипергеометрической
функции, входящей в A):
F(/v,/v,l + /(v-v');~l/jc) =
= l^ilv I л1^)-1{у I x)I^{2v 14^)+ C)
+ /(v-v')[/roBv/V]^L-ln(yv//V]^)/oBv/V^)].
Вторая гипергеометрическая функция в правой части A)
получается из C) перестановкой индексов v <г^ v\
Подставляя C) и аналогичную вторую
гипергеометрическую функцию в A), после разложений по Av « 1 получим
п
x\iK^{z) +
1
VI
-/о(г)-/|(г) + |-/2(гIп —
Z 1 yz
Здесь обозначено z = 2v I Гх.
Нас интересуют следующие области аргумента и
индексов гипергеометрической функции:
г V
jc»l, v,v'»l, lv-v'l«l, yjx» . D)
Inv
При этом величина может быть как больше, так и
меньше V. Действительно, при вычислении интегралов от
модифицированных функций Бесселя существенны значения
переменной X порядка v^.
При выполнении этих условий можно пренебречь
модифицированными функциями Бесселя /о,/р/2 в предыду-
153

щем выражении (они имеют малость порядка 1/v « 1), и мы
получаем окончательное асимптотическое представление для
полной гипергеометрической функции в виде:
F(/v,/v\1;-jc) = /^^^^^^x~^^A:oBv/V^), E)
п
использованное выше.
6.3. Поглощение медленным электроном энергии
высокочастотного электромагнитного ноля
при рассеянии на кулоновском центре
В этом разделе дается аналитическое описание скорости
обратного вынужденного тормозного излучения при
рассеянии медленных электронов на кулоновском центре в
присутствии линейно поляризованного электромагнитного поля.
Как и в предыдущем разделе 6.2, медленность
квазиклассического движения электронов означает, что выполняются
неравенствар « Z, р* « Z, где сновар ир' - начальный и
конечный импульсы электрона соответственно, а Z - заряд
кулоновского центра. В этом разделе мы снова используем
атомную систему единиц.
Как и выше, энергия фотона предполагается малой по
сравнению с энергией электрона, т.е. со « р^. Основное
отличие данного раздела от предыдущего состоит в том, что в
разделе 6.2 предполагалось выполнение более сильного
неравенства для частоты, а именно, со «/?"Vz. Здесь же
электромагнитное поле предполагается высокочастотным в том
смысле, что выполняются неравенства
р^ IZ«@« ^7^
154

Ввиду медленности движения электронов эти неравенства не
противоречат друг другу.
Сечение спонтанного излучения фотона электроном с
начальным импульсом р и конечным импульсом р' при
рассеянии на кулоновском центре с зарядом Z дается известным
соотношением квантовой электродинамики:
dO(^
V ___
X
[1-
Здесь обозначено
V :
Зс^
d\Fi-
exp(-2^v'
= i»,;
Р
Р'
7-х
Pip-P'f
¦х)\^ Idx
)][expB;rv)-l]
v'= —»1.
Р'
do)
0)
Введено также сокращенное обозначение для полной
гипергеометрической функции
F(-Jc) = F(/v,/v',l;-Jc)
и ее аргумента
4рр'
х = ^-^—г-»1.
Переход к вынужденному испусканию происходит путем
замены
do)
пс'Е'
155

Тогда для вынужденного испускания фотона в единицу
времени, усредненной по всем углам, получим компактное
выражение:
8л:-'2^п.?^'ехр(-2яу) d\F(-x)\^
w^=n.pd(j^= ~у— . A)
3(р- р ) (О ах
Вероятность поглощения фотона в единицу времени дается
аналогичной формулой, в которой только надо заменить
фактор ехр(-2л'У) на exp(-2;rv'):
_ SK^Z\.E^p'txp{-27tv') d\F{-x)C^
^а = 77 Zr-4 ; • B)
3{p- р ) со ах
Гипергсометричсская функция определяется контурным
интегралом:
T{ivJv\\'-x) = ^'''^^^^4r-\\-trW^xtr''dt.
2т J
Здесь замкнутый контур С в комплексной плоскости
переменной интегрирования t охватывает точки / = О и 1. Разрез
имеет место между этими двумя точками.
Для медленных электронов главный вклад в контурный
интеграл дается верхней частью контура С, где Im t = +0.
Вклад нижней части контура, где Im/ = -О, экспоненциально
мал по сравнению со вкладом верхней части контура, и им
мы пренебрегаем.
Определим отношение р = рЧр =v/v'<\. Будем
считать сначала, что фотон вынужденно излучается электроном.
Запишем контурный интеграл в виде
r(,V,,V.,;-.) = ^^TexpW@1^. C)
2т оо /
156

Здесь введено обозначение
/@ = /1п
A-0A + ^0^'^
Интеграл C) может быть вычислен методом перевала ввиду
условия V » 1. Перевальная точка определяется условием
/Ч^о) ~ О- Дифференцируя, находим
-if(t) = - + -^ j-^, D)
Используя параметр
4p
JC =
A-p)''
МЫ находим положение вещественной перевальной точки
t^) = A-р)/2. Следует также заметить, что О < ^ < ^Д так
как О < р < 1. Таким образом, перевальная точка находится
внутри верхней части контура С.
Дифференцируя D), вычисляем вторую производную:
1 1 х^
г A-0 p{l + xty
Легко видеть, что в перевальной точке вторая производная
обращается в нуль. Следовательно, мы должны вычислить
третью производную. Дифференцируя E), получим
157

2 2 2х^
-ift) = 4 + —^ ^^. F)
f' A-0 pa+xt)'
в перевальной точке отсюда получаем
32/
^"'^''^~A-р'У
Для вычисления интеграла методом перевала мы должны
учесть четвертую и пятую производные (чтобы вычислить
предэкспоненциальный фактор). Дифференцируя F),
вычисляем четвертую производную:
-г (IV) ^ ч 6 6 6х
-if \t) = -— + - -р + — -. G)
Г A-0 рA + д:0
В перевальной точке имеем
(,v) 48х16р
Наконец, дифференцируя G), вычисляем пятую
производную:
[t' A-0' p(l + J^O'J
в частности, в перевальной точке пятая производная равна
/'*"(^о) ='24x32 ^"'^^^
2
2\4
A-рО
158

Таким образом, разложение функции f{t) в окрестности
перевальной точки принимает вид
2w5
., , . 16/т' 32/рт' 64/A + 11р')т
(8)
Здесь введено определение
t
(р = 1п
о
A-Го)A + ^^о)
1/р
кроме того, обозначено Т = f - ^q.
Следует отметить, что мнимый член icp в (8) сокращается
с соответствующим членом при вычислении производной
F'(-^)*, так как мы имеем
illk^uL = -2Re[F(-;c)F'*(-^)].
Л:
Далее следует вычислить предэкспоненциальный фактор
\lt в перевальной точке. Для этого мы должны учесть четыре
члена разложения этой функции по разности X — t — t^.
Только тогда возникает ненулевой вклад в вычисляемую
вероятность. Получаем
1 2 f, 2т 4т' 8т' 1
1-: + т^ тт"- ттЬ (9)
t 1-р1 1-р A-р)' (l-p)M'
Подставляя (8) и (9) в C), получим следующее выражение
для гипергеометрической функции:
159

Fiiv,iv',l-x) = —^ -^^х
л:A-р)
X Jexp|-/vy4' -^vpyV +jiv(l + np^)y*t^ ix A0)
L 2t 4t
xh +
8t-^
1-p A-p)' A-p)'
Wt.
Здесь введено обозначение у
1-р^
Далее следует произвести разложение в экспоненте
подынтегрального выражения A0), причем учесть два порядка
от второго члена и один порядок от третьего члена в
показателе экспоненты. Таким образом, мы получаем все
требуемые члены разложения гипергеометрическоп функции:
Z7/- • . 1 л icxp{KV + iv(p
л:A-р)
8т'^
X
X \dt<l + г^ехр
x{l-4/vp>;WD/5)/v(l + llp').y4'-8v'p'y'T'}
4. 2 .
—ivy г
3
(П)
Теперь соберем все члены в подынтегральном выражении
(И), имеющие порядок величины 1, v"^^\ v~^^\ V"'.
Введем также следующее обозначение:
- fvv'
\1/3
16v
ч1/3
I3(l-p0'j
160

Перейдем также к безразмерной переменной интегрирования
Z = ат. Тогда выражение A1) приобретает следующий вид:
F{iv,iv',l;-x) = —— ^-^х
liz
xJjeexpOz^) 1--:^ +
Aiz'
Siz'
аA-р) а\\-рУ а\\-р)'
.2 ^2,.6^8
4vpy'z' Svpyz' 16vpy z' Siv'p'y''z'
a' a'il-p) а'а-рУ
a
4„6
16/vV^y^z' 4(l + llp0vy"z' 8(H-llpOvy z
«Ч1-Р)
5a^
5a\l-p)
A2)
Безразмерные интегралы, входящие в это выражение, равны
(они являются сходящимися с физической точки зрения):
Г1\
л/з 13
jtxpiiz^)dz = =^П - I jzexp(/z^)^z ==^П "^
]z'exp(,V)A = -J^r(|]
e.p(,v')A=--|r||j
i 9л/з [3j
Здесь Г(г) - гамма-функция.
Некоторые интегралы такого типа равны нулю:
161

оо оо оо
jz^ cxp{iz^)dz = jz^ txp(iz^)dz = jz^ c\p(iz^)dz = 0.
Подставляя значения этих интегралов в A2), получим
окончательное асимптотическое выражение для
гипергеометрической функции, адекватное сформулированным выше
условиям на ее параметры и аргумент:
F(/v,/v',l;-Jc) =
_ ГA / 3) ехр(л^ + iv(p)
л:л/3A-р)а
. 2ГB/3) 1-10р + 11р^
A + р)а 10A-p)v
A3)
Теперь аналогичным образом вычисляем
асимптотическое выражение для производной гипергеометрической
функции по ее аргументу:
—-F(/v,/vM;-x) =
ах
In i\ + xt
Разлагаем предэкспоненциальный фактор /у7Aч-д:0 в ряд
по Т = ^ - ^Q с точностью до членов порядка т\ Получаем
\ + Xt 1 + р^ '
Здесь введено обозначение
4р
w = —^
162

Разложение экспоненты в A4) производится таким же
способом, как и для гипергеометрической функции. В результате
получаем
dx 2п(Х + р)а
X
оо
X |c/zexp(Jz^)
. ZW
а
3_4
Aivpy Z
а
Aivpy^w^z'' %wv'py\^^ Aiv{\ + np^)y'wz'
а
5а'
Здесь были введены те же обозначения для величин а и у, что
и выше при вычислении гипергеометрической функции.
Исключены все интегралы, которые равны нулю. Используя
ненулевые значения интегралов, приведенные выше,
получаем окончательное асимптотическое выражение для
производной гипергеометрической функции при больших
значениях параметров и аргумента:
dx
F(/v,/vM;-Jc):
у'A~р)ГA/3)ехр(яУ4-/У(р)
2л:л/3A + р)а
1 +
2/р2-Зр^
5v 1-р'
A5)
Используя полученные выражения A3) и A5), вычисляем
входящую в вероятность A) комбинацию:
d\F{ivJv\l;-x)\4dx.
163

Подчеркнем, что главные члены порядка единицы выпадают
т
в этой комбинации, и мы удерживаем члены порядка v ' и
V '^1 Получаем
d
dx
\F(iv,iv\l;-x)\'=
(p-p')'expB/rv)
AnSpp'
1 +
(p'+p'')( 4
Ч1/3
20
3Z'co' )
ГA/3)
ГB/3)
A6)
Здесь согласно закону сохранения энергии при испускании
фотона имеем: р' = р - 2@.
Подставляя A6) в A), находим окончательное выражение
для вероятности вынужденного испускания фотона в
единицу времени при рассеянии медленного электрона на кулонов-
ском центре:
_ 2л: ^Z^nF'
W =
Зл/З.
«"*/?
1 +
{р-(о)
10
Nl/3
3Z^u)^
ГA/3)
ГB/3)
A7)
Для того чтобы второе слагаемое в правой части этого
выражения было бы малой поправкой в соответствии с
проведенным выводом, нужно потребовать выполнение
высокочастотного условия, о котором говорилось в начале данного
раздела:
(О» р^ IZ.
Теперь мы перейдем к аналогичному расчету вероятности
поглощения фотона медленным электроном при выполнении
тех же условий, что были сформулированы выше. Это проще
всего сделать, заменив в выражении A6) начальный импульс
электрона на конечный и конечный на начальный. Тогда
вместо A6)получим
164

dx
\Fiiv,iv\l--x)\^ =
_{p-p'rexp{27tv')
An^Ibpp'
1 +
ip"+r)
20
Nl/.l
УЪ2^@^ )
ГA/3)
ГB/3)
A8)
Здесь, в отличие от A6), имеем р'^ = р^ + 2@.
Подставляя A8) в B), находим вероятность поглощения
фотона медленным электроном при рассеянии на кулонов-
ском центре:
iTt'Z'n.F'
W.. =•
з73(
со*р
1+
(р'+со)
(
10
ч1/3
SZ^ft)^
ГA/3)
ГB/3)
A9)
Далее можно вычислить вероятность вынужденного
обратного тормозного поглощения медленного электрона,
усредненную по направлениям его конечного импульса и по
углу между вектором поляризации электрического поля и
направлением начального импульса электрона:
г о \'
\5У"'@'р
2@
ГA/3)
ГB/3)
<0.
B0)
Умножая эту вероятность на энергию фотона й), мы полз^аем
среднюю энергию, которую приобретает медленный
электрон при рассеянии на кулоновских центрах в единицу
времени:
2'72.
dE _ In'Z'n.F'
dt ~15-3''"u)V
/ т Ч2/3
Zu)
ГA/3)
ГB/3)
B1)
165

Отметим, что в действительности это выражение справедли-
во как в классической области С0« р , так и в квантовой
области (Оос р^. Мы только требуем выполнения условия
СО» р^ /Z.
В отличие от предыдущего раздела, где электрон
рассеивался на малые углы в процессе кулоновского рассеяния, в
данном случае имеет место рассеяние электрона на большие
углы. Поэтому в данном случае не возникает кулоновского
логарифма. Но в обоих случаях имеет место поглощение
электромагнитной энергии электроном.
В случае максвелловского распределения электронов со
средней температурой Г усреднение выражения B1) дает:
4n'^'Z\F' ( 2 Y'' ГA/3)
' IV/ B2)
l5'3"'(o^^\Z(o] ГB/3)
Конечно, такое выражение справедливо, если в плазме из
электронов и ионов с зарядом Z можно пренебречь эффектом
экранирования кулоновского потенциала. Для этого
необходимо, чтобы дебаевская длина экранирования
была бы велика по сравнению со средним расстоянием
между ионами пТ , т.е. чтобы выполнялось условие
T»Zn
1/3
166

ГЛАВА7
ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С УЧАСТИЕМ БЫСТРЫХ
И МЕДЛЕННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
7.1. Фотоотрыв медленных электронов
от отрицательных атомарных ионов
Фотоотрыв электрона от отрицательного атомарного иона
под действием электромагнитного излучения происходит по
схеме
А' -\-fi@-^ А-\-е,
Таким образом, отрицательный ион, поглощая фотон
электромагнитного излучения, переходит в нейтральный атом, а
избыточный электрон улетает на бесконечность.
В первом порядке теории возмущений по
взаимодействию электрона с электромагнитным полем для вероятности
дипольного фотоотрыва, усредненной по направлению
поляризации поглощаемого света, в единицу времени имеем
хорошо известное выражение:
167

Здесь со - частота поглощаемого света, D - оператор диполь-
ного момента электрона, О - начальное состояние
отрицательного иона, q - импульс электрона в конечном состоянии
непрерывного спектра, gq - число конечных состояний с
данным импульсом (статистический вес), и, наконец, п^, - число
фотонов электромагнитного поля в одном состоянии.
Нормировочный объем полагаем равным единице. В дальнейшем
будем использовать атомную систему единиц, полагать заряд
и массу электрона, а также постоянную Планка равными
единице.
Статистический вес конечных состояний имеет
следующий вид:
в этой формуле (iQq - элемент телесного угла,
характеризующий направление вылета электрона. Закон сохранения
энергии при поглощении фотона записывается в форме
й)=/ + ^'/2.
Здесь / - энергия связи избыточного электрона в
отрицательном атомарном ионе. Отсюда имеем qdq = dco. Подставляя
это соотношение в B) и затем B) в A), получим вероятность
фотоотрыва в единицу времени в следующем виде:
с
3 ^Oq ''(О J. 3 ^^^^^''q'
Разделив эту вероятность на поток фотонов
168

n с
получим сечение фотоотрыва, которое не зависит от числа
падающих фотонов:
^cT=f-IDoJ^ Ji^^,. C)
Вследствие симметрии поля атомного остатка, в котором
движется избыточный электрон, состояния этого электрона
характеризуются, помимо главного квантового числа п,
также орбитальным квантовым числом / и его проекцией т на
выделенное направление. В соответствии с этим представим
волновую функцию начального связанного состояния О в
виде
Г
Здесь п в, ср - сферические координаты электрона, w„/(r) -
радиальная волновая функция электрона, нормированная
обычным условием
]uf„{r)dr = l.
О
^1т (^'Ф) ~ нормированная шаровая функция.
Волновая функция конечного состояния с заданным
импульсом q, разложенная по полиномам Лежандра, имеет вид
1=0
169

Здесь I? - угол между векторами гид. Далее, ui(q,r) -
радиальная волновая функция электрона в непрерывном спектре,
обладающим заданным угловым моментом /. Вдали от
атомного остатка эта функция имеет стандартный
асимптотический вид:
Ч
Величина 5/ - фаза рассеяния электрона на атомном остатке.
Если вылетающий фотоэлектрон достаточно быстрый, то
взаимодействием его с атомным остатком можно пренебречь,
так что волновая функция конечного состояния представляет
собой плоскую волну:
V/q(r) = exp(/qr).
Следовательно,
\lq
Здесь J 1^x12^4^) - функция Бесселя полуцелого индекса.
Выразим в общем виде сечение фотоотрыва через
радиальные интегралы от волновых функций. Согласно C)
сечение фотоотрыва записывается в виде
cT = ^jlr„,PJQ,. D)
При этом мы заменили оператор дипольного момента
электрона D на его координату г.
Перейдем к вычислению интеграла в D). Введем
единичный вектор S так, что проекция углового момента электрона в
начальном состоянии О на это направление равна нулю. По-
170

лагая, таким образом, т = О, упрощаем угловую часть
волновой функции электрона в начальном состоянии:
X
Y,je,(f» = J^P,(cosx).
Здесь X - угол между векторами г и s. Используя ранее
приведенные выражения для волновых функций, запишем
искомый интеграл в D) в форме
= J^qJ jjp,(cosx)drda,u,„(r),l^
|2
X г ^ B/41)/'W/. (q, r)Pj, (cos i?)
/'=0
Возводя в квадрат, находим
jdQ^jjjjdrdr-dQ^dQ,(rnuAr)u„,(r')x
2/ + 1
х——/',(cos;i^)P,(cos;f')x
оо
X ^i'-''B/'+1)B/"+1)Р,.(cos6)Pi..(cosг?')м/.(q, r)u,,(q, r').
/'./"=0
Мы обозначили х- угол между векторами s и г', а t?' - угол
между векторами q и / ,
Проинтегрируем по телесному углу dQ^,
воспользовавшись теоремой сложения для полиномов Лежандра:
171

P,..(COSI?') = P,..(cos0)P,..(cost?) +
+ 2j^jp^P;\cos9)P,f(cosmcos[mi(p^ -(p,)].
m V^ "Tin).
Здесь в - угол между векторами г и г', срг, <Рг' -
азимутальные углы.
Сумма по I' устраняется вследствие свойства
ортогональности полиномов Лежандра с различными индексами:
Jrf(cos0)P;(cos0)P;.(cos0) = дц,.
Получаем
flr„, I' da^=Y,\R,, РB/ + 1)BГ+1)х
/•=0
X JJjfl^^a^. COS0 • P/(cos;f)P;(cos;t')P;.(cos0).
Здесь введено следующее обозначение для радиального ди-
польного матричного элемента:
оо
Для того чтобы во второй раз воспользоваться условием
ортогональности полиномов Лежандра, используем
следующее рекуррентное соотношение для этих полиномов:
{2V+\)xP,{x) = (/•+l)/>,„(jc) + /'P,_,(;c).
172

Получаем
Ji Го, I' da^ =
X [(/'+l)P,4i (cos6>) +/'P,_, (cos0)]P, (cos;i:).
Применим теперь теорему сложения для полиномов Ле-
жандра к функции /*,.+, (cos0). Находим
/'=0
X [(/•+!)/',„ (cos x')Pr.^ (cos x) + -^l' Pv-y (cos x')Pv., (cos x)] x
xP,(cos;t')/',(cos;t) = -^h V. "' +(^ + l)l^/.w "'l-
При этом использовалось условие ортогональности и
нормировки для полиномов Лежандра.
Таким образом, для сечения фотоотрыва электрона от
отрицательного иона (или от атома, или от положительного
заряженного атомарного иона) получим достаточно простое
общее выражение:
ЗсB/ +1)
Мы видим, что при переходе в непрерывный спектр
выполняются дипольные правила отбора, согласно которым
орбитальное квантовое число / увеличивается или уменьшается на
единицу. Кроме того, при переходе изменяется четность
состояния.
173

Зависимость а - q представляет собой пороговую
особенность Вигнера вблизи порога ионизации, связанную со
статистическим весом конечного состояния. Вследствие
зависимости матричных элементов /?//' от q при удалении от
порога результирующая зависимость сечения от q, конечно,
гораздо сложнее. Кроме того, в случае кулоновского
потенциала, как мы увидим ниже, матричные элементы сильно
зависят от q вблизи порога, так что и вблизи порога пороговая
особенность Вигнера может не соблюдаться.
Отметим также, что формула E) относится к случаю,
когда поглощается фотон какой-либо одной определенной
поляризации.
Определим теперь сечение фотоотрыва электрона от
отрицательного иона, находящегося в 'S-состоянии. В
отрицательном ионе находятся два электрона в s-состоянии.
Сечение фотоотрыва одного из них находим, полагая в E) / = 0:
Зс
01-
Дополнительный множитель 2 введен, так как вероятность
фотоотрыва для двух электронов вдвое больше вероятности
фотоотрыва при наличии одного электрона.
Вычислим радиальный дипольный матричный элемент в
найденном выражении. Для этого сначала найдем
приближенную волновую функцию электрона, связанного в
отрицательном ионе. Обозначим его энергию связи через у/2.
Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции uo(r)
имеет простой вид: и^\г) = у^и^(г). При написании этого
уравнения мы пренебрегли взаимодействием вылетающего
электрона с нейтральной системой из атомного ядра и
другого электрона, так как оно является короткодействующим и в
хорошем приближении может считаться дельта-
функционным. Таким образом, электрон ведет себя в поле
174

атомного остатка так же, как в поле короткодействующей
ямы. Решение указанного уравнения Шредингера имеет вид
Mo(r) = V2rexp(-}r).
Радиальная волновая функция конечного состояния
электрона в непрерывном спектре с / = 1 вследствие отсутствия
его взаимодействия с атомным остатком представляет собой
первую гармонику разложения плоской волны expCi^r) по
полиномам Лежандра, т.е.
^ sin qr
qr
- cosqr
Ha основе этих функций теперь вычисляем радиальный ди-
польный матричный элемент:
7 2д/27^
Roi = \uo{r)ru,(q,r)dr = — -—.
о if^q')
Отсюда для сечения фотоотрыва электрона от
отрицательного иона получаем
(J =
8я yq^
F)
Здесь в соответствии с законом сохранения энергии при
поглощении фотона имеем
175

Применимость полученного выражения F) основана на
условии, что размер отрицательного иона 1/у велик по
сравнению с областью взаимодействия вылетающего
фотоэлектрона с нейтральным атомным остатком, т.е. для случая
малых энергий связи электрона в отрицательном ионе.
Полученное выражение F) становится также
неприменимым при очень больших энергиях вылетевшего
фотоэлектрона, т.е. при больших частотах электромагнитного излучения.
Действительно, тогда область г - \/q, в которой находятся
существенные расстояния для расчета матричного элемента
/?оь имеет порядок области взаимодействия электрона с
нейтральным атомным остатком.
Если q » у (но ограничено сверху приведенным выше
условием), то из F) получим быстро убывающее
асимптотическое значение сечения фотоотрыва высокочастотным
электромагнитным полем:
64л: у
^ = -7-3-
Ъс q
Напротив, вблизи порога, когда q' « у , из F) находим
64л: а^
Зс у'
Зависимость с - q объясняется тем фактом, что конечное
состояние является не s-, а р-состоянием. Поэтому при малых
значениях г волновая функция конечного состояния u\{qj)
не является константой, а пропорциональна q.
Для перехода в обычную систему единиц в полученные
выражения для сечений фотоотрыва нужно ввести квадрат
боровского радиуса (с = 137).
176

7.2. Вылет быстрых и медленных электронов
из атома водорода под действием
электромагнитного поля
7.2.1. Фотоионизация основного состояния атома водорода
Определим сначала сечение фотоионизации атома
водорода, находящегося в основном состоянии. Согласно
формуле E) предыдущего раздела 7.1, полагая / = О, получим
Ъс
Таким образом, нашей целью является вычисление
радиального дипольного матричного элемента /?oi. Как и в
предыдущем разделе, здесь используется атомная система единиц.
Мы ограничимся случаем быстрых и медленных
вылетающих электронов. Начнем со случая медленных электронов,
т.е. вычислим сечение ионизации вблизи порога ионизации.
Матричный элемент имеет вид
/?o, = J2r exp(-r)w, {q, r)dr. B)
Здесь использовано известное выражение для волновой
функции основного состояния атома водорода. Функция
u\{qj) представляет собой радиальную волновую функцию
электрона с / = 1 в кулоновском поле, принадлежащую
непрерывному спектру. При q ^> Q она находится из решения
радиального уравнения Шредингера в следующем простом
виде:
177

u,{q.r)=l-J,UJSr). C)
Здесь 7з - функция Бесселя.
Вычисляя интеграл B) с функцией C), находим
D)
В этой формуле е = 2.72... - основание натурального
логарифма. Подставляя D) и полагая со = Vi, получим сечение
фотоионизации в пороге (в атомных единицах):
^ = 177- <'»
Мы видим, что, в отличие от случая короткодействующего
потенциала, рассмотренного в предыдущем разделе, сечение
не обращается в нуль в пороге, а является константой
(порядка квадрата боровского радиуса). Этот результат является
общим: он справедлив не только для основного состояния
атома водорода, но и для его возбужденных состояний, а
также для других атомов и положительно заряженных
атомарных ионов.
Теперь обратимся к противоположному случаю быстрых
фотоэлектронов, реализуемому при больших энергиях
фотонов по сравнению с ридберговской энергией. В этом случае
волновая функция конечного состояния представляет собой
плоскую волну exp(/qr). Разлагая ее по сферическим
гармоникам, выделяем гармонику с / = 1:
178

Ч
sm qr
cos qr
qr
F)
Подставляя F) в B) и далее B) в A), вычисляем сечение в
пределе больших значений q, когда энергия фотона
значительно превышает потенциал ионизации атома водорода:
256л: 16л: л/2
ст = г = 77Г-- G)
cq ССО
Мы видим, что сечение фотоионизации убывает быстрее, чем
в случае отрицательного иона, где оно было обратно
пропорционально q^.
Если положить в G) со = Vi, то мы, казалось бы, должны
получить по порядку величины сечение E) в окрестности
порога. Однако на самом деле мы получаем значение, на
порядок превышающее значение в пороге. Отсюда можно
сделать вывод, что выход на асимптотическое значение G),
соответствующее быстрым электронам, оказывается весьма
медленным. Из численных расчетов следует, что он
достигается лишь при со > 20 а.е.
Степенное убывание сечения с энергией фотоэлектрона
согласно G) есть следствие того факта, что кулоновский
потенциал имеет особенность не вещественной оси.
Действительно, матричный элемент перехода для больших энергий
фотоэлектрона представляет собой далекую компоненту
Фурье. Если бы потенциал не имел особенностей на
вещественной оси, то такая компонента Фурье убывала бы
экспоненциально, а не степенным образом. Выражение G) справедливо
вплоть до релятивистских энергий фотоэлектрона.
Полученные результаты легко обобщаются на случай во-
дородоподобных атомарных ионов. Для этого нужно в E)
заменить боровский радиус ао (сечение пропорционально
квадрату этого радиуса) на uq/Z, где Z - заряд атомного ядра.
179

Следовательно, вблизи порога сечение фотоионизации
обратно пропорционально Т}. А в выражении G) нужно еще
энергию фотона со поделить на ридберговскую энергию,
которая также пропорциональна Z^. Таким образом, получаем,
что для быстрых фотоэлектронов сечение фотоионизации
прямо пропорционально Z^.
7.2.2. Фотоионизация ридберговских состояний атомов
Высоковозбужденные состояния атомов, определяемые
кулоновским взаимодействием электрона и атомного остатка,
имеют структуру, схожую со структурой атома водорода.
Энергия высоковозбужденных состояний имеет простой вид
Е^ ^-1/2п^, Здесь w » 1 - главное квантовое число. Такие
высоковозбужденные состояния называют ридберговскими.
Найдем связь между сечением возбуждения атома с
переходом электрона на ридберговский уровень и сечением
фотоионизации атома вблизи порога (в предыдущем разделе это
сечение было рассчитано для основного состояния атома
водорода).
Определим сечение возбуждения ридберговского
состояния. Вероятность дипольного поглощения фотона дается
известной формулой, основанной на золотом правиле Ферми:
4со\ л
>^o.=V^II>.ol g.«.. (8)
5с
Здесь С0;,о - частота атомного перехода, g„ - статистический
вес конечного состояния, D„o - дипольный матричный
элемент перехода, По) - число поглощаемых фотонов.
Заменим дискретный спектр поглощения непрерывным,
вводя нормированную на единицу функцию распределения
фотонов по частотам а(со - сОпо):
180

Введем время жизни т ридберговского состояния по
отношению к радиационному переходу в основное состояние 0:
1 4^'о.1Л .2
Ъс'
ID.ol^o- (9)
Здесь go - статистический вес начального состояния. Из (8) и
(9) находим
1 Я
d^n ---—n^a{co-@,Jdco. A0)
Определим поток фотонов, падающих на атом:
d^k _ co^dco
df^=c2n^-—— = n^-^-Y^ A1)
Деля A0) на A1), находим сечение поглощения:
п^с^ а{@-СО^о) gn
(О^ ^ 8о
^п =—1 ^ ——' A2)
Радиальная волновая функция ридберговского состояния
зависит от главного квантового числа п этого состояния как
п"^^. Такой же будет и зависимость дипольного матричного
элемента перехода от этого квантового числа. Следовательно,
выражение A2) можно переписать в виде:
С
G, =—а(а)-а)„о), A3)
п'
181

где С - константа, а частота перехода равна {Eq - энергия
связи основного состояния):
^.0 = ^0 -
1
In'
Ширина функции распределения а определяется механизмом
уширения.
В пределе большой ширины линии поглощения,
значительно превышающей расстояние между соседними ридбер-
говскими уровнями, сечение поглощения фотона совпадает с
сечением фотоионизации вблизи порога. Действительно, в
этом случае дискретный спектр возбужденного атома
воспринимается как непрерывный спектр, а поведение
слабосвязанного и свободного медленного электрона в области
атомного остатка одинаково. Следовательно, для сечения
фотоионизации полз^аем
<^ = Х^" =CY,\a{@-@,J. A4)
При этом в сечение фотоионизации включена та часть,
которая соответствует образованию медленного фотоэлектрона с
тем же орбитальным квантовым числом, которым обладает
высоковозбужденный связанный электрон.
Определим константу С в выражении A4). Сумму A4)
можно заменить на интеграл. Тогда
(Т = с[а u}-h
Пользуясь условием, что функция распределения фотонов по
частотам а нормирована на единицу, получаем а = С.
Постоянство сечения вблизи порога фотоионизации мы уже ви-
182

дели из рассмотрения в предыдущем разделе. Это
постоянство не связано с величиной ширины линии поглощения,
поэтому далее можно считать, что ширина функции
распределения фотонов по частотам а может быть и меньше, чем
расстояние между соседними ридберговскими уровнями.
Итак, сечение возбуждения ридберговского состояния с
главным квантовым числом п может быть связано с сечением
фотоионизации вблизи порога простым соотношением:
с7„=-^а(й)-а)„о). A5)
п
Интегрируя это соотношение по частоте фотона и пользуясь
условием нормировки функции распределения а, находим
общее соотношение между сечением возбуждения атома в
высоковозбужденное состояние и сечением ионизации его
вблизи порога для произвольного атома:
\G,^dco^—^. A6)
п
Определим дипольные матричные элементы для
переходов между двумя ридберговскими (высоковозбужденными)
состояниями с главными квантовыми числами (л, /) и
{п\ / ± 1). При этом мы предполагаем, что разность главных
квантовых чисел мала по сравнению с самими главными
квантовыми числами:
An = п'-п « п, п\
Так как оба состояния являются квазиклассическими {п »1,
п'» 1), то такие матричные элементы согласно принципу
соответствия равны компонентам Фурье от соответствующих
классических координат как функций времени. В случае ку-
лоновского связанного движения по эллипсу для состояний с
183

главным квантовым числом п и орбитальным квантовым
числом / имеем, что декартовы координаты движения
электрона в плоскости ху определяются неявным образом через
переменную и:
х = n^(cosw-?); у ^n^yjl-e^ sinw;
t = n^{u-?s'\nu).
Здесь эксцентриситет эллипса е находится из соотношения
? = Л~
,п,
Найдем сначала матричный элемент от координаты у:
1 ^
Упп' =-:\y{t)txp(iAn't/n^)dt,
Т
^ о
Здесь Т = 27Ш' - период движения. Элементарное
вычисление интеграла приводит к результату:
Упп= 7 ^д,Л^А^).
Ап€
Аналогично находится матричный элемент от координаты х:
An d(eAn)
В этих формулах J и dJ/dx обозначают соответственно
функцию Бесселя и производную от нее по аргументу. Инте-
184

гралы вычисляются посредством интегрирования по частям и
использования интегрального определения функции Бесселя:
1 ^^
JAz)-— |exp[/(nw-zsinw)]^fM.
2к i
Матричный элемент от оператора х + iy соответствует
уменьшению магнитного квантового числа т на единицу. В
классическом пределе и сам орбитальный момент при этом
уменьшается на единицу. Аналогично матричный элемент от
оператора х - iy соответствует увеличению орбитального
момента на единицу. Итак,
An
J'^(eAn) +
4ГГ.
J^(eAn)
A7)
Определим силу осциллятора для перехода О -> /:
обычным соотношением:
/о,=2й>,о1Ф,),о1'=з^.о(ф.)'о+Ф,)*о+Ф.)*о)-
Тогда для рассматриваемого здесь перехода имеем
f(n,l^n\l±l) = -@„.„
1 / -• ч
(X + Iy) „,,,„¦ JH
V2
Подставляя в это соотношение выражение A7), находим
185

/(«,/-» и',/±1) =
п
ЗАп
f^i?An)±^!^—^J^ieAn)
-i2
A8)
Если мы не интересуемся орбитальным моментом
конечного состояния, то это выражение следует просуммировать
по двум значениям Г = / ± 1. В результате для суммарной
силы осциллятора получим
f{nj^n') =
2п
ЗАп
гЦеАп)^—^ .2
JlieAn)
A9)
Видно, что сила осциллятора прямо пропорциональна п » 1.
Усредним теперь A9) по орбитальному квантовому
числу /, предполагая равновероятным заселение всех состояний
исходного ридберговского уровня с главным квантовым
числом п. Это усреднение проводим с помощью соотношения
1
п-\
/(n,At') = —ХB/ + 1)/(п,/->п',/'=/±1).
Эта формула основана на утверждении, что состояние с
орбитальным квантовым числом / является B/ + 1)-кратно
вырожденным и что полное число состояний с данным главным
квантовым числом равно п^.
Заменяя сумму на интеграл и переменную
интегрирования / на е, исходя из соотношения n^ede =-ldU
вытекающую из определения
г'=1-/'/п',
получаем
186

4п
/("•"¦'=^1^
ЗАп
о L
Jl{eAn)+^—^Jl(eAn)
2 Ал '
d?.
Для вычисления интеграла воспользуемся свойством
функций Бесселя:
•/;(г)-
г 2 \
= —(zJ,{z)J,iz)).
После этого интеграл вычисляется элементарно:
/(п,п') = -^7д„(АпO^(Дп).
3(Дп)
B0)
Выражение B0) можно упростить, если разность
квантовых чисел велика, т.е. Ли » 1. Тогда
] ~> 1 /' л Л
J^ (An) = — f ехр(гД/г и^ /6)du = =• —
2л: i 2пл13[Ап )
1 ГбГуо
17 I f в Y^^j'2^
J\(An)- [wexp(/AA2w*V6Ww = j=\— ч ~
2ni 27t^Iз[^n) [3)
Следовательно, из B0) получаем
2п
¦rfi
Зж\Ап)^ [3
К!)
Согласно известному свойству гамма-функций
187

sinTDc
Таким образом, окончательно находим простое соотношение:
/(п,п') = р—7' B1)
Зл:л/3(Ап)^
Определим, наконец, сечение фотоионизации ридбергов-
ских состояний с образованием медленных фотоэлектронов,
т.е. вблизи порога фотоионизации. Воспользуемся
высказанными ранее соображениями, что в пределе большой ширины
линии поглощения сечение поглощения фотона совпадает с
сечением фотоионизации вблизи порога, так как в обоих
случаях электрон в конечном состоянии является медленным.
Таким образом, нам надо определить сечение поглощения
фотона, связанное с переходом атома из одного ридбергов-
ского состояния с главным квантовым числом л » 1 в другое
ридберговское состояние с главным квантовым числом
п'» 1.
Для решения последней задачи воспользуемся
результатом B1) для силы осциллятора, полагая, что разность
главным квантовых чисел An » \. Для сечения поглощения
имеем (см. (9) и A2)):
С
Подставляя в эту формулу силу осциллятора B1), получим
188

с учетом соотношения Ап = соп^ находим
14 8/г
ст(п-»п')= ^F)-u),.J. B2)
Зу/Зссо п
Для определения сечения фотоионизации используем
связь A6) между ним и сечением поглощения. Интегрируя
B2) по частоте света со и учитывая нормировку функции
распределения фотонов а на единицу, получим формулу Кра-
мерса для сечения фотоионизации:
8я 1
^ = , г- , ,> B3)
3V3 СП О)
Если конечное состояние попадает точно в порог
фотоионизации, то СО = 1/2п и из B1) находим конечное сечение в
пороге:
64л:
<7 = 1=^П.
Зл/Зс
Можно переписать эту формулу в обычных единицах:
а = —^—па;, B4)
Здесь величина ^q =h^ /те^ представляет собой боровский
радиус.
Мы видим, что сечение фотоионизации ридберговского
атома вблизи порога, которое представляет собой
максимальное сечение фотоионизации этого состояния (с ростом
частоты сечение будет только уменьшаться) возрастает с
189

увеличением главного квантового числа пропорционально
первой степени п, т.е. гораздо медленнее, чем поперечник
ридберговского атома (последний пропорционален п^).
С другой стороны, из B3) следует, что при
фиксированной частоте внешнего поля со сечение фотоионизации резко
убывает с увеличением главного квантового числа (как п^).
Это в пределе отражает тот факт, что свободный электрон не
может поглотить фотон внешнего электромагнитного поля -
для реального поглощения нужно третье тело. В данном
случае в роли такого третьего тела выступает кулоновский
потенциал атомного остова. Чем более высоковозбужденным
является исходное состояние, тем слабее этот потенциал.
7.3. Тормозное излучение при рассеянии быстрых и
медленных электронов на атомах и атомарных
ионах
7.3.1. Сечение тормозного излучения
В этом разделе мы исследуем излучательные переходы
между состояниями непрерывного спектра. Поскольку такое
излучение возможно, когда заряженная частица движется в
поле внешних сил, то его называют тормозным излучением.
Мы ограничимся процессом тормозного излучения при
взаимодействии электрона с атомной частицей.
Определим сечение тормозного излучения при рассеянии
электрона на силовом центре. Обозначим начальный импульс
электрона через р, а конечный - через р'. В силу закона
сохранения энергии частота спонтанно излучаемого фотона
дается соотношением (снова мы используем атомную
систему единиц):
@={p'-p^')/2.
При нахождении вероятности дипольного тормозного
излучения в единицу времени воспользуемся формулой, в кото-
190

рой проведено суммирование по конечным состояниям
фотонов, появившихся в результате излучения:
dw = —;-1г_. г
Зс' ''''' ЦпУ
Объем, в который мы помещаем систему сталкивающихся
частиц, полагаем равным единице. Величина г представляет
собой координату электрона, который рассеивается на
атомной частице. Смещением атомной частицы при рассеянии
пренебрегаем. Наконец, с - скорость света.
Из закона сохранения энергии следует, что d@=^ P'dp\
Учитывая это и деля вероятность излучения на плотность
потока падающих электронов, равную /?, получаем
дифференциальное сечение тормозного излучения:
Здесь Jtip. - элемент телесного угла, в который рассеивается
электрон после столкновения.
Проинтегрируем это сечение по телесному углу,
предполагая взаимодействие сферически симметричным и
воспользовавшись разложением волновой функции начального
состояния электрона по сферическим гармоникам через
радиальные волновые функции «/(/?,г):
г
1=0
Аналогичное разложение имеет место для волновой функции
конечного состояния. Для интеграла
191

^=J'''pp''^"p
получаем следующее выражение:
/= ;?7?,,/?„,.B/4-1)B/'+1)B/z + 1)Ba2'+1)x
l,l\n,n'
xJcos0„.P,(cos6>p,)/',(cos0p,)P„(coSp,.)/'„(coSp,,)x
B)
Здесь индексы у угла в указывают, между какими
направлениями он берется. Величины dQ представляют собой
элементы телесного угла для направления вектора, указанного в
индексе этого угла. Радиальный матричный элемент
определен соотношением
Кц. =jui{p,r)Ui.{p\r)rdr.
Проинтегрируем сначала выражение B) по телесному углу
Jt2p., воспользовавшись теоремой сложения для полиномов
Лежандра:
P,,(cos6»p,.) =->„ (coSp,)P,,(cos,,) +
+ 2j^^P^P;{cos^,)P:icos„.)cos{m(p^.).
V(/i+m)!
Получаем
192

/ = 4л: ^ Ri,.R„i. {21 + l)B/'+l)Bn +1) х
l,r.n
xJcos0,,.P,(cos0pJP,(cos0,,)P,(coSp,.)ja,^n,..
Далее при интепзировании по элементу телесного угла
dQ.^, используем рекуррентное соотношение для полиномов
Лежандра:
B/Ч1)хР, {X) = (/'+1)Р,,, (X) + /' Р,_, (х).
Кроме того, снова воспользуемся приведенной выше
теоремой сложения для полиномов Лежандра, а также свойством
их ортогональности. Находим
X J Р, (cos0p, )Р„ (cosp, )[(/'+1M„,,, + rS„j._, Уп,,
или
Подставляя это выражение в A), получим сечение
тормозного излучения электрона при столкновении с атомной
частицей в виде
аса Ъс р ^
193

7.3.2. Тормозное излучение быстрого электрона
на кулоновском потенциале
Для сечения спонтанного тормозного излучения быстрого
электрона на кулоновском потенциале с зарядом Z
используем соотношение A), заменив в нем матричный элемент от
оператора координаты через матричный элемент от
оператора импульса:
Ррр ='«V-
Слова «быстрый электрон» означают, что выполняется
условие борновского приближения/?, р' »1.
Вследствие большой скорости электрона взаимодействие
его с кулоновским потенциалом будем рассматривать в
первом порядке теории возмущений. Тогда волновая функция
начального состояния в импульсном представлении
запишется в виде
Р -Р]
Здесь кулоновский потенциал V(r) = -Z/r имеет следующее
выражение в импульсном представлении
р'
Следовательно,
194

р -Pi
+ f-T^^(p-P.)P'^(P'-P.MP.-
^ p -Pi
Это же выражение можно переписать в виде
_2(р-р-),,,_ 8л2(р-р')
Ррр= „2 „.2^(Р-Р) = -
Р -Р
(Р'-Р'')(Р-Р')
2 •
Таким образом, подставляя полученные соотношения в
A), получим сечение тормозного излучения быстрого
электрона в следующем виде:
dco вк с р(о^
или
da _ %Z^p'
dco Зтсс^pco^ Ip-p
Вычисляя элементарный иьггеграл в этом выражении,
находим окончательно сечение тормозного излучения быстрого
электрона на кулоновском потенциале (например, на
атомарном ионе) в виде
da 16Z'
dco Зр с СО
-In
Р + Р'
Р-Р
D)
Отметим, что сечение, проинтегрированное по частоте,
логарифмически расходится на малых частотах (инфракрас-
195

пая катастрофа). Это объясняется неприменимостью теории
возмущений по взаимодействию с электромагнитным полем
при очень малых частотах.
В другом пределе, когда/?^ = О, сечение D) обращается в
нуль. В этом случае нарушается применимость борновского
приближения (и, следовательно, выражения D)) для
конечного состояния электрона по взаимодействию с кулоновским
потенциалом.
7.3.3. Тормозное излучение при рассеянии медленного
электрона на нейтральном атоме
Общее выражение для сечения тормозного излучения
дается соотношением C). В этом соотношении нам предстоит
вычислить сумму
X(/+i)fe„+i?^,J.
/=0
Обозначим матричный элемент /?/./+1 в случае использования
волновых функций свободного электрона через /?/./+1@).
Поскольку невзаимодействующий электрон не излучает, то
имеем
2;(/ + 1)^„@) + /гД,,до)]=о.
/=0
Отличие двух последних выражений друг от друга для
медленного электрона сильнее всего сказывается на низких
гармониках и прежде всего на гармонике / = 0. Учитывая это и
пренебрегая высшими гармониками, находим
/=0
196

Вычислим сначала матричные элементы /?oi@) для
свободного электрона. Радиальные волновые функции с
угловыми моментами О и 1 имеют следующий вид:
Wo(p,r) = —sinpr;
Р
и^(р,г) = —
Р
' sin рг ^
COS рг ^—
рг
Используя эти волновые функции, получаем следующее
значение радиального матричного элемента:
1 ** Г
^01 @) = Т—tIi ^Мр + р')г-sin(p'-/7)r]-
^РР о I
[cos(p-p')r-cos(/? + p')r] >dr.
Р' J
Каждое из четырех слагаемых в этом интеграле после
интегрирования обращается в нуль. При этом вклад на верхнем
пределе обращается в нуль из-за осцилляции
подынтегрального выражения. Таким образом, находим, что матричный
элемент /?oi@) = 0. Матричный элемент /?io@) получается из
предыдущего матричного элемента /?oi@) переменой р и р'
местами. По этой причине он также равен нулю.
При вычислении матричных элементов /?oi и R\o
используем для радиальной волновой функции медленного
электрона ее асимптотическое выражение
"о(Р'^) = —sin(pr + 5o),
Р
197

поскольку, как мы отмечали выше, интеграл определяется
очень большими расстояниями для медленных электронов
(р -^ 0). Здесь 5о « 1 - фаза 5-рассеяния для электрона на
нейтральном атоме. При малых импульсах электрона она
линейна по импульсу:
5о = -Lp.
Величина L называется длиной рассеяния. Длина рассеяния
является постоянной величиной при малых импульсах
электрона и определяет сечение упругого рассеяния медленного
электрона на нейтральном атоме:
а^ =4kL\
Что касается состояния с угловым моментом / = 1, то для
него мы используем то же выражение, что и для свободного
электрона, т.е.
Р
' sin рг ^
cos рг-
рг
Тогда для радиального матричного элемента получаем
^01 -
2рр
-^dr\ r[sin[(/7 + /7')r-f5o]-sin[(p'-/?)r-5o]-
0
р \
Вычисляя интеграл и учитывая малость фазы, получим
198

^01 -¦
{р'--Р'Г
Второй матричный элемент получается из первого
перестановкой импульсов/7 ир' друг с другом. Следовательно,
R - ^^
'°'{р'-Р''Г
Итак,
Подставляя этот результат в выражение C), находим
окончательно для сечения тормозного излучения медленного
электрона при его рассеянии на атоме
d(J^32co'p' р^+р'^
dco' 37Гс'р(р^^р^^У^''
Выразим это сечение через начальную энергию электрона
Е = р^/2 и через частоту испускаемого фотона
СО = {р^ - р'^)/2. Получаем
do) Ъпс' со/Е \ Е '
Как и в предыдущей задаче быстрого электрона, сечение
тормозного излучения обращается в нуль, когда вся энергия
передается фотону.
199

при уменьшении частоты сечение тормозного излучения
монотонно возрастает. Если рассмотреть испускание фотонов
с энергией, малой по сравнению с энергией электрона, то из
E) находим
da _ 8? О,
dco Ъпс^ (О
7.3.4. Тормозное излучение при рассеянии медленного
электрона на атомарном ионе
Для решения поставленной задачи следует вычислить
Фурье-компоненты Го) для кеплеровской задачи рассеяния,
так как для расчета сечения тормозного излучения можно
применить классическую механику. Это справедливо, когда
основной вклад в сечение вносят столкновения с большим
орбитальным квантовым числом / » 1. Так как / -рр, где р -
импульс электрона, ар- прицельный параметр рассеяния, то
нам надо оценить значения прицельных параметров,
вносящих основной вклад в излучение фотона. Из закона
сохранения момента импульса имеем рр = Pmax'min • Здесь р^ах -
импульс электрона в точке наибольшего сближения с
атомарным ионом, а Гтт " минимальнос расстояние между
электроном и ионом в этот момент времени. Это
минимальное расстояние находим из условия равенства потенциала
кулоновского притяжения и центробежной энергии
электрона:
mm mm
Следовательно,
г^,„=р'р'/2 = р'Е,
200

где Е - кинетическая энергия электрона на бесконечности.
Характерная частота со спонтанно испущенного фотона имеет
оценку СОос р^^/ r^in: это происходит в окрестности точки
наибольшего сближения электрона с ионом. Действительно,
если бы электрон двигался по окружности с указанным
импульсом и указанным радиусом, то эта частота была бы равна
частоте обращения электрона по окружности, а согласно
классической теории поля электрон излучает ту частоту, с
которой сам колеблется.
Таким образом, из полученных соотношений находим
СОос рр/г^.^ ос р/р'Е\
Отсюда получаем
рсо'"'
Условие рр » 1 сводится при этом к требованию, чтобы
частота испускаемого фотона должна бы быть мала по
сравнению с характерной атомной частотой: со«\.
С другой стороны, мы предполагали, что центробежная
энергия доминирует над кинетической энергией электрона,
т.е.
Следовательно, должно быть г^^.^ « р или рЕ « 1.
Подставляя в это соотношение приведенную выше оценку для р,
находим окончательно условия на частоту для реализации
классического механизма излучения:
р^ «С0«\.
201

Отсюда непосредственно следует, что р « I, т.е. электрон
должен быть медленным.
Рассмотрим теперь столкновение электрона и
положительно заряженного атомарного иона. Их относительное
движение описывается как движение по гиперболе одной
частицы с приведенной массой, равной практически массе
электрона. Будем предполагать, что классический электрон
движется в плоскости XY. Координаты электрона
выражаются через время с помощью неявной переменной и:
x = ylH-p^ -coshw; >' = psinhw;
t = ^l + p^ sinhw-M.
Согласно формуле A) сечение тормозного излучения
имеет вид
Получим выражение для этой величины в классическом
пределе. На основе известных соотношений между матричными
элементами
и соотношения
dco= p'dp\
вытекающего из закона сохранения энергии в процессе
испускания фотона:
получим
202

dc^j \ 1Грр1'ф'. F)
•^ 6k (ОС p
Здесь обозначено cfp'= p'^ dp'dO.^,.
Обратимся к интегралу, фигурирующему в выражении
для сечения. Его можно преобразовать следующим образом:
JlFpp, Р dp'=j\ jv^p *(r)r(r)V^p.(rMrx
= ^JJ K*(r)r(r)V^p(rMrx
"^ p-.p
xvAp(r')r(r')VAp.*(r')rfr'flfp'=
= 4яг^ Jv^p *(r') Ir(r') lVp(r'yr'=
= 4яг'||г(г'I^ w(r'Vr'. G)
Здесь величина
w(r')=lv^p(r')l'
представляет собой плотность вероятности нахождения
электрона в точке г'. При получении указанной формулы было
использовано соотношение полноты для волновых функций
электрона.
Свяжем классическое и квантовое движение электрона
друг с другом. Вдали от рассеивающего центра (на
бесконечности) электрон занимал объем Inpdpds . Здесь, как и выше,
р - прицельный параметр рассеяния, а ds - длина элемента
203

объема. Двигаясь по траектории, электрон будет занимать
элемент объема:
27rp'dp'ds'=w{r')dr\
Обозначим через v' скорость электрона в данной точке
пространства г'. Из условия сохранения потока электронов
для стационарного процесса рассеяния имеем
V • 2npdp = V2Kp'dp\
Здесь, как и выше, v - скорость электрона на бесконечности.
Далее, имеем ds'^ V dt, где dt - время прохождения длины
ds\ Отсюда получаем
2np'dp'ds'= iKpdpvdt = w(r')dr\
Подставляя это соотношение в G), находим
jl Грр. I' ф' = Sn'vdtjl r(r') I' pdp.
Подставляя полученное значение интеграла в F), умножая
его на со и интегрируя далее по времени (т.е. по всем
частотам испускаемых фотонов), получим (в атомной системе
единиц скорость и импульс электрона совпадают друг с
другом):
{coda =^ fI r(f) l^pdpdt. (8)
Разлагаем классическую координату электрона в ряд Фурье:
оо
г (О = [г^ txpi-icoOdco.
204

Тогда г^ =—ft) r^. Отсюда получаем
Jl г@ Р dt = JJJexp[/(<u-(o')t] ¦ Q)\ * @'^ r„. ¦ dco¦ dco'dt
oo
= 2^Jj5(u)-a)')fi)V^ *a)'^ r^. • dco'dco' = 4л:Jl r^ \^со'dco.
Используя этот результат, из (8) находим
\(oda = —^ J Jl r^ 1^ (O^dcolKpdp.
0 0
Сравнивая подынтегральные выражения в этом соотношении
при фиксированной частоте фотона, находим
da SttcO' 7. .2 ^
Конечно, эту формулу можно получить и из чисто
классических соображений, не обращаясь к квантовой механике.
Для этого следует воспользоваться классической формулой
для интенсивности дипольного излучения и определить
полную энергию, теряемую электроном на излучение за одно
соударение с атомарным ионом. Критерием применимости
классического приближения является малость энергии
фотона по сравнению с характерной атомной энергией.
В рассматриваемой задаче, как мы говорили выше,
движение электрона имеет место в плоскости XY. Так как
удобнее вычислять компоненты Фурье не от координаты, а от
скорости, то перепишем (9), выразив сечение через Фурье-
компоненты от скорости:
205

do SttcoIa . ,2 . . ,2V>
A0)
Вычисляем компоненты Фурье от компоненты скорости:
х^ =— \xexpii(at)dt = — f—exp(i(Ot(u))du =
2л •> In ^ du
—оо —оо
= jsinhwexp|/a>(yl + p^ sinhu-иj\du.
—оо
Как отмечалось выше, нас интересует испускание фотонов с
большими частотами, со » v\ Тогда в интеграле
существенны малые значения м « 1, р « 1. По этой причине интеграл
можно упростить:
jc^ = {utxp^coyu^/6 + ир^/2)\du =
—оо
• оо
{и 'sin[cop^u/2'\-(Ои^ /6\du.
Аналогично вычисляется вторая компонента Фурье:
оо
у^ = — \cos\cop^u/2'?Q}u46\du.
ni
Эта компонента может быть выражена через функцию
Макдональда:
V - "Ч I
(Ор
206

Аналогично имеем
л
сор
Ку13
Подставляя эти выражения в A0), находим
dco Зс (О •'
о
Безразмерные интегралы в этом выражении равны
соответственно п /(Зл/З), 2я:/Cл/3). Окончательно получаем
для сечения тормозного излучения весьма простое
выражение:
"' '^'^' (П)
dco 3Sp^co'
Здесь введена величина Z, представляющая собой заряд
атомарного иона (всюду выше в целях простоты мы полагали
его равным единице). Формула A1) называется формулой
Крамерса. Она описывает доминирующую часть
классического тормозного спектра медленных электронов.
Для применимости (И) требуется условиер
«Zмедленности электронов. Что касается энергии фотона, то она может
быть не обязательно мала по сравнению с энергией
электрона, а вполне сравнима с ней. В этом случае выражение A1)
является квантовым и существенно, что в нем фигурирует
начальный импульс электрона /?, который может
существенно отличаться от конечного импульса электрона р\ В
классическом случае различие между начальным и конечным
импульсами электрона лежит за пределами принятой точности.
Но для применимости (И) во всех случаях необходимо при-
207

веденное выше условие, ограничивающее частоту фотона
снизу:
3
р
Z
Заканчивая данный раздел, отметим, что, как мы видели
выше, для высоковозбужденных состояний понятия
фотопоглощения и фотоионизации являются весьма близкими и
соответствующие сечения могут быть выражены одно через
другое. Аналогичным образом процесс тормозного
излучения в рассматриваемых условиях может быть связан с
процессом фоторекомбинации медленного электрона с
атомарным ионом. Зная сечение одного процесса, можно найти
сечения всех остальных процессов.
7.4. Фоторекомбинация медленных электронов
7.4.1. Фоторекомбинация в высоковозбужденное состояние
атома
Рассмотрим процесс фоторекомбинации медленного
электрона с атомарным ионом, являющийся обратным
процессом по отношению к фотоионизации атома или
атомарного иона вблизи порога. Будем предполагать, что энергия
электрона мала по сравнению с ридберговской энергией.
Согласно принципу детального равновесия отношение сечений
этих процессов в соответствии с их определением равно
<Уг ^ 8 г Jph
^i Si Je
Здесь gn gi - статистические веса конечных состояний,
отвечающие соответственно рекомбинации и расщеплению, а ]рь
208

je - ПОТОК фотонов и соответственно поток электронов при
наличии одного фотона в заданном единичном объеме.
Статистические веса рассматриваемых состояний равны:
47tk^dk
^'^ ^" B7Г)' '
где к - волновое число фотона, g„ - статистический вес
атомного состояния (дополнительный множитель 2 возникает из-
за двух поляризацией испускаемого фотона),
_ Artp^dp
где р - импульс относительного движения электрона (задача
не связана со спинами электрона и атомарного иона, поэтому
дополнительного фактора 2 здесь вводить не следует). Далее,
поток фотонов в единичном объеме равен: j^^ = с, а поток
электронов - jg - р (как и выше, мы всюду используем
атомную систему единиц).
Таким образом, учитывая связь волнового числа и
частоты фотона к = со/с, а также закон сохранения энергии
С0 = Е^+р^/2
(Е„ = 1/2п^ - энергия связи исходного высоковозбужденного
состояния), для отношения сечений получим
(Т я CO^dco 2 (О^
ст, c^p^dp с^р
2
209

Это выражение относится к полным сечениям. Аналогичное
соотношение справедливо и для дифференциальных сечений.
В разделе 7.2.2 было найдено сечение фотоионизации
(формула B4)) высоковозбужденного состояния атома с
главным квантовым числом п » 1 вблизи порога
фотоионизации:
Для рассматриваемого связанного состояния статистический
вес равен числу состояний с главным квантовым числом п:
ga = t^. Следовательно, для сечения фоторекомбинации
получим
Если импульс электрона не слишком мал, то сечение
фоторекомбинации мало по сравнению с сечением
фотоионизации за счет фактора с^ = 10"*. Таким образом, обычно
фоторекомбинация является весьма медленным процессом по
сравнению с фотоионизацией. Формулы B) и C) носят название
формул Крамерса.
7.4.2. Фоторекомбинация в основное состояние атома
водорода
При фоторекомбинации медленного электрона в основное
состояние атома водорода мы снова, как и в предыдущем
разделе, воспользуемся принципом детального
равновесия B). Сечение фотоионизации основного состояния атома
водорода вблизи порога постоянно и определяется формулой
E) раздела 7.2.1 (как и всюду выше, в атомных единицах):
210

ст. =
Подставляя это соотношение в A), находим сечение
обратного процесса фоторекомбинации медленного электрона
с импульсом /7 « 1 в основное состояние атома водорода
(с учетом (O^iVi):
Ье р с
Снова можно видеть, что сечение фоторекомбинации, как
правило, мало по сравнению с сечением фотоионизации
(в атомных единицах с = 137).
Отметим, что если положить в C) формально п = 1, то
полученное выражение отличается от точного выражения D)
фактором «1.25. Это означает, что
квазиклассическое приближение с хорошей точностью применимо и для
малых квантовых чисел.
Коэффициент радиационной рекомбинации определяется
выражением
Здесь усреднение проводится по максвелловскому
распределению электронов с температурой Г. Среднее значение
обратного импульса равно
<''-)=i5-
Таким образом, на основе D) находим коэффициент
радиационной рекомбинации медленного электрона (Г « 1) в
основное состояние атома водорода:
211

I'Sn"' 1
Этот коэффициент падает с ростом температуры электронов.
212

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное учебное пособие содержит различные
примеры аналитического рассмотрения задач атомной
физики. Возможность аналитического подхода
основывалась на концепции быстрых и медленных подсистем,
сильно взаимодействующих друг с другом. Конечно,
выбор материала является далеко не полным, так как
отражает в основном результаты работ авторов,
выполненные в течение ряда предыдущих лет.
Поэтому основная цель, которая нами ставилась
при написании данной книги, состояла в том, чтобы
научить читателя, как использовать разновременные
масштабы различных квантовых подсистем.
Приведенный ниже список литературы содержит книги
(учебные пособия), позволяющие расширить перечень
таких задач. Большинство аналитических задач
квантовой механики решается, как правило, методами
теории возмущений (стационарной, с зависимостью
от времени, с учетом вырождения и т.п.) либо в
рамках квазиклассического приближения, которое во
многих случаях имеет пределы применимости,
противоположные пределам применимости теории
возмущений. Данная книга дополняет список таких задач,
хотя, конечно, ввиду большого числа физических
параметров по определенным величинам мы также
использовали теорию возмущений или
квазиклассическое приближение. Мы не приводили в конце
разделов упражнений для самостоятельного рассмотрения
читателем, так как определенная часть
математических выкладок при решении каждой задачи опуска-
213

лась, и лучшим упражнением, по нашему мнению,
было бы, если читатель самостоятельно выполнял
опущенные аналитические вычисления.
214

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.:
Наука, 1989.-768 с.
2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.
Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1989. -
724 с.
3. Дыхне A.M., Юдин Г.Л. Внезапные возмущения и
квантовая эволюция. - М.: Редакция журнала УФН,
1996.-516 с.
4. Никитин Е.Е., Уманский С.Я. Неадиабатические
перехода при медленных атомных столкновениях. - М:
Атомиздат, 1979. - 272 с.
5. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по
квантовой механике. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
6. Мигдал А.Б., Крайнов В.П. Приближенные методы
квантовой механики. - М.: Наука, 1966. - 152 с.
7. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Атом в сильном световом
поле. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 224 с.
8. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой
теории. - М: Наука, 1975. - 336 с.
9. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Т. 1, Т. 2. -
М: Мир. -1974.
10. Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа в
задачах с решениями. - М.: Наука, 1985. - 424 с.
11. Крайнов В.П., Смирнов Б.М. Излучательные процессы
в атомной физике. М.: Высшая Школа, 1983. - 288 с.
215

Учебное издание
Дыхне Александр Михайлович
Крайнов Владимир Павлович
БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ
ПОДСИСТЕМЫ
В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ
Редактор И.А. Волкова
Корректор О. П. Котова
Подписано в печать 22.11.2002. Формат 60 х 84 '/|6. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 11,25. Тираж 400 экз.
Заказ №Э-3 50.
Московский физико-технический институт (государственный университет)
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
Полиграфическая фирма «Азбука»
109544, Москва, ул. Рабочая, д. 84