ШТ|ТПТ lllipill lllipill lllipill lllipil
ФГОС  УМН
T. M. Мищенко
Рабочая тетрадь по геометрии К учебнику А. В, Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» учен и класса
________школы________
Учебно-методический комплект
Т. М. Мищенко
РАБОЧАЯ ТЕТРА
по геометрии
К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (М.: Просвещение)
О класс
Рекомендовано
Российской Академией Образования
Издательство «ЭКЗАМЕН» МОСКВА • 2014
УДК 373:514
ББК 22.151я72
М71
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги (ст. 12"4 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Изображение учебного издания «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. организаций А. В. Погорелов. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Мищенко Т. М.
М71 Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс: к учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы: учеб, для общеобразоват. учреждений» Т. М. Мищенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2014.— П1,[1] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5-377-07769-5
Данное пособие полностью соответствует федеральному государезвенному образовательному стандарту (второго поколения).
Пособие является дополнением к переработанному в соответствии со Стандартом второго поколения учебн ику А. В. Погорелова «I еометрия. 7-9 классы» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников.
Рабочая тетрадь для 8-го класса рекомендуется для организации учебной деятельности учащихся.
Предлагаемые в рабочей тетради задания удовлетворяют требованиям, предьявляе-мым Стандартом второго поколения, как к обязательному уровню, так и повышенному уровню сложности. Форма заданий соответствуют форме заданий Государственной Итоговой Аттестации i ГИ А).
Использование рабочей тетради в учебном процессе позволит осуществить: во-первых, достижение каждым учеником уровня обязательной геометрической подготовки, и, во-вторых. сформировать у учащихся умение применять полученные знания, как в стандартных ситуациях, так и в несколько отличных от обязательного уровня.
Использование рабочей тетради позволяет сэкономить время учителя при подготовке к уроку, а также время и на самом уроке и выполнить большее число заданий с записью в тетради. А у школьников будет хороший конспект по курсу 8-го класса, который, несомненно, поможет лучшему усвоению свойств плоских фигур, методов решения задач. Кроме того, рабочая тстрадь будет полезна и родителям, которые смогут следить за уровнем теоретических знаний своего ребенка и его умением решать задачи.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях.
УДК 373:514
ББК 22.151я72
Формат 70x100/16. Гарнитура ('Школьная». Бумага офсетная.
Уч.-изд. л. 1,95. Усл. печ. л. 9,1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 622843.
ISBN 978-5-377-07769-5
© Мищенко Т.М., 2014
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2014
Содержание
§6	Четырехугольники........................................4
50.	Определение четырехугольника........................4
51.	Параллелограмм.................................... 17
52.	Свойство диагоналей параллелограмма................22
53.	Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма....................................... 25
54.	Прямоугольник......................................31
55.	Ромб...............................................40
56.	Квадрат..........................................  45
57.	Теорема Фалеса.....................................49
58.	Средняя линия треугольника........................ 51
59.	Трапеция.......................................    54
§7	Теорема Пифагора...................................... 61
60.	Косинус угла.......................................61
63.	Теорема Пифагора...................................64
65.	Перпендикуляр и наклонная......................... 70
66.	Неравенство треугольника.......................... 72
67.	Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника............................73
69.	Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов....................................... 75
§8	Декартовы координаты на плоскости..................... 79
71.	Определение декартовых координат.................. 79
72.	Координаты середины отрезка........................80
73.	Расстояние между точками...........................82
74.	Уравнение окружности...............................83
75.	Уравнение прямой...................................86
81.	Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0 до 180 ...........................98
§9	Движение.............................................  90
84.	Симметрия относительно точки.......................90
85.	Симметрия относительно прямой. Поворот.............91
86.	Параллельный перенос...............................93
Геометрические преобразования на практике..............94
§10	Векторы...............................................99
91-92. Определение вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Равенство векторов..............99
93. Координаты вектора................................103
94-95. Сложение векторов..............................104
96. Умножение вектора на число........................106
98. Скалярное произведение векторов...................107
Примеры заданий повышенного уровня сложности..........110
Четырехугольники
50. Определение четырехугольника
1
• •••••«••«а»
В четырехугольнике ABCD соседние стороны АВ и AD равны. Диагональ АС образует с этими сторонами равные углы. Докажите равенство треугольников ААВС и ДАОС. (Запишите условие и решите задачу.)
Доказать: _____________
Доказательство
2............................................
В четырехугольнике ABCD диагональ АС образует со сторонами четырехугольника равные углы: /ВАС = /ВСА = /ВАС = /ВСА. Докажите равенство треугольников ДАВС и /АВС. (Запишите условие и решите задачу.)
Доказать:________ _ _
Доказательство
Известно, что в четырехугольнике ABCD: АВ = AD и ВС — CD. Докажите равенство треугольников ЛАВС и AADC. (Запишите условие и решите задачу.)
Доказательство
4.................................
Диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам. Одна из сторон четырехугольника равна 7 см. Чему равна противолежащая ей сторона четырехугольника? (Сделайте рисунок, запишите условие и решите задачу»)
Доказать:
Доказательство
50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
5
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
По рисунку ответьте на вопросы:
1.	Параллельны ли прямые а и Ъ, если Z1+ Z2 = 180°?
О/пв&п: Прямые а и Ъ 
2.	Параллельны ли прямые а и Ъ, если Z1+ Z2 Ф 180°?
0Merit: Прямые а и b 
3.	Параллельны ли прямые b и g, если Z2 = 58°, a Z4 = 74°?
Oritrierit: Прямые b и g ____________________________________________________________________
б............................................
Известно, что в четырехугольнике ABCD прямые ВС и AD параллельны, ZA = 53°. Найдите градусную меру ZB.
Oritrierit:___________________________________________
Из одной точки окружности проведены хорда, равная радиусу данной окружности, и диаметр. Найдите угол между ними. Сделайте рисунок.
OritGerit:_____________________________
8..........................................
Три окружности с центрами в точках Ор О„ и О3 касаются друг друга так, как показано на рисунке. Радиусы окружностей равны 12 см, 7 см и 5см. Найдите периметр треугольника О1О„О3.
Oritrierit:____________________________________________
6
9.....................................
Окружность с центром в точке О касается сторон угла ВАС (В и С - точки касания). Касательная MN к этой окружности пересекает стороны угла АВ и АС соответственно в точках N и М. Найдите длину отрезка АС, если периметр треугольника AMN равен 24 см, а касательная MN равна 7 см.
О/пЯе/п:__________________________
10*...................................
Определите, что является геометрическим местом точек центров окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых. Сделайте рисунок.
Otn£e/n:___________________________
Сформулируйте определение четырехугольника.
Четырехугольником называется
Какие из приведенных фигур являются четырехугольниками?
Обйвегп: а);	б);	в);	г);	д);	е);	ж);	з).
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
12........................................................
Дан четырехугольник ABCD. В следую-	/\
щих вопросах выберите и подчеркните / [г правильные ответы.	А^. х.
1.	Какие пары вершин являются сосед-о
НИМИ?
О inherit: а) А и В;	б) А и С;	в) А и D;
г) В и С;	д) В и Л;	е) С и Л.
2.	Какие пары вершин являются противолежащими?
О^нве^п: а) А и В;	б) А и С;	в) А и Л;
г) В и С; д) В и Л; е) С и Л.
3.	Какие пары сторон являются соседними? О/пве/И: а) АВ и ВС;	б) АВ и СЛ;	в) АВ и ЛА;
г) ВС и СЛ;	д) ВС и ЛА;	е) СЛ и ЛА.
4.	Какие пары сторон являются противолежащими?
О&ве/п.: а) АВ и ВС;	б) АВ и СЛ;	в) АВ и ЛА;
г) ВС и СЛ;	д) ВС и ЛА;	е) СЛ и ЛА.
Сформулируйте определение диагоналей четырехугольника.
13..........................................
Дан четырехугольник АВСЛ.Какие из приведенных обозначений четырехугольника ЯВЛЯЮТСЯ ПраВИЛЬНЫМИ?(Подчеркните верные обозна-
чения.)
б) ABCD\
е) ВСАЛ;
в) ACDB;
ж) BCD А;
г) ADCB;
Диагоналями четырехугольника называются 
14........................................................
Начертите четырехугольник. Обозначьте его вершины
1.	Укажите противолежащие вершины.
Огнве/п: _____________ __________
8
2.	Укажите две пары смежных сторон. 0fn6etn:__________________________
3.	Проведите диагонали.
Otn£e/n: _________________________
Перед решением задачи 15 посмотрите решение задачи 1, а перед решением задачи 16 — решение задачи 2.
15........................................................
В четырехугольнике ABCD: стороны АВ и	в
AD равны, а диагональ АС, равная 9 см,	/
образует со сторонами АВ и AD равные	------ф
углы: ABAC = ADAC, Найдите периметр четырехугольника ABCD, если периметр	D
треугольника ADC равен23 см.  
16........................................................
В четырехугольнике ABCD диагональ АС образует со сторонами четырехугольника равные углы: ABAC =
АВС А = ADAC = ADCA, Найдите периметр	С
четырехугольника ABCD, если сторона АВ = 5 см.	D
OfaA>e/n: ____________________________
Предлагаемые ниже задачи решите дома.
17...........................................
В четырехугольнике KLMN, все стороны которого равны, проведена диагональ LN. Найдите градусную меру угла KLN, если угол MLN равен 90°.
Дано: _________________________
50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
9
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
18
В четырехугольнике ABCD, две стороны которого ВС и AD параллельны, проведена диагональ АС. Найдите градусную меру угла CAD, если угол ВСА равен 30°.
Дано: _____________
Найти:
Решение:
19...........................................
Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD являются диаметрами окружности с центром в точке О. Докажите, что прямые, содержащие стороны ВС и AD, параллельны.
Дано:___________________
Доказать:______________
До казательство
10
20
Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Дано: ________________________
Найти: _________________________
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение четырехугольника, вписанного в окружность.
Четырехугольник называется вписанным
в окружность, если
21
Диаметры окружности с центром в точке О являются диагоналями вписанного четырехугольника ABCD. Сторона АВ четырехугольника ABCD равна 7 см, а сторона ВС равна 9 см. Найдите периметр четырехугольника ABCD. (Сде-
50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
лайте рисунок, запишите условие и решите задачу.)
11
Дано: __________________
Доказать: _____________
Доказательство
§б ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе-
ние четырехугольника, описанного около окружности.
Четырехугольник называется описанным около окружности, если 
22(задача 5 учебника)..........................
Докажите, что у четырехугольника, описанно- о го около окружности, суммы противолежащих f сторон равны.	/	1
Дано: 	/
Доказать: __________________
До казательство
12
Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника 13 см. Найдите периметр четырехугольника.
O/ntferii:__________________________
Ниже приведенный материал является дополнительным. Сформулируйте признак четырехугольника, описанного около окружности.
Свойство и признак четырехугольника, описанного около окружности, являются обратными утверждениями. Внимательно изучите приведенную ниже таблицу и доказательство признака четырехугольника, описанного около окружности.
Свойство четырехугольника, описанного около окружности.
Признак четырехугольника, описанного около окружности.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Дано: ABCD — четырехугольник;
О - центр окружности, вписанной в ABCD.
Доказать: АВ + CD = ВС + AD.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Дано: ABCD — четырехугольник;
АВ + СП = ВС + АР.
Доказать: О - центр окружности, вписанной в ABCD.
50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
13
Доказательство признака описанкого четырехугольника.
в)
В четырехугольнике ABCD*, АО — биссектриса Z.BAD и DO биссектриса ZADC (рис. а). Следовательно, ON = ОК = ОМ. Таким образом, в четырехугольнике ABCD окружность с центром в точке О касается трех сторон. Докажем, что тогда она касается и стороны ВС.
Предположим, что это не так. Тогда
1. Сторона ВС не имеет общих точек с окружностью (рис. б);
2. Прямая, содержащая сторону ВС, является секущей (рис. в). Рассмотрим второй случай. Проведем касательную В1С1 к окружности, параллельную стороне ВС.
Четырехугольник ABfi^D - описанный около окружности по определению, значит, АВ} + DC1 = AD + ВгСр при этом АВХ = АВ + ВгВ и Г>С1 = DC + ССГ Отсюда
АВ + BrB + DC + СС1= AD + В£г; АВ + + DC - AD = Bfix - ВХВ - CCr По условию АВ + DC = AD + ВС, AD = АВ + DC — ВС. Значит,
АВ + DC - АВ - DC 4- ВС = В1С1 - ВуВ - СС^
ВС = В1С1 - В.В - СС{.
Отсюда В]С1 = ВС + В.В + СС{.
Противоречие: в четырехугольнике ABxCyD сторона В1С1 не мо
жет равняться сумме трех других сторон. Аналогично доказывается первый случай.
Следовательно, окружность касается стороны ВС и четырехугольник ABCD - описанный около окружности.
24*......................................................
Докажите признак описанного четы
рехугольника в случае, когда прямая, содержащая сторону ВС, не имеет общих точек с окружностью.
Доказательство
Предлагаемые ниже задачи решите дома.
25..........................................
В четырехугольнике ABCD углы при соседних вершинах А и В равны 75° и 105 . Докажите, что прямые, содержащие стороны ВС и АВ, параллельны.
Дано: _______
Доказать: __________
Доказательство
26.........................................
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 14 см. Перпендикуляр NM9 проведенный к стороне АВ через ее середину — точку АГ, пересекает сторону ВС в точке М. Найдите основание треугольника АВС, если периметр треугольника АМС равен 22 см.
Дано:
Найти:
Решение:
27
Медиана СМ и высота СН треугольника АВС делят угол АС В на три равные части. Найдите медиану СМ угла, если сторона АВ равна 18 см.
Дано:
II М
16
28
К окружности с центром в точке О проведены касательные DC (В — точка касания) и FC (А - точка касания). Определите угол АСВ треугольника АВС, если треугольник ВО А - равносторонний.
Дано:
•••••••••••••••в
Найти:
51« Параллелограмм
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение параллелограмма.
Параллелограммом называется___________________________
Решите устно задачу №29 и обведите в ответе букву, соответствующую правильному ответу.
29

При пересечении двух прямых аиЬ прямыми с и d образуется четырехугольник ABCD. Определите, в каком случае четырехугольник является параллелограммом.
в) aftb, c^d.
S1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Otntfetn: а) а| Ь, c ^d;
б) а |Ь, с| d;
17
30
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В треугольнике АВС параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые DG и FG. Определите вид четырехугольника AFGD.
О^пве/п: Четырехугольник AFGD — 
31.........................................
В параллелограмме ABCD параллельно стороне АВ проведена прямая FG. Определите вид четырехугольника ABFG.
Ойъве/И: Четырехугольник ABFG - 
32............................
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.
Доказать: 
Доказательство
В решении задачи №33 можно использовать результат задачи №32.
18
33
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если BF = 5 см и FC = 3 см.
Дано: __________________
34.........................................
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольники АОВ и COD равны.
Дано: __________________
Доказать: _____________
Доказательство
51. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
19
35
В четырехугольнике ABCD прове-
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
дены диагонали, которые пересекаются в точке О. Докажите, что стороны АВ и CD параллельны, если треугольники АО В и COD равны.
Дано:
Доказать: ______________
Доказательство
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте признак параллелограмма.
36........................................
В четырехугольнике ABCD: АС = = 12 см; BD = 8 см; ВО = 4см; АО = = 6 см. Определите вид четырехугольника ABCD.
Otnfietn: Четырехугольник ABCD -i
20
37......................................................
В треугольнике АВС проведена медиана BF. На ее продолжении за точку F отложен отрезок FD, равный BF. Докажите, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.
Дано: BF - медиана ААВС.
FD=_BF
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство
AF = CF, так как BF - медиана ААВС. FD — BF по условию. Значит, в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются и точкой пересечения F делятся пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Внимательно посмотрите решение задачи №37. Решите задачи №38, 39 самостоятельно.
38
В треугольнике АВС стороны АВ и ВС продолжены за точку В. На их продолжении отложены отрезки: BF = АВ и BD = СВ. Докажите, что четырехугольник ADFC — параллелограмм.
шта ломзшгтауп * i s
Дано: _________________
Доказать:
Доказательство
21
39
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В каждой из двух концентрических окружностях проведены диаметры АС и BD соответственно. Докажите, что четырехугольник ABCD -параллелограмм.
Дано: О - центр концентрических окружностей.
АС - диаметр большей окружности;
BD — диаметр меньшей окружности.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство
$2. Свойство диагоналей параллелограмма
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте свойство диагоналей параллелограмма.
Теорема о свойстве диагоналей параллелограмма является обратной к теореме о признаке параллелограмма, сформулируйте признак параллелограмма.
22
Сделайте краткую запись условия прямой и обратной теорем.
Используя доказательство, данное в учебнике, запишите ответы на вопросы в краткой записи доказательства теоремы
1.	Построение: точка О (ВО = OD), отрезки АО и ОСР АО = ОСг.
2.	ABCJ) - параллелограмм (почему?) по 
3.	В параллелограмме ABCD: ВС || АВ, DC АВ (почему?) по
4.	В параллелограмме ABC^D: ВСг |: AD, DC} | АВ (почему?) по
5.	ВС AD и ВС} | АО, значит, ВС} совпадает с прямой ВС (почему?) по__________________________
СП го
6.	DC || АВ и DCy ; АВ, ВСг совпадает с прямой DC (почему?) по
7.	Значит, точка С1 совпадает с точкой С, параллелограмм ABCJD совпадает с параллелограммом ABCD.
8.	Вывод: в параллелограмме ABCD: АО = ОС, ВО = OD.
40......................................................
Ж


В параллелограмме ABCD диагональ BD равна 12 см, точка О -точка пересечения диагоналей параллелограмма. Чему равен отрезок DO. (Решите устно.)
Ofnttetfi: DO =см.
23
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
41............................................................
Точка О является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Чему равна диагональ АС, если отрезок АО = 9 см. (Решите устно.)
Ofntfetn: АС =см.
42.......................................
Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка О является точкой пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD1 (Решите устно.) Otn^etn: Р, лпп =	см.
А АО и -----------
43........................................
В параллелограмме ABCD диагонали равны, точка О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что AAOD - равнобедренный.
Дано: __________________
Доказать
Доказательство
Внимательно посмотрите решение задачи №6 (учебник §б), это поможет при решении задачи 44. 44.........................................................
Через точку О пересечения диаго-
налей параллелограмма ABCD про-	В,—-^С
ведена прямая, пересекающая сто- S'	s'
рону AD в точке К, а сторону СВ в А^---------------
точке L. Докажите, что АК = CL.
(Дополните рисунок.)
24
Дано: _______________
Доказать: ___________
Доказательство
S3. Свойство противолеЖащих сторон и углов параллелограмма
45.........................................
В параллелограмме ABCD проведены диагонали, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и COD
равны.
Дано:
Доказать:
Доказательство
46........................................
В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD. Докажите, что треугольники ABD и CDA равны.
53. СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ
25
оказательство
§б ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Сформулируйте свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма и сделайте рисунок.
47
Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см.
Чему раВНЫ СТОРОНЫ CD И AD? (Решите устно.)
Ом£е/п: CD =см; AD =см.
48
Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма ABCD? (Решите устно.) Otft£etn: Периметр параллелограмма ABCD =см.
49........................................
Периметр параллелограмма ABCD равен 28 см, одна из сторон параллелограмма равна 9 см. Определите все стороны паралле-лограмма. (Решите устно.)
Оигве^п: АВ =см; ВС = см;
CD =
см; AD =
см.
26
50
Периметр параллелограмма равен 38 см. Чему равна сумма двух соседних сторон параллелограмма? (Решите устно.)

51...
В параллелограмме ABCD ZA = 43°. Найдите градусную меру остальных углов па-раллелограмма. (Решите устно.)
О/пве/п: Z.B =;
ZC =; ZD =
В параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов. (Решите устно.)
О*Иве*п: __________________________
В параллелограмме сумма двух углов равна 120°. Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма, (дайте разверну-тый ответ )
СЬпве/п,:
Известно, что в параллелограмме один угол на 12° меньше другого. Могут ЛИ ЭТИ углы быть противоположными, (дайте развернутый ответ)
Ошв&п:______________________________________________
53. СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ
27
В задаче №18 (учебное пособие §6) сформулирован еще один признак параллелограмма. Запишите его формулировку.
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Ниже приведено краткое доказательство признака параллелограмма. Используя доказательство, данное в учебнике, запишите ответы на вопросы в краткой записи доказательства теоремы.
1.	Построение: прямая Ь, точка Cy^DC.
2.	ВСу || AD по построению DCy || АВ по условию (DC || АВ)/
3.	ABCyD — параллелограмм (почему?) по 
4.	В четырехугольнике ABCD: DC = АВ.
5.	В параллелограмме ABCyD: DCy = АВ.
6.	DC = АВ и DCy = АВ, тогда Сх совпадает с С (почему?) по 
7.	Четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABCfi.
8.	Вывод: в параллелограмме ABCD: АО = ОС, ВО = OD. Используя сформулированный признак параллелограмма, решите следующую задачу.
55
На сторонах AD и ВС параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АЕ и FC. Докажите, что четырехугольник AFCE - па-
раллелограмм .
Доказать: ____________
Доказательство
28
56.....................................................
Сделайте необходимые рисунки и запишите условия, при выполнении которых четырехугольник является параллелограммом.
По определению параллелограмма четырехугольник является параллелограммом, если 
2.	По признаку параллелограмма че-
тырехугольник является параллелограммом, если _________________
3.	По признаку параллелограмма, дан-
ному в задаче 18, четырехугольник является параллелограммом, если
ПВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ
29
57
Сделайте необходимые рисунки и запишите свойства параллело
грамма.
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
У параллелограмма противолежащие стороны:___________________________
1._________________________________
2.
У параллелограмма противолежащие
углы ___________________________
У параллелограмма диагонали
58*
В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина посто
янная для данного треугольника.
Дано:
Доказать:
Решение:
AL----х--\С
G
30
54. Прямоугольник
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе
ние прямоугольника:
Прямоугольником называется __________________________
Прямоугольник является параллелограммом по определению, поэтому все свойства параллелограмма справедливы и для прямоугольника.Сформулируйте эти свойства.
59
В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной AD угол, равный 37°. Найдите градусную меру ZACD. (Решите устно.) О/пве/п: ZACD =
60
В параллелограмме из вершин двух углов на противоположные стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что полученный четырехугольник — прямоугольник.
54. ПРЯМОУГОЛЬНИК
Дано: GBFD - параллелограмму
BA1GD;DC1BF
Доказать: ABCD — прямоугольник.
31
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Доказательство
ВС || AD, так как GBFD - параллелограмм:
BA j| DC, так как они перпендикулярны прямой GD.
/BAD = 90 , так как BA1GD. /.BCD = 90°, так как DC/ BF.
/АВС = 90 , так как /BAD и /АВС - односторонние углы при BF || GD и секущей АВ.
/CDA = 90 , так как /CDA и /BCD - односторонние углы при BF |! GD и секущей DC.
Следовательно, ABCD - параллелограмм, у которого все углы равны.
Значит, ABCD - прямоугольник.
При доказательстве следующей задачи воспользуйтесь следствиями из признака параллельности прямых: «две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» и свойством углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей: «если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой».
61
Докажите, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником.
Дано: /ВАР = /СРА = /BCD = 90°.
Доказать: ABCD - прямоугольник.
Доказательство
В А || DC, так как________________________________
ВС ,| AD, так как_____ ___________________________
Следовательно, ABCD -	______________________
32
ААВС = 90 , так как___________________________________
ABAD = ACDA = ABCD = ^ЛВС = 90 
Следовательно, ABCD -_________________________________
62.........................................
Периметр прямоугольника равен 17 см. Найдите сумму расстояний от точки К до всех его сторон.
Сформулируйте свойство диагоналей прямоугольника.
63.........................................
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что ЛАО В - равнобедренный.
54. ПРЯМОУГОЛЬНИК
Дано:  
Доказать:
Доказательство
33
64........................................
§6 ЧЕТЫРЕХУГ
Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см. Найдите длины диагоналей, если они пересекаются под углом 60°. (Решите устно.) О/пвет: _____________
65.........................................
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ВО является медианой треугольника АВС.
Дано: ABCD - прямоугольник
О - точка пересечения диагоналей
Доказать: ВО - медиана ААВС
Доказательство
Результат, полученный при решении задачи № 65, используйте при решении следующей задачи.
66.........................................
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведен-
ная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Дано: __________________
Доказать: _____________
34
Доказательство
Сформулируйте утверждение, обратное свойству диагоналей прямоугольника.
Это утверждение сформулировано в задаче 26 (учебник §6) и является признаком прямоугольника. Докажите его.
Дано: АС = BD.___________________
Доказать: ABCD - прямоугольник.
До казательст в о
В треугольниках BAD и CDA; BA — CD, как _________ __ _ ________
АС = BD, по условию;
Следовательно, ABAD = ACDA по  
Отсюда ABAD = ACDA; при этом ABAD и ACDA - внутренние односторонние углы при параллельных прямых АВ и CD и секу щей AD.
Следовательно ABAD = ACDA = 90е
Следовательно, ABCD -в силу за дачи № 25 из учебника.
ЯИНЧИОЛЛОИКЛ
При решении следующей задачи используйте признак прямоугольника, который сформулирован в задаче №26 (учебник §6).
67
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В параллелограмме KLMN диагонали пересекаются в точке О и при этом отрезки LO и МО равны. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником.
Дано: ____ _______________
-------------------------- К
Доказать: ________________
Доказательство
В задачах № 24, 25 (учебник §б) сформулированы два признака прямоугольника, доказательство которых опирается на определение прямоугольника. Используйте их при решении следующих задач.
68........................................
В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57’. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямо-
угольником.
Доказать: _________	_____
Решение:
36
69.........................................
В параллелограмме KLMN диагональ КМ образует со сторонами KL и ML углы, соответственно равные 32 и 58 . Докажите, что KLMN — прямоугольник.
Дано: __________________
Доказать: _____________
Доказательство
При решении следующей задачи полезно воспользоваться свойствами биссектрис накрест лежащих и внутренних односторонних углов при параллельных прямых.
70..........................................
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (При решении дополните чертеж.)
Дано:
Доказать:
'Решение:
54. ПРЯМОУГОЛЬНИК
37
71
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
(№ 31 учебник §6). В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треу-
ГОЛЬНИКа. (Запишите условие и решите задачу.)
Дано:
М Р
При решении следующих задач следует использовать результат решения задачи 28: биссектриса угла прямоугольника отсекает от него прямоугольный равнобедренный треугольник.
72
Стороны прямоугольника равны 11 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. (Дополните рисунок.)
Дано:
Найти:
38
Ofntfetn: ___________________________
Задача № 73 является вариантом задачи № 72, поэтому обратите внимание на выполнение чертежа-
73..............................................
Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих частей. (Дополните рисунок.)
Дано: ________ _ ___________
Найти: _____________________
Решение:	--------------
(Ьпве/п: _______________________________
74......................................................
Найдите периметр прямоугольника В|--------------------|С
ABCD, если биссектрисы его углов А и В делят сторону CD на три равные части, ДЛИНа КаЖДОИ 4 СМ. (Дополните рисунок.) Дано:	А	D
. ПРЯМОУГОЛЬНИК
Найти
39
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Otntfeni:
75
••••••«•••••••••••А
В условии задачи № 74 длины сторон измените так, чтобы длина среднего отрезка равнялась нулю, запишите новую формулировку условия задачи и сделайте чертеж.
55. Ромб
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение ромба.
Ромбом называется ____________________________________
Так как ромб является параллелограммом по определению, поэтому все свойства параллелограмма справедливы и для ромба: — диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
—противоположные стороны ромба равны и параллельны.
40
76
1.	Периметр ромба ABCD равен 56 см. Найдите
его сторону. (Решите устно.)
Otn^e/n: .
2.	Один из углов ромба ABCD равен 72 . Найдите углы ромба. (Решите устно.)
Otn£>etn: Z_A = ; ZB =; ZC = ;
ZD =
3.	Диагонали ромба ABCD равны: AC = 16 см и
BD = 12 см. Найдите отрезки OD и ОС. (Решите устно.) Ofn£ein: OD =см; ОС =см.
77.............................................
В ромбе ABCD проведена диагональ АС. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный.
Дано: _________________________
Доказать: _____________
Доказательство
Сформулируйте свойства диагоналей ромба и сделайте рисунок, иллюстрирующий перпендикулярность диагоналей ромба, и рисунок, иллюстрирующий свойство одной из диагоналей ромба быть биссектрисой соответствующих углов.
55. РОМБ
41
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
78.........................................................
В ромбе ABCD угол BAD равен 50 . Найдите углы треугольника ABD. (Решите устно.)
OtH&un: AABD =; ZBDA =; ADAB =
79.........................................................
В ромбе ABCD угол BAD равен 460. Найдите углы треугольника AOD. (Решите устно.)
Glftfe/G.: ADO =; ZOAD =; ADO А =
80.........................................................
(№ 33, учебник §6) Сформулируйте и докажите утверждение, обратное свойству перпендикулярности диагоналей ромба.
Дано:__________________
Доказать:	__________
Доказательство
81......................................................
(№ 34, учебник §6) Сформулируйте утверждение, обратное свойству диагоналей ромба быть бессектрисами соответствующих углов.
42
Дано: _________________
Доказать: _____________
Доказательство
В вышеприведенных задачах № 61 и 62 (№33, 34, §6 учебника) сформулированы два признака ромба. Используйте их при решении задач.
82.......
Начертите четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, но который не является ромбом.
В задаче №36 (учебник, §6) сформулирован еще один признак ромба: “Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом". Используйте этот признак при решении следующей задачи.
83..
Две окружности с центрами в точках О и и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что четырехугольник АОгВО - ромб.
Дано: ____________________
Доказать: ________________
Доказательство
55. РОМБ
43
При решении задачи № 84 полезно воспользоваться результатом, доказанным в задаче № 43 (учебник §4). В задаче № 43 (пункт 35) доказано свойство катета, лежащего против угла в 30°.
84........................................
ил
Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 150“. Найдите расстояние между его противолежащими сторонами.
Дано: _______________________
85
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Дано: ______________
44
Из доказанного в задаче №65 следует: В ромб можно вписать окружность.
56.	Квадрат
Сформулируйте определение квадрата:
Квадратом называется ________________________________
Так как квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом по определению, то все свойства параллелограмма и ромба справедливы для квадрата:
—	все углы квадрата прямые;
-	диагонали квадрата равны;
—	диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пере сечения делятся пополам;
-	диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
86.....................................................
Периметр квадрата равен 28 см. Найдите его сторону. (Решите устно.)
Ом£е*п: _______________________
87.........................................
56. КВАДРАТ
В квадрате ABCD проведена диагональ BD. Определите:
1.Вид треугольника ABD. (Решите устно.)
6ABD -
2.Углы AABD. (Решите устно.)
Otn£etn: ZABD = ; ZBDA =; ZDAB =
45
88........................................
В квадрате ABCD проведены диагонали BD и АС.
1.	Определите вид треугольника AOD (решите устно) Chitftetn: AAOD -
2.	Определите углы l\AOD. (решите устно)
Йййзй,- ZAOD =; ZODA =; ZDAO =.
3.	Найдите диагональ BD, если диагональ АС = 6 см. (Решите устно.) Oriteefn: BD = ___________________
В задаче № 40 (учебное пособие §б) и задаче № 89 сформулированы признаки квадрата.
89........................................
Докажите, что ромб, у которого один угол — прямой, является квадратом.
Дано: ABCD - ромб;
/АВС - прямой.
Доказать: ABCD — квадрат
Доказательство
Так как ABCD - ромб, значит ABCD - параллелограмм, у которого /ЛВС - прямой. Следовательно, в силу результата решения задачи №25 (учебник §6), параллелограмм ABCD является прямоугольником. А прямоугольник, у которого все стороны равны (ABCD - ромб), по определению является квадратом. Следовательно, ABCD - квадрат.
90*....................................................
Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его.
Дано: ABCD - параллелограмм ;
AFEB, BSRC, CGHD и
ADQJ -___________квадраты
Определить вид четырехугольника KLMN ^Решение:
Рассмотрим NKBL и
AMLC :
AEBS = ABCD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами'. SBABC и ЕВААВ, а АВ || DC, значит, EB1DC.
АКВЕ = ASBL = ALCB = AMCD = 45 , как углы, образованные сторонами и диагоналями соответствующих квадратов.
AKBL = AEBS + АКВЕ + ASBL; ALCM = ABCD + ALCB + AMCD Следовательно, AKBL =ALCM,
АВ = CD как противолежащие стороны параллелограмма ABCD. Следовательно, квадраты AFEB и CGHD имеют равные стороны. Отсюда следует, что 6АКВ = NCMD как равнобедренные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами. Значит, КВ — СМ. BL = LC как диагонали квадрата BSRC
Следовательно, AKBL = AMLC по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует KL = LM.
Аналогично доказывается: LM = MN и MN = KN.
Значит, у четырехугольника KLMN все стороны равны, а в силу доказанного в задаче № 36 (учебное пособие §6) KLMN - ромб. Из AKBL = AMLC следует AKLB = ACLM.
ABLC = 90 , так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
AKLM = AKLB + ABLC - ACLM = 90°.
Значит, KLMN - ромб, у которого один угол прямой.
Следовательно, по доказанному в задаче № 65 KLMN - квадрат.
47
91*
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах ромба ВНе его? (внесите обозначения на чертеж и решите задачу.)
Дано: _____________________
Определите вид четырехугольника Решение:
92* ......................................
Определите, вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах прямоугольника вне его?
Дано: _____________________
Определите вид четырехугольника
48
57.	Теорема Фалеса
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему Фалеса.
Следующие задачи решите устно, используя данные чертежа.
93
ДаНО.	^1^2	^2^3	^3^4
А В ||А В ||А^ ||А В ; JL	JL	£j	«Л	*Х
ОВ 4 = .2 8 _ см
Найти: ОВ.; ОВл ОВ.. 1	&	О
Otntfetn: ОВ4 =см;
ОВ„ =	см;
ОВ =	см.
О	“  —
94............................
Дано: ZDCG = ZBAG = 90°;
GB = BD = 7 см; АС = 4 см.
Найти: AG.
OfiittetfL: AG =см.
57. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
49
95
Дано: ЛКМО = KLNO = 116°;
ОМ = MN = 8 см: ОК - 13 см.
Найти: KL.
OtnjB&H: KL =см.
96........................................
Дано: АВ \\CD ||FG;
CG = 4 см; DF — 5 см; BJ) — 10 см. Найти: АС.
О/пве/п: АС =см.
97*.......................................
Точка К - середина медианы BF треугольника АВС. Прямая АК
1 пересекает сторону ВС в точке D. Докажите, что BD = — ВС.
Дано: BF - медиана; ВК = KF\
_____Ре ВС_______________
Доказать: BD = — ВС.
3
Доказательство
Через точку F проведем прямую, па
раллельную AD. Пусть она пересечет сторону ВС в точке Е.
Тогда, так как AF = FC, то СЕ = ED (по теореме Фалеса для
угла АСВ). Так как ВК = KF, то
BD = DE (по теореме Фалеса для угла FBC). Следовательно, BD
= — ВС.
3
Внимательно посмотрите решение задачи № 97. Решите задачу №98 самостоятельно.
98*........................................
Точки К и L - середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.
50
Дано: __________________
Доказать: ______________
58.	Средняя линия треугольника
Сформулируйте определение средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника___________________________
99.........................................
Среди треугольников, приведенных на рисунке, найдите треугольники, в которых проведена средняя линия треугольника.
58. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
51
100
В треугольнике QRP проведены средние
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
линии ST и SO. Определите: является ли отрезок ОТ средней линией данного треугольника? (дайте развернутый ответ.)
101........................................
Постройте среднюю линию данного треугольника. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике?
Chnttefn.: ______________________________
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте теорему о средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника ____________________________
102.......................................
В треугольнике QRP проведены средние линии ST, ОТ и OS. Докажите, что треугольники QSO, SRT, ОТР и TOS равны и каждый из них подобен треугольнику QRP.
Дано:
Доказать:
До казательство
52
103........................................
В треугольнике QRP отмечены точки S, Т и О, которые являются серединами сторон QR, RP и QP соответственно. Докажите, что QSTO - параллелограмм.
Дано: ________________________
Доказать:
До казательство
104.......................................
В равностороннем треугольнике QRP отмечены точки S, Т и О, которые являются серединами сторон QR, RP и QP соответственно. Найдите периметр параллелограмма QSTO, если периметр треугольника SRT равен 27 см. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: 	g
Найти:
Решение:
0/пве!п.
53
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
105...............................................
Диагональ квадрата равна 26 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон квадрата.
Дано: ________________________
Найти: _____________________
Решение:
ОиРе/п:
59.	Трапеция
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определе
ния трапеции и связанных с трапецией понятий.
Трапецией называется
Основаниями трапеции называются
Боковыми сторонами трапеции называются  
54
106.......................................
Начертите трапецию, внесите обозначения на чертеж и запишите ее основания и боковые стороны.
Otntfetn: Основания трапеции:
и_________
Боковые стороны трапеции: и 
107.......................................
В трапеции ABCD проведите прямую CF, параллельную АВ. Определите вид четырехугольника ABCF.
Онйв&п: Четырехугольник ABCF -
108.......................................
В трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне АО, равны 74 и 81 . Определите УГЛЫ, Прилежащие К СТОрОНе ВС. (Решите устно.) Oril£e>n: ZABC =; ABCD =
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определение равнобокой трапеции.
Равнобокой трапецией называется
109........................................
Докажите, что в равнобокой трапеции ABCD высоты В К и CL отсекают на большем основании AD равные отрезки АК и LD.
Дано: ___________________
Доказать:	___ ___ __
Доказательство
59. ТРАПЕЦИЯ
55
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
В задаче №60 из §6 учебника доказывается равенство углов при основании равнобокой трапеции.
110..........................................
Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 60 из учебника. (Это утверждение является признаком равнобокой трапеции.)
Дано: _____________________
Доказать: _________________
Доказательство
Рассмотрим еще одно свойство равнобокой трапеции.
111..........................................
Докажите, что в равнобокой трапеции диагонали равны.
Дано: 	 __ _________
Доказать:__________ ____
Доказательство
112.................................................
Ссформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 111. (Это утверждение является признаком равнобокой трапеции).
56
Дано:________________
Доказать:
Доказательство
113........................................
В равнобокой трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите высоту трапеции, если основания равны 13 см и 27 см.

Ниже приведены свойства трапеции, полученные в результате решения задач. Эти свойства полезно применять при решении задач.
1.	Для любой трапеции перпендикуляры, опущенные из вершин одного основания на другое, — высоты трапеции - равны, так как являются расстоянием между параллельными прямыми.
2.	В равнобокой трапеции перпендикуляры, проведенные из вершин меньшего основания к большему, отсекают от трапеции два прямоугольных треугольника, равных по катету и гипотенузе.
3.	В равнобокой трапеции перпендикуляры, проведенные из вершин меньшего основания к большему, делят большее основание на два равных между собой отрезка и отрезок, равный меньшему основанию.
59. ТРАПЕЦИЯ
57
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
4.	В равнобокой трапеции углы при основании равны.
5.	Прямая, проходящая через вершину меньшего основания параллельно боковой стороне, разбивает любую трапецию на параллелограмм и треугольник.
6.	В равнобокой трапеции этот треугольник является равнобедренным.
Сформулируйте определение средней линии трапеции.
Средней линией трапеции называется 
Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.
114.........................................................
В трапеции ABCD стороны равны: АВ = 8 см,	п_______с
ВС = 13 см, CD = 10 см, AD = 19 см. От-	г/	„
.г/
резок FG - средняя линия трапеции. Най-	/	X
дите стороны трапеции AFGD.
0/нве/п: AF =см, FG =см, GD =см, AD =см.
115.............................
В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см, проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапеции? (Решите устно.)
О&в&п:см.
116...............................
В трапеции ABCD с основаниями AD =12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К, Чему равны отрезки МК и К1/1 (Решите устно.)
ОйШе/Л: МК —см, KL = см.
58
117...
Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках М и N. Докажите, что RM = NP.
Дано:   	।--------<
Доказать: 	/
Доказательство	1----------------
118.......................................
Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Определите, как относятся основания этой трапеции.
Дано:	 I-----------------------------х.
Найти:
Решение:
119........................................
59. ТРАПЕЦИЯ
OrfUfefn:
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.
Д а н о:	/	х.
59
Доказать:	_______
Доказательство
§6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
120.......................................
Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.
В задаче №74 из §6 учебника дано очень важное свойство треугольников: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершин». Используйте это свойство медиан треугольника при решении следующей задачи.
121
В треугольнике АВС проведены медианы AL = 15 см и ВК = 12 см. Чему равны стороны AKOL, если АВ = 14 см? (Решите устно.)
Ой&уп: OL =см, КО —см, KL =см.
60
§7
Теорема Пифагора
60. Косинус угла
Сформулируйте определение косинуса острого угла прямоу
гольного треугольника.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется _______________	_	_____
Следующие задачи решите устно.
122 ..................................................
Дан прямоугольный треугольник АВС. В ответах на предложенные вопросы выберите и подчеркните правильные.
1.	Какое отношение верно?
Ofatfetn: a) cos А = ——; б) cos А = АС
в) cos А =
СВ г) cos А =——.
АС
2.	Чему равен cos А?
Otntfeiti: a) cos А = —; б) cos А
cos А =
17
15’
г) cos А =
15
17*
3.	Чему равен cos В?
Ofn£erii: a) cos В = ——; б) cos В =—в) cos В =	; г) cos В = -—.
15	17	15	8
123............................................................
В прямоугольном треугольнике катет равен 8 см, а косинус прилежащего угла равен 0,8. Чему равна гипотенуза?
Otn£>etn:	см.
124
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
На сторонах угла В3ОА3 отложены отрезки ОВ1 = 5 см, ОВ2 = 6,25 см, ОВ3 = 8 см. Из точек Bp В2 и В3 опущены перпендикуляры на другую сторону угла, причем OAj = 3 см, ОА2 = 3,75 см, ОА3 = 4,8 см.
1.	Найдите cos О из ДА ОВ .
О/пвап: cos О = ___________________
2.	Найдите cos О из ДА,ОВо
Orii&erii: cos О = ________________
3.	Найдите cos О из ДАОВ0 О 3.
Oin^efn: cos О = __________________
Сформулируйте теорему о косинусе острого угла прямоуголь
ного треугольника.
Косинус угла зависит только от 
125.....................................................
В треугольниках АВС и MLK\ ЛС = ЛК = 90°, ЛА = ЛМ, АВ = 18 см, ML = 6 см, МК = 3 см. Чему равен катет АС?
Дано: ZC = ЛК = 90°, ЛА = ZM;
АВ = 18 см, ML = 6_см, МК = _3_сМх
Найти: АС.
Решение
KMLK и ДАВС — прямоугольные треугольники, так как ZC = ZK = 90°.
МК	АС
cos М = —— и cos А =——~ по определению ко-
ML	АВ
синуса острого угла прямоугольного треуголь-	I
ника.
62
МК 3	1
cos М —---= — = —.
ML	6	2
AC 1 cos M = cos А, так как ZA = ZM. Следовательно, cos A =	= Z'
отсюда
AC = AB cosA = 18 • — = 9 (cm).
OtnPe/n: AC = 9 cm.
126.....................................................
В треугольниках ABC и MLK: ZC = ZK = 90°, ZA = ZM, AB = = 15 cm, AC = 5 см, MK = 8 см. Чему равна гипотенуза ML?
Дано: ___________________________
Найти: __________________________
Решение:
Otntfetn: ML =
см.
127
В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 5 см и DB = 4 см. Чему равен катет ВС?
60. КОСИНУС УГЛА
Дано:_______________
63
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
О/п£&п: ВС =см.
63, Теорема Пифагора
Сформулируйте теорему Пифагора:
В учебном пособии приведены два следствия из теоремы Пифагора. Посмотрите решение задачи 128 и аналогично докажите задачу 129.
128.......................................
Следствие. 1, В прямоугольном треугольнике любой из катетов
меньше гипотенузы.
Дано: ,_ААВС - прямоугольный треугольник-, ZC = 90°.
Доказать: АВ > ВС; АВ > АС.
Решение
Так как ААВС - прямоугольный, то по теореме Пифагора АВ2 = АС2 4- ВС2. Так как ВС2 > 0, то АС2 < АВ2, то есть АС < АВ, что и требовалось доказать.
Для катета ВС доказательство аналогично.
64
Следствие 2. В прямоугольном треугольнике cos а < 1 для любого
острого угла.
130........................................
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 20 см, а гипотенуза больше второго катета на 8 см. Вычислите периметр треугольника.
Найти:
О/Ив&п: см.
131........................................
В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 9 см и DB =16 см. Катет ВС равен 20 см. Найдите катет АС и высоту CD этого треу-
63. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
гольника.
65
Найти:
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Gtndeni: АС =см, CD =см.
132.............................................
Найдите отношение диагонали квадрата к его стороне.
Дано: _________
Найти:___________
Решение
Gritdeni:______________________
133........................................
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 3 см. Определите сторону квадрата. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.) Дано: ______________
Найти:
Решение
66
Otntfe/n:см.
134.......................................
Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной ОКОЛО квадрата. (Решите устно.) Orit£e/n: см.
135........................................
К окружности радиуса 10 см проведена касательная, на которой взята точка М на расстоянии 24 см от точки касания. Найдите расстояние ОТ ТОЧКИ М ДО центра окружности. (Дополните чертеж, запи-
Otn£erii: __________________________
136..............................................................
Из точки М, отстоящей от центра окружности на расстоянии 29 см, проведена касательная КМ = 21 см, где К - точка касания. Найдите радиус окружности. (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано:	____________________
63. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Найти:
67
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
(hntferii:
137........................................
В окружности радиуса 17 см проведена хорда, равная 16 см. Найдите расстояние от центра ОКруЖНОСТИ ДО ХОРДЫ» (Дополните чертеж, запишите условие и решите задачу.)
Дано:________ _______________
Найти:	_________________
Решение
Otn£erii:
138.......................
Две окружности, радиусы которых равны 20 см и 5 см, касаются внешним образом и имеют общую касательную АВ. Найдите длину отрезка АВ. (Дополните чертеж и решите задачу.)
Найти:
Решение
68
OtnS&n:
При решении задачи 139 следует применить следствие 1.
139
Докажите, что в тупоугольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона
Дано: ________________________
Доказать: _____________
Доказательство
140-141.............
Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то АВ2 + CD2 = ВС2 + AD2. (Рассмо-трите два случая для двух типов четырехугольника.)
Дано:
Доказать: 
Доказательство
63. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
69


§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
65. Перпендикуляр и наклонная
По рисунку объясните понятия перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной.
1. Отрезок АВ - ________________
2. Отрезок ВС - ________________
2. Отрезок АС - ________________
В задачах № 128 и 129 были доказаны два следствия из тео
ремы Пифагора. В следующих задачах №№ 142-144 докажем
еще три следствия из теоремы Пифагора, сформулированные
для перпендикуляра и наклонной.
142.......................................
Следствие 3. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.
Доказать: _____________
Доказательство
70
143........................................
Следствие 41 Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то равные наклонные имеют равные проекции.
Дано: ___________________
Доказать: _______________
Доказательство
144.......................................
Следствие 5, Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Дано: ___________________
Доказать: _______________
Доказательство
145
К прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 45е. Найдите перпендикуляр, если проекция наклонной равна 11 см.
Дано: ____________________
Найти: ___________________
Решение
65. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

71
146
К прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 30 . Найдите перпендикуляр, если наклонная равна 18 см.
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Дано:
Найти:
Решение
О/пвей!:___________________________
147.............................................
К прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, которая образует с данной прямой угол, равный 60 . Найдите проекцию наклонной, если наклонная равна 16 см.
Дано: ______________________
Найти: ____
Решение
0/п8е&:
66. Неравенство треугольника
Сформулируйте неравенство треугольника.
72
148.......................................................
Определите, существует ли такой треугольник, у которого периметр равен 18 см, а одна из сторон 14 см?
Дано: Периметртреугольники равен 18 см;
Сторона треугольника равниНАем
Определите: Может ли существовать такой треугольник'!
Теюение
Предположим, что такой треугольник существует.
Тогда сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны. Одна сторона данного треугольника равна 14 см, а сумма двух других сторон равна 4 см (18 см - 14 см = 4 см/ то есть одна из сторон больше суммы двух других. Пришли к противоречию. Следовательно, такой треугольник не существует.
При решении следующей задачи воспользуемся утверждением, сформулированным в задаче № 41 из §7 учебника, в котором доказывается существование такого треугольника.
149.......................................................
Определите, существует ли треугольник со сторонами 13 см, 11 см, 4 см?
67. Соотношения меЯсду сторонами и углами прямоугольного треугольника
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте определения синуса, тангенса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется _________________________________________________________
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется _________________________________________________________
150........................................
Дан прямоугольный треугольник АВС. В ответах на предложенные вопросы выберите и подчеркните правильные.
1. Какое отношение верно?
О \ 4- Л АВ	4- Л СВ	А 4. Л	АС	\	4. А	СВ
2. a) tg А	= ——; б)	tg А = ——;	в) tg А =	——;	г)	tg А	= —.
АС	АВ	АВ	АС
о 4. л	АВ	СВ	АС	.	,	. СВ
3. ctg А =----; б) ctg А =--; в) ctg А =---; г) ctg А =---.
АС	АВ	ВС & АС
2.	Чему равен sin В?
g
a) sin В =—; б) sin .
15
17
в) sin В = —; г) sin
15
3.	Чему равен tg В?
8
17
17
17
4.	Чему равен ctg В?
8
—; б) ctg в
17
17
15
8
8
____•
, — 9
74
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,7. Чему равен катет, противолежащий данному острому углу?
_____________см.
Из теоремы Пифагора и определений косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника следуют правила нахождения сторон прямоугольного треугольника.
с2 = а2 + Ь2 а с =------;
cosf
Ъ с =-;
Sinp b с =-----;
cos а
а с =-.
sin а
а2 = с2 - Ъ2 а = с  sina; а = с • cosp; а = Ь • tga;
b а -----.
tgP а = Ъ • ctgP;
Ъ
ctga
b2 = с2 — а2 Ъ = с • sinP; b = с • cosa; b = а • tgp;
tga'
b = а • ctga;
ctgp*
69, Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов
Сформулируйте теорему об отношении синусов и косинусов углов, дополняющих друг друга до 90' (теорема 7.4):
67, СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
75
152.................................................
Заполните таблицу:
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
а	30°	45‘	60°
sina			
cos а			
tga			
ctga			
153.............................................
Углы при основании трапеции равны 60 и 30 , высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.
Дано:
Но
а и т и :
Решение
Otfieetfi: ________________________
154.............................................................
Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна 14 см. Определите медиану треугольника, проведенную к гипотенузе.
Н а и т и : __________________
Решение

76
155
Диагональ ромба равна его стороне, ее длина — 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба.
Дано:
Сторона ромба равна а, а один из его углов равен 120°. Найдите диагонали ромба.
157
Диагональ параллелограмма равна а и перпендикулярна его стороне. Найдите стороны параллелограмма, если один из углов параллелограмма равен: а) 30 °; б) 45 ; в) 60'. (Решите сначала задачу в общем виде, а затем подставьте значения угла).
§7 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Otn£e/n:
158
Доказать, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу относятся как квадраты катетов.
Доказать: _____________
Доказательство
Otntfe/n:
78
Декартовы координаты на плоскости
71. Определение декартовых координат
По рисунку запишите названия осей координат.
Ось х называется осью _______ _____________ ___
Ось у называется осью _____________________________
159...
1. Определите, чему равны координаты начала координат.
О (х; у): х = 
У =О (;);
2. По рисунку определите координаты точек А, В, С и D.
160
На рисунке постройте точки координаты точки Е (-3; 7), F (5; 6), G (-2; -5), Н (6; -4).
161.....................................
По рисунку определите, какие знаки имеют координаты точек, лежащих В ОДНОЙ координатной четверти. (Выполните по образцу I четверти.) I четверть:+хг ;+yj II четверть:х2 ;у2; III четверть:  х3 ;у3\ IV четверть:х4 ;у4.
Из решения задач 159 - 161 можно сделать вывод:
§3 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются.
После решения задач 4 и 7 из учебника можно сделать выводы:
1. Если прямая перпендикулярна оси х и пересекает ее в точке (а; 0), то все точки этой прямой имеют абсциссу, равную а;
2. Если прямая перпендикулярна оси у и пересекает ее в точке (0; b), то все точки этой прямой имеют ординату, равную Ъ.
162.......................................
По рисунку определите координаты точек N, М, L и К.
163
Прямая п перпендикулярна оси х. Определите координаты точки Р.
О/п£е&:________________________
164......................................................
Прямая т перпендикулярна оси у. Определите координаты точки R.
О/нвегп:_______
7 2. Координаты середины отрезка
Запишите формулы для вычисления координат середины отрезка АВ, если А (х_; у) и В(х2; у ).
80
Кратко запишите решения следующих задач.
165................................................
1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: А(-6, 2) и В(4, 4).
166 ...................................................
Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4, -2) и В (1, 3).
Решение
167........................................
В треугольнике АВС проведена медиана CD. Определите координаты точки D, если А (-5, 0), В (0, -3).
Решение
168........................................
Дан треугольник АВС с вершинами А (7, -4), В (-4, 3) и С (5, 0). Определите координаты концов средней линии треугольника, параллельной стороне АВ.
Решение
72. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
81
7 3. Расстояние меткду точками
§8 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
169........................................
Докажите, что расстояние между точками (хр 0) и (х , 0) оси х при любых хг и х2 определяется по формуле d = х - хх .
До казательство
170........................................
Докажите, что расстояние между точками А (х , а) и А9 (хо, а) оси х при любых хл и х2 определяется по формуле d = х — хл .
Ci	1
Доказательство
ВЛЪ;у)
171........................................
Докажите, что расстояние между точками (&; г/т) и (Ь; I/ ,) при любых уг и у2 определяется по формуле d = у2 -	.
Доказательство
Запишите формулу для вычисления длины отрезка АВ, если А (хг; уг) и В(хг; у2).
82
172.....................................................
Найдите расстояние между точками А и В, если А(4, -3), В(-2, 5). Решение
173........................................
Докажите, что треугольник CDE с вершинами в точках С (3, 4), D (6, 8), Е (10, 5) - равнобедренный.
Решение
74. Уравнение окружности
Сформулируйте понятие уравнения фигуры.
174.................................................
Найдите геометрическое место точек плоско- Ук сти хОу, для которых х = у.
Решение
74. УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
83
§8 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Запишите уравнение окружности с центром в точке Ао (х0; у0) и радиусом R.
175.................................................
Окружность задана уравнением х2 + у2 - 8ах + 2ау = b (а > О, Ъ > 0). Определите, в каком координатном угле расположен центр окружности.
176..................................
Определите координаты центра и радиус окружности, изображенной на рисунке, и составьте ее уравнение.
ХА
177.............................
Две окружности заданы уравнениями х2 + у2 = 16 и х2 + (у + 7)2 = 25. Постройте их на координатной плоскости. Укажите координаты центров и радиусы. Решение
178...........................
Определите координаты центров и радиусы окружностей, изображенных на рисунке, и составьте их уравнения. Найдите координаты точек пересечений этих окружностей.
Решение
Ук
О/пве/Я:____________________
179......................................................
Заданы точки А (1; 2) и В (3; 0). Найдите геометрическое место точек М таких, что AM2 + ВМ2 = АВ2.
Уеисение
180
Точка М принадлежит окружности, заданной уравнением х2 + у2 = 5. Точка N принадлежит окружности, заданной уравнением (х - 5)2 + (у - I)2 = 1. Найдите наибольшее и наименьшее расстояние между точками М и N.
74, УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
85
Указание: Поскольку точки М и N лежат на окружностях, то, как наибольшее, так и наименьшее расстояние между ними находятся на линии центров.
181*........................................
Составьте уравнение окружности, описанной вокруг треугольника АВС, если заданы координаты его вершин А(0, 3), В(4, 0) С(4, 3).
Дано: ТреугольникаАВС; 
ACd; 3),__ В(4; 01- Q4J-3) _
Составьте уравнение окружности
Решение
15. Уравнение прямой
182 ......................................................
Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек (0, 1) и (1, 2).
86
Решение
Запишите уравнение прямой.
183 ..................................................
Какие из точек А (0; -2), В (4, 2), С (-4, -5) принадлежат прямой k, заданной уравнением:
Зх - 4у - 8 = 0?
Решение
184....................................................
Даны координаты точек А(-1, 1), В(0, 3), С(2, 7) D(-2, -1). Определите взаимное расположение прямых АВ и CD, Решение
185 ..................................................
Напишите уравнения касательных к окружности xz + у' - 9 = 0, параллельных биссектрисе первого координатного угла.
Решение
75. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
87
186*.................................................
§8 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник О АВ, если его вершины имеют координаты О (0, 0), А(0, 3), В(4, 0).
Дано: __________________
Составить ________
В 7 классе при изучении §5 уже систематизировались знания о взаимном расположении прямой и окружности. Теперь вопрос о взаимном расположении прямой и окружности будем исследовать с помощью координатного метода. Ниже приведена таблица, в которой систематизированы знания о взаимном расположении прямой и окружности (где d - расстояние прямой от центра окружности, г - радиус окружности).
Если d = г, то прямая и окружность имеют одну общую точку {прямая р -касательная к окружности).
Если d < г, то прямая и окружность имеют две общие точки {прямая р — секущая).
Если d > г, то прямая и окружность не имеют общих точек.
88
81. Определение синуса, косинуса и тангенса для лкэбого угла от 0° до 180°
Запишите формулы приведения:
sina________________=_______sina _	________
cosa	1 ~ —	cosa	• J	
tga		—			 tga		для a			>
ctga		==		ctga			для a_	•
187.................................................
Заполните таблицу:
a	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sina									
cos a									
tga									
ctga									
188
Докажите, что окружность (х - 5)2 + {у + З)2 = 25: а) касается оси у\ б) пересекается с осью х; в) не пересекается с прямой у = -9. Решение
81. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА ОТ 0° ДО 180
89
§9
Движение
84. Симметрия относительно точки
§9 ДВИЖЕНИЕ
189..................................................
1. Дана точка О. Постройте точку А', симметричную а точке А относительно точки О.
2. Какая точка симметрична точке А' относительно точки О?
Otfi£ein:
190 .................................................
Отрезки АВ и СВ пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Назовите точку, симметричную точке А относительно точки О.
Otit£etn: 1. Точка D; 2. Точка С; 3. Точка В; 4. Точка А.
191........................................
Нарисуйте несколько четырехугольников, обладающих центральной симметрией.
192........................................
Точка F - середина стороны АС в треугольнике АВС. Постройте точку D, сим-
метричную точке В относительно точки А F. Определите вид четырехугольника ABCD.
90
Дано:
Определить вид ABCD.
85. Симметрия относительно прямой. Поворот
193 ...................................................
1. Дана прямая g. Постройте точку А', симметричную точке А относительно прямой g.
2. Какая точка симметрична точке А' относительно прямой g?
0rfl8ein:___________________________
194.......................................
Нарисуйте несколько треугольников, обладающих осевой симметрией.
195
Какой треугольник имеет три оси симметрии?
О/пве/п:__________________________
85. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ. ПОВОРОТ
91
196........................................
Точки А и В при симметрии относительно прямой п переходят в точки А и В'. Чему равна длина отрезка АВ', если отрезок АВ равен 3,5 см.
Ofntfetn:	_________________
§9 ДВИЖЕНИЕ
197........................................
Треугольник ABD равносторонний, АВ = AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD, и докажите, что четырехугольник ABCD - ромб.
В
Дано:__________________________
Доказать:
198.......................................
Докажите, что биссектриса угла является его осью симметрии.
Дано: _________________________
Доказать:
92
86. Параллельный перенос
При параллельном переносе, заданном формулами х' — х + 4, у7 = у -I- 3, вершина А квадрата ABCD переходит в точку В. Най-
дите диагональ этого квадрата.
Скпве/п:_______________________________
201 .................................................
Параллельный перенос переводит конец А отрезка АВ в точку А', принадлежащую прямой АВ. Постройте отрезок, в который перейдет отрезок АВ при этом параллельном переносе.
202 ...................................................
Точка М отрезка АВ при некотором параллельном переносе переходит в точку М\ Постройте отрезок, в который переходит отрезок АВ при этом параллельном переносе.
86. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Геометрические преобразования на практике
203 .................................................
§9 ДВИЖЕНИЕ
Две деревни А и В находятся по одну сторону от шоссе а. Где на шоссе а надо расположить остановку автобуса К, чтобы сумма расстояний АК + КВ была наименьшей?
Замечание. Шоссе считаются прямой линией.
Условие задачи отражено на рис. а), где прямая а — шоссе. Предположим, что задача решена и остановка находится в некоторой точке X, рис. б), значит, надо минимизировать сумму АХ + ХВ. Построим точку В\ симметричную точке В относительно прямой а, рис. в). По определению осевой симметрии ВХ = В'Х. Поэтому АХ + ХВ = АХ + ХВ’. Сумма АХ 4- ХВ’ становится наименьшей, когда точка X попадает в точку пересечения отрезка АВ’ с прямой а. Соединим точки А и В’. Отрезок А'В пересекает прямую а в точке К, рис. в). Эта точка К и дает решение задачи, рис. г).
Следующая задача на нахождение кратчайшего расстояния более сложная, при ее решении кроме непосредственного применения осевой симметрии требуются знания свойств серединного перпендикуляра или равнобедренного треугольника.
204 .....................................................
Две деревни А и В находятся по одну сторону от шоссе а. Где на шоссе надо расположить остановку автобуса К, чтобы расстояния от каждой из деревень до остановки были равными?
Замечание. Шоссе считаются прямой линией.
94
Решение.
Условие задачи отражено на рисунке а), где прямая а — шоссе. Построим точку В', симметричную точке В относительно прямой а б). Соединим точки А и В' в). Построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ', который пересекает прямую а в точке К г). Соединим точку К с точками А и В’ д). По свойству серединного перпендикуляра АК = КВ’, а по свойству осевой симметрии КВ' = ВК, следовательно АК = ВК. Результат решения представлен на рисунке е).
w •*3
Л м о ж ЙЙ №
205.......................................
95
§9 ДВИЖЕНИЕ
206
Фигура F1 переходит в фигуру F3 в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и Ъ. Оси а и b пересекаются под углом 90'. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F фигуру F3.
Otn£e/n: Фигура F переходит в фигуру F3 в результате:
^.поворота плоскости около точки О на уголравныи 180 ; 2, симметрии относительно точки О,
96
207.......................................
Фигура Ft переходит в фигуру F3 в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и Ь. Оси а и b пересекаются под углом 45°. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру Fx в фигуру F3.
OtnFetn:____________________________
208.......................................
Фигура Fx переходит в фигуру F3 в результате двух последовательно выполненных симметрий относительно осей а и Ъ. Оси а и Ъ параллельны. Определите, каким одним движением можно перевести фигуру F} в фигуру F3.
OtnFefn:____________________________
Рассмотрим задачу на построение, при решении которой используется поворот. При этом при ее решении кроме непосредственного применения осевой симметрии требуются знания свойств серединного перпендикуляра.
209 .................................................
Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина находится в точке О , а две другие вершины лежат на двух данных прямых а и Ь.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПРАКТИКЕ
97
Решение.
Условие задачи отражено на рис. а), где фиксированная точка О
§9 ДВИЖЕНИЕ
— одна из вершин искомого треугольника и данные прямые а и Ъ. Так как искомый треугольник - равносторонний, то угол при вершине О равен 60°. Выполним поворот прямой b относительно точки О на угол, равный 60 , и получим прямую Ь', которая пересекает прямую а в точке А, рис. б). Соединим точки О и А, рис. в) и построим серединный перпендикуляр к отрезку ОА, который пересекает прямую Ъ в точке В, рис. г). Соединим точку В с точками А и О, рис. г), получим треугольник АО В. Результат решения представлен на рис. д).
98
§10
ВЕКТОРЫ
91-92. Определение вектора. Абсолютная величина и направление вектора. Равенство векторов
Сформулируйте определения вектора и направления вектора.
Вектором называется__________________________________
Направлением вектора называется 
210
Запишите все векторы, изображенные на рисунке.
ChnGein:
211............................
Изобразите векторы AC, AG, HD, OF.
Сформулируйте определения векторов одинаково направленных
и противоположно направленных.
Векторы называются одинаково направленными, 
Векторы называются противоположно направленными, 
212..........................................................
В с
Четырехугольник ABCD — трапеция. /	\
Используя обозначения, данные на рисунке:	/	\
1.	Укажите пары одинаково направленных /	*
векторов.	G
Otn&etn:___________________________
2.	Укажите пары противоположно направленных векторов.
Otntfein:__________________________
3.	Являются ли векторы АВ и DC одинаково направленными?
(Дайте развернутый ответ)
Otfi/tein:_________________________
Сформулируйте определение абсолютной величины вектора.
Абсолютной величиной вектора называется
213 .................................................
В прямоугольнике ABCD стороны АВ и AD соответственно равны 8 см и 15 см.
1.Чему равны абсолютные величины векторов DA, АВ, АС и ВС.
Otfi£e>n: DA =	; АВ =	; АС =	; ВС =
2. Укажите пару одинаково направленных векторов.
Otntfetn:___________________________________
Сформулируйте определения нулевого вектора и равных век
торов.
Вектор называется нулевым* ___________________________
Два вектора называются равными
Сформулируйте следствия из определения равных векторов.
	
	
	
	
	
Дано: АВ = CD.	 Доказать: 1. I2^ = 1^1; 2. АВ и CD - одинаково направлены.	Дано:	СВ. 	АВ и CD - одинаково_на-правленье Доказать: АВ =CD.
214......................................
Четырехугольник ABCD - квадрат. По рисунку дайте развернутые ответы на следующие вопросы:
1.	Почему в каждой из пар АВ и DC, ВС и AD, ВО и OD векторы равны?
Ойгвейг.:__________________________
2.	Модули векторов АВ и CD равны. Почему векторы АВ и CD не равны?
3.	Почему в каждой из пар АВ hAD , ВО и ОС векторы не равны? _________________________________
4.	Почему в каждой из пар АВ и АС , AD и DB векторы не равны?
О^пве^п:____________________________
91- 92. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ
101
215..........
§10 ВЕКТОРЫ
Отрезок DF - средняя линия треугольника АВС, сторона которого равна 6 СМ. (В ответах дайте развернутый ответ.)
1.	Докажите, что векторы ВС taDF одинаково направлены.
О^пв&п:
2.	Докажите, что векторы ВС и FD противоположно направлены.
3.	Докажите, что векторы и DB равны. Otn£eni:
4,	Чему равны абсолютные величины векторов DA, АВ, DF,
АС и ВС?
Orn£e>n: DF =
; DA =	; АВ =	; AC =	; ВС
216...............
1. ABCD - квадрат. От точки G отложите векторы, равные соответственно АВ, ВС, АС и СА.
2. АВС — треугольник. От точки В отложите^ векторы, равные соответственно АВ, ВС, АС к СА.
102
9 3. Координаты вектора
217
Используя данные рисунка, заполните пропуски:
Началом вектора а является точка
Концом вектора а является точка
Координаты вектора авычисляется по формулам’.________________
Абсолютная величина вектора а вычисляют по формуле’.
Векторы равны, если
Равные векторы имеют
218.....................................................
Используя обозначения, данные на рисунке, заполните пропуски в таблице.	«
А	4	А	12		i2 - а	а
	У1	2	у2	а1	а2	
3	2	8	14			
		6	8		8	10
		-7	13	-15	8	
1	-9		12	20		
14		17	2		-4	
		12	27	10		26
103
219........................................
Даны точки А(1, 2), В(3, 0), С(-4, 5), и D(-6, 7). Определите, какие из векторов АВ, ВС, CD и DC равны?
Дано: ________________________
а й т и :
О/пв&п:____________________________
220........................................
Даны точки А( 1, -3) и В(2, 0). Найдите такую точку С(х, у), чтобы векторы АВ и СА были равны?
Дано: __________________
Найти:
0/пве(п:__________________________
94-95. Сложение векторов
Сформулируйте следствие определения суммы двух векторов.
Суммой векторов а и Ь с координатами (ар а2) и (bv Ъ ) называется вектор с____________________________________
Сформулируйте свойства суммы векторов:
Разностью векторов а и b с координатами (ах, а } и (b]9 b2) называется вектор с____________________________________
221........................................
Какой из рисунков соот-
ветствует:
1. Правилу параллелограмма сложения векторов?
О^пве/н: Рисунок	___
2. Правилу треугольника сложения векторов?
Oin£ein: Рисунок_________________
222 ........................................................
1. Постройте сумму векторов cl и Ъ по правилу параллелограмма сложения векторов	1.
2. Постройте сумму векторов и и Ъ по правилу треугольника сложения векторов?	2.
3. Постройте разность векторов а и Ъ .	3.
96. Умножение вектора на число
Сформулируйте определение произведения вектора на число А..
Произведением вектора (а^а2) на число X называется вектор
Сформулируйте свойства произведения вектора на число:
Абсолютная величина вектора Ха равна 
Направление вектора Ха при а ф 0 
223 .................................................
Вектор NO = а. В квадрате ABCD выразите векторы
ВС, СВ, AD и DA через вектор а. (Решите устно.) Orfttferfi: ВС =	; СВ =	; DA =	; AD =
224 ................................................
Векторы АВ = а и DA = Ъ. В J?*—------------------
параллелограмме ABCD выразите 	4Z---------—
векторы CD, АС и BD через векторы о и Ь. (Решите устно.)
Gfngetn: ВС =	; CD =	; BD =
225.......................................................
Векторы АВ = а, ВС = с и DA = Ъ. В трапеции ABCD выразите векторы CD, АС и BD через векторы а, Ъ и с.
Дано:
в/хЬлс
Найти:
Решение
CD =	; AC =	; BD =
98. Скалярное произведение векторов
Сформулируйте определение скалярного произведения векторов.
Скалярным произведением векторов а (а \а^и b (biib2) называется__________________________________________
Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов: Для любых векторов a (at; а2), b (bt; b2) и с (с}; с2)
93. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
107
226.......................................
Докажите, что (а + b) = a2 +2ab + b . (Дайте развернутый ответ.) Ofntferii: (а + b) = (а + b)(a + b) = (а + b)a + (а + b)b =
= аа + ba + ab + Ъ Ъ
= а2 + 2ab +Ъ2
§10 ВЕКТОРЫ
227.......................................
Докажите, что {а - b)2 = а - 2аb + Ь . (Дайте развернутый ответ.)
О/Яё&Я: ________________________________________________________________
228.......................................
Докажите, ЧТО (О	+ Ь) — G Ь . (Дайте развернутый ответ.)
Ойг-в&п:
Сформулируйте определение угла между векторами.
Углом между векторами называется 
Сформулируйте теорему 10.3.
Скалярное произведение векторов 
229 .................................................
Следствие 1* Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Дано: d_Lb
Доказать: а-Ь = 0
108
a-b = И • \b cos 90 = io| • |&| 0. = 0.
Otntfetn: a*b =0.
230.............................................
Следствие 2, Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Дано: ______________________
Доказать: __________________
Решение
Otntfefn:
231........................................
Найдите угол <р между векторами Д (1;л/3) и b (—; Otfitfein: Z(p =  .
(Решите устно.)
232................................................................
Найдите угол (р между векторами Д (2;0) и Ъ (—2;2).(Решите устно.) Онг£ен1: Ztp =  .
233............................................
_ - 1 - 1
Определите, какие из векторов а (1;3), Ъ (2;-—) и <?(-—;-3) перпендикулярны.
Дано: ______________________
Определить:	___
Решение
98. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Ofntfetn: ___ _____
109
Примеры заданий повышенного уровня сложности
234 ............................
Упростите выражение МВ + AM + ВА.
^Решение.
В силу переместительного закона МВ + AM + BA = AM + МВ + + ВА = АВ + ВА. Векторы АВ и ВА равны по модулю, но противоположно направлены, значит АВ + ВА = О
235 ................................................
---	--- -------- 9______ к___
Выразите вектор СК через вектор КА, если ОК = - ОА + — ОС. 7	7
где О - произвольная точка.
^Решение.
Вычтем из обеих частей вектор ОС, тогда ОК - ОС = — ОА + -ОС-— 2  2	___ 2 	1	7
— ОС = —ОА — —ОС> то есть СК = —СА. Отсюда следует, что эти векторы коллинеарны, то есть точка К лежит на отрезке С А и —— 2--------------------------------
делит его в отношении 2:5. СК = — КА ___________ о____	б
О/ЯРеЯ: СК =-КА.
5
236 ......................................................
Дан прямоугольник ABCD. Найти длину вектора ОА + ОВ + ОС + + ОН, где точка О является точкой пересечения диагоналей прямоугольника.
^Решение.
От произвольной точки плоскости отложим вектор ОА. От точки А(О) отложим вектор, равный ОВ. Затем отложим векторы, соответственно равные ОС и OD Векторы ОА и ОС лежат на диагонали
АС, а векторы ОВ и OD лежат на диагонали BD, следовательно,
они попарно коллинеарны. Отсюда следует, что у полученного
четырехугольника стороны попарно параллельны. Значит, полученный четырехугольник - параллелограмм. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то стороны полученного параллелограмма равны. Следовательно, полученный параллелограмм - ромб. По правилу сложения векторов ОА + ОВ + ОС + OD = 0.
Otn^efn: б - нулевой вектор.
Векторы а и Ъ направлены из вершины равнобедренного треугольника к вершинам основания.
237 ......................................................
Найдите угол между векторами ** * и а , О/ЯбеЛ: 90°.	2	2
Решение.
Перемножим: + . а.~	+	~ = а ~ . = _5l___Ы_. По
2	2	4	4	4
условию векторы а и b имеют общее начало в вершине равнобедренного треугольника, а их концы находятся в вершинах при основании этого треугольника, значит, модули этих векторов равны, так как отрезки а и b являются сторонами равнобедренного треугольника. Следовательно, скалярное произведение векторов а + . а ~ = 0. По следствию из теоремы о скалярном 2	2
произведении векторов, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между векторами а +J?. и а ~ Ъ равен 90'.
2
2
Учебное издание
Мищенко Татьяна Михайловна
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ГЕОМЕТРИИ
8 класс
К учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы»
Издател ьство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат № РОСС RU. АЕ51. II 16466 от 25.03.2013 г.
Главный редактор Л. Д. Лаппо
Редактор И М. Бокова Художественный редактор Л. В. Демьянова Технический редактор Т. В. Фатюхина Корректор И В. Русанова Дизайн обложки Л. В. Демьянова Компьютерная верст ка О В Самой шва
107045. Москва. Луков пер., д. 8.
www.examcn.biz
E-mail: по общим вопросам: info^ examen.biz; по вопросам реализации: sale^rexamen.biz тел./факс 641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, гом 2; 95300^ — книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано в соответствии с предост авленными материалами в ООО <<ИПК Парето-Принта, г. Тверь. www pareto-print.ru
По вопросам реализации обращаться по тел.: 641-00-30 (многоканальный).