X. Р. ШОНИРОВА
-У5
КАРРАЛИ ВА
ЭГРИ ЧИЗИЦЛИ
ИНТЕГРАЛЛАР
Узбекистан Республикаси Олий ва урта махсус
таълим вазирлиги университетларнинг,
педагогика институтларининг, алий техника
уъув юртларининг талабалари учун уцув
цулланма сифатида рухсат этган
Тошкент
«Узбекистон»
1992
Мазкур цулланма математик анализ курсннинг урганишга цийин,
биро^ татби^нй масалалар учуй му.\им а^амият касб этадиган икки
ва уч каррали интеграллар, биринчн ва иккннчн тур эгри чнзи^лн
интеграллар, биринчн ва иккинчн тур снрт интеграллар, Грин, Стокс
ва Остроградскнй формулалари кабн булимлари б^йича мисол ва ма-
салалар ечишга багншланган. Унда зарур назарий матерналлар цис-
цача баён этилган ёкн тегншли адабнётлар курсатнлган. Дулланма
мустацнл ишлашга дойр машцларнн \ам уз ичига олади. Хар бнр ур-
гаиилган мисол ва масала чизма билан таъминланган.
Кулланмадан уннверситетлар, педагогика ннстнтутлари ^амда
олий техника у^ув юртларннннг талабалари фойдаланншларн мумкнн.
Уии ёзишда муаллифнннг Тошкент Давлат университетннинг математика
факультетида математик аналнздан амалий машрулотлар олиб бориш
жараёнида эришган куп йнллик тажрибаси асос булди.
Махсус му^аррир — проф. F. НАСРИТДИНОВ
1602070000—65
351 (04)—92 92
© «УЗБЕКИСТОН» нашриёти, 1992
ISBN 5-640-01-271-4
Суз боши
Мазкур уцув ^улланманинг яратилишига аввало муаллиф-
нинг. Тошкент 'Давлат университета талабаларига математик
анализдан куп йиллар давомида муттасил амалий машгулот-
лар олиб бориши сабаб булди. КДлаверса, бунга математик ана-
лизнинг ^ийин узлаштириладиган булимлари буйича жум^у-
риятда тани^лн математикларимиз тавсияси билан ёзилган
методик ишланмалар асос ^илиб олинди. Асосий ма^сад кар-
рали (икки ва уч каррали), биринчи ва иккинчи тур эгри чи-
зи^ли ^амда сирт интегралларининг таърифини, хоссаларини
мисоллар билан муста^камлаш, талабада уларни ^исоблаш
^оидалари буйича куникма хосил 1^илиш, Грин, Осрроградский,
Гаусс ва Стокс формулалари амалда ^андай ^улланилишини
намойиш ^илиш, уларнинг геометрик, механик масалаларни
ечишга татбигини мисолларда курсатишдан иборат. Шу ма^сад
билан ёзилган у^ув ^улланма беш бобдан иборат булиб, ^ар
бир бобда ^ис^ача зарур назарий маълумот берилади ^амда
яна, хусусан, ^айси адабиётдан фойдаланиш лозимлиги кур-
сатилади. Унда жаъми 118 та мисол тули^ методик курсат-
малар билан ечиб берилган булиб, уларга тегишли 162 та чизма
чизилган. Муста^ил ишлаш учун 543 та номерда 570 та мнсол
жавоблари билан тавсия этилган. Аслида, яратилган УКУВ ^ул-
ланма математик анализнинг ю^орида зикр этилган ^ийин мав--
зуларига багишланган ^амда ечиб берилган мисолларда баён
этилган тули^ методик йулланмалар билан таъминланган маш^-
лар тупламидир. ’
Ни^оясида муаллиф у^ув ^улланманинг ёзилишида ра^на-
молик ^илган, цимматли масла^атларини аямаган УзФА нинг
мухбир аъзоси А. С. Саъдуллаевга, физика-математика фан-
лари доктори, проф. А. А. Аъзамовга, проф. F. Насритдиновга
^амда доц. А. Ворисовга самимий миннатдорчилигини билди-
ради, шунингдек, ^улланманинг математик жиддийлиги ва ти-
лининг равонлигига эришишда сарф этган беминнат ме^нати
учун махсус му^аррир проф. F. Насритдиновга ало^нда миннат-
дорчилик из^ор ^илади.
Муаллиф
3
МАХСУС МУХАРРИРДАН
Хурматли китобхон! Дулингиздаги ноёб китоб физика-мате-
матика фанлари номзоди, доцент ХаФиза Расул ^изи цалам-
ларига мансуб уцув ^улланмадир. Мазкур ^улланма муаллиф-
нинг 40 йилдан ортикро^ ва^т мобайнида олиб борган юксак
педагогик фаолияти самарасидан иборат. Математик анализ
буйича узо^ ва^т муттасил амалий машгулотлар олиб бориши,
уз ишига фидоийлик билан ^араши ХаФиза опага куплаб «чи-
ройлик» мисол-масалалар туплаш ва ^атор янгиларини тузиш
имконини берди. Йигилган ва тузилган мисоллар куп марта
синовдан утказилди, талабаларга ургатилди. Талабаларнинг
ме^р ^уйган устози ХаФиза опа ШУ мисолларни уларга гоятда
говори методик савияда ургатадилар. Шу боисдан уларга жум-
Хуриятимизда кузга куринган математикларимиздан УзФА нинг
мухбир-аъзоси, проф. А. С. Саъдуллаев, проф. А. Аъзамов,
доц. А. Борисов ва бош^адар математик анализнинг ^ийин
узлаштириладиган булимлари буйича методик ишланмалар,
сунгра у^ув хУлланма ёзишни тавсия этдилар ва бу ишнинг
амалга ошишида доим ра^намолик ^илиб турдилар. ХаФиза
опа эса бешта методик ишланма, ни^оят, ^улингиздаги у^ув
Хулланмани ёзиб, узларига билдирилган ишончни шараф би-
лан о^ладилар.
У^ув ^улланманинг асосий мазмунини, бир томондан икки
ва уч каррали,. биринчи ва иккинчи тур эгри чизи^ли ва сирт
интеграллари, Грин, Остроградский, Гаусс ва Стокс формула-
лари ^амда уларнинг татби^лари буйича ечилган 118 та мисол
ташкил этса, иккинчи томондан, унда муста^ил ечйш учун жа-
воблари билан тавсия этилган 543тя номерда берилган 570 та
мисол ташкил этади. Тавсия этилган мисолларнинг хаммаси
ечиб берилса, мазкур хулланмадан беш баравар катта китоб
булур эди. Муаллифда эса, бу мисоллар ечилиб, ало^ида даф-
тарга ёзиб ^уйилган. ^анчалик улкан ме^нат!
У^ув ^улланмани ювдрида зикр этилган мавзулар буйича
манщлар туплами деб атаса хам булади. Шу хусусияти билан
у И. И. Ляшко ва бош^а украин математиклари нашр ^илган
Б. П. Демидович тупламидаги масалаларнинг ечимларидан ту-
зилган китобдан тубдан фар^ ^илади. Бинобарин, мазкур ухув
^улланма математик анализнинг каррали, эгри чизи^ли ва сирт
4
интеграллари ^исмига оид узбек тилидаги биринчн ва я^ин
орада ягона масалалар туплами булиб к;олади, деб уйлаймиз.
У^ув ^улланманинг му^им хислатларидан бири шуки, унда
ечиб берилган ^ар бир мисолда юксак методик санъат ^улла-
нади. Мисол ечиш давомида учрайдиган барча доллар куриб
чицилади. Бунда «бу хол аввалгига ухшаш курилади» деган
ибора учрамайди, зеро, каррали, эгри чизи^ли ва сирт интег-
ралларида ^ар бир хол ало^ида методик майорат, ало^ида
чизма талаб этади. Хусусан, уч каррали интегрални такрорий
интегралга келтиришда декарт, цилиндрик ва сферик коорди-
наталарнинг \ар бирида 6 тадан, жами 18 та хол руй беради.
Муаллиф уамма ^олларни изчиллик билан куриб чи^ади, ух-
шашлари йуц! Умумий холда ^ар бир координата системасида
п каррали интеграл такрорий интегралга п\ та усул билан
келтирилиши ^айд цилиб утилади. Бу соддагина факт матема-
тик анализга оид китобларда ало^ида таъкидлаб утилган эмас.
У^ув ^улланманинг муэрш хислатларидан яна бири ечиб
курсатнлган мисолларнинг ^ар бирига ало^ида, зарур доллар-
да эса бир неча чизма илова ^илинганлигидир. Интеграллаш
со^аси ва унинг турли текисликёки сиртлар билан кесишиши-
дан ^осил булган фигуралар зур ^афсала билан, пухта ва
я^кол тасаввур берадиган тарзда чизилганки, китоб хатто гео-
метриядан хам методик ^улланма даражасига етган десак
муболага булмайди.
Яна шуни зикр ^илиб утамизки, мазкур у^ув кулланмада
суз юритилаётган мавзулар умидли талабаларимиз ва улар-
дан етишиб чи^аётган аспирантларимиз томонидан етарли са-
вияда узлаштирилмай келинаётганлиги илмий изланишларда
салбий роль уйнаяпти. Зеро, уша мавзуларни чуг;уррок ва кенг-
ро^ урганиш жоиздир. Биро^ мавжуд дарсликлар ^ам, маса-
лалар тумламлари ^ам бу вазифани бажаришда ^улланма
сифатида бир мунча о^сайди. Ана шунинг учун ^ам ХаФиза
опа Расул ^изи томонидан яратилган уцув ^улланма му^им
а^амият касб этади. У узбек тилидагина эмас, ^ам бош^а
тилларда чоп этилишга лойицдир. Китоб хасида ю^орида
баён этилган фикрлар фа^ат менинг фикрим эмас, бундай
фикрларни китоб ^улёзмасига та^риз ёзган таникути матема-
тикларимиз ^ам айтиб утишган.
Уйлаймизки, ’эътиборингизга Давола этилаётган уцув ^ул-
ланма уз фаолиятларида математик анализ асосларидан фой-
даланадиган мутахассислар, бевосита шу со^ада мутахассис
булиб чицадиган талабалар ва, шунингдек, ёш математиклар
учун беба^о совга булиб хизмат цилади.
Проф. F. Насритдинов
I боб
ИККИ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
Икки каррали. I f(x,y) dxdy
интеграллар назарияси ва улар-
(Р)
нинг баъзи татби^ларини урганищ учун аввало, масалан, Фихтен-
гольц уч жилдлик дарслигининг [1] 16-бобини, яна 17-боб 2-§
ининг 626 — 629-бандларини, шунингдек, Т. Азларов, К- Мансуров-
нинг [2] ук;ув цулланмасидан 18-бобни урганиб чи^ищ лозцм. Уч
каррали	у, z) dxdy dz интеграллар га оид зарур матери алии
эса [1] китобдаги 18-бобнинг 1-§ ва 2-§ идан хамда [2] китоб 18-
бобининг 10-§ идан уциб урганиш лозим.
Мисолларда аналитик усулда берилган сиртларни турри тасаввур
эта олиш учун аналитик геометриядан эгри чизи^ларга ва сиртларга
оид маълумотлар билан яна бир марта (чуцурроц) танишиб чициш
керак [3], [4].
Куп мисолларда узгарувчиларни алмаштириш усули натижага
тезроц олиб келади. Шунинг учун уцувчи
а)	^утб координаталар системаси (г, <р);
б)	цилиндрик координаталар системаси (г, ср, z);
в)	сферик координаталар системаси (г, ср, 0);
г)	ихтиёрий аффин координаталар системаси. (и, v, w)
ва бу системалар билан (х, у, г) декарт координаталар системаси
орасидаги богланишларни етарли даражада узлаштирган булиши ке-
рак.
1 - §. Икки каррали интегралларни таъриф буйича дисоблаш
Аввал икки каррали интегралнинг икки таърифини, аницроги Ри-
ман интегралининг таърифини ^амда «е — 6» тилидаги таърифини
баён этамиз. Текисликдаги юзи нолга тенг булмаган, богланган ёки
богланмаган, чегараланган (Р) сохада узлуксиз f (х, у) функция бе-
рилган булсин. Шу (Р) со^ани икки хил силли^ (булакли — силли^)
эгри чизикутар тури билан чекли сондаги (масалан, тп та) (Pt j),
(Л,2).   • - (^1,	(^2,1)- • • • - (Р2.Л (pi,^ ’ (рпд )- (рп,2)>   •>
Рпт) со.^ачаларга ажратамиз (1-чизма); (Plk) сохачанинг юзи Pik
(i = 1,п, k = 1,т) булсин. Исталган (Р(. k) сохачадан ихтиёрий Ml k
6
нуцта оламиз, функциянинг шу нуц-
тадаги циймати f(Af/fe) билан Pik
нинг купайтмасини olk деб белги-
лаймиз:
А* =	А,.- О »
Барча ai к купайтмаларини i ва k
индекслар (номерлар) буйича мос
равишда 1 дан п гача ва 1 дан
т гача жамлаб, / (х, у) функция
учун (Р) сохадаги (Риман маъноси-
даги)
пт	пт
/=1 k=i	i fe=i
(1-2)
интеграл йигиндисини ^осил циламиз. o(m,n) нинг микдори берил-
ган f (х, у) функциянинг куринишига, (Р) со^ани (Pt со^ачаларга
ажратиш усулига ва х;ар бир (Р. fe) со^ачага тегишли k нуцтанинг
олинишига богликдир. (Р. *) со^ачалар d (Pi k) |диаметрларининг энг
каттасини A = maxd(P; J деб белгилаймиз. Равшанки, агар А сон
нолга интилса, т ва п лар чексизга интилади. Аммо оо,
п -* оо, Дан, умуман айтганда, А-> О келиб чицмайди.
(1.2) интеграл йигиндининг А->0 даги чекли лимита, яъни
lim о (т, п) = lim a (m, л) = I
Д —> 0	т —> оо
П —> оо
(1.3)
сон f (х,у) функциядан (Р) со^а буйича олинган икки каррали (Ри-
ман маъносида) интеграл дейилади ва
\$f(x,y)dP ёки И f(x, y)dxdy	(1.4)
"(Р)	(Р)
символ билан белги^анади.
Икки каррали интегралнинг шу таърифига тент кучли булган бош-
ца таърифлари ^ам бор. Биз, масалан, унинг «е — б» тилидаги таъри-
фини келтирамиз:
Агар уе>0 сон олинганда ^ам шундай б = б(е)>0 сон то-
пилсаки, (Р) со^а турли усуллар билан диаметрлари б дан кичик,
яъни А = maxd(P; A)<; б булган (Р. ^) со^ачаларга ажратилишига ва
бу со^ачалардан Mlk ну^танинг олинишига боглрщ булмаган ^олда
шундай чекли I сон мавжуд булсаки, (1.2) интеграл йигинди учун
п т
\I- ^^f(MJ.P.k\<&
i=l fe=l
7
тенгсизлик уринли булса, унда I сон f(x, у) функциядан (Р) соха
буйича олинган икки каррали (Риман маъносида) интеграл дейилади.
Икки каррали интегралнинг юцорида келтирилган икки таърифи
тенг кучли эканини курсатиш цийин эмас.
Икки каррали интегралларни таъриф буйича хисоблаганда (1.3)
дан куринадики, икки каррали лимитни хисоблашга тугри келади.
Бунинг учун эса, (1.2) йириндини топиш зарур булади. Куйида икки
каррали интегралларни таъриф буйича дисоблашга оцд 5 та мисол
курилади. Аввал биз куриладиган мисолларда керак буладиган баъзи
тенгликларни келтирамиз:
-1 П{п+ 1);	(1-5)
^(2/-1) = п2;	(1-6)
2Р = А/г(/г + 1)(2/г+1);	(1.7)
2i3 = -2-n8(n+ 1)2:	(1.8)
п 4- J п
п	sin —-— a sin — а
2 sin£a= --------------------, у а ¥= 2/ил, mfZ; (1.9)
fe= 1	sin
па п + 1
п	sin — cos —-— а
coskа =—:-------, уа=р2тл, <Z;	(1.10)
ft= 1	sin —
па / п+1 )
п	sin — sin lx + —-— a I
У sin(x 4- ka) = ---------у а =и= 2 m л, m 6 Z;
fe=i	sin
(1.П)
n a / n + 1 \
n	sin — cos x + —— a I
cos (x 4- ka) = -----------—--------, у a ¥= 2 m л, m^Z.
k= I	sin —
(1-12)
Эслатма. ^уйида куриладиган мисолларда (Р) сода шундай
усул билан содачаларга булинганки, т -> 00 ва п -> °° булганда
А = max 4 (Л fe)-* 0 булади. Шунинг учун (1.3) нинг limcr(m, п) = I
П--^ао
муносабатидан фойдаланиш етарли булади.
8
I- мисол. Ушбу /i = |) ху dxdy
икки каррали интеграл таъриф буйи-
ча цисоблансин, бу ерда
(Р) = {(х, у); х2 + у2 С а2,
х > 0, у > 0;.
Ечиш. (Р) со.уа маркази О (0; 0)
да ва радиуси а га тенг бул-
ган доиранинг 1-октантда жойлаш-
ган чорагидир, Бу содани концен-
трик айланалар ва О (0,0) дан чиц-
цан нурлар ёрдамида пт та
А В С D эгри чизицли туртбурчак-
ка ухшаш (2-чизма) сохачаларга
2- чизма
ажратиш кулайрокдир. Интеграл остидаги функциянинг кийматини
исталган Mlk нуцтада, масалан, сохачанинг «говори чап» учида
(A BCD учун 2-чизмада С нуктада) хисоблашимиз мумкин. Энди
координаталар боши О (0,0) билан MN айлана ёйи орасига маркази
О (0,0) да ва радиуслари мое равищда —, 2 —, . . ., (п — 1) —
п п	п
ларга тенг булган (п— 1) та концентрик айланалар утказамиз, улар-
нинг кутб координаталар системасидаги (2- чизма) тенгламалари г —
= г. ёки г = — /, i = 1, п — 1 булади; агар шу формулада i =
= 0, и дейилса, i = 0 учун г = 0 — О (0,0) Ни хосил циламиз, i = п
да эса берилган (Р) соха чегарасининг айлана чорагидан иборат цис-
ми тенгламаси г — а га эга буламиз. Биринчи чоракда учи О (0,0)
нуктада булган (m —1) та нур утказамиз:
Ф =	Ф*=	/г= l,m —1.
Агар k = 0, т дейилса, k = 0 учун ср = 0 (Ох укининг мусбат йу-
налтирилган кисми) ва k = т учун <р = (О у уцнинг мусбат йу-,
налтирилган цисмй) тенгламалар хосил булади. Ихтиёрий (Рц) соба-
ча сифатида A BCD сохачани оламиз, унинг С учи учун: хс = rz cos
*	••	Cl » «ГС*	a .	. JI <
ye ri sin еки xr = —1 cos— Уг ~ —1 sin — ‘Знди шу
n 2 m	n 2m
С учни M.ik нуцта деб оламиз ва шу нуктада f(x,y) = xy функция
кийматини хисоблаймиз:
£,.. , а2 life . nfe а2 . nk
I (М, Л — — г cos — sin — = — z2 sin —.
i,k n2 2 m 2 m 2n2 m
Энди ABCD сохачанинг P. k юзини топамиз. 2- чизмадан куринадики,
Р —
г i,k ABCD
Q _____ Q
°ОВС ^OAD'
9
I ;
Маълумки, доиравий секторнинг юзи S =	А12 а, бу ерда У?—дойра
Г
радиуси, а— сектор бурчагининг радиан ^исобидаги киймати. Чизма-
да а = Дф = Демак, Р.к юз Pk = г^Дф. яъни
Z /Л.	’	’	^	\
.р = — Г— z2 — — (i — 1)2]= — (2/ — I)
’•к	4 т [ п2 п1	J 4л2т
формула буйича ^исобланади. Интеграл йиринди о(т,п) ни ^осил
^илиш учун биз интеграл йигиндининг умумий дади
= = <|ЛЗ)
ни топиб, i ва k ларга мос равишда улар цабул цилиши мумкин
булган 1 дан п гача ва I дан т гача т^ийматларни бериб жамлаб
чицамиз:
cr(m,n)= 2	(1Л4)
»=i k=i
Равшанки, (1.13) даги oik ифода i ва k ларнинг узлуксиз функция-
си. Шу сабабли (1.14) йириндини дисоблашда олдин i кейин k (ёки
аксинча) индекс буйича ^исоблаш мумкин. Мисолда стм ифода бири
фадат i га, иккинчиси фацат k га богли^ булган иккита ифода ку-
пайтмасидан иборат булгани учун ст (т, п иккита) йиринди купайт-
масига тенг:
п	т
п} = si. 1] <2,'а ~ Ssin ЛГ к-
1=1	k=\
Ю^орида келтирилган (1.7) — (1.9) формулаларга асосан.
(m-Н) л . тп
(ст(т п) = — [2 (п+ 1)2 п<п + ’) (2п+ О] S‘n 2т S'n2w .
V ’ 8n«mL 4	6 J sin —
2 m
ai Г 1 /i 1 \2	1 /1 г 1 \/o 1	1 \1 n л/2/n o
= — — 1-P —--------------14------2H------cos--------------2
8 I 2 I n I 6n\ n I \ n IJ 2m, л
sin -—
2 m
(1.15)
ифодани досил циламиз.
Охирги купайтувчи учун lim^-^- — 1 лимитдан фойдаланиб,
а-»0 СХ
ст(т, п) йигиндининг п-*оо ва т *оо даги икки каррали лимитини
^исоблаймиз ва узил-кесил
/?4 Г 1	1	д4
Итст(т,п) = -=-------- - 0 .1-2-1= —
л->оо	8.2	J	8
т-*оо
а4
8
10
2а- чизма
натижага эга буламиз. Демак, 1г = —.
8
2- мисол. Ушбу /2 --= (Зх + у) dx dy
(Р;
икки каррали интеграл таъриф буйича ^исоблансин, бу ерда
(Р) = |(х, у); а1 С х2 + у2 С b2, у'^ -L- х, у > — х
Ечиш. (Р) соха марказлари О (0,0) да, радиуслари а ва b га тенг
айланалар ^амда Ох уцининг мусбат йуналиши билан = — ва
6
5л ,	11
а2 = — бурчаклар ташкил этган иккита у = -=- х, у =---------?=- х
6	у з	у 3
тугри чизицлар билан чегараланган (2а- чизма). Дутб координаталар
системасида уларнинг тенгламалари мос равишда г = а, г = Ь, <р =
= -“> Ф = -|~ булади. (Р) со^ани куйидаги усул билан п2 та (Pzft)
(i = 1,п ,k = 1,п) со^ачаларга ажратамиз. Бу мисолда концентрик
айланалар ва нурлар сони бир хил килиб олинган. Курилаётган ^ол
умумиятликка халал бермайди.
1) М1=Мг = b—а кесманипта тенг Аг = -—- булакка ажра-
п
тиб, (n — 1) та г = гrt = а + Ar-i, 1=1, п — 1 тенгламалар би-
лан тавсифланадиган концентрик айланалар утказамиз;
2) Икки тугри чизи^ (аницроги, икки <р = ва <р = — нур)
6	6
11
орасидаги —- га тенг бурчакни, хар бири А <р = — га тенг булган,
3	Зп
п та бурчакка ажратувчи (п— 1) та нур утказамиз. Уларнинг тенг-
ламалари <р = <рфл = ~ 4- А <р • k ёки фа. =	+ — k, k =
= 1, п—1 куринишга эга.
Энди (P;k) сохачани ABCD билан белгилаймиз, унинг P.k юзи,
1-мисолдан маълумки, куйидаги
4“г2^д ф=4(г +) Дф=
= 4 А г [2 а +• А г (21 — 1)]~ Аф = [а + А г 2-‘ % -j Аг Дф
формула билан хисобланади, унда Аг = - ~а .
(Р.)) сохачанинг исталган Mt k нуцтасини, масалан, С нуктани
олайлик. Бу нуцта учун хс = г. соэф^, ус = г(.5Шф4 булиб, шу нуц-
тада интеграл остидаги f (х,у) — Зх А- у функция кийматини топиш
мумкин:
f (Af. *) = r;(3cosфй + sinф^) = (a 4 i А г) ^3 cos (4 + д Ф ) +
4- sin I — + k А ф ) .
\ 6	/ j
Энди (1.2) формула буйича интеграл йигиндини тузамиз:
п п	п п
ом = 2 22 2(«+£До («+
/ = 1 А= 1	’ i = 1 fc=l
4- а г 2t'~4) [з cos (4 k д<₽)+sin (4+k Д(₽)]Д г д Ф=
л	I	I \ Л	п Г	я
= 2 a2 + aAr(2t-----2"] 4- Дг2(12 — "yll Аг• 2pco8(v^
i=lL	'	'	'	' A=1l
4- kA ф) 4- sin --Ь&Дф Аф.
\ 6	/
Йигиндиларни хисоблашда (1.5), (1.9), (1.11), (1.12) формулалардан
фойдаланамиз:
o(n,n) = Аф
п	п п 4- 1 . \
sin—Аф-cos —4- —— Аф
3--^------------------------'- +
Аф
sin —
п	п
sin — Дф-sin ——I-
2 т \ 6
Дф
sin —
2
•Аг- {па2 4-
12
-j дЛг|~2п(п+1) п 1 1 I дг2Гп<»+l)(2n + 0 n(n + OT|
Ф L 2	2] '	[	6	4 Jj"
Arap Ar = - ~A<p = — эканини эътиборга олсак, юцоридаги
ифодани соддалаштириб, куйидаги куринишда ёзиш мумкин:
z Го я / л , ( л , л \\ Дф/2 „ ,
а(п,п) = 3 sin — cos-------Н----------—---------2 +
L 3	\ 6	\ 3 Зп J Дф
sin --
2
+ а(6 — a) fl + -----М +(б —я)2Г—fl + —W2 + —К
\ п 2п j '	L 6 \ п } \ п ]
4 я \ п JJJ
Энди берилган интеграл цийматини топиш максадида о (и, и) учун
топилган ифоданинг оо даги лимитини цисоблаймиз
(бунда п -> оо да Аф -> 0 эканини эътиборга оламиз);
/2 = lim о (п, п) = (Ь — а) Га3 ф а (б — а) + (6 — а)2 —1X
п —> оо	L	3 J
(дф ->:о)
хГЗзйт — cos — -2 4-sin — sin — -2
I 3	2	3	2
= (b — a) — (3a2 + 3 ab —
3
— 3a2+62 —2a/>+«2)^--l-2= (b — а)(а2 + ab + 62)^
A	u
= ^(б3—a3).
О
Шундай цилиб, /2 = 1 1 (Зх + y')dxdy = ^-^-(б3 — а3).
iJ (I	3
(Р)
3- мисол. f (х, у) = 2 — х функция учун (JP) = {(х, у): х2;+ у2< а2,
у > 0, х > 0} со^ада Дарбунинг бирор булинишга нисбатан цуйи
s(J) ва юцори S(f) интеграл йигиндилари тузилсин. (Р) со^а г —
= — i, i — 0, п ва <р - — k = Q, п чизи^лар тури билан со^а-
чаларга булинсин. К,уйи ва ю^ори йигиндиларнинг п-> оо даги ли-
мит лари ^исоблансин.
Ечиш. (Р) со^анинг берилиши ва унинг п2 та (Рг fe) со^ачаларга
булиниши 1-мисолдаги ^олга айнан ухшайди (2-чизма), шунинг
учун Рг (яъни ABCD шакл учун) юзнинг цийматини т = п деб
аницлаймиз: Р. k = ~ (21 — 1). Берилган / (х, у) = 2 — х функция
циймати ABCD дан олинган нуктанинг абсциссасига бог лиц, аницро-
13
fh, у камаювчи функциядир. ABCD соха учун куйидаги тенгсизлик-
ла? уринли:
' i i-l> 'i'k-l	T A’	TA v>
G-cosT^^r..! COStjp*,
яъни 2-чизмадаги В нуктанинг абсциссаси D нукта абсциссасидан
капа. Демак, (г., фА,_1) нуктада / (х, у) функциянинг ^2-------— i х
^иймати унинг (rf_1 ,<рл) нуктадаги 2-----(I — 1) cos
„	3l(k~ 1)
X COS—1-----
2n J	u -
цийматидан кичик. Энди (1.2) формулага асосан Дарбунинг цуйи
интеграл йириндисини ёзамиз:
s
л п
2 icos ^-(k - !)]• ^(2/- 1) =
п 2п J 4п3
Л=1
n
а , л (k — 1)
— /cos —--------
п	2п
К.улайлик учун олдин ички йириндини, сунгра таш^и йиринДини ^и-
соблаймиз:
4n3
(21 — 1) 2 л- -1
пл (п — 1) л
sin — cos------------
а . 4п
4п
sin л/4п
— (2/2 —/)•
п
sin n/4 cos (n/4—n/4 n)'
sinn/4n
na2
4n3
2п.П2____<L [2 »(»+ 1)(2» + 1) _ «(» +
n
Л /л ’Л
sin — cos —— — —
4	\ 4 4п
sin л/4п
1 /, , 1 \1 . л	/л	л \ я4п
-----1 Ч-------sln — -cos	-----------
2п\ п ) J 4	\ 4	4n/sinn/4n
Энди п -оо да = lim s(/) лимитен хдкоблаймиз:
Л-»оо
4n
л
ч 4 |
ла2
2	. л л 4
----О sin — cos--—
3	/4	4л.
1	. л \ ла8	а3
• -Sin-- -------—.
2	2/2	3
s
л
n
п
6
2
а 1
п 3
2 + -
п
4
14
Юцоридагига ухшаш Дарбунинг говори интеграл йигиндисини туза-
миз:
п п
iM k=\
ft=l
2 Ct it «•. TtJz
--------(1 — 1) cos ---------
n '	7 2n
n
Л fl
2n-------
n
пя (n + 1) л'
sin -— -cos----------
2-2n_______4n
sin я!in
n
=5’S[2'!<2i~1>-v<2f‘~3‘'+ *>•
1STL
sin л/4-cos (л/4 4- я/in)'
sin л/in
— b n. n2__________?L [2 • "(" + *) (2n + ‘) _ 3	+1)
in3 (“	n [	6	2
Энди n —* 00 да юдори интеграл йигиндининг лимитиии ^исоблай-
миз:
, ла2 Гп / 2 ,	. л л 4 1 ла2 /п 4а \
/ю = — 2 — а-------h 0 sin — cos — — = — 2----------------
4 [	[ з J 4	4 nJ 4 \	3л/
__ла2___ а3
~~2~____~3~'
Шундай килиб, 1^ = 1ю=	----яъни Дарбунинг куйи ва юко-
ри интеграл йигиндилари п—*<х> да бир хил лимитга эга. Равшан-
ки, бу лимит f (х, у) = 2 —х функциядан (Р) = {(х, у): х2 + у2 < а2,
у > 0, х > 0} со^а буйича олинган икки каррали Is — f f(2—х) dx dy
\p)
интеграл кийматига тенг.
4-мисол. Ушбу f(x,y) = (тх + р) (ly + q) функция учун (Р) =
= {(х,у~): a^x^b, c^y^d] со^ада интеграл йигинди тузилсин
ва унинг п — оо даги лимита топилсин.
Ечиш. Интеграллаш сохаси (Р) туртта х — а, х — Ь, у = с, у = d
тугри чизик билан чегараланган (3-чизма) тугри бурчакли MNKT
15
У = Ук
УУк-i
туртбурчакдир. Шу туртбурчак
Оу уцига параллел х — х., х{ —
— а + Ах-1, &х =	, i — 0, п,
п
тугри чизицлар билан хамда Ох
уцига параллел у = yk, yk = с 4-
я_______________с ---------
+&y-k, \у—-------, k= 0, п тугри
п
чизи^лар билан ABCD куриншпда-
ги п2 та туртбурчакларга булина-
Ди. (Р) соханинг хар бир булак-
часининг юзи ABCD нинг юзига,
яъни Ьх-Ьу га тенг булади. Энди
f(x,y) функция кийматини ABCD
нинг ихтиёрий 44. k нутутасида, масалан, С нуктада хисоблаймиз:
3- чизма
X
= f(хр У^= {maA-mi\x+p) (lc + lk\\y +q).
Ни^оят, интеграл йигиндини тузамиз:
п п	п п
О(п) = 22 f(xpyk)pik= 2 2 (tna + tni\x ArP)(lc~t
<--=1 s=i	’ z=i fc=i
,	. Г ' 	--- a П(П + 1) !	1 Г >	>
4- Ik \y 4- q) ax txy = \tn an ~t- tn    --г pn ten 4-
, ,d— с я(« + 1) ,	— ad—с Г ,	,,	, ,
4~ I----------4- qn [ --- — ma -t- tn(b a) x
n 2	j n n L
X _Lp +_LUpl.	4-
2  n / I I	2 \
—) -r	(b —
n /
— a) (d —V).
Бу о (n) ифоданинг n '-°o даги лимитини хисоблаймиз:
/4= lima(ri) = (b — a) (d	p][1' +q \
Равшанки, бу лимит I = J j(/nx4~ p) (ly 4- q)dxdy интегралнинг
(-P)
цийматидан иборат.
5-мисол. Ушбу /5 = ^(/пх4- У) dx dy икки каррали интеграл
'(₽)
таъриф буйича хисоблансин, бу ерда
(Р)=\(х, у): ах х а2, kx + bx ^)у kx + b2, br<.b2, at<.a2].
Ечиш. (Р) со^а 4- чизмада тасвирланган. У MNKP параллелограмм-
дан иборат. Щу (Р) сохани MNKP нинг вертикал томонига парал-
лел (п — 1) та х = х;, х, = ах 4- j, j = 1, п — 1 тугри чи-
'	'	п
16
зиклар Ъилаи хамда орма томони-
га параллел (п— 1) та у = yz, t/z =
= kx + i, i = 1, n — 1 TyF-
n
ри чизиклар билан n2 дона (Pz/)
(i = 1, n, j — 1, n) сохдчаларга бу-
ламиз; уларнинг хар бири ABCD
куринишдаги параллелограммдан
иборат булиб, шу сохача
У ~ УI--1 > УI--1 =	4~ to 4~
+	(i __ 1);
n
У = Ур У{ = bi+kx+ i>
х — xj~v xj_\ ~ ai 4	1 (/ — 1)>
х = х., % = а2 -р у
1	1	п
турри чизиклар билан чегараланган. (Р.,) нинг юзи Р.. = SABCD =
= CD-AT, AT л. CD (4- чизма). Равшанки, AT = xj — х}_х~Ах —
= °2	> CD= y-yt_x = At/ = -2 ~bl. Демак, Pf j = Ах-Ay.
Интеграл остидаги f (х,у) функция цийматини (Р .) со^анинг
исталган, масалан, D (xjt у._х) нуктасида олишимиз мумкин:
Я(*г УЬ1) = тх. 4- y;_] = т («j 4-'Ах-/) 4-^4- tof 4- A//(t — 1) =
= (m 4- k) a± 4- (m 4- k) Ax- j 4- Ьг 4- Ay (i — 1).
Энди интеграл [йириндини тузиш мумкин:
ст (п) = 2 2^ ^xi’ У[—}) j ~ м 4~ k)а 14- (tn 4- k) • Ах j 4~
:=1 /=1	’	г=1 7=1
л-&14-At/(z— l)]Ax-Az/.
Бу ст (п) ни хисоблаш’ учун олдин ички йириндини (/ буйича), кейин
ташки йириндини (i буйича) хисоблаб чи^амиз:
ст(п) =	+ ^)ai п 4- (т 4- k)Ax-n^n^-^ 4-	4- Ауп(1 —
—1 )j Ах Ау = ^(т 4- k) aj n2 4* (tn 4- k) Ax n- 4- bi »2 4-
4- A y n -- ~ - j Ax Ay = pm’4- ty a± 4~[(m 4- k) (a2 — аг)х
x vf1 +~1 + &1+ (^2 —-------------------)102 —M(Oz — aO-
П }	*“ \ Al / I
2-390
17
Энди о (п) нинг п — ос даги лимита берилган икки каррали интег-
ралга тенг булади: /5 = I im о (п) = [ (т 4- k) аг 4- (т 4- /?) • — (аг —
— О1) + 61 + -у (62 — 61) (62 — 6J (с2 — «0 = у- (Ь2 — 60 (а2 —
- «0 (1т 4- *) («2 4- й0 4- (62 4- 60].
Машцлар. I. Цуйцдаги икки каррали интеграллар таъриф буйича
^исоблансин:
1.1. JC (34-ха 4" У*) dxdy, (P) = {W: xs4-*/2^16, £>о,
(6)
Зх}.
1>2. J J (4 4- 2x — y)dx dy, (P) = |(x, y): 1 x2 4-z/2 < 25, x > 0,
(p)
У>0}.
1.3.	f 5xz/ dxdy, (P) = f(x, y): 1 < x2 4- J/2	16, z/ > ~7=’
(P)	I	v 3
z/> — V 3 xj-
1.4.	J [ (3 —2x)(4z/4- 5)dx dy, (P) = {(x, y): — 2 x 1,
(P)
3)	.
1.5.	Ji’ (3x - 1) (2y 4- 7)dxdy, (P) = {(x, y):-2 < x< 3,
<P)
-I^z/^2}.
1.6.	J J (3y— 4x) dxdy, (P) — {(x, у): 1 ^x<5, 2< z/s^ 6}.
(P)
1.7.	J J (2x4- 5 y) dx dy, бу ерда (P) co^a у == 1, у = 3, Зу =
(P)
— x — 5, Зу ~ x — 1 тугри чизицлар билан чегараланган.
1.8.	JJ(x2 4* У) dx dy, бу ерда (Р) со^а х — — 2, х = 4, у= 5х —
(Р)
— 1, у = 5х 4- 3 тугри чизиклар билан чегараланган.
1.9.	JJ (Зу— 2х) dx dy, бу ерда (Р) со^а у = —2, у = 4, у~
(Р)
= Зх — 2, у ~ Зх 4- 7 тугри чизиклар билан чегараланган.
Курсатма: ХаР бир мисолда тегишли интеграл йигиндини ту-
зиш учун цулай булган усул билан (Р) сохани (Р. 0 сохачаларга
ажратинг ва интеграл остидаги / (х, у) функция цийматини ихтиёрий,
аммо ^улаиликка эга булган М. k нуктада хисобланг.
18
II. К^уйидаги икки каррали интеграллар учун берилган соцада.
Дарбунинг бирор булинишга нисбати куйи s (/) ва юкрри S (/) ин-
теграл йигиндилари тузилсин. Сунгра куйи ва юкрри йигиндилар-
нинг п • оо даги лимита цисоблансин:
1.10.	(2 + 7у) dx dy, (Р) = {(х, у)'. х2 + У2<9, £/ > 0,	/ Зх}.
(Р)
1.11.	JJ у (5 — 4х) dx dy, (Р)~ {(х,у): — 1 х^ 5, 0^ у 3 }.
(*)
1.12.	Jj*(3x + by — 5) dxdy, (Р) = { (х, у)-. 1^х^7, 2 + x^z/<
< -Р)
<5-j-x}.
1.13.	JJ(7 —Ух2 + У2) dx dy, (Р) = { (х, у): 1 <х2 + у2 < 36,
(Р)
у>х, у > —х}.
2- §. Декарт координаталар системасида икки каррали
интегрални такрорий интегралга келтириш
Каррали интегралларни цисоблаш жараёнида улар аввал такро-
рий интегралга келтирилади. Бунда берилган интегрални хисоблаш
учун аввал ички, сунгра ташци интегрални зисоблаш лозим булади.
Ички ва ташци интегралларнинг интеграллаш чегараларини куйиш му-
Зим азамият касб этади. Бу эса берилган со^анинг шаклига ва уни
чегараловчи эгри чизикларга (сиртларга) бог лиц. Аксинча, агар бе-
рилган икки каррали интегралда интеграллаш тартиби ва интеграл-
лаш чегаралари курсатилган булса.'у цолда интеграллаш соцасини
Зам чизиш (тасвирлаш) мумкин.
Дуйида келтирилган мисолларда интеграллаш узгарувчилари туг-
ри бурчакли х, у декарт координаталаридан иборат. Ушбу
i J f (х, у) dx dy интеграл белгиси остидаги dx dy купайтма томон-
(>)
лари Ох ва Оу укларига параллел булган элементар тугри туртбур-
чакнинг (соцачанинг) юзини ифодалайди, яъни dS = dx dy. Шунинг
учун (Р) оддий соцани х = const (у = const) тугри чизицлар билан:
ажратиб икки каррали интегралнинг интеграллаш чегараларини ку-
ямиз.
6- МИСОЛ. f(x,y) dxdy, (Р)=5 (х, у): х2 + у2 у }, интег-
(Р)
ралда интеграллаш чегаралари икки хил тартибда куйилсин.
Ечиш. (Р) соца маркази М (0; 1/2) нуктада ва радиуси — га
тенг булган доирадан иборат:
х2 + («/—1/2)2<1/4.
Ташки интегрални х буйича интегралласак, доиранинг юзини Оу
га параллел тугри чизиклар ёрдамида булиб чикамиз. Энг четки чан
19-
х = — 1/2 ва унг х = + 1/2 тугри чизи^лар дойра айланасига ури-
ниб, шу уриниш нукталарида уни икки булакка (ярим айланага) аж-
ратади: AOD ярим айлана учун У = ~т>--------	----х2 ва ABD учун
эса у = 1/2 + V1/4 — %2.
Хрр бир х = с, с£[— 1/2; + 1/2] тугри чизик; аввало A0D ни
нуктада, сунгра ABD ни М.2 нуктада кесади. Олинган абс циссанинг
х = с киймати учун у узгарувчи ML нинг ординатасидан М2 нинг
«ординатасигача узгаради (5-чизма). Демак, [ —1/2; + 1/2] лар
учун у^ £1/2— )/1/4 — х2;'-^-+уД/4 — x2j булади ва берилган
икки каррали интеграл куйидаги такрорий интеграл куринишида ёзи-
.лади:
1/2	1/2 + V1 /4 -х2	-----
JdxJ f(x,y)dy, (Р)= £(х,у): —	Т~
—1/2	1 /2 — /1/4 —х2 
Иккинчи хил тартибда интеграллаш чегараларини ^уйиш учун
-энди дойра юзини Ох га параллел булган тугри чизиклар билан бу-
либ чикамиз (6- чизма). Бу тугри чизиклар ичида энг пастдагиси Ох
уки (у = 0) ва энг юкрридагиси у = 1 тугри чизиклардан иборат
булиб, улар дойра айланасига уриниш нуктасида уни икки ярим ай-
ланага ажратади. Демак интегралда у узгарувчи 0 дан 1 гача узга-
•;ради. \ар бир у = const (0<с <1) тугри чизик х2 + у2 = у айла-
нани аввало О АВ ёйнинг нуктасида, сунгра 0DB ёйнинг /V2
-нуктасида кесиб утади ва х узгарувчи. Nr нинг абсциссасидан Д/2
нинг абсциссасигача узгаради. О АВ да х = —у — у2, 0DB да х =
= уАу — у2. Шундай к;илиб, берилган икки каррали интеграл
20
7- чизма
1 Vy - у*
[J f (x, у) dxdy = J dy J f (x, y) dx,
(P)	0 —Vy — y1
(P)={(x,y): 0=0^1; — /У~У2^х^ j y — y2\
такрорий интеграл куринишида ^ам ёзилиши мумкин.
2л sinx
7-мисол. / = f dx f (x,y)dy такрорий интегралда интеграллаш
о о
тартиби узгартирилсин.
Ечиш, (Р) со^а х = 0, х = 2 л, у = О тугри чизикугар ва у =
= sinx эгри чизик, орасидаги ёпик. соха дир (7-чизма). Энди
2 л орали^да у = sin х функцияга тескари булган бир ^ийматли
функцияни аниклаймиз. Тригонометриядан тескари доиравий функ-
циялар хоссаларига асосан ^уйидагиларни хосил киламиз:
ОА нинг тенгламаси: х = arc sin у;
АВС нинг тенгламаси: х = л — arc sin у,
CD нинг тенгламаси: х = 2л + arc sin у.
Берилган интеграции иккита интеграл йигиндиси куринишида ёза-
миз:
Л sin х	2л sinx
J dxj f (х, у) dy 4- J dx J f(x,y)dy.
оо	л о
Иккинчи интеграл учун л^х^2л, sinx^y^O тенгсизликлар
уринли. Шу сабабли ордината у sinx^y^O ораликда усувчи. Энди
иккинчи интегралдаги ички интегрални ордината у усадиган орали^
буйича ёзиб оламиз:
Л sin х	2л Q
JdxJ f(x,y)dy—$ dxj f(x,y)dy.
ОС	л sin х
21
7-чизмадан куринадики,
(ОАВ) = {0 < у С I; arc sin у х < л — arc sin у\,
(BCD) = {— 1 с у =С 0; л — аге sin у < х sg 2 л + arc sin у\
Демак,
1	я—arc sin у	0 2я4-агс sin jf
I = $dy $f(x, y)dx -\dy\f(x, y) dx.
Q arc sin g	—1	я—arc s in у
1 x*t*	Ж 1 —	x*—3
8- мисол. Ушбу $ dx J f(x, у) dy J dx J f (x, y) dy такрорий
0	»	10
интеграллар йириндиоада интеграллаш тартиби узгартирилсин.
Ечиш. Берилган интеграл икки такрорий интеграл йигиндисидан
1	х‘/«	2	1 — /4х—х«—3
иборат: 7 = Д-}- /2; Ц = Jdx J f(x, y)dy, /3 = J dx J f(x, y)dy.
°	0	io
Шу интеграллар куринишидан равшанки, (Pj) ва (PJ соцалар цуйи-
даги куринишга эга:
(Рх) = (О^хс I; о^у<х2/5),
(Р3) = {1 х 2; 0 с У	1 — yz4 х — ха —-3}.
Бунда (Pi) — пастдан у = 0, юцоридан у3 — х* ярим кубик парабола,
чапдан х = 0, унгдан	х = 1 чизицлар билан чегараланган
эгри чизицли учбурчак, (Р2) эса пастдан у = 0, юцоридан мар-
кази М (2; 1) нуцтада, радиуси 1 га тенг булган (х — 2)2 + (у — I)2 =
= 1 айлананинг АС ёйи, чапдан х = 1, унгдан х = 2 чизицлар би-
лан чегараланган эгри чизицли учбурчак (8-чизма), Энди (P) = (Pj)U
U (Р2) соцани курамиз. Бу ерца пастдан у = О, юцоридан у — 1 го-
ризонтал чизицлари билан, чапдан у3 = х2 ярим кубик парабола,
унгдан (х — 2)2-f-(у—I)2 = 1 айлана ёйлари билан чегараланган
сохадир. Шунинг учун (Р) соцани Ох уцига параллел булган кесма-
лар билан цоплаб чиццанда yf [0; 1] ва х узгарувчи ярим кубик
параболанинг ОА даги нуцта абсциссаси х = у3/2 дан айлананинг АС
ёйвдаги нуцта абсциссаси х — 2 — у/2 у — у2 гача узгаради. Шун-
дай цилиб, (Р) = {(х, у): О С У < 1
у3/2 sg х sg 2 — У2 у — у2) булиб,
берилган такрорий интеграллар йи-
гиндиси куринишидаги интеграл ин-
теграллаш тартиби узгартирилганда
'	2 - У2у~уг'
битта ) dy С/ (х, у) dx такрорий интег-
0	^3/2
рал куринишида ёзилади.
М а ш ц л а р. 1. Берилган эгри
чизицлар билан чегараланган ёки
маълум шартлар билан берилган (Р)
22
со^а учун JJf (х, y)dxdy икки каррали интегралда интеграллаш чега-
<Р)
ралари икки хил тартибда к;уйилсин.
2.1.	у= 0, у = 3, у = х, у = х — 6.
2.2.	у = 1, 2у = х, 2у = 8 — х, у = 0.
2.3.	у = х, у = х + 3, у — 2 х, у = 2х — 3.
2.4.	у = х2, х — у + 2 = 0.
2.5.	х2 + У2 > 2а2, х2 + у2 2ах.
2.6.	у=2х — х2, у= — х.
2.7.	у = хг — 4 х, у = х.
2.8.	ху =4, У >	х2, у ^6.
2.9.	у 9 — х2, у >2 х2.
2.10.	у = х, У = 4 х, ху >4, у 8.
2.11.	у = х, у = 4х, ху^4, у sg6.
2.12.	у — -j/2 ах, х2 + у2 > 2 ах, х = 0, х = 2 а, у = 0.
2.13.	у = х2 — 4х, 2х — у = 5;
2.14.	у = ~^-х2, у = у/3 — х2 .OsSxsSl.
2.15.	ху == 9, х + У = Ю, 1 < У 3.
2.16.	z/2 + 8x= 16, у2 — 24х = 48.
2.17.	у^х2 + 4х, у = х + 4.
2.18.	у2 > х2 — 4 х, У^х, х > 1.
2.19.	у2 — Зх= 4, z/2 + 4x= 11.	_
2.20.	у2^6 + 3х, у2 ^8 — 4х, \у\ <./2.
II.	К,уйидаги икки каррали интегралда интеграллаш тартиби уз-
гартирилсин.
ю Igx
2.21.	[ dx § f(x,y)dy.
1 —Igx
3 Зх
2.22.	f dx J f (x, y) dy.
b x ______________
0	2 /x+l
8	2—х
j f(x,y)dy.
-2
1	2x2
2.24.	f dx § f (x, y) dy.
6 X2	_____
О 1/+4	2	2-f- V4—y2
2.25.	dy J f (x, y) dx + j dy f f {x, y) dx.
"4	° _	°	2-/4=F
6 Убу
2.26.	\dy J f(x,y)dx.
° V 6y-y‘
1 eV	2 e
2.27.	^dy J f(x, y)dx+ \dy f f(x, y)dx.
°	1 /ey
23
i
e 3ln у
2.28.	j* dy f f(x,y)dx.
6 in у
0	»+2	4 Y^y
2.29.	J dy f f(x, y)dx+ \ dy f f(x,y)dx.
-4	-2	6
2	Г16—j/2
2.30.	f dy j* f(x,y)dx.
d y’-4
1	4-x2
2.31.	f dx f f(x, y)dy.
—1 i2
2	1'4—x!
2.32.	dx f(x,y)dy.
6	2—x
a Ya2—x2
2.33.	J dx f f(x,y)dy.
° £»•-«
2 у Y3~
2.34.	[ dy f f(x,y)dx. '
о" У
0	/9—x2	3'	3—x
2.35.	J dx f f (x, y) dy + J dx f f (x, y) dy
—3	0	od

2.36.	J dy C j(x,y)dx.
°	vT
2	еУ *	4 e2
2.37.	dy f f (x, y) dx + dy f (x, y) ax.
Г e	2 eyl2
oo	i - /Г
2.38.	dx f (x, y)dy + dx j
-9“U+*)	—— G+x)
2	2
|	1/2 1T-A
2.39.	j dx J f(x,y)dy.
° Yi^x2
i	24
it '
— /3/2 Т + Р 1—х*	о	I
2.40.	J dx j* f(x,y)dy+ J dx f(x, y)dy.
~1	1/2	—/3/2	/1-№
4 VSx
2.41.	f dx j f(x,y)dy.
0	V4x—№
1	/ 3 —у2
2.42.	\dy f f(x, y)dx.
O" y«/2
3- §. Кутб координаталар системасида икки каррали
интегрални такрорий интегралга келтириш
Энди (г, <р) цутб координаталар системасида (Р) сохуни юзачалар-
га булишни куриб утамиз. Бу системада <р = const муносабат 0
цутбдан чициб цутб уцининг мусбат йуналиши билан (соат миллари
йуналишига кррама- карши йуналищда) ф бурчак ташкил этувчи нур-
лар оиласини тавсифлайди (0 ф 2 л). Ушбу г = const муносабат
эса маркази О кутбда ва радиуси г га тенг булган концентрик
айланалар оиласини тавсифлайди, унда равшанки, г > 0. Чизицлар-
нинг юуорида тавсифланган икки оиласи бутун текисликни юзачалар-
га булади (9-чизма). Хар бир юзача икки айлана (г = ги г = г2) ва
икки нур (ф = фь ф = Ф2) билан чегараланган булиб, уни юзи учун
A S = rd ф dr формула (юкрри тартибли чексиз кичик мивдорлар
ани^лигида) уринли. Агар икки каррали интегралда интеграллаш
узгарувчилари декарт координаталаридан иборат булса, унда (х,у)декарт
координаталарини (г, ф) цутб координаталарига х = г cos ф, у = г sin ф
формулалар буйича алмаштириш лозим. Шу алмаштириш натижасида
f f f(x, y)dxdy = [ f /(гсозф, г зшф)-г- dr dtp (1.19)
'('pj	(Pi)
формула хрсил булади. ({1] дан
XVI б., 4- §; [2] дан 18-6,
7-§ га к.). Бунда (Р,) соха цутб
координаталари ёрдамида тавсиф-
ланган (Р) со^анинг узи. Икки
каррали интегралларда узгарувчи-
ларни алмаштиришга оид мате-
риал 5-§ да берилган.
9- мисол. Кутб координата-
ларига утилганда интегралнинг
чегаралари узгармас бу лиши учун
ушбу f(x,y)dxdy интегралда
(Р)
(Р) соха к;андай булиши керак?
9- чизма
25
Ечиш. Юдорида айтиб утилган
Ф = const, г- const чизидлар оиласи-
дан куриниб турибдики, ф1 С ф < ф2,
Г1 < г < г2 шартларни даноат-
лантирувчи (Р) соха (10-чизма)
О (0,0) дан чиккан икки ф = фц
Ф = ф2 нур ва маркази О (0,0) да
булган концентрик г = г — г2
айланалар билан чегараланган бу-
лиши керак. Шу холда биз дуйи-
дагига эга буламиз:
 Фа
f J f (х, у) dx dy = j d ф j
'(/»)	Ф1 n
f (r cos ф, r sin ф) • r dr =
Г 2 Ф«
r dr f f(r cos Ф, r sin q)d ф.
Ф1
2 x /3	_______
10-мисол. Ушбу JtfxJ f(/x2 + y2)dy интегралда (г, ф) дутб
0 х
координаталарга утилсин, такрорий интегралда интегрэллаш чегара-
лари икки хил тартибда дуйилсин.
Ечиш. Интеграллаш сохаси (Р), равшанки, х = 0, х = 2, у = х,
у — j/^Зх тугри чизидлар билан чегараланган ОАВ учбурчакдан ибо-
рат (11-чизма). Бу тугри чизидларнинг (г, ф) системадаги тенглама-
ларини анидлаймиз:
11-чизма
О А учун у =х	яъни ф = л/4,
ОВ учун у = уЗ х, яъни ф = л/3>
АВ учун х = 2, яъни г = 2/созф
2
еки ф = arc cos — .
г
Ташки интегрални ф буйича
ёзиш учун (Р) содани О дутбдан
чиддан ф = const нурлар билан
тулдириб чидамиз ва у с ф -|-
эканлигини анидлаймиз. Бу нурлар-
нинг хар бирида (Р) сохага тегишли
нудталарнинг г радиус — вектори 0
(ноль) дан х = 2 тугри чизицнинг
А В кесмасидаги нудтанинг радиус—
вектори дийматигача узгаради, яъни
0 sg г 2/созф. Натижада берилган
интегрални дуйидагича ёзиш мумкин
булади:
26
я/3 2/созф
f dtp f f(r)-rdr.
к'ц о
Энди ички интегрални ф буйича
ёзиш талаб этилса, у з^олда таш^и
интеграл г буйича ёзилиши керак.
Шунинг учун (Р) соз^ани маркази
кутбда ва радиуси г = const булган
концентрик айланалар ёйлари билан
тулдириб чицамиз. г нинг энг ки-
ник циймати rj = 0 ва энг катта
циймати_г2 — 4 булади. Лекин г =
= 2 /2 (ОЛ = 2 / 2 ) айлана (Р)
соз^ни иккита (Рг) — ОАС доиравий
сектор ва (Р2) — АВС эгри чизидли
учбурчакларга ажратади (12-чизма).
Бу (Pj) ва (Р2) со^алар дуйидагича
тавсифланади:
л
4
(Л) = |(г,Ф):0 г < 2/2;
‘СфС
л )
3 )’
(Р2) = f(r, <р): 2 /1Г г с;4; arc cos — =Сф=С
I	7*	о
Шундай цилиб, берилган интеграл ташци интеграл г буйича ёзил-
ганда иккита такрорий интеграл йигиндиси куринишида ёзилади:
л	л
2/2~	з	4	з
[ г [ (г) dr dtp + j rf (г) dr J
6	Л	2/Г”
~~	•	аге
4
2V2~	4
= j rf(r)dr + j Q — arc cos
о	2 /2~
dtp =
2
COS
r
—) rf (r) dr.
Машщлар. Курсатнлган (P) co^a учун J f f(x,y)dxdy интеграл-
(p)
да дутб координаталаргг; (x = r cos ф, у — r sin ф) утиб, интеграллаш
чегаралари икки хил тартибда дуйилсин:
3.1.	(Р) = {(х,у):х2 + у2^2у}.
3.2.	(Р) = {(х, у): а2 х2 -R у2 ^Ь2, а > О, b > 0}.
3.3.	(Р) = {(х, у): (х2 + у2)2 = а2 (х2 - у2), х > 0}.
3.4.	(Р) со^а — х = 0, у=0, у = 1 — х тугри чизик;лар билан че-
гараланган учбурчак.
3.5.	(Р) соха х2 = ау, у = а (а > 0) чизидлар билан чегараланган.
3.6.	(Р) = {(х, у): 0 <; х С 1, х2 ;С у С х}.
3-7. (Р) = {(х, у}1:0	у 2, у ^х</3 */}.
3.8.	(Р) = {(х, у):0=Сх<2, О^у^/Зх}.
3.9.	(Р) = ((г, ф): г > 2 cos ф, г 4 cos ф}.
3.10.	(Р) = {(х, у): х2 + у2 4, х -4- у > 2}.
27
3.11.	(Р) = {(х у): х2 + У2 > 8, х2 + У2 «S 4х).
3.12.	(Р) = {(х, у) -.х2 + у2 > 18, х2 + у2 < 6 у].
3.13.	(Р) = {(х, у): х2 + У2 + 4х > 0, х2 + У2 + 8х < 0). 
3.14.	(Р) = {(х,у): х > у, х + У «5 6, у О].
3.15.	(P) = j(x,y): х2 + у2 ^4х, lyl^x}.
3.16.	(Р) — {(г,ф):г>2 sin ф, г 5 sin ф (1 чоракдаги цисми)}
3.17.	(Р) = {(х,у): х2 + у2 16, х2 + у2 > 4х|.
3.18.	(Р) = |(г,ф):г<;2 cos Зф, г > 1 (1 ва IV чоракдаги цисми)).
3.19.	(Р) = j(x,y) :х2 + У2 > х, х2 + У2 С 2х).
3.20.	(Р) = |(х,у):х2 + у2<4х, x2 + y2<2yj.
3.21.	(Р) = {(х,у):0^х^ 1, 2х^у<3х).
3.22.	(Р)= {(г,ф):г2=а2 sin 2ф (1 чоракдаги цисми)!.
3.23.	(Р) = {(г,ф): г > 2 + эшф, г 2 + созф}.
4- §.Икки каррали интегралларни х,исоблашга дойр мисоллар
— х2 — y2\dxdy икки каррали
Аниц интегралларни хисоблаш, умуман айтганда, кийин масала.
Бу интеграл остидаги функцияга хамда интеграллаш сохасига бог-
лиц. Агар интеграл остидаги функция булзкли — узлуксиз булса,
интегрални ^исоблаш яна кийинлашади. Биз шу параграфа учта
мисол келтирамиз, улардан кейинги иккитасида интеграл остидаги
функция булакли — узлуксиз булган хол курилади.
11-мисол. Ушбу
л'2 +
интеграл хцсоблансин.
Ечиш. Берилган интегралда модуль остидаги функцияни z (х, у)
деб белгилаймиз. Уни г = —— (х——(&—кУРинишДа
ёзиш мумкин. Бундан куринадики, z(x, у) функция (х, у, z) декарт
координаталар системасида учи А	, у j нуктада, уки эса
Ог га параллел булган параболоидни тасвирлайди. Параболоид Oz
укининг манфий йуналиши томон «кенгайиб» боради (13-чизма).
Энди г(х, у) функциянинг ишорасини текширамиз: а) агар (х —
> 2 \2 , /	-/2 \2	1	/ ч а „
----~ + у — — с Т тенгсизлик оажарилса, z (х, у) > 0 оула-
4/1	4 )	4
ди. Демак, (х, у) текисликдаги маркази 44. нуктада ва
радиусига тенг булган (Рг) дойра нинг барча нуцталарида |z(x,y)|=
= z(x, у) тенглик уринли. Шу билан бирга (Р0 нинг контурида z =
= 0 булади.
6) (-^ У) текисликнинг цолган кисмида z (х, у) < 0 ва | z (х, у) | =
= —z(x, у) тенглик уринли. Интеграллаш сохаси (Р) маркази
0(0, 0) да ва радиуси 1 га тенг булган доирадан иборат.
28
Равшанки, интеграл остидаги С.	.
у = х биссектриса га нисбатан симметрии. Шунинг учун интеграл-
иинг у > х со^адаги цийматини хисоблаб, 2 га купайтирсак, бе-
рилган интеграл кийматини топган буламиз. Энди интеграллаш со-
^асини чизамиз (14- чизма) ва (г, <р) кутб координаталарга утамиз:
z (х, у) функция z = г cos <р —	1 — г2
нинг контурида z == 0, демак,
---ва (Р) нинг контурвда
14-чизмадан куринадики,
= f(ф, f j ~- с Ф
функция ва интеграллаш со^аси (Р)
куринишда ёзилади. (Р})
кичик айлана тенгламаси г = cos (<р —
г = 1. булади.
— В со\ада z >
5л.
4 ’
«	* ч
4
л 3 л
: —<Ф< —
4	4
\ Зл
ф, rj : 7
да z<0
тенгсизликлар уринли. Берилган интегрални ушбу
I = 2 J z dx dy — 2 J z dx dy — 2 J z dx dy
(ONE)	(OENB)	(OBC)
куринишда ёзамиз ва унда цутб координаталарига угиб хисоблаймиз:
Зл	(	п \
—	cos ф---]
1	\	4 /	г /
л
о
cos( ф——) —г dr —
V 4 /
г2
29
Энди ^рсил булган йиншдидаги биринчи интегралда t = <р —
------ , иккинчи интегралда t — <р —— алмаштириш бажарамиз ва
4-----4
узил-кесил топамиз:
л
2/2	2
j р---|-cos t + -у sin-7 +
о
Дг COS4 t\dt =
з У
9л
ЙТ 
Шундай цилиб, берилган интеграл циймати — га тенг.
16
12-мисол. УшбуУ Ji/ [у—х2] dx dy
хг<у<4
икки каррали интеграл ^исо блан-
син, унда [у — х2] — ифод анинг
бутун цисмини (антьени) англа-
тади.
Ечиш. (Р) со^а (х, у) текис-
ликда у = х2 парабола ва у = 4
тугри чизик билан чегара ланган
со^адан иборат. Интеграл ости-
даги z (х, у) = -/[у — х2 ] функ-
ция (Р) со^ада булакли — узлук-
сиз. Унииг шу со^адаги циймат-
ларини аницлаймиз (15-чизма).
Равшанки,
30
a)	z (x, y) = 0, arap (x, y) £(PJ = I(x, y): x2^y< 1 + x2};
6)	z(x, y) = 1, arap (x, y) 6(P2) = |(x, y): 1 + x2^ у <2 + x2);
B)z(x,t/)=/2, arap (x, y) £(P3) = ((x, y): 2 + x2 < t/<3 + x2);
r)z(x,z/) =/3,arap (x, y)£(P^ = {(x, у): 3 + x2 у < 4).
^исобланаётган интеграл учта интеграл йигиндисига тенг, яъни
[Jdxdt/+ ff/2dx dy + J \y3~dxdy.
(>.)	('₽.)	-	(P.)
Бу интеграл миедор жи^атдан 16- чизмада курсатилган зинасимон
жисмнинг ^ажмига тенг. ^ар бир (Р,), i = 2, 3, 4 со^а Оу уда
нисбатан симметриклигини ва ff dx dy интеграл эса (Р.) соханинг
(Pi)
S{ юзига тенглигини назарда тутиб, бу юзларни даоблаб чидаиз
(равшанки, f J 0 dx dy — О, (PJ соханинг юзи S,):
(Pi)
1	4
s4= П</х dy=2 W
(Р4)	0 З+х2	6
53= JJ dx dy = 2 J dx j" dy — S4 =	;
(Ps)	0	2+x‘	3	6
Y O	4	, ' —
S2 = f f dx dy = 2 ( dx f dy — (s3 + S4 'i = 4 /Г —	•
(p\)	о Hx2 '	'	6
31
Шундай ^илиб, берилган интеграл ^иймати32 + V 253-гг"3 54 =
= -i- (4 4- 4 > 3 —31'2 j микдорга тенг.
13- мисол .Ушбу ) J sgn (х2—у2 + 2) dx dy икки каррали интег-
42-^2<4
рал ^исоблаНсин.
Ечиш. Интеграл остидаги функция Гбулакли — узлуксиз булиб,
х2— у2 4-2 = 0 эгри чизикда унинг кдймати аникланмаган. Шунинг
учун бу долда унинг кийматипи нолга тенг деб оламиз. Шунда бе-
рилган функция х2 — у2 4- 2 ифоданинг ихтиёрий кийматида анику
ланган булади:
z (х, у) = sgn (х2 — у2 4- 2) =
4- 1, агар х2 — г/2 4- 2 > 0,
О, агар х2 — г/2 4- 2 = О,
— 1, агар х2 — у2 4- 2 < 0.
Бу г(х, у) функциянинг графиги учта булакдан иборат булиб, z = О
булганда хОу текисликда у2 — х2 = 2 гипербола косил булади; z >
> 0 булганда z — sgH (х2 — г/2 4~ 2) тенглама у2 —х2 = 2 гипербо-
ланинг икки тармоги орасидаги хОу текисликнинг Ох у^ини уз
ичига олган ^исмига параллел булиб, Oz укини (0, 0,1) нуктада
кесиб утган текислик кисмини тасвирлайди; z < 0 булганда z =
= sgn (х2 — у2 4- 2) тенглама z = — 1 текисликнинг шундай кисми-
ни тасвирлайдики, унинг хОу текисликдаги проекцияси у2 — х2 = 2
гипербола билан чегараланиб, (у | > 3/ 2 тенгсизликни ^аноатланти-
ради.
(Р) соха Ох ва Оу ларга нисбатан симметрии ва z(x,y) функ-
ция узаро симметрии нукталарда бир хил кийматга эга; шунинг
учун интегрални х > 0, у > 0 булганда, яъни биринчи квадрантда
хисоблаймиз ва натижани 4, га купайтирамиз (17- чизма). Берилган
32
интеграл ^иймати 18- чизмада тасвирланган жисм ^ажмига тенг
Энди 17-чизмадаги белгиларга асосан ёзамиз:
J15gn (х2 — у2 + 2)dx dy = 4 (JJdx dy — JJdx dy) =
x2+y2<4	(P,)	(pa)
= 4(s — 2 JJdx dy),
(P,)
бу ерда S = л — радиуси 2 га тенг булган дойра чорагининг юзи ва
демак, I — 4л — 8 §\dxdy. Охирги интегрални ^исоблаш учун {РЛ
ни чегараловчи чизиклар тенгламасини ёзамиз: DA да у=у'4—х2
(айлана ёйи), В А да у =у 2х2 (гипербола ёйи), BD да х = 0, де-
мак,
(Р2) = {(х, У): 0 х < 1; /2 4 х2 у< у 4 — х2}.
Шундай килиб, берилган интеграл киймати учун узил-кесил топа-
миз:
1	Vz4—х2	__
4л — 8 f dx f dy — 8 In LixA. „
о /24-х2	12	3
Маш^лар. I. К,уйидаги икки каррали интеграллар ^исоблансин:
4Л. JJ (х — у) dx dy, бу ерда (Р) — учлари (1,1,), (4,1), (4.4)
(Р)
пукталарда булган учбурчак.
4.2.	J J у dx dy, бу ерда (Р)— у = Зх2, у =6 — Зх эгри чизик;-
(Р>
лар билан чегараланган со^а.
4.3	f Jx dx dy, бу ерда (Р) — х2 + У2 - 4х— 2у + 4 эгри чизик би-
(Р)
лан чегараланган соха,
4-4. Д (|х| + |у|) dx dy, (Р)= {(х, у): | х | + | УI < 1} •
4.5.	П In(1 + х2 + у2) dx dy, (Р) - ((х, у): х2 + у2 2}.
(Р)
а	/а2—х2
4.6.	f dxj yrx2 + y2dy.
О О
4.7.	JJ ху2 dx dy, бу ерда (Р)—у2 = 2 рх, х — р С»>0) чизиклар
(Г)
орасидаги сох,а:
2 1пу
4.8.	J dyj е3х dx.
1 о
3—390	33
4.9.	I sin j/"x2 + t/2 dx dy, (P) = {(x, у): л2 x2 + У2 < 4 л2}.
*(P)
4.10.	f f (x 4- y) dx dy, бу ерда (P) ~y2 = 2x, x + у =4,
(P)
x + у — 12 чизидлар билан чегараланган coxa;
4.11.	Н 2 х dx dy, 6v ерда (P)—учлари (—1; 4), (5; 4), (1; I),
<P>
(4; I) нукдаларда булган трапеция.
4.12.	П (х2 + У2) dx dy, (Р) — у = х2, у2 = х чизидлар орасидаги
(>)
сода.
4.13.	Пт/ 36 —х2 —у2 dx dy, (Р) = ((х, у)', х2 + у2 <6 xj.
(Р)
4.14.	f \-\ 'га2 ~ х2 — у2 dx dy, (Р) = {(х, у): х2 + у2 < а2, у 0}.
(Р>
4.15.	И Г5 — х2 — у2] dx dy, (Р)= {(х, у): х2 + у2 < 5).
(Р)
4.16.	П [2 х + у] dx dy, (Р)= {(х, г/):0<х<2, 0	<3).
<Р}
4.17.	П sgn(5x — у — 2) dx dy, (Р) = [(х, у)-. — 2<z/<4 — х2}.
(Р)
4.18.	f sgn (х2 + У2 — 4) dx dy, (Р) = |(х, у):)х]	3, |у|<4}.
(Р)
II.	Куйидаги чизидлар билан чегараланган шаклнинг ю зи S== £f, dx dy
формула буйича хисоблансип:
4.19.	х = О, у = 0, х = 2, у = ех.
4.20.	(х2 + у2)2 = 2 ах3, а>0.
4.21.	у—О, у = х, х2 + у2 = 2х.
4.22.	х2 + у2= 16, х2= 12 {у — 1).
4.23.	У = — х3, у = 4--------—х2.
3	3
4.24.	у = х2 — 2х + 3, у = Зх — 1.
4.25.	у = х2 — 2х + 3, у = 4 — 2х.
4.26.	у2 + 8х = 16, у2 — 2х = 48.
4.27.	у = х2 + 4х, у — х + 4.
4.28.	ху — 1, ху = 4, у2 — х, у2 ~ Зх.
34
I
(
J
J
Е
<1
Л
Л
У
4
5-§. Икки каррали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш
Купинча икки каррали интегралларни хисоблашда узгарувчиларни
алмаштириш тезро^ натижага олиб келади. Биз ^уйида зарур наза-
рий маълумотларни келтирамиз.
Иккита тугри бурчакли хОу ва uOv координаталар системаси
иккита текисликда берилган булсин ва (х, у) текисликда (Р) деб,
(и, v) текисликда эса (Д) деб белгиланган чегараланган ёпик соха-
лар олинган булсин (19-чизма). Узлуксиз на биринчи тартибли уз-
луксиз хусусий хосилаларга эта булган
х = х(и, а), 1
У=У(«, v) J	(	}
ва
и = и (х, у), 1
V = V (х, у) /
(1.21)
функциялар системаси (Р) ва (Д) сохалар орасида узаро бир киймат-
ли мослик урнатсин, дейлик. У хрлда I (и, v) =	0 бу-
D(,u v)
либ, куйидаги
И Ж У) dx dy = Jf f (х (и, v), у (и, v)). 11 (и, v) I du dv (1.22)
<Р)	(А)
узгарувчиларни алмаштириш формуласи урин ли. Бу форму ладан и =
= г, v = ф ва х = г cos ф, [у = г sin ф булганда 3- § даги (1.19)
формула келиб чи^ади.
(1.22) формулада I (и, и) якобианни хисоблаганда унинг
Р(х, у) =	1
D(u, v) Р(и, и)
Р{х, у)
тенгликлар билан ифодаланган хоссасидан фойдаланиш мумкин.
D (и, v) — 1
(1-23)
D(x, у) _
19- чизма
35
Агар каралаётган со^алар орасида узаро бир ^ийматли мослик
урнатилган булса, и, v сонларни (Р) со\а нуцталарининг координа-
талари (эгри чизикуш) деб аташади. и узгарувчига турли (барча жоиз)
узгармас и0 цийматлар бериб, (х, у) текисликда координата чизи^ла-
рининг оиласини ^осил циламиз. v узгарувчига турли (барча жоиз)
узгармас v0 ^ийматлар бериб, бош^а бир координата чизи^лари ои-
ласига эга буламиз.
(х, у) текисликдаги координата чизи^ларининг тури (и, v) текис-
ликдаги и = и0, v = о0 тугри чизиклар турининг аксидан иборат.
Келажакда мисолларни ечишда аввало координата чизи^ларининг
турини чизиб, сунгра эгри чизи^ли (и, v) координаталарнинг зарур
системасини тайинлаш цулай булади.
14-мисол. Узгарувчилар ^андай алмаштирилганда ху = 1, ху —
= 2, х — у 1 = О, х — у — 1=0 (х> 0, у > 0) чизиклар билан
чегараланган ABCD (20- чизма) эгри чизи^ли туртбурчак томонлари
янги координата у^ларига параллел булган тугри туртбурчакка акс-
ланади? ABCD эгри чизи^ли туртбурчак юзи топилсин.
Ечиш. (Р) соха (яъни ABCD эгри чизицли туртбурчак) ху = const
оилага тегишли иккита гипербола ва х — у = const оилага тегишли
иккита тугри чизик; £илан чегараланган. Янги эгри чизицли коорди-
наталарни и = ху, v — х — у деб оламиз. Параметрларнинг их = 1,
u2 = 2, Oj = — 1, у2 = 4- 1 ^ийматлари янги (и, v) координаталар
системасида Ou, Ov у^ларига параллел булган тугри чизицларни тас-
вирлайди. Натижада ABCD эгри чизикуш туртбурчак A1B1ClDl т"ут-
ри туртбурчакка аксланади (20-чизма). Энди алмаштириш якобиани-
ни хисоблаймиз:
Ци, 0) =	------L_ = _	1----
[ D(x, у) J	х + у	4 «
Энди янги координаталар буйича интеграллаш чегараларини куйиш
36
^ийин эмас. ABCD эгри чизи^ли туртбурчак юзи учун узил-кесил
топамиз:
-----—Ь 2 In (7/ 5 — 1) (юза бир.).
15- мисол. Ушбу у2=2 рх, у2 = 2 qx, х2 = 2 гу, х2 = 2 sy (О <С
<Lp<.q, О <r< s) чизи^лар билан чегараланган соха юзи S топил-
син.
Ечиш. Изланаётган S юз параболаларнинг икки тур оиласига те-
гишли чизиклар билан чегараланган. Бу параболалар оиласини ко-
ордината чизи^лари тури деб, уларнинг параметрларини янги (и, о)
о 2
эгри чизигуш координаталар деб ^абул киламиз, яъни и = —, v =
2 х
х->
= Бу алмаштириш натижасида (21-чизма) (Р) соха (яъни A BCD
эгри чизи^ли туртбурчак) ушбу (Д) = {р < и sc q, г <5 w s) тугри
бурчакли туртбурчакка аксланади. Алмаштириш якобианини хисоб-
лаймиз: 11 (и, v) ] = — . Энди изланган юза осонгина топилади:
3
S = -7 5 du du= 4 <Я — Р№ — Г)	(юза бир).
О D г
Куп мисолларда эгри чизик,ли координаталарнинг бир тури бул-
ган умумлаштирилган г, <р ^утб координаталар
х = а г cos“ <р, у = b г sin“ ф (г > 0)
(1-24)
37
формулалар ортали киритилади. Бу ерда а, Ь, а лар узгармас мик-
дорлар булиб, уларнинг киймати координата чизиклари оиласига бог-
лик; ^олда олинади. Шу (1.24) алмаштириш якобианини ^исоблаб
^уямиз:
— = a-а fr г cosa~ 1 ф-sin* ' ф.	(1-25)
D (г, <р)
2	2	2	2
— =	8 —= — (х>0, z/>0)
a b	а b
чизицлар билан чегараланган (Р) соха юзи ^исоблансин.
Ечиш. (Р) сохани чегараловчи эгри чизицлар иккита Гоилага те-
гишли, демак, юкоридаги мисолларда кулланилгап усул билан
2	3
3	2
U	X	( X \	! I U \
-2- =v—,	—	! I— —и
b	а	\ а )	\ b J
формулалар ёрдамида янги и, v узгарувчиларни киритса булади.
Лекин х = «гсоб3ф, y ^6rsin:4p (г > 0) формулалар ортали олин-
ган умумлаштирилган кутб координаталар масала ечишни осонлаш-
тиради. Керакли ^исоблашларии бажарамиз:
х \2/3	( у \2/3	,	,
—	+ —	=1 эгри чизикда г = 1;
а /	\Ь }
22-чизма
38
— —- = О тугри чизикда ф = л/4 ва 8 — = — тугри чизикда <р =
a b	'	а b
= arctg2, /(г, ф) = За & г cos2 <р sin2 ф. Шундай ^илиб, берилган
(Р) со\а ушбу
(Л) = ((г, ф): 1 С г С 8; л/4 < ф «у arc tg 2}
сохага аксланади (22-чизма). Энди изланаётган S юзни хисоблаш
кийин эмас:
8 arc tg2
S= ^dxdy = ^|/ (r,(p)\drd(p=3ab^rdr J соз2ф-51'п2фс?ф =
(P)	(A)	1	n/4
189 , I sin 4 <p \ |arc tg2
— — ab ф------------	=
16	\	4	/ [л/4
— — ab fare tg — + I (юза бир.).
TZ “	т?	s » 4tg<p(l ----------- tg 2 <p)	,
Курсатма. Ьиз юкорида ушбу зш4ф= —s-t-i--------------—— фор-
fl +tg2 <p)J
муладан фойдаландик.
17-мисол. Ушбу ff (х2y2~)dxdy интеграл хисоблапсип.
Ечиш. Интеграллаш сохаси (Р) = {(х, у): xi 4- г/4	1} Ох ва Оу
уцларига нисбатан симметрии ва интеграл остидаги f(x, у) функция
х ва у узгарувчиларга нисбатан жуфт функция. Шунинг учун х > О,
У > 0 сохада интеграллашни бажариб, чик^ан натижани 4 га купай-
тирамиз. Алмаштиришни
Х = Г У COS ф, у = Г j / sin ф , г > О
формулалар ёрдамида киритамиз,. Унда якобиан учун
1 (г, ф) = ~ г cos-1'2 ф.31П~1/2 ф
ифодага эга буламиз. Равшанки, (Р) сохада г < 1 ва унинг х > О,
У > 0 булган чорагида 0^ф^л/2 тенгсизликлар уринли. Шундай
килиб,
(А) = {(г, ф):0<^г < 1, 0<ф<^л/2).
Нихрят, берилган интегрални \исоблаймиз:
([(х2 4- У2) dx dy = 4 f [ г2 (cos ф + sin ф) |/ (г, ф)| • dr d ф =
,	(А)
1	Л/2
= 2 I r3dr f (cos ф 4- sin ф) cos-1^2 ф • sin-1/2 ф d ф =
о о
л/2	Л/2
] / •	] J2	1/2	р 1/2
= у) (ctg ф + tg ф)4/ф=| tg Ф^Ф =
б	О
2 cos л/4	у 2
39
Демак, берилган интеграл ^иймати —га тенг.
у 2
Маш к; л ар. 1. К,уйидаги мисолларни караётганда узгарувчилар-
ни алмаштириш усулидан фойдаланилсин:
3 , 3—у
5.1.	Ушбу j* dy j* f(x + y, x~y)dx интегралда янгии = х-ру,
°*	2— у
v = x—у узгарувчиларга утилсин.
5.2.	(Р) соха ху = 1, ху = 4, х — 2 у = 2, х — 2 у 1 = 0 (х > О,
у>0) чизиклар билан чегараланган. Ушбу а) \ \dxdy ва
(б
б)	j J (х— 2 у) dx dy интеграллар хисоблансин.
<р>	____ ___________
5.3.	Ушбу JJf+	) dxdy интеграл хисоблансин, бу
(Р)	'	_____ 
ерда (Р) соха х = 1, у = — 1,	= 1 чизиклар
билан чегараланган.
5.4.	(Р) соха х2/3 + у2'3 = а /3 астроида билан чегараланган. Ушбу
a) JJ xdxdy ва б) J x2dxdy интеграллар хисоблансин.
(Р)	(Р)
5.5.	Ушбу П xydxdy интеграл хисоблансин, бунда (Р) соха х2 — у,
(Р)
х2 = 2 у, у2 = х, у2 = 2х чизиклар билан чегараланган.
5.6.	Ушбу И/ху dxdy интеграл хисоблансин, унда (Р) соха +
2 4<₽>	.
+ —) = -£=- (х > О, у > 0) чизик билан чегараланган.
3 / у 6
II. В^уйидаги чизиклар билан чегараланган юза хисоблансин:
5.7.	+	= 4 (fl>0, &>0, ОО).
\ а2 Ь2 )	с’-
5.8.	(х + У)5 = 6 х2у2.
5.9.	4 + -Й2 = ^ + У2-
\а2 о2 ) .
5Ю (£zzjL2 + ^+-2)2	+
9	4	3 Г 2 •
5.11.	(-+4Г = 4хУ (а>0, &>0).
\а Ь ]	__
5.12.	(х2 + У2 ~~ ах)2 = °2 (*2 + У2) кардиоида билан х2 + У2 = аУ 1'Г3
айлана орасидаги юза.
5.13.	х3 + У3 = аху — Декарт япрогининг сиртмоги.
Г / * V''3 ! /' У V/3]6 — X2 ! У'1
5J4- Lw + W 1 ^Т2 + ¥-
5.15. ( - +-^-j3 = х1, У>о.
\а b) h2
40
5.16. (х2 + р2)2 = а (х3 — 3 ху2).
+/?->• /I+izf = 2-
-=-9 4- (х>0, у>0).
а Ь
5.18. ху = а2, ху = Ь2, х = ау, х = ру (х > О, у >О).
5.19. ху = а2, ху = Ь2, у2 ~ тх, у2 — пх
(0<Za<Zb, 0<m<;n).
6- §. Икки каррали интеграллар ёрдамида ^ажм
ва силлиц сирт юзаларини ^исоблаш
Икки каррали интеграллар турли масалаларни, айницса, геомет-
рик ва механик масалаларни ечишда кенг цулланилади. 5-§ да юза
^исоблашга дойр бир неча мисол курилган. Энди фазовий жисмнинг
Хажмини ва силлик сирт юзасини .\исоблашга дойр мисоллар кура-
миз. Икки каррали интеграл геометрик нуктаи назардан (х, у, z)
декарт координаталар системасида юцоридан z = f (х, у) сирт би-
лан ва цуйидан (х, у) текисликдаги (Р) текис шакл билан, ёнлари-
дан ясовчиси Oz у^ига параллел булган цилиндрик сирт билан че-
гараланган (V) жисмнинг (23- 7изма) ^ажмини англатади. Шунинг
учун тавсифланган хажм ушбу
V= ff f(x, у)dxdy	(1.26)
(Ф
икки каррали интеграл билан ёки узгарувчиларни алмаштириш нати-
жасида
23- чизма
24- чизма
41
интеграл билан ифодаланади. Биз аввал хажмларни хисоблашга оид
мисоллар ку рамиз.
.	,,	X \2/3	/ и \2/313	/ 2 \2
18-мисол. Куйидаги | —	+ —	+ — = 1 сирт билан
а )	\ b / J \ с /
чегараланган жисм хажми топилсин.
Ечиш. Берилган сирт тенгламаси х, у, z узгарувчилар урнига
— х, —у, —z ларни ^уйганда уз куринишини са^лайди. Демак, шу
сирт билан чегараланган фазовий жисм xOz, хОу, уОг координата
текисликларга нисбатан симметрик жойлашган (24- чизма). Шунинг
учун берилган жисм хажми V унинг биринчи октантдаги (х > О,
у > 0, z > 0) цисми хажмининг (уни деймиз) 8 бараварига тенг:
Масалани ечиш учун умумлаштирилган цутб координаталар сис-
темасидан фойдаланамиз. Бу хрлда маълумки,
х = ar cos3 ср, у = br sin3 ср, г > 0,
D- - — 3 abr cos2 <р - sin2 ф.
D(z, Ф)
(V\) ни юьрридан чегаралаб турган сиртнинг тенгламаси
/г\2	,	Г/х\2/3 ,	----2
— =1— —	+ —	, z=C)'l—г1
\с)	\ а /	\ Ь I J
куринишда булади; (Vj пастдан эса хОу (г = 0) текислик билан
чегараланган. Энди (V\) нинг хОу даги проекцияси, яъни (PJ сохани
чегараловчи эгри чнзикнинг янги (г, ф) системадаги тенгламаси z = 0
куринишга эга, бундан г = 1 келиб чикади.
Энди (Л) ва (А) со.^аларни ёзиш мумкин:
(	/ г \2/3	! U \2/3	1
(Л) = {(х, у) :х > 0; у > 0;	+ (J-j - 1},
(А) = {(г, ф): 0 < ф р л/2; 0 р г 1J.
Ни^оят, изланган хажмни хисоблаш мумкин:
У
т
н
с
J
J
3
V = 8 [Jz(x, у) dxdy = 8j^^\drd^ =
(Pi) *	(A)
П/2	*.	'	h
= 24 abc J cos2 ф sin2 ф d p 1 —r2 rdr = - - •
Шундай ^илиб, V = (куб. бир.)
19-мисол. Ушбу z2 xy(z > 0), ху =1, ху = 4, у2 == х, у2 =
= 3 х, z = 0 сиртлар билан чегараланган жисм х;ажми топилсин.
Ечиш. Жисм куйидан хОу (z = 0) текислик билан, юкоридан эса
г = ^ху конус сирти билан чегараланган. Ён томондан эса ясовчи-
лари Oz ут^ига параллел булган гиперболик {ху = с) цилиндрлар ва
параболик (у2 = тх) цилиндрлар билан чегараланган. Шунинг
42
учун (V) жиомнинг хОу даги (Р) проекцияси ABCD эгри чизицли
туртбурчак билан чегараланган сохадан иборат (25- чизма). Бу соха-
ни аналитик ифодалаш ноцулайликларга эга. Аммо уни ушбу ху =
= и, у2 = vx алмаштириш натижасида (А) сохага акслантироак, (А)
соцани аналитик ифодалаш осон булади (бу соха тугри туртбурчак-
дан иборат), яъни
(А) = {(и, у): I и <х: 4; 1 < у с 3}.
Алмаштириш якобиани учун 1 (и, у) = —
Энди изланган хажмни хисоблаймиз:
ифодага эгамиз.
Шундай
 4	з
СС г—	1 С Г dv __ U , „
V = Н/ ху dx dy = у у и du} —--------------------1п 3.
(Г)	f	'i
килиб, V = — In 3 (куб. бирл.).
20-мисол. Ушбу cz = xy, х2 +
4- у2 = ах, z = 0, у > 0 (а > 0, У
с>0) сиртлар билан чегараланган
жисм цажми топиДсин.
Ечиш. (У) жисм юцоридан сг =
= ху гиперболик параболоид билан,
пастдан хОу текислик билан ва
х1 + у2 = ах доиравий цилиндрик
сиртнинг биринчи октантдаги кисми
билан чегараланган. Равшанки, (V)
нинг хОу даги (Р) проекцияси (26-
чизма) цуйидагича
(Р) = {(*, У):0^х^а;
26- чизма
0 < У СТ ах —• х2 }
43
тавсифланади. Энди изланган .\ажмни ^исоблаш мумкин:
а	V ах — х2
V =	— dxdy = — \ xdx [ уdy =	.
J J С	с J J	24 с
(Г)	О	о
Демак,
V = —
24 с
(куб. бирл.)
Маш^лар. Куйидаги сиртлар билан чегараланган ^ажмлар то-
пилсин:
6.1.	2 = 9 — у2 — цилиндр, координата текисликлари ва 3 х + 4 У -=
= 12 (у > 0) — текислик.
6.2.	2 = In х, 2 = In у — цилиндрлар ва z = 0, х + у==2е(х^1)
текисликлар.
6.3.	х2 + у2 = 2х, х2 + у2 = 2у — цилиндрлар ваг = 0, z = х + 2у
текисликлар.
6.4.	х2 + у2 = х, х2 + у2 = 2х — цилиндрлар, z = х\+ У2 парабо-
лоид ва х + у — 0, х — у = 0, г = 0 текисликлар.
6.5.	х2 + у2 + z2 = а2, (х2 4- у2)2 = а2 (х3 — у2).
6.6.	— + — — 1, У == — х, у = 0, 2 = 0, х > 0.
а2 с2	а
6.8.	/- + ^У+-=1,	=	г/>0, 2>О.
\ а Ь) с2	\ а b / а
6.9.	х> 0, у> 0, г >0.
6.10.	2 = х2у, у2 = а2 — 2 ах, у2 = т2 + 2тх, у = О,
2=0 (а > 0, т > 0).
6.11.	2 = 5 ху, у2 = 2 х, у2 = 3 х, х2 = у, х2 = 2 у, 2 = 0.
а2 b2 с a2 b2 а b
6.13.	+	+	p'|2/3 + (|j2/3=i, 2=o.
а2 b2 с	\а ) \b J
6.14.	2 =- — (х2 + у2), х2 + у2=^2ах, 2 = 0 (а > С).
2 а
6.15.	2 = х2-+^-, х2 + у2 = 8у, 2 = 0.
4
6.16.	2 = X2 + у2 + 1, 2 = 0, х = 0, у = 0, х = 4, у = 4.
6.17.	2 +у = 2, 2 = 0, у = X2.
6.18.	у = pzx , у—2угх, х + г = 6, 2 = 0.
6.19.	Зг = у2, х2 + У2 — 4, 2 = 0.
44
6.20.	х2 + у2 = 3 z, х + 2 = 6.
6.21.	У^ + ]/~+У^=\, х>0, у^О, z^O.
6.22.	z — Зх, г = 0, у = 2х— х2, у = —х.
6.23.	г = 2 х3, г = 0, у =х2, у = V 3—х2 , 0<^х<^1.
6.24.	z = 2 + х, г = 0, у2 + 8х= 16, у2 — 24х = 48.
Энди икки каррали интеграл ёрдамида силли^ сирт юзларини ^и-
соблаш билан шурулланамиз.
(S) сиртнинг тенгламаси ошкор z = / (х, у) курин ишда берилган
булсин. Бу сиртнинг хОу даги проекцияси юзини ^исоблаб буладиган
(квадратланувчи) (D) соха булиб, бу со^анинг ^ар бир ну^тасида
z = / (х, у) функция узлуксиз р = — , q - - — хусусий хосилаларга
дх ду
эга булсин. У хрлда бу (S) силли^ сиртнинг юзи
AV + /AV dxdy (1.28)
, дх ) \ду I
формула ёрдамида хисобланади. Биз куйида тенгламаси ошкор z =
= f (х> У) куринишда берилган силли^ сирт юзини ^исоблашга оид
мисоллар курамиз.
21-мисол. Ушбу (х + у)2 + 2 = 1 сиртнинг биринчи октантдаги
(х > 0, у > 0, з > 0. х2 + у2 -|- г2 ¥= С) ^исмининг юзи ^исоблансин.
Ечиш. Берилган сирт параболик цилиндр булиб, унинг энг ю^о-
S = jj/1 + р2 -ф dxdy = i /
(О)	(Ь)
45
рида (Ог уди буйича) жойлашган ясовчиси х + у = 0 текислик билан
z = 1 текисликнинг кесишиш чизигидан иборат. Сирт Ог удининг
манфий йуналишига дараб «кенгайиб» боради (27-чизма) ва хОу те-
кисликни х 4- у — ± 1 иккита тугри чизид буйлаб кесиб утади.
Бизга керакли (D) сода биринчи квадрантда жойлашган булиб, уни
(D) = {(х, у): 0 < х < 1; 0 у < 1 — х) куринишда ёзиш мумкин. Бу
27-чизмада ОАС учбурчакдан иборат.
Энди z = 1—(x-J-y)2 куринишдаги ошкор тенгламадан г'х—гу —
— 2 (х + у) хусусий досилаларни топиб, S = [ f y' l + 8 (х -г у)2 dxdy
(D)
интеграл билан ифодаланадиган си л лик; сирт юзини дисоблаймиз,
Янги узгарувчнларни х — г cos3 <р, у = г sin2 <р, г > 0 (бу дол
учун I (г, <р) = 2 г cos <р sin ф) куринишда умумлаштирилган дутб
координаталари ёрдамида киритиб, (D) сода А ОАС ни (г, ф) текис-
ликдаги (А)= ^(г, ф):0<ф< —; 0с1 j соната акслантирамиз.
Энди изланаётган юзни топиш дийин эмас:
Л/2	1
S = 2 j* <з!ф J г cosф sin ф ф 1 + 8г2 dr = 13/12.
о о
Шундай дилиб, S = 13/12 (юз бирл.)
22- мисол. Ушбу------ — =2г сиртнинг----г — = 1 цилиндр ичи-
а Ь	а2 Ь2
даги дисмининг (г > О дол учун) юзи топилсин.
Ечиш. Берилган------— = 2 г сирт гиперболик параболоиддир.
а b
У хОу текислик билан У == ± х тугри чизидлар буйлаб кеси-
шади ва г > О дийматлар учун сиртнинг хОу даги проекцияси \у\
V — I х | шартни даноатлантирувчи текислик дисмвдан иборат. Ци-
а	X2 и2
линдрик сирт эса хОу текисликдан — -J- — = 1, г = 0 тенгламалар
билан тавсифланадиган эллипсни ажратади. Шундай дилиб, юзи из-
ланаётган сирт .дисмининг хОу даги (D) проекцияси ODAC ва
ODxAiC1 шакллардир (28-чизма). Берилган сирт куринишидан ва 28-чиз-
мадан куриниб турибдики, изланаётган юзани дисоблаш учун унинг
чорагини unj дисэблаб, 4 га купайтириш етарли, яъни ушбу
s-4Hi/i+5+#
I. (ОАС)
икки каррали интегрални дисэблаш лозим. Бу интегрални дисоблаш
учун дутб координаталарга утамиз:
х = ar cos ф, у — br sin ф, / (г, ф) = abr, 0.
46
Узгарувчиларни шундай алмаштирсак, эллипс учун г=1, у —-
= |/_Lx, тугри чизик. учун ср = arctgj/ dL тенгламани хрсил ки-
ламиз. Шундай цилиб, (х, у) текисликдаги ОАС соха (г, ф) текис-
ликдаги	__
(А) = {(г, ф): 0 ф arctg	0 г 1}
соуага аксланади. Энди юкрридаги интеграл учун интеграллаш чеп-
раларини хуямиз ва хисоблаймиз:
arctg у 1______________
S = 4 ab\ _ d Ф )/ 1 + г2 rdr =
о	6
=	(2 /2" — 1) arctg ]/tL.
Шундай цилиб, S = —~ (2 / 2 — 1) arctg ]/ (кв. бир.)
23- мисол. Ушбу у2 -|- г2 = х2
сирт юзасидан х2 = ау сирт цапдай
юзали цисмини аэрратади?
Ечиш. Топиш керак булган юза
у- + г2 = х2 доиравий конус сирт-
нинг цисмидан иборат. Бу конус
сирт (х, у) текислик билан у = + х
тугри чизицлар буйлаб кесишади,
унинг симметрия у^и Ох укидир.
х2 = ау цилиндрик сиртнинг ясов-
чилари Ог уцига параллел ва (х, у)
текисликдаги йуналтирувчиси х2=ау
параболадан иборат. Демак, интег-
раллаш сохаси (Р) иккита симметрии
47
OBDO ва OACO булаклардан иборат. Бу со^алар [устада эса конус
сиртининг (х, у) текисликка нисбатан симметрии жойлашган г > О
ва Zs^O тенгсизликлар билан тавсифланадиган кисмлари бор. Шу-
нинг учун изланган юзани ущбу
S = 4 ff Z1 + (4)2 + (ZP2 dxdy
{OB DO)
формула ёрдамида ^соблаш мумкин (29-чизма).	______
Берилган конус сиртининг изланаётган юзи учун z ==у/ х2 4- У2
__________________________________________ 2х
ва хусусий .уосилаларни .уисоблаб, у 1 4~ р2 4* Я2 =	---- ИФ0'
У х2 — у2
дани топамиз. 29-чизмадан куринадики,
(Р) = {(х, у):0уК«; У < x^y'ay j.
Энди изланаётган юзани ^исоблаш ^ийин эмас:
а Уау
5=4 у/ 2 j dy J
о У
х dx
у X2 — у2
5 = -^= (кв. бирл.
Шундай килиб,
Машк л ар. К,уйида курсатилган сиртларнинг юзлари топилсин.
6.25.	у2 г2 = х2 сиртнинг х2 — у2 = а2 — цилиндр ва у = ± Ь —
текисликлар билан ажратилган ^исми,
6.26.	г2 = 4х сиртнинг у2 = 4х— цилиндр вах=1 —текислик
билан ажратилган ^исми.
6.27.	(х2 + у2)3/2 4-2=1 сиртнинг z — 0 текислик билан ажратилган
ь;исми.
6.28.	х24~ У2 == ± ах цилиндрларнинг х24~ У2 4~ г2 = а2 шар ичида-
ги цисми.
6.29.	(х 4- у)2 4- 2.Z2 = 2 а2 цилиндрик сиртнинг 1-октантдаги цисми
(х > О, у > О, z > 0, х2 4- У2 4- 22 Ф 0).
6.30.	(х2 4~ У2)г = х 4- у сиртнинг 1 ^х2 4~ У2 4, х >0, у > 0 со-
.уадаги кисми.
6.31.	az = ху гиперболик параболоид сиртининг (х2 + у2)2 — 2 а2ху
цилиндр ичидаги ^исми. _	_
6.32.	г2 = 2ху конус сиртнинг у 4-	У>0, z=0,
х2 4- у2 ф 0, а> 0 Ь > 0 со^адаги цисми.
6.33.	За = 2(х>'лх 4- у У у ) сиртнинг х = 0, у = 0, х 4- У — 1 те-
кисликлар орасцда жойлашган кисми.
6.34.	г = у/Гх2-\-у2 конус сиртнинг х24~У2==2х цилиндр ичида,
жойлашган ^исми.
48
6.35.	х2 + У2 = 2 az параболоид сиртининг (х2 + у2)2 = 2 а2 ху (а > 0)
цилиндрик сирт ичида жойлашган ^исми.
6.36.	az = ху гиперболик параболоид сиртининг Х2 + У2 = п2 (а>0)
цилиндр ичида жойлашган ^исми.
6.37.	(— + — 'j +	= 1 сиртнинг х == 0, у = 0, z = 0 коорди-
\ a b ) с
ната текисликлар орасида жойлашган ^исми.
6.38.	z2 = 2ху конус сиртнинг х-}~ у = \, х = 0, у = 0 текисликлар
орасида жойлашган ^исми.
6.39.	г=-^-(х2— у2) гиперболик параболоид сиртининг (х2 + у2)2 =
— х2 — у2 цилиндр ичида жойлашган ^исми.
6.40.	z = у х2 + у2 ва х 4- 2г = а сиртлар билан чегараланган жисм-
нинг тула сирти (а>0).
6.41.	— + — + — =1 (а, Ь, О 0) сиртнинг 1- октантдаги цисми.
а Ь с
6.42.	х2 + у2 + z2 = R2 сфера сиртининг (х2 + у2)2 = R2 (х2 — у2) ци-
линдр ичидаги ь^исми.
6.43.	х2 + у2 = 6г сиртнинг (х2 + у2)2 = 9(х2— у2) цилиндр ичидаги
^исми.
„ л л X2 . у2 п	/ X2 , у2 \2 X2 у2
6.44.	= 2г сиртнинг------------------—— =-----------------цилиндр
а b	Н \ а2 Ь2 } а2 Ь2
ичидаги ь^исми.
6.45.	г2 = 4х сиртнинг у2 = 4х, х = 1 сиртлар. билан ажратилган
ь^исми.
7- §. Икки каррали интеграллар ёрдамида
механикага оид .масалаларни ечиш
Мазкур параграфда икки каррали интеграллар ёрдамида берилган
бнр жинсли пластинканинг массаси, огирлик марказини, маълум эгри
чизидлар билан чегараланган юзанинг координата уцларига нисбатан
инерция моментларини топишга оид мисоллар курилади.
24-мисол. Ушбу (х2 + у2)2 = 2а2ху (х > 0, у>0) эгри чизи^
билан чегараланган бир жинсли пластинканинг огирлик маркази то-
пилсин.
Ечиш. Механикйдан маълумки, бир жинсли пластинка огирлик
марказининг координаталарини ушбу
(1.29>
х0 =— JJ рх dxdy,
(S)
Уо = ff руdxdy
(S)
форму лалар буйича ^исобланади. (1.29) фор му лада мицдор
М — JJ р dx dy.	(1.30).
(S)
4—390
49>
(S) пластинка массасини, р эса хар бир нуцтадаги масса зичлиги-
ни англатади. Бир жинсли пластинка учун р = 1 деб цабул ^илин-
ган.
Курилаётган мисол учун интеграллаш сохаси у = х биссектрисага
нисбатан симметрии булган лемнискатанинг битта япрогидан иборат.
Шунинг учун у0 =х0. Энди (х0, уй) огирлик марказини топиш учун
кутб координаталарига утамиз: х = г cos <р, у = г sin <р, г > О, бунда
якобиан учун I (г, <р) = г ифодага эгамиз. Лемниската тенгламаси
г2 = a2sin2q) куринишга эга ва интеграллаш сохаси хутб координа-
таларда цуйидагича ёзилади:
(5) = \(г, <р): 0 С (р С л/2; О С г С a j sin 2(р } .
Энди пластинка массасини хисоблаймиз:
рЛ/2 г.а у stn 2 ©
о о
И их оят, бундан фойдаланиб (1.29) формулалар буйича огирлик
маркази координаталарини топамиз (бизнинг холда х0 = yfJ):
2 Г*31/2 . Са /sin 2<р
^о==ло = “1 “Ф	г2- созфаг==
о о
4/Т [л/г . з/ 5/2 ,	2-/Г Г (5/4) Г (7/4) па
3J	3	8
Шундай цилиб, пластинканинг огирлик маркази
нуцтада жойлашган.
25-мисол. Ушбу ау = х2, х + у = 2а (а>0) чизиклар билан че-
гараланган бир жинсли пластинканинг огирлик маркази топилсин.
Ечиш. Пластинка бир жинсли булгани учун р= 1 булади. Из-
ланган огирлик марказини топиш учун аввалги мисолда келтирилган
30- чизма
(1.29) ва (1.30) формулалардан фой-
даланамиз. (5) парабола ва тугри
чизих билан чегараланган со^а
(30-чизма). Шу (5) сэхани топиш
учун
( ау = х2,
| х + у = 2а
системадан абсциссаси энг кичик
булган А га абсциссаси энг катта
булган В нукталарпи топамиз. Шу
нукталар учун х. = —2а, хв~а.
Энди (S) сохани ёзиш мумкин:
50
{X“	I
(х, у)-.—2а С Xs? а; — ^t/*S2a— хк
а	' J
Ни^оят, пластинка массасини ва огирлик маркази координаталарини
топамиз:
а 2а—х
Г»	Q
М = I dx I dy = — аI 2;
—2а
а
а	2а—х
хп = I xdx I	dy = — —;
0	9а3 J J	2
—2a хг
a
Уо =
a	2а—х	о
,>	р	8a
- dx\ ydy = у.
—2a х2
а
,	I a 8a \
Шундай цилиб, огирлик маркази--------; — нуктада жойлашган.
\	2	5 /
26-мисол. Ушбу г = а (1 + cos ср) кардиоида билан чегараланган
юзанинг Ох ва Оу уцларига нисбатан 1Х ва /у инерция моментлари
топилсин (зичлиги р = 1 деб царалсин).
Ечиш. Берилган юзанинг Ох ва Оу уц лари га нисбатан инерция
моментлари мос равишда
= f f р у2 dx dy, Iy = ([ р х2 dxdy
(S)	(S)
формулалар ёрдамида топилади. .
К,утб координаталар системасида цуйидагига эгамиз:
(1-31)
(S)
Энди инерция моментларини ^исоблаймиз:
Л	0(1+ COS <р) л
0
С sin2 — cos10 — d ф =
J 2	2
о
Г
= 32a4 —
Г (7)
a(l+cos <р)
I у = j cos2 ср d (p f
—Л	6
21 я а4 .
32 ’
a(l+cos <р)
С г3 dr — I
= 8a4j cos8 у d ср — Ix =
о
= 8a4 Г(1/2) Г(9/2) __у = 49 ла4
Г (5)	х 32
51
27-мисол. Ушбу ху = а2, ху = 2а2, х = 2у, 2х = у (х2>0,у^>0)
чизицлар билан чегараланган юзанинг Ох ва Оу уцларига нисбатан
/х ва 1у инерция моментлари топилсин (р = 1).
Ечиш. (S) юза шундайки-(31-чизма), мисолни ечишда эгри чи-
зицли координаталар тезроц натижага олиб келади. Узгарувчиларни
^уйидагича алмаштирамиз: ху = и, — = v, бунда I (и, v) = —.
х	2v
Юцоридаги алмаштиришдан х =	, у = y'uv ифодаларни то-
памиз. Натижада интеграллаш со^аси (S) янги (SJ:
(Sj) = ^(u, v): а2 и ;С 2а2; у С и С 2j
со^ага аксланади.
Аввало (S) со^а у = х биссектрисага нисбатан симметрии, шу-
нинг учун 1Х = /у булади. Энди инерция моментларини топамиз:
•	2а2	2 ,	1	р	.	f	.	9а4 /г = — I udu I dv —	; х	2	J	J	8 а2	*/2 2а‘	2 .	1 р , р dv	9а4 7 = — I udu I — =	. у	2 J	J V2	8 а2	*/2
Демак,	= / = —• х у	8
Машцлар. ^уйидзги мисолларни ечинг (р = 1 деб олинган).
7.1.----(-— = !> г/> О чизиклар билан чегараланган пластинка-
а2 Ь2
нинг огирлик маркази топилсин.
52
7.2.	xi + y2 = R, y = +tga-x, x>0 (a — уткир бурчак) доиравий
секторнинг огирлик маркази топилсин.
7.3.	х2/з + у~!з = а2/з, х > 0, у > 0 муносабатлар билан ани^ланган
со^а шаклидаги пластинка огирлик маркази топилсин.
7.4.	г2 = a2cos 2 ср (унг япрок) эгри чизиц билан чегараланган плас-
тинканинг огирлик маркази топилсин.
7.5.	у=а-\--, у = 2х, х = 0 чизицлар билан чегараланган юза
а
учун Ох ва Оу уцларига нисбатан инерция моментлари топилсин.
7.6. х2 + у2 = а2, х > 0, у > 0 тенгсизликлар билан ани^ланган со^а
шаклидаги пластинка учун 1Х, 1у инерция моментлари топилсин.
7,7 у2 = 4х -J- 4 ва у2 = — 2х + 4 чизицлар билан чегараланган
пластинканинг огирлик маркази
Х~
7.8-----(- — = 1 эгри чизиц билан
а2 Ь2
топилсин.
чегараланган юза учун 1Л, 1у
инерция моментлари топилсин.
7.9.	~ = 1, у + у = 1, у = О чизицлар билан чегараланган
юза учун 1Х, 1У лар топилсин.
7.10.	(х2 + у2)2 = а2 (х2— у2) эгри чизик, билан чегараланган юза
учун цутб момента топилсин.
Эслатма. Т^утб момента ушбу
10 = [И*2 + У2) dx dy
(S)
формула ёрдамида хисобланади.
7.11.	х2-гуг<16, х>2/3 тенгсизликлар билан аницланадиган
пластинканинг (доиравий сегментнинг) огирлик маркази топилсин.
7.12.	ху — 1, ху = 2, у = 2х, х = 2у чизиклар билан чегараланган
юза учун Ох ва Оу укларга нисбатан инерция моментлари то-
пилсин.
7.13.	Агар 1^х2 + у2<4 доиравий халцанинг хар бир нуцтасидаги
масса зичлиги р = х2у2 формула билан аницланса, унинг массаси
топилсин.
7.14.	х2ф-у2^2х доиранинг (р -- 1) цутб момента топилсин.
7.15.	Агар у = х2 — 4х, \у = х [чизиклар билан чегараланган плас-
тинканинг хар Вир нуцтасидаги масса зичлиги р = х + у фор-
мула билан аницланса, шу пластинка огирлик маркази топилсин.
7.16.	ху — 4, у = у х2, у = 6 (у > — x2j чизиклар билан чегара-
ланган пластинканинг огирлик маркази топилсин; шу плас-
тинканинг хар бир нуцтаси учун р=5хф-3 деб олинсин.
7.17.	у2 — Зх + 4 ва у2 + 4х = 11 (у > 0) чизиклар билан чегара-
ланган пластинка массаси топилсин, шу пластинканинг хар бир
нуцтаси учун р = у деб олинсин.
7.18.	Иккита <р = 0 ва <р = л нурлар хамда г = а<р. О^ср^л Ар-
химед спирали ёйи билан чегараланган пластинканинг огирлик
маркази топилсин.
53
7.19.	у = х®, х + У = 2, х = 0 билан чегараланган пластинканинг
огирлик маркази топилсин.
К,уйидаги 7.20—7.24 мисолларда пластинканинг чегарасини аник-
ловчи чизиклар берилган. >\ар бир пластиканинг огирлик маркази
топилсин:
7.20.	х = а (/ —sint), у = а (1 — cos/), 0 «S t < 2 л, у = 0.
7.21.	х2 + у2 = а2, —+ -^ = 1, х = 0, х> 0, у > 0.
а2 62
7.22.	г = а (1 + cos ср).
7.23.	г — asin 2 ср, 0 <р л/2.
7.24.	г = ]/2 , r = 2sin<p, лД^хС—
7.25.	ау = 2ах — х2, у = 0 чизиклар билан чегараланган юза учун
I х ва 1у инерция моментлари топилсин.
7 ОС (X — З)2 , {у + 2)2 х , у
7.2о. —-------1------—= y-f-y чизиц билан чегараланган пластин-
канинг огирлик маркази топилсин.
7.27. х + у = 4, у = 0,5-х2 чизиклар билан чегараланган пластин-
канинг огирлик маркази топилсин.
54
II боб
УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
8- §. Уч каррали интегрални таърифи буйича хисоблаш
Мазкур бобдаги мисолларни урганиш ва машкларни ечиш учун
[1] китобдан XVIII бобни урганиб чициш лозим.
Биз уч каррали интегралнинг Риман таърифини (яъни Риман ин-
теграли таърифини) келтириш билан чегараланамиз.
Бирор фазовий (V) сохада узлуксиз f (х, у, z) функция берилган
булсин. Бу сохани уч хил силлиц (булакли — силлик) сиртлар тури
ёрдамида чекли сондаги (масалан, т.п.р та)
(V,.,,), (^л,2). • • •- ОЛл.Д ^2,1.1)- (W • • • - 0W- • • •.
0W-- (Кп.п.,)- (Vm,„,2).... ,(vm,„.p)
фазовий сохачаларга ажратамиз; уларнинг хажмларини мос равишда
V(. . k(i = l,m, j = l,n, k = l,p) деб белгилаймиз. Исталган j
сохачадан ихтиёрий М. . k нукта оламиз, функциянинг шу нуцтада-
ги циймати f (М. . k) билан мос со.уачани Viij:k хажмини узаро ку-
пайтирамиз:
-П/.»	(2-о
ва барча <т( микдорларни хар бир i,j,k индекслар буйича (мос
равищда 1 дан т гача, 1 дан п гача, 1 дан р гача) жамлаб f (х, у, z)
функция учун (V) со^адаги (Риман маъносидаги)
т п р
о (т, п, р)|= У У V f (Mi. j.k)  vi, i.k	(2-2)
1 = 1 /=! *=1
уч каррали интеграл йи.-индини тузамиз. Сунгра	собача
d (1Л . k) диаметрларининг энг каттасини А = max d (У; k) деб бгл-
гнлаймиз. Агар А сон нолга интилса, равшанки, т, п, р сонлар чек-
сизга интилади. Тескариси, умуман айтганда, тугри эмас. (2.2) ин-
теграл йигиндининг Д->-0 даги чекли лимити, яъни
limo (т, п, р) = lim о (т, п, р)
Д->0	т->оо
п->оо
р ->00
сон f (х,у, £) функциянинг (Р) сэ^а буйича олинган уч каррали (Ри-
ман маъно^чпаги) интеграли дейилади ва ушбу
55
Щ f (x, y, z) dv = Щ f (x, y, z) dx dy dz (2.3)
символ билан белгиланади.
Биз (V) соцани куриладиган мисолларда шундай (1/1-1,-л) со^ача-
ларга буламизки, натижада А -> 0 да албатта т оо, п -> оо, /?—>-оо
булади. 'Шунинг учун мисолларда g (tn, п, р) нинг т->оо, п->оо,
/?->оо даги уч каррали лимитини ^исоблаш етарли булади.
К,айд цилиб утамизки, агар f (х, у, z) функция (И) со^ада учала
х, у, г аргумента буйича (a, b, с) g (V) нуктада узлуксиз булса, у
^олда ушбу lim f (х, у, г) уч каррали лимит учун
х->о
у-^ь
Z-+C
6 та lim	[lim	(lim	f (x, у, г))], . . ., lim [lim	(lim f	(x, y, z))]
x->a	y->b	z-*c	z->c y-+b	x—>a
такрорий лимитлар мавжуд ва улар узаро тенг булади.
/ (х, у, z) функциянинг тузилишига цараб уч каррали лимит учта
оддий лимитлар купайтмасига тенг булиб цолиши ^ам мумкин. Ма-
салан, узлуксиз f (х, у, z) = ср (x)-g (y)-v (z) функция учун
lim f (х, у, z) = lim <р (%)• lim g (у)-lim v(z)
х-+а	х-->а	y->b	г->с
у->ь
г->с
тенгликка эгамиз. Бу хоссалардан lim о (п, т, р) уч каррали ли-
П->00
т-+<х>
р-нх>
мигни ^исоблашда фойдаланамиз.
Юкрридаги (2.2) формулгда учрайдиган (1А м) со^ачанинг ^аж-
мини ^исоблаш учун биз уч долни куриб чикамиз: (V) со^а уч хил:
1) сферик (г, ср, 0); 2) цилиндрик (г, ф, г); 3) декарт (х, у, г) коор-
динаталари системасидан бирида тавсифланган булиши мумкин.
1-^ол. Геометриядан маълумки, (32-чизма) шар секторининг
2 л Р2 h
^ажми V =---------— формула билан хисобланади, бу ерда ОА = 7?,
BD = h, zLAOB = a, h = R (1 — cos а) (32-чизма). Демак, шар
^ажми V унинг радиуси В ва сектор ук кесимидаги 2- АОВ = а бур-
чакка боглиц, яъни
У =	(1 — cosa).	(2.4)
Энди иккита сферик сиртлар ва уц кесимидаги бурчак 2 а га тенг
булган конус сирти орасидаги жисмнинг V* хажмини топамиз (33-
чизма):
= 2	(1 — cos а), ОАг =
У2 =------— (1 —cosa), ОА2 = /?2;	(2.5)
3
56
33- чизма
V* = V, —	~ (1 - cos а) (/?з —
Сферик (г, ср, 0) координаталарга утиш учун х = г cos 0-cos ф, у =
= гсо50-5Шф, z = rsinO (34-чизма) формулалардан 'фойдаланамиз.
34-чизмадан куриниб турибдики,
Z— xON = ф, О ф < 2 л; /— NOM - О,
п	п
— -^0^-; CW = г, 0^г< + оо.
2	2
Бу (г, ф, 0) системада г = const тенглама сферик сиртни, ф = ф0 тенг-
лама xOz текислиги билан ф0 бурчак ташкил этган ярим текисликни
ва 0 = Оо тенглама эса учи О (0, 0, 0) да булган ва ясовчилари хОу
текислиги билан 00 бурчак ташкил этган доиравий конус сиртини
57
деб (33-ва 34-чизмаларга д.), кейинги хиеоблашларда
l/A = 2^(i_Sine).(7?3-/?3)	(2.6)
з
формуладан фойдаланамиз.
Энди иккита г = г = /?2 сфера, иккита ср = <рх, ср — <р2 (Аф =
= <р2 — > 0) ярим текислик ва 0 — const конус сирт (35- чизма)
билан чегараланган V3 дгжмни топиш кергк булсин. Бу У3 нинг
диймати А ф га пропорционал ва
у3= — -Аф = - (1 — sin 0) (7?23-/?з)-Аф	(2.7)
2 л	3
формула билан дисобланади.
Иккита г = A?i, г = R2 сфера, иккита ф = фъ ф = Ф2 ярим те-
кислик ва 0 = 0], 0 = 02 (А 0 = 02 - 0, > 0) иккита конус ораси-
даги А V дажмни (36-чизма) топамиз:
А V = V3 (0^) - V3 (02) = | (/?? - RD А ф [(1—sin 0;) - (1—sin 02)] =
= у -А ф-(/?3 —R3^)  (sin 02 —sin GJ—
= | А ф (R2 - (Rl + R,R2 + RD  sin . cos ^±£1
ёки
AV = -| Сг?22 + /?17?2 + ^)-со5-^г-±^.зш^.Аф А7?. (2.8)
Мисоллар ечишда элементар (И ( j k) содачанинг (г, ф, 0) координата-
лар системасидаги дажмини (2.8) формула оркали ёзамиз.
2-дол. (х, у, я) фазодаги М (х, у, z) нуцтанинг цилиндрик ко-
ординаталари (г, ф, z) булиб, (х, у, z) лар билан цуйидагича боглан-
ган (37-чизма):
58
х = r cos ср, у = г sin ср, г = z,
бу ерда
ON = г, 0 < г <Z + 00; < xON = ф, О С ф С 2 я,
NM = г, —оо < г <Z + 00.
Цилиндрик (г, ф, г) координаталар системасида г=г0 тенглама уци
Ог, радиуси г0 га тенг, ясовчилари Ог га параллел булган цилин-
дрик сиртни, ф = ф0 тенглама Ог укдан утувчи ва хОг текислик би-
лан ф0 бурчак ташкил этган ярим текисликни ва г = z0 тенглама
эса (х, у) текисликка параллел ва ундан г0 масофада утувчи текис-
ликни тасвирлайди.
Ушбу иккита г = гг, г = г2 цилиндрик сирт, иккита ф = фъ
Ф = ф2 ярим текислик ва иккита z = zlt z=z2 текислик орасидаги
AV хажмни ^исоблаймиз (г1<г2, ф!<ф2, zi<z2)-
Икки каррали интегралларни таърифга асосан хисоблаганда ABCD
шакл (38-чизма) юзаси учун SABCD = — (г2— гf) • А ф формулани чи-
царган эдик, бу ерда Дф = ф2 —фг
А V ^ажм эса 8ЛВС[)—асос юзи билан MN = А г = z2 — г{ ба-
ландлик купайтмасига тенг, яъни А V = ± (г2 — г?) • А ф • А г, ёки
А г = г2 — десак, ушбу
А V = у (fj + г2) • А ф- А г • Д г	(2.9)
форму лага эга буламиз.
З-^о л. хуг декарт координаталар системасида xt х х2, у^
У	У 2, zi z z2 тугри бурчакли параллелепипед берилган бул-
син. Унинг учта томони (39-чизма)
MN = х2 — Х! = Дх, PN — у2 — ух = А у, PPr = z2 — zr=\z
59
булиб, изл анаётган A V хажм эса уларнинг купайтмасига тенг була-
ди:
A V =FA х-А у-A z.	(2.Ю)
Энди ^ар бир хол учун мисоллар ку рамиз.
1-мисол. Ушбу (’I’C у dV уч каррали интеграл таъриф буйича
“(И
Хисоблансин, бунда (V) соха иккита х2 + у2 + z2 = а2, х2 + У2 +
+ z2 = Ь2 сфера, иккита z2 = tg20!-(x2 + у2), z2 = tg202-(x2 + у2) ко-
нус сирт ва иккита у = tgcpj-x, у = tgrp2-x ярим текислик билан
чегараланган булиб, z>0, 0<Za<Zb, 0х <С 02, ф!<ф2 тенгсизлик-
лар уринли.
Ечиш. (V) соха г = а, г = b сфералар, 0 = 0!, 0 = 02 конуслар
ва ф = фь ф = ф2 ярим текисликлар билан чегараланган. Берилган
(V) соцани (V, A) (i— 1,т, j = 1,п, k — 1,р) сохачаларга ажрата-
миз. Бунинг учун: 1) маркази О (0, 0, 0) да булган ва г = rz, гг- =
= a-f- —а i	тенгламали (т—1) та сферик сирт (сфера-
лар); 2) учи О (0, 0, 0) да булган (р — 1) та 0 = 0л, 0А = 0j +
+ ——--k (k— 1,р) тенгламали конус сиртлар; 3) Ог увидан утув-
чи (и — 1) та ф = фу, фу = ф1 + -ф2 -  — - / (/= 1,п) тенгламали ярим
текисликлар^утказиб, бутун (V) соцани т-п-р та (V{. л) сохачалар-
га булиб чицамиз. (Vf  k) собача нуцталари учун цуйидаги шартлар
бажарилади:
Г,-! Г Гг-,_фу—! < ф< фу, 0*-1 ^0^0*
(z = 1,т,' j = 1,п, k = 1,р).
Эслатиб утамизки, г = г0 = а, г = гт = Ь, ф = ф0 = ф1( ф = ф„=ф2,
0 = 0О = 0Ъ 0 = 0р = 02 тенгламалар берилган сиртлар тенгламаси-
дан иборат.
Юцоридаги (2.8) формулага асосан (У(. j k) сохачанинг хажмини
ёзамиз:
vi,h k = f + V.-i + rLi) •cos	• sin ~ • А ф  A r
o	z	z
(бу ерда A 0 = 0£ — 0ft_1( А ф = <py — фу-j, A r = rz — п-^ ёки
АП 02 ----- 01 A	<₽2 - <P1 A b — a\ ,,
A 0 = —-----А ф = ———, Ar—---------------- . Интеграл оствдаги
p	n	m j
f (x, y, z) = у функцияни (IA  k) сохачанинг исталган нуцтасида, ма-
салан хуйидаги сферик
,	Ь — а	.	,	<₽2 — <Pi • п г, ,02	— 01
Г[ = а Ч-----t,	фу = ф! +	АЗ—/, 0Й	= 0! + ------1 k
п	т	р
координаталарга эга булган М. . k нуцтасида ^исоблаймиз:
f = (а+ /Ar)-sin (ф1 + /-Дф) со5 (0] + fe-A0).
60
Интеграл йигиндининг умумий хадини ёзамиз:
= (а + i А г)-sin (<рх 4- / А ф) -cos (0t 4-&-А0)-	(r\ 4- г.г._\ +
и
। о \ л 0& ~h ®'г___1	• А 9 л а
+ Н ,)-cos———sin-------------Дф-Аг =
‘-1	2	2
= (а + i А г)-sin (<₽! 4- А <р- /)-cos (0j + k-А 0) — [(а + IА г)2 4-
3
4~ (а 4~ / А г) (а 4~ (/ — 1) А г) 4~ (а 4~ (/ — 1) А г)2] х
4Z _ 20! + (2*—1) Д0 .	Д0 .	.
X cos - - v-----------sin----А <р • А г =
2	2
— (а 4- i A r)-sin (срх 4- /•A<p)-cos (0j4- k-А 0)-— [За2 +
3
4- За-A г (2/— 1) 4- А г2 (З/2 — 3/ 4- l)]cos 4- 2fe~1 А о) х
• д0 л л
X sin ——А <р • А г.
Нихоят, интеграл йигиндини тузамиз:
tn п р
0 = 0 (m, п, Р) = 2 2 2 f i- ’ V‘-i- *
i=i /=i а=1
ва уч каррали йигинди остидаги ифоданинг куринишига к,араб (бу
мисолда купайтма долида булгани. учун ва i, j, k ларга нисбатан
ажратиш мумкин булганлиги учун), уни
а = | (а 4- i А г) [За2 4- Заг (2t — 1) + А г2 (3i2 —
П	р
— 3/4- 1)]- А г - sin (ф! 4- А<р-/)-Аф - sincos (0t 4-
/=1 ,
4- k-А 0)-cos	А
2
яъни учта йигиндини ст — — <Va(p,a9 купайтма куринишида ёзиш
3
мумкин. Шунинг учун уч каррали лимитни хисоблаш учун ушбу
2
lim о = — lim о • lim о • lim о„	(2.11)
Зг	ф	и	'	'
т->оо п—>оо	р—>оо
П—> оо
р-* оо
содда формуладан фойдаланамиз.
61
Бунинг учун аг, оф, о0 йириндиларни ^исоблашда 1-бобда кел-
тирилган (1.5) — (1.12) формулалардан фойдаланиб А г, Аф, АО лар
А г = А ф =	А 0 = каби
т	п	р
аницланишини эътиборга оламиз. Энди аг, аф ва о0 лар учун бирин-
кетин ифодалар топиб, уларнипг мое равишда т -> оо, оо, р-^оо
да лимитларини хисоблаймиз:
о>= V [За34-За2-Аг-(Зг —l) + a-Ar2 (9i2 — 6г 4-1) 4-
i=i
4- А г3 (3i3 — Зг2 + г)] • А г = {за3т + За2 • А г • 2~*~^~Р т 4-
д г2 г 9„/п (^Н^Р	+ щ] +
[	6	2 J
4- А г3 Г 3• т2 (/п+1)2 — 3• т (т+ (2zn + 4-
[4	6
4- т (т2+‘ф-Аг = (Ь - а)-Ы3 + За2 (Ь - а)	+
4- а (Ь — а)2 -1— 11 4—'j (2 4—'j —• 3 fl 4—'j-1--1 4-
4-(&-a)3-[|fl +1'f-TL	+	(2 + 11 +y~2 ( 1 + 1)]);
[ 4 \ mJ 2m \ m J \ mJ 2m2 \	mJ J)
lim ar = (b — a) [За3 4~.3а2 (b — a)- A 4- a (b — a)2 • 3 4- (b—a)3 • — 1 =
m->co	L	2	4 J
=	. 3 (a3 + a3b +ab3 + b3) = - (&4 — a4).
4	4
n
lim a = lim V sin (ф! 4- / • А ф) • А ф =
n—>00	11—>OO
/=1
. п-Д <p . /	n4- 1	)
sin—------sin <pi + —-—A<p
= lim----->-----------2------------------ • А ф =
, n~+co	A (p
(A <p->0)	Sin —
= 2.lim -A*/2—sin ?-(<P2--<Pi)_.sin /ф1 + (" + 0 (Ф»-Ф1П =
n-^<x> sin Д <p/2	2n	\	2n	J
(A <p ->0)
— 2 sin <Рз~<Р1-5ш(ф1 +	(ф2 — фо] = 2sin • sin фг+Ф1.
£	\	£	j	£	£
= COS (Pi —COS(p2-
p
a0 = sin -A?-cos (Oj 4- & -A 0)-cos
fc=i
ex+ 2-AO =
2 J
62
1 . Д0
— sin —
2	2
4k — 1
2
де
cos-----
2
1	ле г де . vi /г.а ле ,	* л\1
= — sin — • р • cos-cos 2 0,-----------г 2k • А 0 =
2	2 Г 2	\	1	2	/]
k = 1
'	! р \	/ д е ₽+1
, ЛА	ЛА sin -^.2Дв -cos 201- —+-^.2Д0
2
fi ле sin де'2 г ле ,
lim о„ = hm 1----------------• \р • cos--------4
р—»оо	р—>оо 12 2 де 2 L 2
<де -»oi
/ле	п
sin(p-A0)-cosl2 61 —+ (р+1) Л в) (
sin де	ле
де
i,v ге, —61 де ,
= — • 1 • lim —------- • р • cos-Н
4	р—>оо L Р	2
+ sin (02 - 02) cos (2 0j— 4А+ (и-1) (02 - 9;))
= у — 0j + sin (02 — 0,) • cos (0, + 02)j =
= у [2 (0.2— 01) 4-.sin 2 02 — sin2 0J.
Чшдан натижаларни (2.11) га цуйиб, узил-кесил топамиз:
2 3	'1
limo(m, п, р) = -- — (&4 — а1) (созф!—cos<p2)—[2 (02 —
т-+оо	3	4	8
п—>оо
р—>ов
— 0i) + sin 2 02 — sin2 0J
= — (&1— a4)(cos<pi~cosjip,) [2 (02 — 0j) + sin2 02 —sin20J.
16
Уч каррали лимитнинг бу киймати берилган ydV уч каррали ин-
“(V)
теграл ^ийматидан иборат.
2-мисол. Ушбу fl’J xW уч каррали интеграл таъриф буйича
(VI
хисоблансин, бунда (И) со^а иккита № 4- У2 = а2, х2 + У2 =& ци-
линдр, иккита у = tga-x, у — tg Р • х ярим текислик ва иккита z=с,
z — d текислик билан чегараланган (0 <а<b, 0<a<P, c<d).
Ечиш. Цчтинцрлх (г, ф, z) коэрдииагалар системасида масала
шартидаги цилиндрлар тенгламаси г = а, г = Ь, ярим текисликлар
63

тенгламаси ср = а, Ф = Р, нихоят, текисликлар тенгламаси z = с,
z~d каби ёзилади, Цилиндрлар учун Ог уци симметрия уци, г=с,
z = d текисликлар эса (х, у) текислигига параллел. Энди интеграл
йигиндини тузиш ^а^ида. Биз хуйида (V) соха ни (Vij k) сохачалар-
га шундай буламизки, аввало i = 1,п, / = 1,п, /г = 1,п (яъни тп —
= п. = р), цолаверса, А -> 0 да п -> оо булади ва аксинча, п оо
да А О булади. Бу ^олда (И) со^а п? та (V.. k) собачаларга бу-
линади. Бу иш хуйидагича амалга оширилади: 1) г = а ва г = b ци-
.	,6 — а . ~	,
линдрлар орасига \п — 1) та г = гг-, г(- = а -i еки г,- = а +
п
Ц-i Ar ^бу ерда Аг =	, /=1,п— 1) цилиндрларни жойлаш-
тирамиз;
2)	<р = а, ф = Р ярим текисликлар орасидан эса (гг— 1) та ф = ф/г,
фь = а + ~ю• k, ёки ф& = а + ^- Аф [бу ерда Аф = -——, k =
	 п	\	п
= 1,п — 1) ярим текисликлар утказамиз;
3)	нихоят, г = с ва г = d текисликлар орасига уларга параллел бул-
d________________________________с
ган (п — 1) та г = zjt г, = с 4----/, ёки г, = с + j • А я (бу ер-
п
* _ d — с .	.----г\
да A Z =-----, / = 1 ,п— 1 текисликлар чизамиз.
п	/
Хдр бир (И, j А) сохачадаги нукдалар учун хуйидаги шартлар ба-
жарилади: г._х < г < гр <рк_1 < ср < срk, z._x < z < z., бу ерда i =
= 1,п, k= 1,п, j = 1,п.
(1А . k) сохачанинг Ц. . k хажми (2.9) формула ортали хис°бла-
нади:
vi,i, k А ф-А г-Az (rt + r^,) = уАф-Аг-Ая [2а-фА г (2i—1)] =
= ^а+ Ar- 2>2~- j Аф-А z-Ar.
Интеграл остидаги f (х, у, г) = № функция (г, ф, z) системада /(Л4)=
= r2cos2 ф = у г2 (1 4- соз2ф) куринишда ёзилади. Энди (V. .^ k) со-
Хачадан ихтиёрий М. . k (г., cpk, z.) иу^тани олиб, шу нуцтада функ-
ция хийматини хис°блаймиз: / (А4.;. fc) = r2t (1 + со52фй) ва ин-
теграл йигиндининг о. у k- хадини ёзамиз:
°i,i, k~ f	i,k> ’ ^c, j, k =
I	/	2i__1 \
— — r? (14- cos 2ф^)-Аф-Аг-Аг-а4-^г —— •
2	\	!
4 •»
Энди интеграл йигиндининг узил- кесил ифодасини топиш мумкин:
64
4=1 j=t fe=t
К	П	П
=уУ] (a + Ar"v~1) r«- Лг‘2 A2’S +cos2<p*) Лф-
<=i	15i
Равшанки, бу йиринди о (п) = -~ ®гоф-о2 куринишда ёзилган. Шу
сабабли ушбу lim а (п) лимитни
П—>СО
lim а (я) = — limor-limo -lima2	(2.12\
п~~>ао	2 п^со п—>оо п~»ао	/
формула ёрдамида дисоблаш мумкин.| Бунинг учун дуйидагича сод?
да дисоб-китобларни олиб борамиз:
1) аг= V ('а+Дг.^АИа+Ar-i)2-Ar =
9г ___ 1 \
\ (а2 + 2аЬ А г 4- i2 А г2) А г =
п
2 Ar (3i — -^4-а-Аг2 (3i2 —0+
+ - А г3- (2i3 — г2)] А г = [па3 4- a2-t=^ • [3и-^+2).
2	4	. I • п I 2
п._Ll_i_ а: (ь~а)2 [з ” <” + 1) (2я+1)	« (»+1)1 
2]’г я2	6	2 J
(Ь — а)3 _ Г я2 (я 4- I)2__1_ _ я (я 4-1) (2я4-1) 11. Ь—а
я3 [	4	2	6 Jj я
6
= (6-О) |о"+о’ (6-0) 14 (l + 4-4-1 +
L 2 \	Я /	2Я J
4- а ф~а}3\~ /'14-1W24-1)—^-(14--)14-
[ 2 V п) \ я/	2я\	п]\
4- (Ь-а)3 Гу (1 4- -Г~
. 4 \ я/
lim а, = (й — а) а3 4- — а2 (Ь — а) + а (Ь — а)2 4-
П-^>00	_	2
4-— (6 —а)3] = - (b-a) (a3 + a2b + ab2 + b3) =
4	J 4
= | (b*-a*)-,
5—390
65
2)
lim
ф
П—ЮО Y
= lim
П—*<х
П
*=l
4-cos2 tpfe) • A <p =
= lim
n—>oo
I o sin n-Дф-cos 2 a-}-------------2Дф
= lim л •	+------------\--------2-------
n->co Ln	sin Д <p
— lim |д — a 4——sin (0—-a)-cos (2a4- f 1 + — )(P —a)
n-+CD L	sin Дф	\	\ n J
<Дф->0)
= ₽ — a 4- 1 - sin (p — a)-cos (a4~P)=P —a + y (sin 2{3 —
3)
— sin 2 a);
n
lim oz = limV A z ==
£ л1
П~+оо	П—
/=!
= Um (n-Д г) = lim /п- ——] ~ d — c.
П—>OC	Я-**О \	fl /
Ни^оят, lim ar, lim <т ва lim a2 лар учун ю^орида топилган ифо-
fl—>CO М-+ОО	П-*ОС
даларни (2.12) га ^уйиб узил-кесил топамиз:
lim ст (л) — — (Ь4 — а4) /р —а^-— /sin 2 а — sin 2	• (d —с).
П->оо	8	1Д /	2 V	/ ’
Бу мивдор берилган JfJ х2 dV уч каррали интеграл цийматидан ибо-
(Ю
рат-
3- мисол. Ушбу f f f (Ах2 4- Dyz) dx dy dz уч каррали интеграл
W
таъриф буйича ^исоблансин, бунда
(!/) = {(%, у, z) -.dx <	< У < Ь2, Су С z < с2) ~ параллелепипед.
Ечиш. (У) сохани олдинги мисолдагидек л3 та сохачаларга (шун-
дай буламизки, л—>оо да А->0 булсин) буламиз. Бунинг учун
(*, У\ (У^ z) ва (z> %) координата текисликларига параллел булган
z = z., г. ==с. 4-^^i ^=ТГл; А2 = ^^-'|; j
х = х., х.—ауА-——— !	(/ = 1,п; Ах = ———
11	п	\	Г1 ;
У = yk, yk = bi + b-1—^1- 'k (k = l,n-, Ay = bi
n	\	nJ.
текисликлар утказамиз.	.
66
Хосил булган хар бир (1Л f k) с охача учун
*/-> < X < Хг yk_, ^y^yk, z._, Сz Z,.
шартлар бажарилади ва у нинг хажми (2.10) форму лага асосан
V<,/. к = ^x-\y-\z
формула ёрдамида топилади.
Интеграл остидаги / (х, у, z) =Ax2+Dyz функция ^ийматини ихтиёрий
(х;., yk, zz) нукдада хисоблаймиз:
f(v У*- z/) =Axj + Dyk-z{.
Сунгра натижани V). . k хажмга купайтириб, интеграл йигиндини (уч
каррали йигиндини) тузамиз:
°w = 2 2 i +Dyk ziiау Az =
/=i i=i k=\
= 2 2 2 И(а1+^-/)2 + ^(У1 + АУ^)(С1'+
J=l i=l fe=l
+ Az • i)] Ах Ay Az.
Бу йигиндини х.исоблаш учун олдин k индекс, кейин i индекс буйи-
ча хадларни цушиб чикамиз:
i—\ (=1
nA (at + Ах • /)2 + D (q + Az • i) (nbj 4- Ay x
x —jj-Ax Ay Az =	(at + Ax-/)2 Ц-
-f- Dj\-n + Az- -w—Ц j • Г bL n + Ay- W~W-g~&У ^2-
Энди Ax Ay Az = ————Ell ифода махражидаги n3 ни
n3
йигинди белгиси остига киритиб, п3 га ^искартирамиз, кейин / ин-
декс буйича йигиндини хисоблаймиз:
п
a(n) = (a2 —ai)(b2 —bi)(c2 —cj- VJ * (ai + 2arAx-/ -}-
/=i
+ Ax2-/2>| + -(c1 + Az- l+I-W^+Ay-^tlYU
/ n (	2 / \	2 J]
= (da —Oi)(b2 —di)(c2 —cj • [—[па/Ч-го!- - ~-ai • n(n + ° +
I n L	n 2
i Й’з — ai)3 n (n + 1) (2ч + 1) ] । D /	, c2 — Cj ч+1)/л ,
+	i-----J+ "• 7Г1 + ------------) Г+
+	= («г — Oi)(&2 — bl) (c2 — C1)• (21 [a| +
п 2 /J
67
4-	— а\) fl Н—) + (^2 — ai)2' “fl	—-11 + D[X +
+ VM1 Ч)]'!6*+^ ('Ч Ж
Энди п -> оо да а (п) нинг лимитини топамиз:
lim ст (п) = (а2 — aj (b2 — bj (с2 — с,) • |А • [а2 + th (а2 — aj +
П-+оо	[
+ (а2 - а,)2 • -L] + D •	+ у (б2 - Ь,)] • [С1 4- ~ (с2 - <\	=
= (а2 — а>) (Ь2 — Ьг) (с2 — Cj)• jy Л (а2 + а1а2 + <$ +	(6j 4-
4- b2) (с. + с2)] = | А (аз - сз) (6г _ bi) (С2 _ с,) 4- ± D (б2 -
-&2)(с|-ф (a2 —<Zj).
Топилган мицдор берилган J J (Ах2 + Dyz) dx dy dz уч каррали ин-
ей»
теграл цийматидан иборат.
Машк лар. ^уйидаги уч каррали интеграллар курсатнлган соха
учун таъриф буйича хисоблансин.
8.1.	JJJ x-dV, бу ерда (V) соха
<ю
х2 + у2 + Z2 = 1, х2 + у2 + г2 = 9, х2 + у2 = у г2, х2 + у2 = г2
(х > 0, г/ > О, Z > 0)
сиртлар билан чегараланган.
8.2.	JJJ zdV, бу ерда (V) соха
(К)
х2 -f- у2 + г2 < 16, х2 4- у2 < 3 г2, х < 0, у > 0, z > О
шартлар билан берилган.
8.3.	JJj + № dx dy dz, бу ерда (V) соха
(V)
х2 4- У2 + г2 = 4, х2 + у2 = 4- z2, х = 0, у = — Жз • х (г > 0)
О
сиртлар билан чегараланган.
8-4. Ш + у2 4- z2 -dV, бу ерда (У) соха
"(И
х2 4- у2 = г2, х2 4- у2 = у , г2, х2 4- У2 4- z2 = 1,
х2 4- у2 4- г2 = 16,* у = 0, х = 0 (г > 0)
сиртлар билан чегараланган.
8.5. J (J (3 у 4- 4) dx dy dz, бу ерда (И) соха
(V)
68
х2 + У2 + z2 = 9, у = х, у = -— у'3-х, х2 4- у2 = г2,
х2 4- у2 = 3 z2 (z > 0)
сиртлар билан чегараланган.
Навбатдаги (8.6) — (8.11) интегралларда (V) со^а бир хил булиб,
х2 + у2 = а2, х2 + у2 = Ь2, у — tg а-х, у — tg 0-х,
z =т, z = р (0 < а < 6; — у-<Са<0<у; m<Zp)
8.6.
8.7.
сиртлар билан чегараланган фазовий жисмдан иборат.
Ш z%y dV-
(Ю
fff zy-dV.
(V)
8.8.
8.9.
ffj z(x2 + y2) dV.
(V)
ш
(V)
z2 \/x2 + у2 -dV.
8.10.	[ff z3  /x2 +y2-dV.
8.11.	JJJ z3(x2 + y2) -dV.
(V)
Навбатдаги (8.12) — (8.18) интегралларда (И) coxa деб паралле-
лепипед олинган: яъни
8.12.	J И (Зх + у — z) dx dy dz.
m
8.13.	JJf (x2 + z) dx dy dz.
(V) .
8.14.	J J J x2z dx dy dz.
8.15.
x2y2z2 dx dy dz.
8.16.	JJf (4x2 —2y2) dx dy dz.
(V)
8.17.	Щ y3(2x-z)-dV.
<У)
8.18.	И J x (у2 + z2) dx dy dz.
(V)
69
9- §. Уч каррали интегрални
такрорий интегралга келтириш
Уч каррали интегрални такро-
рий интегралга келтириш икки
каррали интегрални такрорий ин-
тегралга келтиришга Караганда
мураккаброк. Аввало уч каррали
интегрални 6 хил усул билан
такрорий интегралга келтириш
мумкин, колаверса, берилган ин-
теграл бир неча такрорий инте-
граллар йигиндиси куринишида
хам ёзилиши мумкин. Бу (И)со-
хага купрок бог лиц булади.
4-мисол. Ушбу z = х2 + у2,
х + у = 2, х — 0, г/ = О, г = О
сиртлар билан чегараланган соха
(40-чизма) учун уч каррали ин-
40- чизма
теграл турли усуллар билан такрорий интегралга келтирилсин.
Ечиш. 1-усул. 1= f(x, у, z) dx dy dz интегрални тартиб
<V)’
билан г, у, х (ёки г, х, у) лар буйича олинадиган такрории интеграл-
га келтирмокчимиз, дейлик. Бунине учун Oz уцига параллел булган
тугри чизиклар билан (И) сохани кесио чицамиз ва унинг (х, у) те-
кисликдаги проекциясини анидлаймиз. Бу турри чизицлар (И) соха
чегараларини олдин г — 0((х, у) текислигида), кейин z=x24~y2 па-
раболоид буйлаб кесиб утади,-
(И) соханинг (х, у) даги проекцияси (д) = д ОАЕ булади:
(А) = {(х, у);0 <х< 2; 0<у^2 — х}.
Энди тегишли такрорий интегрални ёзиш кийин эмас:
2	2—х	x‘+ys
I — J dx J dy [ / (х, у, z) dz
ООО
ёки
2	2-д	х’+У’
I = Jdy J dx j" fix, у, z)dz.
0	0 о
2-усул. Энди берилган интегрални тартиб билан у, г ва х лар
буйича олинадиган такрорий интегралга келтирайлик. Бу холда (У)
соханинг (х, г) текисликдаги проекциясини топиш лозим булади. Бу-
нинг учун г = х2 + у2 ва х + у = 2 тенгламалардан у ни чицариб,
тегишли сиртлар кесишиш чизиеининг (х, г) даги проекцияси тенгла-
масини анидлаймиз: MCJD = {(х, г) :г = 2 (х— I)2 + 2),
МС> == J (х, г): х = 1 —	~ (г—2)},
70
CJO = J (x, z) :x = 1 +
+ V7^-2))’ 0D =	= *2i
(41-чизма).
(V) со^анинг ODE сохага проекцияланаётган
цисмида 0 < у < 2 — х шарт бажарилади;
ОМС JO co^ara (V) соханинг шундай цисми
проекцияланадики, у ерда Оу уцца параллел
тугри чизиц олдин z = х2 + у2 параболоидни,
сунгра х + у = 2 текисликни кесибутади, яъни
-J z— х2 ^у <2 — х шарт бажарилади. Энди
берилган интегрални икки такрорий интеграл
йигиндиси куринишида ёзиш мумкин:
2 х2	2—х
I = f dx f dz f f(x, y, z) dy +
обо
2	2 (x—1)2 +2	2—x
+ [ dx J	dz J f(x, y, z) dy.
О	*2	V^2
(2.2)
3-усул. Энди интетраллашни тартиб билан у, х, z лар буйича
олинадиган такрорий интегралга келтирамиз. Бу хол учун (41-чиз-
ма) (V) нинг (х, z) текисликдаги проекцияси 4 та булакка ажралади
(бунда (2.2) нинг иккинчи интеграли учта интегралнинг йигиндиси
куринишида ё: илади):
4	2	2,—х
7 = J dz j dx J f (x, y, z) dy +
0	k'z	0
2 Vz	2—x
+ \ dz \ dx \ f(x, y, z) dy +
°	0	/z—x2
+ f dz J’	dx J	f (x, y, z) dy +
2	0	/5=75
4	Vz	2-x
+ J dz J	dx J	f(x, y, z) dy.
2	1/T	Vz^x2
l+v —(z-2)
2
Шуни кайд циламизки, x, z, у ёки x, у, z тартибда интеграллаш
учун 07) соланин г (у, z) текисликдаги проекциясини аницлаш керак.
Ш акл у = х биссектриса текислигига нисбатан симметрии булгани
учун 2- ва 3- усулларда чикарилган уч каррали интегралларда х ва у
ларнинг урнини узаро алмаштириш етарли:
71
2 у1 2— у
I = J dy j" dz J f(x, у, z) dx 4-
0	0	0
2	2(y-l)‘-t-2	2-y
+ У dy J dz У f(x, y, z) dx;
о уг
4	2	2—у
1	= У dz У dy У f (x, у, z) dx J-
0 VT о
2	Vz 2-y
+ У dz У dy f f(x, y, z) dx +
0	0 Vz^yi
4	2-y
+ У dz У dy У____________________f & y, z) dx +
2	0	V z—y*
+ У dz J	dy у f (x, y, z) dx.
2	i > l/"*	Vz—y1
* + > ~ (z~2>
Шундай цилиб, кцорида айтитганицек, тегишли уч каррали ин-
теграл 6 хил такрорий интегралга, баьзи \оллаэда интеграллар йигин-
дисига келтирилиши курсатилди.
5-мисол, Ушбу
1	1 х+У
I — У dx'\ dy У f (z) dz
ООО
уч каррали интеграл интеграллаш тартибини узгартириш натижасида
бир каррали (оддий) ани^ интегралга келтирилсин.
Ечиш. Интеграл остидаги функция факат Z га бог лиц булгани
учун биз интеграллаш тартибини шундай узгартирамизки, охирида
интеграллаш z буйича олинган булсин. Берилган уч каррали инте-
грал учун равшанки,
(V) = {(х, у, z): 0 < х 1; 0 у 1; 0	z х 4- у].
Аввал (V) соцани учта (KJ, (Р2), (И3) сохага ажратамиз. Бунда
(Pt) — (У) соханинг (у, г) — текисликдаги проекцияси ODE уч бур-
чакдан, (У2) — уша текисликдаги проекцияси OBJ) уч бурчакдан,
(V3) — шу текисликдаги проекцияси BLDEL уч бурчакдан иборат бул-
ган дисми. Равшанки (42- чизма):
(V\) = ((х, у, z): О z < 1; z < у < 1: 0 < х < 1},
(Ра) = {(х, у, z): 0 < z < 1; 0< у < z; z — y^ х < 1},
(Р3) = |(х, у, z): 1 < z < 2; z — 1 < у < 1; z — у < х < 1}.
72
Шундай килиб, берилган интегрални цуйидаги интеграллар йи-
гиндиси куринишида (интеграллаш х, у, z тартибда) ёзиш мумкин:
1	1	,!	1	г	1
1	= J	f(z)dz f dy	j dx + J	f (z) dz J dy	j"	dx +
0	z О	0	0	z—у
2	I	1
+ J f (z) dz J dy J dx.
1	z—1 z—y
Уч каррали интегрални хисоблаш кридасига асосан охирги йирин-
дини соддалаштирамиз:
2
z—1	г—у
у
2	1	1
+ J f(z)dz f (1— z+y)dy= f/(z)- j (1 — z) +
i	’z—г	d L
z	2	1
+ |(l-z + z/)* I\dz+ \ f(z)-~(l~z + yy | -dz-
О'1 i	z—i
1	2
= 4 f/(z)-(2-z2)dz+ 4 J /0-(2-z)2dz.
b	i
Нихрят, узил-кесил натижани ёзамиз:
I	1	1	2
f dx \ dy J f(z)dz= 4 J f(z)-(2 — z2)dz+ 4 J f(^-(2 — z)2 dz.
0	0	0	0	1
73
43- чизма
6-мисол. Ушбу (У)= {(х, у, г):
х2 + у2 < а2, х + z < а, г > О,
а > 0} соха буйича олинган уч
каррали I = J J [ f (х, у, г) dx dy dz
интегралда интеграллаш чегара-
лари декарт (х, у, г), цилиндрик
(г, <р, г, 0) ва сферик (г, <р, 0) коор-
динаталар системасида куйилсин.
Ечиш. 1- ^ол. Декарт (х, у, г)
координаталар системасида 2
д л хил усул билан интеграллаш че-
—*- гараларини куйиш мумкин. Хар
бир усулда 6 хил такрорий ин-
теграл хосил булади. Кайд килиб
утамизки, цайси усулни ^улла-
майлик, турли такрорий интеграл-
лар сони 6 та булади. Биринчи
усулда (И) соханинг бирор коор-
динаталар текислигига проекциясини топиб, бу текисликка перпен-
дикуляр булган увда параллел чизиклар билан (И) сохани тулдириб
чицамиз (юкоридаги 4- мисолга гарант).
Берилган (И) соха ясовчилари Oz га параллел, уь;и Oz ва асоси-
нинг радиуси а булган доиравий цилиндр ва ^уйидан z = 0, яъни
(х, у) текислик билан, юкрридан эса Оу увда параллел булган х-ф
4- г — а текислик билан чегараланган (43- чизма).
Масалан, (И) соханинг (х, у) текисликдаги проекцияси (А) мар-
кази О (0, 0, 0) нуктада ва радиуси а га тенг булган х2 + у2 а2,
2 = 0 доирадан иборат. Бу (А) доирани икки хил усул билан тав-
сифлаш мумкин:
(Aj) = {(х, у)\ -- а < х С а; — У а2 — х2 < у К. У а2 — х2},
(А2) = {(х, у)-. — а С у С а; — У а2 — у2 < х С У а2— у2}.
Равшанки, (А) = (Aj) = (А2). Куриниб турибдики (43- чизма), (х, у)
текислигига перпендикуляр тугри чизиклар (V) соха чегараларини ол-
дин 2 = 0 текислигида, сунгра z — а — х текислигида кесиб утади. Бе-
рилган I интегралнинг чегараларини икки хил усулда ёзиш мумкин:
а Vа2—х2	а—х
I\=^dx j* dy f (х, у, z) dz,
— а	_ уаУ—х2	0
а Уа2~у2 а~х
/2 = f dy Г dx j / (х, у, z) dz.
J J ________ о
-a	U
Равшанки, 1г = /2 = I булиб, ва лар фа кат чегаралари билан
фар^ ^илади.
74
Энди (У) соханинг (х, z) текисликдаги проекциясини анидлаймиз.
Бу проекция ACDA контур билан чегараланган уч бурчакдир (44- чиз-
ма), уни икки усул билан тавсифлаш мумкин:
(А3) = {(х, z): — а < х < а; (У < z < а — х],
(А4) = {(х, z): 0 < z < 2а; —а < х < а — г}.
Оу уцца (параллел тугри чизидлар (V) сохани, унинг доиравий
цилиндр сиртининг у — — у а2 — х2 цисмидан у = + у а2 — х2 цис-
мигача кесиб утади. Шу маълумотларга асосланиб, I интегралнинг
чегараларини яна икки хил усулда ёзиш мумкин:
а с—х	V аг—хг
/3 = j dx i‘ dz J f(x, y, z)dy,
—°-	°	— /a2—№
2a
It = \ dz
6
a—z	V a2—x1
J dx j f (x, y, z) dy.
-a _ Уаг—хг
Нихрят, (V) соханинг (у, z) текисликдаги проекциясини топиш
учун аввало бир булагини цидирамиз. Бунинг учун х2 + у2 = а2 ци-
линдр ва х = а — z текислик тенгламаларидан х ни йуцотамиз, яъни
(у, z) текисликда шундай соцани кидирамизки, бу сохани чегараловчи
контурнинг хар бир нуцтаси учун мос келган цилиндр сиртидаги
нукта ва текисликдаги нукта бир хил абсциссага эга булсин. Бу
контур маркази Ог уцида (яъни (у, z) текислигидаги (0, а) нуцтада)
ва радиуси а га тенг булган (z — а)2 + у2 = а2 айланадан иборат
булиб (45- чизма), соханинг мос цисмндаги нуцталар учун абсцисса
х = — ]/й2 — у2 дан х = а — z гача узгаради.
Лекин х2 + у2 = а2 цилиндрик сирт (у, z) текислигини PN ва Q<V
тугри чизицлар буйича кесиб утади. Шунинг учун NOMQOPN кон-
тур билан чегараланган сохага цилиндрик сиртнинг х — —у'а2 — у2
ва х = а2 —у2 муносабатлар билан аницланган цисмлари проекция-
75
ланади. Демак, (И) нинг (у, г) даги проекцияси (А6) иккита соца
йигиндисидан тузилган: (А5) = (As) A U (Аб), бу ерда
(As) = {(#>	—	а~]!^~у^г^а+ j/a2 —z/2},
(As) ={(//, г): —a^z/^a;0^z^zz—)/а2—у2}.
Натижада берилган 7 интеграл икки
ёзилади:	_____
а	а + У^з2—у2
Ц = \dy J dz
а	а—У а*--у*
интеграл йигиндиси куринишида
а—г
J fix, у, Z)dx +
— Уа^-у2
а а— Уа2—у2
+ J dy J dz
d-а О
f (х, у, z) dx.

Энди (И) нинг (у, г) текисликдаги проекциясида z ни эркли уз-
гарувчи деб, берилган уч каррали интегралда интеграллаш чегарала-
рини олтинчи усул билан цуйиб чицамиз. Бунинг учун шу цолда
(А5) соцани янги (Ае) соца деб белгилаб, уни Оу уцца параллел чи-
зицлар билан булиб чицамиз. Чизмадан (45- чизма) куриниб туриб-
дики, (Аб) соца янги (Ае) соха булиб, (А5) соца эса, янги икки (Ае)
ва (Ае ) соцалар йигиндисини ташкил этади. Энди (а — г)2 + у2 = а2
тенгламага кура ОРСг учун у = — У а2 — (а — г)2 ва OQCX учун
у = У а2 — (а — г)2 тенгламаларни топамиз. Энди (Ае), (Аб), (А6) со-
цалар тавсифини ёзиш мумкин:
(А') = {(г, y):0^z^2a; —Уа2 — (а — г)2^у^Уа2 — (а —г)2},
(Ар = [ (г, у): 0 z о; — а < z/ — /а2 — (а — z}2},
(Ав") = {(г, у)'. О «С z У а2 — {а— z)2 у «S а}.
Абсцисса х = х (у, г) нинг узгаришини /5 интегралнинг ёзилиши-
га караб олиш мумкин. Шундай цилиб, I интегралнинг олтинчи ку-
риниши цуйидагича булади:
2а V2az—z2	а—г
I6= [ dz J dy у f(x, у, z)dx +
, 0	— У2az—z*	— /а2—*/2
а	—У'2аг—z2	У а?—у*
+ [ dz у dy у f (х, у, z) dx +
О —а	_ уаг—у2
а а	/а2— у2
+ J’ dz у dy у f (х, у, z) dx.
° V2az—z2 — Va2—y2
Юцорида узгарувчи у нинг чегараларини цуйишда У а2 — (а — z)2=
= У2аг — z2 муносабатдан фойдаланилди.
Шундай килиб, биз юцорида берилган уч каррали интеграл
учун (И) соцани турли усул билан проекциялаш ёрдамида 6 хил
76
46- чизма
46а- чизма
усул билан интеграллаш чегара-
ларини цуйиб чициш мумкинли-
гини курдик. Бу берилган уч
каррали интегрални хисоблаш
учун унинг 6 хил такрорий инте-
грал куринишдан бирортасидан
фойдаланиш етарлилигини англатади.
Яна шуни таъкидлаб утамизки, уч каррали интегралнинг 6 хил
такрорий интеграл куринишида™ ифодасига кура уларда икки ташци
интеграллар урнини алмаштириш мумкин.
Интеграллаш чегараларини кесимлар ёрдамида хам олти усул
билан куйиб чикиш мумкин. Унда ^айси уцца перпендикуляр булган
кесимлардан фойдалансак, шу ук узгарувчиси эркли аргумент була-
ди, цолган икки узгарувчи функция сифатида олинади. Масалан,
z = const учун z — эркли аргумент, крлганлари учун у = у (г) ва
х = х (у, z) ёки х = х (z) ва у = у (х, г) деб олиш мумкин. Демак,
кесимлардан фойдаланиш усулида берилган JJf f(x, у, z)dV уч
(У)
каррали интегралда икки ички интеграллар урнини алмаштириш
мумкин булади.
Масалан, (V) соханинг х = — а текисликдан х = а текисликкача
х = const кесимларини курайлик (46- чизма). Бу кесимда MNDR
куринишдаги тугри бурчакли турт бурчаклар хосил булади. Цилинд-
рик сирт тенгламасидан куринадики, MN, RD чизиклар учун
у = + У а2 — х2, у = — а2 — х2
тенгламалар мос келади. MR, ND чизиклар эса мос равишда 2=0
ва х + z = а текисликларда ётади (46 а- чизма).
Шундай ^илиб, (V) сохани куйидагича тавсифлаш мумкин:
(И) = ((xi У, ZY — а < х < а; — у7 а2 — х2 < у < а2 — х2;
0 z —х),
(У) = { (х, у, z): — а < х < a;	— х;
— У а2 — х2 у уЪ2 — х2 }.
77
Берилган уч каррали I = J j j / (х, у, z) dV интегралда бу чегара-
ларни куйиб, юкррида чикарилгдн /г ва 13 такрорий интегралларни
^осил ^иламиз.
Энди (V) сохани (х, г) текисликка параллел у = const текислик-
лар билан булиб чицамиз. (—а^у^а). Кесимда MNK.P трапеция
^осил булади. Цилиндр тенгламасидан MN, К.Р тугри чизицларга
х = — у^а2 — у2; х = + у''а2 — у2 тенгламалар мос келади. NК, МР
чизидлар эса мос равишда г=а— х, 2 = 0 текисликларда ётади.
Агар у ни аргумент деб х = х (у), z — z (х, у) десак, у хрлда (И)
сохани яна цуйидагича тавсифлаш мумкин:
(V) ={(х, y,z): ——у4а2—у2<х^у"а2—у2;	—х}-
Энди бундан фойдаланиб, берилган уч каррали интегралга мос так-
рорий интегрални ёзсак, юцоридаги /2 интеграл хосил булади.
Энди у ни аргумент деб z = z(y) ва х = х(у, z) деймиз. MNKP
трапецияни МР га параллел тугри чизидлар билан булиб чицамиз.
К нуцта учун z = а — хк — а — уа2 — у2, N нуцта учун z = а —
~хы = а-^у'а2— у2. Демак, трапеция юзи MPKLM ва LKNL
шакллардан тузилади (466- чизма):_ _______ ___________
MPKLM учун 0 < z < а — у а2 — у2, —уга2 — у2^х =Cyа2 — у2
ва LKNL учун а — у^а2 — у2 С z а + уга2 — у2,
— у а2 — у2 < а — z.
Шу маълумотлардан фойдалансак, берилган интеграл /6 куринишда
ёзилади.
Крлган /4 ва /6 куринишдаги интеграллар Ог уэда перпенди-
куляр ((х, у) текисликка параллел) кесимларни текширишдан келиб
чицади.
78
Эркли аргументам г хамда x=x(z)
ва у = у {г, х) десак, 0 «^z 2а
учун кесимда доиранинг TNDT
цисми (46- в чизма) хосил булади.
Доирани чегараловчи айлана тенг-
ламааи х2 + у2 — а2 булиб, ND чи-
зиц х = а — z текисликда ётади.
Бу сохани Оу уцка параллел чи-
зицлар билан булиб чицсак, (V) со-
цуйидагича тавсифланади:
(V) — {(х, у, г): 0 z < 2а;
— а х & — z;
—'У"а2 — х2 у	р'а2 — х2}.
Энди тегишли чегараларни цуйсак,
/4 интеграл хосил булади.
Охирги /в интегрални кесим усу-
ли билан хосил килиш учун 2 хрл-
46 г- чизма
ни куриб чицамиз:
1) узгарувчи z (аргумент) 0 дан а гача узгарганда х > 0 ва ке-
симда ярим доирадан каттаро^ шакл (46- г чизма) хосил булади;
2) узгарувчи z а дан 2а гача узгарганда х<0 ва кесимда ярим
доирадан кичикроц шакл (46- в чизма) ^осил булади. Энди бу ке-
симларни Ох у^ига параллел чизиклар билан булиб чи^амиз:
Юкррида /4 учун келтирилган маълумотлардан фойдалансак, х<0
хол учун (V) соханинг (V,) бир цисми ^уйидагича тавсифланади:
(И1) = {(х, у, z): a^z<2a; у^у^у^
— jA а2 — у2 < х a — z},
бу ерд а у v у.- лар х2 + у2 = а2, х — а — z тенгламалардан ашщла-
нади ва ух — — jZa2 — (a — z)V У2 = Vх a2 —(a —z)2. Улар мос ра-
вишда D ва N нуцталарнинг ординатасидир (уг = yD — — V 2az— z2;
Уз = Уы = /2az —z2).
Узгарувчи z (аргумент) 0 дан а гача узгарганда z = const кесим-
даги шакл 3 та булакка ажралади: иккита доиравий сегмент (DEDJD
ва NSN'jN контурлар билан чегараланган) ва доиранинг NN^D^DN
контур билан чегараланган кисми. Шаклдаги ёйлар ва нуцталарни
куриб чикамиз: ETS да х = —jZa2 — у2, EA^S да х = iZ a2 — у2,
DN да х = а — z; Е нуктанинг ординатаси у~—a, S учун у — а,
D ва Dr лар учун у = уу = — >Zа2 — (a — z)2 = —jZ2az — z2, N ва
Nx лар учун у = у2 — >Zа2 — (a—z)2 = У 2az — z2.
Демак, (V) нинг DED^D сегментдан иборат (У2) кисми
(V2) = {(х, у, z): О «С z < a; — а^у «С у^,
— /а2 — у2 «С х «С jZа2 — у2},
79
(V) нинг NSM-fl сегментдан иборат (К3) кисми
(Уз) = ((*, У, г)- 0<г^а; у2^у^а;
— уЪ1 2— у2^х<уЪ2—у2},
ва, нифят (У) нинг NNrTDrDN контур билан чегараланган (У4)
цисми
(V4) = {(х, у, г): 0^ г а; у^ у ^у2;
— У а2 — у2 < х < а — z]
каби тавсифланади.
Энди (Vi), (У2), (У3), (У4) со^аларни узаро таццослаймиз. Курина-
дики, (Vj), (И4) со^аларни бирлаштириш мумкин. (Vj) U (У4) со^ада
z аргументнинг чегаралари энди 0 дан 2а гача узгаради. Бу соцани
(V’) деб белгилаймиз. Шундай цилиб, (И) = (V*) U (V2) U (Vs). Шу
сабабли (И) соха учун берилган / = j И f (х, у, г) dV уч Каррали
(V)
интеграл 16 куринишидаги учта такрорий интеграл йигиндиси билан
ифодаланади.
Берилган уч каррали интеграл учун ^ам кесимлар усули ёрда-
мида 6 хил такрорий интеграл ^осил цилдйк. Умуман, уч каррали
интеграл учун турли такрорий интеграллар сони 3! = 6 та, турт
каррали интеграл учун — 4! =24, ни^оят, п каррали интеграл
учун—п! та эканини ^айд килиб утамиз.
2- ^ол. Курилаётган 6- мисолда берилган 1 = И j f (х, у, г) dV
(V)
уч каррали интегрални (г, ф, г) цилиндрик координаталар системаси-
да 6 та турли такрорий интегралга келтириш мумкин. Уларни мое
равишда /1( /2, 13, Ц, /5, 76 лар билан белгилаймиз, аммо бу Ц,
i = 1,6 1- ^олдаги It лар билан, умуман айтганда, устма-уст туш-
майди.
Маълумки (х, у, г) декарт координаталар системасидан (г, ф, г)
цилиндрик координаталар системасига утилганда х=гсо$ф, у =
= г sin ф, г = z ва у' z’^  = г формулалардан фойдаланилади.
D (г, <р, z)
Шу алмаштириш натижасида берилган интеграл ушбу
1 = [Jf f(x, у, z) dV = j j J /(гсозф, rsin(p,z)-r'drd<pdz
(V)	(V»)
куринишга келтирилади, бу ерда (V*) со^а (V) со^анинг янги (г, ф, z)
системадаги аксидан иборат.
Энди бундан кейинги муло^азаларимизда му^им булган баъзи
маълумотларни келтирамиз:
а) г = const — (г, ф, г) координаталар системасида уци Ог ва ра-
диуси г булган доиравий цилиндрик сирт тенгламасидан иборат;
б) ф = const — (х, г) текислик билан ф бурчак ташкил этиб, OZ
уцидан утувчи ярим текислик тенгламасидан иборат;
80
в) г = const — Oz у^ига пер-
пендикуляр ((х, у) текисликка
параллел) текислик тенгламаси-
дан иборат.


, у, z) dV уч кар-
рали интегрални цилиндрик коор-
динаталар системасида такрорий
интегралга келтириш учун ке-
симлар усулидан фойдаланамиз.
1. (V) сохани ф — const ярим
текисликлар билан булиб (кесиб)
чицамиз, яъни ф ни эркли аргу-
мент деб оламиз (47- чизма).
Олинган (г, ф, г) системада ци-
линдрик сиртнинг тенгламаси
г = а куринишга эга, х + z = а
текисликнинг тенгламаси эса
г = а — г cos ф куринишда була-
ди. Аргумент ф нинг узгаришига	47-чизма
цараб, яъни созф нинг ишораси-
га боглиь; ^олда, кесимда OMNB (47а- чизма) ёки OPQB (476- чиз-
ма) трапеция сат^и ^Осил булади.
Агар ф — аргумент ^амда г = г (ф), z = z (ф, г) деб царасак,
у ^олда 0 < ф < 2л — у Ф УчУн OMNB (OPQB) кесимни
турли радиусли (0 < г < а) цилиндрик сиртлар ясовчилари билан
(Ог га параллел) (х, у) (г = 0) текисликдан то берилган г = а —
— г созф текисликкача тулдириб .чи^амиз. Натижада берилган со^а
^уйидагича тавсифланади:
(Ю — {(г> ф, г): 0 < ф < 2л; 0 < г < а; 0 г < а — г cos ф }.
Шу сабабли берилган уч каррали интеграл ушбу
6—390
81
2я a	а—г cos ф
Л = f dtp [ rdr f /(rcos<p, rsin<p, z)-dz
ООО
такрорий интеграл куринишда ёзилади.
Энди <р — аргумент, z = z (ф) ва г = г (ф, г) лев царасак, у ^олда
кесимларни (47 в чизма, 47 г- чизма) (х, у) текисликка параллел
тугри чизицлар билан тулдириб чи^иш керак. ^ар бир ф учун кесим
иккита со^ачага булинади. Керакли ну^та ва кесмалар учун г ва г
ни ани^лаймиз:
У ну^тада г = а; г —а—а созф = а(1—созф), BN кесма учун
а— г
г = ---- ва шунга ухшаш
COS ф
Q да z — а — a cos ф = а (1 — cos ф) > а,
Натижада (V) сохани шундай туртта (V,), (V2), (V3), (V4) со^алар
йигиндиси куринишида ёзиш мумкин буладики, улар цуйидагича тав-
сифланадп:
(Vi) = | (г, ф, г): —< Ф < О 'С z < а (1 — cos ф); 0 < г < а
(V2) = ф, z):----------< ф < а (1 — cos ф) < г < а;
COS ф 1
(V3)={(r, Ф, г):^-<ф<^; ОСгСс; 0<r<a j,
(V4) = |(г, ф, z)< ф< — ; а < z а (1 — cos ф);a ~г- < г < a
12	2	COS ф
82
Шундай цилиб, берилган уч каррали интеграл туртта такрорий
интеграл йигиндиси куринишида ёзилади:
Л
2	а (1—c©s ф)	а
72 = J d ср J dz \r-[(r cos <p, r sin <p, z)-dr-\~
—я 0	0
2
Л
2 a
+ f dtp j
Я a (I —cos <p)
F
<3—2
COS Ф
dzj r-f(r cos ср, r sin <p, z)-dr +
о
3л
2 a a
+ J dtp J dz j r  f (r cos ф, r sin ф z)-dr+
л 0	0
2
3л
2	a (1—cos <p) я
-4-	J dtp J dz j r f(r
л	а	а—г
2	cosv
2.	(V) сохани r== const (0 < r < a)
деб цилиндрик сиртлар билан тул-
дириб чицамиз (48- чизма), яъни г ни
эркли аргумент деб дисоблаймиз.
Ички интеграллар чегарасини цуйипг
учун олдин ф = ф (г), z — z (г, ф) деб
оламиз. Чизилган цилиндрик сирт
учун ф, z узгарувчилар 0<g ф< 2 л,
0 < z а — г cos ф тенгсизликларни
цаноатлантиради (48 а- чизма). Шу
сабабли (И) сохани цуйидагича тав-
сифлаш мумкин:
(V)= ((г, ф, z):O<r <а;
0< ф < 2 л; 0 z <: а — г cos ф }.
cos ф, г sin ф, z)-dr.
48- чизма
Бу долда берилган уч каррали интеграл ушбу
а 2л	а—г cos<p
/3= ц rdr J с!ф/ / (г cos ф, г sin ф, z)-dz
такрорий интеграл куринишида ёзилади.
Энди /3 интегралдаги иккита ички интеграл урнини алмаштира--
миз. Бунинг учун г ни эркли аргумент (0^г<а) деб, z = z(r)<
ва ф = ф (г, z) десак, у долда (И) сода ичига чизилган г — const цилин-
83-
z
Дрик сирт нудталарининг г апликатасини г радиусга борлаб, сунгра
уларнинг ф дутб бурчагини анидлаймиз. Шаклдан куриниб турибди-
ки (48- б чизма), В нудта учун z = а — г (ф = 0 да) ва С нудта учун
г == а + г(ф = л да). Шундай дилиб, 0 «с г < а — г булганда г = const
цилиндрик сиртнинг ту лид ён сирти чизилади, яъни 0<ф<2л бу-
^<?ди ва (V) соданинг тегишли (Kj) дисми дуйидагича
04) = !(г> Ф, z):0<^r<^a; 0<^ф<^2 л; О^г^а— г}
тавсифланади. Энди z нинг дийматлари а — г г а 4~ г тенгсизлик-
ларни даноатлантирганда айлана ёйларини, яъни MTN куринишдаги
(48- чизма) ёйларни чизиш керак' булади. Бу MTN ёйдаги нудталар
учун ф ни топиш мадсадида Л1 ва N нудталар г = а — г cos ф те-
кисликда ётишидан фойдаланамиз:
Ф = ± arc cos -—- 4-2 лп, п PZ(Z — бутун сонлар туплами) М нуд-
та учун ф = arc cos ----- , N нудта учун ф = 2 л — arc cos ------,
демак, MTN ёйда Фм < ф fp;V. (V) соданинг иккинчи (V2) дисми
дуйидагича (/2) =.((г, ф, г):0^г^а; а — г<г<а + г; фЛ) С
<Ф^ фд,-} тавсифланади. Шундай дилиб, берилган уч каррали интег-
рал ушбу
а	а—г	2л
Л = j" rdr j" d z j f(r cos ф, r sin ф, z)-dm 4-
0	0	0
n a~z
2л—arc cos-
a a±r	r
4-jrdr f dz j	f(r cos ф, r sin ф, z)-df
0	a—r	a—z
azc cos-
r
84
иккита такрорий интеграл йигин-
диси куринишида ёзилади.
3.	(V) со^ани z = const те-
кисликлар билан кесиб чи^амиз
ва ^осил булган дойра цисми
(доиравий сегмент) шаклидаги ке-
симлар билан бутун (V) совами
булиб чи^амиз. Бу кесимларнинг
куриниши х нинг ишорасига, ас-
лида эса 2 нинг ^ийматига 6of-
ли^дир (49- чизма). Хусусан,
а) 0 < z < а интервал учун
кесим ярим доирадан каттаро^,
б) а < 2 < 2а интервал учун
кесим ярим доирадан кичикро^
экани равшан.
Энди г ни эркли аргумент,
г — г (г), <р = <р (г, г) деб ^ара-
сак, у холда кесимдаги ^ар бир
доиравий сегментни концентрик айланалар ёйи билан булиб чи^иши-
миз лозим булади.
ABDC контур билан чегараланган кесим учун 0 z а булиб,
| Ох А | = | х | = | а — г | = а — z тенглик уринли ва ВС тенгламаси
г cos ф + г = а дан иборат. Бу тенгламани ф га нисбатан ечамиз:
Ф= ±агс cos ° ~ г + 2л/г, п f Z(Z — бутун сонлар туплами). АВ
Г
учун ф = arc cos -—- ва АС учун ф = 2 л—arc cos тенгламалар-
Г	г
ни аницлаймиз. К,аралаётган кесим ичига маркази О1 ну^тада бул-
ган айланалар чизиш мумкин. Агар уларнинг радиуси | Ог А | дан
катта булмаса, тулиц айланалар чизилади ва 0 < г < а — z орали^-
да ф бурчак 0 дан 2л гача узгаради (49 а- чизма). (V) соханинг шу
муло^азалар билан аницланган (VJ ^исмини ^уйидагича тавсифлаш
мумкин:
49а- чизма
85
(Vi) = {(г, <p, 2): О «С z С а; О С г С а — г; О С ф С 2л)
Лгар концентрик айланалар радиуси | О} А | дан катта булса,
айлана цисмлари чизилади ва а — 2 г а оралицда циркуль учи
АВ кесма ну^таларидан АС кесма ну^таларигача бурилади. Демак,
Ф бурчак учун ушбу ф/дСф=СФ/с тенгсизликлар бажарилади. Бу
эса, (V) соханинг ('/,) ^исмини тавсифлаш имконини беради:
(V2) = Hr, ф, г):0^2<а; а—-2<r<a; arccos fl~г ,<g
< Ф 2л —arc cos ------).
г J
MPQNM контур билан чегараланган кесим (49 б- чизма) учун
а с z < 2а булиб, | О2 М | = | х | = | а — г | = г — а. МР кесма ф =
= arc cos ---(утмас бурчак), MN кесма ф = 2л — arccos -тенг-
ламалар билан тавсифланади. Маркази 02 да булган концентрик ай-
ланалар ёйлари билан бу кесимни булиб чи^амиз. Бунда энг кичик
радиус | О2 М | га, энг катта радиус эса а га тенг булади. Демак,
2 — а г а тенгсизликлар уринли на циркуль МР кесма нуцтаси-
дан то MN кесма нуктасигача бурилади, яъни ФЛ)р С ф фЛ)Лг тенг-
сизликлар уринли. Шундай ^илиб, (У) соханинг (|/3) булагини ^ам
тавсифлаш мумкин:
(1/3) = Hr, ф, г): а <2^ 2а; 2—а^г<а; arc cos - ~ z
I	r
n	a — zl
— arc cos----k
Берилган (V) co^a (И,), (V2), (V3) со^алар йигиндисидан иборат. Шу-
нинг учун уч каррали интеграл шу со хал ар буйича олинган учта
такрорий интеграллар йигиндиси куринишида ёзилади:
а	а—г	2я
/5 = j dz г d г j" f(r cos ф, г sin ф, 2)-rkp +
О	О	О
л	a—z
2л —arc cos-
а а	г
+ §dz§ rdr^	/(rcos ф, г sin ф, г)*^ф +
„	а—г
2Я—arc cos -
2а а	г
+ J Г^Г J	f(r СОЭф.Г зтф,2)'£?ф.
Энди охирги такрорий интегрални ёзиш учун z ни эркли аргу-
мент ва ф = ф(г), г = г(ф, г) деб уисоблаймиз. Кесимдаги сохани
Ог (ёки О2) нукталардан чиг^ан нурлар билан булиб чи^амиз.
86
ABDCA контур ичвдаги со^а учун 0 < г < а тенгсизликлар уринли.
ВС нинг г cos ф + г = а тенгламасини г =	- куринишда ёзамиз.
cos <р
OJ3, 0}С нурлар учун ф нинг цийматини г — а айлана билан
г соБф + z = а (ВС) тугри чизицнинг кесишиш шартидан топамиз.
Бунинг учун
(г — а,
[г cos ф + z = а
системани ф га нисбатан ечиш лозим. Равшанки, ОгВ учун ф = а =
= arc cos -—г, О±С учун ф = —а (ёки ф = 2л—а) муносабат-
а
ларга эгамиз. ABDCA кесим иккита булакдан тузилган (49 в- чиз-
ма). Улар АВОг СА ва Ог BDCO} контурлар билан чегараланган.
а)	АВОг СА контур билан чегараланган учбурчак шаклидаги со-
^аси учун нурлар 0}С газиятдан OtB гача силжийди ва доимо ВС
кесма нуцталаригача чизилади. Энди (V) соханинг тегишли (VJ бу-
лагини тавсифлаймиз:
(Vi) = {(г, ф, г): 0 г а; — arc cos -—- < ф < arc cos -—-;
а	а
cos ф)
б)	O1BDCO1 контур билан чегараланган дойра кисми учун а ф <
< 2л — а, 0<^г<^а тенгсизликлар бажарилади ва (V) соханинг (V2)
булагини ^ам тавсифлаш мумкин:
(V2) = {(г> Ф> г): О -С z а; а < ф 2л — а; 0 г < а}.
(V) соханинг а^г<2а тенгсизликни цаноатлантирадиган була-
гини к,араб чи^амиз (49- г чизма). 02Р ва 02N нурлар учун ф = а,
Ф = 2л —а, бу ерда а = arc cos-------ва PN ватар учун г = ---------
a	cos ф
(г > 0, чунки cos ф <; 0). PQNP доиравий сегмент учун нурлар ва-
49в- чизма
49г- чизма
87
зияти ф нинг ф = а дан ф = 2л—а гача булган цийматларига мЬс
келади ва улар PN ватардан г = а айланагача ^аралиши лозим.
Шунинг учун-—-	тенгсизликлар уринли. Шундай г^илиб,
COS ф
(V) нинг навбатдаги учинчи (У3) ^исмини ^ам тавсифлаш мумкин:
(/3) = {(г, ф, г): а < г 2а; а < ф < 2л — а; -—г— г <а}.
COS ф
Шундай ^илиб, (KJ, (И2), (И3) со^алар йигиндисидан тузилган
(V) со\а учун уч каррали интеграл ^уйидаги учта такрорий интеграл
йигиндиси куринишида ёзилади:
а — г а—г
arc cos--------------------	-----
a	a	cos Ф
Л = У d z j с?ф У г -f {г cos ф, г sin ф, г) dr+
О	а—г	6
—arc cos -
а
о	а—г
2л — arc cos-•
а	а	а
+ У dz У	с?ф Уr-f (г cos ф, г sin ф, z)dr +
О	а—г	О
arc cos-
а
Л	а—г
2л—arc cos--
2а	а а
+ j dz У	dtp У r f(r cos ф, г sin ф, z ) dr.
а	а—г	а—г
arc cos-	---
а	соэф
Биз ю^орида берилган уч каррали интегрални цилиндрик ко-
ординаталарда 6 хил усул билан такрорий интеграл куринишида (улар-
нинг йигиндиси куринишида) ёзиб чицдик.
3-	о л. Ни^оят, курилаётган 6- мисолда берилган уч каррали
интегрални (г, ф, 0) сферик координаталар системасида ^ам 6 та
турли такрорий интегралга (ёки такрорий интеграллар йигиндисига)
келтириш мумкин.
Маълумки, (х, у, г) декарт координаталари билан (г, ф, 0) сфе-
рик координаталари орасидаги богланишлар ушбу
x = r css ф-cos 0, у = г sin ф-cos 0, г = г sin 0
формулалар билан берилади, бунда алмаштириш якобиани учун
D (х, у, г) „
д — г2- cos0 формулага эгамиз.
Узгарувчиларни бундай алмаштириш натижасида уч каррали ин-
теграл дуйидагича ёзилади:
/=УУУ /(*, у, z)dl/ =
(V)
= У У У f (г cos ф cos 0, г sin ф cos 0, г sin 0) • г2 cos 0 dr dtp dO,
(V**)
88
бу ерда (/**) со^а берилган (/) соханинг сферик координаталар сис-
темасидаги аксидир.
Сферик координаталар системасида:
а)	г = const (г > 0) маркази О (0, 0, 0) ну^тада ва радиуси г га
тенг булган сферик сиртдир;
б)	ф = const (0 ф 2л) Oz уцидан утган ва (х, г) текислик
билан ф бурчак ташкил этган ярим текисликдир. Эслатиб утамизки,
Ф бурчак Ох уцининг мусбат йуналишидан соат милларининг йуна-
лишига ^арши йуналишда хисобланади;
в)	0 = const --эса’ Учи (О’ 0’ 0) нУ^тада, у^и
Ог устида булган ва ясовчилари (х, у) текислик билан 0 бурчак
ташкил этган доиравий конус сиртидир.
(V) со^а сферик, конус сиртлар билан чегараланган ^олларда
сферик координаталар системаси ишлатилса, содда такрорий инте-
гралларга келиш мумкин. Биз бундай ^олларга мисоллар курмай-
миз. 6- мисолда берилган (V) соха бош^ача сиртлар билан чегаралан-
ган. Шу ^олда сферик координаталардан фойдаланиб берилган уч
каррали интегрални такрорий интегралга келтириш билан шугулла-.
намиз.
6-	мисолдаги (V) сохани чегараловчи сиртларнинг (г, ф, 0) сферик
координаталардаги тенгламаларини ёзамиз:
а)	х2 4- у2 = а2 цилиндрик сиртнинг сферик координаталардаги
тенгламасини ёзамиз: г2 cos2 0 = а2 ёки г cos 0 = а. Дайси узгарув-
чини функция дейишимизга караб, цилиндрик сирт тенгламаси
а	„	а „
г = —— еки 0 = arc cos— куринишда езилади.
cos 0	г
б)	х 4- г = а текисликнинг сферик координаталардаги тенгламаси
г (cos ф cos 0 4- sin 0) = а куринишга эга. Демак, г = г (ф, 0) деб
олинганда текислик тенгламаси ушбу г =-------------------куриниш-
cos <р cos 0 4- sin 0
да ёзилади, Ф = ф (г, 0) деб олинганда эса, уша текислик тенглама-
fl — г sin 0
сини cos ф =------------- тенгликка асосан
г cos 0
,	а — г sin 0	. п ,
Ф =± arc cos-------------f- 2 пп (n£Z)
г cos 0
куринишда ёзиш мумкин.
Энди 0 = 0 (г, ф) деб олсак, тегишли текислик тенгламасини ёзиш
учун аввал cos ф cos 0 4- sin 0 = — тригонометрии тенгламадан 0 ни
г
аниклаймиз. Бунинг учун тенгламанинг икки томонини —1
J J J	1'1 + cos2 <p:
га купайтириб, ёрдамчи у бурчак киритиш усулидан фойдаланамиз:
cos <р	„ ,	1	. „	а
-Г-— т - - • cos 0 4- 	—- • sin 0 = —;
у 1 4- cos2 <р	У 1 4- с05" ф	г у 1 -f- cos2 ф
COS ф	1
sin V =	—, cosy = --  —=,
у 1 + cos2 ф	у 1 4- cos2 ф
89
sin (е + у) =
a
Г У1 + COS2 ф
Охирги муносабат содда тригонометрии тенгламадан иборат булиб, у
ечимга эга булиши учун •—т~ а   С 1 (маълумки, а > 0, г >0>
г У 1 -|- cos2 ф
тенгсизлик бажарилиши етарли. Шу ^олда 0 учун топамиз:
л	.	а	. cos ф
0 = arc sin —===—• arc sin -- -	.
Г У 1 + COS2 ф	У 1 4- COS2 ф
Бу биз кураётган ^олда тегишли текислик тенгламасидан иборат.
в)	2 = 0 учун rsin 0 = 0 ёки 0 = 0 тенгламани хосил ^иламиз.
Бундан (х, у) текисликда ётган нукталар ясовчилари (х, у) текислик
билан 0 = 0 бурчак ташкил этган конус сиртининг нухталаридан
иборат экани келиб чи^ади.
г)	(|/) со^анинг В нуцтаси энг баланд (Oz уки буйича) нуктаси-
дир (50- чизма). Унинг координаталари ушбу г = у а2 + 4 а2 = а у'5,
ф = л, tg 0 =	= 2, 0 = arc tg 2 ^исоблашларга кура мос равишда
(а;/Х л, arc tg 2) эканлигини хотирада тутишимиз лозим булади.
Ог уки мусбат йуналишининг тенгламаси 0 = у ва (7(0, 0, 0)
ну^танинг тенгламаси эса г = 0 экани равшан. Аввал кесимлар усу-
лида берилган уч каррали интегрални 6 хил усул билан такрорий
интегралга келтирамиз. Бунда 1Ъ 1г, I3, I4, I5, 1в белгилар билан
сферик координаталар системасида олинган интеграллар белгилан-
ган булиб, аввалги мулодазалардаги
мос белгиларга алокаси йу^.
1.0 = const. Берилган (И)
соцани конуссимон сиртлар би-
лан булиб чикамиз. Аргумент
0 нинг ^ийматига караб конус
сирт (|/) соцани чегараловчи
сиртларни турлича кесиб утади:
а)	0 С 0 < arc tg 2 да 0 =
const конус сиртнинг баланд
нукдаси А цилиндрик сиртда
ва пастки ну^таси М берилган
текислик билан ф = 0 ярим
текисликда (50 а-чизма) ётадш
б)	arc tg 2^0^ л/2 да
0 = const конус сиртнинг ба-
ланд ну^таси D ва пастки ну^-
таси L берилган текисликда
90
50-а чизма
50-6 чизма
булиб, турли ф = л ва ф = 0 ярим текисликларда ётади (50- б
чизма).
Энди 9 ни эркли аргумент, г = г (9) ва ф = ф (г, 9) деб цараб,
кесимдаги конуссимон сиртни г радиусли сфера билан кесиб чи^а-
миз ва ф нинг узгариш сохасини конус ясовчилари вазиятига (ёки
ярим текисликлар вазиятига) цараб аниклаймиз.
Керак буладиган ОМ, ОК (50- а чизма), OD, OL (50- б чизма) кес-
малар узунлигини мос равишда rM, rK, rD, rL деб белгилаймиз ва
уларни анидлаймиз:
ОМ учун ф = 0, г (cos ф cos 9 + sin 0) = а
тенгликлардан топамиз: г., = --------------; OL учун хам г, =
cos 0 4- sin 0
—------------формулага эгамиз. Нихоят, ОК учун гк = (ф га
cos 0 -J- si n 0	cos 0
боглиц эмас), OD учун ф = л, г (cos ф cos 9 + sin 9) = а муносабат-
лардан гп =------------- формулаларни хосил киламиз. Юкоридаги
sin 0 — cos 0
а) холда 0 <9<arctg 2 тенгсизликлар уринли. Шунинг учун ра-
диуси ОМ дан катта булмаган сферик сиртлар 0 = const конус сирт-
ни тулик айлана буйича кесиб утади, яъни г нинг 0 < г <------------
cos 0 sin 0
тенгсизликларни ^аноатлантирадиган цийматлари учун ф нинг 0 <
< Ф < 2 л тенгсизликларни цаноатлантирадиган цийматлари тугри
келади.
(У) соханинг тегишли цисмини (У:) деб белгилаймиз, у цуйидаги-
ча тавсифланади:
(71) = {(/*, ф, 9) :0 с; 9 с; arc tg 2; 0 < г <------; 0 ф< 2 л},
cos 04-sin 0
91
Сферик сиртлар радиуси ОМ дан катта. Шу ОМ билан ОК ора-
сида конус сиртида айлананинг бирор кисми чизилади; ушбу х + z=a
а — г sin 0
текисликда етадиган нукталар учун ю = arc cos------------ ва <р =
г cos 0
= 2 л — arc cos a~~rsin 6 муносабатлар уринли. Шу сабабли (У) со-
r cos 0
данинг тегишли (У2) кисми куйидагича тавсифланади:
а — г sin 0
arc cos-------------
г cos 0
, а	а
!;---------------С г хе----------;
cos 0 + sin 0	cos 0
а — г sin 0 )
- arc cos-------------------k
r cos 0 J
Энди 0 нинг arctg 2	тенгсизликларни каноатлантира-
диган дийматлари учун хам икки (У3) ва (У4) сохаларни курсатиш
мумкин:
а) ОСгСг,, 0СфС2л ва б)	фО1 С ф С ф^; Dlt
D2 нукталар учун <р ни аницлаш формуласи К2 нудталарникига
ухшаш булиб, <р мицдор 0 ва г узгарувчиларга борлиц булади. Де-
мак, (Уз) ва (У4) сохаларни хам тавсифлаш мумкин:
(У3) = {(г, ф, 0): arctg 2 С 0 С у; О С г С
ОС ф<2 л),
а
cos 0 -J- sin 0
(У«) ={(г, Ф, 0):arctg 2С0С^;
--------------С г С
cos 0 sin 0
а
sin 0 — cos 0
arc cos
a — r sin 0
r cos 0
С ф C 2 л — arc cos
a — r sin 0
r cos 0
Юдорида тавсифланган (У J, (У2), (У3), (У4) сохаларга синчиклаб
эътибор берсак, курамизки, (У3) ва (У4) сохаларни бирлаштирса бу-
лади, досил булган сохани (У,) деб белгилаймиз. Равшанки, (У*) со-
да учун 0 аргумент 0 дан л/2 гача узгаради. Шундай дилиб, (У*)
сохани куйидагича тавсифлаш мумкин:
(Ур = ((г, Ф, 0):ОС0С-^; ОСгС а . 0СФС2л).
1	2	cos 0 -J- sin 0
Ни доят, берилган уч каррали интегрални куйидаги учта такро-
рий интеграллар йигиндиси куринишида ёзамиз:
Л
л/»
fcos
о
cos 0-j-sin 0
0 d 0 J r2 dr
0
2П
J Г(г,ф,0Мф +
o
92
a
arctg 2	cos 0
r2 dr j F (r, <p, 9) d<\> +
a
cos 0-}~sin 0
a
Л/2	sin 0-{-cos 0	2Л—a
+ [ cos 0 d8	r2 dr J F (r, <p, 0) dtp,
arctg 2	a	a
cos 04-sin 0
,	a — rsin0
бу ерда a = arccos ------------- ва
r cos 0
F(r, q>, 0) = f(r cos cp cos 0, r sin ф cos 0, r sin 0).
Энди 0 ни эркли аргумент хамда ф = ф (9), г = г (ф, 0) деб уч
каррали интегралда интеграллаш чегараларини куямиз. Берилган
0 = const (О С 0 С arc tg 2) конуссимон сиртнинг ихтиёрий ф (0 <
< ф С 2л) ярим текисликдаги ясовчисини г = г (ф, 0) радиусли сфе-
рик сиртлар билан булиб чицамиз. ^ам 0 = const конус сиртда, хам
г cos 0 = а цилиндрик сиртда ва хам г (cos ф cos 0 + sin 0) = а те-
кисликда ётган К3, Ki нуцталаэ учун ф = Фо, ф = 2л — ф0 (ёки
Ф =—ф0) координаталарни топамиз. Бунинг учун цилиндр ва текис-
лик тенгламалари системасини ечамиз:
,	„ ,	. п.	п	cos 0 — sin 0	,	, л
r(cos ф cos 0 + sin 0)=r cos 0; cos ф =---------------------=1 — tg 0;
cos 0
Ф = Фо = arc cos (1 — tg 0).
Шундай цилиб, ф нинг ф0Сф<2л —ф() тенгсизликни каноатланти-
радиган цийматлари учун сферик сиртларнинг радиуси г — 0 дан то
цилиндр сиртидаги (50а- чизма) К3 ^4 ёйнинг ихтиёрий N нуцта-
сигача булган ON масофагача, яъни г = —— микдоргача узгаради.
cos 0
Бунга асосланиб (И) соханинг бир цисмини тавсифлаймиз:
(V\) = |(л ф, 0): 0 0 'S arc tg 2; ф0 С ф С 2л — ф0;
Шаклдан куриниб турибдики, Кл Кл MK2Ki
х + z — а текисликда ётади, улар учун
ёйдаги нуцталар
а
cos q> cos 0 + sin 0
ва |ф| С<р0.
Шу ёйдаги исталган нуцтагача утказилган конус ясовчисини радиуси
О С г < Гтекислик тенгсизликни цаноатлантирадиган сферик сиртлар ке-
сиб утади. Бу (И) соханинг яна бир кисмини тавсифлаш имконини
беради:
(V2)={(г, Ф, 0): 0 0 sS arc tg 2; — ф0С ф < ф0; 0=CrC -------}
COS ф COS 04-Sin 0J
93
Энди 50- б чизмага караб, 9 учун arc tg 2
л
2
тенгсизлик-
лар бажарилганда <р = <р (9), г = г (9, <р) деб, (V7) соханинг цолган
цисмини аницлаш мумкин. LD1DD2L контур бутунлай х + z = а,
яъни г = ----------------- текисликда ётади. Ихтиёрий <р (0 <<р <
cos ф cos 0 + sin 0
< 2л) ярим текисликдаги 9 = const конуссимон сиртнинг ясовчисинк
радиуси 0 г < гТеКИСлик тенгсизликларни цаноатлантирадиган сферик
сиртлар кесиб утади. Демак,
(V3) = /(г, <р, 9): arc tg 2 < 9 у; 0 < ф < 2л;
cos ф cos 0+ sin 0 J
Шундай килиб, (У) со^а учта (KJ, (V2), (К3) кисмга ажратилди.
Шу сабабли уч каррали интеграл цуйидагича учта такрорий интеграл
йигиндиси куринишида ёзилади:
а
arc tg 2	2п—arc cos (1—tg 0)	cos 0
J2 = J	cos9d9f	dtp J r2-F(r, <p, 9)dr+
0	arc cos (1—tg 0)	0
_________________________________________a______
arc tg 2	arc cos (1—tg0)	cos <p cos 04-sin 0
+ J cos 9 dQ J	dtp J	r2-F(r, <p, 9)dr+
0	—arc cos (1—tg 0)	0
a
n/-2	2Л сое ф cos 04-sin 0
+ J cos 9 d9 J dtp J	r2F (r, <p, 9) dr.
arctg 2	0	0
2. r = const. Берилган (V) соцани радиуси г = const булган сфе-
рик сиртлар билан булиб чикиб, ^ар бир г нинг циймати учун <р, О
ларнинг узгаришини куриб чицамиз.
Координаталар бошидан х + г = а текисликкача булган масофа
а)/2	•	,	__ aY%
-у— га тенг, демак, сферик сиртларнинг радиуси 0 < г < —ора-
ликда узгарганда (V) сохага куйидагича тавсифланган
(К1) = ^(Г; ф, 0);о<г<5р_; о<9<-|; 0^ф<2л }
соцани чизиш мумкин. Бу со^а ярим шардан иборат.
тт л.	а!^2
Лекин сферик сиртларнинг радиуси —< г а оралицда уз-
гарганда улар ф = 0 ярим текисликдаги AD кесмани (51-чизма)
ОР биссектрисага нисбатан симметрии жойлашган М ва S нуцта-
94
51-чизма
ларда кесиб утади. Бу нукталар учун 0 нинг мос ^ийматини топа-
миз. Ушбу <р = 0; г (cos ф cos 0 + sin 0) = а тенгламалардан cos 0 +
+ sin 0 = — тригонометрии тенглама хосил булади. Унинг кури-
-	/ л	я \	а
лаетган масалага тегишли ечимлари cos 0-= —тенглама-
‘	(	4/	гК2
дан топилади. Ечимлар 0= — ± arc cos —куринишида ёзилади.
4	г у 2
л	а
=----arc cos —-=г, М нукда учун
4	г У 2
цийматларга эгамиз. Навбатдаги муло-
хазаларимизда 0 = 0 (г) ва ф = ф (г, 0) деб ^араймиз хам да —
Энди S нукда учун 0t = 0S
0„ = 0., = — + arc cos а
2 M 4	г /2
< г < а хол учун яна (V) соханинг ^исмларини куриб чицамиз
(51 а-чизма):
1)	ES ёй (V7) да бутунлай жойлашган шар ^атламининг эгри
сатхини чизиб чицади, унинг ну^талари учун 0 С 0 С 0! ва 0 С ф С
С 2 л тенгсизликлар уринли.
2)	MN ёй эса (V) со^ада жойлашган шар сегментининг эгри
95
сатхини чизиб чицади, унинг
нукталари учун 02 0
О 2л тенгсизликлар урин-
ли.
3)	SjAlj ёй эса шар к>ат
ламининг х + z = а текислик
билан кисми ажраган эгри сат-
хини чизиб чицади. Бу сохада
^1 6 < бг- ф нинг циймати г,-
0 га бог лик булиб, текислик-
нинг г (cos ф cos 0 4- sin 0) =а
тенгламасидан аницланади:
ф = ± arc cos ——r- si” в + 2 пп (n£Z), яъни ф бурчак
г cos 0	Jr
arc cos	2 л — arc cos
r cos 0	r cos 0
ораливда узгаради.
Шундай килиб, ——	г < а хол учун (V) соханинг яна учта
булагини тавсифлаш мумкин:
(^г) = {О’, ф, 6):	О С 0 < б/, 0 < <р < 2л
(V8) = [(Б ф,	02 =С © «С —; 0<Ф<2л),
;(У4) = {(г,ф,0):^-^гСа; 0^0<02;
arc cos a"r S1S е. < ф < 2л — arc cos-a~ r Sln 6 1.
г COS 0	Т СОС п
51 б- чизма
Энди радиуси	-/ITopa-
лиеда узгарадиган сферик сиртлар
билан (У) соханинг долган цисмини
булиб ^чицамиз. ^ар бир сфера ф=л
ярим текисликдаги BD кесмани Т
нуктада ва цилиндр ясовчиси СВ ни
К нуктада кесиб утади (51-6 чиз-
ма). Т нук;та учун 0 ни ф = л,
г (cos ф cos 0-j-sin 0)=а тенгламалар-
• л п а
дан, яъни sin 0— cos 0 = — тенгла-
т
мадан топамиз:
96
sin (0—— ] = -2—, 0r = - 4-arcsin—
I 4 J ry'T T 4 n/T
Л нукта учун 0 ни r cos 0 = а цилиндрик сирт тенгламасидан
топамиз: 0К = arc cos —. Олдиндан олинган г = const ва унга кдраб
топилган 0К< 0<0Г лар учун ф = ф (г, 0) нинг кийматини г=const
сфера билан г (cos ф cos 0 + sin 0) = а текисликнинг кесишиш 1\ТТ2
ёйида ётган Tlt Т, нукталарга мос келган ф нинг кийматларвдан
аниклаймиз:
a — r sin 0
ф, = arc cos -----------------
r cos 0
2	и ---/ 0111 и
л — arc cos-----------------
г cos 0
Шундай килиб, (У) соханинг бешинчи булагини хам тавсифлашимиз
мумкин:
(VB)= ф, 0): а С г < а у'5 ;
arc cos — < 0 <-------И
г	4
4- arc sin —arc cos
rV 2
a —r sin 0
rcos0
С ф < 2 л —
Натижада берилган уч
йигиндиси куринишида
а—г sin 0t
— arc cos---------k
r cos 0 J
каррали интеграл бешта каррали интеграллар
^уйидагича ёзилади:

2	л/2	2 л
А)= J	г2 dr f cos0d0f Fir, ф, Q)d(p +
0	0	О
--}- arc cos———
4	г -/ 2
-f- f	COS 0 fit 0
2 п — arc cos
с! 0 j F (г, ф, 0) d ф +
о
2 л
J F (Г, ф, 0) d ф +
о
а — г sin
0
arccos
r COS0
a — rsln 0
r cos 0
F (Г, ф, 0) d ф
7—390
97

Л .
----j- arcsin
4
a
r2dr
a
arccos —
4
/I
cosOdO J
o _	a — rsin
2 л — arccos —- - •
rcos 0
0
F (г, ф, 0) d (p.
a — rsin 9
arcos-----------—
rcos 0
j
a
bl- в чиьма
(бу ерда учта интеграл бир хил ташди
интеграл буйича бирлаштириб ёзилган
ва F (г, <р, 9) = f (rcos ф cos 0, rsin ф х
Xcos0, rsin0)). Энди г ни эркли аргу-
мент, ф = ф (г) ва 0 = 0 (г, ф) деб да-
раймиз. У долда (И) содада жойлашган
ихтиёрий г = const (0 < г С а 1^5) сфе-
рик сиртнинг дисмини Oz дан утган
ярим текисликлар билан кесиб, досил
булган айлана ёйида 0 ни г, ф га бог-
лид дилиб _оламиз. Масалан, г нинг
ад/ 2
О С г С —— тенгсизликларни даноат-
Р
б
0
м
лантирадиган дийматлари учун (51-чизма) ярим шар бутунлай (И) да
булади. Демак, (И) соданинг бир булагини тавсифлаш мумкин:
0<ф<2л; O«S0C^-
Радиуси -у-— < г С а тенгсизликларни даноатлантирадиган сферик
сиртлар г (cos ф cos 0 + sin 0) ='а текисликни маркази ОР нурнинг
= 0; 0 == " j Р учида булган концентрик айланалар буйича кесиб
утади (51-е чизма). Айлананинг ф = 0 ярим текисликка нисбатан
энг узод жойлашган Flf F2 нудталари учун ф ни текислик тенгла-
масидан ^0 = Д деб^ топамиз:
(	,	1	. 1 А „ а 1/2 — г
г cos ф -----------= a, cos ф =-------------,
/2-
а у/ 2 — г . rx / гг\
(р = + arc cos---------1- 2 л п (п £ Z).
г
_	г’	а~р^2 —г	•
Демак, Fx учун ф = Фх = arccos-----------,	1
„	_	a\Z 2 — г ..	__ ______I
F2 учун ф = ф2 = 2 л — arccos---------, еки ф-------Ф1 — ]
— — arccos —Д—(керак булганини ишлатамиз),	1
И1
Я1
ai
г
О]
тс
П]
98
Шундай цилиб, г = const сферик сиртнинг сатхи икки дисмга аж-
ралади:
a)	F1FF2 ёйни кесиб утган ярим текисликлар учун фг С ф С <р2
булади ва ^ар бир ярим текисликда ~ айлана ёйи чизилаДи, яъни
4
О 0< — булади. Натижада (V) нинг яна бир цисмини тавсифлаш
мумкин булади:
(V2) = (г, <р, 9):<г =Са\ arccos а2 ~ < ф < 2 л —
2	г
а~у2 —г п л I
— arccos — ----------; 0 «5 0 С —
гл	2 1
б)	Энди текисликда ётган дойра атрофидаги сферик сирт дисмини
дараб чицамиз. ^ар бир ф = const (—ф1^ф<ф1) ярим текисликда
иккита Nj./?! ва R2FS (51-е чизма) ёй чизилади; ф = —<Pj ва <р — фх
ярим текисликларда бу ёйлар бирлашиб F2 ва Fr дан утувчи чорак
айлана ёйини хрсил дилади. Бу ёйларнинг ва /?2 нудталари
г (cos <р cos 0 + sin 0) — а текисликда ётади, уларнинг 6Rt ва 0R ко-
ординаталари учун 6Й2 = -------0R1 тенглик бажарилади ва текислик
тенгламасидан топилади:
а п		а	.	COS ф
0Ri = 0 = arcsin------ -	—- — arc sin —-------У — .
г ]/ 1-|-со52ф	y'l-f-cos2 ф
Шундай дилиб, (V) нинг яна икки булагини тавсифлаш мумкин:
/IZ I/ сл aV %	аУ' 2 — г_____
(V3) = j (г, ф, 0):-"С г С а; — arccos-------------< ф <
1	2	г
а у2 — г ____________	. --------2-----
arccos-----------; О 0 arc sin г------------------
‘г	г у l-f-cos2 ф
COS ф
— arcsin г—  —
у 14-cos2 ф
(Kt)= |(Г, ф, 0): - -2 < Г < а; — ф! < ф < Ф1;
Л	Д!	cos ф	л
-------arcsin-----------------+ arcsin т — =С 0 —
г ~\F 1 -|- COS2 ф------------1 + COS2 ф
99
Сферик сиртлар радиуси а^г<
а 17 5 тенгсизликларни цаноатлантир-
ганда (51-г чизма) ф = <р (г) ни топиш
учун цилиндрнинг г cos 0 == а тенгла-
маси ихтиёрий ф лар учун уринли экан-
лигини эсда тутамиз. Ундан cosO=£,
т
 п <1--------5“h У г2 — а2
sin 6= у 1—cos2 0 =----------- киимат-
г
ларни аницлаб, г (cos ф cos 0 + sin 0) =
— а текислик тенгламасига цуямиз.
Сунгра цилиндрик сирт билан текис-
ликда ётган Тъ Т2 нукталарнинг фг ,
Фг координатасини анидлаймиз:
а • cos ф + У г2—а2 = a; cos ф =
а — V г2 — а2
Ф = фг^ = arccos-------------------
Ф = фг — 2л — arccos-----------------.
Шаклидаги г = const учун косил булган сохани хар бир ярим текислик
(фг <фСфг) сферада ётган ва цилиндр сиртидан то текисликкача
булган айлана ёйи буйлаб кесиб утади (масалан, К2Т3 ёки КТ ёй-
лар). Бу ёй нукталари учун 0 нинг киймати 0 = 0j — цилиндр сир-
тидаги нуцта координатасидан 0 = 02 — текисликдаги нукта коорди-
натасигача узгаради, яъни
0j = arc cos —, 02 = arc sin ------ °- -----
r	r^l-f-cos3 qp
—arc sin —cos ф  ва 0, 0 'C 02.
~\f 14-cos2 ф
Нихоят, (И) соханинг бешинчи булагини тавсифлаймиз:
(Ув)= (г, ф, 0): а г а /5 ; arc cos
„	а — у г2—а2	л а
С ф С 2 л — arc cos---: arccos — <
r	ar
a	. cos ф
C 0 C arc sin-—' , -- - — arcsin  • •	-
r]/ 14-COS2y	/1+сО52ф
100
Шундай дилиб, уч каррали интегрални бешта такрорий интеграл йи-
гиндиси
куринишида ёзиш мумкин:
2 Л Л/2
аУ 2
2
Ц = J r2dr j d ф J F (г, ф, 0) cos 0 d 0 +
о
о
о
л	ay 2 —т
2 л — arccos —1-----
rtf, J
а у 2 —г
arccos -----------
л/2
d ф j* F (г, ф, 0) cos 0 d 0 +
о
2
а
а
+ f r2dr
ay^ 2 — i
arccos —---------
arcsin
cos (р
•—а г csi п---------
Г 14-COS2(p	l-|-COS2(p
F (г, ф, 0) • cos 0 d 0 +
2
Л/г
a i/”2 — t
—arccos —1-------
F <Р> 0)*cos0 d 0
л
-----arcsin
2
4- arcsin
2 л - arc cos ° ~ У r“~Q- arc sin
a
со s(p
1—COS2(p
о	cos <р
— arcsin~

а
J а
arcco s—
F (г, <р, 0) • cos 0 d 0.
а
arc cos
а
3. гр = const. Берилган (V) сохани Oz удидан утувчи ярим текис-
ликлар: билан булиб (кесиб) чидамиз (52-чизма). Кесимда трапеция
досил булади, трапециянинг куриниши ф га (аслида эса созф нинг
досил булади, трапециянинг куриниши ф га (аслида эса
ишорасига) боглид булади: 52- а чиз-	z
мада | ф | с -5- ва 52-6 чизмада | ф | >
> у доллар курсатнлган, | ФI == -
учун квадрат %осил булади.
Энди <р ни эркли аргумент уамда
ва г = г(<р, в) деб караймиз.
г яопв кесимдаги трапеция юзини
раасин чиддан конус ясовчила-
teee булиб чикаииа (^лдарамиа)
% ясовчиларда ётган нудталар учун '
= г (ф, 0) нинг дийматини анидлай-
в(52-в чизма). Бу чизмада 0MND
i ODQP трапецияларни бирлашти-
X
52- чизма

101
52- а чизма
риб, ягона OMNDQP (яъни ^ис^ача M.VQP) трапгция ци-
линган. Бунинг сабаби, изланган натижа ихтиэрий ср (9 < р < 2 л)
бурчак учун уринлидир. Кесимдаги N ва Q ну^тачар учун 9 кпр-
динатани г cos 9 = а, г cos ср cos 9 + г sin 9 = а тенгламалар сигтема-
сидан анидлаймиз:
a cos ср + atg9 = a; tg 9-= 1—"coscp: 9=arctg(l—cos ср).
Куриниши бир хил булгани бичан Q учуй casp<0 ва АГ учуй
cosq>>0 тенгсизлик уринли эканини э:да тугадаииа карах. 9 бур-
чак 0<9<arctg (1—-coscp) тенгсизликца узгарганда щ/ сэ^ацагл
ОАГХ ясовчи ва OQL яговчи ну^таларидан угказилган сварах сирглар
102
радиуси г = 0 дан то цилиндрик сиртда ётган ва Qi нудталар
радиусигача узгаради, яъни 0 < г <-----
COS0
Натижада (И) со^анинг бир
булагини тавсифлаш имкони тугилади:
[(Vj) = ((г, ф, 0): О С <р 2 л; 0 < 0 С arctg (1 — cos <р);
=Сг =С------ .
cos 0 J
Энди 0 бурчак arctg (1—cos<p)C0<— тенгсизликда узгарса, бу
со^адаги ON2 ва OQ2 конус ясовчиларидан утган сферик сиртлар ра-
диуси г = 0 дан то текисликдаги У2, Q2 нудталар радиусигача узга-
ради, яъни О =С г <-------. Демак, (V) соханинг иккинчи бу-
cos <р cos 0+sin 0	v '	1
лагини хам тавсифлашимиз мумкин:
(V2) = ](г> Ф, 0) ’• 0 < q> < 2 л; arc tg (1 — cos ф) < 0
л .
Т’

_________а_______|
cos <р cos 0	sin 0 J
Шундай цилиб, берилган уч каррали интегралнинг ифодаси учун бе-
шинчи куриниш топилди:
а
2 л	arctg (I—cos Ф)	cos 0
/5 = j dep j	cos 0 d 0 J r2-F (г, ф, 0) dr 4-
0	0	0
2 л л/2	соэф cos O-j'Stae
+ J d ф J	cos 0 d 0 J	r2 F (г, ф, 0) dr.
0 arctg (1— cos<p)	0
Энди ф ни эркли аргумент ^амда г = г (ф), 0=0 (ф, г) деб царай-
миз. Унда ф = const кесимдаги трапеция шаклини концентрик айла-
налар ёйлари, яъни сферик сирт излари билан булиб (тулдириб) чи-
цамиз ва бу ёйлардаги нудталар учун 0 = 0 (г, ф) координатанинг
узгариш со^асини топамиз.
Аввал зарур маълумотларни аницлаб оламиз. Бунда яна 52, 52-
а, 52-6 чизмалардан фойдаланамиз;
a) N ва Q нудталар учун (яъни ON ва OQ кесмалар узунлигини)
г = тенгликдан tg 0 = 1 — cos ф ^ол учун хисоблаймиз:
cos 0 =-----— -
1______
V14-( 1 —cos <p)a
ва
г — а V 2 — 2cos ф + cos2 ср.
б) ф = const ярим текислигида О нуцтадан х + г = а текислиги-
гача булган мгсофа, яъни OS перпендикуляр узунлиги, бошхачаайт-
ганда MND0M кесимдаги 0 кандай булганда ушбу г =
103
==--------------- функция (0 буйича) минимумга эга булади деган
cos <р cos 0 + sin 0
савол ^уямиз. Бунинг учун ^осилани топиб, -- = 0 тенглама-
ни цараймиз:
дг   а (— sin 0 cos ф 4~ cos 0)
дВ	(cos ф cos0 + sin 0)2
Энди = 0 тенгламани ечиш учун — sin 0 cos ф 4- cos 0 = О тенг-
0 0
ламани ечиш етарли. Уни tg 0 =------ куринишда ёзамиз. Ундан ма-
СОБф
сала шартига кура 0 = arctg------- формулага эгамиз. Энди бу 0
cos ф
учун г = г (ф) ни топамиз:
а__________________________а_______________
cos ф cos 04-sin 0	ctg0	1
cos ф —,	+  
/l+ctg20 /l+ctg20
a	__ a
cos®	1	,д, ; z
------—------ | ---------- У 1 + cos2 ф
у 1 -f- COS2 Ф	V1 4- COS2 ф
Шундай цилиб ф нинг | ф | ^ — тенгсизликни цаноатлантирадиган
цийматлари учун ф = const ярим текисликдаги S ну^тага г —
— — а- циймат мос келади. Маркази О нуктада ва радиуси
у^ 1 4* cos2 ф
О < г < — а - тенгсизликларни цаноатлантирадиган сфералар
у 1 4* cos2 ф
M.NDOM кесимда жойлашган чэрак айланани чизади. Равшанки,
ёй учун О<0<-у. Бу му доказал ар (У) соханинг бир була-
гини тавсифлаш имконини беради:
(^=((г, Ф, 0):-^-<ФО<0<^)-
(	2	2	у 1 4~ cos2 ф	}
Сферик сиртлар уларнинг радиуси —	 - - < г < а тенгсизлик-
У^ 1 4- COS2 ф
ларни цаноатлантирганда трапеция сат^ини LLY ва L2L3 ёйлар буйи-
ча кесади. DN кесмадаги Llt L2 нуцталар S нукдага нисбатан сим-
метрик жойлашган, яъни S учун 0 = 0О = arctg cqs~, учун 0=
= 0lt L2 учун 0 — 02 ва А 0 = 0О — 0! десак, у ^олда 02=0О4-
4- А 0 = 2 0О — 01( 0! бурчакни г (cos ф cos 0 4- sin 0) = а текислик
тенгламасидан топиб оламиз, яъни
104
a
0„	.	и	. cos <p n
тек — arcsin -------- -----------arcsin -----	= 0!.
г у 1 4- cos2 <p	y/~ 1 4- cos2 <p
Шундай цилиб, (V) со^анинг KiMESKr ва S/(2DS контурлар билан
чегараланган со^аларга мос келган иккита булагини тавсифлаймиз:
(V2) = ((r, ф, 0):-^-<фС^-; —O<0<0J
[I	У 1 4- cos2 <р	J
(Из)= ((г, ф, 0):-^<ф<^-:	20o-0i<
I	2	1 у 1 4- cos2 <р
п
h
Энди MNEM контур билан аницланадиган кесимни куриб чикамиз.
Бу собача учун сферик сиртлар радиуси а дан катта булиб, то rN=
— а 1^2 — 2 cos ф + cos2 ф цийматгача узгаради, яъни а < г <
< а/2— 2 соз ф 4-соз2 ф . Бу со^адаги ЕМ ёйда 0 нинг циймати
0 =*0 дан 0 = 0гек = 0J гача узгаради. Натижада (И) [соцанинг яна
бир булагини тавсифлашимиз мумкин булади:
(1/4)= {(г, ф, 0): — ~ < ф < ~; а < г <
^«/2— 2созф + соз2ф; 0 < 0 <l0i|
(V) соцанинг долган булакларини тавсифлаш учун | ф | > — бул-
ганда ф = const кесимни (52- б чизма) текшириб чицамиз.
Сферик сиртлар уларнинг радиуси (Хг<а тенгсизликларни ца-
ноатлантирганда ODQPO соцада PD чорак айлана ёйини чизади, яъни
0 учун 0 < 0 — тенгсизликлар бажарилади. Бу -эса (V) соцанинг
яна бир булагини тавсифлаш имконини беради.
(^)=((Г><Р> 0)0<г<а; О'<0<—].
I	2	*	2	-	°	2 Jj
Трапециянинг долган сатцини радиуси а < г < а]]/ 2 — 2cos ф+соз2ф
тенгсизликларни каноатлантирадиган сферик сиртлархбилан кесиб чи-
г;амиз. Кесимда ёй ^осил булади, Qi шур;та учун 0 цилиндрик
сирт тенгламасидан 0 — arccos —, Q2 нуцта учун 0 = 0гек (текислик-
да ётганига асосланиб) каби аницланади. Демак, (V) соцанчцг охирги
олтинчи булагини тавсифлаш мумкин:
105
(Ve) = ^(r <р, 0))	<Ф <	; а <<aj/2 — 2cos ф -j- cos2 ф;
arc cos — < 0 < 0тек |.
Энди
0i = 9™ = arcsin
а
Г •/ 1 + cos2 <р
arc sin
cos<p
-,/ 1 -f-cosa<p
^(г, ф, 0) — /(rcosфcos0, r sin ф cos 0, rsin0)
Я
2
cos 0-F(r, ф, Q)d 0 +
о
белгилашларни назарда тутиб, берилган уч каррали интеграл учун
охирги олтинчи куриниш ифодасини ёзамиз (у олтита такрорий ^ин-
теграл йигиндисидан иборат):
я	а
2	V1 cos» ф
/в = у d ф j* гЧ г
л о
~ 2
л/2 а
+ J dq> J r2dr J cose-W<P .0)^0 +
Я	a	0
2 V 1+cos2 <p
я/2 а	я/2
+ J i/ф J r2rfr [ COS0-/7 (Г, ф, 0)d 0 +
——	' , ,a 2 агс*в -------01
2 У 1-J-cos’ q>	cos q>
я/2	a V2—2 cos ф+cos2 ф	0»
+ j	r2dr\ cosG F(r, ф, 0)d0 +
—Я/2	a	°
Зл/2 a n/2
+ J dtp J r2 dr J cos QF(r, tp, 0) d 0 +
Л/2	0	0
Зл/2	a /2—2cos «p-J-cos^	0,
+ С йф [	r2dr C cds0*.F(r, Ф, 0)d0.
Ю^орида курилган уч каррали интеграл учун сферик координа-
талар системасида чегараларни цуйиш цийинроц булди. Шу интеграл-
нинг такрорий интеграл куринишларидан энг соддаси /5 булиб, у
2^ам икки интеграл йигиндисидан иборат. К,уйида берилган машцлар-
дан 9.28-мисол энг содда такрорий интеграл куринишида ёзилади,
унда такрорий интегралнинг барча чегаралари узгармас булади. Аммо
уша уч каррали интеграл (х, у, г) декарт координаталари системаси-
да бешта такрорий интеграл йигиндиси куринишида ёзилишини таъ-
кидлаб утамиз.
106
Маш^л ар.
1.	У, tydxdydz куринишдаги уч каррали интеграл 6
(V)
хил усул билан такрорий интегралга келтирилсин:
9.1.	(V) со^а z = х2 + у2, z — 0, х = 0, х — 1, у — 0, у = 1 сирт-
лар билан чегараланган.
9.2.	(V) со^а х2 + у2 = 2 az, х2 + у2 + г2 — 3 а2, х = 0, у = 0, г — О
сиртлар билан чегараланган (1 октантдаги цисми).
9.3.	(V) со^а z = У х2 + У* > х2 + у2 = х, z = 0, у == 0 (г > 0, у > 0)
сиртлар билан чегараланган.
9.4.	(V) со^а х2 + у2 + z2 = 1, х2 + у2 + z2 = 16, х = 0, у = 0, z = О
(1 октантда) сиртлар билан чегараланган.
у2	2/2	у2	./2
9.5.	(V) со^а --}----= 2 z,------f- — — 1, z = 0(&>а>0) сирт-
а	b	а2	Ь2
лар билан чегараланган.
II. Интеграллаш тартиби (турли усуллар билан) узгартирилсин:
1 — ах ах+У
9.6.	{ dx J dy I' f(x, y, z)dz.
о о 0
1	1	2x«+3l/«
9.7.	\ dy J dx j" f(x, y, z)dz.
ooo
9.8.	J dx J dy J f(x, y, z)dz.
ooo
Ш. К,уйидаги уч каррали интеграллар курсатилган со^ада ^исоблан-
син:
9.9.
dz,
(V) = {(х, у, z): z = 0, z = у, у = х2, у == 1}.
9.10.	JJJ 1(х + у)2 — z] dx dy dz,
(V)
(V) = {(х, у, z):z= 0, (z -1)2 = х2 + у2).
9.11.	^(y2dxdyclz,
(К
(V) = ^(x, у, z):x2 = 2pz, у2 — 2рх, х=,^> г = О(р
9.12.	CCCxzdx dy dz,
(V)
(V)={(x, y, z): x2 + y2 + z2 = a2, z=0 (z>0)}.
9.13.	JJJ (x + У + 2)dx dy dz,
(V)
(V)= {(*. У, z): x + y + z= 1, x = 0, y=0, z = 0).
107
9.14.	Jj*f(8j/ + 122)dV;
W
(V)= {(X, у, г): х = 1, г = 3х2 + 2г/2, г/ = х, у = 0, г = 0).
9.15.	Щ(1 +2x3)dV,
(V)
(V) = {(х, у, г): у — 36 х, у ~ 0, х = 1, г = ]/хг/, г — 0).
9.16.	J J J (3 х + 4 у) dV,
(V) = {(х, у, г): у — х, у = 0, х = 1, г = 5 (х2 4* г/2), 2 = 0),
9.!7.
(V)= {(х, у, 2): z= 10(х4-Зг/), х + у= 1, х = 0, у = 0, г = 0).
».«. f f Г-------------’
(V)
(l/) = f(x,/А г):х = 0, y = 0, г = 0, Л+^+Л = 1|.
I	о о и J
9-,9-.Ш(51+12И
(V)
(V) = {(х, у, г): у = х, у = 0, г= 0, г = х2 + 15 г/2, х = 1).
9.20.	f J [ (х2 + 4 у2) dV,
(V)
(V) = j(x, у, г): х — 0, y=D, 2=0, х 4-у = 1,2 = 20(г/’+ Зх)).
9.21.	J J Г х2г dV,
fV)
(V) = {(x, у, г): у = 3 x, у = 0, x = 2, z = ху, 2 = 0).
IV. К,уйида берилган (V) со^алар учун
I = J j* J f (х, у, z)dx dy dz уч каррали интеграл чегаралари (х, у, г)—
— декарт, (ф, г, г) — цилиндрик ва (<р, 0, г) — сферик координаталар
системасида цуйилсин. ^ар бир системада узгарувчилар тартибига
цараб биттадан интеграл ёзилсин. Эслатиб утамизки,
,DSX-J’± = г ш у’-г)- = г2 cos 0.
D (г, <р, г)	D (г, <р, 0)
9.22.	х 4* У < гг, z < h, х > 0, у > 0,	0 (а > 0, h > 0).
9.23.	х 4- У 4- г а, х > 0, у > 0, г > 0 (а > 0).
9.24.	х2 4- У2 4- 22 а2, Ь2 (х2 4* У2) г2> 2 > 0 (а > 0, Ь > 0).
9.25.	хг 4* у2 г2, х2 4- У2 4* 22 аг (а > 0).
9.26.	х2 4* У2 > 22, х2 4- У2 4* 22 аг (а > 0).
108
9.27.	х2 + у2 <z2, х2 + z2-^a2, z>0 (a>0).
9.28.	x2 + y2 + z2 62, x2 + y2 + z2 > a2,
3 (x2 + y2) -g z2, z > 0 (0 < a < b).
10-	§. Уч каррали интеграллар ёрдамида дажмларни дисоблаш
Биз юкорида декарт, цилиндрик ва сферик координаталар ёрда-
мида уч каррали интегрални такрорий интегралларга келтириш билан
шурулландик. К,уйида биз уша мулохазалар ёрдамида дажмларни
дисоблашга дойр мисоллар курамиз.	,
7- мисол. Ушбу х2 + у2 + z2 = 2 аг, х2 + у2 = г2, х2 + у2 = ~ г2
сиртлар билан чегараланган (V) соханинг да жми топилсин.
Ечиш. Изланган дажмни топиш учун аввал сферик координата-
ларни
х — г cos ф cos 0, у = г sin ф cos 9, г = г sin 0
формулалар оркали киритамиз, бунда тегишли якобиан учун
D (х, у, г)
D (г. <р, 9)
= г2 cos 0
(2.13)
формулага эгамиз. Бунда (V) сода (А) содага аксланади. Изланган
дажмни дисоблаш учун ушбу
V — dx dy dz = JJ J r2 cos 0 dr d ф d 0
(Vi	4Л)
формуладан фойдаланамиз. (А) содани
тавсифлаш билан шурулланайлик.
Берилган сиртларнинг тенглама-
сини сферик координаталарда ёза-
миз:
сфера учун г = 2 a sin 0, конус сирт-
лар учун tg2 0 = 1, ’ 0 = ~ ва
tg2 0 — 3, 0 — — (53- чизма). Энди
3
(А) содани тавсифлаймиз:
(А) — {(г, ф, 9): 0 ф 2 л;
— <0< —, O<r<2asin0}.
4^3
53- чизма
109
о
5
— л а3, (куб бирл.)
Шундай цилиб, изланган ^ажмни осонгина ^исоблаймиз:
2л п/з	2 asm 6
V = j* d ф J cos 0 d 0 J г2 dr =
6	л/4
1 с ч «/3
16 ПО3 f -Ча л j а
= —-— j sin30-cos0d0
л/4
(х^ \з z®
----Ь — I Ч— = —— сирт билан чегара-
а3 й3 / сб й3	г
ланган (V) соханинг ^ажми топилсин.
Ечиш. Умумлаштирилган сферик координаталардан фойдалана-
миз. Улар х —ar-cos“ф cos₽0, у = br-sin“<p• cos₽0, z = cr• sin₽0
формулалар ёрдамида киритилади. Тегишли якобиан енгилгина ^и-
собланади:
I — D^x-У’ ZY — аrа^сri.cos» *q).sin“ ^-cos2₽ 10-sin₽ *0 (2.14)
D (г, ф, 0)
Умумлашган сферик координаталардан фойдаланиш натижасида
берилган сиртнинг тенгламасини соддалаштириш мумкин. Бунинг
учун доим а, 0 сонлар шундай танланиши керакки, берилган сирт-
нинг тенгламаси содда куринишга эга булсин. Купинча тенгламада
тригонометрии функциялар купайтмаси ^атнашганда интеграллаш
жараёиида Эйлер интегралларидан фойдаланиш мумкин булади.
Шунга эришишга ^аракат ^иламиз.
Бу мисолда а = 1, 0=1/3 деб олсак, якобиан учун / =
= — abc г2 • cos-1/3 0 • sin*~2/3 0 ифодага ва сирт тенгламаси учун
3
Ч abc .	„2/3 п • 1/3 П
Г3 =---- Sin ф COS Ф cos1 0 • sin 0
ft3
муносабатга эга буламиз. (V) со^а билан ани^ланган жисм хуг О
(ёки г > 0) шартни ^аноатлантирувчи со^ада, яъни I, III, VI, УШ
октантларда жойлашган. Биз берилган жисмнинг I октантда (х 0,
г/ > 0, z > 0) жойлашган булаги ^ажмини ^исоблаб, натижани 4 га
купайтирамиз, бу 'билан изланган ^ажмни топган буламиз:
Л/2	Л/2
sinV3(p.C0Sl/3 tp.cos2/9 0,Si-nl/9 Q
—abc г2 cos-1/3 0 • s in-2/3 0 • dr =
3
4 a3b3c3 (* .	j Г 1/3
=—I sin ф cos ф d ф I cos'
0-sin-1/30-d0 =
a262c2
9 ft3
2 л a262c2
9/iTft3
(куб бирл.)
ПО
9-	мисол. Ушбу
(х>0, y>0, z>0) сирт билан чегараланган (V) соханинг ^ажми
топилсин.
Ечиш. Сирт тенгламасвдан куриниб турибдики, умумлаштирилган
сферик координаталардан фойдаланиш мацсадга мувофиц. Агар
а = 2, 0 = 2 деб олсак, у холда умумлашган сферик координата-
ларни цуйидаги х — ar cos2 q> cos2 0, у = br sin2 ср cos2 0, г = cr sin2 0
формулалар ёрдамида киритиш лозим булади. Бунда
—у' = 4 abc г2 cos ф-sin <р • cos3 0  sin 0.
D(r, <p, 6)	tv
Шундай цилиб, сирт тенгламаси учун г = -jZsin (л cos2 0) муносабат-
га. эгамиз. (V) соханинг акси (А) содани цуйидагича
(А) = ф, 0): 0 ф у; 0 < 0 < у ; 0 < г ]Zsin (л cos2 0) j
тавсифлаш мумкин.
Энди изланган дажмни узил- кесил хисоблаймиз (унда л cos2 0 = t
алмаштириш бажарилган):
л/2	Л/2	3)^sin (л cosJ0)
V—4abc\ cosф-sin(pdq> \ cos30sinQd0 j	r2dr —
о	oJ	о
л/2
= —~ j sin (л-cos2 0) • cos3 0 sin 0 d 0 =
0
_ С/.sin/dt = (куб бирл.).
3л2 J	Зя
о
10-	мисол. К,уйидаги х у + z — а, x + y + z = 2a, x-\-y=z,
х + у = 2 z, у = х, у = 3 х текисликлар билан чегараланган (V) со-
ханинг хажми тбпилсин.
Ечиш. Бунинг учун янги и, v, W узгарувчилар киритишнинг
умумий усулидан фойдаланамиз. и, v, w узгарувчиларни цуйидагича
киритамиз:	х у + z = w, х + у = v-z, у = и-х.
Бу х°лда равшанки,
D (х, у, г) ____________________ v-w2
D (и, V. ау) (1 + u)2 (1 + t>)3
Энди (V) соханинг акси (А) сохани тавсифлаймиз:
(А)	= ((и, и, да): 1 с и < 3; 1 < и < 2; а с w 2 а}.
111
Натижада изланган ^ажмни ^исоблаш чегаралари узгармас бул-
ган такрорий интегрални хисоблашга келтирилади. З^иссблашларни
осонгина бажарамиз:
3	2	2а
С du Р V dv Р
) (1 + и)3 ’ J (1 4- v)3 ‘ J
49 а3 , - -	.
— (куб бирл.).
М а ш ц л а р.
К,уйидаги сиртлар билан чегараланган жисмнинг ^ажми топил-
син.
10.1.	(х—1)2 + </2 = г, 2x4-z — 2.
10.2.	z = In (х 4-2), z — In (6 — х), х = 0, х 4- у = 2, х — у = 2.
10.3.	(х2 4- У2)3 + г6 = aPxyz.
10.4.	(х2 4- г/2)2 4- z4 = а3 (х — у).
10.5.	(х2 4- у2 4- z2)3 = ае (х2 4- у2)~1.
_ х2+»г
10.6.	(x2 + y2 + z2)2 = a3z-e *2+у2+г2
/ Х%	\2	2^	2
10.7.	- 4- -| +- = -•
U2	Ь3 /	с1	h
^ + ^ + ~
10.8.	(- + - 4--Y = In ---------------х>0, у>0, z>0.
\ а Ь с)	_х .
а b
10.9.	х2 4-г/2 4-z2 = 47?z —37?2, 4 (х2 4-г/2) = z2 коиус ичидаги
к;исми).
10.10.	х2 4- у2 4- z2 = 1, х2 4- у2 + z2 = 16, z2 = x2 + y2 (х > 0,
у > 0, г > 0).
10Л1. е + Е1 = г2, 2Z = ^ + ^.
4	9	4	9
10.12.	x2 + y2 = ^z, x + z = 6.
10.13.	z = 6}/x2 + у2 ,г=16 — x2 — у2.
10.14.	z = / 64 —- x2 — у2 , z = 1, x2 4- У2 = 60 (цилиндр ташкари-
сида).
10.15.	z =У х2 + у2 , г=^ —х2 —г/2.
10.16.	z=	х2 — у2, 2z=x2 + y2
10.17.	z = 4 — 14(х2 + у2), z = 4 — 28х.
112
10.18.	z = 10(х2 + У2)+ 1, z~ 1— 20 г/.
10.19.	z = 24 (x2 + г/2) + 1, г = 48х + 1.
10.20.	z = 2 — 20 (x2 + г/2), г=2 —40 г/.
10.21.	+£ЗГ+ |//у= 1, х = 0, У = 0, г = 0.
10.22.	2z = 2х2 +4х2 + —=1, z = 0.
3	9
10.23.	г/2 + z2 = а2, у2 + z2 = х2, х-b (0< а < Ь).
10.24.	p +	=	+
\а2 Ь2 с2 )	\а2 Ь2 / с
10.25.	+^= 1, х = 0, у = 0, z = 1 (z> 1).
10.26.	(- + 6г/+-? = 3г, х= 0, у = 0, z= 0
(1 октантдаги шакл).
11-§. Уч каррали интеграллар ёрдамида
механикага оид масалаларни ечиш
текисликларга
сирт орасвда
кх, у) ва Vs Z)
ва цилицдрик
Бу параграфда уч каррали интеграллар ёрдамида берилган бир
жинсли жисмнинг массаси, огирлик маркази ва инерция момент-
ларини топишга оид мисоллар курилади (7- § да икки каррали ин-
теграллар ёрдамида бир жинсли пластинка учун ухшаш масалалар
курилган эди).
11-	мисол. Ушбу х2 + у2 + г2 = а2, х2 + у2 = ах сиртлар билан
чегараланган бир жинсли жисмнинг огирлик маркази топилсин.
Ечиш. Берилган бир жинслн :
нисбатан симметрии жойлашган (
жойлашгани учун z0 = 0, у0 = 0
ва х0 #= 0 булади (54- чизмада
жисмнинг z > 0 цисми курсатил-
ган).
Энди огирлик ^арказини то-
пиш учун х0 = — координ ата-
ки топиш етарли. Маълумки,
М = J р dx dy dz,
p x dx dy dz. (2.15)
Бир жинсли жисм учун р — 1.
Мисолни ечишда цилиндрик ко-
ординаталардан фойдаланамиз:	54- чизма
8—390
113
.	D (x, у. г)
x = rcos <p, у — r sin ф, z — z; ——- = r.
D(r,tp,s)
Бу системада сферанинг тенгламаси z2 = а2 — г2, циливдрнинг тенг-
ламаси г = a cos ф булади ва интеграллаш со^асн (Д) цуйидагича
тавсифланади (54- чизма):
(Д) = {(г, ф, z):-----~~	ф<^ ~;	0 г a cos ф;
— У а2 — r2< z < j/”а2 — г2}.
Энди М. ва Мх ми^дорларни ^исоблаш мумкин:
Л	л
2 a cos ф	/о8—7>	2	О
М = j dtp J г dr У dz = — У	(•/”а2 — г2] S|	• dtp =
__ Л О	...	3 Л	ДСОЗф
2	” 2
л
2
= —-У (1 — |sin3 ф|) dtp = Ц!-(Зл — 4)!
3 л	У
~ 2
л
2	a cos ф
Мх = 2 У cos ф dtp У а2 — r2 r2 dr =
_ Л	о
2
ттт »	Мх 9 л а
Шундай Ч«иб, X. - - =	.
Демак, ( 9я а— ; 0; 0^ нуцта огирлик марказидан иборат.
\8 (Зя — 4)	/
12- мисол. Ушбу — + — = — , — + ~= ± 1, — — = ±1>
7 а2 &2 с a b	а b
сиртлар билан чегараланган бир жинсли (р = 1) жисмнинг ((У) со^а-
нинг) огирлик маркази топилсин.
114
Ечиш. Жисмнинг (х, у) текислик-
ка проекцияси (55- чизма) чизи^-
ларнинг икки турли оиласига те-
гишли тугри чизиклар орасида жой-
лашгани учун янги узгарувчиларни
X , и	Хи
	[- — = и,--— = V, Z = Z
a--------------b	a b
^бунда -^~ У' = ^формулалар
ортали киритамиз. Шу узгарувчи-
лар ёрдамида параболоиднинг тенг-
ламаси z = ~ (и2 + о2) куринишда
55- чизма
ёзилади. (V) соланин г акси (Д) со^а ^уйидагича тавсифланади:
(Д) = {и, v, г): — 1 < и < 1; — 1 < о < 1; 0 z < -|- (и2 + v2)}.
Равшанки, тегишли шакл (х, z) ва {у, г) текисликларга нисбатан
симметрии жойлашган. Демак, х0 = 0, у0 = 0 булиб, z0, М ва Мг
миедорларни ^исоблаш учун ушбу
z0 =	, М = £ J f dx dy dz, Мг = f J J z dx dy dz
формулалардан фойдаланамиз. Содда ^исоблашлар бажарамиз:
с- («*+»*)
I 1	2.
М = f du f dt> f dz =	;
4 -1	-1 a	3
i	i	~ <u!+°2»
Mz = ^y dMy dv z dz= ^2;
4 6	±1	о	90
7c
Z° 30
Шундай ^илиб, Д( 0; 0; —) — огирлик маркази.
2	2	2
3	3	3
13- мисол. Ушбу j -j-	j = 1 сирт билан
115
чегараланган (56-чизма) бир жине-
ли жисмнинг (х, у) текисликка
ва Oz увда нисбатан инерция мо-
ментлари топилсин (р = 1).
Ечиш. Изланган инерция мо-
ментлари ушбу
1ху = ИJp г* dx йУ dz> (2J6)
h р(х2 + У2) dx dy dz
(V)
(2-17)
формула ёрдамида хисобланади.
Сиртнинг берилишига ^араб, а=3,
Р = 3 булган хол учун умум-
лаштирилган сферик координата-
лар киритамиз. Бу хрлда
PSX’...У’. г) — 9 д£с cos2 ф-sin2 m-cos5 0-sin2 0.
D (г, ф, 6)	v	'
Сиртнинг тенгламаси г = 1 булган содда куринишга эга, янги интег-
раллаш со^асини руйидагича тавсифлаш мумкин:
(Д) = ^(г, ф, 0): 0 с; ф 2л;--------< 0^	; 0 <:/ г 1 j.
Хрсоблашларни амалга оширамиз:
• я
2я	~2~
Ixv = 9abc3 f cos2 ф sin2 q> dq> \ cos5 0  sin8 0 dQ ( r1 dr =
o"	' я	b
2
! 9 \
pm . p /--j
__9л abc3	\ 2 / __ 4л abc3
20	/15\	~	715 ’
Г —
я
Я/2	2
lz = 72 abc cos11 0- sin2 0 dd J (a2 cos6 ф +
d	о
i
b2 sin6 ф) cos2 ф sin2 ф dtp f r1 dr
6
(бунда интеграллашни I октантда бажариб нагижани 8 га купайтир-
дик). Энди /2 ни Эйлернинг Г(х) функциясига келтириб осонгина
^исоблаш мумкин:
116
г 4«rt abc /о» fo\
' = “FIT'0+^'
14- мисол. I октантда z = 2 (x2 + У2),
z = x2 + y2, xy = 1, xy = 3, у = x, у = 2x
сиртлар билан чегараланган жисмнинг ^ар
бир нуцтасидаги зичлиги p = xyz. Шу жисм-
нинг массаси топилсин.
Ечиш. Жисм иккита параболоид, икки-
та гиперболик цилиндр ва иккита текислик
билан чегараланган (57- чизма). ХаР бир
сирт оиласининг параметрини янги и, v, w
координаталар деб оламиз:
у = и-х, ху = v,z = w(x2 + У2)-
Тегишли якобиан осснгина ^исобланади;
D (х, у, г) _	_1_\
D (и, v, w) 2 V + и2 /
Янги (и, v, w) системада интеграллаш со^а-
сини тавсифлаймиз:
(Д) = {(u, v, w): 1 и < 2;
1 < v < 3; 1 w <£. 2}.
57- чизма
Бу со^а параллелипипеддан иборат. Эндй жисмнинг массасини
М = ,ffJ Р dx dy dz = f JJ xyz dx dy dz
<И)	(V)
формула ёрдамида ^исоблаймиз. Бу формула алмаштириш натижаси-
Да
М = J J •v2 • —-f 1 + —du dv dw
(V)	\ и J 2 U2 j
куринишга келади. Энди (Д) параллелепипед учун М микдорни ' ^и-
соблаш цийин эмас:
2	3	2'
М = -i-J (и 4- — 4- —] d и f v3 dv j” w dw =
2 i \ и и3 I i i
15
= —(16 In 2 4- 15) (масса бирлиги).
8
15- мисол. Параметрик тенгламаси х = (а 4- b cos 6) cos <р, у =
= (а 4- b cos 0) sin <р, z = b sin 0, a>b муносабатлардан иборат
булган сирт билан чегараланган бир жинсли жисмнинг (р = 1) Ох
у^ига нисбатан инерция моменти топилсин.
Ечиш. Берилган сирт тсрдан иборат, унинг ярми 58- чизмада
курсатилган. Торнинг ичидаги ихтиёрий М. нукда учта координата
билан аницланади:
117
<р — Л. хОА, г = AM,
Q — ВАМ.
М-а
Ав-6
Шаклдан куринадики, бутун тор
ичидаги жисм учун (Д) соха бун-
дай тавсифланади:
(Д) = {(г, q>, 0): 0 < ф < 2л;
О г < b; 0 sg 0 < 2л}.
Энди тор ичидаги хаР бир ну^та
- учун
58- чизма	х = (а + г cos 0) cos ф,
у = (а + г cos 0) sin ф,
z = г sin 0,
I D (х, у, г) I ,	, Q.
—-—-—- = г (а + г cos 0)
I D (г, <р. 0) |
муносабатларга эгамиз.
Ох у^ига нисбатан инерция моментини ушбу
4 = ПJ (У2 + z2) dx dy dz =
(А)
= [ JJ r(a + г cos 0) [(а + г cos 0)2 sin2 ф + г2 sin2 0] dr t/ф d0
(А)
формула ёрдамида хисоблаймиз. ^исоблашларни амалга оширамиз:
2Л 2л b
1 = §d ф Jdd J [г (a + r cos0)3 sin2 <р 4-г3 (а 4-г cos0)sin20J dr =
ООО
2Л 2Л
= J d<f J	—h а2 b3 cos0 4- -у ab* cos20 4—|-cos30 ^-sin2 ф 4-
4- (—- + ~ cos0 'j • sin20 ld0 =
\ 4	5	) J
2Л
ла3 b3 4- nab* jsin2 ф 4- —d<p == -n a~ ^4 a2 4- 5 &2j*
Mamyap.
1. К,уйидаги сиртлар билан чегараланган бир жинсли жисмнинг
огирлик маркази топилсин (агар алохида айтилмаган булса, р — 1
деб олинади):
11.1. z2 — ху, х = а, у = b, z = 0 (а> О, Ь^> 0).
П-2, -i/л. , 1/а , 1/-L = 1. *>0, У>0, г>0.
У а + V Ь \ с
118
2	2	2
3	3	3
11.4.	x2 + у2 + z2 = a2, x2 + у2 = a(a — 2z), 0«gz<a.
y2 fji	2^	y2	fj‘2 2^	_
11.5.	—4-—4-—- — h —+-^- = —,z>0.
a2 t>2 c2	a2 b2 C2
11.6.	X2 + y2 = Z, x + yH-Z=0.
11.7.	z= ~y2, 2x4-3y—12 = 0, x = 0, y = 0, z=0.
11.8.	z = 2 (x2 4- y2), z = x2 4- У2, xy = a2, xy = b2,y = ax,
y — ^x (0< a<b-, 0<a<P).
11.9.	x24- z2 = a2, y—1, у — 3, z = 0 (z>0).
11.10.	z = 4 — x2 — y2, z = 1, x — 0, y = 0(x>0, y>0).
11.11.	2z = x24-4x4-y2 —2y4~5, z = 2
а) p= 1, б) p =(x4-2)24-(y — l)2, в) p = z (x2 + y2).
11.12.	x2 +y2 = 2 p (z — h), x2 + y2 = 2p h, z = 0,
p > 0, h > 0; p = const.
11.13.	x2 4- y2 4- z2 ^2R z, p = x? 4- у2 + г2.
II.	К,уйидаги сиртлар билан чегараланган жисмнинг хар бир нуц-
тасидаги зичлик р = р (х, у, г) булганда жисмнинг массаси топилсин.
11.14.	х24-у24- z2 = R2, х2 4- у2 4- z2 = 2R z, p = z (0<z<£).
11.15.	х2 4- у2 = 2a z, х2 4- у2 4- z2 = За2 (z> 0 ва х2 4- у2 < 2az),
р = к2 4- у2 4- г2.
11.16,	у ~ 9х, у = 0, х — I, z = v' xy, Z = 0, р = 1 4- 2у3.
11.17.	z = х2 4- Зу2, z = 0, у = х, у = 0, х = 1, р= 15x4-30г.
11.18.	г = 10у, х 4- у = 1, х = 0, у = 0, г = 0, р = Зх2 4- у2.
11.19.	г = ху, г = 0, у = 10х, у = 0, х = 1, р = х.
11.20.	г = 30(х2 4- 2у2), г = 0, у = х, у = 0, х = 1, р = х 4- у.
11.21.	г = ах4-3у, х4-у = 2, г = 0, у = 0, х = 0, р = х2.
119
Ш. (х, у, z) фазодаги (V) жисм учун (х, у), (у, г), (г, х) текислик-
ларга нисбатан ва О (0, 0, 0) координаталар бошига нисбатан инер-
ция моментлари
1ху = ЛЬ2 р(х, у, z) dx dy dz,	(2-16)
(V)
/ =	х2-р(х, у, z) dx, dy dz,	(2.17)
(V}
lzx f И У2 Р(Х’ У’ г) dx dy dz,	(2.18)
(Vi
70 = J f J (X2 + Z/2 + Z2)-P (X, г/, z) dx dy dz (2.19)
(V)
формулалар ортали топилади. Ox, Оу, Ог координата уцларига нис-
батан (И) ж (смнинг инерция моментлари учун
<<= Щ (г2 + у2)‘р(х- у> г) dx dy dz, (2.20)
(V)
/у = J J J (z2 4- x2)p (x, y, z) dx dy dz, (2.21)
(V)
Ц = Ш (*2 + У2) • P (*, y, Z) dx dy dz	(2.22)
(V)
формулалар уринли.
IV. К^'йидаги сиртлар билан чегараланган жисмлар учун сурал-
ган инерция моментлари топилсин:
11.22.	+ - = 1
а’ й2 ' с3
it
а2 й3
Р = 1. 4 = ?
а
11.23.	x + y + z = a /2, х2 + у2=а2 (а>0), р = 1. /г = ?
11.24.	4-— 2-—, ±+Л = £.,р=1. у ?
а? № с abc
11.25.	x = (a + b cos 0) coscp, у = (а + b cos 0) sin ср,
z = b sin 0, 0 < b < а, р = 1. 1г = ?
Н.26. (±S+^+^2=2	+	+
(а3 й2 с3/	\а’ й2 с’/
(а> О, b >0, с> 0), р = 1. Ixy = ? Iyz = ? Izx = ?
11.27. г = (х2+у2 + г2)2, р = 1. 1ху =? /уг = ? /гг = ?
11.28. г = 4 —х2 —у2, z = 0, х = 0, у = 0 (х > 0, у > 0),
р= 1. /,у =? /уг = ? /гг = ?
11.29.
г2
|2
р = —!----/	= ? I = ? j = ?
Х2ц.^4г2 ХУ	yz	ZX
120
11.30.	х2 + у2 = а2, у2 + z2 = а2, Р = ~~ z2-
1ху = ? /уг = ? /гг = ?
11.31.	z = (х2 + у2 + z2)3, р = р0 (const). 1Х = ? /у = ? /г =
11.32.	х2 + у2 + z2 = a2, z = j/x2 + у2, р = 1.
1Х = ? /у = ? Iz = ?
11.33.	(х2 + у2 + г2)2 = х2 + у2, р --= х2 + у2 + z2.
/0 (^утб инерция момента) = ?
11.34.	- +^ — z2 = 1, z = 0, z= 1; р= 1. /г = ?
2	2	г
11.35.	х2 + у2 = 2р (z — h), х2+у2 = 2ph, z = 0
(р>0, /i>0); р = 1, /г = ?
121
Ill боб
ЭГРИ ЧИЗИЦЛИ МНТЕГРАЛЛАР
Эгри чизи^ли интеграллар ^а^ида назарий материални тегишли
адабиётдан пухта урганиб олиш керак. Масалан, Г. М. Фихтенгольц-
нинг 3 жилдлик «Математик анализ курси». III жилдидан XV боб-
нинг 1—3- § ларни билиш лозим. Шунингдек, уша китобдан
XVI бобнииг 3- § ини уциш керак.
12-§. I тур эгри чизицли интеграллар
Текисликда бирор тугри бурчакли (х, у) координата системаси тан-
лаб олинган булсин. Текисликда узлуксиз булакли — силли^ у = АВ
эгри чизикда узлуксиз f(M)=f(x,y) «ну^та функцияси» берилган
булиб, dl эгри чизи^ ёйининг дифференциали булсин. У ^олда у=АВ
эгри чизи^ (ёки йул) буйича олинган биринчи тур (1 тур) эгри чи-
Зи^ли интеграли
J f(M) dl = f f(x,y)dl
(3-1)
куринишда ёзилади.
Ушбу таърифларни эслатиб утамиз: АВ эгри чизиц x = x(t), у —
= y(t) (/0</<Т) тенгламалар билан параметрик шаклда берилсин.
Агар x(t), y(t) функциялар узлуксиз булиб, биринчи тартибли узлук-
сиз х’ (/), у' (t) хосилаларга эга (улар бир ва^тда нолга тенг эмас)
Я
4
59- чизма
булса, у ^олда АВ эгри чизи^
силлиц эгри чизи^ деб аталади.
Чекли сонда си л лир; булаклардан
тузилган узлуксизэгри чизиц бу-
лакли— силли^ эгри чизиц де-
йилади (59- чизма).
Ей дифференциали dl ^акида
^ам керакли маълумотларни кел-
тирамиз:
а)	(х, у) текисликда ёй диф-
ференциалининг ифодаси
(dl)2 = (dx)2 + (dy)*	(3.2)
122
куринишда олинади ва унда dl>Q деб к>абул ^илинади.
б)	Параметрик x = x(t), у — у(t)	тенгламалар билан
берилган у эгри чизиц учун
dl = /(х' W)2 + (f/W • \dt\.	(3.3)
Агар dl ёй дифференциали t нинг усиш томонига к>араб ^исоблан-
ган булса, d/ = j/(х')2 + (y'^-dt куринишда ва t нинг камайиш то-
монига хараб ^исобланса, dl ——j/(x°t)2 + (y't)2• dt куринишда оли-
нади,
Кейинги формулаларда ^айси узгарувчи параметр (эркли) деб олин-
ган булса, биз унинг усиш томэиига ^араб dl ёй дифференциалини
хисоблаймиз.
в)	у — АВ нинг тенгламаси у = у (х) (а х < Ь) куринишда бул-
са у х°лда
dl= /1 +(y;)2-dx;	(3.4)
г)	у = АВ эгри чизих х = х(у) (c<y^d) тенглама билан бе-
рилса, у холда
d/ = /1 + (x'^-dy,	(3.5)
д)	Текисликда (г, <р) (х = г costp, у = г  sin <р) хутб координата-
лар системаси олинган булса, у холда dl ёй дифференциали учун
формула
(d/)2 = (dr)2+rW2	(3.6)
куринишда ёзилади. Бунга кура хуйидагига эгамнз:
е)	Агар у — АВ эгри чизих г = г (ф) (а < <р < р) тенглама билан
берилса, у холда
dl = /	+ г2  dy’,	(3.7)
ж)	Агар у = АВ эгри чизих ф = ф (О (гх < г < г2) тенглама би-
лан берилса, у холда
. dl= /1 +г2-(ф;)2-^г.	(3.8)
I тур эгри чизи^ли интегрални одатдаги (Риман маъносидаги) аних
интегралга келтириш мумкин. Юхорида курсатнлган формулалардан
фойдаланиб, интеграл остидаги ифодани битта параметрга (эркли уз-
гарувчига) боглих хилиб хуйидагиларни ёзиш мумкин:
t,
J /(х, y)dl — J /(х(0, У(0)  /(^)2 + (У/)2 dt\ (3-9)
V	6
ь
J f (х, у) d/ = J / (х, у (х)) • /1 + (у$ dx-, (3.10)
V	а
123
d
J f (X, y) dl = (x (y), yj) • /1 + (x'f  dy, (3.11)
v	c
J f (x, y)dl = J f (r costp, r sintp)-/"(гф)2 + r2-d<p;	(3.12)
V	Ф1
J f(x, y)dl = j / (r costp, rsintp)  7Л1 + r2(<p')2-dr.	(3.13)
V	H
Бу формулаларда унг томондаги аниц интегралнинг цуйи чегараси
кцори чегарасидан кичик булиши назарда тутилишини айтиб утамиз.
Энди I тур эгри чизикли интегралнинг хоссаларини келтирамиз:
1. АВ эгри чизиц буйича ^исобланган j dl эгри чизицли интег-
АВ
рал ми^дор жцатидан АВ ёйнинг узунлигига тенг, яъни
f dZ = L_.	(3.14)
Ж лв
2.	I тур эгри чизикли интеграл эгри чизиеда кабул ^илинган йу-
налишга борлиц эмас, яъни
J f(x, y)dl = J j(x, у) dl. -	(3.15)
AB	BA
3.	J	[j(x,	y)±g(x,	y)]dZ=J^	fix,	y)dl± j”	g(x, y)dl. (3.16)
'AB	AB	AB
4.	Агар AB ёй иккита AC ва СВ ёйлардан тузилган булса,
у ^олда
J f(x, y)dl = jj(x,y)dl+Jj(x, y)dl. (3.17)
AB 	AC	CB
Таъкидлаб утамизки, у = AB моддий эгри чизик буйлаб узлуксиз
текис жойлашган .массаларга оид масалалар 1 тур эгри чизикли ин-
тегралларга оид келадн. Масалан, у эгри чизицнинг барча Л4 (х, у)
нукталаридаги массанинг чизикли зичлиги р (уИ) = р (х, у) маълум
булса, ушбу
р (М) dl = j р (х, у) dl
1 тур эгри чизикли интеграл ^иймати у эгри чизи^нинг т — умумий
массаси цийматига тенг:
т = J р (х, у) dl.	(3.18)
v
124
Моддий у = АВ ясси эгри чизицниинг координата уцларига нисбатан
статик моментлари
Ау = J х-р(х, у) dl, Кх = J У Р(х, y)dl (3.19)
V	V
формулалар орцали, унинг Мс(хс,	ус) огирлик маркази координата-
лари	
У х-р (х, у) dl	f У-р(х, y)dl
V = 		, с	т	9	ус =		 (3.20)
тегишли формулаларни мисоллар
формулалар буйича цисобланади.
Фазовий эгри чизицлар учун
ечиш давомида курсатиб утамиз.
13-§. I тур эгри чизицли интегрални цисоблашга дойр мисоллар
С dl
1-	мисол. | у х2 ^2 ЭГРИ чизицли интеграл цисоблансин.
v
Бу ерда у — текисликдаги Л(1; 2) ва 5(3; 6) нуцталарни туташти-
рувчи турри чизиц кесмаси.
Ечиш: Аввало Л ва В нуцталардан утадиган турри чизиц тенг-
ламасини топамиз. Бу тенглама у = 2х куринишга эга эканига ишонч
цосил цилиш цийин эмас. Энди х узгарувчини параметр (эркли) деб,
ёй дифференциалини dl = yzl + CQ--dx формула орцали цисоб-
лаймиз: АВ кесма учун у = 2х, dl = У 5-dx (1^х^3), шу сабаб-
ли куйидагига эгамиз (бунда (3.10) формуладан фойдаландик):
з г______
Р dl ________________ У 5 dx _____________
J / х2 + у2 + 4	.)	;. 5х'2 -Ь 4
V	1
з	__
= In I ;7 5 • х + у'5х2 +4 | I = In --
I r	1 'i /5 -уз
2-	мисол. j ху dl дгри чизицли ин-
теграл цисоблансин, бу ерда у — те-
кисликда 31 х j + 41 у | = 12 тенглама
билан берилган контур.
Ечиш. 31 х | + 41 у | = 12 тенглама
билан берилган туртбурчак ABCD
ромбдир (60- чизма), унинг томонлари
тенгламаларини ёзамиз:
Зх+’4у=12 (АВ);
— Зх + 41/ =12 (ВС);
125
Зх + 4у = — 12 (CD); Зх — 4у = 12 (DX).
(3.17) формулага асосан ёзамиз:
J xydl = J xydl+ [ ху dl + j ху dl + j xydl.
V	AB	BC	CD	DA
12- § даги (3.9.) — (3.13) формулаларда параметрни (эркли узга-
рувчини) усиш томонига к;араб олганмиз, dl > 0. Шунинг учун
dl = V1 + (у'х)2 • dx деб олсак,
АВ да у = 3 — — х, dl = — dx, 0 < х < 4;
4	4
ВСдау = 3 + -х, dl = — dx, —4<х<0;
4	4
CD да у = — 3--— х, dl = — dx, — 4 < х < 0;
4	4
DA да у = — 3 + — х, dl = — dx, 0 < х < 4.
4	4
Демак,
V	0	—4
О	4
+ 1 х(—3--х^ — dx+fxf—3 4—х) — dx = 0.
J \	4/4	.1	(	4 / 4
—4	• О
(Биринчи ва туртинчи
интеграллар йигиндиси
3- мисол
интеграллар йигиндиси хам, иккинчи ва учинчи
Хам 0 га тенг).
у dl эгри чизицли интеграл хисоблансин бу ерда у
61- чизма
чизиц У2 = параболанинг х2 =
= 4у парабола билан ажратилган
цисмидир.
Ечиш. Шартда курсатнлган па-
раболалар 0(0,0) ва А (4; 4) нух-
таларда кесишади, яъни (х, у) те-
кисликда у эгри чизих ОтА ёй би-
--------------------------------"-х
лан тасвирланади (61-чизма). ОтА
эгри чизих тенгламасини х= —у2деб,
унинг ёй дифференциалини (3.5)
формула орхали хисоблаймиз:
126
ОтА да x' = — у, d/ = у /4 4- y2-dy (0 <у < 4).
Энди (3.11) формулага асосан узил-кесил топамиз:
\ydl=~\yV 4 +у2 dy = 4 (/ 4 + у2)3	=
•'	J	6	0
V	о
= ~ (8/125-8) = | (5/^-1).
о	3
4-	мисол. J /2y-d/ эгри чизикли интеграл ^нсоблансин, бу ерда
V
у— циклоиданинг биринчи арки, яъни
х = a(t —sin f), у = а (1 —cos t) (0 < t «ч 2л).
Ечиш. у эгри чизиц параметрик тенгламалари билан берилган.
Ёй дифференциалини (3,3) формулага асосан ^исоблаймиз:
xt — а(1 — cost), y't = a-sint,
dl — /(1 — cos/)2 + sin2 t-a-dt = a /2(1 —cast)-dt (0 < t < 2л).
(3.9) формулага асосан топамиз:
2л
J /2у dl = J /2а(1 —cos/)-а/2 (1 —cos/) dt ==
V	о
2л
= 2а -у/ а У (1—cos/) dt = 4ла /а.
о
5-	мисол. f arc tg —  dl эгри чизицли интеграл хисоблансин, бу
ii•	*
ерда у — маркази координаталар бошида (кутбда) ва радиуси R га
тенг булган дойра ичида жойлашган г=2<р Архимед спиралининг
ёйи.
Ечиш. Кутб координаталар системасида г = 2<р Архимед спирали
ва R радиусли айлана ни чизамиз. Улар кесишган нуцта B(R\ R/2)
дир (62- чизма). Масала шартидаги у эгри чизи^ ОАВ ёйни тасвир-
лайди. Чизма дан куриниб турибдики, ОАВ ёйдаги М. (г, <р) ну^талар
радиус—вектори узунлиги 0 дан R гача узгаради. Шунинг учун
эркли узгарувчи (параметр) деб г ни кабул киламиз ва ёй дифферен-
циал ини di = / 1 + г2 (<(/)2 • dr (3.8) формула буйича ^исоблаймиз.
Равшанки, ОАВ ва <р = — г, q/ = dl =	j/4 -J- г2 dr (0=СХ7?).
/утб координаталарига х = г cos <р, у = г sin <р формулалар ёрдами-
да утамиз. Интеграл остидаги функция у эгри чизикда arc tg ~ =
127
булади. Энди хисоблана-
= arctg (tg <р) = <р = г куринишга эга
топилади: arc tg — dl =
v х
^(4 + г2)3/2Г =
z	Io
ётган интеграл (3.13) форму лага асосан
я
о
=	[(4+Я2) /4 + Я2- 8].
6-	мигол. J х./х2— y2-dl эгри чизицли интеграл цисоблансин
v
бу ерда у — лемнискатанинг унг япроги, яъни
Ечиш. К,утб координаталарида лемнискатанинг тенгламаси г2 =
= a2 cos 2ср ва унинг унг япроги ф = —j- ва ф = + -j- нурлар ора-
сида жойлашган булади (63- чизма). ОтАпО эгри чизицда г —
= а /cos 2<р, г' = — ^=L /— Л < ф Энди ф — цутб бур-
* У cos 2ф \	4	4 /
чагини параметр деб, ёй дифференциалини (3.7) формула орцали ци-
соблаймиз: аввало .
(/)2+г2 =	dl =	« = </ф — — < ф < 21 .
'	cos 2<p	cos 2<р	\	4	4 /
Интеграл остидаги функциянинг у эгри чизицдаги цийматини топиш
учун лемниската формуласидан фойдаланамиз:
х2 — z/2 — -L (х2 + г/2)2; х /х2 — у2 = — (х2 + у2) — — г3 cos ф =
а2	а	а
= — (а r' cos 2<p)3 cos ф — а2 [Уcos 2ф)3 cos ф.
128
Демак, (3.12) формулага асосан узил-кесил топамиз:
Я/4
j х у'х2 — у2 dl — J а2 (у4cos 2tp)3 cos <р •	dtp —
у	—Я/4	у cos 2<Р
Л/4	Л/4
f	а3 С
= a3 J cos 2<р cos (р dtp = у J (cos 3tp Ц- cos <р) dq> ~
—я/4	—Я/4
/1 Я/4 2 -
= а3 sin 3<р + sin <р j = у ул 2 а3.
7-	мисол. I = J e^x‘+y,-dl эгри чизицли интеграл хисоблансин.
v
Бу ерда у чизих г = а, <р = 0, tp = — (г, ср — ХУТ^ координаталар)
эгри чизиклар билан чегараланган цаварих контурдир.
Ечиш. К,утб координаталар системасида у контурни чизамиз (64-
чизма): г = а — маркази хутбда, радиуси а га тенг айлана, <р — 0 —
цутб уки, tp — у---------цутб уцига бурчак остида огишган ОВ
нур-
у контур ОА кесма, АВ айлана ёйи ва ОВ кесмадан ташкил
топган булакли — силлих эгри чизи^дир. Равшанки,
О А да <р — О, О г < a, dl = -j/1 + г2 (tp')2 dr — dr,
АВ да г — а, 0 < <р < r'v = 0, dl = yrr2 -j- (г^)2 • dtp = a dtp;
ОВ да <р = —, 0 < г < a, dl = dr.
4
Энди (3.17) формуладан фойдаланамиз:
I = У z*2+"’ dl = У f dl = f er dl + J er dl + J er dl.
V	У	ОА	OB
Ю^оридаги маълумотларГа кура топамиз:
а	я/4	а
/ = У er dr + У а-еаdtp + У dr = 2 (еа — 1) + аеа.
оо	о
Энди бир нечта эгри чизикуш
интегрални фазовий эгри чизиклар
буйлаб хис°блаймиз, (х, у, z) фа-
зодаги эгри чизих учун ёй диффе-
ренциали
dp = dx2 + dy2 + dz2 (3.21)
формула орцали хис°бланаДи- ХаР
бир мисолда бирор узгарувчинн па-
раметр деб, ёки бошк,а t узгарувчи-
ни киритиб, эгри чизик^и х = х (0,
9—390
64- чизма
129
У — У z~ z(l) (Л С / < /г) параметрик тенглама билан бериш мум-
кин. У ^олда
dl = V^x2 + у'2+ z2- dt (tx < t < Q	(3.20)
формулага келамиз.
8-	мисол. I =- [ (2z — x2 + у2) dl эгри чизикли интеграл ^и-
V
соблансин, бу ерда у — конуссимон х = t cos t, у = t sin t, z= t
винт чизигининг биринчи урами.
Ечиш. Мисолнинг шартига кура t параметр 0 дан 2л гача узга-
ради; у эгри чизи^нинг М (х, у, z) ну^таси учун х2 + у2 — z2 тенг-
лик уринли, демак, у эгри чизи^ доиравий конус сиртида жойлашган
(65- чизма). 0(0; 0; 0), Л 0; В (—л; о; л), С ^0; —
О (2л; 0; 2л) нуцталар у га тегишли. Ёй дифференциалини ^исоб-
лаймиз:
у да х{ = cost — t sin i, y't~ smt + t cos t, zt —- 1,
dl = /v + y't + z't dt = /2T^2' dt (0	2л).
Интеграл остидари }(х, у, г) функция эса у эгри чизи^ ну^таларида
2z—У х2 + у2 = 2t— Уt2 = t га тенг. Натижада f(x, у, z) = t
эканини эътиборга олиб, узил-кесил топамиз:
2л	2л
I = f (2z-Z^T72) di == f t. УТ+F dt = | (УгГ*2)31 =
v	о	0
=-	[(1 + 2л2) УТТГл2 - 1].
9-	мисол. I = J xyz dl эгри чизикли интеграл ^исоблансин, бу
v
130
D2
e рда у чизиц х2 4- У2 + z2 = Я2, х2 + у2 = айлананинг биринчи
октантдаги чораги.
Ечиш. у эгри чизик маркази 0(0; 0; 0) радиуси R га тенг бул-
ган х2 + у2 4- z2 = У?2 сфера билан симметрия уци Oz ва (х, у) даги
йуналтирувчиси х2 + у2 = айлана булган цилиндрик сиртнинг ке-
сишиш чизигидир (66- чизма). (х, у, г) фазодаги у нинг тенгламаси-
02
ни топиш учун х2 + у2 = — мицдорни х2 + у2 + z2— Я2 га цуйиб,
у эгри чизи^ я2 + fr = -р г =	/? тенгламалар билан ани^ла-
нишнга ишонч цосил циламиз. Цилиндрик (г, <p, z) координаталар
системасига х = г cos <р, у —_г sin <р, z = z формулалар орцали утсак,
у = АВ ей г = ~2~, z= Я, 0 < <р < шартлар билан берилади.
К,утб бурчаги ф ни параметр деб цабул цилсак, АВ ёйнинг парамет-
рик тенгламаси ушбу
х = -о- cos ф, у = -х- sin ф, z = -Цт- Я (О ф < л/2)
куринишда булади. Бу шартлардан z'v = 0, х'ф = — ~ sin ф, уф =
= ~ cos ф ва dl = у' х2 + у'2 + z2 - dtp = dtp муносабатларни то-
пиб, интегрални цисоблаймиз:
Л/2	.—
С	С R R „ V3 п #
I xyz dl J -у cos ф sin ф Я • «ф =
V	о	•
10-	мисол. I ~ J х2 dl эг-
V
ри чизицли интеграл цисоб-
лансин, бу ерда дизиц х2 +
+ у2 + z2 = а2, х + у + z = О
айланадан иборат.
Ечиш: у айлана х2+у2 +
+ z2=a2 сфера билан О (0;0; 0)
дан утувчи х + у + z=О
текисликнинг кесишиш чизи-
гидир (67- чизма). Бу айлана-
нинг радиуси а ва узунлнги
2ла га тенг. Бу мисолни икки
усул билан ечамиз.	67-чизма
131
1- увул, ^исобланаётган интегрални Л = j х* &1 деб белгилаб
v
оламиз. Агар Ох, Оу, Ог уцларининг номларини узаро алмаштирсак,
у айлана тенгламаси узгармайди, фа^ат интеграл остидаги функция
номи (белгиси) узгаради: х билан у ни алмаштирсак, янги /г =
~ J уг dl интегрални, х билан г ни алмаштирсак яна ^ам янги /3 —
v
= J z2 dl интегрални ^осил циламиз. Бу интеграллар циймати узга-
v
рувчининг номига боглиц эмас, демак, Д — /2 — h- Интеграллаш
йули у бир хил булгани учун (3.16) формулага асосан
J* = /х 4- /2 4- /3 = у х2 dl + У ifdl + У z2d/ =
v	v v
—. У (х2 4- у2 4- z2) dl — У a2 dl = а2 У dl = а2-2ла = 2ла3.
t	v	v
Бу ерда биз (3.14) формуладан фойдаландик. Демак,
I = У X2 dl = 1 /* = у- а3.
f
2- у с у л. Сферик (г, ф, 0) координаталар системасига х — г cos <р X
X cos 0, у — г sin <р cos 0, z = г sin 0 формулалар орцали утсак, сфе-
ра тенгламаси г = а, текислик тенгламаси tg 0 = — (cos ф + sin ф) ку-
ринишда булади. Умумий ^олда ф мицдор 0 дан 2л гача узгаради,
лекин ADCBA ёй буйлаб юрсак, ф мицдор — л/4 дан гача узга-
ради. 0 бурчак эса уткир булиб, манфий ва мусбат цийматларни
цабул цилади, шунинг учун cos 0 > 0 булиб, sin 0 нинг ишораси
tg 0 нинг ишораси билан бир хил булади:
V1 4- tg2 9	j/2 + sin 2<р ’
_ tg 0	_ _____cos q>-[~sin Ф _ _____ (cos <p-j-sin<p)2
Sln	V1 +tg20	/24-sin 2 <p	y^24-sin2<p
X sgn (cos ф + sin ф) —
- ; ’-j— 2JL. sgn(cos ф 4- sin ф).
|Z 2 4- sin2 q>
ADC ёй нуцталарн учун ------< Ф < -j-j, tg0<O, sgп(cosф +
+ sinф) = 1 ва СВА ёй нукталари учун <ф< -yj, tg0>О,
з§п(созф + зшф) = — 1. ф эркли узгарувчини параметр деб, ADC
ва СВА нинг параметрик тенгламаларини ёзамиз:
I	л	Зл \
ADC-------< ф < —
\ 4	4 )
учун
a cos <р
24-sin 2 <р ’
132
_____ ay 1+sin 2 ф
/2+sin 2 <р
а cos ср
учун X =
j/ 2+sin 2 <р
l^-sin 2 ф
asincp
У = —....... — ’
/2 + sin2 <р
п х" /Зя   	7 л
СВА I — Ф < —
\ 4	4
у — a sin <р
y ^+sin 2 <р
Иккита ADC, СВА ёйдаги dl ёй дифференциали бир хил була-
ди, интеграл остидаги х2 функция хам бир хил цийматга эга. Шу-
нинг учун
a?
1 = \x2dl = 2-J x2dl.
7	ADC
энди dl = ]/" x*2 + у'у2 + z2  dtp (---+ <p + ни хисоблаймиз.
, _ Г —[sin <p _______ cos <p cos 2 ф
ф [/2+sin 2 <p (/2+sin 2 ф)3 ’
, __Г cos <p _________ sin<pcos2<p
^ф ~ [/2 +sin2<p (/2+sin 2 ф)3 J’
. _______ _______— a cos 2 <p______
ф ( + 2+sin 2 <p)3-/l+sin 2 ф ’
Ч2 + У J + 2Ф2 =	+ 7^^ +
v [2+sin 2 <p (2 + sin 2<p)3
4--------nC _s 2<P----•] = -------------[(2 + sin 2ф)2 + cos22ф +(1 —
(2+sm 2ф)3(1+81п 2 <p)J (2 + sin 2<p)3
• n	За2	3	,
— sin 2 ф)] =-------------; dl =---------------d<p.
(2+sin 2 ф)2	2 + sin2<p
Излаиаётган эгри чизицли интегрални ёзамиз:
Зл/4 _____________________	ЗЛ/4
ADC	“Я/4	-"/4
ЗЛ/4
+f	бу ерла
—Л/4
ЗЛ/4	Зл/4
г	cos2<p-dq; _	1 I _
1	J (2+sin2<p)2—	2(2 + sin2<p)| — U’
—Я/4	—л/4
Зя/4	Зл/4
/ — f d(P C	dtp
2	J (2+sin 2<p)2 “ J [1+2 sin2(<p+n/4)]2
—Я/4	—Я/4
I2 да ф + -у- = / алмаштириш бажарамиз. Унда ^ = 0; /2=л ва
133
Я	Я/2
/2 = J 7iT^)2 =2- J (, :Д„2/)2 - деб оламиз, чунки 0 <
о	о
t < ва -у- t п оралицлар учун интеграл циймати бир хил-
Шундай цилиб,
Я/2	Я/2
I = 2а3/3 f 2Л2 = 2а3/3 • С --------------------------rr~4r
J (l+2sin*/)*	J.	/J_	V	smV
°	°	S П	!sin2/+	/
интегрални ^исоблаш керак. и = ctg t деб алмаштириш бажарамиз.
du —------1 4-u2 = ——; /t = 0 да ^ = 4-00; t2 = л/2 да
sin2/	sin2/
/— f'+°° u2 I 1
u2 = О ва I — 2a3y 3j (U2 + 3)^^u хосмас интегралга келамиз.
о
Аницмас ва хосмас интегралларни ^исоблаш усулларига асосан то-
памиз:
I — 2а3у/~3  [ —arc tg —=.
L зуз уз
---------------------------------------||+°° = 2а3рЗ	=
3(u2 + 3)JI0	3/3 2
2я
= —а3.
з
Ёй узунлигини ^исоблашга дойр мисоллар.
9
11- мисол. (х — у)2 — а(х 4- у), х2 — у2 — — z2 тенгламалар би-
8
лан берилган эгри чизицнинг 0(0; 0; 0) нуцтасидаи А(х0, у0, z0)
нуцтасигача булган ёй узунлиги топилсин.
Ечиш. Курсатилган теигламалардан х, у ни z ортали ифода-
далаймиз:
ёки
х + у = — (х — у)2-, (х — у)3 -	z2,
а	о
3	3/-2
Х-У = ~2-]/ -3--V2’ х + у =
^“з-	Яг—
Кейинги амаллардаТ/ — = b деб белгилаймиз ва у z — t ии пара-
метр деб цабул цаламиз. Натижада х — у	х + У =
шартлардан эгри чизицнинг параметрик тенгламаларини ^осил к;и-
ламиз:
x=_3_6rf4 + _Lf2\ у = Л-{ьц---------z = t3.
8 \ b )	8\ b J
Содда ^исоблашлар курсатадики, OA ёйда dx = (bt3A-b~xt)dt,
dy = -1(^3 _ ft-i t)dt, dz = 3t2dt.
134
Энди dl>0 эканини эътиборга олиб топамиз:
dl
= /dx2 + dy2 + dz2 = p/" -^-(b2t9+b~2t2) + 9t4 j(d/)2 =
= У -у (^3 + b~> • t)2dt2 = I (bt2 + b~4) -dt\.
Эгри чизицнинг A(x0, y0, z0) нуцтаси (x, у) текисликдан юцорида
(z0 > 0) жойлашган булса, t0 = /z^ > 0 булади ва 0 < t < t0 соса-
ла dt > 0, bt2 + b~xt> 0, демак, dl = —(bt2 + b~’t) dt.
О А ёйнинг узунлиги учун L = f dl =	-~=.(Ы2 4* Ь~г t) dt =
оА 'о
-(&-/Z4 + 2b 1 гЦ ифодага эгамиз.
Агар А(х0, у0, z0) нуцта (х, у) текисликдан пастда жойлашса,
с; 0; t0 — /70 <Z 0 булади. t параметр 0 дан
[0 гача узгаради
десак, у ^олда i камаяди, dt < 0 ва (bt2 + Ь~Ч) нинг циймати ^ам
манфий булади, демак, | (bt3 4- b^-tjdt | = (bt2 4- b~4)dt, чунки
0) учун bt2 4- Ь~Ч <Z 0 булади ва dt<ZO. Натижада олдин- ,
ги ^олдаги интегрални ^осил циламиз:
l = \dl = ут J <ь/3 + ь~^-
о	о
Шундай цилиб, ОА ёй узунлиги А(х0, у0, z0) ну^танинг вазиятидан
цатъий назар, L =	р.	+ 2 Ь~1 •	= -^=- (	4-
_? [ az\
4-2 I/ -у I ифода билан аницланади.
12-мисол. х24- У2 — cz, — = arctg —, с>0 тенгламалар би-
х	с
лан берилган эгри чизицнинг 0(0; 0; 0) нуцтасидан А(х0, у0, z0) нуц-
тасига булган ёй узунлиги топилсин.
Ечиш. Эгри чизиХ тенгламасидан z0>0 эканлиги р^вшан, чун-
координаталар система-
ОА ёйнинг тенгламаси
ва ни^оят, z = сф,
ки x2 + у2 > 0, c > 0. Фазодаги цилиндрик
сига утсак (х = г cos ф, у = г sin ф, z = z),
г2 = cz, tg ф = tg — ёки г2 = cz, ф = —
_	с 	с
г — с /ф куринишда ёзнлиши мумкин. 0(0; 0; 0) нуцта учун фх =
— 0, А(х0, г/9, z0) нуцта учун ф2 =— десак, ва ф — цутб бурчагини
с
параметр деб олсак, О А ёйнинг параметрик тенгламаси х — с/ф созф,
у=с /ф-вшф, z — Сф (0 ф г0/с) куринишда булади. Биламизки,
135
ёй дифференциали dl= /хф2 + уф2 + z'2d<p (d<p > 0) формула ортали
топиладн. Содда ^исоб-китоб бажарамиз:
ХФ =	008f — CV ф Sin ф, Уф —	Э1ПФ + фСОЗф, 2ф = с
на	г~\	—	/ ,	\
dl~ у 4ф + Ф + 1 ’С^Ф = с I +/ф j dtp.
ОА ёй узунлигини узил-кесил топамиз: L — \dl —
'оа
г,/с	г
= f c-(J—+/ф)с/ф = с/ф(1 + 4Ф)Г +v0-
J \ 2/ф	/	\	3 / 'о	\ Зс /
Машцлар. I. Куйидаги эгри чизикли интеграллар курсатнлган
эгри чизиц буйлаб хисоблансин:
13.1	I^xydl, бу ерда у —учлари Л(—2; —2), В(6; 1), С(2; 5)
v
нуцталарда булган учбурчак контури.
13.2.	l~^x2dl, бу ерда у—биринчн чоракдаги 8у2 = х3 эгри чи-
t
зикнинг у2 = 2х парабола билан ажратилган цисми.
2	2	2_
13.3.	/=[(х4/3 + yi/3)dl, бу ерда Y—астроида: х3 + у3 = а3.
t
13.4.	1= J(x— y)dl, бу ерда у—айлана: х2 + у2 = ах.
t
13.5.	1= J(x + y)dl, бу ерда у'чизик; г2 = а2соз2ф лемнискатанинг
t
унг япроги.
13.6.	I = J(x2 + z)dl, бу ерда у чизиц x = t, у — z=t3 эгри
v	г2
чизиднинг ёйи (0 t 1).
13.7.	I = j/2y2 + z2d/, бу ерда у —айлана: [ х2 + у2 + г2 = а2,
v	\У^=х-
13.8.	I = \x2yzdl, ’бу ерда у чизиц х2 + у2 = г, х2 + у2=9 эгри
t
чизицнинг (айлана) ёйи,
13.9.	I — ^z-dl, бу ерда у чизиц х2 + у2 — г2, у2 = ах эгри чизиц-
v
нинг 0(0; 0; 0) нуцтасидан А(а\ а; ау 2) нуцтасигача булган ёйи.
13.10.	/— f(2x — 3y)dl, бу ерда у — лемнискатанинг унг япроги:
v _______________
г = соэ2ф.
13.11.	1 = J Х2^.у2^2’ бУ еРДа ? —винт чизигининг бир цисми:
f
х — а cost, у = a sin t, z= bt, 0 t 0 < b < a.
136
13.12.	1= f(x— 5y)dl, бу ерда у — айлана: х2 + у2 = 6х.
v
v
13.13.	/ = f	бу еРда ЛВ —учлари /4(0; —2), В(4; 0) нук;-
*' _ F * ~Т~У
АВ
талардан иборат кесма.
13.14.	I— \xydl, бу ерда у — ушбу х = 0, у — 0, х=4, у =2
v
турри чизицлардан ташкил топтан туртбурчак контури.
(* dl
13.15.	/ = j	бу ерда у —учлари 0(0; 0), А(1; 2) нуц-
t
талардан иборат кесма.
13.16.	I =§(x + z)dl, бу ерда у эгри чизиц параметрик тенглама-
v	_____
лари билан берилган: х = 2at^ 1 — t2,	у = а-1п(1 — t2),
z = 2at2, 0 t 1/2.
13.17.	I = f(x + y)dl, бу ерда у — х2 -f- у2 + z2 = R2, у — х айлана
v
ёйининг /4(0; 0; R) ва В(/?/2; 7?/2; 7?>/2) нуцталар орасидаги
кичик цисми,
13.18.	1 = J у/ х2 + У2 dt, бу ерда у эгри чизиц (х2 -f-у2)3/2 =а2(х2—
v
— у2) тенглама билан берилган,
II.	К,уйидаги тенгламалар билан берилган эгри чизидлар ёйининг
узунлиги топилсин:
13Л9. + =1.
\ а ]	\ ь )
13.20.	у = /х2 — 32 + 8 1п(х+ /х2 — 8), 6 < х < 9.
13.21.	х = 3/, y — 3t2, z2 — 2t2 эгри чизицнинг 0(0; 0; 0) дан
А(3; 3; 2) гача булган ёй узунлиги.
13.22.	х = e-/cost, у = e~zsint, г = е~* конуссимон винт чизири-
нинг 0 t + оо со^адаги ёй узунлиги,
13.23.	у = arcsin—, z =	ЭГРИ чизицнинг 0(0; 0; 0) дан
А(х0, У о, zo) гача ёй узунлиги.
13.24.	х = ае3фcosф, у = ае3фзшф, z = &е3ф, b < г < 36.
13.25.	х = at, "у = t sin t, z[— ay/7 cos t, -i- < t < 3.
13.26.	x = a(t—sint), y = a(\—cost), z = 4a-cos—, 0<f<2n.
13.27.	x = fl’sin!<p, у =аз1пфсозф, z = a In cos ф, |ф|<л/4.
13.28.	x = acost, y = asint, z — be*, 0<f<ln—.
13.29.	x = at cost, «== at sint, z = a-—, 0<t<2.
13.30.	x3 = 3a2y, 2xz = a2, al3 < у < 9 a.
13.31.	x2 = 3y, 2xy — 9, 0 < у < 27.
137
2Л
J sin42Z dt =
13.32.	х2 = 9у, 16хг/ = 9z2, Щ<12.
13.33.	х2 + у2 = az, x-sin —-----у cos— = О, О «с г «С 5, а>0.
а	а
13.34.	x2 + y2 = z2, х cos (1/2-г) + у sin(j/2-z) = 0, |z,< I.
13.35. (у — г)2 = 3а(у+г), 9х2 + 8у2 = 8г2, 0 х 4, а>0.
I тур эгри чизицли интеграллар ёрдамида
механикага оид масалаларни ечиш
13-мисол. Ушбу x = acos3/, у— a sin3/ параметрик тенгламалари
билан берилган астроида ёйининг хар бир М(х, у) нуктасида жой-
лашган модданинг зичлиги р(М) = | ху | формула билан аницланади.
Астроидада жойлашган масса топилсин.
Ечиш. Моддий эгри чизицнинг массасини т = Jp(x, y)dl форму-
v
ла билан хисоблаймиз. Астроида учун x't — — За sin t- cos2/, y't =
= За cost-sin2/ (0 t < 2л), dl = yf x2 + y'2 dt~3a- j/ cos21 -sin2/d/=
= За-1 cost • sint | d/, астроиданинг xaP бир нуцтасидаги зичлик:
о(Л4) = | ху | = а21 sin3/ • cos3/1.
2jt	Q/?2
Демак, tn = J | xy | dl = 3a3J cos4/ • sin4/ dt — -jg
V	0	0
2л
За3 С	За3/3 ,	1 ....	1 . Q,\ 2я
= 6Т] (1— cos4/)2d/ = 64^/------------ Sin 4/ + — sin 8/11 =
о	0
=----- (масса бирлиги).
64
14-мисол. r = a(l+cos<p) кардиоиданинг хар бир нуцтасида
жойлашган модда зичлиги р = kyfr . Кардиоиданинг массаси то-
пилсин.
Ечиш. Эгри чизид цутб координаталарида берилган (68-чизма).
Кардиоида учун г = a (1 + cos'cp) (0 «С Ф «С 2л), f — —a sin ф, dl =
=}/Гф + г2-с?ф — 2a|eos-y | -сйр ва ф ни параметр деб олсак, астроида-
даги масса зичлиги учун р — kyf r=k/a(I + созф)= ky/2а cos-j-1
ифода хосил булади. Энди изланган массани топамиз: т = \p-dl —
2л	2л	V
= J ky^2а • | cos -у | • 2a | cos у-1 сйр = aky/^a J (1 Ц- cos ф) сйр =
о __________	о
= 2лаку/Г2а (масса бирлиги).
15-мисол. г = а(1 + созф) кардиоида ёйи буйлаб бир жинсли
масса жойлашган. Бу моддий кардиоида ёйининг (0 ф 2л) огир-
лик маркази топилсин.
138
Ечиш. Бир жинсли модда зичлиги
учун р = const булиб, купинча р = 1 деб
олинади. Огирлик марказини Мс(хс, ус)
деб белгиласак, унинг координаталари
Jp-xd/ $p-ydl
хс = ------=, у = *-----, т = fp-dl
с т ’ Яс т
формулалар ортали ^исобланадн. 14-ми-
солда r_=a(l + cosq>) (0 ф 2л)
кардиоида учун dl — 2а cos — | cfcp ёй
<*> «>?	2 J
дифференциали	^исобланган. (х, у) ва
(г,ф) системалар орасидаги x=rcos<p, у—
= rsin<p богланишга асосан кардиоида-
нинг параметрик (<р га нисбатан) тенгламаси
х = а(1 + cos <p) cos <р, у = а( 14-cos ф) sin ф
булади. Эйди ушбу = \xdl, I2 = \y-dl,
68- чизма
-y| ci<p ёй
/3 = Jd/ (р = 1) эгри чизикли интегралларни хисоблаймиз;
V	2л
— J x-dl = J а(1 + cos ф) cos ф • 2а | cos — j • dtp =
V	о
Л	2Л
j*(l + COS ф) • СО5ф • COS-2-с/ф + J (1 + COS ф)СОЗ ф(— cos
О	л
л
= 4a2 J (1 + cos ф)соэ ф • cos-dtp.
о
Урта к;авс ичидаги иккинчи интеграл ф = 2л — t алмаштириш билан
биринчи интегралга келтирилади. Интегралда sin -у- = и, 2du~
= cos-y-cfcp, cos2= 1—и2, ф1 = 0, учун = 0, ф2 = л учун
иг = 1 алмаштириш бажариб хис°блаймиз: I1=\x-dl~
л	у
= 8а2 f’cos2 — • (cos2 —-sin2—'j • cos — dtp=
J 2\2	2/	2
0
= 16a2 f (1 - 3u2 + 2 id) du = “fl2;
о	5
= 2a2
2л
I z = J ydl = 2a2 J (1 + cos ф) sin ф
v	0
Ф
cos —
2
dtp —
Л	2Л
(*4 cos3 — sin — cos — dtp + C 4 cos3-2-sin-^-/ — cos—'icfo
J 2	2	2 J 2	2 \	2/T
О	л
139
П	2л
— cos8—I + cos5 —I ] = -^-(l — l) = 0;
2 I 2 I j 5
О	Л
2л	л	2л
Ни^оят, огирлик маркази координаталарини топамиз:
7.	4а	7,	п
хс = — = —; ус — — = 0.
Л	5	1а
Демак, (х, у) текисликда Мс (—; о] нуцта кардиоиданинг огирлик
\ 5	/
марказвдан иборат.
16- мисол. х2 + уг 4- g2 = аг, х > 0, у > 0, z > 0 шартлар билан
берилган бир жинсли сферик учбурчак контурининг огирлик марка-
зи топилсин.
Ечиш. Сферик учбурчак томонлари х2 + г/2 + £2 — а2 сфера би-
лан учта координата текислйклари кесишиш чизицларининг 1 октант-
даги цисмларидан ташкил топган (69-чизма). у контур — АВСА дан
иборат. У учта АВ, ВС, СА [кисмдан ташкил топган булиб, ^ар
бир цисм тегишли айлананинг чорагидан иборат. АВСА эса, улардан
тузилган булакли-силлик; эгри чизикдир. Равшанки, сферик коорди-
наталар (х = г cos <р cos 0, у = г s in ф cos 0, [z = г sin 0) системасида:
АВ ёйда г = а, Ф = 0, 0	0	-у-, dl = ad 0 ва АВ нинг парамет-
рик тенгламаси x = acos0, [у = 0, z — a-sinQ (0 — параметр). ВС
ёйда г — а, ф = -у, 0	0 < л/2, dl = ad 0 ва ВС нинг парамет-
рик тенгламаси х = 0, у — a cos 0, z = a sin 0 (0 — параметр). СА ёй-
да г = а, 0 ^ф -у-, 0 = 0, dl =
=ас/ф ва С А нинг параметрик тенг-
ламаси х = a cos ф, у = а sin ф,г =0
(ф — параметр). Огирлик маркази
/Ис(хс, ус, zQ) координаталарини
fЦум
xQ = ^—, У.-'—’
jjzdl
140
формулалар ортали хисоблаймиз. Аввал контурнинг массасини то-
памиз:
Я/2	я/2
tn = \dl= f dl+ \dl+ f dl=\ adQ+\ adQ +
AB ВС CA °	°
П/2	3
+ J ad<p = -g-ла.
о
Ox, Oy, Oz уцларнинг бирини иккинчиси билан алмаштирилганда у
контурнинг шакли узгармайди, демак, хс = ус — гс. Улардан битта-
сини, масалан, ус ни хисоблаш етарли:
, \ 4а
1ПФ^) = &?•
»>=±$уЛ=А [^<й++f Udi =
7	АВ ВС СА
Я/2	Я/2
= 5~( f a2cos 9d9 + (" агsinq>dqA = ~.
Зла M	'I т 3л
о	о
тт	(4a 4a 4a\
Демак, MJ—;----------—контурнинг огирлик маркази.
\3л Зл Зл У
17-мисол. Конуссимон (коник) винт чизиги 'параметрик тенглама-
си x = /cost, i/ = /sin/, z = t билан берилган. Бу чизицнинг хар
бир нухтасидаги модда зичлиги р = fez2 формула билан ифодаланса,
унинг биринчи урамининг (х, у) текисликка нисбатан статик момен-
та хисоблансин.
Ечиш. (х, у) текисликка нисбатан моддий эгри чизихнинг статик
момента Sxy = (р(х, у, z). zdl формула орхали хисобланади. Бирин-
чи урамида t параметр 0 дан 2л гача узгаради ва dl — 2+Z2 dt
(О с t С 2л) (8-мисолга царалсин) булади. Демак, Sxv учун ушбу
2Я ______ У
Sxy=^kz3dl = fep3/2+Z3 dt интеграл хрсил булади. Уни хисоблаш
V	о
учун и = 2 + t2 алмаштириш бажарамиз, янги чегаралар uL — 2,
u3 = 2 + 4л2 булади ва узил-кесил топамиз:
. 2-W
Sxy=-|-J (u —2)/udu==
2
= 8fe£l[(l + 2л2)3/2-(Зл2
-	1 о
2+4 я2
-10)|
2
18-мисол. Винт чизири параметрик тенгламаси x = acost, у =
= a sin/, z = bt билан берилган. Унинг биринчи урамининг Оу ук.Ха
нисбатан инерция момента топилсин (р = 1).
Ечиш. у эгри чизихда жойлашган М(х, у, г) нухтадан Ох, Оу,
Ог ухларгача булган масофаларни мос равишда гх, гу, гг десак, у
Ш
I
!
।
70- чизма
^олда мос уцларга нисбатан инер-
ция моментлари 1х — \prxdl, I =
v
= ferfyil; /2 = ^pr^dl формулалар
?	v
буйича ^исобланади. 70-чизмадан
гх = МА—у'"у2 4- г2, ri,=y/х24-г2=
= /ИС, rz = <MD =ОВ =
-7j~ = }/.v2 -}- у2 эканлиги равшан.
Винт чизигининг биринчи ура-
мида dl = Vх2 4- у'2 4- г'2 • dt —
=}/a2+b2dt, 0^/^2лва М(х,у, г)
ну^таси учун r2= х24- г2 — a2 cos2/4-
4- bt2 буладм. Оу уцига нисбатан
инерция моменти
2Я	_______
1У = J(x2 4- z2)d/ = ] (a2cos2/ 4- b2t2) /а2-у b2dt~
V	0
,_____ Г a2 I 1	\	1	1 |2я
= v^+b2  [-^Z 4-Tsin2+ тIo =
= /a2 4- b2 fna24- -|-n362 ).
Маш^лар. 1. Куйидаги эгри чизицлар курсатнлган цисмлари-
нинг массаси топилсин.
13.36.	г2 = a2cos2tp лемниската, ну^таларидаги модда зичлигини
p(x,y) = kr деб, бутун лемнискатанинг массаси топилсин.
13.37.	х = ае* cost, у = ае* sin t, z — ае* эгри чизиц ну^таларида-
ги модда зичлигинир = бе^деб, бу чизи^нинг 0(0; 0; 0) дан
А (а; 0; а) гача (— оо <; / ^ 0) булган ёйи массаси топилсин.
г2
13.38.	1-------= 1 эллипс контурининг массаси топилсин. Унинг
а2 62
хар бир нудтасидаги модда зичлиги р (х, у) = lyj деб олинсин.
13.39.	у=1пх эгри чизиц (5^х<10) ёйининг массаси топилсин.
Унинг ^ар бир М (х, у) нуцтасидаги модда зичлиги р (Л4) = х2.
13.40.	Ушбу х —a cost, y = asint айлана ёйининг (0	< л/2)
.^ар бир нуцтасидаги модда зичлигини р = х у деб унинг массаси
топилсин.
13.41.	Ушбу x = acost, у = a sin/, z = bt (0 t 2л) эгри чи-
зи^нинг хдр бир ну^тасидаги модда зичлигини р = |/х2А-у2-уг2
деб, унинг массаси топилсин.
13.42.	Ушбу у = In х (1 х ё) эгри чизи^ ёйининг ^ар бир ну^-
тасидаги зичликни p — kx2 (k = const) деб, унинг массаси то-
пилсин.
13.43.	Ушбу х = a (t — sin t), у = a (1 — cos t), 0 c t C 2 л циклои-
142
данинг ^ар бир нуцтасидаги модда зичлигини р — у2 деб, унинг
массаси топилсин.
13.44.	Ушбу х2 4- у8 = а х айлананинг ^ар бир нуцтасидаги модда
зичлигини р= }/х2 + у2 деб, унинг массаси тоцилсин.
13.45.	Ушбу х = t, у — — I2, у = — t3 (0 с t С 1) эгри чизиц-
2	3
нинг ^ар бир нуцтасидаги модда зичлигини р = ]/И~у деб,
унинг массаси топилсин.
II.	К,уй^даги эгри чизикларнинг огирлик маркази топилсин; р(х,у)
^ацида ^еч нарса айтилмаган булса, уни 1 га тенг деб олинг:
13.46. х~ a(t — sin/), у—a (I—cos/), 0 с /< 2л.
13.47.	Ушбу у = a>ch— эгри чизицнинг А(0;а) ва B(b',h) нуцта-
лари орасидаги ёй учун.
13.48.	х — acos/, у — a sin/, z = bt, 0 ^ / < л.
13.49.	х2/34-у2/3 = а2/3, х > О, у>0.
13.50.	х = — у2------- In у, 1 с У С 2.
13.51.	г = а(1 + cos<p), О^ф^л.
13.52.	г = а еф , л/2 Ф С л.
К,уйидаги мисолларда ишлатиладиган формулаларни (х, у) текис-
лик учун келтирамиз. Эгри чизицнинг статистик моментлари
1.	Кх = J у • р (х, у) dl — Ох уцига нисбатан.
v
2.	Ку = Jx-p(x,y)dl— Оу уцига нисбатан.
v
Инерция моментлари.
3.	Ix = Jy2p(x, y)dl — Ох у^ига нисбатан.
v
4.	Iy = J х2 • р (х, у) dl — Оу уцига нисбатан.
v
5.	10 == (х2 4-у2)р(х, у) dl—О(0;0) координата бошига нисба-
v
тан.
13.53.	х2/3 4- у2/3	а2/3, х > 0, у > 0. Кх га Ку топилсин.
(2тс \
а; —
з у
нуцталардан иборат учбурчак берилган. Учбурчак
контурининг к;утб моменти топилсин.
13.55.	х = 7? cos ф, у = 7? sin ф, 0 ф a < 2 л. Iх топилсин.
13.56.	х24-(У—a)2 = R2, a>R. 1Х топилсин.
13.57.	х = а(/ — sin/), y = a(l—cos/), 0 с / С 2 л. 1х па 1у то-
пилсин.
1358. Винт чизири х = a cost, у = a sin /, z = — / (0 < t с 2 л)
2л
143
биринчи урамининг Ох, Ог ^цларига нисбатан инерция момента то-
пйлсин. Курсатма: 18-мисолда ишлатилган формулаларга асосан
Л = J (У2 + г2) р (х, у, z) dl, 1г = J (х2 + у2) р (х, у, z) dl.
v
14-§. Иккинчи тур эгри чизицли интеграллар
(х, у) текисликдаги у = А В булакли- силли^ эгри чизи^нинг М (х,у)
ну^тасида Р(х,у) ва Q(x, у) узлуксиз функциялар берилган булсин.
У ^олда J Р (х, у) dx, J Q (х, у) dy ифодалар Р (х, у) dx дан ва
Яй	Яй
Q(х, у) dy дан А В йул буйича олинган иккинчи тур эгри чизицлй
интеграллар дейилади. Бу интеграллар йигиндиси.
J Р (х, у) dx + Q (х, у) dy	(3.23)
АЙ
«умумий куриниш» даги 11 тур эгри чизикли интеграл деб аталади.
Фазовий у = АВ эгри чизик буйича олинган иккинчи тур эгри
чизицли интегралнинг «умумий куриниши».
§P(x,y.z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,2)dz (3.24)
Яй
булади.
у= АВ эгри чизи^ буйлаб юрганда йуналишнинг узгариши ин-
теграл ишорасини тескарисига узгартиради:	'
\pdxA~Qdy = — \pdx + Qdy.	(3.25)
ва	Яй
II тур эгри чизикли интегрални одатдаги (Риман маъносидаги) аник;
интегралга келтириш мумкин. Шунинг учун ани^ интегралнинг энг
содда хоссалари иккинчи тур эгри чизикли интеграллар учун хам туг-
ри. Агар у = А В эгри чизи^ х = x(t), у = y(t) (h < I < ^2) пара-
метрик тенгламаси билан берилган булса, у холда
J Р(х, у) dx + Q(x,y) dy интегралда ги интеграл ости Р, ффункция-
Яй
ларда х ва у ни уларйинг параметрик ифодалари билан, dx купай-
тувчини х = х(1) функциянинг dx — x'dt дифференциали ва мос ра-
вищда dy купайтувчини у = у (/) нинг дифференциали dy=y' dt билан
алмаштириш керак. Натижада интеграл остидаги ифода битта t па'
раметрга богли^ булади ва эгри чизицли интеграл ашщ интеграл ор'
цали ифодаланади. д/зЭГрИ чизицдаги йуналишга ^араб интеграл
цуйи чегараси деб tA (А нуцтага мос келган t параметр к;иймати),
юцори чегараси деб tB (В нуцтага мос келган t параметр к;иймати)
олинади ва интеграл
144
i	У) dx + Q (x, y) dy =
I	AB
i	<S
= J [P(x(t), y(t)).x'(t) + Q(x(t), y(t)-)-y’(t)]dt	(3.26)
tA
куринишда ёзилади.
Агар у = А В эгри чизи^ узлуксиз у (х) функция ёрдамида ёзил-
ган у = у(х) ошкор тенгламаси билан берилган булиб, х узгарувчи а
дан b гача узгарганида эгри чизиц худди А дан В га цараб йуна-
лишда чизиладиган^булса, у хрлда х ни параметр деб
ft
\pdx-\-Qdy= ^[Р(х,у(х)) + О.(х,у(х))-у'(x)]dx (3.27)
(да	°
формулага келамиз. Яна бир марта эслатиб утамизки, аниц интеграл-
да цуйи ва юцори чегараларни жойлаштириш тартиби эгри чизицда
танланган йуиалшпга мос булади.
Агар J Pdx + Qdy нинг интеграллаш йули у= АВ узининг
I	АВ
х = х(у) (с у d) ошкор тенгламаси билан берилса (бу ерда
с — уА — А нукта ординатаси, d = ув — В ну^та ординатаси), у
холда
d
J Pdx + Qdy= J [Р (х (у), у)  х'у + Q (х (у), y)]dy	(3.28)
'аЬ	С
формула уринли.
Агар у = АВ интеграллаш йули Оу уцига параллел (х = const)
тугри чизиц кесмаси булса, dx = 0 булиб,
1	У в
I	^Pdx + Qdy = ^ Q(c; y)dy	(3.29)
I	уа
ва шунга ухшаш, у = АВ йул Ох уцига параллел (у = const) тугри
I чизиц кесмаси булса, dy = 0 булиб,
хв
I	^Pdx + Qdy= J P(x;c)dx	(3.30)
'	V	ХА
формула хрсил булади.
। Агар у — ёпиц контур, яъни интеграллаш йулининг боши А ва
I охири В устма-уст тушган булса, у хрлда текислик ориентациясини
^исобга олиш керак. (х, у) текисликда соат миллари ^аракатига тес-
кари йуналиш (Ох дан Оу га цараб) мусбат ^исобланса, у хрлда
10—390
145-

11- чизма
текислик ориентацияси унг.
акс ^олда чап дейилади. Те-
кислик ориентацияси унг бул-
ганда, содда ёпи^ контурни
айланиб чи^ишнинг мусбат йу-
налиши деб шундай йуналиш-
ни олинадики, бунда кузатув-
чи шу йуналиш буйича ^ара-
катланганда контур билан че-
гараланган соханинг кузатув-
чига я^ин цисми унинг чап
томонида цолади (71-чизма).
Агар интеграллаш йули у
' содда ёпи^ эгри чизиц булса ва
контурни айланиб чи^ишнинг
йуналишига дойр курсатмалар
булмаса, у хрлда J Р dx+Q dy
v
символ мусбат йуналиш буйича олинган интегрални тасвирлайди.
Агар Р (х, у) dx + Q (х, у) dy ифода бирор U = U (х, у) функция-;
нинг тули^ дифференциали булса, яъни А В эгри чизи^ни уз ичига|
олган бир богламли (D) со^ада Pdx + Qdy = dU (х, у) тенглик ба-j
жарилса (бунинг учун — = — шарт бажарилиши зарур ва етарлиы
дУ дх	1
у хрлда J* Р dx + Q dy эгри чизицли интеграл ^иймати интеграл!
лЭ	j
лаш йулига борлиц эмас. Интегралнинг циймати U (х, у) функция!
нинг В нуцтадаги ва А нуцтадаги ^ийматлари айирмасига тенг. |
i
ч
и
э
j
с
I
t
1
J
(
]
<
1
Pdx+Qdy = и (В) - и (А).	(3.31;
АВ
Интеграллаш йули у = А В ёпик; контур булганда Pdx + Qa
тулик дифференциалда н олинган эгри чизицли интеграл нолга тен
§Pdx + Qdy = 0.	(3.3!
v
(х, у, z) фазод аги бир борламли (V) со^ада
Р (х, у, г) dx + Q (X, у, г) dy + Р (х, у, г) dz
ифода тули^ дифференциал булиши учун
dQ __ дР_ dQ = dR_
дх ду ’ дг ду’ дг дх
тенгликлар бажарилиши зарур ва етарли. Бу хрлда
145
J Р dx + Q dy -f- Rd z эгри
v
чизикли интеграл циймати
интеграллаш йулига боглнц
эмас (А В эгри чизиц бутун-
лай (V) соцада булиши керак).
Тулиц дифференциалдан
эгри чизикли интегрални
олиш учун энг содда усул
ишлатилади у — А В эгри
чизиц (72- чизма) урнига ин-
теграллаш йули деб томон-
лари координата (Ох, Оу,
Ог) уцларига параллел бул-
ган тугри чизицлар кесма-
сидан тузилган синиц чизиц-
ни олиб (3.29) ва (3.30) формулалардан фэйдаланиш мумкин. Маса-
лан, (D) соцадагиу = АВ эгри чизиц А (х1( у,') ва В (х2, у2) нуцта-
лардан утсин, [Pdx + Qdy интеграл учун -у- = шарт бажа-
рилсин. Интеграллаш йули цилиб AN В синиц чизицни оламиз:
AN да у ~у1 (const), dy = 0, х эса хг дан х2 гача узгаради;
BN да х = х2 (const), dx ~ 0, у эса yt дан у2 гача узгаради.
Натижада ANB синиц чизиц буйича интеграллаб
§Pdx-]-Qdy = § Pdx + Qdy + J Pdx + Qdy =
лЪ	AN .	NB
*2	У 2
= j p (x; У1) dx + j Q (x2; y) dy
Xi	Hl
аниц интегралга, агар AK.B синиц чизиц буйича интегралласак,
\)Р dx + Qdy = J Q(Xj; у)dy + j P(x;y2)dx (3.34)
л
аниц интегралга келамиз.
Керакли формулаларни мисоллар ечиш жараёнида курсатиб ута-
миз.
(3.33)
15- §. Иккинчи тур эгри чизикли интегралларни
цисоблашга дойр мисоллар
(1М)
1-мисол. 1=\ xydx + (y — x)dy эгри чизицли интеграл.
(OS 0)
1) у = х2 ва 2) у2 = х йул буйича хисоблансин.
147
Ечиш. Интегралнинг ёзилишидан О (0; 0) нуцта йулнинг боши
ва А (1;1) ну^та эса йулнинг охири эканлиги куриниб турибди
(73-чизма). 1-^олда интеграллаш йули ОтА ёй буйича олинади.
От Л да у = х2, dy — 2xdx, 0 х 1 ва (3.27) формулага асо-
сан х ни параметр деб J ни ^исоблаймиз:
7 = j xydx + (y—x)dy = \ [х3 + (х2— x)-2x]dx =
ОтА	0
1
/Зх* 2 , \ I 1
--	Xs =--- .
\ 4	3-/ I 12
о
2-^олда интеграллаш йули On А ёцдир; On А да х — у2,
dx = 2ydy, 0 у < 1. Демак, у ни параметр деб олиб (3.28) фор-
мулага асосан топамиз:
1
7= J ху dx + (у — х) dy = J[у3-2у + (у — y2)]dy =
ОпА	О
Икки ^олда икки хил натижа -чицди, бу эса иккинчи тур эгри чи-
зи^ли интегралнинг к^иймати интеграллаш йулига богли^ эканлигини
курсатади.
2-	мисол. 7 = J _[Г^57з~ эгРи чизикли интеграл ^исоблансин,
V
73- чизма
бу ерда у чизи^ х = R cos3/,
У = R sin3/ астроиданинг
A (R; 0) ну^тадан В (0; R)
нуцтагача булган чорагидир.
Ечиш. Интеграллаш йули
параметрик тенглама билан
берилган. Шунинг учун t ни
параметр деб х, у, dx, dy ни
t, dt орцали ифодалаймиз:
х = jR cos31, dx =
— — 3R cos21 sin t dt,
y~R sin3/,
dy = 37? sin2/ cos/ dt.
148
Интег рал остидаги ифодани ^исоблаб оламиз:
X^-y2S = ^^•sin2^^-cos^dt=> *-W • sin1 22/dt =
x5'3 _|_ у5/з	Д7 (cos®/ + sin5/)	4
= — Ftf* -(1 — cos40dt.
8
Энди интеграллаш чегарасини топайлик: A (R; 0) учун х = R, у — О
шартдан tr = 0 ва В (0; R) учун х — 0, у = R шартдан /2 = л/2
булади. Демак, (3.26) формулага асссан узил-кесил топамиз:
Я/2 о -   о	- _
/ = f — F/?4 (1 — cos4/)d/-=
J 8	16
о
3-	мисол. I = J xdx + у dy + (x + У — l)dz эгри чизицли интег-
v
рал хисоблансин, бу ерда у чизиц А (1; 1; 1) ва В (2; 3; 4) нуц-
таларни туташтирувчи тугри чизиц кесмасидир.
Ечиш. АВ кесма (х, у, г) фазода берилган. Фазодаги икки нуц-
тадан утувчи тугри чизнц тенгламаси
X — X! _ У~У1  3 — 0!
х2 — Х1 У%' У1 ®2
куринишда ёзилади. Ундан фойдаланиб ёзамиз:
- х~~ 1 = у~~ 1 — г~~ 1
1	2 “ 3
Исталган (х, ёки у, ёки г) узгарувчини параметр деб олиш
мумкин. Биз х ни параметр деб. олсак, тугри чизик тенгламаси
(у = 2х — 1,
= Зх — 2 куринишда булади. АВ кесмада dy = 2 • dx, dz = 3dx,
1 с x с 2 ва, нихоят
2
I — J х dx + (2х — !)• 2dx + (х + 2х — 1 — 11) • 3 dx =
1
2	-
= J(14x — 8\dx= 13.
i
4-мисол. I — J xydx +yzdy+$xdz
v
эгри чизицли интеграл хисоблансин.
бу ерда у чизиц/х2 + у2 + 22 = 2Rx,
\z = х
айлананинг у > 0 со^адаги цисмидир.
Ечиш. Маркази A (R; 0, 0) да ва
радиуси R булган х1 + у2 + z2 = 2 Rxj
149
сфера билан Оу уцидан утувчи z = x текислик ОтВпО айлана буй-
лаб (74-чизма) кесишадн: у = ОпДёйдаги нуцталар учун О
шарт бажарилади. Мисолни ечиш учун х ни параметр деб оламйз.
у нинг параметрик тенгламаси у =•/’ 2Rx — 2х2, z = х, 0 х <7?
булади. On. В да dy =	~2х*dz — dx ва интеграл остидаги
у 2/? х — 2хг________
ифода ху dx + yz dy + zxdz = (xy^ 2Rx — 2x2 + Rx — x2) dx кури-
нишда ёзилади. Энди берилган интегрални хисоблаймиз:
R	R
+
о	о
R
+
2Rx — 2х2 + Rx
Rx2------х3
3
х-}/ 2Rx — 2x2dx = — R3 +V 2-Ц,
6
' R
бу ерда 4 = \x-~i/Rx— x2dx. Энди Ц интегрални хисоблаш учун
о
унда t = х — —, dx = dt, Rx — x2 = — R2 — t2,— — c t C —
2	4	2	2
алмаштириш бажарамиз. Натижада цуйидагига эга буламиз:
Демак, берилган интеграл учун узил-кесил топамиз:
Z = — + П}/^ R3
1	6	16	'
5- мисол. I = Jy dx+ z dy-f-x dz
V
эгри чизицли интеграл цисоблан-
син, бу ерда у — айлана: х =
= R cost cosa, у = R sin/ cosa,
z = R sin a (a = cons/), 0	<
^2 л.
Ечиш. Сферик (r, q>, 0) коор-
динаталар билан солиштирсак,
берилган тенгламалар Oz уцига
перпендикуляр (г = R • sina) те-
кисликда ётган у = АВ CD А ай-
ланани тасвирлайди (75- чизма).
150
t параметр (x, у) текисликдаги
цутб бурчаги вазифасини бажара-
ди. Чизма 0<а<л/2 цол учун
чизилган.
у айланада 0 < t < 2 л, dx =
=— 7?cosa sin/d/, dy=Rcosax
X cos/d/, dz=O, интеграл остида-
ги ифода у dx+z dy + xdz=R2x
X [—cos2a sin2/4-sina cosa cos t]dt=
= R2 • cos2a • (cos2/ — 1)4-
4-	sina cosa cost j dt.
Шундай цилиб,
2Л
/=	COs2fZ’ (cos2t — J) + sin a cos a • cos/1 dt = — л R2 cos2a.
о
Машцлар. I. ^уйидаги иккинчи тур эгри чизикли интеграллар
цисоблансин.
, - . т f y2dx — x2dy ,	„
15'1. I = J ——, бу ерда у — ярим айлана: х= acos/, у —
= a sin t, О С t < л.
15.2.	1 = J (2a—y)dx—(а — y)dy, бу ерда у —циклоиданинг
биринчи арки: х — a (t — sin/), у = а (I — cos/); 0 ^ / ^ 2л.
15.3.	I — J 2xydx— x2dy, бу ерда О А турли чизидлар булиб»
бл
0(0:0) дан Д(2; 1) нуцтагача келади: а) О А тугри чизиц кес-
маси; б) ОБА синиц чизиц; в) ОСА синиц чизиц, г) 4у — х2
па-раболанинг ОтА ёйи, д) х = 2у2 параболанинг On А ёйи
(76- чизма).
15.4.	1 = У yzdx + zxdy + xydz, бу ерда у- винт чизигининг бирин-
чи урами: х = R cos/, у = R sin t z — ~ (0 < / < 2 л).
(4: 4; 4;)
. _ _ , С	xdx 4- udu 4- zdz u
15.5.	I =	 —  -... И -- тугри чизик кесмаси буии-
J угх2 + У2А-г2-*-~У + 2г
(1; 1; 1:)
ча цисоблансин.
15.6.	1 = У (у — г) dx 4- (г — х) dy 4- (х — у) dz, бу ерда у — айлана:
х2 + у2 + г2 = а2, у = x-tga (0 <а< л).
Ох уцининг мусбат цисмидан цараганда айлана соат миллари
царакатига тескари йуналишда утилсин;
15.7.	7 = У y2dx+ z2dy 4-x2dz, бу ерда у — Вавиани чизири:
151
х2 + У2 + z2 = а2, х2 + Уг = ах нинг (х, у) текисливдан юцори-
даги ^исмидир. Ох у^ининг мусбат (х>а) ^исмидан Караганда
интеграллаш йули соат миллари ^аракатига тескари утилади.
15.8.	/ = j y2dx + x2dy, бу ерда у чизиц А (—а; 0) дан В (а; 0)
гача булган ярим эллипс ёйидир: x = acos/, у = bsmt.
15.9.	/= § (у2— г2) dx+2yzdy — x2dz, бу ерда у — эгри чизиц:

х — t, y = t2, z = t3 (0</< 1).
15.10.
Х,аракат йуналиши t параметрнинг усишига ^араб олинган.
/ = J У2/з*' бу ерда у—астроиданинг A(R-, 0) нуцтаси-
дан В (0; R) нуцтасигача булган ёйи: х = 7? cos® t, у = R sin3/.
15.11. / = j (2а— у) dx + xdy, бу ерда у —циклоида: х = a (t—
v
— sin/), у = а (1—cos/), 0</<2л. Параметр / нинг усиши-
га ^араб юрилсин.
15.12. / = j cosydx — sinxdy, бу ерда АВ — кесма: А; (2; *— 2),
АВ
В (— 2; 2).
15.13. / = j(х2 — z/2) dx-{-xydy, бу ерда АВ—кесма: А (1; 2),
АВ
В (3; 4).
15.14.	/= [ (4х + у) dx + (х + 4у) dy, бу ерда А В ёй у — х4 эгри
АВ
чизи^нинг ёйи; Л (1; 1)‘ва В(— 1; 1).
15.15.	/ = [ ydx—xdy, бу ерда АВ ёй х2-А-у2 = 1 айлананинг
АВ
Л^—ну^тасидан в(-^=--, нуцтасигача соат
миллари ^аракати йуналишида утилади.
15.16.	/= J zdx—xdy + ydz, бу ерда АВ винт чизигининг
АВ ’
А (а; 0; 0) дан В (а-, 0; 2 л с) гача булган бир урамидир:х=а cos/,
Z/=&sin/, z=ct, 0</<2л.
15.17.	/= f (х— у) dx + (2x + y)dy, бу ерда АВСА— учлари
АВСА
Л(1; 1); В(3;3), С (3; —1) да булган учбурчак контури.
15.18.	/ = [ ydx—xdy, бу ерда Л В —астроида х2/3 + У2/3 = а2/3
АВ
нинг Л (а; 0) дан В (0;а) гача булган ейи.
15.19.	/= [ xdx + ydy + zdz, бу ерда ЛВ—Л(а; 0; 0) дан
В(а\ 0; 2лЬ) гача булган x = acos/, z/ = asin/, z— bt,
0 < t < 2л винт чизигининг урами.
152
15.20.	/ = j — dx + -~ay+ ~ dz, бу ерда AB — A (1; I; 1) ва
v if	*
'ab
В (2; 4; 8) дан утган турри чизиц кесмаси.
15.21.	1 — f eff~z-dx 4- e*~x-dy 4- ex~ydz, бу ерда О А — 0(0; 0;0 )
ОА
билан А (1; 3; 5) ни бирлаштирувчи кесма.
15.22.	/ = J (у 4- г) dx 4- (2 4- х) dy 4- (х 4- у) dz, бу ерда М N ёй
MN
х2 4- У2 4- г2 = 25 сферадаги М (3; 4;0) ва N (0; 0; 5) нуцта-
ларни бирлаштирувчи катта айлананинг энг цисца ёйидир.
15.23.	/ = ф (—у dx 4- х dy 4- с • dz), бу ерда у — айлана ёйи:
а) х2 4- у2 = 1, г = 0; б) (х — 2)2 4- У2 == 1, г = 0, ^аракат
соат миллари йуналишига тескари олинган.
Куйидаги мисолларни ечишда интеграл остидаги ифода тулиц
дифференциал эканлигидан фойдаланилсин.
(3:0)
6-мисол. Ушбу / = J (х4 4- 4ху2) dx 4- (6х2 у2 — 5yl)dy
(-2; - 1)
эгри чизицли интеграл цисоблансин.
Ечиш. Р (х, у) = х4 4- 4xz/3, Q (х, у) = 6х2 у2 — 5г/4 деб белгиласак,
дР . о « dQ . „ „ ЗР дО	„	_
— = 12ху2, — = 12ху2 ва — = —- эканлигини курамиз. Демак,
дУ	дх	' ду дх
интеграл остидаги ифода бирор функциянинг тулиц дифференциа-
лидир. Интеграл циймати интеграЛлаш йулига борлиц булмагани
учун биз А (— 2; 1) нуцтадан В (3; 0) нуцта гача АС В синиц чи-
зиц буйлаб келамаз (77-чизма). АС да у= — 1, dy = 0, —2<
< х < 3 ва СВ да х = 3, dx = 0, — 1 < у < 0. Юцорида (14- § да)
курсатилган (3 .33) фсрмулага асосан
/ = J Pdx 4- Qdy = \Р dx+Q dy + \ Р dx + Qdy—
а"в	. АС	св
3	0	3
= J [х44-4х(—l)3Jdx 4- J (6-9z/2— 5г/4) dy = x5 — 2x2j| 4-
— 2	—1	—2
о
4-W-!/5)	= 62.
(5; 12)
f xdx-\-ydy
7-мисол. / — I	—2	- ин-
J x2 4- y2
(з; 4)
теграл цисоблансин. Координата бо-
ши 0(0; 0) контурда жойлашган
эмас.
-2 О , J *
----------—------------------------'^с
77- чизма
153
в
Р xdx + ydy
J х2 + У2
л
Ечиш. Берилган интегралда Р =
_ X Q __ у др dQ _
+ У2 ’ х2 + d2 ’ дУ ~ дх
=-------— булга нлиги учун интег-
(X*+?2)2
рал остидаги ифода U(x,y) =— In (х2+
+ У2) + С функциянинг тулиц диффе-
ренциалидир. Шунинг учун интеграл-
нинг циймати интеграллаш йулига бог-
лиц булмасдан, фацат йулнинг боши-
даги А (3;4) ва охиридаги В (5; 12)
нуцталарга боглицдир (78- чизма).
(3. 31) формулага асосан цисоблаймиз:
U(x,y) I = -^-1п(х2 + у2) |	=-j-In
A	A (3; 4)
(5; 4; 1)
f zxdy + xydz — yzdx
8-мисол. /= I --------------,--,-72------- эгри чизицли интеграл
J	(*-	у?)
(7; 2; 3)
цисоблансин (интеграллаш контури z = — сиртни кесиб утмайди).
Ечиш. (х, у, г) фазода берилган интегрални I = J Pdx-\-Qdy -\-
?
4-	Rdz деб белгиласак, Р= ----------——, Q = ———R =	—-
(х — Уг)2 (х — уг)2	(х — уг)2
булади. Энди биринчи тартибли хусусий хосилаларни цисоблаймиз:
дР _	— z _ 2уг2 _ — (х + уг)
дУ (х — Уг)2 (x—yz)3	(x—yz)3'
dQ. _ г	2гх _____ _ г (х -|- У2)
дх (х — уг)2 . (х—уг)3 (х — Уг)3 ’
дР dQ
ЯЪНИ --- — —.
ду дх
» дР дР y(x-4-yz) dQ dR х(х-)-Уг)
дг дх (х — уг)3 дг дУ (х—yz)3
ликларни ^осил ^иламиз. Бу шартлар Р(х, у, z) dx + Q(x, y,z)dy +
+ R (х, у, z) dz ифода тулиц дифференциал бу лиши учун зарур ва
етарлидир.
Энди фазода синиь; чизиц ACDB ни шундай танлаб оламизки,
унинг AC, CD, DB кесмалари Ох, Оу, Ог уцларига параллел бул-
син, яъни синиц чизиц А (хг, ylt Zj), С (х2, ух, гД D (х2, у2, zj ва
154
В (х2, У2, z2) нуцталардан утсин (79-
чизма). У ^олда АС да у = уг.
dy = 0, z = zlt dz = 0 ва х хг дан
х2 гача узгаради, CD да х = х2,
dx = О, z = гь dz = О ва у узга-
рувчи уг дан у2 гача узгаради; DB
да х = х2, dx = О, у = у2, dy = О
ва z у.гарувчи zr дан г2 гача узга-
ради ва бу цийматлар учун
- в
J Pdx + Qdy + Rdz =
79- чизма
AC	CD	DB
X*	У г	h-i
= J ^ (*» yt, Zi) dx + J Q (x2, y, zj dy + j /? (x2, y2,z) dz
Vi	h
(3.35)
формулани хосил ^иламиз. Бу формулани интегрални хисоблаш учун
татбиц этамиз. Л(7;2;3), В (5; 4; 1) нуцталар йулнинг боши ва
охири эканини назарда тутиб топамиз:
5	4	1
/ = J Р (х; 2; 3) dx + J Q(5; у, 3) dy+ JЯ (5; 4; z) dz =
7	2	3
5	4	1	.5	4
r 6dx r 15dy f 20 dz 6	1	5 I
= “J (x-6)2 + J (5- 3y)2 + J (5-4z)2 = T=6 | + 5 —3y | +
7	2	3	7	2
9-мисол. /==(f)—-—-— интеграл хисоблансин; бу ерда L од-
j х2 + 4у2
L
дий ёпиц контур булиб, О (0; 0) дан утмасдан координаталар боши
О (0; 0) ни бир марта ураб олган ва хуйидаги шартлар билан бе-
рилган:
а)	г = г (<р), О < ш 2 л;
X2 । У2 1
б)	1- — = 1 эллипс контури;
а2 д2
в)	учлари А (—1; — 1), В (1; —1), С (1; 3) ну^таларда булган
АВС учбурчак контури.
Ечиш. Интеграл остидаги ифода тулии; дифференциалдир, чунки
у _ х дР _ dQ _ 4у2 — х2
x2 + 4f/2 ’ х2 + 4у2 ’ ~ду дх ~ (х2 + 4у2)2
155
1
80- чизма
Лекин бу функциялар L кон-
тур билан чегараланган (D)
соцанинг О (0; 0) нуцтасида
мавжуд эмас, яъни (D) соца
бир борламли эмас. Маълум-
ки (О) соца бир богламли бул-
гандагина тулиц дифференци-
алдан олинган § Pdx + Qdy
L
эгри чизицли интеграл нолга
тенг. Берилган интегрални бе-
восита эгри чизиц, яъни L
контур буйлаб цисоблаб чи-
камиз;
а цол. L контур г = г(<р)
тенглама билан берилган. К,утб
координаталар системасида х = г cos ф, у = г sin ф, dx = cos <р dr —
г sin ф d ф, dy = sin ф dr г cos ф d а> ва интеграл остидаги ифода
xdy~ydx	1
(sinq^ + rcosip 4ф)-
г sin ф (cos ф dr — г sin ф d ф)] =--^3---- куринишга эга.
.	cos2 <р + 4sin2 <р
i-усул. О (0; 0) ни контур бир марта ураб олгани учун цутб бур-
чакф 0 дан 2 л гача узгаради (80-чизма) ва ЛВ да 0Сф<-^; ВС
да у=Сф=Сл; CD да лСф< DA да ~ ^ф<2л шартлар
уринли ва I = (£---------________= С . . . С . . . 4- С...+
J cos2 ф 4-4sin2 ф J ‘ J J
L	aS ьс со
г>	]	Л/2	51
+ j ••:=ylarctg (2tg<p)| + arctg (21§ф) | 4-
DA	0	Я/2
3 л/2	2л'
4-arctg (2tgф) [ 4-arctg (2tgф)|
л	3 л/2 .
Эслатиб утамизки, arctg/4 нинг бош циймати — — Дан — гача уз-
гаради; 4-оо да arctg4-* л/2; А -* 0 да arctg/l -* 0 ва А -----оо
да arctgЛ-* —л/2. Шунинг учун Л = 2tgф деб, ф нинг циймати-
га боглиц цолда Л нинг ишорасини циссбга олиб топамич
2 = - [7- — 0)4-/о — /— -))+(-— о) ч- (о —	= л:
2 L\2 J \ V 2// \2	/	\	\	2//
л/2
2-усул. /=Л4-/2+/3 + /4, бу ерда	7-"
J	cos2 ф 4- 4 sin2 ф
о
156
л	3 л/2
/g=[__ll------------, /3=f ___________12______,
J cos2 <p + 4sin2 <p	J cos <p + 4sin2 <p
л/2	л
2 л
I. = V —„ d<p-------— деб оламиз ва /, да t = л — <р, /, да t —
4 J cos2 <р + 4sin2 <р	3
3 л/2
= л-|-ф ва /4 да t = 2 л — <р алмаштиришлар бажариб, 1Г куриниш-
даги интегралга келамиз. Натижада
л/2	л/2
/ = 4/1 = 4 f	.	= 2-arctg (2tg<p) I =л
J cos2 <р + 4sin2 <р	I
л	о
булади.
д*2	о2	„
б-^ол. L контур —+-^- = 1 эллипсдир. Узгарувчи х ни па-
раметр деб L контурни иккита Lt ва L2 булакка ажратамиз:
да у > 0, яъни у = — у/а2 — х2 , dy =------------bxdx  ва
а	Va3 — х2
а > х > — а;
L2 да у < 0, яъни у = —- \аг — х2 ,dy= bxdx  ва
а	/а2 — х2
— а^х^а.
Lx ва L2 ёйлар учун интеграл остидаги ифодани цисобласак, улар
фацат ишоралари билан фарцланади ва Lt даги х нинг узгариш че-
гаралари урнини алмаштирсак, натижада иккита бир хил интегралга,
келамиз:
j ___2 С _________a3 b dx_________
% [х2 (а2 — 4&2) + 4a2b2]./a2—х2
Интеграл остидаги функция х узгарувчига нисбатан жуфт функция
а
г , С	a3b-dx	,	л
булгани учун / = 41----------------------деб х = asm t
J [x2(a2 — 4b2) + 4a2b2] ]/a2 — x2
—dx — = dt, tr = 0,. t2 = -- алмаштириш бажарамиз:
/a2—ft2	2
л/2	л/2
J = 4 Г _________a3b dt_______ = _9a. C d (2b ctS l) =
J a2 (a2 — 4fe2) sin2/4a2fe2 “ J a2+4fe2ctg2/
о	о
n/2
= — 2-arctg ———	= л.
\ а /I
о
Курсатма: L контур учун эллипснинг x = a cos t, у = b sin t,
тенгламасини ёзиб, 1-холдаги 2- усулдан фойдаланса хам
булади.
157
в ^о л. L — АВС учбурчак контури. А (—1; —1), В (1; —1),
С (1;3) нуцталардан тугри чизицлар утказиб, цуйидагиларни аниц-
лаймиз:
Li, яъни АВ да у —	1, dy = О, — К 1;
L2, яъни ВС да х = 1, dx ~ 0, — 1 у С 3;
L3, яъни СА да у = 2х + 1, dy = 2dx, 1 > х > — I.
^исобланаётган интеграл учта интеграл йигиндисига тенг, яъни
1 = Л + 4 + /з, бУ ерда
x-0 — (— 1) dx 1	, x
---------—~ — arc tg —
x2 4-4-1	2	2
= arc tg j ;
^2
3	3
f 'f+~4^ 0 =4 arctg | = i (arctg6 + arctg2);
з
H-l
x-2dx —(2*4~ Q dx ___? dx
17x4-16 *+4
J x2 + 4 (2x+l)2
+1
1 t I 17	, .
= Tarctg (tx + 4
+1
1 (	. 25 ,	, 9\
У (arctg — + arctg -j.
25	9	л
I3 интегралдаги a=arctg—, 0 = arctg — бурчаклар — дан кат-
тадир, уларнинг йигиндиси -у дан катта булиб, у = arctg х функция-
нинг бош циймати чегарасидан чи^иб кетади. Шунинг учун arctg44-
+ arctg ~ = — (А > 0) тенгликка асосан — дан кичик булган янги
А 2	4
04 = arctg — , ₽i = arctg— бурчакларга утиб, /3 = —•	—
25	9	2
(2	2 \1 г	А-4-В
arc tg — + arctg — I ^ийматни arcjtg A + arc tg В — arc tg -——
формулага асосан топамиз:
i 1 (	+ 4 'l
-arctg-).
Демак, ^исобланаётган интеграл учун топамиз:
I = arc tg + у (arcftg 6 + arctg 2) +	— arc tg
= 7 (arc tg 1 + arc tg 2] + 7 arc tg A + -1 ( ^ — arc t
, л 1	.4	« , 1	1 1 л
ч----------arctg — ==------F — arctg —+ --------
2	2	6 13	4	2	2	4
158
7 (arctg— + arctg — 'j +	= л + — arctg--
2 \	6	6 13/	2	2	& 2
1	X 1
--arctg- = n.
Шундай цилиб, уч цолда цам бир хил натижага келдик:
, Г xdy — ydx	„ г	с»
/ = (J) —2_|-4 z— интегралнинг цииматн L контурга боглик булмас-
L
дан, фацат интеграл остидаги ифодага богликдир. ^осил булган л
мицдорТ(?)~у~ydx эг„и ЧИЗИцЛИ интегралнинг О (0; 0) нуцтадаги
J х2 + 4 у2
L
циклик узгармас мицдори дейилади.
Маш ц л ар. Интеграл остидаги ифода тулиц дифференциал экан-
лигини текшириб, берилган эгри чизицли интеграл цисоблансин.
(2; 1; 3)
15.24.	J xdx — y2dy + zdz.
(1:—1 ;2)
(3;2;1)
15.25.	J yzdx + zxdy + ху dz.
(1;2;3)
(3*1)
15.26.	J	(интеграллаш йули у = —х турри чи-
зицни кесиб утмайди).
(4:4)
15.27.	С (---------—... + И dx + ( — у + dy.
(1;1) Х2 + у2 J . \/х2+</2 J
( е,е,ег)
15	28 Г yzdx + xzdy + xydz
J	хУг
II. К,уйидаги учта мисолда берилган эгри чизицли интеграллар турт
хил ёпиц контур буйича цисоблансин:
а)
в)
D
С
L — эллипс: — + — = 1; б) L — айлана: х2 + у2 = 25:
16	9
L — ABCD туртбурчак контури: А (— 1; — 1), В (1; — 1), С (1; 3),
(—1; 3); г) L—АВС учбурчак контури; А (2; 1), В (—1; 1),
(—1; —2); (контур бир марта соат стрелкаси йуналишига царши
утилади):
15.29.	/=(6^^.
j 9х2 + г/2
15.30.	/ =
J 4х2 + 9у2
15.31.	/ = <£ xdy~ydX'
J х2 + у2
L
159
(2;3)
15.32.	J (х + Зу) dx + (д + Зх) dy.
<1;1)
15.33.	j (x4 + 4xi/3) dx + (&х2у2 — бу3) dy, бу ерда А (—2;—1),
АВ
В (3; 0).
15.34.	j [i/ cosху — 2х• sin (х2 — i/2)] dx + [х cos ху + 2у X
АВ
15.35.
15.36,
X sin (х2—у2)] dy, бу ерда А (Ул/3; / л/з), В (
В(-3; 1)
Г Г * ~ 2j/.. _|_ Х1 дх	—У--------y2]dy.
J L(y-x)2 J L(y-x)2	9|
Л(1;3)
J (2х cos у — у2 sin х) dx + (2у cos х — x2sin у) dy, бу ерда
АВ
^2^ 7	ЭТ	ЭТ \	7 Л
\	4’	4/	\б’ 3/
15.37. f -g + 2ху + 5у2) dx + (*2 ~ 2^.+	, бу ерда Л (1; 1) ва
J	(х + у)3
В (3; —2).
В(1;—2)
Г ydx — xdy
J Зх2-2х(/+3У2
Л(2; —3)
Энди интеграл остидаги ифода тулиц дифференциал экан-
лигига ишонч ^осил ^илиб, иккинчи тур эгри чизикли интеграл ёр-
дамида бошлангич функцияни излашга мисол курамиз. Ю^орида кур-
сатилган (3.33), (3.34) ва (3.35) мисоллардаги формулалардан фой-
даланамиз.
Икки аргументли U (х, у)' = U функция тулиь; дифференциали,
яъни шу функция учун
Р (х, у) dx + Q (х, y)-dy = dU (х, у)
тенглик уринли булсин. Бу ^олда А (х0, у0) ну^та деб Р (х, у),
Q (*, У),	~ функциялар узлуксиз булган бирор тайин ну^та-
д у дх
ни оламиз ва В (х, у) деб шу функциялар узлуксиз булган ^аракат-
ланувчи нукдани.оламиз.
(3.33) дан фойдаланиб,
В	х	У
и = j dU = J Pdx 4- Qdy = J P (x, y0) dx + § Q (x, y) dy+C (3.36)
A	x,	y„
формулаларни , (3.34) дан фойдаланиб,
в	у	x
U (х, у) = J Pdx + Qdy = J Q (x0, у) dy + ^ P (x, y) dx+C (3.37)
A	y,	x0
формулаларни келтириб чицарамиз (С = const).
160
Шунга ухшаш, (х, у, г) фазода А (х0, у0, г0) ва В (х, у, г) нуцта-
ларни олиб, (3.35) формуладан W (х, у, г) бошланрич функциям то-
пиш учун:
W (х, у, z) = J Р (х, у0, г0) dx+ J Q (х, у, г0) dy+
Уо
4~ f 7? (х, у, г) dz + С	(3.38)
г	у
ёки W (х, у, z) = j 7? (х0, у0, z)dz+ J Q (х0, у, z) dy 4-
г»	У»
+ J Р (х, у, z) dx + C	(3.39)
(олдин Oz, кейин Оу ва охирида Ох уцига параллел ^аракатланган-
да) формулалардан фойдаланиш мумкин (С = const).
М а ш ц л а р. К,уйидаги 10 — 15- мисолларда тулик дифференциал
буйича бошланрич функция топилсин.
10- мисол. dU = (Зх2 — 2ху + У2) dx — (х2 — 2ху + Зу2) dy.
Ечиш. Р (х,у), Q (х, у),	функциялар (х, у) текислик-
ду дх
нинг барча нуцталарида узлуксиз. Шунинг учун (х0, у0) нуцта деб
О (0; 0) нуцтани олсак, бошланрич функцияни топиш осонроц кбула-
Ди:
* у
U (х, у) = § Р (х; 0) dx -u J Q (х, у) dy 4- С =
о	о
= J 3x2dx — J (х2 — 2ху + Зу2) dy 4- С =
о	о
х3 — х2у 4- ху2 — у3 4- С.
11 - мисол. dU —----------dx —7?	— у,у.
у/х24-у2	у2рлх24-у2
Ечиш. р =	, Q = _.^+.7/х2+у2_) дР = д0_ =
yV х*+у*	у* у х2+у2 ду дх
—---------- -И- ?	. Функциялар (х, у) текисликнинг О (0; 0) нукда
у2- (/ х24-У2)3
ва у = 0 (Ох уци) тугри чизиц нукталаридан таш^ари барча ну^та-
ларида узлуксиз функциялардир. Шунинг учун (х0, у0) нуцта деб
Оу укидаги бирор (0; у0) у0 #= 0 ну^тани олиб, (3.37) формулага асо-
сан хисоблаш мумкин:
у	х
U (х, у) = J Q (0; у) dy 4- ( Р (х, у) dx + C =
Уа	О
11—390
161
^4
У9	о
X
у V Х2±у2
У	к
dx 4- С =
= 1-----L + 1./-Х2+у2| +С==
У	У о	У	I
о
= L_J_+A4t_sgns, + C =
У Уо У
= - (1 +V^+yi}+cl,
У
бу ерда Cj деб натижадаги барча С, —, sgny узгармас мицдорлар-
Уо
нинг алгебраик йигиндиси олинган.
12-мисОл. Ж = ^+^+.^г.
1 + x2y2z2
Ечиш. Р (х, у, г) = —2 2, Q (х, у, г) =	R (х, у, г) =
1 4- x2y2z2	1 4- х2у2г2
__ ху дР __________ 9Q___ г — x2y2z3 дР ____3R_____у — х2у3г2
14-x2y2z2’ ду дх (1 4- х2у2г2)2’ дг дх (14“ x2y2z2)2'
dQ ___ дР __ х — x3y2z2
дг ду ~ (I + x2y2z2)2
функциялар (х, у, г) фазонинг барча нуцталарида узлуксиз, шунинг
учун (х0, у0, z0) нуцта деб О (0; 0; 0) координаталар бошини ола-
миз. dW нинг суратидаги ифода ушбу
yzdx + xzdy 4- xydz — d (x у z)
тулиц дифференциалдан иборат булгани учун dW ни цуйидагича ёзиш
мумкин: dW = —= d(arctg(xi/z)). Бундан W (х, у, г) —
1 + (xyz)2
(х; у, г)
= J d (arctg (х, у, г)) = arctg (xyz) + С.
(0; 0; 0)
Масалани (3.38) формулага асосланиб ечиш цам мумкин:
W (х, y,z) = f Р (х; 0; 0) dx +	(х, у, 0) dy 4- J R (х, y,z)dz + С=
о	о	о
г
_ г xyd2------с — arctg (xyz) + С
J 1 4- x2y2z2
о
(биринчи ва иккинчи интеграллар нолга тенг).
13-	мисол. dW = ^^dy + xydz-z^
(х —yz)2	
Ечиш. 8-мисолда бу ифода тулиц дифференциал эканлиги кур-j
сатилган. Интеграллаш контури О (0; 0; 0) нуцтани, Ог уцини ва!
2 (zxdy ~ xydz — zydx)
(х —yz)2
162
z сиртни кесиб утмаслиги керак. Шунинг учун (х0, уа, г0) нук-
та деб (0; 1; 1) нукдани оламиз ва (3.38) формулага асосан топа-
миз:
х	у
W (х, у, z) = f Р (х\ 1; 1) dx 4-J Q (х; у; 1) dy 4-
'о	1
г	х	у
(- |>(х, у,z) dz+C^~\^-+	dy +
J (х— I,2	,) (X — У)2
1	О	I
с 2xydz ,	_	2	,	2х
I ------ “т с----------~t---------
J (х—у z,2	X — 1 X — у
2х
+ С.
х — yz
14-	мисол. dW = f 1 —- 4- —) dx 4- f— 4- —) dy — — dz.
\ у г /	\ z y2J Z2
Ечиш. P (x, y, z) = 1 — ~ 4- Q (x, y, z)P (X,y,z) =
У z	z y2’
xy	dP	dQ	1	1	dP	dR	у
--------	 ва улардан олинган	= —— = — 4- —, -— = —- — —
г2------------------------------ду-дх	у2	г2	dz	дх	г2
~	~ хусусий .-уэсилалар (х, г) (у = 0) ва (х, у) (г ~ 0) те-
кисликлардаги нукталарни, О (0; 0; 0) фазодаги координата бошини уз
ичига олмагап хар ^андай (У) сохада узлуксиз функциялардир. (V) со-
хадаги (ха, у0, 20) ва (х, у, г) нукталар учун (3.38) формулани ишла-
тамиз:
163
15-	мисол. dW — (2xyz + ln/y) dx +1 x2z -1 dy + (x2// — 2z) dz.
\ У J
Ечиш. P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) функциялар ва уларнинг
хусусий хосилалари //>0 сохада аницланган ва узлуксиз. Шунинг
учун (х, z) текислигида ётмаган, Оу удининг мусбат йуналишидаги
4(0; 1;0) нудтани оламиз ва (3.38) формулага асосан бошлангич
X	У
функцияни топамиз: W (х, у, z) = j' Р (х, 1, 0) dx + JQ (х, у, 0) dy-\-
0	1
+ fR (х, у, z) dz + C = f 0-dx + f-dy+f (x2y — 2z)dz + C =
b	о	i У b
= x- Iny + x2yz — z2 + C.
Машцлар. Берилган тулид дифференциалга асосан бошлангич
функциялар топилсин.
15.39.	dU= (x-y)..dx+(x + j/)^
Х2 + у2
15.40.	dU = (2xcosy — y2sinx) dx + (2ycosx — x2siny) dy.
15.41.	dU = 2x (1~2eP dx +	+ 1) dy.
15.42.	dW =	+ fci+i dz.
z у/ г2
15.43.	dr = ey^dx+ P +z/N dy A-
L г	J
+ [ ye^ + е“г — — у (x + 1) еУ//г 1 dz.
L	z2	1
15 44 dW = (*a + y2) dz~2z (xdx + ydy)
(x2 + y2)2
15.45.	dW =-------(ydxA-xdy — ^-dz\
х2У2 +zi \	г /
15.46.	dU =(1—sin2x) dy — (3 + 2ycos2x) dx.
15.47.	dU = (e** + 5) (xdy + ydx).
15.48.	dU =4 (x2 — y2) (xdx — ydy).
15.49.	dU = (2x — 3y2 +1) dx 4- (2 — 6xy) dy.
15.50.	dU =	dx+^-^y-.
’ _ x+ у _
15.51.	dU = -^--3 y/x-dx—--3 y/x-dy.
X2	X
15.52.	dW = (x2 — 2yz)dx + (y2 — 2xz) dy + (z2 — 2xy) dz.
15.53.	dW = (yzex + ze^ + ye2) dx -F (xzey + zex + хег) dy +
^xycz -j- у6х
15.54.	dW = (2xyz + y2z + yz2) dx 4- (2xyz + x2z + xz2) dy+
+ (2xyz + x2y + xy2) dz.
15.55.	dW = (\bx2y + 3z2) dx+^x? — 2yz) dy + (6xz — y2) dz.
X	J
15.56.	'rdW — — z^u \nzdx— — zX^lnzdy + - z«	-dz.
" У	У2	У
164
16-	§. Грин формуласи. Юзларни хисоблаш
Ёпиц L контур буйича олинган иккинчи тур эгри чизицли ин-
тегрални ва шу контур билан чегараланган (D) соха буйича олинган
икки каррали интегрални богловчи формула Грин формуласи деб
аталади. Бу формула цуйидагича ёзилади:
(f)Pdx + Qdy = f f	1 dxdy.	(3.40)
j	J J \ dx dy J
L	(£>)
Унда P (x, y), Q (x.y) функциялар ва уларнинг биринчи тартибли
хусусий хосилалари (D) сохада ва L контурда узлуксиз деб кара-
ла ди. Эгри чизикли интегралда L контур буйича интеграллаш мус-
бат йуналишда олинади (80- чизма). Иккинчи тур эгри чизицли ин-
теграл орцали оддий булакли — силлиц L контур билан чегаралан-
ган S юзани хисоблаш мумкин:
S=^)xdy =—ф ydx = уф xdy — ydx. (3.41)
L	L	L.
Куйида келтирилган мисолларда иптеграллашнинг 'ёпик L контури
оддий булиб, мусбат йуналишда утилади (яъни контур буйича куза-
тувчи шундай йуналишда харакатланадики, L контур билан чегара-
ланган (S) сох’анинг кузатувчига якин цисми унинг чап томонида
цолади) деб фараз цилинади.
16-мисол. Грин формуласи буйича
I = j 2 (хI 2 + у2) Лх + (х + у)2 dy
L
интеграл хисоблапсин, бу ерда L—АВС учбурчак контури булиб,
А (1; 1), В (2; 2), С (Г, 3). Чйццан натижани эгри чизикли инте-
грални бевосита хисоблаб текширинг.
Ечиш. АВ, ВС, С А тугри
X — X,
чизицлар тенгламасини ------— =
Х2— Х1
у —уг
= ——— тенглама ердамида то-
Уг — У1
памиз:
АВ :у = х, ВС-.у = — х + 4,
АС: х = 1
(81-чизма). АВС учбурчак кон-	1
тури билан чегараланган (D) сода	' I |
х = 1, х = 2, у =х, у = 4 — х туг- ----Z-----1______I__
ри чизицлар орасидадир. Бу маъ- в 1	2
лумотлар икки каррали интеграл-
ни хисоблаш учун керак. Энди	81-чизма
165
Р—2 (х2 + У2), Q = (x-]-y)2 учун —, ни топиб (3.40) Грин
ду дх
формуласига цуямиз ва топамиз:
2	4—х
I = ^J[2 (х + у) — 4у] dxdy = 2 [ dx [ (x—y)dy =
(В)	' 1 "x
2	4—x	2
= — f (x—y)2 I dx — — \ (2x — 4)2 dx — — —.
•J I	J	3	•
1	X	1
Натижани текшириш учун эгри чизицли интегрални бевосита >;исэб-
лаймиз: ф Pdx + Qdy — I • • • + f • •  + I • • • •
L	AB BA CA
AB да у = x, dy = dx ва x узгарувчи 1 дан 2 гача узгаради;
ВС да у = 4 — х, dy = —dx ва х узгарувчи 2 дан 1 гача узга-
ради;
СА да х= 1, dx = 0 ва у узгарувчи 3 дан I гача узгаради.
2
Шунинг учун I = J [2 (ха + х2) + (2х)2] dx 4-
1
1 1
4- J [2 (х2 + (4 -х)2) - 16] dx + j (14- уу dy =
2	3
2	1	1
Я „ I Г 9	9	I I	I	4
= 7 t	(4—x)® — 16x] + 4 (1 + y)®b- -
О I I	О	О	|	О
1	2	3
Натижалар бир хил, бу эса Грин формул аси тугри эканлигининг
яна бир далилидир.
17-мисол. ф (е*у ф-2х cos у) dx ф- (e-vy — x2sin у) dy интегрални L
L
контур билан чегараланган (D) соха буйича олингаи икки каррали
интегралга келтиринг.
Ечиш. Мисолни ечиш учун Грин формуласидан фойдаланамиз.
Курилаётган холда Р (х, у) = еху -ф 2xcos у, Q (х, у) = cvy — х2 sin у,
ундан .фосилалар оламиз: — — уеху — 2xsin у, — = хгху — 2х sin у.
дх	ду
Энди (3.40) формулага асосан топамиз: jj Pdx -ф Qdy =
L
— ff [ye*?—2x sin y) — (xexy— 2xsiny)]L dx dy — [[ (y — x) ery dxdy.
(D)	'(D)
18-мисол. Ушбу J (хф-у)2 dx —(x — у)г dy ва =
O^B
— .F (* + У)2 dx — (x — y)2 dy интеграллар орасидаги фар;-; топилсин,
OnB
биринчи интегралда ОтВ О (0; 0) ва В (Г, 1) нуцталарни бирлашти-
166
рувчи турри чизиц кесмаси, ик-
кинчи интегралда On В у = х2 па-
рабола ёйидир.
Ечиш. Берилган интеграллар-
га эътибор берсак, уларда инте-
граллаш йули турлича булиб, ин-
теграл остидаги ифодалар бир
хил эканлигини курамиз. Улар-
нинг хар биридаР(х, у)~(х+у)2,
Q(x,y) =—(х — у)г.
Энди 12 — Ц айирмани цисоб-
лаймиз (/, да интеграллаш йу-
налишини узгартирсак, интеграл
уз ишорасини узгартиради):
/2 — Ц = J Pdx 4- Qdy — j" Pdx 4- Qdy —
= J Pdx 4- Qdy 4- J Pdx 4- Qdy = ф Pdx 4- Qdy.
OnB	BmO	OnBihO
H атижада OnBmO = L дан иборат булган ёпиц контур буйича олин-
ган битта § Pdx 4- Qdy эгри чизицли интегралга келамиз (82- чизма).
Бу интегрални
Аввал содда
= — 2 (x — y),
хисоблаш учун Грин формуласидан фойдаланамиз.
цисоблашлар бажарамиз: — = 2 (х 4- у), — =
ду	дх
dQ дР :
—---------- — 4х.
дх ду
Натижада ушбу /2—	ff(—4x)dxdy интеграл хосил булади.
„__(О)
Ёпик ОпВтО контур билан чегараланган (D) соха учун 0 < х < 1,
х2<#<х муносабатлар уринли. Энди /2 — Ц айирмани .уисобласа
булади:
— Zi = — 4 J хdxj dy = — 4 х (х — х2) dx = — —1 .
О ла	о
Шундай цилиб, /2—/1=1/з.
19-мисол. Ушбу I = (f) xdy ~ ydx интеграл цисоблэнсин, бу ерда
J х2 4 4 у2
L
L О (0; 0) нуцтадан утмайдигап оддий ёпиц контур. 2 хол курил-
син: 1) О (0; 0) нуцта контур ташцарисида жойлашган; 2) L контур
О (0; 0) нуктани ураб слган.
167
Ечиш. 1)дол учун Грин фор-
муласини ишлатиш мумкин. Сод-
да дисоблашлар бажарамиз:
у^-тггг’ Q (х’ у)
х2 + 4i/2	хг4~4 у2
дР  dQ _ 4у2 — х2
ду дх (х2- -4у2)2
Бу функциялар (D) со.дада на
L контурда узлуксиз. Шунинг
учун цуйидагига эгамиз: ,
. (D)	(О)
п 2>
дР
ду’
дол учун Грин формуласини ишлатиб булмайди, чунки Р, Q,
— функциялар (D) соданинг О (0; 0) нудтасида узилишга эга.
ОХ
Лекин
*2 -f- 4(/2
ифода тулиц дифференциал булганлиги учун ин
тегралнинг циймати интеграллаш йулига (контурга) боглиц эмас.
Интеграллаш контури ?деб цулайлик учун АВСК турри бурчакли
туртбурчак (83-чизма) контурини оламиз. Равшанки, АВ^а у = —-1,
dy = 0, -2	2; ВС да х = 2, dx = 0, — 1 < у < 1; СК &а у= 1,
dy = G, 2>х>—2; КА да- х= — 2, dx = 0, 1 > у > — 1. Энди
(3.33) формулага кура узил-кесил топамиз:
-Му
4-J-4(/2
xdy — ydx
х2 + 4//2
2	1	2	1
o C dx , C dy , x I ,1
= Z	———F	—— = arc tg —	4- arctg у = л.
J x2 + 4 J 14. У2 s2	I
-2	-1	-2	-1
Натижада 1) дол учун cf Pdx-[-Qdy=0 ва 2) дол учун cjj Pdx Qdy = л
L	г
цийматларни досил цилдик.
Энди эгри чизицли интеграл ёрдамида юзни дисоблашга дойр ми.
соллар курамиз.
168
20-мисол.Ушбу x=2acost—
— acos2t, у = 2а sin/— asin2/
кардиоида билан чегараланган
юз топилсин.
Ечиш. Кардиоида эпицик-
лоиданинг хусусий холидир
(84-чизма), параметр t эса ха-
ракатланувчи айлана маркази-
нинг дутб бурчагидир. Шакл-
дан равшанки, 0 < / 2 л бул-
ганда кардиоида, ёйи тула чи-
зилади. Юзни хисоблаш учун
5 = ф xdy — ydx формула-
L
дан фойдаланамиз ((3.41) фор-
му лага д.).
Кардиоида учун dx = 2a (— sin t + sin 2/) dt, dy = 2a (cos / —
— cos2/) dt, x dy — у dx = 2a2[(2 cos / — cos 2/)(cos/ — cos2/) —
— (2 sin / — sin 2/) (sin 2/ — sin /)] dt = 6a2 [ 1 — (cos / cos 2/ -f-
84- чизма
+ sin 2/ sin t)\dt = 6a2(1 — cos t)dt.
2л
(*
Демак, S = 3a2.'. (1 — cos /) dt •= 6 ла2 (юз бирл.).
о
21-мисол. Ушбу (х+у)2 = ах (а>0) парабола билан Ох у^и
орасидаги юз топилсин.
Ечиш. Параболанинг Ох уки (у = о) билан кесишиш ну^талари-
ни ушбу (х 4- у)2 = ах, у = 0 тенгламалар системасидан топамиз.
Бу нуцталарпинг координаталари (0; 0) ва (а; 0) экани равшан.
Уларни, О (0; 0), А (а; 0) деб белгилаймиз (85- чизма).
Изланган юзни хисоблаш учун
L = 0nAm0 ёпи^ контур буйи-
ча мусбат йуналишде харакатла-
ниш керак. Бу контур икки бу-
лакдан тузилган: ОпА да у = 0,
dy — 0, 0 С х с а ва х dy —
—ydx=0; Ат О да у —]/ ах — х,
dy=(^ ~1)dx'х узгарув‘
чи а дан 0 гача узгаради ва х dy—
— у dx = —j'ax• dx. Демак,.
юзни узил-кесил топамиз:
85- чизма
169
S= -L$>xdy-ydx = ~Uy. +
OnA AmO
0	0
22- мисол. x3 + у3 = x2 + У2 эгри чизи^ ва Ох, Оу координата
у^лари билан чегараланган соханинг юзи топилсин.
Ечиш. Ошкормас тенглама билан берилган эгри чизицнинг гра-
фигини чизиш ва изланган юзни ^исоблаш учун у— tx алмаштириш
ёрдамида эгри чизицнинг параметрик тенгламасини топамиз. Равшан-
ки, х3ф- t3 х3 = х2(1 4М2), У = tx. Шунинг учун берилган эгри чи-
зи^нинг параметрик тенгламалари
г = L±£	„ = ^0+^
1 -м3 ’	у 1-м8
куринишда ёзилади.
Таъкидлаймизки, О (0;0) —эгри чизи^нинг ажратилган нуцтаси.
Эгри чизи^ Ох уц билан t = 0 булганда кесишади, бунга А (1; 0)
ну^та мос келади ва /-*4-оода (х((); г/(/))~*(0; 1) муносабат урин-
ли. Лимит ну^тани С(0; 1) деб белгилаймиз. Эгри чизицнинг огма
асимптотаси мавжуд ва у у — —х4 тугри чизицдир(86- чизма).
Изланаётган юз ёпи^ L = ОАВСО контур билан чегараланган. х® +
+ у3 —х2 А- У2 эгри чизицнинг АВС ёйида t параметр 0 дан 4- оо
гача узгаради; ОА да эса у = 0, dy — 0, 0 < х sg 1 ва xdy—
— ydx = 0; СО да х = 0, dx — 0, 1 > у > 0 ва х dy — у dx= 0.
Демак, О А ва СО буйича олинган интеграллар нолга тенг в а
ф xdy — у dx — j х dy — у dx, яъни юзни хисоблаш формуласини
L	<—"	АВС	1 । /а /(1-М2)
фацат АВС ёй учун ишлатамиз. Эгри чизицнингх——, у — -  ---
2/__3/2_/4
параметрик тенгламасидан фойдаланиб хисоблаймиз: dx——j——— dt,
dy — —l-------dt ва х dy — у dx =	~   dt. Энди изланган юз-
(14- /3)2	27	27	(И-/3)'2
ни ^исоблаймиз:
4-ос	4-оо	4~°°
<1+-у	»--
2 5 (1-М3)2	2 О (1-М3)2 О (1-М3)2
4" оо
+ J ------—dt]=-[/г + 2 /2 + /31.
^0	(1 + /3)2 2L 1	2 1 3J
dt +
I* h интегралларни ^исоблаш учун Эйлер интегралларидан фой-
4-00
С tm jj 1	/ >п 4-1 т-А 1\ /л пг -4- 1	\
даланамиз: 1 ------—d/=—о (—Д-—; р-----------Д— ; 0 <	- < р .
о O+tnf па\ п н п	п
170
Эйлернинг В (а, Ь) ва Г (х) функциялари В (а, Ь) — —<-;
Г(а^Ь)
Г (х') Г (1 —х) — —-------хоссаларга эга. Шундан фойдаланамиз:
sin Л X
М\ /5_х
,	1 о/1 5 \	\3/	\3J	2 г / 1 \ г/2\
3	\3 з; З-Г (2)	9 \з)	\3)
2 л   4л
9	. л g/jf’
smy	’
f3==lB(b 1) = _±L_ .
3	\ 3	3 /	9 /3
и. с _!_/ 4 л . 2 , 4 я \ 4л ,1/ g ч
Демак, S	(юз. бирл.)
z \9/3	3	9/3	]	9/3	3
23- мисол. (х + У)3 = ху эгри чизиц билан чегараланган биринчи
чоракдаги юз топилсин.
Ечиш. Олдинги мисолга ухшаш, эгри чизицнинг параметрик
тенгламасини у —tx алмаштириш ортали топамиз:
t	t*
(1+/)3’	»	(1+/)з
Энди t нинг t^= — 1 цийматлари учун (х, у) нуцталарни топиб,
берилган эгри чизиц графигини чизамиз (87- чизма). Эгри чизиц ко-
ординаталар бошидан икки марта утади, t параметр 0 дан + оо гача
узгариб борганда эгри чизицнинг ОтАпО халцаси чизилади. Из-
ланаётган биринчи чоракдаги S юз шу цалца билан чегараланган
шаклнинг юзидир. Энди формуладаги xdy — ydx ифодани цисоблаб
171
I___oz	It__fl	fl
оламиз: dx =-----------dt, dy =------dt, x dy — у dx— --------- dt.
(l+O4	* (1+0*	* *	(i+o6
Никоя т, изланаётган юзни топамиз:
e И t2 dt 1 о Zo ox Г 3 -Г 3)	2! 2	1 .	.
о = — J --------- = — В (3; 3) = ——---------— —	= — (юз бирл.).
2 о (1+06	2	7	2-Г (6)	2-5!	60 v н '
Машуар. I. Грин формуласига ва юзларни хисоблашга дойр
мисоллар.
16.1.	f (1 — хг) dx + х (1 + у2) dy интеграл L контур х2 + у2 = В2
L
айлана булганда: а) Грин формуласи ёрдамида ва б) бевосита
хисоблансин.
16.2.	| (ху + х + у) dx + (xy + x — y) dy интеграл: а) Грин форму-
L
ласи ёрдамида ва б) бевосита хисоблансин. Унда ушбу икки .
Хол курилсин:
I-	хол L контур эллипс: — + — = 1.
2-	хо л. L контур айлана: х2 + у2 = ах.
16.3.	Цуйидаги f 2 ху dx — х2 dy ва J 2 ху dx — х2 dy эгри чи-
АтВ	АтВ
зинуш интеграллар айирмаси топилсин. Биринчи интегралда
АтВ —А (—1; — 3) ва В (2; 0) нуцталарни бирлашгирувчи
тугри чизик кесмаси; иккинчи интегралда АтВ — А ва В нух-
талар орасидаги у = 2х — х2 парабола ёйидир.
16.4.	Ушбу [ (ех sin у — 5у) dx + (e*cosy— 5) dy интеграл хи-
АтО	---
соблансин, бу ерда АтО — х2 + у2=ах (а> 0) айлананинг би-
ринчи чоракда жойлашган хайда А (а:, 0) ва О (0; 0) нукта-
лар орасидаги ёйидир.
16.5.	Ушбу 1) f х -* ;	2) $Х-У~-У dx- ва
L 9 х2 + У2	L 4 х2 + 9 +
3)	ф xcly ~ydx(p > (); у>0) интеграллар хисоблансин, бу ерда
грх2+ qy2
L— координата боши О (0; 0) дан утмайдиган оддий ёпих контур.
Икки хол курилсин: а)О (0; 0) нуцта контур ташкарисига жой-
лашган; б) L контур О (0; 0) нуцтани ураб олган.
16.6.	f (х2 — у2) dx + (х2 + у2) dy интеграл хисоблансин, бу ерда L
L
X2 Z/2
ушбу-----h — = 1 эллипснинг соат миллари харакатига тескари
а2 Ь2
утилган контури.
16.7.	^гх2 + у2 dx +У [ху + 1п(х+> х2 + У2) ] dy интеграл хи-
L
соблансин, бу ерда L — соат миллари харакатига тескари утил-
ган туртбурчак контури:	0<у<2.
172
16 8. (Г ХУ (у dx — х dy)	_.	.
* J r2v 2—^интеграл дисоблансин, бу ерда L—соат милла-
L X -г" у
ри харакатига тескари утилган r2=a2cos2<p лемнискатанинг
унг япроги. р	,—х
16.9.	Хис°блансин: $ (х + У) dx — (x — y) dy, бу ерда АтВ — уди
АтВпА	___
Ох булган парабола ёйи, ВпА эса А (1; 0) ва В (2; 3) нуд-
талар орасидаги ватар.
16.10.	Хис°блансин: ф (х + у)2 dx — (x2 + y2) dy, бу ерда L —
L
миллари харакатига тескари утилган АВС учбурчак
А (1; 1), В (3; 2), С (2; 5).
Ф (1 —х2) у dx 4- х (1 + у2) dy, бу ерда L —
L
Харакатига тескари утилган х2 + у2 = R2 айлана
со ат
контури:
16.11. ^исоблансин:
соат миллари
ёйи.
16.12. ^исоблансин:
ф 2 (х2 + у2) dx + (х Ц- у)2 dy, бу ерда L —
L
1), В (2; 2), С (1; 3) нукталарда булган учбурчак
t> — 1	, г2 — 1.	.	, _ . .	,
х = а-------, у = at ------, — 1 t < 1 (строфоида халхаси).
учлари А (1; .
контури (соат миллари харакатига тескари утилган).
16.13.	^исоблансин: ф (ху + Зх + 2у) dx + (xy + 3x— 2у) dy, бу
L
ерда L — соат миллари харакатига тескари утилган
х2 -J- у2 = — 6х айлана ёйидир.
II.	Куйидаги эгри чизиклар билан чегараланган юза эгри чизикли
интеграл ёрдамида дисоблансин.
16.14.	(х2 + У2)2 = 2 аху (лемниската).
16.15.
16.16.	х4 + у4 = х2 + у2, Ох ва Оу укутар орасидаги юза.
16.17.	х3 + у3 = 3 аху, Декарт япрогининг халцаси.
16.18.	/Г)2'3+ рф3=1.
к а) \Ь}
16.19.	Ох уди билан х = а (2 cos t — cos 2/), у = а (2 sin t — sin 20
(0 < t < 2л) эпициклоида орасидаги юза.
16.20.	Ушбу г = b 4- a cos <р, а > b >0, эгри чизид билан чегара-
ланган шаклнинг юзи топилсин (а = Ь да кардиоида чизиги).
16.21.	9 у2 — 4 х3 —4 х4.
16.22.	х = a sin t cos2 t, у = a cos t sin21, 0 sx t — .
2
16.23.	x = a (cos t + t sin t), y=a (sin t — t cos t), 0 < t c 2 л ай-
лана эвольвентаси хамда Ох увдаги А (а; 0) ва 5 (а; — 2ла)
нудталар орасидаги кесма билан чегараланган юза.
173
IV боб
СИРТ ИНТЕГРАЛЛАРИ
Сирт интеграллари (I тур, II тур) з^идаги назарий материални
тегишли адабиётдан пухта урганиб олиш керак. Хусусан, Г. М.
Фихтенгольц уч жилдлик «Математик анализ асослари» китобининг
17-бобини узлаштириб олиш л озим. Шу бобда икки томонли сирт-
лар,. сирт томони, сиртнинг томонипи танлаш, сирт юзи I тур сирт
интеграли. II тур сирт интеграли таърифлари берилган, уларни хи-
соблаш коидалари курсатилган.
1\уйида ,\ар бир мавзуга оид мисоллар курилганда биз назария-
дан кискачо маълумот бериб бэрамиз.
17-§. Биринчи тур сирт интеграллари
Булакли-силлиг^ (£) контур билан чегараланган икки томонли
булакли-сил.тик (S) сирт нуцталарида узлуксиз f — у, z)
функция аницланган булсин. (S) сиртви ихтиёрий тарзда утказилган
булакли-силли;^ эгри чизидлар тури ёрдамида (S,), (S2), (Ss), . . . ,
(S„) ^исмларга ажратамиз. \ар бир (S/) (г = 1, п) цисмда ихтиёрий
(хг, уг, z;) нуцта олиб (88-чизма), функциянинг шу нуктадаги
f (Mt) — f (х/; у-, z) кийматини хисоблаймиз ва уни сиртнинг тегиш-
ли цисми юзи ASZ га купайтириб,
п
88- чизма
<у (I) =2 f (Xt, yb Zi) ^St
i=i
интеграл йигиндини тузамиз. Бу йи-
гиндининг барча (S,) цисмларнинг
диаметрлари нолга интилгандаги
(п-> оо даги) чекли лимити (агар
у мавжуд булса) / (М) = f (х, у, z)
функциядан (S) сирт буйича олинган
биринчи тур сирт интеграли дейи-
лади ва
/ =	z)dS (4.1)'
(3)
символ билан белгиланди (бу ерда
dS — сирт дифференциали). Бу ин-
тегралнинг киймати (S) сиртнинг
кайси томони олинишига боглиц
174
эмас. Arap (S) сирт моддий деб фараз
этилса ва f (х, у, г) сиртнинг ^ар бир
М (х, у, г) ну^тасидаги модда зичлиги
булса, у ^олда (4. 1) формула ёрдами-
да (S) сиртнинг массасини хисоблаш
мумкин. I тур сирт интегралини ^исоб-
лаш учун уни одатдаги икки каррали
интегралга келтириш керак. (S) сирт-
нинг берилиш усулига ^араб сирт диф-
ференциали dS ^исобланади. Энди биг
шу хисоблаш билан шугулланамиз.
1.	Силлиц (S) сирт г = z (х, у),
((х, y)£D) тенглама билан (бу ерда
z(x,y)— бир ^ийматли узлуксиз диф-
89- чизма
ференциалланувчи функция) берилган булиб, (D) со^а эса (S) сиртнинг
(х, у) текисликдаги проекцияси булсин. (S) сиртдаги турларни ихтиёрий
равишда олиш мумкин булганлиги учун (S) сиртни (х, z) ва (у, г) коор-
дината текисликларига параллел булган у = у0, у = у0 + ку, х = х0,
х = Хд + Дх текисликлар билан кесиб чи^амиз. (Д5) сиртга утказил-
ган п нормални шундай йуналишда оламизки, у Oz у^и билан уткир
у (cos у > 0) бурчак ташкил этсин (89- чизма). Бу холда cos у =
_— 1	--- ва сирт дифференциали учун dS-cosy = dx dy
К i+z^+v
тенглик уринли, яъни dS =	= т/1 4.3'24.2'2 dx dy. Натижада
cos у ' I л I S'
(4. I) формуладаги интеграл куйидаги куринишларга келади:
f (х, у, z (х, у)}-^\+z'x2 + zy2 dx dy (4.2)
(S)	(D)
И f (x, y, z)dS = J f
И fix, у, z)dS=5S f(x,y, z(x, y))-^	(4.3)
(S)	(D)	cos у
2.	Шунга ухшаш, силлиц (S) сирт x = x (у, z), (у, z) £ (D.)
тенглама билан берилса (бу ерда (D,) — (S) сиртнинг (у, г) текисликка
туширилган проекцияси), сирт дифференциали dS = +xy2+xz2dy dz
куринишда ёзилади. Шу сабабли сирт интеграли учун ^уйидаги ку-
ринишларни ёзиш мумкин:
П f (х,у, z) dS = Jf f (х(у, z), у, z)/^l+x'y2 +хг2 dy dz (4.4)
(S)	(D,)
ва
JJ/(x, y,z)dS = ^f (X(y,z),y,z)-^	(4.5)
(S)	(D,)	|cos a I
A_	_
(бу ерда a = (Ox, n), яъни a — Ox у^и билан n вектор орасидаги
бурчак).
175
3.	Энди силлиц (S) сирт у = у (х, z), (х, z) С (О2) тенглама би-
лан берилса, у хрлда dS =V 1 + ух2 + Уг2 dx dz
ва П f(x, у, z) dS = §J f (х, у (х, z), z)-V 1 + У*2 + Уг dx dz (4.6)
(S)	(D2)
ва JJ f (х, у, z) dS = £f f(x, у (x, z), z)-^-	(4.7)
(S)	(D2)	I cos Pl
формулалар уринли. Бу ерда (Z)2) — (S) сиртнинг (x, z) текисликда-
ги проекцияси, P эса n нормалнинг Оу у^и билан ташкил этган
бурчаги.
4.	(S) сиртнинг тенгламаси эгри чизицли (u, v) координаталар
ортали х = х (и, v), у — у {и, и), z = z (и, v) куринишда берилган
булса, у хрлда dS сирт дифференциали Гаусс кооэффициентлари
деб аталувчи
дх	дх	ду	ду	дг	дг I
ди	ди	ди	dv	ди	dv j
G =
F =
(4-8)
ифодалар орцали ^уйидаги формула ёрдамида хисобланади:
dS = y EG — F2 du dv.	(4.9)
5.	Масалан, (x, у, z) фазода (г, Ф, 6) сферик координаталар сис-
темаси (90- чизма), яъни ушбу х = г cos ф cos 0, у = г sin ф cos 0,
176
z = r sin 0 (r > 0) муносабатлар олиниб, (S) сиртнинг тенгламаси
г = г (<р, 0) куринишда булсин. У хрлда Е = г'^ ф- г3 cos3 0, G =
= Г03 + г3, ^’:==гф-ге тенгликларга эгамиз. Шунинг учун сирт диф-
ференциали цуйидаги куринишда ёзилади.
dS ^ /EG — F2 dtp dG =
= fj/r^3+rg3-cos3 0Ц-r2 cos3 0 dtp d0.	(4.10)
6.	Энди (x, y, z) фазода (r, <p, z) цилиндрик координаталар сис-
темаси: x=r cos q>, y = r sintp, z=z, r>0 (91-чизма) олиниб,
(S) сиртнинг тенгламаси z = z (г, <p) куринишда булсин. У ^олда
1 +<3, б = г3 + гф2, F^zr
ва
dS =}/г3 ф- г3 z2 + гф3 dr dtp.	(4.11)
7.	Ю.рэрида курсатилган (4.1) формулада f (х, у, z)sl деб ца-
бул цилинса, у ^олда биринчи тур сирт интегралининг циймати (S)
сиртнинг юзига тенг булади:
S=JJdS.	(4.12)
CS)
Энди мисоллар куришга утамиз.
1- мисол. х2 Ц- г/3 ф- г2 = R2 сферанинг тулик сирти топилсин.
Ечиш. Сферик координаталар системасида сферанинг тенгламаси
г = R куринишда ёзилади, бу ^олда 0 ва <р цуйидаги орали^лардан
крйматлар цабул килади: 0 < <р 2л, —л/2	0	л/2. (4.10) фор-
мулага кура гф = 0, г'в = 0, г = R булганда dS = R2 cos 0 dtp d&
формулани ^осил киламиз. Узил-кесил топамиз:
2Л л/2	Л/2
S = f dtp J R2 cos0 de = 2л R2 sin 0 |	= 4л Я2(юз бирл.).
О —Л/2	—Л/2
2- мисол. х3 + у2 = 2az параболоиднииг (х2 ф- у2)2 = 2а2 ху ци-
линдрик сирт ичидаги цисми юзи топилсин.
Ечиш. Цилиндрик координаталар системасида параболоиднииг
тенгламаси z = — г2 куринишда булади. (S) сиртнинг (х, у) текис-
2^
ликдаги проекцияси (х3 + у2)2 = 2а2 ху эгри чизи^ билан чегаралан-
ган биринчи ва учинчи квадрантдаги лемниската япрогидир: г4 =
= 2а2 г2 sintp costp, г3 =а2 sin 2 <p, г = a j/sin 2ср.
(D) со^а у=х биссектрисага нисбатан симметрии, (S) сирт ^ам ай-
12—390	177
ланма сиртдир (92- чизма). Шунинг учун (DJ, яъни От АО соха усти-
даги (SJ сиртнинг юзини хисоблаб, натижани 4 га купайтирамиз:
5=4 -5V Равшанки, (DJ сохада 0 < <р < — ва 0 < г < a y^sin 2 <р.
dS ни топиш учун z = — г, z — 0 ^ийматларни (4.11) формулага
г а ф
цуямиз:
dS — Л/ г2 + г2  r—dtp dr= — -]/ а2 + г2 dtp dr.
У	а2	а
Шунга кура топамиз:
я a /sin2<p
5= 4-П(*5 = —I dqj г/г2+а2 dr =
(S1) а о о _______________
я/4	a /sin2<p
4 f	3/2 1
= —- J (a2 4- r2)	• dtp —
' За о	’ о
n/4
=	[/(1 + sin2<p)3 —1] dtp =
n/4
= 4J.a| f г/ГсОзЗрЬ-дЪф-
3 L Й1	\ 4	/ '	4
= -^(20—Зл) (юз бирл.).
3. мисол. Ушбу x24-i/2 = 2x цилиндр ичида жойлашган
z = У х2 + У2 конус сирти ^исмининг юзи топилсин (93- чизма).
178
Ечиш. Цилиндрик (г, <р, г) ко'рдинаталар системасида конУс
тенгламаси z = г (г > 0) ва цилиндр тенгламаси г- =-- 2 г cos <р ёки
г — 2 cos ср куринишда булади. (£)) сохада —У <р , 0
<rc2 coscp тенгсизликлар бажарилади. dS ни (4.11) формулага
асосан ^исоблаймиз (бунда, равшанки, = 0, zT = 1):
dS = "/"г2 + r2-z'r2+z'4)2 dr d(f> = ryA2 dr dtp.
Энди изланган юзни хисоблаш мумкин:
л/2	2 cosip
S = jJdS =JJr/2 dr dtp =}/2 j d<pf r dr =
(S)	(D)	-л/2 о
Я/2	Л/2
= 2/2 J^2 cos2 ф d<p=yr2^1 + i-sin2q^ I ^=7/2 л (юз бирл.).
4- мисол. Ушбу х2 + у2 + z2 = а2 сферанинг х2 + у2 = ± ах ци-
линдрлардан ташкаридаги дисмининг юзи топилсин (Вивиани маса-
ласи).
Ечиш. Цилиндрлар доиравий булиб, ясовчилари Oz укига парал-
лел. Уларнинг йуналтирувчилари (х, у) текисликдаги марказлари
0; oj ва —у; 0; 0j ну^талардл ^амда радиуслари а'2 га тенг
булган айланалардир. Изланаётган юз 8 та тенг булакдан иборат,
улардан биттаси, масалан, биринчи октантдаги АВСМА контур би-
лан чегараланган (SJ нинг юзидпр (94- чизма). Унинг (х, у) текис-
ликдаги проекцияси 0NAB0 контур билан чегараланган (D.) соха-
дир (94-чизмада фацат z^O учун шакл чизилган). Демак, S=8Sj,
Sj= j* j dS. Цилиндрик координаталар системасида z =±Уа2 — г2
(Si)
179
(сфера тенгламаси), z'p = О,
ларни ёзиш мумкин. Шунга
z' = —	= (z > О учун) муносабат-
кура сирт дифференциалини ^исоблай-
миз: dS = /г2 + г2 • z'2 + z'2 dr d<p = ar dr d(P
r	Уа* — г*
(DJ coxa ушбу О С ф C a cos ф < r < a тенгсизликлар билан
берилади (95-чизма), чунки цилиндрлардан ташцаридаги сиртнинг
юзини хисоблаяпмиз. Энди бевосита хисоблашга утамиз:
л/2 а	п/2	а
8=8 f	dq> С	 ^ЛГ—-=	— 8а [	у а2 — r2|	-dr =
J J	/а2-г2	J	I
О	a coscp	0	a cos ф
л/2
= 8 a2 J эшф t/ф = 8 а2 (юз бирл.).
о
5-мисол. Ушбу y2-\-z2 = x2 конуснинг х2 + у2 = а2 цилиндр
ичида жойлашган сирти юзи топилсин.
Ечиш. I усул. у2 + z2 --- х2 конус сирти учун Ох уци симметрия
у^идир. Фазонинг ^исмида ^ам конуснинг 96-чизмада курса-
тилган сиртга ухшаш иккинчи булаги бор, чунки х =	У2+г2.
(8) сиртга утказилган перпендикуляр бирлик п вектор Ох у кинин г
мусбат йуналиши билан утмас а бурчак ташкил этади, демак,
cos а < 0 ва cos а = —  1  . Ушбу х = j/у2 + г2 тенгла-
У1+х'2 + х'г2
ма билан берилган (8) сирт учун
, у	, Z	1
х„ —	, х_ = _	, cos а =----
У Yyt + z-i'	Vtp + zi'	/2 ’
180
dS =	= /2 dy dz.
| cos a |
Энди (4.4) формулага асосан (f(x, у, г) =1 деб)
5 = [ [ -j/1 + ху2 + х'2 dy dz = f | yr2 dy dz
(bl)	(Di)
юзни хисоблаймиз. (Z),)— (S) сиртнинг (у, z) даги проекцияси. Уни
топиш учун цилиндр ва конус тенгламаларидан х ни йукотамиз:
y2 + z2 = х2	f х2 = а2 — у2,
х2 + у2 = а2,	[ у2 z2 = а2 — у2
=>-2у2 + г2 = а2 =>	+ — = 1
a2/2 а2
тенглама (у, г) текисликда (Dj) со^анинг контуридан иборат булган
эллипсни тасвирлайди (97-чизма). Икки каррали интегрални .уисоб-
лаш учун умумлаштирилган кутб координаталарига утамиз: у =
= -~= cos <р, г = аг эшф. Тегишли якобиан D—y’z- — -7=. г дан ибо-
У 2	D (г, ф) У 2
рат булиб, янги узгарувчилар учун куйидаги (о) соцани топамиз:
(о) = {(г, ф):0 5$ ф < 2 л, 0 <г < 1).
Демак, S = J j у 2 dy dz = у 2 
(О.)
2л 1
। dtp j* г dr = ла2 (юз бирл.)
о Ъ
Мисолда суралган (S ) сиртнинг -юзини топиш учун (х <С 0 лар учун
-\ам олишимиз керак эди) натижани 2 га купайтирамиз: S* = 2 S =
= 2 л а2 (юз бирл.).
II усул. Цилиндрик (г, ф, г)
координаталар системасига ут-
сак, конус тенгламаси z =
= ± у х2—у2, г = + гу cos 2 <р
булади. ОАВО контур билан
чегараланган (SJ .сирт юзи
изланаётан (S*) сиртнинг 8 дан
бир булагини ((S) нинг эса 4
дан бир булагини) ташкил эта-
ди. (S/) нинг (х, у) текислик-
даги (DJ проекцияси OANO
контур билан (98-чизма) че-
гараланган дойра секторидир:
О -С ф^с л/4, О -С г а. Ко-
нус тенглама сида г = 0 десак,
у = ± х ни хрсил циламиз,
демак, конус сирти (х, у) те-
181
dS - т
кислик билан биринчи ва туртинчи чорак биссектрисалари буйлаб
кесишади. Энди z>0 учун хисоблашларни бажарамиз:
/---zr- .	— г. sin 2<р	,	/-----г;—
z = г v cos 2 <р, z„ —	- г, — У cos 2ф ;
ф	у cos 2<р	г
---— , ,	/ »	,	<-> , г2 sin2 2 ф\1/2 ,
+- z_- dr dip — (r2+r2 cos 2ф H----- dr
т	(	cos 2 <p /
IEEZI dr IT '.L^L dr dg> = dr
У cos 2 <r	]/1 — 2 sin2 Ф	V 1 — 2 sin2 (p
л;4 a ______
f	=
J у 1 — 2 sin2 <p
d<p =
dtp;
5,	| | dS i
a
d (У 2  si n <p)	_
1 — (K2 sin <p)2
Л/4
rc sin (/2 sin <p)	= (юз бирл.).
I 4
0
Шундай цилиб, S* == 8  Sj = 2 лпа (юз бирл.).	___
III усул. (S*) сиртнинг тенгламасини г = ±У<х2-
о 0
<22
У2
кури-
нишда ёзиб, (4. 2) формуладан фойдалянамиз. I усулда белгиланган
(S) сиртнинг ярми (х, у) текисликдан юкорида жойлашган, чораги
оса. биринчи октантдаги (5J сиртни ташкил этади, унинг учун z =
™’	4-ет-	‘+4’ + 4! = ет
ва dS	dy.
fS.i нинг проекцияси (x, у) гекисликда биринчи чоракдаги О AN О
шаклдаги дойра сектори булада. Конус сирти (х, у) текисликни
у х, у - - х тугри чизицлар буйича кесиб утади. (D,) со^а х2 +
-4- w2 - я2, у --- х, у —0 (х>0) чишклар билан чегараланган. St юз
учен vui6v S t -- И dS j 2 r - dx dy икки каррали интегралга
.	J к <' J у x3 — и-
(О1) r
огамиз. Уни хисоблаш учун кутб координаталарига х—r созф, у =r sin<p,
г формулалар ортали утиб, (Djcoyann (а)=[(г, ф):0^г а,
£> (г, ЧТ
— сохага акслантирамиз. Натижада Юлоридаги икки каррали
Л/4
/— Р	cos <р • dq)
J /eo^p-sin2q> ’ 1 2 J V1—2 Sin2q> X
(4)	0
такрорий интегралга келади, Юкорида бу интеграл уисоб-
p r c >s q dr dtp
ИНТ
182
ланган: $! = — па2. Бутун (S*) сирт учун S* = 8$1 = 2 па2 ифода-
4
га эта буламиз.
6-мисол. Ушбу = J [ (х2 + у2 + г2) dS ва Z2 =	(х2 + У2 +
(S)	<₽)
+ г2) dS сирт интеграллар хисоблансин, бу интегралларда (S) — сфе-
ра х2 + у2 + г2 = а2 сирти, (Р) — шу сферага ички чизилган | х | +
+ IУI +1 z | = а октаэдрнинг сирти. Бу интеграллар айирмаси хам
топилсин.
Ечиш. 1Х интегрални хисоблаш учун сферик координаталарга ута-
миз: х = г cos ф cos 9, y = r sin ф cos0, г —г sin 9 ва dS~
= Аф2 + г'2 •cos2 9 +г2 cos2 6-rd<pdQ (4.10) форму ладан фойдалана-
миз (1-мисолдаги натижага хаРанг)- Берилган сфера учун г = а,
dS = a2 cos 9 dtp dQ, 0 < ф < 2 л, —~ < 9 < ва берилган функ-
ция f (х, у, г) — х2 + У2 + 22 = а2 куринишда булади. Демак, =
2л я/2	я/2
= [ dtp J a4 cos 0, dQ = 2 nai sin 0 I = 4 ла4.
'о —я/2	—я/2
Энди иккинчи интегрални хисоблаймиз. х, у, г ларнинг ишора-
сини тескари (харама- к(арши) га узгартирганда f (х, у, z) — х2 + У2 +
-f- z2 функциянинг хиймати узгармайди. Октаэдр эса (х, у), (у, г),
(г, х) координаталар текислигига нисбатан симметрикдир (99-чизма).
Шунинг учун I октантдаги учбурчакнинг АВСА контури билан че-
гараланган х + У + z = а текислик к(исми (S|) учун интегрални хи-
соблаймиз ва натижани 8 га купайтирамиз:
72 = 8- JJ (x2 + y2 + z2)dS.
(Si)
(<S\) нинг (х, у) даги проекцияси А АО В нинг юзи (Р^дир (99 а-чизма),
183
яъни (DJ= {(х,y):Q^x^a, О^у^а — х], Энди (SJ учун
Zj= а — х у, zx = 1, гу = 1 ва dS = у 1 1 j dx dy =
— У 3dx dy. Нихоят, /2 ни хисоблаймиз:
а а—х
/2 = 8 [ dx J ЦЗ [х2 + у2 + (а — х — у)2] dy —
'о о
= 8/3 С \^У + ^У3—	— *~УП| 'dx=z
о 5 J '	1 •' <о
Олинган натижаларга асосан Ц — /2 айирмани топамиз:
/х —12 = 4 ла4 — 2 | 3 а4 = 2 а4(2 л — у 3).
7-мисол. Ушбу I—---------—----- сирт интеграли хисоблансин,
(sj (х + у+П3
бу ерда (S)—тетраэдрнинг чегараси:
x + «/ + z< 1, х>0, z/>0, z>0.
Ечиш. Интеграллаш сирти (100-чизма) туртта сирт: АВСА кон-
тур билан чегараланган (SJ, ОАВО контур билан чегараланган (S2),
ОАСО контур билан чегараланган (S,), ОВСО контур билан чегара-
ланган (S4) сиртлардан тузилган.
Демак, I = Ц + /2 + 13 + Ц = Д Д5)3 + JJ ~1)2 +
Л. С С	I Г Г dS-
 (У (Х+//+1)3 (У (Х+//+ I)2 ’
(Sj) сиртда г = 1—х—у, г'х = — 1, гу = — 1, dS — ]/"3 dx dy ва
(5г) нинг (х, у) текисликдаги проекцияси ,_ЛОВ:0^х^1, 0^
у 1 — х. ни хисоблаймиз:

+ У" 3-1п2.
0 -C x sS
чунки n2
кура
(S2)
^1,0
вектор
/3 =
сирт учун цуйидаги шартлар бажарилган:
у < 1 —х, z = 0, dS = -dx dy~ , I cos у| = 1,
I cos у I
(x, у) текисликка перпендикуляр. Шунга
1 l-x
dy
(1 + x + y)2
----- + 1П2.
2
184
z
(S3). сирт учун эса 0 -< х -< 1, О С г -< 1 — х, у = О ва | cos (3 ( =
1	1-х
= 1 (n„J_xOz), dS = ~-х =dxdz. Демак, /3 = f dx f —=
| cos Р |	J J (1 + х)3
-	0	0
1—х	1
о о
[ —— Z
J (1 + X)3
о
---------
(1 + х)3
—-----In 11 +х| 'j |* =1—In 2.
1 -}- X	J |0
Шунга ухшаш,(S4) сирт учун х=0, О^г/^1, O^z^l —у, (cos а| =
1	' \—у
= 1 (n4J_z/Oz), dS — dydz ва /4 = Jd«/J а = 1—In 2.
оо
Энди берилган сирт интеграл учун узил- кесил топамиз: I = 14 ф-
+ 72 + /з + 74 = (_Е1 + У 3 In 2) + (-+ In 2) 4(1 - 1п2)Х
X 2 = (/3 — 1)1п 2 + -i- -(3-/3).
8-	мисол. Ушбу I = [ [ | xyz | dS сирт интеграл хисоблансин, бу
’	(S)
ерда (S) — z = х2 + у2 сиртнинг г — 1 текислик билан ажратилган
цисми.
Ечиш. z = х2 + у2 параболоид айланма сиртдир, унда г > 0, де-
мак, интеграл остидаги функция f(x, у, z) = z  | ху | куринишда ёзи-
лиши мумкин. Туртта октантда олинган Mt(x, у, г), М2(—х, у, г),
М3(—х, —у, г), Мл(х, —у, г) нуцталарда бу функциянинг циймати
узаро тенг, шунинг учун интеграллашни I октантда (унда f(x,y,z =
= xyz) олиб борамиз ва натижани 4 га купайтирамиз: / = 4-/ь
бу ерда Д = f [ xyz dS, (S4) эса I октантдаги параболоид сирти-
*<Si)
нинг АОВА контур билан чегараланган хисмВДиР (101-чизма). Ци-
185
линдрик (г, <р, г) координаталар системасига утсак (Sj) нинг пара-
метрик тенгламаси ушбу х ~ г cos <р, z/ = rsintp, z = r2, 0 < ф<
< —, 0 < г 1 куринишда булади. (Зг) нинг (х, у) даги проекция-
си х2 + у2 < 1 доиранинг чорагидир, уни биз (О,) деб белгилаб ола-
миз. (Sj) сирт учун = 0, г'г = 2r, dS = у7г2 + г2-г'2 + z'2 dr cfcp =
=	+ 4 г2 dr dtp ва /г = [Jr6 у 1 + 4r2 sin <р coscp dr dtp.
<«>)
Энди бу икки каррали интегрални ^исоблаймиз:
л/2	1
7Х = J sin ср cos q> dtp J г6 У^ 1 + 4 г2 dr =
о	'о
1	• в
= — Sin2 ф
2
Охирги аниц интегрални ^исоблаш учун у^ 1 + 4 г2 = t алмаштириш
бажарамиз, г2 = — (t2 — 1), rdr — — tdt, = 1, t2 = /5.
4	4
/6"	УГ	_
?x = f — О2 — l)M--/d/ = - f 72(/2—l)2d/= 125 1/5—•
J 32 4 J 4	27 J '	7	24-105
1 1
Шундай к.илиб, 1 — 4	(125 у/ 5 — 1).
Юцоридаги мисолни ечишда ушбу JJ f (х, у, г) dS =
„	__________ (S)
J J/(x,Z/, Z(x, //))/	z'2 + z 2 dxdy формуладан фойдаланса ^ам бу-
СО)
лади ((4.2) формулага кдранг). (Sj) учун 2= х2 + у2, z'x = 2х, гу — 2у,
dS = У 1 + 4х2 + 4у2 dx dy ва юкрридаги фикрларга асосан ушбу
?! = Jj ху (х2 + У2} V1 + 4 (х2 + У2) dx dy икки каррали интеграл-
(D.)
ни ^осил ^иламиз, бу ерда (Dj) = {(х, у)’. х2 + У2^ h х>0, у>0|.
Лекин уни ^исоблаш учун (х, у) текисликда ушбу х = г cos ф, у
= г sintp, = г кутб координаталарига утиб, аввал хисоблан-
D (г, ф)
ган (/j деб белгиланган) интегралга келамиз.
9-мисол. Ушбу I = [J — сирт интеграли ^исоблансин, бу ерда
(S) г
(S) — г=ху гиперболик параболоид сиртининг х2 + У2 = 7?2 цилиндр
билан ажратилган кисми, г эса сиртдаги нуктадан Ог укигача бул-
ган масофа.
Ечиш. (х, у, г) декарт координаталар системасида фазодаги
А1(х, у, г) нуктадан Ог укигача булган масофа г = р/х2 +У2-
(S) сирт 2 = ху тенглама билан берилган, унинг симметрия текис-
186
102- чизма
ликлари у = х ра у = — х текисликлардир (102- чизма). Ушбу zx = у.
zy = х, dS -=у 1 + № + у2 dx dy, г = । 4 4- у* ифодалардан фонда-
0 Р lAj _1_х2 ДГ
ланиб, берилган сирт интегралшш I = И -—dx dy икки
каррали интегралга келтирамиз, бу ерда (D) coxa (S) сиртнинг (.г, у)
текисликдаги проекцияси. (D) соха (х, у) текисликдаги х2 4- у2 -4
/У дойра билан устма- уст тушади. Энди х = г созф, у =r sirup,
Р---у- = г алмаштиришлар бажариб, янги (о) = <(г, <р) .0 С <р -4 2л,
D(r, <р)	_____.
0 “4 г “4 7?) сохада ннтеграллашни бажарамиз: 1 = Ц l-li— rdrdq=
(i)
2П R
f	dtp f	V 14-У2	dr = 2л i	j l -t r2 4 ~	hi. r j T rr2 И Г	=
J J	.	[2	2	j |0
0	0
= л [7? г'ПГ/F + in (R 4- т/l +/?a)l.
10- мисол. Ушбу x'2 4- У2 4- z2 = a2! -c >0, у :> 0, z 0 шар сир-
ти I октантдаги цисмининг Ог укига нисбатан инерция моменти хи-
соблансин.
Ечиш. Ог у^ига нисбатан инерция моменти
1г = fj (х2 + y2)dS	(4.13)
(5)
формула буйича хисобланади. Маълумки, (S) сирт ошкормас
F (х, у, г) — 0 тенглама билан берилса, у холда
187
5F
Sz
COS
(4.14)
jo	их ay ,	„	rr	u
ва as = -	। формулалар татбик этилади. Демак, биз курает-
ган мисолда:
F (.г, у, г) = х2 4 у2 4 z2 — а2 = 0, Fx = 2х, Fy = 2у, Fz — 2г,
,с,	у'4х2 4- 4у3 4 4г2 ,	,	a dx dy t
dS =  ------!—-—!-----dx dy = ____ .4______- (г > 0) ва
2г	У а2 — х2 - у2
У = П(*2+У2) dS =
($)
Г Г а (*2 4 У2)
'У> /а2_(х2 + //2)
dx dy,
бу ерда (£>) — (х, у) текисликдаги доиранинг биринчи чораги, яъни
(D) = [(х, у):х2У у2 < a2, .r>0, z/>Oj. Интегрални хисоблаш учун
кутб координаталар системасига утамиз. (D) сохада: 0 -< ф s? л/2,
л/2 а
п ___	, D (х, у)	, С j С 1-2 j
0 г •< a,	= г ва I = а \ dtp	—= rdr =
D (г, tp)	J J у a2 — r2
~ 0	0
a
ait C a2 — (a2 — r2)	, ал Г , . —5--------z
= — — r...... .— — rdr = — —a-1 a2 — r2 4
2 J /a2 — r2	2 [	1
0
na4
J_ _ (p a2 —r2)3] |a =
2	3/2 j Io
3
Лекин бу мисолни ечишда -(г, гр, 0) сферик координаталарга .хам
утиш мумкин. У холда (S) сирт куйидагича тавсифланади (103-чиз-
ма): (£) = {(/-, гр, 0):г —а, 0 •< ср -< О С 0 ;=/ yj ва dS =
— г2 cos 0 dtp dQ = a2 cos 0 dtp dQ (1- мисолга ^аранг). Сферик сирт-
нинг параметрик тенгламалари: х = a cos ср cos 0, у = a sin ср cos 0,
г = a sin0. Шу билан бирга х2 4 у2 = a2 cos20. Демак, /z =
Л/2	л/2
= J J (х2 4 У2) dS = I dtp i	a2 cos2 0  a2 cos 0 dQ = — ai (sin 0 —
(5>	oJ b’	2
1 • ч Iя/2 na4
-----sind 0	= ---.
3	/|o	3
11-мисол. Ушбу x=0, у = Q, x 4 У = 1 текисликлар билан че-
гараланган Зг = 2 (х р х 4 УI У) сирт ^исмининг огирлик маркази
топилсин.
Ечиш. М (хс, ус, гс) — сиртнинг огирлик маркази десак, у зуэлда
| f р • х dS	j [ ру dS	j [ pz dS
Х ==Ц>--------=	----= 4, г = <д----------=	(415)
c ff p dS I	f p dS 1	p dS !
4)	<S)	(S)
188
формулалар уринли, бу ерда р=р(х, у, z)—(S) сиртнинг хар бир (х,у, г)
нувдасидаги модда зичлиги. Мисолда зичлик р хасида хеч нарса
айтилмаган, демак р = 1, яъни сиртни бир жинсли деб караш мум-
2	,—	-—
кин. Берилган z = — (х у х + у у у) сиртнинг барча нувдалари I
октантда булади, чунки х>0, г/>0 да z мавжуд (104-чизма). Бе-
рилган сирт (у, г) (х — 0) текислик билан z = — У"1'2 ярим кубик па-
2
рабола ва (х, z) (у = 0) текислик билан z = — х3/2 ярим кубик пара-
бола чизи^лари буйича кесишади.
х + у = 1 текислик сиртни ЕКС эгри чизив; буйича кесиб утади.
Е fl; 0;—1 К[~; —;	cfb; 1;-V Мисолда ЕКСОЕ кон-
тур билан чегараланган (S) сиртнинг огирлик маркази М (хс, у:., zcj
суралган. Албатта, (S) сирт у = х текисликка симметрии булгани
учун хс = ус > 0, z,. > 0 булади. (S) нинг (х, у) текисликдаги проек-
цияси ANBOA контур билан чегараланган учбурчак сатхидир: 0
< х С 1, 0 < у < 1 — х. (S) сода учун z = у (х х + у у7 у), z'x =
= t^x,z' = У у, dS == ул 1 -г х У- у dx dy муносабатлар уринли. Эн-
ди масалани ечиш учун ушбу
хс = — f f х dS, ус = — у dS, zc = — f f z dS, tn = f f dS
m (S)	m (S)	m CS)	(S)
сирт интегралларини ^исоблаш лозим.
о о
9 р / .------\311—X
- h/1+х+у dx=
3 J \	/ 1о
о
1) т =
189
=| j*'[2/2-(1 +4V21 dx= |[2 /2 x-|(1 +x^] j’ =-±(/2+1).
‘o
J	1--V _____	( 1
2) xc = — И xdS = — I xdx i У1 +x+y dy = — C x 12 ^2 —
mfy	tn J J	3m I ' r
’ '	0	0	0
-d+^1* =	fx.(i +;;)« *]=
0
1
=	—т бу срда 71 = fx 0 + A')3/2 dx. Уни
tn \ v 3	/	J
0
— t, x t- — 1, dx== 2t dt, /j = 1,
V2
жариб топамиз: /а = j* (t2— V)t3-2t
= А(бУГ+1).
t2 = У2 алмаштириш бг-
dt — 2 f—f—-L/И К2 =
к 7	5	/ |i
Демак,
— 1 Г2 ___________
Xc ~ m I 3	105
26—15 I "’’j	j
~~П---Ба^ = хс=-(26-
“F	dx dy —
— 15 У2 ). Энди гс ни хисоблаймнз: г,. z dS = — И (х®/2-!-
, т У Зт '
I	1— X
i X3'- dx vi-i-x+y dy-
'о ео
1	1-х
+ J dx || у3^ у 1Ч-х-г£/ dy^
о е’о
Иккинчи интегралда интеграллаш тартпбини узгартирсак,
1	1- у _____________
J dy У2 У 1+-г+У dx интегралга келамиз, унинг киймати би-
о 1о
ринчи интегралга тенг.
1	1~х
Демак, zc="— I x3''2 dx I У 1-^-х-^-у dy =
3m J	J
о	о
i
= зЗ» J У У 2"- <‘ + ^'г >= У 2 Д2 . | |; -
— J х3/2(1 + х)3/2 dx j =	бу ерда I* =
о
1
= J х3/2(1 +У/2 dx.
о
190
Бу ерда /* интегрални ^исоблашда дифференциал бином форму-
ласидан фойдалансак, хосмас j/ 1 + * — t, tx = + оо, t2 = д/2j
интегрални ^исоблашимиз керак булади. Биз тригонометрии алмаш-
тириш бажарамиз. x = tg2t, 1 + х — ——, / — 0, t2= —, dx=2tgtx
cos21	4
пЦ  4
X —У холда 7* =2 i —— dt интегралга келамиз. Энди и —
cos21	J cos* t
о
= sin31, dv — s!n Z dt деб белгилаб, булаклаб интеграллаймиз (кейин
cos* t
< sin t ,,	\ г* о Г s;n3 l"^4
яна и = sin t, dv = —— dt деииш лозим): I* = 2 -——	—
cos7 t	[8 cos8 t |o
л/4
3 I sin t [л/4	if dt >1	o 14 У 2	4 У 2 \ . 1
8 \ 6 cos* t |o	6 J	cos5//]	\ 8	16 )	8	5
o
,_	n/4
F 2 , 1 ,,	,, f dt
= — + — /5, бу ерда /5 = I	—-—. Математик анализ курси-
о
дан цуйидаги рекуррент формула маълум:
I - Г - sin/ I n~2 /	n~>2
n J cos" t	(n—1) cos"-1/ n—1 " 2 ’
Ундан фойдаланиб топамиз:
r sin /	,	3 sin /	, 3.	. / л	, / \ I	, z--
I =--------------------— In tg ——	+ C
5	4 cos1 /	8 cos2 /	8	\ 4	2) |
n/4
ва tg| — + — I = 1/2+1 эканлигини хисобга олиб, It = l ---------—
\ 4	8 /	5 J cos5 /
о
— ZJC2 Л jn cy'2 + 1) кийматни ^осил циламиз.
8	8
Шундай килиб,
/* =	+ /К_2 + Л in (/2 + 1) =	+ - In (/2 + 1).
2	64	64	7	64	64
= — Г 4	=	8-15	61 у 2 — 15 In (/2+ 1) =
Zc— 9т[	5	] ~ 9-4(У2+1)'	5-64
_ 61 /2— 15 ln(/2+ 1)
“	96 (/2+1)
(бу ерда т урнига т =	цийматни цуйдик).
15
Демак, берилган (S) сирт огирлик марказининг координаталари
цуйидагилардан иборат:
_	26—15/2	_ 61 /2 — 15 ln(/2~+ 1)
Хс Ус ~	14	’ z'—	96 (/2+1)
191
105- чизма
12- МИСОЛ. X = и cos V, у —
= U‘sinv,z=hv, 0<u<a,0<?о<С
<л параметрик тенгламалар би-
лан берилган геликоид сиртининг
(105-чизма) огирлик маркази то-
пилсин (р = 1).
Ечиш. Геликоид тенгламаси-
даги и, v параметрларга нисба-
тан х, у, z лардан биринчи ху-
сусий хосилаларни топиб, Е, G,
F—Гаусс коэффициентларини х,и-
соблаймиз:
х' = cosu, у'и = sine, z'a = 0;
х.'=— и-sin v, y'v=ucos> v, zv=h;
E = (xj2 + (l/')2 + (zar = 1;
с = (х;)2 + ад2 + «)2=“2+
F = К-X'v +у'u- y'v+ «=~и*
X cosu sin »+и cos v sin »+1-0=0.
dS = у7 EG — F2dudv=~-yh2 + u2 du du — бу ифода геликоид учун
сирт дифференциали (4.9 формулага царанг).
Огирлик марказини М(хс, ус, zc) деб белгилаймиз. Уни топиш
учун 4 та интегрални: т = f f. dS, = J J x dS, /2= J J у dS,
(S)	(S)	(S) }
13 = J j* z dS хисоблаб, M нинг координаталарини ушбу xc = — /х,
(S)		m
yc = — -12, zc=— • /3 формулалар ёрдамида хисоблаймиз: tn =
m	m
u2 dv = л
, r________ 1?
— yh2 4- u2 4- — In I u 4-
4- yu2 + h2 I) 1° = — [a yF h2 + a2 + h2 In (a + h2 + a2) — h2 In h].
|o 2
а	ла
1\= J J x dS = С и y^h2 + u2 du f cos v dv = f и -yF u2-\-h2 du X
(S)	0	00
X sin v Г = 0.
'o
а	л
С и \ u2 + h.2 du J sin v dv =
о	0
/2= JJy dS--=
(5)
—— (u2 + /i2)3/21° - cos v I" = — [ (h2 4- a2)3 — /13].
3	Io |o 3
192
4- й2 In (а 4- ]/й2 + а2) — й2 • In й].
Энди хс, ус, гс ларни топамиз: хс == — = 0, ус = — = ~ X
т	т Зл
( У h2 -f- а2)3 — Л3	__/3 _ лй
г——	а+>/Г/г2+а2 ’ с т 2
а У h2 4- а2 + h2 In----------
h
13-мисол. х2 4- у2 г2 — a2, h<Zz<Za шар сегментининг Ог
укига нисбатан инерция моменти топилсин (р = 1).
Ечиш. (S) сиртнинг Ог укига нисбатан инерция моменти Iz —
=	(x2 + y2)dS формула билан уисобланади. Шар сиртидан г=й
*$>
текислик шундай (S) сегмент сиртини ажратадики (106-чизма), унинг
(х, у) текисликдаги проекцияси Аг Сг Ех Аг айлана билан чега-
раланган (£))== |(х, у):х2 4- у2 < а2 — й2} дойра булади. Цилиндрик
(г, <р, г) координаталарга утсак, (S) сирт учун г ~ у'а2— г2, z^ =
— 0, г' =  -г~-.. , dS —	(4- мисолга каранг) муносабат-
Т У а2 —г2	у а2 — г2 v
лар уринли булади. (D) сох;ада эса куйидаги тенгсизликлар бажари-
лади: 0 < ф < 2 л, 0 г sg у а2— й2, яъни (D)=((r, ф):0^г^
< У а2 — й2,0^ф< 2л} (106- а чизма). Интеграл остидаги f (х, у, z) =
— х2 4- у2 функция урнига х2 4- У2 = г2 ифодани к$йиб, сирт инте-
гралидан (D) сох,а буйича олинган икки каррали интегралга келамиз
ва уни дисоблаймиз:
2л	V а2 — h2
ar dr dw С i С	r3dr
-г-.	- = а \ аф' । г------------------—
У а2 — г2 J I У а2 — г2
о о
У а2 — h2
=2naJ ~ -у	- • d (а2—л2)==ла^у(а2—г2У2—2а2 (а2—
о
13—390
193
107- чизма
_r?)I/2] =
J 'о
= ^F(a-h)2(2a + h).
14- мисол. x2 4- У2 < /?2, 0
С H шартлар билан берилган ци-
линдр тули^ сиртининг 0(0; О; О)
координаталар бошига нисбатан мо-
мента, яъни кутб инерция моменти
топилсин (р ~ 1).
Ечиш. (S) сиртнинг кутб инер-
ция моменти
10= \\(x2 + y2 + z2)dS (4.16)
($)
формула ортали ^исобланади. (3) сирт уч булакдан иборат: (SJ—
(х, у) текисликдаги г = О, х2 4- У2 < R2 дойра; (S2) — z = H, х2 4-
+ У2 R2 цилиндрнинг юкори асосидаги дойра ва (S3) — цилиндр-
нинг ён сирти х2 + у2 = R2, 0 <г< Н (107- чизма), яъни (S) =
= (SJ + (S2) + (З3). Шунинг учун 70 = J [ (х2 + у2 4- г2) dS 4-
(зГ)
+ Д (х2 + у2 + г2) dS 4- [ ( (х2 4- У2 + г2)dS. Io = 70 (SJ 4-10 (Зг)4-
(S.)	(5,)
+ (5а) деб белгилаб оламиз. Цилиндрик (г, <р, г) координаталар
системасида курилаётган сиртлар жуда содда тавсифланади:
(Si)	= {(г, <р, г):0 < ф < 2л,	г = 0};
(S2)	= {(г, ф, г) :0 54 ф 2 л, O^r^R, z = Н};
(S3)	= {(г, ф, z):r = R, 0 < ф 2 л, 0^г</7).
(SJ, (Ss) лар учун сирт дифференциали (г = const, гф = 0, г'= О
булгани сабабли) dS = г dr dф куринишда булади. Шунинг учун
Jo (3;) ва Io (S2) микдорларни топиш мумкин:
R
(г2
о
4- Oi) rdr =
nR1 .
о
2л	R
Ц (82) = J dtp j (г2 4- Н2) rdr= ~(R^ +2 Н2 R2).
о	о
(S3) сиртда нук/галарнинг аппликатаси г узгарувчи, яъни у иккинчи
параметр сифатида ^атнашади: x—R созф, у = R sin ф, г = г (0
С ф 2 л, О С z < Н). Энди ушбу Е = (хф)2 4- (Уф)24-(гф)2=/?2, G ==
= «)2 +(уД2 + (О2 =1, F = хф-х; + у9-у'г 4- Zy-Z’z = 0 Гаусс
коэффициентларини топиб, dS = j/EG — F2 dtp dz --- R dtp dz сирт
дифференциалини чи^арамиз ва /0(S3) ни хисоблаймиз:
194
2 л R (R2z+ - z31 Г = 2 л R (R2H + - Н3).
\	3	/ |о	3
Натижада берилган (4.16) сирт интеграли учун узил-кесил топа-
миз:
/0 = — + y(R4 + 2R4R) + 2nR(R2R+y/R)-
= 1^ф^+Н)2+^-1.
L	о J
15-мисол. х±у=±а, х— у — ±а текисликлар билан чегара-
ланган х2 + у2 + z2 = а2 сирт ^исмининг огирлик маркази коорди-
наталари топилсин (z>0), р(х, у, z) = 1.
Ечиш. Сиртнинг огирлик маркази М (хс, ус, ze) координаталари
(4.15) формулалар ёрдами билан топилади. (S) сирт Oz у^ига нисба-
тан симметрии, демак, унинг огирлик маркази Oz у^ида жойлашган
булади, яъни хс = 0, ус = 0, zc = const ва М (0; 0; ze) — огирлик
маркази. ва / интегралларни ^исоблашда 1 октант билан чегара-
лансак булади, яъни АВСРА (108-чизма) контур билан чегаралан-
ган (Sj) буйича интеграллаш мумкин, кейин натижани 4 га купай-
тириш етарли. Олдин 1 = dS ни хисоблаймиз (унинг ^иймати (SJ
(S)
сирт массасига тенг). (Sj) нинг (х, у) текисликдаги (DJ проекцияси
АСОА контур билан чегараланган учбурчакдир: 0<х<а, 0у
а—х (108- а чизма). Ушбу z = У а2 — х2 — у2 ярим сферадан ибо-
-о	a dxdu
рат булган сирт учун dS = _----------=- ва
у а2—х2—у2
195
а а—х
Cdx Г
J J /а2—х2—у2
о о
= a i arc sin т=— dx =
J /а2 — х2 |
о	о
£___i • dx.
о
Бу интегрални .уисоблаш учун arc sin j/ * = t алмаштириш ба-
жарамиз. Янги чегаралар /1 = л/2, /2 = 0 булади, равшанки
—г	а — х	a cos21
1/ —i = sin t,  ;— = sin21, x = ,	,
r a-|-x	’ a-i-x	l-f-sin2/
0
,	4 a sin t cos t ,,	,	. , C, sin t cost
dx =-------------------dt; I = — 4 a2/-------------------dt.
(14-sin2t)2	J (l+sin2t)2
Л/2
Бу интегрални булаклаб интеграллаймиз: и = t, du — dt, dv =
2sin t cos t j,	1
—--------------dt, v =
(1 + sin2 t)2
1 + sin2/
О о
f dt
) 1 4- sin2 t
л/2
ла8
/== 2a2 Г---
л/2
о
г d(ctgf)
J ctg2/ + 2
Л/2
1 -|- sin2 t
О
ла2 ,2 а2 , etg t|
-----F -ZF arc tg -М
2	/2 S /2*1
r Л/2
--OU	(/2--I).
Энди Л =» JJ г dS интегрални ^исоблаймиз:
(зй
dx Г 7/а2 — х2 — у2  - ----- ----= а
J	/о2 — х2 — у2
0	0	'
а
О
О
о
а
л (/2 -1) ’
, a °
= a J (a — x) dx = —Jy (a — x)2| = -~
0
ffzdS
(U	4-a3/2
Шундай цилиб, zc = '-.p = —„—'	_
JJ 4- — a2 (/2 — 1)
(3)	2	'
xc, yz координаталарни х;исоблаш учун (4.13) формуладаги /2= jj" xdS
(S)
ва I3 = [J ydS интегралларни бутун (S) сох,а, яъни (x, у) текисликдаги
(S)
x + y= ±a, x — y=±a тугри чизидлар билан чегараланган (D)
196
со^ага проекциялан увчи (S) сща буйича интеграллаш керак. Маса-
лан,
О х-\-а
, ff ,с ГГ aydVdx	С Р у dy
/S~JJ	/’S-X*-»* --aJdXJ ya2_x2^y2 +
(S)	(D)	~a —x—a
о	— *+a	ydy	0	x+a
4-aJdxJ /a2 —xa_^2 = a J (—ya2—x'2—y2)|	dx +
0 x—a	—a	— (*4-a)
a	—(x—a)
+ a J (— y7”a2 —x2 — y2) | dx =
’	0	x—a
= — a f [y^a2 — x2 — (x + a)2 — /a2-x2 — (— (x + a))2] dx —
—a
. — a f [yra2 — x2 — (— (x — a))2 — yra2 — x2 — (x — a)2 ] dx —- 0.
о
Шунга ухшаш,
(A)
(«)
a x dx dy
Ички интеграллар 0 га тенг (13 дагига ухшаш), /2 = 0. Демак, хс —
= — = 0, ус~ ~ = 0. Шундай цилиб, огирлик маркази координа-
талари хс = 0, t/c= 0, zc =	булади.
Мацщ.
17.1.	x2-\-y2 = 1z параболоиддан z = c текислик билан ажратилган
сиртнинг Oz у^ига нисбатан инерция моменти топилсин (сирт
бир жинсли деб фараз этилган, яъни р(х, у, z) = 1).
z^
17.2.	—- +	= —- конусдан z =/7 текислик билан ажратилган
R2 R2 Н2
сиртнинг огирлик маркази координаталари топилсин (р = 1).
17.3.	х2 + у2 + г2 = Я2 сиртдан z —Н (0 < Я <₽) текислик билаи
ажратилган сферик сегмент сиртининг огирлик маркази топилсин
(Р = 1). ____________
17.4.	7 = J[ }/х2 + У2 dS биринчи тур сирт интеграли ^исоблансин,
(-S)
х2	yz	г2
бу ерда (S)—-------1-------=0,0sgz<6 конуснинг ён сирти.
а2	а2	Ь2
17.5.	Ушбу 1 ~ [[ (х2 + у2) dS сирт интеграли ^исоблансин, бу ерда
(S)
(S)	— }/х2 + У2 жисмни чегараловчи сиртдир.
197
17.6.	Jfz2dS сирт интеграли хисоблансин, бу ерда (S) — конус сир-
(S)
тининг кисми: х = г cos <р sin а, у =r sin<p-sina, z = r cos а
(Os^r^a, 0«^<р^2л) ва a = const (0<а<л/2).
17.7.	I = J [ (xy + xz + yz) dS интеграл хисоблансин, бу ерда (S) —
(S)_____
z~\'x2 + У2 конус сиртининг x2 + y2 = ax сирт билан ажра-
тилган хисми.
17.8.	Моддий 2=~(х2 + у2) (0^2< 1) параболик сиртнинг хар
бир нуцтасидаги зичлик р(х, у, z)=~-z. Бу сиртнинг массаси
топилсин.
17.9.	г=/х2 + </2 сиртнинг х2 + у2 = ах сирт билан ажратилган
Хисмининг огирлик маркази топилсин.
17.10.	Биринчи октантдагих2 + у2 + z2 = а2, х>0, у>0, г>0сфе-
рик сирт огирлик марказининг координаталари топилсин (р = 1).
17.11.	х2 + у2 + г2 = а2 сферик сиртнинг х2-[-у2 = ах сирт билан
чегараланган хисмининг огирлик маркази координаталари то-
пилсин (р = 1).
17.12.	Ушбу £(' (х2 + у2) zdS сирт интеграли хисоблансин, бу ерда
(S)
(S)—радиуси а ва маркази О (0; 0; 0) да булган сферанинг юхори
Хисми (z>0).
17.13.	JJ zdS сирт интеграли хисоблансин, бу ерда (S) —биринчи
(S)
октантдаги х + у + z = 1 текислик билан ажратилган тетраэдр-
нинг ту лих сирти.
17.14.	х2 + у2 + г2 = а2 сиртнинг (х2 + у2)2 = а2 (х2 — у2) цилиндр
ичидаги хисми юзи топилсин.
У2	х2	У2
17.15.----1----= 2г сиртнинг------1---=1 цилиндр ичидаги хис-
а2 Ь2	а2	Ь2
МИ юзи топилсин.
17.16.	х2 + у2 = — г2, х+ у + z = 2а (а>0) сиртлар билан чега-
раланган жисмнинг сирти топилсин.
17.17.	х = (b + a cos 0) cos <р, у — (b' + a cos 0) sin <p, z = asin0
(Q<a<Zb) торнинг иккита <p=<Pi, <р=Фа мервдиани ва иккита
0=01) 0 = 02 параллеллар орасидаги сирт юзи топилсин.
17.18.	z = 0 ва z = h- — , у > 0 текисликлар орасидаги х2 + у2 =
R
= R2 цилиндрик сирт хисмининг огирлик маркази топилсин.
. _ . _	..	5 у	п	2/з ,
17.19.	z = 0 ва г =—У>0 текисликлар орасидаги х +
а	_
4-	у2/3 — а2/3 цилиндрик сирт хисмининг огирлик маркази топил-
син.
17.20.	х2 + у2 = R2, 0^2цилиндрик сиртнинг Oz ухига нисба-
тан инерция моменти топилсин.
17.21.	(х — 2)2 = 22 + у2, 0<х^2 конус ён сиртининг Ох ухига
нисбатан инерция моменти топилсин.
198
17.22.	х2 + У2 + z2 — сферанинг 1 октантдаги цисми массаси то-
пилсин. ^ар бир нуктадаги модда зичлиги р = х.
17.23.	Ушбу Jf (х2 + У2) dS сирт интеграли ^исоблансин, бу ерда
(S)
(S)	—сфера: х2 + У2 + z2 = а2.
17.24.	Ушбу (х + у + г) dS сирт интеграли ^исоблансин, бу ерда
'($)
(S)	— кубнинг ту лиц сирти: Osgxs^a, О^у^а, О^г^а.
17.25.	JJ (6х + 4 у + 3z)dS сирт интеграли кисоблансин, бу ерда
(о»
(S)— х + 2 у + 3z = 6 текисликнинг I октантдаги цисми.
17.26.	z2 = х2 + У2 конус сиртининг z = 0 ва z = 4 текисликлар
орасидаги цисмининг кар бир нуктасидаги модда зичлиги
р — х2 + у2 булганда унинг уша цисми массаси топилсин.
17.27.	и—]/х2 + у2 конуснинг х2 + у2 = 8х сирт ичидаги цисми-
нинг массаси топилсин. Модда зичлиги а) р=2 ва б) p=z деб
олинсин.
17.28.	JJzdS сирт интеграли кисоблансин, бу ерда (S)—z =
(S) ,____________
=/ 16—х2 — у2 сиртнинг х>0, у >0, х+У	4 сокадаги кисми.
17.29.	pj (х2 + у2 4- z2) dS сирт интеграли кисоблансин, бу ерда
(S)
(S)	— цилиндрнинг тулик сирти: х2 + У2 + 4 х = О, 2 < z < 4.
17.30.	О С х < а, О С у а, О С z С а куб сиртининг кар бир нук‘
тасидаги модда зичлигини р = х у z деб, куб сирти массаси то-
пилсин.
17.31.	[f zdS сирт интеграли кисоблансин, бу ерда (S) — гиперболик
(S)
параболоид z=xy сиртининг х2+у2=4 цилиндр ичидаги кисми.
17.32. J|'ydS сирт интеграли кисоблансин, бу ерда (S) — х = 2у2 +
(3)
+ 1 (у>0) цилиндрик сиртнинг х= y24-z2, х=2, х=3 сиртлар
орасидаги цисми.
17.33. j'J Уу2—х2 dS сирт интеграли
Кисоблансин, бу ерда (S) —
(5)
х2 + У2 = z2 конус сиртининг х2 + у2 = а2 цилиндр билан аж-
ратилган цисми.
17.34.	х2 + z2 = у2, у > 0 конус сиртининг х2 + у2 = а2 цилиндр
ичидаги цисми учун Oz укка нисбатан инерция моменти то-
пилсин (р = 1 деб олинсин).
х2	У*
17.35.	х2 + у2 + z2 = а2 сиртнинг------1--= 1 (Ь <а) цилиндр ора-
аг	Ьг
сидаги кисмининг юзи топилсин.
17.36.	х2 + У2 + z2 = R2 сфера ичида жойлашган x2 + y2=Rx ци-
линдр сиртининг юзи («Вивианижисми» нинг ён сирти) топилсин.
17.37.	Гиперболик параболоид az = xy (а>0) сиртининг (х2+
+ у2)2 = 2 а2ху цилиндр и чидаги кисми юзи топилсин.
199
17
.38. z2 — 2 ху, x > 0, у > О конус сиртининг х — а, у = b текис-
ликлар билан ажратилган ^исми юзи топилсин.
Р Р -и /	у2 ^2
17.39.	И у 4-	—j dS сирт интеграли ^исоблансин, бу
(S)
д^2	о2	£>2
ерда (S)------h — 4-----= 1 (а > & > с > 0) эллипсоид сирти.
а2	Ь2	с2
18-§. Иккинчи тур сирт интеграллари
Уч улчамли фазода (х, у, г) декарт координаталар системаси оли-
ниб, (L) контур билан чегараланган (S) силли^ сирт берилган бул-
син. Унинг. М(х, у, г) нуктасидан шу сиртга нормал утказамиз ва
бу нормалнинг йуналиши учун мумкин булган иккита йуналишдан
(бир-бирига ^арама-^арши йуналтирилган ва йуналтирувчи косинус-
лари ишоралари билан фарц циладиган) бирини оламиз. Агар сирт-
нинг ихтиёрий Мо нуктасидан утувчи ва (L) чегара билан кесишмай-
диган хар ^андай ёпик (С) контур олинганда х,ам, Мп дан чи^иб,
уни айланиб Мо га ^айтилганда (109- чизма) нормалнинг йуналиши
дастлабки йуналишда ^олса, у х,олда (S) сирт икки томонли
сирт дейилади. Демак, икки томонли сиртнинг битта нуктасида
нормал йуналишини танлаш билан биз (S) нинг барча ну^таларидаги
нормал йуналишини танлаган буламиз. (S) силлик сирт тенгламаси
z = f(x, у) ошкор функция билан берилган, яъни z функция (х, у)
текисликнинг (£>) со^асида узлуксиз ва р — — , q = — узлуксиз
дх	ду
хусусий ^осилаларга эга булсин. Бу х,олда нормалнинг йуналтирув-
чи косинуслари
— Р	П	— Q
cos а =----- —♦, cos р =.....................   —	,
±У 14-р24-<?2	±у 14-Р24-<?2
cos у =------ 1	—	•	(4.17)
± /1 + Р2 4- <?2
109- чизма
формулалар ёрдамида топилади.
Илдиз олдида маълум бир ишо-
ра танлаб олиш билан биз сирт-
нинг аниь; бир томонини танлаб
олган буламиз. Агар илдиз учун
мусбат ишорани олсак: cos у =
1	л	—
==	 -—• > 0, яъни п нор-
т 1 4- Р2 4- <72>
мал Oz уци билан у уткир бурчак
ташкил этса, (S) сиртнинг «юк;ори»
томонини танлаб олган буламиз.
Аксинча, илдиз учун манфий ишо-
рани танлаб олсак: cosy<;0, у —
утмас бурчак булади ва (S) сирт-
нинг «к;уйи» томонини текшираётган
(танлаб олгаи) буламиз.
200
Энди силлиц (S) сирт F (х, у, г) = 0 ошкормас тенглама билан
берилган булсин. Бунда F(x, у, г) функция (Й) сохада узлуксиз ва
dF	дР	дР	„	г,
—,	—,	—	узлуксиз	хусусии	хосилаларга эга булсин.	Бу	холда
дх	ду	дг
(S) га утказилган нормалнинг йуналтирувчи косинуслари
f'	р'
х	а	У
COS а = -------- ------- , COS Р = ------- ' — ....;. ,
р‘2 + Р'2 + F’Z2 .	±/ f’2 + f'2 + f'2
-'V ' .	f'
cosy,==~---- z	(4.18)
формулалар орцали хисобланади.
Фазода (х, у, z) унг декарт координаталар системаси олинган
булсин, яъни Ох уцидан Оу уцигача айланиш Oz уцининг мусбат
цисмидан цараганда соат милларига тескари йуналишда булсин. Энди
(3) сиртнинг (3+) мусбат ва (3~) манфий томонлари деган тушунча-
ни киритамиз. (3) да танланган п нормал сиртда «юрган» кузатувчи-
нинг оёгидан боши томонга йуналган булсин ва (L) контур буйича ба-
рака™ давомида кузатувчи узйга энг я^ин сирт булагини узининг чаи
томонида курса, у холда (3) сиртнинг бу томонига (3+) мусбат томо-
ни дейилади (110-чизма). Агар кузатувчи узига (ёндошган) энг яцин
сирт булагини унг томонида куриб борса, у холда (3) нинг бу то-
мони (S-) манфий томони булади. Умумий ^олда эса кузатувчи
учун (L) контур буйича .уаракатланиши боши Oz уци томонига ца-
раган кузатувчи учун Ох уцидан Оу уцига айланиш харакатига ух-
шаш булса (бир хил томонга цараб), у холда (3) сиртнинг томони
(3+) мусбат томони деб хисобланади (111-чизма).
Иккинчи тур сирт интеграли цуйидагича аницланади: Икки то-
монли силлиц ёкй булакли—силлиц (3) сирт берилиб, унинг икки
SOI1
томонидан бири танланган, яъни бу сиртда п нормалнинг маълум
йуналиши (масалан (3+) мусбат томони учун п {cosa, cos0, cosy})
танланган булсин. Бу сиртнинг ^ар бир нуктасида учта
Р = Р(х, у, z), Q = Q (х, у, z), Р = Р (х, у, г)
функция аницланган ва узлуксиз булса, у хрлд,а
Г( (P-cosa + Q cos0 + Pcosy)dS	(4.19)
(s+)
ифода иккинчи тур сирт интеграли дейилади. Дифференциал геомет-
риядан цуйидаги формулалар маълум:
[dS cos a = dy dz, dS • cos 0 =dxdz, dS-cosy —dxdy. (4.2(P
Иккинчи тур сирт интегралини бошка куринишда ^ам ёзиш мум-
кин:
Pdydz + Qdzdx + Pdxdy.
(4.21)
Агар (3+) сирт томони урнига сиртнинг (S~) томонини олсак, у
^олда интеграл уз ишорасини тескарисига узгартиради. (4.19) фор-
мула билан берилган иккинчи тур сирт интегралини ^исоблаш
учун уни биринчи тур сирт интегралига келтириш керак. (4.21)
формула билан берилган сирт интегралини хисоблаш учун (S) сирт-
нинг F (х, у, z) = Q тенгламасидан фойдаланиб, х, у, z узгарувчи-
лардан исталган иккитасини эркли узгарувчи деб, интеграл остидаги
ифодани ^исоблаб ва мос (ёки (х, у), ёки (у, г), ёки (х, г)) коорди-
ната текислигига (S) сиртни проекциялаб, икки каррали интегралга
келтириш керак. (3) сирт тенгламаси и, и параметрлар орцали х =
= х(и, и), у = у(ц, и), z = z(u, v) куринишда берилса, яна интеграл
остидаги ифодани ^исоблаб, (о) со^а — и, v ларнинг узгаришига 6of-
лиц со^а буйича икки каррали интегрални ^исоблаш керак булади.
Энди мисоллар курамиз.
,	С С dydz	,	dzdx .	dxdy тт
1- мисол.	Ушбу | | —-----1--------1-----II	тур сирт интеграли
JJ х у г
(s>
I/ 2
кисоблансин, бу ерда (3) деб ~	Н—~ = 1 тенглама билан бе-
рилган эллипсоиднинг ташци сирти олинган.
х2	z*^
Ечиш. Эллипсоид тенгламасини------1- — Н-------1=0 куриниш-
а2	&2 с2
да ёзиб, топамиз F' = —, F' = —— , F' = — ва F'? + F'2 +
х a2 v b2	с2	л у
(Х^	\
-----х- ------. Эллипсоиднинг z > 0 цисмидаги ташци
а* &* с* I
202
нормал Oz уки билан у уткир
бурчак (cosy>0) ташкил эта-
ди, z<0 кжмида эса у утмас
бурчак (cos у < 0) ташкил этади
(112-чизма). Демак, cosy нинг
ишораси (3) сиртдаги М (х, у, г)
нуктанинг z аппликата ишораси
билан устма-уст тушади. Шу-
нинг учун (4.18) формулаларда
радикал олдида мусбат ишорани
оламиз:
У
cos£ =
cosy =
Сунгра п нормалнинг йуналтирувчи косинусларидан фойдаланиб,
(4.20.) формулага асосан топамиз:
dydz — dS -[cosa, dzdx = dS-cosp, dxdy = dS • cosy.
Кейин II тур сирт интегралини I тур сирт интегралига келтириб:
I=CC(4+_L+	+	+
J J \ a2 62 с2 H a4 64 c4 /
' (S)
ни^оят, икки каррали интегралга утамиз. Интеграл остидаги ифода
z нинг ишорасига боглиц эмаслиги учун ва эллипсоиднинг z > 0 ва
z < 0 ^исмларининг (х, у) текисликдаги проекциялари битта (D) со-
^адан, яъни — -|-	= 1 эллипс билан чегараланган со^адан иборат
булганлиги^учун /, ни фа^ат (3) нинг z > 0 ^исми учун ^исоблаб,
натижани 2 га купайтирамиз. Бу со^а учун z=c jZ 1 — ---р- >
dS =
dxdy
||cos у|
г/с2
{v2
(*, : c 1
Демак, 1 — 2 (----1-----1--
I a2 b2 c2
Агар (x, у) текисликда умумлащган x = ar cos <p, у = ftrsintp,
203
jy - = abr цутб координаталарини киритсак, (D) соха (о) =
= ((г, ф): О «С ф 2 л, 0 г 1} со^ага аксланади ва
2Л 1
= — (a2b2 + й2с2 + с2а2) (— /1 — г2) |‘ = — (а2Ь2+Ь2с2+с2а2).
abc	Io а b с
1-мисолдаги II тур сирт интегралини бошца усул билан хам
Хисобласа булади. Биз куйида иккинчи усулни намойиш циламиз.
Эллипсоид тенгламасини параметрик куринишда олиш мумкин:
х = a cos ф cos 0, у = b sin ф cos 0, z = с sin 0
(О s? Ф «С 2 л, — у 0	л/2),
бу ерда параметрлар деб ф ва 0 олинган.
Ушбу x = x(tz, v), у = у(и, v), z = z(u, v) параметрик тенглама
билан берилган (S) сирт учун нормалнинг йуналтирувчи косинусла-
ри ва сирт дифференциали
Л	а	В
cos а =----- ~ .  -----, cos р = ——	.— >
± /Л2'Ч- в4 + С2 ...	± /Л2 + В2 + с2
cosy =------ С — ва dS = улЛ2 + В2 + С2  dudv (4.22)
± /Л2 + В2 + С2
формула билан хисобланади, бу ерда
А =
У'иг'и
У'Р < ’
Z'uXu
ZvXv
с ==
Х'иУ'и
X'uy'v
В =
Иккинчи тур сирт интегралини (умумий холда) оддий икки каррали
интегралга ушбу
JJ Рdy dz + Qdzdx + Rdxdy —
(S)
-± ff(P-А +Q-B + R-C)dudv	(4.23)
(A)
формула билан келтирилади. Бу ерда (Д) — и, v параметрларнинг
узгариш сохаси; интеграл олдидаги ишора (S) сирт томонининг бе-
рилишига цараб танлаб олинади.
Берилган мисолда и = ф, v = 0. Шунинг учун хУЙидагиларга
эгамиз:
bcos ф cos 0
— Й8Шф5Ш0
О
с cos0
= be cos ф cos2 0,
О
с cos 0
В =
— a sin ф cos 0
— a cos ф sin 0
= ас sin ф cos20,
204
C = I— asintpcosO bcosTcosGJ absin0cos0
I—acos<psin0 —osin<psm0|
Эллипсоиднинг говори ярмида (z>0) cos у > О ва пастки ярми-
да (г < 0) cos у <. 0, демак, cos у нинг ишораси С ~ ab sin 0 cos 0 ифо-
дадаги sin 0 нинг ишораси билан бир хил. Шунинг учун (4.22) ва
(4.23) формулалар учун мусбат ишорани оламиз. Интеграл остидаги
ифодани (4.23) формулага асосан ^исоблаймиз: : \
Р dy dz + Qdzdx 4- R dx dy = — dy dz ф- — dzdx + — dxdy =
X .. у	e
= (P.H4-Q.B + /?.Qd<pd0=	+
\ a cos <p cos 0
acsin <pcos2 0 . obsin0cos0 \ , ,r,
--------------1-----:-------- dtp dQ =
b sin <p cos 0	c sin 0	/
/ be > ac , ab \ n , j n
=-------1------f------- cos 0 d cp • d 0
\ a b c /
ва (А) деб (A) = ^(q>, 0): 0 c <p 2 n, — — < 0 < yj сохани олиб,
берилган интегрални хисоблаймиз:
2л Л/2
/ = fdtp f (— ф- ^ф- — ) cos0dO = — •• (b2c2 +
J J \ a b c /	abc
0 --«/2
Л/2
+ a2c2 + a262) • sin 01	= -ii (a2b2 ф- a2c2 4- c2b2}.
abc
—Я/2
2- мисол. Ушбу I = ГГ x2dyd?+ У2dzax + z’dxdy II тур сирт
<s>3
интеграли кисоблансин, бу ерда
(S)-(x-a)2+ (y-b)2+ (z-
— с)2 = R2 сферанинг ташци
сирти.
Ечиш. Берилган интегралда
интеграл остидаги ифоданинг ку-
риниши х, у, z ларнийг урнини ал-
маштирганда узгармайди. Шунинг
учун / ни учта z2dxdy,
(S)j
72 = fjу2dzdx, j/3 = [f x2dydz
(s>	(S>
интеграллар йигиндиси деб ола-
миз:
7 = К + 72 + 7з-
Энди 7j ни ^исоблаймиз. z = с
текислик (S) сферанинг сиртини
2
ИЗ- чизма
205
икки цисмга ажратади (113- чизма), бирида — (SJ да г± — с 4-
+ \rR- — (х — а)2 — (у — Ь)2 ва нормал Oz у^и билан у ут-
кир бурчак ташкил этади, иккинчисида — (S2) да z2 = с —
— УR2 — (х — а)2 — (у — Ь)2 ва п2 нормал учун у = (n2, Oz) — ут-
мас бурчак. (SJ ва (S2) сиртлар (х, у) текислигининг битта (D) со-
^асига, яъни (х— а)2 + (у — b)2^R2 дойра устига проекцияланади,
демак,
/j = JJ z\ dxdy + JJ z|dxdy = J J z2  oos ft dS -f-
(St)	(•>,)	(St)
+ J J zf •. cos y2-dS.
(St)
I тур сирт интеграли учун dS = форму ладан фойдалансак ва
|cos yj
(D) со^а буйича олинган икки каррали интегралга утсак, ^уйида-
гйга эга буламиз:
(О)	(О)
dxdy
|cos ft|
=	z\dxdy — z2dxdy = ^(z^ — ztydxdy =
(О)	(О)	(£>)
= £f4cy/?2 — (x — a)2 — (y — b)2 dxdy.
r	<D>	,	• D (x, У)
Бу интегралда x — a=r cosq>, у — b=rsin<p, —- = r алмаш-
тириш бажарсак, (D) coxy янги (о) = {(r, <p): 0 <p c 2 л, 0 с r C R}
со^ачага (114-чизма) аксланади ва
А = J rf<pj4cr//?2 —г2 -dr= _^-c(/^7F)’| =
о о	о
Ю^оридаги муло^азаларга ухшаш йул билан /2 = J [ у2 dz dx инте-
(S)
грални ^исоблашда (5) сфера сиртини у = Ь текислик билан икки
^исмга ажратамиз; /3 = f (' х2 dy dz интегрални ^исоблашда эса х = а
114- чизма
текисликка нисбатан (SJ ва (S2)
сферанинг ^исмларини куриб ута-
миз. Натижада /2 = 8-~ R3 ва
3
^з = Rs Ки™атларни топиб,
узил- кесил натижани оламиз: I =
=Л + 72 + /3 = -| nR3(a + b+c).
3- мисол.
I = ([ xzdxdy+xydydz+yzdzdx
(S)
206'
II тур сирт интеграли .^исоблансин,
бу ерда (S) — х — 0, у = О, z = О
координата текисликлари ва х+
у + z— 1 текислик билан чегаралан-
ган пирамиданинг тапщи томони.
Ечиш. (S) сирт туртта создан,
аницроги (Sj) — 2 = 0 текисликда-
ги АОВ, (S2) — х — 0 текисликдаги
ВОС, (Ss) — у — 0 текисликдаги
АОС ва (S4)—х+У+?=1 текислик-
даги АВС учбурчаклардан иборат
(115-чизма), яъни (S) = (S4)+ (S^+
+ (S3) + (S4). Демак, ^исобланаёт-
ган I интеграл шу со^алар буйи-
115- чизма
ча олинган Ij, 12, 73, /4 интеграллар йигиндисига тенг: / = /1+/2 +
+ ^з + ^4- C$i) Да 2 = 0, «j — ташци нормал булиб, Ох, Оу, Oz уц-
лари билан	0j= 2L у4 = л бурчаклар ташкил этади. Щу-
2
нинг учун cosa4 = 0, cospi = 0, cos ух = — 1 ва /4 = cos у4 4-
(S,)
+ xy cosa4 + yz cos PJdS = f [[0 • (—1) + xy • 0 + yz • 0]dS = 0.
tit »
Шунга ухшаш, мос равишда (S2) ва (S3) со^алар буйича ^исоблан-
ган /2, /3 интеграллар ^ам 0 га тенг.
Бу мисолда I интегралнинг берилиши шундайки, интеграл остидаги
xzdxdy + xydydz + yzdxdz ифода исталган координата текислигида
доимо нолга тенг, чунки z = 0 учун, dz = 0 булади (х = 0 учун dx = 0
ва у = 0 учун dy=Q дир). Агар z ларни бир-бири билан алмаштир-
сак, интеграл остидаги ифода узгармайди. x-f-y-f-z—l текислик
^ам барча координата у^ларидан бир хил кесма ажратади. Шу са-
бабли /4 ни ^исоблаш учун битта Г^ = \\xzdydx интегрални ^исоб-
W о	uv	(S4)
лаб 3 га купаитириш етарли.
Ушбу х + у + z = 1 тенглама билан берилган (S4) сиртга утка-
зилган Пц нормал Oz уки билан у4—уткир бурчак ташкил этади,
cosy4>0 ва интеграл остидаги dxdy ифода dS • cos у .= •^-^-•cosy4=
I cosy I
= dx dy га тенг булади. (S4) нинг (x, у) текисликдаги проекцияси (D)=
= {(х, у)-. 0 X 1, 0 С у < 1 — х} создан иборат, демак,
/4=ЛХ(1 —x~y)dxdy= \xdx f (1 — х— y)dy =
1 ‘-x	2	'°	'° 1	1
=	-X)y—y~]\	dx = ~{'(x — 2x2 + x3)dx=-^.
°	°	°	1	1
Энди узил-кесил топамиз: /4 = 3 /4 = —; / = Л+Л+^Ч'Л =	•
4-мисол. 1 = yzdxdy + xzdydz + xydzdx II тур сирт инте-
грали ^исоблансин, бу ерда (S) — I октантда жойлашган ва х — и,
207
116- чизма
у = 0, z = О, z = Н . текисликлар
билан х2 + у2 = /?2 пилиндрдай
тузилган сиртнинг тайней цисмй.
Ечиш. (S) сирт (116-чизма) 5
та сиртдан тузилган: (SJ—(х, у)
текисликдаги доиранинг АОВА
контур билан чегараланган чора-
ги; (32)— z = H текисликдаги
А1В1СА1 контур билан чегаралан-
У* ган со^а; (S3) — (x,z) текисликда-
ги ААгСОА контур билан чега-
раланган туртбурчак юзи; (34)—
(у, 2) текисликдаги OBBLCO
контур билан чегараланган турт
бурчак юзи; (S5) — z=0 ъа.г~Н
,	текисликлар орасидаги АА^ВА
контур билан чегараланган цилиндрнинг ён сирти. Шундай ^илиб,
(S)=.(S1) + (S2) + (S3) + (54) + (58).
I ни ^исоблаш учун биз ^ар бир (Si) (i = 1,5) со^а буйича ин-
тегрални ^исоблаб, уларнйнг йигиндисини оламиз:
= Л + 4 + 4 + Л + h-
(Si) учун z = 0, dz=0 цийматларни интеграл остидаги ифодага ^уй-
сак, Л = 0 кёлиб чицади. Шунга ухшаш, (S3) да у = 0, dy — Q деб
ва (34) Да х = 0, dx = 0 деб, 13 = 0, /4 = 0 ^ийматларни топамиз.
Энди (32) сиртда z = Н, dz = 0, х2 -j- У2 R2, х > 0, у /> 0 эканли-
гини^исобга олсак, /2= \\Hydxdy булади. Ташци п2 нормал учун
у = 0, cos у — 1 (п2 || Oz), демак, икки каррали интегралга утгани-
мизда /2 нинг ишорасини са^лаб ^оламиз:
Л/2 К
J dtp Jr sin tp • rdr = -J- HR3,
о 0
I2=^Hydxdy = Н
(О)
бу ерда (D) co^a доиранинг ОА ВО контур билан чегараланган чораги.
(S5) сиртда z — ургарувчи ми^дор. (S5) нинг (х, г) текисликдаги
проекцияси AAtCOA контур орасидаги туртбурчак юзидан иборат.
Цилиндр ён сиртига утказилган п нормалнинг йуналтирувчи косинус-
ларини (4.18) формулалардан топамиз. (35) нинг ошкормас тенгла-
маси х2 + у2 — R2 = 0. Бундан Fx = 2х, Fy = 2у, Fz = 0, cos а =
=------cosfj = ——, cosy = 0. (S5) даги п тапщи нор-
±у x24-j/2	± R	±R
мал Оу уци билан 0 уткир бурчак ташкил этади, демак, I октантда
cos0 нинг ишораси у нинг ишораси билан бир хил булади. Шу са-
бабли радикал учун мусбат ишорани оламиз: cosa= —, cosfl
208
cosy = 0 ва I5 = JJyzdxdy+xzdydz+xydzdx =
<S>)
— Jj (t/гcosy 4- xzcosa 4- xy cos £)dS = J J (yz-0 +-— + —)dS.
($»)	<s>) \ R R J
Бу биринчи тур сирт интегралидан иборат. (S5) нинг (х, г) текис-
ликдаги проекцияси (DJ = ((х, г): О с х < /?, О < г < Н |. Икки кар-
рали интегралга утишда
R dx dz ..	,
деб топамиз: К
/Я2—х2	5
। ЛТ>2---Г jc dxdz dxdz
у = 4-у R—х2 ва dS =----------=-----
IcosPl y/R
R H
С С Гx2z । X(R2 — x2)j Rdz
rxJ LT + “VJ-7F=^
0	0
R	.
(* /—-^=-x77-=-. -j- Z/xj/ R2—x2]dx =—p?2arcsin—
J k 2//?2 - x2 r	}	2 L R
о
(j-/R2-x2 +
R	R '
, R2 . X \ll H { --fzz-----------I n/72R2 , HR3
4- — arc sin —---------1 у R2—x2 )3 =---------- 4-
2 R J J |	3 v	' |	8	3
о	о
Натижани ёзамиз: /=/14-Z24-/34-/4+/5=4-/Z/?34--"-№/?24—^-f]Ra=
ООО
I о	1	\
= HR21-^-R 4-----л,Н\. Лекин I6 интегрални ^исоблашда и = ср,
\ 3	8	/
v = z параметрлар киритилиб, (S5) нинг тенгламасини параметрик
куринишда олиш мумкин. (S5) сиртда x = /?cos<p, y = R sin ср, г=г
ва ср, г ларнинг узгариш со^аси (о) =^(ср, z):0 ср ьХ 0^г</7|
булади. Энди (4.22) (4.23) формулаларга асосан топамиз:
УФ
У'г2г
R cos ср 0 |
= 0 J =/?coscp,
= R sin ср, С =
Х9У'9
ХгУ'г
R= 2ФХф|= ° “#sin(Pl
« I 1 О I
— R sin ср /?coscp _
0	0	~U’
шунингдек, берилган интеграл учун R = R(x, у, z) = yz = Rzs in <p,
P = P(x, y, z) = xz = Rz cos <p, Q = Q(x, y, z) = xy — /?2coscpsin cp
ифодаларни топамиз. ’
(S5) сиртга утказилган n нормаль Oz уцига перпендикуляр ва
Ох, Оу уцлари билан а = ср, = л/2 — ср уткир бурчаклар ташкил
этади, шунинг учун (4.23) фэрмулада мусбат (+) ишорани оламиз.
Натижада куйидагига эга буламиз:
/5 = J J[/?2cos2cp • z 4- R3 sin 2ср • cos cp]d ср dz =
(О')
Я/2 Н
== J dcp J(/?2cos2cp • z 4~ R3 sin2 cp cos cp)dz =
о о
14—390
209
Я/2	Ц
J ^-^-(1 + cos2cp)- ~+ T^si^cp • coscp • zl I -dcp=
о	0
\R2H* !	,	1	. o \	RSH	. 3 1|я/2	n/?2H2	, R*H
= “Г- <p + —sin2q> + —sin3<P	=—-—
L ** \	/ о J |q о о
Бу циймат юцорида ^исобланган циймат билан устма-уст тушади.
5-мисол. I = \ \y~zdxdy + xzdy dz ± x^ydxdz сирт интеграли ^и-
(S)
соблансин, бу ерда (S) — I октантда жойлашган ва z = х2 + у2 ай-
ланма параболоид, х2 + у2 = 1 цилиндр ва координата текисликлари
билан чегараланган сиртнинг ташци томони.
Ечиш. (S) сирт (117-чизма)
цуйидаги контурлар билан чега-
раланган 5 та сиртдан ташкил
топган; (Si) — (х, у) текисликда-
ги АОВА контур орасидаги: (S2)—
(х, г) текисликдаги АОЕА кон-
тур орасидаги; (S3) — (у, г) текис-
ликдаги ВОСВ контур орасидаги;
(S4)—ЕОСЕ контур орасидаги
параболоид сирти; (S5) — А ВСЕ А
контур орасидаги цилиндрик
сирт цисми. Шундай цилиб,
(S) = (S1) + (S2) + (S3) + (S4) +
+ (S5).
Шунинг учун I интеграл бешта интеграл йигиндисига тенг булади:
I = /j + /2 + /3 + /4 + /5. /4 интеграл (SJ сирт буйича ^исобланган.
(SJ да z = 0, dz - 0 ва интеграл остидаги ифода 0 га тенг, демак,
/j = 0. Шунга ухшаш, (S2) да у = 0, dy = 0 ва (S3) да х = 0, dx =0,
шунга кура /2 = 0, /3=0. Энди (S4) учун /4 ни хисоблаймиз. (S4) нинг
----------------------------------------------------------
z = х2 + у2 тенгламасидан z' = 2х, г,' = 2у, cos а = —----_
±У 1+4(х2+№)
о	—2у	1
cos р = ——	и , COS V =----------- •
±/1+4(х2-Н/2)	_	±у1+4г
(S4) га утказилган п — ташки нормаль Oz уки билан уткир у
бурчак ташкил -этади, шу сабабли радикал учун мусбат ишорани
—	—2х	о	—2у
олиб, п учун cos а = —z-------, cos р = —=i=-, cosy =
J	у' 1 + 4г	/1 + 4г
1
/I +4z
ифодаларни топамиз. Энди II тур сирт интегралидан I тур сирт
интегралига утамиз: /4 = ^y2zdxdy ф- xzdydz + x2ydxdz =
is.)
= | J (y2z cos у 4- xz cos a + x2y cos P)dS =
iS1)
= f f(y2z — 2x2z — 2x2y2)  „
(St)	у 1 + 4г
I тур сирт интегралидан икки каррали интегралга утиш учун (SJ
210
ни (х, у) текисликка проекциялаймиз ва dS =	l+4z-dxdy,
I cosy I
z = x2 + у2 ифодаларга кура хисоблаймиз:
h — f f [У2(х2 + у2) — 2х2(х2+у2)—2x2y2]dxdy= \\(yi~-2xi—3x'iy2)dxdy,
(О)	(D)
бу ерда (D) = «х, у): х2 + у2 С 1, х > 0, у > 0). Энди цутб коор-
динаталари х=г cos ф, у = г sin ф, = г га утиб, (D) содани
(о) = ^(г, ф): 0 < ф <	0 < г < 1 j соната акслантирамиз ва то-
памиз:
Л/2	1
Ц — С dtp [ г4(з1П4ф — 2 соэ4ф — 3 sin2 ф cos2 ф)  г dr =
о “о
1 Я/2
I J —сов2ф)2-----------------^-(1 + соэ2ф)2------^-з!п22ф
о о L
Л/2
= J [ — 2 — 6 cos 2 ф — (1 — cos4ф)]*йр =•
о
dtp =
=	( — Зф — 3 sin 2 ф + -j- sin 4ф)
Я/2
0
Л
пГ’
Энди 15 интегрални хисоблаймиз. (S5) сирт тенгламаси х2 + у2 = 1
булгани учун (S5) нинг (у, г) текисликдаги (ёки (х, z) текисликдаги)
проекциясини топиб, /5 ни икки.каррали интегралга келтириш ке-
рак. Ошкормас х2 4- у2 — 1 =0 тенгламадан Fx = 2х, F = 2у,
Fz =0 ва (4.18) формулаларга асосан
2х
COS а = ---= ± X, COS В = ± у, COS V = 0.
± у 4х2	4у2
(85) сиртга утказилган таш^и нормаль Ох уци билан уткир а
бурчак ташкил этади, демак, I октантдаги нуцталар учун cos а нинг
ишораси х нинг ишораси билан бир хил, шу сабабли радикал учун
мусбат ишорани оламиз. Демак, nL учун cos а = х, cos 0 = у,
cosy —0 булади ва /5 = fj(y2zcosy + xzcosa + x2ycos0)dS =
„. <s>)
= [J(0 + x2z + y2x2)dS — j’j'x2(y2 + z)dS. (Sg) нинг (у, z) текисликда-
(s,)	is,)
ги проекцияси О BCM О контур билан чегараланган квадрат юзидан
иборат (DJ соха цуйидагича тавсифланади: (DJ = {(у, z); 0 < у < 1,
Энди =	=	=	ва х =
I COSCZ | X V 1 — у'2
ифодалардан фойдаланиб, /5 ни цуйидаги куринишга келтирамиз:
211
l5
= Jf(/ l-y2)W+z)--^^ = [/ 1-y2
(Di)	( У У 0
= j/1—!/2 • [y2 + -y)dy.
0
dy {У2 + z)dz =
о
Ушбу у = sin/, dy — cosi di, t1 = 0, t2 = — алмаштиришни бажа-
риб, узил-кесил топамиз:
Л/2
о
Нихрят, I интегрални топамиз:
/=/1 + /2 + /з + /4 + /5 = —=
10	10 О
Юкррида хисобланган /4 ва /5 интегралларни бошцача хисобласа
Хам булади. Бунинг учун цилиндрик (г, ф, г) координаталар система-
сини олиб, /4 ва /5 интегралларни хисоблашда яна (4.22), (4.23) фор-
му лалардан фойдаланса булади. Бу системада 2 = х2 + у2 парабо-
лоид тенгламаси х = гсозф, г/ = гэшф, z = г2 куринишда, х2+У2 =
= 1 цилиндрнинг тенгламаси х = cos ф, у = sin ф, z = 2
булади. (S4) сиртда (параболоидда) параметрлар деб
ларни оламиз, уларнинг узгариш сохаси цуйидагича:
, Ф с —, 0 с г С 1 1 • Равшанки,
г cos ф О
2г '
— ГЭШф
СОЭф
— ГЭШф ГСОЭф
соэф si-Пф ~ г‘
нормаль Oz уци билан у
булгани учун
С	— г
куринишда
и=ф, у = г
A =
B =
У'г
2ф
2.
2ф
2
г
х'
ч>
X,
эш'ф
О
= 2г
х'
ф
C =
У'г
ташци
О
2 г2 cos ф,
= 2r2sin<p,
(S4) га утказилган п
чак ташкил этади, cosy
cos'? = — r________— г----------- •
Л	±/А2 + В2+С2	±/Д2+В2+С2
ифодадан фойдаланиб, (4.23) формула учун манфий (—) ишорани
оламиз. Энди
Р = xz = r3cos <р, Q\= х2у = г3соэ2ф sin ср, Р = y2z = г4 sin2<p
ифодалардан фойдаланиб, интеграл остидаги ифодани хисоблаймиз:
Р-А + Q • В + Р-С = 2гБ cos2 <р+ 2гБ cos2 ср sin2 ср — г5 sin2 <р=
= гъ (— + — cos 2 ф----------------— cos 4 ф') .
(42	4	/
уткир бур-
212
Энди /4 ни ^исобласак булади:
Ц~ — J г6	cos 2 ф-------cos dr dtp =
(Д)
1	Я/2
= — J г6 dr J	cos 2 ф — —cos 4ф) t/ф =
°	о '
1	‘л/2
re I	/ 3	3	. о 1	. . \ I	л
=	‘ —ф + —81П2ф —— 51П4ф	=— —-.
6 I	\ 4	4	16 /I	16
о	о
(Ss) сиртда параметрлар деб и=ф, u = z ларни ^абул циламиз, бу
параметрлар (о) = |(ф, Z): 0 Ф С л/2, О С г 1) сохада узгаради.
4-мисолда хисобланган А, В, С ларнинг ифодаларида R = 1 деб
олсак, х2 + у2 = 1 тенглама билан берилган цилиндрик сирт (1 ок-
тандаги цисми) учун х = соэф, г/ = sin ф, г = г, А = со5ф, В =
= 8Шф, С = О, Р = хг = г cos ф, Q = х2у = соз2ф51п2ф. R = y2z =
= гзш2ф ифодаларга ва интеграл остидаги ифода учун PX+QB +
+Р• C=z соэ2ф+со52 ф sin2 ф =—(1 -J-cos 2 ф)Ч—— (1 —cos 4 ф) ифодага
2	8
эга буламиз. (S5) га утказилган п{ ташки нормаль Ох уки билан
а = Ф уткир бурчак ташкил этади, шу сабабли (4.23) формуладаги
интегралда мусбат (+) ишорани оламиз. Энди /5 интегрални хисоб-
ласак булади:
6-мисол. I = \\x3dydz + y3dzdx + z3dxdy сирт интеграли ^исоб-
(S)
лансин, бу ерда (S) деб х2У2 + г2 = а2 сферанинг таш^и томони
олинган.
Ечиш. Мисолци ечиш учун (г, ф, 0) сферик координаталар систе-
масидан фойдаланамиз, чунки бу системада сферанинг тенгламаси
г = а оддий куринишда булади, ф, 0 лар эса параметр сифатида
булиб, улар (о) —- |(ф, 0): О С Ф 2л,---^-<0;g -yj со^ада узга-
ради ва х = асоэ0созф, у—a cos0-simp, z=asin0. Равшанки,
Уе
У® 2ф
— a sin 0 sin ф acos0
a cos 0 соэф О
= — a2cos2 0 cos ф,
213
r ze xe
a = z' x'
I Zq> X<p
xe Уе I
: s y*l
P = x3 — a3cos39• cos3ф, Q = y3=a3cos39-sin^, R = z3 = a3sin39.
Интеграл остидаги ифодани (4.23) формулага асосан хисоблаймиз:
Р-А + Q B + RC = — a5[cos5 9-(соз4ф 4- эш4ф) + sin49cos 9] =
cos5 91 — 4- — cos 4ф I + sin4 9 cos 9 .
(S) сферага утказилган п — ташци нормаль Ог ухи билан
= ------9 бурчак ташкил этади: cos у = sin 9 тенгликка кура
нинг ишораси sin 9 нинг ишораси билан бир хил. Шунинг
С	—a2cos 0 sin 0
COS у = --TV--------= —>......'   =
±/ Л2+й2+С2	±/Л2+В2+С2
фий (—) ишорани оламиз. Демак, (4.23) формулада хам манфий
ишорани олиб интегрални хисоблаймиз:
a cos 9 —a sin 9 cos ф
0
- a cos 9 sin Ф = ~a2cos29sinV,
— a sin 9 cos ф —a sin 9 sin ф
— a cos 9 sin ф a cos 9 cos ф —
— a2cos 9  sin 9,
T =
cos у
учун
формулада радикал учун ман-
с =
/31	\	1
• I-1-cos 4 ф I -|- sin49 cos 9 dtp dQ =
14	4 j	J
2л
Ф +sin 4ф^ + ф • sin4 9 cos 9^| | -dQ=
о
I = — j j — a5 ycos
(О)
Л/2
= a5 J j^cos5 9 
—Л/2
Л/2
= a5 f (— cos5 9 + 2л sin4 9 cos 9 'l dQ =
J \ 2	/
—Л/2
Л/2	Л/2
= a5[— f (1 —2sin29 + sin49)cos9d9+sin591	1 — l2na .
L 2	5 I J 5
—Л/2	—Л/2
Мисолда берилган интегрални x, у, г координаталар системасида
Хам хисоблаш мумкин. Интеграл остидаги ифода х, у, г ларни
бир-бири билан алмаштирганда узгармайди ва х2 + У2 + z2 == d2 сфе-
ранинг тенгламаси хам уз куринишини сацлайди. Шунинг учун, ма-
салан, 4 = Jf z3dxdy сирт интегралини хисоблаб, натижани 3 га
(S)
купайтирсак, / = ЗЛ берилган интеграл хийматини хосил циламиз
(юхоридаги усулда хам шундан фойдаланиб, I — 3- \\z3dxdy =
(S)
= —3ffR-Cdtp dQ = —ЗуС — a5 sin4 9cos9tftpd9=
(a)	(a)
2Л л/2	Я/2
С* (*	Qxcft 1	12 по®
= 3a5 \ d<p sin40cos0d0=---------sin50 =---------- натижани ^осил
J J	5	5
. О, —Я/2	—Л/2
Хилиш муМкин). Сферанинг F(x, у, г)= 0, яъни x2 + y2 + z2 — a2=0
214
тенгламасига кура р‘х = 2х, Fy = 2у, Fz = 2z, F* 4- Fy 4- Fz =
= 4(x2 4- y2 + z2) = 4a2, cosa = —, cosp = —, cosy = —
±a	±a	±a
ифодаларни топиш мумкин. (S) сиртга утказилган п — таивши нор-
мал г>0^даги ярим сферада у уткир бурчак, z<0 даги ярим
сферада у утмас бурчак ташкил этади, демак, cosy нинг ишораси z
аппликата ишораси билан бир хил, шу сабабли косинуслар форму-
ласи да мусбат (+) ишорани оламиз:
X	Q у	Z
cosa=—, cosp = —, cosy ——.
а	а	а
\ар бир ярим сферанинг (х, у) текисликдаги проекцияси х2+у2<а2
дойра устига тушади. II тур сирт интегралидан I тур сирт интегра-
лига dx dy = dS • cos у формула ортали утамиз. Сирт дифференциали
учун ушбу dS = d-x-~— = а dxd~ ифодага эгамиз. Шунинг учун dx dy
I cosy I | г I
j/рнига dS • cos у = adxdy — = dxdy- sgn z ифодани цуямиз. Нати-
|z| a
жада /х интегрални 7Х= ffz3dxdy + JJz3dxdy куринишда ёзиш
(Si)	<S2) '	____________
мумкин, бу ерда (St) — говори ярим сфера z = У а2 — х2 — у2, (S2)—
— пастки ярим сфера г = —У а2—х2— у2. Шундай цилиб, =
= ?2 + /3. /2 Да sgn z = + 1, /3 Да эса sgn z = — 1 эканлигини ^и-
собга олиб, ушбу
А =	(Уа2—х2—у2 )3 dx dy +	—уa2—x2—y2)3-(—l)dxdy —
(D)______________(Й)
= 2-СС(Уа2 — x2 — у2')3-dxdy икки каррали интегралга кела-
(О)
миз. ^утб системасига x==rcos<p, y = rsin<p, ~г ^т-
сак, (D) со^а янги (А) = {(г, <р): 0< <р< 2л, 0 < т < а} со^ага аксла-
, Р2Я п/ ,---------\	Г 2	5/21 |а 4па5
нади ва /1 = 2Ш<рцУа2 — r2)3-rdr=2?tl--------(а2—г2) I =—$-•
оо.	5
Узил-кесил берилган интеграл учун 1 = 3^ = 12^~-
Маш^. ^уйидаги иккинчи тур сирт интеграллари курсатилган
сиртнинг томонлари буйича ^исоблансин:
18.1	I = ^x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, бу ерда (S) деб x2+y2+z2 =
(S)
— а2 сферанинг таш^и томони олинган.
18.2	t = V\z2dxdy, бу ерда (S)деб — +— + — = 1 эллипсоид-
(5)	а2 62 с2
нинг ташди кисми олинган.
18.3	I — fj x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, бу ерда (S) — 0 a,
(S)
0 < t/ O^z куб сиртининг ташки томони.
18.4	. I = |[ xdy dz + у dz dx 4- z dxdy, бу ерда (S) — пирамиданинг
(S)
ушбу x + у z = a, x = О, у = 0, z = О, текисликлар билан
чегараланган ташци сирти.
18.5	. I = ^xdydz + у dzdx + z dxdy, бу ерда (S) — ушбу х2+у2+
<sj
+ z2 = а2 сферанинг ташци томони.
18.6	. I = f f (у — 2) dy dz + (z — х) dz dx + (x — y)dx dy, бу ерда (S)—
45)
ушбу x2 + y2 = z2 (0 sS z h) конус сиртининг ташци томони.
18.7. / = x2yzdydz + xy2zdzdx + xyz2dxdy, бу ерда (S) деб x2 +
;S)
+ t/2 + z2 = 1, x = 0, у = 0, z = 0 сиртлар билан чегаралан-
ган жисмнинг тулиц ташци томони олинган.
18.8.	/ = \\x3dydz + y3dzdx + Q.dydz, бу ерда (S) — ушбу х2-5гу2=
(S)
— 2z, z = 2 сиртлар билан чегараланган жисмни ураб олган
сиртнинг. тулиц ташци томони.
18.9.	/ = [[х dy dz 4- у dxdz + zdx dy, бу ерда (S) — ушбу х2~\-у2=
(S)
= а2, 0 «g z sg Н цилиндрнинг тулиц сиртининг ташки томони.
18.10.	I —	(хcos a -I- ycosp + z cos y)dS, бу ерда (S) — эллипсоид
(5)
х2	и2	г2 • ,
— + -—|---------- 1 сиртининг ташки томони.
а2	62	с2
х2	у2 • г2
18.11.	—— — 1 эллипсоид сиртининг (х, у) текисликдан
а2	62 . .с2
юцорида жойлашган z > 0 цисмнинг ташци томони буйича
/i = ffyzdxdz ва /2= ff^dydz интеграллар кисоблансин.
(S)	(S)
18.12.	Иккита кесма: 1) z = 0, а sg х Ь, у = 0; 2) z = 2 л с, а sg
^х^б, у = 0 ва иккита винтсимон чизиц: x = «cost>, у =
= и sin v, z = cv (а и <6, 0	2л) билан чегараланган
(S)	сиртнинг юцори томони буйича ушбу интеграл цисоблан-
син: f = ^xdxdy + уdydz + zdzdx.
CM
18.13.	Ушбу ff[(z’! — у’) cos a + (x’— z^cosp + (y1— x^cosyJdS
(•$) „
интеграл хисоблансин, бу ерда (S) — маркази 0(0; 0; 0) нуц-
тада ва' радиуси а га тенг булган ярим шарни (z > 0) ту лиц
цоплаган сиртнинг ташци томони, a, р, у — ташци нормал-
нинг координата уцлари билан ташкил этган бурчаклари.
18.14.	/= ^x2zdydz, бу ерда (S) — эллипсоиднинг I октантдаги
(S)
ташци сирти: 4х2 + у2 + 4z2 = 4, х > 0, у > 0, z > 0.
18.15.	I = | f у dxdz, бу ерда (S) — 4х2 + у2 + 2z2 = 16 эллипсоид-
(S)
нинг ташци сирти.
216
I
18.16.	I = ^zdxdy, бу ерда (S) — x2 + у2-,- z2 = 7?2 сферанинг таш-
(S)
ци томони.
18.17.	/ = JJ(x — z) dy dz(z-— y2)dz dx(x + z) dx dy, бу ерда
(S) — цилиндрнинг ён сирти (ташки томони): х2 + У2 = R2,
г = О, z = Ь.
18.18.	7= ^xdydz + (у ф- z)dzdx + (г— y)dxdy, бу ерда (S) — уш-
бу х2 + у2 + г2 = 9 сферанинг I октантдаги ^исми (таш^и
томони).
18.19.	I = .[[(х— 2z) dy dz + (х + Зу + z)dzdx + (5х + y)dxdy, бу
(S)
ерда (S) — х + у + z = а (а > 0) текисликнинг I октантдаги
цисми (0(0; 0; С) га цараган томони).
18.20.	/ = [[xydydz + yzdzdx -ф zxdxdy, бу ерда (S) — конус сир-
(5)
X2 и2
тинйнг ташки томони: (z— I)2 =-------к —, 1 < г<5.
18.21.	/= ^xdydz -ф у dzdx + zdxdy, бу ерда (S) — куб сиртининг
(5)
ташци томони: 0 < х < 1, 0 < у 1, 0 < г < 1.
18.22.	I = уdzdx, бу ерда (S) — Ог уцининг мусбат ^исмини уз
(5)
ичига олган ва z = О, z = 2 текисликлар орасида жойлаш-
ган z = х2 + у2 параболоид сиртининг говори цисми/
18.23.	/= ffxdydz + у dzdx + zdxdy, бу ерда a) (S) — 0 z
(S)______________
сохадаги z = V х2 + у2 конус сиртининг ташци томони.
б)	(S) — шу конус асосининг юкррига цараган томони:
z = h, х2 у2 ^ h2.
18.24.	I = ^yzdydz+xzdzdx + 'xydxdy, бу ерда (S) 0 z С h
(S)
сохадаги х? +у2 = а2 цилиндрик сиртнинг ташк;ари томони.
18.25.	1= ^x3dydz +y3dzdx + z2dxdy, бу ерда a) (S) — ушбу
(5)
z = 2х текислик билан z == х2 + у2 параболоид с иртидан аж-
ратилган ^исмининг ташци томони. б) (S) ушбу z = х2 + у2
параболоид билан z = 2х текисликдан ажратилган соханинг
юцори (Oz нинг мусбат томонига цараган) кисми.
18.26.	/= ^xdydz + ydzdx + zdxdy, бу ерда (S) — 0<г<1
(S)	------
сохадаги z = 1 — ц х2 + у2 сиртнинг таш томони.
18.27.	/= ^‘x3dydz + у3dxdz -f-z3dxdy, бу ерда (S) — х2 + у2+
4- г2'= х сферанинг таш^и томони.
*
8й
217
V боб
СТОКС ВА ОСТРОГРАДСКИЙ ФОРМУЛАЛАРИ
Стокс ва Остроградский формулалари- ^амда уларнинг ^уллани-
лиши ^а^ида назарий материални тегишли адабнётдан яхши урганиб
олиш керак. Масалан, Г. М. Фихтенгольцнинг уч жилдлик китоби-
нинг учйнчи жилдидаги XVII (4-§) ва XVIII (2- §) бобларини урга-
ниб чи^иш лозим.
Кулланмада келтирилган Стокс ва Остроградский формулалари-
га оид мисолларни яхши тушуниш учун талаба I ва II тур сирт
интегралларини, эгри чизикли интегралларни, икки ва уч каррали
интегралларни ^исоблаш усулларини узлаштирган булиши ма^сад-
га мувофиь;.
19-§. Стокс ва Остроградский формулаларини
цулланишга дойр мисоллар
Фазода х, у, z декарт координаталар системаси олинган булсин-
Бу фазода (Л) оддий булакли-силли^ контур билан чегараланган
чекли булакли-силлик; икки томонли (S) сирт (118-чизма) берилган;
(S) сиртнинг ва (Л) контурнинг барча нукталарида Р = Р(х, у, г).
Q = Q(x, у, г), R = R(x, у, г) функциялар узлуксиз хусусий ^оси-
лаларга эга булса, у ^олда
J Pdx + Q dy + Я dz =
(М
(• р Г/ dR	dQ\	(дР	dR \	а , / dQ	дР\	]	,с
= л----------Г C0Sa+H------г- cos₽+ л — — cosy dS (5.1)
J J L\ ду	дг j	\ дг	дх J \ дх	ду j	J
(о)
формула Стокс’формуласи деб аталади. Бу формулани II тур
сирт интеграли ортали ^уйидагича ёзиш мумкин:
^Pdx + Qdy + Rdz =
Ш)
CC(dR dQ\.. , [дР dR \ , , . (dQ dP \	~
=	----dydz+ -----------— ]dzdx+ --------— dxdy. (5.2)
J J \ оу	дг )	\ dz dx	\ dx dy J
(A)
Мазкур формула фазовий ёпив; (L) эгри чизи^ буйича олинган эгри
чизи!уш интегрални шу контур билан чегараланган (S) сирт буйича
^исобланган сирт интеграли ортали ифодалайди (ва аксинча). Фор-
муладаги cosa, cosf}, cosy — (S) сиртга утказилган ва (S) сиртнинг
218
талаб цилинган томони учун аниц йуналишда олинган п нормал-
нинг йуналтирувчи косинусларидир.
Агар (Л) контур (х, у) текисликдаги ёпиц эгри чизиц булиб, би-
рор (D) соцани чегараловчи (119-чизма) булса, у цолда Стокс фор-
муласидан бизга маълум булган Грин формуласи келиб чицади:
dx + Qdy=^— ~~^dxdy, чунки г = 0 да dz = 0, а =
L	(D) '
= л/2, 0 = л/2, у = 0, цамда cosa = 0, cos|3 = 0, cosy = 1. Охир-
ги формула текис (D) соца буйича олинган икки каррали интеграл-
ни шу соцанинг (Г) контури буйича олинган эгри чизицли интеграл
билан боглайди.
. Уч каррали интеграллар назариясида унга ухшаш формула Ост-
роградский формуласидир. У (V) фазовий соца буйича олинган уч
каррали интегрални (V) соцанинг чегараси (S) сирт буйича олинган
сирт интеграли билан боглайди (120-чизма).
С С С (дР , dQ . dR\. , ,
— + — +-— ]dxdydz =
J J J \ dx dy dz
(V)
= JJPdydz-[-Qdzdx-iRdxdy (5.3)
(S)
формуладаги P = P(x, y, z), Q =
= Q(x, y, z), P = R(x, y, z) функ-
циялар (V) соца ва унинг чегара-
сидан иборат (S) сиртнинг барча
нуцталарида узлуксиз хусусий цо-
силаларга эга деб олинади. Интег-
раллаш (S) ёпиц сиртнинг ташци
томони буйича олиб борилади. Де-
219
мак, Остроградский формуласи, бош^ача ь;илиб айтганда, (S) ёпик
сиртнинг трнщи томони буйича олинган умумий куринишдаги
ff Р dy dz 4- Q dzdx + P dx dy иккинчи тур сирт интегралини шу сирт
(S)
билан чегараланган (V) жисм буйича олинган
Ш/дР , dQ . dR \ , , ,
I — + — + — I dx dy dz уч каррали интеграл ортали ифода-
(V) к х	у	г
лайди. Бу формуланинг биринчи тур сирт интеграли билан боглан-
ган куриниши куйидагича булади:
Сi f	i dxdydz = I i (Pcosa+Qcos p+/?cosy)dS. (5.4)
J J J \ ox	оу дг)	J J
<v)	(S)
1-мисол. I = f j'(xcos a + у cos cos y)dS сирт интеграли х.исоб-
лансин, бу ерда а, р, у — (S) ёпиц сирт таш^и нормалининг Ох,
Оу, Ог у^лари билан ташкил этган бурчаклари. Интеграл бирор (V)
жисмни ураб олган бутун сирт буйича олинган.
Ечиш. Берилган шартларга кура биз Остроградский формуласи-
дан фойдалансак булади. Унда Р = х, Q = у, R = г. Шу сабабли
берилган интеграл учун / = j(C(l + 1 + 1)dxdydz = 3V ь;ийматни
(V)
хосил ^иламиз. Шундай цилиб, интеграл киймати (V) жисмнинг
хажмидан уч марта катта экан.
Келажакда бирор жисмнинг хажмини топиш учун
V = JJ(xcosa + у cos (3 + zcosyjdS	(5.5)
(S)
фэрмуладан фойдаланиш мумкин, бу ерда (S) (V) жисмни ураб ол"
ган сиртнинг ташки томони (120-чизма).
2-мисол. Тор билан чегараланган жисмнинг х,ажми топилсин*
Тор сиртининг тенгламаси: x = (&+acos0) cos<p, y=(&4-acos6)sin <p>
z = a • sin 0 (0 < a t).
Ечиш. Top сиртини (121-чизма) ^осил ^илиш учун радиуси а
220
ва маркази (х, у) текисликдаги х2 + У2 = Ь2 айланада булган ай-
ланани Oz уц атрофида тули^ айлантириб чициш керак, бунда <р
бурчак 0 дан 2л гача узгаради.
Кичик айланадаги ОМ радиуснинг (х, у) текислик билан таш-
кил этган бурчаги 0 булиб, у ^ам 0 дан 2л гача узгаради (121-а
чизма). Демак, берилган тенгламалар тор сиртини ф, 0 параметрлар
ортали ифодалайди.
Остроградский формуласидан (ёки олдинги мисолдаги натижа-
дан) фойдалансак, V =	(х cos а + у cos р + z cos у) dS булади.
(S)	_
Энди (S) сиртнинг ташци томонига утказилган п нормалнинг йунал-
тирувчи косинусларини цуйидаги формулалар буйича топамиз:
А	о	В
cosa — -----====—, cosр = ---------г -	=,
± /Л2 + В» + С2	± / Л2 + В2 + С2
С
cos у = ——===== ,
± / Л2 + В2 + С2
Z'u
Хи
Тор сирти учун и — ф; v = 0 деб
' хф = — (b + a cos 0) sin ф,
• y<f>= + ° cos®)'cos
z' = 0;
ф ’
z
?, с ==
х„.
Хи
Уи
х'„
У’„ '
(5-6)
ва
A =
У и У v в —
Z Z ’
и V
ва
ащмюжршв!
оламиз. Унда
Хд = —asin 0созф,
у'в = — азшОвШф,
z'a = acos 0;
и
А = a (b + a cos 0) cos ф cos 0;
В = a (b + a cos 0) sin ф cos 0;
С = a (b + a cos 0) sin 0
ифодаларга эга буламиз. Энди ^ажмни хисоблаш формуласини II
тур сирт интеграли оркали ёзамиз:
V = -у- xdy dz + ydzdx + zdxdy.
\s)
Маълумки, иккинчи тур сирт интеграли оддий икки каррали интег-
ралга ушбу
Ц Pdy dz + Qdzdx + R dxdy = ±tf(P-A + Q-B + R’C)dudi> (5.7)
(S)	(A)
формула ёрдамида келтирилади. Бу ерда (Д)—и, о параметрларнинг
узгариш со^аси, интеграл олдидаги ишора (S) сирт томонининг бери-
лишига цараб олинади. Бу формулага асосан ^ажм учун
V= -у- [ ± JJ(xX + у В + zC)<Apd0]
(А)
икки каррали интеграл ^осил булади.
221
н2
122- чизма
Ташци нормалнинг йуналиши ки-
чик айлана радиуси NM нинг йуна-
лиши билан устма-уст тушади, де-
мак, cos у нинг ишораси sin 0 нинг ишо-
раси билан устма-уст тушади. Шунинг
учун С = a(b +acosO) sin 0 эканлиги-
ни цисобга олиб, радикал олдйда ва
юцрридаги интеграл олдйда мусбат
ишорани оламиз. Интеграл остидаги
ифодани тор сиртининг формуласидан
фойдаланиб цисоблаймиз:
х-А 4- у В 4- z С = (Ь 4- a cos 0) а (Ь 4-
4- a cos 0)соз2ф cos 0 4-04-
4-a cos 0) sin ф • a04-a cos 0) cos 0 sin <p 4-
4- a sin0-aft4-a cos0) sin0=
= a(b 4- a cos 0)- [0 -j- a cos 0) cos 0 4- asin20] = a(b 4- a cos 0) (ft cos 0 4-
a) = a [(a2 4- b2) cos 0 4- ab 4- -y- ob cos20].
Энди <p, 0 параметрларнинг узгариш соцасини ёзамиз:
(А) = {(ф, 0): 0<ф<2л, О^0^2л|.
Шундай цилиб, цажмни узил- кесил цисоблаш мумкин:
V — — a J d(p (а2 4- b2) cos 0 4- ab 4- -у- cos 20 j dQ =
о о
= —Г(а24-й2) sin0 4- —aft0 4- — sin2 0? |2"=
3 [	"	2	2*2 J >о
=	ab'^n'~ 2 л2 a2 ft (куб бирл.).
3- мисол. Ушбу I = [J (х2 cos а 4- у2 cos р 4- z2 cos у) dS сирт интег-
'($)
рали цисоблансин, бу ерда (S) — цуйидаги шартлар билан берилган
конуснинг тулиц ташци сирти:
Ечиш. (S) сирт берилган конуснинг ён сирти (SJ ва z = ft те-
кисликдаги АВСЕА контур билан чегараланган дойра сирти (S2)
ларнинг йигиндисидан иборат (122-чизма). Демак, (V) жисм ёпиц
(S) = (S0 4- (S2) сирт билан цопланган булади ва Остроградский
формуласидан фойдаланиш мумкин ((5.4) формула): / = Щ2(х4-
(V)
4- у 4- z) dxdydz, чунки Р = х2, Q = у2, R = г2. Бу интегрални ци-
222
соблаш учун цилиндрик (r, g, z) координаталар системасига х =
= ar cos <р, у = arsing?, z — z,
миз. Конуснинг ён сирти (SJ
тенгламага эгамиз, демак, (К)
D (x. У, г)
D (г, ф, г)
учун Г2 —
соха янги
= а2г формулалар билан ута-
— г2 = 0, яъни z = br
со^ага аксланади. Энди интегрални хисоблаймиз:
I = 2 J’j’j’ (ar cosg» + arsing? + z) a2r dr dtp dr =
(A)
1 г	2л
= 2a2 f r dr J dz [ (ar cosg» + ar sin g» z) d q> =
0 br	о
1 b	2<p	1 b
= 2a2 \rdr [ —(ar sing>—ar cos g-|-zg) | dz=2a2§rdz §—2n zdz=
о	-	-
о
br	6	0 br
=2 л a2 [ rz2 \dr=2na2b2 f (г—rs)dr= 2ла2Ь21--------—'jl = — a2b2.
0 br	J	\ 2 /J 2
4-мисол. Олдинги мисолдаги 7 интеграл конуснинг фа^ат ён
сирти буйича хисоблансин.
Ечиш. Остроградский формуласига асосан 3-мисолда
ff (х2 cos a + у2 cos р 4- z2 cos у) dS = 2  (x + у + z) dxdy dz
тенглик уринли эди. Лекин чапдаги сирт интеграли иккита (SJ ва
(S2) сохалар буйича хисобланган
Л = f Г (х2 cos a + У2 cos Р + z2 cos у) dS
(Si)
Л = ff (х2 cos a + У2 cos P + z2 cos y) dS
(St)
интеграллар йигиндисига тенг. Бу мисолда топилаётган интеграл
эса 7j га тенг. Демак, юцоридаги Остроградский — Лиувилль фор-
муласининг унг томонидаги уч каррали интеграл натижаси
ва
— ла2Ь2
2
берилган
дан 72 ни хисоблаб айирсак, Ц нинг хийматини топамиз
7, = — л а2 Ь2 — 72.
1	2
7 2 учун (S2) со^а z = b, х2 + у2 < а2 шартлар билан
(конус асосидаги дойра). (S2) даги ташки п нормаль учун cosa = 0,
cosP = 0, cosy = l ва
72 == Д (х2 cosa + У2 cos ₽ + z2 cos у) dS = ff b2 • 1 • dS = л a2 b2, чунки
(S,)	(S„)
J J dS = л a2 асоснинг юзига тенг булган циймат. Демак,
223
5-мисол. Ушбу
I = (J[(zn — уп )cosa + (хп — zn )cos Р + (уп — хп) cosy] dS
(S)
интеграл кисоблансин, бу ерда (S) маркази О (0; 0; 0)да ва радиуси
а га тенг булган ярим шарнинг (г > 0) тулиц сирти. cos a, cos р,
cosy —ташци нормалнинг йуналтирувчи косинуслари.
Ечиш. Мисолда айтилган ярим шарни тулиц коплаган (S) сирт
иккита z = у7а2— х2—у2 ярим сфера сирти билан (х, у) текислик-
даги АВСКА контур билан чегараланган дойра сиртидан тузилган
(123-чизма). Остроградский формуласини ишлатиш мумкин:
P = zn—yn, Q==xn — zn, R = yn — хп, Р'х =0, Qy =0, R'2 = 0,
I = J j" ~ + —jdxdydz = J Odxdydz = 0,
(V)	(V)
бу ерда (V) — ярим шар ичида жойлашган соца.
6- мисол. Ушбу I = Л" yz dx dy + xz dy dz -j- xy dx dz интеграл
(S)
Остроградский формуласига асосан кисоблансин. Бу ерда (S) — I
октантда жойлашган ва х2 + у2 = R2, х = 0, у = 0, z = 0, z = Н
сиртлар билан копланган жисмни ураб олган сиртнинг ташци томо-
ни (124-чизма).
Ечиш. Юкорида берилган (5.3) формулага асосан берилган ин-
тегралда Р = х z, Q = ху, R = yz, P’x = z, Q’y =х, R'2 = у ва / =
= J(х + у + z)dxdydz булади. Цилиндрик (г, ср, z) координата-
(V)
Dlx, у, г)
лар системасида x = rcos<p, у = г5Ш(р, г—г,—5—-—-= г булади
D(r,q>, г)
ва (У) со^а (124-чизма) янги (А) = ^(г,ф,z):	0<r<Z?,
0 г Н ) со^ага аксланади. Натижада топамиз:
224
H	R	я/2	HR
I = J dz f rdr J (rcoscp + rsinq> + z)dq> = J dz J rdr(r sin<p~
0	0	0	0	0
Я/2 H R	H	R
— rcos<p + z<p) I = J dz Jr(2r +-^-z)dr= r3 +-Лгг2) dr ==
ООО	О	о
H
=|(У-1-я3 + 4^2гРг=яя2 (Ц-я+-тяЯУ
J\3	4	]	\3	8	/
0
7-мисол. Ушбу I — J Jy2zdxdy + xzdydz + x2ydxdz сирт ин-
(S)
теграли Остроградский формуласи ердамида хисоблансин, бу ерда
(S) — I октантда жойлашган ва z — х2 4- у2 айланма параболоид,
х2 + У2 — 1 цилиндр ва координата текисликларидан тузилган бу-
лакли-силлиц сиртнинг ташци хисми.
Ечиш. (5.3) формуладан фойдаланамиз:
j f Рdy dz + Q dz dx + R dxdy — [[J (P'x + Q'y + R'z)dxdy dz.
is)	m
Мисолдаги интегралда P = xz, Q = x2y, R = y2z ва Px —z, Q’y = x2,
Rz = y2 булганлиги учун I = fj’Jfc + № + y2) dV, бу ерда (V) — би-
(V)
ринчи октантдаги берилган сиртлар билан чегараланган фазовий
жисм (125-чизма). Уч каррали интегрални хисоблаш учун цилин-
дрик координаталарга утсак, г = х2 + у2 параболоид тенгламаси г =
= г2, х2 + у2 — 1 цилиндр тенгламаси г — 1 ва (V) соха учун у би-
ринчи октантда булгани сабабли 0 < <р < булади. (И) соха х —
=rcos<p, z/=r sin <p, z—z,^x’~r алмаштириш натижасида (A)=
= /(r, <p,z): 0 < <p < -y, 0 < r < 1, 0 < z < r2 j сохага аксланади.
Топамиз:
теграллар хисоблансин:	125- чизма
15—390
225
19.1. / = ^x2dydz + y3dzdx + z*dxdy бу ерда (S) деб x2 + У2 +
(S)
4-z2=/?2 сферанинг ташци томони олинган.
19.2. I = f f z2 dx dy, бу ерда (S) деб — -f- -—Ь — — 1 эллипсо-
J J	а1 ьг сг
(S)
иднинг таш^и кисми олинган.
19.3.	I = x2dydz + y*dzdx + z*dxdy, бу ерда (S) деб 0 < х а,
(S)
О < у < а, 0 < z < а куб сиртининг ташки томони олинган.
19.4.	/ = ^xdydz + ydzdx + zdxdy, бу ерда (S) деб х + у + z =
(S)
= а, х = 0, у — 0, z == 0 текисликлар билан чегараланган пи-
рамиданинг ташки сирти олинган.
19.5.	/ = ]’]’xdydz + уdzdx + zdxdy, бу ерда (S) деб х2 + у2+
(S)
+ z2 = а2 сферанинг ташки томони олинган.
19.6.	/== ^(у —z)dydz + (z — х) dzdx + (x — у) dxdy, бу ерда
(S)
(S)	деб х2 + у2 = г2 (0 < z < h) конус сиртининг ташки томони
олинган.
19.7.	7 = J[x2 yzdydz-^xy^zdzdx + xyz2dxdy, бу ерда (S) деб
x2 + у2 + z2 = 1, х= 0, у = 0, z = О сиртлар билан чегара-
ланган жисмнинг тулиц ташки сирти олинган.
19.8. I = \\x3dydz + y3dzdx + 2dxdy, бу ерда (S) деб х2 + у2 =
(S)
= 2z, z = 2 сиртлар билан чегараланган жисмни ураб олган
сиртнинг тулиц ташки томони олинган.
19.9.	I = ^xdydz + ydxdz + zdxdy, бу ерда (S) деб х2 + у2=а2
О < z < Н цилиндр тулиц сиртининг ташци томони олинган.
19.10.	/= [[(xcosa -f- у cosp + г cosy) dS, бу ерда (S) деб
(S)
х* Уг г*
----------1---------Н — = 1 эллипсоид сиртининг ташци томони олинган.
а2--------с2
19.11.	1 = Jf ху dydz + yzdzdx xzdxdy, бу ерда (S) деб x-f-y +
(S)	.
+ z=a, х=0, у=0,2=0 пирамиданинг ташци томони олинган.
19.12.	I — \\yzdxdy + xzdydz 4- xydxdz, бу ерда (S) деб III ок-
(S)
тантда жойлашган ва х = 0, у = 0, z = 0, z = 4, х2 -f-у2 = 9
сиртлардан тузилган сиртнинг ташци томони олинган.
19.13.	I = \^x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, бу ерда (S) деб (х —2)2+
(S)
+ (у — З)2 + (г — 4)2 = 25 сферанинг ташци цисми олинган.
19.14.	1 = \ \4х3dydz 4- 4y3dxdz — 6zldxdy, бу ерда (S) ушбу
(S>
х2+у2=а2, z = 0,z=/i цилиндрнингтулиц сирти (ташци цисми).
226
19.15.	/ = Ц x2dydz + у2dzdx + z2dxdy, бу ерда (S) ушбу
. (iS)
x*	z
~ + —-------=	z==^> z~c конус тулиц сиртининг ташци
цисми.
19.16.	I — Jj"(х2 4- у2 4- z2) (dydz -(-dxdy + dzdx), бу ерда (S) ушбу
($)
х2 + у2 — а2, z =—5, z = 5 сиртлардан тузилган цилиндр
тулиц сиртининг ташци цисми.
19.17.	1 — ^Зх2 dydz— 2y2dzdx + 5z2dxdy, бу ерда (S) ушбу
<S)
x-j-y + z— 2, х =0, у — 0,z=0пирамиданиигташци томони.
19.18.	1 = ^ху dydz + yz dz dxxz dy dx, бу ерда (S) I октантда-
ги х = 0, у = 0, z = 0, x2 + y2 + z2 = a2 сиртлар билаи чега-
раланган жисмнинг ташци сирти.
19.19.	7 = ff(x — y)dydz-)-(z—y)dzdx + (z— x)dxdy, бу ерда (S):
(S)
a) x+z + y= 1, х = 0, у = 0, z==0
текисликлар билан чегараланган пирамида сиртининг ташци
томони; б) х2 4- у2 4- z2 — 1 сферанинг ташци томони.
19.20.	1 = ^x2dydz y2dzdx + z2dxdy, бу ерда (S) ушбу х24-
4-у2 — z2ваг =/?(г>0)конус тулиц сиртинингташци томони.
19.21.	7 = j^xcos у dydz— sin у dzdx-}-(г — I)2 dxdy, бу ерда (S)
IS)
ушбу х24-у2= 1, z—2, z=4 сиртлар билан чегараланган цилиндр
ён сиртининг ички томони (нормал Oz уцца цараб йуналган).
19.22.	1 == Щг 4- 1) dx dy бу ерда (S) ушбу х2 4- у2 4- z2 = 1, у > О
($)
ярим сферанинг* ташци томони.
19.23.	I — ^(х3dydz 4- У3dzdx4-z2dxdy, бу ерда (S) ушбу z =
(S)
— х2 4- У2 ва г = 2х сиртлар билан чегараланган жисм сир-
тининг ташци томони.
Эиди Стокс форйуласиии цулланишга дойр бир неча мисол кура-
миз.
8- мисол. Ушбу I ~ (у — z)dx+(z — x)dy 4- (х — у) dz инте-
(I)
грал цисоблансин, бу ерда (L)—Ох мусбат ярим уцида туриб ца-
ралганда соат милларининг царакатига тескари йуналишда юрилади-
ган х24- У2 4- z2 = a2, y = x-tg<p (0<ф<л) айлана.
Ечиш. Бу мисолни ечиш учун Стокс формуласидан фойдалана-
миз:
* Курсатма: у = 0 текислик билаи берилган сиртни ёпиц сиртга тулдариш
керак.
227
126- чизма
(Ч
Pdx + Qdy + Rdz =
cosa
д
дх
Р
COS 0	cosy
д	д
ду	dz
Q	R
Ж
(S)
dQ\
dz }
i ( dP
cosa+ —
\ dz
dR\ a , dQ dP\	o4
— j cos 04-1 —--------cosy dS. (5.8)
dx J	\ dx dy j J ’
Хисобланаётган интеграл учун P = у—z, Q = z—x, R = x— y,
= Фсирт
деб ABA1BlA контур билан чегараланган дойра сиртини оламиз
(126-чизма). Бу дойра жойлашган (S) сирт (текислик) тенгламаси
у =sxtgq>.($) сиртнинг мусбат томонига утказилган п нормаль О А
радиусга (доиранинг исталган радиусига ^ам) перпендикуляр була-
ди ва Ох у^ билан a = —-----<р бурчак, Оу ук, билан 0 = л— ф
бурчак ташкил этади, Oz уиКа эса перпендикуляр (126-а чизма).
Шунинг учун cosa = sinф, cos0 =—соэф, cos у = 0 булади. То-
пилган ^амма керакли ифодаларни интегралга цуйиб топамиз:
I =	(—2бшф + 2cps<p —2-0)dS =
(S)
Лекин ffdS интегралнинг циймати ABAt BtA контур билан чега-
‘S’	.г-	*
ралангаи, радиуси эса а га тенг булган доиранинг юзига, яъни ла*
/—	(п\
га тенг. Демак, I = 2 у 2 л a2 sin	—ф !
228
. 9- мисол. Ушбу
I = j (У + z) dx + (z + x)dy +
U)
+ (x + y) dz эгри чизицли интег-
рал хисоблансин, бу ерда (L) ёпик,
контур—айлана: х2+у2 + г2 =а2,
х -|- у -|- Z = 0.
Ечиш. Фараз хилайлик,
х_ + у + г = 0 текислик учун
n[cosa, cos0, cosy) вектор мусбат
йуналишда олинган булсин.Стокс
формуласидан фойдалансак ва
Р = У + г, Q = z + x, R = x +у,
[<?><?;=1,₽;=
= Ry =1 цийматларни хис°бга
127- чизма
олсак,
[(₽;-Q^cosa + (P;-
(S)
— R'^ cos р + (Q'x — Р'\ cos у] dS — f f 0 • dS = 0 эканлигини курамиз.
(S)
Бу ерда (S) (L) ёпиц контур билан чегараланган х + у + z = 0
текисликдаги дойра юзи (127-чизма).
10-	мисол. Ушбу I = §(у — z)dx + (z — x)dy -f- (х — y)dz эгри
(L)
чизи^ли интеграл хисоблансин, бу ерда (L) — эллипс:
х2 + У2 = 1, х + z = 1.
Ечиш. Бу мисолда хам Стокс формуласидан фойдалансак була -
ди. Берилган интегралда Р = у—z, Q = z — х, R = x—y ва улаР
учун ру=\,	=	q;=-i,q;=i,/?>1,/?;=-!. Шу-
нинг учун (3.1) формулага асосан I — —2 f((cosa + cosP -f-cos y)dS
(S)
булади, бу ерда (S) сирт деб
х + г = 1 текисликнинг АВСКА	7
эллипс ичидаги хисми олинган
(128-чизма). п нормаль учун йу-
налтирувчи косинусларни топа-
миз: z=l—х функция учун
г> -1, гу = 0,
— гх
cos a = •—	—— ,
V 1 + гх + zy
COS Р = ---- у ---------,
±/1+г'’+г'«»
1
cos у = —	—
± +г х + гд
128- чизма
229
129- чизма

z К/
x + z — 1 текисликнинг мусбат
томонига утказилган п нормаль Ог
ва Ох уцлар билан уткир a = у =
= — бурчак ва Оу ук, билан
4
Р = — бурчак ташкил этади. Шу-
нинг учун формуладаги радикал
олдйда мусбат ишорани оламиз:
cosa = -т=, cos 6 = 0, cosу= -^=.
. у 2	;	>^2
Энди к,уйидагига эгамиз:
-1- dS—
i/"2
($)
'“-2Н
(S)
(S) соханинг (х, у) текисликдаги (D) проекцияси х2 + у2 < 1,
z = 0 доирадир. Сирт интегралдан икки каррали интегралга утиб
^исоблаймиз:
/ = -2/2jps=-2/^J^=-2/W2fJ^ =
(S)	(О)	(D)
= - 4’5доира = - 4л-12 = - 4 л.
11-	мисол. Ушбу I = f xdx + (х + у) dy + (х + у + z) dz интеграл
кисоблансин, бу ерда (L) ёцик, контур: x = asm<, у = a cos г1,
z —a (sin t + cos t) (0 < t < 2 л).
Ечиш. Эгри чизицнинг берилишидан куриниб турибдики, х, у ва
г лар орасида х2 + у2 = а2, г = х + у муносабатлар уринли, яъни
(L) контур АВСКА эллипс чизигидир (129-чизма). Унинг (х, у)
текисликдаги проекцияси х2 + у2 = а2 айланадир. Эгри чизи^даги
йуналиш t параметрнинг 0 дан 2 л гача узгариб боришига бог лик,
булгани учун биз А (0; а; а) дан В (-7=;-7=-’, 0) га ва
С (0;—а; —а) дан /и-^=; -7?=; 0] га цараб харакатланамиз ва
п нормалнинг йуналишини шунга асосланиб_аницлаймиз. х + У = z
текисликнинг мусбат томонига утказилган п нормаль Ог у к, билан
утмас у бурчак ташкил этади, яъни cosyCO. Энди йуналтирувчи
косинусларни топамиз:
1
cos у =--  
1
COsP =
~гУ
[	— zx 1
=; cosa = —~^-= “7^
3 _y 3 V 
230
I интеграл остидаги функциялар Р = х, Q~x+ у, 7? = х -f-
+ у + г булиб, уларнинг хусусий цосилалари Р'у = 0, Рг = О, Qx= 1,
Qj = О, R'x — 1, R’y ~ 1 ва (5.1) Стокс формулаеига асосан
/ = fn(i-o).7U+(o-i)-7L + (i-o)(-7L)]ds =
V» v	у О	у О	\	"1/ О / I
(S)
=->=-Ж--тНЖ--"л
($)	(О)	(D)
Интегрални цисоблашда 1 тур сирт интегралнинг циймати (S) сирт
томонига боглиц эмаслигидан ва (D) соцанинг юзи радиуси а бул-
ган дойра юзи га тенглигидан фойдаландик.
12-	мисол. Ушбу / — х2 у3 dxdy + zdz эгри чизицли интег-
(i.)	_______
рал цисоблансин, бу ерда (L) ушбу г-у^R2—х2—у2 ярим сфера-
ни чегараловчи контур.
Ечиш. (£) контур (х, у) текисликдаги_х2 + у2 + R2, г — 0 айла-
надан иборат. Ярим сферага утказилган п нормаль учун у уткир
бурчак булади ва cosy>0. Сирт учун z'—	 (
у /?' — хг — у*
г ~	-~У ^т-=;	1 4- г'1 + г'" = - 7_-	 - - ..
у f/R’ — хг—уг	х у ^R' — x'—y*
I	Rz х,г и*~
Шунга кура cos у =- . z. = -------------— деб, cos а —
+ V Ч- zx +z у R
— гх	х	У
— -	- = —— ва cosр = — эканлигини аницлаймиз.
V '+гАГ + 2у	R
Энди (5.1) Стокс формуласидан фойдаланиш учун ушбу Р = х2у3,
Q — \,R — z ва Ру = зх*у\ рг = о, q; = q; = o, я; = о, Ry = 0

цисоб- китобларни бажарамиз. Ницоят, узил- кесил топамиз:
/ = ]’(’[ 0-cosa + O-cosp + (— Зх2 у2) cos у] dS =
(S)	____________
= -3 Л	dS = - 3 ff fip as,
<$)	’	<S)
бу биринчи тур сирт интегралидан иборат.
Сферик (г, <р, 0) координаталар системасига утсак, ярим сфера-
нинг нуцталари учун г — R булиб, унда ётган нуцталар учун х =
=7?созфсоз0, у — 7?31ПфСоз0, г = 7?sin0 (0<ф^2л; 0 с 6
sC булади. Сферик сирт учун ф, 0 ларни эгри чизицли коор-
динаталар деб, dS сирт дифференциалини унинг Гаусс коэффици-
ентлари
с / дх \2	/ ду \2	/ дг \2 п2 2а
Е— — + — -Н— =/?2cos20,
\ д(р /	\ дц> /	\ дф /
231
; s

*
G = (^8 + (—Г + f—V = £8,
\д&/	\д&) \дв)
F = —•	।	- дг — о
5ф 50 дф 50 дф 50
(5.9)
ортали dS — р/EG—F2 dtp d0 формула ёрдамида хисоблаймиз: dS—
— R2 cos 0 dtp dQ. Интеграл остидаги ифода хуйидаги куринишга ке-
лади,
х2 у2 • — dS = Re sin^ cos2<p cos5 0 sin 0 dtp dQ =
R
= — 7?6(1 —cos 4<p)-cos50sin0d<pd0.
8
Энди / интегрални ф, 0 параметрларнинг узгариш сохаси (о) =
= j(<p, 0): 0 < ср < 2 л, 0 < 0< -yj буйича оддий икки каррали ин-
теграл каби хисоблаймиз:
2Я
/ —----уJ R6 (1 —cos 4 ф) dtp
о
Я/2
J cos5 0sin 0d0 —
о
3/1
— Re (ф-эт4ф
8	\	4
2 я	Я/2
(-Т с“,в ) | =
о	о
13-мисол. Ушбу /= §(y + 2z)dx + (2x + z)dy + (x+2y)dz j
эгри чизикли интеграл хисоблансин, бу ерда (£) эллипс:
х = asin2/, у — 2asin/cos/, z — a cos2/ (0 < / < л).
Ечиш. Эллипснинг параметрик тенгламасидан хуйидаги шарт-
ларни чихариш мумкин:
a)	x + z = a (Оу ухха параллел текислик тенгламаси),
б)	х2 —— у2 = a2 sin41 + a2 sin2/ cos21 = a2 sin21 = ax, яъни
4
9 ,	1	2	/ a \2 ,	1	2 a8 . (x —a/2)2
x2 н---y2 = ax, x-------H-------y2 = —, еки —---------------p
4 V (	2/	4	4	(a/2)2
y*
-----= 1. Бу тенглама цилиндрик сирт тенгламаси. Цилиндрнинг*
а2	’
ясовчиси Oz ухха параллел, йуналтирувчиси эса (х, у) текисликда-]
ги маркази 9; 0^ да ва ярим у^лари у, a га тенг булган^
эллипсдир (130-чизма). Параметр t 0 дан л гача узгарганда х > 0,1
z > 0 ва у эса 0 < t < -у- учун мусбат булиб, -у < t < л да эса]
манфий булади. Шунинг учун эллипс чизигини BPMNB контуру
буйича айланиб чи^иш керак. Стокс формуласига утиш учун х-Н
4- z — а текисликнинг (S+) томонига нормаль утказиш керак; бу]
нормаль Oz ух билан утмас у бурчакни ташкил этади. Шундай хнЧ
232
cosp = —= 0 (чунки z'x = — 1, z'u = 0). Берилган интегралда
P = y + 2z, Q = 2x + z, R=x+2y ва Py = 1, Р'г = 2, Q’x = 2,
Q' = 1, R’x = 1, R' — 2, демак, Стокс формуласига асосан
/= Д [(2—l)cosa + (2*—l)cosp + (2— l)cosy]dS =
(s+)
(s+)	(s+)
(D) — (x, у) текисликдаги эллипс билан чегараланган (S+) соханинг
ШУ (х, У) текисликдаги проекциясидир (131-чизма). 1 тур сирт ин-
теграли формуласи буйича топамиз:
т	(D)
Кейинги интегралда — + ~ = 1 эллипс билан чегараланган со-
^анинг юзи учун S = л ab формуладан фойдаландик (аналитик гео-
метриядан маълум булган формула). Бу формуладан фойдаланма-
сак, х = г cos ф, у = 2 г sin ф,	—у = 2 г алмаштириш (D) сохани
(о) = |(г, ф);---- ф =<	0 г < асоэф!
233
соцага акслантиради, чунки (х, у) текисликдаги эллипснинг х2 +
-f---у2 = ах тенгламаси г2 = ar cos <р, яъни r = acos<p булади
4
(131-чизма). Демак,
л/2 a cos <р	л/2
I — — 2 JJ 2rdrdq = — 4 J d<p f	r dr = — 2 [ a2cos2<pd<p=
(о)	—n/2	6	“Л/2
Л/2	л/2
= —a2 J (1 +cos2(p)d(p = —a2 +	— sin2<pj | =—ла2.
—Л/2	—Л/2
Шундай цилиб, икки хил усул билан ^исоблаганда хам I — — ла2
натижага келамиз.
14-	мисол. Ушбу / = ф (у2 + z2) dx + (х2 + z2) dy + (х2 + у2) dz
(С)
эгри чизицли интеграл кисоблансин, бу ерда (С) эгри чизиц;
х2 + У2 + z2 = 2 R х, х2 + у2 = 2 гх (0 < г < 7?; z > 0).
Кузатувчи (С) чизиц буйлаб юрганда, ха -ф у2 -ф г2 = 2 Rx сфера-
нинг ташци цисмидан ажратилган кичикроц соха унинг чап томо-
нида цолади.
Ечиш. Унг х, у, г декарт координаталар системасида курсатил-
ган харакат соат миллари царакатига царама-царши булади. ОАВРО
контур билан чегараланган (S) сфера сирти цисмига утказилган нор-
маль Ог уц билан у уткир бурчак ташкил этади, cosy>0 (132-
чизма). Сфера тенгламасини F (х, у, г) = 0 ошкормас куринишда ёзиб
оламиз: х2 ф- у2 ф- г2 — 2 Rx = 0. ва F'x = 2 х — 2 R, F'y = 2у, F'z = 2z
ифодалардан фойдаланиб топамиз:
/	+	+	=2/(х-/?)2 + у2 + г2 = 2R.
F'z = 2z булгани учун (cos у нинг ишораси z апликата ишораси-
га ухшаш) cosa, cos [3, cosy мицдорлар формуласида радикал олди-
да мусбат ишорани оламиз:
cosa = £и*? cosB = —, cosy = —.
R r R r	R
Стокс формуласига утиш учун берилган интегралда Р = у2 ф- z2,
Q = г2 4- х2, R = х2 ф- у2 эканини эътиборга олиб, Р' = 2у, Р'г— 2г,
Q'x —2х, Q'z = 2z, R'x~2x, R' =2y пфодаларни топамиз. Энди
берилган интегрални хисоблашга утамиз:
1 [J [(2у — 2z) cos a + (2z — 2x) cos p -ф (2x — 2y) cos у ] dS =
(S)
= J J Г(У — z) (x — R) + (Z — X) у 4- (x — y)z j dS = 2 j J(z — y)dS,
(S) L	(S)
234
бу ерда (3) — юкорида айтиб утилган сферанинг цисми, (3) сирт
я2 4- у2 — 2гх цилиндрик сирт билан сферадан ажратилганлиги учун
(S) нинг (х, у) текисликдаги проекцияси — (£)) соха шу цилиндр-
нинг асосидаги я2 + У2 < 2гх дойра булади (133-чизма). 1 тур сирт
интегралини хисоблаш учун dS =	— — dxdy (z > 0) эканидан
[cosy/ z
фойдаланиб, уни 7 = 27?JJ(z— У) — dxdy икки каррали интеграл-
(D) ________________________________________
га келтирамиз, бу ерда z = \ 2 Rx — я2 — у2 ва
(D) = {(я, у)'. 0 я 2 г, — 2гх — я2 у \ 2гх — я2).
Натижада куйидагига эгамиз: 7 = 2/?П	---~ = У= =^J\dxdy=
tJ eJ \ "р 2/? X ~" X У j
(D)
= 2<l dxdy~ =2К-
(£>)	(С) •
ги биринчи интеграл (£)) соханинг юзига, яъни радиуси г га тенг
булган дойра юзи л.-2 га тенг. Иккинчи интеграл 0 га тенг, чунки
£г У ?.гх — хг
h=\dx{
J J	У 2 Rx — x2 — у2
0	—/2гх —х»
2г	У 2гх —
= — | 2 R х—я2 — у2 j	dx—
о	—/2гх — №
2г
= — j Ь 27? я—я2 — (2гя— я2Г— ^2Rx— я2 —(2гя —я2) ] dx =
О
2г
= [ 0• dx = 0. Демак, I = 2R R= 2лг2• R.
о
235
Маш^.
Стокс формуласидан фойдаланиб, цуйидаги интеграллар едсоб-
лансин:
19.24.	I — $ydx + zdy + xdz, бу ерда (L) айлана: x = acos2/, у —
= аУ 2 sin tcost, z — asm2t (0 c t С л).
19.25.	1 = <jj (у —г) dx 4- (г—х) dy 4- (х — у) dz, бу ерда (L) эллипс:
(М
х2 + У2 = а2,	4- — = 1 (а > О, b > 0), бунда Ох мусбат
а b
ярим уеда туриб едралганда едракат соат миллари едрака-
тига едрама-едрши йуналишда булади.
19.26.	/= §(y2~z2)dx + (z2 — x2)dy + (х2 — y-)dz, бу ерда (L)
(L)	3
ушбу 0<х<а, 0<у^а, О^г^акубнингx-\-y+z— — а текис-
лик билан кесишиш чизири, Ох мусбат ярим уеда туриб ед-
ралганда (L) чизиеди соат миллари едракатига тескари булган
йуналишда утиш керак.
19.27.	I — ф ydx 4- zdy + xdz, бу ерда (L) айлана: х = R cos a cos/,
d)
у — R cos а sin/, z = R sin а (а = cons/), 0 c t < 2л, бунда
едракат параметр / нинг усишига едраб олинган.
19.28.	1 = j(y2— z2)dx + (z2-~x2)dy + (х2—y2)dz, бу ерда (L) кон-
(£)
тур х2 4- у2 + z2 = 1 сферанинг I октантдаги (х > 0, у > 0,
z > 0)едсмини чегаралайди ва контур буйича едракатланганда
сферанинг ташед томони чап томонда едлади.
19.29.	I = 4 xydx + yzdy 4- zxdz, бу ерда (L) ушбу х2 4- у2 4-
(L)
+ z2 = 2Rx, z = х айлана, бунда О (0; 0; 0) координаталар
бошидан едралганда контур буйича едракат соат миллари
едракати билан бир хил булади.
19.30.	/ = §y2dx + z2dy + x2dz, бу ерда (L) Вавиани чизирининг
(1)
едсми:
х2 + у2’4- г2 = R2, х2 + у2=- Rx (z >0; R > 0),
бунда Ох мусбат ярим уеда туриб едралганда (L) чизи^ соат
миллари едракатига тескари булган йуналишда утилади.
19.31.	1= j У2 dx 4- z2 dy 4- х2 dz, бу ерда АВС А учбурчак кон-
(АВСА)
тури: А (ст, 0; 0), В (0; а; 0), С (0; 0; а).
19.32.	I = 4 х2 у3 dx+dy+dz, бу ерда (L) айлана: х2 4- у2 = a2, z =
а-)
= 0, бунда контур буйича юриш соат миллари едракатига тескари.
19.33.	/= (£ ydx 4- zdy 4- xdz, бу ерда (L) ёпи^ контур: х2 + у2 +
(L)
4-	г2 = R2f х = 0, у = 0, г = 0 (I октантдаги).
236
19.34.	/ = ф ху dx + yz dy 4- zxdz, бу ерда (£) эллипс: х2 + у2 = 1,
(U
X 4* у + Z = 1.
19.35.	I — £ ydx — xdy 4- zdz, бу ерда (£) айлана: х2 4~ У2 4~ z2 = 4,
(L)
х2 4-У2 = z2, г>0, бунда Oz укнинг мусбат йуналишидан
каралганда юриш соат миллари харакатига тескари.
19.36.	/= £ ydx 4- xdy 4- zdz, бу ерда АпВ yni6yx = acos£
АпВА
у = a sin/, z = Ы (0 < t 2л) винт чизигининг ёйи, ВА эса
В (а; 0; 2 л Ь) ва Л (а; 0; 0) нукталар орасидаги кесма.
19.37.	/= §(z — x2)dx4-(x — y2)dyA~(y — z2)dz, бу ерда (£) учла-
(М
ри Л(1; 0; 0), В(0; 1; 0), С (0; 0; 1) да булган учбурчак кон-
тури булиб, харакат АВСА йуналишда бажарилади. (О (0; 0; 0)
дан царалганда контур буйича харакат соат миллари харакати
билан устма-уст тушади).
19.38.	/ = ф ydx 4- zdy 4- xdz, бу ерда (£) ушбу х2 4- у2 4- ?2 = 1
сфера билан: а) х 4- У 4- ? = 0; б) х 4- У 4- z = 1;
в) х — У4*г=—1 текисликлар кесишганда хосил булган айлана
бунда Л(0; 2; 0) нуцтадан царалганда (£) контур буйича юриш
соат миллари харакатига тескари.
19.39.	I = § • (у — x)dx 4- (z — у) dy 4- (х — z) dz, бу ерда (£) айла-
<£>
на: х2 4- У2 4- z2 = 1, х А~ У + z = а, бунда В (0; 0; 2а) нуцта-
дан царалганда контур буйича юриш соат миллари харакатига
тескарн (0 < а < у 3).
19.40.	I = § ydx 4- z2dy 4- x2dzr бу ерда (£) айлана: х2 4- У2 4- ?2 =
(М _________________
= 4, г = У 3, бунда Л (0; 0; 2) нуцтадан царалганда контур
буйича юриш соат миллари харакатига тескари.
237
ЖАВОБЛАР
1- боб.
2	1	11	3
1-§. 1.1.	58 — л; 1.2. 24 л + 41 —;	1.3. 79 — ; 1.4.—; 1.5. 60; 1.6. 0;
О	О	10
„	Г 7 /	3	6 \
1.7. 224; 1.8. 240; 1.9. 72; 1.10. з (0 = 3 л 1 + — I 4 — — — — ) х
я
sin —
6
1 \
1 — —
п /
Л I
п sin--- I
6n J
. s (0 = 3 л f 1 + Z (4 + —
L 8 \ п
п2
л
п sin —
6 п
3	/	3	4 \	[	3	4 \
-(2 л+21); I.H. S(^)=-81 1 +--— , 5(Л = -81 1---— -
2	\	п	п2)	\	п	п2 J
/	27 \	I	27 \
— 81; 1.12. s(f) = 18 37----, 5(0 =18 37 +— , 666; 1.13. s (0 =
V	п ]	\	nJ
5л / 61	35	25 \	5л /61	35	25 \	5
= —- — ——+------------ , 5(0 =------- — + — + — , 25 — л.
4 \3	in	tin2!	4 \3	2п	Gn2J	12
2-	§.
3 х	6	3	9	3	3	у+6
2.1.	f	dx f f (x,	у) dy + f dx I	/ (x, y) dy + [	dx [ f (x,	y) dy, [ dy J f	(x, y) dx.
6 b	3	0	6 x—6	b у
2	x/2	6	1	'	8	4—x/2	1	8—2y
2.2.	I dx [ f (x, y) dy + j dx f f (x, y) dy dx [ f (x, y) dV, J dy [ f (x, y) dx.
00	20	6	0	0 2y
1
3 2x	6	x-|-3	3 у	6	2 (J/+3>
2.3.	J dx^f(x,	y)dy+ I	dx f f (x,	y) dy, [	dy J f (x,	y) dx + J dy\ f (x, У) dx	+
6 x	3	2x—3	0 у	3	y/2
T
9 T tt'+3>	2	x-f-2	1	/7
+ f dy J f (x, yj dx. 2.4. I dx f (x, У) dy, f dy J f (x, У) dx +
6	У— 3	—1	^2	0	_ y —
4 у~у	a 1'2	l'2ax—x2	' a /+	— V2a2—x*
+ J dV j f (x, y)dx. 2.5. | dxj f (x, y) dy + | dx J f(x,y)dy+
1	a I'Zat—xz	a	— /2ax—x2
2a Y2ax—x2	a a^-Y a2—y2
। | dx j f (x, y) dy J dy [	f (x, y) dx.
a V'2~	—/2ax—x2	~a У2а*—у*
3	2x-x2	0	i+1+Z^	i 1+)Z[^
2.6. f dx\ f(x ,V)dy. I rfyj f(x,y)dx^\dy\ f (x, y) dx.
d ~x	-3 -y	b i-r'i-y
238
5 х	0	2+ У4+у
2.7.	f dx J f (x, y)dy, ( dy C f (x, y) dx +
O *2~4X	2- /4+J
5	2+/4+J	2	6	2 /3"	6
+ ('dz/J [(x,y)dx. 2.8. f dx f f (x, У) dy + f dx J f (x, V)dy, '
b У	2/3	_4_	2	_1_ хг
—	'	-	1ZI"
6 Yly	/3	9— x"-	6 V 2
dy f f (x, y)dx. 2.9. J dx / (x, y) dy, ( dy f (x, y) dx-j-
2	4_	— I 3 2xs	6	] /Г у
у _________	~ V 7
9 I'M	2 4x	8	8
_]_ ( dy f f (x, У) dx. 2.10. | dx ( f (x, y) dy \ dx \ f (x, y) dy,
6	_ \ gZZJ	i +	2 X
4 у 	8 у	3/2 4x	2	6
[ ЛУ f(x,y)dx-r dy \ /(x. y)dx. 2.11. ( dx \ f(x,y)dy-}-\ c!x J f(x,y)dy+
2	4	4 J	1	4/x	3/2 У
У	4	'
6	6	4 у	6 у
+- j dx [ f (x. У) dy, dy / (x, y)dx dy j f (x, y) dx.
2 x	2 4/lJ	4	7/4
2a V 2 ax	a a — Va2—yz
2.12. j dx ( f (x, y) dy, d.y	f (x, У) dx 4-
0 y^ax—x2	0 Уг/2а
a 2a	2a 2a	5	2x—5
+ f dV J f (x, y) dx + dy f (x, y) dx. 2.13. ( dx ( f (x, y) dy,
0 Q Уаг_у2	a yiyia	1	x2—4x
—3	2+/4+y	5	2-|_/4_|.y	1	/3—x2
dy f (x, y) dx 4- j dy j f (x, y) dx. 2.14. ( dx J f (x, y) dy,
—4 n улл_и	—3	1 , , _	О 1
1 У	(Z/+5)	x2
1 _______ _ _ __________________________________________
~ V8y	У 2	!	4'3	/3—у2
f dy f /(«, l/)dx+^ dU(x,y)dx+ f dy f f(x,y)dx.
6	0	1	6	V2~	0
•	2
7	3	9	10—x	3	10—у
2.15.	j dx f (x, y) dy + j dx § f (x, y) dy, J dy f (x, y) dx.
3	9/x	7	9/x	1	9/y
— 1	V24 (x+2)	2 У8 (2—x)
2.16.	dx \ f(x, y)dy-'r dx f f(x, y) dy,
—2	— У 24 (x+2)	—1	—/8(2—X)
__ o_ td
/24	“ 8	1	x+4
J dy ( f (x, y) dx. 2.17. i dx f f (x, y)dy,
—/24 _L y2—2	~4	х2+4х
239
О -2+/4+4Г	5	—2+/4+4Г
J dy J f (X, y)dx + J dy J f(x, y)dx.
~4	—2—УТй	0	У—4
5 x	—3	2+K4+0	1 2+Ki+y
2.18.	J dx\ f(x,y)dy, | dy J f (x, y)dx+ J dy j* f(x,y)dx-Y
1	x2—4x	—4	2 —3 i
5	24-/44^	1	/44-Зх
+ j dy J f (x, y)dx. 2.19. J dx f f(x, y ) dy-i-
1	У	___£	—/4+Зх
3
11	1 >.
4	/11-4х	/7	4 ( У
+ J dx § f(x, y) dy, J dy J f (X, y) dx.
I	—YTI^te	_/7~
4
.	~ 3	/3 (2-H)	3/2	/2
2.20. J dx J f (x, y) dy -4- J dx J / (x, y) dy +
—2	—/3 (24-Х)	—4/3 —/Г
2	2/2^4	/Г 2~T V'	0	10
+ f dx j f(x, y)dy, j dy \	/ (x, y) dx. 2.21. J dy J f(x,y)dx +
3/2	_2/2^c	— Y2	—1	lO-K
1	10	3 у	9	3
+ [ dy f (x, y) dx. 2.22. j dy j* f (x, y) dx + J dy j* f (x, y) dx.
о 10У	0 -i v	3	1 и
3 y	з
2	2—у	1’ Vy	2	1
2.23. J dyJ f(x, y) dx. 2.24. \ dy J f (x, У) dx -f- j" dy J f(x,y)dx.
~6 T-1	° Vrl 1 VI
4	Y 4x~x«	3	3—/9—x!
2.25.	f(x’«)dy- 2.26. j* dx f (x, y) dy +
0	x— 4	0 i ,
6 x
36	’	66
4-fdxf f (x, У) dy+ f dx f f(x, y)dy. 2.27. f dx J f(x,y)dy.
л	r'-----	ч 1	i ,nx
О	34-/9^x2	3	J_ x2
6
1 tx	3 e	2	4^x«
2.28. f dx J f(x,y)dy + Vx J f(x,y)dy. 2.29. J dx J f(x,y)dy.
° 1 ~2 X-2
0 Yx+i	2/3	2	4	Y16—хг
2.30.	[ dx j f(x,y)dy + ^ dx j* f (x, y) dy + j dx f f(x,y)dy.
—4	0	0	0	2/3"	0
240
2.31.
\ Уу	3	1	4
\ dy f f (x, y) dx + f dy J f (x, y)dx+ J dy J
0 —Уу
f(x, y)dx.
з -yi^g
2	У 4—И*
2.32.
J dy J f (x, y) dx. 2.33. J dy [
0 2—у	0 Jv
2-У
2	У а*—у1
2.34,
—аУ1—2у
f(x, y)dx +
-Уа‘-я‘
/а1—у'
a
f (x, y) dx + J dy J f (x, y) dx.
6 'аУТ^	1
2
2 x	2/Г	2
f dx f f (x, y) dy + f f (x, y) dy.
о r	2' dx 1-
Уз	Уз
2
2.35.
2.37.
3	3—y	1
J dy J f (x, y) dx. 2.36. J dx J f (x, y) dy.
0	О X*
e* Inx1	0 if*
f dx J f (x y) dy. 2.38. J dy j f (Xi
e Inx	—1	—2^—1
/2 "f
2.39.
Уз
2
2	1
dy J f (X, y)dx+§
yi^
ZiT-i/
J f(x,y)dx +
yT--L УТ^у1
2.41.
У2 —у
f (X, у) dx.
-У 1-у‘
2.40,
f(x, у) dx.
2
Kf
0 1
8
2— /4— у*
!	2	4
f (X, у) Л + j* dy J f (x, y) dx +
°	2+У4—уг
2
о
_ 1
4/2	4	2 У2х
+ J j f(x,y)dx. 2.42. J dx [ f(x,y)dy +
2	1.	0	0
8
/2
Уз	У 3—х'г
f dx f f (x, у) dy.
16-390
241
з-§.
. г
arcsin^-
2л
г
„ п . _	о л—arcsin—
Л 2sin<p	2	2
3.1.	У dtp /••/(''cos<р, гз1Пф)<Зф=^ rdr	/(гсозф, гз1пф)йф.
об	6
2л Ь		' Ь
3.2.	J dq> J г -f(r cos ф, г sin tp)d ф = [ rdr J /(г cos ф, г sin tp)dtp,
6
а
а О
л	1 г2
—	_________ — arccos —
4 aKcGs2(p	а - а
JtAp Г г -f(r cos ф, г sin ф)</ф= \ rdr	f(r cos ф, г sin ф)^ф.
Л О	л	1	г2
	 и	и 	arccos —
4----------------------------------------------------2 а2
2	sin<p—coscp
йф j	Г-Д'COS ф, Г5!пф)йф =
о о
КГ	2
r^r /('COS ф. г sin ф) dtp +
'о	б'
а 4
У f(r COS ф, Г sin ф)<3ф + i f(r COS ф, Г sin ф)</ф
О	Зл
- т-«
бу ерда а=
л asincp	Зл а
4 cos2cp	4 sincp
= arcsin—т= • 3-5, J /(' cos Ф> гапфргйг + j" dtp /-/(/-собф, г5тф)<Зг-|-
г г	об	я 'о
4
asincp
я cos2cp	а	л—а, (г)
+ | dtp У f(r cos ф, г sin ф)-rdr= J rdr ( f(r cos Ф, r sin tp)dtp -j-
Зл 6	0	а.(г)
1^2 а	а2(г)	л—oti(r)
+ \rdr J f(r cos ф, r sin ф)<3ф-|- J f(r cos ф, r sirup) rfrp
a	ai(r)	л—cc2(r)
— arrcin Z°2 + 4'2 — O „	_ arncl-„ a
2r	r
бу ерда ax(r) =
sincp	л
Л/4 cos2cp	•	1^2	4
3.6. j dq j*	r-f(r cos ф, rsinq))dr= j* rdr J f(r cos ф, r sin ф)^ф, бу
О О	l0 а
Л 2	__	Л
г_________	4 sincp	2V2	4
а = arcsin^ Ж'8-1 . 3.7. j" dtp j r-f(r2)dr=\ r-f(r2)dr f dtp +
2r	0	6	n/6
Л 2
3 coscp
-j- j r-f(r2)dr^ dtp. 3.8. d<P r-f(rcostp, r sin tp)dr =
2У 2	Л/6	О 0
ерда
Л
6
. 2
.	arcsin —
4	r
242
2	Я/3
= J rdr [ f(r cos <p, rsin
0	0
4	Л/3
(p)d(p + i rdr f(r cos <p, r sin ф)йф.
2	e	2
arccos—
fl
2 4cos<p
3.9.
o'
arccos —
2	4
r  f(r cos ф, r sin <p)dr = rdr f(r cos (p, r sin ф)/ф -|-
2cosq>	0	r
w	arcccs-
,	arccos —
4	4
+ J rdr J /(rcos Ф, r sin ф)йф. 3.10
2	0
п , /Г
2 r+arccos—
 j" rdr j	f(r cos ф, r sin ф)йф.
Г2~	Л12
---arccos—
4--r
fl/2 2
г-/(гсозф, rsincp)dr=
0 2
CGS(p4-s>ncP
a
4 4coscp
3.11. f	f	Г‘/(гС05ф, /'51Пф)б/г=
__fl_	2/2
4
r	3fl
.	arccos—	-7- c .
4	4	4	using)
J rdr у /(rcos Ф, r sin ф)б/ф. 3.12.	| r•/(г со$ф, r sin ф)^г=
2^2	—arccos^-	у	3^2
4	4
. г	ЗЛ Q
fl—arcsin —	—	— 8coscp
= f rdr C f(r cos ф, r sin ф)б/ф. 3.13. Г а'ф j г-/(гсозф, г япфДОг =
_ J	—4coscp
Qi/О	. Г	‘fl
°* z arcsin —	—
6	2
r	, r
.	fl—arccos—	. лч-arccos-z
4	4	4	1	8
~ J rdr у /(r cos ф, r sin ф)б/ф + ( rdr J /(гсоэф, r sin ф)Жр+
Q	r -	6	, r
fl—arccos—	fl4-arccos —
8	4
n+arccos-
О	О
-j- rdr у f(r cos ф, r sin ф)Ар. 3.14.
4	*r
П—arccos —
8
3/2"
P	Я/2	6
= J rdr J f (r cos ф, r sin <p)d Ф + j Г|
0	3/2
fl	6
4	cos cp-Psin cp
J б/ф f	Г-/(гСО5ф, Г5Шф)б/г =
0	o'
fl	3/2
7=—arccos-----
4	r
r f	/(ГСОЗф, Г5Шф)б/ф; ( — —
o'	'
3/ 2	. 3v 2 л
—arccos—L—=arcsin—2_— — —-
r	r 4
a
4	4eoscp
3.15.	| dtp r-f(r cos Ф, r sin <p)dr =
я	0
~4~
243
л	Г
г— —	. arccos—
2/2	4	4	4
J	т& J /(rcosqp, r sin<p)d<p 4* J rdr J f(r cos <p, r sin <p)d<p.
0	_*	2/2 -arccos^-
4	4
2
5sin(p
Л
2	------
3.16. [ J r-/(rcos<p, rsinqp)dr= f rdr
0 2sin<p.	0
arcsin у
f(r cos <p. r sin <p)dq> 4-
r
arcsin !r-
D
л	я
5	2	2	4
4-Jrdr J f(rcos<p, r sin <p)d<p. 3.17. j* d<P f r-f(rcos <p, r sin tp)dr +
2	r	0 4cos<p
arcsin g-
Зл/2 4	2л 4
4- f dqp J r-/(r cos <p, r sin <p)dr 4- j d«p J r-/(rcos <p, r sin <p)dr=
л/2	0	Зя/2 4cosq>
4	2л-arccos^	2cos3(I)
rdr J	f(rcos<p, r sin <p)d<p. 3.18. J dtp J r-f(r cos<p, rsin<p)dr —
Or	л I
arccosу	— у
2 3-arCCOS2'	л/2 2cosq>
J rdr [ /(rcosqp, rsin <p)d«p. 3.19.	| r/(rcos<j>, rsinq>)dr =
r
.	arccos—
arccosr	1	2
rdr f /(rcoscp, rsin<p)d<p4~ f rdr f f(rcos<p, rsin <p)dq>4-
2 arccosy	arctg2 2sin<p
4- J rdr f f(rcos<p, rsin<p)d<p. 3.20. f dtp J rf(rcos <p, rsin<p)dr4-
]	r	0	0
—arccosy
Я/2 4cos<p
+ I dtp | r-/(rcos<p, rsin <p)dr =
arctg2 0
^/5 arccosy
J rdr J f (r cos q>, r sin ф)<1ф.
r
arcsiny
1 _
arctg3	cos ф	/5	arctg3
3.21. J dtp J r-f(rcos <p, rsin tp)dr = J rdr J f(r cos <p, rsin <p)d <p 4~
arctg2	0	о	aretg2
_	a/sin2<p
/10 arctg3	я/2 P
4- J rdr J f(r cos q>, r sin <p)d<p. 3.22. J dtp J r-f(r cos <p, r sin tp)dr =
i	e
r ° arccos—
r
244
я 1	. r«	«
а 2	2 arcsin о«	4 2+cos<p
CrdrJ	f(fcos ф, г sin <p)d<p. 3.23. J dip J r-f(rcos<p,rsin<p)dr=
0	1 г*	Зя 2+sin<p
2-“cSin5i	~T
2_/1 '
2 2я—ar»in(2—r)
= Jrdr J	f (r cos ф, г sin ф) </ф 4-
i n+arcsin(2—r)
2	2Я—arcsin(2—r)
+ J rdr j"	/(r cos ф, rsin ф)(2ф +
д/s-	2я—arccos(r—2)
2-2-
lz2
2+'T“ arcsin(r—2)	3	arccos(r—2)
4- f rdr f j(r cos Ф, r sin ф)Жр 4- J rdr J /(гсовф, «1пф)(1ф.
2	—arceos(r—2)	/Т	—arccosfr—2)
2+~2~
4-§.
4.1.	4,5. 4.2. 64,8. 4.3. 18л, 4.4. 4/3. 4.5. я(31п3 — 2). 4.6. л-—. 4.7.
6
c,/"o'	11	11	6	/	4 \
z.p°. 4.8. —. 4.9. —6л2. 4.10. 543—. 4.11. 61. 4.12. — . 4.13. 72 я——- .
21	12	12	35	\	3 J
л	1
4.14.—а3. 4.15. Юл. 4.16. 18; 4.17. —6—. 4.18. 8(6 —л); 4.19. е2 — 1.
3	3
4.20. —ла2. 4.21. 0,5л. 4.22. -^-(4л'—/з). 4.23.	• 4.24. 4^-. 4.25. 4-
8	3	5	2	3
32 —	5
4.26. —/6,”4.27. 20—. 4.28. 1пЗ.
3 г	6
5-§.
3 и
j л» г»	[Г	____ ____ g4
5J-tW 5-2- aM 9+/33“4/3 + 81п(/зз-1)4(/з+1)
2 и— 6
б) ~~(252—8/3 —11/33). 5.3. 2. 5.4. а) 0, б)—ла4; 5.5. —. 5.6. -Д=-.
4	'	29	4 /б
тт	9
5.7. а262/2с2. 5.8. 1/35. 5.9. -------------------------------'а&(а2+^62). 5.10. Зл. 5.11.—а2&2. 5.12.
2	3
—-a2(n—/з). 5.13. ~а2. 5.14. ^^-'аб+ —1 5.15. —5 16
4	6	256	\ h2 ^ fe2/	10 h*
1	55	1	Bl	n
— na2. 5.17. — ab. 5.18. — (b2 — a2)ln —. 5.19. —(62—a2)-ln-.
4	64	2	a 3 \	7 m
6-§.
6.1. 45. 6.2. 4e —e2—1. 6.3. —----- 6.4. —(я+2). 6.5. (—я+— -
4	6	16	\ 3	9
245
32	,—\	1	1	/ 1	л \	1
— —/2 а3. 6.6. ------abc. 6.7. —я2аЬс. 6.8. — — —~ абс. 6.9.—abc.
9	)	3	2	\ 3	16 /	9
1	25 Зл	75
6.10. ат(а + т) (За2— 5 ат 4- 3m2). 6.11.-^—. 6.12. abc. 6.13. -^-^nabc.
6.14. —ла3. 6.15. 96л. 6.16 186-~. 6.17.	6.18. WA. 6.19. —.
4	3	3	5	3
6.20 я. 6.21. 1. 6.22. 20-^-. 6.28. 4 [72(/3—/2) —5]. 6.24. -^/б.
32	4	30	5
6.25. 8/2а6. 6.26. —( 2/2—1). 6.27.	Зу''Тб+1п(3+/То)]. 6.28. 8а2.
3	6
6.29. 2а2. 6.30. ^[з - /А + Ц / -|- + 1)]. 6.31.	(20 - Зл).
6.32. 2аЬ- 6.33. 4/24-1)- 6.34. л/2. 6.35. ~ (20—Зл). 6.36. 2ла2(г/2—
abc ( 1	1 \-1 [7 1	1, I W2 И ,	„„
6.37. — I —+ I •	+	»+ 2 I —~ . 6.38. л//2. 6.39.
3 \ а2 о2 /	|_\ а2 о2 с2 / с3 J
^(/s + г/Э.
6.41. —уа^б2 + а2с2 + Ь2с2 6.42.
~ (20 -Зл). 6.45. 4(/8-1)-
— (20 — Зл). 6.40.
а2(2л + 8 — 8 /2). 6.43. (20 — Зл). 6.44.
7-§.			sin а R* 	, а	Уе=0. 7.3.	256а с ус 315 л
46			2_ = 3			
7.1. хс = 0, ус = —. оГС	7.2. хс				
7 4 х — яд/2 „ хс	о » Ус о	= 0. 7.5.		26 , , 	 а4, *1V 105	у	а4 =	. 7.6. 30	л Jx = Jy = -77 1 0
13		лаб3	яа3Ь		1	5
7.7. хс —	, Ус = 0-	7.8. + =	4 ’	^= —	. 7.9. Jx = 3	— Jy = НО—. 3 у	6
7.10.	1	4	9
	J л -—•	Ли , /«lit А./ — 0	8	2л	,—, U 	 v. t ,\Z>,	Jy — J\i —	• «Ди . t— зу 3 е	У 8
21л V'	3	7 7,14. —л. 7.15. хс = 	, 2	2	J^ + м./З) i#t=. 2	9(44+24 y 3—91n3)
2(162/3—751пЗ+542) ? ~ 5(44 + 24/3 — 91пЗ)		29	181 -/7	6(4 —л2)а )c —	> и —	 7.18. xc—	- - 	> c 36	882	'	л3
Ус~	2(Я2--6)3-.	7.19. хс л2	28	92	5а = —, ur= —	7.20. xc = ла, у =—. 75 ’ Ус 105	c	’	6
7.21.	4а _ 4(а + 6) хе —	, цс — с Зл у	Зя	5а	„	128а 7.22. xc=—, yc = 0. 7.23. xc = yc =
7.24.	хс=-- 0, Ус =	7-25,	2a/i3	4a3/i	9 = 7 , Jy= 15 • 7.26. хс— 2 , Ус— -1.
7.27.	16 ХС — b Ус =	• 6	
246
8-§.
8.1. 2-^-. 8.2. л. 8.3.-^- 8.4. —(/2-1)л.	8.5. 12 + 15(/з - /2)я.
1 1
8.6. — (&4 — a4) (sin2₽ — sin2a) (р2 — т2). 8.7. — (cosa—cos₽)(63—а3)(р2— т2).
8.8. — (Р — a) (Z>4 — а4)(р2 — т2). 8.9. — (fj — a) (Z>3 — а3) (р3 — и6). 8.10.
8	9
1 1 1
—(₽-a)(Z>3-a3)(p4 -m4). 8.11. — (₽-а)(/>4-а4)(р4-т4). 8.12. —(d -
— с) (р — т) (Ь — а)[3(6 +'a)+p+m+d+cj. 8.13. (b — а)(р — т) (d — с) ^—(<324.
+ ab + b2)+ 4-(d+c)l . 8.14.	(63 - а3) (р - т) (d2 - с2). 8.15.	(6»_
2 J	6	36
Г 4
—а3)(р4 — m4) (d3 — с3). 8.16. (b — a)(d — с) (р т) —(о2 + ab'+ Ь2) — (р2 4-
L
+ тр 4- т2)]. 8.17. -±-(Ь - а)(р* - т4) [(/> + а) + -~Hd + с)1. 8.18. -^(Ь2 -
4	[	4 J	6
— a2)(d — с) (р — т) [(р2 + mp + m2) + (d2 -f- cd 4- с2)].
9-§.
1	1	x2+j/2	1	1	x2+y2
9.1. [ dx [ dy J f (x, у, г) dz = .| dy \ dx | f (x, y, 8) ds;
о b 0	boo
1 x2 1	1	14-х2	1
| dx J de | f (x, у , г) dy 4- | dx f boo	0“ x2	dz J f (x, y, a) dy = V z~x2
ill	1 = f da j dx^f (x, У, s) dy + J ds । oJ	r~~	0“	'00 v z 21	1 + J ds f dx J f (x, y, a) dy; 1	У г—1	V z—x2 1	14-t/2	1 4- f dy J ds J	f (x, У. a) dx= | б _Уг	6 1 y"z 1	2 4- J da	dy ’j f (x, y, a) dx 4- [ da 0 d	/		 f у г—у2	-y 2	1 j" dx § f (x, y, s) dy 4- 12—X2 1	У3 1 j di/ J da J f (x, у, г) dx 4- 6	0	0 1	1	1 da г dy^ f (x, y, s) dx 4- y z ° 1 1 j dy j f (x, y, a) dx. У" z—1	i^z—y2
а 1Л 2 у 2a2—x2
9.2. [ dx f
0 o'
У За2—x2-у2
dy\	f (х, у, г) ds=
— (х2+у2)
2а
a / IF	З'"2а2—у2
 j dy J dx
0j 0
У За2— X’—у2
J	f (x, у, S) ds;
— (x’+s2)
2a
247
а У 2	a / 2аг—x’
[ dX J dS J t ^X’ У’ dy +
6	1.0
-- X*
2a
а У 2	У За"—x‘	У Зв’—х‘—г1
+ J dx j de С	f (х, у, В) dy =
О	0	О
о / 2	а	у7 2аг—уг
J dy J dS J <x> У’ dX +
0	1	.	0
— у'
2a
Г3аг—уг—г‘
f (X, y, 0) dx =
0
2az—y'
d{l<i
0
f (x, у, в) dx +
аУз	У За’—z' У За,~у‘—гг
[ de J dy J f(x, у, s) dx.
а	О	0
9,3
Vx’+y‘	2
dy J f (x, y, s) de; J dy
о	0
ds;
1 x Ух~-хг	1. Vx	/x—X*
J dx J de J f (x, у, в) dy-}- Jdx J de J f (x, y, s) dy;
ooo	ox
248
/Г \	7	+	V 7
J ds J___аУ f
0	«П-z» j_ /i_
f (x, у, e) dx-j-
~-v2
I	г /1—a1 2 * 4 * * * * * io	2 + У 4	"
+ f f dy J	fi(x, y, z) dx.
о о	у z‘—y*
9.4.
I /1— x2	/16—x2—y2	I	/16—X2 /16—x2—y2
dy\ f (x,y,z)dz+ \dx\ dy J f(x,y,e)de+
°	°	/I— x2—J/2	0	/I—X2 0
4	/16-Х2	/16—x2-y2	I /I-г/2	/16-Х2—y‘
JdxJ dy J f (X, y, e) de; J dy J dx J f (x, у, e) de -f-
10	0	0	0	у ]_^2_yt
1	Kl6—IP	/16—x2—/	4	/16—j/2 /16—x2—j/2
+ J dy j" dx J f (x, y, e) de + J dy j dx J f (x, y, e) de;
o y~i_______y* о	10	0
1	У f—у2	V \§-y*—z*
J dy J de J f (x, y, e) dx +
0	0	/1—j2—z2
i /1б-»2
+w_
0 /I-ff2
/16—y2-z2
J / (x, y,
o
4	/16—г/2 /16—/—z2
j / (x, y, e) dx;
0 о
I	/1—г2	/16—у2—г2
J ds J dy J f (X, у, e) dx +
о о	/1—J/2—z2
I / I6-z2	/16—№—z2
e /I—z2 0
f (X,y, e) dx + J de J
i о
4	/16—z2 /16—y2—z2
f (x, y, e) dx;
1 /b^J	/16—X2—Z2	1	/16—X2 /16—X2—z»
J dx J de J f \x, y, e) dy-f- J dx J de j" f (x, y, e) dy +
0	0	/i—x2—z2	0	/b^x2	°'
4	/16-х*	/l6-x2-z2
+ j dx J de J f (x, у ,г) dy,
io	о
1	/I^z2	/16—X2—z2	I	/16—Z2	/16—X2—z2
J de J dx J f (x, y, B)dy + § de [ dx f f (x, y, e) dy+
0	0	у i x2 2a	0	у j—г2	0
4	W6—2»	/16—x2—2a
4- J de J dx J f (x, y, e) dy.
io о
249
—-I-
2a 2b
f (x, y, a) ds-,
f (x, y, s) dx +
250
a
f (x, y, s) dx-+
o
— >2bz
2г—a
b—a
dy
— Va {2z-y*/b)
f (x,y,z) dx +
a Vl—y2/b2
f (x, y, s) dx 4-
Va (2z—yz/b)
f (x, у, г) dx +
251
9.6
ах+у
J f (х, у, s) ds
О
1—У .
0 О	г—у
f (х, у, г) dx +
а
+ J ds j dy j f (x, y, s) dx = j dy j* ds J f (x, y, s) dx +
O' г О	О у г—у
’	а
f (х, г/, s) dx —
а ах 1—ах	а 1	1—ах
J dx j ds f (х, у, s) dy+ [ dx J ds f(x,y,0)dy =
0	0,0	0 ax	г—ax
’1	z
1 a	1 —ax	1 a	I—ax
J ds j dx J f (x, y, s) dy + \ ds J dx J f(x,y,s)dy.
0 z 0	0	0	г—ax
1 ° 1	2х’+3г/*	1	3y>	1
9.7. J dx J dy j" f(x, y, s) ds = J dy J ds\ f (x, y, s) dx +
ООО	000
1	24-3ff«	1	3	11
+ fdxf ds f ______________f (x, y, s) dx = J ds^ dy j f (x, y, s) dx +
О З^*	1 /^z~3y*	0	1/ г. о
V 2	' з
252
51	1	1	2x2	1
+ f ds f dy f f (x, у, г) dx = f dx f ds f f (x, у, ё) dy +
г-2	_ Г г-Ъу‘	ООО
3	F 2
1	3+2xs	1
4- J dx | de | I (x, y, 0) dy =
г—2x2
3
f (x, y, e) dy -ь
3	11	5	1	1
+ f ds Г dx C f(x,y, 2) dy+ ( ds f _dx Г _f (x, y, s) dy.
! ° /'-v' . s /т
I 1 xy
9.8. j1 dy\ dxf f(x,y,e)de =
b у b
1	1	1 . у 1
= j dy j ds j f (x, y, S)dx+^dy J d£ J f (x, y, s) dx =
0	0 у	О уг г
У
111	1 /г 1
= j" ds J dy J f (x, y, s) dx + f ds dy J f (x, y, e) dx =
0 у- у	6 г г_
1 x> x	1	1 x
= J dx J ds J f (x, y, s) dy = f ds J dx f (x, у, г) dy. 9.9. О (Vx2 = | x | деб
о о £	b	г_
X	X
л	p~
олиш керак). 9.10. —. 9.11. ---------. 9.12. 0.
'	60	108
9.16. 7.	9.17.	1. 9.18.	1. 9.19.
1	1	3
9.13. —. 9.14. 5-. 9.15. 129 -.
8	2	5
1	9
13.9.20.	11—. 9.21.—.
л
a
a a~x h	2 cos ф-f-sin ф h
9.22.	J dx f dy f / (x, y, s) ds = [ d q> [	/ (rcos <p, rsin <p, s) de =
о b b	о t о
253
Я	Л (cos ф+sin Ф)	а
2	a	cos 0 (sin ф+cos ф)	i
J d ф J	cos0d0 С r2-/(rcos ф cos0, rsin ф cos 0, rsin0)dr. ]
о б'	о	>
9	а—х	а—х—у	1
9.23.	| dх С dy Г f (х, у, 0) ds ~	1
обо	I
л	а	|
2 cos <p-|-sin (р	а—г (cos ф-|—s in ср)	|
= J d ф j*	rdr	/ (rcos ф, rsin ф, S) ds = J
об.б	|
я л	___ а	>
2	2	sin 0-l-cos 0 (cos q>-|-sin <р)	I
У Ф J* cos 0 d О J	r2-f (rcos ф cos 0, rsin ф cos 0, rsin0) dr. j
о o	o	1
9.24.	j	dx j	dy	f (x, y, s) ds =
_____a	~ ' ь
/1+&2	1+b2
Л
2	a
f d ф У cos 0 d 0 J r3 • f (rcos ф cos 0, rsin ф cos 0, rsin 0) dr.
0 arctg b	0
f (гсозф, гз!п[ф, 0) ds =
2л 2	asin 0
у ф J" cos0d0 у >-2.f (rcos Ф cos 0, rsin Ф cos 0, rsin0) dr.
On	0
4
254
2Л а/2
rdr
f (rcos <p, rsincp, .e) ds =
2л л/4	asin 0
= f d <p f cosOdS | r2-f (rcosqp cos 0, rsincpcosO, rsin0) dr.
oo	b
a
y' 2	Va2—2x2 Va2—x2
9.27. dx J dy f (x, y, s) ds =
a — l'a2—2x2	V'x2-y-
/ 2
a
f (rcos <p, rsin ф, s) ds =
cos 0 dQ
у cos2 <p-cos20-|-sin2 0
(гСОЗфСОзО, ГЗШфСОзО, rsin 0) dr.
9.28.
У1,2_Х2_у2
dy^
Va2—x2 — у 2
f (x, y, s) ds +
255
dsJ
/3
f (X, у, 3) d3 +
L ‘-------------
2 j/ — -A-’
+ J dxj dy J f (x, y, 3) dH =
£. -Л/ — —x’	Уз (x’+lf)
2	'	4
a
2rt 2	/b*—r«
d <p J rdr J / (rcos <p, rsin <p, s) ds +
6	0	у a‘—r‘
b
2л 2	У Ь*—г1
_|_^d<p^rdrf f (rcos <p, rsin <p, s) ds =
° a Уз~ r
2
Л
2л 2	b
\ dcp Г cos 0 d 0 I r! f (r cos <p cos 0, rsin <p cos 0, rsin 0) dr.
о я
з
10- §.
2 ла3
10.2. 4(4 —3 In 2). 10.3. уу=.
1 \	л! abc2	1
-—а3. 10.7. — • --------. 10.8. — abc.
е )	6 К	12
__	2187
— /2) л. 10.11.8 л. 1012. --------л. 10.13. 48 л.
32
10.1.
10.6.
2
10.4. — ла3.
3
92
10.9. — л/?3.
75
2 ,
— л2аг
3
21
10.10. — (2-
10.5.
10.14. 276 Л. 10.15. 3
л
7
81
76	21
10.16. — п. 10.17. 7 л. 10.18. 5 л. 10.19. 12 л. 10.20. 10 л. 10.21. 1. 10.22. — Я
81	32
10.23. у (6 —а)(62+а&—2а2). 10.24. abc. 10.25. у. 10.26. 6.
11-§.
40
3	3 \	/21
— Ь; — с . 11.3. ( — а;
28	28 /	\128
3(2 +/2)	\	/	9tf
-L-——~с . 11.6. 0; 0; -
/	\	20j
&3 —а5 ГЗ fi2 — 1
Ь* — а4 ’ [ Р
ГР2 —3 а2 —3]
[ /Р “ /а ]Х
'3
— a;
28
/3	3	9	,—\
ПЛ- (?а;	3-2^)‘
21	21	\	/	а .
	Ь; ---с . 11.4. 0; 0; — . 11.5. 0; 0;
128---------128-)	\	2J	\	16
/6 12 8\	8
11.7.	?; г; Т  п-8- (*<>• Уо, Zo), бу ерда х0 = —
\ 5	5	5 /	15
За2-- l] [р2— 1	«2—11—1	8(65—д5)
-	I’’ “ ~~ ' ’ Уо~ 15-(64 — а4)
a
a
256
b> — a1
P2 — 1	a2— 11-1	1 &« —a« /	I 1	, P\
(o; 2;—,1.10.	2 ).
\	5 I	\ 15 л 15 л /
₽
P2- 1
P
a J
a2 — 11-1
-------	. 11.9.
a
11.11. a) — 2; 1;
11.13. 0; 0;
2\	/32 16
2; 1; — ; в) —; —;
3/ ’ \13 13
:	ла5
5 л	ла5	.—	,—
. 11.14.	11.15.—• [192(27уТ —22/2)—85].
8 ,
480 *
11.16. 1464. 11.17. 18. 11.18. 1. 11.19. 10. 11.20. 16. 11.21.	(1 +а).. 11.22.
2 abc	на1
——- [105 л(а2 + 62)— (92 а2 + 272 &2)]. 11.23. -7=-.
10/0	у 2
л2аг2	4
+ 62). 11.25. ----(4а2 + 3г2). 11.26. Jxy = - л abc\
2	15
4	л	л	«...
= - я ab3c. 11.27. Jxu = —, J = J„ = — . 11.28. Jrl<=--------, J„ =	=
15	xy 5 xz yz 20	y 16 v
9л	4	4	4
= ——. 11.29. Jxu — — л abc3, Jr-= — л ab3c, = — л a3bc. 11.30.	=
16	ХУ 9	хг д	yz д	xy
= 75 Я, J,_=62n, Ju_=50n. 11.31. + = + = 0,15 л, У, =0,1 л. 11.32.
Jx== Jy = MPo'aS' f16-7^2)- A = ^Po-a5(8-5/2)- ,L33- ^0 = ^
56	10
11.34. — л. 11.35. — л p2/i3.
10	о
5 ' ' '
4
11.24. - п abc (а* +
4
Jyz = я a3bc, J^ =
81 л
16
I
M

•»
З-боб.
, .Ji
13-§.
31	, 	128	7
13.1. - /73+ — у 2 +- /65. 13.2.
16	3	3
333824 r~
------15-/2 —28800
13.3. 4 a7'3. 13.4.
13.7. 2 л a2.	13.8. 0.
a2
l3,9‘ 256 /2
1
729-у-'Т
ла2	г -
----. 13.5. а2 /2 .
2
• [100/38 — 72 —
362032
15
101
13.6. ----.
60
- 17-Ш 25 + 4 /38
17
+ а2 + 62	, л b
13.11.		------• arctg —.
ab	2 а
13.12.	18 л. 13.13. In -7+-3 Г<5 . 13.14. 24. 13.15. In + 3. 13.16. а(1пЗ +
_	2	2
+ 1—13.17. /?2 (/f — 1). '13.18. 2а4+ -^=-In (/3 +2). 13.19.
2 /	у 3
л ,	4 ад	1—11
4(а + 6)— —— . 13.20. /2 (5+ 4 In 2). 13.21. — /47 + ~ In
13.22,	/3. 13.23. Xo + zo- 13.24. -|-r/Юа2 + 3 62. 13.25. — (9уТ —
уз	3
,	.—	I Зл \	,-----
— 2/2). 13.26. 8у2а 13.27. 2a-ln pg— . 13.28. а — уа2 + 62 +
\ О /
а _|_ у д2 _|_ £2	а г 1	_
Ta-In у --------. 13.29— 6 + -т=1п (3 + 2/2)]. 13.30. 9 а. 13.31. 126.
6 (У 2 + 1)	2 L /2
13.10. 2/2 a2.
/11
3
17—390
257
13.32. 36. 13.33. 4 V-(Ю + 3 °)- 13.34. 2+/2 In (/2 +1). 13.35.
о г и
3 Г	-.3/Т	3 fl 4 \21	/3
—X— 4. J/ - + 2а- j/ /J j. 13.36. яка2. 13.37. у- ак. 13.38. 2Ь (b-f
,а. arcsl.nj\ бу еода е = —13.39. f 1013/2 — 263/2 Y 13.40.
е /	а	3 (	)
1	/4 — 4 Г ,----------------------- „	2 nb 4 fa2 4- 4 л2Ь2 1
— а3. 13.41. -----------• 2 лй-|Ла2 4-4 я2 &2 4-а2-1п------------------------.
2	2й [	а .1
13.42. —к [(14-е2)3/2 ~ 2/2]. 13.43. 256 «3/15. 13.44.2 а2. 13.45. 4 |3/3 —
3	° L
3	34-
- 1 4- — in —
2
/h — а
h 4 а
21/31	/	4	\
—-— . 13.46. ла; — а . 13.47. (х0, у0), бу ерда х0 = Ь —
3 J \	3	/
h	ab	2а Ьл
«0 = —4-------— -=-=. 13.48. (0;	—
У° 2	2 ; /г "	-	"
а-
'2 а 2d
5 ’ 5
13.50. (х0, у0), 'бу ерда х0 =
27 — 16 In 2 —4 In2 2
-----------------------------, у =
8 (3 4- In 4)
_____20______
3 (3 + In 4)
. 13,51.
4а 4а\	а 2 е2я 4 ея а е2я — 2 ея
Т> Т )• 13-52. (х0, уа) бу ерда х0 =		„____ л/2’ У® с ' л______________ л/2 •
О О /	О С" v	<_/ с с
3	3 3	I
13.53. Мг = М, = — а2. 13.54.а3. 13.55. — (2 а — sin 2 a)-R3.
х у 5	2	4 '
13.56.
я R (2 а2 4 R2). 13.57.	=-
/а2	h2\ г--------------
=Н + /) V 4 я2а2 + Л3’
-oh
 — a3, J,, = 16 л2
15 у \
Jz = а2 f 4 л2а2 4 У2-
128\
— а3. 13.58. Jx = Jn =
45 /	х у
15-§.
4	4	__
15.1. —~а. 15.2. ла2. 15.3. а) —; 6)4; в) 0. 15.4. 0. 15.5. 3/3.
3	3
___ /я	\	ла3	4	1
15.6 . 2 я у 2 • а2 sin — — а . 15.7. — —. 15.8. - ай2. 15.9. • -	15.10.
г	\4	)	4	3	35
у: //3 15.11. —2 ла2. 15.12. — 2 sin 2. 15.13. 2-|. 15.14. - 2. 15.15. я.
3	20
15.16. яа (2 с — й). 15.17. 4. 15.18. - — ла2. 15.19. 2 я2й2. 15.20. 8— • In 2.
'	16	21
з
15.21. - (3 4 4— 12 е-2). 15.22. — 12. 15.23. а) 2 я; б) 2 л. 15.24.10/3.
1	г—	2 я 2 я
15.25. 0. 15.26. 1п24у 15.27. 3(54 /2). 15.28. 3. 15.29. а) —; б) у;
2зт	2л	л	л	л	л
в) —; г) —. 15.30. я) —; б) — ; в) —; г) —. 15.31. а) 2л; б) 2л; в) 2л;
3	3	3	3	3	3
1	1	и
г) 2л. 15.32. 20	15.33. 62. 15.34. у (у 2 — у 3 ). 15.35. In 2 4 13
л2	1	1	4
15.36. — (8 /3 4-2 — 91 2 ). 15.37. — In 2—7 —. 15.38. arctg--------------------.
144' ’	’	2	; 8 ё 31-/2
258
У 1
15.39.	и = arctg —~i~~2 1П (*2 + #2) "г 15.40. и •= х2 cos у 4- у2 cos х 4~ С.
, . еу — 1	х — 3 у z2
15.41.	и=~-------—-[-у л. С. 15.42. w = ------ 4- — + С. 15.43. w = еу1г X
1 4- х2	г 2
z	z%
Х(х+ 1)л.еуг — е~г-ГС. 15.44. w =------------+ С. 15.45. w = — arctg — + С.
х2 4- у2	ху
15.46.	и — — Зх-\-у(\—sin2x)4-C. 15.47. и = &ху + 5xt/—!-С. 15.48. и —
= (х2 — у2)2 4- С. 15.49. и = х2 4- х 4- 2у — Зху2 4- С.
15.50.
х —У
и~ (Х^-у)2 +с-
15.51. и
— (х3 4 У3 + S3) — 2xyz-\-C. 15.53. ш
= ех yz -\-еу xz 4* ег ху 4~ С. 15.54. w---xy2z -'-x2yz -хуг2 С. 15.55. i = 5 х3#4-
4- 3 xz2 — y2z 4- С. 15.56.
16- §.
x xy
w — x — — 4- — 4- C.
У *
, „ nR2	ла3 ла3
16.1.	— (4 4-Я2).	16.2.	1. а) 0;	6)0.	2. а) — —; б) — —-.
4	8	8
1 ТТ/7“	ТТ	О <гг	Р ТТ
16.3.	-9. 16.4. —-. 16.5. 1. а) 0; б) -.2. а) 0; б) —-3. а) 0; б) -=.
8	2	15	у pq
2	л Я4	4
16.6.	0. 16.7. 8. 16.8. 0. 16.9. —1. 16.10. —46—. 16.11. -----------. 16.12. — —.
3	2	3
45	а2	—	33
16.13.	—л. 16.14. а2. 16.15. у (4—л). 16.16. л у'2. 16.17. —а2. 16.18, — л ab.
16.19.	6 лг2. 16.20. у(а2-3 2&2). 16.21.	16.22.
ла2	а2
—. 16.23. — (4 л3 4" Зл).
О/	о
17-§.
17.1.
4- боб.
4 лс4	—.
— (6 у З +1). 17.2.
1о
, ,	2	________
4~W11- 17.4. — па2 у' а2 + Ь2.
I ' 2 Н\	I
4 0: / ,7-3- 4
л ,—	ла4
17.5. — (у 2 4-1). 17.6. —
°; ~ (я +
sin a-cos2 а.
17.7.
54 —	2л	,—	.! а 16 а \	[ а а а \
-V2	.7,8, -.(1+«, 3). ,7.9. (- 0, —). 17.,».	?).
, _ ,	/	2 а	ла \	1	,—
17.11.	----------; 0; ---------- . 17.12. ла5. 17.13. —(2 4-уЗ). 17.14.
\ 3(л — 2)	, 4 (л — 2) /	6 Г ’
а2(2л4-8 — 8/2). 17.15. ^(2/2’— 1) ab-arctg ]/ у. 17.16. 4л (3 4-
/ л Я
4-2/3) а2. 17.17. S=a (<р2—q^) [6-(02—Oj-j-a(sin 02—sin О/. 17.18. 10;
л/i \	/	5 а 25 \	- -	л Я3
— . 17.19. 0; —; — . 17.20. 2 л/г Я3. 17.21. 8,2л. 17.22. -------------.
8 )	\	8	16/	4
4
17.23. “ла4. 17.24. 9 а3. 17.25. 54 т 14. 17.26. 128 у 2 л. 17.27.
—	2048 —	2	3
а) 32 у 2л; б) — , 2. 17.28. 32. 17.29. 266 — л. 17.30. 6 а2 4- — а5. 17.31.0.
259
88/.7-W/3	/|5у	33+J2_^X	«*.
64/2	\16/	49+8/34	3
л	Ь	2	/10	л \
— р0-а*.	17.35. 8в2 arcsin	—.	17.36. 4 Я2. 17.37.	—	а2	—	—	— .	17.38.
2	а	3	\ 3	2	/
4	,---- 4	/ 1	1	1 \
-(« + *) /2 ab. 17.39. --я abc - + - Д- - .
О	О	\ы и I/ }
18- §.
а3	1
18.1. 0. 18.2. 0. 18.3. За4. 18.4. — . 18.5. 4 ла3. 18.6. 0. 18.7. —.
1	2
18.8. 16 п. 18.9. 3 ла2 Н. 18.10. 4 лаЬс. 18.11. А = — лабе2, J2 = Т ла3Ьс.
4	5
1	4	64 /2	4 л
18.12. — лс(б2 —а2). 18.13. 0. 18.14. —. 18.15. -------— л. 18.16. —Я3. 18.17.
2	15	3	'3
27	5
nbR2. 18.18. —л. 18.19. ——а3. 18.20.512л. 18.21. 3. 18.22. —2л. 1823.
2	3
13	3	л
а) 0; б) пЛ3. 18.24. 0. 18.25. а) — л, б) — л. 18.26. л. 18.27. —.
6	2	э
19-§.
19.1. 0. 19.2. 0. 19.3. За4. 19.4. — а3. 19.5. 4ла3. 19.6. 0. 19.7. -.
2	8
19.8. 16л. 19.9. Зла2//. 19.10. 4nabc. 19.11. -|-а4. 19.12. 18(л —4). 19.13.
8
3000 я. 19.14. 2 nah (3 а2— 4 б2). 19.15. абс2. 19.16. 0. 19.17. 8. 19.18.
— (Зл —4). 19.19. а) —; б) —. 19.20. — R3. 19.21. 0. 19.22. —. 19.23.
16	6	3	2	3
—. 19.24. — — я /2" а2. 19.25. —2 ла (а+ 5). 19.26. —-| а3. 19.27.
3	2	2
|	__ д; D3
— я/?2 cos2 а. 19.28. —4. 19.29. — я Я3/2. 19.30. — —. 19.31.—а3. 19.32.
л	R2
— — а4. 19.33. — —(8R 4-3 л). 19.34. — л. 19.35. —4 л. 19.36. 2 ла2. 19.37.
8	12
.—	2л /3	2 л	г- / а2 \
3/2. 19.38. а) — л/3 ; б) — —— ; в) ——19.39. — я/3 1 — — .
*	3	Зу 3	\	3 /
19.40.	— я.
260
АДАБИЁТ
1.	Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления», том 3,Издательство «Наука»; Москва, 1966.
2.	Азларов Т., Мансуров К- Математик анализ, 2-цисм, Тошкент,
«У^итувчи», 1989.
3.	Ильин В. А. , Позняк Э. Г.«Аналитическая геометрия», Издательство
«Наука», Москва, 1968.
4.	Александров П. С. «Лекции по аналитической геометрии», Издательство
«Наука», Москва, 1968.
5.	Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа», том 2, Издательство
«Высшая школа», Москва. 1981.
~ 6. Будак Б. М., Фомин С. В. «Кратнные интегралы и ряды». Издательство
«Наука», Москва, 1965.
7.	Ильин В. А. П о з н я к Э. Г. «Основы математического анализа», II цисм.
М.: Наука, 1980.
8.	Д е м и д о в и ч Б. П. «Сборник задач и упражнений по математическому
анализу», М.: «Наука», 8-издание, 1972.
9.	Гюнтер Н. М. Кузьмин Р. О. «Сборник задач по высшей математике»,
II том, 14-издание, ОГИЗ, Москва, 1969.
10.	Берман Г. Н. «Сборник задач по курсу математического анализа», М,:
Наука, 1975.
11.	Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К-И. «Графики функций»,
Справочник. Киев, «Наукова думка», 1981.
12.	Никольский. С. М. Курс математического анализа, II том, М" Наука,
1975.
13.	Л. Д. К у Д р я в цгв, А. Д. К у т а со в, В. И. Ч е х л о в, М. И. Ш а б у-
н и н. «Сборник задач по математическому анализу. Интегралы, ряды». М.:
Наука, 1986.
261
МУНДАРИЖА
СУЗ БОШИ..........................................................
I боб. ИККИ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
1	- §. Икки каррали интегралларни таъриф буйича хисоблаш......
2-	§. Декарт координаталар системасида икки каррали интегрални так-
рорий интегралга келтириш . ... ..............................
3-	§. Дут б координаталар системасида икки каррали интегрални такро-
рий интегралга келтириш ......................................
4-	§. Икки каррали интегралларни .уисоблашга дойр мисоллар ....
5-	§. Икки каррали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш . . .
6-	§. Икки каррали интеграллар ёрдамида ^ажм ва сил лир; сирт юза-
ларини хисоблаш ..............................................
7-	§. Икки каррали интеграллар ёрдамида механикага оид масалаларни
ечиш..........................................................
II боб. УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
8-	§. Уч каррали интегрални таъриф буйича ^исоблаш . ........
9-	§. Уч каррали интегрални такрорий интегралга келтириш.....
10-	§. Уч каррали интеграллар ёрдамида ^ажмларни хисоблаш . . . .
11-	§. Уч каррали интеграллар ёрдамида механикага оид масалаларни
ечиш..........................................................
III боб. ЭГРИ ЧИЗИДЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
12- §. I тур эгри чизикли интеграллар.........................
13- I тур эгри чиаидли интегрални хисоблашга дойр мисоллар . . .
I тур эгри чизикли интеграллар ёрдамида механикага оид масала-
ларни ечиш .............................................
14-§. Иккинчи тур эгри чизикли интеграллар...................
15- §. Иккинчи тур эгри чизикли интегралларни ^исоблашга дойр ми-
соллар ......................................................
16-§. Грин формулзси. Юзала рни ^исоблаш.....................
IV боб. СИРТ ИНТЕГРАЛЛАРИ
17-	§. Биринчи тур сирт интеграллари.........................
18-	Иккинчи тур сирт интеграллари............................
V боб. СТОКС ВА ОСТРОГРАДСКИЙ ФОРМУЛАЛАРИ
19-	§. Стокс ва Остроградский формулаларини ^улланишга дойр мисол-
лар .........................................................
УКавоблар ..............................'•...................
Адабиёт......................................................
Х-РШ о КИРОВА
III- fL
КАРРАЛИ ВА
ЭГРИ ЧИЗИКЛИ
ИНТЕГРАЛЛАР