Газодинамические подшипники - Дроздович В.Н.

Автор: Дроздович В.Н.
Теги: детали машин передачи (механические) подъемно-транспортное оборудование крепежные средства смазка инженерия механика газодинамика издательство машиностроение
Год: 1976
Похожие
Подшипники скольжения
Подшипники качения
Подшипники качения: Справочник-каталог
Торцовые уплотнения вращающихся валов
Текст
                    В. Н. ДРОЗДОВИЧ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПОДШИПНИКИ
ЛЕНИНГРАД
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1976
УДК 621.822.57
Научные редакторы кандидаты техн, наук В. В. ИВАНОВА, П. А. ИЛЬИН
и д-р техн, наук А. А. ЛОХМАТОВ.
Рецензент засл. деят. науки д-р техн, наук Н. В. БУТЕНИН
Дроздович В. Н. Газодинамические подшип-
ники. Л., «Машиностроение» (Ленингр. отд-ние),
1976.
208 с.
В книге рассмотрены особенности процесса газовой смазки,
приведена классификация опор с газовой смазкой, указаны
перспективы использования и приведены примеры применения
газодинамических подшипников в приборах и машинах. Даны
теоретические основы расчета и проектирования газодинами-
ческих подшипников приборов и быстроходных машин малой
мощности. Предлагаемый в книге метод расчета учитывает
динамические свойства как смазочной пленки, так и машины
в целом.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников,
занимающихся проектированием и исследованием газодина-
мических подшипников.
Табл. 4, ил. 48, список лит. 79 назв.
31305 - 038
Д 038(01) —76 38	76
© Издательство «Машиностроение», 1976 г.
ОТ РЕДАКТОРОВ
Надежность работы машин и различных механических систем
в большой степени обусловлена их динамической устойчивостью,
исследование которой применительно к системам с газовыми под-
шипниками явилось предметом настоящей монографии В. Н. Дро-
здовича, изданной посмертно.
Чтобы правильно понять значение основных идей, методов и
результатов, изложенных в этой книге, следует прежде всего
напомнить о специфике анализа устойчивости систем с газовыми
подшипниками, которая связана с тем, что уравнения газовой
смазки существенно нестационарны, нелинейны и, строго говоря,
неотделимы от уравнений динамики системы. Однако наиболее
корректный подход к анализу устойчивости, основанный на совме-
стном интегрировании уравнений газовой смазки и уравнений ди-
намики машины, оказывается сложным и требует чрезмерных
затрат времени на ЭВМ. Поэтому усилия исследователей в течение
последнего десятилетия были направлены на разработку более
простых приближенных методов анализа устойчивости, достаточно
надежных (по крайней мере, не опирающихся на квазистационар-
ные теоретические модели газовых опор) и позволяющих в то же
время рассматривать интегрирование уравнений газовой смазки
и определение динамических реакций газовых опор как автоном-
ную задачу, решение которой дает исходные данные к следующему
этапу анализа —исследованию уравнений динамики. В числе
методов, основанных на таком подходе к анализу устойчивости
систем с газовыми подшипниками, метод, развитый В. Н. Дроздо-
вичем, представляется в некоторых отношениях наиболее удач-
ным; его достоинства —минимальная трудоемкость, возможность
технической реализации с помощью простых вычислительных
средств, которыми располагает любое заводское конструкторское
бюро, даже при исследовании сложных механических систем.
В то же время анализ, связанный с построением метода и обосно-
ванием различных его сторон, выполнен автором на самом совре-
менном теоретическом уровне.
Автор сумел не только преодолеть серьезные трудности, с ко-
торыми приходится сталкиваться при интегрировании трехмер-
ного нестационарного уравнения газовой смазки, особенно в слу-
чае профилированного подшипника (даже численное интегрирова-
ние такого уравнения с применением ЭВМ оказывается далеко не
простой задачей), но и представить его решение в обозримой
1*	3
аналитической форме, которая, в частности, охватывает такую раз-
новидность газовых опор, особенно трудно поддающуюся анализу,
как подшипники со спиральными (винтовыми) канавками. Это
открывает возможность для разработки более совершенных при-
кладных методов их расчета, не опирающихся на широко извест-
ную, но довольно грубую «теорию узких канавок» и различные
ее модификации.
Исследование устойчивости автор производит на основе лине-
аризованных уравнений динамики. Этот традиционный подход
вполне надежен в определении границ устойчивости по отноше-
нию к малым случайным возмущениям состояния равновесия ис-
следуемой системы (разумеется, при условии, что динамические
реакции системы найдены с достаточной точностью), хотя линеари-
зация уравнений динамики может исказить картину поведения
системы на границе устойчивости.
Важное достоинство метода В. Н. Дроздовича состоит в том,
что его можно эффективно применять к анализу устойчивости ме-
ханических систем с большим числом степеней свободы. Для
сравнения следует отметить, что к таким системам в какой-то
степени приспособлен и метод ступенчатого воздействия (см. п. 3),
однако специфические приёмы этого метода относятся не столько
к непосредственному исследованию устойчивости, сколько к опре-
делению матрицы динамических реакций газовых подшипников
на скачкообразные изменения положения равновесия в различ-
ных степенях свободы; кстати определение этой матрицы пред-
полагает использование достаточно мощных вычислительных ма-
шин. Основная же идея В. Н. Дроздовича состоит в подходе к ана-
лизу устойчивости сложных систем с газовыми подшипниками
как к синтезу результатов исследования устойчивости отдельных
сравнительно простых подсистем. Обоснованием такого подхода
является теорема, доказанная в гл. II, согласно которой устой-
чивость системы в целом обеспечивается при достаточно большом
запасе устойчивости каждой подсистемы и слабых перекрестных
связях между подсистемами. Устойчивость же изолированных
подсистем (например, подсистем поступательных и угловых коле-
баний ротора) может быть исследована сравнительно простыми
средствами, если найдены динамические реакции подшипников.
В качестве таких средств автор использует специфические приемы
теории автоматического регулирования, которая является той
областью, где техника реализации классических методов исследо-
вания устойчивости достигла особенно высокого уровня разви-
тия; именно В. Н. Дроздович был первым, кто эффективно при-
менил подобные приемы к задачам газовой смазки.
Следует заметить, что при исследовании устойчивости доста-
точно простых систем с газовыми подшипниками методы теории
автоматического регулирования, по-видимому, не имеют решаю-
щих преимуществ по сравнению с другими методами, например
методом гармонического баланса, разновидностями которого яв-
4
ляются методы Марша и Пэна. В п. 28 автор обращает внимание
на качественное отличие своих результатов по расчету границ
устойчивости профилированного радиального подшипника от соот-
ветствующих результатов, полученных с помощью метода Пэна
(рис. 30); однако вероятной причиной такого расхождения яв-
ляется то, что в последнем случае была использована более гру-
бая теоретическая модель для расчета реакций смазочного слоя,
а не какие-то принципиальные недостатки самого метода Пэна.
Как показал сам автор в гл. V, метод частотного годографа, заим-
ствованный из теории автоматического регулирования, и метод
гармонического баланса приводят к одной и той же форме условия
устойчивости радиального подшипника, содержащей так назы-
ваемую вихревую жесткость; с максимизацией этой величины
связаны рассмотренные в гл. VI практические приемы проектиро-
вания газовых опор, обладающих наибольшим запасом устойчи-
вости.
Весьма интересны результаты сравнительного анализа различ-
ных способов стабилизации радиальных газовых подшипников.
Хотя радиальная нагрузка сама по себе является стабилизирую-
щим фактором, однако способ стабилизации нагружением оказы-
вается наименее эффективным, как показано в гл. VI. Большим
запасом устойчивости обладает двухвтулочный подшипник, в ко-
тором ненагруженный вал расположен эксцентрично за счет от-
тока газа из смазочного слоя через отверстие в стенке втулки;
внутреннюю втулку в этом случае можно рассматривать как ста-
кан с податливым креплением, которое согласно анализу гл. V
само по себе повышает запас устойчивости. Однако наиболее эф-
фективным способом стабилизации оказывается профилирование
смазываемой поверхности втулки или вала со спиральными ка-
навками; другие искусственные профили (например, многолепест-
ковые или эллиптические) гораздо менее эффективны. Радиально-
упорные подшипники более устойчивы по отношению к угловым
возмущениям, чем радиальные (п. 27).
Коллектив сотрудников, готовивших эту книгу к печати, на-
деется, что она принесет ощутимую пользу как'инженерам и кон-
структорам, непосредственно занимающимся расчетом и проекти-
рованием машин и приборов с газодинамическими опорами, так
и лицам, которые занимаются или собираются заняться теорети-
ческими исследованиями в области газовой смазки, и что плодо-
творные идеи и методы, выдвинутые безвременно умершим авто-
ром этой книги В. Н. Дроздовичем, получат дальнейшее развитие
в трудах его последователей.
В статье С. В. Пинегина, С. В. Серенсена, И. В. Крагельского,
Н. Н. Краснощекова «Научно-техническая революция и перспек-
тивы машиноведения», опубликованной в журнале «Машиноведе-
ние» № 2, М., «Наука», 1976, отмечается интенсивное развитие
научных исследований и расширение области практического при-
менения опор скольжения с газовой смазкой.
5
В ближайшие годы в первую очередь будут совершенствоваться
конструкции гироскопов на газовых опорах и приборов на газо-
вой смазке. Будут развиваться пневмо- и электрошпиндели на
воздушных опорах, направляющие станков на воздушной подушке
и т. д. Большой объем экспериментальных научных исследований
должен быть выполнен в процессе создания опор на газовой смазке
для турбин, компрессоров и других машин. Внедрению опор с га-
зовой смазкой будут способствовать новые способы получения
покрытий поверхностей (электрохимическим осаждением, катод-
ным распылением и т. п.), новые антифрикционные материалы и
передовые способы технологии обработки деталей, запланирован-
ные в десятой пятилетке.
Издание книги было поддержано рядом известных ученых:
акад. А. Ю. Ишлинским, засл. деят. науки и техники проф.
д-ром техн, наук С. В. Пинегиным и проф. д-ром физ.-мат. наук
Л. Г. Лойцянским, проф. д-ром техн, наук С. Ф. Фармаков-
ским, проф. д-ром техн, наук С. А. Шейнбергом, проф. д-ром
физ.-мат. наук Л. Г. Степанянцем, проф. д-ром техн, наук
Г. А. Завьяловым, проф. д-ром техн, наук Г. А. Поспеловым.
Предельная требовательность В. Н. Дроздовича к своей ра-
боте была причиной того, что публикации его трудов весьма кратки.
Преждевременная смерть помешала ему закончить рукопись дан-
ной книги. В книге в основном сохранены текст, стиль и обозна-
чения В. Н. Дроздовича, за исключением того, что отмечено в пре-
дисловии.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Внедрение опор с газовой смазкой позволяет создавать новые
типы высокоскоростных машин и приборов, отвечающих повышен-
ным требованиям, предъявляемым к их точности, надежности и
долговечности.
За последние 10—15 лет опоры с газовой смазкой получили
распространение во многих областях техники, и к настоящему
времени накоплен значительный опыт их практического исполь-
зования в самых разнообразных машинах и приборах.
Основной целью книги является детальная разработка про-
блемы устойчивости механических систем с типовыми разновид-
ностями газодинамических опор.
Автор книги — известный специалист в области устойчивости
опор с газовой смазкой не успел завершить работу над книгой. Это
издание является посмертным. Подготовку рукописи к изданию
по просьбе кафедры «Бортовых приборов управления» Ленин-
градского института точной механики и оптики, где работал
канд. техн, наук В. Н. Дроздович, взяли на себя канд. техн, наук
П. А. Ильин и канд. техн, наук В. В. Иванова. В этой работе над
рукописью им оказали помощь канд. физ.-мат. наук И. Е. Сипен-
ков и канд. техн, наук С. Г. Дадаев.
В книге новые параграфы написаны: п. 1 —канд. техн, наук
В. В. Ивановой и д-ром техн, наук А. А. Лохматовым, п. 3,36 —
канд. техн, наук В. В. Ивановой и канд. физ.-мат. наук И. Е. Си-
пенковым, п. 2, 9, 11 —канд. физ.-мат. наук И. Е. Сипенковым,
п. 35 —канд. техн, наук В. В. Ивановой и инж. И. Г. Проскуря-
ковым, п. 7 дополнен критерием устойчивости, выведенным
С. Г. Дадаевым, гл. III отредактирована канд. физ.-мат. наук
И. Е. Сипенковым.
Замечания и предложения по книге просим присылать по
адресу: 191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10, изда-
тельство «Машиностроение».
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а —коэффициент вихревой жесткости одной
втулки;
D —диаметр радиального подшипника;
Е —половина глубины канавки;
е —эксцентриситет шипа и подшипника;
F — главный вектор сил реакции подшипника;
Еъ — главный вектор внешних сил;
Fr = Fx + iFy — комплексный вектор сил смазочного слоя;
Flt = Pxt + ^Yt — комплексный вектор сил вязкого трения;
G(p, i); G(s, i) —передаточные функции подшипника, рас-
сматриваемого как звено системы управле-
ния, где i = У —1; р, s —переменные пре-
образования по Лапласу;
h —толщина смазочного слоя;
Н —безразмерная толщина смазочного слоя;
Ж —комплексная функция толщины смазочного
слоя;
/о; Z—осевой и экваториальный момент инерции
ротора соответственно;
Ж — комплексная функция, действительная
часть которой представляет распределение
давления в смазочном слое;
К. —кинетический момент ротора;
Кп — число Кнудсена;
L —длина подшипника;
L± —длина профилированной зоны подшип-
ника;
S — главный момент сил смазочного слоя от-
носительно оси ротора;
— главный момент внешних сил относительно
оси ротора;
St — главный момент сил трения относительно
оси ротора;
М —масса ротора;
Л1ст —масса статора;
М —безразмерная масса ротора;
8
Мк —безразмерная критическая масса ротора;
е# —критерий устойчивости;
п —число канавок;
р —давление в смазочном слое;
ра —наружное давление на периферии смазоч-
ного слоя;
Р —относительное давление в смазочном слое;
R —радиус шипа;
—радиус подшипника;
Re — число Рейнольдса;
г —радиальная координата;
г,. 0, ф —сферические координаты;
5 —число Струхала;
t — время;
U —характерная скорость газа;
и —функция, определяющая форму искусствен-
ного профиля;
V —линейная скорость поверхности шипа;
v — скорость газа в смазочном слое подшипника;
W — функция, определяющая структуру решения
линеаризованного уравнения Рейнольдса
в изображениях по Лапласу;
X, У, Z —оси декартовой системы координат, в кото-
рой определяются силы и моменты, дей-
ствующие на ротор или статор;
Х°, У0, Z0 — орты координатных осей X, У, Z;
У —статическое решение краевой задачи для
центрального положения шипа с учетом
канавок;
у —радиальная координата, отсчитываемая от
поверхности шипа;
а — угол ориентации микроканавок на поверх-
ности подшипника;
а, р — углы, определяющие ориентацию собствен-
ного вращения ротора;
у — коэффициент жесткости крепления статора;
6 —средний зазор подшипника;
8 —относительный эксцентриситет ротора;
—относительная осевая координата;
£н —коэффициент нагрузки;
т] —относительный параметр профиля подшип-
ника;
0 — полярный угол;
X —относительная длина подшипника;
р, —динамический коэффициент вязкости газа;
т), £ —система координат Резаля;
9
р — плотность газа;
о —отношение D/L;
т —безразмерное время;
т —тангенциальное напряжение в смазочном
слое;
ср —меридианальный угол;
ф —угол нагрузки;
%, А —параметры сжимаемости;
Т —безразмерная зависимая переменная, рав-
ная РН\
Q — угловая скорость собственного вращения
ротора;
со — мгновенная абсолютная угловая скорость
ротора;
со! —экваториальная составляющая угловой
скорости, обусловленная угловыми колеба-
ниями оси ротора относительно подшипника;
А^Ке{Л};
В-1ш{#!};
<7о =	1—«х-
ГЛАВА I
СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ
И ПРАКТИКИ ПРИМЕНЕНИЯ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ
1. Типы газодинамических подшипников
и их применение в современной технике
Газовыми подшипниками называются подшипники скольжения
с газовой смазкой. Газы, подобно другим видам смазок, обладают
некоторыми только им присущими достоинствами и недостатками,
которые вытекают из основных различий в свойствах газов и жид-
костей.
1.	Газы имеют малую вязкость, например при 15—20° С дина-
мическая вязкость воздуха примерно в 4 тыс. раз меньше вяз-
кости машинного масла и в 60—100 раз меньше вязкости воды и
керосина. С повышением температуры вязкость жидкостей резко
падает, а вязкость газов несколько увеличивается, например
динамическая вязкость машинного масла при атмосферном давле-
нии с увеличением температуры от 20 до 80° С уменьшается в 14 раз,
в то время как для воздуха при тех же условиях она увеличивается
в 1,16 раза. Вязкость газов в пределах диапазона давлений работы
подшипников не зависит от давления.
2.	Газы химически стабильны в значительно более широком
интервале температур, чем жидкости.
3.	Газ —сжимаемая среда, поэтому при движении в зазоре
подшипника его плотность существенно зависит от изменения дав-
ления, скорости и проходного сечения.
4.	Газ —некавитирующая среда. В отличие от жидкостной
смазки при смазке газами отсутствуют разрывы в смазочной
пленке.
Наиболее важным преимуществом газовой смазки в противо-
положность тем, которые проявляются лишь в определенных об-
стоятельствах, является использование малой вязкости газов по
сравнению с вязкостью жидкостей. Малая вязкость газов позво-
ляет осуществить высокие скорости вращения при незначитель-
ных потерях на трение, а следовательно, и малом повышении тем-
пературы смазки и опор. Следствием малых потерь на трение яв-
ляется возможность получения малого износа и большой долго-
11
вечности работы таких опор, повышенной экономичности и точ-
ности машины или прибора при их применении.
Примеры применения высокоскоростных подшипников можно
привести из различных областей техники: в станкостроении —
во внутришлифовальных головках для обработки отверстий ма-
лых диаметров [57], что позволяет повысить производительность
и улучшить качество шлифования; в приборостроении — в гиро-
скопических и других приборах [46, т. 91, № 1], что повышает
надежность, долговечность и точность прибора; в компрессоро-
строении в центробежных нагнетателях [34; 57; 18], где при
сравнительно небольших весах роторов и высокой их уравнове-
шенности можно при применении таких подшипников значительно
увеличить число оборотов ротора, а следовательно, получить
большую производительность' и более высокий к. п. д. компрес-
сора.
Примерами применения газовой смазки в устройствах стати-
ческого типа, где необходимо иметь малые собственные моменты
трения, являются динамометры, аэродинамические весы, подвесы.
Газовая смазка исключает проблемы, связанные с граничной
смазкой, так что вопрос приработки в таком смысле, как он стоит
при жидкостной смазке и в подшипниках качения, не имеет места
в подшипниках с газовой смазкой.
Высокая термическая стабильность свойств газа позволяет ис-
пользовать подшипники с газовой смазкой в турбостроении и крио-
генной технике [34; 46, т. 90, № 4]. В турбодетандерах в качестве
смазки можно использовать газы при температурах, близких
к точке превращения газа в жидкость, например в [41 ] приводится
малогабаритный высокоскоростной (п = 350 000 об/мин) турбо-
детандер, разработанный Британской кислородной компанией
для сжижения гелия. В нем применены подшипники с гелиевой
смазкой, которые работают в интервале температур 50—13 К.
При высоких температурах качественные характеристики опор
с газовой смазкой определяются в основном прочностью узлов и
деталей машин, а не смазкой.
Стабильность физико-химических свойств газа в условиях ра-
диации вызывает применение газовой смазки в атомной энерге-
тике, химической промышленности и других специальных обла-
стях техники [40].
Кроме достоинств подшипников с газовой смазкой, связанных
с перечисленными свойствами газов, их применение может обес-
печить дополнительные преимущества по отношению к подшип-
никам с жидкостной смазкой: герметичность системы, снижение
загрязнения, устранение необходимости уплотнений валов, устра-
нение громоздкого оборудования для хранения, подогрева и охла-
ждения, нагнетания и откачки жидкостных смазок, упрощение
и удешевление конструкции подшипника, снижение вибрации и
шума. Если учесть, что при этом сокращаются габариты и вес
всего механизма, упрощается эксплуатация, обеспечивается кон-
12
диционность среды, то понятен тот интерес, который проявляется
в последние годы к их применению в целом ряде случаев. Под-
шипники с газовой смазкой приобретают важное значение и там,
где необходимо предотвратить загрязнение окружающей подшип-
ник среды продуктами испарения обычных смазок или самой
смазкой. Это имеет место в замкнутых системах, где производятся
операции с газами высокой чистоты, в атомных реакторах,
в ряде механизмов и машин текстильной и пищевой промышлен-
ности 141].
В принципе смазкой может служить любой газ или смеси газов.
Они мало различаются по тем свойствам, которые важны для под-
шипников, но воздушная смазка более практична и экономична,
поэтому, за исключением частных случаев, в качестве смазки ис-
пользуется воздух.
Одновременно с преимуществами газовой смазки, в основном
определяемыми первыми двумя из перечисленных свойств газа,
малая вязкость газа приводит к понижению несущей способности
газовых подшипников по сравнению с жидкостными. Повысить
несущую способность подшипников можно различными способами:
нагнетанием газа, уменьшением зазоров между рабочими поверх-
ностями опор, увеличением эксцентриситета (смещения оси вала).
Анализ этих факторов приведен в работах [25; 57].
По принципу создания несущей способности подшипники с га-
зовой смазкой можно разделить на два типа: статический — с внеш-
ним нагнетанием давления (так называемые газостатические под-
шипники) и динамический —с внутренним нагнетанием давления
(так называемые газодинамические подшипники). В последних
поддерживающая сила возникает вследствие газодинамических
процессов, происходящих во время работы в газовом зазоре, та-
кие подшипники можно назвать самоподдерживающимися. Этот
эффект может иметь место и в газостатических опорах. Если он
в них играет заметную роль, то подшипники называют гибридными.
Самоподдерживающиеся подшипники можно разделить на две
разновидности: с продольным и поперечным перемещением по-
верхностей газового слоя; последние получили название вибро-
несущих [40; 41 ].
Каждый тип подшипников имеет множество различных кон-
структивных решений. Выбор типа подшипника определяется
предъявляемыми к нему требованиями.
Газостатические подшипники применяются как в скоростных,
так и в тихоходных машинах. Они допускают реверс и обладают
большей несущей способностью, чем газодинамические опоры,
требуют меньшей точности изготовления, выдерживают постоян-
ные и пульсирующие нагрузки. Главным их недостатком, огра-
ничивающим область применения, является необходимость уста-
новки насоса. На рис. 1 показаны схемы таких подшипников:
а — цилиндрический радиальный, б — плоский упорный, в —
сферический радиально-упорный.
13
Разработка в ЭВМ лентопротяжных механизмов и устройств
для магнитной записи на ленте с гибкой основой стимулировала
появление и исследование ленточных газовых опор с внешним и
внутренним нагнетанием давления [40]. На рис. 2 дано схемати-
ческое изображение ленточного подшипника: 1, 2У 3 — ленточные
секторы; 0 — положение центра шипа при отсутствии вращения и
нулевой нагрузке. Эти подшипники интересны возможностью ис-
/Рн
а)
]-----------
1^7
Рис. 1
пользования их в качестве опор турбомашин [46, т. 92, № 4].
Появившиеся вибронесущие подшипники [46, т. 91, № 1 ] находят
применение в аксельрометрах и реверсивных машинах малой мощ-
ности. Высокочастотные колебания с незначительной амплитудой
по направлению к нормали их несущей поверхности позволяют
выдерживать малые нагрузки в опо-
рах такого назначения.
В последнее время в приборах
точной механики находят применение
смешанные опоры, например магни-
тогазодинамические [40 ].
В данной работе рассматриваются
самоподдерживающиеся подшипники
с продольным перемещением поверх-
ностей газового слоя (за исключе-
нием ленточных). Их обычно и назы-
вают газодинамическими подшипни-
ками.
Г азодинамические	подшипники
нашли применение в машинах, гиро-
Рис. 2
скопах и других приборах как скоростные подшипники, ко-
торые могут работать как самоподдерживающиеся при опре-
деленной скорости вращения. Они применяются для восприятия
сравнительно небольших нагрузок (несколько десятых килограмма
на квадратный сантиметр).
Малое демпфирование газовой смазки, кроме преимуществ,
имеет существенный недостаток — создает повышенную склон-
ность к колебаниям вала в подшипниках. Для устранения этих
колебаний необходимо применять специальные меры. При рас-
14
смотрении колебательных явлений нужно принципиально разли-
чать их природу в газостатических и газодинамических подшип-
никах. Наиболее часто колебания в газодинамических подшипни-
ках возникают при скоростях вращения, равных половине ка-
кой-то критической скорости. Это явление называется «полу-
скоростным вихрем» [41; 57]. При возникновении полускорост-
ного вихря подшипники почти полностью теряют несущую спо-
собность и разрушаются.
Рис. 3
По конструктивному выполнению газодинамические опоры
условно проклассифицируем следующим образом:
1)	по геометрическим признакам: цилиндрические, плоские,
конические, сферические, полусферические (они определяют вид
подшипника по воспринимаемой нагрузке: радиальный, радиально-
упорный, осевой);
Рис. 4
2)	по характеру выполнения несущих поверхностей: цельные
и разрезные (сегментные), гладкие и с рельефом, одноцентровые
и многоцентровые;
3)	по характеру крепления опор в корпусе: с жестким и с эла-
стичным креплением, с креплением типа кардана и др.;
4)	по количеству и виду опор; одноопорные (катушечные, ша-
ровые, полусферические и др.), многоопорные (двухопорные и др.).
Выбор вида зависит от конструктивных особенностей статора
и ротора, условий компоновки и т. д.
На рис. 3—6 приведены различные типы газодинамических
подшипников. На рис. 3 изображены подшипники с обращенной
схемой [46, т. 91, № 4], применяемые для подвеса осей собствен-
ного вращения гироскопа: а — конусный; б —катушечный, пред-
15
ставляющий компоновку цилиндрического радиального подшип-
ника с плоским упорным; в—сферический; г — полусферический,
где 1 — ось; 2 — вращающаяся часть. На рис. 4 показаны диски
упорных подшипников с канавками; а — спиральными; б — ра-
диальными с карманами. На рцс. 5 приведены схемы подшипни-
ков: а — секторного с полусферическим шарниром; 'б — сектор-
ного с резиновой мембраной; в — многоцентрового; г — двухле-
песткового. На рис. 6 дана конструктивная схема эластичного
крепления подшипника [41 ], где 1 — втулка подшипника; 2 —
резиновые кольца; 3 — корпус прибора. Между корпусом и втул-
кой в камеру с кольцами подается
под давлением масло. Вибрация вала в
этом случае передается через газовую
пленку корпусу подшипника и часть
ее энергии рассеивается демпфирующи-
ми кольцами.
Конструктивные особенности газо-
динамических подшипников, требования
к технологии их изготовленйя, выбору
материалов вызваны особенностями их
работы: получением несущей способ-
ности и устойчивости, режимами сухого
трения в период пуска и остановки.
Несущая способность газодинамических подшипников возра-
стает с увеличением скорости скольжения и площади несущих по-
верхностей и резко уменьшается с увеличением радиального за-
зора, т. е. для получения большей несущей способности нужно
делать развитые несущие поверхности и очень малые зазоры.
Эти же требования согласуются с требованиями устойчивости,
хотя для этой цели их может быть недостаточно. На рис. 7 показан
высокооборотный трехфазный электродвигатель на газодинамиче-
ских подшипниках с жестким креплением. Компоновка двигателя
позволяет получить большие рабочие поверхности опор. Зазоры
в опорах 10—20 мкм [69].
При изготовлении газодинамических опор необходим жесткий
контроль точности их геометрии. Например, в работе Денхарда
и Пэна [46, т. 90, № 4] приводятся следующие данные: при кон-
троле глубины канавок, диаметров сфер и полусфер или диаметров
16
цилиндрических элементов катушечных подшипников точность
замеров была около 0,25 мкм. Неперпендикулярность в катушеч-
ных подшипниках контролировалась с точностью нескольких
микрон на метр, зазоры — с такой же точностью. Величина за-
зоров была от 0,75 до 5 мкм в зависимости от конструкции, глу-
бина канавки — примерно от 0,75 до 4 мкм. Полусферический,
а также сферический подшипники по сравнению с подшипниками
катушечного типа не ставят таких жестких требований к перпен-
дикулярности упорных поверхностей. В конусных подшипниках
требования к соосности по точности близки к требованиям по пер-
пендикулярности катушечных подшипников, однако для сфериче-
Рис. 6
ских и полусферических подшипников не-
обходим контроль поверхностей с двойной
кривизной, чтобы обеспечить точность гео-
Рис. 7
метрии, в то время как цилиндр и упорная плоскость катушеч-
ного подшипника контролируются обычными в машиностроении
приборами. В связи с развитием подшипников всех этих типов
выбор одного или другого варианта должен быть сделан с учетом
не только требований к ним, но и имеющихся возможностей в тех-
нологии изготовления и контроля.
Задача реализации в газодинамических опорах сверхмалых
рабочих зазоров и наличие в них сухого трения в момент пуска
и остановки требует выбора соответствующего материала для их
изготовления. В ряде работ, например Рои [46, т. 90, № 4 ], рас-
сматриваются результаты применения различных материалов и
покрытий. В работе Рои получены хорошие результаты при при-
менении керамических материалов и монокриста л ического сап-
фира, покрытых тонкой (0,05 мкм) золотой пленкой. В работе
Денхарда и Пэна [46, т. 90, № 4 ] обращается внимание на труд-
ности, которые возникают при сочетании некоторых высокотвер-
дых материалов с другими конструкционными материалами при-
бора и при выборе материала покрытия.
В настоящее время накоплен опыт по выбору материалов под-
шипников с газовой смазкой [37], хотя можно предполагать по-
явление новых материалов. Помимо улучшения качества мате-
риала могут быть применены другие способы для^уменьшения
2 В. Н. Дроздович	17
износа и сокращения времени работы механизма в режиме сухого
трения при пуске и остановке. Так, например, в опытах А. А. Ло-
хматова [34] в нагнетателе при запуске ротора всплытие его в га-
зодинамических подшипниках происходило при нормальной ско-
рости пуска за один оборот, в течение которого он находился в ре-
жиме сухого трения. При увеличении ускорения запуска ротора
это время сокращалось до 1/8 оборота (всплытие вала фиксиро-
валось на осцилограмме). Для полного устранения сухого трения
применяют подачу воздуха при пуске.
Остановимся на некоторых примерах применения газодинами-
ческих подшипников.
Рис. 8
Экономические преимущества применения газодинамических
подшипников можно продемонстрировать путем сравнения работы
высокооборотных вентиляторов, центробежных электронагнета-
телей и других подобных механизмов малой мощности на опорах
с газовой и негазовой смазкой. Несмотря на современные дости-
жения аэродинамических качеств проточной части этих машин,
громадное число их, выпускаемых мировой промышленностью
без применения газовой смазки, имеет коэффициент полезного
действия не выше 35—40%. Причина этого заключается в относи-
тельно большой доле энергии, расходуемой на преодоление сопро-
тивления в опорах с масляной смазкой. На рис. 8 показана кон-
структивная схема центробежного нагнетателя с подшипниками
на газовой смазке [4]. В качестве опорных подшипников здесь
применены гладкие цилиндрические подшипники, а в качестве
упорных — подшипники со спиральными канавками. Для само-
установки опор применены кардановые подвесы, обеспечивающие
простоту сборки механизма и его работоспособность при неизбеж-
ных силовых и температурных деформациях корпуса механизма,
18
совершенно упразднены уплотнительные устройства, поскольку
в качестве смазки используется перекачиваемая газовая среда.
Перевод опор нагнетателя с подшипников качения на газодинами-
ческие подшипники увеличил его к. п. д. с 38 до 68%. Помимо
существенного улучшения экономичности, значительно повыси-
лась надежность его работы. Находясь в тяжелых условиях
эксплуатации, нагнетатель с такими опорами безупречно нарабо-
тал свыше 5000 ч и имел до 1000 пусков, при этом износ подшип-
ников еще не достиг предела, ограничивающего их работоспособ-
ность.
Из работ, опубликованных французской фирмой «Рато», из-
вестно, что ею, начиная с 1959 г., производится серийный выпуск
малорасходных центробежных нагнетателей с подшипниками на
газовой смазке, предназначенных для перекачки различных газов
при температуре до 600° С. Выпуск центробежных малорасходных
компрессоров с опорами, смазываемыми газом, рядом фирм США
по данным на 1969 г., превысил 10 тыс. шт.
Весьма перспективным оказалось применение газодинамиче-
ских подшипников в различных приборах и оборудовании систем
навигации. Здесь прежде всего они получают признание в качестве
опор гироблоков. Опыт использования гироскопов с газовой смаз-
кой подшипников показал, что срок их службы увеличивается во
много раз. Отдельные гиромоторы имеют наработку свыше
32 тыс. ч. Помимо резкого снижения стоимости при серийном
изготовлении (что объясняется уменьшением числа деталей), ока-
залось возможным значительное повышение надежности и, самое
главное, точности работы систем [41 ].
В сравнении с опорами качения подшипники с газовой смаз-
кой отличаются резко сниженным уровнем вибраций. Уровень
вибраций в шарикоподшипниках с течением времени меняется,
что приводит к нарушению стабильности прибора. Причиной тому
является изменение форм несущих поверхностей колец и тел ка-
чения вследствие износа. По мере износа подшипников меняется
распределение масс и величина натяга, что приводит к наруше-
нию балансировки и равножесткости. В гироскопических прибо-
рах эти явления ведут к потере точности и выходу их из строя.
К скоростным подшипникам в приборостроении предъявляются
строгие требования по обеспечению высокой жесткости при малых
уровнях собственных вибраций, причем упругие характеристики
опор должны сохраняться без изменений. Опоры с газодинамиче-
скими подшипниками при надлежащем выборе геометрических
и рабочих параметров могут не уступать по жесткости шарико-
подшипниковым опорам. Например, по данным работы [46, т. 90,
№ 4], газодинамические сферические подшипники гироскопа кату-
шечного типа при диаметре шипов 19,5 мм и зазоре 1,9 мкм обес-
печивают осевую и радиальную жесткость около 100 000 кгс/см.
Эта жесткость соизмерима с жесткостью пары шарикоподшипни-
2*	19
ков, даже без учета податливости других элементов конструкции
гироскопа.
Одним из серьезнейших в эксплуатации механизмов на опорах
с газовой смазкой является вопрос обеспечения устойчивости вра-
щения роторов. Наибольшую опасность представляет неустой-
чивость типа полускоростной вихрь. Она возникает при превы-
шении определенного в каждом конкретном случае скоростного
предела, зависящего от типа опор, а также при уменьшении или
исчезновении нагрузки (например, в условиях невесомости или
в наземных условиях при отклонении оси ротора механизма).
В этих случаях уменьшается эксцентричность положения вала
в подшипнике и снижается жесткость газового смазочного слоя.
В результате возмущений от случайных сотрясений корпуса ме-
ханизма или от локальных микронеровностей на рабочих поверх-
ностях опор возникают смещения вращающегося вала от равно-
весного положения, близкого к центру подшипника. Вектор вос-
станавливающей газодинамической силы реакции со стороны сма-
зывающего слоя обычно не совпадает по направлению с линией
эксцентриситета в подшипнике. По этой причине появляется
неуравновешенный момент, под действием которого центр цапфы,
вращающейся с угловой скоростью начинает совершать уско-
ренное орбитальное движение (прецессию) с угловой скоростью Q2.
Это движение можно сопоставить с эквивалентным вращением
втулки подшипника со скоростью — Q2. При Q2 0,5^ расход
смазки через зазор близок к нулевому значению. Одновременно
исчезают и силы, действующие на ротор со стороны газовой смазки
и удерживающие его от прямого контакта с поверхностью втулки
подшипника.
Препятствовать возникновению полускоростного вихря воз-
можно- нагнетанием газа в зазор подшипника через систему пи-
тающих отверстий, но и в таком уже газостатическом подшип-
нике всегда имеется газодинамическая сила со стороны смазоч-
ного слоя, порождающая орбитальное движение. Опасность по-
вреждений подшипника в этом случае лишь переносится в область
более высоких скоростей вращения вала и неизбежно возникает
вновь, когда центробежная сила от прецессии становится сравни-
мой с поддерживающей силой, обусловленной наддувом.
В ряде высокооборотных механизмов малой мощности газоста-
тические подшипники оказываются нерентабельными или непри-
менимыми из-за отсутствия источника сжатого воздуха. Обыч-
ные же газодинамические подшипники с гладкими несущими по-
верхностями действуют надежно лишь при достаточно большом
относительном эксцентриситете (равном 0,7—0,8), вызванном по-
стоянной нагрузкой. Жесткость смазочного слоя в данном случае
достаточно велика, поэтому смещения ротора от сотрясений кор-
пуса (или по другим причинам) ничтожны, а возникающая не-
уравновешенная нагрузкой восстанавливающая сила направлена
под малым углом к линии эксцентриситета и ее момент относи-
20
Рис. 9
тельно оси подшипника недостаточен для преодоления сил вяз-
кого трения при орбитальном движении.
В газодинамических подшипниках со ступенчатыми профилями,
сегментных или с канавками на несущих поверхностях резуль-
тирующая сила со стороны смазочного слоя направлена всегда
под меньшим углом к линии эксцентриситета, чем в гладких ци-
линдрических подшипниках, что обеспечивает более высокий
скоростной порог полускоростного вихря. Однако в случае при-
менения ступенчатых и сегментных радиальных опор помимо
усложнения технологии снижается и несущая способность.
Исследования показывают, что полускоростной вихрь связан
с автоколебательным процессом, отвод энергии от которого повы-
шает критическую скорость воз-
никновения неустойчивости вра-
щения. Поэтому весьма рацио-
нально применение простых
цилиндрических подшипников
с использованием в конструкции
опорных узлов демпфирующих
элементов: резиновых колец,
гофрированных лент и т. п. Но
демпфирование не исключает
неустойчивости при уменьшении
или исчезновении нагрузки.
Кардинальным решением вопроса является сочетание демпфирова-
ния с каким-либо способом сохранения нагрузки на подшипники
в любых условиях эксплуатации. Последнее, например, можно осу-
ществить путем применения подшипников, составленных из двух
гладких втулок, эксцентрично расположенных' относительно друг
друга (рис. 9). Вал ротора в таких подшипниках будет располагать-
ся эксцентрично относительно втулок, даже при отсутствии внешне-
го нагружения, чем обеспечивается его стабилизация. Естественно,
что такая стабилизация вращения уменьшает полезную несущую
способность опор, как и при использовании сегментных подшип-
ников, поэтому вполне приемлемая в невесомости она менее при-
годна для использования в наземных условиях в высокоскорост-
ных механизмах с горизонтальным валом, особенно когда их по-
ложение относительно горизонта может внезапно изменяться.
В таких условиях обычно работает большинство механизмов в со-
ставе различных установок подвижных объектов (самолетов, су-
дов и т. п.). Для них следует признать весьма рациональным прин-
цип стабилизации, разработанный для высокооборотного нагнета-
теля [34]. Вал этого нагнетателя опирается на два основных
опорных цилиндрических подшипника, между которыми распо-
ложен ротор электродвигателя. Поверхности ротора и статора
электродвигателя выполнены гладкими и образуют третий (вспо-
могательный) радиальный подшипник, рабочий зазор в котором
(он одновременно является и магнитным зазором) на порядок
21
больше зазора в основных подшипниках. Основные подшипники
установлены в карданных подвесах, а в цапфы последних встроены
упругодемпферные элементы, состоящие из пружин и замкнутых
плунжерных пар. Пружины обеспечивают податливость основных
опор. Выталкивание и всасывание воздуха через микрозазоры
плунжерных пар при смещениях их поршней в процессе автоколе-
баний ротора вносит демпфирование. При работе нагнетателя
в горизонтальном положении вес ротора и действующие на него
радиальные силы (от остаточного дисбаланса, от неравномерности
поля давления вокруг центробежного колеса) воспринимаются
только основными опорами. Для этого их упругие элементы (пру-
жины) настраиваются так, чтобы эксцентриситет во вспомогатель-
ном подшипнике был близок к нулю. Полускоростной вихрь в нем
в данном случае не может развиться, поскольку значительным сме-
щениям ротора препятствует жесткость основных опор, выполняе-
мых с весьма малым зазором. Устойчивость вращения в основных
опорах обеспечивается приложенной нагрузкой и подбором коэф-
фициента демпфирования (т. е. регулировкой проходных сечений
для воздуха в плунжерах). При отклонении оси нагнетателя от
горизонтального к вертикальному положению уменьшается весо-
вая нагрузка на соответствующие пружины кардановых подвесов,
они разжимаются, в результате чего во вспомогательном подшип-
нике возникает эксцентриситет и образуются действующие на
ротор газодинамические силы, достаточные для обеспечения его
устойчивого вращения. Испытания показали, что данный нагне-
татель с простыми цилиндрическими подшипниками надежно ра-
ботает в любом положении при скорости вращения до
60 000 об/мин, оказавшейся предельной по условию прочности
центробежного колеса.
Приведенные примеры не исчерпывают области применения
подшипников с газовой смазкой, внедрению которых несомненно
будут способствовать теоретические и экспериментальные иссле-
дования, совершенствование технологии изготовления и методов
расчета таких опор.
2.	Современное состояние теоретических исследований
и методов расчета газодинамических опор
Хотя идея использования газа в качестве смазочного вещества
была высказана еще в работе Хирна, опубликованной в Париже
в 1854 г., однако на протяжении последующих 80 лет теоретиче-
ские и экспериментальные исследования опор с газовой смазкой
носили эпизодический характер, поскольку развитие таких иссле-
дований тогда еще не стимулировалось потребностями практики.
Единственной известной попыткой теоретического анализа газо-
вых подшипников в этот период была работа английского иссле-
дователя Гаррисона [58], опубликованная в 1913 г.
22
Начало планомерным исследованиям в области газовых под-
шипников как в Советском Союзе, так и за рубежом было
положено в 30-х годах в связи с проблемами приборостроения,
а также прецизионного станкостроения, инициатором развития
которого на базе эффективного использования опор с газовой смаз-
кой явился советский ученый С. А. Шейнберг. Первое лаборатор-
ное испытание технического устройства (гироскопа), в котором
использовался газовый подшипник, было проведено в 1932 г.
в США.
Основы газодинамической теории смазки были сформулиро-
ваны в начале 50-х годов, т. е. к тому времени, которое можно
считать началом перехода от лабораторных исследований к про-
мышленному внедрению газовых опор. Основополагающей сле-
дует считать работу С. А. Шейнберга [57], где установлен опре-
деляющий физический критерий подобия газодинамических опор
скольжения (который теперь принято называть параметром сжи-
маемости *) и проанализированы их специфические свойства,
обусловленные сжимаемостью газовой смазки. Эти свойства про-
являются прежде всего в том, что при неограниченном увеличении
параметра сжимаемости (X —> оо), например за счет увеличения
угловой скорости вала, несущая способность газового подшип-
ника остается ограниченной. Как отмечается в работе [57], основ-
ное дифференциальное уравнение газовой смазки, трудно поддаю-
щееся интегрированию ввиду его нелинейности (это свойство
уравнения есть следствие сжимаемости газа), в предельном слу-
чае % сю имеёт сравнительно простое решение, которое часто
оказывается пригодным для оценочных расчетов подшипников
в реальных эксплуатационных условиях. В работе [57] предло-
жен приближенный метод построения такого предельного решения
для радиального цилиндрического подшипника, впоследствии оно
было уточнено Элродом и Бургдорфером [67; 25]; более общая
форма предельного решения, применимая к газовым подшипни-
кам различной геометрии, была получена Я. М. Котляром [28].
Вышеупомянутые работы посвящены газодинамическим опорам
скольжения, которые работают за счет обычного эффекта «смазоч-
ного клина», обусловленного изменением толщины смазочного
слоя в направлении скольжения при эксцентричном смещении
ротора под действием внешней нагрузки. Кроме исследований этого
типа подшипников, характерные разновидности которых описаны
в п. 1, коротко рассмотрим работы, посвященные еще двум дру-
гим типам газовых опор: с внешним наддувом и с высокочастот-
ным поперечным сдавливанием смазочного слоя (вибронесущие
опоры). Разработка основ аэродинамической теории подвесов
* Этот критерий, пропорциональный скорости скольжения и представляю-
щий собой комбинацию общих гидродинамических критериев подобия — числа
Рейнольдса и числа Эйлера — обычно обозначают буквой Л; в этой книге ис-
пользовано обозначение %, предложенное С. А. Шейнбергом.
23
с внешним наддувом была завершена к концу 50-х годов; основной
вклад в эту разработку внесли Л. Г. Лойцянский, Л. Г. Степанянц
со своими сотрудниками [32; 14; 51 ] и Я. М. Котляр [26; 27].
В дальнейшем эта теория была распространена на гибридные
опоры с наддувом, в частности, в работах Лунда [54, т. 86, № 2],
Л. Г. Степанянца и др. [46, т. 91, № 1 ], Н. Д. Заблоцкого и др.
[15]. Следует заметить, что еще в конце 30-х начале 40-х годов
над созданием теории газовых опор с наддувом работал известный
советский физик акад. П. Л. Капица, работа которого была прер-
вана Великой Отечественной войной.
Что касается развития теории вибронесущих газовых опор, то
здесь основная заслуга принадлежит зарубежным ученым. К числу
первых исследований в этой области относятся работы Тэйлора и
Сэффмена [55], Ланглуа [70], Салбю [54, т. 86, № 2], выполнен-
ные в конце 50-х начале 60-х годов. Для дальнейшего развития
прикладной теории и методов расчета опор этого типа особенно
большое значение имела работа Пэна [75], где предложен общий
асимптотический метод расчета вибронесущих опор произвольной
геометрии с произвольной формой колебаний поверхности, кото-
рый основан на использовании предельного решения уравнения
газовой смазки для случая о сю (о — параметр сдавливания,
пропорциональный частоте вибраций). В работе Диприма [46, т. 90,
№ 3] показано, что в случае, когда оба физических параметра о
и X (характеризующие вибронесущие опоры скольжения) неогра-
ниченно возрастают, предельные решения задачи газовой смазки
могут качественно отличаться от вышеупомянутых решений Шейн-
берга (X —> сю) и Пэна (о —> сю), а при определенных условиях
могут вообще не существовать.
Опыт практического применения вибронесущих опор пока не-
велик, и к настоящему времени теория и методы их аэродинамиче-
ского расчета, опирающиеся почти исключительно на предельное
решение Пэна [75], разработаны в гораздо меньшей степени, чем
это сделано для обычных газовых подшипников скольжения и
для опор с наддувом скольжения.
Предметом настоящей монографии являются газодинамические
опоры скольжения.
В газодинамической теории смазки можно выделить три основ-
ных типа задач: прямые задачи, связанные с определением аэро-
динамических сил и моментов опоры по заданной геометрии сма-
зочного слоя; обратные задачи — определение геометрии или от-
дельных геометрических параметров смазочного слоя на основании
некоторых условий, накладываемых на аэродинамические силы,
моменты или другие связанные с ними характеристики опоры;
комбинированные задачи, в которых приходится одновременно
определять геометрию смазочного слоя и аэродинамические харак-
теристики опоры по заданным внешним нагрузкам.
Чтобы дать более отчетливое представление о том, в каких
случаях приходится иметь дело с каждой из упомянутых задач
24
при исследовании газодинамических подшипников скольжения,
целесообразно классифицировать последние в-зависимости от тех
факторов, за счет которых создается эффект «смазочного клина» —
источник несущей способности опор рассматриваемого типа. Та-
кими факторами являются: 1) поступательные и угловые переме-
щения элементов опоры под действием внешней нагрузки, создаю-
щие естественный «смазочный клин»; 2) предварительное профи-
лирование рабочей поверхности опоры с целью обеспечения
искусственного «смазочного клина»; 3) деформируемость рабочей
поверхности опоры.
В качестве характерных разновидностей подшипников, для
которых реализуется первый фактор, можно привести гладкий ра-
диальный подшипник в жестко закрепленном стакане, радиальный
подшипник с плавающей втулкой, сегментный радиальный под-
шипник или подпятник с поворотными вкладышами, которые мо-
гут быть подпружинены. Второму фактору соответствуют подшип-
ники со спиральными микроканавками, со ступенчатым, многоле-
пестковым или другим искусственным профилем. Что касается
третьего фактора, то здесь имеются в виду, прежде всего, ленточ-
ные подшипники.
Наиболее характерным примером прямых задач газовой
смазки — первого из трех вышеупомянутых типов задач — яв-
ляется получение стационарных решений нелинейного уравне-
ния Рейнольдса (основного дифференциального уравнения газо-
вой смазки, описывающего распределение давления в смазочном
слое) применительно к опорам, в которых реализуются первый
и второй факторы. При этом предполагается, что заданная гео-
метрия смазочного слоя соответствует состоянию равновесия си-
стемы ротор—подшипники, т. е. статические внешние нагрузки,
действующие на элементы системы, уравновешиваются реакциями
смазочного слоя, которые определяются с помощью уравнения
Рейнольдса. Эти стационарные реакции представляют самостоя-
тельный интерес как важные характеристики подшипника, и
в то же время они могут рассматриваться в качестве исходных дан-
ных для анализа динамической устойчивости подшипников. За-
метим, что некоторые методы анализа устойчивости, применимые
к газодинамическим опорам скольжения, опираются на нестацио-
нарные решения уравнения Рейнольдса, относящиеся к случаю,
когда толщина смазочного слоя задана периодической, функцией
времени. Для получения таких решений могут оказаться полез-
ными методы расчета вибронесущих опор.
Среди обратных задач газовой смазки практическое значение
имеют задачи оптимизации формы смазочного слоя профилирован-
ных опор; речь идет об определении такой формы искусственного
профиля в некотором классе функций, чтобы подшипник имел наи-
большую несущую способность или аэродинамическую жесткость,
наименьший момент сопротивления и т. п. Наиболее примитивный
путь решения такой задачи — простой перебор решений уравне-
25
ния Рейнольдса, соответствующих различным формам профиля;
можно также, рассматривая выражения аэродинамических сил и
моментов как функции параметров профиля, определять опти-
мальные значения этих параметров на основании обычных условий
экстремума функции многих переменных. Подобные приемы це-
ликом опираются на решение прямой задачи смазки и не являются
специфическими методами решения обратной задачи. Строго го-
воря, обратная задача подразумевает использование специальных
методов оптимизации, опирающихся на методы вариационного
исчисления [5] или теории оптимального управления [43]. Та-
кая вариационная задача оптимизации формы смазочного слоя
была впервые поставлена и решена еще в 1.918 г. английским фи-
зиком Рэлеем для плоского подпятника с несжимаемой смаз-
кой; оптимальная форма в этом случае описывается кусочно-по-
стоянной функцией с одной точкой разрыва (подпятники с таким
профилем впоследствии были названы ступенчатыми подшипни-
ками Рэлея). Аналогичную вариационную задачу для плоского
газового подпятника решили всего лишь несколько лет назад
Медэй [46, т. 90, № 4], а также иным методом — Г. А. Завьялов
и др. [45, ч. 1 ], которые получили оптимальный профиль, отлич-
ный от профиля Рэлея. Из других весьма немногочисленных работ
такого рода можно отметить работу [16], где с помощью методов
теории оптимального управления найдена оптимальная форма оси
спиральной канавки на поверхности кольцевого газового подпят-
ника. Это направление газодинамической теории смазки пока не
получило достаточного развития; все опубликованные работы
относятся к тем случаям, когда уравнение Рейнольдса может быть
сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Наконец, комбинированные задачи газовой смазки чаще всего
связаны с совместным интегрированием системы, состоящей из
нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики
ротора и других подвижных элементов опоры, если таковые
имеются (например, поворотных вкладышей). К основным разно-
видностям таких задач относятся: исследование переходных ре-
жимов работы подшипника (в частности, процессов разгона и тор-
можения); исследование установившихся колебательных режимов,
обусловленных периодическим изменением внешней нагрузки или
реакции смазочного слоя; анализ динамической устойчивости ро-
тора на смазочном слое или устойчивости системы ротор—подшип-
ники в равновесных и неравновесных режимах, к которому имеют
непосредственное отношение и задачи об автоколебаниях в газо-
вых опорах. Особое внимание в последние годы уделялось про-
блеме динамической устойчивости равновесия опор с газовой
смазкой как одному из наиболее важных в прикладном отношении
направлений газодинамической теории смазки.
Специфической разновидностью комбинированных задач газо-
вой смазки является аэродинамический расчет ленточных опор,
(см., например, работы Эшела [66], Уилдмена [46, т. 91, № 4],
26
Лихта [46, т. 91, №31). Профиль смазочного слоя ленточной опоры
не может быть заранее задан, его даже при стационарном режиме
работы приходится рассчитывать одновременно с распределением
давления в газовом слое путем совместного интегрирования урав-
нения Рейнольдса и уравнения упругой деформации ленты. Впро-
чем, часто используемое допущение об идеальной гибкости ленты
позволяет свести эту систему уравнений к одному дифференциаль-
ному уравнению толщины смазочного слоя.
Основу прикладной теории газовой смазки составляют стацио-
нарные решения нелинейного уравнения Рейнольдса при заданном
распределении толщины смазочного слоя. Точное квадратурное
решение этого уравнения, кроме специального случая %—-> оо и
не представляющих интереса случаев, когда избыточное давление
во всем смазочном слое равно нулю, применительно к газодинами-
ческим опорам скольжения удалось получить (в неявной форме)
только для плоского подпятника бесконечного удлинения с функ-
цией распределения толщины смазочного слоя, состоящей из од-
ного или нескольких участков, на каждом из которых толщина
меняется по линейному закону либо остается постоянной [58; 25].
Теоретическая модель опоры бесконечного удлинения, которая
позволяет свести стационарное уравнение Рейнольдса к обыкно-
венному дифференциальному уравнению, оказалась также полез-
ной для расчета радиальных подшипников и впервые была при-
менена к расчету статических характеристик цилиндрического
газодинамического подшипника с гладкой поверхностью япон-
скими исследователями Катто и Сода еще в 1952 г. [76; 67]. Ис-
пользованный ими приближенный метод интегрирования является
разновидностью метода возмущений [3]. Как следует из анализа
работы [57], применение модели «бесконечного» подшипника
к газодинамическим опорам конечного удлинения тем более оправ-
дано, чем больше параметр сжимаемости %; в этой работе пред-
лагается рассчитывать конечный радиальный подшипник, кор-
ректируя численное решение уравнения Рейнольдса для соответ-
ствующего «бесконечного» подшипника с помощью коэффициента
«торцевой утечки».
Более строгие методы решения ^пространственной задачи газо-
вой смазки, основанные на интегрировании двумерного уравне-
ния Рейнольдса, были разработаны к концу 50-х началу 60-х го-
дов. Одним из наиболее практичных аналитических методов ока-
зался широко известный в настоящее время метод линеаризации
уравнения Рейнольдса, впервые предложенный Османом [53,
т. 83, № 2]; удачный метод линеаризации разработан Н. Д. За-
блоцким [41. Численное интегрирование нелинейного уравнения
Рейнольдса для гладкого радиального подшипника с использова-
нием ЭВМ впервые было выполнено Стернлихтом [52 ] и Раймонди
[58; 25], численное решение пространственной задачи газовой
смазки для прямоугольного подпятника получено Гроссом [67].
К настоящему времени накоплен значительный опыт применения
27
Численных методов интегрирования уравнений в частных произ*
водных к решению задач газовой смазки, в том числе и нестацио-
нарных. Современное состояние этого вопроса отражено в обзор-
ной статье-Кастелли и Пирвикса[46, т. 90, № 4] и в работе Коул-
мена [46, т. 94, № 4]. Иногда оказывается целесообразным искать
стационарные численные решения как предел последовательности
соответствующих нестационарных решений, используя так на-
зываемый «метод установления» [49], как это сделано, например,
в работе [78] применительно к расчету прямоугольного подпят-
ника.
На современном этапе развития вычислительной техники широ-
кое внедрение численных методов интегрирования уравнения Рей-
нольдса в практику расчета газовых опор оказывается экономи-
чески оправданным в тех случаях, когда речь идет о расчете
статических характеристик опор с достаточно простой геометрией
смазочного слоя. В других случаях разумнее использовать в ка-
честве основы массовых расчетов приближенные аналитические
методы, прибегая к численным методам для получения минимально
необходимого объема «эталонных» результатов, по которым можно
было бы судить о точности аналитических методов. Плодотворным
может быть использование смешанных аналитико-численных ме-
тодов, примером которого является работа [77 ], где рассчитывается
сферический газовый подшипник с искусственным профилем.
Для расчета опор со сложной геометрией смазочного слоя пер-
спективными представляются так называемые «дивергентные»
(однородные) конечно-разностные схемы [49], а также метод «ко-
нечных элементов», изложенный в работе Букера и Хюбнера
[46, т. 94, № 4], который следует рассматривать как особую разно-
видность численных методов.
Среди газовых подшипников сложной микрогеометрии, осо-
бенно трудно поддающихся аэродинамическому расчету, наиболее
широкое практическое применение нашли подшипники со спираль-
ными канавками. Этот тип искусственного профиля, который фак-
тически создает «смазочный клин» как в направлении скольжения,
так и в направлении оси канавки, оказался одним из самых эф-
фективных, поэтому методы расчета подшипников со спиральными
канавками заслуживают особого рассмотрения. В инженерной
практике получил распространение метод «узких канавок», раз-
работанный в его первоначальном виде Уипплом [56; 73] при-
менительно к случаю несжимаемой смазки. Этот метод позволяет
заменить уравнение Рейнольдса со сложной структурой коэф-
фициентов, отражающих геометрию смазочного слоя, гораздо
более простым приближенным уравнением, из которого можно
найти распределение давления, «сглаженное» в направлении сколь-
жения движущейся поверхности. В работах Вора и Чау, Ма-
ланоски и Пэна [54, т. 87, № 3] этот метод формально
распространен на случай, когда смазочное вещество рассматри-
вается как сжимаемая среда. Тем не менее оказалось, что его при-
28
Менейие к исследованию газовых подшипников приводит к не-
которым качественно неверным результатам, в частности, опре-
деленная таким путем несущая способность не имеет характер-
ного для газодинамических подшипников конечного предела при
неограниченном увеличении параметра сжимаемости (%—> оо).
На недостаток теории узких канавок, обусловленный тем, что
ее основные допущения в скрытой форме предполагают влияние
сжимаемости смазки незначительным, впервые указали Уилдмен
[46, т. 90, № 1], Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 1 ].
Однако метод узких канавок обеспечивает удовлетворительную
точность расчета газовых опор различной конфигурации, профи-
лированных спиральными канавками, если их число достаточно
велико, а значение параметра % является умеренным в том смысле,
что влиянием сжимаемости на аэродинамические характеристики
подшипника действительно можно пренебречь. Такая возможность,
впервые отмеченная С. А. Шейнбергом [57], реализуется для диа-
пазона, в котором характер изменения несущей способности под-
шипника по параметру % близок к линейному. Для практического
применения метода узких канавок важно то, что у газодинамиче-
ских опор со спиральными канавками этот диапазон может быть
достаточно широким, охватывая область изменения параметра %,
которая соответствует реальным эксплуатационным условиям.
Модификации метода узких канавок, предложенные А. В. Еме-
льяновым [12] и др., несколько расширяют область его приме-
нения к опорам с газовой смазкой, однако они не устраняют не-
ограниченного роста погрешности расчета с увеличением пара-
метра сжимаемости.
Применение аналитических методов интегрирования уравне-
ния Рейнольдса, не опирающихся на теорию узких канавок, к рас-
чету опор со спиральными канавками до сих пор не было особенно
успешным. Теоретическая модель опоры в виде бесконечной по-
лосы с шевронными канавками малой относительной глубины
и синусоидального профиля для произвольных значений пара-
метра сжимаемости была рассчитана в работе Уилдмена [46, т. 90,
№ 1 ] с помощью метода возмущений. Метод разложения в ряд по
собственным функциям задачи был использован Мюйдерманом
[73], который интегрировал уравнение Рейнольдса применительно
к кольцевому подпятнику со спиральными канавками без учета
сжимаемости смазки. Решение соответствующего линейного урав-'
нения представлялось в форме, справедливой в пределах тех
участков смазочного слоя, где его толщина не меняется по коор-
динатам, а на линиях скачкообразного изменения толщины слоя
задавались дополнительные условия сращивания. В целом такой
подход к расчету опор со спиральными канавками оказался гро-
моздким и малоэффективным. В работе Фостера, Кароу и Бенсона
[46, т. 91, № 1 ] рассчитан радиальный газовый подшипник с ше-
вронными канавками на основе метода линеаризации уравнения
Рейнольдса, предложенного Османом [53, т. 83, № 2], решение
29
линеаризованного уравнения найдено в форме гармонического
полинома. Методика, использованная в работе Фостера и др., пред-
ставляет некоторый практический интерес, поскольку она не на-
кладывает ограничений на параметр сжимаемости, на форму се-
чения канавок, их относительную глубину и другие геометриче-
ские параметры; удалось ее применить к исследованию как ста-
ционарных, так и нестационарных режимов работы подшипника.
Однако расчеты по этой методике весьма трудоемки, а точность
результатов может оказаться недостаточной, если распределение
толщины смазочного слоя описывается негладкой функцией.
Численные методы интегрирования уравнения Рейнольдса
пока не получили распространения в практике расчета опор со
спиральными канавками, вместе с тем подобные методы довольно
часто применяются к интегрированию приближенных уравнений
теории узких канавок, как это сделано в работе Смолли [46,
т. 94, № 4]. Для условной модели опоры в виде полосы с шеврон-
ными канавками уравнение Рейнольдса численно проинтегриро-
вано Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 11, причем при-
веденные результаты относятся к канавкам малой относительной
глубины. Некоторые результаты численного анализа реальных
сферических газовых подшипников со спиральными канавками
приведены в работе И. Е. Сипенкова и Б. С. Григорьева [45, ч. 1 ].
В качестве своебразного примера сочетания теории узких ка-
навок с численным интегрированием линеаризованного уравне-
ния Рейнольдса в области, примыкающей к границе смазочного
слоя, можно указать на работу Гупта и др. [68].
Важнейшим условием надежности технических устройств с га-
зовыми подшипниками является их динамическая устойчивость,
анализ которой должен опираться на систему уравнений, состоя-
щую из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений дина-
мики подвижных элементов опоры. Уравнение Рейнольдса для
подшипников с сжимаемой смазкой, наряду с нелинейностью, обла-
дает еще одной особенностью: при описании процессов, зависящих
от времени, оно оказывается существенно нестационарным, тогда
как аналогичное уравнение для подшипника с несжимаемой смаз-
кой будет квазистационарно (время содержится в нем лишь как
параметр, а не как переменная интегрирования). Квазистацио-
нарный характер уравнения Рейнольдса для гидродинамических
подшипников позволяет расчленить любую задачу, связанную
с исследованием их динамики, на два последовательных этапа:
сначала отдельно интегрируется уравнение Рейнольдса, решение
которого допускает представление в форме, справедливой для
произвольных движений элементов подшипника под действием
внешних нагрузок и гидродинамических сил, а затем исследуются
уравнения динамики, описывающие действительные движения
этих элементов, с учетом выражений для реакций смазочного
слоя, полученных на основании ранее найденного решения урав-
нения Рейнольдса.
30
Только что описанный способ поэтапного интегрирования ком-
бинированных задач гидродинамической теории смазки, в которых
заранее неизвестны не только давления в смазочном слое, но и
профиль толщины слоя, неприемлем в качестве универсального
подхода к решению аналогичных задач газовой смазки. В этом
случае нестационарность уравнения Рейнольдса является причи-
ной того, что оно, вообще говоря, неотделимо от уравнений дина-
мики. Тем не менее известные в настоящее время приближенные
методы исследования динамической устойчивости опор с газовой
смазкой, как правило, приводят к тому, что интегрирование аэро-
динамических уравнений оказывается автономной задачей.
Простейший подход к анализу устойчивости газовых опор,
особенно широко распространенный до середины 60-х годов, осно-
ван на замене нестационарного уравнения Рейнольдса его при-
ближенным квазистационарным аналогом, тем самым не учиты-
вается предыстория процессов, происходящих в смазочном слое
в данный момент времени. В теории подобия аэродинамических
явлений отсутствие такого учета может быть допустимо при малых
значениях числа Струхала [30; 31] —основного параметра не-
стационарных процессов в жидкостях и газах, обратно пропор-
ционального характерному масштабу времени (например, периоду
колебаний). Нарушение динамической устойчивости равновесия
газовой опоры часто сопровождается возникновением автоколе-
бательных режимов, типичные примеры которых рассмотрены
в п. 1 (асинхронная прецессия вала — полускоростной вихрь —
и пневмомолот в опорах с наддувом [41; 58]). Этим режимам обычно
соответствуют умеренные значения числа Струхала, так, в ре-
жиме полускоростного вихря это число близко к 0,5. Именно
в силу последнего обстоятельства квазистационарный подход
к анализу устойчивости пригоден для инженерных оценок как
самоподдерживающихся газовых опор, (см., например, работы
Рентцеписа и Стернлихта [53, т. 84, №4], Османа [53, т. 85, №4]),
так и опор с наддувом, к которым он был впервые применен еще
в 1958 г. в работе Лихта, Фуллера и Стернлихта [53, т. 80, №2].
Такой подход в ряде случаев позволяет выявить основные факторы,
способствующие нарушению устойчивости подшипника и хотя бы
грубо оценить диапазон изменения параметров подшипника,
в котором можно ожидать потери устойчивости. Интересно от-
метить, что явление полускоростного вихря, характерное для
опор с газовой смазкой, впервые было теоретически предсказано
для жидкостных радиальных подшипников [61], хотя уравнение
Рейнольдса в этом случае само по себе квазистационарно. Полу-
скоростной вихрь в гидродинамических подшипниках не наблю-
дается лишь потому, что в них практически не выполняется усло-
вие отсутствия разрывов смазочного слоя, на которое опирается
теоретический анализ в работе [61]. В жидком слое образуется
кавитационная зона, которая снижает несущую способность под-
шипника, но зато играет стабилизирующую роль.
31
К середине 60-х годов наметился переход к новому этапу в ис-
следовании вопросов динамической устойчивости опор с газовой
смазкой; стало ясно, что, несмотря на некоторые достоинства ква-
зистационарных моделей смазочного слоя, они не могут рассматри-
ваться как надежная основа анализа устойчивости газовых опор.
Подход к исследованию устойчивости гидродинамических и газо-
вых опор должен быть различным. Первой из опубликованных ра-
бот, в которых строгая постановка задачи динамической устой-
чивости газового подшипника доведена до важных конкретных
результатов, следует считать работу Кастелли и Элрода [54,
т. 87, № 1]. Использованный ими для анализа устойчивости глад-
кой радиальной опоры метод «переходных режимов» позволяет
судить об устойчивости непосредственно по виду траектории центра
вала (или в общем случае по изменению положения подвижных
элементов опоры со временем), определяемому прямым числен-
ным интегрированием системы уравнений, состоящей из неста-
ционарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики. Инте-
грирование выполняется на большом временном интервале при
произвольном начальном положении вала (или подвижных эле-
ментов). Этот метод, примененный в дальнейшем и к радиальному
подшипнику с самоустанавливающимися вкладышами [62], яв-
ляется наиболее точным и универсальным методом исследования
динамического поведения газовых опор и дает исчерпывающую
картину поведения опоры произвольной геометрии для любого
конкретного набора значений параметров, входящих в систему
уравнений и граничные условия рассматриваемой задачи. Однако
применение такого метода к определению границ области устой-
чивости в многомерном пространстве параметров опоры связано
с весьма большими затратами времени на ЭВЦМ, особенно если
уравнение Рейнольдса содержит три независимые переменные ин-
тегрирования, что обычно имеет место в нестационарных задачах
газовой смазки реальных опор. В упомянутой работе Кастелли
и Элрода, а также в работе [62] исследовалась идеализированная
модель радиального . подшипника — опора бесконечного удли-
нения. Это позволило исключить из уравнения Рейнольдса одну
переменную интегрирования —осевую координату. Примером
применения метода переходных режимов к опорам конечного удли-
нения является работа Шапиро [46, т. 91, № 1], где рассмотрен
радиальный подшипник с внешним наддувом.
Недостаточная надежность квазистационарных моделей сма-
зочного слоя в задачах динамической устойчивости газовых опор
и чрезмерная трудоемкость метода переходных режимов послу-
жили стимулами к созданию целой группы приближенных мето-
дов анализа устойчивости, гораздо более практичных, чем метод
переходных режимов, и в то же время достаточно строго учиты-
вающих существенно нестационарный характер процессов в сма-
зочном слое газовой опоры при динамических режимах ее работы.
Эта группа методов связана с расчетом динамических реакций
32
смазочного слоя на специальные виды возмущений: а) мгновенное
случайное, б) скачкообразное, в) периодическое. Важным достоин-
ством такого подхода является возможность выделить уравнение
Рейнольдса из исходной системы уравнений и проинтегрировать
его независимо от уравнений динамики подвижных элементов
не прибегая к каким-либо «квазистационарным» приемам, т. е.
сохраняя время в уравнении Рейнольдса как переменную интегри-
рования. Обычно считается, что перемещение подвижного эле-
мента опоры под действием возмущения того или иного вида про-
исходит в малой окрестности предполагаемого положения равно-
весия. Это позволяет, во-первых, значительно упростить инте-
грирование уравнения Рейнольдса, представив его решение в виде
разложения по малому параметру, за который можно принять,
например, максимальную величину относительного отклонения
подвижного элемента от положения равновесия. Первый член та-
кого разложения представляет собой стационарное решение урав-
нения Рейнольдса, используемое также для определения после-
дующих членов, описываемых рекуррентной системой линейных
нестационарных уравнений в частных производных, с коэффи-
циентами, которые зависят от стационарного решения. Если в упо-
мянутом разложении пренебречь членами второго и более высоких
порядков малости, то интегрирование нелинейного нестационар-
ного уравнения Рейнольдса будет состоять из двух последова-
тельных этапов: сначала интегрируется нелинейное стационарное
уравнение, а затем линейное нестационарное уравнение. Во-
вторых, в малой окрестности положения равновесия уравнения
динамики подвижных элементов опоры допускают линеаризацию.
Если коэффициенты линеаризованных уравнений постоянны, то
анализ устойчивости сводится к исследованию расположения кор-
ней соответствующих характеристических уравнений на комплекс-
ной плоскости, для чего часто используются известные критерии
Рауса—Гурвица и Михайлова—Найквиста [36; 1].
Таковы общие черты приближенных методов анализа устой-
чивости, основанных на определении реакций газовой опоры на
специальные возмущения. Остановимся на некоторых особенностях
этих методов, обусловленных выбором вида возмущений. Метод
исследования устойчивости механической системы по ее реакции
на мгновенное случайное бесконечно малое возмущение состояния
равновесия восходит к классическим работам основоположника
общей теории устойчивости движения А. М. Ляпунова [35] и
иногда называется первым методом Ляпунова. Система устойчива,
если после устранения источника возмущения ее отклонение от
равновесного состояния неограниченно уменьшается со временем.
А. М. Ляпунов установил условия, при которых в уравнениях
движения системы в малой окрестности равновесного состояния
можно пренебрегать величинами второго и высших порядков
малости. В качестве типичного примера применения этого класси-
ческого метода исследования устойчивости к газовым подшипни-
3 В Н. Дроздович
33
кам можно упомянуть работу Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ],
где использован также метод переходных режимов.'
Для анализа устойчивости систем с газовыми подшипниками,
имеющих большое число степеней свободы, эффективным оказался
так называемый метод ступенчатого воздействия, разработанный
американскими исследователями Элродом, Мак Кейбом, Чу
[65; 46, т. 90, № 1; 46, т. 91, № 3], Шапиро и Колшером [46, т. 92,
№ 3]. Согласно этому методу произвольное возмущение, описы-
ваемое непрерывной функцией времени, рассматривается как су-
перпозиция большого числа малых скачкообразных (ступенчатых)
возмущений. Последовательно сообщая рассматриваемой механи-
ческой системе мгновенные малые отклонения от предполагаемого
положения равновесия в одной из степеней свободы и удерживая
систему в новом положении, из уравнений Рейнольдса можно
определить матрицу удельных реакций смазочного слоя на эти
отклонения, которая затем может быть многократно использована
при исследовании динамического поведения системы. Эти удель-
ные реакции представляют функции времени, стремящиеся к ко-
нечному пределу с увеличением аргумента, их удобно аппрокси-
мировать разложениями по полиномам Лагерра. Связь аэродина-
мических сил и моментов с произвольными перемещениями по-
движных элементов и с удельными реакциями на скачкообразное
возмущение осуществляется через посредство интеграла Дюамеля.
Описанная выше процедура метода ступенчатого воздействия от-
носится только к определению аэродинамических сил и моментов,
входящих в уравнения динамики, и не накладывает ограничений
на выбор метода исследования этих уравнений. Непосредствен-
ный анализ устойчивости можно проводить, в частности, на осно-
вании численного интегрирования системы уравнений динамики,
как это делается в работе [65], или на основании характеристи-
ческого уравнения линеаризованной системы [46, т. 92, № 3].
Методы исследования устойчивости равновесия газовых опор
по реакции смазочного слоя на периодическое возмущение (идея
такого подхода к анализу устойчивости опор с газовой смазкой,
по-видимому, впервые высказана С. А. Шейнбергом) получили
развитие в работах как зарубежных (Пэн [74], Марш [72; 41],
Флеминг и др. [46, т. 92, № 2]), так и советских авторов (Г. А. По-
спелов [44] и др.). Суть этих методов состоит в следующем. За-
дается некоторая траектория периодического движения оси ротора
или другого подвижного элемента опоры в малой окрестности пред-
полагаемого положения равновесия, и соответствующее линеари-
зованное уравнение Рейнольдса с периодическими коэффициен-
тами интегрируется для некоторого спектра частот. Затем опре-
деляются частота, при которой заданное движение динамически
возможно, и условия его затухания, рассматриваемые как усло-
вия устойчивости равновесия. Например, если задано равномер-
ное вращение центра ротора по круговой траектории вокруг кон-
центричного положения, то его частота определяется из условия,
34
что аэродинамическая сила в каждый момент времени направлена
вдоль вращающейся линии центров, а устойчивость ненагружен-
ного ротора обеспечивается в том случае, когда эта сила направ-
лена противоположно центробежной сило, обусловленной прецес-
сирующей массой ротора, и превышает ее по величине. Такой под-
ход к анализу устойчивости, особенно привлекательный своей про-
стотой в случае ненагруженных опор, которые наиболее склонны
к потере устойчивости, используется в настоящей монографии,
наряду с методами исследования устойчивости «в малом», опираю-
щимися на классическую теорию А. М. Ляпунова [351.
Особое место среди работ по устойчивости подшипников с га-
зовой смазкой занимает исследование Гореца [46, т. 95, № 2],
которое представляет пример применения к газовым опорам вто-
рого метода А. М. Ляпунова (называемого прямым или качествен-
ным методом Ляпунова [35; 36]). Этот фундаментальный метод
анализа устойчивости механических систем, основанный на иссле-
довании некоторых свойств так называемых функций Ляпунова,
не получил распространения в задачах газовой смазки ввиду зна-
чительных трудностей, связанных с построением таких функций, и
отсутствия общих правил, которые определяли бы технику их
построения.
Вышеупомянутые работы по динамике газовых опор посвя-
щены, главным образом, определению условий динамической устой-
чивости равновесия. Вопрос о том, как ведут себя опоры при на-
рушении такой устойчивости и могут ли они в этом случае оста-
ваться работоспособными, изучен в гораздо меньшей степени.
Между тем нарушение устойчивости равновесия газовых опор
иногда проявляется в возникновении автоколебаний ограничен-
ной амплитуды, при которой отсутствует контакт между поверх-
ностями смазочного слоя, хотя такие режимы более характерны
для опор с внешним наддувом. Теоретическое исследование авто-
колебательных режимов в таких опорах проведено Р. 3. Алиевым
[45, ч. 1 ]. Нарушение устойчивости равновесия газодинамических
опор скольжения (в радиальных подшипниках оно проявляется
в форме полускоростного вихря) обычно приводит к аварийным
последствиям. Опыт показывает, что лишь в редких случаях, ко-
торые пока не удается теоретически предсказывать, ротор в ре-
жиме полускоростного вихря может длительное время совершать
прецессионные колебания, не сопровождающиеся сухим трением
(Каннингэм и др. [46, т. 91, № 1]). Теоретический анализ авто-
колебаний затрудняется тем, что к нему неприменимы линейные
математические модели, поскольку автоколебания в динамических
системах сами по себе обусловлены нелинейностью последних
[1; 48].
Мало исследованной остается весьма важная для практики
проблема динамического поведения опор с газовой смазкой в усло-
виях вынужденных колебаний и, в частности, вопрос об устой-
чивости движений элементов опоры, вызываемых периодической
3*	35
вынуждающей силой. Источниками вынужденных колебаний не-
сущего элемента опоры могут быть как периодические изменения
внешней нагрузки по величине или направлению (Р. 3. Алиев
[45, ч. 1], Осман [54, т. 87, № 3]), так и аналогичные изменения
реакции смазочного слоя, обусловленные вибрациями основания
(В. А. Биушкин и др. [45, ч. 1]), дебалансом ротора [41] или
скольжением профилированной поверхности смазочного слоя [7].
Вынужденные колебания могут специально генерироваться как
источник несущей способности так называемых вибронесущих га-
зовых опор; исследованию динамической устойчивости такого
рода опор посвящены работы Пэна и Чанга [46, т. 91, № 1 ],
Г. А. Завьялова и др. [45, ч. 1 ]. Мало изучен вопрос о резонансных
явлениях в газовых опорах; должное внимание было уделено только
одной характерной разновидности таких явлений —резкому уве-
личению амплитуды синхронной прецессии, обусловленной де-
балансом ротора при определенной скорости вращения [41].
Еще одна важная группа комбинированных задач газодинами-
ческой теории смазки, которая пока не стала объектом система-
тического исследования, связана с изучением динамического по-
ведения газовых опор при переходных режимах, в частности при
запуске и останове.
Таковы основные проблемы, теоретические методы и резуль-
таты, характеризующие современный уровень развития газодина-
мической теории смазки.
3.	Основные этапы решения задачи
устойчивости газодинамических подшипников
В приборах и скоростных машинах малой и средней мощности
при решении задачи устойчивости приходится рассматривать слож-
ные механические системы, имеющие большое число поступатель-
ных и вращательных .степеней свободы, с подшипниковыми узлами,
содержащими легконагруженные газодинамические подшипники.
Автором предлагаются основы расчета и проектирования таких
подшипников, которые обеспечили бы динамическую устойчи-
вость системы, выдерживая в то же время заданную нагрузку
без сухого трения. Решение этой задачи разбивается на ряд этапов.
Первый этап (гл. II) заключается в построении математических
моделей, описывающих динамику систем ротор—подшипники раз-
личной геометрии и учитывающих возможность поступательных и
угловых перемещений как ротора, так и статора, поскольку по-
датливость статора может оказывать значительное влияние на
устойчивость. Ограничиваясь случаем малых колебаний механи-
ческой системы, можно линеаризировать соответствующую си-
стему уравнений динамики и, что особенно важно, разбить ее на
ряд сравнительно простых подсистем, перекрестные связи между
которыми могут быть достаточно слабыми (например, при симме-
тричном расположении масс). Основным результатом гл. II яв-
36
ляется теорема, определяющая условия, при выполнении которых
из устойчивости изолированных подсистем вытекает устойчивость
системы в целом с учетом перекрестных связей.
Вторым этапом является уточнение структуры динамических
уравнений, сформулированных в гл. II, речь идет о тех членах
уравнений, которые определяют реакции газодинамических под-
шипников. Для определения этих реакций необходимо выбрать ту
или иную математическую модель смазочного слоя газового под-
шипника. В качестве такой модели обычно употребляется нелиней-
ное уравнение Рейнольдса, которое описывает распределение дав-
ления в смазочном слое и содержит в общем случае три неза-
висимые переменные —две координаты и время. Его числен-
ное интегрирование связано с большими затратами времени на
ЭВМ, к тому же численная форма решения неудобна для после-
дующего динамического анализа. Удобное приближенное анали-
тическое решение получается в результате линеаризации уравне-
ния Рейнольдса, предварительно преобразованного к новой иско-
мой функции Т = PH (Р —давление, Н —местная толщина
смазочного слоя), с помощью итерационного метода, который яв-
ляется модификацией метода Ньютона—Канторовича. Уравнение
первого приближения совпадает с уравнением, которое ранее было
получено Османом [53, т. 83, № 2] на основании полуинтуитив-
ных соображений. В гл. III, посвященной обоснованию выше-
упомянутого метода, который условимся называть обобщенным
методом РЯ-линеаризации, показано, что во многих случаях
вместо построения довольно громоздкого второго приближения
более целесообразно корректировать первое приближение с по-
мощью аддитивной поправки. В гл. IV этот метод использован для
приближенного интегрирования стационарного уравнения Рей-
нольдса применительно к конкретным типам газовых подшипни-
ков и для получения соответствующих аналитических выражений
статических реакций подшипников. Эти стационарные решения
представляют самостоятельный интерес, и в то же время они суще-
ственно используются в начале гл. V при построении нестацио-
нарных решений задач газовой смазки тем же методом РЯ-линеа-
ризации и при определении динамических реакций подшипников,
выражения которых непосредственно входят в уравнения дина-
мики системы ротор—подшипники.
Третьим, заключительным этапом решения поставленной за-
дачи является исследование линеаризованных уравнений дина-
мики ротора с целью установления условий устойчивости «в ма-
лом» и других динамических характеристик колебательной
системы, необходимых для оптимального проектирования подшип-
ников (гл. V). Анализ устойчивости подсистем, описывающих по-
ступательные и угловые колебания ротора в радиальных и ра-
диально-упорных подшипниках, производится с помощью частот-
ных методов, основанных на применении критерия Михайлова —
Найквиста, более удобного для систем высокого порядка, чем
37
обычно применяемый критерий Гурвица; при этом эффективно
используются идеи и средства теории автоматического регулиро-
вания, согласно которой система ротор—подшипники рассматри-
вается как многоконтурная система стабилизации положения вра-
щающегося ротора относительно подшипников, с обратными свя-
зями, причем роль регулятора прямого действия выполняет сма-
зочный слой. Устойчивость определяется величиной, названной
«вихревой жесткостью» подшипника, которая первоначально рас-
считывается методом РЯ-линеаризации в первом приближении,
а затем уточняется методом гармонического баланса. Условия
устойчивости представлены в такой форме, которая позволяет
легко производить расчет оптимальных параметров газовых под-
шипников по критерию максимума запаса устойчивости с по-
мощью ЭВМ, имеющих ограниченный объем памяти.
Следует отметить, что одной из наиболее эффективных разно-
видностей газодинамических подшипников, получившей в послед-
ние годы широкую популярность, являются подшипники, профи-
лированные спиральными (или шевронными) канавками. Поэтому
такого рода опорам уделено основное внимание в настоящей моно-
графии (гл. IV—VI). До сих пор расчет подшипников со спираль-
ными канавками, как уже упоминалось в п. 2, проводился почти
исключительно на основе различных модификаций метода узких
канавок, первоначально разработанного Уипплом [56]. Этот ме-
тод, при всей его практичности, имеет некоторые принципиаль-
ные недостатки. Обобщённый метод РЯ-линеаризации позволил
получить более корректные решения задач газовой смазки под-
шипников со спиральными канавками, с помощью которых про-
веден критический анализ метода узких канавок и уточнены гра-
ницы его применимости.
В конце книги (гл. VI и приложения) показано применение
теории, разработанной в предыдущих главах, к расчету некото-
рых характерных разновидностей газодинамических подшипников
и дано сравнение теоретического анализа с экспериментальными
данными.
Подчеркнем, что теоретический анализ устойчивости, выпол-
ненный в настоящей монографии, доведен до инженерных методов
расчета границ устойчивости машин и приборов с газодинамиче-
скими подшипниками, имеющими различную геометрию рабочих
поверхностей.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ РОТОРА В ПОДШИПНИКАХ
СКОЛЬЖЕНИЯ С ГАЗОВОЙ СМАЗКОЙ
4.	Уравнения динамики машин со свободным ротором
При изучении устойчивости и виброустойчивости машин и
гироскопов, роторы которых вращаются в гидродинамических
подшипниках, необходимо учитывать дополнительные степени
свободы относительного поступательного перемещения ротора
и статора, связанные с податливостью последнего. Эти степени
свободы могут явиться источниками погрешностей приборов при
динамических перегрузках и вибрациях, поэтому их учет необ-
ходим при исследовании точностных характеристик.
Для гироскопа в кардановом подвесе, кожух которого имеет
три угловые степени свободы и может совершать поступательные
перемещения за счет податливости подшипников, учет^дополни-
тельных степеней свободы ротора приводит к системе с 12 сте-
пенями свободы. Описание и исследование поведения такой
сложной системы обычными методами связано с серьезными
трудностями из-за большого числа переменных, входящих в
дифференциальные уравнения.
Для того чтобы преодолеть эти трудности и сделать описание
динамики легко обозримым, будет использоваться комплексная
форма записи дифференциальных уравнений в опорной системе
координат, движущейся поступательно. Задачи, которые будут
рассматриваться, не потребуют учета переносных вращательных
движений этой опорной системы координат.
Рассмотрим вначале простейший случай одноопорной машины,
например сферический гироскоп со свободным ротором [20], схема
которого показана на рис. 10. В такой машине ротор, имеющий
идеальную сферическую поверхность, вращается в газодинами-
ческих подшипниках, образованных двумя полусферическими
чашами. Предположим, .что центр масс ротора совпадает с цен-
тром его сферической поверхности. Статор жестко закреплен
в кожухе и составляет с ним одно твердое тело, а кожух укреп-
лен на платформе, установленной в кардановом подвесе и стаби-
лизированной с помощью следящей системы. В этом случае плат-
форма совершает только поступательные движения и, если учесть
податливость колец карданова подвеса, система будет иметь 9 сте-
пеней свободы, из которых 6 относятся к ротору. Будем рассма-
тривать случай, когда ротор имеет симметричный эллипсоид
инерции. Положение и ориентацию ротора определим с помощью
систем координат	OXYZ и орта £°, направленного
по оси фигуры (рис. 11).
39
Система координат O1X1Y1Z1 жестко связана со статором
гироскопа, а система координат OXYZ имеет начало О в центре
масс ротора и ее орты параллельны ортам опорной системы
O^Y^.
Смещение центра масс О ротора относительно статора опре-
делим вектором е, а ориентацию оси фигуры — проекциями
орта на оси координатной системы OXYZ. Заметим, что ориен-
тацию оси фигуры можно определить либо углами Эйлера а и |3,
либо двумя проекциями вектора £° на оси ОХ и 0Y.
Рис. 10
*2
Рис. Н
Второй способ позволяет записать уравнения движения гиро-
скопа в комплексной форме, удобной для решения задач устой-
чивости газодинамических подшипников, поэтому ему оказано
предпочтение.
Обозначим через Q угловую скорость собственного вращения
ротора вокруг оси фигуры, тогда вектор мгновенной угловой
скорости ротора можно представить в виде
(o = Q£° + a>i,	(2.1)
где (Di — экваториальная составляющая угловой скорости.
Учитывая, что
?о к/
(2.2)
составим выражение для вектора момента количества движения
ротора
k =	(2.3)
40
где 1 — экваториальный; /о — осевой моменты инерции. По
теореме об изменении момента количества движения имеем
dk
dt
(2-4)
или, учитывая (2.1), (2.2) и (2.3),
/	(?0 у-	] I J (	?0 _|_ Q	__ <32
7 ИГ х иг/ + 7 ° \пг $ + “ ~зг)" * •
(2.5)
Обозначим через X, У и Z проекции £° на оси ОХ, ОУ, OZ,
тогда
1° = Х°Х + У°У + Z°Z.	(2.6)
Проектируя уравнение (2.5) на оси OXYZ и учитывая при
этом равенство (2.6), получим:
I (YZ - ZY) + XX + XX = Sx + SXb,
I (ZX - XZ) + ХУ + ХУ = Sy + Sw
(2.7)
где К = Q/o — кинетический момент; <£х, 2\, Sz — проекции
главного момента всех сил реакций смазочного слоя, действующих
на ротор; 5?x^ S?z* — проекции главного момента внешних
сил.
Уравнения (2.7) эквивалентны уравнениям движения сим-
метричного гироскопа [2] и отличаются от последних отсутствием
в коэффициентах тригонометрических функций. Уравнения (2.7)
обладают замечательным свойством симметрии, которым восполь-
зуемся для приведения их к комплексной форме.
Будем определять угловое положение оси ротора с помощью
комплексной величины
О =Х+ IY (i =]/— 1).	(2.8)
Умножая первое уравнение (2.7) на i и вычитая почленно из
второго, получим систему двух уравнений:
IZU — IZU - i(XU + XU) = - i (Sx + iSy) - i (SXb + iSyBy, 1
X = Sx + sZB,	J
(2-9)
где
z = ]/T—x2—у2 =Ki —|Щ3.
В системе уравнений (2.9) комплексное уравнение представ-
ляет первые два нелинейных уравнения из (2.7).
Поступательные движения ротора относительно кожуха можно
также описать дифференциальным уравнением в комплексной
41
форме. Действительно, по теореме о движении центра масс будем
иметь в проекциях на оси OX, OY, OZ:
Mex = Fx + FX3; MeY = FY + FY„ Mez^ Fz + FZb, (2.10)
где M — масса ротора; Fx, FY, Fz — проекции главного вектора
сил реакции подшипника; FXb, FYb, FZb — проекции возмущаю-
щих сил.
Если представить е = ех ieY\ F = Fx + iFY\ FB = FXb +
+ FYb, to уравнения (2.10) будут иметь следующий вид:
Me = FFB, |
Mez =	4" FZb. I
Члены уравнений с индексом «в» обозначают внешние
щающие силы и моменты.
(2.П)
возму-
Таким образом дифференциальные уравнения движения ро-
тора одноопорной машины разбиваются на две подсистемы (2.9)—
(2.11), описывающие соответственно сферическое и поступатель-
ное движения. В правых частях этих уравнений стоят силы и
моменты, которые зависят от координат и их производных. Силы
и моменты могут быть записаны в комплексной форме и в общем
случае являются некоторыми функциями комплексных перемен-
ных U, е и вещественных переменных ez, Q, t.
На основании уравнений (2.9)—(2.11) можно компактно изло-
жить основные законы движения симметричного гироскопа в слу-
чаях Эйлера и Лагранжа [2]. Например, в случае тяжелого
гироскопа Лагранжа, полагая ех = eY= ez = 0, Lz = 0, из (2.9)
получим:
IZU — IZU — iKU = ~PIU, К = const.	(2.12)
На рис. 12 показана ориентация относительно выбранной
системы координат симметричного гироскопа: а — силы тяжести Р;
42
б — опор двухопорного гироскопа (машины). В уравнении (2.12)
предполагается, что сила тяжести Р направлена по оси 0Z, центр
тяжести О ротора смещен на величину I от центра опоры 0±.
Для нахождения всех возможных случаев прецессии гироскопа
достаточно представить искомое решение уравнения (2.12) в виде:
U аехр (О).	(2.13)
Подстановка (2.13) в (2.12) приводит к простому алгебраическому
уравнению относительно постоянной а*.
IQ?a Vl—a2 + К&а - — Pla.	(2.14)
Из решения этого уравнения могут быть выведены все возможные
стационарные режимы движения гироскопа. Анализ устойчивости
этих режимов при периодических возмущениях можно провести
методами нелинейной теории колебаний [35; Г, 48].
Уравнения (2.9), (2.11) могут быть использованы для изучения
динамики сферического гироскопа. Последний обычно работает
в режиме свободного гироскопа. Для того чтобы сферический
гироскоп с газодинамическим подвесом был свободным, его кожух
устанавливается на стабилизированную платформу, которая
управляется с помощью следящей системы так, чтобы ось фигуры
ротора была все время совмещена с общей осью подвеса и статора.
При таком совмещении осей тормозящий момент сил вязкого
трения уравновешивается крутящим моментом электрического
привода, в силу чего кинетический момент гироскопа К остается
постоянным. Все это верно в условиях отсутствия гравитационного
поля и инерционных перегрузок, когда’смещение центра масс
ротора равно нулю (е = 0).
При смещении центра масс ротора под влиянием внешних сил
тяжести или сил инерции момент тангенциальных сил вязкого
трения полностью не уравновешивается и появляется эквато-
риальная составляющая этого момента, которая порождает вред-
ную прецессию. Для газодинамических подшипников моменты
3£у, 2?z и силы Fx, FY, Fz в уравнениях (2.9)—(2.11) яв-
ляются функциями смещений ех, eY, ez и времени t.
Структура этих функций изучается в теории газовой смазки.
Здесь же ограничимся выводом нелинейной системы дифферен-
циальных уравнений (2.9), (2.11) в комплексной форме. Эти
уравнения справедливы для любой машины с неподвижным ста-
тором, ротор которой имеет симметричный эллипсоид инерции.
5.	Уравнения движения двухопорной машины
с учетом угловых перемещений статора
Рассмотрим машину с ротором, вращающимся в двух сфери-
ческих подшипниках, геометрические центры которых не совпа-
дают. Предположим, что оба тела — статор и ротор машины—
43
имеют симметричные эллипсоиды инерции, причем статор может
совершать лишь сферическое движение относительно некоторой
точки 0х, а ротор может совершать как сферическое, так и по-
ступательное движения. Отнесем систему статор—ротор к си-
стеме координат OiXiKiZi, движущейся поступательно. Поло-
жение центра масс ротора О в этой системе координат опреде-
лим вектором е = 0г0, а ориентацию — единичными векторами 1°
to
и £i, направленными соответственно по осям симметрии эллип-
соидов инерции ротора и статора (рис. 12, б).
Расстояние между центрами цапф ротора А± и Л2 равно 2/,
положение центров цапф относительно опор Вг иВ2 определяется
векторами смещений е' и е".
Предположим, что вал ротора оканчивается двумя сфериче-
скими цапфами, расположенными на одинаковом расстоянии
от центра масс ротора О, а оси симметрии эллипсоидов инерции
ротора и статора совпадают соответственно с геометрическими
осями симметрии цапф и подшипников.
Для того чтобы получить уравнения движения машины, вве-
дем систему координат OXYZ с началом в центре масс ротора
и осями, параллельными осям опорной системы координат

Единичные векторы и £?, определяющие мгновенную ориен-
тацию осей фигур ротора и статора, представим в проекциях на
соответствующие оси координат OXYZ и O^rY-^Zf.
Х0Х + У0У + 202; Z-]/l —X2 —У2;
Й = XlXi+HVi+ZfZf, Z^Vl —Xl — Yl .
(2.15)
Здесь X°, У0, Z°; X?, У?, Z? — орты соответствующих осей коорди-
нат; X, У, Z; Xi, Уь Zi —проекции векторов £°, £? на оси
координатной системы OXYZ, движущейся поступательно вместе
с центром масс ротора О.
Рассматривая сферические движения ротора 'и статора от-
дельно, каждое из которых происходит под действием своей
системы сил, можно написать уравнения, описывающие эти
движения [см. уравнение (2.9)]:
/zt/-/zV-z(xt/ + t/x)=-f(^ + ^B); Л = ^ + ^в;
hzA-^z^-i	+ ^1В);
= 2?Z\. + <2?Z1B*
(2.16)
Здесь U = X + iY\ U1 = X1 + iYi — комплексные коорди-
наты, определяющие угловое положение оси фигуры ротора и
44
статора; = 3?х +	— проекция на плоскость OXY вектора
результатирующего момента всех сил, действующих на ротор;
— g>X1 4-	— проекция на плоскость O1X1Y1 вектора
результатирующего момента, действующего на статор; <2^ и —
осевые составляющие соответствующих моментов; К = 1о& и
= 101^± — кинетические моменты ротора и статора соответ-
ственно; /,	— эквивалентные моменты инерции; 10 и /01—
полярные моменты инерции; йи — угловые скорости собствен-
ного вращения ротора и статора.
Левые части уравнений (2.16) содержат в качестве неизвестных
две комплексные переменные U и U± и две вещественные — К и
Моменты, стоящие в правых частях, являются функциями
переменных U, Uь е, ег.
Таким образом, взаимодействие между ротором и статором
устанавливается по правым частям уравнений (2.16).
Векторы моментов £ и 2?действующих на ротор и статор
соответственно, можно представить в виде:
(F-n + ^lc 4-£с + ^пр + ^в;
— /1°х (?' — П — ^lc-i2c-inp + ^1B.
(2.17)
Здесь F' и F” — главные векторы реакций смазочного слоя под-
шипников, приложенных к цапфам Аг и Л2; и ^2С — мо-
менты тангенциальных сил сопротивления, действующих на
цапфы; j?np — момент привода с учетом момента сопротивления
аэродинамических сил, действующих вне смазочной пленки; 2?ъ
и — возмущающие моменты, которые включают моменты сил
инерции переносного движения основания и гравитационных сил.
Поступательное движение ротора будет совершаться под дей-
ствием сил инерции и гравитационных сил, а уравнения посту-
пательного движения запишутся согласно теореме о движении
центра масс следующим образом:
F' + F" + FB;
Мёх —F'z + F'z + FzbJ
где е — ex F'~ F'x-FiF'y, Ff'~F"x~\- IF'y\ Fb= Fxb + iFyb»
Г' Г " V' Г" ----------------------___________________ ___________
Силы F', F", F'z, F"z определяются из решения уравнения Рей-
нольдса и представляют собой функции угловых и линейных пере-
мещений цапф в подшипниках (см. гл. III).
Уравнения (2.16), (2.18) представляют собой замкнутую си-
стему дифференциальных уравнений движения машины, содер-
жащую в качестве неизвестных три комплексные U, Uх, е и три
вещественные К, ez переменные, которые в свою очередь
являются функциями времени t Уравнения (2.16), (2.18) углового
и поступательного перемещения ротора и статора эквивалентны 9
скалярным уравнениям в обычной форме.
Эти уравнения были выведены в предположении, что эллип-
соиды инерции кожуха и ротора являются симметричными.
Обобщение их на случай несимметричных эллипсоидов инерции
не вызывает принципиальных затруднений, но связано с неко-
торым усложнением системы уравнений.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением симметричных ро-
торов, а несимметричность эллипсоида инерции статора будем
учитывать в каждом частном случае отдельно. /
Будем изучать, главным образом, газодинамические подшип-
ники, их жесткостные свойства как в статическом, так и динами-
ческом режимах. В связи с этим обратим внимание на то, что урав-
нения в форме (2.16), (2.18) удобны для изучения динамики гиро-
скопов с учетом податливости подшипников.
Уравнения (2.16), (2.18) пригодны также для описания дина-
мики гироскопов и машин с любыми другими опорами. В част-
ности, с помощью этих уравнений можно описать динамику
машины с электромагнитными или электростатическими опорами,
для чего требуется лишь выразить правые части уравнений через
соответствующие реакции подшипников.
При выводе уравнений (2.16), (2.18) с целью упрощения рас-
смотрена машина, статор который может совершать только угло-
вые перемещения. Однако полученные уравнения могут быть
легко распространены на случай, когда статор закреплен упруго
и может совершать дополнительно поступательные перемещения.
6.	Линеаризация уравнений движения машины
методом малых возмущений
Исследование динамики машины или гироскопа с газовыми
подшипниками в общем виде представляет собой чрезвычайно
сложную проблему, что обусловлено не столько большим числом
степеней свободы, сколько сложностью представления реакций
газовых подшипников в аналитической форме. Зависимости между
перемещениями ротора и реакциями газовых подшипников опре-
деляются обычно на основании решения уравнения Рейнольдса
для сжимаемой смазки..
Получение этих зависимостей в аналитическом виде в свою
очередь представляет серьезную проблему, которая в настоящее
время еще полностью не решена. В связи с этим весьма важное
значение имеет метод малых возмущений, который позволяет
рассмотреть проблему в линейном приближении [35].
Как будет видно из последующих разделов, динамические
реакции газовых подшипников в случае малых перемещений
в первом приближении могут быть описаны линейными интегро-
дифференциальными операторами и даже представлены переда-
точными функциями.
46
Рассмотрим предварительно дифференциальные уравнения ма-
лых движений для одноопорной машины, примером которой
является сферический гироскоп.
Предположим, что идеально уравновешенный ротор гироскопа
установлен на неподвижной платформе и совершает установив-
шееся вращательное движение вокруг оси фигуры, которая
совпадает с осью симметрии сферических подшипников. Пред-
положим также, что возмущающие силы и моменты равны нулю
(гравитационные силы относим к возмущающим). Это состояние
динамического равновесия будем называть невозмущенным.
Предположим далее, что .невозмущенное состояние динами-
ческого равновесия ротора асимптотически устойчиво в извест-
ном смысле по Ляпунову [20].
Тогда при любых достаточно малых начальных возмущениях
ротор будет совершать затухающие колебания в окрестности
невозмущенного состояния равновесия.
Заметим, что требование асимптотической устойчивости весьма
существенно для работоспособности подшипников на газовой
смазке.
Для получения уравнений малых колебаний ротора сфериче-
ского гироскопа будем исходить из уравнений (2.9), (2.11).
Варьируя эти уравнения в окрестности центрального поло-
жения динамического равновесия, когда Uo = е0 = eoz = 0;
Zo — Ко ~ const; Fo — Foz = LqX — L0Y = Loz = 0, по-
лучим в первом приближении:
I AU~ iK0 AU = — iA^ — i A^B;
AK - A 2^;
M Ae = AF + AFB; ]
(2.20)
MAez = AFz — AFZB. J
Здесь AU, Ae, Aez, AK — вариации соответствующих перемен-
ных; Ко =	— установившееся значение кинетического мо-
мента; АЗ? = А2?х + iAS?y‘, kF = AFX + iAFY — вариации мо-
ментов и сил, действующих на ротор, которые определяются на
основании решения краевой задачи газовой смазки для под-
шипника.	*
Уравнения возмущенного движения (2.19), (2.20) могут быть
записаны в проекциях на любые другие оси координат, например
на оси Резаля О£г]£ (рис. 11), связанные с ротором гироскопа, но
не участвующие в его собственном вращении. Так как невозму-
щенное положение оси фигуры гироскопа совпадает с осью OZ,
а отклонения предполагаются малыми, то с точностью до членов
второго порядка малости вариации сил и моментов запишутся
47
(2.19)
так:
откуда получаем:
Д^ + гД^;
ДР Др£ + i ДРП.
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
В дальнейшем мы будем отличать задачи исследования устой-
чивости и виброустойчивости подшипников от задач, связанных
с определением точности гироскопа как измерительного прибора.
В задачах первого типа влияние внешних возмущений изу-
чается с точки зрения виброустойчивости или вибропрочности
подшипников. В этих задачах главную роль играет движение
ротора по отношению к кожуху. В последующих главах главным
образом уделяется внимание задачам первого типа.
При исследовании малых поступательных движений ротора
сферического гироскопа в газодинамических опорах удобно рас-
сматривать уравнения (2.20) в проекциях на оси Резаля:
Л4 Де = AF 4- ДРв; )
Л/ГА** АГ I АГ	(2-25)
М = AF£ + AF£b, I
где &FB = AF|B + iAF^.
Можно показать, что экваториальная AF и осевая AFj со-
ставляющие вариаций сил реакций смазочного слоя в первом
приближении представляются независимыми линейными функ-
циями:
ДР^/(Де) + О(Де, Д^); ]
h (д^) + О. (Де, Де^), J
где /(...), f? (. . . ) — некоторые линейные операторы; О (.. .),
(?£(...) — перекрестные связи.
Система (2.25) в линейном приближении разбивается на две
подсистемы, если перекрестные связи достаточно слабые. В этом
случае малые колебания ротора в экваториальной плоскости и
в осевом направлении можно изучать раздельно, влияние же пере-
крестных связей, которыми пренебрегаем, можно оценить с по-
мощью метода, рассмотренного ниже.
Перейдем к рассмотрению машин, роторы которых имеют ось,
вращающуюся в двух подшипниках с газовой смазкой. Как и
48
в п. 4, будем рассматривать машину, как систему состоящую из
двух твердых тел, ротора и статора, с общим количеством степеней
свободы равным девяти.
Представим себе невозмущенное движение машины, при кото-
ром все переменные состояния остаются постоянными, за исклю-
чением циклической координаты, определяющей вращение ротора
вокруг оси фигуры. Все внешние возмущающие силы и моменты,
включая и гравитационную силу, будем при этом принимать
равными нулю. Заметим, что силу тяжести также относим к воз-
мущающим силам. Делается это ради того, чтобы сохранить сим-
метричную форму уравнений.
Рассматриваемое невозмущенное движение может быть реали-
зовано в условиях невесомости или при вертикальном располо-
жении вала.
В состоянии динамического равновесия ось фигуры ротора
будет совпадать с осью цапф. Для невозмущенного состояния
переменные будут иметь следующие значения:
(70 = U01 е0 = eoz = 0; Ко — const; Koi = Zq = 1;	1
So Soi = So^ = Sov S^ Si* - 0; F'o - F"o - Fob - 0. }
(2.27)
Заметим, что Ко 4= 0, тогда как Koi = 0- Это значит, что ротор
вращается с постоянной угловой скоростью относительно инер-
циальной системы координат, тогда как статор остается неподвиж-
ным, хотя в общем случае он может также вращаться вокруг
своей оси.	1
Соответствующие уравнения малых колебаний получим из
уравнений (2.16)—(2.18) путем варьирования последних в окрест-
ности невозмущенного положения динамического равновесия.
При варьировании будем учитывать, что Zo = 1. В результате
получим систему уравнений:
I — iKo -= — i &S — i
АЛ - A^+ &S&
Л A^- — i kSi~ i AS\B;
A^x = A^i + A^1B;	(2-28)
M Аё = \F’ + AF" + AFB;
MA^ = AF£ + AFg + AF£B.
В уравнениях (2.28) все переменные являются вариациями.
В правых частях уравнений стоят силы и моменты, которые пред-
полагаются достаточно малыми.
4 В. Н, Дроздович	49
В отличие от сферического гироскопа уравнения двухопорной
машины в правых частях содержат моменты не только сил сопро-
тивления, но и сил реакций F' и F" подшипников.
Система дифференциальных уравнений (2.28) может быть
разбита на группы, представляющие подсистемы. Для того чтобы
это осуществить, следует в правых частях (2.28) выделить главные
члены и члены, представляющие слабые перекрестные связи.
Обращаясь к выражениям (2.17), заметим, что моменты и
действующие на ротор и статор, складываются из моментов сил
сопротивления и привода. При установившемся невозмущенном
движении сумма этих моментов равна нулю тождественно, т. е.
момент сил сопротивления уравновешивается крутящим моментом
статора.
Сумма этих моментов будет оставаться малой, при малых коле-
баниях, и ее можно отнести к малым перекрестным связям. Одно-
временно будут малыми и проекции этих моментов на ось фигуры
ротора и ось цапф, что дает нам основание принять в первом
приближении AF ~ 0. Таким образом, 2 и 4-е уравнения
системы (2.28), определяющие движение ротора и статора по
циклическим координатам, в первом приближении на колебания
по другим переменным влияния не оказывают. Чтобы это было
верно, необходимо еще потребовать, чтобы подсистема
AF =	+ ASV	(2.29)
была устойчива по переменным А/С и А/(\, что возможно лишь
при наличии дополнительных связей, ограничивающих вращение
статора вокруг его оси симметрии. В противном случае с течением
времени вариации Д/С и Д/Ci могут стать настолько большими, что
их влиянием на другие подсистемы уже нельзя будет пренебрегать.
Рассмотрим далее первые члены правых частей уравнений
(2.17), которые выражают главные восстанавливающие моменты
подшипников.
Тогда, как это видно из рис. 12, б, можно написать:
? = Z(t° —Й); F = e-/(^-f?).	(2.30)
Первые члены правых частей выражений (2.17) можно предста-
вить следующим образом:
X (AF — AF) / [f° (AF^ - AF') + (AFi - AFg)];
— /й X (AF - AF)- / [Й (AF.i - AF"0 + (AFy - AF^)].
Из них с точностью до членов 2-го порядка малости получим
А^ - — А^х -	+ i A5V- il (AF — AF").	(2.31)
50
Учитывая далее, что в первом приближении А/7' и AF" выражаются
с помощью линейного оператора через Ае' и Ае" (2.23), будем
иметь
А 2? -	—	(2.32)
Из (2.30) с точностью до членов 2-го порядка малости
Al' - Ае" = 2/ if0 (X - Хх) + n (Y - Л)],
откуда получаем
А'е' — Де" = 2/(Д(7 —А^).	(2.33)
Подставляя (2.32) в (2.31) и учитывая (2.33), найдем с точностью
до перекрестных связей
А£? = — А£\ - 2z77(A/7—At/J.	(2.34)
Правые части последних двух уравнений системы (2.28) также
можно линеаризовать.
Действительно, для тех же условий, что и выше, можно на-
писать:
AF'4-AF" = / (Ае'-j-Ае"); 1
АП + АГ£ = /£(А/ + Де'). J	(
Учитывая (2.30), найдем
Де' + Ае" - 2 Де.	(2.36)
Следовательно,
AF' + Ы = V (Ае); 1
+ АГ = (Aes). J	1	'
Подставляя выражения (2.34) и (2.37) в уравнения (2.28), получим:
I\U~ iK0 ли - 2/7 (NU — А €7Х) — / А^в;	(2.38)
Ц = — 2l2f (MJ — At7x) — i А^1В;	(2.39)
7И А*е* = 2/(Ле) -1-AFB;	(2.40)
A4A'e^2^(Ae^) + AF,B.	(2.41)
Таким образом, с точностью до перекрестных связей наша си-
стема (2.28) Оказалась представленной пятью линейными под-
системами (2.29), (2.38)—(2.41). Возможность разделения полной
системы уравнений на простейшие подсистемы имеет чрезвычайно
важное значение для аналитического исследования гироскопов и
машин на подшипниках с газовой смазкой.
Следует отметить, что выведенные выше уравнения малых
колебаний справедливы для случая, когда в невозмущенном состоя-
нии все внешние силы ^Ов = 2?oib =	= 0- В более
общем случае, когда за невозмущенное принимается смещенное
положение динамического равновесия е0 #= 0, т. е. в невозмущен-
4*	51
ном состоянии на ротор действует постоянная гравитационная
сила, уравнения малых колебаний будут несколько сложнее.
В этом последнем сдучае смещение е0 уже нельзя принимать ма-
лым, в силу чего функции, выражающие отображения смещений Ае
и Ае^ в реакции AF и AF^, следует варьировать в окрестности
смещенного положения равновесия.
Дифференциальные уравнения малых колебаний для машины
с газодинамическими подшипниками иной конфигурации (кони-
ческие, цилиндрические и т. д.) будут иметь ту же форму, что
и для сферических подшипников.
Действительно, если цапфы несферических подшипников имеют
симметричные формы, т. е. несущие поверхности их являются
поверхностями вращения, а ось симметрии цапф совпадает с осью
фигуры ротора, то выбрав две точки О' и О" на оси цапф так,
чтобы они располагались на одинаковом расстоянии от центра
масс, мы можем привести реакции смазочного слоя к главным
векторам F', F" и главным моментам j?', <£” относительно точек
О', О". -
Формы поверхностей подшипников будут влиять только на
структуру операторов, с помощью которых смещения е', е” ото-
бражаются в реакции F', F”, S?', S7".
При выводе уравнений мы всюду предполагали, что несущие
поверхности цапф являются поверхностями вращения, оси сим-
метрии которых совпадают сz осью фигуры; это же относится и
к несущим поверхностям подшипников.
В действительности реальные формы упомянутых поверх-
ностей отклоняются от идеальных. Отклонения, обусловленные
погрешностями изготовления, можно рассматривать как «возму-
щения» и учесть их в правых частях уравнений как переменные
во времени - возмущающие силы и моменты.
К этому следует добавить, что отклонение оси фигуры от оси
симметрии эллипсоида инерции ротора также можно отнести
за счет погрешностей несущих поверхностей цапф. Последнее
обстоятельство позволяет учитывать статический и динамический
дисбалансы совместно с погрешностями несущих поверхностей
в виде эквивалентных внешних возмущающих сил и моментов.
7.	Основные понятия устойчивости
и виброустойчивости машин на подшипниках
с газовой смазкой
Составной частью общей проблемы развития и применения
подшипников с газовой смазкой является проблема обеспечения
устойчивости и виброустойчивости роторов машин и гироскопов
на газодинамических подшипниках.
ё2
Нормальный режим работы гироскопа или машины с газоди-
намическим подвесом ротора иногда называют режимом «леви-
тации». В таком режиме ротор вращается в газодинамических
опорах без сухого трения, обусловленного механическими кон-
тактами между несущими поверхностями. Поддержание этого
режима есть необходимое условие работоспособности подшип-
ников с газовой смазкой в большинстве случаев. Исключение
составляют некоторые гироскопы и слабонагруженные машины,
подшипники которых при разгоне и остановке могут работать
в режиме граничной смазки.
Нарушение режима левитации может произойти при чрезмер-
->
ных перегрузках, когда смещение |е| ротора относительно под-
шипников будет соизмеримо с величиной рабочих зазоров.
Обычно подшипники рассчитывают так, чтобы они выдержи-
вали заданную статическую нагрузку без нарушения нормального
режима. В этом случае соответствующее статическое смещение
должно быть меньше некоторого б—ЯтШ, где hm,n — наименьший
допустимый зазор; б — средний зазор при е = 0 [58]. Такой
расчет еще не обеспечивает работоспособности подшипников
машины или гироскопа, так как положение динамического равно-
весия может оказаться неустойчивым.
Обычно при потере устойчивости равновесного состояния центр
масс ротора совершает периодическое движение с частотой, близ-
кой к половине скорости вращения ротора.
Другими источниками возникновения колебаний центра масс
ротора могут служить вибрации основания или удары.
Неустойчивость равновесного состояния должна быть исклю-
чена, так как при этом нарушается режим левитации. Но одной
устойчивости недостаточно для работоспособности подшипников,
так как при наличии значительных вибрационных перегрузок
возможен механический контакт цапфы и подшипника. Последнее
обстоятельство особенно опасно для гироскопов, которые обычно
работают на подвижных основаниях, испытывающих значитель-
ные вибрации.
Количественно виброустойчивость можно оценить амплитудой
вынужденных колебаний ротора относительно статора, порож-
даемых вибрацией основания. В общем случае как устойчивость,
так и виброустойчивость может быть исследована методами спек-
трального анализа по частотным характеристикам.
При исследовании колебаний ротора машин, даже в простей-
шем случае неподвижного статора, уравнения движения довольно
сложны из-за сложности операторов, представляющих реакции
газодинамических подшипников.
В рамках теории малых колебаний реакции подшипников могут
быть приближенно выражены линейными зависимостями от век-
торов смещений ротора. В этом случае реакции можно определить
с помощью передаточных функций. Например, для цилиндриче-
53
ского подшипника при малых радиальных колебаниях цапфы
в окрестности центрального положения реакция А/7 представляется
в виде
AF-—G(p, i)Xe,	(2.42)
где AF = AF^ + Ае --=	+ iАел — изображения по Лап-
ласу соответствующих переменных, ар — параметр преобразова-
ния Лапласа по времени t.
Передаточная функция радиальной реакции G (р, I) играет
особенно важную роль при исследовании возможных вихревых
форм неустойчивости. Эта передаточная функция представляется
в общем случае мероморфной функцией.
Таким же образом могут быть представлены реакции других
типов подшипников. Это представление весьма удобно полу-
чается на основе решения краевой задачи газовой смазки.
Для уточнения передаточных функций может быть применен
метод гармонического баланса. Представление реакций подшип-
ников с помощью передаточных функций открывает возможность
применения к исследованию подшипников с газовой смазкой
частотных методов. Заметим, что частотные методы можно при-
менять к газодинамическим подшипникам и не пользуясь пере-
даточными функциями, а применяя к уравнению Рейнольдса метод
гармонической линеаризации. По этому пути пошли Пэн [74]
и Марш [72].
В дальнейшем не отдается предпочтения какому-либо одному
из этих методов, а применяется комбинированный подход, соче-
тающий представления реакции через передаточные функции
с последующим уточнением элементов частотных характеристик
методом гармонической линеаризации. В соответствии с этим
исследование устойчивости проводится с помощью известного
критерия Михайлова—Найквиста. Применение критерия Гурвица
к рассматриваемым здесь задачам затруднительно или вообще
невозможно, так как приходится иметь дело с уравнениями
довольно высокого порядка, имеющими комплексные коэффи-
циенты.
Частотный критерий устойчивости Михайлова—Найквиста
основан на принципе аргумента теории функций комплексного
переменного.
Напомним формулировку этого критерия.
Если дано характеристическое уравнение А (р) ее Р (р) +
+ Q (р) = 0, причем функция Г (р) = Р (p)/Q (р) имеет т по-
люсов в правой полуплоскости комплексного переменного р,
а все остальные в левой, то для^ устойчивости необходимо и до-
статочно, чтобы приращение аргумента функции 1 + Г (го) при
изменении (о от —оо до +оо было равно —2лт, т. е. вектор го-
дографа функции Г (гео) должен повернуться вокруг точки
—1+Ю ровно т раз. Если это условие не выполняется, то харак-
54
теристическое уравнение'А (р) = 0 имеет корни в правой полу-
плоскости и, следовательно, система неустойчива.
При применении этого критерия для исследования устойчи-
вости подсистем, описывающих колебания ротора в газодинами-
ческих подшипниках, встречается случай, когда функция имеет
двукратный полюс р = 0. В этом случае частотный критерий
требует уточнения в соответствии с принципом аргумента теории
функций комплексного переменного.
Анализ распределения корней характеристического уравне-
ния А (р) = 0 можно провести и по другому. Предварительно
укажем, что для газовой смазки задачу о характере распределе-
ния корней уравнения А (р) = 0 можно заменить задачей о рас-
Рис. 13
пределении нулей функции V (р) = /Ир2 + G (р, t), т. к. струк-
тура рассматриваемых подсистем определяет тождество нулей
функций А (р) и V (р). Функция V (р) имеет особенности, равные
полюсам функции G (р, f), которые, как можно показать, лежат
в левой полуплоскости комплексного переменного р.
На основании принципа аргумента можно заключить, что все
нули функции V (р) будут лежать в левой полуплоскости, если
число полных оборотов вектора V (р) вокруг начала координат
в плоскости V при изменении р вдоль контура с =	+ с~
(рис. 13, а) в положительном направлении будет равно нулю.
Изменяя р вдоль контура с, будем считать число оборотов,
которые при этом совершает вектор, изображающий функцию V (р),
вокруг начала координат.
Будем сначала изменять р вдоль полуокружности С+ беско-
нечно большого радиуса (рис. 13, а). Введем замену по формуле
р = р exp (£ф),	(2.43)
тогда при р —>оо получим
lim V (р) = lim/Ир2 exp (Z2cp) + lim G [р exp (Z<p), г].	(2.44)
P~»co	p->CO	p->CO
Ввиду того что на контуре с+ функция G (р, i) не содержит
особенностей, второе слагаемое в .(2.44) ограничено по
55
модулю и
1 im V(p) — lim Л4р‘2 exp (i2<p).	(2.45)
p ->OO	p->oo
Из равенства (2.45) видно, что при обходе контура вдоль с+
модуль V (р) остается неизменным, а аргумент получает прира-
щение, равное 2л.
Таким образом, вектор, изображающий функцию V (р), по-
вернется в плоскости V на угол 2л против хода часовой стрелки,
т. е. совершит один оборот вокруг начала координат.
Тогда, согласно принципу аргумента и критерия устойчивости
по которым полное число оборотов вектора JV (р) при обходе точ-
кой р контура с =	+ с~ должно равняться нулю, приходим
к критерию, сходному с критерием Найквиста—Михайлова для
систем с распределенными параметрами: для того чтобы система
была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении р
вдоль мнимой оси от до —Zoo число оборотов вектора V (р)
по часовой стрелке вокруг начала координат равнялось единице.
Выделение области изменения параметров, определяющих
устойчивость, может быть осуществлено с помощью известного
в теории автоматического регулирования метода /5-разбиения *.
Весьма полезными для исследования динамики газовых под-
шипников являются идеи и средства теории автоматического регу-
лирования. Действительно, систему ротор—подшипники можно
рассматривать как многомерную систему стабилизации положе-
ния вращающегося ротора относительно подшипников.
Каждую из подсистем можно рассматривать как отдельный
канал системы стабилизации с обратной связью, в которой роль
регулятора прямого действия выполняет смазочная пленка, а ре-
гулирующим воздействием является соответствующая составля-
ющая силы реакции.
В этой схеме смазочную пленку можно рассматривать как
бесконечномерное континуальное звено с интегральными вы-
ходами по нескольким каналам.
Отдельные каналы в общей структуре являются двухмерными
и представляются комплексными уравнениями.
Так подсистема, описываемая уравнением (2.40), выступает
как канал стабилизации центра масс ротора в его экваториальной
плоскости по координатам и эквивалентным одной комплекс-
ной переменной е =	+ ieK Эквивалентная структурная схема
(рис. 13, б) содержит два звена: объект стабилизации с передаточ-
ной функцией 1/Л4р2 и регулятор с передаточной функцией
G (р, I). Это соответствует уравнениям канала:
е=-^(AF-AFB); NF = ~G(p, ife .	(2.46)
* Теория автоматического регулирования. Под ред. Солодовникова. Кн. 1.
М., Машиностроение, 1967. 768 с.
56
Здесь е, А/7, АЛВ — изображения по Лапласу, р — оператор
преобразования Лапласа по времени t\ G (р, I) — комплексная
передаточная функция смазочной пленки как эквивалентного
регулятора соответствующего канала.
Исходя из этого представления, получаем передаточную функ-
цию эквивалентной разомкнутой цепи стабилизации, равную
Г(р)-	•	(2.47)
Точно так же можно построить структурные схемы и найти соот-
ветствующие передаточные функции эквивалентных разомкнутых
цепей для всех прочих подсистем.
Для исследования устойчивости и виброустойчивости под-
систем типа (2.46) следует исходить из амплитудно-фазового кри-
терия для комплексных передаточных функций. Особенностью
применения этого критерия к комплексным передаточным функ-
циям является то, что годограф частотной характеристики будет
уже несимметричен относительно вещественной оси, так что его
следует строить для всего диапазона изменения: р — iw, —со <
< СО < + оо.
8.	К вопросу о влиянии перекрестных связей
на устойчивость ротора
в газодинамических подшипниках
Обозримость и простота результатов исследования устойчи-
вости ротора в газодинамических опорах зависят от упрощений,
и, в частности, от разделения замкнутой системы на подсистемы.
При этом приходится пренебрегать перекрестными связями, в со-
став которых могут входить и линейные.
В данном параграфе рассматривается способ, позволяющий
учитывать влияние линейных составляющих перекрестных свя-
зей между подсистемами на устойчивость связанной системы.
Дальнейшее исследование динамики роторов в подшипниках
с газовой смазкой базируется на том, что при малых движениях
ротора в окрестности равновесного положения вариации состав-
ляющих реакций AF и А 5? могут быть представлены линейными
операторами. Относительно этих операторов еще предполагается,
что они допускают применение преобразования Лапласа. Другими
словами, предполагается, что вариации реакций подшипников АЛ,
AFn и АЛ; выражаются через передаточные функции.
В общем случае эти выражения записываются в виде:
А/7^ = — Gn Ае^ — G12 Аел — G13 Ае<,
А/7= G21 Ае. G22 Ав-q G23 Ае-,
AF— G31	G32 Ае^ G33 Ae^,
(2.48)
57
где G]k = Gji; (p, 4,	e£); /, k = 1, 2, 3 — передаточные функ-
ции, зависящие от трех скалярных параметров и параметра пре-
образования Лапласа р. Можно показать, что все передаточные
функции являются рациональными дробями с полюсами, распо-
ложенными в левой полуплоскости р.
Условимся для случая несмещенного положения равновесия,
когда	= 0, вариации записывать без значка Д,
так как в этом случае все переменные сами являются вариациями.
Для несмещенного положения равновесия формулы (2.48)
упрощаются и принимают вид:
G13 ----- 0;
= — G2l^ —G22en; G23 = 0;
— — G33es; G31 = G32 — 0.
(2.49)
Из (2.48) следует, что при колебаниях в окрестности смещен-
ного положения равновесия (е0	0) имеют место линейные пере-
крестные связи, которые можно считать слабыми то'лько при
достаточно малом |е0|.
Все вышеизложенное справедливо и для моментов
и с той лишь разницей, что их вариации для несмещенного
положения равновесия относительно ец и будут представ-
ляться уже членами второго порядка малости.
Таким образом, подсистемы не содержат линейных перекрест-
ных связей только в случае центрального положения динамиче-
ского равновесия, когда е0 = 0.
Это свойство ненагруженных подшипников удобно исполь-
зовать и при исследовании нагруженных. * Применяя методы тео-
рии возмущений, можно в первом приближении пренебречь пере-
крестными связями и в случае е0 =р 0, но при этом следует оце-
нивать их влияние на устойчивость.
Идея метода оценки основана на принципе аргумента теории
функций комплексного переменного, упомянутого выше.
Представим себе связанную линейную систему, в состав кото-
рой могут входить подсистемы как с вещественными, так и ком-
плексными переменными состояния.
Предположим, что в результате последовательного применения
к дифференциальным уравнениям этой системы преобразования
Лапласа и формул Крамера мы разрешили их относительно одной
из переменных состояния
R (р, Г) S G'k (р’
(2.50)
Здесь Zk и — изображения по Лапласу k-й переменной со-
стояния и /-й возмущающей силы соответственно; р — параметр
58-
преобразования Лапласа по времени Z; R (р, i)\ Gjk (р, i) —
рациональные функции комплексного переменного р, имеющие
вид,:
<2'5|)
где Д (р, 0; Q (р, 0; Pjk (Р, 0’, Qjk (р, 0 — многочлены с комплекс-
ными коэффициентами; Q (р, i) — многочлен, равный наимень-
шему общему кратному многочленов Q/k (р, i).
Предположим далее, что все нули функций Q/k (р, Г) распо-
лагаются в левой полуплоскости комплексного переменного р.
Представим рациональную функцию R (р, 0 в виде суммы:
R (Р, 0 =	(Р> 0 + 5 (Р> 0,	(2.52)
где 7?0 (р, 0 — функция, соответствующая несвязанной системе;
S (р, 0 — функция влияния перекрестных связей. Относительно
функции влияния S (р, 0 предполагается, что она так же, как и
функция Ro (р, I), регулярна в бесконечности и все ее полюсы
лежат в левой полуплоскости р.
Таким образом, устойчивость связанной системы определяется
расположением в плоскости комплексного переменного р нулей
характеристического многочлена или нулей функции R (р, I).
Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все нули функ-
ции R (р, 0 располагались слева от мнимой оси.
Поставим теперь задачу найти условия, при выполнении кото-
рых из устойчивости подсистем в несвязанной системе следует
устойчивость связанной системы. Другими словами, требуется
найти условия, накладываемые на функцию влияния S (р, 0,
при выполнении которых все нули функции R (р. 0 распола-
гаются в левой полуплоскости р, если там расположены все нули
функции R о (р, 0.
Ответ на вопрос, поставленный в задаче, может быть найден
на основе следующей теоремы.
Теорема. Если все нули A^o и полюсы Ро функции 7?0 (р, 0
и все полюсы Рг функции S (р, 0 лежат в левой полуплоскости
комплексного переменного р и если на контуре С = С+ + С~
(рис. 13, а) выполняется условие
|/?o(p,0|>|S(p,0|,	(2.53)
то все нули N функции Ro (Р, 0 + S (р, 0 будут также лежать
в левой полуплоскости р.
Доказательство. Эта теорема доказывается на основе
принципа аргумента так же, как известная теорема Руше для
целых функций. Если принять за область D всю правую полу-
плоскость комплексного переменного р, ограниченную кривой
59
С = С+ + С (рис. 13, а), то представив функцию (р, 0 +
+ 5 (р, I) в виде
7?0 (р, i) + S (р, 0 = (р, О Г1 + 4^41 ’	(2-54)
L Ао \Р, I) J
найдем
Arg [/?0 (р, г) + S (р, 0] = Arg Ro (р, i) + Arg Г1 + -f (р’ 'И . (2.55)
L Л0 {Р> l)J
При обходе контура С, когда р принимает значения, соответ-
л Г 1 . S (р, i) “I
ствующие точкам этого контура, приращение Arg 4~	./у J
в силу условия теоремы будет равно нулю, так как при функции
|S (р,0 /7? 0 (р, ь) | <1 соответствующий вектор не делает ни
одного оборота вокруг начала координат, отсюда на основании
принципа аргумента и условий теоремы получаем
Л/ ——Ро-0.	(2.56)
Так как все полюсы функций (р, I) и S (р, 0 лежат в левой
полуплоскости р по условию теоремы, а полюсы суммы /?0 (р, 0+
+ S (р, 0 не содержат значений, не совпадающих с полюсами
функций Rо (р, I) и S (р, 0, то Р— число полюсов суммы Ro (Р>0+
4~ S (р, 0, лежащих в правой полуплоскости, — равно нулю.
Из (2.56) получаем
N - 0,	(2.57)
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекает ответ на вопрос о влиянии
перекрестных связей на устойчивость взаимодействующих между
собой подсистем.
В самом деле, если известно, что подсистемы при отсутствии
перекрестных связей устойчивы асимптотически, то при доста-
точно слабых перекрестных связях, когда функция влияния
удовлетворяет условию |А?0 (fco, 0| < |S (/со, 0| для всех
со - (—оэ, +оо), связанная система будет также устойчива асимп-
тотически.
В качестве примера рассмотрим сферический гироскоп на газо-
динамических опорах с профилированной поверхностью, когда
положение динамического равновесия смещено вдоль оси фигуры
е0||£0. Уравнения малых поступательных колебаний гироскопа
в окрестности положения равновесия на основании выражений
(2.48) могут быть записаны в следующем приведенном виде:
Мр2 Ае = — Gu Ае — (1 + г) Gls Ае, + FB;
Мр2 Де,---,— G33Ae,---i-(i — i)GalAe—
—Ь(1 + 1)(?31Хе*+^в.	j
(2.58)
GO
Здесь Л4 — массй ротора; Де = Д^ + £Де — изображение по
Лапласу комплексного смещения центра масс в экваториальной
плоскости; Де* — комплексно сопряженное с Де; Де^ — изобра-
жение по Лапласу осевого смещения из положения равновесия;
G1JL = GU| + Gini — комплексная передаточная функция; G33 —
вещественная передаточная функция; G13, G31 — передаточные
функции перекрестных связей.
Передаточные функции G13'n G31 зависят от смещения е0 как
параметра и обращаются в нуль при е0 = 0.
К уравнениям (2.58) необходимо еще присоединить сопряжен-
ное уравнение
Мр*	= — G33 Д^ — 4- (1 + Q G31 Де* — -*- (1 — i) G31 Ле + ^в.
(2.59)
Рассматривая (2.58) и (2.59) как систему линейных алгебраи-
ческих уравнений с тремя неизвестными Де, Де* и Де-, можно
свести ее к системе двух уравнений относительно Де и Де*.
Определитель последней будет иметь следующий вид:
R (р, 0 = Ro (р, 0 (1 —	ГGi3G3i (Л + А’) — 2G?3G§i В, (2.60)
(	\Р’ Ч L	J J
где
R0(p,i) = A(p,i)A*(p, i)-,
А (р, i) — [Мр2 + Gu (р, 0] [Мр? + G33 (р)];
А*(р, i) = А(р,— i).
(2-61)
Допустим, что передаточные функции Gn (р, i); G13 (р); Оз1 (р);
G33 (р) не имеют полюсов в правой полуплоскости комплексного
переменного р. Кроме того, если подсистемы устойчивы при
отсутствии перекрестных связей, то все нули функции А?о (р, i)
будут лежать в левой полуплоскости р. Поэтому, чтобы пере-
крестные связи не нарушали асимптотической устойчивости,
достаточно выполнить условие (2.53) теоремы.
Так как все нули и полюсы функции А?о (р, 0 лежат в левой
полуплоскости р, то для точек мнимой оси существует такое
L ф 0, что | A (i<o, i) \ > L и | A (ico, —i | > L. Кроме того,
в силу свойств передаточных функций G13 и G31, для любого
8 > 0 можно указать такое ет, что
I G13 (fco) | < 8; | G31 (fco) | < 8,	(2.62)
как только |е0| < ет.
Тогда получаем оценку
I б13б31 (Л+ Х*)-20136^1 г г /11 \	9 |G23G231|
I	I < I ^13^311Д | л | + РГФ + 2 ГЛЦ ЛМ <
2е2 .	2е4
— + —2“ •
(2.63)
61
Величину L в неравенстве (2.63) можно рассматривать как
величину запаса устойчивости несвязанных подсистем. В част-
ности, если подсистема находится на границе области устойчи-
вости и запас устойчивости нулевой, из (2.61) следует, что L = 0.
Таким образом, из оценки (2.63) и условия теоремы (2.53)
следует, что при достаточно малом статическом смещении ет
(малое е) и большом запасе устойчивости подсистем (большое L)
из асимптотической устойчивости несвязанных подсистем следует
устойчивость всей связанной системы.
Необходимо помнить, что в общем случае перекрестные связи
могут как уменьшать, так и увеличивать запас устойчивости
всей системы.
ГЛАВА III
УРАВНЕНИЯ ГАЗОВ0Й СМАЗКИ ПОДШИПНИКОВ
СКОЛЬЖЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
9.	Основные предпосылки к постановке
краевых задач для газодинамических подшипников
скольжения
Целью, преследуемой в данной главе, является постановка
краевых задач для нестационарного течения сжимаемой смазки
между движущимися относительно друг друга несущими поверх-
ностями подшипников различной конфигурации. В этой главе
обсуждаются также известные методы решения краевых задач
газовой смазки и выбирается методика, которая принимается
в качестве основной для дальнейшего анализа.
Рассмотрим современные взгляды на традиционные физические
допущения классической теории смазочного слоя, начало которой
было положено работами Н. П. Петрова и О. Рейнольдса, относя-
щимися к 80-м годам прошлого столетия [6], и которая была
обобщена на случай сжимаемой (газовой) смазки в 50-х годах
нашего века. Хотя в последнее время в теоретических исследова-
ниях по гидродинамическим и газовым опорам все чаще наблю-
дается не всегда оправданный отход от этих классических допу-
щений, тем не менее и сейчас большинство новых работ в этой
области продолжает опираться на них, и если даже они специально
не оговариваются, то обычно подразумеваются.
Приведем краткую формулировку этих допущений, расположив
их в таком порядке, чтобы каждое последующее допущение имело
более частный характер, чем предыдущие, охватывая в то же время
наиболее типичные задачи, которые составляют основной предмет
гидрогазодинамической теории смазки:
1)	смазочное вещество может рассматриваться как сплошная
среда;
62
2)	динамический коэффициент вязкости смазки не зависит
от давления;
3)	режим течения'в смазочном слое является ламинарным;
4)	тепловой режим в смазочном слое можно считать изотер-
мическим;
5)	силами инерции смазки можно пренебречь.
Первое допущение позволяет отвлечься от того факта, что
любая среда, в конечном счете, состоит из дискретных частиц,
и ввести понятие бесконечно малого объема жидкости (газа),
оправдывая тем самым использование эффективного математиче-
ского аппарата механики сплошных сред — дифференциальных
уравнений в частных производных, в которых независимыми
переменными являются пространственные координаты (и, вообще
говоря, время). Различные сплошные среды, изучаемые гидро-
аэродинамикой, реологией [31], теорией упругости и пластич-
ности, характеризуются тем или иным законом связи между
внутренними напряжениями и соответствующими деформациями
элементарных объемов. Гидроаэродинамика имеет дело с так
называемыми ньютоновскими средами, для которых тензор напря-
жений линейным образом связан с тензором скоростей деформа-
ции [31 ], причем эта связь осуществляется через динамический
коэффициент вязкости; последний не может зависеть от компо-
нент упомянутых тензоров в силу линейного характера связи
между этими тензорами. Именно отсюда следует второе из сформу-
лированных выше пяти допущений гидрогазодинамической теории
смазки: поскольку давление обычно трактуется как среднее ариф-
метическое диагональных компонент тензора напряжений, то
динамическая вязкость ньютоновских сред не может зависеть
и от давления.
Третье допущение надо понимать в том смысле, что из двух
основных режимов течения жидкостей и газов — ламинарного
и турбулентного — более характерным для тонких смазочных
зазоров реальных подшипников является ламинарный режим.
Ламинарные течения, в отличие от турбулентных, допускают более
строгий математический анализ, не связанный с применением
полуэмпирических или статистических методов, опирающийся
на известные уравнения Навье—Стокса [31 ]. Эти уравнения
динамики вязких ламинарных потоков составляют в общем случае
единую систему с уравнением сплошности и уравнением баланса
энергии. Однако допущение об изотермичное™ потока (четвертое
допущение) позволяет исключить последнее уравнение из упомя-
нутой системы. Наконец, пятое допущение позволяет значительно
упростить уравнения Навье—Стокса, исключив из них «инер-
ционные» члены. Следует подчеркнуть, что именно это последнее
допущение представляется наиболее характерным для гидрогазо-
динамической теории смазки, которую часто определяют как
теорию медленных (безынерционных) течений жидкостей и газов
в тонких зазорах. Заметим, что в потоках смазки, кроме сил инер-
63
ции, пренебрегают также массовыми силами, влияние которых
оказывается ничтожным и в большинстве других задач гидро-
аэродинамики. Таким образом, теория смазки имеет дело с тече-
ниями, в которых основную роль играют поверхностные силы:
давления и внутреннего трения (вязкости).
Из этих предварительных замечаний видно, что сформулиро-
ванные выше допущения образуют некоторую систему, в которой
каждое из них занимает определенное место. Проведем теперь
более подробный анализ этих допущений, их важнейших след-
ствий, условий применимости к гидродинамическим и газовым
подшипникам, возможных обобщений, а также взаимосвязи между
отдельными допущениями.
Первое допущение лимитируется величиной числа Кнудсена,
определяемого (применительно к задачам смазки) как Кп =
= /р//го, где /р — средняя длина свободного пробега молекулы
жидкости или газа, ho — характерная толщина зазора; иногда под
числом Кнудсена понимают обратную величину. Строго говоря,
среда может считаться сплошной при Кп —> 0, практически же
влияние дискретности среды становится ощутимым лишь при
Кп О (10~2). Если в гидродинамических подшипниках последнее
условие всегда выполняется, то в газовых подшипниках длина
свободного пробега может оказаться соизмеримой с толщиной
зазора. Действительно, в настоящее время уже используются
газовые опоры со средней толщиной зазора в 1—2 мкм, а мини-
мальная толщина может измеряться десятыми долями микро-
метра. Для сравнения заметим, что средняя длина свободного
пробега молекулы воздуха, который чаще всего используется
в качестве газовой смазки, при обычных атмосферных условиях
приблизительно равна 0,06—0,07 мкм,х а на значительной высоте
над поверхностью земли—еще больше. Тем не менее в диапазоне
0 (10~2)	Кп-<~ 0 (10-1), который обычно соответствует при-
веденным выше размерам, допустимо пользоваться обычными
дифференциальными уравнениями гидроаэродинамики сплошной
среды, если видоизменить граничные условия на омываемых газом
твердых поверхностях, учтя в этих условиях эффект проскальзы-
вания газа вдоль поверхности, не наблюдающийся в сплошных
средах [59]. Именно такой подход позволил Бургдорферу [60]
применить уравнение Рейнольдса (см. п. 10), которое описывает
распределение давления в смазочном слое газового подшипника
(его вид зависит от упомянутых граничных условий), для случая,
когда подшипник смазывается слабо разреженным газом, введя
в это уравнение поправочные коэффициенты, зависящие от числа
Кнудсена и не меняющие общей структуры уравнения.
Заметим, что при более высокой степени разреженности газа
[0 (1СН1) Кп < 0 (1)] требуют уточнения не только граничные
условия, но и основные уравнения гидроаэродинамики, а при
исследовании течений сильно разреженных газов эти уравнения
вообще не могут быть положены в основу анализа, и приходится
64
использовать кинетическую теорию газов [59]. Если учесть, что
в реальных подшипниках х = ho/L < 1, где L — характерный
размер подшипника (на практике х = 10~*4-10~5), то из урав-
нения сплошности следует, что поперечные скорости vn в жидком
смазочном слое, а также в стационарном газовом слое весьма
малы по сравнению с продольными скоростями vs, а именно
vn/vs — О (х)- Тогда, используя уравнения Навье—Стокса, удается
показать, что с точностью до величин порядка 0(х2) изменением
давления поперек слоя можно пренебречь, т. е. принять др/дп = О
(где р — давление в слое; п — координата, отсчитываемая по
нормали к его поверхности). В нестационарных задачах газовой
смазки этот результат не всегда допускает формальное обоснова-
ние, и тогда его принимают как дополнительную гипотезу.
Важно отметить, что условие х<^1, несмотря на его кажу-
щуюся очевидность, может быть безоговорочно принято лишь
при достаточно плавном изменении толщины смазочного слоя по
координатам. Если же на смазываемой поверхности имеются
участки, где толщина слоя резко меняется, то для каждого такого
участка следует вместо параметра х ввести локальный пара-
метр xz = hJL-, принимая за характерный продольный размер Lt
протяженность i-го участка в направлении наиболее быстрого
изменения толщины слоя. Величина xz может быть сколь угодно
большой, поэтому на указанных участках давление может ощу-
тимо меняться поперек смазочного слоя. Отсюда, в частности,
следует, что линии скачкообразного изменения толщины смазоч-
ного слоя следует рассматривать как особые линии в области
интегрирования уравнения Рейнольдса, вблизи которых обычные
приближения теории смазки несправедливы.
Второе допущение, сформулированное в начале параграфа,
не опровергает того факта, что динамическая вязкость реальных
смазок может зависеть от давления. Однако если такая зависи-
мость имеет место и подлежит учету, то использование обычной
гидрогазодинамической теории смазки является некорректным.
В этом случае теория смазки должна опираться не на гидроаэро-
динамику, а на реологию, изучающую течения неньютоновских
жидкостей, к числу которых относятся и смазки с вязкостью,
зависящей от давления. Проблема разработки реологической тео-
рии смазки (Аппелдорн [46, т. 90, № 3]) актуальна в первую
очередь для жидкостных подшипников, поскольку при тех уме-
ренных давлениях в смазочном слое, которые характерны для
газовых опор, вязкость газов практически не зависит от давле-
ния [25].
Третье допущение (о ламинарности потока смазки) сейчас
уже не является общепринятым. К середине 60-х годов были раз-
работаны основы полуэмпирической теории турбулентной смазки
[63], которая получила дальнейшее развитие в трудах симпо-
зиума «Гидродинамическая смазка: турбулентность и родственные
явления», состоявшегося в США в 1973 г. [46, т. 96, № 1 ].
5 В. Н. Дроздович	65
Принято считать, что турбулентный режим начинает разви-
ваться при условии, что число Рейнольдса Re, для смазочного
зазора равное p[7/i0/pi (где р, р, U, hQ — характерные значения
динамической вязкости, плотности, продольной скорости и тол-
щины зазора соответственно), превышает некоторое критическое
значение Re* —0 (103). Основной предпосылкой возникновения
турбулентности является нарушение гидродинамической устой-
чивости ламинарного потока [31 ]., Условие перехода от ламинар-
ного режима к турбулентному в смазочном слое подшипника
можно записать в виде
Rec = xRe = -в- > xRe* = Rec*,	(3.1)
где Rec — «Смазочное» число Рейнольдса, употребление которого
в качестве характерного физического критерия подобия потоков
жидкости и газа в тонких зазорах (х < 1) вместо обычного числа
Рейнольдса Re является более оправданным [51 ]. Критическое
значение «смазочного» числа Рейнольдса Rec есть величина по-
рядка единицы. Поскольку число Рейнольдса можно интерпрети-
ровать как отношение сил инерции потока к силам вязкости [31 ],
то из условия (3.1) вытекает, что турбулентный поток не может
быть безынерционным. Поэтому следует подвергнуть серьезному
критическому анализу возможность применения к турбулентным
потокам наиболее характерного физического допущения теории
смазки о пренебрежимой малости влияния инерционных эффектов
в смазочном слое (пятое допущение). Этот вопрос рассмотрен,
в частности, в трудах вышеупомянутого симпозиума [46, т. 96,
№ 1 ]. Тем не менее инерционными эффектами чаще всего прене-
брегают и в задачах турбулентной смазки.
Для газовых подшипников турбулентные режимы течения
смазки представляются гораздо менее характерными, чем для
гидродинамических подшипников. Есть основания сомневаться
в том, что в газовом слое толщиной в несколько микрометров
вообще может развиться турбулентный режим, так как нижняя
граница масштабов турбулентности (определяемых длиной пути
турбулентного перемешивания [31 ]), которые могут иметь место
в газовых потоках, вероятно, превышает толщину слоя. Во всяком
случае, условия нарушения ламинарности газового потока в тон-
ком зазоре нельзя связывать только с величиной числа Рейнольдса,
как это обычно делается; существенную роль здесь, по-видимому,
играет число Кнудсена.
Четвертое допущение (об изотермичное™ теплового режима
в подшипниках) получило широкое распространение в силу
того,'что вопросы нагрева подшипников, особенно газовых, в ко-
торых перепады температур в смазочном слое обычно нё превышают
нескольких десятков*® градусов [71], во многих случаях не пред-
ставляют самостоятельного интереса. Гипотеза изотермичное™
намного упрощающая анализ, оказывается, как правило, прием
66
Лемой в тех задачах смазки, которые не связаны с исследованием
тепловых процессов, обеспечивая удовлетворительную точность
расчета сил и моментов, создаваемых смазочным слоем. Следует,
правда, оговорить, что для тех опор, смазываемые поверхности
которых подвержены значительным тепловым деформациям, на
справедливость предыдущего вывода можно рассчитывать лишь
при условии, что эти деформации учтены в уравнении профиля
толщины смазочного слоя.
Важным следствием гипотезы изотермичности является по-
стоянство динамического коэффициента вязкости смазки, который
для данного смазочного вещества, рассматриваемого, согласно
второму допущению, как ньютоновская среда, может зависеть
только от температуры. Это следствие иногда рассматривают как
самостоятельное допущение, распространяя его на случаи неизо-
термических режимов течения смазки. При таком подходе изо-
термическое уравнение Рейнольдса, описывающее распределение
давления в смазочном слое (см. следующий параграф), может быть
легко распространено на любой баротропный режим, частными слу-
чаями которого являются адиабатический и политропический
режимы [25].
Имеется значительное число работ по гидродинамической
и газовой смазке, в которых тепловой режим не предполагается
заранее заданным, вязкость рассматривается как функция тем-
пературы, а искомые распределения давлений и температур рас-
считываются путем совместного интегрирования уравнения Рей-
нольдса и уравнения теплового баланса. Однако работы, где
неизотермическая задача смазки поставлена и решена вполне
корректно, немногочисленны, среди них следует, в частности,
отметить работу Л. Г. Степанянца [51 ].
Исследованию тепловых режимов гидродинамических подшип-
ников с турбулентным смазочным слоем посвящены работы Хюб-
нера, Сафара и Сери [46, т. 96, №11.
Пятое допущение, которое постулирует возможность пренеб-
речь влиянием инерционных эффектов в смазочном слое на харак-
теристики подшипников, было бы неправильно связывать только
с малостью числа Рейнольдса (пропорционального, как уже упо-
миналось, величине сил инерции потока), хотя условие Rec<^l,
выполняющееся во многих реальных подшипниках, само по себе
является достаточным основанием для проведения анализа без
учета сил инерции смазки. Можно, однако, привести примеры
вязких ламинарных потоков, в которых силы инерции тожде-
ственно обращаются в нуль при произвольных значениях числа
Рейнольдса (течение Куэтта, течение Пуазейля [50]). Поэтому
не должен вызывать удивления общий вывод, полученный мно-
гими исследователями с помощью различных методов [19; 25; 64],
что при стационарных ламинарных режимах течения с дозвуко-
вой скоростью влиянием инерционных эффектов внутри смазочного
слоя на характеристики гидродинамических и газовых подшип-
5*	67
ников можно пренебречь, по крайней мере, вплоть до значений
Rec 1, сравнительно редко достигаемых на практике. Это
влияние наименее ощутимо в опорах с гладкой поверхностью;
вблизи ступенек или изломов реальные давления в смазочном слое
могут заметно отличаться от давлений, определенных без учета
сил инерции смазки, но все же эти отличия имеют, как правило,
локальный характер и не вносят значительных изменений в основ-
ные интегральные характеристики подшипника, например в не-
сущую способность.
В сверхзвуковых газовых потоках смазки инерционные эффекты
связаны с явлениями, до некоторой степени аналогичными стоя-
чим ударным волнам — скачкам уплотнения [31], которые ока-
зывают вредное влияние на работу подшипника, снижая его
несущую способность. Возникновение сверхзвуковых зон харак-
терно, в первую очередь, для некоторых разновидностей опор
с внешним наддувом (Харуо Мори [53, т. 83, № 2]).
До сих пор речь шла о стационарных задачах смазки. К числу
первых исследований, посвященных интегрированию нестацио-
нарных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости
в смазочном слое с учетом сил инерции жидкости, относится
работа А. Т. Полецкого [42]. Аналогичная нестационарная
задача для газового слоя решалась Г. А. Завьяловым, А. И. Сно-
повым и др. [4; 45, ч. 1; 47], причем в последней работе, наряду
с инерционными, учтены и тепловые эффекты, а в других рабо-
тах упомянутых авторов показано стабилизирующее влияние
сил инерции смазки на динамическую устойчивость слабонагру-
женных газовых подшипников. Однако в целом вопрос о степени
и характере влияния инерционных эффектов в смазочном слое
при нестационарных режимах работы подшипников мало изучен,
и остается неясным, в каких случаях удержание инерционных
членов в нестационарных уравнениях Навье—Стокса, применяе-
мых к тонким зазорам, является оправданным. Можно лишь
утверждать, что инерционные эффекты в нестационарных зада-
чах смазки играют тем меньшую роль, чем меньше число Рей-
нольдса, а также упомянутое в п. 2 число Струхала S=-~-
(где Т — характерный масштаб времени). Поэтому, хотя приме-
нение безынерционной модели смазочного слоя стало обычным
как в стационарных, так и в нестационарных задачах смазки,
поскольку такая модель в большинстве случаев хорошо пред-
сказывает действительное поведение подшипника, результаты
теоретического анализа нестационарных режимов работы под-
шипника, полученные на основании классической теории смазки,
следует все же подвергать особенно тщательной эксперименталь-
ной проверке. Естественно ожидать, что в турбулентном смазочном
слое инерционные эффекты более ощутимы, чем в ламинарном,
а турбулентные режимы, как уже упоминалось, не могут суще-
ствовать при числах Рейнольдса, которые можно было бы считать
68
пренебрежимо малыми. Проблема учета сил инерции в задачах
турбулентной смазки затронута в работах Константинеску, Смолли
и др. [46, т. 96, № 1 ].
Несмотря на то что рассмотренные здесь допущения гидро-
газодинамической теории смазки не являются бесспорными и под-
лежат дальнейшему критическому анализу, их совокупность
оказывается разумным приближением к действительности в боль-
шинстве задач гидродинамической и газовой смазки, выдвигаемых
современной инженерной практикой.
10. Основное уравнение газовой смазки
в сферических координатах
Рассмотрим газодинамическую опору, несущие поверхности
которой имеют сферическую или почти сферическую форму.
Будем считать, что малые отклонения от сферичности обусловлены
искусственным профилем, например, микроканавками той или
иной конфигурации на поверх-
ности подшипника или шипа.
Они предназначены для созда-
ния эффекта «смазочного кли-
на» при соосном положении
шипа и подшипника, так как
без этого невозможно обеспе-
чить осевую жесткость смазоч-
ного слоя газодинамической
опоры и устойчивость централь-
ного положения шипа. Обычно
сферический подшипник имеет
несущую поверхность в виде
сферического пояса, который
может быть ограничен, напри-
мер, отверстиями для выхода
вала.
На рис. 14 показаны три си-
стемы координат, имеющие фик-
Рис. 14
сированную ориентацию: две
декартовые OXYZ, O1X1Y1Z1,
соответствующие оси которых параллельны (первая из них связана
с центром шипа, вторая—сцентром подшипника, ОгО = е — вектор
смещения), и сферическая система г, 0, ср. Первые две предназна-
чены для описания динамики подвижных элементов подшипнике^
вого узла, а последняя — для описания движения смазочной
среды в тонком слое между несущими поверхностями сферической
опоры.
Согласно изотермической теории газовой смазки мгновенное
состояние смазочной среды в данной точке можно определить
69
четырьмя переменными: давлением р и тремя составляющими вею
тора скорости газа vr, у0, иф, которые связаны между собой сле-
дующими уравнениями Рейнольдса [25; 31]:
др , dt 1		1	= /32) R sin 0 дер	dr2 ’ <3.3, -	1	д (Pv4>) I 1 д (рув) . R sin 0 Эф * /? Э0 * +	+	(3.5) 1	R	1	or	4	'
Здесь t — время; R — радиус шипа; ц — динамический коэффи-
циент вязкости. Эти уравнения являются частным следствием
общих уравнений ламинарного движения вязкого газа (уравнений
Навье—Стокса), в которых согласно допущениям п. 9 отброшены
инерционные члены, а также все члены порядка 0 (hjR), где
hQ — характерная толщина смазочного слоя; в реальных газовых
подшипниках h0/R — 10~4. Границы области интегрирования
системы уравнений (3.2)—(3.5) определяются границами несущих
поверхностей. В случае, когда несущая поверхность подшипника
имеет вид сферического пояса, область интегрирования уравнений
будет лежать между двумя параллелями, т. е. 0Х + ех 0 С
< 02 + е2, где 0г и 02 — углы, определяющие границы сфериче-
ского пояса при е = 0; е1и82 — малые вариации, обусловленные
вектором смещения е, которыми следует пренебречь как величи-
нами порядка 0 (hQ/R).
Уравнения (3.2) и (3.3) проинтегрируем дважды по перемен-
ной г с учетом того, что согласно (3.4) давление не меняется поперек
смазочного слоя, а коэффициент ц принимается постоянным (см. п.9).
При интегрировании используем характерные для сплошной
среды условия прилипания газа к несущим поверхностям шипа
и подшипника. В результате получим следующие выражения
продольных составляющих скорости газа через давление [25; 31 ]:
уф 7=3 - р-1--- а 4^- (у2 — hy) + fl---\;
ф 2pi7? sin0 дф	1 ф \ h J I (3 6)
vQ ==	(У2— hy) + f 1-------,
° 2liR Э0	। и у h J '
где h = h (cp, 0, t) — зазор между несущими поверхностями;
у = г — R — радиальная координата сферической системы, от-
считываемая от поверхности шипа; Тф, Г0—проекции вектора
70
линейной скорости поверхности шипа. Этот вектор можно опре-
делить по формуле Эйлера, известной из курса теоретической
механики:
<3-7)
Вектор угловой скорости шипа со относительно системы коорди-
нат OXYZ можно представить в виде
со -	+ ац,	(3.8)
где Q— угловая скорость собственного вращения ротора; сох —
экваториальная составляющая вектора со, обусловленная угло-
выми колебаниями оси вращения. Направление этой оси опре-
деляется единичным вектором £°, который совпадает с осью Z
при отсутствии колебаний (рис. 14).
В сферических подшипниках составляющая со х обычно весьма
мала по сравнению с со и ее влияние на распределение давления
в смазочном слое незначительно. Поэтому положим сох О,
что приводит к следующим приближенным выражениям для иско-
мых проекцией вектора V:
70~О; V^QRsinO.
(3.9)
Основное уравнение теории газовой смазки в сферических
координатах получается из уравнения сплошности (3.5). путем
почленного интегрирования по координате г в пределах от г = R
до г = R + h с учетом выражений (3.6) и граничных условий
для поперечной скорости vr, которые следуют из того, что ско-
рость газа на твердой поверхности равна скорости самой поверх-
ности. После соответствующих выкладок получим
I 1 д (hnv______________________W
dt ' 27? sin 0 дер \ ф 6[i7? sin 0/ ’
+ —= °- (3-10)
1 2R sm 0 00 L	\.	6	64иТ? д0 J J	v '
Введем следующие обозначения: 6 — минимальный зазор между
несущими поверхностями сферического шипа и подшипника при
центральном положении шипа; Е — половина максимальной глу-
бины микроканавок; ра — давление окружающей атмосферы;
Р = р/ра — относительное давление в смазочном слое; Н =
= yjpg- — относительный зазор. Используя (3.9) и умножая
все члены уравнения (3.10) на надлежащий размерный множи-
тель, приведем основное уравнение газовой смазки, описывающее
распределение давления в смазочном слое и обычно называемое
71
уравнением Рейнольдса, к безразмерному виду
4~(нзР ^-WsinO ( sin0№P 4йг) =
дф \ дф / 1 сЮ \	сЮ /
=zs,n.o±^+sln-e	(з.и)
Л	Эф 1	дх	'	'
о	Й , л	6цЙ/?2
Здесь т = -7— t — безразмерное время; % =	—
“К	Ра (О -|- С)
определяющий критерий подобия газодинамических подшипни-
ков, который будем называть параметром сжимаемости, следуя
принятой терминологии.
Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго
порядка содержит три независимые переменные 0, ср, т.
Если уравнение (3.11) рассматривается изолированно от урав-
нений динамики опоры, то относительный зазор Н считается за-
данной функцией координат и времени. Чтобы определить вид
этой функции, обратимся к рис. 15. Через R обозначен радиус-
вектор произвольной точки А на несущей поверхности шипа S
в системе координат OXYZ, связанной с центром шипа. Несущая
поверхность подшипника S' пересекается с направлением R
в точке А' (ЛЛ' = /i), радиус-вектор которой в системе коорди-
нат	связанной с центром подшипника, обозначен
через При наличии искусственного профиля, нанесенного на
72
неподвижную поверхность S', из рис. 15 непосредственно следует
векторное равенство
+4)=(7?+s+/ii)JS~^
где /ц — глубина искусственного профиля в точке А'. Почленное
скалярное умножение на вектор R/R2 приводит это равенство
к виду
, I Й _ « + б + Й! РПЧ ,	(е, R)
1+__--------------cosZ-----
Представим скалярное произведение (е, R) через проекции
векторов на оси системы координат OXYZ, тогда с учетом того,
что
cosX = 1 —o(-J-) ,
из предыдущего равенства получается следующее приближенное
выражение для толщины смазочного слоя:
h = 6 + К — ех cos ф sin 0 — eY sin ф sin 0 — ez cos 0,
где ex, eY, ez — проекции вектора смещения e на соответству-
ющие оси. Наконец, разделив все члены этого выражения на
6 + Е, где Е = ftimax/2, получим искомую безразмерную функ-
цию зазора
Н = 1 — 8Х cos ф sin 0 — eY sin ф sin 0 —
— 8Z COS 0 + V[U (0, ф).	(3.12)
Здесь 8 = е/(д + E) — относительный эксцентриситет шипа, ко-
торый может зависеть от времени; ц = £7(6 + Е) — безразмер-
ный параметр искусственного профиля; и (0, ф) — знакопере-
менная функция (—1 и +1), определяющая форму профиля.
Таким образом, структура основного уравнения (3.11) пол-
ностью определена. Оно является ключевым при решении задач
газовой смазки. Проинтегрировав его при соответствующих гра-
ничных условиях, которые будут рассмотрены в п. 11, можно
затем вычислить динамические реакции подшипника, и если это
необходимо, с помощью соотношений (3.6) найти распределение
скорости в смазочном слое, что, в свою очередь, позволяет рас-
считать трение в подшипнике [31].
11. Основные типы граничных условий
к уравнению Рейнольдса и способы постановки
краевых задач для сферического подшипника
Наиболее типичными граничными условиями к уравнению
Рейнольдса (3.11), описывающему распределение давления в сма-
зочном слое сферического подшипника, или к подобным уравне-
73
ниям для газовых подшипников иной геометрии (см. п. 12) явля-
ются:
а) условие непрерывности решения вблизи внешнего контура
смазочного слоя Г, которое имеет вид
/7 г- 1,	(3.13)
если за масштаб давлений принято давление окружающей среды;
б) условие периодичности решения по одной из координат;
например, для случая, когда функция распределения толщины
смазочного слоя (//) в уравнении (3.11) является периодической
по координате ср с периодом 2л, оно имеет вид
Р (ф, 0, 0 = Р (ф 4- 2л, 0, /).	(3.14)
Заметим, что непрерывность решения обеспечивается во всей
области интегрирования, включая контур Г, если функция Н
внутри области непрерывна или имеет конечные разрывы (то или
другое, очевидно, всегда выполняется), а физические параметры
подшипника —число сжимаемости % и число Струхала S в урав-
нении Рейнольдса * —остаются ограниченными. В специальных
случаях % —> оо и S —оо уравнение имеет бесконечно малый
параметр при старших производных, порядок его понижается, что
приводит к нарушению непрерывности давлений вблизи контура Г
или, по крайней мере, некоторых его участков, а также линий
скачкообразного изменения толщины смазочного слоя (Диприма
[46, т. 90, № 3], Константинеску [25] и др.).
В п. 9 уже указывалось, что если на смазываемой поверхности
подшипника имеются ступеньки или изломы—линии, нарушающие
непрерывность или гладкость функции распределения толщины
смазочного слоя //, то их следует, строго говоря, рассматривать
как особые линии в области интегрирования уравнения Рейнольдса,
поскольку на них не выполняются некоторые основные допущения
теории смазки; вблизи этих линий более правильно было бы при-
менять общие уравнения Навье—Стокса. Поэтому наиболее кор-
ректным представляется такой подход к решению уравнения Рей-
нольдса, когда область интегрирования делится на ряд подобла-
стей, внутри каждой из которых функция Н является непрерывной
и гладкой, и решения, полученные для каждой подобласти, сращи-
ваются на вышеупомянутых особых линиях. Если отвлечься от
специальных случаев %—> оо и S оо, то в качестве одного из
условий сращивания решений на линии нарушения непрерывности
или гладкости функции Н следует принять условие непрерывности
решения
Р"-Р+,	(3.15)
* Последний член уравнения (3.11) должен содержать множитель 2/S,
однако в данном случае этот множитель оказывается равным единице за счет
соответствующего формального выбора масштаба времени.
74
где индексы минус и плюс соответствуют точкам, расположенным
непосредственно перед и за линией сращивания.
Совокупность условий (3.13)—(3.15) недостаточна для однознач-
ного определения искомого решения уравнения Рейнольдса в каж-
дой из рассматриваемых подобластей. Дополнительные условия
можно установить, исходя из того, что уравнение Рейнольдса
(3.11) физически является частным следствием закона сохранения
массы. Оно связывает изменение массы газа в элементарном объеме
hR2 sin QdQdq с массовым расходом через поверхность, ограничи-
вающую этот объем. На вышеупомянутых линиях сращивания, где
нарушаются основные допущения, использованные при выводе
уравнения Рейнольдса, оно несправедливо, и здесь закон сохране-
ния массы выражается в форме следующего условия баланса
массовых расходов:
пг = m+; т = рипН,
где р —плотность газа; vn — осредненная по толщине смазочного
слоя величина составляющей скорости газа, направленной вдоль
поверхности слоя по нормали к линии сращивания. При постоян-
ной температуре в смазочном слое (см. п. 9) из (3.15) следует, что
р" = р+, и тогда условие баланса массовых расходов можно заме-
нить условием баланса объемных расходов:
<77 =	=	(3.16)
Если же линия сращивания представляет собой излом (Н~ = Н+),
то получим простое условие непрерывности осредненной скорости
потока смазки = v„~. Условие (3.16) применимо к газодинами-
ческим опорам любой геометрии. Для сферического подшипника
в случаях, когда линия сращивания направлена по меридиану или
расположена параллельно плоскости экватора, соответственно
будем иметь, используя выражения (3.6):
Я3 дР . гг . А
~------—л з—к УЛ sin0;
sin Одер 1 Л
(3.17)
Только что описанный способ постановки краевых задач газо-
вой смазки, связанный с введением дополнительных условий
сращивания (3.15), (3.16) на линиях, где терпят разрыв коэффи-
циенты уравнения Рейнольдса или их производные по координа-
там, оказывается неудобным для практического использования при
большом числе линий разрыва в области интегрирования, а также
при их несовпадении с координатными линиями (вдоль которых
обычно направлены границы области интегрирования). В подобных
случаях, характерных для подшипников, профилированных спи-
ральными канавками, более целесообразной может быть аппрокси-
75
мация действительного профиля толщины смазочного слоя Н
некоторой функцией Я, непрерывной и гладкой во всей области
интегрирования, тогда решение получается сразу для всей области
с помощью условий (3.13), (3.14). Примечательно, что если по-
строить некоторую последовательность аппроксимирующих функ-
ций Я, имеющую своим пределом кусочно-непрерывную функцию
Н, то соответствующая последовательность решений уравнения
Рейнольдса при % < оо, S < оо сходится именно к тому решению,
которое получается упомянутым выше способом сращивания
давлений и расходов на линиях разрыва^функции Н и ее производ-
Рис. 16
ных. Таким образом, подтверждается, что конечные разрывы
функции Н сами по себе не нарушают непрерывности эпюры
давления. Учитывая это обстоятельство, а также имея в виду, что
различия в давлениях, рассчитанных для тонкого слоя с помощью
уравнения Рейнольдса и на основании более точных уравнений
Навье—Стокса, локализуются вблизи ступенек и изломов *,
можно непосредственно искать единое решение уравнения Рейнольд-
са с кусочно-непрерывными коэффициентами, охватывающее всю
область интегрирования, без выделения разрывов в качестве
особых линий. Этот способ применяется довольно часто, и результат
получается тот же, что и при использовании условий сращивания
(3.15), (3.16). Однако гораздо удобнее иметь дело с непрерывными
и дифференцируемыми функциями толщины слоя, с помощью кото-
рых можно аппроксимировать кусочно-непрерывную функцию
и получить решение с любой желаемой степенью точности. Такие
гладкие функции обычно и будут использоваться в дальнейшем.
В заключение рассмотрим два характерных примера конструк-
ций сферических подшипников и сформулируем для них граничные
условия к основному уравнению (3.11).
* При условии, что расстояние между соседними ступенями или изломами
(например, ширина спиральной канавки) — весьма большая величина по сравне-
нию с толщиной смазочного слоя (хотя она может быть малой по сравнению с раз-
мерами подшипника).
76
1.	Вентилируемый подшипник (рис. 16, а) имеет несущую по-
верхность в виде сферического пояса 01	0	02, который сооб-
щается с окружающей атмосферой как со стороны экватора, так
и со стороны полюса. Часть несущей поверхности подшипника,
расположенная между параллелями 0О и 02(0o^0i), профи-
лирована спиральными микроканавками или ступенями Рэлея.
В последнем случае соседние секции ступенчатого профиля раз-
делены глубокими вентиляционными канавками, направлен-
ными по меридиану. Рассматриваемым опорам соответствуют
граничные условия:
Р/е=е1 = /)/е=е2 = 1;
Р(ф, 0, о = Р(ф + 2л, 0,0;	.	(3.18)
Р/ 2« = 1, 1= О, 1,	1,
где N —число секций профиля Рэлея (шириной вентиляционной
канавки можно пренебречь по сравнению с протяженностью сек-
ции по углу ср). Последнее условие может относиться лишь к про-
филированному поясу 0О <0 <02. В пределах непрофилиро-
ванной части несущей поверхности следует пользоваться вторым
выражением (3.18).
Если несущая поверхность профилирована спиральными канав-
ками, то она обычно состоит из двух поясов: профилированного
(называемого иногда зоной нагнетания) и непрофилированного
(называемого зоной утечки). Решение уравнения (3.11) можно
искать отдельно для профилированного и непрофилированного
поясов (хотя это не обязательно), тогда согласно (3.15), (3.17)
задаются следующие дополнительные условия на их общей гра-
нице 0 = 0О:
Р/е=е -о = Р/е=е +о;	(н3^)	= (И3 IPl	.(3.19)
' о	\	/е=оо—о	\	<30 /о =е0ч-о v 7
2.	Рассмотрим подшипник, не имеющий полюсного отверстия
(рис. 16, б), его профилированный пояс 0Х 0	02 через свою
верхнюю границу сообщается с окружающей атмосферой, а ниж-
ней границей примыкает к закрытому объему 0	0 0Р Условия
(3.18) остаются в силе, только первое из них относится лишь
к сечению 0 — 02. Если толщины зазоров в областях 0 < 0 < 0Х
и 0Х < 0 <; 02 соизмеримы (закрытый объем можно рассматривать
как часть смазочного слоя), то к упомянутым условиям следует
присоединить условие ограниченности решения на полюсе Р |©=о
«с А < сю (Я —некоторая положительная величина), которое
в случае чисто осевой нагрузки заменяется условием >
=0
<ЭО/е=о и-
77
Можно также задать дополнительные условия (3.19) в сечении
0 = 01. Если же толщина зазора в закрытом объеме много больше,
чем в профилированной зоне, то во всем объеме, включая гранич-
ное сечение 0 = 0!, давление близко к постоянной величине. Эта
неизвестная константа может быть определена из условия сохра-
нения массы газа в рассматриваемом объеме, которое представим
в форме интегрального условия, выражающего равенство нулю
массового расхода через сечение 0 = 0!.
Учитывая (3.16) и (3.17), а также изотермическое соотношение
р — р, получим
2л	2л
J (р?еЯ)е=е1+о dtp ~ J (№Р	d(f = °'
о	о	1
Поскольку уравнение Рейнольдса (3.11) нестационарно, то,
помимо граничных условий, основные разновидности которых
были рассмотрены выше, его решение в общем случае должно
подчиняться и некоторым начальным условиям, описывающим
распределение давления или других связанных с ним величин'
вдоль смазочного слоя в момент времени т — 0.
12.	Краевые задачи газовой смазки для цилиндрического,
плоского, кругового и конического подшипников
В гироскопах часто используются газодинамические опоры
катушечного типа, образованные одним цилиндрическим радиаль-
ным подшипником и двумя плоскими упорными (рис. 17).
Сформулируем крае-
вую задачу газовой смазки
для цилиндрического под-
шипника. Чтобы получить
основное уравнение типа
(3.11) для цилиндриче-
ского подшипника, можно
было бы повторить весь
вывод*п. 10, записав исход-
ные уравнения (3.2)—(3.5)
в цилиндрических коорди-
натах. Однако тот же ре-
рис 17	зультат можно получить,
исходя непосредственно из
уравнения (3.11).
Действительно, рассмотрим весьма узкий сферический поясок
шириной L и радиусом /?, расположенный симметрично относи-
тельно экватора 0 = в области —----------------8^0^-^- +е
(рис. 18). Очевидно, что при достаточно малом г такой поясок
можно приближенно рассматривать как часть цилиндрической
78
поверхности,
при [z| < R,
Из соотношения z R (-^---------0^, справедливого
где z —осевая координата, следует, что
09 ~ дг ’ Sin0~ L
Учитывая эти преобразования, переходя к безразмерной осевой
координате t, = 2z/L (|£| «С 1), а также вводя обозначение о =
= 2RIL, получим из (3.11)
д(НзрдР\+^дГн9р дР\ = д(нр_ д(НР)^ (320
дф \ дф / 1 д£ у д£ / дф 1 дт	'	7
Подробный вывод этого основного уравнения газовой смазки
цилиндрического подшипника можно найти в [58; 25]. Уравнение
для безразмерного зазора Н в случае
чисто поступательных смещений вала
может быть получено из уравнения
(3.12), если положить в нем 0	,
Н = 1 —&хcos ср—еу sing) Ц- ци (£, ср).
(3-21)
Выражения для окружной и осе-
вой составляющих скорости
в смазочном
подшипника
(3.6):
газа
слое цилиндрического
аналогичны формулам
У<₽ - 2рЯ дф	V<p (1 • Л ) ’
V^W~S~({/2~hy)-
типичные граничные условия к уравнению (3.20)
Наиболее
в соответствии с (3.13) и (3.14) запишутся в виде:
•Р/^=±1 = 1; Р/у = -^/cp-w-
Для плоского кругового упорного подшипника основное урав-
нение в полярных координатах г, ср также получится из уравнения
(3.11), если рассмотреть последнее в окрестности одного из полю-
сов сферы радиуса R (0 = 0 или 0 = л). Например, в окрестности
точки 0 — 0 можно положить:
тогда из (3.11) следует
А (Н3Р—} 4-г— (rHsPd-} =
ду\	dr \riJ дг)
д(НР) д_(НР)\
R?\*‘ dq ' дт )’
(3.22)
79
а выражение (3.12) при осевых смещениях ротора принимает
вид (0< 1)
Н = 1 — 82 + ч\и (г, ф).	(3.23)
Заметим, что радиус R в уравнении (3.22) играет роль формаль"
ного масштаба и может быть выбран произвольно (%//?2 не зави"
сит от R и, следовательно, фактически R не входит в уравнение).
Граничные условия к уравнению (3.22) могут быть сформули-
рованы по аналогии с соответствующими условиями для цилиндри-
ческого подшипника как частное следствие условий (3.13), (3.14).
„Z
Рис. 19
его длина в осевом
С помощью аналогичных приемов
можно получить уравнение Рей-
нольдса для конического подшип-
ника. Будем рассматривать поверх-
ность короткого конического под-
шипника (рис. 19) как предельное
положение поверхности сферичес-
кого пояска [0—0О | е при 8—>0
00 = -у-Т,	(3-24)
где у —угол полураствора конуса.
Пусть R —радиус сферы; 7?! =
= R cos 7 —средний радиус кони-
ческого подшипника; L —длина
подшипника по образующей; —
направлении. Тогда, вводя обозначение
2R _ 27?!
L ~ Lj ’
(3.25)
получим следующую связь между полярным углом 0 и линейной
координатой с маштабом L/2, отсчитываемой вдоль образующей
конуса от линии касания со сферой к его вершине (или, что то же
самое, относительной осевой координатой £ = 2z/Lx):
0 = 0о---(а»1).	(3-26)
Учитывая, что согласно (3.24) и (3.26)
д	д . п	С
°д£’ Sin0^cosy----^-Siny,
получим из (3.11) следующее уравнение:
^(Hspd^)+G2(cosy—vs'm^k[HS(cosy~
_Xsin?\p^l = (cosv_JLsinv)2 MWR,
a r/dgJ \	* a r/ Lл dtp 1 ди J
ICK1. (3.27)
80
При о —* сю уравнение (3.27) упрощается и принимает вид
+	(3-28)
Граничные условия для конического подшипника аналогичны
таковым для цилиндрического и сферического.
Выражение для безразмерного зазора Н между несущими
поверхностями конического подшипника при поступательном сме-
щении шипа получается из (3.12), если сделать замену:
sin 0	cos у; cos 0 sin у,
которая следует из (3.24) и (3.26) при о —* сю,
Н = 1 — (excos ф + sin ср) cos у — siny tju (£, ф). (3.29)
Выражения (3.21), (3.23) и (3.29) справедливы лишь при отсутствии
угловых перемещений оси вала относительно подшипников.
Заметим, что способ вывода уравнений (3.20), (3.22) и (3.27)
как частных следствий уравнения (3.11) не позволяет обосновать
области определения соответствующих дифференциальных опера-
торов, так как в основе его лежит допущение о малой протяжен-
ности одной из криволинейных координат. Более полный и стро-
гий вывод можно было бы получить, исходя из уравнений движе-
ния газа в векторной форме (Пэн [53, т. 85, № 2; 751).
13.	Аналитическое представление толщины
смазочного слоя при угловых рассогласованиях
осей шипа и подшипника
Величина зазора между несущими поверхностями опор (за
исключением сферических) зависит не только от поступательных
перемещений шипа, но и от угловых перемещений его оси. При
угловых перемещениях обычно возникает восстанавливающий
момент реакции смазочного слоя.
Рассмотрим коническую опору (рис. 20), с которой свяжем три
декартовые системы координат: OXYZ, О£т]£, 01X1Y1Z11 где
О —центр сферы радиуса /?, касательной к несущей поверхности
конического шипа в точках окружности, которая делит образующие
пополам; —центр сферы радиуса > /?, аналогичным обра-
зом связанной с несущей поверхностью подшипника. Соответ-
ствующие оси систем 0XYZ и O1X1Y1Z1 параллельны и их на-
правления фиксированы, а ось £ системы направлена по оси
вращения шипа. При совмещении центров О, Оь а также продоль-
ных осей шипа и подшипника все три системы координат совпадают,
а функция распределения толщины смазочного слоя зависит
только от профиля несущей поверхности подшипника (поверхность
шипа считается строго конической и абсолютно гладкой). Измене-
ние этой функции может быть обусловлено как поступательными
6 В. Н. Дроздович	81
перемещениями типа е%, £y, так й угловыми перемещениями
оси О£, которые будем характеризовать двумя углами поворота
аир относительно осей 0Y и 0% соответственно (рис. 20, б).
Условимся в дальнейшем рассматривать лишь малые смещения.
Тогда зазор между несущими поверхностями можно представить
в виде
h = hQ + (АЯ)ПОСТ + (АЛ)угл + • • •	(3.30)
Здесь hQ = h0 (ср, г) —зазор при несмещенном положении шипа;
(АЯ)П0СТ и (A/i)yrJ1 —независимые вариации зазора, соответствую-
Рис.'2О
щие поступательным (рассмотрены в п. 12) и угловым смещениям
шипа относительно подшипника.
Учитывая только угловые смещения шипа, составим векторное
уравнение (рис. 20, а)
pi = p + nft,	(3.31)
где р и рх —радиус-векторы точек А и Я', расположенных на
поверхностях шипа и подшипника соответственно (АА' = h);
п —орт нормали к поверхности шипа. Выразим эти векторы
через их составляющие по координатным осям, пометив орты осей
индексом нуль:
p = h + n°n + h; р1 = Х°Х1+ ?% + /%;	(3.32)
п — £° cos у cos ф	г]° cos у sin ф -f- £° sin у.	(3.33)
Угловая координата ф отсчитывается вдоль окружности шипа
от оси £.
Заметим, что при отсутствии поступательного смещения шипа
нет необходимости делать различие между системами координат
82
OXYZ и (ДАДУ^. Тогда, рассматривая поворот оси шипа как
ортогональное преобразование трехмерного векторного простран-
ства и ограничиваясь лишь малыми углами поворота а, р (рис. 20, б),
при которых cos а cos р 1; sin а а; sin Р р, представим
уравнение (3.31) с учетом (3.32) и (3.33) в виде
'Х\	/ 1	0	a\	7^	/cos у COS ф'
Y U	л 0	1	р	л	Д- h I cos у sin ф
Z/	\ — a	-₽	1 /		\ sin у
(3.34)
Согласно рис. 20, а:
£ = rcoscp; т] — г sin ср; t> = c— rctgy, (3.35)
где с = 7? esc у.
Искомое выражение для h можно получить, подставляя X,
У, Z из (3.34) в следующее уравнение поверхности подшипника:
X2 + У2 = (Z — с)2 tg2y.	(3.36)
Для определения (А/г)угл достаточно ограничиться уравнениями
в вариациях. Варьируя уравнения (3.34) и (3.36) и отбрасывая
малые члены, содержащие множители а (А/г)угл, Р (A/i)yrJI,
hQ&z, йоа, йор, получим:
UX + nA^=-K-^)tg2yAZ;
АХ	ta + (A/i) угл cos у cos ср;
АУ + (A/i)yrJI cos у sin <р;
AZ	— Sa — r)p + (А/г)угл sin у.
Отсюда с учетом (3.35) находим выражение вариации зазора,
обусловленной угловыми перемещениями шипа в коническом под-
шипнике,
(Ай)угл ^(r sin у — g cos у) (a cos ср Д- р sin ср).	(3.38)
Из (3.38) как частные случаи получаем вариации зазоров:
1) для цилиндрического подшипника (у —> 0)
(А/г)угл	— Z (a cos ср + р sin ф);	(3.39)
2) для плоского упорного подшипника
(Ай)угл г (a cos ф Д- р sin ф).	(3.40)
Формулы (3.38)—(3.40) позволяют найти добавочные члены
выражений (3.29), (3.21) и (3.23), которые определяют толщину
смазочного слоя в опорах различной геометрии без учета перекоса
осей шипа и подшипника.
6*	83
14. К вопросу о выборе метода решения
краевых задач газовой смазки
Решение краевых задач газовой смазки связано со значитель-
ными трудностями, которые обусловлены, прежде всего, нелиней-
ностью уравнения Рейнольдса. Наиболее высокая точность реше-
ния таких задач может быть получена численным интегрирова-
нием с помощью ЭВМ (см. п. 2), однако этот способ часто оказы-
вается дорогостоящим для массовых расчетов и неудобным в инже-
нерной практике.
Наряду с численными методами, к решению задач газовой
смазки применяют приближенные аналитические методы, среди
которых выделяют метод возмущений и его модификацию (метод
РЯ-линеаризации Османа 153, т. 83, № 2]).
Метод РЯ-линеаризации привлекает к себе внимание благодаря
его простоте и результативности. Сопоставление статических и
динамических характеристик простого цилиндрического подшип-
ника, рассчитанных на основании этого метода, с результатами
других теоретических методов и с экспериментальными данными
[25] дает хорошее качественное и вполне удоветворительное
количественное совпадение.
В вышеупомянутой работе Османа метод РЯ-линеаризации
не получил строгого обоснования. В работе П. П. Мостовенко [41 ]
показано, что этот метод, который заключается в замене нели-
нейного уравнения Рейнольдса его упрощенной математической
моделью—уравнением, линейным относительно функции Т =
= PH, эквивалентен линеаризации уравнения Рейнольдса с по-
мощью обычного метода малого параметра в первом приближении,
если в этом уравнении предварительно перейти к новой искомой
функции Т.
Метод РЯ-линеаризации можно интерпретировать и с позиций
функционального анализа. Для определенности рассмотрим урав-
нение Рейнольдса (3.20), соответствующее цилиндрическому под-
шипнику; сделаем подстановку
' <3-41>
тогда уравнение (3.20) запишется в виде
R (Т, Я) = [V (Ч%Я — ¥Яф)]ф +
+ о2 [W (Ч^Я — ¥Я£)]£ —	— W - 0.	(3.42)
Здесь и далее штрихи и подстрочные индексы ср, £ обозначают
частные производные по соответствующим координатам, точка —
производную по времени.
Уравнение (3.42) представляет собой квазилинейное уравнение
параболического типа. Если его левую часть R (V, Я) рассматри
84
вать как функцию независимых переменных ф (ср, т), то соотно-
шение
7? (Т, Я) - О	(3.43)
можно трактовать как осуществляемое оператором 7? отображение
банахова пространства функций {Ч^ X {Н\, где Я —заданный,
а Чт —искомый элемент этого пространства, в другое банахово
пространство {Ф} [24].
Применим к уравнению (3.42) обобщенный метод Ньютона —
Канторовича [21, 24], согласно которому искомое решение аппрок-
симируется последовательностью функций:
Tn-H =4n — [R'(Vn,	Я),	(3.44)
где R' (Чгл, Я) —сильная производная оператора R в точке ЧГЛ
банахова пространства; [7?' (Ч\, Я)]-1 —обратный оператор;
п = 0, 1, 2, ... Как показано в [24], процесс последовательных
приближений, определяемый рекуррентной системой уравнений
(3.44), может быть заменен другим, более удобным с вычислитель-
ной точки зрения
- ^n-lRf (4%, Яо)]-1^ (Ч^, Я).	(3.45)
Эта формула отличается от предыдущей тем, что на каждой итера-
ции обратный оператор [R' (Чг0, Яо)]-1 определяется в одной
и той же точке Wo банахова пространства при фиксированном
значении Я = Яо.
Примем в качестве исходной точки Чг0 = 1 при Яо = 1.
В нашем случае оператор R (Ч7, Я) имеет сильный дифференциал
(дифференциал Фреше), который в рассматриваемой точке можно
определить по формуле
R' (То, Но) и = lim	(3.46)
л->о	Л
как операцию над элементом^ банахова пространства, где % —
числовой параметр. Учитывая структуру оператора 7? в уравнении
(3.42) и производя дифференцирование, получим
R' (То, Но) и = и'фф ф-	— й.	(3.47)
Положив далее в уравнении (3.45) п = 0; То = 1; Но — 1 и
применив к нему оператор (3.46), найдем
Rf (То, Но)^ = R'. (То, Но) (1)—7?(Т0, Н).
Учитывая, что R' (То, Яо)(1) = 0, используя выражения
(3.47) и (3.42) при То = 1
7? (То, 77) = -(//;Ф + о^),
получим
(Т0фф + о2 (ТОа - X (Т,)ф - т, = Н"^ + о2Як. (3.48)
85
Таким образом, определение 1-го приближения по схеме моди-
фицированного метода Ньютона—Канторовича сводится к решению
линейного неоднородного дифференциального уравнения пара-
болического типа (3.48) при соответствующих граничных и началь-
ных условиях. Это уравнение и есть РЯ-линеаризованное уравне-
ние Рейнольдса, полученное впервые Османом.
Уравнения второго и последующих приближений могут быть
найдены аналогично; так, во втором приближении будем иметь
(¥2ГфФ + П2	%(Т2)ф-Т2 = Н'^ + R (Ть Н).
(3.49)
Сходимость процесса последовательных приближений, описы-
ваемого уравнением (3.45), зависит от выбора начальных элемен-
тов Wo, HQ) а также от свойств функции Н (ср, £, т). Здесь сошлемся
на теорему, которая приводится в монографии [24]. С незначи-
тельными изменениями в формулировке эта теорема действует и
в данном случае.
Все вышеизложенное применимо также к основному уравнению
газовой смазки в сферических, полярных, конических координа-
тах; например, уравнение (3.11) для сферического подшипника
подстановкой (3.41) приводится к виду
R (¥, НУ = [Т (Ч^Я — ¥Яф)]ф + sin О [sin 0 • ¥	— Ч'Яе) ] е —
— %sin20.W^ —sin20.t = O.	(3.50)
В этом случае дифференциал Фреше (3.46) равен при 4% =
- Но = 1
R' (Ч'о, Яо) U — Пуф ф- sin 0 (sin 0- и'еУв— з1п20(%«ф +«).
(3.51)
Соответствующие РЯ-линеаризованные уравнения 1 и 2-го при-
ближений, аналогичные уравнениям (3.48) и (3.49), можно пред-
ставить в виде:
R'(V0,	(3.52)
R’ (То, Яо) Т2 = Q (Ф, 0, т) — R (Ч\, Н).	(3.53)
Левые части уравнений (3.52) и (3.53) получаются из (3.51)
заменой и на Чф или Та, функция R — из (3.50) (Ч*’ —> Ч\), а функ-
ция Q равна
Q = Я'фф ф- sin0(sin0-/7'e)e-
Сделаем теперь одно важное для дальнейшего анализа замеча-
ние, которое касается уточнения решения ЛЯ-линеаризованной
задачи. Хотя решение уравнения 1-го приближения (для
может быть представлено в конечном виде, но оно получается
довольно сложным, что затрудняет вычисление поправочного
члена R (Чг1, Н) в правой части уравнения 2-го приближения,
В связи с этим может оказаться более целесообразной корректи-
ве
ровка 1-го приближения с помощью аддитивной или какой-либо
иной поправки, не противоречащей граничным условиям задачи.
Такая корректировка особенно проста, если задача стационарна
(заданные и искомые функции не зависят от времени) и ее решение
удовлетворяет условию периодичности по одной из координат,
например условию (3.14). В частности, для цилиндрического
подшипника стационарное решение 1-го приближения Ti (ф, С),
имеющее период 2л по координате <р, можно уточнить с помощью
аддитивной поправки А (£)
0 + А(£).	(3.54)
Подставляя вместо в (3.49), полагая там 4% = 0 и почленно
интегрируя его по ср в пределах от 0 до 2л, получим:
2л
о2 Ай = —± J 7? (Т,, Н) йф.	(3.55)
О
Подынтегральная функция в (3.55) вычисляется на основании
решения У1*! стационарного уравнения 1-го приближения, которое
получается из (3.48) при ~ 0.
Другой способ вычисления поправочного члена А (£) может
быть основан на методе Галеркина—Канторовича [22], согласно
которому дифференциальное уравнение для А получается из
условия ортогональности
J 7? (Ч\ + A, Н) dtp = 0.	(3.56)
О
При корректировании нестационарных решений 1-го прибли-
жения необходимо учитывать зависимость поправки от времени.
Если краевые условия по-прежнему допускают аддитивную по-
правку A (£, т) в виде (3.54), то вместо обыкновенного дифферен-
циального уравнения (3.55) будем иметь уравнение в частных
производных
2л
а2 А£с- А = —J R (Ть Н) dq>,	(3.57)
О
правая часть которого" —известная функция £ и т.
Метод РЯ-линеаризации дает возможность найти решение
уравнения Рейнольдса, а вместе с ним и зависимости реакций
газодинамических подшипников от смещений шипа в удобной
аналитической форме, что значительно упрощает исследование
динамики ротора (гл. V, VI). Однако ввиду нелинейного характера
упомянутых зависимостей иногда целесообразно прибегать к их
линеаризации, ограничиваясь случаем малых колебаний ротора,
87
что приводит к дальнейшим упрощениям РЯ-линеаризованного
уравнения Рейнольдса, которое в этом случае можно заменить
уравнением в вариациях с последующим применением к нему
преобразования Лапласа.
ГЛАВА IV
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ОПОР
В этой главе дается решение основных краевых задач газовой
смазки для стационарных режимов ротора. Эти режимы возможны
лишь при постоянных нагрузках и отсутствии дисбалансов и
погрешностей форм несущих поверхностей ротора.
Решение краевых задач статики и определение основных стати-
ческих характеристик подшипников производится на базе основ-
ного уравнения Рейнольдса методом, указанным в конце предыду-
дущей главы. Как будет видно из дальнейшего, этот метод дает
возможность рассмотреть с единой точки зрения подшипники
с произвольным профилем на несущей поверхности, в том числе
подшипники со спиральными или шевронными канавками. Суще-
ственно, что основные результаты для шевронных, или спиральных,
подшипников могут быть получены методом РЯ-линеаризации
лишь во втором приближении. В работе Уилдмена и др. [46,
т. 90, № 4; т. 91, № 1 ] показано, что РЯ-линеаризованное решение
уравнения Рейнольдса в первом приближении не обнаруживает
эффекта «поперечного» нагнетания *, создаваемого спиральными
канавками. Уточнение, которое получается в результате вычисле-
ния второго приближения, весьма существенно и для подшипников
с простым периодическим профилем, частным случаем которых
является цилиндрический подшипник с гладкой втулкой или
втулкой, профилированной системой осевых канавок.
В дальнейшем упомянутый метод решения краевых задач
газовой смазки мы будем называть обобщенным методом РЯ-ли-
неаризации, подразумевая под этим метод РЯ-линеаризации
Османа [54, т. 83, № 2; т. 85, № 4], дополненный вторым прибли-
жением.
* Употребляемые автором термины «продольный» и «поперечный» эффекты
нагнетания условны. В стационарном режиме работы газодинамической опоры,
в том числе подшипника со спиральными канавками, единственным источником
несущей способности является эффект смазочного клина, обусловленный пере-
менностью толщины смазочного слоя в направлении скольжения. Подшипник со
спиральными канавками может иметь более высокую несущую способность за счет
дополнительного смазочного, клина, создаваемого вдоль оси канавки, вследствие
наличия составляющей скорости скольжения по этой оси и изменения толщины
смазочного слоя на стыке канавки с непрофилированной зоной (зоной утечки).
88
15. Решение стационарной задачи
для гладкого цилиндрического подшипника
Впервые решение краевой задачи статики для цилиндрического
подшипника с гладкой втулкой было получено С. А. Шейнбергом
на основании численного уравнения Рейнольдса. Несколько
позже та же задача была решена численным интегрированием
уравнения Рейнольдса с помощью ЭВМ. В результате этих работ
в настоящее время в теории газовой смазки имеются достаточно
подробные таблицы для расчета основных статических характе-
ристик цилиндрического подшипника. Несмотря на это, были
предприняты исследования уравне-
ния Рейнольдса с целью получения
аналитического решения краевой за-
дачи статики. Дело в том, что при
исследовании динамики ротора ста-
тические характеристики опор при-
ходится использовать в качестве
исходных данных, а использование
этих данных в виде таблиц крайне за-
труднительно. Поэтому, например,
в работе Г. А. Поспелова [44] при
исследовании устойчивости ротора
в цилиндрических подшипниках ци-
фровые данные из работы [57 ] интер-
полируются с помощью тригономет-
рических полиномов. В связи с этим в данном параграфе при-
водится аналитическое решение упомянутой краевой задачи
обобщенным методом РЯ-линеаризации.
Рассмотрим цилиндрический шип в цилиндрическом подшип-
нике, вращающийся вокруг своей оси с постоянной угловой ско-
ростью Q. Предположим, что ось шипа смещена относительно оси
подшипника и остается параллельной последней. Положение
шипа относительно подшипника определим вектором е (рис. 21).
Предположим, что положение центра шипа О соответствует равно-
весию внешних нагрузок и реакций смазочного слоя. Тогда вектор
смещения е можно считать постоянным. Для определения реакций
смазочного слоя необходимо решить основное уравнение распре-
деления давления (3.20) при соответствующих граничных усло-
виях:	= 1; Р|Ф — Р |ф+2л (так как решается стати-
ческая задача, то нестационарный член д (НР)/дх отбрасывается).
Преобразованное уравнение (3.20) с помощью подстановки (3.41)
к виду (3.42), дает уравнение и граничные условия краевой задачи
статики для цилиндрического подшипника в виде:
[Т (ТФЯ- Ч^Яф)]ф + По2 [Т (Ч^я —WOE — ХоТ; = 0;	(4.1)
Ч'/ф = Ч7ф+2я,
(4.2)
89
где
27?	_ 6p,Q7?2
а0“ L ’	%0'"' ра62 ’
обозначения остальных величин, входящих в уравнение (4.1),
даны в гл. III.
Для рассматриваемого здесь случая с целью упрощения
выкладок положим &х == 8о‘>	= 0; 80 = е/8. Отбрасывая в (3.21)
последний член, который для гладкого подшипника равен нулю,
получим для функции зазора следующее выражение:
Н = 1 — е0 cos ф.	(4.3)
Применим к решению (4.1), (4.2) обобщенный метод РЯ-лине-
аризации (см. гл. III). Согласно (3.48) уравнение (4.1) в 1-м
приближении будет иметь вид
(Ч^ф + ag (ТОк- %о (Ч^Оф = Я'фф +	| СI 1 • (4.4)
Делая подстановку
Ч\ = Я4-У,	(4.5)
приведем краевую задачу 1-го приближения к однородным гранич-
ным условиям:
У'м +	- ХоУ; = ХоЯф-,	(4.6)
П=±1Г0; ^<р = Пр+2л = 0.	(4.7)
С целью сокращения выкладок решение (4.6), (4.7) будем проводить
в комплексной форме. Для этого рассмотрим следующую краевую
задачу:	>
— %о^ф = Хо^ф,	(4-8)
X|E=±i = 0; Х|ф=^ф+2я,	(4.9)
где Ж —комплексная функция зазора,
1— еое-(ч>.	(4.10)
Нетрудно заметить, что, решив (4.8), (4.9), найдем решение и для
r=Re{X}.	(4.11)
Решение краевой задачи (4.8), (4.9) ищем в виде
^ = e0/(Qe-‘<₽.	(4.12)
Подставляя (4.12) в (4.8) и учитывая условия (4.9), придем к урав-
нению для функции / (£)
<-(1	= а», /(±1) = о. (4.13)
Решение этого уравнения может быть записано в таком виде:
1 — L сп чо J
где <7о = V1 — i%o •
Qo
90
Заметим, что уравнение (4.13) эквивалентно системе двух веще-
ственных уравнений с двумя неизвестными функциями, а его
решение (4.14) представляет собой комплекснозначную функцию,
вещественная и мнимая части которой суть решения эквивалентной
системы дифференциальных уравнений с вещественными коэффи-
циентами. Таким образом, мы получили решение РЯ-линеаризо-
ванного уравнения (4.4) в квадратурах.
Действительно, подставляя f (£) из (4.14) в (4.12) и отделяя
вещественную часть согласно (4.11), получим из (4.5) искомое
решение
= Н + 80 Re |	Г1 -	1	.	(4.15)
к 1	L	cn 40 J J
Решение (4.15) соответствует решению Османа, которое отли-
чается от него только по форме [53, т. 83, № 2; т. 85, № 4 ]. Сравне-
ние этого решения с решениями других авторов проводилось
Константинеску [25]. Это сравнение показало, что решение 1-го
приближения по методу РЯ-линеаризации вполне удовлетвори-
тельно, а при введении поправочного коэффициента дает хорошую
количественную оценку.
Для уточнения решения (4.15) подставим Тi из (4.15) в уравне-
ние аддитивной поправки (3.55). Подстановка дает
2л	2л
Дк	=	(ВД)кб/ф.(4.16)
О	о
При преобразованиях здесь учитывалось, что все функции перио-
дичны по ср, a ~ 0. Учитывая далее, что аддитивная поправка
А (£) должна обращаться в нуль при £ == ztl, и интегрируя
(4.16) по £, получим
2л
Д^ = -4г J +	4	(4.17)
О
или
Л (С) = — 4г J [1 —80со5ф + 4ео(/е""1'ф-г/*<’1'ф)]2Х
О
X (1 —80 COS ф) б/ф,
где
91
вычисляя интегралы, получим выражений
A© = eg[Re{H£)}-T'/^'2]-
(4.18)
Решение 2-го приближения запишется так:
V2 = Ч\ + А (С) =Я + 80 Re {/ (С)	+
4- 8g [ Re {/(С)}— 4 I/© I2] •	(4-19)
При больших числах сжимаемости %0 можно получить оценку
точности этого решения из сравнения с точным предельным реше-
нием	__________
Тм = ИтТ =	+ 4 8о •	(4-20)
Переходя к пределу при %0 ~* +°° в (4.19) и учитывая, что
lim/(£) = 1, будем иметь
Хо->+°°
Т2оо = lim Т2 = 1 +4-802.	(4.21)
Учитывая, что
]/i + 48,2 = 1 + 4	4— *
получим оценку погрешности в предельном случае
I ^°° I ___________М_______	пп\
I'M 32 К1 + 1,’М ’	у }
в частности, при е < 0,5
^^<0,015,
а при е0 < 0,8	.
I ЦТ _ ЦТ I
-)Ъ-<0-082
Как будет видно из дальнейшего, обобщенный метод РЯ-ли-
неаризации достаточно чувствителен и дает возможность иссле-
довать эффекты второго порядка, которые оказывают определяющее
влияние на работу подшипников со спиральными канавками.
16. Статическая реакция цилиндрического подшипника
с гладкой втулкой
На базе полученного решения (4.19) можно вычислить все
статические характеристики подшипника: несущую способность,
жесткость, момент сопротивления и т. д. Здесь мы ограничимся
вычислением главного вектора сил давления, действующих на
шип со стороны смазочной пленки. Если пренебречь тангенциаль-
92
йыми силами трения по Сравнению с нормальными силами давле-
ния, то последние и будут определять статическую реакцию
подшипника. Главный вектор сил давления вычисляется по
следующей формуле:
F1 = ^ + lTi] = _Pa/?_L.	(4.23)
(S)
Интегрирование в (4.23) проводится по всей поверхности шипа
S : 0 -С Ф 2л; £	1.
Учитывая, что
и принимая во внимание решение (4.19), получим
1 2л	Г 1 2л
paRL = ~ f Ь? el4>d(p = ~ S° 'Т J f f ~Н~ “*
оо	Loo
1 2л	1	2л
+ 4Р*М ^ТГ1- ^ + е0 jRe{Mj
0	0	0	0
2л	2л
-Ге«j \нi2^ f
о	о
Введем обозначения:
1
=	=A + iB'< = A —
О	0
Учитывая выражения (4.14), будем иметь:
= J;
J	1 “Г Хо
о
1
f £* лт- _ Хо (Хо + 0 7*.
У -------’
1
—гАг(л + тгв)-
(4.24)
(4-25)
Подставляя (4.25) в (4.24) и вычисляя прочие интегралы
(см. приложение 1), после простых преобразований получим
^1	_______________2ле0_______ ХМ ~Ь Хо^ ( 1 ।	2___
PaRL	(1 + /Г=^2)	1 + Х§ \	4 0
<4'26>
93
Где Л = Ие{Л|; В-МЛ1; е71=1—4^-.
Чо
Полученная формула дает аналитическое представление глав-
ного вектора сил давления, действующих со стороны смазочной
пленки на шип. Формула позволяет рассчитать как несущую
способность цилиндрического подшипника, так и угол нагрузки.
Несущая способность определяется модулем, а угол нагрузки ,—
аргументом комплексного выражения (4.26). При расчете по фор-
муле (4.26) возникают лишь некоторые трудности, связанные
с вычислением величин Л и В, которые зависят от двух параметров
подшипника сг0 и %0; эти трудности легко устранить табулирова-
нием функции ^71 = ^71 (о0, %о) (см. приложение 2).
Сопоставление результатов расчета несущей способности и
угла нагрузки по этой формуле показывает хорошее совпадение
с результатами в работе [57 ] (см. приложение 3),
17. Решение краевой задачи статики
для цилиндрического подшипника с шевронными
канавками, имеющими синусоидальный профиль
Как известно, цилиндрические подшипники с гладкой поверх-
ностью при малых радиальных нагрузках не обеспечивают доста-
точного запаса устойчивости [58]. В связи с этим, в машинах
малой мощности, а также при вертикальном положении вала
применяются профилированные подшипники. В настоящее время
все более широкое применение находят подшипники со спираль-
ными канавками. Первая теоретическая разработка упорного
подшипника со спиральными канавками была опубликована
Уипплом в 1949 г. Методика, предложенная Уипплом, применя-
ется для расчета и радиальных подшипников с шевронными канав-
ками, имеющими прямоугольный профиль. В более поздней работе
Вора и Чау дается теория идеализированных подшипников со
спиральными канавками произвольной геометрии. В этой работе,
а также в ряде других решение задачи не является равномерно
точным для всех значений параметра сжимаемости и пригодно
лишь для достаточно малых значений этого параметра. Этот
вопрос подробно анализировался в работах Уилдмена 146, т. 90,
№ 4], Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 1].
В данном параграфе мы рассмотрим краевую задачу статики
для цилиндрического подшипника с шевронными канавками при
нулевом эксцентриситете (8 = 0), что соответствует случаю, когда
подшипник свободен от нагрузки. Постановка задачи остается
такой же, что и для гладкого подшипника (см. п. 15).
На рис. 22 изображена опора длиной L: а —с шевронными
канавками = А); б —с частичным профилированием (Li <
< Л); в —выбор начала координат. В этом случае функция
94
зазора
Н = 1—Tjcos (ncp-j-PC),	(4.27)
g
где р = р0sign £ (р0 = const); 13 =	— относительная ампли-
туда изменения глубины канавки; р0 =—J—/г tga — коэффи-
°0
циент, характеризующий наклон канавок; п —число канавок;
а—угол наклона канавок к образующей; Е—амплитуда
профиля синусоидальных канавок, равная половине их глубины;
Mr
£ = z'-y L —относительная координата, отсчитываемая вдоль
образующей шипа от средней линии £ = 0. Учитывая сим-
Рис. 22
метрию, будем решать краевую задачу, выраженную урав-
нениями (4.1), (4.2), для одной половины подшипника (0 ^ £ ^
1). В этом случае граничные условия (4.2) можно заменить
такими:
V |£=я = Ht=+l-, 'F'U = 0; Т|Ф = Т|Ф+2Я.
Второе условие не относится к специальному случаю, когда
профилированные зоны смыкаются в точке £ = 0 (рис. 22, а).
В формуле (4.27) следует положить р = р0. Применяя обобщенный
метод РЯ-линеаризации, решим задачу в первом приближении.
Опуская промежуточные рассуждения и выкладки, которые будут
такими же, как и в п. 15, сформулируем задачу 1-го приближения
в комплексной форме. Для этого определим комплексный зазор,
соответствующий формуле (4.27):
1—	(4.28)
где со = шр + р£.
Краевая задача, соответствующая (4.8), (4.9), с учетом новых
граничных условий, преобразуется к виду:
Ж'^ +	(4.29)
Ж = 0; Ж^ Ьо = 0; Ж |ф = Ж |ф+2л.	(4.30)
Решение уравнения (4.29) будем искать в форме
(4.31)
95
Подставляя (4.31) в (4.29) и учитывая (4.30), получим одномерную
краевую задачу для fn (£):
Г- - ИМ'» -	+ й) (. = -у; 1
/п(0) = 0; /„(+1) = 0,
где
<т=А_;	p0 = ^L.
п ** п 1 и а
Эта линейная задача может быть решена в конечном виде
Ш	- 1) >	(4-33)
\	|^2	j
где
г2 = - +Ро; 51,2 = ± q 4-фо.
В отличие от подшипника с гладкой втулкой, в случае шеврон-
ного профиля решение 1-го приближения (4.33) получается до-
вольно сложным, поэтому в следующем параграфе мы займемся
анализом уравнения (4.32) другим способом.
Заметим, что для цилиндрического подшипника с синусоидаль-
ным профилем при нулевом угле наклона (а = 0) из (4.33) полу-
чается решение вида (4.14)
!«> = —<4-34>
Рассмотрим теперь 2-е приближение. Для вычисления поправки
снова обращаемся к уравнению (3.55). В данном случае =h О
и уравнение (3.55) будет иметь вид
2л
Ди = -4- J [(W):~3W ^<р.	(4.35)
О
Граничные условия для Д (£) должны быть нулевыми, так как
решение первого приближения удовлетворяет граничным
условиям точно. Для области | £ | ^ 1 имеем
Д'(0) - Д(+1)=0.	(4.36)
Интегрируя (4.35) два раза, получим
2л	t 2л
A^ = -i J + W^<p + ^ + c2.
О	1	1
После нахождения произвольных постоянных это выражение
примет вид
2л	£ 2л
д (С) = J (Я8 - WH) dtp 4- A J < J Wi dtp. (4.37)
О	1 о
96
Учитывая (4.28), сделаем замену переменной интегрирования
по формулам:
= <4-38)
В результате получаем
А © = i j № - ВД) J dZ f do, (4.39)
о	Е о
где Н = 1 —т] cos со; со = пц> + 0£; 0 < £ sg 1.
При £ = О следует полагать 0 = 0, тогда выражение (4.39)
будет справедливо в замкнутом промежутке 0 sg £	1. Эта осо-
бенность объясняется тем, что функция зазора И терпит разрыв
1-го рода в точке £ = 0.
Для того чтобы вычислить поправку А (£) окончательно,
необходимо подставить в (4.39) решение 1-го приближения Тц
которое согласно (4.33) имеет выражение
T^H + nRefLC)^},	(4.40)
отсюда можно получить
Vf = l4 + П2 (1 +	+ n2 (1 + /п)2 е21'“ +
+ 4т] (1 + fn) ё~!е> + 4т) (1 + fn) е1(й 4- 2Л21 1 + f |2]. (4.41)
Здесь fn —сопряженная комплексная функция. Подставляя это
выражение в (4.39) и вычисляя интегралы, получим
1
А(£) = 4(не{/Д—-g_pna J Im\fn} dtp, (4.42)
где p = p0 > 0 при 0 <	1 и p = 0 при £ = 0.
Первое слагаемое в полученном выражении соответствует
поправке к решению в случае подшипника с гладкой втулкой, но
отличным от нуля эксцентриситетом (см. 4.18), а второе слагаемое
характеризует эффект поперечного нагнетания.
Полное решение во втором приближении запишется в виде
V2 =	+ А (£) = 1 — П cos ш + т| Re {fn © е~^] +
1
+ n2 (Re {fn (£)} - 4-1 fn (0 I2) - 4- IW J Im {fn (£)} d£,
p = po; 0<^l; 0<ф^2л.	,	(4.43)
В этом решении со = /гср + р£, a fn (£) определяется выраже-
нием (4.33). Напомним, что здесь мы получили решение для
случая несмещенного шипа, когда 8 = 0, однако оно позволяет
вычислить важнейшие статические и динамические характери-
7 В. Дроздович	, 97
стики —статическую и «вихревую» жесткость подшипника (см.
гл. V). Кроме того, полученное решение пригодно для исследова-
ния упорного кольцевого подшипника с шевронными канавками,
точнее, его модели в виде прямолинейной полосы бесконечной
длины. Такой моделью пользовался Уилдмен [46, т. 90, № 4] при
исследовании упорного подшипника с шевронными канавками.
Можно показать, что все результаты этой работы вытекают из
данного решения.
18. Качественное исследование упорного подшипника
с шевронными канавками
Рассмотрим модель упорного подшипника, образованную раз-
верткой концентрически расположенных несущих поверхностей
радиального подшипника. На рис. 23 показаны упорный кольцевой
подшипник с шевронными канавками и его модель: а — упорный
диск; б —развертка диска в полосу (вид"сверху); в —продоль-
Рис. 23
ный разрез полосы подшипника. Для этой модели будут спра-
ведливы все результаты, полученные в предыдущем параграфе,
если мы потребуем, чтобы скорость скольжения верхней полосы
с гладкой поверхностью была равна окружной скорости шипа
V = Q7?. В этой модели угол ср будет играть роль безразмерной
координаты, а радиус R —роль единицы масштаба.
Результирующая сила давления смазочного слоя на верхнюю
пластину длиной 2л7? = 2лгв и шириной L ~ га —rt может
быть вычислена по следующей формуле:
(S)
(4-44>
(S)
где Т2 можно взять из (4.43); область интегрирования S заклю-
чена в пределах: —1	+1; 0 ср 2л.
Расчет несущей способности по формуле (4.44) целесообразно
делать на ЭВМ, несмотря на то что все интегралы вычисляются
98
в конечном виде. Именно этим путем производилось исследование
упорного подшипника Уилдменом на базе решения уравнения
Рейнольдса методом малого параметра [46, т. 90, № 4].
Для качественного исследования удобно, по крайней мере на
первом этапе, иметь аналитические представления основных
характеристик подшипника. Для того чтобы найти аналитическое
представление несущей способности и жесткости упорного под-
шипника желательно прежде всего, упростить выражение (4.33)
для функции fn (£). Такое упрощение может быть получено путем
разложения функции fn (£) в ряд по собственным функциям опера-
тора дифференциального уравнения (4.32).
Рассмотрим для этого следующую вспомогательную краевую
задачу типа Штурма—Лиувилля:
% (Ф) = Ф^ - 2ф0Ф£ - г2Ф = цФ; 1 ,л .
rh1 rh 1	I	(4.4Ь)
чЛ £—2 =	£4-2,	)
где р — произвольная константа.
Соответствующие краевой задаче (4.45) собственные функции
и собственные числа будут таковы:
=	(2/г—1)-₽0]2, fe = 0, ±1, ±2,...
Собственные функции Ф/€ (Q удовлетворяют следующим усло-
виям ортогональности:
+ 1	г 1	.
(Фь Ф?) = [ Ф*Ф* dt = Р при к =	(4.47)
[ О При k=k /•
Здесь Фу (Q —сопряженная комплексная функция по отношению
К Ф, (?).
Принимая собственные функции (4.46) в качестве координат-
ных, представим искомое решение уравнения (4.32) в виде суммы
ряда
f «/(Ф/ + Ф/-1).	(4.48)
Легко видеть, что каждый /-й член этой суммы удовлетворяет
граничным условиям: £ = 0; £ = +1.
Подставляя (4.48) в (4.32) и учитывая (4.45), получим в силу
линейности оператора
4-СО
= У, ai (Н/Ф/ + Н1-/Ф1-/) =	•
/=1
7:
99
Умножая пбчлёнйо йбследнее уравнение на Ф* и интегрируя
в пределах от --1 до +1, получим в силу условия ортогональности
(4.47)
^(Ф,,
откуда найдем
= 4ix (- 1)<7\ ( / = 1, 2, 3 ,
7	К2л (2/ — 1) a2pi
(4.49)
Подставляя эти коэффициенты в (4.48), найдем искомое аналити-
ческое представление функции fn (£) в виде суммы ряда Фурье
+ с°	._т
/.(9 = ^2	(4'50)
Здесь
^ = ?о-Г^-(2/-1)-₽о1г; о=^; % =
1	I	/ р	/ р
гпе ф - 1 ~ а . 6 _ tga
тде 70 — д2 , Ро —	•
Сумма ряда (4.50) сходится абсолютно и непрерывно при всех
значениях параметров. Быстрота сходимости зависит от величин
параметров: при малых % = %0//г сходимость лучше, чем при
больших.
. Не останавливаясь на анализе распределения давления, что
можно было бы сделать исходя из (4.44) и (4.50), перейдем к воп-
росу о влиянии числа канавок и, угла наклона а и других пара-
метров канавок на несущую способность упорного подшипника.
Для вычисления несущей способности упорного подшипника
с шевронными канавками согласно (4.43) и (4.44) будем иметь
1 2л
0	0
+ 4-(Re{/n}-4-!/J2)-
4“ Re{fne~ia\ +
4г	da,
J
(4-51)
где H ~ 1 — t] cos co, a fn определяется формулой (4.50).
Вычисляя интегралы, получим:
1	-[-со
s71 = J Л. (9	2 Ц; (2/ — I)3
1 , ,
Л-	2
0	£	/=1
л= j v^ = 4&-
о
[1 — (—l)/-1sin y(2i—1)^];
____1_____Г.	2 (- I)/"1
PiW- 1) L	я(2/-1)
+<Ю	1
2 I Is (2/-1) •
/=1
100
Для исследования влияния отдельных параметров подшипника
на несущую способность его рассмотрим асимптотические свойства
интегралов ^7Х, ^72 и </з- Прежде всего обратим внимание на соб-
ственные числа piy. Внося о2 под знак суммы, мы получим в знаме-
нателях отдельных слагаемых множители о2ру и о4цу/2. Преобра-
зуем эти множители следующим образом:
[тг	"12
(2/ —1) ст—Рост] .
Учитывая выражения для ql и ро, найдем, что
= - 1 — [-j- (2/— 1) о- tga]2 4- iX. (4.52)
Величины о и % убывают с увеличением п обратно пропорционально
числу канавок, в то же время величина а2Ц; остается ограниченной
при фиксированном /. В пределе при п —> +оо будем иметь
limoVy = — 1 — tg2a= — —(4.53)
/2-> + сО	C0S 00
Очевидно, что это верно лишь для конечных значений /, %0>
о0, a > 0.
Возвращаясь к (4.50), заметим, что в силу (4.53) имеет место
асимптотическое представление
у—1
fn(Р----»Хcos2a — У (~ ° 1...cos (2j — 1)£.
Существенно, что предельное выражение, аналогичное (4.53),
можно получить и другим путем, не связывая его с числом кана-
вок п,
limo2pz = — 1 — tg2a + f%= — —irr+iX-	(4.54)
a^O	COb a
Это выражение, как и (4.53), может быть определено лишь при
ограниченных /, но при любых %. Уменьшение параметра a
возможно не только за счет увеличения числа канавок, но и за
счет уменьшения геометрического параметра о = D/L, т. е. за счет
увеличения поперечного размера полосы, что эквивалентно в слу-
чае цилиндрического подшипника увеличению его длины L.
Далее, заметим, что ряды, с помощью которых представляются
интегралы <7 х, $ 2, ^73, —быстро сходящиеся.	z
При достаточно малых а будем иметь приближенные выражения
для интегралов:
~	2 <27^7 [1 - <- sl" т И -
/=1.
101
4-63
7 —	-—8/% cos2 a	VI
& 2 ~ n2(l— Z%cos2a)
1	[1 _ 2 (- I)'-1'
(2/- I)2 L n(2/-l)J
о/ 3
8%2 cos4 a
л2 (1 4- X2 cos4 a)
«>о.
Суммируя ряды, получим при о —♦ 0 асимптотические значения
интегралов в виде:
7 _ —q cos2 a Z1
®1	1 — i%cos2a '
у ~ cos2 a__________. i
® 2 ~ 2 (1 — cos2 a) ’
7 ~ , X2 cos4 a	0
& 3	1 4~ X2 cos4 a ’
Рассмотрим теперь асимптотическую несущую способность.
Для этого найдем из (4.55) следующие интегралы:
1
(4.55)
о
i
po(7l	%2 cos* a
= Rel^ik=o = 4 + %*COS*a’
Tm ( -7 1	х cos3 a
Im	= 1 + %3c0S4a .
0
J Im {d/i} dt, =	2 (14-C%3 cos* a) •
Подставляя эти интегралы в (4.51), получим асимптотическое
выражение несущей способности упорного подшипника
{1
%2 cos4 а г coscoJco ,
1 4~ X2cos4 a J 1 — ч cos co
F
rcDLpa
2л
3	%2 cos4a f
4	1 4- X2 cos4 a J
2л	]
dco . 3P % cos2 a Г da (
1 — 4 cos co '	4	1 4~ X2 cos4 a J 1 — 4 cos co | ’
б	0	'
a =^«tga;
Вычисление
и окончательно
a > 0.
F
nDLpa
оставшихся интегралов не представляет труда
получим
_ Зт|2 4-4(1 — К1 — ч2) X2 cos4 a ____
1 4- %2 cos4 a
4 К1 — д2
Ч2	% sin 2a
___ 2 .___________________
8	a О + %2 cos4 a) ’
(4.56)
102
Напомним смысл величин, входящих в эту формулу. Левая
часть выражает удельную статическую реакцию подшипника,
приходящуюся на единицу площади и отнесенную к атмосферному
давлению ра. Площадь модели упорного подшипника равновелика
площади поверхности радиального подшипника радиуса R и
длины L. В правую часть (4.56) входят геометрические параметры
т], о, а и так называемое число сжимаемости %, зависящее от
геометрических параметров подшипника и физического состояния
смазочной среды. В этом случае
6yVR
Ра (б + Е)2 *
(4.57)
Перейдем к анализу. формулы (4.56). Прежде всего из нее
вытекают все результаты работы Уилдмена [46, т. 90, № 4].
Рис. 24
В этой работе данная задача решалась методом малого параметра
в предположении, что rj < 1. В результате расчетов на ЭВМ были
построены графики зависимости несущей способности от числа
сжимаемости при различных значениях геометрического пара-
метра т] << I.
Для того чтобы привести формулу (4.56) в соответствие с гра-
фиками работы Уилдмена [46, т. 90, №4], показанными на рис. 24,
необходимо в ней произвести упрощение, основанное надопущении,
что т] < 1. В результате упрощения получится формула, которая
в наших обозначениях имеет вид
Г _ А X2 cos4 а	, _3	% sin 2а	м
tfnDLpa 4 1 +%2 cos4 а 8 о (1 + %2 cos4 а) ’ V • /
Положив в (4.58) % = оЛа; о = су*/2я (где су* в работе Уилд-
мена есть отношение длины канавки к ее ширине, Аа названо чис-
лом подшипника, вычисленным по его ширине, обозначенной
через а), можно убедиться, что результаты расчета, проведенные
103
для а = 50° и о* = 0,5, соответствуют графику Уилдмена^кривая
3 на рис. 24). На рис. 24 обозначено пунктиром решение Уиппла,
сплошной линией —решение Уилдмена для различных значений
1/о*: 1 —0,01; 2 --0,2; 3 —0,5; 4 — 1,0.
Формула (4.56) дает более общий результат, так как она спра-
ведлива во всем диапазоне изменения числа сжимаемости % при
любых а, удовлетворяющих условию tg а > о. Кроме того, при
% —>	из (4.56) получается более точное значение несущей
способности.
Из формулы (4.56) вытекает, что в подшипнике с шевронными
канавками при а > 0 имеет место эффект поперечного нагнетания.
Этот эффект выражается вторым членом, который при определен-
ных условиях значительно превосходит первый, выражающий
обычный продольный эффект смазочного клина. Поперечный эффект
нагнетания при прочих равных условиях тем больше, чем больше
ширина полосы и число канавок п, т. е. чем меньше о = а0/п.
Как показано в работе Уилдмена, ‘ при достаточно малых %
и о, продольным эффектом можно пренебречь. В этом случае
формула (4.56) упрощается и принимает вид
F________3 Н2__________X sin **	(л со\
nDLpa	8 j/" 1 _ <q2 а (1 + %2 cos4 а)	\ • /
Ha основании (4.59) можно установить, что для постоянных п и о
максимальный поперечный эффект достигается при = 1/cos2 а.
Подставляя это значение в (4.59), получим:
Fmax 3__________Т|2___П-
n,DLpa 3	| — <q2 Oq
(4.60)
При % < Xm = 1/cos2 а эффект увеличивается монотонно, при-
близительно пропорционально увеличению % = %Q/n.
Произведем оценку максимальной удельной несущей способ-
ности, когда п = 8; а = 45°; сг0 = 0,5; т] = 0,6.
Подставляя эти значения в (4.60), получим
Fmax	2-3-0,62-8	2 у
nDLpa 8 J/"1 ~ 0,62	’
Соответствующее число сжимаемости, при котором достигается
максимум, будет равно:
v _ ” _ JL _ 16- у-2о.-2
cos2 а ~ 0,5	’ л — п —
Вычислим теперь первый член в (4.56), выражающий продольный
эффект,
3-0,62+4(1 — К1 — 0.62)	4-0,25 n Qq
4 Г1 - 0,6-2'	1 + 4-0,25
104
Таким образом, даже при сравнительно малом числе канавок
(п = 8), поперечный эффект превосходит продольный и составляет
около 89% от полной несущей способности.
При больших значениях п вклад поперечного эффекта в общую
несущую способность будет еще больше превосходить соответ-
ствующий вклад продольного эффекта, если параметр % не слиш-
ком велик. На этом свойстве шевронных спиральных подшипников
основана теория узких канавок, разработанная в своем первона-
чальном виде Уипплом [56], в которой предполагается, что при
большом числе канавок можно не учитывать продольный эффект.
Согласно этой теории несущая способность монотонно возрастает
с увеличением числа сжимаемости, в действительности это имеет
место лишь при достаточно малых значениях числа сжимаемости.
Из (4.59) видно, что верхняя граница применимости теории узких
канавок определяется максимум F (%) и при этом %0 должно
удовлетворять требованию
Ь<Ж?	I4-6')
В действительности это условие должно выполняться с некото-
рым запасом, так как вблизи точки максимума несущей способ-
ности погрешность теории Уиппла будет значительной (рис. 24).
На основании вышеизложенного можно сделать следующие
предварительные выводы.
Подшипники с шевронными или спиральными канавками харак-
теризуются эффектом поперечного нагнетания, который исчезает
при нулевом угле наклона канавок (а = 0).
При большом числе канавок /г, когда о = a0/n tga, распре-
деление давления в подшипнике приближается к асимптотиче-
скому, которому отвечает решение краевой задачи при п —> +оо.
Это асимптотическое решение может быть найдено из (4.43)
в результате предельного перехода. Действительно, из (4.43)
имеем
Р-1 = -^- = ^-{/„e-‘“-cosa)}+-J-(Re{/„}-
1
(4.62)
I
Из (4.50), учитывая (4.53) при п —* +оо и %0/о0 = const,
получим асимптотическое выражение
М£)------i ~~ cos2 a.	(4.63)
Подставляя это выражение в (4.62), получим асимптотическое
выражение для давления, которое с точностью до членов О (г|2)
105
запишется так:
р_ !	—sin2a_± ^Xocos2a —
tIUq	л/4
---— WCo cos2 a sin co (1 + t] cos co),	(4.64)
где co = nep + PC’ 0 cp 2л; 0 £ =C 1.
Из этого выражения можно видеть, что распределение давления
по длине имеет периодическую составляющую, первая гармоника
которой сдвинута по фазе относительно функции зазора на четверть
периода, достигает максимума в конфузорной, а минимума в диф-
фузорной области смазочного слоя. Асимптотические эпюры
давления вдоль образующих профиля (со = const) имеют прямо-
линейный характер. По мере увеличения числа канавок перемен-
ная составляющая убывает, но интегральное действие всех кана-
вок сохраняется, о чем свидетельствует первый член (4.64), отра-
жающий эффект поперечного нагнетания.
Асимптотическое решение (4.64) носит осциллирующий (коле-
бательный) характер, при п —> +оо частота осцилляций будет
бесконечно большой.
19. Влияние шевронных канавок
на жесткость радиального подшипника
В общем случае жесткость радиального подшипника может
быть определена с помощью матрицы четырех вещественных коэф-
фициентов. Матрица устанавливает взаимосвязь между прираще-
нием А/7 главного вектора сил давления и приращением Ае век-
тора смещения. Коэффициенты этой матрицы определяются на
основании решения краевой задачи газовой смазки путем вычисле-
ния главного вектора.
Будем определять жесткость подшипника в центральном поло-
жении шипа, предполагая число канавок п большим. Для этого
вычислим реакцию смазочной пленки радиального - подшипника
с канавками при малом смещении центра шипа вдоль оси ОХ
(см. рис. 21). Эта реакция может быть вычислена так же, как и для
гладкого подшипника. Предполагая, что эксцентриситет е мал,
варьируем уравнение (4.23) и, учитывая, что
Р +	(4-65)
представим удельную реакцию подшипника в следующем виде;
-да-—	<4-66>
(S)
где = F^ + iF^ —комплексная сила реакции; HQ = 1 —
— т] cos со —безразмерный зазор при центральном положении
шипа; АН = —е cos ср — вариация зазора, обусловленная малым
смещением шипа е; ДУ —статическое решение краевой задачи
(4.6) для гладкого подшипника при малом смещении шипа; Уо —
статическое решение краевой задачи для центрального положения
шипа с учетом наличия канавок. При интегрировании первого
члена в правой части (4.66) можно воспользоваться результатами
п. 15. Подставляя в первый член вместо ДУ величину —И,
из (4.19) получим
1 2л
с-==- W *
(s)	О О
где со = пер + ₽£.
Далее, учитывая (4.24) и (4.25), получим при п 3
1	2л
6Х = — 4 f НМ f i—Ио . (4.67)
2 J ' W Ъ J 1 — Т] COS СО	J/Ч — Т]2	1 + Хо v
о о
Для интегрирования второго члена в правой части (4.66) восполь-
зуемся решением (4.43). Из (4.43) для Уо получаем выражение
r0EET0-/70 = T]Re{/„(t)e-«<»} + A(g).	(4.68)
Подставляя это выражение в (4.66), получим
1	2л
G2 = — -f- f f	d(p, (4.69)
2	2 J 5 J (1 — 4 cos co)2 4	v 7
о 0
Это уравнение аналогично выражению (4.51) и отличается от
последнего только коэффициентом и степенью в знаменателе
подынтегральной функции. Примем далее, что выполняется усло-
вие о tg а, которое было принято в п. 18. Обращаясь сразу
к формуле (4.56), вытекающей из (4.51), и заменяя в интегралах
(1 —т] cos со) на (1 —т] cos со)2, получим искомый результат
{2л
%2 cos4 a f cos со Jco ,
14-X2cos4a J (1 — т] cos со)2
о
2л	2Л
I 3 X2 cos4 а г 4(0	_. 3 R X cos2 a f da>
' 4 * l + %2cos4a J (1 — т] cos со)2 ’ 4 * *1 +%2 cos4 а J (1 — 4 cos со)2
о	о
(4.70)
Этот результат справедлив при о tg а (см. п. 18). Суммируя
(4.67) и (4.70), получим правую часть (4.66). После деления на е
и приведения подобных членов, получим для удельной жесткости
107
подшипника следующую формулу:
_ Fi _ яе/ (Хо. Ро) Хо~ (Хо ,
epaRL /1 — г]3	1 + Хо
.	лт]2 / 7%2cos4 * *a । 3% sin 2а
‘ 4 (1 __	__ ^2 \ 1 + %2 cos4 а 2а 1 + %2 cos4 а
Все обозначения -здесь те же, что и в предыдущих параграфах.
Первый член правой части представляет собой коэффициент
жесткости цилиндрического подшипника при малых смещениях.
Этот коэффициент может быть вычислен по формулам пп. 15, 16,
в которых %0 определяется по формуле (4.57).
Первый член (4.71) может быть вычислен и с помощью числен-
ных данных С. А. Штейнберга [57]. Второй и третий члены отра-
жают влияние канавок, так как видно, что при т] —> 0 эти члены
исчезают. Существенно, что так же, как и для упорного подшип-
ника (п. 18), второй член отражает эффект продольного нагнета-
ния, а третий — поперечного. Выведенная формула пригодна,
когда ст < tg а, т. е. в случае большого числа канавок или длин-
ного подшипника.
Проверка показала, что формула>(4.71) при % —> +оо дает
результат, который отличается от точного в -членах четвертого
порядка относительно т]. Предельное значение /71/(e/?LpJ, полу-
ченное на основании точного решения, равно
Fi =
&RLpa
Я j/l + Т]2
(1 — Г]2) К1 — Т]2
(4-72)
Приближенное выражение получается предельным переходом
в (4.71)
F я(1 + 4"112)
.2;й=+0<£2)-	' (473)
FKLpa (1 — -q2) у 1 — ^2
4 Сравним результаты вычисления по формуле (4.71) с результатами
вычисления по теории Вора и Чау [54, т. 87, № 3]. В этой работе
приводится пример расчета радиальной жесткости шевронного
подшипника в асимптотическом случае большого числа канавок
прямоугольной формы. Ширина канавки и выступа принята
одинаковой, отношение максимальной величины зазора к мини-
мальной равно 2,1, относительная длина L/D = 1, угол наклона
канавок к образующей равен 57,2°.
Произведем расчет радиальной жесткости подшипника с ука-
занными выше параметрами по формуле (4.71). Предполагаем, что
прямоугольный профиль заменен синусоидальным, причем так, что
глубина канавок остается той же. В наших обозначениях пара-
метры подшипника, эквивалентного рассмотренному в работе
108
Вора и Чау, следующие: а = 57,2 —угол наклона канавок;
£
о0 = 1 —геометрический параметр; т] = — £ = 0,36 —
относительная величина амплитуды изменение зазора.
Результаты вычисления радиальной жесткости по формуле
(4.71) показаны крестиками на рис. 25, где приводятся также
данные расчета по методике Вора и Чау (точки). По оси абсцисс
отложено число сжимаемости Л =	> а п0 оси орди-
нат — радиальная жесткость, которая определена по формуле
I F | cos Ф _ я р (	—д0 у (	, Зя	sin 2а
^Dpa 2 К1 — П2 1 1 + G/^o,(Toj't 16 ao(i_n2)/-1__n2’
где Ф = arg F. При вычисле-
нии по этой формуле значе-
ния £ (хо, о0) взяты из при-
ложения 2.
Как видно из рисунка,
совпадение получилось хоро-
шим, несмотря на то, что
расчет производился для слу-
чая синусоидального профи-
ля. Такое хорошее совпадение
мы должны рассматривать,
по-видимому, как резуль-
тат ряда упрощений, приня-
тых в работе Вора и Чау.
Кривая, рассчитанная по
(4.71), имеет максимум, кото-
рый на рис. 25 не обнаруживается, так как достигается при боль-
шом значении

п
(1 — r])2cos2a
Например, при п =. 18 получим для рассматриваемого случая
0,29*0,4 ~ ISO-
20. Асимптотическое решение краевой задачи статики
для подшипника с шевронными канавками
произвольного профиля
Результаты, полученные для подшипников с синусоидальным
профилем могут быть распространены на подшипники с произволь-
ным периодическим профилем, описываемым дифференцируемой
функцией зазора. Более того, если функция зазора представляется
быстро сходящимся рядом Фурье, то достаточно ограничиться
учетом только первой гармоники этого ряда. На практике при-
109
ходится иметь дело с подшипниками, имеющими канавки прямо-
угольного сечения. В этом случае функция зазора имеет разрывы
непрерывности 1-го рода и разлагается в ряд Фурье, сходящийся
медленно. Учет только первой гармоники здесь может оказаться
слишком грубым приближением.
Для оценки этого приближения можно было бы учесть при
разложении функции зазора в ряд Фурье несколько членов с тем,
чтобы оценить вклад каждой гармоники в полученном решении.
Этот вопрос требует специального рассмотрения, и мы его оставим
в стороне. Рассмотрим асимптотическое решение, соответствую-
щее большому числу канавок п другим методом, отличным от обоб-
щенного метода РЯ-линеаризации. Метод, которым мы будем
пользоваться, не требует разложения функции зазора в ряд
Фурье и применим к шевронным и спиральным подшипникам
с любым профилем поперечного сечения канавок.
Рассмотрим краевую задачу газовой смазки или цилиндриче-
ского подшипника с шевронными канавками при нулевом эксцен-
триситете. Постановка этой задачи дана в пп. 17, 18, но на этот раз
мы будем исходить из уравнения Рейнольдса в форме (3.20),
которое перепишем, обозначая производные штрихами и подстроч-
ными индексами,
(№РРф)ф + (Я3РР& = %) (ЯР)ф.	(4.74)
Граничные условия для рассматриваемого случая будут иметь вид:
Р/£=±1 = Г, Р/ф = Р/(р^-2л;-	(4.75)
Функция зазора для шевронного подшипника определяется с по-
мощью выражения
Я 1 4- V[V (со),	(4.76)
где со = /гср 4~ Р =
1,	0<£<1;
О, £ — 0;
-1, -1^£<0.
Смысл всех обозначений остается прежним. Дополнительного
пояснения требует лишь сложная функция v (со), характеризую-
щая форму профиля. Функция v (со) предполагается периодической
с периодом 2л. Ее аргумент, в свою очередь, является кусочно-
линейной функцией координат ср и £. Таким образом, эта функция
дифференцируема почти всюду, за исключением точек разрыва
1-го рода. Для профиля в виде прямоугольной волны функция
v (со) = sign (cos со).	(4.77)
Следует заметить, что существование решения уравнения (4.74)
с граничными условиями (4.75) при разрывных коэффициентах
проблематично. Для того чтобы не заниматься этой проблемой,
предположим, что функция зазора Я = Я (со) непрерывна и диф-
ференцируема требуемое число раз, а по форме близка к реальной.
НО
Разрывной функцией (4.77) мы будем пользоваться лишь йа
конечном этапе при вычислении интегралов.
Основываясь на результатах исследования, проведенного
в п. 18 для шевронного подшипника с синусоидальным профилем,
предположим, что и в данном случае существует некоторое асимп-
тотическое решение, к которому приближается истинное решение
при уменьшении параметра о = сг0М.
Для нахождения этого решения преобразуем уравнение Рей-
нольдса (4.74), граничные условия (4.75) к новым независимым
переменным со, v с помощью следующих соотношений:
со = /2ф к В£; ]
v = t }	(4J8)
В результате преобразования получим следующую краевую задачу:
(нзрру; + о2 (рр;, +	+ [н3р (рр« + р;ж} -
--£>-а(Н/% = 0.	(4.79)
Здесь р — величина постоянная в каждом из частичных интерва-
лов [см. (4.76)], Р = tg а/сг; Н = Н (со) —периодическая функ-
ция со с периодом 2л; Р (со, v) —периодическое по со решение урав-
нения (4.79).
Решение уравнения (4.79) должно удовлетворять следующим
граничным условиям:
P/v=+l — 1> Р/(д ~	(4.80)
Имея в виду симметрию шевронного подшипника, решение краевой
задачи можно искать лишь для одной его половины 0	1.
Предположим, что при достаточно малом о = о0//г, решение
может быть представлено в виде ряда
Р^Р0 + оЛ + ст2Л+---,	(4.81)
в котором Ро, Pv . . .—суть функции координат со, v. Подставляя
(4.81) в (4.79) и приравнивая нулю члены при одинаковых степе-
нях малого параметра о (начиная с нулевой), получим уравнения
для определения функций Ро, Р19 . . . Первое такое уравнение
будет содержать только функцию Ро
(Н3РоРЬ&У& = 0.	(4.82)
Общий интеграл этого уравнения
со
« = с- Ш + Сг' <4-83>
о
где Сх и С2 —произвольные функции одной координаты v. Учи-
тывая, что по условиям задачи решение должно быть 2л-периоди-
111
ческим по переменной со, тогда как интеграл в (4.83) не является
периодической функцией, необходимо положить Сг = 0, тогда
= PQ = PQ(y).	(4.84)
Таким образом, первый член суммы ряда (4.81) должен быть
функцией только координаты v.
Второе уравнение получается приравниванием нулю членов
первой степени относительно о. В исходном уравнении (4.79)
после подстановки разложения (4.81), учитывая (4.84), получим
в результате простых выкладок следующее уравнение:
(1 4- tg2a) (fFP'i^ + tga(/7%P0'v =	Н», '	(4.85)
°о
которое устанавливает связь между двумя^неизвестными функциями
Ро (v) и Рг (со, v), причем вторая функция зависит уже от двух
координат.
Заметим, что граничные условия (4.80) не позволяют опреде-
лить вид функции Ро, поэтому используем дополнительное усло-
вие, которое получим, интегрируя уравнение Рейнольдса (4.74)
по ср в пределах от 0 до 2л. В результате интегрирования полу-
чим для симметричного подшипника с шевронными канавками
J (Я3Р2)^Ф — 3 J H2H^P2d^ = Ci.	(4.86)
о	о
Действительно, если функция Н дифференцируема всюду, то
в точке £ = 0 должно выполняться условие Я; = 0. Тогда,
полагая в (4.86) С = 0, учитывая симметрию решения и Р’^ — 0,
получим в левой части (4.86) нуль.
В случае, когда функция Н (£) непрерывна, но ее производная
имеет разрыв в точке С = 0, производная может быть доопреде-
лена так, чтобы = 0. В этом случае снова, в силу симметрии
P’l = 0 при £ = 0. Таким образом, для симметричного подшип-
ника уравнение (4.86) запишется в виде	’
2л	2л
J (№Р2)^<р —3 [ Я2Я^2(/<р = 0, 0^£^1,	(4.87)
о	о
так как достаточно рассмотреть только одну половину симметрич-
ного подшипника (0 < £	1). Подставляя в (4.86) решение
в форме ряда (4.81) и удерживая только те члены, которые не за-
висят от малого параметра о, а также учитывая формулы преобра-
зования (4.78), получим
PoP6v J Н3 da — ЗР0 tga j Н2Н’аРх d<» = Cx. (4.88)
о	о
Итак, получены два уравнения (4.85) и (4.88) с двумя неиз-
вестными функциями Ро и Ръ образующие замкнутую систему.
112
Решение этой системы для симметричного шевронного подшип-
ника можно получить в квадратурах, так как при этом Сг = О
и в уравнении (4.88) множитель Ро можно сократить. Интегрируя
уравнение (4.85) один раз по со, получим
уп cos2 а	г»/ .	, D	,А
Л (о = • ^2-----PovSinacosa +	(4.89)
Постоянная интегрирования D может быть найдена из условия
периодичности функции Pr (со, v). Интегрируя (4.89) по со в пре-
делах от 0 до 2л, получим уравнение для определения D
2л	2л
О — -у- cos2 a j -----2nPovsinacosa -ф D j (4.90)
0 о	о
отсюда найдем
D = — P6vsin 2a—	.cos2 a,	(4.91)
где
2л	2л
f	dco	Г	d(o	/л
— J	№(<о) ’	J	/72(<о) ’	(4’92)
о	о
Подставляя (4.91) в (4.89), получим следующее решение:
р'	(ч g2 \ cos2a_________L Р' (и*____2я \ sin2a mqq\
Pico a g3 ) н3 2 ^Ov v77 g3 ) /Р ’ t4-yd'
С помощью (4.93) исключим PT (co, v) из уравнения (4.88). Для
этого достаточно произвести в нем интегрирование по частям
и сделать подстановку. В результате будем иметь
PqPqv f j ЛР dco — sin2 a j ЛР dco -ф-	sin2 aV+
\o	0	/
где
p iXo sin a cos a _ r
(4.94)
2л
Для симметричного подшипника Ct = 0 уравнение (4.94)
упрощается и находим
Pov —
eZ 1X0 sin 2a___
(2л
с	4 л3
cos2a H3 d(D --sin2 a
о	83
(4.95)
8 в. h. Дроздович
113
Для определения следующего приближения необходимо интегри-
ровать уравнение (4.93), используя интегральное условие (4.88)
при С ~ 0. Поскольку второй член разложения (4.81) содержит
множителем малый параметр о предположим, что можно пренеб-
речь остальными членами разложения, по крайней мере, для под-
шипников с дифференцируемой функцией зазора, при достаточно
больших п, это подтверждается результатами анализа фор-
мулы (4.64). Из п. 18 следует, что полученное решение справед-
ливо при выполнении следующих условий:
(4-96)
Первое условие накладывает ограничение на число сжимаемости
и характеризует пределы применимости теории Уиппла. Смысл
этого ограничения раскрыт в работе Уилдмена [46, т. 90, № 4].
Второе условие характеризует границы применимости получен-
ного здесь приближенного решения (см. рис. 25, прямую ).
Из этого условия следует, что асимптотическое решение может
быть применено в качестве приближения к истинному не только
в случае большого числа канавок, но и в случае любого конеч-
ного их числа, если подшипник достаточно длинный: D/L п tg а.
Покажем, наконец, что полученное здесь асимптотическое ре-
шение согласуется с решением, полученным по методу Уиппла
[46, т. 90, № 4].
Уиппл рассматривал математическую модель упорного под-
шипника со спиральными канавками в виде полосы. Канавки при-
нимались прямоугольной формы. Решение Уиппла применимо
и для модели шевронного подшипника.
Учитывая, что решение (4.95), выведенное для радиального
подшипника (при нулевом эксцентриситете), справедливо и для
полосы, мы можем применить его к вычислению несущей способ-
ности полосы (рис. 23).
Рассмотрим случай, когда профиль канавки задан в виде пря-
моугольной волны и описывается уравнением (4.76), (4.77). Взяв
из-за симметрии подшипника только одну его половину (0 < £ ^
1), запишем функцию зазора в виде:
Н = 1 ф- т] sign (cosco); со = /гср + р£; |3 = [30 > 0.	(4.97)
Подставляя (4.97) в (4.95) и вычисляя интегралы, получим
Р' _	П2 (3 + П2) Хо sin 2а____ /и
Ov~ 2а0 [(1 + Зт]2)2 cos2 а + (1п2)3 sin2 а] *	'	7
Учитывая граничное условие Po/^i = 1 и интегрируя (4.98),
найдем
р _ 1 I___________П2 (3 + п2) Хо sin 2а____Н — И (4 99)
0 -	' 2о0 [(1 + Зт]2)2 cos2 а + (1—42)3sin2al ' ЬЛ \ • 7
114
Согласно (4.44) несущая способность модели упорного подшип-
ника будет равна
1 2л
=	(Ро-1)^Ф =
0	0
__________t]2 (3 + П2) Xp sin 2a_ M 1ПЛ\
4п0 [0 + Зт]2)2 cos2 a 4-(1t]2)3 sin2 a] ’	\ •	/
Эта формула тождественна формуле Уиппла, приведенной
в работе Уилдмена [46, т. 90, № 4]. Для того чтобы в этом убе-
диться, достаточно заменить обозначения на принятые в указан-
ной работе Уилдмена.
Таким же путем можно решить краевые задачи статики в рам-
ках асимптотической теории Уиппла для других случаев в поляр-
ных, сферических и других координатах.
ГЛАВА V
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАШИН
С ПОДШИПНИКАМИ СКОЛЬЖЕНИЯ
НА ГАЗОВОЙ СМАЗКЕ
В настоящее время в машинах приборного типа и гироскопах
применяются в основном негладкие газодинамические подшип-
ники, которые обеспечивают динамическую устойчивость поло-
жения равновесия как при наличии радиальной нагрузки, так
и без нее. Наиболее важные теоретические результаты по иссле-
дованию устойчивости роторов в газодинамических подшипниках
были получены в работах Марша и Пэна [54, т. 86]. В этих ра-
ботах применялся, по существу, один и тот же метод эквивалент-
ной линеаризации нестационарного уравнения Рейнольдса в окре-
стности решения краевой задачи статики.
В более поздней работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1]
проводилось исследование динамической устойчивости роторов
в радиальных подшипниках с шевронными канавками, которые
применяются в гироскопах [46, т.'90, № 4]. В настоящей главе
исследование устойчивости роторов в газовых подшипниках про-
изводится с помощью обобщенного метода Р//-линеаризации.
На основе решения краевой задачи динамики в 1-м приближении
определяются передаточные функции результирующих сил реак-
ции подшипников, которые позволяют производить предваритель-
ное качественное исследование частотных характеристик под-
шипников, с последующим их уточнением во 2-м приближении,
8*	115
21. Динамическая реакция радиального подшипника
при малых поступательных колебаниях
в окрестности центрального положения равновесия
Рассмотрим краевую задачу динамики для цилиндрического
подшипника при малых поступательных колебаниях шипа в окре-
стности центрального положения равновесия. Предположим,
что несущая поверхность подшипника имеет периодический про-
филь. Рассмотрим цилиндрический шип, вращающийся с постоян-
ной угловой скоростью Q и предположим, что ось шипа совер-
шает малые поступательные колебания, оставаясь все время па-
раллельной оси подшипника. Положение шипа относительно под-
шипника определим вектором ег =	+ ie^ (см. п. 7).
Для определения мгновенного распределения сил давления,
действующих на шип со стороны потока смазки, следует решить
основное уравнение (3.20) при граничных условиях P|^=±i=0;
Р|<р = но в отличие от статической задачи, рассмотрен-
ной в гл. IV, необходимо учитывать нестационарный член d(HP)/dx.
Кроме того, в силу переменности вектора смещения	+ ien
функция зазора зависит не только от координат ф, £, но и от вре-
мени т. Линеаризируя уравнение (3.20) по схеме, изложенной
в предыдущей главе, получим в первом приближении согласно
(3.48) и (3.21) с учетом граничных условий (4.2):
т;ф + o0VK- —Y = Н„ + alHtf	(5.1)
Т|ф = Т'ф+2я;	(5.2)
H = 1--8^ (т) COS ф-8П (т) Sin ф 4- X]U (ф, £).	(5.3)
К этим уравнениям необходимо еще добавить начальные усло-
вия, которые характеризуют распределение давления в момент
времени т = 0. Искомое решение краевой задачи (5.1)—(5.3)
будет представляться некоторой функцией трех аргументов:.
Ф, £, и т.
Предположим, что шип начинает совершать малые колебания
около стационарного положения, в котором он находится неогра-
ниченно долго.
Тогда начальное распределение давления будет соответство-
вать исходному стационарному и в последующие моменты вре-
мени будет мало отличаться от этого стационарного распределе-
ния. Малые колебания давления в смазочном слое можно описать
его вариацией АР. Обозначая вариации функций Т и Н через
АТ* и A7Y и варьируя уравнения (5.1)—(5.3), получим уравнения
краевой задачи в вариациях:
ДЧ%Ф + ol %о ДЧ% — AY = ДЯ"ФФ + ао дн^;
ДТ !S=±1 = \Н 1£=±1; АТ |ф = ДЧ' 1ф+2я;	(5.4)
Д Я = — Де£ cos q> — Деп sin ф.
116
Соответствующие стационарные значения давления Р, функций Т
и Н будем обозначать через Ро, То и HQ. Введем теперь вместо
функции другую функцию Y с помощью подстановки
¥ - Н + У,	' (5.5)
тогда уравнения (5.4) упростятся:
AFW + XY'K — Хо д4 — АУ = хо Ая; + АН;
ДУ Ь=±1 “ 0» ДУ|ф = Д^Г|ф+2л;>
АН = — A8| cos ср — Д8n sin ср.
(5.6)
Поступая так же, как и при решении соответствующей задачи
статики (см. п. 15), можно вместо краевой задачи (5, 6) рассмо-
треть соответствующую ей задачу в комплексной форме:
АЖ'ФФ + Qo A^V- Хо ДЖр— Ai5 = хо ДЖр + А^5;
AZT |e=±i = 0; AZT |ф = ХЖ |ф+2я;
ХЖ = — Х^е-^', Аех = Ае^ -j- i Дел,
(5-7)
где АЛ и АЛ связаны с ДУ и АН соотношениями:
ДУ-Ке{Д^}; АН = Re {АЖ}. ~	(5.8)
Искомая вариация давления
ХР = -4- XY----~Y0 ХН.	(5.9)
"о	“о
Предполагая, что малые колебания начинаются из центрального
равновесного положения, можно написать начальные условия
в виде
АР |х==0 = AY |х=0 = АЛ |х==0 - Д8! (х==0	0.
(5.10)
Преобразуем далее все переменные, входящие в уравнения (5.7) —
(5.9), по Лапласу.
Для этого введем следующие обозначения:
ХР= j XPe-^dv, ХЖ = j ХЖе-^dv,
о	о
АН = J XHe-sxdr, Х&6 = J ХЗее-^dv,
о	о
4-00
Аех = J Дехв-517 du и т. д.
о
117
Уравнения (5.7)—(5.9) в изображении по Лапласу при выпол-
нении условий (5.10) запишутся следующим образом:
ДЖ^ + ооДЖ^— ХоДЖф — «Д^ = ХоД^ф + 8Д^;
ДЖ |S=±1 = 0; ДЖ |ф = ДЖ 1ф+2я;
Д<Ж = —	Дех = Дб& -ф- i Деч-
(5.11)
Преобразованную краевую задачу можно решить с помощью
подстановки
ДЖ = W (s, Z, i) Д^.	(5.12)
Здесь W (s, £, i) — неизвестная комплексно-значная функция
координаты £ и параметра s.
Подставляя (5.12) в (5.11), после простых преобразований
получим уравнение для W (s, £, i)
оХ —(1 —f%o + s)U7 = ixo —s; W |£=±i = 0.	(5.13)
Сравнивая это уравнение с уравнением (4.13), заметим, что оно
отличается только наличием параметра s. Решение уравнения
(5.13) запишется по аналогии с (4.14)
W(s, Z, i) =	Г1 — ^0.1,	(5.14)
v	1 — !%o + s L ch q J	v '
где
<7 = 55“ V1 — lXo + s •
uo
Подставляя найденную функцию W в (5.12), получим решение
краевой задачи в изображении по Лапласу. Согласно (5.8) и (5.9)
получим изображение ДР в виде
- Re {Жо} ДЯ =~ Re {№ (s, £, i) Д^} —
—Re {Жо} ДЯ •	(5.15)
В этом выражении неопределенной осталась только функция
соответствующая задаче статики для цилиндрического подшип-
ника при Де! — 0 и 80 = 0.
Для шевронного подшипника с синусоидальными канавками
«9^0 определяется из уравнений (4.29)—(4.30). Таким образом, полу-
чим решение нестатической задачи газовой смазки для цилиндри-
ческого подшипника с произвольным профилем несущей поверх-
ности и, в частности, для шевронного подшипника с синусоидаль-
ными канавками. Для определения распределения давления оста-
лось сделать обратное преобразование Лапласа в (5.15).
118
Не останавливаясь на этом, заметим, что путем применения
теоремы свертки это решение можно было бы привести к виду
интеграла Дюгамеля [2], т. е. представить вариацию давления АР
в смазочном слое через функцию Грина данной краевой задачи.
Однако, периодические режимы удобнее изучать частотными ме-
тодами исходя из (5.15) непосредственно.
При изучении колебаний шипа основное значение имеет не
распределеннная вариация давления, а интегральная характе-
ристика — главный вектор сил давления, который является реак-
цией подшипника на перемещение. Удельная величина этой реак-
ции может быть вычислена путем варьирования формулы (4.23)
в окрестности центрального положения шипа и последующего
преобразования по Лапласу
AFi =-----g- paRL J J dq d^.	(5.16)
(s)
Подставляя в эту формулу (5.15), получим:
(S)
---Tn Re ^0} e~i<f dt, =
“О	J
=------- J j	(Wer-i'f Дё +	Дё*)	dtp dt, +
(s)	0
+ -Г J J ^ (^° +	(A^ + A^‘) eiv d<p d£.
(S)	°
Здесь W*,	—сопряженные значения комплексно-знач-
ных функций.
Учитывая, что Дэй? = —Де1е~,<,>; ДеЯТ = —Де*е,'ч>; Дех =
= Дв^ + 1’Дбф Де* = Де^ — (Дел, получим
paRL = Г Ав! j j (-^- + -щ-Ке{^0})с?ф<—
(S)
- 4-	A^ J J (jr + Re e^dydl, (5.17)
где Ho = 1 + i]M (tp, g); W, W* определяется по формуле (5.14),
причем W* = W (s, g, —i). Таким образом, выражение для
удельной реакции, преобразованное по Лапласу, имеет следую-
щую структуру:
— G (s, i) J&i~G (s, —i) Деё	(5.18)
119
Из этой формулы видно, что реакция радиального подшипника
выражается в 1-м приближении с помощью двух комплексно-
значных передаточных функций и ее следует рассматривать как
стабилизирующее воздействие некоторой двухканальной системы
автоматического регулирования прямого действия, а зависимость
(5.18) — как уравнение этого регулятора.
Из (5.18), как частный случай, получается формула для под-
шипника с симметричным периодическим профилем.
Если профиль подшипника периодический с периодом 2л/п
при /г 5s 3, то выражение (5.18) упрощается. Действительно, при
несмещенном равновесном положении шипа как функция за-
зора Но, так и функция распределения давления должны быть
периодическими с периодом 2п/п. Тогда второй член в (5.17)
исчезает, как интеграл от производных ортогональных функций,
и изображение реакции принимает более простой вид:
= _ J |	+ _L Re т ) dtp <К = - G (s, i) Д^.
(5.19)
Положение равновесия при е = 0 (центральное) характерно
для гироскопов и машин, работающих в условиях невесомости
или малых радиальных нагрузок.
Ограничиваясь здесь выводом формулы для главного вектора
реакции радиального подшипника, мы должны заметить, что
полученное выше решение (5.15) может быть применено и для
вычисления момента сил трения. Последние при определении
реакции обычно не учитываются вследствие своей малости.
Влияние вариации давления ДР на момент сопротивления также
предполагается весьма малым по сравнению с основным стати-
ческим моментом.
22. Динамическая реакция радиального подшипника
на угловые перемещения вала
Краевая задача динамики при малых угловых перемещениях
вала может быть исследована тем же путем, что и при малых
поступательных колебаниях шипа.
При исследовании угловых колебаний ротора в газодинами-
ческих подшипниках важно иметь аналитическое выражение
мгновенного значения момента сил реакций подшипников.
Рассмотрим малые угловые колебания шипа, при которых
ось подшипника все время пересекается с осью шипа в его сред-
ней точке. Такие колебания, называемые коническими, могут
иметь место в гироскопе катушечного типа (п. 1), радиальная
опора которого состоит из одного цилиндрического подшипника.
На рис. 26 изображена схема ориентации вала относительно си-
120
стемы координат OXYZ, связанной с опорой, и 0£т]£, связанной
с осью вала (система координат Резаля): а —угловых переме-
щений вала относительно подшипника; б —комплексной силы
давления, действующей на элемент поверхности шипа. В качестве
исходных используем уравнения нестационарной краевой задачи
газовой смазки (5.1), (5.2).
Изменится лишь уравне-
ние функции зазора (5.3),
которое в данном случае
согласно (3.39) запишем
в виде
1 ~ 2 (6 Ё) C0S ф“>"
+ р sin ф)-|-т]*и (ср, £). (5.20)
Здесь £ —безразмерная
координата, отсчитывае-
мая вдоль оси шипа от
средней точки; аир —
угловые перемещения оси
шипа в проекциях на ко-	рис 2б
ординатные плоскости
ZOX и ZOY (рис. 26, а).
Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля че-
рез £, т], £ величина £7(6 + Е), ранее обозначенная через т],
в этом параграфе обозначена через т]*; функция и (ср, £) имеет
прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приве-
денных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям
(5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексного
121
зазора может быть записана в виде
лж = ~1ПгЬ5<“ + ‘1)>‘г‘'
и подставляя ее в правую часть первого уравнения (5.11), будем
иметь:
(5.21)
ДЖ'фф + По ДЖ^ — хо ДЖ^ — s ДЖ =
= ~2 (6 | Е) (^° (а Ф)>
ДЖ !е=±1 =. 0; ДЖ |ф = ДЖ |ф+2« •	
Решение ищем в форме
= ВД) w (s’°	(“ +
Подставляя (5.23) в (5.22), получаем
а>’-(1 — txo — з)Г = (гхо — s)C; F|s=±1 = 0.
(5.22)
(5.23)
(5.24)
Здесь в отличие от (5.13) правая часть оказывается зависящей
от безразмерной координаты £.
Обозначая, как и прежде,
+ (525)
ио
представляем общее решение уравнения (5.24) в виде
W = С, ch qt, + с2 sh <7:-
°0V
Используя граничные условия и определяя произвольные
постоянные С± и С2, окончательно находим:
W =	Г£----1.	(5.26)
14-s —[? sh7 J	v 7
В данном случае функция W (£, s, f) имеет несколько другой вид,
чем в п. 21, но решение для вариации давления АР сохранится
в форме (5.15), где, кроме IF, изменится лишь выражение для
функции А//. Функция остается той же, что при поступатель-
ных колебаниях шипа, так как она определяется для одного и
того же невозмущенного положения равновесия.
Переходим к вычислению восстанавливающего момента сма-
зочной пленки. Определим вначале дифференциал dF L, комплекс-
ной силы давления, действующей на элемент поверхности шипа
длиной dg. Учитывая формулу (5.16), найдем:
2л
dFt = —paRjd^\ \Pe{f dtp,
dFr = dF%
122
Здесь dFr —вектор в комплексной форме, приложенный к концу
вектора I ==-у-А££°, определяющего положение рассматриваемого
элемента; —орт госи.
Сила dFr порождает момент dSHx относительно точки О как
полюса. Этот момент также представляется в комплексной форме.
Согласно рис. 26, б имеем:
+	Кс0-^-
Составляя векторное произведение, получим
d2\ = IX dF. =
i° n° с°
0 0 Й
dF^dFv О

Отсюда находим
d^. = d£\ + i dg\ = dF..	(5.27)
Интегрируя это выражение по £ от —1 до +1, получим искомый
момент
4“1	'	2
Z. = i ~ J = —PaR	i f J Z bPel*d<p d£.	(5.28)
-1	(s)
Для того чтобы вычислить этот момент окончательно, надо
преобразовать (5.28) по Лапласу и подставить вместо АР его
выражение через а + fp. Найдем это выражение исходя из (5.23)
и (5.26). С учетом (5.8) и (5.9) будем иметь
AP = -J-Re{AjH------^-RefJOAtf =
“О	"о
= W£j К Re {We~i4> (а + Re т АН’ (5-29)
где
АЯ = 1 (А^ + АЖ) = -	[(а + Ф) +
+ (а—ф)
(5.30)
Подставляя (5.29) в выражение (5.28), предварительно преобра-
зовав последнее по Лапласу, учитывая (5.30) и производя упро-
123
(Цения, получим
Ср
PZRL^ ==2
= —f Тб(6тргу (а +• ф) f Js ( 777+ ReJ^o} с) dtpdt,—
(S)
-116(/+£) (“~ f₽) J М4? + w Re e2i(pd(?<5-31)
(S)	°	°
Интегрирование здесь производится по всей несущей поверх-
ности s: —1 =с 1; 0<ф< 2л. Формула (5.31) по своей
структуре аналогична формуле (5.18), но в данном случае она
представляет реактивный момент смазочной пленки подшипника,
возникающий при угловых колебаниях шипа вокруг центральной
точки О.
Таким образом, реакция цилиндрического подшипника на
угловые смещения (без учета поступательных), как и реакция
на поступательные смещения, представляется с помощью двух
передаточных функций в виде, аналогичном (5.18).
Для периодического профиля с периодом 2л/п (п 3) при
малых колебаниях в окрестности среднего положения формула
(5.31) упрощается так же как и в (5.18), второй интеграл в (5.31)
обращается в нуль.
Напомним, что результаты этого и предыдущего параграфов
получены обобщенным методом Р//-линеаризации в первом при-
ближении. Заметим, что во втором приближении поправки могут
быть найдены методом гармонического баланса либо из уравне-
ния (3.57), либо непосредственно из уравнения Рейнольдса.
В последнем случае объем вычислений резко возрастает и требует
применения вычислительной техники.
23. Исследование поступательных колебаний ротора
в газодинамических подшипниках в первом приближении
Результаты, полученные в предыдущих параграфах, можно
непосредственно применить к исследованию поступательных и
угловых колебаний ротора в профилированных подшипниках с га-
зовой смазкой.
Рассмотрим машину с обращенным ротором и вентилируемыми
подшипниками. В качестве примера такой машины может служить
гироскоп катушечного типа. Вентиляционные каналы служат
для улучшения обмена смазочной среды и одновременно обеспе-
чивают независимость течения смазки в радиальном и упорном
подшипниках.
Рассмотрим вначале поступательные колебания ротора при
жестко закрепленном статоре. Профилированная поверхность
124
(шевройнЫе кайавки) предполагается йеподвижной, а вращаю-
щаяся — гладкой.
Положение ротора при чисто поступательных колебаниях
можно определить вектором смещения е. Согласно сказанному
в гл. II эти колебания можно разделить на осевые и радиальные,
так как они в первом приближении независимы.
Оставляя в стороне осевые колебания, рассмотрим только
радиальные. Мгновенное положение ротора при радиальных ко-
лебаниях удобно определить комплексным вектором 82 =	+ fen,
где 8^ =	= "54- Е ’ о—минимальный зазор при централь-
ном положении ротора; Е —половина глубины канавки.
Запишем уравнение малых радиальных колебаний ротора
в вариациях; согласно (2.10)
(6 + Е) М Ae’i - AFX + AF1B,	(5.32)
где М "—масса ротора; АЕХ = AF^ + fAFn —комплексная сила
реакции подшипника; AF1B = AF^B + ZAFnB —комплексная
возмущающая сила; точки обозначают дифференцирование по
времени t.
Переходя в этом уравнении к безразличному времени т =
Q ,
= t, получим
(6 + Е) М Де! = ДЛ + ДЛв.	(5.33)
Штрихи здесь обозначают дифференцирование по безразмерному
времени т.
Если внешние возмущения не зависят от времени, т. е.
Лв — Е1в = const,
имеем уравнение
02
-^-(5 + £)МД8)' = Д^1(	(5.34)
которое соответствует случаю малых свободных колебаний ро-
тора около положения равновесия, смещенного относительно
центра подшипника (ею =/= 0) при FiB 4= 0.
Предположим теперь, что начальные условия нулевые и F?B = 0,
но AF1B ф 0, т. е. рассмотрим случай вынужденных поступатель-
ных колебаний ротора около центрального положения равнове-
сия (810 = 0).
Преобразуя уравнение (5.33) по Лапласу и подставляя AFX
из (5.19), найдем
9i(5 + £)^s2Ae-i = _G(s> 1)Дё1 + ^,	(5.35)‘
4X0PaRL	PaHL
125
учитывая (5.14), получим:
2rt
J j	dtp dt, = 2e7 (s)	J
(S)	О
J j -^2 Re {^o} dtp dt, = 4a = const;
(s)
Q — ~~ "Kl + s — ^o-
(Jo
Первый интеграл в общем виде выражается довольно сложно,
поэтому рассмотрим его асимптотическое значение при cr0 <+ 1,
Для достаточно длинного подшипника имеем:
<7(s)~l;
s—q0
1 + s —Qo
Рис. 27
J J п о
Тогда асимптотическое пред-
ставление
G (s, i) ~ a + b
s —*Xo
1 + s — i%0
(5.36)
Здесь а и b — постоянные коэффициенты, которые вычисляются
на основе стационарного решения краевой задачи для централь-
ного положения ротора.
Для исследования колебаний и устойчивости применим ча-
стотный метод Михайлова—Найквиста. Рассмотрим эквивалент-
ную одноконтурную систему автоматического регулирования [29],
представленную для полученных уравнений на рис. 27.
Передаточная функция разомкнутой цепи эквивалентного
контура с обратной связью с учетом (5.35) и (5.36) будет
(5.37)
где = '"w1 ; ° <5 о = “ +ь 
Полагая s = гео и задавая значения со в пределах от —сю до
+сю построим амплитудно-фазовую частотную характеристику
[29, с. 82], представляющую собой годограф комплексного
вектора G на комплексной плоскости о.
126
Оказывается, что в зависимости от соотношения параметров,
возможны два случая, построенные на рис. 28: а —устойчивость
при a/%0Q2 > 1; б —неустойчивость при a/X0Q2 < 1.
Таким образом, получаем условие устойчивости в виде
1 ^PaRE а
1	М (6 + Е) Q2 ’
Обратим внимание на то, что в условие (5.38) не входит коэф-
фициент b и, кроме того, это условие не зависит от замены W ($, £, г)
Рис. 28
приближенным асимптотическим выражением. Это значит, что
условие (5.38) справедливо и при больших значениях параметра
о0 = D/L,
Учитывая выражение для коэффициента а, перепишем (5.38)
в следующем виде:
[[ J-Re{X0}d<p^.	(5.39)
pai\	J J по
(s)
Это условие полностью согласуется с критерием устойчивости
по А. С. Шейнбергу [58], а также с результатами работы [10].
Невыполнение этого условия приводит к возникновению неустой-
чивости типа полускоростного вихря. При этом ротор, вращаясь
вокруг своей оси с угловой скоростью Q, начинает совершать
орбитальное движение по расходящейся спирали с угловой ско-
ростью близкой к й/2.
Как уже отмечалось выше, явление полускоростного вихря
в случае использования гладких подшипников было хорошо изу-
чено в работах А. С. Шейнберга и других авторов [54, т. 87, № 1 ].
Оно являлось долгое время препятствием широкому распростра-
нению газодинамических подшипников. Только в последнее
127
время было выяснено, что в легконагруженных машинах для обе-
спечения устойчивости необходимо применять профилированные
подшипники 154, т. 86; 46, т. 90, № 4J. Перепишем условие (5.39)
в другом виде t
~?<wa	(5.39')
(S)
В таком виде левая и правая части имеют размерность же-
сткости. Можно показать, что правая часть (5.39') выражает сред-
нюю по времени радиальную жесткость подшипника при малом
смещении шипа из центрального положения вдоль линии центров,
в режиме орбитального движения с угловой скоростью, равной
Q/2. Левая часть (5.39') представляет собой величину градиента
центробежной силы, обусловленной орбитальным движением ро-
тора, масса которого считается сосредоточенной в его центре.
Назовем правую часть (5.39') «вихревой жесткостьр», тогда усло-
вие (5.39') можно сформулировать следующим образом.
Для асимптотической устойчивости уравновешенного ротора
в центральном положении при жестко закрепленных подшипни-
ках необходимо, чтобы градиент центробежной силы был меньше
средней вихревой жесткости подшипников.
Следует заметить, что оценка вихревой жесткости по формуле
(5,39) является приближенной, так как эта формула получена
на базе краевой задачи в 1-ом приближении. Более точно вихре-
вую жесткость можно рассчитать, исходя из нелинейного уравне-
ния Рейнольдса. К этому надо добавить, что определение самого
понятия вихревой жесткости требует уточнения. Дело в том, что
угловая скорость орбитального движения, соответствующего по-
рогу неустойчивости, может несколько отличаться от значения
Q/2. Более точно угловая скорость орбитального движения на
пороге неустойчивости определяется из условия обращения в нуль
средней за период тангенциальной составляющей главного век-
тора всех сил, действующих на вал ротора со стороны смазочной
пленки.
Возвращаясь к частным характеристикам, обратим внимание
на то, что они дают возможность определить другие важные ди-
намические характеристики подшипников с газовой смазкой.
Например, динамическая жесткость при гармонической вибрации
основания с частотой со будет выражаться комплексным вектором
1 Go (/со, f).
Амплитуда синхронного гвихря при наличии статического
дисбаланса может быть определена через модуль динамической
жесткости | 1 + Go (2г%0, г)|, вычисленной при частоте со = 2%0,
соответствующей угловой скорости вращения ротора Q.
Все динамические характеристики, найденные в 1-м прибли-
жении, могут быть уточнены во 2-м приближении методом гармо-
ническогобаланса.
128
24. Исследование угловых колебаний ротора
в газодинамических подшипниках
Кроме поступательных радиальных колебаний, рассмотренных
выше, ротор может совершать угловые колебания. Эти колебания
могут совершаться одновременно с радиальными, но, учитывая
сказанное в гл. II и предполагая, что перекрестные связи малы,
рассмотрим отдельно угловые колебания. Рассмотрим снова мо-
дель машины (гироскопа) с обращенным ротором в профилирова-
ных цилиндрических подшипниках (см. рис. 17). Для простоты
предположим, что влиянием упорных пластин можно пренебречь
(можно показать, что они влияют на количественные оценки).
Предполагая еще, что ротор вращается с постоянной угловой
скоростью Q и совершает малые угловые колебания, запишем
дифференциальные уравнения в форме одного комплексного урав-
нения (2.19)
I kU — iKQ \U = — i — i А^1В.	(5.40)
Здесь А(7 = АХ + zAK —комплексная координата; Хо —кине-
тический момент; А^ = А^ + z’AS^ —комплексный вектор
момента сил, действующих на ротор со стороны смазочного слоя;
AS’ib = А^в + z’A^b —комплексный вектор момента внеш-
них возмущающих сил.
Это уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям,
описывающим малые угловые колебания гироскопа вокруг не-
подвижной точки.
Для случая малых углов а АХ; [3 А У момент сил реак-
ции смазочной пленки согласно (5.31) будет равен (в изображениях
по Лапласу)
‘ (5Л1)
(S)
Напомним, что формула (5.41) справедлива для подшипника
с периодическим профилем при п 3 (см. п. 20). Поступая так же,
как и в п. 23, перейдем в уравнении (5.40) к безразмерному вре-
мени и преобразуем его по Лапласу по аналогии с уравнением
(5.32)
I s2 \U - iK0	s - i - i Д^1в.	(5.42)
Здесь начальные условия, как и ранее, приняты нулевыми.
Обозначая далее
О =	+	(5.43)
(S)
9 В. Н. Дроздсви
129
и исключая из (5.42) с помощью (5.41), получим:
7^T<sl4t7-7^2?TsAD“
__C1(S.	(5.44)
Это уравнение аналогично уравнению(5.35). Также, как и раньше,
вместо G (s, i) рассмотрим его асимптотическое представление,
справедливое при малых о0, т. е. для достаточно длинного под-
шипника
GJs,	(5.45)
Эта формула по структуре аналогична (5.36).
Из (5.26) получаем
w(S, с, о---! с.	(5.46)
1 ~Т 5	1 Л о
Подставляя (5.46) в (5.43), получим:
а = L[ [ j.2_Rep^}_ .
1	15(6+ Е) J J //2 atpac,,
(S)
1	24(6+£) kU„ ’	I (5.47)
[ k d<pd£~2 •,k~'Xo -- f tfdt, f 
J J fi0	1 +s —*Xo J J E„
(S)	о	о
Интегрирование ведется по всей поверхности подшипника s:
—1	4-1; 0 ср <: 2л. Поступая и дальше по аналогии
с п. 23, мы могли бы построить эквивалентную структурную схему
цепи с обратной связью, найти передаточную функцию разомкну-
той цепи Go (s, i) и исследовать динамические процессы в рамках
асимтотической модели частотными методами. Так же, как и в пре-
дыдущем случае, частотные характеристики модели допускают
уточнение методом гармонического баланса.
Ограничимся здесь выводом условия устойчивости. Условие
устойчивости можно получить непосредственно из (5.44) и (5.45),
для чего достаточно вычислить значение передаточной функции
замкнутой цепи Go (s, i) при s = i%0 и потребовать, чтобы это
значение не превосходило —1.
Из (5.44) легко вывести выражение для эквивалентной пере-
даточной функции разомкнутой цепи Go (s, f), которая будет
иметь вид:
Q (с _______________(s’ о ___________
о(’ }	' /	Q2 2 . Ко Q ’
PaRL* 4Х2 S	1 PaRL* 2%* S
130
где Gi (s, i) определяется в рамках асимптотической модели
формулой (5.45). Полагая в (5.45) s = z/0, что соответствует ча-
стоте полускоростного вихря, получим аг = G± (f Хо, 0- Полагая
затем s = в (5.42) и учитывая (5.47), на основании вышеска-
занного выведем условие устойчивости
/Q2 /<ой
Ш2	2paPL*
(5.48)
где /Со = dZ0Q, а ai определено в (5.47). Запишем формулу (5.48)
иначе:
: (6 + Ц4 - Zo)Q2 2(6-4-£)	(5 49)
paRL3	L1 - 2 '
Тогда коэффициент а' будет выражаться так:
,	1 г г 2 Re{^0}
а ~ 4 J J £ Hl f
(S)
Неравенство (5.49) выражает второе необходимое условие устой-
чивости, дополнительное к условию (5.39). Для устойчивости ро-
тора в равновесном режиме должны выполняться оба условия.
Не останавливаясь на следствиях, которые вытекают из представ-
ленных условий (обсуждение этих условий можно найти в цити-
руемой выше литературе) отметим, что основную роль здесь играет
величина а', характеризующая вихревую жесткость подшипников.
Примеры вычисления вихревой жесткости приводятся в гл. VI.
25. Влияние на устойчивость податливости
крепления машины (гироскопа)
В работе Марша [54, т. 86] отмечалось, что дополнительные
степени свободы, обусловленные нежесткостью крепления под-
шипников, могут оказывать сильное влияние на устойчивость.
Попытаемся выяснить этот вопрос в рамках асимптотической мо-
дели в 1-м приближении. Для этого возьмем снова машину с обра-
щенным ротором, которая рассматривалась в п. 23, но располо-
жим ось фигуры ротора вертикально (рис. 29).
Представим себе, что статор машины упруго закреплен в кар-
дановом кольце с помощью растяжек с' и с" (рис. 29). Получается
модель гироскопа с эластичным креплением кожуха в кардано-
вом подвесе.
Рассмотрим малые поступательные колебания ротора и ста-
тора машины в экваториальной плоскости без учета угловых пе-
ремещений. Колебания такой системы можно описать двумя
дифференциальными уравнениями следующего вида:
M(Ae; + Ае10) = AFx-4-AF1B;
Ае10 4- с Де1и == — А/\,
(5.50)
9*
131
где М —масса ротора; —масса сТатора; Дв! = Д^ +
+ ^Дею = Д^ + ^^от] —комплексные смещения ротора и
статора соответственно; с —жесткость крепления.
Силами сопротивления движению статора мы пренебрегаем
и предполагаем, что крепление имеет одинаковую жесткость при
смещении в экваториальной плоскости в любом направлении.
После преобразования по Лапласу с учетом нулевых началь-
ных условий уравнения перепишутся так:
Рис. 29
6 + Е) Q2 2А-	, с 6 + Е А-	.х А-
--V оТ---- S Д810 Н------Нг • Ae10=G (S, 0 Двр
paRL 4X5	PaRL 10 v '	1
(5.51)
Здесь Де10 = Де10/(6 + Е); остальные обозна-
чения даны в п. 23. В сокращенных обозна-
чениях эти уравнения можно переписать:
Хо s2 (ДЁ, + Де10) = - G Де, + /1В;
Хо
(X S2 + Т1) Ае10 = G Аеь
v Хо	/
(5.51')
.	М(64-Е). Мх(6 + Е).
ГДО =......4PaRL ’	..4p~RL-->
с(6 + Е)
PaRL
Исключая из уравнения (5.51) Де10 и пользуясь опять пред-
ставлением эквивалентной системы с обратной связью, найдем
эквивалентную передаточную функцию разомкнутого контура,
соответствующего случаю нежесткого крепления,
__ Хо_________25s’ 0 ___________________ /5	521
°0 X0Q2s2	G	(s,	i)
1 ’	02
*i-7fs2 + Y1
xo
где G (s, i) определяется выражением (5.36). В случае жесткого
крепления передаточная функция G (s, i) получается из G* (s, i)
предельным переходом	—-> 4~оо. Это значит, что при достаточно
большой жесткости подвеса амплитудно-фазовые частотные ха-
рактеристики Go (fco, 0 и Go (fco, i) — lim Gi (tco, i) будут npo-
Ti-^+oo
ходить близко друг от друга.
Зная, что устойчивость определяется^ положением точки К
пересечения частотной характеристики с вещественной осью,
посмотрим в какую сторону перемещается эта точка, когда коэф-
фициент жесткости Yj уменьшается (рис. 28, а). Из (5.52), пола-
132
гая s = Z%0, получаем для этой точки
<№«.) = -xjir--------°------•	(5.53)
+ Vi — >-iQ2
Отсюда видно, что при достаточно большой, но конечной жесткости,
когда ух —ZXQ2 >0, уменьшение жесткости приводит к умень-
шению запаса устойчивости.
Влияние податливости крепления на устойчивость может
быть значительным, это обстоятельство необходимо учитывать
при конструировании машин (гироскопов), особенно в тех слу-
чаях, когда по техническим условиям предусматривается аморти-
зация.
Интересно, что при малых значениях жесткости подвеса или
достаточно больших угловых скоростях, когда —ZXQ2 < 0,
запас устойчивости может быть положительным.
• Амплитудно-фазовая частотная характеристика при этом пре-
терпевает качественное изменение. Отметим, что существенное
значение имеет демпфирование поступательных колебаний ма-
шин.
Все эти вопросы можно исследовать с помощью асимптоти-
ческой передаточной функции и уточнить методом гармонического
баланса, но мы их оставим в стороне, так как они выходят за рамки
данной работы.
26. Уточнение динамических характеристик методом
гармонического баланса
Из изложенного в предыдущих параграфах следует, что важ-
нейшей динамической характеристикой газодинамических под-
шипников является вихревая жесткость. Мерой вихревой же-
сткости является величина а, которая в первом приближении
определяется интегралом в условии (5.39). Количественная оценка
вихревой жесткости, сделанная на основании решения краевой
задачи в 1-м приближении, может быть уточнена в рамках обобщен-
ного метода РЯ-линеаризации путем вычисления аддитивной
поправки. Вихревую жесткость можно найти и непосредственно
из уравнения Рейнольдса путем применения метода гармони-
ческого баланса.
Рассмотрим машину (гироскоп), уравновешенный ротор ко-
торой вращается в цилиндрических газодинамических подшип-
никах с произвольным профилем. Предположим, что ротор не
испытывает радиальных нагрузок и вращается с постоянной угло-
вой скоростью Q вокруг оси фигуры, совпадающей с осью под-
шипника. Как мы уже знаем, это положение динамического равно-
весия при определенных условиях может оказаться неустойчи-
вым. Найдем эти условия.
Для этого представим себе более общий случай орбитального
движения центра масс ротора под влиянием круговой вибрации
133
основания, когда ось подшипника описывает в пространстве ци-
линдрическую поверхность.
Движение ротора в этом случае можно описать с помощью
одного комплексного уравнения следующего вида (см. гл. II):
02
М (6 + Е)	(el' + elo) = Fl fed,	(5.54)
где 810 = 80£ + ^от] —смещение оси подшипника; 8Х = 8| +
+	—смещение оси ротора относительно подшипника; F [sj —
комплексно-значная операторная функция, выражающая зави-
симость силы реакции подшипников от 8Х; обозначения парамет-
ров прежние (см. п. 21—23); штрих обозначает дифференцирова-
ние по безразмерному времени т = Q/2/o t. Движение основания
зададим уравнением
(5.55)
где 80т —комплексная амплитуда; v—безразмерная частота
круговой вибрации основания.
Если положение динамического равновесия устойчиво асимпто-
тически, то при достаточно малой величине | е0/п | ось ротора в уста-
новившемся режиме будет совершать вокруг оси подшипника
орбитальное движение, близкое по форме к круговому, с той же
частотой v. Это утверждение следует из теории устойчивости [36]
и подтверждается опытом. Следовательно, установившееся дви-
жение оси ротора можно представить рядом Фурье в комплекс-
ной форме
+°°
81 = У, eue^VT.	(5.56)
k——оо
Для того чтобы найти это решение, можно применить изве-
стный метод гармонического баланса; подставить ряд (5.56) в урав-
нение (5.54), разложить в ряд Фурье правую часть уравнения (5.54)
и т. д. Аналогично тому, как это часто делается на практике,
ограничимся лишь одной гармоникой, предполагая, что высшие
гармоники малы и их можно отбросить
k =	-	(5.57)
В правой части (5.54), также удержим лишь правую гармонику
V
Fi [ej eiVT J Fj [sj c”1VTi di\.	(5.58)
0
Подставляя (5.55)—(5.58) в (5.54) и отождествляя коэффициенты,
получим приближенное уравнение для е1т:
2 л
v
- М (8 + F) v2 (81т + 80т) = ?- J Fx [elme‘VT> ]e~iVT> dxt. (5.59)
134
В этом' уравнении неизвестная 81т является комплексной ампли-
тудой. Можно, однако, задать 80ттак, чтобы 81т было вещественно.
Предположим, что это условие выполнено, и обозначим 81гп =
= р. Перепишем уравнение в следующем виде:
2л
V
М (6 + Е)	J Л j e-<vr, dXi =
0
-=-M(6 + E)^-v280m.	(5.59')
Это уравнение дает возможность определить радиус р средней
орбиты установившегося вихревого движения оси ротора и
arg 80/п при заданных v, |eOm| и прочих параметрах. Следует пом-
нить, что искомый режим реализуется лишь при выполнении до-
полнительных условий устойчивости, которые не следуют из
(5.59'). Если мы из (5.59') перейдем к пределу при !80т:~>0, то
получим уравнение свободных незатухающих колебаний, которые
возможны лишь на пороге устойчивости, при этом частота сво-
бодных колебаний должна удовлетворять уравнению
2л
V
М (6 + Е) V + Игл j Л- Л [ре^ ] е-^ М = 0. (5.60)
Так как первый член вещественный, то из (5.60) получаем следую-
щие условия:
2л
/И (6 4-Е) ДМ-Д-lim
v 1 Z4X2 2пр>0
j — Re {Fj [pelVT4 е—} dr, = 0;
0
2л
v’
~ lim j -y- Im	= 0.
(5.61)
Разделив все члены первого уравнения на paRL представим его
в виде
2л
М (6 Д- Е) Q2	.. v Г 1 n । г г /vt 1 м л
-„г-----—2 ™ lim ту- — Re /у pelVTi ] e~iv^ dx1 = 0.
paRL v2paRL 2л J p 1 1 ir J 1	1
(5.62)
Сравнивая это уравнение с условием (5.39), найдем, что второй
член выражает вихревую жесткость подшипника с обратным
знаком (см. п. 23).
135
Таким образом, получается другое выражение для коэффи-
циента а, входящего в условие устойчивости (5.39). Это выражение
можно записать так:
Хо
2nvpaRL
а =
'2л
v
f lim —F1 [pelVTi dxT
J p>0 P
(5.63)
где v —-определяется из уравнения
Im
2л
v
[ Ит -У
Л р->0 Р
e~iVXi di:1
(5.64)
Выражение в фигурных скобках представляет собой среднюю за
период 2n/v комплексную жесткость при движении оси вала ро-
тора по бесконечно малой орбите вокруг оси подшипника.
Вычисление а и v согласно (5.63) и (5.64) производится путем
решения краевой задачи газовой смазки для установившегося орби-
тального движения вала по окружности бесконечно малого ра-
диуса р. На основании этого решения вычисляется комплексная
реакция Fr [peiVT1 ], а.затем интеграл, входящий в (5.63) и (5.64).
Исходное уравнение Рейнольдса для цилиндрического под-
шипника имеет вид (3.20), но решается это уравнение для функ-
ции зазора Н, соответствующей орбитальному движению.
Здесь следует различать два случая: неподвижного и вращаю-
щегося профиля.
В первом случае функция зазора Н зависит от времени только
через посредство эксцентриситета, и при нулевом эксцентриси-
тете стационарна. Во втором случае функция зазора зависит от
времени явно даже при нулевом эксцентриситете, тогда в первом
случае функция зазора может быть записана в виде:
Я - Re{^};	= 1—peUvT-q» + ^(^ф);	.	(5.65)
во втором случае — в виде:
Н = Re{^};	1 — peHvT-Ф) + ^ (£, ф> (5.66)
где и (£, ср, т) — периодическая функция времени т с периодом
2jt/v; р —радиус орбиты; т] —относительная амплитуда про-
филя.
В случае периодического профиля функции и (£, ср) и и (£, ср, т)
имеют период по ср, равный 2п/п (п —число секций профиля).
Решение краевой задачи в обоих случаях можно искать в виде
ряда
Р = А 4~ рА 4“ Р2^2 4~ * ’ *	(5.67)
Так как р —бесконечно малая величина, то можно ограничиться
только двумя членами. Подставляя (5.67) в уравнение Рейнольдса
136
(3.20), в котором Н надо заменить выражением Н из (5.65) или
(5.66), и группируя члены при одинаковых степенях р, можно
получить два уравнения для Ро и Рг. Первое из них соответствует
несмещенному положению вала, второе уравнение линейно.
Решение обоих уравнений связано с большим объемом вычисле-
ний на ЭВМ. Желая получить простое аналитическое решение,
рассмотрим вычисление вихревой жесткости, с применением обоб-
щенного метода РЯ-линеаризации. Выразим комплексную реак-
цию Fj в форме (4.66). Тогда можно записать
—Л [ре1-] = 2^- PaRL J J	Дя) dtp dC, (5.68)
где тильдой отмечены функции, соответствующие орбитальному
движению.
Для определенности положим, что профиль неподвижен. Тогда
функция зазора Я = Яо + ЛЯ выразится по формуле (5.65):
Яо = 1 + у\и (£<р); АЯ = — Re {рее |,	(5.69)
где и (£, ср) — периодическая функция по ф с периодом равным
2л/п, где п 3.
Функции Yo (£, ф) и ДУ (С, Ф, т, р) определяются как сла-
гаемые периодического решения (У) нестационарного уравнения
Рейнольдса, первое из которых соответствует концентрическому
положению вала. Согласно определению функции У имеем
Y -ф —Я = Н(Р— 1) = Re {«Г}.	(5.70)
Определим вначале функцию У в 1-м приближении. Исходя из
уравнения (3.48), после подстановки ф = Я + У получим:
К* +	- хоУф - Y = хоЯф +
К/Е=±1 = 0; Г/Ф = //<р+2я.	(5.71)
В комплексной форме соответствующая задача будет иметь вид:
— ХоХр — % = Хо^ф +
 Xt=±i = 0;	= Д+2л •	(5.72)
Подставляя в (5.72) из (5.65) и полагая = Ж^ + Ajjf, полу-
чим два уравнения:
(Ж>)фф + ао ($o)cs— Хо 0$?о)ф =
Д^Ф + Оо ДЖ« — Хо Д^ф — ЬЖ = ip(K>—v)el (VT“*₽). (5.73)
137
Решив эти уравнения при однородных граничных условиях:
Хо/£=±1 = Л^/£=±1 = 0; J^o/ф = ^о/<₽+2Л; А^/ф = АЖ/ф+2я,
(5.74)
легко найдем искомое первое приближение
Y, = Re j + Д^} = Г10 + АУ\.	(5.75)
Для определения 2-го приближения будем исходить из уравне-
ния (3.57) для поправки.
Так как правая часть уравнения (3.57) от <р не зависит, то
поправку можно представить в виде
А = Ао (£) + рФ0 (£, т),	(5.76)
где Ао (?) —поправка к стационарному решению при нулевом
радиусе орбиты (находится из рассмотрения стационарной крае-
вой задачи для центрального положения вала, см. приложение 4);
Фо (£, т) —некоторая периодическая функция т, обращающаяся
в нуль, при £ = Таким образом, во 2-м приближении решение
представляется в виде
Y Y. + А Y. + А 0 (£) + рфо С, т)	(5.77)
или согласно (5.75): '
^0 = ^0 + Д В Д^ = Д^т + рФо (С, т).	(5.78)
Подставим (5.78) в (5.68) и рассмотрим получающиеся инте-
гралы при п 3. Первый интеграл равен
J с <	“ Л е‘ф Л|'« ” Л Л1
(S)	(s)	(s)
(5.79)
Заметим, что член, пропорциональный р, при интегрировании
обращается в нуль в силу ортогональности периодических функ-
ций, так как предполагается, что число канавок подшипника п >
> 3. Второй интеграл в первой части (5.68) в силу (5.69) преобра-
зуется так:
j АНе'^б/ф^ = р j j [et <VT-<₽) +<?-»’ ^-^je^dtpdt^
=-----Л ре{™ j J dtp d£.	(5.80)
(s)	°
Здесь второй член также обращается в нуль по ортогональности
функций.
Действительно, Yo (£, <р) является периодическим решением
стационарной задачи; и так как и (<р, £) имеет период 2л/п (п 3),
то и Yo (£, <р) будет иметь тот же период. Следовательно, функ-
138
ция YJH'* ортогональна функции е2й₽ на интервале интегриро-
вания 0 < ср < 2л.
Учитывая (5.79) и (5.80), получим для (5.68) преобразованное
выражение
-j- F. [pe‘v4 = — paRL 2р J j d(₽ <%> —
(S)	°
- paRL J J £d<pdt,	(5-81)
где Yo = У10 + Ao (£); АУ\ = Re {A^f}; A$f определяется как
решение уравнения (5.74). Далее, возвращаясь к исходному вы-
ражению (5.63) для вихревой жесткости, вычисляем
2 л
V
о
2л
v
= ~PaRL -2л- j e~lVT‘ dti J J"777“ е‘Ф d(P
о	(S)
-paRL±	(5.82)
Обратим теперь внимание на то, что второй член в правой части
выражения (5.82) вещественен, а первый обращается в нуль при
v = %0. Действительно, согласно (5.74) при v = /0 получаем
= 0, следовательно, и АУ\ = 0.
Итак, во 2-м приближении получаем из (5.68) следующее выра-
жение для вихревой жесткости при п 3:
а = 4- И йd(pdz=4- И d(p <5-83>
Отсюда видно, что уточнение вихревой жесткости в рассматри-
ваемом случае сводится к вычислению аддитивной поправки к ста-
тическому решению У1о, которое получается как 1-е приближе-
ние РЯ-линеаризованной краевой задачи. Так как при v = %0 —
выполняется условие (5.64), то, следовательно, угловая скорость
вихревого движения на пороге устойчивости равна половине угло-
вой скорости собственного вращения ротора. Это значит, что во 2-м
приближении с учетом сделанных допущений поправка к угловой
скорости вихря равна нулю.
Напомним, что результат (5.83) получен для нулевой радиаль-
ной нагрузки и гладкого вала в предположении, что профиль
подшипника периодический по координате ф с периодом 2л/п
при п 3.
139
Для случая смещенного положения динамического равновесия
при постоянной радиальной нагрузке в выражении (5.83) появ-
ляются дополнительные слагаемые. Действительно, при наличии
смещения функция зазора Но соответствующая положению рав-
новесия, будет уже иметь период по ср, равный 2л (а не 2л/п),
следовательно, ее ряд Фурье содержит ненулевую первую гармо-
нику. Это отразится на выражениях (5.79) и (5.80), в которых те-
перь следует учитывать дополнительные члены.
Известно, что в случае непрофилированных радиальных под-
шипников устойчивость достигается за счет смещения положения
динамического равновесия под действием постоянной радиальной
нагрузки. Можно показать, что для профилированных подшипни-
ков нагрузка увеличивает запас устойчивости.
Рассмотрение случаев п = 1 и 2 как для смещенного, так и
несмещенного положений динамического равновесия можно про-
вести тем же методом с учетом сделанных выше замечаний.
Покажем, что для неподвижных гладких подшипников и про-
филированного вала при отсутствии нагрузки и п 3 вихревая
жесткость может быть вычислена также с помощью формулы
(5.83).
В самом деле, если профиль расположен на валу, который вра-
щается со скоростью Q и совершает орбитальное движение со
скоростью й/2, то функция зазора (5.66) может быть записана так:
Ж = 1 — ре> -р	(£; ср—vr).
Функции Yo и Но входящие в (5.68), теперь зависят от времени т;
обозначим их соответственно через Yo и Яо. Далее заметим, что
вариация зазора, обусловленная вихревым движением, останется
такой же, как и в случае невращающегося профиля. В силу этого
уравнение (5.74) также не изменится. Если проследить вывод
формул (5.79) и (5.80), то можно убедиться, что структура их не
изменится, но вместо Яо и Yo надо подставить в них Но и Уо.
Дальнейшие выводы по аналогии дают следующий резуль-
тат:
2 л
f Jjrdqdt,.	(5.84)
Так как Yo и Но определяются относительно неподвижных коорди-
натных осей, связанных с подшипниками, а профиль вращается
с угловой скоростью вала Q то, учитывая связь между безразмер-
ным и размерным временем т = Q/2%0£ имеем:
Н = Но (ф- 2%0т); Уо = Уо (ф- 2Хот)(5.85)
где Уо и Но соответствуют случаю невращающегося профиля.
Подставив (5.85) в (5.84) и сделав замену переменной интегриро-
140
вания фх = ф —2%от, получим:
а = Т J f
(s)
Отсюда следует, что при отсутствии радиальной нагрузки и прочих
равных условиях вихревая жесткость для вращающегося про-
филя будет равна вихревой жесткости для невращающегося про-
филя. Это более наглядно можно понять, представив себя наблю-
дателем в системе координат, вращающейся с линией центров.
27. Влияние упорных подшипников на запас
устойчивости ротора катушечного типа
по отношению к коническим колебаниям
В п. 24 рассматривался вопрос об устойчивости динамического
равновесия при угловых колебаниях роторов машин с опорами
катушечного типа, при этом учитывалось влияние упорных под-
шипников. В действительности упорные подшипники в машинах
(гироскопах) катушечного типа увеличивают жесткость опоры и
оказывают дополнительное стабилизирующее влияние.
Как главный вектор, так и главный момент сил давления в сма-
зочном слое упорного подшипника могут быть вычислены анало-
гично радиальному с той лишь разницей, что для упорного
подшипника краевые задачи статики и динамики следует формули-
ровать в полярных координатах. Заметим, однако, что в большин-
стве конструкций несущая часть упорного подшипника имеет
форму кольца. Это позволяет иногда произвести приближенную
оценку на основании решения модельной краевой задачи для пря-
моугольной полосы или цилиндрического подшипника.
Нас будет интересовать в первую очередь момент, создавае-
мый упорными подшипниками, при угловых перемещениях вала.
Этот момент мы вычислим следующим образом. Обозначим ва-
риацию безразмерного давления в смазочном слое при угловых
перемещениях вала (см. рис. 20) через АРуп. Эта вариация дей-
ствует на элементарной площадке ds — rdqdr и вызывает эле-
ментарную осевую силу dFyrii = paAPynr dq> dr. Соответствующий
элементарный момент пары сил двух упорных пластин относи-
тельно центра О подшипника
d&yn = 2(OAxdFyn) =
	(°	r|°	
= 2	r cos <p	r sin ф	= 2r (£° sin ф — Y]° cos ф) dFyn. (5.86)
	0	0	I
В комплексной форме этот момент запишется так:
dg\ = 2 (г dFуп sin ф — ird Fyn cos ф) = —2ire^ dFyn.	(5.87)
141
Интегрируя полученное выражение по всей несущей поверх-
ности упорной площади syn, будем иметь
(«2? 1)уп = — 2ipa J J др dtp dr.	(5.88)
(syn)
Знак минус в формуле (5.88) соответствует случаю обращенного
движения ротора гироскопа катушечного типа.
Для вычисления вариации АРуп в нестационарном случае сле-
дует исходить из уравнения Рейнольдса (3.22). Величина R в урав-
нении (3.22) играет роль нормы и ее можно выбрать произвольно.
Удобно принять R = га, где га —внешний радиус упорной пла-
стины ротора (см. рис. 23). В этом случае будем иметь:
й /	/к от
Хо — /х I—— о—	(5.89)
Л0 ра(£ + Е)2	2Хо
а уравнение (3.22) и граничные условия запишутся в виде:
д (изп дР \ ,	д (	изп дР \ г2	д(НР) .
дер \ д(р / 1	dr \ dr J	Л0 г- дер 1
+	(5.90)
РI r=r I = P/r=ra — 1’» Р/ф — Р/ф+2л-	(5.91)
Граничные условия (5.91) здесь записаны для вентилируемого
упорного подшипника.
К решению задачи (5.90), (5.91) можно также применить обоб-
щенный метод Р//-линеаризации, причем все выводы будут про-
водиться аналогично тому, как это было сделано для цилиндри-
ческого подшипника. Например, уравнение для функции ф =
= HP в первом приближении будет аналогично (3.48) или (3.52)
Ww-4 СГОф + г(г(ЖК-4-	+ г(гя;);.(5.92)
а	'а
Функция зазора Н при учете симметричных угловых перемеще-
ний в первом приближении запишется аналогично (5.20)
Н = 1 (a cos ср + [3 sin ср) + (ф, £),	(5.93)
а ее вариация в комплексной форме будет иметь вид, аналогичный
(5.21),
+ Ф)	(5.94)
Легко показать, что и уравнение для комплексной вариации в изо-
бражениях Лапласа, аналогичное уравнению (5.22), может быть
142
получено из (5.92). В данном случае оно будет иметь вид:
А^ф(р + г (г (ДЖугуг----Ц-гг \Ж^-~5~ ЬЖ =
га	Га
= г2 (6'+ Е) (%> — *) (а + Ф);	(5.95)
КЖ!г^Г1 = ЬЖг=га = 0; АХ/Ф = АЖ/ф+2л.	(5.96)
Решение задачи (5.95), (5.96) можно искать в виде, аналогичном
(5.23),
A.jf = Г (s, г, i) e-‘<f (а + ip).	(5.97)
Подставляя (5.97) в (5.95), получим уравнение для функции
W (s, г, 0, решение которого представляется в бесселевых функ-
циях.
Для выяснения влияния упорных подшипников на запас устой-
чивости подсистемы угловых колебаний ротора нет необходимости
производить окончательное вычисление вариации Действи-
тельно, на пороге устойчивости при s = вариация обращается
в нуль, что видно из (5.95). В силу этого установившийся момент
сил реакции смазочной пленки двух упорных подшипников при
симметричных конических колебаниях ротора на частоте полу-
скоростного вихря запишется в следующем виде:
(^i)yn = — 2ipa J J г2 АРупе;<₽ dtp dr =
(syn)
= ~2фа [ [ г2	= dtp dr,	(5.98)
(syn)	° УП
где (ДЯ)уП —вариация функции зазора при конических колеба-
ниях; (Я0)уп — невозмущенная функция зазора; тильда обозна-
чает установившийся периодический режим с частотой полуско-
ростного вихря; Жо —комплексная функция, представляющая
решение задачи статики для невозмущенного течения смазки в пер-
вом приближении по методу Р//-линеаризации.
Учитывая, что (Ж0)уп = (То — Н0)уп = [(Р0)уп ~ПЯ0,
перепишем (5.98) в следующем виде:
(2\)yn = - 2ip0 f J Г2	(АЙ)Уп dtp dr. (5.98')
(syn)
Заметим теперь, что момент сил реакции радиального подшипника,
который мы здесь обозначим через (S?i)paA, при тех же условиях
в силу (5.31) запишется так:
=	-т- J J С ^^~- ^H)paadtpdZ. (5.99)
(8рад)
143
Заметим, что в такой форме уравнения (5.98') и (5.99) пригодны
для любого, числа п канавок.
Результирующий момент, обусловленный угловыми колеба-
ниями вала машины катушечного типа, найдется как сумма мо-
ментов (^i)yn + (^1)рад-
Учитывая, что структура вариаций (АЯ)уп и (АЯ)рад одина-
кова, можно сделать вывод, что упорные подшипники увели-
чивают запас устойчивости подсистемы угловых колебаний.
Все вышесказанное справедливо в первом приближении. Но
если ввести поправку по методике, применявшейся нами в п. 28,
то получим практические формулы для вычисления запаса устой-
чивости, вносимого упорными подшипниками.
Когда колебания симметричны, полагая а + ф = ре^°т ,
где р —угловая амплитуда полускоростного вихря, представим
вариации зазоров (АЯ)уп и (АЯ)рад в виде:
(дя)рад==- р ^ei <ХоТ-ф) + е~‘ (ХоТ~ф)); 1
(5.100)
(ЛЙ)уп = - -2”(6Т£Г Р <ZoS-<I!> + е~~‘ (Х°Е~9)'
Предполагая далее, что число канавок на несущих поверхностях
как упорных, так и радиальных подшипников п 4> 3, получим
из (5.98') и (5.99):
=i________PaRL3________f [ t2 ./Р°)рад — 1	
16 (6рад + £рад)ре JJb (Яо)рад
(spafl)
(syn)
(5.101)
Учитывая выражение для а' в условии устойчивости (5.49)
и обобщая последнее на случай влияния упорных подшипников,
получим его в виде:
(^рад + ^рад)	Л)^ i
-------------------->- <4 («' + а‘У. (5.102)
(S'103’
Орад)
а" = 4гз 8лаУрРад [ [	dr.	(5.104)
RL3 6уп + £уп J J (#o)yn r	v 7
(syn)
Коэффициент а" учитывает вклад пары упорных подшипников
в общий запас устойчивости подсистемы угловых колебаний;
(^о)рад и (^о)уп вычисляются на основании решений краевых
задач статики для центрального динамического положения рав-
новесия ротора. Статические решения могут быть получены на
144
основе как обобщенного метода PTY-линеаризации, так и любым
другим способом. Наиболее просто интегралы в (5.103) и (5.104)
вычисляются для ненагруженных подшипников со спиральными
и шевронными канавками. В этом случае (Р0)раД и (-Ро)уп могут
быть определены как средние асимптотические распределения
давлений (см. гл. IV).
Г Л А В А VI
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ГЛАДКИХ
И ПРОФИЛИРОВАННЫХ подшипников
Рассмотрим использование теоретических результатов преды-
дущих глав к решению некоторых задач, наиболее важной из ко-
торых является определение вихревой жесткости профилирован-
ного радиального подшипника. Эта задача является ключевой
при расчете и проектировании машин, работающих в условиях
инерционных перегрузок.
28. Вычисление вихревой жесткости
цилиндрического подшипника с шевронными канавками
Результаты теоретических исследований, проведенных в гл. V,
показали, что мерой запаса устойчивости самогенерирующихся
подшипников служит величина интеграла в (5.39) или (5.83).
Эту величину мы условились называть вихревой жесткостью.
При проектировании машин (гироскопов), предназначенных
для работы в условиях невесомости или переменных инерционных
перегрузок, основным требованием, предъявляемым к газодина-
мическим подшипникам, является динамическая устойчивость
равновесного режима вращения ротора. Очевидно, что при прочих
равных условиях устойчивость будет тем выше, чем больше вих-
ревая жесткость, поэтому она может служить в качестве критерия
оптимальности и при расчете параметров должна делаться макси-
мальной. Другими словами, оптимизация параметров самогене-
рирующихся подшипников должна производиться по критерию
максимума вихревой жесткости.
Полученные результаты позволяют произвести расчет вихре-
вой жесткости радиального подшипника с любым периодическим
профилем, но здесь мы подробно рассмотрим только шевронный
подшипник со спиральными канавками прямоугольного профиля.
Сопоставим результаты расчетов с экспериментальными данными
Каннингема, Флеминга, Андерсена [48, т. 91, № 1]. Будем исхо-
дить из условия устойчивости (5.39), которое представим в виде
4-1 2л
^Q2(5 + g) < 4а = [ dt f	n
PaRL a	J 4	H%	(ol)
-1	0
10 В. H Дроздович
145
где Уо н Re {j^0} = (Ро — 1) Но —функция распределения дав-
ления в стационарном режиме при нулевом эксцентриситете.
Рассмотрим цилиндрический подшипник с шевронными ка-
навками, имеющими прямоугольный профиль (см. рис. 22), про-
тяженность канавок и выступов в направлении скольжения при-
мем одинаковой, как это имело место в указанных экспериментах.
Подшипник имеет две зоны нагнетания длиной LJ2 каждая, раз-
деленные гладким пояском. Предполагая число канавок п доста-
точно большим, будем исходить из асимптотического решения
(4.98).
В силу симметрии рассмотрим половину подшипника. Согласно
(4.98) при выполнении условия (4.96) будем иметь
р . _ r0	о<^^;
Г п- 1 — ~тл— — \
/f0
отсюда, используя (6.1), найдем коэффициент вихревой жесткости
а для одного подшипника
4-1	2л
а = т f	j
-1 о
-14^(1	+ 2^(1 -п2)];	(6.2)
где
k = _____________Ч2 (3 + П2) Хо sin 2«___________
2а0 [(1 + 3tj2)2cos2 а + (1 —- т]2)3 sin2а]
^а-^+га-т^а-ш.	(б.з)
Учитывая (6.2) и (6.3), приведем условие (6.1) к форме, удоб-
ной для сопоставления,
Л4 = М1Ра-Р- (—У < f, fn а)	(6.4)
y?LD \ R а0Л /и ’ >'	v ’
Здесь
f ,	. __________Д2 (1 — Ч)2 (3 + n2) sin 2а_. п
/1 vl> а) (1 + Д) 1(1 + Зт]2)2 cos2 а -(- (1 — г]2)3 sin2 а] ’	' '
Обозначение Л дано по [46, т. 91, № 1], где 6 —минимальный
зазор.
В левой части неравенства (6.4) стоит безразмерный комплекс М,
который в работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1] называется
безразмерной массой.
146
Правая часть в (6.4) представлена аналитически через безраз-
мерные параметры Л, а0, т] и угол наклона канавок а.
Напомним, что условие (6.4) выведено на основании асимпто-
тического решения краевой задачи для шевронного подшипника,
которое справедливо при выполнении условий (4.69). Эти усло-
вия в данном случае перепишутся в виде:
л < лт - -г-.---—5- ; <j =	< tga.	(6.7)
m (1— тр2 cos2 а	п	v '
Результаты п. 18 позволяют оценить погрешность аппроксимации
точного решения принятым здесь асимптотическим решением
Уиппла. Погрешность можно учесть поправочным коэффициентом
-------------------------р—1------------,	(6.8)
1  г- (1 — и)4 Л2 cos4 а
который получается, если предположить, что интегральные ха-
рактеристики (несущая способность, вихревая жесткость и т. д.)
для подшипников с прямоугольным и синусоидальным профилем
приблизительно подобны (см. гл. IV).
Таким образом, правая часть условия устойчивости (6.4),
представляющая критическую безразмерную массу, убывает
с увеличением^ параметра Л, вначале как Л-1, а затем как Л“з
МК = -18J.-----knh к)---------.	(6.9)
Q° 1 +	(1 — Л)4Л2 cos4 а
Графическое изображение функции (6.9) в плоскости пара-
метров Л и Л4 будет определять границу области устойчивости,
причем в области устойчивости должно выполняться условие М <
<МК.
В соответствии с выражениями (6.4) и (6.5) на рис. 30 построены
границы областей устойчивости в плоскости параметров
и Л. Эти границы позволяют произвести сопоставление с данными
экспериментов Каннингема и др. С этой целью расчитан коэффи-
циент запаса устойчивости для пяти роторов, рассмотренных в ука-
занной работе [46, т. 91, № 1 ], отличающихся лишь параметрами
канавок, приводимых в табл. 1.
На рис. 30 прямая 1 соответствует границе устойчивости, рас-
считанной для оптимальных параметров: r|opt = 0,45; aopt =
= 66°;	= 1, (Л = Л7), вычисленным по теоретическим форму-
лам; прямая 3 —границе устойчивости для параметров: т] =
= 0,31; а = 55°;	= 0,6, имеющих место в экспериментах
Каннингема и др. (табл. 1), прямая 2 —границе устойчивости
для параметров: т) = 0,31; aopt = 66°, £х = 1. Пунктирные кри-
вые соответствуют расчету границы устойчивости по методу узких
канавок. На этом же рисунке нанесены точки, полученные из
данных испытаний пяти роторов, табл. 1.
10*	147
Испытания проводились в двух сериях: а) с малыми зазорами
от 8,9 до 12,7 мкм, соответствующие им точки обозначены тре-
угольниками, а роторы — Л'; б) с большими зазорами от 13,5 до
18 мкм, соответствующие им точки обозначены кружками.
Угол а варьировался при испытаниях в пределах от 50 до 60°,
а количество канавок п —от 20 до 28. Во всех случаях вес ротора
и размеры подшипников принимались одинаковыми (2gM± =
= 2,75 кгс; L = D = 2R = 38 мм). В результате этих эксперимен-
тов было установлено, что полускоростной вихрь легко дости-
гается лишь в серии испытаний с большими зазорами. На рис. 30
Таблица 1. Параметры экспериментальных роторов по
[46, т. 91, № 1]
Обозна- чение ротора	Е, мкм	б, мкм	Е 6+Е	а°	кр’ тыс. об/мин	fl	kn	18Я/?П
								ао
А-1	7,4	14,0	0,35	60	27,9	0,11	0,79	0,49
А-2	8,1	15,7	0,34	55	18,3	0,096	0,7В	0,42
А-3	6,85	15,2	0,31 4	55	24,2	0,090	0,79	0,40
А-4	7,75	14,7	0,35	50	21,7	0,10	0,79	0,40
А-5	9,0	18,0	0,50	60	16,0	0,11	0,72	0,45
148
для точек, обозначенных треугольниками, по данным эксперимента
при малых зазорах возникновение полускоростного вихря не
наблюдалось вплоть до угловых скоростей Q = 60 000 об/мин.
Заметим, что теоретические границы устойчивости были по-
строены для aopt — 66°, тогда как в экспериментах а = 504-60°,
однако расчеты показали, что это отклонение в угле а приводит
к незначительному изменению положения границы области устой-
чивости. К такому же изменению области устойчивости приводит
уменьшение параметра г] от оптимального значения 0,45 до 0,30.
Это можно увидеть из сравнения границ устойчивости прямых /,
2, 3.
Из рис. 30 видно, что экспериментальные точки располагаются
ближе к границе устойчивости, отвечающей оптимальным пара-
метрам. Вследствие отклонений действительных форм несущих
поверхностей подшипников от идеальных запасы устойчивости
экспериментальных роторов оказываются несколько больше тео-
ретических. Это превышение запаса устойчивости, как видно из
рис. 30, незначительно.	1
Из проведенных теоретических исследований обратим внима-
ние на следующее.
1.	Оптимальные значения параметров (T]oPt = 0,45 и aopt =
= 66°) соответствуют максимуму запаса устойчивости для зна-
чений Л, меньших Лт. Эти значения были получены путем вы-
числения максимума функции (т), а), определенной формулой
(6.5). Максимум этой функции равен 0,122. Подставляя оптималь-
ные значения т|, а и в формулу (6.9), получим уравнение гра-
ницы области устойчивости
Ж-= г 6'9/л,.Т.	<6-10)
“•л [1 + (-d 1
где Лт определяется по формуле (6.7).
2.	При Л > Лт оптимальные значения а и т] будут другими и
их уже надо определять из условия максимума функции (6.9).
Большие значения Л соответствуют большим угловым скоростям Q
или малым зазорам и здесь уже необходимо считаться с эффектом
проскальзывания.
3.	С целью сравнения теории с экспериментом при расчете
границ областей устойчивости было принято о0 = h но все вы“
веденные формулы справедливы и для других значений о0. Из
формулы (6.10) следует, что область устойчивости расширяется
при уменьшении а0. Отсюда следует, что длина подшипника L
оказывает существенное влияние на устойчивость. Вместо безраз-
мерной массы целесообразно рассматривать величину о0Л4, при
этом расчет устойчивости можно производить, используя области
устойчивости на рис. 30.
4.	Вычисление Лт для указанных выше параметров показы-
вает, что область устойчивости простирается в сторону увеличе-
149
ния Л значительно дальше, чем это предсказывается теорией Пэна
[54, т. 86]. Для оптимальных параметров (rj =- 0,45; а — 66°)
имеем Ат 400.
29. Вычисление вихревой жесткости
простого цилиндрического подшипника
при постоянном эксцентриситете
Хорошо известно, что в простых цилиндрических самогенери-
рующихся подшипниках стабилизация вала ротора обеспечивается
за счет эксцентричного смещения положения динамического рав-
новесия [53, т. 85, №4; 54, т. 86]. В случае, если ротор устана-
вливается в двух коаксиальных цилиндрических подшипниках,
необходимый эксцентриситет создается путем нагружения вала
внешней радиальной силой, например силой тяжести. Отмеча-
лось, что такой способ стабилизации не пригоден для машин с вер-
тикальным валом или при отсутствии гравитационных нагрузок.
Однако можно создать искусственное нагружение, например,
путем применения подшипников с несколькими втулками, экс-
центрично расположенными относительно друг друга.
В соответствии с выводами предыдущих параграфов будем
вычислять вихревую жесткость подшипников для случая централь-
ного положения динамического равновесия.
Вихревая жесткость одного подшипника, состоящего из двух
втулок (см. рис. 9), при наличии вентиляционного канала, соеди-
няющего проточку между втулками с окружающей атмосферой,
может быть найдена как сумма вихревых жесткостей двух простых
цилиндрических подшипников.
Устойчивость вала в простых цилиндрических подшипниках,
находящихся под постоянной нагрузкой, исследовалась в ряде
работ [44; 53, т. 85, № 4; 54, т. 87, № 1 ] и др. Результаты боль-
шинства этих работ представлены в виде диаграмм, причем так,
что один из определяющих параметров зависит от нагрузки. Для
рассматриваемой здесь задачи более удобными являются диа-
граммы устойчивости, не содержащие нагрузки. Такие диаграммы
были построены в работе Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1].
Следуя С. А. Шейнбергу [58], примем результаты работы
[54, т. 87, № 1 ] в качестве эталона для сравнения и попытаемся
найти приближенное аналитическое представление критерия
устойчивости.
Будем вычислять коэффициент а вихревой жесткости одной
втулки при постоянном эксцентриситете 8 = 80. Заметим, что
применить непосредственно формулу (5.83) нельзя, так как эта
формула выведена применительно к случаю п 3. В данной
задаче п = 1 и коэффициент вихревой жесткости а должен вы-
числяться иначе.
Будем исходить из решения нестационарной краевой задачи
(5.71) для цилиндрического подшипника с гладкой втулкой (и =
150
- —cos ср), и вычислим коэффициент вихревой жесткости в пред-
положении, что орбита вихревого движения круговая, а частота
полускоростного вихря на границе устойчивости близка к Q/2.
Для этого воспользуемся формулами (5.63) и (5.68), которые дают
2л
Хо
° ~ Й j е"ХоТ dr И ~ ei<fd(pd^(6J1)
Здесь А У и АН —установившиеся вариации, соответствующие
микровихрю,
АН =------РО?' (Х»Т-Ф) e-i (ХоТ-ф);
#0= 1 — 80coscp; AY = Re{A^}.	(6.12)
Что касается AY, то ее можно найти исходя из (5.12)
АУ= Re {АЖ\ =
[W(s, ?,	^ + 11/(8, £, — i)e^ АёЦ, (6.13)
где Д81 = Де^ + AsJ = As^— fAe^.
Для установившегося вихря имеем:
Д81 = ре‘ХоТ; Д81 = ре“ГХоТ.	(6.14)
Переходя в (6.13) от изображений Лапласа к функциям вре-
мени, учитывая (5.14) и рассматривая каждое слагаемое как неза-
висимую реакцию на гармоническое воздействие, получим для
установившегося режима при s =
АУ1 = 4- [Wxo, С, 0	+ W(-ix0, -i) el(f д£] = 0.
Учитывая это обстоятельство и подставляя (6.12) в (6.11) после
интегрирования по т, найдем
(6Л5>
(S)
Этот результат является приближенным и должен быть уточ-
нен. Прежде всего необходимо уточнить функцию под знаком
интеграла, что можно сделать с помощью аддитивной поправки
(4.18) к функции Уо1. Кроме того, можно произвести коррекцию
формулы (6.15) путем сравнения асимптотического значения а
из (6.15) при %о —*	с его истинным асимптотическим зна-
чением.
Заметим, что намеченный здесь путь уточнения отличается
от обычного. Последний должен был бы заключаться в вычис-
лении динамической поправки к первому приближению
151
согласно формуле (5.78), что, однако, связано с громоздкими вы-
кладками. Поэтому довольствуемся на 1-м этапё только статиче-
ской поправкой А0(Р, которая уже вычислена в п. 15.
.Таким образом, на первом этапе из (6.15) с учетом (4.18),
(4.19) получаем
(S)
+ 1	2Л
= -Т- J	+ i^(Re{f}--4im]dfp =
(2л	2л	\
}^ф+4-ео J-М (6Л6)
О	о	J
Учитывая выражение для HQ из (6.12) и вычисляя интегралы,
после проведения необходимых выкладок, получим
Здесь Л 0 и Во —вещественная и мнимая части интеграла (%0,
о0) из (4.24),
А,- ReUb Во- Im {<7}.	(6.18)
Полученная формула (6.17) дает оценку коэффициента вихре-
вой жесткости одного цилиндрического подшипника с учетом тор-
цевой утечки. Для апробирования этой формулы сравним резуль-
таты вычисления а по формуле (6.17) с численными данными
Костелли и Элрода [54, т. 84, №1] и С. А. Шейнберга [58].
Сравнение это можно сделать, если заметить, что на диаграмме
устойчивости, приводимой в работе Кастелли и Элрода [54,
т. 87, № 1], по оси абсцисс откладывается величина а по
оси ординат — критерий устойчивости = 4а. Следует также
учесть, что результаты этой работы относятся к цилиндрическому
подшипнику бесконечной длины, тогда в (6.17) необходимо поло-
жить Ао = 1; Во = 0.
Величина фигурирующая в критерии устойчивости Ка-
стелли и Элрода, может быть вычислена по формуле
7яео_______Хо
(1-82)3/2 1 + X2 •
(6.19)
' На рис. 31 показано сравнение диаграмм устойчивости, полу-
ченных по теории автора — кривые 1 и по теории Кастелли и Эл-
рода — кривые 2 для значений 80 = 0,4 и 80 = 0,2.
Из диаграммы видно, что расхождение имеет место особенно
при больших числах сжимаемости %0 и больших 80. Качественно же
результаты согласуются хорошо.
152
Для количественного уточнения формулы (6.17) рассмотрим
асимптотику при %0 —> +оо. Из рис. 31 видно, что параметр М,
а следовательно а при увеличении Хо стремится к некоторому
предельному значению, которое зависит только от 80.
Будем исходить из того, что периодическое решение РЯ-линеа-
ризованной краевой задачи, отвечающее вихревому движению
шипа при	—> оо, стремится к некоторому пределу Ч^оо, которое
может отличаться от истинного предельного значения Ч7*, при
тех же граничных условиях некоторым периодическим членом
Тоо=Ф1«з+Ф(ф— ХоТ).
(6.20)
Это следует из того, что точ-
ное уравнение Рейнольдса
и его РЯ-линеаризованная
модель имеют в пределе одно
и то же уравнение
+ -— V = 0. (6.21)
Хо
Из уравнения (6.21) мы
не можем определить асимп-
тотическое значение решения
точного уравнения Рейнольд-
са, так как краевая задача
в пределе имеет разрывные граничные условия. В силу этого иско-
мое асимптотическое решение будем искать исходя из модель-
ного решения при конечных Хо путем предельного перехода.
Малые поступательные колебания шипа в окрестности смещен-
ного положения равновесия описываются уравнением (5.33).
Если подставить в это уравнение t±F х из (5.18) и представить
вариацию зазора в изображениях Лапласа
АЯ =-----А^+е^АёО,	(6.22)
то оно запишется в таком виде:
,, s2 -7- г- Р г How (S, I) + Ко ,	...
еМ —г Аех = — Aet | I	—v ’ ,  dtp dt—
J J "о
(s)
— Asi	~ ° + У° e2i9 dtp d^ 4-AFiB, (6.23)
(s)	°
где — M^W/paRL; Yo = To —Ho; Yo —стационарное
решение; &F1B —внешнее возмущение.
153
Уравнение (6.23) содержит неизвестные Asi и Asi. Второе
уравнение может быть получено как сопряженное. В результате
будем иметь систему;
б/ф Aex 4-
e2l4> dqdt, I Aei = AF1B;
яо	/
/70IF* + K0 j	AT*
— ---——dqdt, Aei =AjFib.
HQ	/
Здесь звездочка обозначает сопряженные операторы при одном
и том же операционном параметре s.
Для исследования устойчивости составим характеристический
определитель и приравняем его нулю
A(s,e^)= е^4+ "°ffJ Г" X
\ %э J J	/
V	(S)	/
х ( С С ..ffo£ + -n е-2йр d(p \ = о.	(6.24)
UJ нй	/
\ (S)	/
Для определения границы устойчивости положим s ~ iv и соста-
вим два уравнения:
Re{A(fv,	Im|A(fv, <^)} - 0.	(6.25)
Ограничимся случаем о0 = DIL—*Q. Тогда согласно (5.14)
W = WI =____________________• IF* = IF* I =________L(v....+ Ь)_
- |s=i-v 1 + Z(v-Xo) ’ w ~ |s=t-v l+f(V-hXo) ’
(6.26)
Рассмотрим уравнения (6.25) в предельном случае при %0—> +^.
Для упрощения вывода воспользуемся известным свойством угло-
вой скорости v полускоростного вихря [54, т. 87, №3]
lim = 1,
Хо-> + оо
(6.27)
154
отсюда будем иметь:
= lim W = 0; Wl = lim W* - 1.	(6.28)
Xo^+°°	Xo^ + oo
Учитывая все это и используя (6.24), можно получить предель-
ное характеристическое уравнение, соответствующее %0 —> +оо.
Введем обозначения для асимптотических значений интегра-
лов, входящих в (6.24):
С Г Н W 4- Y	СГу
4	J(sV
I I ^О^оо ¥со 1	j*. I I ^00 j ус- I I I d(p d^ .	\	•
I I ------42-----dty dt, --- I I --"у dtp dQ -j- I I —77-^- — 4Я4	3
' d	II rj	l/ lz /7 м	d d 0
(s)	°	(s)	0	(s)
(s)	0	(s)
Koo
“42" e21® dtp = boo -p G,
77 0
(6.29)
Учитывая эти обозначения и подставляя в (6.24) вместо s значение
£/0, получим
(4tZoo — оЖ)2 + (7- (4tfoo — сЖ) — bl — booGoo = 0.	(6.30)
Квадратное уравнение (6.30) имеет два вещественных корня,
порогу возникновения полускоростного вихря отвечает наимень-
ший корень
оо+ ]/"31 + 1)1 + ^00^00
Этот корень и есть искомое асимптотическое значение критерия
устойчивости, обозначенного в работе [58] через s:
oWi^lims.	(6.32)
%0-w-00
С помощью (6.31) можно вычислить поправку к формулам (6.17)
и (6.19). Исходя из (6.29) и принимая во внимание, что
= Voo — Но = У \ + Z Во — Но,	(6.33)
155
получим:
=....•	(6.35)
/ 1 — ео
Зе2 + 2 (1 - г2)3/2 - 2
+ Go» - 4Л --°—от;-----------М/9-------;	(6-36)
8о(1 —8о)
С помощью полученных выражений можно получить точную
оценку вихревой жесткости в асимптотике. Легко видеть, что
второй член в (6.31) является аддитивной поправкой к предельной
вихревой жесткости Ьа, вычисленной по формуле (6.16). Обозна-
чая эту поправку через Аоо, представим (6.31) в виде
оМ1 -= 4(2 — Доо.	(6.38)
Используя полученные выше формулы, вычислим аддитивную
поправку приближенно с точностью до 0 (ео). Для этого разло-
жим выражения (6.33)—(6.37) в ряды по степеням е0 и отбросим
члены выше четвертого порядка. В результате получим следую-
щее выражение:
— (6-39)
Главную часть критерия (6.31) можно вычислить по формулам
(6.33) и (6.34)
4 л
4" (У., - 1 + 8о)
(1-8о2)3/2
7jT8q
(1-<2
(6.40)
Сопоставляя (6.40) с (6.19), замечаем, что приближенное зна-
чение критерия устойчивости (6.19) отличается от точного значе-
ния главной части 4(1оо членами 0 (ео). Кроме того, необходимо
учитывать аддитивную поправку (6.39). Скорректированное выра-
жение критерия устойчивости, соответствующее формуле (6.19),
можно записать в виде
Ц1-82)ЗЛ У 1+0^
(6.41)
156
Таким же образом можно уточнить и формулу для коэффициента
вихревой жесткости в случае подшипника конечной длины (о0 >
а=~Ц +	(6’42)
Результаты вычисления асимптотических значении критерия
устойчивости по формуле (6.41) и соответствующие данные работы
Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ] приведены в табл. 2.
Из сравнения видно, что чи-
сленные данные работы [54,
т. 87, № 1 ] при больших /0
отличаются от асимптотических
значений примерно на 20%,
тогда как результаты вычисле-
ния по приближенной формуле
(6.19) отклоняются при боль-
ших х0 от асимптотических зна-
чений приблизительно на 2 —
3%.
Выведенная выше формула
(6.17) или уточненная формула
(6.42) дают возможность оце-
нить запас устойчивости одного
Таблица 2. Сравнение значений
СО	По формуле (6.41)	По данным Кастелли и Элрода	По формуле (6.39) (поправка)	Расхождение, %
0,1	0,22	0,24	0,0005	9
0,2	0,94	0,74	0,008	20
0,4	4,4	3,5	0,12	20
0,6	15,0	12,0	0,61	20
цилиндрического подшипника и системы цилиндрических втулок
в случае составного подшипника (см. рис. 9).
Проще всего это можно сделать в случае двух втулок при отсут-
ствии радиальной нагрузки, когда эксцентриситет 80 определяется
только относительным смещением втулок.
При наличии нагрузки необходимо предварительно определить
эксцентриситеты для каждой втулки отдельно исходя из уравне-
ний статики.
Критерий устойчивости для цилиндрического подшипника
с гладкими втулками- можно представить в такой же форме как
и в случае шевронного подшипника (см. п. 28). Рассмотрим кри-
терий устойчивости для двухвтулочного ненагруженного под-
шипника. Чтобы получить выводы, аналогичные выводам п. 28,
отнесем безразмерную массу к минимальному зазору ftmin
^iPaR / ^min
\ R ) '
М =
(6.43)
Здесь Мг —масса, приходящаяся на одну втулку; —длина
одной втулки; /imin = 6 —е0 —минимальный зазор; 6 —сред-
ний зазор; е0 —эксцентриситет.
Число сжимаемости отнесем также к минимальному зазору
Хо =
6|uW _ _6pW_
Ра$2 ~ р /г2 .
min
L \ 2
V) = Л(1-<,
(6.44)
157
где
.	е0
ph2. ’ п 6 
min
(6.45)
Здесь 6 не минимальный (в отличие от п. 28), а средний зазор
между валом и втулкой, минимальный же зазор в данном пара-
графе обозначен через /imin и равен 6 —е0. Учитывая сказанное,
можно вывести условие устойчивости, аналогичное условию (6.4)
предыдущего параграфа. Для этого надо в (6.1) подставить выра-
жение для а из (6.42) и сделать необходимые преобразования.
В результате получим
уй<мк=ja&iw-rjf
(1-л)3/2
1 Гд I До 1
1 -|-Л2(1 — тр4 L 0	Л(1 — т|)2 J ’
(6.46)
Здесь М —безразмерная масса, определенная в (6.4); Ао и Во
зависят от а0, Л и т| и определяются согласно формулам:
ЛоВо-Im {(7),
где <3 —определено в п. 16 (приложение 2).
Для длинного подшипника, когда для каждой втулки о0 =
= DIL 1, можно положить Ло 1; Во 0. Тогда из (6.46)
получается условие устойчивости
М < Мк =----------—тг •	(6.46')
К (1 __ n2)3/2 [1 +Л^(1 — Т])4]	7
Исходя из условий (6.46) или (6.46'), можно произвести исследо-
вание устойчивости машины (гироскопа) по заданным параметрам
и изучить влияние каждого параметра на запас устойчивости;
в частности, можно рассмотреть вопрос об оптимизации при неко-
торых ограничениях [58].
В качестве критерия оптимальности здесь следует принять
максимум запаса устойчивости при ограничениях, накладываемых
на минимальный зазор Лт1п и прочие параметры. В качестве варьи-
руемого параметра удобно взять величину т] = Лт1п/6, ПРИ ^тш
= const, тогда оптимизация будет сводиться к определению экс-
тремума правой части выражения (6.46). Для случая длинного
подшипника о0 « 1 и малых Л оптимальное значение т] можно
найти, исследуя на максимум коэффициент
П2(1 — И)5
(1 —п2)3/2
(6.47)
Дифференцируя это выражение и составляя необходимое
условие экстремума, получим квадратное уравнение
п2+4з1-4 = о-	<6-48>
Отсюда находим искомое оптимальное значение
r]opt ^0,32.	(6.49)
158
Следует заметить, что этот результат получен при сильных огра-
ничениях. В общем случае rjopt зависит от Л и с его увеличением
растет, кроме того, на величину T)opt оказывает влияние торцевая
утечка.
Если утечку не учитывать сг0 —> 0, то из (6.46') можно уста-
новить, что:
limr]opt (Л) — 1.	(6.50)
Л->-]-ОО
Таким образом, в зависимости от Л оптимальное г] может прини-
мать различные значения в промежутке от 0,31 до 1.
На основании вышеизложенного можно сделать следующие
предварительные выводы.
1.	Оценка вихревой жесткости по формуле (6.17) или критерия
устойчивости по формуле (6.19) при достаточно больших числах
сжимаемости %0 лучше согласуется с асимптотической оценкой,
чем результаты численных расчетов Кастелли и Элрода [54,
т. 87, № 1].
2.	Допущение о близости орбиты вихревого движения на гра-
нице устойчивости к круговой оправдывается, по крайней мере,
в асимптотике при больших значениях %0. Вместе с тем оправды-
вается приближенный метод расчета вихревой жесткости на базе
решения Р//-линеаризованной краевой задачи газовой смазки
с учетом второго приближения.
3.	Формула (6.17) применима как для одного цилиндрического
подшипника, так и для системы цилиндрических втулок,'смещен-
ных эксцентрично относительно друг друга и имеющих между
собой вентилируемые проточки. Вихревая жесткость такого состав-
ного подшипника найдется как сумма вихревых жесткостей его
частей.
30. Вихревая жесткость цилиндрических подшипников
с синусоидальным профилем
Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, можно рас-
пространить на многолепестковые цилиндрические подшипники
с синусоидальным профилем [46, т. 91, № 1]. Частным случаем
таких подшипников является эллипсный подшипник.
Методика вывода формулы для коэффициента вихревой жест-
кости а остается такой же, как и в п. 29, необходимо лишь в (6.16)
подставить соответствующие значения величин У10, До и //0.
Уо = ^oi + Ао Для многолепесткового подшипника можно полу-
чить из (4.43), если положить р = 0 и отбросить первые два члена,
представляющие собой 7/0.
В результате получим
Уо =У01 + До Т] Re + П2 (Re	fn*), (6.51)
где fn при любом п определяется по (4.34).
159
Для многолепесткового^подшипника функция зазора, отвечаю-
щая равновесному положению вала,
Яо = 1 — Л cos W-	(6.52)
Подставляя (6.51) в (6.16), получим
+ 1	2Л
j	=
-1	0	0
/2л	2 л
=^(л+/)т^.<би>
\о	о
о	Хо	бцШ?2	Е
Здесь % =	;	%0 =	; л = ~у+ £- , Л играет роль экс-
центриситета 80; 6 —средний зазор; Е = (hmax —/zmin) 1/2.
Вычисляя интегралы, которые будут иметь те же значения,
что и для расчета кругового подшипника (при п = 1), получим
следующий результат:
а 4 (1 Д2)3/2 1 + X2 (Л + У) 	(6’54)
Величины А и В будут зависеть в данном случае от % = Хъ1п',
о = <т0/п и могут быть вычислены из (4.24) с помощью приложе-
ния 2.
Формула (6.54) отличается от аналогичной формулы для про-
стого цилиндрического подшипника значениями параметров %
и су. Эта формула может быть уточнена путем вычисления асимп-
тотического значения коэффициента а при % —> +00 путем, ука-
занным в п. 29.
Заметим, что коррекция по асимптотике при п 3 будет да-
вать незначительную поправку, обусловленную лишь погрешно-
стью метода Р//-линеаризации во втором приближении. Для эл-
липсного подшипника эта поправка может быть вычислена так же,
как и в п. 29, при этом надо учесть в формуле (6.39) другие значе-
ния boo, Goo и <3оо, определяемые интегралами в (6.29).
Рассмотрим эллипсный подшипник. Если для простоты пре-
небречь торцевой утечкой и выразить /0 через Л по формуле
(6.44), то можно из (6.54) получить условие устойчивости, анало-
гичное (6.46'),
Л4 < Мк =
126лт]2 (1 — ч)5
4(1 — ч2)3/2 [1 + 0,25 (1 — ч)4 Л2! ’
(6.55)
где М —безразмерная масса, которая определяется так же,
как и в (6.4).
Из сравнения (6.55) и (6.46') видно, что свойства эллипсного
подшипника аналогичны свойствам двухвтулочного цилиндри-
160
ческого подшипника, но максимальный возможный запас устой-
чивости эллипсного подшипника при прочих равных условиях
будет меньше чем цилиндрического.
Для эллипсного подшипника с малой относительной длиной,
когда о0 = D/L > 1, правая часть неравенства (6.55) должна
быть умножена на коэффициент утечки
К — А I —
дут - п -г Л(1	.
Постоянные А и В могут быть определены также из (4.24) с по-
мощью приложения 2.
Рассмотрим пример. Пусть эллипсный подшипник имеет сле-
дующие геометрические параметры: D = 50 мм; L = 150 мм;
/lraax = 26,7 мк; йт1п = 14,0 мк.
Таблица 3. Параметры QKp и Л для экспериментальных роторов
Наимено- вание ротора	Масса вала, кг	Для вертикального вала		Пороговая скорость QKp для горизон- тального вала, об/мин (эксперимент)
		r Q, об/мин (эксперимент)	Л (расчет)	
р-1	10,9	18 000	6,8	20 000
Р-2	21,8	15 000	5,7	16 000
р-з	32,7	11 000	4,16	13 000
Экспериментальные данные по этому подшипнику имеются в ра-
боте [41], некоторые из них приведены в табл. 3, где указаны
также значения чисел сжимаемости Л, рассчитанных по формуле
(6.45).
Построим границу области устойчивости в плоскости пара-
метров Л4, Л. Для этого вычислим
_ _ ^max ^min ___ 26,7 — 14,0 _ f) Q 1
^•тах ^min 26,7	14,0	’
Подставляя т] в правую часть (6.55), получим уравнение гра-
ницы области устойчивости. Область устойчивости и данные экс-
периментов с вертикальными валами из табл. 3 представлены
на рис. 32, где точками показаны расчетные значения, соответ-
ствующие экспериментальным, показанным крестиками. Из рис. 32
видно, что в двух случаях из трех теория хорошо согласуется
с экспериментом.
Рассмотрим еще вопрос о выборе оптимального т]. В предыду-
щем параграфе говорилось, что T]Opt зависит от Л. Если Л = 0,
то оптимальное значение близко к значению 0,31, что видно из
графика, построенного на рис. 33.
11 В. Н. Дроздовым	161
На рис. 32 кривые устойчивости построены для двух значений
т], равных 0,31 (оптимальное) и 0,5.
Рассмотрим ротор р-2 (см. табл. 3) и вычислим его безразмер-
ную массу по формуле (6.4)
Будем увеличивать /гшах, оставляя все прочие параметры неизмен-
ными, при этом будет увеличиваться параметр т]. В результате
граница области устойчивости деформируется (рис. 32), но рас-
четная точка р-2 остается на прежнем месте, так как при измене-
нии т] и /гтах величины М и Л
остаются постоянными. Примем
новое значение г] = 0,5 и, подста-
вив его в правую часть (6.55),
построим новую границу. Из
рис. 32 видно, что от новой границы
точка р-2 будет отстоять дальше
и, следовательно, запас устойчи-
вости ротора увеличится.
31. Исследование устойчивости
равновесного режима вращения
ротора гироскопа в кардановом
подвесе
С целью ныяснения условий
работы газодинамических подши-
пников в гироскопических приборах рассмотрим модель сим-
метричного уравновешенного гироскопа, вал ротора которого
установлен в газодинамических опорах катушечного типа (см.
рис.47). Кожух гироскопа предполагается установленным в идеаль-
162
ном кардановом подвесе, допускающем угловые перемещения отно-
сительно двух ортогональных осей.
Рассматриваемая модель может служить схемой поплавкового
гироскопа с тремя степенями свободы.
Будем изучать малые колебания гироскопа с учетом только
угловых перемещений в условиях невесомости, например, в усло-
виях лаборатории, находящейся на орбите спутника Земли.
Перекрестными связями между подсистемами угловых и посту-
пательных движений ротора и кожуха будем пренебрегать, пред-
полагая их достаточно ма-
лыми.
Для простоты пренебре-
жем также влиянием упор-
ных пластин, которые при
угловых колебаниях будут
несколько увеличивать угло-
вую жесткость подвеса, и
примем эллипсоид инерции
кожуха симметричным.
Предположим далее, что
ротор и кожух совершают ма-
лые колебания в окрестности
положения, в котором ось фи-
гуры ротора перпендикуляр-
на оси 0Y наружной рамки
карданова подвеса (рис. 34).
В этом случае уравнения
малых колебаний кожуха не
будут содержать гироскопических членов. Обозначая через А(7
и AZ7! комплексные угловые отклонения осей фигур ротора и
кожуха от оси OZ, запишем уравнения малых колебаний в сле-
дующем виде:
IkU— iK0NU = — i Д^х; |
A^1B. J
(6.56)
Здесь А(/ — a + ф; = ax +	= A^ + ZA^;
A<?1B = A^B +	h Ii —экваториальные моменты инер-
ции соответственно ротора и кожуха; /Со — /о^ —кинетический
момент ротора; Acg91 и Aj?1B— комплексные восстанавливающий
и возмущающий моменты.
Так же как и в п. 24, А<2?1 в первом приближении представля-
ется с помощью передаточной функции, только в данном случае
восстанавливающий момент A^x будет зависеть от разности угло-
вых смещений АС/ — А6\. В изображениях Лапласа этот момент
запишется в виде
А^х = — ipaRL2G1 (s, i) (At? — а77х),	(6.57)
163
и
где Gi(s, f) — передаточная функция подшипника находится из
решения нестационарной краевой задачи газовой смазки; ее асимп-
тотическое представление имеет вид (5.45).
Пусть ротор и кожух совершают малые угловые колебания
вокруг общей неподвижной точки, когда соответствующие урав-
нения, описывающие эти колебания, могут быть получены из
(6.56) и (6.57) путем преобразования по Лапласу при нулевых
начальных условиях:
(S2 SW = — Gj(s, i) (At/ — At/X);
\4paRL2^ 2paRL%0 ]	V’
7 S2 MJ, = G (s,i ) (At/ — MJ,) +
4paRL2'$ 1 v ’ / v	17 • paRL2
(6.58)
Напомним, что эти уравнения справедливы лишь в условиях
невесомости и в случае, когда оба тела — ротор и кожух — имеют
симметричные эллипсоиды инерции, а их центры масс в состоянии
динамического равновесия совпадают с точкой пересечения осей
идеального карданова подвеса. Кроме того, следует иметь в виду,
что представление реакции подшипника с помощью передаточной
функции в форме (5.45) справедливо лишь в рамках РЯ-линеари-
зованной Теории газовой смазки.
Таким образом, мы имеем дело с математической моделью пер-
вого приближения, что, однако же, не мешает использовать ее
для качественного исследования.
Комбинируя уравнения (6.58), можно свести их к одному отно-
сительно разности АЯ — MJ,:
IQ2 2 iKQQ ,	\ I,Q2
ipaRLxf	ZpaRL^l S) 4paRL^0
+ Gi (s, i) (
Q* ,2
4/.3
. zkoq
‘2paRL27M
S)] (At/ — At/j) =
( Л-/ Q2 _2 , __Wo£_ Л a^ib
\ paRL* 4x3	J paRL*‘
(6.59)
Из этого уравнения можно получить характеристическое урав-
нение. Нулевой корень не является полюсом передаточной функ-
ции замкнутой системы, описываемой уравнением (6.59), в силу
чего при рассмотрении только относительных колебаний ротора
и кожуха характеристическое уравнение запишется в виде
„2
4ра№хЗ
(/ + /1) а
2Хо
s — t/<o] = 0.
(6.60)
В левой части этого уравнения множитель G1(s, i) является, вообще
говоря, мероморфной функцией, все полюсы которой имеют отри-
цательные вещественные части; в случае цилиндрического профи-
164
лированного подшипника достаточно большой длины он имеет
асимптотическое представление (5.45).
Уравнение (6.60) можно переписать в виде
l+Gjs, i)G2(s, 0 = 0.	(6.61)
Здесь согласно (5.45)
Gi (s, I) = <h 1 + (s.~,	(6.62)
где Pi =	а функция G2 (s, 0 может быть представлена
в виде
=	(6-63)
где
J	. T ii +1 . T /
'A ’ T° 2/oXo ’ T1 2/0%0 •
Второе слагаемое в уравнении (6.61) представляет собой пере-
даточную функцию разомкнутой цепи некоторого эквивалентного
контура с обратной связью, а множители G^s, 0 и G2(s, 0 — СУТЬ
передаточные функции двух динамических звеньев в этой цепи.
Передаточная функция разомкнутой цепи
Go (s, Г) = Gj (s, i) G2 (s, Г).	(6.64)
Для исследования устойчивости равновесного- режима приме-
ним метод амплитудно-фазовых частотных характеристик [29].
Предварительный анализ показывает, что следует различать
три случая:
1)Хо<4-<+: ++<Л)(рис. 35,а);
то Т1	Z
2)4-<Хо<+ 4</о<^+-(Рис.35,6);
11	Z	Л
3)	^- < + < Хо; /о < 4 (рис. 35, в).
Т'О Т1	,z
Амплитудно-фазовые характеристики, построенные для этих слу-
чаев при s = iv, —сю < v < +©о, представлены на рис. 35.
Анализ кривых приводит к выводу, что асимптотическая устой-
чивость имеет место только в первом случае при дополнительном
условии, что точка, соответствующая s = /%0 лежит слева от кри-
тической точки —1 + Ю.
На основании этого приходим к следующим необходимым и
достаточным условиям устойчивости подсистемы угловых пере-
165
мещении гироскопа:
z (6.65)
При построении амплитудно-фазовых частотных характери-
стик подсистемы угловых колебаний необходимо учитывать, что
передаточная функция эквивалентного разомкнутого контура
G0(s, i) имеет полюсы slt 2 = 0 и $3 = f/т, которые расположены
Рис. 35
на мнимой оси комплексной плоскости $. Поэтому при определении
условий устойчивости рекомендуется пользоваться теоремой
Руше *, из которой критерий Михайлова—Найквиста вытекает
как следствие.
Условия устойчивости (6.65) относятся к подсистеме угловых
колебаний и их выполнение не гарантирует устойчивости всей
системы, к условиям устойчивости (6.65) необходимо добавить
еще условие (5.39).
Полученные выше условия (6.65) могут быть уточнены коли-
чественно путем вычисления вихревой жесткости на основе резуль-
татов предыдущих параграфов.
Кроме того, можно получить уточнение отдельных фрагментов
частотных характеристик путем учета коэффициента утечки
и т. д.
32.	Вычисление моментов сил трения
Выше при исследовании поступательных колебаний ротора
тангенциальными силами трения мы пренебрегали и учитывали
- только главный вектор нормальных сил гидродинамического да-
вления. Правильность такого упрощения при исследовании
устойчивости подтверждается теорией и практикой [25; 58].
♦ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
(Учебник для вузов). Изд. 2-е. М. «Наука», 1967. 444 с.
166
При исследовании точности приборов пренебрежение соста-
вляющей главного вектора сил трения может оказаться недопу-
стимым. Кроме того, для расчета механических характеристик
двигателя необходимо знать главный момент сил трения, прило-
женных к ротору.
Расчет главного момента сил трения в простых радиальных
подшипниках можно производить по известным формулам [25; 58].
Здесь мы остановимся на вычислении главного момента сил
трения в случае радиального подшипника с шевронными канав-
ками.
Рассмотрим равновесный режим вращения ротора. Главные
момент и вектор тангенциальных сил вязкого трения, действую-
щих на один шип, можно найти по следующим формулам:
2? t	R? j j Ti dtp dz\	(6.66)
. (s)
Flt = iR j J xrei(p dq>dz.	(6.67)
(s)
Здесь Ti —напряжение сил трения на поверхности шипа; Flt =
= Ftx + iFtY — главный вектор касательных сил трения в ком-
плексной форме; 9?t — главный момент касательных сил трения
относительно оси шипа; s ^0 ср 2л; —Z L/2^ —
область интегрирования.
Величина тангенциального напряжения pt для цилиндриче-
ского подшипника определяется на основании решения краевой
задачи по известным формулам [58]:
= 1 ^2_^) + И1	(6.68)
\ ду Jy=Q ф 2|1 дф	1	\ h )
Здесь у —локальная координата, отсчитываемая по нормали к по-
верхности шипа.
Исходя из формул (6.66), (6.67) и (6.68) путем преобразования
к безразмерным переменным, получим:
^ = — PaR2L^^	+	(6.69)
(s)
Fu=~ipaRL^f Jj +(6.70)
(S)
Здесь s (0 cp <; 2л; —1	+1) —область интегрирования
для одного шипа; все прочие обозначения имеют прежний смысл.
Вычислим главный момент сил трения в случае ненагруженного
радиального подшипника с шевронными канавками в предполо-
жении, что все условия применимости асимптотической теории
выполняются. Ограничимся случаем, когда канавки образуют
в профиле прямоугольную волну, т. е. ширина канавок равна
167
ширине выступов. Исходя из асимптотического представления ре-
шения краевой задачи для подшипника с шевронными канавками
в виде суммы ряда (4.81) и удерживая в этой сумме первые два
члена после подстановки его в (6.69) и интегрирования, получим
3St — — PaR2L—Г Г Н Г соф 4~	=
J J \	ОН /
(S)
__ 2jt|h7?2LQ L . Зт]2 (1 — т]2) cos2 а
(1 + п) 6 V Г+Зт]2 х
_____________т]2 (3 + Л2)2 sin2 а________________
4 [(1 + Зт]2)2 cos2 а (1 — т]2)3 sin2 а1
(6-71)
Здесь St — момент сил трения одного подшипника относительно
оси шипа.
Для оптимальных значений (а = 66°; л = 0,45), соответствую-
щих максимальному запасу устойчивости, вычисления дают
' S7^ —0,75S?,	(6.72)
' 2jtQ7?2L
где St =—е------------момент сил вязкого трения при отсутствии
канавок.
Рассмотрим влияние сил трения на перекрестные связи между
подсистемами поступательных и вращательных движений ротора.
Предположим, что крутящий момент двигателя сводится к паре
сил, инвариантной относительно выбора полюса приведения, тогда
уравнения равновесия сил и моментов относительно оси шипа
запишутся в виде:
Л + ^ + Лв = 0; |
St + ^кр - 0. j
(6.73)
Здесь все силы записаны в комплексной форме, причем F± =
= Fx + iFy — вектор гидродинамических сил давления; Flt =
= FXt + iFYt —вектор сил вязкого трения; F1B = FXb + iFyB —
вектор всех внешних сил; St — главный момент сил трения отно-
сительно оси шипа; S^—крутящий момент.
Если привести все силы к оси подшипника, то первое уравне-
ние не изменится, а второе примет вид
S't + ^кР — eyFBX + exFBy = 0,	(6.74)
где St — главный момент сил трения относительно оси подшип-
ника.
Различие в моментах St и St имеет существенное значение
в точных приборах, например гироскопах. Действительно, раз-
ность St— St будет вызывать момент реакции опор подшипников,
и если опоры не жесткие, то корпус машины будет поворачиваться
вокруг оси подшипников.
Величина реактивного момента очень мала. Например, в гиро-
скопах радиальная жесткость пары подшипников может достигать
168
с = 10 кгс/мкм. Если выбрать направление координатных осей
OXY так, чтобы еу = 0, то для радиального смещения получим
оценку
Тогда из уравнений (6.73) и (6.74) будем иметь
Если jF1b создается силой собственного веса ротора в 300 гс, то
получим
\se't —	=0,9-10-3 гс-см.
Влияние сил вязкого трения на величину главного вектора Fx
незначительно лишь при ограниченных угловых скоростях соб-
ственного вращения ротора. Это видно непосредственно из выра-
жения (6.70) для Fu в общем виде. Действительно, в силу ограни-
ченности | Рф | и | Ff | при очень больших угловых скоростях Q
величина |FZ| может стать соизмеримой по порядку с |	1, так
как второй интеграл в (6.70) может увеличиваться с возрастанием
Q беспредельно.
Однако, такие большие скорости соответствуют уже турбулент-
ным режимам течения смазки и лежат в области неустойчивости
типа полускоростного вихря. Практика показывает, что условие
| Flt | < | F± I обычно выполняется.
33.	Примеры расчета радиальных
газодинамических подшипников с учетом требований
к запасу устойчивости
Рассмотрим примеры расчета радиальных подшипников, кото-
рые наиболее интересны в смысле определения устойчивости дви-
жения по отношению к самовозбуждающимся радиальным коле-
баниям.
Первые два примера относятся к машинам приборного типа,
например гироскопам, опоры которых либо испытывают перемен-
ные нагрузки, либо вообще могут быть ненагруженными. Третий
пример относится к машине с горизонтальным валом, радиальные
подшипники которого находятся все время под постоянной на-
грузкой собственного веса ротора.
1. В качестве первого примера рассмотрим расчет радиальных
подшипников, работающих при малых нагрузках. Расчет должен
производиться, исходя из условия устойчивости. При этом под-
шипники должны иметь стабилизирующие канавки, например
шевронные.
169
Если угловая скорость вращения ротора Q и масса М19 прихо-
дящаяся на один подшипник, заданы, то дело сводится ю опреде-
лению оптимальных размеров D, L и геометрических параметров
канавок. Как было показано в п. 28, оптимальные по критерию
максимума запаса устойчивости геометрические параметры шев-
ронных канавок могут быть определены заранее. При отношении
ширины канавки к ширине выступа, равном единице, оптималь-
ные параметры канавок таковы:
T]opt =	°’45’ a°Pf 66°*
Число канавок п должно быть взято настолько большим, чтобы
выполнялись условия применимости асимптотической теории (см.
п. 18).
Отсюда видно, что для определения оптимальной глубины
канавок необходимо знать минимальный зазор б. Зазор б должен
выбираться как можно меньшим, причем нижняя граница опре-
деляется технологическими погрешностями и стабильностью гео-
метрических форм. Действительно, если запас устойчивости изме-
рять отношением массового параметра М к его критическому зна-
чению 7ИК (см. п. 28).
(6.75>
то из выражений для критической массы (6.9) и момента вязкого
трения (6.71) можно установить, что при варьировании б и R
и фиксированных прочих параметрах, включая и коэффициент у,
потери на преодоление момента трения будут тем меньше, чем
меньше б.
Исходя из тех же соображений, можно установить, что длина
подшипника должна быть максимальной, т. е. отношение о0 =
= D/L должно быть как можно меньшим. Верхняя граница опре-
деляется конструктивными и технологическими соображениями.
Вместо длины при расчете удобно задать параметр о0, тогда все
дело сводится к определению 7?Opt по заданным М19 у, Q, 6min,
о0, И» Ра\ после определения 7?Opt находится Лорь
Таким образом, задавая коэффициент запаса устойчивости у
и минимальный допустимый радиальный зазор бт1п, можно вы-
числить оптимальную глубину канавок и оптимальный радиус
шипа по прочим заданным параметрам.
При расчете оптимальных параметров по критерию максимума
запаса устойчивости статические интегральные характеристики,
такие как несущая способность и жесткость, могут оказаться недо-
статочными. В силу этого после расчета оптимальных по запасу
устойчивости параметров необходимо сделать поверочный расчет
статических характеристик. Если окажется при этом, что жест-
кость подшипников недостаточна, то следует уменьшить коэффи-
170
циент запаса устойчивости у и произвести расчет заново. Умень-
шение у приведет к увеличению 7?opt и повышению статической
жесткости.
Рассмотрим авиационный гироскоп, схема которого приведена
на рис. 17. В работе Паттерсона [46, т. 90, №4] указывается,
что радиальный подшипник имеет шевронные канавки, но глубина
их не приводится. Вычислим глубину канавок и коэффициент
запаса устойчивости, предполагая, что профиль канавок имеет
форму прямоугольной волны. Оценим также величину радиаль-
ной жесткости и момент вязкого трения.
За исходные данные примем следующие параметры радиаль-
ного подшипника: L = 38 мм —длина подшипника; D =
= 9,5 мм —диаметр шипа; М = 0,36 кг —масса ротора; Q =
= 24000 об/мин —угловая скорость; 6 = 1,75 мкм —средний
радиальный зазор без учета канавок; ц = 1,82-10~4 —коэффи-
циент вязкости; 1 кг/см2 —атмосферное давление. ____________
На основании этих данных рассчитываем массовые параметры М.
и Л4К, определенные формулами (6.4), (6.10), при Л«Лт.
Относительная длина подшипника % = 4; параметр о0 = 1/Л =
= 0,25; число сжимаемости
Л _ 6|lcQ / Я \2 __ 6« 1,8-10"10-2500-0,482
7 Ра \ 6 ) ~	1,752-10“8
безразмерная масса ротора
= M1PaR /_6_\5 _	0,36 (1,75-10~4)5 п
“ [[i2LD \ р J ~ 2-981 • 1,82-10"20-0,952	’	’
критическая безразмерная масса
По формуле (6.75) находим коэффициент запаса устойчивости
Этот запас устойчивости будет иметь место в том случае, если
шевронные канавки имеют оптимальную глубину, соответствую-
щую углу наклона aopt = 66° и параметру T]opt = 0,45 при усло-
вии, что профиль имеет форму прямоугольной волны. Учитывая,
что
(6 + Е) *1
найдем оптимальную амплитуду волны профиля
171
и глубину канавок
2£opt 2 • 1,4 л* 2,8 мкм.
По формуле (6.72) вычислим момент сил вязкого трения
„ ।	А	2nQ7?2Lu.	o,75-6,28-25oo-o,482-3,8.i,82.io-ie
S£t | = 0,75 ——£ =	------i(75;io-« ' -----11 гс’см-
Мощность, затрачиваемая на преодоление сил вязкого трения,
будет равна
Q29/- 1,1 -10’4-2500^ 0,28 кг-м/с ^2,7 дж/с.
К этой мощности надо прибавить вентиляционные потери и мощ-
ность, затрачиваемую в упорных подшипниках.
Для оценки радиальной статической жесткости подшипника
будем исходить из формулы (4.71). Эта формула выведена для сину-
соидального профиля, и поэтому в данном случае она будет давать
заниженные результаты.
Вычисляем %о
Х0 - Л (1 — т])2 = 21 (1 — 0,45)2	6,4.
Находим комплексный интеграл из приложения 2
<3 (Хо> ао) — Ао -р iBq 0,9 — 0,06/.
Подставляя значения всех величин в формулу (4.71) и произ-
водя вычисления, получим удельную радиальную жесткость
I1cosФ ^,52
&paDL *
и угол нагрузки
Ф - argf —4°.
Отсюда найдем следующую оценку для радиальной жесткости
подшипника
IFxIcosO 5,2-3,8-0,48 гл плп /
--------= ’1)75’.10:4 ~ 54 000 кгс/см.
Таким образом, как запас устойчивости, так и радиальная
жесткость оказываются достаточно высокими.
2. В качестве второго примера рассмотрим расчет ненагру-
женных радиальных подшипников в случае, когда каждый из
них состоит из двух простых цилиндрических втулок со смещен-
ными относительно друг друга параллельными осями (см. рис. 9).
Устойчивость ротора в таких подшипниках достигается при отсут-
ствии внешней нагрузки благодаря эксцентричному смещению
вала относительно втулок.
Расчет оптимальных параметров будем производить, исходя
из критерия максимума запаса устойчивости, при некоторых усло-
виях, накладываемых на параметры подшипника.
172
Если ввести в рассмотрение коэффициент запаса устойчивости
у < 1, то критерий устойчивости для цилиндрического подшип-
ника (6.46) можно представить в виде
М = уМк (т), Л, \),	(6.76)
где
— = с^_. с = Mjpo .	= _6цй .	,g 77.
Л3 ’	4|х2Л1/1т1п ’ Ра	'	'
м __ 126л1]2(1 — ч)8 &ут . ъ _ а । Во
JVIK—	1+л2(1—ч)4’ ут 0 ' Л(1 —ч)2’
(6.78)
/imin —минимальный зазор; = L-JD —относительная длина
одной втулки; &ут — коэффициент утечки; Л4Х —масса ротора,
приходящаяся на одну втулку; ч = 1------------------эксцентриси-
тет; Л =	—У —число сжимаемости. Остальные обо-
Ра \ ftmin /
значения прежние.
Из выражения для критической массы Мк видно, что она зави-
сит только от параметров т], Л и
При оптимизации параметров будем предполагать, что зада-
ются параметры /imin и а средний зазор 6 является варьируе-
мым вместе с радиусом R шипа. Все остальные параметры —
ра, £2, М19 у —также предполагаются заданными. Таким обра-
зом, уравнение (6.76) содержит две независимые варьируемые вели-
чины би/?.
Второе уравнение мы получим из условия максимума безраз-
мерной критической массы Мк:
__ Л
дт] ~~
(6.79)
Решая последнее уравнение относительно г| и подставляя затем
это решение в (6.76), получим одно уравнение с одной неизвест-
ной Л
М = ушах Л4к(т], Л, A-J.	(6.80)
<Т|>
Решение этого уравнения дает Aopt, которое зависит от всех задан-
ных параметров, включая и параметр у. По найденному Aopt
находится r]opt, а затем 7?opt и 6opt.
Для случая достаточно длинной втулки, когда )>> 1,
коэффициент утечки kyT 1.
Это обстоятельство позволяет упростить процедуру вычисле-
ния оптимальных параметров путем итераций. При первой ите-
рации принимаем &ут = 1 и рассчитываем оптимальные пара-
метры без учета утечки. Уточнение получим при второй итерации,
173
вычисляя &уТ по результатам первой итерации. При решении
уравнения (6.80) удобно применять графический метод.
Обозначим решение уравнения (6.79) для случая £ут = 1
через rj° = rj0 (Л). Это решение представлено графиком (рис. 36).
Запишем (6.80) в виде
У^4^=Л’Мк(г19, Л).
УТ	(6.80')
Путем построения гра-
фиков функций (рис. 37):
V — сЬ* -
1 &уТу
Г2 = Л3Л4К (т]°, Л)
находим Aopt как абсциссу точки пересечения.
Пример. Примем в качестве исходных следующие данные: /imin = 1,75 мкм;
О •-= 2500 рад/с; ра = 1 кгс/см2; р, = 1,82-10’10 кгс/см2: X, = LJD = 2; М, ==
= 0,36 кгс.
Масса распределяется на 4 втулки,
относительная длина каждой из кото-
рых равна 2.
Требуется рассчитать оптимальные
значения /?, 6 и Lb полагая коэффи-
циент у = 0,07.
Рассчитаем Yi при kyr = 1
у сЬЗ -	27A4pQ3	_
АутТ gkyr- ?%iPXin
27-0,36-1,82-10"10-2,53-10s _
“ 0,981-103-0,07-2-1,75-10~«
1,2-10».
Рис. 37
По графику для У2 (рис. 37) определяем Aopt 12, а по" графику для т)° (Л)
(рис. 38) находим T]opt 0,62, откуда
^opt —
^min ___	1,75
l-%pt “ 1 — 0,62
4,6 мкм.
Рассчитаем величину
и -6,iiQ	6-1,82-10"10-2,5-103
о = —!----=  -----------------------2,7• 10 .
Ра	1
Из выражения для Л находим:
«opt = ftmin 'У= 1,75-10-4 ]/"10-6 = 0,37 см,
отсюда получаем:
L± =	— 2-2-0,37^ 1,5 см.
Общая длина 4 втулок будет равна
L — 4Lt^ 6 см.
174
Полученные результаты уточняем путем вычисления второго приближения.
Для этого находим вначале £ут.
Вычисляем
Хо = Aopt(l - ilopt)2 = 12-0,382«# 1,73.'
По вычисленному %0 = 1,73 и T)opt = 0,62 с помощью приложения 2 находим
коэффициенты: Ло^ 0,7; Во^ —0,17. Вычисляем &ут по формуле (6.78)
‘>'-л"+-й’^0'7-тя-~ОЛ
Учитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Yь производим пере-
расчет оптимальных параметров
У'1 =
1,2-103
0,5
2-103.
С помощью графиков для г|0
и Г2 находим: Appt ль 16,5; rjopt^
ль 0,67, и далее
л- 1>75	. ,
«opt = ! _ о,67 ~ 5,3 МКМ;
7?;pt = 1,75-IO"4 * * У ^Ч._^0,43 см;
У = 2-2-0,43^ 1,7 см; L =4-1,7^ 6,8 см.
Производя еще одну итерацию, можно убедиться в том, что процесс сходится.
Сопоставим теперь полученные здесь результаты с результатами расчета
радиального подшипника с шевронными канавками в первом примере. В обоих
случаях минимальный зазор, масса, угловая скорость и физические параметры
смазки одинаковы. Длина во втором примере получалась несколько большей,
но зато радиус меньше. Выясним, на сколько изменится коэффициент запаса у
шевронного подшипника в первом примере, если принять 7? = 0,43; L = 6,9 см.
Можно показать, что соответствующий множитель будет равен
0,43 \3 6,9
0,48 )	3,8 ~ ’ *
а коэффициент запаса устойчивости шевронного подшипника увеличится с 0,027
до 0,03. Таким образом в рассмотренных двух примерах при одинаковых мини-
мальных зазорах и размерах шевронный подшипник обеспечивает больший запас
устойчивости, приблизительно в два раза.
3. Рассмотрим в качестве третьего примера расчет оптималь-
ных параметров простых радиальных подшипников, нагруженных
собственным весом ротора. Предположим, что несущие поверх-
ности шипов и подшипников имеют формы идеальных круговых
цилиндров, причем оба подшипника идентичны, а ротор симме-
тричен и его массы распределены равномерно на подшипники.
175
Здесь необходимый для устойчивости эксцентриситет создается
собственным весом ротора, вал которого при этом предполагается
горизонтальным.
При расчете, так же как и в предыдущем примере, будем исхо-
дить из критерия максимума запаса устойчивости (6.79), (6.80).
Различие рассматриваемого примера от предыдущего состоит
в том, что эксцентриситет здесь уже зависит от нагрузки и, сле-
довательно, от массы ротора. Это приводит к необходимости учи-
тывать дополнительное соотношение между коэффициентом на-
грузки £н как функции числа сжимаемости Л, эксцентриситетом
т] = 80 и относительной длиной %
=	= п, К).	(6.81)
Наличие дополнительного условия (6.81) стесняет выбор параме-
тров, и в данном случае относительная длина Z при заданной
массе ротора М = 2МГ должна рассматриваться как варьируе-
мый параметр.
Следует различать два варианта задачи:
1) определение 7?opt, 6opt и Afopt при заданных р, ра,
Q, %;
2) определение 7?opt, 6opt, Xopt при заданных p, pa,
Q, M,
При составлении уравнений для оптимальных параметров,
как и прежде, принимаем в расчет оптимальную зависимость
т|° = т]°(Л, %) и условие (6.80), при этом безразмерную массу /И,
входящую в условие устойчивости, выразим через коэффициент
нагрузки £н следующим образом:
где
и — M\PgR ( ^min	b2d
~ ^LD \ R J Л2 ’
Г = gM1 = bgM1 •
“ " PaDL ~ 4pa^inAV
b = d =	;
Pa	£P2
Д =	/ /lmin \ 2 __ i / ^min \2
Pa \ RJ \RJ'
(6.82)
(6.83)
(6.84)
(6.85)
В выражении (6.82) варьируемыми параметрами являются
£н и Л, тогда как b и d определяются заданными параметрами
р, ра, Q, Лт1п. Таким образом, варьируемый параметр связан
с Л и является зависимым.
Учитывая формулу (6.82), и принимая коэффициент запаса
у < 1, запишем условие устойчивости в виде
£н (л, Л, X) = 7МК (п, Л, X).	(6.86)
176
Это условие связывает три варьируемых величины т], Л и %.
Используя условие оптимальности (6.79), выразим т] через Л
и %. Тогда получим уравнение с двумя неизвестными
й [rf (Л, %), Л, X] = ?7Й« [rf (Ло, %) Л, X].	(6.87)
Еще одно уравнение для неизвестных Ли А получается из (6.8J
и (6.83)
Й [rf (Л, X), Л, %] =	•	(6.88)
Здесь отмеченные нулем величины определяются при т| =т)°(А, %),
причем Мк вычисляется по формуле
М°К
= max
<п>
( 1 26jtt|2 (1 — т])5
t (i-'nT2
(6.89)
«-0
а вычисляется как удельная
статическая нагрузка по данным
гл. IV или [57].
Если решить систему уравне-
ний, то по найденным Aopt и %opt
с помощью формул (6.83) и (6.85)
можно рассчитать 7?opt, 6opt, Lopt
И £н oPt«
В общем случае систему урав-
нений (6.87), (6.88) и (6.89) сле-
дует решать с помощью ЭВМ, при-
ближенное же решение можно
получить методом последователь-
/?ут ('П» А, ^) )
14- Л2 (I — л)4 j ’
ных приближений.
На каждом этапе последовательных приближений решается
уравнение (6.87), при фиксированном %, найденном из уравнения
(6.88), на предыдущем этапе.
Экстремальные т]° и Ук как функции параметра Л можно рас-
считать по (6.89), представить их в виде однопараметрического
семейства кривых с параметром X. Графики асимптотических зна-
чений и Мкоо, отвечающие % —* +оо, представлены на рис. 39.
Для приближенного расчета оптимальных параметров можно
воспользоваться следующим модифицированным условием опти-
мальности:
М° ^k°yTM°Kx.
Коэффициент утечки вычисляется по формуле
Кут — ‘О
Хо
где %0 = Л (1 — т©2.
12 В. Н. ДРоздович
177
Рассмотрим первый вариант задачи расчета оптимальных пара-
метров на примере.
Пример, Пусть требуется найти оптимальные значения диаметра D, среднего
радиального зазора 6, длины L, а также оптимальную массу ротора, прихо-
дящуюся на один подшипник, при следующих исходных данных:
р = 1,82- 1О~10 кгс/см2; ра= 1 кгс/см2;
Q = 12 000 об/мин; /imin — 10 мкм; X = 1; у = 0,34.
Так как в этом варианте параметр X задан, то требуется решить только одно
уравнение (6.87) относительно Л. Решение можно найти графически путем построе-
ния графиков функций:
r1 = ?2h° (Л, Х),Л, X];
^’5бпС^ГиН’1"<''.М.л,Ч.
Упрощая задачу, будем исходить из модифицированного условия оптималь-
ности и строить графики следующих функций:
= №(A),A,X);
Здесь значения и /14^ определяются по графикам рис. 38; 6уТ— вычисляется
по формулам; Ло и Во определены из приложения 2; коэффициент удельной на-
грузки jO находится по данным [57]. Результаты расчета представлены графи-
ками Y'v Y2 на рис. 39, откуда следует, что Aopt 3; T]Opt 0,44; -н opt ^0’2-
По этим результатам с помощью формул (6.84), (6.86) рассчитываем:
ь =	= 6*1,82*10~1Q. 1150 j 3 10_б.
Ра	1	’
tfopt — ^mln	= 10*10 4	13. ю-6”	1*5 СМ’
Dopt ~ 2^?opt 3,0
Далее получаем:
М opt = WOpt 3,0
е ___ ^mln _____	10
°Pt~ 1-Tlopt - 1-0,44
Оптимальную массу ротора рассчитываем по формуле:
-и, ор, .±£2^51	= ! .3.3.0.2 _ 1,8 КО
Mopt ~ 2/l4j opi 3,6 кг.
34. Расчет торцевых (упорных)
газодинамических подшипников
с шевронными канавками
Из опубликованных данных [46, т. 90, № 4] следует, что в ги-
роскопах торцевые газодинамические подшипники снабжаются
обычно, спиральными канавками. Различают конструктивные раз-
178
см.
см;
новидности таких подшипников: а) с одной зоной нагнетания
к центру или от центра; б) с двумя зонами нагнетания
(см. рис. 23).
Подшипники первой разновидности с одной зоной нагнетания
могут быть вентилируемыми или замкнутыми в зависимости от на-
личия или отсутствия утечки. Замкнутые подшипники обладают
большей несущей способностью, но чаще применяются вентили-
руемые с уплотнением. Расчет таких подшипников производится
по теории Уиппла [56] либо по более совершенной теории Завья-
лова, Емельянова и других авторов [13; 46, т. 91, № 1].
Подшипники с двумя зонами нагнетания обычно называются
подшипниками с шевронными канавками. Роль уплотнительного
пояска в этих подшипниках выполняют спиральные канавки,
которые создают встречный напор смазочной среды. При опре-
деленных геометрических размерах шевронных канавок встреч-
ные потоки в радиальном направлении уравновешиваются и под-
шипник может работать как замкнутый.
Приведем здесь краткое изложение модифицированной теории
Уиппла замкнутого шевронного подшипника.
Рассмотрим подшипник с шевронными канавками, имеющими
очертания логарифмических спиралей (см. рис. 23). Установив-
шееся гидродинамическое давление в смазочном слое найдем из
асимптотического решения уравнения Рейнольдса в координа-
тах cd, v:
(Я3ррЖ + -J- {[vEFP (РЖ + PQK р; + [vH*P (РЖ +
+ P'v)]'v\=^-^(HPye>.	(6.90)
f а
Здесь Н = Л/(6 + Е) —безразмерный зазор, где 6 = Е =
"‘2“ (^тах —^min); п —число канавок; v = г и со = /гср +
+ р (г) —криволинейные координаты; %0 = 6pQra/pa (6 +£)2—
параметр сжимаемости; га —наружный радиус.
Функции Н (со) и Р (v) определены выражениями:
Н (со) = 1—т] sign (sin со),	(6.91)
где т] = £7(6 + £);
— nk In —;
Га
+ nkln —;
rB<r^ra\
(6.92)
Гв,
где k = tg a; co = nq 4- p (v). Решение уравнения (6.90) разы-
скиваем в виде суммы ряда:
р = Ро (®) + Л (®, V) + Ш р2(ф, V) + ...	(6.93)
12*
179
йри граничных условиях:
Plv=rt = Р^=га = 1; р (со) = Р (й) + 2л).
Подставляя (6.93) в (6.90) и интегрируя по со в пределах от 0
до 2л, получим
(6.94)
'2л
vPo Wvf H3da— ~v
o	v
2л
— [ PiH2H'b)da
V 0
= const.
(6.95)
Еще одно уравнение для Р± найдем из уравнения
методу малого параметра
г2
(1 + /г2) [Н3 (А)а]« + kv т, (P0)'v = ХаН'а.
г0
Интегрирование этого уравнения и последующее исключение
из (6.95) дает следующее уравнение:
vP0 [(A)v + kv] = b = const.
(6.90) по
(6.96)
Здесь
(6.97)
где
е7/о sin 2а
k = X-------------------------
4 л/
g! cos2 a + sin2 a
•2 л
gi = j H3 day, $
о
2л
2л
g2 =: | H~2 d&\
6
o
2л
g3 = J H~3d«y
о
( 1;
x = I -1;
Гв-
в
Все постоянные интегрирования, в том числе и b
из граничных условий:
= РI^—rп 1’ A)/v=r -0 = Po/v=rQ+O.
'	t	'	Ц	*	D	•	D
Решение уравнения (6.97) дает асимптотическое распределе-
ние гидродинамического давления при большом числе канавок п.
В частном случае, когда выполняется условие замкнутости
(6.99)
2ri = r^ + r?,
решение краевой задачи получается в конечном виде
J_ р (Га — Г2У, гв <Г^Га,
°	~ 2 (/г (г2 — г?); г£«=:г<гв.
В этом случае средний расход смазки в радиальном направле-
нии равен нулю (Ь = 0).
180
находятся
(6.98)
(6.100)
Интегрируя избыточное давление (р — ра) по поверхности
подшипника, найдем согласно (6.100) несущую'способность
F = -^-ПРак(Г2а — rtf.	(6.101)
Коэффициент k для расчета зазора, определенного формулой
(6.91), представляется в виде
Ь = —	Ч2(1 — Л)2(3 + п3) sin2 а
2r2 (1-|-3r]2)2cos2a 4~ (1—г]2)3 sin2 а ’	\ •	)
где Л = 6цйг1/ра62.
Ha основании (6.102) устанавливается, что
feopt = max \k\ « 0,09
<ТЬ а>	'а
при aOpt 74°; T]opt 0,56.
Эти результаты хорошо согласуются с данными Уиппла [56]
и других работ [46, т. 91, № 1].
Исходя из (6.101), путем варьирования коэффициента k в окре-
стности оптимальных значений получается формула для жестко-
сти подшипника:
Ff	Pako.t^ — rl).	(6.103)
Заметим, что формула (6.103) справедлива лишь при выполне-
нии условия (6.99) и только для оптимального k. Остальные пара-
метры могут быть произвольными.
Выведенное уравнение (6.97) и его решение (6.100) справед-
ливы в рамках допущений, которые обычно делаются в теории
Уиппла. В случае конечного числа канавок п решение (6.100)
является лишь приближенной аппроксимацией истинного решения.
Влияние конечного числа канавок можно учесть приближенно
с помощью коэффициента (см. п. 13)
k^\ —^-Л2(1 — n)4cos4a	(6.104)
при условии, что второй член достаточно мал.
При весьма малых зазорах, соизмеримых по порядку величин
со средней длиной свободного пробега молекул, необходимо учи-
тывать еще один коэффициент [25; 46, т. 91, № 1]. Этот коэффи-
циент заметно отличается от единицы при kn = L/6 >0,01. Для
воздуха при нормальных условиях I = 0,064 мкм. Следовательно,
при 6 > 6,5 мкм влиянием проскальзывания можно пренебречь.
При kn = 0,05 и 0,1 необходимо вводить коэффициент k2 = 0,9
и 0,8 соответственно.
Следует также иметь в виду, что отклонения форм подшипника
от оптимальных как вследствие технологических погрешностей,
так и по причине термических и упругих деформаций могут также
привести к уменьшению его несущей способности и жесткости.
181
Пример. Рассчитываем несущую способность и жесткость подшипника, имею-
щего следующие параметры: га ~ 50 мм; ц — 25 мм; 6 = 5 мкм; р — 1,82х
X Ю’10 кгс/см2; Q = 10 000 об/мин; ра~ 1 кгс-с/см2; п — 20.
Из условия замкнутости (6.99) находим
г в = /(502 +~252)/2“39,4 мм.
Оптимальная глубина канавок
26T]opt
2с opt — , _	-
1 — Hopt
2-5-0,56
1 — 0,56
12,7 мкм.
Рассчитываем 6'0pt из выражения для Л и &opt
^opt =	~2~ —
га
0,09-6-1,82-10"10-1040
1-25-10"8
0,41~2 см,
Несущая способность согласно (6.101) будет равна
F =14 0,41 (52 — 2,52)2«*57 кгс.
Жесткость найдется по формуле (6.103)
Г г ^0,41Цб2-^ ~228000 кгс/см.
4-5-10"4
Число сжимаемости будет равно
_ 6p,Qr2 _ 6-1,82-10“10-1040-52 _
- Ра&2	1-5М0-8	— 114.
Коэффициент влияния конечного числа канавок найдем по (6.104)
1142
kl== 1 --202" (1 ~ °>56)4 cos4 74° ^0,99.
Напомним, что данный расчет производился для оптимальных значений а = 74°
и г) = 0,56 при условии равенства ширины канавки и ширины выступа. Если же
оптимизировать все параметры, в том числе и ширину канавок, то несущая способ-
ность и жесткость получаются еще большими. Данный подшипник соответствует
по размерам подшипнику со спиральными канавками в примере [41]. Сравнение
показывает, что шевронный рельеф дает больший эффект, чем простой спираль-
ный с гладким уплотнением.
Определим динамическую жесткость торцевого подшипника
при угловых колебаниях.
Рассчитаем вихревую угловую жесткость торцевого подшип-
ника при коническом вихре с частотой, равной половине синхрон-
ной частоты.
Для этого воспользуемся формулой (5.101), согласно которой
комплексный вектор восстанавливающего момента в режиме кони-
ческого вихря пары упорных подшипников равен
^1уп = WXoT J J dqdr. (6.105)
(Syn)
Здесь опущены индексы при 6 и Е.
182
Для вычисления вихревой жесткости торцевого подшипника
с шевронными канавками достаточно вычислить интеграл в фор-
муле (6.105) при значениях PQ и Но из (6.91) и (6.100). В резуль-
тате вычисления получим следующую формулу для модуля вихре-
вой жесткости одного подшипника:
<6-“>
Подставляя значения параметров из решенного примера получим
1 I I Зл0,41-54	1	1	1 \ _
2р1^1уп|— 32-1,54-5-10~4 \	4	16 ' 64 J ~
1,8-106 кгс-см/рад.
35. Некоторые результаты экспериментальных
исследований газодинамических подшипников
В Ленинградском институте точной механики и оптики под
руководством автора книги теоретические исследования слабо-
нагруженных опор приборов сочетались с опытно-конструктор-
скими работами: 4ыло спроектировано и испытано несколько
вариантов экспериментальных установок для исследования ста-
тических и динамических характеристик газодинамических цилин-
дрических подшипников. Повышенные требования к геометрии
и чистоте рабочих поверхностей подшипников, сложность измери-
тельной аппаратуры, высокая частота вращения испытываемых
роторов, быстрота и сложность процессов, протекающих в чрез-
вычайно малых смазочных зазорах, обусловливают трудности,
возникающие при создании таких экспериментальных установок.
Существует множество различных типов подшипников, в каждом
из которых имеется целый ряд важных параметров. Невозможно
экспериментально исследовать все варианты, важно иметь теоре-
тические методы определения устойчивости и жесткости опор.
Однако в настоящее время теоретические методы расчета требуют
опробирования и дальнейшего усовершенствования, поэтому ре-
зультаты экспериментального исследования могут представлять
как проверочный, так и самостоятельный интерес при проектиро-
вании таких опор. С этой целью здесь рассмотрены эксперименталь-
ные модели, созданные на базе высокоскоростного асинхронного
трехфазного электродвигателя от электрошпинделя марки Э72/06
мощностью 0,6 кВт (при напряжении 220 В и частоте 1200 Гц).
Предварительные испытания малорасходного нагнетателя
с гладкими газодинамическими подшипниками при диаметре
цапфы вала ротора 10 мм, длине подшипника 15 мм, диаметральном
зазоре 13 мкм конструкции А. А. Лохматова [46, т. 90, №4]
показали, что карданный подвес подшипников, обладая несом-
ненными положительными качествами, может оказывать влияние
на характеристики подшипников вследствие наличия дополни-
тельных степеней свободы. В этих испытаниях вал обкатывался
183
по поверхности шипа и наблюдался полускоростной вихрь в диа-
пазоне 13,5—15,6 тыс. об/мин.
Для исключения влияния дополнительных степеней свободы
была спроектирована и изготовлена установка с жестким крепле-
нием подшипников в корпусе. Испытуемая модель (рис. 40)
представляет собой двухопорный ротор 1 с высокочастотным элек-
тродвигателем трехфазного тока. Диск упорного подшипника 2,
втулки радиальных подшипников 5 и 6, статор электродвигателя 7
запрессованы в корпус 3 и крышку корпуса 4, изготовленные
из серого чугуна, обладающего свойством гасить вибрации вслед-
ствие наличия в его структуре свободного углерода в виде гра-
фита. Втулки радиальных и пластины упорных подшипников изго-
товлены из пропитанного баббитом углеграфита марки
Рис. 40
АГ-1500-Б83. Левый подшипник имеет диаметр 20 мм и длину
25 мм, правый из условий сборки имеет диаметр 25 мм и длину
30 мм. Ротор изготовлен из инструментальной стали ХВГ, цапфы
закалены и после посадки на ось прошлифованы и доведены,
масса ротора 0,42 кг. Диаметральные зазоры в подшипниках
в начале работы были 12—13 мкм. После 100 ч работы имела
место овальность формы отверстий втулок 3—5 мкм. Замеры диа-
метров отверстий втулок производились при помощи микроскопа
УИМ-22 и приспособления для замера отверстий ИЗОЛ,
Для регулирования числа оборотов ротора от нуля до
72 000 об/мин питание электродвигателя производилось через спе-
циально разработанный преобразователь частоты и контролиро-
валось измерителем тока, напряжения и мощности К-50. Преобра-
зователь частоты представляет трехфазный мостовой транзистор-
ный инвертор, который обеспечивает получение частот в диапазоне
250—1200 Гц 118]. Частота вращения ротора измерялась с по-
мощью фотоэлектрического датчика, оптическая система которого
объединяет в одном узле излучатель (лампочку накаливания) и
приемную часть (фотодиод). Пучок света отражался от полиро-
ванного торца ротора, имеющего зачерненный сектор. Измеряемая
частота фиксировалась электронно-счетным частотомером марки
43-12 и на осциллографе.
184
Для фиксации перемещения ротора в пределах смазочного
зазора по двум координатам — вертикальной и горизонтальной —
подшипник был оснащен двумя емкостными датчиками.
Запись перемещения вала ротора —задача довольно трудная,
так как радиальные зазоры в газодинамических подшипниках
имеют величину 0,004—0,01 мм, а их рабочие поверхности дви-
жутся с высокими скоростями. Из нескольких способов преобра- '
зования механического перемещения в электрическую величину
был выбран емкостный из-за простоты выполнения и малогабарит-
ности датчиков, их высокой чувствительности при изменении
малых зазоров. Датчик представляет собой малогабаритный кон-
денсатор площадью 12 мм2, одна пластина которого укреплена
в корпусе, а другой пластиной служит поверхность цапфы. Для
расширения рабочей зоны датчиков и сохранения линейности
их характеристик начальный зазор между пластинами был равен
0,03 мм. Рабочая поверхность датчиков концентрична поверхности
подшипника, это достигнуто их совместной доводкой ступенча-
тыми притирами.
Малая площадь обкладок датчиков и значительное расстояние
между ними потребовали мощной усилительной аппаратуры.
Преобразователь линейных перемещений в напряжение собран
по генераторной схеме. Емкостный датчик является элементом
колебательного контура высокочастотного генератора. Частота
генератора изменяется по закону изменения емкости, а следова-
тельно, и изменения расстояния между цапфой и подшипником.
Частота генератора при изменении зазора от 8 до 20 мкм менялась
в пределах 7 ±0,15 мГц. Далее напряжение генератора через
усилитель-ограничитель подавалось на вход дискриминатора,
выходное напряжение которого изменялось по величине и по знаку
при отклонении от частоты на 7 мГц. Характеристика дискрими-
натора линейна при изменении частоты на ±150 кГц от резонанс-
ной. При тарировке вал перемещался с помощью микрометриче-
ского винта на величину, которая контролировалась индикатором
с ценой деления 1 мкм.
Использование принципа частотной модуляции позволило
создать аппаратуру с очень низким порогом чувствительности,
с большим коэффициентом усиления.
Выходной сигнал в виде напряжения, изменяющегося по закону
изменения емкости датчика, подавался на регистрирующие при-
боры либо на стрелочные, при определении положения цапфы
в подшипнике, либо на электронный осциллограф при исследова-
нии динамических режимов.
Пример осциллограмм, фиксирующих число оборотов вала
(верхняя кривая) и вертикальное перемещение вала в правом под-
шипнике (нижняя кривая), показан на рис. 41, где можно про-
следить развитие полускоростного вихря: а—при частоте вра-
щения ротора 460 с"1 (27,6 тыс. об/мин) двойная амплитуда коле-
баний перемещений ротора при полускоростном вихре достигла
185
максимального значения 5 мкм; б — при 390 с"1 (23,4 тыс. об/мин)
колебания отчетливо имеют уже частоту, равную половины частоты
вращения вала; в — при 222 с-1 (13,3 тыс. об/мин) полускоростного
вихря еще нет, а имеют место синхронные колебания с амплиту-
дой меньше микрона, обусловленные дисбалансом ротора. Испы-
тания в этом случае производились при горизонтальном положе-
нии ротора. Расчет [45] показывает, что статическая нагрузка,
обусловленная только весом ротора, не обеспечивает запаса устой-
		Ё-						1
								
lllllllll	iniliirr	fl 1||||| 1		llllllllmlllhlll	lllllllll	rillllllff	ЙIlli It 1	lllllllll
ни 1111	пп ну	НТЦПП	III! ПП	1111|111ЩП1|111|	ни пн	nltrllly	Jill Illi	lllllllll
								
								
								
								
чивости, найденного экспери-
ментально, если считать форму
несущих поверхностей строго
цилиндрической; этот запас
устойчивости определяется
овальностью их формы.
Для исследования работы
газодинамических подшипни-
ков, профилированных винтовы-
ми канавками, была изготовлена
модель, показанная на рис. 42.
При ее изготовлении большое внимание было уделено точности
формы несущих поверхностей. Подшипниковые втулки выпол-
нены из бронзы марки БрОФ10-1 с присадкой 10% углеграфита
и 5% дисульфида молибдена. Втулки запрессованы в корпусе,
совместно расточены и доведены. Их номинальные размеры оди-
наковы, диаметр 24 мм, длина 36 мм. Упорный газодинамиче-
ский подшипник изготовлен из углеграфита марки АГ1500-Б83
и состоит из двух пластин: одна после обработки вклеена
в корпус, другая —укреплена в стальной обойме, которая
установлена в крышке корпуса с помощью карданова подвеса.
Каждая из пластин имеет 18 спиральных канавок глубиной 0,02 мм
постоянной ширины, нарезанных по дугам окружности.
Испытываемые роторы с различным профилированием цапф
изготовлены из стали 40Х. Гладкая, без ступеней, форма роторов
186
ную обработку обеих цапф цилиндри-
благодаря этому получена высокая точность
цапф всех роторов (конусность,
позволила выполнить совмест
ческим притиром,
обработки. Погрешность формы
бочкообразность, некруг-
лость) не превосходит 2 мкм.
Для нагружения подшип-
ника радиальной силой на ро-
тор насажена стальная втул-
ка диаметром 18 мм, на кото-
рую навешивается аэроста-
тический подшипник. Масса
ротора с нагрузочной втул-
кой — 0,540 кг, без втулки —
0,502 кг. Серия испытаний,
проведенных на этой модели,
имела целью исследовать:
1) силовые характеристики
и устойчивость подшипников
при различных типах про-
филирования; 2) распределе-
ние давления в смазочном
слое при различной ориента-
ции оси ротора и различных
режимах работы; 3) «нагне-
тательные» свойства профи-
лированных подшипников.
Для определения поля
давления в смазочном слое
во втулке подшипника было
сделано 8 отверстий диамет-
ром 0,4 мм, расположенных
по образующей цилиндра с
шагом 3,5 мм (рис. 42). К от-
верстиям подпаяны медные
трубки, выведенные на торец
корпуса модели. Давление
измерялось образцовыми ма-
нометрами типа МО. Маномет-
ры смонтированы в щите и
соединены с трубками дрена-
жа гибкими шлангами. Дав-
ление в различных точках
по окружности подшипнико-
вой втулки определялось
путем поворота модели во-
круг оси подшипников. После этой серии экспериментов гиб-
кие шланги были обрезаны, а медные трубки были залиты
эпоксидной смолой.
187
Цапфы роторов профилированы винтовыми (спиральными)
канавками. Профилирование выполнено трех типов, показанных
на рис. 43: а —сплошное (тип А), когда канавками покрыта
вся поверхность цапфы; б—частичное симметричное (тип В);
в — несимметричное (тип С).
Параметры канавок приведены в табл. 4. В ней обозначены:
L —длина подшипника; —длина нарезной части цапфы;
Рис. 43
D —диаметр цапфы; п —количество канавок; а —угол наклона
оси канавки к образующей цилиндра цапфы; ак = 0,5 —отно-
сительная ширина канавки (ширина канавки и выступа одина-
кова).
Таблица 4. Параметры зазоров и канавок экспериментальных роторов,
L/D = 1,5
Ротор	а	п	LJL	Глубина канавок, мкм (осред- ненная)	Радиальный зазор, мкм		
					I	II	III
А1	53	24	1	22	6,5	7,0	7,5
А2	53	15	1	8	6,5	7,0	7,5
АЗ	52	6	1	11	6,8	7,3	7,8
В1	53	24	0,6	9	6,0	6,5	7,0
В2	62	18	0,6	14	6,2	6,7	7,2
С1	53	24	0,6	10	6,4	6,9	7,4
Профилирование рабочих поверхностей газодинамических под-
шипников является сложной технологической задачей, обуслов-
ленной высокими требованиями, предъявляемыми к точности
выполнения канавок, геометрией поверхности цапф и канавок и
высокой твердостью материала подшипников.
На экспериментальных валах канавки выполнены двумя спо-
собами: механическим —шлифовкой абразивными доводочными
кругами и химическим —травлением в ванне со специальным со-
ставом. При механическом способе каждая канавка нарезалась
в отдельности, и это привело к значительным различиям в геоме-
188
трии канавок (по глубине и форме поперечного сечения). Травле-
ние с маской —менее трудоемкий и более воспроизводимый спо-
соб: все канавки вытравливаются одновременно, поэтому разно-
размерность канавок значительно меньше, а форма правильнее.
Чистота поверхности канавок при механическом способе почти
не отличается от чистоты поверхности цапфы, при травлении
поверхность получилась грубее, чистота ее на 3—4 класса ниже
чистоты поверхности цапфы. Травлением были получены канавки
только на одном роторе АЗ.
Рассмотрим результаты испытаний на этой модели.
Эпюры избыточного давления вдоль образующей при цен-
тральном положении ротора показаны на рис. 44, где номера по
оси абсцисс соответствуют номерам дренажных отверстий при
отсчете от левого конца подшипника, а номера кривых —различ-
ным роторам табл. 4: 1—В2; 2 —В1; 3 —С1; 4 —А2; 5 —А1;
6 —АЗ. Частота вращения всех роторов' была равна 500 с"1.
Все испытания производились в окружающей среде (воздухе)
при нормальном атмосферном давлении. Температура подшипни-
ков на всех режимах работы поддерживалась постоянной, равной
40° С.
Самое высокое давление в центральном сечении —у ротора
А2, имеющего сплошное профилирование цапф. На величину гене-
рируемого давления оказывают влияние глубина канавок, их
количество и протяженность профилированной зоны. Давление
в центре подшипника у ротора АЗ, имеющего 6 канавок, меньше,
чем у роторов В1 и В2.
По характеру профилирования и количеству канавок самое
высокое давление должен был развивать ротор А1, но вследствие
189
большей глубины канавок он уступает по этому параметру даже
ротору С1, работающему с осевым потоком смазки.
Зависимость давления в центральном сечении подшипника
при вертикальном положении ротора от числа сжимаемости %0 =
= 6pQ/?2/(pa62) представлена на рис. 45, номера кривых здесь
соответствуют следующим роторам: 1 —А2, 2 —В2, 3 —В1,
4 — С1, 5 —А1.
Соотношение величин давления, генерируемого различными
роторами, сохраняется таким же, как на рис. 44.
При работе ротора в горизонтальном положении он под дей-
ствием силы тяжести смещается из центрального положения и
вследствие этого эпюра давления в поперечном сечении изменяется.
На рис. 46 показаны эпюры давления в центральном поперечном
сечении подшипника при испытании ротора В2 в горизонтальном
положении. Цифрами /, 2, 3 обозначены эпюры давления при
частотах вращения ротора, равных 200 с-1, 450 с-1 и 700 с"1
(соответственно %0 = 5,4; 12,2; 19,0). Буквы а и b отмечают эпюры
давления, полученные при разных радиальных зазорах (табл. 4):
а — I, b — II.
При сравнении эпюр давления в поперечных сечениях гладких
и профилированных подшипников с горизонтальным расположе-
нием валов видно существенное различие: у профилированных
подшипников отсутствует зона разрежения в верхней части под-
шипника, характерная для гладких подшипников, т. е. давление
смазочного слоя по всей окружности цапфы выше атмосферного.
По характеру эпюр можно видеть, что с увеличением частоты
вращения ротора разница давлений в верхней и нижней точках
смазочного слоя уменьшается, ротор поднимается к центральному
положению.
Силовые характеристики подшипника определялись при гори-
зонтальном положении оси. Испытано было 3 ротора: А2, В1 и В2.
Подшипники с роторами, цапфы которых со сплошным профи-
лированием, имеют несколько большую несущую способность,
чем с частичным. На рис. 47 показана зависимость безразмерной
несущей способности W — W/(paLD) от относительного эксцен-
триситета е0 для двух роторов: А2 и В2 (двойные линии соответ-
ствуют ротору В2). Эти зависимости определены для двух значе-
ний частот вращения: 500 с-1 (%0 = 9,6 и 10,9) и 700 с-1 (%0 =
= 13,3 и 15,3).
При исследовании стабилизирующего действия на вращение
ротора винтовых канавок предварительно был на той же модели
испытан ротор с гладкими цапфами (диаметральный зазор 14 мкм;
L/D = 1,5; масса ротора 0,54 кг). Появление неустойчивости
типа орбитального движения ротора при его горизонтальном
положении было зафиксировано на частоте вращения ПО с-1
(6,6 тыс. об/мин), при малейшем увеличении частоты вращения
амплитуда полускоростного вихря резко возрастала, появлялся
стук при вращении.
190
191
Расчет пороговой частоты полускоростного вихря по методике,
приведенной в работе [57], показал такое же ее значение. Этот
критерий учитывает только стабилизирующее влияние эксцен-
триситета от собственного веса ротора, следовательно, другие
стабилизирующие факторы в подшипнике отсутствуют*
Все испытываемые роторы с профилированными цапфами пока-
зали спокойную работу на частотах вращения от 200 с-1 до 700 с"1
при горизонтальном и вер-
тикальном положениях осно-
вания. При разгоне роторов
А2, В1 и В2 в вертикальном
положении до максимально
возможной частоты ни один
из них не проявил признаков
неустойчивости вплоть до
частот 1005 с-1, 1003 с"1 соот-
ветственно. Амплитуд'а син-
хронного вихря, фиксируе-
мая на экране осциллографа,
не превышала величины 1,5—
2,0 мкм.
подшипников с винтовыми
Способность газодинамических
канавками создавать осевой поток смазки открывает возможность
их использования в режиме насоса (например, для поддува опор
в период пуска). Сжатый газ можно отбирать или с торца подшип-
192
ника (при профилировании типа С) или из центрального сечения
(профилирование типа А). Для определения нагнетательной спо-
собности таких подшипников отбор прокачиваемой газовой смазки
производится через четыре средних дренажных отверстия; осталь-
ные заглушены. При горизонтальном положении ротора отбор
газа производится из нижней части подшипника в контрольный
баллон. Так как дренажные отверстия создают значительное сопро-
тивление потоку, часть газа оставалась в зазоре и образовывала
несущую подушку.
На рис. 48 показан процесс заполнения контрольного баллона
емкостью 350 см3 сжатым воздухом, накачиваемым различными
роторами с частотой вращения 700 с"1 (42,0 тыс. об/мин), при за-
зоре III (табл. 4). По оси абсцисс отложено время в минутах, по
оси ординат —давление газа (воздуха) в баллоне в ати. Кривые
обозначены: 1 —для ротора А1, 2 —А2, 3 —В2, 4 —В1. Как
видно из рисунка, лучшую нагнетательную способность имеет
ротор А1 с наиболее глубокими канавками. Роторы В1 и В2
имеют значительно меньшую производительность и генерируют
меньшее давление. Нагнетательную способность ротора А1 при
тех же значениях частоты вращения и зазора можно значительно
увеличить путем углубления канавок и увеличения относитель-
ной ширины канавок.
Экспериментальные исследования показали, что при выполне-
нии на несущей поверхности цапф канавок с рекомендуемыми
параметрами радиальные газодинамические подшипники имеют
высокий предел устойчивости (выше 70,0 тыс. об/мин) и могут
работать в отличие от гладких цапф с ненагруженным ротором.
36. Некоторые перспективы дальнейшего развития исследований
в области газодинамических подшипников
Тенденции современной техники, которые явились предпосыл-
кой к широкому практическому внедрению газовых подшипников,
продолжают стимулировать дальнейшее развитие методов газо-
динамической теории смазки. Возможности газовых подшипников
как эффективного средства повышения быстроходности, точности,
надежности и долговечности машин и приборов еще далеко не
исчерпаны, и реализация этих возможностей в значительной
степени обусловлена созданием более совершенных, научно обо-
снованных методов расчета и проектирования опор с газовой
смазкой, достаточно полно и точно учитывающих весь комплекс
технических факторов, которые могут оказывать существенное
влияние на работу опор того или иного назначения.
Приводимый ниже перечень направлений, по которым, на
наш взгляд, должна развиваться газодинамическая теория смазки
на современном этапе, не может, разумеется, отразить всего
многообразия специфических требований, предъявляемых к газо-
вым подшипникам в различных областях техники. Этот перечень
13 В. Н. Дроздович	193
не претендует на полноту и потому, что в соответствии с темой
данной монографии, посвященной газодинамическим подшипникам
скольжения, в нем не затрагивается вопрос о газовых опорах
других типов — опорах с наддувом и вибронесущих опорах.
Тем не менее в этом перечне нашли отражения некоторые наиболее
общие потребности современной практики использования газовых
подшипников, во многом сочетающиеся с потребностями внутрен-
ней логики развития газодинамической теории смазки как науки.
Эти направления сформулируем следующим образом.
Дальнейший критический анализ основных допущений.
Некоторые допущения газодинамической теории смазки
(см. п. 9), прежде всего допущения о возможности пренебрежения
силами инерции в смазочном слое, при решении ряда задач пред-
ставляются недостаточно обоснованными. Это относится к таким
актуальным задачам газовой смазки, как исследование нестацио-
нарных режимов работы газовых подшипников при больших
числах Струхала (например, в условиях высокочастотных виб-
раций), аэродинамическому расчету крупногабаритных подшип-
ников, в смазочном слое которых могут возникать околозвуковые
и сверхзвуковые скорости. Последняя группа задач затронута
в работе [64] (русский перевод в журнале «Прикладная меха-
ника», 1971, т. 37, № 4), где однако не учитывается возможность
возникновения газодинамических разрывов (скачков уплотне-
ния), которые как раз и следует считать наиболее характер-
ной формой проявления инерционных эффектов в сверхзвуковых
потоках.
При исследовании высокоскоростных потоков газа, особенно
со скачками уплотнения, становится, по-видимому, непригодным
и другое распространенное в теории смазки допущение об изо-
термичное™ потока.
Следует тщательно изучить вопрос о границах применимости
обычных для теории смазки приближенных методов оценки влия-
ния инерции смазочного слоя, связанных с осреднением уравнений
Навье—Стокса (либо некоторых членов этих уравнений) по тол-
щине слоя или с разложением искомого решения в ряд по числу
Рейнольдса. В частности, вызывает сомнение возможность пра-
вильного учета инерционных эффектов вблизи границ смазочного
слоя в рамках этих методов.
В тех случаях, когда по технологическим или иным сообра-
жениям приходится изготавливать газовые подшипники с боль-
шими зазорами (порядка нескольких десятков микрометров),
повышается вероятность нарушения ламинарное™ смазочного
слоя. По крайней мере, экспериментально доказана возможность
турбулизации газовых потоков в каналах шириной порядка
100 мкм, * однако решению вопроса о целесообразности и основ-
ных направлениях разработки методов расчета газовых подшип-
* Wiemer A, Luftlaqerunq, Berlin, VEB Verlag Technik, 1969. 290 S.
194
ников с турбулентным смазочным слоем должны предшествовать
хорошо обоснованные с позиции теории подобия и тщательно
поставленные эксперименты по выявлению условий возникнове-
ния и специфики турбулентных режимов в реальных газовых
подшипниках.
Отметим, наконец, еще две группы задач, в которых может
представлять интерес учет влияния числа Кнудсена — критерия
сплошности среды (см. п. 9). Это, во-первых, исследование про-
цесса формирования смазочного слоя при пуске ротора, когда
толщина слоя в подшипнике может измеряться долями микро-
метра, и, во-вторых, анализ работы газовых подшипников в усло-
виях разреженных сред, например на значительной высоте над
поверхностью земли.
Развитие вариационных методов оптимизации газовых под-
шипников.
Это направление приобретает особое значение сейчас, в свете
задач, поставленных XXV съездом КПСС, который объявил
десятую пятилетку пятилеткой качества и эффективности. Его
развитие является важной предпосылкой оптимального проекти-
рования газовых подшипников на качественно новом уровне.
Вариационные методы, определяющие специфику так назы-
ваемых обратных задач теории смазки, до последнего времени
применялись лишь к теоретическим моделям подшипников, ко-
торые могут быть описаны обыкновенными дифференциальными
уравнениями (см. п. 2). Полученные Ю. Я. Болдыревым новые
результаты вариационного определения оптимальной формы про-
филя смазочного слоя газовых подшипников при использовании
стационарного уравнения Рейнольдса с двумя независимыми
переменными частично опубликованы в работе *. Использован-
ная методика, в частности, открывает возможность для оконча-
тельного решения вопроса о том, всегда ли (а если нет, то при
каких условиях), спиральные микроканавки обеспечивают наи-
большую несущую способность подшипника по сравнению с дру-
гими искусственными профилями.
В вышеупомянутых работах единственным критерием опти-
мальности была максимизация несущей способности подшипника.
Дальнейшее усиление прикладного значения вариационных ме-
тодов оптимизации в задачах газовой смазки связано с исполь-
зованием других, не менее важных для практики критериев,
в частности, максимизации предела устойчивости.
Значительный интерес представляют и вариационные задачи
с ограничениями типа неравенств (можно поставить, например,
вариационную задачу, в которой оптимальный по несущей спо-
собности профиль смазочного слоя, определяется среди профилей,
обеспечивающих заданный минимальный предел устойчивости).
* Болдырев Г. Я., Троицкий В. А. Одна пространственная вариационная
задача газодинамической теории смазки. — «Механика жидкостей и газов»,
№ 5, 1975, с. 34—39.
13*	195
Примером более узкого, невариационного подхода к пробле-
мам оптимизации подшипников является работа Флеминга,
Хамрока [79, С1 ], в которой задача о максимизации минималь-
ного предела устойчивости радиального подшипника со спираль-
ными канавками, исследуемого в рамках теории узких канавок,
сводится к задаче об определении экстремума функции несколь-
ких переменных.
Исследование газовых подшипников с упругими элементами.
Применение упругих элементов — один из наиболее перспек-
тивных способов стабилизации газовых подшипников. Известно,
например, что ленточные подшипники не теряют устойчивости
вследствие податливости ленты. Кроме традиционных видов
ленточных подшипников, в которых ленты можно считать идеально
гибкими, в последнее время используются опоры с лентами, обла-
дающими значительной изгибной жесткостью, что устраняет
необходимость их предварительного натяжения, и с профилиро-
ванными лентами (Деккер О. [79, F1 ]).
Нашли применение два варианта опор с упругими элементами.
В первом варианте упругие элементы образуют рабочую поверх-
ность смазочного слоя (ленточные опоры, опоры из резинопо-
добных материалов и др. Во втором — рабочие поверхности
практически недеформируемые, но сам < подшипник смонтирован
на упругих элементах (Андерсон [46, т. 97, №2]).
Базой для создания надежных методов расчета такого рода
подшипников являются: во-первых, выбор и обоснование тео-
ретических моделей упругих элементов, во-вторых, разработка
методов интегрирования систем, состоящих из уравнения Рей-
нольдса и уравнений теории упругости.
Анализ нестационарных периодических режимов работы газо-
вых подшипников.
До сих пор среди комбинированных нестационарных задач
смазки газодинамических подшипников (см. п. 2) объектом основ-
ного внимания был сравнительно узкий, хотя и очень важный
класс этих задач, анализ устойчивости равновесия систем ротор—
подшипники при постоянных внешних нагрузках. Современная*
практика настоятельно требует более широкого подхода к изу-
чению динамики таких систем, включающего всестороннее ис-
следование их динамического поведения в условиях, когда тол-
щина смазочного слоя и давление оказываются периодическими
функциями времени. Имеются в виду не только режимы вынужден-
ных колебаний; при постоянной внешней нагрузке и периоди-
ческом изменении реакции смазочного слоя (например, в случае,
когда искусственный профиль нанесен на вращающуюся поверх-
ность) могут возникать параметрические колебания [48], а на-
рушение устойчивого равновесия, как отмечалось в п. 2, может
проявляться в форме автоколебаний. К этому следует добавить,
что вопрос об условиях существования устойчивых предельных
циклов при таких формах потери устойчивости равновесия под-
196
шипников, как цилиндрическая или коническая асинхронная
прецессия (полускоростной вихрь) требует специального изу-
чения.
При исследовании резонансных явлений в газовых подшип-
никах следует учесть возможность параметрического резонанса,
более опасного, чем обычный, поскольку спектр его частот не
является дискретным. Очень важно проанализировать те особен-
ности колебательных режимов, которые обусловлены нелинейно-
стью систем с газовыми подшипниками, существенно нестацио-
нарным характером уравнения Рейнольдса и, в частности, формы
проявления этих особенностей в резонансных эффектах и в меха-
низме взаимодействия различных типов колебаний, например
вынужденных колебаний и автоколебаний (Р. 3. Алиев [45, т. 1]).
Анализ переходных режимов.
От поведения газодинамических опор при переходных режимах
в весьма большой степени зависит их надежность и долговечность,
поскольку наиболее тяжелые условия работы обычно связаны
именно с такими режимами. Достаточно сказать, что процесс
запуска машины (если не используются специальные методы за-
пуска, например внешний наддув) неизбежно сопровождается
сухим трением в подшипниках. Этим в первую очередь обуслов-
лена важность выбора материалов газовых подшипников, изу-
чения фрикционных свойств материалов и механизма износа,
а также учета шероховатости смазываемых поверхностей (при-
мером анализа газового подшипника с шероховатой поверхностью
является работа Лоу и Хармана [46, т. 97, № 1 ]). Перспектив-
ным может быть, в частности, использование неметаллических
(керамических) газовых подшипников
Кроме режимов запуска и останова, представляет интерес
изучение динамического поведения подшипников при ударных
нагрузках, а также работоспособности опор с наддувом при вне-
запном отключении питания их газом, когда опора, по существу,
начинает функционировать как обычный газодинамический под-
шипник.
В целом динамика переходных режимов представляется наи-
более сложной и наименее изученной проблемой газодинамической
теории смазки. Для успешного теоретического исследования
таких режимов особенно важна разработка эффективных числен-
ных методов решения комбинированных нестационарных задач
газовой смазки (см. п. 2), постановка которых должна в общем
случае отражать упругие свойства и контактную прочность
материалов смазываемых поверхностей.
Из вышеизложенного видно, что дальнейшее развитие при-
кладной газодинамической теории смазки возможно только в тес-
ном контакте с целым комплексом физических и технических
наук и при активном использовании современных методов при-
кладной математики.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1	Определенные интегралы
2л
г dtp _ 2л
J 1 — 8 COS ф ” Y Г82 ’
2л
f cos ф d(p ____	2л8
J "1 — е cos <р ~	+ К е2) ’
2л
f cos2 ф dq) ___ ___________2л__________.
J 1 — 8 cos ф ~ КТ^82 (1 + /Т^е2) ’
2л	2л
б/ф	_ 2л
(1— 8 COS ф)2	~ (1 __ 82)3/2 ’
2л
cos ф dtp __ 2ле
(1 — COS ф)2	(1 — 82)3/2
о
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Значения Я и В в выражении J — А + IB
f sin2 ф е/ф
J 1 — 8 COS ф
О
1 + К1 — 82 ’
о
Хо (Ао)	(То								
	А; В	0,25	0,50	0,75	1,0	1,25	1,50	1,75	2,00
0,5	А	0,760	0,530	0,361	0,235	0,151	0,105	0,083	0,075
	В	0,056	0,096	0,088	0,081	0,068	0,056	0,044	0,032
1,0	А	0,804	0,606	0,410	0,256	0,167	0,116	0,089	0,076
	В	0,095	0,153	0,160	0,157	0,134	0,111	0,088	0,065
1,5	А	0,836	0,668	0,482	0,330	0,226	0,160	0,118	0,090
	В	0,088	0,175	0,223	0,217	0,186	0,153	0,124	0,101
3,0	А	0,886	0,772	0,640	0,487	0,348	0,245	0,175	0,128
	В	0,082	0,166	0,251	0,299	0,296	0,266	0,228	0,192
4,5 I	А	0,909	0,819	0,724	0,604	0,469	0,347	0,252	0,184
	В	0,073	0,146	0,226	0,298	0,334	0,330	0,302	0,265
6,0	А	0,923	0,845	0,769	0,676	0,561	0,440	0,333	0,248
	В	0,066	0,131	0,200	0,275	0,332	0,354	0,346	0,318
7,5	А	0,932	0,863	0,796	0,722	0,627	0,517	0,408	0,314
	В	0,060	0,120	0,181	0,250	0,315	0,356	0,366	0,352
9,0	А	0,938	0,876	0,816	0,752	0,674	0,577	0,474	0,376
	В	0,055	0,111	0,166	0,229	0,294	0,345	0,371	0,372
12,0	А	0,947	0,894	0,841	0,790	0,732	0,660	0,574	0,482
	В	0,049	0,098	0,146	0,198	0,256	0,313	0,357	0,380
15,0	А	0,953	0,906	0,859	0,813	0,767	0,710	0,641	0,561
	В	0,044	0,088	0,132	0,177	0,227	0,281	0,330	0,367
	А	0,957	0,914	0,872	0,830	0,789	0,743	0,686	0,619
18,0	В	0,040	0,081	0,121	0,162	0,205	0,254	0,304	0,346
Примечание. Для 1,5 < %0 < 18 табулирование производилось на ЭВМ-
198
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
К вопросу расчета несущей способности и угла нагрузки.
Сравнение расчетных данных по углу нагрузки Ф из (4.26) с результатами [57]
показывает, что заметные отклонения наблюдаются лишь при малых %0 и боль-
ших 80. Можно предположить, что эти отклонения могут быть уменьшены, если
в поправке к 1-му приближению по методу Р//-линеаризации учесть гармониче-
ские составляющие.
Вычисление главного вектора сил гидродинамического давления в смазочном
слое при смещенном равновесном положении шипа для случая малых %0 можно
произвести исходя из нелинейного уравнения Рейнольдса методом малого пара-
метра. При этом окажется, что член О (/0) будет всегда мнимым, а первый член
вещественный — О (%$). Это значит, что асимптотическое значение угла нагрузки
Ф = —л/2 будет при любом 0< е0<5 1.
Влияние гармонических составляющих поправки к первому приближению
имеет место и в задачах динамики. Оценка влияния их на запас устойчивости
цилиндрического подшипника произведена для подшипника бесконечной длины
(приложение 4). Поправку в задачах статики не уточняем, так как для цилиндри-
ческого подшипника имеются численные данные [57].
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Уточнение выражения для поправки к формуле (5.76).
Поправка (5.76) может быть уточнена путем учета дополнительных членов
А = До (?) + рФ0 (С, т) + рФ, (?) е1 + рф2 (?)
Если учесть эту поправку в (5.74), то получим
«W Но т J J 1 + Т)« (£> <Р)
к д /	V Ь )
причем интегралы, содержащие Фо (£, т) и Фх (£) е1	здесь обращаются
в нуль вследствие тех же причин, что и в п. 26. Для вычисления Ф2 следует исхо-
дить из уравнения для поправки следующего вида:
2л
4г f ( Дфф + аод^ - Хо дф - д) (<₽~ХоТ)	=
О
2л
= — j и (Фр Н) ё «₽—d<p,
о
которое получается из уравнения (3.49) путем интегрирования его почленно с ве-
совым множителем е1 («Р—Хот).
Варьируя это уравнение в окрестности центрального положения равновесия
и вычисляя интегралы, получим уравнение для Ф2 (С).
Проведем гармонический анализ уравнения для поправки А в частном случае
радиального ненагруженного подшипника с осевыми канавками весьма большой
длины (о0 —> 0).
Предположим, что вал совершает орбитальное движение с частотой полуско-
ростного вихря вокруг центрального положения равновесия. Тогда функция
зазора будет иметь вариацию
дя = _ 1 р (e~i	+ ei (Ф-ХоТ)),
199
где р — радиус орбиты; %0 — безразмерная частота вихревого движения.
Для рассматриваемого случая будем иметь (см. п. 17):
г = —	 V-; х= —5 а=0.
1 — IX Л я ’
Подставляя в уравнение поправки выражение для Д и учитывая вышеприведен-
ные зависимости, получим
2л
Ф2 = - f + г1о) [(У10)ф ДЯ - Ую ДЯф] +
zj ьр J
о
+ ДЯ[(Г1О);яо-У1О(Яо)ф]}	dtp.
Это выражение получается путем варьирования уравнения поправки в окрестно-
сти центрального положения вала с учетом условия, что AFj = 0. При вычисле-
нии вариации АТ? (оператора уравнения Рейнольдса) используется выражение
(3.42).
В результате всех выкладок получим для коэффициента следующее выражение:
Фа = 4 ‘V [-« Ьп {Г} + i (I W Р - Re {Г})] = 4 j+x*)~ ’
где х = Хо/«; га is 3.
Таким образом, в рассматриваемом случае учет гармонической составляющей
не вносит существенного вклада в расчет вихревой жесткости, но появляется
неуравновешенная тангенциальная составляющая гидродинамических сил.
Это значит, что необходимо внести поправку к частоте вихревого движения
и установившийся вихрь на пороге устойчивости будет совершаться с безразмер-
ной частотой, отличной от %0.
Из выражения для Ф2 можно видеть также, что наибольшее отклонение ча-
стоты вихря от %0 будет иметь место при средних значениях этого параметра,
близких к значению п. При %0 -> 0 и %0 + сю поправка к частоте обращается
в нуль. Максимальное отклонение частоты вихря от %0 достигается при %0 = я,
а соответствующий коэффициент
Т12
(Фг)шах = * 'gT'Xo-
Для приближенной оценки смещения частоты имеем условие
Im j J J Л^ + рФу Z(<p VT) ei (ф+vt) dq)
I (s)
= 0,
где
ДУ, = Re {ДЛГ); £x = p	e~‘ (<₽-VT).
1	H l+«(v — Xo)
200
Это условие после подстановки в него значений АУХ и Ф2 дает уравнение
Im
* (у — Хо)
1	1 (v — Хо)
1 2
= — 4- Л2Хо’
отсюда при п = %0 получим
—Хо
1 + (V — Хо)2
что дает приближенно
Найдем соответствующее изменение запаса устойчивости, которое определяется
выражением
1	Re К J А~Г1 +	е‘ (<f+VT) d(f dZ}.
I (S)
Для значений %0 < 2/q это выражение приближенно равно
± ^Хо________ f f d(P
2	16 + n4Xo J J Ho •
(S)
Таким образом, запас устойчивости изменяется в сторону увеличения.
Оценка запаса устойчивости с помощью интеграла J J (Ро — 1) dtp
(s)	°
является приближенной, так как она получена обобщенным методом Р//-линеа-
ризации с учетом в поправке только нулевой гармоники. Для уточнения резуль-
тата необходимо учесть гармонические составляющие в поправке к первому
приближению, при этом запас устойчивости и частота вихревого движения на
границе устойчивости несколько изменяется.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Бабаков И. М. Теория колебаний. М., «Наука», 1968. 560 с.
2.	Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М., Гостехтеориздат,
1955. 355 с.
3.	Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. (Пер. с англ.)
М., «Мир», 1967. 311 с.
4.	Газовая смазка подшипников. (Сборник докладов на совещании по га-
зовой смазке подшипников). М., Институт машиноведения, 1968. 312 с.
5.	Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., Физматгиз,
1961. 228 с.
6.	Гидродинамическая теория смазки. (Сборник классических работ).
Под ред. Л. С. Лейбензона. М.—Л., 1934. 574 с.
7.	Григорьев Б. С. Движение вязкого газа в секторных газовых подшип-
никах. — «Механика жидкости и газа», 1971, № 2, с. 167—171.
8.	Дроздович В. Н. О смазке сферического подпятника. — В кн.: Вопросы
теории и расчета гироприборов и приборов точной механики. Л., 1958, вып. 36,
с. 38—44.
9.	Дроздович В. Н. О вычислении динамической реакции радиального под-
шипника с газовой смазкой. — «Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1969,
т. 12, № 2, с. 99—102.
10.	Дроздович В. Н. К вопросу об устойчивости ротора в многоцентровых
подшипниках с газовой смазкой.— «Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1970,
т. 13, № И, с. 98—101.
11.	Дроздович В. Н. К расчету статических характеристик торцевого газо-
динамического подшипника с шевронными канавками. — «Труды ЛИТМО»,
1972, вып. 72, с. 94—98.
12.	Емельянов А. В., Емельянова Л. С. Теория газового подшипника со
спиральными канавками, учитывающая эффект скольжения и местной сжимае-
мости. — «Механика жидкости и газа», 1971, № 5, с. 84—93.
13.	Емельянов А. В., Завьялов Г. А., Шмелев А. А. Исследование упорного
газового подшипника со спиральными канавками и утечкой смазки через зазор
радиального подшипника. — «Машиноведение», 1969, № 3, с. 84—92.
14.	Заблоцкий Н. Д. Линеаризация граничных условий в теории воздушных
подвесов. — «Труды Л ПИ», 1961, № 217, с. 127—132.
15.	Заблоцкий Н. Д., Карякин В. Е., Спиенков И. Е. Сферический газовый
подшипник с принудительным наддувом. — «Механика жидкости и газа», 1970,
№ 3, с. 147—154.
16.	Завьялов Г. А., Левина Г. А. Торцовая опора с оптимальным очерта-
нием канавок. — «Машиноведение», 1973, № 1, с. 105—НО.
17.	Иванова В. В., Дроздович В. Н. К вопросу о стабилизации ротора в газо-
динамических подшипниках с эластичным креплением. — «Изв. вузов СССР.
Приборостроение», 1971, т. 14, № 3, с.ДОЗ—105.
18.	Иванова В. В., Коровниченко Б. А., Проскуряков Н. Г. Эксперименталь-
ный стенд для испытания гидродинамических нагнетателей приборного типа. —
«Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1974, т. 17, № 7, с. 111 — 117.
19.	Иванова Н. Г. Влияние сил инерции смазки на характеристики подшип-
ников скольжения. — В кн.: Развитие гидродинамической теории смазки под-
шипников быстроходных машин. М., 1962, с. 174—206.
202
20.	Инерциальная навигация. Анализ и проектирование. Под ред О'Дон-
нела. М., «Наука», 1969, 592 с.
21.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормирован-
ных пространствах. М., Физматгиз, 1959. 684 с.
22.	Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.
М.—Л., Физматгиз, 1962. 708 с.
23.	Ковалев М. П. Опоры и подвесы гидроскопических приборов. М., «Ма-
шиностроение», 1970. 286 с.
24.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. М., «Наука», 1972. 496 с.
25.	Константинеску В. Н. Газовая смазка. (Пер. с румынского). М., «Машино-
строение», 1968. 718 с.
26.	Котляр Я. М. Течение вязкого газа в зазоре между двумя коаксиаль-
ными цилиндрами. — «Изв. АН СССР. Отд-ние, техн, наук», 1957, № 10,
с. 12—18.
27.	Котляр Я. М. К теории воздушных подвесов сферического типа. — «Изв.
АН СССР. Отд-ние техн наук. Механика и машиностроение», 1959, № 6, с. 21—26.
28.	Котляр Я. М. Асимптотические решения уравнения Рейнольдса. —
«Механика жидкости и газа», 1967, № 1, с. 161 —165.
29.	Кузовков И. Т. Теория автоматического регулирования, основанная на
частотных методах. М., Оборонгиз, 1960. 446 с.
30.	Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.
480 с.
31.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1973. 848 с.
32.	Лойцянский Л. Г., Степанянц Л. Г. Гидродинамическая теория сфери-
ческого подвеса. — «Труды ЛПИ», 1958, № 198, с. 89—98.
33.	Лохматое А. А. Расчет радиального газодинамического подшипника. —
«Машиностроение», 1971, № 4, с. 82—84.
,	34. Лохматое А. А. Некоторые вопросы внедрения газовой смазки опор турбо-
машин.— «Вестник машиностроения», 1972, № 11, с. 7—10.
35.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. сочине-
ний. Т. 2. М.—Л., АН СССР, 1956, с. 7—263.
36.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., «Наука», 1966. 530 с.
37.	Материалы опор с газовой смазкой. (Сер. C-IX. Новые материалы в ма-
шиностроении). М., НИИмаш, 1972. 116 с.
38.	Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.,
«Наука», 1969. 379 с.
39.	Пинегин С. В. Развитие и внедрение опор с газовой смазкой — важное
направление технического/Прогресса. — «Вестник машиностроения», 1970, № 19,
с. 3—8.
40.	Пинегин С. В., Коровчинский М. В., Жедь В. П. Международный сим-
позиум по газовой смазке. (Отчет о научной командировке в США). М., Институт
машиноведения, 1968. 132 с.
41.	Подшипники с газовой смазкой. Под ред. Грэссема и ПауэлЛа. (Пер.
с англ.) М., «Мир», 1966. 424 с.
42.	Полецкий А. Т. К интегрированию дефференциальных уравнений не-
установившегося течения тонкого вязкого слоя.— «Изв. АН СССР. Отд-ние техн,
наук. Механика и машиностроение», 1961, № 4, с. 33—37.
43.	Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969. 384 с.
44.	Поспелов Г. А. Устойчивость и критические скорости роторов в подшип-
никах скольжения. — «Труды КХТИ», 1971, вып. 49, с. 3—12.
45.	Проблемы развития газовой смазки. Доклады на Всесоюзном координа-
ционном совещании. М., «Наука», 1972, ч. 1, 300 с; ч. 2, 303 с.
46.	Проблемы трения и смазки. (Пер. с англ.) — «Труды Американского
общества инженеров-механиков. Сер. У7», 1968, т. 90; 1969, т. 91; 1970, т. 92;
1972, т. 94; 1973, т. 95; 1974, т. 96; 1975, т. 97.
47.	Рабинович Е. Б., Снопов А. И. Вибрирование пластины над слоем вяз-
кого теплопроводного газа. — «Машиноведение», 1970, № 3, с. 75—82.
203
48.	Розенвассер Ё. Н. Колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1969.
576 с.
49.	Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука»,
1971. 552 с.
50.	Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостех-
издат, 1955. 520 с.
51.	Степанянц Л. Г. Некоторые методы газодинамической теории смазки. —
«Труды Л ПИ», 1967, № 280, с. 27—43.
52.	Стернлихт Б. Газовые цилиндрические подшипники скольжения конеч-
ной длины. (Пер. с англ.) — «Прикладная механика», 1961, т. 28, № 4, с. 62—70.
53.	Техническая механика. (Пер. с англ.)— «Труды Американского общества
инженеров-механиков. Сер. Д»., «Мир», 1961, т. 83; 1962, т. 84; 1963, т. 85; 1958,
т. 80.
54.	Теоретические основы инженерных расчетов. (Пер. с англ). — «Труды
Американского общества инженеров-механиков. Серия Д», 1964, т. 86; 1965,
т. 87; 1967, т. 89.
55.	Тейлор, Сэффмен. Влияние сжимаемости при малых числах Рейноль-
дса. — «Механика», 1958, № 2 (48),с. 29—45.
56.	Уитли С., Уильямс Л. Упорный подшипник с газовой смазкой, снабжен-
ный спиральными канавками. — «Экспресс-информация. Сер. Детали машин»,
1962, № 2, с. 10—12, с. 15—24.
57.	Шейнберг С. А. Газовая смазка подшипников скольжения (теория и рас-
счет). — «Трение и износ в машинах», 1953, вып. 8, с. 107—204.
58.	Шейнберг С. А., Жедь В. П., Шишеев М. Д. Опоры скольжения с газовой
смазкой. М., «Машиностроение», 1969. 336 с.
59.	Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука»,
1965. 220 с.
60.	Burgdorfer A. The influence of the molecular mean free path on the per-
formance of hydrodynamic gas-lubricated bearings. — «Trans. ASME», ser. D,
1959, vol. 81, N 1, p. 94—100.
61.	Burwell J. T. The calculated performance of dynamically loaded sleeve
bearings. — «Trans. ASME», 1951, vol. 73, p. 393—404.
62.	Castelli V., McCabe J. T. Transient dynamics of a tilting pad gas-bearing
system. —«Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1967, vol. 89,
N 4, p. 499—509.
63.	Cons tan tinescu V. N. Teoria lubrificatesei in regim turbulent. Bucuresti,
Akademiei RPR, 1965, 343 p.
64.	Constantinescu V. N., Hsing F. C. A qualitative study of gas bearings ope-
rating at high subsonic and supersonic speeds. — «Journal of Applied Mechanics
(Trans. ASME, ser. E)», 1971, vol. 37, N. 4, p. 803—812.
65.	Elrod H. G., McCabe J. T., Chu T. Y. Determination of gas-bearing sta-
bility by response to a step-jump. — «Journal of Lubrication Technology (Trans.
ASME, ser. F)», 1967, vol. 89, N 4, p. 493—498.
66.	Eshel A. Transient analysis of a planar hybrid foil bearing model. — «Jour-
nal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1974, vol. 96, N 3, p. 432—
435
67.	Gross W. A. Gas film lubrication. N. Y.—L., Wiley and sons, 1962, 413 p.
68.	Gupta P. K., Coleman R. L., Pan С. H. T. Ambient edge correction for
the locally insompressible narrow-groove theory. — «Journal of Lubrication Tech-
nology (Trans. ASME,..ser. F)», 1974, vol. 96, N 2, p. 284—290.
69.	Hoffman M. Ober Theorie und Anwendung von Aerelangern. — «Indu-
strie-Anzeiger», 1967, N 52, p. 18—22.
70.	Langlois W. E. Isothermal sgueeze films. — «Quarterly of Applied Ma-
tematics», 1962, vol. 20, N 2, p. 131—150.
71.	Licht L., Branger M., Anderson W. J. Gas-lubricated foil bearinge for
high speed turboalternator—construction and performance. — «Journal of Lubri-
cation Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1974, vol. 96, N 2, p. 215—222.
72.	Marsh H. The stability of aerodynamic gas bearings. — «Mechanical Engi-
neering Science Monograph». N 2. Institute of Mecanical Engineering, Westminster,
1965. 44 p.
204
*73. Muijderman Ё. A. Spiral groove bearings. — «Philips Research Reports»,
Supplements N 2, 1964, 196 p.
74.	Pan С. H. T. Spectral analyses of gas bearing system for stability studies. —
«Dynamics and Fluid Mechanics», vol. 3, p. 2 of «Developments of Mechanics»,
N. Y~, Wiley, 1965, p. 431—447.
75.	Pan С. H. T. On asympototic analysis of gaseuos sgueeze lilm bearing. —
«Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1967, vol. 89, N 3,
p. 245—253.
76.	Pinkus 0., Sternlicht B. Theory of hydrodynamic lubrication. N. Y. —
Toronto—L., «McGrow-Hill Book Company», 1961. 465 p.
77.	Sagot J., Godet J. M. Computation of load capacity and torques for hyd-
rodynamic grooved spherical bearings. — «The Gas Bearing Symposium Proceedings»,
University of Southampton, 1969, vol. 1, paper N 16, 25 p.
78.	Tang I. C. The design and analyses of rectangular gas slider bearings. —
«Wear», 1971, vol. 20, N 1, p. 59—65.
79.	Proceedings of the 6 th International Gas Bearing Symposium. Southam-
pton, «Cranfield», 1974, Paper Cl, 12 p; Paper El, 26.; paper El, 14 p.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов ...................................................... 3
Предисловие.......................................................   7
Условные обозначения ............................................... 8
Глава I. Состояние теории и практики применения газодинамичес-
ких подшипников.................................................... 11
1.	Типы газодинамических подшипников и их применение в современ-
ной технике .................................................... —
2.	Современное состояние теоретических исследований и методов
расчета газодинамических опор.................................. 22
3.	Основные этапы решения задачи устойчивости газодинамических
подшипников ................................................... 36
Глава II. Уравнения динамики ротора в подшипниках скольжения
с газовой смазкой................................................  39
4.	Уравнения динамики машин	со свободным ротором............... —
5.	Уравнения движения двухопорной машины с учетом угловых
перемещений статора............................................ 43
6.	Линеаризация уравнений движения машины методом малых воз-
мущений ....................................................... 46
7.	Основные понятия устойчивости и виброустойчивости машин на
подшипниках с газовой смазкой.................................. 52
8.	К вопросу о влиянии перекрестных связей на устойчивость ро-
тора в газодинамических подшипниках............................ 57
Глава III. Уравнения газовой смазки подшипников скольжения
и краевые задачи................................................... 62
9.	Основные предпосылки к постановке краевых задач для газодина-
мических подшипников скольжения 4.............................. —
10.	Основное уравнение газовой смазки в сферических координатах .	69
11.	Основные типы граничных условий к уравнению Рейнольдса
и способы постановки краевых задач для сферического подшипника 73
12.	Краевые задачи газовой смазки для цилиндрического, плоского,
кругового конического подшипников.............................. 78
13.	Аналитическое представление толщины смазочного слоя при уг-
ловых рассогласованиях осей шипа и подшипника.................. 81
14.	К вопросу о выборе метода решения краевых задач газовой
смазки......................................................... 84
Глава IV. Стационарные решения линеаризованной задачи газовой
смазки для некоторых типов опор................................... 88
15.	Решение стационарной задачи для гладкого цилиндрического
подшипника .................................................... 89
16.	Статическая реакция цилиндрического подшипника с гладкой
втулкой........................................................ 92
206
17.	Решение краевой задачи статики для цилиндрического под-
шипника с шевронными канавками, имеющими синусоидальный
профиль ........................................................ 94
18.	Качественное исследование упорного подшипника с шевронными
канавками ...................................................... 98
19.	Влияние шевронных канавок на жесткость радиального подшип-
ника .......................................................... 106
20.	Асимптотическое решение краевой задачи статики для подшип-
ника с шевронными канавками произвольного профиля.............. 109
Глава V. Некоторые задачи динамики машин с подшипниками сколь-
жения на газовой смазке........................................... 115
21.	Динамическая реакция радиального подшипника при малых по-
ступательных колебаниях в окрестности центрального положе-
ния равновесия................................................. 116
22.	Динамическая реакция радиального подшипника на угловые
перемещения вала .............................................. 120
23.	Исследование поступательных колебаний ротора в газодинами-
ческих подшипниках в первом приближении........................ 124
24.	Исследование угловых колебаний ротора в газодинамических
подшипниках.................................................... 129
25.	Влияние на устойчивость податливости крепления машины (гиро-
скопа) ........................................................ 131
26.	Уточнение динамических характеристик методом гармонического
баланса ....................................................... 133
27.	Влияние упорных подшипников на запас устойчивости ротора
катушечного типа по	отношению к коническим колебаниям . .	141
Глава VI. Примеры расчета и некоторые результаты эксперименталь-
ного исследования гладких и профилированных подшип-
ников ............................................................. 146
28. Вычисление вихревой жесткости цилиндрического подшипника
с шевронными канавками........................................
29. Вычисление вихревой жесткости простого цилиндрического под-
шипника при постоянном эксцентриситете..................... 150
30.	Вихревая жесткость цилиндрических подшипников с синусоидаль-
ным профилем .................................................. 159
31.	Исследование устойчивости равновесного режима вращения
ротора гироскопа в кардановом подвесе ......................... 162
32.	Вычисление моментов сил трения ............................ 166
33.	Примеры расчета радиальных газодинамических подшипников
с учетом требований к запасу устойчивости...................... 169
34.	Расчет торцевых (упорных) газодинамических подшипников с шев-
ронными канавками.............................................  178
35.	Некоторые результаты экспериментальных исследований газо-
динамических подшипников....................................... 183
36.	Некоторые перспективы дальнейшего развития исследований
в области газодинамических подшипников ........................ 193
Приложение 1 ...................................................... 198
Приложение 2 ........................................................ —
Приложение 3 ...................................................... 199
Приложение 4 ........................................................ —
Список литературы......................................х........... 202
Владислав Николаевич ДРОЗДОВИЧ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОДШИПНИКИ
Редактор издательства Н. А. Жукова
Переплет художника С. С. В енедиктова
Технический редактор Л. В. Щетинина
Корректоры Т. Н. Г ринчук и 3. С. Ро-
манова
Ленинградское отделение издательства
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержин
ского, 10
Сдано в производство 19/V 1976 г.
Подписано к печати 29/IX 1976 г.
М-23215. Формат бумаги 60х90х/1в
Бумага типографская № 3. Печ. л. 13,0
Уч.-изд. л. 13,3. Тираж 8000 экз. Зак. 1004
Цена 83 коп.
Ленинградская типография № 6
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
193144, Ленинград, С-144,
ул. Моисеенко, 10