СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ
МАТЕМАТИКА
.Л.Табачников
МНОГОЧЛЕНЫ
Библиотека
СТУПЕНИ ЗНАНИЙ	серия
______________ МАТЕМАТИКА
С. Л. Табачников
МНОГОЧЛЕНЫ
Издание второе,
пересмотренное
ФАЗИС
Москва, 2000
УДК 512.1
ББК 22.141
Издание поддержано фондом
«КНИГА-НАУКА-КУЛЬТУРА»
Табачников С. Л.
Многочлены. Изд. 2-е, пересмотр.
- М.: ФАЗИС, 2000. - 200 с.
(Библиотека «Ступени знаний», серия «Математика»)
ISBN 5-7036-0058-8
Настоящее издание подготовлено при участии
Открытого лицея «Всероссийская заочная многопредметная школа»
при МГУ им. М. В. Ломоносова
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.1996)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44
E-mail: phasis@aha.ru
ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
Заказ № 1569
ISBN 5-7036-0058-8
© ФАЗИС, 2000
Оглавление
1.	Что такое многочлен	5
2.	Системы счисления	10
3.	Вычислим значение многочлена	16
4.	Многочлены четные и нечетные	20
5.	Умеете ли Вы умножать многочлены?	24
6.	Умеете ли Вы делить многочлены?	30
7.	Рациональные функции	34
8.	Ряды	40
9.	Алгоритм Евклида	47
10.	Теорема Безу	53
11.	Графики много членов	5 7
12.	Многочлены Чебышева	66
13.	Графики рациональных функций	77
14.	Многочлены с целыми коэффициентами	87
15.	Арифметика остатков	91
3
16.	Угадаем корень	96
17.	Числа целые, рациональные и иррациональные	100
18.	Разложение многочленов на множители	106
19.	Формулы Виета	111
20.	Квадратный трехчлен	115
21.	Метод наименьших квадратов	121
22.	Порешаем уравнения	126
23.	Симметрические многочлены	131
24.	Неравенство о средних	138
25.	Докажем тождество	148
26.	Интерполяция	152
27.	Найдем разность	161
28.	Бином Ньютона	171
29.	Кубический трехчлен	179
30.	Решение кубического уравнения	187
31.	Комплексные числа	195
4
1.	Что такое многочлен
Вам, наверное, приходилось видеть, как показывают арифме-
тические фокусы. Например, ведущий предлагает Вам заду-
мать число, уменьшить его на единицу, возвести полученное
число в квадрат и отнять от результата квадрат задуман-
ного числа. Сделали? Теперь увеличьте задуманное число на
единицу, возведите полученное число в квадрат и опять от-
нимите от результата квадрат задуманного числа. Теперь у
Вас получилось два числа, и ведущий берется угадать, чему
равна их сумма. Эта сумма равна двум независимо от того,
какое число Вы задумали вначале.
Самое интересное в фокусах — это в чем состоит их сек-
рет. Давайте разберем наш арифметический фокус. Обозна-
чим задуманное число через х. Вычисление, в результате ко-
торого мы нашли первое число, схематически можно изобра-
зить так:
х х — 1 (ж — I)2 (х — I)2 — х2.
Аналогично, второе число равно результату такой последо-
вательности действий:
х i-> х 4- 1 (х 4-1)2 »-> (ж + 1)2- х2.
Сумма двух получившихся чисел равна (х — I)2—ж24-(^4-1)2 —
—х2. Чтобы убедиться, что это число всегда равно 2, восполь-
зуемся равенствами:
(х — I)2 = х2 — 2х 4-1;
(х 4-1)2 = х2 4- 2х 4- 1.
5
Сумма приобретает теперь вид:
х2 - 2х + 1 - х2 + х2 + 2х + 1 - х2 = 1 + 1 = 2.
Мы убедились, что сумма действительно равна 2.
Какое отношение имеет все это к многочленам? Выпол-
няя указания ведущего, т. е. уменьшая задуманное число на
единицу, возводя полученное число в квадрат, складывая по-
лученные числа и т. д., мы вычисляли значение многочлена
(х — I)2 — х2 + (х 4-1)2 — х2. То, что этот многочлен оказался
равным 2, и позволило ведущему показать фокус.
Что такое многочлен? Многочлен — это выражение, ко-
торое можно получить из чисел и букв с помощью опера-
ций сложения, вычитания и умножения. Вот несколько при-
меров многочленов: 1 4- х, у2 — Зу 4-7; 3(t 4-1)3; а3 4- 2Ь3 — abc\
х5 — 4я:3 4- 2х2 4-1 и т. д. Многочлены, в которых участву-
ет только одна буква, называются многочленами от одной
переменной. По традиции для этой цели выбирают латин-
скую букву х (хотя любая другая буква тоже подошла бы).
Многочлены от одной переменной обозначают так же, как
функции: /(я:), у(я:), Р(х), Q(x) и т. д. Это не случайно: ведь
многочлены составляют очень важный класс функций.
Самый простой многочлен имеет вид ахп, где а — не-
которое число, не равное нулю, п — неотрицательное целое
число. Такой многочлен называется одночленом (другое на-
звание — моном), число п — его степенью, число а — его
коэффициентом. Например, х2, —Зя:2, 2х2 — одночлены вто-
рой степени. Любое число можно считать одночленом нуле-
вой степени. Например, 1 = 1- я:0, —2 = (—2) • я:0 и т. д. Од-
ночлены одинаковой степени называются подобными. Сум-
му и разность подобных одночленов можно упростить так:
—7х2 4- 13я:2 = бя:2. Такое сложение называется приведением
подобных членов.
Один и тот же многочлен можно записать многими спосо-
бами. Например: (я:4-1)(я:4-2), х24-х4-2х4-2 и я:24-Зя:4-2 — это
б
разные формы записи одного и того же многочлена. Стан-
дартной формой многочлена называется такая его запись,
которая получается, если раскрыть все скобки, привести по-
добные члены и расположить одночлены в порядке убывания
степеней. Так, z2 4-За? 4-2 — стандартная форма многочленов
(х 4- 1)(ж 4- 2) и х2 4- х 4- 2х 4- 2.
Степень многочлена — это наибольшая из степеней
мономов (одночленов), из которых состоит стандартная
форма многочлена. Например, х3 — 2х2 4-1 — много-
член третьей степени. Чтобы найти степень многочлена
(х 4- 1)(ж — 4) — (х 4- 2) (х — 3), нужно раскрыть скобки:
(х 4- 1)(ж - 4) - (х 4- 2)(ж - 3) =
= (х2 4- х — 4z — 4) — (х2 4- 2х — Зх — 6) = — 2х 4- 2.
Теперь видно, что это многочлен первой степени (а не вто-
рой, как можно было подумать вначале!).
Многочлены нулевой степени — это просто числа. Мно-
гочлены первой степени, или линейные многочлены, имеют
вид ах 4- Ь, где а и b — некоторые числа (причем а 0. Поче-
му?). Многочлены второй степени называются квадратными
трехчленами. Вот их стандартный вид: ах2 4- Ьх 4- с (а, b и
с — некоторые числа; а 0). Здесь три слагаемых, поэто-
му квадратный многочлен и называется трехчленом. Много-
члены третьей степени тоже имеют специальное название —
они называются кубическими. Стандартный вид кубического
многочлена таков: ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d, а ф 0.
Аналогично можно записать и многочлен любой сте-
пени п\
аохп 4- aiх71”1 4- а2Хп~2 Н-h ап-зх2 4- an-ix + ап\ ао 0.
Числа ао, «1, ... , an_i, ап называются коэффициентами мно-
гочлена. Обратите внимание на то, что чем меньше номер
7
коэффициента, тем больше степень переменной х, при кото-
рой стоит этот коэффициент, а сумма номера коэффициента
и показателя степени переменной в каждом мономе одна и та
же и равна степени многочлена п. Последний коэффициент ап
называется свободным членом многочлена.
Если вместо переменной х в многочлен f(x) подставить
число а, то получится число, которое называется значением
многочлена при х = а. Например, если /(х) = Зя2 — 4, то
/(1) = 3 • I2 - 4 = -1; /(0) = 3 • О2 - 4 = —4 и т. д.
Значение любого многочлена при х = 0 равно его свобод-
ному члену, см. задачу 1.2.
Корнем многочлена /(х) называется такое число а, что
/(а) = 0. Например, многочлен х + 5 имеет корень х = —5;
многочлен х2 — х имеет два корня: 0 и 1. Некоторые много-
члены совсем не имеют корней. Например, если f(x) = х2 +1,
то /(а) > 0 для любого значения а; поэтому f(a) не может
равняться нулю.
Задачи
1.1.	Является ли число а корнем многочлена f(x)-
a)	a = 2/5, /(ж) = Юж3 + 6х2 + х — 2;
б)	a = 2/3, f(x) = 6х3 — х2 4- х 4- 2?
1.2.	Докажите, что свободный член многочлена f(x) равен
/(0).
1.3.	Найдите свободный член многочлена:
а) х4 — 2х2 4- Зх; б) (х 4- I)50.
1.4.	Найдите степень многочлена:
а) (х — I)2 — х24- (ж4-1)2 — (х4-2)2; б) х(х + 1)(х4-2).
1.5. Может ли сумма двух многочленов 100-й степени быть
многочленом степени:
а) 101; б) 100; в) 99?
8
1.6.	Найдите степень суммы многочленов 100-й и 99-й сте-
пени.
1.7.	Найдите корни многочленов:
а)	(х — 2)(z + 3) — (х — l)(z + 4);
б)	х(х - 3) - (х - 5)(а? + 2);
в)	х(х — 10) — (х + l)(z — 2) — 2.
1.8.	Не раскрывая скобки, найдите все корни многочлена
(х - 2)(я - 1)(я + 1)(я + 2).
1.9.	Известно, что х = 1 — корень многочлена
(х4 + 1)(я + 2) - (х + а)(х2 + 1).
Найдите а.
1.10.	Докажите, что сумма коэффициентов многочлена f(x)
равна /(1).
1.11.	Найдите сумму коэффициентов многочленов:
а) (х 4-1)50; б) х(х — l)(z — 2)(z — 3)(z — 4).
1.12.	Суммы коэффициентов многочленов /(ж) и д(х) равны
а и Ь соответственно. Чему равна сумма коэффициен-
тов произведения f(x)g(x)?
9
2.	Системы счисления
Задумывались ли Вы о том, каким образом можно записать
любое число с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9? Значение каждой цифры в привычной нам записи чи-
сел зависит от места (позиции), на котором она стоит. При
перемещении цифры на один разряд влево ее значение уве-
личивается в 10 раз. Поэтому наша система записи чисел на-
зывается десятичной позиционной системой.
Например, 537 = 5-100+3-10+7-1 или 5-1024-3-1014-7-10°;
1090 = 1 • 1000 4- 9 • 10 или 1 • 103 4- 0 • 102 4- 9 • 101 4- 0 • 10° и т. д.
Аналогично,
Число aoai...an, записанное цифрами ai, ... , ап,
равно
clq • 10п 4“ cli • 10п 1 4~ • • • 4~	• 10 4~ ап
(черта над записью пишется для того, чтобы отличить эту
запись от произведения).
Мы видим, что десятичная запись чисел связана с мно-
гочленами: число ао<21.. .ап равно значению многочлена
/(ж) = а$хп 4- а\хп~1 4--F ап-\х 4- ап при х = 10. Это свой-
ство десятичной записи можно использовать при решении
следующих задач.
•	Двузначные числа получены одно из другого перестанов-
кой цифр, а разность этих двузначных чисел равна сумме
цифр одного из них. Найдите эти числа.
Обозначим первое число через ab; тогда второе число рав-
но Ьа. В соответствии со свойством десятичной системы
10
счисления, приведенным выше, ab = 10а + b и Ьа — 106 + а.
По условию, ab — Ьа = а + Ъ. Значит, 10а + Ъ — 106 — а = а + Ъ.
Следовательно, 8а = 106 или 4а = 56.
Теперь нужно немного порассуждать. Из формулы
4а = 56 следует, что а делится на 5. Но единственная цифра,
которая делится на 5, это 5 (а 0). Значит, а = 5 и 6 = 4.
о Ответ: 45 и 54.
•	Докажите признак делимости на 9: число делится на 9
тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Мы докажем признак делимости на 9 для четырехзначного
числа; для других чисел доказательство аналогично. Итак,
пусть abed — четырехзначное число. Тогда это число равно
1000а +1006+ 10с+d, aero сумма цифр равна а + 6+с+d. Раз-
ность числа и суммы его цифр равна (1000а+1006+ Юс+d) —
— (а + 6 + с + с?) = 999а + 996 + 9с = 9(111а + 116 + с). Мы
видим, что разность числа и суммы его цифр всегда делится
на 9. Поэтому, если число делится на 9, то и его сумма цифр
делится на 9. Наоборот, если сумма цифр делится на 9, то
само число делится на 9.
о Что и требовалось доказать.
Давайте теперь обсудим, какие еще бывают системы
счисления. Число 10, лежащее в основании нашей системы
счисления, можно заменить на любое другое натуральное
число, большее единицы, например, на число 2. Система
счисления, которая получится в результате замены 10 на 2,
называется двоичной. В этой системе счисления всего две
цифры: 0 и 1. Так же, как в десятичной системе счисления,
Число agai... an, записанное в двоичной системе счис-
ления цифрами ao, ai, ... , ап (каждая из которых равна
0 или 1), равно
ag • 2п + ai • 2П 1 + а2 • 2П 2 + • ♦ • + an_i • 2 + ап.
11
Например,
10 = 1-2 = 2;
Tol = 1 • 22 + 1 • 2° = 4 + 1 = 5;
Ш1 = 1 • 23 + 1 • 22 + 1 • 21 + 1 • 2° = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 и т. д.
А как решить обратную задачу: записать в двоичной сис-
теме какое-либо число? Для этого нужно представить число
в виде
qq • 2П +	• 2п 1 + • • • + On—1 • 2 + ап,
где все цифры ao,oi,... ,ап равны 0 или 1. Например, вот
представление в таком виде первых восьми натуральных
чисел:
1	= 1-2°;
2	=	1	• 21 +	0	• 2°;
3	=	1	• 21 +	1	• 2°;
4	=	1	• 22 +	0	• 21 + 0	• 2°;
5	=	1	• 22 +	0	• 21 + 1	• 2°;
6	=	1	• 22 +	1	• 21 + 0	 2°;
7	=	1	 22 +	1	• 21 + 1	• 2°;
8	=	1	• 23 +	0	• 22 + 0	• 21 + 0 • 2°.
Соответственно, у первых восьми натуральных чисел бу-
дет такая двоичная запись: 1 = 1; 2 = 10; 3 = 11; 4 = 100;
5 = ТбТ; 6 = 110; 7 - ТТТ; 8 = 1000.
Разберем теперь пример посложнее. Найдем двоичную за-
пись числа 41. Для этого нам нужно представить 41 в виде
суммы степеней двойки. Вот первые десять степеней:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
12
Среди тех из них, которые меньше 41, наибольшее число —
это 32 = 25. Итак, 41 = 32 + • • •. Чтобы узнать, что сто-
ит на месте многоточия, отнимем 32 от 41: 41 — 32 = 9.
Теперь мы представляем 9 в виде суммы степеней двойки:
9 = 8 + 1 = 23 +2°. Окончательно получаем такую запись:
41 = 1 • 25 + 0 • 24 + 1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 21 + 1 • 2°
или 41 = 101001. Обратите внимание на то, что если какая-
либо степень двойки не входит в разложение, то на соответ-
ствующем месте в двоичной записи появится ноль.
Вместо чисел 10 или 2 в основу позиционной системы
счисления можно положить произвольное натуральное чис-
ло q > 1. В q-ичной системе счисления используется q цифр:
0, 1, 2, ...,(9-2), (9-1).
Предпочтение, которое мы отдаем числу 10, исторически
объясняется тем, что у человека на руках 10 пальцев. В
прошлом были распространены и другие g-ичные системы
счисления. Следы двенадцатиричной системы можно обна-
ружить в нашем языке и в обычаях: мы считаем яйца на
дюжины и пользуемся сервизами на 12 персон. В английском
языке названия числительных 11 и 12 образованы иначе,
чем названия остальных числительных от 13 до 19, как если
бы 11 и 12 были отдельными цифрами. Шестидесятиричная
система счисления (т. е. система с q = 60) была распростра-
нена в Древнем Вавилоне. Ее следы можно заметить в нашей
системе мер: например, минута делится на 60 секунд, а
час — на 60 минут. Другой пример — измерение углов, при
котором полный угол делится на 360 градусов. В наше время
довольно широко используются двоичная, восьмеричная и
шестнадцатиричная системы счисления — они удобны для
представления чисел в ЭВМ.
13
Задачи
2.1.	Мой семизначный номер телефона легко запомнить:
его первые три цифры одинаковые; последние четы-
ре цифры тоже одинаковые; при этом сумма всех семи
цифр равна двузначному числу, составленному из пер-
вой и последней цифры номера моего телефона. Какой
же это номер?
2.2.	Найдите все трехзначные числа, которые в 13 раз боль-
ше своей суммы цифр.
2.3.	Рассмотрим последовательность чисел, в которой пер-
вое число равно З100, а каждое следующее равно сумме
цифр предыдущего числа. Чему равно десятое число в
этой последовательности?
2.4.	Докажите признак делимости на 11: число делится на
11 тогда и только тогда, когда разность суммы его
цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, сто-
ящих на нечетных местах, делится нацело на 11.
2.5.	Объясните следующий арифметический фокус. Веду-
щий предлагает зрителю задумать трехзначное число
и приписать к нему это же число еще раз. Полученное
шестизначное число нужно разделить на 7, результат
этого деления — на 11, а частное при делении на 11
надо разделить еще на 13. В результате всегда получа-
ется задуманное трехзначное число.
2.6.	Знаете ли Вы, что 123456789 • 8 = 987654312? Проверь-
те это. Попробуйте придумать и доказать аналогичное
равенство в произвольной g-ичной системе счисления.
2.7.	Проверьте, что 123456789 -9 = 1111111101. Попробуйте
придумать и доказать аналогичное равенство в произ-
вольной g-ичной системе счисления.
2.8.	Запишите число 50 во всех системах счислениях от дво-
ичной до девятеричной включительно.
14
2.9.	Придумайте признак делимости для числа ao^i... ап,
записанного в g-ичной системе счисления:
а) на <?; б) на q2.
2.10.	В какой системе счисления 10 + 10 + 10 = 100?
2.11.	В основание системы счисления можно положить и от-
рицательное число q. Это упражнение посвящено зна-
комству с системой счисления по основанию (—2). В
этой системе счисления две цифры: 0 и 1. Число, запи-
санное в виде аоа1 • • • равно сумме
ао ’ (—2)n + аг • (-2)п 1 + • • • + ап-1 * (—2) + ап.
Например, 10 = -2; ТТ = -2 + 1 = -1; 100 = 4; ПО = 2
и т. д.
а)	Чему равны числа, записанные в системе счисления
по основанию (—2) как 111, 1010 и 11111?
б)	Запишите числа 5, —8 и 8 в системе счисления по
основанию (—2).
15
3.	Вычислим значение многочлена
Учитель предложил задачу: вычислить значение многочлена
х2 + 15х + 12 при х = 37 и вызвал к доске двух учеников. Вот
записи, которые появились на доске:
х2 = 37 • 37 = 1369		X + 15 = 37 + 15 = 52
15® = 15 • 37 = 555		(х + 15)я = 52 • 37 = 1924
х2 + 15® = 1369 + 555 = 1924 х2 + 15® + 12 = 1924 + 12 = 1936 37	37	1369 37	15	555 259	185	1924 111	37 1369	555		(х + 15)я + 12 = 1924 + 12 = 1936 52 37 364 156 1924
Первый ученик
Второй ученик
Посмотрите внимательно на эти записи. Как Вы думаете,
кто первым справился с задачей? Наверное, второй: ведь ему
пришлось считать значительно меньше. Давайте сравним:
первый дважды умножал двузначные числа: 37 • 37 и 37 • 15,
да еще потом пришлось складывать в столбик полученные
3- и 4-значные числа.
Второй умножал двузначные числа только один раз:
37 • 52, а затем прибавил 12 к результату «в уме». Ясно, что
второй способ вычисления лучше.
В общем виде этот способ выглядит так. Данный квад-
ратный трехчлен записывается в таком виде:
ax2 + Ьх + с = (ах + Ь)х 4- с.
16
Вычисление его значения теперь происходит по правилу:
Вычисляем произведение ах и прибавляем к нему b —
при этом получается ах + 5; умножаем результат на х и
прибавляем к нему с — при этом получается (ах+Ь)х+с.
Этот способ вычисления значения многочлена называется
схемой Горнера. Разберем еще один пример.
•	Вычислить значение многочлена /(а:) = 2х3 —27х2 + 141х —
— 256 при х = 16.
Если начать вычисление «по-простому», то сразу возника-
ет неприятная необходимость вычислять 163. А потом еще
нужно вычислять 162 • 27, и все это складывать и вычитать.
Поэтому воспользуемся схемой Горнера. Для этого запишем:
2я3 - 27а?2 + 141а; - 256 = ((2а; - 27)я + 141)т - 256.
Теперь вычисляем (пока устно):
2х - 27 = 32 - 27 = 5,
5х = 5 • 16 = 80,
80 + 141 = 221.
Далее нужно умножить 221 на а;, т.е. вычислить 221а;. Это
вычисление производим «в столбик»:
221
16
1326
221
3536
Остается произвести последнее действие: 3536 — 256 = 3280.
о Ответ: /(16) = 3280.
Чтобы оценить, насколько удачен наш способ вычисле-
ния, попробуйте, для сравнения, найти значение /(а;) при
17
х = 16 обычным способом, т.е. сначала вычисляя ж3, 27х2,
141х, а затем складывая и вычитая числа. Сформулируем об-
щее правило:
Для вычисления значения многочлена
/(х) = а$хп + а\хп~х + а2Хп~2 -|---h an-ix + ап
запишем его в виде
/(х) = (• • • (((аох + ai)x + а2)х + а3)х Н-h an-i)x + an;
вычисляем значение по схеме:
х щ$х + (а^х tti)x + а2 >“> . . .
Решим еще одну задачу на вычисление значения много-
членов. На этот раз мы будем вычислять значение совсем
простого многочлена — монома хп.
•	Вычислим значение х8 за возможно меньшее число умно-
жений.
Первое, что приходит в голову, — умножать х • х •... • х, и так
7 раз. А нельзя ли быстрее? Заметим, что х8 можно получить
из х4 всего за одно умножение: х8 = х4 • х4. Аналогично, х4
получается из х2 за одно умножение: х4 = х2 -х2. Наконец, х2
получается из х тоже за одно умножение. Итак, мы можем
найти х8 за три умножения:
/у» I V /у»^   ^р • <~р I V /у»^- —	* гр^ । V гр^ — /у»^- • /У*^ •
।	' г JU ““ JU JU ' г JU ““ JU JU •
это можно записать также в виде: х8 = ((а?2)2)2. За меньшее
я
число умножении наити х невозможно.
о Ответ', вычислить значение х8 можно не менее, чем за три
умножения.
Как видите, найти наиболее экономный способ вычисле-
ния значений многочлена совсем не просто. Приемы эконом-
ного (т.е. с небольшим количеством действий) вычисления
18
очень важны для расчетов на компьютерах. Компьютеры
выполняют огромное число операций, поэтому даже неболь-
шая экономия на каждой из них приводит к значительной
экономии времени.
Задачи
3.1.	Вычислите значение многочлена гг4 + (1/4)гг3 — (1/2)а?2 +
+ 1 при х = —3/4.
3.2.	Сколько операций сложения и умножения требует вы-
числение значения кубического многочлена по схеме
Горнера и «в лоб»?
3.3.	Придумайте экономный способ вычисления значения
многочлена:	а) + ах2 + Ь; б) х5 + ах3 + Ьх.
3.4.	За какое наименьшее число умножений можно найти:
а) а?16; б) а?7; в) я:13; г) я:15?
3.5.	Значение х2 можно вычислить за одно умножение. Вы-
числение х3 и х4 требует двух умножений. Перечислите
все одночлены хп, которые можно вычислить за:
а) три умножения; б) четыре умножения;
в) пять умножений.
3.6.	Докажите, что а?12 нельзя вычислить за три умноже-
ния. Укажите способ вычисления, использующий четы-
ре умножения.
3.7.	Предположим, что одночлены можно не только умно-
жать, но и делить друг на друга. Тогда а?3 можно вы-
числить за три операции следующим образом:
9	4	2	2	3	4
гр I I /р^   <р . /р । V	- /р" •	| - X	• т*
еЛу ’ f JU — JU JU ' г JU	JU JU ’T JU	JU • •
За сколько операций умножения и деления Вы сможете
вычислить а:15?
19
4.	Многочлены четные и нечетные
Перефразируя общее определение четной функции, скажем,
что многочлен /(х) называется четным, если он не меняется
при изменении знака переменной ж: f(-x) = /(ж).
Вот несколько примеров четных многочленов:
х2; —7х2 + 3; 2х6 - 5х4 + х2 - 1; я1000; 1.
Действительно, если, например, поменять знак переменной в
многочлене х2, то получится (—я)2 = (—х) • (~х) = х2.
Многочлен /(х) называется нечетным, если при измене-
нии знака переменной х меняется только знак многочлена:
/(-ж) = -/(ж).
Примеры нечетных многочленов:
х; х3; Зх5 - 2х; я1001.
Действительно, если поменяем знак, например, в многочлене
х3, то получим (—х)3 = (—I)3 • х3 = —х3.
Не следует думать, что каждый многочлен или чет-
ный, или нечетный: бывают такие многочлены, которые
не являются ни четными, ни нечетными. Пусть, например,
/(х) = х2 + х. Если поменять знак переменной, то получится:
/(—х) = (—ж)2 + (—х) = х2 — х. Этот многочлен не совпадает
ни с /(ж) = х2 + х, ни с —/(ж) = —х2 — х, так что х2 4- х не
является ни четным, ни нечетным.
Если внимательно посмотреть на примеры четных мно-
гочленов, то можно заметить, что все они состоят только из
одночленов четной степени. Конечно, каждый одночлен чет-
ной степени — это четный многочлен. Действительно, если
поменять знак переменной в одночлене а • х2п, то получится
20
a • (—x)2n = a • (—l)2n • x2n = a • x2n. Поэтому и сумма одно-
членов четных степеней будет четным многочленом. А нельзя
ли придумать такой четный многочлен, в который входил бы
хотя бы один моном нечетной степени? Попробуйте, прежде
чем читать дальше.
Вы, наверное, убедились, что придумать такой многочлен
не удается. А сейчас мы объясним, почему это так. Докажем
следующее утверждение:
Каждый четный многочлен — это сумма одночленов
только четных степеней.
Обозначим четный многочлен через f(x). Тогда, по опре-
делению /(—х) = f(x). Следовательно, можно записать:
/(х) = (/(-х) + /(Ж))/2.
Давайте сравним многочлены /(—х) и f(x). Если
ах2п — одночлен четной степени, который входит в
/(ж), то, как мы уже видели, а(—х)2п — ах2п. Поэтому
ах2п входит и в многочлен f(—x). Если же ах2п+1 —
одночлен нечетной степени, который входит в /(ж), то
а-(-x)2n+1 = а- (—l)2n+1 • x2n+1 = —a-x2n+1. Поэтому ax2n+1
входит в многочлен /(—я) со знаком минус.
Мы видим, что одночлены четной степени в многочленах
f(x) и /(—х) одинаковые, а одночлены нечетной степени —
противоположные. Значит, в сумме f(x) + f(—х) все одночле-
ны нечетной степени сократятся и останутся только одночле-
ны четной степени. Следовательно, f(x) = (/(—ж) 4- /(гг))/2
содержит только одночлены четной степени.
Теперь мы знаем, как устроены четные многочлены. Воз-
никает вопрос: как обстоит дело с нечетными? Аналогично,
как показывает следующее утверждение:
Каждый нечетный многочлен — это сумма одночленов
только нечетных степеней.
21
А как доказать, что какой-то многочлен не является ни
четным, ни нечетным? Для этого совсем не обязательно рас-
крывать скобки, приводить его к стандартному виду и смот-
реть, одночлены какой степени останутся. Гораздо проще
вычислить значения. Если f(x) — четный, то значения /(а)
и f(—a) равны; если f(x) — нечетный, то значения /(а) и
f(—a) противоположны. Следовательно, если /(—а)	±/(а),
то многочлен f(x) не может быть ни четным, ни нечетным.
Значит, для того, чтобы доказать, что многочлен
f(x) — ни четный, ни нечетный, нужно только удачно
подобрать значение а. Давайте сделаем это для многочлена
f(x) = (х2 + х - I)10.
Первое, что приходит в голову, — взять х = 1. Тогда
/(1) = (1 + 1 - I)10 = 1;
Л-1) = ((-1)2 -1 -1)10 = (-1)10 = I.
Значения совпали, так что выбор х = 1 оказался неудачным.
Попробуем взять х = 2:
/(2) = (22 + 2 - I)10 = (4 + 2 - I)10 = 510;
/(-2) = ((—2)2 - 2 - I)10 = (4 - 2 - I)10 = I10 = 1.
Вот теперь нам больше повезло: 510	±1. Поэтому мно-
гочлен (х2 + х — I)10 не является ни четным, ни нечетным.
К четным и нечетным многочленам мы еще вернемся, ко-
гда будем изучать графики многочленов.
Задачи
4.1.	Докажите, что если /(ж) — нечетный многочлен, то
/(0) = 0.
4.2.	Перечислите все четные и нечетные многочлены, сте-
пень которых не больше двух.
22
4.3.	Докажите утверждение о строении нечетных много-
членов, приведенное на странице 21.
4.4.	Докажите, что для любого многочлена f(x) многочле-
ны f(x) + /(—х) и f(x) • /(—х) являются четными, а
многочлен f(x) — f(—x) является нечетным.
4.5.	Какие из следующих многочленов:
а) четные, б) нечетные, в) ни те, ни другие?
(Вы должны доказать Ваши утверждения):
х3 - 2х + 1;	(z2 + l)3;
(х2 — Зх 4- 2)(ге2 4- Зх + 2); (х + I)10 — (х — I)10.
Указание: Не раскрывайте скобки!
4.6.	Докажите, что каждый многочлен равен сумме четно-
го и нечетного многочленов.
4.7.	Найдите отдельно сумму коэффициентов при четных
степенях и сумму коэффициентов при нечетных степе-
нях многочлена (х2 — х 4- I)10.
23
5.	Умеете ли Вы умножать многочлены?
Вычисление произведения двух, а тем более трех многочле-
нов — наверное, не самое любимое занятие большинства на-
ших читателей. Однако тем, кто хочет узнать математику,
умение вычислять необходимо. Кроме того, умножение мно-
гочленов порой приносит приятные неожиданности. Поэтому
приступим к делу.
•	Найти произведение (х — 4) (ге2 + Зге — 2).
Чтобы не запутаться, запишем условие в виде таблицы:
	X2	Зх	-2
ГЕ			
-4			
В верхней строчке записаны одночлены, из которых состоит
один сомножитель, а в левом столбце — одночлены, из кото-
рых состоит второй сомножитель. Теперь в каждой клетке
таблицы запишем произведение двух соответствующих од-
ночленов — из верхней строки и из левого столбца:
	X2	Зх	-2
ГЕ	X3	Зх2	-2х
— 4	—4х2	—12х	8
Получаем:
(х — 4) (ге2 + Зге — 2) = х3 + За;2 — 4ге2 — 2х — Ylx -I- 8.
Осталось привести подобные члены, две пары которых
мы подчеркнули.
о Ответ', (х — 4) (ге2 — Зге + 2) — х3 — ге2 — 14ге + 8.
24
На первый раз мы объяснили все так подробно, а в даль-
нейшем будем умножать быстрее. После небольшой трени-
ровки Вы тоже научитесь делать это быстро и без ошибок.
Разберем несколько примеров.
•	Пусть f(x) = 2х2 — 5^ + 6. Найти многочлен f(x + 1).
Прежде всего разъясним условие задачи: f(x+l) — это такой
многочлен, который получится из f(x), если переменную х
везде, где она встречается, заменить на (х + 1). Многочлен
f(x + 1) называется сдвигом многочлена f(x) на 1.
Итак,
f(x + 1) = 2(х + I)2 - 5(ж + 1) + 6.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, кото-
рую Вы изучали в школе:
(х + I)2 = х2 + 2х 4-1.
Тогда получим:
f(x + 1) = 2(х2 + 2х + 1) - 5(ж + 1) + 6 =
= 2х2 + 4ж + 2 — Ьх — 5 + 6 = 2х2 — х + 3.
о Ответ: f(x + 1) = 2х2 — х + 3.
•	Пусть f(x) = х2 — 2. Найти многочлен /(/(х)).
И здесь нужно сначала разъяснить условие: /(/(ж)) — это
такой многочлен, который получится из f(x), если перемен-
ную х везде, где она встречается, заменить на /(х). Итак,
/(/(х)) = (х2 — 2)2 — 2. Раскроем скобки, используя формулу
квадрата разности:
f(f(x)) = (х2 — 2)2 — 2 = х4 — 4я2 + 4 — 2 = х4 — 4я2 + 2.
о Ответ: х4 — 4х2 + 2.
25
•	Найти произведение (х — 1)(гг3 + х2 + х + 1).
Снова составим таблицу:
	X3	X2	X	1
X	х4	х3	X2	X
-1	-X3	—X2	—х	-1
Из таблицы видно, что все одночлены, кроме старшего члена
х4 и свободного члена (—1), сократятся. Поэтому
о Ответ: (х — 1)(гг3 4- х2 4- х 4- 1) = х4 — 1.
Нельзя ли обобщить полученный результат? Попробуем
•	Вычислить (х — 1)(гг4 4- х3 4- х2 4- х 4-1).
На этот раз получится такая таблица:
	X4	X3	X2	X	1
X	X5	X4	X3	X2	X
-1	—X4	_~3	—х2	—х	-1
Опять все одночлены, кроме первого и последнего, сократят-
ся. Значит,
о Ответ: (х — 1)(х4 4- х3 4- х2 4- х 4- 1) = хъ — 1.
Теперь, наверное, никто не сомневается в том, каким бу-
дет результат и в общем случае:
(х — 1)(ггп 4- £п-1 + хп~2 4- • • • 4- х2 4- х + 1) = хп+1 — 1. (1)
Еще одна красивая формула получится, если поменять
знаки:
(х + 1)(хп - X71-1 + хп~2---± 1) = xn+1 ± 1.	(2)
В этой формуле знаки 4- и — во втором сомножителе че-
редуются, а в ответе знак перед 1 такой же, как знак перед
1 во втором сомножителе.
26
Эти формулы и есть один из «сюрпризов», которые могут
встретиться при умножении многочленов — произведение
«длинных» сомножителей оказывается совсем «коротким».
Посмотрим внимательно на формулу (2). В этой формуле
знаки при хк чередуются: +, —, +, —, — и т. д. Можно
ли записать такую последовательность чередующихся зна-
ков, не пользуясь знаком ±? Оказывается, можно. Возьмем
выражение: (—1)п. При п = 0 получаем 1; при п = 1 получа-
ется (—1); при п = 2 — снова 1, и т.д. Значит, выражение
(—1)п можно использовать для записи чередующейся после-
довательности знаков + и —. С помощью этого выражения
формулу (2) можно записать таким образом:
(х + 1) (хп - хп-г + хп~2---+	+ (-1)п) =
= хп+1 + (-1)П.
Некоторые свойства выражения (—1)” Вы найдете в
упражнении 5.11.
В заключение этого параграфа приведем формулы сокра-
щенного умножения:
(х - у)(х + у) = х2 - у2;
(х + y)(z2 -ху + у2) = х3 + у3;
(х - у)(ж2 + ху + у2) - х3 - у3;
(ж ± у)2 = х2 ± 2ху + у2;
(х + у)3 = х3 + Зх2у + Зху2 + у3;
(ж - у)3 = х3 - Зж2у + З.ту2 - у3.
Каждую из этих формул, конечно, можно выводить всякий
раз, когда она понадобится, но проще запомнить их раз и
навсегда — эти формулы бывают нужны очень часто. Обра-
тите внимание еще на такую особенность этих (да и всяких
других!) формул: их можно использовать в обе стороны. Так,
27
если Вам нужно умножить (х — у) на (х + у), то Вы сразу мо-
жете сказать ответ: ж2 - у2, но и наоборот, если Вам нужно
разложить на множители х2 — у2, то эта же самая формула
сокращенного умножения доставит ответ: (х — у)(х + у).
Задачи
5.1.	Может ли произведение многочленов ненулевой степе-
ни равняться единице?
5.2.	Какова степень произведения двух многочленов, степе-
ни которых равны кип?
5.3.	Найдите произведения:
а)	(2х2 - х + 3)(-z2 4- 7х - 5);
б)	(ж + l)(rr+ 2)(гг+ 3);
в)	(х2 4- х + 1)(гг2 — х 4- 1)(я — 1)(я 4-1).
5.4.	Пусть /(#) = 2х2 — Зх 4- 4. Найдите f(x — 1).
5.5.	Представьте #34-4rr24-6rr4-l как /(#4-1) для некоторого
многочлена /.
5.6.	Пусть f(x) — многочлен п-и степени. Найдите степени
многочленов:
а)/(ж + а); б)/(/(ж)).
5.7.	Вы уже знаете две формулы сокращенного умножения:
(х-у)(х+у) = х2-у2-	(х-у)(х2+ху+у2) = х3 — у3.
а)	Вычислите еще (х — у)(х3 + х2у + ху2 + у3).
б)	Придумайте и докажите общую формулу, обобща-
ющую эти три формулы.
в)	Получите из этой общей формулы (1) и (2).
5.8.	Вычислите произведения:
а)	(1 + ж)(1 + ж2);
б)	(1 + ж)(1 + ж2)(1 + ж4);
в)	(1 + ж)(1 + ж2)(1 + ж4)(1 + ж8);
28
г)	придумайте и докажите общую формулу, обобща-
ющую эти результаты;
д)	вычислите (1 — т)(1 4-т)(1 4-т2)(1 4-т4) • • • (1 + х2П).
5.9.	Вычислите произведения:
а)	</?2(ж) = (1 - ж)(1 - ж2);
б)	у>3(ж) = (1 - 4U “ я2)(1 - ж3);
в)	<р4(ж) = (1 - ж)(1 - ж2)(1 - ж3)(1 - ж4);
г)	(р5(х) - (1 - ж)(1 - ж2)(1 - ж3)(1 - ж4)(1 - ж5);
д)	(рв(х) = (1 - ж)(1 - ж2)(1 - ж3)(1 - ж4)(1 - ж5)(1 - ж6).
Примечание. Если Вы правильно вычислили про-
изведения, то можете увидеть, что коэффициенты
многочленов с ростом п «стабилизируются», т.е.
каждый из них, начиная с некоторого п, не меняется.
Если Вас заинтересовало, что будет получаться, когда
число сомножителей будет увеличиваться, и какие
интересные факты из этого вытекают, прочитайте
статью Д. Б. Фукса «О раскрытии скобок, об Эйлере,
Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях»
в журнале «Квант», 1981, №8.
5.10.	Найдите сумму коэффициентов многочлена f(x — 1),
где f(x) — 2т4 4- 11т3 — 7х2 — 8х 4-1.
5.11.	Докажите следующие формулы:
а)	(- 1)п • (-l)fc = (-l)n+fc;
б)	-(-l)n = (~l)n+1 = (—I)”-1;
в)	(-1)п-(-1)п = 1.
29
6. Умеете ли Вы делить многочлены?
__7
149
1043
7
34
28
63
63
о
Давайте решим такую задачу:
• Найти неизвестный многочлен f(x), если х3 + 2х2 — х — 2 =
= (ж + l)/(z).
Конечно, можно попробовать подобрать коэффициенты мно-
гочлена f(x) так, чтобы выполнялось требуемое равенство.
Но подбирать коэффициенты — занятие долгое и не очень
интересное. Лучше подумать, не умеем ли мы решать похо-
жие задачи. Например, такую: найти неизвестное число А:,
если 1043 = 7к.
Этот вопрос, разумеется, не вызывает ника-
ких затруднений. Чтобы найти /с, нужно разде-
лить 1043 на 7 «уголком»: --------------->
Мы уже видели, что многочлены во многом
похожи на числа. Так же, как числа, многочле-
ны можно умножать. Оказывается, как и числа,
многочлены можно делить уголком. Как это де-
лается, показывает пример.
х3 4- 2х2 — х — 2 а? + 1
х3 + х2	х2 4- х — 2
х2 — х — 2
а?2 4- #
— 2х — 2
-2х-2
0
Сначала мы подбираем старший член частного так,
чтобы произведение содержало старший член х3. Этот
30
старший член равен ж2. Теперь вычитаем из делимого
х2(х + 1) = х3 + х2. Получился многочлен х2 — х — 2. Этот
многочлен мы в свою очередь делим на х + 1 и находим
следующий член частного: х. Следующая разность равна
—2х — 2. Делим ее на х + 1 и получаем свободный член
частного —2.
Деление закончено, частное — искомый многочлен.
о Ответ: f(x) = х2 + х + 2.
Как видите, деление многочленов уголком 1045 _____7
ненамного сложнее деления чисел. Например, де- _Z 149
ление 1045 на 7 выглядит так: ------------->	$4
В данном случае получается остаток 2. Это
можно записать так: 1045 = 149-7+2. Напомним gg
общее определение:	~2
Разделить целое число р на натуральное число q с остат-
ком — это значит найти такие целое число п (частное)
и неотрицательный остаток г < q, что р = nq + г.
Обратите внимание на то, что делимое может быть отри-
цательным. В этом случае остаток все равно будет неотри-
цательным. Например, пусть р = —23, q = 7. Тогда можно
записать: —23 = (—4) • 7 + 5; следовательно, остаток г = 5.
Аналогия между многочленами и числами распространя-
ется и на деление с остатком. Рассмотрим деление многочле-
на 2ж3 + 2х2 + х + 6 на х2 + 2х + 1:
2ж3 + 2х2 + х + 6 ж2 + 2ж + 1
2ж3 + 4ж2 + 2х	2х - 2
— 2х2 — х + 6
- 2х2 - 4а: - 2
Зх + 8
31
Как только степень очередной разности — в данном случае
это Зх + 8 — стала меньше степени делителя х2 + 2х + 1,
мы вынуждены прекратить деление. Значит, Зх + 8 — это
остаток. Это можно записать и так:
2ж3 + 2х2 + х + 6 = (х2 + 2х + 1)(2ж - 2) + (Зх + 8).
Теперь мы можем сформулировать общее определение:
Разделить многочлен f(x) на многочлен д(х) с остат-
ком — это значит найти такие многочлен h(x\ который
называется частным, и многочлен г(ж), который на-
зывается остатком и степень которого меньше, чем
степень делителя д(х\ что выполнено равенство:
f(x) = h,(x)g(x) + z(x).
Задачи
6.1.	Какой остаток дает число:
а)	1005 при делении на 13;
б)	1111 при делении на 37;
в)	(—150) при делении на 19?
6.2.	Найдите наименьшее натуральное шестизначное число,
которое делится на 321.
6.3.	Разделите многочлены с остатком:
а)	х4 — 4г3 + 6ж2 — 7х + 2 на х2 — х + 2;
б)	2ж3 + Зж2 — 8 на х + 1;
в)	х4 — 2ж3 + х — 3 на х2 — Зх,
г)	х4 + 1 на ж5 + 1.
6.4.	Многочлен f(x) дает остаток 1 при делении на х — 1 и
остаток —1 при делении на х + 1. Какой остаток дает
f(x) при делении на х2 — 1?
6.5.	При каких а и b многочлен х4 — Зх3+Зх2+ах+Ь делится
на многочлен х2 — Зх + 2 без остатка?
32
6.6.	При каком значении а многочлены т4 + ах2 + 1 и
х3 + ах + 1 имеют общий корень?
Указание: Разделите многочлены с остатком и под-
ставьте в полученное равенство значение корня.
6.7.	При каких натуральных п и к многочлен хп — 1 делится
без остатка на многочлен хк — 1?
6.8.	Пусть f(x) — х2 + а. Докажите, что многочлен
/(/(ж)) — х делится на многочлен f(x) — х и найдите
частное.
33
7. Рациональные функции
Рациональные дроби — это выражения, составленные из от-
ношений многочленов, а задаваемые ими функции называют-
ся рациональными функциями. Например,
х2 — 2х + 1	2 (* * * * * * * * * х ~ I)2
х — 3	’ Х + х2 — 1
abc
Т^сГ
i + i
х у
1 _ 1
х у
— это рациональные функции. Если у числителя и знаме-
нателя рациональной дроби есть общий делитель — неко-
торый многочлен, — то дробь можно сократить. Например,
х3 — 1 _ (х — 1) (х2 4- х 4- 1) _ х2 4- х 4- 1
х2 — 1 (х — 1)(х + 1)	х + 1
Сейчас мы наме-
ренно не рассматриваем «вырожденные» случаи — отдельные
значения ж, при которых знаменатели дробей обращаются в
нуль (в последнем примере это х = ±1).
Сложение рациональных дробей происходит так же, как
сложение обычных дробей, т. е. посредством приведения к
общему знаменателю. Рассмотрим пример:
• Сложить дроби------ 4----?•
х - 1 х + 1
Прежде всего найдем общий знаменатель. Он равен
(х — 1)(ж + 1) = х2 — 1. Следовательно, обе дроби мож-
но записать как дроби со знаменателем х2 — 1:
1 х + 1
х — 1 х2 — 1 ’
1	_ х — 1
х + 1 х2 — 1
Теперь нетрудно выполнить сложение:
1	1 ж + 1 х — 1 _ (ж + 1) + (ж — 1) _ 2х
х — 1 + я + 1 х2 — 1 + я2 — 1	ж2 — 1	ж2 — 1
34
1 1
о Ответ:-------1-----
х — 1 х + 1
2х
х2 — 1 *
В предыдущем параграфе мы научились делить много-
члены. Деление многочленов с остатком позволяет упрощать
рациональные дроби. Например,
з?2 4“ х • Упростить дробь	. х — 1 Для этого разделим числитель на знаме- натель с остатком: 	> з?2 4“ х	2 о Ответ: 	— = х + 2 Н	 х — 1	х — 1	х2 + X	х — 1 х2 — х	х + 2 2х 2х — 2 2
Рассмотрим более сложный пример.
п2 + 2п - 12
• При каких целых значениях п дробь-----------является
Q	п + 5
целым числом (
Для ответа на вопрос разделим числи-	п2 + 2п — 12	п + 5
тель на знаменатель с остатком: 	>	п2 + 5п	п — 3
Заключаем, что	- Зп - 12	
п2 + 2п — 12	о	3	- Зп - 15	
	-	= п - з Н			
п + 5	п + 5	3	
Теперь немного порассуждаем. Значение дроби
п2 + 2п - 12	3
	 равно сумме двух чисел: (п — 3) и 	-.
п + 5-----------------------------------------------п + 5
Число п — 3 целое при любом целом п. Поэтому вся дробь
будет целым числом тогда и только тогда, когда число
3
----- целое. Это может быть лишь в том случае, когда
п + 5
знаменатель п + 5 является делителем числителя, т.е.
числа 3. У числа 3 есть ровно 4 делителя: —3; —1; 1; 3. Это
дает четыре возможности:
п + 5 = —3; п + 5 = —1; п + 5 = 1; п + 5 = 3.
Находим четыре возможные значения п: —8, —6, —4, —2.
о Ответ: п = —8; п — —6; п = —4; п = —2.
35
Вернемся теперь к первому примеру, в котором мы полу-
чили равенство
1	1	_ 2х
X — 1 + я + 1 х2 — 1
Дроби, стоящие в левой части этого равенства, имеют осо-
бенно простой вид. Такие дроби, т.е. дроби вида 1/(я + а),
где а — некоторое число, называются элементарными (об-
Л v b	fx + g
щии вид элементарных дробей:  ----— и -—5--------г—,
(х + а)п (cxz + ах + е)171
где пит — натуральные числа, а, Ь, с, d, е, /, д — дей-
ствительные числа, а квадратный трехчлен сх2 + dx + е не
имеет корней). Мы уже вычислили сумму элементарных дро-
бей 1/(ж — 1) и 1/(ж + 1). Найдем теперь их разность:
1 1	_ гг + 1 _ х-\ _ (ж + 1)-(ж-1) _	2
х — 1 т-hl х2 — 1 ж2 — 1	ж2 — 1	х2 — 1
Как видно, и сумма, и разность этих элементарных дро-
бей равны дробям со знаменателем х2 — 1. Ну, а если склады-
вать дроби 1/(т — 1) и 1/(х + 1) с некоторыми числовыми ко-
эффициентами? Получится ли таким образом любая дробь со
знаменателем х2 — 1? Давайте рассмотрим еще один пример.
• Представить дробь — в виде суммы элементарных
х2 - 1
дробей 1/(х—1) и 1/(ж+1) с некоторыми коэффициентами.
Итак, мы ищем такие коэффициенты а и Ь, что выполняется
следующее равенство:
а b _ Зт + 1
х — 1 + я + 1 х2 — 1 ’
Чтобы найти неизвестные а и Ь, вычислим сумму в левой
части, приводя дроби к общему знаменателю:
a b	а(х + 1) Ь(х — 1) _
х — 1 + я + 1	ж2 — 1 + ж2 — 1
а(х + 1) + b(x — 1) _ (а + Ь)х + (а — 6)
х2 — 1
х2 — 1
36
По условию, полученная дробь должна совпадать с дробью
Зх + 1
х2 - 1 ’
Поскольку знаменатели у них одинаковые, должны
быть одинаковыми и числители: (а + Ь)х + (а + Ъ) = Зх + 1.
Значит,
а + b — 3,
а — b = 1.
Остается решить эту систему. Сложим уравнения: 2а = 4.
Следовательно, а = 2; поэтому b = 1. Итак, задача решена:
о Ответ:
Зх + 1
х2 — 1
2	1
------7 “I--------7*
х — 1 х + 1
Верно и следующее общее утверждение:
Всякая рациональная дробь вида
__________/(ж)_________
(х - О1)(ж -а2)---(х- ап)'
где ai,a2,-«- ,ап — различные числа, а /(ж) — много-
член, степень которого меньше, чем п, равна сумме эле-
ментарных дробей 1/(ж — ai), 1/(ж — аг), • • • , 1/(я — ап)
с некоторыми коэффициентами.
Отметим в заключение, что так же, как и многочлены,
рациональные дроби могут быть четными и нечетны-
ми, Четная дробь д(х) — это такая дробь, для которой
д(—х) = д(х); нечетная дробь д(х) — это такая дробь, для
которой д(—х) = —д(х).
Например, дробь д(х) = 1/(1 + х2) четная, так как
s(^’= 1+Т^р = lb = 9W'
37
Дробь д(х) = ----------J нечетная, так как
J. X
/ \	( 37)	37	. .
«(-") =	= 17^ =
Наконец, дробь д(х) =
не является ни четной, ни не-
четной. Действительно, р(1) = 1 ир(-1) = 0. Следовательно,
р(-1) ± ±0(1).
Задачи
Сложите дроби:
. а b
б) ------- Ч-----;
а + о а — о
X3	X2	X
2(х + I)3 (х + I)2	2(х + 1) ’
2	3 2х +15
Г' 2т + 3 + 3 - 2т + 4т2 - 9’
1	1____________2
Д х2 — 1 + т2 — 9 х2 — 4т + 3 ’
а — Ь	Ь — с	с —а	(а — b)(b — с)(с — а)
a + b	b + c	с + а	(а + b)(b + с)(с + а)’
. а + b	Ь + с	с + а
Ж (6 - с)(с — а) + (с — а)(а — Ь) + (а — Ь)(Ь — с) ’
ч 2	2	3
{х — а~)(Ь — а) (х — Ь)(а — Ь) (х — а)(х — Ь)
38
7.2. Вычислите следующие суммы:
1	1	2
1 — x^l + x^l + x2’
1	1	2	4
1 — а?"*'1 + ж"*"1 + х2'*'1 + ж4’
1	1	2	4	8
1 — ж"*"1 + а;"*"1 + а;2"*"1 + а;4"*"1 + х8'
д) Придумайте обобщение предыдущих результатов.
7.3.	Докажите равенства:
. 1 1 1
(а — Ь)(а — с) (Ь — с) (6 — а) (с — а) (с — Ь)
.а	b	с
б (а — 6) (а — с) (Ь — с) (6 — а) (с — а) (с — Ь)
а2	Ь2	с2
(а — Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а) (с — а)(с — Ь)
а3	Ь3	с3
(а — Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а) (с — а)(с — Ь)
7.4.	Разложите дроби в сумму элементарных дробей:
х х2 }	1	ч ______1______.
х3 — х' (х — а)(х — Ь)' В (х — а)(х — Ъ)(х — с)1
г) -------------------•
(х — а)(х — Ъ)(х — с)(х — d)
w „ 111 1
7.5.	Вычислите сумму: — + — + — +    +	.
7.6.	Пусть /(л) — ах^~^ Вычислите /(/(а:)).
39
8. Ряды
В параграфе 5 мы встретились с замечательной формулой:
(х - 1)(а:п + хп 1 Н---------1- х + 1) = xn+1 - 1.
Перепишем эту формулу, записывая многочлены в порядке
возрастания степеней:
(1 — ж)(1 + х + х2 4----Н хп) = 1 — хп+1
Возникает вопрос: а что, если не обрывать сумму 1 + х +
4- х2 4- • • • на жп, а продолжить ее неограниченно? Тогда
многочлен 1 4- х + х2 + • • • + хп превратится в ряд 1 + х +
+ х2 + • • • + хп 4- • • • .
Точнее, рядом называется выражение
О	Q
ао + «1^ + «2^ +	4---
Числа ао? ^1, ^2, ••• называются коэффициентами ряда.
Обратите внимание на то, что номер коэффициента теперь
равен степени переменной, при которой он стоит. Коэффи-
циент ао, т.е. коэффициент при ж0, называется свободным
членом ряда. Когда мы записываем ряд, указывая несколько
первых членов, после которых следует многоточие, мы
подразумеваем, что закон по которому строятся дальней-
шие члены ряда, известен. Например, когда мы пишем ряд
1 + х 4- х2 + х3 + • • •, то подразумеваем, конечно, что все
остальные коэффициенты тоже равны 1. Каждый много-
член тоже может считаться рядом: таким, у которого все
коэффициенты, начиная с некоторого места, равны нулю.
40
Ряды так же, как многочлены, обозначаются через /(ж),
д(х) и т.д. Например, если
/(ж) = а0 + airr + а2х2 + а3х3 Н-,
то
f(-x) = ао + ai(-x) + а2(-х)2 + а3(-х)3 Н---=
О	о
= ао — aiz + а%х — а^х 4----
В отличие от многочленов, мы не будем подставлять в фор-
мулы с рядами числовые значения переменной.
Ряды во многом похожи на многочлены. Их можно скла-
дывать. При этом нужно складывать друг с другом коэффи-
циенты при одинаковых степенях переменной х. Аналогично
происходит вычитание рядов. Например:
(1 + z W W W + ж5 -и6 + •••) +
+ (1 — х + х2 — ж3 + х4 — х5 4- ж6 — • • •) —
= 2 4- 2х2 + 2ж4 4- 2ж6 4- • • •
(во втором ряду знаки чередуются). Ряд можно умножить на
число. Сделать это совсем просто: нужно каждый член ряда
умножить на это число. Например, ряд 24-2х24-2х44-2х64-* • • ,
который только что получился у нас в результате сложения,
равен 2(14-х24-а?44-х64- - • •). Аналогично устроено умножение
ряда на одночлен. Например,
х(1 4- х 4- х2 4- х3 4- • • •) = х 4- х2 4- ж3 4- х4 4- • • • .
Каждый многочлен — это сумма одночленов. Поэтому не-
трудно научиться умножать ряд на многочлен. Для этого
нужно умножить ряд на каждый из одночленов, из которых
41
состоит многочлен, а затем сложить все полученные ряды.
Например:
(1 + ж)(1 + х + х2 + х3 4-) =
= (1 + х + х2 + х3 4-) + (х + х2 + ж3 + ж4 4-) =
= 1 + 2х + 2х2 + 2ж3 + 2z4 4--------.
Попробуем научиться умножать ряды друг на друга.
•	Найти произведение рядов
(1 4- х + х2 4- х3 + х4 4-)(1 — х 4- х2 — х3 4- х4 — х5 4-).
Запишем сомножители в виде таблицы и начнем ее запол-
нять:
	1	—х	х2	-х3	х4	—х5	X6
1	1	—х	х2	-х3	х4	—х5	Xе
X	X	-х2	х3	—х4	х5	—х6	
х2	х2	-х3	х4	—х5	х6		
х3	х3	—х4	х5	-х6			
х4	х4	-х5	х6				
х5	х5	-х6					
х6	х6						
В первой строке у нас поместились степени до шестой
включительно. Поэтому мы заполняем таблицу лишь до
членов шестой степени. Это позволит нам вычислить члены
произведения тоже до шестой степени. Заполнять другие
клетки таблицы одночленами седьмой степени, если в первой
строке эти мономы не поместились, бессмысленно — все
равно вычислить одночлен седьмой степени в ответе мы не
сможем.
42
Теперь просуммируем слагаемые, стоящие в таблице. Мы
получим такой ряд: 1 + х2 + х4 + х6 4-. Ясно, что и даль-
ше при четных степенях х коэффициенты будут равны 1, а
нечетных степеней х вообще не будет.
о Ответ: 1 + х2 + х4 + xQ 4-.
Если делить уголком многочлены, записанные не в поряд-
ке убывания, а в порядке возрастания степеней переменной,
то в частном может получиться ряд, а остатка не будет во-
все. Покажем на примере, как это происходит.
•	Разделить уголком 1 на 1 — х.
Ясно, что деление можно продолжать сколько угодно, и в
частном получится ряд 1 4- х 4- х2 4- х3 4- • • •. Правда, такое
деление возможно только в том случае, когда свободный член
делителя (в данном случае 1) отличен от нуля.
о Ответ: 1 4- х 4- х2 4- х3 4- • • • •
Результат деления заслуживает того, чтобы его запом-
нить. Приведем две похожие формулы:
-----= 1 4- х + х2 4- х3 4- х4 4-;
1 — х
—-— = 1 — х 4- х2 — х3 4- х4 — • • • .
14-х
43
Посмотрим еще раз на запись деления угол- 1,0 ком. Она Вам ничего не напоминает? Сравним	9 эту запись с делением числа 1 на 3: 	>	Ю Сходство этих записей — еще одно проявление	9 аналогии между числами и многочленами.	1	3
	0,33...
Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выполнять деле-
ние уголком не только на многочлен, но и на ряд? Попро-
буем, например, проверить делением только что полученное
равенство. Иными словами, мы хотим разделить 1 на ряд
1 + ж + х2 + ж3 + • • • и получить в частном многочлен 1 — х.
Выполним деление уголком:
Все разделилось и получился именно тот ответ, который мы
ожидали. Следующий пример показывает, как делится ряд
на ряд.
•	Разделить ряд 1 — х 4- х2 — х3 + х4 — х5 + • • • на ряд
1 + х + х2 + х3 + х4 + х5 +   • .
Деление уголком выглядит так:
1 — X	+	х2	— х3	+	X4	— X5	-|-	•
1 +х	+	х2	+х3	+	д4	+ д5	+	•
— 2д	- 2х3	— 2д5	—	•
— 2д — 2х2	- 2д3	- 2д4	- 2д5	-	
2д2	+2х4	+ •
2х2 + 2д3 + 2д4 + 2д5 + •
—2д3	- 2д5 - •
—2д3 - 2д4 - 2д5 - •
2д4	+•
2д4 + 2д5 + 
-2д5 - •
0-5
1 + д + д2 + д3 + д4 + д5 +  • 
1 - 2д + 2х2 - 2д3 + 2д4 - 2д® + • • •
44
Как видно, в частном получается ряд, все коэффициенты ко-
торого (кроме первого) равны ±2, причем знаки чередуются.
Обратите внимание на то, что мы сразу ограничились вы-
числением до пятой степени. Поэтому мы не делали лишних
вычислений одночленов более старших степеней. Подчеркнем
еще, что и в этом случае деление оказалось возможным по-
тому, что свободный член делителя отличен от нуля.
о Ответ: 1 — 2х 4- 2х2 — • • • .
Разобранные примеры приводят к следующему общему
утверждению:
Если /(т) и д(х} — ряды, причем свободный член
ряда д(х) отличен от нуля, то существует ряд
/г(т) = f(x)/g(x), т.е. такой ряд, что /(т) = g(x)h(x).
Это свойство рядов значительно отличается от свойств мно-
гочленов.
Задачи
8.1.	Выразите свободный член произведения и частного ря-
дов через свободные члены этих рядов.
8.2.	Пусть /(т) = ао 4- а-^х 4- а%х2 4- а^х3 4- • • • . Найдите
коэффициенты рядов:
а) /(-ж); б) /(2ж); в) /(ж2).
8.3.	Запишите в виде ряда:
а)	—-—;
7 1 — 2ж
X 1	/	2 Я3 “ 1 \
б)	------- (указание: 1 4- х 4- х =--— );
14-z + z2	х - 1 7
в)
45
Найдите произведение ряда из задачи 8.3,6) и ряда
1 + х + х2 + х3 Н-.
Рассмотрите ряд (он называется экспонентой)
гр	/у»3	/у»4	/р 5
/W= +7 + Г2 + 1.2.3 + 1-2-3-4 + 1-2-3-4-54""
Докажите следующие свойства этого замечательного
ряда:
а)	/(-ж) • /(ж) = 1;
б)	/(я) • f(x) = /(2т);
в)	/(ж) • /(у) = /(т + у).
46
9. Алгоритм Евклида
Мы уже не раз подчеркивали сходство многочленов и целых
чисел. В этом параграфе Вы увидите, что это сходство рас-
пространяется и на задачу нахождения наибольшего общего
делителя.
Пусть даны два числа к и п, к > п. Как найти их наиболь-
ший общий делитель НОД(А;,п)? Можно, конечно, разложить
числа к и п на простые множители, а затем посмотреть, есть
ли среди простых делителей чисел кип одинаковые. Такой
способ может занять много времени для больших чисел и,
кроме того, не годится для многочленов — мы не умеем раз-
лагать произвольный многочлен на множители. Поэтому по-
ищем что-нибудь получше.
Попробуем разделить к на п с остатком. Пусть частное
равно Q, а остаток равен г: к = qn 4- г. Если к и п делят-
ся на некоторое число, то остаток г делится на это число.
Наоборот, если п и г делятся на какое-то число, то и к де-
лится на это число. Отсюда заключаем, что общие делители
чисел к и п совпадают с общими делителями чисел п и г.
В частности, НОД(£,п) = НОД(п,г). «Ну и что?» — може-
те спросить Вы, — «раньше нужно было искать неизвестный
наибольший общий делитель к и п. а теперь мы заменили эти
числа на п и г. Вторая задача ничуть не лучше первой.» В
том-то и дело, что лучше. Ведь числа п и г меньше, чем чис-
ла к и п. Теперь можно повторить наше рассуждение и еще
уменьшить числа, НОД которых мы хотим найти. И будем
так действовать, пока ответ не станет очевидным.
Покажем, как «работает» этот метод, на примере.
47
• Найти НОД(267,213).
Прежде всего, выполним деления с остатком:
267	213	267	54	54	51	51	3
213	1	162	3	51	1	3	17
									
54		51		3		21	
						21	
						“о	
Теперь запишем такую цепочку равенств:
НОД(267,213) = НОД(213,54) = НОД(54,51) =
= НОД(51,3) = НОД(3,0) = 3.
Итак, наш метод позволил быстро найти
о Ответ: 3.
Метод, который мы применили, называется алгоритмом
Евклида. Этот алгоритм позволяет найти наибольший общий
делитель любых заданных чисел к и п.
Попробуем применить то, что мы узнали, к нахождению
наибольшего общего делителя двух многочленов /(т) и д(х).
Прежде всего, какой многочлен можно назвать наибольшим
общим делителем? Потребуем, чтобы этот делитель имел
наибольшую возможную степень. Однако, если h(x) — общий
делитель многочленов /(т) и д(х), то и многочлен ah(x), где
а — произвольное не равное нулю число, тоже будет общим
делителем /(т) и д(х). Чтобы избежать путаницы, будем
поэтому дополнительно считать, что наибольший общий
делитель h(x) — это приведенный многочлен, т.е. многочлен
со старшим коэффициентом 1.
После того, как определено, что такое наибольший общий
делитель многочленов, можно рассмотреть пример.
•	Найти наибольший общий делитель многочленов х3 — 1 и
х2 - 1.
48
Как и с числами, прежде всего, делим многочлены с остат-
ком, затем делитель — на остаток, и т. д., пока не получится
остаток, равный нулю:
х3 — 1	х2 - 1 Q х — X	X х — 1	х2	— 1 х — 1 х2 — х	х 4-1 х — 1 х — 1 0
Теперь записываем цепочку равенств:
НОД(гг3 — 1, х2-1) = НОД(ж2 — 1, х-1) = НОД(ж—1,0) = ж-1.
о Ответ: х — 1.
Изменим чуть-чуть условие задачи.
•	Найти наибольший общий делитель многочленов ж3 + 1 w
х2 4- 1.
Как и раньше, выполняем деление с остатком:
х3	+1 х3 + X	х2 4- 1	х2 +1 х2 — X	—х 4- 1
	X		—X
—х 4- 1		X 4- 1	
х + 1	X 4- 1	х 4-1	2
х — 1	-1	х 4-1	х/2
2	О
Цепочка равенств выглядит теперь так:
НОД(х3 + 1, х2 + 1) = НОД(ж2 4- 1, -х + 1) =
= НОД(—ж + 1, х + 1) = НОД(ж + 1,2).
Что такое НОД(т 4-1, 2)? Это общий делитель многочлена и
числа 2, поэтому он сам — некоторое число (т. е. многочлен
нулевой степени). Вспомним, что наибольший общий дели-
тель должен иметь в качестве старшего коэффициента 1; по-
этому НОД(т 4-1, 2) = 1. Итак, окончательный
о Ответ: НОД(т3 4- 1,х2 4-1) = 1.
49
Многочлены, НОД которых равен 1, можно назвать вза-
имно простыми. Это понятие аналогично понятию взаимно
простых чисел.
Решим еще одну задачу.
• При каких целых п дробь --- можно сократить?
бп + 2
Предположим, что к — общий делитель чисел Зп + 2 и 2п +1.
Тогда к — также делитель разности (Зп4-2) —(2п4-1) = п4-1.
Аналогично, число к является делителем разности (2п 4-1) —
— (п 4- 1) — п и разности (п 4- 1) — п = 1. Итак, мы пришли
к выводу, что к — делитель числа 1, т. е. сам равен ±1. Сле-
довательно,
о Ответ: дробь
2п 4-1
Зп4-2
несократима при любом значении п.
У алгоритма Евклида есть еще одна замечательная осо-
бенность: он позволяет выразить НОД(/(х),д(хУ) через сами
/(т) и д(х). Давайте вернемся к первому из наших приме-
ров. Запишем все деления с остатком в строчку, начиная с
предпоследнего:
54 = 1 • 51 4- 3; 213 = 3 • 54 4- 51; 267 = 1 • 213 4- 54.
Эти равенства можно переписать таким образом:
3 = 54 - 51; 51 = 213 — 3- 54; 54 = 267 - 213.
Теперь «подставим» число 54 из третьего равенства во вто-
рое: 51 = 213—3(267—213). Это выражение можно упростить:
51 = 1 • 213 - 3 • 267 4- 3 • 213 = 4 • 213 - 3 • 267.
Теперь «подставим» уже найденные выражения чисел 54 и 51
через исходные числа 267 и 213 в первое равенство 3 = 54—51:
3 = (1- 267 — 1 - 213) - (4 • 213 - 3 • 267).
50
После упрощения получается:
3 = 1 • 267 - 1 • 213 - 4 • 213 + 3 • 267 = 4 • 267 - 5 • 213.
Вот мы и выразили 3 = НОД(267,213) в виде суммы исход-
ных чисел с некоторыми коэффициентами. Такое представ-
ление возможно всегда, как показывают следующие общие
утверждения:
НОД(п, к) можно представить в виде an + bk, где а и b —
некоторые целые числа.
НОД(/(т), <?(т)) можно представить в виде р(т)/(т) +
+ я(х>)9(х\ где Р(х) и я(х) — некоторые многочлены.
Задачи
9.1.	Найдите НОД чисел: а) 273 и 1014; б) 16484 и 42282.
9.2.	Найдите НОД многочленов:
а)	т4 + 2т3 — х — 2 и х2 + 5т + 6;
б)	(т — 2)(т — 3) и т(т — 1).
9.3.	Найдите хотя бы одну пару целых чисел, удовлетворя-
ющую уравнению 13т — 8у = 1.
9.4.	Докажите, что НОД(тп — 1, хк — 1) = хн°Д(п>к) _ ।
9.5.	Докажите, что НОД(т2/с + 1, т2П + 1) = 1 при п к.
9.6.	Пусть многочлены /(т) и #(т) имеют общий корень.
Докажите, что НОД(/(т), #(т)) имеет тот же корень.
9.7.	При каких целых п дробь несократима:
14п + 3 2n + 1
а> б)
9.8.	Вычислите:
а)	НОД(ж5 + х4 + х3 + х2 + х + 1, х3 + х2 + х + 1);
б)	НОД(777777,7777).
51
9.9.	Остатки от деления многочленов т3 + х и х + 1 на не-
который многочлен /(т) оказались равными. Перечис-
лите все такие /(т), если его старший коэффициент
равен 1.
9.10.	Существуют ли такие целые числа п и fc, что
а) 13n + 7к = 1; б) 183n + 39fc = 1?
Если ответ положительный, то приведите пример; если
отрицательный — докажите.
9.11.	Найдите такие многочлены /(т) и #(т), что
(х + 1)/(ж) + (х2 + 1)д(х) = 1.
52
10. Теорема Безу
В этом параграфе мы рассмотрим частный случай деления
многочленов, а именно случай, когда делитель — линейный
многочлен х — а.
Итак, пусть /(т) — произвольный многочлен. Разделим
его на х — а с остатком. Степень остатка должна быть
меньше, чем степень делителя. Но делитель имеет первую
степень. Значит, остаток должен быть многочленом нулевой
степени, т. е. просто числом.
Обозначим частное через <?(т), а остаток через г. Тогда
можно записать: f(x) = (х — а) • д(х) + г. Это равенство вы-
полнено для всех т; подставим в него х = а. Множитель
(т — а) обратится в нуль, и останется равенство: /(а) = г.
Таким образом, остаток г равен значению многочлена /(т)
при х = а. Это утверждение и называется теоремой Безу в
честь французского математика XVIII в.:
Остаток от деления многочлена /(т) на х — а равен f(a):
f(x) = (х- а)д(х) + /(а).
Покажем, как теорема Безу используется при решении
задач.
•	Байти остаток от деления многочлена f(x) = т100+т10 +
+ 1 на х — 1.
Конечно, можно было бы делить уголком, но такое деление
заняло бы слишком много времени и места. Это и не удиви-
тельно — ведь в результате деления мы узнали бы не только
остаток, но и частное (многочлен 99 степени!), которое нам
53
искать не нужно. Поэтому не будем делать лишнюю рабо-
ту, а воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме
остаток равен /(1) = I100 + I10 + 1 = 3.
о Ответ: 3.
Важным частным случаем теоремы Безу является случай,
когда а — корень многочлена /(т). В этом случае остаток
/(а) равен нулю, и мы получаем такое утверждение:
Число а является корнем многочлена /(т) тогда и только
тогда, когда /(т) делится на двучлен х — а.
Приведем пример использования этой теоремы.
•	При каком а многочлен f(x) = х3 + ах —10 делится нах —2
без остатка?
Воспользуемся теоремой Безу. Если х3 + ах — 10 делит-
ся на х — 2, то 2 — корень многочлена х3 + ах — 10.
Подставим в формулу /(т) значение х = 2. Получится:
/(2) = 8 + 2а - 10 = 2а - 2. Из равенства /(2) = 0 находим
о Ответ: а = 1.
Пусть х = а — корень многочлена /(т). Согласно теореме
Безу, f(x) делится на х — а, т. е. существует такой многочлен
#(т), что /(т) = (х — а)д(х). Если х = а тоже является кор-
нем многочлена <?(т), то число а называется кратным корнем
многочлена /(т).
Например, многочлен /(т) = х3 — х2 — х + 1 имеет корень
х = 1. Разделим /(т) на х — 1:
х3 — х2 — х + 1 т — 1
х3 — х2 х2 — 1
— х + 1
54
В частном получился многочлен х2 — 1, который тоже имеет
корень х = 1. Значит, х = 1 — кратный корень многочлена
т3 — х2 — х + 1.
Пусть многочлен /(ж) имеет различные корни а и
Ь. Согласно теореме Безу, /(ж) делится на х — а, т.е.
/(т) = (х — а)д(х). Если подставить в это равенство х = Ь,
то получится: /(Ь) = (Ь — а)д(Ь). По условию, b — корень
многочлена /(т); следовательно, /(6) = 0. Мы заключаем,
что д(Ь) = 0; следовательно, b — корень многочлена д(х).
Теперь снова применяем теорему Безу: д(х) делится на
(т — Ь). Значит, /(т) делится на (т — а)(х — Ь).
Аналогичный вывод справедлив и в общем случае:
Если ai, , О"п — различные корни многочлена /(т),
то f(x) делится на (т — ai)(x — (Z2) • • • (т — ап).
Это утверждение позволяет ответить на вопрос, сколько
всего корней может быть у многочлена степени п. Конечно,
многочлен п-й степени может иметь мало корней или даже не
иметь их вовсе. Такими многочленами без корней являются,
например, многочлены х2 +1, т4 +1, т6 +1, т8 +1 и т. д. А вот
слишком много корней у многочлена п-й степени быть не
может. Точнее, имеет место следующее общее утверждение:
Многочлен п-й степени имеет, самое большое, п корней.
Это утверждение, несмотря на простоту, является очень
важным. Доказать его нетрудно. Если бы многочлен п-й
степени имел п + 1 корень ai, «2,..., an+i, то он делился бы
на произведение
{х - О1)(а; - а2)... (ж - an+i).
Но это произведение состоит из п + 1 сомножителя и име-
ет поэтому (и + 1)-ю степень. Однако многочлен п-й степени
55
не может делиться на многочлен (п + 1)-й степени. Значит,
предположение о том, что имеется п + 1 корень, было невер-
ным.
Метод, которым было доказано наше утверждение, назы-
вается доказательством от противного. Суть его в следу-
ющем. Сначала мы предполагаем, что нужное требование не
выполнено, и затем приводим это предположение к противо-
речию, абсурду. Такой метод доказательства часто встреча-
ется в математических рассуждениях.
Задачи
10.1.	Найдите остаток от деления многочлена т5 — 17т + 1
на х + 2.
10.2.	При каком значении а многочлен т1000 + ах2 + 9 де-
лится на х + 1?
10.3.	Докажите, что многочлен (т + 1)6 —т6 —2т —1 делится
на т(т + 1)(2т + 1).
10.4.	При каком значении а многочлен т4 — ат3 + ах — 1
делится на (т — I)2?
10.5.	Докажите, что т10 и т6 дают одинаковый остаток при
делении на т + 1.
10.6.	Пусть /(т) и д(х) — многочлены n-й степени. До-
кажите, что если их значения совпадают при п + 1
различных значениях переменной, то эти многочлены
равны.
56
11. Графики многочленов
Графиком самого простого — линейного — многочлена
у = ax + Ь служит прямая линия. Следующий по слож-
ности многочлен — квадратный трехчлен. Итак, пусть
/(т) = ах2 + Ьх + с. Как Вы знаете, графиком квадрат-
ного трехчлена является парабола — см. рис. 1. По этой
параболе можно многое сказать о самом многочлене /(т).
Например, по графику на рис. 1 видно,
что при больших значениях х значения
/(т) положительные. Но если х очень
велико, то х2 намного больше и Ьх, и
свободного члена с. Поэтому знак трех-
члена /(т) = ах2 + Ьх + с при больших
х определяется знаком старшего члена
ах2. Следовательно, по этому графику
видно, что старший коэффициент а
положителен.
А что еще можно сказать по графику? Например, мож-
но определить, имеет уравнение ах2 + Ьх + с = 0 корни или
нет. Корни — это абсциссы точек пересечения графика с
осью Ох. Действительно, эти точки пересечения одновремен-
но удовлетворяют уравнению графика у = f(x) и уравнению
оси абсцисс у = 0, т.е. уравнению /(т) = 0. В данном слу-
чае точек пересечения графика с осью абсцисс две, так что
квадратный трехчлен имеет два корня.
Важная точка графика — это точка его пересечения с
осью Оу. Эта точка имеет координаты (0;/(0)). Следова-
тельно, по тому, как расположена эта точка, можно сказать,
каков знак величины /(0).
57
А что такое /(0) для квадратного трехчлена? Это просто
свободный член с. Значит, в данном случае, с > 0.
График многочлена позволяет иногда решить такие зада-
чи, которые, как кажется, с графиками совсем не связаны.
Рассмотрим один пример.
• Докажите, что квадратный трехчлен
f(x) = х(х — 2) + а(х — 1)(т — 3)
при любом значении параметра а имеет корень.
Неразумно было бы раскрывать скобки, приводить мно-
гочлен к стандартному виду, а затем решать квадратное
уравнение f(x) = 0. Вместо этого подставим в формулу
для /(т) два значения: х = 1 и х = 3. Получим: /(1) = —1;
/(3) = 3. Мы видим, что независимо от того, какое значение
имеет число а, график многочлена /(т) содержит точки, ле-
жащие ниже оси Ох (именно, точку (1; —1)) и точки, лежащие
выше оси Ох (точку (3; 3)). Следовательно, график пересе-
кает ось абсцисс (рис. 2). За кажущейся очевидностью этого
Рис. 2
Следующий по
ческий многочлен.
«следовательно» спрятано важнейшее
свойство многочлена как функции —
его непрерывность] в частности, ес-
ли многочлен принимает какие-либо
два различных значения, а и Ь, то он
принимает и все «промежуточные» зна-
чения — все значения из отрезка [а;Ь].
Таким образом, уравнение f(x) = 0
всегда имеет хотя бы один корень.
Отметим, что второго корня может и
не быть — это случится при а = — 1.
сложности после квадратного — куби-
Построим сначала график кубического
многочлена /(т) = (х — а)(х — Ь)(т — с), имеющего три раз-
личных корня: а, b и с. Отметим на оси абсцисс точки х = а,
х = Ьих = с (рис. 3). В этих точках график будет пересекать
58
а Ъ с
Рис. 3
ось Ох. Чтобы представить себе ход графика, посмотрим,
что будет, если х принимает большие значения. Если х очень
велик, то каждое из чисел х — а, х — b и х — с становится
большим положительным числом, а их произведение — тем
более очень велико. Значит, график уходит вправо вверх в
бесконечность — см. рис. 3. Если же х
отрицательный и большой по величине
(например, равен —1000000), то каждое
из чисел х—а, х—b их—с тоже становится
отрицательным и большим по величине,
а их произведение — отрицательное
число с очень большим абсолютным
значением. Следовательно, слева график
«приходит снизу из минус бесконечно-
сти» — см. рис. 3. Теперь плавно соеди-
ним построенные два кусочка графика
так, чтобы полученная кривая проходи-
ла через точки а, Ь, с на оси абсцисс.
Получится кривая, изображенная на
рис. 4. Так примерно и выглядит график
многочлена f(x) = (х — а)(х — Ь)(х — с).
Давайте проследим, что произойдет,
начнут двигаться навстречу друг другу,
Этот процесс изображен на рис. 5. В тот момент, когда а и
b стали равны, график коснулся оси абсцисс — см. рис. 5, б.
В этот момент у многочлена f(x) = (х — а)(х — Ь)(х — с) по-
явился кратный корень: f(x) = (х — а)2(х — с). Мы приходим
к такому выводу:
Кратному корню многочлена f(x) отвечает такая точ-
ка пересечения его графика с осью абсцисс, в которой
график касается оси.
Рис. 4
если точки а и b
стремясь слиться.
59
А что может произойти с графиком многочлена /(т) после
того, как точки а и b слились? График может приобрести,
например, такой вид, как на рис. 5, в. Это уже график много-
члена, которой имеет только один корень. Примерно так вы-
глядит график кубического многочлена /(т) = (х — 2)(т2 + 1).
Рис. 5
Теперь давайте построим график многочлена /(т) = т3.
Для этого вычислим несколько значений функции /(т) при
различных значениях переменной х.
Если х = 0, то f(x) = 0. Нанесем
точку (0; 0) на график — рис. 6.
.	Если х = 1, то f(x) = 1. Если х — 2,
1	то /(т) = 8. Ясно, что дальше увеличи-
 У г вать х не стоит, так как /(ж) растет
1 слишком быстро и соответствующие
точки не поместятся на странице.
Попробуем теперь взять х близко
к нулю. Если х = 1/2, то /(т) = 1/8.
Если х = 1/3, то /(т) = 1/27. Ясно, что
Рис. 6
уменьшать х тоже не стоит, так как
f(x) становится слишком малым.
Того, что мы узнали, уже достаточно, чтобы построить
часть графика, лежащую справа от оси ординат (рис. 6).
60
А как быть с частью графика, лежащей слева от оси?
Давайте возьмем несколько точек с отрицательной абсцис-
сой. Если х = —1, то /(ж) = (—I)3 = —1. Если х = —2, то
/(ж) = (-2)3 = -8. Если х = -1/2, то f(x) = (—1/2)3 = -1/8.
Мы видим, что все эти точки расположены симметрично точ-
кам, которые мы нанесли на чертеж раньше, относительно
начала координат.
Давайте посмотрим, почему так получается. Пусть
(ж; /(#)) — точка нашего графика. Тогда точка графика
с противоположной абсциссой будет иметь координаты
(—ж;/(—ж)). Поскольку /(—ж) = (—ж)3 = —ж3, мы видим,
что вторая точка имеет координаты (—ж;—/(ж)). Именно
так связаны между собой координаты
метричных точек: если (ж; у) — точка
на плоскости, то центрально симме-
тричная ей точка имеет координаты
(—ж;—у) — см. рис. 7. Следовательно,
график получится центрально сим-
метричным. Он представлен на рис. 7.
График проходит через начало коор-
динат и там касается оси абсцисс.
Это не удивительно — в этой точке
слились даже не два, а все три корня
центрально сим-
кубического многочлена.
В нашем рассуждении .конкретный вид многочлена /(ж)
не играл решающей роли. Важно было только то, что /(ж) —
нечетный многочлен (и вообще — нечетная функция). Мы
получили такое общее утверждение:
График нечетного многочлена центрально симметричен
относительно начала координат.
61
Аналогично доказывается и следующее утверждение:
График четного многочлена симметричен относительно
оси ординат.
Обратите внимание на то, что каждый раз у нас график
кубического многочлена пересекал ось абсцисс. Случайно ли
так получилось или так будет всегда?
Покажем, что график кубического многочлена /(ж) все-
гда пересекает ось абсцисс. Предположим для определенно-
сти, что старший коэффициент /(ж) положительный. При
очень больших ж, старший член становится много больше
остальных членов и определяет знак всего многочлена. По-
этому /(ж) > 0 при больших положительных значениях ж, а
при больших по абсолютной величине, но отрицательных зна-
чениях х будет /(ж) < 0. Иными словами, кусочки графика
при больших по абсолютной величине положительных и отри-
цательных х выглядят так, как на рис. 3. Чтобы построить
график, нужно соединить эти два кусочка некоторой кри-
вой. Но как ни соединяй, эта кривая обязательно пересечет
ось абсцисс.
Наше рассуждение годится не только для кубического,
но и для любого многочлена нечетной степени. Мы получили
такое неожиданное утверждение:
Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один
действительный корень.
Мы не будем здесь строить графики многочленов более вы-
соких степеней. Отметим только, что график многочлена п-й
степени пересекает ось абсцисс не более, чем в п точках: ведь
эти точки отвечают его корням.
62
Задачи
11.1.	Пусть a + b + с < Ои уравнение ах2 + Ьх + с — О не
имеет решений. Найдите знак с.
11.2.	На рис. 8 изображены четыре параболы — графики
квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с. Определите во
всех случаях знаки коэффициентов а, Ь и с.
Рис. 8
11.3.	Постройте графики многочленов:
а) —2х2 + 7х - 5; б) (ж - I)3 + 2; в) ж3 - 4z;
г) ж3 - 1.
11.4.	На рис.9 изображены в одной систе- \ t / /
ме координат графики многочленов
х2 и 5х3. Из-за мелкого масштаба дЗЗ/
плохо видно, как ведут себя графики /
около начала координат. Посмотрите
на этот чертеж «через увеличитель- Рис. 9
ное стекло», т.е. нарисуйте область
внутри кружочка в увеличенном масштабе. На вашем
чертеже должно быть видно, какой из графиков
лежит выше и где они пересекаются.
11.5.	Докажите симметричность графика четного много-
члена относительно оси ординат.
63
11.6.	Докажите, что многочлен а(х—2)(х+1)+Ь(х—1)(х+2),
где а и b — произвольные ненулевые числа, имеет хотя
бы один корень.
11.7.	Докажите, что многочлен х(х — 2) + а(х — 1)(х — 3),
где а 7^ —1, имеет два различных корня.
11.8.	Докажите, что многочлен (х — а)(х — Ь) + (ж — Ъ)(х — с) +
+ (х — с)(ж — а), где а, 6, с — различные числа, имеет
хотя бы один корень.
11.9.	Пусть /(ж) = ах2 + Ьх + с — квадратный трехчлен и
пусть уравнение /(ж) = 0 не имеет решений. Докажи-
те, что уравнение /(/(х)) = О тоже не имеет решений.
11.10.	Докажите, что график многочлена степени п пересе-
кает любую горизонтальную прямую не более, чем в
п точках.
11.11.	Докажите, что график любого кубического многочле-
на ах3 + bx2 + сх + d имеет центр симметрии.
Рис. 10
64
11.12.	Какое наибольшее число точек пересечения могут
иметь графики многочленов степеней пик?
11.13.	На рис. 10 изображены семь графиков. Известно, что
один из них — это график квадратного трехчлена,
два других — графики кубических многочленов,
один — график многочлена четвертой степени, а
три оставшихся вообще не являются графиками
многочленов. Определите, какие графики являются
графиками многочленов.
65
12. Многочлены Чебышева
В этом параграфе мы исследуем, каким может быть мно-
жество значений многочлена на данном отрезке. Зафиксиру-
ем отрезок [—2; 2]; мы берем именно этот отрезок, потому
что в этом случае получаются наиболее красивые формулы,
хотя можно взять и любой другой.
Рассмотрим сначала многочлены первой степени (линей-
ные), т. е. функции вида /(ж) = ах + Ь. Множество значений
такой функции на отрезке [—2; 2] найти нетрудно — это от-
резок [/(—2);/(2)]. Поскольку /(—2) = —2а + Ь; /(2) = 2а+ 6,
мы находим, что длина отрезка значений [/(—2);/(2)] равна
2а + b — (—2а + Ь) = 4а.
Мы видим, что если разрешить старшему коэффициенту
а принимать произвольные значения, то множество значений
многочлена ах + b на отрезке [—2; 2] может быть любым. По-
этому, чтобы наша задача имела смысл, зафиксируем стар-
ший коэффициент; положим, например, а = 1.
Итак, мы рассматриваем линейный многочлен /(ж) =
= х + Ь. Его наименьшее значение на отрезке [—2; 2] равно
b — 2, а наибольшее равно b + 2. Таким образом, множество
значений — это отрезок длины (Ь + 2) — (Ь — 2) = 4.
Вместо того, чтобы говорить о множестве значений мно-
гочлена, можно интересоваться его наибольшим и наимень-
шим значением. Обозначим наибольшее значение через Л/, а
наименьшее — через тп. Тогда М т и множество значений
многочлена на отрезке будет отрезком длины М — т. Напри-
мер, на рис. 11 изображены графики трех функций и указаны
значения Мит. Изменение функции на отрезке характери-
зуют абсолютные величины чисел М и т, т. е. \М\ и \т\.
66
Назовем наибольшее из чисел \М\ и \т\ отклонением функ-
ции от нуля на отрезке [—2; 2]. Для функций, графики кото-
рых изображены на рис. И, а, б, в, отклонения от нуля равны,
соответственно, 2, 2 и 3.
Рис. 11
Теперь мы можем точно сформулировать нашу задачу.
• Какое наименьшее отклонение от нуля может иметь на
отрезке [—2; 2] многочлен со старшим коэффициентом 1?
Для линейного многочлена /(ж) = х + b множество значений
на отрезке [—2; 2] будет отрезком длины 4. Поэтому хотя бы
один из концов этого отрезка удален от нуля на расстояние,
не меньшее 2. Следовательно, в случае многочленов первой
степени ответ на наш основной вопрос такой:
На отрезке [—2; 2] отклонение приведенного линейного
многочлена от нуля не меньше 2.
А существует ли многочлен, имеющий именно такое от-
клонение от нуля? Если х+Ь — такой многочлен, то 6—2 = —2
и Ь + 2 = 2. Следовательно, b = 0. Итак,
67
Существует единственный приведенный линейный мно-
гочлен, отклонение которого от нуля на отрезке [—2; 2]
равно 2, — это /(ж) = х.
Теперь перейдем к решению аналогичной задачи для
квадратного трехчлена. Возьмем для начала самый про-
стой из приведенных квадратных трехчленов: /(ж) = х2.
Его график изображен на рис. 12, а. Из рисунка видно,
что отклонение этого многочлена от нуля равно 4, и что
парабола — график трехчлена — расположена не очень
удачно. Если сдвинуть параболу немного вниз, то самая
высокая точка, т. е. максимум функции, станет немного
меньше 4, а самая низкая точка, т. е. минимум функции,
станет небольшим отрицательным числом. В результате
отклонение от нуля уменьшится (рис. 12, б).
б)
Рис. 12
Эти соображения показывают, что наиболее удобно опу-
стить график на 2 единицы. Это означает, что мы рассма-
триваем приведенный квадратный трехчлен х2 — 2. Его гра-
фик показан на рис. 12, в. Для этого многочлена отклонение
от нуля равно 2. Можно сказать то же самое и так: график
68
многочлена ж2 — 2 на отрезке [—2; 2] лежит внутри заштри-
хованного квадрата — см. рис. 12, в.
Давайте выясним, может ли квадратный трехчлен
х + рх + q иметь меньшее отклонение от нуля на отрезке
[—2; 2], чем трехчлен х2 - 2, т. е. чем 2. Предположим, что
отклонение /(ж) = х2 + рх + q от нуля меньше или равно 2.
Тогда все значения f(x) при х G [—2; 2] лежат на отрезке
[—2;2]. В частности, —2 < /(—1)	2; —2	/(0) 2и
—2 < /(1) < 2. Подставим в формулу х2 + рх + q значения
х = — 1, 0, 1. Мы получим три двойных неравенства:
—2	4 — 2р + q 2,
—2 < 4 + 2р + q < 2,
—2	?^2.
Последнее неравенство можно умножить на (—1). В резуль-
тате получится такая система:
—2 < 4 — 2р + q 2,
—2 < 4 + 2р + q < 2,
—2	~q^2.
Теперь сложим третье неравенство сначала с первым, а за-
тем — со вторым. Мы получим такую систему (сейчас нас
интересует лишь ее правая часть):
4 - 2р < 4,
4 + 2р < 4.
Отсюда следует, что — р С 0 и р С 0. Такое может быть лишь
при р = 0. Значит, из наших неравенств следует, что р = 0.
Подставим р = 0 в исходную систему:
-2 4 + q 2,
—2 < q < 2.
69
Первое неравенство равносильно такому: — 6 q —2. Итак,
получается, что q — 2 и — 2 q. Это может быть лишь при
q = — 2. Значит, наша система неравенств имеет единствен-
ное решение: р = 0, q = —2. Стало быть, из предположения о
том, что отклонение от нуля на отрезке [—2; 2] квадратного
трехчлена х2 +рх + q меньше или равно 2, следует, что этот
трехчлен есть х2 — 2. В частности, отклонение от нуля все-
гда 2. Это можно сказать и так: всякий трехчлен x2+px+q
имеет на отрезке [—2; 2] хотя бы одно значение 2 или —2.
Неожиданный вывод, не правда ли? Сформулируем резуль-
таты нашего исследования:
Для каждого квадратного трехчлена х2 + рх + q найдет-
ся такая точка а е [—2; 2], что |/(а)|	2. Единственный
трехчлен со старшим коэффициентом 1, все значения ко-
торого на отрезке [—2; 2] принадлежат отрезку [—2; 2], —
это х2 — 2.
Мы полностью исследовали случай многочленов второй сте-
пени. Но наше решение не дает полного удовлетворения —
неясно, почему вдруг решением системы уравнений оказа-
лась единственная пара чисел вместо целого интервала. Да
и вообще, чем же так хорош трехчлен х2 — 2? Ответ на эти
вопросы можно получить, если рассмотреть графики.
Мы приведем сейчас совершенно другое доказательство
того, что х2 — 2 имеет наименьшее отклонение от нуля на
отрезке [—2; 2]. Это будет доказательство совсем без вычис-
лений.
Итак, пусть /(ж) — приведенный квадратный трехчлен.
Пусть его отклонение от нуля не больше 2. Тогда график
целиком лежит внутри заштрихованного квадрата (рис. 13).
Рассмотрим этот график. Мы утверждаем, что он обяза-
тельно пересечет график трехчлена х2 — 2 хотя бы два раза.
70
Действительно, квадрат на рис. 13 состоит из двух прямо-
угольников: один слева от оси Оу, а другой справа. График
функции х2 — 2 пересекает первый из прямоугольников по
диагонали: из точки А в точку В. График трехчлена f(x)
лежит внутри этого прямоугольни-
ка. Поэтому он хотя бы раз пере-
секает внутри этого прямоугольни-
ка график х2 — 2. Аналогично, гра-
фик ж2—2 идет внутри второго пря-
моугольника по диагонали: из точ-
ки В в точку С. Значит, график
функции f(x) хотя бы раз пересе-
кает его и во втором прямоуголь-
нике (это пересечение может про-
изойти и в вершине, например, в
Рис. 13
вершине С на рис. 13).
Что такое пересечение графиков двух функций? Это точ-
ка, в которой их значения равны. Следовательно, многочлены
F(x) = х2 + рх + q и х2 — 2 дважды принимают одинаковые
значения. Следовательно, их разность имеет два корня. Но
разность равна х2 + рх + q — (х2 — 2) = рх + q + 2, т. е. явля-
ется линейной функцией. Линейная функция не может иметь
больше одного корня; следовательно разность равна нулю.
Мы заключаем, что f(x) = х2 — 2.
Итак, предположение о том, что отклонение f(x) от нуля
не больше 2, привело к заключению, что f(x) = х2 — 2. В
частности, это отклонение не может быть меньше 2.
Наше доказательство закончено. Не правда ли, мы полу-
чили все, что хотели, почти «даром»? По существу, мы ис-
пользовали только вид графика функции х2 — 2, а именно то
его свойство, что он дважды проходит между горизонталь-
ными прямыми у = 2 и у - - 2. Этого свойства трехчлена
х2 — 2 оказалось достаточно, чтобы у него было наименьшее
возможное отклонение от нуля.
71
Рис. 14
А почему бы не обобщить это
рассуждение и на многочлены
более высокой степени? Пусть,
например, удалось построить
приведенный кубический много-
член д(х) с отклонением от нуля,
равным 2, график которого на
отрезке [—2; 2] трижды пересекает
полосу между прямыми у = 2 и
у — — 2 (рис. 14). Если /(ж) —
произвольный приведенный ку-
бический многочлен, отклонение
которого от нуля 2, то его график по крайней мере
трижды пересекает график у = д(х) (рис. 14). Это значит,
что разность д(х) — f(x) имеет не меньше трех корней.
Но эта разность — многочлен второй степени. Если у
многочлена второй степени три корня, то он равен нулю.
Поэтому /(ж) = д(х). Таким образом, предположение о том,
что отклонение f(x) от нуля 2 приводит к равенству
f(x) = д(х). Следовательно, наименьшее отклонение от
нуля приведенного кубического трехчлена не меньше 2; и
единственный многочлен, у которого отклонение от нуля
равно 2, есть д(х).
Аналогичные рассуждения годятся для многочленов лю-
бой степени. Дело за малым: нужно придумать такие при-
веденные многочлены, графики которых достаточное число
раз пересекают полосу между прямыми у = ±2. Многочлен
второй степени нам удалось найти: это х2 — 2. Но как найти
многочлены других степеней?
Многочлены, которые мы ищем, т. е. многочлены с
наименьшим отклонением от нуля называются многочле-
нами Чебышева в честь знаменитого русского математика
XIX века. Существуют разные способы их построения — об
72
этом пойдет речь в упражнениях после параграфа. Скажем
только, что
Для любого п существует единственный приведенный
многочлен степени п, имеющий равное 2 отклонение от
нуля на отрезке [—2; 2].
В заключение мы расскажем, как построить многочлен с
наименьшим отклонением от нуля, имеющий четвертую сте-
пень. Обозначим уже известный нам многочлен х2 — 2 через
f(x). Рассмотрим функцию	Эта запись означает, что
в формулу х2 — 2 нужно подставить х2 — 2 вместо х. Полу-
чится такой многочлен четвертой степени:
(х2 — 2)2 — 2 = х4 — 4гг2 + 4 — 2 = х4 — 4гг2 + 2.
Посмотрим, какой у него будет график.
Рис. 15
Из графика функции f(x) = х2 — 2 (рис. 15, б) видно, что
пока х меняется от —2 до 0, f(x) меняется от +2 до —2. За это
время /(/(ж)) дважды пробегает отрезок [—2; 2] — это тоже
видно из рис. 15, б. Аналогично, пока х меняется от 0 до 2,
73
f(x) меняется от —2 до 2, a f(f(x)) дважды пробегает от-
резок [—2; 2]. Итого	четыре раза пробегает отрезок
[-2; 2]. Кроме того, /(/(-2)) = /(2) = 2 и /(/(2)) - /(2) = 2.
Следовательно, график выглядит как на рис. 15, а. Значит,
f(f(x)) = х* — 4я2 + 2 — это такой многочлен, как нам нуж-
но. Он имеет наименьшее отклонение от нуля, равное 2.
Функция f(f(x)) называется итерацией (повторением)
функции f(x). Можно образовывать и другие итерации
/(/(/(ж))), /(/(/(/(я)))) и т. д. Эти многочлены тоже имеют
наименьшее отклонение от нуля, равное 2.
Задачи
12.1.	Отклонение многочлена f(x) от нуля равно нулю.
Найдите f(x).
12.2.	Пусть f(x) — некоторый многочлен. Докажите, что
среди всех многочленов вида f(x) + с, где с — некото-
рое число, наименьшее отклонение от нуля на произ-
вольном отрезке имеет такой, у которого максимум
М и минимум т связаны соотношением: М + т = 0.
12.3.	Найдите приведенный квадратный трехчлен с наи-
меньшим отклонением от нуля на отрезке:
а) [—1; 1]; б) [0; 1]; в) [а; 6].
12.4.	Пусть f(x) — приведенный многочлен с наименьшим
отклонением от нуля на отрезке [—2; 2]. Как постро-
ить приведенный многочлен той же степени с мини-
мальным отклонением от нуля на отрезке:
а) [—1; 1];	6) [0; 1]; в) [а; Ь]?
12.5.	Придумайте приведенный кубический многочлен,
имеющий на отрезке [—2; 2] отклонение от нуля,
равное 2.
Указание: Ищите этот многочлен среди нечетных
многочленов.
74
12.6.	а) В доказательстве того, что х2 — 2 имеет наи-
меньшее отклонение от нуля, основанном на
рассмотрении графиков, имеется пробел. Именно,
мы не рассмотрели возможность такого пересече-
ния графиков, как изображено на рис. 15, б. Что
нужно исправить в нашем рассуждении, чтобы
оно годилось и для этого случая?
Указание: Вспомните определение кратного
корня.
б)	Тот же вопрос для многочлена третьей степени.
в)	Тот же вопрос для многочлена любой степени.
12.7.	Многочлен f(x) имеет степень п. Найдите степень
итераций:
а) /(/«, б) /(/№))); в) /(/(•••/(*))•••)•
к раз
12.8.	Вычислите /(/(/(я))) для f(x) — х2 — 2.
12.9.	Найдите значения итерации /(•••/(#)•••), где
/(ж) = ? - 2 и О 2, при:	'	'
а) х = 2; б) х = —2; в) х = 0; г) х = л/2.
12.10.	Цель этого упражнения — построить многочлены,
имеющие наименьшее отклонение от нуля, равное 2,
на отрезке [—2; 2].
Рассмотрим последовательность многочленов
Р1(гг) = X, Р2^х) = х2 — 2, Рз(^) = х3 — Зх, ... ,
в которой каждый следующий многочлен выража-
ется через два предыдущих следующим образом:
Рп+1(х) = Х-рп(х) -рп_1(ж).
а)	Найдите р± (ж), р$ (ж).
б)	Докажите, что рп(х) — приведенный многочлен
степени п.
75
в)	Докажите по индукции, что функция 2 cos па
выражается через функцию 2 cos а следую-
щим образом: 2 cos па = pn(2cosa). Например,
2 cos 2а = 4 cos2 а - 2.
Указание: Используйте формулу 2 cos a cos (3 =
= cos(q + /3) + cos(a - /3).
г)	Докажите, что график многочлена рп(х) п раз пе-
ресекает полосу между прямыми у = ±2.
Указание: Пусть х изменяется в пределах от — л
до л. Тогда 2 cos а меняется от —2 до 2. Как изме-
няется 2 cos па?
д)	Докажите, что многочлен р(х) имеет наименьшее
отклонение от нуля на отрезке [—2; 2], равное 2.
е)	Другое описание многочленов рп(х). Докажите,
что функция tn + (l/tn) выражается через функ-
цию t + (1/t) следующим образом: tn + (l/tn) =
= рп(^+(1Д))- Например: t2 + (l/t2) = (t + 1/t)2 -2;
t3 + (1/t3) = (t + (I/O)3 - 3(t + (1/0)-
12.11.	Постройте многочлены, наименее отклоняющиеся от
нуля на отрезке: а) [—1; 1]; б) [—а; а]; в) [а;й].
Чему равно отклонение от нуля в каждом из случаев?
Указание: а) Рассмотрите замену х 2х.
12.12.	Говорят, что многочлены f(x) и д(х) коммутируют,
если = <?(/(з;)). Докажите, что любые два мно-
гочлена рп(х) и pk(x) коммутируют.
Указание: Используйте упражнение 12.10, в).
76
13. Графики рациональных функций
Графики рациональных функций устроены сложнее, чем гра-
фики многочленов. Однако мы научимся строить и эти гра-
фики, немного используя вычисление и широко — здравый
смысл.
Пример 1. Рациональная функция —.
х
Прежде всего мы замечаем, что х 0. Поэтому через
точку х = 0 мы проводим на координатной плоскости верти-
кальную прямую — см. рис. 16. Как ведет себя график, когда
х приближается к нулю? Если х подходит к нулю слева, т. е.
1
оставаясь отрицательным, то — стано-
х
вится все большим по абсолютной ве-
личине отрицательным числом. Напри-
1	1
—, то - = —2, если
2	х
= -10; если х =
Рис. 16
мер, если
1
х —------,
10’
1
то —
1 х
то — = —100 и т. д. Все это показывает,
х
что слева от вертикальной прямой х = 0
график себя ведет так, как изображено
на рис. 16.
Теперь посмотрим, что будет, если х приближается к ну-
лю справа, т. е. оставаясь положительным. При этом - стано-
х
вится все большим положительным числом. Например, если
х — -, то - = 2; х = —, то — — 10; если х = ——, то - = 100
2	х	10 х	100 х
и т. д. Короче говоря, справа от оси ординат; график ведет
себя так, как изображено на рис. 17.
77
Рис. 17
Прямая х = 0, к которой «прижи-
мается» наш график при маленьких
значениях ж, называется вертикальной
асимптотой. Поведение графика около
асимптоты х = 0 можно описать та-
ким образом. Когда х приближается
к 0 слева, график опускается вниз и
прижимается к асимптоте (рис. 16). В
момент х = 0 график как бы мгно-
венно прыгает снизу вверх (рис. 17)
и начинает постепенно опускаться,
удаляясь от асимптоты. Такие «прыж-
ки» — типичная особенность графиков
г——-----------► рациональных функций.
Следующее, о чем нужно поду-
мать, — как ведет себя график при
больших по абсолютной величине значе-
ниях переменной. Если х — большое (по
Рис 18	\	1
модулю) отрицательное число, то-----
х
тоже отрицательное, но очень малень-
кое число. Например, если х = —100,
11
то — =-------если, х = —1000, то
------------- х 100’
------------1 1
— =--------, и т. д. Все это означает,
х 1000’	"
что левый «конец» графика устроен
так, как изображено на рис. 18.
Аналогично, если х — большое поло-
Рис. 19	1
жительное число, то----тоже положи-
те
тельное, но маленькое число. Например,
если х = 10, то — = —, если х — 100, то - =	, и т. д. Ина-
х 10	х 100
че говоря, поведение правого «конца» графика такое, как изо-
бражено на рис. 19. Горизонтальная прямая у = 0, к которой
78
прижимается график при больших значениях х. называется
горизонтальной асимптотой.
Последний вопрос, на который нам нужно ответить, это
есть ли у графика пересечения с осями координат. Ось ор-
динат, как мы знаем, график не пересекает: ведь х не мо-
жет равняться нулю. Пересечения с осью Ох отвечает кор-
ням уравнения — = 0. Но это уравнение
х	II
не имеет ни одного решения. Значит, и	I
наш график не пересекает ось абсцисс.	\
Теперь нам остается только со-
единить кусочки графика, изображен-	\
ные на рис. 16-19. На рис. 20 изобра-	\
жен окончательный ответ — график	I
рациональной дроби -. Как Вы, на-
х
верное, знаете, эта кривая называется	?ис- 20
гиперболой.
Из рисунка видно, что график получился симметричным
относительно начала координат. Случайно ли это? Конечно,
нет. Функция f(x) = — нечетная, т.е. /(—х) = —f(x). Дей-
ствительно,	Х
Л~*) =
(-я)
Мы уже знаем, что графики нечетных многочленов — симме-
тричные относительно начала координат кривые. Аналогич-
но обстоит дело и с графиками любых нечетных функций.
Если бы мы сразу заметили, что наша функция - нечетная,
х
мы могли бы сэкономить силы — построить график толь-
ко для положительных ж, а затем отразить его симметрично
относительно начала координат.
Прежде чем идти дальше, давайте остановимся и подве-
дем итоги. При построении графика мы обратили внимание
79
на следующие его особенности: наличие вертикальных асим-
птот и поведение графика возле них; поведение графика «на
бесконечности», т.е. при больших по величине значениях
наличие точек пересечения с осями координат. Полезно так-
же посмотреть, не будет ли данная функция четной или не-
четной. По этой схеме мы будем действовать и в дальнейшем.
— 1
Пример 2. Функция у =-----—.
х — 3
Прежде всего разделим числитель на знаменатель:
2х — 1 х — 3
2х — 6 2
5
5
Тем самым функция приобретает такой вид: у = 2 -I---.
х — 3
Теперь давайте рассуждать. Знаменатель обращается в
нуль при х — 3. Значит, прямая х = 3 — вертикальная асим-
птота. Изобразим ее на рис. 21.
Если х приближается к 3 слева, то
[ У х — 3 — маленькое отрицательное число.
. Следовательно, ---------- становится очень
х — 3
1 большим по модулю отрицательным чис-
। лом. Значит, слева от асимптоты график
' ведет себя как на рис. 21. Аналогично, если
i3 * х приближается к 3 справа, то х — 3 —
\ । маленькое положительное число, а---------- —
\ ।
большое положительное число. Значит,
Рис. 21 справа от асимптоты график ведет себя
как на рис. 21.
Теперь найдем горизонтальную асимптоту. Если х —
очень большое по величине число, то ---- очень близко к
х — 3
нулю. Следовательно, у мало отличается от 2. При этом,
80
Рис. 22
2
1/3
1/2 [3
если х > 0, то у > 2, а если
х < 0, то у < 2. Поэтому пове-
дение графика «в бесконечности»
такое, как изображено на рис. 22.
Иными словами, прямая у = 2 —
горизонтальная асимптота.
Остается найти точки пересе-
чения с осями координат. Ордина-
та точки пересечения с осью Оу —
это значение функции при х = О,
“I 1
т.е. у = —- = -. Отметим точку
(0; 1/3) на рис. 23.
Абсцисса точки пересечения
графика с осью Ох — корень
уравнения у = 0. Это уравне-
2з? — 1
ние решить нетрудно: ----— = 0
X о
1
тогда и только тогда, когда х = -.
Отметим точку (1/2; 0) на
рис. 23.
Остается только соединить
кусочки графика на рис. 21-22
так, чтобы пройти через точки,
отмеченные на рис. 23. Получается
окончательный ответ: см. рис. 24.
Получившаяся кривая очень на-
поминает кривую на рис. 20, и это,
конечно, не просто совпадение. Из
5
формулы у = 2 Ч------ видно, что
х 3
график на рис. 24 можно получить
из графика функции у = — следующим преобразованием:
х
сдвигом на 3 единицы вправо, растяжением в 5 раз вдоль
Рис. 23
81
вертикальной оси и сдвигом на 2 единицы вверх. В частнос-
ти, получившийся график тоже будет гиперболой.
Аналогично можно доказать следующее и более общее
утверждение.
,	ах + b .	.
Функция вида у =--------, где а, 6, с, а — некоторые чис-
сх + а
ла, называется дробно-линейной. Мы предполагаем, конечно,
что эта функция не является линейной (это бывает, когда
с = 0) и не постоянная (так может быть, например, если
с = а и d = Ь). Так вот:
График дробно-линейной функции — гипербола, по фор-
1
ме не отличающаяся от графика функции у = —.
Пример 3. График функции
1	1
У~ 5(х — 1) + 5(ж + 1)
III	Прежде	всего отметим вер-
'I	тикальные	асимптоты х = 1
।	।	и х = — 1 (рис. 25). Как опре-
1	* 1	делить поведение функции
Zfi	ij " вблизи вертикальных асим-
1	1	птот, Вы уже знаете.	Поэтому
|i	i|	мы сразу изобразим	кусочки
I1	1	графиков вблизи асимптот на
1	1	рис. 25.
рис 25	Теперь изучим поведение
графика на бесконечности.
При больших по абсолютной
1 1
величине значениях х оба слагаемых —------— и —------—
5(т — 1)	5(т + 1)
становятся очень малыми. Поэтому прямая у = 0 —
82
горизонтальная асимптота. Вблизи нее график ведет себя
так, как изображено на рис. 25.
Осталось найти точки пе-
ресечения с осями. При х = 0	'If1!
имеем	1	Ч
11	\ \
У = — + - = -1	+ 1 = 0.	\	'\.
-5	5	।	।	 г
Отметим точку (0; 0) на	Л 1	\1
рис. 25. Чтобы найти Пересе-	V	L
чение с осью абсцисс, решим	I1	1
уравнение
।	।	Рис. 26
5(z — 1)	5(ж + 1)
Если привести дроби к общему знаменателю 5(я — 1)(я + 1),
то получится уравнение
х + 1	х — 1
5(z — l)(z + 1)	5(ж — l)(z + 1)
2ж
или просто —----—------— = 0. Его единственный ко-
5(z — l)(z + 1)
рень: х = 0. Следовательно, других точек пересечения
графика с осью Ох, кроме начала координат, нет.
Окончательный вид графика изображен на рис. 26.
Пример 4. График функции
_ х2 — 1
У = (2ж — 1)(2ж 4-3) ’
Вертикальные асимптоты этого графика — прямые
х = 1/2 и х = —3/2. Отметим их на рис. 27. Изучая поведе-
ние графика вблизи асимптот, мы учитываем, что числитель
83
отрицателен при х = 1/2 и положителен при х — —3/2. По-
ведение графика около вертикальных асимптот изображено
на рис. 27.
Рис. 27
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, нам придется
пойти на хитрость. Разделим на х2 числитель и знаменатель
х2 — 1
дроби у = у-----т—----Получится такое выражение:
(2т - 1)(2т + 3)
Когда х становится очень большим по (абсолютной) вели-
чине, все слагаемые, содержащие х в знаменателе, становят-
ся маленькими. Поэтому значение у стремится к величине
1 1 тт 1
-—- = -. Иными словами, у = - — горизонтальная асим-
птота. Нанесем ее на рис. 27.
Осталось посмотреть, когда график пересекает оси ко-
ординат. Если х = 0, то у = (—!)/((—!) • 3) — 1/3. Отметим
84
точку (0; 1/3) на рис. 27. Если же у — 0, то х2 — 1 = 0 или
(ж — 1)(х + 1) = 0. Следовательно, (—1;0) и (1; 0) — две точки
пересечения графика с осью абсцисс. Отметим и эти точки.
Теперь ход графика ясен. Его окончательный вид показан
на рис. 28.
Задачи
13.1.	Постройте графики рациональных функций:
х	1	х	1
г)у = ^; д)у = ^2тр1;
.	1 1 1
>У х ж + 1	ж + 2’
ч	1	х	1
и) у = -г-.-----к) у = 2	
xz + х — 2	х£ + х + 2
х	1
В)У=^1;
А	Х
. 1
з) У = х+-^-
13.2.	Докажите, что прямая у = х — ось симметрии гра-
1
фика функции у = -.
85
13.3.	Докажите, что график дробно-линейной функции
имеет центр симметрии.
13.4.	Докажите, что график функции у = ------ - +
т	5(т — 1)
+ —------который мы построили в примере на
5(х + 1)
сс. 82-83, симметричен относительно начала коорди-
нат.
13.5.	На рис. 29 изображены три графика. Известно, что
два из них — графики рациональных функций, а тре-
тий — нет. Можете ли Вы сказать, какой график не
является графиком рациональной функции?
86
14. Многочлены с целыми коэффициентами
Пусть /(а;) — многочлен, все коэффициенты которого — це-
лые числа. Пусть a — некоторое целое число. Если разделить
f(x) на х — а, то в частном получится некоторый многочлен
д(х). Зададимся вопросом, будут ли все коэффициенты мно-
гочлена д(х) целыми числами, или среди них могут оказаться
и дробные числа. Давайте проведем эксперимент.
Возьмем в качестве f(x) многочлен За;3 — х2 + 7х — 5 и
разделим его на х — 2:
со со н н 00 W 1 1 Си Си Oi Н Н Н Н N2 N2 N2 Ю 1 +	+ I—1 I—1 ?	Н*	н 1	1 СП	СП	X - 2
	Зх2 + 5х + 17
17ж - 34
29
В частном получился многочлен с целыми коэффициентами.
Почему так получилось, видно из записи деления уголком.
Как вычисляются коэффициенты многочлена, который по-
лучается в частном? Каждый из них равен старшему ко-
эффициенту очередного многочлена, который получается в
результате вычитания, т. е. многочленов: За;3 — х2 4- 7х — 5,
5х2 + 7х — 5, 17х — 5. Эти многочлены, в свою очередь, равны
разностям многочленов с целыми коэффициентами. В част-
ности, их старшие коэффициенты — целые числа.
87
Наше рассуждение применимо к любому многочлену с це-
лыми коэффициентами. Сформулируем вывод:
Многочлен, который получается в результате деления
многочлена с целыми коэффициентами на двучлен х — а,
где а — целое число, сам имеет целые коэффициенты.
Обратите внимание на то, что этот вывод теряет силу, если
делить не на двучлен х — а, а на двучлен кх — а, где к —
натуральное число, большее единицы.
Из теоремы Безу мы знаем, что остаток от деления мно-
гочлена /(ж) на х — а равен /(а) . Запишем это в виде фор-
мулы:
/(ж) = (ж - а)д(х) + /(а),
где д(х) обозначает многочлен с целыми коэффициентами,
который получается в частном. Эту формулу можно перепи-
сать таким образом:
/(х) — f(a) = (х-а)д(х).
Если подставить сюда х = Ь, где Ь — любое целое число, не
равное а, то получится /(Ь) — /(а) = (Ь — а)д(Ь). Число д(Ь)
целое, так как коэффициенты многочлена д(х) — целые чис-
ла. Значит, /(Ь) — /(а) делится на b — а. Этот вывод очень
важен:
Если /(ж) — произвольный многочлен с целыми коэф-
фициентами, то для любых целых чисел а и Ь целое чис-
ло /(Ь) — /(а) делится на b — а.
Чтобы показать, как «работает» это утверждение, решим
такую задачу.
88
•	Существует ли многочлен с целыми коэффициентами,
значение которого при х = 1 равно 3, а при х = — 1
равно 6?
Если такой многочлен f(x) существует, то выполнены ра-
венства /(1) = Зи/(—1) = 6. Согласно утверждению, обве-
денному рамкой, число /(1) - /(-1) = 3 — 6 — — 3 должно
делиться на 1 — (—1) = 2. Но (—3) — нечетное число и на 2
не делится. Поэтому
о Ответ: не существует.
А вот пример решения задачи посложнее.
•	Для некоторого многочлена /(т) с целыми коэффициента-
ми числа /(0) и /(1) четные. Докажите, что для любого
целого числа п значение — четное число.
Рассмотрим отдельно два случая. Если число п четное, то,
согласно утверждению в рамке, число f(n) — /(0) делится на
число п — 0 = п. Поскольку п четно, число /(п) — /(0) тоже
четно. Поскольку /(0) четно, /(п) — тоже четное число.
Если число п нечетное, то /(п) — /(1) делится на число
п — 1. При нечетном п число п — 1 четно, значит, и f(n) — /(1)
четно. Поскольку /(1) четно, /(п) — тоже четное число,
о Что и требовалось доказать.
Задачи
Во всех задачах этого параграфа /(ж) обозначает многочлен
с целыми коэффициентами.
14.1.	Докажите, что если а и b — целые числа, причем
/(а) = 0 и /(Ь) = 1, то или a = b + 1, или b = a + 1.
14.2.	Многочлен /(ж) принимает значение 5 при пяти раз-
личных целых значениях переменной. Докажите, что
/(ж) не имеет целых корней.
89
14.3.	Многочлен f(x) принимает значения, равные по мо-
дулю 1, при трех различных целых значениях пере-
менной. Докажите, что f(x) не имеет целых корней.
14.4.	Пусть п — натуральное число, большее 2. Существу-
ет ли многочлен /(я), для которого:
а) /(1) = п, f(n) = 2; б) /(1) = п, f(n) = 1?
Если такой многочлен существует, какую наимень-
шую степень он может иметь?
14.5.	а) /(ж) и д(х) — квадратные трехчлены с целыми ко-
эффициентами. Известно, что все коэффициенты
произведения f(x)g(x) — четные числа. Докажи-
те, что все коэффициенты одного из многочленов
/(ж) или д(х) — четные числа.
Сохранит ли силу утверждение задачи, если заменить
в условии четные числа на числа, кратные:
б)	трем; в) четырем?
14.6.	Известно, что /(—1) = /(0) = /(1) = 0. Докажите,
что для любого целого п значение /(п) кратно 3.
14.7.	Если коэффициенты многочлена — целые числа, то
его значения при целых значениях переменной, ко-
нечно, тоже будут целыми. Бывают, однако, много-
члены с дробными коэффициентами, все значения ко-
торых при целых значениях переменной тоже будут
целыми числами. Придумайте такой многочлен вто-
рой степени.
14.8.	а) Докажите, что многочлен (х — а) (х — Ь) — 1, где
а ф Ь — целые числа, не имеет целых корней
(не пользуйтесь формулой корней квадратного
уравнения!).
б)	Приведите пример многочлена вида (х—а) (х—Ь) 4-1,
где а b — некоторые целые числа, который имел
бы целые корни.
90
15. Арифметика остатков
Вам, наверное, не раз приходилось встречаться с задачами, в
которых требуется выяснить, какой остаток дает какое-либо
выражение при делении на данное число. Вот пример такой
задачи.
• Какой остаток при делении на 3 дает число ЮОЗ1003?
Прежде всего выясним, какой остаток при делении на 3 дает
само число 1003. Сделать это нетрудно: 1003 = 1 + 3 • 334.
Значит, остаток от деления 1003 на 3 равен 1.
Поскольку мы интересуемся не самим числом ЮОЗ1003, а
его остатком при делении на 3, было бы хорошо просто заме-
нить 1003 на его остаток. Получилось бы число I1003 = 1 —
это и был бы ответ задачи.
Но такое решение нужно обосновать. Для этого восполь-
зуемся теоремой из предыдущего параграфа. Согласно этой
теореме, если f(x) — многочлен с целыми коэффициентами,
то /(Ь) — /(а) делится на Ь — а. Следовательно, если b — а де-
лится на некоторое целое число п, то и /(Ь) — /(а) делится
на п. Это можно сказать и так:
Если числа а и b дают одинаковые остатки при делении
на п, то и числа /(а) и /(Ь) дают одинаковые остатки
при делении на п.
Теперь при решении нашей задачи остается увидеть в ее
условии многочлен f(x)- В качестве такого многочлена
нужно взять ж1003. Согласно утверждению в рамке, остатки
от деления на 3 чисел /(1003) и /(1) одинаковые. Значит,
/(1003) = ЮОЗ1003 дает такой же остаток при делении на 3,
91
что и /(1) = I1003 = 1 . Таким образом, наша идея решения
получает прочное математическое обоснование.
о Ответ'. 1.
Вместо того, чтобы говорить: «числа а и b дают одина-
ковый остаток при делении на п», мы будем говорить ко-
роче: «а и b сравнимы по модулю т и записывать это так:
а = b (modn).
Пользуясь этим обозначением, утверждение в рамке мож-
но сформулировать так:
Если а = b (modn), то /(а) = /(Ь) (modn) для любого
многочлена с целыми коэффициентами f(x).
Решим еще одну задачу.
• Пусть f(x) — многочлен с целыми коэффициентами. Из-
вестно, что /(0) и /(1) — нечетные числа. Докажите,
что f(x) не имеет целых корней.
Решение удобно записать, пользуясь понятием сравнения по
модулю 2. Каждое целое число п является либо четным, ли-
бо нечетным. В первом случае п = 0 (mod 2), а во втором
n = 1 (mod 2). Предположим теперь, что п — корень много-
члена f(x), т. е. /(п) = 0. По условию, числа /(0) и /(1) —
нечетные, т.е. /(0) = /(1) = 1 (mod 2).
Если п = 0 (mod2), то /(п) = /(0) = 1 (mod 2).
Но /(п) = 0, и мы получаем неверное утверждение:
0=1 (mod 2).
Если п = 1 (mod 2), то /(0) = /(1) = 1 (mod 2). Мы снова
получаем неверное утверждение: 0=1 (mod 2).
Тем самым, предположение о том, что п — целый корень
многочлена /(ж), неверно.
о Что и требовалось доказать.
92
Если заменить целые числа их остатками при делении на
некоторое целое число п, то получится своеобразная арифме-
тика остатков. Рассмотрим самый простой случай, когда
п = 2. Остатков при делении на 2 существует всего два: О
и 1. Чтобы понимать, что речь идет об остатках, а не самих
числах 0 и 1, мы будем ставить над ними черточку: б и 1.
Сложение устроено так:
0 + 0 = 0 (сумма четных чисел четна)
0+1 = 1 (сумма четного и нечетного чисел нечетна)
1 + 1 = 0 (сумма нечетных чисел нечетна)
Составим таблицу умножения:
0-0 = 0 (произведение четных чисел четно)
б • 1 = б (произведение четного и нечетного чисел четно)
1-1 = 1 (произведение нечетных чисел нечетно)
У нас получилась арифметика, в которой есть всего два «чис-
ла»: б и 1. Эта арифметика имеет много необычных свойств.
Например, в ней х2 всегда равен х. Проверим: если х = б, то
х2 = б • б = б; а если х = 1, то х2 = 1 • 1 = 1. С другими
необычными свойствами арифметики остатков Вы познако-
митесь, когда будете решать задачи после этого параграфа.
В заключение решим еще одну задачу.
• Докажите, что если а2 4- Ь2 делится на 3, то а и b оба
делятся на 3 (а и b — целые числа).
Каждое целое число п может дать при делении на 3 один
из трех остатков 0, 1 или 2. Если п = 0 (mod3), то
п2 = 0 (mod3). Если п = 1 (mod3), то п2 = 2 (mod3).
Наконец, если п = 2 (mod3), то п2 = 4 = 1 (mod 3).
Таким образом, п2 всегда сравним или с 0, или с 1 по
модулю 3. По условию, а2 + Ь2 = 0 (mod 3), причем каждое
из чисел а2 и Ь2 сравнимо или с 0, или с 1, по модулю 3. Если
а2 = Ь2 = 1 (mod 3), то а2 + Ь2 = 2 (mod 3). Если а2 = 1,
93
b2 = 0, то а2 + b2 = 1 (mod 3). Если а2 = Ь2 = 0 (mod 3), то
а2 + Ь2 = 0 (mod 3). Тем самым, условие задачи выполнено
лишь в том случае, когда а2 = Ь2 = 0 (mod 3). Это бывает
лишь тогда, когда а = b = 0 (mod 3).
о Что и требовалось доказать.
Подведем итоги этого параграфа. Вы видели, что в во-
просах, связанных со значением остатков при делении на не-
которое число п, полезно заменять числа, о которых идет
речь, на их остатки по модулю п. Такой подход поможет
Вам при решении следующих задач.
Задачи
15.1.	Пусть п = 2 (mod3) и п = 3 (mod 5) . Найдите оста-
ток, который дает п при делении на 15.
15.2.	Найдите последнюю цифру числа ЗЗ22 4- 2211.
Указание', последняя цифра числа сравнима с этим
числом по модулю 10.
15.3.	Докажите, что если а2 + Ь2 делится на 7, то оба числа
а и b делятся на 7.
15.4.	а) Докажите, что для любого целого п выполнено
сравнение п3 = п (mod3).
б)	То же для сравнения n5 = n (mod 5).
в)	.Всегда лип4 еп (mod 4)?
15.5.	Рассмотрим последовательность чисел: 1, 2, 4, 16,
32, ..., 2П. На каких местах этой последовательности
встречаются числа, дающие остаток 3 при делении
на 5?
15.6.	Последовательность чисел Фибоначчи
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
94
строится по такому закону: каждое число, начиная с
третьего, равно сумме двух стоящих перед ним чи-
сел. На каких местах этой последовательности стоят
числа, кратные: а) 2; б) 3; в) 5?
15.7.	Известно, что длины сторон прямоугольного тре-
угольника — целые числа. Докажите, что хотя бы
одно из этих чисел делится на 5.
15.8.	а) Докажите, что из любых 8 чисел можно выбрать
два, разность которых делится на 7.
б)	Докажите, что из 100 любых целых чисел можно
выбрать 15, у которых разность любых двух де-
лится на 7.
15.9.	Многочлен с целыми коэффициентами /(ж) обла-
дает тем свойством, что /(—1) = —999, /(0) = 0,
/(1) = 999. Докажите, что для любого целого п число
/(п) кратно 3.
15.10.	Составьте таблицы сложения и умножения в арифме-
тике остатков при делении на 3.
Указание'. Обозначьте «числа» через 0, 1, 2.
15.11.	Рассмотрим арифметику остатков при делении на 4.
Может ли в ней быть выполнено равенство х • у = б
для некоторых «чисел» х б и у 0?
15.12.	Рассмотрим арифметику остатков при делении на 7.
Найдите такое «число» ж, что х • б = 1.
95
16. Угадаем корень
В этом параграфе мы предлагаем Вам сделать то, чего Вы
не проходили, — решить уравнение третьей степени.
• Решите уравнение х3 — Зх + 2 = 0.
Общего способа решения таких уравнений мы не знаем, по-
этому попробуем просто угадать корень. Если присмотреть-
ся к этому уравнению, можно заметить, что ему удовлетво-
ряет х = 1. Значит, 1 — корень уравнения. Дело сделано —
один корень мы знаем. Теперь воспользуемся теоремой Безу,
согласно которой многочлен х3 — Зх + 2 делится на х — 1:
х3 — Зх + 2 х — 1
х3 — х2	х2 + х — 2
х2 — Зх
х2 — х
- 2х + 2
— 2х + 2
0
Чтобы найти остальные корни, остается решить квадратное
уравнение х2 + х — 2 = 0. Это можно сделать по формулам
для корней квадратного уравнения, а лучше снова просто
угадать корень х = 1. Как и раньше, х2 + х — 2 = 0 делится
на х — 1:
х2 + х — 2 х — 1
х2 — х х + 2
2х — 2
2х — 2
0
96
Последний корень мы находим из уравнения х + 2 = 0.
Итак, все три корня найдены.
о Ответ: х± = х% = 1, х% = —2.
Обсудим это решение. Вы можете сказать, что нам прос-
то повезло: мы угадали корень уравнения х = 1. Это верно:
если целых корней у уравнения нет, то наш метод угадыва-
ния корня не работает. Но общих способов решения уравне-
ний высоких степеней все равно не существует (об этом мы
еще поговорим ниже), так что почему бы и не угадать ко-
рень? А вот если уравнение с целыми коэффициентами имеет
целый корень, то существует способ его безошибочно уга-
дать. Поясним этот способ на примере кубического уравне-
ния ж3 + ах2 + Ьх + с с целыми коэффициентами а, Ь, с.
Предположим, что п — целый корень уравнения. Тогда
п3 + ап2 + Ъп + с = 0.
Следовательно, с = —п3 — ап2 — Ъп = п(—п2 — ап — Ь). В скоб-
ках стоит целое число. Значит, с делится на п. Аналогичный
вывод справедлив для любого уравнения:
Всякий целый корень приведенного многочлена
хп + ахп~г + • • + с с целыми коэффициентами является
делителем свободного члена с.
Как использовать это утверждение, покажем на примере.
• Решить уравнение х3 + х2 + х + б = 0.
Чтобы найти целый корень, выпишем все делители свободно-
го члена. Их полный список такой: 1, —1, 2, —2, 3, —3, 6 и —6.
Обратите внимание на то, что вместе с каждым делителем d
в этом списке встречаются еще три числа: —d, 6/d и —6/d.
Будем по очереди проверять делители, подставляя их
в данный многочлен. С первыми тремя нас ожидает не-
удача, но делитель (—2) оказывается корнем. Дальнейшее
97
решение — это «дело техники». Делим данный многочлен
на х + 2:
х3 + х2 + х + 6 х + 2
х3 + 2х2	х2 — х + 3
— х2 + X
— х2 — 2х
Зх + 6
Зх + 6
О
Чтобы найти остальные корни, решаем уравнение
х2 — х + 3 = 0. Дискриминант этого квадратного урав-
нения отрицательный, поэтому у него решений нет. Итак,
х = — 2 — единственный корень уравнения z3 + rr2 + z + 6 = 0.
о Ответ: х = —2.
Сделаем по поводу этого решения одно замечание. Все ко-
эффициенты исходного многочлена — положительные числа.
Поэтому, если подставить в него положительное значение пе-
ременной д;, получится положительное число. Следовательно,
корень многочлена х3 + х2 + х + б не может быть положитель-
ным числом — его сразу можно было бы искать среди отри-
цательных делителей свободного члена. Это дополнительное
соображение вдвое сокращает перебор делителей.
Задачи
16.1.	Решите уравнения:
а)	д;3 — бд;2 — х + 30 = 0; б) х3 — бд:2 + 15д; — 14 = 0;
в)	д:3 — 13д;2 + 5бд: — 80 = 0;
г)	д;4 — бдт3 + бд:2 + 5х + 12 = 0.
16.2.	Докажите, что многочлен д:10 + 7х2 + 120 не имеет
целых корней.
98
16.3.	Докажите, что если уравнение х3 + ах2 + Ь = 0 с це-
лыми коэффициентами а и b имеет корень х = Ь, то
Ь = ±1.
16.4.	Докажите следующее утверждение:
Если несократимая дробь p/q является корнем
многочлена а$хп + а\хп~^ Н--1- ап с целыми ко-
эффициентами, то ап делится на р, а ао делится
на q.
Пользуясь утверждением предыдущего упражнения, решите
уравнения:
16.5.	9ж3 - 15а?2 - 32ж + 6 = 0.
16.6.	6а?4 + 19а:3 - 7х2 - 2бх + 12 = 0.
99
17. Числа целые, рациональные
и иррациональные
В предыдущем параграфе речь шла о целых корнях много-
членов с целыми коэффициентами. В этом параграфе речь
пойдет о том, какими еще числами могут выражаться корни
многочленов с целыми коэффициентами. Какие числа, кроме
целых, Вы знаете? Прежде всего, рациональные числа, т.е.
числа, которые можно записать в виде p/q с целыми р и q.
Дробь p/q можно считать несократимой — иначе ее можно
сократить. Например, вместо дробей 2/4; 3/6 или 17/34 мы
всегда пишем 1/2.
Зададимся таким вопросом: может ли рациональное чис-
ло p/q, не являющееся целым, быть корнем какого-либо мно-
гочлена с целыми коэффициентами? Если не накладывать
ограничения на старший член этого многочлена, то ответ,
разумеется, будет положительным: p/q число является кор-
нем линейного уравнения qx — р = 0. Поэтому, чтобы сде-
лать наш вопрос интересным, мы предположим, что много-
член /(ж), корнем которого должно быть число p/q, является
приведенным, т.е. его старший коэффициент равен 1.
Прежде чем читать дальше, попробуйте придумать при-
веденный многочлен, корнем которого было бы, например,
число 1/2. После нескольких попыток Вы, наверное, убеди-
тесь, что такой многочлен придумать невозможно. Давайте
объясним, почему это так. Сделаем это опять на примере
кубического многочлена.
Итак, предположим, что приведенный кубический много-
член f(x) = х3 + ах2 + Ьх + с с целыми коэффициентами имеет
100
рациональный корень p/q. Дробь p/q несократимая и ее зна-
менатель отличен от ±1 — иначе число p/q было бы целым.
Подставим х = p/q в f(x):
Р3 аР2
пт + —у +bpq + c = 0.
Q3 q2
Приведем к общему знаменателю. Перепишем это равенство
в таком виде:
р3 = ~ap2q - bpq2 + eg3 = q(-ap2 - bpq - eg2).
Число, стоящее в скобках, целое, поэтому р3 делится на q.
Целое число q отлично от ±1. Поэтому у него есть хотя
бы один простой множитель г. Из того, что р3 делится на д,
следует, что р3 делится на г. Из того, что число г простое,
следует, что р тоже делится на г. Значит, г — общий мно-
житель чисел р и д. Тогда дробь р/g можно сократить на г,
мы же предположили, что p/q — несократимая дробь. Полу-
чилось противоречие, которое доказывает, что р/g не может
быть корнем многочлена f(x) = х3 + ах2 + Ьх + с.
Аналогичный вывод можно сделать в общем случае:
Если приведенный многочлен хп + xn~r Н----h ап с це-
лыми коэффициентами имеет рациональный корень, то
этот корень является целым числом.
Еще раз подчеркнем, что этот вывод относится только к мно-
гочленам со старшим коэффициентом 1.
Продолжим разговор о числах, которые могут быть кор-
нями многочленов. Рассмотрим, например, такой многочлен:
/(т) = х2 — 2. У него, конечно, нет целых корней: если х = О
или х = ±1, то f(x) < 0, а если |ж|	2, то f(x) > 0. Из общего
утверждения, обведенного в рамку, сразу следует, что f(x)
не имеет рациональных корней — ведь если бы рациональ-
ные корни были, они были бы целыми. Но корни уравнения
101
х2 — 2 = 0 ничего не стоит найти: это числа у/2 и — \/2. Сде-
лаем важный вывод: число V2 не является рациональным.
Числа, не являющиеся рациональными, называются ирра-
циональными. Мы вывели иррациональность числа \/2 из об-
щего утверждения, относящегося к корням многочленов. То
же самое можно доказать и непосредственно.
В самом деле, предположим, что \/2 — рациональное чис-
ло, т. е. V2 = p/q. Дробь p/q мы, как всегда, считаем несокра-
тимой. Возведем равенство \/2 = p/q в квадрат: 2 = р2/#2;
умножая на д2, получим: 2g2 = р2. Теперь давайте рассуж-
дать. Из равенства р2 = 2q2 следует, что р2 — четное число.
Квадрат целого числа будет четным тогда и только тогда,
когда само число четное. Значит, р — четное число. Запи-
шем: р = 2г. Подставим это значение р в равенство р2 = 2q2.
Получится такое равенство: 4г2 = 2q2 или q2 = 2г2.
Теперь наше рассуждение можно повторить: q2 делится
на 2, значит и q делится на 2. Итак, мы доказали, что оба
числа р и q делятся на 2. Тогда дробь p/q можно сократить
на 2, что противоречит предположению о том, что эта дробь
несократимая. Следовательно, \/2^pjq.
Сегодня вывод об иррациональности числа д/2 мало кого
удивляет. Но было время, когда математики считали, что все
числа являются рациональными, т. е. могут быть выражены
дробями p/q. Сейчас такой взгляд вызывает лишь снисходи-
тельную улыбку. А ведь открытие иррациональных чисел и, в
частности, доказательство того, что х/2 — иррациональное
число, было одним из самых выдающихся открытий древ-
негреческой математики. Открытие иррациональных чисел
произвело в умах современников не меньший переворот, чем
открытие теории относительности или квантовой теории —
в умах наших современников. Нам хотелось бы, чтобы Вы,
хотя бы на минуту, встали на позиции античных ученых и
тоже испытали удивление тому замечательному факту, что
\/2 нельзя выразить в виде p/q.
102
Итак, мы убедились в том, что \/2 — иррациональное чис-
ло. Зададим «наивный» вопрос: а чему же равен \/2? В качест-
ве ответа на этот вопрос покажем, как вычислить значение
д/2 с любой заданной точностью.
Мы уже видели, что если взять х = 1, то х2 = 1 < 2, а
если взять х = 2, то х2 = 4 > 2. Поэтому 1 < л/2 < 2. Тем
самым мы определили границы, между которыми заключено
число \/2.
Эти границы определены нами слишком грубо. Давайте
уточним эти границы. Если взять х = 1,1, х = 1,2, х = 1,3
или х = 1,4, то х2 все еще будет меньше 2. Если же взять
х = 1,5, то х2 = 1,52 = 2,25 > 2. Стало быть, 1,4 < л/2 < 1,5.
Ясно, что этот процесс уточнения границ, между кото-
рыми заключен \/2, можно неограниченно продолжать. Это
позволяет узнать значение д/2 с любой точностью. Аналогич-
ный вывод относится к любому иррациональному числу:
Любое иррациональное число можно с любой точностью
приблизить рациональными числами.
А теперь порешаем задачи, связанные с иррациональны-
ми числами.
• Докажите, что число V2 + л/З иррационально.
Предположим, что V2 + V3 = а — рациональное число. Тогда
и число (л/2 + УЗ)2 = а2 рационально. Возведем в квадрат:
(\/2 + \/3)2 = (^2)2 + 2V2-V3 + (v^)2 =
= 2 + 2V6 + 3 = 5 + 2\/б = а2.
Выразим из последнего равенства ч/б = (а2 — 5)/2. По пред-
положению а2 — рациональное число; значит, и число ч/б ра-
ционально.
103
Дальнейшие рассуждения напоминают доказательство
иррациональности \/2 из предыдущего примера. Поэтому
мы запишем эти рассуждения коротко.
Если у/б равен несократимой дроби p/q, то 6 = р2/q2 и
р2 = 6q2. Следовательно, р2 делится на 2, и р тоже делит-
ся на 2. Значит, р = 2г. Поэтому 4г2 = 6g2; следовательно,
3q2 = 2г2. Мы видим, что 3q2 — четное число; значит q2, а
вместе с ним и q, делятся на 2. Следовательно, р и q делятся
на 2. Значит, дробь p/q можно сократить, т.е. д/б не явля-
ется рациональным числом. Следовательно, предположение о
том, что число а = V2 + \/3 рационально, неверно.
о Что и требовалось доказать.
Обсудим наше решение. Вас, может быть, удивляет, что
иррациональность числа \/2 + вообще нужно доказывать:
ведь это число записано с помощью знаков корней и, по-
видимому, не является рациональным. Тех, кто так считает,
мы должны предостеречь: порою числа, в записи которых
участвуют корни, являются рациональными и даже целыми.
Вот один пример: число (л/2 + 1)(л/2 — 1) после раскрытия
скобки превращается в 1. Этот пример, пожалуй, слишком
простой, так что приведем пример посложнее:
3 + 2а/2	/3-2^2
2	+ V 2
Доказательство этого равенства — задача 17.4 после пара-
графа.
Задачи
17.1.	Может ли сумма рациональных чисел быть иррацио-
нальной?
17.2.	Может ли сумма иррациональных чисел быть рацио-
нальной?
104
17.3.	Докажите иррациональность чисел:
а) \/3;	6)^2; в)УЗ + \/б; г) + \/3 + \/5;
д) л/2 + л/2.
17.4.	Докажите возведением в квадрат равенство, которым
заканчивается этот параграф.
17.5.	Докажите равенство
/а + дЛ? — Ь la — у/о? — b /
V—2— + v—2— = V« + V6-
Это замечательное тождество называется формулой
сложного радикала. При каких а и b это тождест-
во превращается в равенство из предыдущего упраж-
нения?
17.6.	Вычислите с точностью до двух знаков после запятой:
17.7.	Что больше:
a) у/2 + у/З или 3; б) у/2 + л/11 или у/З + 3?
17.8.	Известно, что х2 = 0,99... Вычислите х с точностью
до двух знаков после запятой.
17.9.	Придумайте многочлен с целыми коэффициентами,
корнями которого было бы число:
а) У2; б) х/2+1; в)У2 + ^.
17.10.	Докажите, что корень из иррационального числа ир-
рационален.
105
18. Разложение многочленов на множители
Вы решили уже достаточно задач на умножение многочле-
нов и убедились, что если быть внимательным, то вычисле-
ние произведения не вызывает принципиальных трудностей.
Иначе обстоит дело с обратной задачей — задачей разложе-
ния данного многочлена на множители. Для разложения на
множители нет никакого рецепта, пригодного во всех случа-
ях; поэтому в каждой задаче приходится искать решение сво-
им способом. Тем не менее, существуют некоторые приемы,
которые помогают раскладывать многочлены на множители.
Мы покажем Вам несколько таких приемов.
•	Разложить на множители многочлен
/(т) = (х + 2)(я + 3)(т + 4) - 6.
Идея решения в том, чтобы угадать корень многочлена f(x).
Это, конечно, можно сделать в соответствии с общим пра-
вилом, т. е. перебирая делители свободного члена. Но лучше
заметить, что 6 — это произведение трех последовательных
чисел 1-2-3. Числа т + 2, ж + Зит + 4 тоже следуют одно за
другим; поэтому, если выбрать х так, что т + 2 = 1,а; + 3 = 2
и х + 4 = 3, то f(x) обратится в 0. Следовательно, х = — 1 —
корень многочлена f(x).
Дальнейший ход решения стандартный. Прежде всего,
раскроем скобки в многочлене /(я). Мы получим
(х + 2)(ж + 3)(ж + 4) - 6 = х3 + 9а;2 + 26а; + 18.
106
Теперь, по теореме Безу, этот многочлен можно разделить
на х + 1.
+ 9а;2 + 26а; + 18 а; + 1
а;3 + х2	х2 + 8х + 18
8а;2 + 26а;
8а;2 + 8х
18а; + 18
18а; + 18
О
Итак, разложение многочлена f(x) на множители получено:
(а; + 2)(а; + 3)(а; + 4) — 6 = (а;2 + 8х + 18) (а; + 1).
Отметим, что квадратный трехчлен х2 + 8х + 18 уже не име-
ет корней, поэтому он не раскладывается на множители. Ес-
ли бы получился квадратный трехчлен, который можно раз-
ложить на множители, «хороший тон» диктовал бы найти
это разложение и записать ответ в виде произведения трех
скобок.
о Ответ: /(а;) = (а;+2)(а;+3)(а;+4) — 6 = (а;2+8а;+18)(а;+1).
Перейдем к следующему примеру. Если в предыду-
щей задаче использовали теорему Безу, то в следу-
ющей задаче мы воспользуемся формулами разности
квадратов: а2 — Ь2 = (а + Ь)(а — Ь) и квадрата суммы
(а2 + 2аЬ + Ь2) = (а + Ь)2.
•	Разложить на множители многочлен х4 + 4.
Данный многочлен составлен из суммы квадратов: а;4 = (а;2)2
и 4 = 22. Вот если бы еще было удвоенное произведение, то
можно было бы воспользоваться формулой квадрата суммы.
Раз удвоенного произведения не хватает, давайте добавим
его (и вычтем, чтобы ничто не изменилось):
а;4 + 4 = а;4 + 2а;2 - 2 + 4 - 4а;2.
107
Теперь три подчеркнутых слагаемых имеют нужный вид:
квадрат числа, квадрат другого числа и их удвоенное про-
изведение. Значит,
х4 + 2х2 • 2 + 4 = (х2 + 2)2.
Наш многочлен приобрел вид (х2 + 2)2 — 4а;2. В этой формуле
мы видим разность квадратов двух выражений: ус2 + 2 и 2х.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(а;2 + 2)2 - 4а;2 = (а;2 + 2 - 2х)(х2 + 2 + 2а;).
Окончательно получаем
о Ответ', а;4 + 4 = (а;2 — 2х + 2)(а;2 + 2х + 2).
В двух предыдущих задачах многочлены с целыми коэф-
фициентами разлагались на множители, которые сами име-
ли целые коэффициенты. В общем случае разложимость или
неразложимость многочлена на множители зависит от то-
го, какие коэффициенты разрешается иметь этим множите-
лям. Возьмем, например, многочлен х2 — 2. Он разлагается
в произведение (а; —	В предыдущем парагра-
фе мы убедились, что л/2 — иррациональное число. Поэтому
х2 — 2 — пример многочлена, который разлагается в произве-
дение многочленов с действительными коэффициентами, но
не разлагается в произведение многочленов с рациональными
коэффициентами.
А вот многочлен х2 + 1 не разлагается в произведение мно-
гочленов даже с действительными коэффициентами. Ведь ес-
ли бы такое разложение существовало, то множители были
бы линейными двучленами вида ах + Ь. Но такой двучлен
имеет корень х = —Ъ/а. Следовательно, и многочлен х2 + 1
имел бы действительный корень. Однако при всех действи-
тельных значениях переменной х2 +1 принимает положитель-
ные значения. Значит, х2 + 1 не имеет действительных кор-
ней. Получилось противоречие, которое и показывает, что
108
х2 + 1 нельзя представить в виде произведения двучленов с
действительными коэффициентами.
Впрочем, и многочлен х2 + 1 можно разложить на мно-
жители. Для этого нужно еще расширить систему чисел, по-
добно тому, как для разложения на множители многочлена
х2 — 2 нужно к рациональным числам добавить иррациональ-
ное число v^2. Новые числа, с помощью которых уже можно
разложить на линейные множители любой многочлен, назы-
ваются комплексными. Об этих числах еще будет идти речь
на страницах этой книги.
А если все-таки ограничиться многочленами с действи-
тельными коэффициентами, то, оказывается, имеет место
такой удивительный факт:
Каждый многочлен с действительными коэффициен-
тами разлагается в произведение линейных двучле-
нов и квадратичных трехчленов с действительными
коэффициентами.
Это утверждение носит название теоремы Гаусса, в
честь великого немецкого математика XIX века Карла-
Фридриха Гаусса.
Задачи
18.1	. Разложите многочлены на множители:
а)	х4 + х2 + 1;
б)	(х + 1)(т + 3)(т + 5) — 15;
в)	(х -I- 1)(ж + 3)(я + 5) + 15;
г)	т3 — Зт2 — Зя + 1;
д)	х3 + х2 — 4х — 4;
е)	(х + 1)(т + 2)(т + 3)(х + 4) - 24;
ж)	х5 + х + 1;
з)	х6 + 1;
и)	(х2 + х + 1)(я2 + х + 2) — 12.
109
18.2	. Докажите, что произведение четырех последователь-
ных натуральных чисел, увеличенное на 1, является
полным квадратом.
18.3	. Разложите многочлен т3 + 2 в произведение многочле-
нов с действительными коэффициентами.
18.4	. Докажите, что многочлен х4 + 2 не разлагается в про-
изведение многочленов с целыми коэффициентами.
18.5	. Разложите на множители многочлен (ах — by)2 +
+ (Ьх + ау)2.
18.6	. Разложите многочлен т8 — 1 в произведение:
а)	четырех многочленов с целыми коэффициентами;
б)	пяти многочленов с действительными коэффици-
ентами.
110
19.	Формулы Виета
Предположим, что квадратный трехчлен х2, + рх + q со
старшим коэффициентом 1 имеет два корня: х\ — а и Х2 = Ь.
Напомним, что в параграфе 10, посвященном теореме Безу,
было сформулировано такое утверждение: если а и b —
корни некоторого многочлена, то этот многочлен делит-
ся на (х — о)(х — Ъ) (загляните на с. 55 и вспомните, как
доказывалось это утверждение).
Следовательно, x2+px + q делится на (х — о)(х — Ъ). Каким
многочленом может быть частное? И делимое, и делитель
имеют одинаковую степень — вторую. Поэтому частное
должно быть многочленом нулевой степени, т.е. просто
числом. Обозначим это число через к. Тогда получается
такое равенство: х2 + рх + q = к(х — а)(х — Ь) . Чтобы найти
fc, сравним коэффициенты при старшей степени х2. Слева
этот коэффициент равен 1, а справа к. Значит, к = 1, и мы
приходим к равенству: х2 + рх + q = (ж — а) (ж — Ь).
Раскроем скобки в правой части. Получится равенство:
х2 + рх + q — х2 — (а + Ъ)х + ab.
Если теперь приравнять коэффициенты при двух одинако-
вых степенях переменной ж, то получатся очень полезные
формулы Виета:
Если xi и Х2 — корни приведенного квадратного трех-
члена х2 +px + q, то р = — (#i +#2) и q = х\ -Х2\ при этом
х2 + рх + q = (х — а71)(ж — Х2).
111
Эти формулы открыл в XVII веке знаменитый француз-
ский математик Франсуа Виет.
Формулы Виета справедливы и в том случае, когда корни
и Х2 совпадают. В этом случае многочлен имеет кратный
корень:
х2 + рх + q = (х — я?1)2.
Формулы Виета позволяют угадывать сразу оба корня
квадратных уравнений. Мы уже занимались угадыванием
корня уравнения с целыми коэффициентами. Угадать корни
по формулам Виета легче, так как известны сразу и их
произведение, и сумма. Рассмотрим пример.
• Решить устно уравнение х2 + 2х — 3 = 0.
Попробуем угадать корни х± и Х2> Их сумма х^ + Х2 должна
быть равна —2, а произведение Ж1Ж2 = —3. Раз произведение
отрицательное, корни имеют разные знаки. Число —3 можно
разложить на множители двумя способами: (—1) • 3 и (—3) • 1.
Поскольку xi + Х2 = —2, нас устраивает второй случай.
о Ответ: х± = —3, х2 = 1.
А как быть, если данный квадратный трехчлен не являет-
ся приведенным? Тогда нужно разделить все его коэффици-
енты на старший член. Получится приведенный квадратный
трехчлен, к которому применимы формулы Виета. Итак:
Если xi и Х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх+с,
Ъ , \С
ТО - = —(Ж1 + Х2) и - — Ж1Ж2; при этом
а	а
ах2 + Ьх + с = а(х — xi)(x — ж2).
Рассуждения, которые позволили нам вывести формулы
Виета, годятся и в общем случае приведенного многочлена
п-й степени. Проделайте эти рассуждения самостоятельно
112
в применении, например, к многочлену третьей степени. По-
лучаем такой вывод:
Если	— корни приведенного многочлена п-й
степени f(x) = хп + -I--------h ап, то
f(x) = (х- хг)(х - я2) • • • {х - хп).
В этой формуле среди корней х\,...,хп могут быть сов-
падающие. Если какое-то число встречается среди них
т раз, то говорят, что это корень кратности т. На-
пример, приведенный кубический многочлен, имеющий
корень х\ кратности 2 (или двукратный корень #1), имеет
вид /(а:) = (х - Zi)2(z - Ж2).
Выясним теперь, как связаны коэффициенты кубического
многочлена ж3 + ах2 + Ьх + с с его корнями х\, ж2, • По общей
формуле,
ж3 -I- ах2 + Ьх + с = (х — xi)(x — Х2)(х — х%).
Раскроем скобки; в правой части получится следующее ра-
венство:
х3 -F ах2 + Ьх + с =
= X3 - (^1 + Х2 + ^з)ж2 + (Z1Z2 + Ж2Жз + ^3^1)^ “ Ж1Ж2ЖЗ-
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях пере-
менной, мы получаем формулы, выражающие коэффициенты
через корни:
а = -(zi + Х2 + ж3),
Ь = Х]Х2 + #2^3 + ^з^ь
с = -д;1д;2жз.
Эти формулы называются формулами Виета.
113
Задачи
19.1.	Придумайте кубический многочлен, корнями которо-
го были бы числа 1,1 — л/2, 1 + л/2.
19.2.	Корнями многочлена х2 + рх + q являются числа
х\ и Х2- Корнями какого многочлена второй степени
будут:	а) — х\ и — Х2,	б) 2^1 и 2^2?
19.3.	Числа #1, #2 и жз — корни многочлена х3 + ах2 + Ъх +с.
Корнями какого кубического многочлена являются
числа toi, tx2 и tx%l
19.4.	Придумайте многочлен четвертой степени, имеющий
ровно два различных корня, причем только один из
корней — кратный.
19.5.	Верно ли, что если два многочлена п-й степени имеют
п одинаковых корней, то эти многочлены совпадают?
19.6.	Многочлен а$хп+а\хп~1 ----y-an_ix+an имеет корни
a?i, Х2,... , хп. Найдите корни многочленов:
а)	аохп — aixn~r + а2Хп~2-± 1пап (знаки коэффи-
циентов чередуются);
б)	апхп + ап-\хп~х + • • • + а\х + а$.
19.7.	Решите (устно) квадратные уравнения:
а)	х2 — 5х + 6 — 0;
б)	х2 + х — 20 = 0;
в)	х2 + 16ж + 55 = 0.
19.8.	Существуют ли такие иррациональные числа р и д,
что оба корня уравнения х2 + рх + q = 0 различны и:
а) рациональны; б) иррациональны?
19.9.	У многочлена х3 + ах2 + Ьх — 12 известны два корня:
3 и 1. Можете ли Вы найти третий корень?
19.10.	Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, для мно-
гочлена х3 + ах2 — х + Ъ.
114
20.	Квадратный трехчлен
Мы уже не раз встречались на страницах этой книжки
с квадратным трехчленом. А этот параграф ему посвя-
щен целиком. Итак, рассмотрим квадратный трехчлен
/(ж) = ах2 + Ьх + с (конечно, а 0, иначе получится не
квадратная, а линейная функция).
Прежде всего, напомним, что дискриминантом квадрат-
ного трехчлена служит выражение D = Ь2 — 4ас. От дискри-
минанта зависит, имеет ли квадратный трехчлен корни или
нет. Именно:
Если D < 0, то уравнение ах2 + Ьх + с = 0 не имеет
корней; если D 0, то уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет
корни:
—Ъ ± \/Ь2 — 4ас
Отметим, что совпадающие (или кратные) корни будут толь-
ко при D = 0. Если коэффициенты квадратного трехчлена
целые и второй коэффициент четный, то удобнее пользовать-
ся такой формулой для корней:
—Ъ ± х/(Ь/2)2 ~ ас
Zl,2 — --------------•
а
В этой формуле число Ь/2 целое.
Приведем пример решения задачи.
• При каких значениях г трехчлен х2 + (2г + 10)ж + 31 + 11г
имеет: а) равные корнщ б) противоположные корни?
115
Для того, чтобы ответить на первый вопрос, воспользу-
емся тем, что квадратный трехчлен имеет равные корни
тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Второй коэффициент в данном случае четный, поэтому
воспользуемся следующей формулой для дискриминанта:
— (г + 5)2 - 31 - 11г.
Раскроем скобки и приравняем получившееся выражение
к нулю: г2 — г — 6 = 0. Это уравнение можно решить по
формуле корней квадратного уравнения, а можно и просто
угадать корни по формулам Виета. В любом случае получаем
Г1 = —2, Г2 = 3. Таким образом, при г = — 2 или г — 3
трехчлен х2 + (2г + 10)ж + 31 + 11г имеет равные корни.
Второй вопрос проще: для ответа на него достаточно
воспользоваться формулой Виета. Если корни — противо-
положные числа, то их сумма равна 0. Но сумма корней рав-
на второму коэффициенту со знаком минус. Следовательно,
0 = —(2г + 10). Отсюда г = —5. Итак, если корни противопо-
ложны, то г = —5. Остается (и это очень важно!) проверить,
что при г — —5 это так: х2 — 24 — 0, откуда х — ±2\/б.
Условие выполнено. Таким образом, при г = — 5 трехчлен
х2 + (2г + 10)ж + 31 + 11г имеет противоположные корни,
о Ответ: а) —2, 3; б) —5.
Продолжим исследование квадратного трехчлена. Выра-
жение ах2 + Ьх + с можно записать в виде
/ b \2 4ас — Ь2
а ж + 7Г + —л--------
\	2а/ 4а
(именно это преобразование нужно сделать для того, что-
бы вывести формулу корней квадратного уравнения). Если
а > 0, то наименьшее значение функции
b \ 2 4ас — Ь2
2а /	4а
а I ж +
116
достигается, когда выражение в скоб-
ft
ках равно 0, т.е. когда х = — —. Если
же а < 0, то квадратный трехчлен
имеет максимум, который достигается
ft
при х = - —. Вспомним, что графиком
2а
трехчлена ах2+ Ьх +с является парабола
«рогами вверх» (рис. 30) при положи-
тельном а и «рогами вниз» (рис. 31) при
отрицательном а. Минимум функции
ах2 + Ьх + с на рис. 30 достигается в
вершине параболы, так же, как макси-
мум — на рис. 31. Кроме того, через
вершину параболы проходит ось ее
симметрии. Мы приходим к важному
выводу:
Рис. 31
Минимум (при а > 0) или максимум (при а < 0) квад-
2 L	b
ратного трехчлена ах +Ьх +с достигается при х = — —;
2а
ось симметрии параболы — графика у = ах2 + Ьх + с —
Ъ
проходит через точку ——на оси Ох.
2а
Покажем, как «работает» это утверждение.
В
А К С
Рис. 32
•	Впишите в прямоугольный равнобедренный треугольник с
гипотенузой, равной 2, прямоугольник наибольшей площа-
ди (рис. 32).
Пусть В — прямой угол данного тре-
угольника, ВС — его высота. Тогда
АС = ВС = 1. Кроме того, ясно, что
прямоугольник симметричен относи-
тельно высоты ВС. Обозначим длину
отрезка КС через х. Треугольники
117
АВС и LBM подобны, поэтому LM = ВМ = х. Сле-
довательно, МС = ВС — ВМ = 1 — х. Значит, площадь
Sklmc = #(1 — х) = —х2 + х. Максимум этого квадратного
трехчлена достигается, как мы знаем, при х = 1/2. При
этом МС = 1 — ат = 1/2. Следовательно,
о Ответ: искомый прямоугольник имеет площадь 1/2 и со-
ставлен из двух квадратов.
Рассмотрим теперь квадратные неравенства. Для реше-
ния неравенства ах2 + Ьх + с > 0 полезно представить себе
график соответствующего квадратного трехчлена.
•	Решить неравенство х2 + Зх — 4 > 0.
Прежде всего, посмотрим, есть ли у данного квадратного
трехчлена корни, т. е. решим уравнение ж2 + 3ж —4 = 0. Корни
нетрудно угадать: х± = —4, х% = 1. Значит, график выглядит
так, как изображено на рис. 33, а. Ясно, что х2 Н- Зх — 4 > 0 в
двух случаях: при х < — 4 и при х > 1.
о Ответ: х < —4 или х > 1.
Рис. 33
Точно так же можно решить любое квадратное неравен-
ство. Обратите особое внимание на случаи, когда соответ-
ствующий квадратный трехчлен не имеет корней: В этом
случае неравенство ах2 + Ьх + с > 0 может вовсе не иметь
решений (рис. 33, б) или иметь решениями все действитель-
ные числа (рис. 33, в).
118
Задачи
20.1.	Найдите наименьшую площадь равнобедренного тре-
угольника, описанного около единичного квадрата
(рис. 34).
20.2.	Решите квадратное уравнение
х2 - 13# - 464 = 0.
Рис. 34
20.3.	Решите неравенства:
а)	х2 — Юж + 21 < 0;
б)	ж2 < х — 1;
в)	х2 — 13ж + 40 > 0;
г)	Зж2 + ж — 11 > 0.
20.4.	Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции:
а) ж2 + Зж + 2; б) — у .
ж2 - ж + 1
20.5.	Один из корней уравнения ж2 +рж+д = 0 равен 1 + \/з.
Найдите р и д, если известно, что они рациональны.
20.6.	Найдите все такие а, что для всех ж, по модулю мень-
ших 1, выполнено неравенство ж2 + ax + 1 > 0.
20.7.	При каких а один из корней уравнения
2ж2 + (За — 1)ж + (а2 — 4а + 4) = 0
равен удвоенному другому корню?
20.8.	Определите а так, чтобы один из корней уравнения
2 !5
ж------ж + а — 0
4
был квадратом другого.
20.9.	При каких р и q корнями уравнения ж2 + рх + q = 0
будут только сами числа р и ql
119
х2 + ах + 1 = 0,
2	б)
х2 + х + а = 0;
20.10.	При каких а следующие системы уравнений имеют ре-
шения:
х2 + 2ах + а — О,
х2 — х — а = 0.
20.11.	О квадратном трехчлене /(ж) = х2 +рх + q известно,
что /(1) = 3 и /(3) < 1. Каким может быть число
Л-1)?
20.12.	Найдите общий вид квадратного трехчлена, значе-
ния которого при целых значениях х будут целыми
числами.
120
21. Метод наименьших квадратов
Новый спортивный автомобиль «Вихрь» испытывали на пя-
тикилометровом треке. За испытанием наблюдали несколько
судей, каждый из которых измерял скорость автомобиля.
Первый судья наблюдал отрезок трека длиной 300 м и по
его секундомеру «Вихрь» преодолел это расстояние за 3,3 с.
Второй судья следил за отрезком дистанции в 500 м; его
секундомер показал, что машина преодолела этот участок
за 4,8 с. Третий судья следил за 600-метровым участком; он
зафиксировал время 6,2 с. Четвертому судье деревья мешали
следить за трассой. Поэтому он выбрал для наблюдения
100-метровый участок, по которому автомобиль промчался
всего за 0,8 с.
После окончания испытаний судьи собрались вместе, что-
бы решить, какую среднюю скорость показал новый автомо-
биль во время испытания. Результаты измерения каждого из
судей записаны в таблице:
Судья	Расстояние s (м)	Время f (с)	Скорость V = s/t (м/с)
1-й	300	3,3	91
2-й	500	4,8	104
3-й	600	6,2	97
4-й	100	0,8	125
Первое, что пришло в голову, это просто найти среднее зна-
чение скорости, т. е. сложить все найденные скорости и раз-
делить сумму на четыре. Получилось такое значение сред-
ней скорости: (91 + 104 + 97 + 125)/4 = 104 (м/с). Судьи со-
брались уже занести это значение в протокол, когда третий
121
судья высказал возражение: «Я следил за автомобилем на
600-метровом участке, а четвертый судья наблюдал участок
в шесть раз меньше. Поэтому мое значение скорости более
точное. Когда мы просто складывали найденные скорости и
делили их на четыре, мы считали скорости, найденные всеми
нами, как бы равноправными. Это неправильно — ведь все
мы наблюдали за автомобилем в течение разного времени и
на разных участках дистанции».
Четвертый судья согласился с этим. Он предложил ис-
кать значение средней скорости следующим образом. Если
v — значение средней скорости, то путь s, пройденный авто-
мобилем, связан с затраченным на это временем t формулой
s = vt. Если подставить в эту формулу значения из таблицы:
S2 = 500,
t2 = 4,8;
S4 = 100, «
ti = 0,8;
то получится система из четырех простых уравнений:
300 = 3,3?;,
500 = 4,8?;,
600 = 6,2?;,
100 = 0,8?;.
К сожалению, найти v из этой системы невозможно — эта
система несовместна.
Однако можно поставить задачу так. Определим v таким
образом, чтобы величины vti, vt2, vt% и vt^ были бы наиболее
близки к значениям si, S2, S3 и з± в том смысле, что функция
/(«) = (Dil - S1)2 + (v«2 - S2)2 + (v<3 - S3)2 + (vh - S4)2
имела бы минимум по v.
S1 = 300,
ti = 3,3;
б)
I s3 = 600,
в) S
Из = 5,2;
122
Иными словами, наш план действий такой. Мы не можем
найти такое значение v, чтобы равенства vt\ = si, vt? = S2,
vt3 — 53 и vt± = S4 выполнялись точно. Поэтому будем искать
такое v, чтобы сумма квадратов отклонений значений vti от
Si (где i = 1,2,3,4) была наименьшей.
Найдем точку, в которой достигается минимум функции
/(г). Раскроем скобки: (vti — si)2 = *2г2 — 2s\t\v + s2. Ана-
логичное значение имеют три другие скобки. Поэтому нашу
функцию можно записать в виде:
/(г?) = v2(t2 + *2 + *3 + *4) +
а
+ v(—2sifi - 2з2*2 ~ 2зз*з - 234*4) + (Si + S2 + S3 + з|).
b	С
Мы видим, что /(v) — это просто квадратный трехчлен
av2 + bv + су где коэффициенты а, 6, с выражаются через зна-
чения ti и Si. Как мы знаем, квадратный трехчлен достигает
минимума при v = —b/(2a). Если подставить в эту формулу
значение b = —2si^i — 2з2*2~ 2зз^з —2^434 и а = *2 + *2 + *з + *2,
то получится такое значение средней скорости:
51*1 + 52*2 + 5з*з + 34^4	, .
"= tl+tl+tl+tl 	w
После того как эта формула была получена, судьям оста-
валось только подставить в нее значения из таблицы. К сча-
стью, у них был калькулятор, и они быстро произвели нуж-
ный расчет. Вот он:
_ 51^1 + 32*2 + 53*3 + 34^4 _
v tj + tj + tl + tl
990 + 2400 + 3720 + 80	_ 7190 _ s,
- 10,89 + 23,04 + 38,44 + 0,64 “ 73,01 “ ’ ^М/С)‘
123
Как видите, это значение средней скорости заметно меньше,
чем то, которое судьи нашли раньше. Если Вас интересу-
ет, какую среднюю скорость развил автомобиль «Вихрь» в
более привычных единицах — километрах в час, — то ско-
рость в м/с нужно умножить на 3,6. Причина этого в том,
что 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м.
Окончательное значение средней скорости такое:
v = 98,5 • 3,6 км/ч = 353 км/ч.
Именно такое значение и записали судьи в протокол испы-
таний.
Метод, которым было найдено среднее значение скорос-
ти, называется методом наименьших квадратов. Этот ме-
тод позволяет найти среднее значение в тех случаях, когда
Рис. 35
Метод наименьших квадратов имеет простой геометри-
ческий смысл. Рассмотрим формулу s = vt, связывающую
путь, время и скорость, как формулу зависимости пути s от
времени t. Скорость V будем считать коэффициентом про-
порциональности. Тогда графиком функции s = vt будет пря-
мая линия с угловым коэффициентом, равным v (рис. 35, а).
Нанесем на координатную плоскость точки (fi;si), (^2; ^2)5
; S3) и (£4554) (рис. 35, б). Если бы все отношения у- бы-
ли одинаковыми, то эти четыре точки лежали бы на одной
124
прямой, угловым коэффициентом которой была бы средняя
скорость. Но данные точки не лежат на одной прямой. Поэто-
му мы постараемся провести через начало координат такую
прямую, которая была бы расположена к этим четырем точ-
кам наиболее близко (в смысле наименьшей суммы квадратов
отклонений). Угловой коэффициент этой прямой определяет-
ся по формуле (*), с. 123. Это и есть среднее значение ско-
рости.
Задачи
21.1.	Найдите наименьшее значение функции
/(х) = (х - 2)2 + (х - I)2 4- х2 + (х 4-1)2 4- (х 4- 2)2.
21.2.	Для измерения сопротивления электрической цепи к
ней по очереди подключали напряжение U\ = ЗВ;
U2 = 5 В; С7з = 10 В. При этом ток в цепи был ра-
вен /1 = 0,62 А; /2 = 0,9 А; /3 — 2,1 А. Сопротивле-
ние R находится по закону Ома: R = U/I. Вычислите
сопротивление цепи.
21.3.	Автомобильный завод выпустил за год пять партий
автомобилей. Количество автомобилей в партиях рав-
но 10 тыс., 30 тыс., 40 тыс., 44 тыс. и 20 тыс. Затра-
ты на производство в каждой из партий оказались
равными 11 млн., 29 млн., 40 млн., 41 млн. и 18 млн.
рублей соответственно. Каковы средние затраты на
производство одного автомобиля?
21.4.	Постройте графики функций:
а)	у = (х - З)2 + (х + I)2 + (х + 2)2;
б)	у = {х - З)2 - (х + I)2 + 3(х + 2)2;
в)	у = (х - З)2 - (х 4- I)2 - 2(х 4- 2)2.
Укажите абсциссы точек минимума и максимума, ес-
ли они есть.
125
22. Порешаем уравнения
В этом параграфе мы расскажем о нескольких способах на-
хождения корней многочлена. Некоторые способы Вы уже
знаете. Во-первых, если коэффициенты — целые числа, то
можно попробовать угадать корень. Если это удастся сде-
лать, то многочлен можно разделить на разность х и корня.
Тем самым задача сводится к решению уравнения меньшей
степени. Об этом способе решения уравнений шла речь в па-
раграфе 16 «Угадаем корень».
Можно попробовать разложить данный многочлен на
множители. Если это удастся сделать, то решение уравнения
сводится к решению совокупности (но не системы!) уравне-
ний меньшей степени: каждый из сомножителей может быть
равен нулю. Об этом шла речь в параграфе 18 «Разложение
многочленов на множители».
Наконец, если данное уравнение — второй степени, то его
можно просто решить по формулам, которые даны в пара-
графе 20 «Квадратный трехчлен».
Рассмотрим другие примеры решения уравнений.
•	Решить уравнение х4 — 2х2 — 15 = 0.
Перед нами уравнение четвертой степени, но в нем нет чле-
нов с х3 и х. Это наблюдение подсказывает, обозначить х2
новой буквой; например, положим х2 = у. Тогда х4 = у2 и
наше уравнение запишется в виде: у2 — 2у — 15 = 0. Это но-
вое уравнение — квадратное и его ничего не стоит решить.
Вот корни: yi = —3, у2 = 5. Теперь нужно вспомнить, что
у = х2. Мы получаем два новых уравнения: х2 = — 3 и х2 = 5.
126
Первое уравнение не имеет решений, а второе имеет два кор-
ня: 2?i = —V^5 И Х2 = у/5.
о Ответ: х± = — v^5, х% =
Уравнение, которое мы решили, называется биквадрат-
ным. Обратите внимание на то, что отрицательные корни
вспомогательного уравнения с переменной у не дают реше-
ний исходного уравнения; зато каждый положительный ко-
рень вспомогательного уравнения дает по два корня исход-
ного уравнения, причем эти корни отличаются знаком. Вве-
9
дение нового неизвестного у = х может помочь при нахо-
ждении корней любого четного многочлена.
В предыдущей задаче мы использовали вспомогательную
переменную у = х2. В следующей задаче нужно взять в ка-
честве у более сложное выражение.
•	Решить уравнение (х2 + ж + I)2 — Зя:2 — Зя: — 7 = 0.
Выражение, стоящее в скобках, так и «просит», чтобы его
заменили новой переменной. Но тогда было бы желательно,
чтобы остальная часть уравнения тоже выражалась через у.
Для этого запишем уравнение таким образом:
(я;2 + х + I)2 - 3(z2 + х + 1) - 4 = 0.
Теперь введем новую переменную: у = х2 + х + 1. Получаем
вспомогательное квадратное уравнение: у2 — Зу — 4 = 0. Его
корни можно угадать: yi = — 1, у2 = 4. Распространенная
ошибка состоит в том, чтобы на этом поставить точку и
объявить числа —1 и 4 ответом задачи. На самом деле сделана
только половина работы: теперь по значениям у нужно найти
значение х.
Для этого нужно решить два уравнения:
я:2 + я: + 1 = — 1	и я:2 + я; + 1 = 4.
127
Каждое из уравнений — квадратное, и его решение не вы-
зывает трудностей. В уравнении х1 2 + х + 2 = 0 дискрими-
нант D = 1 — 8 < 0, так что уравнение не имеет решений.
9 п г.	-1±х/13
Решая уравнение х + х — 3 = 0, находим xip =--------•
_	-1 - л/13	-1 + Лз
о Ответ: xi =----------, х% =---------.
2	2
Метод, которым мы решили это уравнение, называется
методом введения новой переменной. Применение этого ме-
тода требует большого искусства: иногда «увидеть» в урав-
нении новую переменную совсем нелегко.
Рассмотрим один специальный тип уравнений, которые
можно решить введением новой переменной. Этот пример
уже требует того искусного подбора новой переменной, о ко-
торой говорилось выше.
•	Решить уравнение х4 + х3 — 4ж2 + х + 1 = 0.
Мы сразу замечаем, в чем особенность этого уравнения —
его коэффициенты, находящиеся на одинаковом расстоянии
от концов, одинаковы.
Такие уравнения называются возвратными. Чтобы ре-
шить это уравнение, заметим, что х ф 0 (иначе получится
неверное равенство 1 = 0). Следовательно, уравнение можно
разделить на х2.
Получается такое уравнение:
2	.11.
х2 + х -	-= о,
X х2.
В этом уравнении выделяются две части: х + — и х2 + Дт. По-
х х2
1
пробуем ввести новую переменную у = х+ —. Можно ли выра-
1 х
зить х2 + —z- через у? Для этого возведем обе части уравнения
х2
128
1	2	2	1	1
у = х + - в квадрат: у = х + 2х • - Ч—г. Следовательно,
х	х х2
У2 = х2 + -4 + 2 или х2 +	= у2 - 2.
х2	х2
7	1	1
Теперь можно выразить х + х — 4 Ч---1—~ через у. По-
X X2
лучится такое квадратное уравнение у2 — 2 Ч- у — 4 = 0, или
у2 + у — 6 = 0. Корни этого уравнения найти легко: у\ = — 3;
2/2 = 2. Вернемся к переменной х. Для этого нужно решить
два уравнения: х Ч— = — 3 и ж Ч— = 2.
х	х
Первое уравнение решается так. Сначала умножим
обе части на х. Получится уравнение х2 + 1 = —Зя;, или
х2 + Зх Ч- 1 = 0. Его корни:
-3-V5
Ж1 = ~2~
-3 +V5
Ж2 = ^—
Аналогично, второе уравнение х Ч— =2 сводится к ква-
х
дратному уравнению х2 — 2х + 1 = 0. Это уравнение имеет
единственный (кратный) корень: х% = 1.
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.
-3-У5	-3 + У5
о итвет\ х\ —--------, х^ =-------, х% = 1.
Отметим в заключение, что есть уравнения, которые
нельзя решить даже самым изобретательным приемом.
Об этом еще будет идти речь впереди, а пока мы можем
пообещать Вам, что все уравнения из задач этого параграфа
решить можно.
Задачи
Решите уравнения:
22.1.	а) х4 - Юж2 4- 9 = 0;
б)	х4 - 4х2 -21 = 0;
в)	х4 + 5х2 + 6 = 0.
129
22.2.	a) хв + 6a:4 + За:2 - 10 = 0;
б)	ж8 - За:4 + 2 = 0.
22.3.	а) х3 - 2а:2 - 2а: + 1 = 0;
б)	За:3 — 7а:2 — 7а: + 3 = 0.
22.4.	а) (а:2 + а? + 1)(а:2 + а? + 2) = 12;
б)	а:4 — 2а:3 + х — 2;
в)	а:4 — 7х3 + 14а:2 — 7х + 1 = 0.
22.5.	а) Решите уравнение а:4 — (2 — а:)4 = 97.
Указание: Положите у = х — 1.
б)	Докажите неравенство я?4 + (1 — я?)4	1/8.
22.6.	Докажите, что всякое возвратное уравнение третьей
степени имеет корень х = — 1.
22.7.	Докажите, что возвратное уравнение не может иметь
нулевого корня.
22.8.	Докажите, что если а — корень возвратного уравне-
1
ния, то------------тоже его корень.
а
22.9.	Решите уравнение 8я?3 + 16# = 9.
130
23. Симметрические многочлены
В этом параграфе мы возвращаемся к формулам Виета, ко-
торые связывают коэффициенты приведенного квадратного
трехчлена х2 + рх + q с его корнями х\ и Х2'
Х1 + Х2 = -р\ Х\Х2 = q.
Эти формулы помогают решать некоторые системы уравне-
ний. Рассмотрим пример.
• Решить систему уравнений
х + у = -1,
ху = -2.
Конечно, можно выразить у через х из первого уравнения,
то, что получится, подставить во второе уравнение, и свести
дело к одному уравнению с одной неизвестной. Но можно
действовать быстрее и более красиво. Будем считать, что х
и у — это корни некоторого вспомогательного квадратного
уравнения t2 + pt + q = Ос неизвестной t. Коэффициенты
р и q можно найти по формулам Виета: р = — (х + у) = 1
и q = ху = —2. Следовательно, вспомогательное квадратное
уравнение имеет вид t2+t — 2 = 0. Его корни мгновенно нахо-
дятся: ti = — 2 и t2 = 1. Эти корни дают две пары {х\ у), удов-
летворяющих исходной системе уравнений: (х\-,у{) = (—2; 1)
и (^25 2/2) = (1; —2). Таким образом, система решена. Обрати-
те внимание на то, что вместе с решением (—2; 1) мы полу-
чили «симметричное» решение (1; —2). Это не удивительно —
в исходной системе неизвестные х и у были совершенно рав-
ноправны (или симметричны).
о Ответ: (xi;yi) = (~2;1), (а?2;У2) = (1;-2).
131
Следующий пример показывает, что формулы Ви-
ета можно использовать и тогда, когда они, кажется,
неприменимы.
• Решите систему уравнений
х - 2у = 1,
ху = 6.
Глядя на эту систему, мы сразу замечаем, что мешает вос-
пользоваться формулами Виета: выражение х — 2у не имеет
вида суммы двух переменных. Что делает математик в таких
случаях? Если выражение не имеет нужного вида, заставим
его приобрести такой вид.
А именно, введем новую переменную: z — — 2у. Тогда вы-
ражение х — 2у приобретает вид х + z — тот самый, ко-
торый мы хотели. Но не «испортится» ли при этом второе
уравнение? Чтобы проверить это, умножим второе уравне-
ние на (—2): — 2ху = —12. Теперь в левой части ясно виден
сомножитель z — —2у; уравнение приобретает вид xz = —12.
Мы получили «хорошую» систему уравнений:
х + z = 1,
<
xz = —12.
Решаем эту систему с помощью вспомогательного уравнения
t2 —t—12 = 0, как объяснялось в предыдущем примере. Корни
такие: ti = — 3 и £2 — 4. Следовательно, получаются две пары
решений: (zi;zi) = (—3;4) и (а?2;^2) = (4;—3).
Хочется на этом поставить точку, но это было бы
ошибкой. Нужно еще выразить у через z. Из соотноше-
ния z = —2у следует, что у = —z/2. Поэтому у\ = — 2 и
у2 = 3/2. Вот теперь можно записать окончательный ответ:
Сп;У1) = (-3; -2) и (х2-у2) = (4;3/2).
Обратите внимание: на этот раз наши два решения не
симметричны, хотя мы и использовали формулы Виета.
132
Причина в том, что симметричными были неизвестные
х и г, а у еще нужно выразить через z.
о Ответ: (zijyi) - (-3;-2), (х2;У2) = (4; 3/2).
Сделаем по поводу разобранных приемов еще такое за-
мечание. Если вспомогательное уравнение с неизвестной t не
имеет решений, то это значит, что решений не имеет и ис-
ходная система уравнений.
Наш метод решения основан на использовании двух выра-
жений: х + у и ху. Эти выражения можно рассматривать как
многочлены первой и второй степени от двух переменных х
и у. Как уже говорилось, эти многочлены симметрические,
т. е. не меняются, если х и у поменять местами. Этим свой-
ством обладает, конечно, не всякий многочлен от х и у. На-
пример, если переставить х и у в многочлене х + 2у или ху2,
то получатся совсем другие многочлены у + 2х или ух2.
Симметрические многочлены могут содержать не две, а
три или большее число переменных. Например, х + у + z,
2	2	2
ху + yz + xz, xyz и х + у + z — симметрические много-
члены от трех переменных. А бывают ли какие-нибудь дру-
гие симметрические многочлены от двух переменных, кро-
ме х + у и ху? Ясно, что эти два многочлена х + у и ху можно
складывать и умножать друг на друга; при этом будут сно-
ва получаться симметрические многочлены. Так получаются,
например, многочлены 2(х + у) — ху, (х + у)2 = х2 + 2ху + у2-,
(ху)3 = х3у3 и т. д. А нельзя ли придумать что-нибудь новое,
т. е. такой симметрический многочлен, который не выража-
ется через уже известные нам х + у и ху?
Давайте «проверим» многочлен х2 + у2. Кажется, что его
нельзя выразить через х + у и ху. Но это не так; вот тож-
дество, которое дает такое выражение:
X2 + у2 = (х + у)2 - 2ху.
Так что наши надежды на х2 + у2 не оправдались.
133
• Найти сумму кубов уравнения t2 — t — 7 = 0.
Можно, конечно, найти корни уравнения по формулам, а по-
том возводить то, что получится, в третью степень. Но хо-
чется ли Вам вычислять такое выражение:
/1 —л/29\	(1 + ^9\ „
2 J у 2 у
Вместо этого попробуем воспользоваться формулами Виета.
Если хну — корни данного уравнения, то х+у = 1иху = —7.
Нам нужно найти величину х3+у3. Если мы сможем выразить
х3 + у3 через х + у и ху, то задача будет решена.
Давайте разложим сумму кубов на множители по формуле
х3+уЪ = (х+у)(х2—ху+у2). Чему равно х+у, мы уже знаем —
это 1. А многочлен х2—ху+у2 можно преобразовать к такому
виду: (х 4- у)2 — Зху. Подставив сюда х + у=1иху = — 7,
мы найдем, что х2 — ху + у2 = (х + у)2 — Зху = 14-21 = 22.
Следовательно, х3 + у3 = (х 4- у)(х2 — ху + у2} = 1 • 22 = 22.
о Ответ: 22.
Задача, которую мы решили, показывает, что не только
х2+у2, но и х3+у3 выражается через х+у и ху. Оказывается,
так получается не случайно. Причина в следующем общем
утверждении:
Любой симметрический многочлен от двух переменных
можно выразить через два элементарных: х + у и ху.
Аналогичное утверждение справедливо и в случае трех пе-
ременных, только там элементарными многочленами, через
которые выражается любой симметрический многочлен, бу-
дут х + у + г, xy + xz + yz и xyz. Более того, можно доказать
аналогичную теорему и для многочленов с любым числом пе-
ременных, но мы не будем этого делать. Вместо этого ска-
жем несколько общих слов о симметрических многочленах.
134
Изучая математику в школе, Вы, в основном, знакомились
с такими разделами этой науки, которые появились на свет
довольно давно. Например, квадратные уравнения умели ре-
шать еще древнегреческие математики. Даже сложные фор-
мулы решения уравнений третьей степени, о которых еще
будет идти речь впереди, известны уже около 450 лет. Меж-
ду тем, что изучается на уроках математики, и тем, чем
занимается современная математика, разница, как правило,
не меньше, чем, например, между воздушным змеем и реак-
тивным самолетом. Но так бывает не всегда, и теория сим-
метрических многочленов — одно из таких исключений. Эта
теория, с основами которой Вы познакомились, испытывает
в наши дни период бурного развития. Так что на этот раз
Вы оказались как бы на самом переднем крае современной
математики.
Задачи
23.1.	Какие из следующих многочленов симметрические:
а)	(х - у)4;	б) (х - Зу)3 + (у - За?)3;
в)	х2 — 2ху — у2-,	г) а?(2а? — 5у) + у(2у — 5а?);
д)	(7а: + у)5 - (7у + а?)5; е) (а? - 2у)(у - 2а?);
ж)	х2у + 2а?у2?
23.2.	Решите системы уравнений:
х + у = 4,
ху = —96;
х + у = 26,
ху = 169;
а? + у = 3,
а?у = 8;
( х + 2у = 2,
ху = -21/8;
д)
5а: — Зу = —2,
ху = 77;
{х + у + ху — 19,
а?у(а? + у) = 84;
135
ж) <
X + у + х2 + у2 - 42,
ху = 15;
х + у + z = 2,
и) ху + yz + zx = —5,
xyz — —6;
{х + у + у/ху = 14,
х2 + ху + у2 — 84;
х + у + z = 9,
1	1	1	23
<	---1----1--—
х у z 15
к ху + xz + yz = 23.
23.3.
23.4.
23.5.
23.6.
Корни уравнения t2 + pt + q = 0 — числа х и у.
Найдите:
а) х2 + у2;
в)1 + 1;	+ t г)Х- + У-.
х у 1 у х	ух
Числа х и у — снова корни уравнения t2 + pt + q = 0.
Корнями какого уравнения будут числа:
ч 1	1	х у . р рп
а)х+-иу+-; б) - ив)х+~иу+~!
х у ух	2	2
Пусть х — корень уравнения t2 +1 — 1 = 0. Найдите:
а)х2 + ^;	б)х3-^.
Выразите ху через многочлены х + у и х2 + у2.
23.7.	Известно, что х + у + z = и ху + yz + xz = Ъ.
Найдите х2 + у2 + г2.
23.8.	Найдите сумму квадратов корней уравнения
t3 - 3t + 1 = 0.
23.9.	Корни уравнения х2 + ах + 1 = Ь являются натураль-
ными числами. Докажите, что а2 + Ь2 — составное
число.
23.10.	Многочлен f(x,y) от двух переменных называется
кососимметрическим, если при перестановке пере-
менных он меняет знак: f(y,x) = —f(x,y). Например,
х — у — кососимметрический многочлен.
а)	Придумайте какие-нибудь кососимметрические
многочлены второй и третьей степени.
136
б)	Докажите, что каждый кососимметрический мно-
гочлен делится на х — у и частное является сим-
метрическим многочленом.
23.11.	Докажите, что для любого многочлена f(x,y) много-
член /(я, y) + f(y, х) является симметрическим, а мно-
гочлен /(я, y)—f(y, х) является кососимметрическим.
23.12.	Пусть f(t) — четный многочлен. Поставим вместо t
разность х — у. Докажите, что получившийся много-
член от переменных х и у является симметрическим.
23.13.	Выразите дискриминант приведенного квадратного
трехчлена через его корни.
137
24. Неравенство о средних
Решим задачу.
•	Царь пообещал Иванушке-дурачку в награду за подвиги
подарить прямоугольное поле такого размера, который
Иванушка сможет обойти за 1000 шагов. Иванушка, ко-
нечно, хочет, чтобы площадь поля была побольше. На по-
ле какой наибольшей площади может рассчитывать он,
и какой формы будет это поле?
Если бы Иванушка-дурачок знал математику, он мог бы
рассуждать таким образом. Обозначим, неизвестные пока
размеры прямоугольного поля через х и у. Тогда пери-
метр поля равен 2х + 2у, и, по условию, это 1000 шагов.
Значит, 2х + 2у = 1000, а х + у = 500. Площадь поля
равна S = ху, и эту величину нужно сделать как можно
большей.
Выразим у через х; получим у = 500 — х. Подставим это в
формулу S = ху, получим S = я:(500—х) = —а?2+500а?. Теперь
задача приобрела знакомые черты: дан квадратный трехчлен
и нужно найти, при каких х он достигает максимума. Задачи
такого типа мы не раз решали (параграф 20 «Квадратный
трехчлен»), поэтому сразу приведем ответ: для многочлена
ах2 + Ьх + с максимум (или минимум) достигается в точке
Ь
х — — — •
2а
В нашей задаче коэффициенты имеют такие значе-
ния: а = — 1 и b = 500. Поэтому наибольшее значение
площади S достигается при х = 250. А чему равен у?
у = 500 — х = 250. Следовательно, наибольшая площадь S
равна 250 • 250 = 62 500 «квадратных шагов».
138
Прямоугольник, имеющий такую площадь, — это квадрат
(ведь х оказался равен у).
о Ответ', поле — квадрат площадью 62500 кв. шагов.
Итак, мы убедились, что
Среди всех прямоугольников данного периметра наи-
большую площадь имеет квадрат.
Рассмотрим другую задачу.
•	В другой раз царь пообещал Иванушке прямоугольное поле
площади 62 500 «квадратных шагов». Иванушке хочется,
чтобы длина забора, которым он будет огораживать по-
ле, была поменьше. Какова эта наименьшая длина и какой
формы будет поле с самым коротким забором?
Иванушка-дурачок не зря был самым умным героем сказок.
Он сообразил, что нужно выбирать квадратное поле. При-
чем для этого не надо снова решать квадратные уравнения, а
можно воспользоваться решением предыдущей задачи. Мож-
но рассуждать так.
Возьмем квадратное поле в 62 500 кв. шагов. Его пери-
метр равен 1000 шагов. Предположим, что у какого-то пря-
моугольника той же площади периметр Р < 1000. Решая
предыдущую задачу, мы видели, что если это прямоуголь-
ное поле сделать квадратным и с тем же периметром, его
площадь увеличится. Значит, площадь квадрата с перимет-
ром Р больше 62 500. Следовательно, периметр квадрата пло-
щади 62 500, который равен 1000, должен быть еще меньше,
чем Р. Но по предположению, Р < 1000. Получилось про-
тиворечие, которое доказывает, что квадратное поле имеет
наименьший периметр.
о Ответ', длина забора — 1000 шагов, поле — квадрат.
139
Теперь можно сделать и такой вывод:
Среди всех прямоугольников данной площади наимень-
ший периметр имеет квадрат.
Два предыдущие утверждения, заключенные в рамки, можно
сформулировать и алгебраически:
Если зафиксирована сумма двух неотрицательных чи-
сел, то их произведение максимально, когда эти числа
равны. Если зафиксировано произведение двух неотри-
цательных чисел, то их сумма минимальна, когда эти
числа равны.
Попробуем записать эту теорему с помощью формул.
Предположим, что сумма двух неотрицательных чисел х и у
равна постоянному числу 2fc, т. е. х + у = 2к. Мы знаем,
что произведение максимально в том случае, когда х = у.
Поскольку х + у = 2к, получается, что х = у = к. При этом
ху = к2. Это — наибольшее значение произведения; значит,
для любых х и у выполнено неравенство: к2 ху или, что
то же самое, к у/ху. Вспомним теперь, что к =
приходим к такому неравенству:
^.Мы
2
^4^ 0е у > °)-
Это неравенство йазывается неравенством о среднем ариф-
метическом и среднем геометрическом. Почему оно так на-
зывается, мы сейчас расскажем.
х + у
2
Величина
, стоящая в левой части неравенства, на-
зывается средним арифметическим чисел х иу. Аналогично,
средним арифметическим п чисел х^х^... ,хп называется
140
величина ---------------. Вы, конечно, знакомы со сред-
п
ним арифметическим. Например, когда учитель выставля-
ет четвертные оценки, он, как правило, подсчитывает сред-
нее арифметическое оценок, полученных учеником в течение
четверти. Когда говорят, что средний рорт ученика клас-
са равен 161 см, имеют в виду, что если сложить рост всех
учеников этого класса, а затем разделить это число на коли-
чество учеников в классе, то получится 161 см. При этом в
классе даже может не быть ни одного ученика, который бы
имел рост ровно 161 см.
Величина y/ху называется средним геометрическим
чисел х и у. Аналогично определяется среднее геометри-
ческое трех: y/xyz; четырех: \/xyzt, и вообще п чисел
xi,x2, •. • ухп — это ^122 • • - хп. Неравенство о среднем
арифметическом и среднем геометрическом справедливо в
общем случае:
Xi + х2 + • • • + хп --------
--------------- >	• • • Хп.
п
Доказывать это неравенство в общем виде мы не будем.
Бывают ли еще какие-нибудь средние, кроме среднего
арифметического и среднего геометрического? Рассмотрим
такой вопрос.
• В сосуде с газом находится огромное число N молекул. Их
скорости равны 01,02, - • • ,vn. Как найти скорость моле-
кулы, обладающей средней энергией?
Прежде всего напомним, что энергия г-й молекулы равна
Ei = mvl/2, где т — масса молекулы, a Vi — ее скорость.
Средняя энергия молекул равна Еср = (E*i + Е2 Н-h En}/N.
Поскольку массы всех молекул одинаковые и равны т, это
можно записать так:
_ т vl + v\ + • • • + v*
Ьср ~ 2 ’ N
141
Обозначим скорость молекулы, обладающей средней энерги-
ей, через и. Тогда
9
тли _	_ т
~^~ = Еср = -
Vl+V2 + ---+Vn
N
_	9 vf + VJ Н----Ь vn
Отсюда получаем и = —------поэтому
lvl + vl-\--
о Ответ: и = \ —--------------.
V N
Величина и называется средним квадратичным вели-
чин vi, V2,..., vn. В частности, среднее квадратичное двух
/х1 2 + у2 ~
чисел х и у равно у —-—. Это еще одна разновидность
средней величины.
Другой тип среднего встретится нам в следующей
задаче.
• На автомобильном заводе сборкой автомобилей занима-
ются два робота. Первый собирает автомобиль за х ми-
нут, а второй — за у минут. Затем этих роботов заме-
нили на два других, производительность которых одина-
ковая и равна средней производительности двух прежних
роботов. За сколько минут собирает автомобиль новый
робот?
Производительность — это работа, которую выполняют в
единицу времени. Поскольку первый робот собирал автомо-
биль за х минут, его производительность равнялась 1/х, а у
второго робота 1/у. Производительность новых роботов —
1	О хг
средняя, т. е. равна - —I— . Упростим это выражение:
2	yj
1 /1 + 1\
2 у)
Х + У
2ху ’
142
Время, которое нужно на сборку одного автомобиля,
равно единице, деленной на производительность. Следо-
вательно, новому роботу на выполнение работы нужно
х + у 2ху
1 :----=------- минут.
2ху х + у
о Ответ:	минут.
Величина ——— называется средним гармоническим
чисел х и у. Аналогично, среднее гармоническое п чи-
сел я?1,	• • • >	— это величина
/11 1 \
п : — + — + ••• + — .
\ *^1	*^2	Хп /
Четыре вида средних величин, которые мы определили, свя-
заны замечательными неравенствами (числа х и у 0):
х2 + у2 > х + у
2	"	2
Среднее из этих неравенств мы уже доказали. Докажем пер-
вое неравенство, т.е. неравенство
х2 + у2 > х + у
2	"	2
Возведем в квадрат и получим равносильное неравенство
х2 + у2 (х + у)2
2	"	4
Умножим на 4 и раскроем скобки: 2х2 + 2у2 х2 + 2ху + у2.
Перенесем все в левую часть: х2 — 2ху + у2 0. В левой части
стоит (а; —у)2, следовательно, наше неравенство равносильно
неравенству (х — у)2	0. Это неравенство верно, поэтому
1х2 + у2 х + у
и исходное неравенство \	—-— тоже выполнено.
143
Доказательство последнего неравенства — одно из упражне-
ний после параграфа. В неравенствах, связывающих четыре
вида средних, может быть любое число переменных. Но до-
казательства этого факта мы приводить не будем.
В заключение этого параграфа вернемся к тому, с че-
го мы начали, т. е. к геометрическим задачам. В геометрии
тоже есть много замечательных неравенств, напоминающих
неравенства о средних величинах. Одно из самых важных —
изопериметрическое неравенство. Оно утверждает:
Из всех фигур с данной площадью наименьший периметр
имеет круг; из всех тел с данной площадью поверхности
наименьший объем имеет шар.
Последнее обстоятельство объясняет, почему капли воды
имеют шарообразную форму. Капля стремится минимизи-
ровать свою энергию, а энергия поверхностного натяжения
пропорциональна площади капли. Поэтому капля стремится
уменьшить площадь поверхности, т. е. стать шаром. По
той же причине животные сворачиваются в клубок, когда
им холодно. Они стараются приобрести форму, близкую
к шару. Тогда их тело будет иметь наименьшую площадь
поверхности и будет остывать как можно меньше. Конечно,
животные не знают законов математики и физики — они
делают это инстинктивно.
Задачи
24.1.	Докажите, что все рассмотренные в этом параграфе
средние величины не превосходят наибольшего из чи-
сел a?i, 1 хп и не меньше наименьшего из них.
Кроме того, если х\ =	= • • • = то и среднее
равно этой величине.
144
24.2.	В наборе игрушек содержится много кубиков разно-
го размера. Равен ли средний объем кубиков третьей
степени среднего ребра кубика?
24.3.	Эта задача называется задачей о «честном купце».
Один честный купец знал, что весы, которыми он
взвешивает товар, неточны, потому что одно коро-
мысло немного длиннее другого (в то время еще поль-
зовались весами с двумя чашками). Чтобы не обвеши-
вать покупателей, купец решил, что из каждых про-
данных двух килограммов товара один он отвесит на
левой чашке весов, а второй — на правой. Что при
этом получилось: оказался ли купец в проигрыше или
в выигрыше?
24.4.	Постройте график функции у = х+ —. Укажите точки
х
минимума и максимума.
24.5.
В шарикоподшипниках используются шарики раз-
личных радиусов Г1, г2ч.. •, гп. Каков радиус шарика,
имеющего средний объем (объем шара радиуса R
равен -7г/?3)? К какому виду средней величины
приводит эта задача?
24.6.	На автобусной остановке висит табличка:
Автобус №	Средний интервал в час «пик»
1	6 мин.
2	4 мин.
3	9 мин.
Вас устраивает любой маршрут. Сколько в среднем
придется Вам ожидать автобуса в час «пик»?
24.7.	В трапеции с основаниями х и у проведены четыре
линии, параллельных основанию: АВ — через точку
пересечения диагоналей; CD ррлът трапецию на две
145
подобные между собой; EF делит пополам высоту;
GH делит трапецию на две равновеликие трапеции.
Докажите, что АВ — среднее гармоническое чисел
х и у, CD — среднее геометрическое, EF — сред-
нее арифметическое и GH — среднее квадратичное,
и сделайте чертеж к задаче.
24.8.	Ученик в течение полугодия получил 19 отметок:
10 четверок и 9 пятерок. Учитель собирается вы-
ставить ему в полугодии четверку, потому что
среднее арифметическое его отметок округляется
до четырех. Ученик предлагает учителю вместо
среднего арифметического воспользоваться средним
квадратичным. Какую оценку получит ученик в этом
случае?
24.9.	Докажите неравенство о среднем геометрическом и
среднем гармоническом для двух чисел.
24.10.	Докажите неравенство о среднем арифметическом и
среднем геометрическом для трех чисел.
24.11.	Докажите неравенства (все переменные неотрица-
тельны):
а)	х2 + у2 + z2 ху + yz + xz;
6)	х3 + у3 х2у + ху2;
в)	(х + у) (у + z)(x + z) 8xyz;
г)	z4 + у4 х3у + ху3;
ч 1	1	1	9
д)	—I---Н -	————
х у z x + y + z
ч X4 + у4 (х + у\4
е)	’
. ху yz	ZX
ж)	— + — Ч----х + у + z;
z	х	у
. х у
з)	—— + —= у/х + л/у;
у/У '/я
146
и)	X + у + Z y/ху + у/yz + y/zx;
к)	(х + у + z)(rr2 + у2 + z2) > §xyz\
\	Х ,	У !	Z 3
л)	1-------------1-----—.
z + у х + z х + у 2
24.12.	Великий немецкий математик XIX века К.-Ф. Гаусс
придумал еще одну среднюю величину: арифметико-
геометрическое среднее. Эта величина вычисляется
так: берем два числа х и у; пусть х < у. Образуем
два новых числа: их среднее геометрическое и сред-
— х + у
нее арифметическое: yjxy и —-—. Эти числа лежат
между числами х и у. Теперь из этих двух новых чи-
сел снова образуем два новых числа: их среднее гео-
метрическое и среднее арифметическое, и так далее.
То, что получится в конце концов, и есть арифметико-
геометрическое среднее. Если у Вас есть калькуля-
тор, подсчитайте арифметико-геометрическое сред-
нее чисел 8 и 2 с точностью до одного знака после
запятой. Больше ли это число, чем 5, или меньше?
24.13.	Площадь поверхности ящика равна 6 м2. Найдите наи-
большее значение его объема.
24.14.	Площадь поверхности ящика без крышки (т.е. пяти
граней параллелепипеда) равна 5 м2. Найдите наи-
большее значение его объема.
147
25. Докажем тождество
Вы, конечно, помните: квадратный трехчлен имеет, самое
большее, два корня. А мы сейчас покажем Вам удивительный
квадратный трехчлен, у которого корней не два, а целых три.
Вот этот трехчлен:
= (ж-а)(ж-Ь)	(х-Ь)(а?-с)	(ж-с)(а:-о) _
(с —а)(с —6) (a — b)(a — с) (b — c)(b — a)
(a, b и с — различные числа).
То, что /(я) — квадратный трехчлен, не вызывает сомне-
ний. Найдем, чему равно f(c). Первое слагаемое превращает-
(с —а)(с —6)
ся в ----—----— = 1. Второе и третье слагаемые содержат
(с — а) (с — о)
множитель я—с, поэтому они обращаются в нуль. Тем самым,
/(с) = 1 — 1 = 0. Аналогично, /(а) = /(Ь) = 0.
Стало быть, многочлен второй степени f(x) имеет три
корня: а, b и с. Не удивительно ли это?
Секрет кажущегося парадокса состоит в том, что мно-
гочлен f(x) в действительности тождественно равен нулю.
Только в этом случае он может иметь три корня. Итак, наше
рассуждение доказывает такое тождество:
{х - а)(х - Ь)	(х-Ь)(х-с)	(ж-с)(т-а)
(с — а) (с — 6)	(а — Ь)(а — с)	(6 —с) (6 —а)
Например, если положить х = 0, то получится такое тож-
дество:
ab	Ъс	са _
(с — а)(с — Ь) (а — 6)(а — с) (Ь — с)(Ь — а)
148
А если приравнять коэффициенты при х2 или х, то получатся
такие тождества:
1 1 1 _
(с - а)(с - Ь) (а - Ь)(а - с) + (Ь - с)(Ь - а)
а + b	Ь + с	с + а
(с — а)(с — Ь) (а — Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а)
Вот как много информации можно извлечь из тождест-
ва (1). Чтобы оценить наш способ рассуждений, попробуйте
доказать (1) непосредственно, т.е. приводя к общему знаме-
нателю, раскрывая скобки и т. д.
Приведем еще один пример того, как можно доказывать
тождества с многочленами, не раскрывая скобок, а только
рассуждая о корнях многочленов.
• Докажите, что
(a + b + c)(ab + bc + са) — abc = (а + Ь)(Ь + с)(с + а).
В предыдущей задаче участвовала буква х и было ясно, что
ее и нужно считать переменной. А здесь даже непонятно,
какую букву выбрать на эту роль.
Пусть сначала неизвестной будет а, а b и с будем счи-
тать некоторыми числами. Рассмотрим /(а) = (а + b + с) х
х (аб + Ьс + са) — abc как квадратный трехчлен относительно
а. Мы хотим доказать, что он делится на а + 6, т. е. по тео-
реме Безу, что а = — b — корень трехчлена f(a). Проверим,
чему равно это значение:
/(—6) = (—b+b+c)[(—b)b+bc+c(—6)] — (—tybc = —b2c+b2c = 0.
Итак, а = — b — корень; поэтому /(а) делится на а + Ь.
Теперь воспользуемся тем, что выражение (а + b + с) х
х (ab+bc + ca) — abc симметрично по а, 6, с. Поэтому, если мы
доказали, что оно делится на (а+ 6), то оно должно делиться
149
и на две другие суммы (а + с) и (Ь + с). Мы можем записать
равенство
(а + b + c)(ab + bc + са) — abc = к(а, b, с)(а + b)(b + с)(с + а),
(2)
в котором к(а, Ь, с) — некоторый многочлен от переменных
а, Ь, с. Какую степень может иметь к(а, Ь, с)? И слева, и
справа стоят многочлены третьей степени, следовательно,
fc(a, Ь, с) имеет нулевую степень, или, попросту, является чис-
лом: к(а, Ь, с) = к.
Остается только узнать, что это за число. Для этого про-
ще всего подставить в равенство (2) какие-нибудь значения
а, b и с. Например, при а = b = с = 1 равенство (2) превра-
щается в следующее:
. 3 • 3 — 1 = fc • 2 • 2 • 2
Отсюда следует, что к = 1. Поэтому (2) превращается в
нужное нам тождество:
(а + b + с)(аЬ + Ьс + са) — abc = (а + b)(b + с)(с + а).
о Что и требовалось доказать.
Задачи
Докажите тождества:
25.1.	(а — Ь)3 + (Ь — с)3 + (с — а)3 = 3(а — Ь)(Ь — с)(с — а).
25.2.	a4(b2 — с2) + b4(c2 — а2) + с4(а2 — Ь2) =
= -(а - b)(b - с)(с - а)(а + b)(b + с)(с + а).
25.3.	(а + Ь + с)3 — а3 — Ь3 — с3 = 3(а + Ь)(Ь + с)(с + а).
25.4.	аЬ3 + Ьс3 + са3 — Ьа3 — сЬ3 — ас3 =
= (а + b + с)(а — b)(b — с)(с — а).
150
25.5.	Докажите тождества: . а(х—Ъ)(х—с)	Ь(х—с)(х—а)	с{х—а)(х—Ъ) а (а—Ь)(а—с) ' (5—с)(Ь—а) ' (с—а)(с—Ь)	Ж’ . а2(х—Ь)(х—с) Ь2(х—с)(х—а) с2(х—а)(х—Ь) _ 2 (а-Ь)(а-с) ' (Ь-с)(Ь-а) ' (с-а)(с-Ь) в) Выполняется ли тождество a3(x—b)(x—c) b\x—c)(x—d) (?{х—а){х—Ъ)	3? (а—Ь)(а—с) । (Ь—с)(Ь—а) ' (с—а)(с—Ь) Х
г) Какие тождества получатся, если приравнять ко-
эффициенты при одинаковых степенях х?
д) Придумайте и докажите аналогичные тождества с
четырьмя буквами а, Ь, с и d.
151
26. Интерполяция
Решим сначала такую задачу.
• Пассажир едет в поезде и смотрит в окно. Ровно в 12 ча-
сов он посмотрел на километровый столб и увидел, что
на нем написано 130 км. В следующий раз пассажир по-
смотрел на километровый столб в 1240: он увидел над-
пись 180 км. Потом пассажир задремал, а когда проснул-
ся, снова посмотрел в окно и увидел километровый столб.
Это было в 1420. Что было написано на столбе (скорость
поезда за это время не менялась)?
Эту задачу можно решать непосредственно: сначала найти
скорость поезда, затем вычислить расстояние, которое поезд
пройдет за время с 1200 до 1420. Мы предлагаем другой под-
ход; этот подход пригодится нам при решении более сложных
задач.
Рассмотрим расстояние S, которое видит пассажир на
километровых столбах, как функцию времени t. Какой вид
имеет эта функция? Поскольку поезд движется равномерно,
зависимость S(t) линейная, т. е. S(t) — некоторый многочлен
первой степени. Об этом многочлене мы знаем, каковы его
значения при двух значениях переменной: S(1200) = 130 и
S(1240) = 180. Нам нужно определить S(1420).
Будем искать линейную функцию S(t) в виде S(t) = р +
+ q(t — 1200). По условию, S(1200) = 130, следовательно, 130 =
= р + д(12 — 12) = р. Аналогично, S(1240) = 180, поэтому
180 = р + g(1240 - 1200) = р + q • 40. Получается система:
р = 130,
р + 40g = 180.
152
Решение системы очевидно: р = 130 (км), q = 5/4 (км/мин).
Соответственно, наша линейная функция имеет вид: S(t) =
= 130 + (5/4)(t — 1200) (время t — 1200 выражено в минутах).
Теперь можно найти *9(1420). Поскольку
1420 - 1200 = 2 ч 20 мин = 140 мин
(вот как долго спал пассажир), получаем:
S(1420) = 130 + (5/4) • 140 = 130 + 175 = 305.
о Ответ: 305 км.
Обсудим наше решение. Мы построили линейный мно-
гочлен по двум его известным значениям. Построение
многочлена по нескольким данным значениям в задан-
ных точках называется интерполяцией. У нас были
известны значения линейного многочлена S(t) в двух
точках а = 12ч и Ь = 12 ч 40 мин. Мы искали многочлен
в виде S(t) = р + q(t — а). Подставляя в это равенство два
значения t = а и t = Ь, мы получили систему, из которой
нашли неизвестные коэффициенты р и q. Искать S(t) в
виде р + q(t — а) было удобно потому, что когда мы в это
равенство подставляли t = а, слагаемое q(t — а) исчезало, и
сразу удавалось определить значение р.
Аналогичным образом мы поступим и в следующей, более
сложной, задаче.
• Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо не-
большого острова (рис. 36, а). Капитан каждый час из-
меряет расстояние до острова. Вот результаты изме-
рений:
Время	1200	1300	1400	1600
Расстояние	100 км	80 км	70 км	?
Заполните клетку | ?
153
о
а)
б)
Рис. 36
Эта задача напоминает предыдущую задачу о поез-
де. Здесь тоже известны несколько значений некоторой
функции и требуется найти еще одно ее значение. Давайте
прежде всего выясним, с какой функцией мы имеем дело в
этой задаче.
Рассмотрим рис. 36, б. Точка О обозначает остров, точка
К — это движущийся корабль, точка А — основание перпен-
дикуляра из О на прямую, по которой движется К, В пред-
ыдущей задаче мы видели, что расстояние АК линейно зави-
сит от времени t — ведь корабль К движется равномерно. По
теореме Пифагора, примененной к треугольнику АОК, вы-
полнено равенство (ОК)2 = (О А)2 + (АК)2. Величина О А —
постоянная, а (АК)2 — это квадрат линейной функции, т.е.
квадратный трехчлен от t. Тем самым зависимость (ОК)2 от
времени t выражается квадратным многочленом.
Обозначим функцию (ОК)2 через R(t). Примем за начало
отсчета времени 1200, а за единицу времени — 1час. Тогда
таблица значений R(t) имеет вид:
R(t) 10000 6400 4900 ?
Теперь наша задача приобрела знакомый вид. Нам нужно по-
добрать квадратный трехчлен, имеющий заданные значения
154
р = 10000,
р + q — 6400,
р + 2q + 2r = 4900.
в трех данных точках. Тем самым перед нами задача на ин-
терполяцию.
Будем искать неизвестный квадратный трехчлен 7?(t) по
аналогии с тем, как мы искали неизвестную линейную функ-
цию в предыдущей задаче, а именно, в такой форме:
R(t) = р + q • t + rt(t — 1).
В это равенство подставляем значения t = 0, t = 1 и t = 2.
Получается система из трех уравнений:
{ 10000 = p + g- 0 + r-0,
6400 = р + д-1 + г-0, или
4900 = р + q • 2 + г • 2 • 1,
Из второго уравнения находим: q = 6400 — 10000 = —3600,
а из третьего: г = (4900 - 10000 + 7200)/2 = 2100/2 = 1050.
Итак, найдены коэффициенты р, q, г, а вместе с ними — и
функция 7?(t) = 10000 — 3600t + 1050t(t — 1).
Теперь можно найти значение при t = 4. Получаем:
К(4) = 10000 - 3600 • 4 + 1050 • 4 • 3 = 8200 (км2).
Для решения задачи осталось только вычислить рассто-
яние до острова. Это расстояние равно у/И, т.е. равно
л/8200 « 90,5 (км).
о Ответ-. 10^/82 « 90,5 км.
Подведем итоги. Наше решение показывает, что
Если известно значение квадратного трехчлена /(#) при
трех значениях переменной х = а,х = Ьих = с, то этот
квадратный трехчлен можно найти в виде
f(x) = р + q(x - а) + г(х — а)(х — 5).
Неизвестные коэффициенты легко определяются из сис-
темы уравнений, которые получаются, если подставить
в это равенство х = а,х = Ьих = с.
155
Многочлен, имеющий вид
f(x) =p + q(x-a)+ r(x - а)(х - Ь),	(*)
называется интерполяционным многочленом Ньютона. Ана-
логичные многочлены более высоких степеней можно запи-
сать, если известны значения многочлена в большем числе
точек.
Как и в случае линейного многочлена, формула (*) очень
удобна. Неизвестные коэффициенты р, Q, г можно находить
из нее последовательно: когда в нее подставим х = а, вто-
рое и третье слагаемые исчезают, и можно сразу определить
р, а когда подставляем х = Ь, исчезает последнее слагае-
мое и можно определить коэффициент д, а затем, подставив
х — с — найти г.
Наше решение приводит к такому вопросу. Мы нашли не-
который квадратный трехчлен имеющий заданные зна-
чения при трех данных значениях неизвестной а, b и с. А не
может ли существовать другой квадратный трехчлен с теми
же значениями в трех данных точках а, Ь и с, но с другими
значениями при неизвестной, равной, например, d?
Предположим, что такой многочлен д(х) существует. То-
гда f(x) — д(х) — многочлен, степень которого не выше двух.
Этот многочлен имеет три корня: х — а, х — b и х = с. Но мы
уже неоднократно отмечали, что ненулевой многочлен вто-
рой степени имеет не больше двух корней. Значит, многочлен
/(z) — д(х) нулевой, т.е. f(x) — д{х}.
Тем самым мы доказали, что квадратный трехчлен одно-
значно определяется своими значениями при трех значени-
ях переменной. Аналогично доказывается и следующее общее
утверждение:
Многочлен n-й степени однозначно определяется своими
значениями при п + 1 значении переменной.
156
В частности, если два многочлена п-й
степени имеют одинаковые значения
при п + 1 значениях неизвестной, то
они равны.
Обсудим теперь геометрический
смысл интерполяции. Начнем с линей-
ного многочлена. Что означает условие,
что значение многочлена f при х = а
равно /(а)? Геометрически это означа-
ет, что график многочлена проходит
через точку с координатами (а;/(а))
(рис. 37). В случае линейного многочле-
на были заданы два значения при двух
данных значениях х. Это значит, что
на координатной плоскости даны две
точки, через которые должен пройти
график линейного многочлена. Но график линейной функ-
ции — прямая. Так что интерполяция в этом случае сводится
к проведению прямой через две данные точки (рис. 38).
Перейдем к квадратному трехчлену. В этом случае зада-
ны три значения многочлена при трех значениях х. Это зна-
чит, что на плоскости даны три точки, через которые нуж-
но провести график квадратного трехчлена, т. е. параболу с
вертикальной осью. Наше решение интерполяционной зада-
чи показывает, что такая парабола существует всегда, кроме
случая, когда три данные точки на координатной плоскости
лежат на одной прямой — тогда параболы не получится и
интерполяционный многочлен будет линейным.
Задачи
26.1.	Найдите многочлен f(x) наименьшей степени, для ко-
торого:
а)	/(-2) = —2; /(0) = 1; /(3) = 2;
157
6)	f(-1) = -2; ДО) = 1; Д1) = 4;
в)	Д-1) = О;	ДО) = 4; Д1) = О; Д2) = 1.
26.2.	Найдите общий вид квадратного трехчлена /(ж), если
известно, что:
а)	Д0) = 1и Д1)=0;
б)	/(а) = Р и f(b) = q.
26.3.	Найдите скорость корабля в задаче на странице 153.
26.4.	Два корабля идут с постоянными скоростями. Рас-
стояния между ними, измеренные в 1200, 1300 и 1400
часов, составляли, соответственно, 100, 122 и 158 км.
Какое расстояние будет между кораблями в 1500? Ка-
кое расстояние было в 1О00?
26.5.	Из пушки выстреливается снаряд под некоторым
углом к горизонту. Его высота над землей через
1/10 секунды после выстрела равнялась 99,95 м, а
через 3/10 секунды — 299,55 м. На какой высоте над
землей находится снаряд:
а) через 2/10 секунды;
б)	через 1 секунду после выстрела?
Высота снаряда зависит от времени квадратично.
26.6.	На плоскости даны 100 точек. Известно, что через
каждые четыре из них проходит график некоторого
квадратного трехчлена. Докажите, что все 100 точек
лежат на графике одного квадратного трехчлена.
26.7.	Вы, наверное, встречали задачи, в которых дано не-
сколько чисел. Нужно угадать закономерность, по ко-
торой составлена эта последовательность чисел и най-
ти следующее число. Интерполяция позволяет авто-
матически решать такие задачи. А именно, найдем
такой многочлен /(х), для которого первое из дан-
ных чисел равно /(1), второе равно /(2), третье рав-
но /(3) и т. д. Это позволяет найти любой следующий
158
член последовательности. Итак, продолжите последо-
вательность чисел:
а)	2, 5, 10,	;
б)	1, 0, 1, ...;
в)	4, 7, 10, ...;
г)	—4, 0, 8, 28, ...
26.8.	Рассмотрите тождества из задачи 25.5 с точки зрения
интерполяции. Докажите, что в обеих частях этих то-
ждеств стоят интерполяционные многочлены, прини-
мающие данные значения при х = а, х = Ь, х = с.
26.9.	а) Докажите, что многочлен	принимает
целые значения при любом целом значении пере-
менной.
гр	х(х - 1)(ж - 2)
б)	Тот же вопрос для многочлена-------—-------.
в)	Тот же вопрос для многочлена
х(х — l)(z — 2) • • • (х — п)
1 • 2 • 3 • • • п(п + 1)
Примечание, Произведение 1-2-3 • • • п обозначается
п\ и читается «эн-факториал».
г)	Пусть многочлен f(x) принимает целые значения
при целых значениях переменной. Докажите,
что f(x) можно представить в виде суммы
с целыми коэффициентами многочленов вида
х(х — 1) • • • (х - п)	п
-------—---------при различных п, }
д)	Пусть многочлен f(x) степени п принимает целые
значения при х = 0, ж = 1, ,.. , х = п. Докажите,
что /(fc) — целое число для любого целого числа к.
Таким образом, мы дали полное описание многочленов, значения ко-
торых при целых значениях переменной — целые числа.
159
26.10.	а) Придумайте квадратный трехчлен, имеющий кор-
ни х = а тл х — Ь, и равный единице при х — с.
б)	Докажите, что многочлен
(ж - щ)(ж - g2)•••(ж - ата)
(®п+1	®2)  '  (®п+1 О-п)
имеет корни сц,..., ап и обращается в 1 при
в)	Докажите, что многочлен
/•(ж)=Щ (Ж~а2)(^-дз)
(ai - g2)(gi - «з)
+ (ж - щ)(ж - g3) (ж - дг)(ж - д2)
(д2 - gi)(g2 — д3)	(д3 — д1)(дз - д2)
принимает при х — ai, х — и х = аз значения у\,
У2 и уз. Эта интерполяционная формула называет-
ся формулой Лагранжа.
г)	Придумайте аналогичную формулу для интерпо-
ляционного многочлена n-й степени, у которого
задано (и + 1) значение yi,...,yn+i в точках
ai,..., an_|-i.
26.11.	а) Представьте многочлен х2 в виде суммы многочле-
нов 1, ж, х(х — 1) с некоторыми коэффициентами.
б) Представьте многочлен х3 в виде суммы много-
членов 1, х, х(х — 1), х(х — l)(z — 2) с некоторыми
коэффициентами.
в) Тот же вопрос для т3 и многочленов 1, х, х(х — 1),
х(х — 1)(х — 2), х(х — 1)(х — 2)(х — 3).
160
27. Найдем разность
Рассмотрим набор (или последовательность) чисел:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
Можете ли Вы угадать, каким будет следующее число в этом
наборе? Ну конечно, можете: это число 26. Вы сразу замети-
ли, что числа, записанные в этой строчке, каждый раз уве-
личиваются на 3. Запишем под строчкой чисел строчку из
разностей каждой пары соседних чисел:
5	8	11	14	17	20	23 ...
3	3	3	3	3	3 ...
Последовательность чисел, для которой разность между каж-
дыми двумя соседними — одно и то же число с/, называет-
ся арифметической прогрессией, а число d — ее разностью.
Например, натуральные числа 1,2,3,4,5,... образуют ариф-
метическую прогрессию с разностью, равной 1, четные чис-
ла 2,4,6,8,... и нечетные числа 1,3,5, 7,... образуют две
арифметические прогрессии с разностью 2.
Последовательность чисел 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
связана с линейным многочленом /(а?) — Зх + 2. А именно,
/(1) = 31 + 2 = 5; /(2) = 3 • 2 + 2 = 8; /(3) = 3-3 + 2 = 11;
/(4) = 3 • 4 + 2 = 14 и т. д. Тем самым данный набор чисел
5, 8, 11, ... — это набор последовательных значений /(1),
/(2), /(3), ... многочлена f(x) = Зх + 2.
Точно так же любая арифметическая прогрессия будет
состоять из последовательных значений /(1), /(2), /(3), ...
некоторого линейного многочлена f(x) = ах + Ь. Разность
161
арифметической прогрессии при этом равна коэффициен-
ту а.
Рассмотрим теперь следующий набор чисел:
О, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 39, 64, 81, ...
Вопрос тот же, что и раньше: каково следующее число этой
последовательности? Вы, наверное, и на этот раз без тру-
да справились с этой задачей. Последовательность, которая
написана здесь, — это последовательность квадратов нату-
ральных чисел: 0 = О2; 1 = I2; 4 = 22; 9 = З2 и т. д. Значит,
следующим числом будет 100 = 102. Таким образом, данная
последовательность составлена из последовательных значе-
ний /(1), /(2), /(3) ... многочлена второй степени = х2.
Давайте, по аналогии с последовательностью 5, 8, 11,
14, ... напишем под каждой парой соседних чисел данной
последовательности их разность:
0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	3	5	7	9	11	13	15	17
Вторая строчка имеет уже знакомый нам вид — это последо-
вательность нечетных чисел. Результат нашего вычисления
можно записать таким образом:
1 = 1 = I2
1 + 3= 4 = 22
1 + 3 + 5= 9 = З2
1 + 3 + 5 + 7=16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9+11 = 36 = 62
и т.д.
Мы видим, что имеет место совершенно неожиданный
факт:
Сумма первых п нечетных чисел равна п2.
162
Интересно, что это математическое утверждение было од-
ним из первых открытий новой физики. Великий итальян-
ский физик и астроном XVI-XVII веков Галилео Галилей изу-
чал законы свободного падения. Свое главное открытие в
этой области он сформулировал так: «свободно падающее
тело проходит в последовательные равные промежутки вре-
мени отрезки, пропорциональные последовательным нечет-
ным числам». Мы знаем из физики, что путь, который про-
ходит тело при равноускоренном движении и, в частности,
при свободном падении, пропорционален квадрату времени
(равен at2/2, где а — ускорение). Таким образом и получа-
ется, что сумма п последовательных нечетных чисел равна
полному квадрату числа п.
Запишем этот закон с помощью математических формул.
Нетрудно сообразить, что п-е нечетное число задается фор-
мулой 2п — 1. Действительно, 2-1 — 1 = 1; 2-2 — 1 = 3; 2-3—1 = 5
и т. д. Следовательно, можно записать такое равенство:
1 + 3 + 5 + • • • + (2ti — 1) — ti2 .
Пока что это только «экспериментальный факт». Чтобы до-
казать эту теорему, мы воспользуемся методом математи-
ческой индукции. А именно, предположим, что нужное нам
утверждение уже доказано для некоторого числа п, т. е. мы
уже знаем, что 1 + 3 + 5 Ч-h (2п — 1) — п2. Попробуем дока-
зать нужное нам утверждение для следующего значения п+1,
т. е. докажем, что
1 + 3 + 5 + • • • + (2п — 1) +(2?i + 1) — (п + l)^.
п
Сумма первых п слагаемых, по предположению, равна п2. По-
этому равенство, которое мы хотим доказать, приобретает
простой вид:
п2 + 2п + 1 = (n + I)2.
163
Это, конечно, верное равенство, которое немедленно следует
из формулы квадрата суммы.
Стало быть, из справедливости нашего утверждения для
числа п следует его справедливость для числа п + 1. Так,
переходя от одного числа к другому, мы сможем доказать
наше утверждение для любого числа п.
Рис. 39
Можно предложить и другое, более геометрическое дока-
зательство формулы суммы первых п нечетных чисел. Разо-
бьем квадрат на уголки (рис. 39). Всего в квадрате п2 кле-
точек. Первый справа уголок содержит 1 клетку, второй —
3 клетки, третий — 5 клеток и т. д., последний п-и уголок
содержит (2п — 1) клеток. Следовательно,
1 + 3 + 5 + • • • + (2п — 1) — ть2.
Вернемся к таблице квадратов. Снова запишем под второй
строчкой набор разностей, эта третья строчка чисел будет
постоянной:
О 1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	3	5	7	9	11	13	15	17
22222	2	2	2
Мы видим, что строка разностей последовательных значе-
ний /(0), /(1), /(2), ... квадратичной функции f(x) = х2
164
составлена из последовательных значений линейной функции
2х + 1, а следующая строка разностей постоянна.
Случайно ли это получилось или мы обнаружили мате-
матическую закономерность? Попробуем поэкспериментиро-
вать с другим квадратным трехчленом.
Возьмем, например, трехчлен f(x) — 2х2 — Зх + 1. Ему
отвечает такая таблица значений /(0), /(1), /(2) ... и их
разностей:
1	0	3	10	21	36	55	78
-1	3	7	11	15	19	23
4	4	4	4	4	4
Строка разностей опять получилась строчкой значений ли-
нейного многочлена 4х + 3, а вторая строка опять получилась
постоянной. Это наводит на мысль, что так будет всегда, ка-
кой бы квадратный трехчлен ни взять.
Докажем более общее утверждение. Пусть /(ж) — много-
член степени п. Образуем новый многочлен д(х) = f(x + 1) —
— f(x). Оказывается, верно такое утверждение:
Если /(ж) — многочлен степени п, то д(х) = f(x + 1) —
— f(x) будет многочленом степени п — 1.
Прежде чем доказывать это, обсудим, как эта теорема объ-
ясняет устройство наших таблиц. Рассмотрим, например, та-
блицу значений многочлена f(x) = 2х2 — Зх + 1. В первой
строке записаны значения: /(0), /(1), /(2), ...; во второй —
разности /(1) - /(0), /(2) - /(1), /(3) - /(2), ... Поскольку
д(х) = f(x + 1) — /(ж), вторая строка составлена из последо-
вательных значений р(1), р(2), р(3), ... многочлена д(х).
Согласно нашему общему утверждению, д(х) — линей-
ный многочлен. Это объясняет поведение чисел во второй
строке. Третья строка построена по второй тем же спосо-
бом, что и вторая — по первой. Значит, в третьей строке
165
стоят числа д(3) - д(2), #(4) - д(3), д(5) - #(4), ... Если
обозначить д(х + 1) — д(х) через Л(гг), то третья строка
имеет вид: Л(2), Л(3), Л(4), ... Степень многочлена h(x) на 1
меньше, чем степень д(х), т.е. равна нулю. Но многочлен
нулевой степени — это константа. Поэтому третья строка и
получается постоянной.
Приступим к доказательству того, что многочлен д(х)
имеет (п — 1)-ю степень. Воспользуемся теоремой Безу и рас-
смотрим еще более общее выражение f(x + i) — f(x). Эта раз-
ность является многочленом уже от двух переменных х и t
причем степень этого многочлена равна п. Это значит, что
в нем каждый одночлен xatb имеет степень не выше п, т. е.
а + b п.
Теперь мы применим такой прием: рассмотрим разность
f(x +1) — f(x) = p(t) как многочлен не от переменной а?, а от
переменной t. Букву х мы будем считать параметром, т.е.
произвольным числом. О многочлене p(t) мы кое-что знаем:
он имеет n-ю степень и его значение при t = 0 нетрудно
найти: p(t) = f(x + 0) — f(x) = 0.
Наступает решающий момент нашего рассуждения. Раз
р(0) = 0, по теореме Безу p(t) делится на f, причем част-
ное p(t)/t = (/(ж +1) — f(x))/t имеет (п — 1)-ю степень. Мы
снова рассматриваем это частное как многочлен от перемен-
ной х. Этот многочлен (f(x + t) — f(x))/t тоже имеет степень
(п — 1). Теперь положим t = 1. Многочлен (f(x +1) — f(xY)/t
превращается в	—/(rr), т. е. в д(х). Значит, д(х) имеет
степень (п — 1).
Доказательство закончено. Мы советуем Вам через неко-
торое время вернуться к нему и еще раз разобраться в нем.
Это доказательство было непростым, но красивым. Другое
доказательство этой теоремы Вы найдете в следующем па-
раграфе.
Итак, мы выяснили, что разностный многочлен д(х) =
— f(x + 1) — /(#), построенный по многочлену п-й степени
166
f(x), имеет степень (п — 1). Интересно, что обратное утверж-
дение тоже верно:
Каждый многочлен степени (п — 1) можно представить
в виде f(x +1) — /(#), где f(x) — подходящий многочлен
степени п.
Как доказать эту теорему, Вы увидите, когда решите зада-
чу 27.12.
Задачи
27.1.	Набор чисел 1, 0, —3, —8, —15, ... составлен из по-
следовательных значений /(1), /(2), ... квадратного
трехчлена f(x) = ax2 + bx + с. Найдите а, b и с.
27.2.	Набор чисел 1, —1, 5, 25, 65, 131, ... составлен из по-
следовательных значений /(1), /(2), ... некоторого
многочлена f(x). Какое наименьшее значение может
иметь его степень?
27.3.	Может ли набор чисел 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
(на п-м месте стоит 2П) быть набором последователь-
ных значений какого-либо многочлена?
27.4.	а) Многочлен f(x + 1) — f(x) тождественно равен ну-
лю. Что можно сказать о многочлене f(x)?
б)	Разностные многочлены f(x + 1) — f(x) ng(x+l)-
— g(x), построенные по двум многочленам f(x)
и д(х), совпадают. Как связаны друг с другом
многочлены f(x) и д(х)?
27.5.	Пусть f(x) — некоторый многочлен. Рассмотрим
многочлен д(х) = f(x - 1) — 2f(x) + f(x + 1). Опреде-
лите степень д(х), если f(x):
а) линейный, б) квадратный, в) кубический,
г) произвольный многочлен.
167
27.6.	Найдите такой многочлен /(ж), что f{x + 1) — f(x) =
= х2 + х + 1. Сколько существует таких многочле-
нов /(ж)?
27.7.	Найдите f(x + 1) — f(x), если /(ж) равен:
а) х(х — 1);	б) х(х — 1)(ж — 2);
в) х(х — 1)(ж — 2) • • • (х — п).
27.8.
1
- 1)п’
1
— 2)(тг — 1)тг ’
б)
Найдите сумму:
1111
Ь2 + Г"з + 3^4 + 4J5 + ” + (
1 1 1
1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5 + ‘’ +
1	. 1 . 1 . , 1
2	+ 3 + 5 + ”’ + п2- Г
Указание: Разложите дробь —-- в сумму эле-
ментарных.
27.9.	Рассмотрим сумму 1 + 2Ч-3+--- + тг.
а) Угадайте формулу для этой суммы.
———————	б) Докажите эту формулу по индукции,
в) Придумайте другое доказательство,
основанное на том, что сумма любой
 пары чисел, стоящих в сумме на оди-
-------------- наковых расстояниях от середины,
———————	одна и та же.
Рис 40	г) Придумайте еще доказательство,
основанное на рассмотрении картин-
ки (рис. 40).
д) Выведите формулу суммы арифметической про-
грессии:
а + (а + d) + (а + 2d) 4- • • • 4- (а 4- ncty.
27.10.	Обозначим сумму I2 + 22 + З2 + • • • + п2 через F(n).
Тогда F(n) — F(n — 1) = п2. Пользуясь недоказанным
168
утверждением, сформулированным в конце парагра-
фа, будем считать, что F(n) — многочлен третьей
степени от п.
а)	Вычислите несколько первых значений F(n) и най-
дите F(ri) с помощью интерполяции.
б)	Докажите по индукции получившуюся у Вас фор-
мулу для суммы квадратов.
27.11.	То же для суммы I3 + 23 + З3 + • • • + п3.
Примечание. Если Вы правильно решите эту задачу,
Вы докажете такое следствие: сумма кубов несколь-
ких первых натуральных чисел всегда является пол-
ным квадратом.
27.12.	Цель этого упражнения — доказательство теоремы,
сформулированной в конце параграфа: каждый мно-
гочлен n-й степени д(х) можно представить в виде
разностного многочлена f{x + 1) — /(а?), где f(x) —
подходящий многочлен (п + 1)-й степени.
а)	Докажите, что если два различных многочлена
(п + 1)-й степени f(x) и h(x) не имеют свобод-
ных членов, то их разностные многочлены тоже
различные.
В дальнейшем мы будем искать многочлен (п + 1)-й
степени /(а?) без свободного члена.
Доказательство будем вести по индукции. Предполо-
жим, что наше утверждение доказано для многочле-
нов (п — 1)-й степени; т. е. всякий многочлен (п — 1)-й
степени является разностным многочленом некоторо-
го многочлена п-й степени.
б)	Докажите, что существует хотя бы один такой
многочлен f(x) степени (п + 1), что многочлен
f(x + 1) — f(x) имеет степень п.
Указание: Если f(x + 1) — f(x) имеет степень
< (п — 1), то, по предположению индукции, он
169
представляется и в виде д(х + 1) — д(х), где д(х)
имеет степень п. Воспользуйтесь пунктом а).
в)	Докажите, что если хотя бы один многочлен
n-й степени р(х) имеет вид f(x + 1) — f(x) для
многочлена (п + 1)-й степени /(я), то и всякий
многочлен n-й степени имеет такой вид.
Указание: Снова воспользуйтесь предположением
индукции. Оно позволяет прибавить к многочле-
ну n-й степени р(х) любой многочлен меньшей
степени.
170
28. Бином Ньютона
Среди формул сокращенного умножения нам встречались две
формулы степеней суммы:
(х + у)2 = х2 + 2ху + у2 и (х + у)3 = х3 + Зх2у + Зху2 + у3.
Этот параграф посвящен таким формулам, только с большим
показателем степени.
Давайте найдем, чему равна четвертая степень (ж + у)4.
Для этого запишем: (х + у)4 = (х + у)(х + у)3. Второй сомно-
житель, как мы знаем, равен ж3 + Зх2у + Зху2 + у3. Поэтому
найдем произведение (х + у)(ж3 + Зж2у + Зху2 + у3):
	х3	Зх2у	Зжу2	У3
X	х4	Зж3у	Зжу3	ху3
У	х3у	3z2y2	Зжу3	у4
Сложим подобные слагаемые; получится такой ответ:
(х + у)4 = х4 + 4х4у + 6х2у2 + 4жу3 + у4.
Итак, мы располагаем формулами для (ж + у)2, (х + у)3
и (х + у)4. Можно продолжить эти вычисления и возвес-
ти х + у в пятую степень. Но мы уже накопили достаточно
«экспериментального материала», чтобы остановиться и
обдумать полученные формулы. Мы знаем, чему равно
(х + у)п при п = 2, 3, 4. Для полноты картины добавим
формулы для п = 0 и 1. При п = 0 получаем (ж + у)° = 1,
так как любое число в нулевой степени равно 1. При п = 1
171
получаем (х + у)1 = х + у. Запишем формулы для (ж + у)п в
виде таблицы:
В этой таблице одночлены в каждой строчке записаны в та-
ком порядке, что показатели степеней х убывают слева на-
право, а показатели у — возрастают. Мы видим, что каждое
из выражений (х + у)п составлено из одночленов хп, хх~гу,
хп~2у, ..., х2уп~2, хуп~\ уп. Коэффициенты при этих одно-
членах — натуральные числа. Давайте составим новую та-
блицу, в которой запишем только значения этих коэффици-
ентов:
1
1	1
1	2	1
13	3	1
1	4	6	4	1
Получилась треугольная таблица из пяти строк. Обратите
внимание на то, что коэффициенты многочлена (х + у)п сто-
ят не в п-й, а в (п + 1)-й строчке. Например, коэффициенты
(х + у)3 записаны в четвертой строке.
Посмотрим внимательно на эту таблицу. Некоторые зако-
номерности бросаются в глаза. Каждая строчка начинается
с 1, затем коэффициенты растут до некоторой наибольшей
величины, потом начинают уменьшаться до 1. Таким обра-
зом, числа в каждой строке образуют своеобразную «горку»,
172
причем каждая строка симметрична относительно своей се-
редины. Но этих закономерностей еще недостаточно, чтобы
понять, как строится таблица. Угадали ли Вы главную зако-
номерность? Например, можете ли Вы написать следующую,
пятую строку, не вычисляя (ж + у)5? Попробуйте сделать это,
прежде чем читать дальше.
Закономерность, по которой построена таблица коэффи-
циентов многочлена (ж + у)п, следующая:
Каждое число равно сумме двух стоящих над ним чисел.
Это позволяет сразу записать следующие строки:
пятая 1	5	10	10	5	1
шестая 1	6	15	20	15	6	1 и т. д.
Следовательно,
(х + у)5 = х5 + 5х4у + Юж3?/2 + Юж2?/3 + Ьху^ + у5
(х + у)6 = ж6 + 6х5у + 15ж4?/2 + 20ж3?/3 + 15ж2?/4 + бху5 + ?/6,
и т. д. Многочлен (ж + у)п называется биномом (это латин-
ское слово означает двучлен). Коэффициенты бинома, т.е.
коэффициенты при одночленах жп, хп~1у1 ... , уп называют-
ся биномиальными коэффициентами. Треугольная таблица, в
которой записаны биномиальные коэффициенты, называется
треугольником Паскаля.
Докажем сформулированное выше свойство таблицы
биномиальных коэффициентов. Чтобы заполнить (n -I- 1)-ю
строчку таблицы, нужно вычислить коэффициенты мно-
гочлена (ж + у)п. Запишем: (ж + у)п = (ж + у)(х + ?/)п-1.
Коэффициенты многочлена (ж + ?/)п-1 — это числа, записан-
ные в n-й строке таблицы. Пусть это числа ao,ai,... , an-i,
т. е.
(ж + ?/)п-1 = ао^п-1 + aixn~2y + а2хп~3у2 Н-h an_i?/n_1.
173
Произведение (х + у)(х + у)п 1 тогда равно
(ж + y)(ao^n-1 + а!Хп~2у + • + an_iyn-1).
Вычислим произведение с помощью прямоугольной таблицы:
п —1 CLqX	aixn~2y	а2хп~3у2		п-2 G>n—2Xy	п — 1 dn—iy
_ 	_ п х	clqx	aixn~1y	а2хп~2у2		ап-2Х2уп~2	dn—ixy
у аохп^1у	aixn~2y2	а2хп~3у3		0>п-2ХуП~Х	an-iyn
Соберем вместе подобные члены:
аохп 4- (ао 4- ai)xn-1y 4- (ai 4- а,2)хп~2у2 4-
• • • 4- (ап_2 4- an-i)xyn-1 4- ап-1Уп-
Следовательно, под п-й строкой
ао ai а2	ап»2	an-i
будет записана такая (п + 1)-я строка:
ao ао + ai ai + а2 ... ап«2 + an-i an_i
Тем самым, все числа в каждой строке равны сумме двух
стоящих над ним чисел. Мы доказали закономерность, по ко-
торой строится таблица биномиальных коэффициентов.
Теперь мы можем объяснить замеченные закономерности.
Например, если некоторая строка симметрична, то следую-
щая строка тоже получится симметричной: ведь в ней на рав-
ных расстояниях от концов стоят суммы пар чисел из пред-
ыдущей строки, которые тоже находятся на равных рассто-
яниях от концов. Впрочем, симметричность строчек можно
объяснить и по-другому. Многочлен (х + у}п симметричес-
кий: он не меняется, если х и у поменять местами. Следо-
вательно, коэффициенты при Хп И у\ Хп *у И хуп \	,
174
Xn~kyk и xkyn~k равны. Это и означает, что строчка, состав-
ленная из этих коэффициентов, симметрична.
Каждая строка начинается с 1. Это тоже нетрудно по-
нять непосредственно. Если записать бином (х + у)п в виде
произведения п скобок:
(х + у)(х + у)...(х + у^
п
и начать раскрывать эти скобки, то член хп получится толь-
ко в одном случае — когда в каждой скобке берут слага-
емое х. Таким образом, можно записать такое равенство:
(х + уУ1 = хп + • • •.
Наша таблица позволяет найти и второе число (п — 1)-й
строки: это число п. Это непосредственно видно из таблицы
и можно доказать по индукции. А именно, если уже извест-
но, что п-я строка начинается числами 1, п — 1, . .., то, со-
гласно правилу, следующая (п + 1)-я строка начинается так:
1, п = 1 + (п — 1), ...
Полученный вывод очень важен:
(х + у}п = хп + пхп~1у + • • •, где многоточие обозна-
чает члены, содержащие у во второй и более высоких
степенях.
Существуют формулы и для других биномиальных коэффи-
циентов; о них сказано в упражнениях после параграфа. А
сейчас рассмотрим пример применения бинома при решении
задач.
• Радиус поверхности круглого озера увеличился на 1%. На
сколько процентов увеличилась его площадь?
Примем прежний радиус за 1. Тогда новый радиус можно за-
писать как 1 + б, где в — маленькое число, а именно, 1/100.
Площадь пропорциональна квадрату радиуса; выберем еди-
ницу измерения площади так, чтобы прежняя площадь озера
175
равнялась 1. Тогда новая площадь будет (1 +s)2. По формуле
бинома, (1 + s)2 = 1 + 2б + б2. Поскольку е — маленькое число,
величина е2 пренебрежимо мала. В нашем случае е = 1/100,
поэтому е2 = 1/10000. Это позволяет записать приближен-
ную формулу: (1 + s)2 « 1 + 2s.
Значит, площадь озера увеличилась примерно на 2%.
о Ответ: около 2%.
Формула, которую мы вывели при решении, полезна и в
других случаях, поэтому мы предлагаем Вам ее запомнить:
(1 + s)n « 1 + пе (е — маленькое число).
Интересно, что этой формулой можно пользоваться и тогда,
когда п — не целое число. Например, если п = 1/2, то полу-
чается приближенная формула vl + s « 1 + е/2.
Задачи
28.1.	Докажите следующее неравенство Бернулли:
(1 + h)n 1 + nh, где h 0.
28.2.	Радиус шара увеличился на 0,5%. На сколько процен-
тов увеличились:
а) площадь его поверхности; б) объем шара?
28.3.	Докажите приближенную формулу \/1 -h s ~ 1 + е/п
при:	а) п — 2; б) произвольном п.
Указание: Возведите в n-ю степень.
28.4.	В результате охлаждения объем футбольного мяча
уменьшился на 2%. На сколько процентов уменьши-
лась площадь его поверхности?
28.5.	Найдите сумму чисел, стоящих в n-й строке треуголь-
ника Паскаля, при: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 5;
г) произвольном п.
Указание: Положите х = у = 1 в формуле бинома
Ньютона.
176
28.6.	Найдите сумму чисел, стоящих в n-й строке треуголь-
ника Паскаля, взятых с чередующимися знаками:
flo —	+ а2 ~ аз + * ’ * ? при:
а) п = 3; б) п — 4; в) п = 5;
г) произвольном п.
Указание: Подумайте, какие значения нужно при-
дать х и у в формуле бинома Ньютона.
28.7.	Используя формулу бинома Ньютона, докажите тео-
рему из предыдущего параграфа: если f(x) — много-
член п + 1-й степени, то f(x + 1) — f(x) — многочлен
n-й степени.
Указание: Рассмотрите сначала случай /(ж) = xn+1.
28.8.	Докажите, что произвольный многочлен хп+а\хп~1 +
+ аъхп~2 + • • • можно сдвигом, т. е. заменой х на х + £,
привести к виду хп + Ьхп~2 + • • • без члена (п — 1)-й
степени.
28.9.	а) Угадайте формулу для второго числа n-й строки
треугольника Паскаля.
б)	Докажите эту формулу.
28.10.	Напомним, что n! = 1 • 2 • З...П. Значения коэф-
фициентов бинома (х + у)п выражаются следующей
формулой: —-—:——, где число г меняется от 0 до п
г! (п — г)!
(при этом значение 0! считают равным 1).
а)	Проверьте эту формулу на имеющемся у Вас экс-
периментальном материале.
б)	Попробуйте доказать эту формулу.
28.11.	Докажите, что биномиальные коэффициенты обра-
зуют «горку», т.е. возрастают до середины, а затем
убывают до 1.
28.12.	Найдите наибольший коэффициент многочлена
(х + у)8.
177
28.13.	Вычислите (xi + х% + • • • + Xk)2 при:
а) к = 2; б) к = 3; в) к = 4;
г) произвольном fc.
28.14.	Обобщением формулы бинома Ньютона служит фор-
мула степени суммы: (xi + х% +-------h XkY1-
а)	Поэкспериментируйте с вычислением этого выра-
жения.
б)	Докажите, что (xi + х% Н--h состоит из мо-
номов Х^Х^2 • . . х^к, где П1 + П2 + • • • + Tlk = п.
в)	Докажите, что коэффициент при мономе
п, I
х^х^2.   xlk равен —;—р---
12 к ni!n2! пк\
178
29.	Кубический трехчлен
В этом параграфе мы снова будем исследовать квадратные и
кубические многочлены. Речь пойдет о том, сколько корней
они могут иметь при различных значениях коэффициентов.
Рассмотрим квадратное уравне-
ние х2 +рх + q = 0. Его дискриминант
равен р2 — 4g, и от знака дискриминан-
та зависит, имеет ли это уравнение
корни или не имеет. Изобразим эту
информацию графически. Рассмот-
рим координатную плоскость; по оси
абсцисс будем откладывать значения
величины р, а вдоль оси ординат —
величины q (рис. 41). Каждой точке
Рис. 41
плоскости отвечает квадратное уравнение, а именно, точ-
ке (р; q) соответствует уравнение х2 + рх + q — 0. Условие
равенства дискриминанта нулю, т.е. уравнение р2 — 4q = 0,
задает в этих координатах параболу q = р2/4. Эта парабола
разбивает плоскость на две области: в одной из областей
q > р2/4, а в другой q < р2/4.
В первой из областей, р2—4q < 0, уравнение х2 +px+q = 0
не имеет решений (это область над параболой), а во второй
области (р2 — 4q > 0) имеется два корня. Если точка плоскос-
ти с координатами (р; q) лежит на параболе (т. е. р2 — 4q = 0),
то уравнение х2 + рх + q = 0 имеет совпадающие корни.
Представим себе, что точка (р; д) передвинется по плос-
кости на рис. 41. Пока точка перемещается в одной из двух
областей, вид уравнений может меняться, но число их кор-
ней меняться не может. Например, если точка находится над
179
параболой, уравнение х2 +px + q = 0 не имеет корней. Следо-
вательно, его график не пересекает ось абсцисс (рис. 42, а).
Но вот точка (р; q) попадает на параболу q = р2/^. В этот мо-
мент соответствующее уравнение x2+px + q — 0 имеет совпа-
дающие корни: его график касается оси абсцисс (рис. 42, б).
Затем точка (р; q) переходит в область под параболой, в ко-
торой q < р2Уравнение х2 + рх + q — 0 теперь имеет два
различных корня, и его график у = х2 + рх + q пересекает
ось абсцисс дважды (рис. 42, в).
Рис. 42
Таким образом, идея сопоставить каждому уравнению
точку координатной плоскости позволяет наглядно предста-
вить условия, при которых уравнение х2 + рх + q — 0 имеет
О, 1 или 2 корня.
Исследуем теперь аналогично число корней кубического
уравнения. Быть может, у Вас возник вопрос, почему речь
идет о кубическом трехчлене, а не четырехчлене? Ведь
общее кубическое уравнение содержит четыре одночлена:
аж3 + Ьх2 + сх + d = 0.
Прежде всего, мы покажем, как свести дело к, трем сла-
гаемым всего с двумя произвольными коэффициентами. По-
скольку а 0, можно разделить уравнение на а. Получится
равносильное уравнение
х
з
с с/
+ -х + - = 0,
а а
180
содержащее три коэффициента. Переобозначим эти коэффи-
циенты; получится уравнение х3 + bi#2 + с±х + di = 0.
Еще уменьшить число коэффициентов можно заменой пе-
ременной. Попробуем заменить х на х + t. Кубическое урав-
нение приобретет такой вид:
(х + t)3 + bi(x + t)2 + сЦя +t) + d\ = 0.
Раскроем скобки, пользуясь формулами квадрата и куба
суммы:
х3 + (32 + bi)#2 Н-.
Поскольку мы интересуемся коэффициентами при ж2, можно
не вычислять коэффициенты при х и свободный член; вмес-
то них мы ставим многоточие. Ясно, что если взять такое
чтобы St + bi = 0 (т.е. t = —bi/З), то получившийся ку-
бический многочлен не будет иметь члена второй степени и
поэтому будет содержать лишь три одночлена с двумя про-
извольными коэффициентами.
Поясним геометрический смысл
замены переменной х х +1. Такой
замене отвечает сдвиг координатной
плоскости вдоль оси Ох на расстоя-
ние —t (рис. 43). Обратите внимание
на то, что в результате прибавления
к х величины t сдвиг происходит
на (—t) единиц: если t > 0, то сдвиг
налево, а если t < 0, то направо.
В результате такой замены гра-
фик кубического многочлена тоже
сдвинется на —t вдоль оси Ох. Ясно,
что число его точек пересечения с
этой осью не изменится (рис. 44).
Итак, перейдем к исследованию числа корней уравнения
х3 + рх + q = 0.
181
Мы уже видели в параграфе 11 «Графики многочленов», что
любое кубическое уравнение имеет хотя бы один корень. Ес-
Q
ли это уравнение имеет два корня, х\ и Х2, то х + рх + q
делится по теореме Безу на произведение двух двучленов
(х—х\)(х—хъ)- Частное тоже будет двучленом х—а?з, поэтому
если кубический многочлен имеет два корня, то он должен
иметь три корня (хотя среди этих корней могут быть совпа-
дающие).
Сопоставим уравнению х3 + рх + q = 0 точку на коорди-
натной плоскости с координатами (р;д). Пусть точка (р;д)
движется по этой плоскости, а соответствующее кубическое
уравнение изменяется. На плоскости есть область точек
(р; <?), которым отвечают уравнения, имеющие три корня,
и есть область точек (р;д), которым отвечают уравнения,
имеющие только один корень. Как и в случае квадратного
уравнения, эти области разделяет кривая, которой отвечают
уравнения х3 4- рх 4- q = 0, имеющие кратный корень.
Рис. 45
Графики кубических многочленов у = х3 + рх + q при
движении точки (р; q) из области, где имеется три корня, в
область, где корень только один, изменяются так, как по-
казано на рис. 45, a-в. Эти рисунки нам уже встречались в
182
параграфе 11 «Графики многочленов» (рис. 5 на с. 60). Итак,
мы убеждаемся, что число корней может меняться в тот мо-
мент, когда многочлен ж3 + рх + q имеет кратный корень.
При каких р и q это возможно? Пусть кратный корень ра-
вен и, а второй корень равен v. Тогда можно применить фор-
мулы Виета, выражающие коэффициенты кубического мно-
гочлена через его корни (с. 113). Именно, если xi, х% и хз —
корни многочлена х + ах +Ьх + с, то
{Xi + х2 + х3 = -а,
Х1Х2 +	= Ь,
^1^2^з = ~с-
В нашем случае х± = х2 = iz, х3 = v; а = 0, b = р, с = q.
Следовательно,
2и + v = 0,
< и2 + 2uv — р,
k u2v = q.
Значения корней и и v мы не знаем, поэтому попробуем из-
бавиться от них. Из первого уравнения v = —2и. Подставим
во второе и третье уравнение:
и2 — 4и2 = р,	—Зи2 = р,
<	Ъ	или	„
—2гг = q,	—2и6 = q.
Возведем первое уравнение в куб, второе в квадрат:
' —27и6 = р3,
'	4u6 = q2
и разделим одно на другое:
27 _
4 q2
р q
27 + Т=0'
183
Это уравнение не содержит неизвестных нам чисел и и v; оно
задает условие того, что кубическое уравнение x3+px+q = О
имеет кратные корни.
Изобразим теперь кривую, заданную уравнением
Р3 <?
27 + 4
на плоскости. Прежде всего, число q2 всегда неотрицательно.
Поэтому из уравнения р3 — — (27/4)д2 следует, что р С 0.
Таким образом, наша кривая лежит в левой полуплоскости.
Рис. 46
Заметим еще, что если некоторая точка (р; д) удовлет-
воряет уравнению (р3/27) + (q2/4) = 0, то и симметричная
ей относительно оси абсцисс точка (р; — q) тоже ему удов-
летворяет: р3/27 + (—q)2/4 = 0. Следовательно, кривая,
которую мы хотим построить, симметрична относительно
оси абсцисс. Выразим q через р; получим соотношение
q = ±\/4/27(—р)3/2. Поскольку показатель степени 3/2 боль-
ше 1, кривая полого подходит к оси абсцисс при р, близком
к нулю. Если же (—р) очень велико, то и q неограниченно
возрастает. Все эти соображения приводят к кривой, изобра-
женной на рис. 46. Эта кривая называется полукубической
параболой. Полукубическая парабола разбивает плоскость
184
на две области. Для того, чтобы выяснить, сколько корней
будут иметь уравнения х3 + рх + q = 0, для которых точки
(р; q) лежат в той или иной области, достаточно взять по
одной «пробной» точке. Например, возьмем в области слева
от полукубической параболы точку (—1;0). Ей отвечает
уравнение х3 — х = 0. Это уравнение имеет три корня:
— 1; 0; 1. Значит, три корня будут иметь все уравнения
х3 + рх + q = 0, для которых точка (р; q) лежит в левой
области.
Возьмем точку (1; 0) справа от полукубической параболы.
Ей отвечает уравнение ж3 + х = 0. Это уравнение можно
записать так: х(х2 + 1) = 0; отсюда следует, что оно имеет
только один корень х = 0. Следовательно, ровно один корень
имеет любое уравнение ж3 + рх + q = 0, для которого точка
(р; q) лежит в правой области.
Область слева от кривой задается неравенством
р3/27 + q2/4 < 0, а область справа: р3/27 + q2/4 > 0.
Это позволяет сформулировать итог нашего исследования:
Если	р3 27	4	< о,	то	<	уравнение ж3 + рх + q = 0 имеет три корня;
	Р3	, q2				уравнение х3 + рх + q = 0
если		+ —	> о,	то	<	
	27	4				имеет один корень;
	р3	, q2				уравнение х3 + рх + q = 0
если		+ —	= о,	то		
	27	4				имеет кратный корень.
Величина 4р3 + 27g2, от знака которой зависит, сколько кор-
ней имеет многочлен rr3 H-prrH-Q, называется его дискриминан-
том. В следующем параграфе Вы увидите, что существуют
формулы для решения кубических уравнений, в которых дис-
криминант играет важную роль.
185
Задачи
29.1.	Нарисуйте на координатной плоскости множество та-
ких точек (р; q), что многочлен x3+px+q имеет корни
и их абсолютные величины не превышают 1.
29.2.	Докажите, что если коэффициент р в многочле-
Q	v
не х + рх + q положительный, то этот многочлен
имеет один корень.
29.3.	Сколько корней имеет уравнение:
а)	—х3 + х 4- - = 0;
О
б)	+ х2 + х - 10 = 0;
в)	—2а;3 + ба:2 — х + 10 = 0?
29.4.	Каким точкам на плоскости (р;д) отвечают много-
члены а;3 + рх + д, имеющие три совпадающие корня?
Чему могут быть равны эти корни?
29.5.	Многочлен хп + ахп~2 + Ьхп~3 + • • • + с имеет п сов-
падающих корней. Найдите эти корни и вычислите
коэффициенты многочлена.
29.6.	Докажите, что:
а)	при р 0 график многочлена у = х3 + рх + q пе-
ресекает каждую горизонтальную прямую ровно
в одной точке;
б)	при р < 0 график пересекает некоторые горизон-
тальные прямые в трех точках;
в)	при р < 0 график имеет один максимум и один
минимум;
г)	абсциссы точек максимума и минимума противо-
положны.
29.7.	Докажите, что график многочлена:
а) х3 + рх;	б) х3 + рх + q; в) ах3 + Ьх2 + сх + d
имеет центр симметрии.
29.8.	Многочлен х3 — 2х2 + х — 3 получен сдвигом из мно-
гочлена х3 + 4а;2 + 5х — 1. Найдите величину сдвига.
186
30.	Решение кубического уравнения
В предыдущем параграфе мы объяснили, что решение лю-
бого кубического уравнения сводится к решению уравнения
специального вида х3 + рх + q = 0. Сейчас мы решим это
уравнение, т. е. найдем формулу, подобную формуле решения
квадратного уравнения, которая выражает х через коэффи-
циенты р и q с помощью радикалов.
Будем искать х в виде суммы: х = a + b. Числа а и b мы
пока считаем произвольными, но когда нам понадобится, мы
будем накладывать на них необходимые ограничения. Имеем
равенство: х — a = b. Возведем его в куб: (х — а)3 = Ь3 и
раскроем скобки по формуле куба разности:
х3 — Зах2 + За2х — а3 = Ъ3.
Преобразуем это равенство:
х3 — Зах(х — а) — (а3 + Ь3) — 0.
Поскольку х — а = Ь, подставим b вместо х — а:
х3 — ЗаЬх — (а3 + Ь3) = 0.
Из предположения, что х — а = Ь, мы получили кубическое
уравнение, которому удовлетворяет х. Вспомним теперь, что
выбор чисел а и b — в нашем распоряжении. Нельзя ли вы-
брать а и b таким образом, чтобы получившееся уравнение
совпало с тем уравнением, которое мы хотим решить, т. е. с
уравнением х3 + рх + q = 0?
Попробуем:
п3
—ЗаЬ — р,	а3Ь3 =
о ч	или	27
° + b ) =	а3 + Ь3 = —q.
187
Обозначим а3 через и, Ь3 — через v. Тогда числа и и v удов-
летворяют системе уравнений:
( - -1—
< UV 27’
( и + v = —q.
Такие системы мы умеем решать (см. параграф 23 «Сим-
метрические многочлены»). Согласно формулам Виета, и
и v — корни вспомогательного квадратного уравнения
2	р3
t + qt — — — Q, Решаем это уравнение:
*1,2 =
-Q±
2
—q q2 р3
ИЛИ (112 = т±^т + _.
Не правда ли, выражение, стоящее под корнем, нам уже зна-
комо? Оно неоднократно встречалось в предыдущем пара-
графе. Но продолжим решение: и и v равноправны, поэтому
будем считать, что
-д _
2 V 4	27’
Вспомним, что и = а3 и v = Ь3. Поэтому, чтобы получить а
и Ь, извлекаем кубический корень:
Для того, чтобы завершить решение, воспользуемся тем, что
х = а + Ь. Следовательно:
з —о а2 р3 з/ — а	а2 р3
'=H-VT + 27 + VT + V4+27
Эта формула называется формулой Кардано.
188
В истории науки часто бывает так, что открытие носит
имя не своего изобретателя, а другого ученого — например,
того, который способствовал популяризации этого откры-
тия. Так обстоит дело и с формулой для решения кубического
уравнения. Эта формула была открыта в начале XVI века, в
эпоху Возрождения, когда европейская наука и культура пе-
реживали подъем. Впервые со времени античности европей-
ские ученые почувствовали себя вправе свободно задавать
природе вопросы и искать ответы на них. Незадолго до это-
го, в 1492 году, Христофор Колумб открыл Америку. Новые
горизонты открывались и перед математиками.
Что же было известно к 1500 году о решении уравне-
ний? Были уже известны формулы решения квадратных
уравнений, на очереди стояли уравнения кубические. В это
время математики еще не умели свободно пользоваться от-
рицательными числами. Поэтому, в зависимости от знаков
коэффициентов, уравнения воспринимались, как совершенно
разные. Например, считалось, что задачи решения урав-
нений х3 + рх = q и х3 = рх + q (где р, q > 0) — это две
совершенно разные задачи.
К 1500 году среди математиков бытовала точка зрения,
выраженная в одной из первых печатных книг по матема-
тике — книге Луки Пачоли «Сумма арифметики», что куби-
ческое уравнение решить невозможно. Первым, кто решился
усомниться в этом, был профессор математики в Болонье
Сципион дель Ферро. Он нашел способ решения уравнения
х^+рх = Q, т.е. уравнения x^+px + q = 0ср>0ид<0. В те
времена не было принято публиковать открытия. Наоборот,
ученые тщательно скрывали их, порою хитроумно зашиф-
ровывали и всячески старались утаить их от своих коллег.
Одной из причин был обычай устраивать поединки по ре-
шению задач. Эти поединки, напоминающие дуэли, отлича-
лись огромным напряжением. Соперники заранее обменива-
лись задачами, а затем встречались в установленном месте и
189
обменивались решениями. У многочисленных зрителей такие
поединки вызывали не меньше эмоций, чем спортивные со-
стязания у современных болельщиков. Проигравший не толь-
ко подвергался насмешкам, но и должен был угостить парад-
ным обедом друзей победителя в количестве, равном числу
задач, которые решил победитель.
Итак, Сципион дель Ферро доверил открытую им фор-
мулу своему ученику Марио Фиоре. Тот после смерти учи-
теля решил, что благодаря доверенной ему тайне он станет
непобедимым в поединках по решению задач. В 1535 году
он вызвал на такой поединок Никколо Тарталью. Тарталья
(по-итальянски это значит «заика») был одним из самых за-
метных ученых своего времени. Он, например, предсказал,
что орудие будет стрелять дальше всего, если его ствол на-
клонить под углом 45° к горизонту. Тогда такой вывод ка-
зался невероятным.
Тарталья знал, что его противник умеет решать уравне-
ние х2 +px + q = 0 в частном случае. Это подстегивало его, и
за 8 дней до начала поединка Тарталья изобретает способ ре-
шения уравнения х3+рх — q. Тарталья блестяще выигрывает
поединок, но тайны найденного им решения пока не раскры-
вает никому.
Все же нашелся ученый, который уговорил Тарталью по-
делиться с ним своей тайной. Это был Джироламо Кардано.
Современникам он был известен в первую очередь как знаме-
нитый врач. Однако были у него и другие интересы; напри-
мер, им был придуман всем известный сегодня карданный
вал. Кардано, который писал книгу «Практика общей ариф-
метики», попросил Тарталью разрешения вставить найден-
ную им формулу в свою книгу. Тарталья поделился секретом
с Кардано, но просил его не публиковать формулу. Кардано
выполнил эту просьбу. Он много лет посвятил исследованию
кубического уравнения; ему удалось найти решение уравне-
ния ж3+рт + д = 0ив случае, когда р < 0, a q > 0. Кроме
190
того, он нашел способ решения кубического уравнения с чле-
ном второй степени.
Надо сказать, что решения, придуманные учеными
XVI века, сильно отличались, например, от того вывода,
который привели здесь мы. Главная трудность состояла в
отсутствии алгебраической символики. Даже решение квад-
ратного уравнения воспринималось не как набор операций
с числами, а как последовательность геометрических по-
строений. Тем более удивительно, что дель Ферро, Тарталья
и Кардано удалось решить кубическое уравнение!
Вернемся к формуле Кардано и посмотрим, как ей
пользоваться при решении кубических уравнений. В пред-
ыдущем параграфе мы видели, что число корней уравнения
х3 + рх + q = 0 зависит от знака величины д2/4 + р3/27.
Если д2/4 + р3/27 > 0, то уравнение имеет один корень. В
этом случае корень у/д2/4 + р3/27 существует и является
действительным числом, так что формула Кардано дает
значение единственного корня уравнения.
Впрочем, формула Кардано не так уж хороша даже в
этом случае. Рассмотрим пример.
• Решить уравнение х3 + Зх — 4 = 0.
В этом уравнении р = 3 и q = —4. Число q2/Ь+р3/27 равно 5,
поэтому решение по формуле Кардано выглядит так:
х =	+ ^2 +
Вроде бы на этом можно остановиться. Однако давайте по-
пробуем решить данное уравнение так, как мы уже не раз
делали на этих страницах: угадаем корень. Сделать это не-
трудно: х = 1 является решением. Разделим теперь х3+Зх — 4
на х — 1; в частном получится х2 + х + 4. Этот трехчлен не
имеет корней, следовательно, х = 1 — единственный корень
уравнения.
о Ответ: х = 1.
191
Мы приходим к выводу, что у 2 - \/5 + у 2 + \/5 = 1.
Странное утверждение, не правда ли? Доказать это равен-
ство непосредственно совсем непросто.
Еще хуже обстоит дело в случае, когда <?2/4 + р3/27 < 0.
Как мы видели в предыдущем параграфе, уравнение а;3 +
+px + q = 0 имеет тогда три действительных корня. Но если
искать их по формуле Кардано, то возникнет необходимость
извлекать квадратный корень из отрицательного числа
q2/4+p3/27. Рассмотрим для примера уравнение х3 — За; — 0.
Решить это уравнение совсем нетрудно: левая часть разлага-
ется на линейные множители а;(а;2 — 3) = х(х — \/3)(аг + л/З).
Поэтому уравнение имеет три корня: — >/3, 0 и л/З-
Посмотрим, что дает формула Кардано. Коэффициенты
имеют следующие значения: р = —3, q = 0. Следовательно,
величина q2/4+ р3/27, стоящая под корнем, равна —1. Окон-
чательно получаем такую формулу:
Чтобы разобраться в том, что происходит, надо научить-
ся производить действия с корнями из отрицательных чи-
сел. Эту задачу решает введение нового вида чисел — ком-
плексных. О них пойдет речь в следующем параграфе. А вот
без использования комплексных чисел обойтись при решении
уравнения х3 + рх + q = 0 с д2/4 + р3/27 < 0 невозможно.
Поэтому можно сказать, что мы не сумеем, пользуясь фор-
мулой Кардано, решить уравнение х3 + рх + q = 0 в случае,
когда q2/4 + р3/27 < 0, оставаясь в области действительных
чисел. Этим кубические уравнения резко отличаются от ква-
дратных.
И тем не менее формула Кардано — это замечательное
открытие. Аналогичные формулы можно написать и для ре-
шения уравнения четвертой степени. Эти формулы открыл
ученик Кардано Луиджи Феррари. А вот уравнения общего
192
вида пятой и более высоких степеней никак не поддавались
решению. Почти 300 лет математикам казалось, что еще не-
много, и эти уравнения будут решены, однако каждый раз
надежды не оправдывались. Как часто бывает в математике,
эта проблема получила, наконец, решение, противоположное
тому, которого ожидали. Именно, в начале XIX века италь-
янский математик Паоло Руффини и норвежский математик
Нильс Абель доказали, что уравнения пятой и более высо-
ких степеней не имеют общего решения в радикалах. Конеч-
но, некоторые частные виды уравнений могут быть решены.
Например, уравнение х6 + х3 — 2 = 0, хотя и имеет шестую
степень, легко сводится к квадратному: надо только сделать
” з
замену переменной у = х .
Гениальный французский математик Эварист Галуа,
который в возрасте двадцати одного года года погиб на
дуэли, открыл способ, позволяющий по данному уравнению
определить, имеет ли оно решение в радикалах. Такова,
вкратце, история поиска формул для решения алгебраичес-
ких уравнений.
Задачи
30.1.	Решите уравнение х3 + х — 2 = 0 по формуле Кардано
и обычным способом.
ч 2
30.2.	Решите уравнение х — х------=. = 0. Сколько корней
имеет это уравнение?
30.3.	Докажите, что ^7 —л/бО + ^/7 + л/бб = 2.
30.4.	Пусть уравнение ж3 +рх + q = 0 имеет корни а, бис.
Докажите, что 4р3 + 27g2 = —(а — Ъ)2(Ь — с)2(с — а)2.
30.5.	Цель этого упражнения — показать, как выводятся
формулы Феррари для решения уравнения четвертой
степени х4 + ах2 + Ьх + с = 0.
193
а)	Докажите, что каждое уравнение четвертой сте-
пени сводится к уравнению специального вида:
+ ах2 + Ьх + с = 0.
б)	Докажите, что это уравнение равносильно урав-
нению
о а \2 о	( о
2 + - + t) = 2tx2 — bx + I г + at - с + —
2	/	\	4
где t — некоторая дополнительная переменная.
в)	Докажите, что можно выбрать значение t таким
образом, чтобы правая часть этого уравнения —
квадратный трехчлен относительно х — имела бы
совпадающие корни.
Указание: Приравняйте к нулю дискриминант.
Получится вспомогательное уравнение третьей
степени относительно t. Это уравнение можно
решить с помощью формул Кардано.
г)	Пусть to — выбранное значение t. Докажите, что
исходное уравнение приобретает теперь вид
/ 9	а	\2
(х + + to J — 2^о
\	^	/
/ ь \2
V 4*о/ ’
д)	Докажите, что это уравнение сводится к решению
двух квадратных уравнений.
е)	Решите по указанному плану уравнение
х4 + 4х — 1 = 0.
194
31. Комплексные числа
В предыдущем параграфе мы пришли к необходимости про-
изводить действия с корнями из отрицательных чисел. Сей-
час мы расскажем о числах, которые при этом получаются.
Но сначала поговорим о том, что такое вообще число.
Маленькие дети сперва знакомятся с началом натураль-
ного ряда. Мир чисел выглядит для них так: 1, 2, 3, много ...
Со временем они более уверенно начинают обращаться с
большими натуральными числами, хотя их еще долго вол-
нует вопрос: «какое самое большое число ты знаешь» или
«до скольких ты умеешь считать»?
Затем система натуральных чисел расширяется до целых
чисел. Это значит, что к привычным числам 1, 2, 3, ..., нуж-
ным для того, чтобы пересчитывать предметы, добавляют
еще нуль и отрицательные числа. Зато теперь можно вы-
полнять не только сложение, но и вычитание, не опасаясь,
что вычитаемое окажется больше, чем уменьшаемое. Напри-
мер, до введения отрицательных чисел нельзя было выпол-
нить действия 3 — 4 + 2 подряд. Нужно было считать так:
3 + 2 = 5, а затем 5 — 4 — 1. С отрицательными числами дело
идет удобнее: 3 — 4 = —1; —1 + 2 = 1.
Очень важно, что для действий с целыми числами выпол-
няются те же законы, что для действий только с натураль-
ными числами. Так, например, сложение и умножение целых
чисел подчиняется тому же перестановочному закону, что и
для натуральных чисел.
Этот принцип сохранения традиций соблюдается и при
дальнейшем расширении понятия числа. Можно сказать и
так: отрицательные числа нужно ввести, чтобы можно было
195
решать уравнения вида х + а = Ь. Например, для решения
уравнения х + 2 = 3 достаточно натуральных чисел, но
уравнение х + 3 = 2 требует уже целых чисел.
Аналогично, желание решать уравнения ах = b диктует
необходимость ввести рациональные числа. Так, уравнение
Зх = 12 разрешимо в целых числах, но уравнение Зх = 13
имеет уже дробное решение.
Так же появляются и иррациональные числа. Например,
уравнение х2 = 2 неразрешимо в рациональных числах. Мы
доказывали это в параграфе 17 «Числа целые, рациональные
и иррациональные». Поэтому, если мы хотим решать урав-
нения такого типа, к рациональным числам нужно добавить
иррациональные числа: например, л/2. И опять для действий
с действительными числами выполнены те же законы, что и
для действий с предыдущими числовыми системами.
Но и действительных чисел недостаточно для решения
уравнений. Самое простое уравнение, не имеющее корней,
это квадратное уравнение х2 + 1 = 0 или х2 = — 1. Его корень,
если бы он был, следовало бы записать в виде Давайте
обозначим выражение л/—1 через i и добавим к обычным дей-
ствительным числам это новое число i. Равенство i = д/—1
можно возвести в квадрат, получится
г2 = -1.
Это равенство определяет правила умножения i на самого се-
бя. То, что получилось из действительных чисел после добав-
ления числа г, называется комплексными числами. Каждое
комплексное число можно записать как а + гЬ, где а и b —
действительные числа.
Давайте научимся производить действия с этими новыми
числами. Будем только помнить, что все привычные правила
действий сохраняют силу.
196
Сложение и вычитание. Вот несколько примеров, показыва-
ющих, как складывать и вычитать комплексные числа.
(1 + 2г) + (2 + г) — 3 + Зг;
(—3 + г) + (2 — 2г) = — 1 — г;
(5 + 2г)	—	(2 +	г)	=	3 + г;
/1	7	Л	/	1	3\	3
—I—г —-------------г =-----г;
\2	4	/	\	4	4	/	4
2г	+	(3 +	г)	=	3 + Зг;
(л/2 - г) + (\/2 + г) = 2\/2, ит.д.
Вы, конечно, поняли, как складывать и вычитать комплекс-
ные числа: части, не содержащие г, нужно сложить отдельно,
а части, содержащие г, — отдельно.
Умножение. Все, что нужно для вычисления произведения,
мы тоже уже знаем. Вычислим:
(1 + 2г)(3 + г) = 1- 3+1-г + 2г-3 + 2г-г = 3 + г + 6г + 2(г2).
Значение г2 = — 1 нам известно. Значит,
3 + г + 6г + 2(г2) — 3 -И 7г — 2 = 1 + 7г.
Это и есть ответ.
Еще пример:
(1 + г)2 = (1 + г)(1 + г) = 1 + г-1 + 1-г + г2 = 1 + г + г-1 = 2г.
Итак, для умножения комплексных чисел нужно раскрыть
скобки и воспользоваться тем, что г2 = — 1.
Деление — это действие, обратное умножению. Попробуем
и	1 + г
наити число -----. Обозначим это неизвестное число через
3 + 4г
197
a+ib. Тогда
скобки:
1 + г
3 + 4г
= а + ib или 1+г = (3+4г)(а+г6). Раскроем
(3+4г)(а+г6) = 3a+3-ib+4ia+4i-ib = 3a+3bi+4ai+4bi2 =
= За + (36 + 4а)г + 4Ь(—1) = (За - 46) + (36 + 4а)г.
1
+ Подставляя в первое урав-
О
7	,	_1_
25 *	25’
Мы хотим, чтобы выполнялось равенство 1 + г = (За — 46) +
+ (36 + 4а)г. Значит, За — 46 = 1 и 36 + 4а = 1. Из второго
, 4а
уравнения находим: 6 = ——
О
нение, получим За — ^ +	= 1. Отсюда а = и 6 = —
о о	Zu
ТЛ	1 + г 7	1 .
Итак, мы нашли ответ: ------=---------г.
3 + 4г 25	25
Точно так же можно разделить любые другие комплекс-
ные числа.
Подведем первые итоги. Мы научились выполнять дей-
ствия с комплексными числами а + гЬ, где i = V—l- Но наша
цель была решать уравнения. Давайте рассмотрим пример.
• Решить в комплексных числах уравнение х3 = 1.
Запишем уравнение в виде ж3 — 1 = 0 и разложим левую часть
на множители. Получим: (х — 1)(х2 + х + 1) = 0. Один корень
будет х = 1. Два других — это корни уравнения х2+£+1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, ведь его
дискриминант 1 — 4 = — 3 отрицательный. Но нас это не пу-
гает — ведь мы ищем решение в комплексных числах, среди
которых есть число i — Воспользуемся формулой:
или
Это и есть два другие корня уравнения ж3 — 1 = 0.
.	1.^3	1.^3
о Ответ: xi = 1, х2 = -- - г—, я?з = -- + г—.
z &	z &
198
Обратите внимание: в то время как кубическое уравнение
ж3 — 1 = 0 имеет всего один действительный корень, число
его комплексных корней — три, т. е. равно степени. Это, ко-
нечно, не случайно. Оказывается,
Всякое уравнение n-й степени имеет п комплексных
корней.
Если среди корней есть кратные, то при подсчете надо учи-
тывать эту кратность. Например, двукратный корень квад-
ратного уравнения надо засчитывать за два корня.
Эта замечательная теорема называется основной те-
оремой алгебры. Основная теорема алгебры показывает,
что число г, которое мы ввели, чтобы решать только одно
простейшее уравнение х2 + 1 = 0, позволяет решить и все
остальные алгебраические уравнения. Это удивительное
обстоятельство трудно было предвидеть заранее.
В заключение вернемся к формуле Кардано. Как мы виде-
ли в предыдущем параграфе, при решении кубического урав-
нения по этой формуле действительные корни записывались
в виде суммы комплексных чисел. В этом нет ничего уди-
вительного. Сумма комплексных чисел точно так же может
оказаться действительной, как сумма иррациональных — ра-
циональной, или сумма дробей — целым. Вот несколько при-
меров:
111,
6+3+2“ 5
(7 - 5^) + (3 + 5^2) = 10;
(9-2г)+ (-7 +2г) = 2.
Задачи
31.1.	Выполните действия над комплексными числами:
а) (2 + Зг) - (1 - г); б) 273 - 4гу^) + (-\/12 + г>/8).
199
31.2.	Найдите такие действительные х и у, чтобы выпол-
нялись равенства:
ч 2г	7
а)-----yi + 4 — Зг----|- 2г;
х	х
б)	(1 + г)х + (1 - i)y = 3 - г;
в)	(2 + Зг)а? + (2 — Зг)(а; + у) — 7 — 8г.
31.3.	Выполните действия:
а) (1 + г)(1 - г);	б) (\/3 - г)(\/3 + г);
в) (2 + Зг)2;	г) (1 + 5г)2(3 - г);	д)
г
3 Ч- 2г	3 + г 3 — i	ч л/3 — i
31.4.	Решите уравнения в комплексных числах:
а)	х2 — 2х + 2 = 0;	б)	х2	= i;
в)	х2, — (2 + г)х + 2г =	0;	г)	ж4	= 1;
д)	Xх + 1 = 0;	е)	х5	— 1 = 0.
31.5.	Составьте квадратное уравнение с действительными
коэффициентами, одним из корней которого является
число: а) г; б) 1 + г; в) 2 — 7г; г) 1 + 2\/3 • г.
31.6.	Вычислите корни (т. е. запишите ответ в виде а + ib):
а) д/3 + 4г; б) V5 - 12г; в) 0. + г\/3.
31.7.	Определите, чему равно:
(/—	Г— \ 71
л/2	А/2 \
Zt J
в зависимости от остатка, который дает п при деле-
нии на: а) 2; б) 4; в) 8.
200