За редакцією
М. І. СКАНАВІ
ЗБІРНИК
ЗАДАЧ
З МАТЕМАТИКИ
для
ВСТУПНИКІВ
до вищих навчальних закладів
Київ
лйй
2011

ББК 22.1я729
3-41
Усі авторські та видавничі права захищено.
Жодна частина цієї книги не може бути використана
в будь-якій формі без письмового дозволу
власника авторських прав.
Автори:
В. К. Єгерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемськнй, Т. М. Маслова,
І. 	Ф. Орловська, P. І. Позойський, Г. С. Ряховська,
М. І. Сканаві, А. М. Суходський, Н. М. Федорова
Збірник задач з математики для вступників до ВНЗ /
3-41 В. К. Єгерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемський [та ін.]; За ред.
М. І. Сканаві. — 6-те вид. — К.: Арій, 2011. — 608 с.: іл.
ISBN 978-966-498-149-8.
Збірник укладено відповідно до програми з математики для вступників
до вищих навчальних закладів. Він складається з двох розділів: «Арифметика.
Алгебра. Геометрія» (розділ І); «Алгебра і геометрія (додаткові задачі). По-
чатки аналізу. Координати і вектори» (розділ II). Усі задачі першого розділу
поділено на три групи за рівнем складності. У кожній главі наведено
відомості довідкового характеру та приклади розв'язування задач.
Для учнів старших класів, абітурієнтів і вчителів математики.
ББК 22.1я729
ISBN 978-966-498-149-8 © ООО «Издательство “Мир и Образование”», 2010
© Видавництво «Арій», 2011
© Переклад українською мовою,
«Видавництво “Арій”», 2011

ПЕРЕДМОВА
Пропонований збірник є виправленим і доповненим шостим виданням
«Збірника задач з математики для вступників до ВНЗ» (М.: Вища школа,
1992; Століття, 1997-1999). У ній відредаговано умови всіх задач і відповіді
до них, виправлено неточності, розширено довідковий матеріал у главах 5, 9
і 13. Автори практично повністю зберегли всі задачі та їхню нумерацію.
Зміст «Збірника» відповідає програмі з математики для вступників до
ВНЗ. У кожній главі розділі наведено теоретичні відомості довідкового
характеру і приклади розв’язування задач із поясненням застосовуваних
методів. Початок і кінець розв’язування прикладу позначаються
відповідно знаками □ і ■
Книжка складається з двох частин: «Арифметика. Алгебра.
Геометрія» (розділ І); «Алгебра. Геометрія (додаткові задачі). Початки
аналізу. Координати і вектори» (розділ II).
Задачі першого розділу поділено на три групи (А, Б, В) за
наростаючою складністю. Автори вважають, що вміння розв’язувати задачі з групи
А визначає мінімально необхідний рівень підготовки учнів до вступних іспитів
у ВНЗ. Успішне розв’язування задач із групи Б визначає високу якість
засвоєння шкільної програми. До групи В входять задачі підвищеної
складності. Однак практика розв’язування таких задач корисна для розвитку і
закріплення здатності до самостійного логічного мислення, збагачення
математичної культури і може бути використана в школі та на факультативних
заняттях.
У другому розділі вміщено не поділені на групи за ступенем складності
додаткові задачі з алгебри і геометрії, задачі з початків математичного
аналізу, задачі на застосування координат і векторів, а також задачі з
теми «Комплексні числа» (глава 18). Ця тема не входить до чинної
програми для вступників до ВНЗ, але дуже корисна для учнів шкіл, ліцеїв
і гімназій, які вивчають математику за розширеною програмою і
готуються до вступних іспитів.
Наприкінці книжки зазначено номери всіх задач поданого видання, для
яких ці самі задачі (під іншими номерами) розв’язані в дев’ятому виданні.
Відповідно до шкільної програми з математики в усіх главах, крім
18, розглядаються тільки області дійсних чисел: дійсні корені функцій,
рівнянь, систем рівнянь.
Вже над третім виданням «Збірника» працював колектив авторів без
участі найактивнішого співавтора і наукового редактора його

першого і другого видань М. І. Сканаві (він помер у 1972 p.). Третє і
наступні видання редагував Б. А. Кордемський. Він провів плідну
роботу у підготовці чинного видання, але, на жаль, книжка вийшла у світ
уже без нього. Ми збережемо світлу пам'ять про нього та інших
колег, які пішли з життя за останні роки, — І. Ф. Орловську, P. І. По-
зойського, В. К. Єгерева, В. В. Зайцева.
Автори щиро вдячні учням і викладачам шкіл, підготовчих курсів і
факультетів ВНЗ, рецензентам «Збірника», які висловили критичні
зауваження та добрі поради, запропонували виправлення. Особливо автори
вдячні P. І. Борковському (м. Челябінськ), який надіслав найбільше
побажань і зауважень, врахованих під час роботи над книжкою.
Автори

Розділ і
АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА.
ГЕОМЕТРІЯ
Глава 1
АРИФМЕТИЧНІ ДІЇ
Приклад. Обчислити
928-10
г2
0,8
-0,6 :
Г42 - 3— + 3,3:0,03І: — ]
1 6 і15
|з|:0,625-0,84:0,8j: 0,03
□ Позначимо вираз у перших дужках через А, а вираз у других
дужках — через В. Послідовно знаходимо:
928
1) А = —- - 0,6 = 11,6 - 0,6 = 11;
' 80
2) чисельник дробу В:
5 42-5
а) 42 • 3— = 42 • 3 + —— = 161;
6 6
б) 3,3:0,03=на,
в) (161 + 110)15 = 27115;
3) знаменник дробу В:
ч 15 5 ,
Oj-r*
6)
80 20
в)
4) В = 211
100
З
15 271
165” 11
= 200-35 = 165;
271
Остаточно отримаємо А: В~} = АВ = 11- -уу- = 271.1
5

Задачі цього розділу виконуються без використання
мікрокалькулятора, без округлень і наближених обчислень, бо передбачається, що
всі задані числа точні.
Обчислити (1.001-1.040):
(7-6,35): 6,5+ 9,9
1.001.
1.002.
1.003.
1.004.
(і,2:36,1,2:0,
lYl-lZWi.
tl 9 72 J 40 7
ЧИ
: (0,358-0,108) 1,6-
25'
(2,7 - 0,8) - 2
1
- + 0,125
(5,2-1,4):
70
2-+ 0,43.
2
1.005.
1.006.
1.007.
1.008.
1.009.
2f:1’1 + 3} 5 (4 + 4’5)0,375
1 * 7
2,5-0,4-3^ 7
2,75-1-
^13,75 + 9^1,2 |^6,8-3 j
•5—
6
10,3-glU Гз—-3—1-56
2)9 \г в)
(“•5-|*0’254)(°'25-і) й
-27—.
6
з| + 2,5 4,6-2^
З з
2,5 -1 — 4,6 + 2-
3 З
5,2
0,05
- + 5,7
-0,125
0,4 + 8|5-0,8—1-5:2-
1 П 2
і|8-(8,9-2,6:|)|34|
90.

^5—-4—1:5—
1Л10. 45 6 ІЗ.зфОЗ^ОІЦ
(4| + 0,75}зА 7 70 7
[- + 0,425 - 0,0051:0,1 6- + 5-
1.011. ^ j f- + -^—^--0,05.
30,5 + —+ 3— 26:3—
6 3 7
З—-1,9 + 19,5:4— 3,5 + 4- + 2 —
, Л1, 3 2 . 3 15
1.012. zn / * \ •
”0,16 0,5|1—+4,1 І
75 ( 20 )
[‘KS^’6"0’005]}1’7 4-75 + 7Т
1.013. і Ц : гг + =2-: 0,25.
—+ 1І-1— 33:4-
6 З 30 7
[4,5-і|-6,751-і 0,22:0,3-0,96
1014 —* - + —U
f 3— 0,3 + 5— -1:2— (о,2-—1-1,6
[З 3 8J 3 { 40J
1015 НШ,
**-H НИК
1.016. fiel-islU+wfi-LV1-
^ 2 9 J 33 1^33 11J 11
Л32 _JL3^| 36
0,128:3,2 + 0,86 І 63 21 J ’
1.017. •
- 1,2+ 0,8 0,505---0,002
6 5
3^:10+0,175:0,35 ({£-£}'•<
1.018.
0,125:0,25+1—: 2,5 ч
1.019. 		 ^ + — +1,9 • 0,5.
(10-22:2,3) 0,46+ 1,6 (20 J

1.020.
1.021.
1.022.
1.023.
1.024.
1.025.
1.026.
1.027.
1.028.
1.029.
1.030.
1.031.
1 23 Л 22 ( З V 1 А
: 0,6:3- Ь —+ 3,75:1—
7 49 J 147 { 4)2 2
“Н
: 2,2.
2:3- +
5
З—: 1
4
18 36 J 65 І З
48
0,5 + - + - + 0,125 (3,75 - 0,625)
4 6 + 125
— + 0,4 + —
З 15
12,8-0,25
8±:2-26
ґ26—: 6,41Гі9,2:3—1
I 3 A V 0,5:18—-11
18'
7 11
0,725 + 0,6 + — + —
40 20
0,128 «6- -0,0345 : —
4 25
0,25.
(520-0,43):0,26-217 + 2 —
(3,4-1,275)
16
_5_
18
(
^ 85 17 )
Дг + 0,5 •
2 + -
12,5
3,75 + 2- 2 —+ 1,5
’ 2 4
2--1,875 2,75-1-
2 2
5,75 +
10
іГ
((21,85:43,7 + 8,5:3,4): 4,5): 11 +1 •
[ 1 — + 3,5:1 — |: 2 — + 3,4:2 - - 0,35.
[54)5 8
І 0,3275 - |2 — + —):12-|: 0,07
[ { 88 33 J 9 J
(13-0,416): 6,05+ 1,92
1,125 + 1-- —
6 45 4 12
1*
6
0,59

1.032.
1.033.
1.034.
1.035.
1.036.
1.037.
1.038.
1.039.
1.040.
З"1-
V
: 0,25
37
—: 0,0925
300
{ 30 11) 401
- + 12,5 0,64.
•0,5.
((7 - 6,35): 6,5 + 9,9)
12,8
f 1,2:36 +1 -: 0,25 -1 — )• 1 —
І 5 Ч 4
2—- —1:13—+ 3—• —
45 15 9 65 99
: 0,125.
0,5.
fl8—-13—1 —
^ 2 9 J 85
3,75:1 — +fl,5:3-1-2 —+ fl--.—l:
2 j 4 J 2 j 7 49 j
22
147
2:3—+ f3— :13І: —-f2 —-
5^4 J 3 ^ 18
1
11X11
36 J 65
«“-ті bl
І°-,25+(|-ТЇ
(1-Ми):
ІЇ31_2Д + 2±\,І._АҐ3І+5|
[{ 12 18 24 J 31 52[ 2 6 j
: (0,358-1,4796:13,7)
7
1-
13
5^_213+A +lA_I.l
84 42 28 24 27 3 9
(3,2-1,7): 0,003 f * 20 1,5 )1,5
f-- —1-4:0,2 _f2,44 + l—\ —
A35 7J I 25K
: 62—+ 1,364:0,124.
20
54; 6 6-^^|-20,384:l,3
7 7 I 8 0,0125 + 6,9 1

Знайти X із пропорції (1.041-1.045):
1.041.
1.042.
41 —-40—
84 60
1,2:0,375 - 0,2 0,016:0,12 + 0,7
4 2 v
6— :15- + 0,8
25 5
0,125ЛҐ
И--1-
_ [ 63 21 j
0,7
8— 0,675-2,4 - 0,02'
І 24 40j 16 ( п \
 V 9[ 1^-0,945:0,9 J
1.044. 10,5-0,24-15,15:7,5
З З
1^"47:7
40 8
1.045.
(і! _2_А:2і\,і
,2 -0,25-48,51:14,7 (44 11 66 2 J 5
Х 3,2 +0,8^1 - 3,25 j
Обчислити найраціональнішим способом (1.046-1.048):
(U
Аз 1,7
1.046.
1.047.
1.048.
І2І
1,7 V6.3
V(6,3 +1,7)2 - 4 6,3 1,7
УІ5612-
459
2 2 20
4±-0,15 + 44:^
7 7 3
+ 4-УІ0
:±М
Обчислити (1.049-1.050):
1.049. —
2~г + 5°
1.050.
(0,5)-2-5(-2)-2+[|
(0,6)° -(0,1)"1
г2
+ 4,75.
(3:23)-‘ (1,5)3 +
НГ
10

Г л а в а 2
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
АЛГЕБРАЇЧНИХ ВИРАЗІВ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Для будь-якиххіута будь-яких додатних а і b справджуються
Формули перетворення многочленів
Для будь-яких а,Ьіс справджуються такі рівності:
а2-Ь2 = (а- Ь) (а + Ь);
(а + Ь)2 = а2 + 2 ab + Ь2;
(а - Ь)2 = а2 - lab + b2\
 (а + і>)3 = а3 + 3 а2Ь + 3 ab2 + Ь3
або (а + б)3 = а3 + б3 + 3ab (а + Ь)\
(а - ft)3 = а3 - 3a2b + lab2 - б3
або (а - ft)3 = а3 - б3 - 3ab (а - Ь);
а3 + б3 = (а + Ь) (а2 -ab + Ь2);
а3 - б3 = (а - b) (а2 + ab + Ь2);
ах2 + Ьх + с = а(x-xt) (х-х2),
де х1 і х2 — корені квадратного тричлена ах2 + Ьх + с.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
11
Властивості степенів

Властивості арифметичних коренів
Для будь-яких натуральних п і k, більших за 1, та будь-яких невід’ємних
а і b справджуються такі рівності:
ЧІаЬ =ЧІа-ЧІЬ; (2.16)
$=W(b*0); (217)
(?/а)к =УІак ; (2.18)
ФІа=Ча-, (2.19)
Ч[а=п4ак\ (2.20)
(\/а)" =а (в>0); (2.21)
yfa <yfb, якщо 0<а<Ь; (2.22)
V7=U = { а’ якщо а >0, (2 23)
[-а, якщо д<0;
2n+\[Zа - 2л+1
^ =14 (2.24)
\[а (а > 0). (2.25)
Приклад 1. Спростити вираз
-4t2-2-3-+1+2f^7-i\
 x2+Sx+l ^ 2/
□ Якщо дріб позначимо через А, а вираз у дужках — через В, то даний
вираз матиме вигляд А + 2В. Зауважимо, що для 4їх і уі27х3 допустимими є
тільки значення х > 0, при яких знаменник дробу А не дорівнює нулю. Тому і
для даного виразу допустимими є тільки значення х > 0.
За формулою (2.9), виділяємо в чисельнику дробу А повний квадрат:
х* + 2х2+ 1-3jc = (jc2+ 1)2-3jc.
Оскільки jc>0, то за рівністю (2.21) матимемо Zx = (yFhx)2. Тоді отриманий
вираз за формулою (2.8) можна розкласти на множники як різницю квадратів:
(Xі +1)2 - (^з7)2 = (х2 +1 - -Лї)(х2 +1 + -ЛІ).
Отже,
12

x + v3* +1
Далі за формулою (2.20) матимемо уІ27х3 = \/(Зх)3 = уІЗх, звідки В = ТзГ - -і.
Отже, А + 2В = х2 - V3* +1 + 2V3x -1 = х2 + V3*. ■
Приклад 2. Спростити вираз
Ja2-4ab + 4b2 Ш 2Ь Л
, = 7 + ,0< а <2Ь.
УІа2+4аЬ + 4Ь2 а2-4Ь2 а-2Ь
□ Маємо ^а2-4аЬ + 4Ь2 = <J(a-2b)2 =\a-2t\ = 2b-a, аналогічно,
Va2 + 4ab + 4b2 =\a + 2b\ = a + 2b; тут використані формули (2.9), (2.10)
і (2.23). Отже, ---■ = ^—2. Тепер знаходимо
\<а2 +4д£ + 4£2 26 + *
26-д 8д& 2b _(2b-a)(a-2b)-Sab + 2b(a + 2b)_ a
2b + a a2 -4b2 a-2b a2-4b2 2b-a
Приклад 3. Спростити вираз
. x2 + 4x-5+(x-5)Vx2 -1
/(х) = — і . ,х>1.
х -4x-5+(x + 5)vx -1
□ Використовуючи формулу (2.15), розкладемо на множники квадратні
тричлени в чисельнику і знаменнику дробу:
/(х) = (х + 5)(х-1)+(х-5 )/^І
(x-5)(x + l)+(x + 5)Vx2 -1
Оскільки х > 1, то за співвідношенням (2.21) маємо х -1 = ■/(х -1)2 тах+1 =
= J(x+lf . Отже,
/•до- Jx-l((x'+5)ilx-l +(х-5)л/х + 1)
* ~ л/х+7((х-5)л/хТТ+(х + 5)-\/х-7)’
звідки після скорочення отримаємо / (х) = j. ■
13

Приклад 4. Без обчислення значення коренів спростити числовий вираз
А =(4^/і + 2-Уз - л/і 3 + 4-Я) ^
□ Використовуючи формули (2.16), (2.8), (2.20) і (2.10), знаходимо:
‘^=4;
11
1) 4>/і + 2уіЗ =4^1'
2) л/іЗ + 4л/з || ^Yp-j =^(13 + 4,/з)—~^ + 1 =
ЛІ(13 + 4Л/3)(13-4Л/3) _ •/169 — 48 _
її п2 V п2
Остаточно матимемо Л = 4 - 1 = 3. ■
Приклад 5. Перевірити справедливість рівності
^/з8+7Шб + ^38^/1445 = 4.
□ Позначимо д/з8 + л/І445 + ^38 - -/Ї445 = х. Піднесемо до куба обидві
частини цієї рівності. Використовуючи формулу (2.11), отримаємо
38 + Vl445 + 38 - л/Ї445 +3^/(38 + >/Ї445)(38--УЇ44?) * = х3,
або х3 + 3jc - 76 = 0. Підстановкою л: = 4 переконаємося в тому, що х = 4
є одним із коренів отриманого кубічного рівняння: 64 + 12 - 76 = 0.
Перетворимо це кубічне рівняння:
де3 - 64 = 3 (4 - jc); (х - 4) (х2 + 4х + 16) + 3 (х - 4) = 0; (х - 4) (х2 + 4х + 19) =0.
Але множник х2 + 4х + 19 не має дійсних коренів. Отже, 4 — єдине можливе
дійсне значення для jc, що й доводить справедливість рівності (оскільки
зрозуміло, що ^38 + Vl445 + у/з8--/ш5 — дійсне число). ■
Приклад 6. Перевірити справедливість рівності
■^1 + 4л/з • Уі 9 — 8л/з д 2
4-Тз
14

□ Розглянемо рівність
V7 + W3 л/і9-8л/з 2|д
4-S
Якщо вона справджується, то справджується й дана рівність. Нехай
V7 + W3 Уі9-8>/з , „ /т „ Л . t Л „
а = т= , b = 2 + V3. Легко визначити, що а > 0 і b > 0. Якщо
4-V3
при цьому виконується рівність а2 = й2, то а = Ь. Знаходимо
а2 (7 + W?) (19-8Л) (7 + 4Уз) (19-8л/3) ? [
(4 — -ч/З)2 19-8-Л
62=( 2 + -Уз)2=7 + 4л/з.
Оскільки а2 = б2, то я = 6, тобто дана рівність справджується.
Цей приклад можна розв’язати швидше, якщо здогадатися, що обидва
підкореневих вирази в умові є квадратами додатних чисел, а саме:
7 + 4^3 = (2 + -Уз)2 і 19 - 8^3 = (4 - V3)2. Тоді лівою частиною даного рівняння
е (2+_4)И-.^).Л = 2 + Л-Л = 2і2 = 2. ■
4-V3
Приклад 7. Чому дорівнює сума виразів V24-/2 iVe-<2, якщо відомо,
що їх різниця дорівнює 2? (Значення змінної t визначати не потрібно.)
□ За умовою, \ll4-t2 -\/8 - /2 =2. Використовуючи формулу а + b =
= -—отримаємо >/24-f2 + V8-/2 =——- = 8. ■
д-6 2
П>упа А
Спростити вирази й обчислити їх, якщо дано числові значення
параметрів (2.001-2.124):

2.004.
2.005.
2.006.
2.007.
2.008.
2.009.
2.010.
2.011.
2.012.
2.013.
2.014.
16
Г(а + ЬГІ4сУ2
а2-"Ь-3/4
ч4/3
b3c4
(a + b)2na]6~Sn
ЧІ/6
; b = 0,04.
2x
-1/3
„2/3
x + l
х2/3-3;Г1/3 *5/3-*2/3 *2-4х + з'
(4a + 4b)2-4b а + 9Ь + б4аЬ
(a-b)-.
1 1
+ 3'|Л| л/ї + ^
(^ + #Q2+(^-#Q2. 1 3y^
2(m-«)
2У2+21УШ+310^/-2
72+3^7
з-2
/ У
1+
2-4І+4
■Jt + 4
fi±V^_VT77x2
•Л+7 і+л/7
Гі-У7 УГ+І
[л/ї+х 1-V*
х-\ jc0’5 +1
х + х^+Гх1-5-! *-°'5'
1 1
г + -
4а + -Ja + l 4а -■Ja-l
1 + .
а +1
а-1
х-у
хш+хтут
xV2yU4+x44yU2
хт+уіп
ХШ у'"4
хі,2-2Л'/4+У/Г

2.015.
2.016.
2.017.
2.018.
2.019.
2.020.
2.021.
2.022.
2.023.
2.024.
2.025.
2.026.
2.027.
„ПГ J
bm~n : Ь
(т-п) +4 тп
1/2
V^+z2/*)2_4z2/P+2/?V
y//._zi/*)2 + 4zl/,»l/, J
v 1 v1/2-Uv1/4
*-! * + * ..x1/4+l.
x^Ux112 x1/2 + l
Г» + Щ2+2-1~Х + х2)1(5-
2*-.r
(5-2jc2);x = Д92.
2jc H-jc2
Vx* -фУ -VxV -^5
64.
I
2 a
(1 + а)Ш+^
ЗІ4 + Г?
4x(x + Jx2-l)2
(x + 'Jx2-1)4-1
J(x + 2)2-$x
4x-2:4x
^4x(l 1 + 4л/б) • >/4л/2х -2л/3х.
0і-a-lb-b2a~x (a3+a2+ab+a2b b }
: +
a-b
11-J- + A- Ь + Va + b)
(a <r
2 12
a —0
;a = 23,b = 22.
iL*nf2 \Ua2
\4
pj
ix + h-x2 tfi-x-JI^2
17

jc(jc2-д2)“1/2 +1 a2<Jx + a 1
2,°28, a(x-a)~'n Hx~a)m 'x-{x2-a2)m
2.029.
2.030.
2.031.
2.032.
2.033.
2.034.
2.035.
2.036.
2.037.
2.038.
r2-y/r4-16
1?
+—+2--°2
■-ptZ
Л a&-\
 V -1 4j
1/2
ifa-l
>[a+1
(a
J-E±i+4J*
yjabc
abc + 2
; a = 0,04.
V(2p + 1)3+V(2p-1)3
^4р + 2^4р2 -1
, 7ГГ’/”1 дтт.дг^
1 1 (a-lWa + l-fo + lJa-Г
Vfl + 1 Vfl-1
g + 2 a + 2 V2
■Ла -J2a +2 а-уІ2а ) a + 2
УІ36тп2р +mj^- + ^3np j|^36mn2/> -у/Зтп - pj^^j
1-х'2 2
x~2-x
xU2_x-U2 xU2rxU2_x-m-
Vo —1 Уд + 1
>/fl+i >/д-і

61
b + dt- Zl^ + d) z/SV + d)
bd
Mz
bd
SZ ^ Zbd + z
~~Ь U°~d ' hdi- ,d^'bd£- bz+ Jb-dz)
lb+x-dl
(o+qv + q+ zq) J_qDf
°Z
v+zq+zv q-o
x-ip-x + iyv- \~x+ zx~
*+if
x-l
\-7X~
3/1-
л: *Л
- + —+ T 1 +
I Z 1
3 , fM
$
V + X- Zv-ZXK V-Xf+V + Xf
— + U -- Ul
I 1 I 3
*80‘0 = x ‘££‘0 = 17 •
Z/\K 1
\
 1
\
 ' 3
XJ JJ
Q-XZ
e»-l (ff-OZ i^ + \)Z
Z+z*> і + і
Z,0‘l=3‘S0‘ll- = <7 to‘o = *>
oqv
о + Я_ o
m I i +i
7D-70+7q + X b+<? »
w г г J~T~T
>=<?
o-q-v
,£/s«?£-w^ tlf46+tn-4„f9+zJl
Z/£Vf
Hi
V il№
WOT
WOT
LWZ
WOT
WOT
wz
WOT
жг
WOT
WOT
*6€0T

2.050.
2.051.
2.052.
2.053.
2.054.
2.055.
2.056.
2.057.
2.058.
2.059.
2.060.
2 (jc4 + 4jc2 -12) + jc4 +1 Ijc2 + 30
jc2+6
(a2-b2)(a2 +y[t>* +aVb
a3-b
ayfb + aja - $[b -Jab2 a^fb -yla3b2 -ill)2 +aja
a = 4,9\,b = 0,09.
-2
(! — jc2)~i/2 +1 +
1
(1-jc2)~1/2-1
: (2-х2 - 2^1-x2 ).
((1 _ p2yl/2 _{l + p2}-l/2)2 + 2(1 _ p4rl/2e
За2 +2ах-дс2 _2 + 1() ax-3jc
(3jc + a)(a + jc)
fc+y 1 „
3/*-7 Vjc+3'
а2 —9лс2
Ух-у }}x + y
ч-1/2
1
д I 1 д I 1 6(а6с + я + с)
* + i b
c
-2
(дс + ^-4лу
jc2 — xy
m-
\
 *V-/'
1 +
b2 -he2 -a2 ^
2 be
a = \—,b = 0,625, c = 3,2.
40
jc 1
д,3+Х
JC 1 1
+ -
/ ^ *
f——5—
2x + y 2x-5y I
. (x-yY+4xy
1 + yx~l
.2
4x2 - y2
20

2.061.
2.062.
('!+2*“^7г){д
(ба2 +5а-1+^ІІІ:Гзв-2 + -^-
^ а + 1J ^ а+1
7
2.063.
jc-6 -64
4 + 2дг-1 + х~2 4_1 + J_
* *2
4jc (2jc + 1)
1-2х
2 Ь + а-
4а2 -Ь2
2.064.
а3Ь-2а2Ь2+аЬ3
Ь3 +2аЬ2 -За2Ь
а2-Ь2
2.067.
2.068.
2.069.
aV2+ab-1
-1/3 -1/6,-і/з , ,
а -а 0 + 0
2/3 Уь'
j а Ь аЬ У
+ Ь + 2с)
1 1 2 4с
-+^Г +
2 ; а = 7,4, * = -.
д2 b2 ab а2Ь2
а1,3-2а5,3Ь2,3+аЬ413
a5/3-a4l3b'/3-ab2l3+a2l3b'
,і/з
2.070.
{a2-b2)(\fc-3Jb)
2.071.
(т - \)Jm -(/і - 1)л/л
V/я3/! +тп + т2 -т
2.072.
Ifcbflb2-Vfl2) + Vfl4-У64
і[а* +уіa2b2 -yla3b
= 7,(3).

2.073.
2.074.
2.075.
2.076.
2.077.
2.078.
2.079.
2.080.
2.081.
2.082.
2.083.
2.084.
УІ5-2&
(allm _al/n^2^a(m+n)/(mn)
(a2/> _а2/«)('я7^Г+'^ТГ)
(х2Іт-9х2іп)^П^~ 3V?7 j
(x1/m + 3xl/n)2 - І2х(т+л^/(тл)
-^+5ДЇ(Л5+з,
2t2
вЧ>
a"1-*"1
a~3+b~3 (a + b)2-3ab
a2 -b2
-1
; a = \-j2,b = \ + j2.
f-r—!—+-T—^—+-t—!—I
^ + 3/ + 2 t +4f+ 3 t2+5t + 6)
(a - b)2 + ab a5 +b5_ + a2b3 + a362
(a + 6)2-ab ' (a3 + b3 +a2i + a*2)(a3 -*>3)'
(VT+2 2-У/-2 4/
sl/2
Jt-2 VT+2 ^f2- 4
1 1
1
*(afc + e + c) д , 1 д , 1
* + - *
_ . 2 5x -6* + 3
2-jc + 4jT +
jc-1
=H*nr}
[?^ + 2?—^\{b — + a = yf2 +0,8, b = 72-0,2.
l^-l a-2 J ( b-1 д-2/
22

2.085.
2.086.
2.087.
2.088.
2.089.
2.090.
2.091.
2.092.
2.093.
2.094.
2.095.
2.096.
aja+bjb
a-Ja2 -b2 a + ja2 -b2
a +
Ja^b2 a-JJ^b2
Wa4-ah2
(5b)2
S(a-b2) + Sb-yls^ -Jig -->І2с
^2(a-b2)2 +(2byf2a)2
(VTI
x-' +1):
i\ + x
r + Vl
"I
8-/i
2 + Vn '
зГТ
. Sn
2 + -
2 + Vn
2 Vit )
lfn-2
^ + 2^'
{а-Ь)г(4а+4ьуг+2ау[а+ьЛ 3(Jab-b)
+ '
a-b
xV6-yV6 (xm+ym)2- 4fiy 2l3-V6
xV2+xmym' xmym-xV2y2li У '
4-3/5
* 3j
x-1
lld+D1 ’v^-iy
н^Т7*Ї^ТЗГр'І+2}
m4/3 -27ml/3 n _з^2
.2/3
2/3
p-3 12 3
zP2+3p .z9-p2 , z3p-p2
&
Vx-vx-flt2 •Jx+vx-a2
23

2.097.
2.098.
2.099.
2.100.
2.101.
2.102.
2.103.
2.104.
2.105.
2.106.
2.107.
24
1--Л7
ij1
І-л/в/3
-ІЇІ
-1
i+JI
II21
-St
(x2/3 +2 ifxy + 4_y2/3)
(V7-8j^):^ I I*.
(z-zJz + 2-2Jz}2(1 + Jz)2 _,j;KZZ
~ * v z
z - 2 + —
z
a2 +4
a + J2 a3 +2J2
a 1_ l) '
2 Jl + a ■
(a-1)
-1
-(1-е)'
i)l + fl(fl-2) I 1
J a2-a +1 \(a +1)2'
(Job-ab(a + Jriyl):(2((ab)ul-b)(a-by1).
-а2 з/* - A + A VaV -4a9
b\ b3 \a6 b3 ab
^lb2-2a3
l+vr^i i-vm
\2
1 —JCH-л/і —JC l + X-yll + X
x -I
+V1-*2.
a6-Sb6
a = -, 6 = 0,25.
3
4a2 + 4a6 + 62
l+(g + x)
1 -(л + jc)
-1
-l
1-
l~(a2+*V
lax
; * =
a-1

2.108.
2.109.
2.110.
2.111.
2.112.
2.113.
2.114.
2.115.
2.116.
2.117.
r- + *+2Y-±»_^Yffe+24+^y^_+_*_j
yb a \ 2a a + b J a 1 a + b a-b I
W /
a = 0,75, b=-.
3
I \J ( і v
~4a+^-і0ауГ* -SZF) * ~2
a = 3—, x = 0,28.
7
y/c-d
lfTc
Ic-d jc2 + cd
V c + d V c2 -cd
\c = 2,d=-.
4
(ab~l +g-lb + \)(g-' -b'1)2
a2b~2 + a~2b2 ~(ab~l + a-1 b)
IF*1®?
і
r3/p_r3/?
rup
+л)
(xVp+xUq)2-2xuHxv<1 +xllp) x(9-P)'P4+x
9-4a-2 1 +a-1-6a-2 44
3<Г1/2+2<Г3/2 a-1/2+3a-3/2
4a& +
1 +
n \ ІЗ (4a +4b\ f Ja +Jb
(yfe + Jb)2-2,fcb
-1
2 b£i 2ajb
a +
4ab
-l
b + yfab ^
-1
yfmri--
m +
yfmri I
2 J
) yfmri-Jn 1- I 31 7= m
I: mjn : yjmnyjmn -
J J [Vm4-1
(el/2.^/2rl(e3/2_63/2)_ 1
(Vfl + yfb) 2
yfabjab +
l+(a(l-*2r1/2)2'

2.118. 	(-7^— + -7^— + -^г\Ф + 5Г1.
[fi-l v3-2 3-V3 J
2.119.
2.120.
^7^54+15^128
^4VH + $^/l62
15^4^192+21^18^81
^12^24+6^375
2.121. ^32 V? +<|б4 з|ї-3^2 ^2.
2.122. 5 ^48з||+^32з|^-11 ^12>/8.
2.123. 2VW12 +Зд/5^-2 ^75-4і/І5Ж.
2.124. 5 ^6->/32 -3^9>/І62 -11 t/l8+2 ^75>/50.
Перевірити справедливість рівностей (2.125-2.134):
2.125. 4: 0,6зД = 10^5 :(0,25 флбЩ).
ІЗ
2.126. (4+л/Г5)(л/Г0-Уб)-V4->/l5 =2.
2.127. >/з-л/5 (3 + У5)(л/І0->/2) = 8.
2.128 + 3yj
S/2-1
2SH2+2JS
2Л29' У250 + 5</8
:>/5 Ш 5 7 ,
</H 5 +J2
2.130. 	 1 = V2.
VV27->/2л/з+1
2.131.
4 f
/ /— \2
6-5V6
U-vjJ
5-л/б
4 /
= 2>/б1 + 24^5.
26

2.132.
2.133.
1
З 4
Г + -
JiS 7б-7з V7+Vз’
2
З 5
г +
J5-J2 Jl+fi -Jl-yfs'
2.134.
V2-1 ,/10-7-4/2
л/2+1 VlO + 7-Л”
Виконати вказану підстановку і результат спростити (2.135-2.145):
V3 „-2/З1-І/ 2 , l2ч і 1/2
* ~g Ь (Д +0 )* + £? 3/2 L-1V2
2.135. і / л <■* ) Jf fl у
Ьгпх2
1 — Ь 1 . IT тГІ>
2.136. —т=-л -2х + уіЬ;х = т=.
V* 1-V6
f * + 26 jc + 2аЛ jc 4а6
2Л37*
2.138. 	(х+1)(х + 2))х + 3)(х + 4);х =
Jl-5
2т (z-l)(z + 2)(z-3)(z+4) _ Л-1
23 2
*(*+i)(x+2)(x+3),„_ ч/5-з
2.140. , *\/ л\ * .
(х-1) (х+4) 2
2.141. <ЦзОО^;,,фі.
З' (у + 1) 2
2.142.
1 1
Уз + х-Ух + 2 УЗ-х-У*-2 .Х-Д
V3TI VIT2 7з^і >/7^2
2bjx2-l 1
2.143. 		 7=—;* = -
JC — V JC — 1 2
\а>Ь> 0.
2.144.
2ауІІ + х2
і *=т
JC + Vl + JC2
; a > 0, b > 0.
27

1 + bx 1 12а -b b
2.145. 	 = —Z—;°<~<a<b.
1 + ax V 1 — bx a і b 2
Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу (2.146-2.151):
14
2Л46> S/ЬУГ
з+J2+S
2.147.
2.148.
2.150.
3-V2-S'
2-fi-fi
2 + -J2-S’
2.152. Показати, що коли
2.149.
2.151.
УЇЗ-ІІ9 ’
6
V2+V3 + V5*
а-1
Ja -у[а
= }/а + ^а2 +Ь3 -т]^а2 +Ь3 -а,
то z3 + 3bz -2а = 0.
2.153. Якщо JS-a + V5 + a = 5,то чому дорівнює J($-a)(5 + a) ?
2.154. Знайти суму Jtt-x2 + Vl5-x^, якщо відомо, що різниця
^25-х2 - Vl 5 — jc2 = 2 (значення х визначати не потрібно).
2.155. Перетворити (а2 + б2) (с2 + d2) так, щоб отримати (ас + bdj1 +
+ {ad-be)1.
2.156. Обчислити суму кубів двох чисел, якщо їх сума і добуток
дорівнюють відповідно 11 і 21.
2.157. Обчислити значення виразу:
а) y-z;z = ^/3+V2+^SS;
б) Xі + Зх; x = tfjT+2-y[jT-2.
І^упа Б
Спростити вирази й обчислити їх, якщо відомі значення параметрів
(2.158-2.284):
2
2.158. 	lj(l-2a + а2)(а2 - 1)(а -1) : 2? - 3..
Va + 1
2.159.
a yfb
чз/г
fa
(аи*+Ьш).
28

2.160.
2.161.
2.162.
2.163.
2.164.
2.165.
2.167.
2.169.
2.170.
2.171.
2.172.
(a2bJb-6a5l3b5l4+l2ab3^-Sab314)213
abyfa -4ab31* + 4a2,34b
a3 —3a2 +4+(a2 -4)Vfl2 -1 t 2
.;a>\,a*-=.
a*+3a -4+(a‘
-4)Ja2-
ІЇ'
a2 +4
a2- 4
+ 4
(х + уІ2ах2)(2а + уІ4а2х) 1 -1
-(2a)
-1/3
^+2jc-3+(jc + 1)Vjc2-9
-1)Vjc2-9
; x> 3.
x -2x-3+(x
/2 -/-6-(/ + 3)V/2 -4
t2 + t-6-(t-3)<Jt2-4
/я 5 + m4 V2 + УІ4т9
|/я3 —1| — 1
(yjm2 +n %fm +л2)
a3 + a2 -2a
д|д + 2|-а2 +4
x + >> *->>
M
;f>2.
2.166.
+ ^|Z> —1| + 2 —
F4
2.168.
x4 - jc3 - x +1
jc3 -5x2 + 7x-3
•M-
3/4 3 , „2
m -/1 + /Iі
-1 4-12’
m/i +n-n m -n
Гх-Гу Jx+Jy y-Jxy+x
yfx-Jy ^ Ух + /y 2<Jxy
x + y
x-y
i2-L_-l||(a-4)3^7^- (*+<>3/2
4a я V(e -,6)(e-4>
29
І Ю

2.173.
2.175.
2.177.
2.179.
2.181.
2.182.
2.183.
2.185.
2.186.
2.187.
2.188.
2.190.
30
m|m-3|
(т2 -т — 6)|m|
yjx-2yfT^\
 1
2x-x|x-l| + x|x| + 3
kP '
2a4 + a3 + 4a2 + a + 2
2a3 -a2 +a -2
}І2а + 2уІа2 -T
Va -1 Vti+T 1
7^T+7TT J
(ab(x2 + y2) +xy(a2 +b2)) ((ax + by)2 -4abxy)
ab(x2 -y2) + xy(a2 -b2)
25
І 1І , 2 o 2|a + 5|-a +—
x |x - 3| + x - 9 1 1 g_
2хі-3хг-9х ' 2'184' Зо2 + 10a-25
ДГ2 -l+|x + l|
W (x-2) '
p3 +4p2 +10/? +12 p2-3p2+Sp
pi-p1+2p + \6 p2+2p + 6
1 + 2 am-am a1'4-2
l-a + 4a3/4 -4a1/2 + (a1/4 -l)2
2.174. —j j і і"
(x -4x + 3x) |x-2|
a2 -4-\a -2І
2.176. =-* -•
a +2a -5a-6
a3 -2a2 + 5a + 26
2178- 7Г-ГТ
aJ-5az+17a-13
x — 1 + X + X
2.180. L:~2 ——
3x -4x + l
УІ4х + 4 + х-1 lr-l|H
^/jT^JC2 - x -1| r2 - r +1 - |r|
z-2 | (z + 4)2 -12 1 I z3 + 2z2 +2z + 4
6z + (z-2)2 z3 -8 z-2 J z3 -2z2 + 2z-4

2.191.
2.192.
2.193.
2.194.
2.195.
2.196.
2.197.
2.198.
2.199.
2.200.
2.201.
2.202.
<JJs-2 fo+WJ +Va^-Va
V>/5+2 ^9-WJ +a
0 + Г
2 V>/3->/2 -^5 + 2>/б + -
a
JS + 2ljl-4S + \[Jx(x + 27)-9x-27
■Jx-2-j2-S-ЇІ1 + 4&
Ул/5-Уз ^8+2-Л?-Уа
Ул/20+Vl2 ^8-2-Л? -2ІІ2a+tfa*
a4 -a2 -2a-l a4 + 2a3 -a-2
a3 -2a2 +1 ' i + i + JL
a a*
br -1 + x
H
2x2 -1 х-Г
^2b+2-Jb^4
<Jb2-4 +6 + 2
b2 -3b-(b-\)4b2 -4+2 /6 + 2.
Z>2 + 3Z>-(6+1)Va2 -4 +2 ^_2
;b>2.
(%/m +y/n).
'•&-У Д ,07
v1/2/
Vx+^y
>/m + 4>/m--4 yfjm-4+2 m-4^m-4
yim-4<Jrn^4 • yfJm^-4 -2 ^
31

2.203.
2.204.
2.205.
2.206.
2.207.
2.208.
2.209.
jc-і
VVs+ГУ
Ix + l
x-1
-2 -(2jc +
1)
<J(x +1)3 -yl(x-1)3
^2 + fi J2 + J2 + S ■'І2 + ^2 + у[2 + ^І-^2-^2 + ^2 + Л .
bx + A + -
(4xJ-6!)i
1 —
2b + (b2 -4)x-2bx2 ф + 2xf-8bx
bx
bx
~2~'
ffffj
№(x2-2y2) + £yT
(x2 -3x + 2)~1/2 - (x2 + 3x + 2)~1/2
(x2 - 3x + 2)~U2 + (x2 + 3x + 2)-1/2
-1 +
x + y
(x4 -5jcz + 4)1
3*
((л//и + 1/w)2 -(ifm -ifn)2)2 -(16/w + 4/j) ІОл/w -Z-Jn
4m-n
yfn +2jm
x-9
x°'5+3
x + 3x0’5 +9’ jc1’5 -27
,0,5
.0,5

2.214.
2.215.
2.216.
2.217.
2.218.
2.219.
2.220.
2.221.
2.222.
2.223.
2.224.
2.225.
jc2 +4
*J4 +
*2-4
2x
\3/2
V (z - 9) (z - 3)
3 18 2 z
(z + 3)"1
f jm + 2 lm-2 ) Г lw+2 f
|U-2Vm + 2 J:[Vm-2 I
Ь-1/6у[Л гу[Л-уІ7^ ^ ( 3a3
m-2
m + 2
ab
(2a2-b2-ab) л/aV \2a2-ab-b2 a-b
^х + 2уІ2х-4 + Jx-2y/2x-4.
q лі/з , ~ Л 4/3 , о-1/3 * 2/3
9 a +2 a + oa 5-а
a + 8 fl2/3 0.1/3
2/3
-2a +4 I 1-а
^2а + 2&~^Ь2 -Va-fc
^2a-2-Ja2 -b2 +-Ja-b
>/iWi-*2 fV(i+Jc)3 -Vo-*)3'
1 + a
1/3 ‘
2 +
(2-n t m-\\( 2 /я -1 2 2-л ^ 4/-TT
+ 4 : /Г + /?r L /я = v400, л =
l^-l ю-2 Д л-l m-2/
1
1
\ a + 2-Ja-2 -1 ^
а-2л/а-2 -1
1 1
1
\а + 2^а-2-\ \
 a - 2-Ja - 2 -1
л/jc2 +4дг + 4
+ |*-2|.
/
-P
x2-6x+i+
V
jc — 3 *-5
1 -l- 3jc 1 + 5*
n (jc-5)(jc-3)
(1 + 5jc) (1 + 3jc)
V /
/
xl/2

2.226.
2.227.
2.228.
2.229.
2.230.
2.231.
2.232.
2.233.
2.234.
2.235.
2.236.
2.237.
2.238.
(* + 3)
+ll+-4f-UI
h3)2 [jc2 9J (x + 3) \x 3
-1/2
\2а + 2^а2 -9
\2а-2^а2 -9
Г7
х + Уз
-81 ,y +—j +48.
х-Уз
Ух + Ух + Уз Ух->/х-Уз
Ух-2У2 tJx + 2>I2
Ух2-4хУ2+8 yjx2 + 4хУЇ + 8
1 + z 1-z _ Уз
1 + УІ+7 1-УП^7’ ~ 2 '
a2 -3
; x = 2.
; x = 3.
д2+3
2 a
-3
+i
* -У7ГТ
yla-l .
1 1 ’ (а-1)4а + І-(а + 1)4а^ї
■Ja + l 4a-7
1 + УЇ+х 1 + УІ^х Уз
+ ; x = —.
jt + 1 jt-1 2
-(1-а2).
(* + 1)
-1/2
; x = -
a2+1
2 a
Уг2-1 1
z = —
2
зі£±і+з/ІЕЇ_:
Vx-l Vx+1
(УГ+У?)2-У27
x2 +Jt-V2x +2
і— 1
vm +-t=
-Jm
1/2
;* =
a3 +1
e3-r
34

2.239.
2.240.
2.241.
2.242.
2.243.
2.244.
2.245.
2.246.
2.247.
2.248.
2.249.
2.250.
f 3/8+2
-Зл/Ї
3/8-2
і/і-УЇ
-3!^Ї28
.1/2
9-2V3
•3^2
3 + \/Ї08
4-2х + х2 6х2 +8 + 12х х2+2х+4'
+ г
-і/з
4-2х
\l(z + 2)2-
z + 2
4-х*
8z +(z-l)2+3
2х + 4
(х + 2).
z3 +8
z - 3z + 2
z3-2z2-4z+8‘
х4 + 5х3 + 15х-9 9
х6 + Зх4 +х4
х3 -4х + 3х2 -12
а(а-2)-Ь(Ь+2)+4аЬ(Ь-а+2) | 2а2+Ь2+аЬ\
 a+b—Jab
J
((х + 2)~1/2 +(х-2)~1/2)~1 +((х + 2)~1/2 ~(х-2)~1/2)~'
((х + 2)_|/2 +(х-2)“1/2)-1 -((х + 2)"1/2 -(х-2Г1/2)-1 '
{іГх+їїї) {(іГх-л4у)2 +ІІФ)
аЬт-№-а+1
:—+тІаї>
^ -і. А“|/3
Та**
Ji+Js + Ji -^3 +Js+i/5+^f.ДЩГ.
(УГ-1/2)2 +(УГ +1/2)2 , (і[х +ІІ2 -$І2х) (Чх+Уі+УЇЇ)
Jx-H2x 2-л/гх3
Г 2 (о +1) + 2 Уд 2 +2д_) _(V2JTT - л/^Г1
[ 3o + l-2V2a2 +а
35

2.251.
2.252.
№+ *Jy)2+№ ~*у[у? . + + (У*-#У+V?)
х-4хУ {х*У-У
Ja2 -b + Jc ^a-yfb + Jc -^a + Jb + Jc
K-2a+*-±
V b a ab
; a = 4,8; 6 = 1,2.
(і V
2.253. (4x-1) £-( (y[bT\+4x)-1 -(VfcTI-4*)-1) )
з ї
2.254.
x + 2 у
(x~2y):%y
Sy3(x2 +2xy+2y2) x2 -2xy + 2y2
-2
4x2 - Sy2 4x2y2+&y4
■,x = if6,y = V2.
2255 2(a+(a + l) + (a + 2) + ... + 2a) ( 6(a1/2+61/2)
2.256.
a + 3a + 2
:((а1/2-*1/2)(а-6Г2/5Г'.
(JZ + J^ + x + xffQ. -f)2
(x + x-'-2 )a"1/4
(a - b)0,6 (a + 2)
(Wa)
,3/2
(ax !+4Va+4x) 1/2
2.257. ((a - 3 \/a^+9 tfa2) (Va + 3 3/a + 3 1^)"1 + 3
№ + ЧЬ-ЧаЬ)ф + Ч; + ЧаЬ). & + Vfe)2 +($£-Vfe)2
2.258.
2.259.
ІІЛ-1
(yfc-Jb)b-11*
Jsz3 +24z2 + 18z ,
Jsz3 -24z2 + 18z
1
V 2z-3 ^
V
If 2z + 3
)
2 ^
1(27
6z
/
2.260.
/+g4 , 2g2
4 2 2 „2 2
p -p q p -q
(p3 - pq2) -2qjp
P~~
\p-q
Р + Я p —q‘
г*3<р-я)
36

2.261.
2.262.
2.263.
2.264.
2.265.
2.266.
2.267.
2.268.
2.269.
2.270.
2.271.
J 2x2 l(l + x)y/l-~x Js^l-x2
V 9 + 18x + 9x2 V x V 2хЛ
(2 + U)2 ~(Va +2 W ' a = lS'b = ^-
x4 +x2 + x-$2 +2 r~
x2-xj2+2 ~XS'
x3+5x2 + 3x-9
Xі +x2 -Sx + 3 '
■J'Ja —Jb +ilb ■ t]Ja - Jb —tfb ,,,,
1 ; a = 1,21.
1 + J*
■Ja-b + Sa -■Jb + ja
V
х2у-2-ху-'+±-(ху-2+у-г12)
4
2х2-у3/2-ху + 2ху1/г
X + ^-^;2lS -(S + jfib).
аЗ/2+аЗ/4_(л/аЗ+2д2+4^д(д + 2)2)
^2(a + l-V^2 +2a) (a2-a514 +a1,2)~1
Jx-4-Jx-4 +2
Jx + Ajx-4 -2
33/2+-3/5 гГг-тҐ
8
З + Уз^г+-^? 2>/з + 3/z
4
2i/\2+yj32z

2.272.
2.273.
2.274.
2.275.
2.276.
2.277.
2.278.
2.279.
2.280.
2.281.
38
(>/^ :л/р +Р)1/4 4 ^І(Р~Я)3
і?
fp-Jq VP
\1/4
-.Р-+1
1і(Зх + 2)2-24х
гГх-^
\Х
8-m f л/^~ '
%fm+2 \Іт+2
2у[т )
\fm-2
УІт2 +2 Ут
фху[^-х^ ^x3y(7 + 4S).
-1
Уд +і
Уд-і
ЧІ/2
-2
Уд +1
-Ve^uVe+ir1
д2/3+д,/3+і'
Га + а3/4^1/2+а1/463/2+62/4г /Гч lJb(all2-b) )
.■«,2
:(tfe+Jb)-x.
—1/3
' /(І-я)УІТ^ J Зя
» Я 14 - 8л -
8л + 4лх
N
3nVn T
, J
2-Jl-n2
\
 a + b
/
3ab - byfab + a Jab - 3b2
(•Ja -4b)2
2\4^ aj
4aby[a+9abjb-9b2y[a
-Jb-2Va
2
2a(a + 2b + 4a2 +4ab)
;a>b> 0.
(a + 4Ja2~+4ab) (а + 4Ь + ^а2 +4ab)
(1 + д-1/2)1/6 (д~1/2-1)1/3
-2
(д1/2+1)-1/3 (1-а'1/2Г1/6
1 1/12
—a
3
л/д + Vfl-l

2.282.
2.283.
уіЇ+х
1-х
•Л+І--Л-7 Vi-*2 -i+дс
Охг'+І)2
Л~3-1
/ і \
 рУ3 + 1
; 0 < де < 1.
Р9 '-Р ХЧ Р2Я 2+РЯ ‘+1 РЯ Х+Р Ії-1
(У -Ь) + -J (а + у) (у + Ь) /-j-
2.284. . , . ;у = у/аЬ.
\J(a + y) (y + b)~-J(a-y)(y-b)
2.285. Спростити вираз у = -Jx + 2-/x -1 + -Jx-lyfx -1, потім побудувати
графік функції для 1 <*<«>.
2.286. Для яких значень к многочлен х2 + 2 (к - 9) jc + (Л2 + 3£ + 4) можна
подати у вигляді повного квадрата?
2.287. Для яких значень а і b тричлен 16jc2 + 144jc + (а + b) є повним
квадратом, якщо відомо, що b - а = -7?
2.288. Перевірити, що число x = l}4 + J$6-4 є коренем рівняння
лг3 + 12х-8 = 0.
2.289. Многочлен х8 - 16 подати у вигляді добутку многочленів другого
степеня.
2.290. Виключивши и і v з рівностей и - v = а, и2 - v2 = b, и3 - v3 = с, знайти
співвідношення між а, b і с.
Перевірити справедливість рівностей (2.291-2.304):
2.291. >/9 + >/80 +^9->/80 =3.
2.292. Js + 2-Jl0 + 2ji-тІ&-2у[Ї0 + 2,І5 =720-4^5.
2.293.
З 3/40
10
(УЇ + У5)+У5=-ІЇ.
3/64-3/25 3/8+3/5 3/25
/
.294. ^6т + 2уІ9т2 -п2 6т-2<J9т2 -п2 = 2уІЗт-п.
2.295.
■у л/8 — ■>/ 4Ї +1
)/V8+V>/2-l ^
>/а + 2л/а-Т }]a-2yfa^\ / 7
2.297. 3/26+15л/з(2-Л) = 1.
39

2.298. jfa±*£.^/TW5=,/5-2.
4 +V5
7-4>/з л /7
2.299. і -—= 2-V3.
V26-15V3
2 VI ^20 + 12-Л
1 + 73~ 2 + л/з
2.300.
„,л, л/5 - 2>/б (5 + 2>/б ) (49 - 20л/б ) _ ,
2-301> Л7-Зл/І8+Зл/Ї2->/8
2.302. л/45 + 29л/2 - ^45 - 29-УІ = 2-Я.
V45-29V2
2.304. ^10р + 2т[25р2 -q2 -^10р-2уІ25р2-q2 = 2j5p-q.
2.305. Перетворивши ліву частину, перевірити, що:
а) 3/7 + 5-У2 -^5>/2-7 =2;
б) ^/з+л/з+л/іо+б-Уз = -Уз+і.
2.306. Число 19 подати у вигляді різниці кубів натуральних чисел.
Показати, що таке представлення єдине.
2.307. Подати суму —+ ^— + —!— + ...+ ! у найпростішому
1-2 2-3 3-4 л (л +1)
вигляді.
111 1 п
2.308. Показати, що — + — + — + ... + —
6 12 20 п +Зл + 2 2п + 4
_ _ а Ь 2(Ь-а)
2.309. Довести, що коли а + о = 1, то : = - т -= .
63-1 а -1 aV+3
2.310. Визначити А, В і С так, щоб для всіх допустимих значень х мала
х2+5 А В С
місце рівність —= = + + .
jc -3jc + 2 Х + 2 (jc-і)2 х-1
2.311. Довести, що: а) сума кубів трьох послідовних натуральних чисел
ділиться на 9; б) число р5 - р ділиться на 5 при будь-якому натуральному
значеннір\ в) число кг +5кділиться на 3 при ке N.
40

Група В
Спростити вирази. Знайти області допустимих значень параметрів, якщо
вони не зазначені (2.312-2.356):
2.312.
2.313.
-1/2
х*-\ X
* + 1 JC +1
(х +1) -х
(х-\)2+х
3~1|+к+1І
-і)
Xі +х
2.314. |х2-і|+х|х + і|.
2.315. л/jc2 — 12jc + 36 —
2.316. (х + 2у/2х - 4 )_1/2 + (х- 2-jlx - 4 )“1/2.
чі/г
2317.
4т2п2
п т
2 + — + —
4тл - w2 -4л2 J 1 4_
ww п2 т2
4тп
т-2п
2.318.
2.319.
Г~4 4 d-
УІх -а =
*2+*2
f?
УІХ2-а2
іх2+а2
(\х ~ 1 2 \х + 1
U*2 -2х-'- - + 2*-4
jc-1 х + \
 \х - 21
2.320. 	J(*2 3)^ + 12—+>/(х + 2)2 -8х.
2.321.
(д3/2 -ч/І) (>[а +л/2)
а + 42а +2
2.322. 	Vj'2 ~6>> + 9 -|у-9| + 2.
+ -J(a2+2)2-8a2.
[4 І ^ Iі2^ 1
2.323. 	J- + г“ 2 + V Г + + Т-
V х 4х V 4х * 2
41

2.324.
2.326.
2.327.
2.329.
2.331.
2.332.
2.333.
2.334.
2.335.
2.336.
2.337.
і:
2 + jc + jc
-і
+ x-І.
2.325.
n4 -2/i3 +4n2 +2/I-5
n4 — 3/i3 + 7/i2 -5/1
a + 2jb+- pa-10 tlia3b2 + 25 №
aSa+42ab-5a3Jb-S^
(x
-1)^
l)2 +4x
+ 1 + 2|jc|
м-чи
*2-l
2.328.
2.330.
(x2-4
2x
+ 4 +
4 4
Г^+~х-
(x + 2)t}(x + 2)2-Sx
x2 -4|jc-1|
V5x3/2 _5jcl/3 +5x4/3
yf3x + l0Sx5/6+25x2/3 і/і-2х_1
+*-2
/
M-
JC
V
/ л л \
 2jc + jc 2х-лГ
i
( 16—8jc
16+ 8* V
4 + 2x + jc 4-2jc + jc
\ /
(4-2Х + Л:2
4 + 2* + дг2 J
9 o \1/4
P*?) ~4K)+1! :
-/-3 ^ ■ ./Г ■т1азп-у1ьі + ,ії
л/Г+7-л/Г^7
J(a3+b3)2-a(4a2b3+l)
Vl + z +л/і-г a2+l
Jx3 +2x2y +-Jx4 +2yx3 ~(x3/2+x2)
^2(x + y-Jx2+2xy) -(x2/3-x5/6+x)
^а-З + ЗіУяа-УІЗа2)
2 a
I
2~2_Ів"І+Ш :^+fl2/3+3^)

2.338.
2.339.
2.340.
2.341.
2.342.
2.343.
2.344.
2.345.
2.346.
2.347.
2.348.
2349.
2.350.
fox-y-6(23y[^(4л2/3 +2^ + у213)
,Д -(2а2 +1 + а^4а2 +3)0,5 (2а2 + 3 + ауІ4а2 +3)-0'5
3(а2 +1) ’
- ^4(а -1) +,Ja + j4(a-i)
£Г-
4(а-1)
—ЩЦІ—
(2г-1) (4г3-2г2+г)_1
(2х + 5 + 4^2х +1 )~1/2 + (2х 4- 5 -4>/2х +1 )~1/2
(2х + 5+4л/2хТЇ)_І/2 -(2х + 5-4У2х"+ї)_1/2 ’
^4(х-у[у ) + ух~' фх2+6$2ух3 +1І4У2
6х2 +2 ij2yx3 -З-Jyx2-$4/
^((3/ + 7бГ^Тг1+(Зї-л/б^1ГІ) |<-l|f1/2.
$ (х2 + 4х~2 )2 - 8(х + 2х~1 )2 + 48 • (х2 - 2)“'.
\1/2
х2 + х - 2у[х + 6
x + 2<Jx+3
ijx(x 1 +4х-4) '-| 2х ,.;х>0.
рх - Ч
с-2| + 4
х-2
(х2 -4).
х4-х2УЇ + 1

2351.
2.352.
x* + х4 - 2х2 + 6
+ 2х -2.
х4 + 2х2 + З
Ух-2>/х + 3+7
1/2
1
! -(х-3)|/2 -уіЗх + х2 Wx2-9 Jx+JT-i
2.353. (За + >/ба -1 )'1/2 +(3д - -Убд -1 )"1/2.
А
2.354.
уі1 + 2Р ,
Jl + 2p-Jl-2p Ji-4p2 +2p~l
2355.
2.356.
f рГГ7—l
І Ар2 2р
\ /
I +Зщ
\у[а-іУь+2 Ja3b2
Jx + 4 Jx-4 + Jx-4jx-4
F
8 16
x *-
2.357. Довести, що коли для чисел jc, у, z, /я, я, р виконуються рівності
X у Z , /я я р _ ...
— + —+ — = 1,— + —+ —= 0, то для них виконується також і рівність
т п р х у z
х2 у2 Z2
2 + 2 + 2
W Я /7
2.358. Розкласти на множники х2 (y-z) + у2 (z - х) + z2 (х - у).
2.359. Розкласти на множники х(у2 -z2) + y(z2 -x2) + z(x2 - у2).
2.360.Середнє арифметичне двох додатних чисел а і b (а > Ь) в т
. „а т + V/я2 -1
разів більше їх середнього геометричного. Довести, що — = ,
Ь w_Vm2^l

Глава З
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Співвідношення між тригонометричними функціями
одного і того самого аргументу
(тут і далі запис п є Z означає, що п — будь-яке ціле число)
sin2 х + cos2 х = 1;
sin* п
tg* = , (2w + l), пе Z;
cosjc 2
cos* „
ctg х = , х Ф кп, п є Z;
sin*
ял ~
tgxctgx = l,х*—,пє Z;
l + tg2jc = —іг—, jc ^ —(2/і +1), п є Z;
cos * 2
2 1
1 + ctg * = —-—,ХФПП, п Є Z.
sin JC
Формули додавання
sin ( jc + j>) = sin х cos у + cos дг sin у;
sin (jc - у) = sin х cos >> - cos x sin у;
cos (x + y) = cos x cos у - sin x sin у;
cos (x - y) = cos x cos у + sin x sin у;
4 tgx + tgv n „
tg(* + jO = — —» х,у,х + уф—+кп, ne Z;
l-tg*tg^ 2
tgjc-tgv я _
tg(*->0 = T^ —,x,y,x-y*—+nn, neZ.
1 + tgjctg^ 2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
45

Формули подвійного аргументу
sin2jc = 2sinjc cosjc;
cos2jc = cos2 jc- sin2 jc = 2cos2 jc -1 = 1 - 2sin2 jc;
2tgjc
tg2jc = , jc*—+—£, ke Z, + Z.
6 1-tgV 4 2 2
Формули половинного аргументу
(для синуса і косинуса — формули зниження степеня)
. 2 х 1 — COSJC
sin — = ;
2 2
2 JC 1 + COSJC
cos — = ;
2 2
, JC sinjc . _ JC 1-COSJC _
tg— = , jc * к + 2пп, nє Z; tg— = , jc * яn,neZ.
2 1 +cosjc 2 sinjc
Формули перетворення суми в добуток
х + у х — V
sinjc + siny = 2 sin — cos —;
' 2 2
X + V JC — V
sinjc - siny = 2cos — sin —;
y 2 2
. JC + y JC-y
cosjc + cosy = 2 cos — cos —;
2 2
JC + у x — у
cosjc - cosy = -2sin —sin —;
y 2 2
sin(jc + y) K _
tg* + tgy =—і -,Х,У^7 + ЛЛ,ЛЄ Z;
cosjc cos у 2
sin(jc-y) n „
tg JC - tg у = — ,JC,y * — + ЯЛ, /І є Z
cosjc cos у 2
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
Формули перетворення добутку в суму
sin jc siny = *-(cos(jc - у) - cos(jc + у));
(3.25)

cosxcos>> = -i(cos(x - у) + cos(jc + у)); (3.26)
sinxcos>> = -^(sin(x - y) + sin(jc + y)). (3.27)
x
Співвідношення між sin JC, cos де і tg—
2
2tgf
smx = —, x *(2n + 1)я, n є Z; (3.28)
cosx = —, x *(2w + 1)я, n є Z. (3.29)
1 + tg2^
Формули зведення
Назва функції
не змінюється
Назва функції змінюється
на кофункцію
—a
n-a
n+a
п
і~а
п
—+a
2
Зя
a
2
3 n
—+a
2
sin
-sina
sina
-sina
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
cosa
-cosa
-cosa
sina
-sina
-sina
sina
tg
-tga
-tga
tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
a*^(2n + l),ne Z
а*лпу пє Z
ctg
-ctg a
-ctga
ctga
tga
-tga
tga
-tga
а*тт, пє Z
a*|-(2« + l), пє Z.
Приклад 1. Довести тотожність
tg2a+ctg2a+tg6a+ctg6a =
8 cos2 4a
sin 12a
□ Застосовуючи послідовно до лівої частини рівності формули (3.2),
(3.3), (3.1) і (3.13), знаходимо
А = tg 2a+ctg 2a+tg 6a+ctg 6a =
47

sin 2a cos2a sin 6a cos6a
— h 1 H —
cos 2a sin 2a cos 6a sin 6a
sin2 2a+cos2 2a sin2 6a+cos2 6a 1 1
sin2acos2a sin6acos6a sin2acos2a sin6acos6a
_ 2 [ 2 _ 2(sinl2a+sin4a)
sin4a sin 12a sin4asinl2a
„ . , ~ , 4sin8acos4a
Перетворивши суму синусів за формулою (3.19), отримуємо А = .
sin4asinl2a
Оскільки sin8a = 2sin4acos4a, то
. 8sin4acos24a 8cos24a e
А = = . ■
sin4asinl2a sin 12a
Приклад 2. Спростити вираз
(к аЛ . (к аЛ . а
А = cos bin bin—.
1^6 4/ [3 4 j 4
□ До добутку перших двох співмножників застосуємо формулу (3.27).
Тоді отримаємо
А = -
2
1 ( . (п аЛ .TiVot a lV a 1 a. a 1 . a
- sin 1+ sin— bin— = — cos—+ — bin—=—cos—sin—+ —sin—.
2[ [2 2) 6 j 4 2{ 2 2) 4 2 2 4 4 4
Знову використовуючи формулу (3.27), знаходимо
. \( .а . За "і 1 . а 1 . За
І = — -sin— + sin— н-—sin— =—sm—. ■
4^ 4 4J444 4
Приклад 3. Подати у вигляді добутку А = 2 cos2 За + л/з sin 6a -1.
□За формулою (3.14) маємо 2 cos2 За -1 = cos 6а. Таким чином,
А = cos6a + у/з sin6а = 2
1 < ^3 . /
—cos 6а + — sin 6а
2 2
= 2 cos
—cos 6а+sin—sin 6а І
З 3 )
Оскільки вираз у дужках — розгорнута формула (3.10) для косинуса різниці,
то y4 = 2co^-6aj.*
Приклад 4. Перевірити, що tg20° +4 sin 20° = 4з.
□ Застосувавши формули (3.2), (3.13) і (3.19), отримаємо
sin 20° + 4 sin 20° cos 20° sin 20° + 2 sin 40°
A - tg20° +4sin20°:
cos20° cos20°
48

(sin 20° + sin 40°)+sin40° _ 2 sin 30° cos 10° + sin 40° _ cos 10° + sin40°
cos20° cos20° cos20°
Замінивши за формулою зведення cos 10° на sin 80° і знову
використавши формулу (3.19), знаходимо
^ _ sin 80° + sin 40° _ 2 sin 60° cos 20° _ ^ я
cos 20° cos 20° 2
x
Приклад 5. Знайти значення tg—, якщо відомо, що sin jc - cos jc = 1,4.
□ Зручно скористатися формулами (3.28) та (3.29), враховуючи, що вони
справджуються тільки при jc * к(2п +1), л є Z. Однак у даному випадку jc не
може набувати цих значень. Справді, якби jc = 7c(2/z + 1), то sin (я(2л +1))-
х
-cos(я(2л +1)) = 0-(-1) * 1,4. Виразивши sin х і cos jc через tg—, запишемо
дану рівність у вигляді
2tgf l-tg2f
2 2. = 1,4.
l + tg2| l + tg2|
X 2
Підставивши tg—= z, отримуємо рівняння z -5z + 6 = 0, звідки
2
z\ =2, z2 =3. Отже, tg^ = 2 і tg= 3.И
Приклад 6. Спростити вираз
A = і sin2 |^2a+j- 2 (cos4 a+sin4 a)+2 (cos6 a+sin6 a).
□ За формулою зведення маємо sin2^2a + -^ j=cos2 2a.
Перетворимо cos6 a + sin6 a як суму кубів за формулою (2.13):
cos6 a + sin6 a =(cos2 a)3 +(sin2 a)3 =
= (cos2 a + sin2 a) (cos4 a + sin4 a - cos2 a sin2 a),
звідки, за формулами (3.1) і (3.13), знаходимо cos6 a + sin6 a = cos4 a +
49

-I- sin4 a - — sin2 2a. Використовуючи отримані результати, запишемо даний
4
вираз у вигляді
А = — cos2 2a - 2 (cos4 a+sin4 a) + 2 [ cos4 a+sin4 a -—sin2 2a 1
2 I 4 |
1 2 1 2
Після зведення подібних членів отримаємо А = — cos 2a—sin 2a =
2 2
= — cos4a [на підставі тотожності (3.14)]. Отже, i4 = icos4a. ■
2 2
Приклад 7. Спростивши вираз
sin8a+sin9a+sml0a+sinlla+sinl2a
А = -
cos8a+cos9a+ cos 1 Oa+cos 1 la+cos 12a
знайти його значення, якщо tg5a = cos20° cos40° cos80°.
□ Перегрупуємо доданки в чисельнику та знаменнику і скористаємося
формулами (3.19) і (3.21). Тоді отримаємо
(sin 8a + sin 12a) + (sin 9a+sin 1 la) + sin 1 Oa
A = -
(cos 8a + cos 12 a) + (cos 9a+cos 1 la) + cos 1 Oa
2sinl0acos2a+2sinl0acosa+ sin 10a _
2 cos 1 Oa cos 2 a + 2 cos 1 Oa cos a+cos 1 Oa
sinl0a(2cos2a+2cosa+l)
cos 1 Oa (2 cos 2a+2 cos a+1) і - tg2 5a
[застосовано формулу (3.15)]. Потім праву частину даної рівності tg5a =
= cos 20° cos 40° cos 80° помножимо і поділимо на sin 20°. Тричі застосувавши
формулу (3.13), знаходимо
tg5a = (sin20° cos20°)cos40°cos80° _ (sin40° cos40°)cos80° _
sin 20° 2 sin 20°
= sin80° cos80° _ sin 160° = sin (180° -20°) = sin20° = 1
4 sin 20° 8 sin 20° 8sin20° 8sin20° 8*
2-і
Таким чином, A = ■ = §- = —. ■
1 - tg 5a !_J_ 63
64
50

Приклад 8. Довести, що для будь-якої кількості к доданків і будь-якого
а*2кп (п є Z) справджуються рівності
. ка (к + 1)а
sin—cos —
cosa + cos2a + cos3a + ... + cosfca = - ; (*)
.а
sin—
2
. ка . (£ + 1)а
sin—sin- —
sina + sin2a+sin3a +... + sin&a = -—. (**)
.a
sin—
2
Ці формули зручно використовувати для перетворення суми косинусів або
синусів з великою кількістю доданків.
□ Нехай *S£(a) = cosa + cos2a + ... + cos&a. Помноживши обидві
частини цієї рівності на 2 sin у, отримаємо
a a a a a
2Sl. (a) sin — = 2 sin—cosa+2 sin—cos2a+ 2 sin—cos3a+... + 2 sin—cos&a.
2 2 2 2 2
Застосовуючи формулу (3.27), маємо
, ч . a ( . 3a . a'W . 5a . 3a ^
25t(a)sin—= sm sin— + sin sin— +
2 у 2 2 J ^ 2 2 J
( . 7<x .5аЛ ( . a(2*+l) . а(2к-\)Л
+ sm sm— I+...+I sm— --sin— - .
( 2 ( 2 2 j
Зауважимо, що перший доданок у кожній дужці взаємно знищується з
другим доданком у наступній дужці Таким чином, правою частиною остан-
... . а(2& + 1) . а „ _
ньої рівності є різниця sin — sin—. Перетворивши и за формулою
„о , ч • а ^ . ка (к + 1)а
(3.20), отримаємо 2Sk (a) sin у = 2 sm—cos—-—, звідки випливає рівність для
$к (°0> тобто формула (*).
Аналогічно доводиться справедливість рівності (**).■
Примітки. 1. Замість наведеного способу розв’язування можна
застосувати метод математичної індукції.
2. 	Запам’ятовувати отримані формули немає потреби, але показаний
тут прийом перетворення тригонометричних виразів може виявитися
ефективним під час розв’язування аналогічних задач.
51

Група А
Довести тотожності (3.001-3.062):
3.001. |1 + —ї— + tg2a|l !— + tg2a }=2tg2a.
^ cos2a Д cos2a J
3.002. |cos_12a+ctg^y+ 2a jjctg ^-aj= 1.
-H)
5.003. .«*?!=*>
3 004. tg2a+ctg3p = tg2a
ctg2a+tg3p tg3p
oc 5a
3.005. cosa+cos2a+cos6a+cos7a = 4cos — cos—cos4a.
2 2
3.006. sin9a+sinl0a+sinlla+sinl2a = 4cos— cosasin^^.
2 2
3.007. cos2a-cos3a-cos4a+cos5a = -4sin — sinacos—.
2 2
3.008. sin 4a - sin 5a - sin 6a+sin 7a = -4 sin—sin a sin
2 2
3.009. cosa+sin a+cos3a+sin3a = l4l cosasin ^ + 2a j.
3.010. tga+ctga+tg3a+ctg3a = -
sin6a
. _i _i a
3.011. sm a + tg a = ctgy.
sinf—+ 3a| . 4
. л<_ I 2 I f 5к 3a)
3.012. * — ctg I— + — L
l-sin(3a-rc) ^ 4 2/
_ „ sin2a-sin3a+sin4a
3.013. — — = tg3a.
cos2a - cos3a+cos4a
3.014. 	2 sin2 (3k - 2a) cos2 (5я + 2a) = 4 " т s*nl “ **a j.
1 1 . (5k
sin
4 4 ^ 2
52

3.015. sin2a(l + tg2atga) + ^"t"s^na = tg2a+tg2
1-sina
3.016. l-sin4a+ctg|^-2ajcos4a = 0.
(?♦!}
^ — -2alcos4a = 0.
• 6 a 6 a sin2a-4
3.017. 	sin — cos — = cosa.
2 2 4
.018. cos^^“ + 4a j+ sin(3n - 8a) - sin(4n - 12a) = 4cos2acos4asin6a.
cos|^ - 6a j+ sin (я + 4a) + sin(3n - a)
3.°19. — -r1 = tga.
sin I — + 6a 1+ cos(4a - 2n) + cos(a+In)
l + ctgf2a-y)ctg(^ + a)
3.020  . 1 —L—*-= ‘ = -^-tg2a.
ctga + tga 2
. . ( 14яї . ( 8я^л
3.021. sina+sm a+— +sm a-у H.
„ 2 2d COS2 a - cos2 В
3.022. ctg a - ctg p = r-^.
sin asin p
3.023. (cosa-cosP)2+(sina-sinP)2 = 4sin2^J.
3024 (tga+cos-1 a) (cosa-ctga) _ |
(cosa+ctg a) (tg a - cos-1 a)
sin4a cos2a (Зя
3.025.
l + cos4a l + cos2a
3.026. cos2(a-90°)+ctg2(a-270°) = —' cos2(a+180°).
sin (a+90°)
3.027. 1-t8(90‘+tt> tg(180°+«) + l
1 + ctg (360 - a) ctg (270 - a) -1
302g tg2acos-12p-tg2Pcos-12a=tg(a_p)
cos 2a + cos 2p
53

3.029.
3.030.
3.031.
3.032.
3.033.
3.034.
3.035.
3.036.
3.037.
3.038.
3.039.
3.040.
3.041.
3.042.
3.043.
3.044.
3.045.
3.046.
sin2
(cosa-cosP)2 -(sina-sinP)2 =-4sin2 ^-&cos(a+p).
sin^f—— - 2al—sin^f———2ctl=—.
I* J I* ) Л
cos4a - sin4actg 2a = cos 2a - 2 cos2 a.
. 2(9n a\ . 2(7n ol\ sin7
sin I — + — -sin + — =
[S 4) (8 4) S
cos4atg2a-sin4a=
tg a-1
in2 2a - cos - 2a jsin ^2aj=^-.
(— - alcos f— + al= —.
I3 / I3 J 4
sin2 a+cos
tg3a 1-ctg За_^
tg23a-l ctg 3a
cos 4a - sin 4actg 2a = -1.
l-cos4a 1 +cos 4a .
- + = = 2.
cos 22a-l sin 22a-l
tga-cos-1 a _i
 — = tgacos a.
cos a-ctg a
cos2(45° - a)-cos2(60° + a)-cos 75° sin (75° -2a) = sin2a.
l-2sin2 a _ 1-tga
1 + sin2a 1 + tga
sin 2a+ sin 5a - sin 3a
cosa+l-2sin2 2a
ctg2 2a-1
 — cos 8 a ctg 4a = sm 8a.
2 ctg 2a
cos4a + l 1 . .
= —sm4a.
= 2 sin a.
ctg a-tga 2

3.047. ctg(45° + 2a) = C°s4“ .
l+sm4a
(sin2 a+tg2 a +1) (cos2 a - ctg2 a +1)
3.048. = ~ 5 = = 1.
(cos a + ctg a+1) (sin a+tg a-1)
Jtea + Jctea 4
3.049.
sina+cosa
sin 2a
3.050. sin2 (45° + a) - sin2 (30° -a)-sinl5° cos(15° + 2a) = sin2a.
3.051. sin6a+cos6a+3sin2acos2a=l.
3.05Ї. «За.іЛІі,
l-3tg a
3.053. sinasin^-aj + shv
in2^-aj=sin2^.
3.054. cos2 a-sin2 2a = cos2 acos2a-2sin2 acos2 a.
3.055. -2(cos2a+cos4a+cos6a)-1 = 0.
sin a
3.056. sin2 a - sin2 p = sin (a+P) sin (a~P).
3.057. cos4 x + sin2 у + 0,25 sin2 2x -1 = sin (y + x) sin (^ - x).
ctg
3.058.
ctgf -“2a I- tga
tg(n+2a)ctg
3.059.-
[—+a I tg (2я-2а) , N , 4 , N
‘—r 2V3sinf—+a\in(— -a)=2sin|2a-—1
:tgf— + a) / \ / \ / \
 * + 2cosf“a Jcosf-j + a J= 4Ї sinf—-2a j
3.060. 	tg4a+
tg2a
1 cos2a+sin2a
cos4a cos2a-sin2a
3.061. i«^±M + M^ + 2,g2a = -4-.
tg(a + P) tg(a-p) cos2 a
3.062. 1 -—sin2 2a+cos2a = cos2 a+cos4 a.
4
55

Спростити вирази (3.063-3.113):
3.063.
3.064.
. (а - } 2« . 2«
1 — sin 3к -cos —+ sin —.
I2 J 4 4
l + sin2a
cos(2a-2rc)ctg
5n Л
a
4 J
+ cos a.
cos
3.065.
3.066.
3.067.
3.068.
3.069.
3.070.
3.071.
3.072.
3.073.
3.074.
3.075.
3.076.
3.077.
-ІМ)ИНИт-т)І
2*'i'f]Mgf~'!42*'i’f)
cos^_37cjctgf
(in aY
+ COS
I2 4J
cosa(l + cos 1 a + tga) (1-cos 1a + tga).
sin2 a(l + sin-1 a+ctg a) (l-sin_1 a + ctg a).
l-cos(8a-3rc)
tg2a-ctg2a
sin
(n aV fя a\. a
pin pin—.
1^6 2/^3 2/ 2
cos 2 x + sin 2 x tg 2 x
1 + cos 4x
4 sin
cos2 (a + 2p) + sin2 (a - 2P) -1.
sin2 (a + 2P) + sin2 (a - 2p) -1.
(cosa-cos2P)2 + (sina+sin2P)2.
(1 - cos2a)cos(45° + 2a)
2 sin2 2a-sin 4a
2
COS
56

3.078.
3.079.
3.080.
3.081.
3.082.
3.083.
3.084.
3.085.
3.086.
3.087.
3.088.
3.089.
ctg ^45° —у j+ ctg ^135° —-|j
1 + ctg 2 a ctg a
tg a + ctg a
cos та - cos na
sin na - sin ma
sin2(a - т ~tg2 tg(f+a ]°os"2 ~a)
cos 1(X + COS
tgacos_1p + tgPcos_1 a
1-sin l(— + al
I2 J
1-
tg(rc-2a)tga
(3n \
 tg
—-aj+tga
ctg2|q + yjcos2|a-|j
ctg2|a-|j-cos2|a + |j
ctg (270 ° - a) ctg 2 (360 ° - a) -1
l-tg2(a-180°) ctg (180°+ a)
cos2 (a-270°) | sin2 (a+ 270°)
sin-2(a + 90°)-1 cos"2 (a-90°)-Г
57

(1 + tg2 (a - 90°)) (sin~2 (a - 270°) -1)
J«v9v« ^ Л
(1 + ctg2 (a+270°)) cos (a+ 90 )
3.091.
3.092.
sin2|^ + a j-cos2|a-y j
3.„3.
sin a + tg a-1
,M1 cos2 (2a - 90°) + ctg2 (90° + 2a) +1
3.094. 		 : і .
sin2 (2a - 270°) + tg2 (270° + 2a) +1
3.095.
sint4a~?)
ctg^y-2aj+tg^y + 2aj
3,*.
* 2“
3.
58
2ctg(a+f}m2(a-f)
cos2 a+2 sin2 (a - я) cos2 a+4 sin a + sin2 (a+я)
-1 AQ7 r 1 .
cos (а-4я) cosa(4sina+l)
3.098. sin^2a - ^ j+ cos^2a - ^ j+ cos^^~ + 2a j.
3 099 4sin2 (a - 5я) - sin2 (2a + я)
cos2 ^2a - j- 4 + 4 sin2 a
100. sin2f— + aVsin2p-^-a\
 I 8 J I 8 /

3.101.
3.102.
3.103.
3.104.
3.105.
3.106.
3.107.
3.108.
3.109.
3.110.
3.111.
ctg (4a - я) |cos4 - 2a j- sin4- 2a j j.
cos2- 2a j- sin2 - 2a j
( a . aV ( a) (n a Y\.
cos—+ sin— I cos 2я— + cos —+ — pin a
I 2 2A I 2J I2 2))
tg^-aj(l + sin 2a)
(5n n )
cos| — - 2a
I 2
tg2a
tg4a-tg2a
sin 6a + cos(6a-K)
sin2a cos2a
1 + cos(4a - 2я) + cosl
til
sf4a +—1
I 2 J
1 + cos(4a+я) + cos|^
sin(2a + 2я) + 2sin(4a - я) + sin(6a+4я)
сов(6я - 2a) + 2 cos(4a - я) + cos(6a - 4я)
4 sin
iM
•*(т-!Нт+!І
sin(2a + p) + sin (2a - ft) - cos - 2a j
cos(2a + p) + cos(2a - P) - sin + 2a j
cos3a + cos4a + cos 5a
sin3a + sin4a+sin 5a
21
cos
(y-2aj+4cos2|y-aj-4
1 + cos(4a - я) - 8 sin2 (5я - a)
59

1 + cos a+cos 2 a + cos 3a
3.113. 		 2 *
cosa + 2cos a-1
Подати у вигляді добутку (3.114-3.147):
3.114. 	sin4a-2cos2 2a + l. 3.115. tg— + ctg— + 2.
2 2
,.,ж: ,,,, tg4a-tg6a
3.116. cos a-sm a. 3.117. —7 ~—.
ctg a-ctg a
3.118. 	l-3tg2(a + 270°). 3.119. l-3tg2(a-180°).
3.120. tg2ja-yj-ctg2|a+yj
3.121. 3sin2 (a-270°)-cos2 (a+270°).
3.122. 8т2(а + 90°)-3со82(а-90°).
3.123. sin2||}-yj-cos2|a--yj
3.124. 3-4cos2|y-aj.
3.125. 3-4sin2^-aj.
3.126. 1 + cos + 3a j- sin^y - 3a j+ctg + 3a j
3.127. 1 + cos (2a+270°) + sin (2a+450°).
3.128. l-cos(2a-270°) + sin(2a+270°).
3.129. sin^p-2aj+2sin2^2a-^ j-1.
3.130. 1 - cos (2a - it) - cos (4a+n) + cos (6a - 2 л).

3.131. l + ctg^y-4aj+sin !^у + 4(Х
. _ sina-2cos3a-sin5a
3.132. .
cosa - 2 sin 3a - cos5a
3.133. 2cos2^-^ j+VJcos^-y-aj-l.
3 134 s*n4a+S“1^(X+
cos4a+cos5a+cos6a
3.135. -cos5acos4a-cos4acos3a+2cos22acosa.
3.136. sin 1 Oasin 8a+sin 8asin 6a - sin 4asin 2a.
~ — cos7a- cos8a- cos9a+coslOa
3.137. — .
sin7a - sin8a - sin9a + sin 1 Oa
3.138. sin 5a - sin 6a-sin 7a + sin 8a.
3.139. cos 3a - cos 4a-cos 5a+cos 6a.
л _ sinl3a+sinl4a+sinl5a+sinl6a
3.140. .
cos 13a+cos 14a+cos 15a+cos 16a
3.141. sin2a + sin4a + sin6a.
3.142. sin 5a + sin 6a + sin 7a + sin 8a.
3.143. cos 5a + cos 8a + cos 9a + cos 12a.
3.144. 3 + 4cos4a+cos8a.
3.145. ^tga+ sina -^tga-sina, 0 < a< ^.
3.146. l + sin2a-cos2a-tg2a
3.147. sin2a + sin4a-sin6a.
Довести справедливість рівностей (3.148-3.152):
3.148. (sin 160° + sin 40°) (sin 140° + sin20°) +
+ (sin 50° - sin 70°) (sin 130° - sin 110° ) = 1.
3.149. cos-134° + tg”156° = ctg 28°.
. cos28°cos56° cos2°cos4° V3sin38°
3.150  . + = .
sin 2° sin 28° 4sin2° sin 28°
61

3.151. l-2sin50° =0,5cos-1160°.
3.152. (cos 70° + cos 50°) (cos 310° + cos 290°) +
+ (cos40° + cos 160°)(cos320° - cos380°) = 1.
Обчислити (3.153-3.166):
Ліс* • 2 Я 2 Зя . 2 2 771
3.153. sin — + cos — + sin — + cos —.
8 8 8 8
3.154. tg435°+tg375°.
3.155. tg255°-tgl95°.
3.156. sin
in (т~2агс‘8і)
„. 13я 5к
3.157. ctg ctg—.
5 12 512
3.158. sinl 2a+ — 1 якщо tga = —.
I 4 / 3
2
3.159. cos 2a + — L якщо ctga = —.
{ 4 J 3
5
3.160. ■ _ . Л , якщо tga = 0,2.
6 + 7sin2a
2
3.161. t~a —, якщо tga = 0,2.
3 + 4cos2a
^ ^ ^ a OL л л
3.162. sin2a, якщо sm —+cos—=1,4.
2 2
3.163. sin 2a, якщо sina-cosa= p.
3.164. 2-13cos2a + —!—, якщо ctga= .
sin 2a 5
3
3.165. l + 5sin2a , якщо tga=-2.
cos 2a
3.166. + якщо tg|^ + 2aj=
62

3.167. 	Знайти число а є | п |, якщо відомо, що tg2a = .
3.168. Довести, що коли А і В — гострі кути прямокутного трикутника,
то s\n2A + s\n2B = 4sin4sin£.
71 9
3.169. Знайти число Р (— <Р<я),якщо відомо, що tg(a+P) = —і
2 19
tga = -4.
3.170. Знайти sin4 a + cos4 а, якщо відомо, що sina- cosa= 0,5.
3.171. Дано: ctga = —, ctgp = —, 0<a<—, 0<P<—.Знайти a+p.
4 7 2 2
2 o
3.172. Знайти ctg 2a, якщо відомо, що sin(a-90°) = -— і 270° <a <360°.
3.173. Довести, що коли aip задовольняють нерівності 0<а<-—,
0<р<— і cosa = tgp = -, то а+2р = —.
2 V50 3 4
3.174. Знайти tg 2а, якщо відомо, що cos (а -90°) = 0,2 і 90° <а<180°.
3.175. Довести, що коли аір задовольняють нерівності 0<а<--,
0<Р<^ і tga = 5,ctgP = y,To а+Р = ^.
3.176. Дано: ctga = 4, ctgp = y 0<a<^, 0<Р<^. Знайти a+p.
3.177. Обчислити (1 + ctg a) (1 + ctg p), якщо a + P = —.
4
3.178. Обчислити (1 + tg a) (1 + tg P), якщо a + P = —.
4
^2i yj21
3.179. Довести, що коли sina= , sinP= і a, P — гострі кути,
7 14
то a+p=60°.
sina + tga
3.180. Показати, що вираз — невід’ємний в області визначення.
cosa + ctga
63

3.181. Вилучити а з рівностей* = tg2 а, у = sin2 а.
3.182. Довести, що cos^ - cos8 < 0.
3.183. Величини а, Р, у у зазначеному порядку утворюють арифметич-
sina-siny о
ну прогресію. Довести, що = ctgp.
cos у-cos a
3.184. Дано дріб ^ — Спростити підкореневий ви-
1 +V32cos415°-10-8^3
раз і скоротити дріб.
3.185. Виразити tg4 a + ctg4 а через m, де m = tga + ctg a.
Група Б
Довести тотожності (3.186-3.239):
3.186.
sin4 a + cos4 a -1 _ 2
sin6 a+cos6 a-1 3
^ (K \ ^ sin3a
3.187. 	4 cos —a bin —a =- .
^6 / 1^3 J sina
3.188.
sin2asin(60° - 2a) sin (60° + 2a) sin 6a
cos6a - cos7a - cos8a+cos9a 15a
3.189. 		 = ctg .
sin6a-sin7a-sin8a+sin9a 2
64

tg І — — — |(l + sin(4rc + a))cos 1a + 2cos2a
tg-cos^^-ajjcos ^-200820
3.192. / \
 '(f-f)1""
2 cos^~ -2a j- Уз sin^ ^ - 2a j
( 9n
s —
u
4l sin—
ЗЛ93. <r y=- TZ = ^*
cos[-^-2a J+2cosf^ + 2a J ^
3.194. tga + cos 1 a-1 =-
= sinf^-4
I4 2J
3.195. 1 + ctga+sin 1 a = >/2cosa
2sin-
a . (к a У
—sin
2 I4 2J
^НИН) U 2І
p^-3cos|f-2a j=4sin ^-2a у (|+taj
4 cos2 (a - jc) - 4sin2 (— -—1+ 3 cos2 f— - a )
3.198  . j Li—iL L2 l = tg4-^.
4sin2 (— +—Vcos2 (— -al
I2 2) I2 J
3.199. 1 - cos(2a -n)+cos(4a - 2n)=4 cos2acos^+a jcos^ - a j.
3.200. sin2|y -a j(tg2 a-l)ctg jsm“2^ + aj= 2.
cos4(a-n) 1 , 2
3.201. 7 т—^— = --ctg a
cos4fa-—l+sin4fa +—1-1
{ 2) { 2)
3.197. ctg2 (2a-
l+tg:
65

3.203. C°s4atg2a-sin4a =-tg22a.
cos 4actg 2a + sin 4a
3.204. ctgf4a- — 1+ = ctgf2a- — \
 B{ 2 ) cos(4a-3ic) *{ 4)
3.205. 	sin a + sin p + sin y- sin (a + p)cos у - cos (a+P)sin у =
i + |
2
. . a+p . P+y . y+a
= 4 sin——sm-—LsinJ .
3.206. = r
2sin 2a+v3sin4a-l
2cos2 2a + Уз sin4a-1 _ s*n|4a~t~ $ j
~' Иї
3.207. 3 - 4 cos (4a - Зл) - cos(5n + 8a) = 8 cos4 2a.
_ 1 + cos(2a+630°) + sin (2a+810°)
3.208. 1 - = ctga.
1 - cos(2a - 630°) + sin (2a + 630°)
3+4cos4a + cos8a 4.
3.209. — — = ctg4 2a.
3-4cos4a+cos8a
3.210. 3 + 4sin^4a+^ j+ sin^8a+^ j= 8 sin4 2a.
3.211. cos~6a-tg6a = 3tg2acos~2a + l.
3 212 1~2sin2 2a _ l + tg2a
1-sin 4a l-tg2a
3213 sin2(135°- a)-sin2(210° -a)-sinl95°cos(1650 -2a)
cos2 (225° + a) - cos2 (210° - a) + sin 15° sin (75° -2a)
_ Vctga + Vtga Л
.214. і і — ctg a L
Vctga-Vtga 1,4 )
**2 . 2q 2cos(p-a) _ sin2(a-P)
3.215. 	ctg a+ctg P ■ J +2 = —p—p-.
sinasinp sin asin P

3.216. sin2a(2cos4a + l)ctg (30°-2a)ctg(30° + 2a) = sin6actg2atg6a.
3.217. sin(rc + a)sin|^ + ajsin|^ + a j= ^-sin3a.
sin6a+sin7a+sin8a+sin9a 15a
3.218. = tg .
cos6a+cos7a+cos8a+cos9a 2
(n a . (n аЛ a
-sin tg—
U 4 J 12 4 J 8 _ tca
(in a . (a , Y a
+ sin 3it tg—
,2 4j [4 J 8
COS
3-219* —Д1 i{ =-tg-i
sin
^ l + cos(2a-27i) + cos(4a + 27c)-cos(6a-Tc)
3.220. <5 —zcosza.
cos(2n-2a) + 2cos (2a+rc)-l
3.221. ctga-tga-2tg2a-4tg4a = 8ctg8a.
3.222. ctga-tga-2tg2a = 4ctg4a.
3.223. 4cos acoscpcos(a - <p) - 2 cos2 (a - <p) - cos2(p = cos2a.
3.224. sin2 (p - cos2 (a - ф) + 2 cos acos 9cos (a - <p) = cos2 a.
3.225. cos2 <p + cos2 (a - (p) - 2cosacos9cos(a- ф) = sin2 a.
3.226. tg 6p - tg 4(3 - tg 2p = tg 6p tg 4P tg 2p.
cos
3.227. V o: = tg4a-
'Kt)
ctg ^^ + 2aj^l-cos|^ + 4a jj
ctg (— + a Y1 + cosf— + 2a | ]
3.228. ^\ ^ \^ = ctg2a.
■H
3 229 2sin24a-l
2ctg^ + 4a]cos^f -4a] '
^ . _i . sin2a-cos2a
3.230. 	tg4a-cos *4a =
sin2a+cos2a
67

б -6 5 + 3cos4a
3.231. cos a+sin a = .
8
_ 8 -8 cos2a(3 + cos4a)
3.232. cos® a-sin® a = -.
4
3.233. ctg (30° - a) ctg (150° - a)ctg(270° + a) = tg3a.
3.234. 4sin^2a - + 2a- 2a j= cos6a.
l-2cos22a
3.235. / \ / ч 1 •
2‘8(2а-^)іп2(і+2а)
3.236. 16 sin5 a - 20 sin3 a + 5 sin a = sin 5a.
3.237. tgfj + ^Vtga=—.
^4 2 j cosa
3.238. 1 + sin^a + у j jcos2a + 2 sin3acos(3rc - a) sin (a - k) = 2 sin2
3.239. (sin a-sin p) (sin a + sin p) = sin(a-p)sin(a + p).
Спростити вирази (3.240-3.284):
3.240.
5a
~2'
90° <a<135°.
^ I cos2a
3.241. J 2 2 ’
V ctg a-tg a
3.242. ^ (1-sinasinP)2 - cos2 acos2p.
3.243. (cos 8atg 4a - sin8a) (cos 8actg 4a + sin 8a).
3.244. sin2 2a + sin2 P + cos(2a + P)cos(2a - p).
sin(2a-3n) + 2cos[ — + 2a ]
3.245. r——^ —L.
2 cosj ^ - 2a 1+ Уз cos(2a - Зя)
- -cos2a-cos6a+cosl0a-cosl4a
3.246.
sin 2a+sin 6a+sin 10a+sin 14a
3.247. 	'
68
^1 -ctg^y -2a jj sin2^+2« j tg^ -2aj+cos|^4a-| j.

sin2|^ + ;c j sin
4sin(7t-2jr)sinz| — + x I sin3jccosjc + 3sinjcsin| x ——
3.248. 1 2 1 1 2
1 + cos8x cos2 4x
in^4a-y j
Ctg2(2a'f)_t6t2a+T)
4sin
3.249. 7 V z—r — 1
(l + tg2a)2 -2tg22a . , ,
3.250. 1 —~— sin4a-l.
1 + tg2 2a
3.251. Sin(8°°+4a)
4sin (20° + a) sin(70° - a)
2252 cos2 (4a - Зя) - 4 cos2 (2a - я) + 3
cos2 (4a + Зя) + 4 cos2 (2a + я) -1
cos |
3.253.
HHfH
[ +cos2a)(l + cos4a)
jsin3^+a j-4sm^^-a jeos3 j-
(1 +cos2a)(l + cos4a)
3.254. 4сої
3.255. 	cos4 2a-6cos2 2asin2 2a + sin4 2a.
3.256.
tg2
3.257.
(2“-f)+1
І" Зя a "j
(2 "2i
sin2 (a-я)-4 cos2
■(-тЬМм)'
3.258. 	cos-2 4a - tg2 (Зя + 4a) - 2 cos2 a - 7з cos^^" - 2a j.
te[f-4a}in2f^+4a)
3.259. - -
l-2cos 4a
69

3.260.
3.261.
3.262.
3.263.
3.264.
3.265.
3.266.
3.267.
3.268.
3.269.
3.270.
3.271.
4sin4|a-yj
ta4(a-y)+cos4(a+y]-1
sin(4a + —1
I 2 J
(л 3*Y
4a
I 2 J
1 + cos
(tg255° -tg555°) (tg795° + tg195°).
tg615° -tg555°
tg795° +tg735°
cos|^ 2x + ~ jsin^ - 3x j- cos(2jc - 5я) cos|^ Зх + j
sinf — -x |cos4jc + sinjtcos[ — + 4jc I
I2 / I2 J
sin(2x - я) cos(x - Зя)+sin^2x - jcos^x + у j.
sin(x + 2я) cos ^2x - ^ j+ ~ x jsin^2x - j.
Jsin-2|a-yj+cos-2ja + -yj.
sin 1
я
— a
2
+ sin
я
a—
2
j cos 1(a + —)+cosfa- — 1
I I 2J I 2J
3 cos2 (a + 270°) - sin2 (a - 270°)
3 sin2 (a - 90°) - cos2 (a + 90°) ‘
sin 2a + cos 2a - cos 6a - sin 6a
sin4a + 2sin2 2a-1
J(l-tg22a)(ctg22a-l).
70

Jtga + Jctga л тс. тс
3.272. 	т / ,0<a<— ia*-.
ytga-^/ctga 2 4
3.273. 	cos6|a-^j+sin6|a-~ j-^|sin2|a + ^j-cos2|a+^jj .
„ sin2 a sin2 В
3.274. 	-— — + K
sin(a-P) sin(p-a)
~ — /2sina-sin2a
3.275. 	J , якщо: а) 0 < a < тс; б) тс < a < 2тс.
V 2sina+sin2a
3.276. cos2 (45° + a) - cos2 (30° - a) + sin 15° sin (75° - 2a).
3.277. sin2 (135° - 2a) - sin2 (210° - 2a) - sinl95° cos(165° -4a).
3.278. J1 + Sma - Jl~ , якщо: а) 90° < a < 180°; 6) 270° < a < 360°.
VI-sina Vl + sma
3.279. fl + cos^lctg—•
I 2 J 4
^ sin24a + 4sin42a-4sin22acos22a
3.280. -
4-sin2 4a-4 sin2 2a
3.281. + 4a j- sin6^ + 2a j+ cos6^^y - 2a j.
sin 8a+sin 9a+sin 1 Oa+sin 1 la
3 282 x
cos 8a+cos 9a-I-cos 1 Oa+cos 1 la
cos8a-cos9a-cosl0a+coslla
x .
sin8a-sin9a-sinl0a+sinl la
3.283. 	cos(270° -2a)ctg(30° -2a)tg(240° -2a)(2cos4a-1).
l-cosx /1 + cos2jc
3.284. 	tg 2arctg — L —
^ sinjc JV1-
sinjc IVl-cos2x
Подати у вигляді добутку (3.285-3.331):
3.285. 	sin6a-2V3cos23a +VI.
71

1 ?
3.286. -prsin4a+l-2cos 2a.
V3
3.287. 3-4cos4a + cos8a-8cos4 2a.
3.288. tg3 jc — tg2 jc — 3 tg jc -i- 3.
3.289. tg4Jc-4tg2jc + 3.
3.290. 6sin22a-l-cos4a.
3.291. і 1 + siny -^jl-siny, якщо0° <a< 180°.
3.292. 2cos22a + 3cos4a-3.
3.293. cos2 a + cos2p-2cosacospcos(a~P).
3 294 sin(2a-P) , sinP
3.295.
cos4a cos2a
sin2 (a + p) - sin2 a - sin2 p
sin2 (a + p) - cos2 a - cos2 p
3.296. sin (a-2P)-cos a-cos 2p.
3.297. sin2(2a-p)~sin22a-sin2p.
3.298. 	2 + ctg -a ^1 + cos a^ K jcos 1^у-2я j-4cos2^
3.299. 	2- Sin8a
sin4 2a-cos4 2a
3.300. 2-tg4a-ctg4a.
*2cos22a-l . . .
3.301. r -ґ r-tg2a + cos2a-sin2a.
ctg2a+tg2a
l + tg4atg2a*
3.303. 1-sin2 a-sin2p + 2sinasinpc0s(a-p).
3.304. 1 + cos^2a - j+ sin^2a + ^ j- + 2a j.
72
I P

3.306.
VT
+ sina +
sin a
yl 1 + sina -yl 1-si:
sin a
, якщо: а)0° < a < 90°; 6)90° < a < 180°.
3.307.
2sin22a + ->/3sin4a-4tg2a(1 У2”;}.
sin8a(l + tg2 2a)2
3.308. cos (a-2(3)-cos
H
-cos (2(3-я).
3.309.
3.310.
3.311.
3.312.
3.313.
3.314.
3.315.
3.316.
3.317.
3.318.
3.319.
1 - cos (я - 8a) - cos (л + 4a).
cos 2a - sin4a - cos 6a.
sin3f— + al+ cos3f— + al- cosf a - — 1+ sinf— + a\
 I2 J U J I 2J I2 J
2 cos2 2a + л/з sin 4a -1.
iinpy-2aj+2sin2 ^2a-y j-
1 -h sinf 2a+ — -sinf 4a-— |+sin[ 6a-
l 2J I 2J I
cos2a - sin4a - cos6a
cos2a+sin4a - cos6a
cos 2a+sin4a - cos 6a.
sin
cos
f — - 2al- sin2f — + 2a\
 I4 J I4 ;
fa+—1-cosf—-al
( 2 і 12 1
3jO . (5n V
— + sin a
2 J I2 J
sin 'l a+
3tg (a+37t)-l
l-3tg2
V
sin 2a + cos 2a - cos 6a - sin 6a.
5я Y
a +—
2 J

3320. 1 2?fn- P- tga+sin|^ + a)-cosf^-^\
 2tgf-^ + alcos2f^ + a) I J I /
3321. cos2^y + aj-sin2p|^ + aj.
„ 2f9n ) . ( ln\
 2cos a sin a +— . 4
3322. Li 1 L iJctgf^-a]
l + cos|Y + 2aJ sin|a + ^J ' J
3323. sinasin2 (a-270°)(l + tg2 a) + cosacos2 (a + 270°)(1 + ctg2 a).
3324. sin2a+cos4a-sin6a.
3.325. cos22a-3sin22a.
- 2«a .2 «a
3326. cos sm .
2 2
3327. l + tg^2a-|j+cos“'^2a+Yj.
( 3n\ „ (Un }
cos a+— +2cos a
3328. L ?..) 1 6 J.
2sin| — + a |+ VJsinj ~Y~a J
3329. cos2^-2aj-cos2^ + 2aj
/ N\2
till
3330. 	sina-
cosa-sma
3331. tg210° +ctg210° +tg220° + ctg220°.
Довести справедливість рівностей (3.332-3.354):
_ sin24°cos6°-sin6°sin66° ,
3332. = -1.
sin21° cos39° -sin39° cos21°
74

3333.
3.334.
3.335.
3.336.
3.337.
3338.
3339.
3340.
3341.
3342.
3343.
3344.
3.345.
3.346.
3347.
3348.
3349.
sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100° _ ^
sin21°cos9° + sin 159° cos 99°
cos 63° cos 3° - cos 87° cos 27°
= -tg24°.
= -1.
= 1.
cosl32°cos72° -cos42°cosl8
cos 64° cos4° - cos 86° cos 26°
cos71°cos41° -cos49° cos 19°
cos 66° cos 6° + cos 84° cos 24°
cos 65° cos 5° + cos 85° cos 25°
sin2 70° sin2 50° sin210° = —.
64
ч • t -o S — >/2 o ^6 + V2
a)sinl5 = ;6)cosl5 = .
4 4
\ -ч . 1Do УІ5 — 1
a)cos36 = ;6)sinl8 =——.
4 4
ctgl0° ctg50° ctg70° = ctg30°.
sin 200 sin 400 sin 600 sin 800 _
sin 100 sin 300 sin 500 sin 700
sinl0°sin30osin50osin70o =—.
16
sin 20° sin40° sin 60° sin80° = —.
16
. Зя .я 1
sin sin— = —.
10 10 2
я 2я 4я 6я 1
cos— + cos— + cos— + cos— = —.
5 5 5 5 2
ctg 60° +tg60° + ctg 50° + tg50° =-^=-cos20°.
v3
4я 2я я ,
8cos—cos—cos— = 1.
9 9 9
tg 90 + tg 150 - tg 270 - ctg 270 + ctg 90 + ctg 150 = 8.
( Зя^ (я a\
 a tg - + —
і 2 Г і 4 2 J
( 5n\
 a
I 2 J
sin
1 + cos
75

3.350. cos70° + 8cos20° cos40° cos80° = 2 cos2 35°.
і (Зя o ^ • 2 3a 2 3a _ nr 3a . (3a я
3.351. 1-cos 3a -sm— + cos — = 2v2cos—sin — + —
^ 2 ) 2 2 2^24
cosf 2a - — 1+ sin(3?c - 4a) - cosf — + 6a |
3J52. J U Li ‘ = cos2a.
4 sin (5я - 3a) cos (a - 2я)
і Уз ,
3353. ^ - = 4.
sin 10° cos 10°
3.354. cos36° - sin 18° = sin30°.
Обчислити (3.355-3.367):
~ ~. 4 я 4 Зя . 4 5я 4 7я
3355. sin —+ cos —-f sm — + cos—.
8 8 8 8
3356. sin20ocos50osin60ocosl0°.
- * Зя 6я
3357. cos—cos—.
5 5
„ cos68° cos8° - cos82° cos22°
3.358. .
cos53° cos23° - cos67° cos37°
cos 70° cos 10° + cos 80° cos20°
3359.
cos69°cos9° + cos81°cos21°
cos67 cos7 -cos83 cos23 ,,.0
3.360. tg 164 .
cosl28°cos68° -cos38°cos22°
„ _ sin22° cos8° + cos 158° cos98°
3361.
sin 23° cos 7° + cos 157° cos 97°
6 sin a - 7 cos a+1 a .
3362  . , якщо tg —= 4.
8sina+9cosa-l 2
3363. tg^-^ + x j+tg^-^-x j, якщо tg^^" + * j=
„ . a + B. a + B . Q 21 Q
3364. sin 1 cos якщо sina + sinp = ; cosa + cosp = -
2 2 65
5я _ . я 0 Л
— <а<3я і —<В<0.
2 2 к
76

3366. sin3 a-cos3 а, якщо sin а -cosa = rt.
2 sin 2а-3 cos 2а
3367  . , якщо tga = 3.
4 sin 2а+ 5 cos 2а 6
Знаючи, що А, В і С — внутрішні кути трикутника, довести
справедливість рівностей (3.368-3.374):
ABC
3368. sin^ + sinB + sinC = 4cos—cos—cos—.
2 2 2
sin^ + sini? + sinC A В
3369. —;———— = ctg—ctg—.
sin^ + smtf-sinC 2 2
3370. sin 2 A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin В sin C.
3J71. —SmC =tgA + tgB.
cosAcosB
ЗА З В З C
3372. sin3^4 + sin32? + sin3C = -4cos—cos—cos—.
2 2 2
3373. sin 4 A + sin4B + sin4C = -4 sin 2 A sin 2В sin 2C.
3J74. tg|tg| + tg|tg| + ,g|tg| = l.
x 1
3.375. Знайти tg—, якщо відомо, що sin* + cos* = j.
l-2sin2 —
a ?
3.376. Знаючи, що tg — = m, знайти —.
2 1 + sina
* r, ~ l + cos2a
3.377. Знаити значення виразу , якщо відомо,
a a
Ctgy-tgy
що sin a + cos a = m.
3378. Дано: S*n(a+P) - —. Вважаючи a,piq відомими,знайти ctg p.
sin(a-p) q
3379. Знаючи, що sin a + cos a = m, знайти sin6 a + cos6 a.
3380. Відомо, що tga = —. Знайти sin2a, cos2a, tg2a.

2
3.381. Знайти cos2a, якщо відомо, що 2ctg a + 7ctga + 3 = 0і число a
. ч Зл 7я 7я
задовольняє нерівності: а) — <а< —; б) —- < а <2я.
2 4 4
3.382. Знайти sin2a, якщо відомо, що 2 tg2 a - 7 tga + 3 = 0 і число а задо-
. ч 5я 5я Зя
вольняє нерівності: а) я < a < —; б) — <а< —.
4 4 2
„ „ cos(a+B) р „ . . п
3383. Дано: т- = —. Вважаючи а, р і а відомими, знаити tg р.
cos(a-p) q
l-2sin2^a--^- j+Уз cos^2a + ^ j
ІН
3.384. Довести, що вираз * -г£ * 1 не зале-
sin І
кп к
жить від а, де а ф — + —.
2 12
а В у а В у
3.385. Довести, що tgy + tg- + tg- = tg—tg-^-tg—,якщоа+Р + у = 2я.
3386. Довести, що вираз tg^2a-^ jsin^4a + y j+cos^4a + ^ j не
залежить від а, якщо а Ф —(4л + 3).
8
1 - cos4
( Зя"\ . 4( Зл^
a -sin a +—
1 2 J , 2 J
3.387. Довести, що вираз * не залежить
sin a + cos a -1
7Ш
від а, якщо a*—.
2
3.388. Довести, що вираз sin(250° + a)cos(200° -a)-cos240° x
x cos(220° -2a) не залежить від a.
3.389. Довести, що вираз cos2 a + cos2 (p + cos2 (a + <p)- 2cos ax
xcos<pcos(a + <p) не залежить ні від а, ні від ф.
3.390. Вивести формулу cos^ + l)a = 2cosaa^a-cos^-l)a, де л —
будь-яке дійсне число, та за її допомогою подати cos За і cos 4а у вигляді
многочленів від cosa.
За
cos-
3391. 	J
.Довести,що 4sinf30° + — \іп(з0°- —1= -
{ 2/ I 2J cos“
78

3392. Дано: sina + sinp = 2sin(a + p); a + P*2nn (лєZ).Знайти tg—tg—.
2 2
3393. Показати, що коли p стале, то функція /(a) = —-C0S~fe +
cosa
psin3a+sin3a
+ — також є сталою.
sina
3394. Дано функцію /(jc) = cos4 x + sin4 x. Знайти /(a), якщо відомо,
що sin2a = —.
З
3.395. Довести, що коли а+р = 60° (а> 0,Р> 0), то tgatgP<
Група В
Довести тотожності (3.396-3.409):
3-4cos2a+cos4a А а
3396. = tg*a.
3+4cos2a+cos4a 6
3397. ctg (270° - 2a) + ctg (210° - 2a) + ctg (150° -2a) = 3tg6a.
3398. ctg^ + a j^l + cos^2a- -- jjcos”12a+2cos(4a- 2it) = “r~-
3399. 8cos4 a - 4 cos3 a - 8 cos2 a+3 cos a+1 = -2 sin—sin—.
2 2
3.400. 	cos (a+P) cos у+cos a + cos P + cos у - sin (a+p) sin у =
i+p P
—~ cos-
2 2
. a+P p+y y+a
= 4cos -■cos-—- cos- .
3.401. cos^^" “ 6a jsin3(7t - 2a) - cos(6a- K)sin3^y - 2a j= cos3 4a.
3.402. 8cos4 a+4cos3a-8cos2 a-3cosa+1 = 2cos—cos—.
2 2
3.403. sin2 a + sin2 P-2sinasinpcos (a-p) = sin2 (a-P).
8cos4a-4cos3a-8cos2a+3cosa+l _ 7a_ a
79
3.404. = — tg — tg—.
8cos4a+4cos3a-8cos2a-3cosa+l 2 2

3405 sing+sinp + sin у - sin(a+ P + Y) _t «+Р{ P + Y^Y+<*
cosa+cosP + cos y+ cos(a + P + Y) 2 2 2
3.406. ctg a - tga - 2 tg 2a - 4 tg4a -... - 2" tg 2" a = 2n+1 ctg 2"+1 a, n —
будь-яке натуральне число або 0.
3.407. cosa+cos3a + cos5a +... + cos(2n - l)a = , n — кількість
2 sin a
доданків.
„ 2 2 ^ 2 cos(/i + l) a-sin/ia n
3.408. cos a+cos 2a+... + cos па 1—, /і — кількість
2sina 2
доданків.
^ . 2 -2-, -2 я cos(w + l)a-sin/ia
3.409. sin a + sin 2a+... + sm n a = , n — кількість
2 2sina
доданків.
Спростити вирази (3.410-3.412):
3.410. sin32acos6a + cos32asin6a.
3.411. 3sinacos3a+9sinacosa-sin3acos3a-3sin3acosa.
3.412. 4 (sin4 x + cos4 jc) - 4 (sin6 jc + cos6 jc) -1.
Подати у вигляді добутку (3.413-3.415):
3.413. sin3 acos3a + cos3asin3a.
^ „ л if l-cos2a l + cos2a>\ _ . . .
3.414. — — + —35 H-ctg2a+cos2a+sin2a.
2^cos a-1 sin a-1 J
3.415. cos22a+3cos 18a + 3 cos 14a+cos 10a.
Довести справедливість рівностей (3.416-3.440):
n 2n 4л 8к 16к 1
3.416. cos—cos—cos—cos—cos = —.
33 33 33 33 33 32
1 .4n . 6n 1 . 8я о . з2к 2 я
3.417. 3sin— + sin sin sin— = 8 sin —cos —.
17 17 17 2 17 17 17
1illo 2k 4n 8 n I6n 32 к l
3.418. cos—cos—cos—cos cos =—.
ЗІ ЗІ ЗІ ЗІ 31 32
3.419. tg20°cos'120°tg40°cos"140° tg60°cos"160° tg80°cos"180° = 48.
3.420. sinlO0 sin20° sin30° sin40°sin50°sin60°sin70° sin80° =
256
80

я 2я Зя 12л 13л 14л 1
3.421. cos—cos—cos—...cos cos cos = ——.
15 15 15 15 15 15 2
л. 2л Зл 4л 5л 6л^ 7л 1
3.422. cos — cos—cos — cos—cos — cos —*tos — = —-.
15 15 15 15 15 15 15 27
3.423. sin 10° + sin 20° + sin 30° + sin 40° + sin 50° =0,5sin 25° sin-15°
3.424. ctg 80° ctg 70° + ctg 70° ctg 30° + ctg 30° ctg 80° = 1.
3.425. ctg 70° + 4 cos 70° = Уз.
3.426. tg 9° - tg 27° - ctg 27° + ctg 9° = tg 15° + ctg 15°.
3.427. cos50° + 8cos200°cos220°cos80° =2sin2 65°.
3.428. sin 18° sin 54° =0,25.
3.429. sin2 ^arctg3 - arcctg
-;)H
3.430. sin2 ^arcctgі - arcctg^-^jj=^.
3.431. sin ^2 arctg ^ j+ tg ^ arcsin j= j..
3.432. sin I 2 arctg — ]— tgf—arcsin — |= -.
I 2J V l7J5
3.433. cos(2arctg2) - sin(4arctg3) =0,36.
36 15 я .4
3.434. arccos arccos — = — arcsin —.
85 17 2 5
я 36 15 ( 3
3.435. — + arccos — = arccos — + arccos —
2 85 17 { 5
3.436. cos (2 arcctg 7) = sin (4 arcctg 3).
11л 2я 1
3.437. cos cos—=—.
5 5 2
3.438. sin840sin240sin480sinl2° = —.
16
3.439. tg830° +tg770° + tg740° =tg470°tg410°tg380°.
81

3.440. 	tgl2°tg24° + tg24°tg54° + tg54°tgl2° =1.
Обчислити (3.441-3.462):
„ _ , fllit 1 2b\ (\\n 1 2ЬЛ
3.441. ctg + —arccos — + ctg arccos — L
^42 a J ^42 a )
ллл* А1* Л la\ * (I* 1 2a ^
3.442. tgl — + —arccos— 1+ tgl — -—arccos— L
3.443. 	ctg—-2sin2
6 4
5n 1 . 2S-1
— +—arcsin
2 2 3
\ /
бГЗтс 1 . 3) 6(5n 1 . 4Л
3.444. cos arcsin- -cos — +—arcsm— L
^ 2 2 5 J (22 5/
1 4(5k 1 4 ^
3.445. ~ ~cos у +-arccosjL
1 4(Зк 1 . 3\
 3.446. —cos arcsm- L
4 ^ 2 2 5)
3.447. arccos (cos (2 arcctg (Jl -1))).
3.448. arcsin (cos (2 arcctg (V2 -1))).
3.449. tg
бГ5тс 1 . 3"\ 6(ік 1 . 4)
3.450. cos — + -arcsin- н-cos arcsin— L
^ 2 2 5) { 2 2 5)
3.451. cos260° sinl30°cosl60°.
3.452.
3.453. ctg^^ + ^arccos^-y jj.
3.454. sin2^arcctgi-arctg^-ijj.
1 a
arccos-7 m 1 + arccos 71 L де a < 0.
1 + a VI + a*
82

3.455. tg
2 arccos —Д=■ - arcsin — I.
л/26 13
3.456. sin2 (0,5 arcsin0,8 - 2 arctg (-2)).
3.457. ctg (0,5 arccos 0,6 - 2 arcctg (-0,5)) .
3.458. tg (0,5arccos 0,6-3arcctg (-2)).
3.459. cos (0,5arcsin 0,8 - 2 arcctg (-0,5)).
3.460. cos (0,5arccos 0,6 - 2 arctg (-2)).
(5к \ Ь\ (5к I b\
 3.461. tg — + —arccos — f+tg arccos — .
^42 a J ^42 a J
3.462. tg (0,5 arccos 0,6 - 2 arctg (-2)).
, n, - * 1 + 2>/2
3.463. Знаити ctg—, якщо відомо, що sin jc - cosjc =—-—.
1 1 3
3.464. Довести, що коли sina = -,sinB = —т=, sinY = -?= (а,В і у —
З к Зл/ЇТ УП
гострі додатні кути), то a + р + у = 90°.
7 К
3.465. Знаючи, що tga = т, знайти значення виразу sin (— + a)-
4
- sin2 і— - а1- cos—sinf — - 2a \
 U J 12 I12 /
3.466. Відомо, що cos2a = w. Знайти sin6 a + cos6 a.
Q O
3.467. Знайти cos a-sin a, якщо відомо, що cos 2a = m.
- 0 n M sin4a + sin 10a-sin6a
3.468. Знаити значення виразу ,якщо відомо, що
cos2a + l-2sin 4a
sina - cosa = m.
3.469. Знаючи, що cos
Зя ^ 4 .
г = — і
2) 5
я . jc 5jc
і що 0 < jc < —, знаити sin—cos—.
2 2 2
3.470. Нехай А, В і C — внутрішні кути трикутника. Довести, що
sin2 А + sin2 В + sin2 С - 2 cos A cos В cos С = 2.
3.471. Довести, що коли cos2a = cos2pcos2y, то
1 + ctg (a+Р) ctg (a - р) = sin-2 у
3.472. Нехай А, В і С — внутрішні кути трикутника. Довести, що
sin (2л +1 )А + sin (2л +1 )В + sin (2л + 1)С =
83

де п — ціле число.
3.473. Нехай А, В і С—внутрішні кути трикутника. Довести, що
sin 2 пА + sin 2 пВ + sin 2 пС = (-1 )Л+14 sin пА sin пВ sin пС,
де п — ціле число.
3.474. Довести, що рівність (sincp)* +(coscp)* = 1 виконується для всіх
<рє |о,у ^оді і тільки тоді, коли х — 2.
3.475. Довести, що вираз 4cosacos<pcos(a-(p) + 2sin2(a-<p)-cos2<p
не залежить від ф.
3.476. Знайти найбільше значення виразу
. 2(15к . 2(\1к л Л я
sm І——4а І—sin І ——4а І, якщо0<а<—.
3.477. Знайти найменше значення виразу
ctg 2a -tg 2a A n
- ——-, якщо 0 < a < —.
/ ч5 ЛАІЦи V N VA X ,
l + sinf—-8al ^
12 J
3.478. Довести твердження: для того щоб у трикутнику ABC один із кутів
дорівнював 60°, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність
sin ЗА + sin ЗВ + sin ЗС = 0.
3.479. Довести твердження: для того щоб у трикутнику ABC один із кутів
дорівнював 36° або 108°, достатньо, щоб виконувалася рівність sin 5^ + sin 55 + sin5C = 0.
3.480. Довести твердження: для того щоб у трикутнику ABC один із кутів
дорівнював 36° або 108°, необхідно, щоб виконувалася рівність sin 5 А + sin SB + sin 5С = 0.
„ ^ ^ „ ctg a - tg а л it
3.481. Знаити найменше значення виразу , якщо 0 < a < —.
l + cos4a 4
l + cos2a п
3.482. Знайти найбільше значення виразу — якщо 0<а<—.
ctgy-tg-
3.483. Довести, що коли tgatgP = l, то sin2a = sin2P і cos2a = -cos2p.
3.484. 	Знаючи, що ctgl — -х |=— і 0 < д: < —, знайти cos—cos—.
1 ^ 1 3 2 2 2
84

3.485. Знайти найбільше значення виразу —т— т—, якщо 0 < а < —.
sin6 а + cos6 а 2
3.486. Знайти найбільше значення виразу —-—! —, якщоО<а<—.
sin а + cos а 2
3.487. Знаючи, що sin І --х 1= —, знайти sin—sin—.
1 ~ 1 - 2 2
(5п ) З
і х = :
I2 J 5
3.488. Довести, що коли для деяких чисел а, р і у виконується рівність
(1 - sin а) (1 - sinP) (1 - sin у) = (1 + sin а) (1 + sin Р) (1 + sin у), то кожна з частин цієї
рівності дорівнює |cosacospcosy|.
3.489. Довести, що для чисел (р, які задовольняють нерівність 0<<р<—,
4
, А A 2 з V2coscp
виконується рівність 1 - tgф + tg ф - tg ф + ... = т З-тг.
2sin^ + «pj
6 6 тс
3.490. Знайти найменше значення виразу sin a + cos а, якщо 0 < a < —.
3.491. Знайти найменше значення виразу sin4 a + cos4 а, якщо 0<a<^.
3.492. Показати, що коли а стала, то функція / (*) = cos2 х + cos2 (а + х) -
-2cosacosjccos(a + jc) також є сталою.
3.493. Знайти суму l + cos4a + cos8a + ... + cos4wa.
3.494. Показати, що коли jc = tg5°, у - tg20° і z - tg65°, то xy + yz + zx = l.
3.495. Довести, що tg 142°30' + 4б + Уз - Jl є цілим числом.
3.496. Нехай А 9 В, С—кути трикутника. Довести, що
о . А . В . С t
8sin— sin—sin— <1.
2 2 2
3.497. Показати, що коли arctgjc -l- arctg>> + arctgz = тс,то x + y + z = xyz.
3.498. Показати, що коли arctgx + arctgz + arctgz = ^,to xy + yz + zx = 1.
3.499. Нехай A, В, C— кути трикутника. Довести, що
8 cos A cos В cos С <1.
3.500. Нехай А, В, С — кути трикутника. Використовуючи нерівність
cosj4cosZ?cosC< -, довести, що sin2 А + sin2 В + sin2 С < —.
8 4
85

Глава 4
ПРОГРЕСІЇ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1 °. Арифметична прогресія (а, — перший член; d—різниця; п — кількість
членів; ап — п-й член; Sn — сума п перших членів):
ап= a, + </(«-!); (4.1)
о ...
sn ~—I
(4.2)
_2ax+d(ji-\)
*/і — 2 ’ ^4-3^
ак = в*7-1 * Д*+1 ,к = 2, 3,..., п -1; (4.4)
ak+am=ap+aq,o.ek + m = p + q. (4.5)
2°. Геометрична прогресія (Ь}— перший член; q — знаменник (q *
*0); п — кількість членів; Ьп — л-й член фп * 0); Sn — сума п перших членів):
bn=bxqnA\ (4.6)
frO-g") ( 1); (47)
1 -q
S„ = nbx (q = 1); (4.8)
bk = bk_xbk+x,k = 2,3,...,n-l; (4.9)
KK=bpbq, де k + m = p + q. (4.10)
Якщо |g|<l, то при необмеженому збільшенні и(л-*°°) сума Sn
Jl.
прямує до числа j _ » яке називають сумою нескінченної геометричної
прогресії і позначають буквою S:
S = -T~- (4.11)
1 -q
86

Приклад 1. Сума трьох перших членів зростаючої арифметичної
прогресії дорівнює 21. Якщо від перших двох членів цієї прогресії відняти по 1, а
до третього додати 2, то отримані три числа утворять геометричну прогресію.
Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії.
□ Нехай ах — перший член арифметичної прогресії, a d—її різниця. Тоді за
формулою (4.3) маємо S3 = — • 3 = 21, або ai+d = l. За умовою,
ах -1, ах + d -1, Д| + 2d + 2 — три послідовних члени геометричної прогресії.
Застосовуючи формулу (4.9), отримуємо:
(al+d-l)2=(al+2d + 2)(ai-l),
звідки після заміни ах = 7 - d і розкриття дужок приходимо до квадратного
рівняння d2 + 3^-18 = 0, тобто dx =3, d2 =-6. Умову задовольняє тільки
dx = 3; тоді ах = 4. Далі знаходимо ^ = ах -1 = 3, b2 = ах + d -1 = 6 і, таким
чином, q = 2. Нарешті, за формулою (4.7) отримуємо
W-l) = 3(2l-l)=765 и
8 q-1 2-1
Приклад 2. Знайти суму шести перших членів арифметичної прогресії,
сума будь-якої кількості членів якої дорівнює почетвереному квадрату цього
числа.
□ Використовуючи умову та формулу (4.3), маємо
+^'П—= а^° 2аі =
Остання рівність виконується при даних avd і при будь-яких значеннях л, а
це можливо тільки тоді, коли d - 8. Отже, ах = 4, звідки знаходимо
2a{+5d 6 = ш ш
2
Приклад 3. Відомо, що при будь-якому п сума п перших членів деякої
числової послідовності {ип} виражається формулою Sn = п2 + 2п. Знайти дев’ятий член
цієї послідовності та довести, що {ип} є арифметичною прогресією.
□ Позначимо л-й член послідовності через ип. Тоді Sn = их + и2 + ...+
+ Un* + 1 = + Un + 1» а^° Un + \ = Sn + і - Sn- Звідси U9 = S9 - =
2 2
= 9 +18-8 -16=19. Далі розглянемо різницю двох будь-яких сусідніх членів
послідовності:
ип+\ ~ип~№,+і — Sn) — (Sn — Sn_\) =
= (л + 1)2 + 2(л + 1)-2л2 -4л + (л-1)2 + 2(л-1) = 2.
Це означає, що {мп} є арифметичною прогресією з різницею
d = 2.Ш
87

Приклад 4. Розв’язати рівняння 1 + 2х + 4х2 +... + (2х)п +... = 3,4 - 1,2jc, якщо
відомо, що \х\ < 0,5.
□ Ліва частина рівняння є сумою нескінченної геометричної прогресії,
причому Ьх = 1 і \q\ = |2jc| < 1, бо \х\ < 0,5. За формулою (4.11) маємо
1 + 2х + 4х2 +... = —= 3,4 - 1,2х; (3,4- 1,2х)(1 - 2х) = 1;
1 — 2лг 1 — 2jc
2,4х2 - 8х + 2,4 = 0; Зх2 - ІОх + 3 = 0,
звідси jcj = 3, х2 = - j. Умову задовольняє тільки корінь х = -j. ■
Група А
4.001. За установку найнижчого залізобетонного кільця колодязя
заплатили 2600 грн, а за кожне наступне кільце платили на 200 грн менше,
ніж за попереднє. Крім того, після закінчення роботи було сплачено ще
4
4000 грн. Середня вартість установки одного кільця дорівнює 2244— грн.
Скільки кілець було встановлено?
4.002. Сума першого і п’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює ^, а
добуток третього і четвертого її членів дорівнює Знайти суму 17 перших
членів прогресії.
4.003. У змаганні зі стрільби за кожен промах у серії з 25 пострілів стрілець
одержував штрафні очки: за перший промах — одне штрафне очко, а за кожен
наступний — на 0,5 очка більше, ніж за попередній. Скільки разів влучив у
ціль стрілець, який одержав 7 штрафних очків?
4.004. Знайти три перших члени alt а2, Д3 арифметичної прогресії, якщо
відомо, що а1 + а3 + а5 = - 12 і а1а3а5 = 80.
4.005. Знайти кількість членів арифметичної прогресії, сума всіх членів якої
дорівнює 112, добуток другого члена та різниці прогресії дорівнює 30, а сума
третього і п’ятого членів дорівнює 32. Написати три перших члени прогресії.
4.006. Турист, піднімаючись на гору, за першу годину досяг висоти 800 м, а за
кожну наступну годину піднімався на висоту, яка на 25 м менша, ніж попередня.
За скільки годин він досягне висоти 5700 м?
4.007. При діленні дев’ятого члена арифметичної прогресії на другий член у
частці виходить 5, а при діленні тринадцятого члена на шостий член у частці
виходить 2 і в остачі 5. Знайти перший член і різницю прогресії.
88

4.008. Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, сума
крайніх членів якої дорівнює - 49, а сума середніх членів дорівнює 14.
4.009. Знайти третій член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником
|^| < 1, сума якої дорівнює 1,6, а другий член дорівнює - 0,5.
4.010. Знайти три перших члени нескінченної геометричної прогресії
зі знаменником |^|<1, сума якої дорівнює 6, а сума п’яти перших членів
93
дорівнює —.
4.011. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює
14
2, а сума квадратів цих чисел дорівнює —. Знайти ці числа.
4.012. Сума третього і дев’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 8.
Знайти суму 11 перших членів прогресії.
4.013. Сума трьох перших членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює
15. Якщо від перших двох членів цієї прогресії відняти по 1, а до третього додати
1, то здобуті три числа утворять геометричну прогресію. Знайти суму 10 перших
членів арифметичної прогресії.
4.014. Відомо, що при будь-якому п сума Sn членів
арифметичної прогресії виражається формулою Sn = 4п2 - 3п. Знайти три перших
члени прогресії.
4.015. Обчислити
(1 + З2 + 52 +... + (2 л -1)2 +... +1992) - (22 + 42 + б2 +... + (2и)2 +... + 2002).
4.016. Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, другий
член якої менший від першого на 35, а третій більший від четвертого на 560.
4.017. Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, третій
член якої більший від першого на 9, а другий більший від четвертого на 18.
4.018. Знаменник геометричної прогресії дорівнює -j, четвертий член
.... 1 121 0 w
цієї прогресії дорівнює —, а сума всіх и членів дорівнює Знаити
кількість членів прогресії.
4.019. Знайти перший член і знаменник геометричної прогресії, якщо
, , 45 . . . 45
Відомо, що Ь4-Ь2 = 1 ь6 -Ь4 =
4.020. Знайти перший і п’ятий члени геометричної прогресії, якщо відомо,
Що її знаменник дорівнює 3, а сума шести перших членів дорівнює 1820.
4.021. Арифметична прогресія має таку властивість: при будь-якому п сума її
п перших членів дорівнює 5л2. Знайти різницю прогресії і три перших
її члени.
89

4.022. Добуток трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює
1728, а їх сума дорівнює 63. Знайти перший член і знаменник прогресії.
4.023. Розв’язати рівняння:
13
а) 	2х + \ + х2 -х3 +х4 -х5 + ... = —, де |х| < 1;
6
1 7
б) К.Х + х2 + ... +лгл + ... = —, де ІХІ < 1.
х 2 1 1
4.024. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 429, різниця її
дорівнює - 22. Скільки членів цієї прогресії треба взяти, щоб їх сума
дорівнювала 3069?
4.025. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником |^| < 1
дорівнює 16, а сума квадратів членів цієї прогресії дорівнює 153,6. Знайти
четвертий член і знаменник прогресії.
4.026. Знайти натуральні числа, що утворюють арифметичну прогресію, якщо
добутки трьох і чотирьох перших її членів дорівнюють відповідно
6 і 24.
4.027. Сума третього і дев’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 6, а
їх добуток дорівнює Знайти суму 15 перших членів прогресії.
16
4.028. Знайти кількість членів скінченної геометричної прогресії, перший,
другий і останній члени якої відповідно дорівнюють 3, 12 і 3072.
4.029. Знайти суму всіх додатних парних двоцифрових чисел, що діляться на З
без остачі.
4.030. Знайти знаменник q нескінченної геометричної прогресії (|^| < 1),
кожний член якої в 4 рази більший від суми всіх її наступних членів.
4.031. Відомо, що внутрішні кути опуклого многокутника, найменший кут
якого дорівнює 120°, утворюють арифметичну прогресію з різницею 5°.
Визначити кількість сторін цього многокутника.
4.032. Добуток третього і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює
406. При діленні дев’ятого члена цієї прогресії на її четвертий член
у частці виходить 2, а в остачі 6. Знайти перший член і різницю прогресії.
4.033. У нескінченній геометричній прогресії з додатними членами і
знаменником \q\< 1 сума трьох перших членів дорівнює 10,5, а сума
прогресії дорівнює 12. Знайти прогресію.
4.034. Знайти три перших члени арифметичної прогресії, сума будь-
якої кількості членів якої дорівнює потроєному квадрату цього числа.
4.035. При діленні тринадцятого члена арифметичної прогресії на
третій член у частці виходить 3, а при діленні вісімнадцятого члена на сьомий
член у частці отримуємо 2 і в остачі 8. Визначити різницю і перший член
прогресії.
90

Група Б
4.036. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 21, а
сума їх квадратів дорівнює 189. Знайти перший член і знаменник прогресії.
4.037. Довести, що будь-який член арифметичної прогресії, починаючи
з Другого, є середнім арифметичним між будь-якими двома членами, рівно-
віддаленими від нього.
4.038. Відомо, що арифметичній прогресії належать члени а2п і
а2 п
а2т такі, що = -1. Чи існує член цієї прогресії, що дорівнює нулю? Якщо
існує, то який номер цього члена?
4.039. Дано дві арифметичні прогресії. Перший і п’ятий члени першої
прогресії дорівнюють відповідно 7 і - 5. У другої прогресії перший член
дорівнює нулю, а останній дорівнює 3,5. Знайти суму членів другої прогресії,
якщо відомо, що треті члени обох прогресій однакові.
4.040. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо від третього
відняти 4, то числа утворять арифметичну прогресію. Якщо ж від другого і
третього членів отриманої арифметичної прогресії відняти по 1, то знову
утвориться геометрична:прогресія. Знайти ці числа.
4.041. Визначити ціле додатне число п з рівняння
4.042. Знайти суму всіх парних трицифрових чисел, що діляться на 3.
4.043. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником < 1
дорівнює 4, а сума кубів її членів дорівнює 192. Знайти перший член і знаменник
прогресії.
4.044. Знайти чотири числа, перші три з яких утворюють геометричну
прогресію, а останні три — арифметичну прогресію. Сума крайніх чисел дорівнює
21, а сума середніх дорівнює 18.
4.045. 	Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 91. Якщо
до цих чисел додати відповідно 25,27 і 1, то отримаємо три числа, які утворюють
арифметичну прогресію. Знайти сьомий член геометричної прогресії.
4.046. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо друге число
збільшити на 2, то прогресія стане арифметичною, а якщо після цього збільшити
останнє число на 9, то прогресія знову стане геометричною. Знайти ці числа.
4.047. Знайти три числа, що утворюють геометричну прогресію, якщо відо-
4.048. 	Довести, що будь-який член додатної геометричної прогресії,
починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному між будь-якими
членами, рівновіддаленими від нього.
а2т
(З + 6 + 9 +... + 3(л -1)) + 4 + 5,5 + 7 +... +
= 137.
91

4.049. 	Знайти суму семи перших членів нескінченної геометричної
прогресії зі знаменником \q\ < 1 , якщо її другий член дорівнює 4, а відношення
4.052. Дано дві нескінченні геометричні прогресії зі знаменником
|gr| < 1, що відрізняються тільки знаками знаменників. їх суми відповідно
дорівнюють iSj і S2. Знайти суму S нескінченної геометричної прогресії, складеної з
квадратів членів кожної з даних прогресій. Встановити зв’язок між SVS2 і S.
4.053. Нехай Ь2, Ьп — послідовні члени геометричної прогресії,
Sn — сума її п перших членів. Довести, що
4.054. Довести, що коли числа а, b і с утворюють арифметичну
прогресію, то числа a2 +ab + b2, а2 +ас + с2 і b2 +Ьс + с2 у зазначеному порядку
також утворюють арифметичну прогресію.
4.055. Перший член нескінченної геометричної прогресії зі
знаменником |<7| < 1 дорівнює 1, а її сума дорівнює S. З квадратів членів цієї
прогресії утворена нова нескінченна геометрична прогресія. Знайти її суму.
4.056. Знайти п’ятий член зростаючої геометричної прогресії, знаючи,
що її перший член дорівнює 7 - Зл/5 і що кожен її член, починаючи з другого,
дорівнює різниці двох сусідніх з ним членів.
4.057. В арифметичній прогресії сума її т перших членів дорівнює сумі
п перших членів (т * п). Довести, що в цьому випадку сума її перших т + п
членів дорівнює нулю.
4.058. Відомо, що L, М, N — відповідно /-й, т-й, п-й члени геометричної
прогресії. Показати, що Lm~пМn~lNl~m= 1.
4.059. Числа а, Ь, с, одне з яких кратне 7, утворюють арифметичну прогресію
з різницею 7. Показати, що число abc ділиться на 294.
4.060. Показати, що для будь-якої арифметичної прогресії при будь-якому п
виконується рівність s2n = S„ + П — сУма ^ перших членів прогресії).
суми квадратів членів до суми членів дорівнює —.
16
4.050. Знайти суму всіх трицифрових чисел, що діляться на 7.
4.051. Знайти суму
92

4.061. Розв'язати рівняння
1 1 Г J,
XXX X
де х — ціле додатне число.
4.062. Число 180 подати у вигляді суми чотирьох доданків так, щоб вони
утворили геометричну прогресію, третій член якої був би більший від першого
на 36.
4.063. Дано дві геометричні прогресії, що мають однакову кількість
членів. Перший член і знаменник першої прогресії дорівнюють відповідно
20 і 0,75, а перший член і знаменник другої прогресії дорівнюють відповідно
2
4 і —. Якщо перемножити члени цих прогресій з однаковими номерами, то
сума всіх таких добутків становитиме 158,75. Знайти кількість членів цих
прогресій,
4.064. Три числа, з яких третє дорівнює 12, утворюють геометричну
прогресію. Якщо замість 12 взяти 9, то три числа утворять арифметичну
прогресію. Знайти ці числа.
4.065. У скінченній геометричній прогресії відомі її перший член а,
останній член b і сума S усіх її членів. Знайти суму квадратів усіх членів цієї
прогресії.
4.066. У геометричній прогресії, що містить 2п додатних члени, добуток
першого члена і останнього дорівнює 1000. Знайти суму десяткових логарифмів
усіх членів прогресії.
4.067. Сума трьох чисел дорівнює —, а сума обернених до них чисел, що
18
утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 18. Знайти ці числа.
4.068. Різниця арифметичної прогресії відмінна від нуля. Числа, що
дорівнюють добуткам першого члена цієї прогресії на другий, другого члена на
третій і третього на перший, у зазначеному порядку утворюють геометричну
прогресію. Знайти її знаменник.
Група В
4.069. 	Знайти тризначне число, цифри якого утворюють геометричну
прогресію. Якщо від цього числа відняти 792, то отримаємо число, записане
тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Якщо ж від цифри сотень
відняти 4, а решту цифр шуканого числа залишити без зміни, то отримаємо
число, цифри якого утворюють арифметичну прогресію.
4.070. Відомо, що при будь-якому п сума п перших членів деякої числової
послідовності виражається формулою Sn = 2п2 + 3п. Знайти десятий член цієї
послідовності та довести, що вона є арифметичною прогресією.
4.071. Знайти суму 19 перших членів арифметичної прогресії a j, а2,
аз»..., якщо відомо, що а4 + я8 + аХ2 + яіб = 224.
93

4.072. Довжини сторін трикутника являють собою три послідовних
члени зростаючої геометричної прогресії. Порівняти знаменник цієї прогресії
з числом 2.
4.073. Знайти суму чотирьох перших членів геометричної прогресії, що
148
має таку властивість: три перших и члени, сума яких є одночасно
першим, четвертим і восьмим членами арифметичної прогресії.
4.074. Числа аХуа2і —» ап+1 утворюють арифметичну прогресію. Довес-
11 1/і
ти, що + + ...+ = .
а\а2 а2а3 апап+1 аІап+\
 4.075. Послідовність чисел 1,8,22,43,... має таку властивість, що різниці двох
сусідніх членів (наступного і попереднього) утворюють арифметичну прогресію: 7,
14,21, Знайти номер члена послідовності, що дорівнює 35 351.
1 1.1
4.076. Довести твердження: для того щоб три числа , і
Ь + с с + а Ь + а
утворювали арифметичну прогресію, необхідно і достатньо, щоб числа я2, б2
і с2 також утворювали арифметичну прогресію.
4.077. Сума чотирьох чисел, що утворюють геометричну прогресію,
дорівнює - 40, а сума їх квадратів дорівнює 3280. Знайти цю прогресію.
4.078. Дано дві прогресії: геометрична з додатними членами Ьп
(знаменник дорівнює <7, де q Ф 1) і зростаюча арифметична з членами ап (різниця
дорівнює d). Знайтихз рівності log^bn-ап = logxb{ -av
4.079. Знайти суму 1 + 2 • 3 + 3 • 7 + ... + и (2Л - 1).
4.080. Знайти суму 1 • 3 + 3 * 9 + 5 • 27 + ... + (2п - 1) • Зп.
4.081. Знайти добуток п перших членів геометричної прогресії, якщо
відомі їх сума S і сума а їх обернених величин.
4.082. Корені рівняння х4 -10*2 + а = 0 утворюють арифметичну
прогресію. Знайти а.
4.083. Довести твердження: для того щоб три числах,у і z у зазначеному
порядку утворювали геометричну прогресію, необхідно і достатньо, щоб
виконувалася рівність (х2 + у2)(у2 + Z2) = (ху + yz)2.
4.084. У змаганнях з волейболу брало участь п команд. Кожна команда
грала з усіма іншими по одному разу. За кожну гру команді, що виграла,
зараховувалося одне очко, за програш очки не нараховувалися; нічиїх у
волейболі немає. Після закінчення змагань з’ясувалося, що набрані командами
очки утворюють арифметичну прогресію. Скільки очків набрала команда,
що зайняла останнє місце?
4.085. Числа jc, у, z, t є послідовними членами геометричної прогресії.
Відомо, що xt = 24, у3 + z3 = 288. Знайти х + /.
94

Глава 5
КОМБІНАТОРИКА І БІНОМ НЬЮТОНА
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ФОРМУЛИ
Розміщення — це комбінації з п різних елементів по т елементів у кожній, що
відрізняються одна від одної або складом, або порядком елементів, розміщених у
формі послідовностей.
Існують два види розміщень:
а) без повторень - кожен елемент, що входить у комбінацію,
представлений єдиним екземпляром (наприклад, розміщення без повторень з п = З
елементів а, Ь, с по т = 2 елементи такі: ab, Ьа, ас, са, be, cb);
б) з повтореннями — кожен елемент, що входить у комбінацію, може
бути представлений більш ніж одним екземпляром (наприклад, розміщення
з повтореннями з/і = 3 елементів а, Ь, с по т = 2 елементи такі: аа, ab, ас, Ьа,
bb, be, са, cb, сс; розміщення з повтореннями з п = 2 елементів а, b по т = З
елементи такі: ааа, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb).
Кількість можливих розміщень з п різних елементів по т визначають
за формулами:
без повторень
АП = — = п(п - ЇМ» ~т + О» дет<л; (5.1)
(п -т)\
 з повтореннями
К=пт. (5.2)
Перестановки - це послідовності, кожна з яких складається з п різних
елементів і відрізняється тільки порядком розміщення елементів, тобто це
розміщення без повторень з п елементів по п (наприклад, перестановки з
трьох елементів а, b, с такі: abc, acb, bac, bca, cab, cba).
Кількість можливих перестановок з п різних елементів визначають за
формулою
Рп=п\. (5.3)
Сполучення — це комбінації з п різних елементів по т елементів у кожній,
Що відрізняються тільки складом елементів.
Існують два види сполучень:
а) 	без повторень - кожен елемент, що входить у комбінацію,
представлений єдиним екземпляром (наприклад, сполучення без повторень з п = 4
елементів a, b, с, d по т = 2 елементи такі: ab, ас, ad, be, bd, cd);
95

в) 	з повтореннями - кожен елемент, що входить у комбінацію, може бути
представлений більш ніж одним екземпляром (наприклад, сполучення з
повтореннями з п = 4 елементів a,b,c,duom = 2 елементи такі: аа, ab, ас, ad, bb, be, bd,
cc, cd, dd; сполучення з повтореннями з п = 2 елементів а, b по
т = 4 елементи такі: аааа, aaab, abab, abbb, bbbb).
Кількість можливих сполучень з п різних елементів по т знаходять за
формулами:
без повторень
Ат
с"=~Г=(п тутг <5-4)
ґт (п-т)\т\
 з повтореннями
rm_rm _ГП-1 _(л + ІЯ-1)!
^п '-'п+т-1 ^п+т-1 f/ 1ЧІ * (5-5)
Справджуються такі властивості кількості сполучень без повторень:
сят=сги; (5-6)
С + с;+1=С++і‘- (5.7)
Формула бінома Ньютона має вигляд
(а + Ь)П = су + су-'ь +... + Ск„ап~кЬк +... + О", (5.8)
або
(a + b)n =an +nan 1Ь+ k + ^an kbk+... + bn,
к\
 де п — натуральне число і
Тм=сУ~кЬк ' (5.9)
є (к + 1)-м членом у розкладі бінома (А: = 0, 1,2,..., п).
Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2":
С® + СІ+... + С"= 2\ (5.10)
Приклад 1. Команда БОМ записується у вигляді набору з восьми цифрових
знаків — нулів і одиниць. Яка максимальна кількість різних команд?
□ Оскільки для кожного елемента набору можливі два значення
(0 або 1), то максимальною кількістю різних команд є 2 -2...2 = 256. Можна
8 разів
міркувати інакше: а) розглянути всі двійкові числа від 00000000 до 111111112 =
= 25510; б) скористатися тим, що тут йдеться про розміщення двох цифр
(п =2) з їх повтореннями в команду з восьми цифр (m = 8); тоді, застосовуючи
формулу (5.2), знаходимо Л| = 28 = 256. ■
96

Приклад 2. У розкладі (1 + х)п четвертий член дорівнює 0,96. Знайти
значення * і п, якщо сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 1024.
□ Оскільки сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2Л, а 1024 = 210,
то п = Ю. Використовуючи формулу (5.9), запишемо четвертий член
розкладу; маємо Т4 = Cjo х3 = -^Yyjc3 = 120jc3. За умовою, 120jc3 = 0,96, звідки
х3 = 0,008, тобто де = 0,2. ■
Приклад 3. При яких значеннях х і у можлива рівність
Сху:Сху+2: 4=1:3:24?
□ Застосовуючи формули (5.4) і (5.3), отримаємо
у\ (У+ 2)'. =1;Сх. ( (.ф = , 24
*!(.у-х)! х'.(у-х + 2)! 3 у v
З другого рівняння маємо jc! = 24, тобто jc = 4 (оскільки 24 = 1 *2-3*4), а
з першого рівняння знаходимо
Q,-X + l)Q,-* + 2)_l
(j + IXj + 2) З'
Оскільки jc = 4, то у1 - 9у + 8 = 0, звідки у = 1 і у = 8; у = 1 не задовольняє
умову (повинно бути у > jc = 4). Отже, jc = 4, у = 8.И
Група А
Розв’язати рівняння (5.001-5.005):
5.001. а) А2 • Сх~х = 48; б) с\ + 6С2Х + 6С3 = 9х2 -14*.
5.002.a) cjtf+ich = 7(дс-1); б) —А— = Щ.
4+\ -с* 23
5.003. а) А] + Сх~2 = 14л:; б) Агх -2С\ = ЗА2.
А
5
5.004. а) ~336; б) Л*-3 = хРх_2.
Сх-2
5.005.а) -^ = 210; б) Аххі\+2Рх.х =^-Рх.
АХ-\ П '
5.006. Показати, що при будь-якому к сума С2+* + С2+*+і є точним
квадратом.
5.007. Довести тотожності:
а) 	Рп=(п-!)(/>„_, + Р„_2); б) С* с;Г/ = С* Слт.
97

(2“+і)дорів
5.008. Сума біноміальних коефіцієнтів розкладу | 2лдс + ^ 2 | дорівнює
64. Визначити доданок, що не містить jc.
5.009. Сума біноміальних коефіцієнтів з непарними номерами в
розкладі (ах + х-1/4)" дорівнює 512. Знайти доданок, що не містить х.
5.010. При яких значеннях jc четвертий доданок розкладу (5 + 2jc)16
більший від двох сусідніх?
5.011. Який найбільший коефіцієнт розкладу (а + Ь)п, якщо сума всіх
коефіцієнтів дорівнює 4096?
5.012. 	Відомо, що в розкладі
є член, що містить ab.
Знайти цей член.
5.013. 	Сума коефіцієнтів другого і третього доданків розкладу
\п
1
у[7-
2%
дорівнює 25,5. Написати член, що не містить х.
5.014. 	При якому значенні jc четвертий доданок розкладу
у 20 разів більший за т, якщо біноміальний коефіцієнт четвертого доданка
відноситься до біноміального коефіцієнта другого доданка як 5 :1?
5.015. 	Визначити А„ , якщо п’ятий доданок розкладу І Vx+~ ] не
І ч
залежить від .х.
5.016. До якого натурального степеня треба піднести біном -і? + 3, щоб
V2
відношення четвертого доданка розкладу до третього дорівнювало ?
5.017. Розклад одного дня містить 5 уроків з різних предметів.
Визначити кількість таких розкладів у разі вибору з 11 предметів.
5.018. Комісія складається з голови, його заступника і ще п’яти осіб.
Скількома способами члени комісії можуть розподілити між собою
обов’язки голови і заступника?
5.019. Скількома способами можна вибрати трьох чергових із 20 осіб?
5.020. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних
клавішах рояля, якщо кожне звукосполучення може містити від трьох до
десяти звуків?
98

5.021. У вазі стоять 10 червоних і 5 рожевих гвоздик. Скількома
способами можна вибрати з вази п’ять гвоздик одного кольору?
5.022. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома
кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна позначити,
якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
5.023. Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола
(тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку
кількість зустрічей необхідно провести.
5.024. Замок відкривається тільки в тому випадку, якщо набрано певний
трицифровий номер. Спроба полягає в тому, що навмання набирають три цифри
з даних п’яти. Вгадати номер вдалося тільки в останній з усіх можливих спроб.
Скільки спроб передувало вдалій?
5.025. Із 15 осіб вибирають чотирьох учасників естафети 800 + 400 + 200 +
+100. Скількома способами можна розподілити спортсменів по етапах естафети?
5.026. Команда з п’яти осіб змагається з плавання, у змаганнях беруть
участь ще 20 спортсменів. Скількома способами можуть розподілитися місця,
зайняті членами цієї команди?
5.027. Скількома способами можна розмістити на шахівниці дві тури
так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна тура може взяти іншу, якщо вона
знаходиться з нею на одній горизонталі або вертикалі шахівниці.)
5.028. Дві тури різного кольору розміщені на шахівниці так, що кожна
може взяти іншу. Скільки існує таких розміщень?
5.029. Учасники шахматного турніру грають у залі, де стоїть 8 столиків.
Скількома способами можна розмістити шахістів, якщо відомі учасники всіх
партій?
Група Б
Розв’язати рівняння (5.030-5.032):
5.030. ЛУХЦРХ_У:РХ_Х=12.
5.031. С*~1 + Сх~2 + Сх~г +... + Сх~г +С*~9 +С£-10 =1023.
5.032. -£±3—= 720.
J5 . D _
5.034. Знайти х і у, якщо:
а) С^іСГ'^Г1 =6:5:2;
б) СГ1 : (Сух-2 + СухІІ + 2СУХ:\): С?+' =3:5:5.

5.035. Знайти х і у, якщо:
а) «, + Ул£): АГ': СГ* = Ю: 2:1;
б) АГ1: : (С*_2 + Сухі\ ) = 21:60:10.
5.036. Довести тотожності:
а) Скп +С*_1 =С„\,;
б) С* + ЗСП*-' + ЗС*-2 + С*-3 = С*+3;
в) <-і = <
5.037. Різниця між третіми біномними коефіцієнтами розкладів
(а + Ь)п+1 і (а + Ь)п дорівнює 225. Знайти кількість раціональних членів
розкладу (Ух+Уу)п.
5.038. Знайти A-й член розкладу (УЇ + тІ2)т, якщо відомо, що
Тк+2 '■ Тк+\: 7* = 28:8л/б :9.
5.039. Різниця між деякими членами Тк+1 і Тк розкладу (Ух + V*-1 )12
дорівнює 30. Визначити, при яких значеннях х це можливо, якщо член
містить х у степені, вдвічі меншому, ніж член Тк .
5.040. 	Знайти найбільший біномний коефіцієнт розкладу
(-Я-
якщо добуток четвертого від початку і четвертого від кінця доданків
дорівнює 14 400.
5.041. 	При будь-якому допустимому значенні z доданок розкладу
уя+1
(Ifz + Vz)m у 2 рази менший від доданка Vk+2 розкладу
Знайти ці доданки.
5.042. Сума третього від початку і третього від кінця біномних
коефіцієнтів розкладу (Уз + ^4 )п дорівнює 9900. Скільки раціональних членів міститься
в цьому розкладі?
5.043. Третій доданок розкладу І 2x + -^-r І не містить х. При яких зна
кг
ченнях х цей доданок дорівнює другому доданку розкладу (1 + дг3 )30 ?
5.044. 	Тридцять осіб розбиті на три групи I, II і III по 10 осіб у кожній.
Скільки може бути різних складів груп?
100

5.045. Скільки чотирицифрових чисел, що діляться на 5, можна скласти з
цифр 0,1,3,5,7, якщо кожне число не повинно мати однакових цифр?
5.046. Скільки різних кілець, що світяться, можна зробити,
розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються
однаковими при однаковому чергуванні кольорів)?
5.047. На книжковій полиці стоїть 30 томів. Скількома способами їх
можна розставити так, щоб перший і другий томи не стояли поряд?
5.048. Чотири стрільці повинні влучити у вісім мішеней (кожен у дві).
Скількома способами вони можуть розподілити мішені між собою?
5.049. Із 12 осіб щодня протягом 6 днів вибирають двох чергових. Визначити
кількість різних списків чергових, якщо кожна людина чергує один раз.
5.050. Скільки чотирицифрових чисел, складених з цифр 0, 1,2, 3, 4, 5,
містять цифру 3 (цифри в числах не повторюються)?
5.051. Десять груп займаються в десяти розміщених підряд аудиторіях.
Скільки існує варіантів розкладу, при яких групи 1 і 2 знаходилися б у сусідніх
аудиторіях?
5.052. У турнірі беруть участь 16 шахістів. Визначити кількість різних
розкладів першого туру (розклади вважаються різними, якщо відрізняються
учасниками хоча б однієї партії; колір фігур і номер дошки не враховуються).
5.053. Шість ящиків різних матеріалів доставляють на п’ять поверхів
будівництва. Скільки існує способів розподілу матеріалів по поверхах? У
скількох варіантах на п’ятий поверх буде доставлено будь-який один
матеріал?
5.054. Два листоноші розносять 10 листів за 10 адресами. Скількома способами
вони можуть розподілити роботу?
5.055. У поїзд метро на зупинці ввійшло 100 пасажирів. Скількома способами
можуть вийти всі пасажири на наступних 16 зупинках поїзда?
5.056. Скільки трицифрових чисел, що діляться на
З, можна скласти з цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, якщо кожне число не повинно
містифі ти однакових цифр?
5.057. На зборах із 80 осіб обирають голову, секретаря і трьох членів
ревізійної комісії. Скільки існує способів їхнього обрання?
5.058. Із 10 тенісисток і 6 тенісистів утворюють 4 змішані пари. Скільки
існує способів розподілу?
5.059. Три автомашини 1,2, 3 повинні доставити товар у шість магазинів.
Скільки існує способів використання машин, якщо вантажопідйомність кожної з
них дозволяє взяти товар одразу для всіх магазинів і якщо дві машини в той
самий магазин не направляються? Скільки існує можливих варіантів
маршруту, якщо вирішено використовувати тільки машину 1?
5.060. Четверо юнаків і дві дівчини обирають спортивну секцію. До секцій
хокею і боксу приймають тільки хлопців, до секції художньої гімнастики —
тільки дівчат, а до лижної і ковзанярської секцій — і хлопців, і дівчат. Скільки
існує способів розподілу між секціями цих шістьох осіб?
5.061. З лабораторії, у якій працює 20 осіб, 5 співробітників
виїжджають у відрядження. Скільки може бути різних складів цієї групи, якщо
101

начальник лабораторії, його заступник і головний інженер одночасно їхати не
можуть?
5.062. У фортепіанному гуртку займаються 10 осіб, у гуртку художнього'
слова — 15, у вокальному — 12, у фотогуртку — 20 осіб. Скільки існує
способів формування бригади з чотирьох читців, трьох піаністів, п’яти
співаків і одного фотографа?
5.063. Двадцять вісім пластинок доміно розподілені між чотирма
гравцями. Скільки існує різних варіантів розподілу?
5.064. Із 15 осіб обирають бригадира і 4 членів бригади. Скількома способами
можна це зробити?
5.065.Скількома способами можна розподілити 5 учнів по трьох
паралельних класах?
5.066. Ліфт зупиняється на десяти поверхах. Скількома способами можуть
розподілитися між цими зупинками 8 пасажирів, що перебувають у кабіні
ліфта?
5.067. Вісім авторів пишуть книжку з шістнадцяти глав. Скільки існує
способів розподілу матеріалу між авторами, якщо двоє напишуть по три глави,
четверо — по дві, двоє — по одній главі книжки?
5.068. У шаховому турнірі беруть участь 8 шахістів третього розряду,
6 — другого і 2 першорозрядники. Визначити кількість таких варіантів
складу першого туру, щоб шахісти однієї категорії зустрічалися між собою
(колір фігур не враховується).
5.069. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 утворюють усі можливі п’ятицифрові
числа, що не містять однакових цифр. Визначити кількість чисел, у яких є цифри
2,4 і 5 одночасно.
5.070. Сім яблук і три апельсини треба покласти у два пакети так, щоб у
кожному пакеті був хоча б один апельсин і щоб кількість фруктів у них була
однаковою. Скільки існує способів розподілу фруктів?
5.071. Літери абетки Морзе складаються з символів (крапок і тире).
Скільки букв можна зобразити при умові, що кожна буква містить не більше
п’яти символів?
5.072. Номер автомобільного причепа утворюється з двох букв і чотирьох
цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 30 букв і
10 цифр?
5.073. Садівник повинен за три дні посадити 10 дерев. Скільки існує
способів розподілу роботи по днях, якщо садівник саджатиме не менше одного
дерева в день?
5.074. Із вази, у якій стоять 10 червоних і 4 рожевих гвоздики, вибирають
одну червону і дві рожевих. Скількома способами можна це зробити?
102

Група В
СІ + 2СІ + ЗС3 +... + лС"
5.075. Довести, що —2 ^^= 2 .
. п
5.076. Довести тотожність С* + С„ = С„+\. Скориставшись цією тотожні-
СТЮ, показати, що с" + С”_, +... + С™_10 = С*+У - С"_?о-
5.077. Спростити вираз РХ+2Р2+- +пРп, де Рк — кількість перестановок
з к елементів.
5.078. Довести, що С2п+Х • СІп-х ^ (СЦп )2.
5.079. Знайти найбільше значення суми S = (1 + jc)36 + (1-jc)36 , якщо
М<і.
5.080. Знайти найбільший доданок розкладу (V5 + )20.
5.081. При яких значеннях л: найбільшим доданком розкладу (5 + Здс)10 є
четвертий?
5.082. Якщо розкрити всі дужки у виразі (1+*)9 + (1+дг)10 +...+ (1+jc)14
і звести подібні доданки, то отримаємо многочлен. Визначити коефіцієнт
при х9 у цьому многочлені, не розкриваючи дужок.
5.083. Дванадцятьом учням видали два варіанти контрольної роботи.
Скількома способами можна посадити учнів у два ряди по 6 осіб, щоб у тих, хто
сидить поруч, не було однакових варіантів, а в тих, хто сидить один
за одним, був той самий варіант?
5.084. Кожний з десяти радистів пункту А намагається встановити зв’язок
з кожним із двадцяти радистів пункту В. Скільки існує варіантів такого зв’язку?
5.085. Шість ящиків різних матеріалів доставляють на вісім поверхів
будівництва. Скільки існує способів розподілу матеріалів по поверхах?
У скількох з них на восьмий поверх буде доставлено не менше двох матеріалів?
5.086. Скількома способами можна вишикувати в одну шеренгу гравців
двох футбольних команд, щоб при цьому два футболісти однієї команди не
стояли поруч?
5.087. На книжковій полиці знаходяться книжки з математики і
логіки — всього 20 книжок. Показати, що найбільша кількість варіантів
комплекту, що містить 5 книжок з математики і 5 книжок з логіки, можлива
в тому випадку, коли кількість книжок на полиці з кожного предмета
дорівнює 10.
5.088. Ліфт, у якому знаходиться 9 пасажирів, може зупинятися на десяти
поверхах. Пасажири виходять групами по дві, три і чотири особи. Скількома
способами це може відбуватися?
5.089. «Рано-вранці на риболовлю веселий Ігор мчав босоніж». Скільки
різних осмислених речень можна скласти, використовуючи частину слів цього
речення, не змінюючи їх порядку?
5.090. У шаховій зустрічі двох команд по 8 осіб учасники партій і колір
фігур кожного учасника визначаються жеребкуванням. Скільки може бути
різних результатів жеребкування?
103

Глава 6
АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ
ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ
З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
1°. Рівнянням з однією змінною називається рівняння, що містить цю
змінну (її ще називають невідомим).
Значення змінної, при підстановці якого в рівняння утворюється
правильна рівність, називається коренем (або розв’язком) рівняння.
Розв’язати рівняння — це означає знайти всі його корені або довести,
що їх немає.
2°. Рівняння, що мають одні й ті самі корені, називаються рівносильними.
У процесі розв’язування дане рівняння замінюють простішим; при цьому
використовують такі правила перетворення рівняння в рівносильне йому:
а) будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу
з протилежним знаком;
б) обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й
те саме, відмінне від нуля, число;
fix)
в) рівняння виду = 0 можна замінити рівносильною системою
£(*)
J/« = 0,
!*(*)* 0
або розв’язати рівняння/(jc) = 0, а потім відкинути ті зі знайдених коренів, що
перетворюють на нуль знаменник g (jc).
3°. Нехай у результаті перетворення рівняння
/і (x) = g{(x) (6.1)
отримаємо рівняння
/2 (*)=&(*)• (6-2)
Якщо кожен корінь рівняння (6.1) є коренем рівняння (6.2), то рівняння
(6.2) називають наслідком рівняння (6.1).
Корені рівняння (6.2), які не задовольняють рівняння (6.1), називають
сторонніми коренями рівняння (6.1) і не вважають розв’язками цього рівняння.
До появи сторонніх коренів можуть, наприклад, призвести (але не обов’язково
призводять) такі перетворення: піднесення до квадрата (або до іншого парного
степеня) обох частин рівняння, множення обох частин рівняння на алгебраїчний
вираз, що містить змінну, тощо.
4°. Щоб з’ясувати, чи є серед коренів рівняння-наслідку сторонні корені
даного рівняння, необхідно перевірити кожний із знайдених коренів
підстановкою їх у дане рівняння.
104

Можна діяти інакше: на кожному етапі розв’язування рівняння визначати
проміжки, до яких можуть належати корені рівняння. Всі корені, які не належать
цим проміжкам, є сторонніми, їх треба відкинути. Проте решту коренів все одно
необхідно перевірити підстановкою у дане рівняння.
5°. Якщо рівняння має вигляд
то ділити обидві його частини на h (лг), як правило, неприпустимо, оскільки це
може призвести до втрати коренів; у цьому випадку можуть бути втрачені корені
рівняння h (х) = 0, якщо вони існують.
Рівняння не вважається розв’язаним і у випадку, коли відповідь містить
сторонні корені, і у випадку, коли в процесі розв’язування був втрачений
хоча б один корінь.
Приклад 1. Розв’язати рівняння 2~ х{}-х)
□ Перенесемо всі члени рівняння в ліву частину і перетворимо отрима-
х2 + 12
ний вираз до вигляду = 0 . Із рівняння х2 - їх + 12 = 0 знаходимо
2* (З-*)
*і = х2 = 4- Якщо х = 3, то знаменник перетворюється на нуль; отже, 3 не
є коренем. Таким чином, отримаємо відповідь: х = 4. ■
Приклад 2. Розв’язати рівняння Jx-2 = х-4.
□ Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
(уіх-2)2 = (х-4)2, де — 2 = jc2 — 8jc + 16; х1 -9х + 18 = 0, х, = 3, х2 = 6.
Перевіримо знайдені корені, підставивши їх у вихідне рівняння. Якщо
де = 3, то отримаємо 1 = - 1 — неправильну рівність; якщо х = 6, то матимемо
2 = 2 — правильну рівність. Отже, дане рівняння має єдиний корінь х = 6.
Зауважимо, що можна було спочатку знайти область визначення даного
Г jc — 2 > 0, .
рівняння. Для цього розв’яжемо систему нерівностей < звідки х>4.
[х - 4 > 0,
Тоді очевидно, що х = 3 — сторонній корінь даного рівняння. Перевіркою
переконуємося, що х = 6 задовольняє дане рівняння. Отже, х = 6. ■
Приклад 3. Розв’язати рівняння уі\-4х + 2 = J(2x + \)2 -8*.
□ Перетворюючи праву частину рівняння, отримаємо:
f(x)h(x) = g(x)h(x),
2
6
л/і-4х+2 = 1/(2х-1)2;л/і-4х+2 = |2х-і|.
105

Це рівняння має розв’язок лише за умови 1-4jc>0, тобто х<—. Тоді
\2х-1| = 1 -2х (а не 2х - 1, тому що це справедливо лише для *>-^,що
суперечить умові х<-^). Отже, >І\-4х + 2 = \-2х, звідки
л/l — 4jc = —1 — 2jc. (*)
w Jl - 4х > 0,
Область можливих значень х визначається системою нерівностей <
F [-1 - 2jc > 0,
тобто дс<—Піднесемо обидві частини рівняння (*) до квадрата, отримаємо
1-4х = \ + 4х + 4х2; 4jc2 + 8дг = 0, хх =0, х2 =-2.
Корінь х{ = 0 не задовольняє нерівність х < ~ і тому є стороннім; корінь
х2 = -2 задовольняє нерівність х < , але його потрібно перевірити.
Підставивши х = - 2 у вихідне рівняння, дістанемо правильну рівність: 3 + 2 = 5. Отже, дане
рівняння має єдиний корінь де = - 2. ■
Приклад 4. Розв’язати рівняння (х + 1)(х2 + 2) + (х + 2)(х2 +1) = 2.
□ Розкривши дужки і звівши подібні члени, матимемо 2х3 + Зх2 + Зх + 2 = 0.
Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Спочатку групуючи члени
рівняння, а потім використовуючи формулу (2.13), отримаємо
2 (х3 +1) + 3* (х +1) = 0; 2 (* +1)(*2 - х +1)+Зх(* +1) = 0;
(jc + 1)(2дг2 -f- де + 2) = 0.
Остання рівність справедлива за умови, що принаймні один із
співмножників дорівнює нулю: х + 1 = 0, звідки х = - 1, або 2x2+jc + 2 = 0. Проте
дискримінант останнього рівняння від’ємний, таким чином, воно не має коренів. Отже,
х = - 1. ■
Приклад 5. Розв’язати рівняння 7^х + —j-2^x2 +-у j=9.
К)’-^
□ Введемо змінну z, вважаючи х + —= z. Тоді | х + — | =z2, звідси за
формулою (2.9) знайдемо х2 + 2 + Аг = z2.
х
106

Замінивши в даному рівнянні вираз у першій дужці на z, а в другій —
на z2 - 2, отримаємо
7z-2(z2 -2) = 9; 2z2-7z+5 = 0; z, = |,z2=l.
Щоб знайти jc, треба розв’язати два квадратних рівняння:
* + — = —, 2х2 — 5jc + 2 = 0; Хл =2; х2 = —;
jc 2 1 2 2
1 2
jc + — = 1, jc-jc + 1 = 0;Z)<0 — коренів немає.
х
Отже, відповідь така: дсі = 2; х? = —. ■
2
Приклад 6. Розв’язати рівняння уіх + 1 + лДх+Тз = л/Зл:н-12.
□ Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, отримаємо
jc + 1 + 4jc + 13 + 2^(JC + 1)(4дг 13) =3* + 12;
V( х + 1)(4х + 13) = -(* +1).
Ще одне піднесення до квадрата призвело б до знищення
ірраціональності, але тут немає потреби в цьому перетворенні. Зауважимо, що отримане
рівняння-наслідок матиме розв’язок тільки за умови * + 1<0. Разом
з тим однією з умов існування розв’язку даного рівняння є вимога х +1 > 0.
Обидві умови сумісні в єдиному випадку, якщо х + 1 = 0, звідси
jc = - 1. Це значення jc, як легко перевірити, задовольняє дане рівняння.
Оскільки рівняння-наслідок інших коренів не має, то інших коренів не має
і дане рівняння. Отже, х = - 1. ■
Приклад 7. Розв’язати рівняння V(5 + *)2 +4 yj(5-x)2 =5 УІ25-Х2.
□ Оскільки JC = 5 не є коренем рівняння, то обидві частини рівняння
можна поділити на у/(5-х)2, причому без втрати коренів. Матимемо
рівняння, рівносильне даному:
Вважаючи * =z, отримаємо квадратне рівняння z2-5z+ 4 = 0,
І 5 + jc
звідси Zj = 1, z2 = 4. Щоб знайти jc, маємо два рівняння: я- =1 і
107

х
— = 4. Піднесемо до куба обидві частини кожного з них, отримаємо
х
5 + х л л ■ 5 + х 63 ^ л 63 _
= 1, звідси jc = 0, і = 64,тобто х =—. Отже, хх=0;х2=—. Ш
5-х 5-х 13 13
Приклад 8. Розв’язати рівняння
2х2 +6-2-)І2х2 -Зх + 2 = 3х + 3.
□ Запишемо рівняння в такому вигляді:
' (2х2-Зх + 2)-2^2х2-Зх + 2+\ = 0.
Підставимо ^2х2 -Зх + 2 = z; зауважимо, що придатними можуть бути
тільки значення z> 0. Виконавши зазначену заміну, отримаємо рівняння
z2 - 2z + 1 = 0, звідси z = 1 — це придатне значення z і тому рівняння
^2х2 -Здг + 2 = 1, або 2л2 - Зх + 1 = 0 рівносильне даному. Корені *і - “і
х2 = 1 цього квадратного рівняння є коренями даного рівняння. ■
Приклад 9. Розв’язати рівняння
т/* + 3-4-У7чГ +ї/х+8-6ї/х^Т =1.
□ Замінимо уїх-1 = z і зауважимо, що z > 0, х > 1, х = z2 +1. Тоді за
формулою (2.23) отримаємо yJx + 3-4ylx-\ = Vz2-4z + 4 = |z — 2|;
Jx + S-6-Jx-\ = Vz2 -6z + 9 = |z-3|. Дане рівняння матиме вигляд
|z-2| + |z-3| = l. (*)
Використовуючи означення модуля, розглянемо такі випадки:
1) якщо z<2, to2-z + 3- z= 1, звідси z = 2;
2) якщо 2<z<3, toz-2 + 3- z=1, звідси 1 = 1, тобто всі значення z, що
належать проміжку [ 2, 3), задовольняють рівняння;
3)якщо z>3, toz-2+z-3 = 1,звідсиz = 3.
Об’єднуючи ці розв’язки, переконуємося, що рівняння (*) задовольняють
усі значення z, для яких 2 < z < 3.
Оскільки z = yjx-\, то 2< Vjc-1 <3; отже, 4 < л: — 1 < 9, звідси
5 < дг < 10. ■
Приклад 10. Розв’язати систему рівнянь
2х + у + z = 7,
- х + 2у + z = 8,
x + y + 2z = 9.

□ Цю систему лінійних рівнянь можна розв’язувати методом
послідовного виключення (методом Гаусса), але значно простіше діяти так: додамо
рівняння, отримаємо 4 (х + у + z) = 24, звідси х + у + z = 6. Послідовно віднімаючи це
рівняння від кожного рівняння системи, знаходимо х— І,у — 2, z — 3. И
Приклад 11. Розв’язати систему рівнянь
Ід:Jy +у4х = 6,
х2у + у2 х = 20.
□ Піднесемо до квадрата обидві частини першого рівняння:
х 2 у + у2 х + 2xy<Jxy = 36.
Віднімаючи від цього рівняння друге рівняння системи, отримаємо xyjxy = 8,
або (ту)3 = 64, тобто ху = 4. Це рівняння і друге рівняння даної системи
утворюють систему
{^ = 4’ або |^ = 4’
[ху(х + у) = 20, Іх + у = 5.
Звідси знаходимо дві пари розв’язків: хх =4,ух = 1 і х2 = 1, у2 = 4. Перевіркою
переконаємося, що обидві пари задовольняють дану систему рівнянь. ■
Група А
Розв’язати рівняння* (6.001-6.066):
х2 +1 х2 — 1 b а
6.001. 	- --- = 23. 6.002. + - = 2.
х-4 х + 3 х-а х-Ь
, ЛЛ_ jc2+jc-5 Зх „ л / • jc2+jc-5
6.003. 		 + —г + 4 = 0 (підстановка = z).
х xl+x-5 х
6.004. 	хА г = ^ (підстановка 2х4 - 7 = z).
2дГ-7
111 ,
6.005. — — т = — (підстановка х +2x = z).
дс(х + 2) (* + і)2 12
1 т2+п2 X2 b3 b b2
6.006. х + - = 2-Т ~. 6.007. ~ї + ~2=~ + ~2-
х т -п а х а а
х-3 х + 3 х + 6 х-6
6.008. 	 - + = - + -•
х-1 jc + l х + 2 х-2
* Величини a, b, с, р, q, т, п, як правило, вважаються сталими, а х, у, z, и, v, w —
змінними.
109

6.009.
6.010.
6.011.
6.012.
6.013.
6.014.
6.015.
6.016.
6.017.
6.018.
6.019.
6.020.
6.022.
6.024.
6.026.
6.028.
5 а 4 а 3 а
- + + = 8.
у + а у + 2а у + За
1 1 1
х +2 *+3 12
х-2 + х + 2 _ jc-4 + jc+4 28
х-\ jc + 1 jc-3 jc + 3 15
(jc-1)(jc2 — 3)+(2х -1) (х2 + 2) = 3.
З
х2 +4 х2+5
7(х-2)(*-3)(*-4)
(2х-7)(х + 2)(х-6)
X2 +1 X Л п / • х2 +1
+ —z = 2,9 (підстановка = и).
х X +\ X
х + п т-п _ х + р т-р
т + п х-п т + р х-р
х2 +х + х~] + х~2 = 4 (підстановка х + jc-1 = z).
21 ? 2
- х + 4х = 6 (підстановка jc - 4jc +10 = у).
х2 -4jc + 10
jc-a x-b _ „ лі
г + = 2>5- 6.021. 8jc + jc3 + 64jc + 8 = 0.
x-b x-a
(jt+3)3-(jr + ))J =56. 6.023. £±| + i±| + i±H-6.
дг + 1 х + З x + 5
4дс2 +12jc + — + 4- = 47. 6.025. (x-af -(x-b)1 =bl-a3,
x Xі
^l = (a + l)2. 6.027. (x~a)2+Jc(*~a) + *2 =—.
jc —1 (x-a) -x(x-a) + x 7
jc 2a-x a + b . a2-\ о-x
- + : = 1. 6.029. i + fLJL = i.
a + b a-b x ax-1
110

6.030. ^ “^4 х2 j 6.031. Уз*+ 4 + У*-4 = 2<Jx.
6.032. Jx + уГТТГі + Vx-У^иГ = 4.
6.033. <J\5-x + УЗ-х = 6. 6.034. 1 + )/1 + jcVjc2 -24 = jc.
6.035.
6.036.
6.038.
6.039.
=a_b.a>b
<Jx-a +<Jx-b
■J3x + 1 -Jx + \=2. 6.037. )j\ + Jx + Vl-VT =2.
2-JT-x -,4 = ЇОІІЇ5:^2\бЩ.
(~г) +4(7T?) =4‘ 6'040, ^+^-^5+^ = 1.
6.041. 3/x + 34-Vx^3=l.
6.042. x2+3x-18+4>P~~
6.043.
6.044.
x +3x-6 =0.
>/x2 + 32 - 2л/х2 + 32 = 3,
16
= 6.
6.045. x
6.047.
6.049.
6.050.
6.051.
6.052.
5/(5* + 2)3-_
Щ5Х + 2У
Ух-АЇІх2 +4=0.
x2 +^x2 +20=22.
i/x3+8 +>/x3+8 = 6.
(5 - x)V5^I + (x - 3)УГЛ
6.046. Зл/х-бЗ/х”*" = 2x-1.
4 V* +3 -
6.048. -і і— I “ _ 2.
Ух+2 5
= 2.
-x+vx-:
У^-У^І = У2*-12.
1
1
г-У*2 -x jc + У*2
-УІ

.... V7-i „
6.053. — з Г~ ~
Ь*-\ Vx+i
6.055. Jxyfx -л/jcVx =56.
6.054. 	^5+Vx + 5-Их = Vx.
6.056. уіх2+9-уіх2-7 = 2.
6.058,
7/Е*+7 /і±і=
ІІХ + З \5-х
Jl6z Jz-l
6.Ю9. тпі-ій--2’5'
6.060. ІІ5х + 7 -ІІ5х-12 =1.
6.061. lVx+5tfx-\S = 0.
2 (підстановка
Vx + 3
6.062. 	л/зд:2 +1 + Л2+3 = т]бх2+10.
■Jx+lfx
6.063.
,=з.
ylx-lfx
6.064. V* + 2+V3x + 8=V2x + 6.
6.065. V2jcT5 + V5J+6 = >/Ї2ГТ25.
6.066. х2 - 4х - 6 = ^2х2 -8х + 12 (підстановка х2 - 4х - 6 = и).
Розв’язати системи рівнянь (6.067-6.119):
6.067.
6.069.
6.071.
|(х + 0,2)2+(>- + 0,3)2=1,
j* + ^ = 0,9.
6.073.
[х-2 +>>_2 = 13.
JC-J> = 1,
х3-/=7.
/-ду = -12,
х2 -ху = 28.
6.068.
6.070.
6.072.
\х3+у3 = 7,
1*У =-8.
*+Z = 12
.ух 6 ’
х + >> = 5.
1
1 1
6.074.
у-1 >> + 1 х
.у2 -х-5 = 0.
х + + —- = 9,
У
(х + У)х
= 20.
112

6.075.
6.077.
6.079.
6.081.
6.083.
6.085.
6.087.
6.089.
6.091.
6.093.
\х2у + ху2 = 6,
[ху + х + у = 5.
6.076.
х2у3 +х3у2 = 12,
,у-*у=4.
їх4+/=82,
^=з.
6.078. 	Р+^3=35>
Іх + >» = 5.
х3+у3=9,
ху = 2.
6.080.
І н2 + mv = 15,
[v2 +«v = 10.
U3+/=65,
+ y =20.
U2+/=5,
6.082. 	^ ,
W =2.
ІЩх + у)2+x = 2,5-y,
|б(дг->>)2 +JC = 0,125 + ^.
6.084.
2 + '=3.
jc 3
£ 2 = 2
2 + у ~ 2
x2 +y2 _10
x + y 3 ’
1 + 1 = 2
x у 4
6.086.
(x-y)(x2-y2) = 45,
x + y = 5.
[*“-/ = 15,
ІЛ-У=6.
6.088.
jc ^ _ 5
7 * ~6’
x2-/=5.
(w3 + v3 + 1 = m,
u3v3=-m.
6.090.
ax + — = 2,
b
— +ay = 2 ab.
x
(*->0^ = 30,
(jc + y)xy = 120.
[jc2 + v2 + 6jc + 2 у = 0,
6.092. \ 0 л
[jc + >> + 8 = 0.
v-w = 1,
w-v = 1,
(u -1)3 + (v - 2)3 + (w - З)3 = 3.
113

x + .y j x->> _ 13
3x + 2j> + 2z = 13,
6.094.
Х-Д' x + >> 6 ’
6.095.
2x + 3j> + 2z = 14,
xv =5.
2x + 2y + 3z = 15.
1
[xV = 16,
x + 2>> + 3z = 3,
6.096. j
1 Д 9
6.097.
3x + >> + 2z = 7,
1
[xV=2.
2jc + 3^ + z = 2.
6.098.
x3+y*=7,
6.099.
х2+ху + >>2 =91,
xy(x + >0 = -2.
x + Jxy + y = 13.
6.100.
6.101.
6.102.
6.103.
\л/и + v -Ци-v =2,
Vm + v -Vk-v = 8.
|7^+7+V^--7=6,
k/(x + ;y)3(x-;y)2 =8
(підстановка -Jx +у = u, ^x-y = v).
U2x-,y + ll -yj3x + у-9 =3,
|>/2x - у +11 + 3/Злг + .у - 9 = 3.
'х V >’ (підстановка
■JSx + y +^5 х-у =4
6.104. f^V^ + V>’-'/*=12>
[xy = 64.
6.106.
6.108.
fa2 +v2 =mv + 13,
u + v = Juv + 3.
6.105.
6.107.
J<s+yf = 3,
т}(х-У?= I-
1 | 1 _ 4
Vx ,/7 3 ’
xy = 9.
3(2-V^7r' +Щ2 + уІ7ГЇ)-' =5,
4(2 - V^)"' - 5(2 + V7T7)-1 = 3.
6.109. j
I
l[x+tfy =4,
x + y = 2S.
6.1 .d
[v* + .>' ~\Х~У =8-
114

6.111.
6.113.
6.115.
6.117.
6.119.
2(л/*+У7) = зУ*У,
х + у = 5.
V у V* + a
х + у = ху + а.
[VT + Уу = З,
[V7-3/^+^/7=3.
д:-у = 8а%
[л/* +у[у =Ла.
У* -Jy =0,5 yfxy,
\yfx +Jy =10,
6.112. _ V_
6.114.
6.116.
6.118.
JWlx ~ХуІ2у =6,
}лу2-*2у = 30.
№й-^ = 1,
[л/м +Vv =5.
W*J
J¥-I
x-y
= 14,
^=3.
12
[jc + y = 5.
2 —2 —2
6.120. He розв’язуючи рівняння ax +&х + с = 0, знайти jcj + x2 , flejtj і
jc2 — корені даного рівняння.
6.121. Скласти квадратне рівняння з коренями — і —, де*. іх9— корені
*1 *2
рівняння ax2+fo + c = 0.
6.122. Скласти рівняння другого степеня, один із коренів якого дорівнює
сумі, а другий — добутку коренів рівняння ах2 +Ьх + с = 0.
6.123. Скласти рівняння другого степеня, корені якого були б на
одиницю більші від коренів рівняння ах2 +Ьх + с = 0.
6.124. Визначити коефіцієнти квадратного рівняння х +px + q = 0 так,
щоб його корені дорівнювали р і q.
6.125. Знайти коефіцієнти А і В рівняння х2 + Ах + В = 0, якщо відомо,
Що числа А і В є і його коренями.
6.126. Для якого цілого значення к один із коренів рівняння 4*2 -
- (3£ + 2)х + (к2 -1) = 0 утричі менший за другий?
6.127. Для якого цілого значення р рівняння Зх -4* + р-2 = 0і
х2 - 2рх + 5 = 0 мають спільний корінь? Знайти цей корінь.
6.128. Знайти всі значення а, для яких сума коренів рівняння
2
х - 2а (х -1) -1 = 0 дорівнює сумі квадратів коренів.
115

6.129. 	Для якого значення а рівняння х2 + ах + 8 = 0 і х2+х + а = 0
мають спільний корінь?
6.130. У рівнянні л
дг, і х2 задовольняють умову 1х2 — 4jcj = 47.
6.131. Не розв’язуючи рівняння х2 ~(2а + 1)х + а2 +2 = 0, визначити,
для якого значення а один із коренів удвічі більший за другий.
6.132. Ді
дорівнює - 4?
6.1
коренів
2
6.130. У рівнянні х - 2х + с = 0 знайти те значення с, для якого його корені
6.132. Для якого значення р відношення коренів рівняння х2 + рх -16 = 0
2
6.133. Не розв’язуючи рівняння 3jc - 5jc - 2 = 0, знайти суму кубів його
6.134. Для якого цілого значення b рівняння 2х2 +(3£-1)дг-3 = 0 і
6* - (2b - 3) jc — 1 = 0 мають спільний корінь?
6.135. Для якого додатного значення с один корінь рівняння
1 2
8х —6х + 9с = 0 дорівнює квадрату другого?
П>упа Б
Розв’язати рівняння (6.136-6.182):
х2+1 х2+2 „
6.136  . -+ — = -2-
дс + 1 х-2
х дг + 1 х+2 25
6.137. —-н —н = —.
х+1 х+2 х 6
6.138. (х2 -6х)2 -2(х-3)2 =81.
6.139. (х+1)5+(х-1)5=32х.
z2 -z Z2-2 + 2 ,
6.140. — —j Г = 1
z -z+1 z-z-2
24 15
6.141. -і——-——:=2-
X +2х-8 х + 2х — З
6.142. х3 -(а + Ь+с)х2 + (ab + ас + bc)x-abc = 0.
1 1 10
6.143. т+-
с2 (х+2)2 9
6.144. (х2 +2х)2 -(х + 1)2 =55.
6.145. (х + 1)2(х + 2) + (х - 1)2(х - 2) = 12.
116

6.146.
6.147.
6.148.
6.149.
6.150.
6.151.
6.152.
6.153.
6.154.
6.155.
6.156.
6.157.
6.158.
6.159.
6.160.
6.161.
6.162.
6.163.
(х-1)(х-2)(х-3)(х-4)_1
(х + 1)(jc + 2)(jc + 3)(jc + 4)
* + * =i.
(jc + 1)(jc + 2) (jc-1)(jc + 4)
x-m ^ x + m _ x-2m ^x + 2m 6(m-1)
x — 1 jc + 1 x-2 jc + 2 5
z + 4 z-4 z + 8 z-8 ,
+ = + + 6.
z-1 z + 1 z-2 z + 2
(2x+a)5-(2x-a)5 = 242a5.
jc2+2x + 1 x2 +2x + 2 7
”2 + “1 T-
jc +2jc + 2 jT+2jc + 3 6
ojc4 - jc3 +a2x-a = 0.
2(jc — l)2 -5(jc-l)(x-e) + 2(jc- a)2 = 0.
fa-Jx + i +Vt + Vx+T =4.
■Jx + 2-Vix + 2=0.
(x - l)x(x +1) + x(x + 1)(* + 2) = З*2 + X + lix-Jx -16.
lj(ax-b)3 -yj(b-ax)~3 =—;a*0.
8
5lS№+№7;-22l5J7 = 0.
117

6.164. 	t]x + % + 2-Jx + 7 + Vx + 1-Vx + 7 =4.
18 — 7jc — x2 f
8-6x + x2 V18-7x-x2 ~ 6
6.166. (x+4)(x + l)-3>/x2+5x + 2=6.
6.167. 'Jx2 +x + 4+->lx2 +x + l =л/2x2+2x + 9.
6.168. л/зх2 — 2jc + 15 + л/зх2 -2x + 8 = 7.
/- 2x +1
6.169. Vx+ — = 2.
x + 2
л/х+4 +-Jx-4 Г2 Г7 ,
6.170. - = x +vx -16-6.
6.171. Ifx+Vx-l6=Vx-S.
6.172. (x + Vx2 -l)5(x-Vx2 -l)3 =1.
6.173. 2^5^х+Г + 4-72л/х+І^Т = >/20І/х+Т + 5.
6Л74. --2ІШ = 3.
z + 1 V z
6.175. ifx-ї+\lx-2 -уІ2х — 3 =0.
6.176. (Vx+1 + Vx)3 + (Vx +1 + Vx)2 — 2.
6.177. Vx + 7 - ■Jx + 3 = 0.
y}(a-x)2 +J(a-x)(b-x)+J(b-x)2 7
6.178. і — ——1 =-•
V(a-x)2 -yl(a-x)(b-x)+<J(b-x)2
6.179. |x| + |x-l| = l.
6.180. (x2 + x +1) + (x2 + 2x + 3)+(x2 + 3x + 5) +... + (x2 + 20x + 39) = 4500.
6.181. l/x + a +Цх + а +1 +Vx + a + 2 =0.
6.182. |x|3 + |x -1|3 = 9.
Розв’язати системи рівнянь (6.183-6.243):
6.183. |ду(дс + 1^->' + 1) = 72’
l(x-l)(y-l) = 2.
6.184.
І2х2-3ху + /=3,
іх2+2ду-2/=6.
6.165. J
118

6.185.
6.186.
6.187.
6.188.
6.189.
6.191.
6.193.
6.195.
6.197.
6.199.
j*2 +2y2 = 17,
\x2 -2xy = -3.
ax + by + cz = k,
a2x + b2y + c2z = k2,
a3x + b3y + c3z = k3\a*b,b*c,c*a.
for + l)(y+ 1) = 10,
l(x + ^)(xy + l) = 25.
2 3
x-ay + a z = a ,
x-by + b2z = b3,
2 1
x-cy + c z = c ;a*b,b*c,c*a.
[(дг-у)(х2+/) = 5,
Ux + y)(x2-y2) = 9.
6.190.
xy = e,
yz-b,
zx = c; afec > 0.
\x2+y = y2+x,
U2 +x = 6.
6.192.
-^ + -i- = 3,
x+y X-y
(x + y)2 + (x - y)2 = 20.
x + yz = 2,
y + zx = 2,
z + xy = 2.
6.194.
2 2
x -xy .y -xy
6’
x2 -xy y2-xy 5
Ix2 + y2 -2x + 3y-9 = 0,
2x2 + 2y2 + x - 5_y -1 = 0.
|x2+/=20,
I x4 +y2 = 20.
6.196.
|x2 +y2 =34,
\x + y + xy = 23.
1 aft+1
6.198.
x + j> +
x-y +
x->> 6 ’
1 _ +1
x + .y a
x-1 _ y + 3_z — 1
2 ~ 3 “ 4 ’
2x + 3^-5z + 19 = 0.
6.200.
(x + y) + 2x = 35 - 2y,
(x-y)2 -2y = 3-2x.
119

6.201.
6.203.
6.204.
6.206.
6.208.
6.210.
6.212.
6.214.
4 = о,
-+1=0.
6.202.
1 1 1 ^
—і 1— = 3,
х у Z
1 1 1 ,
— + — + — = 3,
ху yz ZX
xyz
= 1.
x + y + z = 0,
cx + ay + bz = 0,
(x + b)2 +(y + c)2 +(z + a)2 =a2 +b2 +c2;a*b,b*c,c*a.
x + y + ^j- = l,
У
(x + y)x2 _
= 12.
6.205.
-3-1.
x +y -I
2 2 4x
X +y + — = 22.
У
\x + y + xy = l,
x2 + у2 + xy = 13.
f(x-y)(x2-y2) = 3a3,
\(x + yKx2+y2) = 15a3;a*0.
6.207.
6.209.
X + у + z = 6,
*(>> + z) = 5,
j;(* + z) = 8.
J*3+.y3=19,
[jt2>> + jcy2 =-6.
p + / = 17,
UW=5.
6.211.
* 16
xy = —,
У з
xy
x 2
3 15 „
— +— = 2,
wv vw
15 5^
— +— = 2,
vw wu
5 3 .
— +— = 2.
6.213.
I*6+/=65,
/-*2/+/=13.
JC + у + z = 0,
2x + 3y + z = 0,
(x +1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14.
120

6.215.
6.217.
6.219.
6.221.
6.223.
6.225.
6.227. «
6.229. ,
I*3 л-Зху2 = 158,
[Здс2^ + ^3 =-185.
j*4 +x2y2 + y4 =91,
[x2 +xy + y2 =13.
6.216.
6.218.
\x + у-20 = 0,
jx + .y2 -20 = 0.
p+,3=9*3,
\x2y + xy2 = 6a3;a*0.
x + y + z = 3,
x + 2y-z = 2,
x + yz + zx = 3.
6.220.
— + xy = 40,
У
у3
+- + xy = 10.
x
x + у + z = 2,
2x + 3y + z = 1,
x2 + O' + 2)2 + (z -1)2 = 9.
6.222.
x + 1
\x + y
Ix + l ly + 2
\y + 2 V
X+1
= 1,5.
I x2 + 2д> + = 1,
[2x + ^ = 2.
>fx+y[y =3,
x + y = \l.
6.224.
6.226.
у/х + у+уіу + z =3,
<Jy + z + Jz + x = 5,
Jz + x + yjx +у = 4.
+ = 2fi,
(x2 +1) + (j;2 + l)x = 4xy.
Vu + v + л/v + w = 3,
ylv + w + \[w + u = 1,
Vw + u + y/u + v = 0.
x + yfy -56 = 0,
y[x +y- 56 = 0.
6.228.
6.230.
JW7 +W* =30,
[Wx +yjy =35.
}jx + 2y + ^x-y + 2 = 3,
2*+ >> = 7.
121

6.231.
6.233.
6.235.
Jx + у + <Jlx + у + 2 = 7,
3* + 2у = 23.
Jlx + у +1 - <Jx + y = 1,
З* + 2у = 4.
6.237.
6.239.
ylx + y + \+Jx-y + \Q=5.
\Jx + «/y =3,
[Vjc + 5 + Jy + 3 = 5.
||2дг + 3у| = 5,
l|2x-3y|-l.
6.232.
6.234.
6.236.
JC
u~l>2 + v-l/2 Vv = 1,5,
mv = 64.
L/*2+y2 +V*2 =6.
2 =6л/Ї0.
6.238.
6.240.
x2+,2
-1
= 1,6,
xy = 2.
їх „ у 5
J- + 2 + -=-.
V7 Jt 2
|x + ^ = 5.
6.241.
6.243.
lu-v _ 12 і3*-2-** | I 2x _
“ Vu + v u + v’ 6.242.]' 2* \3x-2 у
u2+v2 = 41.
x -18 = 2>'(4j'-9).
5^/x2 -3_y-88 + -Jx + бу = 19,
3^/x2 — 3>» — 88 =l + 2^/x + 6y.
6.244. Розв’язати рівняння
jc(jc +1)+ (jc +1)(* + 2) + (jc + 2)(jc + 3) +... + (jc + 9)(jc +10) =
= l-2 + 2-3 + 3*4 + ... + 910.
2
6.245. Знайти коефіцієнти m і n квадратного тричлена x + /шс + л, якщо
відомо, що його остачі від ділення на двочлени х-т і jc -п відповідно
дорівнюють т і п.
2
6.246. Квадратне рівняння ах + Ьх + с = 0 має два корені. Скласти нове
квадратне рівняння, один із коренів якого на одиницю менший від
більшого кореня, а другий — на одиницю більший від меншого кореня даного рівняння.
122

6.247. Визначити, при яких значеннях т один із коренів рівняння
z3 -(т2 -m + l)z-(3т2 -Зт -6) = 0 дорівнює - 1. Знайти два інших корені
рівняння для цих значень т.
6.248. Показати, що коли коефіцієнти а, Ь, с рівняння ах2 +Ьх + с = 0
задовольняють умову 2Ь2 - 9ас = 0, то відношення коренів рівняння
дорівнює 2.
6.249. Показати, що коли а і b — корені рівняння х2 + рх +1 = 0, а b і с —
корені рівняння х +qx + 2 = 0, то (b-a)(b-c) = pq-в.
2 2
6.250. При яких значеннях а рівняння х + ах +1 = 0 і jc +jc + 0 = O
мають спільний корінь?
6.251. При якому додатному значенні р корені рівняння 5jc2 -
2
-4(/? + 3)х + 4 = /? мають протилежні знаки? Знайти ці корені.
2
6.252. Знайти коефіцієнти рівняння jc +px + q = 0 за умови, що
різниця коренів рівняння дорівнює 5, а різниця їх кубів дорівнює 35.
6.253. Скласти квадратне рівняння з коренями (а + Ь)2 і (а-b)2, якщо
а і b — корені рівняння jc2 + рх + q = 0.
6.254. Нехай а і р — корені рівняння 3jc2 + 7jc + 4 = 0. Не
розв’язуючи дане рівняння, скласти нове квадратне рівняння з числовими коефі-
а Р
цієнтами, корені якого дорівнюють і ——.
Р-1 а-1
6.255. Показати, що серед коренів рівняння jc4 + 5jc3 + 15jc - 9 = 0 є тільки
один додатний і тільки один від’ємний (корені визначати не обов’язково).
Група В
Розв’язати рівняння (6.256-6.302):
6.256. (х + З)4 + (x + 5)4 =16.
6.257. u3 ~(2а + 1)и2 +(а2 +la-b2)u + (b2 -в2) = 0.
6.258. Xі-2х2 -(а2 -а-\)х + (а2 -а) = 0.
6.259. Xі -(3а -1)х2+ (2а2 -За)х + 2а2=0.
6.260. (х -1)5 + (х + З)5 = 242 (х +1).
6.261. х3 -(2а + 1)х2 +(а2 +а)х-(а2 -а) = 0.
6.262. (х3 + х_3 ) + (х2 + х-2 ) + (х + х-1) = 6.
6.263. (х - 2)6 + (х - 4)6 = 64.
6.264. х3 - х2 —, 8 . = 2.
JC — X
123

6.265. х3 -(2а + 1)х2 + (а2 +2а -т)х-(а2 -от) = 0.
6.266. Xі - 3ах2 + (За2 -b)x-(ai- аЬ) = 0; Ь > 0.
6.267. Xі -(р2 - р + 7)х-3(р2 -р-2) = 0.
6.268. z3-(2p + l)z2 +(р2 +2p-q)z-(p2 -q) = 0.
6.269. Xі - 2ах2 +(а2+ 2-Ла - 9)х - (2а2 S - 12а + 6>/з ) = 0.
6.270. 1Ох3 - Зх2 - 2х +1 = 0.
6.271. 2(х2 + х + 1)2 -7(х-1)2 = 13(х3 -1).
6.272. 27х3 + 9х2 - 48х + 20 = 0.
6.273. 4х4 -16х3 + Зх2 + 4х -1 = 0.
2 8 їх2
6.274. х1 + 7 = 40.
(9 + х)
6.275. |±^+л/Т = 1 + х.
2-х
20 г
6.276. -г= + XV х + х = 22.
V X
6.277. Jx-\ + 3 + 2уІ(х-\)(х + 3) =4-2*.
6.278. yfcx + 3 + Vx + І = 3х + 2^2х2 + 5* +3 -16.
6.279. ifxTs-ifx^ = 2.
6.280. 4х - V* + l - V* + 4 + V* + 9 = 0.
6.281. V^+5+Vr+6=i/2jc + ll.
6.282. Ju2-u-1 + V«2+w + 3 = ^2и2 +8
(обмежитися визначенням додатних коренів).
6.ІЮ. і^і.^1.16,
S/7-1 Й-І
6.284. 	1/і8 + 5х+^64-5х =4.
2
6.285. -7== + v5* + 4 =— * + 2.
V5* + 4 З
6.286. Vx3 +х2 -1 +Vx3 +х2 +2 =3.
6-287- 7^+7ГЩ7=ї
124

6.288.
уі2х + 15
+ -J2x + \5=2x.
6.289. x4/s -7x"2/s +6x~' = 0.
6.290. Jx + 2-Jx-l + Vx-2>/x-l = x-l.
6.291. 8,4lV77-0,241/x-|V7=1V?r.
6.292. 	i/2x2+8x + 6+Vx2-l = 2x + 2.
1іх-уі2 т/х-у/2 _xj x
6.293.
ПП
\x + j2
6.294. ij(2-x)2 +]l( 7 + x)2 -^/(7 + x)(2 - x) = 3.
6.295. 5 д/xVx +3 д/xVx =8.
(34 -x)Vx+7-(x +1)^34 -x
6.296.
= 30.
л/34-x -Vx+T
6.297. 	VxM9x+204- Jx2-25x-\50 = 3.1-^1
V x-30
(обмежитися визначенням додатних коренів).
,,По (^/(15-х)2 +V(15-x)(x-6)+V(ac-6)2)2 49
О.хУо. , —. = .
л/і5-х + л/х-6 З
6.299. 	—(>/х2 + 37х + 336 - Vx2 +18х + 32) =
19 V16 + х
6300. Vx-2 +V4-X =х2 -6х + 11.
6.301. 6 3/7Л + 47^2. = 5 ^(х-2)(х-3).
6.302. х3 + x+Vx3 +х-2 = 12.
Розв’язати системи рівнянь (6.303-6.341):
6303.
(х + .у)(х2-.у2) = 16,
(х-^)(х2+>-2) = 40.
6304.
д + 6 6 + с с + а ,
+ = 1,
JC + y >> + Z Z + JC
д + £ £ + c c + a ,
+ = 1,
JC + >> }> + Z Z + JC
д + Ь £ + c c + a
JC -h J/ >> + Z Z + JC
= 1.
125

6.305.
6306.
6307.
6309.
6311.
6.313.
6.315.
6316.
uvx = 8,
vx2w = 24,
x2wu = 12,
m + v + w = jc + 4
(обмежитися визначенням додатних розв’язків).
2jc + у + z = 0,
3jc + 2у + z = 0,
3(х + 2)3 + 2(у +1)3 + (z +1)3 = 27.
де у Z _
—ь — н =3,
у z jc
У z jc _
— + — + — = З,
jc у z
jc + y+ z = 3.
6.308.
xy + yz = 8,
yz + zx = 9,
zx + xy = 5.
jc + y+ z = 2,
x2 +y2 +z2 =6,
jc3+y3+z3=8.
6.310.
1 . 21
1—2+2ху = Т ,
jc+y 5
1 2 2 21
+ JC +y =—.
2xy 4
jl0(jc4 + y4) = -17(jc3y+ jcy3),
L2+y2=5.
6.312.
JC - у + z = 6,
JC2 +y2 +z2 =14,
jc3 -y3 +z3 =36.
J(jc + y)(jc + 2y)(jc + 3y) = 60,
1 (y + Jc)(y + 2jc)(y + 3jc) = 105.
6.314.
JC + y+ z = 6,
1 1 1 1C
— + — + — = 1,5,
jc у z
xyz = 8.
jjc3+y3=2,
І2^2 -jc2^ = I '
(обмежитися відшуканням цілочислових розв’язків).
uv + vw = 2a ,
2
vw + wu = 2a -a-1,
wu + uv = 2a2 + fl-1.
126

6317.
6319.
6321.
6323.
6325.
6327.
6328.
6329.
6330.
6.331.
2х + у + z = 6,
3x + 2y + z = 7,
(* -1)3 +0'+2)3 + (z - З)3 = 7.
Jx3+/=19,
l(jy + 8)(* + j0«2.
(xy)2+xy = 6.
6.318.
6.320.
6322.
Jx4+6x2y2+/=136,
|x3y + xy3 = 30.
j^+xV+y3 =17,
[x + xy +y = 5.
JC JC2 JC3
- + — + — = 14,
>> / У
x + y = 3.
8x + - = 3/,
;y + - = 3x2.
X
{x + y + z = 4,
2xv-z2=16.
лу + —= 2(x2 +y2),
X
X 7 2
xy = x +y .
У
j(w2 + v2)(w + v) = 15wv,
|(«4 + v4)(w2 + v2) = 85m2v2
\Jx + fy =9,
6324.
6326.
x2 +y2 -x-y = 102,
лу + х + у = 69.
9(«4 + v4) = 17(m +v)2,
3wv = -2(m + v).
(обмежитися визначенням цілочислових розв’язків).
ax + by
\ bx + ay \ ax + by
bx + ay
= 2,
2L Л
x + l 2
^[x + Jy +Jx-jy =2,
<Jy + yfx -yjy-yfx =1.
127

6.332.
6.334.
6.336.
Jxyz = 1.
l>/x + УІУ + 1 =1,
[Jx + \+Jy=l.
Ш2-xy+Jxy-y2 =
[х2 -у2 =41.
6.333.
З (х-у),
6.335.
■Jx2 + 5+^у2 - 5= 5,
х2+/=13.
|л/*+ ■>' +уІх-у =8,
|^/x3+x2>>-xv2-^3 = 12.
■Jx-4 + + •Jz + 4 = 6,
6.337. • 2>/x-4-77-Wz + 4=-12,
x + .y + z = 14.
6.338.
6.339.
Іл/лг —= -Jx-y,
Цх + у =yjx + y-4.
yll-4x2 -Jl-4y2 =2(x + y),
x2 +y2 +4xy = -^.
6.340.
u + v + 'iu2 -V2 =12, x2+xylxy2 =32,
. 6.341. ]
vju2-v2 =12. [y2+>'Vx2^=162.
6.342. Дано рівняння ax2 + &t + c = 0. Нехай S„ =ал +p", де a і p —
корені рівняння. Знайти залежність між S„, 5Я+1, 5л+2.
6.343. Числа Jtj, jc2, *3 є коренями рівняння *3 + рх2 + qx + г = 0.
Потрібно: 1) скласти рівняння з коренями ххх2, *з*і» 2) скористатися
результатом п. 1 для відшукання коренів рівняння х3-Зл/2х2+7х-Зл/2 =0.
6.344. Знайти коефіцієнти а і b рівняння х4 + х3 -18х2 + ах + b = 0, якщо
відомо, що серед його коренів є три однакових цілих числа.
128

6.345. Знайти коефіцієнти р і q рівняння х4 -10*3 + 37х2 + />х + # = 0,
якшо відомо, що серед його коренів є дві пари рівних між собою чисел.
З 2
6.346. Для рівняння х +ах + &дг +1 = 0 добуток суми його коренів на
суму їх обернених значень виразити через коефіцієнти а і Ь.
6341. Показати, що рівність ab = с виражає необхідну і достатню
умову того, що серед коренів рівняння jc3 + ах2 +Ьх + с = 0 є два числа, сума
яких дорівнює нулю.
1 2
6.348. Розв ’язати рівняння 12х + 4х -1 їх + 6 = 0, якщо відомо, що серед
його коренів є два числа, обернених за абсолютним значенням і протилежних за
знаком.
6.349. Розв’язати рівняння 2х3 - 5х2 +6х-2 = 0 і 6х3 - Зх2 - 2х + 1 = 0,
якщо відомо, що вони мають один спільний корінь.
6.350. Скласти кубічне рівняння за його коренями xf, ххх2 і х\, якщо
числа jcj і jc2 є коренями рівняння х2 + рх + <7 = 0.
6.351. Розв’язати рівняння *3 -6х2 — 39jc — 10 = 0 і х3+х2-20х-50 = 0,
скориставшись тим, що один із коренів першого рівняння вдвічі більший
за один із коренів другого рівняння.
6.352. Розв’язати рівняння jc4 — де3 — 22х2 + 16х + 96 = 0 і х3-2х2-Зх +
+10 = 0, скориставшись тим, що вони мають спільний корінь.
6.353. Знайти всі значення X, при яких рівняння Ах3 - х2 - х - (X +1) = 0 і
Ах2 - х - (к +1) = 0 мають спільний корень, і знайти цей корінь.
6.354. Розв’язати рівняння 8х3 + 4jc2 - 34* + 15 = 0, якщо відомо, що два з
його коренів хх і х2 задовольняють співвідношення 2х\ - 4х2 = 1.
6.355. Показати, що для будь-якого натурального числа п виконується
.11 1 п +1 . ...
рівність + + ... + = , і за и допомогою розв язати
1-2 2-3 (л + 1)(л + 2) л + 2
рівняння (1 + З +... + (2п +1)):[ - + - +— 1= 342.
^2 6 342)
6.356. Розв’язати рівняння х4 - 6х3 + їх2 + 6х - 2 = 0, якщо відомо, що
воно має принаймні одну пару коренів, різниця яких дорівнює 1.
6.357. Розв’язати рівняння Зх3+2л/Зх2-21х + 6>/з = 0, якщо відомо, що
добуток двох його коренів дорівнює 1.
6.358. Розв’язати рівняння х3 - їх2 + 12л: — 10 = 0 і х3 — 1 Ох2 - 2х + 20 = 0,
129

якщо відомо, що один із коренів першого рівняння вдвічі менший за один
із коренів другого рівняння.
6.359. Знайти всі три корені рівняння ах3 + Ьх2 +cx + d = 0, якщо його
коефіцієнти задовольняють умову ad = be.
6.360. Показати, що умова kb2 -(к +1)2 ас = 0 (к Ф 0) є необхідною і
достатньою для того, щоб відношення коренів рівняння ах2 +Ьх + с = 0
дорівнювало к.
6361. Розв’язати рівняння ах3 + bx2 + сх + d = 0, якщо його коефіцієнти
д, Ь, с і d у зазначеному порядку утворюють геометричну прогресію із заданим
знаменником q.
З 2
6362. Довести, що коли корені рівняння х +ах + 6х + с = 0 утворюють
геометричну прогресію, то один із них дорівнює - 1[с.
і 2
6363. Розв’язати рівняння 64х - 24х - 6х +1 = 0, якщо відомо, що його
корені утворюють геометричну прогресію.
З 2
6364.1. 	Нехай числа хх, х2 і х3 є коренями многочлена ах +bx +cx + d.
У такому випадку має місце тотожність
ах3 + Ьх2 + сх + d = а(х - JCj) (х - х2) (х - х3).
Скористатися цією тотожністю, щоб отримати формули, які пов’язують корені
та коефіцієнти даного многочлена.
2. За допомогою формул, отриманих у п. 1, знайти корені х1? х2, і хг
рівняння 8х3-20х2-10х+3=0, склавши і розв’язавши нове кубічне
рівняння 3 КОреНЯМИ JCj+ Х2, Х2+ Х3 І Jt3+ Xj.
6.365. Розв’язати рівняння 2ах3 - (2а2 + а + 2)х2 + (а2 + 2а + 1)х - а = 0,
якщо добуток двох його коренів дорівнює 1.
6366. Скласти рівняння з цілими коефіцієнтами якнайнижчого степеня,
одним із коренів якого було б ЧИСЛО yfl + -Уз.
6367. Показати, що корені рівняння х + х 1 = 2cos40° є також коренями
рівняння х4 +Х-4 =2 cos 160°.
6.368. Розв’язати рівняння х4 -4х3 + 3х2 +8х-10 = 0, якщо відомо, що
два його корені відрізняються один від одного тільки знаками.
6369. Розв’язати рівняння 2х5 - х4 - 2х3 + х2 - 4х + 2 = 0, якщо відомо,
що воно має три корені, два з яких є протилежними числами (протилежними
називаються два числа, сума яких дорівнює нулю).
6.370. Показати, що рівняння Vx4 + x-2 +>/ х4 + х - 2 =6 має єдиний
додатний корінь, і знайти цей корінь.
130

Глава 7
ЛОГАРИФМИ. ПОКАЗНИКОВІ
ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ФОРМУЛИ
Властивості показникової функції
у = ахі а > 0, а* 1
1°. Область визначення функції — множина R усіх дійсних чисел.
2°. Множина значень функції — множина R+ усіх додатних чисел:
а* > 0 для будь-якого дійсного значення х.
3°. При а > 1 функція зростає, тобто якщо jcj < х2, то аХі < аХг. При
О < а < 1 функція спадає, тобто якщо jq < х2, то аХі > аХг.
4°. Якщо аХі = аХі, то хх = х2.
Властивості логарифмічної функції
у = loqeJC, а > 0, а Ф 1
1°. Область визначення функції — множина R+ усіх додатних дійсних
чисел.
2°. Множина значень функції — множина R усіх дійсних чисел.
3°. При а > 1 функція зростає, тобто якщо х2 > х^ >0, то logfl х2 > \oga хх.
При 0 < а <1 функція спадає, тобто якщо х2 > jcj >0, то loga х2 < logfl х\.
Властивості логарифмів
1°. Якщо х > 0, то
x=alogaX
(основна логарифмічна тотожність).
2°. Логарифм основи дорівнює одиниці:
loga а = \. (7-2)
131

3°. Логарифм одиниці дорівнює нулю:
log, 1 = 0. (7.3)
4°. Якщо *і > 0 і *2 > 0, то
loga (х, х2)=loga х, + log„ х2 (7.4)
(формула логарифма добутку);
loge-S-=logex,-logex2 (7.5)
х2 ’
(формула логарифма частки).
5°. Якщо х > 0, то
\ogaxp=p\ogax, (7.6)
де р — будь-яке дійсне число (формула логарифма степеня).
6°. Якщо jc > 0, то
і l°g ь х
<77>
для будь-якого дійсного числа ft > 0 і 6*1 (формула переходу до нової
основи логарифма).
Зокрема,
,08<і Ь="—. або loga ft-log*в=1; (7.8)
log* a
logflft=log pbp=p\og -ft (peR,p*0). (7.9)
ar ar
ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ
І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ
1°. Показникове рівняння
afU)=bg(x) (e>o,e*l,ft>0,ft*l) (7.10)
рівносильне рівнянню
/(x)logc a =g(x)logc ft, (7.11)
яке отримується логарифмуванням рівняння (7.10) за будь-якою основою
с > 0, с* 1.
Зокрема, рівняння =а8^ рівносильне рівнянню f(x)=g(x).
2°. Коренями рівняння
(tt(x))/w=(M(x))*(jr) (7.12)
вважаються тільки розв'язки мішаної системи
132

m(jc)>0,
и(х)Ф 1,
/(x)=g(x)
(7.13)
і ті значення х, для яких и (х) = 1, якщо для цих значень визначені / (х) і
g (х). Функція виду (i/(jc))/(x) визначена тільки при и (х) > 0, тому ті
значення х, які формально задовольняють рівність (7.12), але при яких и (х) < 0, не
прийнято вважати коренями рівняння (7.12).
3°. Логарифмічне рівняння
log af(x)=b (7.14)
рівносильне рівнянню
f(x)=ab. (7.15)
4°. Логарифмічне рівняння
toga/(x)=loga£(x) (а>0,а*1) (7.16)
рівносильне кожній з таких систем:
( »6о 1 (7.17)
!/(*)=«(*) |/00=s(*>-
Для того щоб розв’язати рівняння (7.16), переходять тільки до однієї з
цих систем (простішої) або розв’язують рівняння / (х) = g (х), яке може
мати корені, сторонні для вихідного рівняння, і перевіряють кожний із
них підстановкою у вихідне рівняння.
5°. Для того щоб розв’язати рівняння
logo /(*)+log* g(x)=loga и(х), (7.18)
toga /(x)-loga g(x)=loga u(x), (7.19)
plog,f(x)=logau(x) (7.20)
за допомогою формул (7.4) - (7.6), їх подають відповідно у вигляді
togfl(/(x)s(x))=loga и(х), (7.21)
l°gfl «(*)> (7.22)
toga (/ (х))р = loga 11 (x) (7.23)
і далі розв’язують так, як зазначено в п. 4°.
Із знайдених коренів варто включити у відповідь ті, для яких / (jc) > 0,
g (jc) > 0, и (jc) > 0, або перевірити кожний із них підстановкою у вихідне
рівняння.
6°. Якщо під час розв’язування рівняння за формулами (7.4) - (7.6)
/(х)
здійснюються перетворення виду loga (У* (x)g(jc)), logfl :L—~, logfl (f(x))P,
g(x)
133

де р — парне число, то виникає небезпека втрати коренів даного
рівняння. Для того щоб уникнути можливої втрати коренів, потрібно
скористатися зазначеними формулами в такому вигляді:
logfl(/(x)g(x»=log0 |/(х)|+ log,, |s(*)|. (7.24)
l°ga =log« |/(x)|-lo8o k(x)|, (7.25)
loge((/(x))p=plogfl|/(x)|, P — парне число. (7.26)
j_
Приклад 1. Розв’язати рівняння V5 0,2 2х -0,04і”* =0.
□ Тут усі степені можна подати з однією основою 5. Отримаємо: уІ5 =52,
1 / - \ / . \1—.X
0,22х= І — j =5 2х, 0,041_* =1—1 =5_2(Ьд:) т0ді рівняння матиме вигляд:
I _L I—L
52 .5 2х _5-2(1-х)=0, або 52 2х=5-2(1-х)
За вказівкою 1°, перейдемо до рівносильного рівняння
К .
звідси
*1=1, Х2=^Ш
Приклад 2. Розв’язати рівняння
35-3х2 -35-52х-3х2+52х=0.
х2 2х
□ Групуючи подібні члени, маємо 3 (35-1)-5 (35 —1)=0, або
2 2
3х =5 . Логарифмуючи обидві частини рівняння за основою 10 (див.
вказівку 1°), отримуємо рівносильне рівняння
х2 Ig3 = 2*lg5, a6o*(*lg3-21g5) = 0,
n 2185 -
звідси хх =0, *2 =Т^Г- ■
lg3
Приклад 3. Розв’язати рівняння 4^ -9-2^_1 + 2 = 0.
□ Оскільки 4^ =22^ і 2^-1 = 2^ -2”1 = і • 2^, то дане рівняння
матиме вигляд 21у^ ■-2^* +2 = 0. Зробимо заміну змінної 2^ = у, де
2
у > 0 за властивістю 2° показникової функції. Тоді отримаємо рівняння
134
11 . „. |4х2-5х+1
--—=-2(1-*). Після перетворення отримаємо j ^

9 г~
у2 -—у + 2 = 0, корені якого у\ = 4, у2 = 0,5 додатні. З рівняння 2 =4
випливає, що 2^ =22, Jx =2, звідси л: = 4. Із рівняння 2^* =0,5 випливає,
що 2^ = 2”1, звідси Ух = -1, а це неможливо. Отже, відповідь така: х = 4. ■
j5x-10
Приклад 4. Розв'язати рівняння |* - 2\х х = \х - 2|
□ За вказівкою 2°, коренями рівняння є тільки розв'язки мішаної
системи
|х-2|>0,
І* - 2| * 1, тобто
х * 2
х Ф 3, х Ф1,
х2 -7х + 10 = 0
х -2х = 5х-10,
і, можливо, розв'язки рівняння |х-2| = 1. Із двох коренів рівняння
х2 -7*+ 10 = 0 розв'язком системи є одне число х = 5, а вимогу |jc — 2| = 1
задовольняють х - 3 і х = 1, що також є розв'язками системи, оскільки при
цих значеннях х функції х2 -2х і 5х-10 визначені. Отже, відповідь така:
х= 1, х = 3, х = 5. ■
Приклад 5. Розв’язати рівняння 2 (lg х - lg 6) = lg jc - 2 lg(Vx -1).
□ Враховуючи область визначення логарифмічної функції, квадратного
кореня і вказівку 5°, отримуємо систему, рівносильну даному рівнянню:
jc > 0,
VJ-i>o,
або
lg^7 = lg-
jc > 0,
х> 1,
зб (л£-1)2'
s36-,8(Vr-i)2’
Обидві частини рівняння поділимо на х (при цьому не відбудеться втрати
коренів, бо х > 0) і помножимо на 36(Ух-1)2 (причому не з’являться
сторонні корені, бо х * 1). Тоді отримаємо систему | ^j—X ^ ^ Р*вняння
(VJ(V^-i))2 =36 знаходимо Vx(Vx -1) = 6, Ух(Ух -1)*-6, оскільки
л/х(Ух-1)>0. Далі маємо Vx(Vx-1) = 6, або (Ух)2 - Ух-6 = 0. Отже,
УГ=з, звідси х = 9> i;-Jx=-2, що неможливо. Таким чином, отримуємо
відповідь: х = 9.
135

Приклад 6. Розв’язати рівняння
logo,5 VT+x + 31og1/4(l-х) =log1/16(l - X2)2 + 2.
□ Перейдемо до основи —. Маємо:
4
logo,5 v! + X =log1/4(l + X) [див. формулу (7.7) або (7.9)];
[див. формулу (7.7) і вказівку 6°]; 2 =log1/4 — [див. формулу (7.6)].
У результаті отримуємо рівняння
logl/4(1 + х) + 3log,/4(1 - X) =l0g,/4|l — х21 + log1/4 -J-.
Враховуючи область визначення логарифмічної функції, знаходимо
Обидві частини рівняння поділимо на (1 + jc) (1 - jc) > 0, причому втрати коренів
не відбудеться. Тоді отримаємо
—1 < JC < 1,
(1-х)2 =—.
16
Із рівняння 1 - ;с = 0,25 знаходимо jc = 0,75, причому хе (-1, 1). Із рівняння
1 - jc = - 0,25 маємо х = 1,25, тобто jc не задовольняє нерівність - 1 < jc < 1.
Отже, відповідь така: jc = 0,75. ■
136
У І 21 2
При цих значеннях jc маємо 1 - х > 0, тобто 1-х = 1 - х . Далі, за
вказівкою 5°, запишемо
log1/4((l + x)(l-x)3) = log1/4b|i.
Це рівняння рівносильне мішаній системі
—1 < JC < 1,
(l+j0(l-*)3=i-^-.
16

Приклад 7. Розв’язати рівняння — iQlgJC+1
□ Оскільки логарифмічна функція визначена при х > 0, то ліва і права
частини даного рівняння додатні. Логарифмуючи їх за основою 10 і
використовуючи формули (7.6) і (7.2), отримуємо ^-^lgjc = lgjc + 1. Зробимо
заміну змінної >> = lg* і розв’яжемо рівняння >>2+ 5>> = З.у + 3. Маємо
д;2+2>>-3 = 0, звідси = —3, >^2 = 1 - Із рівняння lg* = -3 отримуємо
х = 10"3, а з рівняння lgjc = 1 знаходимо х = 10. Отже, jc1 = 0,001, х2 = 10. ■
2
Приклад 8. Розв’язати рівняння log* (2х - 4х + 3) = 2.
□ Використовуючи вказівку 3° і враховуючи обмеження, що має основа
логарифма, записуємо рівносильну даному рівнянню систему
х > 0; х Ф1,
2х2 -4х + 3 = х2.
2
Розв’язуємо квадратне рівняння х -4* +3 = 0, звідси х\ = 3, дс2 = 1 (не
підходить). Отже, jc = 3. ■
Приклад 9. Розв’язати рівняння log3(* + 6) logJC3 = 2.
□ Враховуючи область визначення логарифмічної функції, обмеження,
що має основа логарифма, і формулу (7.8), отримуємо рівносильну даному
рівнянню систему
х + 6 > 0,
х > 0; х * 1,
log3(* + 6)—— = 2.
log3 ^
Розв’язуємо рівняння ЦІЄЇ системи. Оскільки X * 1, ТО log3 X Ф 0 і рівняння
матиме такий вигляд:
log з (jc + 6) = 2 log з JC, або log3 (jc + 6) = log3 jc2 , або x2 = x + 6
(див. вказівку 4°). Знаходимо корені цього рівняння: jcj =-2, jc2 =3. З них
тільки jc = 3 задовольняє умови jc + 6>0,jc>0ijc*l. Отже, відповідь така:
* = 3. ■
Приклад 10. Розв’язати рівняння lg*2 =0,251g(4* + 3)4.
□ Враховуючи область визначення логарифмічної функції, робимо
137

висновок, що х Ф 0, 4х + З Ф 0. Для перетворення lg(4jt + 3)4 застосовуємо
формулу (7.26) (див. вказівку 6°). Тоді
0,251g(4jc + З)4 = 0,25 41g|4jc + 3| = lg|4jt + 3|.
У результаті отримаємо рівняння lgjc2 = lg|4jc + 3|, рівносильне даному.
Якщо 4х + 3 > 0, тобтох >- 0,75, то [4* + 3| = 4х + 3 і х2 = 4х + 3. Знаходимо
корені цього рівняння: х\ =2 + ^7 >-0,75, х2 =2-4Ї>-0,75. Якщо
4х + 3 < 0, тобто jc < - 0,75, то |4дг + 3| = -Ах-3 і х2 =-4х-3. Знаходимо
корені цього рівняння: х\ = — 1 < —0,75, х2 =-3 <-0,75. Отже, відповідь така:
2±V7;-1;-3. ■
Примітка. Вираз 0,25 lg (4х + З)4 можна замінити тотожно рівним йому
виразом lg((4x + 3)4)0,25 (див. вказівку 5°), але твердження . lg((4x + 3)4)0’25 =
= lg(4x + 3) було б хибним. Річ у тім, що, використовуючи правила
піднесення степеня до степеня, необхідно враховувати таку властивість степеневої
_1_
функції: при будь-якому п є Ламаємо (х2п)2п = |jcj, а не х [див. формулу (2.24)].
І
Тому lg((4x + 3)4)0,25 =lg((4oc + 3)4)4 =lg|4* + 3|.
Група А
Спростити (7.001-7.015):
пг ~
7.001. 	\25,ОЄі5 +49log«7.
1 4
7.002. 811085 3 + 27log’36 + 31087 9.
7.003. -Ю821о82Ж.
7.004. -log3log3^/3.
7.005.
91|^811^9-8
27^2 3 +^log„49 II 81*°^9 glofr*9
1
3 + 5k*,6U .5,08j3
7.006. Зб*0*®5 +101-1*2 — З108®36.
138

7.007.
!_Іі
8і4~2 +25logl258
. 491o87
7.008.
Ollofe9 .-їІО*Л3Г ^
(<У7)І0&57 —125і08256
409
7.009.
15
ДГі082^ . ft І08в ^ "N log512 N
(основи логарифмів є
послідовними натуральними степенями числа 2).
7.010. \^°^а -з^о^+і)3 _2a): (741og49<I -S°,5]og^a
7.011.
logq Va2 -1 ■ logj/a Va2 -1
loga2 (a2 -1) • log зг\/а2 -1
a
2 ,
7.012. elog*a i>-2alog‘-fc+1ilog*a+1+e6log“*
+1
7.013.
25210g4925 + 2iog2 log2 log2a21ogfl4
-2
4l0*«4 -a2
1-а
7.014. (loga b + log* a + 2) (loga A - loge6 b) log* a -1.
7.015.
1-lQfofr
(loga b + log^ а +1) loga —
u
7.016. Якщо loga 27 = by то чому дорівнює log^j tfa ?
7.017. Показати, що при x > 0 і у > 0 з рівності х2 +4у2 = 12ху
випливає рівність lg(x + 2>')-21g2 = 0,5(lgjc + lg.y)-
7.018. Обчислити суму 2х +2~х, якщо 4х +4~х = 23.
7.019. Довести, що коли у = 2х2 і z-2y , то х = ±^/0,5log2log2z, і
вказати всі значення z, при яких х набуває дійсних значень.
139

Розв’язати рівняння (7.020-7.046):
7.020. ^I+ijlg3+lg2 = lg^27-3I j.
7.021. 31ogj2+2-jr = log5(3*-52~x).
7.022. Jiogjx? -4k)g9-j3x =1.
7.023. I°g|-x 3 - log,_x 2 - 0^ = 0.
7.024. Ig5 + lg(x +10) = 1 - lg(2jc -1)+lg(21x - 20).
7.025. log2182 - 2 log2 Js - x = log2 (11 - x) +1.
7.026. logs Jx-9 - log; 10+logs V2x-1 = 0.
7.027. lg(x+l,5) = -lgx.
7.028. 52(Iofe 2+x) - 2 = 5x+log5 2.
7.029. O,25k>g2,/^_0'5log2(jr2_9) = ^2(7-x).
7.030. xlg^ - lg25 = 0.
7.031. log5(x-2)+log^j(x3-2)+log0>2(x-2) = 4.
2-lg4 + lg0,12
lg(V3x+l +4)-lg(2x)
7.033. xlg3jt_5lgjt =0,0001.
7.034. lg(3x -24~z) = 2 + 0,25lg 16-0,5xlg4.
7.035. log3(81x +32x) = 31og27 90.
7.036. 3x - log6 8J = log6(33jt + x2 - 9).
7.037. log6(3x2 +l)-log6(32_Jc2 +9) = lofo2-1.
7.038. Ig (625—20jr+55 ) = o.
7.039. Igl0‘g(jt2_2l)-2 = lgx-lg25.
7.040. lg(x2 +l) = 21g_1(x2 +1)-1.
7.041. lgV5I<l3_Jt) +lllg2 = ll.
140

7.042. x(lg5 -1) = lg(2x +1) - lg6.
7.043. Igf81 C^]=0.
7Л44. logx(9x2) • tog2 x = 4.
7.045. tog5 (Зх -11) + log5 (x - 27) = 3+log5 8.
7.046. lg(5-x)+21g>/3-x=l.
7.047. Знаити натуральне число n з рівності
32-35-3*...3ЗВ-1 =275.
Розв’язати рівняння (7.048-7.127):
7.048. 0,5(lg(x2 -55x+90)-lg(x-36)) = lgS.
7.049. lg(5-x)-±lg(35-x3) = 0.
7.050. log2^Ulog2(x2-25)=0.
x+5
7.051. ifcjfca-,.
lgvx+7-lg2
7.052. logo^(4x)+log2 = 8.
O
7.053. lglgx + lg(lgx3 -2) = 0.
7.054. log2x+log4x + loggx = ll.
7.055. log3(3x-8) = 2-x.
7.056. 7lgJt -5,gi+l =3-5lgJI-1 -13-7І8ДГ_1.
7.057. 5X+* - 3X+7 =43 -5x+4 -19- 3X+5.
log5(V2x-7+l) Л,
7.058. *5V , —- = 0,5.
log5(V2x-7 +7)
x 2+Jx+i
7.059. ,/з-3,+^ .^Ij(i+^) =gl
7.060. ^1/4* 0,125^ = 4^2.
141

5 1
7.061. ■j2 0,54'^+l° -162(^+1) =0.
х-3 ^І І Зх-1
7.062. 8^ 0,25 *-> =1.
7.063. 2*2~3 -5*2~3 = 0,01 • (10х-1)3.
7.064. 0,6Х(|]
1 1
7.065. 5*~Л 0,2І* = \р25.
і і Jx
7.066. 2І*~1 0,5^ _4х+7х
4+J9-X
7.067. 2,5 ■0,4|"'/^ =510 0,15.
7.068. 2*2-1 - З*2 = З*2-1 -2х1+2.
7.069. 1°8^5 (4 х - 6) - log^j (2х - 2) = 2.
7.070. 4l08»Jc2 + logyj 3 = 0,2(42+ІО&І * - 4log’ *).
7.071. З • 52х_| - 2 • 5х-1 = 0,2.
2 І І
7.072. 10х +25* =4,25-50*.
7.073. 9х2-1 -36• З*'-3 +3 = 0.
7.074. 4х -10-2Х_І -24 = 0.
7.075. (3/З)х + (1^3)х_1° = 84.
7.076. 9^ - 27 = 6 • 3^.
7.077. 17-2^х2_8х -8 = 2-4^х2_8х.
2 Зх+З
7.078. 8і -2 * +12 = 0.
7.079. 2 log* 27 - 31og27 де = 1.
7.080. lg(V6 + * + 6) = - .
10
142

7.081.
, ? 25к
log5 X + logx 25 = ctg —.
6
lgx+5
7.082.
X 3 =io5+18*.
7.083.
^log4Jc-2 _ 23(log, дг-1)
2* +10 9
7.084.
4 2X~2 '
7.085.
101+*2 -101-*2 =99.
l-ilgx2 i
7.086.
Vioo
7.087.
7х ф)2*2'6-^ =0.
7.088.
3. 4Io8i 2 - 46 • 2log'2-1 =8.
7.089.
9|ogi/3(*+1) _ 5І°ві/з(2'і2+і)
7.090.
27lgJt-7-9lg*-21-3lgJt+27 =
0.
7.091.
log2(4-3Jt-6)-log2(9x-6) =
1.
7.092.
2 log3 (x - 2) + log3 (x - 4)2 = 0.
7.093.
log3 де • log9 де • log27 JC • lOgg) x =
2
3*
7.094.
41o8j *2 _ 4log5 X+1 + 4l°g5 _ 1 :
= 0.
7.095.
Jlogax+y]logxa=^j.
7.096.
lg(3jc2 + 12x + 19)-lg(3x + 4) =
= 1.
7.097.
1о8з(х-3)2+1о8з|х-3| = 3.
7.098.
Igjx - 3 + \gJ7+3 =2-0,5 lg625.
7.099.
lg(3-x)-±lg(27-x3) = 0.
7.100.
21gx-lg4 = -lg(5-x2).
7.101.
lg8-lgVr+6=lgl6-lg(jc-2).
143

7.102.
7.103.
7.104.
7.105.
7.106.
7.107.
7.108.
7.109.
7.110.
7.111.
7.112.
7.113.
7.114.
21gV4-* H-lg(6 —jc) = 1.
lg(2jc-19)-lg(3jc-20)
lg*
= -1.
lg*"
- = 1.
lg(6:c-5)
loga у + loga (y + 5) + loga 0,02 = 0.
log* yfl - log2 V2 = log3 27 - log, (2x).
(log 2 x - 3) log 2 X + 2 (log 2 X +1) log 2 Vl = 0.
0,1 log 2 (JC - 4) -1,3 log 2 (JC - 4) + 3,6 = 0.
52x-\ + 22x _ s2x + 22x+2 = Q
l°g2 (9 - 2X) = 10lg(3_x).
ilg(271 + 32^) + lgl0 = 2.
t i-ntG
(5/27)4 V3 =4^7
г'в* =
=lOOOx.
lg(x(x + 9)) + lg— = 0.
JC
7.115. 	lg2 (1 OOx) + lg2 (1 Ox) = 14 + lg—.
7.116. 	1 + 2 logx 2 ■ log4 (10 - .x) = -
10g4 X
7.117. 2logjJt2 •5lofoj:=400.
7.118. 5і0Ь(х2-21) • 0,22 • 25-0’51082 * = 1.
7.119. 42log,(2-,:_2) 0,25log8(2j'-3) =Vl6.
log3^2-13x+28+|j= log5 0,2.
7.120.
7.121. log2 (4* + 4) = jc + log2 (2x+x - 3).
144

7.122. $275л/* = Зх(^~4).
7.123. log6^15-я) +810g62 = 8.
7.124. log5(4x +144)-41og5 2 = 1 + log5(2j:_2 +1).
7.125. 27xlog27 J = X 3 .
7.126. log, 9 + logx2 729 = 10.
7.127. log2(25JC+3 -1) = 2 + log2(5*+3 +1).
Розв’язати системи рівнянь (7.128-7.149):
{logy X + log* у- 2,
2
x ->> = 20.
[10,+,g(Jt+-v) =50,
7 129
• • [lg(jc — >>) + lg(x + jv) = 2 — lg5.
7130
' • [lg (jc + y) + lg (x - /) = lg 1,2 +1.
’ = 1 + log4 9,
10
7.132.
3^-9* =81,
lg(>> + jc)2 — lgjc = 21g3.
log, у = 2,5,
7.133.
32x -2y =725,
7.134. 	• r
3*-22 =25.
lg(2x-j>) + l = lg(y + 2x) + lg6.
145

|jc2>> 1 =5,
ГА2=1
7.138. 	і 2,
I x =125.
7.140.
7.142.
7.144.
7.146.
7.148.
І4x+y _ 2y~x,
4log^=/-5.
log2 x + log4 у = 4,
log4 x + log2 .y = 5.
2x-3y=6,
3x-4y=\2.
log (•»?') = 8>
log3 log,/9^ = 0.
(Х + У)2у~2х =6,25,
1
(* + >-)2jt^ =5.
7.139. 	№Гу=0,5у-\
 ‘ [log3(jc — 2>>) +- log3(Здс + 2>’) = 3.
ги,{у_
x - log2 ^ = 0,
2д>2 —8 = 0.
7.143.
7.145.
7.147.
7.149.
x+y x+y
2~T +2~6~ =6>
x2 +5y2 =6xy.
y = 1 + log 4 x,
xy = 46.
log^(x-y) = l,
log^,(x + >>) = 0.
[glog9(x-4jv) =|
\4x~2y -1 ■ 2x~2y = 8.
Група Б
Спростити вирази (7.150-7.156):
108,001 logm*f°^(l,+fc)
7.150.
Ь lgfl д
7.151. ((log* а + log4 b + 2)U2 + 2)I/2 - log* a - loge b.
7.152. logj(2x2) + log2 x • xlogj;(log2 Jr+1) + ~ log4 r4 + 2_3lo8o>5 log2 *.
7.153.
\1/2
l+-
21og4*+83422+1
\ogab-logr }Jb
7.154. 	 У.9./b.... -.; logj,(a3fe ).
146

7.155. (eilogba log^b + ^ + logab-6 +\oglb)l/2 -\ogab, шцоа> 1.
loga Ь — l0gfl£ Ь Ь*тЬУОІаО_Х’
7.157. Відомо, що loga x = a, log^ x = P, logc x = y, log^ jc = 8 і jc 1.
Знайти logfl6^x.
і l
7.158. Відомо, що P = 101_lga і у = 101_lgP. Знайти залежність a від у.
7.159. Довести, що \ogab с = - — - ^°--С-.
logac + log6c
7.160. Спростити вираз loga+*, т + \oga_b т- 2 \oga+b т • loga_^ т, якщо
відомо, що т2 = а2 - Ь2.
7.161. Знайти log308, якщо відомо, що lg 5 = а і lg 3 = Ь.
7.164. 	Знаючи, що 6 = 8* log8fl і с = 81 log8ь, показати, що a = 8* log8C.
Розв’язати рівняння (7.165-7.258):
7.162. Довести, що Х = 1 + log„ b.
log аЬх
7.163. Знаючи, що lg 2 = а і log27 = b, знайти lg 56.
7.165. 	3-4* +-• 9Х+1 = 6 • 4ДГ+1 - - • 9Х+І.
З 2
7.166. 	fog0Mx + l + ^log02x + 3 = 1.
7.167. ^\^~Ш = -\ogx 5.
7.168. log4j[+17 + log9j 7 = 0.
7.170. log2(2-х)-log2(2-л/х) = log2 \І2-х -0,5.
7.171. 5)+1o84j: +5logo.25-t_1 =5,2.
7.172. ^2 logg (-x) - log* Jx2 = 0.
7.173. 21gx2-lg2(-x) = 4.
147

7.174. 3lo^J'+*lcejJt=162.
7.175. lg(x3 +8)-041g(x2 +4x+4) = lg7.
7.176. 2і0®5 *2 - 2l+h>85 * + г10* х_| -1 = 0.
7J77.12І^)=1.
3-х
7.178. log5 x+log25 x = logo^ S.
7.179. loge2X2+loge(x-l) = logelog^5.
7.180. x2lg2* = 10x3.
7.181. log, 3+log3 x = log^- 3+log3 Jx + 0,5.
a2
7.182. log^a loga2 — = 1.
7.183. 5_2l°8oo4(3-,x2)+l,51og,/g4J[=0.
7.184. log,, x+logfl2 x + logfl3 x = 11.
7.185. 6-(l+4-94"2l°gJ53)Jog7x = logx7.
7.186. logl2(43* + 3x-9) = 3x-xlog,227.
7.187. x2 •IogJt27-log9X = x+4.
7.188. Vlog5X+log25+2 = 2,5.
7.189. log, m -log=1.
у 2 m — x
tofeie
7.190. log23+21og4x = xl0g3jr.
7.191. log,0 x + log^o x+logj^ x+... + logio^ х = 5Д
7.192. ^31og2x-l-91og22 =5.
7.193. log^j x + log^j x + logyj x +... + log.yj x = 36.
7.194. logJ2-log4x+| = 0.
6

7.195. log,(125x) tog|5x = l.
7.196. Зіо8з *+ІОЬ *2 +k>gj *3+.+log3 х* _27д;30
7.197. 	5^ • = 125*“* • 0,04х'2.
7.198.
3(3^+3)177
ІТГч
з
,0Л'
7.199. log2log3(x2 -16)-log,/2 logj/з т—— = 2.
х -16
7.200. 1 + 21°Є9 2 _ і = 2 logj 3 • 1о&(12 - jc).
log, ж
7ЛОЇ. 31g2 + lg(2
-1) = lg|o,4V2^*~^ +4 j+1.
7.202. 	51ogx x + log9 x3 +81og9jr2 x2 =2.
7.203. 201og4jC Jx + 71og16x x3 - SlogQ^ x2 = 0.
7.204. 4Л*-ЗГ' =3J|*-3T2.
7.205. k-3|3xl-,0x+3=l.
, -\\0x2-3x-\ ,
7.206. \x-2\ =1.
7.207. log^^HZ-log1/ax = 0.
7.208. 2X_I +2X~* +2X_2 =6,5+3,25+1,625+...
нескінченна геометрична прогресія).
7.209. 49u^ - 344 • 7^x=2 = -7.
7.210. 5х"'+5 0Дх_2=26.
7.211. log^jx ^log^j3-log,9 +4 = 0.
log./- 2
7.212. _i2^r + log2jr2.1og0(5(2x) = 0.
1o82x 2
у правій частині -
149

7.213. |log^x-2|-|log3*-2| = 2.
7.214. 9* + 6х = 22x+1.
7.215. 2*+^-6 = 0.
7.216. 27х-13-9х+13-3*+І-27 = 0.
7.217. 	(V7 + V48 I +IV7-V48 I =14.
2log1/27(x-l) l0fo27
log5 243
7.219. 51+J(J -51-*2 =24.
7.220. 32x+4 +45-6х - 9- 12х+2 = 0.
7.221. 4lgx+1 - 6,gx - 2 • 3і8*2+2 = 0.
7.222. 316x+2-81x=5-36x.
7.223. log^1’5*-2’5 + 21’5*-0’5 -0,01 • 53x+l) = 3x -1.
7.225. log3jt+7 (5x + 3) + log5x+3 (3x + 7) = 2.
7.226. 2,5log3jt+0,4k>g3jr=2,9.
7.227. (lg(x + 20) - lgx) log, 0,1 = -1.
7.228. 5lgx=50-xlg5.
7.229. 27 • 2~3x + 9 • 2X - 23x - 27 • 2“x = 8.
7.230. log**, (x - 0,5) = logx_0 5 (x +1).
7.231. log4log2X + log2log4X = 2.
7.232. log^ 16+ log2j. 64 = 3.
7.233. (31og0x-2)logJa = log^-x-3; a>0,a*l.
x—4
7.235. 	x logx+15 • log^j (x +1) = ——.
150

7.236. 31gx2 -lg2(-x) = 9.
7.237. 	41og3(-x)+21og4x2 =-1.
2 1
7.23*. — 7=*- , =0.
v31og2 VX V,0g2(-x)
7.239. lgVlO-lgl00= ^(390635-5^) -2,5.
7.240. lg4(x -1)2 + lg2(x -1)3 = 25.
log2(x3 + 3x2+2x-l)
7.241. 2 з _ , —— = log2jt x + log2 * 2.
I°g2(* +2x -3x + 5)
7.242. (16 • 52*-1 - 2 • 5X_1 - 0,048) lg(x3 + 2x +1) = 0.
7.243. 5Jt #-r = 500.
7.244. 31og2sinx + log2(l-cos2x) = 2.
7.245. log,+x (2x3 + 2x2 - 3x +1) = 3.
7.246. log2\[x +^jlog2x=|.
7.247. ^log5 x + ^/log5 x = 2.
7.248. log2 x • log3 x = log3 x3 + log2 x2 - 6.
7.249. 3 • 4*-2 + 27 = a + a ■ 4X~2. При яких значеннях а рівняння має
розв’язок?
7.250. logax+log^jx + logj^-x = 27.
7.251. х^2*-'**2 = 0.
X
7.252. ^j(16lo89*+1 -16log3,/x) + 16,og3Jr - log 5>/5 =0.
7.253. logfl л/4 + jc + 3 logfl2 (4 - де) - logfl4 (16 - х2 )2 = 2. При яких
значених а рівняння має розв’язок?
7.254. log2 Уї + logg(9JC+l -1) = 1 + \о&(Зх+] +1).
7.255. 25І0&>д:-5І08іб*2+1 =log^9V3-25І0Вібх
151

7.256. +
og23-log2(3x-13) = 2.
7.257. 	log2 3• Iog34 • log4 5...log„(я +1) = 10; ne N.
а+З
7.258. 	2a+2 32^fl+2^ = 4* (розглянути для всіх дійсних значень а).
Розв’язати системи рівнянь (7.259-7.294):
f2-log2y = 21og2(x + y),
7'2S9‘ |log2(x + >>) + log2(x2-ду + >-2) = 1.
7.260.
2*-,
2
3-1^1 +7*1 -т- І -6 = 0,
lg(3x - у) + lg(x + у) - 4lg2 = 0.
7.261.
1(0,48* +2)2-t->' = і,
Ilg(x + r)-l = lg6-lg(* + 2y).
7.262.
log2 (x-j>) = 5- log2 (х + у),
lgx-lg4_ t
lg>»-lg3
7.263.
4у х =32,
log3(x-y) = l-log3(x + >').
7.264.
^5х2-51х+10 _ j
xy = 15.
Uogxy = 2,
7'26S‘ llogJ+1(y + 23) = 3.
7.266.
7.268.
(х2+У)2У~х =1,
9(x2+y) = 6x2~y.
9^-27-3^ =0,
Ugx + ^-lgy = \g(4-Vx).
4 2
7.267.
7.269.
у ~~ log3 X = 1,
xy =312.
3_JC-2^ =1152,
log^ (x + y) = 2.
152

7.270.
7.271.
7.272.
7.273.
7.274.
7.275.
7.277.
7.279.
7.281.
7.283.
7.285.
7.287.
lg(*2 +>2) = l + lg8,
lg(x + y)-lg(x-y) = lg3.
ІЗ* •2-v =972,
{^l+21og3(^-j) =4g^
21og5 (2>> — x-12)-log5(y-x) = log5(y + jc).
log9 (x3 + y3) = log3 (x2 - y2) = log3 (x + y).
f(loge x + loge у - 2)Ioglg a = 1,
[2x + y-20a = 0.
(x + y)3y~x = —-,
' 27
31og5 (x + y) = x-y.
2^*у~2 +4^~l =5,
7-276- • 3(x + y) 5(x-y)
x-y
x + y
= 8.
1x^=2,
[(гх)^ =64; x>0.
Ь2-7Щ0 = 1;
[x + у = 8; x>0.
I logy *' 2,5
yx ' =x ' ,
l°g3 У ‘ logj’ (У - 2x) = 1.
Jlog,(3x+2y) = 2,
|log>,(2x+3y)=2.
7.278.
x2 y2 ..
— + — = 12,
у x
, 1o85- 1
2_1o*2 * + 5 у =1.
f2(logI/>,x-21og 2 y) + 5 = 0,
7.280. ^ .
Іду2 =32.
7.282.
7.284.
Jlg(x-3)-lg(5-y) = 0,
і4-|^47-8^ = 0.
x+y = 12,
2(2log 2 x-Iog]/xy) = 5.
jx*2-^2-16 =1,
[x-y = 2; x>0.
7.286.
fig J(x + y)2 =1,
|lgy-lg|x| = lg2.
(4X _ 7. 2*"°-5>' = 23_>',
,-* = 3.
7.288.
5Vr. 2^7 = 2СИ
523л£ +22/v _
689.
153

7.289.
7.291.
7.292.
7.293.
10lgO,5(x2 V)+1.5 _ loo^fio,
■jx2 + 10_y 6
2-Jxz +\Oy-9
\yx=l,5 + y x,
7.290. 	і ,,. r
I ’ = 64; >->0.
lg(* + У) ~ *g5 = lgx + lgy - lg6,
lg*
lg(>> + 6)-(lgy + lg6)
logxK“log2x = l,
log2 (,V-*) = 1.
(х + у)х=(х-уУ,
10g2X-10g2>' = l.
- = -1.
7.294.
L*-2,
}4(x-
-^=36,
2y) + l°g6 x = 9
(знайти тільки цілочислові розв’язки).
Група В
Спростити вирази (7.295-7.299):
(\гЬ-2^Ь)тЛг~тЬг
7.295.
‘g fc+1 11 ipQ.sigigA1
21gft
7.296. 21ogJl2b
1/2 ( Г~ /—>1/2
(toga Vab + l0gfr %b j - log,, ^ + log*
якщо a > 1 і b >1 .
7.297. 	J\ogn p + \ogpn + 2 • (log,, p - lognp p) • J\ognp.
7.298.
7.299.
logfl^-H
21oga6
1/2
-1
loga6 + l
21oga^>
\l/2 ^
+ 1
УІ2 log J/ 2 by якщо a > 1.
1 - logl la , *2 + lo8e
	 (a-o)
(\-\o%4Z{a-b) + \o&{a-b))V2'
154

7.300. Скориставшись рівностями 675 = 9 • 75 і 135 = 3 • 45, визначити без
допомоги таблиць, яке число більше: log135 6 75 або log45 75.
7.301. Рівняння 4а + 10х = 25* має єдиний корінь. Знайти його і з’ясувати:
шуканий корінь додатний чи від’ємний? більший чи менший від одиниці?
7.302. Показати, що log312 = log37 • log75 • log54 + 1.
7.303. Вираз logm A • logn A + logn A • log^ A + logp A • logm А подати
у вигляді добутку.
7.304. Показати, що log32 • log43 • log54 • log65 • log76 • log87 = j.
7.305. Спростити вираз
1/2 '1/2
/ \ Ml
(log^ + log^ + 2) -2
, якщо1<а<£.
7306. При яких значеннях р рівняння lg (х2 + 2рх) - lg (8jc - 6р - 3) = 0
має єдиний корінь?
7.307. При яких значеннях а рівняння 21g (jc + 3) = lg (ах) має єдиний
корінь?
7.308. Знайти х(хє Z), якщо (^/oJ + ^/4)x = 13,5.
Розв’язати рівняння (7.309-7.333):
7.309. 2logpх = log3х• log3( V2jcTT -1).
7310. 11 log* I* IgJc = lglg103 — 1.
•• (1+log'TF)
7311. 31og, 4 + 2 log4j 4 + 31ogi«x 4 = 0.
7312. 4logi6 _ з1°8іб *-0.5 _ ^Іовіб *+0.5 _ 221°g|6
7313. logI+i (jc3 - 9jc+8) • logx_] (jc +1) = 3.
2-41og]22 1_log6(8-x)
logi2(* + 2) log6(jc + 2)
j,-j)
7315. 2 v •'-2-0,25 cos2x -1=0.
7316. lg(2jc) + lg(2 - jc) = lglgp. При яких значеннях p рівняння має
розв'язок?
7317. log4 jc + log* 2 - log4 Vjc = 1.
k +1
7318. log* jc + log^£ jc + ... + log*^- jc = ——; ke N.
7319. 2 - logft2 (1 + x) = 31ogi 47^7 - logfc4 (jc2 -1)2.
7320. m1+log3 * + м1_ІОВз * =m2 +1; m >0, m *1.
155

1321. М1^-18'2 =к-і|3
7311. a2'*x-'ti6-z) =1;а>0.
1313. р10*2(x+l4Hog2(x+2) = р6. р>0
7J24. (х'-х-l)' “'=1.
7.325. 	(2і-2-2“х)k>g,<2jt+3>_log31 = 1.
7326. |x-3(j2'x = (х-3)2.
7J27. log^(* + 12) = 81ogx+12 х (обмежишся визначенням цілого кореня).
131». 5lgx - З1** = 5,(3) • З0-51** • 5°-5(1*х-2>.
1319. |log2(3x -1) - log2 3|=|log2(5 - 2x) -1|.
7.330. (2 + S)x2-2x+i +(2-S)xi-2x~l V-
2-V3
7.331. *°g3* 1 -2log3л/х + log2x = 3.
log3:
7J32. logx+3(3-'Jl^2x + xi) = 0£.
1333. ^/log2(2x2)• log4(16x) = log4x3.
Розв’язати системи рівнянь (7.334-7.340):
{log2(« + v) - log3(« - v) = 1,
2 2 ,
w -v =2.
7.335.
1331.
1339.
xp=y\
 loge- = |5^; p*qipq*0. I-33*.
У loga У 1(4*)® =(3y)® •
xy = a ,
lg2x+lg2y = 2,51gV,
якщо a< 0.
7.338,
3*g* = 4*8^
(4x)'*4=(3>
, Jxl0g'^+j-,08‘x=4,
[lOg4 X — log4 У = 1 •
(2x+0
x -xy-8 _
= 1,
(0,37x~y)x2+xy+2x~16 =1.
|х|°*^ + 2у|08зх=27,
7J40. \
 llog3y-log3x = l.
156

Глава 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
1°. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються
рівняння виду
sin х — а9 cos х — а (де \а\ й 1);
tg х = a, ctg х = а (де -<» < а < +»).
Формули розв’язків цих рівнянь мають такий вигляд (тут і далі п є Z
означає, що п — ціле число):
smx = a\ х = (-1)л arcsin а + ял, п є Z; (8.1)
cosx = а;х = ± arccos а + 2 ля, п є Z; (8.2)
tg jc = а; jc =arctg д + ял, л є Z; (8.3)
ctg х = аі х =arcctg а + ял, л є Z. (8.4)
В окремих випадках, коли а = 0, а = 1, а = - 1, матимемо такі формули:
sin* = 0; х = ял, п є Z; (8.5)
sinjc = 1; х = ^+2ял, л є Z; (8.6)
sinjc = -1; х = ■“ + 2ял, л є Z; (8.7)
cosjc = 0; х = ^ + кп, п є Z; (8.8)
cosjc = 1; х = 2пп, п є Z; (8.9)
cosjc = -1; jc = я + 2ял, л є Z; (8.10)
tgjc = 0; х = ял, л є Z; (8.11)
ctgjc = 0; х = — + тсл, л є Z. (8.12)
2
157

Рівняння виду
sin(GK+(p)=a, cos(GJc+(p)=a, tg(cat+(p)=&, ctg(GJt+<p)=fe
(|д| <1, G)*0, cp, b —будь-які дійсні числа) також належать до найпростіших. їх
треба розв’язувати за формулами (8.1)—(8.4), замінивши х на сох + <р.
S
Приклад 1. Розв’язати рівняння sin
(п ) V3
2х =—.
U J 2
□ За формулою (8.1) маємо ^-2х = (-1)лагс8Іп ^- + пп. Оскільки
6 2
Уз Я ТС * . п К • ґ
arcsin— = —, то —2х = (-1) — + кп, звідси х = -(-1) — + — +—,
2 3 6 3 6 12 2
або х = (-1)"+І ^ + -£-(6и +1), п є Z. ■
6 12
Якщо рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних
перетворень його потрібно звести до одного чи кількох найпростіших рівнянь,
сукупність яких рівносильна даному.
2°. Під час розв’язування тригонометричних рівнянь часто використовуються
розкладання на множники і введення нової змінної (метод підстановки).
Приклад 2. Розв’язати рівняння sin х = sin 2х cos Зх.
□ Застосувавши до sin 2х формулу синуса подвійного аргументу (3.13),
отримаємо sinx = 2sinxcosxcos3x; sinx(l-2cosxcos3x) = 0.
Оскільки множники в лівій частині цього рівняння мають зміст при будь-
яких значеннях х, то воно рівносильне сукупності двох рівнянь: sin х = 0 і
1 - 2cos х cos Зх = 0.
За формулою (8.5) перше рівняння задовольняють значення х = ял, п є Z.
Для того щоб розв’язати друге рівняння, перетворимо добуток косинусів у
суму за формулою (3.26); маємо 1 - (cos 4х + cos 2х) = 0. Оскільки 1 - cos 4х =
= 2sin2 2х [див. формулу (3.16)], рівняння матиме вигляд 2sin22x - cos 2х =
= 0, або 2(1- cos22x) - cos 2х = 0, звідси отримаємо 2cos22x + cos 2х - 2 = 0 —
квадратне рівняння відносно cos 2х. Підставивши cos 2х = z, маємо 2z2 + z -
„ Л „ , -\+Jvi -1--Л7
-2 = 0. Розв язавши це рівняння, знаходимо zx = , z2 = •
o™N=|^>,„
шається розв’язати рівняння cos2x= - . За формулою (8.2) маємо
4
2x = ±arccos^-^—- + 2яky ке Z.
4
Отже, відповідь така: х = пп; х = ±—arccos———- + пк, п, к є Z. ■
2 4
158

Під час розв'язування рівняння методом розкладу на множники воно може
це бути рівносильним отриманій сукупності рівнянь, бо можлива поява
сторонніх коренів. Для того щоб уникнути помилки у відповіді, потрібно
виключити зі знайдених значень невідомого ті, для яких дане рівняння не має змісту.
Приклад 3. Розв’язати рівняння (1 - sin х) (tg2 х - 3) = 0.
□ Знайдемо значення х, що задовольняють кожне з рівнянь 1 - sin jc = 0
і tg2 х - 3 = 0; якщо sin jc = 1, то за формулою (8.6) отримаємо
х = -| + 2тсМ є Z, (*)
якіцо tg2 х = 3, тобто tgx = ±ч/з, то за формулою (8.3) маємо
х = ±^ + пп, п є Z. (**)
З
Однак було б помилковим вважати відповіддю об’єднання розв’язків(*)
к
і (**). Річ у тім, що вихідне рівняння не має змісту для значень х = —+ ял
(п е Z), тому перший з можливих розв’язків не підходить (він сторонній) і
ВІДПОВІДДЮ є тільки другий розв’язок Х = ±у+ 7ІЛ (л є 2). І
Приклад 4. Розв’язати рівняння cosxcos2xcos4x = i.
□ Найшвидший спосіб розв’язування — множення правої і лівої
частин рівності на 8 sin х, хоча при цьому можлива поява сторонніх коренів. Для того
щоб уникнути цього, слід врахувати, що в остаточний розв’язок не повинні
входити значення х, для яких sin х = 0, тобто значення х = кп (п є Z), бо вони не
задовольняють вихідне рівняння.
Після множення на 8 sin х рівняння матиме такий вигляд:
8 sin х cos х cos 2х cos 4х = sin х.
Послідовно тричі застосувавши формулу (3.13), отримаємо спочатку
4 sin 2х cos 2х cos 4х = sin х, потім 2 sin 4х cos 4х = sin х і далі sin 8х = sin х, або
sin 8х - sin х = 0. Перетворивши за формулою (3.20) різницю синусів у
7х 9х
добуток, отримаємо sin—cos— = 0.
їх їх 2 пк
Нехай sin— = 0;тоді — = кк (ке Z), звідси х = (ке Z), причому
2 2 7
треба виключити значення х = 2кп (п е Z), які отримаємо, якщо k = In,
9х л . 9х я
як сторонні для вихідного рівняння. Нехай тепер cos—= 0; тоді = ^ +
159

71 (2m +1) / _
+7vn (m є Z), звідси jc = ^1 (/и є Z), причому треба виключити зн
чення jc = п(2п +1 )(п є Z), які отримаємо, якщо т = 9п + 4 (п є Z), як ст
ронні для вихідного рівняння.
27СЛ: , _ _ я(2/и + 1)
Отже, відповідь така: jc = , де ціле кФІп,п є Z;jc = — ;
7 9
ціле m * 9л + 4, л є Z. ■
3°. Однорідними рівняннями називаються рівняння виду:
asinAx + 6cosAx = 0; (8.1
a sin2 Ах+ 6sinAx cosAx+ ccos2 Ах = 0; (8.1-
3 2 2 3
asm Ax + ^sin кхcosкх + сsinкхcos kx + dcos kx = 0. (8.1
Рівняння
2 2
a sin Лх + b sin Ax cos Азе + c cos kx = d
при d Ф 0 не є однорідним, але його можна звести до однорідного рівняні
виду (8.14), замінивши число d тотожно рівним йому виразо
2 2
^(sin кх + cos кх).
Для того щоб розв’язати рівняння (8.13)—(8.15) у випадку а* 0, розгл
немо такі значення х, при яких cos кх = 0. Тоді з кожного рівняння випливає, n
при тих самих значеннях х має бути і sin кх = 0, а це неможливо. Таким чиної
розв’язками цих рівнянь можуть бути тільки такі значення jc, при яки
cosAx* 0. Тому якщо (при аФ 0) поділити обидві частини рівняння (8.1 і
на cos кх, рівняння (8.14) — на cos2 кх, рівняння (8.15) — на cos3 Ах, і
втрати коренів не відбудеться.
У результаті отримаємо алгебраїчне рівняння відносно tg Ах, для розв’;
зування якого потрібно зробити підстановку tg кх = z.
Приклад §. Розв’язати рівняння
3sin2 jeeosf — + х |+ 3sin2 xcosx - sinxcos2 x - sin21 x - — Icosx = 0.
I2 J I 2/
□ Використовуючи формули зведення, отримаємо
З sin3 х + 3 sin2 XCOS JC - sin JC COS2 X - COS3 JC = 0.
Це однорідне рівняння ВІДНОСНО sin JC І COS X, Причому а Ф 0, тобто 3HJ
чення jc, при яких cos jc = 0, не є розв’язками даного рівняння. Поділивш
члени рівняння на cos3 х, маємо:
3tg3x + 3tg2x-tgx-l = 0; (3tg2*-l)(tg* + l) = 0;
3tg2x-l = 0, tgx = ±^-, х = ^(6л±1), neZ;
З 6
160

tgjc + 1 = 0, tg* = -1, x = —(4k - \\к є Z.
4
Отже, відповідь така: x = — (6n ±1); jc = —(4k -1), n, k є Z ■
6 4
Під час розв’язування рівнянь (8.13)—(8.15) у випадку а = 0 ділення на
cos кх неприпустиме, бо воно призводить до втрати коренів — тих значень х, при
яких cos кх = 0.
Якщо а = 0, рівняння (8.13) стає найпростішим. А для того щоб розв’язати
рівняння (8.14) і (8.15), потрібно застосувати метод розкладання на множники.
4°. Інші прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь розглянемо під
час розв’язування прикладів.
□ Розв’язуючи такі рівняння, зручно використовувати формули зниження
/т і£.\ • /1 н\ • 2 X 1-COSX 2 X 1+COSJC
степеня (3.16) і (3.17), які мають вигляд sin — = ,cos — = .
2 2 2 2
3(l + cos(x--))
Скористаємося другою з них: 2cos* = 4 і після очевидних
перетворень отримаємо рівняння
З sin jc -4 cos х = 5. (*)
Це рівняння легко зводиться до алгебраїчного рівняння відносно tg~ за допо-
2tgf l-tg2f
могою формул (3.28) і (3.29), тобто рівностей sinx = —, cosjc = —,
i+tg2i i+tg2|
справедливих для всіх хФК + Ітт, п є Z. Зауважимо, що заміна sin jc і cos jc
х
виразами, що містять tg—, може призвести до втрати коренів виду jc = п + 2пп, пє Z
Перевіркою з’ясовуємо, чи задовольняють ці значення jc вихідне рівняння.
х
Зробивши в рівнянні (*) підстановку tg— = z, яку називають
«універсальною», отримаємо рівняння z2-6z + 9 = 0. Його розв’язок z = 3.
Перейшовши до змінної jc, маємо tg-^- = 3, звідси jc = 2arctg 3 + 2тсл, п є Z.
161

Перевіряємо, чи задовольняють рівняння (*) числа х = я+2я«,
пе Z. Маємо 3sin(rc + 2ял) - 4сов(я + 2пп) * 5; таким чином, числа х = я + 2ял
не є розв’язками рівняння (*).
Отже, відповідь така: х = 2arctg3 + 2ял, п є Z. ■
Приклад 7. Розв’язати рівняння sin6 х + cos6 х = а (а — дане число).
□ Перетворимо ліву частину рівняння за формулою (2.13) як суму кубів:
sin6 х + cos6 х = (sin2 х)3 + (cos2 х)3 =
= (sin2 х + cos2 x) (sin4 X + cos4 x - sin2 Xcos2 x) =
1
= (sin4 X + COS4 X + 2 sin2 x cos2 x) - 3 sin2 X cos2 X =
= (sin2 x + cos2 x)2 - 3sin2 xcos2 X = 1 - 3sin2 xcos2 X.
За формулою (3.13) маємо sinxcosx = isin2x. Тоді отримаємо рівносиль-
, 3 . . 2л 4(1-в) „
не вихідному рівняння 1—sm 2х = а, звідси sin 2х = —^ -. Якщо
4 З
0 < ——— <1, тобто — <а < 1, то рівняння sin2x = ±—^/3(1 -а) має розв’язок
З
x = ±—arcsin| -J3(\-a) є Z.
Зокрема, при а = 1 розв’язками рівняння sin x + cos х = 1 є числа
х = (п є Z). Проте це рівняння, як і багато інших, можна розв’язати
швидше, використовуючи нерівності |sinx|<l, |cosx|<l (див. приклади 8 і 9).
Приклад 8. Розв’язати рівняння sin2*+2 х + cos2*+2 х = 1 (к є JV).
□ Легко здогадатися, що числа х = (п є Z) є розв’язками рівняння.
Однак ще потрібно довести, що інших розв’язків немає. Припустимо, що
ял
існують розв’язки х = а * — (п є Z). Оскільки для даних значень а
виконуються нерівності |sinoc| < 1 і |cos€x| < 1, то sin2 а<1 і cos2 а<1. Тому для
162

2Jt+2 2
будь-якого цілого додатного к справджуються нерівності sin а < sin а і
cos2*+2 a < cos2 а. Додаючи їх,отримаємо sin2*+2 а + cos2*+2 а < sin2 а + cos2 cl
дле sin2 а+cos2 а = 1; отже, sin2*+2 jc + cos2*+2jc<1 для всіх значень
КП . ^
x = cl*y (neZ>-
Таким чином, дане рівняння (зокрема, рівняння sin6 х + cos6 х = 1) не має
кп , ^ _
розв язків, ВІДМІННИХ від X = — (п є Z). Ш
Приклад 9. Розв’язати рівняння sin(rccos2jc) = 1.
□ За формулою (8.6) знаходимо ncos2jc = y + 2кк, тобто cos2jc = -^ + 2k,
ke Z. Але |cos2x| < 1, тобто k = 0. Маємо cos2jc = —,2x = ±— + 2nn (n є Z),
2 3
звідси отримуємо відповідь: x = —(6n ± 1), n є Z. ■
6
Група A
Розв’язати рівняння (8.001-8.175):
8.001. cos3jc-sinjc = V3(cosjc-sin3jc).
8.002. 7 + 4 sin jc cos x +1,5 (tg x + ctg jc) = 0.
8.003. + sjn2 2jc +1 = 0.
1 + ctg X
8.004. si"22*-4sm2* +, = 2tg2x.
sin 2jc + 4sin jc-4
8.005. sin z sin (60° - z) sin (60° + z) = 0,125.
o
8.006. cos-2 21 - sin-2 2t = —.
3
8.007. tg3f-tg/-4sin/ = 0.
8.008. cos-13/ - 6 cos 3t = 4 sin 3/.
8.009. ctgr - sin/ = 2 sin2 —.
2
8.010. 8 cos z cos (60° - z) cos (60° + z) +1 = 0.
163

8.011. s*n^“ + Jctg3oc + sin(7C + 2x) - cos5x = 0.
8.012. sinxcos2x + cosxcos4x = sin^~ + 2x
8.013. 	sin2x = cos4 — - sin4 —.
8.014. (1 + cos 4x)sin 2x = cos2 2x.
8.015. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.
8.016. ctg4 2z + sin^4 2z = 25.
8.017. tg2xcos3x + sin3x + 4l sin5x = 0.
8.018. 	ctgl —— + x |-tg2x = (cos2x-l)cos 2x.
x 3x
8.019. 	cos—cos sinxsin3x - sin2xsin3x = 0.
2 2
8.020. 1 -sin3x =
= fsin--cos-l .
I 2 2 J
8.021. 2ctg2 xcos2 x + 4cos2 x - ctg2 x - 2 = 0.
8.022. 2 sin3 x + 2 sin2 xcosx - sin jc cos2 x - cos3 x = 0.
8.023. sin7jc + sin9jc = 2^cos2^ - x j- cos2^ + 2x j j.
8.024. tgx + tg2x-tg3x = 0.
8.025. sin(15° + x) + sin(45° —x) = 1.
1 3jc
8.026. + ctg3x = ctg-—.
cosjc 2
8.027. sinjcsin3jc + sin4jcsin8jc = 0.
8.028. 2 tg3 x - 2 tg2 x + 3 tgx - 3 = 0.
8.029. cosxcos2x = sin|~ + x + j+ jC°S(
8.030. 2 + tgxctg—+ ctgxtg—= 0.
2 2

8.031. sin2x + sin(Tt-8x) = уІ2 cos3x.
8.032. 0,5(cos 5x + cos 7x) - cos2 2x + sin2 3x = 0.
8.033. 2 (cos 4x - sin jc cos 3jc) = sin4x + sin2jc.
8.034. sinxcosxcos2xcos8x = 0,25sinl2jc.
8.035. 3sin22x + 7cos2x-3 = 0.
8.036. sin2jcsin6jc-cos2jccos6jc = sin3jccos8jc.
8.037. sin 3x cos 3x = sin 2x.
8.038. cos2x-5sinx-3 = 0.
8.039. 3sin2x + 2cos2x = 3.
і — і 2 1 + cos2x _
8.040. ctg| ——x |— ctg x + = 0.
sin x
s9x-cos7a
8.041. cos9x-cos7x + cos3x-cosx = 0.
8.042. 2|tg--l )=cos*.
8.043. 	sin3z-cos3z
8.044. V3sin2x + cos5x-cos9x = 0.
8.045. 2cos2x + 5sinx-4 = 0.
z 3z 1 3z z
8.046. sin—cos T=rsin2z = sin—cos—.
2 2 S 2 2
3 , Л
8.047. sin z cos z-sin z cos z = .
8
8.048. sin^+5xjcos^+2xj=sin^+x jsin^-бхj.
8.049. cos3x=2sin^y+Jt j.
8.050. 5(l + cosx) = 2 + sin4x-cos4x.
8.051. 1 + sin2x = (cos3x + sin3x)2.
8.052. sin3x = 2cos(y-x).
165

8.053. cos4jc + 2sin2 jc = 0.
8.054. sin x + sin lx - cos 5jc + cos (3jc - 2n) = 0.
A 7 25
8.055. cos 2jc + 6cos 2jc =—.
16
8.056. 1 + cos t + cos 2t + cos 3t = 0.
8.057. cos2jc = Л(cos де - sinjc).
8.066. 6sin2 x + 2 sin2 2x = 5.
8.067. sin3jc + sin5jc = 2(cos2 2jc-sin2 3jc).
8.059. 2tg4 3jc — 3 tg2 Здс -h 1 = 0.
8.060. 	sin2x-sin3jc+sin8jc=cod 7jc+—
Л 2
8.061. 4 tg2 Зх-cos 23jc = 2.
8.063. sin9jc = 2sin3jc.
8.064. (sin z + cos z)(sinz + cosz) + 2 = 0.
8.065. sin2z + cos2z = V2 sin3z.
8.068. tg
- ctg2 jc + sin 2 jc (1 + cos2jc) = 0.
8.069. 2sin3 jc-cos2jc- sinjc = 0.
8.070. 3sin5z-2cos5z = 3.
8.072. 	(cos6jc - l)ctg3jc = sin3jc.

8.074. 1 - cos(rc + jc) - sin———" - 0.
2
8.075. 9C0SX =9sinjr .3cosjr
8.076. sin jc - sin2jc + sin5jc + sin8jc = 0.
8.077. 2sinz-cosz = 0,4.
8.078. cos|y+ 5x j+sinx = 2cos3x.
8.079. (1 + sin*) tgf^ - і )= —
^4 2 J cosjc
8.080. cosx-y/ї sinjc = cos3jc.
cosx.
2 2
8.081. 6sin x + sinxcosx-cos x = 2.
8.082. cos7x + sin8x = cos3x-sin2x.
2 2
8.083. sin x-2sinxcosx = 3cos x.
8.084. cos5x + cos7x = cos(k + 6x).
8.085. 4sinxc°s|~- x j+ 4sin(rc + x)cosx + 2“x jcos(7C + x) = 1.
8.086. cos6x = 2 sinf — + 2x 1
U /
8.087. 2sinxcos^-~ + x j- 3sin(rc - x)cosx + sin|“ + x jcosx = 0.
8.088. (sin4/ + cos4f)2 = 16sin2/cos32/-8sin2rcos2/.
8.089. cos(2/ -18°) tg50° + sin(2r -18°)= 1
2cos130°
8.090. tg—ctg— + cos-1 — sin-1 — = 1.
2 2 2 2
1 1
8.091. -7= t= = sin2/.
v3 - tg/ V3 + tgf
8.092. cos (20° + x) + cos (100° - x) = 0,5.
8.093. cos/sinf — + 6/ l+cosf — — / (sin6/ = cos6/ + cos4/.
I2 J I2
167

1-cosjc _
8.094  . — = 2.
sin—
2
їх 3jc x 5jc
8.095. sin—cos— + sin—cos— + sin2jccos7jc = 0.
2 2 2 2
8.096. sin 3 jc + sin 5x = sin 4 jc.
8.097. sin z - sin2 z = cos2 z - cos z.
8.098. sinz + sin2z + sin 3z = cosz + cos2z + cos3z.
8.099. ctg jc — tg jc -h 2 f—5— + —!—1=4.
^ tg JC -h 1 tgx-\ J
8.100. l-cos6jc = tg3jc.
8.101. cosjc + cos2jc + cos4jc = 0.
8.102. sin4 jc + cos4 Jc = sin2jc-0,5.
8.103. 2cos2jc + 2tg2 jc = 5.
8.104. sin2jcsin6jc = cosjccos3jc.
8.105. sin4 2jc + cos4 2jc = sin2jccos2jc.
8.106. cos(3jc - 30°) - sin(3jc - 30°)tg30° =:
2cos210°
8.107. 4sinjc + cosjc = 4.
8.108. 2sin2z + tg2z = 2.
8.109. cos2jc + cos6jc + 2sin2 jc = 1.
8.110. cos3jccos6jc = cos4xcos7jc.
S 1
8.111. sin3jc +—sin5jc +—cos5jc = 0.
2 2
8.112. ctg3jc + sin-2jc-3ctgjc-4 = 0.
8.113. cos2 3jc + cos2 4jc + cos2 5jc = 1,5.
2 3x
8.114. 1 + sinjc - cos5jc - sin7jc = 2 cos —.
2
sinz
8.115. = 2 -ctgz.
1 + cosz
8.116. sin (15° + jc) + cos (45° + jc) + 0,5 = 0.
168

8.117. 1 + sin2x = sinjc + cos x.
8.118. 3(l-sin/) + sin4/ = l + cos4f.
8.119. 	tgl— + jc I— 3tg2jt = (cos2x-l)cos 2x.
8.120. cos2 — + cos2 — - sin2 2x - sin2 Ax = 0.
2 2
8.121. —Sln2*~2 = tg2-.
sin2 jc-4cos2 — 2
8.122. cos x + cos 2x-cos Зх-cos 4x = 0.
8.123. sin3x-4sinxcos2x = 0.
8.124. tgx + ctgx = 2cos_14x.
8.125. sin|^ + 3jc j-
sin(rc - 5x) = V3(cos5x - sin3x).
8.126. _J_+_L*
1 + cos z 1 + sin Z 11
tg —tgX + 1
8.127. _££!£ =
X 2 X А X
2tg—cos — tg—+ ctgx
8.128. 	cos4xcos(rc + 2x) - sin2xcos|y -4x j= ^~sin4x.
8.129. sinx-sin3x-sin5x + sin7x = 0.
8.130. sin3jt-sin7jt = V3sin2x.
8.131. 	л/3
8.132. sin2xcos^4x-4tg2x + 3cos 2x-12 = 0.
2 2 2 2
8.133. sin Зх + sin 4x = sin 5x + sin 6x.
8.134. (sin2/ - sin-1 It)1 + (cos-1 It - cos21)2 = 1.
8.135. sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25.
169

8.136. sin2z-4cos2z = 4.
8.137. 3 + 2sin2jc = tgjc + ctgjc.
8,
,138. sin2! — + M=sinf+ sin2[ — -t L
I8 J I8 /
■ З X . 2 X X - . JC 2 X _ 7.x .
8.139. sm — sin —cos— 3sm—cos — + 3cos — = 0.
3 3 3 3 3 3
8.140. tg(x -15°) ctg(x+15°) = -j.
8.141. cos(jc + l)sin2(jc +1) = cos3(jc + l)sin4(jc +1).
8.142. cos(4jc + 2) + 3sin(2jc + l) = 2.
8.143. cos4jc + 2cos2 x = 1.
8.144. sin4 jc + cos4 jc = —.
8
8.145. cosjc-cos2jc = sin3x.
8.146. tgjc + tg50° + tg70° = tgjc tg50°tg70°.
2
8.147. cosjc-sinjc = 4cosjcsin JC-
8.148. tg2jcsin2x-3V3ctg2jccos2jc = 0.
8.149. cosjc-cos3;c = sin2jc.
8.150. л/2(1 + COSJC) = Ctg-~.
0 ... . 3x-In n-3x _i 3jc
8.151. sin + cos = cos —.
2 2 2
8.152. sin23jc = 3cos23jc.
8.153. sin3jc + sinjc = 4sin3 jc.
8.154. sin6jc + sin2jc = 0,5tg2jc.
2cos(tt + jc)-5cos|
8.155.
cosf ^ + JC j— cos (тс - jc)
12
8.156. (sin2jt+>/3cos2x)2 = 2-2cos|^--Jt j.
170

8.157. ctgx + tg2;c +1 = 4cos2 x + —'— - 2cos2jc.
sinx
8.158. tgjc tg20° + tg20°tg40° + tg40°tgjc = 1.
8.159. 2cos2 — -l = sin3jc.
0 9 9
8.160. sin 2x + sin x =—.
16
8.161. 3cos2 jc = sin2 jc + sin2jc.
8.162. 2(1-cos2jc) = л/з tgjc.
? X l X
8.163. acos y-(tf + 26)sin — = acosx-Z?sinx;b*0.
8.164. sin5jc = cos4jc.
8.165. 2tgjc-2ctgjc = 3.
8.166. 25sin2 x +1 OOcos x = 89.
8.167. cos2jc + sin2 x + sinx = 0,25.
8.168. = і + c°s4^.
1 - tg 2x
8.169. sinjc + sin3jc = 4cos3 jc.
8.170. cos2x + 3sinjc = 2.
8.171. cos2jc = l-sin2x.
8.172. tg(70° + jc) + tg(20°-jc) = 2.
8.173. sinx+sin
. 1 . ( \Л
in— =sinl x+— .
я ^ n)
8.174. tg 3jc-2sin 3jc = 0.
8.175. 6ctg2 x-2cos2 x = 3.
Група Б
Розв’язати рівняння (8.176-8.385):
8.176. sin3 jc(1 + ctg jc) + cos3 jc(1 + tg jc) = 2>/sinjccosjc.
«« — 2x . 2x x 2x . x л
8.177. tg — + sm — tg— + cos —ctg— + sinjc = 4.
2 2 2 2 2
171

8.178. tg(120° + 3jc) - tg(140° - jc) = 2sin(80° + 2jc).
8.179. sin2 x + 2 sin2 — - 2 sin jc sin2 — + ctgjc = 0.
2 2
8.180. cos2Z(l + ctgZ)-3=3cos2
sinz-cosz
1 1 15cos4/
8.181.
2ctg2 / + 1 2 tg2 / -hi 8 + sin2 2t
8.182. 8cos4 jc-8cos2 jc-cosjc + 1 = 0.
6cos32/ + 2sin32/ .
6.16J. = cos4/.
3cos2/-sin2f
8.184. coszcos2zcos4zcos8z = -i-.
16
sin3 — - COS3 — J
8.185. — = -cosjc.
2 +sinjc 3
2 2sin2/ + sin4/
8.186. tgzt = 2ctg2f.
2sin2/-sin4/
4
’з'
8.188. 	ctg jc + ctg 15° + ctg (jc + 25°) = ctg 15°ctg (jc + 25°) ctg jc.
8.187. sin2 JCtgJC + COS2 xctgjc + 2sinjcc0sjc = ул/з.
4o(sin3 —-cos3 —)
8.189. 	—' p y^ = sin/.
16sin—25cos—
2 2
8.190.
8.191. sin 1 / — sin 12/ = sin *4/.
l + sin2jc _ 1 -h tg jc _ _
8.192. —— + 2—-2—3 = 0.
1 -sin2jc 1-tgjc
8.193. ctg22*+3(COs3*-C°SJ:)+2 = 0.
sin3x-sinjc
8.194. tg43r = sin26f.
172

окис ♦ ♦ cosx-sinjc
8.196. 	ctgx-tgjc=-
0,5 sin jc
ctg z ctg2z
8.197. f^z+-^£-+2 = 0.
2
8.198. 	cos-2 2jc tg2jc + sin-2 2jcctg 2 jc = + ]qsin-1 4jc +
sin 4jc
cosjc
8.199.
ctg2f-tg2f
_ * L 2ctgx
8 1 + ctg2 x ^
8.200. 3(cos2x+Ctg2x)_2(sin2x + 1) = 0
ctg2jc-cos2jc
8.201. sin2jc + 2ctgjc = 3.
8.202. 2cosl3jc + 3cos3jc + 3cos5jc -8cosjccos3 4jc = 0.
8.203. (sinjc + cosjc)4 + (sinjc - cosjc)4 = 3 - sin4jc.
8.204. tg3/ + 6sin_12/ = 8sin~3 It - 3ctg/.
8.205. 2sinjccos2| — -jc |+3cos2f — + jc |cosjc-5cos2 jcsinf
U J U / I
82
8.206. tg4 jc + ctg4 jc =—(tgjctg2x + 1)cos2jc.
8.207. 2 cos6 It - cos4 It + l,5sin2 41 - 3sin2 It = 0.
8.208. sin6jc + 2 = 2cos4jc.
8.209. sin2 / tg/ + cos2 / ctg/ - 2sin/cos/ = 1 + tg/ + ctg/.
8.210. tg3 2jc + ctg3 2jc + 6sin-1 2jc = 8sin“3 4jc.
8.211. cosjccos2jcsin3jc = 0,25sin2jc.
8.212. cos9jc-2cos6jc = 2.
8.213. 2sin52/-sin32/-6sin2 2/ + 3 = 0.
8.214. sin6 2/ + cos6 2/ = 1,5 (sin4 It + cos4 It) + 0,5(sin / + cos /).
8.215. (cos"2 2jc + tg2 2jc)(sin“2 2jc + ctg2 2jc) = 4sin-2 4jc + 5.
ю | a

з з*Уз
8.216. 	sin3z + sin z = sin2z.
8.217. (cos2jc + (cosjc + sinjc)2)(tgjc + ctgjc) = 0.
8.218. 2sin2jc-cos[ — + 3x I-cos3jccos_1 5jccos[ — -5x 1=0.
I2 J I2 J
8.219. 3ctg/-3tg/ + 4sin2/ = 0.
1 1 2
8.220.
tg2 2x + cos 2 2x ctg2 2x + sin 2 2x 3
8.221. tg3/ + tg/ = 2sin4/.
«ч , 4 cos-1 jc-cosjc
8.222. sin(37t - x) + tg(rc + x) = .
2 sinjc
8.223. 0,5sin4jcsinjc + sin2jcsinjc = 2cos2 x.
0 . 2(cos4/ + sin4/) _i _ .
8.224. —-— -—- = cos 2t + cos 4/ +1.
cos /-sin /
_ __ _ sin2 / + sin2/-1
8.225. tg/ = - .
cos /-sin2/ + l
sin2/ + 2cos2 / -1
8.226. = cos t.
cost - cos3/ + sin3/ - sin/
8.227. sin/2 -sin/ = 0.
8.228. sin3 zsin3z + cos3 zcos3z = cos3 4z.
8.229. 2 sin4 / (sin 2/ - 3) - 2 sin2 / (sin 2/ - 3) -1 = 0.
8.230. cosjccos2jccos4jccos8jc = — cos15jc.
8
8.231. 2 sin4 x +1,25 sin 22jc - cos4 x = cos 2jc.
8.232. sin 2/cos 2/(sin4 2/ + cos4 2/ -1) = 0,5sin2 4/.
8.233. sin2jc-2cos2jc + 4(shijc-cosjc + tgjc-1) = 0.
8.234. 0,5 (tg2 jc + ctg2 jc) = 1 + -i ctg 2jc.
V3
8.235. ctg4 jc = cos32jc + 1.
174

8.236  . 6cos x = tg —v ctg —.
•3*3* 2 2
sin —cos —
2 2
8.237. 4sin2jcsin5xsin7x-sin4;t = 0.
8.238. sinx + cosx + sin2x + ^2 sin5jc = .
1 + ctg x
8.239. 3sin2 — cosf — + — |+ 3sin2 — cos— - sin—cos2 — =
2 ^2 2 J 22 2 2
. i(n x"\ x
= sin — + — fcos—.
[2 2 j 2
ж (K X V + sinx /г
8.240. tg —;-— = v2cosx.
^4 2 j sinx
8.241. tg3z + ctg3z-8sin~32z = 12.
8.242. 1—- — = tg3*.
tg 5x + tg 2x ctg 5x + ctg 2x
z z 4tg£
8.243. ctg|-tg| + 4cos-12z = .
8.244. ctg4 jc = cos22x-1.
4 sin2 — -1
8.245. 2— = tg/(l-2cos/).
cosr
8.246. 3sin2 zcos21 — + z I-—sin2 2z-5cos4 z + 2cos2z = 0.
I2 J 2
8.247. £25ІЗ£+£2!І£=0.
tg t tg3 /
g.248,
l + cos2f 1 + cosf sinf
cos4 2x + sin4 2x 7з
8.249. 	— j 0,5 cos 4* = -
cos42x-sin42x 2 sin 4*
8.250. 	cos-4 z = -2sin"2 z(ctg2zctgz +1).
175

cos 3/sin 3/-tg3/-ctg3/ = 2^3 cos l2/.
’ -I- tgjc = 2 si]
8cos/ctg It
8.251.
8.252.
8.253. sin3/-sin/
2 2
(sinjc-cosjc) + tgjc = 2sin JC.
4-sin 2t
8.254.
8.255.
8.256.
sin2 2jccos[ — - 2jc |+ 3sin2jcsin2( — + 2x |+ 2 cos3 2jc
I2 J I2 J
tg(* + l)ctg(2jc + 3) = l.
2
4 sin4 z
(l + cos2z)2 cos2 z
-1=0.
8.257. 	tg2| + ctg2|-2 = 4tgz.
8.258.
з Jl
cos zcos3z + sin zsin3z =—.
sin jc-2sin
8.259. 	ctgjc = -
2 21 TC
COS JC + 2COS I —h JC
{r
8.260.
8.261.
8.262.
8.263.
8.264.
8.265.
8.266.
8.267.
8.268.
8.269.
- + ctg 7z = -
tg 3z + tg 4z ctg 3z + ctg 4z
(2 cos 2/ + 5) cos4 / - (2 cos 2/ + 5) sin4 / = 3.
tgztg(z + 60°)tg(z +120°) = л/з.
cos3jc + cos2,5jc = 2.
1 - 2 cos2 / (cos 2/ - tg / sin 2/) = sin4 / - cos4 /.
2 (sin6 jc + cos6 jc) - 3 (sin4 jc + cos4 jc) = cos 2jc.
cos3 jc + 0,5 sin 2 jc - cos jc sin3 jc + 4 sinjc + 4 = 0.
2 (cos3 jc + 2sin3 jc)
2 sinjc+ 3 cosjc
= sin2jc.
tg-y-tg-^ = 2sinx.
l + sin2jc l +
- + - = 1.
cos2jc
ctg* + tg^

8.270. sin3 jccos3jc + cos3 jcsin3jc + 0,375 = 0.
8.271. sin2z + 5(sinz + cosz) +1 = 0.
8.272. sin32/ + cos32t + 0,5sin4f = l.
8.273. tgztg2z = tgz + tg2z.
sin3 X + cos3 X
8.274. = cos2x.
2cosjc-sinjc
8.275.
sin t sin 4/
8.276. tg4 x = 36cos2 2x.
8.277. ctgjc-tgx-2tg2jc-4tg4jc + 8 = 0.
8.278. 4 sin3 jc cos 3jc + 4 cos3 jc sin 3jc = 3 sin 2jc.
8.279. 2coszsin3I — -z |- 5sin2 zcos2 z + sinzcos3( — + z |= cos2z.
I2 J I2 J
8.280. sin2jcsin6jccos4jc + 0,25cos12jc = 0.
8.281. 2sin2jc + 3tgjc = 5.
8.282. 5 sin4 2z - 4 sin2 2z cos2 2z - cos 42z + 4 cos 4z = 0.
8.283. 1 + tg2jc tg5jc — -4/2 tg2jccos3jccos_1 5jc = 0.
8.284. cos6 jc + sin6 jc - cos2 2jc =—.
16
8.285. —\— + tgjc-ctgjc-4 = 0.
sin 2jc
8.286. tg5z-tg3z-2tg2z = 0.
8.287. cos2jc + cos0,75jc-2 = 0.
8.288. (ctg z -1) (1 + sin 2z) = 1 + ctg z.
3 — tg2 jc
8.289. tgjc — = sin6jc.
l-3tg2 jc
8.290. sin4 31 + sin4 j^ + 3/j= 0,25.
8.291. cos 1 Ojc + 2 cos2 4 jc + 6 cos 3jc cos jc = cos jc + 8 cos jc cos3 3jc.
8.292. 	1 + sin—sin/-cos—sin / = 2cos
2 2
(H)
177

4sinf —+ jc\inf—+ jc!
8.293  . ^I-6 ‘ + 2tgjc = 0.
COS** X'
Дрлс^ t — 1
8.294. ■ —- = ctg/(l + 2cos2/).
sin/
8.295. (sin x + cos jc)4 =2(1 + sin2 jc) - (sin jc - cos jc)4 .
8.296. cos^z = 64cos22z.
8.297. 4 sin 5jc cos 5jc (cos 4 jc - sin4 jc) = sin 4jc.
8.298. + +
tg2z tg4z 2
8.299. -£ii£?8£ = 6cos2;c + 4sm2jt.
CtgJC-tgJC
8.300. tg5jc-2tg3jc = tg23jctg5x
8301. cosz + sinz = Vl -2cos2 z.
8302. V3(l + tg2jctg3jc) = tg2jccos_13jc.
8303. |cos-6 z - tg6 z - - j j(sinz + cosz + 2) = 0.
8.304. 	tg2jc - ctg3jc + ctg5jc = 0.
8305. cos-12/ + sin-12t + cos-12/sin"12/ - 5 = 0.
8306. cos (22° - /)cos (82° - /) + cos (112° - /)cos (172° — /) = 0,5(sin / + cos /).
8307. sin4jc(3sin4jc-2cos4jc) = sin2 2jc-16sin2 jccos2 jccos2 2jc+cos2 2jc.
8308. cos3z-cos3z + 0,75sin2z = 0.
8.309. 	tg(/2 — /)ctg2 = 1.
8310. sin3 jc(1 - ctg jc) + cos3 jc(1 - tg jc) = 1,5cos 2 jc.
cos2 f—-2/1
8.311 1 = cos'2 21 -1.
l + cos2/
8312. 4cosjccos2jccos3jc = cos6jc.
8313. 1 - cosjc = >/l - V4cos2 jc-7cos4 jc .

, 2sinjc-sin2jc 2 х Ю
8.314  . + ctg —=—.
2sinjc + sin2jc 2 З
8.315. 4(sin/cos51 + costsin5 /) + sin3 2t = 1.
8.316. sin4*-sin2jc + 4(sinjc + l) = 0.
sin2/-tg2r _ з . _
8.317. j 2~ + 2 tg / +1 = 0.
cos t - ctg t
8J1«. -Ц--Sf = 0.
COS St COS t
1 + shi2jc + cos2jc
8.319. : і — + smx
l + sin2jc-cos2jc
8.320. sin 2z - sin 6z + 2 = 0.
^l + tgjctg^j=4.
8-321. sin2 (t + 45°) - sin2 (t - 30°) - sin 15°cos(2( + 15°) = 0,5sin6/.
8322. 3tg3jc-4tg2jc = tg2 2jctg3jc.
8323. 5(гіп*-*х)+4(1-со.х) = 0.
sinjc + tgjc
8.324. 4cosjc = V3ctgjc + 1.
_ __ _ , 2(cos2ztgz-sin2z) .
8325. 1 + — = cos2z.
cos z
8.326. (cosjc - sinjc)2 + cos4 x - sin4 x = 0,5sin4jc.
8.327. ctg jc (1 - 0,5 cos 2 jc) = 1.
8.328. cos 2 ( jc + 40°) + cos 2 ( jc - 40°) - sin 10° cos 2jc = sin 2jc.
8.329. 2cos2-^(l-sinjc) + cos2 jc = 0.
8.330. tg6jccos2jc-sin2jc-2sin4jc = 0.
8331. cos8jc + 3cos4jc + 3cos2jc = 8cosjccos33jc-0,5.

8.335. tg(35°+x)ctg(10°-x) = |.
8336. 2 tgjc + tg2jc + 2 tgx tg3jc + tg2jc tg3jc = 0.
8337. sin4 2x + sin3 2jccos2jc - 8sin2jccos3 2x - 8cos4 2x = 0.
8338. cos/(l-tg/)(sin/ + cos/) = sin/.
8340. 1 + sinz + cosz + sin2z + cos2z = 0.
8341. ctg (jc - 25°) + tg (3jc +15°) = 2 sin (2jc - 50°).
8342. tg2 jc + ctg2 x + 3tgjc + 3ctgjc + 4 = 0.
8343. tg2f = ctg/-4cos/cos3f.
2 3X
8344. cos2jc = cos—.
2
8345. (tg t - ctg / + 2 tg 2t) (1 + cos 3/) = 4 sin 3t.
8346. sinjc(cosjc-2) + tgjc = 2-cosjc-cos“1 jc.
8347. (l + cosjc)^tgy -2 + sinjc = 2cosjc.
8348. l-sin2jc = cosjc-sinjc.
A 1 A О 106
8349. tg jc + tg jc + ctg jc-ctg * =
8351. 343 tgjc sinjc - ctgjccosjc + 9 sinjc - з4ї> cosjc = 0.
і . it і
= sin 1.
I 4
8353. tg4 x + ctg4 х + tg2 x + ctg2 x = 4.
8355. tgjc-tg2jc = sinjc.
180

8356. 2sin Зх + sin 6x = (sin2x + sin4x)cos xsin 3x.
8357. 4sin4 x + cos4x = 1 +12cos 4jc.
8358. 5(1-sin2x)-16(sinx-cosx) + 3 = 0.
8359. 37tg3jc = 1 ltgjc.
8360. V2 (cos42x-sin42x) = cos2x + sin2x.
8361. tgx-ctgx = sin-1 jc-cos-1 jc.
8362. sin6 jc + cos6 =—.
16
8363. sin 3jc + sin x - sin 2jc = 2 cos x (cos x -1).
1 + <Уз
8364. cos2jc = —-—(cosx + sinx).
8365. 2(l + sin2x) =
-ЧН
l + sinx + cosjc + sin2x + cos2jc _
8366. = 0.
tg2x
8367. Щ— = °.
cos t cos 21
8368. tgx + tg2x + tg3x = 0.
8369. ctgx- tgx = sinx + cosx.
8370. ^cos2 x + 0,5 + Vsin2 x + 0,5 = 2.
8371. sin3x = asinx.
8372. cos3x = mcosx.
8373. tgx + tga + 1 = tgxtga.
8374. 12 sin x +4^3 cos (я+ x) = m>/3.
8375. sin (x + 2,5) + sin (x +0,5) = cos a
_ X
2tg—cosx
8.376. 2 2 = 4.
8377. 2sil,2jt+4-2cos2jt=6.
8378. 31+sm-r+---+sin"-r+--- =Щ,
8379. 2-|+с“х-с“2,+-+(-|)"+,с“"д'+- = \f0O5.
181

8.380. 91_cos6jt = 3е** '3jt.
8.381. 81“2*+81с“2*=3а
8.384. logsin j. 4 ■ logsjn2 ^ 2 = 4.
8.385. 3(logj sin*)2 + log2(l - cos2x) = 2.
8386. Дано: (1 + tgjc)(l + tg>0 = 2. Знайти x + y.
8387. Показати, що рівняння ctg 2 x + ctg 3jc + — ——; = 0 не має
8.388. Один із кутів прямокутного трикутника задовольняє рівняння
8389. Показати, що не існує трикутника, кожний кут якого задовольняв
би рівняння (3 cos де- 2)(14sin2 jc + sin2jc -12) = 0.
8.390. Показати, що існують трикутники, у яких кожний кут
задовольняє рівняння (65sinjc-56)(80-64sinjc-65cos2 jc) = 0. Знайти ці кути.
8391. Показати, що трикутник, кожний із кутів якого задовольняє
рівняння 3tgjc - 3tg— - 27з = 0, є рівностороннім.
8392. Знайти sin а, якщо cosa = tgp, cosp = tgy, cosy= tga |o<a<y,
8.393. Знайти кути a, p і у першої чверті, якщо відомо, що в
зазначеному порядку вони утворюють арифметичну прогресію з різницею — а їх
12
тангенси утворюють геометричну прогресію.
Розв’язати системи рівнянь (8.394-8.405):
sinxsin2jcsin3jc
коренів.
sin3 jc + sinjc sin 2 jc - 3cos3 x = 0. Показати, що трикутник рівнобедрений.
182

8.396.
5 к
*-У-Т,
sinjc = 2sinj'.
8.397. jS1
[si
sin x cos y = 0,25,
sin ycosjc = 0,75.
8.398.
x-У-?
2 • 2 1
cos roc-sin ny = —.
' 2
8.399.
я
Х + У = 7,
4
8.400.
smjc = sin^,
Ш
U/2cosjc = V3cos^.
8.401.
ctgjc + ctg^ = -l,8.
8.402.
2cosx _j_ 2cos у _ 5
12cosa: 2cos"1 у -.4
8.403.
{sin x sin у = 0,75,
tgxtg^ = 3.
5n
x + y = —,
8.404. 6
cos2 x + cos2 у = 0,25.
8.405.
n
JC+у = —,
3
sin arsing = 0,25.
Група В
Розв’язати рівняння (8.406-8.492):
8.406. (cos2 х + cos-2 лг)(1 + tg2 2 у) (З + sin3z) = 4.
1 + tgx +... + tgw x +... t . . . , ,
8.407. \—n = l + sin2x, tgx <1.
1 - tgjc H-... + (-1)" tgw jc -h...
8.408. tg jc - sin 2jc - cos 2jc (1-2 cos'"1 jc) = 0.
e 1-sin/ + ... +(-1)" sin”/ + ... l-cos2/ і ,
8.409. —— = - — ,|sind*l.
1 + sin/ +... + sin / +... l + cos2/
8.410. >/3 sin / - V2 sin2 / - sin 2t + 3 cos21 =0.
8.411. ylsin2 x + Vcos2 jc = 3/4.
8.412. 	2 sin2/ = Vsin2/ - 16sin2 / cos2 2t + cos2 /.
8.413. 	cos zj tg2 z - sin2 z + sinz^ctg2 z - cos2 z =2sin z.
183

8.414. cosx + >/l>5-cos2 x - cosjc->/l,5-cos2 x = 1.
8.415. ^/0,5-sinjc + ^/0,5 +sinjc = 1.
8.416. V1 +sinjc - л/і -sinjc = 1 + cosx.
8.417. Vl + 3ctgx+^
tgx _ 5
-tgx 2
^•418. ^/o,5 - cos 2jc + ^/0,5 + cos 2* = 1.
8.419. sinjc + yll-sin2 x + sin W2 - sin2 jc = 3.
в/ОЛ - Vl + sin* -л/l-sinx
8.420. 2-sinjc = . —■ - ■ ■ -.
Vl +sinjc + VI-sinjc
8.421. 3/2-tgjc+^/7 + tgx =3.
8.422. yl^cos2 jc + 1 + V4sin2 jc + 3 = 4.
8.423. >/sin2 jc - Vcos2 jc = 3/2cos2jc.
8.424. 	cosx + Vsin2 jc-2sin2jc + 4cos2 jc = 0.
8.425. 	Vcos2jc + Vl + sin2jc = 2Vsinjc + cosx.
8.426. 	-—2cos x +2tg2jc + ctg34jc = 3.
sinjc cosx
8.427. >/l0 + 8sin2 jc - ylscos2 x- \ = 1.
8.428. sin-12x-Jtg2 x + ctg2 jc + 2 + ctg2jc^tg2 x + ctg2 jc - 2 = 4 cos2 2x.
8.429. Vl-2sin4jc + V6cos2jc = 0.
8.430. siMiJt + sinftf = 0.
8.431. (cos4 jc + 2sin3 jc-2sinjc + l)(sinjc + cosjc) = 0.
8.432. 4 ctg3 2jc —12 ctg 2jc + ctg2 jc + tg2 jc -14 = 0.
8.433. cos"* jc + cos4 x = 1 + cos 2jc - 2 sin2 2jc.
8.434. cos-4 jc + 8cos-1 jc — 7 = 0.
• 10 a , 10 T . sin6 3* + cos6 3*
8.435. sin 3jc + cos 3jc = 4
2 2
4 cos 6jc + sin 6jc
184

8.436. ctg4 2z = cos2 4z +1.
8.437. [2 + —1(4-
^ COS X J
'4-2 cos4 jc) = 1 + 5 sin3>\
 1-4 cos2 2jc) - 2 cos4jc = 3.
8.439. 18cos2 jc +5(3 cosjc + cos !jc) + 2cos 2jc + 5 = 0.
8.440. tg (тс ctg t) = ctg (тс tg t).
8.441. cos^4 jc-2cos-2 jc — 12tgjc —16 = 0.
0 o 41
8.442. sin 2jc + cos 2jc = .
128
8.443. 2(l-sinjc-cosjc) + tgjc + ctgjc = 0.
8.444. tg/ (sin3/-sinr) = —3 .
2-cos t ctg /-3
8.445. tg(7ccos0 = ctg (тсsin/).
8.446. tgjc + ctgjc-cos4x = 3.
8.447. tg2jc tg2 3jc tg2 5jc = tg2jc + tg2 3jc - tg2 5jc.
8.448. (5 + 3 sin-2 jc) (2 - sin6 jc) = 7 + cos 2y.
8.449. tg2 jc + tgjc - 3ctg2 jc - 3ctgjc -2 = 0.
8.450. cos4 jc + 4 cos jc -1 = 0.
0,C1 l-cos2x + ... + (-l)ncosw 2x + ... 1 4 і 0
8.451. b— = -tg jc, cos2
1 + cos 2jc +... + cos'1 2jc + ... 3
8.452. 2 (tg jc - sin jc) + 3 (ctg jc - cos jc) + 5 = 0.
8.453. tg3 jc + tg2 jc + ctg2 jc + ctg3 jc - 4 = 0.
8.454. cosyfx = cosjc.
8.455. |sinf + cosf| = V2.
8.456. tg2 jc tg2 3jc tg4jc = tg2 jc - tg2 3jc + tg4jc.
5jc
8.457. cos6jc + sin— = 2.
2
8.458. V3|cos/| = 1 + ctg/.
185

1 — tgJC -h... -h (—1)" tg" JC -h
8.460. —
1 + tgx +... + tg x +...
1 + sin2jc, |tg jc| < 1.
8.461. (tg jc — tg2 x)2 -c0s(jc + 4tgjc) = -l.
8.462. tg2 jcctg2 2jcctg3x = tg2 x - ctg2 2x + ctg3jc.
8.463. (4 - cos 2jc)(2 + 3sin y) = 12 +13 cos"2 3z.
8.464. (2 sin jc -1) (cos4 jc + 2 cos3 x + 2 cos2 jc - 2 cos jc +1) = 0
8.465. l + V3(l + cosjc) = cos2(jc + 2tgjc).
8.466. 2tgjc + tg-- + 4ctg2jc = ctg3jc.
8.467. 2 sin2 jc + sin jc + sin"1 jc + 2 sin"2 x = 6.
8.468. 2tgTtf2 -tg7i/ + tgnt tg2 nt2 = 0.
8.469. sin4 x + 2 cos3 jc + 2 sin2 jc - cos x +1 = 0.
8.470. |sinf| + |cosr| = 1,4.
8.471. 	3t8*~tgN
4 + 2cos—
	 5
COS 3jC +COSJC
8.472. 	12cos 2 jc + ^ctg2 jc + 10|2tgjc + -jctgjc j=l.
8.473. sin5 jc + cos5 jc = 2 - sin4 jc.
8.474. 3tg2jc -4tg3x = tg2 3jctg2x.
8.475. ctg 2nt2 + ctg 4 я/ = 0.
8.476. (3 - tg2 jc) (cos 3jc + cos jc) =
4 cos 3jc
tg2jc
1 + sin/ +... + sin” / +... 4
|sinf|*l.

8.479. (3-sinx)(4-sin 2 де) =12 +cos2 у.
8.480. 4-4(cosz-sinz)-sin2z = 0.
1/1/ _ /г 1 /
8.481. 7tg7 + -tg- + tg/ = 2V3+7ctg7.
4 4 2 2 4 4
3 tg / — tg3 /
8.482. —-—S—(cos 3/ +cos/) = 2 sin 5/.
1-tg2/
8.483. tgx-sin2x-cos2x + 2(2cosx-cos_1 x) = 0.
8.484. 5sin2z-ll(sinz + cosz) + 7 = 0.
1 x
8.485. . „ — ctg де = tg—.
sin5x 2
8.486. 4cos2 2/ - tg4/ = ctg2/.
sin2x-tg2x 6 4 2
8.487. —j 2 * + x - lg x = 0.
COS X-ctg JC
8.488. sin10x + cos10x = —.
64
8.489. (sinX+л/зcosx)2 = 5+cos|^+4jt j.
8.490. tgx + ctgx + tg2 x + ctg2 x + tg3 x + ctg3 x = 6.
8.491. log0>$sin2x sinx = 0,5.
8.492. logSinjccoSjr sinx • logSinjpcosx cosx = 0,25.
8.493. Переконатися, що рівняння 2ctg2x - 3ctg3x = tg2x не має коренів.
Розв’язати системи рівнянь (8.494-8.499):
8.494.
8.496.
1
sinx = sin>>,
sinx
1
cosx = cos>>.
x x * У 2
tgx+ tg>^ = 2-х/З.
8.495.
8.497.
3ctgx = tg3 y,
cos x = sin 2 y.
cos x - cos у = sin (x + y),
N+H=f-
187

8.498.
8.499.
tgjc + ctgx = 2sin^ -—j,
tg у + ctg у - 2 sin^jt + ^ j.
2cosx = 3tgj>,
2cos^ = 3tgz,
2cosz = 3tgjc.
8.500. Знайти x, z, якщо
1 уіЗ

Глава 9
НЕРІВНОСТІ
ВКАЗІВКИ ДО ДОВЕДЕНЬ НЕРІВНОСТЕЙ
1 °. Числова нерівність — це нерівність, правильна при всіх допустимих або
спеціально підібраних значеннях букв, що входять до неї. Наприклад,
а2 +Ь2 > 2ab, де а і b — будь-які дійсні числа; Ja > 0, де а > 0.
Найчастіше зустрічається спосіб доведення нерівностей, що ґрунтується
на означеннях понять “більше” і “менше” та полягає в з’ясуванні знака
різниці між лівою і правою частинами нерівності. Ці означення полягають
у такому:
якщо а - b > 0, то а > Ь;
якщо а - b < 0, то а < Ь;
якщо а - b = 0, то а = Ь. (9,1)
Наведені означення можна використовувати й у зворотному
порядку: якщо а > Ь, то а - b > 0 і т. д.
2°. Основні властивості числових нерівностей:
1. Якщо а > Ь, то b < а.
2. Якщо а > b і b > су то а > с.
3. Якщо а > bice R,Toa + с> b + с.
На основі цієї властивості члени нерівності можна переносити з однієї
частини в іншу з протилежними знаками, зберігаючи знак нерівності.
4. Якщо а > b і с > 0, то ас > Ьс.
5. Якщо а > b і с < 0, то ас < Ьс.
6. Нерівності однакового змісту можна почленно додавати, тобто
якщо a>b'\c> dy тоа + с> b + d.
7. Нерівності однакового змісту з додатними членами можна
почленно множити, тобто якщо а > b > 0 і с > d > 0, то ас > bd.
8. Якщо а > b > 0, то а” > Ьп, п є N.
9. Якщо а > 0, b > 0 і ап > I/1, п е Ny то а > Ь.
10. Якщо а > b > 0, то — < —.
а b
3°. Іноді під час доведення нерівностей використовуються деякі відомі
нерівності. Такими, наприклад, є:
—-— > Jab у а > 0, b > 0, (9 2)
189

тобто середнє арифметичне двох невід ’ємних чисел не менше від їх середнього
геометричного, причому рівність досягається за умови рівності чисел;
— + — > 2, а > 0, b > 0, (9 ^
тобто сума двох взаємно обернених додатних чисел не менша 2, причому рівність
досягається за умови рівності чисел.
ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ
З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ
1°. Нерівності з однією змінною мають такий вигляд:
fix) > g(x); fix) <g(x); fix) > g(x); f(x) <g(x).
Розв'язком нерівності називається множина значень змінної, при яких
дана нерівність стає правильною числовою нерівністю.
Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків
збігаються.
Основна ідея розв’язання нерівності полягає в заміні нерівності
простішою, але рівносильною даній.
2°. Під час розв’язування нерівностей використовуються такі правила
перетворення нерівності на рівносильну:
а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї його частини в
іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак
нерівності;
б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те
саме додатне число, залишивши при цьому знак нерівності без зміни;
в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й
те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;
г) якщо для деяких значень х справедливі нерівності / (jc) >0, g (jc) >0 і
/(jc) > g (jc), to для тих самих значень jc правильна нерівність (/(jc))" > (g(jc))”,
пє N.
3°. Нехай дана нерівність має вигляд
/(*) г о
g(x) (9.4)
(замість знака > можуть бути знаки <, >, <, а функція в знаменнику може
бути сталою) або вона зведена до цього вигляду за допомогою правил п. 2°.
Для розв’язання нерівності (9.4) застосовується метод інтервалів (метод
проміжків), що полягає в наступному:
а) 	на числову вісь наносять точки jcj , jc2 ,..., хп, що розбивають її на
f (х\
 проміжки, у яких вираз ■ - визначений і зберігає знак («плюс» або «мінус»)-
#(*)
190

Такими точками можуть бути корені рівнянь / (х) = 0 і g (х) = 0. На
числовій осі позначають точки, що відповідають цим кореням: зафарбованими
кружечками — точки, що задовольняють дану нерівність, а світлими
кружечками — що не задовольняють її;
• /00
б) 	визначають і позначають на числовіи осі знак виразу - ■ ---■ для значень
Хі що належать кожному з отриманих проміжків. Якщо функції
/(*) ig W€ многочленами і не містять множників виду (х - а)2*, де п є N, то
достатньо визначити знак функції -- — у будь-якому такому проміжку, а в
g(x)
інших проміжках знаки «плюс» і «мінус» чергуватимуться.
f (х)
Якщо ж у чисельнику або знаменнику дробу J є множник виду
g(x)
(х - а)2", де п є N,m безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє
значення х - а дану нерівність.
Рис. 9.1
Зміну знаків зручно ілюструвати за допомогою хвилеподібної кривої
(кривої знаків), проведеної через зазначені точки і вище або нижче від число-
f (х)
вої осі відповідно до знака дробу J на розглянутому проміжку. Про-
g(x)
міжки, що містять точки, які задовольняють дану нерівність, іноді
заштриховують. На ту саму вісь наносять і точки, що відповідають х = а.
Наприклад, для кривої знаків, зображеної на рис. 9.1, отримуємо такий розв’язок
Нерівності (9.4): (хь a)U(a, *2)U(*3> °°)-
Роль кривої знаків може відігравати схематичне розміщення параболи
відносно осі Ох. Так, у випадку, зображеному на рис. 9.2, розв’язок
відповідної квадратної нерівності має вигляд (-», jcj ) U (jc2 , °°) (jcj і jc2 — корені
квадратичної функції).
4°. Розглянемо розв’язок квадратної нерівності
ах2 +Ьх + с>0 (9.5)
випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена ах2 + Ьх + с
(£> = £2 _ 4ас < 0).
191

Рис. 9.2
Якщо а > 0, то нерівність (9.5) виконується при всіх значеннях *
(рис. 9.3, а); якщо ж а < 0, то вона не виконується при жодному значенні *
(рис. 9.3, б).
5°. Ірраціональну нерівність
J7M<gw
можна розглядати за умови
(9.6)
f(x)>0=>y/f(x)>0=>g(x)>0. Отже, за
вказівкою 2° г, обидві її частини можна
піднести до квадрата. З наведених вище міркувань
випливає, що нерівність (9.6) рівносильна
системі нерівностей
Рис. 9.3
/(х)>0,
g(x)>0,
(77w)2<(gw)2-
6°. Ірраціональну нерівність
(9.7)
(9.8)
можна розглядати за умови f(x) > 0 ^f(x) > 0. Однак при цій умові її
права частина g(x) може бути як невід’ємною, так і від’ємною, а тому
нерівність (9.8) рівносильна сукупності двох систем нерівностей:
/«>0,
g(x)> 0,
(л/7«)2 >(s(*))2;
f(.x)>0,
g(x)<0.
7°. Показникова нерівність
af(x)>ag(x)
при а > 1 рівносильна нерівності
f(x)>g(x),
а при 0 < а < 1 — нерівності
f(x)<g(x).
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.12)
192

8°. Логарифмічна нерівність
l°ga/(■*)> toga £(*) (9.13)
при a > 1 рівносильна системі нерівностей
'/(х)>0,
•g(x)>0, (9.14)
f(x)>g(x),
а при 0 < а < 1— системі нерівностей
'/(*)> 0,
g(x)>0, (9.15)
f(x)<g(x).
9°. Для розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
sinjoa, cosjc> д, tgjc>a, ctgjoa (9.16)
(замість знака > можуть бути знаки <, >, <) застосовують графічний
спосіб. Знаходять точки перетину графіка відповідної тригонометричної
функції з прямою у = а, розміщені ближче до початку координат, і потім
використовують періодичність функції. Нерівності виду (9.16) можна
розв’язувати також за допомогою одиничного тригонометричного кола.
Для розв’язування складніших тригонометричних нерівностей їх
зводять до найпростіших випадків за допомогою спрощень.
„ . _ (x + 3)(5-jc) л
Приклад 1. Розв язати нерівність -—^—- > 0.
□ Коренями рівнянь (jc + 3) (5 - jc) = 0 і 2х - 5 = 0 є числа jCj = - 3, jc2 =
= 2,5, jc3 = 5, які не є розв’язками даної нерівності, тому на числовій осі
позначаємо їх світлими кружечками (рис. 9.4). Ці точки розбивають числову вісь
на чотири проміжки. Легко визначаємо, що при jc > 5 ліва частина нерівності
від’ємна — ставимо знак «мінус» справа від точки 5 і, просуваючись вліво,
чергуємо знаки «плюс» і «мінус». За допомогою рис. 9.4 отримуємо
відповідь: (-оо, - 3) U (2,5; 5). ■
Рис. 9.4
. ~ , jc (2jc — 9)(jc — 1)
Приклад 2. Розв язати нерівність ^ т- s 0.
(jc + 4) (2jc-6)
□ Враховуючи, що jc * 0 і jc * 3, поділимо обидві частини нерівності
193

на додатний дріб —1 т і відразу зазначимо, що jc = 0 задовольняє дану
(2л:-б)4 у
нерівність, а* = 3 не задовольняє. Крім того, множники з непарними показниками
степеня замінимо відповідними множниками першого степеня (зрозуміло, Що
при цьому знак виразу в лівій частині нерівності не зміниться). У результаті
отримаємо простішу нерівність, рівносильну даній для всіх х * 0 і х * 3:
(2x-9(x-l)^Q
х + 4
Накресливши криву знаків, заштрихуємо проміжки, що
задовольняють цю нерівність, і позначимо на цій самій осі точки х = 0 і де = 3 (рис. 9.5).
Враховуючи, що значення jc = 0 є розв’язком даної нерівності, але не належить
заштрихованому проміжку, його додатково включаємо у відповідь. Значення
х = 3 не є розв’язком нерівності, але належить заштрихованому проміжку,
таким чином, це значення потрібно виключити. Отже, відповідь така:
(-~,-4)ІІ[1, 3) U (3; 4,5] U 0. ■
Приклад 3. Розв’язати нерівність —
□ Перетворимо дану нерівність на рівносильну:
1
1 х2 — 5х + 4
--<0; „ >0.
jc2 -5jc + 6 2 2(дґ* -5jc + 6)
Корені jcj = 1, х2 = 4 рівняння х2 - 5х + 4 = 0 є розв’язками нерівності (на
рис. 9.6 позначаємо їх зафарбованими кружечками); корені х3 = 2, х4 = З
рівняння дг2-5д: + 6 = 0неє розв’язками нерівності (на рис. 9.6 позначаємо їх
світлими кружечками). За допомогою кривої знаків отримуємо відповідь:
(—, 1] U (2, 3) U [4, оо). ■
yfx-3
Приклад 4. Розв’язати нерівність > 0.
jc-2
194

□ Враховуючи, що х не може набувати від’ємних значень, розіб’ємо точка-
лроміжки не всю числову вісь, а тільки її частину [0, °°). За допомогою кривої
знаків (рис. 9.7) отримуємо відповідь: [0, 2) U (9, °°). ■
Приклад 5. Розв’язати нерівність Jx + 61 < х + 5.
□ Відповідно до вказівки 5°, ця ірраціональна нерівність рівносильна
системі
Розв’язавши квадратне рівняння х2 + 9х - 36 = 0, знаходимо хх = - 12,
х2 = 3. Будуємо криву знаків (у даному випадку — дугу параболи) і стрілкою,
напрямленою вправо від точки - 5, позначаємо проміжок х > - 5 (рис. 9.8).
Розв’язки першої і другої нерівностей системи збігаються на проміжку (3, °°).
Отже, відповідь така: (3, °°). ■
□ За вказівкою 6°, ця ірраціональна нерівність рівносильна такій
сукупності двох систем нерівностей:
ми х\ = 2 (корінь рівняння х - 2 = 0) і х2 = 9 (корінь рівняння Jx - 3 = 0) на
Рис. 9.7
дг + 61 > 0,
х + 5 > 0,
х + 61 < х2 +10*+ 25,
х > -61,
тобто |х > —5,
де2 + 9х - 36 > 0,
їх > -5,
тобто < ~
х2 + 9*-36 > 0.
Рис. 9.8
Приклад 6. Розв’язати нерівність х-3< <Jx-2.
jc — 2 >0,
jc - 3 > 0,
х2 -6х + 9 < х-2;
х2-7х + 1\<0;
195

0^C7-V5)4N^i^ _^Х0,5(7 + <5)Х 2 3 X
б)
Рис. 9.9
Розв’язком першої системи є проміжок 3 < х < 0,5(7 + <Js) (рис. 9.9, a), a
розв’язком другої системи — проміжок 2 < х < 3 (рис. 9.9, б). Об’єднавши ці
розв’язки, отримаємо відповідь: 2 < х < 0,5(7 + V5). ■
Г-
Приклад 7. Розв’язати нерівність -Ц-* <0.
х +2х +5
□ Оскільки вираз х2 + 2х + 5 додатний при будь-якому х, то,
помноживши на нього обидві частини даної нерівності, отримаємо рівносильну
(1 Y+X
нерівність І - -81 < 0, або 3“*8+** < З4. Якщо основа степеня 3 > 1, то,
використовуючи вказівку 7°, маємо-8-х<4, звідси х>-\2. Отже, відповідь
така: (-12, «>). ■
Приклад 8. Розв’язати нерівність 0,4log2X+1 <6,252_log2X .
□ „о J*. _ *ид.і _
5
рівності до однієї основи:
2 \log2 Х+\ / 2 Л210б2 *3 “4
(2Tg2X+l (2 Y
Ь) пї
2
Оскільки основа степеня 0 < — < 1, то, використовуючи вказівку
2 З
7°, маємо log2 х +1 > 21og2 х - 4. Функція /(х) = log2 х визначена при
х > 0; отже, 21og2jc3 =61og2jc. Зробивши заміну ^ = log2Jc, отримуємо
нерівність^ - 6у + 5 > 0, звідки випливає, що^ < 1 або>> > 5.
Таким чином, дана нерівність рівносильна сукупності нерівностей log2 х < 1,
log2 х > 5, яку можна переписати у вигляді log2 х < log2 2,log2 х > log2 25.
Оскільки основа логарифма 2 > 1, то, використовуючи вказівку 8°, знаходимо,
що розв'язком першої нерівності є проміжок 0 < х < 2, а другої — проміжок
х > 25, тобто х > 32. Отже, відповідь така: (0, 2) (J (32, <»). ■
196

2х-\
 Приклад 9. Розв’язати нерівність х 3_х > 1.
2х-\
 □ Подамо нерівність у вигляді х г~х > jc° і розглянемо два
випадки: 0 < х < 1 і 1 < х < З, 3 < х < °°. За вказівкою 7°, розв’язуємо сукупність
систем нерівностей:
0 < дг < 1,
« 2х-\
 3-х
<0;
1<х<3, 3<х<ооі
2х-\
 3-х
->0.
Застосовуємо метод інтервалів відразу до двох систем (рис. 9.10). За допомогою
рисунка, враховуючи знак дробової нерівності (< 0 у першому випадку і > 0 у
другому), отримаємо відповідь: (0; 0,5) U (1, 3). ■
Приклад 10. Розв’язати нерівність log1/3 logj
/2
х + 4
2х-3
<0.
□ За формулою (7.3) маємо 0 = log1/3l. Оскільки основа логарифма
0< — <1, використовуючи вказівку 8°, отримуємо рівносильну нерівність
^ х + 4 х + 4
l°Si/2 >1 (при цьому умова log|/2 >0 виконується автоматич-
2х-3 2х-3 ^ ^
но). Далі, за формулою (7.2) маємо l = logi/2— і оскільки 0< —<1, то,
знову використовуючи вказівку 8°, отримаємо рівносильну даній нерівності
систему
х + 4
2х-3
х + 4
>0,
2х-3 < 2’
тобто
jc + 4
2jc-3
11
>0,
<0.
2(2х-3)
З другої нерівності системи випливає, що 2х - 3 < 0; отже, х + 4 < 0 і задача
зводиться до розв’язування рівносильної системи
звідси jc < - 4. Отже, відповідь така: (-«>, -4). ■
[2jc-3<0, [х < 1,5,
< або <
[jt + 4<0 І* <-4,
197

Приклад 11. Знайти область визначення функції
y = fjl-logg(x2 -4х + 3).
□ Оскільки логарифмічна функція визначена тільки для додатних
чисел, а квадратний корінь — для невід’ємних чисел, задача зводиться до
розв’язування системи нерівностей
Xі - 4х + 3 > 0,
1 — logg(x2 -4х + 3)>0.
Ліву частину першої нерівності розкладемо на множники, а в другій
замінимо 1 на log8 8:
(-*■ — 3) (лг — 1) > 0,
log8(x2 - 4х + 3) < logg 8.
Оскільки основа логарифма 8 > 1, то, за вказівкою 8°, переходимо до системи
(* —3)(*-1) > 0, Г(х —3)(jc —1) > о,
- тобто <
х -4х + 3 < 8, [(х-5)(х + 1)<0.
Остання система рівносильна нерівності (jc-3)(x-1)(jc-5)(jc + 1)<0,
яку розв’язуємо методом інтервалів. За допомогою рис. 9.11 отримаємо
відповідь: [-1,1)U (3, 5]. ■
X
Рис. 9.11
Група А
9.001. Показати, що для всіх додатних чисел а і b правильна нерівність
4а +4b> yla + b.
' 24аЬ 4 гт
9.002. Довести: якщо а > 0 і b > 0, то —f=—#=■ ^ Vfl0.
уІа+уІЬ
9.003. Довести: якщо р > 0 і q > 0, то (р + 2)(q + 2)(р + q) > \6pq.
9.004. Довести: якщо аФ 2, то —z— > —^—.
а2-4а + 4 а3-8
198

9.005. Довести: якщо m, п і р — довжини сторін трикутника, то
т2 + п2 + р2 <2(тп + рт + пр).
9.006. Довести: якщо т > 0 і п > 0,то тп(т + п) < тг + л3.
9.007. Довести, що для будь-яких дійсних чисел х і у правильна
нерівність х2 +2у2 +2ху + 6у + 10>0.
9.008. При яких значеннях а обидва корені рівняння х -(а + \)х + а +
+4 = о від’ємні?
9.009. Довести, що для будь-яких двох додатних чисел добуток їх
суми і суми обернених до них величин не менший від 4.
9.010. Знайти цілі додатні значення х, що задовольняють нерівність
5х + 1.
х-\
 •>2х + 2.
9.011. Знайти цілі розв’язки системи нерівностей
х-\ 2х + 3 х . х + 5
+ -<2 ,
2 3 2 2
, х + 5 4-х ~ JC + 1
1 + <3jc .
8 2 4
9.012. Знайти натуральні значення jc, що задовольняють систему нерівностей
\og^(x-l)<4,
х jc - 5 2jc
+ < .
jc — 3 jc 3-х
9.013. При яких значенняхх функція у = ІІІО + х - уІ2-х набирає додатних
значень?
9.014. Знайти цілі значеннях, що задовольняють систему нерівностей
х + 8
>2,
х + 2
lg(x-l)<l.
2 2
9.015. 	При яких значеннях т нерівність х - тх >— виконується для
т
будь-яких х?
Знайти області визначення функцій (9.016-9.021):
9.016. у
_ їх2 -7х + 12
х2 -2х-З
9.017. у = 0,5
^7+-L
х-1
199

JC-1
x + 5
9.018. 	у = yiog0,3
9.020. 	У = J5~x~~-
I X + 1
9.019. 	y = Jlogi/2log3-—p
9.021. У =
Iogo,3(^-1)
J-x2+2x + S
Розв’язати нерівності (9.022-9.095):
9.022. 	——^-<1.
2-х 2+x
9.024. 	log3^—^<1.
x + \
 9.025. log„(x + 27) - log)l(16 -2x) < log* x
9.026. logoi3(3x - 8) > log0 3(x2 + 4).
9.027. (де +1)(3 — лг)(х — 2) >0.
1 3
9.028. >/зГ^
x < 4 - x.
9.029.
Зх-2-х2 lx-A-3x2
>0.
1 3
9.030.
x + 2 x-3
9.031.
3xz-\0x + 3
x2-\0x + 25
>0.
9.032. |2jc -9jc + 15| > 20.
9.034. 5jc - 20 < jc2 < 8x.
9.036.
(х-Щ2-х)
9.033. bc^ -5jc <6.
9.035.
4jc2-1
log1>7(0,5(l-log73))
<0.
>0. 9.037. (0,(4))* _1 >(0,(6))
л*2+б
9.038.
Зх -16jc + 21
logo, з (x2 +4)
<0.
9.039. lQg5(^2+3)<()
4xz-\6x
9.040.
x-1
r<0.
19ДГ + 12
9.041. x6 -9jc3 + 8>0.
200

9.042.
9.044.
9.046.
9.048.
9.050.
9.052.
9.054.
9.056.
9.058.
9.060.
9.062.
9.064.
9.066.
9.067.
9.068.
9.069.
0,32+4+б+-+2х >0,372;хє N.
УІ\1-\5х-2х2
jt + 3
З*2 -7л:+ 8
>0.
1<
Xі +1
<2.
4-х 1
х-5> 1-х
*2-3* + 2
х + Зх + 2
>1.
9.043. Jx2-x-12<x.
9.045. -J9x-20<x.
9.047.
х4 +Х2 +1
<0.
х*-4х-5
9.049. Igl0lg(x2+21)>l + lgjc.
9.051.
( Зчі/,2 V2jr
>1.
і х
2 <0,125.
52х+і >5*+4_
log0,3(x + l)
-<1.
log0i3100 - log0)3 9
2іо80,4л іО80,4(2»5л)
9.053. х1 -З* -Зх+1 <0.
9.055. 0,5Х~2 >6.
9.057.0,3 *+2>1.
, 2(г П Т^-2)
9.059. 4 -2 ( * + 83 >52.
2logg(x-2)-logg(x-3)> —. 9.061. 25х <6-5* - 5.
2 \i°go.25(-«2-5-t+8)
<2,5.
.3(2jc-7)
4jc+1
12,25 2 >1.
0№<j0$x{x~3) <1.
9.063. 4 х
і-1 1-2
9.065.
15
4 + 3jc-jc
-3<0.
->1.
- + logg х - log3(5jc) > log1/3(x + 3).
logx^0,3>0.
дг+5
1о8о,2 (*-!)> 4.
9.070. log, 5 ———— < 0.
’ х-2
201

9.071. log0i3O2 -5x + 7)>0.
9.072. xs - Ьх1 + 9x6 - x1 + 6x - 9 < 0.
9.073. a*+a3-a-1<0.
9.074. m3 + m2 - m -1 > 0.
9.075. logj (1 + logi/9 x “ log9 x) < 1.
9.076. Vxlog^ >2.
9.077. 2X+2 -2І+3 -2X+4>5X+I -5x+2.
9.078. 0,32jtJ-3x+6 < 0,00243.
9.079. ill2iizi<o.
Jt + 8 x +2x+l
9.081. log12 (x - 2) + log12 (x + 2) < log] 2 5.
(x-l)(x-2)(x-3) , 1 1
9.082. —rn—r~—тг > 1 • 9.083. — <
(x + l)(x + 2)(x + 3) ' Зх+5 Зх+1-Г
fit2
9.084. 	log, log9(3x - 9) < 1. 9.085. 0,2 *2-> > 25.
9.086. 	52^ + 5 < 5^' + 5^. 9.087. |3 - log2 x| < 2.
9.088. 	50,2lgx >0,04lg2. 9.089. log2log1/3log5x>0.
9.090. 	3^ + З^-1 - З^-2 <11. 9.091. 0,5х <S 0,25х’.
0 log,
9.092. 	logo,5x + logo,5x “ 2 ^ 0. 9.093. 5 x <1.
9.094. log3 x + log^j jc + log!/з jc < 6. 9.095. log4(jc + 7) > log2(де +1).
Група Б
9.096. Довести, що добуток суми трьох додатних чисел і суми
обернених до них чисел не менший 9.
9.097. Довести, якщо а — будь-яке дійсне число, то справджується
а2 + а + 2 Л
нерівність . - ■ £2.
\а2 +а + 1
202

9.098. Знайти всі значенняр, при яких вираз \g((p-\)x2 + 2рх + Зр-2)
визначений для будь-яких jc.
9.099. Знайти всі значення а, при яких <J(a +1) jc2 - 2 (а -1) jc + За - 3 має
зміст для будь-яких х е R.
9.100. Знайти множину цілих значень jc, що задовольняють нерівність
42+'/*-> + з. 22+J*~i -16 < 15 • 4^ + 2г+^*~х + 5 • 2п^*~'.
9.101. При яких значеннях р обидва корені квадратного тричлена
х2 + 2(р + \)х + 9р-5 від’ємні?
9.102. При яких значеннях п обидва корені рівняння (/г-2)х2 -2пх+
+/і + 3 = 0 додатні?
9.103. При яких значеннях т обидва корені рівняння 4л:2 -(3/w + 1)jc-
-т- 2 = 0 містяться між - 1 і 2?
9.104. При яких значеннях а квадратний тричлен ojc2 -7jc + 4a набирає
від’ємних значень для будь-яких дійсних значень jc?
9.105. Знайти цілі числа jc, що задовольняють нерівність
9
jc-13
9.106. Довести, що за умови 2у + 5jc = 10 виконується нерівність
Зху-х2-у2 <7.
9.107. Довести, якщо 4Ь + а = 1, то виконується нерівність
а2+4Ь2 £0,2.
9.108. Довести, що многочлен т6 -т5 +т4 +т2 -т + 1 набирає додат-
них значень при будь-яких дійсних значеннях т.
9.109. Знайти область визначення функції /якщо
бП+± І
/(JC)=V4 * -17-2* +4.
9.110. 	Знайти область визначення функції f якщо f (*)
9.111. 	Знайти ділі невід’ємні значення х, що задовольняють нерівність
* + 3 1 їх
7 ^ л” •
х -4 х + 2 2х — х
ах
9.112. 	При яких значеннях а нерівність —z <1,5 виконується для
JT +4
будь-яких значень хе R1
203

9.113. Знайти область визначення функції /, якщо
f(x) = yj l°go,5(*2-9)+4.
9.114. При яких значеннях х має зміст вираз
log3(l-Iogo,5(*2-2x-2,5))?
9.115. Знайти такі значення т, при яких нерівність
х2 -8дс+20
тх2 +2(/я + 1)*+9т+4
< 0 виконується для будь-яких дійсних значень X.
1 Ілг2 - 5лг + 6
9.116. 	При яких значеннях х різниця —г --х набирає тільки
х + 5х + 6
від’ємних значень?
2
х + тх — 1
9.117. При яких значеннях т нерівність —- < 1 виконується
2х -2х + 3
для будь-яких х7
9.118. При яких значеннях т нерівність^———->-\ виконується
х -Зх +4
для будь-яких X?
2
9.119. При яких значеннях а сума а + — набирає лише додат-
а -За-10
них значень?
9.120. Знайти цілі значення х, що задовольняють нерівність
log4 X + log2 (Jx-l)< log2 log^j 5.
9.121. Довести, що при будь-яких дійсних значеннях х функція
х2 +Х + 1 - З . 1
у = — не може набирати значень, більших — і менших —.
х +1 2 2
Знайти області визначення функцій (9.122-9.129):
9.122. у = 2Л*_3НМ
9.123. у =
V4х-х2
log3|x-4|'
9.124. >’ = log3(0,642_1°8'^J: —1,258-log^ ^).
204

9.125. у = ^/log,/3 log з І д: - 3|.
9.126. y = Jlog£5(x-3)-l.
9.127. у = Ц2-lg|x-2|.
9.128. ^ = log3(2log^0’5-l)+ 1
log3(2x-6)
9.129. y = j
x2-l
--1+-
1
(x + 3)(x-4) log*(x-4)
Розв’язати нерівності (9.130-9.205):
3jc + 1
9.130.
jc — З
<3.
9.132. 	log* Щ—і- > 0.
x2 + l
sin2jc
9.134. 	0,5^ <0,51_cos2* <0,5.
9.131. 	log|JC_1| 0,5 > 0,5.
Ijc + 2І - |jc|
9.133. 	1 . 1 11 >0.
V 4-jc3
9.135. 	a) ^ °^fl > 1; 6) log2 log4 jc + log4 log2 x<-4.
\o£x + 2
9.136.
fjc2 3JC 3 lY
— +— + - + — 11-J
, 8 4 2 Л
(х-2Г(1-х)
(x + 2)2
>0.
9.137. log* x - logo 5 ^- + 9 log2 < 4 logo s x.
о X
Ijc — ЗІ
9.138. -V *—>2.
jc -5jc + 6
2 2
9 139 m x + ^ m jc + 3</w + 9jc
9.140.
2 3 6
4
>/2-
r-V2--jc <2.
9.141. уІ9х -3X+2 > 3х -9.
9.142.
jc -5jc + 4
jc2 -4
<1.
205

/ / / (х-0,5) (3-х) л
9.143. 	Vx + 3 < Vx-1 + Vx-2. 9Л44- log2|x-l| >0-
я
9.145. 	———— <4tgx. 9.146. sin4jc + cos4xctg2jc>l.
cos x
X4 +3*3 +4x2 -8
9.147. 	2 + tg2x + ctg2jc < 0. 9.148. = < °*
x
3 25jc-47 3
9.149. 	—5 77 <
6x2 -x-12 10x-15 3x + 4'
logo,3|x-2|
9.150. ^-^<0. 9.151. £^4*>*-3.
x -4x
9.152. 	-——^—<—. 9.153. log4/3(Vx + 3 -x)>0.
1 + log2 x 2
2-х \-2x
9.154. — J>~—ГТ'
x +x x -3x
61og4JC-3
9.155. 0,2 log4X >V0,0082lob|Jt_1.
2 /о \108о,5(*2+4*+4)
9.156. 2,25log2(x ~3x“10) > J | j
9.157. log0i5(x + 3)<log0i25(x + 15).
9.158. log1/3(*-1) + log|/3(x +1) + logyj(5-*)<1.
9.159. 2log3 log3 x + log1/3 \og3(93Jx) > 1.
9.160. 0,008х + 51_3x + 0,041,5(x+1) < 30,04.
9.161. 0,4l083x l083(3jr> >6,25log3x2+2.
1--+---+ I
9.162.0,3 2+4 8+"<V0,33x2+5x <1.
9.163.
lg(jc + 3)
9.164. log3 log4 ~~~7~ — logl / 3 log, /4 ~T~~7 < 0.
x +1 4x -1
206

9.165. 2і08®'5* + jclogw* >2,5.
9.166. з>**+2 <318^+5 _2.
1 2 .1-2дс
9.167. ——і Г2~ГТ
JC + 1 x'-x + l ЛҐ+1
Гї 3 1 1
1 1 4 1 ( 4
‘ х2-4 2х2+7х + 6 2х + 3 2дг3 +Зх2-8д:-12"
9170 10(5~*) 11 6~х 5(6-х)
‘ ' 3(х-4) 3 х-4 х-2
9.171. 	0,6Ig2(~x)+3 j
,21gjc2
9.172. 	(х-3)^х2+4їх2-9.
ЧіГСЧіҐ
9.174. |дг — з|2*2-7jt > і.
9.175. logo,2 x + log4 x > 1.
9.176. — 9 < jc4 — 1 Ojc2 <56.
9.177. 216x6 + 19x3<l.
9.178. x~3 ^ 0 ^3-2,51о& 5 x
9.179. |л-6|>|х2-5л + 9|.
9.180. ПЕ_2«£ПГ>0.
х-2 і х-2 \ х-2
9.181. logo з log6 * <0.
х + 4
9.182. log2;t(x2-5x + 6)<l.
9.183. logo,5 log2 logx_! 9 > 0.

2x + l 1
+ —
1
2
9.184. logo,25 - .
jc + 3 2
9.185. x2{xA + 36) -6>/з(дг4 + 4) < 0.
„ x3+3x2-jc-3
9.186. = <0.
д:2 + 3jc -10
9.187. 2k>glog3,3<l.
9.188. -Jx + 3 +-Jx-2 --j2x + 4 >0.
9.189. log 5 л/Здг + 4 • logx 5 > 1.
9.190. ** ~2*2 ~5х + в >0.
x-2
9.191. 2 cos x (cos x->/8 tgjc) < 5.
9.192. ■Jxi+3x + 4>-2.
9.193. log2 (x-l)2 - logQ 5 (x -1) > 5.
9.194. 25-2*-10*+5* >25.
9.195. log3 log^2 log^2 xA > 0.
9.196. 0,52^+2>3'0,5^.
9.197. х2(х + Зуі5) + 5(Зх+лі5)>0.
9.198. 9log2(JC~1H _g.51082(^-0-2 >9log2U-0 _16#5iog2(x-i)-l
log2(^-l) . 1
’ log2(V4x + 5 +11) 2'
~ logo 5 (Vjc H- 3 -1)
9.200. '5 ■■ -—-<0,5.
logo,5(v* + 3 +5)
1 1
9-201. logj (x -1) < iog2 y/x +1
9.202. xlog21 +16x~log2 * <17.
9.203. 5log^+xlog^<10.
208

9.204. log з (log 2 (2 - log4 x) -1) < 1.
9.205. (x2 + 4x +10)2 - l(x2 + 4x +11) + 7 < 0.
9.206. Розташувати в порядку зростання три числа: а\ = log0>5 sin 2jc,
ап = — 1 — log2sinд:, а3 = logo5(1-cos2jc), якщо 0<jc<—.
4
Розв’язати системи нерівностей (9.207-9.214):
9.207.
0,2 cos* < 1,
* -1 1
+ ->0.
2-х 2
9.208. 	уїх2-9*+ 20 < yfx^l < уіх2- 13.
>0,
9.209.
9.211.
9.213.
Xі +4
х — 1 6jc + 64
lgVx + 7 > lg(x-5)-21g2.
J4x-1 < jc,
Vjc + 5 +V5 — jc >4.
< 6,
5x — 7. x ix
9.210. —<4-- + — <4.
дг-5
5-х x -25
JC2 +5
9.212.
9.214.
JC + 1 <1.
ШХ > —
> 64 ’
2x2-6x-3,5 <
||jc -4jc| < 5,
||jc + l| <3.
9.215. 	Знайти область визначення функції у
_ J х2-6х-16
~Ііх2-12х + 11
х2 -49
Група В
Розв’язати нерівності (9.216-9.220):
9.216. 	log5x + log^<log5X(2'log^)-.
З log3 х
9.217. ^£z2_>2.
4sin JC — 1
з2Іх-1І+з і
9.219. 	- —<Г
9.218. ->/5jc—4 + л/3jc +1 <3.
9.220. <Jx2 +3x + 2-Jx2-x + l<l.
209

9.221. 	Довести, що з усіх прямокутних паралелепіпедів з даною су.
мою ребер найбільший об’єм має куб. (Для доведення можна використати,
9.224. Знайти область визначення функції у = ^sin х - 0,5 + log3 (25 - х2).
9.225. Довести, що при а > 0, b > 0, с > 0 і d >0 справджується нерівність
9.230. V2 + V3 +V2-V3 >2.
9.231. Без допомоги таблиць показати, що 2<log32 + log2 3<3.
9.232. Нехай число х{ > 0 є коренем рівняння ах2 +Ьх + с = 0.
Довести, що існує корінь х2 рівняння сх2+Ьх + а= 0 такий, шо
Х\ + х2 £ 2.
Jabcd, істинну для будь-яких додат-
9.222. 	При яких значеннях р система нерівностей - 9 <
З*2 + рх - 6
<6
виконується для всіх дійсних значень ХІ
9.223. 	Розв’язати систему нерівностей
(je-l)lg2 + lg(2x+1 +1) < lg(7 • 2х +12),
logI(x + 2)>2.
a.+bts.+A
4
9.226. 	При яких значеннях т нерівність -6<
2х2 +тх-4
JC2 — JC-hl
<4
виконується для всіх дійсних значень дг?
Довести справедливість нерівностей (9.227-9.230):
х > 0, у > 0, z > 0.
210

9.233. Довести: якщо (х2 + 5х + 6) (х2 +1 \х + ЗО) < 0, то sin 2х > 0.
9.234. Зі значень х, що задовольняють нерівність logj 3(2jc-2) <
< 1°8і,з (х +1)» вказати ті, для яких sin 2х < 0.
9.235. Числа jcj і jc2 є коренями рівнянь 5х3 - 6 = 0 і 6х3 -5 = 0. Показати,
що Х\ + *2 > 2.
Розв’язати нерівності (9.236-9.290):
9.236. log2 (х -1) - log2 (х +1) + log Х+1 2 > 0.
7-і
9.237. log, log2(4-t -12)< 1. 9.238. 10-0,>3.
f sinjc
2[ 1-COSJt J <8
2 cos jc-6
9.239. 	2 < 2v osx / <8. 9.240. 32cos x~{ >3i-2cos *
9.241. 	0,2mslx Ц—<4125“0'5. 9.242. log,log3(9* -6)>1.
25cos X
9.243. 	^log0i5(x2 +4x-4) < 1; x є Z. 9.244. ^1 - 91og2/8x > 1 -41og]/8 x.
9.245. 	logo,5 x + ^1 -41ogo 5 x < 1. 9.246. log^ (3 - 2x) > 1.
9.247. log3(4J:+l) + log4,+13>2,5.
9.248. log3(3jr -1) • log1/3(3*+2 -9) > -3.
l + log2.Jt I •> I
9.249. log- 5£_<o. 9.250. x3 -1 > 1 -x.
1-logpX I I
9.251. * ~W~12 > 2X' 9.252. log,(x3 +1)• logX+1 x>2.
x-3
9.253. 	logx(x +1) < log]/,(2 - x). 9.254. log3 logo 2 log32 —7 > 0.
x + 5
9.255. 	log, (x2 + 3x - 3) > 1. 9.256. |x -1| +12 - x| > 3 + x.
9.257. ,2 + / >-■ 9.258. ^x_zl6 +Jx-3 > 5 .
2 + V4-x2 2-V4-x2 * УІХ-3 Vx-3
9.259. уі4-4х3+х6 >х-Уї. 9.260. Vx4-2x2+l > 1 -x.
211

9.263. (4х2 + 2х +1)*2~х>\. 9.264. (^
log yj Ctg X
U2 -дс| logj8 l2x
9.265. 	1< 3і ' <9. 9.266. 5 х~* >25.
9.267. (2х +3.2_J')21og2'l_log2(jt+6) >1.
9.268. log|I_4|(2x2-9x + 4)>l.
1 „ 1
9.269  . =<-
logo,5 Vx + 3 logo,5 (■* +1)
9.270. log* r~~T~ - “2.
8-2jc
9.271. logo>5 (x - 3) - log0>5 (* + 3) - logx+3 2 > 0.
jc—3
9.272.
>4x _1 -5
<3.
9.273. 8-3^+4^ +9^+1 >9^.
x+5
9.274. (jc2 +jc + 1)x+2 >(jc2+jc + 1)3.
jc2-7|jc| + 10
9.275. i—u <0.
jc -6jc + 9
9.276. sin 2 jc sin 3jc - cos 2 jc cos 3jc > sin 1 Ojc.
9.277. ctgi+ctgf^ +12° ]+ tg(x +12°) > 0.
9.278.
f-
I14,
jc+7| / ^ Jx2-3jc+2|
< 14
9.279. logx 10-0,5 loga 10 > 0; 0 < a < 1.
9.280. log7 jc - log3 7 • log3 jc > log2 0,25.
9.281. xlogaJ:+4<a4x;0<a<l.

9.282. -^ІЗх2Т5х + 2>ї.
9.283. log2 -J5 - logx 5yf5 +1,25 < 0.
9.284. |log3x(<|log3^|.
9.285. ctgx+ctg|x+j+ 2 ctg|x+у j> 0.
9.286. sin3 xsinf— - 3x1+ cos3 xcosf— - Зх )> ЬІ2.ш
I2 J I2 J 8
9.287. 2sin2 jc-sinjc + sin3jc< 1.
9.288. ctgjc-tgjc-2tg2jc-4tg4jc>8V3.
9.289. 4sin x sin 2x sin 3jc > sin Ax.
9.290. sin (2x + 10°) + sin (jc +10°) - sin jc < 0.
9.291. Показати, що —<cos20°cos40°cos70°<—.
. 8 4
cos2 2jc
9.292. Розв’язати нерівність ^^ 3tgx.
cos x
9.293. Показати, що tg40° -I- tg45° + tg50° > 3.
9.294. Показати, що за умови 360°л-45о<а<360ол + 45°, де п є Z,
виконується нерівність ctg (45° - а) + ctg45° + ctg(45° + а) > 3.
Розв’язати нерівності (9.295-9.297):
9.295. З cos2 х sin х - sin3 х < 0,5.
cosjc+ 2cos2 jc + cos3jc ,
9.296. л > 1
cosjc+ 2cos jc — 1
9.297. 8sin4 jc-8sin2 jc + sinjc-1 <0.
9.298. Показати, що 2 < >/log2 3 + ^/log3 2 < Л +1.
9.299. Показати, що - < sin 20° sin 50° sin 70° < —.
8 4
9300. Розв’язати нерівність logx2_3 729 > 3.
213

9.301. Розв’язати нерівність —£_1>з
logo (5-х)
9.302. Знайти область визначення функції
9.303. Знайти множину цілих значень х, що задовольняють нерівність
logo,з (VxT? - х +1) > 0.
9.304. Вказати такі значення jc, при яких нерівність ^2 _ \)(у- 1) > о
виконується для всіх значень
9.305. Знайти а з нерівності jc2 -2fl+2jc-2a+3 +12 > 0 за умови, що вона
справджується для будь-яких значень jc.

Глава 10
ЗАДАЧІ З ПЛАНІМЕТРІЇ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1°. Довільний трикутник (а, Ь,с — сторони; а, Р, у—
протилежні кути;
- півпериметр; R — радіус описаного кола; г — радіус вписаного кола;
площа; ha — висота, проведена до сторони а):
S = \aha;
(10.1)
S = —bc sina;
2
(10.2)
S = ^p(p-a)(p-b)(p-c) (формула Герона);
(10.3)
S
r = —;
P
(10.4)
n <*bc
R = ;
45
(10.5)
_ a2 sin В sin C
S = ;
2sin^
(10.6)
2 2 2
a =b +c -26c cos а (теорема косинусів);
(10.7)
—— = -~r = —— = 2R (теорема синусів).
(10.8)
sina sinp sin у
2°. Прямокутний трикутник (<a, b — катети; c —
- гіпотенуза; ас,
- проекції катетів на гіпотенузу):
S = \ab;
(10.9)
S = \chc;
(10.10)
a + b-c
r= . ;
(10.11)
215

л=§; (Ю.12)
а2 +b2 =с2 (теорема Піфагора); (10.13)
ас _ hc
ас _ а
а с ’
Ь^=Ь_.
Ь с
(10.14)
(10.15)
(10.16)
a = csina = ccosp = Mga = 6ctgP. (10.17)
3°. Рівносторонній трикутник:
а2ІЇ
4
ауіЗ
5=——; (10.18)
г='6 •
(10.19)
afi
Л = —• (10.20)
4°. Довільний опуклий чотирикутник (dx і d2 — діагоналі;
ф — кут між ними; S—площа):
S = ^d\d2sm<$. (10.21)
5°. Паралелограм (а і b — суміжні сторони; a — кут між ними;
ha — висота, проведена до сторони а)\
 S = aha =absma = ^dxd2 sin(p. (10.22)
6°. Ромб:
2 1
S = aha=a sina = -dxd2. (10.23)
7°. Прямокутник (d—діагональ):
S = ab = ^d2 sincp. (10.24)
8°. Квадрат:
S = a2=-d2. (10.25)
216

9°. Трапеція (а і b — основи; h — відстань між ними; / — середня
лінія):
(2 + Ь
/ = —; (Ю.26)
S = -h = lh. (10.27)
10°. Описаний многокутник (р — півпериметр; г—радіус вписаного кола):
S = pr. (10.28)
11°. Правильний многокутник (<ап — сторона правильного л-кутника;
R■— радіус описаного кола, г — радіус вписаного кола):
a3=Rj3;a4=Ry/2;a6=R; (10.29)
S = ^~. (10.30)
12°. Коло, круг (г — радіус; С — довжина кола; S — площа круга):
С = 2пг; (10.31)
5 = яг2. (10.32)
13°. Сектор (/ — довжина дуги, що обмежує сектор; п° — градусна
міра центрального кута; а — радіанна міра центрального кута):
, пт°
І = = га; (10.33)
180°
_ пг2п° 1 2
S = = —rot. (10.34)
360° 2
ДОДАТКОВІ СПІВВІДНОШЕННЯ
МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ФІГУР
1°. Три медіани трикутника
перетинаються в одній точці, що ділить кожну медіану у
відношенні 2:1, починаючи від вершини
трикутника.
□ Нехай медіани AD і BE перетинаються в
точці О (рис. 10.1). Побудуємо чотирикутник
MNDE, де М і N— середини відрізків АО і ВО.
Тоді MN\AB і MN = 0,5АВ як середня лінія
&АОВ\ ED І АВ і ED = 0,5АВ як середня лінія
ШС. Тому MN Ц ED і MN = ED, тобто фігура
217

Рис. 10.2
Рис. 10.3
MNDE — паралелограм з діагоналями MD і NE. Отже, MO = OD і оскільки
MO = AM, то AM = MO = OD. Отже, точка О ділить медіану AD у відношенні
AO: OD = 2 :1 і в такому самому відношенні ця точка ділить медіану BE.
Очевидно, що в такому відношенні має ділити і третю медіану точка її
перетину як з першою, так і з другою медіанами. При цьому третя медіана не може
перетнути їх у точках, відмінних від О, бо тоді на кожній медіані були б дві різні
точки, що ділять її у відношенні 2:1, починаючи від вершини, що неможливо.!
2°. Довжина медіани трикутника виражається формулою
ma= j<j2(b2 +с2)-а2,
(10.35)
де а, Ь, с — довжини сторін трикутника.
□ Продовжимо медіану AD (рис. 10.2) на відстань DE = AD і побудуємо
відрізки BE і EC. В отриманому чотирикутнику АВЕС точка D перетину
діагоналей АЕ = 2та і ВС=а ділить кожну з них пополам; отже, АВЕС—паралелограм.
Тепер використовуємо теорему про те, що сума квадратів довжин діагоналей
паралелограма дорівнює сумі квадратів довжин його сторін. Склавши рівняння і
розв’язавши його відносно та, отримаємо шукане співвідношення.■
3°. Довжина сторони трикутника виражається формулою
(10.36)
де та, ть, тс — довжини медіан трикутника.
□ Позначимо на медіані AD точку О перетину медіан ABC (рис. 10.3);
відповідно до властивості 1°, вона ділить AD у відношенні AO : OD = 2:1-
Продовжимо OD на відстань DF = OD = ^та і з’єднаємо точку F з В і С.
Тепер складемо рівняння, що пов’язує довжини сторін
2 2 2
BO = —mb, СО =—тс і діагоналей OF = —та, ВС = а паралелограма OBFC
Розв’язавши це рівняння відносно а, отримаємо шукане співвідношення.■
218

Рис. 10.4
Рис. 10.5
4°. Бісектриса ділить сторону трикутника на відрізки, пропорційні до двох
інших його сторін, тобто
а __ а і
V
(10.37)
де а, b — сторони трикутника, ах,Ьх — прилеглі до них відрізки сторони с.
□ І спосіб. Нехай CD — бісектриса AABC (рис. 10.4). Трикутники BCD і
ACD з основами а{ і Ьх мають спільну висоту. Нехай їх площі
дорівнюють відповідно Sj і S2; тоді : S2 = ах : bx. З іншого боку, за формулою
1 СІ С
(10.2) маємо S\ = —а • CD siny, S2 = —b • CD siny, звідси Sx : S2 = a: b.
Порівнюючи отримані пропорції, робимо висновок, що а і . Ьх = а : Ь.
II спосіб. Нехай ZBDC =Р (рис.10.4); тоді ZADC = K-$.
Q
За теоремою синусів (10.8) маємо а\ : а = siny : sinp (з ABCD) і
С С
: 6 = siny: sin(jc - р) = siny: sinP (з A ACD). Порівнюючи ці пропорції,
робимо висновок, що ах : а = Ь{ : Ь, звідки ах:Ьх:= а:Ь.
III спосіб. Продовжимо бісектрису CD до перетину в точці Е з прямою
Л£||СЯ (рис. 10.5). Маємо za = zp (за умовою) і Za = Zy (кути при
паралельних СВ і АЕ та січній СЕ). Зіставимо ці рівності і отримаємо ZP = Zy.
Таким чином, А АСЕ — рівнобедрений і АЕ - АС = b; A AED ~ A BCD
(внаслідок рівності кутів), звідси ах : Ьх = а : Ь. ■
5°. Довжина бісектриси трикутника виражається формулою
lc = Jab-albl,
(10.38)
де а і Ь — довжини двох сторін трикутника АВС\ ах і Ьх — відрізки третьої
сторони (рис. 10.4).
219

□ І спосіб. Застосувавши теорему косинусів (10.7) до АВ DC і AADQ
з рівними кутами BCD і ACD, складемо рівняння
12с+а2-а! 12С+Ь2-Ь?
2aL 2bL
ЗВІДКИ
b(l2+a2-af) = a(l2+b2-b^),
або lc (b-a)-ab(b-а)~
= (axb)ax ~(ab\)b\. Використовуючи рівність abx = ахЬ , що випливає з
формули (10.37), маємо
(b - a)(lc - ab) = abxax - ахЬ1\, або (b - а)(12 - ab) = -яД (Ь - а).
Вважаючи ЬФа, поділимо обидві частини останньої рівності на b-а, звідси
/2 = ab — a\b\.
II спосіб. Опишемо навколо AABC коло, продовжимо
бісектрису CD =1С до перетину з колом у точці Е (рис. 10.6) і з’єднаємо В з Е.
Оскільки A ADC ~ А ЕВС ,
то
а
Іг
Ь L+DE
, або ab = lc (lc + DE).
Враховуючи, що lc DE = ахЬ\,
запишемо останню рівність у вигляді
аЬ = 12 + ахЬх, звідсиІс = ^аЬ-ахЬх.Ш
6°. Довжина бісектриси
трикутника виражається через довлси-
t _Jab(a + b+c)(a + b-c) ^Q39)
с a + b
□ Запишемо співвідношення (10.38) у вигляді lc = ab - ах(с - ах). Далі,
використовуючи формулу (10.37), отримаємо — = —, тобто ах = ——-•
b с-ах <* + Ь
Звідси знаходимо /? =ab —І с —І і потрібне значення /_.■
a+by а+b) с
7°. Для будь-якого трикутника залежність між його висотами hc і
радіусом г вписаного кола виражається формулою '
К К К г
(10.40)
220

□ Використовуючи формули (10.4) і (10.1), отримаємо S = rp, 2S = ahQ =
-bhb=chc. Звідси знаходимо
111 a b с а + £ + с 1 1 1
1 1 1 1 = = р — = —. ■
ha hb hc 2S IS 2S 2 S S r
8°. Площа S рівнобедреної трапеції, діагоналі якої взаємно
перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти, тобто S = h2.
□ У рівнобедреній трапеції віссю симетрії є перпендикуляр МК до її основ,
що проходить через точку О перетину діагоналей (рис. 10.7). Оскільки
Z AOD = 90°, то AD = 2ON і ВС= 2ОМ. Отже,
AD + BC
*abcd - -
Ш = (ON + OM)MN = MN2 = А2.1
9°. Висота рівнобедреної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім
геометричним її основ.
□ Оскільки в чотирикутнику, описаному навколо кола, суми довжин
протилежних сторін рівні, то а + b = 2с (рис. 10.8), звідси АВ = а *^. Далі
маємо АЕ = ----- і з прямокутного трикутника ВЕА знаходимо BE2 = АВ2 -
~АЕ2,тобто h2 ~(°2^ j = а^'
Приклад 1. Площа трикутника ABC дорівнює 30 см2. На стороні АС
взято точку D так, що AD : DC = 2:3. Довжина перпендикуляра DE,
проведеного до сторони ВСУ дорівнює 9 см. Знайти ВС.
221

□ Проведемо BD (рис. 10.9); трикутники ABD і BDC мають спільну
висоту BF, таким чином, їх площі відносяться як довжини основ, тобто
З 2
$mbd • bdc = AD: DC = 2:3, звідки *$дд£)С =~$аавс = 18см . З іншого
боку, за формулою (10.1), S^DC =0,5BCDE, тобто 18 = 0,5 ВС • 9, звідси
ВС = 4 см.И
Приклад 2. У рівнобедреному трикутнику висоти, проведені до
основи і бічної сторони, дорівнюють відповідно 10 і 12 см. Знайти довжину
основи.
□ У A ABC маємо АВ = ВС, BD ± АС, АЕ J_ ВС, BD = 10 см і АЕ = 12 см
(рис. 10.10). Нехай АС = х,АВ = ВС = у. Прямокутні трикутники АЕС і BDC подібні
(кут С — спільний); таким чином, ВС : АС = BD : АЕ, або у : х = 10 : 12 =
= 5:6. Застосовуючи теорему Піфагора (10.13) до A BDC, маємо ВС2 =
х2
= BE>1 + DCl2, тобто у2 - 100 Н—. Розв’язавши систему рівнянь
z = £
X б’
2 отримаємох= 15.Отже,АС= 15см. ■
у2 =100 +—,
Приклад 3. Два кола дотикаються зовні. До
першого з них проведено дотичну, що проходить
через центр другого кола. Відстань від точки
дотику до центра другого кола дорівнює потроєному
радіусу цього кола. У скільки разів довжина
першого кола більша довжини другого кола?
- центри кіл, А — точка дотику
□ Нехай Ох і 02 -
(рис. 10.11). Тоді ОхА = Rl9 Ох02 ~ R\+ ^2» О^А 55
= ЗR2 (за умовою). Треба знайти відношення
222

2%RX ‘ 2nR2 = R\ : R2• У прямокутному трикутнику 0ХЛ02 (ZA = 90°)
маємо 0\02 = ОхА2 + 02А2, або (/?j + R2)2 = R\ + (ЗR2)2•
Спростивши цю рівність, отримаємо /?j = 4Л2, звідси : R2 = 4.И
Приклад 4. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник,
ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки т і п. Довести, що площа
трикутника 5 = тп. Знайти площу прямокутника, вписаного в даний трикутник
так, що одна його вершина збігається з вершиною прямого кута, а
протилежна вершина — із точкою дотику кола і гіпотенузи.
□ Нехай Д Е, F — точки дотику (рис. 10.12); тоді AD = AF = ти, BD =
=ВЕ =п,СЕ = CF=r—радіус вписаного кола,/? = г + т + п — півпериметр. Далі,
використовуючи формулу (10.9), знаходимо
S = (r + m)(r + n), afo 2S = r2 + r{m + n) + mn = r(r + m + n) + mn = rp + mn.
Оскільки rp - 5 за рівністю (10.4), то 25 = 5 + mn, звідси 5 = mn.
Нехай CMDK — вписаний прямокутник. Оскільки DK || ВС,
використовуючи гомотетію з центром в А і коефіцієнтом к = т , знайдемо площу Sx
т + п
трикутника AKD:
„2 З
о _ с /я _ т п
Аналогічно для площі 52 трикутника BMD маємо
„2 З
с _ с п _ тп
*2 -Ьмвс - Гу*
(m + л) (т + л)
Шукана площа
т3л + тл3 1т2п2
scmdk -тп—; а~~~, Т'1
(т + л) (т + л)

Приклад 5. У прямокутному трикутнику проведено бісектрису
гострого кута; відрізок, що з’єднує її основу з точкою перетину медіан,
перпендикулярний до катета. Знайти кути трикутника.
□ Нехай BE — медіана, О — точка перетину медіан, AD — бісектриса і OD і.
± ВС (рис. 10.13). За властивістю точки перетину медіан, ЕО: ОВ = 1:2. Оскільки
OD\EC, то за теоремою Фалеса CD : DB = ЕО \ ОВ = 1:2. Використовуючи
властивість бісектриси трикутника, отримуємо CD: DB=AC: АВ, тобто АС: АВ =
= 1:2. Отже, sin В = 0,5, звідси Z5 = 30°, /-А = 60°. ■
Група А
10.001. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить
гіпотенузу на відрізки завдовжки 5 і 12 см. Знайти катети трикутника.
10.002. Знайти діагональ і бічну сторону рівнобедреної трапеції з основами
20 і 12 см, якщо відомо, що центр описаного кола лежить на більшій основі
трапеції.
10.003. У рівнобедреній трапеції дано основи а = 21 см, Ь- 9 см і висот]
А = 8 см. Знайти радіус описаного круга.
10.004. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить йол
сторону на відрізки завдовжки т і п, починаючи від вершини гострого кутг
Знайти діагоналі ромба.
10.005. У прямокутний трикутник з катетами а і b вписано квадрат, що мг
з трикутником спільний прямий кут. Знайти периметр квадрата.
10.006. Два кола радіусами R = 3 см і г = 1 см дотикаються зови
Знайти відстані від точки дотику кіл до їх спільних дотичних.
10.007. Навколо кола з діаметром 15 см описано рівнобедрену трапеці
з бічною стороною 17 см. Знайти основи трапеції.
10.008. У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною 4 см, проведе
медіану бічної сторони. Знайти основу трикутника, якщо медіана дорівнює 3 с
10.009. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 16 см, а бічна сч
рона дорівнює 10 см. Знайти радіуси вписаного й описаного кіл і відстань мі*
центрами.
10.010. Кожна сторона правильного трикутника поділена на три рі
частини, і відповідні точки поділу, рахуючи в одному напрямі, сполучені р
собою. В отриманий правильний трикутник вписано коло радіуса г = 6 см. Зна
сторони трикутників.
10.011. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 yfl см, а меді
бічної сторони дорівнює 5 см. Знайти довжину бічної сторони.
10.012.3 	точки А, що не належить колу, проведено до нього дотичну і сі
Відстань від точки А до точки дотику дорівнює 16 см, а до однієї з точок пер
ну січної з колом дорівнює 32 см. Знайти радіус кола, якщо січна віддалені
його центра на 5 см.
224

10.013. Дано трикутник зі сторонами 12, 15 і 18 см. Проведено коло з
центром на найбільшій стороні, що дотикається до обох менших сторін. Знайти
відрізки, на які центр круга ділить найбільшу сторону трикутника.
10.014. Хорда кола дорівнює 10 см. Через один кінець хорди проведено
дотичну до кола, а через інший — січну, паралельну дотичній. Знайти радіус
кола, якщо внутрішній відрізок січної дорівнює 12 см.
10.015. Через кінці дуги кола, що містить 120°, проведено дотичні, й
у фігуру» обмежену цими дотичними і даною дугою, вписано коло. Довести, що
його довжина дорівнює довжині вихідної дуги.
10.016. У сектор АОВ з радіусом R і кутом 90° вписано коло, що
дотикається до відрізків ОА, ОВ і дуги АВ. Знайти радіус кола.
10.017. Дано точку Р, віддалену на 7 см від центра кола радіуса 11 см.
Через цю точку проведено хорду завдовжки 18 см. Знайти довжини відрізків,
на які точка Р ділить хорду.
10.018. Знайти довжини сторін АВ і АС трикутника ABC, якщо ВС= 8 см,
а довжини висот, проведених до АС і ВС, дорівнюють відповідно 6,4 і 4 см.
10.019. Площа рівностороннього трикутника, вписаного в коло, дорівнює
4 г~
Q2. Довести, що радіус кола дорівнює ——^—.
10.020. У переріз двох рівних кругів вписано ромб із діагоналями 12 і 6 см.
Знайти радіус кожного кола.
10.021. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника,
дорівнює т і ділить прямий кут у відношенні 1:2. Знайти сторони трикутника.
10.022. Знайти гострі кути прямокутного трикутника, якщо медіана,
проведена до його гіпотенузи, ділить прямий кут у відношенні 1:2.
10.023. Дано квадрат, дві вершини якого лежать на колі радіуса R, дві
інші — на дотичній до цього кола. Знайти довжину діагоналі квадрата.
10.024. Довжини паралельних сторін трапеції дорівнюють 25 і 4 см, а
довжини непаралельних сторін — 20 і 13 см. Знайти висоту трапеції.
10.025. Спільна хорда двох кіл служить для одного з них стороною
вписаного квадрата, а для другого — стороною правильного вписаного
шестикутника. Знайти відстань між центрами кіл, якщо радіус меншого з них
дорівнює г (розглянути два можливих випадки розміщення кіл).
10.026. Із зовнішньої точки до кола проведено січну завдовжки 12 см і
2
Дотичну, довжина якої становить — внутрішнього відрізка січної. Знайти
довжину дотичної.
10.027. Кожне з трьох кіл радіуса г дотикається до двох інших. Знайти
площу трикутника, утвореного спільними зовнішніми дотичними до цих кіл.
10.028. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють а і 6, бічна сторона
Дорівнює с, а діагональ — d. Довести, що d2 = ab + с2.
10.029. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, дорівнює а і служить
Для одного кола стороною правильного вписаного трикутника, а для
дру225

гого — стороною вписаного квадрата. Знайти відстань між центрам
кіл (розглянути два можливих випадки).
10.030. На сторонах квадрата поза ним побудовано правильні трикутник]
і їх вершини послідовно з’єднані. Знайти відношення периметра отриманої
чотирикутника до периметра даного квадрата.
10.031. У ромб, діагональ якого ділить його на два рівносторонні
трикутники, вписано коло радіуса 2. Знайти сторону ромба.
10.032. У трикутнику довжини двох сторін становлять 6 і 3 см. Знайї
довжину третьої сторони, якщо півсума висот, проведених до даних сторії
дорівнює третій висоті.
10.033. До кола, вписаного в рівнобедрений трикутник з осново]
12 см і висотою 8 см, проведено дотичну, паралельну основі. Знайти довжин
відрізка цієї дотичної, що міститься між сторонами трикутника.
10.034. З однієї точки проведено дві дотичні до кола. Довжина кожної де
тичної 12 см, а відстань між точками дотику 14,4 см. Знайти радіус кола.
10.035.3 	точки А проведено дві прямі, що дотикаються до кола радіуса R
точках В і С так, що трикутник ABC — рівносторонній. Знайти його площу.
10.036. У прямокутний трикутник з кутом 60° вписано ромб зі стороної
6 см так, що кут 60° у них спільний і всі вершини ромба лежать на сторона
трикутника. Знайти сторони трикутника.
10.037. Дано правильний трикутник ABC. Точка К ділить сторону АС
відношенні 2:1, а точка М— сторону АВ у відношенні 1:2 (в обох випадках ві
вершини А). Показати, що довжина відрізка КМ дорівнює радіусу колг
описаного навколо трикутника ABC.
11.038. Периметр паралелограма дорівнює 90 см, а гострий кут містит
60°. Діагональ паралелограма ділить його тупий кут на частини у відношенн
1:3. Знайти сторони паралелограма.
10.039. Прямі, що містять бічні сторони рівнобедреної трапеції
перетинаються під прямим кутом. Знайти довжини сторін трапеції, якщо її площ
дорівнює 12 см2, а висота — 2 см.
10.040. У прямокутний трикутник вписано півколо так, що діаметр лежит
на гіпотенузі, а центр ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 і 20 см. Знайті
площу трикутника і довжину вписаного півкола.
10.041. Міра одного з кутів паралелограма дорівнює 60°, а менша діаго
наль дорівнює 2-ч/зТ см. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки пере
тину діагоналей до більшої сторони, дорівнює 0,5л/75 см. Знайти довжини сторії
і більшої діагоналі паралелограма.
10.042. Один із кутів трапеції дорівнює 30°, а прямі, що містять бічн
сторони трапеції, перетинаються під прямим кутом. Знайти довжину меншо
бічної сторони трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см, а одна з осної
8 см.
10.043. У коло, діаметр якого дорівнює Jn, вписано правильний трикут
ник. На його висоті як на стороні побудовано другий правильний трикутник,)
який вписано нове коло. Знайти радіус цього кола.
226

10.044. У колі проведено дві хорди ЛЯ = я \АС=Ь. Довжина дуги АС удвічі
більша від довжини дуги АВ. Знайти радіус кола.
10.045. Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх центрів
під кутами 90° і 60°. Знайти радіуси кіл, якщо відстань між центрами
дорівнює 7з+і.
10.046. Коло дотикається до більшого катета прямокутного трикутника,
проходить через вершину протилежного гострого кута, а його центр лежить на
гіпотенузі трикутника. Який радіус кола, якщо довжини катетів дорівнюють
5 і 12?
10.047. Периметр прямокутного трикутника ABC (ZC = 90°) дорівнює
72 см, а різниця між довжинами медіани СМ і висоти СК дорівнює 7 см. Знайти
довжину гіпотенузи.
10.048. У гострий кут, що дорівнює 60°, вписано два кола, що зовні
дотикаються. Радіус меншого кола дорівнює г. Знайти радіус більшого кола.
10.049. Точка на гіпотенузі, рівновіддалена від обох катетів, ділить
гіпотенузу на відрізки завдовжки 30 і 40 см. Знайти катети трикутника.
10.050. Знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника,
якщо радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 3 см, а один із катетів
дорівнює 10 см.
10.051. Три кола різних радіусів попарно дотикаються. Відрізки, що
з’єднують їх центри, утворюють прямокутний трикутник. Знайти радіус
меншого кола, якщо радіуси більшого і середнього кіл дорівнюють 6 і 4 см.
10.052. Коло дотикається до одного з катетів рівнобедреного прямокутного
трикутника і проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайти
радіус кола, якщо його центр лежить на гіпотенузі, а катет трикутника
дорівнює а.
10.053. У паралелограмі ABCD висота, проведена з вершини В тупого кута
до сторони AD, ділить її у відношенні 5:3, починаючи від вершини D. Знайти
відношення АС: BD, якщо AD : АВ = 2.
10.054. На основі рівнобедреного трикутника, що дорівнює 8 см, як на
хорді побудовано коло, що дотикається до бічних сторін трикутника. Знайти
радіус кола, якщо довжина висоти, проведеної до основи трикутника, дорівнює
Зсм.
10.055. У рівнобедрений трикутник з кутом 120° при вершині і бічній
стороні а вписано коло. Знайти радіус цього кола.
10.056. Довести, що сума відстаней від будь-якої точки всередині
правильного многокутника до всіх прямих, що містять його сторони,
величина стала.
10.057. Діагональ прямокутної трапеції та її бічна сторона рівні між собою.
Знайти довжину середньої лінії, якщо висота трапеції дорівнює 2 см, а бічна
сторона — 4 см.
10.058. У правильний трикутник вписано квадрат, сторона якого дорівнює
т- Знайти сторону трикутника.
227

10.059. У колі радіуса г проведено хорду завдовжки 0,5г. Через один
кінець хорди проведено дотичну до кола, а через другий — січну, пара-
лельну дотичній. Знайти відстань між дотичною і січною.
10.060. Радіуси вписаного й описаного кіл прямокутного трикутника
дорівнюють відповідно 2 і 5 см. Знайти катети трикутника.
10.061. Перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до його
діагоналі, ділить цю діагональ на відрізки завдовжки 6 і 15 см. Різниця довжин
сторін паралелограма дорівнює 7 см. Знайти довжини сторін паралелограма і
його діагоналей.
10.062. У більшому з двох концентричних кругів проведено хорду, що
дорівнює 32 см і дотикається до меншого круга. Знайти довжину радіуса
кожного з кругів, якщо ширина кільця, що утворилося, дорівнює 8 см.
10.063. У трикутник вписано ромб так, що один кут у них спільний, а
протилежна вершина ділить сторону трикутника у відношенні 2:3. Діагоналі
ромба дорівнюють т in. Знайти сторони трикутника, що містять сторони ромба.
10.064. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, основа
дорівнює 12 см. До кола, вписаного в трикутник, проведено дотичні, паралельні
висоті трикутника. Вони відтинають від даного трикутника два прямокутних
трикутники. Знайти довжини сторін цих трикутників.
10.065. У рівносторонній трикутник вписано коло. До цього кола і сторін
трикутника дотикаються три малих кола. Знайти сторону трикутника, якщо
радіус малого кола дорівнює г.
10.066. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а
проекція другого катета на гіпотенузу дорівнює 16 см. Знайти радіус кола, вписаного
в трикутник.
10.067. Усередині круга радіуса 15 см узято точку М на відстані 13 см від
центра. Через цю точку проведено хорду завдовжки 18 см. Знайти довжину
відрізків, на які точка, М ділить хорду.
10.068. Довжина основи трикутника дорівнює 36 см. Пряма, паралельна
основі, ділить площу трикутника пополам. Знайти довжину відрізка цієї прямої,
що міститься між сторонами трикутника.
10.069. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює
15 см, а радіус вписаного в нього кола дорівнює 6 см. Знайти сторони трикутника.
10.070. У круговий сектор із центральним кутом 120° вписано круг.
Знайти радіус описаного круга, якщо радіус даного круга дорівнює R.
10.071. Знайти сторону правильного шестикутника, рівновеликого
рівнобедреній трапеції з основами 20 і 12 см, якщо відомо, що центр описаного
кола лежить на більшій основі трапеції.
10.072. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 30 см, а бічна
сторона дорівнює 39 см. Знайти радіус вписаного круга.
10.073. У квадраті зі стороною 12 см середини двох суміжних сторін
з’єднано між собою і з протилежною вершиною квадрата. Знайти радіус круга,
вписаного в утворений трикутник.
10.074. Одна з двох паралельних прямих дотикається до кола радіуса R
у точці А, а друга перетинає це коло в точках В і С. Виразити площу трикутника
ABC як функцію відстані х між прямими.
228

10.075. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 12 см. Знайти
відстань між точкою перетину його бісектрис і точкою перетину медіан.
10.076. Знайти відношення радіуса кола, вписаного в рівнобедрений
прямокутний трикутник, до висоти, опущеної на гіпотенузу.
10.077. У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона
дорівнюють відповідно 5 і 20 см. Знайти бісектрису кута при основі трикутника.
10.078. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8 см. Знайти
відстань від центра вписаного в трикутник кола до центра описаного навколо
нього кола.
10.079. Знайти бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника з
катетами 24 і 18 см.
10.080. Довести, що чотирикутник, діагоналі якого лежать на бісектрисах
його кутів, є ромбом.
10.081. Площа прямокутника дорівнює 9 см2, а міра одного з кутів,
утвореного діагоналями, дорівнює 120°. Знайти сторони прямокутника.
10.082. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга,
дорівнює 5; висота трапеції вдвічі менша від бічної сторони. Знайти радіус
вписаного круга.
10.083. Сума довжин діагоналей ромба дорівнює /я, а його площа дорівнює
S. Знайти сторону ромба.
10.084. Периметр ромба дорівнює 2 м, довжини його діагоналей відносяться
як 3 : 4. Знайти площу ромба.
10.085. У рівнобедрену трапецію вписано коло радіуса R. Верхня
основа трапеції вдвічі менша від її висоти. Знайти площу трапеції.
10.086. На кожній медіані правильного трикутника взято точку, що ділить
медіану у відношенні 3:1, починаючи від вершини. У скільки разів площа
трикутника з вершинами в цих трьох точках менша від площі вихідного
трикутника?
10.087. У рівнобедрений трикутник вписано квадрат одиничної площі, одна
сторона якого лежить на основі трикутника. Знайти площу трикутника, якщо
відомо, що центри мас трикутника і квадрата збігаються (центр мас трикутника
лежить на перетині його медіан).
10.088. У коло радіуса R вписано трапецію, нижня основа якої вдвічі більша
від кожної з решти сторін. Знайти площу трапеції.
10.089. Знайти площу круга, описаного навколо рівнобедреного
трикутника, якщо основа цього трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона дорівнює
13 см.
10.090. Відстань від центра круга до хорди завдовжки 16 см дорівнює
15 см. Знайти площу трикутника, описаного навколо круга, якщо периметр
трикутника дорівнює 200 см.
10.091. Знайти площу круга, вписаного в рівнобедрену трапецію, якщо її
більша основа дорівнює а, а кут при меншій основі дорівнює 120°.
10.092. У коло радіуса R вписано трикутник з кутами 15° і 60°. Знайти
площу трикутника.
229

10.093. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 2р, а гіпотенуза
дорівнює с. Знайти площу круга, вписаного в трикутник.
10.094. Знайти площу круга, вписаного в прямокутний трикутник, якщо
проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 9 і 16 м.
1
10.095. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює у площі квадрата,
побудованого на основі цього трикутника. Довжини бічних сторін трикутника
коротші від довжини його основи на 1 см. Знайти довжини сторін і висоти
трикутника, проведеної до основи.
10.096. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга,
дорівнює 32л/з см2. Знайти бічну сторону трапеції, якщо відомо, що гострий кут
к
при основі дорівнює —.
10.097. Площа прямокутного трикутника дорівнює 2у[ї см2. Знайти його
висоту, проведену до гіпотенузи, якщо вона ділить прямий кут у відношенні
1 :2.
10.098. Пряма, паралельна основі трикутника, ділить його на частини, площі
яких відносяться як 2 : 1. У якому відношенні, починаючи від вершини, вона
ділить бічні сторони?
10.099. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга,
дорівнює 8 см2. Знайти сторони трапеції, якщо кут при основі дорівнює 30°.
10.100. Рівносторонній шестикутник ABCDEF складається з двох трапецій
зі спільною основою CF. Відомо, що АС = 13 см, АЕ = 10 см. Знайти площу
шестикутника.
10.101. Знайти площу правильного трикутника, вписаного в квадрат зі
стороною а за умови, що одна з вершин трикутника збігається з вершиною
квадрата.
10.102. Діагональ рівнобедреної трапеції ділить її тупий кут пополам.
Менша основа трапеції дорівнює 3 см, периметр дорівнює 42 см. Знайти площу
трапеції.
10.103. Знайти площу круга, вписаного в прямокутний трикутник, якщо
висота, проведена до гіпотенузи, ділить останню на відрізки завдовжки 25,6 і
14,4 см.
10.104. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 24 см, його площа
дорівнює 24 см2. Знайти площу описаного круга.
10.105. Знайти площу рівнобедреного трикутника з кутом 120°, якщо
радіус вписаного круга дорівнює t/l2 см.
10.106. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з
гіпотенузою с поза цим трикутником побудовано квадрати. Центри цих квадратів з’єднані
між собою. Знайти площу отриманого трикутника.
230

10.107. У квадрат вписано другий квадрат, вершини якого лежать на
сторонах першого, а сторони утворюють зі сторонами першого квадрата кути
п0 60°. Яку частину площі даного квадрата становить площа вписаного?
10.108. Знайти площу квадрата, вписаного в правильний трикутник зі
стороною а.
10.109. На сторонах рівностороннього трикутника поза ним побудовано
квадрати. їх вершини, що лежать поза трикутником, послідовно сполучені.
Знайти площу отриманого шестикутника, якщо сторона даного трикутника
дорівнює а.
10.110. Квадрат зі стороною а зрізали по кутах так, що утворився
правильний восьмикутник. Знайти площу цього восьмикутника.
10.111. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює а.
Обчислити площу квадрата, вписаного в те саме коло.
10.112. Обчислити відношення площ квадрата, правильного трикутника і
правильного шестикутника, вписаних в одне коло.
10.113. Сторона рівностороннього трикутника, вписаного в коло, дорівнює
а. 	Обчислити площу сегмента, що відтинає сторона.
10.114. Сторона квадрата, вписаного в коло, дорівнює а. Обчислити площу
сегмента, що відтинає сторона.
10.115. На діаметрі 2R півкруга побудовано правильний трикутник, сторона
якого дорівнює діаметру. Трикутник міститься по той самий бік від діаметра, що
й півколо. Обчислити площу частини трикутника поза кругом.
10.116. Круг радіуса R обкладено чотирма однаковими кругами, які
дотикаються до даного так, що кожні два сусідні дотикаються один до одного.
Знайти площу одного з цих кругів.
10.117. У точках перетину двох кіл із радіусами 4 і 8 см дотичні до них
взаємно перпендикулярні. Обчислити площу фігури 0хАВ02, де АВ — спільна
дотична до кіл, а Ох і 02 — їх центри.
10.118. Знайти сторону ромба, якщо його площа дорівнює 5, а довжини
діагоналей відносяться як т : п.
10.119. Периметр ромба дорівнює 2р\ довжини діагоналей відносяться як
т : п. Обчислити площу ромба.
10.120. Два кола радіуса R з центрами 0{ і 02 дотикаються. їх перетинає
пряма в точках A,B,C\D так, що АВ = ВС = CD. Знайти площу чотирикутника
oxado2.
10.121. Обчислити площу прямокутної трапеції, якщо її гострий кут
дорівнює 60°, менша основа дорівнює д, а більша бічна сторона — Ь.
10.122. Більша основа трапеції 24 см завдовжки. Знайти довжину її меншої
основи, якщо відомо, що відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює
4 см.
10.123. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга, дорівнює
S. Знайти бічну сторону трапеції, якщо гострий кут при основі дорівнює —.
231

10.124. Трапецію розбито діагоналями на чотири трикутники. Знайти
відношення площ трикутників, прилеглих до бічних сторін трапеції.
10.125. На більшому катеті трикутника як на діаметрі побудовано півколо.
Знайти його довжину, якщо довжина меншого катета 30 см, а хорда, що з’єднує
вершину прямого кута з точкою перетину гіпотенузи і півкола, дорівнює 24 см.
10.126. На діаметрі півкруга побудовано правильний трикутник, сторони
якого дорівнюють діаметру. Як відносяться площі частин трикутника поза й
усередині круга?
10.127. У правильний трикутник зі стороною а вписано коло, у яке вписано
правильний шестикутник. Знайти площу шестикутника.
10.128. Навколо квадрата зі стороною а описано коло, а навколо
кола — правильний шестикутник. Знайти площу шестикутника.
10.129. У рівнобедрену трапецію вписано круг. Одну з бічних сторін точка
дотику ділить на відрізки завдовжки т in. Знайти площу трапеції.
10.130. Сторона квадрата, вписаного в коло, відтинає сегмент, площа якого
дорівнює (2п - 4) см2. Знайти площу квадрата.
10.131. У ромб із гострим кутом 30° вписано круг, площа якого дорівнює
Q. Знайти площу ромба.
10.132. У круговий сектор, дуга якого містить 60°, вписано круг. Знайти
відношення площі цього круга до площі сектора.
10.133. З точки М, що міститься на відстані а від кола, проведено до цього
кола дотичну завдовжки 2а. Знайти площу правильного шестикутника,
вписаного в коло.
10.134. У рівнобедреній трапеції одна основа дорівнює 40 см, а
друга — 24 см. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Знайти її площу.
10.135. Основа трикутника дорівнює 30 см, а бічні сторони дорівнюють 26
і 28 см. Висота поділена у відношенні 2 : 3 (починаючи від вершини), і через
точку поділу проведено пряму, паралельну основі. Знайти площу отриманої
трапеції.
10.136. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить
протилежний катет на відрізки завдовжки 4 і 5 см. Знайти площу трикутника.
10.137. Хорда АВ сталої довжини ковзає своїми кінцями по колу радіуса R.
Точка С цієї хорди, що міститься на відстанях а і b від кінців А і В хорди, описує
при повному оберті коло. Обчислити площу кільця, обмеженого даним колом і
колом, описаним точкою С.
10.138. Три рівних кола радіуса г попарно дотикаються. Обчислити
площу фігури, що міститься поза колами і обмежена їх дугами між точками
дотику.
10.139. На сторонах ромба як на діаметрах описано півкола, повернені
всередину ромба. Знайти площу отриманої розетки, якщо діагоналі ромба
дорівнюють а і Ь.
10.140. Довести, що коли через вершини чотирикутника провести прямі,
паралельні його діагоналям, то площа отриманого паралелограма вдвічі
більша від площі даного чотирикутника.
232

10.141. Знайти бічну сторону рівнобедреної трапеції, якщо її основи
дорівнюють 8 і 14 см, а площа — 44 см2.
10.142. У правильний трикутник вписано коло, а в нього — правильний
шестикутник. Знайти відношення площ трикутника і шестикутника.
10.143. Спільна хорда двох кругів стягує дуги 60° і 120°. Знайти
відношення площ цих кругів.
10.144. У прямокутнику проведено бісектриси двох кутів, прилеглих до
більшої сторони. На які частини ділять площу прямокутника ці бісектриси,
якщо сторони прямокутника 2 і 4 м?
10.145. Висота ромба дорівнює 12 см, а одна з його діагоналей дорівнює
15 см. Знайти площу ромба.
10.146. Довжина висоти, проведеної до основи рівнобедреного
трикутника, дорівнює 25 см, а радіус вписаного кола дорівнює 8 см. Знайти довжину
основи трикутника.
10.147. У паралелограмі з периметром 32 см проведено діагоналі. Різниця
між периметрами двох суміжних трикутників дорівнює 8 см. Знайти довжини
сторін паралелограма.
10.148. Знайти площу рівнобедреної трапеції, якщо її висота дорівнює А, а
бічну сторону видно з центра описаного кола під кутом 60°.
10.149. Круг, радіус якого дорівнює R, ділиться на два сегменти хордою,
що дорівнює стороні вписаного квадрата. Знайти площу меншого з цих
сегментів.
10.150. Знайти площу кругового кільця, утвореного двома
концентричними колами, довжини яких дорівнюють С1 і С2 (Cj > С2).
10.151. Круг ділиться на два сегменти хордою, що дорівнює стороні
правильного вписаного трикутника. Знайти відношення площ цих сегментів.
10.152. У правильний шестикутник зі стороною а вписано коло, і навколо
нього описано коло. Знайти площу утвореного кругового кільця.
10.153. Круг радіуса R поділено двома концентричними з ним колами на
три рівновеликі фігури. Знайти радіуси цих кіл.
10.154. Площа кругового кільця дорівнює S. Радіус більшого кола
дорівнює довжині меншого кола. Знайти радіус останнього.
10.155. У крузі радіуса R по різні боки від центра проведено дві
паралельні хорди, одна з яких дорівнює стороні правильного вписаного
трикутника, а друга — стороні правильного вписаного шестикутника. Знайти
площу частини круга, що міститься між хордами.
10.156. У круг радіуса R вписано два правильних трикутники так, що
при їх взаємному перетині кожна зі сторін поділилася на три рівних між собою
відрізки. Знайти площу перерізу цих трикутників.
10.157. Через точки R і £, що належать сторонам АВ і AD паралелограма
2 1
ABCD і такі, що AR = ~4В, АЕ = 7^’ пРоведено ПРЯМУ* Знайти відношення
площі паралелограма до площі отриманого трикутника.
10.158. Три кола радіусів Rx = 6 см, R2 = 7 см, R3 = 8 см попарно
Дотикаються. Знайти площу трикутника, вершини якого збігаються з
центрами цих кіл.
233

10.159. Знайти відношення площ правильного трикутника, квадрата
і правильного шестикутника, довжини сторін яких рівні між собою.
10.160. Трапеція, площа якої 594 м2, має висоту 22 м, а різниця її
паралельних сторін дорівнює 6 м. Знайти довжину кожної з паралельних сторін.
10.161. Через вершину прямого кута прямокутного трикутника з
катетами 6 і 8 м проведено перпендикуляр до гіпотенузи. Обчислити площі утворених
трикутників.
10.162. Обчислити площу рівнобедреного трикутника, якщо довжина
висоти, проведеної до бічної сторони, дорівнює 12 см, а довжина основи дорівнює
15 см..
10.163. Сторони трикутника дорівнюють 13,14 і 15 см. Знайти відношення
площ описаного і вписаного в трикутник кругів.
10.164. Обчислити площу трапеції ABCD (AD\BC), якщо довжини її
основ відносяться як 5 : 3 і площа трикутника ADM дорівнює 50 см2, де Л/ —
точка перетину прямих АВ і CD.
10.165. У правильний трикутник вписано коло і навколо нього описано
коло. Знайти площу кільця, що утворилося, якщо сторона трикутника
дорівнює а.
10.166. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а радіус
кола, вписаного в трикутник, дорівнює 3 см. Знайти площу трикутника.
10.167. Довести, що площа трапеції дорівнює добутку довжини однієї з
непаралельних сторін і довжини перпендикуляра, проведеного через середину
другої бічної сторони до першої.
10.168. Довести, що коли діаметр півкруга поділити на дві довільні частини
і на кожній з них побудувати як на діаметрі півколо (усередині даного півкруга),
то площа фігури, що міститься між трьома півколами, дорівнює площі круга,
діаметр якого дорівнює довжині перпендикуляра до діаметра півкруга,
проведеного в точці поділу до перетину з колом.
10.169. У круг радіуса R вписано прямокутник, площа якого вдвічі менша
від площі круга. Знайти сторони прямокутника.
10.170. Знайти площу круга, вписаного в сектор круга радіуса R з
хордою 2а.
10.171. Основи трапеції дорівнюють а і b (а > Ь), кути при більшій основі
дорівнюють — і —. Знайти площу трапеції.
6 4
10.172. У ромб з гострим кутом 30° вписано круг, а в круг — квадрат.
Знайти відношення площі ромба до площі квадрата.
10.173. Довжини сторін прямокутного трикутника утворюють
арифметичну прогресію з різницею 1 см. Знайти довжину гіпотенузи.
10.174. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга, дорівнює
S. 	Знайти радіус круга, якщо кут при основі трапеції дорівнює 30°.
10.175. Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа
дорівнює я, а довжина висоти, проведеної до основи, дорівнює довжині відрізка,
що з’єднує середини основи і бічної сторони.
234

10.176. Довести, що в паралелограмі ABCD відстані від будь-якої точки
діагоналі АС до сторін ВС і CD обернено пропорційні до довжин цих сторін.
10.177. Довести, що відношення периметра трикутника до однієї з
його сторін дорівнює відношенню висоти, опущеної на цю сторону, до
радіуса вписаного кола.
10.178. Знайти довжини сторін рівнобедреного трикутника ABC з
основою АС, якщо відомо, що довжини його висот AN і ВМ дорівнюють
відповідно п і т.
10.179. Ромб, сторона якого дорівнює меншій діагоналі, рівновеликий
кругу радіуса R. Знайти сторону ромба.
10.180. Обчислити площу трапеції за різницею основ 14 см і двома
непаралельними сторонами 13 і 15 см, якщо відомо, що в трапецію можна
вписати коло.
10.181. У квадраті зі стороною а середини двох суміжних сторін з’єднано
між собою і з протилежною вершиною квадрата. Знайти площу внутрішнього
трикутника.
10.182. Навколо квадрата зі стороною а описано коло. В один із утворених
сегментів вписано квадрат. Знайти площу цього квадрата.
10.183. У рівнобедрену трапецію вписано круг. Довести, що відношення
площі круга до площі трапеції дорівнює відношенню довжини кола до периметра
трапеції.
10.184. Обчислити площу трапеції, паралельні сторони якої дорівнюють
16 і 44 см, а непаралельні — 17 і 25 см.
10.185. У рівнобедреній трапеції довжина середньої лінії дорівнює 5, а
діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайти площу трапеції.
10.186. Довжини основ рівнобедреної трапеції відносяться як 5 : 12, а
довжина її висоти дорівнює 17 см. Обчислити радіус кола, описаного навколо
трапеції, якщо відомо, що її середня лінія дорівнює висоті.
10.187. Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника,
дорівнює Н і вдвічі більша від своєї проекції на бічну сторону. Знайти площу
трикутника.
10.188. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника,
відноситься до радіуса вписаного в нього кола як 5 : 2. Знайти площу
трикутника, якщо один із його катетів дорівнює а.
10.189. У сегмент, дуга якого дорівнює 60°, вписано квадрат. Обчислити
площу квадрата, якщо радіус круга дорівнює 2 V3 + 4\ї.
10.190. У трикутнику довжини сторін відносяться як 2 : 3 : 4. В нього
вписано півкруг з діаметром, що лежить на більшій стороні. Знайти відношення
площі півкруга до площі трикутника.
235

Група Б
10.191. Центр кола, вписаного в прямокутну трапецію, віддалений від кінців
її бічної сторони на відстані 3 і 9 см. Знайти сторони трапеції.
10.192. Два кола дотикаються зовні. їх радіуси відносяться як 3 : 1, а
довжина їх спільної зовнішньої дотичної дорівнює 6>/з. Знайти периметр фігури,
утвореної зовнішніми дотичними і зовнішніми частинами кіл.
10.193. Усередині прямого кута дано точку А/, відстані від якої до сторін кута
дорівнюють 4 і 8 см. Пряма, що проходить через точку Л/, відтинає від прямого
кута трикутник площею 100 см2. Знайти катети трикутника.
10.194. Точка С{ — середина сторони АВ трикутника ABC; кут СОСх, де
О — центр кола, описаного навколо трикутника, є прямим. Довести, що
\ZB-ZA\ = 90°.
10.195. Коло дотикається до двох суміжних сторін квадрата і ділить кожну
з двох інших його сторін на відрізки 2 і 23 см. Знайти радіус кола.
10.196. Дано трикутник ABC, у якому 2hc = АВ і ZA = 75°. Знайти
міру кута С.
10.197. У прямокутний трикутник зі сторонами 6, 8 і 10 см вписано
коло. Через центр кола проведено прямі, паралельні сторонам трикутника.
Обчислити довжини середніх відрізків сторін трикутника, які відтинають
побудовані прямі.
10.198. Бісектриси тупих кутів при основі трапеції перетинаються на
другій її основі. Знайти сторони трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см, а
бісектриси 15 і 13 см.
10.199. Основи трапеції 4 і 16 см. Знайти радіуси кіл, вписаного в
трапецію й описаного навколо неї, якщо відомо, що ці кола існують.
10.200. У трикутник вписано ромб зі стороною т так, що один кут у них
спільний, а протилежна вершина ромба лежить на стороні трикутника і ділить
цю сторону на відрізки завдовжки р і q. Знайти сторони трикутника.
10.201. Дано трикутник ABC такий, що АВ = 15 см, ВС = 12 см і АС =
= 18 см. У якому відношенні центр вписаного в трикутник кола ділить
бісектрису кута С?
10.202. Дано рівнобедрений трикутник з основою а і бічною стороною
Ь. 	Довести, що центр вписаного кола ділить бісектрису кута при основі
у відношенні (а + Ь): Ь> починаючи від вершини кута.
10.203. З однієї точки кола проведено дві хорди 9 і 17 см. Знайти
радіус кола, якщо відстань між серединами даних хорд дорівнює 5 см.
10.204. З однієї точки кола проведено дві хорди 10 і 12 см. Знайти
радіус кола, якщо відстань від середини меншої хорди до більшої
дорівнює 4 см.
10.205. У кут вписано коло радіуса 5 см. Довжина хорди, що з’єднує
точки дотику, дорівнює 8 см. До кола проведено дві дотичні, паралельні
хорді. Знайти сторони отриманої трапеції.
236

10.206. Якими цілими числами виражаються сторони рівнобед-
3
реного трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює — см, а описа-
25 0
ного — см?
10.207. У трикутник зі сторонами 10, 17 і 21 см вписано прямокутник з
периметром 24 см так, що одна з його сторін лежить на більшій стороні
трикутника. Знайти сторони прямокутника.
10.208. З вершини гострого кута ромба проведено перпендикуляри до
прямих, що містять сторони ромба, яким не належить ця вершина. Довжина
кожного перпендикуляра дорівнює 3 см, а відстань між їх основами дорівнює
зТз см. Обчислити довжину діагоналей ромба.
10.209. Дано трикутник зі сторонами 10,24 і 26. Дві менші сторони дотичні
до кола, центр якого лежить на більшій стороні. Знайти радіус кола.
10.210. Знайти радіус кола, описаного навколо рівнобедреної трапеції з
основами 2 і 14 та бічною стороною 10.
10.211. На більшому катеті прямокутного трикутника як на діаметрі
побудовано коло. Знайти радіус цього кола, якщо менший катет трикутника
дорівнює 7,5 см, а довжина хорди, що з’єднує вершину прямого кута з точкою
перетину гіпотенузи й кола, дорівнює 6 см.
10.212. Вершини вписаного в коло прямокутника ділять його на чотири
дуги. Знайти відстані від середини однієї з більших дуг до вершин
прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 24 і 7 см.
10.213. Центр півкола, вписаного в прямокутний трикутник так, що його
діаметр лежить на гіпотенузі, ділить гіпотенузу на відрізки 30 і 40. Знайти
довжину дуги півкола, що міститься між точками її дотику до катетів.
10.214. Навколо круга радіуса 3 описано рівнобедрений трикутник з
гострим кутом 30° при основі. Знайти сторони трикутника.
10.215. У прямокутному трикутнику медіани катетів дорівнюють V52 і
V73. Знайти гіпотенузу трикутника.
10.216. Два кола, радіуси яких 4 і 8, перетинаються під прямим кутом.
Знайти довжину їх спільної дотичної.
10.217. Яким необхідним і достатнім умовам має задовольняти трапеція,
Щоб у неї можна було вписати і навколо неї описати коло?
10.218. Пряма, паралельна основам трапеції, проходить через точку
перетину її діагоналей. Знайти довжину відрізка цієї прямої, що міститься
між бічними сторонами трапеції, якщо основи трапеції 4 і 12 см.
10.219. У колі радіуса R проведено дві хорди АВ і CD, що перетинаються
під прямим кутом. Довести, що АС2 + BD2 = 4R2.
10.220. Показати, що сума відстаней від будь-якої точки на стороні
правильного трикутника до двох інших його сторін величина стала.
237

10.221. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 і 8 см. Медіани, про-
ведені до цих сторін, взаємно перпендикулярні. Знайти третю сторону
трикутника.
10.222. Кола радіусів R і г дотикаються зовні. Бічні сторони
рівнобедреного трикутника є їх спільними дотичними, а основа дотикається до
більшого з кіл. Знайти основу трикутника.
10.223. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см. Знайти його
сторони, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см.
10.224. Дано рівнобедрений трикутник з основою 12 см і бічною
стороною 18 см. Відрізки якої довжини треба відкласти від вершини трикутника на
його бічних сторонах, щоб, з’єднавши їх кірці, отримати трапецію з периметром
40 см?
10.225. Два кола різних радіусів дотикаються зовні. Знайти кут, утворений
хордами, що сполучають точку дотику кіл з точками дотику їх спільної зовнішньої
дотичної.
10.226. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить
гіпотенузу у відношенні 2:3. Знайти сторони трикутника, якщо центр вписаного
кола віддалений від вершини прямого кута на відстань л/8 см.
10.227. Усередині рівностороннього трикутника взято точку Мтаку, що
відстані від неї до сторін дорівнюють b, с, d. Знайти висоту трикутника.
10.228. Один кінець діаметра півкола збігається з вершиною кута при
основі рівнобедреного трикутника, а другий належить цій основі. Знайти
радіус півкола, якщо воно дотикається до однієї бічної сторони і ділить другу
на відрізки завдовжки 5 і 4 см, починаючи від основи.
10.229. У трикутник вписано паралелограм зі сторонами 3 і 5 см та
діагоналлю 6 см. Знайти сторони трикутника, якщо відомо, що діагоналі
паралелограма паралельні бічним сторонам трикутника, а менша з його сторін лежить на
основі трикутника.
10.230. Висота, основа і сума бічних сторін трикутника дорівнюють
відповідно 24, 28 і 56 см. Знайти бічні сторони.
10.231. У прямокутну трапецію вписано коло радіуса г. Знайти сторони
4г
трапеції, якщо її менша основа дорівнює —.
10.232. У трикутник з бічними сторонами 9 і 15 см вписано паралелограм
так, що одна з його сторін завдовжки 6 см лежить на основі трикутника, а діагоналі
паралелограма паралельні бічним сторонам трикутника. Знайти другу сторону
паралелограма і основу трикутника.
10.233. Знайти середню лінію рівнобедреної трапеції з висотою А, якщо бічну
сторону видно з центра описаного кола під кутом 120°.
10.234. Коло радіуса 13 см дотикається до двох суміжних сторін квадрата
зі стороною 18 см. На які два відрізки ділить коло кожну з двох інших сторін
квадрата?
10.235. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 72°, а
бісектриса цього кута має довжину т. Знайти довжини сторін трикутника.
238

10.236. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 36°, а
бісектриса кута при основі дорівнює >/20. Знайти довжини сторін трикутника.
10.237. Діагоналі чотирикутника рівні між собою, а довжини його середніх
ліній дорівнюють р і q. Знайти площу чотирикутника.
10. 238. Більша основа трапеції вдвічі більша від її меншої основи. Через
точку перетину діагоналей проведено пряму, паралельну основам. Знайти
відношення висоти кожної з двох отриманих трапецій до висоти даної трапеції.
10.239. Знайти радіус круга, у сегмент якого, що відповідає хорді завдовжки
6 см, вписано квадрат зі стороною 2 см.
10.240. Довжина основи рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а
бічної сторони — 18 см. До бічних сторін трикутника проведено висоти.
Обчислити довжину відрізка, кінці якого збігаються з основами висот.
10.241. У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною b проведено
бісектриси кутів при основі. Відрізок прямої між точками перетину бісектрис з
бічними сторонами дорівнює т. Визначити основу трикутника.
10.242. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8, а бічна
сторона — 12. Знайти довжину відрізка, що з’єднує точки перетину бісектрис
кутів при основі з бічними сторонами трикутника.
10.243. Усередині кута 60° взято точку на відстані V7 і і4ї см від
сторін кута. Знайти відстань від цієї точки до вершини кута.
10.244. У трикутник вписано коло радіуса 3 см. Обчислити довжини
сторін трикутника, якщо одна з них поділена точкою дотику на відрізки
завдовжки 4 і 3 см.
10.245. У кут вписано три кола — мале, середнє і велике. Велике коло
проходить через центр середнього, а середнє — через центр малого. Знайти
радіуси середнього і великого кіл, якщо радіус малого дорівнює г і відстань від
його центра до вершини кута дорівнює а.
10.246. Центр кола, вписаного в прямокутну трапецію, віддалений від кінців
бічної сторони на відстань 8 і 4 см. Знайти середню лінію трапеції.
10.247. Основи двох правильних трикутників зі сторонами а і 3а лежать
на одній прямій. Трикутники розміщені по різні боки від прямої і не мають
спільних точок, а відстань між найближчими кінцями їх основ дорівнює 2а.
Знайти відстань між вершинами трикутників, що не належить даній прямій.
10.248. До двох кіл радіусів R і г, що дотикаються зовні, побудовано січну так,
Що кола відтинають на ній три рівних між собою відрізки. Знайти довжину цих
відрізків.
10.249. Довести, що відстань від ортоцентра (точки перетину висот) до
вершини трикутника вдвічі більша відстані від центра описаного кола до
протилежної сторони.
10.250. На відрізку АВ взято точку Л/, а на відрізках AM і MB по один
бік від прямої А В побудовано квадрати, описані кола яких перетинаються
в точці N. Довести, що пряма AN проходить через вершину другого квадрата
1 Що трикутник ANB прямокутний.
239

10.251. У кут 60° вписано п’ять кіл так, що кожне наступне коло
(починаючи з другого) дотикається до попереднього. У скільки разів сума
площ усіх п’яти кругів більша від площі найменшого круга?
10.252. Сторони трикутника відносяться як 5 : 4 : 3. Знайти відношення
відрізків сторін, на які їх ділить точка дотику вписаного кола.
10.253. Для трикутника зі сторонами 26,28 і 30 см знайти добуток радіусів
вписаного й описаного кіл.
10.254. У трикутнику ABC проведено медіани AL і ВМ, що перетинаються в
точці К. Вершина С лежить на колі, що проходить через точки К, L, М. Довжина
сторони АВ дорівнює а. Знайти довжину медіани CN.
10.255. Через точку А кола радіусом 10 см проведено дві взаємно
перпендикулярні хорди АВ і АС. Знайти радіус кола, що дотикається до даного
кола і побудованих хорд, якщо АВ = 16 см.
10.256. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють Vl3 і л/Т0 см.
Знайти третю сторону, якщо вона дорівнює проведеній до неї висоті.
10.257. Через точку Р діаметра даного кола проведено хорду АВ, що утворює
3 діаметром кут 60°. Обчислити радіус кола, якщо АР = а і ВР = Ь.
10.258. Відстані від точки М, що лежить усередині трикутника ABC,
до сторін АС і ВС дорівнюють відповідно 2 і 4 см. Знайти відстань від точки
М до прямої АВ, якщо АВ = 10 см, ВС = 17 см, АС = 21 см.
10.259. На відрізку АС завдовжки 12 см узято точку В так, що АВ =
= 4 см. На відрізках АВ і АС як на діаметрах в одній півплощині з межею
АС побудовано півкола. Обчислити радіус кола, що дотикається до побудованих
кіл до АС.
10.260. Сторона трикутника дорівнює 48 см, а висота, проведена до цієї
сторони, дорівнює 8,5 см. Знайти відстань від центра кола, вписаного в трикутник,
до вершини, протилежної даній стороні, якщо радіус вписаного кола дорівнює
4 см.
10.261. У рівнобедреному трикутнику ABC (АВ = ВС) на стороні ВС
взято точку D так, що BD: DC =1 :4. У якому відношенні пряма AD ділить висоту
BE трикутника ABC, починаючи від вершини В1
10.262. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи,
дорівнює h, радіус вписаного кола дорівнює г. Знайти гіпотенузу.
10.263. Медіани трикутника дорівнюють 5, >/52 і л/73 см. Довести, що
трикутник прямокутний.
10.264. Показати, що в будь-якому прямокутному трикутнику сума
півпериметра і радіуса вписаного кола дорівнює сумі катетів.
10.265. Показати, що в будь-якому прямокутному трикутнику сума
півпериметра і радіуса вписаного кола дорівнює сумі катетів.
10.266. Знайти третю сторону гострокутного трикутника, якщо дві
його сторони дорівнюють а і Ь, а медіани цих сторін перетинаються під
прямим кутом.
240

10.267. На відрізку АВ взято точку С і на частинах АС і СВ цього
відрізка як на діаметрах побудовано півкола. Довести, що сума довжин
цих півкіл не залежить від розміщення точки С на відрізку АВ.
10.268. Точка С переміщується по відрізку завдовжки /. На відрізках
дС і СВ як на основах побудовано правильні трикутники по один бік від АВ. Де
треба взяти точку С, щоб відстань між вершинами трикутників була
найменшою?
10.269. Висоти трикутника дорівнюють 12, 15 і 20 см. Довести, що
трикутник прямокутний.
10.270. Знайти відношення суми квадратів усіх медіан трикутника до
суми квадратів усіх його сторін.
10.271. Знайти площу трикутника, якщо його висоти дорівнюють 12,
15 і 20 см.
10.272. Числа Wj, т2 і /и3 виражають довжини медіан деякого трикутника.
2 2 2
Показати, що коли виконується рівність т\ + т2 = 5т3, то трикутник
прямокутний.
10.273. Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить
його на два трикутники з площами Q і q. Знайти катети.
10.274. Числа hj, h2 і Л3 виражають довжини висот деякого трикутни-
• • (к\ f (Лі f
ка. Показати, що коли виконується рівність — + =1, то трикут-
1*2 J 1^3 J
ник прямокутний.
10.275. Через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам про-
2 ab
ведено пряму, що перетинає бічні сторони в точках Мі N. Довести, що MN = -
а + Ь
де а і b — довжини основ.
, 10.276. Висота CD, проведена до гіпотенузи, ділить прямокутний
трикутник ABC на два трикутники BCD і ACD. Радіуси кіл, вписаних у
трикутники BCD і ACD, дорівнюють відповідно 4 і 3 см. Знайти відстань між
центрами кіл.
10.277. Знайти бісектрису прямого кута трикутника, катети якого
дорівнюють а і Ь.
10.278. Дано квадрат зі стороною а. Знайти сторони рівновеликого йому
рівнобедреного трикутника, сума довжин основи якого і висоти, опущеної на
неї, дорівнює сумі довжин двох бічних сторін.
10.279. Точки М, Nf Р і Q є серединами сторін АВ, ВС, CD і DA ромба ABCD.
Обчислити площу фігури, що є перерізом чотирикутників ABCD, ANCQ і BPDM,
якщо площа ромба дорівнює 100 см2.
10.280. Визначити кути рівнобедреного трикутника, якщо його
площа відноситься до площі квадрата, побудованого на його основі, як
-ч/з: 12.
241

10.281. У коло вписано чотирикутник із кутами 120°, 90°, 60° і 90°.
Площа чотирикутника дорівнює 9у[з см2. Знайти радіус кола, якщо
діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні.
10.282. У трикутнику ABC проведено пряму DE, паралельну АС.
Площа трикутника ABC дорівнює 8 кв. од., а площа трикутника DEC
дорівнює 2 кв. од. Знайти відношення відрізка £>£ до довжини сторони АС.
10.283. Площа прямокутного трикутника дорівнює 24 см2, а гіпотенуза
дорівнює 10 см. Знайти радіус вписаного кола.
10.284. Навколо круга радіуса R описано рівносторонній трикутник і
квадрат так, що одна зі сторін квадрата лежить на стороні трикутника.
Обчислити площу спільної частини трикутника і квадрата.
10.285. У крузі радіуса R по різні боки від центра проведено дві
паралельні хорди, одна з яких стягує дугу 60°, інша — 120°. Знайти площу
частини круга, що міститься між хордами.
10.286. Два кола радіусів г і 3г дотикаються зовні. Знайти площу
фігури, що міститься між колами та їх спільною зовнішньою дотичною.
10.287. Знайти площу трикутника, вписаного в круг радіуса 2 см, якщо два
п п
кути трикутника дорівнюють — і — •
10.288. Знайти площу трапеції, діагоналі якої дорівнюють 7 і 8 см, а
основи — 3 і 6 см.
10. 	289. У ромб зі стороною а і гострим кутом 60° вписано коло. Знайти
площу чотирикутника, вершинами якого є точки дотику кола до сторін ромба.
10.290. Два кола радіусів R і г дотикаються зовні. До цих кіл проведено.
спільну зовнішню дотичну, а в утворений трикутник вписано круг. Знайти його
площу.
10.291. Центр круга, вписаного в прямокутну трапецію, віддалений від
кінців бічної сторони на 1 і 2 см. Знайти площу трапеції.
10.292. Коло радіуса R поділено на шість рівних дуг, і всередині круга,
обмеженого цим колом, через кожні дві сусідні точки поділу проведено рівні між
собою дуги такого радіуса, що на даному колі вони взаємно дотикаються.
Обчислити площу внутрішньої частини даного круга, що міститься між
проведеними дугами.
10.293. У кут вписано коло радіуса Л, а довжина хорди, що з’єднує точки
дотику, дорівнює а. Паралельно цій хорді проведено дві дотичні, в
результаті утворилася трапеція. Знайти площу цієї трапеції.
10.294. Два кола радіусів R і г дотикаються зовні. Знайти площу трапеції,
обмежену двома спільними дотичними до цих кіл і відрізками прямих, що
з’єднують точки дотику.
10.295. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8 см. Через
середину меншого катета і середину гіпотенузи проведено коло, що дотикається
до гіпотенузи. Знайти площу круга, обмеженого цим колом.
10.296. Знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомі
радіуси R і г описаного і вписаного кругів.
242

10.297. Сторони трикутника відносяться як т : п : т. Знайти відношення
площі цього трикутника до площі трикутника, вершини якого є точками
перетину бісектрис даного трикутника з його сторонами.
10.298. Знайти площу сегмента, якщо його периметр дорівнює /?, а
дуга містить 120°.
10.299. На відрізку АВ і на кожній його половині побудовано як на
діаметрах півкруги (по один бік від АВ). Знайти суму площ криволінійних
трикутників, що утворилися при побудові круга, дотичного до всіх трьох
даних кругів, якщо радіус великого півкруга дорівнює R.
10.300. Сторона правильного трикутника дорівнює а. Знайти площу
частини трикутника, що лежить поза кругом радіуса у, центр якого збігається з
центром трикутника.
10.301. Знайти відношення площі квадрата, вписаного в сегмент із
дугою 180°, до площі квадрата, вписаного в сегмент того самого круга з
дугою 90°.
10.302. Площа чотирикутника дорівнює S. Знайти площу паралелограма,
сторони якого рівні між собою і паралельні діагоналям чотирикутника.
10.303. У трикутнику ABC проведено медіани BD і СЕ; М — точка їх
перетину. Довести, що трикутник ВСМ рівновеликий чотирикутнику
ADME.
10.304. Два круга концентричні, причому коло меншого круга ділить
великий круг на рівновеликі частини. Довести, що частина кільця, яка міститься
між паралельними дотичними до кола меншого радіуса, рівновелика квадрату,
вписаному в менший круг.
10.305. Знайти площу круга, описаного навколо прямокутного трикутника,
довжини катетів якого є коренями рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
10.306. Пряма перетинає коло радіуса R у точках А і В таких, що
иАВ = 45°, а пряму, перпендикулярну до діаметра AM кола, що проходить через
його центр, — у точці D. Пряма, що проходить через точку В перпендикулярно
до діаметра AM, перетинає його в точці С. Знайти площу
трапеції OCBD.
10.307. Через дві суміжні вершини квадрата проведено коло так, що
довжина дотичної до нього, проведеної з третьої вершини, утричі більша
від сторони квадрата. Знайти площу круга, якщо сторона квадрата а.
10.308. Дано квадрат зі стороною а. На кожній стороні квадрата
поза ним побудовано трапецію так, що верхні основи цих трапецій і
їхні бічні сторони утворюють правильний дванадцятикутник. Обчислити його
площу.
10.309. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга, дорівнює
32 см. Гострий кут трапеції дорівнює 30°. Знайти сторони трапеції.
10.310. Висота рівнобедреної трапеції дорівнює 14 см, а основи — 16 і
12 см. Знайти площу описаного круга.
10.311. Довжини діагоналей ромба відносяться як 3 : 4. У скільки разів
площа ромба більша від площі вписаного в нього круга?
243

10.312. У круг радіуса R вписано правильний трикутник, висоти якого
продовжені до перетину з колом. Ці точки перетину сполучені між собою
в результаті утворився новий трикутник. Обчислити площу тієї частини
круга, що міститься поза цими трикутниками.
10.313. Два кола радіуса R перетинаються так, що кожне проходить
через центр іншого. Два інших кола того самого радіуса мають центри в
точках перетину перших двох кіл. Знайти площу, спільну для всіх чотирьох
кругів.
10.314. Дано ромб ABCD, діагоналі якого 3 і 4 см. З вершини тупого
кута В проведено висоти BE і BF. Обчислити площу чотирикутника BFDE.
10.315. Відношення мір двох кутів трикутника дорівнює 2, а
різниця довжин протилежних сторін дорівнює 2 см; довжина третьої
сторони трикутника дорівнює 5 см. Знайти площу трикутника.
10.316. У прямокутному трикутнику відстань від середини гіпотенузи до
одного з катетів дорівнює 5 см, а відстань від середини цього катета до
гіпотенузи дорівнює 4 см. Обчислити площу трикутника.
10.317. У трикутнику ABC дано: ВС = 15 см, АС = 14 см, АВ = 13 см.
Знайти площу трикутника, що утворився між висотою і бісектрисою,
проведеними з вершини В.
10.318. Основи трапеції а і Ь. Знайти довжину відрізка, який
паралельний основам і ділить трапецію на рівновеликі частини.
10J19. Діагоналі рівнобедреної трапеції взаємно перпендикулярні, а її
площа дорівнює а2. Визначити висоту трапеції.
10.320. Медіани одного трикутника дорівнюють сторонам іншого
трикутника. Знайти відношення площ цих трикутників.
10.321. Медіани трикутника дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайти площу
трикутника.
10.322. У колі з центром О проведено хорду АВ, що перетинає діаметр
у точці М і утворює з діаметром кут 60°. Знайти ОМ, якщо AM = 10 см, а
ВМ= 4 см.
10.323. Діагональ рівнобедреної трапеції дорівнює 10 см, а площа —
48 см2. Знайти висоту трапеції.
10.324. У трикутник вписано круг. Відрізки, що з’єднують центр круга з
вершинами, ділять площу трикутника на частини 4,13 і 15 см2. Знайти сторони
трикутника.
10.325. Основа трикутника дорівнює 20 см, медіани бічних сторін
дорівнюють 18 і 24 см. Знайти площу трикутника.
10.326. Медіани трикутника дорівнюють 5, 6 і 5 м. Знайти площу
трикутника.
10.327. Знайти площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють
1 і Vl5 см, а медіана третьої сторони дорівнює 2 см.
10.328. Сторони трикутника дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайти площі
трикутників, на які даний трикутник розбиває висота і медіана,
проведені до найбільшої сторони.
244

10.329. Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15 см. Знайти площі
трикутників, на які даний трикутник розбивають медіани.
10.330. Довжини катетів прямокутного трикутника є коренями
рівняння ах2 + Ьх + с = 0. Знайти радіус кола, вписаного в цей
трикутник.
10.331. У прямокутнику зі сторонами а і Ь проведено бісектриси всіх кутів
до взаємного перетину. Знайти площу чотирикутника, утвореного бісектрисами.
10.332. Визначити сторони прямокутного трикутника, периметр якого
дорівнює 2р, а площа дорівнює т2.
10.333. Паралелограм ABCD, у якого АВ = 153 см, AD = 180 см, BE -
= 135 см (BE—висота), поділений на три рівновеликі фігури відрізками,
перпендикулярними до AD. На якій відстані від точки А містяться точки перетину цих
перпендикулярів з AD?
10.334. Усередині квадрата зі стороною а на кожній його стороні як
на діаметрі побудовано півколо. Знайти площу розетки, обмеженої дугами
півкіл.
10.335. Периметр сектора дорівнює 28 см, а його площа дорівнює
49 см2. Знайти довжину дуги сектора.
10.336. У рівносторонній трикутник ABC зі стороною а = 2 см вписано
круг; точка А є центром другого круга з радіусом 1 см. Знайти площу перетину
цих кругів.
10.337. Усередині правильного трикутника зі стороною а розміщено
три рівних кола, кожне з яких дотикається до двох сторін трикутника і до
двох інших кіл. Знайти площу частини трикутника поза цими колами.
10.338. Криволінійний трикутник утворений трьома рівними попарно
дотичними дугами кіл радіуса R. Знайти площу цього трикутника.
10.339. Центр рівностороннього трикутника зі стороною 6 см
збігається з центром кола радіуса 2 см. Знайти площу частини трикутника, що
лежить поза цим колом.
10340. У ромб вписано коло радіуса R. Знайти площу ромба, якщо його
більша діагональ у 4 рази більша від радіуса вписаного кола.
10.341. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює с. Проекція
вершини прямого кута на гіпотенузу ділить її на два відрізки, з яких менший
відноситься до більшого як більший до всієї гіпотенузи. Визначити площу
трикутника.
10.342. Довжини сторін і діагоналей паралелограма дорівнюють відповідно
я і Ь, с і /. Знайти кути паралелограма, якщо а4 + ЬА = с2/2.
10.343. Знайти площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 35 і
14 см, а бісектриса кута між ними дорівнює 12 см.
10344. Обчислити площу спільної частини двох ромбів, довжини
діагоналей першого з яких 4 і 6 см, а другий отримано поворотом першого на
90° навколо його центра.
10.345. 	Радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює 2 см. Точка дотику
Цього кола ділить одну зі сторін на відрізки 4 і 6 см. Визначити вид трикутника
н обчислити його площу.
245

10.346. Круг з центром О поділено діаметром АВ на два півкруга.
В одному з них побудовано два нових півкруга, що опираються на ОА [
ОВ як на діаметри. У криволінійну фігуру, обмежену контурами цих трьох
півкругів, вписано круг. У скільки разів його площа менша від площі даного
круга?
10.347. Бісектриси кутів А і В трикутника ABC однаково нахилені до сторін
ВС і АС. Знайти залежність між кутами А і В.
10.348. Опуклий чотирикутник поділений діагоналями на чотири
трикутники; площі трьох з них 10, 20 і 30 см2, і кожна менша від площі четвертого
трикутника. Знайти площу даного чотирикутника.
10.349. Дуга кола радіуса R поділена на чотири великі і чотири малі
частини, що чергуються одна з одною. Більша частина вдвічі довша від меншої.
Знайти площу восьмикутника, вершинами якого є точки поділу дуги кола.
10.350. На медіані BD трикутника ABC, площа якого дорівнює S, узято
точку Е так, що DE = 0,25 BD. Через точку Е проведено пряму АЕ, що перетинає
сторону ВС у точці F. Знайти площу трикутника AFC.
10.351. Нехай BD — висота трикутника ABC, точка Е — середина ВС.
Знайти радіус круга, описаного навколо трикутника BDE, якщо АВ -
= 30 см, ВС = 26 см і АС - 28 см.
10.352. Площа рівностороннього трикутника, побудованого на гіпотенузі,
удвічі більша від площі прямокутного трикутника із даною гіпотенузою. Знайти
відношення катетів.
10.353. На кожній медіані трикутника взято точку, що ділить медіану у
відношенні 1:3, починаючи від вершини. У скільки разів площа трикутника з
вершинами в цих точках менша від площі вихідного трикутника?
10.354. Точка М лежить усередині рівностороннього трикутника ABC.
Обчислити площу цього трикутника, якщо AM = ВМ = 2 см, а СМ = 1 см.
10.355. Рівнобедрений трикутник зі сторонами 8, 8 і 5 поділений
на три рівновеликі частини перпендикулярами, проведеними з деякої
точки до його сторін. Знайти відстані від цієї точки до кожної сторони
трикутника.
10.356. Довести, що з усіх прямокутників, вписаних у дане коло,
найбільшу площу має квадрат.
10.357. У трапеції ABCD дано основи AD = 24 см, ВС = 8 см і діагоналі
АС = 13 см, BD = 5уІЇЇ см. Обчислити площу трапеції.
10.358. У трапеції ABCD дано основи AD = я, ВС = Ь. На продовженні
ВС вибрано таку точку М> що пряма AM відтинає від площі трапеції — частину.
4
Знайти довжину відрізка СМ.
10.359. У трапеції ABCD з довжинами основ AD = 12 см, ВС = 8 см на
промені ВС узято таку точку М, що AM ділить трапецію на дві рівновеликі
фігури. Знайти СМ.
10.360. Центр кола, описаного навколо рівнобедреної трапеції, ділить
її висоту у відношенні 3 : 4 (починаючи від більшої основи). Знайти основи
трапеції, якщо її середня лінія дорівнює висоті, а радіус кола дорівнює 10.
246

Група В
10.361. У трикутнику ABC кут А вдвічі більший від кута В, а протилежні
сторони відповідно дорівнюють 12 і 8 см. Знайти третю сторону трикутника.
10.362. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює т, радіус вписаного
кола дорівнює г. Визначити катети. При якому співвідношенні між г і т задача має
розв’язок?
10.363. У рівнобедрений трикутник з основою 12 см вписано коло, і до
нього проведено три дотичні так, що вони відтинають від даного трикутника
три малих трикутники. Сума периметрів малих трикутників дорівнює 48 см.
Знайти бічну сторону даного трикутника.
10.364. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точки дотику ділять
кожну бічну сторону на відрізки завдовжки т і л, починаючи від вершини. До кола
проведено три дотичні, паралельні кожній зі сторін трикутника. Знайти довжини
відрізків дотичних, що містяться між сторонами трикутника.
10.365. Знайти гострі кути прямокутного трикутника, якщо відношення
радіусів вписаного й описаного кіл дорівнює 7з +1.
10.366. Два кола дотикаються зовні у точці А. Знайти радіуси кіл, якщо
хорди, що з’єднують точку А з точками дотику однієї із спільних зовнішніх
дотичних, дорівнюють 6 і 8 см.
10.367. Виразити сторону правильного десятикутника через радіус
R описаного кола.
10.368. Обчислити довжину бісектриси кутаЛ трикутника ABC зі сторонами
а = 18 см, Ь= 15 см, с = 12 см.
10.369. У трикутник з периметром 20 см вписано коло. Паралельно основі
до кола проведено дотичну, відрізок якої, що міститься між сторонами трикутника,
дорівнює 2,4 см. Знайти основу трикутника.
10.370. Більша з паралельних сторін трапеції дорівнює а, менша — Ь,
непаралельні сторони дорівнюють с і d. Знайти площу трапеції.
10.371. Точка Cj — основа висоти CCt трикутника ABC. Знайти залежність
між кутами А і В, якщо СС\ -СХАСХВ.
10.372. Бісектриса кута А трикутника ABC перетинає описане навколо
нього коло у точці D. Знайти довжину хорди DC, якщо центр кола, вписаного в
Даний трикутник, віддалений від точки D на відстань п.
10.373. У трикутник зі сторонами 6, 10 і 12 см вписано коло. До кола
проведено дотичну так, що вона перетинає дві більші сторони. Знайти периметр
трикутника, який відтинає дотична від даного.
10.374. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 4 і 8 см, її площа
Дорівнює 21 см2. Яку сторону перетинає бісектриса кута при більшій
основі: меншу основу чи бічну сторону трапеції?
10.375. Правильний трикутник ABC, вписаний у коло радіуса R, повер-
нУто навколо центра кола на 90° у положення АХВХСХ. Обчислити площу
Шестикутника ААХВВХССХ.
247

10.376. Довжини основ АВ і DC трапеції ABCD дорівнюють а і Ь. Пряма,
паралельна АВ, перетинає сторони ВС і AD у точках М і N. Обчислити А/#,
якщо трапеції ABMN і NMCD рівновеликі.
10.377. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки
4 і 2 см, а висота, проведена до тієї самої сторони, дорівнює V15 см. Які довжини
сторін трикутника, якщо відомо, що вони виражаються цілими числами?
10.378. Два кола дотикаються зовні. Чотири точки дотику їх зовнішніх
спільних дотичних А, В, С, D послідовно сполучені. Показати, що в чотирикутник
ABCD можна вписати коло, і знайти його радіус, якщо радіуси даних кіл R і г.
10.379. Висота і медіана трикутника, проведені всередині нього з однієї
вершини, різні й утворюють рівні між собою кути зі сторонами, що виходять з тієї
самої вершини. Знайти радіус описаного кола, якщо медіана дорівнює т.
10.380. Через точку Д узяту на стороні АВ трикутника ABC, паралельно
АС проведено пряму, що перетинає сторону ВС у точці Е. Довести, що АЕ, CD і
медіана, проведена через вершину В, перетинаються в одній точці.
10.381. Висота трикутника завдовжки 2 см ділить його кут у відношенні
2 : 1, а основу — на частини, менша з яких дорівнює 1 см. Знайти площу
трикутника.
10.382. Дано два концентричні кола. Довести, що сума квадратів відстаней
від точки одного кола до кінців діаметра другого кола не залежить ні від
вибраної точки, ні від вибраного діаметра.
10.383. У трикутнику ABC проведено медіани AL і ВМ, що перетинаються
в точці К. Вершина С лежить на колі, що проходить через точки К, L, М.
Показати, що медіана CN утворює зі сторонами АС і ВС такі самі кути, що й медіани AL
і ВМ зі стороною АВ.
10.384. У трикутнику ABC бісектриси AD і СЕ перетинаються в точці F.
Точки В, D, Е, влежать на одному колі. Показати, що кут В дорівнює 60°.
10.385. Площа трикутника дорівнює S. Кожну сторону трикутника
поділено на три частини у відношенні т : п : т. Знайти площу шестикутника,
вершинами якого є точки поділу.
10.386. Відстані від центра кола, вписаного в прямокутний трикутник,
до вершин його гострих кутів дорівнюють у[ї і УГо. Знайти катети.
10.387. У трикутнику ABC кожна висота hc і hb не менша від сторони,
на яку вона опущена. Знайти кути трикутника.
10.388. Сторона ВС трикутника ABC дорівнює а; кожна з двох висот,
опущених на сторони АВ і АС, не менша від сторони, на яку вона опущена.
Знайти довжини сторін АВ і АС.
10.389. У рівнобедреному трикутнику ABC дано: АВ = ВС = 25 см і
АС = 14 см. Обчислити радіус круга, що дотикається до ВС у точці D — основі
висоти AD і проходить через середину АС.
10.390. У трикутнику ABC зі сторонами а = 14 см, b = 15 см, с - 13 см
знайти відстань від точки перетину висот до вершини А.
248

10.391. На відрізку АС дано точку В, причому АВ = 14 см, ВС = 28 см. На
відрізках АВ, ВС і ЛС як на діаметрах побудовано півкола в одній півплощині
відносно межі АС. Знайти радіус кола, що дотикається до всіх трьох півкіл.
10.392. У круг радіуса R вписано рівносторонній трикутник і квадрат, що
мають спільну вершину. Обчислити площу спільної частини трикутника і
квадрата.
10.393. Через суміжні вершини квадрата проведено коло так, що дотична
до нього, проведена з третьої вершини, дорівнює подвоєній стороні квадрата.
Знайти площу цього квадрата, якщо радіус кола дорівнює R.
10.394. Через довільну точку всередені трикутника ABC проведено три
прямі паралельно сторонам трикутника. Ці прямі ділять трикутник ABC на
шість частин, три з яких є трикутниками. Площі цих трикутників Sj, S2 і *S3.
Довести, що площа трикутника ABC дорівнює (y[s^ + yfs2 + )2 •
10.395. Центри чотирьох кругів розміщені у вершинах квадрата зі
стороною а. Радіуси цих кругів дорівнюють а. Знайти площу їх спільної частини.
10.396. У коло радіуса R вписано три рівних між собою кола, що
дотикаються до зовнішнього кола і попарно одне до одного. Обчислити площу
фігури, обмеженої цими трьома колами.
10.397. У коло радіуса R вписано шість рівних кіл, кожне з яких дотикається
до даного кола і до двох сусідніх. Обчислити площу фігури, обмеженої цими
шістьма колами.
10.398. У коло радіуса/? вписано чотири рівних між собою кола, кожне з яких
дотикається до даного і до двох сусідніх. Обчислити площу фігури, обмеженої
цими чотирма колами.
10.399. Сторона правильного трикутника Дорівнює а. З його центра описано
коло радіуса —. Знайти площу частини трикутника, що лежить поза колом.
З
10.400. Обчислити площу трикутника за двома сторонами а і b та
бісектрисою / кута між ними.
10.401. Знайти радіус круга, якщо площа круга на Q кв. од. більша від
площі вписаного в нього правильного дванадцятикутника.
10.402. Коло радіуса R з центром О поділене точками A, Bt С, Д Е, F на
шість рівних частин. Знайти площу фігури СОЕ, обмежену дугою ОС з
Центром В, дугою ОЕ з центром F і дугою СЕ з центром А.
10.403. У прямокутному трикутнику ABC (ZC = 90°) проведено висо-
ТУ CD. Радіуси кіл, вписаних у трикутники ACD і BCD, дорівнюють 0,6 і
М см. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник ABC.
10.404. Площа трикутника ABC дорівнює Sp площа трикутника АОВ, де
О точка перетину висот, дорівнює S2. На прямій СО взято таку точку К, що
трикутник АВК— прямокутний. Довести, що площа трикутника АВК є середнім
Геометричним між 5| і S2.
249

10.405. У рівносторонній трикутник зі стороною а вписано коло. До кола
проведено дотичну так, що відрізок її всередині трикутника дорівнює Ь. Знайти
площу трикутника, який відгинає ця дотична від даного.
10.406. Основи висот гострокутного трикутника ABC є вершинами
другого трикутника, периметр якого дорівнює 2р. Знайти площу
трикутника ABC, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює R.
10.407. Сторони трикутника ABC поділено точками М, N і Р так, що
AM : MB = BN : NC = CP : PA = 1:4. Знайти відношення площі трикутника,
обмеженого відрізками AN, ВР і СМ, до площі трикутника ABC.
10.408. Навколо кола радіуса 5 см описано рівнобедрену трапецію.
Відстань між точками дотику її бічних сторін дорівнює 8 см. Знайти площу
трапеції.
10.409. Трикутник зі сторонами 13, 14 і 15 поділений на три
рівновеликі частини відрізками, перпендикулярними до найбільшої сторони.
Знайти відстані до цих прямих від найближчих до них вершин найбільшої
сторони трикутника.
10.410. У трапецію, менша основа якої дорівнює а, вписано коло. Одна з
бічних сторін трапеції ділиться точкою дотику на відрізки т і п, починаючи від
більшої основи. Знайти площу трапеції.
10.411. Дано два правильних трикутники з площею S, з яких другий
отримано поворотом першого трикутника навколо його центра на кут 30°.
Обчислити площу перерізу цих трикутників.
2г2
10.412. Площа прямокутного трикутника дорівнює —у, де г — радіус
кола, що дотикається до одного катета і до продовжень другого катета і
гіпотенузи. Знайти сторони трикутника.
10.413. Діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники. Довести, що
коли площі двох з них, прилеглих до основ трапеції, дорівнюють
р2 і q2, то площа трапеції дорівнює (р + q)2.
10.414. У чотирикутнику ABCD через середину діагоналі BD
проведено пряму, паралельну іншій діагоналі АС. Ця пряма перетинає сторону AD у
точці Е. Довести, що відрізок СЕ ділить чотирикутник ABCD на рівновеликі
частини.
10.415. Пряма, паралельна основам даної прямокутної трапеції, ділить
її на дві трапеції, у кожну з яких можна вписати коло. Знайти основи
вихідної трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють с і d, причому с < d-
10.416. Визначити площу трикутника за його трьома висотами hvh2,hy
10.417. У прямокутний трикутник ABC (ZC = 90°) вписано коло, Ш°
дотикається до його сторін у точках A х, Вх, С,. Знайти відношення площі
трикутника ABC до площі трикутника А ХВХСХ, якщо АС = 4 см, = З см.
10.418. У коло вписано чотирикутник, довжини сторін якого
дорівнюють а, Ь, с і d. Обчислити відношення довжин діагоналей цього чотирикутника.
250

10.419. Круг з центром на стороні АВ трикутника ABC дотикається до
двох інших його сторін. Знайти площу круга, якщо а = 13 см, b = 14 см,
с=15 см, де а, b і с — довжини сторін трикутника.
10.420. У трикутник з основою а вписано квадрат, одна зі сторін якого
лежить на основі трикутника. Площа квадрата становить — площі трикутника.
6
Знайти висоту трикутника і сторону квадрата.
10.421. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить
протилежну сторону так, що відрізок, прилеглий до вершини трикутника,
дорівнює основі. Довести, що бісектриса також дорівнює основі.
10.422. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута відтинає на
гіпотенузі відрізки завдовжки а і Ь. Знайти площу квадрата, стороною якого є ця
бісектриса.
10.423. Навколо кола радіуса R = 1 см описано рівнобедрену
трапецію, площа якого дорівнює 5 см2. Знайти площу чотирикутника, вершинами
якого є точки дотику кола і трапеції.
10.424. Із кожної вершини, що належить основі рівностороннього
трикутника зі стороною а, проведено у внутрішню область трикутника по
два промені, що утворюють з основою трикутника кути 15° і 30°. Знайти
площу чотирикутника, вершинами якого є точки перетину побудованих
променів.
10.425. Через точку М, розміщену на діаметрі кола радіуса 4 см,
проведено хорду АВ, що утворює з діаметром кут 30°. Через точку В проведено
хорду ВС, перпендикулярно до даного діаметра. Знайти площу трикутника
ABC, якщо AM: MB = 2:3.

Глава 11
ЗАДАЧІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1 °. Довільна призма (/,— бічне ребро; Р — периметр основи; S — площа
основи; Н — висота; Р — периметр перпендикулярного перерізу; S —
площа перпендикулярного перерізу; 5біч — площа бічної поверхні, V— об єм):
*^біч = Рпер1> (11-1)
V = SH; (11.2)
^ = *^пер (11 -3)
2°. Пряма призма:
S^=PL (11.4)
3°. Прямокутний паралелепіпед.(я, Ь, с — його виміри; d — діагональ):
S6l4=PH; (11.5)
V = abc\ (11.6)
d2 =а2 +b2 +с2. (11.7)
4°. Куб (іа — ребро):
V = a3; (П.8)
d = a£. (Н-9)
5°. Довільна піраміда (S — площа основи; Н — висота; V— об’єм):
V = \sh. (11.10)
6°. Правильна піраміда (Р—периметр основи; /—апофема; ^біч — площа
бічної поверхні):
s6»=\pi- (11.11)
7°. Довільна зриана піраміда (Sj і S2 — площі основ; h — висота; V —'
об’єм):
К = і*(5, +52+,/ЗД). (1112)
8°. Правильна зриана піраміда (Рх і Р2 — периметри основ; / — апофема;
5біч — площа бічної поверхні):
252

S^=\(P\+Pi)l- (11.13)
9°. Циліндр (R — радіус основи; Н — висота; 5біч — площа бічної
поверхні; V — об’єм):
5біч=2лЛ//; (11.14)
V = kR2H. (11.15)
10°. Конус (R — радіус основи; Н — висота; / — твірна; 5біч — площа
бічної поверхні; V— об’єм):
5біч=лЛ/; (11.16)
V = ±*R2H. (ИЛ7)
11 °. Зрізаний конус (RX '\R2 — радіуси основ, Н— висота, /—твірна, 5біч—
площа бічної поверхні, V — об’єм):
56іч =n(Rt+R2)l; (11.18)
К = ілЯ(Л,2+Лг2+Л,Л2). (11.19)
12°. Куля, сфера (R — радіус кулі; S — площа сферичної поверхні;
V — об’єм):
S = 4kR2; (11-20)
К = (11.21)
13°. Кульовий сегмент (R — радіус кулі; h — висота сегмента; S—площа
сферичної поверхні сегмента; V— об’єм):
S = 2nRh; (11.22)
К = (11.23)
14°. Кульовий сектор (R — радіус кулі; h — висота сегмента; V— об’єм):
V = —nR2h. (1124)
ДОДАТКОВІ СПІВВІДНОШЕННЯ
МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ПРИЗМИ І ПІРАМІДИ
1°. Нехай у піраміді виконується одна з таких двох умов: а) усі бічні ребра
Утворюють із площиною основи рівні між собою кути; б) довжини всіх бічних
253

ребер рівні між собою. Тоді вершина піраміди
проектується в центр кола, описаного навколо основи
піраміди (ця сама точка є точкою перетину серединних
перпендикулярів до сторін основи піраміди).
□ Нехай О — основа висоти л-кутної піраміди
SAxA2 ... Ап (рис. 11.1); SAV SA2, ..., SAn — її бічні
ребра; ОА і, ОА2, ..., ОАп — їх проекції на площину Ап
основи; SA{О, SA20, ..., SAnO — кути, утворені
ребрами піраміди з площиною основи. За умовою а), ці
кути рівні між собою; тому рівні між собою і пря- 1 я2
мокутні трикутники SOAj, SOA2, ..., SOAn, що ма- рис ц j
ють спільний катет SO. Звідси випливає, що ОАх =
- ОА2 =... = ОАП, тобто точка О рівновіддалена від вершин АХ,А2,..., Ап основи
і, таким чином, є центром описаного навколо неї кола.
Якщо умову а) замінити умовою б), то рівність трикутників SOA{,
SOA2, ..., SOAn випливає з того, що вони, крім спільного катета, мають
рівні між собою гіпотенузи SA{ = SA2 = ... = SAn. Таким чином, ОА{ = ОА2 =
=... = ОАп, тобто О — центр кола, описаного навколо основи піраміди. ■
2°. Нехай у піраміді виконується одна з таких двох умов: а) усі бічні грані
утворюють з основою рівні між собою кути; б) довжини всіх апофем бічних
граней рівні між собою. Тоді вершина піраміди проектується в центр кола,
вписаного в основу піраміди (ця точка є точкою перетину бісектрис кутів
в основі піраміди).
□ Нехай О — основа висоти л-кутної піраміди SA ХА2 ... Ап (рис. 11.2); SBX,
SB2, ..., SBn — апофеми (висоти бічних граней). Проекції апофем
OB j, ОВ2 , ..., ОВп на площину основи перпендикулярні до сторін основи (за
теоремою про три перпендикуляри) і, таким чином, виражають відстані від точки
О до цих сторін, а кути SBxO, SB20, ..., SBnO є лінійними кутами
відповідних двогранних кутів. За умовою а), ці кути рівні між собою, тому рівні
між собою і прямокутні трикутники SOBx, SOB2, ..., SOBn, що мають
Рис. 11.2
Рис. 11.3
254

спільний катет SO. Звідси випливає, що ОВх = ОВ2 = ... = ОВп, тобто точка
Q рівновіддалена від сторін основи і, таким чином, є центром вписаного в неї кола.
Якщо умову а) замінити умовою б), то рівність трикутників SOBv
SOB2, •••, SOBn випливає з того, що вони, крім спільного катета SO, мають
рівні між собою гіпотенузи SB j = SB2 = ... = SBn. Таким чином, ОВх = ОВ2 =
as ... = ОВп, тобто О — центр кола, вписаного в основу піраміди. ■
3°. Якщо в похилій призмі бічне ребро А ХВХ утворює рівні між собою кути
Зі сторонами основи, що виходять з вершини A j (рис. 11.3), то основа О висоти
О лежить на бісектрисі кута A j.
□ Проведемо ОС 1 АХА2, OD _L АхАп і відрізки ВХС, BXD. За теоремою
про три перпендикуляри, маємо ВХС 1 АХА2, BXD ± АхАп. Прямокутні
трикутники АХСВХ і AXDBX рівні між собою, бо мають спільну гіпотенузу
АхВхі рівні кути (ZBXAXC = ZBXAXD за умовою). Таким чином, BXC=BXD і
tSxOC = ABxOD, звідси ОС = OD. Отже, точка О рівновіддалена від сторін кута
A j і, отже, лежить на бісектрисі А х О кута А х. ■
Це саме твердження можна сформулювати так: якщо в тригранному
куті два гострих плоских кути рівні між собою, то проекція їх спільного ребра
на площину третього плоского кута є його бісектрисою.
4°. Якщо висота трикутної піраміди проходить через точку перетину
висот трикутника, що лежить в основі, то протилежні ребра піраміди
перпендикулярні. Справджується й обернене твердження.
□ Нехай AD — висота AABC (рис. 11.4); тоді ВС _L AD і, отже,
ВС 1 АО. Але АО є проекцією ребра SA на площину ABC і, таким чином, за
теоремою про три перпендикуляри ВС ± SA.
Аналогічно доводиться, що перпендикулярні й дві інші пари протилежних
ребер піраміди, тобто АВ LSC і AC _L SB.
Доведемо тепер обернене твердження, тобто якщо ВС X SA, то
основою О висоти піраміди є точка перетину висот AABC (рис. 11.4). Оскільки
SO 1 (ABC) (за умовою), то АО є проекцією SA на площину ABC. Але пряма
ВС, що належить площині ABC, перпендикулярна до ребра SA (за умо-
А
Рис. 11.4
Рис. 11.5
Рис. 11.6
255

вою), тому ВС 1 АО (за теоремою про три перпендикуляри). Отже, точка о
лежить на висоті AD М.ВС. Аналогічно доводиться, що О належить і другій
висоті AABC і, таким чином, є точкою перетину висот основи піраміди. ■
5°. Якщо SO — висота піраміди SABC і SA JL ВС, то площина SAO
перпендикулярна до ВС (рис. 11.4).
□ Маємо SA J_ ВС (за умовою) і SO _!_ ВС, оскільки SO ± (ABC). Якщ0
пряма ВС перпендикулярна до кожної з двох прямих SA і SO, що лежать у
площині SAO, то (SAO) _L ВС (за ознакою перпендикулярності прямої і
площини). ■
Приклад 1. Через медіану BE основи ABC піраміди DABC і середину F
ребра DC проведено площину. Знайти об’єм фігури ADBFE, якщо об’єм піраміди
DABC дорівнює 40 см3.
□ Об’єм фігури ADBFE дорівнює різниці об’ємів пірамід DABC і FECB
(рис. 11.5). Щоб знайти об’єм піраміди FECB, порівняємо його з об’ємом піраміди
DABC. Для цього досить знайти відношення площ їх основ і відповідних висот.
Оскільки медіана трикутника ділить його площу на дві рівні між собою частини,
то Sabec =®£$аавс- Оскільки F — середина ребра DC, то висота піраміди
FECB дорівнює половині висоти піраміди DABC. Отже, VFECB = 0,25VDABC =
= 10(см3). Шуканий об’єм дорівнює 30 см3. ■
Приклад 2. Висота циліндра дорівнює Я, радіус його основи дорівнює
R. У циліндр вписано піраміду, висота якої збігається з твірною АА1 циліндра,
а основою є рівнобедрений трикутник ABC (АВ = АС), вписаний в основу
циліндра. Знайти площу бічної поверхні піраміди, якщо ZA = 120°.
□ Проведемо AD _L ВС і з’єднаємо точки Ах і D (рис. 11.6). За теоремою
про три перпендикуляри, маємо AXD 1 ВС. Оскільки дуга САВ містить 120°,
а дуги АС і АВ — по 60°, то ВС = rJ3, AB = R. З AADB знаходимо AD = 0,5R.
Застосувавши теорему Піфагора до AA^AD, отримаємо
AXD = уІН2 + 0,25R2 = 0,5у]R2 +4Н2.
Таким чином,
SAAiAb = 0,5Л5 • АА , = 0,5RH ;
5 дАіВС = 0,5ВС ■ AJ) = 0,5Л>/з • 0,5л/л2+4Я2 = 0,25Я>/зЛ2 +12Я2.
Остаточно отримаємо
5біч = 2SM]AB + SMxBC = RH + 0,25Ryl3R2+ 12Н2 =
= 0,25Л(4Я + >/зЛ2 + 12Я2). ■
Приклад 3. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною а. Одне
з бічних ребер перпендикулярне до площини основи і дорівнює Ь. Знайти радіус
кулі, описаної навколо піраміди.
256

Рис. 11.7
Рис. 11.8
□ Нехай О — центр кулі, описаної навколо піраміди DABC (рис. 11.7).
Тоді OA = ОВ = ОС = OD. Опустимо перпендикуляр ОК на площину ABC
і проведемо ОЕ J_ DB. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин AABC,
Q Ь
точка К є центром трикутника і ВК = —р-. Оскільки OB = OD, то BE = ED = —.
V 3 2
За теоремою Піфагора з АОКВ знаходимо
ов = 4ок2+ ВК2 = J—+— +96
V 4 З
6
Приклад 4. Дано куб ABCDAXBXCXDX, довжина ребра якого а.
а
На ребрі ААл взято точку Е так, що АЕ = —. Знайти об’єм піраміди, вершиною
4
якої є точка ЛІ9 а основою — переріз куба, що проходить через точки D, Е і
довільну внутрішню точку ребра В В j.
□ Побудувавши переріз (рис. 11.8), отримаємо на ребрі ССХ точку 5, що є
спільною вершиною двох трикутних пірамід SEAXK і SEAXD, сума об’ємів яких
дорівнює об’єму чотирикутної піраміди A XEKSD.
Маємо Saj ,пр = —AXE DA = — •— а = Відстань від точки S до
і 2 2 4 8
1 3а2 а3
площини AXED дорівнює а, тому VSEA{D = о = —. Аналогічно
3 8 8
знаходимо = Отже, шуканий об’єм
8 Т"Т‘
257

Група А
11.001. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с і
гострим кутом 30°. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом
45°. Знайти об’єм піраміди. *
11.002. Обчислити об’єм правильного тетраедра, якщо радіус кола,
описаного навколо його грані, дорівнює R.
11.003. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює a, a
двогранний кут при основі 45°. Знайти об’єм і повну поверхню піраміди.
11.004. Визначити об’єм похилої трикутної призми, площа однієї з бічних
граней якої дорівнює S, а відстань від площини цієї грані до протилежного ребра
дорівнює d.
11.005. Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює
90°. Знайти відношення бічної поверхні піраміди до площі її основи.
11.006. Діагональ прямокутного паралелепіпеда 13 см, а діагоналі його бічних
граней 4^10 і зУЇТ см. Визначити об’єм паралелепіпеда.
11.007. Знайти відношення об’єму куба до об’єму правильного
тетраедра, ребро якого дорівнює діагоналі грані куба.
11.008. У прямому паралелепіпеді сторони основи а і b, гострий кут між
ними 60°. Більша діагональ основи дорівнює меншій діагоналі паралелепіпеда.
Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.009. Центр верхньої основи правильної чотирикутної призми і середини
сторін нижньої основи є вершинами вписаної в призму піраміди, об’єм якої V.
Знайти об’єм призми.
11.010. У кубі, ребро якого а, центр верхньої грані сполучений з
вершинами основи. Знайти повну поверхню здобутої піраміди.
11.011. В основі правильної піраміди лежить многокутник, сума внутрішніх
кутів якого дорівнює 720°. Знайти об’єм піраміди, якщо її бічне ребро /
утворює з висотою піраміди кут 30°.
11.012. Діагональ квадрата, що лежить в основі правильної чотирикутної
піраміди, має довжину а і дорівнює її бічному ребру. Знайти повну поверхню
піраміди та її об’єм.
11.013. Центр верхньої основи куба з ребром а сполучений із
серединами сторін нижньої основи, що також сполучені послідовно. Обчислити
повну поверхню здобутої піраміди.
11.014. Апофема правильної шестикутної піраміди дорівнює А, а двогранний
кут при основі 60°. Знайти повну поверхню піраміди.
11.015. Знайти повну поверхню правильної трикутної піраміди, сторона
основи якої дорівнює а, а двогранний кут при основі 60°.
11.016. Основа чотирикутної піраміди — прямокутник з діагоналлю b і
кутом 60° між діагоналями. Кожне з бічних ребер утворює з площиною основи
кут 45°. Знайти об’єм піраміди.
11.017. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 1 см, а u
бічна поверхня дорівнює 3 см2. Знайти об’єм піраміди.
258

11.018. Основою піраміди є трикутник зі сторонами а, а і Ь. Усі бічні
ребра нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.
11.019. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює /, а висота
дорівнює h. Знайти об’єм піраміди.
11.020. В основі похилої призми лежить паралелограм зі сторонами 3 і 6 дм та
гострим кутом 45°. Бічне ребро призми дорівнює 4 дм і нахилене до площини
основи під кутом 30°. Знайти об’єм призми.
269
11.021. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює см. Основа піраміди —
трикутник зі сторонами 13,14 і 15 см. Знайти об’єм піраміди.
11.022. Знайти об’єм правильної чотирикутної призми, якщо її
діагональ утворює з площиною бічної грані кут 30°, а сторона основи дорівнює а.
11.023. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи 6 дм, а висота
4 дм. Знайти бічну поверхню зрізаної піраміди, яку відтинає від даної площина,
паралельна основі і віддалена від неї на 1 дм.
11.024. Основами правильної зрізаної піраміди є квадрати зі сторонами а і b
(а > Ь). Бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 45°. Знайти об’єм
зрізаної піраміди.
11.025. Бічні ребра правильної трикутної зрізаної піраміди нахилені до
площини основи під кутом 60°. Сторони нижньої і верхньої основ дорівнюють
відповідно aib(a>b). Знайти об’єм зрізаної піраміди.
11.026. Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площина, проведена
через одну зі сторін нижньої основи і протилежну сторону верхньої основи,
утворює з площиною основи кут 45°. Отриманий переріз має площу Q.
Визначити бічну поверхню паралелепіпеда.
11.027. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої
утворює з площиною основи кут 45°, а площа діагонального перерізу
дорівнює S.
11.028. Основою піраміди є ромб з гострим кутом 30°. Бічні грані нахилені
до площини основи під кутом 60°. Визначити об’єм і повну поверхню піраміди,
якщо радіус вписаного в ромб круга дорівнює г.
11.029. Об’єм правильної трикутної піраміди, бічна грань якої нахилена до
площини основи під кутом 45°, дорівнює 9 см3. Знайти повну поверхню піраміди.
11.030. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами
1 і 4 см і гострим кутом 60°. Велика діагональ паралелепіпеда дорівнює 5 см.
Визначити його об’єм.
11.031. Центр куба, ребро якого дорівнює а, сполучений з усіма його
вершинами. Знайти об’єм і повну поверхню кожної з отриманих пірамід.
11.032.0снова піраміди — рівнобедрений трикутник з основою 6 см і
висотою 9 см. Кожне бічне ребро дорівнює 13 см. Обчислити об’єм піраміди.
11.033. У трикутній піраміді бічні ребра взаємно перпендикулярні і
мають довжини >/70, >/99 і ТІ26 см. Знайти об’єм і площу основи піраміди.
11.034. Визначити об’єм правильної шестикутної призми, найбільша
діагональ якої дорівнює d, а бічні грані — квадрати.
259

11.035. Знайти об’єм куба, якщо відстань від його діагоналі д0
мимобіжного ребра дорівнює d.
11.036. Знайти об’єм октаедра (правильного восьмигранника), ребро якого
дорівнює а.
11.037. Основа призми — квадрат зі стороною а. Одна з бічних граней —-
також квадрат, інша — ромб з кутом 60°. Знайти повну поверхню призми.
11.038. Основою паралелепіпеда є квадрат. Одна з вершин верхньої
основи однаково віддалена від усіх вершин нижньої основи і віддалена від
площини цієї основи на відстань Ь. Сторона основи дорівнює а. Визначити
повну поверхню паралелепіпеда.
11.039. У кубі центри основ сполучені з центрами бічних граней. Обчислити
поверхню отриманого октаедра, якщо ребро куба а.
11.040. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 6, 5 і 5 см. Бічні грані
піраміди утворюють з її основою рівні між собою двогранні кути, що
дорівнюють по 45°. Знайти об’єм піраміди.
11.041. Знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда, діагональ якого дорівнює
/ і утворює з однією гранню кут 30°, а з другою — 45°.
11.042. Визначити об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо її
діагональ дорівнює 18 см, а довжини сторін основ 14 і 10 см.
11.043. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює
Q. Площі діагональних перерізів 5j і S2. Знайти об’єм і бічну поверхню
паралелепіпеда.
11.044. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює / і
нахилене до площини основи під кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.
11.045. Найбільша діагональ правильної шестикутної призми дорівнює d
утворює з бічним ребром кут 30°. Знайти об’єм призми.
11.046. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють а і b
Діагональ паралелепіпеда нахилена до бічної грані, що містить сторону основи b
під кутом 30°. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.047. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють а і І
Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 60°. Визначит
бічну поверхню паралелепіпеда.
11.048. Знайти об’єм похилої трикутної призми, в основі якої лежиі
рівносторонній трикутник зі стороною а, якщо бічне ребро призми дорії
нює стороні основи і нахилене до площини основи під кутом 60°.
11.049. Знайти об’єм правильної трикутної призми, якщо сторона її осної
дорівнює а і бічна поверхня рівновелика сумі площ основ.
11.050. Знайти бічну поверхню правильної шестикутної піраміди, висота як
дорівнює А, а бічне ребро /.
11.051. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, плоский кут при верши
якої дорівнює 90°, а сторона основи дорівнює 3 см.
11.052. У правильній трикутній призмі площа перерізу, що проходи
через бічне ребро перпендикулярно до протилежної бічної грані, дорівнює
Сторона основи призми дорівнює а. Знайти повну поверхню призми.
11.053. Висота правильного тетраедра дорівнює А. Обчислити його пов
поверхню.
260

11.054. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює Ь. В її основі лежить
прямокутний трикутник, катети якого відносяться як т : л, а гіпотенуза
дорівнює с. Обчислити об’єм піраміди.
11.055. Центр верхньої основи куба сполучений із серединами сторін
нижньої основи. Утворився чотиригранний кут, кожний плоский кут якого дорівнює
ос. Довести, що 30° < а < 45°.
11.056. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10 см і утворює з
площиною основи кут 60°. Площа основи дорівнює 12 см2. Знайти бічну
поверхню паралелепіпеда.
11.057. Визначити об’єм прямокутного паралелепіпеда з діагоналлю
d, довжини ребер якого відносяться як т : п : р.
11.058. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, якщо висота трикутника,
що лежить в основі, дорівнює А, а апофема піраміди дорівнює т.
11.059. Площі бічних граней прямої трикутної призми дорівнюють М, N
і Р. Бічне ребро дорівнює /. Визначити об’єм призми.
11.060. Дано площу основи Р і об’єм V правильної чотирикутної призми.
Обчислити її повну поверхню.
11.061. Знайти бічну поверхню правильної трикутної призми з висотою А,
якщо пряма, що проходить через центр верхньої основи і середину сторони нижньої
основи, нахилена до площини основи під кутом 60°.
11.062. В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані
перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до нього під кутом 45°. Середнє
за довжиною бічне ребро дорівнює /. Знайти об’єм і повну поверхню піраміди.
11.063. Знайти повну поверхню й об’єм правильної чотирикутної піраміди зі
стороною основи а і кутом нахилу бічної грані до площини основи 60°.
11.064. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, висота якої дорівнює А,
а плоскі кути при вершині прямі.
11.065. Знайти бічну поверхню правильної трикутної піраміди, якщо
плоский кут при її вершині дорівнює 90°, а площа основи S.
11.066. Знайти об’єм правильного тетраедра з ребром а.
11.067. Правильна шестикутна призма, бічні ребра якої дорівнюють
З см, поділена діагональною площиною на дві рівні між собою чотирикутні
призми. Знайти об’єм шестикутної призми, якщо бічна поверхня чотирикутної
призми дорівнює 30 см2.
11.068. Визначити через сторону основи а бічну поверхню й об’єм правильної
чотирикутної піраміди, діагональний переріз якої рівновеликий основі.
11.069. Бічне ребро правильної трикутної призми дорівнює висоті основи, а
площа перерізу, проведеного через це бічне ребро і висоту основи, дорівнює Q.
Знайти об’єм призми.
11.070. У прямому паралелепіпеді сторони основи а і b утворюють кут
30°. Бічна поверхня дорівнює S. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.071. Знайти відношення об’єму правильної шестикутної піраміди до
об’єму правильної трикутної піраміди за умови, що сторони основ цих пірамід
Рівні між собою, а їх апофеми вдвічі більші від сторін основи.
261

11.072. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як
т : л, а діагональний переріз являє собою квадрат із площею Q. Визначити
об’єм паралелепіпеда.
11.073. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2, 3 і 6 см. Знайти довжину
ребра такого куба, щоб об’єми цих тіл відносилися як їх поверхні.
11.074. Висота піраміди дорівнює 8 м. На відстані 3 м від вершини
проведено площину, паралельну основі. Площа отриманого перерізу 4 м2.
Знайти об’єм піраміди.
11.075. Довести, що об’єм конуса дорівнює об’єму циліндра з тими самими
1
основою і висотою мінус добуток бічної поверхні цього циліндра на ~ радіуса
його основи.
11.076. Висота конуса дорівнює діаметру його основи. Знайти відношення
площі його основи до бічної поверхні.
11.077. Визначити об’єм конуса через його бічну поверхню S і відстань г від
центра основи до твірної.
11.078. Циліндр утворено обертанням прямокутника навколо однієї з його
сторін. Визначити об’єм V циліндра через площу S цього прямокутника і
довжину С кола, описаного точкою перетину його діагоналей.
11.079. Довести, що коли два рівних між собою конуси мають спільну
висоту і паралельні основи, то об’єм їх спільної частини становить 0,25 об’єму
кожного з них.
11.080. На основах циліндра з квадратним осьовим перерізом побудовано
два конуси з вершинами в середині осі (циліндра). Знайти суму повних поверхонь
і суму об’ємів конусів, якщо висота циліндра дорівнює 2а.
11.081. Навколо конуса з радіусом основи R описано довільну піраміду,
периметр основи якої дорівнює 2р. Знайти відношення об’ємів і відношення бічних
поверхонь конуса та піраміди.
11.082. Висота конуса і його твірна дорівнюють відповідно 4 і 5 см. Знайти
об’єм вписаної в конус півкулі, основа якої лежить на основі конуса.
11.083. Визначити об’єм кулі, вписаної в правильну піраміду, висота якої
дорівнює А, а двогранний кут при основі дорівнює 60°.
11.084. Конус і півкуля мають спільну основу, радіус якої дорівнює R. Знай
ти бічну поверхню конуса, якщо його об’єм дорівнює об’єму півкулі.
11.085. У циліндрі площа перерізу, перпендикулярного до твірної, дорів
нює М, а площа осьового перерізуй. Знайти об’єм і повну поверхню циліндра.
11.086. У конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником
32л з
вписано кулю. Знайти об’єм конуса, якщо об’єм кулі дорівнює см •
1
11.087. Довести, що об’єм конуса дорівнює ~ добутку бічної поверхні н
відстань від центра основи до твірної.
11.088. Дано кулю, циліндр з квадратним осьовим перерізом і конус. Цилінл
і конус мають однакові основи, а їх висоти дорівнюють діаметру кулі. Як відн<
сяться об’єми циліндра, кулі та конуса?
262

11.089. Радіус основи конуса дорівнює R, а кут при вершині в розгортці
Його бічної поверхні дорівнює 90°. Знайти об’єм конуса.
11.090. Обчислити поверхню тіла, утвореного внаслідок обертання
ромба площею Q навколо однієї з його сторін.
11.091. На відрізку АВ як на діаметрі побудовано півколо з центром у
точці О, а на відрізках ОЛ і ОВ побудовано два півкола, розмішені в тій
самій півплощині з межею АВ, що й перше. Знайти поверхню й об’єм тіла,
утвореного обертанням навколо АВ фігури, обмеженої цими трьома
півколами, якщо АВ = 20 см.
11.092. Трикутник зі сторонами 10, 17 і 21 см обертається навколо більшої
сторони. Обчислити поверхню й об’єм отриманої фігури обертання.
11.093. Знайти відношення поверхні й об’єму кулі відповідно до поверхні й
об’єму вписаного куба.
11.094. Знайти відношення поверхні та об’єму кулі відповідно до повної
поверхні й об’єму описаного навкола неї конуса з рівностороннім осьовим
перерізом.
11.095. Навколо правильної трикутної призми, висота якої вдвічі
більша від сторони основи, описано кулю. Як відноситься її об’єм до об’єму
призми?
11.096. Визначити поверхню кулі, описаної навколо конуса, радіус основи
якого дорівнює R, а висота А.
11.097. У кулю вписано конус, твірна якого дорівнює діаметру основи.
Знайти відношення повної поверхні конуса до поверхні кулі.
11.098. Бічна поверхня конуса вдвічі більша від площі основи. Площа його
осьового перерізу дорівнює Q. Знайти об’єм конуса.
11.099. Рівнобедрена трапеція з основами 2 і 3 см і гострим кутом 60°
обертається навколо меншої основи. Обчислити поверхню й об’єм отриманої
фігури обертання.
11.100. Висота конуса поділена на три рівних відрізки і через точки поділу
паралельно основі проведено площини, що розбивають конус на три частини.
Знайти об’єм середнього зрізаного конуса, якщо об’єм даного конуса дорівнює V.
11.101. Бічна поверхня конуса розгорнута на площині в сектор, центральний
кут якого містить 120°, а площа дорівнює S. Знайти об’єм конуса.
11.102. З мідної болванки, що має форму прямокутного паралелепіпеда з
розмірами 80 х 20 х 5 см, прокочується лист завтовшки 1 мм. Знайти площу цього
листа.
11.103. Металеву кулю радіуса R переплавили на конус, бічна поверхня
якого в 3 рази більша від площі основи. Обчислити висоту конуса.
11.104. У правильному тетраедрі SABC побудовано переріз його
площиною, що проходить через ребро АС і точку К, що належить ребру SB, причому
&К : KS - 2 : 1. Знайти об’єм зрізаної піраміди КАВС, якщо ребро тетраедра
Дорівнює а.
11.105. Ромб обертається навколо своєї більшої діагоналі, а потім
навколо меншої діагоналі. Довести, що відношення об’ємів отриманих фігур
обертання дорівнює відношенню площ їх поверхонь.
263

Група Б
11.106. Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює а.
Обчислити об’єм піраміди, якщо її бічна поверхня в 10 разів більша від
площі основи.
11.107. Об’єм правильної восьмикутної призми дорівнює 8 м3, а її
висота дорівнює 2,2 м. Знайти бічну поверхню призми.
11.108. Основами зрізаної піраміди є два правильних восьмикутники.
Сторона нижньої основи дорівнює 0,4 м, а верхньої 0,3 м; висота зрізаної піраміди
дорівнює 0,5 м. Зрізану піраміду добудували до повної. Визначити об’єм повної
піраміди.
11.109. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди зі стороною
основи а і плоскими кутами при вершині, що дорівнюють кутам нахилу
бічних ребер до основи.
11.110. Знайти відстань між серединами двох мимобіжних ребер куба,
повна поверхня якого дорівнює 36 см2.
11.111. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при бічному
ребрі дорівнює 120°. Знайти бічну поверхню піраміди, якщо площа її
діагонального перерізу дорівнює S.
11.112. В основі піраміди лежить паралелограм ABCD площею т2 і такий,
що BD _L AD; двогранні кути при ребрах AD і ВС дорівнюють по 45°, а при ребрах
АВ і CD по 60°. Знайти бічну поверхню й об’єм піраміди.
11.113. У похилому паралелепіпеді проекція бічного ребра на площину
основи дорівнює 5 дм, а висота дорівнює 12 дм. Переріз, перпендикулярний до
бічного ребра, є ромбом з площею 24 дм2 і діагоналлю 8 дм. Знайти бічну поверхню й
об’єм паралелепіпеда.
11.114. У трикутній зрізаній піраміді висота дорівнює 10 м, сторони
однієї основи — 27, 29 і 52 м, а периметр другої основи дорівнює 72 м.
Знайти об’єм зрізаної піраміди.
11.115. В основі призми лежить трапеція. Виразити об’єм призми через
площі Sx і S2 паралельних бічних граней і відстань h між ними.
11.116. Площа основи прямої трикутної призми дорівнює 4 см2, площі бічних
граней 9,10 і 17 см2. Визначити об’єм призми.
11.117. В основі прямої призми лежить рівнобедрена трапеція ABCD;
АВ = CD = 13 см, ВС = 11 см, AD =21 см. Площа її діагонального перерізу
180 см2. Обчислити повну поверхню призми.
11.118. Основою похилого паралелепіпеда є ромб зі стороною а і гострим
кутом 30°. Діагональ однієї бічної грані перпендикулярна до площини основи, а
бічне ребро утворює з площиною основи кут 60°. Знайти повну поверхню й
об’єм паралелепіпеда.
11.119. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а висота,
опущена з вершини основи на протилежну бічну грань, Ь. Визначити об’єм
піраміди.
11.120. Бічна поверхня правильної трикутної піраміди в 3 рази більша від
площі основи. Площа круга, вписаного в основу, чисельно дорівнює радіусу
цього кола. Знайти об’єм піраміди.
264

11.121. Правильну трикутну піраміду перетинає площина, що проходить
через вершину основи і середини двох бічних ребер. Знайти відношення бічної
поверхні піраміди до площі основи, якщо відомо, що січна площина
перпендикулярна до однієї з бічних граней (вказати, до якої саме).
11.122. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди
2 і 1 см, а висота 3 см. Через точку перетину діагоналей призми паралельно
основам проведено площину, що ділить піраміду на дві частини. Знайти об’єм
кожної з них.
11.123. Площа перерізу куба, що являє собою правильний шестикутник,
дорівнює Q. Знайти повну поверхню куба.
11.124. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з
основою а і прилеглим кутом 45°. Визначити об’єм призми, якщо її бічна
поверхня дорівнює сумі площ основ.
11.125. Основою призми АВСАХВХСХ є правильний трикутник ABC
зі стороною а. Вершина Ах проектується в центр нижньої основи, а ребро
ААХ нахилене до площини основи під кутом 60°. Визначити бічну поверхню
призми.
11.126. Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює а.
Усі її діагональні перерізи рівновеликі. Знайти об’єм і бічну поверхню
піраміди.
11.127. Куб з ребром а зрізано по кутах площинами так, що від кожної
грані залишився правильний восьмикутник. Знайти об’єм отриманого мно-
гогранника.
11.128. У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири
його вершини лежать на апофемах піраміди і чотири — у площині основи.
Усі ребра піраміди завдовжки а. Обчислити повну поверхню й об’єм куба.
11.129. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює
3 см, об’єм піраміди дорівнює 38 см3, а площі її основ відносяться як 4 : 9.
Визначити бічну поверхню зрізаної піраміди.
11.130. Знайти відношення об’ємів правильних тетраедра й октаедра,
повні поверхні яких рівні між собою.
11.131. В основі похилої призми лежить правильний трикутник зі стороною
а. Одна з бічних граней призми перпендикулярна до площини основи і являє
собою ромб, діагональ якого дорівнює Ь. Знайти об’єм призми.
11.132. В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник, площа
якого S; бічні ребра піраміди рівні між собою й утворюють з площиною
основи кут 45°. Кут між діагоналями основи дорівнює 60°. Знайти об’єм
піраміди.
11.133. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник зі стороною а.
Одна з бічних граней — також рівносторонній трикутник і перпендикулярна до
площини основи. Визначити повну поверхню піраміди.
11.134. Правильну трикутну піраміду перетинає площина, яка
перпендикулярна до основи і ділить дві сторони основи пополам. Визначити об’єм
відсіченої піраміди, якщо сторона основи початкової дорівнює а, а
двогранний кут при основі 45°.
265

11.135. Знайти об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди,
якщо сторона більшої основи дорівнює а, сторона меншої основи 6, а
гострий кут бічної грані 60°.
11.136. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а. Через
одну зі сторін основи проведено площину, яка перпендикулярна до
протилежного бічного ребра і ділить це ребро у відношенні т : л, починаючи від вершини
основи. Визначити повну поверхню піраміди.
11.137. Через вершини А, С і Dx прямокутного паралелепіпеда
ABCDAXBXCXDX проведено площину, що утворює з площиною основи
двогранний кут 60°. Сторони основи 4 і 3 см. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.138. В основі піраміди лежить паралелограм, сторони якого 10 і
18 см, а площа дорівнює 90 см2. Висота піраміди проходить через точку
перетину діагоналей основи і дорівнює 6 см. Знайти бічну поверхню піраміди.
11.139. У правильний октаедр вписано куб так, що його вершини
містяться на ребрах октаедра. У скільки разів поверхня октаедра більша від
поверхні куба?
11.140. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, плоский кут при
вершині якої дорівнює 90°, а відстань між бічним ребром і протилежною стороною
основи дорівнює d.
11.141. Площа перерізу правильного тетраедра, що має форму квадрата,
дорівнює т2. Знайти поверхню тетраедра.
11.142. У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і
протилежну вершину верхньої основи проведено площину, що утворює з
площиною нижньої основи кут 45°. Площа перерізу дорівнює S. Знайти об’єм
призми.
11.143. У правильний тетраедр вміщено правильну трикутну призму так,
що вершини однієї її основи знаходяться на бічних ребрах тетраедра, а другої —
в площині його основи. Ребро тетраедра дорівнює а. Знайти об’єм призми, якщо
всі її ребра рівні між собою.
11.144. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з
гіпотенузою с і гострим кутом 30°. Через гіпотенузу нижньої основи і
вершину прямого кута верхньої основи проведено площину, що утворює з
площиною основи кут 45°. Знайти об’єм трикутної піраміди, відсіченої від
призми площиною.
11.145. Бічні грані трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, а їх
площі а2, Ь2 і с2. Визначити об’єм піраміди.
11.146. В основі піраміди лежить правильний шестикутник зі стороною
а. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи і дорівнює
стороні основи. Визначити повну поверхню піраміди.
11.147. Основною піраміди є паралелограм, сторони якого 10 і 8 м, а
одна з діагоналей дорівнює 6 м. Висота піраміди проходить через точку
перетину діагоналей основи і дорівнює 4 м. Визначити повну поверхню
піраміди.
11.148. Площі основ зрізаної піраміди Sx і S2 (Sx < S2), а її об’єм дорівнює V.
Визначити об’єм повної піраміди.
266

11.149. В основі прямого паралелепіпеда лежить паралелограм, один
з кутів якого дорівнює 30°. Площа основи дорівнює 4 дм2. Площі бічних
граней паралелепіпеда 6 і 12 дм2. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.150. Визначити об’єм правильної трикутної зрізаної піраміди, сторони
основ якої 3 і 2 м, а бічна поверхня рівновелика сумі площ основ.
11.151. Основою похилого паралелепіпеда є ромб ABCD зі стороною а і
гострим кутом 60°. Ребро ААХ також дорівнює а й утворює з ребрами АВ і AD
кути 45°. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.152. Центри граней правильного тетраедра є вершинами нового
тетраедра. Знайти відношення їх поверхонь і відношення їх об’ємів.
11.153. У трикутній зрізаній піраміді через сторону верхньої основи
проведено площину паралельно протилежному бічному ребру. У якому відношенні
поділено об’єм зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони основ відносяться
як 1 : 2?
11.154. Відстань між будь-якими двома бічними ребрами похилої
трикутної призми дорівнює а. Бічне ребро / нахилене до площини основи
під кутом 60°. Визначити повну поверхню призми.
11.155. В основі похилої призми лежить правильний трикутник зі
стороною а. Довжина бічного ребра b, а одне з бічних ребер утворює з при-
лежними сторонами основи кути 45°. Визначити бічну поверхню призми.
11.156. Довести, що об’єм прямої призми, в основі якої лежить
трапеція, дорівнює добутку середнього арифметичного площ паралельних
бічних граней на відстань між ними.
11.157. У правильній чотирикутній зрізаній піраміді сторони основ а і b,
а бічна поверхня дорівнює половині повної поверхні. Знайти об’єм піраміди.
11.158. У трикутній піраміді, кожне з бічних ребер якої я, один
плоский кут при вершині прямий, а решта — по 60°. Обчислити об’єм піраміди.
11.159. В основі піраміди лежить паралелограм, суміжні сторони якого
9 і 10 см, а одна з діагоналей 11 см. Протилежні бічні ребра рівні між
собою, а довжина кожного з більших ребер становить 10,5 см. Обчислити
об’єм піраміди.
11.160. В основі піраміди лежить ромб з діагоналями dx і d2. Висота
піраміди проходить через вершину гострого кута ромба. Площа
діагонального перерізу, проведеного через меншу діагональ, дорівнює Q.
Обчислити об’єм піраміди за умови, що dx > d2.
11.161. У трикутній піраміді дві бічні грані взаємно перпендикулярні.
Площі цих граней Р і Q, а довжина їх спільного ребра дорівнює а. Визначити
об’єм піраміди.
11.162. У трикутній піраміді всі чотири грані — рівні між собою рівно-
бедрені трикутники з основою а і бічною стороною Ь. Обчислити об’єм
піраміди. Чи при всіх а і b задача має розв’язок?
11.163. У похилій трикутній призмі відстань між бічними ребрами
Дорівнює а, b і с. Бічне ребро дорівнює /, висота призми дорівнює h.
Визначити повну поверхню призми.
267

11.164. Сторона основи правильної трикутної призми менша від бічно-
го ребра і дорівнює а. Через сторону верхньої основи проведено площину,
яка утворює з площиною основи кут 45° і ділить призму на дві частини.
Визначити об’єм і повну поверхню верхньої частини призми.
11.165. Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда а, b і с.
Визначити його повну поверхню.
11.166. Довжини ребер паралелепіпеда д, b і с. Ребра, довжини яких а
і Ь, взаємно перпендикулярні, а ребро завдовжки с утворює з кожним з них кут
60°. Визначити об’єм паралелепіпеда.
11.167. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм з кутом 120°
і сторонами 3 і 4 см. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі
основи. Знайти об’єм паралелепіпеда.
11.168. В основі піраміди лежить прямокутник, площа якого S. Дві
бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї
під кутами 30° і 60°. Знайти об’єм піраміди.
11.169. Через вершину основи і середини двох бічних ребер
правильної трикутної піраміди проведено площину. Знайти відношення бічної
поверхні піраміди до площі її основи, якщо відомо, що січна площина
перпендикулярна до бічної грані.
11.170. Із середини висоти правильної трикутної піраміди опущено
перпендикуляри на бічне ребро і бічну грань. Довжини цих перпендикулярів
відповідно а і Ь. Знайти об’єм піраміди. Чи при всіх а і b задача має розв’язок?
11.171. У півкулю радіуса R вписано куб так, що чотири його
вершини лежать на основі півкулі, а інші чотири розміщені на сферичній
поверхні. Обчислити об’єм куба.
11.172. Кут між твірною конуса і площиною основи дорівнює 30°. Бічна
поверхня конуса дорівнює ЗяУз кв. од. Визначити об’єм правильної
шестикутної піраміди, вписаної в конус.
11.173. Навколо кулі радіуса R описано правильну шестикутну призму.
Визначити її повну поверхню.
11.174. У кулю радіуса R вписано правильну шестикутну зрізану
піраміду, площина нижньої основи якої проходить через центр кулі, а бічне
ребро утворює з площиною основи кут 60°. Визначити об’єм піраміди.
11.175. Навколо кулі описано прямий паралелепіпед, діагоналі основи
якого а і Ь. Визначити повну поверхню паралелепіпеда.
11.176. У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду.
Визначити об’єм цієї піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо її
основи, дорівнює г.
11.177. Конус утворено обертанням прямокутного трикутника
площі S навколо одного з катетів. Знайти об’єм конуса, якщо довжина
кола, описаного при обертанні трикутника точкою перетину його
медіан, дорівнює L.
11.178. Трикутник зі сторонами а, b і с обертається по черзі навколо
кожної зі своїх сторін. Знайти відношення об’ємів отриманих фігур.
268

11.179. Дано куб ABCDAXBXCXDV ребро якого дорівнює а. Через
діагональ АС його грані ABCD проведено площину паралельно прямій ВОх, де
qx — центр грані AXBXCXDX. Знайти площу отриманого перерізу.
11.180. На ребрі двогранного кута 120° взято відрізок завдовжки с і з
Його кінців проведено перпендикуляри а і b до нього у різних гранях даного
двогранного кута. Знайти довжину відрізка прямої, що з’єднує кінці цих
перпендикулярів.
11.181. Повна поверхня конуса дорівнює nS кв. од. Розгортка бічної
поверхні конуса являє собою сектор з кутом 60°. Знайти об’єм конуса.
11.182. Радіус основи конуса дорівнює R, а бічна поверхня дорівнює сумі
площ основи й осьового перерізу. Визначити об’єм конуса.
11.183. Навколо кулі описано правильну трикутну призму, навколо якої
описано кулю. Знайти відношення поверхонь цих куль.
11.184. Дано циліндр і кулю. Радіуси основи циліндра і великого круга кулі
рівні між собою. Повна поверхня циліндра відноситься до поверхні кулі як
т: п. Знайти відношення їх об’ємів.
11.185. Знайти площу поверхні кулі, вписаної в піраміду, в основі якої
лежить трикутник зі сторонами 13, 14 і 15 см, якщо вершина піраміди
віддалена від кожної сторони основи на 5 см.
11.186. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з центральним
кутом 120°. Обчислити об’єм конуса, якщо його висота дорівнює А.
11.187. Обчислити поверхню кулі, вписаної в трикутну піраміду, всі
ребра якої а.
11.188. Визначити бічну поверхню й об’єм зрізаного конуса з твірною /,
описаного навколо кулі радіуса г.
11.189. У циліндричну посудину, радіус основи якої R=4 см, поміщено кулю
радіуса г — 3 см. У посудину налито воду так, що її вільна поверхня дотикається
до поверхні кулі (куля при цьому не спливає). Визначити товщину того шару
води, що утвориться, якщо вийняти кулю з посудини.
11.190. Радіус основи конуса дорівнює R. Дві взаємно перпендикулярні
твірні ділять площу бічної поверхні конуса у відношенні 1:2. Знайти об’єм конуса.
11.191. Навколо кулі описано правильну чотирикутну зрізану
піраміду, сторони основ якої відносяться як т : п. Знайти відношення об’ємів піраміди
і кулі.
11.192. Площина, проведена через вершину конуса, перетинає основу по
хорді, довжина якої дорівнює радіусу цієї основи. Знайти відношення об’ємів
отриманих частин конуса.
11.193. Основою піраміди є прямокутний трикутник. Бічні ребра піраміди
рівні між собою, а бічні грані, що проходять через катети, утворюють із
площиною основи кути 30° і 60°. Знайти об’єм описаного навколо піраміди
конуса, якщо висота піраміди А.
11.194. Паралелограм, периметр якого дорівнює 2р, обертається
навколо осі, що перпендикулярна до діагоналі завдовжки d і проходить через
її кінець. Знайти поверхню фігури обертання.
11.195. Радіус основи конуса дорівнює /?, а кут розгортай його бічної
поверхні дорівнює 90°. Визначити об’єм конуса.
269

Група В
11.196. Два рівних куби з ребром а мають спільний відрізок MN, кінцями
якого є середини двох протилежних ребер, що не належать одній грані. Один з
кубів повернуто навколо прямої MN на 90° відносно другого. Знайти об’єм
спільної частини цих кубів.
11.197. Знайти об’єм спільної частини двох кубів, якщо один з них отримано
поворотом на 90° другого куба навколо осі, що проходить через середню лінію
однієї з його граней. Ребро куба дорівнює а.
11.198. В основі прямої призми лежить трикутник зі сторонами 6, 8 і
10 см. Плоский переріз цієї призми відтинає від бічних ребер, що
проходять через вершини найбільшого і середнього кутів основи, відрізки, по
12 см кожен, а від ребра, що проходить через вершину найменшого кута
основи, — відрізок 18 см. Знайти об’єм і площу повної поверхні фігури,
обмеженої площиною основи призми, площинами бічних граней і площиною
перерізу.
11.199. Ребро похилого паралелепіпеда дорівнює /. Дві суміжні грані
з площами т2 і п2 перетинаються по /, а їх площини утворюють кут 30°.
Обчислити об’єм паралелепіпеда.
11.200. Через точку, що ділить ребро правильного тетраедра у відношенні
1 :4, проведено площину, перпендикулярну до цього ребра. Знайти відношення
об’ємів отриманих частин тетраедра.
11.201. Бічні ребра трикутної піраміди мають однакову довжину а. З трьох
плоских кутів,,утворених цими ребрами при вершині піраміди, два по 45°, а
третій — 60°. Визначити об’єм піраміди.
11.202. Через кожне ребро правильного тетраедра проведено
площину, паралельну протилежному ребру. Знайти відношення об’єму отриманого
паралелепіпеда до об’єму тетраедра.
11.203. Через кожні три вершини куба, розміщені на кінцях кожної трійки
ребер, що виходять з однієї вершини, проведено площини. Знайти об’єм тіла,
обмеженого цими площинами, якщо ребро куба дорівнює а.
11.204. Із середини висоти правильної чотирикутної піраміди проведено
перпендикуляр завдовжки а до бічного ребра і перпендикуляр завдовжки
b до бічної грані. Знайти об’єм піраміди.
11.205. Два правильних тетраедри з’єднані двома гранями так, що
утворюють подвійну піраміду. Центри шести бічних граней цієї подвійної
піраміди взято за вершини прямої трикутної призми. Обчислити об’єм
отриманої призми, якщо ребро тетраедра дорівнює а.
11.206. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює я,
площа її перерізу, що має форму квадрата, дорівнює т2. Знайти
відношення бічної поверхні піраміди до площі основи.
11.207. Два куби з ребром а мають спільний відрізок, що з’єднує центри
двох протилежних граней, але один куб повернуто на 45° відносно другого.
Знайти об’єм спільної частини цих кубів.
270

11.208. Через кінці трьох ребер, що виходять з вершин В, D, А х і С,
куба ABCDAXBXCXDV ребро якого дорівнює а, проведено площини.
Довести, що отримана фігура є правильним тетраедром, і обчислити його повну
поверхню й об’єм.
11.209. Через сторону основи правильної чотирикутної піраміди, що
має бічну поверхню 25 см2, проведено площину, що відтинає від протилежної
грані трикутник площею 4 см2. Знайти бічну поверхню піраміди, яку відтинає
ця площина від даної піраміди.
11.210. Довести, що об’єми двох трикутних пірамід, які мають по
рівному тригранному куту, відносяться як добутки довжин трьох ребер рівних
тригранних кутів.
11.211. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а,
бічне ребро утворює з висотою кут 30°. Через вершину основи піраміди
проведено площину, перпендикулярно до протилежного бічного ребра. Ця площина
розбиває піраміду на дві частини. Визначити об’єм частини піраміди, прилеглої
до вершини.
11.212. Відстань між мимобіжними діагоналями двох суміжних бічних
граней куба дорівнює d. Визначити повну поверхню куба.
11.213. Обчислити об’єм трикутної піраміди, два протилежних ребра
якої 4 і 12 м, а кожне з решти ребер дорівнює 7 м.
11.214. Гранями паралелепіпеда є ромби з діагоналями 3 і 4 см. У
паралелепіпеді є тригранні кути, утворені трьома гострими кутами ромбів. Знайти об’єм
паралелепіпеда.
11.215. Знайти об’єм трикутної піраміди, сторони основи якої а, b і с,
якщо кожна з цих сторін дорівнює бічному ребру, що не перетинається
з нею.
11.216. Основою піраміди SABCD є трапеція з паралельними сторонами
4
АВ і CD. Довести, що об’єм піраміди дорівнює — добутку площі трикутника
MSN, де MN — середня лінія трапеції, на відстань ребра АВ від площини
MSN.
11.217. Многогранник має таку будову: дві його грані (основи) є
многокутниками, розміщеними в паралельних площинах; решта граней (бічні) —
трапеції, паралелограми чи трикутники, кожна вершина яких є одночасно
вершиною однієї з основ. Довести, що об’єм такого многогранника
дорівнює —Я (5j + $2 + 45з), де Я— відстань між площинами основ, S{ і S2 — площі
6
основ, а 53 — площа перерізу, рівновіддаленого від обох основ.
11.218. Фігура обмежена зверху і знизу двома прямокутниками зі
сторонами а, b і ах, bv а збоку — трапеціями. Сторони прямокутників
паралельні, відстань між паралельними площинами прямокутних основ
Дорівнює А. Знайти об’єм фігури.
11.219. Діагоналі двох однакових кубів з ребром а лежать на одній
прямій. Вершина другого куба збігається з центром першого; другий куб
271

повернуто навколо діагоналі на 60° відносно першого. Знайти об’єм спільної
частини цих кубів.
11.220. Навколо кулі описано зрізаний конус, площа нижньої основи якого в
а разів більша від площі його верхньої основи. У скільки разів об’єм зрізаного
конуса більший від об’єму кулі?
11.221. У конус вписано кулю. Довести, що відношення повної
поверхні конуса до поверхні кулі дорівнює відношенню їх об’ємів.
11.222. Висота циліндра завдовжки а дорівнює радіусу його основи. Через
вісь циліндра проведено іншу циліндричну поверхню, що ділить коло основи
на дві дуги, довжини яких відносяться як 2 : 1. Ця циліндрична поверхня
ділить даний циліндр на дві частини. Знайти бічну поверхню й об’єм
більшої частини циліндра.
11.223. Відношення висоти конуса до радіуса описаної навколо нього
кулі дорівнює q. Знайти відношення об’ємів цих тіл. При яких значеннях q
задача не має розв’язку?
11.224. У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду, основа
якої ділить перпендикулярний до неї радіус пополам. Визначити поверхню кулі,
вписаної в піраміду.
11.225. Конус лежить на площині і котиться по ній, обертаючись навколо
своєї нерухомої вершини. Висота конуса і його твірна дорівнюють відповідно h і
/. Обчислити площу поверхні, описаної висотою конуса.
11.226. Основою піраміди SABC є трикутник ABC такий, що АВ = АС -
=10 м і ВС = 12 м. Грань SBC перпендикулярна до основи і SB = SC. Знайти
радіус кулі, вписаної в піраміду, якщо висота піраміди дорівнює 1,4 м.
11.227. Довжини бічних ребер трикутної піраміди а, b і с, а плоскі
кути, утворені цими ребрами, — прямі. Знайти довжину висоти, проведеної
до основи піраміди.
11.228. Довести, що коли в многогранник можна вписати сферу, то його
об’єм дорівнює і добутку повної поверхні многогранника на радіус вписаної
сфери.
11.229. Знайти об’єм правильної піраміди, в основі якої лежить правильний
п’ятикутник, а бічними гранями є правильні трикутники зі стороною а.
11.230. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює Н. Знайти її повну
поверхню, якщо площина, проведена через вершину основи піраміди
перпендикулярно до апофеми протилежної бічної грані, утворює з площиною
основи кут 30°.
11.231. Основою піраміди SABC є рівнобедрений прямокутний
трикутник ABC, довжина гіпотенузи якого АВ = Бічне ребро SC
піраміди перпендикулярне до площини основи, а його довжина дорівнює 2.
Знайти міру кута і відстань між прямими, одна з яких проходить через
точку S і середину ребра АС, а інша — через точку С і середину ребра АВ.
11.232. Довести, якщо тетраедр ортоцентричний, тобто такий, що
прямі, які містять його висоти, перетинаються в одній точці, то:
272

а) кожні два його протилежних ребра взаємно перпендикулярні;
б) якщо один із плоских кутів при будь-якій вершині тетраедра пря-
мий, то й інші два плоских кути теж прямі;
в) будь-яка його вершина проектується в ортоцентр протилежної грані
(точку перетину прямих, що містять висоти грані);
г) суми квадратів довжин його протилежних ребер рівні.
11.233. а) Довжини ребер АВ, AC, AD і ВС ортоцентричного тетраедра
дорівнюють відповідно 5,7, 8 і 6 см. Знайти довжини інших двох ребер.
б) Чи є тетраедр ABCD ортоцентричним, якщо АВ = 8 см, ВС =12 см,
ОС = 6 см?
11.234. В ортоцентричному тетраедрі DABC кут ADC — прямий.
1111 ,
Довести, що — = — + — + де А—довжина висоти тетраедра, проведеної з
h а2 Ь2 с2
вершини Д а = DA, b = DB, с = DC.
11.235. В ортоцентричному тетраедрі DABC кут ABC — прямий;
S2, S3 — площі граней ВАС, BAD, BCD відповідно. Довести, що об’єм
тетраедра дорівнює

Глава 12
ЗАДАЧІ 3 ГЕОМЕТРІЇ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ
ТРИГОНОМЕТРІЇ
ДЕЯКІ СПІВВІДНОШЕННЯ
МІЖ ЕЛЕМЕНТАМИ ФІГУР
1°. Площу паралелограма ABCD (рис. 12.1 ~) можна обчислити за такими
формулами:
_ ac2-bd2
s = tg А ;
S = ———tg ZAOD,
(12.1)
(12.2)
де О — точка перетину діагоналей АС і BD.
□ Використовуючи теорему косинусів (10.7), виразимо АС2 з AACD і
Blfi з AABD, а потім віднімемо від першої рівності другу. Тоді отримаємо
2 2 AC2-BD2
АС - BD = 4 АВ • AD cos Л, звідки ЛЯ ■ AD = — . Нарешті, застосо-
4cos>4
вуючи формулу (10.22), знаходимо
AC2 -BD2
Sabcd = АВ ADsm А = tg А.
Міркуючи аналогічно відносно AAOD і А АОВ, можна довести формулу
(12.2).И
Рис. 12.1
274

2°. Нехай відомі довжини b і с двох сторін трикутника ABC і кут А,
утворений ними (рис. 12.2). Тоді довжина бісектриси AD трикутника,
проведена з вершини цього кута, виражається формулою
Ibccos—
/«=——2-. (12.3)
Ь + С
□ Маємо =S&ADC +SMDB. Використовуючи формулу (10.2),
отримуємо
1 , . . 1 , , .А 1 , .А
—bcsinA = — Lbsm — + — Lcsm—,
2 2 2 2 2
або
, . А А 1 , ч . А
be sin—cos— = —ln(b + c) sin—.
2 2 2 '2
^ 26c cos—
Оскільки sin— *0, to ln = —. ■
2 b + c
3°. Справджуються такі співвідношення між елементами кулі та
вписаного в неї конуса:
/ = 2/?sina; (12.4)
/2 = 2RH, (12.5)
де R — радіус кулі, І — довжина твірної конуса, Н — його висота, a — кут
між твірною і площиною основи.
Такі самі співвідношення справджуються і для вписаної в кулю піраміди,
бічні ребра якої мають довжину / і утворюють з площиною основи кут а.
□ а) Побудувавши осьовий переріз конуса, вписаного в кулю (рис. 12.3),
отримаємо рівнобедрений трикутник SAB, вписаний в коло радіуса R. Центром
кола є точка О перетину висоти SK і серединного перпендикуляра DO до сторони
SB, причому SK = Я, ZSOD = ZSBK = a З ASDO знаходимо SD = SO sin а, або
0,5/ = R sin a, тобто / = 2R sin a.
б) 	Продовжимо SK до перетину з колом у точці Е і побудуємо відрізок
BE. Тоді отримаємо прямокутний трикутник SBE, у якому катет SB = lc середнім
геометричним між гіпотенузою SE=2R і проекцією SK=H катета SB на
гіпотенузу SE, тобто Р = 2RH. Ш
4°. Нехай А ХВХ — бічне ребро піраміди чи призми, АхО — його проекція на
площину основи, Z ВхАхО = a, ZOAxA2 = Р, ZBXAXA2 = у (рис. 12.4). Тоді
справджується рівність cos у = cos a cos р.
□ Проведемо висоту бічної грані — відрізок Я.С, тоді ОС _L АХА2 (за
АХС
теоремою про три перпендикуляри) і з ААіСВх отримаємо cosy = .
АХВ\
 275

Рис. 12.3 Рис. 12.4
Оскільки А}С = OA, cos В (з А ОСАХ то cosy = ^ °°S^. Але -^4- = cos а
1 1 1 4*і
(з АА j OB j); таким чином, cos у = cos a cos р. ■
Приклад 1. Кут при основі рівнобедреного гострокутного
трикутника ABC (АВ = ВС) дорівнює а. У якому відношенні, починаючи від
вершини А, висота BD ділить висоту АЕ]
□ За умовою, A ABC — гострокутний; отже, точка К перетину висот
лежить усередині трикутника (рис. 12.5). Нехай AD = а. З ААЕСі АЛАХ>випливає,
а
що АЕ = 2а sin а, АК = (ZAKD = ZC, бо обидва кути доповнюють кут
sina
KAD до 90°).
, „ _ a a (2 sin2 a-1)
Далі маємо КЕ = АЕ — АК = 2a sin a = =
sina sina
В
276

acos2a
sina
. Остаточно маємо =
KE sina
АК а
acos2a 1
sina cos2a
Приклад 2. З вершини С ромба ABCD зі стороною а проведено два
відрізки СЕ і CF (рис. 12.6), що ділять ромб на три рівновеликі фігури. Відомо,
що cos С = 0,25. Знайти суму СЕ + CF.
□ Висоти трикутників CED і CFB, проведені з вершини С, рівні між
собою за довжиною і S^CED = S&CFB (за умовою); тому DE = FB, а отже,
СЕ = CF і АЕ = AF. Проведемо діагональ АС, що ділить AECF на два рівних
трикутники. Отже, S^cf ~ ®$Saecf • Оскільки SAECF = SACFB (за умовою),
то Smcf =0>5SACFB, причому трикутники ACF і CFB мають спільну висо-
2
ту, проведену з вершини С. Звідси випливає, що AF = 0,5FB, тобто FB = —а;
крім того, cos£ = cos(180°-C) = -cosC = -0,25. З ACFB за теоремою
косинусів отримаємо CF = Ja2 + ^(~0»25) = 0тже»
Приклад 3. Основа піраміди — прямокутний трикутник, гіпотенуза
якого дорівнює с, а один з гострих кутів а. Кожне бічне ребро утворює з
площиною основи кут р. Знайти об’єм піраміди.
□ Оскільки всі бічні ребра піраміди DABC (рис. 12.7) однаково нахилені
до площини основи, то вершина D проектується в центр кола, описаного
навколо AABC (див. гл. 11, «Додаткові співвідношення», п. 1°); для
прямокутного трикутника — у середину Е гіпотенузи АВ.
Висота DE AADB є висотою піраміди. Далі маємо S^Bq =
1 1 2 1 7 с
-—АС■ ВС = —с sinacosa = — с sin2a, DE = BEtgp = —tgp. Остаточно
2 2 4 2
отримаємо
Приклад 4. У конус, твірна якого нахилена до основи під кутом а, вписано
кулю. Радіус кола дотику сферичної і конічної поверхонь дорівнює г. Знайти
Довжину твірної конуса.
□ В осьовому перерізі конуса (рис. 12.8) отримаємо рівнобедрений
трикутник ABC, у який вписано коло з центром О — точкою перетину
висоти BD трикутника і бісектриси СО кута С. З точки Е дотику кола до
твірної ВС проведемо EKA.BD. Очевидно, що КЕ = r, ZKOE = ZBCD = a
CE + CF =—.M
З
3 4 2 24
277

D
Рис. 12.7
Рис. 12.8
(бо OElBCiKElBD), ОЕ = OD = . З A ODC знаходимо
a s*na
a ctgT cte-
DC = ODctg—= r азABDCзнаходимо „ DC 2 ■
2 sina ~ lr . ~ • ■
cos a sin 2a
Приклад 5. Знайти площу бічної поверхні правильної чотирикутної
піраміди, висота якої Я, а міра плоского кута при вершині дорівнює ф (рис. 12.9).
□ Введемо допоміжний кут a = Z SA20.
Тоді SA 2 = і площа бічної поверхні піраміди
sin a
виразиться таким чином:
^біч - 4Sasa2a3
л І Н2 2Н2 sin<p
= 4 • -—— • вшф = ———-.
2 sin" a sin" a
Установимо зв’язок між кутами а і ф. У ASOA2
ОА2
маємо SA 2 =
cos a
а в A SA2A3 маємо SA2 =
АА
2sin-
де
j— ОА2 ті20А2 [— . ф
А2А3=уі20А2(зМ20А3). Тому = —, звідки cosa = v2 sin—.
cosa 2 sin—
Отже, sin2 a = 1 - 2sin2 ^ = совф і остаточно дістанемо 5біч = 2Я2 tgф.
278

Група А
12.001. Сума двох нерівних висот рівнобедреного трикутника
дорівнює /, кут при вершині дорівнює а. Знайти бічну сторону.
12.002. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює а. Знайти
відношення радіусів вписаного й описаного кіл.
12.003. У ромбі через вершину гострого кута а проведено пряму, що ділить
цей кут у відношенні 1 : 2. У якому відношенні ця пряма ділить сторону ромба,
яку вона перетинає?
12.004. У квадраті ABCD через середину М сторони АВ проведено пряму,
що перетинає протилежну сторону CD у точці N. У якому відношенні пряма MN
ділить площу квадрата, якщо гострий кут AMN дорівнює а? Вказати можливі
значення а.
12.005. Висота рівнобедреної трапеції дорівнює А, а кут між її
діагоналями, протилежний бічній стороні, дорівнює а. Знайти середню лінію
трапеції.
12.006. У прямокутному трикутнику дано його площу S і гострий кут
а. Знайти відстань від точки перетину медіан трикутника до гіпотенузи.
12.007. У прямокутник ABCD(AB\CD) вписано трикутник AEF Точка
Е лежить на стороні ВС, точка F — на стороні CD. Знайти тангенс кута
EAF, якщо АВ :ВС = BE : EC = CF: FD = k.
12.008. У паралелограмі зі сторонами а і b та гострим кутом а знайти
тангенси кутів, утворених більшою діагоналлю паралелограма з його сторонами.
12.009. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, кут при вершині
дорівнює а. Знайти довжину бісектриси, проведену до бічної сторони.
12.010. Навколо круга радіуса R описано рівнобедрену трапецію з гострим
кутом а при основі. Знайти периметр трапеції.
12.011. Довести, що у будь-якому трикутнику різниця між сумою квадратів
будь-яких двох його сторін і добутком цих сторін, помноженим на косинус кута
між ними, для даного трикутника є величина стала.
12.012. Дано сторони a,b,c id чотирикутника, вписаного в коло. Знайти кут
між сторонами а і Ь.
12.013. Відношення площі прямокутного трикутника до площі квадрата,
побудованого на його гіпотенузі, дорівнює к. Знайти суму тангенсів гострих кутів
трикутника.
12.014. Площа прямокутної трапеції дорівнює 5, гострий кут дорівнює а.
Знайти висоту трапеції, якщо її менша діагональ дорівнює більшій основі.
12.015. Спільна зовнішня дотична двох кіл, що дотикаються зовні, утворює
з лінією центрів кут а. Знайти відношення радіусів кіл.
12.016. Висоти паралелограма hx і А2 проведено з вершини тупого кута, а
кут між ними дорівнює а. Знайти більшу діагональ паралелограма.
12.017. Діагональ прямокутника дорівнює d і ділить кут прямокутника у
відношенні т : п. Знайти периметр прямокутника.
279

12.018. У рівнобедреній трапеції, описаній навколо круга, відношення
бічної сторони до меншої основи дорівнює к. Знайти кути трапеції і
допустимі значення к.
12.019. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 5, а протилежний
до основи кут між медіанами, проведеними до його бічних сторін, дорівнює
а. Знайти основу.
12.020. У сегмент, дуга якого містить а радіан, вписано правильний
трикутник так, що одна його вершина збігається із серединою дуги, а дві інші лежать
на хорді. Площа трикутника дорівнює S. Знайти радіус дуги сегмента.
12.021. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює а,
радіус вписаного круга дорівнює г. Через вершину кута при основі і центр
вписаного круга проведено пряму. Знайти відрізок цієї прямої, що
міститься всередині трикутника.
12.022. Знайти кут трикутника, якщо відомо, що прилеглі сторони
дорівнюють 1 і 3, а бісектриса кута дорівнює 0,75л/з.
12.023. У рівнобедреному трикутнику дано основу а і кут а при основі.
Знайти довжину медіани, проведену до бічної сторони.
12.024. Знайти відношення периметра трапеції, описаного навколо кола, до
довжини цього кола, якщо кути при більшій основі трапеції дорівнюють а і р.
12.025. У прямокутному трикутнику ABC гострий кут А дорівнює а радіан.
Дуга кола з центром у вершині прямого кута С дотикається до гіпотенузи в точці
D і перетинає катети АС і ВС відповідно в точках Е і F. Знайти відношення площ
криволінійних трикутників ADE і BDF.
12.026. У паралелограм зі сторонами а і b (а < Ь) і гострим кутом а
вписано ромб; дві його вершини збігаються з серединами більших сторін
паралелограма, дві інші лежать на менших сторонах (або на їх
продовженнях). Знайти кути ромба.
12.027. Навколо круга радіуса R описано трапецію з кутами а і р при
більшій основі. Знайти площу трапеції.
12.028. У рівнобедрений трикутник з кутом а при основі вписано коло
радіуса г. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.
12.029. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює S, кут між
висотою, проведеною до бічної сторони, і основою дорівнює а. Знайти радіус
круга, вписаного в трикутник.
12.030. Рівносторонній трикутник перетинає пряма, що проходить через
середину однієї з його сторін і утворює з цією стороною гострий кут а. У якому
відношенні ця пряма ділить площу трикутника?
12.031. У квадрат ABCD вписано рівнобедрений трикутник AEF, точка Е
лежить на стороні ВС, точка F — на стороні CD і АЕ = AF. Тангенс кута AEF
дорівнює 3. Знайти косинус кута FAD.
12.032. У рівнобедреному трикутнику кут між бічними сторонами дорівнює
а, радіус вписаного круга дорівнює г Знайти площу трикутника.
12.033. Навколо круга описано прямокутну трапецію з гострим кутом
а. Знайти висоту трапеції, якщо її периметр дорівнює Р.
280

12.034. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює а. Знайти
відношення площі трикутника до площі описаного навколо нього круга.
12.035. У трикутнику дано довжини двох сторін а і b та кут а між ними.
Знайти довжину висоти, проведену до третьої сторони.
12.036. Показати, що коли в трикутнику відношення тангенсів двох кутів
дорівнює відношенню квадратів синусів цих кутів, то трикутник рівнобедрений
або прямокутний.
12.037. У ромб ABCD і в трикутник ABC, що містить його більшу діагональ,
вписано кола. Знайти відношення радіусів цих кіл, якщо гострий кут ромба
дорівнює а.
12.038. На меншій основі рівнобедреної трапеції побудовано правильний
трикутник. Його висота дорівнює висоті трапеції, а площа в 5 разів менша від
площі трапеції. Знайти кут при більшій основі трапеції.
12.039. Висота BD правильного трикутника ABC продовжена за
вершину В і на продовженні взято відрізок BF, що дорівнює стороні
трикутника. Точка F з’єднана відрізком з вершиною С. За допомогою цієї побудови
показати, що tgl5° = 2->/3.
12.040. Висота рівнобедреної трапеції дорівнює h. Верхню основу трапеції
із середини нижньої основи видно під кутом 2а, а нижню основу із середини
верхньої — під кутом 2р. Знайти площу трапеції в цьому загальному випадку й
обчислити її без таблиць, якщо h = 2, а = 15°, р = 75°.
12.041. Дано дві сторони b і с трикутника, його площа 0,4 Ьс. Знайти третю
сторону.
12.042. З точки на колі радіуса R проведено дві рівні між собою хорди, що
утворюють вписаний кут а радіан. Знайти частину площі круга всередині цього
вписаного кута.
12.043. Через вершину А рівнобедреного гострокутного трикутника
ABC і центр описаного навколо цього трикутника кола проведено пряму,
що перетинає сторону ВС у точці D. Знайти довжину AD, якщо АВ = ВС =
= 6 і Z ABC = а.
12.044. У прямокутному паралелепіпеді діагональ основи дорівнює d і
утворює зі стороною основи кут а. Через цю сторону і протилежну їй сторону
верхньої основи проведено площину, що утворює з площиною основи кут р. Знайти
бічну поверхню паралелепіпеда.
12.045. Різниця між твірною і висотою конуса дорівнює d, а кут між
ними дорівнює а. Знайти об’єм конуса.
12.046. Основою піраміди є правильний трикутник. Одне бічне ребро
перпендикулярне до площини основи і дорівнює /, два інших утворюють з площиною
основи кут а. У піраміду вписано пряму призму; три її вершини лежать на бічних
Ребрах піраміди, три інші — на основі піраміди. Діагональ бічної грані призми
Утворює з площиною основи кут р. Знайти висоту призми.
12.047. Діагоналі осьового перерізу зрізаного конуса діляться точкою
перетину у відношенні 2:1. Кут між діагоналями, що опирається на основу конуса,
Дорівнює а. Довжина діагоналі дорівнює /. Знайти об’єм зрізаного конуса.
281

12.048. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса, якщо
центральний кут у розгортці його бічної поверхні дорівнює а радіан.
12.049. Плоский кут при вершині правильної шестикутної піраміди дорівнює
куту між бічним ребром і площиною основи. Знайти цей кут.
12.050. Через вершину С основи правильної трикутної піраміди SABC
проведено площину перпендикулярно до бічного ребра SA. Ця площина утворює з
2
площиною основи кут, косинус якого дорівнює —. Знайти косинус кута між
двома бічними гранями.
12.051. В основі прямої трикутної призми лежить рівнобедрений
трикутник ABC, у якого АВ = ВС = а і ZBAC = а. Через сторону АС проведено
площину під кутом ф|ф<-^до основи. Знайти площу перерізу,‘якщо
відомо, що в перерізі утворився трикутник.
12.052. Трикутник ABC обертається навколо прямої, що лежить у
площині цього трикутника і проходить поза ним через вершину А та однаково
нахилена до сторін АВ і АС. Знайти об’єм тіла обертання, якщо АВ = а,
АС = b і ZBAC = а.
12.053. Бічна поверхня правильної трикутної піраміди в 5 разів більша
від площі її основи. Знайти плоский кут при вершині піраміди.
12.054. Висота конуса дорівнює Я, кут між твірною і висотою дорівнює а.
У цей конус вписано другий конус так, що вершина другого конуса збігається з
центром основи першого конуса, а відповідні твірні обох конусів взаємно
перпендикулярні. Знайти об’єм вписаного конуса.
12.055. Сторона більшої основи правильної чотирикутної зрізаної
піраміди дорівнює а. Бічне ребро і діагональ піраміди утворюють з
площиною основи кути а і р відповідно. Знайти площу меншої основи піраміди.
12.056. Радіус круга, вписаного в прямокутну трапецію, дорівнює г,
гострий кут трапеції дорівнює а. Ця трапеція обертається навколо меншої бічної
сторони. Знайти бічну поверхню тіла обертання.
12.057. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим
кутом а. Діагональ більшої бічної грані d утворює з бічним ребром кут р. Знайти
об’єм призми.
12.058. Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом
а, що спирається на основу. Об’єм циліндра дорівнює V. Знайти висоту
циліндра.
12.059. Знайти гострий кут ромба, якщо об’єми тіл, отриманих від обертання
ромба навколо його більшої діагоналі і навколо його сторони, відносяться як
12.060. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, бічна
сторона якого дорівнює а, а кут при вершині дорівнює а. Усі бічні ребра
нахилені до площини основи під кутом р. Знайти об’єм піраміди.
282

12.061. Основою прямої призми є рівнобедрена трапеція, основи якої а і b
(а > Ь), а гострий кут дорівнює а. Площина, що проходить через більшу
основу верхньої трапеції і меншу основу нижньої трапеції, утворює з площиною
нижньої основи кут р. Знайти об’єм призми.
12.062. Кут між діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює
а. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут р. Знайти висоту
паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює V.
12.063. Кожне з бічних ребер чотирикутної піраміди утворює з висотою
кут а. В основі піраміди лежить прямокутник з кутом Р між діагоналями.
Знайти об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює h.
12.064. В основу конуса вписано квадрат зі стороною а. Площина, що
проходить через одну зі сторін цього квадрата і через вершину конуса, при
перетині з поверхнею конуса утворює рівнобедрений трикутник, кут при
вершині якого дорівнює а. Знайти об’єм конуса.
12.065. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює / і утворює з
площиною основи кут а. Знайти об’єм піраміди.
12.066. Через діагональ нижньої основи правильної чотирикутної призми і
протилежну вершину її верхньої основи проведено площину. Кут між рівними
між собою сторонами перерізу дорівнює ос. Знайти відношення висоти призми до
сторони основи.
12.067. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при
вершині. Діагональ грані /, протилежна даному куту, утворює з площиною основи
кут р. Знайти об’єм призми.
12.068. Бічне ребро правильної трикутної піраміди утворює зі стороною
основи кут а. Знайти кут між бічним ребром і висотою піраміди та допустимі
значення а.
12.069. Площина, проведена паралельно осі циліндра, ділить коло
основи у відношенні т : п. Площа перерізу дорівнює S. Знайти бічну
поверхню циліндра.
12.070. Бічні ребра правильної трикутної піраміди попарно взаємно
перпендикулярні. Знайти кут між бічною гранню і площиною основи.
12.071. У півкулю вписано конус, вершина якого збігається з центром
кола, що є основою півкулі; площини основ конуса і півкулі паралельні.
Пряма, що проходить через центр основи конуса і довільну точку кола
великого круга півкулі, утворює з площиною основи конуса кут а. Знайти
відношення об’ємів півкулі і конуса.
12.072. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом
а. Висота піраміди дорівнює Я. Усі бічні ребра утворюють з площиною основи
рівні між собою кути р. Знайти об’єм піраміди.
12.073. Твірна конуса дорівнює а, відстань від вершини конуса до
Центра вписаної кулі дорівнює Ь. Знайти кут між твірною і площиною
основи.
12.074. У конус вписано кулю. Відношення радіуса кола дотику кульової
і конічної поверхонь до радіуса основи конуса дорівнює к. Знайти
косинус кута між твірною конуса і площиною основи.
283

12.075. Площа основи циліндра відноситься до площі його осьового
перерізу як т : л. Знайти гострий кут між діагоналями осьового перерізу.
12.076. В основі прямої призми лежить ромб з гострим кутом а.
Відношення висоти призми до сторони основи дорівнює к. Через сторону основи
і середину протилежного бічного ребра проведено площину. Знайти кут
між цією площиною і площиною основи.
12.077. Сторони основи прямого паралелепіпеда відносяться як 1:2, гострий
кут в основі дорівнює а. Знайти кут між меншою діагоналлю паралелепіпеда і
площиною основи, якщо висота паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі основи.
12.078. Відношення однієї зі сторін основи трикутної піраміди до кожного
з решти п’яти її ребер дорівнює к. Знайти двогранний кут між двома рівними
між собою бічними гранями піраміди і допустимі значення к.
12.079. Площина квадрата утворює кут а з площиною, проведеною через
одну з його сторін. Який кут утворює з цією площиною діагональ квадрата?
12.080. Бічне ребро правильної трикутної призми дорівнює стороні основи.
Знайти кут між стороною основи і діагоналлю бічної грані, що не перетинає її.
12.081. Діагоналі бічних граней прямокутного паралелепіпеда утворюють
з площиною основи кути а і (3. Знайти кут між діагоналлю паралелепіпеда і
площиною основи.
12.082. Знайти кут між діагоналями двох суміжних бічних граней правильної
чотирикутної призми, що виходять з однієї вершини, якщо площина, у якій вони
лежать, утворює з площиною основи кут а.
12.083. Знайти кут між апофемами двох суміжних бічних граней правильної
л-кутної піраміди, якщо плоский кут при її вершині дорівнює а.
12.084. Знайти косинус кута між апофемою і діагоналлю основи правильної
чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює стороні основи.
12.085. У конус вписано трикутну піраміду, бічні ребра якої попарно взаємно
перпендикулярні. Знайти кут між твірною конуса і його висотою.
12.086. У грані двогранного кута а проведено пряму, що утворює кут р з
ребром двогранного кута. Знайти кут між цієї прямою й іншою гранню.
12.087. Знайти кут між твірною і висотою конуса, бічна поверхня якого
є середнім пропорційним між площею основи і повною поверхнею.
12.088. Усі бічні ребра трикутної піраміди нахилені до площини основи під
кутом, що дорівнює одному з гострих кутів прямокутного трикутника в основі
піраміди. Знайти цей кут, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює с, а об’єм піраміди
дорівнює V.
12.089. Діагональ прямокутного паралелепіпеда / утворює з бічним ребром
кут а. Знайти об’єм паралелепіпеда, якщо периметр його основи дорівнює Р.
12.090. Площина, проведена через твірну циліндра, утворює з площиною
осьового перерізу, що містить іу саму твірну, гострий кут а. Діагональ
прямокутника, отриманого в перерізі циліндра цією площиною, дорівнює / і утворює з
площиною основи кут р. Знайти об’єм циліндра.
12.091. Сторона ромба дорівнює а, його гострий кут дорівнює а. Ромб
обертається навколо прямої, що проходить через його вершину
паралельно більшій діагоналі. Знайти об’єм тіла обертання.
284

12.092. Об’єм кулі дорівнює V. Знайти об’єм його сектора,
центральний кут якого в осьовому перерізі дорівнює а.
12.093. Кут між висотою правильної трикутної піраміди і бічним реб-
( к
ром дорівнює СХІ а<-
описаної кулі?
12.094. Основи двох конусів, що мають спільну вершину, лежать в одній
площині. Різниця їх об’ємів дорівнює V. Знайти об’єм меншого конуса, якщо
дотичні, проведені до кола його основи з довільної точки кола основи більшого
конуса, утворюють кут а.
12.095. Бічна грань правильної трикутної зрізаної піраміди утворює з
площиною основи гострий кут а. Знайти кут між висотою і бічним ребром
піраміди.
12.096. У конус вписано півкулю: її велике коло лежить у площині основи
конуса, а кульова поверхня дотикається до поверхні конуса. Знайти об’єм півкулі,
якщо твірна конуса дорівнює / і утворює з площиною основи кут а.
12.097. Сторони основ правильної п-кутної зрізаної піраміди дорівнюють
а і Ь. Бічна грань утворює з площиною основи кут а. Знайти бічну поверхню
піраміди.
12.098. У кулю вписано конус. Площа осьового перерізу конуса
дорівнює 5, а кут між висотою і твірною дорівнює а. Знайти об’єм кулі.
12.099. В основі чотирикутної піраміди лежить ромб зі стороною а і гострим
кутом а. Усі бічні грані нахилені до площини основи під кутом р. Знайти повну
поверхню піраміди.
12.100. Основою прямої призми є рівнобедрена трапеція, діагональ якої
дорівнює а, а кут між діагоналлю і більшою основою дорівнює а. Діагональ
призми нахилена до основи під кутом р. Знайти об’єм призми.
12.101. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює а. Кут
між діагоналями двох суміжних бічних граней, що виходять з однієї вершини,
дорівнює а. Знайти об’єм призми.
12.102. Об’єм конуса дорівнює V. У конус вписано піраміду, основою якої є
рівнобедрений трикутник з кутом а між бічними сторонами. Знайти об’єм
піраміди.
12.103. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює а, проведено
площину. Знайти відношення площі перерізу до повної поверхні конуса,
якщо твірна конуса утворює з площиною основи кут р.
12.104. Відношення бічної поверхні правильної трикутної піраміди до площі
и основи дорівнює к. Знайти кут між бічним ребром і висотою піраміди.
12.105. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює а, проведено
площину, що утворює з основою кут р. Знайти об’єм конуса, якщо його
висота дорівнює h.
12.106. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює Я, двогранний кут
при основі дорівнює а. Знайти повну поверхню піраміди.
12.107. Навколо кулі описано зрізаний конус, площа однієї основи
якого в 4 рази більша від площі другої. Знайти кут між твірною конуса
1 площиною його основи.
У якому відношенні ділить висоту піраміди центр
285

12.108. Через сторону нижньої основи куба проведено площину, щ0
ділить об’єм куба у відношенні т : п, починаючи від нижньої основи. Знайти
кут між цією площиною і площиною основи, якщо т < п.
12.109. Висота правильної трикутної призми дорівнює Н. Площина
проведена через середню лінію нижньої основи і паралельну їй сторону
верхньої основи, утворює з площиною нижньої основи гострий двогранний
кут а. Знайти площу перерізу, утвореного цією площиною.
12.110. Знайти бічну поверхню зрізаного конуса, описаного навколо
правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо гострий кут трапеції, що є бічною
гранню піраміди, дорівнює а і в цю трапецію можна вписати коло радіуса г.
12.111. Сторона основи трикутної піраміди дорівнює а, прилеглі до неї кути
основи — а і р. Усі бічні ребра утворюють з висотою піраміди рівні
між собою кути (р. Знайти об’єм піраміди.
12.112. Відстань від центра основи конуса до його твірної дорівнює d. Кут
між твірною і висотою дорівнює а. Знайти повну поверхню конуса.
12.113. Основою піраміди DABC є прямокутний трикутник(ZC = 90°).
Бічне ребро DA перпендикулярне до основи. Знайти гострі кути трикутника ABC,
якщо ZDBA = а і ZDBC = р (а < Р).
12.114. У правильній шестикутній призмі площина, проведена через
сторону основи і середину відрізка, що з’єднує центри основ, утворює з
площиною основи гострий кут а. Знайти площу перерізу, утвореного цією
площиною, якщо сторона основи призми дорівнює а.
12.115. У конус вписано кулю, поверхня якої дорівнює площі основи
конуса. Знайти косинус кута при вершині осьового перерізу конуса.
12.116. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник, бічна
сторона якого дорівнює я, а кут між бічними сторонами а. Знайти об’єм призми,
якщо її бічна поверхня дорівнює S.
12.117. Основою піраміди, вписаної в конус, є чотирикутник, суміжні сторони
якого попарно рівні між собою, а кут між однією парою суміжних сторін дорівнює
а. Знайти відношення об’єму піраміди до об’єму конуса.
12.118. Знайти косинус кута між суміжними бічними гранями правильної
чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює стороні основи.
12.119. У конус вписано кулю. Радіус кола, по якому дотикаються
конус і куля, дорівнює г. Знайти об’єм конуса, якщо кут між висотою і твірною
конуса дорівнює а.
12.120. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди т нахилене до
площини основи під кутом а. Знайти об’єм піраміди.
12.121. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною а. Дві
бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а кут між рівними
бічними ребрами дорівнює а. Знайти висоту прямої трикутної призми, рівновеликої
даній піраміді, що має з нею спільну основу.
12.122. Знайти об’єм конуса, якщо в його основі хорда а стягує дугу G
радіан, а висота конуса утворює з твірною кут р.
286

12.123. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 2а, а сума
довжин його висоти і твірної дорівнює а. Знайти об’єм конуса.
12.124. Знайти повну поверхню прямого паралелепіпеда, основою
якого є ромб з гострим кутом а і меншою діагоналлю d, а висота
паралелепіпеда вдвічі менша від сторони основи.
12.125. У правильній дванадцятикутній піраміді, ребра якої пронумеровані
підряд, проведено переріз через перше і п’яте ребра. Площина перерізу утворює
з площиною основи піраміди кут а, а площа цього перерізу дорівнює S. Знайти
об’єм піраміди.
12.126. Знайти кут в осьовому перерізі конуса, якщо сфера з центром у
вершині конуса, що дотикається до його основи, ділить об’єм конуса
пополам.
12.127. Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник, діагоналі
якого перетинаються під кутом а. Довжина діагоналі дорівнює d. Знайти бічну
поверхню циліндра.
12.128. У конус, твірна якого дорівнює /, вписано правильну шестикутну
призму з рівними між собою ребрами. Знайти бічну поверхню призми, якщо кут
між твірною і висотою конуса дорівнює а.
12.129. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона її
основи дорівнює а, а двогранний кут при основі дорівнює а.
12.130. Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник, діагональ
якого дорівнює а і утворює з основою кут а. Знайти об’єм циліндра.
Груп* Б
12.131. У гострокутному трикутнику ABC висота AD = а, висота
СЕ = Ь, гострий кут між AD і СЕ дорівнює а. Знайти АС.
12.132. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює а. Знайти
відношення радіуса вписаного в трикутник кола до радіуса описаного кола.
При якому значенні а це відношення є найбільшим?
12.133. Дуга АВ сектора АОВ містить а радіан. Через точку В і середину
С радіуса ОА проведена пряма. У якому відношенні вона ділить площу
сектора?
12.134. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють а і b (а > Ь)9 кут при
більшій основі дорівнює а. Знайти радіус кола, описаного навколо трапеції.
12.135. Знайти відношення площі сектора з даним центральним кутом
радіан до площі вписаного в нього круга.
12.136. Бічні сторони трапеції дорівнюють р і q (р < q)> більша
основа — а. Кути при більшій основі відносяться як 2 :1. Знайти меншу основу.
12.137. Площа рівнобедреної трапеції дорівнює 5, кут між її
діагоналями, протилежними бічній стороні, дорівнює а. Знайти висоту трапеції.
12.138. Більша основа вписаної в круг трапеції дорівнює діаметру
Фуга, а кут при цій основі дорівнює а. У якому відношенні точка перетину
Діагоналей трапеції ділить її висоту?
287

12.139. У рівносторонній трикутник ABC вписано рівносторонній
трикутник АХВХСХ\ точка Ах лежить на стороні ВС, точка Вх — на стороні АС і точка С{ ^
на стороні АВ. Кут АХВХСХ дорівнює а. Знайти відношення АВ до АХВХ.
12.140. У якому відношенні ділить висоту рівнобедреного трикутника
ABC точка О, з якої всі три сторони видно під одним кутом (ZAOB^
12.141. 	Висота рівнобедреного трикутника дорівнює h і утворює з біч-
кутник і описаного н іього кіл.
12.142. У коло радіуса R вписано трикутник, вершини якого ділять коло на
три частини у відношенні 2:5: 17. Знайти площу трикутника.
12.143. Тангенс кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 0,75.
Знайти тангенс кута між медіаною і бісектрисою, проведеними до бічної сторони.
12.144. Знайти синус кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо
відомо, що медіана, проведена до бічної сторони, утворює з основою кут, синус
якого дорівнює 0,6.
12.145. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює а. Чере:
вершину цього кута проведено пряму, що перетинає протилежну бічну сто
рону і утворює з основою кут р. У якому відношенні ця пряма ділить площ;
трикутника?
12.146. Через вершини рівностороннього трикутника ABC проведен
паралельні прямі AD, BE і CF. Пряма BE лежить між прямими AD і CF т
ділить відстань між ними у відношенні т : и, починаючи від прямої AD. Знайт
кут BCF.
12.147. Знайти косинус гострого кута ромба, якщо пряма, проведек
через його вершину, ділить кут у відношенні 1 : 3, а протилежну сторону -
у відношенні 3:5.
12.148. Відношення площі прямокутника ABCD (BC\AD) до квадра'
його діагоналі дорівнює к. Знайти кут EAF, де Е і F— відповідно середини стор
12.149. Навколо круга радіуса г описано рівнобедрену трапецію. Біч
сторона трапеції утворює з меншою основою кут а. Знайти радіус круї
описаного навколо трапеції.
12.150. Висота трикутника ділить його кут у відношенні 2 : 1, а основу —
відрізки, відношення яких (більшого до меншого) дорівнює к. Знайти сив
меншого кута при основі та допустимі значення к.
12.151. Гіпотенуза прямокутного трикутника ділиться точкою дот*
вписаного кола на відрізки, відношення яких дорівнює к. Знайти кути трикутни
12.152. Відношення бічних сторін трапеції дорівнює відношенню її пе]
метра до довжини вписаного кола і дорівнює к. Знайти кути трапец
допустимі значення к.
= ZBOC = ZCOA), якщо кут при основі трикутника дорівнює
ною стороною кут а
Знайти відстань між центрами вписаного в три-
ВС і CD.
288

12.153. У сектор радіуса R вписано коло радіуса г. Знайти периметр
сектора.
12.154. У рівнобедреному гострокутному трикутнику радіус вписаного
кола в 4 рази менший від радіуса описаного кола. Знайти кути трикутника.
12.155. У трикутнику ABC дано гострі кути а і у (а > у), прилеглі до
сторони АС. З вершини В проведено медіану BD і бісектрису BE. Знайти
відношення площі трикутника BDE до площі трикутника ABC.
12.156. Кут при вершині А трапеції ABCD дорівнює а. Бічна сторона АВ
удвічі більша від меншої основи ВС. Знайти кут ВАС.
12.157. У прямокутному трикутнику знайти кут між медіаною і
бісектрисою, проведеними з вершини гострого кута, що дорівнює а.
12.158. Знайти косинуси гострих кутів прямокутного трикутника, якщо
добуток тангенсів половин цих кутів дорівнює —.
6
12.159. Сторони паралелограма відносяться як р : q, а діагоналі — як
т:п. Знайти кути паралелограма.
12.160. Відношення периметра ромба до суми його діагоналей дорівнює к.
Знайти кути ромба і допустимі значення к.
12.161. Знайти косинуси кутів рівнобедреного трикутника, точка
перетину висот якого ділить пополам висоту, проведену до основи.
12.162. Периметр сектора дорівнює /. Знайти відстань від вершини
центрального кута сектора до центра кола, вписаного в цей сектор, якщо радіус
дуги сектора дорівнює R.
12.163. Показати, що коли в трикутнику відношення суми синусів двох кутів
до суми їх косинусів дорівнює синусу третього кута, то трикутник прямокутний.
12.164. Знайти синус кута ромба, якщо із середини його сторони
протилежну сторону видно під кутом а.
12.165. Сторона трикутника дорівнює д, різниця кутів, прилеглих до даної
сторони, дорівнює у. Знайти кути трикутника, якщо його площа дорівнює S.
12.166. Тангенс гострого кута між медіанами прямокутного
трикутника, проведеними до його катетів, дорівнює к. Знайти кути трикутника і
допустимі значення к.
12.167. Радіус дуги сектора дорівнює R, центральний кут А О В дорівнює
ос. Через середину С радіуса ОА проведено пряму, паралельно радіусу ОВ,
Що перетинає дугу АВ у точці D. Знайти площу трикутника OCD.
12.168. У трикутнику дано сторону я, протилежний їй кут а і висоту А,
проведену до даної сторони. Знайти суму двох інших сторін.
12.169. У квадрат ABCD вписано рівнобедрений трикутник AEF,
точка Е лежить на стороні ВС, точка F — на стороні CD і АЕ = EF. Тангенс кута
AEF дорівнює 2. Знайти тангенс кута FEC.
12.170. У трикутнику ABC дано гострі кути а і у (а > у) при основі АС. З
вершини В проведено висоту BD і медіану BE. Знайти площу трикутника BDE,
якщо площа трикутника ABC дорівнює S.
289

12.171. У прямокутному трикутнику ABC гострий кут при вершині
А дорівнює а. Через середину D гіпотенузи АВ проведено пряму, щ0
перетинає катет АС у точці Е. У якому відношенні ця пряма ділить
площу трикут-ника ABC, якщо ZDEA = $, АЕ> 0,5АСІ
12.172. У круг вписано трапецію. Більша основа трапеції утворює з бічною
стороною кут а, а з діагоналлю — кут р. Знайти відношення площі круга до
площі трапеції.
12.173. У трикутнику ABC кут А дорівнює а і сторона ВС дорівнює а.
Знайти довжину бісектриси AD, якщо кут між бісектрисою AD і висотою АЕ
дорівнює р.
12.174. Рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині перетинає
пряма, що проходить через вершину кута при основі і утворює з основою
кут р. У якому відношенні ця пряма ділить площу трикутника?
12.175. Радіус дуги сектора АОВ дорівнює R, центральний кут АОВ
дорівнює а. У цей сектор вписано правильний трикутник так, що одна його
вершина збігається з серединою дуги АВ, а дві інші лежать на радіусах ОА і ОБ.
Знайти сторону трикутника.
12.176. У рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при основі
вписано коло. Знайти радіус кола, що дотикається до вписаного кола і до бічних
сторін трикутника.
12.177. Усередині даного кута а взято точку на відстані а від вершини
і на відстані b від однієї зі сторін. Знайти відстань цієї точки від другої сторони.
12.178. У прямокутному трикутнику ABC проведено бісектрису AD
гострого кута А, що дорівнює а. Знайти відношення радіусів кіл, вписаних
у трикутники ABD і ADC.
12.179. Знайти синус кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо
периметр будь-якого вписаного в нього прямокутника, дві вершини якого лежать
на основі, має сталу величину.
12.180. Сторона трикутника дорівнює 15, сума двох інших сторін дорівнює
27. Знайти косинус кута, протилежного даній стороні, якщо радіус вписаного в
трикутник кола дорівнює 4.
12.181. Менша дуга кола, що стягується хордою АВ, містить а радіан.
Через середину С хорди АВ проведено хорду DE так, що DC : СЕ =1:3.
Знайти гострий кут ACD і допустимі значення а.
12.182. Медіана BD трикутника ABC перетинається з бісектрисою СЕ у
точці К. Знайти СК: КЕ, якщо ZA = а і ZB = р.
12.183. Площа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 8, а
медіана, проведена до його бічної сторони, дорівнює Т37. Знайти косинус кута при
вершині.
12.184. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює а.
Висота, опущена на основу, більша від радіуса вписаного круга на т. Знайти радіус
описаного круга.
12.185. У трикутнику відомі площа S, сторона а і протилежний їй кут (X.
Знайти суму двох інших сторін.
12.186. Нехай ОА — нерухомий радіус кола з центром у точці О; В
290

середина радіуса ОЛ; М — довільна точка кола. Знайти найбільше значення
кута ОМВ.
12.187. У рівнобедреному гострокутному трикутнику кут при основі
дорівнює а, а площа дорівнює S. Знайти площу трикутника, вершинами якого є
основи висот даного трикутника.
12.188. Нехай а, Ь, с — довжини сторін гострокутного трикутника;
А,В,С—кути, протилежні сторонам; Ра, Рь, Рс — відстані від центра описаного
кола до відповідних сторін. Розташувати Рс у порядку зростання, якщо
А < В <С.
12.189. Промінь, проведений з вершини рівностороннього трикутника,
ділить його основу у відношенні т:п. Знайти тупий кут між променем і основою.
12.190. Через вершину рівностороннього трикутника проведено пряму, що
ділить основу у відношенні 2:1. Під якими кутами вона нахилена до бічних сторін
трикутника?
12.191. Основа трикутника дорівнює я, а кути при основі дорівнюють
а і Р радіан. З протилежної вершини трикутника радіусом, що дорівнює його
висоті, проведено коло. Знайти довжину дуги цього кола всередині
трикутника.
12.192. Дано дві сторони я і b трикутника та бісектрису / кута між ними.
Знайти цей кут.
12.193. Основа трикутника дорівнює 4, а його медіана дорівнює v6 - V2.
Один з кутів при основі дорівнює 15°. Показати, что гострий кут між основою
трикутника і його медіаною дорівнює 45°.
12.194. У трапеції менша основа дорівнює 2, прилеглі кути дорівнюють
135°. Кут між діагоналями, що спирається на основу, дорівнює 150°. Знайти площу
трапеції.
12.195. Довести, що коли бісектриса одного з кутів трикутника дорівнює
добутку сторін, між якими він міститься, поділеному на їх суму, то цей кут
дорівнює 120°.
12.196. Відомо, що в трикутнику ABC АВ = a, Z С = а. Знайти радіус
кола, проведеного через вершини А, В і центр кола, вписаного в трикутник ABC.
12.197. У трикутнику ABC проведено висоту ВМ і на ній як на діаметрі
побудовано коло, що перетинає сторону АВ у точці К, а сторону ВС —
у точці L. Знайти відношення площі трикутника KLM до площі трикутника
ABC, якщо ZA = а і ZC = р.
12.198. У ромб вписано коло. В утворений криволінійний трикутник
(з гострим кутом) знову вписано коло. Знайти його радіус, якщо висота ромба
Дорівнює А, а гострий кут дорівнює а.
12.199. Основа трикутника дорівнює я, а прилеглі до неї кути містять
45° і 15°. З вершини, протилежної основі, проведено коло радіусом, що
Дорівнює висоті, опущеній на цю основу. Знайти площу частини
відповідного круга, що міститься всередині трикутника.
12.200. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює я,
бічне ребро утворює з площиною основи кут а. У цю піраміду вписано куб
так, що чотири його вершини лежать на апофемах піраміди, чотири —
па основі піраміди. Знайти ребро куба.
291

12.201. Площа бічної грані правильної дванадцятикутної піраміди
дорівнює S. Плоский кут при вершині дорівнює а. Знайти об’єм піраміди.
12.202. У конус поміщено кулю так, що їх поверхні дотикаються.
Радіус кулі дорівнює R, а кут при вершині осьового перерізу конуса
дорівнює 2а. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями кулі і конуса.
12.203. Знайти об’єм і бічну поверхню правильної трикутної піраміди,
якщо площина, що проходить через сторону основи а і середину висоти
піраміди, нахилена до основи під кутом ф.
12.204. Знайти об’єм правильної чотирикутної призми, якщо кут між
діагоналлю призми і бічною гранню дорівнює а, а сторона основи дорівнює а.
12.205. В основі прямої призми АВСА ХВХСХ (ААХ\ВВХ ||СС,) лежить
прямокутний трикутник ABC, більший катет якого АС дорівнює а,
а протилежний йому кут В дорівнює а. Гіпотенуза АВ є діаметром основи
конуса, вершина якого лежить на ребрі А{С{. Знайти висоту конуса, якщо
^ = 0,50.
12.206. Через вершину правильної трикутної піраміди і середини двох
сторін основи проведено переріз. Знайти площу перерізу й об’єм піраміди,
якщо відомо сторону а основи і кут а між перерізом та основою.
12.207. З основи висоти правильної трикутної піраміди на бічне ребро
опущено перпендикулярр. Знайти об’єм піраміди, якщо двогранний кут між
її бічними гранями дорівнює а.
12.208. З основи висоти правильної трикутної піраміди на бічне ребро
опущено перпендикуляр р. Знайти об’єм піраміди, якщо двогранний кут між
бічною гранню і основою піраміди дорівнює а.
12.209. Знайти бічну поверхню і об’єм прямого паралелепіпеда, якщо його
висота дорівнює Л, діагоналі утворюють з основою кути а і р, а основою є ромб.
12.210. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник, основа
якого дорівнює а, а кут при основі а. Знайти об’єм призми, якщо її бічна
поверхня дорівнює сумі площ основ.
12.211. Основою піраміди є ромб з гострим кутом а. Знайти об’єм
піраміди, якщо її бічні грані утворюють з основою двогранний кут р, а
радіус вписаної в неї кулі дорівнює г.
12.212. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічними
сторонами Ь\ відповідні їм бічні грані перпендикулярні до площини основи й
утворюють між собою кут а. Кут між третьою бічною гранню і
площиною основи також дорівнює а. Знайти радіус кулі, вписаної в піраміду.
12.213. З основи висоти правильної трикутної піраміди на бічну грань
опущено перпендикуляр d. Знайти об’єм піраміди, якщо кут нахилу
бічного ребра до площини основи дорівнює а.
12.214. В основі піраміди лежить ромб зі стороною а і гострим кутом (X-
Дві бічні грані перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені до нього під
кутом ф. Знайти об’єм і бічну поверхню піраміди.
12.215. У правильній трикутній піраміді з кутом а між бічним ребром
і стороною основи проведено переріз через середину бічного ребра
пара292

лельно бічній грані. Знайти об’єм піраміди, якщо площа перерізу дорівнює S.
^кі можливі значення а?
12.216. Перпендикуляр, опущений з центра основи конуса на твірну,
обертається навколо осі конуса. Знайти кут між твірною і віссю конуса, якщо
поверхня обертання ділить його об’єм пополам.
12.217. Знайти кут між твірною і основою зрізаного конуса, повна
поверхня якого вдвічі більша від поверхні вписаної в нього кулі.
12.218. Основою прямої призми є трикутник зі стороною а і прилеглими
до неї кутами а і р. Через цю сторону основи під кутом ф до неї проведено
площину, що перетинає протилежне бічне ребро. Знайти об’єм отриманої
трикутної піраміди.
12.219. При обертанні кругового сектора навколо одного з крайніх
радіусів утворилося тіло, площа сферичної поверхні якого дорівнює площі
конічної поверхні. Знайти синус центрального кута кругового сектора.
12.220. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди утворює з
площиною основи кут а. Через вершину основи і середину протилежного бічного
ребра проведено площину паралельно одній з діагоналей основи. Знайти кут
між цією площиною і площиною основи піраміди.
12.221. Основами зрізаної піраміди є правильні трикутники. Пряма,
що проходить через середину сторони верхньої основи і середину
паралельної їй сторони нижньої основи, перпендикулярна до площин основ.
Більше бічне ребро дорівнює / і утворює з площиною основи кут а. Знайти
довжину відрізка, що з’єднує центри верхньої і нижньої основ.
12.222. В основі піраміди лежить ромб, один з кутів якого дорівнює а.
Бічні грані однаково нахилені до площини основи. Через середини двох
суміжних сторін основи і вершину піраміди проведено площину, що
утворює з площиною основи кут р. Площа отриманого перерізу дорівнює S.
Знайти сторону ромба.
12.223. Основою піраміди є ромб з гострим кутом а. Усі бічні грані
нахилені до площини основи під кутом р. Площа перерізу, проведеного через більшу
діагональ основи і вершину піраміди, дорівнює S. Знайти об’єм піраміди.
12.224. У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі
дорівнює а, а бічна поверхня дорівнює 5. Знайти відстань від центра основи до
бічної грані.
12.225. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює Н. Бічна грань
утворює з площиною основи кут а. Через сторону основи і середину
протилежного бічного ребра проведено площину. Знайти площу отриманого перерізу.
12.226. В основі трикутної піраміди лежить рівнобедрений трикутник,
площа якого дорівнює S і кут при вершині дорівнює а. Знайти об’єм піраміди, якщо
кут між кожним бічним ребром і висотою піраміди дорівнює р.
12.227. Основою піраміди є рівнобедрена трапеція, бічна сторона
якої дорівнює д, а гострий кут а. Усі бічні грані утворюють з основою
піраміди кут р. Знайти повну поверхню піраміди.
12.228. Двогранний кут при основі правильної трикутної піраміди
дорівнює а, бічна поверхня піраміди дорівнює S. Знайти відстань від
центра основи до середини апофеми бічної грані.
293

12.229. Плоский кут при вершині правильної л-кутної піраміди до-
рівнює а. Відрізок прямої, що з’єднує центр основи піраміди із середи-
ною бічного ребра, дорівнює а. Знайти повну поверхню піраміди.
12.230. Два конуси мають концентричні основи і однаковий кут між
висотою і твірною, що дорівнює а. Радіус основи зовнішнього конуса
дорівнює R. Бічна поверхня внутрішнього конуса вдвічі менша від повної
поверхні зовнішнього конуса. Знайти об’єм внутрішнього конуса.
12.231. У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ
якого утворює з прилеглими сторонами основи кути а і (3. Знайти
відношення об’єму паралелепіпеда до об’єму циліндра.
12.232. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим
кутом а. Цей трикутник вписано в основу конуса. Вершина піраміди збігається
із серединою однієї з твірних конуса. Знайти відношення об’єму конуса до
об’єму піраміди.
12.233. У правильну чотирикутну піраміду вписано куб; вершини його
верхньої основи лежать на бічних ребрах, вершини нижньої основи —
у площині основи піраміди. Знайти відношення об’єму куба до об’єму
піраміди, якщо бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут а.
12.234. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює
д, бічна грань утворює з площиною основи кут а. Знайти радіус описаної
кулі.
12.235. Міра кута між бічним ребром правильної чотирикутної піраміди і
площиною основи дорівнює мірі плоского кута при вершині піраміди. Знайти
кут між бічною гранню і площиною основи.
12.236. Знайти відношення об’єму кульового сегмента до об’єму кулі,
якщо дуга в осьовому перерізі сегмента відповідає центральному куту а.
12.237. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює с, його гострий
кут дорівнює а. Трикутник обертається навколо бісектриси зовнішнього
прямого кута. Знайти об’єм тіла обертання.
12.238. У зрізаний конус вписано кулю. Сума довжин діаметрів
верхньої і нижньої основ конуса в 5 разів більша від довжини радіуса кулі.
Знайти кут між твірною конуса і площиною основи.
12.239. Відношення поверхні кулі, вписаної в конус, до площі основи
конуса дорівнює к. Знайти косинус кута між твірною конуса і площиною його
основи та допустимі значення к.
12.240. Відношення об’єму кулі, вписаної в конус, до об’єму описаної
кулі дорівнює к. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи та
допустимі значення к.
12.241. У кулю, радіус якої дорівнює R, вписано конус; у цей конус
вписано циліндр із квадратним осьовим перерізом. Знайти повну
поверхню циліндра, якщо кут між твірною конуса і площиною його основи
дорівнює а.
12.242. У півкулю вписано тіло, утворене з циліндра і поставленого
на нього конуса. Нижня основа циліндра лежить у площині великого
круга півкулі; верхня основа циліндра збігається з основою конуса і
294

дотикається до поверхні кулі. Вершина конуса лежить на поверхні кулі.
Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом а. Знайти
відношення об’єму тіла до об’єму півкулі.
12.243. Бічна грань правильної трикутної зрізаної піраміди
утворює з площиною основи кут а. Знайти відношення повної поверхні
піраміди до поверхні вписаної в неї кулі.
12.244. У конус вписано кулю. Радіус круга дотику поверхні кулі до
бічної поверхні конуса дорівнює г. Пряма, що проходить через центр кулі і
довільну точку кола основи конуса, утворює з висотою конуса кут а. Знайти
об’єм конуса.
12.245. Відношення об’єму конуса до об’єму вписаної в нього кулі
дорівнює к. Знайти кут між твірною і площиною основи конуса та допустимі
значення к.
12.246. Знайти кут між твірною конуса і площиною основи, якщо бічна
поверхня конуса дорівнює сумі площ основи і осьового перерізу.
12.247. Кут між висотою і твірною конуса дорівнює а. У конус вписано
правильну трикутну призму; нижня основа призми лежить у площині основи
конуса. Бічні грані призми — квадрати. Знайти відношення бічних поверхонь
призми і конуса.
12.248. Навколо кулі описано пряму призму, основою якої є ромб. Більша
діагональ призми утворює з площиною основи кут а. Знайти гострий кут
ромба.
12.249. Бічне ребро правильної чотирикутної зрізаної піраміди утворює
з площиною основи кут а. У піраміду вписано прямокутний паралелепіпед
так, що його верхня основа збігається з верхньою основою піраміди, а нижня
основа лежить у площині нижньої основи піраміди. Знайти
відношення бічних поверхонь піраміди і паралелепіпеда, якщо діагональ
паралелепіпеда утворює з його основою кут (З.
12.250. У конус поміщено піраміду; основу піраміди вписано в основу
конуса, а вершина піраміди лежить на одній з твірних конуса. Усі бічні грані
піраміди однаково нахилені до площини основи. Основою піраміди є
рівнобедрений трикутник з кутом а^а>-~|при вершині. Знайти відношення об’ємів
конуса і піраміди.
12.251. Центр кулі, вписаної в правильну чотирикутну піраміду, ділить її
висоту у відношенні т : л, починаючи від вершини. Знайти кут між двома
суміжними бічними гранями.
12.252. Відношення сторони основи правильної /і-кутної піраміди до
радіуса описаної кулі дорівнює к. Знайти кут між бічним ребром і
площиною основи та допустимі значення к.
12.253. У конус вписано циліндр; нижня основа циліндра лежить у
площині основи конуса. Пряма, що проходить через центр верхньої
основи циліндра і точку на колі основи конуса, утворює з площиною основи
кут а. Знайти відношення об’ємів конуса і циліндра, якщо кут між твірною і
висотою конуса дорівнює р.
295

12.254. Основою піраміди є ромб з гострим кутом а. Усі бічні грані
нахилені до площини основи під кутом р. Знайти радіус кулі, вписаної в
піраміду, якщо об’єм піраміди дорівнює V.
12.255. Дві грані трикутної піраміди — рівні між собою прямокутні
трикутники із спільним катетом /. Кут між цими гранями дорівнює а. Дві інші
грані піраміди утворюють двогранний кут р. Знайти радіус кулі, описаної
навколо піраміди.
12.256. В основі піраміди лежить прямокутник, кут між діагоналями
якого дорівнює а. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, a
найбільше бічне ребро утворює з площиною основи кут р. Радіус кулі,
описаної навколо піраміди, дорівнює R. Знайти об’єм піраміди.
12.257. Основою піраміди є прямокутний трикутник, вписаний в основу
конуса. Вершина піраміди збігається з вершиною конуса. Бічні грані піраміди,
що містять катети основи, утворюють із площиною основи кути а і р. Знайти
відношення об’ємів піраміди і конуса.
12.258. Сторона квадрата, що лежить в основі правильної
чотирикутної піраміди, дорівнює а. У піраміду вписано правильну чотирикутну
призму; вершини верхньої основи лежать на бічних ребрах, вершини нижньої
основи — у площині основи піраміди. Діагональ призми утворює з
площиною основи кут ф. Знайти об’єм призми, якщо бічне ребро піраміди
утворює з площиною основи кут а.
12.259. Сторона нижньої основи правильної чотирикутної зрізаної
піраміди дорівнює а, сторона верхньої основи дорівнює Ь. Бічна грань
утворює з площиною основи кут а. Через сторону нижньої основи і
середину відрізка, що з’єднує центри основ, проведено площину, що
перетинає протилежну бічну грань по прямій. Знайти відстань від цієї прямої
до нижньої основи.
12.260. Дві бічні грані зрізаної трикутної піраміди — рівні
прямокутні трапеції з гострим кутом а і спільною меншою бічною стороною.
Двогранний кут між цими гранями дорівнює р. Знайти кут між третьою
бічною гранню і площиною основи.
12.261. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює а, проведено
площину. Площа перерізу відноситься до повної поверхні конуса як 2 : я.
Знайти кут між твірною і висотою конуса.
12.262. Бічна грань правильної чотирикутної зрізаної піраміди
утворює з площиною основи кут а. Площина, проведена через сторону нижньої
основи і паралельну їй сторону верхньої основи, утворює з площиною
основи кут р. Бічна поверхня піраміди дорівнює S. Знайти сторони
верхньої і нижньої основ.
12.263. Висота правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнює Я і є
середнім пропорційним між сторонами основ. Бічне ребро утворює з
осно-вою кут а. Знайти об’єм піраміди.
12.264. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди
відносяться як т : п (т > п). Висота піраміди дорівнює Я. Бічне ребро
утворює з площиною основи кут а. Знайти бічну поверхню піраміди.
296

12.265. Через вершину конуса проведено площину, що ділить коло
основи у відношенні р : q. Ця площина лежить на відстані а від центра
основи конуса і утворює з висотою конуса кут а. Знайти об’єм конуса.
12.266. Основою піраміди є правильний трикутник. Дві бічні грані
перпендикулярні до площини основи. Сума двох нерівних між собою плоских
кутів при вершині дорівнює Знайти ці кути.
12.267. Відношення повної поверхні конуса до площі його осьового
перерізу дорівнює к. Знайти кут між висотою і твірною конуса та допустимі
значення к.
12.268. Одна з граней трикутної призми, вписаної в циліндр,
проходить через вісь циліндра. Діагональ цієї грані утворює з прилеглими
сторонами основи призми кути а і (3. Знайти об’єм призми, якщо висота циліндра
дорівнює Я.
12.269. Дві вершини рівностороннього трикутника зі стороною а лежать
на колі верхньої основи циліндра, а третя вершина — на колі нижньої
основи. Площина трикутника утворює з твірною циліндра кут а. Знайти
бічну поверхню циліндра.
12.270. Знайти плоский кут при вершині правильної чотирикутної
піраміди, якщо він дорівнює куту між бічним ребром і площиною основи
піраміди.
12.271. Відрізок прямої, що з’єднує точку кола верхньої основи циліндра
з точкою кола нижньої основи, дорівнює І і утворює з площиною основи кут а.
Знайти відстань від цієї прямої до осі циліндра, якщо осьовим перерізом
циліндра є квадрат. Які можливі значення а?
12.272. Основою піраміди є прямокутник. Кожне з бічних ребер дорівнює
/ і утворює з прилеглими сторонами основи кути а і р. Знайти об’єм піраміди.
12.273. Точка А лежить на колі верхньої основи циліндра, точка В —
на колі нижньої основи. Пряма АВ утворює з площиною основи кут а, а з
площиною осьового перерізу, проведеного через точку В, — кут р. Знайти
об’єм циліндра, якщо довжина відрізка АВ дорівнює /.
12.274. У конус вписано куб (одна з граней куба лежить у площині
основи конуса). Відношення висоти конуса до ребра куба дорівнює к. Знайти кут
між твірною і висотою конуса.
12.275. В основі піраміди лежить прямокутник. Дві бічні грані
перпендикулярні до площини основи, дві інші утворюють з нею кути а і р. Знайти
бічну поверхню піраміди, якщо висота піраміди дорівнює Я.
12.276. Одна зі сторін основи прямої трикутної призми дорівнює я, а
прилеглі до неї кути а і р. Знайти бічну поверхню призми, якщо її об’єм
Дорівнює V.
12.277. Одне бічне ребро трикутної піраміди перпендикулярне до
площини основи і дорівнює /, два інших утворюють між собою кут а і нахилені
До площини основи під кутом р. Знайти об’єм піраміди.
12.278. Основою піраміди є рівнобедрена трапеція, гострий кут якої
Дорівнює а, а площа дорівнює S. Усі бічні грані утворюють з площиною
основи кут р. Знайти об’єм піраміди.
297

12.279. Косинус кута між двома суміжними бічними гранями
правильної чотирикутної піраміди дорівнює к. Знайти косинус кута між
бічною гранню і площиною основи та допустимі значення к.
12.280. Основою піраміди є прямокутник ABCD (AB\CD). Бічне ребро
ОА перпендикулярне до основи. Ребра ОВ і ОС утворюють з основою кути
а і р. Знайти кут між ребром OD і основою.
12.281. Через діагональ основи і висоту правильної чотирикутної
піраміди проведено площину. Відношення площі перерізу до бічної поверхні
піраміди дорівнює к. Знайти косинус кута між апофемами протилежних
бічних граней і допустимі значення к.
12.282. Бічне ребро правильної трикутної піраміди вдвічі більше від
сторони основи. Знайти кут між апофемою піраміди і мимобіжною висотою
трикутника, що лежить в основі піраміди.
12.283. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а.
Кут між суміжними бічними гранями дорівнює а. Знайти бічну поверхню
піраміди.
12.284. У правильній трикутній піраміді через бічне ребро і висоту
проведено площину. Відношення площі перерізу до повної поверхні
піраміди дорівнює к. Знайти двогранний кут при основі та допустимі
значення к.
12.285. Кут між висотою і твірною конуса дорівнює а. Через вершину
конуса проведено площину, що утворює з висотою кут р (р < а). У якому
відношенні ця площина ділить коло основи?
12.286. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з гострим кутом
а між рівними сторонами. Усі бічні ребра утворюють з площиною основи
кут р. Через сторону основи, протилежну даному куту а, і середину висоти
піраміди проведено площину. Знайти кут між цією площиною і площиною
основи.
12.287. Ребра прямокутного паралелепіпеда відносяться як 3 : 4 : 12.
Через більше ребро проведено діагональний переріз. Знайти синус кута між
площиною цього перерізу і діагоналлю паралелепіпеда, що не належить
перерізу.
12.288. Бічна грань правильної трикутної піраміди утворює з площиною
основи кут, тангенс якого дорівнює к. Знайти тангенс кута між бічним ребром
і апофемою протилежної грані.
12.289. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під
однаковим кутом. Знайти цей кут, якщо відношення повної поверхні піраміди
до площі основи дорівнює к. При яких значеннях к задача має розв’язок?
12.290. Відношення повної поверхні правильної л-кутної піраміди до
площі основи дорівнює /. Знайти кут між бічним ребром і площиною
основи.
12.291. Косинус кута між бічними ребрами правильної
чотирикутної піраміди, що не лежать в одній грані, дорівнює к. Знайти косинус
плоского кута при вершині піраміди.
298

12.292. Через сторону ромба проведено площину, що утворює з
діагоналями кути а і 2а. Знайти гострий кут ромба.
12.293. Основою похилої призми АВСА \ВХСХ (АА { \\ВВ { \\СС х) є
рівнобедрений трикутник, у якого АВ = АС = а і Z САВ = а. Вершина
верхньої основи рівновіддалена від усіх сторін нижньої основи, а ребро
В утворює з площиною основи кут р. Знайти об’єм призми.
12.294. Основою похилої призми є рівнобедрена трапеція, бічна сторона
якої і менша основа дорівнюють я, а гострий кут р. Одна з вершин верхньої
основи призми рівновіддалена від усіх вершин нижньої основи. Знайти об’єм
призми, якщо бічне ребро утворює з площиною основи кут а.
12.295. Основою прямої призми, описаної навколо кулі радіуса г, є
прямокутний трикутник з гострим кутом а. Знайти об’єм призми.
12.296. Діагоналі АВХ і СВХ двох суміжних бічних граней прямокутного
паралелепіпеда ABCDAiBxCxE\ утворюють з діагоналлю АС основи ABCD
кути, рівні відповідно а і р. Знайти кут між площиною трикутника АВХС і
площиною основи.
12.297. У правильній трикутній призмі сторона основи дорівнює а, кут
між мимобіжними діагоналями двох бічних граней дорівнює а. Знайти висоту
призми.
12.298. У прямокутному трикутнику через його гіпотенузу проведено
площину, що утворює з площиною трикутника кут а, а з одним із катетів —
кут р. Знайти кут між цією площиною і другим катетом.
12.299. У прямокутному трикутнику з гострим кутом а через
найменшу медіану проведено площину, що утворює з площиною трикутника кут р.
Знайти кути між цією площиною і катетами.
12.300. Знайти косинус кута між мимобіжними діагоналями двох
суміжних бічних граней правильної трикутної призми, бічне ребро якої дорівнює
стороні основи.
12.301. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з
бічною стороною а і кутом а між бічними сторонами. Діагональ бічної грані,
протилежної даному куту, утворює із суміжною бічною гранню кут <р. Знайти
об’єм призми.
12.302. В основі прямої призми лежить трикутник. Два його кути
дорівнюють а і р, а площа дорівнює S. Пряма, що проходить через вершину верхньої
основи і центр круга, описаного навколо нижньої основи, утворює з площиною
основи кут <р. Знайти об’єм призми.
12.303. Основою похилої призми є прямокутник зі сторонами а і Ь. Дві
суміжні бічні грані утворюють із площиною основи кути а і р. Знайти об’єм
призми, якщо бічне ребро дорівнює с.
12.304. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює / і утворює з
Двома суміжними гранями кути а і р. Знайти об’єм паралелепіпеда.
12.305. У правильній трикутній призмі площина, проведена через центр
основи і центри симетрії двох бічних граней, утворює з площиною основи
гострий кут а. Знайти площу перерізу, утвореного цією площиною, якщо
сторона основи дорівнює а.
299

12.306. У прямій призмі АВСА \ВХСХ (ААХ ||##і ||С7С!) сторони с
нови АВ і ВР дорівнюють відповідно а і Ь, а кут між ними дорівнює
Через бісектрису даного кута і вершину Ах проведено площину, що у
ворює з площиною основи гострий кут р. Знайти площу перерізу.
12.307. В основі прямої призми АВСА \ВХСХ (АЛХ ||##і ||CCj
лежить рівнобедрений трикутник ABC з кутом а між рівними сторонами /
і АС. Відрізок прямої, що з’єднує вершину Ах верхньої основи з центре
круга, описаного навколо нижньої основи, дорівнює / і утворює з площинс
основи кут р. Знайти об’єм призми.
12.308. Основою призми є правильний трикутник зі стороною а. Бічі
ребро дорівнює b і утворює зі сторонами основи, які мають з ним спільї
вершину, кути, кожний з яких дорівнює а. Знайти об’єм призми і допусти
значення а.
12.309. Основою призми є прямокутник. Бічне ребро утворює рівні ку
зі сторонами основи і нахилене до площини основи під кутом а. Знайти кут мі
бічним ребром і стороною основи.
12.310. На кульовій поверхні радіуса R лежать усі вершини рівн
бедреної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні, а гострі
кут дорівнює а. Знайти відстань від центра кулі до площини трапеції, яки
більша основа трапеції дорівнює радіусу кулі.
12.311. Висота конуса дорівнює Я, кут між твірною і площиною осної
дорівнює а. У цей конус вписано кулю. До кола дотику кульової і конічн
поверхонь проведено дотичну пряму, а через цю пряму проведено площ
ну паралельно висоті конуса. Знайти площу перерізу кулі цією площі
ною.
12.312. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює
двогранний кут при основі — а. Піраміду перетинає площина, паралельї
основі. Площа перерізу дорівнює бічній поверхні утвореної зрізаної пірамід
Знайти відстань від січної площини до основи даної піраміди.
12.313. Висота конуса дорівнює Я, кут між твірною і площиною осн
ви дорівнює а. Повна поверхня конуса ділиться пополам площиною, пе
пендикулярною до його висоти. Знайти відстань від цієї площини до осної
конуса.
12.314. Знайти кут між апофемою правильної трикутної піраміди і пл
щиною її основи, якщо різниця між цим кутом і кутом, що утворює бічі
ребро піраміди з площиною основи, дорівнює а.
12.315. Катет прямокутного трикутника дорівнює я, протилежний ftoN
кут дорівнює а. Цей трикутник обертається навколо прямої, що лежить
площині трикутника і проходить через вершину даного кута перпендик;
лярно до його бісектриси. Знайти об’єм тіла обертання.
12.316. Відношення об’єму прямого паралелепіпеда до об’єму вписан
в нього кулі дорівнює к. Знайти кути в основі паралелепіпеда і допу
тимі значення к.
12.317. Твірна зрізаного конуса, описаного навколо кулі, дорівнює
кут між твірною і площиною основи дорівнює а. Знайти об’єм конус
300

ОСНОВОЮ якого є круг дотику кульової поверхні до бічної поверхні
зрізаного конуса, а вершина збігається з центром більшої основи зрізаного
конуса.
12.318. У кулю радіуса R вписано два конуси із спільною основою;
вершини конусів збігаються з протилежними кінцями діаметра кулі.
Кульовий сегмент, що вміщує менший конус, має в осьовому перерізі
дугу, міра якої а. Знайти відстань між центрами куль, вписаних у ці
конуси.
12.319. Знайти відношення об’єму правильної л-кутної піраміди до
об’єму описаної кулі, якщо кут між бічним ребром і площиною основи
піраміди дорівнює а.
12.320. Бічні грані правильної трикутної призми — квадрати. Знайти
кут між діагоналлю бічної грані і мимобіжною стороною основи призми.
12.321. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює а і утворює
з площиною основи кут а. У цю піраміду вписано циліндр із
квадратним осьовим перерізом (основа циліндра лежить у площині основи
піраміди). Знайти об’єм циліндра.
12.322. У трикутнику ABC кут А дорівнює а, кут С дорівнює р і
бісектриса BD дорівнює /. Трикутник ABD обертається навколо прямої BD. Знайти
об’єм тіла обертання.
12.323. Основою прямої призми є рівносторонній трикутник. Через
одну з його сторін проведено площину, що відтинає від призми піраміду,
об’єм якої дорівнює V. Знайти площу перерізу, якщо кут між січною
площиною і площиною основи дорівнює а.
12.324. У правильній чотирикутній піраміді проведено переріз,
паралельний основі. Пряма, що проходить через вершину основи і протилежну
(не належить цій грані) вершину перерізу, утворює з площиною основи
кут а. Знайти площу перерізу, якщо бічне ребро піраміди а дорівнює
діагоналі основи.
12325. Основою піраміди є рівнобедрений гострокутний трикутник, бічна
сторона якого дорівнює b, а кут при основі а. Усі бічні ребра
піраміди нахилені до площини основи під кутом р. Знайти площу перерізу
піраміди площиною, що проходить через вершину даного кута а і висоту
піраміди.
12.326. Плоска ламана лінія складається з п рівних відрізків, з’єднаних у
вигляді зигзага під кутом а один до одного. Довжина кожного відрізка ламаної
Дорівнює а. Ця лінія обертається навколо прямої, що проходить через один з її
кінців паралельно бісектрисі кута а. Знайти площу поверхні обертання.
12.327. Два конуси мають спільну висоту, їх вершини лежать на
протилежних кінцях цієї висоти. Твірна одного конуса дорівнює / і утворює
з висотою кут а. Твірна іншого конуса утворює з висотою кут р. Знайти
об’єм спільної частини обох конусів.
12.328. Рівнобедрений тупокутний трикутник обертається навколо
прямої, що проходить через точку перетину його висот паралельно
більшій стороні. Знайти об’єм тіла обертання, якщо тупий кут
дорівнює а, а протилежна йому сторона трикутника дорівнює а.
301

12.329. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює а, кут
при основі — а. Цей трикутник обертається навколо прямої, що
проходить через вершину, протилежну основі, паралельно бісектрисі кута а.
Знайти поверхню тіла обертання.
12.330. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим
кутом а і радіусом вписаного кола г. Усі бічні ребра піраміди утворюють
з площиною основи кут р. Знайти об’єм піраміди.
12.331. У конус вписано кулю і до кулі проведено дотичну
площину паралельно площині основи конуса. У якому відношенні ця
площина ділить бічну поверхню конуса, якщо кут між твірною і площиною
основи дорівнює а?
12.332. В основу кульового сегмента вписано прямокутний
трикутник, площа якого дорівнює S, а гострий кут а. Знайти висоту сегмента,
якщо його дузі в осьовому перерізі відповідає центральний кут, міра якого р.
12.333. Основою прямої призми АВСА \ВХСХ (ААХ \\ВВ х ЦСС^ є
рівнобедрений трикутник ABC (АВ = АС), периметр якого дорівнює 2р, а
кут при вершині А дорівнює а. Через сторону ВС і вершину А х проведено
площину, що утворює з площиною основи кут р. Знайти об’єм призми.
12.334. У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю. Відстань від
центра кулі до вершини піраміди дорівнює я, кут між бічною гранню і
площиною основи дорівнює а. Знайти повну поверхню піраміди.
12.335. В основі піраміди лежить прямокутник, кут між діагоналями
якого дорівнює а. Навколо піраміди описано кулю радіуса R. Знайти об’єм
піраміди, якщо всі її бічні ребра нахилені до основи під кутом р.
12.336. Твірна конуса дорівнює / і утворює з висотою кут а. Через дві
твірні конуса, кут між якими дорівнює р, проведено площину. Знайти
відстань від цієї площини до центра кулі, вписаної в конус.
12.337. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, площа якого
дорівнює S, а кут між бічними сторонами а. Усі бічні ребра піраміди нахилені
до площини основи під однаковим кутом. Знайти цей кут, якщо об’єм
піраміди дорівнює V.
12.338. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює я, її
об’єм дорівнює V. Знайти косинус кута між діагоналями двох суміжних бічних
граней.
12.339. Гострий кут ромба, що лежить в основі чотирикутної
піраміди, дорівнює а. Відношення повної поверхні піраміди до квадрата сторони
основи дорівнює к. Знайти синус кута між апофемою і висотою піраміди,
якщо всі її бічні грані однаково нахилені до площини основи. Які допустимі
значення кі
12.340. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а,
плоский кут при вершині піраміди дорівнює а. Знайти відстань від центра
основи піраміди до її бічного ребра.
12.341. Відношення площі діагонального перерізу правильної
чотирикутної піраміди до площі її основи дорівнює к. Знайти косинус плоского кута
при вершині піраміди.
302

12.342. Відстань від сторони основи правильної трикутної піраміди до
її протилежного бічного ребра вдвічі менша від сторони основи. Знайти
кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.
12.343. Лінійний кут двогранного кута, утвореного двома суміжними
бічними гранями правильної чотирикутної піраміди, у 2 рази більший від
плоского кута при вершині піраміди. Знайти цей плоский кут.
12.344. У правильній трикутній піраміді сума кутів, утворених
апофемою піраміди і бічним ребром з площиною основи, дорівнює —. Знайти ці
4
кути.
12.345. Об’єм правильної піраміди дорівнює V. Через центр вписаної в
піраміду кулі побудовано площину, паралельно основі. Знайти об’єм піраміди,
що відтинається від даної піраміди цією площиною, якщо двогранний кут при
основі дорівнює а.
12.346. Знайти кути прямокутного трикутника, якщо об’єм тіла,
отриманого від обертання трикутника навколо меншого катета, дорівнює сумі
об’ємів тіл, отриманих від обертання трикутника навколо його гіпотенузи і
навколо більшого катета.
12.347. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди а, її бічна
поверхня дорівнює S. Знайти кут між суміжними бічними гранями.
12.348. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а,
плоский кут при вершині піраміди — а. Знайти радіус вписаної в піраміду
кулі.
12.349. Радіус кулі, вписаної в правильну трикутну піраміду, у 4 менший
від сторони основи піраміди. Знайти косинус плоского кута при вершині
піраміди.
12.350. Бічні ребра і дві сторони основи трикутної піраміди мають
однакову довжину а, а кут між рівними сторонами основи дорівнює а. Знайти
радіус описаної кулі.
12.351. У конус вписано циліндр, висота якого дорівнює діаметру основи
конуса. Повна поверхня циліндра дорівнює площі основи конуса. Знайти
кут між твірною конуса і площиною його основи.
12.352. Навколо кулі описано пряму призму, основою якої є ромб з
гострим кутом а. Знайти кут між більшою діагоналлю призми і площиною
основи.
12.353. У зрізаний конус вписано кулю, об’єм якої вдвічі менший від
об’єму конуса. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи.
12.354. В основі піраміди лежить рівнобедрений гострокутний три-кут-
ник з основою а і кутом при протилежній вершині а. Бічне ребро піраміди,
Що проходить через вершину цього кута, утворює з площиною основи
кУт р. Знайти об’єм піраміди, якщо висота піраміди проходить через точку
перетину висот основи.
12.355. Площа сегмента дорівнює 5, а дуга сегмента дорівнює а радіан.
Цей сегмент обертається навколо своєї осі симетрії. Знайти поверхню тіла
обертання.
303

12.356. У конус вписано кулю. Коло дотику кульової і конічної
поверхонь ділить поверхню кулі у відношенні 1 : 4. Знайти кут між
твірною конуса і площиною основи.
12.357. Бічна поверхня трикутної піраміди дорівнює S, а кожне з
бічних ребер дорівнює /. Знайти плоскі кути при вершині, якщо вони
утворюють арифметичну прогресію з різницею —.
6
12.358. Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди
дорівнює а. Знайти бічну поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в
цю піраміду, дорівнює R.
12.359. Радіус кулі, описаної навколо правильної трикутної піраміди,
дорівнює апофемі піраміди. Знайти кут між апофемою і площиною основи
піраміди.
12.360. Твірна конуса дорівнює / і утворює з площиною основи кут а.
У цей конус вписано кулю, а в кулю вписано правильну трикутну призму,
ребра якої рівні між собою. Знайти об’єм призми.
12.361. Навколо кулі радіуса R описано правильну л-кутну піраміду, бічна
грань якої утворює з площиною основи кут а. Знайти бічну поверхню
піраміди.
12.362. Основою піраміди є ромб зі стороною а. Дві бічні грані піраміди
перпендикулярні до площини основи й утворюють кут р. Дві інші бічні грані
утворюють з площиною основи кут, міра якого а. Знайти бічну поверхню
піраміди.
12.363. Відстань від середини висоти правильної чотирикутної
піраміди до її бічної грані дорівнює d. Знайти повну поверхню вписаного в
піраміду конуса, якщо його твірна утворює з площиною основи кут а.
12.364. Основою піраміди SABC є рівносторонній трикутник ABC. Ребро
SA перпендикулярне до площини основи. Знайти кут між бічною гранню
SBC і площиною основи, якщо бічна поверхня піраміди відноситься до площі
основи як 11 : 4.
12.365. Радіус основи конуса дорівнює R, кут між твірною і площиною
основи дорівнює а. У цей конус вписано кулю. Через точку Р, що лежить на
колі дотику кульової і конічної поверхонь, проведено дотичну пряму до
цього кола, а через цю пряму проведено площину паралельно тій твірній
конуса, що проходить через точку, діаметрально протилежну точці Р.
Знайти площу перерізу кулі площиною.
12.366. У зрізаному конусі діагоналі осьового перерізу взаємно
перпендикулярні і довжина кожної з них дорівнює а. Кут між твірною і
площиною основи дорівнює а. Знайти повну поверхню зрізаного конуса.
12.367. Відстань від вершини основи правильної трикутної
піраміди до протилежної бічної грані дорівнює /. Кут між бічною гранню і
площиною основи піраміди дорівнює а. Знайти повну поверхню
конуса, вписаного в піра-міду.
12.368. Бічне ребро правильної чотирикутної зрізаної піраміди
завдовжки а дорівнює стороні меншої основи. Кут між бічним ребром і
сторо304

ною більшої основи дорівнює а. Знайти площу діагонального перерізу
зрізаної піраміди.
12.369. 	Висота конуса утворює з твірною кут а. Через вершину конуса
проведено площину під кутом p|p>y-aj до площини основи. Знайти
площу перерізу, якщо висота конуса дорівнює h.
12.370. Основою піраміди є прямокутний трикутник, один з гострих
кутів якого дорівнює а. Усі бічні ребра однаково нахилені до площини
основи. Знайти двогранні кути при основі, якщо Висота піраміди дорівнює
гіпотенузі трикутника основи.
12.371. В основі прямої призми АВСА \B]Cl (АА х || ВВ j || СС х) лежить
рівнобедрений трикутник, у якого АВ = ВС = а і ZABC = а Висота призми
дорівнює Н. Знайти відстань від точки А до площини, проведеної
через точки В, С і A j.
12.372. У піраміді, всі бічні грані якої однаково нахилені до площини
основи, через центр вписаної кулі паралельно основі побудовано
площину. Відношення площі перерізу піраміди цією площиною до площини
основи дорівнює к. Знайти двогранний кут при основі піраміди.
12.373. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює Н і утворює з
бічним ребром кут а. Через сторону основи лроведено площину, що
перетинає протилежне бічне ребро під кутом (З р< a L Знайти об’єм тієї
частини піраміди, що міститься між цією площиною і площиною основи.
12.374. Відрізок прямої, що з’єднує центр основи правильної трикутної
піраміди із серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти
косинус кута між суміжними бічними гранями.
12.375. Основою піраміди є квадрат зі стороною а; дві її бічні грані
перпендикулярні до основи, а більше бічне ребро нахилене до площини
основи під кутом р. У піраміду вписано прямокутний паралелепіпед; одна його
основа лежить у площині основи піраміди, а вершини іншої основи —
на бічних ребрах піраміди. Знайти об’єм паралелепіпеда, якщо його
діагональ утворює з площиною основи кут а.
12.376. В основі піраміди лежить рівнобедрений гострокутний
трикутник, бічна сторона якого дорівнює а, а кут між бічними сторонами —
Бічна грань піраміди, що проходить через сторону основи,
протилежну даному куту а, утворює з площиною основи кут р. Знайти об’єм
конуса, описаного навколо піраміди, якщо всі її бічні ребра рівні між собою.
12.377. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а,
Двогранний кут при основі а. У піраміду вписано кулю. Знайти об’єм
піраміди, вершинами якої є точки дотику кульової поверхні до бічних граней
Даної піраміди і довільна точка, що лежить у площині основи піраміди.
305

12.378. У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну зрізану
піраміду, більша основа якої проходить через центр кулі, а бічне ребро
утворює з площиною основи кут (3. Знайти об’єм зрізаної піраміди.
12.379. На відрізку АВ, що дорівнює 2R, побудовано як на діаметрі
півколо і проведено хорду CD паралельно АВ. Знайти об’єм тіла, утвореного
обертанням трикутника ACD навколо діаметра АВ, якщо вписаний кут, що
спирається на дугу АС, дорівнює а (АС < AD).
12.380. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник, один з
гострих кутів якого дорівнює а. Найбільша за площею бічна грань призми
квадрат. Знайти кут між діагоналями двох інших бічних граней, що
перетинаються.
12.381. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а,
кут між бічним ребром і площиною дорівнює а|а>^ j. Знайти площу
перерізу піраміди площиною, що проходить через вершину основи
перпендикулярно до протилежного бічного ребра (яке не лежить в одній бічній грані з
цією вершиною).
12.382. Висота правильної чотирикутної піраміди утворює з бічним
ребром кут а. Через вершину піраміди паралельно діагоналі основи проведено
площину, що утворює кут Р з другою діагоналлю. Площа отриманого
перерізу дорівнює S. Знайти висоту піраміди.
12.383. Вершина конуса міститься в центрі кулі, а основа конуса
дотикається до поверхні кулі. Повна поверхня конуса дорівнює поверхні кулі.
Знайти кут між твірною і висотою конуса.
12.384. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою
с і меншим гострим кутом а. Найбільше бічне ребро утворює з площиною
основи кут р. Знайти об’єм піраміди, якщо її висота проходить через точку
перетину медіан основи.
12.385. Сторона правильного трикутника дорівнює а. Трикутник
обертається навколо прямої, що лежить у площині трикутника поза ним і
проходить через вершину трикутника, утворюючи зі стороною кут а. Знайти
об’єм тіла обертання і з’ясувати, при якому значенні а він найбільший.
12.386. Бічна грань правильної трикутної піраміди SABC утворює з
площиною основи кут а. Через сторону ВС основи і точку D на бічному
ребрі SA проведено площину. Знайти кут між цією площиною і
площиною основи, якщо AD : DS = к.
12.387. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а
між бічними сторонами. Піраміду поміщено в циліндр так, що її основа
виявилася вписаною в основу цього циліндра, а вершина збігається із серединою
однієї з твірних циліндра. Об’єм циліндра дорівнює V. Знайти об’єм піраміди.
12.388. Через вершину квадрата, що лежить в основі правильної
призми, проведено площину паралельно протилежній діагоналі квадрата під
кутом а до площини основи. Знайти кути многокутника в перерізі
призми цією площиною (передбачається, що висота призми досить велика і в
перерізі утворився чотирикутник).
306

12.389. Більша основа рівнобедреної трапеції дорівнює я, гострий
кут — а. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони.
Трапеція обертається навколо більшої основи. Знайти об’єм тіла обертання.
12.390. У кульовий сектор радіуса R вписано кулю. Знайти радіус кола
дотику поверхонь кулі і сектора, якщо центральний кут в осьовому
перерізі кульового сектора дорівнює а.
Група В
12.391. Сторони паралелограма дорівнюють а і b (а < Ь). Менша
діагональ утворює з меншою стороною тупий кут, а з більшою стороною — кут а.
Знайти більшу діагональ паралелограма.
12.392. У сектор POQ радіуса R з центральним кутом а вписано
прямокутник; дві його вершини лежать на дузі сектора, дві інші — на радіусах
ОР і OQ. Знайти площу прямокутника, якщо гострий кут між його
діагоналями дорівнює (3.
12.393. У трикутнику ABC дано гострі кути а і у (а > у) при основі АС.
З вершини В проведено висоту BD і бісектрису BE. Знайти площу
трикутника BDE, якщо площа трикутника ABC дорівнює S.
12.394. У сегмент кола радіуса R вписано два рівних кола, що
дотикаються один до одного, до дуги сегмента і його хорди. Знайти радіуси цих
кіл, якщо центральний кут, що спирається на дугу сегмента, дорівнює
а (а < л).
12.395. Відношення радіуса кола, вписаного в рівнобедрений
трикутник, до радіуса кола, описаного навколо нього, дорівнює т. Знайти кути
трикутника і допустимі значення т.
12.396. У паралелограмі дано дві сторони а і b (а > Ь) і гострий кут а між
діагоналями. Знайти кути паралелограма.
12.397. У сегмент з центральним кутом а вписано правильний трикутник
так, що одна його вершина збігається із серединою хорди сегмента, а дві інші
лежать на дузі сегмента. Висота трикутника дорівнює h. Знайти радіус дуги
сегмента.
12.398. Відстань між центрами двох кіл, що дотикаються зовні,
дорівнює d. Кут між їх спільними зовнішніми дотичними дорівнює а радіан.
Знайти площу криволінійного трикутника, обмеженого відрізком однієї
дотичної і двома відповідними дугами кіл.
12.399. У паралелограмі дано дві сторони а і Ь(а >Ь) і висоту А,
проведену до більшої сторони. Знайти гострий кут між діагоналями
паралелограма.
12.400. Кути трикутника дорівнюють А, В і С. Висота трикутника, що
проходить через вершину кута В, дорівнює Н. На цій висоті як на діаметрі
побудовано коло. Точки перетину кола зі сторонами АВ і ВС трикутника
з’єднані з кінцями висоти. Знайти площу побудованого чотирикутника.
12.401. Сторони паралелограма дорівнюють а і b (а < Ь). Із середини
більшої сторони паралельну сторону видно під кутом а. Знайти площу
паралелограма.
307

12.402. У трикутнику дано дві сторони а і b (а > Ь) і площу S. Знайти
кут між висотою і медіаною, проведеними до третьої сторони.
12.403. Відношення радіуса круга, описаного навколо трапеції, до
радіуса круга, вписаного в неї, дорівнює к. Знайти кути трапеції і допустимі
значення к.
12.404. Відношення периметра паралелограма до його більшої діагоналі
дорівнює к. Знайти кути паралелограма, якщо відомо, що більша діагональ
ділить кут паралелограма у відношенні 1:2.
12.405. У рівносторонній трикутник ABC вписано рівносторонній
трикутник DEF, точка D лежить на стороні ВС, точка Е — на стороні АС і
точка F — на стороні АВ. Сторона АВ відноситься до сторони DF як 8 : 5.
Знайти синус кута DEC.
12.406. Тангенс кута між медіаною і висотою, проведеними до бічної
сторони рівнобедреного трикутника, дорівнює 0,5. Знайти синус кута при
вершині.
12.407. Пряма, перпендикулярна до хорди сегмента, ділить хорду у
відношенні 1 : 4, а дугу — у відношенні 1:2. Знайти косинус
центрального кута, що спирається на цю дугу.
12.408. У гострокутному трикутнику ABC /.А = а радіан і ZB =
= Р радіан, АС = Ь. Через ортоцентр (точку перетину висот) і основи висот,
опущених на сторони АВ і ВС, проведено коло. Знайти площу спільної частини
трикутника і круга.
12.409. У гострокутному трикутнику ABC відомо кути. Знайти
відношення, у якому ортоцентр ділить висоту, проведену з вершини кута А.
12.410. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AL і CN.
Знайти радіус кола, що проходить через точки В, L і N, якщо АС = а і
Z ABC = а.
12.411. Показати, що відношення площі будь-якого трикутника до площі
2
описаного навколо нього кола менше —
З
12.412. Для гострокутного трикутника утворено три числа, що
виражають відношення довжин його сторін до відповідних відстаней від них
до центра описаного кола. Довести, що сума цих чисел у 4 рази менша від
їх добутку.
12.413. Довжини чотирьох дуг, на які розбито коло радіуса R,
утворюють геометричну прогресію із знаменником 3. Точки поділу є
вершинами чотирикутника, вписаного в це коло. Знайти його площу.
12.414. Один із плоских кутів тригранного кута дорівнює а.
Двогранні кути, прилеглі до цього плоского кута, дорівнюють р і у. Знайти два
інших плоских кути.
12.415. В основі піраміди лежить квадрат. Кути, що утворюють бічні
грані з основою, відносяться як 1 : 2 : 4 : 2. Знайти ці кути.
12.416. У конус вкладено кулю так, що їх поверхні дотикаються.
Об’єм тіла, що міститься між ними, у 8 разів менший від об’єму кулі.
Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса.
308

12.417. У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю. До кулі
паралельно основі піраміди проведено дотичну площину, що ділить об’єм
піраміди у відношенні т : я, починаючи від вершини. Знайти кут між
висотою піраміди та її бічною гранню.
12.418. Через вершину основи правильної трикутної піраміди
проведено площину перпендикулярно до протилежної бічної грані і паралельно
протилежній стороні основи. Ця площина утворює з площиною основи
кут а. Знайти плоский кут при вершині піраміди.
12.419. Прямокутник обертається навколо осі, що проходить через його
вершину паралельно діагоналі. Знайти поверхню тіла обертання, якщо площа
прямокутника дорівнює 5, а кут між діагоналями дорівнює а.
12.420. Знайти радіус кулі, що дотикається до основи і бічних ребер
правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює а, а
двогранний кут при основі дорівнює а.
12.421. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а,
двогранний кут при основі дорівнює а. Знайти відстань від центра кулі,
вписаної в цю піраміду, до бічного ребра.
12.422. Правильну трикутну піраміду перетинає площина, що проходить
ж
через її бічне ребро і висоту. У перерізі утворився трикутник з кутом — при
4
вершині піраміди. Знайти кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.
12.423. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а,
плоский кут при вершині дорівнює а. У піраміду вписано кулю. Знайти
площу перерізу цієї кулі площиною, що проходить через центр основи
піраміди перпендикулярно до бічного ребра.
12.424. Основою піраміди, вписаної в конус, є чотирикутник, одна
сторона якого дорівнює а, а решта сторін дорівнює Ь. Вершина піраміди
лежить на середині однієї з твірних. Знайти об’єм піраміди, якщо кут між
твірною і висотою конуса дорівнює а.
12.425. Відношення об’єму зрізаного конуса до об’єму вписаної в
нього кулі дорівнює к. Знайти кут між твірною конуса і площиною його
основи та допустимі значення к.
12.426. Осьовий переріз циліндра — квадрат. Відрізок АВ, що з’єднує
точку А кола верхньої основи з точкою В кола нижньої основи, дорівнює а
і лежить на відстані b від осі циліндра. Знайти кут між прямою АВ і
площиною основи циліндра.
12.427. Через вершину основи правильної чотирикутної піраміди
проведено площину, що перетинає протилежне бічне ребро під прямим кутом.
Площа перерізу вдвічі менша від площі основи піраміди. Знайти кут між бічним
ребром і площиною основи.
12.428. Дано три попарно взаємно перпендикулярних промені ОМ,
ON і ОР. На промені ОМ узято точку А на відстані О А, що дорівнює а;
на променях ON і ОР взято відповідно точки В і С так, що кут ABC
Дорівнює а, а кут АСВ дорівнює р. Знайти ОВ і ОС.
309

12.429. У конус вписано кулю. Площина, що містить коло дотику
кульової і конічної поверхонь, ділить об’єм кулі у відношенні 5 : 27.
Знайти кут між твірною і площиною основи конуса.
12.430. Поверхня кулі, вписаної в правильну трикутну зрізану піраміду,
відноситься до повної поверхні піраміди як п: 6>/з. Знайти кут між бічною
гранню і площиною основи піраміди.
12.431. Кут між площинами двох рівних прямокутних трикутників
ABC і ADC зі спільною гіпотенузою АС дорівнює а. Кут між рівними
катетами АВ і AD дорівнює р. Знайти кут між катетами ВС і CD.
12.432. Сторона нижньої основи правильної чотирикутної зрізаної
піраміди в 5 разів більша від сторони верхньої основи. Бічна поверхня
піраміди дорівнює квадрату її висоти. Знайти кут між бічним ребром
піраміди і площиною основи.
12.433. В основі прямої призми лежить рівнобедрена трапеція,
діагоналі якої перпендикулярні до відповідних бічних сторін. Кут між
діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює а. Відрізок прямої,
що з’єднує вершину верхньої основи з центром кола, описаного навколо
нижньої основи, дорівнює / і утворює з площиною основи кут р. Знайти
об’єм призми.
12.434. В основі прямої призми лежить паралелограм з гострим
кутом а. Діагоналі призми утворюють з площиною основи кути Р і у (Р < у).
Знайти об’єм призми, якщо її висота дорівнює Н.
12.435. Основою призми є правильний трикутник зі стороною а. Бічне
ребро дорівнює b і утворює зі сторонами основи, що перетинають його,
кути а і р. Знайти об’єм призми.
12.436. Основою призми є паралелограм із гострим кутом а. Бічне
ребро, що проходить через вершину даного кута а, дорівнює b і утворює з
прилеглими сторонами основи кути, кожний з яких дорівнює р. Знайти висоту
призми.
12.437. В основі прямого паралелепіпеда лежить паралелограм з
діагоналями а і b (а > Ь) і гострим кутом а між ними. Менша діагональ
паралелепіпеда утворює з більшою діагоналлю основи гострий кут р. Знайти
об’єм паралелепіпеда.
12.438. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а,
двогранний кут при основі дорівнює а. У цю піраміду вписано пряму
трикутну призму; три її вершини лежать на апофемах піраміди, а три інші — у
площині основи піраміди. Знайти об’єм призми, якщо центр вписаної в піраміду
кулі лежить у площині верхньої основи призми.
12.439. Основа прямої призми — ромб. Одна з діагоналей призми
дорівнює а і утворює з площиною основи кут а, а з однією з бічних граней —-
кут р. Знайти об’єм призми.
12.440. Відношення двох відрізків, що містяться між паралельними
площинами, дорівнює к, а кути, які кожен з цих відрізків утворює з однією з
площин, відносяться як 2 : 3. Знайти ці кути і допустимі значення к.
310

13.441. Кут між площиною квадрата ABCD (AB^CD) і
площиною Р дорівнює а, а кут між стороною АВ і цією площиною дорівнює
р. Знайти кут між стороною AD і площиною Р.
12.442. У правильній чотирикутній призмі ABCDA XBXCXDX (АЛІ Ц^Ц
I CCjDD,) через середини двох суміжних сторін основи DC і AD та
вершину Вх верхньої основи проведено площину. Знайти кут між цією площиною
і площиною основи, якщо периметр перерізу в 3 рази більший від діагоналі
основи.
12.443. Відстані від центра основи правильної чотирикутної піраміди
до бічної грані і до бічного ребра дорівнюють відповідно а і Ь. Знайти
двогранний кут при основі піраміди.
12.444. Основою піраміди є правильний трикутник. Одна з бічних
граней піраміди перпендикулярна до площини основи. Знайти косинус кута
між двома іншими бічними гранями, якщо вони утворюють із площиною
основи кут а.
12.445. Основою похилої призми є прямокутний трикутник із гострим
кутом а. Бічна грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а
бічна грань, що містить катет, прилеглий до даного кута, утворює з
основою гострий кут р. Знайти гострий кут між третьою бічною гранню і
основою.
12.446. Сторона ВС трикутника ABC, що лежить в основі похилої
призми АВСАХВХСХ (ААі \ВВХ ЦСС^, дорівнює а, прилеглі до неї кути
дорівнюють Р і у. Знайти кут між бічним ребром і площиною основи, якщо
об’єм призми дорівнює V і АХА=АХВ = АХС.
ПЛАЇ. У правильну трикутну зрізану піраміду вписано дві кулі; одна
дотикається до всіх її граней, інша — до всіх ребер. Знайти синус кута між
бічним ребром і площиною основи.
12.448. В основі чотирикутної піраміди лежить рівнобедрена трапеція
з основами а і b (а > 2Ь) і кутом <р між нерівними відрізками її
діагоналей. Вершина піраміди проектується в точку перетину діагоналей
основи. Кути, які утворюють з площиною основи бічні грані, що проходять
через основи трапеції, відносяться як 1 : 2. Знайти об’єм піраміди.
12.449. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а.
Бічна грань утворює з площиною основи кут а. Знайти відстань між
бічним ребром і мимобіжною стороною основи.
12.450. У трикутній піраміді всі грані — правильні трикутники. Через
сторону основи проведено площину, що ділить об’єм піраміди у
відношенні 1:3, починаючи від основи. Знайти кут між цією площиною і
площиною основи.
12.451. У правильній чотирикутній піраміді через два бічних ребра,
Що не належать одній грані, проведено площину. Відношення площі
перерізу до бічної поверхні піраміди дорівнює к. Знайти кут між двома
суміжними бічними гранями і допустимі значення к.
311

12.452. В основі прямої призми лежить паралелограм з гострим
кутом ф між діагоналями. Діагоналі кожної із суміжних бічних граней пере-
тинаються під кутами а і Р (а > р), поверненими до відповідних сторін
основи. Знайти об’єм призми, якщо її висота дорівнює h.
12.453. Основою піраміди EABCD є ромб ABCD (АВ ||CZ)). Висота
піраміди проходить через середину сторони АВ. Бічні ребра EC і ED
утворюють з площиною основи кути а і р. Знайти косинус гострого кута ромба,
1 . Q 1
якщо cos а = —j= і cosp = —?=.
V3 уі5
12.454. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а.
Лї
а < arctg—
/
Кут між висотою піраміди і бічним ребром дорівнює а
Знайти площу перерізу піраміди площиною, проведеною через середину
висоти перпендикулярно до одного з бічних ребер.
12.455. Нехай АВ — діаметр нижньої основи циліндра, АХВХ — хорда
верхньої основи, паралельна АВ. Площина, проведена через прямі АВ і
АХВХ, утворює з площиною нижньої основи циліндра гострий кут a, a
пряма АВХ утворює з цією площиною кут р. Знайти висоту циліндра, якщо
радіус основи циліндра дорівнює R (точки А і Ах лежать по один бік від
прямої, що проходить через середини відрізків АВ і АХВХ).
12.456. Висота правильної трикутної піраміди SABC дорівнює Н.
Через вершину А основи ABC проведено площину перпендикулярно до
протилежного бічного ребра SC. Ця площина утворює з площиною основи кут
а. Знайти об’єм частини піраміди, що міститься між площиною основи і
площиною перерізу.
12.457. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює Н.
Бічне ребро утворює з основою кут а, а діагональ піраміди з основою —
кут р. Знайти площу перерізу піраміди площиною, що проходить через
діагональ піраміди паралельно мимобіжній діагоналі основи.
12.458. Сторони нижньої і верхньої основ правильної трикутної
зрізаної піраміди дорівнюють відповідно а і b (а > Ь). Бічна грань утворює з
площиною основи кут а. Знайти площу перерізу піраміди площиною,
що проходить через середню лінію бічної грані і центр нижньої основи.
12.459. Знайти радіус кулі, вписаної в правильну трикутну піраміду,
висота якої дорівнює Я, а кут між бічним ребром і площиною основи
дорівнює а.
12.460. Радіус кулі, описаної навколо правильної чотирикутної
піраміди, відноситься до сторони її основи як 3 : 4. Знайти кут між бічною гранню
і площиною основи піраміди.
12.461. У конус, осьовий переріз якого є прямокутним трикутником,
вписано циліндр; його нижня основа лежить у площині основи конуса.
Відношення бічних поверхонь конуса і циліндра дорівнює 4л/2. Знайти
312

кут між площиною основи конуса і прямою, що проходить через центр
верхньої основи циліндра і довільну точку кола основи конуса.
12.462. Основою піраміди є рівнобедрена трапеція з гострим кутом а. Ця
трапеція описана навколо кола основи конуса. Вершина піраміди
лежить на одній з твірних конуса, а її проекція на площину основи збігається
з точкою перетину діагоналей трапеції. Знайти об’єм піраміди, якщо твірна
конуса дорівнює / і утворює з висотою кут (3.
12.463. Основою піраміди FABC є рівнобедрений трикутник ABC, кут
вписано трикутну призму АБОА^Е^', точки А{, Е{ і Dx лежать відповідно
на бічних ребрах FA, FC і FB піраміди, а сторона ED основи AED
проходить через центр кола, описаного навколо трикутника ABC. Знайти
відношення об’єму призми до об’єму піраміди.
12.464. У кубі ABCDAXBXCXDX (.ААХ \\ВВХ ЦССЛ-ОД) проведено
площину через середини ребер DD{ і DXCX та вершину Л. Знайти кут між цією
площиною і гранню ABCD.
12.465. Відношення об’єму правильної трикутної зрізаної піраміди
до об’єму вписаної в неї кулі дорівнює к. Знайти кут між бічною гранню
піраміди і площиною основи та допустимі значення к.
між рівними сторонами АВ і АС якого дорівнює

Глава 13
ЗАСТОСУВАННЯ РІВНЯНЬ
ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
ВКАЗІВКИ ДО СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ
ЗА ТЕКСТОМ ЗАДАЧІ
1°. Розв’язування задачі за допомогою рівняння (системи рівнянь)
зазвичай виконують у такій послідовності:
1) вводять змінні, тобто позначають буквами х, у, ty и, ... величини, які
потрібно знайти за умовою задачі, або ті, котрі необхідні для визначення шуканих
величин;
2) використовуючи введені змінні, а також зазначені в умові задачі
конкретні значення змінних і співвідношення між ними, складають рівняння
(систему рівнянь), тобто наче «перекладають» текст задачі на мову алгебри,
формуючи рівність (систему рівностей) алгебраїчних виразів;
3) розв’язують складене рівняння (систему рівнянь) і з отриманих
розв’язків відбирають ті, які підходять за змістом задачі.
2°. Розв’язуючи задачі про співвідношення між натуральними числами,
використовують такі твердження:
1) якщо до натурального числа * дописати справа л-цифрове число у, то
матимемо число 10пх + у;
2) якщо a ib — натуральні числа, а > b і а не кратне b, то існує єдина пара
натуральних чисел q і г таких, що а = bq + г, де г < Ь.
3°. Розв’язуючи задачі на рух, використовують такі припущення:
1) рух вважається рівномірним, тобто відбувається зі сталою
швидкістю, якщо немає спеціальних застережень;
2) зміна напряму руху і переходи на новий режим руху вважаються
такими, що відбуваються миттєво;
3) стала швидкість и, з якою розглянутий об’єкт рухався б у стоячій
(нерухомій) воді, називається його власною швидкістю. Якщо рух відбувається по
річці, що має сталу швидкість v руху води, то реальна швидкість об’єкта за течією
річки дорівнює и + v, а проти течії вона дорівнює и - v.
4°. Складаючи рівняння у задачах, пов’язаних з рівномірним рухом, к0'
ристуються формулами
s s
S = V/, V — —, / — —,
/ V
де t — час, v — швидкість, s — пройдена відстань.
314

Часто, приступаючи до
розв’язування таких задач, вводять систему
М
координат tOs, де по осі абсцис (вісь £
s = vt
Ot) відкладають час (t), а по осі
ординат (вісь Os) — пройдену
відстань (у) (рис. 13.1). Тоді графіком С
залежності s = vt є пряма AM, що
утворює з віссю Ot гострий кут а,
тангенс якого дорівнює значенню О
t
швидкості V.
Рис. 13.1
Якщо за умовою задачі
одночасно з маршрутом з А до В
починається зустрічний маршрут з В до А, то відлік відстані, пройденої від пункту В у
напрямі до точки О, ведеться від точки В, позначеної на тій самій осі Os. Графіком
зустрічного маршруту є пряма BN, що утворює з прямою ВМ, паралельною Ot,
гострий кут р, тангенс якого дорівнює значенню швидкості v руху по цьому
маршруту. Координати точки Р перетину графіків указують час зустрічі і пройдені
від А і від В відстані до місця зустрічі (відповідно АС і ВС).
5°. Під час розв’язування задач, пов’язаних з виконанням (індивідуально чи
спільно) певного обсягу роботи, використовують формулу
де А — кількість усієї роботи, наміченої до виконання (за змістом задачі часто
А приймають за одиницю), / — час виконання всієї кількості роботи, W —
продуктивність праці, тобто кількість роботи, що виконується за одиницю часу.
Якщо весь обсяг роботи, прийнятий за одиницю, виконується одним
суб’єктом за /j, а другим — за t2 одиниць часу, то продуктивність праці при
спільній роботі того самого обсягу дорівнює
6°. Розв’язуючи задачі про суміші, сплави, розчини використовують такі
припущення:
1) усі отримані суміші, сплави, розчини вважаються однорідними;
2) не розрізняються літр як міра місткості посудини і літр як міра кількості
рідини (або газу).
Якщо суміш (сплав, розчин) має масу т і складається з речовині, В і С, маси
т л , . тв тг ч
яких відповідно тА, тв, тс, то величину —— (відповідно —, — ) називають
т т т
концентрацією речовини А (відповідно В, С) у суміші (сплаві, розчині), а
величину ^-100% (відповідно — 100%, — 100%) — відсотковим вмістом
pern т т
A = Wt,
^сп »a t
h h
cn *l+*2
315

човини А (відповідно В, С) у суміші (сплаві, розчині). При цьому справджується
рівність
™А , тВ , тС
т т т
Приклад 1. У напрямі від А до В автомобіль їхав деякий час зі сталою
швидкістю Vj = 60 км/год. Решту частину шляху він проїхав за такий самий час,
але зі швидкістю v2 = 40 км/год. У протилежному напрямі автомобіль їхав одну
половину шляху зі швидкістю v3 = 80 км/год, а другу половину — зі швидкістю
v4 = 45 км/год. Яка середня швидкість рейсу: а) з А до В1 б) з В до А1
□ а) Оскільки автомобіль протягом однакових інтервалів часу їхав з кожною
v,+v2 60 + 40 ч
із зазначених швидкостей, то v = — = = 50 (км/год).
2 2
б) Зворотний рейс складається з двох рівних частин шляху (припустимо, що
кожна з них дорівнює s км), що пройдені автомобілем за нерівні інтервали часу;
* с. v3+v4 80 + 45 „
тому було б неправильно вважати, що v = — 1 = = 62,5 (км/год). Не-
2 2
хай автомобіль їхав jc годин зі швидкістю v3 і у годин — зі швидкістю v4.
Va у
Тоді VjX = V4y = S, ЗВІДСИ X = —. Отже, середня швидкість
v3
2s 2v4v 2v3v4 2-80*45 , _
Vc =—-■=■—TL- = —Г^= ,-,c =57’6 (км/год). ■
x+y Y*y+y v3 + v4 125
V3
Приклад 2. Бригада робітників виконала деяке завдання. Якщо бригаду
зменшити на 20 осіб, то таке саме завдання вона виконає на 5 днів пізніше, ніж у
початковому складі, а якщо бригаду збільшити на 15 осіб, то вона виконає
завдання на 2 дні раніше. Скільки робітників було в бригаді спочатку і за скільки днів
вони виконали завдання?
□ Нехай х робітників виконали завдання за у днів: тоді за умовою
ху= (х - 20)(у + 5) і дгу = (х + 15>(у - 2).
_ . . jc-20 у . jc + 15
Запишемо обидві рівності у вигляді пропорцій: = —=-— і =
х у + 5 х
= —-—. Кожну пропорцію виду — = — замінимо рівносильною пропорцією
у-2 Ь d
a-b c-d ^ . -20 -5.15 2 ^
виду = . Тоді отримаємо = і — = . Тепер легко
b d х у + 5 х у-2
визначимо, що х = 60 і у = 10. Отже, в бригаді було 60 робітників, які
виконали завдання за 10 днів. ■
316

Приклад 3. Три насоси, що качають воду для поливання, почали працювати
одночасно. Перший і третій насоси закінчили роботу одночасно, а другий —
через 2 шд після початку роботи. У результаті перший насос викачав 9 м3 води,
а другий і третій разом 28 м3. Яку кількість води викачує за годину кожний насос,
якщо відомо, що третій насос за годину викачує на 3 м3 більше, ніж перший, і що
три насоси, працюючи разом, викачують за годину 14 м3?
□ Нехай перший і другий насоси викачують за годину відповідно
х і у м3, тоді третій викачує за годину (jc + 3) м3. Другий і третій насоси
викачали відповідно 2у і (28 - 2у) м3 води. Перший насос працював — год,
х
третій — год. За умовою, — = — і 2х + у + 3 = 14. Розв’язавши
Jt + З х jc + 3
систему рівнянь, знаходимо х = 3,у = 5. Отже, відповідь така: 3,5 і 6 м3. ■
Приклад 4. Пішохід, що йде з будинку на залізничну станцію, пройшовши за
першу годину 3 км, розрахував, що він запізниться до відходу потяга на 40 хв, якщо
йтиме з такою самою швидкістю. Тому решту шляху він пройшов зі швидкістю
4 км/год і прибув на станцію за 15 хв до відходу потяга. Чому дорівнює відстань
від біудинку до станції і з якою сталою на всьому шляху швидкістю пішохід прийшов
би на станцію точно до відходу потяга?
□ Складемо таблицю:
Пішохід прийшов
би на станцію
Відстань, км
Швидкість, км/год
Час, год
Точно
X
V
X
V
Із запізненням
х-3
3
х-3
3
3 випередженням
х-3
4
jc-3
4
Прирівняємо інтервали часу, записані в першому і другому, першому і
третьому рядках; отримаємо систему рівнянь
х , х-3 2 х , х-3 1
- = 1 + ,- = 1 + + -,
V З З V 4 4
х 2 х ~h 2
або = , звідси х = 14. Отже, відповідь така: х = 14, v = 3,5 км/год. ■
З 4
Приклад 5. Відстань між точками А і В дорівнює 270 м. Від А до В
рівномірно рухається тіло; досягши В, воно відразу ж повертається назад з тією самою
Швидкістю. Друге тіло, що виходить з В до А через 11 с після виходу першого з А,
Рухається рівномірно, але повільніше. На шляху від В до А воно зустрічається з
317

Рис. 13.2
першим двічі: через 10 і 40 с після свого
виходу з В. Знайти швидкість руху
кожного тіла.
□ Зручна модель задачі — графік
рівномірного руху в системі координат
«шлях» (s — у метрах), «час» (/ — у
секундах). Нехай АС (рис. 13.2) — графік
руху і А до В зі швидкістю Vj = tg а (вісь
часу At); CD — графік руху з В до А того
самого тіла з тією самою швидкістю
Vj = tga (вісь часу Bt); EF— графік руху
з В до А зі швидкістю v2 = tg р, р < а (вісь
часу Bt).
Інтервал часу BE = 11, інтервал
часу до першої зустрічі ЕН = 10, між
першою і другою зустрічами НК = 30;
тоді NM = 2\vx;MH= 10v2, KF = 40v2, NM + MH = AB = 270, тобто
21 Vj + 10v2 = 270.
Інтервал часу
ЯС = ^ = 1(А;
V, V!
інтервал часу
(*)
С* = ^ =
= 40—. Оскільки НС + СК = 30, то 10—+ 40—= 30, звідси
Vj V, Vj
5v.
:3vl-
(**)
Розв’яжемо разом рівняння (*) і (**), знайдемо Vj = 10 м/с, v2 = 6 м/с. ■
Приклад 6. З А до В вийшла машина з поштою. Через 20 хв тим самим
маршрутом вийшла друга машина, швидкість якої 45 км/год. Наздогнавши
першу машину, водій передав пакет і негайно поїхав назад з тією самою швидкістю
(час, витрачений на зупинку і розворот, не враховується). У той момент, коли
перша машина прибула до В, друга досягла лише середини шляху від місця зустрічі
її з першою машиною до пункту А. Знайти швидкість першої машини, якщо відстань
між А і В дорівнює 40 км.
□ Розглянемо систему координат «шлях» (s — у кілометрах), «час»
(t — у годинах). Нехай АС (рис. 13.3) графік руху першої машини із шуканою
швидкістю v = tg a; DE і EF — графік руху «туди - назад» другої машини зі
швидкістю tg Р = 45; AD = і. Відомо, що АВ = 40 і G — середина шляху АН.
У У
Нехай AG = NK = у. Тоді інтервал часу DK = = —. Геометрично зрозу-
tgp 45
1 3 у
міло, що DK = KL= LM, тому інтервал часу руху першої машини AM = — + —■,
З 45
звідси
318

(Н)-40 <•
1 2 у
Інтервал часу AL = — +—, LE = ЛЯ = 2_у, тому
З 45
(М)-2'
Розв’яжемо разом рівняння (*) і (**), знайдемо >> = 15 км і v = ЗО км/год.И
Рис. 13.3
Приклад 7. З колби, що містить розчин солі, відливають — розчину в
п
пробірку і випарюють доти, доки відсотковий вміст солі в пробірці
збільшиться вдвічі. Після цього утворений розчин виливають у колбу і змішують з
розчином, що залишився в ній. У результаті вміст солі в розчині підвищився
на р %. Визначити відсотковий вміст солі в початковому розчині.
□ Нехай у колбі було спочатку п літрів розчину, який містить х % солі, що
становить л солі. У пробірку відлили — п = 1 л розчину. За умовою після
100 п
випарювання відсотковий вміст солі в пробірці збільшився вдвічі; оскільки
випаровується тільки вода, а кількість солі залишається незмінною, то потім у колбу
вилили тільки 0,5 л розчину. Тоді в колбі виявиться п — 1 + 0,5 = п - 0,5 л розчину,
319

пх . „ пх
у якому, як і раніше, міститься л солі. За умовою матимемо
_ (* + /?) (”—0^5) ^ ^ пх = (х + р)(п - 0,5), звідки х = р (2п- \).Ш
Приклад 8. Знайти всі натуральні трицифрові числа, кожне з яких має такі
властивості: перша цифра числа в 3 рази менша від суми двох інших його цифр;
різниця між самим числом і числом, що утворюється з нього перестановкою двох
останніх його цифр, невід’ємна і ділиться на 81.
□ Нехай шукане число має вигляд 100л + 10у + z, де jc, у, z — його цифри.
За умовою, 3jc =у + zi число 100jc + 10j> +z-(100jc + 10z + у) ділиться на 81.
Спрощуючи, отримаємо, що 9 (у - z) ділиться на 81, тобто у - z кратне
числу 9. Оскільки у і z — цифри, то це можливо лише у двох випадках:
І) у - z = 0 та 2) у - z = 9.
\r [3jC = .y + Z, . , .
У першому випадку отримаємо систему і , звідки 3jc = 2у, що
[y-z = 0
можливо лише днях = 2,у = z = З (шукане число 233), для jc = 4,у = z = 6 (шукане
число 466) і для х = 6, у — z — 9 (шукане число 699). У другому випадку отримає-
[3 x = y + z,
мо систему j ^ ^ Друге рівняння системи можливе лише для z = 0, у = 9;
тоді х = 3 і шукане число 390. Отже, відповідь така: 233, 390,466, 699.И
Група А
13.001. З даних чотирьох чисел перші три відносяться між собою як
—: —: —, а четверте становить 15% другого. Знайти ці числа, якщо відомо,
5 3 20
що друге число на 8 більше від суми решти.
13.002. Скільки кілограмів води потрібно випарити з 0,5 т целюлозної
маси, що містить 85% води, щоб одержати масу з вмістом 75% води?
13.003. У двох бідонах міститься 70 л молока. Якщо з першого бідона
перелити в другий 12,5% молока, що знаходиться в першому бідоні, то в
обох бідонах буде порівну. Скільки літрів молока в кожному бідоні?
13.004. Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку землі за
12 год. За який час могла б обробити цю ділянку кожна з бригад окремо, якщо
швидкості виконання роботи бригадами відносяться як 3 : 2?
13.005. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12. Якщо до цього числа
додати 36, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але у зворотному
порядку. Знайти вихідне число.
13.006. Тракторист зорав три ділянки землі. Площа першої дорівнює
2
— площі всіх трьох ділянок, а площа другої відноситься до площі третьої
320

3 4
як —: — . Знаити площу кожної ділянки, якщо площа третьої на 16 га менша, ніж
першої.
13.007. Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще
на 15 % і, нарешті, після перерахування зробили знижку ще на 10 %. На скільки
відсотків усього знизили початкову ціну товару?
13.008. Морська вода містить за масою 5% солі. Скільки прісної води
потрібно додати до 30 кг морської води, щоб концентрація солі становила 1,5 %?
13.009. У бібліотеці є книжки англійською, французькою і німецькою
мовами. Англійські книжки становлять 36% усіх книжок іноземними мовами,
французькі — 75% англійських, а решта 185 книжок — німецькі. Скільки книжок
іноземними мовами є у бібліотеці?
2
13.010. Насос може викачати з басейну — води за 7,5 хв. Проробивши
0,15 год, насос зупинився. Знайти місткість басейну, якщо після зупинки насоса
в басейні ще залишилося 25 м3 води.
13.011. Унаслідок реконструкції обладнання продуктивність праці робітника
підвищувалася двічі впродовж року на те саме число відсотків. На скільки
відсотків зростала щоразу продуктивність праці, якщо за той самий час робітник
раніше виготовляв виробів на 2500 грн*, а тепер на 2809 грн?
13.012. Робочий день зменшився з 8 до 7 год. На скільки відсотків треба
підвищити продуктивність праці, щоб при тих самих розцінках заробітна плата
зросла на 5 % ?
13.013. У січні завод виконав 105% місячного плану випуску готової
продукції, а в лютому випустив продукції на 4% більше, ніж у січні. На скільки
відсотків завод перевиконав двомісячний план випуску продукції?
13.014. Знайти три числа, якщо перше становить 80% другого, друге
9
відноситься до третього як 0,5: —, а сума першого і третього на 70 більша
другого.
13.015. Турист проїхав відстань між двома містами за 3 дні. За перший день
він проїхав ~ всього шляху і ще 60 км, за другий ~ всього шляху і ще 20 км,
5 23
а за третій день _Л усього шляху і решту 25 км. Знайти відстань між містами.
оО
13.016. Чисельники трьох дробів пропорційні до чисел 1, 2 і 3, а обернені
величини відповідних знаменників пропорційні до чисел 1, ]- і 0,2. Знайти ці
• 136
Дроои, якщо їх середнє арифметичне дорівнює .
* Зазначені в умові задач числові значення, що характеризують вартість, розмір
заробітку і премії, кредитні та інші грошові операції, не претендують на збіг з їх
реальними прототипами в сучасному житті.
321

13.017. Знайти суму трьох чисел, якщо третє відноситься до першого як
18,48 : 15,4 і становить 40% другого, а сума першого і другого дорівнює 400.
13.018. Вкладник зняв зі свого рахунку в Ощадбанку спочатку вкладу,
4
потім — решти грошей і ще 640 грн. Після цього в нього залишилося на ощад-
3
книжці •— усіх його грошей. Яким був вклад?
13.019. На прибиранні снігу працюють дві снігоочисні машини. Перша
може прибрати всю вулицю за 1 год, а друга — за 75% цього часу. Почавши
прибирання одночасно, обидві машини працювали разом 20 хв, потім перша
машина припинила роботу. Скільки ще потрібно часу, щоб друга машина закінчила
роботу?
13.020. Сума перших трьох членів пропорції дорівнює 58. Третій член
становить —, а другий — — першого члена. Знайти четвертий член про-
3 4
порції і записати її.
13.021. Одна бригада може зібрати урожай з поля за 12 днів. Другій
бригаді для виконання тієї самої роботи потрібно 75 % цього часу. Після того як
протягом 5 днів працювала тільки перша бригада, до неї приєдналася друга, і
обидві разом закінчили роботу. Скільки днів працювали бригади разом?
13.022. На вступному іспиті з математики 15 % вступників не розв’язали
жодної задачі, 144 особи розв’язали задачі з помилками, а кількість тих, хто
розв’язав усі задачі правильно, відноситься до кількості тих, хто не розв’язав
зовсім, як 5 : 3. Скільки осіб складали іспит з математики цього дня?
13.023. Однотипні деталі обробляються на двох верстатах.
Продуктивність першого верстата на 40 % більша від продуктивності другого. Скільки
деталей було оброблено за зміну на кожному верстаті, якщо перший
працював у цю зміну 6 год, а другий — 8 год, причому обидва верстати разом обробили
820 деталей?
13.024. Тракторна бригада може зорати ~ ділянки землі за 4 год 15 хв.
6
До обідньої перерви бригада працювала 4,5 год, після чого залишилися
незораними ще 8 га. Якою завбільшки була ділянка?
13.025. Від пристані в місто відійшов човен зі швидкістю 12 км/год, а
через півгодини після нього в тому самому напрямі вийшов пароплав зі
швидкістю 20 км/год. Яка відстань від пристані до міста, якщо пароплав прийшов
туди на 1,5 год раніше від човна?
13.026. Турист проплив річкою на човні 90 км і пройшов пішки 10 км. При
цьому на піший шлях було витрачено на 4 год менше, ніж на шлях річкою. Якби
турист ішов пішки стільки часу, скільки плив річкою, а плив річкою стільки
часу, скільки йшов пішки, то ці відстані були б однакові. Скільки годин він ішов
пішки і скільки годин плив річкою?
322

13.027. Сума квадратів цифр двоцифрового числа дорівнює 13. Якщо від
цього числа відняти 9, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але у
зворотному порядку. Знайти вихідне число.
13.028. Чисельники трьох дробів пропорційні до чисел 1,2,5, а знаменники
пропорційні відповідно до чисел 1,3,7. Середнє арифметичне цих дробів
дорівнює -j— • Знайти ці дроби.
13.029. У штаті гаража налічується 54 шофери. Скільки вільних днів може
мати кожен шофер на місяць (ЗО днів), якщо щодня 25% автомашин з наявних
60 залишаються в гаражі для профілактичного ремонту?
13.030. Три бригади робітників зробили насип. Уся робота оцінена в
325 500 грн. Яку зарплату одержить кожна бригада, якщо перша складалася з
15 осіб і працювала 21 день, друга — з 14 осіб і працювала 25 днів, а кількість
робітників третьої бригади, що працювала 20 днів, на 40% перевищувала
кількість робітників першої бригади?
13.031. Група студентів під час канікул здійснила похід по Київщині. Перші
30 км вони пройшли пішки, 20% решти маршруту пропливли на плоту річкою,
а потім знову йшли пішки, подолавши відстань у 1,5 рази більшу від тієї, яку
пропливли річкою. Решту шляху проїхали за 1 год 30 хв на попутній вантажівці,
що рухалася зі швидкістю 40 км/год. Яка довжина всього маршруту?
13.032. За 3,5 год роботи один штампувальний прес може виготовити
42% замовлених деталей. Другий прес за 9 год роботи може виготовити 60% усіх
деталей, а швидкості виконання роботи на третьому і другому пресах відносяться
як 6 : 5. За скільки годин буде виконано замовлення, якщо всі три преси
працюватимуть одночасно?
13.033. Кожна з двох друкарок передруковувала рукопис обсягом
72 сторінки. Перша друкарка передруковувала 6 сторінок за той самий час, за
який друга передруковувала 5 сторінок. Скільки сторінок передруковувала
кожна друкарка за годину, якщо перша закінчила роботу на 1,5 год швидше від
другої?
13.034. У магазин для продажу надійшли підручники з фізики й
математики. Коли продали 50% підручників з математики і 20% підручників з фізики,
що становить разом 390 книжок, підручників з математики залишилося в 3 рази
більше, ніж з фізики. Скільки підручників з математики і скільки з фізики
надійшло для продажу?
13.035. Взуттєва фабрика за перший тиждень виконала 20% місячного
плану, за другий — 120% кількості продукції, виробленої за перший тиждень, а за
третій тиждень — 60% продукції, виробленої за перші два тижні разом. Який
місячний план випуску взуття, якщо відомо, що для його виконання необхідно за
останній тиждень місяця виготовити 1480 пар взуття?
13.036. Свіжі гриби містять за масою 90% води, а сухі 12%. Скільки вийде
сухих грибів із 22 кг свіжих?
13.037. Один млин може змолоти 19 ц пшениці за 3 год, другий — 32 ц за
5 год, а третій — 10 ц за 2 год. Як розподілити 133 т пшениці між цими млинами,
Щоб, одночасно почавши роботу, вони закінчили її також одночасно?
323

13.038. У трьох секціях спортивної школи було 96 спортсменів. Кількість
членів ковзанярської секції становила 0,8 кількості членів лижної, а кількість
членів хокейної секції становила 33-j% сумарної кількості членів двох перших
секцій. Скільки спортсменів було в кожній секції?
13.039. За перший квартал автозавод виконав 25% річного плану випуску
автомашин. Кількість машин, випущених за другий, третій і четвертий квартали,
виявилася пропорційною до чисел 11,25, 12 і 13,5. Визначити перевиконання
річного плану у відсотках, якщо в другому кварталі автозавод випустив
продукції в 1,08 рази більше, ніж у першому.
13.040. Троє співробітників одержали премію 2970 грн, причому
другий одержав ^ того, що одержав перший, і ще 180 грн, а третій одержав
~ грошей другого і ще 130 грн. Яку премію одержав кожен?
13.041. Змішали 30%-й розчин соляної кислоти з 10%-м і одержали
600 г 15%-го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?
3 5 3
13.042. Площі трьох ділянок землі відносяться як 2 —: 1—: 1— . З першої
4 6 8
ділянки зібрано зерна на 72 ц більше, ніж із другої. Знайти площу всіх трьох
ділянок, якщо середня врожайність становить 18 ц з 1 га.
13.043. Відстань між містом А і містом В залізницею дорівнює 415 км.
На цьому шляху розташовані міста С і D. Відстань між містами А
і С відноситься до відстані між С і D як 7 : 9, а відстань між містами С і D
21
становить — відстані між містами D і В. Знайти відстані між кожними двома
сусідніми містами.
13.044. У магазин привезли цукор і цукор-пісок у 63 мішках, усього 4,8 %
причому мішків із цукром-піском було на 25% більше, ніж з цукром. Маса кожно-
3 .
го мішка з цукром становила — маси мішка з цукром-піском. Скільки привезли
цукру і скільки цукру-піску?
13.045. Шматок сплаву міді та цинку масою 36 кг містить 45% міді. Скільки
міді потрібно додати до цього шматка, щоб отриманий новий сплав містив 60%
міді?
13.046. Мисливський порох складається із селітри, сірки і вугілля. Маса
сірки повинна відноситися до маси селітри як 0,2 :1,3, а маса вугілля становити
11 і % маси сірки і селітри разом. Скільки потрібно кожної речовини на
виготовлення 25 кг пороху?
324

13.047. Музичний театр оголосив конкурс для вступу до оркестру.
Спочатку передбачалося, що кількість місць для скрипалів, віолончелістів і
сурмачів розподілиться у відношенні 1,6:1:0,4. Однак потім було вирішено
збільшити прийом, і в результаті скрипалів було прийнято на 25% більше, а
віолончелістів на 20% менше, ніж передбачалося. Скільки музикантів кожного жанру
було прийнято в оркестр, якщо всього прийняли 32 особи?
19
13.048. Довжина Дунаю відноситься до довжини Дніпра як —: 5 , а
довжина Дону відноситься до довжини Дунаю як 6,5 : 9,5. Знайти довжину
кожної з річок, якщо Дніпро довший за Дон на 300 км.
13.049. Перше з невідомих чисел становить 140% другого, а відношення
14 ^
першого до третього дорівнює — . Знаити ці числа, якщо різниця між третім і
другим на 40 одиниць менша за число, що становить 12,5% суми першого і
другого чисел.
З 4
13.050. Виплати робітнику за жовтень і листопад відносилися як —: — , а за
g
листопад і грудень як 2: — . За грудень він одержав на 450 грн більше, ніж за
жовтень, і за перевиконання квартального плану робітникові нарахували
премію, що становить 20 % його тримісячного заробітку. Знайти розмір премії.
13.051. По нахиленій дошці завдовжки 6 м котяться два циліндри, в одного
з яких довжина кола дорівнює 3 дм, а в другого 2 дм. Чи можна збільшити
довжини кіл обох циліндрів на одне й те саме значення так, щоб на тому самому
шляху один з них зробив на 3 оберти більше за другого?
13.052. Штучна водойма має форму прямокутника з різницею сторін
1 км. Два рибалки, що знаходяться в одній вершині цього прямокутника,
одночасно відправилися в пункт, розташований у протилежній вершині. При
цьому один рибалка поплив на човні навпростець по діагоналі, а другий пішов
пішки вздовж берега. Визначити розміри водойми, якщо кожен рибалка
пересувався зі швидкістю 4 км/год і один з них прибув до місця призначення на
30 хв раніше від другого.
13.053. Кристал, перебуваючи в стадії формування, рівномірно нарощує
свою масу. Спостерігаючи формування двох кристалів, помітили, що за рік
перший кристал збільшив свою початкову масу на 4%, а другий — на 5%, тоді як
приріст маси першого кристала за 3 міс. виявився рівним приросту маси
другого кристала за 4 міс. Які були початкові маси цих кристалів, якщо відомо, що
після того як кожна з них збільшилася на 20 г, відношення маси першого
кристала до маси другого кристала стало 1,5?
13.054. Один фермер одержав середній урожай гречки 21 ц з 1 га, а
другий, у якого під гречкою було на 12 га менше, домігся середнього врожаю 25 ц з
1 га. У результаті другий фермер зібрав на 300 ц гречки більше, ніж перший.
Скільки центнерів гречки зібрав кожний фермер?
325

13.055. На вагоноремонтному заводі за певний строк мали відремонтувати
330 вагонів. Перевиконуючи план ремонту в середньому на 3 вагони на тиждень,
на заводі вже за два тижні до строку відремонтували 297 вагонів. Скільки вагонів
на тиждень ремонтували на заводі?
13.056. На відстані s км вантажний автомобіль витрачає бензину на а л
більше, ніж легковий. Витрачаючи 1 л бензину, вантажний автомобіль проходить
по тій самій дорозі на b км менше, ніж легковий. Яка витрата бензину кожного з
цих автомобілів на відстані s км?
13.057. Дві сили прикладено до однієї точки і спрямовано під прямим кутом.
Модуль однієї з них на 4 Н більший від модуля другої, а модуль рівнодійної на
8 Н менший за суму модулів даних сил. Знайти модулі даних сил та їх рівнодійної.
13.058. У лабораторії вимірюється швидкість, з якою поширюється звук
уздовж стрижнів, виготовлених з різних матеріалів. У першому досліді виявилося,
що весь шлях, який складається з трьох послідовно з’єднаних стрижнів, звук
проходить за час а с, а шлях, що складається з другого і третього стрижнів, звук
проходить у 2 рази швидше, ніж один перший стрижень. У другому досліді другий
стрижень замінили новим, і тоді послідовне з’єднання з трьох стрижнів звук пройшов
за час b с, а з’єднання з першого і другого стрижнів — удвічі повільніше, ніж один
третій стрижень. Знайти швидкість поширення звуку в новому стрижні, якщо його
довжина / м.
13.059. По обидва боки вулиці завдовжки 1200 м розташовані прямокутні
смуги землі, відведені під ділянки, одна — завширшки 50 м, друга — 60 м. На
скільки ділянок розбито все селище, якщо вужча смуга містить на 5 ділянок
більше, ніж широка, за умови, що на вузькій смузі кожна ділянка на 1200 м2
менша, ніж кожна ділянка на широкій смузі?
13.060. Вантаж масою 60 кг тисне на опору. Якщо масу вантажу зменшити
на 10 кг, а площу опори зменшити на 5 дм2, то маса, що припадає на кожен
квадратний дециметр опори, збільшиться на 1 кг. Визначити площу опори.
13.061. Для оплати пересилання чотирьох бандеролей
знадобилися 4 різних поштових марки на загальну суму 21 грн. Визначити вартість
марок, придбаних відправником, якщо ці вартості утворюють арифметичну
прогресію, а найдорожча марка у 2,5 рази дорожча від найдешевшої.
13.062. Учень токаря виточує шахові пішаки для певної кількості
комплектів шахів. Він хоче навчитися виготовляти щодня на 2 пішаки більше, ніж
тепер; тоді таке саме завдання він виконає на 10 днів швидше. Якби йому вдалося
навчитися виготовляти щодня на 4 пішаки більше, ніж тепер, то строк
виконання такого ж завдання зменшився б на 16 днів. Скільки комплектів
шахів забезпечує пішаками цей учень, якщо для кожного комплекту потрібно
16 пішаків?
13.063. У кінозалі клубу було 320 місць, розташованих однаковими рядами.
Після того як кількість місць у кожному ряду збільшили на 4 і додали ще один
ряд, у кінозалі стало 420 місць. Скільки стало рядів у кінозалі?
13.064. Запас сіна такий, що можна щодня видавати на всіх коней 96 кг.
Насправді щоденну порцію кожного коня змогли збільшити на 4 кг, бо двох
коней продали. Скільки коней було спочатку?
326

13.065. Твір писали 108 абітурієнтів. їм було роздано 480 аркушів паперу,
причому кожна дівчина отримала на один аркуш більше, ніж кожен юнак, а всі
дівчата отримали стільки аркушів, скільки всі юнаки. Скільки було дівчат і
скільки юнаків?
13.066. На машинобудівному заводі розробили новий тип деталей для
генераторів. Із 875 кг металу виготовляють тепер на три деталі нового типу
більше, ніж деталей старого типу виготовляли з 900 кг. Які маси деталей нового
і старого типів, якщо дві деталі нового типу за масою менші за одну деталь
старого типу на 0,1 т?
13.067. Першого дня спортивних змагань не виконали залікові норми і
вибули з подальшої боротьби — складу команди юнаків і \ складу команди
6 7
дівчат. У подальших змаганнях з обох команд через невиконання норм вибула
однакова кількість спортсменів. Усього до кінця змагань не виконали залікові
норми 48 осіб з команди юнаків і 50 осіб з команди дівчат, але із загальної кількості
спортсменів, що виконали залікові норми, дівчат виявилося вдвічі більше, ніж
юнаків. Яка початкова чисельність команд?
13.068. Робочий час майстрів А і В оплачується неоднаково, але обидва
майстри працювали однакову кількість годин. Якби А працював на 1 год менше,
а В — на 5 год менше, то А заробив би 720 грн, а В — 800 грн. Якби, навпаки, А
працював на 5 год менше, а В — на 1 год менше, то В заробив би на 360 грн
більше, ніж А. Яку суму одержав кожен майстер за весь час роботи?
13.069. У першому басейні 200 м3 води, а в другому — 112 м3. Відкривають
крани, через які наповнюються басейни. Через скільки годин кількість води в
басейнах буде однаковою, якщо в другий басейн вливається за годину на 22 м3
більше води, ніж у перший?
13.070. Через 1 год після початку рівномірного спуску води в басейні її
залишилося 400 м3, а ще через 3 год — 250 м3. Скільки води було в басейні
спочатку?
13.071. Для перевезення 60 т вантажу з одного місця в інше замовили деяку
кількість машин. Через несправність дороги на кожну машину довелося
вантажити на 0,5 т менше, ніж передбачалося, тому було додатково викликано ще
4 машини. Яку кількість автомашин було викликано спочатку?
13.072. Місто С, розташоване між пунктами А і В на одній прямій,
забезпечується газом з цих пунктів, відстань між якими 500 км. З резервуара Л
щохвилини відкачується 10 000 м3 газу, а з резервуара В — на 12% більше. При
цьому витік газу в кожній магістралі становить 4 м3 за хвилину на кілометр
труби. Знайти відстань між містом С і пунктом Л, якщо в місто С газ надходить
з резервуарів А і В порівну.
13.073. Є два шматки кабелю різних сортів. Маса першого шматка
дорівнює 65 кг; другий, довжина якого на 3 м більша від довжини першого і маса
кожного метра якого на 2 кг більша від маси кожного метра першого шматка, має
масу 120 кг. Знайти довжини цих шматків.
327

13.074. У швейний цех надійшло три сувої білизняної тканини, усього
5000 м. У першому сувої кількість тканини була в 3 рази меншою, ніж у
другому, а в третьому — 22% усієї кількості. З тканини першого сувою
зшили 150 простирадл і 240 наволочок. Для виготовлення одного простирадла
було потрібно на 3,25 м більше тканини, ніж для виготовлення однієї
наволочки. Скільки метрів тканини потрібно на одну наволочку?
13.075. Двоє робітників за зміну разом виготовили 72 деталі. Після того як
перший робітник підвищив продуктивність праці на 15%, а другий — на 25%,
разом за зміну вони почали виготовляти 86 деталей. Скільки деталей виготовляє
кожен робітник за зміну після підвищення продуктивності праці?
13.076. Збір кукурудзи з полів тваринницької ферми становить 4340 ц.
На наступний рік заплановано одержати 5520 ц кукурудзи за рахунок
збільшення площі на 14 га і збільшення врожайності на 5 ц з 1 га. Визначити площу,
зайняту під кукурудзу, і врожайність у центнерах з 1 га (врожай був меншим від
40 ц з 1 га).
13.077. Старший брат на мотоциклі, а молодший на велосипеді здійснили
двогодинну поїздку до лісу і назад. При цьому мотоцикліст проїжджав кожен
кілометр на 4 хв швидше, ніж велосипедист. Скільки кілометрів проїхав кожний
із братів за 2 год, якщо відомо, що шлях, який подолав старший брат за цей
час, на 40 км більший?
5
13.078. Турист їхав на автомобілі — усього шляху, а іншу частину — на
о
катері. Швидкість катера на 20 км/год менша від швидкості автомобіля. На
автомобілі турист їхав на 15 хв довше, ніж на катері. Які швидкість автомобіля і
швидкість катера, якщо весь шлях туриста дорівнює 160 км?
13.079. Перший турист, проїхавши 1,5 год на велосипеді зі швидкістю
16 км/год, зупинився на 1,5 год, а потім продовжив шлях з початковою
швидкістю. Через 4 год після відправлення в дорогу першого туриста навздогін йому
виїжджає на мотоциклі другий турист зі швидкістю 56 км/год. Яку відстань вони
проїдуть, перш ніж другий турист наздожене першого?
13.080. Із селища, розміщеного за 60 км від міста, сьогодні повинен приїхати
батько студентки, який хотів відвідати недільну лекцію. Проте лекцію перенесли
на інший день. Щоб попередити батька про це, дочка поїхала по шосе назустріч
йому. Під час зустрічі з’ясувалося, що батько і дочка виїхали на мопедах
одночасно, але середня швидкість дочки була вдвічі більшою. Повертаючись
після зустрічі, кожний з них збільшив початкову швидкість на 2 км/год, і дочка
прибула в місто на 5 хв пізніше, ніж батько в селище. З якими середніми
швидкостями батько і дочка їхали спочатку?
13.081. Мотоцикліст відправився з пункту А в пункт В, відстань до якого
120 км. Назад він виїхав з тією самою швидкістю, але через годину після
виїзду повинен був зупинитися на 10 хв. Після цієї зупинки він продовжував
шлях до А, збільшивши швидкість на 6 км/год. Якою була початкова швидкість
мотоцикліста, якщо відомо, що на зворотний шлях він витратив стільки ж
часу, як і на шлях від А до В1
13.082. Дві групи туристів повинні йти назустріч одна одній з турбаз А і В,
відстань між якими 30 км. Якщо перша група вийде на 2 год раніше від
328

другої, то вони зустрінуться через 2,5 год після виходу другої групи. Якщо
ж друга група вийде на 2 год раніше, ніж перша, то зустріч відбудеться '
через 3 год після виходу першої групи. З якою середньою швидкістю йде кожна
група?
13.083. Товарний потяг був затриманий у дорозі на 12 хв, а потім на
відстані 60 км надолужив втрачений час, збільшивши швидкість на 15 км/год.
Знайти початкову швидкість потяга.
13.084. З пунктів А і В, відстань між якими 120 км, вийшли одночасно
назустріч один одному два автобуси. У дорозі перший зробив зупинку на 10 хв,
другий — на 5 хв. Перший автобус прибув до В на 25 хв раніше, ніж другий
прибув до А. Можна вважати, що швидкості руху автобусів були сталими,
причому швидкість першого автобуса перевищувала швидкість другого автобуса
на 20 км/год. Скільки часу тривала поїздка пасажирів кожного з цих автобусів
між пунктами А і В1
13.085. Два брати взяли свої велосипеди й одночасно вирушили в дорогу
з наміром проїхати 42 км. Старший брат на всьому шляху зберігав однакову
швидкість, а молодший брат щогодини відставав від старшого на 4 км. Оскільки
старший брат відпочивав цілу годину, а молодший — тільки 20 хв, то до фінішу
вони прибули одночасно. Скільки часу тривала поїздка?
13.086. Задумано ціле додатне число. До нього дописали справа цифру 7 і
від отриманого нового числа відняли квадрат задуманого числа. Остачу зменшили
на 75% цієї остачі і ще відняли задумане число. В остаточному результаті
отримали нуль. Яке число задумане?
13.087. Задумано ціле додатне число. До його запису приєднали праворуч
цифру 5 і від отриманого нового числа відняли квадрат вихідного числа.
Різницю поділили на вихідне число, а потім відняли
вихідне число й у результаті одержали
одиницю. Яке число задумане?
13.088. На рис. 13.4 зображено коло, яке
дотикається до двох взаємно перпендикулярних
осей Ох і Оу, і пряму АВ, дотичну до кола в точці
Р. Радіус кола R = 10 см, а площа трикутника
ОАВ дорівнює 600 см2. Визначити координати
точок А, В, Р, враховуючи, що ОА > ОВ.
13.089. Деяку відстань потяг пройшов зі
швидкістю 120 км/год. Після цього відстань, на
75 км більшу, він пройшов зі швидкістю
150 км/год, а іншу відстань, на 135 км меншу від пройденої, — зі швидкістю
96 км/год. Який завдовжки весь шлях, якщо середня швидкість потяга
виявилася рівною 120 км/год?
13.090. Є шматок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг, що містить
45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього шматка сплаву, щоб
отриманий новий сплав містив 40% міді?
13.091. Наявні на складі 300 кг товару продано в нерівних кількостях двом
організаціям за ціною 37 грн 50 к. за 1 кг. Перша організація перевозить
куплений товар на відстань 20 км, а друга — на 30 км. Перевезення 10 кг товару
329

становить 1 грн 50 к. за 1 км шляху. Знаючи, що друга організація заплатила за
покупку і перевезення товару на 2700 грн більше першої, визначити, скільки
кілограмів товару купила кожна організація і яку суму вона заплатила за товар
1 його перевезення.
13.092. Грошову премію було розподілено між трьома винахідниками: пер-
* З
шии одержав половину всієї премії без — того, що одержали двоє інших разом.
1 1
Другии одержав — всієї премії і — грошей, отриманих разом двома іншими.
4 56
Третій одержав 30 000 грн. Якою була премія і скільки грошей одержав кожен
винахідник?
13.093. Сплав міді зі сріблом містить срібла на 1845 г більше, ніж міді. Якби
до нього додати деяку кількість чистого срібла, що за масою становить ~ маси
чистого срібла, яке спочатку містилося в сплаві, то вийшов би новий сплав, який
містить 83,5 % срібла. Яка маса сплаву і який початковий відсотковий вміст у
ньому срібла?
13.094. У 500 кг руди міститься деяка кількість заліза. Після видалення з
руди 200 кг домішок, що містять у середньому 12,5% заліза, вміст заліза у руді
підвищився на 20%. Яка кількість заліза залишилася ще в руді?
13.095. На рівному горизонтальному
майданчику стоять дві щогли однакової
висоти на відстані 5 м одна від одної. На
висоті 3,6 м від майданчика до кожної щогли
прикріплено за один кінець шматок дроту
завдовжки 13 м. Дріт натягнутий у площині
розташування щогл і прикріплений до
майданчика, як показано на рис. 13.5. На якій
відстані від найближчої щогли розміщена
точка кріплення дроту до майданчика?
13.096. Велосипедист щохвилини
проїжджає на 500 м менше, ніж мотоцикліст, тому на шлях 120 км він витрачає на
2 год більше, ніж мотоцикліст. Обчислити швидкість кожного з них.
13.097. Відстань від А до В залізницею дорівнює 88 км, а річкою вона
становить 108 км. Потяг з А виходить на 1 год пізніше від теплохода і прибуває
в А на 15 хв раніше. Знайти середню швидкість потяга, якщо відомо, що вона на
40 км/год більша від середньої швидкості теплохода.
13.098. Пішохід і велосипедист вирушають одночасно назустріч один
одному з містЛ і В, відстань між якими 40 км, і зустрічаються через 2 год. Потім вони
продовжують шлях, причому велосипедист прибуває в А на 7 год 30 хв
раніше, ніж пішохід у В. Знайти швидкості пішохода і велосипедиста,
вважаючи, що вони увесь час залишалися незмінними.
13.099. Відстань між селищами А і В дорівнює s км. З А вирушили в В
одночасно однією і тією самою дорогою два автотуристи, які повинні прибути у В
одночасно. Насправді перший турист прибув у В на п год раніше строку, а
VO
сп
777/7
>///?//////////>
5 м
J//
Рис. 13.5
330

другий на З/i год спізнився, бо проїжджав за кожну годину в середньому на г км
Менше від першого. Визначити середню швидкість кожного автотуриста.
13.100. Визначити ціле додатне число за такими даними: якщо його записати
цифрами і дописати справа цифру 4, то утвориться число, що ділиться без остачі
на число, більше від шуканого на 4, причому отримана частка являє собою
число, менше від дільника на 27.
13.101. Одночасно назустріч один одному повинні вийти А із селища М і В
із селища N. Однак А затримався і вийшов пізніше на 6 год. Під час зустрічі
з’ясувалося, щоЛ пройшов на 12 км менше, ніж В. Відпочивши, вони одночасно
залишили місце зустрічі і продовжили шлях з початковою швидкістю. У
результаті А прийшов у N через 8 год, а В прийшов у М через 9 год після
зустрічі. Визначити відстань MN і швидкості пішоходів.
13.102. Дано два двоцифрових числа, з яких друге позначене тими самими
цифрами, що й перше, але записаними у зворотному порядку. Частка від ділення
першого числа на друге дорівнює 1,75. Добуток першого числа і цифри його
десятків у 3,5 рази більший від другого числа. Знайти ці числа.
13.103. Від залізничної станції до турбази можна пройти по шосе або
стежкою, причому стежкою ближче на 5 км. Два товариша домовилися, що один
піде по шосе, строго дотримуючись швидкості v км/год, а другий — стежкою зі
швидкістю 3 км/год. Другий прийшов на турбазу раніше від першого на 1 год.
Знайти відстань від станції до турбази по шосе і швидкість v першого товариша,
якщо ВІДОМО, ЩО V — ціле число.
13.104. Довжина автобусного маршруту становить 16 км. У години «пік»
автобус переходить на режим експреса, тобто значно зменшує кількість
зупинок, унаслідок чого тривалість поїздки від початку до кінця маршруту
скорочується на 4 хв, а середня швидкість автобуса збільшується на 8 км/год. Яка
швидкість автобуса у режимі експреса?
13.105. По одній із трамвайних ліній почали курсувати трамваї нової
конструкції. Рейс завдовжки 20 км триває тепер на 12 хв менше, бо середня
швидкість трамвая нової конструкції на 5 км/год більша від середньої швидкості
трамвая застарілої конструкції. Скільки часу витрачає на рейс трамвай нової
конструкції та яка його середня швидкість?
13.106. Літак повинен пролетіти 2900 км. Пролетівши 1700 км, він зробив
вимушену посадку на 1 год 30 хв, після чого полетів зі швидкістю на 50 км/год
меншою, ніж раніше. Знайти початкову швидкість літака, якщо відомо, що він
прибув на місце через 5 год після вильоту.
13.107. Дві бригади, працюючи разом, повинні відремонтувати ділянку
шосейної дороги за 18 днів. Насправді ж сталося так, що спочатку працювала
тільки одна перша бригада, а закінчувала ремонт ділянки дороги одна друга
бригада, продуктивність праці якої вища, ніж у першої бригади. У результаті
ремонт ділянки дороги продовжувався 40 днів, причому перша бригада у свій
2
робочий час виконала — всієї роботи. За скільки днів була б відремонтована
Ділянка дороги кожною бригадою окремо?
331

13.108. На полях, виділених агролабораторії для дослідів, із двох ділянок
зібрали 14,7 ц зерна. Наступного року після застосування нових методів
агротехніки врожай на першій ділянці підвищився на 80%, а на другій — на 24%, завдяки
чому з цих ділянок було зібрано 21,42 ц зерна. Скільки центнерів зерна
збирають з кожної ділянки після застосування нових методів агротехніки? !
13.109. Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч один одному з двох
місць, відстань між якими 270 км. Другий проїжджає за годину на 1,5 км менше,
ніж перший, і зустрічається з ним через стільки годин, скільки кілометрів за
годину долає перший. Визначити швидкість кожного велосипедиста.
13.110. Два потяги відправляються з пунктів А і В назустріч один одному.
Вони зустрінуться на середині шляху, якщо потяг з А вийде на 2 год раніше, ніж
потяг з В. Якщо ж обидва потяги вийдуть одночасно, то через 2 год відстань між
ними становитиме 0,25 відстані між А і В. За скільки годин кожен потяг проходить
весь шлях?
13.111. Потяг затримали на / год. Збільшивши швидкість на т км/год,
машиніст на перегоні завдовжки s км ліквідував запізнення. Визначити, яку
швидкість мав би потяг на цьому перегоні, якби не було затримки.
13.112. Два тіла рухаються назустріч один одному з двох місць, відстань
між якими 390 м. Перше тіло пройшло за першу секунду 6 м, а за кожну наступну
проходило на 6 м більше, ніж за попередню. Друге тіло рухалося рівномірно зі
швидкістю 12 м/с і почало рух через 5 с після першого. Через скільки секунд
після того, як почало рухатися перше тіло, вони зустрінуться?
13.113. В отвір труби ввійшла одна матеріальна частинка, а через 6,8 хв у
той самий отвір увійшла друга частинка. Ввійшовши в трубу, кожна частинка
негайно починає поступальний рух уздовж труби: перша частинка рухається
рівномірно зі швидкістю 5 м/хв, друга за першу хвилину проходить 3 м, а за
кожну наступну хвилину на 0,5 м більше, ніж за попередню. Через скільки
хвилин друга частинка наздожене першу?
13.114. Відстань між двома містами дорівнює а км. Два автомобілісти,
виїхавши з цих міст назустріч один одному, зустрінуться на півшляху, якщо
перший виїде на / год раніше від другого. Якщо ж назустріч один одному вони
виїдуть одночасно, то зустріч відбудеться через 2/ год. Визначити швидкість
кожного автомобіля, вважаючи, що швидкості сталі на всьому шляху.
13.115. Турист А відправився з міста М до міста N зі сталою швидкістю
12 км/год. Турист В, що знаходився в місті N, одержавши сигнал, що А уже
проїхав 7 км, негайно виїхав назустріч йому і проїжджав щогодини 0,05 усієї
відстані між Мі N. З моменту виїзду В до його зустрічі з А пройшло стільки
годин, на скільки кілометрів за годину просувався В. Знайти відстань між містами
М і N, якщо вона не менша 100 км.
13.116. Вийшовши зі станції із запізненням на 20 хв, потяг долав перегін
160 км зі швидкістю, що перевищує швидкість за розкладом на 16 км/год, і
досяг кінця перегону вчасно. Яка за розкладом швидкість потяга на цьому
перегоні?
13.117. Велосипедист проїхав 60 км від пункту А до пункту В. На зворотному
шляху він першу годину їхав з попередньою швидкістю, потім зробив зупинку
на 20 хв. Почавши рух знову, він збільшив швидкість на 4 км/год і тому витратив
332

на шлях від В до А стільки ж часу, скільки і на шлях від А до В. Визначити
швидкість велосипедиста на шляху від А до В.
13.118. Два автобуси одночасно виїхали з фабрики і направилися в зону
відпочинку, до озера. Відстань між фабрикою й озером 48 км. Перший автобус
прибув до озера на 10 хв раніше від другого, причому середня швидкість другого
менша від середньої швидкості першого на 4 км/год. Знайти швидкості автобусів.
13.119. Добуток цифр двоцифрового числа в 3 рази менший від самого
числа. Якщо до цього числа додати 18, то утвориться число, написане тими
самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайти вихідне число.
13.120. Мотоцикліст зупинився для заправки пальним на 12 хв. Після
цього, збільшивши швидкість руху на 15 км/год, він надолужив втрачений час на
відстані 60 км. З якою швидкістю він рухався після зупинки?
13.121. Під час випробувань на дальність літак пролетів від заводського
аеродрому до заздалегідь наміченого пункту всього s км, витративши на це
/j год. Потім він розвернувся і за час t2 год повернувся на аеродром (/] < /2 )•
У польоті туди і назад власна швидкість літака (швидкість відносно нерухомої
маси повітря) зберігалася сталою, а нерівність tx < t2 пояснюється впливом
вітру, спочатку попутним, а потім зустрічним. Знайти власну швидкість v літака,
швидкість вітру vB і шлях = vB (/2 - ), пройдений літаком відносно
нерухомої маси повітря.
13.122. Два брати мали квитки на стадіон, розміщений за 20 км від їхнього
будинку. Щоб добратися до стадіону, вони вирішили скористатися своїм
велосипедом і домовилися, що вирушать одночасно, один на велосипеді, а
другий пішки; проїхавши частину шляху, перший залишить велосипед, а другий,
дійшовши до місця, де буде залишений велосипед, далі поїде на ньому і
наздожене першого біля входу на стадіон. Де повинен залишити велосипед перший
брат і скільки часу піде на дорогу, якщо кожний із братів йтиме рівномірно зі
швидкістю 4 км/год, а їхатиме в 5 разів швидше?
13.123. Мотоцикліст затримався біля шлагбаума на 24 хв. Збільшивши після
цього швидкість на 10 км/год, він надолужив запізнення на перегоні 80 км.
Визначити швидкість мотоцикліста до затримки.
13.124. З порту одночасно вийшли два теплоходи, причому один з них
пішов на південь, а другий на схід. Через 2 год відстань між ними становила
174 км. Знайти середню швидкість кожного теплохода, якщо відомо, що один з
них у середньому за кожну годину проходив на 3 км більше, ніж інший.
13.125. Швидкості пасажирського і товарного потягів відносяться як а : Ь.
Пасажирський потяг вийшов зі станції А на 0,5 год пізніше від товарного, а
прибув на станцію В на 0,5 год раніше від нього. Знайти швидкості потягів, якщо
відстань між А і В дорівнює s км.
13.126. На двох колах рівномірно обертаються дві точки. Одна з них робить
повний оберт на 5 с швидше, ніж друга, і тому встигає зробити за 1 хв на два
оберти більше. Скільки обертів за хвилину робить кожна точка?
13.127. За сигналом дресирувальника два поні одночасно побігли
Рівномірно вздовж зовнішньої окружності арени цирку в протилежних
напрямах. Перший поні біг трохи швидше другого і до моменту зустрічі пробіг
333

на 5 м більше, ніж другий. Продовжуючи біг, перший поні підбіг до
дресирувальника, що залишався на тому самому місці, від якого почали бігти
поні, через 9 с після зустрічі з другим поні, а другий — через 16 с після їхньої
зустрічі. Який діаметр арени? /
13.128. Над пунктом А вертоліт був о 8 год ЗО хв. Пролетівши по прямій
s км, вертоліт виявився над пунктом В. Протримавшись 5 хв у повітрі над
пунктом В, вертоліт рушив зворотним курсом тією самою трасою. До пункту
А він повернувся о 10 год 35 хв. Від А до В він летів за вітром, а назад — проти
вітру. Швидкість вітру весь час була сталою. Знайти швидкість вітру, якщо
власна швидкість вертольота стала і в безвітряну погоду дорівнює v км/год.
При якому співвідношенні між даними величинами задача має розв’язок?
13.129. О 9 год самохідна баржа вийшла з А вгору по річці і прибула в
пункт В; через 2 год після прибуття в В ця баржа вирушила назад і прибула в
А о 19 год 20 хв того самого дня. Припускаючи, що середня швидкість течії
річки 3 км/год і власна швидкість баржі стала, визначити, коли баржа прибула
в пункт В. Відстань між А і В дорівнює 60 км.
13.130. Два приятелі в одному човні пройшли по річці вздовж берега і
повернулися цією самою трасою через 5 год з моменту відплиття. Весь рейс
становив 10 км. За їхніми підрахунками, на кожні 2 км проти течії в середньому
вони витрачали стільки часу, скільки на кожні 3 км за течією. Знайти швидкість
течії, час проїзду туди і час проїзду назад.
13.131. Бакенщик, інспектуючи свою ділянку річки, у звичайному
весловому човні піднявся вгору по річці на 12,5 км, а потім по тій самій трасі
повернувся на попереднє місце. У цьому рейсі він долав кожні 3 км проти течії і кожні
5 км за течією в середньому за однакові проміжки часу, а всього в дорозі
перебував рівно 8 год. Знайти швидкість течії і час рейсу бакенщика вгору по
річці.
13.132. У лабораторній установці деяка рідина надходить у посудину через
три вхідних крани. Якщо відкрити всі крани одночасно, то посудина наповниться
за 6 хв. Якщо ж наповнити посудину тільки через другий кран, то на це потрібно
0,75 того часу, за який може наповнитися посудина тільки через один перший
кран. Через один третій кран ця посудина наповнюється на 10 хв довше, ніж
через один другий кран. На який час треба відкривати кожен кран окремо для
наповнення посудини?
13.133. Басейн має три труби різного перерізу для відведення води за
допомогою рівномірно відкачувального насоса. Через першу і другу труби
разом при закритій третій трубі наповнений басейн спорожняється за а хв, через
першу і третю разом при закритій другій — за b хв, а через другу і третю труби
при закритій першій — за с хв. За який час наповнений басейн спорожняється
через кожну трубу окремо?
13.134. Відповідно до програми, два верстати на поточній лінії повинні за
а год обробити по однаковій кількості деталей. Перший верстат виконав завдання.
Другий верстат виявився не зовсім справним, працював з перебоями, внаслідок
чого за той самий час обробив на п деталей менше, ніж перший. Обробка однієї
деталі другим верстатом продовжувалася в середньому на b хв більше, ніж
першим. Скільки деталей обробив кожен верстат?
334

13.135. Бригада слюсарів може виконати деяке завдання з обробки деталей
На 15 год швидше, ніж бригада учнів. Якщо бригада учнів відпрацює 18 год,
виконуючи це завдання, а потім бригада слюсарів продовжить виконання завдання
протягом 6 год, то і тоді буде виконано тільки 0,6 усього завдання. Скільки
годин потрібно бригаді учнів для самостійного виконання завдання?
13.136. Від пристані за течією річки відправився пліт. Через 5 год 20 хв за
плотом з тієї самої пристані вирушив моторний човен, що наздогнав пліт,
подолавши 20 км. Яка швидкість плоту, якщо відомо, що швидкість моторного
човна більша за швидкість плоту на 12 км/год?
13.137. Три машини різних систем виконують деяку обчислювальну
роботу. Якщо всю роботу доручити тільки одній другій чи одній першій
машині, то одна друга машина витратить на виконання всієї роботи на 2 хв
більше, ніж одна перша. Одна третя машина може виконати всю роботу за
строк, удвічі більший, ніж одна перша. Оскільки частини роботи однотипні,
то всю роботу можна поділити між трьома машинами. Тоді, працюючи разом
і закінчивши роботу одночасно, вони виконають її за 2 хв 40 с. За який час
може виконати цю роботу кожна машина окремо?
13.138. Двоє робітників, з яких другий почав працювати на 1,5 дні пізніше
від першого, працюючи незалежно один від одного, обклеїли шпалерами кілька
кімнат за 7 днів вій моменту виходу на роботу першого робітника. Якби ця
робота була доручена кожному окремо, то першому для її виконання
знадобилося б на З дні більше, ніж другому. За скільки днів кожний з них окремо виконав
би цю роботу?
13.139. Знайти двоцифрове число, частка від ділення якого на добуток
його цифр дорівнює j , а різниця між шуканим числом і числом, написаним
тими самими цифрами, але у зворотному порядку, дорівнює 18.
13.140. На одному з двох верстатів обробляють партію деталей на 3 дні
довше, ніж на іншому. Скільки днів продовжувалася б обробка цієї партії деталей
кожним верстатом окремо, якщо відомо, що при спільній роботі на цих верстатах
утроє більша партія деталей була оброблена за 20 днів?
13.141. Було дано ціле число. Треба було збільшити його на 200 000 і
отримане число потроїти. Замість цього дописали до цифрового запису даного
числа справа цифру 2 і одержали правильний результат. Яке число було дано?
13.142. Чан наповнюється двома кранами А і В. Наповнення чана тільки
через кран А триває на 22 хв довше, ніж через кран В. Якщо ж відкрити обидва
крани, то чан наповниться за 1 год. За який інтервал часу кожен кран окремо
може наповнити чан?
13.143. Деяке завдання А виконує в строк на а днів більший, ніж В, і
на Ь днів більший, ніж С. Працюючи разом, А і В виконують завдання за
стільки ж днів, що й С. Визначити час, за який кожен виконує завдання
окремо. За якого співвідношення між даними величинами задача має розв’язок?
13.144. Сума всіх парних двоцифрових чисел поділилася на одне з них без
остачі. Одержана частка відрізняється від дільника тільки порядком цифр, а
сума її цифр дорівнює 9. Яке двоцифрове число було дільником?
335

13.145. Спочатку катер пройшов 10 км за течією річки, а потім удвічі
більшу відстань — по озеру, в яке впадає річка. Весь рейс тривав 1 год. Знайти
власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 7 км/год.
13.146. Знайти три числа, з яких перше більше від другого в стільки разів,
у СКІЛЬКИ Друге більше ВІД третього. Якщо ВІД першого числа ВІДНЯТИ суму/ДВОХ
інших, то утвориться 2, а якщо до першого додати піврізницю другого^
третього, то утвориться 9.
13.147. Є лист жерсті у формі прямокутника, відношення довжини якого
до ширини дорівнює 2:1.3 цього листа виготовлено відкриту зверху коробку
в такий спосіб, що по кутах листа вирізано по квадрату зі стороною 3 см, а
утворені краї загнуто. Визначити розміри жерсті, якщо об’єм коробки дорівнює
168 см3.
13.148. Фотокартку розмірами 12x18 см вставлено в рамку сталої ширини.
Визначити ширину рамки, якщо її площа дорівнює площі самої фотокартки.
13.149. Знайти два числа, сума яких дорівнює 44, причому менше число
від’ємне. Відсоткове відношення різниці між більшим і меншим числами до
меншого числа збігається з меншим числом.
13.150. У рукописі задачника з арифметики був приклад, у якому дане
число треба помножити на 3 і від отриманого результату відняти 4. У друкарні
замість знака множення поставили знак ділення, а замість мінуса — плюс. Проте
кінцевий результат від цього не змінився. Який приклад повинні були помістити
в задачнику?
13.151. Кішка, що бігла за мишкою вздовж довгого коридору, наздогнала
її через а с після початку погоні. Початкова відстань між ними / м. Якщо при
такій самій початковій відстані мишка з переляку побігла б не від кішки, а
назустріч їй, то була б схоплена через b с. Вважаючи, що в обох випадках
кішка і мишка докладали б максимальних зусиль, знайти середні швидкості
кожної з них.
13.152. Ділянка прямокутної форми обнесена огорожею. Якщо від неї
відрізати вздовж прямої деяку частину так, щоб частина, яка залишилася, була
квадратом, то його площа при цьому зменшиться на 400 м2, а огорожа зменшиться
на 20 м. Визначити початкові розміри ділянки.
13.153. Для спортмайданчика відвели ділянку у формі прямокутника з
діагоналлю, що дорівнює 185 м. Під час виконання будівельних робіт довжину
кожної сторони зменшили на 4 м. При цьому прямокутну форму було
збережено, але площа виявилася меншою на 1012 м2. Які справжні розміри
спортмайданчика?
13.154. За 1 кг одного продукту і 10 кг іншого заплачено 20 грн, Якщо при
сезонній зміні цін перший продукт подорожчає на 15%, а другий подешевшає на
25%, то за таку саму кількість цих продуктів буде заплачено 18 грн 20 к.
Скільки коштує кілограм кожного продукту?
13.155. Першого тижня відпустки друзі витратили на 60 грн менше, ніж
2 . w 1
— кількості взятих із собою грошей; другого тижня — решти і ще на квитки
З
в театр 12 грн; третього тижня — нової остачі і ще на морські прогулянки
336

ЗІ грн 20 к., після чого в них залишилося 420 грн. Скільки грошей було
витрачено за три тижні подорожі?
13.156. Моторний човен зі швидкістю руху 20 км/год пройшов відстань
між двома пунктами по річці туди і назад, не зупиняючись, за
6 год 15 хв. Відстань між пунктами дорівнює 60 км. Знайти швидкість течії річки.
13.157. Знайти двоцифрове число таке, що якби його поділити на добуток
16
цифр, з яких воно складається, то в частці утвориться —, а якщо відняти від
нього 9, то різниця буде також двоцифровим числом, що відрізняється від
шуканого числа тільки порядком цифр.
13.158. У магазин привезли яблука 1-го сорту на суму 228 грн і яблука
2-го сорту на суму 180 грн. При розвантажуванні яблука випадково
перемішалися. Підрахунок показав, що якби тепер продавати всі яблука по
одній ціні — на 90 к. нижче від ціни кілограма яблук 1-го сорту, то буде
виручена раніше намічена сума. Скільки кілограмів яблук привезено, якщо
відомо, що яблук 2-го сорту було на 5 кг більше, ніж 1 -го сорту?
13.159. Від трьох кафедр інституту надійшли заявки на придбання
додаткового устаткування для лабораторій. Вартість устаткування в заявці
першої кафедри становить 45% від заявки другої кафедри, а вартість
устаткування в заявці другої кафедри — 80% від заявки третьої. Вартість
устаткування в заявці третьої кафедри перевищує заявку першої на 640 тис.
грн. Яка загальна вартість устаткування в'заявках усіх трьох кафедр?
13.160. Якщо двоцифрове число поділити на суму його цифр, то в частці
утвориться 4 і в остачі 3. Якщо ж це число поділити на добуток його цифр, то в
частці утвориться 3 і в остачі 5. Знайти вихідне число.
13.161. Перевезення тонни вантажу від пункту М до пункту N залізницею
обходиться на b грн дорожче, ніж водним шляхом. Скільки тонн вантажу можна
перевезти від М до N залізницею на суму а грн, якщо водним шляхом на цю саму
суму можна перевезти на к т більше, ніж залізницею?
13.162. Деякий товар було куплено восени і за нього було сплачено
825 грн. Кілограм цього товару восени на 1 грн дешевший, ніж навесні, і тому на
таку саму суму навесні було куплено на 220 кг менше. Скільки коштує
1 кг товару навесні і скільки його було куплено восени?
13.163. Під час збирання врожаю з кожної з двох ділянок зібрано по 210 ц
пшениці. Площа першої ділянки на 0,5 га менша від площі другої ділянки. Скільки
центнерів пшениці зібрано з 1 га на кожній ділянці, якщо врожай пшениці на
першій ділянці був на 1 ц з гектара більший, ніж на другій?
13.164. Вартість 60 примірників першого тому і 75 примірників другого
тому становить 2700 грн. Насправді за всі ці книжки сплатили лише 2370 грн,
оскільки було зроблено знижку: на перший том у розмірі 15%, а на другий —
У розмірі 10%. Знайти початкову ціну цих книжок.
13.165. Є 140 банок двох місткостей. Об’єм банки більшої місткості
на 2,5 л більше об’єму банки меншої місткості. Загальний об’єм великих банок
Дорівнює загальному об’єму малих банок і дорівнює 60 л. Визначити кількість
великих і малих банок.
337

13.166. Учню треба знайти добуток числа 136 і деякого двоцифрового
числа, у якому цифра одиниць удвічі більша від цифри десятків. Через
неуважність він поміняв місцями цифри двоцифрового числа, тому й одержав
добуток на 1224 більший від істинного. Чому дорівнює істинний добуток? !
13.167. Моторний човен і вітрильник, перебуваючи на озері за ЗО км один
від одного, рухаються назустріч і зустрічаються через 1 год. Якби моторний
човен був за 20 км від вітрильника і наздоганяв його, то на це треба було б
З год 20 хв. Визначити швидкості човна і вітрильника, вважаючи, що вони сталі
і незмінні в обох випадках.
13.168. Одноцифрове число збільшили на 10 одиниць. Якщо отримане число
збільшити на стільки ж відсотків, як першого разу, то утвориться 72. Знайти
вихідне число.
13.169. Кристал, перебуваючи у стадії формування, рівномірно нарощує
свою масу. Спостерігаючи формування двох кристалів, помітили, що перший з
них за 3 міс. дав такий самий приріст маси, як другий за 7 міс. Однак після
закінчення року виявилося, що перший кристал збільшив свою початкову масу
на 4%, а другий — на 5%. Знайти відношення початкових мас цих кристалів.
13.170. Одна тракторна бригада зорала 240 га, а друга — на 35% більше,
ніж перша. Щодня перша бригада обробляла на 3 га менше, ніж друга, але
закінчила роботу на 2 дні раніше від другої. Скільки гектарів обробляла кожна
бригада за робочий день, якщо відомо, що намічена щоденна норма 20 га
перевиконувалася обома бригадами?
13.171. У родині батько, мати і три дочки; усім разом 90 років. Різниця у
віці дівчаток — 2 роки. Вік матері на 10 років більший за суму віку дочок.
Різниця років батька і матері дорівнює віку середньої дочки. Скільки років
кожному члену родини?
13.172. Дві посудини з розчином солі поставлено для випарювання. Порції
солі, що випарюються щодня, однакові для кожної посудини. З першої посудини
отримано 48 кг солі, а з другої, що стояла на 6 днів менше, — 27 кг. Якби перша
посудина стояла стільки днів, скільки друга, а друга стільки, скільки перша, то
3 обох розчинів утворилася б однакова кількість солі. Скільки днів стояв кожен
розчин?
13.173. Якщо невідоме двоцифрове число поділити на число, записане тими
самими цифрами, але у зворотному порядку, то в частці утвориться 4 і в
остачі 3. Якщо ж шукане число поділити на суму його цифр, то в частці
утвориться 8 і в остачі 7. Знайти це число.
13.174. У чотирьох ящиках лежить чай. Коли з кожного ящика вийняли по
9 кг, в усіх разом залишилося стільки ж чаю, скільки було в кожному. Скільки
чаю було в кожному ящику?
13.175. Катер відійшов від причалу одночасно з плотом і пройшов униз
40
річкою — км. Не зупиняючись, він розвернувся 1 пішов угору ПО річці.
28
Пройшовши — км, він зустрівся з плотом. Якщо швидкість течії річки
4 км/год, то яка власна швидкість катера?
338

13.176. Загальна місткість трьох цистерн становить 1620 л. Дві з них
наповнені гасом, а третя порожня. Для її наповнення потрібно використати або весь
1 ... ... 1
ВМІСТ першої цистерни плюс — вмісту другої, або весь вміст другої плюс —
вмісту першої. Знайти місткість кожної цистерни.
13.177. Планом було передбачено, що підприємство протягом кількох місяців
виготовить 6000 насосів. Збільшивши продуктивність праці, підприємство почало
виготовляти на місяць на 70 насосів більше, ніж було передбачено, і на один
місяць раніше встановленого строку перевиконало завдання на 30 насосів.
Протягом скількох місяців було передбачено виготовити 6000 насосів?
13.178. Два парки загальною площею 110 га розбито на рівну кількість
ділянок. Ділянки кожного парку за площею рівні між собою, але відрізняються
від ділянок іншого. Якби перший парк було розбито на ділянки такої самої площі,
як другий, то було б 75 ділянок, а якби другий було розбито на такі самі ділянки,
як перший, то він містив би 108 ділянок. Визначити площу кожного парку.
13.179. Батько хоче розділити 36 яблук між п’ятьма своїми дітьми.
Половину всіх яблук він віддає синам, що ділять їх порівно, а другу половину віддає
дочкам, що також ділять їх порівно. Виявилося, що кожна дочка одержала на
З яблука більше, ніж кожен син. Скільки в батька було синів і скільки дочок?
13.180. Один із двох дробів удвічі більший від другого.. Після піднесення
кожного з дробів до квадрата і додавання цих результатів утвориться деяка
сума. Та сама сума утвориться після піднесення кожного з дробів до куба і
додавання цих результатів. Знайти дані дроби.
13.181. Бригада робітників повинна виготовити за зміну 7200 деталей,
причому кожний з них повинен зробити однакову кількість деталей. Проте троє
робітників захворіли, і тому для виконання всієї норми кожному з робітників,
що залишилися, довелося зробити на 400 деталей більше. Скільки робітників
було в бригаді?
13.182. У дві посудини однакової маси налито воду, причому маса посудини
А з водою становить 0,8 маси посудини В з водою. Якщо воду з посудини В
перелити в посудину А, то маса її разом з водою стане у 8 разів більшою за масу
посудини В. Знайти масу посудин і кількість води в них, знаючи, що в посудині В
міститься води на 50 г більше.
13.183. У залі було 500 стільців, розташованих рядами, причому кожний ряд
містив однакову кількість стільців. Після реконструкції залу в кожному ряду
стало на 5 стільців більше, ніж було, але кількість рядів зменшилася на 5. У
результаті загальна кількість місць у залі зменшилася на 0,1 колишньої кількості
стільців. Скільки рядів було в залі і скільки стільців було в кожному ряду?
13.184. Якби учень правильно перемножив два написаних на дошці числа, то
отримав би в добутку 4500. Але, переписуючи з дошки співмножники, в одному з
них він замість останньої цифри 5 написав цифру 3 і після множення в результаті
отримав 4380. Які числа мав перемножити учень?
13.185. Під час випробовування двох двигунів було встановлено, що
перший використав 300 г, а другий 192 г бензину, причому другий працював на
2 год менше, ніж перший. Перший двигун використовував за годину на
339

6 г бензину більше, ніж другий. Скільки бензину за годину використовував
кожний із двигунів?
13.186. Бригада каменярів взялася укласти 432 м3 кладки і намічену
роботу виконала, хоча насправді на роботу вийшло на 4 робітники менше. Скільки
всього каменярів у бригаді, якщо відомо, що кожному довелося укладати на
9 м3 більше, ніж спочатку передбачалося?
13.187. Бригада робітників мала виготовити 8000 однакових деталей за
певний строк. Фактично ця робота була закінчена на 8 днів раніше строку,
тому що бригада виготовляла щодня на 50 деталей більше, ніж було намічено
за планом. У який строк планувалося закінчити роботу і який щоденний
відсоток перевиконання плану?
13.188. На обробку однієї деталі робітник А витрачає на к хв менше, ніж
робітник В. Скільки деталей обробляє кожний з них за t год роботи, якщо А
обробляє за цей час на п деталей більше, ніж В1
13.189. Сума квадратів коренів рівняння х2 - 3ах + а2 = 0 дорівнює 1,75.
Знайти значення а.
13.190. Шматок платини, густина якої дорівнює 2,15 • 104 кг/м3, зв’язаний
зі шматком коркового дерева (густина 2,4 • 102 кг/м3). Густина системи дорівнює
4,8 * 102 кг/м3. Яка маса шматка дерева, якщо маса шматка платини становить
86,94 г?
13.191. До матеріальної точки прикладено дві сили, кут між якими
дорівнює 30°. Модуль однієї з прикладених сил у 7л/з рази більший за модуль
другої, а модуль рівнодійної сили на 24 Н більший, ніж модуль меншої сили.
Визначити модулі меншої і рівнодійної сил.
13.192. Є три посудини, що містять нерівну кількість рідини. Для вирівню-
. . 1 .
вання цієї кількості спочатку — рідини перелили з першої посудини в другу,
потім 0,25 рідини, яка виявилася в другій посудині, перелили в третю і, нарешті,
0,1 рідини, яка виявилася у третій посудині, перелили в першу. Після цього в
кожній посудині виявилося 9 л рідини. Скільки рідини було спочатку в кожній
посудині?
13.193. На навчаннях розвідувальний катер підійшов до головного корабля
ескадри й одержав наказ зробити розвідку попереду ескадри в напрямі її руху
на відстані 70 км. Визначити, через який час катер повернеться до головного
корабля ескадри, що продовжує йти вперед, якщо відомо, що швидкість катера
28 км/год, а ескадра повинна рухатися зі швидкістю 14 км/год.
13.194. Переднє колесо рухомої моделі протягом 120 м робить на
1
6 обертів більше, ніж заднє. Якщо коло переднього колеса збільшити на ^
1
його довжини, а коло заднього — на — його довжини, то на такій самій
340

відстані переднє колесо зробить на 4 оберти більше, ніж заднє. Знайти
довжини кіл переднього і заднього коліс.
13.195. Бригада монтерів могла закінчити електропроводку о 4 год дня,
прокладаючи за годину по 8 м дроту. Після виконання половини всього
завдання один робітник вибув з бригади; у зв’язку з цим бригада почала прокладати за
годину по 6 м і закінчила заплановану на день роботу о 6 год вечора. Скільки
метрів дроту було прокладено і за скільки годин?
13.196. Через 2 год після виїзду з фабрики шофер подивився на спідометр
і помітив, що проїхав тільки 112 км. Він зрозумів, що якщо й далі їхатиме з
такою самою швидкістю, то на ЗО хв спізниться з доставкою вантажу
на станцію. Тому шофер збільшив швидкість і прибув на станцію навіть на ЗО хв
раніше строку. Визначити початкову і наступну швидкості руху автомобіля,
якщо відстань від фабрики до станції за спідометром становить 280 км.
13.197. У кінозалі є двоє дверей, широкі й вузькі. Через обоє дверей після
сеансу глядачі виходять із залу протягом 3 хв 45 с. Якщо глядачів випускати
через одні широкі двері, то вихід із залу займе на 4 хв менше, ніж тоді, коли
глядачів випускати тільки через одні вузькі двері. Скільки часу потрібно для
виходу глядачів з кінозалу через кожні двері окремо?
13.198. Деяка речовина вбирає вологу, збільшуючи при цьому свою масу.
Щоб увібрати 1400 кг вологи, потрібно взяти неподрібненої речовини на 300 кг
більше, ніж подрібненої. Скільки відсотків від маси речовини становить маса
увібраної вологи у випадку подрібненої речовини й у випадку неподрібненої,
якщо в другому випадку кількість відсотків на 105 менше, ніж у першому?
13.199. На шляху від села до поля колесо вантажівки робить на 100 обертів
менше, ніж колесо велосипеда, і на 150 обертів більше, ніж гусениця трактора.
Знайти відстань між селом і полем, якщо відомо, що довжина кола колеса ванта-
4
жівки становить — довжини кола колеса велосипеда і на 2 м коротша за
гусеницю трактора.
13.200. Дві шкурки загальною вартістю 22 500 грн було продано на аукціоні
з прибутком 40%. Яка вартість кожної шкурки, якщо за першу було одержано
прибутку 25%, а за другу — 50%?
13.201. Спортмайданчик має форму прямокутника, довжина якого на
Ь м більша від ширини. Навколо майданчика розташована доріжка
завширшки а м. Які розміри спортмайданчика, якщо його площа дорівнює
площі доріжки?
13.202. Дві друкарки повинні передрукувати рукопис, що складається з
трьох глав, перша з яких удвічі коротша від другої і втричі довша від третьої.
Працюючи разом, друкарки передрукували першу главу за 3 год
36 хв. Другу главу передрукували за 8 год, з яких 2 год працювала тільки перша
Друкарка, а решту часу вони працювали разом. Скільки часу потрібно другій
Друкарці, щоб одній передрукувати третю главу?
341

13.203. Відстань між двома селами дорівнює 10 км. Два чоловіки виходять
одночасно з одного села в інше, причому перший іде зі швидкістю на 3 км/год
більшою, ніж другий, і приходить до місця призначення на 3 год раніше. З якою
швидкістю йде кожний з них?
13.204. Двоє робітників виконують разом деяке завдання за 8 год. Перший
з них, працюючи окремо, може виконати його на 12 год швидше, ніж другий,
якщо той працюватиме окремо. За скільки годин кожний з них, працюючи окремо,
може виконати завдання?
13.205. Якщо двоцифрове число поділити на суму його цифр, то в частці
утвориться 3 і в остачі 7. Якщо ж потім узяти суму квадратів цифр цього
числа і відняти від неї добуток тих самих цифр, то утвориться початкове число.
Знайти це число.
13.206. Трицифрове число закінчується цифрою 2. Якщо її перенести на
початок запису числа, то отримане число буде на 18 більшим від початкового.
Знайти вихідне число.
13.207. Експрес проходить шлях від міста А до міста В на
З год 30 хв швидше від пасажирського потягу, бо за 1 год він проходить на 35 км
більше. Скільки кілометрів за годину проходить кожний з них, якщо відстань
між містами А і В дорівнює 650 км?
13.208. Двоцифрове число в 4 рази більше від суми та в 3 рази більше від
добутку своїх цифр. Знайти це число.
13.209. Два тіла одночасно почали прямолінійний рух назустріч одне
одному. Одне з них проходить щохвилини 7 м, друге за першу хвилину пройшло
24 м, а за кожну наступну проходить на 4 м менше, ніж за попередню. Через
скільки хвилин тіла зустрінуться, якщо початкова відстань між ними була
100 м?
13.210. На скільки відсотків потрібно збільшити довжину радіуса круга,
щоб його площа стала більшою на 96%?
Г^упа Б
13.211. Три послідовні цифри деякого числа утворюють геометричну
прогресію. Якщо в цьому числі поміняти місцями цифри сотень і одиниць, то
нове трицифрове число буде на 594 менше від шуканого. Якщо ж у шуканому
числі закреслити цифру сотень і в отриманому двоцифровому числі переставити
його цифри, то нове двоцифрове число буде на 18 менше від числа, вираженого
двома останніми цифрами шуканого числа. Знайти це число.
13.212. На придбання велосипедів спортивний клуб виділив п грн.
Оскільки внаслідок зниження цін вартість кожного велосипеда зменшилася на а грн,
тобто було куплено на b велосипедів більше, ніж передбачалося. Скільки купили
велосипедів?
13.213. Звичайно до виконання деякого завдання залучаються одночасно
два механізми. Продуктивність цих механізмів різна і при спільній роботі
завдання виконується ними за 30 год. Одного разу спільна робота двох механізмів
тривала тільки 6 год, після чого перший механізм був зупинений і решту
завдання виконав другий механізм за 40 год. За який час таке саме завдання може
342

виконати кожен механізм, працюючи окремо з власти- D С
вою йому продуктивністю?
13.214. Зігнуті з дроту коло і прямокутник
суміщені так, що коло проходить через дві вершини А
і В і дотикається до сторони CD (рис. 13.6). Знайти
відношення сторін прямокутника, якщо відомо, що його
периметр у 4 рази більший від радіуса кола.
13.215. Від пункту Л вздовж шосе віддаляється
гонщик, що підтримує увесь час сталу швидкість
а км/год. Через ЗО хв із того самого пункту стартував
другий гонщик зі сталою швидкістю 1,25а км/год.
Через скільки хвилин після старту першого гонщика був відправлений з того
самого пункту третій гонщик, якщо відомо, що він набрав швидкість
1,5а км/год і одночасно з другим гонщиком наздогнав першого?
13.216. Два мотоциклісти відправляються одночасно назустріч один одному
з пунктів А і В, відстань між якими 600 км. Тоді як перший проходить 250 км,
другий проходить 200 км. Знайти швидкості руху мотоциклістів, вважаючи рух
рівномірним, якщо перший мотоцикліст приходить у В на 3 год раніше, ніж
другий в А.
13.217. Дорога між селищами А і В спочатку має підйом, а потім спуск.
Велосипедист, рухаючись на спуску зі швидкістю на а км/год більшою, ніж
на підйомі, затрачає на шлях від А до В рівно t год, а на зворотний шлях від
В до А — половину цього часу. Знайти швидкості велосипедиста на підйомі і на
спуску, якщо відстань між селищами b км.
13.218. Результат множення двох додатних чисел, одержаний
обчислювачем, видався йому сумнівним. Для перевірки він вирішив поділити результат
на більший множник. У частці утворилося 17 і в остачі 8. Тоді обчислювач
зрозумів свою помилку: виявилося, що цифра десятків, записана ним у
добутку, більша від справжньої цифри десятків на 6. Які числа перемножував
обчислювач, якщо відомо, що їх різниця дорівнює 36?
13.219. Населення міста щорічно збільшується на 0,02 наявної кількості
жителів. Через скільки років населення потроїться?
13.220. Юнак пішов до залізничної станції, до якої від його будинку
було 10,5 км. Через півгодини з того самого будинку слідом за юнаком тією
самою дорогою вийшов його брат, що, йдучи зі швидкістю 4 км/год,
наздогнав юнака, передав йому забуту ним річ, відразу повернувся назад і пішов з
попередньою швидкістю. З якою швидкістю рухався юнак, якщо відомо, що
йшов він усю дорогу рівномірно, а його брат повернувся додому в той
момент, коли юнак підійшов до станції?
13.221. З пунктів А і С до пункту В виїхали одночасно два вершники і,
незважаючи на те, що С знаходиться від В на 20 км далі, ніж А від В> прибули до
Я одночасно. Знайти відстань від С до В, якщо вершник, що виїхав із С, проїжджав
кожен кілометр на 1 хв 15 с швидше, ніж вершник, що виїхав з А і приїхав
До В через 5 год.
13.222. Відстань між станціями А і В дорівнює 103 км. З А до В вийшов потяг
пройшовши деяку відстань, був затриманий, а тому решту шляху до В
прохо343

див зі швидкістю, на 4 км/год більшою, ніж початкова. Знайти початкову швидкість
потяга, якщо відомо, що решта шляху до В була на 23 км довшою, ніж шлях
пройдений до затримки, і на подолання шляху після затримки було витрачено на
15 хв більше, ніж на подолання шляху до затримки.
13.223. Пункт С розташований на відстані 12 км від пункту В вниз за
течією. Рибалка відправився на човні в пункт С з пункту А, розташованого
вище пункту В. Через 4 год він прибув у С, а на зворотний шлях витратив 6 год.
Іншим разом рибалка скористався моторним човном, збільшивши тим самим
власну швидкість пересування відносно води втроє, і дійшов від А до В за 45 хв.
Визначити швидкість течії, вважаючи її сталою.
13.224. Юнак, повертаючись на велосипеді з відпустки, проїхав 246 км і
витратив на цей шлях на 1 день більше половини кількості днів, що залишилися
після цього до кінця відпустки. Тепер у юнака дві можливості проїхати решту
276 км так, щоб прибути додому точно до строку: проїжджати щодня на h км
більше, ніж спочатку, або зберегти колишню норму щоденного шляху,
збільшивши її лише один раз — в останній день шляху — на 2h км. За скільки днів до
кінця відпустки відправився юнак додому, якщо відомо, що шукана кількість
днів — ціле число?
13.225. Деяке замовлення виконують у майстерні № 1 на 3,6 год довше, ніж
у майстерні № 2, і на 10 год довше, ніж у майстерні № 3. Якщо за цих умов
роботи майстерні № 1 і № 2 об’єднаються для виконання замовлення, то термін
його виконання виявиться таким, як в одній майстерні № 3. На скільки годин
більше чи менше одного семигодинного робочого дня триває виконання
зазначеного замовлення в майстерні № З?
13.226. Рукопис із 80 сторінок віддали двом друкаркам. Якщо перша
друкарка почне передруковувати рукопис через 3 год після другої, то кожна з них
передрукує по половині рукопису. Якщо ж обидві друкарки почнуть працювати
одночасно, то через 5 год залишаться не передрукованими 15 сторінок. За який час
може передрукувати рукопис кожна друкарка окремо?
13.227. Двом робітникам доручено завдання; другий робітник приступив
до нього на 1 год пізніше від першого. Через 3 год після того як перший
приступив до завдання, їм залишилося виконати 0,45 усього завдання. Після закінчення
роботи з’ясувалося, що кожний виконав половину всього завдання. За скільки
годин кожен робітник, працюючи окремо, може виконати все завдання?
13.228. Двом робітникам доручено виготовити партію однакових деталей.
Після того як перший проробив 2 год, а другий 5 год, виявилося, що вони
виконали половину всієї роботи. Проробивши разом ще 3 год, вони
встановили, що їм залишилося виконати 0,05 усієї роботи. За який час кожний з них,
працюючи окремо, може виконати всю роботу?
13.229. Знайти чотири числа, що утворюють пропорцію, якщо відомо, шо
сума крайніх членів дорівнює 14, сума середніх членів дорівнює П>
а сума квадратів цих чотирьох чисел дорівнює 221.
13.230. Дано три додатних двоцифрових числа, що мають таку властивість:
кожне число дорівнює неповному квадрату суми своїх цифр. Знайти два з них,
якщо друге число на 50 одиниць більше від першого.
13.231. Сплавили два сорти чавуну з різним відсотковим вмістом хрому*
Якщо одного сорту взяти в 5 разів більше, ніж іншого, то відсотковий ВМІСТ
344

хрому в сплаві вдвічі перевищить відсотковий вміст хрому в меншій зі
сплавлених частин. Якщо ж взяти однакову кількість обох сортів, то сплав міститиме 8 %
хрому. Визначити відсотковий вміст хрому в кожному сорті чавуну.
13.232. Від станції залізниці до пляжу 4,5 км. Хлопчик і рейсовий
автобус одночасно відправилися від станції до пляжу. Через 15 хв хлопчик зустрів
9 . .
автобус, що повертався з пляжу, і встиг проити ще — км від місця першої
2о
зустрічі з автобусом, як його наздогнав той самий автобус, який дійшов до
станції і знову відправився до пляжу. Знайти швидкості хлопчика й автобуса,
вважаючи, що вони сталі, і ні хлопчик, ні автобус на шляху не зупинялися,
але на пляжі і на станції автобус робив зупинки тривалістю 4 хв кожна.
13.233. Турист повертався з відпустки на велосипеді. На першій ділянці
шляху, що становить 246 км, він проїжджав у середньому за кожен день на
15 км менше, ніж за кожний день на останній ділянці шляху, що становить
276 км. Він прибув додому точно в строк — до кінця останнього дня
відпустки. Відомо також, що на подолання першої ділянки шляху йому потрібно
було на один день більше половини кількості днів, що залишилися після
цього до кінця відпустки. За скільки днів до кінця відпустки турист відправився
додому?
13.234. Було два сплави з різним відсотковим вмістом міді в кожному.
Число, що виражає у відсотках вміст міді в першому сплаві, на 40 менше від
числа, що виражає у відсотках вміст міді у другому сплаві. Коли обидва
ці сплави сплавили разом, вміст міді у новому сплаві становив 36%. Визначити
відсотковий вміст міді в кожному сплаві, якщо в першому з них міді було 6 кг,
а в другому — 12 кг.
13.235. У заїзді на однакову дистанцію брали участь два автомобілі і
мотоцикл. Другому автомобілю на всю дистанцію потрібно на 1 хв більше, ніж пер-
щрму. Перший автомобіль рухався в 4 рази швидше від мотоцикла. Яку частину
дистанції за хвилину проходив другий автомобіль, якщо він проходив за
хвилину на \ дистанції більше, ніж мотоцикл, а мотоцикл пройшов дистанцію
6
менше, ніж за Юхв?
13.236. Майстер дає сеанс одночасної гри в шахи на кількох дошках. За
перші дві години він виграв 10 % від числа всіх партій, а 8 супротивників
звели внічию свої партії з майстром. За наступні дві години майстер виграв
10% партій у супротивників, що залишилися, 2 партії програв, а решту
7 партій закінчив унічию. На скількох дошках йшла гра?
13.237. Задумано ціле додатне число. До його цифрового запису дописали
справа якусь цифру. Від нового числа, що утворилося, відняли квадрат
задуманого числа. Різниця виявилася у 8 разів більшою від задуманого числа. Яке
число задумано і яку цифру було дописано?
13.238. Стрільцю в тирі запропонували такі умови: кожне влучення в ціль
винагороджується п’ятьма жетонами, але за кожен промах забирається
жетони. Стрілець був не дуже влучним. Після останнього (и-го) пострілу в
Нь°Г0 не залишилося жетонів. Зі скількох пострілів складалася серія і скільки
було вдалих пострілів, якщо 10 < п < 20?
345

13.239. 	До цифрового запису деякого задуманого двоцифрового числа
дописали справа це саме число і від одержаного таким чином числа відняли
квадрат задуманого числа. Різницю поділили на 4% від квадрата задуманого
числа; у частці отримали половину задуманого числа, а в остачі — задумане
число. Яке число задумане?
13.240. У плоске кільце, утворене двома концеи-
тричними колами, вкладено сім рівних дисків, щ0
дотикаються (рис. 13.7). Площа кільця дорівнює сумі
площ усіх семи дисків. Довести, що ширина кільця
дорівнює радіусу одного диска.
13.241. До цифрового запису деякого задума,
ного додатного числа дописали справа ще якесь
додатне одноцифрове число і від отриманого таким
чином нового числа відняли квадрат задуманого
числа. Ця різниця виявилася більшою від задуманого
Рис. 13.7 числа в стільки разів, скільки становить доповнення
дописаного числа до 11. Довести, що так виходитиме
тоді і тільки тоді, коли дописане число дорівнює задуманому.
13.242. Два однакових басейни одночасно почали наповнювати водою.
У перший басейн надходить за годину на 30 м3 більше води, ніж у другий.
У деякий момент у двох басейнах разом виявилося стільки води, скільки
становить об’єм кожного з них. Після цього через 2 год 40 хв наповнився перший
басейн, а ще через 3 год 20 хв — другий. Скільки води надходило за годину в
кожен басейн?
13.243. Одна з трьох бочок наповнена водою, а решта порожні. Якщо
другу бочку наповнити водою з першої бочки, то в першій залишиться ■— колиш-
4
ньої води. Якщо потім наповнити третю бочку з другої, то в другій залиши-
2
ться — кількості води, що містилася в ній. Якщо, нарешті, з третьої бочки
вилити воду в порожню першу, то для її наповнення буде потрібно ще 50 відер.
Визначити місткість кожної бочки.
13.244. Дві кульки поміщено в циліндричну банку, діаметр якої 22 см
(рис. 13.8). Чи покриються повністю водою обидві кульки, діаметри яких
10 і 14 см , якщо влити в банку 5 л води?
13.245. Цистерну протягом 5 год наповнювали водою. При цьому за кожну
наступну годину надходження води в цистерну зменшувалося в те саме число
разів порівняно з попереднім. Виявилося, що за перші чотири години було налито
води вдвічі більше, ніж за останні чотири години. Який об’єм цистерни, якщо ше
відомо, що за перші дві години в неї було налито 48 м3 води?
13.246. Квадрат і рівносторонній трикутник заповнені однаковою кількістю
рівних кругів, які дотикаються один до одного і до сторін цих фігур. Скільки
кругів потрібно, якщо до сторони трикутника дотикається на 14 кругів більші
ніж до сторони квадрата (рис. 13.9)?
346

/
/
/
А
\
 N
22
Рис. 13.8
Рис. 13.9
13.247. Із молока, жирність якого становить 5%, виготовляють сир
жирністю 15,5%, при цьому залишається сироватка жирністю 0,5%. Скільки сиру
виходить з 1 т молока?
13.248. Є два однакових шматки різних тканин. Вартість усього першого
шматка на 126 грн більша вартості другого. Вартість чотирьох метрів тканини з
першого шматка на 135 грн перевищує вартість трьох метрів тканини з другого
шматка. Покупець придбав 3 м тканини з першого шматка і 4 м тканини з другого
шматка і заплатив за все 382 грн 50 к. Скільки метрів тканини було в кожному з
цих шматків? Яка вартість одного метра тканини кожного шматка?
13.249. Планувалося поділити премію порівну між найкращими
співробітниками підприємства. Однак з’ясувалося, що співробітників, гідних
премії, на 3 особи більше, ніж передбачалося. У такому випадку кожному
довелося б одержати на 400 грн менше. Профспілка й адміністрація змогли
збільшити загальну суму премії на 9000 грн, у результаті чого кожен
премійований одержав 2500 грн. Скільки осіб одержали премію?
13.250. Бригада лісорубів повинна за планом заготовити за кілька днів
216 м3 деревини. Перші три дні бригада виконувала щодня встановлену планом
норму, а потім щодня заготовляла 8 м3 понад план, тому за день до терміну було
заготовлено 232 м3 деревини. Скільки кубічних метрів деревини в день повинна
була бригада заготовляти за планом?
13.251. Годинна і хвилинна стрілки суміщаються опівночі, і починається
новий день. О котрій годині цього нового дня вперше знову сумістяться
годинна і хвилинна стрілки, якщо припустити, що стрілки годинника
рухаються без стрибків?
13.252. Черговий монтер спустився пішки вниз рухомим ескалатором
метро. Весь його шлях зверху донизу тривав 24 с. Потім він піднявся й у
тому самому темпі знову спустився вниз, але тепер уже по нерухомому
ескалатору. Відомо, що спуск тривав 42 с. За скільки секунд спустилася б людина
РУхомим ескалатором униз, стоячи на сходинці?
13.253. Для гідродинамічних досліджень виготовлено невелику модель кана-
ЛУ- До цієї моделі підведено кілька труб однакового перерізу, що підводять воду,
1 кілька труб іншого, але також однакового перерізу, призначених для відведення
347

води. Якщо одночасно відкрити чотири ввідних і три вивідних труби, ТО через
5 год у моделі стане на 1000 м3 води більше. Якщо ж одночасно відкрити на 2 год
дві ввідних і дві вивідних труби, то збільшення об’єму води становитиме 180 м3.
Скільки води пропускає за годину одна ввідна і скільки пропускає одна вивідна
труба?
13.254. Першим відправився за наміченим маршрутом мандрівник А. Дру.
гий мандрівник Б відправився за А через 45 хв. Наздоганяючи А, швидкість
якого Vj км/год, Б поїхав зі швидкістю v2 км/год (v2 > vj). Через скільки хвилин
після моменту відправлення А з турбази має виїхати мандрівник Ву щоб
наздогнати А одночасно з Б, якщо відомо, що В поїде зі швидкістю v3 км/год (v3 > v2)?
13.255. Три плавці повинні пропливти в басейні доріжку завдовжки 50 м,
негайно повернути назад і повернутися до місця старту. Спочатку стартує
перший, через 5 с — другий, ще через 5 с — третій. У деякий момент часу, ще не
досягши кінця доріжки, плавці виявилися на одній відстані від старту. Третій
плавець, допливши до кінця доріжки і повернувши назад, зустрів другого за 4 м
від кінця доріжки, а першого — за 7 м від
кінця доріжки. Знайти швидкість
третього плавця.
13.256. Прилад для визначення
діаметра великої деталі (D > 2 м) вказує
висоту Я сегмента, який відтинає
площина, дотична до кульових опор приладу,
при сталій відстані 2L між центрами опор-
^ них кульок приладу (рис. 13.10).
Виразити формулою співвідношення між
шуканим діаметром D деталі і вимірюваною
висотою Я її сегмента при сталих L і d,
де d—діаметр кожної з опорних кульок.
13.257.3 	міста Л до міста В, відстань
між якими 120 км, на мопеді відправився
Рис. 13.10 кур’єр. Через 1 год після цього з А на
мотоциклі виїхав другий кур’єр, що,
наздогнавши першого і передавши йому доручення, негайно з тією самою
швидкістю вирушив назад і повернувся в А в той момент, коли перший досяг В. Яка
швидкість першого кур’єра, якщо швидкість другого дорівнює 50 км/год?
13.258. Потяг йде від станції А до станції В. На деякій ділянці шляху, що
прилягає до станції В, велися ремонтні роботи, і на цій ділянці потягові дозволе-
1
на швидкість, що становить тільки — початкової швидкості, внаслідок чого по-
п
тяг прийшов на станцію В із запізненням на а год. Другого дня фронт
ремонтних робіт наблизився до станції В на b км, і за тих самих умов потяг спізнився на
с год. Знайти швидкість потяга.
13.259. Пароплав через 2 год після відправлення від пристані А
зупиняється на 1 год і потім продовжує шлях зі швидкістю, що становить
348

0 8 початкової, внаслідок чого спізнюється до пристані В на 3,5 год. Якби
зупинка відбулася на 180 км далі, то за цих умов пароплав спізнився б у В на
1 5 год. Знайти відстань АВ.
13.260. Дві матеріальні частинки, перебуваючи на відстані 295 м одна від
одної, одночасно почали рухатися назустріч одна одній. Перша частинка
рухається рівномірно зі швидкістю 15 м/с, а друга за першу секунду подолала 1 м,
а за кожну наступну — на 3 м більше, ніж за попередню. На який кут
переміститься секундна стрілка годинника за час, що пройшов від початку руху
частинок до їх зустрічі?
13.261. Опівдні з пункту А до пункту В вийшов пішохід і виїхав
велосипедист, і опівдні з В до А виїхав вершник. Через 2 год велосипедист і
вершник зустрілися на відстані 3 км від середини АВ, а ще через 48 хв
зустрілися пішохід і вершник. Визначити швидкість кожного і відстань АВ,
якщо відомо, що пішохід рухається вдвічі повільніше від велосипедиста.
13.262. Відомо, що під час вільного падіння тіло проходить за першу
секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше, ніж за попередню. Якщо два
тіла почали падати з однакової висоти з інтервалом 5 с, то через який час вони
будуть на відстані 220,5 м одне від одного?
13.263. Шлях від А до В пасажирський потяг проходить на 3 год 12 хв
швидше від товарного. За той час, що товарний потяг проходить шлях від А до В,
пасажирський проходить на 288 км більше. Якщо швидкість кожного збільшити
на 10 км/год, то пасажирський пройде від А до В на 2 год 24 хв швидше від
товарного. Визначити відстань від А до В.
13.264. Для того щоб піднятися на звичайному ліфті на останній поверх
восьмиповерхового будинку (висота 33 м) при двох 6-секундних проміжних
зупинках, потрібно затратити стільки ж часу, скільки його буде потрібно,
щоб піднятися на ліфті висотного будинку при одній 7-секундній проміжній
зупинці на 20-й поверх (висота 81 м). Визначити підйомну швидкість ліфта у
висотному будинку, знаючи, що вона перевищує швидкість звичайного ліфта
на 1,5 м/с, але не досягає 5 м/с.
13.265. По внутрішній області кута 60° прямолінійно рухається
матеріальна точка. Вийшовши з вершини цього кута, вона через деякий інтервал часу
виявилася на відстані а від однієї сторони кута і на відстані b від другої сторони.
Далі вона змінила напрям руху і по найкоротшому шляху просто впала на ту
сторону, до якої була найближче. Знайти довжину шляху, пройденого
точкою, якщо а < Ь.
13.266. Два спортсмени починають біг одночасно — перший від А до В,
Другий від В до А. Вони біжать з різними, але сталими швидкостями і
зустрічаються на відстані 300 м від А. Пробігши доріжку АВ до кінця, кожний
3 них негайно повертає назад і зустрічає іншого на відстані 400 м від В. Знайти
Довжину ЛЯ.
13.267. З одного старту в одному напрямі одночасно почали гонки два
Мотоциклісти: один зі швидкістю 80 км/год, другий — зі швидкістю
60 км/год. Через півгодини з того самого старту й у тому самому напрямі
ВіДправився третій гонщик. Знайти його швидкість, якщо відомо, що він
Наздогнав першого гонщика на 1 год 15 хв пізніше, ніж другого.
349

13.268. Спортсмен стріляє в мішень, віддалену від нього на d м.
Спостерігач, що перебуває на відстані а м від стрільця і b м від мішені, чує одночасно
звук пострілу і звук удару кулі в мішень. Знайти швидкість кулі, якщо швидкість
звуку дорівнює V м/с.
13.269. На пристані з теплохода зійшли два пасажири і вирушили до
селища. Один з них першу половину шляху йшов зі швидкістю 5 км/год, а
другу половину — зі швидкістю 4 км/год. Другий ішов першу половину
часу зі швидкістю 5 км/год, а другу половину — зі швидкістю 4 км/год і
прийшов у селище на 1 хв раніше від першого. За який час кожний з них
пройшов весь шлях і яка відстань між пристанню і селищем?
13.270. В Одесу повинні прибути два теплоходи з інтервалом 1 год.
Обидва теплоходи йдуть з однаковою швидкістю, але обставини склалися
так, що перший теплохід спізнився б на tx хв, а другий на t2 хв. Одержавши
по радіо вказівку про необхідність прибуття без запізнення, обидва капітани
одночасно збільшили швидкості теплоходів: перший — на Vj км/год,
другий — на v2 км/год, у результаті чого обидва теплоходи прибули в Одесу
точно за розкладом. З якою швидкістю йшли теплоходи до одержання
сигналу по радіо?
13.271. Траса змагань являє собою контур прямокутного трикутника з
різницею катетів 2 км. При цьому його гіпотенуза пролягає по польовій
дорозі, а обидва катети — по шосе. Один з учасників пройшов відрізок по
польовій дорозі зі швидкістю 30 км/год, а обидва відрізки по шосе за той самий
час зі швидкістю 42 км/год. Визначити довжину траси.
13.272. Від поштамту А відправилася автомашина в напрямі до поштового
відділення В. Через 20 хв за нею виїхав мотоцикліст зі швидкістю 60 км/год.
Наздогнавши автомашину, мотоцикліст передав шоферу пакет і негайно
повернув назад. Автомашина прибула до В у той момент, коли мотоцикліст виявився
на половині шляху від місця зустрічі з автомашиною до А. Знайти швидкість
автомашини, якщо відстань між А і В становить 82,5 км.
13.273. М’яч котиться перпендикулярно до бічної лінії футбольного поля.
Припустимо, що, рухаючись рівномірно сповільнено, м’яч прокотився за першу
секунду 4 а за наступну секунду на 0,75 м менше. Футболіст, що знаходиться
спочатку за 10 м від м’яча, побіг у напрямі руху м’яча, щоб наздогнати його.
Рухаючись рівномірно прискорено, футболіст пробіг за першу секунду 3,5 м, а
за наступну секунду на 0,5 м більше. За який час футболіст наздожене м’яч і чи
встигне він зробити це до виходу м’яча за бічну лінію, якщо до лінії поля
футболісту треба пробігти 23 м?
13.274. За графіком потяг проходить перегін 120 км з однією й тією
самою швидкістю. Вчора потяг пройшов половину перегону з цією
швидкістю і змушений був зупинитися на 5 хв. Для того щоб вчасно прибути в
кінцевий пункт перегону, машиністу на другій половині перегону довелося
збільшити швидкість потяга на 10 км/год. Сьогодні повторилася зупинка
потяга на середині того самого перегону, тільки затримка тривала 9 хв. З якою
швидкістю машиніст вів потяг сьогодні на другій половині перегону, якщо в
кінцевий пункт цього перегону потяг знову прибув за розкладом?
350

13.275. Відстань між містом А і станцією F залізницею 185 км.
Приміський електропотяг йде від А перші 40 км угору, наступні 105 км по
рівному місці й інші 40 км знову вгору. Потяг йде вгору на 10 км/год повільніше,
ніж по рівному місці. На цьому шляху є станції В, С, £> і £ на відстанях 20,70,
100 і 161 км від Ау і на кожній з них потяг стоїть 3 хв. Знайти час приходу
потяга в В, С, D і Е, якщо відомо, що він вийшов з А о 8 год і прийшов у
ро 10 год 22 хв того самого дня.
13.276. По шосе від заводу С до станції В залізниці на 28 км далі, ніж до
станції А тієї самої дороги. Відстань від А до В через С на 2 км більша, ніж
довжина ділянки АВ залізниці. Доставка тонни вантажу з Св А коштує 130 грн,
а залізницею і А до В — 260 грн. Перевезення тонни вантажу на 1 км
автотранспортом коштує на 32 грн дорожче, ніж залізницею. Визначити відстані
АС, ВС, АВ.
13.277. Навчальний літак летів зі швидкістю 220 км/год. Коли йому
залишилося пролетіти на 385 км менше, ніж він пролетів, літак збільшив швидкість
до 330 км/год. Середня швидкість на всьому шляху дорівнює
250 км/год. Яку відстань пролетів літак?
13.278. Пасажир потяга знає, що на даній ділянці шляху швидкість
цього потяга дорівнює 40 км/год. Щойно повз вікно почав проходити зустрічний
потяг, пасажир увімкнув секундомір і помітив, що зустрічний потяг
проходив повз вікно протягом 3 с. Визначити швидкість зустрічного потяга, якщо
відомо, що його довжина 75 м.
13.279. Два контрольних пункти ділять лижну трасу на три ділянки
однакової довжини. Відомо, що шлях, який складається з першої і другої ділянок
разом, лижник пройшов із середньою швидкістю а м/хв; шлях, що складається з
другої і третьої ділянок разом, він пройшов із середньою швидкістю b м/хв.
Середня швидкість лижника на другій ділянці була такою самою, як середня
швидкість для першої і третьої ділянок разом. Яка середня швидкість лижника
на всій трасі в цілому і на кожній ділянці цієї траси окремо? Провести аналіз
умов існування реального розв’язку задачі.
13.280. Для контролю за рухом лижника тренер розділив трасу на три
ділянки рівної довжини. Стало відомо, що середні швидкості лижника на цих
трьох окремих ділянках були різними. При цьому на пробіг першої і другої
Ділянок разом лижникові треба було 40,5 хв, а на пробіг другої і третьої —
37,5 	хв. З’ясувалося також, що середня швидкість лижника на другій ділянці
була такою самою, як середня швидкість для першої і другої ділянок разом. За
який час лижник досяг фінішу?
13.281. Два велосипедисти стартували одночасно з того самого місця в
одному напрямі. Слідом за ними, через 10 хв із того самого місця вирушив
третій велосипедист. Спочатку він обігнав першого велосипедиста, після чого
перебував у дорозі ще 20 хв, поки наздогнав другого. Починаючи від самого
старту і до кінця шляху кожен велосипедист йшов зі сталою швидкістю:
а км/год — перший велосипедист, b км/год — другий. Знайти швидкість
третього велосипедиста.
13.282.Зв’язківець одержав завдання прибути в пункт В з пункту А у
визначений строк. Відстань між А і В дорівнює s км. Коли зв’язківець
351

добрався до пункту С, розташованого точно на півшляху від А до В, він
розрахував, що спізниться на 2 год, якщо продовжуватиме рух з тією самою
швидкістю. Якщо ж у пункті С він відпочине 1 год, а на половині шляху, щ0
залишилася, збільшить швидкість на v км/год, то прибуде до В у призначений
строк. Який строк був призначений зв’язківцю?
13.283. Із двох пунктів, відстань між якими 28 км, одночасно вийшли
назустріч один одному два пішоходи. Якби перший не затримався на 1 год на
відстані 9 км від місця свого відправлення, то зустріч пішоходів відбулася б
на півдорозі. Після зупинки перший пішохід збільшив швидкість на 1 км/год
і зустріч відбулася на відстані 4 км від того місця, де затримався перший.
Знайти початкові швидкості пішоходів.
13.284. Знайти швидкість і довжину потяга, знаючи, що він проходив
зі сталою швидкістю повз нерухомого спостерігача протягом 7 с і витратив
25 с на те, щоб пройти з тією самою швидкістю вздовж платформи завдовжки
378 м.
13.285. На ділянці шосе завдовжки 10 км без перехресть автобус
зупиняється тільки для входу і виходу пасажирів. Усього він робить 6 проміжних
зупинок, витрачаючи на кожну з них по 1 хв, а рухається завжди з однією і
тією самою швидкістю. Якби автобус рухався без зупинок, то той самий
шлях він пройшов би зі швидкістю, яка перевищує середню швидкість його
руху із зупинками на 5 км/год. Скільки хвилин автобус знаходиться в русі на
цій ділянці шосе?
13.286. Шхуна йде від А до В по озеру, а від В до С вгору по річці і потім
вирушає назад. Швидкість шхуни відносно нерухомої води увесь час дорівнює
с км/с. Від А до С шхуна йде ос год, а зворотний шлях займає Р год, причому на
шлях від С до В шхуні потрібно втричі менше часу, ніж на шлях від В до А.
Знайти відстані АВ і ВС.
13.287. Два цехи молокозаводу разом повинні обробити порівно зазначену
кількість літрів молока. Другий цех приступив до виконання завдання на а
робочих днів пізніше, але обробляв щодня на т л молока більше, ніж перший.
Минуло ще — робочих днів від початку спільної роботи цих цехів і залишилася
невиконаною — всього завдання. Скільки робочих днів треба для виконання
завдання, якщо роботу було закінчено одночасно і кожен цех обробив половину
даної кількості літрів молока?
13.288. Майстру і його учню доручено виготовити партію однакових
деталей. Після того як майстер пропрацював 7 год, а учень 4 год, виявилося, ЩО
5
вони виконали — усієї роботи. Пропрацювавши спільно ще 4 год, вони
встановили, що залишається виконати j- усієї роботи. За який час виконав би роботу
1 о
учень, працюючи один?
352

13.289. Два сплави складаються з цинку, міді й олова. Відомо, що перший
сплав містить 40% олова, а другий — 26% міді. Відсотковий вміст цинку в
першому і другому сплавах однаковий. Сплавивши 150 кг першого сплаву і
250 кг другого, одержали новий сплав, у якому виявилося 30% цинку. Скільки
кілограмів олова міститься в отриманому новому сплаві?
13.290. Якщо дві труби відкрити одночасно, то басейн наповниться за
2 год 24 хв. Насправді ж спочатку була відкрита тільки перша труба протягом
0,25 часу, який необхідно другій трубі, щоб наповнити басейн, діючи окремо.
Потім діяла друга труба також протягом 0,25 часу, який необхідно першій, щоб
одній наповнити басейн, після чого виявилося, що залишається наповнити
повної місткості басейну. Скільки часу необхідно для наповнення басейну
кожною трубою окремо?
13.291. Якщо виконання замовлення з набору кількох книжок доручити
одному з трьох складачів, то перший справиться з роботою на 10 год швидше, а
третій — на 6 год швидше, ніж другий. Якщо ж одну із замовлених книжок
складатиме перший складач, а іншу книжку одночасно складатиме другий, то за
9 год вони складуть стільки сторінок, скільки за 10 год складуть другий і третій,
працюючи разом. Скільки часу потрібно кожному складачу окремо для набору
всіх замовлених книжок?
13.292. Два «механічних кроти» різної потужності при одночасній роботі з
різних кінців тунелю могли б прорити його за 5 днів. Насправді ж обидва
«кроти» були застосовані послідовно з однієї сторони тунелю, причому перший про-
1 2
рив — , а другий — решту — довжини. На виконання всієї роботи пішло
10 днів. За скільки днів кожен «кріт», працюючи окремо, міг би прорити
тунель?
13.293. У басейн проведено дві труби різного перерізу. Одна — рівномірно
подає, друга — рівномірно відводить воду, причому через першу басейн
наповнюється на 2 год довше, ніж через другу спорожняється. При заповненому на
1
~ басейні було відкрито обидві труби, і басейн виявився порожнім через
8 год. За скільки годин, діючи окремо, перша труба наповнює, а друга
спорожняє басейн?
13.294. Двом робітникам було доручено виготовити партію однакових
Деталей; після того як перший працював а год, а другий 0,6а год, виявилося,
Що вони виконали — усієї роботи. Працюючи разом ще 0,6а год, вони вияви-
п
ли, що їм залишилося виготовити ще — усієї партії деталей. За скільки годин
п
Кожен з них, працюючи окремо, виконає всю роботу? Число п натуральне;
знайти його.
353

13.295. До водойми підведено два канали. Через перший вода рівномір
виливається, через другий — рівномірно вливається. Якщо обидва канали відкр
ти одночасно, то щогодини у водойму прибуває а л води. За скільки годин чер
перший канал пройде п л води, якщо відомо, що через другий увіллється вдв
більше тоді, коли він буде відкритий на а год менше того часу, за який чер
перший канал пройде п л?
13.296. Два екскаваторники мають виконати деяке завдання. Після того
перший працював 15 год, починає працювати другий і закінчує це завдан
через 10 год. Якби, працюючи окремо, перший виконав , а другий —
6
усього завдання, то для його закінчення треба було б ще 7 год їх спільної робої
За скільки годин може виконати завдання кожен екскаваторник окремо?
13.297. Довжина кругової доріжки іподрому дорівнює b км. З двох я
їзників А і В, що почали перегони одночасно, наїзник А прибув до фінішу
2 хв раніше. Іншим разом наїзник В збільшив швидкість на с км/год, тоді
наїзник А зменшив швидкість на с км/год і тому В прибув до фінішу на 2:
раніше, тжА. Знайти швидкості наїзників у першому заїзді.
13.298. Два спортсмени бігають по одній замкненій доріжці стадіоі
Швидкість кожного стала, але на пробіг усієї доріжки перший витрачає і
10 с менше, ніж другий. Якщо вони почнуть пробіг із спільного старту
одному напрямі, то ще раз зустрінуться через 720 с. Яку частину довжиі
всієї доріжки пробігає за секунду кожен спортсмен?
13.299. По двох концентричних колах рівномірно обертаються дві то
ки. Одна з них робить повний оберт на 5 с швидше, ніж друга, і тому встиг
зробити за хвилину на два оберти більше. Нехай на початку руху промеь
напрямлені з центра кола до цих точок, зливалися. Обчислити міру кута мі
променями через 1 с.
13.300. Менша дуга між точками А і В, розміщеними на колі, дорівнв
150 м. Якщо точки почнуть рухатися назустріч одна одній по меншій дузі,:
зустрінуться через 10 с, а якщо по більшій дузі, то зустріч відбудетьі
через 14 с. Визначити швидкості руху точок і довжину кола, якщо відомо, d
точка А може оббігти все коло за той час, що В пройде тільки 90 м.
13.301. У деякому механізмі три шестерні різних діаметрів зв’язані мі
собою так, що більша з них дотикається до обох менших, причому всі три ше
терні разом мають 60 зубців. Коли більша шестірня не доходить на 20 зубців;
повних чотирьох обертів, друга і третя роблять відповідно 5 і 10 повних оберті
Скільки зубців має кожна шестірня окремо?
13.302. По колу завдовжки 60 м рівномірно в одному напрямі руха*
ться дві точки. Одна з них робить повний оберт на 5 с швидше від іншої. Пі
цьому точки збігаються щоразу через кожну 1 хв. Визначити швидкості точо
13.303. Два колеса з’єднані нескінченним ременем; менше з них робить і
300 обертів за хвилину більше від другого. Більше колесо робить 10 обертів
інтервал часу, на 1 с більший, ніж час такої ж кількості обертів меншого колес
Скільки обертів за хвилину робить кожне колесо?
354

13.304. Дві зчіпні шестерні А і В насаджені щільно: перша — на вал Ох,
а ДРУга — на вал О2' Шестірня А має на 10 зубців більше, ніж В. При деякій
швидкості обертання вала вал 02 робить 63 оберти за хвилину. Якщо
шестерні поміняти місцями, то при тій самій швидкості вала Ох вал 02 зробить
28 обертів. Визначити кількість зубців кожної шестірні.
13.305. Знайти два двоцифрових числа Л і В за такими умовами. Якщо число
А написати перед записом числа В і одержане чотирицифрове число поділити на
число В, то в частці вийде 121. Якщо ж число В написати перед числом
А і одержане чотирицифрове число поділити на А, то в частці отримаємо 84 і
в остачі 14.
13.306. Через 2 год після відправлення потяг зупинився на 30 хв. На
ділянці шляху, що залишилася до станції, проводилися ремонтні роботи і
потягу було дозволено швидкість, що становить — початкової швидкості,
внаслідок чого потяг прийшов на станцію із запізненням на 1 год 10 хв.
Другого дня зупинка потяга сталася на 14 км ближче до кінцевої станції і за тих
самих умов запізнення скоротилося до 50 хв. Визначити відстань між
станціями і швидкість потяга.
13.307. Знайти трицифрове число, послідовні цифри якого утворюють
геометричну прогресію, якщо відомо, що після його зменшення на 495 утвориться
число, записане тими самими цифрами, якими записане шукане число, але
розміщеними у зворотному порядку; якщо ж цифри числа, що утвориться після
віднімання, зменшити (зліва направо) відповідно на 1, на 1 і на 2, то утвориться
арифметична прогресія.
13.308. Яке двоцифрове число менше від суми квадратів його цифр на
11 і більше їх подвоєного добутку на 5?
13.309. В одному сплаві золото і срібло відносяться як 1 : 2, в другому —
як 2 : 3. Скільки грамів кожного сплаву потрібно взяти, щоб одержати 19 г
сплаву, в якому золото і срібло відносяться як 7 : 12?
13.310. Брухт сталі двох сортів містить 5 і 40% нікелю відповідно. Скільки
потрібно взяти металу кожного з цих сортів, щоб одержати 140 т сталі з 30%-ним
вмістом нікелю?
13.311. Із двох пунктів, відстань між якими дорівнює 2400 км, назустріч
один одному виходять одночасно пасажирський і швидкий потяги. Кожний з них
йде зі сталою швидкістю, і в деякий момент часу вони зустрічаються. Якби
обидва потяги йшли зі швидкістю швидкого потяга, то їх зустріч відбулася б на
З год раніше від фактичного моменту зустрічі. Якби ж обидва потяги йшли зі
швидкістю пасажирського потяга, то їх зустріч відбулася б на 5 год пізніше від
фактичного моменту зустрічі. Знайти швидкості потягів.
13.312. Під час розвантажування баржі спочатку 2 год працювали чотири
підйомних крани однакової потужності. Потім додатково ввели в дію ще два
крани меншої, але однакової потужності. Після цього для закінчення
розвантажування треба ще 3 год. Якби всі ці крани почали працювати одночасно, то
баржу розвантажили б за 4,5 год. Якби один кран більшої й один кран меншої
потужності працювали разом, то за який час вони розвантажили б баржу?
355

13.313. Знаменник дробу менший від квадрата його чисельника на 1. Якщо
до чисельника і знаменника додати по 2, то значення дробу буде більшим за і •
4 ’
якщо від чисельника і знаменника початкового дробу відняти по 3, то значення
дробу буде — . Знайти цей дріб.
13.314. Два зубчасті колеса знаходяться в зчепленні. Колесо А мас
12 зубців, а колесо В — 54. Скільки обертів зробить кожне колесо до того, як
обидва вони повернуться у вихідне положення?
13.315. Початкова собівартість одиниці продукції була 50 грн. За перший
рік виробництва вона підвищилася на кілька відсотків, а протягом другого
року знизилася (відносно підвищеної собівартості) на стільки ж відсотків, у
результаті чого вона стала 48 грн. Визначити відсотки підвищення і зниження
собівартості одиниці продукції.
13.316. Підприємство збільшувало обсяг випущеної продукції щорічно на
однакове число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що за два роки обсяг
продукції, що випускається, зріс удвічі.
13.317. Один турист вийшов о 6 год, а другий — назустріч йому о 7 год.
Вони зустрілися о 8 год і, не зупиняючись, продовжили шлях. Скільки часу
витратив кожний з них на весь шлях, якщо перший прийшов у те місце, з якого
вийшов другий, на 28 хв пізніше, ніж другий прийшов у те місце, звідки вийшов
перший? Вважати, що кожний ішов без зупинок зі сталою швидкістю.
13.318. На один продукт двічі було знижено ціну, щоразу на 15%.
На інший продукт, що мав спочатку ту саму ціну, що й перший, знизили ціну
один раз на х %. Яким має бути число jc, щоб після всіх зазначених знижень
обидва продукти знову мали однакову ціну?
13.319. Посудина місткістю 8 л наповнена сумішшю кисню й азоту,
причому на кисень припадає 16% місткості посудини. З цієї посудини випускають
деяку кількість суміші і впускають таку саму кількість азоту, після чого знову
випускають таку саму, як і першого разу, кількість суміші і знову додають
стільки ж азоту. У новій суміші кисню виявилося 9%. Яку кількість суміші
щоразу випускали з посудини?
13.320. Домішки становлять 20% від загального об’єму розчину. Яка
найменша кількість фільтрів, через які потрібно пропустити розчин, щоб
остаточний вміст домішок не перевищував 0,01%, якщо кожен фільтр поглинає 80%
домішок? (Відомо, що lg2 ~0,30.)
13.321. Сума двох трицифрових чисел, записаних однаковими цифрами,
але у зворотному порядку одне відносно одного, дорівнює 1252. Знайти ці
числа, якщо сума цифр кожного з них дорівнює 14, а сума квадратів цифр
дорівнює 84.
13.322. Бджоли, переробляючи квітковий нектар на мед, видаляють з
нього значну частину води. Дослідження показали, що нектар зазвичай містить
близько 70% води, а отриманий з нього мед містить тільки 17% води. Скільки
кілограмів нектару доводиться переробляти бджолам для одержання 1 кг меду?
356

13.323. Для виготовлення пшеничного хліба взято стільки кілограмів
борошна, скільки відсотків становить припічка на це борошно. Для виготовлення
житнього хліба взято на 10 кг борошна більше, тобто стільки кілограмів, скільки
відсотків становить припічка на житнє борошно. Скільки кілограмів узято того
Й іншого борошна, якщо всього випечено 112,5 кг хліба?
13.324. Інженер за перший тиждень відпустки витратив трохи менше
З 1
- кількості взятих із собою грошей; за другий тиждень — остачі й ще 30 грн;
5 2 . „ .4 6
за третій тиждень — нової остачі и ще 12 грн, після чого залишилось —
решти кількості взятих грошей. Відомо також, що кількість грошей, що
залишилися невитраченими до кінця першого, другого і третього тижнів,
зменшувалася в арифметичній прогресії. Скільки грошей було витрачено за три
тижні відпустки?
13.325. Можна виготовити 9000 деталей на кількох нових верстатах
однакової конструкції й одному верстаті старої конструкції, що працює вдвічі повільніше
кожного з нових верстатів. Можна і цей старий верстат замінити новим верстатом
тієї самої конструкції, що й інші. Тоді за другим варіантом на кожному верстаті
виготовлялося б на 200 деталей менше, ніж на одному новому верстаті за першим
варіантом. Скільки було верстатів, що працювали?
13326. Із А до В через рівні інтервали часу відправляються три
автомашини. Вони прибувають до В одночасно, потім виїжджають у пункт С, що
розташований на відстані 120 км від В. Перша машина прибуває іуди через годину після
другої. Третя машина, прибувши в С, відразу повертає назад і за 40 км від С
зустрічає першу машину. Визначити швидкість першої машини, вважаючи, що на
всій трасі швидкість кожної машини була сталою.
13.327. По трьох посудинах розподілено 24 л рідини. Спочатку з першої
посудини перелили в дві інші стільки, скільки було в кожній з них. Потім з
другої перелили в дві інші стільки, скільки стало в кожній з них після першого
переливання. Нарешті, з третьої перелили в інші стільки, скільки стало в
кожній з них після другого переливання. У результаті в кожній посудині
виявилась однакова кількість рідини. Скільки рідини було в кожній посудині
спочатку?
13328j. Бригада рибалок планувала виловити у певний строк 1800 ц риби.
Протягом — цього строку був шторм, тому планове завдання щодня
недовиконувалося на 20 ц. Однак в інші дні бригаді вдавалося щодня виловлювати на
20 ц більше денної норми, і планове завдання було виконано за один день
До строку. Скільки центнерів риби планувалося виловлювати щодня?
13329. Два робітники були прийняті на однаковий строк виконання сезонної
Роботи з різною оплатою кожному за один день роботи. Перший працював
357

на а днів менше строку й одержав г грн, а другий працював на а днів більще
строку й одержав s грн. Якби перший працював стільки днів, скільки другий, а
другий стільки днів, скільки перший, то вони одержали б порівну. Визначити
встановлений строк роботи.
13.330. Два вантажних автомобілі повинні перевезти деякий вантаж
за 6 год. Другий автомобіль затримався в гаражі, і коли він прибув на місце
завантаження, перший перевіз уже 0,6 усього вантажу; решту вантажу перевіз
другий автомобіль, і весь вантаж був перевезений таким чином за 12 год.
Скільки часу потрібно було кожному автомобілю окремо для перевезення
вантажу?
13.331. З металу певної марки виготовлено кілька кульок однакової маси
і кілька поршневих кілець також однакової маси. Якби число, що виражає масу
кожної кульки в грамах, було на 2 менше кількості кілець, а число, що виражає
масу кожного кільця в грамах, було на 2 більше кількості зроблених кульок, то
число, що виражає їх загальну масу, перевищувало б подвоєну різницю кількості
кілець і кульок на 800. Якби число, що виражає масу кожного предмета в грамах,
дорівнювало б кількості зроблених предметів того ж роду, то загальна їх маса
дорівнювала б 881 г. Скільки було зроблено кульок і скільки кілець?
13.332. Три хлопчики А, Б і В домовилися, що під час спільної подорожі на
катері кожен побуває в ролі капітана, причому час перебування кожного буде
пропорційний до кількості очків, які він одержить за участь у географічній
вікторині. У підсумку А одержав на 3 очки більше, ніж В\ Б і В разом одержали
15 очків. Число, що виражає 0,1 всього часу подорожі (у годинах), на 25 більше
від кількості очків, отриманих хлопчиками. Скільки годин були капітанамиЛ і 5,
якщо Б виконував ці обов’язки 160 год?
13.333. М’яч падає з висоти 2 м 43 с\і і, вдаряючись об землю, відскакує
2
знову, піднімаючись щоразу на — висоти, з якої він у черговий раз падає. Після
скількох ударів м’яч підніметься на висоту 32 см?
13.334. До ательє надійшло по одному шматку чорної, зеленої і синьої
тканини. Хоча зеленої тканини було на 9 м менше, ніж чорної, і на 6 м більше, ніж
синьої, вартість шматків була однаковою. Відомо також, що вартість 4,5 м чорної
тканини дорівнює вартості 3 м зеленої і 0,5 м синьої разом. Скільки метрів
тканини було в кожному шматку?
13.335. Якщо двоцифрове число поділити на добуток його цифр, то в частці
утвориться 3 і в остачі 8. Якщо ж число, складене з тих самих цифр, але записаних
у зворотному порядку, поділити на добуток цифр, то в частці утвориться 2, а в
остачі 5. Знайти це число.
13.336. Вугілля, привезене на склад, призначене для двох заводів. На
перший завод почали доставляти вугілля з 1 -го червня по т т щодня, з неділями
включно, на другий завод — з 8-го червня по п т щодня, з неділями включно.
До кінця дня 16-го червня на складі залишилася половина початкової кількості
вугілля. Якого числа було вивезено зі складу все вугілля, якщо обидва заводи
одержали вугілля порівну?
358

13.337. На підприємство, де виготовляють розчинну каву, в останніх
числах травня привезли партію зерен кави для переробки. Один механізм, що
перемелює зерна, був приведений у дію в понеділок 1 -го червня і
перемелював щодня по т кг. З 6-го червня до виконання цієї роботи підключили
другий механізм, що перемелював щодня по п кг. До кінця робочого дня 10-го
червня залишилася не перемеленою тільки половина початкової кількості
зерен. Коли була закінчена переробка всієї партії зерен, якщо відомо, що
обидва механізми перемололи порівну і, крім неділь, інших перерв у роботі
не мали?
13.338. Запис шестицифрового числа починається цифрою 2. Якщо цю
цифру перенести з першого місця на останнє, зберігши порядок інших п’яти
цифр, то знову одержане число буде втричі більшим від початкового. Знайти
початкове число.
13.339. Потрібно було взяти кілька літрів рідини при температурі а й іншу
кількість літрів тієї самої рідини при температурі b, щоб одержати температуру
суміші с. Однак другої рідини було взято стільки, скільки передбачалося взяти
першої, і навпаки. Якою стала температура суміші?
13.340. Відомо, що різниця змінних величин z і у пропорційна до
величини х, а різниця величин х і z пропорційна до величини у. Коефіцієнт
пропорційності однаковий і дорівнює цілому додатному числу к. Деяке значення
величини z у — рази більше від різниці відповідних значень х і у. Знайти
числове значення коефіцієнта к.
13.341. Троє робітників брали участь у конкурсі. Перший і третій з них
виготовили продукції в 2 рази більше, ніж другий, а другий і третій — у 3 рази
більше, ніж перший. Яке місце зайняв кожен робітник у конкурсі? У якому
відношенні знаходяться кількості виробленої ними продукції?
13.342. Відстань між станціями А і В дорівнює 360 км. Одночасно зАїгВ
назустріч один одному виходять два потяги. Потяг, що вийшов з Л, прибуває на
станцію В не раніше, ніж через 5 год. Якби його швидкість була в 1,5 рази
більшою, ніж насправді, то він зустрів би другий потяг раніше, ніж через 2 год
після свого виходу з А. Швидкість якого потяга більша?
13.343. Є припущення, що вираз
(х + а)(х + 2а)(х + Зд)(х + 4а) + а4
2 2
є квадратом тричлена виду х + рх + qa . Як можна перевірити це твердження і
знайти коефіцієнти р і q?
13.344. Модулі двох сил, що діють на матеріальну точку під прямим
кутом, і модуль їх рівнодійної утворюють арифметичну прогресію. Визначити, у
якому відношенні знаходяться модулі сил.
13.345. Припускаючи, що стрілки годинника рухаються без стрибків,
установити, через скільки хвилин після того, як годинник показував 8 год,
хвилинна стрілка наздожене годинну.
359

13.346. Об’єм речовини А становить половину суми об’ємів речовин В
1 С, а об’єм речовини В становить у суми об’ємів речовин А і С. Знайти
відношення об’єму речовини С до суми об’ємів речовин А і В.
13.347. Знайти два числа за такими умовами: їх сума дорівнює 1244; якщо
до першого числа дописати справа цифру 3, а від другого числа відкинути
останню цифру 2, то матимемо два однакових числа.
13.348. Від станції А в напрямі до станції В відійшов пасажирський потяг.
Через а год від станції В у напрямі до станції А відійшов потяг «Стріла». Потяги
зустрілися на станції С. Після зустрічі пасажирський потяг йшов b год, потяг
«Стріла» йшов с год. Скільки часу потрібно кожному з цих потягів на весь шлях
між станціями А і В1 Передбачається, що швидкості потягів сталі на всьому
шляху.
13.349. Від пошти А до селища В треба пройти 9 км. Листоноша проходить
шлях туди і назад, не затримуючись в селищі, за 3 год 41 хв. Дорога з А до В йде
спочатку вгору, потім по рівному місцю і потім під гору. Яка завдовжки ділянка
дороги по рівному місці, якщо вгору листоноша йде зі швидкістю 4 км/год, по
рівному місці 5 км/год, а під гору 6 км/год?
13.350. Два автомобілісти зустрілися на півдорозі між містами Л і В. Під час
зустрічі з’ясувалося, що перший з А виїхав раніше, ніж другий з В, на стільки
годин, скільки становитиме половина того часу (також у годинах), що пройшов
би до їх зустрічі при одночасному виїзді з тих самих пунктів, по тій самій дорозі,
з тими самими швидкостями, сталими на всьому шляху. У скільки разів другий
автомобіліст їхав швидше від першого?
13.351. Дорога від пошти А до селища В йде спочатку вгору протягом
2 км, потім по рівному місці 4 км і згодом з гори 3 км. Листоноша проходить
від А до В за 2 год 16 хв, а назад — за 2 год 24 хв. Якби кінцевий пункт його
шляху був розташований по тій самій дорозі, але вдвічі ближче до А, то на
весь шлях туди й назад листоноші було б достатньо 2 год 19 хв. Скільки
кілометрів за годину проходить листоноша, коли він йде: а) угору; б) по
рівному місці; в) з гори?
13.352. Назустріч рухомому трамваю йшла дівчина — знайома юнака, який
сидів біля вікна трамвая. Через 8 с після того як вона порівнялася з вікном, юнак
вийшов із трамвая і пішов услід за нею. Скільки часу пройшло з цього моменту
до того, як він наздогнав дівчину? Швидкість юнака вдвічі більша від швидкості
дівчини й у 5 разів менша від швидкості трамвая.
13.353. При множенні двох додатних чисел, з яких одне на 75 більше від
другого, помилково утворився добуток на 1000 менший від істинного.
Внаслідок цього, розділивши (при перевірці) помилковий добуток на менший
із множників, отримали в частці 227 і в остачі 113. Знайти обидва числа.
13.354. При множенні двох чисел, з яких одне на 10 більше від другого,
учень припустився помилки, зменшивши цифру десятків добутку на 4. При
діленні одержаного добутку на менший множник для перевірки відповіді він
отримав у частці 39, а в остачі 22. Знайти множники.
360

13.355. Автомобіль, пройшовши шлях від А до В завдовжки 300 км,
повернув назад і через 1 год 12 хв після виходу з В збільшив швидкість на
16 км/год. У результаті на зворотний шлях він витратив на 48 хв менше, ніж на
пілях від А до В. Знайти початкову швидкість автомобіля.
13.356. Відстань між пунктами А і В дорівнює 308 м. З А в напрямі до В
рухається точка, яка за першу секунду проходить 15 м, а за кожну наступну
секунду на 1 м менше. З В у протилежному напрямі рухається точка, яка за
першу секунду проходить 20 м, а за кожну наступну на 3 м більше. На якій
відстані від А відбудеться зустріч, якщо точка, що вийшла з В, почала
рухатися на 3 с пізніше за точку, що вийшла з пункту А1
13.357. Велосипедист проїхав 96 км на 2 год швидше, ніж припускав. При
цьому за кожну годину він проїжджав на 1 км більше, ніж припускав проїжджати
за 1 год 15 хв. З якою швидкістю він їхав?
13.358. Знайти шестицифрове число, що починається з цифри 1 і таке,
що коли переставити цю цифру в кінець, то утвориться число, втроє більше від
шуканого.
13.359. Знайти два двоцифрових числа, що мають таку властивість: якщо
до більшого шуканого числа дописати справа нуль і за ним менше число, а до
меншого числа дописати справа більше число і потім нуль, то з одержаних двох
п’ятицифрових чисел перше, поділене на друге, дає в частці 2 і в остачі 590. Крім
того, відомо, що сума, складена з подвоєного більшого шуканого числа і
потроєного меншого, дорівнює 72.
13.360. Велосипедист відправляється з А до В. Відстань від А до В дорівнює
60 км; швидкість велосипедиста стала. Потім він їде назад з тією самою
швидкістю, але через годину після виїзду з В робить зупинку на 20 хв. Після цього він
продовжує шлях, збільшивши швидкість на 4 км/год. У яких межах міститься
швидкість v велосипедиста, якщо відомо, що на зворотний шлях від В до А він
витратив не більше часу, ніж на шлях від А до В1
13.361. Червоний олівець коштує 2 грн 70 коп., синій — 2 грн 30 коп. На
покупку олівців можна витратити не більше, ніж 94 грн. Необхідно закупити
максимально можливу сумарну кількість червоних і синіх олівців. При цьому
червоних олівців потрібно закупити якнайменше, проте кількість синіх олівців
не повинна відрізнятися від кількості червоних олівців більше ніж на 10. Скільки
червоних і скільки синіх олівців потрібно закупити при зазначених умовах?
13.362. Деякий сплав складається з двох металів, що відносяться як 1 : 2,
а другий містить ті самі метали у відношенні 2:3. Скільки частин кожного сплаву
потрібно взяти, щоб одержати третій сплав, що містить ті самі метали у
відношенні 17:27?
13.363. Один сплав містить метали А і В у відношенні т : л, другий —
ті самі метали у відношенні р : q. Які кількості першого і другого сплавів
потрібно взяти, щоб одержати 1 кг третього сплаву з однаковим вмістом металів
А і В?
13.364. Основу степеня збільшили в к разів, а показник степеня зменшили
в стільки ж разів, при цьому степінь не змінився. Знайти основу степеня, що має
таку властивість.
361

13.365. Два судна рухаються прямолінійно і рівномірно в порт. У початі
вий момент часу положення суден і порту утворюють рівносторонній трикз
ник, а після того як друге судно пройшло 80 км — прямокутний трикутні
У момент прибуття першого судна в порт другому залишається пройти 1201
Знайти відстань між суднами в початковий момент часу.
13.366. На річці, швидкість течії якої 5 км/год, вниз за течією розміни
пристані А, В і С, причому В розташована посередині між А і С. Від пристані
одночасно відходять пліт, що рухається за течією до пристані С, і катер, що й
до пристані А, причому швидкість катера в стоячій воді дорівнює v км/гс
Дійшовши до пристані А, катер розвертається і рухається до пристані С. Знай
всі ті значення v, при яких катер приходить у С пізніше, ніж пліт.
13367. Декілька студентів вирішили купити імпортний магнітофон вартісі
від 170 до 195 доларів. Однак в останній момент двоє відмовилися брати учас
у покупці, тому кожному з решти довелося внести на 1 долар більше. Скільї
коштував магнітофон?
13.368. Для перевезення вантажу з одного місця в інше було замовлеї
деяку кількість вантажівок однакової місткості. Через несправність дороги
кожну машину довелося навантажувати на 0,5 т менше, ніж передбачалос
тому додатково були викликані ще 4 таких самих машини. Маса перевезено
вантажу була не меншою 55 т, але не перевищувала 64 т. Скільки тонн ванта)
було перевезено на кожній вантажівці?
13.369. Біля будинку посаджені липи і берези, причому їх разом більї
14. Якщо кількість лип збільшити вдвічі, а кількість беріз на 18, то беріз ста
більше, ніж лип. Якщо ж кількість беріз збільшити вдвічі, не змінюючи кількос
лип, то лип тепер буде більше, ніж беріз. Скільки лип і скільки беріз бу.
посаджено?
13.370. Школяр переклеює всі свої марки в новий альбом. Якщо в
наклеїть по 20 марок на один аркуш, то йому не вистачить альбому, а якщо і
23 марки на аркуш, то принаймні один аркуш залишиться порожнім. Якщо
школяреві подарувати ще такий самий альбом, на кожному аркуші яко
наклеєно по 21 марці, то всього в нього буде 500 марок. Скільки аркушів
альбомі?
13371. Споруджується ділянка залізничного насипу завдовжки 100
поперечним перерізом якого є рівнобедрена трапеція з нижньою основою 5
верхньою основою, не меншою від 2 м, і кутом відкосу 45°. Яку висоту h пов
нен мати цей насип, щоб обсяг земельних робіт становив не менше 400 м3, але і
більше 500 м3?
Група В
13.372. 	Комісійний магазин прийняв для продажу фотоапарати, годинник
авторучки і радіоприймачі на суму 240 грн. Сума цін приймача й одного годи
ника на 4 грн більша від суми цін фотоапарата й авторучки. Ціна авторучі
дорівнює цілому числу гривень, що не перевищує 6. Кількість прийнятих фот
362

апаратів дорівнює ціні одного фотоапарата в гривнях, поділеній на 10; кількість
прийнятих годинників дорівнює кількості приймачів, а також кількості
фотоапаратів. Кількість авторучок у 3 рази більша від кількості фотоапаратів. Скільки
всього предметів зазначених найменувань було прийнято магазином?
13.373. Електронна обчислювальна машина отримала завдання розв’язати
послідовно кілька задач. Реєструючи час виконання завдання, помітили, що на
розв’язування кожної наступної задачі машина витрачала в однакову кількість
разів менше часу, ніж на розв’язування попередньої. Скільки було запропоновано
задач і скільки часу витрачено машиною на розв’язування всіх задач, якщо на
розв’язування всіх задач, крім першої, витрачено 63,5 хв, на розв’язування всіх
задач, крім останньої, витрачено 127 хв, а на розв’язування всіх задач, крім двох
перших і двох останніх, витрачено 30 хв?
13.374. Три свічки мали однакову довжину, але різну товщину. Перша
свічка була запалена на 1 год раніше від двох інших, запалених одночасно.
У деякий момент горіння перша і третя свічки виявилися однаковими за
довжиною, а через 2 год після цього однакову довжину мали перша і друга свічки.
За скільки годин згорить перша свічка, якщо друга згорить за 12 год, а
третя — за 8 год?
13.375. Знайти трицифрове число, знаючи, що число його десятків є
середнім геометричним числа сотень і одиниць. Якщо в його записі поміняти місцями
цифри сотень і одиниць і відняти нове число від шуканого, то різниця
дорівнюватиме 297.
13.376. Шукане трицифрове число закінчується цифрою 1. Якщо її стерти
і потім дописати як першу цифру числа, то отримане трицифрове число буде
log г~ З
меншим від шуканого на 10а УІа . Знайти це число.
13.377. Різниця логарифмів цифр сотень і десятків трицифрового числа
дорівнює логарифму різниці тих самих цифр. Якщо від цього трицифрового
числа відняти число, що має зворотний порядок цифр, то їх різниця
дорівнюватиме додатному числу, в якого цифра сотень збігається з цифрою десятків
даного числа. Знайти це число.
13.378. У шматку сплаву масою 6 кг міститься мідь. У шматку іншого
сплаву масою 8 кг міститься мідь в іншому відсотковому відношенні, ніж у
шматку першого сплаву. Від першого шматка відокремили деяку частину, а від
Другого — частину, вдвічі більшу за масою, ніж від першого. Кожну з
відділених частин сплавили з рештою іншого шматка, після чого одержали два нових
сплави з однаковим відсотковим вмістом міді. Яка маса кожної з частин,
відділених від шматків початкових сплавів?
13.379. Вартість діаманта пропорційна до квадрата його маси. Діамант
масою р карат було розбито на дві частини, після чого його вартість зменшилася в к
Разів. Знайти масу частин, на які було розбито діамант (1 карат = 0,2 г). Довести,
Що найбільша втрата вартості діаманта відбувається тоді, коли обидві його
частини рівні за масою.
13.380. Куплено кілька кілограмів товару двох сортів: 1-го сорту на
4500 грн і 2-го на 2000 грн, причому 1-го сорту куплено на 1 кг більше.
363

Вартість 1 кг товару 1-го сорту на 100 а грн більша від вартості 1кг товару
2-го сорту. Скільки кілограмів товару кожного сорту куплено? Визначити
кількість розв’язків залежно від можливих значень а.
13.381. Вугілля, що видобувається в пункті А, продається по q грн за
тонну, а те, що в пункті В — на р % дорожче. Пункти А і В з’єднує дорога
завдовжки s км. У якій зоні цієї дороги АВ розташовані споживачі вугілля, для
яких закупівля і доставка вугілля з В обходиться дешевше, ніж з А, якщо
перевезення 1 т вугілля на відстань 1 км коштує г грн? У якому місці дороги АВ
розташоване підприємство, витрати якого на споживання вугілля не залежать
від вибору пункту А чи В1 Дослідити можливі випадки.
13.382. Точка Р розміщена на діаметрі кола радіуса R між кінцями діаметра
АВ. З цієї точки Р рухаються три одиничні маси в напрямах відрізків PA, РВ і РС
так, що РС — півхорда, перпендикулярна до діаметра АВ. На якій відстані відЛ
розміщена точка Р, якщо відомо, що швидкості руху сталі і за одиницю часу
перша маса досягла точки А, друга — точки В, а третя — точки С? При цьому
кінетична енергія (0,5/wv2) у сумі становить а2 одиниць. У яких межах можна
змінювати величину а2, щоб виконувалася умова задачі?
13.383. Декілька робітників виконують завдання за 14 днів. Якби їх було на
4 людини більше і кожен працював би в день на 1 год довше, це саме завдання
було б виконано за 10 днів. Якщо ж їх було б ще на 6 чоловік більше і кожен
працював би ще на 1 год в день довше, завдання було б виконано за 7 днів.
Скільки було робітників і скільки годин на день вони працювали?
13.384. П’ятеро робітників виконують деяке завдання. Перший, другий і
третій, працюючи разом, можуть виконати все завдання за 7,5 год; перший,
третій і п’ятий разом — за 5 год; перший, третій і четвертий разом — за 6 год, а
другий, четвертий і п’ятий разом — за 4 год. За який час виконають це завдання
всі п’ятеро робітників, працюючи разом?
13.385. На змаганнях авіамоделей з моторчиками кращими виявилися дві
моделі. При зустрічному вітрі перша модель протрималася в повітрі на т хв
менше від другої, але пролетіла на h м далі. Швидкість вітру дорівнює с м/хв, але
на тривалість польоту моделі вітер не впливає, від вітру залежить тільки дальність
польоту. Передбачається, що власна швидкість кожної моделі увесь час стала.
Яка з цих моделей пролетить більшу відстань при безвітряній погоді?
13.386. На сторонах рівностороннього трикутника ABC між його
вершинами розташовані точки A j, Вх і Cj так, що АА, = ВВ{ = ССj = х. Сторона
трикутника дорівнює а. Знайти таке значення jc, при якому відношення площ трикутників
АХВХСХ і ABC дорівнювало б даному додатному числу т. У яких межах можна
змінювати величину т, щоб виконувалася умова задачі?
13.387. З пункту А відправився моторний човен вгору по Волзі, а з пункту
В одночасно вийшов пліт за течією. Через а год вони зустрілися і далі рухалися
без зупинок. Дійшовши до пункту В, човен, не затримуючись, повернувся назад
і наздогнав пліт у пункті А. Передбачається, що власна швидкість човна увесь
час стала. Скільки часу перебували в плаванні пліт і човен?
13.388. Три плавці повинні пропливти в басейні доріжку завдовжки 50 м,
негайно повернути назад і повернутися до місця старту. Спочатку стартує пер'
364

ший, через а с — другий, ще через ас — третій. У деякий момент часу, ще не
досягти кінця доріжки, плавці виявилися на одній відстані від старту. Третій
плавець, допливши до кінця доріжки і повернувши назад, зустрів другого за s м
від кінця доріжки, а першого — за г м від кінця доріжки. Знайти швидкість
першого і третього плавців і встановити зв’язок у вигляді нерівностей між
параметрами г і s так, щоб задача мала розв’язок.
13.389. Від двох шматків сплаву однакової маси, але з різним відсотковим
вмістом міді відрізали по шматку однакової маси. Кожний з відрізаних шматків
сплавили з рештою іншого шматка, після чого відсотковий вміст міді в обох
шматках став однаковим. У скільки разів відрізаний шматок менший від цілого?
13.390. Колона автомобілів, що рухаються з однією й тією самою сталою
швидкістю, має довжину 5 км. В останньому автомобілі знаходиться начальник
колони, а поруч мотоцикліст. За наказом начальника мотоцикліст збільшив
швидкість, порівнявся з головною машиною, передав водієві пакет, миттєво
розвернувся і з тією самою швидкістю, з якою їхав уперед, поїхав назад на своє
місце. Начальник повідомив мотоциклістові, що поки той виконував доручення,
колона просунулася вперед на 5 км. Скільки кілометрів проїхав мотоцикліст?
13.391. Із пунктів А і В одночасно виїжджають два автомобілі і
зустрічаються о 12 год дня. Якщо швидкість першого подвоїти, а швидкість другого
залишити початковою, то зустріч відбудеться на 56 хв раніше. Якщо швидкість
другого подвоїти, а швидкість першого залишити початковою, то вони
зустрінуться на 65 хв раніше. Визначити час зустрічі за умови, що швидкість обох
автомобілів була б подвоєною.
13.392.3 	аеропорту до центру міста вийшов автомобіль, одночасно з
центру міста до аеропорту вийшов автобус-експрес. Коли перший пройшов
половину шляху, другому залишилося до кінця маршруту 19,2 км, а коли другий
пройшов половину шляху, першому залишилося до кінця маршруту 12 км.
Скільки кілометрів залишається пройти автобусу після того як автомобіль
закінчить свій маршрут? Передбачається, що швидкості автомобіля й автобуса
сталі на всьому шляху.
13393. Відстань між двома точками дорівнює d. Під дією деяких сил обидві
точки починають рівномірний рух назустріч одна одній. Для того щоб вони
зустрілися на середині шляху, першій точці потрібно почати рух на t одиниць
часу раніше від другої. Якщо ж точки почнуть зближення одночасно, то через Т
одиниць часу відстань між ними становитиме к-ту частину (к > 1) початкової
відстані. Знайти швидкості руху точок.
13.394. У двох братів були квитки на стадіон, розташований за 10 км від
їхнього будинку. Спочатку вони збиралися йти на стадіон пішки, але потім
вирішили скористатися своїм велосипедом, домовившись, що один відправиться на
велосипеді, а другий одночасно з ним — пішки. Проїхавши частину шляху,
перший залишить велосипед, а другий, дійшовши до залишеного велосипеда, поїде
на ньому далі і наздожене першого біля входу на стадіон. Скільки часу виграють
брати при цьому порівняно з початковим наміром йти весь шлях пішки, якщо
кожний з них на велосипеді долає кілометр шляху на 12 хв швидше, ніж пішки?
13.395. Спортсмен, тренуючись у швидкій ходьбі вздовж шосе, помітив,
Що кожні 6 хв його наздоганяє тролейбус і кожні 3 хв проходить зустрічний
365

тролейбус. Потрібно знайти,
через які інтервали часу
відправляються тролейбуси з кінцевих
пунктів і в скільки разів
повільніше за тролейбус йшов
спортсмен, якщо припустити, що В
обидві сторони тролейбуси
відправляються через однакові
інтервали часу, йдуть без
зупинок зі сталою й однаковою
швидкістю (рис. 13.11, де АВ — графік
руху спортсмена, прямі М^Ц
ІM2N2 і Q\P\\ QiP2 — графіки
руху оудь-яких тролеиоусів, що рухаються один за одним попутно спортсмену
і назустріч йому).
13.396. За розкладом навчально-тренувальних занять спочатку з пункту
А повинен виїхати один зв’язківець, а через 6 год — другий зв’язківець з такою
швидкістю, щоб наздогнати першого за 180 км від пункту А. Однак у момент
відправлення перший зв’язківець одержав наказ їхати зі швидкістю на а км/год
більшою, ніж передбачалося спочатку. Другому ж зв’язківцю не дозволялося
збільшувати передбачену розкладом швидкість, тому, щоб точно виконати
завдання, йому довелося виїхати з пункту А на 3 год раніше, ніж передбачалося.
Скільки годин буде в дорозі кожен зв’язківець? Довести, що задача має зміст
тільки при а < 30.
13.397. Два потяги виходять одночасно з А і В назустріч один одному і
зустрічаються на відстані р км від В. Через t год після зустрічі другий потяг,
пройшовши пункт Л, знаходився за q км від нього, а перший у цей час,
пройшовши пункті?, знаходився від другого потяга на відстані вдвічі більшій, ніж відстань
між А і В. Знайти швидкості потягів і відстань між А і В. Потяги не зупинялися і
швидкості їх вважаються сталими.
13.398. Два приятелі зібралися на полювання. Один з них живе за 46 км від
мисливської бази, другий, що має автомобіль, за 30 км від бази — між цією
базою і будинком свого приятеля. Вони вирушили в дорогу одночасно,
причому власник автомобіля поїхав назустріч своєму приятелю, що йде пішки.
Зустрівшись, вони разом поїхали на базу і прибули туди через годину після виходу з
будинку. Якби пішохід вийшов з будинку на 2 год 40 хв раніше власника
автомобіля, то приятелі зустрілися б за 11 км від будинку пішохода. Яка швидкість
автомобіля? Швидкість руху пішохода й автомашини вважати сталою.
13.399. Потяг було затримано на станції відправлення на 1 год 42 хв.
Одержавши сигнал відправлення, машиніст повів потяг за таким графіком: на ділянці»
що становить 0,9 усього шляху від станції відправлення до станції призначення,
він підтримував швидкість на 20% вищу від звичайної і 0,1 шляху вів потяг зі
швидкістю на 25% вищою від звичайної. У результаті потяг прибув на станцію
призначення без запізнення. Яка тривалість руху цього потяга між станціями
при звичайній швидкості?
Рис. 13.11
366

13.400. На шосе послідовно розташовані пункти D, А, С ЇВ.ЗА 'хВ
одночасно виїхали мотоцикліст і велосипедист у пункти С і D відповідно. Зустрівшись в
£t вони помінялися машинами, і кожний продовжував свій шлях. У результаті
перший витратив на поїздку від А до С6 год, а другий витратив на поїздку від В
до D 12 год. Визначити довжину шляху АВ, якщо відомо, що мотоцикліст
розвиває швидкість 60 км/год, а велосипедист — 25 км/год, і, крім того, середня
швидкість першого на шляху АС дорівнює середній швидкості другого на
шляху BD.
13.401. На біговій доріжці одночасно стартували два ковзанярі на
дистанцію s м. Коли переможець досяг фінішу, другому залишилося бігти ще ціле коло.
Визначити довжину бігової доріжки, якщо переможець, пробігаючи кожне коло
на а с швидше переможеного, закінчив дистанцію за / хв. Вважається, що
швидкості спортсменів зберігалися сталими на всій дистанції.
13.402. Місткості трьох посудин А, В, С, кожна з яких має форму куба,
відносяться як 1:8: 27, а об’єми налитої в них води — як 1 : 2 : 3. Після
переливання частини води з посудини А в посудину В і з посудини В в посудину
С в усіх трьох посудинах отримали шар води однакової глибини. Потім перелили
4
128— л води з посудини С в посудину В, а після цього з посудини В в посудину
А стільки, що глибина води в посудині А стала вдвічі більшою, ніж у посудині В.
При цьому виявилося, що в посудині А тепер на 100 л води менше, ніж було
спочатку. Скільки води було спочатку в кожній посудині?
13.403. Змагаються три бригади лісорубів. Перша і третя бригади
обробили деревини в 2 рази більше, ніж друга, а друга і третя — у 3 рази більше, ніж
перша. Яка бригада перемогла в цьому змаганні?
13.404. Дві людини одночасно почали спускатися рухомим ескалатором
метро вниз, причому одна йшла вдвічі швидше від другої. Одна з них нарахувала
60 сходинок, а друга — 40. Скільки сходинок довелося б їм пройти по
нерухомому ескалатору?
13.405. ЗАьВізВвА одночасно вийшли два пішоходи. Коли перший
пройшов половину шляху, другому до кінця шляху залишилося пройти 24 км, а
коли другий пройшов половину шляху, першому до кінця шляху залишилося
пройти 15 км. Скільки кілометрів залишиться пройти другому пішоходові після
того як перший закінчить перехід?
13.406. Три мотоциклісти проїжджають зі сталими, але різними
швидкостями ту саму ділянку АВ дороги. Спочатку пункт Л проїхав перший мотоцикліст, а
через 5 с в тому самому напрямі — другий і третій. Через деякий час першого
мотоцикліста обігнав третій, а ще через 10 с його обігнав і другий. За який час
перший мотоцикліст проїде відстань АВ, якщо другий проїхав цю відстань за
1 хв, а третій — за 40 с?
13.407. До берега водосховища підійшли троє: А, В і С; А поплив на
протилежний берег зі швидкістю v км/год; одночасно В і С вирушили на моторному
човні зі швидкістю 10v км/год. Через деякий час С вирішив решту шляху
подолати вплав і поплив з тією самою швидкістю, що й А. У той самий момент В
повернувся назад, щоб узяти в човен А, який швидко сів у нього і продовжив
367

шлях разом з В. На протилежний берег всі троє дісталися одночасно. Визначити
час переправи, якщо відомо, що ширина водосховища дорівнює b км (швидкість
течії вважається рівною нулю).
13.408. Між пунктами А і В, відстань між якими 3,01 м, здійснює
коливальний рух матеріальна частинка т х. Швидкість її стала за величиною, і на кінцевих
пунктах вона не затримується. Через 11 с після виходу частинки т1 з пункту ^
друга частинка т2 починає рухатися з пункту В також зі сталою, але меншою
швидкістю. Ця частинка, рухаючись у напрямі пункту А, двічі зустрічається з
частинкою /П|,а саме через 10 і 45 с після виходу другої частинки. Визначити
швидкості частинок.
13.409. Самохідний каток для ремонту доріг може закоткувати смугу
завширшки 0,85 м, причому кожна наступна смуга перекриває попередню
на 0,25 ширини. З якою швидкістю повинен рухатися цей каток, щоб за час, не
більший 6 год і не менший 5 год, можна було двічі закоткувати ділянку шосе
завдовжки 750 м і завширшки 6,5 м?
13.410. Уздовж сторін прямого кута в напрямі до вершини рухаються дв
кулі з радіусами 2 і 3 см, причому центри цих куль переміщуються по сторона?
кута з нерівними, але сталими швидкостями. У деякий момент часу центр меншо
кулі перебуває на відстані 6 см від вершини, а центр більшої — на відстані 16 см
Через 1 с відстань між центрами стала 13 см, а ще через 2 с кулі вдарилися, н
дійшовши до вершини. Знайти швидкості куль.
13.411. Дві точки А і В, початкова відстань між якими дорівнює а, одночас
но почали рухатися по різних сторонах прямого кута до його вершини з однієї
й тією самою сталою швидкістю v. Точка В досягає вершини на t одиниць час
раніше, ніж точка А (усі вимірювання виконано в одній системі одиниць
Визначити, скільки часу рухалася точка Л. Яке значення треба надати величні
а, щоб шуканий час мав найменше з можливих значень?
13.412. Три ферми розташовані не на одній прямій, але сполучені прямі
лінійними дорогами. Відстань від першої ферми до третьої через другу у чотиі
рази довша від прямолінійного шляху між ними; відстань від першої ферми;
другої через третю на а км довша від прямолінійного шляху; відстань від друг
ферми до третьої через першу дорівнює 85 км. У якому інтервалі знаходять
всі значення а, для яких було б можливим зазначене розташування ферм? О
числити відстані між фермами, якщо а = 5.
13.413. Сплав складається з олова, міді і цинку. Якщо від цього спла
відокремити 20 г і сплавити їх з 2 г олова, то в цьому сплаві маса міді дорівнюі
тиме масі олова. Якщо ж відокремити від початкового сплаву 30 г і додати '
цинку, то в цьому новому сплаві маса олова дорівнюватиме масі цинку. Визна1
ти відсотковий вміст металів у початковому сплаві.
13.414. З двох пунктів А і В одночасно виїхали два інспектори до мі<
пригоди, у пункт С. Перший інспектор прибув у С через а хв. Якщо друї
інспектор прагнутиме потрапити зВвСодночасно з першим, то йому доведе
ся на проїзд кожного кілометра затрачати на с хв менше, ніж першому, бо відст
від В до С на b км більша відстані від А до С. На якій відстані від пункту А стал
пригода?
368

13.415. Два велосипедисти виїхали одночасно з А і В назустріч один одному.
Перший прибув до В через 4 год після зустрічі, другий прибув до А через 9 год
після зустрічі. Скільки годин був у дорозі кожен велосипедист?
13.416. На складі є деяка кількість бочок двох зразків загальною місткістю
7000 л. Якби всі бочки були першого зразка, то місткість усіх бочок збільшилася
б на 1000 л. Якби ж усі бочки були другого зразка, то місткість зменшилася б на
4000 л. Знайти місткість усіх бочок кожного зразка окремо.
13.417. До квітучої яблуні полетів джміль зі швидкістю Vj м/хв. Одночасно
до іншої яблуні полетіла бджола зі швидкістю v2 м/хв. При цьому джмелю
потрібно було подолати відстань 2а м, а бджолі — відстань 2b м. Припустимо, що
траєкторії їх польоту — взаємно перпендикулярні прямі, що перетинаються в
точці, яка ділить навпіл і шлях джмеля, і шлях бджоли. Знайти формулу, що
виражає залежність відстані >> між джмелем і бджолою від часу jc їхнього
польоту. Встановити момент, коли під час польоту джмеля і бджоли відстань між ними
досягає найменшого значення. Дослідити, чи пролетить бджола або джміль
точку перетину їх траєкторій до моменту, коли буде досягнута найменша відстань
між джмелем і бджолою.
13.418: Два велосипедисти виїжджають одночасно з пункту А з різними
(але для кожного сталими) швидкостями і їдуть до пункту В. Досягши його, вони
негайно ж їдуть назад. Перший велосипедист, що їхав швидше від другого, на
зворотному шляху зустрічає другого на відстані а км від В; потім, досягши А,
їде знову в напрямі до В і, пройшовши к-ту частину шляху А В, зустрічає
другого велосипедиста, що повертається з В. Знайти відстань від А до В.
13.419. Два потяги завдовжки 490 і 210 м рівномірно рухаються назустріч
один одному по паралельних шляхах. Машиніст одного з них помітив зустрічний
потяг на відстані 700 м; після цього через 28 с потяги зустрілися. Визначити
швидкість кожного потяга, якщо відомо, що один з них проїжджає повз
світлофор на 35 с довше від іншого.
13.420. Кортеж автомобілів з космонавтами рівномірно рухається
проспектом зі швидкістю v км/год. Довжина кортежу постійно зберігається рівною m м.
Букет квітів, кинутий з вікна будинку, потрапив у коляску мотоцикліста, що їхав
позаду кортежу. Мотоцикліст проїхав уперед, передав букет космонавту, що
знаходився в першому автомобілі, і негайно відправився назад. На проїзд туди і
назад уздовж кортежу, що рухається, мотоцикліст витратив і хв. Знайти швидкість
мотоцикліста, якщо вона на всьому шляху була однакова.
13.421. Якщо двоцифрове число поділити на деяке ціле число, то в частці
утвориться 3 і в остачі 8. Якщо ж у діленому поміняти місцями цифри, а дільник
залишити без зміни, то в частці утвориться 2, а в остачі 5. Знайти початкове
значення діленого.
13.422. Кавуни, привезені на базу, призначені для двох магазинів.
Перший магазин відразу розпочав перевезення кавунів і перевозив їх щодня
однаковими за масою порціями. Другий магазин розпочав перевезення
кавунів на а днів пізніше і також перевозив їх щодня однаковими за масою, але
іншими, ніж перший магазин, порціями. Через b днів, що пройшли від
початку перевезення, на базі залишилася половина початкової кількості кавунів.
За скільки днів були вивезені всі кавуни з бази, якщо перевезення
закінчило369

ся одночасно і маса кавунів, одержаних першим магазином, дорівнює масі
кавунів, одержаних другим магазином?
13.423. У бригаді землекопів кожен працює щодня однакову кількість
годин. Відомо, що продуктивність праці однакова в усіх робітників бригади
і при цьому бригада може викопати канаву для укладання кабелю за 6 днів.
Однак ще до початку роботи з’ясувалося, що робочий день скорочується на
1 год, а склад бригади зменшується на 5 осіб. У такому випадку канава може
бути викопана за 9 днів. Насправді цю канаву копали 12 днів, бо робочий
день скоротили не на 1 год, а на 2 год і двоє не вийшли на роботу через
хворобу. Скільки робітників було в бригаді спочатку і скільки годин на день
вони працювали?
13.424. Три машини виконують деяку роботу. Якщо цю роботу
виконуватиме одна перша, то вона закінчить роботу на а днів пізніше, ніж за умови роботи
всіх машин разом. Якщо ж цю роботу виконуватиме друга, то вона закінчить її
на b днів пізніше, ніж усі разом, а якщо третя, то їй знадобиться в с разів більше
часу, ніж усім машинам разом. За скільки днів виконує роботу кожна з машин
окремо?
13.425. Є п мензурок з рідиною. З першої мензурки перелили — наявної
п
1 .
там рідини в другу мензурку, потім із другої мензурки — рідини, що виявилася
п
там після переливання з першої мензурки, перелили в третю мензурку і т. д.
Нарешті, з /і-ї мензурки — наявної там рідини після переливання з попередньої
п
мензурки перелили знову в першу мензурку. Після цього в кожній мензурці
виявилося по а см3 рідини. Скільки рідини було спочатку в кожній мензурці?
13.426. Для наповнення водою басейну було поставлено два насоси. Один
перший насос може наповнити басейн на 8 год швидше, ніж один другий.
Спочатку був відкритий тільки один другий насос на час, що дорівнює подвоєній
кількості часу, необхідному для наповнення басейну при одночасній роботі обох
насосів. Потім відкрили перший насос і через 1,5 год після того як був відкритий
перший насос, басейн наповнився водою. За скільки годин кожний з насосів,
працюючи окремо, може наповнити басейн?
13.427. Пройшовши через пористий фільтрувальний матеріал, рідина
рівномірним струменем вливається в 40-відерну бочку і може виливатися через кран
у дні бочки. Якщо цей кран відкрито, то приплив і відтік такі, що за кожні
4 хв у бочці рідини стає менше на одне відро. За який час фільтрована рідина
наповнить порожню бочку при закритому нижньому крані, якщо відомо, що
для цього потрібно на 3 хв менше того часу, за який відкритий нижній кран
може пропустити 66 відер?
13.428. Партія однакових деталей оброблялася на трьох верстатах різних
конструкцій у такій послідовності: спочатку працював тільки І верстат стільки
годин, скільки потрібно було б для спільного виконання всієї роботи на II і ІИ
370

верстатах; потім працював тільки II верстат стільки годин, скільки треба
було б для спільного виконання всієї роботи на І і III верстатах. Решта
деталей була оброблена на III верстаті протягом стількох годин, скільки треба
було б для спільного виконання всієї роботи на І і II верстатах. У скільки
разів швидше була б виконана ця робота, якби працювали одночасно всі три
верстати?
13.429. Спочатку катер йшов а км озером, а потім половину цієї відстані
річкою, що впадає в озеро. Весь рейс тривав 1 год. Знайти власну швидкість
катера, якщо швидкість течії річки дорівнює с км/год. При якому
співвідношенні між с і а рейс нездійсненний?
13.430. Із Києва в місто N пасажир може відправитися потягом. У цьому
випадку він пробуде в дорозі 20 год. Якщо ж він дочекається відправлення
літака (а чекати доведеться понад 5 год після відправлення потяга), то пасажир
добереться до міста через 10 год, включаючи і час очікування. Довжина траси
літака і залізничної колії однакова. У скільки разів швидкість літака перевищує
швидкість потяга, якщо відомо, що літак опиниться над цим потягом через
8
— год після відправлення з аеропорту і пролетить до цього моменту стільки ж
кілометрів, скільки пройде потяг?
13.431. Відомо, що різниця змінних величину і z пропорційна до величини
jc, а різниця величин z і х пропорційна до величини у. Коефіцієнти цих пропорцій
дорівнюють відповідно к{ і к2. Деяке значення величини z у 3 рази більше різниці
відповідних значень х і у. Довести, що якщо кожний з коефіцієнтів кх і збільшити
на 3, то добуток отриманих чисел дорівнюватиме числу 8 (передбачається, що
величини х і у не набувають нульових значень).
13.432. Два спортсмени бігають по одній замкнутій доріжці стадіону.
Швидкість кожного стала, але на пробіг усієї доріжки перший витрачає на а с
менше, ніж другий. Якщо вони починають пробіг із спільного старту та в
одному напрямі, то сходяться через кожні b с. Через скільки секунд вони
зустрінуться, якщо побіжать у протилежних напрямах по тій самій доріжці з попередніми
швидкостями?
13.433. Підприємство А, що використовує лід, закуповує його в пункті
В за ціною а грн за тонну. Іноді цьому підприємству доводиться
закуповувати лід в іншому пункті С за ціною 1,5а грн за тонну. Обидва виробники самі
доставляють споживачу А закуплений ним лід, нараховуючи за перевезення
по р грн за тонно-кілометр. Втрата в масі від танення льоду внаслідок
транспортування становить 0,001 п його початкової маси на кілометр шляху.
Підприємство А розташоване між В і С, і кожна тонна фактично отриманого
льоду обходиться підприємству А однаково (у гривнях) при доставці як з
пункту В, так і з пункту С. Скільки гривень коштує підприємству А тонна
одержуваного льоду, якщо відомо, що відстань від В до С через А
дорівнює 5 км?
13.434. Довести, що куб найбільшого з трьох послідовних натуральних
чисел не може дорівнювати сумі кубів двох інших чисел.
371

13.435. Шукане число більше 400 і менше 500. Знайти його, якщо сума
47
його цифр дорівнює 9 і воно дорівнює — числа, зображеного тими самими
36
цифрами, але написаними у зворотному порядку.
13.436. На ділянці річки від А до В течія така повільна, що нею можна
знехтувати; на ділянці від В до С течія впливає на рух човна. Човен долає відстань
униз від А до С за 6 год, а вгору від С до А за 7 год. Якби на ділянці від А до В
течія була б такою самою, як на ділянці від В до С, то весь шлях від А до Стривав
би 5,5 год. Скільки часу в цьому випадку знадобилося б тому самому човну на
рух вгору від С до А ? Власна швидкість човна вважається сталою в усіх
випадках.
13.437. На яке ціле додатне число треба поділити 180, щоб остача
становила 25% від частки?
13.438. Змішавши по 2 см3 трьох речовин, одержали 16 г суміші. Відомо,
що 4 г другої речовини займають об’єм, на 0,5 см3 більший, ніж 4 г третьої
речовини. Знайти густину третьої речовини, якщо відомо, що маса другої
речовини в суміші вдвічі більша від маси першої.
13.439. Якщо двоцифрове число збільшити на 46, то утвориться число,
добуток цифр якого дорівнює 6. Знайти шукане число за умови, що сума його
цифр дорівнює 14.
13.440. Дано дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу, а також точку
А (а; а), де а > 0. Знайти координати точки М на осі Ох і точки Р на осі
Оу таких, щоб трикутник АМР був рівностороннім.
13.441. На відстані / м від моста Л вниз за течією річки розташований міст В.
Коли спортсмен пропливав повз міст А в напрямі до моста В, йому кинули два
м’ячі. Перший м’яч він підхопив, а другий залишив пливти за течією.
Пропливши з м’ячем ділянку річки, спортсмен залишив цей м’яч і поплив угору по річці
за другим м’ячем. Підхопивши другий м’яч, знову повернув у напрямі до моста
В і досяг його одночасно з першим м’ячем. Яку відстань довелося пропливти
спортсмену, якщо його власна швидкість увесь час була в к разів більшою від
швидкості течії?
13.442. До магазину надійшов товар 1-го і 2-го сортів на загальну суму
450 млн грн. Додаткова експертиза встановила, що весь товар, що надійшов,
можна продавати тільки за ціною 2-го сорту, в результаті чого фірма мала б
збитки на суму 50 млн грн. Продавці магазину безоплатно не тільки усунули
дефекти в товарі 1-го сорту, а й довели товар 2-го сорту до кондиції 1-го сорту.
Одержавши після цього дозвіл продавати весь товар за ціною 1-го сорту,
магазин дав фірмі прибуток у сумі 30 млн грн. Якої вартості був спочатку весь товар
1-го сорту і весь товар 2-го сорту окремо?
13.443. У колбі є розчин солі. З колби відливають — розчину в пробірку,
п
а розчин, що залишився в колбі, випарюють, доки відсотковий вміст солі
збільшиться вдвічі. Після цього вливають у колбу розчин з пробірки. У результаті
372

вміст солі в розчині збільшився на р % порівняно з початковим. Визначити
відсотковий вміст солі в початкоЬому розчині. Яку частину початкового
розчину треба відлити, щоб у результаті описаної процедури відсотковий вміст солі
збільшився в 1,5 рази?
13.444. Знаючи довжини сторін трикутника, учень виразив його площу і
звернув увагу на те, що значеннями довжин сторін і площі цього трикутника є
відповідно чотири послідовних цілих числа. Які довжини сторін трикутника?
13.445. На столі стоїть циліндрична банка з водою. Радіус основи банки
дорівнює R. Якщо в банку опустити кульку радіуса г, то він ляже на дно банки,
а поверхня води при цьому підніметься настільки, що виявиться дотичною до
кульки. Довести, що відбудеться те саме, якщо в цю банку з тією самою кількістю
води опустити замість даної кульки кульку іншого радіуса. Знайти радіус нової
кульки і встановити умови, за яких він буде більшим або меншим від радіуса
даної кульки.
13.446. З одного пункту одночасно в одному напрямі по прямолінійній
ділянці шосе зі сталими, але різними швидкостями вийшли два пішоходи. Через
2 год відстань між ними була s км. Після цього пішоходи почали йти швидше і
затрачати на кожен кілометр шляху на 10 хв менше. Ще через 2 год відстань між
ними стала 3s км. Знайти відстані, пройдені пішоходами за перші дві години руху.
13.447. Порівнюючи два бруски, що мають форму прямокутного
паралелепіпеда, встановили, що довжина, ширина і висота другого бруска відповідно
на 1 см більші, ніж у першого бруска, а об’єм і повна поверхня другого бруска
відповідно на 18 см3 і 30 см2 більші, ніж у першого. Знайти повну поверхню
першого бруска.
13.448. Зі станції А відійшли два електропотяги з інтервалом 12 хв і
практично відразу розвинули однакову швидкість 50 км/год. Вони їдуть в одному
напрямі без зупинок, зберігаючи зазначену швидкість незмінною. З якою
сталою швидкістю йшов зустрічний потяг, якщо він зустрів ці електропотяги через
5 хв один після одного?
13.449. Шукане трицифрове число починається цифрою 1. Якщо її стерти
і потім дописати як останню цифру числа, то отримане трицифрове число буде
більшим від шуканого на 9д1/І8а. Знайти число.
13.450. Якщо на початку відліку часу було т0 г речовини А і 2т0 г
речовини В, то через будь-яку кількість t років, у результаті радіоактивного розпаду,
Цих речовин залишиться відповідно т = т0 2~^]і і М =2/я0 -2_^2/, де
і А.2 — сталі, що залежать від природи речовин. Обчислити період піврозпа-
ДУ кожної з цих речовин, тобто знайти, через скільки років від кожної речовини
залишиться тільки половина її початкової кількості, якщо відомо, що період
піврозпаду речовини В у 2 рази менший, ніж речовини А, і що через 20 років
загальна маса цих речовин зменшується у 8 разів.

Розділ II
АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ
(ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ).
ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ
Глава 14
ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ З АЛГЕБРИ
Приклад 1. Показати, що log2 cos20° + log2 cos40° + log2 cos80° = -3.
□ Твердження правильне, якщо справджується рівність log2(cos20°x
х cos40° cos80°) =-3 [використано формулу (7.4)], тобто log2^ = -3, де
^ = cos20°cos40°cos80°. Помножимо і поділимо праву частину останньої
рівності на 8sin 20°:
. 4 • 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos80°
A = .
8 sin 20°
Застосовуючи тричі послідовно формулу (3.13), отримаємо
4 sin 40° cos 40° cos 80° 2sin80° cos80°
A = -
8 sin 20° 8 sin 20°
= sin 160° sin (180°-20°) sin 20° 3
~ 8sin20° ” 8sin20° ~ 8sin20° ~
Отже, log2 A = log2 2~3 = -3. ■
Приклад 2. При яких значеннях р рівняння
Xі ~(2Р - 1)х-3(4р-'-2р-2) = 0
має однакові корені?
□ Квадратне рівняння має однакові корені, якщо його дискримінант
D = b?~ 4ас дорівнює нулю. Знаходимо
D = (2Р -1)2 + 12(4Р_І - 2Р~2) =
л2о , 12-22р \2-2р . -2р ґ *р ,
= 2 р -2-2р +1 + = 4-2 р -5-2р +1.
4 4
Використовуючи заміну 2Р = у, отримуємо рівняння 4у2 - 5у + 1 = 0, яке
має корені у і = 0,25, у2= 1. Розв’язуємо рівняння 2Р = 2'2 і 2Р = 1, звідси
р = -2ір = 0. ■
374

Приклад 3. Розв’язати рівняння \х -1| • |* + 2| = 4.
□ Оскільки |ху| = |дг| • \у\, перепишемо дане рівняння у вигляді \(х -1) х
х (х + 2)| = 4. Воно рівносильне сукупності двох систем:
J(x-1)(jc + 2)>0, J (jc-1)(jc + 2)<0,
{(х-1)(* + 2) = 4; t-(jc-l)(jr + 2) = 4.
у першій системі корені рівняння хх = -3, *2 = 2 задовольняють нерівність цієї
системи, а отже, і саму систему; дискримінант квадратного рівняння другої
системи від’ємний; отже, ця система несумісна.Отже, відповідь така:
-3; 2. ■
Приклад 4. При яких цілих значеннях а нерівність
21о^5 д-3 + 2*logot5а-Xі <0
виконується в будь-якій точці осі 0x1
□ Замінимо дану нерівність рівносильною: х2 - 2х logo,5 а + 3 “2 logo,5 а >
> 0. Оскільки коефіцієнт при дг2 додатний, то нерівність виконується в будь-якій
точці осі Ох, якщо дискримінант квадратного тричлена від’ємний (див. вказівку
4° у гл. 8). Таким чином,
4 logo,5а “ 4 (3 - 2 log0 5 а) < 0, або logo,5а + 2 logo,5 Д - 3 < 0.
Зробивши заміну у = logo,5 а , отримуємо нерівність у2 + 2у - 3 < 0; fly) =
= у2* 2у - 3 = 0, якщо >>! = 1, >>2 = - 3. Схематичне розміщення параболи
відносно осі Оу наведено на рис. 14.1. Звідси знаходимо -3 <у< 1.
Рис. 14.1
Розв’язуємо нерівність -3 < logo^ а < -1, яку, використовуючи формули
(7.6) і (7.2), запишемо у вигляді logo,5 0,5-3 < logo,5 а < l°go,5 0,5. Оскільки основа
логарифма 0 < 0,5 < 1, то за вказівкою 7° у гл. 9 отримуємо рівносильну цій
нерівності систему
j *>0,
[0,5 < а < 0,5“3, тобто 0,5 < а < 8.
Цілими значеннями а, що задовольняють останню нерівність, є числа
1,2,7. 	■
375

Приклад 5. Розв’язати нерівність
□ Оскільки основа степеня 10 > 1, то на підставі вказівки 7° у гл. 8
Розв’язок нерівності |sin jc| > |cos jc| можна також знайти графічно,
побудувавши графіки функцій |sin х| і (cos jc| в одній системі координат (рис. 14.2). ■
Приклад 6. Довести, що графіки функцій у = тЗх + піу = пЗ~х + тз&
умови тп< 0 перетинаються у двох точках, одна з яких лежить на осі абсцис, а
друга — на осі ординат.
□ Абсциси точок перетину графіків є коренями рівняння т • 3х + п =
= п • 3~х + т; помноживши всі його члени на 3х Ф 0 і згрупувавши подібні
доданки, отримаємо т • З2* + (п - т) 3х - п = 0.
Зробимо заміну 3х = у > 0 і розв’яжемо квадратне рівняння ту2+
+(п -т)у-п = 0. Маємо D = (п - т)2 + 4тп = (п + т)2 і, таким чином,
перейдемо до рівносильної нерівності |sinjcj >|cosjc|. Звідси, застосовуючи
2 2
вказівку 2° г) у гл. 8, отримаємо sin jocos х. Далі, використовуючи
2 “У
тотожні перетворення тригонометричних виразів, маємо sin jc > 1 — sin jc;
4 4
—— > 0 (тп < 0 за умовою).
т
-! -І °| ! f Ч * Ц Ц Ц 2% х
Рис. 14.2
З рівняння 3* = 1 знаходимо х = 0, аз рівняння 3 х =-— отримаємо
т
х = log31 . Знайдемо ординати точок перетину. Якщохх = 0, тоух = т 3° +
(
т
\
 /
+ п = т + п. Точка (0; т + п) лежить на осі Оу. Якщо х2 = log3
376

Уг
= m3
1 m)+/j = m|-—j+n = 0,
H-5)
= 0 , оскільки З
log3
Н) " ■ ■
v ' = m ттттпш
ВІДПОВІДНО
до рівності (7.1). Точка
Спростити вирази (14.001-14.004):
0 лежить на осі Ох. І
14.001.
т2 +1
1 +
( о
т2-1
2т
14.002.
■Ja2 -2ab + b2
Ч(Ь-о)3
14.003. 	J—
11 +
-cos246°
cos246°
14.004.
Спростити вирази (14.005-14.026):
14.005. 	Л2-1 —і=£= = 1.
14.007. 	4^ =64 -2^.
14.009. 	4log2 * +х2 =8.
14.011. 	log2 log3 log4 x = 0.
14.013. 	log3 (log 2 (x - 4)) = 0.
Il + x 1 c
14.006. 	J +- = 5.
V x x
14.008.
1Л ліс
14.015. 	x ’
= 5.
14.010. lg2x2=l.
14.012. x2log2* = 8.
14.014. 	lg2(10x) + lgx = 19.
14.016. 	jcloglX = УІЗх*.
.tog. X , _10g6 At
14.017. 6 6‘ + x =12.
14.018. log2 (л/4лг + 5 -1) = 0,5 log2 (V4x + 5 + 11).
14.019. log2(4x)-41og4 jc = 12. 14.020.logx+6(2x- Jx + 6) = 0,5.
14.021. Jx^* = 10.
14.023. 	Jt + lg(l + 4j:) = lg50.
14.025. 	logcosx sin* = 1.
14.022. 2x-\g(52x + 4X -16) = xlg4.
14.024. cos58 x + sin40 x = 1.
14.026. ctgsinjc = l.
377

Розв’язати системи рівнянь (14.027-14.032):
6,75 Ijc+ 3,249^ = 26,751,
3,249jc + 6,75ly = 23,249. .
jc v
— + — = 2,5,
14.027.
14.028. У *
0,51og2x-log2>y = 0,
14.032.
14.033. При якому значенні q сума кубів коренів рівняння jc2 - jc - q = 0
дорівнює 19?
14.034. При яких значеннях р сума квадратів коренів рівняння jc2 + рх +
+ 35 = 0 дорівнює 74?
14.035. Не розв’язуючи рівняння jc2 — ,3jc — 10 = 0, обчислити суму кубів
його коренів.
14.036. Чи має корені рівняння (2х - І)2 + (х + І)2 = 0?
14.037. Скільки коренів має рівняння 0,3х = jc2 - jc + 1?
14.038. Перевірити, що обидва корені рівняння 2х + jc2 - 3 = 0 більші від
~ -ч/з, причому один точно дорівнює 1.
14.039. Розв’язати рівняння jc3 - 7jc - 6 = 0. Переконатися в тому, що сума
всіх його коренів дорівнює нулю. Чи можна переконатися в цьому, не
обчислюючи коренів?
14.040. Розв’язати графічно рівняння \х -1| + 2х - 5 = 0.
14.041. Показати графічно, що рівняння lgjc = lg(2jc) не має коренів.
14.042. Скільки коренів має рівняння jc3 = sin 3jc ?
14.043. Показати, що рівняння ,І9-х2 -log3(|x| -3) = 0 не має коренів.
має єдиний розв’язок?
14.046. 	Знайти число jc, якщо числа 1, 7,13,..., jc утворюють таку
арифметичну прогресію,для якої 1+7+13 + ... + jc = 280.
378

14.047. Знайти раціональні корені рівняння
\х\ -Jx + 2 З
14.048. Знайти цілі корені рівняння Xі - |х -1| = 1.
14.049. Чому дорівнює сума всіх коренів будь-якого біквадратного рівняння?
14.050. Довести, що послідовність, задана формулою уп спадає.
2 п
14.051. Чи рівносильні рівняння
(l + 2sinx) tgx = 0 і 1 + 2sul*=0?
ctg*
14.052. Показати, що рівняння sin jc + sin2jc = 2 не має коренів.
14.053. При якому значенні т система рівнянь
|2х + («-1)^ = 3,
\(т +1) jc + 4у = -З
має нескінченну множину розв’язків? Не має розв’язків?
Визначити знаки чисел (14.054-14.056):
14.054. logl 7(0,5(1 - log7 3)).
o,3^y(log25-l)j
14.055. 	logo^
log35-log53
14.056.
logo,3 4—logo,3 3
14.057. Чому дорівнює основа логарифма, при якому число а
дорівнює своєму логарифму?
14.058. Записати jc у вигляді десяткового дробу, якщо jc = 491-1°872 +
+ 5-l°g54
14.059. Обчислити 0,8 (1 + 91083 8 )log65 5.
14.060. Обчислити без таблиць lg 32,11 - lg 0,03211.
14.061. Обчислити logj/2 28, якщо log7 2 = а.
14.062. Знайти lg2 Jx, якщо log* 100 = а.
14.063. Знайти lg9 2,97, якщо lg3 = a і lgll = />.
Обчислити (14.064-14.067):
14.064. lg tg 2° + lg tg 4° + lg ctg 2° + lg ctg 4°.
14.065. Igtg3° lgtg6° Igtg90...lgtg87°.
379

14.066. lgtgl° lgtg2° Igtg3°...lgtg89°.
14.067. lgtgl° + lgtg2° +lgtg3° + ... + lgtg89°.
14.068. Чому дорівнює добуток log3 2 • log4 3 • log 5 4... log 109, якщо відомо,
що lg 2 = 0,3010?
14.069. Обчислити log236, якщо log129 = тп.
14.070. Визначити знак добутку
lgsin32° lgcosl7° lgtg40° lgctg20°.
14.071. Який знак має число lg arctg 2 ?
14.072. Довести, що log25 — ірраціональне число.
14.073. Чи завжди хибна рівність lg (а + b) = lg а + lg bl
2 2
14.074. Довести, що коли a +b = lab, то
log \ 0°g* а + log* b).
14.075. Знайти помилку в наступних міркуваннях:
mm
1 ЛІ 1
21oge->31oge-.
1
Скорочуючи обидві частини нерівності на loga —, отримуємо 2 > 3.
Розв’язати нерівності (14.076-14.100):
14.076. 	х3+4>х2+4х.
15 16
14.078. 	—2 —4 <_1
14.077. 	-+-^>4;-.
х х Xі
14.079. 	Xі - 2хг - х + 2 > 0.
14.080. л2 - 4 |дг| + 3 > 0.
ШИ2.
14.084.
jc — З
2
4.
jc-4
>1.
14.086. 7x3-4x-2>J_
49'
14.088. \<2х(х+2) <8.
14.081. jc2 - 5 |jc| + 6<0.
jc2 -5jc + 6<0
14.083.
И + 7
<0.
14.085. £^±Z±£>o.
JC
14.087. о,5(дг2+дг_2)(3_дг) >1.
14.089. logo,5 (2* + 6) > logo>5 (x + 8).
14.090. 21gx<lg x.
14.091. 	lg->lg(x + 5).
JC
380

14.092. log2(l + logl/3 *)<!.
logn 0,3 logn ~ X
14.094. 	x °’2 +0,3 °’2 <0,18. 14.095. logo>5log3x>l.
14.096. 	x2 log2 0,3 - 2 log2 0,09 > 0.
14.098. 	* 3x 8 >^?
14.099.
sinjc
>0.
1 + cosx
14.100. sinjccosjc>0,25.
14.101. Для яких точок осі Ох виконується нерівність: a) sin х < 0,5;
6) 	I sinx| <0,5?
14.102. Що більше: sin 2х чи 2 sin jc?
14.103. Для різних х з області визначення функцій з’ясувати, яка з величин
більша: lgjc2 чи lg2jc.
14.104. Знайти можливі значення jc, якщо logx (а2 + 1) < 0.
14.105. Що більше: З400 чи 4300?
14.106. При яких значеннях а виконується нерівність + ^ > і?
4-а
14.107. Чи існують такі значення я, при яких обидва корені рівняння
jt2-2(a-3)jc-tf + 3 = 0 містяться в інтервалі (-3,0)?
14.108. При яких значеннях jc вираз log0,5 (х2 - 8) невід’ємний?
14.111. Довести, що сума кубів катетів менша від куба гіпотенузи.
14.112. Довести, що в будь-якому трикутнику сума довжин трьох медіан
менша від його периметра і більша від півпериметра.
14.109. Довести, що — + — > 2, якщо ab > 0.
А п
числа.
14.113. Довести, що коли а і b — катети, ас — гіпотенуза, то a + b< слІ2.
Ь> 0).
Побудувати графіки функцій (14.115-14.134):
14.115. а) у = jc2 + 5х + 6; б) у = х2 + 5|лг| + 6;
в) ^ = |-Jc2 +4jc-5; г) 7 = |-jc2+4|jc|-5|.
381

14.117. а) у - log0>5 х; б) у = log05(-x);
в) >' = log0>5|4 г) >-= |log0,5 х|; r)^ = |log0,5H|-
X
14.118. а) у = sin х; б) у = 2sin х; в) у = sin 2х; г) у = sin—.
14.119. а) у = cos х; б) = cos|jc| ; в) >> = |cosx|; г) >> = |cos|x||.
14.120.^ = —. 14.121. y-~Y—
х Xі-9
1 1 / r
14.122. 	у = . 14.123. У = 2 .
х -5х + 6
14.124. 	у = —. 14.125. y = log2sinjc.
cosx
14.126. 	у = log2(sin*cosx). 14.127. у = \х + \\-х.
14.128. 	>'=*Н + 1- 14.129.3' = * + —.
X
14.130. 	у = -2"Н 14.131. у = 2х ■ гН
14.132. 	y = lgx+|lg4 14.133. 4У
14.134. у = V(x + 2)2 + V(*-2)2.
14.135. Як, знаючи графік / (х), побудувати графік |/ (х)|? Чи можна за
графіком |/(х)| відновити графік /(х)?
14.136. Виразити найпростішою формулою функцію f яка одночасно с
парною, непарною, незростаючою, неспадаючою і періодичною.
14.137. Якщо loga sin40° +loga tg40° +loga cos-140° = b, то чому
дорівнює сума loga sin 50° + logfltg50° + logfl cos-1 50° ?
14.138. Побудувати графік функції
У =
, ЯКЩО X 0,
2 , якщо х = 0
і показати, що х = 0 є точкою мінімуму даної функції. Крім того, на цьому прикладі
показати, що не обов’язково зліва від точки мінімуму міститься проміжок
спадання функції, а справа — проміжок зростання; може бути і навпаки.
Для графіка функції у = ах +Ьх + с9 зображеного на рисунку, визначити,
додатне, від’ємне чи дорівнює нулю кожне з чисел д, b і с (14.139-14.140):
382

14.139. Див. рис. 14.3.
14.140. Див. рис. 14.4.
Рис. 14.3
14.141. 	Побудувати графік функції у - УІах2 +Ьх + с, якщо а > 0 і ЬЇ -
- Аас= 0.
Знайти області визначення функцій (14.142-14.147):
14.142. У =
lg*
arcsin (jc — 3)
14.143. У = -
1
і-J?"
14.145. у = (log3x-log2 дг)
14.147. у = log3 logi/2 х-
Знайти множини значень функцій (14.148-14.150):
І, 1-2х
иш. v
14.146. у-'ІІ'-У
-1/2
14.148. У =
COSJC
X X
cos—sin—
2 2
14.149. у = (sinjc + cosx) .
14.150. >> = 5sinjc-12cosjc.
Зобразити в координатній площині хОу дані співвідношення між змінними
*і>>(14.151-14.159):
14.151. 	И + Н = 1-
14.153. 	х+|х| = >’ +1>>|.
14.155. 	|_у( = |sinjc|.
14.152. 	И-Н = 1-
14.Ґ54. H = logo,5|4
. . Is in .її
14.156. 	|y| = L—
14.157. Зх - 4y + 12 > 0 і x +.y - 2 < 0.
14.158. >> + 3 >х* + 2х іх +>>< 3. 14.159. log2(jc -h j/ — 1) < 0.
383

14.160. На рис. 14.5 зображено графік функції У
у = logfl х (масштаби на осях координат однакові). За
допомогою цього графіка знайти число а.
14.161. Знайти найменше значення функції
у = х2-6х + 11.
14.162. Знайти найменше значення функції
Я г2
у = -!■ + —. Рис. 14.5
х 2
2
14.163. Знайти найбільше значення функції у = 1 + 2х - х .
14.164. Показати, що парабола у = jc2-jc + 5,35 не перетинає графіка
функції >' = 2sinx + 3.
14.165. Показати, що координати всіх точок прямої jc + у = 2
задовольняють нерівність jc2 +У2 > 2, і пояснити цей факт геометрично.
Використовуючи означення факторіала л!=1*2...л, скоротити дроби
(14.166-14.169):
14.166.
14.168.
п\
 (п +1)!—/і!
(п + 2)п\
 14.167.
14.169.
(я + 2)!+(/і +1)!
(л + 2)!-(л +1)!
((/і + 2)!+/і!)(л + 1)
(л + 1)! (n + 2)\(nz+3п + 3)
14.170. Показати, що графіком рівняння sin (jc + у) = 0 є нескінченна
сукупність рівновіддалених паралельних прямих.
14.171. Дано:
/(*) =
1, якщо х - раціональне число;
-1, якщо х - ірраціональне число.
Чи є ця функція сталою? А її квадрат?
14.172. Довести, що при деяких обмеженнях для а і Р з рівностей
sin (а + Р) = 3 sin (а - Р) випливає, що tg а = 2 tg р. Вказати необхідні обмеження
для а і р.
14.173. Визначити z, якщо відомо, що tga = 3Z, tg р = З-2 її a - р = —.
6
14.174. Встановити, дана послідовність є спадною чи зростаючою:
а) хп - 3п2 -п\ б) jc„ = п2 — З/і; в) jc„ = In -п2; г) уп= lg0,75й.
14.175. Знайти цілі значення jc, при яких правильна нерівність
log3(x + 3)2<2.
384

14.176. Довести, що сума кубів п непарних чисел дорівнює п2 (2п2 - 1) при
будь-якому натуральному п.
14.177. Розглянувши випадки 0 < а < 1 і а > 1, з’ясувати, чи існує число
^iogetg40°logatg70°.
14.178. Показати, якщо арифметичний квадратний корінь з добутку двох
натуральних чисел є числом раціональним, то і квадратний корінь з їх частки —
число раціональне.
14.179. Не визначаючи х і у окремо, обчислити суму х*у + ху3, якщо х -у =
==4іху = 3.
14.180. Якщо log ьа~т і log cb = n, то чому дорівнює \ogbc(ab)7
14.181. Довести, що нерівність |sinjc + у[ї cos jc| < 2 справджується для будь-
якого значення х.
14.182. На числовій осі побудувати точки, що зображають числа yfl, л/з,
4ї,ії+4г і-Л-л/з.
14.183. Що більше: 123% від 456 чи 456% від 123? Яку властивість відсотків
можна сформулювати, узагальнюючи відповідь на це запитання? Обґрунтувати
цю властивість.
14.184. На деякий товар була двічі знижена ціна — спочатку на 15%, а
потім ще на 20%. Який загальний відсоток зниження ціни?
14.185. Якщо середнє арифметичне десяткових логарифмів двох чисел
дорівнює q, то чому дорівнює середнє геометричне кубів цих чисел?
14.186.3 точністю до 0,01 знайти 2^5,21.
14.187. Показати, що число 2345,67 ірраціональне.
14.188. Позбутися ірраціональності у знаменнику дробу ■- ■.
УІ2-УІ2
14.189. Що більше: а) 0,8-1’3 чи 0,8_1>4; б) log|/3 0,5 чи log30,5?
14.190. Скільки цифр містить число 2100?
14.191. Довести, що нерівність Зп > п + 2 справджується, якщо п —
натуральне число.
9і 02 93
14.192. Добуток (2 +1) (2 +1) (2 +1) подати у вигляді суми степенів
числа 2.
14.193. Через один перший кран вода рівномірно вливається в бак і
заповнює його за 3 год, а через один другий — за 5 год. За скільки годин вода заповнить
бак, якщо відкрити обидва крани одночасно?
14.194. Через один перший кран вода рівномірно вливається в бак і
заповнює його за 3 год, а через один другий кран вода рівномірно виливається і
напов385

нений бак спорожняється за 5 год. За скільки годин вода заповнить порожній бак,
якщо відкрити обидва крани одночасно?
14.195. Чи існує арифметична прогресія, сума будь-якої кількості членів
якої дорівнює: а) квадрату кількості членів; б) кубу кількості членів?
14.196. Поділити а128 -б128 на добуток
14.197. Показати, що рівняння jc8 + jp-jfi + q2jc4 + Ас2 = 0 не має відмінних від
нуля коренів.
14.198. Многочлен jc4 + 4 подати у вигляді добутку двох многочленів другого
степеня.
14.199. Знайти добуток ху, якщо х + у = а и х4 + у4 = б4.
14.200. Многочлен Xs + у* подати у вигляді добутку двох многочленів
четвертого степеня ВІДНОСНО JC і у.
14.201. Розкласти на множники а4 + 4Ь4.
14.202. Знайти квадратичну функцію у = ах2 + Ьх + с, якщо при х =
= - 0,75 вона набирає найбільшого значення 3,25, а при х = 0 набирає
значення 1.
14.203. З усіх опуклих чотирикутників з даними діагоналями т і п знайти
чотирикутник найбільшої площі.
14.204. Побудувати графік функції
правильна?
14.206. Довести, що многочлен х4 - їх3 + їх2 - 8jc + 16 набирає додатних
значень при будь-яких дійсних значеннях х.
14.207. Довести, якщо число, парне і не кратне чотирьом, то його не можна
подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.
14.208. Розкласти на множники х - 3 Jxy + 2у (jc > 0,у > 0).
14.209. Знайти такі значення А,, при яких обидва корені тричлена
(к - \)х2 + (к - 3)х + (X - 2) додатні.
14.210. Простим чи складеним є число 22001 + 1?.
14.211. Дано правильний нескоротний дріб —. Довести, що з рівності
(а + b) (а2+Ь2) (а4 +64)...(я64 +Ь64).
0,5*+ 1 якщо х<0,
/(jc)= COSJC ЯКЩО 0 < JC < 7С,
jc2 - Зпх + 2я2 якщо jc > я.
Вказати значення функції в точці розриву.
14.205. 	Для яких значень jc рівність
, 8
(1 + х) (1 + х2)(1 + х4) = -
1-х
я
-1 випливає, що — — нескоротний дріб.
Я
386

14.212. Легко помітити, що рівність
Іх-а)(х-Ь) | (х-6)(х-с) | (х-с)(х-а)
(c-a)(c-b) (a-b)(a-c) (b-c)(b-a)
= 1
має відносно х степінь не вищий, ніж другий. Проте вона має понад два корені —
можна перевірити, що числа xx = а, х2 = Ь і jc3 = с задовольняють рівність. Як це
пояснити?
14.213. Довести, якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілий
морінь, то вільний член рівняння ділиться на цей корінь.
14.214. Як розв’язати рівняння
х4-4х3-10х2+37х-14 = 0,
якщо відомо, що многочлен у лівій частині даного рівняння розкладається на
множники другого степеня з цілими коефіцієнтами?
14.215. Дано добуток
(хА +х3 +jc2 + JC + 1 + —— Yjc4-х3 + х2 -Jt + 1—— \
 ( х+1)
У друкарні випадково обидва дроби випали з набору і утворився добуток
(jc4 + JC3 + Xі + х +1) (jc4 - X3 + JC2 - JC + 1).
Складач стверджує, що, незважаючи на втрату дробів, отриманий вираз
тотожний даному. Чи так це?
14.216. При яких значеннях а графік функції у = (а + 5) jc2 + jc + <i-3
перетинає вісь абсцис по різні боки від осі ординат?
14.217. Вказати область визначення функції у = \о%2 (х2 - 2х + 3). Чи має
графік цієї функції яку-небудь вісь симетрії? Якщо має, то яку?
14.218. Вказати область визначення функції у = , Показати,
Vx2- Юх + 25
що графік цієї функції симетричний відносно прямої х = 5.
2jc + 3
14.219. Показати, що функція у = збігається з функцією, оберненою
5jc-2
до даної.
14.220. Вказати, які з наступних функцій є парними, непарними і які не є ні
парними, ні непарними:
а) у = sin3 х+ctg5 х; б) у = sin2x+cos3x;
1-sinjc - .4 2 ,
в) у = ; г) >> = sin jc + jc +1;
1 +sinjc
у _ j
т)у=х 14 д)>,=777:
387

х
е) у = arcsin—; є) .у = arccos3jc;
ж) у = 5 arctg jc; з) у = - arcctg jc.
14.221. Знайти значення функції /(п) = arcsin sin п якщо п = 1,2,3,4,5,6 і 7.
14.222. Чи можна стверджувати, що сума двох періодичних функцій є
функцією періодичною?
14.223. Довести, що добуток парної кількості непарних функцій є функцією
парною.
14.224. Величина у є цілою частиною (характеристикою) логарифма jc за
основою 2. Побудувати графіку функції jc при зміні jc від 0,5 до 8,0.
14.225. Довести, що колир і q—прості числа, більші від 3, тор2 - <72 ділиться
на 24.
14.226. Довести, якщо куби двох дійсних чисел однакові, то однакові й самі
числа.
14.227. Чи завжди три довільних раціональних числа а, b і с можна розглядати
як члени деякої арифметичної прогресії?
14.228. Дано п < /я, де піт — натуральні числа. У який послідовності
• « • ^ , п т _ Л
розміщуються на числовіи осі точки, що зображають числа 1, —, — І Яка з двох
т п
останніх точок лежить ближче до точки, що зображає число 1 ?
14.229. Чому при діленні квадратів цілих чисел на 3 в остачі ніколи не
виходить 2?
п3 п2 п
14.230. Довести, що при будь-якому натуральному п вираз — + — + — —
6 2 3
натуральне число.
14.231. Довести, якщо кожне з двох даних чисел є сумою квадратів двох
чисел, то добуток даних чисел можна подати у вигляді суми квадратів двох чисел.
п2 — 1
14.232. Довести, що коли п — просте число, більше від 3, то ціле
24
число.
14.233. Довести, що п1 - п ділиться на 42, якщо п — будь-яке ціле число.
тт 1 ^ ^ п(п +1) п(п + \)(п + 2)
14.234. Довести, що 1 + 3 + 6 +... + — = — —
2 6
14.235. Довести, що І2 + 22 + З2 +... + п2 =
6
14.236. Показати, що будь-яке непарне число можна подати у вигляді різниці
квадратів двох цілих чисел.
14.237. Використовуючи метод математичної індукції, довести
справедливість нерівності (1 + а)п > 1 + па (п — натуральне число, п > 2 і а > -1).
14.238. Довести, що |схі + а21 ^ |ct| | + |а21. На підставі цього методом
математичної індукції довести, що |oti + а2 +... + а„ | < |<Х| | + |а21+... + |аи |.
388

14.239. Як використати тотожність —Ц- • -j- = —- 7- для доведення спра-
к-1 к к-1 к
.111 1 п-10
ведливості нерівності —j- + —у + —j- +... н — < ?
14.240. Довести, що для будь-якого п є N виконується нерівність
111 1 „
1! 2! З! п\
 14.241. Вилучити t з рівностей х = Ш0055', у - 10S1IW.
14.242. Вилучити ф з рівностей w = 10cos ф, v = 10SU1 0<ф<у.
14.243. Чому дорівнює сума чисел а і (3, якщо tg а і tg Р є коренями
рівняння 6jc2 - 5jc + 1 = 0?
14.244. Для чисел а і Р таких, що 0<а+Р<-^, значення ctg а і ctg Р є
коренями рівняння jc2 + рх + q = 0 (передбачається, що обидва корені цього
рівняння додатні). Знайти а + р.
14.245. Виразити tg За через tg а.
14.246. Нехай sin 10° = а. Знайти sin 20°двома способами: за формулою
синуса подвійного кута і формулою синуса різниці кутів 30° і 10°. Чому «різні»
відповіді?
14.247. За допомогою формули, що зв’язує sin За і sin а, довести, що
0,1 < sin 10° <0,2.
14.248. Довести, що сума 8Іпл х + cos” х тотожно дорівнює одиниці тільки
якщо п = 2.
14.249. Значення функції у = sin* х + cos* х на відрізку 0 < х < ^ порівняти
з одиницею для к = 0, 1,2,3.
14.250. Показати, що sin 495° - sin 795° + sin 1095° = 0.
14.251. Виразити sin2 6° через sin 12°.
14.252. Чи існує кут, для якого косинус дорівнює:
а) 	а + —, якщо аФ 0; б)
* V5-V3
14.253. Чи існує такий кут, для якого числа 2 + у/ї і 2 — л/3 є відповідно
його тангенсом і котангенсом?
Знайти періоди функцій (14.254-14.255):
X XX
14.254.а) у = cosx+sin—; б) v = sinx+cos— + sin—.
З 3 5
14.255. у = 15sin2 12л + 12sin2 15*.
389

14.256. Побудувати гострий кут, тангенс якого в 2 рази більший від його
синуса.
14.257. Знайти sin а, якщо tga = 2iTC<a<-^.
14.258. Довести, що 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 1.
14.259. При яких значеннях а і р виконується рівність
sin a + sin Р = sin (a + Р)?
14.260. Знайти найбільше значення функції
> = sin^2jc - у jsin^x + j-
14.261. Чому дорівнює найбільше значення функції у = sin sinx?
14.262. Знайти найменше і найбільше значення функції у - 3sin2* +
+ 2 cos2 х.
14.263. Що більше: tg 1 чи arctg 1?
14.264. Чому дорівнює дріб -—521^, якщо ctg— = ml
cosa 2
14.265. Обчислити sin(a + p)sin(a-p), якщо sina = -i, cosP = -^.
14.266. Визначити знак добутку sin 2 • sin 3 • sin 5.
к 1 5_
14.267. Що менше: 7 чи arctg- + arctg-?
4 4 8
я .2 2
14.268. Що менше: - чи arcsin- + arccos-?
4 3 3
14.269. Знайти такі два числа т і А/, щоб нерівність
т < sinacosacos2oc < М була правильною при будь-яких а та щоб різниця між
М і т була найменшою.
ос
14.270. Показати, що знаки sin а і tg— збігаються при будь-якому значенні
а фіск (к — ціле).
14.271. Знайти такі значення а і b, при яких функція y = (a-b) sin2x +
+ 0,5 (а + b) cos х тотожно (для всіх значень х) дорівнює 2.
14.272. Чи можлива рівність sin a + cosa = Узі
14.273. Знак v замінити одним зі знаків <, >, <, > так, щоб наступні
співвідношення були правильними: а) lg sin a v 0; б) sin a + cos a v 1,5;
в) 	Vsina + Vcosa v 1; r) tg a + ctg a v 1,9 (a — гострий кут).
a b
14.274. 	Довести, якщо в трикутнику виконується залежність
cos^ cos В
то він рівнобедрений.
14.275. 	Довести, якщо відношення косинусів двох кутів трикутника дорівнює
відношенню синусів тих самих кутів, то трикутник рівнобедрений.
390

14.276. 	Довести, що для будь-якого трикутника зі сторонами а,Ь,с і кутами
^ С, що лежать проти відповідних сторін, справедлива рівність
a (sin В - sin С) + b (sin С - sin А) + с (sin А - sin В) = 0.
то він рівнобедрений.
14.278. Нехай A, Bt С—кути трикутника, причому С—тупий кут. Довести,
ayoigA\gB< 1.
14.279. Довести, що в трикутнику сума попарних добутків котангенсів усіх
кутів дорівнює одиниці.
14.280. Довести, що для будь-якого трикутника зі сторонами а> b і с та
кутами А, В, С його площу S можна визначити за формулою
а — b
14.277. 	Довести, якщо в трикутнику виконується рівність = 1 - 2cosC,
а
S = ^(abc)* ^JsinAsmBsinC.
Побудувати графіки функцій (14.281-14.298):
14.281. 	у = |x-2j(x+2).
14.287. у=|х|1/2.
14.288. у = 53
-log5(*-l)
14.289. у =
14.290. а) у = х2- 7дг + 6;
б) 	>' = |л|2-7|х| + 6;
г) У= |х|2 -7|х| + 6.
14.291. y = r~, sin2x.
N
JC — 1
2х2-Ьх
14.296. у - 0,5 *-3 .
391

14.299. Чи відрізняються один від одного графіки функцій у = lgjc2 \
у = 21g*?
14.300. Побудувати на одному кресленні графіки функцій у = lgjc2 j
у = lg2 X.
14.301. На вступних іспитах один із абітурієнтів запропонував таке
розв’язання рівняння
sin2jc + 7cos2jc + 7 = 0:
виразив sin 2jc і cos 2jc через tg х і отримав рівняння
2tg* < 7(1 - tg2 jc) , ? _ 0
1 + tg2 дг l + tg2*
звідки знайшов, що tg х = -7 і х = кп- arctg7. Чи все тут правильно?
14.302. Знайти tg|^-2aj, якщо sina = ^ і а не належить І чі
14.303. Обчислити sin (arcsin (-0,5) - arccos (-0,5<Уз) + arctg л/3).
14.304. Обчислити sin
/ . З
arcsin - + arccos
5
14.305. Цифри трицифрового числа записані у зворотному порядку.
Показати, що різниця між отриманим і даним числами ділиться на 9.
14.306. Знайти добуток у[а • Ца ...51\[а.
14.307. Довести, що система рівнянь
'х-1+у-1=5,
У~1 +z~l =3,
iz-1+*-1=8
не має розв’язків.
14.308. У припущенні, що а * 10" (а і п — цілі), довести, що lg а є числом
ірраціональним.
14.309. Чи можлива рівність х = log2 jc?
14.310. Розв’язати рівняння log^ jc + log* у = 2.
14.311. Для яких кутів І чверті виконується нерівність sina > sin2a?
14.312. Показати, що сума квадратів двох непарних чисел не може бути
квадратом цілого числа.
14.313. Знайти значення jc, при яких усі значення функції у = jc2 + 5х + 6
належать проміжку [6, 12].
392

14.314. Довести, якщо квадратне рівняння х2 + рх + q = 0 з цілими
коефіцієнтами р і q має раціональні корені, то ці корені — цілі числа.
14.315. Не розв’язуючи рівняння V3-х + V*-5 =10, показати, що воно
не має коренів.
14316. Вказати область визначення і множину значень функції у = log5 sin х.
14.317. Вказати область визначення функції у = ^/log3 cos де.
14.318. Для яких значень х має зміст рівність
lg х(£-4) = + _ 4) _ _ ?
1-JC
14.319. При яких значенняххфункція у = \х-і\ + \х-3\ набирає
найменшого значення? Знайти це значення.
а + Ь
14.320. Відомо, що дріб скоротний (я, b — не одночасно парні
а-Ь
числа, ЬфО,а*Ь). Чи скоротний дріб — ?
Ь
14.321. Чи має рівняння jc3 + 2х - 3 = 0 від’ємні корені?
14.322. Многочлен а4 +2д3 +6я-9 розкласти на множники.
14.323. Розв’язати рівняння Jt1/lg* =10.
14.324. Розв’язати рівняння xlg2 -2_Igx = 1.
14.325. Обчислити без таблиць lgtg22° + lgtg68°.
14.326. Довести, що сума трьох степенів числа 3 з натуральними
показниками, що йдуть підряд, менший з яких не менший від числа 2, ділиться без
остачі на 117.
я2 +2
14.327. Розв’язати нерівність . > 2.
14.328. Обчислити log^ щ х, якщо logaix = &i, log„2 x = l>2,...
-Aogakx = bk;x*l.
14.329. Скільки існує цілих чисел, характеристика десяткових ло-
гарифмів яких дорівнює одному й тому самому числу: a) n(neN);
~ т(теі^)?
(х-а) (у-Ь) = с,
14.330. Розв’язати систему рівнянь х-а
= с.
у-Ь
14.331. 	Катети прямокутного трикутника дорівнюють log49 і log316. Знайти
Площу трикутника.
393

*2
14.332. 	Знайти найбільше значення функції у = .
де4 +25
14J33. Знайти всі значення х, для яких існує сума
>0go,5 * + logO,5 * + ••• + logo,5
14334. Довести, що jc = 1 — єдиний корінь рівняння jc3 + 3jc - 4 = 0.
14335. Який знак має число log7t/4tg 1 ?
14336. Чи має розв’язок рівняння sinjc = 2sin47° cos44° ?
14337. 	Розв’язати рівняння
4 д/(1 Іде — І)2
5yj(l їх-І)2 4
14338. 	Показати, що координати тільки однієї точки площини
задовольняють рівняння jc2 -4х +у-ву/у +13 = 0, і знайти цю точку.
14339. Розв’язати систему рівнянь
jc + y-z = 0,
x-y+z= 2,
-x + y + z = 4.
14340. Показати, що рівняння jc5 + jc4 + 2л3 + 2х2 + jc + 1 = 0 має тільки один
корінь. Який саме?
14341. Многочлен к? + к* - 2к* - 2k1 + к+ \ розкласти на множники.
14342. Розв’язати рівняння cos 2х = х2 + 1.
14343. Знайти найбільше значення функції у = Vj7+7 + Vl 1-х.
і і n*2-2*
14344. Знайти найбільше значення функції
«,.(ij
- ,8 16 32 .( 2 V
14.345. Знаити суму 4 — + + ... + 4 —
З 9 27 { 3)
п-\
 + ....
14346. Розв’язати рівняння cos (тис2) = -0,5.
14347. Розв’язати рівняння cos (W*)=i.
14348. При яких значеннях а рівняння 1 + sin ах = cosjc має єдиним
розв’язок?
14349. Кількість членів геометричної прогресії парна. Сума всіх її членів у
З рази більша від суми членів, розташованих на непарних місцях. Визначити
знаменник прогресії.
14350. Знайти 1 + 2х + 2^ + ... + 2** +..., якщо к — число натуральне,
а;с <0.
394

14.351. Без перетворення рівняння л/Г+7 + у/3-х = 17 показати, що воно
не має коренів.
14352. Нехай АУВ,С — кути трикутника. Показати, що sinyisin 5 - cosC =
-cosAcosB.
14353. Дано рівняння 3sin2;c + cos2* = 4. Чи має воно розв’язок?
14354. При яких значеннях к корені рівняння х2 - (2к + 1) х + к2 = 0
відносяться як 1:4?
2 2
14355. При яких значеннях а рівняння х -2*-logЗл =0 має корені?
14356. Скласти біквадратне рівняння, якщо числа 7з -1 і 4з +1 є двома
його коренями.
14357. Розв’язати рівняння з2+1°8925 = 5 92/*
14358. Знайти найменше значення функції
у = log2 (х2 -4х + 20).
14359. Чи може синус будь-якого кута дорівнювати:
a) 	lg а + —ї— (а > 0, а * 1);
lg а
б)
ґ г~
Тз-і
; в) cos40° + cos50° ?
J~5-S
< У
14360. Знайти без допомоги таблиць с = іУа~5Ь3, якщо lgа = -0,6498, а
\gb = 13,9170.
14361. Виразити sin За через sin а і за допомогою отриманої формули
обчислити sin 54°, якщо відомо, що sin 18° = 0,25(75 -1).
. 3 + J~x ^ п 3-yfx 0 к
14362. Знаити х з умов tga = —-—, tgp = —-—, a + р = —.
14363. Розв’язати рівняння х2 • 2х + 8 = 2х2 + 2Х+2.
14364. При яких значеннях т може виконуватися рівність
2
т -4т-4 Л к г
cos(p = , якщо 0<ф<—?
т +1 З
2а2+2а
14.365. 	При яких значеннях а можлива рівність tg9 = —z ,
а - 6а + 9
якщо 0<ф<—?
Г 4
395

14.366. 	Показати, що коли х = аcosasinP, у = asinasinP, z = acosP, tq
х2 + у2 +z2 =a2.
14367. Знайти добуток коренів рівняння zlog5^ Зг)=253>/7.
14368. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння х2 + ах +
- 2 = 0 є найменшою?
14369. Скласти рівняння параболи з віссю, паралельній осі ординат, якщо
ця парабола проходить через точки ( - 2; - 3), ( - 1; 2) і (1; 0). Показати, щ0
вона перетинає вісь абсцис по різні боки від осі ординат.
14370. У яких точках графік функції у = 4-х~+9 - J-x + 4 перетинається
з прямою у = 1?
14371. Знайти цілі значення х, що задовольняють нерівність
0,0007293 < 0,3*2_5*+4 < 11-.
9
14372. Знайти невід’ємні розв’язки нерівності
і.
32
2 \і087,5°>5
Встановити, для яких значень х виконуються рівності (14.373-14.376):
14.373. їх2-8jc + 12І = jc2 —8jc + 12.
14.374.
14.375.
х2 — 1 Одс + 16
х -10х + 24
х2 -10л:+ 16
х2-10х + 24‘
х2-1
1-х
2 *
14376. |lg2 (1 - 9х) + lg(l - 9х) - 2| = 2 - lg(l - 9х) - lg2 (1 - 9х).
14377. Знайти натуральне значення к з умови
22 • 24 • 26 ...21к = 0,25 ” 28.
14378. Розв’язати рівняння х2 + 2х - 3\х +1| + 3 = 0.
14379. Розв’язати рівняння а) |х + і| + |х-і| = 2х3;б) х2 - 3|х| + 1 =1.
Розв’язати нерівності (14.380-14.383):
14.380. |x+l|>2|x + 2|. 14-381. log2(х +1)>logx+, 16.
14382. 	log0j5(2j:-l)>x-l.
14384. 	Розв’язати систему нерівностей
14383. 	log^.3 (х -1) < 2.
sinjcj
<1.
396

14385. Показати, що система рівнянь
2log2*_3log3:K=^
2х-3у = 4
не має розв’язків.
14386. Знайти цілі значеннях, що задовольняють систему нерівностей
0og3x)k**X*l
х>1.
І2*-З|у| = 1,
14387. 	Розв’язати систему рівнянь || ^
14388. Довести, що функція /(х) = lg(x + vl + х2) є непарною.
14389. При яких значеннях х функція у - —у— + ctg2 х +1 досягає най-
cos х
меншого значення? Знайти це значення.
14390. Яке найбільше значення функції у = sin х + cosx? При яких
значеннях х воно досягається?
14.391. Показати, що графік функції у = - 2 в жодній точці
lg(*-2)
не перетинає вісь ось Ох.
х2 + \
 14392. На графіку функції у = 0,8Ідг| знайти точку, ордината якої у
х + 1
2 рази більша від її абсциси (графік будувати не обов’язково).
14393. Довести, що графіки функцій у = 4х - 3 ■ 2х и у = - (5 • 2~ х + 1) не
мають спільних точок.
14394. Знайти точки перетину параболи^ = х2 + 1 і кривої у =|з*2 - 4
14.395. Знайти точки перетину кривої >» = 12лс2-5|х|-36 і параболи
У = 6х2-5дг-12.
14 J96. Для яких значень х графік функції у = х + 3 + J(x + 1)(х + 7) розта-
Хований нижче від осі абсцис?
14.397. 	Визначити, при якому значенні к графік функції
.V = lg (Ах) - 2 lg(х +1) має тільки одну спільну точку з віссю абсцис.
14398. 	Вказати всі точки на осі Ох, у яких не визначена функція
397

I 1 ^
y= V3-8H-10 9^ +3.
2
14399. 	При яких значеннях x графік функції y = 0,7Ig^ -8дг+8) розміщений
не нижче від прямої у = 1 ?
14.400. Знайти значення х, при яких графік функції у = logj^x2 -8jc) + 2
розміщений не нижче від осі абсцис.
14.401. У яких точках графік функції у = log3 (V*2 +21 - V*2 +12)
перетинає вісь Ох?
14.402. Знайти точку перетину графіка функції
>,=(3,61+l083’6(1(>fx))l0g6(5-jr)
з віссю ординат.
14.403. Знайти точку перетину графіків функцій y = log2(x + 14) і
у = 6-log2(* + 2).
14.404. Знайти абсцису тієї точки графіка функції
У - l°g2 l0g6 (2'^+1 + 4),
ордината якої дорівнює одиниці.
14.405. Знайти точку перетину графіка функції /(х) = jclgJC -100OOOjc4 з
віссю абсцис.
14.406. Знайти цілі значення лг, що належать області визначення функції
ч 41-sin*
/(*) = = .
lg(-3x2 + 10jc-3)
Знайти області визначення функцій (14.407-14.410):
гґ \ їх2 - Зх-10 і
14.407. fix) = J— —. 14.408. f(x) = Jlogx2-log2x.
V*- 9х
14.409. f(x) = I Х~3 . 14.410. /(*) =
Ь-Зх + 2х2 'х + 2

Глава 15
ПОЧАТКИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ І ПЕРВІСНИХ
ДЕЯКИХ ФУНКЦІЙ
(о, Ь — сталі)
Первісна F (jc)
Функція / (jc)
Похідна /' (jc)
ах
хр+Х ,
»р*-1
р+і у
In а
ех
хіпх-х
х loga ~
Є
4*1
— COS X
sin JC
—ln)cosjc|
ln|sin jc|
-F(M) = IJF(ox + 6),a^0
a a
a
xp, peR
ax
ex
\nx
log0x
X
sin X
cosx
tg*
ctgx
f(u) = f(ax + b)
0
P*p-1
ax In a
ex
1
JC
1
jclna
1
x2
COS JC
- sinjc
1
COS2 JC
1
sin2 JC
af\u) = af\ax + b)
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
1°. Правила диференціювання (w, v — функції; с — стала):
(си)' = си'; (15.1)
(w + v)' = i/+v'; (15.2)
399

(g(f(x))Y = g'(f(x))f'(x), де g(f (де)) —складнафункція. (15.5)
2°. Рівняння дотичної до графіка функції^ = /(х) записується у вигляді
У~Уо= ґ(хй)(х-хй\ (15.6)
де (дг0; у0) — точка дотику.
3°. Правила обчислення первісних:
а) якщо F—первісна для/, a G — первісна для g, то F + G є первісною для
/+g;
б) якщо F — первісна для /&к — стала, то kF є первісною для kf\
 в) якщо F (jc) — первісна для / (jc), а к *0 і b — сталі, то — F(kx + b)
к
є первісною для функції f(kx + b).
4°. Формула Ньютона — Лейбніца має
вигляд
о
j f (x)dx = F (b) - F (а). (15.7)
а
5°. Площа криволінійної трапеції аАВЬ
(рис. 15.1), обмеженої віссю Ojc, прямими
х = аіх = Ьі графіком невід’ємної функції
у = f (jc) на відрізку [а, Ь], визначається за
формулою
Рис. 15.1
о
S = j f (x)dx.
(15.8)
Приклад 1. Знайти lim
jc3 -8
дг—>2 2jc - 4
□ Функція f (jc) =
jc3 -8
у точці jc = 2 не визначена. Розклавши чисель-
2jc — 4
ник на множники за формулою (2.14), подамо цю функцію у вигляді
2 2 2 4
/(х) = ——1—'* — В області визначення функції / (jc) вир*3
2(х-2)

х - 2 * 0, тому дріб можна скоротити на х - 2. Тоді отримаємо
х2 + 2х + 4
lim /(х) = lim = /(2) = 6. ■
-г—>2 х—>2 2
, , „ 'їх2 -7-3
Приклад 2. Знаити lim .
jc—>4 х-4
уіх2 -7 -З
□ Функція / (х) = в точці х = 4 не визначена. Помноживши
х-4
чисельник і знаменник на Vx2 -7+3*0 і використовуючи формулу
(2.8), перетворимо дріб:
lim / (х) = lim ■
X2 -7-9
*-►4 х->4(х-4)(уІх2 - 7+3)
(х-4)(дг + 4) дг + 4 .... 4
= lim і , ■'— = lim ■ у = /(4) = -.
*~>4(x-4)(-Jx2-1 +3) X_>4V*2- 7+3
+4
Приклад 3. Скласти рівняння дотичної до графіка функції / (х) =
х-2
у точці його перетину з віссю ординат.
□ Відповідно до формули (15.6), рівняння дотичної записується у вигляді
У~Уо= Ґ(хо)(х-Хо\ де (х0; 7о) —точка дотику. Абсцисах0 точки перетину
графіка з віссю Оу дорівнює нулю, а ордината у0 = / (0) = - 2; отже,
(0; - 2) — точка дотику. Далі, використовуючи формулу (15.4) і таблицю похідних,
отримаємо
, ч 2х(х-2)-(х2+4)1 х2-4х-4
(х-2)2 (х-2)2
звідки /'(0) = -1. Отже, шукане рівняння дотичної має вигляд у - (- 2) =
= -1(х-0), або у = - х- 2. ■
Приклад 4. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстрему-
му функції f(x)=(—~2—.
X
□ Область визначення функції — вся числова вісь, крім точки х = 0.
Використовуючи формулу (15.4) і таблицю похідних, знаходимо
р 2(х-2)х2-(х-2)22х 4(х-2),
х4 х3
401

f'(x) = 0 тільки якщо х = 2. Складемо таблицю:
Інтервал
(-°°,0)
(0, 2)
2
(2, °°)
f'(x)
+
-
0
+
fix)
*
4
min
*
Таким чином, х = 2 — точка мінімуму; функція зростає на (-оо, 0) і на
(2, оо), спадає на (0,2). ■
Приклад 5. Знайти найменше і найбільше значення функції у ~ f(jc) =
ізку [о,Щ.
= 2 sin jc + sin 2jc на відрізку
□ Спочатку знайдемо значення / (jc) на кінцях даного відрізка: / (0) = 0,
а потім критичні точки, що належать цьому відрізку. Маємо
3jc
/'(jc) = 2cosjc+2cos2jc; /'(jc) = 0, якщо cosjc+cos2jc = 0, звідки 2cos—х
дгЛп. 3jc _ Зх я - я 2
х cos— = 0. З рівняння cos— = 0 випливає, що — = — + ял, тобто jc = — +—тіл,
2 2 2 2 3 3
а з рівняння cos у = 0 — що у = у + тіл, тобто jc = я + 2ял, л є Z. Другий
розв’язок є частиною першого, таким чином, розв’язок рівняння /'(*) = 0 мас
я 2 _ •
вигляд X — — н—ял, л є Z. Відрізку
3 3
к •
належать точки де, = — і jc, =7Г.
1 3 2
Знаходимо значення /(jc) у критичних точках: /^у j= 1,5-Уз, /(я) = 0.
Порівнюючи між собою числа /(0), j» /|у /(я)> з’ясовуємо, що .Унайм = -2»'
.Унайб
= 1,5-ч/з.
Приклад б. В арифметичній прогресії шостий член дорівнює 3, а різниця
прогресії більша від 0,5. При якому значенні різниці цієї прогресії добуток
першого, четвертого і п’ятого її членів є найбільшим?
□ За умовою, д6 = а\ + 5d = 3, звідси ах = 3 - 5d. Позначимо добуток axafa
через у. Тоді отримаємо у = ах(ах + 3d)(ax + 4d) = -10^ 3 + 51 d2 - 12d + 27.
402

для визначення значення d, при якому функція у набирає найбільшого значення,
спочатку знайдемо похідну
/ = -3Od2 + I02d - 72 = -6(5d2 - lid +12),
2
a потім, розв’язавши рівняння 5d -17J + 12 = 0, знайдемо її корені
дх = 1; d2 = 2,4. Оскільки за умовою d > 0,5, то досліджуємо поведінку функції
на інтервалі (0,5; ©о). Складемо таблицю:
Інтервал
зміни d
(0,5; 1)
1
(і; 2,4)
2,4
(2,4; оо)
/
У
-
0
+
0
-
У
ч
min
*
max
ч
На інтервалі (0,5; °о) є тільки одна точка максимуму функції у, а саме
d= 2,4. Це означає, що на інтервалі (0,5; функція у досягає найбільшого
значення при d = 2,4. ■
Приклад 7. Площа поверхні сфери дорівнює 27к. Яка
висота циліндра найбільшого об’єму, вписаного в цю ^
сферу? а
□ Нехай циліндр утворено обертанням прямокутника
ABCD навколо діаметра MN (рис. 15.2). Підставимо AD = jc,
виразимо об’єм V циліндра як функцію від jc. Маємо О
2 27
^сфери = > тобто 4пОВ2 = 27л, звідки ОВ2 =—. D
Далі, з АОАВ випливає, що АВ2=ОВ2-ОА2, тобто ^
Рис. 15.2
27 jc 27 jc
АВ = = . Використовуючи формулу об’єму
4 4 4
Циліндра (11.15), отримаємо
2 _
V(x) = пАВ2 ■ AD = тс——х = —(21х -х3).
4 4
За змістом задачі, 0 < jc < 20В, тобто 0 < jc < Зл/З. Маємо
^ = ~ - х2); Г'(;с) = 0, якщо 9 - jc2 =0. Звідси знаходимо
х = 3 (бо jc > 0). Якщо 0 < jc < 3, то V'(x) > 0, а якщо 3 < х < З-УЗ, то V'(x) < 0.
Отже, jc = 3—точка максимуму. Таким чином, якщо jc = 3, функція V(jc) досягає
найбільшого значення. ■
403

Приклад 8. Для функції /(jc) = 2sin5jc + Vx +— знайти первісну
F (х) за умови, що графіки функцій /(jc) і F (jc) перетинаються в точці, що лежить
на осі Оу.
□ Оскільки для функції sin JC однією з первісних є - COS JC, то, відлові-
2
дно до правил п. 3°, первісною функції 2sin5jc є --jCos5jc. Далі, первісною
функції ^ + “ є Тод* ДЛЯ f ^ первісною функцією є
2
F(x) = -j cos 5jc + - jc Vx + j x + C при довільному значенні сталої С. Необхідно
знайти таке значення С, при якому графіки функцій F (х) і/(х) перетинаються
в точці, що лежить на осі Оу. Це означає, що при х = 0 повинна виконува-
2 З
тися рівність F (0) = / (0). Але F(0) = — + С, а /(0) = —; таким чином,
5 5
2 3 2
-- + С = -, звідси С = 1. Отже, шукана первісна має вигляд F(x) = cos5jc+
2 /— З
+ — JCVJC+-JC + 1.B
3 5
Приклад 9. Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій у = -*3,
у = -jVx і у = 8.
□ Графіки даних функцій зображені на рис. 15.3. Потрібна знайти площу 5
фігури ОАВ (на рисунку вона заштрихована).
Очевидно, що шукана площа дорівнює
різниці між площею прямокутника ABCD і
площами Sx і S2 двох криволінійних трикутників
OAD і ОВС. Знайдемо координати точок А і В.
Розв'язавши системи рівнянь
У = -х,.
у = 8
8 г
У = -уіх,
З ' отримаємо А (-2; 8) і В
У = 8,
(9; 8). Далі маємо С (9; 0), D(-2; 0), CZ)= И>
ВС = 8, звідки SABCD =11-8 = 88. Площі
криволінійних трикутників OAD і ОВС знаходимо за
допомогою інтеграла за формулою (15.8):
404

s, = \(-xi)dx = ~ =4, S2=|jVx<fr = ||WI
-2 ^ _2 ■* 0 ^ ^
Отже, *S = SABCD - Sx - S2 = 88 - 4 - 48 = 36 (кв. од.). ■
= 48.
Обчислити (15.001-15.010):
15.001. 	lim
x3 +8
*->-2 x -4
15.002. lim
4x -8x + 3
*->0,5 2jc -7x + 3
15.003. 	lim
x3+x2-x-l
*->-lx3+x2+x + l
15.004. 	lim
5x3-2x2+5je-2
15.005. 	lim
x +
■Jx -6
15.007. 	lim
x->*x-5<fx +6
Tx-\
 15.006. 	lim
*-»0,4 5x4 - 2x3 - Sx2 + 2x
Vl + 3x4 -Vl-2x
15.009. 	lim
х~*1Ух*+2 lfx-3
x-2
x + x2 +2x3
icnna i- l“V2x + l
15.008. 	lim
jc—>0 X
*-»2 -J4x + l -3
..... .. -j2x + 3 -1
15.010. 	lim , .
*->-1 V5 +jc-2
Обчислити границі та підтвердити чи заперечити дані твердження
(15.011-15.018):
15.011. lim
х + jc-12
jc—>3 3jc — 9
= 5 + lim
х4-16
15.012. lim ^+3+-> lim 2x^ 5* 3
*->2 8-х3 '
2
x-M),5 4x -18x-10
Ju-
15.013. lim ———
jc—>0 X
x + x2 -1 .. x4 -2x2 +1
< lim .
*->l xz-l
3/
1^ Alii 1- >ІЗх-5 -1 Vx + 1 -1 Я
15.014. hm lim < cos—.
x—>2 X-2 jc—>0 x 10
15.015. lim / ---> lim 5"*
*->tx2+5x-6
x - 3
x3 + 3x2 — 4
15.016. 	lim lim
*->i x2-l X~*3]lx2 -1 -2
<0.
405

15.017. lim 3£i±|£-l_=lim_x->/r
9x3 + 9x2 - jc -1 x-*0 2>/7
JC + JC
x3-8 .. 2X+2 -16
15.018. 	lim z lim— j- = l.
x—*2 jc(x — 4) *->2 4 -2
Знайти похідні функцій (15.019-15.033):
2
15.019. 	а) У = 3 V? + 2x3 -Jx + 4j-;
б) у = (х3-1)5+у.
15.020. 	а) у = (х4 - х2 +1)3; б) >- =
х3 - Зх2 +1
х-1
ч 1 -cos2jc _ч , 10-jc
15.021. 	а) у = — —; б) y = \g——.
l + cos2x х + 2
15.022. 	a) y = V4х3-7х2+1; б) у = (sin2x + l)eJt.
15.023. а) у = Vx2-1 (х4 -1); б) у = In л/х2-1.
15.024. а) у = є*’-5*2; б) >- = ^х(І-х)2.
15.025. a) , = (x + l)V7; б) v = tg2x-ctg2x.
15.026. а) у = х2 cos—; б) у = x + sinxcosx.
JC
15.027. а) у = cos23jc; б) >> = sin2^.
15.028. а) у = tg sin jc; б) у - -jtg3 х.
15.029. а) _у = |(х3-7(*2-1)3)-х; б) y = -J 1-х3 -х>/х.
,*л,л ч л/дг2 +4 вч h + x2)3
15.030. 	а) у-———; б) у = - ^
4jc
х V2-X2
15.031. а) >>= ; б) ;и =
\х2-2 *
15.032. а) у = (х3 +l)cos2x; б) у = sin 2х tg х.
15.033. 	a) v = x VЗх2+1; б) >- = sin— -In-.
10 jc
406

15.034. Розв’язати рівняння /'(*) f(x) = 0, якщо / (jc) = jc3 In х.
х
х3 +1
15.035. Розв’язати нерівність f\x)<g\x\ якщо /(х) = , g(x) =
х
1
= 5х + -.
X
15.036. Розв’язати нерівність /'(jc) + <р' (jc) < 0, якщо /(jc) = 2jc3 + 12jc2 ,
<p(jc) = 9x2 + 12x.
15.037. Розв’язати рівняння 1 + 5/ (jc) + 6/'(x) = 0, якщо /(jc) = ——.
1-х
Обчислити значення похідних даних функцій при вказаних значеннях
незалежної змінної (15.038-15.059):
15.038. /(*) = Vx2+3 + -Ц-; /'(О = ?
Х + 1
jc2 -2
15.039. /(,)=*_£;/(2) = ?
х2+2
15.040. /(Л) = і-2; /'(3) = ?
З jc
15.041. Г(х) = х-\~;Г(-1) = ?
х Зх
15.042. /(х) = -7=£= + -Ц-; /'(!) = ?
£*+3 * + 1
15.043. /(х) = * ; /'(0) = ?
vx+1+1
15.044. /W = sin4xcos4x;/^jj=?
15.045. /(х) = sin2x2; /(0) = ?
15.046. /(х) = -^—
1 + smx ^2 J
15.047. 	/(*) = sin x
15.048. 	/(jc) = ^4^^i; /'(2) = ?
Vx-1
407

15.049. /(х) = 5(х + 1)2 л/jc—Т; /'(2) = ?
15.050. /(х) = Jx2-1 + Vx ; /'(1) = ?
15.051. /(x) = isinxtg2x;/'^j=?
15.052. /W = J^-y;/'(0) = ?
Vl + x2
22*
15.053. /(x) = ; /'(0) = ?
v2-22*
15.054. /(x) = sm3|;/^j=?
15.055. /(*) = 2*"2*2-1; /'(0) = ?
2
15.056. /(x) = ^i;/'(0) = ?
JC — 1
15.057. /(x) = (x2 - x)cos2 x; /'(0) = ?
15.058. / (x) = —^=—; f'(n) = ?
VJC
15.059. /W = ^-;/f?V?
sin x
15.060. Знайти другу похідну функції / (jc) і обчислити її значення при
даному значенні jc:
а) /М = х2\пх + cos2jc; f*( 1) = ? /#(я) = ?
б) /(X) = siny + ХІПХ2; /'(3) = ? /'(f}= ?
15.061. Визначити знак похідної функції >> = V4jc + 9 (jc2 -16) у точці
jc = 0.
15.062. Дано функцію /(jc) = Vx3". Як змінюється її похідна зі зростанням
* від тт до 81?
16
15.063. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у - х (In jc -1) у точШ
з абсцисою jc = e.
408

15.064. Дано функцію у - х4 - 6х2 +1. Знайти найбільше і найменше
значення її похідної на проміжку [-1,3].
15.065. Дано функцію / (jc) = 2 cos2 (4jc -1). Знайти множину значень її
похідної.
15.066. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = tg Зх у точці з
к
абсцисою * =—■
3 jc + 3
15.067. Довести, що функція / (jc) = спадає на всіх інтервалах області
jc — 5
визначення.
15.068. Дано функцію /(*) = jc In jc - х. Як змінюється її похідна із
зростанням X від 1 до 9?
15.069. Знайти область визначення функції / (jc) = ^4 + Зх-х2 і область
визначення її похідної.
15.070. Дано: у(дг) = 0,5л/х3 +1 і g(x) = xe~x. Показати, що /'(2) є
коренем рівняння g'(x) = 0.
15.071. Функцію задано формулою f(x) = eax +bx+l. Знайти значення
сталих а і b, якщо / (1) = / (0) = /'(0).
15.072. Під яким кутом до осі Ох нахилена дотична до графіка функції
g (jc) = х2 In х, проведена в точці з абсцисою х = 1 ?
15.073. Функцію задано формулою / (х) = 5 sin х + 3cos х. Розв’язати рівнян-
м /'(0) = /'(*)•
15.074. Функцію задано формулою /(jc) = е~х(х2 + Зх +1). Розв’язати
рівняння f'(x) = 2f(x).
15.075. Чи можна почленно диференціювати нерівність?
15.076. Дано функцію f (jc) = |jt|. Записати її первісну виразом.
15.077. Записати диференційне рівняння гармонійного коливання:
а) >- = -4sin(2;t + 3); б) >> = 3,8cos(0,6дг -10).
15.078. Знайти відмінний від нуля розв’язок диференційного рівняння:
а) 	У' = -36у; б) у' = -36у.
15.079. Побудувати окремо графіки функцій /(*) = х, ср(дг) = \х\ і g (*) =
= *|*| в околі точки х = 0. Незважаючи на те, що/(де) диференційована при jc = 0,
а Ф(*) — ні, їхній добуток g (jc) = jc |jc| має похідну в точці jc = 0. Обґрунтувати
пРавильність цих тверджень і знайти g'(0).
409

/(*Н*
[рл + 9 + 1,
15.080. Довести, що функція /(*) = х + sinjc не спадає в кожній точці
осі Ох.
15.081. Показати, що для будь-яких значень сталих р і q(p Ф q) функція
задана формулами
\.рcosx + qsinjc, якщо jc>0,
якщо jc < 0,
не диференційована в точці х = 0.
15.082. Точка рухається прямолінійно за законом 5(0 = її. Показати, щ0
її прискорення обернено пропорційне до квадрата пройденої відстані.
15.083. Дано функцію /(jc) = 0,5(jc2 -cosjc). Користуючись поняттям
неперервності, з’ясувати, чи мають рівняння/(х) = 7,8 і /'(jc) = 7,8 хоча б по одному
кореню на проміжку [2я, Зя].
15.084. Знайти всі значення сталої а, при яких похідна функції, заданої
формулою у = ea*3+3jf2+* s набуває тільки додатних значень на всій області
визначення даної функції.
15.085. Знайти суму jc + jc2 +... + jc/i, а потім суму 1 + 2jc + 3*2 +...
. + пхп 1, де jc Ф1.
jc3 + 1
15.086. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = —-— у точці
його перетину з віссю абсцис.
15.087. На графіку функції у = jc (jc - 4)3 знайти точки, у яких дотичні
паралельні осі абсцис.
jc — 4
15.088. Показати, що дотичні, проведені до графіка функції у = у точках
jc-2
його перетину з осями координат, паралельні.
15.089. Під яким кутом крива у = -J=rsin3jc перетинає вісь абсцис у початку
V З
координат?
15.090. Показати, що на графіку функції у = jc3 + jc2 + jc +1 немає точок, У
яких дотичні паралельні осі абсцис. ^
15.091. У яких точках дотичні до кривої у = - jc2 - jc+ 1 паралельні прямій
у = 2*-1?
jc 5jc
15.092. У яких точках дотична до графіка функції /(jc) = г~+
З 2
+7jc - 4 утворює з віссю Ох кут 45°?
410

15.096. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х2е х у точці
15.093. Під яким кутом до осі Ох нахилена дотична, проведена до кривої
у = 2х3 - X в точці її перетину з віссю Оу?
15.094. Під яким кутом до осі Ох нахилена дотична, проведена до кривої
у = х3 - х2 - їх + 6 в точці М0 (2; - 4)?
3 З
15.095. Відомо, що пряма у-—х є дотичною до лінії, заданої
4 32
рівнянням у = 0,5jc4 - х. Знайти координати точки дотику.
15.096. Склі
з абсцисою х = 1.
15.097. Скласти рівняння дотичних до кривих у = 2х2 -5 і у = х2 -
- Зх + 5, проведених через точки перетину цих кривих.
15.098. Знайти кут, що утворює з віссю ординат дотична до кри-
вої у = — jc5 -—jc3 , проведена в точці з абсцисоюх = 1.
З 9
15.099. Скласти рівняння дотичних до кривої у = х2 -4х +3, що проходять
через точку М (2; - 5). Зробити рисунок.
15.100. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = In (2е - х) у точці
з абсцисою х = е.
15.101. Скласти рівняння дотичної до графіка функції /(х) = 2х-
-4дг- Зх2 у точці з абсцисою х = - 2.
15.102. У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
у = 2х3 -2х2 +х-1 дорівнює З?
х + 2
15.103. У яких точках дотична до графіка функції у = утворює з віссю
Ох кут 135°? *
15.104. Дано функцію /(jc) = ^-sin^4x--j j. Потрібно:
а) скласти рівняння дотичної до графіка даної функції в точці з
абсцисою д: = — (остаточні числові значення округляти до другого десяткового знака);
6
б) встановити, у яких точках проміжку 0 < jc < я дотична до графіка даної
Функції утворює з віссю Ох кут 60°.
знаити:
15.105. 	Дано функцію = ^ cos ^3jc—^ Потрібно
а) кут, утворений з віссю Ох дотичною до графіка даної функції в точці з
абсцисою х =—’
З
б) точки мінімуму на проміжку [0, тс].
411

15.106. Через точку перетину графіків функцій у-—= і у = 12jc~1/2^
v х
_ 2л:17 2 проведено дотичну до кожного графіка. Знайти різницю кутів, утворених
цими дотичними з додатним напрямом осі Ох.
15.107. У точці М (1; 8) до кривої y = ij(5 — дг2/3)3 проведено дотичну.
Знайти довжину її відрізка, що міститься між осями координат.
15.108. Знайти площу трикутника, утвореного бісектрисами координатних
кутів і дотичною до кривої у = 4х2 -5 в точці М(3; 2).
4
15.109. До гіперболи у-— проведено дотичні: одна — у точці
А/(2; 2), а інші — паралельно прямій у = - Лх. Знайти площі трикутників,
утворених кожною з цих дотичних з осями координат.
15.110. Відрізок довільної дотичної до кривої у = х2, що міститься між
точкою дотику і віссю Ох, спроектований на вісь Ох. Показати, що ця проекція
вдвічі більша від проекції аналогічного відрізка дотичної до кривої у = jc4
з тією самою абсцисою точки дотику.
15.111. У довільній точці кривої у = тІ2х-х2 проведено дотичну.
Показати, що довжина відрізка дотичної від точки дотику до перетину з віссю Оу
дорівнює ординаті точки перетину.
У задачах 15.112-15.115 задано закон прямолінійного руху s (/); s і /
виражаються відповідно в метрах і секундах.
4t + 3
15.112. s(0= ґ + ^ • Знайти швидкість у момент/ = 9.
15.113. s(t) = 2t3-3f + 4. Знайти швидкість і прискорення в момент
t = 2.
15.114. s(t) = 0,5/4 - 5/3 + \2t2 -1. У які моменти прискорення тіла
дорівнює нулю?
15.115. s(t) = 8 - 2t + 24/2 - 0,3/5. У який момент часу тіло має найбільшу
швидкість? Знайти цю швидкість.
15.116. Рух двох матеріальних точок уздовж однієї прямої задано
рівняннями 5] = 412 + 2,52 = З/2 + 4/ -1 (5j, s2 — в метрах, / — в секундах). Знайти
швидкість точок у ті моменти, коли пройдені ними відстані рівні.
15.117. Прямолінійний рух двох матеріальних точок задано рівняннями
5] 	= 2? - St2 - 31, s2 - 2t3 - З/2 -1 \t + 7 (5j, — в метрах, t — в секундах)-
Знайти прискорення точок у той момент часу, коли їхні швидкості рівні.
15.118. Дві точки рухаються по осі Ох. Координата jcj першої точки
визначається формулою JC] = З/2 - 5, координата х2 другої точки — формуло*0
х2 = З/2 -1 +1 (xj, х2 — в метрах, / — в секундах). Знайти швидкості руху точо*
у той момент, коли їхні координати рівні.
412

15.119. Тіло, кинуте вертикально вгору, рухається за законом: a) h(t) =
- 8/ - ’ б) Л (/) = 4 + 8f - 5t2 (h — в метрах, t — в секундах). Знайти
швидкість тіла в момент зіткнення із землею (прискорення g вважати рівним
іОм/с2)-
2
15.120. Тіло масою т0 рухається прямолінійно за законом s(t) = -—-.
Довести, що сила, яка діє на тіло, пропорційна до куба пройденого шляху.
15Л21. Тіло масою т0 рухається прямолінійно за законом s (t) = at2 + Р/ +
+ Y (ot, p, у— сталі). Довести, що сила, яка діє на тіло, стала.
15.122. Радіус кулі г рівномірно зростає зі швидкістю 2 см/с. З якими
швидкостями зростають поверхня й об’єм кулі? Знайти ці швидкості в момент,
коли г досягне 10 см. (Якщо t = 0, величина г = 0.)
15.123. Кут а, на який повернеться колесо через проміжок /,
дорівнює а = З*2 -12/ + 36 (а—в радіанах, t — в секундах). Знайти кутову швидкість
©у момент / = 4 і визначити, у який момент колесо зупиниться.
15.124. У тонкому неоднорідному стрижні завдовжки 25 см маса
(у грамах) розподіляється за законом g (/) = 4/2 - 2/, де /—відстань від початку
стрижня до будь-якої його точки. Знайти густину стрижня на відстані 4 см від
початку стрижня і середню густину стрижня.
15.125. Функцію задано формулою /(*) = ——г. Показати, що ця
*И)
функція зростає в будь-якій точці її області визначення.
15.126. Функцію задано формулою у = УІах3 -6х2 +3х. Знайти всі
значення сталої а, при яких дана функція визначена і монотонно зростає для
всіх х > 0.
Знайти точки екстремуму функцій (15.127-15.130):
х 1пя: + 2
15.127. у = —. 15.128. У =
ІПДГ X
15.129. 	у = х2е~х. 15.130. у = х3е~х.
15.131. Знайти екстремум функції у = х2 - In (1 + 2х).
15.132. Знайти точки екстремуму функції у = е~х - е~2х і кут між віссю Ох
1 Дотичною до графіка даної функції в точці з абсцисою х = 0.
15.133. Знайти точки екстремуму функції у = е~х sinjc і кут між віссю Ох і
Дотичною до графіка даної функції в точці з абсцисою х = 0.
15.134. Знайти точки екстремуму функції у = х - In (1 + х) і точку на графіку
^ної функції, у якій дотична до графіка паралельна прямій, що проходить через
т°чкиЛ(2; 3) іі? (- 1; 4).
413

15.135. Знайти екстремуми функції у = х3 +— і скласти рівняння дотичної
до графіка в точці з абсцисою х = - 2.
15.136. Дано функцію у - -х4 - 8jc2 + 9. Знайти її екстремуми й ординати
точок перетину з графіком функції у = -9х2 + 9.
15.137. Показати, що функція у = х3+4х зростає на всій числовій
осі.
15.138. При яких значеннях р функція / (jc) = cos jc -px + q спадає на всій
числовій осі?
15.139. Довести, що функція >> = 2jc + sinjc зростає на всій числовій
осі.
15.140. Довести, що функція у = х + —зростає на всій числовій осі.
\ + х1
Знайти проміжки зростанця і спадання функцій (15.141-15.145):
15.141. у = 7з sinjc -cosjc.
Знайти найменше і найбільше значення функцій на даних проміжках (15.146-
15.143. 	/(де) = -*(*-З)2.
15.144. 	/(х) = - + 4—т-
х X X
15.145. 	/ (х) = (2* -1) (2* - 4)2.
15.164):
15.146. у = х3-Зх2+Зх + 2; [-2, 2].
15.147. / (jc) = Зл:4 +4х3 +1; [-2,1].
15.148. у = х5 -Xі + х + 2, [~\, 1].
15.149. >> = — +—; [-5,-1].
3 х
15.150. 	у = - + -;[ 1,6].
8 х
414

15.152. /(x) = cos2ysinx;[0, я].
15.153. >•(*) = ~r4 ; a) t-3,3]; б) [2 Л, 8].
л/х +16
15.154. /(х) = х + cos2 х; j^O, -jj.
15.155. /(x) = tgx + ctg2x;|j^,-jJ.
15.156. /(x) = ycos2x+sinx;|^0, jj.
15.157. /(x) = — sin2x + icos3x-cosx; Г-—, —1.
2 4 3 L 2 2 J
15.158. /(x) = cos2 x + sinx; a) j^O, ^j; 6) , 7tj.
15.159. /(x) = a) [0,75; 2]; 6) [1,5; 3].
15.160. /(x) = x +4-; a) [-2, -1]; 6) [1,3].
x
15.161. /(x) = (5-x)2-1; a) [-1,0]; 6) [5,6].
15.162. f(x) = 2^; a) [-8, -1]; 6) [-1,1].
15.163. у = 3 3V(x-l)2 + x; a) [-7,0]; 6) [1,2].
15.164. /(x) = 2x2 -lnx; [1, e],
15.165. Знайти найбільше значення функції /(х) = cosxVsinx на проміжку
НІ-
15.166. Знайти проміжки зростання і спадання функції f(x) = x + — і
X
3 *сувати, у якій із точок х\ = log5 4 або х2 = log5 3 функція набирає біль-
Шого значення.
415

1 + Jt
15.167. 	Знайти проміжки зростання і спадання функції /(*) = -—г- ~
з’ясувати, у якій з точок хх = е~х або х2 = е~2 функція набирає більщОГо
значення.
f 2 + cosjc
15.168. 	Знайти найменше значення функції /(*) =
sinjc
на
про.
міжку (0, тс).
15.169. Знайти найменше значення функції / (х) = ——і— + —~—- На
гл іч Vl + * Vl-jc
проміжку [0, 1), де п — число натуральне.
X
15.170. Знайти проміжок зростання функції у = , а потім з’ясувати, щ0
In JC
більше: є71 чи пе.
Знайти екстремуми функцій і вказати проміжки їх зростання та спадання
(15.171-15.175):
15.171. у = е~х-е~2х.
15.172. у = х2е~х.
15.173. у-е~х sinx, якщо 0<jc<tl
15.174. ^ = дс + 1п(1-2дс).
_(jc-2)(jc + 3)
15Л75‘ У (jc-5)2
15.176. Число 18 розкласти на таких два доданки, щоб сума їх квадратів
була найменшою.
15.177. Число 180 розкласти на три додатних доданки так, щоб два з
них відносилися як 1:2, а добуток трьох доданків був найбільшим.
15.178. Знайти число, що перевищувало б свій квадрат на максимальне
значення.
15.179. Необхідно обгородити парканом прямокутну ділянку землі
площею 294 м2 і потім розділити цю ділянку парканом на дві рівні частини. При
яких лінійних розмірах ділянки довжина паркану буде найменшою?
15.180. Прямокутний лист жерсті має лінійні розміри 5 х 8 дм. У чотирьох
його кутах вирізають однакові квадрати і роблять відкриту коробку, загинаючи
краї під прямим кутом. Яка найбільша місткість отриманої коробки?
15.181. У прямокутний трикутник з гіпотенузою 24 см і кутом 60° вписано
прямокутник, основа якого лежить на гіпотенузі. Якими повинні бути довжини
сторін прямокутника, щоб його площа була найбільшою?
15.182. Дві сторони паралелограма лежать на сторонах даного трикутника,3
одна з його вершин належить третій стороні. За яких умов площа паралелограм
найбільша?
15.183. Серед рівнобедрених трикутників з даною бічною стороною а вка#
ти трикутник найбільшої площі.
416

15.184. Бічні сторони і менша основа трапеції мають однакові довжини —
п0 50 см. Знайти довжину її більшої основи, щоб площа трапеції була
найбільшою.
15.185. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, що вписаний у
прямокутний трикутник зі сторонами 18, 24, 30 см і має з ним спільний прямий
кут-
15.186. Визначити довжини сторін прямокутника найбільшої площі,
вписаного в прямокутну трапецію з основами 24 і 8 см і висотою 12 см.
(Дві вершини прямокутника лежать на бічних сторонах трапеції, а дві інші — на
її більшій основі.)
15.187. З пункту А на прогулянку вийшов пішохід зі швидкістю v км/год.
Після того як він відійшов від А на 6 км, з А слідом за ним виїхав велосипедист,
швидкість якого була на 9 км/год більшою від швидкості пішохода. Коли
велосипедист наздогнав пішохода, вони повернули назад і повернулися разом в
А зі швидкістю 4 км/год. При якому значенні v час прогулянки пішохода
виявиться найменшим?
15.188. У рівнобедрений трикутник зі сторонами 15, 15 і 18 см вписано
паралелограм найбільшої площі так, що кут при основі в них спільний. Знайти
сторони паралелограма.
15.189. У який круг можна вписати прямокутник найбільшої площі з
периметром, що дорівнює 56 см?
15.190. Бічна сторона рівнобедреної трапеції дорівнює її меншій основі.
Яким повинен бути кут при більшій основі, щоб площа трапеції була найбільшою?
15.191. Міра кута при вершині А трапеції ABCD дорівнює а. Бічна сторона
АВ удвічі довша від меншої основи ВС. При якому значенні а міра кута ВАС
виявиться найбільшою? Чому дорівнює це найбільше значення?
15.192. Знайти косинус кута при вершині рівнобедреного трикутника, що
має найбільшу площу при даній сталій довжині медіани, проведеної до його
бічної сторони.
15.193. Міра кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює а. При
якому значенні а відношення довжин радіусів вписаного й описаного кіл є
найбільшим? Чому дорівнює це відношення?
15.194. Які розміри потрібно надати радіусу основи і висоті відкритого
Циліндричного бака, щоб при даному об’ємі V на його виготовлення пішло
найменше листового металу?
15.195. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди має сталу дану
площу і нахилена до площини основи під кутом а. При якому значенні а об’єм піра-
міди найбільший?
15.196. У правильну чотирикутну піраміду з ребром основи а і висотою Я
вписано правильну чотирикутну призму так, що її нижня основа лежить в основі
піраміди, а вершини верхньої основи — на бічних ребрах. Знайти довжину ребра
°снови і довжину висоти призми, що має найбільшу бічну поверхню.
15.197. Бічне ребро правильної трикутної піраміди має сталу дану довжи-
НУ й утворює з площиною основи кут а. При якому значенні а об’єм піраміди
найбільший?
417

15.198. У правильній трикутній піраміді бічна грань має дану сталу площу ^
утворює з площиною основи кут а. При якому значенні а відстань від центра
основи піраміди до її бічної грані найбільша?
15.199. У конус із даним сталим об’ємом вписано піраміду; в її основі лежить
рівнобедрений трикутник, кут при вершині якого дорівнює а. При якому значенні
а об’єм піраміди найбільший?
15.200. Твірна конуса має сталу довжину й утворює з висотою конуса кут а
У конус вписано правильну шестикутну призму з рівними довжинами ребер
(основа призми лежить у площині основи конуса). При якому значенні а бічна
поверхня призми найбільша?
15.201. Змінна у обернено пропорційна до змінної jc. Знайти коефіцієнт
& оберненої пропорційності і заповнити таблицю:
X
0,1
9,6
У
зо
3,05
На графіку даної оберненої пропорційності знайти точку, найближчу до початку
координат О (0; 0).
15.202. Відомо, що потужність Р, яку віддає електричний елемент, визна-
Е2 R
чається за формулою Р = , де Е — стала електрорушійна сила елемента,
Сr + Rу
г — сталий внутрішній опір, R — зовнішній опір. Яким повинен бути зовнішній
опір R, щоб потужність Р була найбільшою?
Знайти екстремуми функцій, вказати проміжки зростання і спадання, а також
накреслити ескізи графіків функцій (15.203-15.212):
15.203. у = 2х3+ Зх2 -1. 15.204. у = 0,5х4 - 4х2.
х3 х2
15.205. 	_v = x4-I0jc2+9. 15.206. у = -- — -2х + 3.
15.207. 	у = хг - Зх2 + 2. 15.208. у = 2х3 - 15х2 + 36х.
х 2 9
15.209. 7 = 8 + 2х2 -х4. 15.210. У = --2х
15.211. 	у = -х5-4х2. 15.212. у = -^-т.
5 1 + х1
Знайти проміжки зростання і спадання функцій і точки екстремуму
(15.213-15.230):
х —5
15.213. 	Г = -~— 15.214. у =
х2 +1' ‘ ‘ (х - 2)2 +1
418

15.215. 	у = х2 + 15.216. у = х + Аг.
X X
Xі-\ (х-2)2
15.217. 	У = • 15.218. у = \ } .
х +1 jc +4
х2-4х 1
15.219. 	у = л 15.220. .у = .
лГ-4* + 8 х + 8дг
r 4- 2 4
15.221. 	У = —у • 15.222. у =
х2 -9 ’ * х2 -2х +2
15.223. 	у = 15.224. .у = —^ .
(х-2)3 jc +4х + 4
Xі +2х .» х-1
15.225. 	>> = . 15.226. >> = -т
*-1 * -2* + 2
2х
15.227. 	у = —2 . 15.228. у =
х2+х + \ * * JC3 — 1 *
(*-з)2 ,в„л 1
15.229. 	у = -—y~. 15.230. у = -
х2 (■*-!)(* -4)
15.231. 	Використовуючи метод математичної індукції, довести, що при х > 0
виконується нерівність
X , X2 хп
е >1 + Jt + — + ...+—, neN.
2! п\
 15.232. Знайти функцію F(jc), графік якої проходить через дану точку
^о^о^о)’ яки*о:
а) F\x) = 4х2 + 9х~2; М0(3; - 2);
б) F'(x) = ~4x + y,M0(2; 1).
Для даної функції/(х) знайти первісну F (х), графік якої проходить через
Дану точку М0 (х0;.у0) (15.233-15.236):
15.233. /(х) = х4; М0(-1; 2). 15.234. /(х) = sin2х; М0 (0; 1).
15.235. 	/(Х) = —1— ;A/0fe-l\ 15.236. /(х) = х^; Л/0(2; -3).
sin Зх ^12 )
15.237. 	Знайти функцію F(x), якщо відомо, що F\x) = 4х3 - Зх2 і/г(1) = 3.
419

15.238. Для функції/(jc) = cos4jc знайти первісну F(x), якщо F\ — ]= -і
\24)
2
15.239. Знайти функцію S (jc), якщо її похідна 5,(jc) = -y===r j
v 5—jc
5(1) = -1.
Обчислити інтеграли (15.240-15.265):
1C п/2
15.240. 	Jcos2jcdx. 15.241. Jsin22jcdfr.
0 -п
27 тс/4
15.242. 	|з?=- 15.243. J(sin2/-cos2f)2<*.
8 *х 0
Зя/2 я
15.244. 	J—~2І' 15-245> Jcos[y-3x V
0COS у о ^ 3 '
2п п/2
15.246. 	Jsin-^dfr. 15.247. Jsinjccosjcdfr.
-я о
2тс/3 2
15.248. 	J sin[~-3jcW 15.249. J(1 + 3jc)4<£c.
о ' ' о
-54 , 7/3
15.250. ( 3j2--dt. 15.251. f dx.
J V 9 J 3/^77
9 0 v
0,5 e
15.252. 	jVTTdbc. 15.253.
o i
0,5 1
15.254. [(лх- — )dx. 15.255.
Jl 2xJ JVTT2T
ic/4 я
15.256. J(tgjc-hctgjc)_1dbc. 15.257. Jcos4jc<£c.
jc/6 0
1C/2 1
15.258. fsin4jcdbc. 15.259. f , ****
J j УІ9 + 16
_ -16jc
0 0
1 15
f jc*£c f dx
15.260. r-. 15.261. ту- —p=.
J(jc + 1)3 J Vjc + 10 - vjc + 1
0 v у
420

п п/2
j* sin4jcsin5jcdbc.
о о
п ті
15.262. Jsin2xcos3xdfr. 15.263. Js
п/2 2
15.264. 	Jcos3jccos2x<£c. 15.265. J(10*/4-sin7Cx)<£t.
О -2
Обчислити площі фігур, обмежених даними лініями (15.266-15.273):
15.266. у = х3,у = \ і х = 2.
п п
15.267. y = cosxf д> = 0, х = — і х = —.
4 4
15.268. у = у/х, у = 2 і х = 9.
15.269. у = хг і у = 4х.
л 2 • З
15.270. >’ = 2дс-х і 7 = —.
4
15.271. у = хА і у = х.
15.272. У = -у> У = °> * = °>5 і * = 2>5-
X
15.273. >' = —і ^ = 6 - дг.
х
15.274. Чому дорівнює шлях, пройдений точкою, що рухається прямолінійно,
2 •
за відрізок часу від tx = 1 до t2 = 4, якщо швидкість точки v(/) = 2/ + 3/ (/ — у
секундах, v — у м/с)? Чому дорівнює прискорення точки в момент t = 2?
15.275. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(f) = >J\ + t (t —
У секундах, v—у м/с). Знайти шлях, пройдений тілом за перші 7 с. Чому дорівнює
прискорення тіла в момент t = 7?
421

Глава 16
ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ З ГЕОМЕТРІЇ
Приклад 1. Довести, що в прямокутному трикутнику міра кута між
медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи, дорівнює модулю різниці мір гострих
кутів трикутника (рис. 16.1).
□ Нехай ZC = 90°, CD — висота, СЕ — медіана. Треба довести, що
ZDCE = \z6 - ZA\. Підставимо ZDCE = Zx; тоді ZDCA = ZB (бо обидва
кути доповнюють кут А до 90°). У прямокутному трикутнику довжина медіани,
проведеної до гіпотенузи, дорівнює половині довжини гіпотенузи; отже, АСЕА —
рівнобедрений і ZECA = Zx + ZB = ZA, звідки Zx = ZA- ZB. Якщо вершини А і
В трикутника поміняти місцями (рис. 16.1), то отримаємо Zx = ZB - ZA. Обидва
результати можна об’єднати в один: Zx = I ZB - ZA\. ■
Приклад 2. Довести, що для будь-якої точки М, що належить довільному
трикутнику ABC зі сторонами а, b і с і висотами ha, hb і hc (рис. 16.2), виконується
рівність — + — + — = 1, дех,у і z — відповідно відстані від точки Мдо сторін
К hb hc
ВС, АС і АВ. Сформулювати відповідну властивість для довільної точки, що
належить рівносторонньому трикутнику.
В(А)
В
Рис. 16.2

□ З’єднавши точку М з вершинами А, В і С, отримаємо три трикутники
ВИС, АМС і АМВ, висоти яких відповідно дорівнюють х, у і z. Нехай
5 — площа AABC; тоді S = 0,5(ал: + by + cz). З іншого боку,
5 = 0,5aha, S = 0,5bhh, S = 0,5chc. Комбінуючи ці рівності, знаходимо
У рівносторонньому трикутнику ha = hb = hc = h, а тому x+y + z = h, тобто
сума відстаней від довільної точки, що належить рівносторонньому трикутнику,
до його сторін стала і дорівнює висоті трикутника. ■
Приклад 3. Довжина гіпотенузи рівнобедреного прямокутного трикутника
дорівнює 40. Коло з радіусом, що дорівнює 9, дотикається до гіпотенузи в її
середині. Знайти довжину відрізка, що відтинає це коло на одному з катетів.
□ Спочатку з’ясуємо, чи має задача розв’язки при даних значеннях довжини
гіпотенузи і радіуса кола. З геометричних міркувань (рис. 16.3) зрозуміло,
що для того щоб коло з центром О на висоті ВК ААВС перетинало катет ВС
у двох точках D і Е. необхідно і достатньо, щоб його радіус ОК був не
більшим половини висоти ВК, але більшим радіуса вписаного в трикутник
кола. Перше співвідношення очевидне (9 < 10), друге також неважко
перевірити. Радіус г вписаного кола знайдемо за формулою г = —,
Р
тобто г- - = 20л/2-20. Зрозуміло, що 9>20у[ї-20,
40 + 40у2 V2+1
2
оскільки, піднісши до квадрата обидві частини рівносильної йому нерівності
29 > 20^2, отримаємо правильну нерівність 841 > 800.
Для визначення довжини відрізка DE проведемо OF1DE і радіус ОЕ
даного кола. Обчислимо послідовно довжини відрізків BO, OF, FE і DE. Маємо
Рис. 16.3
Рис. 16.4
423

BO = BK-OK= 11, OF = BOsin45° =11^, FE = -J0E2-0F2 =]81-^1 ~
2 V 2
= J^,DE = 2FE = -j82. Я
Приклад 4. У трикутнику ABC точка К на стороні ВС ділить її у відношенні
1 : 3, починаючи від вершини В, а точка L ділить сторону АС у відношенні 2 :5}
починаючи від вершини А. У якому відношенні точка О перетину прямих АК і BL
ділить відрізки АК і BL, починаючи від відповідних вершин?
□ І спосіб. Нехай ВК = х, AL = 2у (рис. 16.4), тоді за умовою КС = З*,
LC = 5у. Нехай, далі, KF=m,OF = n.3 подібності трикутників OKF і АКС маємо
п 1у
— =—, звідки
т Зх
п 1т
— = —• (*)
у Зх У)
З подібності трикутників BOF і BLC знаходимо — = —7—, звідки
5у 4х
и=5(£+т)
у 4х V ’
Прирівнюючи праві частини пропорцій (*) і (**), після спрощень отри-
1 5jc 28jc
муємо 28m = 15(jc + т), звідки т = Отже, BF = ВК + KF = -yj- і
28jc 24л:
CF = ВС - BF = 4х- -yj- = . За теоремою Фалеса, маємо
28л: 24jc
ВО_ = £F =_П_= 7 АО ^ із _ 8
OL ~ FC~ 24* "б’ ОК~ 15*” 5’
13 ІЗ
II спосіб. Введемо такі позначення: ВС = а, CA = b, АО-х, LO = y
(рис. 16.5). Тоді вектори (Ж і 05, колінеарні відповідно векторам ЛО і L0,
можна записати у вигляді ОіГ = аЛО і ОВ = рІО, де числа а і р треба
визначити.
Розглянемо три замкнутих контури: ОВКО (I), OLAO (II), OKCLO (III). З
(І) маємо ОВ + ВК + КО = 0, тобто $у + ^ д - а* = 0; з (II) OL + LA + АО = О,
тобто->> + — 6 + де = 0; з (III) OK + KC + CL + LO = 0, тобто а* + —я + -^ +
7 v ' 4 7
+ _у = 0.
424

у результаті приходимо до системи рівнянь
- (XJt + (З V + - а = 0,
К 4
<х-у + -Ь = 0,
7
- - 3- 5т -
ах + v + — а +—Ь = 0.
4 7
З першого і другого рівнянь виразимо вектори а і b через вектори х і у,
а потім підставимо ці вирази у третє рівняння. Після нескладних перетворень
отримаємо
(4а-^+(^-Зр^=0.
Оскільки вектори х і у не колінеарні, то ця рівність можлива тоді і тільки
тоді, коли коефіцієнти при х і у дорівнюють нулю, тобто 4а - = 0, — - Зр = 0.
Звідси а = -,Р = -, тобто ОК = -АО, ОВ = -Ю. Отже, АО : ОК = 8 : 5,
8 6 8 6
BO : OL = 7 : 6.
III спосіб. Нехай сторони трикутника ABC являють собою невагомі стрижні,
ау-вершинах трикутника прикладено паралельні сили (рис. 16.6). Припустимо,
що у вершині С прикладена сила 2 Н; тоді в точці В, згідно з умовами рівноваги
(рівності моментів сил відносно точки К), має бути прикладена сила 6 Н, а в точці
К, згідно з правилом додавання паралельних сил, має бути прикладена сила
8 Н. Міркуючи аналогічно відносно точок А і L, знаходимо, що в точці А має
бути прикладена сила 5 Н, а в точці L — сила 7 Н. Нарешті, за умовою
рівноваги відносно точки О маємо АО : ОК = 8 : 5 і В О : OL = 1: 6. ■
В
425

Приклад 5. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні і
мають довжини а,Ьіс. Знайти об’єм піраміди.
□ Вважатимемо основою піраміди прямокутний трикутник ADB (рис. 16.7),
а вершиною — точку С. Оскільки CD LAD і CD± BD, то за теоремою про
перпендикулярність прямої і площини CDL(ADB) і, таким чином, ребро CD — висота
піраміди. За формулою (11.10) знаходимо об’єм піраміди:
Приклад 6. Основою піраміди DABC є гострокутний рівнобедрений AABC,
у якого АВ = ВС=аіАС = Ь (рис. 16.8). Кожне бічне ребро дорівнює с. Через центр
кола, описаного навколо основи, проведено площину, паралельну прямим DB і
АС. Знайти площу перерізу.
□ Оскільки ААВС — гострокутний, то центр О описаного навколо нього
кола лежить усередині трикутника і дана площина перетинає всі грані піраміди.
Далі, з рівності всіх бічних ребер піраміди випливає, що її вершина D проектується
в точку О (див. гл. 11, «Додаткові співвідношення», п.1°) і проекцією DB на
площину основи служить відрізок В О, перпендикулярний до сторони АС основи
піраміди. За теоремою про три перпендикуляри, BDLAC.
Для побудови даної площини через точку О проведемо пряму MN \\АС (у
площині ABC), а через точку N — пряму NP || BD (у площині BDC).
Площина MNP паралельна прямим АС і BD (за ознакою паралельності прямої
і площини) і перетинає бічну грань ADC по прямій PQ\AC, а бічну грань ABD—
по прямій MQІBD. Переріз MNPQ — прямокутник, бо вище було показано, що
BD1AC, a MN і NP паралельні відповідно АС і BD.
Знайдемо довжини сторін прямокутника MNPQ. Зауважимо, що
ВО — радіус описаного кола, a BF — висота AABC. Нехай BO = R і BF = Л.
З подібності трикутників MBN і ABC випливає, що — = = звідки
г. 1 с 1 1 , abc
V ——S\adb ' CD — ab • с — . ■
З 3 2 6
h b а
D
В
'A
Рис. 16.7
M
Рис. 16.8
426

0f = і BN = ^. Тоді CN = BC - BN = ^. Далі, з подібності три-
гкти • гйп PN CN - PN h-R
ifVTHHKiB CNP і CBD випливає, що = , або = , звідки
ку BDBCch
c(h-R) х
рдг = — -. Таким чином, площа перерізу
h
о ж™ піг bcR(h-R)
Smnpq=MNPN = ^(*)
п
Залишається виразити h і R через відомі величини. З ABFC знаходимо
2 Ь 1 І—2 2
Ji = Ja =—V4а -Ь ,а залежність міжR, h і ав рівнобедреному трикут-
ї 4 2
а2
нику має вигляд R = — [див. формулу (12.5)]. Підставивши ці вирази
2 h
у рівність (*), після спрощень отримаємо
с 2а2Ьс(2а2 -Ь1)
SmPe~ (4 J-bW ■
2 2
Покажемо, що ця формула має зміст, тобто що 2а -Ь >0. Крім того,
рівнобедрений трикутник ABC—гострокутний. З цього випливає, що кут А при
його основі більший 45°. Тому cos А < cos45°, тобто
b
, звідси Ь<аЛ,Ь2 <2а2 І2а2-Ь2>0. ■
а 2
Приклад 7. Дано куб ABCDAXBXCXDX, довжина ребра якого дорівнює а.
Знайти об’єм конуса, вершина якого збігається з вершиною Вх, а коло основи
проходить через середини трьох ребер, що виходять з вершини D.
□ Нехай точки M,NiP (рис. 16.9) — відповідно середини ребер AD, CD і
тобто MD = ND = PD = — • З рівності рівнобедрених прямокутних
aj2
трикутників DPN, DPM і DMN випливає, що MN = МР = NP = - Далі, з
Рівності прямокутних трикутників ВХМА, BXNC і BXPDX (у яких один із катетів є
^агоналлю відповідної грані куба, а другий — половиною ребра куба) випливає,
= BXN = ВХР = ^BXD\ + DXP2 = ^2а2 +-^- Таким чином, точки
427

М, N і Р рівновіддалені як від точки Д так і від точки Вх. Тому пряма £ д
перпендикулярна до площини MfNP і перетинає
цю площину в точці О — центрі кола, описаного
навколо AMNP. Отже, ON — радіус основи
конуса, ВхО—висота конуса.
Оскільки сторона а3 правильного
трикутника, вписаного в коло радіуса R, виражається
формулою а$=я4з, то R = Отже,
V3
0^2 а
ON = —■=• = —=. Потім з AB.ON знаходимо
2V3 уіб _
b1o = Jb1n2-on2 =
4 V 4 6 2л/з
Остаточно отримаємо
„ 1 а2 5 а 5ішгІЇ
V = -п = = . ■
З 6 2л/з 108
16.001. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо точка дотику
вписаного в нього кола ділить один із катетів на відрізки т і п (т < п).
16.002. Довести, що сума квадратів довжин медіан будь-якого трикутника
становить 75% від суми квадратів довжин його сторін.
16.003. У прямокутному трикутнику знайти бісектрису прямого кута, якщо
гіпотенуза трикутника дорівнює с, а один із гострих кутів дорівнює а.
16.004. Довести, що площа півкруга, побудованого на гіпотенузі
прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ півкругів, побудованих на його катетах.
16.005. Із яких однойменних рівних правильних многокутників можна
скласти паркет?
16.006. Тангенс тупого зовнішнього кута прямокутного трикутника
дорівнює к. Знайти тангенс гострого кута трикутника, не суміжного з даним
зовнішнім кутом.
16.007. Скільки діагоналей можна провести в опуклому
восьмикутнику?
16.008. У коло радіуса R вписано правильний л-кутник, площа якого
дорівнює ЗR2. Знайти п.
16.009. Трикутник розбито медіанами на шість частин, які не мають попарно
спільних внутрішніх точок. Порівняти площі цих частин.
16.010. Знайти площу правильного дванадцятикутника, вписаного в коло
радіуса R.
16.011. Довести, що пряма, яка проходить через основи двох висот
гострокутного трикутника, відтинає від нього подібний йому трикутник.
16.012. Медіана деякого трикутника збігається з його бісектрисою. Довести,
що такий трикутник — рівнобедрений.
428

16.013. Дано відрізок АВ і пряму, не перпендикулярну до відрізка, що
0еретинає його не посередині. Учень побудував точку Вх, симетричну точці В
відносно даної прямої, і помітив, що тепер легко побудувати трикутник ABC, для
якого бісектриса кута АСВ лежить на даній прямій. Як це можна зробити?
16.014. У якому опуклому многокутнику кількість діагоналей дорівнює
кількості сторін?
16.015. Довести, що довжина медіани трикутника менша півсуми довжин
сторін, між якими вона проходить.
16.016. Пари точок А і Ах, В і Вх розміщені симетрично відносно однієї
прямої. Довести, що ці чотири точки лежать на одному колі або на одній прямій.
16.017. Довести, якщо дві сторони і медіана одного трикутника відповідно
дорівнюють двом сторонам і медіані іншого трикутника, то такі трикутники
рівні (розглянути два випадки).
16.018. Довести, що в будь-якій трапеції ABCD (ВС\ AD)(рис. 16.10)
трикутники АОВ і COD рівновеликі (О — точка перетину діагоналей).
16.019. У коло радіуса R = 1 см вписано квадрат, а в квадрат — другий
квадрат, вершини якого ділять пополам сторони першого квадрата (рис. 16.11).
Не обчислюючи довжини сторони першого квадрата, довести, що площа
другого квадрата дорівнює 1 см2.
16.020. Довести, що в прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута
ділить пополам кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи.
16.021. Довести, що сума висот трикутника менша від його периметра.
16.022. Із яких точок площини даний відрізок видно під даним кутом?
16.023. Три середні лінії трикутника розбивають його на чотири частини.
Якщо площа однієї з них дорівнює S, то чому дорівнює площа даного трикутника?
16.024. Дано трикутник з площею 1 і довжинами сторін а, b і с. Відомо, що
а>Ь>с. Довести, що Ь> Л.
16.025. Коло кожного з двох кругів радіуса R проходить через центр
іншого круга. Знайти площу спільної частини цих кругів.
16.026. Яку фігуру утворює на площині множина всіх вершин рівнобедрених
трикутників зі спільною основою?
А
Рис. 16.10
Рис. 16.11
429

16.027. Із точки А проведено два промені, що перетинають дане koj
один — у точках В і С, другий — у точках D і Е. Відомо, що АВ = 7, ВС =
AD = 10. Визначити DE.
16.028. Непаралельні сторони трапеції продовжені до перетину. Довее
що пряма, яка проходить через отриману точку і точку перетину діагонале
ділить кожну з паралельних сторін трапеції на дві рівні частини.
16.029. Сума довжин катетів прямокутного трикутника дорівнює s. Знай
границі можливих значень довжини його гіпотенузи с.
16.030. Довести, що з трьох медіан прямокутного трикутника наймені
довжину має та, яка проведена до гіпотенузи.
16.031. Через точку, що належить меншій стороні трикутника, провес
пряму, що відтинає від нього трикутник, подібний даному. Показати, і
існують чотири такі прямі.
16.032. Яка найбільша можлива кількість гострих кутів у довільної
опуклому многокутнику?
16.033. Яку фігуру утворює множина ортоцентрів (точок перетину висс
усіх трикутників, що мають спільну сторону, за умови, що кути, протилежні L
стороні, рівні?
16.034. У круговий сектор радіуса R із прямим центральним кутом вписа
квадрат так, що дві його вершини лежать на крайніх радіусах, дві — на д
сектора. Знайти сторону квадрата.
16.035. Довести, що сума відстаней від будь-якої точки, що лежить усеред]
правильного многокутника, до прямих, що містять його сторони, дорівн
добутку апофеми многокутника на кількість його сторін.
16.036. Кожна сторона опуклого чотирикутника менша а. Довести,
його площа менша а2.
16.037. У крузі радіуса 4 м знайти довжину хорди, яку видно з будь-я
точки меншої дуги кола під кутом 135°.
16.038. У крузі радіуса а знайти довжину хорди, яку з будь-якої то
більшої дуги кола видно під кутом 30°.
16.039. Дано трикутник ABC. На основі ВС побудувати трикутник з таї
самою площею, але з кутом при вершині В, що дорівнює половині кута В дан
трикутника.
16.040. Знайти довжини найменших сторін усіх тупокутних трикутни
сторони яких виражаються цілими числами і утворюють арифметичну прогре
з різницею 3 см.
16.041. Нехай п — кількість сторін опуклого многокутника, a d — кільк
діагоналей. Вказати всі значення п, для яких п > d.
16.042. Сформулювати яке-небудь твердження, істинне разом з обе
ним. Сформулювати яке-небудь істинне твердження, але таке, для якого обері
твердження не справджується.
16.043. Нехай ВО — бісектриса кута В прямокутного трикутника /
D — середина катета АС, OD ± АС, ОЕ _L АВ, OF _L ВС, АВ — гіпоте
(рис. 16.12). Легко довести, що АВОЕ = ABOF, звідки BE = BF. (*) I
оскільки ОА = ОС, то АОЕА = AOFC, звідки АЕ = FC. (**) Додаючи рів*
430

(*) і (**)* отримуємо, що АВ = ВС, тобто що гіпо- В
теНуза дорівнює катету. Знайти помилку в
проведеному доведенні.
16.044. Менша основа трапеції дорівнює 6 см.
Знайти її більшу основу, якщо відстань між серединами
діагоналей дорівнює 5 см.
16.045. Бісектриса гострого кута паралелограма
ділить його діагональ на відрізки 3,2 і 8,8 см. Знайти
сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює
30 см.
16.046. Паралельні сторони трапеції дорівнюють
25 і 4 см, а непаралельні сторони — 20 і 13 см. Знайти р
висоту трапеції.
16.047. Бісектриса кута трикутника ділить ^
протилежну сторону на відрізки 8 і 10 см. Знайти
сторони трикутника, якщо центр вписаного кола рис> 16.12
ділить цю бісектрису у відношенні 3 : 2, починаючи
від вершини кута.
16.048. У чотирикутник, три послідовні сторони якого дорівнюють 2, 3 і
4 см, вписано коло радіуса 1,2 см. Знайти площу чотирикутника.
16.049. Дві сторони трикутника і бісектриса кута між ними дорівнюють
відповідно 60,40 і 24 см. Знайти площу трикутника.
16.050. У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при основі ділить
бічну сторону на відрізки 4 і 1 см, починаючи від вершини. Знайти довжину
бісектриси.
16.051. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить
протилежну сторону так, що відрізок, прилеглий до вершини трикутника,
дорівнює його основі. Довести, що бісектриса також дорівнює основі трикутника.
16.052. Сторона, бісектриса і висота трикутника, що виходять з однієї
вершини, дорівнюють відповідно 5, 5 і 2л/б см. Знайти дві інші сторони
трикутника.
16.053. Знайти найбільшу площу прямокутного трикутника з даною
гіпотенузою с.
16.054. Визначити вид трикутника за трьома сторонами (якщо такий
трикутник можливий): а) 2, 2 і 3; б) 6, 8 і 10; в) 3, 1 і 4; г) 3, 5 і 7.
16.055. Довести, що коли через точку дотику двох кіл провести дві прямі,
Що перетинають обидва кола, і точки перетину прямих з колами з’єднати
хордами, то ці хорди паралельні.
16.056. Дві діагоналі, що виходять з однієї вершини правильного
п’ятикутника, розбивають його на три трикутники. Знайти відношення площі трикутника,
обмеженого цими двома діагоналями, до суми площі двох інших трикутників.
16.057. Через довільно вибрану точку на одній стороні паралелограма і
Кінці протилежної сторони зроблені два розрізи. Визначити площу даного
Паралелограма, якщо площі відрізаних трикутників дорівнюють Sx і 52.
431

16.058. Довести, що точка перетину бісектрис кутів, що прилягають д0
однієї з непаралельних сторін довільної трапеції, належить середній лінії трапеції
16.059. Показати, що 3 < к < 4, не користуючись наближеними значеннями
числа к.
16.060. Периметр рівнобедреної трапеції, описаної навколо круга,
дорівнює Р. Знайти довжину середньої лінії трапеції.
16.061. Довести, що в чотирикутнику з непаралельними сторонами середини
діагоналей і середини двох протилежних сторін є вершинами деякого
паралелограма.
16.062. Довести, що коли медіани АА1 і ВВХ трикутника ABC рівні, то
трикутник рівнобедрений: СА = СВ.
16.063. Сторони трикутника утворюють арифметичну прогресію. Висота,
проведена до середньої за довжиною сторони, дорівнює h. Знайти радіус круга,
вписаного в трикутник.
16.064. Радіус круга з центром у точці О дорівнює 6 см, а його хорда
АВ = 3 см. Знайти радіус круга, вписаного в сектор АОВ.
16.065. Довжини сторін трикутника відносяться як 2 : 3 : 4. У ньому
проведено бісектрису найменшого кута. У якому відношенні (починаючи від
вершини) її ділить центр кола, вписаного в трикутник?
16.066. На відрізку АВ довільно взято точку М. На AM і MB по один бік
від АВ побудовано квадрати. Навколо квадратів описано кола, що
перетинаються в точці С. Показати, що промінь МС є бісектрисою кута АСВ.
16.067. Навколо кола з центром О описано чотирикутник ABCD. Знайти
суму кутів АОВ і COD.
16.068. Довести, що в будь-якому трикутнику відношення суми всіх попар-
них добутків сторін трикутника до суми його трьох висот дорівнює діаметру
описаного кола.
16.069. Довести, що в прямокутному трикутнику сума квадратів медіан
становить 150% від квадрата його гіпотенузи.
16.070. У квадраті ABCD точки М і N —.середини сторін DC і ВС.
Знайти /.MAN.
16.071. У рівнобедреній трапеції ABCD дано: AB^DC, АВ = З DC,
cos ZABC = . Довести, що діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні.
v5
16.072. Точки А і В розміщені по різні боки від прямої MN. На прямій
MN знайти точку С таку, що Z.ACN = ZBCN.
16.073. Кути трикутника відносяться як 2 : 3 : 7. Найменша сторона
трикутника дорівнює а. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.
16.074. Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника, якщо
медіани, проведені до бічних сторін, взаємно перпендикулярні.
16.075. Одна зі сторін п’ятикутника дорівнює 30 см. Довжини інших сторін
виражаються цілими числами і утворюють арифметичну прогресію з різницею
2 см, причому довжина меншої зі сторін не перевищує 7 см. Знайти сторони всіх
п’ятикутників, для яких виконуються ці умови.
432

16.076. Довжини сторін гострокутного трикутника утворюють ариф-
метичну прогресію з різницею 5 см. Знайти найбільше число, що має таку
властивість: довжина більшої сторони будь-якого трикутника зазначеного типу
більша від цього числа.
16.077. Центри описаного навколо трикутника й вписаного в нього кола
розміщені симетрично відносно однієї зі сторін трикутника. Знайти кути
трикутника.
16.078. Сторону АВ трикутника видно з вершини С під кутом а. Під яким
кутом її видно з центра кола, описаного навколо трикутника? Розглянути три
випадки: С — вершина гострого, прямого чи тупого кута.
16.079. Два кола мають тільки одну спільну точку. Через неї проведено
довільну січну. Довести, що дотичні в точках перетину цієї січної з кожним із кіл
паралельні.
16.080. Показати, що коли довжини сторін деякого трикутника
утворюють геометричну прогресію, то і довжини висот трикутника також
утворюють геометричну прогресію.
16.081. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см. Чи може
гіпотенуза дорівнювати 5 см?
16.082. Довести, що кут С трикутника ABC є прямим тоді і тільки тоді,
коли сторони цього трикутника пов’язані рівністю АВ2 = АС2 + ВС2 (пряма і
обернена теореми Піфагора).
16.083. Піраміду перетинає площина, паралельна основі. Знайти функцію,
що виражає залежність площі перерізу від відстані між вершиною піраміди і
січною площиною.
16.084. Висоти всіх бічних граней деякої піраміди рівні. Під яким кутом
бічні грані нахилені до площини основи, якщо площа повної поверхні піраміди в
1,5 рази більша від площі бічної поверхні?
16.085. Дано правильний тетраедр SABC. Під яким кутом ребро АВ видно
із середини ребра SCI
16.086. У куб поміщено чотирикутну піраміда так, що її основа збігається
з однієї з граней куба, а вершина — із серединою одного з ребер протилежної ’
грані. Під якими кутами бічні грані піраміди нахилені до площини її основи?
16.087. Усі ребра (зокрема і сторони основи) трикутної піраміди рівні.
Знайти відношення радіуса вписаної в піраміду кулі до її висоти.
16.088. У конус, осьовий переріз якого — правильний трикутник,
вписано кулю, потім вписано другу кулю, що дотикається до першої кулі і
До бічної поверхні конуса, і т.д. (п-на куля дотикається до (п - 1)-ї кулі і до
бічної поверхні конуса). Знайти відношення границі суми об’ємів куль
при л —» о© до об’єму конуса.
16.089. У зрізаному конусі АВ і CD — взаємно перпендикулярні діаметри
нижньої основи, EF—діаметр верхньої основи, паралельний прямій CD. Знайти
косинус гострого кута між прямими АЕ і BF, якщо твірна конуса є середнім
пропорційним між діаметрами основ і утворює з площиною основи кут
433

16.090. Двогранний кут між двома суміжними бічними гранями правилу
ної чотирикутної піраміди дорівнює а, а висота піраміди дорівнює Н. Знайти
радіус описаної кулі.
16.091. Твірна зрізаного конуса утворює з площиною основи кут а.
Всередині конуса розташовано дві кулі, що дотикаються одна до одної і до бічної
поверхні конуса, причому перша куля дотикається до нижньої основи конуса, а
друга — до верхньої основи. Відстань між центрами куль дорівнює /. Знайті
радіуси основ конуса.
16.092. У правильному тетраедрі SABC через ребро АС проведемо
площину, що перетинає ребро SB у точці К. Довести, що проекція вершини
В на площину перерізу лежить на висоті перерізу, проведеного до сторони
АС. ІІри якій умові ця проекція збігається з точкою К?
16.093. Знайти кут між мимобіжними діагоналями суміжних граней куба.
16.094. Яку фігуру утворює множина всіх точок, віддалених від даної
площини на відстань а і від фіксованої точки цієї площини на відстань b (а < Ь)1
16.095. Яку умову повинен задовольняти чотирикутник, щоб на ньому,
як на основі, можна було побудувати піраміду з однаковим нахилом усіх
бічних граней?
16.096. Знайти найменше ціле число градусів, яке може містити плоский
кут тригранного кута, що має таку властивість: кожен із плоских кутів містить
ціле число градусів, причому ці три числа утворюють арифметичну прогресію
з різницею 50°.
16.097. Відношення повної поверхні конуса до поверхні вписаної в нього
кулі дорівнює к. Знайти кут між висотою і твірною конуса та
допустимі значення к.
16.098. Відношення бічної поверхні зрізаного конуса, описаного
навколо кулі, до суми площ його основ дорівнює к. Знайти кут між твірною і
площиною основи та допустимі значення к.
16.099. Знайти відношення об’єму кулі до об’єму вписаного в неї куба.
16.100. Скільки бічних граней містить призма, що має 60 ребер?
16.101. Довести, що коли всі діагоналі паралелепіпеда мають рівні
довжини, то він прямокутний.
16.102. Яку фігуру утворює множина точок перетину бісектрис усіх
трикутників, що мають спільну сторону, за умови, що кути, протилежні цій стороні,
рівні?
16.103. Довести, що коли похила утворює рівні кути з трьома попарно
непаралельними прямими, що лежать в одній площині, то вона перпендикулярна
до цієї площини.
16.104. Дано дві мимобіжні прямі. Чи можна провести дві прямі, що
перетинаються, так, щоб кожна з них перетинала обидві дані прямі?
16.105. Піраміду, основою якої є прямокутний трикутник з катетами
9 і 8 см, вписано в конус, твірна якого нахилена до площини основи під
кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.
16.106. Навколо правильної піраміди з висотою 27 см описано сферу
радіуса 18 см. Знайти кут нахилу бічного ребра піраміди до площини основи.
434

16.107. Дано куб ABCDAXBXCXDX з ребром а. Знайти відстань від прямої,
що проходить через ребро ААХ, до прямої, що проходить через діагональ BXD.
16.108. Чи існує в просторі точка, рівновіддалена від усіх вершин
паралелограма? Від усіх прямих, що містять його сторони? Яку властивість повинен
маги паралелограм, щоб точка, рівновіддалена від його вершин, була б рівно-
віддалена і від прямих, що містять його сторони?
16.109. Яку властивість повинна мати трапеція, щоб у просторі існувала
точка, рівновіддалена від її вершин? Якщо дана трапеція має цю властивість, то
яку фігУРУ являє собою множина всіх таких точок?
16.110. Побудувати переріз куба ABCDAXBXCXDX, що проходить через
середини ребер AD,AXBX і ССХ.
16.111. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки
А, В і С(рис. 16.13).
16.112. Через середню лінію основи трикутної піраміди і її вершину
проведено площину. У якому відношенні знаходяться об’єми отриманих
пірамід?
16.113. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S — її вершина)
провести переріз через середину ребра SB і пряму MDN, розміщену в
площині основи ABCD і паралельну його діагоналі АС.
16.114. Через середину висоти піраміди проведено площину паралельно
площині основи піраміди. У якому відношенні знаходяться об’єми отриманих
многогранників?
16.115. У правильному тетраедрі з ребром ^2 см визначити відстань між
двома мимобіжними ребрами.
16.116. Знайти площу повної поверхні конуса, якщо його бічну поверхню
можна розгорнути в круговий сектор із радіусом 1 і з прямим центральним
кутом.
16.117. На скільки далі лежить центр верхньої основи куба з ребром
I від вершини нижньої основи, ніж від його сторони?
16.118. Одне з бічних ребер похилого паралелепіпеда утворює рівні гострі
кути з прилеглими сторонами нижньої основи. Що являє собою проекція
прямої, що містить це ребро, на площину нижньої основи? При якій умові ця
проекція і діагональ основи лежать на одній прямій?
16.119. Через діагональ нижньої основи
довільного паралелепіпеда і середину мимобіжного
бічного ребра проведено площину. Як відносяться
об’єми отриманих частин паралелепіпеда?
16.120. В основі піраміди лежить трикутник зі
сторонами 30,40 і 50 см. Вершина більшого
гострого кута основи належить бічному ребру, що має
довжину 72 см і перпендикулярне до площини основи.
Знайти повну поверхню піраміди.
16.121. Бічні ребра трикутної піраміди попарно
Перпендикулярні. Знайти об’єм піраміди, якщо площі
II бічних граней дорівнюють 5,, 52 і 53.
С
435

16.122. Показати, що коли в основі піраміди з рівними бічними ребрамц
лежить прямокутний трикутник, то одна з бічних граней піраміди перпендц.
кулярна до площини основи.
16.123. Показати, що коли піраміда має рівні бічні ребра, то навколо неї
можна описати сферу і що радіус цієї сфери дорівнює квадрату довжини ребра
поділеному на подвоєну довжину висоти піраміди.
16.124. Чи завжди навколо піраміди можна описати сферу? Якщо навко.
ло піраміди можна описати сферу, то де лежить центр цієї сфери?
16.125. Показати, що коли навколо основи піраміди можна описати коло, то
всі площини, які перпендикулярні до бічних ребер піраміди і ділять їх пополам
перетинаються в одній точці.
16.126. Yy§ABCDAxBxCxDx (ААХ \ВВХ \\ССХ ||М>і) перетинає
площина, що проходить через вершини А, С і середину Е ребра DDX. Показати, що
об’єм піраміди EACD дорівнює об’єму куба.
16.127. У трикутній піраміді мимобіжні ребра попарно рівні. Довести, що
повна поверхня піраміди дорівнює чотирьом площам однієї з її граней.
16.128. Два конуси мають спільну вершину, а їх висоти перетинаються.
Показати, що пряма, по якій перетинаються площини основ конусів,
перпендикулярна до площини, що містить висоти конусів.
16.129. Довести, що проекція діагоналі осьового перерізу зрізаного конуса
на основу дорівнює сумі радіусів кіл основ конуса.
16.130. Радіус півкруга, що лежить в основі півциліндра, дорівнює 1. Через
діаметр півкруга проведено площину під кутом 45° до площини півкруга.
Показати, що в розгортці півциліндра лінія перетину проведеної площини з
циліндричною поверхнею півциліндра утворює дугу синусоїди.

Глава 17
ЗАСТОСУВАННЯ КООРДИНАТ І ВЕКТОРІВ
ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Прямокутна декартова система координат
на площині
1°. Відстань між точками А\ (jcj ; ух) і А2 (х2; у2) обчислюється за
формулою
А\Аг = 2 ~*і)2 +(У2~Уі)2 • (17.1)
За допомогою цієї формули виражається довжина відрізка АХА2 або модуль
вектора А\Л2(х2- хх; у2- У\).
2°. Координати (х;^) середини відрізка з кінцями А\ (jcj ; у\) і Л2 (х2; у2)
обчислюються за формулами
*1+*2 VI +У2
Х~~Т~'У~~2~' (17-2)
3°. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом і початковою ординатою має
вишяд
у = kx + q. (17.3)
Кутовий коефіцієнт k являє собою значення тангенса кута, утвореного прямою
з додатним напрямом осі Ох, а початкова ордината q — значення ординати точки
перетину прямої з віссю Оу.
4°. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, що проходить через точку
^ (*0^0)’ має вигляд
У-У0=к(х-Х0). (17.4)
5°. Загальне рівняння прямої має вигляд
ах + Ьу + с = 0. (17.5)
6°. Рівняння прямих, паралельних відповідно осям Оу і Ох, мають вишяд
х = а, (17.6)
у = Ь. (17.7)
7°. Умови паралельності і перпендикулярності прямих у\ =kxx+qx і
Уі -k2x+q2 відповідно мають вигляд
437

*і=*2> (17.8)
*1*2 =-1- (17.9)
8°. Рівняння кіл з радіусом R і з центрами відповідно в точках О (0; 0)
і С (jc0; jkq) мають вигляд
х2+у2=Л2, (17.Ю)
(x-x0)2+(y-y0)2=R2. (17.11)
9°. Рівняння
У = ах2 +Ьх + с (17.12)
являє собою рівняння параболи з вершиною в точці, абсциса якої х0 = —
2 а
Прямокутна декартова система координат у просторі
1°. Відстань між точками А\ (jcj; у\ \ zj) і А2 (х2\ Уг'^і) визначається
за формулою
АхА2 =^(х2 -*і)2 +(у2 -у\)2 +(z2 ~z\)2 • (17.13)
За допомогою цієї формули виражається довжина відрізка А{А2 або модуль
вектора А\ А2 (х2 - х,; у2 - ух; z2 - zx).
2°. Координати (jc; у; z) середини відрізка з кінцями А\ (хх; ух; zj) і
^2 (х2 і У2 і z2) обчислюються за формулами
^il±£l)3,=21±Z2,z = £ili2. (17.14)
2 2 2
3°. Модуль вектора а(а\ \ а2 \ а3), заданого своїми координатами,
обчислюється за формулою
|а| = ^а2 +а2 + а2. (17.15)
4°. При додаванні векторів їх відповідні координати додаються, а при
множенні вектора на число всі його координати множаться на це число, тобто
справджуються формули
(«і; «2! <J3) + (b,; &2І b}) = (ai +Ь1;а2+Ь2;аі +Ь3), (17.16)
X (tij; Л2 ї Л3)= (^*і ї ^*2 і ). (17.17)
5°. Одиничний вектор д0, співнапрямлений з вектором а, обчислюється
за формулою
- « (17.18)
Н
в0=ін-
438

6°. Скалярним добутком ab векторів а і b називається число
ab =|fljj&|cos<p, (17.19)
дЄф кут між векторами а і Ь.
7°. Скалярний добуток векторів а (ах\ а2; а3) і b (Ь\\ Ьі\ Ь$) виражається
формулою
ab = axbi -і- д2^2 + (17.20)
Зокрема, а2 =а а = \а\2, звідки \а\ = J^2.
8°. Косинус кута між векторами а (ах; а2; а$) і b (Ь[; ^) обчислюється
за формулою
дЬ + а2Ьу + а'іЬі
cos9 = -rFr= р ■ > 1 33 ■ . (17.21)
9°. Необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів а {ах \ а2 \ а3)
і b(by\Ьі, Ь$) має вигляд
ab = 0, або аф\ + а2Ь2 + аф^ =0, (17.22)
а умова їх колінеарності (паралельності) матиме вигляд
а = kb, де |А,|= = ■, (17.23)
або
а1=02_=а1 (17.24)
Ь, h Ьі
10°. Загальне рівняння площини, перпендикулярної до вектора п (а; b; с),
мас вигляд
ax + by + cz + d = 0. (17.25)
11°. Рівняння площини, перпендикулярної до вектора п(а;Ь;с)9 що
пРоходить через точку (*0; Уо> zo)> має вигляд
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0. (17.26)
12°. Рівняння сфери з центром О (0; 0; 0) записується у вигляді
x2+y2+z2=R2. (17.27)
439

Приклад 1. У паралелограмі ОАВС дано вершини О (0; 0), А (3; 6) \
В (8; 6). Знайти відношення довжин діагоналей ОВ і АС, а також скласти
рівняння сторін паралелограма і діагоналі АС.
□ Оскільки ординати вершин А і В рівні, то ЛЯЦбЬг (рис. 17.1). Із трьох
відрізків ОА, АВ і ОВ сторонами паралелограма можуть бути тільки ОА і^д
бо за умовою ОВ — діагональ; тому ВС\ОА і С (5; 0). За формулою
(17.1) знаходимо ОВ = Л2+62 = -УЇОО, АС = ,/(5-3)2+(0-6)2 = ^40; таким
чином, ОВ: АС = VlOO : V40 = ^2^5 — шукане відношення діагоналей.
За формулою (17.3), рівняння сторони ОА має вигляд у = кх + qt де
к = 6 : 3 = 2 і q = 0; таким чином, у = 2х. Використовуючи рівність (17.7),
запишемо рівняння сторони АВ: у = 6. Далі, оскількиВС\ОА, то кутовим
коефіцієнтом прямої ВС за формулою (17.8) є к = 2, а відповідне значення q
визначимо з рівняння у = 2х + q, підставивши в нього замість х і у координати
точки С (5; 0); тоді отримаємо 0=10 + #, тобто q = - 10; отже, рівняння BCmz
вигляду = 2х - 10. Нарешті, рівнянням ОС су = 0.
Для того щоб знайти рівняння діагоналі АС, скористаємося тим, що точки
А (3; 6) і С (5; 0) належать прямій АС і, таким чином, їх координати
задовольняють шукане рівняння. Підставивши ці координати в рівняння у = кх + q,
отримаємо 6 = Зк + q, 0 = 5к + q, звідки k = -3,q=\S. Отже, у = - Зх + 15 є рівнянням
діагоналі АС. ■
Приклад 2. Скласти рівняння кола, описаного навколо трикутника,
утвореного прямими у = 0,2х - 0,4, у=х + 2,у = 8-х.
□ Кутові коефіцієнти прямих у=х + 2іу = 8-х дорівнюють відповідно
к{ = 1 і к2 = - 1. Оскільки кхк2 = - 1, то виконується умова (17.9)
перпендикулярності прямих; таким чином, AABC— прямокутний (рис. 17.2) і центром
описаного кола є середина його гіпотенузи АВ. Знайдемо точки перетину
прямої^ = 0,2х - 0,4 з прямими у=х + 2іу = %-х; розв’язавши системи рівнянь
440

І> = 0,2*-0,4, . Гу = 0,2х-0,4,
\y = x + 2 [>> = 8-х,
отримаємо точки Л (- 3; - 1) і 2? (7; 1) — кінці гіпотенузи. Використовуючи
формули (17.2), знайдемо координати центра кола: 0{ (2; 0). За формулою (17.1)
радіусом кола є R = OxA = <J(-3-2)2 + (-1-0)2 = уІ26. Нарешті, за формулою
(17.11) отримаємо шукане рівняння кола: (х-2)2 + у2 =26. ■
Приклад 3. Знайти одиничний вектор, колінеарний вектору, напрямленому
по бісектрисі кута ВАС трикутника ABC ^ якщо дано його вершини: А (1; 1; 1),
В(3; 0; 1), С (0; 3; 1).
□ Знайдемо координати і модулі векторів АВ і АС; маємо АВ (2; - 1; 0),
АС(- 1; 2; 0), |ля| = ^22 + (-1)2 + О2 = -У?, |лс| = V(-l)2 + 22 + О2 = -Д.
Оскільки |лв| = \ас\, то AD = АВ + АС є діагоналлю ромба ABDC (рис.
17.3), а отже — бісектрисою кута ВАС. Визначаємо AD = AB + AC =
= (2; -1; 0) + (-1; 2; 0) = (1; 1; 0) і |Л£>| = V2. Нехай е — одиничний вектор,
_ AD
співнапрямлений з вектором AD; тоді, за формулою (17.18), е=т=г.
\AD\
 Остаточно маємо е \ 0
уЛ 41
Приклад 4. Пряма, паралельна медіані СМ трикутника ABC, перетинає
прямі ВС, СА і АВ відповідно в точках А{і Вх і Сх. Довести, що АХСХ +
+ B^ = CA + СВ.
В( 3; 0; 1) D
Рис. 17.3
441

□ Нехай АХЕ \\СМ (рис. 17.4). Побудуємо CD-2CM = СА + СВ. Оче.
видно, що AXCDE — паралелограм; отже, АХЕ = CD, причому
АХЕ = АіСі + СХЕ. Оскільки AM—медіана AACD і BXE\CD, тоЛС^
медіана ААВХЕ і ВХСХ = СХЕ. Тепер маємо СА + СВ = CD = АХЕ = ~А^С[ +
+ СХЕ — АХСХ + ВХС\. ®
Приклад 5. Дано два ненульових вектори а і b таких, що |д + Ц = |а
Довести, що alb.
□ І спосіб. Якщо на векторах а і Ь як на сторонах побудувати
паралелограм, то вектори а + b і а-b збіжаться з його діагоналями, довжини яких
становлять |я+^| і Оскільки за умовою довжини діагоналей рівні, то
отриманий паралелограм є прямокутником, звідки alJb.
II спосіб. Нехай х = a+b,y = a-b; тоді х2 =(a+b)2 = а2 +2ab+b2,
у2 - a2 -2ab+b2. Квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля; таким
чином, "*■ 2д£> + Ь2 — |д + , а2 — 2ab + b2 — |д — Z?| .
Праві частини останніх співвідношень рівні за умовою; отже,
а2 + lab +Ь2 = а2 -2а b + Ь2, звідки ab = 0; за формулою (17.22) маємо, що
alb. ■
2 2
Приклад 6. Дано два відрізки АВ і CD. Довести, що коли АС + BD =
= AD2 + ВС2, то АВ LCD. Чи справджується обернене твердження?
□ Розглянемо вектори АВ, CD, AC, AD, BD і ВС. Залежно від їх
взаємного розміщення може вийти плоска або просторова фігура (рис. 17.5).
2 2 -
Оскільки АВ = = АВ , перетворимо дану рівність так:
2 2
BD - ВС = AD - AC2; (BD - BQ(BD + ВС) = (AD - AQ(AD + AC);
CD
CD
CD(BD-AD + BC-AC) = 0;-1ABCD = 0; AB• CD = 0,
-AB
-AB
а це й означає, що AB 1 CD.
442

Виконуючи перетворення «з кінця до початку» (AB CD = 0, або
^lAB'CD = 0, або CD(BD + DA + BC + CA) = 0 і т. д.), переконуємося в
^му, що справджується і обернене твердження. ■
Приклад 7. У піраміді SABC всі грані — правильні трикутники; точка
д/— центр трикутника ABC, а точка Р ділить ребро SC пополам (рис. 17.6).
Знайти розклад вектора МР за векторами АВ, АС і AS.
□ Маємо МР = МС-РС, де PC = — SC = — (AC-AS); отже,
2 2
МР = МС -~(АС - AS). Тепер знайдемо МС. У рівносторонньому трикутни-
2 2 —
ку ABC маємо МС = — CN, де C7V — висота трикутника; тому МС = у ^С. Але
ЛС--Лв]=-ЛС--ЛЯ.
, 2 ) з З
NC=AC-AN = АСАВ і, отже, А/С = —
2 З
Таким чином, остаточно отримаємо
MP = -AC--AB--AC + -AS = -AC--AB + -AS.U
3 3 2 2 6 3 2
Приклад 8. Довести, що для будь-якого трикутника ABC виконується
нерівність cos А + cos В + cos С < 1,5.
□ На сторонах трикутника побудуємо одиничні вектори 5j, е2, е3 (рис.
17.7). Сумою цих векторів є деякий вектор d, тобто еі+е2+е3 = d. Піднесемо
обидві частини цієї рівності до квадрата:
е\ + е2 + е3 + 2е\е2 + 2е\е3 + 2е2е3 = d 2,
або
і—12
1 +1 +1 + 2cos(n - В) + 2cos(tc - А) + 2cos(rc - С) = \d\ .
С
В
Рис. 17.5
Рис. 17.6
443

Оскільки |^/|2 >0, то 3-2cosZ?-2cos;4-2cosC>0, звідки cos^ + cosi?+
+cos С< 1,5. ■
Приклад 9. Дано куб ABCDA xB\CxD\y ребро якого дорівнює а. Знайти
радіус сфери, проведеної через точки Л, £ і F, де £ і F—точки на ребрі СС
причому СЕ = EF = FCX.
□ Введемо систему координат (рис. 17.8), початком якої є точка
В (0; 0; 0). У цій системі точки А, ВЕ і F мають такі координати: А (а\ 0; 0),
Вх (0; 0; а), £^0; а; у j, f|o; а; -у-1 Нехай 0(х; у; z) — центр шуканої
сфери. Тоді ОА2 = ОВі = ОЕ2 = OF2 = Л2, деЛ — радіус сфери.
Використовуючи формулу (17.13), що виражає відстань між двома точками, отримаємо
систему рівнянь
(х-а)2 +у2 +z2 =R2, (*)
x2+y2+(z-a)2=R2, (**)
х2 +(у-а)2 +fz~ —) =R2, (***^
Hf-
НЬ
x2+(y-a)2+\z-— \ =R2. (♦***)
Рис. 17.7
444

Віднімаючи рівняння (****) від (***), маємо |z-yj -|z--^-j =0,
а
звідки 2z - а = 0, тобто z =—. Підставимо це значення z у рівняння (*) і (**) і
віднімемо (**) від (*); тоді отримаємо * = “■• Віднімаючи рівняння (***)
1а
від (**), маємо У = —• Після підстановки значень х, у і z у рівняння (**)
1 о
ау/Ш _
остаточно знайдемо R = -
18
2 2
17.001. Дано коло х +у = 4. Скласти рівняння прямої /, паралельної осі
абсцис, яка перетинає коло у точках М і N таких, що MN = 1.
17.002. Дано три точки А (2; 1), В (3; -1), С (- 4; 0), що є вершинами
рівнобедреної трапеції ABDC. Знайти координати точки Д якщо АВ - kCD.
17.003. Дано вершини трикутника: А (- 2; - 3), В (- 1; 2), С (4; 1). Довести,
що трикутник ABC — рівнобедрений, і скласти рівняння прямої, що містить
висоту, проведену з вершини А.
17.004. У прямокутній системі координат зображено рівнобедрену трапецію
з основами 6 і 10 та кутом <р = 60° при основі (рис. 17.9). Скласти рівняння сторін
трапеції.
17.005. Скласти рівняння кола, що проходить через точки А (2; 0),
В (5; 0) і дотикається до осі Оу.
17.006. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (2; 3) і утворює
з віссю Ох кут 120°. Знайти площу трикутника, утвореного цією прямою й
осями координат.
17.007. У коло х2 + у2 = R2 вписано квадрат ABCD. Знайти R і координати
вершин Я, С і Д якщо (5; - 12) — координати вершини А.
17.008. Дано коло х2 + у2 = 9. Скласти у
рівняння кола, що проходить через початок
координат і точку А (1; 0) та дотикається
До даного кола.
17.009. Скласти рівняння кола, що
проходить через точку А (2; 1) і дотикаєть- (
Ся До осей координат.
17.010. На прямій 5дг -2>> + 9 = 0 знайти ИС*
т°чку А, рівновіддалену від точок В (- 2; - 3) і С (4; 1), і обчислити площу
^икутникаЛЯС.
17.011. Діагоналі АС і BD ромба дорівнюють 15 і 8 см. Перша діагональ
н?прямлена по осі Ох, друга — по осі Оу. Скласти рівняння сторін ромба і знайти
ВіДстань від початку координат до сторони ромба.
445
1 с
В
/
V
м
N Ах

17.012. Скласти рівняння кола, вписаного в трикутник, сторони якого
лежать на прямих х = 0, у = 0 і Зх + 4у - 12 = 0.
17.013. Нехай А — точка перетину прямих 2x + 5j'-8 = 0ix-3j' + 4=:Q.
0 — початок координат. Знайти відстань О А і скласти рівняння прямої ОЛ.
17.014. Знайти координати вершин С і D квадрата ABCD, якщо А (2- \\
В( 4;0).
17.015. При повороті навколо початку координат точка Л (6; 8) переходить
у точку А1 (8; 6). Знайти косинус кута повороту.
17.016. Обчислити довжини діагоналей АС і BD паралелограма ABCD, якщо
Л (1; - 3; 0), 2? (- 2; 4; 1),С(-3; 1; 1).
17.017. Дано дві вершини рівностороннього трикутника: А (- 2; 2),
В (- 2; - 4). Знайти координати третьої вершини трикутника і його площу.
17.018. Знайти довжину хорди, що утворюється при перетині кола
(х + 1)2 + 0' + 2)2 =40 прямою* +у-5 = 0.
17.019. Відомо координати середин сторін трикутника: М{ (-1; 2),
М2 (2; - 3), Мг (- 3; - 1). Знайти координати точки перетину медіан трикутника.
17.020. Дано координати двох вершин трикутника: А (2; - 1), В (- 3; 5) і
координати точки перетину медіан цього трикутника: М( 1; 1). Знайти координати
вершини С.
17.021. Дано координати вершин чотирикутника: А (2; - 2), В (- 3; 1),
С (7; 7), D (7; 1). Довести, що ABCD — трапеція, і знайти довжину її середньої
лінії.
17.022. Скласти рівняння дотичних, проведених до кола х2 + у2 = 9 з точки
А/(5; 0).
17.023. Скласти рівняння кола, описаного навколо трикутника, утвореного
прямою Зх -у + 6 = 0 і осями координат.
17.024. Скласти рівняння сфери, що проходить через точку А (1; - 1; 4) і
дотикається до координатних площин.
17.025. Переконатися, що існує тільки одна точка, сума квадратів відстаней
від якої до даних двох точок А (2; 3; - 1), В (1; - 1; 3) стала і дорівнює 16,5. Знайти
координати цієї точки.
17.026. Дано точки А (1; 1), В (6; 6), С (5; 4), D (2; 1). Довести, що ABCD—
трапеція, і знайти кут а між її діагоналями.
17.027. Довести, що трикутник з вершинами А (2; 1), В (3; 0), С (1; Я
тупокутний, і знайти косинус тупого кута.
17.028. При яких значеннях а і (3 вектор а (3; -1; а) перпендикулярний до
вектора b (2; (3; 1), якщо |б| = 3?
17.029. Дано три вектори а,Ь,с. Довести, що вектор (Ьс)а-(ас)Ь
перпендикулярний до вектора с.
17.030. Довести, що сума квадратів довжин усіх ребер паралелепіпед3
дорівнює сумі квадратів довжин усіх його діагоналей.
17.131. 	Дано точки Л,(0; 1;2),Л2(1;2;4),5, (- 1; - 1; 3), В2( 1; 0; 0);^і
1 М2 — середини відрізків АХВ\ і А2В2. Знайти вектор МХМ2 і його моДУлЬ
446

17.032. Довести, що трикутник з вершинами А (6; - 4; 2), В (3; 2; 3),
- 5; - 1) прямокутний.
17.033. Нехай О — точка перетину медіан трикутника ABC і АО = а,
jC = b. Розкласти АВ і ВС за векторами а і Ь.
17.034* При яких значеннях jc вектори (jc3 -1) а і 2ха співнапрямлені, якщо
а* 0?
17.035. При яких значеннях т вектори (т2 -т-2)Ь і п?Ь протилежно
напрямлені, якщо Ь Ф 0?
17.036. При яких значеннях х вектори (5х-х2)а і а співнапрямлені та
|(х-5)д| < 3|д|, якщо а Ф б?
17.037. При яких значеннях у вектори (3у2 -1\у + 6)р і (у2 +1 )р
протилежно напрямлені, якщо рф 0?
17.038.При яких значеннях х і у вектори (jc;-2; 5)і (І;у;-4) колінеарні?
17.039. При яких х правильна нерівність |(jc- 2)а\ > 3|я|, якщо а Ф 01
17.040. Нехай КІМ — середини сторін ВС і CD паралелограма ABCD і
АК = а, AM = Ь. Виразити вектори BD і AD через а і Ь.
17.041. У паралелограмі ABCD дано: Me ВС і ВМ : МС-1:2; Ne DC,
DN lNC =1:2; AM = a; AN = b. Виразити вектори AB, AD, MN і BD через
a і b.
17.042. У тетраедрі ABCD точка M ділить медіану DDX грані ADB у
відношенні DM : MDX =3:7. Розкласти вектор СМ за векторами
СА, СВ і CD.
17.043. У правильній чотирикутній піраміді SABCD довжина
кожного ребра дорівнює а; точка MeSC і SM: МС = 2:1. Знайти кут між
векторами DC і AM.
17.044. Дано: куб ABCDA XBXCXDX (вершини основи ABCD розміщені
3* годинниковою стрілкою); К — середина ребра ААХ;Н— середина ребра AD;
М— центр грані CC{DXD. Довести, що пряма/СЛ/перпендикулярна до прямої
*!#.
17.045. Довести, що для будь-якого трикутника ABC виконується
Нерівність сов2Л + cos2В + cos2C > -1,5.
17.046. Дано: пряму трикутну призму АВСА \ВХС\ ', ВВ\ = а, ВС =Ь
1 ВА = с ; О — точка перетину медіан трикутника ABC. Розкласти Ар за
Акторами а, Ь і с.
447

17.047. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA^BfaD^ дано-
АА j = 10, AD = 6, АВ = 8. Знайти косинус кута між векторами DB\ і AD\.
17.048. Ребро куба ABCD^B^C^D^ дорівнює 1. Знайти кут між векторахц,
MN і DC, якщо М є ААі і AM : МА^ =1:2; Ne CQ і CN: NCX =2:1.
17.049. Медіани бічних сторін рівнобедреного трикутника перетинаються
під кутом 60°. Знайти кут при вершині трикутника.
17.050. У трикутнику ABC дано: АВ = а, АС =Ь, \а\ = |б| = 2, ZBAC = 60°.
Виразити через а і b одиничний вектор, напрямлений по висоті трикутника,
проведеній з вершини А.
17.051. Дано вектори а (2; -3; 5), 6(-1; 1; -3) і с(3; 7; 1). Знайти
координати вектора р(х; у; z), якщо ра =12, pb = -6 і р _L с.
17.052. Вектори а, Ь, с лежать в одній площині й утворюють попарно
один з одним кути —. Розкласти вектор а за векторами b і с, якщо
|л| = 3, |б І = 2, |с| = 1 • 3
17.053. Дано координати вершин чотирикутника: А (- 1; 2; 3), В (- 1; 3; 1),
С (- 1; 7; 3), D (- 1; 6; 5). Довести, що ABCD — прямокутник.
17.054. У трикутнику ABC дано: АВ = 4/ + 2 j, АС = Зі + 4 j, де і і ] —
одиничні взаємно перпендикулярні вектори. Довести, що трикутник ABC
прямокутний, і обчислити його площу.
17.055. У колі проведено радіуси ОА, ОВ, ОС. Знайти міру кута АОВ, якщо
ОА + ОВ = ОС.
17.056. Знайти об’єм трикутної піраміди, побудованої на векторах
ОА,ОВ\ОС, якщо |ш| = 5, |ов| = 2, \дс\ = 6,ОАОВ = 0,ОАОС = 0,
ОВОС = 8.
17.057. Дано прямокутний трикутник ABC. Z С = 90°, D — основа висоти,
проведеної з вершини прямого кута. Виразити вектор CD через вектори
СА і СВ.
17.058. Сторони трикутника ABC пов’язані співвідношенням
а2 +Ь2 = 5с2. Довести, що дві медіани трикутника перпендикулярні. Чи
справджується обернене твердження?
17.059. Дано куб ABCDA]BXCXD]. Знайти косинус кута між
векторами DA\ і DM, де М — середина ребра ССХ.
17.060. Дано координати вершин піраміди: S (0; 0; 2), А (0; 0; 0).
В (1; 0; 0), С (0; 1; 0). Знайти координати точки М, що лежить на осі Oz, і *0'
Гі 1 о
ординати точки N, що лежить у площині SBC, якщо відомо, що MN\ у *
448

17.061. У ромбі ABCD довжина сторони дорівнює 6, а міра кута BAD
дорівнює -j. На стороні ВС узято точку Е таку, що EC = 2. Знайти відстань від Е
до центра симетрії ромба.
17.062. Дано одиничні вектори т, п і р такі, що т ±п, п 1р і кут
між /я і р дорівнює 60°. Знайти скалярний добуток векторів а = Зт - 2п +
+ pib =-2 т+п-р.
17.063. У трикутнику ABC точка N лежить на стороні АВ і AN = ЗNB;
медіана AM перетинається з CN у точці О. Знайти АВ, якщо AM = CN =
= 7 см і ZNOM= 60°.
17.064. Знайти кут між векторами а і b, якщо (д-Z?)2+(2а-б)2 =56,
|д| = 2 і |5] = 3.
17.065. Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма ABCD, якщо
АВ = а - b + 3с, AD = 4а- b-с, де а,Ь,с — одиничні попарно
перпендикулярні вектори.
17.066. У паралелограмі ABCD точка К — середина сторони ВС, а точка
М — середина сторони CD. Знайти AD, якщо ЛА* = 6 см, AM = 3 см і
ZKAM = 60°.
17.067. Дано вектор а( 1; -2; 5). Знайти координати вектора Ь, що лежить
у площині хОу і перпендикулярний до вектора а, якщо |&| = 2>/J.
17.068. Нехай /, j і k — одиничні вектори, напрямлені вздовж
координатних осей, і а = 6і - 2j - 3k. Знайти косинуси кутів, утворених вектором а з
векторами ї, ] і к.
17.069. Вектор О А утворює з осями Ох, Оу і Oz кути, що відповідно
дорівнюють а = у,Р = у,у = ^; точка В має координати (-2; - 2; - 2 ).
Знайти кут між векторами О А і ОВ.
17.070. Знайти довжину медіани AM трикутника ABC, якщо АВ =
= Юсм,ЛС = 6смі ZA4C = 60°.
17.071. Дано правильний п’ятикутник А\А2АіАаА5. Розкласти вектор
ЛіЛ3 за векторами АХА2 і 4^5*
17.072. Дано два вектори: а(х; 1; -1) і b (1; 0; 1). При якому значенні х
справджується рівність (а + ЗЬ)2 = (а -1Ь)21
17.073. До кола з центром О з точки М проведено дві дотичні; А і В —
точки дотику. Розкласти вектор МО за векторами МА і MB, якщо Z АМВ = а
449

17.074. На стороні АВ паралелограма ABCD узято точку К так, щ0
АК.КВ = 7. Сторона АВ у 3 рази довша від сторони ВС. Розкласти
DK за АВ і AD та знайти відношення DK: АВ, якщо ZBAD = 60°.
17.075. На сторонах ВС, СА і АВ рівнобедреного прямокутного трикутника
ABC (ZC = 90°) узято відповідно точки A j, BVCX. Довести, що відрізки CCj і
А ХВХ перпендикулярні та рівні, якщо точки А х, Bv Сх ділять сторони трикутника
по обходу в рівних відношеннях.
17.076. У трикутнику ABC дано: АВ = ВС; D — середина сторони АС;
DK — перпендикуляр до ВС; точка М — середина відрізка DK. Довести, щ0
прямі АК і ВМ перпендикулярні.
17.077. Нехай /, j9 k — одиничні вектори, напрямлені вздовж
координатних осей, і а = 2і + j + Зсlie, Ь = а2 і +4у - 3к. При яких значеннях а вектори
а і b перпендикулярні?
17.078. Дано вершини трикутника: А (- 1; 1); В (- 5; 4) і С(7; 2). Знайти
скалярний добуток AB AC і площу трикутника.
17.079. Медіани граней SAB і SAC тетраедра SABC перетинаються
відповідно в точках Мі N. Довести, що MN Ці5С, і знайти відношення |л//у|:|і?с|.
17.080. Дано вектори а (6; -8; 5^2) і Ь(2; -4; Л). Знайти кут,
утворений вектором а - b з віссю Oz.
17.081. Дано три ненульових вектори а, Ьу с, кожні два з яких неко-
лінеарні. Знайти їх суму, якщо (а+6)|с і (Ь +с)||а.
17.082. Довести, що коли бісектриси двох плоских кутів тригранного
кута перпендикулярні, то бісектриса третього плоского кута
перпендикулярна до кожної з них.
17.083. Дано вершини трикутника: М (1; 1; 4), N (1; 4; 4) і К (3; 3; 2).
Довести, що ON -L МК, де О — середина сторони МК. Визначити вид
трикутника.
17.084. Довести, що для будь-яких чотирьох даних точок А, В, С, D
має місце рівність АВ • CD + AC- DB + AD• ВС = 0.
17.085. Знайти модуль проекції вектора я (7; -4) на вісь, паралельну
вектору b (-8; 6).
17.086. Знайти кут між медіанами катетів рівнобедреного прямокутного
трикутника, поверненого до гіпотенузи.
17.087. Дано паралелограм ABCD; AD ЦяС, К — середина ВС, Р —
середина DC. Виразити суму векторів АВ і СВ через вектори АК = а і АР
450

17.088. Довести, що коли суми квадратів протилежних ребер тетраедра
півні, то ці ребра попарно перпендикулярні.
17.089. У ромбі ABCD точки M\N — середини сторін ВС і CD. Знайти
/.MAN, якщо ZBAD = 60°.
17.090. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDAxBxCiDx, AD = а,
рС = Ь, DD\ = с. Знайти гострий кут між прямими BDX і AXD.
17.091. Дано вершини трикутника: А (- 2; 1; — 3), 2? (4;-7; 1)іС(1;2;- 1).
Знайти кут між стороною СА і медіаною, проведеною з вершини С.
17.092. Одиничні вектори ^,е2,е3 задовольняють умову ех+е2 +
+ ^3=0. Знайти Є\Є2 +е2ез + е$е\.
17.093. Дано неплоску замкнену лінію ABCD. Довести, що коли ZABC =
= /DAB = 90° і DA = СВ, то ZADC = ZBCD.
17.094. Дано тетраедр DABC і точку М у площині його грані ABC.
Довести, що для розкладу DM = aDA + $DB + yDC виконується
рівність а + (3 + у = 1.
17.095. Відомо довжини ребер тетраедра DABC. Знайти косинус кута
між протилежними ребрами АВ і CD.
17.096. Знайти одиничний вектор, перпендикулярний до векторів
a=i+j + 2kib=2i+j + ic.
17.097. Знайти відношення, у якому точка Р перетину бісектрис
трикутника ABC ділить кожну бісектрису, якщо ВС = а, СА = Ь, АВ = с.
17.098. Дано трикутник ABC; АВ = 4 см, АС = 8 см; ZBAC = 60°. Знайти
довжину вектора AN, де N є ВС і BN: NC = 3:1.
17.099. У тетраедрі ОАВС плоскі кути тригранного кута при вершині
О — прямі. Точка Н — основа перпендикуляра, проведеного з вершини
О до площини грані ABC. Розкласти вектор ОН за векторами ОА, ОВ і ОС,
якщо ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с. г-
17.100. Дано трикутник ABC; BD — медіана, ZDBC = 90°, BD = -^-АВ.
Знайти ZABD.
17.101. Об’єм трикутної піраміди, побудованої на векторах ОА,ОВ і
ОС, дорівнює Vf?. Визначити довжину вектора ОС, якщо ОА ОВ-1,
17.102. Об’єм трикутної піраміди, побудованої на векторах ОА,ОВ і
451

17.103. Знайти об’єм трикутної піраміди, побудованої на векторах
ОЛ, ОВ і ОС, якщо = \о*\ =|ос| = 5, ОА • ОВ = 0, О А • ОС = 0, ОВ • ОС = 20
17.104. На площині дано точки А (- 6; - 1), В (- 4; - 4), С (- 1; - q
D (- 3; - 3). Довести, що ABCD — ромб, і обчислити його площу.
17.105. Дано трикутник ABC; АВ • ВС = 8, |лі?| = 10, |і?с| = 6. Знайти дов-
жину висоти, опущеної з вершини В. Яким є кут ABC: гострим чи тупим?
17.106. Дано вектори а (2; -1; 3), b (1; - 3; 2), с (3; 2; -4). Знайти вектор jf,
якщо ха = -5, xb = -11, хс = 20.
17.107. Дано вектори а =(3; 2; 2), b =(18; -22; -5). Знайти вектор х, якщо
він перпендикулярний до векторів діб, утворює з віссю Оу тупий кут і
дорівнює 14.
17.108. Дано два вектори ОА(-1; 2) і ОВ(-Л; -2), де О — початок
координат. Знайти довжину відрізка АВ, площу трикутника ОАВ і довжину медіани
ОМ.
17.109. Знайти вектор Ь, колінеарний вектору a (lyfl; -1; 4), якщо |б| = 10.
17.110. Довести, що коли в тетраедрі DABC протилежні ребра попарно
перпендикулярні, то АВ2 + CD2 = АС2 + BD2 = AD2 + ВС2.
17.111. Знайти скалярний добуток векторів АК і BL, якщо АК і BL —
медіани рівнобедреного трикутника ABC, площа якого дорівнює S, a Z А = 120°.
17.112. Дано вершини тетраедра: А (3; - 2; 1), В (3; 1; 5), С (4; 0; 3),
D (0; 0; 0). Медіани граней ADB і BDC перетинаються в точках Мх і Л/2-
Знайти відношення АС: МХМХ.
17.113. Дано правильний п’ятикутник ABCDE. Розкласти вектори
АВ і АЕ за векторами АС і AD.
17.114. У куб вписано сферу. Довести, що сума квадратів відстаней кожної
точки сфери до вершин куба не залежить від вибору взятої точки. Знайти цю
суму.
17.115. У квадрат вписано коло. Довести, що сума квадратів відстаней точки
кола до вершин квадрата не залежить від вибору взятої точки. Знайти цю суму-
17.116. Навколо квадрата описано коло. Довести, що сума квадратів відстаней
точок кола до вершин квадрата не залежить від вибору взятих точок. Знайти ЦЮ
суму.
17.117. Дано прямокутник ABCD. Довести, що сума квадратів відстаней
будь-якої точки простору до вершин А і С дорівнює сумі квадратів її відстаней
до вершин В і D.
452

17.118. Довести, що в прямокутному паралелепіпеді ABCDAXBXCXDX
сума квадратів відстаней будь-якої точки простору до вершин A, Вх, С і Dx
дорівнює сумі квадратів її відстаней до вершин А lf В, Сх і D.
17.119. У трикутнику ABC кут при вершині А дорівнює 60°, АВ(4; 2; 4),
= 1. Знайти косинус кута між медіаною АА х і стороною АВ.
17.120. Знайти довжину бісектриси AM трикутника ABC, якщо АВ = с,
дС = Ь і ZA = cl
17.121. Точки М і N — середини відрізків АВ і CD. Довести, що MN <
< 0,5(АС + BD), MN < 0,5(ВС + AD).
17.122. Дано трикутник ABC; М—точка перетину його медіан. Довести,
що ОМ < ^(ОА + ОВ + ОС), де О — довільна точка простору.
17.123. Дано трикутник ABC. Пряма / перетинає прямі ВС, СА, АВ у
точках Ах, Вх, Сх. Довести, що вектори АВ + АХВХ, ВС + ВХСХ, СА + СХАХ
колінеарні.
17.124. У коло вписано трикутник ABC. Пряма, що містить
медіану ССХ трикутника, перетинає коло вдруге в точці D. Довести, що
СА2 + CB2 = 2СС| CD.
17.125. У рівнобедреному трикутнику ABC з площею S проведено
висоти AM і BN. Знайти скалярний добуток AM • BN за умови, що точки М і
N лежать на бічних сторонах трикутника, а довжина його основи дорівнює с.
2т Л-т2 _
17.126. Нехай вектор а має координати т'і а вектора —
^ 1 + т \ + т
\-к . 2к
координати -—^2”1 "j—^2”* Довести, що обидва вектори одиничні: \а\ =р| = 1.
Використовуючи властивість скалярного добутку -б|<|д|-|б|, довести
.1 (т + к)(\-тк) 1
справедливість нерівності —<- ^•
2 (1 + т )(\ + к ) 2
17.127. У прямокутному трикутнику ABC відомі довжини катетів: АС =
= 3 см, ВС = 4 см. Точка М ділить гіпотенузу у відношенні AM : MB = 3:4.
На які частини вектор СМ ділить кут С?
17.128. Довести, що промінь СМ, де С — вершина прямого кута
трикутника ABC, а М — центр квадрата, побудованого на гіпотенузі поза
трикутником, є бісектрисою кута С.
17.129. Дано п’ятикутник ABCDE; точки М, N, Р і Q — середини його
сторін АВ, ВС, CD і DE. Довести, що коли U і V — середини МР і NQ, то
вектор UV колінеарний вектору АЕ. Знайти відношення АЕ: UV.
17.130. У коло з центром О вписано чотирикутник A BCD, діагоналі якого
перетинаються в точці Р і взаємно перпендикулярні. Довести, що середини
Сторін АВ і CD, центр О і точка Р є вершинами паралелограма.
453

Глава 18
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА
ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ І ФОРМУЛИ
1°. Алгебраїчна форма комплексного числа має вигляд
z-a + bi (ає R, be R, і2 = - 1), (18.1)
де а = Re z — дійсна частина, b = Im z —частина. Якщо а * 0, 6 Ф 0, то
число z називається уявним; якщо а = 0, 6 * 0, то воно називається чисто уяв-
ним.
2°. Комплексне число z = a + bi на координатній площині зображається або
точкою М з абсцисою а та ординатою Ь, або вектором ОМ з
початком О і кінцем М (радіус-вектором точки М).
3°. Умова рівності двох комплексних чисел zj = а\ + Ь\і і z2=a2+ b2i:
Z\ = z2 <=>
ві=л2,
fc=*2. (18.2)
4°. Сума, різниця і добуток комплексних чисел zx = ах + і z2 = д2 + V
визначаються за формулами
Z\ +Z2 =(Ді +Д2) + (*>1 О8*3)
Z1 ~z2-іа\ “л2) + (^1 -Ь2)і\ (18.4)
Z]Z2 =(^1^2 ”^2) + (л1^2 (18.5)
5°. Числа z-a + bi і -z--a- bi називаються протилежними. Сума двох
протилежних чисел дорівнює нулю: z + (-z) = 0.
6°. Числа z = a-\-bi і z = а-Ьі називаються спряженими. Сума і добуток
двох спряжених чисел є дійсними числами:
z + z = 2а, zz = а2 +Ь2.
7°. Для обчислення частки комплексних чисел Zj = а\ + Ь^і і z2=a2+hl
спочатку чисельник і знаменник дробу — множать на спряжене до знаменника
z2
число z2=a2- b2i, а потім виконують решту дій.
454

8°. Степені числа і. Оскільки і] = /, і2 = -1, /3 = і2 • і = -і, і4 = (і2)2 = 1, то
і4п+1 = /, /4п+2 = -1, /4я+3 = і4п = 1, /і є JV. (18.6)
9°. Тригонометрична форма комплексного числа z має вигляд
z = r(cos<p + /sin<p), (18.7)
де
г = ^а2 + Ь2 (18.8)
_ модуль числа z, а аргумент ф числа z пов’язаний з а і b формулами
соБф= . ° ■ sinф= —j====r. (18.9)
yla2 +b2 <Ja2+b2
Аргумент комплексного числа визначений неоднозначно: якщо ф —
аргумент числа z, то ф+2пк — також аргумент цього числа при будь-якому цілому
к. Для однозначності визначення аргументу його вибирають у межах -я < ф < п
і позначають arg z; таке значення аргументу називають головним. Надалі під
аргументом комплексного числа ми розумітимемо його головне значення.
10°. Нехай Z\ = Г] (COSф] +/sІПф} > І z2 = Г2(С08ф2 + ШПф2) —комплексні
числа, задані в тригонометричній формі. Тоді для добутку zjz2 і частки
z2
справджуються формули
z\z2 ='l'*2(cos(9l +Ф2) + ^іп(ф, + ф2)), (18.10)
— = —(COS(<P! - ф2 ) +»sin(9t - Ф2 )), (18.11)
г2 Ь
а для /і-го степеня числа z = г(со£ф + і віпф) — формула
Zn =rn(cos Лф + Zsin жр),лє N. (18.12)
При г = 1 співвідношення (18.12) набирає вигляд
(cos ф + і sin ф)Л = cos/іф +1 sin/нр (18.13)
і називається формулою Муавра.
11°. Корінь л-го степеня з комплексного числа z = r(cos ф + / sin ф) мас п
Різних значень, що обчислюються за формулою
I cos Ф++1s^n Ф + 1 (18.14)
п п )
= 0, 1,2,..., /і-І.
2v3 — і
Приклад 1. Знайти число, спряжене до числа z = — + 3.
v3 + і
455

□ Помноживши чисельник і знаменник дробу на вираз л/з - і, спряжений
до знаменника, отримаємо
(2>/з-і)(л/з -0 | 6 - 2л/з і' — л/з і~ — 1 [
Ф + І)Ф-І) 4
5-зУЗі [ д 17-Зл/Зі 17 зУз.
4 +" 4 "4 4
- 17 А • _
ЗВІДКИ Z = — + 1, я
4 4
2 3 15
Приклад 2. Знайти суму А = і+і +і + ...+/ .
□ Маємо
Л = (і + і2 + і3 + і4) + (;5 + + і1 + і») + О9 + /10 + і*1 +112)+(|13 + /14 + і15) =
= (/ + /2+/3+,-4)(1 + /4+<8) + /»+/14+і15.
Оскільки і + і2 + і3 + і4 = і -1 - і +1 = 0, то Л = і13 + /14 +115 = І - 1 -1 = -1. ■
Приклад 3. При яких дійсних значеннях jc і у комплексні числа
zj = jc +1 + у2 - Зі і z2 = у - х2 - 2хі + у2і -1-і є протилежними?
□ Запишемо дані числа у вигляді Zj = (де + у2 +1) - Зі і z2 = (у - х2 -1) +
+ (д>2 - 2jc - 1)і. Для того щоб комплексні числа zl і z2 були протилежними,
потрібно, щоб дійсні числа jc і у задовольняли систему рівнянь
JC2 -у + \ = х + у2 +1, їх2 - у2 -х-у = 0,
2х + 1- у2 = -3 jy-2jc-4 = 0
\(х + у)(х-у-1) = 0,
^[у2-2х-4 = 0.
Остання система розпадається на дві:
\х + у = 09 Jjc — jv —1 = 0,
[у2-2х-4 = 0; -2лг-4 = 0.
Розв’язавши їх, отримуємо відповідь: jcj = 1 - уі~5, у\ = -1 + уі5 ; jc2 = 1 + уі5,
У2 = —1 — V5; *з=2 + V7, >>з = 1 + yfl; *4 = 2 - V7, У4 = \ — V7. ■
456

Приклад 4. Зобразити на площині множину точок, координати х і у яких
задовольняють умову
2 4 у2-1
х + і - 2х + 2уі = у-1 + — і.
2у — \
 □ При уФ0,5 маємо (х2 -2х) + (2у + \)і = (у-\) + (2у + \)і.
Використовуючи умову (18.2) рівності двох комплексних чисел, матимемо систему
х2 -2х = у-1, г 2
2у + \ = 2у + \, = >
у * 0,5 ^ Є °’5^ ^(0’5’
Шукана множица являє собою параболу у = (х -1)2 з двома «виколеними»
точками, ординати яких дорівнюють 0,5 (рис. 18.1). ■
Приклад 5. Зобразити множину точок z, що задовольняють умови
2 < |z -1| < З,
0<Imz<>/5.
□ Нехай z = x + yi, д exe R,ye R. Тоді першу умову можна переписати у
вигляді 2<|(х-1) + .у/|<3, або 2<-J(x-І)2 + у2 <3, звідки 4<(х-1)2 +
+ у2 < 9. Це — множина точок, що лежать усередині і на межі кільця між колами
з центром М(І; 0) і радіусами 2 і 3. Враховуючи другу умову, робимо висновок,
що шукана множина є частиною цього кільця, яка обмежена відрізками прямих
у = 0 і y = J5 і яка не включає ці відрізки (рис. 18.2).И
\
 У = (х~ 1)
0,5
kj-
О
1
X
Рис. 18.1 Рис. 18.2
457

Приклад 6. Подати у тригонометричній формі комплексні числа:
а) 	-16>/з+16/; б)-2/; в) 1-V5; г) 1 -cos200° + /sin200°.
□ а) Знаходимо модуль даного числа: |z| = r = ^/(-16л/з)2 + 162 =32
Оскільки точка, що зображає число z, лежить у II чверті, то cos(p = —
32
Л ■ . 16 1 5п _
= ——, sin9 = —- = —; таким чином, arg z = ф =—. Отже,
2 32 2 6
5тс . . 5п\
: = 321 cos— + zsin— L
I 6 ч
б) Тут r = 2,q> = —тоді
- Ті = 2^cos^--j j+
в) Маємо г = 41 -1, ф = тс; таким чином,
1 — V5 =(тІ5 -1)(costc + /shitc).
г) Спочатку запишемо дане число у вигляді
z = 2sin21000 + 2/sinl000cosl000 = 2sin2800-2/sin800cos80° і знайдемо його
модуль:
r = >/4sin4 80°+4sin2 80° cos2 80° = V4sin2 80° = 2sin80°,
оскільки sin80°>0. Далі маємо
2sin280° . ОЛО . 2sin80°cos80° ОЛО
совф = = sin 80°, sum = = -cos80°.
2sin80° r 2 sin 80°
Tаким чином, z = 2 sin80° (sin80° - / cos80°), але цей запис не є
тригонометричною формою даного числа. Для того щоб знайти шукане представлення,
скористаємося тим, що sin80° = cos(80° -90°) = cos(-l 0°), - cos80° = sin(80° -90°) =
= sin(-10°). Тоді маємо
z = 2 sin 80° (cos (-10°) + / sin (-10°)). ■
Приклад 7. Обчислити (1 + /V3)7 +(1-/7з)7.
□ І спосіб. Подамо числа 1 + /V3 і 1 - ij3 у тригонометричній формі:
1 +/^3 =2^cos-j + /siny j, 1 - / 7з = 2 |cos^- у j+ / sin^-1 j j
458

Далі, використовуючи співвідношення (18.12), знаходимо
(1+/Ч/3)7+(1-л/3)7 =
= 27fcos— + isin—l+27fcosf- — )+/sinf- — Y|=
I 3 4 { I 4 { 4)
= 28cos—= 27 =128.
3
11 спосіб. У даному випадку можна скористатися формулою бінома
Ньютона, враховуючи, що члени з непарними степенями і взаємно знищаться:
(і+іуіз)7 + (і -1Vз)7 = 2(1+c72(/Vз )2 + c^(/VJ)4 + c76(/Vз )6)=
= 2(1-21-3 + 35-9-7-27) = 2-64 = 128. ■
72
Приклад 8. Відомо, що число — - є коренем рівняння
Г2Г sin— + /COS —
(( 6 6
2jc3 + 15дг2 + ах + 171 = 0, де в є R. (*)
Знайти а і розв’язати рівняння при цьому значенні а.
□ Позначимо дане число через j^ і перетворимо його:
72 72
*і =- гг=т; . .. =-9-
~і ТС . . ТС
2 cos— + z sin—
3 8(C0S7t + /sin7C)
з з
Підставивши це значення в рівняння (*), отримаємо
2(-729) +15-81 -9а +171 = 0; 162 -135+ я-19 = 0; а = -8.
Тоді рівняння (*) набере вигляду
2jc3 + 15jc2 -8jc + 171 = 0, або (jc + 9) (2jc2 - 3jc +19) = 0.
Розв’язавши рівняння 2jc2 -3jc + 19 = 0, знаходимо ще два корені даного
Рівняння:
3± л/9 — 152 3±і,/І43
-2.3= і 4—"
Приклад 9. Вивести формули, що виражають cos 5а через cos а і sin 5а
ЧеРез sin а.
459

□ За формулою Муавра (18.13), маємо
(cosa+/sina)5 = cos5a+/sin5a.
З іншого боку,
(cos a + і sin a)5 = cos5 a + 5 / cos4 a sin a + 10i2 cos3 a sin2 a +
+10/3 cos2 a sin3 a + 5/4 cos a sin4 a + /5 sin5 a =
= (cos5a-10cos3a sin2a + 5cosa sin4a) +
+ / (5cos4 a sina -10cos2 a sin3 a + sin5 a).
З умови (18.2) рівності двох комплексних чисел випливає
cos5a = cos5a-10cos3a sin2 a+5cosa sin4a =
= cos5 a -1 Ocos3 a +1 Ocos5 a+5 cos a -1 Ocos3 a+5cos5 a =
= 16cos5 a - 20cos3 a+5cosa;
sin5a = 5.cos4a sina-10cos2 asin3a+sin5a =
= 5 sin a -1 Osin3 a + 5 sin5 a -1 Osin3 a +1 Osin5 a + sin5 a =
= 16sin5a-20sin3a + 5sina ■
Група A
18.001. Дано комплексні числа zj = -2 + 5/ і z2 = 3 - 4і. Знайти:
а) zj +z2; б) z2 -z,; в) z,z2; г) iL.
г2
Знайти суму і добуток комплексних чисел (18.002-18.004):
18.002. z, = 5 + 2^61 і z2 = 5 - 2-Уб і.
18.003. Zj = 5 - Зі і z2 = -1 + 6/.
18.004. zj = 0,2 + 41 і z2 = -0,3 - 0,9/.
Знайти різницю z2 -zx і частку комплексних чисел (18.005-18.007):
^1
18.005. zj = 2 + 2і і z2 = 1 - і.
18.006. Zi=a + Jbi і z2=a-Jbi.
18.007. zx = 5 — Зі і z2 = -4 + 7/.
Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, якщо відомий один
із його коренів (18.008-18.011):
18.008. *, = 1 - Зі. 18.009. дг, = —1—.
2/
4-2/
18.010. =-—. 18.011. *i =
І
1 -і 1 3 + 4/
460

18.012. Знайти координати точки М, що зображає комплексне число
5/-2 . 8/ -З
z — + 1 + -
3/ + 1
2-і
18.013. Довести, що
( /—
-1 + /V3
> 2 Г
2
\ /
= 2.
Знайти дійсні частини комплексних чисел (18.014-18.016):
18.014. z =
(2-іУ
3+4*
18.015. 	z = ——^- + 4/16.
(1 + 0
1
18.016. 	г = ^т-^- + -пг.
Знайти уявні частини комплексних чисел (18.017-18.019):
18.017. 	^ =
18.018. z = (2 + /)3(2-ll/).
3-2 і .9
18.019. z = —— + /*.
1-41
Виконати дії (18.020-18.028):
1 + 3/ 1-31
18.020. —+ —
1-3/ 1 + 3/
18.021. 	2/
(і й-Чий-)
2 2 'j^2 2 '
,13 ,14
18.022. —+ і'10
•15
18.023.
1 + /
(З + 4/)(—1 + З/)
6-8/
8-6/
2 +і
18.025. 	(3 + 2/)3-(3-203.
18.026. Г-2(1 + 03 + 31 17<)^--1
461

(1 + 2j)2-(1-ї)3
18.028.
(3 + 2;)3-(2+/)2
18.029. 	Знайти число, спряжене до числа z = -7
4
17 + 31/ 12
+ Г +*'•
7 + і (1-й)4
18.030. Чи ділиться многочлен х4 + 2х2 + 4 (1 +1) на х -1 +?
Розв’язати у множині комплексних чисел рівняння (18.031-18.036):
18.031. х2 + 6х + 34 = 0. 18.032. х2+36 = 0.
18.033. 	х2+4х + 29 = 0. 18.034. 4х2 -8х + 13 = 0.
18.035. 	х4 - 5х2 -36 = 0. 18.036. х4 +15х2 + 54 = 0.
Розкласти на комплексні множники вирази (18.037-18.040):
2 2
18.037. 	т2 +25п2. 18.038. ~~ + ~-
4 9
18.039. 	7 + уІЗ. 18.040. l + tg2a.
Вважаючи* іу дійсними числами, розв’язати рівняння (18.041-18.043):
18.041. (-5 + 2/)*-(3-Лі)у = 2-і.
18.042. (2 - 7/)* + (8 + 6/) у = (-6 + 5/)* - 8.
2 + 5/ 1-3/ -7*+ 12/
18.043  . = —т =-.
х-у Х + у у — х
Встановити, при яких дійсних значеннях * і у рівні комплексні числа
(18.044-18.046):
18.044. Zi = х2 + хуі — 5 + / і z2 = хі - у2 + уі.
18.045. Zj = *2(1 + /) - 3* і z2 = у2 (і -1) - /.
18.046. Z| = jc2 — 3(1 + /) - 5хі і z2 = у (1 — /).
Встановити, при яких дійсних значенняхх іу є спряженими комплексні
числа (18.047-18.049):
18.047. Z] = 2х2 - Зі -1 + уі і z2 = >> + х2/ - 3 - 2/.
18.048. zj = (* - /)2 + у2 і z2 =12 + уі + і.
18.049. Zj = jc(jc + >^/) і z2 = 17 + 2/3 + (2уі)2.
Встановити, при яких дійсних значеннях * і у є протилежними комплексні
числа (18.050-18.052):
18.050. zj = * + >>2/ - 4/ + 4 і z2 = ^ + jc2/ - 8 - 4/.

18.053. 	Знайти комплексне число z з умови
(z +і) (1 + 21) + (1 + zi) (З - 4/) = 1 + 71.
18.054. Знайти комплексне число z, якщо відомо, що 2=3 + 4/.
18.055. Знайти суму z + z. якщо 2 = -—— + і.
3 + 2/
18.056. Перевірити, що коли z = 3 + 4/, то справджується рівність
-На
18.057. Знайти всі корені многочлена jc8 —16.
18.058. При яких дійсних значеннях а комплексне число
і 2
(1-ш) -(2 + ш) є: а) дійсним; б) чисто уявним?
18.059. Нехай zx = хх + ухі, z2=x2+ У2Довести справедливість рів-
ностей:
a) Z\ +z2 =2j +z2; б) zxz2-zxz2.
18.060. Нехай zx = 3 + 4і, z2 = -4 + Зі. Знайти дійсні значення а і Ь, для яких
— = azi +bz2-
z2
Зобразити множини точок, для яких виконуються дані умови (18.061-
18.070):
18.061. Rez = -2. 18.062. -l<Rez<3.
18.063. 	-1 <Imz<2. 18.064. “£argz<^.
18.065. 	\z\ < 2. 18.066. |z + ij = 1,5.
18.067. 	|z-i|>l. 18.068. \z + 2-2i\ <, 2-Я.
18.069. 	1 < \z +1| < 2,5. 18.070. jz+3»| = \z- 3|.
Знайти модуль і головне значення аргументу для кожного з даних
комплексних чисел. Записати ці числа у тригонометричній формі та зобразити їх точками
на площині (18.071 -18.078):
18.071. 	z = 4 - 4л/Зі. 18.072. z = -2 + 2і.
18.073. 	z = — + -і. 18.074. г = -6-Л-6і.
2 2
18.075. 	г = -УІ5і. 18.076. z = 10.
18.077. 	z = 3- VlO. 18.078. z = (V5 - 2)«.
Подати у тригонометричній формі комплексні числа (18.079-18.084):
18.079. 	z = sin36° + /cos54°. 18.080. z = (sin42° + /cos42°)/.
463

18.081. z =
61
(i+o2
18.082. z = »16+i15.
18.083. 	z = sin— + / 1-cos— L
5 I 5 J
18.084. z =
1
In . In'
cos— + /sin
8 8
Подати в алгебраїчній формі комплексні числа (18.085-18.090):
А 2п . . 2п\
 18.085. z = 6 cos— + /sin— L
I 3 3 J
18.086. z = 5V2^cos^--^ j+/sin|--^ jj.
18.087. 	z =
5n\ . .
5 n
= 4 cos |+/sin| - —
11 4 I 6
18.088. 	z = -yf2 i fcos—+/'sin—j.
18.089. 	z =
18.090. 	z =
1
4 n . . 4 я ‘
cos— + i sm—
3 2i 3
7л .. In'
cos zsin
6 6
Виконати множення (18.091-18.096):
18.091. 	(4-4»)• 3-n/2(cos75° + /sin75°).
18.092.
A n ..Я^ІҐ n . n\
 8 cos—h i sin— • — cos—+ z sin— .
I 6 6 J 4^ 3 3j
I" 2k . . гл') \( 5я . . Sn')
18.093. cos 1-/sin— -—cos— + jsin— L
ІЗ 3 J 6^ 6 61
18.094. V3(cos92° + /sin92°) • >/6(cos88°+іsin88°).
18.095. |cos|-y^ j+/sin^-^ j (-3+V3/).
18.096. (-2 - 20(6 - 2л/з»).
Виконати ділення (18.097-18.102):
18.097.8 (cos (-105 °) +1 sin (-105 °)): (-0,57з - 0,50.
18.098. 	>/б(cos 160°+ /' sin 160°): V3(cos40o + /sin40°).
18.099. 4
fcos— + і sin—): —fcosf - — 1+ і sinf -—її
I 12 12J 2( I 12 J I i2J;
464

18.100. (6 - 6 і): 3(cosl5° + і sin 15°).
18.101. (-2 + 2>/3/):(4-40.
18.102. -6/: (-4+ 4/).
18.103. Дано комплексні числа zj = -1 - /, z2 = V2 - >/2 /, z3 = 1 + >/з і.
Подати їх У тригонометричній формі, знайти £і£і.
z2
Піднести до степеня (18.104-18.109):
5я . . 5я
COS + /SU1—
18 18
18.104. (-І + /4/З)9
18.106. ^л/2^1
18.108. (1,5-0,5-Лі)6.
Виконати дії (18.110-18.117):
\2
16/
18.110.
18.111.
. п . к
п sin— + z cos—
і 6 6
(-1 + м/з)4
cos42° + / sin42°
(cos51° + /sin51°)
18.105. cos
!НН"Н)) •
18.107. (2 + 2/)5.
18.109. I- — і
З З
,ю
18 112 (cos720 + /sin720)(cos410 + /sin41°)
cos 19° +/sin 19°
18.113. (1-і)3(-2л/з+2/).
2-Уз - 2i
18.114.
18.115. (6-6і)2
,,,
(V3-00-02
18.117.
J2
Г sin— + /COS— ll
1 6 6 JJ
465

18.118. Дано: zx =4 cos— + zsin— L z2 =1-/. Знайти: a) 6) z\
 1 3 3 / z2’
18.119.Дано: z\ = -2 + 2-Уз і, z2 = cos|-j+ /'sin|-^ j. Знайти {z\z2f
Добути корені з комплексних чисел (18.120-18.125):
18.120. \ГТі. 18.121. V-6 + бл/Зі.
18.122. 	ІРЇ25. 18-123. ^-13,5>/2-13,5-Я і.
18.124. 	^/-8-8^31. 18.125. t/^64.
Група Б
18.126. Знайти всі значення де, для яких комплексне число
Z = (10go>5l0g4log8(x2 + 4)-1)і зображається точкою, що лежить у верхній
частині уявної осі.
18.127. Довести, що не існує значень т, при яких комплексне число
log2 (т2 -1 Зт + 44) - 2 + iyjlog 2 т-3 не може бути чисто уявним.
18.128. Знайти дійсні числа х і у, при яких zx = log^ — + 2хі і z2 = log* у -
-уі — спряжені комплексні числа.
18.129. При яких значеннях хе R комплексні числа z\ = lg(2jc2 + х +1)+
+ 4хі і z2 = lg(x2 +1) + (2*+1 - 3)/ є спряженими?
18.130. При яких дійсних значеннях jc і у комплексні числа
zx = 4і - 2ху - хуі і z2 = у2і - Xі + 3 рівні між собою?
18.131. Знайти дійсне число b з умови, що точки, які зображають
комплексні числа 3 - 5і, 1 - і і - 2 + Ьі9 лежать на одній прямій.
18.132. На колі з центром у початку координат узято три точки на рівних
відстанях одна від одної. Довести, що комплексні числа, які відповідають цим
точкам, утворюють геометричну прогресію. Знайти знаменник цієї прогресії.
18.133. Дано комплексне число z = л/з -і. Знайти всі комплексні числа і
такі, що |z| = 2|z|, a |argz-argz| = y.
18.134. Знайти z6, якщо 3z - z = -4 + 81.
18.135. Зобразити на площині множини точок, координати яких
2 У2 ”4
задовольняють умову х+1 + уі + 21 = 2 (д: +у) + - /.
у-2
466

Зобразити множини точок, що задовольняють дані умови (18.136-18.141):
1 < |z + 0,5і| < 2,
0,5 < Rez <1.
18.139. z +2z + 2z = 0.
18.136. |z - 2/| < |z +1|. 18.137.
[2 < |z — 2 — /I < 3,
18.138. \ 1 1
[0< Imz<3.
18.140. z2z2 -5zz < —4. 18.141. log2|z-2ij<l.
Розв’язати рівняння (18.142-18.147):
18.142. z2+3|z| = 0. 18.143. z2-3z=0.
18.144. |z| = 2|z|-|z + /|. 18.145. |z| - ;z = 4 - 2/.
18.146. |z|/-4z = z + 10. 18.147. z2-z2 =|z|-5 + 48i.
Розв’язати системи рівнянь (18.148-18.152):
4/zj - 5z2 = -4 +14/,
3zj + 2/z2 = 7 + 3/.
|z +1| = |z + 2|,
|3z + 9| = |5z + 10/|.
18.148.
18.150.
z\ + 2z2 = 1 + /,
3zj + /z2 = 2 - Зі.
|z +1 - i\ = \z + /|,
ІЗ -h 2/ — z| = |z + l!.
18.149.
18.151.
18.152.
z + 2/
= 1,
z + 4/
z + 2i\ 1
k-i| 4Ї'
18.153. Скласти рівняння найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами,
Що має корені JC| = —2 і jc2 = 4 — Зі.
18.154. Розкласти многочлен х4 - х3 -1 \х2 + 3 Ijc - 20 на множники з
дійсними коефіцієнтами, якщо відомо два його корені хх = -4 і х2 = 1.
18.155. Скоротити дріб
z4 - 4z3 + 4z2 - 4z + З
z4 - 5z3 + 5z2 - 5z + 4
, попередньо переконавшись,
Що чисельник і знаменник перетворюються на нуль, якщо z = ±/.
18.156. 	Сума двох коренів
Знайти X і розв’язати це рівняння
18.156. Сума двох коренів рівняння х3 -Зх2 +4jc + X = 0 дорівнює 2.
467

Розв’язати рівняння (18.157-18.160):
18.157. 	z2-(2 + /)z-l + 7/ = 0. 18.158. z2 -Ліг + 6(2-5/)= 0.
18.159. z2-(8 + 3/)z + 13(l + /) = 0. 18.160. z2-(5 + 2/)z + 9 + 7/ = 0.
18.161. 	Знайти а і P, якщо відомо, що комплексне число а+ р/ є коренем
рівняння Xі - Зх + 3 + і = 0.
18.162. 	Дано два комплексних числа: z, = 1+ш і z2 =
=2^sin|+icogiJ
Знайти всі дійсні значення а, при яких z\ = z\.
18.163. Знайти найбільше і найменше значення \z\, якщо z = 2 + cosa+
+/sin(X.
18.164. Комплексне число z задовольняє умову z + — = «Уз. Знайти z18.
Z
18.165. Знайти модуль комплексного числа z3+z5, якщо z = cosa+
aeLM
{ 2 /
ометричній фс
(М
+ /sina,c
Подати у тригонометричній формі комплексні числа (18.166-18.169):
18.166. 	z = sin2a-/(l + cos2a),
18.167. 	z = l + /tga, ає
8 (cos 100° + і sin 100°) і
18.168. 	z =
5(cos40°-/sin40°)
. п кЛ
sm—+ і 1-cos—
- 5 1 5)
18.169. z — -
і + і
Подати в алгебраїчній і тригонометричній формах комплексні числа
(18.170-18.173):
\5
-1+iJl
18.170.
18.171.
І + і
(0,5>/2 + 0,5>/б /)3
(-1,5 + 0,5л/з і)2 і '
468

18.172.
18.173.
5я . 5я
-cos— + /sin—
12 12
ІЗя . . ІЗя
cos 1 sin
12 12
f- cos— + і sin— Y sinf - — 1+1 cosf - — 1)
I 3 4 J j 4 JJ
1 + i
Перевірити справедливість рівностей (18.174-18.176):
\5
18.174.
18.175.
(S+i]
5
_L
(-ІЇ
2
V /
I
2
\
 (sin 26° + і cosl 54°) (sin 27° + z cos 153°)
sinl7°-/cosl7°
cosl25°-/sinl25°
= -1.
з 1 л
18.176. 	z + -r = 1, де z = —
sin (-15°) - і cos(-l 5°)
18.177. Піднести до степеня: a) (l + cos9 + /sin9)'1; б) (1 -cos<p+/sin<p)n.
18.178. При яких цілих значеннях п справджується рівність (1+if = (1 - ї)п ?
18.179. Розв’язати нерівність |і + 4/ - 2-х| < 5.
18.180. Довести, що коли коефіцієнти членів кубічного рівняння,
розміщені у порядку спадання степенів шуканої величини, утворюють геометричну
прогресію, то і корені рівняння також утворюють геометричну прогресію зі
знаменником і.
Г)рупа В
Зобразити множини точок, що задовольняють дані умови (18.181-18.186):
[|z-l-ij<|z + l + /|,
18.181.
[|z - 3/j < л/5.
Rez 1
18.182. 	—
ZZ 2
18.184. Re——— < 1.
z + 1
ilM>:
18.186. ^T—i>2.
\z-i\
 18.183. 	Im-—S-l.
z-1
18.185. Re— >Im|--2 I
3z [z J
Знайти множини точок, що задовольняють дані умови (18.187-18.190):
18.187. \z-x\<\z-2і\. 18.188. |z + 2/j<|z-x|<|z-l|.
18.189. sinlzl > 0. 18.190. z3 =
11 1+/
469

18.191. 	Серед комплексних чисел, що задовольняють умову |z| = |z + 8/1
знайти число з найменшим модулем.
18.192. 	Знайти найменший модуль комплексного числа, що задовольняє
18.193.3 усіх комплексних чисел, що задовольняють умову zz = 41,
знайти такі, для яких сума |z - 9| + |z - 9/| набуває найменшого значення.
18.194. Серед комплексних чисел z, що задовольняють умову |z - 5/j < 4}
знайти таке, аргумент якого має найменше додатне значення.
18.195. Подати в тригонометричній формі число 1 + / ctga.
+а = 0 (а є R). Знайти а і розв’язати рівняння при цьому значенні а.
18.198. Розв’язати рівняння z4 + (2 - 4z')z2 - (1 - /)6 = 0.
18.199. Розв’язати рівняння
х4 + (2 а + б)*3 + (а2 + 8а + 13)дг2 + (2а2 + 12а +14)* + (2а2 + 8а + 6) = 0,
якщо відомо, що одним із його коренів є число -1+1 і а є R.
18.200. Коефіцієнти членів рівняння п’ятого степеня, розміщених за
спадними степенями шуканої величини, утворюють геометричну прогресію зі
знаменником q. Знайти всі п’ять коренів цього рівняння.
18.201. Множина точок комплексної площини визначається умовою
|z — 3 - 4/1 < 1. у яких межах може змінюватися відношення к = Imz: Rez ?
18.202. Відомо, що а2 + а +1 = 0. Знайти а2к + ак +1 (кє N).
Знайти значення х, що задовольняють дані нерівності (18.203—18.205):
18.203. |l + 0,25-Jl і - cosx] < 0,25ч/43.
18.204. |4/ — 1 + logo^ дг|>5.
умову z +
18.196. Число
є коренем рівняння де3
- (а + З)*2 + a2де -1 - а2 = 0 (оєЛ). Знайти а і розв’язати рівняння при цьому
значенні а.
470

18.206. 	Довести, що коли х є Ryy є R, причому х * 0 і у Ф 0 одночасно, то
JC2 - у2+2хуі
xyyfc + i-Jx4 +у4
18.207. 	Довести, що при всіх допустимих значеннях а модуль числа
Л2
* не менший, ніж 2а.
(Ja +і4а)А , 1
г= 4 2
<2.
Ш
Чгї~-
+ 1 +іЬа2-\
 УІ2а2 -
18.208. Дано формулу ■Ja + bi = u + vi (b > 0). Виразити и і v через а і Ь
(тобто вивести формулу для добування квадратного кореня з комплексних
чисел з додатною уявною частиною). Виконати те саме для випадку yla + bi, Ь< 0.
18.209. Знайти комплексні корені многочлена х5 -1 (відповідь записати в
алгебраїчній формі).
18.210. Нехай z — комплексне число, що не дорівнює ±1. Довести, що
число -—є чисто уявним тоді і тільки тоді, коли |z| = 1.
18.211. Довести, що для будь-яких двох комплексних чисел Zj і z2
справджується рівність |z| +z2|2 +|z2 “Zj|2 =2(|zj|2 +|г2|2), і дати їй геометричну
інтерпретацію.
18.212. Знайти найбільше значення модуля комплексного числа z, якщо
відомо, що
Z + -
= 1.
18.213. Нехай М— множина всіх точок z{ комплексної площини таких,
Що |zji‘ + уІ2^ = 0,5, а К — множина точок z2 цієї площини, які мають вигляд
22 = z\i. Знайти відстань між фігурами М і К (відстанню між фігурами
називається найменша з відстаней між точками цих фігур).
18.214. Нехай N— множина всіх точок zx комплексної площини таких,
IUo|-z1/-2V2/| = l, a L — множина точок z2 цієї площини, що мають вигляд
г2 ® ~ Zj/. Знайти відстань між фігурами N і L.
18.215. Обчислити суми:
Хі = 1 + cos а+cos 2а+... + cos псц
Х2 = sina + sin 2а +... + sin па.
471

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
Необхідні обчислення варто робити без використання технічних засобів-
калькулятора, обчислювальної лінійки, таблиць тощо.
Варіант І
1. У рівнянні х2 + Ьх - 12 = 0 один із коренів дорівнює 3. Знайти значення
коефіцієнта Ь.
2. Спростити вираз (2л:1/2 - у 1/4)(2х1^2 + у ^4) і обчислити його
значення при х = 1,2 і у = 4.
2 2
3. Знайти суму коренів рівняння 2х ~3 •5х ~3 = 0,01 • (10х-1 )3.
4. Розв’язати рівняння ^2,\х +1 = х -1.
5. Знайти суму цілих значень х, що задовольняють черівність х2 - Зх < 4.
6. Використовуючи формули тотожних перетворег j, обчислити
cos 50° cos 40° - 2sin 50° sin 20° се., 20°.
7. Знайти корінь рівняння 2cos2 х - 3sin х = 0, що лежить в інтервалі
(0°, 90°). Відповідь записати у градусах.
8. Площа рівнобедреної трапеції 180 см2. Довжина середньої лінії
дорівнює 45 см; довжина бічної сторони 5 см. Знайти довжину меншої основи трапеції.
9. Висота конуса дорівнює 3; кут між висотою і твірною дорівнює 45°.
У цей конус вписано інший конус так, що його вершина збігається з центром
основи першого конуса, а відповідні твірні конусів перпендикулярні. Знайти
об’єм вписаного конуса (підставити я = 3,14 і округлити відповідь до сотих).
10. Обчислити fj, якщо /(jc) = 0,5 sin jc tg2jc + 2,5 cos jc.
Варіант II
4J5-2V6
1. Обчислити -77=—: _ л _—TTZ-.
(4Л+4Л)(7з-4Л)
2. Розв’язати рівняння 2jc + j3x-2 = 3.
17 2
3. Знайти кількість цілих розв’язків нерівності 5 + — <
4. Розв’язати рівняння log5 jc + log5(jc - 4) = 1.
5. У рівнобедреній трапеції основи дорівнюють 24 і 10, а радіус описаного
навколо неї кола дорівнює 13. Знайти висоту трапеції за умови, що центр
описаного кола лежить поза трапецією.
6. Знайти суму квадратів найбільшого і найменшого значень функШ1
/(jc) = jc3 - 3jc2 + 3jc + 2 на відрізку [-1,2].
7. Знайти кількість розв’язків рівняння sin 3jc - cos 3jc = 0 на відрізку [0, ЯІ-
472

8. Сума четвертого і п’ятого членів геометричної прогресії дорівнює 20,
а сума третього і четвертого членів дорівнює 5. Знайти шостий член прогресії.
9. Металеву кулю радіуса R = у/2 переплавлено в конус, площа бічної
поверхні якого в 3 рази більша від площі основи. Знайти висоту конуса.
10. Розв’язати рівняння 2(arcsin jc)2 + тс2 = 3rcarcsin jc.
Варіант III
1. 	Спростити вираз
• ^ + 1 +2Гх
х + Jx +1 хГх -1
і знайти його значення, якщо jc = 7.
2. 	Знайти tga, якщо tg
НН
3. Розв’язати рівняння 4х 1 -3 2х 2 =1.
4. Знайти якщо /(*) = 2*^2 sin3 х.
5. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30, а висота, проведена
до бічної сторони, дорівнює 24. Знайти довжину бічної сторони.
6. Знайти суму коренів рівняння f(x) + 4f\x) = 0,. якщо
/(jc) = уіх2 -6jc + 10.
- ~ w 2 Я* і
7. Знаити добуток коренів рівняння cos — = 1, що належать відрізку
[ТС, 3 тс].
8. Знайти ціле число, що задовольняє систему нерівностей
Jlogo,5(2*-3)>-3,
[jc2 -4jc > 0.
9. З точки, відстань від якої до площини дорівнює 5уІ2, проведено дві
похилі, що утворюють з площиною кути по 45°, а між собою кут 60°. Знайти
відстань між основами похилих.
10. Вектор a(jc;-l;2) перпендикулярний до вектора b (1;2;0). Знайти
модуль вектора а.
Варіант IV
г г TV/2
-л/2 sin—.
1. 	Обчислити
2. Знайти всі цілі значення jc, що задовольняють нерівність -—- > 1 -—.
jc-5 х
3. Розв’язати рівняння Vjc3 +8 + Vjc3 +8 = 6.
473

4. Знайти корені рівняння 21+1°82 * + 4,+І°82 * = 110.
5. Рівнобедрена трапеція з основами 2 і 3 см і кутом 60° обертається навколо
меншої основи. Знайти об’єм тіла обертання і записати відповідь, округливши її
до найближчого цілого числа.
6. Знайти кількість коренів рівняння cos2 2х + cos2 6х = 1, що належать
проміжку
Nil
7. Знайти координату середини відрізка, на якому справджується
нерівність logo,1 (х2 ~ х + 8) > -1.
8. Знайти два числа, якщо їх середнє арифметичне на 16 менше від
більшого з цих чисел, а середнє геометричне на 8 більше від меншого з них.
( І— о ^
v2cosa-2sin(45 -a)
9. Спростити вираз о ; /г І •
^2sin(60 +a)-v3cosa J
10. Знайти найменше і найбільше значення функції у = Jx(\0-x) в області
її визначення.
Варіант V
1. Розв’язати рівняння -Jx-4 + Jx + 24 = 14.
2. Спростити
а-УІа2-b2 а + тіа2 -Ь2
а + уіа2-Ь2 а-^а2 -Ь2
3. Знайти більший корінь рівняння
4 Va4 -
2l2
a*b
(5b)2
-\a>b> 0.
lg2(100x) + lg2(10jc) = 14 + lg—.
д:
4. Знайти найменше додатне ціле де, що задовольняє нерівність
Vo,8I<Jt“3) >0,64.
5. Обчислити cos 2a, якщо tg a = 0,75.
6. Знайти корінь рівняння sin jc - 1 = 0,5sin 2х - cos jc, що лежить в інтервалі
0° < jc < 180°. Відповідь записати у градусах.
7. У рівнобедреному трикутнику висота відноситься до основи як 3 :4, а
бічна сторона дорівнює 2 л/39 см. Знайти площу трикутника.
8. Металевий циліндр із діаметром основи d = 4 см і висотою h = 4 см
переплавлено в кулю. Обчислити радіус цієї кулі (вважати J\2 * 2,3).
9. Число 26 розбити на такі два доданки, щоб сума їх квадратів була
найменшою.
10. Розв’язати рівняння 0,125 - 42дс 3
f 0,25
"U.
474

1. Обчислити
Варіант VI
(л/2-л/3)2+2л/6
(7б+і)(л/б-і) '
2. Обчислити Зх +у + z, якщо jc +у + 2z = 14,2х + у + z = 10, х + + z = 12.
3. Розв’язати рівняння log2(17 - 2х) = 4 - х.
4. Обчислити значення 10х, якщо х = lg 12 + (log410)“1.
5. Дано: ctg2a = — ,0<a<^. Знайти cos2 a.
6. Скільки коренів рівняння sinjc + cosjc = 1,4 міститься на відрізку [-я, Зя]?
7. Знайти координату середини відрізка, на якому виконується нерівність
3^/*+Т-л/*+ї>2.
8. Восьмий член арифметичної прогресії дорівнює 2, одинадцятий член
дорівнює 11. Скільки членів прогресії, починаючи з першого, треба взяти, щоб
їх сума дорівнювала 30?
9. Знайти квадрат найбільшого значення функціїДх) = sinx + cosx.
10. Через вершину конуса проведено площину, що утворює з площиною
основи кут, косинус якого дорівнює —, і відтинає на колі основи дугу 90°.
З 2
Відстань від центра основи до цієї площини дорівнює -—. Знайти об’єм
конуса. ^
Варіант VII
1.Обчислити (4"0’25 -2°’5)(4"°’25 +(2л/2)1/3).
2. Обчислити значення виразу х - у + 2z, якщо х+>> = 4, у + z = %,
х + z = 6.
3. Розв’язати рівняння —lg2 = lg(2^* - 2).
2х
4. Скільки коренів рівняння sin х + cos 2х = 0 міститься на відрізку
[-71, ЗТС]?
3 к
5. Дано: tga = — ;0<a<—. Обчислити значення виразу 25sin2 a cosa.
4 2
6. Знайти довжину відрізка, на якому справджується нерівність
Vx + Vx < 6.
7. Скільки разів перетинає вісь абсцис графік функціїДх) = х3 + Зх2 +5х?
8. Сума сьомого й одинадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 10,
а сума п’ятого і десятого членів дорівнює 1. Знайти суму 20 перших членів.
9. Обчислити/' (1), якщо /(х) = Vx.
xz+l
10. Бічна сторона рівнобедреної трапеції в 3 рази довша від меншої основи.
1Сектриси тупих кутів трапеції перетинаються в точці, що лежить на основі.
475

Знайти відношення площі трапеції до площі трикутника, утвореного меншою
основою і бісектрисами.
1. 	Розв’язати рівняння
Варіант VIII
х-1 Зх 5
х 2х-2 2
2. Знайти х у градусах, якщо 180° < х < 360° і
cos2(180° + х) + 3 cos2(90° + х) = 2.
3. Знайти найбільше значення х, при якому справджується нерівність
х2 +4(уі4-х)2 -21<0.
4. Розв’язати рівняння 2^/Зд: + 0,1 = 3^3* + 0,1 -1.
5. Різниця довжин основ трапеції дорівнює 14 см; довжини бічних сторін
дорівнюють 13 і 15 см. Обчислити площу трапеції за умови, що в цю трапецію
можна вписати коло.
6. Моторний човен спочатку пройшов 60 км проти течії річки, а потім
60 км за течією, затративши першого разу на 50 хв більше, ніж другого. Знайти
швидкість течії річки, якщо швидкість човна в стоячій воді дорівнює 21 км/год.
7. Знайти число х, якщо
№
11L.
(^/з)-1 - 27-2/3 3(^3 )4 2
8. Обчислити значення виразу 27cos4 2а, якщо cos(3n - 4а) = —.
9. Знайти суму і добуток коренів рівняння
x2-6-*+6'f*+2=x2-6'f* +62~х.
10. Обчислити значення А, якщо А = 4в,деВ = log25 + logQ 2510.
Варіант IX
(х-1)(У9? 92
Ої'
1. Знайти число х, якщо . ,
2. Розв’язати рівняння 2Х~1 + 2Х~2 + 2Х~3 = 448.
3. Розв’язати рівняння lg (lg х) + lg (lg х3 - 2) = 0.
4. Площа рівнобедреної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 32 см •
я
Знайти довжину бічної сторони, якщо кут при основі трапеції дорівнює ^ *
5. Знайти синус більшого гострого кута прямокутного трикутника, якшо
радіус кола, описаного навколо трикутника, у 2,5 рази більший від радіуса
вписаного кола.
6. Спростити вираз
476

tg(я - a) tg^— + a J+ sin(2 л - a) cos|^— + a j- cos2 (я - a).
7.Обчислити (0,001lg3_l +0,01lg0’3+0-5)-2,7.
8. На ребрі двогранного кута 120° узято відрізок АВ = 3 см; з його кінців у
різних гранях до нього побудовано перпендикуляри АС = 1 см і BD = 2 см.
Обчислити відстань між точками С і D.
х
9. Дано: F(x) = + 2. Знайти суму коренів рівняння F(jc) = F\x).
2-х
10. Знайти площу трикутника, утвореного відрізками осей Ох і Оу та
прямою, що проходить через точки (0; 4) і (4; 2).
Варіант X
1. Знайти число 2jc, якщо
«у г вмщвфщ
14 ' , &г-2'12
2. Знайти значення виразу х2+уг, якщо 2х +у = 2, х + Зу = 3.
3. Розв’язати рівняння log^ (jc -1) + log у2 (х +1) - log(7 - jc) = 1.
4. Скільки цілих значень jc задовольняє нерівність jc2 + 8jc < 20?
5. Розв’язати рівняння 2х + 3 • 2х + 2 = 6,5.
6. Знайти значення виразу tg215° + 4tg 60°.
7. Скільки коренів рівняння sin jc - sin 2jc + sin 3jc = 0 міститься в проміжку
[0,7C]?
8. Шостий член арифметичної прогресії в 4 рази менший від дев’ятого
члена, а їх сума дорівнює 20. Знайти суму дев’яти перших членів прогресії.
9. Знайти точки екстремуму функції/(jc) = jc In jc.
10. Через вершини довільного чотирикутника проведено прямі,
паралельні його діагоналям. Знайти відношення площі паралелограма,
утвореного цими прямими, до площі даного чотирикутника.
Варіант XI
1. 	Знайти число 3jc, якщо
2. Знайти значення виразу jc2 - у, якщо 2jc - 5у = 0, jc + ІОу = 2.
3. Обчислити значення 5х, якщо х = log416 +1,5 log^ 3 - lg V5 - lg Л.
4. Обчислити довжину відрізка, на якому виконується нерівність
х2 -х <6.
5. Розв’язати рівняння 4 5х -5~х + IglOO = 5.
6. Спростивши вираз, обчислити cos 20° - sin 20° ctg 10°.
7. Знайти кількість коренів рівняння cos jc - cos 3jc - sin 2jc = 0, що належать
пРоміжку [0, я].
477

8. Дослідити функцію/(jc) = jc3 + 3jc2 - 5. Скільки разів її графік перетц
нає вісь 0x1
9. Сума шостого і дев’ятого членів арифметичної прогресії Дорівнюе
20, а їх добуток дорівнює 64. Знайти десятий член цієї прогресії, якщо її
перший член від’ємний.
10. Осьовий переріз конуса — рівносторонній трикутник. Знайти відн0.
шення об’єму конуса до об’єму вписаної в нього кулі.
Варіант XII
1. Розв’язати рівняння V3jc + 1 -уіх- 1 = 2.
2. У трикутнику з основою 15 см проведено відрізок, паралельний основі.
Площа отриманої трапеції становить 75% площі трикутника. Знайти довжину
цього відрізка.
3. Спростити вираз
sin (60° + а)
а потім знаити його значення, якщо sin
4sin^l5° jsin^75° j
^30°+yj=0,8i 0° < а < 90°.
4. Розв’язати рівняння lg2( 100лг) - lg2(10jc) + lgx = 9.
5. Знайти найменший з від’ємних розв’язків нерівності
£
3+2* >-Л
4-х
6. 	Скільки коренів, що не перевищують за модулем тс, має рівняння
(Зк )
— + * =с
^ 2 ) (зУ*_/ Ґ7 У'
7. 	Розв’язати рівняння І — І — І — І =0.
l + ctg2| — + jc =cos4 jc — sin4 JC?
\3jc-7 / _ \7дг-3
8. 	Відношення середнього арифметичного двох додатних чисел до серед-
13
нього геометричного цих чисел дорівнює —. Знайти відношення більшого з
даних чисел до меншого.
2
З' г "
10. 	Довести, що функція/(jc) = sin2 2jc + 0,5cos 4jc + 2sin2 jc + cos 2jc набирас
того самого сталого значення при будь-якому значенні jc, і знайти це значення.
9. Дано: cos3a = —. Обчислити значення виразу 81cos2| 6a- — 1
2)
Варіант XIII
1. 	Спростити вираз
х~** —64 1 4х2(2х + і)
16 + 4х~2+х~а 4-4jc_ +х і-2х
478

2. Спростити вираз [ 1 +—!—+tg2a У 1 —+tg2a I
^ cos2a д cos2a J
3. Розв’язати рівняння 1,5 • 4Jf+0,5 = 6х + 2 • 9*“0,5.
4. Сума першого, третього і п’ятого членів арифметичної прогресії
дорівнює -12, а їх добуток дорівнює 80. Знайти перший член ах і різницю
d прогресії, вибравши найменше значення а{.
5. Знайти суму всіх цілих розв’язків нерівності log0 5 > -1.
’ 1-х
6. Знайти кількість розв’язків рівняння /'(дг) = 0 на відрізку [0, 2я], де
удо = 4sin 2х - 3cos 2jc— IOjc.
7. У рівнобедреному трикутнику довжина бічної сторони дорівнює 4 л/ЇО,
а довжина медіани, проведеної до бічної сторони, дорівнює 3>/Ї0. Знайти
довжину основи трикутника.
8. При якому значенні параметра а рівняння |х2 -2х-з\ = а має лише
три розв’язки?
9. У трикутній піраміді ABCD грані ABC і BCD — правильні
трикутники з даною висотою. Кут між цими гранями дорівнює ф. При якому значенні
—площа повної поверхні піраміди є найбільшою?
costp
10. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до параболи у = х2 -
- Зх + 4 з початку координат, за умови, що абсциса точки дотику — число
додатне.
Варіант XIV
2 1 , х-4 _Л
1. Розв’язати рівняння 7 2 Г”+ ~~2 І- ~
к * -4 х -2х xz+2x
2. Обчислити А = 5В, де В = 21og25 8 + logo 2 5.
3. Знайти найменше х, при якому справджується нерівність
(EiL.
2 х-6
4. У басейн проведено три труби. Перша наповнює його на 4 год довше,
ніж друга, а друга — за і часу, необхідного для наповнення басейну третьою
З
^Убою. Якщо всі труби будуть відкриті одночасно, то басейн наповниться за
^ год. За скільки годин перша і третя труби окремо можуть наповнити басейн?
5. Розв’язати рівняння
(х2 - Зх)9'^~* + 4•9х =(х2 - Зх)9* + 4• 9^.
6. Знайти числох, якщо 16— _ (іб)1/6 .4'|,/2.
-J64 х
479

7. 	У рівнобедреній трапеції бічна сторона дорівнює середній лінії, а перй
метр дорівнює 48. Знайти довжину бічної сторони.
8. 	Обчислити значення виразу 4tg2 —+а L якщо sin — = —?=.
2(п \ . а 1
—+СС І якщо sin— = —=■.
V2 / 2 Я
•г
9. Розв’язати рівняння xlfx+l6=8VJt2, х>0.
10. Знайти х у градусах, якщо 0° < х < 360° і 2sin2(x + 270°) - 7sin (* +
+ 90°) = 4.
Варіант XV
1. Розв’язати рівняння х2 -22^ +42~х = 16-4^ +х2 Т2х.
2. Знайти число х, якщо
VTs-s-1'2 (iff і
(У25)2-ії хЛ5) \Уїі ,
2 1
3. Знайти значення Ау якщо А-2В + 6е, де В = і С =
log^/з 2 log26
4. Розв’язати рівняння y/42-x = 2 + V6-х.
с п . 6 3 2
5. Розв язати рівняння — = 1.
х2-\ * + 1 JC-1
6. Знайти значення виразу 16sin4^~^-- 2а^ якщо sin|^--4a j=^.
7. Два кола однакового радіуса дотикаються зовні в точці С. Крім того,
кожна з них дотикається зовні до третього кола радіуса 6,5 у точках А і В.
Знайти площу трикутника ABC, якщо АВ = 5.
8. Знайти найбільше значення х, при якому правильна нерівність
х2 +х-45 > Зх + 1
х-6 2
9. Знайти х у градусах, якщо 90° < х < 270° і 3cos2(x + 270°) + sin2(* +
+ 180°) = 1.
10. За першу поїздку автомобіль витратив 10% бензину, що був у баці, аза
другу поїздку — 25% решти. Після цього в баці залишилося бензину на 13 л
менше, ніж було спочатку. Скільки літрів бензину було в баці спочатку?
Варіант XVI
в с 1 2
1. 	Обчислити значення А = 2 -10, де В = ,С =
log62 log210
2. 	Знайти значення х, що задовольняє рівняння
10*: (VI)2 =25/3-4“2/3:7б4.
480

3. розв’язати рівняння 2 Jx-2 -15 = Vx-2.
4. Знайти найбільше значення х, при якому правильна нерівність
2*-5л/Г + 2<0.
5. Знайти площу рівнобедреної трапеції, якщо її висота дорівнює 16, а
діагональ 20.
6. Знайти х у градусах, якщо 0° < х < 270° і sin (90°+2х) + sin* = 0.
7. 	Обчислити значення виразу 49: tg2| ОС+^т- І ЯКЩ° sin-^ =
8. На двох верстатах потрібно було обробити по 150 деталей, причому на
першому з них обробляли за годину на 5 деталей більше, ніж на другому. На
першому верстаті роботу розпочали на 1 год пізніше, ніж на другому, і, крім
того, перервали на 30 хв. Однак на обох верстатах роботу виконали в строк.
Скільки деталей за годину обробляли на кожному з верстатів?
9. Розв’язати рівняння х2 • 5^3х~2 + 52+х = 5^3*_2+2 + х2 • 5х.
Л ^ 6-х Jt + З * + 5
10. Розв язати рівняння =- = .
1-х2 *(1-х) х(\ + х)
Варіант XVII
X2-х
1. Розв язати рівняння р- = 6.
Х-УІХ
2. У квадраті ABCD точка Е — середина сторони ВС, а точка F— середина
сторони CD. Знайти тангенс кутаЯЛК
3. Знайти суму всіх значень параметра а, при кожному з яких рівняння
(а-2)х2-2у/бх + а-\ = 0 має лише один корінь.
4. Висота і діагональ рівнобедреної трапеції дорівнюють відповідно
5 і 13. Знайти площу трапеції.
5. 	Знайти sina, якщо ctg
Mb
6. Знайти суму всіх цілих розв’язків нерівності log1/3(2jc - 1) > -2.
7. Знайти довжину відрізка, який відтинає на осі ординат дотична, проведена
8
До лінії у - — в точці її перетину з бісектрисою першого координатного кута.
х
8. Точка М(2; 5) належить параболі у = - х2 + ах + 5. Знайти ординату
ВеРшини параболи.
9. Бічні грані правильної трикутної призми — квадрати. Площа бічної
новерхні призми дорівнює 144. Знайти об’єм многогранника, вершинами якого є
Центри всіх граней призми.
481

10. 	Знайти значення числа к, при якому рівність
2sin 4jc (cos4 2х - sin4 2х) = sin кх
правильна при будь-якому значенні jc.
Варіант XVIII
1. Знайти суму квадратів коренів рівняння jc(jc - 4з) = 1.
2. Розв’язати рівняння logons (l°g2 * -1) = -1.
3. Три цілих додатних числа утворюють геометричну прогресію. Знайти
третій член прогресії, якщо її другий член на 1 більший від першого.
4. Знайти найменше значення функції f(x) = |tg х + ctg *|.
5. У паралелограмі ABCD (АВ ||CD) бісектриса тупого кута В перетинає
сторону AD у точці F. Знайти периметр паралелограма, якщо довжина АВ
дорівнює 12 і AF: FD = 4:3.
6. Розв’язати систему нерівностей
1 ->1,
2-jc
2 • 42х > 32х.
7. Висота конуса дорівнює 6. Твірна конуса утворює з площиною основи
кут 60°. У конус поміщено піраміду, основою якої є рівнобедрений прямокутний
трикутник, вписаний в основу конуса, а вершиною — середина однієї з твірних
конуса. Знайти об’єм піраміди.
8. Параметр к квадратного рівняння jc2 - 2кх + 3(2к - 3) = 0 набуває таких
значень: 1,2,3,4,5,6 і 7. Кожному з цих значень к відповідає та чи інша кількість
коренів даного рівняння. Знайти кількість усіх коренів.
Л _ . Зх -1
9. Розв язати рівняння 4 arctg = я.
jc + 3
10. 	Знайти цілий корінь рівняння = -, якщо f(x) = V*2 - Зх +1.
2/ (х) З
Варіант XIX
1. Знайти найбільше значення функції f(x) = Jx2 -6jc + 16 у проміжку
[1,6].
п > х2(х-2)2
2. Розв язати нерівність ^^— > 0.
1°8о,5(* +1)
3. Знайти |jc|, якщо |jc - 4| + 5jc =-8.
4. У паралелограмі ABCD довжина діагоналі BD> перпендикулярної до
сто482

рони АВ, дорівнює 6; довжина діагоналі АС дорівнює 2 >/22. Знайти довжину
сторони m
5. 	Розв’язати рівняння
і
х+х + 4
х-\
 = 2.
1 COSJC
6. Знайти кількість коренів рівняння = 0 на відрізку [0, 9тс].
tgf
7. Куб з ребром, довжина якого 4^3, перетинає площина, що проходить
через середини трьох його ребер, які виходять з однієї вершини. Знайти площу
перерізу.
8. Знайти y/Scos arctg 0,75.
9. 	Знайти lim
х-3
Vjc + 1 -2
10. Обчислити
і і і (-1)"
МЛ 3+9 27+ + 3П +"
l81J
Варіант XX
1. 	Знайти значення числа а, при якому система
їх-у | х + 3у 2
З 5
х+2у х-5у
2 З
5х-у х-10 у
= 3,
має розв’язок.
2. 	Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій
у = 4- х, у = 4 + х,у = \х\.
3.Знайти
[ sin 80° + sin 40°
sin 70°
4. Розв’язати рівняння log2 (2х) = log2 х4.
5. У прямокутному трикутнику відношення катетів дорівнює 0,5. Знайти
Тангенс гострого кута між медіанами, проведеними до катетів.
483

6. Сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії дорівнює 9 а
сума квадратів її членів дорівнює 40,5. Знайти другий член прогресії.
7. У результаті вимірювання деякої величини отримано п’ять значень: 51-
51,2; 51,4; 52,1; 52,3. Знайти таке число jc, для якого сума квадратів різниць мі*
отриманими значеннями і числом jc була б найменшою.
\oR7(9-x{ogxlX 3)
8. Розв’язати рівняння —— - = 1.
X
9. Довжина гіпотенузи АВ прямокутного трикутника ABC дорівнює 4. Знайти
суму АВ АС + ВС ВА + СА СВ.
10. Знайти найменший додатний кут (у градусах), що задовольняє рівняння
2cos2(270° + а) + 7sin(270° - а) = 5.
2. Довжина основи рівнобедреного трикутника дорівнює 12. Радіус
вписаного в трикутник кола дорівнює 3. Знайти площу трикутника.
3. Знайти суму всіх цілих додатних розв’язків нерівності
7. Знайти максимум функції / (jc) = — .
jc +1
8. В основі піраміди FABC лежить правильний трикутник ABC, сторона
якого дорівнює 20. Ребро FB перпендикулярне до площини основи і має довжину
5. 	Піраміду перетинає площина, паралельна мимобіжним ребрам АС і FB, так, що
в перерізі утворився квадрат. Знайти довжину сторони квадрата.
9. Знайти відстань між точками перетину параболи у = -^jc2 —-jjc —З і прямої
4jc + Зу + 9 = 0.
10. Розв’язати рівняння \х - 4) = jc.
Варіант XXI
1. 	Розв’язати рівняння >/2jc + 1 + у[х = 5.
4х-1 -2х < 1,25.
sina-2cosa
5. Розв’язати рівняння log2 logQ 5 log9 jc = 0.
6. Розв’язати систему рівнянь
20jc
484

Варіант XXII
1. Вираз (21og2 25 + lg 2) log210 подати у вигляді (A \og2 5 + В)1.
2. Відомо, що точка перетину прямих 2х+у = 9 і кх + 5у = 18 належить
бісектрисі першого координатного кута. Знайти число к.
3. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника менший 60°. До
бічної сторони проведено медіану і висоту, довжини яких відповідно дорівнюють
і 6. Знайти довжину бічної сторони.
4. Дотична, проведена до параболи у=х2 - 5х + 10, утворює з віссю абсцис
пут 45°. Знайти відстань від точки дотику до початку координат.
. о . 25 10 „
5. Розв язати рівняння + # = 3.
2х + 1 v2x + l
6. Знайти cos2 2а, якщо sina - cosa = —
V5
7. П’ятий член арифметичної прогресії дорівнює 4. Якою повинна бути
різниця прогресії, щоб сума квадратів другого і шостого членів була найменшою?
8. У піраміді FABC через медіану ВК основи ABC і середину L бічного ребра
FA проведено площину. Знайти відношення об’єму многогранника BCKLF до
об’єму піраміди ABKL.
9. Знайти суму всіх цілих розв’язків нерівності 2х + 9 • 2 ~х < 10.
10. Розв’язати рівняння — (fix +1) = — arctg 1 + arccosf- — 1- arcsin
24 2 I 2 I 2
Варіант XXIII
1. Сума модулів коренів квадратного рівняння 4дс2 + кх - 3 = 0 дорівнює
2, причому модуль від’ємного кореня більший від додатного кореня. Знайти
число к.
2. Знайти найменший додатний корінь рівняння log3 ctg~ + ~ = 0-
3. Різниця між площею круга і площею вписаного в нього квадрата дорів-
ик* 2л/з(л - 2). Знайти площу правильного шестикутника, вписаного в цей круг.
4. Розв’язати рівняння 2х + vjm-11 = 14.
2х 2
5. Розв’язати рівняння — = (sinl5°+ tg30°cosl5°) .
6. Усі чотири грані піраміди — правильні трикутники. Знайти відстань між
Центрами двох її граней, якщо площа повної поверхні піраміди дорівнює 81V3.
7. Розв’язати рівняння ^1 = 0.
jc + 3
485

8. Знайти довжину відрізка, який відтинає на осі абсцис дотична, проведе^
до графіка функції у - уіх2 +2х + 4 у точці з абсцисою -2.
2
л О « , X + JC + 1 _
9. Знаити цілии розв язок нерівності — < 0.
х -12jc + 35
10. Знайти кількість коренів рівняння sinx + cos2* = 0, що належать
відрізку [0, Зтс].
Варіант XXIV
2 2 2
1. Знайти суму всіх коренів рівняння (jc -їх+ 2) -13(jc — 7jc) — 26 = 0.
2 S ТС
2. Знайти sin Зос, якщо а = 2 arctg 1 - arcsin — - —.
3. У прямокутному трикутнику ABC довжини катетів АС і ВР відповідно
дорівнюють 12 і 8; точкам—середина медіани BD. Знайти довжину відрізка СК.
4. Розв’язати рівняння log^ (jc4 + jc3 - 6jc2 - 7jc) = 4.
5. Знайти найменше значення функції /(jc) = 2х + 22-* на відрізку [0,2].
6. В основі прямокутного паралелепіпеда ABCDAXBXCXDX (А4і||2Юі|
||ССі|Щ) лежить квадрат ABCD, площа якого дорівнює 50. Точка О —
центр квадрата ABCD, точки F і К — відповідно середини ребер ССХ і AXBV
Вектор OF перпендикулярний до вектора DK. Знайти об’єм паралелепіпеда.
7. Якщо деяке двоцифрове число поділити на добуток його цифр, то в
частці вийде 3, а в остачі 9. Якщо ж до суми квадратів цифр цього числа
додати добуток його цифр, то вийде вихідне число. Знайти це число.
2 ( ТІ ^ ТС
8. 	Знайти sin jc, якщо tg І jc -f- — І— 2 tg jc = 2 і 0 < jc < —.
9. Точка перетину прямих 2x-^=10i3jc + 2^=l належить колу з центром
у початку координат. Знайти радіус цього кола.
10. Знайти добуток усіх цілих розв’язків системи нерівностей
Jjc2 - 5jc-6<0,
1 jc2 — 3jc > 0.
1. Знайти додатні корені рівняння jc2+-^ + 3|jc + — |=£
Варіант XXV
■-Ь
2. Розв’язати рівняння log0 5 (jc-12) = -log2 л/jc.
3. У трикутнику ABC кут С дорівнює 60°, сторона АВ дорівнює ЛІ. На
стороні АС відкладено відрізок AD, довжина якого дорівнює 3. Знайти довжину
сторони ВСУ якщо довжина відрізка BD дорівнює 2^1.
486

4. Бісектриса AD рівнобедреного трикутника ABC утворює з основою АС
тангенс якого дорівнює 0,5. Знайти косинус кута ABC.
5. На координатній площині хОу дано пряму х + 5у = 4 і два вектори
^(2 _3) і Ь(-\ \ 5). На даній прямій знайти таку точку М, щоб вектор ОМ був
перпендикулярний до вектора 2а + ЗЬ.
5. 	В основі чотирикутної піраміди лежить квадрат. Одне з бічних
бер перпендикулярне до площини основи. Яку довжину повинна мати
висота піраміди, щоб радіус кулі, описаної навколо піраміди, був
найменшим, якщо об’єм піраміди дорівнює 72?
7. Дано функцію f(x) = 2 sin х - cos 2*. Чому дорівнює її найбільше зна-
\К 3*І9
чення на відрізку І— V?
8. Знайти /'(2), якщо/(дг)=*1п(лг2 + 2л:-7).
9. Знайти суму всіх раціональних (зокрема і скоротних) дробів із
знаменником 2, що є розв’язками нерівності 2х + 3 • 22~х <13.
10. Знайти площу фігури, обмеженої графіком рівняння х + \у\ = 2 і віссю
ординат.
Варіант XXVI
1. Розв’язати рівняння х = 2 -уі-\0х-х2 .
2. Пасажир проїхав на потягу 120 км і, пробувши на станції 40 хв,
повернувся зі зворотним потягом, що проходить за годину на 6 км більше, ніж
перший. Загальна тривалість поїздки становить 8 год. Скільки кілометрів за
хвилину проїжджає кожен потяг?
3. Знайти середину проміжку, на якому виконується нерівність
4х2 +4х + 2(тІ2х + \)2 <34.
4. 	Два кола однакового радіуса дотикаються в точці С зовні. Крім того,
кожне з них дотикається зовні до третього кола радіуса 5 у точках А і В.
Визначити площу трикутника ABC, якщо АВ = 6.
4-1/3162/3 П)3'4 І
-йг -W
5. Знайти х, якщо , , , л
Уб4х l2J уІ32
6. Знайти суму і добуток коренів рівняння
2х2 ■ 2 + х ■ 2Х+І = 2х2 ■ 2х + х • 2^+І.
7. Обчислити А = -4а jj , якщо cos2a = -j=.
о п у 2х + \ Зх 5
о. 	Розв язати рівняння + = —.
jc 2(2jc + 1) 2
487

9. Знайти х у градусах, якщо 0° < х < 360° і 2 cos2 (jc + 270°) = 3 sin (jc + 270'
10. Обчислити А, якщо А = 4В + 5е, де В = —!—, С = *
21og5 2 log7 5
Варіант XXVII
1. Знайти х у градусах, якщо 90° < jc < 270° і sin2 (180° + jc) + З cos2 (180° +
+ jc) = 2.
2. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, тангенс дво-
4
гранного кути при основі дорівнює —. Знайти площу повної поверхні піраміди.
3. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел А
ЯіС,деЛ = 62,Я= 102 і С = 42.
4. Арифметична прогресія має 10 членів. Сума членів, що стоять на
парних місцях, дорівнює 50, а сума членів, що стоять на непарних місцях,
дорівнює 35. Визначити перший член і різницю прогресії.
? JC — 1
5. Знайти корінь рівняння log4 (jc + 3jc - 4) = log4 .
x + 4
2 1
6. Обчислити A, якщо A = 105 + 3е, де В = і С = -
log310 log63
7. Знайти значення похідної функції / (jc) = S*n* + у точці jc = 0.
cosjc - З
8. Знайти середину проміжку, на якому виконується нерівність
jc2 +7<6jc + >>2, де у = (7-2jc)1/2.
9. Знайти квадрат відстані між точками, координати яких задовольняють
\х~1+у~1 =0,
систему рівнянь <
[х + У =8-
10. Знайти х з рівняння 82/3 • 23 • (0,5)-2 • jc-1 = 27 • 2-2.
Варіант XXVIII
1. Для перевезення 60 т вантажу потрібно деяку кількість машин.
Оскільки на кожну машину навантажували на 0,5 т менше, то довелося замовити
ще 4 машини. Скільки машин було викликано спочатку?
2. Знайти середину проміжку, на якому виконується нерівність
. 1-2* ЛС
logo,25—г<0,5.
JC + 1
3. Розв’язати рівняння jc = (16-jc2 -6jc)1/2 -2.
a n » 2jc +1 2,5jc . _
4. Розв язати рівняння + —-— = 3,5.
х 2JC + 1
488

5. На відрізку [0°, 360°] знайти кількість різних коренів рівняння
_ . . 1 З
7 + 4sinjc: + = 0.
cos* cos(90°-2jc)
6. Знайти суму і добуток чисел jc, у, z, що задовольняють систему
5jc-2j>-z = 2,
< 3x + 4y-5z = 4,
x + 3y-2z = -1.
7. Обчислити А = sin (90° - 2jc), якщо sin (180° -х): cos (180° - jc) = -2.
8. Знайти коефіцієнти к і q рівняння прямої = kx + q, що перетинає гіперболу
Ьі у точках з абсцисами jc = 2 і jc = -3.
jc
9. Дано рівняння відносно jc:
х • 3у-х • 3х = З-*”*'1 -Зх+\ де у — (х+2)хп.
Знайти суму і добуток коренів цього рівняння.
{Зх + 2у = к,
~ ~ має єдиний
х2+у2=П1
розв’язок?
Варіант XXIX
1. 	Знайти число, 3,2% якого становлять А
' 1
: 18-
3
зГ 0,5:1,25 + —: 1 — - — 1
І 5 7 11 J
" И)
2. Спростити вираз
2 a^ + b4b-(b-af(4a+4b)~3 (4ії-а) lg64
a3/2+bvl (6 —e)lg4
^ ^ • 4 За _ . 2 За 2 За 4 За .
3. Спростити вираз sin 6sin —cos — + cos cos6a + 4.
F F 2 2 2 2
4. Дано три вектори a, b і c, що задовольняють умову а - 6 - с- 0.
Знаючи, що |я| = 3, |^| = 4 і |е| = 5, обчислити bc-ab - са.
5. Відомо, що при будь-якому п сума Sn членів деякої арифметичної
прогресії виражається формулою Sn = 5п2 - 4п. Знайти три перших члени
нрогресії.
6. Розв’язати рівняння >lx + 6 - j3x-26 =уіх-6.
7. Знайти корені рівняння log2(9x+2 + 7) = 2 + log2(3*+2 +1).
489

8. Навколо круга радіуса 4Ї см описано рівнобедрену трапецію з гострцм
кутом 60°. Знайти довжину середньої лінії трапеції.
9. Знайти х у градусах, якщо -90° < х < 90° і
sin (180° - х) cos (90° - 7х) = cos (270° + Зх) sin (360° + 5*).
10. Твірна конуса дорівнює 2 см і утворює з площиною основи кут 30°
Знайти об'єм описаної навколо конуса піраміди, в основі якої лежить ромб з
тупим кутом 150°.
Варіант XXX
1. Знайти два перших члени нескінченної геометричної прогресії (0 < q < і)
.. . 26
сума якої дорівнює 9, а сума трьох перших u членів дорівнює —.
2. Розв'язати систему рівнянь
Vjc + 2 +Jy + \ = 1-f,
2у/ху + * + 2іу + 2= 5 + ґ2 +21.
. „ , (9 Y ( 8 Y"1 lg64
3. Розв язати рівняння — • — = ——.
Н 1,27 J lgl6
4. Знайти x у градусах, якщо -80° < х < 80° і
4 (sin 2х cos5 2х + cos 2х sin5 2х) + sin3 4х = 1.
5. 	Знайти цілі числа х, що задовольняють нерівність
8
9
jc-12
6. У правильній чотирикутній піраміді довжина її бічного ребра і діагоналі
основи дорівнюють 2л/з см. Знайти об'єм піраміди.
7. Відстань між містами А і В дорівнює 195 км. З А до В і з В до А одночасно
виїжджають два потяги і зустрічаються через 3 год. Потім вони продовжили
13
свій рух. Потяг з А прибув до В на ~ год раніше, ніж другий прибув до А.
Визначити швидкість потягів.
8. Знайти значення похідної функції у = 3 cos І * + — L якщо х = 1.
9. 	У прямокутному паралелепіпеді ABCDAXB{C^DX діагоналі основи АС і
DB перетинаються в точці М і ZABD = 60°. Визначити скалярний добуток
AC AD, якщо \В\М =3 iZBMBl =30°.
10. Яке число більше: log2 28 4Hlog320 412?
490

ВІДПОВІДІ
Розділ і
АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА.
ГЕОМЕТРІЯ
Глава 1
АРИФМЕТИЧНІ ДІЇ
1.001. 	20. 1.002. 1. 1.003. 32. 1.004. 0,5. 1.005. 5. 1.006. 1. 1.007. 3. 1.008. 1.
1.009. 	9. 1.010. 1. 1.011. 2. 1.012. 4. 1.013. 12. 1.014. 1.1.015. 4. 1.016. 2. 1.017. 8.
1,018.3.1.019. 	2.1.020. 3.1.021. 0,5.1.022. 1.1.023. 10. 1.024. 1.1.025. 3. 1.026. 3.
1.027.6.1.028.2.1.029.3.1.030.0,5.1.031. 1.032.11.1.033.1.1.034. 1.035.
6 З
9 1.036.16.1.037. —. 1.038. 5.1.039.12.1.040. —. 1.041.1.1.042. 1.043.5.
27 14 З
1.044. 	5.1.045. 25. 1.046. 1. 1.047. 125. 1.048. 0,25. 1.049. 5. 1.050. -1,5.
Глава 2
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
АЛГЕБРАЇЧНИХ ВИРАЗІВ
2(у[р+у[я)2 (y[a+y[b)2
2.001.*- 1. 2.002. ^ * • 2.003. — 2.004. 0,2. 2.005. 0.
p-q а-Ь
2.006. 2.007. (Jm-Jn)2. 2.008. у2. 2.009. — • 2.010.-4. 2.011.
ab t
— . 2.012.х+ 1.2.013. JcTa. 2.014. + 2.015. mJZ. 2.016.
(1-дг2) (дг-1) УІУ
І 2 л/ 5 1
r1/p_z|/?| 2.017. -У*. 2.018. 0,04.2.019. 16.2.020. —. 2.021. ,
1 а УІх2-1
2-022. - \[х, якщо х є (0,2); Jx, якщо х є (2, °°). 2.023. л/бх. 2.024. \І20х. 2.025.
1-2.026. - * ЇЛИ. - ^2, якщо хє (-о», -1)U(1,°°); V2, якщо хе (-1,1).
УІа2Ь
2-028. -_2 2.029. 2.030. - 1. 2.031. -. 2.032. 5. 2.033. 4р-^4р2-1.
491

2.034. -Ja2 -1. 2.035. 1 r-. 2.036. -3n (m + p). 2.037. -Jx ^1+Л
Ja+Jl'
1-а 1
2.038. 	-—{=-■ 2.039. - 4. 2.040. 0,1. 2.041. —5—: . 2.042. 1.2.043. ( —) "
Vfl a +a +1 yn J
2.044.1.2.045. 2.046.-1.2.047. -^L. 2.048.0,5.2.049. q(p + q). 2.0s«
i-x b — 2a
1 + 3x2. 2.051. 5. 2.052. 1 -x2. 2.053. —Ц-. 2.054. 1. 2.055. ^x + y-\J^
1 -p
2.056.0,5.2.057. 2.058.1.2.059. —. 2.060. 24 . 2.061.20.2.062.2e+
x + y xу 5y-2x
+3.2.063.1 + 2x. 2.064. . 2.065.x+y. 2.066.-(Vx +AJy). 2.067.a5/6. 2.068
a + b
—-. 2.065.x+y. 2.066.-(Ух+4
a + b
1. 	2.069. в1/3 + 61/3. 2.070. a-b. 2.071. , 2.072. V?-yfb2. 2.073.1
m
l l
2.074 ! . 2.075. JC'”+3JC" . 2.076. 6. 2.077. 0,25. 2.078. 2. 2.079.
aC'Ja-Va)
•it2 -4
■Д(т + 3). 2.080. a-b. 2.081. ——1. 2.082.-1.2.083.2x-l. 2.084.1.2.085.1.
t + 2
2.086. 25, якщо a <0; - 25, якщо e > 0. 2.087. -Joe. 2.088. -J\ + x. 2.089.2.
1/3 1/3 ,
2.090.3.2.091. —. У ■ 2.092. ——. 2.093. 2-Л. 2.094.0.2.095. z1/(p'3).
6£y *2-i
а2 Л
2.096. 	—^ . 2.097.2.2.098.1.2.099.-1.2.100.z(z + l)(z + 2).2.101.
4 (a -x) 2e
2.102. 	1-а,якщоає (-oo^-i); a- 1,якщодє(-1, 0)|j(0, l)(jO> °°)- 2.103.0,5fl.
2.104. (a+byib2 +2аг. 1105.-1.2.106. —.2.107. .1108. 2.109.100.
35 2(a-l) 24
з І з”
2.110. -. 2.111. —. 2.112. . 2.113. pyfx+ifx. 2.114. 16a2. 2.115. (a + bf-
3 ab
2.116. . 2.117. - a2. 2.118. 0,5. 2.119. 0,6. 2.120. 31. 2.121. ‘V#.
m
492

2122.2^18. 2.123. 0. 2.124. 0. 2.135. 0. 2.136. 0. 2.137. —2.138. - 0,75.
** ab
2.139- 0,75. 2.140. 0,2. 2.141. 6. 2.142.-0,5>/б. 2.143. a - b. 2.144. a + b.
2.J45. 1. 2.146. 2(AS-V2)(S+V2)(3 + j2). 2.147. (t/l3+>/3)x
x(i/l3+3). 2.148.-0,5(4 + зЛ)(5 + 3>/3). 2.149.0,5(3VI + 2V3-V30). 2.150.
23 а
638. 2.157. a) ; б) 4. 2.158. якщо ає (-1,1); ^ + 1 , якщо
З а + 3 а + 3
а є (1, о®). 2.159. 2.160.1.2.161. (а~2)л(^Ч. 2.162.-2, якщо ає(-~,0);
аЬ (а + 2)л/а-1
2,якщо ає(0,~). 2.163. 2.164. 2.165. -J—. 2.166. ^1
х2 V л-З V/-2 ,/£
2
якщо 6є(0,1); якщо 6є(1, ©о). 2.167. - (/я2 + m л/2+ >Й) , якщо
4ь
тє(-оо, 0)U(0, 1); —якщо /иє[1, ^2)и$2, оо). 2.168. -(х2 + * + 1),
т - v2
якщо дгє (-©о, 1)U(1, 3); х?+х+1, якщо *є (3, оо). 2.169. тп. 2.170.-0,5а,
якщо ає (-оо,-2); 0,5а(а-1), якщо а є (-2, ©о). 2.171. 0,5(* + j>).
(4-д)(д2+ 16) 4(д - 4)
2Л72- 2а (а + 4) » яіаЧ° М» 0)U(0, 4); +- , якщо а є (4, оо).
2.173. —, якщо тє(-оо,-2)(J(-2, 0)U(3, ©о); !—, якщо /яє (0, 3).
/я + 2 /я + 2
2.174. - - ,якщохє (-оо, 0)U(0,1)U(1, 2); —, якщо хе (2, 3)U(3, оо). 2.175.-1,
якщохє [1, 2); 1, яюцохє (2,оо). 2.176.—, якщо ае (-оо,-3)(J (-3,-1)U
а + 3
U(4,2), ——, якщо ае(2, оо). 2.177. —т—-, якщо лгє(—~, 0); + * + ^-,
я + 3 — де *2+jc
«кщохеСО, 1); -, якщо *є [1, <*»). 2.178. 2.179. ——. 2.180. 1
х а -1 а -1 1 - Зх
493

якщо жє (-~,0); (7ТЩ—і) , якщо дгє [о, ^ - якц,с
хе (1,~). 2.181. ліа2-1. 2.182. а2х2-Ь2у2.2.183. —
х(2л + 3)’ЯКПї0
о, з
/ с\ а + 5
ае (-оо,-5); — —, якщо а е
а(Зд - 5)
1 1
—, якщо хе (3, оо). 2.184. --,якщ0
-5, o|j'o,J 2.185.-^,якщо
хе (-00,-1); 4±і, якщо х є [-1,0); —якщо хє (О, 2)U(2, ©о). 2.186. р
2-х х-2
2.187.
—. 2.188. — —2~, якщо де є (0, 1); — , якщо хе (1, оо)
Ja -1 х-х х -х
ґ2-г г Г
2.189. -X , якщо ге (—оо, 0); , _ _ , якщо ге [0,1); , якщо ге (1, оо).
г + 1 1 г г - І
2.190.
z + 2
2.191.
—j=. 2.192. 2.193. 2.194. ■ 1
1 +Уа а + 1 V*-3 ^2-^/а
2.195.
а + 2
2xz
т. 2.196. 2, ЯКЩО хе (-00,-1); 0
я2(я-1)2 2JC2 - 1
, ЯКЩО
хе
-и-£
2
1-й
и
2 ’ 2
и
1 І; 0, якщо хє (1, ©о). 2.197. ,
2 I V^+2
2.198. —г• 2.199. Ут-Уп. 2.200. 1/1, якщо Ух-Цу >0; -^/х.якшо
£7+1
Уї-\[у<0. 2.201. 2.202. 0,5(т-8). 2.203. , 1 .2.204. 1
Vat2 -1
2 ЗІ 2
2.205. і-ІІ 2.206. vfLZZ. 2.207. * ~3^ + 2 2.208. 1. 2.209.
2х-6 х + 7 Зх
2
3-2>/х, якщо хє [О, 9); -3, якщохє(9, ©о). 2.210.2,якщо ає(0, 1); —, якшо
ае (1, ©о). 2.211.
Z +Z + 1
2.212. 5. 2.213. - 0,5, якщо хе (-оо,0);0,5,
494

якшо*є(0,~). 2.214. - 2, якщо дгє(-оо,0); 2, якщо дгє(0, оо). 2.215.
9)(3 - z) якшо ze (-3, 0)U(0, 3); , якщо ze (3, оо). 2.216.0,5/я.
9z ^
2 217. .2.218.2^2, якщо *є [2,4); 2V*-2,якщо дгє [4, оо). 2.219.5.
д (Зд + 6)
4 СІ + Ь г~~
2 220.1,якщо 0<Ь<а, аФ0; —/———т==,якщо 0<-Ь<а. 2.221. *v2.
2>la-b-уІа + Ь
2 222. —• 2.223. —у--, якщо ае (2, 3); -лІа-2, якщо ае (3, оо). 2.224.
5 Ja-2
3-х2 5-х2 jc2—З
- , якщо хе(-«>,-2); якщо хе(-2, 2); якщо
х+2 х+2 х+2
(-•'-Ж-НИ-И^
(-00,-3)(J(-3,0); Зх, якщо *є(0,оо).
хе [2, +оо). 2.225. З — jc , якщо де є
якщо хе[3, оо). 2.226. - Зде, якщо де є
2.227. 	а + ^Г?.2.228. • 2-229-^2 . 2.230.2.2.231. 2.232. -2а,
ЯКЩО Д є (—оо, - ^)U(0,V3); 2в,якщо вє(-Л,0)и(Д ~). 2.233. Ve2-1.
2.234. -2 - 4>/з. 2.235. > якщо ає (0,1); -—якщо вє (1, <*). 2.236.
2а 2
~!г—> якщо те (0,1); \z!H . якщо тє [1, «>). 2.237. якщо
2т 2 Ve
ає(0,1); якщо вє(1,~). 2.238. )=—. 2.239. -Уї. 2.240. 1.
va x-V2x + l
2.241. V4-x2. 2.242. , якщо г« (—,-2)U(-2,'l)U(l, 2); *-2,
1 — Z
ЯКЩО 2Є (2,ов). 2.243. 2.244.а-*. 2.245. -J^-. 2.246. J^-Jv3.
д: — 2 Удг + 2
2.247. 1+Va. 2.248. VI. 2.249. -(Цх+ЦЇ). 2.250. ^ -r. 2.251.
v2a + l-va
2 yf* 2‘252* 2»4- 2.253. -1, якщо дгє ^ j; 1, якщо дгє ^ , oo j. 2.254. 3.
*•255. 3. 2.256. x3 Va. 2.257. 1 2.258. -U. 2.259. 0. 2.260.
уІа+ЗуІа 24b
^7=2-. 2.261. 3J—, де хє (0,1]. 2.262. 1,25. 2.263. x2+l.
VP V 3x
495

2.264. 2.265.1,1.2.266. 2.267. -L-, якщо 0<у<2х; —
х-1 9 2у 2у
\>2х. 2.268. -Jx + \. 2.269. -(«W7). 2.270. ■ .. .1--- -1, якщо * є (4, 8); і
Vx-4 ’ ’
якщо дгє [8, «).2.271.4.2.272.TJ==- 2‘273‘ якщо ^ яки«>
2.274.2.2.275. *2|^г|- 2.276. 0,25(Ve-l). 2.277.1.2.278.
2.279. 	-2b(a+2,4ab). 2.280. J—. 2.281. ^ 2.282. - і
їа + 46 б '
2.283. 	1. 2.284. t/т» якщо 0<Ь<а\ якщо 0<а<Ь. 2.285.
|2, якщо1<*<2,
* = [2 ЛГТ,якщо 2 < jc < оо (Рис* В‘21)* 2‘286* Ящо
£ = —. 2.287. Якщо а = 165,5; 6 = 158,5.
З
Рис. В.2.1 „ „лл „,2,4
5* 2.289. (*2-2)(*2+2)(л:2-2* + 2)(л;2+2;с + 2).
2.290. 3b2+a4=4ac. 2.294. Справджується для
всіх лє [0, 3/и], /и>0. 2.304. Справджується для всіх <7 є [0, 5р], р>0.
2.306. 	З3 - 2і. 2.307. —. 2.310. А = 1, В = 2, С = 0. 2.312. —, якщо
л+ 1 х
х +1
хє (-«о,-1)U(0, 1)U(1, °°); , якщо хє (-1,0). 2.313. - 1, якщо
X
2 і у у3
хє(-оо,-1); _ , якщояє [-1, 0)U(0,1); 1, якщо хе [1, ©о). 2.314.-(*+
X +х
+ 1), якщо хе (—оо,—1); х + \, якщо лге [—1,1); 2л:2 н- л: — 1, якщо хє[1,°°)-
2.315. 6, якщо *є(-оо,0); 6-2jc, якщо jcg [0, 6); - 6, якщо xe[6,°°)-
2.316. 2^2-^ якщо хє [2,4); —-, якщо хе (4, ©о). 2.317. т - п, якшо
4-х х-4
0< —<1або —>2; п - т, якщо 1 < — <2. 2.318. 2х2-я2,якШО
п п п
х2 +4
х<-\а\;-а ,якщо*>|я|. 2.319. х - 2, якщо хє(-©о,-1); —, якШ<>
496

€ (—1. 1); “(* + 2), якщо хє (1,2); х + 2, якщо хє (2, ©о). 2.320.
2 -, якщо хє(-о°, 0); + ^ якщо хє (0, 2); — 2£+3 якщо
X X X
хе[2, °°)- 2.321. 6-4д, якщо ае [0, Л)\ 2(д-1)2, якщо ае [V2, «>). 2.322.
якщо ує (-°°, 3); 2^-10,якщод^є [3,9); 8,якщо уе [9, оо). 2.323. —7=»
2vx
якщо хє (0,4); --7=-", якщо хє[4, ©о). 2.324. , якщо
2Vx JC + 1
їм і/л іч 1-х-х2 , , лч х2+х-1 м ч
хє (-°°,-l)U(0, 1); , якщо хє (-1, 0); , якщо хє[1, оо).
X + 1 X + 1
2.325. де пФ0,п*\. 2.326. -т=, якщо уІ2а > 5ІІЬ;
п у/а у/а
якщо 4іа < 5І[ь. 2.327. -7^, якщо хє(-о©,-1); ^-7, якщо хє [-1, 0);
1-х х — 1
-—-, якщо хє [0, оо). 2.328. -—якщо хє (-оо,-2); - -*
х +1 2 2х
якщо
хє [-2, 0); х якщо хє(0, оо). 2.329. —, якщо хє(-оо,-1);
2х х-1
X XX
, якщо хє (-1, 0); -,якщо хє [0,1); якщо хє (1, ©о). 2.330.
1-х X +1 х + 1
™2 » якщо хє (-00,-2 - 2yp2)\J (-2 -2y[2,-2 + 2y[2)\J (-2 + 2л/2,1);
х + 4х — 4
, якщохє [1,2); —, якщохє (2, ©о). 2.331. -х, якщохє(0,1); х, якщо
2-х х-2
*є(1, ©о). 2.332. ——-, якщо хє(—о°, 0)U[1> °°); -——, якщо хє(0,1). 2.333.
X
якщо zє (—©°, — 1) U(0,1); ЯКЩО ze [-1, 0)U(1, °°). 2.334. 1, де
z z
а > 0, - Уа <Ь<у/а3 -у[а . 2.335. —» якщо яє(-©©, -1)U[1, °°); а, якщо
а
ає[“1,1). 2.336. Vx+Vx, ЯКЩО ХЄ (0, оо), ує (0, оо); -(^/7+7х), якщо
хє(0, оо), уе [-0,5х, 0). 2.337. 2а, якщо а є (-©©, 0)(J(3, ©о); - 2я, якщо

2yla-\ ,
ае [1,2); ———, якщо а є (2, оо). 2341. -9z , якщо ze (-°о; -0,5)IJ(0; 0,5).
і 2
lz +2, якщо ze [-0,5; 0) U(0,5; оо). 2.342. '""/=> якщо * є (-0,5; Му
V 2х +1
2х+1, якщо леє (1,5; оо). 2.343. якщо де>0, 0<.у<4де2; —р-,якш0
2 V* vjc
*>0, у>4х2. 2.344. якщо іjlj[l, °°); ЯИД°
2345.-—, якщо * є (-оо, - V2)U(0, ^2); — ,яюцо хе (-VI, 0)U(V2, оо). 2346.
х х
1-у[х9 якщо хе [0,1); Jx -\,якщохе [1, оо).2347.де,якщохє (0; 0,5); -де,якщо
хе (0,5; оо),2348. де2 -4де-12, якщо деє (-оо, 2); (х + 2)2,якщохе (2, оо). 2349,
2 г 9-2х 2х-9 2де + 3
де +V2.2350.—-—,яюцо деє (-оо, 0); —-—, якщо де є (0; 1,5); —-—,яюцо
4 2VI л/2 _Гі П л/і2а-2
деє (1,5, 0°). 2351. де . 2352. . 2353. 1 . »якщо а є—■, •— k ,
З 1-Зд [6 ЗJ Зя-1
(\ \ (Jl-4 р2 + 1)2
якщо дє -,ооІ 2.354. —2 = , якщо /?є [—0,5; 0); - 1, якщо
і3 ) v
ре (0; 0,5). 2.355. Уа-Щ, де а £0,6£0, а + Ь*0. 2.356. якщо
І х-4
хє(4,8); , якщо деє [8, «>). 2.358. (у - x)(z - у)(х - z). 2.359.
Vac-4
(дг-^)(г-дс)(>-2).
Глава З
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ
3.063. 	2V2sin-sin|-+-). 3.064. -sin2 а. 3.065. -. 3.066. -tg'
4 [4 4) 8 8
1 Зос
3.067.2sina 3.068. sin2a. 3.069. -0,5sin8a 3.070. 7sin—. З-®71,
4 2
smasin4p. 3.072. —\—. 3.073. -sin2asin4p. 3.074. -cos2acos4|l
cos 2де
498

лІ2 л/2 . а
3.075.4sin2 у + Р . 3.076. —^-tga 3.077. -y-sin®. 3.078. 2tga 3.079. ^ctga
4 2 2 2
1080. 3.081.2.3.082. . 3.083. ctg—Л 3.084. ctg4a 3.085.
2 2 cos a 2
—i—. 3.086. |tg2a 3.087. 1. 3.088. 1. 3.089. 1. 3.090. sin2 a. 3.091.
2 CL 2
2 sin у
J-sin22a 3.092. -cosa 3.093. ctg2a 3.094. tg22a 3.095. -\'-
4 4
? 2 1
—=—. 3.097. —3—• 3.098.0,3.099. -tg4a 3.100. -7= sin 2a 3.101. cos4a
sin3 2a COS a V2
3.102. 	4cos2a. 3.103. ctg2a 3.104. cos4a 3.105.2.3.106. ctg2a 3.107. tg4a
3.108. 	sin2a 3.109. tg2a 3.110. ctg4a 3.111. ^ctg4a 3.112. 2tg“. 3.113.
3.125.
2cosa 3.114. V2sin(4a-45°). 3.115. —?J. 3.116. _16c°s2a 3.117.
sin a sin4 2a
tg8a 3.118. 4sin(a~60O)sin(a+60°) 3119 4sin(30° -a)sin(30° + a) 3120
sin2 a cos2 a
4 cos
—3.121. 4cos(30° + a)cos(30° - a). 3.122. 4sin(30°+a)sin(30°-a),
sin 2a
3.123. 	cos(a+P)cos(a-P). 3.124. 4cos|^+ajcos^-aj.
x ч / 4 2>/2 cos2 — cosf— + 3a)
4sin(-+a pinfa--. 3.126. i. 3.127.
\6 J \ 6J cos3a
2>/2cosacos(45°-a). 3.128. 2^2 sinacos(45°-a). 3.129. 2cos3acosa. 3.130.
2V2 cos2acos| —-2a I
4 cos a cos 2 a cos 3a 3.131. ’• 3.132. ctg2|--a |ctg3a
cos4a ^4 J
3-133. 2sinfa- — ^ . 3.134. tg5a. 3.135. 2cosasin2asin6a.
І ч
499

3.136. 2cos2asin6asinIOol 3.137. ctgi-^. 3.138. -4sin—sina sin-— 3 iia
2 2 2 *
— 4sin—sina cos—. 3.140. tg^^. 3.141. 4sin3acos2acosa. 3.147
2 2 2
a . 13a „ „ , 3a _ 17a 4„
4cos—cosasin-^-. 3.143. 4 cos—cos 2a cos3.144. 8cos 2a З.І45
, v 2>/2 sin2acos| —+ 2a I
2Jtgacos[ —+- \ 3.146. —^3.147. 4sin3asin2asina
^2 4J cos2a
3.153.2. 3.154.4,3.155. 2>/T 3.156. 7 . 3.157. 2>/зТ 3.158. 3.159.
25 26
їй. 3.160. —. 3.161. 3.162. 0.96.3.163. 1 -p2. 3.164. —. 3.165.2
26 113 87 5
3.166. 3.167. л-arctg-. 3.169. тс-arctg5. 3.170. —. 3.171. —. 3.172.
9 3 32. 4-
—. 3.174. -—. 3.176. T- 3.177. 2. 3.178. 2. 3.181. x-y = xy. 3.184.
20 23 4
\ + Уїб-\ІЇ. 3.185. m4-4m2 +2. 3.240. 2|ctga|. 3.241. -0,5sin2a. 3.242.
|sina-sinP|. 3.243.-1.3.244.1,3.245. -V3ctg2a. 3.246. tg2a. 3.247. 1.3.24*.
SU>,4* ■ 3.249. -cos24a. 3.250. -2sin22a. 3.251. cos(40°+2a). 3.252.
cos 4x
tg42a. 3.253. tga. 3.254. sin4a. 3.255. cos8a. 3.256. -sin4a. 3.257. tg4|.
3.258. 	2sin^2a-^| 3.259.-0,5.3.260. -2ctg2a. 3.261. tg^ + 2a| 3.262.
8^3. 3.263. 0,5 Л. 3.264. tg5x. 3.265. sin3x. 3.266. cos3x. 3.267. гЛ"ґ
|sin2a)
3.268. tga. 3.269. tg(a + 30°)tg(a-30°). 3.270.2sin2a. 3.271. 2|ctg4a|. 3.272.
ctg^a-^| 3.273. 0,25.3.274. sin(a + P). 3.275. a) tg“ ; 6)-tg“. 3.276.
-sin2a. 3.277. sin4a. 3.278. a) -2tga;6) 2tga. 3.279. cos“. 3.280. tg42a.
500

3.281* —sin4asin8a. 3.282. 1. 3.283. — sin 6a. 3.284. 1, якщо ctg x > 0; -1, якщо
8
2
ctgX< 0.3.285. 2sin(6a-60°). 3.286. -^sin(4a-60°). 3.287. -8cos4a 3.288.
4^2 sin(x -45 )sm(x - 60 )sin(x + 60 ) ^ 4cos2jcsin(60°-jc)sin(60° + jc)
cos3* * ^~x ■
3.290. - 8cos(2a+60°) cos(2a - 60°). 3.291. 2sin—. 3.292.
4
8sin(2a+30°) sin(30° - 2a). 3.293. sin2(a-|3). 3.294. jg_2_acos(2a+P) 3 295.
cos4a
-tgatgP. 3.296. -2cosacos2pcos(a-2P). 3.297. -2sin2asinPcos(2a-P).
3.298. 4sin|^+^ j. 3.299. 4cos2^-2aj. 3.300.
4sin21 — -4a J 2V2sin| —-2a jcos2 a
^ *. 3.301. ^ * . 3.302. 2ctg4a 3.303.
sin 8a cos 2a
2 Jl sin2 acos
cos2(a-p). 3.304. vi i. 3.305. 8sin2asin22a 3.306.
cos2a
a) ctg“; 6) tg“. 3.307. 2sin^4a-^| 3.308. 2sinasin(2P-a)cos2p. 3.309.
4cos4acos^2a+^ jcos^2a-^| 3.310. 4sin4asin(a-15°)cos(a + 15°). 3.311.
^sin2acosfa+^\ 3.312. 2cos(--4al. 3.313. —!—. 3.314.
2 \ 4) \3 J 2cos2a
tg(a-15°)ctg(a + 15°). 3.315. 4sin4asin(a + 15°)cos(a-150). 3.316. -sin4a.
3317. ctg3 a 3.318. tg^-ajtg^ + ajtg2a 3.319. ijl sin2asin(4a-45°).
2V2cosf—+ alcos2 — .
^•320. Li—I -. 3.321. -^sin2a 3.322. -S1”
cosa v2 cos 2a
3-323. V2sin(45°+a). 3.324. 4cos4asin(15° -a)cos(15°+ a).
501

3.325. 4sin (30° + 2a) sin (30° -2а). 3.326. cos(m * ”)а cos^-—**
>/2sinf—+ al
3.327. L4 1. 3.328. V3ctga 3.329. sin4a 3.330
cos а
2sin(——— Icosf —+—1 3.331. 4= sin70°. 3.355. -. 3.356. —. 3.357. I
^2 12/ [2 12/ V3 2 16 4'
3.358. 1. 3.359. 1. 3.360 0. 3.361. 1. 3.362. -—. 3.363. - —. 3.364
44 7
sin£±i = _ 7 cosa + p= 3.365. _27_. 3.366. 3n-^ 3^
--. 3.375. 2 або --. 3.376. —-. 3.377. -. 3.378. ■^^■ctga 3.379.
4 З 1 + m 2 p-q
2 2
—(l + 6m2-3m4). 3.380. sin2a = cos2a = -^r—S-, tg2a = .
4 P +9 P +Я 4 -p
3.381. a) 6) -. 3.382. a)-; 6) -. 3.383. ^^ctga 3.390.
5 5 5 5 q + P
cos3a = 4cos3 a-3cosa, cos4a = 8cos4a-8cos2 a + 1. 3.392. 3.394.
3 9
3 3
3.410. -sin8a 3.411. 2sin32a 3.412. -cos2 2*. 3.413. -sin4a 3.414.
4 4
2T2sin|^ + 2ajcos2 ^~~aj
sin 2a
. 3.415. 8cos 16acos32a. 3.441. 3.442.
3.443. . 3.444.-0,007.3.445. —. 3.446. —. 3.447. —. 3.448. -7-
3 25 25 4 4
3.449. 3.450.0,009.3.451. -. 3.452. 3.453. УІО-З. 3.454.0,98.
2a 8 2
119 1 24 2J5 2-Л
3.455. . 3.456. -. 3.457. - 2. 3.458. - -=-• 3.459. —• 3.460. —r-
120 5 7 5 5
3.461. 3.462. 3.463. — або l-ljl. 3.465. 3.466.
b 2 2 l + m 4
502

3467" ——• 3.468. 2 (1 - m2). 3.469. “TT7- 3.476. -т= , якщо a = -—.
2 125 V2 16
3,477. 	2, якщо a = —. 3.481. 2, якщо a = —. 3.482. ~,якщо a = —. 3.484.
16 8 2 4
3.485.4,якщо a = —. 3.486.2,якщо a=~ . 3.487. —. 3.490. -,якщо
125 4 4 125 4
я „ лл 1 к , sin(n + l)2acos2na
o = —• 3.491. - , якщо a=-. 3.493. —1 ' .
u 4 2 4 sin 2a
Глава 4
ПРОГРЕСІЇ
4.001. 	9 кілець. 4.002. 4.003. 21 раз. 4.004. 1) 2; - 1; - 4; 2) -10; - 7;
-4.4.005.7; 1) 1; 6; 11; 2) 7; 10; 13.4.006. За 8 год. 4.007.3 і 4.4.008.7; -14; 28;
-56.4.009. 4.010.3; -; - . 4.011. -; 1,4.012.44.4.013.120.4.014. 1; 9;
8 2 4 3 3
17. 4.015. -20 100. 4.016. 1) 7; -28; 112; -448; 2) -1і|; -4б|; -18б|;
-74б|. 4.017. 3; - 6; 12; - 24. 4.018. 5.4.019. 1) 6 і 0,25; 2) - 6 і - 0,25. 4.020.
5 і 405. 4.021. 10; 5; 15 і 25. 4.022. 1) 3 і 4; 2) 48 і 0,25. 4.023. а) хх =|;
х2 =--; б) х, =-; х2 =-. 4.024. 9 або 31. 4.025. — і 4.026. 1; 2; 3; 4.
9 1 3 2 3 16 4
4.027. 	37,5 або 52,5.4.028.6.4.029. 810. 4.030.0,2. 4.031.9.4.032.4 і 5.4.033. 6;
3; 1,5; ... . 4.034. 3; 9; 15. 4.035. 4 і 12. 4.036. 1) 3 і 2; 2) 12 і 0,5. 4.038. Так;
1 7 49
« + т. 4.039.14.4.040. 1) 1; 3; 9; 2) —. 4.041. 7. 4.042. 82 350.4.043.6
9 9 9
'-0,5.4.044. 1)3;6; 12; 18;2) 18,75; 11,25;6,75;2,25.4.045.5103або —. 4.046.
81
іч А \(\ £А 111
>) 4; 8; 16; 2) ---; - - ; . 4.047. 2; 4; 8. 4.049. . 4.050. 70 336.
25 25 25 8
503

Г4Л-1)(4Л+І+П
4.051. 	2/і + — ^4.052. 5 = 5,52. 4.055. _ 4.056.2
3-4" 25-Г
4.061. jc = 7.4.062.1) 12 + 24 + 48 + 96; 2) 4,5 + 13,5 + 40,5 + 121,5.4.063.7.4.064.
1) 3; 6; 12; 2)27; 18; 12.4.065. (a + b)S~2ab s 4.066. Зя. 4.067. -; 4.06*
2S-(a + b) 9 6 3 •
- 2. 4.069.931. 4.070. 41. 4.071. 1064. 4.072. Менше 2. 4.073. 25— . 4.075. 101
27
4.077. 	1) 2; -6; 18; -54; 2) -54; 18; -6; 2. 4.078. x = qvd. 4.079.
/ ^ \п/2
2П+І (л -1) + 2 - 0,5л (я +1). 4.080. 3"+,(л-1) + 3. 4.081. - . 4.082.9.
4.084.0. 	4.085.12.
Глава 5
КОМБІНАТОРИКА І БІНОМ НЬЮТОНА
5.001. 	a) jc = 4; б) jc = 7. 5.002. а) * = 5; б) * = 5. 5.003. a) jc = 5; б) jc1 = 6; jc2 =
= 11. 5.004. a) jc = 8; б) jc = 7. 5.005. a) jc = 5; б) jc = 7. 5.008. 240; третій доданок.
5.009. 	Cjnfl2 = 45д2. 5.010. Якщо — <jc<—. 5.011. 924. 5.012. 252ab. 5.013.
10 28 13
1547
5.014. Якщо jc = 4. 5.015. AX6 =240. 5.016. До п’ятого степеня. 5.017.
А\ j = 55 440 розкладів. 5.018. Aj = 42 способами. 5.019. С2о = 1140 способами.
5.020. 	968. 5.021. cfo + С5 = 253 способами. 5.022. A g= 64 маршрути. 5.023.
2С26 = 240 зустрічей. 5.024. А |— 1 = 124 спроби. 5.025. A f5= 32 760 способами.
9 ^ І
5.026. А 25 =^| = 6 375 000 способами. 5.027.3136 способами. 5.028. \6А §= 896
розміщень. 5.029. Р% = 8! способами. 5.030. д: = 8; у = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 5.031*
х = 10. 5.032. х — 1. 5.033. a) jc = 5; у = 7; б) jc = 5; у = 3. 5.034.
a) jc = 8; ^ = 3; б) jc = 7; ^ = 3.5.035. a) jc= 7; у = 3; б) jc= 7; у = 3.5.037. Шість членів.
5.038. 	7290; третій доданок. 5.039. jcj =0,25>/2; JC2 =5у[ї. 5.040. cfo=252.
5.041. t/3 = 10z2, Г4 = 20z2. 5.042. Дев’ять членів. 5.043. Якшо
jc = 2. 5.044. C]J • С12о ■ = -^т складів. 5.045. 2А А ]= 42 числа. 5.046.
(Ю!)
504

9! кілець. 5.047. 30! - 2 • 29! = 28 • 29! способами. 5.048. Cg с|с| =2520
12!
способами. 5.049. ^ ‘6 = 7 484 400 списків. 5.050. (А і~а\)~(А 5-^4) = 204
2 2 2 2
числа. 5.051. 2 • 9! варіантів. 5.052. ----'- = 2 027 025 розкладів.
8!
5.053. А$ =56 способами; у 6 • 45 варіантах. 5.054. 210 способами. 5.055.
~,лл іоо 80! 10!
л/б = 16 способами. 5.056.40 чисел. 5.057. способами. 5.058. —
способами. 5.059. З6 способами; 6! варіантів. 5.060. 2304 способами. 5.061. 15 368
складів. 5.062. С f5 • С J0- С \2’ С 2q= ^ ^ способами. 5.063. *4 варіантів.
5.064.15 015 способами. 5.065. А 3 = З5 способами. 5.066.108 способами. 5.067.
16'
—=■ способами. 5.068.420 варіантів. 5.069.1800 чисел. 5.070.105 способами.
2 -З
5.071.62 букви. 5.072. А з0 • A f0= 9 • 106 номерів. 5.073. 36 способами. 5.074.60
способами. 5.077. (п + 1)! - 1. 5.079. 236. 5.080. Т9 = С |0 24 • 56 = 314 925 • 105.
5.081. 	Якщо І с * с 5.082. 3003. 5.083. 2(6!)2 способами. 5.084. 2200
варіантів. 5.085. 86 способами; у 86 -13 • 75 випадках. 5.086. 2(11 ї)2 способами. 5.088.
А іо ^9 С7 = ~ способами. 5.089.23 речення. 5.090. 28 • 8! результатів.
Глава 6
АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ
6.001. =5; х2 =—77* 6.002. х{=а + Ь; х2=0,5(а + Ь). 6.003.
16
*1 = 1; *2 = -5; хзі4 = -1 ± >/б. 6.004. х12 =±2; дс3>4 =±0,5^/24. 6.005.
і* 1 YYl + n m-n /—
*1 = 1; х2 = -3. 6.006. *і = ; х2 = . 6.007. 2 = ±tfvb, jc3 4 =
m — n m+n ’ ’
505

= ±bja. 6.008. х = 0. 6.009. ух =0; у2,3 = 0,25(-9±>/5)я. 6.010. *,=і;
х2=-3/б. 6.011. л1>2=±2; х^Ж 6.012.x = 1.6.013. х,=-1; х2=з;
1 38
Х3 = -. 6.014. X = 0. 6.015. X, = 0; х2 = 5; х3 =—. 6.016. X] = 2; х2 = 0,5. 6.017.
Якщо п=р, то х — будь-яке число, крім п; якщо п Ф р, то xt 2 = ±т, х3 = т + « +
+ р. 6.018. х, =х2 =1; х34 =0,5(-3±л/5). 6.019. х, =1; х2 = 3. 6.020. Якщо
а ФЬ, то хі = 2Ь-а; х2 = 2а-Ь; якщо а = Ь, то коренів немає. 6.021.
2/Т
*1 = -2; х2 = -0,125. 6.022. х\ =1; х2 = -5. 6.023. х^=0; х2 3 = -3± -. 6.024.
хі =2;х2 = 0,5; jc3 4 = 0,25(-11 ± у/і05). 6.025. Якщо я = 6, то дг — будь-яке чис-
д +1
ло; якщо а * Ь, то = 0; х2 - а л-Ь. 6.026. = а +1; х2 = . 6.027.Якщоа Ф 0,
а
то Jtj = За; х2 = -2а; якщо а = 0, то коренів немає. 6.028. Якщо b Ф 0, то х\ = а + Ь\
 а2-Ь2 1-а2
х2 = ; якщо b = 0, то х = а. 6.029. хі - а; х2= . 6.030. хХ2=±3.
2 b а
4а-Ь
6.031. 	х = 4. 6.032. х = 5. 6.033. * = — 1. 6.034. х = 7. 6.035. *і =а; х2= ——.
З
6.036. X, = -1; х2 = 3. 6.037. х = 0. 6.038. х = 3. 6.039. х = |. 6.040. х = 9. 6.041.
х, =-61; х2 =30. 6.042. х,=-5;х2=2. 6.043. х12=±1. 6.044. *і=6;
х2= -0,4 (1 + 3/4). 6.045. Х\ 2 =±2>/2 . 6.046. х1>2 = ±2^2. 6.047. х)>2=±4.
6.048. X! =8; х2 = 27. 6.049. х = 2. 6.050. х, = 3; х2 = 5. 6.051. х, = 8; х2 = 7.
6.052. 	х = 4. 6.053. х = 8. 6.054. х = 64. 6.055. х = 1024. 6.056. х12 = ±4. 6.057.
Х[>2 = ±1; х3;4 = ±>/б. 6.058. х = 1.6.059. zl =2; z2 =—6.060. xt=4,
x2 = -3. 6.061. x = 64.6.062. x, 2 = ±1. 6.063. x = 64. 6.064. x = - 2.6.065. x = 2
6.066. 	x, =6; x2 =-2. 6.067. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 6.068. (-1; 2); (2; -1). 6.069.
(І:і}(І:ї) 6-070-(2; 3); (3; 2y 6-071-(2; 1);(“ 1;_2)- 6-072-(4; 3); (4;'3)'
6.073. (7; 3); (- 7; - 3). 6.074. (4; 1); ; | j 6.075. (1; 2); (2; 1). 6.076. (1; 2)-
1.077. 	(1; 3); (- 1; - 3); (3; 1); (- 3; - 1). 6.078. (2; 3); (3; 2). 6.079. (1; 2); (2; D-
6.
506

6.080. (3; 2); (- 3; -2). 6.081. (4; 1); (1; 4). 6.082. (2; 1); (2; - 1); (1;Л); (1;- Л).
(4; 2). 6.086. (4; 1); (1; 4). 6.087. (2; 1); (- 2; - 1). 6.088. (3; 2); (- 3; - 2). 6.089.
($»;-!); (-l;Vm). 6.090. Якщо аЬ = 0, то розв’язків немає; якщо аЬф0,
т0 х = -,У = Ь. 6.091.(5;3).6.092.(-4;-4);(-6;-2).6.093.(2;3;4).6.094.(5; 1);
а
(- 5; - 1). 6.095. (1; 2; 3). 6.096. (0,5; 4). 6.097. (2; - 1; 1). 6.098. (2; - 1); (- 1; 2).
6.099. (1; 9); (9; 1). 6.100. (41; 40). 6.101. (12; 4); (34; - 30). 6.102. (3; 1). 6.103.
(1; 4). 6.104. (1; 64); (64; 1). 6.105. (2; 1); (1; 2); (- 1; - 2); (- 2; -1). 6.106. (1; 4); (4; 1);
(2 + Тз;2-л/3); (2-Л;2 + Л). 6.107. (1; 9); (9; 1). 6.108. (5; 4). 6.109. (1; 27);
(27; 1). 6.110. (41; 40). 6.111. (4; 1); (1; 4). 6.112. (1; 81); (81; 1). 6.113. Якщо а Ф 0,
то дс| =0, ух =а; х2 =2-а, у2 =2; якщо а = 0, то х =у = 2.6.114.(0,5; 8). 6.115.
(1; 8); (8; 1). 6.116. (16; 1). 6.117. (9а2; а2). 6.118. (124; 76). 6.119. (4; 1). 6.120.
1,2 ~ —. 6.121. сх2 +Ьх + а = 0. 6.122. а2х2+(аЬ-ас)х-Ьс = 0. 6.123.
с
ах2 +(b-2a)x + (c-b + a) = 0. 6.124.р = 0,q = 0;p= 1,q = -2.6.125. = \,ВХ =
= -2;Л2 = 0, В2 = 0.6.126. Якщо к = 2.6.127. Якщор = 3; х = 1. 6.128.д= 1 іа = 0,5.
6.129. 	Якщо а = - 6.6.130. с = -15.6.131. Якщо а = 4.6.132. Якщо рх = -6, р2 = 6.
215 1
6.133.— ,6.134.Якщоb = 2.6.135.Якщо с = -. 6.136.jc = 1.6.137. jq =1;*23 =
27 З
2 /у
= -2±-у-. 6.138. jcj = дг2 = 3; дг34 = 3±2VJ. 6.139. ^ =0; x2>3 =±1. 6.140.
Z] = 0; z2 = 1. 6.141. *1=0; *2 =-2; *34 =0,5(-2±л/66). 6.142.
*1 =а; х2= b\ jc3 = с. 6.143. jq =1; jc2 = -3. 6.144. х\ = 2; jc2 = -4. 6.145. jc = 1.
6.146. 	jc = 0. 6.147. JC! = 0; x2 = -3; jc3 4 =0,5(-3± >/73). 6.148. jc12=±1;
*3 =-2; jc4 =0,5. 6.149. jc, =x2 = - 1. 6.150. щ = 1; u2 3 =ІІ2^. 6.151.Якщо
4
m ~ 1, to jc — будь-яке число, крім ±1, ± 2; якщо /я Ф1, то коренів немає. 6.152.
Коренів немає. 6.153. Якщо а = 0, то jc — будь-яке число; якщо аФ 0, то хХ2 = ±а.
^•154. х{ =0; jc2 =-2. 6.155. Якщо а = 0, то jc = 0; якщо аФ0, то хх = —;
2 *
X2^-Va. 6.156. jci = 3; *2=J- 6.157. хх = 2а -1; х2 = 2 -а. 6.158. jc = 0.
6-159. х = 2. 6.160. * = 12. 6.161. х, = 1; *2 = 4. 6.162. дг, =-t128;
507

*2=-
1286+2
128а
. 6.163. = 0; х2 = 4. 6.164. jc = 2. 6.165. jq = 0; jc2 = -5, 6.16$
jq = 2; jc2 = -7. 6.167. *i =0; x2 =-1. 6.168. JCj = 1, jc2 =-—. 6.169. jc = 1.6.170
* = 5,6.171. x, =8;x?,=8±12^. 6.172. x, 2 =±1. 6.173.x=0.6.174. z = ~i
’ 7 ’ 3'
6.175'. jcj = 1; jc2 = 1,5; jc3 = 2. 6.176. jc = 0. 6.177. jc = 1. 6.178,
4 b —a 4a —b
jcj =—-—; x2 =—-—; якщо a = b, то коренів немає. 6.179. хє [0, 1]. 6.180.
X| = Ю; х2 = -20,5. 6.181. х = - (а + 1). 6.182. х, = -1; х2 = 2. 6.183. (2; 3); (3;2);
'-7 + >/73 -7-
-7-,/7з\
; 2 )
-7-V73 -7 + -/73
6.184. (2; 1); (- 2; - 1).
6.185.(3; 2); (-3; -2);
З ’ З
6.186. х=к(к-с)(к-Ь)
а(а-с)(а-Ь)'
= к(к-с)(к-а) = Цк-аНк-Ь) 6Ш 6Шх = +
Ь(Ь-с)(Ь-а) с(с-а)(с-Ь)
+ be + са> z = а + b + с. 6.189. (2; 1); (- 1; - 2). 6.190.
f yfabc 4abc Vobc
ylabc 4abc
6.191. (2; 2); (-3; - 3);
* » »
b c a
1+V2T 1-V2I'
1-V2T 1+V2I
6.192. 	(3; 1); (3; - 1);
(1; 1; 1); (- 2; - 2; - 2). 6.194. (5; 3); (- 5; - 3). 6.195. (1;
f 239. 117Ї
’ h( 146’146/
6.196.
(3; 5); (5; 3). 6.197. (2; 2); (- 2; - 2); (2; - 2); (- 2; 2). 6.198. Якщо ab + 1 =0,to>’ =
Г~5 _ a + b a — b a + b
= ± v x +1, x—будь-яке; якщо ab +1 ^ 0, то = ———, yx =—^—; x2
У2 6Л99. (3; 0; 5). 6.200. (3; 2); (1; 4); (- 3; - 4); (- 5; - 2). 6.201.
2ab
(2; - 3). 6.202. (1; 1; 1). 6.203. (0; 0; 0); (a-b;b-c;c - a). 6.204. (2; 1); (6; - 3);
(6+2>/3;-2-2л/з);(6-2л/3;-2 + 2л/3). 6.205. (3; 1);(-3;- 1);
508

4,/ІОб '
14л/Ї06 4-Л06'
53 ’ 53
6.206. 	(1; 3); (3; 1). 6.207. (1; 2; 3); (1; 4; 1);
(5- 2; - О; (5; 4; - 3). 6.208. (а; 2а); (2а; а). 6.209. (3; -2); (- 2; 3). 6.210. (2; 1);
/г 2); (-2; 1); (І; -2); (2; - І); (- 1; 2); (-2; - 1); (- 1; -2). 6.211. (2; 3); (- 2; - 3).
6.212. (1; 3; 5); (- 1; - 3; - 5). 6.213. (2; 1); (1; 2); (- 2; 1); (1; - 2); (2; - 1); (- 1; 2);
(-2; -1); (-1; -2)- «14. (0; 0; 0); (2; - 1; - 1). 6.215. (2; - 5). 6.216. (4; 4); (- 5; - 5);
(l + Jv. 1-у/тї
2 ’ 2
' l-Jri 1 + л/гГ
6.217. 	(1; 3); (3;!);(-1;-3);(-3;-1).
6.218. 	(а; 2а); (2а; а). 6.219. (1; 1; 1); (7; - 3; - 1). 6.220. (4; 2); (- 4; - 2). 6.221.
(3-2; 1); (-1; 0; 3). 6.222. (11; 1). 6.223. (2; - 2). 6.224. (3; - 2; 6). 6.225. (1; 16);(16; 1).
6.226. (1; 1). 6.227. (- 4; 5; 3). 6.228. (9; 4); (4; 9). 6.229. (49; 49). 6.230.
(2; 3); (ji-f J 6.231. (5; 4); (-9; 25). 6.232. (5; 4). 6.233. (2;-1). 6.234. (64; 1);
(1;64).6.235.(1;7); (7;-8).6.236. (jl0;j6); (>/Ї0;-л/б). 6.237.(4; 1);
(W; 6’238’ ^ (_ 1:"2>' 6‘239' (і: 1} (_ 1:" 1>; 0; }
6.240. (4; 1); (1; 4); (- 4; - 1); (- 1; - 4); 6.241. (5; 4); (5; - 4); (~Щ$ ; - 7^5);
(—•^28^5; -Jl2£). 6.242.(3; 1,5); (6; 3). 6.243. (10; 1); j 6.244.x, =0;
х2 = - 10. 6.245. m = 0,n = 0;m= 1, я = - \;m = 0,5, п = 0. 6.246. ах2 +Ьх + (с +
+ Jb2 -4ас -а) = 0. 6.247. Якщо тп - 3 і m = - 2; z\ = -1; z2 = -3; z3 = 4. 6.250.
Якщо a = -2.6.251. Якщо p > 2; jcj = p + 2; x2 = 0,2(2 - p). 6.252. /? = 1, ^ = -6 і
P = -l, q = -6. 6.253. x2 + (4qr-2/>2)jt + (p4 -4/?2^) = 0. 6.254. 21jc2-23jc +
+6=0. 6.256. JCj = — 3; jc2 = — 5. 6.257. щ =l;u2=a + b; и3 - a-b. 6.258.
*1 = 1; jc2 = a; jc3 = 1 - a. 6.259. jci = —1; jc2 = a; x3 = 2a. 6.260. jcj = -1; x2 = 0;
*3=-2.6.261. JC! =1; *2,3 =a ±-Ja. 6.262. jc = 1.6.263. jc, = 4; jc2 = 2. 6.264.
*1 =-1;jc2 =2. 6.265. х[=1;х2>з =a±-Jm. 6.266. x, = a;x23 =a±Jb. 6.267.
= -3; x2 = p +1; x3 = -p + 2. 6.268. z, = -1; z2J = -p ±Jq • 6.269.
хі=2ІЇ;х2=хг =a-J3.6.270. x = - 0,5. 6.271. *i=2;x2=4; x3=-l;
Л r
*4 = -0,5.6.272. xx = jc2 = —; jc3 = -—. 6.273. xj 2 = ±0,5; jc3 4 = 2 ± Уз. 6.274.
509

Xl2 = 1 ± уП9. 6.275. JC = 0. 6.276. j^ = 1; jc2 = 4. 6.277. * = 1. 6.278. jc = 3. 6.279.
jc = 8. 6.280. jc = 0. 6.281. x} = -6; jc2 = -5,5; jc3 = -5. 6.282. u = 2. 6.283. jc = з2
6.284. xx = 12,6; jc2 = -3,4. 6.285. jcj = 0; jc2 = 1. 6.286. jc = 1. 6.287. jc = 64.6.28*
jc = 5 6.289. jci = 1;jc2 =2^4; jc3 =-3^9. 6.290.jc = 5.6.291.jc = 4.6.292. x12 =il
6.293. 	jc12=±1. 6.294. jc! =1;jc2 =-6. 6.295. *u=±l. 6.296. jcx = 7;jc2 =26.
6.297. 	jc = 31. 6.298. xx = 7;jc2 = 14; jc3 4 = у ± 6.299. jc = 79. 6.300. jc = 3.
190 2185
6.301. 	jcj = ; jc2 = . 6.302. jc = 2. 6.303. (3; -1); (1; - 3). 6.304. (a; b; c)
63 728
6.305. jc = 2, и = 1, v = 2, w = 3. 6.306. (0; 0; 0); (-1; 1; 1). 6307. (1; 1; 1). 6308
(1; 2; 3); (- 1;-2;-3). 6.309.(1;-1;2); (1;2;-1);(-1; 1;2); (- 1;2; 1); (2; I;-!)*;
(2; -1; 1). 6310. (2; 1); (1; 2); (-2; -1); (-1; -2);
6311. (2;-1); (- 1; 2); (-2; 1); (1; -2). 6.312.(1; -2; 3); (1; — 3;2);
л/5 VsVVs Js\
 Js
A)
5 10 J*V 10 5 J
5 *'
V
10
/
(2; - 1; 3); (2; - 3; 1); (3; - 1; 2); (3; - 2; 1). 6.313. (2; 1);
4 4
(2; 2; 2). 6.315. (1; 1). 6.316. (a + 1; a; a - 1); (- a - 1; - a; 1 - a). 6.317.
19^4 17^4
6.314.
(3;-2;2);
( 9 + 3-</5 . - 7 - 3-J5 1 - 3-Js
[ 2 ’ 2 ’2
9-3-У5 -7 + 3>/5 \ + ЗуІ5
6318.(3; 1);
(1; 3); (- 1; - 3); (- 3; - 1). 6.319. (- 2; 3); (3; - 2). 6.320. (1; 2); (2; 1). 6.321. (2; 1);
(- 2; - 1). 6.322. (2; 1). 6.323. (1; 2). 6.324. (6; 9); (9; 6). 6325. (4; 4; - 4). 6.326. (0; 0);
(-l;-2);(-2;-l);^|;-^j; 6327. Розв’язків немає.6328. (0; 0); (2;4);
(4;2).6329.(1;64);(64; 1).6330.Якщо а*Ь, то х, =і, у, =і; х2 =~, у2 = ~^
якщо а = ЬФ0, то система має нескінченну множину розв’язків, що являють
(11 5)
собою координати точок прямих jc - 4у = - 1 і 4jc - у = - 4. 6331. -jy ’ 3 І
6332. (1; 1; 1). 6333. (2; 3); (- 2; - 3); (2; - 3); (- 2; 3). 6334. (0; 0). 6.335. (26; 10);
(650; - 646). 6.336. 6.331. (5; 4; 5). 6.338. (4; 4);
510

(Ji -ЯЛ -Я л\
 (4,5; 3,5). 6.339. ■ 6340‘ (5^ 3>; <* 4>- 6341
< / V >
'*/26. 27^26 V 8л/26. 27л/26\Гв>/26. 27>/26 \ 8-Лб .27^26"
'Тз_; 13 ’ із ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13
/V /V /V /
_ О _ bSn-1+cS, , _ ,ч З 2 . 2 /7
а=- 52, Ь =-40.6345. p = -60,q = 36.6346. ,
6342. 5л+2 6343. 1) jc3 - qrx2 + ргзс - г2 = 0; 2) х = тІ2. 6.344.
а
>.а6. 6348. дгі =—; х2 = -—; *3= —.
1 3 2 2 3 2
1
6349. х=2 — спільним корінь; перше рівняння не має інших коренів, друге
л/з
має корені х = ±—. 6.350. дг3 - (р2 - q)x2+(p2q-q2)x-q3 = 0. 6.351.
хх =10, =-2±>/з і х - 5. 6.352. Xj = - 2, *2 = 3,*3,4 = ±4 і х = - 2. 6353.
х = \ + К~\ де X — дійсне число, ХфО. 6.354. х\ = 1,5; х2 = 0,5;
х3 = -2,5. 6.355. п = 17. 6.356. хь2 = 1 ±VJ; хХ4=2±&. 6.357. ^=^3;
/г ,
дг2 =—, дг3 = “2^3. 6.358. я: = 5 і jcj = 10, дг2 3 = ±^2- 6.359. *!=--;
З ’ а
х2 г = за умови М < 0. 6.361. х = - q.
= - q. 6.363. *1 =-;*2 =-7; *з =
о 4
V * 8 4
=~. 6.364. Хі =1,5; *2,3 = 0,5±>/з. 6.365. xj =а; х2 =а-1; Х3 =0,5.6.366.
х4 - 10х2 +1 = 0. 6.368. х12 = ±V2. 6.369. х1>2 = ±-Я; х3 = 0,5. 6.370.х = 2.
Глава 7
ЛОГАРИФМИ. ПОКАЗНИКОВІ
ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
7.001. 	10. 7.002. 890. 7.003. 3. 7.004. 2. 7.005. -11. 7.006. 24. 7.007.
19- 7.008. 1. 7.009. 8. 7.010. а2+ в + 1, де а>0іа*0,5(1 + л/5).7.011.
І08а Ve2 -1, де в > 1 і а * VJ. 7 Л12. ab (a-bf, де а>0,а*\,Ь>0,Ь*\.7Л13.
' +в>де а>0іа* 1.7.014. logab, де а > 0, а / 1, b>0, b* 1 iab* 1.7.015. logeft,
511

де а > 0, а * 1, Ь > О, Ь * 1 і Ь Ф а. 7.016. і. 7.018. 5. 7.019. z > 2. 7.020. * = о,5
7.021. 	х = 2. 7.022. х, = 3; х2 = 81. 7.023. х = - 1,25. 7.024. х, = 1,5; х2 = ]0
7.025. х = - 2. 7.026. х = 13. 7.027. х = 0,5. 7.028. х = 0. 7.029. х = 5'
7.030. х, = - 1; х2 = 5. 7.031. х = 3. 7.032. х = 1. 7.033. х, = 0,01; х2 = 0,1; х3 = ^
х4 = 100. 7.034. х = 3. 7.035. х = 1. 7.036. х1>2 = +3. 7.037. х, 2 = ± 1. 7.038. х, = $.
х2 = 15. 7.039. х = 7. 7.040. х, 2 = ± 3. 7.041. х, = 2; х2 = 11.7.042. х = 1. 7.043. х, = 2;
х2= 6.7.044. X] =і; х2 =3. 7.045.х = 37. 7.046. х = 4-у/Л. 7.047. п = 3.7.048.
х = 54. 7.049. х. = 2; х, = 3. 7.050. х = 6. 7.051. х = 29. 7.052. х, = —; х, =2
12 1 128 2 л
7.053.х = 10. 7.054. х = 64. 7.055. х = 2. 7.056. х = 100. 7.057. х = - 3. 7.058. х =
= 5,5. 7.059. х = 81. 7.060. х, = - 0,2; х2 = 3. 7.061. х = 25. 7.062. х = |. 7.063.
х, = 1; х2 = 2. 7.064. х, = - 2,5; х2 = 3.7.065. х = 2,25. 7.066. х = 4. 7.067. х, = -7;
х2 = 8. 7.068. х, >2 = ±Л 7.069. х = 2. 7.070. х, = 1; х2 = 3. 7.071. х = 0. 7.072.
х,і2 = ±0,5. 7.073. х1>2 = ±1; х3 4 = ±4Ї. 7.074. х = 3. 7.075. х = 20. 7.076. х = 9.
7.077.x, =- 1;х2 = 9. 7.078. х, =3; х2 =31og62. 7.079. х,=^;х2 = 9 . 7.080.
х = 10.7.081. х, = 5; х2 = 25.7.082. х, = 10~5; х2 = 103.7.083. х, = 2; х2 = 64.7.084.
х = 3. 7.085. х, 2 = ±1. 7.086. х, = 100; х2 = 7.087. х, =-3;х2 = 1. 7.088.
х = Уї. 7.089. х, = 0; х2 = 2. 7.090. х, = 1; х2 = 100. 7.091. х = 1. 7.092.
х, = 3;х2 =3 + yfl. 7.093. х, =^;х2 =9. 7.094. х = 5. 7.095. х, =%; х2 =а\
де а > 0 і а * 1. 7.096. х, = - 1; х2 = 7. 7.097. х, = 0; х2 = 6. 7.098. х = 5. 7.099.
х = 0. 7.100. х, = 1; х2 = 2. 7.101. х = 10. 7.102. х = 5--ЛТ. 7.103. х = 10. 7.104.
х=5.7.105.>,=5,де а >0 і а ^ 1. 7.106. х, =Уї;х2 =-Д. 7.107. х, = ^2; х2=4.
33 17
7.108. 	х, = —; х2 = —; х3 = 8; х4 = 12. 7.109. х = 1.7.110. х = 0.7.111. х=9.7.112-
8 4
х = 10. 7.113. X, = 0,1; х2 = 1000. 7.114. х = - 10. 7.115. х, = 10" 4-5; х2 =
= 10. 7.116. х, = 2; х2 = 8. 7.117. х = 9. 7.118. х = 7. 7.119. х = 2. 7.120. х, = 3; хг =
= 10. 7.121. х = 2. 7.122. х, = 0; х2 = 25. 7.123. х, = 7; х2 = 8. 7.124. х, = 2; х2 = 4-
7.125. х, = 3; х2 = 273. 7.126. х = ІЇ. 7.127. х = - 2. 7.128. (5; 5). 7.129. (4,5; 0,5).
7.130.(4; 2); (4; -2). 7.131.(2; 18); (18; 2). 7.132.(1; 2); (16; -28). 7.133.(3; 9); (9;3)-
7.134. 	(3; 2). 7.135. (6; 8); (8; 6). 7.136. (25; 36). 7.137. (4; 2). 7.138. (5; 1); (5; -D-
7.139.(3; -3). 7.140.(0,5; -1,5). 7.141.(4; 2). 7.142.(4; 16). 7.143.(3; 3); (5; 1). 7.И4-
512

(1; і). 7.145. (16; 3); -2 j7.146. (3; 27). 7.147. 7.148. (9; 16).
, - fa> 1, _ fo<0<l,
360 |b> 1 ; -2(bg4a + logflb), якщо |0<ь<іабо ^ 7.152.
7.149.(5; 1). 7.150. a + b, де a>0, а*1,6>0,6*1 і a6*l. 7.151.0, якщо
0<a<hn^ \а>1\
 0 <b<\
 (1 + log2*)3> де x > 1. 7.153. x + 1, де jc > 0 і * * 1. 7.154. log ab, де a > 0,
я * 1, b > 0, b * 1, а Ф bA і a Ф b6. 7.155. 3 - 21ogfl2>, якщо 0 < b < a3, b Ф 1;
-З якщо b > a3. 7.156. ! , де д>0, a*l,6>0, Ьфі иаЬФІ. 7.157.
logfl6-l
l
1 7.158. a = 10l-l8Y. 7.160. 0. 7.161. ~v~^. 7.163.
a"1 +P 1 +y 1 +6 1 ^ + 1
a (ft + 3). 7.165. X = - 0,5. 7.166. jc = 25. 7.167. x = —. 7.168. x = —. 7.169.
25 12
neZ. 7.170.x, = 0;x2= y. 7.171. x,=l;x2=-j^. 7.172.*! = -64;x2 =-1.
7.173.x = - 100.7.174. x, =^;x2 =9. 7.175.x, =- l;x2 = 3. 7.176.x = 5. 7.177.
x = 0.7.178. x = y=. 7.179. x = 2. 7.180. x, =0,1; x2 3 =100’5(1±'/5). 7.181.
V3
*i =-j; x2= 9. 7.182. x = а, де a > 0 і а Ф 1. 7.183. * = 0,75. 7.184. * = а6, де
« > о і a * 1. 7.185. x, = Уї; x2 =7. 7.186. x = 3. 7.187. x = 2. 7.188. x, =^;
*2=-jj; x3 = V5; x4=25. 7.189. х = т,дет>0іт*1.7.190. x = y. 7.191.
* = %). 7.192. x,=i;x2=8. 7.193. x = S. 7.194. *1=-^; x2=8. 7.195.
8 V4
*1 = —; x2 =5. 7.196. x = л/з. 7.197. x = 9.7.198. x = 25.7.199.x, 2=±5.7.200.
625
* = 6.7.201. x = 17.7.202. x, = VJ; x2 = 3.7.203. x, = x2 = 1; x3 = 4. 7.204.
4V8
*i = 2; x2 = 4; x3 = 11. 7.205. x, =-j; x2 =2; x3 =4. 7.206. x,=-0,2; x2=0,5;
^3 = 1; jc4 = 3. 7.207. * = д, де д > 0 і д * 1. 7.208. x = 4. 7.209. x = 3. 7.210. д^ = 1;
513

х2 = 3.7.211. х = і. 7.212.x = 4.7.213. х,=і;х2=9. 7.214.х = 0.7.215.х = 2,5
7.216. х, = 0; х2 = 1; х3 = 2. 7.217. г, 2 = ± 2. 7.218. х = 2. 7.219.
х=1.7.220.х = -2.7.221.х = 0,01.7.222.x, =0;х2 = 0,5.7.223. х = у 7.224. х, =і;
x2=log2(3 + >/29)-l. 7.225.x = 2. 7.226. х,=|;х2=3. 7.227. х = 5. 7.228. * =
= 100. 7.229. х = 0. 7.230. х = І. 7.231. х = 16. 7.232. х, = 2“1/3; х2 = 4. 7.233.
Х]=^-; x2=>fa; х3=а2. 7.234. х, =0,1; х2 = >/Г0; х3= 100.7.235.x = 1.7.236.
х = - 1000.7.237.x = -0,5.7.238. х = -2ІІ2. 7.239. х = 256.7.240. х, = 1,1;х2 =
= 11. 7.241. х = 1. 7.242. х = 0. 7.243. х = 3. 7.244. х =(-1)" —+іт, иє Z. 7.245.
6
х = 3.7.246. х = 2.7.247. х = 5.7.248. х, = 8; х2 = 9.7.249. х = 2 + log4 де
З — а
З < а < 27. 7.250. де = а6, де а > 0 і а Ф 1. 7.251. jq - 0,001; дг2 =1; *3 = 10. 7.252.
jc = 1.7.253. jc = 4 - а2, де0<а< 1 або 1 <а< 2^2 . 7.254.jc = 0.7.255. jc = 4.7.256.
* -2, я * - 3 і і
(Уб 2\ГбЛ
х = 41og3 2. 7.257. л = 1023. 7.258. jc = ——-, де а Ф -2, а Ф - 3 і а Ф 0,5; немає
а + З
коренів, якщо а = -2, а = -3іа = 0,5. 7.259. (1;1);
7.260. (2; 2).
З З
7.261. (2; 4). 7.262. (6; 2). 7.263. (2; 1). 7.264. (10; 1,5); (0,2; 75); (15; 1). 7.265.
(2;4).7.266. (S; 1), (-ІЇ; 1). 7.267.(27;4); ^;-з| 7.268.(1;9);(16; 1).7.269.
(-2; 7). 7.270. (8; 4). 7.271. (5; 2). 7.272. (16; 20). 7.273. (1; 0); (2; 1). 7.274. (9а; 2а);
(а; 18а), де а > 0 і а * 1. 7.275. (4; 1). 7.276. (4; 1); (-4; -1). 7.277.
(>/2; 2>; (0,5^4; - 3). 7.278. (6; 6). 7.279. (3; 5); (6; 2); (1; 7). 7.280. (2; 4);
(4^2; 21/2). 7.281. (3; 9). 7.282. (6; 2). 7.283. (5; 5). 7.284. (3; 9); (9; 3). 7.285.
(5; 3); (1; -1). 7.286. (-10,20);|у; у j 7.287. (1; 4). 7.288. (8; 9);
(27 log* 2; 4 log2 5). 7.289. (4; 2); (-4; 2). 7.290. (0,5; 4). 7.291. (2; 3). 7.292. (1; 3).
(2 О
7.293. 	9; 9 І 7.294.(6;2).7.295. \gb, деЬ> 1.7.296.2,якщо 1 <а<Ь; 2logeЬ,
якщо 1 <Ь<а. 7.297. log2р, де J®<n<^’ ag0 ln>*> 7.298. -2, якшо
|0< р<\ |р>1.
514

[0< я < 1,
1 <a^b\ -21ogab, якщо 1 <b<a. 7.299. 1-loga(a-b\ або j або
| a>logfl(a-6)-l, якщо 0 < b < a < 1 або 1° ^ 7.300. logiv>675>
\0<b<a\ [Z><0.
л/5-l
>log4575. 7.301. x = logo>4—-—,0<jc<1. 7.303. \ogm A\ogn Alogp Ax
r i
xlogA(mnP)' 7.305. \ogab-\ogba. 7.306. Якщоp = 1 і якщо pe\—
L 2 2
7.307. 	Якщо a = 12 і якщо а є (-«>, 0). 7.308. x = 3. 7.309. xY = 1; x2 = 4. 7.310. jc =
= 3. 7.311. JC, =-; x2 =-. 7.312. x = 64. 7.313. x = 3. 7.314. x = 7. 7.315.
1 8 2 2
x = | + ro»,neZ. 7.316. x12=l±,/l-0,51gp, де 1 <p< 100.7.317. x = 4.7.318.
x = 4k, де£>2. 7.319. x = l + Z>2, де b > 0 і b * l. 7320. xj=3;x2=|. 7.321.
jcj = 0,1; x2 ~ 2; jc3 = 1000. 7.322. jc = 2, якщо 0 < a < 1 або 1 < я < °°; jc є
є (0, 6), якщо a = 1. 7.323. jc = 2, якщо 0 < p < 1 або 1 < p < jc є (-2, <»), якщо
p= 1.7.324.jc1>2 = ± 1; jc3 = 2.7.325.xx = 1; jc2 = 3.7.326.x{ =-1; jc2 = 2; jc3 = 4.7327.
17 11 /-
x = 4,7.328.x= 100.7329. *i=l; *2=—', *з=Т- 7.330. х, 2 =1±V2; x3 = l.
12 6 ’
1 „ -Js-з 9-V29
7.331. x, =-; x2 =9. 7.332. X[ = ——; x2 =—-—. 7.333. x = 16. 7.334.
! 3 2 2
( 2 }
7.338. (8; 2); IJ 7339. (0; 0); (8; -8); |з; | j; (-4; -2). 7340. (3; 9); | J,
Глава 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
(У всіх відповідях, якщо немає інших вказівок, передбачається, що к, /, т, п
набувають довільних цілих значень)
8.001. 	x,=-(4/fc + l); х2=— (12/t + l). 8.002. х = (-1)і+1—+—. 8.003.
8 12 12 2
* = ^(4/t-l). 8.004. х = —(2к +1). 8.005. z = (-l)* 10° + 60° /t. 8.006.
4 4
515

t = ±^+^-. 8.007. f,=rot;<2=±-+—. 8.008. /,=— (4*-n.
6 2 9 3 12
f2=|arctg5 + -y. 8.009. <,=J(4* + 1); f2=|(4*-l). 8.010.
2 = ±40° +120° • k. 8.011. x, = ^(2* +1); x2 = (-1)* ~+у. 8.012. x = -^(4t-1).
8.013. 	xl=^(2*+l);x2=(-l)*|+7bt. 8.014. x, =^(2*+l);x2 =(-l)*-j|+2£
8.015. z,=|(2*+l);z2=-^(2*+l). 8.016. z = -j|(6*±l). 8.017. *i=-~;
x2=—(8Л±3). 8.018. X! =nk; x2 =— (4Л + 1). 8.019. x = — (2£ + l). 8,020.
8 4 9
x,=wt;x2 = j(2/t + l). 8.021. x = -|(2* + l). 8.022. x, = j(4*-l);
x2=±arctg-у- + я*. 8.023. x, = ^(2k + \); x2 = x3=yy(2* + l). 8.024.
x = -y. 8.025. x = 15°+360P k. 8.026. x, = ^(4* + l);x2 = |(4* + 1). 8.027.
х!=-у;х2=у. 8.028. x=^(4/t+l). 8.029. x, =nk; x2=^(2k + \). 8.030.
x = -^(3*±l). 8.031. x, = ^(2* + l);x2 = (-1)*8.032. x, =-(2/t + l);
3 6 20 5 2
x2 = 8.033. x = —(4* + l). 8.034. x =—. 8.035. x = -(2*+l). 8.036.
11 16 8 4
x,=-£(2* + l);x2 =(-l)*+1-£+-?£. 8.037. x, A x2 = £(6*±1). 8.038.
ID 12 3 2 12
x = (-1)*+1 — + nk. 8.039. jci = —(4£ +1); x2 = arcctg5 + nk. 8.040. x = ~(4k + 3).
6 4 4
8.041. x{=— ;x2=-(2k + \). 8.042. f = -(4* + l). 8.043.
5 6 2
z, = 35° +120° k;z2 = 55° +120° • k. 8.044. x, = -y; x2 = (-l)*+l + 8.045.
x = (-l)*^ + Jt*. 8.046. Г! =nk;z2 =±Ц- + 2кк. 8.047. г = (-1)*+1-тГ+'Т'
6 6 16 4
516

g.048. x = -f- 8049‘ x\ =|(2A: + 1);x2 = ±| + tc*. 8.050. х = ±у + 2л*. 8.051.
Xl=Y’ x2=j(2* + 1). 8.052. X| = nk; x2 = ±| + wt. 8.053. x, =^(2* + l);
л =±- + л*. 8.054. хх=Щ-\ x2 = -£(4* + 3). 8.055. х = ±^+Щ-. 8.056.
1 6 4 8 6 2
/|=|(2* + 1);/2=-j(2* + 1). 8.057. x = ^ + Wt. 8.058. x,=|(4* + l);
x.=— (4* + 3). 8.059. x,=±—+—;x2=±iarctg—+ —. 8.060. х = Ц-.
2 20 1 12 3 2 3 6 2 3 5
8.061. 	* = ±-£- + ^. 8.062. x = n(2k +1). 8.063. x, =^; x2 = ±-^+^-. 8.064.
12 3 3 lo 3
Z=(-1)*+I — +—. 8.065. z,=-(8* + l); z, = — (8Лг + 3). 8.066.
12 2 4 2 20
x = -(2* + l). 8.067. x,=-(2* + l); x2=^(4k + l). 8.068. x,=-£(2* + l);
4 2 18 2
x2=|(4* + l). 8.069. X!=|(2* + l); x2=j(4k-l). 8.070. z,
2 , 2nk 2 „ 2nJt 2 .2 2icfc
r2 = —arctg5 + . 8.071. Zi = —arctg2 + ; z2=— arctg— + . 8.072.
5 5 3 3 3 53
х = ±^+І5І. 8.073. x = ±- + Jt*. 8.074. x, =л(2* + 1); x2 =±^+4ic*.
9 3 6 3
8.075. x, = jc*; x2=--+nk. 8.076. x, =—; x2 = -(2* + l). 8.077.
4 3 7
z\ - 2arcctg 3 + 2nk; z2 = -2arctg 7 + 2я*. 8.078. JCi =—(2k +1); x2 = —(4fc -1).
6 4
8.079. x = j(2* + l). 8.080. x, =jtf; x2 =(-l)*| + y. 8.081. x, =~+л*;
*2 = arctg— + xk. 8.082. x^-^-; x2 = -^(4*-l); x3 =-^-(4* + l). 8.083.
4 5 2 10
*1 =~~ + nk; jc2= arctg3 + nk. 8.084. =—(2fc + l); x2 =±—+ 2я£. 8.085.
*i=~(4* + l); x2 = arctg- + nk. 8.086. xx =^(2k + \); x2 = ±т + ^Г* *087.
4 3 4 6 2
517

X, =-(4* + 1);*2 = arctg- + rot. 8.088. / = —(4A + 1). 8.089.Л =-31°+ 180°.t.
4 2 16 ^
t2 = 89° + 180° • it. 8.090. f = |(4/t + l). 8.091. /, =-^(2A: +1); t2 =nk. 8.092.
x, = 100° +m° k;x2 =-20°+ 360° *. 8.093. tx = -^(2* + l); '2 =±| + 2wfc.
8.094. дс = я(4£ + 1). 8.095. x = ^-. 8.096. *,=^; *2=^(6*±n
6 4 3 h
8.097. 	zx=2nk; z2 =—(4^ + 1). 8.098. ^=^(4^ + 1); z2=^-(3k±\). 8.099.
2 о 3
x = -^(4* + l). 8.100. *,=-^; x2=— (4k + l). 8.101. jc, =^(2Jt+l);
16 3 12 2
*2=yj(8*±3). 8.102. * = |(4/t + l). 8.103. jc = у (3* ± 1). 8.104.
xx=-^-(2k + l);x2=^(2k + l). 8.105. jc = £(4* + 1). 8.106. x = ±40° + 120°*.
10 6 8
8.107. jc> = — (4Л +1); jc2 =2arctg—+ 2 nk. 8.108. z = —(2Л + 1). 8.109.
2 5 4
jc = -j|(2* + l). 8.110. * = 8.111. jc,=75° + 180°-*; x2 =45° /t-3°45'.
8.112. xx= — + пк;х2=±- + жк. 8.113. xx= — (2* + l); jc2 = — (ЗЛ:± 1). 8.114.
4 6 16 3
Xl = —(2Л + 1); x2 = -(4/t-l). 8.115. 2 = (-1)* - + nk. 8.116. *, =135°+ 360° *;
8 4 6
x2 = —105° + 360° ■ k. 8.117. хх=2пк\х2=^(4к + \)-,хг=^(4к-\). 8.118.
<,=(-l)*-+rot; /2 =—(4Л: + 1). 8.119. jc = —(4Jt-l). 8.120. xx=^(2k + l)',
6 2 4 4
x2 =у(2А + 1); *3=y(2* + l). 8.121. jc = |(2* + 1). 8.122. *і=уі x2=^f‘
8.123. 	xx=nk\x2=^((>k±\). 8.124. x = — (4/t + l). 8.125. де, = ^-(4к + \У,
6 12 16
x2=— (12АГ-1). 8.126. z = — (6)t±l). 8.127. x = — (6* + l). 8.12*-
518

Хі=і(2* + 1);дг2=(-1)*+1!+-у. 8.129. х = ^. 8.130. х, =у;
л =±Т + “7“- 8131- х2=^(3* + 1). 8.132. дг = ^(ЗЛг±1). 8.133.
'1 6 5 З З
t=—;дс2=-^. 8.134. / = ^(2Аг + 1). 8.135. лг = ^(2Аг + 1). 8.136.
2 9 8 8
21=i(2/t + l);z2=arctg4 + wt. 8.137. x = (-l)*yj+-y. 8.138. /, = те*:;
/, =—(8Л±1). 8.139. х,=^(4*: + 1);х2=я(3*±1). 8.140. * = 45°(4* +1).
1 4 4
8.141. х, = ^-1;х2 = -£(2* + 1)-1. 8.142. х, =Ї(4* + 1)-і;х2 = Н)*-£ +
2 10 4 2 12
+——8.143. х = -(2* + 1). 8.144. х = -(3*±1). 8.145. х,= —;
2 2 6 6 З
х2=х(4к-1); х3 =—(4Л + 1).8.146. х = 60° + 180° • k. 8.147. де. =—(4Л-1);
2 4 4
х2=£(4А + 1). 8.148. лг = ^(ЗАг + 1). 8.149. х{ =—;х2 = (-1)к- + пк. 8.150.
8 6 2 6
X] = ж(2к +1); х2 = (-1)* — + пк. 8.151. х, =—; х2 =-(4* + 1). 8.152.
4 3 6
х = |(3*±1). 8.153. х,=лЛ; x2=J(2it + l). 8.154. х,=у; х2=-^(6*±1).
8.155. х = —(4*г + 1). 8.156. х, = —; х2= — (3*+2). 8.157. х, = ^(2* + 1);
4 5 9 2
Х2 = £(4* + 1). 8.158.X = 30° + 180° • к. 8.159. х, =—(4Л + І); х2 = j(4* + l).
8 8 4
8.160. jc = ±—arccos— + Ttk. 8.161. X\ =тск-arctg3; x2 = —(4£ + l). 8.162.
2 4 4
jc2 = (-1 Tj + ly- 8-163. Xl=2nk;x2=^(4k + \). 8.164.
x\ = y(4fc + l); jc2 =y^(4fc + l). 8.165. jc = ^+ yarcctg^“ j. 8.166. x =
a і arccos 0,8 + 2nk. 8.167. * = (-1)*+1 - + nk. 8.168. л: = —(6A:±1). 8.169.
6 12
519

х\ = у(2к + 0; х2 = ^(4* + О- 8.170. х, = (-1)* ^ + пк;х2= -|(4£ +1). 8.171.
х,=л*; х2 = — (4* +1). 8.172. * = 180°-*-25°. 8.173. х, = 2rat; х2 = 2л£ —L
4 Я
8.174. 	х>= —; х2=—(2£ + 1). 8.175. х = ±—arccos—- + лЛ. 8.176
З 12 2 2 ®-
х =—(8Л + 1). 8.177. х,=— (4£ + 1); х2 =(-1)*+1 arcsin— + пк. 8.178. х =
4 2 З
= 60° *-40°. 8.179. х = -(4к-1). 8.180. z, = —(4Ат-1); г, =±- + пк. 8.181
4 4 6
я 2пк Ink л 1 ^ пк
t = —{6k± 1). 8.182. Х\ = —-—;х2 = —~— • 8.183. / = -—arctg3 +—. 8.184.
lirlr jr It
Z\ =^J4> £*15/; z2 = -—(2& + l), £*17/ + 8. 8.185. * = y(4A: + l). 8.186.
/ = —(2* +1). 8.187. x = (-l)*- + —. 8.188. x = 25° + 90 °-k. 8.189.
4 6 2
f = 2arctgj + 2jc£. 8.190. jc, =-(4A: + 3); x2 = ^(4* + l). 8.191. f = |(2Jt+l),
5 8 2 7
&*7/ + 3. 8.192. x\=nk\ x2=dio\g2 + nk. 8.193. x = -j^(4£ + l). 8.194.
o
<,=y;*2=-j|(2A: + l). 8.195. г = у^(6*±1). 8.196. x = |(4* + l). 8.197.
z = |(3*±l). 8.198. x = (-l)*+1-j| + ^p 8.199. x = |(4* + l). 8.200.
л: = (-l)*+1 —. 8.201. x = -(4k + \). 8.202. x =—. 8.203. x = — (4k +1).
12 2 4 12 16
8.204. f = -(6it±l). 8.205. x = -(4k + l). 8.206. x = -(3*±l). 8.207.
6 4 6
П . 14txi ТІ Пк . ччАг+І ^
/ = -(2* + l). 8.208. дс1=у;дс2=(-1)< JJ + y- 8-209- r = (_1) ^+T‘
8.210. x = -^(6k± 1). 8.211. x1=—;x2=-£(2* + l). 8.212. x,=^(2* + l);
6 5 2 6
x2=—(3*±1). 8.213. t = -(2k + l). 8.214. /і = jc(2At +1); r2 = —(4*-1). 8.215-
9 8 2
520

х = |(2* + 1). 8.216. z,=7tк; z2=|(2* + l); z3 = ±-| + 2тіЛ. 8.217.
= f(4/fc-l). 8.218. jc, =±77 + ~7“;*2 =кк. 8.219. / = —(3>t±l). 8.220.
4 15 5 3
x = |(2* + l). 8.221. f,=i^*4/ + 2;?2=±|arccos^i^ + rot. 8.222.
* = — (3*±1). 8.223. jc = —(2Л + 1). 8.224. f = -(6*±l). 8.225.
3 2 6
ft =~(4k +1); t2 = arctg ** ^ -h 7сЛг; r3 = arctg-—— + nk. 8.226. f = —(4fc +1).
1 4 2 2 4
= g2M
z =—. 8.229. /J = —(4* +1); ґ2 = (-1)* — arcsin(l - VJ) + —. 8.230. x =—,
3 4 2 2 14
**14/. 8.231. x = -(6*±l). 8.232. t = —. 8.233. x = -(4* + l). 8.234.
6 4 4
x,=4(2Jt+l);*i=^(» + l). 8.235. х, =І(2* + 1); x2 »£(2* + l). 8.236.
4 6 4 2
Я ,.. i. л Tl£ K | 1Ч n 71
* =—(4& + 1). 8.237. *i=—; *2 =—(2& + 1). 8.238. ^ = “ТТ + ^Г»
4 2 24 24 З
л2=Т7 + ?- 8-239. x,=^(4*-l);x2=^(6/fc±l). 8.240. х,=£(4* + 1);
16 2 2 3 2
*2=(-l)*- + wt. 8.241. z = (-l)*+l4 + ^- 8.242. х = —(2к + ї),к*51 + 2.
4 12 2 20
*.243. z = -(4k-l). 8.244. х = -(2к + 1). 8.245. / = —(6Л:±1). 8.246.
8 2 3
* = £(3*±1). 8.247. t = -(2k + l). 8.248. / = —(4А: + 1). 8.249. jc =-^-(ЗА: +1).
3 4 4 12
8.250. z = —(ЗЛ±1). 8.251. / = —(ЗЛ: + 1). 8.252. jc =—(2Лг+1). 8.253.
6 6 4
'i=j(2*+l); *2=±^ + я*. 8.254. jcj = —(4Л:-1);jc2 = —arctg2 + —. 8.255.
4 3 8 2 2
* = rofc-2. 8.256. z = y(3Jt±l). 8.257. z = |(4* + l). 8.258. z = |(8*±l).
521

8.259. 	jcj =“(2& + l); x2 =—(4fc + l); x3 = -arctg2 + 7tfc. 8.260. zj=— (2£ + i\
2 4 14
£*7/ + 3; z2 = —(4& + 3), k*ll + \\ /= ±1, ±3,.... 8.261. f = -(6*±l). 8.262
28 6
z = -20° + 60°• k. 8.263. x = 4nk. 8.264. t = nk. 8.265. x = ^(2k + \). 8.266.
x=-^(4fc-l). 8.267. x, =^(4*-l); x2 =arctgfl+y +rcfc;x3=arctg 1-у- +jtf
V / V >
8368. x, = 2rofc; x2 = iarccos^-1 + 2iUc. 8J69. x = arctg3+rot. 8Л70. x = (-l)*+l x
4
XT7 + ^T- &271- z = ^(4*-l). 8Л72. fj = теЛг; /2 =^(4* + l). 8J73. z, = зтАг; z, =
24 4 4 4 *
= nk-arctg3. 8.274. x, =^(4*-l); x2 =-|(2* + l);x3 = arctg j + Jtfc. 8.275.
*1 =-^г(2Л + 1), £ * 3/ +1; Ь=Щ~> k*5l. 8.276. x, =±— arccos^^—-+л£;
6 5 2 12
x2 = ±-j + Jtfc;*з =±-iarccos^--jj+JiA:. 8.277. x = -^(4& + 3). 8.278. x, =яі;
x2 = —(2Jt + l). 8.279. z = -(3*±l). 8.280. x, =—(2Ar + l);x2 = —(6*±1).
6 3 8 12
8.281. 	x = ^(4k + \). 8.282. z, = £(2* + l); z2 = ^(3fc±l). 8.283. де, =^(6*±1);
4 8 6 6
x2=(-l)*- + —. 8.284. x = £.(6*±l). 8.285. x,=y + -^;x2 =
8 2 12 o 2
= —arcctg3 + —. 8.286. z, = я*; z2 =—(2/t + l). 8.287. x = 8rct. 8.288. z =
2 2 16
it irfr it irZr 7Г
= •j(4k-1).8.289.x, =y; x2 =^(2/t + l).8.290./, = y; /2 = -^(4Jt-l).8.291.
x = 2я&. 8.292. t = Tik. 8.293. x, =—(4Ar+l); jc, = -arctg-+71*. 8.294. t = -(3k± U
4 3 3
8.295. x, =jc*;x2 = j(3*±l). 8.296. z, = ±arccos-y^ + rot; z2 =y(3A:±l)-
8.297.x, = y x2 =^(2А+1).8.298. z, = ±^arctg>/2+y; r2= ±iarctgV5 +y-
522

к тік 1 тік
8.299. Xl=~~g+~2~; X2=jarct85 + ~Y’ 8.300. х = пк. 8.301.
Zi=5(4* + l);z2=^(4jt-l). 8.302. х = (-1)* y + mfc. 8.303. z = |(6*±1).
eJ04. xx = -^-(2к +1); x2 = ^(2k +1). 8.305. tx = arctg^- + nk; t2 = arctgi + nk.
10 6 2 3
8306. /, = 360°k;t2 = 90°(4k +1). 8307. x, =-^(4A: + l); x2 = --j-arctgi + ^.
16 4 3 4
8.308. 	z, =-^(2* + 1);z2 = nk; z3 = (-1)*^ + nk. 8.309. tx2 =
2 6 ’ 2
k = 0,1, 2,.... 8.310. x = -^(2£+l). 8.311. t\ = nk;t2 = arccos * ^ + nk.
8.312.х1=^(2Л + 1);х2=±^ + лЛ. 8.313. x, =-£(6*±l); x2 =^(2* + l).
4 3 3 2
8.314.x = |(3/t±l). 8.315./ = (-l)*-j| + -y- 8.316. x = |(4*-l). 8.317.
t = ^(4k-l). 8.318. t{ = nk; t2=^(2k + l). 8.319. x = (-l)*^+y. 8.320.
z = ^(4*-l). 8.321. /, =90° *; t2 =±15° + 90° /fc. 8.322. x = nk. 8.323.
x = ±arccosi + 2jck. 8.324. x, =|(6/t + l); x2 =y(3/t + l). 8.325. zx=nk;
z2 = —(4& + 1). 8.326. x1 =-(4Jfc + l);x2= —(2* -t-1). 8.327. x = -(4* + l).
4 4 2 4
8328. x = 45° + 180° • k. 8.329. x = -(4/fc + l). 8J30. x, = -^(6*±l); x2 = ^-.
2 1 o 2
*.331. x =—(6Jt± 1). 8.332. x = ---+—. 8.333. x = -(3/t±l). 8.334.
30 4 2 2 3
' = ^(4* +1). 8.335. x, = arctg- 35° +180° • k; x2 = -arctg 2 - 35° + 180° • k.
*•336. xj = nk;x2 = —(4k-1), k*3/ +1; x3 = ±arctg-Jl+nk. 8337. x, = ~ +
12 o
+y-;x2=Iarctg2 + —. 8.338. / = (-1)*^ + ісЛ. 8339. x = 2nk. 8340.
2 2 2 6
523

Zj=-(4*-l); z2= — (3*±1). 8.341. x. =-5°+60°*;x2 = 70°+90°*. *Л4і
4 3
x = -(4*-l). 8.343. /,=^(2* + 1);/2=£(4* + 1). 8.344. х,=2л*.
4 6 8 *
X2 =^(6/t± 1). 8J45. <, = j(2* +1), * * 3/ +1; f2 = y(2* +1), * * 5/ + 2. 8344
x = 2nk. 8.347. x = -(4/t + l). 8.348. x, =—(4Аг-1); x2 = -(4* + l); x3 =2n*
2 2 4’
8.349. X| = |(3*± 1); x2 = ±|arccos+ nk. 8.350. x = ^ + nk. 8.351.
xi=t №+0; *2 =
6
\ 2ІЇ
3
+ кк\хт>=кк- arctg
8.352.
x,=^(6*±l); x2=-(8*±3). 8.353. x = -(2* + l). 8.354. х = (-1)*-+я*.
3 4 4 6
8.355. x = nk. 8.356. xx=^(2k + \), **3/ + l; x2 =-£-(2* +1). 8.357.
6 12
x = —(ЗЛ±1). 8.358. x = (-l)* arcsin—+-(4* + l). 8.359. x,=rrk;
3 10 4
jc2 = 7t^±arctg5.8360. jc} = ±^ + -^(8£-l);x2 = — (4fc-l).8361. x = —(4k + \).
6 8 8 4
8.362. x = -(3*±l). 8.363. X! = 2nk; x2 =—(2k +1); x3 =-(4k-1). 8.364.
6 2 4
x, = У (4k-1); x2 = ^ (12k-1); x3 = ^ (6k-1). 8.365. x, = ^ (4 k-1); x2 =
4 6 3 4
= -(6*±l). 8.366. x = —(3*±1). 8.367. /,=Я*;Г2=-(6*±1). 8.368.
6 3 6
xx = nk\ x2 = rc£±arctg^-; jc3 = ^(ЗА: ± 1). 8.369. ^=—(4^-1); jc2=(-l)**
2 3 4
x arcsin * +—(4k +1). 8370. jc = —(2£ +1). 8371. x = пк для будь-якого я;
V2 4 4
x = nk ± -iarccos^y^-, якщо -1 £ a << 3. 8372. jc = ~(2£ +1) для будь-якого nt,
x = nk ±—arccos ULtl f якщо -3 < m < 1.8373. jc = — (4k -1) - a, якщо a Ф ^+W*
2 2 4 4
524

дддо а = —+ тс/і,розв’язків немає. 8374. х = (-1)* arcsin— +—(6к +1); -8 < m < 8.
4 8 6
8375. х = я£—~+(—1)* arcsin e°s(* для будь-якого а. 8376. х = — (4£ + 1). 8377.
2 2cosl 2
х = |(2* + 1). 8.378. х = (-1)*+|| + тс*. 8.379. х = |(6*±1). 8.380.
, = (-1)*^-+-^-. 8.381. х = -(3*±1). 8.382. х = -(4* + 1). 8.383.
36 6 6 4
Х = —(6Лг±1). 8.384. х = (—1)* + як. 8.385. х = (-1)* - + пк. 8.386.
З 4 6
jc + ^ = — (4& + 1). 8.390. arcsin-, arcsin—, тс-arcsin—. 8392. sina = ——
4 5 13 65 2
7C 7U ТС - «xjt ТС , . 2ТС _ , <\Аг+1 ^
8.393. т.т.т- *-394. X] = (—1) — + кк, ^| = ±—-+2ял; х2 = (—1) — +
6 4 3 6 3 6
+ я£, >>2 = ±у + 2тсл. 8.395. х = пк, у = ^(6п±1). 8.396. х = ^(2к + 3), у =
=—(6& — 1). 8397.Xj = — н-тс(Аг| -&2), .Уі = — + я(^і + £2); *2 = ™ + я(£і -^2)»
6 6 3 6
^2 =-^ + тс(А:1 + £2). 8398.х = ^(6к-\), у = ^(6к +1). 8399. jq = arctg^- + тс&,
З 6 6 2
>>і = arctg—-тс/:; *2 = arctg--+*тсЛ:, у2 = arctg— -як. 8.400. х = ^-(6к±1), у =
3 3 2 6
= ^(4л±1), Л: і /і — числа однієї парності. 8.401. jti = 2arctg—+ 2тс&ь
4 2
Д'і = -2 arctg у -і- 2тсА:2 ; х2 = -2arctgy + 2TC&1, >>2 =2arctg-- + 2Tcfr2. 8.402.
* = -j(2fc + l), ;> = у(6л±1). 8.403. x = ±j + it(k1+k2),y = ±j + n(k2-k1).
8.404. x,=|(2* + l),y,=|(l-3*); x2 =j(3k + l), y2 =j(l-2k). 8.405.
* = 7(6k + l),y = -(l-6k). 8.406. x = Kk, у = —, z = ^(4n -1). 8.407. x = nk.
6 6 2 6
8*408. x = —(2k +1). 8.409. t = (-\)k — + пк. 8.410. t\ = ^(8£ + l);f2 = -arctg 3 +
4 6 4
525

+тс(2* + 1). 8.411. x = ^(2k + \). 8.412. /, = j(2/fc + l); t2 = ±-| + Jtt;
Л VT7-1 , „ я , . 1--Л ,
U = ±—arccos + nk. 8.413. z} = —+ nk; z2 = arcsin + nk. 8.414
з 2 4 1 6 2 2 14‘
*i = 2яА; л:2=7(2*+1). 8.415. х = ^(6Л±1). 8.416. *i=n(2* + l);
4 6
*2 = arccos (уІ5-2) + 2пк. 8.417. *! = — + 7t&; х2 = -arctg4 + кк. 8.418
4
jc = —(ЗА- ± 1). 8.419. дс = —(4£ + 1). 8.420. х = -(4А: + 1). 8.421.
6 2 2
jc, = —(4Л +1); х2 = -arctg6 + пк. 8.422. * = -(6/fc±l). 8.423. jc = —(2Лг + 1)
4 6 4
8.424. x\ =—(8& + 5); x2 = arctg 3 + n(2k +1). 8.425. xx = ~(4k -1); x2 = 2nk.
4 4
8.426. xx =^-(4k + 3); x2 3 = -arcctg+—. 8.427. jc = —(ЗА:± 1). 8.428.
1 16 4 2 4 3
x — ■—(8Ar + 3). 8.429. jcj = — + nk; x2 =— arctg5 + —(2& + 1). 8.430.
8 8 2 2
l-Vl+8* + З + л/5+8* +2k- k = 0,1, 2,.... 8.431. * = -(4*-l).
1 2 2 2 4
8.432. Xi = —(4£ + 3); x2=— (6*±1). 8.433. x = nk. 8.434.
8 12
—2 nk n
jc = ±arccos . +2nk. 8.435. jc =—. 8.436. z = -(2k + l). 8.437.
V2+VW2-2 6 8
x = теЛг, ^ = -(4n + l). 8.438. x = -(8* + l). 8.439. x.=±— + 2mt;
6 4 3
x2 = ±arccos(- — |+2я&. 8.440. t = ^ ^ arcsin—-— + —, n = 3,4,...; £ =
2 { 3) 2 2k+ \ 2
= -4,-5,.... 8.441. X\ 2= arctg+ 8.442. jc = -£(3*±l). 8.443.
v2 12
xi = —(4& — 1); jc2 = — ± arccos——+ 2тсАг. 8.444. t = —(3k± 1). 8.445.
4 4 4 3
526

/ = — ±arccos^- + кк. 8.446. Хі =—(4Л + 1);х2 =(-1)* —arcsin——.
4 4 *4 2 22
8.447. *і = я*; лг2 = -^-(4* + 1). 8.448. х = у(2* + 1), ^ = лл. 8.449.
х = -(ЗА±1). 8.450. х = ±arccos1 ~1 + 2rot. 8.451. х = ^(3*±1). 8.452.
З V2 З
х, =-arctg-^ + Jtfc; х2 =-7±arccos-^——+ 2яЛ:. 8.453. jc = —(4ifc +1). 8.454.
2 4 2 4
*1,2 +2л*;*= 0, 1, 2, ... . 8.455. f = j(4A+l). 8.456. x, = rofc;
x2 =^(2* + l). 8.457. x = rc(4fc +1). 8.458. < = ^(4*-l)-arcsin JL. 8.459.
Xu =—H>ll + Kk; k = 0, 1, 2 8.460. x = nk. 8.461. x = 2rot. 8.462.
x,=±-^ + wfc;x2=^(4A: + l). 8.463. x = -(2* + l), y = -(4l+ 1), z = —.
6 4 2 2 3
8.464. x = (-l)*| + Jt*. 8.465. x = n(2k + l). 8.466. х = ^-,к*51.
8.467. jcj = (—1)*+1 — + TOt; x2 = — (4* +1). 8.468. f. =0; <2 = 1 + ^1 + 8* , * >0,
6 2 4
k*l(2l + l);t3 = l~^1+Sk ,k*l(2I-l),l>0. 8.469. х = я(2* + 1). 8.470.
4
f = ±2arctg— +—. 8.471. x = —(4& + 1), &*3/ + 2. 8.472. jci =-— + nk;
2 2 6 4
x2 = -arctg-i- + 7СЛ:. 8.473. * = ^(4& +1). 8.474. jcj = я*; x2 = ±arctg Jj + nk.
6 2 V 5
8.475. tX 2 = ~2±^+—,kt-\,k*2(l1-Y). 8.476. x = -j|(4/fc + l),**3/ + 2.
8.477. 	f = (-l)* — + nk. 8.478. / = — (ЗЛ: ± 1). 8.479. jc = ~(4£-1), >> = ^(2/2 + 1).
6 12 2 2
8.480. z, = 2jtf; z2 = -(4*-1). 8.481.t = —(6k + 5). 8.482. /, =nk;t2= |(2* +1).
2 12 8
527

8.483. лг = —(2Аг + 1). 8.484. z = -±arccos—+ 2mt. 8.485. х = -(2*+П
4 4 10 6 '*
8.486. /,=£(2к + \)\ t2=^-(Ak + \). 8.487. х = ^(2к + \). 8.488
4 16 4
лг = —(2А: +1). 8.489. х = -(6Л + 1). 8.490. дг = —(4Аг + 1). 8.491. х = -(8* + п
8 6 4 4 }'
8.492. лг = —(8Аг + 1). 8.494. х = -(2к + 1), у = -(2к + 5) + 2пп. 8.495.*,=
4 4 4 1
= ~(2* + 1), У\ = ял; х2=(-ї )к ^+кк, у2=(-1)" ^ + 8.496. X] =-ї+2л*,
2 о З З
Уі = — + 2тсл; * 2 = 2 arctg -—т^- + 2пк, у2 = 2arctg *+ + 2пп; х3 =
З V3 V3
1 + л/Ї0 л 1-VlO . я я
= 2arctg —— + 2пк, Уз =2arctg —— + 2пп. 8.497. х} =-, ух х2 =
= -£, л = 7- 8.498. x = -j + 2jtfc, ;у = £ + К(2п +1). 8.499. *, = (-1)*' j + лк,,
о о 4 4 О
к ТС fa ТС
.Уі=(-1) 2 — + rcfc2,zj = (-1) 3 — + тс&з; /rj, к2, к3 — числа однієї парності;
x2=yi=z4=^+2nkl; у2 =z3=x4 =^ + п(2к2+1); z2=x3=y4=~ + 2nk3;
о о о
Л5=Л=г7=-Т + л(2*1+1); уі=26=Х1=~ + Шг\ z5 = *6 = Уі = Т +
6 0 0
+я(2*з +1). 8.500. хі=£, гі=^;х2=уз=г4=0;у2=гз=Х4=0;
о 3 2
г2=жз=^4=^
Глава 9
НЕРІВНОСТІ
9.008.Якщо ає (-4,-3]. 9.010.2.9.011.1.9.012.2.9.013.Якщо хє (-1,2].
9.014.2; 3.9.015. Якщо те (-2, 0). 9.016. (-~, -1) U [4, ~). 9.017. [-2,1)U(1,2].
9.018. (1,~). 9.019. [2,°о). 9.020. (-~, 0)U[2,3]. 9.021. [2,4). 9.022.
(-oo,-2)U(2,°o). 9.023. (-оо, - 2)U(0,625; ~). 9.024. ^|, °° j 9.025. (З; 4,5).
528

9.026. [у - j 9.027. (-1, 2)U(2, 3). 9.028. [0, 3]. 9.029. (-oo, i)(j||, 2^ 9.030.
(_4,5; -2)U(3, oc). 9.031. [-“y jlJ(3, 5)U(5, ~). 9.032. (^o;-0,5]U
(j[5,«). 9.033. (-1, 2)U(3, 6). 9.034. [0, 8]. 9.035. (-=»; - 0,5] U [0,5; ~). 9.036.
(-oo,2)U(8, =c). 9.037. (-2V2, 2>/2). 9.038. ~). 9.039.(0,4).
9.040. (-»; 0,75)U(4, 7). 9.041. (-~, 1)U(2, 00). 9.042. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 9.043.
[4,00). 9.044. (- 3,1). 9.045. у, 4 jl)(5, 00). 9.046. (1, 6). 9.047. (- 1, 5). 9.048.
(1,3) U(3,5). 9.049. (0,3)U(7,00). 9.050. (-°°, -2)U(-1,0]. 9.051. (0, 2]. 9.052.
(0; 0,5). 9.053. [S, л/з]. 9.054. (0, oo). 9.055. (-00, l _ l0g2 3). 9.056. -1, ~j
9.057. (-0,5; 2). 9.058. (0; 0,4) U (1, “)• 9.059. (3, 00). 9.060. (3,4)U(4,00). 9.O6I.
(0,1). 9.062. [1,4]. 9.063. (-00, 0) U [0,5; «). 9.064. (-00,11]. 9.065. (- 1,4). 9.066.
(-1,0)U(3,4). 9.067. (0, 00). 9.068. (1, 00). 9.069. (1; 1,04)U(26,00). 9.070.
(4,6). 9.071. (2,3). 9.072. (-1, 1). 9.073. (-1,1). 9.074. (1,00). 9.075. 3j- 9.076.
(0; 0,25) U (4,00). 9.077. (0,«). 9.078. (-~; 0,5) U (1, ~). 9.079. (- 8, 1]. 9.080.
(—2, — 1) U (—1» 2). 9.081. (2, 3). 9.082. 3) U (-2, -1). 9.083. (-1,1). 9.084.
°° j. 9.085. (-1,0)U(0,1). 9.086. (0,1). 9.087. (2, 32). 9.088. (0,40). 9.089.
(1> Ifs). 9.090. [0,4). 9.091. [0; 0,5]. 9.092. [0,5; 4]. 9.093. (2, =»). 9.094. (0,27).
»095. (-1,2). 9.098. pe(2,00). 9.099. a є [1, °o). 9.100.1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.9.101.
Якщо рє|у ljll[6,°o). 9.102. Якщо лє (-=»,-3)U(2, 6]. 9.103. Якщо
I 9.104. Якщо ае (-оо; -1,75). 9.105. 11; 12; 14; 15. 9.109.
1-м)
N,5; 0)11(0; 0,5]. 9.110.
. 9.111. 1. 9.112. Якщо ае (-6, 6). 9.113.
529

[-5, — 3)U(3,5]. 9.114.Якщо хє (^», -1)U(3, ~). 9.115. тє (-~; -0,5). 9.Ц6
Якщо*є (—3, — 2)U(1,2)(J(3, «). 9.117.Якщотє (-6, 2). 9.118. Якщо тє (-7_ ц
9.119. Якщо ae(-2,-l)U(-l,l)U(5,oo). 9.120. 2; 3. 9.122. [5,5; оо). 9Л2з
[0, 3)U(3,4). 9.124. |о, ^ jlJ(4,«.). 9.125. [0, 2)U(4,6]. 9.126. (3; 3,5]U[5,«).
9.127. [-98,2)11(2,102]. 9.128. (3; 3,5) U (3,5; 4). 9.129. (4,5)U(5, «•). 9.130.
(~“’з) 9'131' <0;0’75)U(1>25;2>- 9Л32- 1 ju(l, 2). 9.133. (-1, Щ),
9.134. 	^+яя,^+яи| n є Z. 9.135. a) ^a4,-j,HiO4o0<a<l;^-,a4j,
якщо a >1; б) (iVl]. 9.136. (-2, 0)U(0,1). 9.137. (0,125; 0,25) U (4,8). 9.13*.
[1,5; 2). 9.139. Якщо m > 3 або m<- 3, то хє | -oo —1— \ якщо - 3 < m < 3,to
I m-3 J
( 1 )
x є , є» \ якщо m=3,то x є (-«>, оо);яюцо m-- 3, то розв'язків немає. 9.140.
\m-3
(-о®, 2^5-4). 9.141. (2, oo). 9.142. [0; 1,6] U [2,5; <»). 9.143. °° 1 9.144.
(0; 0,5)U(2,3). 9.145. || + яи, | + Яи j, n e Z. 9.146. + є Z.
9.147. n є Z. 9.148. (-2,0)U(0,1). 9.149.
(-~>-'|Ju(-^,fju(2,oo). 9.150. (-o.,0)U(l,2)U(2,3)U(4,oo). 9.151.
(—o,0]U(4,5;oo). 9.152. (0; 0,5)U[V2, ~). 9.153. [-3, 1). 9.154. (-«,-7)U
U-І 0)U (0,1)U(3, oo). 9.155. (1,2) U (64,oo). 9.156. (-oo, - 2) U (6, oo). 9.157.
(l,oo). 9.158. (2, 5). 9.159. [27, oo). 9.160. 9-ш- ^0, | ju(243,<»)-
9.162. jU^°-9Лб3- (-3,-2)U(-l,0). 9.164. 9.165.
(0; 0,5) U (2, oo). 9.166. (0,01; oo). 9.167. (-*>,-1) U (-1,2]. 9.168. |\, JLj 9.169.
530

(-2;-l,5)U[l,2)U[5,°°). 9.170. (^», 2) U [3,5; 4) U [7, ~). 9.171.
5'
6]
U[3, °o). 9.173.
(_oo;-0,1]U[-0,001; 0). 9.172.
U(_V6,-2]U[2,V6)U(V6,3]. 9.174. (-oo,0)U(2,3)U(3;3,5)U(4,oo).
9.175. 	(4log08°’2, oo). 9.176. (—УЇ4, -3)U(-1,1)U(3, Vl4). 9.177. ^-±, і j 9.178.
[0,125; 4]. 9.179. (1, 3). 9.180. (2, 8). 9.181. (-4, - 3) U (8, °o). 9.182.
(0;0,5)U(1,2)U(3,6). 9.183.(4, 10). 9.184. |-|,-1 ju|-l,9.185.
(-Vl2, Vl2). 9.186. (-oo, -5) U(-3, -1)U(1, 2). 9.187. (1, 3)U(39, =»). 9.188.
Гл/34-l
2
9.189. (1, 4). 9.190. (-oo,-2)U (1,2) U(3,oo). 9.191.
^27tn-^,-j + 2jwju^ + 2jtn,-^ + 2jwj, n e Z. 9.192. [-l,oo). 9.193.
1,1 + --^ III (3,oo). 9.194. (0, 2). 9.195. (S,-1)U(1, S). 9.196. (0, oo).
I 2^J
9.197. (-Vs, oo). 9.198. (1,5). 9.199. (5,oo). 9.200. (-2,13). 9.201. (1,2)U(3, oo).
9.202. (0,25; 1)U (1,4). 9.203. (0,2; 5). 9.204. (2“28,1). 9.205. (- 3,-1). 9.206.
a2; a,; a3. 9.207. |°, |j. 9.208. 4U[5, 7]. 9.209. (5,8)U(8,29). 9.210.
(-8; - 6,5) u (0,5). 9.211. [1,75; 4). 9.212. (-1, 3). 9.213. (-2, 0]. 9.214. (-1, 2).
9.215. (-oo, -7)U(-7, -2]U(1, 7)U(7,8]U(11, °°). 9.216. |o,^jll(l,3). 9.217.
27Си-я, 2jw-^ju^2iw--^, 2tw jlj^arcsin j + 2nn, ^ + 2nn jlj+ 2iui,
n-arcsini + 2jtnj, n є Z. 9.218. [0,8; 1). 9.219. (0,1)U(1,2). 9.220.
(-~,-2]U
, -Лз-i
і»
( Ik
9.222.Якщоpe (-3, 6). 9.223.(1,2).9.224.1 -5, -—
u
531

u[f.f]. 9.226. Якщо me (-2,4). 9.234. хє^|,3j 9.236. (3,~). 9.237.
(log413, 2]. 9.238. || + roj,£+ro»J, n є Z. 9.239. ^| + 2jw, | + 2яйjy
ujy + 2jw,y+2jwJ, n є Z. 9.240. |гго»--у, 2roa-J juj^+2»,,
y + 2jtnj neZ. 9.241. |го»--Ї, -5+roi j, я є Z 9.242. (log9 7,1) U (1, ~). 9.243.
- 5; 1. 9.244. [0,5; 1). 9.245. ^>5^ jlJO. 9*246. (- 3, - 1). 9.247.
(-00, log4(V3 -1))U(1,5;»). 9.248. jtog3|y, log34 j 9.249. (P,1)10,»J
0 < p < 1; p-,lj, якщо p > 1. 9.250. H»,-1)U(0,1)U (1, ~). 9.251.
якщо
(-»,3). 9.252. (2,oo). 9.253. (0,1) U
9.254. (-«о, -11). 9.255.
ГУїї-з
U(l, 00). 9.256. (-00, 0)U(6,00). 9.257. [-2,0)U(0,2]. 9.258.
(5,oo). 9.259. (-o,V2)U(V2,oo). 9.260. (-», - 2) U (0,1) U (1, ~). 9.261.
9.262. [5,oo). 9.263. (-00; -0,5)U(1, °°). 9.264.
t
^ + JW,^ + JtnJ, n є Z. 9.265. (-1,0)U(0,1)U(1,2). 9.266. ljlJ(2,6).
9.267. (3,00). 9.268. (-00,0) U (5,00). 9.269. (-1,0)U[1, “>)• 9.270.
9.271. (3,9). 9.272.
u
у, 11. 9.273. [0,16]. 9.274.
(-2,-l]U[-0A0). 9.275. (-5,-2)U(2,3)U(3,5). 9.276.
(2nn n
(~5~ To’
2 nn
5
532

я \ .(2гсл я 2яп 7л)
'ЗО I 1~+ІО’~+ЗО Г neZ-9-271- 080°-я, 180°• л + 78°)U(180°• л +
+156°, 180°• я +168°), лє Z. 9.278. (-«,-1)11(5, ~). 9.279. (0, <j2)U(1, °°).
9.281. 	(0,a)llj-^-,~J 9.282. (-2,
9.280
0 з 1°8з ^-log7 З
є Z. 9.287.
є Z.
9.283. 	$5,5). 9.284. (0, 3). 9.285. |ял-у,ял--їjll |ял,ял + у^
( к 57С Л (кп к пп п\
 U^ + _ „ е Z. 9.286. [т+-,т + -) „
2кп + ^ ju^27tw + -~, 2яя + -^ ju^2TCw + —^, 2ял + -~ j, п
(пп пп к\ ( я \ /я 3п \ .
9.288. ^T,T + -j л є Z. 9.289. ^-->roijU^-+Jtn,T+roijU
*“{і+ГОІ’ Т+ЯИ} "Є 2 9'290' (360° • я -95°, 360°• л -10°)U(360°• я + 85°,
360° • п +180°), лє Z. 9.292. |^лл-^, jw-ju -j^+ял j, я є Z 9.295.
(2пп 1к 2пп пЛ „ __, (- к _ ^
, + — L п є Z. 9.296. 2тіл—, 2я/і+ — L п є Z. 9.297.
^ 3 18 3 18/ ^ З З/
х*2ял + -,лє Z. 9.300. (-УІ2,-2)U(2, -Ді). 9.301. (2, 3), де а>0,а*1.
2
9.302. 0 jlj(0,1]. 9.303.3. 9.304. хє (0,1). 9.305. ае (-», 0).
Глава 10
ЗАДАЧІ З ПЛАНІМЕТРІЇ
10.001. 	8 і 15 см. 10.002. 8-^5 і W? см. 10.003. 10,625 см. 10.004.
}І2п(т + п) і уІ2(2т + п)(т + п). 10.005. 10.006.0 і 1,5 см. 10.007. 9 і 25 см.
а + Ь
533

10.008. 	л/ЇО см. 10.009. — і 5 см. 10.010. 12Л і 36 см. 10.011. 6 см
з з м-
10.012. 13 см. 10.013. 8 і 10 см. 10.014. 6,25 см. 10.016. R ф -1). 10.017.12 і
6 СМ. 10.018. Дї і 5 см. 10.020. 7,5 см. 10.021. т, т л/з і 2т. 10.022. 60° і 30°
10.023. 	16RJ2. 10.024.12 cm. 10.025. 0,5г(л/б + л/2) або 0,5г(л/б - Л). 10.026.
і г а( З + л/З) а(З-уІЗ)
6 см. 10.027. 2r (2V3 +3). 10.029. —- або 10.030.
6 6
0,5(-Уб+л/2). 10.031. 10.032 . 4 см. 10.033. з см. 10.034. 9 см. 10.035.
0,75Л2 -n/з. Ю.036. 9, 9>/з і 18 см. 10.038. 15 і 30 см. 10.039. 4, 8, 2VI і
2>/2 см. 10.040.294см2; 12ясм. 10.041.12,10 і 2уі9І см. 10.042.2см. 10.043.0,75.
2
10.044. , а 10.045. 2 і УІ2. 10.046. —. 10.047. 32 см. 10.048. Зг.
І»
10.049.42 і 56 см. 10.050.7,25 см. 10.051.2 см. 10.052. а (2 - VI). 10.053.2:1.
10.054. — см. 10.055. 10.057. З-УЗ см. 10.058. w(2^ + 3).
З 2 З
10.059. -. 10.060. 6 і 8 см. 10.061. 10 і 17; 21 і л/337 см. 10.062. 12 і 20 см.
8
І 2 2 І 2 2
10.063. 	5 т і 10.064. З, 4 і 5 см. 10.065. бг-Уз. 10.066.5 см.
6 4
10.067. 14 і 4 см. 10.068. 18^2 см. 10.069. 18, 24 і 30 см. 10.070. RS(2-л/З).
10.071. 	см. 10.072. 10 см. 10.073. 2S-J2 см. 10.074. W2Лх-Л
З
10.075.1 см. 10.076. V2-1. 10.077.6 см. 10.078. VJ см. 10.079. 9л/бі 8л/Ї0 см.
10.081. 	34Л і V27 см. 10.082. 0,25^25. 10.083. 0,5>/m2-4S. 10.084. 0,24 м2.
10.085. 5R2. 10.086. У 64 рази. 10.087. 2,25 кв. од. 10.088. 0,75R2fi. Ю.089.
па2
285,61я см2. 10.090. 1700 см2. 10.091. —• 10.092. 0,25R2fi. 10.093.
534

кір _ с)2. 10.094. 25я м2. 10.095. 5, 5, 6 і 4 см. 10.096. 8 см. 10.097. ІЇ см.
10.098. (л/б+2):1 або (Л + 1):2. 10.099. 4 + 2^3, 4 - 2л/з, 4 і 4 см. 10.100.
120 см2. 10.101. а2(2л/з-3). 10.102.96 см2. 10.103. 64тссм2. 10.104. 25лсм2.
10.Ю5. 2(7 + 4л/з)см2. 10.106. 0,5с2. 10.107. 4-2>/з. 10-108. Зл2(7-4>/з).
? 2
10.109. а2(З + л/З). 10-110. 2а2(л/І-1). 10.111. 10.112. 8:3>/3:6л/з.
д2(4л-3->/3) а2(ж-2) R2(iS-n)
10.113. V 10.114. —4—-. 10.115. — і. 10.116.
36 о 6
І 2 2 2
яЯ2(3 + 2л/2). 10.117.48см2.10.118. J5(w +П \ 10.119 т”р , . 10.120.
V 2/пи 2(т + л )
10.121. (4а + Ь)Ь^, Ю.122. 16 см. 10.123. ^25. 10.124. 1.10.125.
#— 2 /"”
20лсм. 10.126. І~Я. 10.127. ■ 10.128. а2Л. 10.129. 2yfmn(m + n).
3>/3+я 8
2 Г~
10.130. 	16 см2. 10.131. 10.132. 2 : 3. 10.133. 27° . 10.134. 1024 см2.
я 8
г2(
10.135. 282,24 см2. 10.136. 54 см2. 10.137. яab. 10.138. V 'v- 10.139.
г2( 2>/3-я)
— * 4а6. 10.141. 5 см. 10.142. 2 : 1. 10.143. З : 1. 10.144. 2, 2 і 4 м2.
8
80 9 /—
10.145. 150 см2. 10.146. у см. 10.147. 12 і 4 см. 10.148. Л V 3. 10.149.
10.150. 10.151. 4К 3^. 10.152. —. 10.153.
4 4я 8Я + 3-/3 4
‘ ЛД- Ю.154.] ,.S2 10.155. —. 10.156. Ю.157.9.
V3 V 3 \л(4я "•) 2 2
*0.158.84 см2.10.159. V3:4:6VJ. 10.160.24 і ЗО м. 10.161. 8,64 і 15,36 м2.
535

10.162. 75 см2. 10.163.
10.169. 	0,5Д(л/4 + л±л/4-л). 10.170.
2 2
10.164. 32 см2. 10.165. —. 10.166. 60 cm2
4
(а2-г>2)(л/3-П
4 '•
10.171.
•Л5 в2 -s/3 2 тп
10.172. 4.10.173.5 см. 10.174. 2—. 10.175. ——. 10.178. ЛС= -j=——
4 12 V4»n2-?
5С=
2m
, 10.179. 10.180.168 см2.10.181. —. 10.182. —. 10.184
^717 VV3 8 25 "■
- 2 2
450см2.10.185.25.10.186.13 cm. 10.187. tf 2 л/з. 10.188. або —. 10.189.1.
8
3
10.190. 10.191. -p-. -7-і -7— CM’ 10-192- І4К + 12Л
50 л/іО VlO л/ю V10
10.193. 20 і 10 cm або 5 і 40 см. 10.195. 17 см. 10.196. 75°. 10.197. | і ~ см.
2 3 6
10.198.14; 12,5; 29,4 і 16,9см. 10.199.4 і см. 10.200. m(-p + q\ т(-Р + Я) {
4 q р
p + q. 10.201.2:1.10.203. ^ см. 10.204.6,25 см. 10.205. 5; 20; 12,5 і 12,5 см.
8
84 . 72 г 120
10.206. 	5, 5 і 6 см. 10.207. — і — см. 10.208. 6 і 2V3 см. 10.209. —. 10.210.
572. 10.211. 5 см. 10.212. 15 і 20 см. 10.213. 12я. 10.214. 4ІЇ + 6, 4-Уз+б і
бЛ + 12. 10.215. 10.10.216. 8.10.217. Трапеція рівнобедрена, бічна сторона
г~ 2 R
дорівнює середній лінії. 10.218. 6 см. 10.221. 2V5 см. 10.222.
10.223.15,20 і 25 см. 10.224.6 см. 10.225.90°. 10.226.6,8 і 10 см. 10.227. b + c + d.
10.228. см. 10.229.9,9 і бЛ см. 10.230.26 і 30 см. 10.231. 4г, 2г.
11 З
10.232. 4л/2 і 18 см. 10.233. ^. 10.234. 1 і 17 см. 10.235. т,
536

т
(V5+1)
. 10.236. 2л/?, 5 + -У? і 5 + л/5. 10.237.pq. 10.238.1 : 3; 2 : 3.10.239.
/То см. 10.240. ^см. 10.241. 10.242. 4,8. 10.243. см. 10.244.
Ь — т ' З
2
18л/5
24 і 25 см. 10.245. і а г 10.246. см. 10.247. 2аЛ. 10.248.
а-r (а /•) 5
*2 „2
iJ-4Rr j —. 10.251. У 7381 раз. 10.252. З : 2; 3 : 1; 2 : 1.10.253. 130 см2.
10.254. 0,5аЛ. 10.255.8 см. 10.256.3 см. 10.257. уІа2-аЬ + Ь2. 10.258.5,8 см.
л 2 І 2 , .2
10.259.3 см. 10.260.5 см. 10.261.1:2.10.262. 10.266. . . 10.268.
A-2r V 5
На середині відрізка Л5.10.270. З : 4. 10.271. 150 см2.10.273. Jl(Q + q)J^- і
+ ■ 10.276. 5уі2 см. 10.277. ab^ 10.278. aS, і
V \Q a+b' 6 6
10.279. 	20 cm2. 10.280. 30°, 30° і 120°. 10.281. 3 cm. 10.282. 1 : 2. 10.283. 2 cm.
10.284. I’-ThUI-A) ш>5 *WI> ши. Л24Д-ІІ.)
3 2 6
_ /— * Зя^л/З
3 +v3 cm2. 10.288. 12V5 cm2. 10.289. — —. 10.290. -7=—rT 10.291.
16 (л/Л+Vr)4
3,6 см2.10.291. «Mrl). 10,293. Mi. ,„.2,4. 10.295.
З а Л+г 9
10.296. r2 + 2Rr. 10.297. ^m + n^ . Ю.298. 3/> ю.299.
mn 4(2rt + 3v3) 36
10.300. - 10.301. 10:1. 10.302. 25. 10.305. ■ ~2ac).
18 4a
10J06.^!(3W2) 10.307. 65™2 ,MJ08.—. 10.309.8, 8, 8 + 4-Уз і 8-4і/з см.
4 4 2
537

10Л0.100лсм2.10ЛІ. -р-- 10.312. й2(л->/3). 10313. д2(2іг |0,.
6я 6 '
, 15-/7 , 200 , , [а*~+ьї
4,32 см2.10315. —1— см2.10.316. - см2. 10.317.9 см2.10.318. J ?~
4 З 12'
10.319. а. 10320. З : 4. 10321. 8 см2. 10322. 6 см. 10323. 8 або 6 см. 10324.
-^,-^і^ см. 10325. 288 см2.10.326. 16 м2. 10327. 0,5 Jl5 см2. 10328
л/з Л S
2,16; 3 і 0,84 см2. 10.329. 14 см2. 10.330. № ~2ас_. іо.331
2 а
, р2-т2 р2 +т2 ±і[(р2 +т2)2 -%т2р2
0,5(Ь - а)2. 10.332. - — —. 10.333. 96 і
Р 2 р
156 см. 10.334. 0,5(я-2)а2. 10.335. 14 см. 10.336. 5п~6^ См2. 10.337.
18
а (2^3-6л + 3ял/з) 1(Ш8 0,5(2 Л-л)Л2. 10.339. 2(3-Уз-я)см2. 10.340.
О
. 10.341. 0,5с2yjS-2.10.342. 45° і 135°. 10.343. 235,2 см. 10.344.
9,6 см2.10.345. Прямокутний; 24 см2.10346. У 9 разів. 10.347.Z/I =ZB або ZA +
+ ZB = 120°: 10.348. 120 см2. 10.349. R2(S +1). 10.350. 0,45.10.351. 16,9 см.
10.352. 41. 10.353. У 2,56 рази. 10.354. см2 « 3,4см2. 10.355.
8
4-У! 4лІЗ 9-5ІЇ , 3а-b а а-ЗЬ
—— і —*-—. 10357.80см2.10358. а , якщо Ь<3а;
3 3 З а+ь 3 а+ь
якщо а > ЗЬ. 10.359. 2,4 см. 10.360. 12 і 16. 10.361. 10 см. 10.362.
0,5(2г + т±^т2 -4r(r+m)); r<0,5т(>/2-1). 10.363. 18 см. 10.364.
2т" j Ю.365. 30° і 60°. 10.366. ^ «г
т + 2п т + 2п 3 4
10.367. 0,5Л(л/5-1). 10368. 10 см. 10369. 6 або 4 см. 10.370
538

JliiL- J(a-b + c + d)(a-b + d -c)(c + a-b-d)(c-a + b + d). 10.371. ZA +
4 (a-b)
+ /2? = 90° або \ZA-Z2?|=90°. 10.372. n. 10.373. 16 cm. 10.374. Бічну сторону.
I 2 Rr
10375.2,25 Л2.10.376. ^0,5(a2+b2). 10377. 8,4 і 6 cm. 10378. -—. 10.379.
m. 10381. у cm2. 10385. S
1-
R + r
3 m2
(2 m + n)2
10386.3 і 4.10387.45°, 45° і 90°.
10388. АВ = АС = ^-. 10389. cm. 10390. 8,25 cm. 10391. 6 cm. 10.392.
0,25Д2(8>/з-9). 10.393. 0,4Л2. 10.395. ° + ю.396..
(,3,7 rfof)-,) ^
10.399. 11,4.0. /la+b>^ia2b- -^ta+b)2. 10.401.
18
10.402. —. 10.403. 1 cm. 10.405. 10.406. Rp.
їл-З 6 12
10.407. 3 : 7. 10.408. 125 cm2. 10.409. ^42 і -ЛІ 10.410. ajrnn (m + a~n\
 a-n
10.411. (л/З-l )S. 10.412. 10.415. (Jd+ c ±Jd-cf_
3 3 4
1
10.416. (± + _L + ±Y_L + ±_±Y± + _L__LY± + ±_±Y 10.417. 5.
A, h2 A,^A, A2 A3^A, A3 Л2^Л2 A3 A, J
10.418. + be ЗІЗбя cm2. 10.420. + j а(5 + 2л/б) або
а6+с</ 81 6
j л(5-2л/б). 10.422. ^ Ь ,. 10.423. 1,6 см2.10.424. а (9~sS)
10.425.
6 " <j2+i2 12
І80л/3
19
539

Глава 11
ЗАДАЧІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ
11.001. 11.002. n QQ3 а*_ а2л/3(1 + л/2) ц^
48 4 24 4 2 '
11.005. Л. 11.006. 144 см3. 11.007. 3. 11.008. аЬл^. 11.009. 6V. И.ою.
a2(Vs +1). 11.011. Ц-. 11.012. £І£±^). fUL ц.013.2а2. 11.014
16 2 12
-З—-—- 11.015. Зд2>^. 11.016. 11.017. ^-см3. 11.018. f!*^3
2 4 24 24 12
11.019. 11.020. 18>/2дм3. 11.021. 60,375 см3. 11.022. а3VI.
4
11.023. 	26,25 дм2. 11.024. ~Ь ^. ц.025. ц.02б. 2gV2.
6 12
11.027. ц.028. 24г2. 11.029. 9л/з(-Я+1)см2. 11.030. 4Лем3.
З З
11.031. —;e2(l + V2). 11.032. 108 см3. 11.033. 21>/55см3; 84 см2. 11.034.
6
11.035. 	2rf3V2. 11.036. 11.037. e2(4 + V3). 11.038.
50 З
2а(а + уІ4Ь2 +а2). 11.039. e2V3. 11.040.6см3.11.041. 1—^-, Ц.042.872см3.
8
■ ■ ІЗ /Т Q j3 .
11.043. VO,5SiS2Q ; 2-JS2 +S2. 11.044. -|j-. 11.045. —. 11.046.
ab43a2-b2. 11.047. 2(а + Ь)^Ца2 +b2). 11.048. 0,375а3. 11.049. 0,125a3-
11.050. 1,5^(/2 -Л2)(3/2 +А2). 11.051. *#см3. 11.052. ,/з (2£ + 0,5а2).
О
11.053. 1,5Л2 V3. 11.054. ™с2тІЛЬ2-с2_ n Q56 уо^Зсм2.
12(т + л )
540

057. mTd\m. H.058. !>?M9m2-h2\ 11.059.
1 (m + л + p )' 27
},J(M + N+P)(M + N-P)(M + P-N)(N + P-M). 11.060. 2^P+-?=|
11.061. 	6A2. 11.062. 1 11.063. 3a2-, 11.064. 0,5 A3 VJ.
12 2 6
11.065. 5-Л. 11.066. 11.067. 18-УЗсм3. 11.068. За2; ?-ф-. 11.069.
12 З
11.070. abS . 11.071.l^33. Ц.072. ™п9Щ ц.073. Зсм. 11.074.
з 4(а + і) 47 ж + л
4Г-І м3. 11.076. 11.077. 4г- И.078. F=CS. 11.080. 2я(Л + 1)а2;^-.
\3/ 3
11.081. 	—. 11.082. ^^см3. 11.083. 11.084. kR2S. 11.085.
р 125 81
0,5ЛГл/лЛ/; nN + 2М. 11.086.24л см3.11.088.3:2:1.11.089. -ц.090.
4KQ. 11.091. 600л см2; 1000л см3. 11.092. 216л см2; 448я см3. 11.093.
St :S2=K:2; У, :У2 =nfi:2. 11.094. S,:S2 = Vl:V2 = 4:9. 11.095.
64я: 27.11.096. я(д2+*2)2 ц.097.9; 16.11.098. Ш^Я.. 11.099. 4 л-Я см2;
А2 ЗУІ
2я см3. 11.100. —. 11.101. 2S11.102. 8 м2. 11.103. 2Л^4. 11.104.
27 27я
.Ц.106. . 11.107.16^2,2(72-1) м2.11.108. = 515 дм3.
U.109. Wl + Vs 11.110. З см. 11.111. 45. 11.112. І- 4^J?
6 2 6
И.113. 260 дм2; 312 дм3. 11.114. 1900 м3. 11.115. 0,5(5! + 52) А. 11.116. 12 см3.
Ч.117. 	906см2. 11.118. а2(1 + 2ч/з+л/ЇЗ); 0,5а3-Уз. 11.119. ■ а *
ШЗаг-АЬ2
541

11.120. 11.121. 7б. 11.122. — і — см3. 11.123. ц 12
тс3 27 27 3
а3Ф~1) и 125 a2J3(2 + У13) ц ш Зо\ За2Уб ц ш 7а3(У2-п
8 •• з ‘ ' 4 ’ 2 ' ' ' 3 '•
11.128. 11129- 10^ см2.11.130. 1: Л. 11.131. °^3(4°2 Z^)_
4 32 8
sj~sifll а2у[ї(2 + уІ5) а3 (a3-b3)J5
11.132. . 11.133. 11.134. — 11.135. ——
9 4 128 б
11.136. ^ні +
а27зГ, . [3(т + 2п)) 144>/з
11.137. —-— см3. 11.138. 192 см2.
11.139. >/3(3 + 2л/2):6. 11.140. 11.141. 4m2fi. 11.142.
syfsile
З 2 '
-’(27^-22^) 11U< £ , ЛЛ
2 32 З
a (6 + 3V3+V7) n і47 8(1 j + ^/34)м2.11.148. VS2fh :(S2yfe-SiJFx).
11.149. 	12 дм3. 11.150. 1,9 дм3. 11.151. 0,5а3. 11.152. 9 : 1; 27 : 1. 11.153. З : 4.
11.154. За/ + а2. 11.155. ab(j2+l). 11.157. аЬ^а +Ь +аЬ) Ц 158 ±JL.
Ца + Ь) 12
11.159. 200 см3. 11.160. d\b6Q2-d\dl Ц.|61. 11.162.
12
а2УІ2УЬ2-а2)' Q<a<bfi цЛ63. 21
12 За
' і 4р(р-<*)(р-ь)(р-с) [ де
h
p = Q,5(a + b + c). 11.164. ^..^^±^2) n 165 yja4-(b2-с2^+
+ yjb4-(c2-a2)2 +ijc4 -(а2 -Ь2)2. 11.166. аЬс/^. Ц.167. ЗбЛ
см3-
11.168. . 11.169. 7б. 11.170. Ш.Ь -Ь<а<2Ь. 11.171.
3 (a2 -b2)-j4b2 - а2
542

2Я*Л, 11.172. Up- куб. од. 11.173. 12Л2Л. 11.174. 11.175. ЗвА.
р О 16
U176. 2г^(л + л/л^7^) або 2r2(R-^R2 -_г2) 1іл77 5і n л78 І.ІД
З а Ь с
11.179- 0,5в2-Уз. И.180. Ja2 +Ь2 +с2 +ab. 11.181. я5'^, 11.182.
21 3(те2 — 1)
11.183. 	5 : 1.11.184. 3(2m "К 11.185. — см2. 11.186. ^. 11.187. —
4я 9 24 6
11.188. я/2; ,2?.^/2~г2). 11.189. 3,75 см. 11.190. 11.191.
З 6
2(да2 +отп + и2) ПЛ9Г 2K-3S п л„ и ш пл95
птп 10я + 3>/3 9
їіЛЇ' 11.196. £-3і3.^І~,2}, Ц.197. 11.198. 336 см3; 396 см2. 11.199.
З З 4
т2л2 сі3 а3
11.200. 4 : 121. 11.201. — 11.202. З : 1. 11.203. —. 11.204.
21 12 6
16д363 # /- а3^2 %/з(Зт2 + 2дт-а2)
І ■ г ■ =“* b< а < by2.11.205. —■—. 11.206. .
3(а -Ь )\2Ь -а 54 в-»"
Н.207. 2в3(-У2-1). 11.208. 2а2>/3;у. 11.209. 20,25 см2.
11.211. 11.212. 18</2. 11.213. 24 м3. 11.214. см3.
18 4
■U.,. i^p?.JZ±EZ.JE±ZZ. „,гі».
,1.21». 11.22.. 11.222.
6 64 24а
2тса2; (2я + 3і/3)д цв223. —— , якщо 0<#< 2; якщо ?£2, задача не має
543

розв’язку. 11.224. **2(4-Л) **2<12-ЬІЇ5) 11225. ц.226. ]2
2 2 І 19
11.227. ,■■■■ а-Ьс -■ 11.229. ° 11.230. ЗЯ2,/з
УІа2Ь2+Ь2с2+с2а2 24
11.231. 60°;11.233.8) 5-Уз і -ЛІ см; б) ні.
Глава 12
ЗАДАЧІ З ГЕОМЕТРИ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ТРИГОНОМЕТРІЇ
12.001. 		 77 г. 12.002. sin2atg—. 12.003.
cos—:cos—. 12.004. tgl a--|;arctg2<a<-. 12.005. Actg—. 12.006.
26 V 4 / 2 2
->/Ssin2a. 12.007. * -+ *у ■ 12.008. -A?1-??... j _aslna , 12.009.
3 (£ + 1) a + b cosa 6 + 0cosa
aC0S? a2+b2-c2-d2 1
——12.010. -—. 12.012. arccos . 12.013. —.
sin
7t 3aY sina 2(ab + cd) 2k
4+T
12.014. 	V2Sctga. 12.015. ctg2^-| j 12.016. ^
/ij2 +/i| +2h\h2 cosa і20іг
sina
2</V2cos 12.018. arccos-—- і я-arccos S £>1. 12.019.
4(ет + и) k k
S tg— /еТГ 4rcos2— і
2_. 12.020. V V . 12.021. —1 12.022.60°. 12.023. - Jtg2a+9.
і 3 Осі«2« e- 3a 4
2 sin — sm—
4 2
„ . a + P a-P
4 sin 11 cos -
12.024. 2 _2_ 12.025. (ctga+a--): (tga-a).
Ksinasinp 2
,,d2 • a + P a-P
4/? sin -cos -
12.026.2arctg—;— і ти-2 arctg—:—. 12.027. 2 2__. 12.028.
6sin а 6sin a sinasinp
544

12.029. Js&lJ*-*) 12.030. ^°la+sinCC. 12.031.
sin2a ^4 2 J sina 5
2(---lctg-. 12.U*.. .
I4 4/ 2 4^2(f-f)
2*2[л °4 * a Psina 2sin2asin2a
12.032. a* ctg | ——— |ctg—. 12.033. j——12.034.
4cos2'
12.035. absma 12.037. 2cos2-. 12.038. 30°. 12.040.
va2 + b2-labcosa ^
/[^sin(tx + P) 16кв 0д 12.041. Jb2+c2±l2bc. 12.042. fl2(a+sina). 12.043.
cosacosp v
12.044. 	2d2Jlsin a+ — Isinatgp. 12.045. y7tf3ctg3y ctga. 12.046.
sin-^ v 4 /
2
I cos cl sin В 7ті/3 tt oc
/cosa sing 12.047. sinasin-. 12.048. 2arcsin—. 12.049.
sin(a + p) 54 2 2k
л/З-1 1 a2sin2a jr a
2arcsin—^—. 12.050. 12.051. 12.052. -jaZ>(a + 6)sinacos^.
sin2 a
л/з я# 2 2 a sin (a-P)
—. 12.054. -——sin a sin 2a 12.055. —T“ 12.056.
5 12 sin (a+P)
_ ос ^ I 2 oc
—2-і 12.057. stnP s»n2P sin2a 12 058 3J L_l. 12.059.
3 . a
J a sin— tgp (a + 6)(a -6)2 tg2 a tgB
arccos-. 12.060. 2 . 12.061. - " • 12.062.
9 6 8
І
\l-~ . 12.063. 2A3tg2asinP nQ64 ішЧсosa
ctg2 P sina 3 12sin—
2
12.065.
>/з/3sin2a cosa ^ лж:, V2cosa 1 ,з • ос
12.066. 12.067. -/ sin2pcosPctg—. 12.068.
~ . oc 8 2
2 sin—
2
545

. 2 cos а n к _ __ nS л-л >/з
arcsm—<а<—. 12.069. . 12.070. arccos—. 12.07і
Д 6 2 8Іп_яя_ 3 7».
т + п
S2(
1Z.U72. - . П.073. 2arctg—. 12.074. 1-*. 12.075.
2C°S “ 12.072. - 3--g2J sln2a, 12.073. 2arctg—. 12.074. 1- k. 12.0
~ 4m m к . nn m n k
2arctg—,якщо — < —; 2arctg—,яюцо — > —. 12.076. arctg . 12.077
nn n 4 4m n 4 2sina
/ 5 + 4 cos a ~ . k л , /г . sin a „
arctg J . 12.078. 2arcsin-p-; 0< k < v3. 12.079. arcsm—5=-. 12.080
V5-4cosa V3 v2
arccos-^-. 12.Q81. arcctg^/ctg2a+ctg2p. 12.082. 2arctgcosa 12.083.
. ( n аЛ Jb Je
2arcsm cos-tg— L 12.084; —. 12.085. arcsin—. 12.086. arcsin (sin a sin 6).
у n 2 J 6 3
11M, . л/5-l . JncV ,, AOft (P2-4/2sin2a)/cosa
12.087. arcsm . 12.088. arcsm r—. 12.089. - - .
2C2 8
12.090. ”/3sm2PcosP 12.091. 2jie3sinasin—. 12.092. Fsin2-. 12.093.
8 cos a 2 4
cos2a:l, починаючи від основи. 12.094. F tg2 у. 12.095. arctg(2ctga). 12.096.
,2
сі„Ь„ "(e )ctg7 JbSv2Ssin2a
” sin 2a 12.097. 2-. 12.098. 7“fl 3-' 12.099.
12 4 cos a 3sin 2a cos a
2 • 2 0
2a sinacos — я л з rz
2 12100 a sm2atgP u 1#1 W2cosa n ш
a
2
cosp • 2 2sin«
2 a .
2Kcos — sma «,1ПГГ л
2 12.103. 12.104. arctg - у — - . 12.105.
n 4tccosB cos2 — \k2 -1
2
nh3 Ґ 2o 2 0Л ^ 3tf2V3cosa 1
3sin2p
fcos2p + tg2-\ 12.106. ------C-°Sa. 12.107. arccos-. 12.108.
I 2/ 2 sin2 — 3
546

2т
H2Sctga &Лжг2 a3 ctg(p sina sinP
^ctg- 12.109. 12.110. --У . 12.111. —7
/w + л sina 3sjn a 12sin (a + P)
tcJ2 . cosp . я . cosp -----
12 112. 7 r . 12.113. arcsin — і —arcsin 12.114.
2 sin2 f—Isina COSOt 2 cosa
I4 2,
7 aS . a (n a\ 2sina
12.115. —. 12.116. -sin- tg I 12.117. ЇЇОІІІ' 12.1
25 2 2 (4 4) я
14 2 J
7Cr3Ctg3[ і .
12.119. 12.120. m sm2acosa 12.121.
3cos asina
/
\
 /
\
 • I n .
a
f я
a
sin — +
sin

—
16
2
6
2
v
/
V
/
3x0 Tca3sin2asin—
. 12.122. g^. 12.123. 2_. 12.124.
3 sin — 24 sin3 — 24 cos5 —
2 2 2
л 2 (к оіЛ
d C°S 4~2 ^4/T •
LL_±J. 12.125.
2 a
sm —
2
45^3 sin aV5 cos a 0 1 +
. 12.126. 2arccos . 12.127.
—i11^ 12.128. 3/ s'n 2a 12.129. fillip 12.130. a3cos2(xsmct 12.ІЗІ.
2 4sin2[j + a] 6 4*
fa2 +b2 -2abcosa nr . ( я^ , я ,,,,, sina
—; . 12.132. V2sin a + — -1; якщо a = —. 12.133.
sina V 4 J 4 2a-sina
їй)
r— 2acos4 і
12.134. 	>la +b +2abcos2a 12Л35- L4 U. 12 136 P +ap-<l
2 sin 2a я sin2— P
2
12.137. Jstgj. 12.138. -cos2a 12.139. 2sin|a+^j. 12.140. 2sin^a-^j:cosa,
547

hcos(- + -)
(4 2) л .
починаючи від вершини. 12.141. —т *—4- 12.142. —. 12.143. 1
2cos2 acosf —- —І 13'
І4 2J
R2
12.144. —. 12.145. SUl(a ^ . 12.146. arctg-^-. 12.147. —.
97 2cosasinp 2т+п 18
І ~2—
12.148. arctg^. 12.149. r^ + s'n а. 12.150. -Ц-;к>2. 12.151
2 sin а
я . 4і(к-ї) ^ . 2(1 + *) . 2(1+*) . 2(1 + Jh
— ± arcsm 12.152. arcsm —, arcsin , я - arcsin — 1
4 2(* + l) nk пк
. 2(1
і я — arcsin——
nk
k>-^—. 12.153. 2R\ 1 + arcsin—-— 1 12.154.
іk я-2 ^ R-rJ
2-^2 2-Л '12 2 I sina
2arcsin і arccos . 12.155. —7“—12.156. arctg
•M
<H)'
2tg| ** -l 1 I 2 +cosa
tga a 3.4 (n2 +а2)(п2 — m2) .
12.157. arctg——12.158. 717- 12.159. arccos^—Щ^ 1
2 2 5 5 2pq(n2+m2)
(p2 +q2)(n2-m2) . 4-k2 . . 4-k2
я-arccos— 2-— -—12.160. arcsin—— 1 n - arcsm —-—; y/2<k<2.
2pq(n +m ) k2 k2
1 J4 R 3 1 45
12.161. 12.162. ; . 12.164. —tga 12.165. -arctg-y;
3’ 3 2 2 (k + 2)R-I 4 2 a2
4 R
1 45 n n 4S 1 . 4k . k 1 . 4* . , .3
—arctg—T- + -; —arctg—r-. 12.166. —arcsin— і arcsin—;0<kS-~-
2 a2 2 2 a2 2 322 3 4
n 16? R2 sina(V4 ~^*n2 a - cosa) 12Ш ^ +2aActg| 12Л69.
12.170. 	^SU>(0C~ y 12.171. 3*вР~*8а. 12.172. ^ . 12.173-
2sin(a + y) tga+tgP 2sin asin2P
548

flCOS(! + p]cos(f-p] cos[f + p]
___Ii і—Lf 1. І2.174. —*-= l. 12.175.
sinacosP 2sin«
sinp
/?sin-a
4-+-Ї
U ч
. 12.176.
£tg3-. 12.177. Vfl2 -ft2 sina-ftcosa 12.178. ) 12.179.
2 2 2sinf—+ — 5
12J7S. fMnj. 12.179. 4
■(M) 5
5 tg~ 2ir 2S“I[t + ^1C0S[t-^1
12.180. —• 12.181. arcsin—;J-;a<—. 12.182. * ^^ •
13 V3 3 sina
12.183. 12.184. —12.185. Ja2+45ctg^. 12.186. -. 12.187.
5 4 sin2— ' 2 6
--Sctgasin4a 12.188. Pa>Pb>Pc. 12.189. tt-aretg*m + />^. 12.190.
2 m — n
• >21 . V21 , оч sina sinB
arcsin—- і arcsin . 12.191. д(я-а-Р) 12.192.
7 14 sin(a+P)
2arocos^+f)/. 12.194.2кв.од. 12.196. ° . 12.197. | sin 2asin2p. 12.198.
'T
2ab 2 cos— 4
na2(2-S) asina
—tg2f———\ 12.199. ■ 12.200. —N. 12.201.
2 (4 4/ 18
2sin^ + a j
I — r 47t/?3sin4f—- —1
jStg—sin(l5°+—\infl5°-—\ 12.202. , • Л
°os—sin315° • 2 I 2J I 2) 3sma
2
12.203. • °2>/3(4tg2<P'l'l) ,2.204. a^cos2a. 12.205. W^a+ctg2”
12 ’ 4 * sina 2sina
549

12.206. 1U#7. 7 » 2 , 12.208. V3£:v,(4 + tg^
48cosa 48 L ■> a 8tg2a
12.209. 2/i2Vctg2a+ctg2P; ^ctgactgP 12.210. “ tgat62 і2.2ц
2 8
4'-3ctg3ftgp bi V3^3>/(4tg2a + l)3
—^ • 12.212. 12.213. yL-f —. 12.214
3sma 4cos2 — 4tg a
з 2 2a2 sina cos2 f— ) 125sin a-^\in а+-ї)
.?У««8Ф; И 2 1,12.215.—.Sctgort| ,6f I 6J;
cos(p З І sin2a
— <а<—. 12.216. arccos і-. 12.217. arcsin^ 12.218. sin2 р sin2 ot tg«p
62 ifc Л 6sin (а+P) '
12.219. 12.220. arctg^. 12.221. /^5~4cos2q 12 222 2J.25cosP,
5 3 3 V sina
2S,
12.223. —
SctgP sin—
2 |2 224 sinaV^ J2 225
3cos— 3
2
#2ctgaV3(l + 16ctg2a) 12 226e 5ctgpV25sina n ^ 2fl2sinCt ^ 2
2 6sinacos— cos^
2
, 2 ■ a . (a n}
/7= 4ла sin—sin —+ —
12.228. cosct ^ 12.229. 2 12—12.230.
6cosa sin—
n
I^3cos3f^-^W 12.231. 4c°sac°sP, . 12.232. 12.233.
3 v4 2 J я (cos a+cos p) sin2a
3>/2ctga 12И4 a(3 + cos2a) j2235 arctgVl + Vs. 12.236.
(l + v2ctga) 4sin2a

/ \ Tcc3sin2asinf a+ — 1 4
sin4—I 2 + cosjI 12.237. V 4 /. 12.238. arcsin-j. 12.239.
і-* l±Jl-23V^ f 1 6nR2 sin2 2a
і—:0<k <4. 12.240. arccos— ;0<k^—. 12.241. 5-.
4+k 2 8 (1 + 2 ctg a)
12.242. 	2sin22acos|a+|jcos|a-|j. 12.243. 3>/3(3 + 4ctg2a) 12 244
яг3tg2a , „ ^ _Jk±Jk2-2k \.
e~. 12.245. 2arctg J ;kZ 2. 12.246. 2arcctgn = 39,2°.
24 cos a 1 2k
9 sin 2a cos a J2 (1 + sin2 a) sin (a+B)
12.247. 7 у 12.248. 2arcsintga 12.249. = .
8«sin2 | + a 2sin
(n
я tgl —+— 2
12.250. ^^. 12.251. я - arccos 12.252.
4sinacos3 — m
2
1 ^ л і ^• я cos3 a cos3В
-arcsin ;0<fc<2sm—. 12.253. ^ . 12.254.
2sin— n 3sinasinpcos (a+p)
n
1 РзПТ~~- о ^Ctg P + cos j 2/?3sin2PcosPsina
- tg - y6F sm a ctg p. 12.255. _i 12.256.
2 2 er* . 2a 3
2 cos —
12.257. 2yctgP - 12.258. 12.259. a(?T*L*-tt.
n(ctg2a+ctg2P) . (2 ctg a + ctg ф) la-b
12.260. arctg12.261. arcsinf V2 sin-^—^sin— 1 12.262.
cos- V 4 4 /
2
sin(a±p)l , ц —. 12.263. -2-й-. 12.264. 2(m + ”)//2 x
у 2 si
2 sin a sin 2p * * 4sin2a * * m-/i
551

,3
xctga ^2 +ctg2 a. 12.265. 12.266. arccos(V3-1) ;
3 cos a sin 2a cos ——
p + q
— - arccos (л/З-1). 12.267. ^-2arctg^;*>rc. 12.268.
2 2 k
Я3 cosP^sin(a+P)sin(P- a) ^ ^ ?M2(3sin2a+l)ctga J2
2 sin2 a 4
л/5 -1 і я Зя
arccos——12.271. 0,5/V-cos2a; -<a<—. 12.272.
2 4 4
4/3 cosa cosP J- cos(a+p)cos(a - p) я/3 sin 2a cos3 a
. 12.273. — - 12.274.
3 8 cos (a+P) cos (a-P)
j2 a+p
_./ cos -
arcctg ф (*-!)). 12.275. -
2Я2со5^8і„^ + ^4т + !]
li—2 I 14 2 i. 12.276.
sina sinP
2Fsin^i& /3sinfv
2—. 12.277. Ї
/ \
 / \
 COS
v 1
COS
f-p
\ /
12.278.
StgPVSsina
asm—sin— 3sin p 6
2 2
12.279. J^k;-l<k<0. 12.280. arctg 12.281.
^/sin (a + P) sm (a - p)
16A:2 — 1; 0<k<—. 12.282. arccos—. 12.283. , a . 12.284.
4 30 V- cosa
tg P
r- arccos«
2arctg(2W3);0<*<—. 12.285. ^ГПГ- 12.286. arctg—
6 я — arccos 2cosa
tg a
12.287. —. 12.288. ^ -. 12.289. arccos—^—, де k > 2. 12.290.
65 k2- 2 k-1
arctg|V/2 -21 cos—j. 12.291. —. 12.292. 2arcctg (2cos a). 12.293.
552

e3sinasin| tgP
2coi
я_ сЛ
4_4j
12.294.
2a3 cos3 ^tg a.
12.295.
2r3 ctg
a (n аЛ
ґЧї-т)
12.296. arccos ^ctga ctg p. 12.297. —
sinf* + “]sn
I3 2°
я _ a
3~2
. a
sin—
2
12.298.
arcsin <Jsm (a + p) sin (a - P). 12.299. arcsin (sin a sin p) і arcsin (cos a sin P).
12.300. 7 12.301.
4
з . .a
( a}
L (
°0
a sin a sin—
2 *
COS
Ф+У
\ /
COS (
'-Ї
БІПф
12.302.
2 sin (a + p) sin a sinP
12.303.
abc
^/l+ctg2 a+ctg2p
12.304.
л і a2J3 a2Z>sina
/3sinasinPVcos(a+P)cos(a-P). 12.305. 12.306. 2(fl+fc)cosp-
12cosa
12.307. / sin2P cosp sina cos'
я 5я
*7<a<—.
6 6
12.309.
f- i2-3o«- ^Ha+^)inH);
V2cosa
arccos-
<дан?Т}
12.311.
12.310.
яЯ2 cos4 a
. 4 a
4 cos —
. 3a
sin —
2
12.312.
J?V3
3cos
f . (n a \ . (n a \ . 2«
—sin —+ —bin tga. 12.313. 2Я8Ш —.
a 4/ {* 4 JB 4
12.314.
ctga± Jctg2a-8 jM3ctg^cos^ctga
arctg-£ . 12.315. 2 2 _
. 6
12.316. arcsin— і
nk
553

jr-arcsin—;kZ~. 12.317.
rot 6
3-5 2 01
іш sin a cos —
12
/?V2sin—
2.. 12.318. 2-
2 cos
•2^ -2 . 2JI
nsm 2a sin a sin —
12.319.
4n
12.320. 	arccos—. 12.321.
4
8 14 8 J
W2a3 sin3 2a
12.322.
,3 2 OC + p 2 Ot —p
7t/ COS —COS
2
3sin2 a
.зСМ
\ sin2 a
2_ 12323. ?f , 12324,
cosa
a2 sin2 (--a)
1 jM.
2sin2fy+aj
12.325. -*2cosott«P, 12.326. iwVsin?. 12.327.
2cos3a 2 12sinz(a+P)
12.328.
ІЗ-ctg2^)
[ 2 ) 12.329.
8яа sinacos-
12.330.
o fita^ (n
г^б 2/°8[б 2/
fl + ctgfl«natgp sin4« __
і Ц . 12.331. 2.. 12.332. J—tg".
Ucos^ a cosa Vsin2a 4
12.333. p3tg3|---|tg-tgp. 12.334. 8e2cosacos2^-ctg2 —. 12.335.
^4 4 J 2 2 2
/ct
in2 2p sin2 p sina JJ336 [2 4
4Л3 sin
a+-
2
P4
“ 2
arctg
3Pcos^
2. l^sina
sis
12.338.
Г2+д6’
P
cos—
2
12.339.
12.337.
sina
it-sina
; k > 2sina.
12340. fl^2c°SOt. 12.341.
4k2 r i/5-l
12.342. arctgV2. 12.343. arccos—-—
4*2 + l
554

12.344. arctg
л/l7-3
arctg
ТЇ7-3
12.345.
8 cos1
6a
12.346.
Iarcsin(2(>/2 -1)) і £ - -іarcsin (2(уі2-\)). 12.347.
2 2 2
-4 \
 12.348.
, • fn °0 a
3s|n у-у acos-
^ і 12.349. —. 12.350. , -2-. - ■ . 12.351.
6H ♦!) 2ДнНн)
2(4 +V6) t . a a3ctgactg£tgP
arctg— 12.352. arctgsm—. 12353. arctg 2. 12354. 2
5 2 i2
-fl + cos2-l
4l 4 i.
L-sina
+ arcsin 5(л^~1}; arcsin‘S('^~1). 12358. 4Л2 tgf^ + ^lctg^. 12359.
/2 / ^4 2 j 2
ffT_l 18/7/3cos3atg3^ J^2ctg2ytg-
arcsin . 12.360. 2_. 12361. *—12362.
8Tc5sin2
12.355. iL U. 12.356. arccos0,6. 12357. ±- +
a-sina 6
3 49 cosa
і4 ^J. 12.363.
2a2sinPcos2|^-£| 2
cosa ^ • 2 ot
cosa sm —
2
. 12.364. arctg0,75. 12.365.
2 Ct
iri>2. 2« . 2л . (a TO ('-OL ^ °tgT
Ля tg —sin 2a 12.366. —-—sm — +— fcos I 12.367. —.
9 sin 2 a
tw1 (a я (a n\
 12366. sm - + — fcos —
sm a ^2 12 J ^2 12 J
нж. 2„WH,/^^. n.m. ,u,„ «
2 sin P cosa 2
о л aH sin а л 1
arctg--— і arctg—-—. 12J7L /__2 2 • 2 ' C°S4/7f *
sina cosa УЯЧа" sura V4A:
555

3>/3#3 cos (а - ft)sin а tg2 а 7
12.373. — • 12.374. 12.375.
a3 V2 sin3 ft cos2 а sin а 12375 яд3 cosa tg ft 12 377 a smasin4~
sin3 (a+ft) 24cos3 — 3
2
12 з78 2Д3 sin2ft(1 - cos 2ft+cos2 2ft) 12 379 2itfl3sin2asin4a j
3 ' з •
2 a2cos2a „ „„ . „ I Scosa
arccos . 12381. . 12382. sinftl —. 12383
v8 + sin22a sina V «»(«+&)
4 c3 Уз cos2 a+1 sin 2a tgft ^ C°S( 3 a) я
arctg-. 12384. —. 12385 Li 1- якщо а = ~.
З 36 2 3
2 а
/ £ л Кsina cos —
12.386. arctg tga L 12.387. 2.. 12.388. 2arctgcosa і
V* + 3 ) 3it
тш3 sin2 2asin I «w. r.u, — і
jt-2arctgcosa 12389 s li—1 Ц 12390. —
3 . 2*-«
J 4cos
4
/ 1 4/?2 tg£
12391.\a2+b2 + 26(cosал/а2 - ft2 sin2 a + 6sin2 a). 12392. 2_
l+(2tgf+ctgf)
p2„.„P c,„a-ro
4Л ctg- 5tg—Lsina siny
2 1-1 1Q1 2 1ЛІ ^D«A„U<,m2 U
l+^2ctgfi+ctg|j
. 12393. ± . 12394.4Л cos—sin —. 12395.
sin(a+y) 4 8
. l±Vl-2/я . l±Vl-2m л l . a2-b2
2 arcsin і arccos ; 0 < m < —. 12.396. arcsin
2 2 2
lab
tga
і n - arcsm
д2-*2
2ab
tga L 12.397.
2 a
sin —
2
f і \
 a L 1.2a
cos—+ J1 +—sin — .
2 V 3 2
12.398.
556

. ^4 cos у - 7С^ 1 + sin2 у j+2a sin y j.
12.399. arctg
2ah
~2 72'
a —b
12.400.
a2-b2
HlsmBcos(A-C) п ш (4a2-fr2)tga ^ ^
2 4 45
arcsin
Ґ
1
l + Vl + 4/fc2
і я-arcsin
/
1
\
 lWl+4Jt2
k\
 2
2
V
)
V
>
;k>J2.
12.404.
k + 2 . _ k + 2 4л/з + 3 4^/3-3
3arccos——171-3arccos-—. 12.405. ZUll a6o v 12.406.
2k 2k io io
23
0,6 або 1. 12.407. -— 12.408. 0,25*/ ctg z P (P - sin P cos (2a+P)). 12.409.
cos A
cosBcosC
. 12.410. 0,5ectga 12.413. 0,25R2j2. 12.414. arcctg (sinPctgax
x(ctgP+cos 1 actg у)) і arcctg (sin yctga(ctg y+cos 1 actgP)). 12.415.
i —.12.416. —. 12.417. 2 arctg *lm + n 12.418. 2 arctg (л/з sin a).
6333 З 1 m 2
12.419. 4«Л«п(§+ї\ 12.420. ,2.42!.
. 2 a • ґя a"\
in —sin
; 12.424.
3 + Vl7
. 12.422. arctg—^—. 12.423.
2
Tta sin
2>/l + cos2a
(g*±*2)3/2«ga 12.425.
24
2 3 if 462 1
arctg . \k>—. 12.426. -arccos
J2k^3 2 2 ( a2 )
12.427. arcsin1 *. 12.428. a^-ctga tg(a + P) і aj-ctgP tg(a+P).
o
12.429. 12.430. arctg2. 12.431. 2arcsin Jsin^j + 2 ~ 2 }
12.432. arctg>/9 + 3VlO. 12.433. /3sinacos2 ysin2Pcosp. 12.434.
557

tf3sin(Y+P)sin(Y-p)tga _ a2b fl ~ 2 a ?—‘
—^ -—------. 12.435. J3-4(cos a-cosacosp + cos Rl
4sin psin у 4
12.436. + 12.437.
cos-
3 . CX
Л Sin— 3 • • q
2 a sin2a cosa sinp
12.438. 12.439. , ■ . 12.440
128cos5- 4Vcos(a+p)cos(a-P)
2
k + ylk2+4 „ к + уік2 +4 2V3 _, 3
2arccos 1 3arccos ; <k<—. 12.441
4 4 3 2
I—2 j-
arcsin y/sin (a + p) sin (a - p). 12.442. arccos0,75. 12.443. arccos—^—
b
+ * ллл l + 3cos2a АЛ- , оч 4rsin2(P + v)
12.444. . 12.445. arctg (tga tgP). 12.446. arctg—r ——
4 a sinPsiny
12.447. 12.448. -(a + b)2Ja(a-2b) tg2 ^. 12.449. °^tga . 12.450.
3 24 2 2^/tg2a + 4
,3 . a-B . a + B
V2 2 Jl h sln-T^sln-T^
arctg—. 12.451. arccos(8fc — 1); 0 < A: < —. 12.452. - ^ .
5 4 2 cos2—cos2 —
2 2
_L a2 ctga cosa tg2a „ 2Ryjsm(a + P)sin(a-ft) tgP
1 * • l««4d4« л
12 8 sin a cos p
12.456. 3^3tg2as.n2a ^ ^ tf2sm(a+P)sin(a-P) ^ 45j(
8 sin a sin 2P sin P
(7a + 3b)^3(a2+b2 +2abcos2a) ^ ^ #ctg2a(^4tg2a + l -1) 46#
144 cos a 4
•^або arctg2. 12.461. arcctg(4+ 2>/2) або arcctg(4-2-J2). 12.462.
2/3tgysinpsin2p 3cosa ,/J
2 . 12.463. . 12.464. arctg—. 12.465.
3 8 cos6— 2
2
■J2J3 кл-21 9^3
arcctg -— ; k > .
6 2k
558

Глава 13
ЗАСТОСУВАННЯ РІВНЯНЬ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
13.001.48; 80; 12; 12.13.002.200 кг. 13.003.40 і 30 л. 13.004. За 20 і 30 год.
13.005. 	48.13.006. 136 га. 13.007. На 38,8%. 13.008. 70 кг. 13.009. 500 книжок.
13.010.125 м3.13.011. На 6%. 13.012. На 20%. 13.013. На 7,1%. 13.014.80; 100; 90.
4 8 12
13.015.400 км. 13.016. —; —. 13.017. 520.13.018.2400 грн. 13.019.10 хв.
13.020. 	12; 24 : 18 = 16 : 12. 13.021. З дні. 13.022. 240 осіб. 13.023. 420 і 400
деталей. 13.024. 68 га. 13.025. 60 км. 13.026. 2 і 6 год. 13.027. 32. 13.028.
~{9 її’ 49 ’ 13,°29’ 5 ДНІВ' 13,°30, 126 °00, 105 000 1 94 500 ГРН‘13’031*150
13.032. За 3 год 45 хв. 13.033.8 сторінок і 9,6 сторінки. 13.034.720 і 150 книжок.
13.035. 5000 пар. 13.036. 2,5 кг 13.037. 475, 480 і 375 ц. 13.038. 40, 32 і 24
спортсмени. 13.039. 13,2%. 13.040. 1800, 780 і 390 грн. 13.041. 150 і 450 г.
13.042. 	26 га. 13.043. 105, 135 і 175 км. 13.044. 1,8 і 3 т. 13.045. 13,5 кг. 13.046.
Сірки 3 кг, селітри 19,5 кг, вугілля 2,5 кг. 13.047.20 скрипалів, 8 віолончелістів і
4 сурмачі. 13.048. 2850, 2250 і 1950 км. 13.049. 280; 200; 220.13.050. 1494 грн.
13.051. 	Можна збільшити на 2 дм. 13.052.3S4 км. 13.053.100 і 60 г. 13.054.3150
і3450ц. 13.055.33 вагони. 13.056. ~«Ь + ^У і ab + JaW +4abs д
2 b 2 b
З/
13.057. 12, 16 і 20 Н. 13.058. ттт—Г м/с, це b > а. 13.059. На 45 ділянок.
2(Ь-а)
13.060. 15 дм2.13.061. З грн, 4 грн 50 к., 6 грн і 7 грн 50 к. 13.062. 15
комплектів. 13.063. 21 ряд. 13.064. 8 коней. 13.065. 48 дівчат і 60 юнаків. 13.066. 175
і 450 кг. 13.067.72 юнаки і 98 дівчат. 13.068.750 і 1000 грн. 13.069. Через 4 год.
13.070. 450 м3. 13.071. 20 машин. 13.072. 100 км. 13.073. 5 і 8 м або 19,5 і
22.5 м. 13.074. 1,25 м. 13.075. 46 і 40 деталей. 13.076. 124 га; 35 ц з га.
13.077. 	20 і 60 км. 13.078. Швидкість автомобіля 100 або 80 км/год; швидкість
катера 80 або 60 км/год. 13.079. 56 км. 13.080. 14 і 28 км/год. 13.081.
48 км/год. 13.082. 5 і 3 км/год. 13.083. 60 км/год. 13.084. 1 год 40 хв і 2 год
5хв. 13.085.3 год 20 хв. 13.086.7.13.087.5.13.088.^(40; 0),Я(0; 30), />(16; 18).
13.089. 415 км. 13.090. 1,5 кг. 13.091. 120 кг і 4860 грн; 180 кг і 7560 грн.
13.092. 	95 000 грн; 40 000, 25 000 і 30 000 грн. 13.093. 3165 г; * 79%. 13.094.
187.5 кг. 13.095. 2,7 м. 13.096. 30 і 60 км/год. 13.097. 88 км/год. 13.098. 4 і
>6 км/год. 13.099. ~nr+.)!n.r(n-:+Jl і ”г+№”г+‘) 13Л00. 32.
2 п 2 п
13.101.84 км; 6 і 4 км/год. 13.102.21 і 12.13.103.8 км; 4 км/год. 13.104.48 км/год.
13.105.48 хв; 25 км/год. 13.106.850 км/год. 13.107. За 45 і 30 днів. 13.108.10,26
559

Г2 2
і 11,16 ц. 13.109.12 і 10,5 км/год. 13.110. За 4 і 8 год. 13.111. т +4tmJjJm
21
км/год. 13.112. Через 10 с. 13.113. Через 17 хв. 13.114. і EiJlz})
4/ 41
км/год. 13.115.140 км. 13.116. 80 км/год. 13.117.20 км/год. 13.118.32 і 36 км/год.
13.119.24.13.120.75 	км/год. 13.121. v = S^2 км/год; vB = —— км/гол-
2Щ 2Щ д’
2
5вл =-^—км. 13.122. На середині шляху; 3 год. 13.123. 40 км/год.
2Щ
13.124. 60 і 63 км/год. 13.125. s(<a~b^ і ZiZZp} км/год. 13.126. 4 і 6 обертів.
b а
13.127. — «11м. 13.128. ^v(v-s) км/год; якщо v > s. 13.129. О 14 год. 13.130.
— км/год; 2 і 3 год. 13.131. — км/год; 5 год. 13.132. На — 14 і 24 хв. 13.133. За
12 6 З
2abc 2abc 2abc bn + <Jb2n2 +240abn .
, і хв. 13.134. і
ab + bc- ас ac + bc- ab ab + ac- Ьс 2 b
bn + Jb п + 240abn деталел 13.135. 45 Г0Ді 13.136. З км/год. 13.137. За 6,
2 b
8 і 12 хв. 13.138. За 14 і 11 днів. 13.139. 64. 13.140. 15 і 12 днів. 13.141. 85 714.
13.142.3а 132 і 110 хв. 13.143. b + Jb(b-a); b-a + Jb(b-a); Jb(b-a) днів;
задача має розв’язок, якщо b > а. 13.144. 54.13.145.28 км/год. 13.146. 8; 4; 2 або
- 6,4; 11,2; - 19,6. 13.147. 10x20 см. 13.148. З см. 13.149. - 220 і 264. 13.150.
3x3-4. 13.151. І('а + Ь* і м/с. 13.152. 40x50 м. 13.153. 149x100 м.
lab 2 ab
13.154. 8 грн і 1 грн 20 коп. 13.155. 2330 грн. 13.156. 4 км/год. 13.157. 32.
Г2~2
13.158. 85 кг. 13.159.2 млн 160 тис. ірн. 13.160.23.13.161. * +4аЬк т.
2 Ь
13.162. 2 грн 50 к.; 550 кг. 13.163. 21 і 20 ц. 13.164. 20 грн. 13.165. 20 і 120
банок. 13.166. 1632.13.167.18 і 12 км/год. 13.168.2.13.169. 35 : 12.13.170.24 і
27 га. 13.171.38,31,5,7 і 9 років. 13.172.18 днів і 24 дні. 13.173.71.13.174.12 кг.
68
13.175. — км/год. 13.176. 540, 450 і 630 л. 13.177. Десяти. 13.178. 50 і 60 га.
560

13.179. З сини і 2 дочки. 13.180. ^ і І?. 13.181. 9 робітників. 13.182.
50, 150 і 200 г. 13.183. 20 рядів по 25 стільців у кожному. 13.184.75
і 60. 13.185. 30 і 24 г. 13.186. 16 каменярів. 13.187.40 днів; 25%.
- кп + ylk2n2 + 240ktn . кп + ylk2n2 + 240ktn
13.188. 		 — і — деталей. 13.189. ±0,5.
2 к 2 к
13.190. 	- 85 г. 13.191.2 і 26 Н. 13.192.12,8 і 7 л. 13.193. Через 3 год 20 хв. 13.194.
4 і 5 м. 13.195.96 м; за 14 год. 13.196.56 і 84 км/год. 13.197.6 і 10 хв. 13.198.280
і 175%. 13.199. 600 м. 13.200. 9000 і 13 500 грн. 13.201.0,5(Jb2 + 32а2 +4а-Ь)
і 0,5(уіЬ2 +32д2 +4а + Ь) м. 13.202. З год. 13.203. 2 і 5 км/год. 13.204. За 12 і
24 год. 13.205. 37. 13.206.202. 13.207. 65 і 100 км/год. 13.208. 24.13.209. Через
ab + Jab(ab + 4n)
4 хв. 13.210. На 40%. 13.211.842.13.212. велосипедів. 13.213.
2а
За 75 і 50 год. 13.214. 4:1. 13.215. Через 50 хв. 13.216. 40 і 50 км/год. 13.217*
±3at + 4b + ^9a2t2 +\6Ь2
км/год; 4b > 3at. 13.218. 16 і 52. 13.219. « через 55
61
років. 13.220. З км/год. 13.221. 80 км. 13.222. 80 км/год. 13.223.
1 км/год. 13.224. За 4 дні. 13.225. На 1 год більше. 13.226. За 16 і 10 год. 13.227. За
10 і 8 год. 13.228. За 12 і 15 год. 13.229.12; 8; 3; 2.13.230.13 і 63.13.231.5 і 11%.
13.232.3 і 45 км/год. 13.233. За 4 дні. 13.234.20 і 60%. 13.235. 13.236. На 20
дошках. 13.237. Дописана цифра або 0, або 3, або 8; у першому випадку
задумано число 2, у другому 3, у третьому 4.13.238. Із 16 пострілів 6 вдалих. 13.239.50.
13.242. 	60 і 90 м3. 13.243. 120, 90 і 70 відер. 13.244. Трохи не покриють. 13.245.
62 м3. 13.246. 1225 кругів на кожну фігуру. 13.247. 300 кг. 13.248. У кожному
шматку було по 5,6 м; 67 грн 50 к. і 45 грн. 13.249.18 чоловік. 13.250.24 м3.13.251.
01 год 5— хв. 13.252. За 56с. 13.253.65 і 20 м3.13.254.Через 45v2(v3 " ^ хв.
11 v3(v2-v,)
13.255. — м/с. 13.256. D=^ +НІ ~Ш. 13.257. ЗО км/год. 13.258.
15 Н а~с
км/год. 13.259.270 км. 13.260. На 60°. 13.261.6,9 і 12 км/год; 42 км. 13.262. Через
7 с після початку падіння першого тіла. 13.263. 360 км. 13.264. З м/с. 13.265.
2 +ab + b2
——. 13.266. 500 м. 13.267. 100 км/год. 13.268. - м/с. 13.269.
і а-Ь
_ 60vjv2
За 1 год 21 хв і 1 год 20 хв; 6 км. 13.270. " ~ км/год. 13.271.24 км. 13.272.
v\h ~v2h
561

45 км/год. 13.273. Через 5 с; за 0,5 м до лінії поля. 13.274. 100 км/год. 13.275.8 год
15 хв; 8 год 53 хв; 9 год 16 хв; 10 год 01 хв. 13.276. 3,25; 31,25
2 ab 2oh
і 32,5 км. 13.277. 1375 км. 13.278. 50 км/год. 13.279. -,
а + b ЗЬ-а'
2 ab 2 ab Ь
— м/хв, де —<а<ЗЬ. 13.280. За 58,5 хв. 13.281
а + b ЗЬ-а З
а+ 36 + yla2 -\0ab+9b2 . v + ^9v2 +6sv „
км/год. 13.282. год. 13.283. Спочатку
4 v
обоє йшли з однаковою швидкістю 3 км/год. 13.284. 75,6 км/год; 147 м. 13.285.
24 хв. 13.286. АВ = Щ- км; дс= cP(4ct~3P) ш. 13.287. 2а днів. 13.288. За
4 4(2а-р)
24 год. 13.289. 170 кг. 13.290.4 і 6 год. 13.291.20,30 і 24 год. 13.292. За 15 днів і
7,5 	дня. 13.293. За 8 і 6 год. 13.294. За і °’24^ год; п = 10.13.295. За
11-я п-9
а2 +п + уІаА +6 а2п + п2
год. 13.296. За20 і 30год. 13.297. 0,5(с + Vc2+1206с)і
2 а
0,5 (-с + Vc2+1206с) км/год. 13.298. ^і Ш99.12°або60°. 13300.12і 3м/с;
360 м. 13.301. 10, 20 і 30 зубців. 13.302. З і 4 м/с. 13.303. 300 і 600 оборотів.
13.304. 20 і 30 зубців. 13.305. 42 і 35. 13.306. 196 км; 84 км/год. 13.307. 964.
13.308. 15 або 95. 13.309. 9 і 10 г. 13.310. 40 і 100 т. 13.311. 100 і 60 км/год.
4
13.312. За 14,4 год. 13.313. —. 13.314. 9 оборотів і 2 обороти. 13.315. 20%.
13.316. *41,4%. 13.317.3 год 40 хв і 2 год 12 хв. 13318.27,75.13.319.2 л. 13.320.
5 фільтрів. 13.321.824 і 428.13.322.« 2,77 кг. 13.323.35 і 45 кг. 13 324.1160 грн.
13.325. 5 верстатів. 13.326. 30 км/год. 13.327. 13, 7 і 4 л. 13328. 100 ц. 13329.
fl(vJ+vr)
—Р—т=— днів, де5 > г. 13.330.10 і 15 год або по 12 год. 13.331.25 кульок і 16
•Js -Vr
кілець або 16 кульок і 25 кілець. 13.332.200 і 140 год. 13.333. Після п’яти ударів.
13.334.45,36 	і 30 м. 13.335.53.13.336.28 червня. 13.337. Через 15 робочих днів,
тобто 17 червня. 13.338.285 714.13339. а + b - с. 13.340.3.13341. На першому
місці—третій робітник, на другому—другий, на третьому—перший. Кількості
виробленої ними продукції відносяться як 5 :4:3.13.342. Того, який вийшов з В.
13343.р = 5а, q = 5.13.344.3:4:5.13.345. Через 43 jy хв. 13.346.1.13.347.12
і 1232.13.348.0,5(а + 2Ь + уіа2 +4Ьс) і 0,5(2с-а + УІа2 +4Ьс)гоа. 13.349.4км.
13.350. У 0,5(1 + VJ) рази. 13.351. а) 3 км/год; б) 4 км/год; в) 5 км/год. 13.352.
562

gg c. 13.353. 159 і 234. 13.354. 31 і 41. 13.355. 60 км/год. 13.356. 105 м. 13.357.
16км/год. 13.358.142 857. 13.359.21 і 10. 13360. 0<v<20 км/год. 13.361.
• л 1 mp-nq 1 тр-па
14 червоних і 24 синіх. 13.362. 9 і 35.13.363. — + ; —.
2 2(np-mq) 2 2(np-mq)
13.364. к \fk. 13.365. 240 км. 13.366. 5 < v < 15 км/год. 13.367. 180 доларів.
13.368. 2,5 т. 13.369. 11 лип і 5 беріз. 13.370. 12 аркушів. 13.371. 1 <h<
< 0,5(5-VJ)m. 13.372. 18 предметів. 13.373. 8 задач; 127,5 хв. 13.374. 16 год.
p(k±Jk(2-k))
13.375.421.13.376.211.13.377.421.13.378.2,4 	і 4,8 кг. 13.379.
2 к
25 + а + Л)
карат, де \<к<2; найбільша втрата вартості у 2 рази. 13.380. і
2 а
25-a + Vz) 25 + a-y[D . 25-a-yfB 2 11Л
кг або і кг, де = а -ІЗОя + 625,
2 а 2 а 2 а
причому, якщо а > 5 — немає розв’язків, якщо 0 < а < 5 — два розв’язки, якщо
pq
а = 5 — один розв’язок (3 і 2 кг). 13.381. Якщо s > , то на відстані від В, не
100г
s pq
більшій, ніж км, вигідніше брати вугілля у В; на відстані від В,
2 200г
більшій, ніж -j - км, вигідніше брати вугілля в А; для пункту,
• « РЯ
що відстоїть від В на — - км, витрати на споживання вугілля не залежать
pq
від вибору пункту А або В. Якщо ж s < , то для будь-якого пункту,
розташованого на дорозі АВ, вигідніше брати вугілля в А. 13.382.
R ± \І2а2 -3R2; 1,5Л2 <а2 < 2R2. 13.383.20 робітників; 6 год. 13.384. За 3 год.
h h
13.385. Якщо с<—, то перша модель; якщос>—, то друга модель; якщо
т т
с = —, то однаково. 13.386. ~ —, де — < т < 1.13.387. а(1 + уі2)тод.
m 6 4
1005-г(50 + 5) 1005-г(50 + 5) 100^
13.388. — г і ; : м/с, де s<r< . 13.389.
(З s-r)a (r-s)a 50 + s
У 2 рази. 13.390. 5 + 5^2 * 12 км. 13.391. О 10 год 29 хв. 13.392. 6,4 км. 13.393.
K*-l)±rf
2Тк 21
/
'21,2
Гк
. 13.394. 1 год. 13.395. Через 4 хв; у 3 рази.
563

.,,л. 3(-а +Ve2 + 240e) . -3(3a->/a2 + 240a) „л
13-396. — ^ і —і ! - год, де a < ЗО. 13 .397
2a 2а
—— і км/год; Зр - q км, де 0 < q < 2ру р > 0, / > 0. 13398. 60 км/год.
s(—a + va2 + 240a/)
13399.10 	год. 13.400.340 км. 13.401. - }- м. 13.402.500,1000 і
120/
1500 л. 13.403. Третя. 13.404.120 сходинок. 13.405.8 км. 13.406. За 80 с. 13.407.
316
тгг” год. 13.408.11 і 7 см/с. 13.409. Від 2,5 до 3 км/год. 13.410.1 і 4 см/с. 13.411.
131/V
vt + ^2а2 —V2/2 V/
; а = —г=. 13.412.0 < a < 68. Якщо a = 5, відстань між фермами
2v V2
vb2c2 + Aube — be
60, 40 і 25 км. 13.413. 50,40 і 10%. 13.414. км; а, Ь, с —
2с
довільні додатні числа. 13.415. 10 і 15 год. 13.416. 6400 і 600 л. 13.417. Через
avi + bv^
—5хв від початку польоту. 13.418.2ак км. 13.419. 36 і 54 км/год. 13.420.
vf +v|
Зт + уІ9т + 2500/км/год. 13.421.53.13.422.За b + Jb(b-d) днів. 13.423.
50/ *
_. <Л5-(а + Ь) , Jd -(a + b)
21 робітник; 6 год. 13.424. За а + -; 6 + -;
2(с + 1) 2(с + 1)
+ ^)) де £> = + 4abc2 с> 1.13.425.У першій см3;
2(с + 1) (я-1)2
2
.u а(п 2я + 2) т л . . - _ . ..
у другій г см ; у всіх інших по a cmj. 13.426. За 4112 год. 13.427.
(я-1)
За 96 і за 5 хв. 13.428. У 4 рази. 13.429.0,25 (За + 2с + V4с2 - 4ac + 9а2) км/год;
задача має розв’язок при будь-яких a > 0, с > 0.13.430. У 10 разів. 13.432. Через
1000(2,5а + 5р) , .
— с. 13.433. — грн; задача має розв язок, якщо sn <
J77ZI, 2000-sn
< 2000.13.435.423.13.436.7,7 год. 13.437. На 11.13.438.4 г/см3.13.439.77 або
86. 13.440. Mi(aS-a; 0), Р,(0; a-Уз- а); М2(-а>/з- а; 0), Я2(0;-аІЇ-а).
13.441. /і-3--!1! м. 13.442.300 і 150 млн грн. 13.443. І. 13.444.3;
к+3 л-1 З
ч <- -Г + УІ6Я2 -3г2 _ л/з — 1 л іІ2 „
4; 5.13.445. ^ = ; r<r}<R ,яюцо —-—~2~' r\ <г<л,
564

дещо 13.446. 0,5(24+*-Vs2+288) і 0,5(24-$-Vs2+288) км;
2 А
s < 6.13.447. 22 см2.13.448. 70 км/год. 13.449.121.13.450.10 і 5 років.
Розділ II
АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ
(додаткові задачі).
ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ. КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ
Глава 14
ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ З АЛГЕБРИ
14.001. 	0,5, якщо т > 0; - 0,5, якщо т< 0.14.002. \jb-a, де ft > а. 14.003.
14.005. 	х, 2 =±-/Ї0. 14.006. х = -. 14.007.x = 35.14.008.
ctg 33°. 14.004.
*!
X. = 0; х2 = -і. 14.009. х = 2. 14.010. х, г = ±л/Ї0; х3 4 = ±-jL. 14.011. х = 64.
3 ’ V10
14.012. х12 =2±0'5'^. 14.013.x, =4,5; х2 = 6.14.014. х, =10"6;х2 =103. 14.015.
х = >/26. 14.016. х, =3; х2=^. 14.017. х, =6; x2=j. 14.018.x = 5. 14.019.
Уз 6
х, =4; х2 = —. 14.020. х = 3. 14.021. х, = 100; х2 =0,01. 14.022. х = 2. 14.023.
16
х = 1. 14.024. х =—, п є Z. 14.025. х = ^ + 2лл, п є Z. 14.026.
2 4
х = (-1)* arcsin-+ я*, кє Z. 14.027.(3; 2). 14.028.(2; 1);(-2;-1). 14.029.(0; 2);
4
(2; 0). 14.030. (0,5; 0,2 V2). 14.031. (1; 1); (4; 2). 14.032. (2^*;22У*). 14.033.
Якщо q = 6.14.034. Якщо р = ± 12.14.035. 117.14.036. Ні. 14.037. Один. 14.039.
*, = — 2; х2 = - 1; х3 = 3. 14.040. х = 2. 14.042. Три. 14.044. Чотири. 14.045.
v -3±Vl6m-7 7 3 7
*1 2 — ,якщо т >—;дг] = х2 =— ,яюцо т =—. 14.046.55.14.047.
4 16 4 16
565

2
JCj = —j; jc2 = 1.14.048. x= 1.14.049. Нулю. 14.051. Hi. 14.053. Немає розв’язків,
якщо m= 3; нескінченна множина розв’язків, якщо т = - 3.14.054. Мінус. 14.055.
Мінус. 14.056. Мінус. 14.057. аа , де я > 0 і а * 1.14.058. 12,5.14.059.4.14.060.
1 2 1 h + 3 2
3.14.061. 14.062. 14.063. 14.064.0.14.065.0.14.066.0
а а 2 а
14.067.0.14.068.0,3010.14.069. ?(2 + т). 14.070. Мінус. 14.071. Плюс. 14.073.
2-т
Правильна, якщо а = -дц> де Ь >1.14.076. [-2,1]U[2, ~). 14.077. (-3,0)(J(2,«)
14.078. (-4,0)U(0,4). 14.079. (-1,1)U(2, <*>). 14.080.
(-»,-3)U(-1,1)U(3,~). 14.081. (-3,-2)U(2,3). 14.082. -|jlJ(3, ~).
14.083.(2,3), 14.084. (2,4)U(4,6). 14.085. (0,оо). 14.086. (-2,0)U(2, ~). 14.087.
(-2,1)U(3,«). 14.088. (-3, -2)U(0,1). 14.089. (-3,2). 14.090.
(0,1)U(100, оо). 14.091. (0,1). 14.092. 3 j 14.093. (0; 0,5)U[Л, оо). 14.094.
(0; 0,04]. 14.095. (1, S). 14.096. (-2,2). 14.097. U, -
L3 4
[2ял, л + 2пп), п є Z. 14.100. + + j, п є Z. 14.101. а)
хе ^2тиі -
> 2 sinjc, якщо х є [2пп - я, 2ял + я], п є Z; sin 2х < 2 siiu, якщо х є [2ял, 2ял +
+ я], п є Z. 14.103. lg*2-lg2 jc>0, якщо леє (1,100); lgx2-lg2х<0, якщо
*є(0,1)U(100, оо); lg jc2 — lg2 jc = 0, якщо x - 1 або x = 100. 14.104. дгє(0,1).
14.105.3400 > 4300.14.106. Якщо ае 4 j 14.107. а е (1,2; 2]. 14.108. Якщо
х е [-3, -2>/2)U(2>/2,3]. 14.115. а) Див. рис. В.14.1, а; б), г) див. рис. В.14.1, б;
в) див. рис. В.14.1, в. 14.116. а)-г) Див. відповідно рис. В. 14.2, а-г. 14.117.
7я _ я і _ „ ( я я і
—, 2ял н— L л є Z; б) хе \ ял—,ял+— L л
6 6 J І 6 6 І
є Z. 14.102. sin 2х £
j 14.098.(0, 1). 14.099.
566

ayt) Див. відповідно рис. В. 14.3, а-і. 14.119. а), б) Див. рис. В. 14.4, а; в), г) див.
рис. В.14.4, б. 14.121. Див. рис. В.14.5.14.123. Див. рис. В.14.6.14.124. Див. рис.
8.14.7.14.125. Див. рис. В.14.8.14.126. Див. рис. В.14.9.14.129. Див. рис. В. 14.10.
14.130. Див. рис. В.14.11. 14.132. Див. рис. В.14.12. 14.134. Див. рис. В.14.13.
14.135. Ні. 14.137.-6.14.139.в<0,г»0,с>0.14.140.а>0,*»0,с = 0.14.141. Див.
рис. В.14.14. 14.142. [2, 3) U (3,4]. 14.143. (—,-1)U(-1,1)U(1, ~). 14.144.
14'145' (0> 1)- 14Л46' (_св’0]- 14Л47'(0, 1)- 14Л48* [“>/2, >/2].
14.149. [0,2]. 14.150. [-13,13]. 14.151. Див. рис.В.14.15.14.152.Див.рис.В.14.16.
14.153. Див. рис. В.14.17. 14.154. Див. рис. В.14.18. 14.155. Див. рис. В. 14.19.
14.156. Див. рис. В.14.20.14.157. Див. рис. В.14.21.14.158. Див. рис. В. 14.22.14.159.
Див.рис.В.14.23.14.160. <*=2.14.161.^ = 2.14.162. у^п =4. 14.163.у^ =2.
у = х2+ 5х + 6 у = хг +5|дс( + 6 = |дс2 + 5|х| + б|
И
о
б)
Рис. В. 14.1
Рис. В. 14.2
567

ми
У1
1 1
І У = pgo.5-4^
1-
vT.
о
Т 1 ^
2 *
г)
Рис. В. 14.3
Рис. В. 14.4
568

1
І у'
У ~~cosx j
/''TVi
■ 1
u
cosx
1 —
1 /
-2к S
I
. к
ДЬ
I
/
✓
1 ✓
4/
ZL n ІА
2 2
чч 2n ф *
r
у = log2 sin*
Рис. В. 14.8

= log 2 (sin JC cos де)
Рис. В. 14.9
Рис. В.14.11
Рис. В. 14.12
Рис. В. 14.13
570

Рис. В. 14.14
х + \х\ = у + \у\
 Рис. В. 14.16
Рис. В. 14.17
571

—
У і
1
-71
О
я
-1 °
I I -.bind.
's' Sill*
2% X
Рис. В. 14.20
Рис. В. 14.21
572

Рис. В. 14.24
14.165. 	Див. рис. В. 14.24.14.166. -. 14.167. 14.168. 14.169. —Ц-.
„ п+1 и+1 л + 2
14.171. Ні; так. 14.172. tga = 2tg|3, якщо а*у+ял, Р*^+ял,лє Z. 14.173.
0,5. 14.174. а) Зростаюча; б) зростаюча; в) не монотонна; г) спадна.
14.175. - 6; -5; - 4; -2; -1; 0.14.177. Ні. 14.179.66.14.180. *2. 14.183. а %
/і + І
573

14.208. (4x-4y)(Jx-2jy). 14.209. Хе
/
2,-
14.210. Складеним.
від b дорівнюють Ь% від а. 14.184. 32%. 14.185. 1000?. 14.186. 4,56. 14.188.
0,5(2л/2 +2V2 + 2V2+2 +1/32+^/4). 14.189. а) 0,8-‘>4; б) log1/30,5. 14.190.
31 цифру. 14.192.214 + 212 + 210 +... + 22 + 2°. 14.193. За 1 - год. 14.194. За 7,5 год.
8
14.195. а) ап =2п-аи пє Н; б) ні. 14.196. а - Ь. 14.198. (*2 - 2* + 2) (*2 +
+2дг + 2). 14.199. 0,5(2а2 ±^2(а4 + Ь4)). 14.200. (х4 + ^І2х2у2 +/)(х4 -
-іІ2х2у2 +у4). 14.201. (a2 +2b2 +2ab) (a2 +2b2 -2аЬ). 14.202. у = -4х2-
—бд: н-1. 14.203. Множина чотирикутників із взаємно перпендикулярними
діагоналями. 14.204. Див. рис. В. 14.25; /(я) = 0. 14.205. Для а є (-<», 1)U(1, «>).
3+jJn
з
14.215. Ні. 14.216. Якщо а є (-5, 3). 14.217. х є R; так, х = 1 — вісь симетрії.
14.218. (—°°, 5)U(5, оо). 14.220. а) Непарна; б) ні парна, ні непарна; в) ні парна,
ні непарна; г) парна; ґ) непарна; д) непарна; е) непарна; є) ні парна, ні
непарна; ж) непарна; з) ні парна, ні непапна. 14.221. /(1) = 1;/(2) = я - 2;/(3) =
= я - 3;/(4) = я - 4;/(5) = 5 - 2я;/(6) = 6 - 2я;/(7) = 7 - 2я. 14.222. Ні. 14.224.
Див. рис. В.14.26.14.227.Так. 14.228. —;1;—; точка — ближче до 1,ніжточка
т п т
—. 14.241. \g2x + lg2y= 1.14.242. lg2/3« + lg2/3v= 1.14.243. - + пп, пе Z. 14.244.
п 4
arcctg -—де \<q<—. 14.245.- tg За = 2М£—^ а. 14.249. у> 1, якщо к=0;
р 4 1 — 3tg а
у > 1, якщо к = 1; у = 1, якщо к = 2; 0 < у < 1, якщо к = 3. 14.251.
sin2 6° = 0,5(1 — Vl — sin212°). 14.252. a) Hi; б) ні. 14.253. Так. 14.254. a)6it;
б) 30я. 14.255. —■ 14.257. -0,4>/5. 14.259. Якщо а + (3 = 2жп; якщо а = 2 ял,
РєЯ,якщо Р = 2ял, ає R(neZ). 14.260. j>max = 0,75.14.261.>-max = sin 1.14.262.
Гтіп = 2-^max = 3-14-263.tg 1.14.264. ,якщо 14.265. -|§.
m +1 36
14.266. Мінус. 14.267. -. 14.268. -. 14.269. m = --yM = ~. 14.271. a = 3,
4 4 4 4
574

£ = 1.14.272. Ні. 14.273. а)« < »; б)« < »; в)« > »; г)« > ». 14.283. Див. рис. В. 14.27.
14.284. Див. рис. В. 14.28. 14.286. Див. рис. В. 14.29. 14.291. Див. рис. В. 14.30.
14.295. Див. рис. В. 14.31. 14.299. Так. 14.300. Див. рис. В. 14.32. 14301. Під час
розв’язування рівняння було загублено другу серію його коренів х = ^ + тіп, пє Z.
14302. . 14303. -0,5-Уз. 14304. 3нІ8^. 14306. 5'Va*"". 14309. Ні.
24 15
14310.у=х, дех>0,х* 1.14311. о = 0, 14313. хе [-6, — 5]U[0,1].
14316. Область визначення (2ял, я + 2ял), л є Z; множина значень (-оо, 0]. 14317.
х = 2ял, лє Z. 14318. Для жодних х. 14319. = 2 , якщо І < х < 3. 14320.
Скоротна тоді і тільки тоді, коли числа а + b і а - b або порізно ділятся на 4,
або мають найбільший спільний дільник к > 2. 14.321. Ні. 14.322.
(а - 1 )(а + 3) (а2 + 3). 14323. *є(0,1)U(1, ~). 14324. jc є (0, оо). 14.325. 0.
14327. (^*>, <*>). 14328. -г. 14329.а) 910"; 6)0.14330.Якщо
Ь\ +^2 + ... + 6^
с = 0, то х = а, >> — будь-яке число, крім у = Ь\ якщо сФ 0, то = а + с,
=6 + 1; д:2 =а-с, у2 = 6-1. 14.331. 2 кв. од. 14.332. у^ =0,1. 14.333.
х є (0,5; 2). 14335. Мінус. 14336. Ні. 14337. де, =3; х2 = -ур 14.338. (2; 9).
14339. (1; 2; 3). 14340. х = - 1. 14341. (к + І)3 (к - І)2. 14342. х = 0. 14343.
Утих-6- 14.344. JVmax = 2- 14.345.2,4. 14.346. хх = ±^2п + , де я є 2,
л>0; х2 = ±^2и-|,де/іє Аг. 14.347..t=4л2,де л є Z і л > 0.14348. х=0,
ЯКЩО
1 2
а є Я. 14349.2.14350. г 14.353. Ні. 14354. Якщо к = 2 і к =—. 14355.
1-2 9
Якщо а є
А
з
U
з ’
14356. jk4 — &С2 + 4 — 0.14357. х = 2. 14358.
^шіп =4. 14.359. а) Ні; б) так; в) ні. 14.360. 1000. 14.361. sin3a = 3sina-
-4sin3a; sin54o=0,25(V5 + l). 14362. 17. 14.363. х,2 =±2;х3 = 1. 14364.
575

Рис. В. 14.25
576

Рис. В. 14.30
Рис. В. 14.31
5л/б
Якщо т є (-1,25; -1) U (9,°°). 14.365. Якщо а є [-9, -1]U[0,1]. 14.367.
14368. Якщо а =1.14369. >> = -2х2-* + 3.14.370. У точці (0; 1). 14.371.- 1; 0; 1;
4; 5; 6. 14.372. [0, 3). 14.373. Для дге (-<», 2]U[6, ~). 14.374. Для
*є (-°°, 2]U(4, 6)U [8, °°). 14.375. Для *є (-», -1)U[0,1). 14.376. Для
[-1; 0,11]. 14.377. 7. 14.378. ху = - 3; х2 = - 2; х3 = 0; хА = 1.14.379. а) * = 1;
6) хУ 2 = ± 3; *3 4 = ± 2; х5 6 = ± 1; х7 = 0. 14.380. j 14-381.
( з ч к
“7,0 U(3,oo). 14.382. (0, 1). 14.383. (З, 4)U(5, °о). 14.384. кп--<х<пп
V 4 ) 6
к к кп
1 кп<х<- + пп,пє Z. 14.386. 2; 3. 14.387.(2; 1). 14.389. * = - +—, пє Z;
6 4 2
Уmin = 4. 14.390. Утах=Л, якщо х = — + 2пп, п є Z. 14.392. (3; 6).
4
14.394. (--Уз; 4),(—1; 2), (1; 2), (VJ; 4). 14.395. (-3; 57), (2; 2). 14.396. Для
577

л є (- оо, - 7]. 14397. Якщо к < 0 і к = 4. 14.398. (-оо, -2) U (2, оо) и 0. 14.399.
Якщо хє[1,4-2^2) (J(4 + 2л/2,7]. 14.400. хє [-1,0)U(8,9]. 14.401. у
точках (- 2; 0) і (2; 0). 14.402. (0; 25). 14.403. (2; 4). 14.404. 16.14.405. (105; 0);
(0,1; 0). 14.406. 1; 2. 14.407. (-оо, -3) U [-2, 0) Ц0, 3) U[5, »о). 14.408.
(0; 0,5] U (1,2]. 14.409. (0,5; 1)U [3, «о). 14.410.(1, 4].
Глава 15
ПОЧАТКИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
15.001. 	-3.15.002.0,8.15.003. 0.15.004. . 15.005. - 5.15.006.1
42
15.007. 	0,25. 15.008. - 1. 15.009. 1,5. 15.010. 4. 15.011. Правильне. 15.012.
Правильне. 15.013. Хибне. 15.014. Хибне. 15.015. Хибне. 15.016. Хибне. 15.017.
/2 2 г~ З
Правильне. 15.018. Правильне. 15.019. a) y' = jj= + lx v*—
V* х
б) у' = 15х2(хі — І)4 + х. 15.020. а) у'=6х(х4 -х2 +1)2(2х2 -1); б) /=
2хі-6х2+6х-\ ,,п,, , , 4sin2x . , 12
= . 15.021. а) у = б) у = .
(х-1)2 (l+cos2*)2 (х-10)(х + 2)1п10
2х(6х-7)
З ^/(4х3 - їх2 +1)2
15.022. а) / = — 2х(6х 7) . б) у> _ е*(sjjj2х+sin2 х +1). 15.023.
а) 	/=2х(х2, 1)(7х2+1); б) /=^—. 15.024. a) y’=exUx2 (Зх2-Юх);
3^(х2-1)2 *
б) 	/= .!ЗХ . 15.025. а) / = ^1; б) . 15.026.
З Цх2(1-х) 3 vx sin 4х
а) у = 2*cos— + sin—; б) y' = l + cos2.x. 15.027. a) j>' = -3sin6jt; б) y' = ^-sinx.
хх 2
15.028.а) /= °°SX ; б) y' = J&-. 15.029. а) / = 2х2-2xVx2-1-1;
2 • ’ ’ * 2
cos sin.x cos X
578
Xі /—
+ V*
1 c. , Зуіі + х^
15.030. 	a) /=——j= ; 6) /= j
x Vx +4 x

15.031. а) / = —-2 ; б) / = ,2 15.032. a) / = 3*2cos2x-
х2
_2(x3 + l)sin2x; б) / = 2sin2x. 15.033.а)/=- 5* +1 ; б) / = І. 15.034.
\(3х2 +1)2 *
х = е_І. 15.035. (-00,0)U(0; 2,5). 15.036.[-4,-3]. 15.037. jc, =3; х2 = 4. 15.038.1.
15.039. 	|. 15.040. |. 15.041.-2.15.042. 15.043. і. 15.044.-2.15.045.0.
15.046.-0,5. 1S.047. 1. 15.048. 15.049. 39, 15.050. 15.051. 1. 15.052.
30 6
- 0,5.15.053.3 In 2.15.054. —. 15.055.0,5 In 2.15.056. - 3.15.057. - 1.15.058.
8
15.059. 1. 15.060. а) /'(*) = 2 ln* +3-4cos2*; /'(l) = 3-4cos2;
yjn
. 4_J_
тс 18’
/'(я) = 21пя-1; б) /V)=|-Isin|;r(3) = |-isml;/'^
15.061. 	/(0) < 0. 15.062. Спадає від 1,5 до 0,25. 15.063. у = х - е. 15.064.
72; - 8.15.065. [- 8, 8]. 15.066. у = Зх - п. 15.068. Зростає від 0 до In 9. 15.069.
[-1, 4] і (-1, 4). 15.071. а = -1, Ь = 1. 15.072. -. 15.073. хх=2пп\
 4
7
*2 = 2ип — 2arctg0,6, п є Z. 15.074. *і=0;*2=-—. 15.075. Ні. 15.076.
[о,5*2 + С, якщо*>0,
W=l 2 ^ л 15.077.а) у”+ 4у = 0; б) / + 0,36^ = 0. 15.078.
[- 0,5* + С, якщо jc < 0. ^ ^ '
а) у=Се~36х; б) у = Acos(6x + (p). 15.083. Перше — ні, друге — так. 15.084.
а>3.15.085. Sn S'„ = 1~(n + 1,)JC tE.—. І5.086.>>=д:+ 1.15.087.
п 1 — JC (1-*)
W; 0), (1; - 27). 15.089. 15.091. (3; - 2), 15.092. ^2; *
15.093. 	—. 15.094. -.15.095. f—;I 15.096. v = -. 15.097. У точці
4 4 (2 32} e
(' 5; 45): у = - 20* - 55 і у = - 13* - 20; у точці (2; 3): у = 8* - 13 і у = х + 1.
579

15.098. 	^ + arctg3. 15.099. >> = 4*- 13; у = -4* + 3.15.100.x + ey-2e = 0.15.101.
8x- y + 14 = 0. 15.102. (1; 0), — 1 15.103. (4; 3), (0; - 1). 15.104. a)у =
= *-0,09; 6) 15.105. a) 6) —. 15.106. -. 15.107. 5yfs
24 8 24 8 4 18 6
15.108. 5 kb. од. 15.109. Si=S2=Si=8 кв. од. 15.112. — м/с. 15.113
13
21 м/с; 24 м/с2. 15.114. 1 c; 4 c. 15.115. Якщо / = 2 c; v(2) = 70 м/с. 15.116.
V| = 8 м/с, v2 = 10м/с; Vj = 24 м/с, v2 = 22 м/с. 15.117. a\ = 14 м/с2, a2 = 18 m/c2
15.118. V! = 36 м/с, v2 = 35 м/с. 15.119. a) v = 8 м/с; 6) v = 12 м/с. 15.122.160я см2/с;
800rc см3/с. 15.123. co= 12 рад/с; t = 2c. 15.124. ЗО г/см; 98 г/см. 15.126. a > 4.15.127.
x = e — точка мінімуму. 15.128. x = — — точка максимуму. 15.129. jc = 0 — точка
e
мінімуму, x = 2 — точка максимуму. 15.130. х = 3 — точка максимуму. 15.131.
.У min =0,25-1п2 , якщо* = 0,5.15.132.* = In 2 — точка максимуму; 45°. 15.133.
* = — + 2кп, пе Z—точки максимуму; * = — + 2пп, пє Z—точки мінімуму;
4 4
45°. 15.134. * = 0 — точка мінімуму; (- 0,25; - 0,25 - 1п0,75). 15.135.
Утах =-4,якщо* = -1, Упт = 4,якщо * = 1; у = 11,25* +13. 15.136. у^ =9,
якщо * = 0; 9, 0 і 0. 15.138. Якщо р > 1. 15.141. Зростає на
2к\ (2к
L спадає на —
з; ^з
— І neZ. 15.1
З/
2кп + — L спадає на — + 2ял, 2кп + — L п є Z. 15.142. Зростає на (-«>; - 0,5),
спадає на (-0,5; оо). 15.143. Зростає на (1,3), спадає на (-оо, і) і на (3, оо). 15.144.
Зростає на (- 6, 0) і на (0, 2), спадає на (-оо} - 6) і на (2, оо). 15.145. Зростає
на (-оо,1) і на (2, оо), спадає на (1, 2). 15.146 ^найм = - 24,
•Унайб = 15.147. .унайм =0, Д'найб =^- 15.148. .Унайм = 1* Д'найб = З- 15.149.
.Унайм = .Унайб = “2. 15.150. .Унайм “ 1» .Унайб ~ 2,125. 15.151*
.Унайм = .Унайб = 1- 15*152. .Унайм = 0» .Унайб = 0,375>/3. 15.153. а) _Унайм =
12 л
Ун&иб = 1> б) .Унайм .Унайб =“• 15.154. ^„айм = U ^найб = “• 15.155.
580

а) .Унайм = Ь З^найб ” ^ -Унайм — 0,5 уІ9, унайб - >/ї$.15.160. а) .Удайм ~
.Унайб = ®) -^найм “ 2,5, .УНайб = 9.15.161.а) .Унайм = .Унайб = Q>^найМ = _Т7’
64
.Унайб =0* 15.162. а) .Унайм “2, .Унайб “16, б) .Унайм = ^ .Унайб = 2* 15.163. а)
.Унайм = .Унайб ” .Унайм “ .Унайб = 15.164. .УНайм = 2» Унайб = — 1.
15.165. 	21/2 -З"3/4. 15.166. Зростає на (^»,-1) і на (1, оо), спадає на (- 1, 0) і
на(0,1); f(x і)< f(x2). 15.167. Зростає на (1, оо), спадає на (0,1); f(x2)> f(xx).
15.168. 3. 15.169. 2. 15.170. (е, оо); пе < е11. 15.171. _Утах=0>25, якщо jc = ln2;
_2
зросгаєна (-оо, 1п2),спадаєна (1п2, оо). 15.172. утіп = 0, якщо* = 0,Утах ~^е »
якщо х=2; зростає на (0,2), спадає на (—°°, 0) і на (2, ©о): 15.173. утах =
7
х = —; зросгаєна |
^е*/4 ’
якщо х = —; зростає на І 0, — І, спадає на І —, к \ 15.174. у^ = In 2 - 0,5, якщо
4 І 4) І4 /
25
х=-0,5; зростає на (_оо;_0,5), спадає на (-0,5; 0,5). 15.175. =-—,якщо
5 j, спадає на “°°> ~ j і на (5* °°)- 15.176.9 і 9.15.177.
40; 60; 80. 15.178. 0,5. 15.179. 14x21 м. 15.180. 18 дм3. 15.181.
Зл/з і 12 см. 15.182. Дві інші сторони паралелограма повинні бути середніми
лініями даного трикутника. 15.183. Рівнобедрений прямокутний трикутник, катет
якого дорівнює а. 15.184. 100 см. 15.185. 12 і 9 см. 15.186. 12 і 9 см. 15.187.
6 км/год. 15.188.9 і 7,5 см. 15.189. R = 7 4Ї см. 15.190.60 .15.191. — ,
6
якщо а = —. 15.192. 0,8. 15.193. Якщо а = —, найбільше значення —
З З R
Дорівнює 15.194. Радіус основи та висота бака дорівнюють 3
€і5л95•

Якщо а = arctgл/2. 15.196.0,5а; 0,5#. 15.197. Якщо а = arctg0,5<\/2. 15.198. Якщо
a = arctgV2. 15.199. Якщо а = 60°. 15.200. Якщо а = 45°. 15.201. к = 29,28;
х = у * 5,4. 15.202. R = r. 15.203. утах = 0, якщох = -\> у^ = -1, якщох = 0;
зростає на (-©о, -1) і на (0, ©о), спадає на (- 1,0) (рис. В. 15.1). 15.204. .утах = 0,
якщох = 0, у^ - -8 , якщох = -2іх = 2; зростає на (-2, 0) і на (2, оо), спадає
на (-оо,-2) і на (0,2) (рис. В. 15.2). 15.205. у^ =-16,якщо x = S іх = л/?,
>тах = 9 > якщо х = 0; спадає на (-оо, -■>/?) і на (0, &), зростає на (->/5,0)
25 1
і на (75, оо). 15.206. у^ = —, якщох = -\ , у^ =-- , якщо* = 2; зростає на
6 З
(-оо,-і) і на (2, оо), спадає на (- 1, 2) (рис. В.15.3). 15.207. >>тах = 2 , якщо
* = 0, = -2 , якщо х = 2; зростає на (-оо, 0) і на (2, оо), спадає на (0, 2).
15.208. утах = 28 , якщо х = 2, = 27, якщо * = 3; зростає на (-оо, 2) і на
(З, оо), спадає на (2, 3). 15.209. утах = 9 , якщо х = -1 і jc = 1, = 8, якщо
х = 0; зростає на (-оо, -1) і на (0, 1), спадає на (- 1, 0) і на (1, оо). 15.210.
Д'тіп =-6,25 , якщо х--2 і х = 2, утах =-2,25 , якщо х = 0; спадає на
(—оо, -2) і на (0, 2), зростає на (- 2, 0) і на (2, ©о). 15.211. утях = 0, якщо
х = 0, ут\п = -9,6, якщо х = 2; зростає на (-оо, 0) і на (2, оо), спадає на (0,2).
15.212. утах = 2 , якщо х = 0; зростає на (-оо, 0), спадає на (0, ©о); вісь Ох —
асимптота графіка функції (рис. В. 15.4). 15.213. х = - 1 — точка мінімуму,
х = 1 — точка максимуму; зростає на (- 1, 1), спадає на (-°°, -1) і на (1, оо).
15.214. х = 2 — точка мінімуму; спадає на (-<», 2), зростає на (2, ©о). 15.215.
— точка мінімуму; спадає на (-оо, 0) і на (0, Цо^5), зростає на
(]fo,5, ©о). 15.216.х = 2 — точка мінімуму; зростає на (-оо, 0) і на (2, ©о), спадає
на (0, 2). 15.217. х = 0 — точка мінімуму; спадає на (-©о, 0), зростає на (0, оо).
15.218. х = 2 — точка мінімуму, х = - 2 — точка максимуму; зростає на (-©о, - 2)
і на (2, оо), спадає на (- 2,2). 15.219. х = 2 — точка мінімуму; спадає на (-оо, 2),
зростає на (2, оо). 15.220.х--4 — точка максимуму; зростає на (-©о, -8) і на
(-8, -4), спадає на (- 4, 0) і на (0, ©©). 15.221. Точок екстремуму немає; спадає
на (-©о, - 3), на (- 3,3) і на (3, ©©). 15.222. х = 1 — точка максимуму; зростає на
582

583

(-00,1), спадає на (1, оо). 15.223. х = 0,5—точка мінімуму; спадає на (-<»; о,5),
зростає на (0,5; 2) і на (2, «>). 15.224. х = 2 — точка максимуму; спадає на
(_оо,-2) і на (2, оо), зростає на (-2,2). 15.225. х = 1-Уз —точка максимуму,
*=і+Л — точка мінімуму; зростає на (-оо, l-л/з) і на (1 + л/з, оо), спадає
на (1-7з, 1) і на (1,1 + ії). 15.226. х = 0 — точка мінімуму, х = 2 — точка
максимуму; спадає на (-оо, 0) і на (2, оо), зростає на (0, 2). 15.227.
х=-1 — точка мінімуму; jc = 1 — точка максимуму; спадає на (-оо, -1) і на (1, оо),
зростає на (- 1,1). 15.228. х = -Уї — точка мінімуму, jc = 0—точка максимуму;
спадає на (-оо, - Уї), на (0, 1) і на (1, оо), зростає на (-Уї, 0). 15.229. х = 3 —
точка мінімуму; зростає на (-оо, 0) і на (3, оо), спадає на (0,3). 15.230. jc = 2,5 —
точка максимуму; зростає на (-©о, 1) і на (1; 2,5), спадає на (2,5; 4) і на (4, ©о).
15.232. a) F(x) = — ---35; б) F(x) = -—2хг+- + 1. 15.233.
З х 12 З
F(x) = —у-1. 15.234. F(x) = — °°s2x. 15.235. F(x) = -2+-C*g3x. 15.236.
F(*) = -^-^. 15.237. F(x) = xa-x3+ 3. 15.238. F(x)= 2sin^~9,
24jc 8
15.239. S(x) = l-4yf5--x. 15.240. 15.241. —. 15.242.3.15.243.
2 4 4
15.244. —. 15.245. —. 15.246.2,15.247.0,5.15.248.0.15.249.1120,4.15.250.
2 3
-101,25. 15.251. —. 15.252. 15.253. 2. 15.254. 0,51n2-1,5.15.255.
15 6
0,75$9-l). 15.256.0,125.15.257. —. 15.258. —. 15.259. —. 15.260.0,125.
8 16 96
15.261.12,15.262.-0,8,15.263. 15.264.0,6,15.265. З,6л/І0 Ige = 4,9. 15.266.
,— 851
2,75 	kb. од. 15.267. v2 кв. од. 15.268. - кв. од. 15.269. — кв. од. 15.270. — кв. од.
3 12 6
15.271. 0,3 кв. од. 15.272. 1,6 кв. од. 15.273. 12-51п5~4кв. од. 15.274. 64,5 м;
11 м/с2.15.275.11,25 м; — м/с2.
12
584

Глава 16
ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ
З ГЕОМЕТРІЇ
2 2
16.001. —. 16.003. —£Sin2a— 16.005. З правильних
ті — тп 2cos(45°-a)
трикутників; із квадратів; із правильних шестикутників. 16.006. .
к
16.007. 	20 діагоналей. 16.008. 12. 16.009. Частини рівновеликі.
16.010. 	ЗR2. 16.014. У п’ятикутнику. 16.022. З точок дуги кола, що
спирається на цей відрізок, для якого даний кут є вписаним. 16.023. 4S.
16.025. —-—ЗуіЗ) ' 16.026. Пряму, яка перпендикулярна до основи і про-
6
S
ходить через його середину. 16.027. 0,2. 16.029. —j=<c<s. 16.032. Три.
V 2
16.034. 0,2Л-Л0. 16.037. 4уі2 м. 16.038. а. 16.040. 4, 5, 6, 7 і 8 см.
16.041. З і 4.16.044. 16 см. 16.045.4 і 11 см. 16.046. 12 см. 16.047.12, 15 і 18
см. 16.048. 7,2 см2. 16.049. 600-Уз см2.16.050. 1,5 см. 16.052. 4— і 5— см.
21 21
16.053. 	0,25с2. 16.054. а) Тупокутний; б) прямокутний; в) не існує; г) тупо-
кутний. 16.056. (S + 1):4. 16.057. 2(S, + S2). 16.060. 0,25 P. 16.063. у.
16.064. 	1,2 см. 16.065. 7 : 2. 16.067. 180°. 16.070. arccos 0,8. 16.073. a.
16.074. arctg 0,75.16.075.1) 5,7,9,11 і 30 cm; 2) 6, 8,10,12 і 30 cm; 3) 7,9,11,
13 і 30 cm. 16.076. 25. 16.077. 36°, 36° і 108°. 16.078. 2a; n; In - 2a.
16.081. Hi. 16.083. /(*) = —2 х ’ де $ — площа основи піраміди, H— її
Н
висота, причому 0 <х<Н. 16.084. 60°. 16.085. arccos^.
16.086. arctg2;arctg2. 16.087. 1 : 4. 16.088. 6 : 13. 16.089.
-■^cosf— + alcos(— -a\ 16.090. ^-tftg2^. 16.091. /sin2—tg— і
3 ^6 / 1,6 / 2 2 2 2
/cos2yctg-y. 16.093. 60°. 16.094. Коло, що є основою конуса з висотою а
і твірною Ь\ висота конуса перпендикулярна до даної площини, а
вершина знаходиться у фіксованій точці цієї площини.
16.095. У даний чотирикутник можна вписати коло. 16.096. 51°. 16.097.
585

а
я „ k±Jk2 - 2к . І\-уІ2к-к* t ,
--2arctgy і к^2. 16.098. 2arctg^ — ;1<*<2.
16.099. 	W2:3. 16.100.20 бічних граней. 16.104. Так. 16.105. 6^435 см3.16.106.
ауІ2
60°. 16.107. ——. 16.108. Так, якщо паралелограм є прямокутником; так, якщо
паралелограм є ромбом. У тому випадку, коли точка рівновіддалена і від вершин,
і від сторін паралелограма, він має являти собою квадрат. 16.109. Біля неї можна
описати коло, тобто трапеція є рівнобедреною. Для такої трапеції шукана множина
являє собою перпендикуляр до площини її основи, що проходить через центр
описаного біля трапеції кола. 16.112.1 : 3.16.114.1 : 7.16.115.1 см. 16.116. —.
16
16.117. На 0,5 (і/б - V5). 16.118. Проекцією ребра є бісектриса відповідного кута
основи. Ця проекція збігається з діагоналлю основи, якщо основа є ромбом.
16.119.1:11.16.120.5040 см2.16.121. 16.124. Немає; на
перпендикулярі до площини основи піраміди, яка проходить через центр описаного біля цієї
основи кола.
Глава 17
ЗАСТОСУВАННЯ КООРДИНАТ І ВЕКТОРІВ
ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
17.001. 	у±0,5Vl5 = 0. 17.002.D(- 1,4;-5,2). 17.003.5л->> + 7 = 0.17.004.
y = 0,y = 2S,y = л/Здг, у = -л5(х-\0). 17.005. (х-3,5)2 +(>>±-Ло)2 = 12,25.
17.006. 	у = —Лх + (3 + 2^3); 6 + 3,5л/з кв.од. 17.007.Л= 13;Д(12;5), С(-5; 12),
D (- 12; - 5). 17.008. (х-0,5)2 +(у-4Ї)2 =2,25 або (х-0,5)2 +(у +
+ -ЛУ =2,25. 17.009. (*-1)2+Су-1)2 = 1 або (jc-5)2 +(у-5)2 =25. 17.010.
Л(-1;2); ІЗ кв. од. 17.011. 8х +15^ + 60 = 0; 8лг + 15.у-60 = 0; 8дг-15^ + 60 = 0;
8х-15у-60 = 0; уу см- Г7.012.(*-1)2+О>-1)2=1. 17.013. у = 4х.
17.014. С(5; 2), D(3; 3) або С(3;-2), D (1; -1). 17.015.0,96.17.016. >/33 і -УІ05-
586

17.017. (-2 + Зл/З; -1) або (-2 -Зу/Ї; -1); 9>/з кв. од. 17.018. 4^2. 17.019.
17.020. 	С (4; - 1). 17.021. 1,5>/34. 17.022. Зх + 4.у-15 = 0 і
Зл_4у-15 = 0. 17.023. (х + 1)2+О'-3)2 = 10. 17.024. (*-3)2+(.у+ 3)2+
+ (z-3)2 =9. 17.025.(1,5; 1; 1). 17.026. a = arccos-^L. 17.027. совЛ = —^=.
5V41 V34
17.028. 	Якщо а = - 4, Р = 2 або а = - 8, Р = - 2. 17.031. МХМ2 (1,5; 1; -0,5),
\М{М~2\ = Д?. 17.033. АВ = За-Ь,ВС = -За+2Ь. 17.034. Якщо
л:є(-°°, 0)U(1, °°). 17.035. Якщо те (-=», — 1) U (0, 2). 17.036. Якщо ж є [2, 5).
17.037. 	Якщо ^є|-^,3|. 17.038. Якщо * = -■^■,3' = ^. 17.039. Якщо
хе (-<», -1)U(5, «■). 17.040. BD = -2a+2b, Л£> = -|а+у6. 17.041.
AB = -a-H,AD = --a + -b,MN = -a+b,BD =--a+-b. 17.042. CW =
8 8 8 8 2 2
0 o 7 c /і о і л
= --CA + —CB + — CD. 17.043. arccos——. 17.046. A,0 = -a + -b—c.
20 20 10 26 1 З 3
17.047. 	—1=. 17.048. arccos-jL. 17.049. arccos—. 17.050. -^(a+b).
5-УЇ7 ТЇ9 14 2V3
17.051. 	p(2; -1; 1). 17.052. а =-1,5b-3c. 17.054. 5 кв. од. 17.055.120°. 17.056.
^ куб. од. 17.057. CD= ЛСІCB + ^-C-A-. 17.058. Так. 17.059. -tL. 17.060.
3 AB2 VTo
Л/І 0; 0; - L N\ 17.061. л/ЇЗ. 17.062. - 11,5.17.063. 4/7 cm. 17.064.
1 3/ 1,3 З з/
120°. 17.065. —1T=. 17.066. 4 cm. 17.067. (- 4; - 2; 0) або (4; 2; 0). 17.068.
5V33
17.069. 180°. 17.070.7 cm. 17.071. Л,Л3 = 0,5(Л+ 1)Л^+Л^.
17.072. Якщо x = 0. 17.073. Ш = X- (МА + МВ). 17.074. Ш = ІАВ-
^ 2 ® о
2 cos —
2
-аБ,~ = ^І 17.077.Якщо а = 0,5 і а = 4. 17.078.-29; 14кв.од. 17.079.
ЛЯ 24
587

1 :4. 17.080.45°. 17.081. 0. 17.083. Рівнобедрений гострокутний. 17.085. 8.
17.086. 	arccos (-0,8). 17.087. АВ + СВ = 2(а-b). 17.089. arccos—. 17.090
14
\а2-с2\ ,
arccos= . =: ■■■gr-..я.-. : —~. 17.091. arccos-p=. 17.092. -1,5. 17.095
yla2+b2+c2yfJ7J &
2 , »2 2 _ і 2
cos jc = , де BC = a, AC = b, AB = c, DA = d, DB = e, DC = f
2c/
17.096.
1 3 1
Jn’ -ЛІ’-ЛЇ
або I—17.097. a + b b+c
J\i vi i Vii
c + a b2c2OA + a2c2OB + a2b2OC ,
^ . 17.098. V43 см. 17.099. Otf = r— — . 17.100.30°.
b a b +a c +b c
17.101. 	6. 17.102. ±4б. 17.103. 12,5 куб. од. 17.104. 5 кв. од. 17.105.
/44?
ZABC —тупий. 17.106. (2; 3; -2). 17.107. (-4;-6; 12). 17.108. АВ = 5;
Swab =5 кв. од.; ОМ = 2,5. 17.109. (4-Я; -2; 8) або (-4-Я; 2;-8). 17.111.
. 17.112.3:1.17.113. Лі? = АС+kAD, ~АЕ = ~AD+АЛС, де к = 0,5(1 -S).
6
2 2
17.114. 8а , де а — довжина ребра куба. 17.115. За , де а — довжина сторони
2 13
квадрата. 17.116. 4а , де a — довжина сторони квадрата. 17.119. ^-у=. 17.120.
26с cos у 1652с2 (с4 -16S2)
2.. 17.125. ^ т-г—17.127. На рівні частини по 45°.
Ь + с (165 + с )
17.129.4 	: 1.
Глава 18
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА
18.001.а) 1 + /; б) 5-9/; в) 14 + 23/; г) -1,04 + 0,28/. 18.002.10і49.18.003.
4 + 3/ і 13 + 33/. 18.004. -0,1 + 3,1/ і 3,54- 1,38/. 18.005.- 1 -3/ і - 0,5*.
2 Г~
18.006.-2-Jbі і 18.007. - 9 + 10/ і -— +—/. 18.008.
а2 +Ь а +Ь 34 34
х2-2х + 10 = 0. 18.009. 4дг2 +1 = 0. 18.010. х2-6х+10 = 0. 18.011.
588

25*2-8*+ 1=0. 18.012. М (- 1,5; 4,7). 18.014. Rez = -1,52. 18.015. Rez = 6.
18.016. 	Rez = -3. 18.017. Imz = -1. 18.018. Imz = 0. 18.019. Imz = —. 18.020.
17
_ 1,6.18.021.2/. 18.022.- 1+/. 18.023.- 1,3 - 0,9/. 18.024.- 0,72 + 3,46i. 18.025.92/.
18 026. - + -/. 18.027. 0. 18.028. ———i. 18.029. - 2i. 18.030. Так.
,e 3 3 159 318
18.031. 	*1,2 = -3±Si. 18.032. д:, 2 =±6/. 18.033. x1>2=-2±5i. 18.034.
X, 2 = 1 ± 1,5/. 18.035. x1>2 =±3;х3>4=±2/. 18.036. x12 =±3;; хХ4=±у/бі.
18.037. 	(m + 5 i)(m - Si). 18.038. + 18039. ф + Уї i)(J7 - Уї і).
18.040. 	(l + /tga)(l-i'tga). 18.041. x = —y = —18.042. x = ~,y = ~.
14 14 3 3
18.043. 	x = -1, у = -2. 18.044. Якщо *i = 1, y\ = 2; x2 = 2, y2 = 1; *3 = 1, У3 = -2;
x4 =-2, y4 =1. 18.045. Якщо *i = 1, У\ = 42; x2 = 1, У2 = -4Ї; *з=0,5,
У2 = 0,5^5; *4 = 0,5, ^4=-0,5л/5. 18.046. Якщо *і =-1, ^ =-2; *2 =6,
^2 = 33.18.047. Якщо *і = 1, у\ = 4; лг2 = “1, Уі ~ 4- 18.048. Якщо = 2, у\= 3;
х2 = -1,2, у2 = -3,4. 18.049. Якщо *і = 1, >>і = 2; jc2 = 4, у2= 0,5; дг3 = —4,
Уз = -0,5; х4 = -1, у4 = -2. 18.050. Якщо х = 2, у = 2. 18.051. Якщо
*1 = 1, Д'і = -3; х2 = -1, у2 = -3. 18.052. Якщо *і = 1, у\ = -2; jc2 = -1, ^2 = 2.
18.053. 	z = l + «. 18.054. z = 2 + i або z = -2-i. 18.055. —. 18.057.
13
Х\2 = ±42; дг34 = ±42 і; х56 = 1 ± *7 8 = -1 ± /. 18.058. а) Якщо а = -4Ї, а- 0
\ а = 4ї\ б) при жодному а. 18.060. а = -0,16, b = -0,12.18.061. Див. рис. В. 18.1.
18.062. 	Див. рис. В. 18.2. 18.063. Див. рис. В. 18.3. 18.064. Див. рис. В. 18.4.
18.065. 	Див. рис. В. 18.5. 18.066. Див. рис. В.18.6. 18.067. Див. рис. В.18.7.
18.068. Див. рис. В. 18.8.18.069. Див. рис. В. 18.9.18.070. Див. рис. В. 18.10.18.071.
2 = 8 cos^-|j+/sinJ-|jJ 18.072. z = 2^2|cos^ + /sin^j.
z = 3^ + /sin|J 18.074. z = 12^cos^--^ j+/sin|--^ jj.
2 = (л/Го -3)(cos7t + /sinrc). 18.078. z = (V5-2)|cos-^ + /sin-^ j.
18.073.
18.075.
18.076. z = 10(cos0 + /sin0). 18.077.
18.079.
589

■v '
|\ -
■ K,\N
£
\\\\V
Рис. В. 18.1
Рис. В. 18.2
Рис. В. 18.3
Рис. В. 18.4
590

Рис. В. 18.7
Рис. В. 18.8
Рис. В. 18.9
z = л/2 sin36°(cos45°+/sin45°). 18.080. z = cos 138° +/sin 138°. 18.081.
z = 3(cos0 + /sin0). 18.082. z = ^jcos|-^ j+/'sin^-^ jj 18.083.
z = 2sin^^cos-^ + іsin^" j1 18.084. z = cos^— -^-^+ / sin^— 18.085.
2 = -3+3^3/. 18.086. z = 5 -5/. 18.087. г = -2-Уз-2/. 18.088. z = l + i. 18.089.
z = -0,5 + 0,5>/3/. 18.090. z = l-Si. 18.091.12>/з + 12/. 18.092.2i. 18.093.
6
18.094. 	-3^2. 18.095. -л/б+-Убі. 18.096. 8>/б |cos|^- j+ /sin^- j j
591

18.097. 4л/2 + 4-Jl і. 18.098. - — + —/. 18.099. 8/. 18.100. 4і-4їі. 18.10І
2 2 ;
^.(cosUE + isinl}l\ 18.102. 18.103. й-й-і. 18.104.512.18і<
2 ^ 12 12 / 4 4 2 2 Г
05.
й+й-і, 18.106. 4-4-Уз«. 18.107. -128-128/. 18.108.- 27. 18.109. £І,-
2 2 243 '
18.110./, 18.111. і-—і. 18.112. -й + й-і' 18.113. 8>/2 fcos—+ /sin—1
2 2 2 2 ^ 12 12/
(“ТІ)+
18.114. -й+й-і. 18.115. 9/. 18.116. ■&(---( 7к ^ ^ ?7t^
COS
■ 12 /у
18.117.
-у--у /• а) 32 + 32<; б) 8/. 18.119. - 4096/. 18.120. fi-/; 2/; - VJ-/.
18.121. 7з + 3/;--Уз-3/. 18.122. 2,5 + 2,5>/з/;-5; 2,5-2,5^3/. 18.123.
1,5ч/2 — 1,5л/2/; 3^cos-y^ + /sin-^^ 3^cos -i^j+/sin 18.124* 1 + >/з/;
-fi + i;-\-Si;S-i. 18.125. -Уз + /; 2/; - л/з + /; - >/з - /; - 2/; л/з - /. 18.126.
-2л/Ї5<х<-2або2<х<2-Л?. 18.128. х = 2~иі, у = 21п. 18.129. Якщох = 0.
Л 4л/з -Л
18.130. Якщо х, = 3,уі = 1; х2 = -3,у2 = -1;х3 =—,Уз= ——;х4 = -—,
у4 18.131. Ь = 5.18.132. - 0,5 + 0,5-Уз /. 18.133. гі = -4/, % = 2fi + 2/.
18.134.512/. 18.135. Див. рис. В.18.11.18.136. Див. рис. В.18.12.18.137. Див. рис.
В.18.13. 18.138. Див. рис. В.18.14. 18.139. Див. рис. В.18.15. 18.140. Див. рис.
В.18.16. 18.141. Див. рис. В.18.17. 18.142. х, = 0; z2 3 = + 3/. 18.143.
г,=0;г2=3.г34 = -1,5 ± 1,5л/з/. 18.144. z = -0,5/. 18.145. г = 2 + 1,5/. 18.146.
z =-2+0,572/. 18.147. z, =3-4/; z2 =-3 + 4/; z3 =4-3/; z4=-4 + 3/. 18.148.
zj = 1 -/; z2 = /. 18.149. Z( =l + /;z2 =-2/. 18.150. г = ^ + |/. 18.151.
zj =-1,5-2/; z2 =-1,5- 4,25/. 18.152. z, =2-3/; z2=-4-3i. 18.153.
x3 - 6x2 + 9x + 50 = 0. 18.154. (x + 4)(x-l)(x2-4x + 5). 18.155. 18.156.
2-4
A. = -2; xj = 1; х2>3=1±/. 18.157. z, =3-/;z2 =-1 + 2/. 18.158. г, =3 + 7/;
z2 = -3-3/. 18.159. z, =5 + /; z2=3 + 2/. 18.160. zj =2 + 3/; z2=3-/. 18.161.
a = l, P = 1 абоа = 2, P = -l. 18.162. e=l. 18.163. З і 1. 18.164. - 1. 18.165.
592

Рис. В.18.13
Рис. В.18.15
Рис. В. 18.12
593

Рис. В. 18.17
Рис. В. 18.20
-2 cos а 18.166. z
= 2|cosa|^cos^ + a j+ і + а jj-
18.167. г =
1
|cosa|
x(cos(rc+ а) + / sin (я+а)). 18.168. z = l,6(sin(-130°) + icos(-130°)). 18.169.
z = J2sin^ cosj-^j+isin^-^jj 18.170. 2(Л+ 1) + 2(л/з-1 )« =
10
= 4>/2|cos^+»sm^-| i8<i7i._^+^J=:^I^cos^+isill^| 18.172.
л/З+1 1-л/З. 1 ( ( я'j . . ( п\\
 -l=cosjt+!sin7t. 18.173. ——+—-—/=-Н соя—- H-jsin .
4 4 V2I \ 12 І І 12 II
594

Рис. В. 18.23
177. а) 2лсо8я— |cos— + /sin—j; б) 2',sin/l — ^cosaj^— - — ^
))
j. ■ ■ (71 Ф
+ zsin/i —
I 2 2
18.178. Якщо n = 4k, кє Z. 18.179. [-2, °o). 18.181. Див. рис.
В.18.18. 18.182. Див. рис. В.18.19. 18.183. Див. рис. В.18.20. 18.184. Див.
рис. В.18.21. 18.185. Див. рис. В.18.22. 18.186. Див. рис. В.18.23.
18.187. Частина площини, розташована під параболою у = 0,25 (х2 + 4).
18.188. Частина площини, розташована під параболою у = -0,25 (х2 +4) без
точок прямої х = 1. 18.189. Нескінченна множина концентричних кілець з
центром z = 0; ці кільця містять інтервали дійсної осі2пк <х<(2к + 1)я, де
к є Z. 18.190. Три точки (0; 1), | -і |і ГІ» які лежать на
595

колі з центром z = 0 і радіусом 1 та ділять його на три рівні частини.
18.191. 	z = - 4/. 18.192. |z| = 0,5. 18.193. z = 4 + 5; і z = 5 + 4i. 18.194.
z = 2,4+ 1,8і.18.195.-
sin а
якщо 2кп < а < (2п + 1)тс,
якщо (2л + 1)жа<(2л + 2)л,
п є Z. 18.196. а = -1; хх 2 =±/; *з =2. 18.197. а-1; 2 =±/; дг3 =-. 18.198.
zj =>/2 + V2 і; z2 =-тІ2-уІ2і; z3 = уІ2і; z4 = -V2 /. 18.199. ^ = — 1 ±/;
дг3 = 0; лс4 = 2. 18.200. х, =9; лг2>3 = -|(1±л/з/); л4,5 = 18.201.
0,25(6-л/б)<*< 0,25(6 + ї/6). 18.202.3, якщо & кратне трьом; 0, якщо к не
2п 2 к
кратне трьом. 18.203. - — + 2кп < х < — + 2я/і, п є Z. 18.204.
18.205. [-3,-l)U(-l, 1]. 18.208. Ja+bi = ±
£
2+Z>2 +
a -Ja
-ч-
2 +Ь2 -а
якщо b > 0; <Ja + bi = ±
\
 Jja2 -hb2 ~+а +b2 -а
, якщо b < 0.18.209.
*\ =
V /
1; х2 з =-^-—±—>/і0+2л/5; jc4 5 >/ю-2л/5. 18.211. Сума
4 4 ’44
квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. 18.212.
Иг- „ l-cosa+coswa-cos(w + l)a
= 0,5(1+ >/5). 18.213.1.18.214.2.18.215. Іі = — г-1 —,
2(1-cosa)
2 _ sina+sin/ia-sin(/i + l)a
2 2(1-cosa)
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
Варіант 1.1.1. 2.4,3. 3. 3. 4. 4,1. 5. 6. 6. 0. 7. 30°. 8. 42 см. 9. 3,53 куб. од.
10.-1,5.
Варіант II. 1.4. 2. 1. 3.4. 4. 5. 5. 7. 6. 41. 7. 3. 8. 64. 9.4.10. 1.
Варіант III. 1. 8. 2. 7. 3. 2. 4. 3. 5. 25. 6. 2. 7. 192. 8. 5. 9. 10.10. 3.
Варіант IV. 1. 2. 2. 1; 2; 4. 3. 2. 4. 5. 5. 6 см3. 6. 8. 7. 0,5. 8. 4 і 36. 9. 8.
10.0 	і 5.
596

Варіант V. 1.40. 2. -25.3.10.4. 1. 5.0,28. 6.90°. 7. 72 см2.8.2,3 см. 9.13 і
13. Ю. 6.
Варіант VI. 1. 1. 2.11.3. 0; 4. 4.48. 5.0,8. 6.4. 7. 31,5. 8.15. 9.2.10. 18.
Варіант VII. 1. - 1,5. 2. 8.3.0,5.4.6. 5. 7,2. 6.16. 7.1. 8. 190. 9. - 0,5.10. 7.
Варіант VIII. 1.2; 0,25.2.225°; 315°. 3.4.4.0,3. 5.168 см2.6.3 км/год. 7.1.
8.0,75. 9.6 і 0.10.2,5.
Варіант IX. 1. 2. 2. 9. 3. 10. 4. 8 см. 5. 0,8. 6. 0. 7. 103. 8. 4 см. 9. 6.
10. 16 кв. од.
Варіант X. 1. -9. 2. 1. 3. 3. 4. 11. 5. -1. 6. 7. 7. 4. 8. 0. 9. * = -— точка
Є
мінімуму. 10.2.
Варіант XI. 1.6. 2.0. 3. 1.4. 5. 5.0. 6.-1. 7. 5. 8. 1.9.20. 10.2,25.
Варіант XII. 1. 1; 5. 2. 7,5 см. 3. 0,6. 4.100. 5. - 1,5. 6. 3. 7. 1. 8. 2,25. 9. 80.
10. 1,5.
Варіант XIII. 1. (2х + І)2, jc ф 0, л; * 0,5. 2. 2tg 2а. 3.1. 4. -10; 3. 5. 9. 6. 2. 7.
10. 8.4. 9.-3. 10.1.
Варіант XIV. 1.3.2. 1,6. 3.5. 4. 12 і 24 год. 5.-1; 1.6. 4. 7. 12. 8. 0,5. 9. 8.
10. 120°; 240°.
Варіант XV. 1. -4; -3; 4.2.25.3.5.4. -58.5.2; 3.6.2,25.7.9,375 кв. од. 8.12.
9. 150°; 210°. 10.40 л.
Варіант XVI. 1. 2. 2. 0,1. 3. 83. 4. 4. 5. 192 кв. од. 6. 90°; 210°. 7. 32. 8. 25 і
20. 9. 2; 1; 5.10. 2; 4.
Варіант XVII. 1. 4. 2. 0,75. 3. 5. 4. 60 кв. од. 5. 0,8. 6. 10. 7. 6. 8. 6. 9.
12 куб. од. 10. 8.
Варіант XVIII. 1. 5. 2. 8. 3.4. 4.2. 5. 66. 6. 1. 7. 12 куб. од. 8. 13. 9. 2.10. 3.
Варіант XIX. 1.4. 2.2. 3. 3. 4. 7. 5. 3. 6. 3. 7. 6 кв. од. 8. 2. 9.4.10. 3.
Варіант XX. 1. 7.2.8 кв. од. 3.3.4.2. 5.0,6.6.2. 7.51,6. 8.3. 9.16.10.120°.
Варіант XXI. 1.4. 2.48 кв. од. 3. 3. 4. 5. 5. 3. 6. 7. 7. 10. 8.4. 9. 5.10. 2.
Варіант XXII. 1. (2 log25 + І)2. 2. 1. 3. 10. 4. 5. 5. 12. 6. 0,36. 7. 0,8. 8. 3.
9.6.10. 	2.
Варіант XXIII. 1.4. 2. 5. 3.9 кв. од. 4. 5. 5. 3. 6. 3. 7.4. 8.2. 9.6.10.4.
Варіант XXIV. 1. 14. 2.0,5. 3. 5. 4. 7. 5.4. 6.250 куб. од. 7.63. 8.0,2. 9.5.
10.20.
Варіант XXV. 1. 1. 2. 16. 3. 6. 4. 0,28. 5. (9; -1). 6. 6. 7. 3. 8. 12. 9. 14.
10.4 	кв. од.
Варіант XXVI. 1. -2; -1. 2. 0,5; 0,6. 3. 0,75. 4. 18 кв. од. 5.4. 6. 2 і 0. 7. 16.
8.-2;-1.9. 120°; 240°. 10. 12.
Варіант XXVII. 1. 135°; 225°. 2. 24 см2. 3. 2 і 22 134. 4. -5 і 3. 5. -5. 6. 15.
7.-1,5. 8. 1,75. 9. 2.10.4.
Варіант XXVIII. 1.20.2. -0,4.3.1.4. -1; 2.5.4.6. -6 і -6.7. -0,6.8.0,4 і 0,4.
9. 5 і 6. 10. 39 і -39.
Варіант XXIX. 1. 1000. 2.0. 3.4. 4.25. 5. 1; 11; 21. 6. 10. 7.-2;-1. 8.4 см.
9. -45°; 0°; 45°. 10.8 см3.
Варіант XXX. 1.6; 2.2. (2; 3; -3). 3.2.4. -52,5°; 7,5°; 37,5°. 5.10; 11; 13; 14.
6. 6 см3. 7. 30 і 35 км/год. 8. 0. 9.20,25. 10. Перше.
597

Додаток
У таблиці зазначені номери всіх задач шостого видання «Збірника» (лівий
стовпчик), для яких ті самі задачі в десятому виданні наведені з рішеннями або
вказівками (їхні номера — у правому стовпчику; курсивом виділені номери
задач, які мають вказівки). Таблиця починається з ш. 2, бо в десятому виданні
відсутня глава, що відповідає гл. 1 шостого видання.
Глава 2
2.029
1.028
2.156
1.152
2.198
1.175
2.261
1.191
2.306
1.316
2.039
1.027
2.161
1.170
2.200
1.268
2.263
1.169
. 2.308
1.313
2.040
1.001
2.163
1.172
2.202
1.176
2.269
1.193
2.310
1.315
2.044
1.030
2.166
1.242
2.212
1.162
2.270
1.250
2.312
1.320
2.075
1.029
2.171
1.173
2.218
1.273
2.281
1.197
2.316
1.321
2.078
1.002
2.175
1.266
2.221
1.182
2.284
1.281
2.325
1.326
2.079
1.026
2.177
1.243
2.223
1.274
2.285
1.308
2.326
1.327
2.080
1.003
2.178
1.158
2.224
1.244
2.286
1.309
2.334
1.332
2.112
1.031
2.186
1.159
2.228
1.275
2.290
1.311
2.336
1.333
2.122
1.119
2.188
1.249
2.229
1.183
2.293
1.293
2.243
1.340
2.130
1.125
2.190
1.160
2.235
1.277
2.294
1.294
2.351
1.342
2.150
1.146
2.197
1.174
2.255
1.190
2.299
1.296
2.353
1.344
2.155
1.156
2.359
1.357
Глава 3
3.001
4.001
3.077
4.077
3.154
4.154
3.229
4.229
3.303
4.303
3.004
4.004
3.091
4.091
3.161
4.161
3.231
4.231
3.307
4.307
3.008
4.008
3.094
4.094
3.163
4.163
3.233
4.233
3.309
4.309
3.011
4.011
3.096
4.096
3.164
4.164
3.236
4.236
3.311
4.311
3.014
4.014
3.099
4.099
3.167
4.167
3.241
4.241
3.313
4.313
3.019
4.019
3.101
4.101
3.171
4.171
3.246
4.246
3.320
4.320
3.023
4.023
3.102
4.102
3.172
4.172
3.249
4.249
3.327
4.327
3.026
4.026
3.108
4.108
3.173
4.173
3.255
4.255
3.330
4.330
3.029
4.029
3.111
4.111
3.177
4.177
3.259
4.259
3.335
4.335
3.032
4.032
3.112
4.112
3.180
4.180
3.263
4.263
3.340
4.340
3.035
4.035
3.114
4.114
3.181
4.181
3.268
4.268
3.343
4.343
3.042
4.042
3.115
4.115
3.183
4.183
3.269
4.269
3.348
4.348
3.045
4.045
3.116
4.116
3.184
4.184
3.271
4.271
3.351
4.351
3.048
4.048
3.120
4.120
3.191
4.191
3.274
4.274
3.353
4.353
3.051
4.051
3.126
4.126
3.194
4.194
3.277
4.277
3.357
4.357
3.054
4.054
3.133
4.133
3.197
4.197
3.281
4.281
3.358
4.358
3.056
4.056
3.136
4.136
3.200
4.200
3.284
4.284
3.363
4.363
3.058
4.058
3.140
4.140
3.207
4.207
3.286
4.286
3.364
4.364
3.062
4.062
3.144
4.144
3.211
4.211
3.291
4.291
3.371
4.371
3.063
4.063
3.145
4.145
3.215
4.215
3.292
4.292
3.374
4.374
3.068
4.068
3.148
4.148
3.218
4.218
3.295
4.295
3.378
4.378
3.071
4.071
3.149
4.149
3.220
4.220
3.298
4.298
3.381
4.381
3.076
4.076
3.150
4.150
3.226
4.226
3.301
4.301
3.384
4.384
598

3.385
4.385
3.408
4.408
3.444
4.444
3.472
4.472
3.492
4.492
3.388
4.388
3.419
4.419
3.447
4.447
3.474
4.474
3.495
4.495
3.392
4.392
3.422
4.422
3.456
4.456
3.481
4.480
3.496
4.496
3.393
4.393
3.425
4.425
3.463
4.463
3.486
4.486
3.497
4.497
3.398
4.398
3.429
4.429
3.465
4.465
3.488
4.490
3.499
4.499
3.401
3.405
4.401
4.405
3.434
4.434
3.466
4.466
3.490
4.481
3.500
4.500
Глава 4
4.003
6.003
4.015
6.015
4.026
6.026
4.044
6.044
4.069
6.069
4.005
6.005
4.018
6.018
4.032
6.032
4.046
6.046
4.070
6.070
4.008
6.008
4.021
6.021
4.036
6.036
4.052
6.052
4.074
6.074
4.009
6.009
4.023
6.023
4.038
6.038
4.067
6.067
4.077
6.077
4.011
6.011
4.025
6.025
4.043
6.043
4.085
6.085
Глава 5
5.001а
16.001
5.027
16.035
5.044
16.058
5.067
16.079
5.080
16.091
5.007а
16.012
5.030
16.039
5.045
16.059
5.071
16.083
5.082
16.093
5.0076
16.013
5.031
16.040
5.047
16.061
5.073
16.085
5.085
16.097
5.014
16.020
5.033а
16.042
5.050
16.064
5.075
16.086
5.087
16.098
5.018
16.023
5.036а
16.048
5.052
16.066
5.077
16.088
5.088
16.099
5.020
16.028
5.040
16.054
5.055
16.069
5.078
16.089
5.089
16.104
5.024
16.032
5.042
16.056
5.062
16.076
5.090
16.105
Глава 6
6.003
2.020
6.054
2.050
6.114
2.105
6.159
2.164
6.193
2.210
6.004
2.026
6.056
2.035
6.115
2.117
6.160
2.172
6.201
2.202
6.005
2.025
6.058
2.061
6.120
2.120
6.163
2.169
6.202
2.219
6.007
2.018
6.060
2.041
6.121
2.121
6.164
2.176
6.207
2.214
6.008
2.001
6.063
2.052
6.127
2.127
6.165
2.175
6.208
2.200
6.013
2.016
6.069
2.077
6.128
2.128
6.166
2.173
6.209
2.184
6.016
2.028
6.071
2.067
6.132
2.132
6.167
2.162
6.211
2.192
6.017
2.008
6.074
2.087
6.133
2.133
6.168
2.174
6.213
2.197
6.019
2.027
6.075
2.091
6.136
2.145
6.169
2.163
6.224
2.232
6.020
2.024
6.083
2.080
6.138
2.158
6.170
2.180
6.228
2.228
6.022
2.013
6.085
2.072
6.139
2.140
6.173
2.177
6.229
2.223
6.023
2.009
6.087
2.074
6.142
2.149
6.174
2.170
6.232
2.224
6.025
2.014
6.089
2.090
6.143
2.152
6.176
2.171
6.238
2.227
6.026
2.003
6.097
2.096
6.146
2.136
6.178
2.181
6.239
2.222
6.027
2.021
6.101
2.114
6.148
2.151
6.179
2.143
6.241
2.226
6.030
2.012
6.102
2.113
6.151
2.137
6.181
2.182
6.245
2.245
6.033
2.031
6.105
2.110
6.154
2.154
6.189
2.194
6.246
2.246
6.047
2.063
6.106
2.115
6.156
2.160
6.190
’ 2.218
6.247
2.247
6.051
2.036
6.109
2.106
6.157
2.153
6.191
2.183
6.248
2.248
6.053
2.047
6.110
2.107
6.158
2.179
6.192
2.201
6.249
2.249
599

6.250
2.250
6.282
2.276
6.305
2.328
6.329
2.331
6.349
2.359
6.254
2.254
6.283
2.294
6.306
2.304
6.330
2.339
6.350
2.367
6.255
2.255
6.286
2.277
6.307
2.306
6.331
2.340
6.351
2.361
6.256
2.257
6.288
2.296
6.308
2.326
6.335
2.338
6.352
2.363
6.260
2.258
6.289
2.297
6.309
2.324
6.336
2.333
6.356
2.350
6.261
2.265
6.291
2.298
6.310
2.307
6.337
2.337
6.357
2.343
6.262
2.256
6.293
2.285
6.313
2.312
6.338
2.332
6.359
2.366
6.267
2.267
6.294
2.299
6.318
2.315
6.340
2.335
6.362
2.347
6.269
2.271
6.295
2.287
6.321
2.309
6.342
2.369
6.363
2.348
6.270
2.264
6.296
2.301
6.322
2.310
6.344
2.351
6.364
2.342
6.273
2.270
6.298
2.302
6.323
2.319
6.346
2.345
6.366
2.358
6.274
2.261
6.300
2.300
6.324
2.311
6.347
2.364
6.367
2.354
6.277
2.292
6.301
2.291
6.325
2.303
6.348
2.357
6.369
2.355
6.279
2.289
6.304
2.308
6.327
2.317
6.370
2.368
Глава 7
7.003
7.046
7.071
7.019
7.151
7.190
7.211
7.251
7.279
7.299
7.005
7.043
7.072
7.020
7.158
7.197
7.213
7.269
7.280
7.300
7.010
7.052
7.078
7.026
7.161
7.202
7.216
7.175
7.283
7.303
7.011
7.053
7.079
7.100
7.165
7.173
7.217
7.182
7.286
7.306
7.016
7.058
7.080
7.064
7.166
7.260
7.221
7.226
7.288
7.308
7.017
7.062
7.082
7.032
7.167
7.246
7.222
7.176
7.294
7.314
7.018
7.042
7.087
7.012
7.168
7.247
7.227
7.256
7.296
7.316
7.019
7.063
7.093
7.103
7.169
7.244
7.229
7.178
7.297
7.317
7.021
7.109
7.097
7.083
7.170
7.204
7.240
7.268
7.300
7.321
7.023
7.107
7.099
7.069
7.173
7.236
7.242
7.235
7.305
7.320
7.024
7.071
7.115
7.094
7.174
7.239
7.243
7.185
7.306
7.326
7.029
7.110
7.116
7.106
7.177
7.225
7.247
7.267
7.308
7.328
7.032
7.074
7.117
7.018
7.179
7.214
7.249
7.187
7.310
7.330
7.044
7.096
7.120
7.140
7.180
7.240
7.253
7.217
7.315
7.335
7.047
7.041
7.134
7.145
7.183
7.231
7.257
7.212
7.321
7.341
7.053
7.080
7.138
7.146
7.188
7.262
7.259
7.279
7.322
7.342
7.054
7.099
7.141
7.163
7.190
7.206
7.264
7.284
7.327
7.347
7.056
7.131
7.143
7.149
7.193
7.207
7.266
7.286
7.329
7.349
7.058
7.067
7.144
7.150
7.197
7.158
7.267
7.287
7.332
7.352
7.060
7.004
7.145
7.162
7.202
7.220
7.268
7.288
7.335
7.355
7.067
7.011
7.148
7.151
7.203
7.250
7.276
7.296
7.338
7.358
7.068
7.015
7.150
7.189
7.204
7.170
7.278
7.298
7.339
7.359
Глава 8
8.001
5.001
8.033
5.004
8.067
5.051
8.093
5.008
8.100
5.043
8.002
5.104
8.050
5.154
8.069
5.110
8.094
5.134
8.113
5.055
8.004
5.161
8.051
5.048
8.071
5.129
8.096
5.013
8.115
5.113
8.009
5.078
8.059
5.096
8.075
5.175
8.097
5.120
8.121
5.157
8.010
5.061
8.062
5.084
8.083
5.115
8.098
5.036
8.124
5.107
8.029
5.072
8.063
5.032
8.085
5.126
8.099
5.146
8.126
5.165
600

40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
О
U>
00
о
U>
О
U>
IV»
о
U>
U>
о
и>
ю
о
ю
оо
о
ю
4^
о
ю
ю
о
ю
о
оо
о
о
Os
о
t-Л
о
OJ
о
о
о
00
о
о
-^1
о
о
L/1
о
о
о
о
U)
о
о
ю
о
о
00
Оо
00
00
00
00
00
?°
оо
00
00
00
00
00
00
оо
00
00
00
00
00
00
о
§
о
(-Л
о
ю
о
ю
о
о
U)
о
сп
оо
ь>
о,
о
40
ю
о
40
о
о
оо
40
о
U)
К)
ь>
и>
'О
о
о
о
40
о
о
о
о
L/1
ь
5
о
о
и>
о
о
ю
о
о
40
40
40
40
40
40
40
40
NO
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
О
чо
40
о
40
00
О
40
о
40
04
о
40
ю
о
00
40
о
00
Os
о
00
о
00
о
о
о
о
^1
ю
о
04
40
о
04
оо
о
04
о
Os
04
о
OS
U)
о
L/1
'-J
о
о
04
о
о
о
оо
Р°
Р°
оо
?°
оо
Оо
оо
оо
00
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
Оо
оо
о
к>
о
о,
ь>
40
Os
о
40
СЛ
ь
і!
о
оо
04
о
«tv
'О
о
оо
о
UJ
и>
о
о
OS
о
ю
4^
о
04
О'
о
^1
и>
о
о
о
Lh
о
L/1
ю
о
00
о
о
оо
о
to
S
Uj
о
Uі
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
Е
£
U)
£
ю
£
о
U)
40
и>
04
и>
U>
U>
и>
ю
U>
U>
о
NJ
оо
ю
ю
ю
NJ
К>
о
t-Л
о
40
о
OS
о
L/1
о
OJ
о
00
00
00
Оо
00
00
00
Р°
ро
00
00
00
00
00
00
00
00
оо
00
00
00
00
оо
40
и>
On
ю
о
и»
40
Е
и>
►^1
Os
&
Оо
On
<-Л
3
40
3
On
к>
о
о
о
Os
UІ
о
40
и>
о
40
о
04
2
о
ю
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
к>
о
3
40
40
оо
40
<-Л
40
00
^1
00
4^
00
и>
00
ю
00
о
^1
00
^1
4^
ю
os
<-Л
04
4^
Os
(-Л
40
04
о
£
Е
Os
оо
00
0°
оо
0°
?0
оо
оо
Оо
оо
ро
Оо
оо
Оо
Оо
Оо
Оо
0°
оо
оо
оо
оо
04
о
00
О
00
и>
40
ю
о
<-Л
U>
Os
VO
£
ю
►^1
К>
Оо
оо
00
УЗ
XI
Os
Os
К)
ОІ
СЛ
-0
Е
и>
SO
SD
о
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
к>
Os
U>
к>
04
ю
к>
t-Л
к>
кл
ю
к)
о
к)
и>
оо
к)
и>
U)
к>
и>
ю
к>
и>
к)
и>
о
к)
ю
40
к)
ю
к)
ю
к)
ю
ю
к>
ю
к)
ю
о
к)
к)
04
к)
и>
к)
о
00
к>
о
04
к)
о
Р°
Оо
оо
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
?0
оо
00
00
?0
00
оо
Оо
к>
VO
к>
о,
Оо
к>
U)
о
к>
L/I
U)
к)
ю
OS
к)
к>
00
40
к>
К>
к>
00
к>
ю
к)
ю
о
к>
оо
к)
Os
к)
ю
ю
к>
к)
и>
оо
к>
Uj
t-r,
к>
и>
к>
к>
о
40
к)
о
-0
и*
•ь,
Глава 9
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
00
оо
к)
о
04
к>
о
к)
о
к>
о
о
40
оо
40
40
ю
S
о
оо
оо
оо
Os
00
оо
40
оо
04
L/l
00
X
о
U)
00
U)
у»
у»
у.
уі
у.
LA
у»
У»
уі
о,
у»
L/1
у
У»
у»
У
У
к>
оо
и»
к)
OS
к»
Оо
к>
ю
к>
40
4^
к>
XI
о
к)
Os
к)
Os
04
к>
4^
к)
оо
к)
ю
04
и>
ю
4^
к)
оо
к)
'О
и>
Os
t-Л
о
00
00
и>
00
ь>
Os
XJ
-0
К>
Os
Оо
о
■*•*1
оо
00
00
00
00
00
оо
00
оо
оо
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
OJ
о
L)
о
о
к)
40
4^
к)
40
м
к)
40
к)
оо
40
к>
00
4^
к)
оо
и>
к)
00
о
к)
к>
4^
к>
1st
4^
к)
и»
о
к)
4^
4^
к>
-р^
ю
к>
k>
4^
о
к)
и>
U)
к)
N)
00
к>
ю
t-Л
к>
U)
к)
о
00
у»
У1
у«
1-Л
LA
у»
Ul
у»
у»
у»
о,
У
40
к>
Оо
к)
04
U)
4^
о
U)
SO
U)
Е
'-І
04
Оо
Kj
к)
00
к)
OJ
к>
40
к)
о
U)
и%
U)
ю
к)
и>
ю
04
к)
4^
00
и>
о
L/1
К>
Оо
к>
о,
Os
к)
40
04
оо
оо
оо
оо
оо
00
00
оо
оо
00
00
оо
00
0°
00
оо
00
оо
00
00
00
и>
00
и>
оо
U)
и>
оо
U)
и>
1>J
04
40
U)
40
U)
и»
и>
4^
40
о
OJ
UJ
04
и>
U)
U)
и>
о
L>
ю
04
OJ
ю
о
U)
00
U)
U)
и>
UJ
U)
о
40
U)
о
04
у>
уі
у»
Ui
у»
у»
у»
У»
уі
L/\
 У1
уі
У*
у»
у»
у»
уі
У»
U)
00
Lo
оо
и>
и>
оо
U)
^1
к)
к)
оо
4^
к>
ю
ю
к>
40
к)
04
к)
04
к>
40
к)
Ui
VO
и>
00
40
U)
і+і
4^
4^
U)
04
и>
U)
о
U)
t-Л
ю
Uj
о
►^1
оо
оо
оо
оо
оо
оо
00
оо
00
оо
оо
оо
00
00
оо
00
00
00
оо
00
оо
4^
4^
4^
-и
4^
4^
4^
4^
U)
00
4^
и»
04
4^
и>
4^
U)
U)
4^
U)
ю
4^
и>
4^
ю
4^
ю
4^
40
4^
4^
04
4^
L/1
4^
и>
4^
о
40
4^
о
04
4^
о
и>
U)
40
и>
UJ
00
40
LA
СЛ
СЛ
<-*
у>
у»
У
LTt
LA
у»
у»
4^
Os
4^
LH
40
4^
4^
^1
о
4^
о
4^
L/1
оо
4^
os
4^
4^
ю
40
4^
ьо
4^
40
4^
4^
Оо
Оо
Os
4^
40
о
Оо
К>
4^
00
4^
(-Л
о
04
4^
о
и>
LaJ
40
и>
UJ
00
40
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
00
00
оо
оо
00
оо
оо
оо
00
00
00
00
00
оо
ІУ1
о
о
4^
40
4^
40
U)
4^
40
4^
40
о
4^
оо
40
4^
00
00
4^
оо
ю
4^
00
о
4^
Os
4^
4^
4^
ю
4^
'-J
4^
04
40
4^
Os
4^
Os
Os
4^
Os
4^
LA
so
4^
00
4^
■и
4^
ю
4^
о
у»
L/1
У1
у»
кл
L/1
L/)
LA
у»
Ln
Ui
У
Lh
LA
IV»
LA
о
о
4^
40
4^
40
U)
4^
40
Uj
4^
и»
04
и>
4^
4^
ю
4^
и>
и*
и»
4^
ю
4^
Os
Os
й
4^
и>
а
Оо
4^
00
t
U)
4^
04
ю
4^
1ч>
о
N

9.269
8.265
9.276
8.294
9.282
8.275
9.287
8.296
9.294
8.293
9.273
8.269
9.278
8.271
9.284
8.278
9.288
8.297
9.301
8.280
9.274
8.270
9.281
8.274
9.286
8.295
9.291
8.291
9.303
8.284
Глава 10
10.002
11.164
10.107
11.112
10.201
11.294
10.272
11.204
10.349
11.333
10.004
11.128
10.110
11.189
10.208
11.318
10.275
11.354
10.354
11.207
10.011
11.011
10.111
11.104
10.210
11.336
10.282
11.228
10.356
11.313
10.014
11.025
10.112
11.181
10.212
11.315
10.283
11.271
10.357
11.357
10.015
11.029
10.113
11.049
10.213
11.276
10.285
11.255
10.360
11.339
10.017
11.033
10.117
11.144
10.214
11.288
10.287
11.300
10.364
11.385
10.024
11.148
10.121
11.156
10.219
11.252
10.289
11.320
10.366
11.398
10.027
11.055
10.123
11.173
10.223
11.195
10.293
11.345
10.368
11.362
10.031
11.132
10.129
11.177
10.226
11.270
10.298
11.258
10.370
11.404
10.033
11.084
10.130
11.116
10.228
11.291
10.300
11.282
10.373
11.389
10.036
11.120
10.133
11.185
10.231
11.348
10.302
11.327
10.377
11.364
10.041
11.136
10.135
11.022
10.234
11.309
10.305
11.273
10.379
11.392
10.043
11.088
10.136
11.007
10.237
11.330
10.306
11.351
10.380
11.365
10.047
11.193
10.148
11.168
10.239
11.257
10.308
11.360
10.383
11.394
10.049
11.001
10.151
11.051
10.241
11.213
10.309
11.342
10.385
11.423
10.050
11.068
10.153
11.036
10.248
11.246
10.313
11.267
10.388
11.367
10.051
11.044
10.157
11.140
10.249
11.303
10.315
11.231
10.396
11.401
10.056
11.190
10.160
11.152
10.250
11.306
10.320
11.234
10.402
11.413
10.065
11.092
10.163
11.096
10.251
11.261
10.322
11.249
10.403
11.382
10.067
11.040
10.168
11.047
10.254
11.304
10.324
11.297
10.404
11.372
10.068
11.019
10.173
11.003
10.258
11.225
10.326
11.235
10.406
11.395
10.072
11.080
10.175
11.015
10.261
11.216
10.329
11.233
10.408
11.411
10.074
11.059
10.177
11.100
10.264
11.280
10.334
11.312
10.414
11.419
10.076
11.076
10.188
11.064
10.266
11.219
10.337
11.285
10.415
11.408
10.084
11.124
10.192
11.243
10.267
11.264
10.341
11.198
10.421
11.377.
10.095
11.108
10.193
11.191
10.268
11.210
10.344
11.324
10.422
11.416
10.102
11.159
10.196
11.222
10.269
11.201
10.347
11.240
10.424
11.421
10.103
11.072
10.197
11.279
10.425
11.397
Глава 11
11.001
12.001
11.061
12.062
11.097
12.093
11
.113
12.161
11.146
12.135
11.009
12.069
11.062
12.038
11.099
12.103
11
.114
12.137
11.147
12.130
11.013
12.027
11.064
12.009
11.101
12.080
11
.120
12.107
11.148
12.145
11.014
12.031
11.065
12.022
11.102
12.054
11
.122
12.142
11.152
12.116
11.016
12.017
11.067
12.076
11.103
12.095
11
.123
12.151
11.153
12.139
11.018
12.005
11.072
12.050
11.104
12.013
11
.125
12.167
11.160
12.128
11.031
12.035
11.075
12.084
11.105
12.105
11
.136
12.113
11.163
12.176
11.035
12.046
11.079
12.087
11.107
12.179
11
.137
12.156
11.174
12.147
11.042
12.042
11.081
12.090
11.110
12.149
11
.139
11.153
11.175
12.164
11.043
12.058
11.084
12.098
11.111
12.125
11
.140
12.110
11.177
12.182
11.048
12.065
11.093
12.100
11.112
12.132
11.
.145
12.119
11.178
12.183
602

11.183 	12.180
11.187 12.122
11.188 12.192
11.192 12.186
11.194 	12.195
12.001 	13.001
12.004 13.019
12.005 13.013
12.006 13.012
12.009 13.006
12.010 13.005
12.017 13.026
12.019 	13.017
12.021 13.018
12.022 13.031
12.023 13.004
12.031 13.032
12.036 13.037
12.037 13.025
12.040 13.040
12.045 13.098
12.047 13.107
12.049 13.080
12.055 13.063
12.060 13.059
12.067 	13.047
12.076 13.083
12.078 13.081
12.083 13.067
12.085 13.116
12.086 13.071
12.089 13.044
12.091 13.108
12.096 13.120
12.099 13.057
12.101 13.050
12.104 13.077
12.107 13.129
12.109 13.082
12.113 13.062
13.001 3.001
13.002 3.164
11.195 12.189
11.196 12.217
11.199 	12.224
11.202 12.208
12.117 13.115
12.119 13.127
12.121 13.061
12.122 13.105
12.125 13.091
12.127 13.093
12.131 13.131
12.132 13.146
12.135 13.184
12.137 13.133
12.141 13.191
12.143 13.132
12.145 13.147
12.148 13.173
12.150 13.159
12.153 13.182
12.155 13.148
12.161 13.166
12.163 13.168
12.166 13.176
12.168 13.136
12.171 13.151
12.173 13.144
12.179 13.179
12.181 13.185
12.184 	13.192
12.186 13.199
12.191 13.183
12.194 	13.139
12.197 	13.149
12.199 	13.145
12.205 13.293
12.207 	13.224
12.209 	13.200
12.211 13.355
13.005 3.082
13.006 3.007
11.208 	12.221
11.209 12.213
11.210 12.210
11.213 12.204
Глава 12
12.212
13.354
12.215
13.288
12.217
13.383
12.220
13.282
12.221
13.321
12.222
13.275
12.225
13.280
12.227
13.217
12.230
13.292
12.233
13.323
12.235
13.257
12.236
13.388
12.240
13.370
12.243
13.363
12.245
13.374
12.248
13.343
12.251
13.346
12.253
13.334
12.258
13.324
12.261
13.299
12.263
13.316
12.265
13.301
12.266
13.265
12.268
13.331
12.269
13.290
12.271
13.289
12.274
13.332
12.276
13.202
12.279
13.268
12.281
13.266
12.284
13.267
12.287
13.243
12.289
13.250
12.292
13.237
12.294
13.212
Глава 13
13.012 3.022
13.018 3.002
11.216 12.233
11.217 12.234
11.219 12.220
11.222 12.227
12.297 13.207
12.299 13.236
12.300 13.270
12.302 13.208
12.305 13.286
12.310 13.387
12.315 13.303
12.316 13.342
12.317 13.384
12.320 13.259
12.323 13.273
12.325 13.277
12.328 13.304
12.330 13.222
12.332 13.389
12.333 13.211
12.335 13.359
12.338 13.241
12.341 13.244
12.361 13.358
12.364 13.256
12.366 13.298
12.369 13.300
12.371 13.210
12.374 13.262
12.375 13.326
12.377 13.364
12.378 13.366
12.379 13.307
12.382 13.284
12.384 13.223
12.386 13.260
12.387 13.328
12.389 13.308
12.391 	13.401
13.019 	3.148
13.042 3.016
11.224 12.215
11.225 12.230
11.230 12.197
11.232 12.199
12.392 	13.412
12.397 13.410
12.400 13.392
12.401 13.404
12.402 13.395
12.405 13.396
12.407 13.411
12.408 13.393
12.409 13.394
12.414 13.415
12.415 13.430
12.418 13.431
12.420 13.454
12.424 13.452
12.426 13.449
12.428 13.416
12.430 13.460
12.431 13.414
12.436 13.420
12.438 13.457
12.440 13.417
12.441 13.418
12.443 13.432
12.445 13.422
12.446 13.428
12.447 13.436
12.449 13.433
12.454 13.434
12.456 13.435
12.457 13.446
12.461 13.448
12.462 13.453
12.463 13.437
12.464 13.429
13.054 3.038
13.067 	3.024
603

13.075
3.010
13.178
3.050
13.265
3.202
13.326
3.264
13.379
3.313
13.079
3.115
13.194
3.064
13.266
3.237
13.338
3.232
13.389
3.366
13.081
3.120
13.206
3.091
13.270
3.271
13.340
3.177
13.394
3.343
13.083
3.118
13.211
3.220
13.273
3.213
13.344
3.208
13.408
3.337
13.086
3.092
13.213
3.286
13.278
3.260
13.346
3.173
13.415
3.126
13.088
3.063
13.237
3.227
13.281
3.252
13.354
3.224
13.425
3.316
13.098
3.124
13.238
3.180
13.293
3.297
13.361
3.216
13.428
3.362
13.099
3.110
13.243
3.171
13.301
3.204
13.362
3.306
13.435
3.323
13.113
3.113
13.246
3.200
13.312
3.295
13.366
3.259
13.436
3.357
13.140
3.144
13.247
3.191
13.319
3.308
13.368
3.187
13.437
3.321
13.153
3.057
13.252
3.284
13.320
3.309
13.373
3.311
13.441
3.358
13.160
3.087
13.262
3.211
13.322
3.310
13.374
3.312
13.446
3.334
13.169
3.070
13.263
3.236
13.450
3.380
Глава 14
14.001
9.001
14.098
9.175
14.164
9.260
14.229
9.201
14.313
9.072
14.006
9.115
14.102
9.299
14.166
9.371
14.230
9.194
14.314
9.141
14.015
7.115
14.103
9.183
14.176
9.380
14.238
9.385
14.321
9.086
14.023
9.122
14.105
9.185
14.177
9.295
14.239
9.376
14.324
7.033
14.024
9.124
14.107
9.071
14.178
9.199
14.240
9.375
14.326
9.203
14.025
9.125
14.110
9.154
14.179
9.076
14.241
9.286
14.327
9.164
14.026
9.126
14.111
9.156
14.182
9.193
14.244
9.254
14.338
9.069
14.027
9.019
14.112
9.157
14.190
9.346
14.247
9.305
14.343
9.223
14.035
9.077
14.113
9.158
14.195
9.363
14.248
9.290
14.344
9.222
14.038
9.205
14.115
9.024
14.202
9.066
14.256
9.319
14.346
9.307
14.039
9.085
14.117
9.037
14.203
9.266
14.259
14.263
9.250
9.316
14.351
14.353
9.094
9.143
14.040
9.050
14.121
9.225
14.206
9.089
14.264
9.253
14.356
9.075
14.044
9.073
14.123
9.038
14.207
9.353
14.267
9.317
14.367
9.145
14.047
9.006
14.129
9.027
14.209
9.083
14.271
9.304
14.368
9.082
14.050
9.369
14.132
9.041
14.210
9.200
14.273
9.282
14.373
9.111
14.053
9.211
14.134
9.031
14.212
9.091
14.276
9.276
14.379а
9.009
14.054
9.321
14.139
9.063
14.214
9.139
14.277
9.277
14.380
9.017
14.065
9.331
14.141
9.051
14.218
9.093
14.279
9.279
14.381
9.176
14.068
9.334
14.142
9.098
14.220
9.233
14.283
9.042
14.382
9.177
14.069
9.335
14.146
9.101
14.221
9.296
14.284
9.043
14.386
9.023
14.071
9.324
14.149
9.267
14.222
9.236
14.295
9.047
14.387
9.018
14.072
9.337
14.150
9.269
14.224
9.052
14.300
10.206
14.393
9.054,
14.075
9.340
14.151
9.056
14.225
9.377
14.301
9.298
10.207
14.080
9.011
14.154
9.059
14.227
9.367
14.304
9.315
14.398
9.107
14.094
9.172
14.157
9.231
14.228
9.192
14.309
9.140
14.406
9.108
Глава 15
15.005
10.005
15.014
10.014
15.046
10.046
15.076
10.222
15.082
10.208
15.007
10.007
15.018
10.018
15.064
10.136
15.077
10.269
15.083
10.072
15.010
10.010
15.023
10.023
15.072
10.139
15.078
10.270
15.085
10.074
15.011
10.011
15.038
10.038
15.073
10.067
15.081
10.071
15.087
10.141
604

15.097
10.151
15.124
10.221
15.171
10.175
15.201
10.134
15.243
10.236
15.098
10.152
15.127
10.166
15.176
10.109
15.206
10.198
15.249
10.242
15.099
10.153
15.134
10.172
15.179
10.112
15.213
10.180
15.251
10.244
15.108
10.162
15.141
10.081
15.181
10.114
15.232а
10.223
15.257
10.250
15.1Ю
10.164
15.146
10.088
15.187
10.120
15.235
10.226
15.260
10.252
15.112
10.209
15.151
10.092
15.191
10.124
15.239
10.230
15.261
10.254
15.115
10.212
15.162
10.103
15.192
10.125
15.240
10.233
15.262
10.255
15.119
10.216
15.165
10.106
15.193
10.126
15.242
10.235
15.266
10.259
15.120
10.217
15.168
10.107
15.195
10.128
15.274
10.231
Глава 16
16.001
14.001
16.027
14.044
16.064
14.047
16.076
14.004
16.091
14.124
16.002
14.012
16.033
14.041
16.065
14.006
16.077
14.050
16.093
14.086
16.003
14.010
16.035
14.067
16.067
14.049
16.081
14.002
16.096
14.089
16.005
14.065
16.036
14.061
16.068
14.003
16.083
14.101
16.102
14.042
16.008
14.066
16.041
14.069
16.070
14.060
16.085
14.100
16.104
14.084
16.012
14.005
16.052
14.008
16.071
14.063
16.087
14.107
16.116
14.121
16.018
14.062
16.056
14.068
16.074
14.011
16.088
14.123
16.117
14.085
16.025
14.043
16.059
14.046
16.075
14.064
16.090
14.105
16.126
14.087
Глава 17
17.002
15.002
17.042
15.069
17.066
15.093
17.081
15.117
17.100
15.035
17.008
15.018
17.043
15.039
17.067
15.085
17.082
15.087
17.111
15.105
17.011
15.008
17.044
15.088
17.068
15.031
17.084
15.109
17.113
15.065
17.014
15.010
17.045
15.129
17.069
15.032
17.085
15.108
17.114
15.097
17.015
15.025
17.049
15.033
17.071
15.060
17.088
15.110
17.118
15.101
17.024
15.024
17.056
15.089
17.073
15.061
17.089
15.063
17.121
15.067
17.033
15.053
17.057
15.059
17.075
15.081
17.092
15.119
17.123
15.130
17.034
15.045
17.058
15.080
17.076
15.082
17.094
15.073
17.124
15.102
17.036
15.047
17.060
15.128
17.079
15.054
17.099
15.074
17.125
15.106
17.041
15.056
17.063
15.091
17.080
15.043
17.128
15.038
Глава 18
18.001
17.001
18.050
17.050
18.079
17.079
18.136
17.136
18.194
17.194
18.008
17.008
18.061
17.061
18.091
17.091
18.148
17.148
18.202
17.202
18.014
17.014
18.065
17.065
18.097
17.097
18.156
17.156
18.208
17.208
18.017
17.017
18.069
17.069
18.104
17.104
18.157
17.157
18.209
17.209
18.026
17.026
18.070
17.070
18.120
17.120
18.162
17.162
18.212
17.212
18.030
17.030
18.071
17.071
18.126
17.126
18.165
17.165
18.213
17.213
18.041
17.041
18.075
17.075
18.131
17.131
18.185
17.185
18.215
17.215
18.047
17.047
605

ЗМІСТ
Елементи Умови Відповіді
теорії, задач
приклади
Передмова З
РОЗДІЛ І
Арифметика. Алгебра. Геометрія
Глава 1. Арифметичні дії 5 6 491
Глава 2. Тотожні перетворення
алгебраїчних виразів 11 15 491
Глава 3. Тотожні перетворення
тригонометричних виразів 45 52 498
Глава 4. Прогресії 86 88 503
Глава 5. Комбінаторика і біном Ньютона 95 97 504
Глава 6. Алгебраїчні рівняння 104 109 505
Глава 7. Логарифми. Показникові
та логарифмічні рівняння 131 138 511
Глава 8. Тригонометричні рівняння 157 163 515
Глава 9. Нерівності 189 198 528
Глава 10. Задачі з планіметрії 215 224 533
Глава 11. Задачі зі стереометрії 252 257 540
Глава 12. Задачі з геометрії із застосуванням
тригонометрії 274 279 544
Глава 13. Застосування рівнянь для розв'язування
задач 314 320 559
РОЗДІЛ II
Алгебра і геометрія (додаткові задачі).
Початки аналізу. Координати і вектори
Глава 14. Додаткові задачі з алгебри 374 377 565
Глава 15. Початки математичного аналізу 399 405 578
Глава 16. Додаткові задачі з геометрії 422 428 585
Глава 17. Застосування координат і векторів
для розв’язування задач 437 445 586
Глава 18. Комплексні числа 454 460 588
Варіанти завдань для самоперевірки 472 596
Додаток 598

АВТОРСЬКИЙ КОЛЕКТИВ
Єгерев Віктор Костянтинович
Зайцев Володимир Валентинович
Кордемський Борис Анастасійович
Маслова Тамара Миколаївна
Орловська Іраїда Федорівна
Позойський Роман Ісайович
Ряховська Галина Сергіївна
Сканаві Марк Іванович
Суходський Андрій Матвійович
Федорова Ніна Михайлівна

Навчальне видання
Єгерев Віктор Костянтинович, Зайцев Володимир Валентинович,
Кордемський Борис Анастасійович, Маслова Тамара Миколаївна,
Орловська Іраїда Федорівна, Позойський Роман Ісайович,
Ряховська Галина Сергіївна, Сканаві Марк Іванович,
Суходський Андрій Матвійович,
Федорова Ніна Михайлівна
ЗБІРНИК ЗАДАЧ З МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ВСТУПНИКІВ
до вищих навчальних закладів
За редакцією М. І. Сканаві
Обкладинка Петро Починок
Підписано до друку 20.04.11. Формат 84x108/32.
Папір газет. Гарнітура типу “Times”. Друк високий.
Умовн. друк, арк 31,92. Тираж 3000. Зам. 3052.
«Видавництво “Арій”»,
03680, м. Київ, просп. Леся Курбаса, 2-Б (колишній 50-річчя Жовтня)
тел.: (044)537-2920, 407-2275
www.ariy.com.ua, e-mail: info@ariy.com.ua
Свідоцтво Держкомінформу України
ДК № 3737 від 18.03.2010
Віддруковано з готового оригінал-макета
у ТОВ «Фактор-Друк»
61030, м. Харків, вул. Саратовська, 51
тел. (057)7-175-185