Необыкновенная физика обыкновенных явлений. Том 1 - Суорц Кл.Э.

Автор: Суорц Кл.Э.
Теги: физика физико-математические науки механика термодинамика
Год: 1986
Похожие
Необычные свойства обычных растворов
Библиотечка "Квант" 32. Необычные свойства обычных металлов
Обыкновенные акции и необыкновенные доходы
В необыкновенном мире
Текст
                    Кл.Э. Суорц
Необыкновенная
ф»
обыкновенных
том А
Перевод с английского
Е. И. БУТИКОВА и А. С. КОНДРАТЬЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-MAI ЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ББК-22Т
С89
УДК 53(023)
PHENOMENAL PHYSICS
CLIFFORD E SWARTZ
The State University of New York
at Stony Brook
JOHN WILEY & SONS
New York
Chichester
Brisbane
Toronto
Суорц Кл. Э.
C 89 Необыкновенная физика обыкновенных явлений:
Пер. с англ В 2-х т. Т. 1,— М.: Наука. Гл. ред. физ -
мат. лит., 1986.— 400 с., ил.
В книге дано современное изложение начал физики Каждая глава начи-
нается разделом «Знакомство с явлениями», в котором читателю предла
гается проделать простейшие опыты и наблюдения с помощью легко-
доступных подручных средств Подобранные примеры с минимальным ис-
пользованием математических средств позволяют развить физическую ин-
туицию и умение применять знание физики в практической деятельности
В русском издании книга разделена на два тома В первый том вошли
главы, посвященные механике и термодинамике
Для учащихся общеобразовательной и профессиональной школ, а также
для лиц, занимающихся самообразованием _
с 1704010000-156 ш 86	н*укива 01Слпггек« i ББК 22.з
053(02>86	ЫНВСЬМГ* »Вдена AmUM I	53
I	1ЖК1ИН*
© John Wiley & Sons, Inc, 1981
© Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Перевод на русский язык, 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Предлагаемая вниманию советского
читателя книга Кл. Э. Суорца предста-
вляет собой начальный курс общей фи-
зики и используется в колледжах США
как пособие при одногодичном изуче-
нии физики. Название книги Phenomenal
Physics построено на игре слов. Поэто-
му на русский язык его приходится
переводить как «Необыкновенная физи-
ка обыкновенных явлений». Иначе ока-
зался бы утраченным заложенный авто-
ром двойной смысл.
Главная особенность книги заклю-
чается в том, что ее можно читать, не
имея практически никаких предвари-
тельных сведений об изучаемом мате-
риале. Каждая глава начинается разде-
лом «Знакомство с явлениями», в кото-
ром автор предлагает читателю проде-
лать опыты с помощью легко до-
ступных подручных средств. При этом
подбор предлагаемых опытов и наблю-
дений, которые, не заменяя лабора-
торных работ, позволяют «прочувство-
вать» важные стороны изучаемых явле-
ний, чрезвычайно удачен и свидетель-
ствует о незаурядном педагогическом
мастерстве автора.
Принятый в книге способ изложения
традиционного материала начального
курса физики полезен не только для тех
учащихся, которые избрали физику
своей специальностью и проявляют по-
вышенный интерес к ее изучению, но
и для тех, кто объективно нуждается
в ней, причем не столько в четком фор-
мальном знании физических законов,
сколько в понимании их содержания
и умении применять их на практике. Ос-
новной упор автор делает не на разви-
тие внутренней логики изучаемой науки,
а на как можно более широкую демон-
страцию проявлений физических законо-
мерностей в окружающих явлениях.
Образно говоря, эта книга учит «чув-
ствовать», как именно будет протекать
и какими законами управляется тот или
иной физический процесс, опираясь при
этом не на строгие теоретические рас-
суждения, а на свой накопленный
личный опыт.
Одна из удачных «конструктивных»
особенностей книги заключается в том,
что изложение теоретического материа-
ла производится с использованием мини-
мума математических средств. В то же
время текст сопровождается многочис-
ленными умело подобранными рисунка-
ми, схемами, диаграммами и i рафика-
ми, а зачастую и лаконичными просты-
ми оценками и расчетами, которые
способствуют более глубокому понима-
нию и делают все изложение исключи-
тельно наглядным и живым. Эти не свя-
занные напрямую с основным текстом
дополнительные средства образуют как
бы второй план и благодаря своей лако-
ничности и конспективности создают
условия для лучшего усвоения и запо-
минания изученного. Автору удалось
достичь высокой степени совершенства
в подобном способе подачи материала,
а исключительно удачный и вполне со-
временный подбор разбираемых приме-
ров позволяет утверждать, что книга
Кл. Э. Суорца окажется полезной для
самой широкой читательской аудито-
рии.
При переводе книги мы стремились
сохранить колорит оригинала и донести
до читателя как методические, так и чи-
сто литературные особенности стиля
3
автора. Иногда автор переходит на язык
живого общения с читателем, не гну-
шаясь использованием жаргонных вы-
ражений и нестрогих формулировок, что
сохранилось и в переводе в тех местах,
где это не приводит к недоразумениям.
Например, действующую на тело силу
тяжести автор часто называет весом, ес-
ли эту силу невозможно спутать с тем,
что полагается называть весом тела, то
есть с силой, с которой тело действует
на подставку. Иногда, говоря о работе,
автор для краткости не уточняет, рабо-
та каких именно сил имеется в виду.
Так, при рассмотрении работы, совер-
шаемой на отдельных участках цикла
Карно, не уточняется, где идет речь
о работе, совершаемой самим газом,
а где — о работе над ним. Конечно, все
это можно было бы поставить автору
в упрек, но, с другой стороны, в этом
можно усмотреть своеобразный методи-
ческий прием, заставляющий читателя
постоянно контролировать степень
и глубину своего понимания.
Иногда автор, не оговаривая этого
особо, ограничивается рассмотрением
некоторых частных случаев, что может
спровоцировать читателя на неверные
обобщения. Например, может сложить-
ся ошибочное мнение, что момент им-
пульса твердого тела всегда параллелен
угловой скорости.
Автор не всегда пользуется стан-
дартной терминологией. В частности,
индукцию В магнитного поля он назы-
вает напряженностью, что можно было
бы признать правильным по существу,
но что противоречит исторически сло-
жившемуся и официально принятому
названию.
Могут оказаться не вполне понятны-
ми читателю и некоторые приводимые
в книге примеры, заимствованные из
американской действительности (попу-
лярный в США бейсбол и т. п.). Во мно-
гих примерах используются непривыч-
ные для нас, но широко распростра-
ненные в англоязычных странах ме-
ры — мили, футы, ярды, фунты. По-
скольку цель таких примеров — научить
читателя уверенно переходить от одной
системы единиц к другой, они сохра-
нены в русском издании. Без спе-
циальных оговорок в переводе испра-
влены замеченные опечатки и мелкие
неточности.
Мы надеемся, что книга Кл. Э. Суор-
ца найдет своего читателя в нашей стра-
не. Ее перевод на русский язык будет не
только способствовать пропаганде зна-
ний по физике среди молодежи, но так-
же позволит широкому кругу препода-
вателей физики ознакомиться с ориги-
нальными педагогическими находками
американских коллег. Это внесет свой
вклад в дело улучшения взаимопонима-
ния между нашими народами.
Е. И. Бутиков
А. С. Кондратьев
ПРЕДИСЛОВИЕ
Необыкновенная, феноменальная фи-
зика? Что может быть в ней такого не-
обыкновенного или удивительного? Ко-
нечно, физики считают физику захваты-
вающей наукой, но это потому, что она
составляет дело их жизни. Открытие но-
вой субатомной частицы или нахожде-
ние нового способа объяснения зна-
комого явления может привести
в сильный трепет. Однако небольшое,
но приносящее удовлетворение волне-
ние способно вызвать наблюдение и по-
нимание повседневных явлений при-
роды в окружающем нас мире. Ведь
куда занятнее иметь дело с радугами,
звукозаписью, вращающимися волчка-
ми и мыльными пузырями, если вы по-
нимаете их научную суть. Поистине
удивительны, феноменальны успехи фи-
зики в объяснении повседневных явле-
ний.
Однако не по этой причине я назвал
эту книгу «Phenomenal Physics». «Pheno-
menal» значит также «имеющий отно-
шение к явлениям», феноменологиче-
ский. При изложении стандартных тем
курса физики я прежде всего привожу
примеры из реального мира. Каждая
глава открывается разделом «Знаком-
ство с явлениями» (Handling the Pheno-
mena). Предлагаемые там опыты вы мо-
жете с небольшой затратой времени
выполнить дома или в общежитии с по-
мощью легко доступных подручных
средств. Если угодно, вы, конечно, мо-
жете пропустить эти разделы или про-
сто прочитать описание предлагаемых
опытов. Но будет жаль, если вы так сде-
лаете. Большинству людей абстрактные
умозаключения становятся доступнее,
если сначала «подержать в руках» явле-
ния, с которыми они связаны. Предла-
гаемые опыты не могут заменить лабо-
раторных работ. Скорее они дополняют
лекционные демонстрации. Вы, однако,
сможете большему научиться, если «по-
играете» с этими явлениями самостоя-
тельно.
Эта книг а содержит значительно
больше информации, чем можно уло-
жить в одногодичный курс. Разные пре-
подаватели в разных учебных заведе-
ниях в разные годы выбирают одни
темы и пропускают другие, но некото-
рая твердая основа всегда остается.
Мной сделана попытка тщательно изло-
жить в традиционной последовательно-
сти эти основные темы. Первые десять
глав соответствуют традиционному из-
ложению материала в большинстве кол-
леджей и содержат мало факульта-
тивных (необязательных) тем. Начиная
с главы 11 многие темы помечены как
дополнительные. Некоторые из них бо-
лее трудны для понимания или требуют
более основательной математической
подготовки, чем обычно. Другие, как, на-
пример, о физике музыки, несложны, но
могут не потребоваться для изучаемого
вами курса. Может быть, подобные раз-
делы доставят вам удовольствие, даже
если они и не требуются, или, может
быть, в будущем они могут пригодиться
вам для справок.
В основных темах высшая математи-
ка не используется, хотя некоторые вы-
воды в факультативном материале тре-
буют несложно! о дифференцирования
и интегрирования. Тем не менее в изло-
жении иногда привлекаются геометри-
ческие соображения, касающиеся накло-
на графиков или площади под ними.
5
Я не опустил из-за математических
ограничений ни одной из тем стандарт-
ного вводного курса. Для изучения ос-
новных тем требуется лишь знание про-
стой алгебры и некоторых сведений из
геометрии и тригонометрии. В тексте
почти исключительно используется
Международная система единиц (СИ).
Там, где это необходимо, приводится
перевод в прежние единицы.
При беглом взгляде на оглавление
может сложиться впечатление, что
в этой книге мало внимания уделено из-
ложению «современной» физики. В ней
нет отдельных глав, посвященных атом-
ной, молекулярной, ядерной физике, фи-
зике элементарных частиц и астрофизи-
ке. Вместо этого, начиная с главы 1,
во всех обсуждениях используются
атомные модели и астрономические
примеры. Я указываю много случаев,
когда от переднего края исследований
всего лишь шаг до рассматриваемой
вводной темы. Например, природа
массы составляет животрепещущую
проблему космологии, и я использую
это обстоятельство при изложении зако-
нов Ньютона. Заключительная глава
служит как для знакомства с атомной
и субатомной физикой, так и для обзора
многих тем, изученных ранее по этой
книге. Этот же подход распространяется
на приложения физики в биологии и фи-
зиологии. Тело человека и отдельные
его органы часто используются для
примеров в механике, гидродинамике,
акустике, оптике, электричестве.
На полях рядом с текстом приведено
множество диаграмм и рисунков, ко-
торые иллюстрируют, подытоживают,
а иногда и поясняют приводимое в тек-
сте рассуждение.
Через каждые несколько страниц
текст прерывается вопросом, который
часто звучит как «Да, но...?» Обычно он
следует за некоторым изложением или
выводом, заключение которого требует
проверки, или там, где возникает какой-
либо парадокс. В идеале читателю сле-
дует задержаться и попытаться отве-
тить на такой вопрос или по крайней
мере поразмышлять над ним некоторое
время. Ответы на вопросы или коммен-
тарии к ним помещены в конце каждой
главы. Студенты говорили мне, что во-
просы такого типа в двух написанных
мною книгах были им полезны. Во
всяком случае перерыв, вызванный
необходимостью заглянуть в конец гла-
вы, не дает читателю заснуть.
Некоторые особенности этой книги
задуманы для того, чтобы облегчить
и ускорить ваше обучение. Каждая гла-
ва снабжена введением и резюме. При-
ступая к изучению новой главы, прочти-
те то и другое. Затем просмотрите
названия разделов. Вы получите пред-
ставление о том, что вам предстоит уз-
нать.
Большинство домашних задач мож-
но решить, не используя калькулятор.
Всегда следует составить представление
о приближенном значении неизвестного
или порядке его величины, прежде чем
вводить точные цифры в калькулятор.
В расчетах порядка величины
можно полагать п « 3, п2 « 10;
1047 » 938 « 1 • 103 и т. д.
Нет сомнения в том, что в книгу
вкрались некоторые ошибки. Упрекайте
меня или, еще лучше, сообщите мне
о них, и я попытаюсь исправить ошиб-
ку. После 30 лет преподавания физики
я все еще обнаруживаю множество та-
ких вещей, что я и не подозревал о том,
что я их не знал раньше.
Надеюсь, что многие из вас читают
эту книгу потому, что хотят больше уз-
нать о нашем мире. Некоторые, я знаю,
изучают физику только затем, чтобы
сдать экзамен. В любом случае я на-
деюсь, что эта книга и работа над ней
доставят вам удовольствие. Мы живем
в таинственной и удивительной Вселен-
ной, и, насколько нам известно, побли-
зости мы в ней единственные, кто мо-
жет ее познать.
Клиффорд Э. Суорц
ГЛАВА 1. ДЕКОРАЦИИ И ДРАМА
Ядра
Видимый
свет
X
1
Галактика
Кит
Штат Орбита
Нью-Йорк Земли
Атомы Бактерии 1м 1км
Ь
Земля
*
Ближайшая
звезда
Граница
видимого
Вы находитесь здесь
Фактически мы все находимся здесь.
Эта шкала покрывает размеры всего су-
ществующего, от наименьших изме-
ренных внутриатомных расстояний до
размеров всей Вселенной. Мы раз-
мечаем вехами все это «царство», рас-
сматривая его как предмет нашего изу-
чения. Человек, находящийся в среднем
диапазоне размеров, открывает порядок
и закономерности, которые связывают
поведение атомов с природой галактик.
Исследуя как микромир, так и макро-
мир, человек также больше узнает о
самом себе.
РАЗМЕРЫ И РАССТОЯНИЯ
Чтобы всю Вселенную нанести на
карту, которая уместилась бы на одной
странице, нам пришлось использовать
шкалу степеней десяти. Когда вы «иде-
те» по ней слева направо, каждый сле-
дующий интервал в десять раз больше
предыдущего. За основную единицу
длины на этой шкале принят метр, ко-
торый немного длиннее английского яр-
да. Один метр отмечен в точке 0 этой
шкалы, поскольку 10° = 1. Другой
способ воспринимать отметки этой
шкалы — рассматривать их как нане-
сенные в логарифмическом масштабе.
Отметка 1 метр находится в точке 0, по-
скольку 1g 1 =0. Взгляните на некоторые
другие знакомые вам точки шкалы.
Один километр (около 5/8 мили) отме-
чен в точке 3, поскольку 1 километр (км)
равен 1 000 метров (м), 1g 1 000 = 3, и
103 = 1 000. Подобным же образом
1 миллиметр находится в точке — 3, по-
скольку 103=(1/10)3.
Вопрос 1-1
Время от времени мы прерываем
текст, чтобы подвергнуть сомнению
или подчеркнуть то, что только что
было сказано. Вопросы, которые за-
даем, не всегда будут иметь опреде-
ленные ответы. Наш ответ или мне-
ние вы можете найти в конце каждой
главы, но вам следует какое-то вре-
мя «побороться» с каждым вопро-
сом, прежде чем обращаться к пред-
лагаемому нами решению.
Задаваемый здесь вопрос связан
с положением человека на приведен-
ной шкале Вселенной. Человек поме-
щен очень близко к нулю. Значит ли
это, что его рост лишь немного пре-
вышает 1 метр?
Живые существа занимают очень не-
большой отрезок этой шкалы. Самый
большой кит имеет длину не более 30
метров и поэтому изображен на шкале
7
в точке при значении менее 2. Клетки
биологических структур видны в микро-
скоп и имеют размер более одной мил-
лионной доли метра. Этот размер пока-
зан на шкале в точке — 6 (поскольку 106
равно 1 миллиону, 10“6 равно
1/1000000, или 0,000001, или 1 милли-
онной).
Перемещаясь по этой шкале в сторо-
ну микромира, в точке — 10 мы нахо-
дим атомы. Большинство атомов
имеют примерно одинаковые размеры.
От водорода до урана лишь немногие
из них отличаются в диаметре более
чем вдвое. Отметьте, что если каждый
атом имеет 10“10 метров в поперечнике,
то можно уложить 1010 атомов в ли-
нию, «плечом к плечу», на расстоянии
1 метр. Поскольку 109, то есть тысяча
миллионов, равно одному биллиону, это
составило бы 10 биллионов атомов.
Сам атом громаден по сравнению со
своим крошечным ядром. Диаметр ядра
меньше диаметра атома в 10000 и бо-
лее, вплоть до 100000 раз, в зависимости
Для рисунка с соблюдением масштаба
диаметр атома должен быть по меньшей
мере в 10000 раз больше диаметра ядра
Если размер изображающей ядро точки ра-
вен 0,1 мм, ограничивающая атом сфера
должна иметь диаметр 1 м
от элемента. Поэтому ядра распола-
гаются на шкале Вселенной между деле-
ниями — 14 и — 15. Диаметры протонов
и нейтронов, из которых построены
ядра атомов, могут быть измерены
вполне точно. Как мы увидим в одной
из последующих глав, говорить о значи-
тельно меньших размерах на современ-
ном уровне развития науки бессодержа-
тельно. Поэтому нижний предел нашей
Вселенной мы помещаем на 10 15 м.
Имеет ли смысл говорить о столь
малых размерах? Да, но лишь в том
случае, если их можно каким-либо спо-
собом измерить. Невооруженным гла-
зом в видимом свете можно различать
формы тел, поперечный размер которых
составляет 1 миллиметр (мм). Лупа мо-
жет обеспечить примерно 10-кратное
увеличение, а детский микроскоп может
дать 100-кратное увеличение. Даже луч-
шие исследовательские оптические ми-
кроскопы имеют увеличение не более
1000 или 2000. Поскольку невоору-
женный глаз может различать объекты,
имеющие размеры 1 мм, то в исследо-
вательский микроскоп можно видеть те-
ла, размер которых равен 1/1000 от
1 мм, или 10“6 м (эта величина назы-
вается микрометром; ее прежнее назва-
ние — микрон). Предел увеличения обус-
ловлен тем, что свет характеризуется
длиной волны, то есть некоторым соб-
ственным «размером». Нельзя «видеть»
что-либо с помощью щупа (зонда), раз-
мер которого больше, чем размеры де-
талей, которые вы пытаетесь рассмо-
треть. В электронных микроскопах
в качестве зонда используются элек-
троны. Соответствующие им длины
волн могут быть меньше, чем у видимо-
го света. Таким путем достигнуто уве-
личение свыше 105, что дает возмож-
ность видеть объекты, поперечный раз-
мер которых — всего 10“ 8 м.
8
Для размеров ниже предела, устана-
вливаемого электронным микроскопом,
приходится использовать рассеяние
электронов или других субатомных ча-
стиц и анализировать картины их рас-
сеяния. Мы изучим эти методы в после-
дующих главах. Отметьте, однако, что
при попытке рассмотреть что-либо мы
зондируем объект каким-либо инстру-
ментом, а затем определяем, что проис-
ходит со средством зондирования. На-
пример, когда вы смотрите в эту книгу,
шрифт рассеивает падающий на страни-
цу свет. Небольшая часть рассеянного
света попадает в ваши глаза, где эта ин-
формация обрабатывается, посылается
далее в головной мозг и распознается.
Сходным во многих чертах способом
Радиолокатор «видит» самолет Зондирую-
щим средством служат электромагнитные
волны, длина которых много больше, чем у
видимого света
можно «увидеть» самолет в рассеянных
им волнах радара, улавливая отра-
женные в сторону приемника волны.
Однако невозможно читать эту книгу,
рассеивая на ней волны, излучаемые ра-
даром. Волны радара примерно такого
же размера, что и сама книга, и поэтому
представляют собой слишком грубый
зонд, чтобы с их помощью можно было
распознавать шрифт.
Если имеет смысл говорить только
о тех размерах, которые можно изме-
рить, как оправдать использование не-
которых из расстояний, указанных
в правой стороне шкалы Вселенной?
Можно измерить кита или даже страну
довольно прямыми методами. Топогра-
фическая съемка и по сей день произво-
дится измерением базисов и углов.
Первоначально метр был определен
на основе сложной и даже вводящей
в заблуждение землемерной программы.
Во времена французской революции
в 1791 г. Национальное собрание Фран-
ции проголосовало за то, чтобы
в качестве единицы длины выбрать
1/10000000 четверти длины парижского
географического меридиана. Единствен-
ной причиной, по которой произвольно-
му стандарту приписывалось столь точ-
ное дробное число, была возможность
в любое время воспроизвести этот стан-
дарт — в предположении, что Земля
всегда будет оставаться неизменной.
Геодезическая партия действительно из-
мерила дугу земного меридиана на всем
протяжении от Дюнкерка на берегу про-
лива Ла Манш до Монжо вблизи Барсе-
лоны в Испании.
Вопрос 1-2
Какая польза была от этого измере-
ния? Даже если вы знаете протяжен-
ность Франции, как можно узнать,
какую долю составляет эта протя-
женность от длины земного мери-
диана?
Затруднения в использовании геоде-
зической техники связаны с необходи-
мостью иметь измеренный базис. При
измерении расстояния до Луны наи-
больший доступный базис — это диа-
метр самой Земли. В действительности
следует использовать значительно мень-
шее расстояние, потому что в случае,
когда телескопы направлены слишком
близко к горизонту, возникают другие
проблемы. Предположим, что исполь-
зуются две обсерватории, отстоящие
друг от друга на расстояние 1000 км
(около 630 миль). Оба телескопа дол-
жны быть нацелены в одну и ту же
9
точку Луны и в одно и то же время. (Лу-
на — движущийся объект.) Г еометрия
такой ситуации показана на рисунке.
Измерением угла между вертикалью
и направлением на Луну в каждом из
положений можно найти стягиваемый
базисом угол. Этот угол приближенно
Угол 0 = длина дузи/радиус Когда лица
дуги равна i, 0 равен 1 радиану В пол-
ном круге или в 360° должно быть 2л радиан
Поэтому I рад = 57
равен расстоянию между двумя телеско-
пами, деленному на расстояние до
Луны:
базис 1 000 км
0 =----------=---------=
расстояние 384000 км
1	1	57°
' 384	й4’’аД'Т^-045'
Угол, равный всего 0,15°, мал, но срав-
нительно легко может быть измерен на
одном телескопе. Немного труднее на-
ходить этот малый угол с помощью
синхронизированных наблюдений на
двух телескопах с последующим вычи-
10
танием результатов отдельных изме-
рений.
Вопрос 1-3
Разве при решении этой задачи мож-
но обойтись без тригонометрии?
Расстояние от Луны до Земли равно
длинному катету прямоугольного
треугольника. Половина базиса рав-
на короткому катету. Поэтому тан-
генс половины стягиваемого базисом
угла равен отношению половины ба-
зиса к расстоянию от Луны до Зем-
ли. Разве этот метод не будет пра-
вильным, а описанный выше — оши-
бочным?
Здесь показан уюл, образованный прямыми
линиями, выходящими из одной точки на
Луне, который стягивает базис, равный
1000 км на Земле
Расстояние от Земли до Солнца рав-
но 1,5 • 1011 м. Если бы на Земле исполь-
зовался базис 1000 км (106 м), стяги-
ваемый им угол был бы равен лишь
6-10“6 рад, или около одной угловой
секунды. Это слишком малый угол,
чтобы его можно было измерить для
такой широкой мишени, как Солнце.
Расстояние от Земли до Солнца на
самом деле измеряется с помощью
сравнения с другими расстояниями
и углами в солнечной системе. В наши
дни расстояния от Земли до Луны и от
Расстояние от Земли до Солнца можно опре-
делить, измеряя радиолокационным спосо-
бом расстояние от Земли до Венеры и зная
yi ловые соотношения в треугельнике Земля —
Венера — Солнце для этого момен1а времени
двух фотографий изображения боль-
шинства звезд точно совмещаются друг
с другом. Однако зимнее и летнее изо-
бражения очень близкой звезды ока-
жутся слегка смещенными друг относи-
тельно друга. Отношение этого малого
смещения к фокусному расстоянию те-
лескопа дает тот же самый угол, что
и отношение базиса к расстоянию до
звезды. Для одной угловой секунды
Земли до Венеры измеряются радиоло-
кационным способом, то есть путем
определения времени движения ра-
диоимпульса от Земли до объекта
и обратно. Поскольку скорость света (и
равная ей скорость распространения ра-
диоволн) известна очень точно, такое
измерение расстояний может быть
столь же точным, как и измерение вре-
мени между посылкой импульса и при-
емом эхо.
Расстояние до ближайших звезд так-
же определяется с помощью метода
триангуляции. Но в этом случае исполь-
зуется внеземной базис. Им служит диа-
метр орбиты Земли при ее движении во-
круг Солнца. Хотя этот базис и равен
ЗЮ11 м, из-за огромного расстояния
до ближайшей звезды измерение углов
требует большого искусства.
I Вопрос 1-4
Если расстояние до ближайшей
звезды равно 3,8 1016 м, какой угол
стягивается этим базисом?
Для выполнения измерений с ис-
пользованием земной орбиты в качестве
базиса звездное поле фотографируется
одним и тем же телескопом с интерва-
лами в шесть месяцев. При наложении
и фокусного расстояния 10 м смещение
изображения на фотопластинке нахо-
дится следующим образом:
0= 1"» 5-10 6 рад =
= смещение/10 м.
Смещение изображения равно при-
мерно 50-10“6 м, то есть 50 микроме-
трам. Расстояние от Земли до звезд
должно измеряться с помощью микро-
скопа !
Ближайшая к нашему Солнцу звезда
находится на расстоянии около четырех
световых лет. Световой год — это еди-
ница длины, а не времени. Это — рас-
стояние, которое свет проходит за один
год. Оно равно 9,56-1015 м. (Подобным
же образом можно сказать, что Луна
находится от Земли на расстоянии 1,3
световых секунд.) Триангуляция, то есть
техника геодезической съемки, может
использоваться для измерения расстоя-
ний вплоть до ста световых лет или
около того. Однако это всего лишь
11
небольшой шаг в глубины нашей Га-
лактики, диаметр которой составляет
100000 световых лет. Для измерения та-
ких расстояний приходится обращаться
к выводам, которые следуют из целого
ряда наблюдений за определенным ти-
пом звезд, яркость которых периодиче-
ски изменяется. Рассуждать можно сле-
дующим образом: если вы знаете ис-
тинную яркость звезды, можно сказать,
Звезды одинаковой яркости - как если бы они
находились на одном расстоянии от Земли
(сверху) и наблюдаемые в действительности
(снизу)
миллионы звезд. Наша Галактика со-
держит около десяти биллионов (1010)
звезд и выглядит подобно нашему бли-
жайшему соседу — галактике, которую
можно видеть невооруженным глазом
в созвездии Андромеды. Эта галактика,
как видно из приводимой фотографии,
имеет спиральную форму — такую же,
как и наша Галактика. Галактики суще-
ствуют в разнообразных формах, вклю-
чая сферическую. Наша Солнечная си-
стема находится примерно в двух тре-
как далеко она находится, на основании
измерений видимой здесь, на Земле, яр-
кости. Предположим, например, что все
звезды имели бы на самом деле одина-
ковую яркость, но что мы наблюдали
бы звезду А как в четыре раза более яр-
кую, чем звезда В, и в девять раз более
яркую, чем звезда С. Тогда В находи-
лась бы вдвое дальше, чем А, и С нахо-
дилась бы втрое дальше. Интенсивность
света от точечного источника падает
как квадрат расстояния. Если вы в со-
стоянии измерить расстояние до звезды
А с помощью метода триангуляции, вы
сможете рассчитать расстояния до звезд
В и С. Конечно, отнюдь не все звезды
имеют одинаковые размер и яркость.
Однако существуют соотношения меж-
ду собственной светимостью звезд опре-
деленного типа и такими их характери-
стиками, как цвет и частота изменений
яркости.
Методы, основанные на измерении
относительной яркости, используются
также для определения расстояний до
ближайших галактик. Эти галактики
представляют собой островные все-
ленные, каждая из которых содержит
Желтый Оранжевый
Синий
Красный
Зеленый
а. Галактика, находящаяся на расстоянии D
от Земли, значительно дальше, чем i алактика,
находящаяся на расстоянии d от нее. Посколь-
ку Вселенная расширяется, более далекая
галактика удаляется от нас с большей
скоростью, поэтому свет, излучаемый опреде-
ленным элементом в этой галактике, имеет
большую длину волны, б Если галактика
удаляется от нас, узор ее спектральных линий
сдвигается в «красную сторону»
12
тях расстояния от центра до края нашей
Галактики в одном из ее рукавов. Когда
мы смотрим в направлении центра Га-
лактики, мы видим огромное скопление
звезд — Млечный путь, в котором от-
дельные звезды неразличимы. Из де-
тальных подсчетов на небольших участ-
ках неба мы знаем, что во Вселенной
около десяти биллионов (1О10) галактик.
Существует еще один способ измере-
ния расстояний до далеких галактик.
Скорость галактики относительно нас
можно измерить с помощью доплеров-
ского сдвига. Если источник волн дви-
жется по направлению к наблюдателю,
частота волн кажется более высокой.
Например, гудок поезда имеет более
высокий тон, когда поезд приближается
к слушателю. Когда поезд проходит
мимо и уносится прочь, тон резко сни-
жается. Подобным же образом характе-
ристический спектральный узор, созда-
ваемый светом от различных химиче-
ских элементов в удаленных галактиках,
виден на Земле сдвинутым в сторону
низких частот. Величина этого «красно-
го смещения» к большим длинам волн
говорит о том, насколько быстро дан-
ная галактика удаляется от нас. Оказы-
вается, что все галактики разлетаются
Туманность
в созвездии
Девы
Расстояние
в со. годах
78 000 000
Красное смещение
н+к
1200 км/с
большой
Медведицы
1 000 000 000
15000 км/с
Северной
Короны
1 Р00000 ООО
22 000 км/с
Волопаса
2 500 000 000
III 1 III I HI
нП....“1R i и i
Гидры
3 960 000
39 000 км/с
6/ 000 км/с
Обратите внимание на i ори зонт альиую белую стрелку в каждом спектре, показывающую
положение одной из наиболее ярких спектральных линий, которая появляется здесь в виде
точки. Линии выше и ниже спектра галактики показывают спектр земною источника
13
друг от друга. Вселенная расширяется.
Более того, чем дальше находится га-
лактика, тем с большей скоростью она
удаляется от нас. Поскольку эта законо-
мерность проверена для сравнительно
близких галактик, расстояния до ко-
торых можно измерить независимо
(яркостными методами), мы используем
ее для нахождения расстояний до дале-
ких галактик, измеряя их скорости по
красному смещению. Таким способом
наблюдались галактики, удаленные от
нас на десять биллионов световых лет.
Они движутся со скоростями, превы-
шающими половину скорости света,
и расположены у пределов видимой ча-
сти Вселенной.
Если Вселенная началась с огромно-
го взрыва около пятнадцати биллионов
лет назад (что выглядит правдоподоб-
но) и с тех пор все время расширялась,
то и в самом деле должны существо-
вать пределы Вселенной. Многие детали
происхождения Вселенной и ее далеких
областей все еще окутаны тайной. Од-
нако независимо от этих деталей пре-
делы нашей Вселенной находятся где-то
на расстоянии около 1026 метров. За
этими пределами любой объект удалял-
ся бы от нас так быстро, что любая по-
сылаемая к нам информация (такая, как
характеристические спектры излучения
различных элементов) оказалась бы
в результате красного смещения сдвину-
той в фоновый шум излучения низких
энергий. Синий свет, например, оказался
бы не просто сдвинутым к красному
свету, но приобрел бы гораздо боль-
шую длину волны, соответствующую
радиоволнам.
Вопрос 1-5
Сколько времени потребовалось бы
при движении со скоростью света
(3 • 108 м/с) для преодоления расстоя-
ния 1 • 1026 м?
ЗНАКОМСТВО
С ЯВЛЕНИЯМИ - РАССТОЯНИЯ
Физика — это не математика и не ло-
гика. Все наши теории и модели по-
лезны лишь в том случае, если они
предсказывают реальные события в ре-
альном мире. Более того, понимание
физики не приходит в результате только
умственных упражнений. Нужно на соб-
ственном опыте знакомиться с явления-
ми. Когда вы говорите о скорости, вам
следовало бы ближе познакомиться
с различными скоростями либо испытав
их на себе, либо на основе измерений.
Когда вы говорите о силах, вам следо-
вало бы прочувствовать их действие на
собственные мышцы. Конечно, такие
возможности весьма ограниченны. В на-
шем исследовании мы хотим выйти да-
леко за пределы обычного человеческо-
го опыта как в сторону очень больших,
так и очень малых масштабов. И тем не
менее на этом пути есть вехи, которые
можно ощутить и постичь на собствен-
ном опыте.
В каждой главе мы предлагаем спо-
собы, как познакомиться с некоторыми
из описываемых в этой главе явлений.
Иногда это будет делаться с помощью
моделей или аналогий. Предлагаются
не опыты, для которых нужна оборудо-
ванная лаборатория, а простые упраж-
нения, которые можно выполнить дома
или в общежитии с помощью под-
ручных средств и материалов. Требуе-
мая при этом точность и затраты вре-
мени обычно совсем невелики.
Как, находясь на Земле, можно на
собственном опыте постичь первую на-
чальную тему этой главы? Может быть,
вы построите собственную Вселенную?
А еще лучше, построить в масштабе
карту чего-нибудь более близкого к до-
му, например Солнечной системы!
Представленная нами шкала Вселенной
была построена в логарифмическом
масштабе. Чтобы лучше понять приро-
ду такой шкалы, постройте свою Сол-
нечную систему в линейном масштабе.
Такой вид масштаба используется для
обычных дорожных карт. Например,
для карты штата может быть использо-
ван масштаб 20 миль в дюйме (или 10
км в 1 см). Ниже приводится таблица
расстояний от планет до Солнца, а так-
же диаметров планет и Солнца.
Выберите масштаб так, чтобы Плу-
тон оказался в пределах комнаты или
зала, в котором вы занимаетесь, но все
же так, чтобы Солнце не выглядело
просто точкой. Заметьте, какие возни-
кают трудности при попытке выбора
14
Расстояние от планет до Солнца. Диаметр
планет
Планета	Среднее расстояние от Солнца, 106 км	Средний диаметр, км
Меркурий	57,9	4840
Венера	108,1	12520
Земля	149,5	12740
Марс	225,8	6780
Юпитер	777,8	139800
Сатурн	1426	115000
Уран	2868	47400
Нептун	4494	43000
Плутон	5908	5800
Солнце	—	1393000
такого масштаба, который передавал
бы размер каждой планеты, и при этом
вся система уложилась бы в разумные
пределы помещения. Если масштаб та-
ков, что диаметр Земли равен 1 см, рас-
стояние от Земли до Солнца превысило
бы 100 м. Можно посоветовать восполь-
зоваться масштабом 5000000 км в 1 см,
но для этого все же потребуется кори-
дор или комната приличных размеров.
Изображение Солнца будет тогда ма-
леньким, но все же не точечным. Пла-
неты будут изображаться просто точка-
ми, но их положения можно отметить
стрелками на бумажных ярлычках. Если
вы захотите иметь модель Солнечной
системы, которую можно скатать в ру-
лон и положить в карман, сделайте ее
масштабную модель на длинной бумаж-
ной ленте, такой, как для кассовых ап-
паратов. На рисунке показано, как сде-
лать маркировочный ярлычок, склады-
вающийся при скатывании ленты.
Зачем обременять себя изготовле-
нием подобной карты? Возможно, вы
увидите нечто в природе солнечной си-
стемы, что совсем не очевидно из чисел
в приведенной таблице. Когда вы всма-
триваетесь в ночное небо и видите Вене-
ру, Марс, Юпитер и Сатурн, вам трудно
представить себе, где они находятся по
отношению к Солнцу и к нам. При виде
такой модели многих поражает, на-
сколько близко к Солнцу расположены
внутренние планеты по сравнению
с внешними. Удивляет также то, что та-
кое крошечное на этой шкале Солнце
может управлять движением столь уда-
ленных планет, как Нептун и Плутон.
Конечно, мы не можем обещать, что
любая предлагаемая здесь самостоя-
тельная деятельность или идея заинте-
ресует каждого читателя. Не все люди
в состоянии оценить красоту закатов;
некоторым не нравится скрипичная му-
зыка. У каждого из нас свои проблемы.
Но все же кое-чему из этой модели
с линейным масштабом можно научить-
ся. Обратите внимание, как трудно
представить в линейном масштабе
большой диапазон значений. В предло-
женном выше масштабе изображения
планет сжимаются в точки. И тем не
менее даже самая близкая звезда на та-
кой шкале находилась бы на расстоянии
около 100 км, или 60 миль.
ВРЕМЯ
Вы видели, где мы находимся в про-
странстве; посмотрим теперь, какое ме-
сто мы занимаем во времени. Человече-
ская жизнь представляется несуществен-
ной точкой на фоне истории Вселенной.
И все же мы в состоянии измерять про-
цессы, длящиеся биллионы лет, и мо-
жем также обнаруживать события, зани-
мающие столько времени, сколько тре-
буется свету для пересечения атомного
ядра. Как и в случае расстояний, попол-
нение наших знаний о наиболее кратко-
временных событиях позволяет нам за-
глянуть в далекое прошлое.
Единицей времени на нашей лога-
рифмической шкале служит секунда.
Она одинакова как в британской, так
и в метрической системах единиц. Как
и другие основные единицы, она имеет
«человеческие» масштабы. Период бие-
ний сердца равен примерно одной се-
кунде. На приведенной карте времени
секунда показана в точке 0.
Все мы знаем, что такое время, и все
же существуют некоторые специфиче-
ские проблемы, связанные с выбором
стандартной единицы времени. В XIX
веке метр был определен для практиче-
15
Ядерные
взаимодействия
__I-1-1_I_I—J_I_L
-23
время жизни
а
Период	|
перемен- Пульс gi
ново тока человека^.
„странных”частиц | Ф
J-1-1_I-1-1_I_I-1_I—J_I_I-1_I_I-L
-10	-2 О
1с
.	 I  I* 
5 7f 9
1гов
Существование
Жизнь челове- Возраст
человека чества Земли
/3 15 77ф
возраст
Вселенной
. Ф . Ф
1_____I____I_____I____I____L
Возраст Вселенной
Возраст Земли
Зарождение жизни
Земноводные
Млекопитающие
Человек
Один год
5 -1017 с
1,5 1017 с
7,5 - 1016 с
7,5 1015 с
5- 1O1S с
1 1014 с
ЗЮ7 с
ских целей как расстояние между двумя
штрихами на платиново-иридиевом
стержне. Стержень, изготовленный из
этого очень стабильного сплава, хра-
нился в подвале, где поддерживалась
неизменная температура. Любой другой
стержень можно было поместить рядом
и сравнить. Как, однако, можно взять
стандартную секунду времени и поме-
стить ее в выложенную бархатом шка-
тулку? Лучшее, что можно сделать, — вы-
брать по определению и в дальнейшем
сохранять некоторую систему, в кото-
рой происходит какое-либо событие за
единицу времени. Затем следует убе-
диться на опыте в том, что эта система
всегда будет работать так же, как и вна-
чале, либо доказать это теоретически.
В качестве стандартной единицы
времени можно было бы выбрать, на-
пример, промежуток времени между
двумя ударами пульса. Однако с по-
мощью наручных часов вы можете убе-
диться, что частота пульса различается,
когда вы бежите или сидите неподвиж-
но. Тогда почему бы не использовать
наручные часы в качестве стандарта?
Даже самые лучшие наручные часы
время от времени приходится подводить,
что обычно делают с помощью сигналов
времени, передаваемых по радио. С ка-
кими же часами сверяются часы на
радиостанции?
Вопрос 1-6
Приведите примеры каких-либо есте-
ственных систем, про которые мож-
но уверенно утверждать, что в них
некоторое событие происходит через
одно и то же время.
Зависимость от времени включают
в себя события двух разных видов: по-
вторяющиеся, подобно колебаниям
маятника, и процессы непрерывного из-
менения, подобные радиоактивному
распаду или произвольному движению
время
тел. Какой бы ни был выбран процесс
для установления стандарта, единица
времени должна оставаться в неизмен-
ном отношении с другими повторяющи-
16
мися процессами и должна также при-
водить к простым и согласованным
соотношениям, описывающим движе-
ние. Например, у нас есть веские осно-
вания считать, что скорость света в ва-
кууме является универсальной констан-
той. Измерения скорости обычно вклю-
чают в себя измерения времени (столь-
ко-то метров в секунду). Если бы
в будущем измерение скорости света
привело к значению, отличающемуся от
нормального, мы бы заподозрили, что
что-то случилось с нашим стандартом
времени. Другими словами, мы судим
о надежности любого из наших стан-
дартов на основании их взаимной со-
гласованности.
До 1964 года международная едини-
ца времени была основана на суточном
вращении Земли. Но, к сожалению, про-
должительность суток подвержена раз-
ного рода вариациям, причем неко-
торые из них настолько велики, что
могут быть обнаружены с помощью
обычных электронных часов. Длитель-
ность суток зависит от положения Зем-
ли на орбите вокруг Солнца. Эта орби-
та хоть и близка к круговой, но все же
слегка эллиптична. В своем вращении
вокруг оси Земля подвержена также не-
которым длиннопериодным и коротко-
периодным колебаниям. Более того,
вращение Земли постоянно замедляется
вследствие потерь энергии на приливное
движение. Чтобы сгладить все эти нере-
гулярности, в качестве стандарта были
выбраны средние солнечные сутки 1900
года. Солнечные сутки примерно на
четыре минуты длиннее звездных суток,
то есть времени поворота Земли на
360°. Чтобы подставить Солнцу ту же
сторону, Земля каждые сутки должна
дополнительно поворачиваться на один
градус, поскольку в своем движении во-
круг Солнца она сдвигается примерно
на один градус в сутки (на 360° за
365 дней).
В Соединенных Штатах астрономы
Морской обсерватории несут ответ-
ственность за определение момента
прохождения определенных звезд через
меридиан (то есть через среднюю ли-
нию на небесной сфере, проходящую
с севера на юг) и тем самым за опреде-
ление сидерического времени. Затем они
За время поворота на 360° проходят
одни сидерические (звездные) сужи. Продол-
жительность солнечных суток несколько
больше
вносят поправки для учета различных
движений Земли и рассчитывают сол-
нечное время с точностью до одной
тысячной доли секунды. Сигналы време-
ни, точные до 0,001 секунды, передаются
некоторыми широковещательными ра-
диостанциями. С помощью спутниковой
системы связи национальные часы син-
хронизируются с часами других стран
в пределах одной десятой микросекунды
(10 7 с).
Атомы и молекулы также предста-
вляют собой системы, в которых выдер-
живаются определенные частоты. Они
могут испускать или поглощать свет
только строго определенных частот.
После второй мировой войны был со-
здан ряд устройств, в которых поддер-
живается резонанс между микровол-
новым электромагнитным излучением
и пучками изолированных атомов или
молекул. Постоянная частота атомных
колебаний поддерживает неизменную
частоту электромагнитного сигнала
Поскольку можно выдерживать по-

17
стоянную частоту и вести счет колеба-
ниям, такая система действует как часы.
Начиная с 1964 года международный
стандарт времени определяется на осно-
ве постоянной частоты атомных часов,
в которых используется элемент цезий.
В качестве одной секунды официально
принято время, в течение которого про-
исходит 9 192631 770 колебаний в цезие-
вом сигнале. Атомные часы разных ти-
пов сравниваются друг с другом
в течение длительных промежутков
времени и их ход оказывается согласо-
ванным вплоть до одной доли от 1011.
Такая точность более чем в 100 раз пре-
восходит возможности астрономических
методов измерения времени.
Вопрос 1-7
В одной альпийской деревне была
мастерская часовщика, в витрине ко-
торой висел плакат с надписью:
«Эти часы показывают точное вре-
мя». На вопрос посетителя, откуда
известно, что это так, часовщик отве-
тил, что часы каждый день прове-
ряются по колоколу из обсерватории
монастыря. Оказавшись в этом мо-
настыре, посетитель попросил мона-
хов показать ему, как они опреде-
ляют точное время из своих наблю-
дений за звездами. «О, — ответили
монахи, — нам уже больше не нужно
делать этого, потому что мы теперь
можем сверять свои часы с часами
в деревне, которые показывают точ-
ное время».
Если бы само время замедляло свой
ход, одинаково влияя на все повто-
ряющиеся движения, были бы мы
в состоянии когда-либо обнаружить
этот эффект?
Наше восприятие времени в повсед-
невной жизни редко простирается до
промежутков, меньших 0,1 секунды. Для
двигательной реакции рукой или ногой
человеку требуется время около 0,2 се-
кунды. На личном опыте у нас вырабо-
талось ощущение продолжительности
суток, года и даже всей жизни.
I Вопрос 1-8
Отметьте на приведенной шкале
времени приблизительное число се-
I кунд, содержащихся в одном году
* ив человеческой жизни (протяжен-
» ность которой принята равной 70 го-
I дам). Проверьте правильность этих
в чисел, используя вычисления по по-
рядку величины. Например, в одних
« сутках содержится
160 с 60 мин 24 ч
1 мин 1ч 1 сут
| Заметьте, что минуты и часы сокра-
щаются и остается некоторое число
секунд. Это число равно 60-60-24.
Иначе это можно записать так:
(6,0- 101 *) • (6,0- 101) • (2,4 • 101) =
= 6 • 6 • 2,4 • 103 *.
С точностью до одной значащей
цифры все арифметические действия
| можно теперь выполнить в уме:
в сутках содержится 100-103, то есть
105, секунд. Конечно, если требуется
большая точность, можно восполь-
зоваться логарифмической линейкой
или калькулятором или даже пере-
* множить числа столбиком. Однако
I в любом случае неплохо будет на-
}чать решение численной задачи
с «пристрелки», то есть с получения
5» ответа по порядку величины. Сде-
лайте это для числа секунд, содержа-
t щихся в одном году и в жизни
| человека.
Всегда указывайте, в каких единицах
измеряются величины. Бессодержательно
утверждение, что ваша скорость равна 60, ва-
ша скорость может быть 60 миль в час, что
можно записать как 60 миль/ч
Для перевода единиц величин всегда ум-
ножайте на дробь, равную 1. Например,
в одной миле содержится 5280 футов, по-
этому
5280 фут _
1 миля
Для перехода от миль в час к футам
в секунду
60 миль 5280 фут 1ч _ 5280 фут _
1 ч 1 миля 3600 с 60 с
= 88 фут/с
С некоторыми из частот, исполь-
зуемых в повседневной жизни, мы тем
18
или иным образом знакомы. Стандарт-
ная частота используемого в быту элек-
трического тока равна 60 периодам в се-
кунду*). Это значит, что за 1/60 секунды
напряжение на гнездах штепсельной ро-
зетки изменяется от максимального по-
ложительного значения до максималь-
ного отрицательного и обратно до
максимального положительного. Напря-
жение проходит через нуль каждые
1/120 секунды. Гул с частотой 60 циклов
в секунду представляет собой низкую
ноту, которая иногда слышна в звуко-
воспроизводящих системах.
Более высокая нота, знакомая музы-
кантам оркестра, — это 440 циклов в се-
кунду, или среднее А (ля первой ок-
тавы). Эта нота используется при на-
стройке инструментов. Вибрирующей
системой, с помощью которой извле-
кается звук, может служить двойной язы-
чок (гобой), струна (скрипка) или губы
музыканта (труба). Для обычных радио-
передач с амплитудной модуляцией
(AM) используются частоты от 540 до
1480 килоциклов в секунду. (Циклы в се-
кунду имеют наименование герц, для со-
кращенного обозначения которого ис-
пользуется символ Гц, так что АМ-
радиодиапазон простирается от
0,54-10б до 1,48-106 Гц). Когда ваш
*) В европейских странах и СССР стан-
дартная частота промышленного переменно-
го тока равна 50 Гц (Примеч пер)
Луч на экране осциллографа смещается па с в горизонтальном направлении за
0,5 10 8 с. Два сшнала на экране разделены промежутком времени 4-10“8 с
19
Здесь приведена сделанная в пузырьковой камере фотография треков протон-протонного
столкновения. Были образованы две нейтральные частицы (Л° и К0), которые вылетели
вперед почти со скоростью света и затем распались. Времена их распада (порядка 10“10 с)
можно определить, измеряя пройденные до распада расстояния: t = х/с
радиоприемник настроен на середину
шкалы, электрический заряд в его цепях
вибрирует с частотой 10б Гц. Это зна-
чит, что полный цикл, или период,
совершается за одну микросекунду
(10"6 с).
Сигналы телевидения имеют в 100
раз более высокую частоту, поэтому пе-
риод колебания в них равен 10" 8 с. Ме-
жду прочим, такие короткие промежут-
ки времени можно наблюдать с по-
мощью осциллографа. Микроволновый
сигнал, используемый в цезиевых
атомных часах, по определению имеет
частоту 9192631 770 Гц. Его период
в секундах можно найти, если взять
просто обратную частоте величину.
Вопрос 1-9
Чему равен период сигнала цезиевых
часов? Нет нужды рассчитывать
его здесь с точностью более
чем до одной или двух значащих
цифр.
Для измерения времени во всех диа-
пазонах используются не только перио-
дические процессы. Когда вы ведете ав-
томобиль по автостраде с постоянной
скоростью 60 миль/ч, вы можете изме-
рять свое продвижение равным образом
в часах вместо миль. Для преодоления
расстояния 120 миль между пунктами
А и В вам потребуется 2 часа. Подоб-
ным же образом, если известно, что не-
которая субатомная частица движется
со скоростью, близкой к скорости света
(З Ю8 м/с), и проходит 6 см от точки,
где она образовалась, до точки распада,
то это значит, что она просуществовала
2 • 10"10 с, то есть
время жизни =
0,06 м 6-10"2 м	|п
=----’______=___________= т . 1 о-10 с
3-108 м/с 3-108 м/с
Может показаться, что промежутки
времени, равные миллионным или бил-
лионным долям секунды, находятся за
20
пределами нашего понимания и что их
измерение возможно только с помощью
сверхсовременног о оборудования. Одна-
ко в действительности для многих ин-
женеров и техников, занятых в элек-
тронной промышленности, измерения
в этих диапазонах являются будничным
делом. Понимание легко приходит при
близком знакомстве. Уже в далеких
1890-х годах в Кливленде, штат Огайо,
Напдавлрние
движения
Земли
После второй мировой войны прои-
зошли революционные изменения в на-
шем умении измерять длительные про-
межутки времени. Важнейший новый
метод (хотя существуют и другие) со-
стоит в использовании различных схем
радиоактивного распада. Существую-
щие исторические письменные доку-
менты можно соединить в цепь, протя-
нувшуюся назад примерно на 5 000 лет
к дням, когда строились ранние египет-
ские пирамиды. Но даже в пределах
этого периода многие археологические
находки были датированы определе-
нием количества оставшегося в их веще-
стве радиоактивного углерода. В одной
из последующих глав мы изучим детали
этого метода. Основная идея состоит
в следующем: все живое получает дву-
окись углерода из воздуха. Малая, но
вполне определенная часть углерода ра-
диоактивна, и поэтому любой образец
биологических тканей, древесины или
одежды, приготовленный из вещества,
которое еще недавно было живым, со-
держит такую же долю радиоактивного
углерода. В детекторе определенного
типа «свежее» вещество дает 16 отсче-
тов в минуту на каждый грамм углеро-
да. За 5 600 лет число отсчетов сократи-
лось бы до 8 в минуту на 1 грамм, еще
Попытка Майкельсона измерить различие
скоростей света, распространяющегося па-
раллельно и перпендикулярно к движению
Земли. Выходящий из объектива свет падал на
полуотражающее зеркало. Половина света
распространялась по пути А, другая полови-
на - по пути В. После отражения о г зеркал
пучки света встречались в точке С
Майкельсон мог бы обнаружить эффект, если
бы в точке С свет шел «не в ногу» на 1/10
длины волны
физик Майкельсон сравнивал времена
прохождения света по двум взаимно
перпендикулярным путям. Он умел об-
наружить разницу времен прохождения
этих путей с точностью до 1/10 периода
колебаний видимого света — примерно
до 10 16 секунд.
Кратчайший промежуток времени на
нашей шкале времени равен 10“23 с.
В некоторых теориях фигурируют еще
более короткие интервалы времени, но
10 23 с — кратчайшее время, проявляю-
щееся в сравнительно прямых экспери-
ментальных результатах. Такое время
требуется свету или субатомной части-
це, движущейся почти со скоростью све-
та, для прохождения вдоль диаметра
протона или нейтрона.
и отсчета
 мин-г
Свежая древесина дает скорость счета 16
отсчетов в минуту на 1 грамм углерода;
древесина от погребальной лодки из пира-
миды - 8 отсчетов в минуту на 1 грамм
углерода, древесина из очага в пещере — 4
огсчета в минуту на 1 грамм углерода
Вопрос 1-10
Проверьте приведенное значение
этого времени. Диаметр протона ра-
вен примерно 2- 10 15 м.
21
за 5 600 лет скорость счета уменьшилась
бы в 4 раза по сравнению с первона-
чальной. Измеряя скорость счета для
отожженного (чтобы привести органиче-
ское вещество к чистому углероду) об-
разца древесины, взятого из какой-ни-
будь древней лодки, можно вычислить,
сколько лет прошло с того времени,
когда эта древесина была живым дере-
вом и еще поглощала двуокись углеро-
да из воздуха. Возможность применения
радиоуглеродного метода датирования
ограничена примерно 25 000 лет, так как
постепенно скорость счета становится
слишком малой для точного измерения.
На основе других схем датирования,
зависящих от очень сложных последова-
тельностей геологических событий, бы-
ло установлено, что дата происхожде-
ния человекоподобных существ уходит
в прошлое на несколько миллионов лет.
Возраст скал и кристаллических пород
Радиоактивные изотопы естественного
происхождения
Элемент	Период полураспада (в годах)
238 тт 92 и	4,5 10»
235 тт 92 и	7,1 10»
232 тц 90	1,4 10Ю
41 Lu	1,0 1010
13 Rb	5,0 10Ю
"к	1,3 100
земной коры определяется разнооб-
разными измерениями радиоактивно-
сти. Посмотрите, например, на список
радиоактивных материалов естественно-
го происхождения и периодов их полу-
распада. (Отметьте, что среди них нет
углерода. Радиоактивный углерод с его
сравнительно коротким периодом полу-
распада непрерывно образуется в верх-
них слоях атмосферы под действием
космического излучения.) Перечислен-
ные радиоактивные элементы — это те,
что сохранились со времени самого
возникновения Земли. За время, равное
периоду полураспада, половина любого
такого элемента превращается в другой
элемент. Еще за один период полурас-
пада превращается половина оставшего-
ся количества радиоактивного вещества,
так что остается лишь четверть его пер-
воначального количества.
? Вопрос 1-11
>• Складывается впечатление, что при
(таких темпах мы никогда не сможем
избавиться от радиоактивных ве-
ществ. Какая доля их остается после
j 5 периодов полураспада? После 10
I периодов полураспада?
Самый короткий период полураспа-
да среди этих радиоактивных элемен-
тов, все еще существующих на Земле,
равен 7 • 108 лет (для урана-235) Этот
период полураспада составляет почти
биллион лет, и все же 235U встречается
гораздо реже, чем 238U, период полу-
распада которого в шесть раз больше.
Почему не встречаются какие-нибудь
элементы с периодами полураспада 106,
или 107, или 108 лет? Такие формы су-
ществуют и могут быть получены
искусственно расщеплением атомных
ядер. Они должны были также возник-
нуть при образовании других элементов
нашей Солнечной системы. Если бы
возраст солнечной системы составлял
только 106, или 107, или 108 лет, такие
радиоактивные элементы со сравнимы-
ми периодами полураспада все еще
встречались бы. Поскольку их нет, мы
заключаем, что возраст Солнечной си-
стемы превышает 108 лет. На самом де-
ле тщательный анализ соотношения ко-
личеств существующих элементов (на-
пример, отношения количества 238U
к количеству 235U) приводит для возра-
ста Солнечной системы к значению
около 5-109 лет.
Наша Солнечная система образована
звездой по меньшей мере второго поко-
ления. Все существующие планеты и
Солнце (да и люди) были когда-то
частью другой звезды, взорвавшейся
с чудовищной силой Рассеянная этой
и другими звездами пыль постепенно
закручивалась в вихрь, скапливаясь под
действием взаимного гравитационного
притяжения, и все началось сначала
Этот цикл не будет повторяться вечно.
Наша звезда, по-видимому, слишком
мала, чтобы закончить свое существова-
ние взрывом Еще через пять биллионов
22
лет или около того она сильно расши-
рится, поглощая внутренние планеты,
но затем сожмется и превратится в
постепенно остывающую маленькую
звезду.
Возраст самой Вселенной лишь в два
или три раза превышает возраст Солн-
ца. Все существующее — звезды, галак-
тики и само пространство — возникло
Начальная
взрывающаяся
Вселенная
Взрыв
сверхновой
В одной
из галактик
Стяеи бающееся
вазовое оолако
в галактике
как очень концентрированное и сильно
насыщенное энергией скопление чего-то.
Мы не знаем, откуда оно взялось, или
как возникло, но эта система взорвалась
с образованием теперешних субатомных
частиц, которые собрались в галактики
и звезды существующей ныне Вселен-
ной. Это произошло около 15 биллио-
нов лет назад, и с тех пор система все
время расширялась. Выше было описа-
но, как можно измерить скорости галак-
тик с помощью красного смещения ча-
стоты их характеристического излуче-
ния. Каждая галактика движется как раз
с такой скоростью, чтобы достичь ме-
ста, где она теперь находится, за время
движения в 15 биллионов лет. Суще-
ствует и много других свидетельств,
приводящих к такому же заключению.
На нашей шкале времени возраст Все-
ленной соответствует 5-Ю17 секунд.
ЗНАКОМСТВО
С ЯВЛЕНИЯМИ - ВРЕМЯ
При описании промежутков времени
короче секунды мы утверждали, что для
человека время двигательной реакции
рукой или ногой составляет лишь около
0,2 секунды. Быть может, ваша реакция
лучше? Предложим простой способ из-
мерения времени реакции. Попросите
кого-нибудь подержать метровый стер-
жень или линейку в вертикальном поло-
жении и держите свой большой и указа-
тельный пальцы в готовности зажать
стержень, как только он начнет падать.
Сначала держите пальцы против опре-
Расстояние, см
посмотрите, сколько сантиметров про-
ходит стержень в падении, прежде чем
ваши пальцы схватят его. На приводи-
мом графике показано проходимое
в падении расстояние как функция вре-
мени падения. Посмотрите, удастся ли
вам добиться времени реакции 0,1 се-
кунды.
На с. 16 была использована логариф-
мическая шкала времени для того,
чтобы охватить столь обширный диапа-
зон. Изготовьте линейную шкалу исто-
рии Вселенной, используя данную книгу
для представления всей этой истории.
Пусть полное число страниц предста-
вляет 5 • 1017 секунд. Вложите в книгу
закладки, отмечающие великие мо-
менты истории Вселенной. Например,
посередине книги следует поместить за-
кладку с пометкой «образование Сол-
нечной системы». Отметьте такие со-
бытия, как зарождение жизни на Земле,
появление первых пресмыкающихся,
23
Появление суши
млекопитающих, разумных людей. Спе-
циально пометьте страницу и то место
на странице, где начинается письменная
история человечества (около пяти тыся-
челетий тому назад).
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ
До сих пор мы описывали нашу Все-
ленную в пространстве и во времени.
Если бы Вселенная, все происходящие
в ней события были известны и ста-
тичны, их модели можно было бы при-
колоть булавками в музейных витринах,
чтобы мы могли изучать их и восхи-
щаться ими. Это был бы музей фанта-
стический, но все-таки очень скучный.
Конечно же, такое представление не
имеет ничего общего с самой Вселенной
и ее изучением. Существо дела не в про-
тяженности Вселенной в пространстве
и времени, а скорее в сложных взаимо-
действиях всех ее частей и происходя-
щих с ними изменениях.
Мы познаем мир только через взаи-
модействия с ним. Когда мы видим
предмет, наши глаза воспринимают
свет, рассеянный его поверхностью.
Происходит взаимодействие света
с предметом, в результате которого не-
которые цвета поглощаются, а другие
отражаются.
В наших глазах происходят взаимо-
действия, превращающие свет в электри-
ческие импульсы, распространяющиеся
по волокнам зрительных нервов. Пол-
ностью изолированный предмет, с кото-
рым никакие взаимодействия невоз-
можны, непознаваем.
24
Вопрос 1-12
Взаимодействия между предметом
и тем, кто его познает, происходят
не мгновенно. После того как свет
провзаимодействует с предметом,
пройдет некоторое время, прежде
чем свет достигнет наших глаз. Свет
служит посланцем, несущим инфор-
мацию. Если требуется четыре года
для того, чтобы свет от ближайшей
звезды достиг нас, откуда мы знаем,
что в каждый данный момент време-
ни эта звезда все еще существует?
Информацию об окружающем мире
мы получаем благодаря зрению, слуху,
осязанию, вкусу и обонянию. В действи-
тельности все носители информации,
воспринимаемые нашими органами
чувств, в основе своей имеют электро-
магнитную природу, хотя проявляются
они в очень сложных формах. В после-
дующих главах мы увидим, что элек-
трические и магнитные силы предста-
вляют собой различные стороны одного
и того же явления. Более того, видимый
свет является электромагнитным излу-
чением определенного диапазона ча-
стот, и в атомах (но не в атомных
ядрах) действуют тоже электромаг-
нитные силы. Но если строение атома
обусловлено электромагнитными сила-
ми и это же взаимодействие отвечает за
все связи между молекулами, то и все
химические и биологические явления
имеют электромагнитную природу.
Электромагнитное взаимодействие ме-
жду двумя телами зависит от распреде-
ления их электрических зарядов, от рас-
стояния между ними и от их относи-
тельного движения.
Если электромагнитное взаимодей-
ствие в ответе за все обычные сигналы,
на которые реагирует организм челове-
ка, не является ли оно единственным
взаимодействием между телами? Нет;
насколько мы теперь знаем, тяготение
представляет собой отдельную форму
взаимодействия. Электромагнетизм пре-
обладает в мире атомов и молекул и
в обмене энергией излучения, но в косми-
ческих масштабах преобладает гравита-
ционное взаимодействие — оно удержи-
вает планеты на своих орбитах
и управляет движением галактик. Вну-
ВчаимодейстВия
электро -
магнитное
е'
слабое
ядерное
три ядер атомов важную роль играют
два других типа взаимодействия — силь-
ное и слабое, изучать которые мы бу-
дем позднее. Они ответственны как за
стабильность ядер, так и за их превра-
щения.
Вопрос 1-13
Мы назвали только четыре вида
взаимодействий. Как просто устрое-
на Вселенная! Не знаете ли вы взаи-
модействия, которое не относится
к этим четырем?
Мы все время говорим о взаимодей-
ствиях вместо того, чтобы говорить
о силах. Но разве взаимодействие тел
не выражается в том, что одно из них
действует на другое с некоторой силой?
Такой способ рассматривать происходя-
щее часто оказывается полезен, но су-
ществует и другой способ. Он заклю-
чается в том, чтобы рассматривать
взаимодействующие тела как единую
систему до и после произошедших с ни-
ми изменений. Предположим для при-
мера, что вы держите в поднятых высо-
ко руках камень. Известно, что на него
действует сила, которая притянет его
к Земле, как только вы его выпустите.
Мы можем описать эту силу, выразив ее
через массу камня и размеры Земли,
и вскоре мы узнаем, как можно описать
последующее движение в виде функции
этой силы. С другой точки зрения, Зем-
лю и камень (вместе с вами) можно рас-
сматривать как части некоторой си-
стемы. Сначала камень и Земля отде-
лены друг от друга. Затем камень
и Земля соединились, в воздухе возник
звук удара, в Земле образовалась вмяти-
на, и в очень небольшой степени Земля
и камень нагрелись. Начальное состоя-
ние преобразовалось в конечное состоя-
ние. Сначала взаимодействие, вызвав-
шее переход от первой ситуации ко
второй, было гравитационным. После
удара камня о Землю уже электромаг-
нитное взаимодействие ответственно за
превращения, в результате которых воз-
никли звук, вмятина и повышение тем-
пературы.
Вопрос 1-14
Взрывается хлопушка. Как бы вы
описали начальное и конечное со-
стояния и взаимодействие, в резуль-
тате которого одно состояние пре-
вратилось в другое?
Так много разного рода изменений
может произойти во время взаимодей-
ствия, что попытка вывести общие за-
кономерности может показаться безна-
дежным делом. Во время взрыва хло-
пушки изменился ее цвет, изменилась ее
форма, изменилось положение ее частей.
Существует другой подход к изучению
взаимодействий. Вместо того чтобы
спрашивать: «Что изменилось?», выяс-
ните, что остается неизменным. Эта за-
дача тоже может показаться безнадеж-
ной. Столь многое изменяется при
взрыве хлопушки; разве хоть что-ни-
будь остается прежним? На самом деле
при каждом взаимодействии ряд
свойств не может измениться — эти
Событие а наблюдается; события бив не-
когда не наблюдаются
25
свойства сохраняются. Законы сохране-
ния сильно ограничивают число воз-
можных изменений. Сохраняющиеся
свойства включают энергию, импульс,
момент импульса, электрический заряд.
Мы детально изучим каждое из этих
свойств и законы их сохранения. А пока
заметьте, что вы не ждете, чтобы все
осколки хлопушки вылетели в одном
направлении. Изменение к такому ко-
нечному состоянию не может произойти
из-за сохранения импульса. Вы не ожи-
даете увидеть, как порох спокойно
и медленно превратился бы в кучку
золы и в газы, не производя шума и не
разбрасывая кусков оболочки. Химиче-
ская энергия начального состояния пре-
образуется без потерь в звук, свет
и энергию движения. Полная энергия
сохраняется.
Есть еще одно преимущество в том,
чтобы рассматривать события как пре-
образования между состояниями си-
стемы. Если в результате взаимодей-
ствия система может перейти из некото-
рого начального состояния во множе-
ство различных конечных состояний,
это событие произойдет таким образом,
чтобы увеличилась вероятность ситуа-
ции. Например, почему невозможно
обратить направление движения всех
осколков, разлетающихся при взрыве
хлопушки, и снова собрать воедино пер-
воначальную систему? Ведь при этом
импульс и энергия могли бы сохранить-
ся. Однако одних благих намерений для
этого недостаточно. Потребовалось бы
обратить также все эффекты нагревания,
чтобы тепловая энергия, как и энергия
движения, оказалась бы снова заклю-
ченной в компактную форму химиче-
ской энергии. Это настолько малове-
роятно, что попросту никогда не про-
исходит. Высококонцентрированные
формы энергии или вещество со слож-
ной организацией имеют тенденцию
к рассеянию, дезорганизации.
Вопрос 1-15
Такой же эффект с очевидностью
проявляется при постановке автомо-
биля на стоянку. Гораздо легче вы-
браться со стоянки, чем пристроить
туда автомобиль. Почему так дол-
жно быть? Дайте ответ в терминах
f вероятности пребывания в одном
3 или другом состоянии (на стоянке
или вне ее).
Существуют способы обращения
этой естественной тенденции порядка
переходить в беспорядок. Когда моле-
кулы воды образуют лед, они должны
занять друг относительно друга вполне
определенные положения в кристалле.
Это упорядоченное, маловероятное рас-
положение. Молекулы воды в жидкости
могут расположиться гораздо большим
числом способов. Тем не менее энергия
Гексагональное кристаллическое строение
льда (а). Неупорядоченные скопления моле-
кул в жидкой воде (6)
сохранилась бы, если бы все молекулы
в стакане горячей воды внезапно распо-
ложились на соответствующих кристал-
лической структуре позициях, отдавая
свою избыточную энергию стенкам ста-
кана и нагревая их при этом. Конечно,
это никогда не случается само по себе.
Однако нечто подобное все время про-
исходит в вашем холодильнике. Избы-
точная энергия извлекается из жидкой
воды и через заднюю стенку холодиль-
ника выбрасывается наружу. Тепло
взбирается на температурный холм!
Хаотическое расположение молекул во-
ды становится упорядоченным. Однако
за это приходится платить. Такое взаи-
модействие происходит лишь до тех
пор, пока холодильник включен в сеть
и счета за электроэнергию оплачива-
ются.
Подобное преобразование от беспо-
рядка к порядку происходит и в живой
материи. Молекулы ДНК в клетках на-
шего организма трудолюбиво форми-
руют упорядоченные сложные моле-
кулы из беспорядочно разбросанных
атомов и меньших молекул. И опять
нужна энергия для осуществления такой
победы над вероятностью. Как в случае
холодильника, так и в случае живых
26
клеток, если включить в рассматривае-
мую систему источник энергии, по-
прежнему будет верно, что полная си-
стема переходит от менее вероятной
ситуации к более вероятной. Электро-
энергия, приводящая в действие холо-
дильник, поступает от генератора, в ко-
тором высококонцентрированная хими-
ческая энергия превращается в рассеян-
ную тепловую энергию, значительную
часть которой приходится без всякой
пользы отдавать воде в системе охла-
ждения. К живым клеткам энергия в ко-
нечном счете поступает со светом от
Солнца и высококонцентрированная
форма энергии образуется в них за счет
преобразования менее вероятного рас-
положения атомных ядер в более ве-
роятные сочетания. Вселенная в целом
переходит в более вероятное состояние.
Вопрос 1-16
Разве имеет какое-нибудь значение
то, что электростанция выбрасывает
в окружающую среду значительную
часть потребляемой химической
энергии (энергии, высвобождающей-
ся при сгорании нефти или угля)
в процессе выработки электроэнер-
гии? В конце концов энергия ведь со-
храняется и, следовательно, не про-
падает.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ
Каждая переменная величина являет-
ся функцией других переменных. Когда
они изменяются, именяется и она. Вы
являетесь функцией многих переменных,
одна из которых — время. Проходят
годы и вы изменяетесь. Вы также зави-
сите от своей наследственности, от га-
зет, которые вы читаете, и от темпера-
туры окружающей вас среды. В описа-
ниях людей или вещей мы беспокоимся
не только о том, что они собой предста-
вляют в данный момент, но и о том,
как они будут изменяться.
Мгновенное положение камня, ко-,
торый вы выпустили из рук, является
функцией времени. Если обозначить
пройденное им расстояние через у, со-
кращенная запись этой функциональной
зависимости будет иметь вид у = F (г)
или еще проще у(т). Величина у предста-
вляет собой функцию времени t. Но
у является также функцией и других
переменных, одни из которых вполне
очевидны, а другие — нет. Возможно,
что расстояние у зависит от массы кам-
ня, от его географического положения,
цвета, начальной скорости, с которой
вы его запустили (вверх или вниз), от
размеров Земли, давления воздуха, ин-
тенсивности вашей умственной работы
и т. д.
Вопрос 1-17
f Какие из этих
I ственны, а какие
| ключить? Есть ли
| менные, которые
| в расчет?
факторов суще-
из них можно ис-
еще какие-то пере-
нужно принимать
Функциональная зависимость одной
переменной величины от другой может
иметь множество разных форм. Предпо-
ложим, что вы роняете камень и изме-
ряете расстояние, которое он пролетел
в падении за 1 секунду и за 2 секунды.
Таким образом, время падения удваи-
вается. Удваивается ли при этом прой-
денное расстояние? Какой бы ни была
функциональная зависимость, мы мо-
жем смоделировать ее на графике,
27
показывающем одну переменную в зави-
симости от другой. Во многих простых
случаях такая зависимость может быть
также описана с помощью простой ал-
гебраической формулы. На рисунке при-
ведены некоторые графики, показываю-
щие возможную функциональную зави-
симость пройденного падающим кам-
нем расстояния от времени. Каждому
графику соответствует своя алгебраиче-
ская формула.
Вопрос 1-18
На самом деле функциональная за-
висимость y(t) для камня, падающе-
го в воздухе из начального состоя-
ния покоя, может и не следовать ни
одной из этих форм. Однако если вы
уверены, что одна из них дает хоро-
шее приближение, то какую из них
вы бы выбрали?
К счастью, почти все явления, из-
учаемые нами во вводном курсе физики,
можно моделировать функциями, пока-
занными здесь, и еще одной или двумя
другими. Из этого вы можете заклю-
чить, что либо Вселенная ведет себя
лишь очень немногими простыми спо-
собами, либо мы выбираем для рас-
смотрения лишь те явления, которые
описываются простыми функциями. Не-
зависимо от того, как вы на это посмо-
трите, удивительно, что столь многие
взаимодействия следуют таким простым
законам. Как мы увидим, для этого есть
определенные причины. Даже тогда,
когда эти простые функции не дают ис-
черпывающего описания способа, каким
одна переменная величина зависит от
другой, часто они могут служить хоро-
шим первым приближением. Рассмо-
трим пример подобной ситуации.
Когда некоторое тело только на-
чинает свободно падать в воздухе, прой-
денное им расстояние пропорциональ-
но квадрату времени. Так получается
потому, что оно падает все быстрее
и быстрее, так что с течением времени
оно проходит все большее расстояние
за каждую секунду. График у (t) предста-
вляет собой поднимающуюся кривую,
называемую параболой и описываемую
формулой у = At2. Значение постоянной
А зависит от выбора единиц, а также
28
является функцией других переменных,
обсуждавшихся в вопросе 1-17. Когда
вы роняете камень, эта простая функция
у = At2 вполне точно описывает то, что
происходит в течение нескольких
первых секунд. Однако она не описы-
вает того, что происходит, когда вы ро-
няете перо или клочок бумаги. Очевид-
но, что в этих случаях доминирует
сопротивление воздуха. Даже на ско-
рость падающего камня сопротивление
воздуха в конце концов начинает оказы-
вать влияние. Сначала его скорость на-
растает быстро, но затем быстрота воз-
растания становится все меньше и мень-
ше, пока наконец камень не станет
двигаться с постоянной «окончатель-
ной» скоростью. В зависимости от
массы и формы камня эта установив-
шаяся скорость может быть около
60 м/с (130 миль в час). Чтобы достичь
этой скорости, падающему камню тре-
буется лишь около 10 с, и за это время
он пролетел бы около 400 м, что при-
мерно равно высоте небоскреба «Эм-
пайр стейт билдинг».
Взгляните на график y(t), который
изображает действительное падение
камня. Он начинается, следуя одной
простой функции, и заканчивается, сле-
дуя другой. Сначала у = At2, но в конце
концов кривая превращается в прямую,
описываемую функцией у = — у0 + kt.
В течение переходного периода функ-
циональная зависимость имеет весьма
сложную форму.
Фактически даже такая кривая, кото-
рая показана на рисунке, дает лишь
Пройденное расстояние как функция времени
для камня, падающего в воздухе
приближение к полному описанию. Со-
противление воздуха зависит от его
плотности, которая в свою очередь за-
висит от высоты. Более того, сила тяже-
сти, действующая на камень, зависит от
расстояния между ним и Землей. Этот
эффект становится жизненно важным
при запуске космических ракет.
Какой прок описывать мир с по-
мощью нескольких простых функций,
когда реальный мир гораздо сложнее?
Разве физика не считается наукой, пре-
тендующей на высокую точность? Чепу-
ха! В этом просто нет смысла. Физи-
ка — это преимущественно наука здраво-
го смысла. Когда вы выполняете изме-
рение, добивайтесь только такой точно-
сти, которая необходима для данной
конкретной цели. Точность дорого
стоит; добиваться слишком высокой
точности было бы расточительством.
Подобным же образом при описании
функциональной зависимости постепен-
но приближайтесь к решению задачи.
Используйте простые модели, годные
в ограниченных пределах. Очень редко
встречаются случаи, когда семь значащих
цифр сказали бы вам о чем-то, что бы-
ло скрыто при ограничении шестью ци-
фрами. Бывают ситуации, подобные за-
пускам ракет на Луну, когда вы должны
принять во внимание влияние многих
мелких факторов на очень сложные
функции. Но даже в таких случаях вы-
числители постепенно подходят к реше-
нию задачи, проводя расчет с помощью
последовательных приближений. Как вы
увидите, практически ничто не выходит
за пределы того, что охвачено вводным
курсом физики. Мы имеем дело с галак-
тиками и субатомными частицами,
с электростанциями и со специальной
теорией относительности. Но в описа-
ниях всего и обыденного и экзотическо-
го мы обычно ограничиваемся первым
приближением и нуждаемся лишь в про-
стых функциях.
ЗНАКОМСТВО
С ЯВЛЕНИЯМИ - ФУНКЦИИ
Одна из простых функций, которую
мы будем время от времени использо-
вать, описывает, каким образом раз-
личные влияния распространяются от
точечного или сферического источника.
Таким влиянием может быть сила, с ко-
торой действует электрический заряд
или гравитационная масса. Эта же
функция описывает также интенсив-
ность света на разных расстояниях от
маленького источника.
Вы можете изучить характер этой
функции с помощью простейшего фото-
метра, показанного на рисунке. Фотоме-
тром называют устройство для измере-
ния освещенности обычно путем сравне-
ния интенсивности света, исходящего от
двух различных источников. Один из ис-
точников служит в качестве стандарта,
то есть эталона, с которым производит-
ся сравнение.
Следует взять два одинаковых ис-
точника света, например две 60-ваттные
лампочки, две лампочки от карманного
фонаря или две свечи. Опыт следует вы-
полнять в затемненной комнате, или по
крайней мере фоновое освещение дол-
жно быть слабым и равномерным. Вы-
ставьте оба источника света на одинако-
вом расстоянии от картона на одинако-
вой высоте и посмотрите на картон
вдоль биссектрисы угла, под которым
он согнут. Когда освещенности с обеих
сторон равны, сгиб кажется почти исчез-
нувшим. Обратите внимание, что при
удалении или приближении одного из
источников света картон с этой стороны
становится темнее или светлее, чем
с другой стороны.
29
Допустим, что вы можете умень-
шить интенсивность расположенного
слева стандартного источника в 2 раза.
Тогда правая сторона картона будет ка-
заться светлее. Вы можете снова урав-
нять освещенности обеих сторон, ото-
двигая дальше источник, располо-
женный справа. Если бы вы смогли
изменить интенсивность контрольного
источника в 2, 3, 4 и 5 раз, вы могли бы
измерить, во сколько раз вам приходит-
ся изменять расстояние до правого ис-
точника, чтобы сохранить равенство ос-
вещенностей. Тем самым вы бы измери-
ли интенсивность света как функцию
расстояния от источника.
Один из способов изменения интен-
сивности левого источника в известное
число раз заключается в том, чтобы про-
пускать свет через отверстия, проде-
ланные в куске картона, как показано на
рисунке. Убедитесь, что все отверстия
имеют одинаковый размер и что свет от
каждого отверстия расширяется на-
столько, чтобы целиком покрыть кар-
тонный экран. Используйте пять таких
картонных масок. В одной из них дол-
жно быть пять одинаковых тесно распо-
ложенных отверстий, в следующей дол-
жно быть четыре отверстия и т. д.
Отверстия должны быть малыми по
сравнению с размерами источника све-
та, так, чтобы через каждое из них прохо-
дило одно и то же количество света.
Начните с маски с пятью отверстиями и
уравняйте освещенности с двух сторон
экрана передвижением левого источника.
Затем держите этот источник на одном
месте и изменяйте его интенсивноть заме-
ной выставляемых перед ним «масок».
Таким способом освещенность левой
стороны экрана будет изменяться от 5
единиц к 4, 3, 2 и 1 единице. Для
первоначального уравнивания освещен-
ностей может потребоваться еще одна
маска с пятью отверстиями перед
правым источником. Если так, оставьте
ее на своем месте на всем протяжении
дальнейших опытов.
Для каждого значения освещенности
левой стороны найдите расстояние, при
котором правый источник уравнивает
освещенности. Измеряя это расстояние,
выражайте его через первоначальное
расстояние от экрана до правого источ-
ника. Было бы неплохо выбрать это на-
чальное расстояние небольшим — ска-
жем 10 см. Когда вы отодвигаете
правый источник на 40 см, тем самым
вы изменяете расстояние от экрана до
источника в 4 раза. Посмотрите, со-
ответствуют ли полученные вами ре-
зультаты какой-либо из функций, пока-
занных на с. 27. Один из способов
проверить, описываются ли ваши
данные такой функцией как I = к/r2, со-
стоит в том, чтобы вычислить произве-
дение 1г2 для всех значений г (данные
можете для наглядности собрать в та-
блицу). Если данные следуют этой функ-
ции, все значения 1г2 будут равны одной
и той же постоянной величине.
Освещенность / в произвольных единицах	Расстояние до правого источника г, см	Расстояние в единицах начального удаления г
5		1
4		
3		
2 1		
РЕЗЮМЕ
Эта вводная глава ставит вехи на
границах «территории», изучаемой в на-
шем курсе. Может показаться, что мы
намереваемся объять почти все суще-
ствующее под Солнцем и далеко за
пределами Солнечной системы. Мы и
в самом деле будем изучать микромир
элементарных частиц и макромир звезд,
уделяя особое внимание общим чертам
30
того и другого. При этом нам придется
познакомиться с промежутками време-
ни, много меньшими, чем микросекунда,
и много большими, чем миллион лет.
Хотя нас интересуют объекты и со-
бытия, перекрывающие обширные обла-
сти пространства и времени, наша глав-
ная забота касается взаимодействий
между системами. Существует лишь не-
сколько типов взаимодействий, и они
ограничены небольшим числом законов
сохранения.
В этой главе вводится также ряд ме-
тодов и идей, которые имеют большее
значение для дальнейшего изучения, чем
сами факты, на примере которых они
введены.
Во-первых, при обсуждении разме-
ров тел и промежутков времени между
различными событиями мы сочли необ-
ходимым бегло обрисовать методы из-
мерения, используемые в каждом от-
дельном случае. Некоторые из этих
методов детально рассматриваются
в дальнейшем, но обратите внимание на
следующие ограничения: определение
и объяснение физической величине сле-
дует давать на основе способа ее изме-
рения. Если некоторую физическую ве-
личину в принципе нельзя измерить, то
разговор о ней лишен содержания.
Во-вторых, в этой главе дана суть
подхода к решению задач. К ответу
приближайтесь постепенно! Найдите
для начала приближенное решение, мо-
жет быть, справедливое лишь по поряд-
ку величины. Затем, если это необходи-
мо, дайте себе труд подсчитать ответ
с точностью до одной или двух знача-
щих цифр или больше, если для этого
есть веские основания. Чтобы свободно
выполнять такого рода вычисления, не-
обходимо использовать обозначения
в виде степеней десяти. Некоторые
объяснения и примеры применения этих
правил были приведены в этой главе,
а дополнительная тренировка обеспечи-
вается задачами, помещенными в конце
главы. Вам на самом деле стоит позна-
комиться с таким методом, чтобы ус-
пешно справиться с остальной частью
этой книги.
В-третьих, нами введен способ пред-
ставления функциональной зависимости
переменных величин. Физика в значи-
тельной мере занимается изучением
функциональных зависимостей. В ввод-
ном курсе физики нам потребуется
лишь несколько простых функций, таких
как синус, экспонента, линейная и ква-
дратичная функции, обратные степени.
В дальнейшей работе мы будем часто
обращаться к этим функциям и их гра-
фикам.
Ответы на вопросы
При переходе по логарифмической
шкале от значения 0 к значению 1 со-
ответствующие расстояния изменяются
от 1 до 10 м. Два метра, что немного
выше роста среднего человека, распо-
ложены в точке 0,3 логарифмической
шкалы, то есть чуть меньше одной тре-
ти расстояния между 0 и 1.
Французские геодезисты измерили дли-
ну дуги меридиана на поверхности Зем-
ли. Стягиваемый этой дугой угол
можно было найти из астрономических
наблюдений. Например, широта како-
го-либо места в северном полушарии
равна углу между горизонтом и напра-
влением на Полярную звезду. Южный
конец этой дуги был при 41,5° с. ш.,
а северный конец — при 51° с. ш. Стяги-
ваемый измеренной геодезистами ду-
гой угол составлял таким образом 9,5°.
Наличие неизменного эталона для ос-
новной единицы полезно лишь тогда,
когда можно легко осуществить срав-
нение с ним. Едва ли кто-нибудь захо-
чет обременять себя повторной съем-
кой дуги земного меридиана; ведь
даже сравнение с эталонным метром,
определяемым на основе платинового
стержня, весьма затруднительно. На-
чиная с 1960 г. метр официально опре-
деляется как 1650763,73 длин волн
оранжево-красной линии в спектре
криптона-86. Такой эталон гарантиро-
ван от похищения, износа или порчи,
31
а оптические измерительные устрой-
ства, используемые для сравнения,
сравнительно недоро>и в изготовлении
и применении.
1-3. Радианная мера угла равна отношению
длины дуги к радиусу. Рисунок показы-
вает соотношение между углом в ра-
дианах, синусом и тангенсом того же
угла. Заметьте, что для малых углов
г
. „ противолеж.ан.'п пег
sin 0 = г -
г
tg О _ противолежащий катет
прилежащий катет
Дтя малых 0 sin 0 ® tg 0 * 9
отношение дуги к радиусу почти равно
отношению противолежащего катета
к радиусу или отношению противоле-
жащего катета к прилежащему. Други-
ми словами, для малых углов радиан-
ная мера угла приблизительно равна
синусу или тангенсу этого угла.
Это приближение оказывается весьма
хорошим даже для такого большого
угла, как 30°. Угол 30° = 30/57 рад =
= 0,525 рад; sin 30° = 0,500, a tg30° =
= 0,577.
С уменьшением угла это приближение
быстро улучшается. Для у!лов, равных
долям градуса, встречающихся в астро-
номической триангуляции, нет смысла
использовать соотношения с синусом
и тангенсом.
1-4. Стягиваемый угол равен отношению
базиса к расстоянию:
9 = 3-1011 м/(3,8 • 1016 м)=0,8 • 10“5 рад =
= 8-10“6 рад. Это немного больше,
чем одна угловая секунда.
пройденное расстояние
1-5. Скорость =---------------------.
затраченное время
В данном случае
3 • 108 м/с = 1 • 1026 м/время,
время = 1 • 1026 м/(3-108 м/с),
время = 3 • 1017 с = 1 • 1010 лет.
(Как мы вскоре увидим, это время
оказывается как раз порядка возраста
Вселенной).
1-6 Песок, просыпающийся сквозь отвер-
стие в песочных часах? Пружина с под-
вешенным на ней грузом, качающимся
вверх и вниз? Время, в течение которо-
го камень падает с определенной вы-
соты? Время между двумя полнолуния-
ми? Время между ежегодными возвра-
щениями ласточек в Капистрано?
1-7. Не следует думать, что этот вопрос —
надуманный и притянут сюда за во-
лосы. Возможно, что в нашей расши-
ряющейся Вселенной определенные
фундаментальные константы медленно
изменяются. В таком случае проблема
состоит в том, будет или нет замедле-
ние времени одинаково влиять на все
движения. Если бы, например, повто-
ряющиеся движения были подвержены
этому влиянию, а остальные движе-
ния — нет, то время падения шарика
с определенной высоты изменялось бы
1-8. В году содержится
60 с 60 мин 24 ч 365 сут
1 мин 1 ч 1 сут 1 год
= 60 • 60  24  365 с/г од =
= (6,0- 101)-(6,0- 10*)-(2,4- 10') х
х (3,65- 102) = 6-6-2,4-3,65 х
х 105 с/год = 3  107 с/год
Число секунд, содержащихся в челове-
ческой жизни, равно (3 -107 с/юд) х (70
лет/жизнь) ss 200-107 с/жизнь =2 109
с/жизнь. Часто бывает удобно пере-
водить степени десяти в слова От-
метьте, что на вашу долю отведено два
биллиона секунд, и около 4 -108 из них
уже прошли1
1-9.1/(9192 631770 Гц) « 1/(9-109 Гц) =
= (1/9)- 10“9 с = 1,1 • 10“10 с На словах,
этот период равен одной девятой о г
одной биллионной доли секунды
1-10. Средняя скорость =
расстояние
=--------------. ОI сюда
время движения
расстояние
время =------------=
скорость
= 2-10“15 м/(3  108 м/с) st 1  10“23 с.
Посмотрите, как неуместно было бы
в расчете такого рода разделить 2 на
3 и получить 2/3 вместо 1.
1-11. После 5 периодов полураспада
остающаяся доля вещества составляет
71-7г-71-72-72 = 7зг.
32
После 10 периодов осталось бы лишь
'/зг  1/зг ~ */ 1ооо> или 1-10 3. После 20
периодов полураспада сохранилось бы
лишь 1  10"6, то есть одна миллионная
доля первоначального количества ве-
щества.
1-12. На самом деле мы этого не знаем, если
только не принять в качестве философ-
ского принципа такое определение «на-
стоящего момента», согласно которому
к нему относятся все события, свя-
занные одним световым сигналом.
1-13. Что можно сказать о любви? Физик
с женой, шестью детьми и большой со-
бакой окружен любовью. Если вы на-
думаете проанализировать любовь, по-
видимому, она окажется по своей при-
роде электромагнитной. Конечно, всег-
да находятся медиумы и экстрасенсы,
занимающиеся поисками шестого чув-
ства. Однако столбовой путь науки
проходит через эксперименты с вос-
производимыми результатами, имею-
щими надежную статистику. Может
быть, не все медиумы — шарлатаны, но
слишком многие их последователи вве-
дены в заблуждение надеждой найти ко-
ролевский путь к научному знанию.
Как бы то ни было, поскольку электро-
магнитное взаимодействие ответствен-
но за все химические и биологические
процессы, по-видимому, нет никакой
нужды искать еще какие-то виды взаи-
модействий.
1-14. В начальном состоянии было только
одно покоившееся твердое тело. В ко-
нечном состоянии было множество
мелких кусочков, разлетающихся по
всем направлениям в сопровождении
шума и пламени. Хотя во время взрыва
действовали какие-то силы, было бы
очень трудно проследить в деталях их
действие.
1-15. Существует лишь несколько допу-
стимых положений для автомобиля на
стоянке по сравнению с большим чис-
лом положений и ориентаций, которые
может иметь на дороге выехавший со
стоянки автомобиль. При постановке
на стоянку вы переходите из состояния
с большим числом возможностей, то
есть с высокой вероятностью, в состоя-
ние, характеризуемое меньшей вероят-
ностью.
1-16. Энергия и в самом деле сохраняется,
но высококонцентрированная энергия
химических связей в нефти или угле
рассеивается в низкотемпературную те-
пловую энергию гораздо большего
объема воды. Эта энергия настолько
рассеяна, что не существует эффектив-
ного способа собрать ее снова для со-
вершения полезной работы.
1-17. Аристотель и большинство других ор-
тодоксальных мыслителей в эпоху до
Галилея думали, что положение (и ско-
рость) падающего тела очевидным
образом зависит от его массы. В бли-
жайших главах вы будете изучать та-
кие ситуации на опыте и узнаете, что
в первом приближении положение па-
дающего тела не зависит от его массы.
Этот простой факт, как мы увидим,
имеет удивительно глубокий смысл. Вы
выясните также и ограниченность та-
кого приближения. Положение, напри-
мер, тела, падающего в воздухе, ко-
нечно же, зависит от массы тела.
Скорость и положение падающего тела
в небольшой степени зависит также от
географического положения (на Север-
ном полюсе тело падает быстрее, чем
на экваторе); в сильной степени зави-
сит от размеров Земли (на Земле тело
падает быстрее, чем на Луне); совсем
не зависит от цвета камня; зависит от
начальной скорости; очень незначи-
тельно зависит от давления воздуха
и не зависит от ваших мыслей кроме,
может быть, случая, когда вы играете
в теннис. Что можно сказать по поводу
зависимости от формы камня?
1-18. Синусоидальная функция описывает
движение, при котором расстояние от
начальной точки попеременно стано-
вится то больше, то меньше. Она
описывает движение грузика маятника,
а не падающего камня.
Экспоненциальная функция требует,
чтобы в начальный момент t = 0 тело
уже находилось на некотором расстоя-
нии от начала отсчета. С течением
времени удаление у растет очень бы-
стро. Первое положение трудно согла-
совать с наблюдаемым движением,
хотя второе положение как раз такого
рода, как нам нужно.
Линейную функцию можно выбрать
так, чтобы у0 = 0, то есть чтобы камень
имел нулевое удаление в начальный
момент времени. Если, однако, прой-
денное расстояние пропорционально
затраченному времени, скорость дол-
жна быть постоянной (2 м за 1 с, 4 м за
2 с, 6 м за 3 с — постоянная скорость
должна составлять 2 м/с). Посмотрите
пристально на падающее тело и вы
увидите, что его скорость не остается
постоянной; тело убыстряет свое дви-
жение.
Квадратичная функция, изображаемая
параболой, соответствует только что
2 Кл. Э. Суорц, т. 1
33
описанному поведению. Она могла бы
служить хорошим приближением для
описания движения падающего камня.
Следующие два графика изображают
обратные зависимости. С течением
времени расстояние от начала умень-
шается. Конечно же, эти графики
не описывают движение падающего
камня.
Задачи
8253  0,684
1.		------------= 9
3,4 104-4,8 10“6
2.	Размеры комнаты — 9 х 12 х 8 куби-
ческих футов. Чему равен ее объем в кубиче-
ских метрах?
3.	Сколько секунд прошло от момента
рождения до 18-го дня рождения девушки?
4.	Чему равно отношение радиуса Все-
ленной к радиусу нуклона?
5.	Сколько атомов содержит Земля?
Примите, что каждый атом имеет диаметр
2-10“10 м (При упаковке шаров теряется
пренебрежимо малый объем).
6.	Чему равен видимый вами угол
(в радианах и градусах), который стягива-
ется ногтем вашего мизинца на вытянутой
руке?
7.	Для малых углов sin 0 = 0, если 0 вы-
ражен в радианах. Чему равна ошибка (в
процентах) при использовании этого прибли-
жения для 0 = 30° ?
8.	Чему равен угол (в радианах и в гра-
дусах), стягиваемый Луной, если смотреть на
нее с Земли?
9.	Чему равно отношение интенсивно-
стей солнечного света (то есть энергии на ква-
дратный метр) на Земле и на Юпитере?
10.	Ближайшая к нашему Солнцу звезда
находится на расстоянии около 4 световых
лет. Что произошло бы с ее кажущейся яр-
костью, если бы она была удалена на 100 све-
товых лет9
11.	Сколько времени требуется сигналу
радиолокатора, чтобы пройти расстояние от
Земли до Луны и обратно9
12.	Сколько времени требуется свету
для того, чтобы прийти к вам от лампочки,
находящейся на расстоянии 1 м?
13.	Сколько времени распространяет-
ся к нам свет с противоположной стороны
нашей Галактики, удаленной от нас на
1021 м?
14.	Если бы вы захотели сделать шкалу
времени для нашей Вселенной в линейном
масштабе, считая по 1 мм на каждую тысячу
лет, какую длину должна была бы иметь эта
шкала?
15.	Найдите свою обычную скорость
передвижения пешком в милях в час и затем
переведите ее в метры в секунду и в све-
товые годы в год.
16.	Период полураспада 137Cs состав-
ляет 2,7 мин. Какая часть его остается спустя
1 ч?
17.	Все живое содержит углерод. Малая
часть углерода радиоактивна (14С) и про-
изводит 16 распадов на грамм углерода
в минуту. Период полураспада 14С равен
5600 лет. Если деревянный предмет из погре-
бальной пещеры дает 4 отсчета в минуту,
когда происходило погребение?
18.	Какое из четырех основных взаимо-
действий ответственно за:
а)	коррозию;
б)	плавление;
в)	скатывание с горы;
г)	бета-распад углерода-14;
д)	высвобождение энергии атомной
бомбы;
е)	движение спутника по орбите;
ж)	гром;
з)	деление клеток организма;
и)	телевидение;
к)	источник энергии звезд.
19.	Какой из графиков, показанных на
с. 27, представляет положение грузика маят-
ника как функцию времени? Какой график
представляет положение автомобиля, движу-
щегося с постоянной скоростью9
20.	Если наименьшее смещение изобра-
жений звезд, которое можно измерить на фо-
тогрфической пластинке, составляет 1 мкм
(110“6 м), чему равно наибольшее расстоя-
ние до звезд, которое можно измерить,
используя в качестве базиса орбиту Земли?
Примите, что фокусное расстояние теле-
скопа равно 20 м.
21.	Если тяжелые элементы образова-
лись при взрыве звезды около 10 биллионов
лет назад, какая часть первоначального qpU
осталась к настоящему времени?
22.	В тексте описано, почему солнечные
сутки длиннее, чем звездные. Если период
вращения Луны вокруг оси (звездный пе-
риод) равен 27 сут, чему равен период от
одного новолуния до следующего?
23.	На с. 16 приведен график угла от-
клонения грузика маятника как функция
времени. Реальные маятники качаются со все
меньшей и меньшей амплитудой и в конце
концов останавливаются. Сделайте набросок
графика, показывающего 0 как функцию
времени в реальной ситуации, когда ампли-
туда почти обращается в нуль после пяти
колебаний.
ГЛАВА 2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
Все на свете движется. Ледник мо-
жет течь с поистине ледяным спокой-
ствием, перемещаясь на какой-нибудь
метр за неделю. Юго-Западная Кали-
форния, где находится Лос-Анжелес,
сдвигается на северо-запад вдоль разло-
ма земной коры в среднем на 5 см
в год. Если электрон или теннисный мяч
выронить в пустоте, то на расстоянии
1 м он наберет скорость почти 5 м/с.
Если электрон, но не мяч, поместить ме-
жду металлическими пластинами в ва-
кууме, к которым подсоединена бата-
рейка карманного фонаря с напряже-
нием 1,5 В, он будет разогнан до
скорости почти 106 м/с. Это довольно
большая скорость, особенно в сравне-
нии со скоростью пассажирского реак-
тивного самолета, коюрая равна при-
мерно 300 м/с. Если напряжение на
пластинах увеличить в 100 раз, то есть
до 150 В, скорость электрона возрастет
в 10 раз, до 107 м/с. (Конечная скорость
пропорциональна квадратному корню
из напряжения.) При 15 000 В на пласти-
нах электрон будет двигаться со ско-
ростью почти 108 м/с. С помощью спе-
циальной, но вполне доступной аппара-
туры к пластинам можно приложить
напряжение 1500000 В. Тогда электрон
будет ускорен почти до 3 • 108 м/с.
I Вопрос 2-1
Согласуются ли приведенные числа
друг с другом?
В нашем мире скорость представ-
ляет собой весьма специфический вид
переменной величины. Обычно мы соот-
носим с ней комбинацию расстояния
и времени: мили в час, футы в секунду,
метры в секунду и т. п. Может сложиться
впечатление, что расстояние и время из-
меряются в основных, первозданных
единицах и что единица скорости выво-
дится из них. Но, насколько нам извест-
но, природа вещей такова, что не суще-
ствует никаких универсальных есте-
ственных единиц длины и времени. Од-
нако естественная единица скорости су-
ществует — некоторый верхний предел
скорости. Никакое тело, будь то теннис-
ный мяч или субатомная частица, нельзя
ускорить настолько, чтобы превзойти
35
2*
скорость света в вакууме. Эта скорость
равна 3,0 • 108 м/с. Упомянутый закон
запрета не только получил прямое экс-
периментальное подтверждение, но
и лежит краеугольным камнем в фунда-
менте специальной теории относитель-
ности. Эта теория приводит к захваты-
вающим следствиям (таким, как освобо-
ждение ядерной энергии), и все они
подтвердились. В исследованиях по
Скорость протонов, ускоряемых в синхро-
троне
выражают через р, то есть как отноше-
ние скорости частицы к скорости света.
Р не может превосходить 1.
I Вопрос 2-2
Чему равно р, когда вы бежите изо
всех сил?
Скорость должна «говорить» не
только о том, как быстро движется не-
что, но и в каком направлении. В этой
главе мы имеем дело только с движе-
нием вдоль прямой линии. Такое движе-
ние может происходить направо или на-
лево (вверх или вниз). Мы будем разли-
чать эти направления знаками « + » или
« — ». О том, как задавать направление
в общем случае, можно пока не ду-
мать — по крайней мере до следующей
главы.
Одной лишь скорости, конечно, не-
достаточно для описания движения. На
приборном щитке автомобиля имеется
спидометр, но на полу есть также пе-
даль акселератора. Скорость служит ме-
рой того, насколько быстро изменяется
ваше положение; ускорение служит ме-
рой быстроты изменения вашей скоро-
сти. В этой главе мы рассмотрим соот-
ношение между положением тела, его
скоростью, ускорением и временем дви-
жения.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Мы постоянно находимся в движе-
нии или наблюдаем движение, и поэто-
му может показаться, что все мы хоро-
шо знакомы с этим явлением. Однако
некоторые его подробности не так легко
наблюдать, и при их описании иногда
возникает путаница. Почему бы не на-
чать с простого движения, которое лег-
ко поддается измерению — достаточно
медленного и происходящего с по-
стоянной скоростью?
Получить его можно, катая мра-
морный шарик или мячик по поверхно-
сти стола. Если тело катится достаточ-
но медленно, можно измерять время
прохождения им небольшого расстоя-
ния с помощью секундомера или просто
равномерно считая. (Оказывается, что
быстрый и равномерный счет удиви-
тельно хорошо подходит в таких слу-
чаях для измерения времени. Потрени-
руйтесь считать вслух с такой ско-
ростью, чтобы сосчитать от одного до
двадцати примерно за 5 секунд.) Не-
большие расстояния можно отмечать,
используя какой-либо предмет, имею-
щий длину около 20 см, например лист
машинописной бумаги. Если скорость
остается постоянной, время прохожде-
ния шарика вдоль листа бумаги в нача-
ле пути должно быть таким же, как
и время прохождения вдоль другого ли-
ста, лежащего дальше.
36
Конечно, движение шарика будет за-
медляться, если только стол не накло-
нен. Вы можете устранить замедление,
преднамеренно наклоняя стол. Подло-
жите под две ножки прокладки из бума-
ги или картона. Если поверхность стола
гладкая и чистая и шарик довольно
гладкий и круглый, для получения по-
стоянной скорости потребуется лишь
очень небольшой наклон. (Посмотрите
вдоль поверхности стола, чтобы убе-
диться, что она ровная и не имеет пере-
косов и прогибов. Возможно, вам При-
дется положить вдоль края стола рейку,
чтобы направлять катящийся шарик.)
Когда вы добьетесь постоянной ско-
рости, наклоните стол чуть-чуть боль-
ше, чтобы движение катящегося шарика
ускорялось. Задача теперь состоит
в том, чтобы выяснить, каким образом
время, необходимое для прохождения
короткого отрезка пути, зависит от рас-
стояния до начальной точки и от полно-
го времени движения. Выяснить это
можно следующим образом.
Первый опыт. Положите один лист
бумаги в конце стола, а второй — так,
чтобы его средняя линия находилась на
полпути от начальной точки до средней
Время, затраченное на пересечение последнего
листа бумаги____
Время, затраченное на пересечение среднего
листа ___
Время, затраченное на качение вдоль всего
стола (до средней линии последнего листа
бумаги) ___
Время, затраченное на качение до середины
стола ___
Расстояние до середины стола __
Расстояние до отметки Г/2____
линии листа, лежащего в конце. Чтобы
достичь последнего листа, шарик дол-
жен прокатиться вдвое большее расстоя-
ние, чем до среднего листа. Может
быть, он и движется в конце стола
вдвое быстрее? Будет ли, таким обра-
зом, время пересечения последнего ли-
ста равно только половине времени
пересечения среднего листа? Запишите
полученные вами результаты измерений
этих промежутков времени.
Второй опыт. Найдите полное время
Т, в течение которого шарик скатывает-
ся вдоль всей длины стола, а также вре-
мя прохождения шариком первой поло-
вины своего пути. Запишите результаты,
чтобы использовать их в дальнейшем
для ответа на вопрос 2-16. Теперь най-
дите точку, которой он достигает за
время Т/2. Находится ли она посереди-
не стола? Запишите длину стола и рас-
стояние до этой «точки Т/2». Совмести-
те с этой точкой середину одного из
листов бумаги и затем повторите пер-
вую часть опыта. Будет ли шарик при
пересечении конечного листа катиться
вдвое быстрей, чем при пересечении ли-
ста, лежащего в точке Т/2?
Если бы в первом опыте время пере-
сечения среднего листа оказалось вдвое
больше времени пересечения конечного
листа, то скорость в этих условиях была
бы пропорциональна пройденному рас-
стоянию; когда вы удваиваете расстоя-
ние, удваивается и скорость. Если же во
втором опыте время пересечения в точ-
ке Т/2 вдвое больше времени пересече-
ния конечного листа, то тогда скорость
пропорциональна времени скатывания.
Если вы удваиваете время, то удваи-
вается и скорость. К какому из этих за-
ключений приводят ваши опыты?
Некоторые из этих эффектов можно
увидеть, подбрасывая в воздух какое-ни-
будь тело и пристально за ним наблю-
дая. Движение происходит слишком бы-
стро, чтобы видеть все подробности, но
можно улучшить условия наблюдения,
подбрасывая что-нибудь некруглое
и одновременно сообщая ему вращение.
Для этой цели хорошо подойдет баш-
мак. Он будет вращаться с почти по-
стоянной скоростью, и вы получите та-
ким образом тело со «встроенным
секундомером». Наблюдайте за измене-
37
нием вертикальной скорости тела, когда
оно поднимается и падает. На каких
участках его движение замедляется
и ускоряется? Происходит это постепен-
но или резко?
ОПИСАНИЕ НЕПОДВИЖНОГО
ТЕЛА
В повседневной жизни для описания
движения мы используем знакомые всем
выражения. Если вам нужно проехать
180 миль на экспрессе, вы знаете, что
это займет по меньшей мере 3 часа:
180 миль
--------;— = 3 ч.
60 миль/ч
В обычных словах,
расстояние
-------------= время,
скорость
Подобным же образом, если грузовику
нужно полчаса, чтобы проехать 15 миль,
его средняя скорость составляет 30
миль/ч.
расстояние
скорость = ---------.
время
И в технике описание движения не
отличается особой изощренностью, но
требует некоторых сокращенных обо-
значений для экономии места и для
удобства анализа. Мы введем эти обо-
значения и приемы их использования на
примере очень простых движений. Нуж-
но уметь описать положение тела как
функцию времени. Если тело может
двигаться только вперед или назад
вдоль некоторой линии (не обязательно
прямой), его положение можно опреде-
лить, указывая расстояние х от начала
отсчета. Движение тела мы описываем
с помощью функции x(t). График этой
функции указывает положение тела х,
отложенное вдоль вертикальной оси,
как функцию времени t, отложенного
вдоль горизонтальной оси.
Если тело неподвижно, его скорость
равна нулю. График такой функции
представляет собой горизонтальную
прямую, так как в любой момент вре-
мени х = х0.
Вопрос 2-3
С течением времени точка на этом
графике вычерчивает тянущуюся
вправо прямую линию. Каким обра-
зом эта линия может изображать по-
ложение неподвижного тела?
ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
С ПОСТОЯННОЙ (НО НЕНУЛЕВОЙ)
СКОРОСТЬЮ
Если тело движется с постоянной
скоростью 2 м/с, то за 1 с оно прошло
бы 2 м, а за 5 с оно прошло бы 10 м.
Алгебраически это движение описывает-
ся функцией х = vt, где х — пройденное
расстояние, v — постоянная скорость,
t — время движения. График этой функ-
ции представляет собой прямую, прохо-
дящую через начало координат.
Зависимость х (т) для тела, движущегося с
постоянной скоростью 2 м/с
Зависимость \ (f) для тела, покоящегося в
точке хо
Эта простая алгебраическая форму-
ла, в том виде как она приведена, может
вызвать путаницу. Если вы едете в экс-
прессе, идущем с западного побережья
на восточное, вы видите километровые
столбы, которые отмечают расстояние
от некоторого определенного начально-
го пункта. Например, Рено находится на
325 километре от Сан-Франциско. Если
вы выехали из Рено в 9:00 часов и в те-
38
чение часа едете со скоростью 75 км/ч,
вы не можете найти свое новое положе-
ние по формуле х = vt, подставляя в нее
10 вместо t (10 часов). В этом уравнении
t должно относиться-к интервалу време-
ни. Для большей общности можно запи-
сать интервал времени в виде tK — h, то
есть как разность между конечным tK
и начальным t0 моментами времени.
В приведенном примере (tK —t0) =
= (10:00 - 9:00) = 1 ч.
Здесь есть еще одно осложнение. Ес-
ли в этом примере мы воспользуемся
формулой х = v (tK — t0), то мы получим
х = (75 км/ч) (1 ч) = 75 км.
Вопрос 2-4
Чем же ошибочно приведенное ре-
шение? Разве пройденное расстояние
не равно 75 км9
Чтобы исключить возможную пута-
ницу, формулу для движения с постоян-
ной скоростью следует писать в виде
(хк — х0) = v (tK — t0). Чтобы не выписы-
вать все индексы, часто используют
другое общепринятое обозначение. Раз-
ность двух значений переменной вели-
чины обозначают греческой буквой А.
Тогда наша формула принимает вид
Ах = vAt. Эта формула не означает, что
«положение равно произведению скоро-
сти на время». Вместо этого формула
утверждает, что пройденное расстояние
равно произведению скорости на время
движения.
Уравнение прямой у(х) обычно за-
писывают в виде
у = тх + Ь.
Как видно из приведенного графика,
прямая пересекает ось у в точке Ь, когда
х = 0. Это уравнение по форме сов-
падает с уравнением движения с
постоянной скоростью:
Хк = v (Гк — to) + xl>-
Если отсчет времени начать в момент
прохождения точки х0, то t0 = 0 и урав-
нение движения с постоянной ско-
ростью приводится к виду
Хк = Vt + Xq,
Такая функция называется линейной,
ибо ее график представляет собой пря-
мую линию.
Вопрос 2-5
Означает ли линейная связь величин,
что они пропорциональны друг дру-
гу? Можно ли сказать, что х пропор-
ционально Г?
В приведенном выше уравнении пря-
мой константа т определяет наклон ли-
нии. Наклон графика x(t) представляет
собой скорость V. Математически она
дается выражением
хк — х0 Ах
V = ------- = —-—.
1r to At
Этим символам соответствуют как
раз те слова, что были использованы
в определении скорости: пройденное
расстояние, деленное на время дви-
жения.
Например, скорость может быть
выражена в метрах в секунду. Смысл
этих обозначений на графике проявляет-
ся в том, что его наклон равен отноше-
нию высоты подъема к длине ступеньки.
Поскольку скорость постоянна и график
представляет собой прямую, не имеет
никакого значения, насколько большим
вы выберете треугольник: отношение
Ах/At будет одним и тем же. Однако
обратите внимание, что Ах/At не обяза-
тельно совпадает с x/t.
Посмотрим, как можно использо-
вать график x(t) для описания путеше-
39
ствия вдоль дороги, показанной на
карте.
Выехав из пункта А, водитель дви-
гался со скоростью 80 км/ч, пока не до-
стиг В. Затем между пунктами В и
С ему пришлось двигаться в объезд со
скоростью 20 км/ч. В С он задержался
на полчаса, чтобы выпить кофе, а затем
вел машину по городским улицам
в пункт D со скоростью 40 км/ч. После
получасовой остановки в D он поехал
назад в экспрессе по той же дороге со
скоростью 80 км/ч. Легко видеть, что он
миновал пункт А, оказавшись слева за
пределами карты при отрицательных
значениях х на графике. Общепринято
расстояния вправо от начала считать
положительными, а влево — отрица-
тельными.
На графике штриховыми линиями
начерчены треугольники, чтобы можно
было подсчитать значения Ах/At для
разных участков пути. На пути назад Ах
отрицательно. Обратите внимание, что
это верно как для областей, где само
х положительно, так и где оно отрица-
тельно. На обратном пути разности
значений х, то есть Ах = хк — х0, отри-
цательны.
Вопрос 2-6
Разве в области отрицательных зна-
чений х разность хк — х0 не будет
положительна?
40
Непосредственно под графиком x(t)
приведен соответствующий график v(t),
то есть скорость как функция времени.
Это график наклонов функции x(t). Чем
круче наклон, тем больше скорость.
Когда график x(t) горизонтален, наклон
равен нулю, что соответствует нулевой
скорости. Когда наклон отрицателен,
скорость тоже отрицательна, то есть ха-
рактеризует движение в левую сторону.
Мы не соединили отрезки прямых на
графике v(t). Эти резкие изменения ско-
рости соответствуют внезапным измене-
ниям наклона на графике x(t). Такие
скачкообразные изменения представ-
ляют собой, конечно, математическую
абстракцию. Как мы предупреждали
в главе 1, простые функции могут слу-
жить лишь хорошим первым приближе-
нием к описанию реальных событий. Ре-
альному автомобилю требуется время,
чтобы с места разогнаться до 80 км/ч,
как и при каждом последующем перехо-
де от одной скорости к другой. На гра-
фике v(t) реальное движение будет изо-
бражаться скругленными соединениями
двух соседних прямолинейных отрезков.
На графике v(t) горизонтальные линии
будут соединены. В самом деле, запись
реального движения может выглядеть
примерно так, как показано на следую-
щем графике.
Вопрос 2-7
Похоже, что график x(t) для реаль-
ного движения довольно близок
к графику для идеализированного
движения. Если извилистые линии на
графике x(t) аппроксимировать пря-
мыми, не будет больших отклоне-
ний. Если, однако, то же самое про-
делать с графиком г (г), то на графи-
ке появятся резкие выбросы. Почему
так получается?
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
Вопрос 2-8
После того как мотоциклист проехал
полмили за одну минуту, он был
остановлен за превышение скорости
в зоне ограничения до 30 миль/ч.
Остановивший его полисмен сказал:
«Мне жаль, что так случилось, пото-
му что ты мой сын, хотя я тебе не
отец». Как это может быть?
Определение скорости, которым мы
до сих пор пользовались, дает среднюю
скорость в течение интервала времени
At. Если нам нужна мгновенная ско-
рость в определенный момент, следует
включить этот момент в выделенный
интервал времени, по возможности пря-
мо в середину интервала. Спрашивается,
насколько большим следует сделать At?
Если нам нужна скорость при t = 1,0 с,
должен ли интервал At тянуться от 0,5
до 1,5, или от 0,9 до 1,1, или от 0,99 до
1,01? Когда скорость постоянна, размер
At не имеет значения. Но когда ско-
рость изменяется, могут получиться
разные ответы для каждого выбора ин-
тервала.
Приведенный на рисунке график по-
казывает ход зависимости х (t) для тела,
скорость которого монотонно возра-
стает в соответствии с функцией х = kt3,
41
мится к какому-либо пределу, когда At
стягивается к определенной точке. Нам
нет нужды задумываться над такими
проблемами, ибо для нас важны только
функции, описывающие физические
явления, в которых не происходит скач-
кообразных изменений каких-либо ве-
личин.
В промежутке времени от t = 0 до t = 1
наклон равен 1; в промежутке от t = 1 до
/ — 2 наклон равен — 1, в момент t = 1 наклон
не определен
где к численно равно 1. Можно найти
Ax/At для нескольких разных интерва-
лов времени с серединой при t = 1,0 с,
как показано штриховыми треугольни-
ками. Значения Ax/At приведены в та-
блице для уменьшающихся значений At.
At, с	Ах, м	Ax/At, м/с
2	8	4
1	3,25	3,25
0,3	1,531	3,063
0,1	0,30025	3,0025
0,01	0,03000025	3,000025
Из рисунка видно, что гипотенуза само-
го маленького треугольника почти со-
впадает по направлению с касательной
к кривой на отметке t=l,0 с. Наклон
кривой x(t) для определенного момента
времени дает скорость в этот момент.
Для значений At, слишком малых,
чтобы их можно было показать на гра-
фике, величина Дх была рассчитана как
(хк — х0). Например, для At = 0,10 с х0 =
= (0,95)3 = 0,857375, а хк = (1,05)3 =
= 1,157625. Тогда Дх = 0,30025, и
Ax/At = 3,0025 м/с.
По мере того как At становится все
меньше, Дх/At стремится к предельному
значению 3,0000. Это предельное значе-
ние и называется мгновенной скоростью
в момент времени t = 1. В условных
обозначениях определение мгновенной
скорости записывается следующим об-
разом:
Дх
v = lim ——.
Л1-0 At
В математике известны функции, по-
добные тем, которые скачком изменяют
свои значения; для них Ax/At не стре-
Вопрос 2-9
Многие лабораторные методы изме-
рения скорости, например с по-
мощью стробоскопической фотогра-
фии, основаны на измерении положе-
ний в разные моменты времени
и расчете средних скоростей между
этими моментами. На практике тре-
буемый определением предельный
переход фактически не производится.
! Какие распространенные приборы на
самом деле измеряют мгновенную
скорость?
ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКА v(t)
ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ПРОЙДЕННОГО ПУТИ
Скорость тела в любой момент
времени можно найти по углу наклона
графика x(t) в соответствующей точке.
Таким способом, как мы видели, можно
построить график г (г), исходя из графи-
ка x(t). Знание положения как функции
времени дает возможность найти ско-
рость как функцию времени. Нельзя ли
провести обратную операцию? Можно
ли получить график x(t), исходя из гра-
фика r(t)?
Вот почти тривиальный пример, как
получить информацию об x(t) из графи-
ка скорости как функции времени. При-
водимый график изображает постоян-
ную скорость 5 м/с. Пройденное рас-
42
стояние равно гЛг. Спустя 1 с тело
прошло 5 м, спустя 2 с оно прошло 10 м,
спустя 3 с оно прошло 15 м. Эти рас-
стояния численно равны площадям пря-
моугольников, показанных косой штри-
ховкой. Площадь каждого прямоуголь-
ника равна произведению двух его
сторон, то есть vAt, а это равно прой-
денному расстоянию Ах.
Вопрос 2-10
Здесь что-то не так. В соответствии
со сделанным выше утверждением
расстояние (то есть длина) равно
площади (то есть длине в квадрате).
Как это может быть?
Обратимся к менее тривиальному
примеру. Предположим, что скорость
тела не постоянна, а равномерно возра-
стает. На графике изображен подобный
случай, когда v = 10t. Двигаясь с места,
10 м/с. Действительную кривую можно
аппроксимировать показанными на сле-
дующих рисунках ступенчатыми функ-
циями. Каждая кривая изображает по-
следовательность движений, происхо-
дящих с постоянной скоростью. Прой-
денный в течение каждого из этих
движений путь равен vAt, где v — по-
стоянная скорость на этом интервале
At. На первом графике сделано прибли-
жение, что скорость в течение каждого
интервала времени равна скорости в на-
чале этого интервала. Такой выбор дает
полный пройденный путь, который, оче-
видно, меньше истинного. На втором
графике приближение таково, что ско-
рость на каждом интервале времени
принята равной скорости в конце этого
Суммарная площадь прямоугольников равна:
и. &,4 1	0,1 2 + 0,1 • 3 + 0.1-4 + 0,1 • 5 +
+ 0,1 • 6 + 0,1 • 7 + 0,1  8 + 0,1 • 9 = 4,5 м.
б. 0,1-1+0,1-2+ 0,1-3+0,1 4+ 0,1-5+ 0,1 х
х 6 4- 0,1 -7 + 0,1 -8 0,1 9 + 0,1-10 = 5,5 м
интервала. Это предположение дает
полный путь, больший истинного. Если,
однако, интервалы времени делать все
меньше и меньше, эти две оценки схо-
дятся к одному значению. В рассматри-
ваемом частном случае (но не всегда)
предельное значение совпадает с тем,
что получилось бы, если для каждого
интервала выбрать среднюю скорость
вместо максимальной или минималь-
ной.
Графики ступенчатых функций схо-
дятся к исходной прямой линии. Огра-
ниченная ступенчатыми функциями пло-
щадь приближается к площади под этой
Площадь заштрихованной области равна
пути Ах, пройденному за время At =
= (Гк ~ fo)
прямой. Аппроксимации такого же типа
и такие же доводы можно было бы
43
использовать применительно к любой
кривой, показывающей зависимость v(t)
на графике. Общий вывод заключается
в том, что площадь под кривой v(t) рав-
на расстоянию, пройденному за выде-
ленный интервал времени.
В частном случае прямой линии,
описываемой функцией v = 10t, площадь
под кривой равна площади треугольни-
ка. Эта площадь для интервала времени
1с равна (1/2) • основание • высота =
= (1/2) • 1 с  10 м/с = 5 м. Обратите вни-
мание, что это значение лежит между
Площадь = (1/2)  основание  высота
значениями, полученными в двух рас-
смотренных аппроксимациях. Оно рав-
но также расстоянию, пройденному за
1 секунду при средней скорости 5 м/с.
I Вопрос 2-11
Как нужно находить среднюю ско-
рость?
При движении с постоянной ско-
ростью пройденный телом путь пропор-
ционален времени движения. Если вы
проходите 5 м за 1 с, то вы проходите
10 м за 2 с. Однако это неверно, когда
скорость изменяется. Чтобы найти рас-
стояние, пройденное за первые две се-
кунды при v = 10t, нужно подсчитать
площадь под кривой v (t) от 0 до 2 с. Эта
площадь равна (1/2) • основание • высо-
та = (1/2) -2 с-20 м/с = 20 м. Сравните
этот путь с расстоянием, пройденным
за первую секунду: оно составляло
5 м. Когда скорость тела пропор-
циональна времени, пройденный им
путь растет быстрее, чем по закону
простой пропорциональности. Вспом-
ните опыт, который вы выполняли с
шариком, скатывающимся с наклонен-
ного стола. Скорость шарика, найден-
ная по времени, которое требовалось
ему для пересечения листа бумаги, была
44
пропорциональна времени, прошедшему
с начала движения. Отметка положения
в момент времени Т/1 находилась
много ближе к начальной точке, чем
к концу. В течение второй половины
времени качения шарик проходил значи-
тельно больший путь, чем в течение
первой половины времени.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
Когда вы нажимаете на акселератор
автомобиля, его скорость увеличивается,
но по-разному в зависимости от условий.
Эффект зависит, по-видимому, от ско-
рости, при которой вы начинаете уско-
рение, и от того, какая передача вклю-
чена. Для сравнения подобных эффектов
необходимо стандартное определение
быстроты изменения скорости. Полезное
определение не столь очевидно. Напри-
мер, когда вы скатывали шарик по на-
клоненному столу, скорость шарика все
время увеличивалась. На отметке 20 см
он двигался быстрее, чем на отметке
10 см, а на отметке 40 см он двигался
много быстрее, чем в начале своего пути.
J Вопрос 2-12
Почему бы не определить ускорение
как быстроту изменения скорости в
। пространстве'? В условных обозна-
!чениях такое определение имело бы
вид Дг/Дх. Оно говорило бы нам об
изменении скорости как функции
| пройденного расстояния: v(x).
Поскольку скорость зависит также и
от времени, можно ввести по определе-
нию быстроту изменения скорости во
времени: Дг/Дг Это и есть стандартное
определение ускорения. Так как ускоре-
ние равно изменению скорости за еди-
ницу времени, то измеряется оно в
метрах в секунду за секунду. Ускорение
автомобиля обычно выражают, указы-
вая время, необходимое для разгона
с места до скорости 30 миль/ч или
60 миль/ч. Например, спортивный авто-
мобиль может набрать скорость
60 миль/ч за 9 с. Если в качестве единиц
ускорения в этом случае выбрать мили в
час за секунду, то возникнет неизбежная
путаница.
Все три переменные величины — по-
ложение, скорость и ускорение — пред-
ставляют собой функции времени. Часто
наглядное описание конкретного движе-
ния можно получить с помощью графи-
ков х (t), v (t) и a (t). Мы уже обсуждали
взаимную связь графиков х (г) и v (t).
/	2	3 t, С
Любая точка графика v(t) определяется
наклоном графика x(t) в соответствую-
щей точке.
Площадь под кривой v (t) между
двумя моментами времени изображает
расстояние, пройденное за этот проме-
жуток времени. Аналогичное соотноше-
ние существует между графиками v (t)
и a (t). Поскольку а = Av/At, ускорение
в любой момент дается наклоном гра-
фика v (t) в этот момент. Построим для
рассмотренной выше функции v= 101
график v (t) и прямо под ним — график
a(t). Так как наклон v(t) на каждом
из двухсекундных интервалов постоянен,
постоянно и ускорение в течение каждого
интервала. Обратите внимание, что на
этом графике мы положили v = +10t
для первых двух секунд и v = (40 м/с) —
—101 для следующих двух секунд. На-
клон последнего участка отрицателен,
поэтому ускорение отрицательно. В тече-
ние всех четырех секунд скорость поло-
жительна, то есть направлена вправо.
Однако в течение последних двух се-
кунд отрицательное ускорение умень-
шает скорость.
Приведенная функция описывает дви-
жение тела все время вправо, ускоряю-
щееся в течение первых двух секунд и
затем замедляющееся до полной оста-
новки в течение следующих двух секунд.
I Вопрос 2-13
Насколько далеко перемещается тело
в течение всех четырех секунд?
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
ПОСТОЯННОГО УСКОРЕНИЯ
Для описания большинства движе-
ний, которые мы будем в дальнейшем
изучать, требуется лишь несколько про-
стых функций. Даже когда математиче-
ские функции не могут служить совер-
шенными моделями, они часто дают
хорошее приближение. Один из таких
обычных типов движения происходит
с постоянным ускорением: а = Аг/At =
= const. Как мы увидим, эта функция
дает лишь грубое приближение для дви-
жения автомобиля, когда вы нажимаете
на акселератор. Напротив, когда тела
движутся под действием силы тяжести,
как в свободном падении, так и при
скатывании с наклонного стола, их
ускорение почти постоянно — во всяком
случае в довольно широких пределах.
Посмотрим, какие функции потре-
буются для описания скорости и поло-
жения, если тело движется с по-
стоянным ускорением. Прежде всего
начертим график функции a (г), где а = к.
Положим к = 10 м/сI 2 — такое значение
окажется полезным впоследствии. На
графике эта функция изображается го-
ризонтальной прямой линией. Для всех
значений t ускорение а = 10 м/с2. Гра-
фик скорости v(t) нарисован прямо под
первым графиком. Кривая v(t) должна
45
быть прямой линией с постоянным на-
клоном 10 м/с2. Эта прямая может
пересечь ось v в любом месте, т. е. ско-
рость может иметь любое значение при
t = 0. Когда мы начинаем отсчет време-
ни, тело может иметь любую началь-
ную скорость, хотя его ускорение имеет
вполне определенное значение. Однако
для простоты возьмем частный случай
нулевой начальной скорости. Тогда мы
получим такой график v(t), как на ри-
сунке.
Чтобы построить график x(t), то есть
положения как функции времени, можно
измерить площади под графиком v(t)
для разных моментов времени. Пример
такого расчета приведен под рисунком,
и полученные результаты дают третью
кривую, показанную на этом рисунке.
После 1 секунды Движения х = (1/2)-10-1 = 5,
после 2 секунд движения х = (1/2)  20 • 2 = 20,
после 3 секунд движения х = (1/2)  30 • 3 = 45,
после 4 секунд движения х = (1/2) • 40 • 4 = 80
При этом мы приняли, что при t = 0
х = 0.
Вопрос 2-14
Сравните движения, описываемые
этими тремя графиками, с движения-
ми, которые вы получали, скатывая
шарик по наклоненному столу и отпу-
ская тело свободно падать с некото-
рой высоты. Какие характеристики
из тех, что вы действительно можете
наблюдать, показывают, что эти
движения описываются (по крайней
мере приближенно) приведенными на
графиках функциями?
Здесь приведена стробоскопическая
фотография шарика, свободно падаю-
щего из состояния покоя. Каждая
вспышка света лампы стробоскопа
длится всего 1/1000 секунды. При полу-
чении этой фотографии лампа давала 30
вспышек в секунду. Другими словами,
промежуток времени At между вспыш-
ками составлял 1/30 секунды. Рядом
с падающим шариком расположена ме-
тровая шкала. С помощью линейки вы
можете определить, что фотография
сделана в масштабе 1:10. Один санти-
метр на фотографии изображает 10 сан-
тиметров оригинала.
Возьмите линейку, измерьте x(t) для
шарика и внесите данные в приводимую
таблицу. (Не забывайте о масштабном
множителе.) Теперь измерьте Дх для
каждого интервала времени и внесите
46
t	X	Ла	Л a/At	Av’	Av/At
0	0				
1/50			—		
2/50			—		
5/ъо					
0/50		—			
5/50		—			
6/50		—			
7/50		—			
8/50		—			
9/50		—			
10/50		—			
11/50		—			
12/50		—			
15/50					
эту информацию в следующий столбик
таблицы. Поскольку средняя скорость
за интервал At равна Ax/At и в данном
случае каждый интервал At равен 1/30
секунды, вы можете подсчитать сред-
нюю скорость на каждом интервале
времени.
Внесите такие числа в следующий
столбик и затем вычислите Аг от одно-
го интервала до следующего. Разделите
эти величины на 1/30 секунды, и в по-
следний столбик вы сможете внести зна-
чения Av/At, то есть ускорения. Теперь
у вас есть все необходимые данные для
построения графиков x(t), v(t) и a(t). По
этим данным нанесите точки на те же
графики, что выше были получены тео-
ретически, и посмотрите, насколько
полученные вами экспериментальные
данные согласуются с теоретическими
кривыми.
Числовое значение постоянного уско-
рения при их построении было выбрано
таким же, как и ускорение при сво-
бодном падении.
Вопрос 2-15
Получить при измерении точные
значения положения х невозможно,
а значения Ах будут даже еще более
неточными. Когда же вы берете раз-
ность двух неопределенных значений
Ах, значение ускорения получается
с очень большой погрешностью. Как
можно отразить эти погрешности на
графиках?
Для движения с постоянным ускоре-
нием существуют четыре простых соот-
ношения между х, г, а и t.
1.	Одно из них мы уже обсуждали.
При постоянном ускорении (и только
в этом случае) средняя скорость в те-
чение некоторого интервала времени
равна
г-=Гср = (1/2)(р0 + Ск). |	(2.1)
Например, когда скорость тела возра-
стала с постоянным ускорением в тече-
ние одной секунды от 10 до 20 м/с,
средняя скорость за эту секунду была
равна 15 м/с. Правдоподобность этого
соотношения иллюстрируется на приво-
димом графике.
Расстояние = площадь прямоугольника +
+ площадь треугольника: Дх=101 +
+ (1/2)-10-1 = 15 м; i>cp = — =	=
At 1с
- 15 м/с
Следующий график показывает на
примере, почему это простое соотноше-
ние несправедливо, когда ускорение из-
меняется.
= 25 м/с
47
2.	При движении из состояния покоя
с постоянным ускорением в течение
времени t достигнута конечная скорость
Вк = at.
(2.2а)
Именно это соотношение использова-
лось выше на графиках для случая, ког-
да скорость vпропорциональна времени t.
Эта формула следует также из опреде-
ления ускорения, а именно а = Av/At =
= (fK - fo)/(fK - to)- Если v0 = 0 и t0 = О,
то а = vK/tK, что совпадает с уравнением
(2.2а).
3.	Если движение начинается из со-
стояния покоя при t = 0 и в х = О, то
при постоянном ускорении график v(t)
представляет собой прямую линию,
проходящую через начало координат.
Пройденное за время t расстояние изо-
бражается площадью под этой линией
до момента t.
Площадь такой треугольной об-
ласти равна (1/2) • основание • высота =
= (1/2) • t • at = (1/2) at2. При выполнении
следующих условий: ускорение постоян-
но, начальная скорость равна нулю, на-
чальное положение равно нулю, дви-
жение начинается при t = 0 соотношение
между х, t и а имеет вид
х = (1/2)Щ2.	(2.3а)
Обратите внимание, как это уравнение
согласуется с графиком, который был
построен выше для постоянного ускоре-
ния. Квадратичная функция описывает
параболу. С течением времени прой-
денный путь растет пропорционально
квадрату времени.
Вопрос 2-16
В опыте со скатыванием шарика по
наклоненному столу вы записывали
время, в течение которого шарик
прокатился половину длины и пол-
ную длину стола. Подставьте эти
значения в уравнение (2.3а) и посмо-
трите, насколько ваши данные согла-
суются с этой формулой. Вы измеря-
ли также расстояние, пройденное за
половину времени. Сверьте с форму-
лой и эти данные.
4.	Из четырех переменных х, V, а и
t уравнение (2.3а) связывает переменные
х, а и t при описании движения с по-
стоянным ускорением. Существует дру-
гая полезная формула, связывающая v,
а и х. Мы найдем это новое соотноше-
ние, комбинируя два других:
rK = at, x = (l/2)at2.
Возведем в квадрат первую формулу
2
и затем исключим из нее t с помощью
второй:
О Y	0 у-
v2 = a2t2, t2 = ~, v2K=a2—,
= 2ax.	(2.4a)
Отметьте, что конечная скорость при
движении с постоянным ускорением
пропорциональна времени, но пропор-
циональна корню квадратному из рас-
стояния.
48
Вопрос 2-17
Согласуется ли содержащее
квадратный корень соотношение
с данными, которые вы получили
при скатывании шарика по накло-
ненному столу? Сравните время,
в течение которого шарик пересекает
по ширине лист бумаги, лежащий
посередине стола, со временем пе-
ресечения листа, лежащего в конце
стола.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ,
КОГДА г0 НЕ РАВНА НУЛЮ
В выведенных выше формулах было
принято, что t = (tK — t0) = At. Это пред-
положение избавляет от использования
вносящих путаницу индексов, и ему лег-
ко удовлетворить на практике, просто
начиная отсчет времени одновременно
с началом рассматриваемого движения.
Точно так же обычно можно выбрать
начало координат так, что х0 = 0. По-
этому в наших формулах х = (хк — х0) =
= Дх, если только нет особых причин
поступать иначе. Однако бывает практи-
ческая необходимость рассматривать
движения, в которых начальная ско-
рость не равна нулю. Например, мяч
при бросании может получить началь-
ную скорость, и в то же время на него
действует сила тяжести, сообщающая
ему постоянное ускорение.
Уравнение (2.1) содержит начальную
скорость v0. Уравнение (2.2а) легко обоб-
щить, если вернуться к определению ус-
корения. Поскольку а = (гк — r0)/(tK — t0)
и мы полагаем tK — t0 = t, то
(2.26)
vK — v0 + at.
Чтобы обобщить уравнение (2.3а),
подсчитаем площадь под графиком r(t)
для движения с начальной скоростью,
показанным на рисунке. Если бы не бы-
ло ускорения, пройденный путь был бы
равен х = vot, что как раз равно площа-
ди заштрихованного на диаграмме пря-
моугольника. Дополнительный путь,
пройденный благодаря ускорению,
изображается площадью треугольника.
Полная площадь и, следовательно, пол-
ный путь выражается формулой
x = pot + (l/2)at2.	(2.36)
Для обобщения уравнения 2.4а вос-
пользуемся алгебраическим выводом,
подобным тому, который уже использо-
вался нами. Теперь
vr = vn +at, х = vot + (l/2)at2.
Первую формулу возведем в квадрат,
а вторую умножим на 2а:
«к = fo + °2f2 + 2.atV(y,
2ах = 2avot + a2t2.
Преобразованное таким способом вто-
рое уравнение можно подставить в пра-
вую часть возведенного в квадрат пер-
вого уравнения:
1,	2 = Vo + 2ах.	(2.46)
Убедитесь в правильности этого урав-
нения для частных случаев v0 = 0, а = 0.
Если бы не было ускорения, тогда,
конечно, v2 = v§.
ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ
ВЕЛИЧИН
Всякий раз, когда для решения зада-
чи есть подходящая формула, возникает
большой соблазн подставить в нее
имеющиеся данные и получить резуль-
тат. Подавляйте в себе это искушение,
пока не убедитесь, что единицы всех ва-
ших данных согласованы. Нельзя полу-
чить скорость в милях в час прямо из
уравнения, где ускорение выражено
в метрах в секунду за секунду, а вре-
мя — в минутах. Можно принять самый
безопасный порядок действий и при ре-
шении задачи всегда записывать в яв-
ном виде единицы величин. Например,
10	м z	60 с
гк = з— (0,2 мин)----------= 120 м/с.
с	1 мин

Обратите внимание, что единицы
здесь рассматривались как алгебраиче-
ские величины, на них умножали и их
сокращали до тех пор, пока не остались
только желаемые единицы величин.
Размерность физической величины —
это не то же самое, что единица, через
которую она выражена. С помощью
размерности мы показываем, каким
образом величина построена из основ-
ных размерностей: длины (L), време-
ни (Т), массы (М), температуры (9) и
электрического тока (I). До сих пор мы
использовали только величины, со-
ставленные из длины и времени. Рас-
стояние, например, имеет размерность L.
Площадь, независимо от того, измерена
она в акрах или в квадратных метрах,
имеет размерность L2. Скорость имеет
размерность L/Т или LT'1.
Вы можете прибавить 3 метра к
2 футам, если будете внимательно обра-
щаться с числами, но нельзя найти сум-
му 3 коров и 2 лошадей. Нельзя склады-
вать физические величины, имеющие
разные размерности. Уравнения (2.36)
и (2.46) содержат суммы различных
комбинаций из х, v, t и а. Имеет ли
каждый член любого из этих уравнений
ту же самую размерность, что
и остальные члены? Возьмем уравнение
(2.36). Запишем уравнение и под ним —
размерность каждого члена:
Как видно по значкам сокращения, раз-
мерности всех членов согласуются.
I Вопрос 2-18
Проверьте согласованность размер-
ностей в уравнении (2.46).
ПРИМЕРЫ
1. В руководствах для начинающих
водителей обычно приводятся диа-
граммы, показывающие расстояние, ко-
торое проходит автомобиль после на-
жатия на тормоза. При этом, конечно,
делаются предположения относительно
типа автомобиля и тормозов, а также
расстояния, которое автомобиль прохо-
дит за время реакции водителя, пока он
переносит ногу на педаль тормоза. Од-
нако можно сделать одно точное обоб-
щение. Существует универсальная зави-
симость между начальной скоростью
и тормозным путем. Если начальная
скорость равна г0 и мы хотим, чтобы
конечная скорость была равна нулю, то
О = Vg + lax. Сообщаемое тормозами
ускорение противоположно направле-
нию оси х, поэтому а отрицательно.
Для абсолютных значений величин по-
лучаем х = Vg / (2а). Проходимое после
срабатывания тормозов расстояние про-
порционально квадрату начальной ско-
рости. Тормозной путь при 60 км/ч
в четыре раза больше, чем при 30 км/ч.
Руководство для водителей в штате
Флорида указывает 270 футов как макси-
мальное расстояние, которое автомобиль
должен проходить после срабатывания тор-
мозов при начальной скорости 60 миль/ч.
Какое при этом предполагается ускорение?
(Обратите внимание, что мы избегаем слова
«замедление». Вместо этого мы говорим
о положительном или отрицательном уско-
рении.) Поскольку во Флориде еще не пере-
Расстояние в футах,
необходимое для
остановки при на-
чальной скорости
и0 после нажатия на
педаль тормоза (из
«Учебника для во-
дителей» штата
Флорида)
50
шли к метрической системе, будем использо-
вать старые единицы, но переведем 60
миль/ч в 88 фут/с:
(88 фут/с)2 = 2а (270 фут).
Чтобы найти ускорение с разумной точ-
ностью, проведем вычисления следующим
образом 
88-88	90-44
2-270 ~~270
— « 15 фут/с2.
Это число само по себе, возможно, мало
о чем говорит вам. Сравните его с ускоре-
нием тела в свободном падении, которое со-
ставляет 32 фут/с2. В единицах «д», то есть
ускорения, обусловленного силой тяжести,
по требованиям транспортного управления
штата Флорида ваши тормоза могут соз-
дать, а вы — выдержать ускорение около
(1/2) д. Это вполне разумно.
2. Допустим, что вы находитесь на
крыше здания физического факультета
и бросаете мяч вниз и одновременно
ваш коллега роняет мяч из окна третье-
го этажа. Вы находитесь на высоте 20
м от земли, он — на высоте 10 м. Какую
начальную скорость вы должны сооб-
щить своему мячу, чтобы оба мяча до-
стигли земли одновременно?
Движение вашего мяча описывается
уравнением 20 м = vot + (1/2)at2, движе-
ние второго мяча — уравнением 10 м =
= (1/2) at2. Требование задачи состоит
в том, чтобы время t было одинаково
в обоих случаях. Ускорение мячам сооб-
щает сила тяжести, и вблизи земной по-
верхности оно равно 9,8 м/с2, или 980
см/с2, или 32,2 фут/с2. Ускорение сво-
бодного падения всегда направлено
вниз, то есть в направлении, которое
принято считать отрицательным. Но
в рассматриваемой задаче все расстоя-
ния, скорости и ускорение имеют одина-
ковое направление, что позволяет счи-
тать все эти величины положительными.
Можно также заменить 9,8 м/с2 на при-
ближенное значение 10 м/с2, так как
точный ответ не представляет практиче-
ского интереса. Тогда упомянутые урав-
нения принимают вид
20 м = vot + (1/2)-(10 M/c2)t2,
10 м = (1/2)-(10 M/c2)t2.
Разрешив второе уравнение относитель-
но t, получим t = 1,4 с. Подставим это
значение в первое уравнение, чтобы
найти г0:
20 = г0-1,4+ (1/2)-10-2,
v0 = 10/1,4 = 7 м/с.
Эту задачу можно также решить гра-
фически. На графике v(t) движение вы-
роненного мяча изображается прямой,
проходящей через начало координат
и имеющей наклон 10 м/с2. Движение
брошенного мяча показано прямой с та-
ким же наклоном, но пересекающей ось
v при некотором значении г0. Для опре-
деленного момента времени t площадь
под первой прямой равна 10 м. Как раз
такое время требуется, чтобы выро-
ненный мяч пролетел 10 м. В задаче
требуется, чтобы за это же время бро-
шенный мяч пролетел 20 м. Поэтому v0
нужно выбрать так, чтобы полная пло-
щадь под верхней прямой к моменту
времени t была равна 20 м.
3. Вы бросаете мяч вертикально
вверх с начальной скоростью 20 м/с.
Какой высоты он достигнет и сколько
51
времени пройдет, пока он не упадет на
землю, поверхность которой находится
на 2 м ниже начальной точки?
Эту задачу можно решить либо
в два приема, либо сразу. Чтобы сде-
лать это в два этапа, рассчитаем рас-
стояние и время сначала для полета
вверх. На втором этапе будет просто
свободное падение с высоты, найденной
на первом этапе.
Полет вверх: с2 =	+ 2ах.
Мы используем эту формулу вместо
x = (l/2)at2, так как здесь заданы на-
чальная скорость (20 м/с), конечная ско-
рость (0) и ускорение (- 9,8 м/с2). Ни х,
ни t нам не известны. Независимо от
того, каким методом мы воспользуемся,
в этой задаче требуется внимание при
использовании знака « + » для указания
положения или скорости, направленной
вверх, и знака «—» для направления
вниз. Решим уравнение для полета мяча
вверх, используя приближение 9,8 % 10:
0 = (20 м/с)2 + 2 (— 10 м/с2) х,
х = +20 м.
Это расстояние над начальной точкой.
Таким образом, наибольшая высота над
поверхностью земли составляет 22 м.
Чтобы найти время полета вверх, мож-
но воспользоваться уравнением
vK = v0 + at,
0 = 20 м/с + (— 10 м/с2) t,
t = (20 м/с)/(10 м/с2),
t = 2 с.
Время падения мяча немножко больше,
так как мяч пролетает 22 м. Поскольку
нам известны х и а и мы хотим найти t,
нужно воспользоваться уравнением
хк — х0 = (1/2) at2,
0-22 м = (1/2)-(—10 м/с2) t2,
t = |/4,4 с2 = 2,1 с.
Вопрос 2-19
Чему равна скорость мяча, когда он
на пути вниз пролетает мимо на-
чальной точки своей траектории?
Приведем способ нахождения полно-
го времени полета в один прием. Пол-
ная формула, включающая начальное
положение и начальную скорость, имеет
вид
хк - *о - vot + (1/2) at2,
0 — 2 = (+ 20 м/с) t +
+ (1/2) • ( — 10 м/с2) t2,
5t2 - 20t - 2 = 0,
_ 20 ± ]/(20)2 — 4 (— 2/~5 _
f “	2-5
_ 20±]/440
_ —
20 ±21
t = ——— = 4,1 с или — 0,1 с.
Вопрос 2-20
Положительный корень квадратного
уравнения совпадает со значением
полного времени, полученным выше
в два этапа. Но какой смысл имеет
корень, дающий отрицательное вре-
мя?
Здесь приведены графики r(t), a(t)
и x(t) для задачи о брошенном вверх
мяче. Хотя для построения каждого из
этих графиков можно воспользоваться
выведенными выше формулами, наибо-
лее простой способ состоит в том,
52
чтобы начать с графика v (t), а ос-
тальные два вывести из него. При t = О
начальная скорость v0 = 20 м/с. Пря-
мая имеет постоянный наклон —10 м/с2.
Зная начальную точку и наклон,
можно начертить прямую и получить
значение t при v = 0. Г рафик скорости
продолжается в область отрицательных
значений, выражая тем самым то, что
мяч перестал подниматься и начал па-
дать. Полная отрицательная площадь
между графиком и осью должна быть
равна положительной площади плюс
еще два метра, которые мяч в падении
пролетает от начальной точки до земли.
Поскольку наклон кривой г (г) постоя-
нен, график a(t) представляет собой го-
ризонтальную прямую, соответствую-
щую постоянному значению ускорения
— 10 м/с2. График x(t), изображающий
площадь под графиком это пара-
бола. При t = 0 X, = 2 м, и при t = 4,1 с
х = 0.
Обратите внимание на другое зна-
чение t, при котором х = 0, если гра-
фик продолжить влево.
ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ
И РЕАЛЬНЫЙ МИР
Если на самом деле измерить высоту
подъема мяча, брошенного вертикально
вверх со скоростью 20 м/с, то окажется,
что он не поднимется так высоко, как
было предсказано, и его скорость в лю-
бой точке будет немного меньше той,
что дается приведенными выше просты-
ми формулами. При начальной скоро-
сти 20 м/с влияние сопротивления воз-
духа можно обнаружить, хотя оно
и мало. Однако для мяча, запущенного
вверх с начальной скоростью 100 м/с,
эти простые формулы дают очень пло-
хое приближение. Если нет возможно-
сти поставить эксперимент, как можно
узнать, будут ли эти формулы достаточ-
но хороши или нет?
При составлении простой математи-
ческой модели движения мяча мы умыш-
ленно не учитывали некоторые функ-
циональные зависимости. Ничего не
было сказано о материале и размерах
поверхности мяча или о его массе.
Предполагалось, что создаваемое силой
тяжести ускорение не зависит от высоты
и что на движение мяча не влияет вра-
щение Земли. Другими словами, мы
считали, что мяч бросают в вакууме на
плоской, невращающейся Земле. Землю,
разумеется, можно считать плоской,
рассматривая полеты мяча на высоту до
сотен метров. Чтобы почувствовать от-
носительную значимость этого фактора,
нужно сравнить высоту подъема с ра-
диусом Земли, составляющим 6400 км.
Траектории артиллерийских снарядов,
поднимающихся на несколько киломе-
тров, уже чувствительны к изменению
ускорения и подвержены также влиянию
вращательного движения Земли. Чтобы
определить, какие факторы можно
учитывать в расчете, а какие — нельзя,
нужно либо знать функциональный вид
этих факторов и разработать соответ-
ствующую теорию, либо использовать
подручные правила, выработанные на
основе предшествующего опыта.
Вот пример применения подобного
правила, определяющего возможность
пренебрежения сопротивлением среды
при движении тела в воздухе. Когда те-
ло падает с большой высоты, его ско-
рость не возрастает неограниченно. Со-
противление воздуха становится все
больше и больше, пока не исчезает
ускорение, после чего тело начинает па-
дать с постоянной скоростью. Для тела
человека эта предельная скорость равна
примерно 60 м/с. Она зависит от разме-
ров человека, его одежды и т. п. Для па-
рашютиста предельная скорость не дол-
жна превышать 7 м/с. Для бейсбольного
мяча предельная скорость — около 75
м/с. Если скорость тела не превышает
половины предельной скорости, то эф-
фекты сопротивления воздуха обычно
можно не учитывать. Однако это зави-
сит от характера задачи.
Приведенное правило нельзя, напри-
мер, применять к траекториям закручен-
ных шариков пинг-понга, при движении
которых влияние воздуха проявляется
иначе.
Вопрос 2-21
С помощью простых формул оцени-
те, с какой высоты может падать
бейсбольный мяч, чтобы не было
необходимости учитывать эффекты
сопротивления воздуха.
53
РЕЗЮМЕ
В этой главе наше внимание было
сосредоточено на описании одномерно-
го движения, то есть движения вдоль
некоторой линии. Для полного описа-
ния нужно уметь задавать положение,
скорость и ускорение тела как функции
времени: x(t), v(t) и a(t). Средняя ско-
рость за интервал времени At равна
Дх/At = (хк — х0) / (tK —t0). Мгновенная
скорость в момент времени t равна
предельному значению Дх/At, когда At
сжимается до нуля к моменту t. Это
определение мгновенной скорости со-
ответствует определению наклона гра-
фика x(t) в точке t. График v(t) можно
построить, измеряя наклон в разных
точках графика x(t).
Ускорение определяется как отноше-
ние Да/At График a(t) можно построить,
взяв наклон в разных точках графика
v(t).
Графики x(t) и v(t) связаны также
следующим образом. Площадь между
кривой v(t) и осью t изображает рас-
стояние, пройденное за интервал вре-
мени между моментами, соответст-
вующими боковым границам этой
площади.
Для частного случая движения
с постоянным ускорением было выведе-
но несколько соотношений между
величинами х, а, а и t Они таковы:
«ср = («к + «о)/2,
х = х0 + vot + (1/2) at2,
v2 = Vq + 2ах.
В любом уравнении единицы вели-
чин и размерности всех членов должны
быть согласованы друг с другом. В ме-
трической системе скорость измеряется
в метрах в секунду, ускорение — в ме-
трах в секунду за секунду. Размерности
величин, описывающих движение, обра-
зуются как производные длины (L)
и времени (Т). Ускорение, например,
имеет размерность LT-2.
Приведенные простые формулы
дают лишь приближенное описание
многих движений. Они не учитывают
таких реальных факторов, как трение
или изменяющееся ускорение. И тем не
менее многие аспекты этого вводного
изучения движения, такие, как графиче-
ское представление, применимы и в об-
щем случае.
54
Вопрос 2-22
Есть один аспект в описании движе-
ния, о котором мы не упоминали.
Всюду в этой главе предполагалось,
что наблюдатель был неподвижен
и что движение тел измерялось отно-
сительно его положения. Какие изме-
нения придется внести в описание
движения тел, если наблюдатель на-
ходится, например, в автомобиле,
движущемся со скоростью 30 м/с?
Если вы выроните мяч, будет ли он
двигаться прямолинейно? Если вы
выстрелите из ружья, которое сооб-
щает пуле начальную скорость 300
м/с, будет ли ее скорость зависеть от
того, стреляете вы вперед по напра-
влению движения или назад?
Ответы на вопросы
2- Начиная с 1,5 В каждое повышение на-
пряжения в 100 раз приводит к увеличе-
нию скорости в 10 раз. Но повышение
от 15 кВ до 1500 кВ приводит к увеличе-
нию скорости всего в 3 раза. Как мы
увидим, электроны не могут двигаться
быстрее, чем свет, скорость которого
равна 3,0 • 108 м/с. Приведенное выше
простое правило изменяется в реляти-
вистской области.
2- Возможно, вы в состоянии пробежать
100 м за 10 с. В таком случае Р =
= (10 м/с)/(3,0- 108 м/с) = 0,3 • 10~7. Это
далеко не релятивистская скорость.
2- Горизонтальная линия на графике x(t)
вовсе не означает, что тело движется
вправо. Тело стоит на месте в точке х0,
но идет время.
2-4 Пройденное от Рено расстояние соста-
вляет 75 км, но это еще не есть поло-
жение х. Положение х равно 75 км
плюс начальное положение х0 (то есть
положение Рено). Поскольку х0 — 325
км, х будет составлять 400 км.
2-5. Линейность еще не означает пропор-
циональности, положение х не пропор-
ционально t. Пропорциональна вре-
мени t величина (хк — х0). Если удвоить
время движения, удвоится пройденное
расстояние.
2-6 Вот возможный пример разности (хк —
— х0) в области отрицательных х:
[ — 50 км — (— 25 км)] = (— 50 + 25) км =
= — 25 км. Для графика с отрица-
тельным наклоном Дх отрицательно.
2-7 На графике х(с) не может быть резких
больших изменений, так как значение
х постепенно накапливается, оно зави-
сит от всего расстояния, пройденного
к моменту времени t. Величина v (t) мо-
жет, однако, изменяться быстро, неза-
висимо от предшествующей истории
всего движения. Например, кратковре-
менная остановка у светофора может
быть изображена на графике x(t) очень
коротким горизонтальным отрезком
при том значении х, которое уже было
достигнуто к этому моменту. На гра-
фике v(t) эта кратковременная останов-
ка отражается острым выбросом вниз
до нуля.
2-8. Женщина-полисмен была вынуждена
остановить своего сына, так как его
«засекли» на скорости 60 миль/ч между
заторами, несмотря на то, что его сред-
няя скорость была всего 30 миль/ч. Во-
дители знают по опыту, что на загру-
женных дорогах, несмотря на попытки
вести машины со скоростью 70 км/ч,
нарушая ограничение 60 км/ч, все кон-
чается тем, что они проезжают лишь
50 км за один час.
2-9, В наиболее распространенных прибо-
рах для измерения скорости исполь-
зуется какое-либо явление, зависящее
от мгновенной скорости. В большин-
стве автомобильных спидометров с по-
мощью гибкого тросика вращение
передается постоянному магниту. Дви-
жущийся магнит индуцирует вращаю-
щий момент, действующий на концент-
рический с ним цилиндр. Значение мо-
мента непосредственно зависит от ско-
рости вращения магнита. Этот момент
уравновешивается пружиной. Положе-
ние цилиндра, зависящее от вращающе-
го момента и тем самым от скорости,
указывается прикрепленной к нему
стрелкой. Синоптики и моряки применя-
ют разные способы определения скоро-
сти ветра, не требующие измерения
kxl&t. По шкале, изобретенной сэром
Фрэнсисом Бофортом (1774—1857) и ис-
пользуемой до сих пор, силе ветра в пять
баллов соответствует свежий бриз от
17 до 21 узла. Вместо измерения &xl&t
вы наблюдаете появление белых ба-
рашков на гребнях волн и знаете, что
скорость ветра около 19 миль/ч.
Измерение скорости с помощью рада-
ра на первый взгляд не связано с вы-
числением но можно возразить,
что волны радара как раз это и де-
лают. Вы сможете разобраться в этом
сами, когда мы поближе познакомимся
с устройством радара и с эффектом
Доплера.
•» ч> Действительная поверхность бумаги,
на которой построен график, имеет
55
какую-то площадь, но оси диаграм-
мы могут изображать любые пере-
менные. В рассматриваемом случае
площадь на диаграмме изображает
произведение скорости на время.
2-11. Могут быть разные типы средних зна-
чений величин. Простейшее и наиболее
обычное среднее рассчитывается сложе-
нием всех значений величины и после-
дующим делением суммы на число
этих значений. В таком случае среднее
для значений скорости при 0 и 1 с рав-
но (0+10)/2. Как мы увидим, средняя
скорость, рассчитанная таким спосо-
бом, не всегда равна средней скорости,
определенной как hx/bt.
2-12. Этот вопрос беспокоил Галилея почти
400 лет назад. Встречаются обстоятель-
ства, при которых полезно знать ско-
рость как функцию положения и как
эта скорость изменяется в зависимости
от положения. Галилей, однако, пока-
зал, что математическое представление
движения падающего тела становится
особенно простым, если его положение
и скорость рассматриваются как функ-
ции времени.
2-13. Путь, пройденный за 4 с, изображается
площадью под кривой v (t) для этого
четырехсекундного интервала. Пло-
щадь такого треугольника равна 40 м.
За первые 2 с пройдено такое же рас-
стояние, как и за последние 2 с
2-14. Из качественных наблюдений невоз-
можно определить, что происходит
с ускорением. Однако скорость совер-
шенно очевидно возрастает во время
падения, что согласуется с графиком
функции v(t). Измерение положения
скатывающегося шарика в момент Т/2
также должно давать качественное со-
гласие с графиком функции х (t). Шарик
проходил значительно больший путь
в течение второй половины времени
движения, чем в течение первой.
2-15. Когда вы изображаете данные в виде
точек на графике, вы утверждаете, что
точно в момент времени t, значение ве-
личины х было точно равно Пред-
положим, однако, что вы можете изме-
рить х только с погрешностью ±1/2 мм.
Тогда на графике это значение сле-
дует указать вертикальной черточкой,
центр которой соответствует получен-
ному вами числу, а концы располо-
жены на 1/2 мм выше и ниже центра.
Когда вы чертите график, он должен
быть плавной кривой, проходящей че-
рез все вертикальные черточки, но не
обязательно через их средние точки.
2-16. В соответствии с уравнением (2.3а) рас-
стояние пропорционально квадрату
времени. Если отношение расстояний
равно 1/2, то отношение времен дол-
жно быть равно )/1/2;
время для половины пути	1
время для всего пути	1,4 ’
расстояние за половину времени
расстояние за все время
_ (Т/2)2 _ 1
Т2 ~ 4
2-17. Вот соотношение, которое следует
ожидать:
скорость на половине пути
скорость в конце пути
]/2д(Ь/2)	1/Т	1
]/2aL	1 2	1,4’
2-18. Dj = i?o ± 2ах. Размерности в этом
уравнении таковы:
(L/T)2 = (L/T)2 + (L/T2) (L) =
= (L/T)2 + (L/T)2.
2-19. В соответствии с уравнением v/ = Vq +
+ 2ах в любой точке х модуль скоро-
сти имеет то же самое значение как
при движении мяча вверх, так и при
движении вниз.
2-20. в используемую математическую мо-
дель не заложено то обстоятельство,
что до момента времени t0 мяч нахо-
дился у вас в руке. Те же начальные ус-
ловия были бы справедливы для мяча,
запущенного с поверхности земли
и проходящего точку на высоте 2 м со
скоростью 20 м/с. Для этого мяч дол-
жен был бы начать движение со ско-
ростью 21 м/с за 0,1 с до момента вре-
мени t0.
2-21. Примем 40 м/с в качестве скорости,
при которой мы начинаем замечать эф-
фекты сопротивления воздуха. Чтобы
набрать такую скорость, мяч должен
пролететь в падении некоторое рас-
стояние х, для нахождения которого
56
можно воспользоваться формулой
г* = 2ах,
(40 м/с)2 = 2(10 м/с2)х,
х = 80 м.
2-22. Эти вопросы подробно исследуются
в главе И. А пока отметьте, что вы уже
находитесь в движущейся системе,
а именно на Земле. Если вы выроните
мяч из движущегося автомобиля, вы
увидите, что он падает отвесно вниз.
Стоящий рядом с дорогой наблюда-
тель увидит, что этот мяч движется по
параболической траектории. Скорость
пули относительно вас будет 300 м/с,
в каком бы направлении вы ни выстре-
лили. Однако наблюдатель рядом с до-
рогой получит при измерении скорости
330 м/с, если вы выстрелили вперед,
и 270 м/с, если назад.
Задачи
1.	Чему равно 0 (отношение скорости
тела к скорости света) для сверхзвукового
самолета, летящего со скоростью 1000 м/с?
2.	Положение некоторого автомобиля
на автостраде штата Нью-Йорк дается выра-
жением х = (60 миль/ч) t + 120 миль, где
х — расстояние от Нью-Йорка, a t — время
движения, отсчитываемое от 9:00 утра. На
каком расстоянии от Нью-Йорка находился
автомобиль в 9 :00? в полдень? в 8 :00 утра?
3.	Чему равно расстояние от начала от-
счета до точки (см. рисунок) В? До точки С?
До точки D?
4.	Чему равен путь, пройденный от
А до В? До С? До D?
5. Какова средняя скорость на участке
от А до В? От В до С? От С до D?
6. Покажите, что если х = (60 миль/ч) t +
+ 120 миль, то Ax/At = 60 миль/ч. (Пусть,
например, At = 1 ч. Найдите х0 при t = 0 и
хк при t = 1.)
7. Какой путь прошло тело в течение
первой секунды движения (см рисунок)?
На каком расстоянии от начала отсчета
находится тело к концу третьей секунды?
к концу четвертой секунды?
8.	Чему равно ускорение при t = 0,5 с
(см. рисунок)? при t = 3,5 с?
9.	Какой путь пройден телом в течение
интервала времени от t = 1 с до г = 2 с?
10.	Чему равна скорость мяча, свободно
падающего из состояния покоя, спустя 0,1 с?
0,5 с? 1 с?
11.	Какое расстояние пролетит мяч, па-
дающий из состояния покоя, за 0,1 с? 0,5 с?
за первую секунду?
13.	Чему равна скорость мяча, свободно
падающего из состояния покоя, после того,
как он пролетел 1 см? 1 м? 10 м?
13.	Если вы подбросите мяч вверх с на-
чальной скоростью 10 м/с, сколько времени
пройдет, пока его скорость не обратится
в нуль? На какую высоту он поднимется9
Какой будет его скорость, когда он снова
упадет вам в руки?
14.	Движущийся со скоростью 30 м/с ав-
томобиль подвергается ускорению 2 м/с2
в течение 5 с. Какова его конечная скорость?
Какой путь он прошел за это время?
15.	Движущийся со скоростью 30 м/с ав-
томобиль подвергается постоянному ускоре-
нию 2 м/с2 на пути 100 м. Какова его конеч-
ная скорость? Сколько на это потребовалось
времени?
16.	Период полураспада мюона равен
2 • 10 5 6 7 * с. Мюоны в большом количестве соз-
даются первичными космическими лучами
в верхних слоях атмосферы и движутся со
скоростью, близкой к скорости света. Оцени-
те, какая доля мюонов, образующихся на
высоте 30 км, придет к нам на поверхность
Земли.
17.	Для измерения высоты здания мож-
но засечь время падения камешка, отпущен-
ного с крыши. Можно ли такое измерение
выполнить с точностью до 5 % ? (Примите
для оценки разумную высоту; рассчитайте
ожидаемое время падения, оцените неопреде-
ленность, вносимую при измерении времени
секундомером.)
18.	Парашютист обычно приземляется
со скоростью около 15 миль/ч. Если вам
придет в голову потренироваться в призе-
млении с такой скоростью, спрыгивая с
57
платформы, на какой высоте должна нахо-
диться платформа?
19,	На последнем рисунке изображен
(идеализированный) график скорости авто-
мобиля как функция времени. Считайте, что
автомобиль начинает движение прямо из на-
чала координат. Дайте качественное описа-
ние его движения в течение четырех секунд:
в каком направлении он движется, что про-
исходит с его скоростью, каково его ускоре-
ние, где он находится. Затем постройте со-
ответствующие графики для x(t) и a(t).
20.	Если бейсбольный мяч выронить из
корзины воздушного шара, находящегося на
высоте 1 км, сколько примерно времени мяч
будет падать на землю?
21.	В телевизионной трубке электроны
проходят с постоянной скоростью расстоя-
ние 0,3 м (от электронной пушки до экра-
на трубки) за 110-5 с. Какова их ско-
рость?
22.	Если направление вверх считать по-
ложительным, какой знак имеют скорость
и ускорение лифта, поднимающегося вверх
и останавливающегося? Начинающего опу-
скаться? Опускающегося и останавливающе-
гося? Поднимающегося с постоянной скоро-
ростью?
23.	Чтобы обеспечить на космическом
корабле в свободном пространстве привыч-
ные земные условия, кораблю сообщают
такое же ускорение, какое создает сила тяже-
сти на Земле. Сколько времени при этом по-
требуется, чтобы достичь 1/10 скорости све-
та? Насколько удалится корабль за это
время?
24.	Супермен стоит в окне на высоте 30 м
над улицей. Мимо пролетает ребенок, ко-
торого выронили из окна, находящегося еще
на 15 м выше. С каким постоянным ускоре-
нием (из состояния покоя) должен супермен
спускаться по лестнице, чтобы успеть пой-
мать падающего ребенка?
25.	Человек бросает камень вертикально
вниз с начальной скоростью 10 м/с с высоты
60 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найдите, сколько времени пройдет, пока ка-
мень не ударится о землю? С какой ско-
ростью он движется перед ударом?
26.	Ваш автомобиль может разогнаться
с места до 60 миль/ч за 7 с. Разрешенная
правилами максимальная скорость соста-
вляет 60 миль/ч. Другой автомобиль, движу-
щийся с постоянной скоростью 40 миль/ч,
проходит мимо как раз в тот момент, когда
вы начинаете движение у светофора. Сколько
времени вам понадобится, чтобы обогнать
его, не нарушая правил? На какое расстоя-
ние вы при этом отъедете? (Лучше перейти
к единице скорости метр в секунду. Воз-
можный путь решения — построить графики
х (г) для обоих автомобилей на одной диа-
грамме.)
27.	Движущееся со скоростью 30 м/с те-
ло изменяет свою скорость до —15 м/с за
5 с. Чему равно среднее ускорение?
Г Л А В A 3. ДВИЖЕНИЕ В ДВУХ
ИЗМЕРЕНИЯХ
При описании движения в двух или
трех направлениях возникает ряд новых
проблем. Прежде всего это вопрос, как
ввести определение для пройденного
расстояния. Понимать ли под расстоя-
нием между вершинами двух холмов
путь, который вам придется пройти от
одной вершины до другой, или же путь,
преодолеваемый птицей? Другая про-
блема заключается в том, влияет ли
движение в одном направлении на дви-
жение в другом. Если бросить мяч гори-
зонтально, у него будет направленная
параллельно поверхности земли началь-
ная скорость, и в то же время он будет
испытывать ускорение, направленное
вниз, вследствие гравитационного при-
тяжения. Не уменьшается ли направлен-
ное вниз ускорение из-за наличия гори-
зонтальной скорости? Ведь именно так
происходит в случае самолетов! И нако-
нец, в этой главе мы должны всерьез
принимать различие между скоростью
и модулем скорости. Как мы увидим,
существует случай, когда тело движется
с постоянной по модулю скоростью, то
есть равномерно, и в то же время обла-
дает постоянным по модулю ускоре-
нием. Если такое ускорение всегда пер-
пендикулярно к скорости, тело будет
двигаться по окружности.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
При описании положения тела и его
движения в двух измерениях мы будем
часто ссылаться на диаграммы, показы-
вающие расстояния вдоль осей х и у
и углы между прямыми. Не нужно быть
художником, чтобы рисовать такие диа-
граммы, и требующаяся для этого мате-
матика весьма проста. Нужны лишь ли-
нейка с сантиметровыми делениями,
транспортир и набор тригонометриче-
ских таблиц, где приведены значения си-
нуса, косинуса и тангенса.
Вот несколько упражнений в вычер-
чивании и измерении перемещений
в двух измерениях. Рассматривайте их
как вопрос 3-1. Некоторые комментарии
к этим упражнениям вы найдете в отве-
тах на вопросы, помещенных в конце
главы.
Вопрос 3-1
1. Начертите отрезок длины 5 см
вдоль оси х, считая от начала коор-
динат. Начертите другой отрезок
длины 3 см в направлении оси у так,
Проверьте измерением, выполняется ли
С2 = А2 + В2
59
чтобы он начинался из конца перво-
го отрезка. Замкните треугольник,
соединив прямой начало первого
и конец второго отрезков. Измерьте
длину гипотенузы линейкой. Удовле-
творяют ли стороны треугольника
теореме Пифагора, согласно которой
С2 = А2 + В2?
2. Начертите отрезок длины 10 см,
выходящий из начала координат под
углом 30° к оси х. Из конца этого
отрезка пунктиром опустите перпен-
дикуляры к осям хну. Проверьте,
удовлетворяют ли измеренные
длины пунктирных отрезков триго-
нометрическим соотношениям для
синуса, косинуса и тангенса.
Удовлетворяют ли полученные измерением
длины штриховых отрезков тригонометри-
ческим соотношениям для синуса, косинуса
и тангенса?
|ков и измерьте длины хА, уА, хв, ув,
хс и ус- Сравните (xz1 + хв) с хс и
(У л + У в) с ус-
Будет ли тело, которому сообщили
горизонтальную начальную скорость,
падать с той же скоростью, что и тело,
которое просто отпустили? Сравнивая
падение камня с падением бумажного
планера, запущенного с той же высоты,
вы заметите, что благодаря горизон-
тальному движению планер может
удерживаться на высоте еще длительное
время после того, как камень упадет на
землю. Очевидно, что в данном случае
воздух — причина того, что вертикаль-
ная скорость зависит от горизонталь-
ной. Чтобы ответить на первона-
чальный вопрос, нужно либо удалить
воздух, либо использовать тела, влияние
воздуха на движение которых относи-
тельно мало.
Один из способов проверки независи-
мости вертикальной и горизонтальной
скоростей состоит в том, чтобы выронить
тело строго одновременно с другим те-
лом, запущенным горизонтально. Затем
нужно сравнить время их падения. Оба
тела должны иметь достаточную плот-
ность и двигаться достаточно медленно,
чтобы влиянием сопротивления воздуха
можно было пренебречь. Запустить два
тела одновременно можно, уравновесив
(sin 6 — пРотиволежащи® катет
гипотенуза
_ прилежащий катет
гипотенуза
g _ противолежащий катет \
прилежащий катет J
Равна ли сумма одноименных компонент
соответствующей компоненте векторной
суммы?
13. Постройте полномасштабную
диаграмму показанных здесь отрез-
монету на краю стола. Дру1ую монету
заставьте скользить по столу так, чтобы
она нанесла скользящий удар по первой.
Обе монеты покинут стол одновремен-
но, но у одной из них горизонтальная
скорость будет больше, чем у другой.
Вы можете услышать, как они ударятся
об пол, и определить, сольются ли эти
два звука в один. Такая проверка очень
чувствительна, так как вы в состоянии
уловить разницу в моментах прихода
двух звуковых сигналов, не превосходя-
щую 1/30 секунды.
60
Вопрос 3-2
Смысл результатов этого экспери-
мента в том, что запущенный гори-
зонтально бейсбольный мяч упадет
на землю так же быстро, как если бы
его выронили. Как долго продол-
жается падение монеты со стола на
пол9 Как далеко может улететь за
это время бейсбольный мяч? (При-
мите некоторую разумную скорость
подачи.) Будет ли аналогичный рас-
чет применим к полету винтовочной
пули?
В предисловии сказано, что тело,
движущееся равномерно по окружности,
подвержено постоянному по модулю
ускорению. Если это кажется странным,
посмотрите, что произойдет с вращаю-
щимся телом, если убрать связь, заста-
вляющую его двигаться по окружности.
Привяжите к нити ластик или мягкий
мячик и раскрутите его по горизонталь-
ному кругу на полу или на столе. Когда
он будет двигаться равномерно с по-
стоянной по модулю скоростью, от-
пустите нить. Тщательно проследите за
траекторией последующего движения
тела. Будет ли эта траектория радиаль-
ной, тангенциальной (то есть касатель-
ной к окружности), или чем-нибудь про-
межуточным? Хорошо, если кто-нибудь
еще вместе с вами проследит за траекто-
рией и вы сравните ваши наблюдения.
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ В ДВУХ
ИЗМЕРЕНИЯХ
Чтобы указать положение точки на
линии, как прямой, так и искривленной,
требуется только одно число — расстоя-
ние от начала отсчета. Для указания по-
ложения точки на поверхности требуют-
ся два числа. Например, на поверхности
Земли 40,7° северной широты и 74°за-
падной долготы определяют положение
города Нью-Йорка. Первое число, ши-
рота, указывает, на сколько градусов
пункт расположен к северу от экватора.
Второе число, долгота, показывает,
сколько градусов отделяют вдоль эква-
тора меридиан, проходящий через Нью-
Йорк, от нулевого меридиана, проходя-
щего через Гринвич в Англии. Геогра-
фические координаты Лос-Анжелеса со-
ставляют 34° северной широты и 118,2°
западной долготы. Когда известны эти
два набора чисел и радиус Земли, мож-
но найти расстояние от Нью-Йорка до
Лос-Анжелеса с помощью сферической
тригонометрии, хотя соответствующие
формулы довольно сложны.
Положение точки на плоскости мо-
жет быть задано указанием ее коорди-
нат х и у или указанием г и 0, то есть
длины и углового положения отрезка,
проведенного из начала координат
в рассматриваемую точку. В данной
книге большей частью будут использо-
ваны так называемые декартовы коор-
динаты х и у, названные так в честь
Рене Декарта, французского математика
и философа (1596—1650). С помощью
таких координат особенно легко рассчи-
тать расстояние между двумя точками.
Путь между двумя пунктами по из-
вилистой тропинке может быть значи-
тельно длиннее, чем по прямой. Расстоя-
ние по прямой мы называем перемеще-
61
нием. Рассчитать его длину проще все-
го, разложив перемещение на соста-
вляющие вдоль взаимно перпендику-
лярных осей, таких, как север — юг или
восток — запад, или х и у. Для нахожде-
ния проекции перемещения нужно опу-
стить перпендикуляры на оси коорди-
нат, как показано на рисунке.
Соответствующие отрезки вдоль осей
называются компонентами перемещения.
Длина перемещения связана с длинами
его компонент теоремой Пифагора:
D2 = D2 + D2.
Приведем пример перемещения и его
компонент для случая двух измерений.
Предположим, что вы проходите четыре
квартала на восток и два на север. Как
далеко находитесь вы от начального
пункта? Разумеется, в городе целесооб-
разно считать, что вы находитесь в ше-
сти кварталах от исходного пункта. Да-
же ворона не полетит по диагонали
в кварталах, застроенных небоскребами.
Ваше перемещение, однако, соответ-
ствует такой диагонали. Если восточная
компонента составляет 1200 м, а север-
ная 600 м, то
длина перемещения =
= ]/(1200 м)2 + (600 м)2 = 1340 м.
Последовательные перемещения
можно складывать, чтобы найти полное
перемещение. Простейший способ со-
стоит в том, чтобы разложить каждое
отдельное перемещение на компоненты,
а затем сложить компоненты, лежащие
по одному направлению. Если это, на-
пример, компоненты вдоль осей х и у,
то вы придете таким путем к х, у-ком-
понентам полного перемещения, кото-
рое называют результирующим.
Рассмотрим пример. Предположим,
что вы проходите 10 м под углом 30°
к северу от направления на восток, за-
тем 6 м под углом 45° к западу от на-
правления на север, затем 5 м на запад,
и, наконец, 8 м под углом 60° к югу от
направления на запад. Чему равно ваше
полное перемещение? Первое, что над-
лежит сделать в любой подобной задаче
с таким большим числом данных — это
нарисовать схему. Сложение векторов
на рисунке произведено так, что очеред-
N (север)	Е (восток)
+ 5,0 (+ 10 sin 30°) + 4,2 ( +6 cos 45°) + 0 -6,9 ( —8 sin 60°)	(+ 10 cos 30°) +8.7 ( -6 sin 45°)	4,2 -5.0 ( -X cos 60 ) -4,0
+ 2,3	-4,5
Переметенце = / (2,3р + (4,5р — 5.1
2 3
tgS = ——= 0,51, 0 = 27 к северу oi направления
на запад
62
ная стрелка начинается из конца преды-
дущей, имеет заданную длину в некото-
ром масштабе и проведена под ука-
занным углом. При подобном графиче-
ском сложении векторов любую стрелку
можно передвигать и прибавлять
к остальным в любой последовательно-
сти, если только ее длина и направление
остаются неизменными.
Такой набросок будет вполне удо-
влетворительным, если позаботиться
о достаточно точном откладывании
углов и соблюдении масштаба. Каждое
из отдельных смещений следует разло-
жить на компоненты, а длину каждого
отрезка следует рассчитать и обозна-
чить на рисунке. Затем составьте табли-
цу северных и восточных или х, у-ком-
понент. Компоненту длины 5 м, напра-
вленную на север, следует занести как
+ 5 в колонку N, а компоненту длины
5 м, направленную на юг, занести как
— 5. Сложите компоненты в каждой из
колонок таблицы и сравните качествен-
но результаты с тем, как выглядят ком-
поненты полного или результирующего
перемещения на вашем рисунке. Длину
перемещения можно найти по теореме
Пифагора, а направление выразить че-
рез тангенс угла 0, как показано на
рисунке.
Вопрос 3-3
В какой точке вы окажетесь, если со-
вершите эти же четыре сдвига
в обратной последовательности —
начиная со смещения на 8 м под
углом 60° к югу от направления на
запад? Где вы окажетесь, если совер-
шите каждое перемещение точно
в противоположном направлении,
начиная со смещения на 10 м под
углом 30° к югу от направления на
запад?
ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Понятие перемещения отличается от
понятия просто расстояния, так как оно
включает в себя не только определенное
расстояние, но и определенное напра-
вление. Более того, мы видели, что
перемещения складываются не так, как
расстояния. Чтобы сложить перемеще-
ния, нужно разложить их на компо-
ненты, а затем собрать их вместе. Удо-
влетворяющие таким правилам вели-
чины называются векторами. На рисун-
ках мы обозначаем векторные величины
стрелкой над символом величины, в тек-
сте книги для обозначения векторов мы
используем жирный шрифт*). Напри-
мер, перемещение вдоль оси х может
—>
быть обозначено Дх на рисунке и Ах
в тексте. Если же рассматривается толь-
ко модуль вектора, по обе стороны сим-
вола ставятся вертикальные черточки,
например модуль вектора Дх равен
|Ах |.
Каждый раз при изучении новой
темы мы будем вводить по определе-
нию новые величины — массу, энергию,
импульс, температуру, электрический
потенциал и т. д. Кроме описания спо-
соба измерения физической величины,
мы должны выбрать для нее адекватное
математическое представление. Чтобы
физическая величина отображалась век-
тором, она должна характеризоваться
модулем, направлением и складываться
с другой однородной величиной тем же
способом, каким складываются переме-
щения.
Если физическая величина не харак-
теризуется никаким связанным с ней на-
правлением, ее называют скаляром.
Примером скалярной величины может
служить время, несмотря на то, что вре-
мя бывает положительным или отрица-
тельным и всегда идет в одном напра-
влении. В действительности время бы-
вает отрицательным лишь относительно
некоторой произвольно выбранной ну-
левой точки. Например, в отсчете вре-
мени при запуске ракеты зажигание про-
исходит в момент —3 секунды.
Подобным же образом дату перехо-
да Ганнибалом через Альпы можно
задавать как —218 год, хотя обычно
ее указывают как 218 год до нашей
эры.
Можно ли для описания скорости
использовать скалярную математику?
Для движения вдоль дороги интересую-
щие нас события обычно могут быть
*) В изданиях, выпускаемых в СССР,
принято одну и ту же величину обозначать
в тексте и на рисунках к этому тексту одина-
ково. (Примеч. ред.)
63
описаны в рамках скалярной математи-
ки. Независимо от того, чему равно
перемещение между двумя городами,
время поездки определяется фактиче-
ской длиной соединяющей их дороги
и модулем скорости, измеряемым спи-
дометром автомобиля. С другой сто-
роны, самолет или корабль может дви-
гаться в двух измерениях, и здесь важны
свойства движения, характеризующие
его направление. Векторная математика
играет важную роль в навигации. Ско-
рости складываются тем же способом,
что и перемещения, и поэтому скорость
отображается векторной величиной.
Вопрос 3-4
Пусть вы находитесь на краю кару-
сели, диаметр которой равен 10 м.
Карусель делает 1 оборот каждые 10 с.
Чему равно среднее за один обо-
рот значение модуля вашей скоро-
сти? Чему равна ваша средняя ско-
рость?
и летит со скоростью 600 км/ч относи-
тельно воздуха. С запада на восток дует
ветер, скорость которого равна 100
км/ч. После часа полета самолет ока-
жется в 600 км к северу ив 100 км к во-
стоку от начального пункта. Его ско-
рость относительно Земли равна 608
км/ч и отклоняется на угол 9,5° к восто-
ку от направления на север. Векторная
диаграмма для такого составного дви-
жения выглядит точно так же, как
и диаграмма перемещений. Для реше-
ния любой подобной задачи сделайте
КО
с
4^^0,167
5=9,5°
Rsin9,5°~f00
R-^55-608
СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
Складывая перемещения, вы обычно
делаете сначала один сдвиг и только за-
тем — другой. Однако при сложении
скоростей приходится иметь дело с дву-
мя движениями, происходящими в одно
и то же время. Взгляните на задачу, по-
казанную на рисунке. Чему равна ско-
рость мяча относительно земли? Штри-
ховая стрелка, полученная векторным
v = 12 м/с — скорость мяча относительно
платформы; и = 16 м/с — скорость платфор-
мы относительно земли
сложением, показывает и модуль, и на-
правление результирующей скорости.
Вот другой пример. Рассмотрим
самолет, который держит курс на север
набросок векторов, не заботясь о точ-
ном соблюдении масштаба, обозначьте
векторы, разложите их на взаимно пер-
пендикулярные компоненты, обозначьте
эти компоненты, сложите между собой
х-компоненты, затем у-компоненты,
найдите модуль и направление резуль-
тирующего вектора.
Приведем еще один пример сложе-
ния скоростей. Предположим, что вам
нужно переправиться через реку, кото-
рая течет на юг со скоростью 6 км/ч.
В стоячей воде ваша лодка может
плыть со скоростью 10 км/ч. Вы хотите
пересечь реку точно поперек с западно-
го берега на восточный. Для этого на
всем пути вам придется направлять нос
лодки под некоторым углом вверх по
течению. (Если вы будете держать курс
на восток, вас снесет вниз по течению
реки.) Обратите внимание, что в этом
случае направление результирующего
вектора известно (на восток), но его мо-
дуль требуется определить. Модули двух
скоростей известны (6 км/ч и 10 км/ч), но
направление курса лодки и модуль ре-
64
Скорость	Угол	Модуль
течения	5	6
лодки относи!ельно воды	?0	10
лодки относительно берега	Е	ч
tg0 = 6/10, 9 = 31°, г = 1/102 - 62 = 8 км/ч
зультирующей скорости, с которой
лодка пересекает реку, нужно найти. Это
ситуация, типичная для навигации.
Для решения подобной задачи по-
лезно не только сделать набросок век-
торов, но также записать в виде та-
блицы то, что известно и что не
известно у каждого из векторов. Здесь
фигурируют три вектора: скорость тече-
ния, скорость лодки относительно воды
и результирующая скорость лодки от-
носительно берегов. Таблица должна
давать по две величины для каждой из
этих скоростей: модуль и направление.
Из шести величин в любой подобной
задаче четыре должны быть обязатель-
но даны, а две оставшиеся могут быть
найдены.
Вопрос 3-5
Какие две величины были не-
известны в задаче о самолете, держа-
щем курс на север через воздушный
поток, движущийся на восток?
В реальных задачах навигации
нужные направления могут быть не
столь удобными, как направления точно
на север или на восток. Предположим,
что пилоту нужно пролететь по прямой
из Атланты в Чикаго, но дует северо-за-
падный ветер, скорость которого напра-
влена под углом 30° к югу от направле-
ния на восток («северный» ветер дует
к югу). Азимут Чикаго из Атланты ра-
вен 17° к западу от направления на се-
вер. Здесь по-прежнему применимы
стандартные правила обращения с век-
торами. Нарисуйте набросок, разложите
векторы на компоненты, составьте та-
блицу для всех величин. В данном слу-
чае курс самолета неизвестен, хотя вы
и понимаете, что самолет следует на-
правлять под углом более 17° к западу
от направления на север, чтобы проти-
водействовать воздушному потоку,
стремящемуся столкнуть самолет к во-
стоку. Как видно из приведенного под
Скорость
Угол Модуль
воздушною потЪка
30° к S
от Е
самолета относительно воздуха 70
самолета относительно земли
17° к W
от N
г cos 17° = 600 cos G — 100 sin 30° (северная ком-
понента), v sin 1Т - 600 sin в - 100cos 30° (за-
падная компонента),
tg 17’ = 0,3 =
600 sin 0 — 87
600 cos 0 — 50 ’
18Ocos0 — 15 =600sin 0 — 87,
600 sin 0 — 180cos 0 = 72.
0 = 20° 205 - 169 = 36
0 = 25° 254 - 163 =91
0 = 24’ 244 - 164 = 80
0 = 23° 234 - 165 = 69
0 = 23,3’.
(Обратите внимание, что в этом примере,
иллюстрирующем предлагаемый метод, най-
дено больше значащих цифр, чем это оправ-
дано точностью задания исходных данных)
3 Кл Э Суорц, т 1-231
рисунком подробного решения этой за-
дачи, компоненты скорости самолета
выражаются через неизвестный угол 0,
под которым следует направлять само-
лет. Обратите внимание, что в одно из
уравнений этот угол входит как един-
ственная неизвестная величина. В боль-
шинстве школьных задач алгебраиче-
ское уравнение с одним неизвестным
можно решить сразу. Однако в данном
случае неизвестное входит в качестве
аргумента в две разные функции — си-
нус и косинус. Простейший способ ре-
шить такое уравнение — попробовать
подставить в него ряд значений вместо
неизвестного. Из наброска мы знаем,
что угол 0 должен быть больше 17°. Да-
же без тригонометрических таблиц
можно видеть, что угол 30° — это слиш-
ком много, поскольку (600 sin 30° —
— 180cos 30°) > 120. Числовые резуль-
таты при некоторых других углах 0 при-
ведены в решении под рисунком.
ТРАЕКТОРИИ ВБЛИЗИ
«ПЛОСКОЙ» ЗЕМЛИ
В пределах видимости Земля пред-
ставляется нам плоской, если только не
наблюдать корабли, уплывающие за го-
ризонт. В приближении «плоской» Зе-
мли роняемые тела падают перпендику-
лярно к ее поверхности, и, следователь-

«Вниз» на плоской Земле и «вниз» на сфери-
ческой Земле
но, их траектории параллельны друг
другу. В действительности траектории
тел, падающих без начальной скорости,
проходят вдоль радиусов Земли и по-
этому не параллельны друг другу.
Чтобы построить орбиты спутников Зе-
мли, вы предполагаете, что Земля сфе-
рическая и сообщает спутнику радиаль-
ное ускорение. Чтобы построить траек-
тории тел, бросаемых на расстояние
менее километра или около того вдоль
земной поверхности, можно упростить
задачу, предположив, что Земля плоская
и что любое свободное тело приобре-
тает ускорение, направленное вниз, па-
раллельно всем другим направлениям
вниз.
При нахождении траекторий тел,
движущихся над плоской Землей, необ-
ходимо сделать еще одно предположе-
ние, проверенное вами в «Знакомстве
с явлениями». Мы предполагаем, что
скорость тела можно разложить на век-
торные компоненты, параллельную
и перпендикулярную земной поверхно-
сти, и что эти компоненты движения не
взаимодействуют друг с другом. Это
предположение оправдано до тех пор,
пока обусловленные наличием воздуха
эффекты пренебрежимо малы. Это зна-
чит, что независимо от того, брошен ли
мяч вверх, вниз или горизонтально, по-
ка он находится в свободном полете,
его ускорение направлено вертикально
вниз и равно 9,8 м/с2. Тем временем его
горизонтальное движение происходит
независимо от падения по вертикали, по
крайней мере пока он не ударится
о землю.
При таких предположениях любую
задачу определения траектории можно
разделить на две отдельные задачи, ка-
ждая из которых связана с прямоли-
нейным движением вдоль соответствую-
щей оси. Начальную скорость брошен-
ного тела можно разложить на верти-
кальную и горизонтальную составляю-
щие. Вертикальное движение можно
рассчитать по формулам одномерного
движения с постоянным ускорением, та-
ким, как у = vot + (1/2) gt2 и г2 = Vq + 2gh.
Все входящие сюда скорости нужно по-
нимать как проекции скорости тела на
вертикальную ось. Движение по гори-
зонтали происходит просто с постоян-
66
Траектория падающего тела в осях х, у при
отличной от нуля горизонтальной составляю-
щей начальной скорости
ной скоростью, пока тело находится
в воздухе. Эта постоянная скорость рав-
на горизонтальной составляющей на-
чальной скорости. Пройденное по гори-
зонтали расстояние определяется выра-
жением х = vTt, где г, — горизонтальная
компонента скорости тела.
1.	Предположим, что вы подаете мяч
в игре горизонтально с высоты 1,6 м
со скоростью 30 м/с. Вертикальная
составляющая начальной скорости рав-
на нулю, и поэтому вертикальное дви-
жение состоит в падении с высоты 1,6 м
с постоянным ускорением:
У = Уо + (1/2) at2,
0=1,6 м + (1/2)-( — 9,8 M/c2)t2,
1,6 м = (1/2)-(9,8 м/с2) Г2,
t2 = 0,326 с2,
t = 0,57 с.
За это время благодаря горизонтальной
скорости мяч преодолевает расстояние
х = vrt = (30 м/с)  (0,57 с) = 17 м.
Это горизонтальное расстояние меньше,
чем предписываемая правилами дистан-
ция в 60,5 футов между подающим
и принимающим подачу. Принятая ско-
рость подачи 30 м/с — это около 67
миль/ч, что неплохо для любителя, хотя
профессионал может подать мяч со ско-
ростью до 100 миль/ч. Очевидно, что
в большинстве случаев подачи должны
быть не горизонтальными, а должны
сообщать мячу небольшую составляю-
щую скорости, направленную вверх.
Вопрос 3-6
Может ли сильный подающий, сооб-
щающий мячу скорость 50 м/с, бро-
сить мяч горизонтально и все же по-
пасть в зону удара? (Подающий
находится на возвышении 15 дюй-
мов над остальным полем.)
2.	Игрок, возвращающий мяч врата-
рю, не станет бросать его горизонталь-
но. По опыту он знает, под каким углом
и с какой скоростью нужно бросить
мяч, чтобы получить нужную траекто-
рию. Это движение можно проанализи-
ровать, разлагая его на вертикальную
и горизонтальную составляющие. Пред-
положим, что начальная скорость равна
30 м/с и направлена под углом 30° к го-
ризонту. ТоТда вертикальная компонен-
та начальной скорости равна (30 м/с)-
• (sin 30°) =15 м/с и направлена вверх. Го-
ризонтальная компонента равна (30 м/с)-
• (cos 30°) = 26 м/с.
В течение всего полета движение мяча
в параллельном земной поверхности
направлении будет происходить с этой
скоростью 26 м/с.
3*
67
Время полета мяча определяется
тем, как долго будет продолжаться подъ-
ем и падение при начальной верти-
кальной скорости 15 м/с. Это время
можно найти с помощью соответствую-
щей формулы для движения с по-
стоянным ускорением:
y = y0 + v0t + (J./2)at2,
0 = 0 +(15 м/с)14-(1/2) (— 9,8 м/с2)!2,
5! = 15 с (после деления на i
и принимая 9,8 « 10),
Г = 3 с.
Время подъема до максимальной
высоты можно найти также с помощью
формулы, связывающей конечную ско-
рость, ускорение и время:
Vk = Vo + at,
0=15 м/с+ ( — 9,8 м/с2)!,
!= 1,5 с (снова принимая 9,8 х 10).
Если не принимать в расчет сопротивле-
ния воздуха, время падения мяча будет
таким же, как и время подъема. Поэто-
му полное время полета равно 3 с, что
совпадает с ответом, полученным
первым методом. Расстояние, пройден-
ное мячом по горизонтали, то есть
дальность полета, составляет
х = vrt,
х = (26 м/с)-(3 с) = 78 м.
Сравните эту дальность полета при на-
личии небольшой вертикальной компо-
ненты начальной скорости с даль-
ностью 17 м, полученной в первом
примере при том же значении модуля
начальной скорости.
Вопрос 3-7
Такое сравнение не вполне справед-
ливо! В первом примере предполага-
лось, что мяч начинает движение на
высоте 1,6 м над землей (разумная
высота, на которой находится рука
подающего в тот момент, когда мяч
отделяется от нее). Во втором при-
мере была рассчитана дальность по-
лета мяча за то время, пока он под-
нимается и опускается до начальной
высоты. Можно ли считать, что мяч
пройдет по горизонтали еще 17 м,
пока он падает дополнительные
1,6 м?
3.	Дальность полета мяча, брошен-
ного под углом 30° к горизонту, будет
больше, чем в случае такой же по моду-
лю начальной скорости, но направлен-
ной точно горизонтально. Нельзя ли
еще больше увеличить дальность, бро-
сая мяч почти вертикально? Конечно,
если мяч бросить точно вертикально, он
упадет прямо в ту же точку, откуда его
бросили, и дальность полета будет рав-
на нулю. Очевидно, что между 0° и 90°
должен существовать некоторый опти-
мальный угол, обеспечивающий макси-
мальную дальность. Приближенно его
можно найти, подставляя ряд значений
угла в соответствующие уравнения. Од-
нако в этой задаче можно применить
изящный метод, который дает точное
решение. Вертикальную и горизонталь-
ную составляющие начальной скорости
можно выразить через угол: гОв = К sin 0,
гОг = Pcos0. Тогда мы получаем два не-
зависимых уравнения для координат х
и у:
У = >’о + IW + (V2) at^
х = vOrt,
0 = 0 + (Esin 0) i + (1/2) • (- 10м/с2) i2,
x = (Pcos0)!.
Разрешим первое уравнение относи-
тельно ! и подставим найденное значе-
ние ! во второе уравнение:
! = (1/5) PsinO,
х = (1/5) V2 sin 0 cos 0.
68
Оказывается, что в итоге мы получили
одно уравнение, выражающее интере-
сующую нас величину через единствен-
ную переменную (0), которая, однако,
входит в качестве аргумента в две раз-
личные функции. И снова для нахожде-
ния максимального х мы можем испро-
бовать разные значения 0. Но в данном
случае существует упрощающий искус-
ственный прием. Вспомним одно из
тригонометрических тождеств:
2 sin 0 cos 0 = sin 20.
Используя его, формулу для дально-
сти полета можно записать в виде
х = (1/10) V2 sin 20.
Наибольшее значение х имеет место
при sin 20=1, так как синус не превы-
шает 1. Когда sin 20 = 1, 20 = 90°. Поэто-
му х имеет максимальное значение при
0 = 45°. Проверьте это на опыте с бейс-
больным мячом!
Вопрос 3-8
Если модуль начальной скорости ра-
вен 30 м/с, насколько максимальная
дальность полета отличается от вы-
численной ранее дальности для
углов 0° и 30°?
4.	Решая эти задачи о траекториях,
мы отдельно рассматривали движения
по горизонтали и по вертикали. Поло-
жение по вертикали у и положение по
горизонтали х представляют собой не-
зависимые функции времени. Но для ка-
ждой точки х вдоль рассматриваемой
траектории тело находилось на опреде-
ленной высоте у. Вместо того чтобы
описывать движение с помощью функ-
ций времени, можно задать траекто-
рию, указывая у как функцию х или
х как функцию у. Это можно сде-
лать, исключив время t из двух от-
дельных уравнений для х и у:
у = vBt — 5t2,
X = vTt или t = x/v„
У = (vB/v,) X - (5/t?r) X2.
Вертикальная координата представляет
собой квадратичную функцию горизон-
тальной координаты. Эта формула
представляет определенную геометриче-
Эллиптнческая и параболическая траектории
вблизи Земли
скую кривую, называемую параболой.
Все траектории над плоской землей
в пренебрежении сопротивлением возду-
ха — это отрезки парабол. Для сравне-
ния на рисунке параболическая траекто-
рия показана вместе с круговой
и эллиптической, проходящими через те
же точки.
Вопрос 3-9
Луна и все искусственные спутники
движутся вокруг Земли по эллипти-
ческим орбитам, которые во многих
случаях близки к круговым. Однако
69
только что было высказано утвер-
ждение, что траектории тел вблизи
поверхности Земли — параболиче-
ские. Как тело, запущенное вблизи
поверхности Земли, может узнать, по
какой траектории ему двигаться —
параболической или эллиптической?
ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
Ускорение, которое сила тяжести со-
общает спутникам, движущимся по ор-
битам вокруг Земли, зависит от высоты
над поверхностью и направлено по ра-
диусу к центру Земли. Результирующая
траектория зависит от начальной скоро-
сти спутника — как от ее модуля, так
и от направления. Один частный случай
движения такого типа легко поддается
исследованию, а именно, когда спутник
движется по окружности. Случай движе-
ния по окружности важен и сам по себе,
так как многие тела движутся точно по
окружности, и как хорошее приближе-
ние к действительным орбитам многих
спутников. Орбиту Луны в ее движении
вокруг Земли, как и орбиту Земли
в движении вокруг Солнца, можно
в первом приближении рассматривать
как круговую.
Параболические траектории полу-
чаются тогда, когда ускорение постоян-
но как по модулю, так и по направле-
нию. Круговые траектории получаются
тогда, когда ускорение тела постоянно
по модулю, но направление ускорения
непрерывно изменяется так, что оно
всегда перпендикулярно к скорости. На
первый взгляд может показаться, что
если движущемуся телу непрерывно со-
общать ускорение, его траектория по-
степенно деформируется так, что оно
будет двигаться главным образом
в направлении сообщаемого ускорения.
Именно так и происходит для траекто-
рий в приближении плоской Земли.
С другой стороны, если ускорение всег-
да перпендикулярно к скорости, ско-
рость не может уменьшаться или увели-
чиваться по модулю. Модуль скорости
остается постоянным, но ее направление
непрерывно изменяется.
Мгновенная скорость тела, движуще-
гося по круговой траектории, направле-
на по касательной к этой окружности.
70
Действие ускорения, которое всегда перпен-
дикулярно к скорости (а). Большое ускоре-
ние — малый радиус г (6). Малое ускорение —
большой радиус г (в)
Вы могли убедиться в этом, когда, вы-
полняя упражнение в «Знакомстве
с явлениями», освобождали вращающее-
ся тело. Радиус окружности в каждой
точке перпендикулярен к касательной.
Поэтому ускорение, направленное по
радиусу, всегда будет перпендикулярно
к скорости тела, движущегося по дан-
ной окружности. Ускорение, необходи-
мое для того, чтобы тело двигалось по
определенной окружности, зависит от
скорости тела и от радиуса этой окруж-
ности. Лишь небольшое радиальное
ускорение нужно для удержания медлен-
но движущегося тела на круговой траек-
тории большого радиуса. С другой сто-
роны, потребуется очень большое ра-
диальное ускорение, чтобы свернуть
траекторию быстро движущегося тела
в маленькую окружность.
Радиальное ускорение, необходимое
для получения кругового движения, на-
зывается центростремительным ускоре-
нием. В приводимом ниже выводе мы
установим, как ац с зависит от и и г.
Обратите внимание, что при этом
используются два рисунка, на од-
ном из которых показана круговая
траектория, а на другом — векторы ско-
ростей.
Треугольники на том и другом ри-
сунках подобны, потому что мгновенные
скорости направлены по касательным
к окружности, а касательные перпенди-
кулярны к радиусам. В течение неболь-
шого интервала времени At тело прохо-
дит по дуге расстояние vAt. Фигура,
опирающаяся на эту дугу как на основа-
ние,— это не совсем треугольник, но ес-
ли время At достаточно мало, дуга по-
чти совсем совпадает с хордой. Чтобы
построить треугольник скоростей, нуж-
но просто сдвинуть векторы скоростей,
сохраняя их направление, так чтобы их
начала совместились. Конечная ско-
рость vK получается из начальной v0 до-
бавлением вектора приращения скоро-
сти Av.
Для очень коротких интервалов вре-
мени At направление Av должно быть
радиальным:
vK = v0 + Av,
но по модулю I Vo I = I VK I = |v |. Из по-
добия треугольника скоростей и тре-
угольника, опирающегося на дугу траек-
тории, следует
An nAt
V г
Преобразуя это выражение, получаем
At> v2
At г
По определению Av/At представляет со-
бой ускорение. Его модуль пропорцио-
нален квадрату скорости и обратно про-
порционален радиусу окружности. Как
видно из рисунка, оно направлено по
радиусу и поэтому все время остается
перпендикулярным к скорости тела,
движущегося по окружности.
’ Вопрос 3-10
; Согласуется ли эта формула для цен-
.* тростремительного ускорения с тем,
что подсказывает нам здравый
t смысл? Требуемое ускорение мало
J для большого радиуса. Но разве црн-
i тростремительное ускорение на кару-
? сели вблизи края не будет больше,
чем вблизи центра?
1. Подсчитаем модуль центростре-
мительного ускорения, требуемого для
поддержания прилегающей к Земле кру-
говой орбиты. Первые спутники Земли,
запущенные в конце 50-х годов, двига-
лись на высоте всего около 200 км,
чуть выше границы атмосферы. Для
грубого расчета примем, что радиус ор-
биты был почти таким же, как радиус
Земли — 6400 км. Период обращения по
такой орбите немного меньше полутора
часов — 5100 с. Скорость спутника равна
длине окружности орбиты, деленной на
время ее прохождения:
2то- 2-3,14-6,4-106 м
V =-----=------------;------=
Т 5,1-103 с
= 7,9-103 м/с.
Поэтому необходимое ускорение дол-
жно быть равно
I2
— = 9,7 м/с2.
v2 (7,9 • 103 м/с)'
ацс = “Г= 6,4-106м
Полученное в этом расчете центростре-
мительное ускорение почти равно уско-
рению свободного падения вблизи по-
верхности Земли. Очевидно, что спутник
непрерывно падает вниз, то есть по ра-
диусу к центру, и благодаря этому под-
держивается круговая орбита вокруг
земного шара. Если бы спутник не уско-
рялся вниз, он бы удалился по касатель-
ной к поверхности Земли.
Спутник на
орби ге не-
прерывно па-
дает к центру
Земли
71
2. В одном из больших ускорителей
заряженных частиц протоны движутся
по окружности почти со скоростью света
в расположенной горизонтально кольце-
вой вакуумной камере, имеющей радиус
100 м. Сравним центростремительное
ускорение, создающее такую орбиту,
a^=-fOi5M/c2
*	~^д=10м/с2
с вертикальным ускорением протонов,
обусловленным силой тяжести. Центро-
стремительное ускорение
и2 (3  108 м/с)2 ~ 1017
а“-с “ ~ ~ 1  102	* 102 “
= 1015 м/с2.
Требуемое центростремительное ускоре-
ние в 1014 раз больше, чем вертикаль-
ное ускорение, обусловленное силой тя-
жести. Очевидно, что свободное падение
протонов — дело второстепенное по
сравнению с их горизонтальным ускоре-
нием.
РЕЗЮМЕ
Для описания движения в двух изме-
рениях необходимо использовать век-
торную алгебру. Перемещения изобра-
жаются векторами, и способ сложения
перемещений может служить определе-
нием операции векторного сложения.
Если некоторая переменная величина
характеризуется как модулем, так и на-
правлением и правила ее сложения та-
кие же, как для перемещений, то она
является вектором. Скорость и ускоре-
ние являются векторами; время — нет.
Для решения задач с векторами луч-
ше всего сделать набросок с грубым со-
блюдением масштаба и затем разло-
жить все векторы на взаимно перпенди-
кулярные составляющие. Все состав-
ляющие одного направления можно
затем сложить алгебраически, и для по-
лучения результирующего вектора эту
сумму сложить векторно с суммой со-
ставляющих по перпендикулярному на-
правлению.
Для задач о движении тела в движу-
щейся среде, таких как о переправе на
лодке через реку, исчерпывающий метод
решения состоит в том, чтобы выписать
таблицу значений модулей и направле-
ний каждой из трех скоростей. Обычно
Угол
Скорость
течения
лодки относительно воды
лодки относительно бе-
регов
Модуль
две из этих шести переменных не-
известны. Их можно найти, составляя
два уравнения, связывающие проекции
векторов на взаимно перпендикулярные
направления.
Движения в двух измерениях могут
быть очень сложны. Мы изучили только
два частных случая: движение с по-
стоянной горизонтальной скоростью

и постоянным вертикальным ускоре-
нием и движение с постоянным по мо-
дулю ускорением, направленным всегда
перпендикулярно вектору скорости.
Первый случай дает траектории тел,
движущихся над плоской Землей. Пред-
сказанные траектории дают хорошее
приближение к действительным траек-
72
ториям тел, брошенных на короткие
расстояния вблизи поверхности Земли
и не подверженных сколько-нибудь за-
метному влиянию воздуха. Второй слу-
чай знакомит нас с некоторыми свой-
ствами движения по окружности, боль-
шую часть которых мы изучим позднее.
Хотя мы и применили этот анализ
к простому случаю движения спутника,
действительные орбиты чаще бывают
эллиптическими, чем круговыми. Более
того, на орбитах в гравитационном по-
ле ускорение в общем случае не перпен-
дикулярно к скорости и не постоянно по
модулю. И тем не менее рассмотренные
нами простые случаи могут служить хо-
рошим первым приближением ко мно-
гим реальным движениям. В последую-
щих главах мы увидим, как можно
выйти за рамки этого приближения
с помощью простых, но могуще-
ственных законов сохранения.
Ответы на вопросы
3-1. 1. Гипотенуза должна иметь длину
чуть больше чем 5,8 см. Обратите вни-
мание, насколько преобладающей при
возведении в квадрат становится роль
большего слагаемого. Число 5,8 не на-
много больше чем 5.
2. Значения синуса и косинуса 0°, 30°,
45°, 60° и 90° бывают нужны так часто,
что для экономии времени их полезно
помнить. Обратите внимание также,
что сторона, противолежащая углу 30°,
была записана как (10 sin 30°), а приле-
жащая сторона — как (10cos30°). По-
лезно представлять себе длины этих
сторон именно так, вместо того чтобы
каждый раз выводить необходимое вы-
ражение из
противолежащий катет
sin 0 =-------------------.
гипотенуза
3. Вы можете выбрать А и В любой
длины, задавая тем самым длину С.
Когда вы опустите пунктиром перпен-
дикуляры на оси координат, окажется,
что
(ХА + ХВ) = Хс и (уА + Ув) = УС-
3-2. Стандартная высота стола равна 76 см.
Время падения тела с такой высоты до
пола дается уравнением 0,76 см =
= (1/2)-(9,8 м/с2) Г Отсюда 1 = 0,39 с.
При скорости подачи 30 м/с (около
67 миль/ч) поданный с такой высоты
мяч пролетит расстояние х = vt =
= (30 м/с) • (0,39 с) = 12 м. (Заметьте,
насколько это короткая подача.) Будет
ли аналогичный расчет справедлив в слу-
чае винтовочной пули, зависит от влия-
ния воздуха на быстро движущееся и
вращающееся вокруг оси тело. По-види-
мому, этот простой расчет дает лишь
очень грубое первое приближение. На-
чальные скорости винтовочных пуль
могут превышать скорость звука, рав-
ную примерно 330 м/с.
3-3. Конечное перемещение не зависит от то-
го, в какой последовательности выпол-
няются отдельные сдвиги. На матема-
тическом языке это значит, что сложе-
ние перемещений коммутативно. А +
4- В = В + А. Если бы каждый из сдви-
гов был выполнен точно в противопо-
ложном направлении, то каждая из
компонент имела бы противоположный
знак. Смещение на северо-восток стало
бы смещением на юго-запад. Резуль-
тирующее перемещение имело бы
прежний модуль, но противоположное
направление.
3-4. Путь, проходимый вами за один обо-
рот на такой карусели, равен nd =
= 31,4 м. Среднее значение модуля
скорости равно 3,14 м/с Однако ваша
средняя скорость — это не пройденный
путь, деленный на время, а перемеще-
ние, деленное на время. Перемещение
за один оборот равно нулю, так как
вы возвращаетесь точно на прежнее
место. Поэтому вектор средней ско-
рости равен нулю
3-5. Известны модуль и направление скоро-
сти ветра и скорости самолета относи-
тельно воздуха. До решения задачи не-
известны ни направление, ни модуль
скорости самолета относительно земли.
3-6. При добавочной высоте 15 дюйм — 38 см
подающего над уровнем поля полет
мяча начинается на высоте около 2 м
Летящий со скоростью 50 м/с мяч до-
стигнет принимающего подачу за время
73
/ = (60,5 фут)-(0,30 м/фут)/(50 м/с) =
= 0,36 с. За это время мяч опустится
на расстояние Ду = (1/2)• (-9,8 м/с2)-
•(0,36 с)2 = —0,64 м, то есть достигнет
зоны удара на высоте около 1,4 м.
3-7. Когда мяч пересекает начальный уро-
вень при движении вниз, вертикальная
компонента его скорости равна по мо-
дулю вертикальной компоненте началь-
ной скорости. Добавочное время полета
можно подсчитать следующим обра-
зом:
У = У о + vt + (1/2) at2,
— 1,6 м = 0 + (—15 м/с)г +
+ (1/2)-(- 10 м/с2)/2,
5/2 + 15/ - 1,6 = 0.
Это квадратное уравнение можно ре-
шить по формуле
2-5
Фактически в этом случае нет нужды ре-
шать квадратное уравнение. Заметьте,
что мяч должен пройти всего лишь 1,6 м
при начальной скорости 15 м/с. Оче-
видно, что для этого потребуется около
0,1 с. Член, содержащий /2, не составит
при этом и 10% от члена, содержащего
/, так как коэффициент при /2 равен 5,
а при / равен 15. Для наших целей мож-
но было в уравнении опустить член с /2
и получить результат с меньшими за-
тратами усилий. За 0,1 с мяч пройдет
в направлении оси х дополнительное
расстояние х = (26 м/с)-(0,1 с) = 2,6 м.
3-8. х = 0,1 И2 sin20 = 0,1 (30 м/с)2 = 90 м
для 0 = 45°. Сравнивая это расстояние
с дальностью полета при 0 = 0°, не
забывайте, что мы приняли для гори-
зонтального броска начальную высоту
1,6 м. Выведенная нами формула для
дальности полета применима только к
броскам, заканчивающимся на высоте
начальной точки.
3-9. Траектории тел, запущенных вблизи
поверхности Земли, всегда эллиптиче-
ские. (Земля ведь не плоская!). Пара-
болическая траектория представляет
собой просто хорошее приближение
для бейсбольных мячей и подобных
им низко летящих тел.
З-Ю Человек вблизи края карусели находит-
ся в положении с большим г, но имеет
при этом и большую скорость V. Модуль
скорости равен длине окружности, де-
ленной на период обращения: v = 2-ttr/T.
Поскольку период одинаков для всех
точек карусели, центростремительное
ускорение можно также записать
в виде
ац с = г2/г = 4я2г2/Т2г = (4я2/Т2)
Обратите внимание, как в этой ситуа-
ции изменяется явная функциональная
зависимость от г. При неизменном пе-
риоде обращения центростремительное
ускорение пропорционально г.
Задачи
1.	Перемещение составляет 8 м под
углом 30° к северу от направления на запад.
Чему равны его проекции на северное и во-
сточное направления?
2.	Человек проходит 10 м на восток,
5 м под углом 30° к северу от направления
на восток, 6 м под углом 45° к северу от на-
правления на запад и 8 м на запад. Чему
равно его результирующее перемещение?
3.	Гору можно характеризовать некото-
рой величиной (массой или высотой) и на-
правлением (вверх). Означает ли это, что
горы можно рассматривать как векторы? Ес-
ли нет, то почему?
4.	Человек проезжает 3 000 миль вдоль
экватора на восток и затем 6000 миль к се-
веру. Как далеко он находится от начальной
точки?
5.	Летящий со скоростью 1000 км/ч
самолет-истребитель выпускает ракету,
имеющую скорость 1000 км/ч. Чему равна
скорость ракеты относительно земли, если
она запущена вперед? Назад? В сторону?
6.	Самолет, летящий относительно воз-
духа со скоростью 200 км/ч, выдерживает
азимут на восток при ветре, дующем с севе-
ро-востока со скоростью 100 км/ч. Чему рав-
на результирующая скорость самолета отно-
сительно земли?
7.	В каком направлении должен дер-
жать курс самолет из задачи 6, чтобы лететь
на восток? Какой будет при этом результи-
рующая скорость относительно земли?
8.	Велосипед движется со скоростью
20 км/ч на север. При этом дует во-
сточный ветер со скоростью 10 км/ч. Чему
равна кажущаяся велосипедисту скорость
ветра ?
9.	В железнодорожном вагоне, движу-
щемся со скоростью 30 м/с, перпендикуляр-
но к направлению движения бросают мяч со
скоростью 10 м/с. Чему равна скорость мяча
относительно земли7
10.	Под каким углом следует направлять
нос лодки, чтобы пересечь реку точно попе-
рек при скорости течения 3,5 км/ч, если лод-
ка может двигаться со скоростью 8,4 км/ч
в неподвижной воде?
И. Лодка, которая может двигаться со
скоростью 4 км/ч, должна пересечь реку, те-
74
кущую со скоростью 3 км/ч. Чтобы достичь
противоположного берега в лежащей напро-
тив точке за кратчайшее время, следует ли
направить нос лодки точно поперек реки так,
что лодку к моменту достижения противопо-
ложного берега снесет течением, и затем на-
правиться вверх по течению к месту назначе-
ния, или же нос лодки следует направлять
так, чтобы она двигалась точно поперек?
Может быть, какой-нибудь другой путь ока-
жется быстрее?
12.	Тело движется на восток со ско-
ростью 20 м/с. Спустя три секунды оно дви-
жется на север со скоростью 10 м/с. Чему
равны модуль и направление среднего уско-
рения для этих трех секунд? Прежде чем на-
чать, сделайте хороший рисунок.
13.	Вы бросаете бейсбольный мяч под
некоторым углом к горизонту, и он в паде-
нии пересекает высоту, с которой был бро-
шен, через 2,6 с на расстоянии 30 м. Чему
равно его ускорение по горизонтали? По
вертикали? Чему равна горизонтальная про-
екция начальной скорости? Чему должна
быть равна вертикальная проекция началь-
ной скорости? Под каким углом к горизонту
был брошен мяч?
14.	Теннисист при подаче запускает мяч
с высоты 2 м над землей. На каком расстоя-
нии от подающего мяч ударится в землю, ес-
ли начальная скорость равна 20 м/с и напра-
влена под углом 30° вверх от горизонтали?
15.	Допустим, что вы можете бросить
мяч со скоростью 30 м/с. Сравните даль-
ности полета (то есть расстояния вдоль по-
верхности земли) при бросках под углами
30°, 45° и 50° над горизонтом. Оказывает ли
заметное влияние на результаты расчетов
тот факт, что рука выпускает мяч на высоте
около 1,6 м над землей? (Посмотрите ответ
к вопросу 3-7.)
16.	На упражнениях по навигации судно
проплывает 4 мили на север, 5 миль на во-
сток и 2 мили на юг. Другое судно выходит
из того же пункта, проплывает 2 мили на юг,
5 миль на восток и 4 мили на север. Где оно
находится относительно первого судна?
17.	Простейшая формула для
параболы имеет вид у = кх2. Сравните ее
с формулой на с. 69 для траектории брошен-
ного тела. Почему они различаются?
18.	Можно раскрутить ведро с водой
в вертикальной плоскости и не разлить воду
при условии, что центростремительное уско-
рение будет не меньше ускорения свободно-
го падения. Если радиус петли, образуемый
рукой и ручкой ведра, равен 1 м, какова не-
обходимая для этого скорость? Каким дол-
жно быть время одного оборота?
19.	Поскольку Луна находится в 60 раз
дальше от центра Земли, чем мы с вами, сле-
дует ожидать, что ее центростремительное
ускорение составляет (1/60)2 д = 2,7  10-3 м/с2.
Подсчитайте период обращения Луны в
приближении, что ее орбита представляет
собой окружность радиуса 384000 км.
Согласуется ли ваш ответ с промежутком
времени от одного новолуния до другого?
Если нет, то почему?
20.	Чему равно отношение центростре-
мительных ускорений точек карусели, нахо-
дящихся на расстояниях R/2 и R?
21.	Пловец попадает в узкую полосу от-
ливного течения, уносящего его от берега со
скоростью 1,5 км/ч. Если он может все время
плыть со скоростью 2 км/ч, то как ему бы-
стрее выбраться на находящийся в 300 м бе-
рег: преодолевая течение «в лоб» или отплы-
вая вбок в продолжении 5 мин, чтобы
выбраться из полосы отлива и затем под-
плыть к берегу? Не забывайте, что при вто-
ром способе его относит от берега в продол-
жении 5 минут. Чему равно отношение
затраченного времени в первом и втором
случаях?
22.	Чему равны модуль и направление
ускорения человека, находящегося на рас-
стоянии 5 м от оси карусели, совершающей
один оборот за 20 с?
23.	Чему равно ускорение автомобиля,
движущегося со скоростью 40 км/ч по кри-
вой радиуса 40 м?
24.	Мяч бросают с крыши, находящейся
на высоте 20 м от поверхности земли. Его
начальная скорость равна 25 м/с и направле-
на под углом 30° вверх от горизонтали. Че-
му равна дальность его полета по горизон-
тали?
Г Л А В A 4. СИЛЫ В РАВНОВЕСИИ
В повседневной жизни мы можем го-
ворить о сильной личности, о воору-
женных силах, о силе воли и силе убеж-
дения. Однако в технике слово сила
употребляется главным образом для обо-
значения того, что тянет или толкает.
В этом смысле сила — это отнюдь не то
же самое, что власть, могущество или
решимость.
Тому, что мы понимаем под силой,
можно дать практическое определение,
описывая способ ее измерения. Метод
измерения может быть основан на про-
изводимых силами действиях. Мы
знаем два таких действия. Во-первых,
приложенная к телу сила может вызвать
его деформацию, например растяжение,
скручивание или изгиб. Во-вторых, при-
ложенная к телу сила может изменить
его скорость — ускорить, замедлить или
изменить направление его движения.
В этой главе мы сосредоточим внима-
ние на первой из этих возможностей.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
В жизни часто приходится испыты-
вать толчки и удары, и потому все мы,
по-видимому, знакомы с явлениями, вы-
зываемыми действием сил. Однако, как
это обычно бывает в физике, некоторые
интересные черты изучаемого явления
не столь очевидны. Вы можете сами ис-
следовать эти черты, используя неко-
торые простые предметы, такие как ли-
нейка с делениями, резиновые ленты,
слабые пружины и канцелярские скреп-
ки. Еще лучше, если вам удастся обзаве-
стись силомером (динамометром).
1.	Сила и удлинение. Нам бы хоте-
лось приложить известную силу к пру-
жине или резиновой ленте и измерить
76
вызываемое удлинение. Если вдвое уве-
личить силу, удвоится ли удлинение? За-
труднение состоит в том, что до сих пор
мы еще не дали определение силы
Разумно будет ввести сначала предвари-
тельное определение и затем посмо-
треть, дает ли оно простое и согласо-
ванное описание экспериментальных
фактов.
Подвесьте пружину рядом с линей-
кой так, чтобы можно было измерить
удлинение. Если потребуется, подвесьте
к пружине небольшое тело, чтобы она
распрямилась. Назовем это начальными
условиями. Возьмите несколько одина-
ковых тел, таких как массивные шайбы
или банки консервов. Подберите эти те-
ла так, чтобы когда вы подвешиваете
четыре тела вместе, они вытягивали
пружину на расстояние, примерно рав-
ное ее начальной длине. Подвесьте ка-
ждое из одинаковых тел по отдельно-
сти, чтобы убедиться, что все они
вызывают одинаковое удлинение пру-
жины. После этого измерьте удлинение,
вызываемое одним подвешенным те-
лом, затем — двумя вместе, тремя вме-
сте и т. д. Занесите данные в таблицу
и постройте график.
Проделайте такой же опыт с резино-
вой лентой вместо пружины, но не жди-
те точно таких же результатов.
Обратите внимание на следующие
основные предположения, которые мы
делаем, когда пытаемся извлечь выводы
из этих простых опытов: а) подвеши-
ваемые тела — это грузы, и каждый груз
действует на пружину с некоторой си-
лой. Этому предположению свой-
ственны весьма глубокие и сложные
особенности, и мы продолжим изучение
этих вопросов в главе 5; б) мы предпо-
лагаем, что со стороны двух одина-
ковых тел, подвешенных вместе, на пру-
жину действует вдвое большая сила,
чем со стороны одного. Это предполо-
жение кажется вполне разумным, хотя
далеко не все величины складываются
таКим образом, что вы увидите в сле-
дующем опыте.
Вопрос 4-1
Опишите на словах и с помощью ал-
гебраической формулы результаты
опыта с пружиной. Означают ли
иные результаты опыта с резиновой
лентой, что наши определения
и предположения о грузах (сформу-
лированные выше предположения) не
 оправдываются?
2.	1 единица силы + 1 единица силы =
= 2 единицы силы? Не обязательно.
Убедитесь на опыте, что действие силы
зависит от направления, в котором вы
ее прилагаете. Воспользуйтесь тремя си-
ломерами, тремя пружинами или тремя
резиновыми лентами. Используйте два
из них, чтобы растягивать третий, как
показано на фотографии. Вам было бы
77
легче, если бы у вас была еще одна рука
(придется позвать помощника). Обес-
печьте неизменность третьей силы, под-
держивая определенное удлинение со-
ответствующей пружины. Постепенно
изменяйте угол между двумя другими,
начиная от случая, когда они напра-
влены одинаково, до случая, когда они
почти противоположны. Понаблюдайте,
какие силы приходится приложить,
чтобы уравновесить третью силу.
Вопрос 4-2
Чему равен угол между двумя сила-
ми, когда все три силы одинаковы?
3.	Знакомство с известными силами.
Единицей силы в Международной систе-
ме единиц служит ньютон. Всюду
в этой книге мы будем использовать
ньютоны для измерения сил. Эта едини-
ца будет что-то значить для вас, только
если ваши мышцы познакомятся с ней.
Если у вас есть динамометр, калибро-
ванный в ньютонах, поиграйте с ним,
чтобы знать, можете ли вы мизинцем
тянуть с силой 1 ньютон (1 Н), или 10
Н, или 100 Н. Литр воды или молока
весит около ЮН. Фунт примерно равен
4,5 Н.
I Вопрос 4-3
Какую наибольшую силу вы можете
создать своим телом?
ВИДЫ сил
Мы встречаемся со множеством раз-
личных видов сил. Силы могут созда-
ваться резиновыми лентами и пружина-
ми, нашими мышцами, стальными зажи-
мами, сжатыми газами. Приложение сил
может быть и невидимым, даже через
твердые тела и пустоту, как в случае тя-
готения, электричества и магнетизма.
Независимо от того, чем вызваны силы,
производимые ими действия можно рас-
сматривать общими методами. Мы уз-
наем о существовании силы, если
объект оказывается деформированным
или подверженным ускорению.
Возможно даже еще большее упро-
щение. Все перечисленные выше силы,
да и практически все другие, в действи-
тельности обусловлены либо тяготе-
нием, либо электромагнетизмом. Как
мы увидим значительно позже, электри-
ческие и магнитные эффекты предста-
вляют собой просто разные стороны
одного и того же физического явления.
Совместное действие электромагнитных
сил отвечает за строение атомов и мо-
лекул и тем самым отвечает за все обыч-
ные физические, химические и биологи-
ческие силы. На самом деле, кроме
тяготения и электромагнетизма, суще-
ствует еще только два типа взаимодей-
ствий: сильное ядерное и слабое ядер-
ное. Они отвечают за строение атомных
ядер и за некоторые виды радиоактив-
ности. На практике мы будем продол-
жать говорить о силах упругости пру-
жин и о силах сокращения мышц, хотя
каждая из них может быть представлена
как результат совместного действия
огромного числа электромагнитных
взаимодействий между атомами и моле-
кулами.
Хотя мы будем в первую очередь ин-
тересоваться результатом действия
силы на определенное тело, не следует
забывать о том, что сила не может воз-
никнуть из ничего и действовать только
на это тело. Сила может существовать
только как взаимодействие между дву-
мя телами. Если вы растягиваете паль-
78
цем резинку, она удлиняется, а мякоть
пальца сдавливается. Палец ощущает
силу, оттягивающую его от кисти. Что
касается резинки, на нее действует такая
же сила, но направленная противопо-
ложно. Это все одно и то же взаимодей-
ствие. Если резинку растягивает сила
10 Н, то такая же сила 10 Н оттягивает
и ваш палец.
Допустим, что вы привязали один
конец веревки к стене и тянете ее, ис-
пользуя динамометр для измерения
приложенной силы. Веревка натянется
и немного удлинится на всем своем
протяжении. Веревка испытывает натя-
жение, что другими словами выражает
тот факт, что к ней приложена сила. Си-
лу натяжения веревки в любом месте
можно измерить, вставляя туда динамо-
метр. Если вы тянете с силой 36 Н,
вставленный в веревку динамометр по-
кажет силу натяжения 36 Н. Теперь из-
мените условия так, чтобы еще кто-ни-
будь тянул за другой конец веревки.
Чтобы веревка не пришла в движение,
он тоже должен тянуть с силой 36 Н.
Чему теперь равна сила натяжения ве-
ревки? — По-прежнему 36 Н, как вы ви-
дите на фотографии. Что касается верев-
ки, она остается неподвижной и слег-
ка удлиняется, потому что равные силы
(по 36 Н каждая) действуют в противо-
положных направлениях на каждый ее
кусочек.
Вопрос 4-4
Если груз, весящий 4 Н, подвесить
с помощью шнурка к динамометру,
сила натяжения шнурка будет равна
4 Н. Предположим, однако, что шну-
рок перекинут через крюк динамоме-
тра и может скользить по нему,
а другой конец шнурка тянут вниз,
чтобы уравновесить подвешенный
груз. Это устройство действует как
блок, а верхний динамометр изме-
ряет полную силу, приложенную
к нему со стороны шнурка. Чему
равна сила натяжения шнурка? Чему
равна полная сила, измеряемая верх-
ним динамометром? Проверьте от-
вет на опыте.
ДЕФОРМАЦИИ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
Легко видеть, что происходит, когда
вы растягиваете маленькую слабую пру-
жинку. Деформация, или удлинение,
происходит в направлении растягиваю-
щего усилия и может быть измерено
линейкой. Если, однако, надавить на
пружину дивана, направленное усилие
вызовет деформации, простирающиеся
вширь на некоторое расстояние. Неко-
торые соседние внутренние пружины бу-
дут изогнуты. Картина покажется еще
более сложной, если вспомнить, что при
легком нажатии на пружину подвески
тяжелого автомобиля вы не увидите
79
никакой деформации. Аналогично не воз-
никает видимого искривления стола,
поддерживающего лежащую на нем
книгу. Когда к пружине подвешен груз,
пружина, очевидно, удлиняется благода-
ря его притяжению к Земле, но мы не
видим, чтобы какие-то деформации воз-
никали в самой Земле.
Во всех подобных случаях деформа-
ции возникают, хотя эффекты могут
быть малы, а также могут быть весьма
сложными в отношении пространствен-
ного распространения и направления.
Пружина тяжелого автомобиля не пре-
терпевает видимых изменений, если на
нее положить книгу, но она, конечно,
сжимается под тяжестью автомобиля.
Прогиб стола под тяжестью книги на
глаз не заметен, но его легко обнару-
жить с помощью оптических приборов
Инженеры используют различные меха-
нические и электронные устройства для
измерения расширений или сжатий
пола и балок, иногда вплоть до вели-
чин, меньших диаметра атома. Конечно,
когда силы достаточно велики, они
могут вызвать заметные деформа-
ции даже в очень твердых и больших
телах. Приводимые фотографии показы-
вают два случая деформации твердых
тел. Материал мяча для гольфа может
после удара клюшкой разжаться и вос-
становить сферическую форму мяча.
В случае автомобиля деформация пре-
высила предел упругости материала.
Нам придется развить атомную модель
строения вещества, которая могла бы
объяснить оба эти случая
Можно надеяться по крайней мере,
что твердая Земля и закрепленные в ней
массивные фундаменты сохраняют не-
подвижность. Но это, конечно, не так,
что хорошо знает каждый, кто пережил
землетрясение. Вызываемые титаниче-
скими силами искажения Земли еже-
дневно наблюдают те, кто живет вблизи
морских берегов. Приливы вызываются
деформацией океанов под действием
сил гравитационного притяжения к Лу-
не и Солнцу. Подобные приливы, хотя
и гораздо меньшие, происходят в твер-
дой коре самой Земли.
Вопрос 4-5
Если атомы столь малы, что их не-
возможно увидеть (по крайней мере
невооруженным глазом), как удается
измерить деформации, меньшие диа-
метра атома?
СВЯЗЬ СИЛЫ И ДЕФОРМАЦИИ
В «Знакомстве с явлениями» вы под-
вешивали к пружине одинаковые тела
При этом были сделаны предположе-
ния, что их вес — это сила и что такие
силы складываются обычным арифме-
тическим способом, если они действуют
в одном направлении. При использова-
нии этих предположений точный экспе-
римент (а может быть, и опыт, проде-
ланный вами) с обычными пружинами
демонстрирует замечательную просто-
ту. Деформация, или удлинение, пропор-
циональна приложенной силе. При уве-
личении силы вдвое удваивается и удли-
нение:
F ~ х.
80
Это соотношение называется зако-
ном Гука. Роберт Гук (1635 — 1703) был
современником Ньютона. Его слава
бледнеет в сиянии славы великого Нью-
тона, хотя он сделал много незави-
симых открытий и почти предвосхитил
некоторые из работ Ньютона.
Здесь следует отметить два важных
момента, почти противоречащих друг
другу. Во-первых, как вы возможно убе-
дились, подвешивая грузы к резиновой
ленте, не все материалы согласуются со
сделанными предположениями и (или)
с законом Гука. В действительности, ес-
ли бы все материалы вели себя подобно
резиновым лентам, мы не смогли бы
выяснить, нарушаются ли наши предпо-
ложения, или же несправедлив закон
Гука.
Вопрос 4-6
Предположим, что для большинства
упругих материалов два груза вызы-
вали бы в четыре раза большее уд-
линение, чем один груз, а три гру-
за — в девять раз большее удлине-
ние. Какие заключения пришлось бы
сделать относительно наших предпо-
ложений, или как бы мы сформули-
ровали закон Гука?
Второй важный момент состоит
в том, что, поскольку закон Гука выпол-
няется для многих материалов, можно
использовать устанавливаемую им
связь для практического определения
силы. Можно выбрать определенную
пружину, назвать ее «международной
стандартной пружиной» и постановить,
что эта пружина развивает единичную
силу, когда она подвержена единичному
удлинению. Обратите внимание, можно
сказать, что единичная восстанавливаю-
щая сила действует со стороны пру-
жины, когда она растянута на единич-
ную длину, или что нужна единичная
сила, чтобы настолько удлинить пружи-
ну. Восстанавливающая сила равна по
модулю растягивающей силе, но эти
силы имеют противоположные напра-
вления.
Стандартная единица силы — нью-
тон — в действительности определена
другим способом. Для этого исполь-
зуется другое свойство силы — неурав-
новешенная сила вызывает ускорение.
Мы введем это определение в следую-
щей главе, а пока мы можем использо-
вать удлинения калиброванных пружин,
чтобы прикладывать заданные силы.
Закон Гука можно записать в виде
уравнения вместо пропорции, если про-
сто ввести коэффициент пропорциональ-
ности : Fвосст = — кх.
Восстанавливающая сила равна про-
изведению некоторой константы на уд-
линение и направлена в сторону, противо-
положную удлинению. Коэффициент про-
порциональности к должен зависеть от
типа материала пружины, ее размера
и способа изготовления. Тяжелая свин-
цовая пружина может иметь очень
малое значение к. На самом деле свин-
цовая пружина может и совсем не под-
чиняться закону Гука. Все зависит от
того, какой сплав свинца использован,
как изготовлена пружина и насколько
велика деформация. Конечно, можно
и не делать свинцовых пружин, но суще-
ствуют и полезные пружины, которые
тоже не подчиняются закону Гука. Возь-
мите, например, пружины в бобинах
привязных ремней или в измерительных
сматывающихся рулетках. Если бы здесь
восстанавливающие силы были пропор-
циональны удлинению, привязные
ремни душили бы вас в кресле,
а обратный ход ленты рулетки был бы
опасен.
Вопрос 4-7
Каким для таких устройств должен
быть закон, связывающий восстана-
вливающую силу с удлинением?
Г рафик функции F = — кх показан
на рисунке. Обратите внимание, что
Зависимость F(х) для пружины, подчиняю-
щейся закону Гука. I (х)= * кх
81
F отрицательно, когда х положительно,
и наоборот. Восстанавливающая сила
направлена противоположно деформа-
ции. Если этот график изображает пове-
дение реальной пружины, начало отсче-
та для х должно быть выбрано так,
чтобы были возможны как растяжение
(положительные х), так и сжатие (отри-
цательные х). Наклон прямой на графи-
ке равен ДЕ/Дх, что совпадает с — к.
В данном случае жесткость пружины
равна 200 Н/м. Если начальная длина
этой пружины равна 10 см и ее растяги-
вает сила 6 Н, какова будет ее длина?
Удлинение х = F/k, где опущен знак
« — », потому что здесь под F понимает-
ся приложенная к пружине растя! иваю-
щая, а не восстанавливающая сила.
Подставив числа, получим
х = ———;— — 3 • 10“ 2 м = 3 см.
200 Н/м
Таким образом, длина растянутой
пружины будет 13 см.
Вопрос 4-8
Какой будет длина этой пружины,
если ее растягивать силой 200 Н?
ДАВЛЕНИЕ, НАПРЯЖЕНИЕ
И НАТЯЖЕНИЕ
Многие люди постоянно живут в
напряжении, и все мы испытываем
приводящее к стрессам давление совре-
менных условий жизни. Техническое
значение этих повседневных выражений
не слишком сильно отличается от оби-
ходного. Давление и напряжение — это
подобные величины, хотя давление ис-
пользуется при описании явлений в га-
зах или жидкостях, а напряжение отно-
сится к твердым телам. В обоих случаях
этим термином обозначается сила, дей-
ствующая на единичную площадь.
Совершенно ясно, что понятия да-
вления и напряжения необходимы для
описания обыкновенных явлений. На-
пример, вы можете легко приложить си-
лу 10 Н, нажимая большим пальцем на
чертежную кнопку. Перевернув кнопку,
попытайтесь, однако, приложить ту же
силу к острию. В первом случае давле-
ние около 10 Н на квадратный санти-
метр, или 105 Н/м2. Во втором случае
82
давление может достичь 10 Н на одну
десятую миллиметра в квадрате, то есть
109 Н/м2. Та же самая сила создает
в 10000 раз большее давление.
Мы живем на дне огромного воз-
душного океана. Атмосфера давит на
нас одинаково со всех сторон и изнутри.
Если бы внутри нас был вакуум, мы бы-
ли бы раздавлены. В таких условиях
бессодержательно спрашивать о силе,
действующей со стороны атмосферы,
если только не указать площадку, к ко-
торой она приложена. Вместо этого мы
указываем атмосферное давление. Нор-
мальное атмосферное давление на уров-
не моря равно 1,013 105 Н/м2. (Сравни-
те его с давлением, которое вы оказы-
ваете на чертежную кнопку.)
В стандартной демонстрации дей-
ствия атмосферного давления создают
вакуум в прямоугольной жестяной кани-
стре. Это можно сделать с помощью ва-
куумного насоса или кипячением воды
в канистре, пока пар не вытеснит весь
воздух наружу, и затем завинтить про-
бку. Когда пар сконденсируется, давле-
ние в канистре упадет почти до нуля.
На фотографии показано, что при этом
получается.
Широкая сторона канистры имеет
площадь 20 х 30 см2, то есть 600 см2,
или 0,06 м2. Если атмосферное давление
снаружи равно 1 • 105 Н/м2, а давление
внутри равно нулю, то канистра должна
противодействовать силе, равной про-
изведению давления на площадь:
F=pS =
= (1 • 105 Н/м2)(6-10“2 м2) = 6-103 Н.
Тело, масса которого 1 тонна, имеет вес
около 104 Н. Неудивительно, что кани-
стра оказывается расплющенной.
Атмосферное давление равно весу
столба воздуха, деленному на площадь
поперечного сечения столба. Высота
этого столба весьма неопределенная,
так как некоторые следы атмосферы
н/мг
Р-10ДН
^норм ~ Ю,1Н
простираются до высоты нескольких со-
тен километров над поверхностью Зе-
мли. Большая часть воздуха содержит-
ся, однако, в первых 30 километрах,
и его давление уменьшается по мере
продвижения вверх. Атмосферное давле-
ние часто выражают через высоту стол-
ба ртути или столба воды, создающего
такое же давление. Стандартный
ртутный барометр состоит из длинной
трубки, запаянной с одного конца и за-
полненной ртугью. Если трубку пере-
вернуть вверх дном, погрузив ее нижний
открытый конец в чашку со ртутью,
ртуть будет вытекать из трубки, пока
давление на уровне ртути в чашке, со-
здаваемое весом столба ртути в трубке,
не сравняется с атмосферным давле-
нием.
Нормальное атмосферное давление
на уровне моря удерживает столб ртути
высоты 76,0 см. (В Денвере, штат Коло-
радо, находящемся на высоте 1,6 км над
уровнем моря, нормальное атмосферное
давление удерживает столб ртути вы-
соты 64 см.) Поскольку плотность ртути
в 13,6 раза больше плотности воды,
стандартное атмосферное давление
удерживает столб воды высоты
76,0 -13,6 см, или 10,3 м. Такой столб
имеет высоту трехэтажного дома. Это
также максимальная глубина, с которой
можно качать воду из колодца с по-
мощью простого всасывающего насоса.
На практике одноступенчатые всасы-
вающие насосы не применяют для подъ-
ема воды с глубин, превышающих 8 м.
Обратите внимание, что нет необхо-
димости указывать площадь поперечно-
го сечения ртутного или водяного стол-
ба. Совершенно безразлично, будет эта
площадь равна 1 м2 или 1 см2. Давление
будет тем же самым. Полная сила, со-
здаваемая весом столба ртути высоты
76 см с площадью сечения 1 м2, равна
1 -105 Н. Это очень много ртути! Ат-
мосферное давление действует с такой
же силой на площадку 1 м2. Полная си-
83
ла, создаваемая весом столба воды вы-
соты 10,3 м, но с площадью поперечно-
го сечения 1 см2, равна всего лишь 10,1 Н.
Она создает давление 1 • 105 Н/м2, что
тоже равно атмосферному давлению.
(По случайному совпадению объем
такого столба воды составляет около
1 л, а его масса — около 1 кг.)
Давление, оказываемое жидкостью
или газом на погруженное тело, дей-
ствует на него со всех сторон. Напри-
мер, атмосфера отнюдь не прижимает
вас к земле. Если вы распрямите кисть
руки, то на ладонь будет действовать
почти такая же сила, как и на тыльную
сторону. Оказывается, что давление
в жидкости или газе не имеет опреде-
ленного направления. К поверхности те-
ла можно приложить силу в любом на-
правлении, но в жидкости или газе
боковые силы, действующие вдоль по-
верхности, привели бы жидкость или газ
в движение. В стационарных условиях
в жидкости или газе силы могут дей-
ствовать только перпендикулярно к по-
верхностям.
ность. Перпендикулярную к поверхности
составляющую силы, приложенную
к единичной площади поверхности твер-
дого тела, принято называть не давле-
нием, а нормальным напряжением.
(«Нормальное» здесь означает «перпен-
дикулярное».) Параллельная составляю-
щая силы, приложенная к единичной
площади поверхности твердого тела, на-
зывается сдвиговым напряжением.
Дав кипя в соиуле t piju.io
10 5н/мг
105H/mZ
Ж
1,2м
2
t 105H/mz t
Ъ—1,0-'105Н/м 1	1о5H/M 2
\1,&105H/mz	1,&105H/mz
---- ₽ , ,	22.'105H/mz
2,2'105h/mZ
 | 2,6-105h/mz
105н/мг
Вопрос 4-9
Почему поднимается наполненный
водородом аэростат, если действую-
щее на него атмосферное давление
одинаково со всех сторон?
Если действующая на твердую по-
верхность сила приложена под неко-
торым углом, перпендикулярная к по-
верхности составляющая этой силы бу-
дет сжимать твердое тело. Параллель-
ная поверхности составляющая силы
будет сдвигать или «срезать» поверх-
Напряжение, приложенное к реаль-
ному материалу, может приводить
к очень сложным результатам. Ре-
альные газы и жидкости могут выдер-
живать слабые сдвиговые напряжения,
по крайней мере кратковременные, при
этом заметного течения их не возни-
кает, а реальные твердые тела под дей-
ствием сдвиговых напряжений могут
течь. Более того, молекулярная структу-
ра большинства твердых тел характери-
зуется упорядоченностью по направле-
ниям. Примерами могут служить струк-
84
тура кристаллов или волокнистое строе-
ние дерева. Реакция такого материала
на приложенное напряжение различна
по разным направлениям.
Для геометрии определенного типа
удобно давать специальное название ре-
акции материала на приложенное на-
пряжение. Если, например, напряжение
приложено вдоль длины проволоки или
стержня, реакция оказывается сравни-
тельно простой: происходит удлинение.
Напряжение дается отношением прило-
женной силы к площади поперечного се-
чения: напряжение = F/S. Если нам го-
ворят, что напряжение 1О10 Н/м2 вызва-
ло удлинение проволоки на 1 см, то
у нас нет никакой возможности судить
о том, мною это или мало. Если исход-
ная длина проволоки была 10 см, то ее
растяжение огромно. Если же первона-
чальная длина была 10 км, то растяже-
ние незначительно. Здесь важно относи-
тельное удлинение или относительное
растяжение, определяемое как ДЕ/Е. Ис-
пользуя его, закону Гука можно при-
дать более утонченную форму, связав
приложенное напряжение и относитель-
ное удлинение для деформации просто-
го растяжения в одном направлении.
Напряжение пропорционально относи-
тельному удлинению:
F/S ~ ДЕ/Е.
Коэффициент пропорциональности
имеет специальное название — модуль
Юнга:
F	ДЕ
— = Е----, так что Е =
S	Е
F/S
&L/L
Модуль Юнга измеряется в ньютонах
на квадратный метр, поскольку здесь
знаменатель равен отношению двух
длин и поэтому безразмерен. (Англий-
ский ученый Томас Юнг (1773 — 1829)
отличался необычайной широтой интере-
сов. Наибольшую известность принесла
ему демонстрация волновой природы
света; он также был одним из первых,
кто пытался расшифровать египетские
иероглифы.)
Модуль Юнга может показаться ю-
раздо более сложной величиной, чем
жесткость к в приведенной раньше фор-
муле закона Гука. Вспомним, однако,
что величина к характеризует лишь од-
ну определенную пружину. Она зависит
от типа материала пружины, ее длины,
поперечного сечения проволоки и геоме-
трии навивания. Модуль Юнга, напро-
тив, характеризует только свойства
определенного материала. Он применим
только к деформации одностороннего
растяжения, причем длина и площадь
поперечного сечения уже приняты во
внимание. В таблице приведены значе-
ния модуля Юнга для ряда материалов.
Обратите внимание, что все они имеют
одинаковый порядок величины. Позднее
мы потребуем, чтобы наша атомная мо-
дель вещества объяснила этот факт,
и свяжем значение модуля Юнга с си-
лой взаимодействия атомов.
Модуль Юнга (Е) и модуль всестороннего
(объемного) сжатия (В)
Материал	Е, 10’ Н/м2	В, 10’ Н/м2
Алюминий	70	70
Медь	91	61
Сталь	190	100
Никель	210	260
Вольфрам	360	200
Золою	16	8
Стекло	55	37
Нейлон	5	
Кость	20	
Вода	—	2
Спирт (этиловый)	—	0
Ртуть	—	27
Вопрос 4-10
Модуль Юнга для меди равен 1 • 1011
Н/м2. Предположим, что вы создаете
напряжение 1011 Н/м2 в медной про-
волоке диаметра всего 0,1 мм — тон-
кой, как нитка. Площадь поперечно-
го сечения такой проволоки около
(10“4)2 = 10'8 м2. Чтобы создать
напряжение 1011 Н/м2, нужна сила
1103 Н. Но сила 103 Н — это вес груза
примерно в 1/10 тонны! Может
ли столь тонкая проволока выдер-
жать на самом деле такое на-
пряжение?
Для описания связи напряжения
и относительной деформации вещества
используют и другие модули, подобные
модулю Юнга. Модуль сдвига предста-
вляет собой отношение сдвигового на-
85
пряжения к выражаемой в угловой мере
деформации сдвига. Модуль всесторон-
него (объемного) сжатия, который нам
будет нужен позднее, используется для
описания того, что происходит с веще-
ством, когда оно стиснуто со всех сто-
рон (а не просто растягивается в одном
направлении). Он равен отношению до-
полнительного давления к относитель-
Др
ному изменению объема: В= —ду/у
Знак « — » указывает, что увеличение да-
вления вызывает уменьшение объема.
В приведенной выше таблице указаны
также значения модуля объемного сжа-
тия для ряда материалов. Отметьте со-
отношение этих значений у твердых тел
и жидкостей.
Если бросить в море алюминиевый
куб, он будет погружаться, потому что
его плотность в 2,5 раза больше плот-
ности соленой воды. Если он опустится
в одну из глубоких океанских впадин,
возможно ли, что в результате сжатия
его плотность увеличится? Или же соле-
ная вода сжимается настолько сильно,
что ее плотность станет такой же боль-
шой, как у алюминия, в результате чего
погружение куба прекратится?
Из таблицы модулей объемного сжа-
тия следует, что сжимаемость воды при-
мерно в 35 раз больше, чем алюминия.
В первом приближении можно прене-
бречь влиянием увеличения давления на
объем алюминия и принять во внима-
ние только влияние на воду. Давление
под водой в первом приближении дает-
ся выражением
Р = Ро +
+ (вес единицы объема воды)  (глубина),
где р0 — атмосферное давление. Если
сжатие морской воды приводит к значи-
тельному увеличению ее плотности, эта
формула не будет справедлива, так как
она написана в предположении постоян-
ной плотности. Проверим это предполо-
жение, подсчитывая, что данная форму-
ла предсказывает для глубины 10 км.
Вес единицы объема соленой воды —
около 1 • 104 Н/м3. На глубине 10 км уве-
личение давления составляет (1104
Н/м3) (1 • 104 м) = 1  108 Н/м2. Это при-
мерно в 1000 раз превосходит атмосфер-
86
ное давление. Относительное изменение
объема (и, следовательно, плотности)
морской воды должно быть
ДЕ Др	1 -108 Н/м2
---= -— =------5--= 0,05 =
V	В	2-Ю9 Н/м2
= 5 °/
/о*
Пятипроцентное возрастание плотности,
конечно, вполне доступно измерению,
но оно никак не повлияет на то, будет
алюминий тонуть или нет. Более того,
этот эффект достаточно мал, чтобы
оправдать использованное приближение
постоянной плотности при подсчете да-
вления по приведенной формуле.
НАПРАВЛЕННЫЙ ХАРАКТЕР СИЛ
Знакомясь с явлениями, вы видели,
что две одинаковые силы, приложенные
к одному телу, не обязательно создают
удвоенный эффект действия одной из
сил. Силы могут усиливать действие
друг друга или сводить его на нет. Силы
характеризуются как числовым значе-
нием, так и направлением
Такими свойствами обладают век-
торы, но это еще не означает, что силы
ведут себя как векторы. Существуют
другие физические величины, характери-
зующиеся числовыми значениями и на-
правлениями, но все же не являющиеся
векторами. Например, описание напря-
жений на более высоком уровне дается
величиной, называемой тензором. Тен-
зоры складываются с другими тензора-
ми более сложным образом, чем век-
торы. Именно на основании правил
сложения можно определить, отобра-
жается ли данная физическая величина
вектором. Если две силы складываются
тем же способом, что и два перемеще-
ния, то они представляют собой век-
торы. Опыт показывает, что силы ведут
себя именно таким образом. Важно
подчеркнуть, что это — эксперименталь-
ный факт, который нельзя доказать
с помощью только логических рассу-
ждений.
Вопрос 4-11
Как складываются перемещения? Ес-
ли вы пройдете 8 м на восток и 6 м
на север, как далеко вы будете от
начальной точки?
Обращаясь с перемещениями, мы
всегда выбирали в качестве осей два
взаимно перпендикулярных направления
(таких, как направления на север и на
восток) и разлагали векторы всех пере-
мещений на составляющие вдоль этих
осей. Затем мы складывали компоненты
всех перемещений вдоль каждой оси по
отдельности и находили результирую-
щее перемещение с такими полными
компонентами. Рассмотрим пример та-
кой же процедуры с силами.
Чему равна результирующая сила на
следующем рисунке? В таких задачах
бывает полезно сделать набросок с при-
близительным соблюдением масштаба.
Обычно это экономит время. Обозначь-
те все векторы и углы. Штриховыми ли-
ниями изобразите компоненты каждого
вектора. Обозначьте модули этих ком-
понент. Как только вы сделаете рисунок
с должными обозначениями, задача по-
чти решена. Сложите по отдельности
компоненты вдоль двух взаимно пер-
пендикулярных осей. Найдите результи-
рующий вектор, пользуясь масштабным
рисунком и теоремой Пифагора.
Иногда векторы следует разлагать
на составляющие, которые перпендику-
лярны друг к другу, но не направлены
по вертикали и горизонтали. В следую-
щем примере сила тяжести, действую-
щая на брусок на наклонной плоскости,
уже направлена по вертикали. Но мы
10,6
Результирующая сила =
= |/(1оЖ+(ЗД)2 =н,о
хотим выяснить, какая часть этой силы
действует перпендикулярно к плоскости
и какая — параллельно.
Чтобы выяснить, который из углов
векторного треугольника равен 30°, сле-
дует сопоставить взаимно перпендику-
лярные стороны в подобных треуголь-
никах. Заметьте также, что рисунок,
выполненный с разумной долей внима-
ния к масштабу, оказывает большую
помощь в проверке результатов.
РАВНОВЕСИЕ СИЛ
До сих пор рассматривались только
такие ситуации, в которых силы уравно-
вешивают друг друга. Удлинение пру-
жины вызвано силой, которая растяги-
вает пружину, но эта сила уравновешена
восстанавливающей упругой силой
в пружине, такой же по модулю, но на-
правленной противоположно. В таких
условиях сама пружина неподвижна. На
лежащую на столе книгу действует сила
гравитационного притяжения к Земле.
Едва заметное сжатие стола свидетель-
ствует о том, что со стороны столеш-
ницы на книгу действует направленная
вверх сила. Книга в этом случае непо-
движна, потому что эти две силы урав-
новешивают друг друга. Такие ситуации
описываются первым из трех законов
Ньютона: если векторная сумма всех
сил, приложенных к каждой точке тела,
равна нулю, то тело сохраняет неизмен-
ную скорость. В частности, если началь-
ная скорость равна нулю, она и останет-
ся равной нулю. Позднее будут рассмо-
трены случаи, когда силы уравнове-
шены, но скорость не равна нулю.
Не всегда легко удается наблюдать
деформации, для того чтобы на этом
основании определить, что векторная
сумма действующих на'‘тело сил равна
нулю. Можно обратить утверждение
87
первого закона Ньютона и использо-
вать его как определение условий, при
которых результирующая сила равна
нулю. Если тело сохраняет постоянную
скорость (в некоторой системе отсче-
та), то можно заключить, что дей-
ствующая на него результирующая сила
равна нулю (в этой системе отсчета).
Немного позднее мы увидим, зачем
в этом определении нужны заклю-
ченные в скобки условия.
Вопрос 4-12
Не кажется ли вам, что это опреде-
ление теряет всякий смысл за преде-
лами кабинета физики? Чтобы под-
держивать движение автомобиля
с постоянной скоростью, разве не
требуется весьма значительная тол-
кающая его сила? Когда вы видите
движущийся с постоянной скоростью
автомобиль, вы знаете, что двига-
тель или еще что-то обеспечивает
эту силу. Зачем вводить определение
для нулевой силы, противоречащее
обычным наблюдениям?
Условие, когда скорость не изме-
няется, можно записать в виде
£F = 0.
Символ £ означает «сумма». Сумма
сил, действующих на каждую точку те-
ла, должна быть равна нулю. Не забы-
вайте, однако, что это векторная сумма.
Поскольку каждый вектор можно раз-
ложить на составляющие вдоль трех
взаимно перпендикулярных осей,
первый закон Ньютона требует, чтобы
сумма каждой группы составляющих
была равна нулю:
£Fx = 0,	=	1Л=0-
1. На рисунке показаны лук и стре-
ла, причем стрелу оттягивают назад
с силой 200 Н. Тетива оказывает сопро-
тивление этому оттягивающему усилию,
а изогнувшийся лук сдерживает натяже-
ние тетивы. Возникает впечатление, что
силы действуют всюду! Однако можно
сильно упростить исследование, рассма-
тривая только стрелу, и, в частности,
только упирающийся в тетиву конец
стрелы с прорезью. Его скорость по-
стоянна, а именно равна нулю. Поэтому
88
200~2FHsy,nl0°=0
2F»(,0.17)=200
F„=590H
= ° о
FH с o s 10°~Fh с о s 10 °=0
сумма действующих на него сил должна
быть равна нулю. Вот первое и главное
правило при анализе сил, действующих
в сложной системе: ВЫДЕЛИТЕ ТЕ-
ЛО. Обведите кружком рассматри-
ваемую точку тела и затем нарисуйте
и обозначьте действующие на нее силы.
Именно это сделано на второй части
рисунка. Мы также следовали другим
правилам о разложении каждого векто-
ра на составляющие и обозначении их
модулей. В рассматриваемом частном
двумерном случае нет составляющих
в направлении оси z. Сложите соста-
вляющие всех сил в направлении оси
х и приравняйте эту сумму нулю. Сде-
лайте то же самое для у-составляющих.
В данном примере это позволяет найти
составляющие силы натяжения тетивы,
зная которые, можно найти саму силу
натяжения.
Кстати, обратите внимание, насколь-
ко велика эта сила натяжения по сравне-
нию с силой, оттягивающей стрелу. Та-
кая ситуация известна как задача
о бельевой веревке. Поверните всю си-
стему на 90°, чтобы веревка стала гори-
зонтальной и могла служить для сушки
белья. Натяните ее посильнее, чтобы
угол 0 был очень мал, и затем подвесь-
те посередине мокрую одежду. Натяже-
ние при этом может стать настолько
большим, что веревка разорвется,
сбрасывая белье и демонстрируя законы
физики. Это может случиться даже тог-
да, когда веревка способна выдержать
силу натяжения, значительно превосхо-
дящую действительный вес одежды.
2. Рассмотрим упрощенную задачу
о мачте и стреле. Примем для про-
стоты, что сама стрела невесома и что
она «работает» только на сжатие вдоль
своей длины. В более реалистической
ситуации, к которой мы вскоре обра-
тимся, стрела должна иметь вес, частич-
но поддерживаемый мачтой в точке их
соединения. Более того, если бы стрела
была жестко прикреплена к мачте с по-
мощью кронштейна, она могла бы
удерживать груз без всякой веревки. Но
сначала, однако, решим задачу для про-
стейшего случая.
Обратите внимание, что силы на ри-
сунке изображены в разумном масшта-
бе, единственный вектор, не напра-
вленный вдоль осей х, у, разложен на
Сит дабления-Тсозб0°=0
ZFy-О	Сила давлениями,5T=Zf&H
Tsv}80°-50H=0
0,87 Т=500Н
Т=575Н
составляющие, надписаны обозначения
всех сил и точка приложения сил обве-
дена кружком, чтобы убедиться, что все
действующие на нее силы учтены. И сно-
ва сила натяжения веревки больше,
чем вес удерживаемого груза.
Вопрос 4-13
Нельзя ли применить это устройство
для получения большой силы натя-
жения веревки, чтобы выдернуть за-
битый в мачту гвоздь? Каким дол-
жен быть угол между веревкой
и стрелой, чтобы получить десяти-
кратный эффект увеличения прило-
женной силы?
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ
Вполне возможно, что все действую-
щие на тело силы уравновешены, и все
же тело будет ускоряться! Подобный
пример приведен на рисунке.
F=1QH
Обратимся еще раз к формулировке
первого закона Ньютона, приведенной
на с. 87. Тело находится в равновесии
лишь тогда, когда все действующие
силы компенсируют друг друга в ка-
ждой точке тела. Если линии действия
сил проходят через одну и ту же точку,
а их сумма равна нулю, то это условие
автоматически выполняется. Если, одна-
ко, силы приложены в разных точках
f2+f3=o
Условия равновесия выполняются (а) и не вы-
полняются (б)
89
тела и действуют в различных направле-
ниях, для равновесия должно выпол-
няться еще одно условие. Моменты всех
сил, или вращающие моменты, должны
компенсировать друг друга.
Когда вы действуете на тело некото-
рой силой так, чтобы скрутить его или
повернуть вокруг оси, вы создаете дей-
ствующий на тело вращающий момент.
Открывая двери, вы познали многие
свойства вращающих моментов.
Вопрос 4-14
Допустим, вы собираетесь открыть
тяжелую дверь. Как вы будете ее
толкать: вблизи петель или вблизи
ручки? Параллельно двери или пер-
пендикулярно к ней?
Эффективность вращающего момен-
та зависит от силы, длины радиус-век-
тора, проведенного от оси в точку ее
метр, или джоуль, представляет собой
совершенно другую физическую вели-
чину.)
Момент силы обозначают симво-
лом М.
Момент силы характеризуется не
только модулем, но и направлением. Он
стремится вызвать вращение вокруг оси
либо по часовой стрелке, либо против,
а ось сама имеет некоторое направле-
ние. Оказывается, что наиболее раз-
умный способ указать направление вра-
щающего момента — это сказать, что он
направлен вдоль этой оси, в одну ее
сторону или в противоположную. В слу-
чае вращающих моментов, прило-
женных к двери, их направление будет
либо вверх, либо вниз вдоль линии пе-
тель. Будет ли это направление вверх
или вниз, определяется стандартным со-
глашением: пусть пальцы правой руки
согнуты в направлении, в котором мо-
мент стремится повернуть дверь. Тогда
большой палец будет указывать напра-
вление вращающего момента. Это пока-
зано на рисунке.
Момент силы представляет собой
произведение двух векторных физиче-
ских величин: радиус-вектора и силы.
Выше векторные величины были опре-
Вращаюишй
MQMeHm-(R/2.)F
R
•аг
Вращающий Вращающий о
момент =RF момент -RF s in 3 О
приложения, и от угла между радиус-
вектором и силой. Только лишь перпен-
дикулярная к этому радиус-вектору со-
ставляющая силы стремится повернуть
тело. Вращающий момент равен про-
изведению длины радиус-вектора и пер-
пендикулярной к нему проекции силы.
Составляющая силы, параллельная ра-
диус-вектору, просто толкает или тянет
ось.
В системе единиц СИ вращающий
момент выражается в метрах на нью-
тон. Эта единица не имеет специального
названия. (Как мы увидим в главе 9, ра-
бота и энергия также измеряются в еди-
ницах, образованных как произведение
силы и расстояния. Однако ньютон на
делены способом их сложения. Что зна-
чит перем пожить два вектора? Мы
Вращающий
момент
90
могли бы определить произведение,
как нам угодно, лишь бы была некото-
рая согласованность в способе примене-
ния такого определения. К счастью, су-
ществует подходящий математический
аппарат, в котором по определению
векторное произведение введено как раз
так, что оно должным образом описы-
вает поведение вращающих моментов.
Векторное произведение двух векторов,
обозначаемое косым крестом, само
представляет собой вектор, напра-
вленный перпендикулярно к каждому из
сомножителей и по модулю равный
произведению их модулей на синус угла
между ними (под углом между вектора-
ми понимают угол между их направле-
ниями):
М = г х F, | М | = |г | | F | sin 0.
Векторное произведение обладает
некоторыми необычными свойствами.
Оно некоммутативно: А хВ/В х А.
Вместо этого можно написать А хВ =
= — В х А. Так получается потому, что
по определению векторное произведе-
ние имеет направление, в котором пере-
мещается правый винт, когда вы пово-
рачиваете первый вектор до совмещения
со вторым. То же направление дается
и правилом правой руки, как было по-
казано выше.
Возможно, вам будет небезынтерес-
но обнаружить, что на самом деле век-
торное произведение не является векто-
ром! Если направление всех составляю-
щих обычного вектора изменить на
противоположное, то и сам вектор бу-
дет направлен в противоположную сто-
рону. Если Fx -> — Fx и Fy^> — Fy, то
F -» —F. Если же обратить направление
сомножителей в векторном произведе-
нии, то г —> — г, F-» -F, но М = г х F-»
-»(— г) х (— F) = г х F. Векторное про-
изведение не изменяется. Из-за такого
поведения векторное произведение на-
зывают псевдовектором.
РАВНОВЕСИЕ ВРАЩАЮЩИХ
МОМЕНТОВ
Второе условие равновесия тела за-
ключается в том, что сумма моментов
всех сил относительно любой точки
должна быть равна нулю. Это условие
легко проверить, потому что если
£ F = 0 и сумма моментов сил относи-
тельно какой-то определенной точки
также равна нулю, то сумма моментов
будет равна нулю относительно любой
другой точки. Несколько примеров, ил-
люстрирующих это утверждение, приве-
дены ниже.
Чтобы записать условия равновесия,
обведем на рисунке кружком все тело
и возьмем векторную сумму всех сил,
действующих на него извне. Затем вы-
берем любую удобную точку и сложим
вращающие моменты относительно оси,
проходящей через эту точку. Если обе
суммы равны нулю, тело находится в
равновесии:
£F = 0, £М = 0.
91
1.	Простые качели. Пусть двое ребя-
тишек одинакового веса сидят на каче-
лях. Действующие силы обозначены на
рисунке. Условие равновесия, касающее-
ся сил, приводит к очевидному резуль-
тату, что со стороны единственной
опоры в центре должна действовать на-
правленная вверх сила, равная полному
весу детей.
Второе условие, при выполнении ко-
торого не будет вращения, требует,
чтобы сумма моментов относительно
любой точки была равна нулю. Для это-
го простого случая попробуем взять не-
сколько точек:
относительно средней точки £ М = О,
r3xF3 + r2 xF2 + r| х Fj = О,
,2-200, + Q-400—,2-200, = 0;
1	2
относительно крайней точки £ М = 0,
П х Fi + r2 X F2 + r3 x F3 = 0,
0 • 200 -,2-400 + 4-200,= 0.
2	'
Здесь 1 — по часовой стрелке, 2 — против
часовой стрелки.
-2м 2'-1
F^200H	|	F3=200H
Fz-400H
Каждый раз мы выбирали осевую
точку так, чтобы через нее проходила
линия действия одной из сил. Этим
устранялся один из членов уравнения,
потому что в случае, когда линия дей-
ствия силы проходит через осевую точ-
ку, плечо силы равно нулю и вращаю-
щий момент равен нулю. Только для
того чтобы продемонстрировать, что
в равновесии компенсируются моменты
сил относительно любой точки, выберем
какую-нибудь маловероятную точку,
пусть даже не лежащую на качелях:
относительно точки в пространст-
ве £ М = 0,
Г; х Ft + г2 х F2 + г3 х F3 = 0,
2 • 200 — 4-400 + 6  200 = 0.
।________________
।________г2=4м_________
Точка, относительно
которой йерутоя
моменты сил
F3-20QH
Fz-bOOH
2.	Более сложные качели. Усложним
задачу о качелях, пытаясь добиться их
равновесия в случае, когда на них сидят
двое детей неодинакового веса. Сде-
лаем, однако, одно не слишком разум-
ное предположение о том, что доска ка-
челей невесома. Где следует располо-
жить точку опоры этой мифической
доски, чтобы она была в равновесии?
Относительно точки опоры
Ем = о,
Tj х Fj + r2 X F2 + r3 x F3 = 0,
- r3  200 + 0 • 500 + (4 - rj • 300 = 0,
-200I-! + 1200- 300^ = 0,
5OOr3 = 1200
r3 = 2,4 m.
Ff-ZOOH	F3=300H
Fz~ 500H
3.	Мачта и стрела с грузом. Раньше
задача о мачте и стреле была решена
92
с использованием лишь одного условия
равновесия сил. Однако в том примере
линии действия всех интересовавших
нас сил проходили через одну и ту же
точку, лежащую в конце стрелы. Услож-
ним задачу, подвесив еще один груз
в середине стрелы. Будем по-прежнему
предполагать, что сама стрела невесома.
Начнем с того, что будем рассматри-
вать устойчивость всей стрелы как твер-
дого тела, и поэтому примем во внима-
ние все действующие на нее силы.
Заметьте, что нельзя считать, будто
мачта просто толкает стрелу вдоль ее
длины. В точке их соединения действует
также сила, поддерживающая этот ко-
нец стрелы. Результирующая сила, с ко-
торой мачта действует на стрелу, не на-
правлена вдоль стрелы. Веревка может
передавать силы только вдоль собствен-
ного направления, но твердое тело мо-
жет выдерживать силы, приложенные
под любыми углами.
Выделив находящееся в равновесии
тело (стрелу), мы обозначили все силы
и расстояния, а затем выписали условия
равновесия для сил и их моментов. Хо-
тя можно было выбрать в качестве осе-
вой точки для моментов сил любую
точку, удобнее выбрать точку, через
которую проходят линии действия сил.
Тогда моменты таких сил равны нулю:
£гх = о, £гу = о,
Fr — Т cos 60° = 0,
FB - 500 - 500 + Tsin 60° = 0,
£м = о,
(L/2) 500 + L500 - LTsin 60° = 0.
Мы получили три уравнения с тремя не-
известными — Fn Fs и Т. В данном при-
мере нет необходимости знать истинное
значение длины стрелы. Обратите вни-
мание, что оно выпадает из третьего
уравнения:
Fr = 0,5 Т,
FB = 1000 - 0,877)
0,877"= 750 Н,
Fr = 410 Н,
FB = 250 Н.
4.	Человек на лестнице. Вот пример,
где силы действуют не перпендикулярно
93
к радиус-вектору, а радиус-вектор не
расположен ни вертикально, ни гори-
зонтально. И тем не менее силы следует
разложить на составляющие, которые ли-
бо перпендикулярны, либо параллельны
радиус-вектору. Задача состоит в том,
чтобы найти силы, действующие на
лестницу, когда по ней поднимается че-
ловек. Примем, что стена гладкая и по-
этому сила, с которой она действует на
лестницу, может быть направлена толь-
ко перпендикулярно к стене. Снова
предположим, что сама лестница неве-
сома, но человек весит 500 Н:
£fx = o, £f„ = o,
Fr - F = 0, F„ - 500 = 0,
Fr = 144 H, FB = 500 H,
£м = о,
(L/2) 500 cos 60° - LF sin 60° = 0,
125 = 0,87 F,
F = 144 H.
Нет необходимости разлагать все
силы на составляющие, параллельные и
перпендикулярные к лестнице. Выбором
оси в точке, где лестница упирается
в землю, момент силы реакции земли
обращен в нуль. При составлении
суммы сил удобнее рассматривать силы
в первозданном виде, а не их соста-
вляющие. Однако при подсчете вра-
щающих моментов нужно рассматри-
вать только составляющие сил, перпен-
дикулярные к радиус-вектору.
Вопрос 4-15
В этой задаче мы считали, что челог
век поднялся до середины лестницы.
С какой максимальной силой он мо-
жет действовать на стену, изменяя
свое положение? В каком направле-
нии действует результирующая сила,
приложенная к лестнице со стороны
земли? Направлена ли она вдоль
лестницы? Зависит ли ответ на этот
вопрос от положения человека?
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Во всех рассмотренных до сих пор
примерах мы пренебрегали весом
стрелы или лестницы. Конечно, это не-
реально. Вес стрелы подъемного крана
может быть больше, чем вес удерживае-
мого груза. К счастью, в любой из этих
задач о равновесии влияние веса каждо-
го из тел может быть легко учтено.
Можно считать, что сила тяжести при-
ложена в определенной точке, как если
бы в ней была сосредоточена масса все-
го тела. В повседневной жизни мы не
задумываясь используем эту концепцию
центра тяжести. Когда нужно перенести
лестницу, вы поднимаете ее за середину,
а не за один из концов. Если лестница
шире и тяжелее у одного из концов, вы
сдвигаете точку опоры к этому, более
тяжелому концу. Лестница не становит-
ся легче оттого, что вы поддерживаете
ее в центре тяжести, но это облегчает
обращение с ней. Результирующий мо-
мент сил тяжести относительно центра
тяжести равен нулю, и поэтому ваши
руки не должны прилагать усилий для
создания компенсирующего вращающе-
го момента. По определению центр тя-
жести — это такая точка, относительно
которой моменты всех действующих на
тело сил тяжести в сумме обращаются
в нуль независимо от ориентации тела.
Где расположен центр тяжести очень
легкого стержня с насаженными на него
массивными грузами, как показано на
рисунке?
Если центр тяжести находится на
расстоянии х от левого конца, то при
подведении опоры под эту точку систе-
ма будет находиться в равновесии. Ре-
зультирующий момент сил относитель-
но оси, проходящей через точку х,
должен быть равен нулю:
£м = о,
— х(100) — (х — 5)200 +
+ (10 - х) 300 = 0,
- ЗООх + 1000 + 3000 - ЗООх = 0,
94
бООх = 4000,
, 2
х = 6 —- м.
3
Если вес тела распределен равномер-
но и тело имеет простую симметрию,
центр тяжести находится в геометриче-
ском центре тел.
Центр тяжести бублика находится
прямо в центре бублика — как раз в
дырке!
В общем случае для нахождения цен-
тра тяжести сплошного тела его можно
мысленно разделить на маленькие ку-
сочки.
Найдите сумму моментов сил тя-
жести, действующих на эти кусочки, от-
носительно некоторой точки, лежащей,
например, у левого конца тела. Этот пол-
ный момент должен быть таким же,
как и момент полного веса, приложен-
ного в центре тяжести:
полный момент =
= XxPt + х2Р2 + х3Р3 + ... = хР.
Вес третьего кусочка здесь обозна-
чен Р3, а плечо, на которое он действу-
ет,— х3. Полный вес тела равен сум-
ме сил тяжести, действующих на отдель-
ные кусочки, и обозначен Р, а х —
расстояние от выбранной оси до центра
тяжести.
В общем случае
х = ( f х^\/Р.
I---------------------
।-------------
।	‘Г2 >
р1 Р1 р5 рч
р
оно будет качаться до тех пор, пока
центр тяжести не установится прямо
под точкой подвеса. Если из этой точки
подвеса провести прямую вертикально
вниз, центр тяжести будет расположен
где-то на этой прямой. Затем подвесьте
тело в любой другой точке. Тело снова
будет качаться до тех пор, пока центр
тяжести не установится прямо под этой
новой точкой подвеса. И из нее опусти-
те вертикальную прямую. Поскольку
центр тяжести должен находиться где-
то на каждой из прямых и поскольку
они пересекаются только в одной точке,
эта точка должна быть центром тяже-
сти.
Вопрос 4-16
Справедлива ли эта общая формула
в простом частном случае однород-
ной стрелы? Попытайтесь прове-
рить. Если стрелу разделить на п оди-
наковых кусочков, вес каждого ку-
сочка будет равен Р/п.
Существует очень простой экспери-
ментальный метод нахождения центра
тяжести любого плоского тела. Вспом-
ним прежде всего, что если тело поддер-
живать в центре тяжести, то оно не при-
дет во вращение. На самом деле враще-
ния не будет, если тело поддерживать
в любой точке выше центра тяжести на
одной с ним вертикали. Более того, если
подвесить тело в любой точке так,
чтобы оно могло вращаться вокруг нее,
Определение положения центра тяжести
карты Соединенных Штатов
95
Вопрос 4-17
Почему подвешенное тело качается
до тех пор, пока центр его тяжести
не установится прямо под точкой
подвеса ?
РЕЗЮМЕ
Когда на тело действуют силы, они
либо деформируют его, либо сообщают
ему ускорение. В этой главе внимание
было сосредоточено на деформациях.
В самом деле, один из способов опреде-
ления силы сводится к измерению со-
здаваемой этой силой деформации стан-
дартного устройства. Для определенных
тел, таких, как пружины, FB0CCT = — кх
при малых х.
Единица силы — ньютон — невелика
по человеческим меркам. Одним мизин-
цем вы можете приложить силу в не-
сколько ньютонов.
Силы, с которыми мы встречаемся
в повседневной жизни, имеют либо гра-
витационную, либо электромагнитную
природу.
Давление — это сила, приходящаяся
на единицу площади. В жидкости или
в газе давление всегда действует в на-
правлении, перпендикулярном к стен-
кам. Сила, приложенная к твердому те-
лу, может создавать перпендикулярное
к поверхности (нормальное) и парал-
лельное поверхности (сдвиговое) напря-
жения. Для многих материалов относи-
тельная деформация пропорциональна
напряжению.
Силы могут существовать только
как взаимодействие двух тел. Однако
при изучении поведения конкретной си-
стемы обычно бывает разумно мыслен-
но выделить ее и рассматривать все
действующие на нее внешние силы. Для
того чтобы тело находилось в равнове-
сии, должны выполняться два условия:
£F = 0, £М = 0.
Это векторные уравнения. Для их при-
менения обычно приходится все век-
торы разлагать на взаимно перпендику-
лярные составляющие.
На принятом здесь уровне изложения
эта тема — статика — элементарна и не
возбуждает воображения. В конце кон-
цов, ее законы хорошо известны более
96
150 лет, а общие представления сформи-
ровались 300 лет назад. Условия устой-
чивости, проиллюстрированные выше
на примерах простых стрел и лестниц,
применимы также к сложным конструк-
циям мостов и ракет. Однако такие при-
менения к реальным системам требуют
громадного скачка необходимых мате-
матических средств и детального зна-
ния свойств существующих материалов.
Мы уже упоминали о том, что на-
пряжения и деформации на самом деле
представляют собой тензорные вели-
чины. Обычно каждая из них имеет де-
вять компонент, чтобы можно было
описать различия в реакции материала
в зависимости от направления. Прово-
локи и стержни не только увеличивают-
ся в длину при растяжении, они имеют
тенденцию сужаться при приближении
к пределу текучести.
Есть и другие осложнения. Напри-
мер, действие механических сил на опре-
деленные кристаллы может вызвать те-
пловые и электрические эффекты. Мо-
дуль Юнга и другие характеристики
материала могут изменяться в зависи-
мости от температуры, предшествовав-
ших деформаций и при небольших из-
менениях химического состава. Осцил-
лирующие или импульсные нагрузки
могут вызывать совсем другие действия,
нежели долговременные напряжения. Все
эти эффекты должны приниматься во
внимание в инженерной практике, и
в свою очередь они часто служат по-
лезными инструментами для исследова-
ния микроструктуры материалов. То,
что было камнем преткновения для ин-
женера, нередко становилось ключом
к исследованию для физика.
Ответы на вопросы
4-1. Удлинение х пропорционально прило-
женной силе F, то есть F ~ х. График
удлинения как функции силы представ-
ляет собой прямую линию.
Если бы мы опирались только на ре-
зультаты опытов по подвешиванию
грузов к резиновой ленте, мы не смо-
гли бы выяснить, ошибочны ли сде-
ланные предположения или установ-
ленное соотношение пропорционально-
сти неприменимо к резиновым лентам.
Можно было бы думать, что приба-
вление к одному грузу еще одного не
приводит к удвоению силы В конце
концов, при добавлении литра воды
к литру спирта получается меньше
двух литров жидкости.
д_2 В таком симметричном расположении
с одинаковыми силами угол между
любыми двумя силами должен быть
равен углу между любыми двумя дру-
гими. Поэтому каждый такой угол дол-
жен быть равен 120°.
По меньшей мере вы можете прило-
жить свой вес. (Сколько это ньюто-
нов?)
Растягивая динамометр двумя рука-
ми у груди, вы можете приложить силу,
равную по меньшей мере 100 Н.
Упираясь ногами в петлю, вы сможете
тянуть ее вверх с силой около 1000 Н.
Достаньте большой силомер и убеди-
тесь сами.
фф Груз, вес которого равен 4 Н, поддер-
живается только шнурком, и поэтому
сила натяжения шнурка должна состав-
лять 4 И. Однако динамометр должен
уравновесить сумму направленного
вниз веса, равного 4 Н, и направ-
ленной вниз силы натяжения 4 Н друго-
го конца шнурка
ф_§ Деформации, меньшие диаметра атома,
можно измерить, если они многократ-
но повторяются или носят колеба-
тельный характер. Обычно такие
малые колебания преобразуют в элек-
трические сигналы. Ухо человека в со-
стоянии измерить (услышать) столь
же малые колебания барабанной пере-
понки.
Мы могли бы сделать вывод, что закон
Гука справедлив и что вес тел склады-
вается по закону Р2 + 2 = (/’i + Г2)2. Ко-
нечно, такой закон может противоре-
чить другим экспериментам, например
опытам с падением тел. Другая возмож-
ность состоит в том, чтобы иначе
сформулировать закон Гука: х ~ Р2.
4-7 Гвосст = const. Здесь не должно быть за-
висимости от х
g Если бы мы слепо применили эту фор-
мулу, то для удлинения пружины полу-
чили бы 1 м и для длины пружины —
110 см. Однако очень немногие пружины
можно растянуть в 11 раз. Вот пример
того, что формулы и правила описы-
вают лишь модели физических явлений.
Модели можно применять в ограничен-
ных пределах и при определенных усло-
виях.
В данном случае закон Гука станет,
возможно, неприменим задолго до
того, как удлинение достигнет 1 м.
Атмосферное давление зависит от вы-
соты. Если высота аэростата 1 м, дав-
ление воздуха снизу больше, чем свер-
ху, на величину, равную давлению
столба воздуха высоты 1 м. Допустим,
что этот столб имеет поперечное сечение
площади 1 м2. Вес 1 м3 воздуха состав-
ляет около 13 Н. Следовательно, раз-
ность давлений между основанием и
верхом аэростата равна 13 Н/м2. Но это,
однако, не означает, что действующая
на аэростат результирующая подъемная
сила равна 13 Н. Вес 1 м3 водорода
чуть меньше 1 Н. Действующая на та-
кой аэростат чистая подъемная сила,
обусловленная вытеснением воздуха,
будет поэтому около 12 Н. Если вес
самого аэростата меньше 12 Н, он бу-
дет подниматься.
. |(| Это еще один пример того, что фор-
мулы или модели имеют ограниченную
применимость. Поскольку модуль Юн-
га для меди равен 1  1011 Н/м2, из фор-
мулы получается, что напряжение
1011 Н/м2 вызовет относительное удли-
нение, равное 1. При этом удлинение
было бы равно первоначальной длине
Для большинства материалов относи-
тельное удлинение пропорционально
напряжению лишь в ограниченном диа-
пазоне, пока относительное удлинение
не превосходит нескольких процентов.
За его пределами материал либо течет,
либо разрушается.
j Перемещения складываются в соответ-
ствии с законами евклидовой геомет-
рии. Перемещения на 8 м к востоку
и затем на 6 м к северу образуют два
катета прямоугольного треугольника.
Гипотенуза находится по теореме Пи-
фагора: С2 = А2 + В2. В данном случае
расстояние от начальной точки (гипоте-
нуза) составляет 10 м.
Ф12 Ключевое слово для ответа на этот во-
прос — это результирующая сила. Как
мы увидим позднее при изучении вто-
рого закона Ньютона, в большинстве
движений, происходящих в окружаю-
щем нас мире, господствует трение.
Когда приложенная к автомобилю тол-
кающая сила уравнивается с тормозя-
щими силами, действующими со сто-
роны дороги и воздуха, результирующая
сила равна нулю и автомобиль движет-
ся с постоянной скоростью.
Для решения этой задачи следуйте
предложенным правилам выполнения
наброска векторов сил и выпиши-
те условия равновесия. Требуемый
угол равен 5,8°. (Отметьте, что это
0,1 рад.)
4 Кл Э. Суорц, т 1
97
4-14. Если BbI не знаете, обратитесь за по-
мощью к ближайшей двери.
4-15. Действующая на стену сила пропор-
циональна относительному расстоя-
нию, на которое поднялся человек.
Когда он достиг вершины лестницы, со
стороны стены должна действовать си-
ла 288 Н. Равная по модулю и проти-
воположная по направлению горизон-
тальная сила должна создаваться
землей.
Направление результирующей силы,
действующей на основание лестницы,
дается выражением tg 9 = (L/x) tg 60°,
где х — расстояние от человека до ос-
нования лестницы. Когда человек нахо-
дится наверху, х = L и сила реакции зем-
ли направлена вдоль лестницы. Когда
х = 0, никакой горизонтальной силы
реакции не возникает. При этом tg 9 =
= оо, что соответствует 9 = 90°.
4-16. Если Р, = Р/п, то
п	п
X = Р~1 £ X, (Р/п) ~ п~г £ хг
1=1	1=1
Это выражение соответствует обычно-
му арифметическому среднему, что
дает среднюю точку как центр тяжести
однородной стрелы.
ф.|7. Если центр тяжести тела не находится
прямо под точкой подвеса, то вес тела
будет создавать вращающий момент
с плечом, равным горизонтальной про-
екции отрезка, соединяющего центр тя-
жести с точкой подвеса. Когда центр
тяжести расположен прямо под точкой
подвеса, горизонтальная проекция это-
го отрезка равна нулю.
Задачи
1.	Чему примерно равен вес в ньюто-
нах чашки воды? Карандаша9 Этого учебни-
ка? Ваш собственный? Автомобиля?
2.	Сто человек делятся на две команды
для перетягивания каната. Какой будет сила
натяжения каната, если каждый человек
в среднем может приложить силу 200 Н?
3.	Для некоторой пружины к = 1000 Н/м.
Какая сила нужна, чтобы удлинить пру-
жину на 1 м?
4.	Каким примерно должно быть зна-
чение жесткости спиральной пружины, под-
держивающей четвертую часть веса автомо-
биля?
5.	Чему равно давление на дне плава-
тельного бассейна глубины 3 м?
6.	Атмосферное давление на уровне
моря лежит в пределах от примерно 77 см
рт. ст. в областях высокого давления до
98
72 см рт. ст. в сердцевинах ура1анов. Чему
равны эти давления в Н/м2? Чему равен
этот диапазон изменений в процентах к стан-
дартному атмосферному давлению?
7.	Во время сильной бури давление
воздуха может испытывать колебания до 1 %
при внезапных порывах ветра. Если в закры-
том помещении давление воздуха во время
порыва ветра остается постоянным, чему
равна полная сила, действующая на окно,
имеющее площадь 1м29 Выразите эту силу
в тоннах.
8.	Если вы тянете с силой 1000 Н
стальную проволоку диаметра 1 мм, чему
равно напряжение в ней? Чему равно отно-
сительное удлинение?
9.	Закрытый кубический сосуд с ребром
10 см заполнен воздухом. Если его погру-
зить в воду так, что верхняя грань находится
на уровне поверхности воды, какой будет
действующая на его дно добавочная сила,
стремящаяся вытолкнуть сосуд? (Она так
и называется выталкивающей силой.) Чему
будет равна выталкивающая сила, если сосуд
погрузить на 1 м под поверхность?
10.	Шнур диаметра 2 мм и длины 50 см
удлиняется на 0,5 см под действием прило-
женной силы, равной 500 Н. Чему равна
жесткость к для такого подвеса? Чему равен
модуль Юнга материала?
11.	Какой будет действующая на столб
результирующая сила, если один человек по-
тянет его на восток с силой 100 Н, а дру-
гой — на север с силой 200 Н?
12.	Автомобиль, весящий 1  104 Н, стоит
на уклоне, угол которого с горизонтом равен
10°. Какая сила действует перпендикулярно
к дороге9 Чему равна параллельная дороге
сила, действующая вдоль уклона?
13.	Небольшое тело находится в равно-
весии под действием трех сил. Одна из них
равна 20 Н и направлена под углом 30° к се-
веру от направления на восток, другая равна
20 Н и направлена под углом 45° на северо-
запад. Чему равна третья сила?
14.	Стрелу, упирающуюся в тетиву лука,
оттягивают с силой 200 Н. Чему равна сила
натяжения тетивы, если угол между ее верх-
ней и нижней частями равен 150°9
15.	Груз, весящий 1000 Н, поддержи-
вается на конце горизонтальной стрелы, вес
которой пренебрежимо мал. Чему равна си-
ла натяжения каната, поддерживающего
стрелу, если канат вертикален? Составляет
с вертикалью угол 45° ? Составляет с верти-
калью угол 80°?
16.	Стальной клин (колун), применя-
емый при колке дров, действует на древесину
с силами, перпендикулярными к его граням
(щекам). Угол между щеками равен 12°. Ка-
кая сила действует со стороны каждой ще-
ки, если при забивании колуна на его тупой
конец действует сила 1000 Н?
17.	На бельевой веревке длины 10 м ви-
сит только один костюм, весящий 20 Н. Ве-
шалка расположена посередине веревки,
и эта точка провисает только на 10 см ниже
горизонтали, проведенной через точки закре-
пления веревки. Чему равна сила натяжения
веревки?
18.	Качели, показанные на рисунке, на-
ходятся в равновесии. (Весом доски можно
пренебречь.) Каковы модуль и направление
силы, действующей со стороны центральной
Z50H	100Н
А'	£	С
; 2м ? g L
опоры? Найдите расстояние L, рассматривая
моменты сил относительно точки В. Под-
твердите полученный результат, рассматри-
вая моменты сил относительно точек А и С.
19.	Мужчина, пропуская вперед женщи-
ну, придерживает открытую дверь, нажимая
на нее под углом 45° к плоскости в точке, ле-
жащей посередине между петлями и краем
двери. Чему равно отношение силы, которую
он вынужден приложить, к силе, которая по-
требовалась бы при оптимальном способе
открывания двери? (Выразите момент силы
в каждом случае через приложенную силу
и ширину двери R. Пусть F - приложенная
сила, Fo — оптимальная, то есть наименьшая
сила, создающая такой же вращающий мо-
мент. Чему равно отношение F к Fo?)
20.	К рукоятке лебедки, находящейся на
расстоянии 30 см от оси, в тангенциальном
направлении приложена сила 40 Н. Ее мо-
мент как раз достаточен для того, чтобы
удерживать подвешенный на веревке груз.
Веревка закреплена на барабане в Ю см от
оси. Чему равен вес груза?
21.	Однородная балка длины 5 м, веся-
щая 500 Н, поддерживается двумя опорами,
расположенными у ее концов. На балке
стоят два человека. Один из них весит 600 Н
и находится в 2 м от левого конца. Дру-
гой весит 800 Н и находится в 1 м от пра-
вого конца. Чему равны силы, с которыми
опоры действуют на балку?
22.	Консоль с одинаковым по всей дли-
не поперечным сечением весит 1000 Н. Один
ее конец прикреплен к стене, а другой под-
держивается тросом. Трос образует угол 30°
с консолью, расположенной горизонтально.
Чему равна сила натяжения троса, если
к концу консоли подвешен груз, весящий
2000 Н? Каковы модуль и направление силы,
действующей на консоль в месте прикрепле-
ния к стене?
23.	Ребенок, весящий 300 Н, сидит на не-
подвижных качелях, удерживаемых горизон-
тальной силой 200 Н. Нарисуйте векторную
диаграмму. Чему равна сила натяжения ка-
ждой из поддерживающих качели веревок?
24.	Картина, вес которой равен 100 Н,
висит на шнуре, прикрепленном к верхним
углам рамы и перекинутом через забитый
в стену гвоздь. Какой угол с вертикалью
образует шнур, если сйла его натяжения рав-
на 100 Н?
25.	Девушка, весящая 500 Н, баланси-
рует на одном каблуке. Чему равно давление
на пол, если площадь соприкосновения ка-
блука с полом составляет 4 см2?
26.	Расстояние между осями передних
и задних колес автомобиля равно 2,3 м. При
взвешивании автомобиля на весовой плат-
форме выяснилось, что передние колеса под-
держивают 9000 Н, а задние — 6500 Н. На
каком расстоянии от передней оси находится
центр тяжести?
27.	Три трубки телескопа имеют длину
20 см каждая. Внутренняя трубка весит 0,8 Н,
средняя весит 0,9 Н и внешняя весит 1,0 Н.
На каком расстоянии от широкого конца
находится центр тяжести, когда телескоп
раздвинут на полную длину?
28.	Куб, плотность которого всюду оди-
накова, весит 100 Н. Какую именно горизон-
тальную силу нужно приложить к верхней
точке куба, чтобы опрокинуть его?
29.	Лестница составляет с землей угол
70° и опирается о вертикальную стену, тре-
ние о которую пренебрежимо мало. Найдите
силы, действующие на лестницу со стороны
земли и стены, если человек массы 70 кг
поднялся по лестнице на две трети ее длины.
4*
ГЛАВА 5. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СИЛ
Если потянуть на себя тележку, при-
вязанную к столбику, то можно растя-
нуть веревку или изогнуть столбик, но
вам не удастся изменить скорость те-
лежки. Что произойдет, если отвязать
тележку и потянуть ее с постоянной си-
лой? Конечно, она будет двигаться, но
как? Будет ли она двигаться равномер-
но со скоростью, пропорциональной си-
ле? Или будет двигаться все быстрее
и быстрее с ускорением, пропорцио-
нальным силе? Зависит ли выбор между
этими двумя возможностями от того, на-
сколько тяжела тележка, или от того,
тянут ее по хорошей дороге или через
песок? Как вы догадываетесь, на эти
простые вопросы существуют сложные,
но интересные ответы.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
В лабораторных условиях, имея не-
обходимое оборудование, можно прило-
жить к телу известную силу и затем де-
тально описать движение. Тем не менее
получить представление о явлении мож-
но и без сложного оборудования.
Чтобы подействовать постоянной си-
лой, достаточно прикрепить к телу рези-
новую ленту и держать ее растянутой
до определенной длины. (Это не всегда
легко, так как при движении тела прихо-
дится двигаться впереди него для того,
чтобы растяжение резины все время
оставалось неизменным.) Лучше всего
взять какой-нибудь предмет с колесами
для того, чтобы уменьшить трение. Ес-
ли вы используете маленькую тележку,
игрушечный автомобиль или роликовый
конек, то, нагружая сверху другие
предметы, можно наблюдать за их
влиянием на движение. Если взять боль-
шую тележку, то в качестве груза мож-
но использовать людей, но в этом слу-
чае потребуются металлические пру-
жины, а не резиновые ленты. Если нет
возможности использовать устройство
с колесами, можно взять любой
твердый предмет правильной формы
и потянуть его с помощью обычной ре-
зиновой ленты по гладкому полу. При-
крепите к краю предмета линейку,
чтобы можно было наблюдать за дли-
Растяжение
Растяжение
100
ной резиновой ленты и поддерживать
ее растяжение неизменным. Попробуйте
определить с помощью описанного
устройства тип происходящего движе-
ния. Постоянна ли скорость? Разгоняет-
ся ли предмет? Будет довольно трудно
определить, постоянно ускорение или
нет. Чтобы выяснить это, можно ис-
пользовать методы, описанные в «Зна-
комстве с явлениями» главы 2.
Увеличьте вдвое растяжение резино-
вой ленты и сравните возникшее при
этом движение тела с прежним. В силу
свойств резиновых лент удвоение растя-
жения не обязательно приводит к удвое-
нию действующей силы, но приблизи-
тельно это так.
Затем «удвойте» тело. А именно, по-
ложите сверху груз, либо идентичный
тому, который вы тянете, либо пример-
но равный ему по весу. Потяните
«удвоенное» тело, используя первона-
чальное растяжение и растяжение, уве-
личенное вдвое.
Итак, вы проделали опыты с тележ-
ками или, по крайней мере, телами на
гладких поверхностях. Что происходит,
когда вы увеличиваете трение так, что
оно становится главным «действую-
щим лицом»? Проведите ту же се-
рию экспериментов на шероховатой по-
верхности, например на ковре. Чтобы
привести тело в движение, придется
тянуть его с силой, превышающей не-
которое «пороговое» значение. Что про-
исходит далее? Движется ли тележка
с постоянной скоростью или разгоняет-
ся?
Убедившись в том, что вам извест-
но, как трение влияет на движение,
возьмите кусок легкой ткани, рас-
правьте его, расположите горизон-
тально и затем уроните (дайте свободно
падать). Кусок ткани слегка качнется и
в конце концов опустится вниз, но, пока
он сохраняет горизонтальное положе-
ние, опускается он с постоянной ско-
ростью или разгоняется? Для сравне-
ния, понаблюдав за его движением
несколько раз, скомкайте этот кусок
ткани и уроните его. Падает ли он с по-
стоянной скоростью? В обоих случаях
на кусок ткани действует одинаковая
направленная вниз сила, а именно, сила
тяжести.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ ДЕЙСТВИЯ СИЛ
С помощью лабораторных прибо-
ров описанные выше опыты могут быть
проделаны с большой точностью. Ре-
зультаты проще всего анализировать,
если удастся уменьшить трение до нуля.
Чтобы сделать это, необходимо создать
условия, описываемые первым законом
Ньютона: в отсутствие действия сил те-
ло покоится или движется с постоянной
скоростью. С хорошей точностью такие
условия реализуются при использова-
нии тележки на воздушной дорожке
или даже тележки с колесами на подшип-
никах.
Постоянные силы могут быть при-
ложены к движущимся телам либо с по-
мощью пружин, растяжение которых не-
изменно, либо с помощью нити, переки-
нутой через блок и прикрепленной
к падающему грузу.
Положение тела как функцию
времени можно определить регистра-
цией на пленке с помощью искры
или стробоскопическими снимками дви-
жущегося тела.
На тележку на воздушной дорожке
постоянная сила со стороны груза, висящего
на перекинутой через блок нити
Стробоскопическая картина движения тележ-
ки, на которую действует постоянная сила
Сверху к тележке прикреплена картонная
стрелка
101
Вопрос 5-1
Из стробоскопической картины сле-
дует, по крайней мере качественно,
что тележка разгоняется. Как дока-
зать, что ускорение постоянно?
Количественные результаты согла-
суются с правдоподобными выводами,
которые вы, вероятно, сделали, проведя
опыты, описанные в «Знакомстве с явле-
ниями». В отсутствие трения постоянная
сила сообщает телу постоянное ускоре-
ние в направлении действия силы. Более
того — и это не столь очевидно — уско-
рение пропорционально силе. Если уве-
личить силу вдвое, то и ускорение воз-
растает в два раза:
F ~ а.
Но почему это не очевидно? Вероят-
но, большинство из вас познакомились
с этим фактом в школе. Посмотрим, од-
нако, к каким несоответствиям можно
прийти, анализируя явления на основе
такого представления. Все находящиеся
вокруг нас предметы остаются в покое
до тех пор, пока на них не подействуют
силы. Если убрать силу, действующую
на автомобиль или велосипед, то они не
будут продолжать двигаться с постоян-
ной скоростью. Их движение замедляет-
ся, и они останавливаются. Более того,
когда на велосипед или автомобиль
действует постоянная сила (постоянное
усилие на педали велосипеда или рав-
номерная подача газа в автомобиле), то
они сначала разгоняются, а затем дви-
жутся с постоянной скоростью. Думае-
те, вам удастся убедить погонщика
запряженной волами повозки в том, что
постоянное усилие вола заставит по-
возку двигаться по грязи все быстрее и
быстрее?
Никто не задумывался о связи ме-
жду силой и ускорением, пока четыре
века тому назад Галилей не описал дви-
жение в современных терминах. Целые
века до этого наиболее просвещенные
умы считали очевидным, что тела дви-
жутся таким образом, чтобы достичь
своих естественных положений, — боль-
шинство тел падают вниз, за исключе-
нием небесных тел, которые, разумеется,
движутся по кругу. Понять, что постоян-
ное ускорение сообщается постоянной
силой и пропорционально ей, удалось
только на основе накопленного веками
опыта. Для этого потребовалось со-
образить, как упростить явление путем
исключения осложняющих факторов —
таких, как трение. Заметьте, что для уп-
рощения эксперимента требуется не
только додуматься до этого, необходимо
еще сложное оборудование.
В вопросе о пропорциональности
ускорения и силы следует отметить два
момента. Во-первых, это справедливо
только при условиях, когда выполняется
первый закон Ньютона. С помощью
этого закона можно определить сово-
купность условий, при которых тело бу-
дет сохранять постоянную скорость
в отсутствие внешних, сил. (Эти условия
определяют так называемую инерциаль-
ную систему отсчета.) На самом деле
эти условия не выполняются, если в ка-
честве системы отсчета используется Зем-
ля. Земля сферическая, и она вращает-
На верхнем рисунке за полетом бейсболь-
но! о мяча следит наблюдатель, находящийся
вне карусели. Первый закон Ньютона выпол-
нен.
На нижнем рисунке за полетом бейс-
больного мяча следит наблюдатель, нахо-
дящийся на карусели. Первый закон Ньютона
не выполняется. Система отсчета не является
инерциальной
102
ся — это влияет на результаты наблюде-
ний за телами, движущимися относи-
тельно Земли и нас Таким образом, по
отношению к системе отсчета, связан-
ной с Землей, закон а ~ F является
хорошим приближением для медленных
движений на коротком расстоянии
Вопрос 5-2
В каком направлении будет дуть ве-
тер в северном полушарии, если к
северу от вас имеется область пони-
женного атмосферного давления7
Второй момент относительно закона
а~ F, который следует отметить, связан
с тем, что в действительности пропор-
циональность сохраняется вплоть до
равных нулю сил В нашем языке суще-
ствуют выражения типа «требуется
большая сила, чтобы сдвинуть тело
с места» Может сложиться впечатление,
что массивное тело остается непо-
движным, пока толкающая сила не ста-
нет достаточно большой, и только тог-
да тело приходит в движение Между
прочим, часто тела «приклеены», и дей-
ствительно необходимо «пороговое»
значение силы, чтобы привести их
в движение Если же трение действи-
тельно отсутствует, ускорение будет со-
общаться сколь угодно малой силой
сколь угодно большому телу
КОЭФФИЦИЕНТ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ МЕЖДУ
СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ: F = ка
Коэффициент пропорциональности
к характеризует определенное свойство
тела, а именно его способность проти-
водействовать изменению скорости Ес-
ли F = ка, то k = F/a При большом зна-
чении к большая сила сообщит телу
только маленькое ускорение В этом
случае говорят, что тело имеет боль-
шую инертность В этом смысле коэф-
фициент пропорциональности к являет-
ся мерой инертности тела Как изме-
рить эту инертность7
Может быть, коэффициент к равен
объему тела7 Из здравого смысла или
по крайней мере из опыта очевидно, что
труднее разгонять большое тело, чем
маленькое Это, однако, верно, только
если тела сделаны из одинакового мате-
риала Как вы думаете, каким будет
ускорение, если подействовать силой
1 ньютон на нарисованные здесь пред-
меты7 Огромный кусок пенопласта не
обязательно будет двигаться с меньшим
ускорением, чем маленький кусок свин-
ца Итак, предположение, что F = ка
и коэффициент к равен объему тела,
неверно
Может быть, вместо объема мерой
инертности тела может служить его
вес7 Несостоятельность этой идеи свя-
зана с тем, что вес обусловлен взаимо-
действием тела с каким-либо другим те-
лом — обычно с чем-нибудь большим,
как Луна или Земля Космонавты де-
монстрировали, что молотки и другие
предметы обладают на Луне такой же
инертностью, как и на Земле, хотя все
привезенные туда предметы весили
в шесть раз меньше, чем на Земле Тот
же эффект можно наблюдать и на Зем-
ле И вес велосипеда, и вес поезда ком-
пенсирует сила реакции Земли Если
бы они медленно надвигались на вас,
вам было бы легче изменить скорость
велосипеда, чем поезда Сила, которая
вас сбила бы с ног — не вертикальная си-
ла взаимодействия между Землей и поез-
дом Вам не удалось бы остановить по-
езд даже в свободном пространстве, где
у него вообще не было бы веса
Если инертность не пропорциональ-
на объему тел и существует независимо
103
оооооо о
Число атомов водорода и урана одинаково,
но инертность разная
от того, имеют ли тела вес, то, может
быть, она пропорциональна «количеству
вещества» в теле. Дело, однако, в том,
что не существует способа измерить
«количество вещества», за исключением,
возможно, измерения его инертности.
Даже если бы было возможно сосчитать
число атомов в теле, вы обнаружили
бы, что разные атомы обладают разной
инертностью. Можно, однако, попробо-
вать сосчитать полное число протонов,
нейтронов и электронов в теле. Эти со-
ставляющие атома одинаковы в любом
атоме, но число их в разных атомах
различно. Поскольку не очень удобно
пересчитывать отдельные частицы в
больших объектах, можно сравнить
инерционные свойства у субатомных си-
стем, где можно легко сосчитать от-
дельные протоны, нейтроны и элек-
троны. Один легко осуществимый опыт
(с устройством, называемым масс-спек-
трометром) позволяет измерить относи-
тельное ускорение ядер атомов гелия
и дейтерия, когда они подвергаются
действию известной электрической си-
лы. Дейтерий более широко известен
как тяжелый водород. Его ядро содер-
жит по одному протону и нейтрону.
Ядро гелия, иногда называемое a-части-
цей, содержит точно вдвое больше «ве-
щества» (или, по крайней мере, так ка-
жется). Оно состоит из двух протонов
и двух нейтронов. Поэтому можно было
бы ожидать, что под действием одина-
ковых сил ядро дейтерия приобрело бы
Ядро дейтерия	Ядро гелия
1 протон	2 протона
1 нейтрон	2 нейтрона
В гелии вдвое больше частиц, чем в дейтерии.
Будет ли его инертность вдвое больше?
точно вдвое большее ускорение, чем
ядро гелия. Однако это не вполне так.
Инертность ядра гелия немногим менее
чем вдвое превышает инертность ядра
дейтерия. Причина этого странного
явления будет рассмотрена в последую-
щих главах.
Похоже, что единственный способ
измерить инерционные свойства те-
ла — это измерить сам эффект инерции!
Это свойство не обязательно связано с
каким-либо другим. Оно называется
инертной массой и обозначается буквой
т. Соотношение между силой и ускоре-
нием принимает вид
F = та.
Это наиболее важная формула классиче-
ской механики. Она называется вторым
законом Ньютона.
Единица инертной массы может
быть определена как отношение единиц
силы и ускорения, то есть как
1 ньютон
1 метр в секунду за секунду’
Исторически единицы массы были
определены иначе. Единица массы вы-
брана в качестве основной единицы и
Сила, равная 1 Н, сообщает массе 1 кг ускоре-
ние 1 м/с2
в метрической системе мер (в том числе
и в Международной системе единиц
СИ) получила название килограмм. Еди-
ница силы при этом является производ-
ной и 1 ньютон определяется как сила,
сообщающая массе 1 килограмм уско-
рение, равное 1 метру в секунду за се-
кунду, то есть 1 Н = 1 кг • 1 м/с2.
Вопрос 5-3
Имеется тело массы 1 кг. Как изме-
рить инертную массу другого тела?
Как было экспериментально опреде-
лено в главе 4, сила является векторной
величиной. Можно ожидать, что по-
104
Масса-скаляр
Сила
тяжести-
вектор
видеть в ночном небе. В течение послед-
него десятилетия проводились тончай-
шие эксперименты, в которых делались
попытки обнаружить различия в перио-
де колебаний колебательной системы
в зависимости от того, ориентирована
она вдоль прямой, проходящей через
центр Галактики, или в перпендикуляр-
ном направлении. Результаты показы-
вают, что с точностью до 10“9 масса
является скалярной величиной. (Если бы
наблюдалось различие, то массу при-
шлось бы описывать с помощью тен-
зорной алгебры, которая немного слож-
нее векторной алгебры.) Сумма одного
и двух килограммов равна трем кило-
граммам независимо от того, как
ориентировано изучаемое устройство.
ИНЕРТНАЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ
МАССЫ
Буду! ли различаться периоды колебаний,
совершаемых телом в Галактике в радиаль-
ном направлении и в направлении, перпенди-
кулярном этому?
скольку ускорение — также вектор, то
масса должна быть скаляром. Это, ко-
нечно, так, если сообщаемое силой уско-
рение всегда направлено в ту же сторо-
ну, что и сила. Коэффициент пропор-
циональности не может зависеть от
направления. Почему должна быть ка-
кая-то разница в зависимости от того,
действует ли сила с севера на юг или
с востока на запад9 Насколько сейчас
установлено, коэффициент пропорцио-
нальности не зависит от направления
и масса действительно является скаля-
ром. Но это нельзя установить логиче-
скими рассуждениями Только экспери-
мент может зафиксировать этот факт.
Уже примерно сто лет тому назад
люди осознали, что само существование
инерционных свойств тела может зави-
сеть от всей остальной массы во Все-
ленной. В частности, масса тела может
быть несколько больше, если тело уско-
ряется в направлении большой плотно-
сти массы. Для земного наблюдателя
наибольшая плотность массы наблю-
дается в центре нашей Галактики —в
центре Млечного пути, который можно
Существует еще одна специфическая
проблема природы массы. Масса, безус-
ловно, каким-то образом связана с ве-
сом тела. Мы установили, что сам по
себе вес не может служить коэффициен-
том пропорциональности между силой
и ускорением, поскольку вес тела зави-
сит от другого притягивающего тела.
Тело может иметь инертную массу, да-
же если его вес равен нулю. Более того,
масса — скаляр, а вес — сила и является
вектором. Тем не менее чем больше
инертная масса тела, тем больше его
вес.
Ньютон связал понятие массы и веса
более трех веков тому назад. Суще-
ствует некоторая историческая основа
легенды, согласно которой он задумал-
ся о теории тяготения, увидев падающее
с дерева яблоко. Грандиозность его от-
Должны ли яблоко и Луна подчиняться
одному и тому же закону'’
105
крытия теперь была бы менее впечат-
ляющей, чем три века назад. Ньютон
размышлял о том, почему Луна обра-
щается вокруг Земли. Луна должна ис-
пытывать центростремительное ускоре-
ние, и это означает, что в некотором
смысле Луна непрерывно падает на Зем-
лю Яблоко тоже падает на Землю.
Может быть, существует общая причина
для этого. Почему бы нет? В те дни
это была удивительная мысль, поскольку
общая мудрость гласила, что небесные
тела движутся по своим «совершенным»
законам, а земные объекты подчиняют-
ся «мирским» правилам. Ньютон пред-
положил, что единые законы справед-
ливы во всей Вселенной.
Ньютоновский закон всемирного тя-
готения гласит, что два любых тела
притягиваются друг к другу с силой,
пропорциональной произведению их
масс и обратно пропорциональной ква-
драту расстояния между ними. (Если за-
кон формулируется таким образом, то
существует важное условие: тела дол-
жны либо быть сферическими, либо на-
ходиться друг от друга так далеко,
чтобы их собственные размеры были
малы по сравнению с расстоянием меж-
ду ними. Кроме того, если тела сфери-
ческие, то за расстояние между ними
принимается расстояние между их цен-
трами.) Закон тяготения выражается
формулой
Здесь г — расстояние между телами,
G — гравитационная постоянная, одина-
ковая для всех тел, т1 и т2 — массы тел.
Вопрос 5-4
Какая масса фигурирует в этой фор-
муле?
Существует несколько тонких мо-
ментов, связанных с простой формулой
Ньютона. Уже было подчеркнуто, что
G — универсальная величина, числовое
106
Гравитационное действие простирается рав-
номерно в пространстве из центральной
точки Действие на единичную площадь в
евклидовой геометрии пропорционально 1/г2
значение которой зависит только от вы-
бранных единиц. В метрической систе-
ме, использующей метры, секунды
и килограммы,
G а 6,67 10’11 Н-м2/кг2.
Далее обратите внимание на то, что
расстояние г входит в формулу во вто-
рой степени. Разве это так замечатель-
но? Да, особенно потому, что на опыте
получено значение, равное 2,000000000.
Точное равенство показателя степени
двум отражает евклидову природу про-
странства. (А именно, положения тел
и расстояния между ними в простран-
стве описываются обычной геометрией
Евклида.) По совершенно не относящей-
ся к делу, на первый взгляд, причине
этот факт в формуле подчеркивает то
обстоятельство, что в трехмерном ев-
клидовом мире поверхность сферы точ-
но пропорциональна квадрату ее радиу-
са. И, наконец, следует отметить, что
наличие массы у тела является причи-
ной гравитационного взаимодействия.
Масса служит «зарядом» для гравита-
ционной силы точно так же, как элек-
трический заряд является источником
электрического поля.
Единственная масса, которую мы
определили на опыте,— это инертная
масса. А сейчас получается так, что
можно использовать закон тяготения
Ньютона для того, чтобы другим путем
определить количество вещества.
В определении массы на основе
инертных свойств используется закон
F = та.
Измерение массы на основе такого
определения требует проведения дина-
мического эксперимента — приклады-
вается известная сила и измеряется
ускорение.
В определении массы на основе явле-
ния тяготения используется закон
Измерение массы на основе этого опре-
деления проводится с помощью стати-
ческого эксперимента — два тела распо-
лагаются на неизменном расстоянии
друг от друга, и измеряется сила взаи-
модействия между ними. Итак, имеются
два совершенно различных определения
массы. Могут ли инертная и гравита-
ционная массы быть одинаковыми?
Ответ на этот вопрос был дан Гали-
леем, хотя, возможно, он даже и не
осознал, что сделал это.
В течение трех лет Галилей был про-
фессором математики в итальянском го-
роде Пизе. В одном из своих сочинений
Галилей описал опыт по одновременно-
му бросанию двух тел с одинаковой вы-
соты. Существует даже легенда, что Га-
лилей сам проделал такой эксперимент
со знаменитой пизанской падающей
башни. Возможно, так оно и было, во
всяком случае он точно описал, что бу-
дет происходить. Даже если взять тела
разного веса, они будут ускоряться оди-
наково и одновременно достигнут зем-
ли. (Галилей понимал, что сопротивле-
ние воздуха может по-разному воздей-
ствовать на тела, если одно из них
больше другого, и он отмечает такую
возможность в своих рассуждениях. Га-
лилей вовсе не ставил своей целью до-
казать пропорциональность инертной
и гравитационной масс друг другу. Он
намеревался доказать, что тради-
ционные утверждения Аристотеля о па-
дающих телах неверны.) Тем не менее
эксперимент подтверждает пропорцио-
нальность гравитационной и инертной
масс.
Чтобы лучше проследить за рассу-
ждениями, обозначим инертную массу
через тинсрт, а гравитационную массу —
через т|рав. На поверхности Земли
г г гпгрлат3
вес Гтяг G 2 ч
к3
где Л3 — радиус Земли. Поскольку ве-
личина Gm3/K3 одинакова для всех тел
на Земле, обозначим ее через д. Та-
ким образом, вес тела на Земле равен
И1грав£Г
Теперь сравним, что произойдет,
если два тела бросить вниз с башни
в один и тот же момент времени. Вес
первого тела равен ш11рав(?. Вес второго
тела равен Ш2гРавЗ-
Ускорение первого тела определяет-
ся формулой
Г3 = инертПр
Ускорение второго тела определяет-
ся формулой
— т2инср-га2-
107
тггрм*д
^2 ,п2шерта2
('ила тяжвсти
Т ^/инерт
Сила, действующая на каждое тело,
равна его весу:
^2грав17 ^1 инертен ^2грав£7 = ^2инерт^2-
Ускорение движения каждого тела вниз
равно
,, ^Цграв	^2грав
а\ =-----Е—д, а2 = ------к—д.
1 инерт	^2 инерт
Поскольку значение д одинаково для
обоих тел, отношение их ускорений есть
__ ^0 грав ^2инерт
инерт ^21 ран
Опыт показывает, что оба тела дости-
гают Земли одновременно. Поэтому
а1=а2, и их отношение равно 1. Это
может быть справедливым, только если
иг 1 грав ~ шыиерт- Гравитационная масса
должна быть пропорциональна инерт-
ной массе, и если выбрать надлежащим
образом единицы измерения, то они бу-
дут равны друг другу.
ЕСЛИ Ш|грав И1;ииер|. ТОГДа ^1|грав
= Ст 1ииерт и
Q1 __ ^1грав ^2инерт _	_ ।
^|ииерт ^2грав	С
Таким образом, а,=а2.
Если гравитационная масса пропор-
циональна инертной массе, то все сво-
бодно падающие тела имеют одно и то
же ускорение.
Этот удивительный факт подтвер-
ждался много раз в значительно более
тонких опытах. В течение последнего
десятилетия в Принстоне было показа-
но, что гравитационная и инертная мас-
сы равны друг другу с точностью до
1СГ1'. Может показаться странным, что
кому-либо нужна такая точность, одна-
ко в этом заключен глубокий смысл.
Эквивалентность инертной и гравита-
ционной масс лежит в основе общей
теории относительности Эйнштейна.
Суть его гениальности ясна на простом
примере описания равенства двух типов
масс. Многие размышляли о том, на-
сколько замечательным фактом являет-
ся равенство инертной и гравитацион-
ной масс. И только Эйнштейн смог
увидеть, что нет ничего удивительного
в равенстве двух величин, ибо в дей-
ствительности они представляют собой
одно и то же. На основе этого простого
факта он затем построил теорию, кото-
рая успешно объясняет тяготение и рас-
ширение Вселенной.
^граб	^граВ
/”грабУ=й5’	тгрвлд~^
Условия в мире, где m,pa„ ~ т'„нср;
Вопрос 5-5
Предположим, что вы живете в ми-
ре, где m,paB пропорциональна т*нер1.
Если уронить тяжелое и легкое тела,
какое из них достигнет Земли
первым?
ЕДИНИЦА МАССЫ -
КИЛОГРАММ
Когда во времена французской
революции вводилась метрическая си-
стема мер, в качестве единицы мас-
сы была выбрана масса одного ку-
бического сантиметра воды при ее
наибольшей плотности, то есть при
4 °C. Такая единица массы была на-
звана граммом. Для практических це-
лей в качестве эталона был выбран
килограмм — 1000 граммов. Это мас-
са 1000 см3, или 1 литра воды. Ци-
линдр, сделанный из специального
108
сплава платины, обрабатывали и по-
лировали до тех пор, пока он не урав-
новешивался на чашке весов литром
воды.
Обратите внимание, что эталон
был введен на основе представления
о гравитационной массе.
Во всем мире очень серьезно отно-
сятся к эталонам физических вели-
чин. В 1821 году две тщательно от-
калиброванные копии международ-
ного эталона килограмма были от-
правлены в США. В конце XIX ве-
ка международный конгресс выдаю-
щихся ученых проделал работу по
пересмотру всех эталонов. Были со-
зданы новые дубликаты эталона мас-
сы и разосланы во все заинтересован-
ные страны. Когда новый килограмм
был доставлен в США, президент стра-
ны Харрисон на специальном приеме в
Белом доме объявил его американским
эталоном массы.
Несколько неудачно то, что назва-
ние основной единицы массы выра-
жается как кратное вспомогательной
единицы.
Основной единицей является кило-
грамм, а не грамм. В 60-е годы на
нескольких международных совеща-
ниях обсуждался вопрос о переиме-
новании килограмма. Возможно, сле-
довало бы грамм называть милли-
килограммом. Похоже, что у нас нет
возможности выпутаться из этой си-
туации.
Выше было приведено числовое
значение гравитационной постоянной
G. Не вполне очевидно, как можно
получить это число. Можно поме-
стить на заданном расстоянии друг
от друга два тела с известными мас-
сами и измерить силу взаимодей-
ствия между ними. Однако для
обычных тел эта сила очень мала.
К примеру, вы не привязаны тяготе-
нием к большим зданиям. Почему бы
не взять одно из тел с очень боль-
шой массой? Например, Землю. Весь
вопрос в том, как определить массу
Земли. Поскольку диаметр Земли, а
следовательно, и ее объем известны,
то массу Земли можно оценить, вы-
бирая разумное значение для ее плот-
ности.
Вопрос 5-6
Большинство гор на поверхности Зем-
ли состоит из соединений кремния
и кислорода и имеет плотность,
близкую к 2,5 г/см3. Следовательно,
в основной системе единиц (СИ) их
плотность порядка 2500 кг/м3. Ра-
диус Земли равен 6400 км. Какой бы-
ла бы масса Земли, если бы плот-
ность Земли была того же порядка,
что и плотность скал на ее поверхно-
сти? Зная массу Земли, нетрудно
найти значение G. Помните, что Зем-
ля притягивает массу 1 кг с силой,
примерно равной 10 Н. Каким по-
лучится значение G при исполь-
зовании указанного предположения
о плотности?
Опыт по определению G был
впервые проделан англичанином Генри
Кавендишем в 1798 г. Измерялось при-
тяжение двух тяжелых шаров размером
с человека. Шары были закреплены на
концах стержня, как показано на рисун-
ке, а стержень был подвешен за середи-
ну на очень тонкой нити. Два других
шара были придвинуты вплотную к под-
вешенным так, что гравитационное при-
Прибор Кавендиша для измерения G
109
тяжение поворачивало подвешенную си-
стему до тех пор, пока вращающий
момент не уравновешивался закручен-
ной нитью. Затем неподвижные шары
переставляли по другую сторону подве-
шенных шаров, вызывая вращение
в противоположном направлении.
Для выполнения такого тонкого экс-
перимента необходимы незаурядное ма-
стерство и смекалка. Чем больше подве-
шенные массы, тем сильнее наблю-
даемый эффект. С другой стороны, чем
больше массы, тем толще должна быть
нить для подвеса, а это понижает чув-
ствительность системы к закручиванию.
Вся система должна быть защищена от
воздушных потоков и возможных элек-
тростатических полей. Поворот подвеса
настолько мал, что его приходится фик-
сировать с помощью луча света, отра-
жающегося от зеркала, укрепленного на
подвешенном стержне. Такой «оптиче-
ский рычаг» перемещает отражающийся
от зеркала луч света на измеримое рас-
стояние даже при повороте на очень
малый угол.
Полученное Кавендишем значение
G всего на 0,5% отличается от совре-
менного значения — изумительный факт
на фоне сложности эксперимента
и уровня развития техники двухвековой
давности. В то время этот экспери-
мент был широко известен как «взвеши-
вание» Земли. Действительно, если гра-
витационная постоянная известна, то
и масса Земли, и ее средняя плотность
могут быть легко определены. Средняя
плотность оказалась равной 5500 кг/м3.
Очевидно, что кремниевые скалы нахо-
дятся только на поверхности Земли;
в основном она состоит из вещества
с большей плотностью, такого как же-
лезо.
Вопрос 5-7
Какова сила гравитационного притя-
жения между девушкой массы 50 кг
и юношей массы 60 кг, если расстоя-
ние между ними равно 10 м?
МАЛОЕ д, УСКОРЕНИЕ
СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
Как мы видели, на поверхности Зем-
ли вес тела массы т равен F =
= Gmm3/R3, где т3 и R3 — масса и ра-

В экватори-
альной об-
ласти у Зем-
ли наблюда-
ется неболь-
шое вспучи-
вание. На по-
чюсах тело
ближе к
плотному яд-
ру Земли, и
поэтому его
вес немного
больше
диус Земли. Величина Gm3/R3 приблизи-
тельно постоянна и обозначается через
д. В действительности д не постоянно,
частично из-за того, что радиус Земли
меняется от полюса к экватору, а ча-
стично из-за того, что вызываемый вра-
щением Земли центробежный эффект за-
висит от географической широты. Пер-
вая причина приводит к уменьшению
значения д на экваторе на 0,18% (по
сравнению со значением на полюсе),
вторая причина (которая будет рассмо-
трена в главе 6) уменьшает д на 0,34%.
Вычислим д, используя средний
радиус:
д = (6,67 • 10"11 Н-м2/кг2)-
• (5,98 • 1024 кг)/(6,37 • 106 м)2 = 9,8 Н/кг.
Вес тела массы т на поверхности Земли
равен тд. К примеру, вес 1 кг массы ра-
вен 1 кг  9,8 Н/кг — 9,8 Н.
Впервые это число, 9,8, появилось
при описании свободного падения тел
у поверхности Земли. На свободно па-
дающее тело действует сила, равная его
весу: F = вес = тд. Эта сила сообщает
телу ускорение в соответствии с зако-
ном F = та. Таким образом, ускорение
определяется соотношением та = тд,
или а = д. Это верно при условии, что
9,8 м/с2 = 9,8 Н/кг.
Вопрос 5-8
Покажите, что эти две величины эк-
вивалентны как по размерности, так
и по единицам.
110
Одно из смущающих обстоятельств
при использовании термина «ускорение
свободного падения» заключается
в том, что часто эта величина исполь-
зуется для нахождения веса тела, кото-
рое подвешено и вовсе не испытывает
ускорения. С равным успехом д можно
было бы называть напряженностью по-
ля тяготения. Умножая напряженность
поля д на гравитационный заряд т, по-
лучаем силу тяготения тд, равную весу.
Как мы увидим ниже, такой подход со-
вершенно аналогичен описанию элек-
трического поля.
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
И РЕАЛЬНЫЙ МИР
Может показаться, что второй закон
Ньютона применим только в спе-
циальных лабораторных условиях. Пре-
жде всего он применим только в усло-
виях, когда выполняется первый закон
Ньютона: «Когда на тело не действует
сила, его скорость не меняется». В дей-
ствительности первый закон определяет
системы отсчета, в которых проводится
наблюдение. Он требует, чтобы наблю-
датель не имел ускорения. Если не вве-
сти надлежащие поправки, законы Нью-
тона на нашей сферической, вращаю-
щейся Земле строго выполняться не
будут.
Имеется и другая проблема, связан-
ная с законом F = та. Даже в инер-
циальной системе отсчета этот закон
носит приближенный характер. Нужно
помнить, что существует предельное
значение скорости во Вселенной — ско-
рость света. Постоянная сила не может
бесконечно сообщать постоянное уско-
рение, иначе скорость превысит предель-
ное значение. Более того, существует
еще несколько тонких вопросов, свя-
занных с природой массы, о которых
еще не упоминалось. Оказывается, мас-
са тела зависит от его скорости. Эти ин-
тересные вопросы будут обсуждаться
в последующих главах.
Даже без сложностей, связанных
с системами отсчета или скоростями,
близкими к скорости света, может пока-
заться, что второй закон Ньютона не
описывает явлений окружающего мира.
В физических лабораториях, где имеют-
ся идеальные механизмы и поверхности
без трения, тела могут двигаться с неиз-
менной скоростью в отсутствие дей-
ствующих сил. В реальном мире, одна-
ко, они замедляются и останавливают-
ся. И каждый знает, почему. В реальном
мире трение существует везде.
Трение проявляется как сила, препят-
ствующая движению. Используя второй
закон Ньютона, следует помнить, что
в левой части уравнения фигурирует ре-
зультирующая сила, действующая на те-
ло. Эта результирующая сила равна
разности движущей приложенной силы
и тормозящей силы трения:
^прилож -^трения та.
В одних случаях сила трения постоянна,
в других она зависит от скорости. Эти
случаи радикально отличаются друг от
друга.
Сухое трение скольжения. Когда
одно сухое тело скользит по поверхно-
сти другого, тормозящая сила трения
практически не зависит от скорости, по
крайней мере в случае малых скоростей.
Сила трения зависит от рода поверхно-
стей и от силы, прижимающей тела
друг к другу. На первый взгляд не оче-
видно, почему это приближение оказы-
вается таким хорошим.
Рассмотрим границу соприкоснове-
ния двух тел. На атомном уровне здесь
имеются «впадины», «равнины»
и «холмы». Можно ожидать, что потре-
буется значительная сила для того,
чтобы заставить одно тело скользить по
поверхности другого, но эта сила дол-
жна убывать при увеличении скорости
движения, когда тела будут соприка-
саться только вершинами выпуклостей.
Более того, можно ожидать, что сила
трения будет тем больше, чем больше
площадь поверхности соприкосновения
тел. Однако это не так. Трение обусло-
влено не зацеплением выпуклостей друг
за друга, а взаимодействием поверхно-
стей на межмолекулярном уровне. Од-
ним из подтверждений этого является
111
тот факт, что между очень гладкими по-
верхностями обычно существует боль-
шое трение скольжения. Провода
с гладкой изоляцией трудно протяги-
вать через оболочки электрического ка-
беля; для длинных линий используются
провода с шероховатой изоляцией.
Молекулярная модель трения также
объясняет, почему сила трения не зави-
сит от видимой площади соприкоснове-
ния. Когда одно тело помещается на
другое, только незначительный процент
площади соприкосновения действитель-
но находится в контакте на молекуляр-
ном уровне. Тела соприкасаются выпу-
клостями на своих поверхностях. Пло-
щади соприкосновения как раз доста-
точно для того, чтобы уравновесить вес
верхнего тела или противодействовать
силе, с которой тела прижимают друг
к другу. Для показанных на рисунке
Вертикальная сила давления на с юл одина-
кова при любом из трех положений брусков —
она равна весу. Наблюдаемая область кон-
такта (геометрическая площадь) разная.
Действительная область контакта одинакова
прямоугольных брусков действительная
область соприкосновения одинакова не-
зависимо от того, как они стоят. Эта
область определяется только весом,
а вес один и тот же, при любом положе-
нии брусков. Если сверху на брусок по-
ложить еще какой-нибудь груз, то бру-
сок осядет немного ниже, так что
действительная область увеличится, хо-
тя видимая поверхность соприкоснове-
ния останется такой же.
Можно записать в виде формулы
утверждение, что сила сухого трения ме-
жду скользящими поверхностями зави-
сит только от силы, прижимающей тела
друг к другу, и от рода их поверхно-
стей:
Етрения Р-ЕнорМ,
Енорм — «нормальная» сила — нормаль-
ная в математическом смысле, что озна-
чает ее перпендикулярность к поверхно-
сти. Если одно тело скользит по верх-
112
ней поверхности другого, нормальная
сила обычно равна весу верхнего тела.
Однако, могут быть и дополнительные
силы, прижимающие тела друг к другу.
Греческой буквой р. обозначен коэффи-
циент трения. Этот коэффициент зави-
сит от сочетания материалов, из ко-
торых сделаны соприкасающиеся тела.
Он будет разным при трении дерева
о сталь и дерева о дерево. В инже-
нерных справочниках приводятся значе-
ния для многих различных комбинаций.
Ниже приведена таблица некоторых
из них.
Коэффициент трения для некоторых поверхностей		
Поверхности	Коэффициент трения	
	статический Мстат	кинетический Икин
Сталь о сталь	0,74	0,57
Сталь об алюминий	0,61	0,47
Сталь о латунь	0,51	0,44
С текло о стекло	0,94	0,40
Стекло о медь	0,68	0,53
Сталь о тефлон	0,04	0,04
Обратите внимание, что в одной ко-
лонке приводятся значения коэффициен-
тов трения покоя и что эти значения вы-
ше, чем для трения при движении, то
есть скольжения. Видно, что сухое тре-
ние между поверхностями не вполне не-
зависимо от скорости. По крайней мере
в статической ситуации, когда скорость
равна нулю, трение больше. Но как
только одно тело начинает перемещать-
ся относительно другого, первона-
чальные связи между молекулами
оказываются разорванными и коэффи-
циент трения уменьшается до практиче-
ски постоянного значения. Трение каче-
ния намного меньше трения скольже-
ния. Когда одно тело катится по по-
верхности другого, молекулярные связи
разрываются при подъеме точек катя-
щегося тела, в то время как при сколь-
жении наблюдается сдвиговый эффект.
Вопрос 5-9
Мы описываем силы трения, но ни-
чего не сказали об их направлении.
Если одно тело неподвижно лежит
на другом и между ними имеется
I трение, почему тела не разгоняются
• под действием этой силы?
Разберем несколько примеров влия-
ния трения скольжения на движение.
1.	Алюминиевый кубик со стороной
10 см имеет массу 2,7 кг. К кубику, ле-
жащему на стальном столе, приклады-
вается горизонтальная сила 10 Н. Ка-
ким будет ускорение? Ускорение равно
нулю. Удерживающая кубик на месте
сила трения покоя может достигать
максимального значения, равного
Рстат-Рнорм, прежде чем порвутся статиче-
ские молекулярные связи. Сила нор-
мального давления FHopM обусловлена
весом кубика, равным тд. Пороговое
значение движущей силы
Люро, = 0,61-2,7 кг -9,8 Н/кг= 16,1 Н.
Кубик будет оставаться неподвижным,
пока внешняя сила, действующая по
г оризонтали, не превысит этого зна-
чения.
2.	Рассмотрим тот же пример с алю-
миниевым кубиком на стальном столе,
но теперь пусть действующая сила бу-
дет равна 20 Н. Каким будет ускорение?
Поскольку кубик движется, то сила тре-
ния равна
ЦкипСнорм = 0,47 • 2,7 кг • 9,8 Н/кг =
= 12,5 Н.
Обратите внимание, что это меньше,
чем пороговое значение силы, способной
заставить кубик двигаться.
На основании второго закона Нью-
тона имеем:
Сцрилож С -|рения ШП,
20 Н - 12,5 Н = (2,7 кг) а,
а = 2,8 м/с2.
3.	Предположим, что вы толкаете по
полу сундук, как показано на рисунке,
с силой 300 Н, направленной под углом
30° к горизонту. Каким будет ускорение,
если коэффициент трения сундука о пол
равен 0,3, а масса сундука равна 50 кг?
В этом случае сила нормального давле-
ния равна сумме веса тела и направлен-
ной вертикально вниз составляющей
толкающей силы:
^норм	-^прилож sin 30
= 50 кг-9,8 Н/кг+ 300 Н-0,5 =
= 490+ 150 = 640 Н.
Сила, действующая в направлении дви-
жения, Рэффект = F cos 30° = 300 Н • 0,87 =
= 260 Н. Сообщаемое ускорение опре-
деляется соотношением
б/ффект С1рС|1НЯ та,
260 Н - 0,3 • 640 Н = 50 кг • а,
а = 1,4 м/с2.
| Вопрос 5-10
Каким будет ускорение, если тянуть
, сундук за веревку с такой же силой,
1 но направленной под углом 30° к го-
® ризонту вверх?
Дополнительный материал
Трение, зависящее от скорости
В реальных условиях всегда, когда
это возможно, стараются уменьшить су-
хое трение скольжения, за исключением
случаев, когда мы умышленно хотим пре-
дотвратить проскальзывание тел. Ко-
нечно, при угрозе заноса колес автомоби-
ля на дороге или в случае скользкого
тротуара желательно сделать трение как
можно большим. Чтобы уменьшить тре-
113
ние, скольжение гел заменяют качением
или применяют смазку. На древних ри-
сунках, найденных в пирамидах, изобра-
жены египтяне, подливающие молоко под
полозья саней, на которых волокли ка-
менные глыбы. Так как содержание жира
в бутылочном молоке низкое, то теперь
для этой цели обычно используется спе-
циальное масло. Смазка не допускает об-
разования устойчивых связей между моле-
кулами движущихся тел, создавая границу
жидкость — твердое тело. Поведение сил
трения при движении твердого тела в
жидкости и при скольжении твердых тел
относительно друг друга совершенно раз-
лично. В первом случае тормозящая сила
зависит от скорости.
Последствия зависимости трения от
скорости известны каждому. Как отмеча-
лось в «Знакомстве с явлениями», отпу-
щенный кусок ткани медленно опускает-
ся, пока он расправлен. Парашютист па-
дает не с постоянным ускорением, а с
постоянной скоростью. Если надавить на
педаль газа в автомобиле, то он разго-
нится до некоторой максимальной скоро-
сти и будет продолжать движение с этой
скоростью. Во всех этих случаях сила тре-
ния становится равной движущей силе. Когда
результирующая сила обращается в нуль,
то обращается в нуль и ускорение, а ско-
рость остается неизменной. Эту постоян-
ную скорость обычно называют установив-
шейся скоростью.
Вопрос 5-11
Почему при сухом трении скольжения не
устанавливается конечная скорость?
Ведь все, что требуется для этого, — это
равенство силы трения и движущей
силы.
Когда тело движется в сплошной среде,
такой как воздух или вода, сила трения уве-
личивается с ростом скорости. Например,
для тел, имеющих размеры, близкие к разме-
рам человека, Етрения — kv2. Когда приложен-
ная сила только начинает разгонять гело,
скорость мала и, следовательно, мала сила
сопротивления воздуха
Уравнение
^прилож kv = та
можно приближенно записать так:
^прилож = МШ-
По мере разгона тела его скорость становит-
ся все больше и больше В конце концов,
kv — Fприлож- При этом ЕПрИлОж kv =0. Ре-
зультирующая сила обращается в нуль, уско-
рение отсутствует, и скорость тела остается
постоянной.
Точный вид зависимости силы трения от
скорости определяется свойствами сплошной
I рафик зависимости г (г) г гя тела, движу-
щегося пол действием постоянной си гы тяги
и силы трения, растущей при увеличении
скорости
средьг и размерами тела. Для частицы разме-
ром с пылинку, дрейфующей в воздухе, сила
трения приблизительно пропорциональна
первой степени скорости. Для движущейся
в воде лодки сила трения пропорциональна
квадрату скорости. В этом случае, однако,
возникают дополнительные сложности, ког-
да создаваемые при движении лодки волны
начинают интерферировать друг с другом.
Некоторые дополнительные сведения о тре-
нии в жидкости приводятся в главе 14.
Коэффициент к зависит от геометриче-
ских размеров и формы поверхности. Обте-
каемая форма тела способствует уменьше-
нию значения к. Имеются и специфические
сложности, влияющие на значение к. В обыч-
ных условиях максимальная практически
достижимая скорость движения небольшой
лодки пропорциональна квадратному корню
из длины лодки. Для тел сферической формы
(таких, как мячи для гольфа), летящих в воз-
духе, к будет меньше при шероховатой сфе-
рической поверхности, чем при гладкой.
Конечная скорость большого тела, па-
дающего в воздухе, пропорциональна ква-
дратному корню из его веса. Это соотноше-
ние возникает вследствие того, что при уста-
новившейся скорости движеггия справедливо
соотношение Еприлож — kv2 = 0. Поскольку
приложенная к телу сила равна весу тела,
то для скорости получаем вко|,ечн = ]/весД
Коэффициент к, грубо говоря, пропорциона-
лен площади поверхности падающего тела.
114
Для человека, падающего без парашюта,
установившаяся скорость движения в воздухе
немного больше 50 м/с. Парашют обычно
конструируют таким образом, чтобы устано-
вившаяся скорость движения — а значит и
скорость приземления — была примерно
6,5 м/с.
Вопрос 5-12
Если уронить два тела одинаковой
, формы, но разного размера и веса, то
у какого из них установившаяся ско-
рость будет больше? Если одновремен-
но выбросить из самолета слона
и мышь, кто раньше упадет на Землю?
Сила сопротивления, действующая на
автомобиль, обусловлена как трением о до-
рогу, так и сопротивлением воздуха. Для
большинства легковых автомобилей, в зави-
симости от типа шин, нагрузки и обтекаемо-
сти формы, трение о дорогу преобладает,
пока скорость не превосходит 48 км/ч. По-
скольку трение о дорогу практически не за-
висит от скорости, а сопротивление воздуха
пропорционально квадрату скорости, то по
мере разгона именно оно начинает играть
определяющую роль. У каждой машины
есть свой верхний предел скорости. Увеличе-
ние мощности двигателя автомобиля не при-
водит к существенному увеличению этого
предела. Необходимая мощность пропорцио-
нальна кубу максимальной скорости. Если
удвоить мощность, то предельная скорость
возрастет только на 26%.
РЕЗЮМЕ
Эта глава посвящена всего одному
уравнению: F = та. Это простое уравне-
ние, но сфера действия второго закона
Ньютона огромна. Мы внимательно
проанализировали все аспекты входя-
щих в уравнение величин и их взаимо-
связь.
Приложенная к телу сила сообщает
ему ускорение в направлении действия
силы и пропорциональное силе. Это
утверждение кажется противоречащим
повседневному опыту. Закон выполняет-
ся только в инерциальных системах от-
счета — определяемых первым законом
Ньютона — и входящая в него сила
представляет собой равнодействующую
всех действующих сил.
Коэффициент пропорциональности
между силой и ускорением называется
инертной массой. Эта величина не сов-
падает ни с объемом, ни с весом, ни
с числом субатомных частиц в теле.
Инертную массу можно определить,
действуя на тело известной силой и из-
меряя его ускорение.
Инертная масса — скалярная величи-
на, хотя этот факт и подвергается со-
мнению. Инертные свойства тела могут
определяться влиянием всей остальной
массы во Вселенной.
Гравитационная масса определяется
на основе другого открытия Ньютона.
Гравитационное притяжение между дву-
мя телами сферической формы (или до-
статочно удаленными) описывается фор-
мулой FTpaB = Gm1m2/r2. Гравитационная
масса играет роль заряда гравитацион-
ного поля. Насколько сейчас известно,
гравитационный заряд всех тел положи-
телен и между ними всегда наблюдается
притяжение. Гравитационная масса
определяется при измерении сил тяготе-
ния.
Закон всемирного тяготения Ньюто-
на вскрывает важные свойства Все-
ленной. Г равитационная постоянная
G универсальна. Она имеет одно и то
же значение и на Земле, и в космосе.
Показатель степени, в которой расстоя-
ние входит в знаменатель, равен точно
двум, что соответствует свойствам трех-
мерного евклидова пространства. В ла-
бораторных условиях значение G было
определено Кавендишем почти 200 лет
назад. Зная G, можно вычислить массу
Земли. Оказалось, что средняя плот-
ность Земли намного больше плотности
скал на ее поверхности.
На поверхности Земли величина
Gm3/Rl практически постоянна и равна
примерно 9,8 Н/кг. Эта постоянная обо-
значается буквой д. На поверхности Зем-
ли вес тела массы т равняется тд.
На эксперименте с чрезвычайно
большой точностью установлено, что
гравитационная масса пропорциональна
инертной массе. Эйнштейн высказал
мысль, что это не может быть слу-
чайным и что эти две величины в дей-
ствительности идентичны. Таким обра-
зом, одна и та же характеристика тела,
называемая массой, может быть исполь-
115
зована в двух не связанных между со-
бой формулах: F = та и F = Gmlm2/r2.
Выбор единицы массы сделан про-
извольно. Она получила название ки-
лограмм и была первоначально опре-
делена как масса одного литра воды.
Официальным эталоном в каждой стра-
не служит платиновый цилиндр, масса
которого откалибрована относительно
международного эталона массы.
После выяснения физического смыс-
ла второго закона Ньютона было отме-
чено, что он верен только при скоро-
стях, малых по сравнению со скоростью
света. Тем не менее этот закон приме-
ним для всех происходящих вокруг нас
явлений при условии, что учтены силы
трения.
Было рассмотрено два вида трения,
препятствующего движению. Сила сухо-
го трения скольжения не зависит от ско-
рости, по крайней мере в первом при-
ближении, и равна F = цГнорм, где
р. — коэффициент трения, характеристи-
ка трущихся друг о друга поверхностей,
а Т||орм — сила нормального давления
тел друг на друга. Сила трения скольже-
ния не зависит от видимой площади по-
верхности соприкосновения тел.
При другом виде трения сила зави-
сит от скорости тела. Так бывает, когда
тела движутся в сплошной среде — либо
жидкой, либо газообразной. Для боль-
шинства тел, движущихся в воздухе,
тормозящая сила приблизительно про-
порциональна квадрату скорости. Фак-
тически зависимость варьируется для
разных граничных условий и геометри-
ческих размеров. Если сила сопротивле-
ния движению увеличивается с ростом
скорости, а на тело действует постоян-
ная внешняя сила, то существует верх-
няя граница скорости движения тела.
Автомобили, движущиеся на предель-
ной скорости, спускающиеся парашю-
тисты — все это примеры сделанного
утверждения.
Ответы на вопросы
Используя изложенную в главе 2 мето-
дику стробоскопического анализа, из-
меряем изменения положения Дх. Для
постоянных промежутков времени At
изменения положения пропорцио-
Тангенс угла наклона графика пропорциона-
лен ускорению
нальны скорости Дх/Дг. График зависи-
мости Дх от t представляет собой пря-
мую линию, если ускорение постоянно.
Взгляните на карту погоды. Ветры,
дующие в северном полушарии, из-за
вращения Земли отклоняются вправо.
(В южном полушарии они отклоняются
влево.) Таким образом, если распреде-
ление зон повышенного и пониженного
атмосферного давления таково, что
ветры должны дуть с юга на север, то
они будут поворачивать к востоку. По-
падая в области пониженного давле-
ния, ветры закручиваются в спирали,
вращающиеся против часовой стрелки,
что видно со спутника.
Имея известную массу, можно прока-
либровать пружину и таким образом
прикладывать известную силу. Напри-
мер, можно с помощью пружины сооб-
щить массе 1 кг ускорение 1 м/с2. Для
этого придется подействовать силой
1 Н. Затем с помощью прокалиброван-
ной пружины сообщить определенное
ускорение телу неизвестной массы. При
этом известна сила F и измеряется
ускорение а. Масса т находится из со-
отношения F = та.
Единственная масса, которую мы опре-
делили,— это инертная масса. Однако
не очевидно, что инерционное свойство
тела сопротивляться изменению своего
движения должно быть связано со спо-
собностью притягивать другое тело на
расстоянии.
116
Сравнивая ускорения двух тел, мы на-
шли, что
__ ^1грав ^2 инерт
^2 • w 1 инерт ^гграв
инерт ^гниерт	инерт
=-----------~	, то есть
^тинерт ^гинерт	^гннерт
ускорения тел пропорциональны их
инертным массам. Можно прийти к та-
кому выводу и иначе, если подставить
в уравнение какие-либо числа, как по-
казано на рисунке (с. 108). Если инерт-
ная масса первого тела равна 1,
а инертная масса второго тела равна
2 (неважно, в каких единицах), тогда
гравитационная масса первого тела
пропорциональна 1, а второго — 4 (а не
2). При этом вес второго тела будет в
4 раза больше веса первого, в то время
как инертная масса будет только вдвое
больше массы первого тела. Поскольку
вес = F = т1ннерта, то ускорение тяже-
лого тела будет вдвое больше, чем
ускорение легкого.
Объем Земли равен (4/3) nRj. Масса Зем-
ли равна произведению плотности на
объем, то есть
(4/3) • л • (6,4 • 106 м)3 • (2,5 • 103 кг/м3) =
= 2,5- 1024 кг.
Таким образом,
G = FR3 = Ю Н  (6,4  106 м)2 _
пцтз 1 кг (2,5 • 1024 кг)
= 1,6- 10-10 Н-м2/кг2.
Это значение больше истинного при-
мерно в два раза. Тем не менее оно
имеет правильный порядок величины.
F = (6,67- К)-*1	Н-м2/кг2)-50 кг х
х 60 кг/10 м2 « 2 • 10~9 Н. С той же сте-
пенью точности, с которой имеет
смысл заданный вопрос, справедливо
использование предположения, что си-
ла обратно пропорциональна квадрату
расстояния. Юноша и девушка не
имеют сферической формы, но расстоя-
ние между ними велико по сравнению
с их размерами. Очевидно, что их
влечение друг к другу едва ли имеет
физическую природу.
5-8. размерность а есть L/Т2. Размерность
д совпадает с размерностью
сила _ масса • ускорение _
масса	масса
= ускорение = L/T2.
Такой же анализ показывает, что
, Н , кг • м/с2 , м
1	1	1 у--
кг кг
5-9. Сила трения всегда действует в напра-
влении, противоположном скорости,
или в направлении, противоположном
направлению результирующей дей-
ствующих на тело сил, и мешает ему
сдвинуться с места.
Если сундук тянут с силой, направлен-
ной вверх, вместо того, чтобы толкать
с силой, направленной вниз, то гори-
зонтальная составляющая силы не ме-
няется. Вертикальная составляющая,
однако, уменьшает силу нормального
давления между сундуком и полом,
приводя к уменьшению трения:
^норм = ^9 F приложат 30 — 490
—- 150 = 340 Й, ЕЭффект Етрения = та,
260 Н - 0,3  340 Н - 50 кг • а = 3,2 м/с2.
точное совпадение силы тяги и по-
стоянной силы трения теоретически,
конечно, возможно, но на практике
обычно не встречается. Существенно
здесь то, что при постоянной силе тре-
ния левая часть второго закона Ньюто-
на превращается в разность двух по-
стоянных величин: Етяги — Етрення. Если
эти две величины не одинаковы и не
остаются одинаковыми, то появляется
ускорение. Если сила трения растет при
увеличении скорости, то ситуация со-
вершенно иная. Сила трения будет
увеличиваться до тех пор, пока она не
уравновесит приложенную силу, а затем
будет оставаться на требуемом уровне.
Установившаяся скорость пропор-
циональна квадратному корню из от-
ношения веса к постоянной к. Значе-
ние постоянной к зависит от погранич-
ного слоя между телом и сплошной
средой и от геометрии тела. Если
сравниваются тела, сопротивление
движению которых одинаково за-
висит от скорости, то приближенно
можно считать, что к пропорцио-
нальна площади поверхности падаю-
щего тела. Для тел одинаковой фор-
мы и плотности вес пропорционален
объему, который в свою очередь
пропорционален кубу некоторого сред-
него линейного размера. Площадь по-
верхности, создающей сопротивление,
пропорциональна квадрату этой длины.
Таким образом, отношение веса к
к пропорционально отношению L3 к L2.
Конечная скорость, таким образом,
пропорциональна квадратному корню
из средней длины. Слоны будут падать
быстрее мышей.
117
Задачи
1.	Приведите четыре примера, когда
приложенная сила не вызывает движения,
удовлетворяющего уравнению F ~ а.
2.	Приведите два примера, показываю-
щие, что массу нельзя определять как «коли-
чество вещества» в теле.
3.	Напишите уравнения, с помощью
которых можно определить и инертную
и гравитационную массы. Объясните смысл
каждого члена в этих уравнениях. Объясните,
почему из уравнений не следует равенство
инертной и гравитационной масс.
3. Используя результаты опыта Галилея
на «Падающей» башне, покажите алгебраиче-
ски, что инертная масса должна быть про-
порциональна гравитационной массе.
4. Каким будет отношение ускорений
ДЛЯ тел С ™ |Грав = 1 И т2грав = 2 в мире, в ко-
тором гравитационная масса пропорцио-
нальна кубу инертной массы: тнрав ~ Мииерт?
6.	На поверхности Луны тело массы
1 кг весит 1,7 Н. Считая, что плотность гор-
ных пород на поверхности Луны, равная
2,5 • 103 кг/м3, совпадает со средней плот-
ностью Луны, определите G. Радиус Луны
равен 1,7 • 106 м. (Сравните полученное
значение со значением, найденным в вопро-
се 5-6. Объясните причину различия.)
7.	Из всего добытого на Земле золота
можно было бы сделать шар, диаметр кото-
рого — всего 22 м. Плотность золота равна
19,3-103 кг/м3. С какой силой притягивал бы
вас этот шар, если бы вы подошли к нему
вплотную?
8.	Каково д на поверхности Луны, если
ее радиус равен 1,7-106 м, а масса равна
7,3 • 1022 кг?
9.	В английской технической системе
единиц фунт является единицей силы (а не
массы). Тело массы 1 килограмм весит 2,2
фунта. Скольким ньютонам равен один
фунт?
10.	Какова ваша масса в килограммах?
Каков ваш вес в ньютонах?
11.	Стороны прямоугольного паралле-
лепипеда равны 10 см, 2 см и 5 см. Если па-
раллелепипед лежит на грани размера 10 х 5
см, то площадь контакта на молекулярном
уровне равна St. Если же он лежит на грани
размера 10 х 2 см, то площадь контакта рав-
на S2. Найдите отношение Sl/S2.
12.	Жесткость пружины равна 50 Н/м.
Если с помощью этой пружины равномерно
тянуть по полу коробку массы 2 кг, то дли-
на пружины увеличивается с 10 до 15 см.
Каков коэффициент трения коробки о пол?
13.	Брусок скользит с постоянной ско-
ростью вниз по наклонной плоскости, обра-
зующей угол 30° с горизонтом. Чему равен
коэффициент трения? (Почему ответ не зави-
сит от массы бруска?)
14.	Коэффициент трения скольжения ме-
жду лыжами и снегом зависит от качества
снега и от смазки лыж. При каком уклоне
лыжни можно скользить с постоянной ско-
ростью, если коэффициент трения равен
0,04?
15.	Парашют сконструирован таким
образом, чтобы скорость приземления жен-
щины массы 50 кг составляла 6,5 м/с. С ка-
кой скоростью приземлится мужчина массы
100 кг, если по ошибке воспользуется этим
парашютом?
16.	Стокилограммовый ящик тянут по
полу с постоянной скоростью, прикладывая
горизонтальную силу 100 Н. Каков коэффи-
циент трения? Если положить сверху еще
одИн такой же ящик, какая потребуется сила,
чтобы тянуть их с постоянной скоростью?
Будет ли сила меньше, если оба ящика будут
скользить по полу?
17.	Коэффициент трения скольжения
стокилограммового ящика о пол равен 0,2.
Ящик тянут за веревку, проходящую через
его центр тяжести. Какая сила необходима
для того, чтобы ящик двигался с постоянной
скоростью, если веревка образует с горизон-
том угол 30°?
18.	Кассий, герой трагедии Шекспира
«Юлий Цезарь», говорит: «В том, что мы
маленькие сошки, виноваты мы сами, доро-
гой Брут, а не наши звезды». Покажите
правдоподобность этого утверждения, вы-
числив силу гравитационного притяжения че-
ловека к Солнцу и к следующей ближайшей
звезде Проксиме, которая находится на рас-
стоянии четырех световых лет. Примите, что
масса Проксимы равна массе нашего Солнца
(т = 2,О-1О30 кг). Сравните оба полученные
значения с силой гравитационного притяже-
ния к Земле.
19.	Приближенная формула для силы
вязкого трения, действующей на животное,
падающее в воздухе, имеет вид
Е=(0,2 H-c2/m4)Sp2,
где S — площадь сечения, перпендикулярного
к направлению скорости движения v. Опре-
делите конечную скорость падения пятики'-
лограммового кота, площадь сечения кото-
рого порядка 0,1 м2.
ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ВТОРОГО
ЗАКОНА НЬЮТОНА
В главе 5 был всесторонне исследо-
ван закон F = та. Теперь применим
этот закон в различных ситуациях. Сна-
чала рассмотрим случаи, когда прило-
женная сила постоянна и движение про-
исходит в направлении действия силы
или, по крайней мере, в направлении
одной из ее составляющих.
Вопрос 6-1
Разве движение не должно всегда
происходить в направлении одной
из составляющих силы?
Затем будет с несколько иной, чем
раньше, точки зрения рассмотрено дви-
жение по окружности. Все величины
длина, скорость, ускорение, масса и си-
ла — имеют аналоги при вращении.
Переход от одного набора величин
к другому приводит ко второму закону
Ньютона для вращательного движе-
ния. Мы узнаем, как описывать каче-
ние тел.
На земле существует несколько инте-
ресных явлений, когда центростреми-
тельная сила перпендикулярна силе тя-
готения. В космосе встречаются еще
более интересные явления, в которых
сила тяготения является центростреми-
тельной силой.
И наконец, мы начнем рассмотрение
движения, вызываемого силами, кото-
рые не остаются постоянными, а изме-
няются по простому закону. Колеба-
тельное движение, вызываемое такими
силами, встречается в мостах, скри-
пичных струнах, часах, атомах, звездах.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
с
Все тела, большие и малые, падают
одинаковым ускорением, за исключе-
нием случаев, когда существенно трение.
Так происходит потому, что тяжелое те-
ло имеет и большую инертность. Вот
как можно создать падающую систему,
эффективный вес которой не пропор-
ционален ее массе. Возьмите нитку или
бечевку и перекиньте ее через гладкий
стержень, например карандаш. Привя-
жите к каждому концу по канцелярской
скрепке, изогнутой в виде крючка. На
каждый крючок можно повесить много
одинаковых скрепок. Если с каждой сто-
роны висит по пять скрепок, то система
не движется. Если теперь перевесить од-
119
ну скрепку с одного крючка на другой,
то полная масса не изменится, а вес гру-
за с одной стороны будет больше, чем
с другой. Понаблюдайте, как движется
система при разных комбинациях числа
скрепок с одной и с другой стороны.
Существует ли определенное пороговое
значение разницы в весе грузов на
крючках, начиная с которого система
приходит в движение? Можно ли до-
биться движения с постоянной ско-
ростью, делая эту разницу достаточно
малой? Как изменится ускорение по
сравнению с д при изменении полной
массы и разницы в весе?
Для наблюдения следующего явле-
ния нужен проигрыватель, который
в крайнем случае можно где-нибудь
одолжить на время. Возьмите банку из-
под апельсинового сока, две соломинки
для коктейля, липкую ленту, нитку
и канцелярские скрепки — обычные ма-
териалы для физических опытов.
Вставьте одну соломинку в другую
и приклейте их липкой лентой к банке,
как показано на рисунке. Когда банка
помещается в центр вращающегося ди-
ска, соломинки располагаются по его
диаметру. Подвесьте канцелярские
скрепки на расстояниях 5 и 10 см от
центра диска с каждой стороны. Они
действуют как грузики отвесов, по-
казывающих направление «вниз», по-
ка диск не вращается. Понаблюдайте,
что произойдет с направлениями отве-
сов, когда диск придет во вращение.
Как можно точнее оцените угол с верти-
калью, образованный каждым отвесом.
В каком соотношении находятся между
собой углы, образованные отвесами, рас-
положенными на расстояниях 5 и 10 см
от центра? Если у диска проигрыва-
теля есть несколько скоростей враще-
ния, увеличьте частоту с 33 оборотов
в минуту до 45 или 78 оборотов. В ка-
ждом случае измеряйте углы отклоне-
ния отвесов от вертикали.
Один из простейших способов со-
здать колебательное движение, которое
мы будем изучать, — это соорудить
маятник. Нужно просто подвесить груз
на бечевке, закрепленной в одной точке.
Выберите неподвижную опору и крепко
привяжите к ней бечевку так, чтобы бе-
чевка раскачивалась около одной точки,
но не проскальзывала в опоре. Подой-
дет любой груз, но, если сможете, до-
станьте что-нибудь типа солонки и под-
весьте ее отверстием вниз. Расширьте
отверстие, чтобы соль могла свободно
высыпаться или замените крышку со-
лонки бумажной или пластмассовой
крышкой с отверстием посередине.
Закройте отверстие, чтобы соль не
высыпалась и посмотрите, как ведет се-
бя маятник при малых и больших ам-
плитудах колебаний. Сравните время 10
качаний с малой и большой амплитуда-
ми. Сравните время 10 качаний маятни-
ка, подвешенного на бечевке длины
25 см и 1 м. Сравните время 10 ка-
чаний пустой и наполненной солонки.
Но самая интересная часть игр
с маятником еще впереди. Склейте вме-
сте несколько листов бумаги и помести-
те их под маятником. Откройте отвер-
стие, чтобы соль высыпалась, обозначая
на бумаге линию при качании маятника.
Теперь медленно и равномерно двигай -
120
те бумагу перпендикулярно направле-
нию, вдоль которого качается маятник.
Высыпающаяся соль нарисует картину,
описываемую знакомой математической
функцией.
ПОСТОЯННАЯ СИЛА
В НАПРАВЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Ниже приводятся несколько приме-
ров использования второго закона
Ньютона. В рассматриваемых случаях
полная приложенная сила не обязатель-
но действует в направлении результи-
рующего движения, но определенная со-
ставляющая этой силы направлена
1.	На рисунке показан брусок, ко-
торый скользит вниз по наклонной пло-
скости, образующей угол 9 с горизон-
том. Сила тяжести, действующая на
брусок, равна тд и изображена векто-
ром, направленным вниз. Здесь мы
встречаемся как раз с таким случаем,
когда вектор следует разложить на
взаимно перпендикулярные составляю-
щие, которые не направлены по верти-
кали и горизонтали. В рассматриваемом
примере интерес представляют соста-
вляющие силы тяжести, направленные
параллельно и перпендикулярно наклон-
ной плоскости.
Следуя обычным правилам действия
с векторами, рисуем параллелограмм
сил, обозначаем углы и составляющие
силы тяжести. Перпендикулярная на-
клонной плоскости составляющая от-
ветственна за трение. Этот вопрос мы
рассмотрим дальше, а пока будем счи-
тать поверхность идеально гладкой. Со-
ставляющая, направленная вдоль на-
клонной плоскости, сообщит бруску
ускорение в том же направлении. Вто-
рой закон Ньютона записывается в виде
mg sin 0 = та. Обратите внимание на то,
что масса бруска в этом уравнении со-
кращается, как и в уравнении для сво-
бодного падения.
Всегда следует проверять, правильно
ли выбрана тригонометрическая функ-
ция (sin или cos в данном случае), рас-
сматривая предельные значения углов,
такие как 0° или 90°. Если, к примеру,
0 = 90°, то брусок будет падать вниз
с ускорением, равным д. Именно к тако-
му результату приводит и написанная
формула, поскольку sin90° = l. Ускоре-
ние свободного падения слишком вели-
ко для многих учебных целей. Тела па-
дают так быстро, что трудно фиксиро-
вать их положение как функцию време-
ни. В главе 2, в «Знакомстве с явления-
ми» мы использовали наклонную пло-
скость, образующую небольшой угол
с горизонтом, для того, чтобы замед-
лить эффекты падения.
Вопрос 6-2
Какой угол наклона плоскости сле-
дует взять, если вы хотите, чтобы те-
лежка катилась по ней с ускорением
0,1 м/с2?
s
2.	Если коэффициент трения между
бруском и наклонной плоскостью равен
ц, то существует тормозящая сила, на-
правленная вверх вдоль наклонной пло-
скости и равная pFHOpM = цтд cos 0.
Обратите внимание, что сила нормаль-
ного давления не равна силе тяжести,
действующей на брусок. Напротив, она
равна составляющей силы тяжести, пер-
пендикулярной (или нормальной) к на-
клонной плоскости. Второй закон Нью-
тона, в этом случае записывается так:
mg sin 0 — дтд cos 0 = та.
И опять масса не входит в уравнение.
121
Вопрос 6-3
Оцените минимальный угол накло-
на, при котором брусок будет сколь-
зить вниз, если цкин = 0,1.
3.	В этом примере используется дру-
гой способ замедлять падение, происхо-
дящее под действием тяготения. На ри-
сунке показана система с блоком,
в которой падающее тело заставляет
другое тело скользить по столу. Опять
предположим, что трение отсутствует
как для скользящего тела, так и в блоке.
Есть два способа определить движе-
ние тела. Можно предположить, что два
бруска образуют единую систему, и
применить второй закон Ньютона ко
всей системе. Результирующая сила
определится весом бруска массы т1;
полная масса равна сумме т1 и т2:
т1д = (т1 +т2)а.
Если = т2, то ускорение равно как
раз половине д.
Существует более общий метод ре-
шения этой задачи — метод, который
удобен и даже необходим в более
сложных задачах. Мы обращаемся к по-
ложению, использованному в предыду-
щей главе: рассматривая силы, ВЫДЕ-
ЛИТЕ СИСТЕМУ. На рисунке каждый
брусок обведен изолирующими круж-
ками. Рассмотрим все силы, действую-
щие на каждое тело.
На брусок 1 действует сила тяжести
mtg, направленная вниз, и сила натяже-
ния нити Т, направленная вверх. Второй
закон Ньютона для этого тела записы-
вается так:
тгд — Г= вг,а.
Итак, мы имеем только одно уравнение
и две неизвестные величины: Тиа.
Рассмотрим силы, действующие на
брусок 2. Направленная вверх сила ре-
акции стола уравновешивает направлен-
ную вниз силу тяжести бруска. В гори-
зонтальном направлении действует
только одна сила — сила натяжения ни-
ти. В идеализированном случае, когда
массой блока можно пренебречь и тре-
ние в нем отсутствует, сила натяжения
нити одинакова по всей ее длине; если
было бы не так, колесико блока повора-
чивалось бы до тех пор, пока натяжение
нити не стало бы одинаковым. Таким
образом, второй закон Ньютона для
этого бруска имеет вид
Т = т2а.
Здесь опять две неизвестные величины,
но теперь имеется два уравнения. Берем
выражение для Т из второго уравнения
и подставляем в первое:
Т=т2а, т1д — т2а = т1а.
Группируя члены, мы приходим к тому
же уравнению, что и в первом способе
решения:
тхд = (т1 + т2)а.
Помимо более широкой применимо-
сти, рассмотренный здесь второй способ
решения позволяет определить силу на-
тяжения нити.
4.	Рассматриваемое в этом примере
устройство имеет классическое название:
машина Атвуда. (Реальное устройство
XIX века было гораздо более изощ-
ренным.) Изображенная на рисунке уста-
новка представляет собой немного ус-
ложненную форму простого прибора,
Вариант машины Атвуда
122
использованного в «Знакомстве с явле-
ниями». Мы можем снова рассматри-
вать систему как единое целое, заметив,
что полная масса равна + т2 + т3
и что вся она должна разгоняться с об-
щим ускорением. Эффективная дей-
ствующая сила равна разности сил тя-
жести, действующих на два подве-
шенных груза. Второй закон Ньютона
в этом случае записывается так:
тгд - т3д =	+ т2 + т3) а.
Если изолировать каждое тело и рас-
сматривать его как отдельную систему,
то получим три уравнения. Неизвестны-
ми величинами при этом будут общее
ускорение а и силы натяжения нитей Т,
и Т2. Сила Т, должна отличаться от Т2,
иначе второе тело не сможет разгонять-
ся. На основании второго закона Нью-
тона получаем уравнения для каждого
из трех тел:
гщд — Tt = mia,
7j — Т2 = т2а, Т2 — т3д = т3а.
Эту систему уравнений можно решать
по-разному, исключая либо одно, либо
другое неизвестное. Возможно, наиболее
простой путь — сложить все три урав-
нения, исключая разом 7j и Т2:
т3д — 7\ +	— Т2 + Т2 — т3д —
= mjo + т2а + т3а.
Отсюда получаем прежнее уравнение:
тгд - т3д = (mt + т2 + т3) а.
Вопрос 6-4
В обоих методах решения предпола-
галось, что ускорение направлено
так, что второе тело движется впра-
во. Доведите решение до конца, ис-
пользуя приведенные значения масс,
и выясните, остаются ли справедли-
выми написанные общие уравнения:
mi — 5 кг, т2 = 10 кг и т3 = 10 кг.
ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ:
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ
Поскольку вся жизнь проходит
в круговоротах, полезно освоить язык
вращательного движения. Каждая ве-
Величины
линейные
вращательные
Дуеа
длина дуги
Величины и их
линейные.
Ах
At
До
а — —
Дг
x-L
1.--+LT"1
a~*LT"2
v
размерности
вращательные*
де
со =---------------
At
Дсо
а =-----
At
0 -► число
Ю-.Г1
<|->Т“2
личина, используемая при описании
движения по прямой, имеет здесь свой
аналог. Координата х, характеризую-
щая положение, превращается в угол 0.
Быстрота изменения положения
Ax/At — это линейная скорость. Анало-
гично изменение угловой координаты,
деленное на время изменения, A0/At, на-
зывается угловой скоростью или цикли-
ческой (круговой) частотой. Угловая
скорость обозначается специальным сим-
волом со. Быстрота изменения угловой
скорости Aco/At называется угловым уско-
рением. Оно обозначается символом а.
Размерности этих циклических вели-
чин отличаются от размерностей их ли-
нейных аналогов. Угол — безразмерная
величина, так как он измеряется отно-
шением длины дуги к радиусу, имею-
щих размерности длины. Таким обра-
зом, размерность св есть просто Т-1,
а размерность а — Т~2. Для угловой
скорости используются три типа еди-
ниц, в зависимости от того, в каких еди-
ницах измеряется 0. Угол можно задать
в градусах, в радианах или в числе обо-
ротов. Угловая скорость будет зада-
ваться соответственно в градусах в се-
кунду, радианах в секунду или числом
Если длина дуги
равна радиусу, то
О = 1 рад = — обо-
2л
рогов % 57°
123
оборотов в секунду. Обычно св изме-
ряется в радианах в секунду, а для числа
оборотов в секунду используется спе-
циальное название — частота. Если ко-
лесо вращается с частотой /, равной
одному обороту в секунду, то это со-
ответствует угловой скорости, равной
2л радианов в секунду. Отсюда св = 2л/.
Скорость и ускорение — векторные
величины. Не вполне очевидно, как
можно охарактеризовать направление
угловой скорости и углового ускорения,
за исключением выражений «по часовой
стрелке» и «против часовой стрелки».
Конечно, когда мы говорим «по часо-
вой стрелке», мы имеем в виду враще-
ние вокруг оси, которая имеет опреде-
ленное направление. Обычно направле-
ние вращения задается таким же обра-
зом, как и направление моментов, изло-
женным в главе 4. Согните четыре
пальца правой руки по направлению
вращения. Тогда большой палец будет
направлен по оси в направлении, при-
писываемом движению. Это правило
выполняется, однако, только для не-
больших углов поворота или мгно-
венных угловых скоростей и ускорений.
Если использовать его для больших
углов поворота или для средних значе-
ний скорости за большой промежуток
времени, то обнаружится, что правило
векторного сложения не выполняется:
А + В ф В + А. На рисунке показан при-
мер возникающего здесь осложнения.
Приведем еще несколько полезных
соотношений, прежде чем переходить
к приложениям. Период вращения
Т определяется как величина, обратная
частоте: Т= 1/f. Если колесо вращается
с частотой 10 оборотов в секунду, то пе-
риод одного оборота равен 1/10 се-
кунды. Существует также простое соот-
ношение между тангенциальной ско-
ростью тела, движущегося по кругу,
и его угловой скоростью. Имея танген-
циальную скорость v, тело за промежу-
ток времени At проходит по дуге окруж-
ности расстояние, равное гА/. Длина
этой дуги равна гА0. Поскольку А0/А1 =
= со, то v = гео. Эта формула справедли-
ва, только если со измеряется в радиа-
нах в секунду. Аналогичное рассуждение
приводит к похожему соотношению ме-
жду тангенциальным ускорением
и угловым ускорением а = аг.
Поворот 4 + поворот В / поворот В + по-
корен -1
Вопрос 6-5
Два вопроса относительно этих со-
отношений для угловой скорости
и ускорения. Находятся ли в соответ-
ствии размерности и единицы физи-
I* ческих величин для а и св? Угловое
ускорение и центростремительное
ускорение — это одно и то же или
нет?
Выведенная в главе 3 формула для
центростремительного ускорения содер-
жала радиус и тангенциальную ско-
рость : ац v = v2 /г. Запишем эту величину
в нескольких других формах, используя
угловые переменные. Поскольку v = cor,
то ац с = a2r2/г = (й2г. Поскольку св =
= 2л/, то ац L = 4n2f2r. Наконец, ис-
пользуя соотношение f = 1/Т, получим
124
«„ с = (4л2/Т2) г. Итак, ац L можно пред-
ставить различными выражениями:
в2 ,	, ,	4л2
а.. с = — = огг = 4л f г = —=-г.
г	Т
Обратите внимание, что в исходной
формуле центростремительное ускоре-
ние обратно пропорционально радиусу.
В угловых переменных центростреми-
тельное ускорение оказывается пропор-
циональным радиусу. Причина этого па-
радокса в том, что в системе, вращаю-
щейся с постоянным периодом, танген-
циальная скорость тем больше, чем
больше радиус.
Используем введенные величины для
анализа описанного в «Знакомстве
с явлениями» опыта с отвесами на диске
проигрывателя. Для обычных долго-
играющих пластинок в прогрывателе
используется частота вращения, равная
33 -у оборота в минуту ^33мин'1^.
В оборотах в секунду это составит
/= ( 33 4- мин'1)  | мин/с ) =
\ д	/ \ Ы) /
= 0,55 с'1.
Время одного оборота
т=— =______L_
f 0,555 с'1
Угловая скорость
кунду равна
= 1,8 с.
в радианах в се-
св = 2л/= 2-3,14-0,555 с'1 = 3,48 рад/с.
отстоящего на 10 см, вдвое больше
и равна 34,8 см/с.
Теперь вычислим центростреми-
тельные ускорения грузов, используя
значения всех приведенных величин:
5-сантиметровый отвес
v2 (17,4 см/с)2
аи с = — =-----------= 60,5 см/с2,
г 5 см
аа с = св2г = (3,48 рад/с)2 • (5 см) =
= 60,5 см/с2,
ацс = 4л2/2г39,4-(0,555 с'1)2-5 см =
= 60,5 см/с2,
4л2	39,4
«цс = -уГг = уусу-5 см =
= 60,5 см/с2;
10-сантиметровый отвес
(34,8 см/с)2
---—-------=121 см/с2,
10 см
(3,48 рад/с)2 -10 см =121 см/с2,
39,4/0,555 рад/с)2-10 см =121 см/с2,
39,4
уу—у-10 см = 121 см/с2.
Как видно, все вычисленные значе-
ния согласуются друг с другом. Заметь-
те, что, удваивая радиус точки на вра-
щающемся диске, вы увеличиваете
вдвое центростремительное ускорение.
Между тем, удваивая частоту, вы увели-
чиваете центростремительное ускорение
в четыре раза.
Угловое ускорение равно нулю, если
только диск вращается без рывков,
иначе возникают другие проблемы.
Все перечисленные величины —/, Т, св
и а — одинаковы для всех точек диска,
независимо от радиуса.
Вопрос 6-6
Как направлена угловая скорость
вращающегося диска проигрыва-
теля?
Тангенциальная скорость любой точ-
ки вращающегося диска пропорцио-
нальна ее радиусу. Скорость груза на
нити, отстоящего от центра вращения
на 5 см, v = свг = (3,48 рад/с) -5 см = 17,4
см/с. Тангенциальная скорость груза,
Вопрос 6-7
Каковы отношения стандартных ча-
стот вращения диска: 45/^33
78/^ЗЗу^; 78/45? Каковы отноше-
ния центростремительных ускоре-
ний?
Мы обсуждали центростремительное
ускорение, но тело имеет такое ускоре-
ние, только если на него действует цен-
тростремительная сила. Эта сила может
действовать со стороны бечевки, привя-
занной к вращающемуся мячу, может
быть обусловлена связью с дорогой, не
допускающей скольжения автомобиля
125
при повороте, может определяться гра-
витационным притяжением планеты.
Необходимая для движения с ускоре-
нием сила определяется вторым зако-
ном Ньютона: F — та. В рассматривае-
мом случае
и2 2	2 2	4л2
F,, „ = т — = та г = J г = т г.
ц	Г	s
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ДЛЯ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Для того чтобы тело двигалось по
окружности, центростремительная сила
должна непрерывно уводить его с тан-
генциального направления. Поскольку
центростремительное ускорение всегда
перпендикулярно скорости, тело не
ускоряется и не замедляется. Угловая
скорость остается неизменной. Угловая
скорость изменяется только при нали-
чии углового ускорения. Для этого необ-
ходима сила, действующая в направле-
нии тангенциальной скорости.
Применим второй закон Ньютона
к материальной точке массы т, вра-
щающейся по окружности, как показано
на рисунке. Приложим силу, постоян-
ную по модулю, но непрерывно меняю-
щуюся по направлению, так, чтобы она
в каждый момент времени была парал-
лельна тангенциальной скорости. Если
бы не это изменяющееся направление, то
второй закон Ньютона записывался бы
в обычном виде: F = та. В случае стати-
ки была введена величина, характери-
зующая действие силы, приложенной
в точке с радиус-вектором г, — момент
силы М = г х F. Косым крестом обозна-
пшенные
F
m
а
F = zna
враицге iun к
М = г X Ь
I = nil 2
7 = <|/|
VI = /7
чено векторное произведение, что озна-
чает, что действие силы наиболее эффек-
тивно, когда она перпендикулярна ра-
диус-вектору. Мы предполагаем, что
именно так и описывается действие
силы на тело, обращающееся по окруж-
ности. Поэтому в рассматриваемом
примере |г х F| = rF. Умножим обе ча-
сти равенства, выражающего второй за-
кон Ньютона, на г и учтем, что левая
часть представляет собой момент силы:
rF — та,
М = та.
Вспомним, что тангенциальное ускоре-
ние равно произведению радиуса на
угловое ускорение: а = аг. Подставим
это соотношение в приведенное выше
уравнение:
М — тг2а.
Это уравнение выражает второй за-
кон Ньютона для вращательного дви-
жения. Обратите внимание, насколько
оно сходно с первоначальным уравне-
нием: вместо силы фигурирует ее мо-
мент; тангенциальное ускорение замени-
лось на угловое; место массы заняла
комбинация массы и ее положения. Эта
специфическая комбинация (тг2) назы-
вается моментом инерции и обычно
обозначается буквой I. Момент инерции
играет ту же роль во вращательном
движении, что и масса в движении по
прямой. Чем больше момент инерции
тела, тем больший требуется момент
силы, чтобы изменить угловую ско-
рость. Между прочим, значение момен-
та инерции определяется не только мас-
сой; радиальное положение массы даже
более существенно, ибо I зависит от
квадрата радиуса.
Хотя второй закон Ньютона для
вращательного движения рассмотрен на
примере материальной точки с радиус-
вектором г, та же формула справедлива
для тонкого обруча или кольца радиуса
г. Момент инерции каждого малого эле-
мента обруча равен т,г2. Момент инер-
ции всего обруча равен тг2, где
т — сумма масс всех его элементов.
У любого другого вращающегося тела
каждый элемент с массой тг характери-
зуется своим радиусом и вносит свой
126
yj	9	W
вклад, равный m,r2, в полный момент
инерции.
Если две вращающиеся системы
имеют одинаковые массы, но масса
одной из них в основном сосредоточена
у обода, в то время как масса другой
сконцентрирована в центре, то первая
будет гораздо медленнее откликаться на
разгоняющие или тормозящие ее мо-
менты сил. Приходилось ли вам сталки-
ваться с этим явлением? Если нет, то
вот простой способ наблюдать его.
Возьмите четыре полных банки с соком
(или любые другие тела подходящего
веса) и поставьте их симметрично на
диск проигрывателя. Затем снимите
диск с тормоза и попробуйте медленно
вращать его рукой — вначале поставив
банки вблизи оси, а затем расположив
их вблизи края диска. Масса одинакова
в обоих случаях, но момент, необхо-
димый для того, чтобы сдвинуть диск
с места или остановить его, заметно
различается.
Вопрос 6-8
Поскольку в обоих случаях вся масса
разгоняется до одной и той же угло-
вой скорости, то почему требуются
различные моменты?
Подсчитаем, какой момент необхо-
дим для того, чтобы за 5 с разогнать
велосипедное колесо до скорости, со-
ответствующей движению со скоростью
15 миль/ч. Это искусственный пример,
ибо мы собираемся разгонять не весь
велосипед, а только одно колесо, вра-
щающееся свободно. (Задачу о разгоне
всего велосипеда проще всего решить,
используя понятие энергии, о чем пой-
дет речь дальше.) Переднее колесо
стандартного велосипеда имеет массу
около 2 кг и радиус 33 см. Предполо-
жим, что вся масса сконцентрирована
в ободе колеса при г = 30 см. Скорость
15 миль/ч соответствует 6,7 м/с, и такой
тангенциальной скоростью обладает
любая точка обода. Угловая скорость
поэтому и = v/r = (6,7 м/с)/(О,33 м) = 20
рад/с. Ускорение, необходимое для до-
стижения такой скорости, может быть
определено из формулы свк = al, анало-
гичной соответствующей формуле для
движения с постоянным ускорением по
прямой:
гк = at;
20 рад/с	2
a = — =------------= 4 рад/с2.
t 5 с
Момент силы, который сообщает та-
кое ускорение, М = la = 2 кг • (0,3 м)2 • 4
рад/с2 =0,7 Н • м. Сила, имеющая такой
момент, зависит от того, где эта сила
приложена. Если она приложена к обо-
ду колеса, то
„ М 0,7Нм
Обратите внимание на существенное
предположение, которое было сделано
в этом примере, что вся масса колеса
распределена по его ободу. Это разум-
ное предположение для колеса велоси-
педа, в котором используются легкие
спицы из проволоки. Между тем для
однородного диска такое предположе-
ние уже не будет правильным. Если
масса распределена по всему колесу, то
момент инерции равен некоторой дроби
от mR2, где т — полная масса, а R — на-
ружный радиус. Правильное значение
дроби для каждой геометрической
формы может быть найдено с помощью
интегрального исчисления.
127
Момент инерции зависит также от
положения оси вращения. Во многих
случаях тела вращаются вокруг оси,
проходящей через их центр масс. Но
когда колесо катится, может оказаться
удобным рассматривать момент инер-
ции относительно мгновенной оси, про-
ходящей через точку соприкосновения
с опорой. (См. рисунок на с. 127.)
Ниже приводится таблица значений
моментов инерции тел разной формы
относительно различных осей.
Момент ннерцни тел разной формы
Форма тела	Момент инерции	
	относительно оси, прохо- дящей через центр масс	относительно оси, прохо- дящей через край тела
Кольцо Шайба (диск с от- верстием; внутренний ради- ус - «1, наружный — R2) Твердый цилиндр	mR2 lm(Rf + Rl) 1 -mR2 2	2mR2 ^m(R? + 3R? -mR2 2
Сферическая оболоч- ка Твердый шар	2 -mR2 3 -mR2	-mR2 3 ZmR2 5
Однородный тонкий стержень	— mL2*) 12	’	ImL2**) 3
*) Момент инерции вычислен относительно
„ оси, проходящей через центр стержня перпенди-
кулярно длине.
**) Момент инерции вычислен относительно
оси, проходящей через край стержня перпенди-
кулярно его длине.
gg Дополнительный материал
Существует простой способ приближен-
ного вычисления момента инерции твердого
цилиндра, вращающегося вокруг своей оси.
Разобьем цилиндр на тонкие кольца. Каждое
кольцо имеет момент инерции, равный mtr2.
Сложим отдельные массы и моменты инер-
ции:
= т, = I.
I	I
К примеру, пусть г, = 1/2; г2 = 3/2; г3 = 5/2;
г4 = 111', R = 4. Масса кольца приближенно
равна произведению:
плотность  (2лг)  толщина кольца • длина.

Выбираем кольцо единичной толщины:
1
т1 = р2л • —• 1  L,
3
т2 = р2я- — • 1 • L,
5
т3 = р2л • — • 1  L,
7
т4 = р2л — • 1  L,
т = pLnR2 = р/гл • 16.
Момент инерции г-го кольца равен 1, =m1r,2:
1	9
It = pLit—, l2 = pLn-3~,
25	49
/3 = р/.л5-14 = pLn  7 ——,
1= (р£л/4)-(1 + 27+ 125 + 343) = р£л • 124.
Поскольку т = pLnR2 = pLit • 16, то 1 =
- 124pLn m/16pLn = т  7,8.
Точная формула для момента инерции
твердого цилиндра дает I =(l/2)mR2. Для
цилиндра радиуса R = 4, I = 8m. Сравните
это значение с полученным при приближен-
ном вычислении. Приближение будет улуч-
шаться при выборе более тонких колец.

Если тело катится вниз по наклон-
ной плоскости, сила тяжести создает
момент, как показано на рисунке. Обра-
тите внимание, что выбор величины
R sin 0 в качестве плеча силы предста-
вляется правдоподобным, поскольку при
0 = 0 направление силы тяжести прохо-
128
дит через точку опоры и плечо равно ну-
лю. Момент сообщает угловое ускорение,
заставляя тело скатываться вниз со все
увеличивающейся скоростью.
Вопрос 6-9
Предположим, что вниз по наклон-
ной плоскости скатываются три тела
одинаковой массы, имеющие одина-
ковые радиусы: полый цилиндр, шар
и сплошной цилиндр. Какое тело
скатится быстрее? Что изменится,
если у тел будут разные массы? Раз-
ные радиусы?
СЛУЧАИ, КОГДА
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА СИЛЕ
ТЯЖЕСТИ
На диске проигрывателя или на кару-
сели отвесы не вертикальны, они от-
клоняются на некоторый угол. Такую
ситуацию вы наблюдали в «Знаком-
стве с явлениями». На груз отвеса дейст-
вуют две силы. Одна — вертикальная,
тянущая груз вниз. Другая создавалась
нитью, отклоняющейся от вертикали
настолько, чтобы обеспечить центро-
стремительную составляющую, кото-
рая тянет груз по радиусу к центру.
А зачем вообще нужно тянуть груз
к центру? Разве существует сила, кото-
рая отталкивает его от оси вращения?
Несомненно, нить отклоняется таким
образом, как будто груз действительно
отталкивается. Существует специальный
термин для обозначения этой радиаль-
ной силы: центробежная сила. Описание
движения по окружности зависит от вы-
бора системы отсчета. С точки зрения
наблюдателя, находящегося вне вра-
щающейся системы, центростремитель-
ная сила необходима, чтобы заставить
тело двигаться по окружности. С точки
зрения наблюдателя, вращающегося
вместе с системой, на тело действует
центробежная сила. Проблемы, свя-
занные с выбором системы отсчета, бу-
дут обсуждаться в последующих главах.
Будем рассматривать все, происходя-
щее на диске проигрывателя, с точки
зрения неподвижного наблюдателя. Си-
ла натяжения нити, поддерживающей
груз, уравновешивает силу тяжести
и еще имеет составляющую, равную не-
обходимой центростремительной силе.
Соотношение между вертикальной и го-
ризонтальной составляющими силы на-
тяжения показано на рисунке. Относи-
тельно формулы для угла отклонения
нити от вертикали стоит отметить сле-
дующее: масса сокращается и не входит
в выражение. Так происходит в тех
формулах, где связаны масса и тяго-
тение. В рассматриваемом случае масса
сокращается, несмотря на то, что фигу-
рирует и центростремительная сила.
В этом имеется более глубокий смысл,
чем кажется на первый взгляд, как мы
увидим в главе, посвященной системам
отсчета.
Далее, следует обратить внимание на
зависимость угла отклонения от г и св.
Тангенс угла пропорционален расстоя-
нию от груза до оси вращения. Удалось
вам наблюдать это на опыте, описан-
ном в «Знакомстве с явлениями»? Во
вращающейся системе трудно провести
1
точные измерения, но при частоте 33 —
мин-1 угол отклонения нити у груза,
отстоящего на 10 см, должен быть при-
мерно вдвое больше, чем у груза, от-
стоящего на 5 см. Формула дает выра-
жение для тангенса угла, но для малых
5 Кл Э Суорц, т 1
129
углов тангенс примерно равен самому
углу, измеренному в радианах. Посколь-
ку центростремительная сила пропор-
циональна квадрату угловой скорости,
го углы, соответствующие частотам 45
мин-1 и 78 мин- *, могут быть настолько
велики, что указанное приближение уже
не будет справедливым. Вычислим ожи-
даемые значения углов отклонения для
нескольких случаев.
Определим угол для 5-сантиметро-
вого отвеса при частоте вращения в
33-^- мин-1, что составляет 3,48 рад/с
(см. с. 125):
ю2г (3,48 рад/с)2 • 0,05 м
д	9,8 м/с2
= 0,062,
е = 3,5° = 0,062 рад.
Тангенс угла отклонения для 10-санти-
метрового отвеса будет иметь вдвое
большее значение. Поскольку угол
очень мал, то с хорошей точностью тан-
генс можно заменить самим углом, ко-
торый будет также вдвое больше угла
отклонения для 5-сантиметрового отве-
са: 0 = 7°. Если диск вращается с часто-
той 78 мин-1, то тангенс будет больше
/ 1\2
в I 78 : 33 — I =5,5 раз. Использованные
выше приближения в этом случае уже
не столь хороши. Для tg 0 = 0,062 • 5,5 =
= 0,34 угол 0 = 18,8° = 0,33 рад. Тангенс
угла для 10-сантиметрового отвеса ра-
вен 0,34 2 = 0,68, и 0 = 34,2° = 0,60 рад.
Другое приближение, которое все время
использовалось, состоит в том, что
грузы находятся на том же расстоянии
от оси вращения, что и точки подвеса
поддерживающих их нитей Поскольку
нити отклоняются от оси, то в действи-
тельности грузы находятся в положе-
ниях, в которых необходимая центро-
стремительная сила имеет большее зна-
чение, чем мы нашли
Одно из практических применений
проделанного анализа встречается
в конструкциях автомобильных дорог,
которые делаются наклонными на пово-
ротах. Если попытаться пройти поворот
на большой скорости по горизонталь-
ной дороге, то можно не удержаться на
ней и вылететь по касательной. Когда
дорога имеет наклон на правильный
угол, соответствующий определенному
радиусу поворота и определенной ско-
рости движения, то действующая на ав-
томобиль сила реакции со стороны до-
роги способна как уравновесить силу
тяжести, гак и сообщить автомобилю
необходимое центростремительное
ускорение для движения по закругле-
нию.
На рисунке изображены действую-
щие в рассматриваемом случае силы.
F — сила, действующая на автомобиль со
стороны дороги и перпендикулярная к ее
поверхности; F sin 0 - центростремительная
сила, необходимая для поворота автомобиля,
F cos 0 — вертикальная сила, равная весу ма-
шины
Вычислим правильный угол наклона
полотна дороги для скорости движения
60 миль/ч и радиуса поворота 1/10 ми-
ли. В метрической системе мер v = 27
м/с и г — 160 м.
Тогда
v2 (27 м/с)2
tg 0 = — =---------5-------= 0,46.
дг 9,8 м/с2 • 160 м
Необходимый угол наклона состав
ляет почти 25°. Такой угол вполне при-
емлем для аттракциона «американские
горы», но будет слишком экстраваган-
тен для обычной дороги Реальная до-
рога с таким крутым поворотом, по-ви-
димому, будет иметь меньший наклон,
и на ней будет установлено ограничение
скорости 30 миль/ч.
130
Вопрос 6-10
Не проводя вычислений снова и не
пользуясь тригонометрическими
таблицами, определите требуемый
угол наклона дороги для скорости
30 миль/ч.
СЛУЧАИ,
КОГДА ТЯГОТЕНИЕ СОЗДАЕТ
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНУЮ СИЛУ
Часто говорят, что до 1492 года все
считали Землю плоской и что до откры-
тий, сделанных Коперником, Галилеем
и Кеплером в XVI веке, каждый думал,
что Земля неподвижно стоит в центре
Вселенной. Но это не так. В книге «Ис-
числение песчинок» («Псаммит»), напи-
санной в III веке до нашей эры, Архи-
мед упоминает о работах Аристарха
Самосского, который путем измерений
установил, что Луна и Солнце находят-
ся очень далеко от Земли, что Солнце
очень велико по размерам и что наибо-
лее естественное объяснение этого за-
ключается в том, что Земля вращается
вокруг своей оси и обращается вокруг
Солнца, как и другие планеты. Понадо-
билось время, чтобы эта идея стала
общепризнанной.
В действительности орбиты обраще-
ния планет вокруг Солнца и спутников
вокруг Земли представляют собой эл-
липсы. Математика, которая необходи-
ма, чтобы показать это и описать дви-
жение планет, достаточно сложна. По-
скольку орбиты большинства планет
близки к круговым, можно с хорошей
точностью описать их движение с по-
мощью простых соотношений для дви-
жения по окружности. Сила гравита-
ционного притяжения, зависящая от
радиуса орбиты, обеспечивает необходи-
мую центростремительную силу для
того чтобы удержать планеты на
орбитах:
ттс 4л2 т
G —=— =----z— г,
г2 Т2
то есть
сила притяжения =
= центростремительная сила.
Отметим, что в этой формуле опять
сокращается масса движущегося тела.
Предполагается, что масса планеты
т гораздо меньше массы Солнца тс,
и поэтому только планета находится
в движении. Это, конечно, приближение,
но хорошее, даже в случае обращения
Луны вокруг Земли.
Это уравнение применимо для всех
спутников тяжелого тела. В нем только
две переменные величины, радиус орби-
ты и период, и они связаны между собой
этим соотношением. Перемножая крест-
накрест, имеем
. / 4л2 \
Т2 = ----- г3
\ Gmc 1
Квадрат периода обращения пла-
неты пропорционален кубу радиуса ее
орбиты. Это — закон движения планет,
выведенный Кеплером в начале XVII ве-
ка. Он вывел это уравнение не из тео-
рии, а подметил его на основе экспери-
ментальных данных, собранных датским
астрономом Тихо Браге за предше-
ствующие полвека. В таблице приве-
дены значения Т и г для каждой из пла-
нет, не все из которых были известны
во времена Кеплера. Как легко видеть,
отношение Т2 /г3 одинаково для всех
планет.
Период обращения Т
радиус орбиты г и параметр Т2/г3
для планет Солнечной системы
Планета	Период Т, 102 сут	Радиус орбиты г, 108 миль	Параметр Гг!г\ 1019 сут2/миля3
Меркурий	0,88	0,36	1,66
Венера	2,25	0,67	1,66
Земля	3,65	0,93	1,66
Марс	6,87	1,42	1,66
Юпи гер	43,3	4,85	1,66
Сатурн	107,6	8,90	1,66
Уран	307	17,8	1,66
Неп гун	602	28,1	1,66
Плутон	909	36,7	1,66
5
131
Вопрос 6-11
Период обращения Луны составляет
около 27 дней, а радиус ее орбиты
равен 3,8  108 м. Справедливо ли для
нее то же значение отношения Т1 /г3,
что и для планет?
В главе 3 было вычислено ускорение
спутника Земли, радиус орбиты которо-
го лишь немного больше радиуса
Земли. Там утверждалось, что период
Штриховая линия — околоземная орбита,
радиус которой ненамного превышает радиус
Земли
обращения по такой орбите составляет
5100 с = 85 мин. Теперь можем легко
вычислить этот период. Поскольку Луна
и спутник обращаются вокруг одного
и того же тела, Земли, они должны
иметь одинаковое значение отношения
Т2/г3:
( ?Луны)2
(''Луны)3
Отношение радиуса орбиты Луны к ра-
диусу Земли равно
3,8-10® м
6,4-10® м
= 6,0-101
Куб этого числа равен 2,16-105, ква-
дратный корень отсюда равен 465. По-
этому 7'Луны/Тсцут = 465. Период обраще-
ния Луны составляет
27 сут 24 ч 60 мин = 3,9  104 мин.
Период спутника, движущегося недалеко
от поверхности Земли, должен, следо-
вательно, составлять (3,9 • 104 мин)/465 =
= 84 мин.
I Вопрос 6-12
Согласно календарю, время от одно-
го полнолуния до другого равно 29
дням. Почему же утверждается, что
период обращения Дуны равен 27
дням?
ПЕРЕМЕННАЯ СИЛА,
ПРИВОДЯЩАЯ К КОЛЕБАНИЯМ
Если оттянуть грузик маятника в ка-
кую-нибудь сторону и отпустить, то
действующая сила заставит его двигать-
ся обратно к положению равновесия.
Грузик проскочит по инерции положе-
ние равновесия и отклонится в другую
сторону. Здесь на него опять подей-
ствует сила, которая заставит его дви-
гаться обратно. Когда груз смещается
вправо от положения равновесия, дей-
ствующая на него сила направлена вле-
во и наоборот, когда груз слева, сила
направлена вправо. Что же это за сила,
которая автоматически меняет свое на-
правление?
Мы уже встречались с одним типом
силы, которая зависит от положения.
Для многих пружин возвращающая си-
ла при их растяжении пропорциональна
удлинению пружины и направлена
в противоположную сторону:
Гвозвращ = — кх.
Прежде всего это свойство пружин
было использовано при определении
силы. Если груз на пружине потянуть на
значительное расстояние в положитель-
ном направлении оси х, действующая на
него возвращающая сила будет велика
и направлена в противоположную сто-
00000000
132
рону. Когда груз возвращается в равно-
весное положение, где х равняется ну-
лю, действующая на него сила также
обращается в нуль, но скорость груза
при этом велика. Он проскакивает
в область отрицательных значений х,
где пружина находится в сжатом со-
стоянии. Возвращающая сила теперь
действует в положительном направле-
нии и увеличивается по мере сжатия
пружины. Затем все повторяется снова
и снова.
Вопрос 6-13
В каком положении колеблющегося
груза его скорость максимальна?
В каком положении скорость равна
нулю? Всегда ли при положитель-
ном х скорость положительна?
Рассмотрим колебательное движение
таким же образом, как было рассмотре-
но свободное падение тел. Мы строили
графики зависимости x(t), v(t) и a(t).
Это можно делать двумя способами:
во-первых, используя правдоподобные
косвенные соображения и, во-вторых,
используя геометрические соображения.
Естественно, что проверкой проделанно-
го анализа является сравнение с резуль-
татами реальных измерений x(t), v(t)
и a(t) в колебательных системах. Это
можно проделать в лаборатории.
ПЕРВЫЙ ПОДХОД:
КАЧЕСТВЕННЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
Ниже приведены возможные графи-
ки для колебательного движения, совер-
шаемого грузом на пружине Во всех
трех случаях мы начинаем с предполо-
жения, что при t = 0 движущийся груз
находится в точке х = 0, соответствую-
щей равновесному положению Спустя
некоторое время груз достигает макси-
мального смещения в положительном
направлении х. После этого через точно
такой же промежуток времени груз
снова в точке х = 0; еще один такой же
промежуток, и груз достигает макси-
мального смещения в отрицательном
направлении х; наконец, после четверто-
го такого же промежутка времени груз
опять в точке х = 0. Возникает вопрос:
каков действительный вид графика x(t)
при перемещении груза между этими
установленными точками?
Предлагаются три возможности —
однако на выбор влияют некоторые на-
кладываемые ограничения. Тангенс угла
наклона касательной к кривой x(t) равен
скорости kx/kt. Получаемый таким
образом график скорости должен быть
приемлемым и совпадать с результата-
ми наблюдений. Далее, тангенс угла на-
клона касательной к графику скорости
равен ускорению Др/Дг. График ускоре-
133
ния должен находиться в согласии не
только с данными наблюдений, ибо
формула для силы при таком движении
приводит к очень специфическому соот-
ношению между ускорением и смеще-
нием. Движение должно подчиняться за-
кону F = — кх. Поскольку F = та, то
та = — кх. Следовательно, ускорение
должно быть пропорционально х и на-
правлено в противоположную сторону:
а = — (к/m) х. Какой бы ни была форма
кривой x(t), кривая a(t) должна иметь
такую же форму, но при этом быть
перевернутой сверху вниз (так как уско-
рение имеет знак, противоположный зна-
ку смещения). Посмотрим, какой из трех
наборов графиков движения удовлетво-
ряет этим ограничениям, характерным
для колебательного движения.
В первом наборе на графике x(t) вы-
деленные фиксированные точки соеди-
нены прямыми линиями. Это простей-
шее предположение. Однако из этого
графика следует, что скорость груза
имеет постоянное значение, сначала
положительное, затем отрицательное.
Простое наблюдение за маятником или
колеблющейся пружиной позволяет ис-
ключить такую возможность. Движу-
щийся груз замедляет свое движение,
прежде чем повернуть обратно в ко-
нечных точках. Более того, обратите
внимание на то, каким будет ускорение
при таком графике скорости Ускорение
(а следовательно, и сила) будет равно
нулю все время, за исключением точек
поворота. Там оно должно быть беско-
нечным, для того чтобы скорость мгно-
венно сменила положительное значение
на отрицательное. Ясно, что первый на-
бор графиков не может быть пра-
вильным.
Во втором наборе выделенные фик-
сированные точки на графике смещения
соединены полуокружностями. На та-
ком графике тангенс угла наклона каса-
тельной равен нулю в конечных точках
движения. Этот вывод согласуется с ре-
зультатами наблюдений, согласно ко-
торым груз замедляется по мере при-
ближения к точкам поворота и останав-
ливается на мгновение, прежде чем
повернуть обратно К сожалению, тан-
генс угла наклона касательной к кривой
х (t) в точке х = 0 обращается в беско-
134
нечность. Конечно, проходя через поло-
жение равновесия, груз имеет большую
скорость, но отнюдь не бесконечную.
В третьем наборе графиков исполь-
зуется некоторый компромисс между
первыми двумя возможностями. Кривая
x(t) имеет приемлемый наклон, когда
она проходит через нуль; она также
слегка искривлена в областях, где х
максимально. Наклон кривой позво-
ляет получить наблюдаемые значения
скорости груза, совершающего колеба-
ния. Более того, профиль графика ско-
рости приводит к такому графику уско-
рения, который совпадает с перевер-
нутым сверху вниз графиком смещения
x(t). Обратите внимание, что все три
кривые имеют одинаковую форму, но
проходят через нуль в разные моменты
времени. Функция, имеющая такой гра-
фик, — это синус.
Вопрос 6-14
Почему график v(t) можно назвать
синусоидальным, хотя он выглядит
как график косинуса?
ВТОРОЙ ПОДХОД:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Второй способ исследования колеба-
тельного движения заключается в ис-
пользовании геометрических соображе-
ний. Вместо того чтобы подвешивать
груз на пружине или нити и заставлять
его качаться, прикрепим груз к ободу
вращающегося колеса. На первый
взгляд не видно, как вращательное дви-
жение связано с колебательным, хотя
легко заметить, что в обоих случаях
груз регулярно возвращается в одну
и ту же точку и повторяет свое движе-
ние с определенной частотой Схожесть
этих двух движений становится более
очевидной, если рассмотреть перпенди-
кулярную проекцию перемещения вра-
щающегося груза.
На рисунке вращательное движение
груза спроектировано на горизонталь-
ную ось. Когда груз движется по окруж-
ности, его проекция движется вперед
и назад по оси х. Угловое положение
груза задается углом 0 = cot, где со — уг-
ловая скорость. Положение проекции
груза на оси х дается величиной х =
= r sin 0 = г sin cot. Заметьте, что геоме-
трические соображения немедленно при-
водят к синусоидальной форме зависи-
мости положения от времени: x(t) =
= г sin cot.
Тангенциальная скорость вращаю-
щегося груза всегда постоянна по моду-
лю, но меняется по направлению. Про-
екция вектора скорости на ось х пред-
ставляет собой х-компоненту скорости.
Она равна
vx = V COS 0 = V cos cot = ГСО cos cot
(напомним, что v = гео). Заметьте, что
эта функция согласуется с качественны-
ми соображениями для третьего набора
графиков. Когда 0 = 0, точка, предста-
вляющая собой проекцию груза на ось
х, находится в центре колебаний, где
х = 0. В то же время vx при этом макси-
мальна, ибо cosO= 1. Четверть периода
спустя, когда 0 — 90°, х-проекция макси-
мальна при sin 90° = 1; скорость в этой
точке поворота равна нулю, поскольку
cos 90° = 0.
Вопрос 6-15
Еще остается определить ускорение
проекции груза. Груз вращается
с постоянной угловой скоростью.
О каком ускорении может идти
речь?
ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ
Во всех случаях, когда на тело дей-
ствует сила, подчиняющаяся закону F =
= — кх, оно совершает колебательное
движение. Период колебаний — время,
за которое совершается полный цикл,—
может быть найден из геометрических
соотношений между вращательным и
колебательным движениями. Как указа-
но в ответе на вопрос 6-15, ускорение
при колебаниях а = — co2r sin cot. Через
со обозначена угловая скорость, которая
равна также 2л/ или 2 л/Г Радиус вра-
щательного движения равен амплитуде
колебаний, которая обычно обозначает-
ся через А. Поэтому ускорение колеб-
лющегося груза может быть записано
так:
а = — со2Д sin cot.
Смещение колеблющегося груза
имеет такой же вид: x = Xsincot. Под-
ставим выражения для х и а в формулу
для силы:
F = та = — кх,
т ( — со2 A sin cot) = — к (Л sin cot).
Множитель —Л sin cot сокращается,
в результате имеем
tnco2 = к,
со = 2 л/ = 2л/Т = l/k/ni.
Частота колебаний (в герцах) в системе,
описываемой законом F = — кх,
Период (в секундах)
Т=
Заметьте, что в формуле для периода
колебаний масса груза стоит в числите-
ле. Чем больше масса, тем менее подат-
лив груз и большее время требуется для
совершения одного цикла колебаний.
Жесткость пружины к входит в знаме-
натель выражения для Т. Сильная пру-
135
жина имеет большое значение к и бы-
стрее возвратит груз в положение рав-
новесия, чем слабая пружина. Вычислим
период для двух случаев.
1. Если подвесить килограммовый
груз к обычной лабораторной пружине,
он растянет ее примерно на 20 см.
Жесткость
F 1 кг -9,8 Н/кг
к =----=-------------—=49 Н/м.
х — 0,2 м
Если оттянуть груз еще немного и отпу-
стить, то возникнут колебания, период
которых
Т=2п
1 кг
49 Н/м
= 0,9 с.
2. Каким будет период, если подве-
сить килограммовый груз на бечевке
и заставить его качаться как маятник?
Теперь уже никакой пружины нет. Ясно,
что движение маятника будет колеба-
тельным, но нет никакой уверенности
в том, что удовлетворяется главное тре-
бование: F= — кх. На рисунке пока-
заны силы, действующие на груз маят-
ника. Сила тяжести разбита на две
составляющие — радиальную, напра-
вленную вдоль бечевки, и тангенциаль-
ную, направленную по линии движения.
Тангенциальная составляющая сооб-
щает грузу ускорение в направлении по-
ложения равновесия:
Евозвращ = - mg sin 0 = - mg sin {x/L).
Это не такое соотношение, какое
нужно. Вместо того чтобы получить
возвращающую силу, пропорциональ-
Возвращающая сила FBO1BpdI11 = — sin б,
v = расстояние вдоль ду1и = 0L, 0 — x/L
ную смещению, взятому со знаком «ми-
нус», мы получили возвращающую
силу, пропорциональную взятому с
обратным знаком синусу смещения.
Однако, для малых углов sin 0 ® 0.
В этом случае
^возврат rng {x/L) = - (mg/L) х.
Теперь закон изменения силы имеет
знакомый вид с коэффициентом пропор-
циональности к = mg/L. Поэтому период
колебаний маятника при малых углах
отклонения
Обратите внимание, что период ко-
лебаний маятника не зависит от массы
груза. Мы уже видели ранее, что ускоре-
ние, сообщаемое гравитационной силой,
не зависит от массы. Для данного поло-
жения на Земле и, таким образом, для
определенного значения д период зави-
сит только от длины подвеса L. В част-
ности, в той степени, в какой справедли-
во приближение sin 0 ® 0, период движе-
ния не зависит от амплитуды качаний.
Период, определяемый этой простой
формулой, с точностью до 1 % совпа-
дает с истинным, пока максимальный
угол отклонения не превосходит 23°; он
меньше истинного всего на 4%, когда
максимальный угол 0 составляет 45°.
IBопрос 6-16
Какова длина подвеса простого
маятника с периодом колебаний 1 с
и 10 с?
ПРОСТЫЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
И ДРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
Во всех случаях, когда система мо-
жет колебаться около равновесного по-
ложения и действующая на нее сила
пропорциональна смещению, движение
является синусоидальным. Оно назы-
вается простым гармоническим колеба-
нием (ПГК). Оно простое потому, что
прост закон изменения силы и потому,
что происходит только с одной часто-
той. Оно называется гармоническим
в том смысле, что в музыке основная
нота может быть основой для гармони-
136
ческих обертонов. Не все колебания
являются простыми или гармонически-
ми. В музыкальных тонах, как мы уви-.
дим в одной из следующих глав, созда-
ваемое звуком давление воздуха со-
ответствует синусоидальной волне толь-
ко в случае используемых при настрой-
ке камертонов или в случаях, когда
струны приводятся в колебание вполне
определенным образом. Большинство
музыкальных тонов состоит из ком-
бинации многих различных синусои-
дальных волн, частоты которых нахо-
дятся в определенных соотношениях
между собой. Это так называемые ос-
новная и гармонические частоты. Ин-
струмент, издающий звук, колеблется
очень непростым образом, хотя обычно
такое колебание представляет собой
совокупность гармоник. А вот колебания,
которые совершают музыкальные та-
релки или колокол, не являются ни про-
стыми, ни совокупностью гармоник.
Если существует много различных
типов колебаний, то почему именно
гармонические колебания вызывают
особый интерес? На это есть две при-
чины. Во-первых, многие системы — ме-
ханические, электрические, химические
и даже экономические — находятся в со-
стоянии динамического равновесия. Они
обладают внутренним механизмом ста-
бильности и в случае возмущения воз-
вращаются в равновесное положение.
При малых отклонениях от равновесия
возвращающая сила пропорциональна
смещению. В результате возникает
простое гармоническое движение. При
больших смещениях от положения рав-
новесия гармоническое движение может
служить хорошим первым приближе-
нием. Вторая причина необходимости
изучения гармонических колебаний за-
ключается в том, что даже в случаях,
когда возвращающая сила не просто
пропорциональна смещению, возникаю-
щее движение может быть описано как
комбинация синусоидальных волн с раз-
личными частотами. Здесь используется
такой же метод, что и при создании
сложного музыкального тона из гармо-
нических составляющих.
РЕЗЮМЕ
При решении практических задач
с помощью второго закона Ньютона
самый важный момент заключается
в том, чтобы выделить исследуемое
тело. Выбираем какое-либо тело и опре-
деляем все действующие на него силы.
Часто одну или несколько действующих
сил следует разложить на составляю-
щие, параллельную и перпендикуляр-
ную направлению происходящего дви-
жения. Параллельная составляющая со-
здает ускорение, а перпендикулярная
составляющая иногда вносит вклад
в силу трения, которая всегда направле-
на в сторону, противоположную скоро-
сти тела.
Движение по окружности описывает-
ся величинами и формулами, анало-
гичными соответствующим формулам
для прямолинейного движения. Ниже
они приводятся в таблице и на рисунке.
Линейные величины	Угловые величины
X	е
v = Дх/Дг	(о = А0/Аг
а = Au/At	а = Aco/At
V = W
а = аг
М == г х F
I = тг1
М = 1а
F
m
F = та
Fu с = --= ти> г = т4п f г = т4пг/Т
137
Когда тело на поверхности Земли
движется по расположенной горизон-
тально окружности, действующая на не-
го гравитационная сила перпендикуляр-
на центростремительной силе. Груз от-
веса в таких условиях отклоняется от
вертикали на угол, даваемый выраже-
нием
(О2 г
tgO =-----.
д
При орбитальном движении спутни-
ков центростремительная сила создает-
ся тяготением:
~ тто 2
G-—т— = таг г.
г*
Эта формула приводит к закону Кепле-
ра, связывающему между собой пе-
риоды обращения и радиусы орбит
спутников, вращающихся вокруг задан-
ного тела:
,	4л2 ,
Т2=-----г3.
Gm0
Орбиты всех планет Солнечной си-
стемы подчиняются закону Кеплера,
причем в этом случае т0 — масса Солн-
ца. Аналогично орбита Луны и всех со-
зданных людьми искусственных спутни-
ков Земли связываются такой форму-
лой, где вместо массы Солнца стоит
масса Земли. Хотя закон был выведен
для круговых орбит, он выполняется
и для эллиптических, если под г пони-
мать большую полуось.
Если тело может колебаться около
положения равновесия и если действую-
щая на него сила пропорциональна сме-
щению, то возникающее движение назы-
вается простым гармоническим колеба-
нием. Функции x(t), v(t) и a(t) являются
синусоидальными. Период колебаний
дается формулой Т= 2л ]/т/к, где к —
коэффициент пропорциональности меж-
ду силой и смещением от положения
равновесия. Движение маятника при-
ближенно является простым гармони-
ческим. Если амплитуда колебаний не
превосходит 23°, то период колебаний
меньше чем на 1 % отличается от выра-
жения Т= 2 л ]/b/g.
Имея в виду изучение физики, сле-
дует отметить, что все эти различные
типы движения будут неоднократно ис-
пользоваться нами в дальнейшем. Не
только пружины действуют с некоторы-
ми силами на тела, но и электрическое
поле — на электроны. В обоих случаях
F = та Не только тяготение удерживает
планеты на орбитах, но и магнитное по-
ле заставляет протоны двигаться по
окружности. В обоих случаях
Fa с = ты2 г.
Не только возвращающая сила, дей-
ствующая на груз на пружине, пропор-
циональна смещению, но тот же самый
закон применим и к атомам в кристал-
ле. В обоих случаях F = — кх, а возни-
кающее движение описывается выраже-
нием х = A sin cot.
138
Очевидно, фундаментальные законы,
управляющие миром, немногочисленны
и просты. Существуют миллионы прило-
жений этих законов, которые, как мы
знаем, сложны.
Ответы на вопросы
6-1. При равномерном движении по окруж-
ности ускорение, а следовательно, и си-
ла всегда перпендикулярны скорости.
Сила, ускорение и скорость — векторы.
Приложенная сила может изменять
направление скорости, не изменяя ее по
модулю.
6-2. Ускорение, равное 0,1 м/с2, составляет
около 1 % от д = 9,8 м/с2. Поэтому
sinO = 0,01. Поскольку для малых углов
справедливо sin 0 % 0, угол должен
быть равен 0,01 рад = 0,01 рад х
х 57°/1 рад = 0,57°.
6-3. Если скользящий брусок движется, но
без ускорения, то sin 0 = ц cos 0 = 0. Это
дает tg0 = p = O,l. Для малых углов
tg 0 ® 0. Приближенно (но с очень вы-
сокой точностью) 0 = 0,1 рад = 5,7°.
6-4. Согласно формуле ускорение отрица-
тельно : (5 кг — 10 кг) • 9,8 м/с2 = 25 кг • а,
а = — 2 м/с2. Это означает, что система
разгоняется влево, в направлении, про-
тивоположном тому, что предполага-
лось первоначально. Но формула все
равно дает правильный ответ независи-
мо от того, угадали мы или нет напра-
вление движения.
6-5. Размерность линейной скорости равна
L/Т, а размерность линейного ускорения
есть L/Т2. Размерности со н а есть 1/Т
и 1/Т2. Так как а = аг и v = cor, то раз-
мерности а и со умножаются на раз-
мерность длины L, приводя к правиль-
ному результату. Поскольку со и
а измеряются в радианах в секунду и
в радианах в секунду за секунду, то
единицами v и а будут метр в се-
кунду и метр в секунду за секунду,
если г измеряется в метрах.
Угловое ускорение — это вовсе не тоже
самое, что центростремительное уско-
рение. Тело, обращающееся с постоян-
ной угловой скоростью и, следователь-
но, не имеющее углового ускорения,
испытывает центростремительное уско-
рение, благодаря которому движется
по круговой орбите. Центростреми-
тельное ускорение направлено по ра-
диусу; угловое ускорение — вдоль осн
вращения.
6-6. Если посмотреть сверху вниз на диск
проигрывателя, то видно, что он вра-
щается по часовой стрелке. Если напра-
вить пальцы правой руки по направле-
нию вращения, то большой палец
будет смотреть вниз. Поэтому при-
писываемое угловой скорости враще-
ния направление — вниз по оси вра-
щения.
6-7, Отношение частот вращения диска:
45/^33-0= 1,35;	78/^33-0 = 2,35;
78/45 — 1,73. Соответственно отноше-
ния центростремительных ускорений,
равные отношению квадратов угловых
скоростей, равны 1.8; 5,5; 3.
6-8. Грузы вращаются с одинаковой угло-
вой скоростью независимо от того,
в каком месте диска они находятся.
Однако при данной угловой скорости
грузы, находящиеся дальше от оси,
имеют большую тангенциальную ско-
рость.
6-9. Как видно из рисунка, момент силы,
действующей на вращающееся тело,
равен mgr sin в. Второй закон Ньютона
записывается так.
mgr sm 0 = la = Kmr2a = Kmr2a/r.
Коэффициент К зависит от формы
сказывающегося тела и от выбора оси.
Из написанного выше уравнения сле-
дует, что
д sin 0 = Ка.
Ускорение тел не зависит от массы
и радиуса, а определяется только эф-
фективной составляющей силы тяжести
(то есть углом 0) и формой вращающе-
гося тела. Для полого цилиндра К = 2
Для шара К = 7/5. Для сплошного ци-
линдра К = 3/2.
139
Поскольку а ~ 1/К, то шар, имеющий
наименьшее значение К, покатится бы-
стрее всех, за ним — сплошной цилиндр
и последним — полый цилиндр. Проде-
лайте опыт сами и убедитесь в этом.
Поскольку результат не зависит от
массы или размеров тел, то можно во-
спользоваться шаром любого размера,
консервной банкой, карандашом и т. д.
6-10. При скорости 30 миль/ч тангенс необ-
ходимого угла наклона составляет все-
го одну четверть значения, полученного
для скорости 60 миль/ч. Поэтому
tg 0	0,46
-----------= —— = 0,11.
30 миль/ч 4
Для такого малого значения справед-
ливо tg 0 « 0. Итак, 0 = 0,11 рад = 6,3°.
6-11. Нет! Отношение Т2/г3 имеет одно
и тоже значение для спутников опреде-
ленного центрального притягивающего
тела. Планеты обращаются вокруг
Солнца. Значение отношения для Луны
такое же, как и для других спутников
Земли.
6-12. Как можно увидеть на приводимом ри-
сунке, за 27 дней Луна сделала один
полный оборот, но за это же время си-
стема Земля — Луна переместилась на
26° по орбите вокруг Солнца. Для того
чтобы попасть в положение, соответ-
ствующее полнолунию, Луне необходи-
мо пройти это дополнительное угловое
расстояние. На это требуется еще два
дня.
6-13. Скорость колеблющегося груза макси-
мальна, когда он проходит через поло-
жение равновесия. В точках поворота,
соответствующих максимальному сме-
щению, скорость груза обращается
в нуль. В течение первой четверти ци-
кла, после прохождения положения
равновесия в положительном направле-
нии оси скорость положительна. После
поворота скорость становится отрица-
тельной и остается такой в течение сле-
дующей половины цикла. Таким обра-
зом, половину того промежутка вре-
мени, кода х положительно, v отрица-
тельно.
6-14. Графики синуса и косинуса выглядят
совершенно одинаково за исключением
того, что момент времени, соответ-
ствующий началу координат, выби-
рается по-разному. Момент времени,
личным точкам на этих графиках. На
графике синуса t0 = 0 соответствует мо-
менту, когда значение функции прохо-
дит через нуль и увеличивается. На
графике косинуса t0 = 0 соответствует
моменту, когда значение функции мак-
симально и начинает убывать.
6-15. Тело, вращающееся с постоянной угло-
вой скоростью, имеет центростре-
мительное ускорение. Это ускорение
направлено по радиусу внутрь — как
раз противоположно радиус-вектору
тела, направленному по радиусу на-
ружу, и равно <£>2г. Составляющая
ускорения по оси х равна — co2rsin0 =
= — co2rsincot. Обратите внимание, что
ускорение пропорционально х-коорди-
нате: x = rsincot; аа с — — co2r sin cot =
= — со2х.
140
6-16. Если Г= 1 с, то 1 = 2л ]/L/g =
= 6,28]Д/9,8, 0,16 = ]А/9,8, 2,6-10~2 =
= £/9,8, £ = 2,5-КП1 м = 25 см.
Для в 10 раз большего периода длина
должна быть в 100 раз больше длины
односекундного маятника: L = 25 м.
Каков период маятника длины 1 м?
Задачи
1.	Автомобиль катится с небольшим
трением вниз по склону, угол которого с го-
ризонтом равен 5°. Каково ускорение?
2.	За сколько времени скатится на 400 м
вниз по склону, угол которого с гори-
зонтом 2°, покоившийся сначала авто-
мобиль, если коэффициент трения качения
равен 0,02?
3.	На рисунке (с. 122)	= 5 кг и т2 =
= 5 кг. Трение отсутствует как в блоке, так и
между бруском массы т2 и поверхностью сто-
ла. Массой блока можно пренебречь. Какова
сила натяжения нити Т?
4.	Пусть в задаче 3 коэффициент тре-
ния скольжения между бруском массы т2
и поверхностью стола равен 0,2. Каковы
ускорение и сила натяжения нити?
5.	В первом опыте в «Знакомстве
с явлениями» было предложено подвесить по
5 бумажных скрепок с каждой стороны бло-
ка. Каким будет ускорение, если удалить од-
ну скрепку с какой-либо стороны? Трением
пренебречь
6.	На рисунке (с. 122) т, = 10 кг, т2 =
= 10 кг, т3 = 8 кг. Трением в блоках и
о стол и массой блоков можно пренебречь.
Каковы будут ускорение брусков и силы на-
тяжения нитей?
7.	Пусть в задаче 6 коэффициент тре-
ния скольжения между бруском массы т2
и поверхностью стола равен 0,2. Каковы бу-
дут ускорение брусков и силы натяжения
нитей?
8.	Каковы период вращения, круговая
частота, угловая скорость минутной стрелки
часов?
9.	Секундная стрелка часов делает пол-
ный оборот за одну минуту. Радиус стрелки
равен 10 см. Какова угловая скорость острия
стрелки, его линейная скорость, угловое
ускорение и центростремительное ускоре-
ние? Как направлен каждый из этих век-
торов?
10.	Два обруча соединены легкими спи-
цами, как показано на рисунке. Масса наруж-
ного обруча, сделанного из алюминия, равна
1 кг. Его радиус равен 30 см. Масса внутрен-
него латунного обруча равна 5 кг, а его ра-
диус — 20 см. Каков момент инерции тако-
го устройства относительно общей оси
обручей?
11.	Почему момент инерции катящегося
кольца относительно оси, проходящей через
точку касания, больше, чем момент инерции
относительно его собственной оси?
12.	Какой момент сил действует на шар,
катящийся вниз под уклон с углом к гори-
зонту 0? Запишите второй закон Ньютона
с целью определить угловое ускорение а. За-
тем, поскольку а и а связаны между собой,
найдите линейное ускорение шара, катящего-
ся под уклон. Сравните это ускорение с уско-
рением бруска, скользящего без трения вниз
под тот же уклон.
13.	Карусель радиуса 5 м имеет период
вращения 10 с. Если расположить отвес
у края карусели, какой угол он составит
с вертикалью?
14.	Откуда берется необходимая центро-
стремительная сила при выполнении поворо-
та на дороге, не имеющей специального на-
клона? Найдите эту силу для полуторатон-
ного автомобиля, движущегося со скоростью
100 км/ч, при радиусе поворота 0,5 км?
15.	Разрабатываются проекты космиче-
ских станций, в которых длительное время
будут жить тысячи людей. Для создания ис-
кусственной силы тяжести сферические, ци-
линдрические или тороидальные по форме
станции будут вращаться. При каком перио-
де вращения у периметра станции будет
обеспечено тяготение, равное земному, если
ее радиус равен 500 м?
16.	Сейчас существует много геосинх-
ронных спутников, вращающихся над эква-
тором с периодом 24 ч. Эти спутники осо-
бенно удобны как ретрансляционные си-
стемы, поскольку они неподвижно висят над
определенными участками земной поверхно-
сти. Какова высота этих спутников над зем-
ной поверхностью?
17.	С помощью резиновой ленты рас-
крутите груз в горизонтальной плоскости.
Роль центростремительной силы играет воз-
вращающая сила со стороны резины. При
малой деформации х возвращающая Сила
примерно равна — кх. Радиус вращения ра-
вен (L + х), где L — длина недеформирован-
ной резиновой ленты. Найдите зависимость
периода вращения от массы груза т, жестко-
141
сти к, длины ленты L и смещения х. Согла-
суются ли качественно результаты проделан-
ного опыта с найденной зависимостью?
18.	Предположим, что наблюдение за
грузом маятника начинается в тот момент
t = 0, когда он проходит через наинизшее по-
ложение, для которого принимаем х = 0.
Груз движется вправо в область значений х,
считаемую положительной. Определите ско-
рость груза и его ускорение при t = 0; (1/4) Т;
(1/2) Т; (5/8) Т.
19.	Простое гармоническое колебание
(ПГК) определено как колебательное движе-
ние, вызываемое возвращающей силой, про-
порциональной отклонению от равновесия.
Объясните, почему ПГК характерно для гру-
за на обычной пружине, для груза маятника
и для тени от груза на ободе колеса, вра-
щающегося с постоянной скоростью.
20.	Демонстрационная пружина имеет
постоянную жесткость, равную 10 Н/м. Ка-
кой груз следует прикрепить к этой пружине,
чтобы период колебаний составлял 5 с?
21.	Автомобильные рессоры могут
иметь жесткость порядка 2-104 Н/м. Каков
будет период колебаний, если на рессоры
упадет груз массы 500 кг (около четвертой ча-
сти массы автомобиля)?
22.	Какую длину имеет простой маят-
ник с периодом колебаний 2 с?
23.	Каков период колебаний простого
маятника длины 10 см? 100 см? 10 м?
24.	Ускорение свободного падения на
Луне составляет примерно 1/6 его значения
на Земле. Каков будет на Луне период коле-
баний маятника, имеющего на Земле период,
равный 1 с? Зависит ли ответ от массы
груза?
25.	При отскоке мяча от пола возни-
кают колебания с медленно убывающей ам-
плитудой. Покажите, что даже при неизмен-
ной амплитуде эти колебания не являются
простыми гармоническими.
26.	Груз на пружине совершает колеба-
ния с периодом 1 с, проходя по вертикали
расстояние, равное 30 см. Какова максималь-
ная скорость груза? Максимальное ускорение?
27.	В главе 5 было отмечено, что уско-
рение свободного падения д на земной по-
верхности непостоянно. Наибольшее влияние
на него оказывает вращение Земли вокруг
своей оси. Часть гравитационного притяже-
ния идет на то, чтобы создать центростреми-
тельную силу и предотвратить разлет тел.
Каково процентное уменьшение силы тяже-
сти (или д) на экваторе по сравнению с тако-
вой на полюсах? (Сравните центростреми-
тельную силу, действующую на экваторе
на тело массы 1 кг, с силой тяжести, равной
9,8 Н.)
ГЛАВА 7. ИМПУЛЬС
Пуля 22-го калибра имеет массу
всего 2 г. Если кто-нибудь бросит вам
такую пулю, вы легко сможете поймать
ее даже без перчаток. Если вы попытае-
тесь поймать такую пулю, вылетевшую
из дула со скоростью 300 м/с, даже пер-
чатки вам не помогут. Однако резуль-
тат будет совершенно иным, нежели
в первом случае. Есть что-то такое
в большой скорости движущегося тела,
что затрудняет его остановку.
Если на вас катится игрушечная те-
лежка, вы можете остановить ее носком
ноги. Если на вас катится грузовик, вам
следует уносить ноги с его пути. Есть
что-то такое в большой массе движуще-
гося тела, что затрудняет его остановку.
Произведение массы тела на его
скорость имеет специальное назва-
ние — импульс. Импульс служит мерой
того, насколько велика должна быть си-
ла, действующая в течение определенно-
го времени, чтобы остановить движу-
щееся тело или же чтобы разогнать его
с места до данной скорости. И что бо-
лее важно, импульс представляет собой
одну из немногих физических величин,
которые всегда сохраняются при столк-
новениях. Полный импульс системы до
взаимодействия — такого, как например,
взрыв — должен быть таким же, как
и полный импульс после взаимодей-
ствия. В этом отношении, как и при ин-
терпретации многих опытных фактов,
импульс оказывается более фундамен-
тальной физической величиной, чем
каждая из таких величин, как масса
и скорость по отдельности.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Тот, кто хорошо играет в бильярд,
уже знаком с некоторыми свойствами
импульса. Например, посланный кием
шар может столкнуться «в лоб» с непо-
движным шаром и остановиться, послав
шар-мишень в том же направлении и
с той же скоростью, с какой двигался
сам. В действительности взаимодей-
ствия бильярдных шаров сложны из-за
их вращения вокруг оси и из-за того,
что они взаимодействуют с поверх-
ностью стола в той же мере, как и друг
с другом. Как можно видеть из приво-
димой стробоскопической фотографии,
накатившийся шар соскользнул влево
при столкновении и поэтому должен
был при качении начать вращаться
143
вокруг иной оси, чем до столкновения.
Чтобы изменить направление оси вра-
щения, он слегка «зарылся» в сукно сто-
ла и с проскальзыванием вышел на но-
вую траекторию. На фотографии видно,
как шар двигался по слегка искривлен-
ному пути, прежде чем установилась но-
вая прямолинейная траектория.
Несмотря на осложнения, вы-
званные качением и трением о поверх-
ность стола, можно прочувствовать не-
которые связанные с импульсом эф-
фекты, накатывая один шар на другой.
Если удастся, найдите несколько шаров
одного размера, но чтобы один из них
имел большую массу. Испробуйте два
мяча для гольфа или два теннисных мя-
ча и сплошной (тяжелый) мяч. Наказы-
вайте один из одинаковых мячей на
другой, стараясь, чтобы получились как
лобовые, так и скользящие столкнове-
ния. Посмотрите, удается ли получить
движение мяча-мишени с той же ско-
ростью и в том же направлении, что и
у налетающего мяча. Заметьте, в каком
интервале лежат углы между траекто-
риями мячей после скользящего столк-
новения.
Затем накатывайте тяжелый мяч на
легкий. Снова попытайтесь получить
как лобовые, так и скользящие столкно-
вения. Удается ли сделать так, чтобы
тяжелый мяч остановился? Продолжает
ли он двигаться после лобового столк-
новения, и какова его скорость по срав-
нению с начальной скоростью и ско-
ростью мяча-мишени? Какой интервал
углов между траекториями получается
при скользящих столкновениях? Проде-
лайте такие же опыты с легким мячом,
налетающим на тяжелый.
СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
Вылитое на сковородку яйцо рас-
плескивается. Когда вы облокачиваетесь
на друга, вы оба немного сдвигаетесь
При запуске ракеты газы отбрасывают-
ся в одну сторону, а ракета движется
в противоположную. Во всех этих слу-
чаях взаимодействие тел приводит
к сложным изменениям.
До сих пор мы рассматривали изме-
нение скорости отдельного тела под
действием внешних сил. Для этой цели
даже не требовалось знать, откуда исхо-
дили эти силы. Теперь мы собираемся
рассматривать взаимодействие в целом.
Когда два или более тел действуют
друг на друга с какими-то силами, мо-
144
гут происходить самые разнообразные
изменения. Возьмите, например, взры-
вающуюся хлопушку. Попытка анализи-
ровать результирующие изменения
и возникающие движения может пока-
заться безнадежной затеей. Действую-
щая на каждый осколок сила быстро из-
меняется, и эти изменения очень трудно
предсказать. В принципе эти изменения
можно рассчитать; на практике это
сделать очень трудно.
Однако есть выход. Вместо того
чтобы попытаться предсказать измене-
ния, посмотрим, что остается неиз-
менным. Этот совет может показаться
не слишком полезным. Например, при
взрыве хлопушки кажется, что ничто не
остается прежним. Изменяются цвет,
форма, изменяются положения и скоро-
сти осколков. Однако кое-что остается
прежним. Благодаря тому что неко-
торые свойства должны оставаться не-
изменными, число возможных измене-
ний резко сокращается. Закон сохране-
ния какой-то одной характеристики
в этом процессе — это закон, налагаю-
щий ограничения на другие, изменяю-
щиеся характеристики.
Рассмотрим очень простое взаимо-
действие. На стробоскопической фото-
графии показана тележка на воздушной
дорожке, налетающая на точно такую
же тележку, стоявшую неподвижно.
Первая тележка останавливается; тележ-
ка-мишень приходит в движение с такой
же скоростью, какая была у первой. Не-
смотря на сложность действительного
взаимодействия пружин при их соударе-
нии, кое-что остается прежним. Им-
пульс первой тележки до столкновения
был равен произведению массы на ее
скорость, то есть тг. Поскольку вторая
тележка идентична первой, то есть
имеет такую же массу, и пришла
в движение с той же скоростью v, ко-
нечный импульс был тоже mv.
I Вопрос 7-1
| Очевидно, что импульс был передан
I от первой тележки ко второй, но им-
£ пульс первой тележки не сохранился.
I Какой прок от закона сохранения?
На другой стробоскопической фото-
графии показана иная разновидность
взаимодействия тележек. Две тележки
были привязаны друг к другу так, что
пружина между ними оказалась сжатой.
Когда связь прервали, тележки разлете-
лись в стороны с одинаковой ско-
ростью, как это хорошо видно на фото-
графии. Кажется, что наша попытка
найти закон сохранения в этом случае
обречена на провал. Ясно, что первона-
чальный импульс системы был равен
нулю: все было неподвижно. Произош-
ло взаимодействие, и внезапно появился
импульс.
| Вопрос 7-2
I Как в таких обстоятельствах сберечь
в закон сохранения?
На третьей стробоскопической фото-
графии показано, что происходит, когда
сжатая пружина отталкивает друг от
друга две неидентичные тележки. Масса
правой тележки была вдвое меньше
массы левой. Их скорости различаются.
Тележка с удвоенной массой набрала

Тележка-мишень (со светлой стрелкой) стояла неподвижно посередине воздушной дорожки
Тележка равной массы (стрелка с точкой) двигалась слева После столкновения (посредством
прикрепленных к ним пружинных бамперов) двшавшаяся тележка остановилась, а тележка-
мишень начала двигаться вправо с такой же скоростью, как у первой тележки
145
Две тележки стояли неподвижно посередине воздушной дорожки. Между ними находилась
сжатая пружина. Обратите внимание на пламя при пережигании связывающей их нити.
После пережигания нити тележки разлетаются в разные стороны с одинаковыми скоро-
стями
Левая тележка имеет вдвое большую массу, чем правая (стрелка с точкой). Когда они раз-
летаются в стороны, оттолкнувшись друг от друга, левая тележка приобретает вдвое мень-
шую скорость, чем правая. (Проделайте измерения, чтобы убедиться в этом.),
Левая тележка (стрелка с точкой) имеет вдвое большую массу, чем правая. Правая тележка
первоначально покоилась. После столкновения обе тележки движутся вправо, но с различ-
ными скоростями
только половину скорости другой те-
лежки. Однако такие значения скоро-
стей обеспечивают сохранение им-
пульса.
Если мы примем обычное условие
движение направо считать положи-
тельным, а налево — отрицательным, то
импульс до и после взаимодействия
можно приравнять следующим обра-
зом:
импульс системы до = импульс си-
стемы после,
О =	+ m2v2 =
= 2m[( — 1/2) г] + т( + v) — 0.
На четвертой и пятой стробоскопи-
ческих фотографиях показано, что про-
исходит, когда тележка двойной массы
налетает на легкую тележку, и на-
оборот.
146
Левая тележка (стрелка с точкой и «штыком через плечо») имеет вдвое меньшую массу,
чем правая. Тяжелая тележка первоначально покоилась. После столкновения она стала дви-
гаться вправо; легкая тележка отскочила влево («штык» при ударе повернулся так, что он
снова «лежит на плече», если смотреть по ходу)
Вопрос 7-3
Измерьте линейкой Ах для каждого
из этих движений. Поскольку интер-
вал At между вспышками стробоско-
пической лампы всегда один и тот
же (на всех фотографиях), измерение
Ах дает значение, пропорциональное
Ах/At, то есть скорости. Проверьте,
сохраняется ли импульс в приве-
денных столкновениях.
Со специальным условием, что mv
может быть положительным или отри-
цательным, в рассмотренных выше
частных случаях импульс сохраняется.
Но, может быть, в этом факте в конце
концов нет ничего ни необычного, ни
особенно полезного. Что касается не-
обычности, может быть, произведение
любых степеней массы и скорости точ-
но так же сохраняется? Когда тележка
налетает на идентичную ей и посылает
тележку-мишень вперед с первоначаль-
ной скоростью, не претерпевает измене-
«	2	1 А	1
нии как mv, так и mv , или т v , или т v,
или любая другая комбинация т и и,
До
удара
После
удара
2 2 ? 2 2	2 2
и, -^^2
лишь бы она содержала v. Однако неко-
торые из этих комбинаций могут быть
отвергнуты в случае расталкивания двух
одинаковых тележек, которые в исход-
ном положении имели нулевую ско-
рость. Если v может быть как положи-
тельным, так и отрицательным, то v2
всегда положительно. До взаимодей-
ствия mv2 для системы было равно
нулю.
После взаимодействия суммарное
значение этого произведения оказывает-
ся положительным:
m^vl + т2и2 > О,
поэтому комбинация mv2 не представ-
ляет собой сохраняющейся величины.
I Вопрос 7-4
Испробуйте другие комбинации, ис-
пользуя данные для взаимодействия
тележек с различными массами. Со-
храняется ли какая-нибудь другая
комбинация т и v, кроме mv?
Вот еще вопрос для размышления:
какую пользу может принести знание
того, что импульс системы сохраняется?
Исключает ли это ограничение все про-
чие виды взаимодействия кроме тех, что
происходят в действительности? Напри-
мер, когда тележка налетает на идентич-
ную ей покоящуюся тележку, не могут
ли они начать двигаться вместе со ско-
ростью, равной половине первоначаль-
ной? Ведь при этом импульс бы сохра-
нился:
n^v = ni! • (1/2) v + т2 • (1/2) v = т^,
если mi = т2.
147
Тележки имеют одинаковые массы Тележка-мишень была неподвижна посередине дорожки.
В отличие от столкновения через пружинные бамперы в этом случае сталкивающиеся те-
лежки слипаются вместе. Они движутся вправо со скоростью, равной половине первоначальной
Такой вид столкновения как раз
и происходит, когда две тележки «при-
липают» друг к другу. Это можно ви-
деть на стробоскопической фотографии
такого события. Когда, однако, взаимо-
действие тележек осуществляется с по-
мощью пружины, природа допускает
только те результаты, которые были
рассмотрены выше. Оказывается, что
существует еще одно ограничение для
этого взаимодействия. Мы продолжим
эту тему в главе 9.
ДРУГИЕ СВОЙСТВА ИМПУЛЬСА
Несмотря на важное значение им-
пульса, его единицы не имеют специаль-
ного названия. Размерность импульса
та же, что у произведения массы на ско-
рость: MLT’1. В Международной систе-
ме единиц физических величин СИ еди-
ница импульса — это килограмм на
метр в секунду (кг-м/с).
Мы по определению ввели импульс
как произведение массы на скорость.
В последующих главах мы увидим, что
это простое определение годится только
при скоростях, значительно меньших
скорости света. Частицы света — фо-
тоны — переносят импульс, несмотря на
то что они всегда движутся со ско-
ростью света и не имеют массы в фор-
ме, принимаемой в этом простом опре-
делении. Как мы увидим, полная фор-
мула для импульса сводится к mv, когда
v мала по сравнению со скоростью
света.
Поскольку масса представляет собой
скаляр, а скорость — вектор, то их про-
изведение — тоже вектор. На опыте им-
пульс ведет себя как вектор, поэтому со-
ставляющие импульса можно рассма-
тривать по отдельности. На фотогра-
фии, сделанной в камере Вильсона,
виден след протона, налетающего на
другой протон. Протоны — это положи-
тельно заряженные частицы, из которых
148
вместе в нейтронами построены ядра
атомов. Для наших целей здесь можно
считать, что они ведут себя как одина-
ковые мраморные шарики, сталкиваю-
щиеся без трения. До столкновения весь
импульс системы был только у нале-
тающего протона. Он попал в ядро
одного из атомов водорода в газе, за-
полняющем камеру Вильсона, и выбил
его в скользящем соударении. На рисун-
ке под фотографией стрелками пока-
заны импульсы этих частиц Мы разло-
жили эти векторы на составляющие,
параллельные и перпендикулярные
к первоначальному направлению. Дол-
жны сохраняться обе составляющие им-
пульса. Поскольку до столкновения не
было импульса, перпендикулярного
к первоначальному направлению, после
столкновения перпендикулярные компо-
ненты должны компенсировать друг
друга. Две параллельные составляющие
импульса после удара, складываясь,
должны давать начальный импульс на-
летающей частицы.
Вопрос 7-5
Может ли каждый из протонов дви-
гаться после столкновения под
углом 90° к первоначальному напра-
влению так, чтобы протоны разлета-
лись точно в противоположные сто-
роны? Если каждый из протонов
движется после столкновения под
углом 45° к первоначальному напра-
влению, чему равна скорость каждо-
го из них? Начальная скорость про-
тона была равна 2 • 10~ м/с.
В случае одномерных столкновений
на воздушной дорожке требование со-
хранения импульса дает только одно
уравнение, связывающее импульсы теле-
жек до и после взаимодействия. Если,
например, тележка массы т2, имея на-
чальную скорость v0, налетела на непо-
движную тележку массы т2, то это
уравнение имеет вид
t + m2v2
В случае протон-протонного столк-
новения, как и любого взаимодействия
двух тел, происходящего в двух измере-
ниях, сохранение импульса дает два
уравнения. Для столкновения, характе-
ризуемого показанными на рисунке
углами, сохранение импульса в проек-
циях на оси х а у приводит к следую-
щим уравнениям-
импульс вдоль оси х
miV0 = cos 0 + m2v2 cos ip;
импульс вдоль оси у
0 = sin 0 — m2v2 sin <р.
Первое уравнение говорит о том, что
импульс в направлений первоначально-
го движения должен оставаться неиз-
менным. Второе уравнение говорит
о том, что составляющие импульса, пер-
пендикулярные к первоначальному на-
правлению, должны компенсировать
друг друга.
| Вопрос 7-6
В случае одномерных столкновений
на воздушной дорожке оказалось,
что сохранение импульса не дает до-
статочной информации, чтобы пред-
сказать конечные скорости Раз-
I умеется, конечные скорости должны
удовлетворять уравнению сохране-
ния импульса, но при этом было
только одно уравнение для двух не-
известных величин Vi и v2. Теперь,
в случае двумерных столкновений,
|у нас два уравнения. Значит ли это,
что если один шарик отскакивает от
другого под некоторым опреде-
ленным углом, например 0 = 45°, то
149
у нас достаточно информации, чтобы
предсказать конечные скорости ша-
риков?
ПРИМЕРЫ СОХРАНЕНИЯ
ИМПУЛЬСА
1.	Раньше мы задумывались над
тем, что произойдет, если попытаться
остановить летящую пулю. Исчерпы-
вающее решение такой задачи вряд ли
возможно, поэтому сначала давайте по-
mV
смотрим, что происходит при выстреле.
Пуля 22-го калибра массы 2 г может
иметь скорость вылета 340 м/с. (Ско-
рость звука в воздухе при комнатной
температуре равна 343 м/с; реактивные
лайнеры обычно летают со скоростью
не более 270 м/с.) Непосредственно
перед выстрелом система, состоящая из
ружья и пули, имеет нулевой импульс.
Сразу после выстрела свинцовая пуля
уносит импульс, равный (2  10”3 кг) х
х (3,4  102 м/с) = 0,68 кг • м/с. Если бы
ружье было предоставлено самому себе,
то при массе 3 кг оно откатилось бы на-
зад со скоростью 0,23 м/с. При этом
импульс был бы сохранен:
импульс до = импульс после,
0 = 2-10“3 кг-3,4-102 м/с +
+ 3 кг - ( — 0,23 м/с).
Но ружье, конечно, не свободно; оно
упирается в плечо. Немного ниже в этой
главе мы выясним, насколько сильным
будет толчок.
2.	Сохраняется ли импульс, когда
теннисный мяч отскакивает от Земли?
Новый теннисный мяч, имеющий массу
56 г, при падении с высоты 1 м после
удара поднимается на 63 см. Его ско-
рость непосредственно перед ударом
о Землю и после удара можно найти
с помощью одной из формул для дви-
жения с постоянным ускорением:
до: г2 = 2ду — 2 • (9,8 м/с2) - 1 м =
= 19,6 м2/с2;
v = 4,4 м/с;
после: v% = 2 • (9,8 м/с2) - 0,63 м =
= 12,4 м2/с2,
v = 3,5 м/с.
Вопрос 7-7
Каким был импульс мяча непосред-
ственно перед ударом о Землю? Ка-
ким был его импульс сразу после
удара? Будьте внимательны! Здесь
есть ловушка.
На первый взгляд кажется, что
в этом случае импульс по ряду причин
не сохраняется. Мяч приходит в движе-
ние из состояния покоя, обладая ну-
левым импульсом. Импульс непрерывно
возрастает, но во время столкновения
с Землей импульс скачком обращается
в нуль, затем внезапно возрастает
в противоположном направлении, но не
достигает прежней величины. Оказы-
вается, что импульс возрастает, убывает
и изменяет направление. Как такое по-
ведение согласуется с законом сохране-
ния? Ответ заключается в том, что мы
никогда не утверждали, что сохраняется
импульс отдельного тела. Закон сохране-
ния применим к импульсу всей системы
взаимодействующих тел в целом, сво-
бодной от внешних воздействий. В дан-
ном случае в систему входят как тен-
нисный мяч, так и Земля. Пока мяч
падает к Земле и набирает импульс, на-
правленный в одну сторону, Земля «па-
дает» к мячу, набирая равный по моду-
лю импульс в противоположном напра-
влении. Полный импульс все время
остается равным нулю. Когда мяч и Зем-
ля отскакивают друг от друга, мяч ле-
тит в одну сторону, а Земля — в проти-
воположную с равными по модулю
импульсами, направленными противо-
150
положно, так что их векторы при сложе-
нии всегда дают нуль
Вопрос 7-8
Разве импульс не теряется во время
отскока, когда скорость мяча изме-
няется от 4,4 до 3,5 м/с?
Конечно же, мысль о том, что Земля
падает навстречу теннисному мячу, а за-
тем отскакивает назад, кажется фанта-
стической. Давайте вычислим скорость
Земли непосредственно перед соударе-
нием и после него.
Чтобы импульс системы Земля —
мяч сохранялся, в любой момент време-
ни должно выполняться соотношение
MV = —mv (здесь прописные буквы от-
носятся к Земле, строчные — к мячу):
перед отскоком
(6- 1024кг) • Е= ( — 0,056кг) • ( — 4,4м/с),
V= 4,1 • 10 26 м/с;
после отскока
(6 - 1024 кг) - V= -0,056 кг-3,5 м/с,
V= -3,3- 10" 26 м/с.
Изменение скорости Земли равно
всего лишь — 7,4- 10 26 м/с!
3.	Если бомба взрывается в воздухе,
осколки разлетаются так, что на-
чальный импульс бомбы остается неиз-
менным. Это условие накладывает жест-
кие ограничения на относительные ско-
рости и направления движения оскол-
ков. Рассмотрим простой пример: сна-
ряд разрывается посередине траектории
на два одинаковых осколка. Далее, возь-
мем частный случай, когда один оско-
лок отлетает горизонтально назад с от-
носительной скоростью, которая равна
скорости снаряда в момент взрыва.
У этого осколка горизонтальная ско-
рость относительно Земли внезапно
Первоначальная траектория
Средняя
• ^точка
\ ~-
обращается в нуль, и он начнет падать
вертикально вниз. Другая половина сна-
ряда должна вылетать в направлении
вперед с горизонтальной скоростью, ко-
торая в два раза больше той, что была
до взрыва. При этом импульс снаряда
перед взрывом, направленный горизон-
тально и равный по модулю mv, остает-
ся без изменения, поскольку импульс
осколка равен (l/2)m-2v = mv.
При движении осколков высота ка-
ждого из них в любой момент времени
равна высоте другого; эта высота — та-
кая же, какая была бы в тот же момент
у исходного снаряда, если бы не было
взрыва. Первый осколок падает прямо
вниз, а дальность полета второго оскол-
ка от точки разрыва будет вдвое боль-
ше расстояния по горизонтали, которое
пролетел бы исходный снаряд. (Разу-
меется, в этих заключениях игнори-
руется сопротивление воздуха.)
На рисунке обратите внимание
на положение точки, лежащей посере-
дине между двумя одинаковыми оскол-
ками.
I Вопрос 7-9
Положение этой средней точки изме-
няется при падении осколков. Какова
траектория этой точки?
4.	Вот пример того, как закон сохра-
нения импульса может рассказать нам
о том, что произошло, даже если мы не
в состоянии видеть это. Приводимая
фотография, сделанная в пузырьковой
камере, показывает след некоторой
субатомной частицы, распадающейся
с образованием другой частицы; затем
вторая частица превращается в третью.
В одной из последующих глав мы бу-
дем изучать эти субатомные частицы
и методы их получения. Пока что доста-
точно знать, что треки на фотографии
представляют собой следы из пузырьков
в сосуде с жидким водородом. Суба-
томные частицы пролетают через сосуд,
когда водород в нем приведен в не-
устойчивое состояние и готов закипеть
(при температуре 21 °C выше абсолют-
ного нуля, то есть при — 252 °C). В этот
критический момент яркая вспышка све-
та проникает через окно в боковой стен-
ке камеры и через стеклянное окно
151
Фотография следов, оставленных в водородной пузырьковой камере при распаде к-мезона с
испусканием отрицательного мюона (р“) и при распаде мюона с испусканием электрона (е' )
в верхней крышке делается фотоснимок
Диаметр камеры около 30 см
Трек исходной частицы, находящейся
в нижней части снимка, обозначен
(« — » означает, что она обладает отри-
цательным электрическим зарядом) Ча-
стица, должно быть, замедлялась, на
что указывает утолщение ее следа Она
остановилась и затем распалась Из
других экспериментов известно, что вре-
мя распада должно быть около 10”8 с
Короткий широкий след продукта рас-
пада обозначен ц“. Эта частица также
остановилась и затем примерно через
10“6 с распалась с образованием элек-
трона, который оставил очень разре-
женный искривленный след Тот факт,
что след последнего продукта распада
очень тонок, указывает на то, что элек-
трон двигался очень быстро — почти со
скоростью света По толщине следов
остальных частиц мы можем судить,
что они двигались значительно медлен-
ней Все три частицы обладали отрица-
тельным электрическим зарядом и дви-
152
гались по искривленным траекториям,
потому что камера находилась в маг-
нитном поле Спиральная траектория
электрона показывает, что он непрерыв-
но терял импульс при движении сквозь
жидкий водород, так что действующая
со стороны магнитного поля боковая
сила оказывала все большее и большее
влияние на его траекторию
До сих пор мы описывали то, что не-
посредственно видно на снимке Неко-
торые из наиболее интересных событий
увидеть невозможно, но закон сохране-
ния импульса говорит о том, что они
должны произойти Обратите внимание,
что л “-частица замедлилась, останови-
лась и затем распалась с испусканием
единственной частицы, улетевшей в сто-
рону Что, если бы вы увидели катив-
шуюся ручную гранату, которая, оста-
новившись, взорвалась и выбросила
в сторону только один осколок9 Такого
быть не может Что-нибудь должно
быть отброшено в противоположном
направлении, чтобы сохранялся им-
пульс. В примере с субатомными части-
цами мы знаем, что невидимой части-
цей отдачи было антинейтрино. Анти-
нейтрино не имеет электрического заря-
да и поэтому не оставляет следа
в пузырьковой камере.
Ту же аргументацию можно исполь-
зовать для описания того, что мы не ви-
дим при распаде -частицы. И здесь
должны были образоваться частицы от-
дачи. Как свидетельствуют многие по-
добные фотографии, треки ц” всегда
имеют одинаковую длину независимо
от угла, составляемого ими с треками
я ~. С другой стороны, трек электрона
иногда бывает длинным, а иногда
коротким. В случае л — ц-распада р. мо-
жет приобретать каждый раз один и тот
же импульс, только если он отскакивает
от одной и только одной частицы. В
ц — е-распаде импульс электрона может
изменяться только если тот отталки-
вается от двух или более частиц. Из
других данных известно, что при распа-
де ц ” превращается в электрон, нейтри-
но и антинейтрино. Мы не можем ви-
деть нейтрино и антинейтрино, но мы
знаем, что векторная сумма их импуль-
сов должна быть равна по модулю
и противоположна по направлению им-
пульсу испускаемого электрона.
Вопрос 7-10
Почему электрон не может получать
каждый раз один и тот же импульс,
если он испускается одновременно
с еще двумя частицами?
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
И ЕГО СВЯЗЬ С ВТОРЫМ
ЗАКОНОМ НЬЮТОНА
Закон сохранения импульса гласит,
что импульс изолированной системы
после некоторого события остается та-
ким же, как и до этого события. Если
импульс хлопушки до взрыва равен ну-
лю, то векторная сумма импульсов всех
ее осколков и после взрыва по-прежне-
му будет равна нулю. Изменение им-
пульса A(»w) равно нулю. Второй закон
Ньютона в том виде, как мы его
впервые сформулировали, также связан
с некоторым изменением Аг. Приложен-
ная к телу массы т сила, действуя в те-
чение промежутка времени At, вызывает
изменение скорости Аг:
тАг
f = ~aT
Если в течение этого промежутка време-
ни масса не изменяется, mAv — это то
же самое, что и А(тг). В таком случае
второй закон Ньютона можно записать
в виде
Д(шг)
At
Сила равна быстроте изменения импуль-
са со временем. Фактически это наибо-
лее общая формулировка второго зако-
на Ньютона, справедливая всегда, неза-
висимо от того, изменяется масса или
нет в течение рассматриваемого проме-
жутка времени. Вскоре мы рассмотрим
такой случай, когда масса тела изме-
няется. Обычная формула F = та пред-
ставляет собой частную форму более
общего закона.
Произведение силы на промежуток
времени ее действия имеет специальное
название:
импульс силы = FAt = A(»w).
Рассмотрим два следствия, вытекающие
из этой формы закона Ньютона. Во-
первых, если результирующая внешняя
сила, действующая на систему, равна
нулю, то импульс системы будет оста-
ваться постоянным. Если F = 0, то
A (mv) = 0. Это просто более краткая
формулировка утверждения, что им-
пульс системы сохраняется, если на нее
не действуют внешние силы.
Второе следствие связано с дей-
ствующими в системе внутренними си-
лами. Ради простоты будем анализиро-
вать взаимодействие между двумя ча-
стями некоторой системы. Часть 1,
Fz-t~-Ftz
153
имеющая массу т1, отталкивает часть
2 с силой F12. (Этот индекс означает,
что Fl2 — сила, с которой тело 1 дей-
ствует на тело 2.) В то же время часть 2,
имеющая массу т2, действует с силой
F2 j на часть 1. Поскольку эти две части
расталкиваются, каждая из них будет
подвержена изменению импульса. Одна-
ко векторная сумма этих изменений им-
пульсов должна быть равна нулю, пото-
му что внешних сил нет:
A (mv^ + A (mv)2 = 0.
Изменение импульса каждой части вы-
зывается силой, действующей на нее со
стороны другой части:
F2jAt = A(mv)l и F12Ar = А(тг;)2-
Поэтому F21At + F12At = 0. Поскольку
интервал времени At один и тот же для
обеих взаимодействующих сторон, дол-
жно быть F21 = — F12. Сила, с которой
одно тело действует на другое, равна по
модулю и противоположна по направ-
лению силе, с которой второе тело дей-
ствует на первое. Это одна из формули-
ровок третьего закона Ньютона.
Существует несколько способов фор-
мулировки утверждения, содержащегося
в только что выведенном законе. Иног-
да говорят, что «действие равно проти-
водействию». Затруднения, к которым
приводит это утверждение, связаны
с тем, чго «действие» не имеет научного
определения, а «противодействие», или
реакция, звучит как нечто относящееся
к политике. Иногда тот факт, что два
тела действуют друг на друга с равны-
ми и противоположно направленными
силами, выдвигается в качестве первич-
ного утверждения в третьем законе
Ньютона. Сохранение импульса стано-
вится тогда вытекающим из него след-
ствием.
Лучший способ изучать эту ситуа-
цию — представлять себе, что два
тела взаимодействуют друг с другом,
а не считать, что тело 1 действует с не-
которой силой на тело 2, а тело 2 дей-
ствует с силой на тело 1. С точки зрения
единого взаимодействия силы, дей-
ствующие на отдельные части, должны
быть, конечно, равны и противопо-
ложно направлены.
154
Вопрос 7-11
I Теннисный мяч вблизи поверхности
Земли весит 0,55 Н. Сколько весит
Земля в гравитационном поле тен-
। нисного мяча?
Главное различие между вторым
и третьим законами Ньютона связано
с тем, какая система подлежит изуче-
нию. Если вы собираетесь исследовать
движение отдельного тела, которое тя-
нут и толкают различные силы, прило-
женные к телу извне, то вы пользуетесь
законом
Г- Л (mv)
At
Складывая внешние силы, вы рассма-
триваете тело как целое. С другой сто-
роны, если вы рассматриваете всю си-
стему как состоящую из частей, ко-
торые могут взаимодействовать друг
3-й закон Ньютона  A(mv)f+A(/nv)2=0
Fiz~
с другом, третий закон Ньютона гово-
рит от том, что сумма изменений от-
дельных импульсов будет равна нулю
и что поэтому внутренние силы между
частями системы попарно равны и про-
тивоположны друг другу:
если &(mv)i + A(»w)2 = 0, то F12 =
= — F21, или наоборот.
Вопрос 7-12
Если вы тянете ящик с силой 100 Н,
то со стороны деформированного
материала ящика на вас в противо-
положном направлении будет дей-
ствовать сила 100 Н. Очевидно эти
силы компенсируют друг друга. Как
здесь что-либо может двигаться?
ПРИМЕРЫ КРАТКОВРЕМЕННЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИЛ И ТОЛЧКОВ
1.	Выше говорилось о том, что при
выстреле из ружья стрелок получает
толчок в плечо. Импульс отдачи вин-
товки 22-го калибра равен 0,68 кг-м/с.
Эта величина, A (mt ), и должна быть
равна FAt. Действующая на ружье сила
зависит, очевидно, от продолжительно-
сти интервала времени At. Этот интер-
вал зависит от длины ствола, от скоро-
сти пули при вылете из дула и от
режима горения пороха. В действитель-
ности сила отдачи принимает наиболь-
шее значение вскоре после воспламене-
ния и спадает по мере расширения газов
и продвижения пули вдоль ствола. Од-
нако пуля разгоняется постепенно, и по-
этому большую часть времени, пока она
находится в стволе, сила близка к мак-
симальному значению. Для наших целей
будет хорошим приближением считать,
что сила постоянна в течение всего
времени, пока пуля не покинула ствол.
Если скорость пули у дула равна 340 м/с,
средняя скорость при движении с
постоянным ускорением равна 170 м/с.
Если с геол ружья имеет длину 2/3 м, то
этот интервал времени равен
At =
2/3 м
---------= о,ОО4
170 м/с
с.
Это 4 миллисекунды (4 мс). Теперь
можно найти силу, действующую на
ружье:
F = A(nw)
At ’
0,68 кг • м/с
~ 0,004 с~
= 170 Н.
F =
Вопрос 7-13
Велика ли эта сила? Какова она по
сравнению с весом ружья? (Масса
ружья равна 3 кг.)
2.	Сила, действующая на теннисный
мяч при его отскоке, конечно же не по-
стоянна. Отскакивает ли мяч о г пола
или от струн ракетки, возвращающая
сила должна быть приблизительно про-
порциональна деформации. Это требо-
вание приводит к кривой зависимости
силы от времени такого типа, как пока-
зано штриховой линией на рисунке, если
отскок симметричен. (Он не симметри-
чен, так как скорость после отскока
меньше скорости перед отскоком.) Од-
нако для упрощения вычислений во-
спользуемся аппроксимацией в виде
треугольника. Время, в течение которо-
го мяч, ударяясь о землю, останавли-
вается, можно оценить, принимая, что
мяч замедляется с постоянным ускоре-
нием на расстоянии, составляющем не-
которую долю его диаметра. Примем,
что при падении с высоты 1 м скорость
мяча обращается в нуль тогда, когда он
сплющен на четверть диаметра, что со-
ставляет около 1,5 см. Из проделанного
ранее расчета мы знаем, что непосред-
ственно перед ударом о землю скорость
мяча, падающего с высоты 1 м, равна
4,4 м/с. Если бы он замедлялся с по-
стоянным ускорением, что в данном
случае будет очень грубым приближе-
нием, его средняя за время удара ско-
рость была бы равна 2,2 м/с. Время,
в течение которого он останавливается,
было бы равно
At = (1,5- 10“ 2 м)/(2,2 м/с) =
= 6,8- 10“ 3 с,
то есть около 7 мс.
Теперь мы можем проставить значе-
ния на графике зависимости силы от
времени. Масштаб по оси времени дол-
жен быть таким, чтобы полный огскок
продолжался 14 мс. Произведение FAt
должно быть равно изменению импуль-
са A (mv). Мы знаем, что изменение
1<;<;
импульса составляет
Д (mv) = (/иг)посяе - (п»)яо =
= 0,056 кг • ( + 3,5 м/с) —
— 0,056 кг • ( — 4,4 м/с) =
= + 0,44 кг • м/с = 0,44 Н • с.
Затруднение здесь в том, что нельзя
просто положить FAt = 0,44 Н • с.
Вопрос 7-14
Почему?
Площадь под кривой зависимости
силы от времени равна импульсу силы,
которым и определяется изменение им-
пульса. Для упрощения расчета примем,
что кривая F(t) образует треугольник.
Площадь под такой кривой равна
(1/2) FMaKCt = (1/2) FMaKC  (14  10“3 с) =
= 0,44 Н • с. Поэтому FMaKC = 60 Н. Сам
мяч, имеющий массу 56 г, весит всего
0,55 Н. Очевидно, что даже при падении
с высоты всего лишь 1 м действующая на
теннисный мяч восстанавливающая си-
ла более чем в 100 раз превосходит вес
мяча.
На языке летчиков-испытателей
реактивных самолетов и ракет, мяч под-
вергается более чем стократной пере-
грузке (более 100 д).
3.	Если вам трудно прочувствовать,
что происходит при ускорении теннис-
ного мяча, рассмотрим силы, действую-
щие при внезапной остановке автомоби-
ля. Предположим, что вы на скорости
40 миль/ч врезаетесь в бетонную стену.
Автомобиль замедляется до полной
остановки на пути менее 1 м. Это рас-
стояние покрывается за счет простран-
ства, обычно занятого мотором и про-
чими вещами. Принимая, что автомо-
биль замедляется с постоянным ускоре-
нием от начальной скорости 40 миль/ч
(около 18 м/с), найдем необходимое для
этого время:
At = Ax/rcp = 1 м/(9 м/с) = 0,11 с.
Если ваши привязные ремни хорошо
подогнаны и застегнуты, то вы замедли-
тесь за то же время. Когда привязные
ремни не надеты, вы не почувствуете
никакой силы, пока не ударитесь
---Автомобиль
Пассажир с привязными ремнями
--- Пассажир без привязных ремней
грудью о рулевое колесо. Колесо неза-
медлительно провалится, предоставляя
вам еще немного свободного времени
до удара о приборный щиток и ветро-
вое стекло. Затем за короткое время
вам придется остановиться, если только
вы не вылетите вперед, выбив ветровое
стекло.
На графике зависимости силы от
времени для такой аварии нарисо-
ваны три кривые: для корпуса автомо-
биля, для водителя с привязными рем-
нями и для водителя без ремней. Вре-
менной масштаб событий соответствует
результатам испытаний, проводимых
автомобилестроителями с использова-
нием манекенов. Действительное разви-
тие событий разительным образом раз-
личается, конечно, в зависимости от
того, застрянет ли рулевое колесо в жи-
воте водителя и какой частью головы
он ударится в стекло.
Есть один важный момент, который
не следует упускать из виду в течение той
десятой доли секунды, пока происходят
все эти события. Изменение импульса
вашего тела будет одним и тем же неза-
висимо от того, застегнуты ли ваши
привязные ремни. Вы двигались со ско-
ростью 18 м/с, и примерно через деся-
тую долю секунды ваша скорость стала
равна нулю. Поэтому полная площадь
под кривой F(t) должна быть той же
156
самой:
A (mv) = 60 кг (0 — 18 м/с) =
= - 1,1 • 103 кг • м/с = - 1,1 • 103 Н • с.
Если бы удалось растянуть действие
силы равномерно на все время столкно-
вения, то F = ( — 1,1  103 Н-с)/0,11 с =
= — 1  104 Н. Знак « —» показывает,
что направление силы противоположно
направлению первоначального движе-
ния.
Вопрос 7-15
Какую перегрузку (в единицах д)
пришлось бы вам испытать в такой
аварии?
Как видно из графика, действи-
тельный эффект привязных ремней не
обеспечивает идеальной безопасности,
но максимальная перегрузка становится
терпимой. Кроме того, силы натяжения
привязных ремней приложены к частям
тела, обладающим большей гибкостью,
чем череп, и эти силы распределяются
по большей площади тела.
Заметьте, что водителя убивает от-
нюдь не само столкновение автомобиля
с препятствием. Напротив, роковой
удар обусловлен вторым столкнове-
нием, когда водитель налетает на вну-
треннее оборудование автомобиля. Ав-
томобиль уже почти останавливается,
когда непристегнутый водитель врезает-
ся в него. Расстояние, на котором за-
медляется водитель, а тем самым и вре-
мя его остановки примерно в 10 раз
меньше, чем у автомобиля. Поэтому
действующая на тело останавливающая
сила раз в 10 больше, чем была бы в том
случае, если бы водитель был прикре-
плен к автомобилю.
 Дополнительный материал
В каждом из приведенных выше приме-
ров не было никакой разницы, рассматри-
вать изменение импульса A (mv) или произве-
дение массы на изменение скорости mSv.
Масса пули, или теннисного мяча, или чело-
веческого тела не изменяется во время взаи-
модействия. Если субатомная частица дви-
жется со скоростями, близкими к скорости
света, ее масса изменяется, и в эксперимен-
тальном плане импульс приобретает более
важное значение, чем масса Есть и другой
случай, возможно, менее экзотический, когда
масса тела во время взаимодействия изме-
няется Ракета ускоряется благодаря тому,
что отбрасывает часть своей массы. Вых-
лопные газы имеют весьма постоянную ско-
рость относительно ракеты. Если скорость
истечения газов остается постоянной в тече-
ние запуска, быстрота изменения импульса
будет постоянной. Однако ускорение ракеты
не будет постоянным, потому что масса ра-
кеты будет уменьшаться. Не только скорость
ракеты будет возрастать, ее ускорение тоже
будет возрастать Космонавты испытывают
наибольшие перегрузки к концу работы пер-
вой ступени. Обратимся к математике, опи-
сывающей эту ситуацию
В свободном полете или при пренебре-
жении гравитационными воздействиями им-
пульс системы, состоящей из ракеты и газов,
должен сохраняться. Если масса ракеты на
старте равна т0 и она теряет массу с бы-
стротой Sm/St, то спустя время t ее масса
будет равна [т0 — (Дот/Дг) f] В течение сле-
дующего за t интервала времени St ракета
наберет дополнительную скорость и умень-
шит свою массу еще на Sm. Тем временем
газы, имеющие массу Sm, будут отброшены
со скоростью истечения и относительно ко-
рабля. Приобретенный кораблем направ-
ленный вперед импульс должен быть равен
по модулю направленному назад импульсу
газов:
[m0 — (Sm/St) t — Лш] Sv = Smu.
Вопрос 7-16
Если ракета движется вправо, в каком на-
правлении движутся выхлопные газы?
Ответ не совсем прост
Если масса, отброшенная за интервал
времени St, мала по сравнению с массой ра-
кеты в данный момент времени, можно по-
ложить приближенно
[m0 — (Sm/St) t — Дт] % [m0 — (Sm/St) z].
157
Перегруппируем переменные и разделим обе
части на интервал времени At:
Др _ Ат и
At At т0 — (Am/At) t
Эта формула не так страшна, как могло бы
показаться. Левая часть — это просто ускоре-
ние ракеты. На основании второго закона
Ньютона можно ожидать, что ускорение
равно силе, деленной на массу. В данном
случае сила постоянна и равна произведению
Ускорение ракеты с посюянной силой тяги,
ио уменьшающейся массой
постоянной скорости истечения и и постоян-
ному расходу массы km/kt Масса, стоящая
в знаменателе правой части, — это изменяю-
щаяся масса, потому что ракета непрерывно
становится легче Даже в случае постоянной
силы, действующей на ракету при постоян-
ном выхлопе, ускорение растет из-за умень-
шения массы.
Попробуем подставить определенные
числа в уравнение ракеты. Рассмотрим подъем
100-тонной ракеты При t = 0 ее масса равна
т0. Сила тяги ракеты по меньшей мере дол-
жна быть равна ее весу — иначе ракета не
оторвется от стартовой платформы. Сила
тяги ракеты равна произведению ее массы
на ускорение: m0(Att/Af). Из уравнения ра-
кеты при t = 0 имеем:
Аг	Дт
сила тяги = та---= и----.
М	М
Скорость истечения газа почти равна сред-
ней скорости теплового движения его моле-
кул при температуре сгорания. Средняя ско-
рость молекул кислорода и азота при
комнатной температуре — около 340 м/с По
шкале Кельвина температура газов в камере
сгорания ракеты примерно в 10 раз больше
комнатной температуры. Скорости молекул
пропорциональны квадратному корню из
температуры и обратно пропорциональны
квадратному корню из массы молекулы. По-
158
скольку часть выхлопа составляет водород,
а температура очень высока, скорости исте-
чения могут достигать 3 000 м/с. Если потре-
бовать, чтобы сила тяги составляла 106 Н,
что как раз достаточно для уравновешива-
ния начального веса ракеты, то должен быть
следующий расход массы:
Ат 100 т (9,8- Ю3 Н/т) „„	.
----= -------------------— % 300 кг/с.
At	3  103 м/с
Чтобы создать направленное вверх ускоре-
ние, равное по модулю д, расход должен быть
в два раза больше, то есть 600 кг/с. Такой
расход массы не может продолжаться мно-
гие секунды.
Скорость истечения 3000 м/с близка
к пределу, достижимому для ракет на хими-
ческом топливе. Один из способов избежать
необходимости брать с собой столь боль-
шую массу, чтобы затем ее отбрасывать, со-
стоит в том, чтобы отбрасывать меньшую
массу с гораздо более высокими скоростями.
Протоны, то есть ядра атомов водорода,
можно разогнать до скоростей 107 м/с с по-
мощью сравнительно низковольтных ускори-
телей. Двигатель на основе такого ускорите-
ля можно применять только в безвоздушном
космическом пространстве, когда корабль
находится за пределами атмосферы. Отметь-
те, кстати, что ракета отнюдь не отталки-
вается от воздуха, чтобы создать движущую
силу. Напротив, воздух создает лишь поме-
ху, вызывая весьма значительное сопро-
тивление.
Вопрос 7-17
Допустим, что при работе с набором ин-
струментов вне космической станции вы
отсоединились от удерживающего вас
привязного фала Каким образом, вы
смогли бы вернуться на станцию?
ЦЕНТР МАСС И СОХРАНЕНИЕ
ИМПУЛЬСА
В главе 4 был введен по определению
центр тяжести тела. Это точка, относительно
которой моменты всех действующих на тело
сил тяжести в сумме дают нуль. Для си-
стемы из п скрепленных точечных тел, на ко-
торые действуют силы тяжести Р, и располо-
женных на расстояниях х, от оси, расстояние
от центра тяжести до этой оси равно
у х,р,
X =
Центр тяжести системы тел
Если все силы тяжести, действующие на
отдельные части, параллельны дру! другу
(приближение плоской Земли), то суммирова-
ние вращающих моментов х,Р, сведется
к простому арифметическому сложению.
Вместо Pt можно подставить mtg, и тогда
уравнение для центральной точки перепи-
шется следующим образом:
к =--------~ ------, т = > mt
тд т
Определяемую этим соотношением величину
л можно рассматривать как х-координату
центра масс. Аналогично у-координата цен-
тра масс
J, =
т
Координаты х и у представляют собой
«взвешенные средние» значения координат
отдельных тел Может сложиться впечатле-
ние, что центр масс — это то же самое, что
и центр тяжести. Это справедливо для не-
больших тел или систем на Земле, но это не-
верно для тел или систем небесных масшта-
бов. В качестве предельного случая рассмо-
трите различие между центром масс
и центром тяжести однородного стержня,
показанного на рисунке.
Понятие о центре масс оказывается жиз-
ненно важным для закона сохранения им-
пульса. Проследив за движением одной ма-
териальной точки в отсутствие внешних сил,
легко утверждать, что ее импульс сохраняет-
ся. Когда материальная точка сталкивается
с другой материальной точкой, сохранение
Центр тяжести. Центр масс
импульса системы уже не столь очевидно, но
мы видели, что именно так и происходит.
В случае целой системы тел, действующих
друг на друга со всевозможными внутренни-
ми силами, не ясно даже, о сохранении како-
го импульса идет речь. Конечно, импульс
любой отдельной части изменяется. Требова-
ние закона сохранения импульса состоит
в том, что векторная сумма всех отдельных
импульсов не будет изменяться. Поэтому
сумма проекций отдельных импульсов не
должна изменяться. Выпишем эту сумму для
проекции на ось х:
X ("х), =
Z т.(Хк - *о). =
= W. — S (<o)J-
Мы записали здесь проекцию скорости тела
i на ось х как (Дх/Дг),. Поскольку интервал
времени Дг одинаков для всех тел, мы вынес-
ли его из-под знака суммы. Перемещение Дх
равно (хк — х0), то есть разности конечного
и начального значений х.
Теперь воспользуемся в этом выводе
определением центра масс: £m,x, = тх. Под-
ставим это выражение в утверждение о сум-
ме импульсов тел, входящих в систему:
сумма х-проекций импульсов =
= —— [(mx)K — (»ix0)] =-тДх = т—- = mvx.
Дг	Дг	Д(
159
Оказывается, что сумма проекций импульсов
всех тел системы на ось равна произведению
полной массы на соответствующую проек-
цию скорости центра масс. То же самое
справедливо и для проекций на оси у и z.
№
Закон сохранения импульса для за-
мкнутой системы тел утверждает, что
скорость центра масс остается постоян-
ной. Более того, если на систему дей-
ствуют внешние силы, движение центра
масс происходит так, как если бы век-
торная сумма всех внешних сил дей-
ствовала на полную массу, сосредото-
ченную в центре масс.
РЕЗЮМЕ
Чем больше масса тела и чем боль-
ше его скорость, тем труднее тело оста-
новить или разогнать до этой скорости.
Произведение массы и скорости носит
специальное название — импульс. Еди-
ницы импульса не имеют постоянного
названия; это просто килограмм на
метр в секунду (кг-м/с).
Мы показали, что при взаимодей-
ствии двух тел полный импульс пред-
ставляет собой сохраняющуюся физиче-
скую величину. Хотя импульс каждого
из взаимодействующих тел обычно из-
меняется, векторная сумма импульсов
тел при взаимодействии остается неиз-
менной. Для всей системы Д£ (т, v() = 0.
В случае столкновения движущегося те-
ла массы тх с неподвижным телом
массы т2 сохранение импульса требует,
чтобы v0 = V, + m2v2- Это вектор-
ное равенство дает одно уравнение для
одномерного столкновения и два урав-
нения — для двухмерного. Хотя эти
уравнения должны выполняться при
любом столкновении, содержащейся
в них информации недостаточно для пол-
ного предсказания результатов. Нужно
еще одно уравнение, представляющее
другое требование сохранения.
Тот факт, что импульс системы дол-
жен сохраняться, — это одна из форму-
лировок третьего закона Ньютона. На-
ше исходное выражение для второго
закона Ньютона было F = ma = т(Ду/Дг).
Более общая формулировка второго за-
кона Ньютона состоит в том, что сила
равна быстроте изменения импульса во
времени: F = Д (mv) /Дг. Может пока-
заться, что второй и третий законы
Ньютона выражают одно и то же, по-
скольку при отсутствии действующих на
тело внешних сил F = 0 и в соответ-
ствии со вторым законом Д (mv) = 0. Это
значит, что импульс тела сохраняется.
Однако во втором законе Ньютона ак-
цент делается на отдельном теле и дей-
ствующих на него внешних силах.
В третьем законе акцент делается на
взаимодействии между входящими в си-
стему телами. В частности, мы показа-
ли, что если импульс системы двух тел
сохраняется, то действующие между ни-
ми внутренние силы должны быть таки-
ми, чтобы сила, с которой первое тело
действует на второе, была равна и про-
тивоположна силе, с которой второе те-
ло действует на первое. Это другой,
и довольно распространенный способ
выражения содержания третьего закона
Ньютона.
Иногда удобно решать задачи, ис-
пользуя понятие импульса силы, сооб-
щаемого системе и равного изменению
ее импульса. Происходящее при взаимо-
действии изменение импульса Д(ют) мо-
жет быть известно, но характер зависи-
мости результирующей силы от вре-
мени порой нелегко поддается расчету.
Полный импульс силы FAt предста-
вляется площадью под кривой F(t).
Максимальное значение силы, дей-
160

t
ствующей на тело во время столкнове-
ния, решающим образом зависит от
длительности столкновения.
В качестве примера успешного при-
менения более общей формулировки
второго закона, связывающей F
с A (wv)/At, мы показали, как ракеты
приводятся в движение тягой, создавае-
мой отбрасываемыми с постоянной от-
носительной скоростью газами. Эта тя-
га пропорциональна быстроте потери
массы.
Для системы многих тел существует
особая точка, называемая центром масс.
Независимо от того, как движутся от-
дельные части системы, движение цен-
тра масс происходит так, как если бы
в нем была сосредоточена вся масса си-
стемы и здесь же были приложены все
внешние силы.
Ответы на вопросы
7-1. Импульс сохраняется только для замк-
нутой системы, на которую не дей-
ствуют внешние силы. Первая тележка
была подвержена действию внешних
сил, когда она ударилась о вторую. Од-
нако обе они вместе образуют замкну-
тую систему, и их полный импульс
должен оставаться прежним.
7-2. Импульс, как и скорость, характери-
зуется направлением. Верно, что ка-
ждая из тележек после столкновения
обладает импульсом, до этого не суще-
ствовавшим. Если, однако, считать им-
пульс, направленный вправо, поло-
жительным, а влево — отрицательным,
то сумма импульсов остается равной
нулю.
-т и
+/пи
7-3. Когда тележка удвоенной массы, дви-
гавшаяся со скоростью ь0, натолкну-
лась на неподвижную легкую тележку,
легкая отлетела со скоростью (4/3) v0.
Тяжелая тележка тем временем про-
должала двигаться в том же направле-
нии со скоростью (1/3)v0. Исходный
импульс был равен 2v0. Конечный им-
пульс равен 1  (4/3) v0 + 2  (1/3) v0 = 2г0.
Когда легкая тележка, двигавшаяся со
скоростью v0, налетела на тележку
удвоенной массы, тяжелая тележка от-
летела со скоростью (2/3) v0. Легкая те-
лежка отскочила назад со скоростью
— (1/3) v0. Исходный импульс был ра-
вен 1  v0. Конечный импульс равен
2-(2/3)v0 + 1 •( — l/3)v0 = 1-v0.
7-4. Посмотрим, сохраняется ли величина
О
mtr, когда тяжелая тележка налетает на
легкую:	2-vj* = l-[(4/3)v0]2 +
+ 2-f(l/3)v0]2;	2-v2 = (16/9)v2 +
+ (2/9) v% = (18/9) vj = 2- Го- Для этого
частного случая оказывается, что ве-
личина mv2 сохраняется, хотя она не
сохраняется во взаимодействиях типа
взрыва.
Сохраняется ли величина mv6, когда
легкая тележка налетает на двойную?
Что можно сказать о m2v или m2v2?
В главе 9 мы более основательно по-
знакомимся с физической величиной
mv2.
7-5. Если бы протоны разлетались под
углом 90° к первоначальному напра-
влению, то после столкновения не оста-
лось бы импульса, направленного впе-
ред. Если же протоны разлетаются под
углами 45° к направлению вперед, то
каждый из них имеет направленную
вперед составляющую скорости, рав-
ную v cos 45° = v/|/2. Направленная впе-
ред составляющая полного импульса
равна 2тр  v/|/2 = ['2 т pv. Конечный
импульс должен быть равен начально-
му, то есть тр  2 • 107 м/с. Поэтому v =
= 1,4-107 м/с. Поскольку скорости
протонов равны по модулю и напра-
влены под одинаковыми углами к пер-
воначальному направлению, соста-
вляющие их импульса, перпендику-
лярные к этому направлению, компен-
сируют друг друга.
7-6. В таких двумерных столкновениях ша-
риков или протонов мы считаем из-
вестными массы и начальную скорость
6 Кл. Э. Суорц, т. 1
161
и хотим найти конечные скорости, если
одна из частиц вылетает после столк-
новения Дод углом 45°. Верно, что
у нас теперь два уравнения и две не-
известные скорости Г; и v2. Но, к сожа-
лению, здесь есть еще одна неизвестная
величина — другой угол <р. Наши урав-
нения имеют множество решений; при-
рода же допускает лишь одно. Должно
быть, существует еще одно ограниче-
ние, то есть другой закон сохранения,
которым можно воспользоваться. Что
это за закон, мы выясним в главе 9.
7-7. Импульс теннисного мяча непосред-
ственно перед ударом о Землю был ра-
вен 0,056 кг • ( — 4,4 м/с). Обратите вни-
мание на отрицательный знак скоро-
сти — мяч движется вниз. После отско-
ка импульс был равен 0,056 кг  ( + 3,5
м/с). Изменение импульса составило
(Имп)х — (Имп)0 = 0,056 кг • ( + 7,9 м/с).
4
До После Д(ть)
7-8. Импульс мяча и в самом деле изме-
няется, когда его скорость изменяется
от —4,4 м/с до +3,5 м/с. Обратите вни-
мание, что это изменение произошло не
просто из-за того, что мяч стал дви-
гаться медленнее, а из-за того, что он
изменил направление. Тот факт, что ско-
рость мяча уменьшилась, не имеет ни-
какого отношения к закону сохранения
импульса. Начальный импульс системы
мяч — Земля был равен нулю, конечный
импульс этой системы тоже равен ну-
лю. Если мяч отскочил с меньшей ско-
ростью, чем до удара, то то же самое,
по-видимому, произошло и с Землей.
7-9. Исходный снаряд находился в средней
точке своей траектории, и он падал бы
из нее с тем же вертикальным ускоре-
нием, что и оба осколка. Поскольку
один осколок падал прямо вниз, а го-
ризонтальная скорость другого оскол-
ка в два раза больше, чем у исходного
снаряда, средняя точка двух осколков
имеет горизонтальную скорость, совпа-
дающую с горизонтальной скоростью
снаряда. Поэтому средняя точка дви-
жется по такой траектории, по какой
двигался бы исходный снаряд, если бы
он не взорвался.
7-10. Если тело распадается на три осколка,
обычно нет никакой причины, чтобы
углы разлета осколков имели опреде-
ленные значения. На рисунке предло-
жены несколько способов возможного
разлета трех осколков. В любом случае
полный импульс должен оставаться
равным нулю, но электрон может по-
лучить больший или меньший импульс
в зависимости от направлений вылета
двух нейтрино. С другой стороны, если
при распаде испускаются только два
осколка, оба они должны вылетать
строго в противоположных направле-
ниях, и чтобы каждый из них уносил
импульс одного и того же модуля. Как
мы увидим в главе 9, осколки в ка-
ждом распаде такого рода получают
одну и ту же энергию, которая должна
распределиться между ними так, чтобы
удовлетворялись ограничения, нала-
гаемые законом сохранения импульса.
7-11. Поскольку между Землей и теннисным
мячом происходит просто взаимодей-
ствие, сила этого взаимодействия мо-
жет иметь только одно значение. При-
тяжение теннисного мяча Землей на-
правлено вниз, к Земле; притяжение
Земли теннисным мячом направлено
вверх, к теннисному мячу. Сила притя-
жения Земли к теннисному мячу в гра-
витационном поле мяча равна 0,55 Н.
7-1? Равные, но противоположные силы,
о которых идет речь в третьем законе
Ньютона, всегда действуют на разные
тела; этот закон ничего не говорит
о равных и противоположных силах,
приложенных к одному и тому же те-
лу. Например, книга подвержена грави-
тационному взаимодействию с Землей;
книга притягивает Землю вверх; Земля
притягивает книгу вниз с равной, но
противоположной силой. Эти силы
действуют на разные тела — книгу и Зе-
млю. Книга и Земля падают навстречу
друг другу. Когда книга лежит на сто-
ле, она не падает благодаря тому, что
на нее со стороны деформированного
162
стола действует направленная вверх си-
ла. Эта упругая сила и в самом деле
равна действующей на книгу силе тя-
жести и противоположна ей по напра-
влению, но возникает она в результате
совсем другого взаимодействия. Книга
подвержена действию двух сил — на-
правленной вниз силе тяжести и напра-
вленной вверх силе упругости.
Когда ящик передвигают волоком, ме-
жду тянущим человеком и ящиком воз-
никает сила натяжения 100 Н; что ка-
сается ящика, то к нему приложена
сила 100 Н, тянущая его в одном на-
правлении, и, возможно, некоторая сила
трения, действующая в противополож-
ном направлении. Равная по модулю
и противоположно направленная сила
100 Н действует не на ящик — она дей-
ствует на человека, который его тянет.
На человека действуют и другие силы,
наиболее важные из которых — силы
трения между его ступнями и полом.
Эти силы трения, возникающие оттого,
что человек упирается ногами в пол,
в действительности и приводят челове-
ка в движение. В данном случае сила
трения не замедляет движение, а делает
его возможным Эта направленная впе-
ред сила трения (равная по модулю
и направленная противоположно силе,
с которой ноги толкают землю назад)
больше, чем направленная назад сила
натяжения 100 Н, тоже действующая
- на человека.
7-13. Вес ружья равен 3 кг • 9,8 Н/кг « 30 Н.
Максимальное значение силы отдачи в
2
5 — раз больше, чем вес ружья. Ваше
плечо ощутит этот внезапный удар.
7-14. Мы знаем, что восстанавливающая си-
ла здесь непостоянна. Либо нужно
принять некоторое значение F в тече-
ние Д1, либо нужно знать, как F зави-
сит от t. Максимальное значение силы
будет, конечно, больше среднего.
7-15. При массе тела 60 кг ваш вес соста-
вляет около 600 Н. Отношение сооб-
щающей ускорение силы к весу пред-
ставляет собой испытываемую пере-
грузку (ускорение в единицах д):
1 • 104 Н/600 Н = 16 д.
7-16. Скорость истечения и — это скорость га-
зов относительно корабля. Покоящийся
на Земле наблюдатель увидит, что
в начале ускорения ракета движется
вправо, а газы отбрасываются влево.
Но после того как ракета достигнет
скорости, большей и, относительно на-
блюдателя на Земле газы будут дви-
гаться тоже вправо. Однако их ско-
рость всегда меньше скорости корабля
на величину и.
7-17. Если вы будете бросать инструменты
в противоположную от корабля сторо-
ну, вы приобретете отдачу в направле-
нии к кораблю. “Чтобы осуществить
это, может потребоваться некоторый
навык.
Задачи
1.	Девушка стоит на коньках лицом
к юноше, который скользит к ней со ско-
ростью 2 м/с. Ее масса 50 кг, его — 70 кг.
Если они обнимутся (и не будут тормо-
зить свое движение, зарываясь коньками
в лед), чему будет равна их общая резуль-
тирующая скорость?
2.	На хоккейном столе с воздушной
подушкой шайба, скользящая со скоро-
стью 4 м/с, сталкивается с неподвижной
шайбой такой же массы. Первая шайба
отскакивает под углом 30° к первоначаль-
ному направлению со скоростью 1>ь вто-
рая шайба отлетает под углом 60° к тому
же направлению со скоростью v2. Чему
равны значения и г2?
3.	В лобовом столкновении протон
(относительная масса равна 1), движущийся
со скоростью З Ю7 м/с, сталкивается с
неподвижным ядром атома гелия (отно-
сительная масса равна 4) и отскакивает
точно назад со скоростью 1,8 • 107 м/с.
Чему равна скорость ядра гелия?
4.	При радиоактивном распаде урана
альфа-частица (ядро гелия, имеющее мас-
су около 4 по атомной шкале) испускается
со скоростью 1,5 • 107 м/с. Чему равна
скорость отдачи остающегося атома тория,
масса которого составляет около 234 по
той же шкале7
5.	Ракетный корабль испускает раска-
ленные газы со скоростью 2000 м/с отно-
сительно корабля. Чему равна результи-
рующая тяга, то есть действующая на
ракету сила, если каждую секунду отбра-
сывается масса, равная 100 кг?
6.	Мальчик массы 22 кг, бегущий
со скоростью 2,5 м/с, вскакивает сзади
6
163
на платформу массы 12 кг. Чему равна
результирующая скорость платформы с
мальчиком’’
7.	Мяч массы 1,8 кг, двигавшийся
со скоростью 6,5 м/с, под прямым уг-
лом ударяется в стену и отскакивает со
скоростью 4,8 м/с. Чему равен импульс
силы, воспринятый мячом?
8.	Платформу массы 12 кг в тече-
ние 1,5 с толкают с силой 7,9 Н, затем в
течение 1,2 с — с силой 4,5 Н и затем в
течение 2,0 с — с силой 10,0 Н Чему равен
полный импульс силы, сообщенный плат-
форме? Чему равно изменение скорости
платформы (в предположении, что трение
качения пренебрежимо мало)?
9.	Допустим, что здесь приведены
графики зависимости от времени силы,
создаваемой при ударе каратистом и бок-
сером. Чему равен импульс силы, сообщае-
мый в каждом из этих случаев? Поду-
майте, который из этих ударов будет
более опасен. Который из них заставит
вас отлететь через всю комнату? С по-
мощью которого можно сломать кость?

ъооон
ЪООН ,	- п
< ’ 0,1с	> *
10.	Теннисный мяч массы 50 г уда-
ряется в ракетку перпендикулярно к ее
плоскости. Его скорость равна 10 м/с до
и после отскока. Приложенная к мячу
сила линейно возрастает до наибольшего
значения в течение 0,01 с и затем линейно
уменьшается до нуля в течение следующей
0,01 с. Чему равно изменение импульса
мяча? Чему равна средняя сила, с кото-
рой ракетка действует на мяч? Чему
равна максимальная сила, с которой
ракетка действует на мяч?
11.	Какая сила тяги нужна для ускоре-
ния за 5 с движущейся по направляющим
ракеты массы 30 кг из состояния по-
коя до скорости 30 м/с?
12.	Винтовка массы 5 кг, подве-
шенная на шнурах, выстреливает пулю
массы 4 г, которая вылетает из дула со
скоростью 520 м/с. Чему равна скорость
отдачи винтовки?
13.	Четыре человека стоят друг за дру-
гом на длинной доске, лежащей на льду.
164
Все они по очереди с разбега спрыги-
вают с доски, отталкиваясь от ее конца,
со скоростью 2 м/с относительно доски.
Масса каждого равна 60 кг, масса доски
10 кг. Чему равна конечная скорость
доски? (Задачу нужно решать по этапам.
При каждом прыжке должен сохраняться
импульс системы.)
14.	Допустим, что вы катитесь по
инерции на велосипеде со скоростью 5 м/с.
Ваша масса вместе с велосипедом со-
ставляет 70 кг. Вы наклоняетесь и под-
хватываете лежащий на земле рюкзак мас-
сы 15 кг. Чему равна ваша результирую-
щая скорость? Если вы подхватываете
его в течение 0,1 с, какую» среднюю силу
развивает ваша рука? (Не забывайте, что
вам приходится не только тянуть рюкзак
вперед, но и приподнимать его.)
15.	Предположим, что вы, как и в
задаче 14, катитесь по инерции на вело-
сипеде со скоростью 5 м/с, но на этот раз
держите рюкзак массы 15 кг в руке. Ваша
полная масса составляет поэтому 85 кг.
Если вы теперь выроните рюкзак (кото-
рый при этом ударится о землю и
останется на ней лежать), чему будет равна
ваша результирующая скорость?
16.	Сила тяги некоторой ракеты сразу
после отрыва ее от Земли равна 1,8 • 106 Н.
Если скорость выхлопа составляет 2500 м/с,
чему равен расход массы (масса в единицу
времени) продуктов сгорания?
17.	Пули, выстреливаемые из пуле-
мета со скоростью 800 м/с, попадают в
стальную мишень. Масса каждой пули
равна 20 г. Скорость стрельбы равна 20
выстрелам в секунду. Если каждая пуля
отскакивает назад со скоростью 200 м/с,
чему равна средняя по времени сила,
с которой действует на мишень пулеметная
очередь ?
18.	Ракета, поднимающаяся вертикаль-
но вверх со скоростью 100 м/с, разры-
вается на три части. Две части по 0,5 кг
каждая разлетаются горизонтально — одна
на восток, другая на запад. Чему равна
скорость третьей части, масса которой
равна 1 кг?
19.	Ракета, поднимающаяся вертикаль-
но со скоростью 100 м/с, разрывается на
три части. Одна часть, имеющая массу
0,5 кг, отлетает горизонтально к востоку
со скоростью 20 м/с. Другая часть та-
кой же массы движется под углом 45°
к горизонтали в восточном направлении.
(Все три части движутся, таким образом,
в вертикальной плоскости, содержащей
направление запад — восток.) Чему равны
скорости второй и третьей частей?
20.	Вы сидите в неподвижном са-
молетном кресле. Внезапно вы начинаете
действовать на спинку кресла с силой
210 Н, не упираясь ни во что впереди.
Какой будет ваша скорость через 15 с,
если ваша масса равна 70 кг?
21.	Для пассажира автомобиля, попа-
дающего в дорожное происшествие, ре-
шающим фактором является изменение
скорости. Предположим, что движущийся
со скоростью 30 миль/ч по обледенев-
шей дороге большой автомобиль массы
2 т сталкивается «в лоб» с малолитражкой
массы 1 т, движущейся навстречу со ско-
ростью 30 миль/ч В результате столкно-
вения автомобили оказываются сцеплен-
ными Примем, что по обледеневшей
дороге они скользят без трения. Чему
равно изменение скорости каждого авто-
мобиля?
ГЛАВА 8. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Комета, находящаяся на вытянутой
орбите, движется очень медленно, пока
не приблизится к Солнцу. Затем она
движется все быстрее и быстрее, стре-
мительно огибает Солнце и начинает
терять скорость по мере удаления от не-
го к пределам Солнечной системы. Ве-
лосипедист, не держащийся руками за
руль, наклоняется вправо, но не падает,
а поворачивает направо. Фигуристка вы-
тягивает руки и начинает кружиться на
носке одного конька. Затем она опу-
скает руки, и внезапно ее вращение за-
метно ускоряется. Все эти явления Про-
исходят из-за сохранения физической
величины, называемой моментом им-
пульса.
Момент импульса играет такую же
роль для вращательного движения, ка-
кую играет импульс для прямолинейно-
го движения. Момент импульса отве-
чает, однако, за целый ряд специфиче-
ских, поразительных эффектов. Оказы-
вается, что вращающиеся тела, напри-
мер, волчки, приходят в движение
в направлении, перпендикулярном к ин-
туитивно ожидаемому направлению.
Сохранение момента импульса разре-
шает определенные взаимодействия ме-
жду субатомными частицами и запре-
щает другие. И что самое странное,
момент импульса квантуется, то есть су-
ществует только в количествах, кратных
некоторой малой величине, подобно то-
му, как это имеет место для электриче-
ского заряда. Вращающаяся система не
может увеличивать или уменьшать свой
момент импульса непрерывно: его изме-
нение должно быть равно целому числу
основных единиц.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Если вы занимались фигурным ката-
нием или балетом, то вам, возможно,
уже приходилось сталкиваться на соб-
ственном опыте с явлением сохранения
момента импульса. Если вы не умеете
кружиться на носках, возьмите вращаю-
щийся стул или табурет. Если у вас нет
вращающегося стула, взгляните на фо-
тографию и вы поймете, как легко мож-
но закружиться на одном носке. В лю-
бом случае возьмите два значительных
груза — по одному в каждую руку.
Пусть их массы будут не меньше чем по
1 кг. Сидя на табурете или стоя на но-
ске, начните вращение, держа эти грузы
в вытянутых руках. Затем руки вместе
166
с грузами резко подтяните к телу. Нуж-
но самому испытать этот эффект, чтобы
в него поверить; недостаточно наблю-
дать за тем, как это делает кто-нибудь
другой. Как мы узнаем в этой главе, ва-
ша угловая скорость возрастает потому,
что ваш момент импульса сохраняется!
Почувствовать момент импульса
можно и другим способом. Возьмите
велосипед и приподнимите его за руль
так, чтобы переднее колесо не касалось
пола. Попросите кого-нибудь раскру-
тить колесо и наблюдайте, что будет
происходить, когда вы попытаетесь по-
вернуть колесо вправо или влево или
наклонить его. В частности, обратите
внимание на направление вращения ко-
леса (используя правило правой руки).
Момент импульса представляет собой
векторную величину. Закон сохранения
справедлив не только для его модуля,
но и для направления.
РАЗНЫЕ ФОРМЫ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА
Тело, движущееся прямолинейно,
обладает импульсом mv. По отношению
к некоторой точке оно обладает также
моментом импульса, равным г х (mv).
Модуль векторного произведения этих
векторов равен произведению mv
и кратчайшего расстояния до траекто-
рии, как показано на рисунке. Здесь это
Вектор г х mv перпендикулярен плоскости
чертежа
определение может показаться беспо-
лезным. Прохождение тела мимо неко-
торой оси еще не означает, что суще-
ствует какое-либо вращательное движе-
ние. Если, однако, это тело попадает на
лопасть гребного колеса, насаженного
на эту ось, оно приведет колесо во вра-
щение. Поэтому логично считать, что
момент импульса в этой системе уже су-
ществовал независимо от того, пере-
дается он от движущегося тела гребно-
му колесу или нет. Обратите внимание,
что в случае, когда траектория тела
пересекает ось, оно не имеет момента
импульса относительно этой оси.
Тело обладает моментом импульса относи-
тельно оси и приведет гребное колесо во
вращение
Момент импульса тела
равен нулю, так как угол
между mv и г равен 180°
Вопрос 8-1
Разве момент импульса не изменяет-
ся все время, пока тело приближает-
ся к оси и проходит мимо нее?
Обратите внимание, что масса и ско-
рость остаются постоянными, но
расстояние г до оси все время изме-
няется.
В случае вращающегося велосипед-
ного колеса модуль момента импульса
относительно оси колеса равен прибли-
зительно mvr. Это значение получается
в приближении, когда вся масса колеса
считается находящейся на расстоянии
г от оси. Линейная скорость v каждой
точки обода всегда перпендикулярна
к радиусу. В главе 6 был приведен дру-
гой способ описания вращательного
движения. Угловая скорость со равна по
модулю v/r, а момент инерции системы,
вся масса которой находится на одина-
ковом расстоянии от оси, I — тг2. По-
этому момент импульса можно запи-
сать в виде
mvr = т (сот) г = (тг2) со = /со.
Последнее из этих выражений справед-
ливо независимо от того, как распреде-
лена масса вращающегося тела.
Существует важное различие между
моментом импульса тела, вращающего-
167
ся вокруг центра масс, и моментом им-
пульса тела относительно некоторой
точки, мимо которой оно проходит.
В первом случае его часто называют
спином, чтобы отличить от момента им-
пульса, вызванного обращением тела
(или вообще движением) относительно
некоторой внешней оси. Спин тела ха-
рактеризует само тело безотносительно
Орбитальный
к какой-либо внешней оси. Однако в об-
щем случае модуль момента импульса
зависит от выбора осевой точки. Напри-
мер, момент импульса .велосипедного
колеса относительно оси, то есть его
спин, зависит только от радиуса колеса,
массы колеса и ее распределения и от
скорости. Однако для некоторых целей
удобно рассматривать момент импульса
колеса относительно мгновенной оси,
проходящей через точку касания с доро-
гой. Этот момент импульса больше, чем
спин, так как он включает не только
спин, но и момент импульса, связанный
с движением центра масс относительно
мгновенной оси.
В главе 6 второй закон Ньютона для
вращательного движения был дан
в форме М = 1а. Подобно тому как бо-
лее общая форма закона F = та имеет
вид F = Л (mv) /At, для вращательного
движения более общая форма имеет вид
М = Л (/со)/Д t. Приложенный к вращаю-
щемуся телу момент сил равен скорости
изменения момента импульса.
ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ
НЕКОТОРЫХ МОМЕНТОВ
ИМПУЛЬСА
Движущиеся по орбитам или вра-
щающиеся вокруг собственной оси тела
могут иметь самые разные масштабы,
от внутриатомного до гигантских га-
лактических. Подсчитаем моменты им-
пульса тел в трех различных диапазонах
размеров. Мы сравним эти моменты
импульса, выразив их в одних и тех же
общих единицах. Как мы увидим ниже,
в природе существует некоторая основ-
ная единица момента импульса, но «ру-
котворной» единице СИ не дано спе-
циального названия. В килограммах,
метрах и секундах эта единица момента
импульса равна 1 кг-м2/с. Такие еди-
ницы появляются, когда вы определяете
момент импульса и как mvr, и как /со.
1.	Сначала рассмотрим тело разме-
ров, привычных человеку. Обыкновен-
ное велосипедное колесо имеет массу
около 2 кг и радиус 30 см. В приближе-
нии, когда всю массу можно считать со-
средоточенной в ободе, катящееся со
скоростью 10 миль/ч (4,5 м/с) колесо
имеет спин (то есть момент импульса
относительно оси) mvr = 2 кг • (4,5 м/с) •
 0,30 м = 2,7 кг • м2/с.
2.	В боровской модели атома, пред-
ложенной Нильсом Бором в 1913 году
и до сих пор очень полезной, валентный
электрон в атоме движется по круговой
168
орбите вокруг центрального ядра. Мас-
са электрона — порядка 10“30 кг, радиус
атома (и поэтому радиус орбиты внеш-
него электрона) — порядка 10'10 м, ско-
рость электрона — порядка 106 м/с. (По-
зднее будет показано, как эти величины
можно вычислить или измерить.) Мо-
мент импульса электрона в такой мо-
дели
mvr=10'10 кг-(106 м/с)-1О-10 м =
= 10“34 кг-м2/с.
Столь малую величину трудно себе
представить. Сравните ее с моментом
импульса велосипедного колеса. Одна-
ко, как мы вскоре увидим, столь малый
момент импульса управляет поведением
атомов.
3.	Теперь вычислим момент импуль-
са чего-нибудь крупного. Наша Земля
вращается вокруг оси с частотой 1 обо-
рот в сутки. Если бы плотность Земли
была всюду одинакова (а она не одина-
кова), момент инерции был бы равен
I = (2/5) т3Я2 = 0,4т3К2.
В действительности момент инерции
равен 0,3444 • m$R2. (Плотность Земли
увеличивается к ее центру.) Момент
импульса
/со = [0,344 • 5,98  1024 кг •
(6,38-Ю6 м)2  2л/(24 ч)]-(1 ч/ЗбОО с) =
= 6,1 • 1033 кг-м2/с.
Эта величина почти во столько раз
больше единицы момента импульса, во
сколько раз момент импульса валентно-
го электрона меньше единицы. В дей-
ствительности, как мы увидим ниже,
момент импульса вращающейся Земли
много меньше других моментов им-
пульса в Солнечной системе.
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА
Для замкнутой системы, в которой
не действуют моменты внешних сил, из-
менение момента импульса Д(7ю) дол-
жно быть равно нулю.
Вопрос 8-2
Когда вы сидите на вращающемся
табурете, почему вам не удается от-
толкнуться от обода сиденья, чтобы
вызвать таким способом момент сил
и привести себя и сиденье во вра-
щение?
Момент импульса сохраняется. Это,
однако, не означает, что изолированное
вращающееся тело всегда имеет одну
и ту же угловую скорость. Ниже приво-
дятся четыре примера, иллюстрирую-
щие эту особенность вращательного
движения.
1.	Орбиты планет (и большинства
спутников Земли) в действительности не
круговые, а эллиптические. Эллиптич-
ность орбиты Земли в ее движении во-
круг Солнца так мала, что едва ли бу-
дет заметна на масштабном рисунке
размером со страницу. Отношение на-
ибольшего диаметра орбиты к наимень-
шему отличается от единицы лишь на
1,5-10“4. И тем не менее разница между
расстоянием до Солнца в афелии, когда
мы находимся дальше всего от Солнца,
и расстоянием в перигелии, когда мы
к нему ближе всего, составляет около
3%. Так получается потому, что фокус
эллипса, в котором находится Солнце,
смещен относительно центра примерно
169
на 1,5 % радиального расстояния. Что
происходит с моментом импульса в слу-
чае некруговой орбиты? Если радиус-
вектор не всегда перпендикулярен к ско-
рости, может быть, Солнце вызывает
действующий на Землю момент сил
и изменяет ее момент импульса?
Чтобы упростить задачу, примем,
что влияние других планет пренебрежи-
мо мало и что систему Солнце — Земля
можно рассматривать как изолирован-
ную систему двух тел. Солнце и
в самом деле действует на планету с не-
которой силой, но эта сила гравита-
ционного притяжения направлена вдоль
радиуса, соединяющего планету с Солн-
цем. Действующий на планету момент
этой силы относительно оси, проходя-
щей через Солнце, | М | = | г х F | =
= | г | | F | sin 0. Вспомните, что 0 — это
угол между радиус-вектором и векто-
ром силы. Момент силы максимален,
F
когда 0 = 90°; он равен нулю, когда
угол 0 равен 0° или 180°. Для любой ра-
диальной силы вектор F коллинеарен
вектору г, то есть совпадает с ним по
направлению или противоположен ему,
поэтому угол 0 равен 0° или 180° и мо-
мент силы равен нулю. Следовательно,
момент импульса изменяться не может.
Это справедливо для орбит, созда-
ваемых любой центральной силой.
В случае гравитационной силы, пропор-
циональной 1/г2, разрешенные орбиты
могут быть круговыми, эллиптически-
ми, параболическими или гиперболиче-
скими.
Как видно из рисунка, на котором
показан сильно вытянутый эллипс, мо-
мент импульса планеты не равен просто
mvr, где v — тангенциальная скорость
и г — расстояние от Солнца до планеты.
170
По определению момент импульса ра-
вен г х (mv), а это произведение радиуса
и компоненты тангенциального импуль-
са, которая перпендикулярна к радиусу.
Модуль момента импульса равен
т | v | | г | sin <р. Во всех точках орбиты V, г
и <р должны изменяться так, чтобы мо-
мент импульса оставался постоянным.
В афелии и перигелии скорость и ра-
диус-вектор перпендикулярны друг
к другу: ф = 90°. В этих случаях момент
импульса равен просто mvr. Поскольку
это произведение должно быть одним
и тем же в обеих точках, в афелии ско-
рость Земли должна быть на 3% мень-
ше, чем в перигелии.
Геометрическое следствие сохране-
ния момента импульса было открыто
Кеплером еще в 1609 г. Он не только
выяснил, что орбиты планет предста-
вляют собой эллипсы, но также нашел
из наблюдений, что радиус-вектор, про-
веденный из Солнца к планете, «оме-
тает» равные площади за равные време-
на. Вывод этого правила (который был
сделан только Ньютоном) показан на
рисунке. Как легко видеть, когда плане-
та далеко от Солнца, ее скорость мень-
ше, чем когда она находится близко
к нему. Этот эффект разителен в случае
комет. Эллиптичность их орбит обычно
очень велика. Большую часть своего пе-
риода комета движется медленно, нахо-
дясь на больших расстояниях от Солн-
ца. Когда она наконец приближается
к Солнцу, ее скорость становится все
больше и больше, обеспечивая таким
образом сохранение ее момента им-
пульса.
За время At радиус-вектор, проведенный от
Солнца к планете, «ометает» заштрихован-
ную площадь. Площадь треугольника
S = (1/2) rh = (At/2m) г mv sm <р = (At/2m) • уг-
ловой момент. Площадь, «ометаемая» радиус-
вектором за единицу времени S/At = (1 /2т).
Момент импульса = const
2.	Теперь мы должны объяснить, как
фигуристки могут так быстро кружить-
ся и что происходило, когда вы пыта-
лись кружиться на одной ноге, держа
в руках литровые банки с компотом или
книги. Вращение начиналось с вытя-
нутыми в стороны руками. Стоя на но-
ске, фигуристка не подвержена дей-
ствию сколь-нибудь заметного момента
15 см
80см
2кг
внешних сил, поэтому момент импульса
почти сохраняется. На рисунке показана
грубая модель этой ситуации. Туловище
заменено твердым цилиндром массы
60 кг, имеющим внешний радиус 15 см,
а руки с грузами — грузами общей
массы 4 кг, находящимися на расстоя-
нии 80 см от оси. Полный момент им-
пульса модели равен
[0,5 -60 кг • (0,15 м)2] со +
+ [4 кг • (0,80 м)2] со = О,68со + 2,6со.
Обратите внимание, что момент им-
пульса гораздо более легких рук почти
в четыре раза больше, чем момент им-
пульса туловища. Если начальная часто-
та составляет 1 оборот за каждые 2 с,
то со = 3,1 рад/с. Полный момент им-
пульса составляет (3,3 кг-м2)-(3,1
рад/с) = 10 кг-м2/с.
Затем фигуристка подтягивает руки
с грузами к туловищу. Момент импуль-
са остается прежним, но расстояние от
оси до рук с грузами значительно
уменьшилось:
10 кг • м2/с =
= О,68со + 4 кг • (0,15 м)2со =
= О,68со + О,О9со = (0,77 кг • м2) со;
со = 13 рад/с.
Угловая скорость возросла более чем
в 4 раза. Фигуристка теперь делает
больше двух оборотов в секунду.
Вопрос 8-3
Объясняет ли этот пример с враще-
нием фигуристки, каким образом
прыгун в воду может сделать сальто,
или как кошка может всегда призем-
литься на лапы? Где прыгун и
кошка могут получить исходный
момент импульса?
3.	Вращательное движение соста-
вляет одно из наиболее общих и пора-
зительных свойств Вселенной. Планеты,
их спутники, звезды вращаются вокруг
своих осей; спутники обращаются во-
круг планет, и планеты обращаются во-
круг Солнца; значительная часть звезд
представляет собой бинарные си-
стемы — вращающиеся двойные звезды
при самых разных размерах партнеров;
звезды и их спутники обращаются во-
круг центров своих галактик; многие га-
лактики входят в состав вращающихся
вихревых скоплений. Если обратиться
к более скромным масштабам, вам, на-
верное, приходилось видеть, как ветер
поднимает пыль или сухие листья и за-
кручивает их в воздухе, образуя миниа-
тюрные смерчи. Возможно, вы замечали
крошечные водовороты позади пловца
или в кильватере гребной лодки. Боль-
шая часть этих вихрей начинается с пря-
молинейного движения участков среды.
Какая причина заставляет все на свете
вращаться?
Выше мы привели пример, поясняю-
щий, почему пролетающее мимо неко-
торой оси тело действительно имеет
момент импульса относительно этой
оси. Если тело ударится в лопасть коле-
са, насаженного на эту ось, колесо на-
чнет вращаться. Если два потока возду-
ха или воды движутся рядом в противо-
положных направлениях, они обладают
моментом импульса по отношению
друг к другу. При достаточной вязкости
и относительной скорости на границе
двух потоков будут возникать вихри.
В космических масштабах, если бы
атомы были равномерно распределены
в пространстве и поначалу неподвижны,
все они стали бы падать к центру масс
по радиальным.прямым линиям. В кон-
це концов они собрались бы вместе
и образовали звезду, которая совсем не
обладала бы вращательным движением.
171
Однако начальные условия с равно-
мерным распределением исходного ве-
щества никогда не встречаются. В той
области галактики, где начинается обра-
зование звезды, атомы распределены
с переменной плотностью и различны-
ми начальными скоростями. Движение
атомов происходит не по радиусу к цен-
тру масс, и поэтому существует момент
импульса. По мере конденсации атомов
в звезду радиус системы сокращается от
расстояний порядка световых лет или
около того до конечных размеров
звезды порядка 109 м, уменьшаясь в 107
раз. Вы почувствовали, что происходит,
когда при вращении вы изменяете ра-
диальное распределение небольшой
доли вашей массы. Если у новой звезды
нет партнера или системы спутников,
чтобы поглотить момент импульса,
в большинстве случаев ей придется вра-
щаться вокруг оси столь быстро, что
она не будет устойчивой.
Посмотрим, где сосредоточен мо-
мент импульса нашей Солнечной си-
стемы. Мы уже подсчитали момент им-
пульса суточного вращения Земли.
Солнце тоже вращается вокруг оси, хотя
оно не является твердым телом и его
период вращения зависит от широты. Для
экваториальной области период соста-
2
вляет 24 — земных суток, а для широты
75° период обращения — около 33 суток.
Предположение о равномерной плот-
ности для Солнца обосновано еще хуже,
чем для Земли. Средняя плотность
Солнца составляет 1,4 • 103 кг/м3; плот-
ность в центре должна быть примерно
в 100 раз больше. Если принять, что для
такого тела момент инерции
I = Q,lmcR2,
то момент импульса Солнца состав-
ляет примерно
= [0,1 -2-IO3 кг.(7.10» М)2.
•2л/(25 сут)]-(1 сут/8,6-104 с) =
= 3  1041 кг • м2/с.
Огромная эта величина сама по себе
мало о чем говорит; просто сравните ее
с моментом импульса вращающейся Зе-
мли, который меньше в 5 • 107 раз. Но
эти величины все же во много раз мень-
ше орбитального момента импульса
планет.
Вопрос 8-4
С точностью до одной значащей
цифры подсчитайте орбитальный
момент импульса Земли и Юпитера.
т3 = 6 • 1024 кг, тю = 1,9 • 1027 кг, ра-
диус орбиты Земли К3 = 1,5-1011 м,
радиус орбиты Юпитера Кю =
= 7,8-1011 м, период обращения
Юпитера =11,9 земных лет, 1 зем-
ной год = 3 • 107 с.
Как вы видите, Юпитер из-за орбиталь-
ного движения обладает гораздо боль-
шим моментом импульса, чем само вра-
щающееся вокруг оси Солнце. Массы
и радиусы орбит других планет приве-
дены в таблице. Возможно ли, что ка-
кая-нибудь другая планета, например
Планета	Расстояние до Солнца, 106 км	Масса, 1024 КГ	Период, сут
Меркурий	57,9	о,3	88
Венера	108,1	4,9	225
Земля	149,5	6,0	365
Марс	227,8	0,6	687
Юпитер	777,8	1900	4333
Сатурн	1426	569	10760
Уран	2868	87	30690
Нептун	4494	103	60190
Плутон	5908	5,4	90740
Нептун с его большим радиусом ор-
биты, имеет больший момент импульса,
чем даже Юпитер?
172
Вопрос 8-5
Существует простой способ, позво-
ляющий сравнить моменты импуль-
са планет без детальных расчетов.
В соответствии с одним из законов
Кеплера, выведенных в главе 6, соот-
ношение между периодом обраще-
ния и радиусом орбиты в планетной
системе имеет вид Т2 = Кг3. Ис-
пользуйте это соотношение и данные
из приведенной таблицы для сравне-
ния моментов импульса Нептуна
и Юпитера.
Если смотреть с Северного полюса,
все планеты обращаются вокруг Солнца
против часовой стрелки. Все их орбиты
лежат приблизительно в одной плоско-
сти, и орбиты большинства спутников
планет также лежат в этой плоскости.
Сильнее всего из этого ряда выбивается
орбита Плутона, наклоненная под
углом 17° к плоскости, проходящей че-
рез экватор Солнца, и орбита Мерку-
рия, наклоненная под углом 7°. Оси
большинства (но не всех) планет перпен-
дикулярны к плоскости орбиты, и почти
все они вращаются вокруг оси против
часовой стрелки. Поэтому большинство
моментов импульса складываются ариф-
метически. По-видимому, эта сумма
равна моменту импульса исходного
облака атомов, которое сконденсирова-
лось и образовало Солнечную систему.
Планеты и их орбиты на этом рисунке изоб-
ражены без соблюдения масштаба. Сравните
ei о с масштабной картой Солнечной системы,
изготовленной вами в «Знакомстве с явле-
ниями» в главе 1. (Если выбрать масштаб
так, что
ТЮпигера ~ 5 СМ, ТО /‘Марса = L46, /‘Земан = 0,96,
/"Венеры ~ 0,69 СМ, /'Меркурия “ 0,37 СМ.)
Моменты импульса спутника, обус-
ловленные вращением вокруг оси и ор-
битальным движением, могут оказаться
связанными с центральным телом бла-
годаря приливным силам. Приливные
движения (как в твердой коре, так и
в покрывающих поверхность Земли мо-
рях и океанах) поглощают энергию вра-
щающегося тела, замедляя его враще-
ние вокруг оси. Расстояние между спут-
ником и центральным телом возрастает,
так как полный момент импульса дол-
жен сохраняться, что ведет к увеличе-
нию орбитального момента импульса.
По-видимому, именно это произошло
в далекие времена с нашей Луной, ибо
теперь период ее вращения вокруг оси
равен периоду обращения вокруг Земли.
Эти движения так «сцеплены» друг
с другом, что Луна всегда обращена
к нам одной стороной. Суточное враще-
ние Земли продолжает замедляться из-
за приливного трения. Сутки удлиняют-
ся на 0,0016 секунды в столетие,
и расстояние до Луны продолжает воз-
растать, чтобы обеспечивалось сохране-
ние момента импульса.
4.	Лучшее доказательство сохране-
ния импульса давали столкновенйя двух
тел. Нельзя ли найти эквивалентную
форму столкновения вращающихся тел?
Если у Вас найдутся две старые поцара-
панные грампластинки, вы сможете
без труда устроить такое столкновение.
Возьмите нитку или шнурок длиной не
меньше метра и привяжите к одному
концу большую канцелярскую скрепку.
Проденьте другой конец шнурка через
центральные отверстия в пластинках
и подвесьте все это устройство. К ободу
нижнего диска приклейте небольшую
бумажку, чтобы облегчить измерение
периода его вращения. Скорей всего дис-
ки будут висеть в наклонном положе-
нии, а не горизонтально. Попросите ко-
го-нибудь приподнять верхний диск
и тем временем приведите нижний диск
во вращение в горизонтальной плоско-
сти. Вы сразу же увидите один из эф-
фектов, обусловленных сохранением мо-
мента импульса. Вращающийся диск
будет оставаться в той плоскости, в ко-
торой вы его раскрутили. У вас полу-
чился гироскоп. (Если на шнурке подве-
шен только один диск, можно заставить
173
всю систему раскачиваться как маятник.
Вращающийся диск будет при этом
оставаться в одной плоскости, что про-
изводит сильное впечатление.)
Измерьте время, в течение которого
нижний диск совершает определенное
число оборотов, используя часы или
просто равномерно считая. Затем по-
просите вашего помощника уронить
верхний диск на нижний с небольшой
высоты. Сначала будет происходить
проскальзывание с трением звуковых
дорожек, но затем диски будут вра-
щаться вместе. Сразу же измерьте пе-
риод вращения двух соединившихся ди-
сков. Независимо от того, что теряется
во время столкновения (как мы увидим
в следующей главе, теряется энергия),
момент импульса должен сохраняться.
Поскольку диски имеют одинаковые
моменты инерции, между начальным
и конечным периодами обращения дол-
жно быть определенное соотношение.
I Вопрос 8-6
Каким будет это соотношение?
Если диски совершат много оборо-
тов в одном направлении, они так силь-
но закрутят шнурок, что возвращающий
момент сил со стороны шнурка поме-
шает вашим наблюдениям. Чтобы из-
бежать этого, используйте длинный
шнурок и каждый раз изменяйте направ-
ление вращения на противоположное.
НАПРАВЛЕННЫЙ ХАРАКТЕР
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Когда в главе 6 мы ввели по опреде-
лению направление угловой скорости,
это было вызвано скорее соображения-
ми удобства, а не необходимостью.
В конце концов для большинства целей
можно достаточно хорошо описывать
вращение, называя его происходящим
по часовой стрелке или против часовой
стрелки, если смотреть с определенной
стороны. Теперь мы убедимся в практи-
ческой пользе соглашения приписывать
направление вращающему моменту сил,
угловой скорости и моменту импульса
вдоль соответствующей оси вращения.
Не прибегая к такому описанию, трудно
объяснить поведение обыкновенных
волчков.
Вы можете сделать поразительный
образец волчка (или гироскопа) с по-
мощью велосипедного колеса. Если вам
удастся снять переднее колесо, подвесь-
те один конец оси на шнурке, как пока-
зано на фотографии. Отпустите другой
конец оси, чтобы колесо поддержива-
лось только шнурком. Сразу же по-
является неуравновешенный момент
сил, опрокидывающий колесо. На коле-
со действует сила тяжести, приложенная
к его центру и направленная вертикаль-
но вниз.
Плечо этой силы равно расстоя-
нию от центра колеса до точки закреп-
ления шнурка.
174
Вопрос 8-7
Как направлен момент этой силы,
и что происходит с колесом?
Теперь проделайте то же самое, но
на этот раз попросите кого-нибудь рас-
крутить колесо, прежде чем вы его от-
пустите. По-прежнему на него будет
действовать тот же самый неуравнове-
шенный момент силы тяжести, но коле-
со не опрокинется и не упадет. Оно
останется вертикальным, а его ось бу-
дет медленно поворачиваться в гори-
зонтальной плоскости вокруг шнурка.
Почему колесо не опрокидывается, и от-
куда берется момент импульса, свя-
занный с движением его центра по го-
Для качественного объяснения рас-
смотрим, что происходит с верхней точ-
кой Р колеса. Если смотреть сверху, эта
часть колеса опрокидывается вправо.
Следовательно, действующая на точку
Р сила направлена вправо. Однако точ-
ка Р при этом быстро движется вперед
(когда мы смотрим вниз на колесо).
Опрокидывающее усилие сообщает точ-
ке Р небольшой импульс, направленный
вправо, который складывается векторно
с основным импульсом этой точки, на-
правленным вперед. Результирующий
импульс имеет такое направление, кото-
рое соответствует повороту всего коле-
са направо. Вместо того чтобы опроки-
нуться, колесо и плоскость его враще-
ния поворачиваются направо. (Попы-
тайтесь провести такой же анализ для
нижней точки колеса, а также для случая,
когда колесо вращается в противопо-
ложном направлении.)
На рисунке стрелками, направленны-
ми вдоль соответствующих осей, пока-
заны силы и моменты импульса. На-
ибольшим моментом импульса в этой
системе обладает вращающееся колесо,
и он направлен вдоль горизонтальной
оси. Момент силы тяжести также лежит
в горизонтальной плоскости, но он пер-
пендикулярен к оси колеса. За каждый
интервал времени At момент силы вы-
зывает изменение момента импульса:
MAt = A (Io). Это приращение момента
импульса направлено перпендикулярно
к основному моменту импульса колеса и
поэтому не изменяет его модуля. Но
момент силы изменяет направление мо-
мента импульса колеса. Ось колеса по-
ворачивается в горизонтальной плоско-
сти, и этот поворот продолжается все
время, пока действует момент силы
тяжести. Такой тип движения называется
прецессией.
Найдем угловую скорость прецессии
велосипедного колеса. Чтобы не спутать
ее с угловой скоростью вращения коле-
са вокруг оси, обозначим момент им-
пульса колеса через J. Примем, что мо-
дуль вектора J остается неизменным
в течение опыта, то есть пренебрежем
трением в подшипнике и сопротивле-
нием воздуха. Тогда, как видно из ри-
сунка, малое изменение угла прецессии
А (7<в)	MAt	mglAt
Аф =-------=------=-------.
J	J J
Угловая частота прецессии равна
Аф mgl
I Вопрос 8-8
В первом приближении момент им-
пульса вращающегося колеса равен
тг2а. В этом приближении предпо-
лагается, что вся масса т (2 кг) со-
средоточена на периферии колеса на
расстоянии г (30 см). Примите какое-
нибудь разумное значение для со
и для расстояния вдоль оси от цен-
тра до точки подвеса и подсчитайте
частоту прецессии. Насколько хоро-
175
шо этот результат согласуется с ва-
шими собственными наблюдениями
над велосипедным колесом?
Явление прецессии в действитель-
ности сложнее, чем это может пока-
заться из приведенного выше про-
стого объяснения. Обратите внима-
ние на то, что у колеса есть также
момент импульса в вертикальном на-
правлении, потому что оно прецесси-
рует вокруг вертикальной оси. Отку-
да взялась эта компонента момента
импульса? Качественный ответ вы по-
лучите, если заметите, что даже тогда,
когда ось колеса начинает движение
из горизонтальной плоскости, она
опускается ниже этой плоскости при
движении по кругу. Следовательно,
направленный вдоль оси колеса мо-
мент импульса имеет вертикальную
составляющую.
Вращающиеся тела под действи-
ем внешних моментов сил поворачи-
ваются в направлениях, перпендику-
лярных к тем, что мы по наивности
ожидаем. С другой стороны, опытный
велосипедист пользуется этими эффек-
тами почти интуитивно. Если вы едете
Вид копеса сверху. Колесо поворачивав1ся
вправо («). Опрокидывающая сила, обуслов-
ленная наклоном вправо, создает горизон-
тальный вращающий момент, направленный
вперед (б)
176
не держась руками за руль и хотите
повернуть направо, вы наклоняетесь
в прайую сторону. При этом действую-
щий на переднее колесо момент сил,
вместо того чтобы опрокинуть коле-
со вправо, поворачивает его в правую
сторону. Такой гироскопический эф-
фект нужно принимать во внимание
при полете на одномоторном само-
лете. При попытке резко набрать вы-
соту возникающий горизонтальный мо-
мент сил, действуя на пропеллер,
отклонит самолет вбок, в сторону от
курса.
Не так давно в одной популяр-
ной в США песенке заблаговремен-
но предвещалось наступление «века
Водолея». Водолей — это одно из две-
надцати зодиакальных созвездий, че-
рез которые проходит эклиптика, то
есть путь Солнца на небесной сфе-
ре. Каждые 24 часа Солнце, Луна
и звезды совершают видимый обо-
рот вокруг Земли, двигаясь с востока
на запад. Однако из-за годичного
движения Земли вокруг Солнца его
видимое движение по отношению к
звездам происходит на восток, при-
мерно на 1° в сутки. В течение года
Солнце в движении по эклиптике
проходит через каждое из двенад-
цати созвездий. Астрологический «век»
зависит от того, в каком созвездии
находится Солнце в начале весны
(в момент весеннего равнодействия).
Это положение медленно изменяет-
ся от года к году. Через несколько
сот лет каждую весну Солнце будет
входить в область созвездия Во-
долея.
Причина, по которой положение
Солнца в определенный день года
изменяется с течением времени, обус-
ловлена прецессией оси вращения
Земли. Наклон оси остается преж-
ним, но ее направление медленно
изменяется. В нашу эпоху с наступле-
нием весны мы всегда находимся
с определенной стороны от Солнца
(по отношению к звездам). Со време-
нем весна будет наступать, когда
Земля будет находиться с противопо-
ложной стороны от Солнца. Земная
ось в наши дни направлена к Поляр-
ной звезде, но она не «смотрела»
Прецессирующая ;емпая ось описывав! на
небесной сфере окружное, ь радиуса 23 ' °
в этом направлении, когда строились
пирамиды. Период прецессии со-
ставляет около 26 000 лет — примерно
2200 лет на одно зодиакальное со-
звездие.
Чтобы возникла прецессия, нужен
момент сил. В случае игрушечного
вращающегося волчка момент сил
возникает благодаря силе тяжести,
действующей на плечо, обусловлен-
ное наклонным положением волчка.
В случае Земли момент сил должен
возникать из-за притяжения Солн-
цем, которое стремится определен-
ным образом развернуть Землю.
Если бы Земля была истинно сфери-
ческой, то не было бы никакого пле-
ча и никакого момента сил. Однако
Земля не вполне сферическая. Вдоль
ее экватора существует небольшое
вздутие, которое, без сомнения, вы-
звано центробежной силой при обра-
зовании вращающейся Земли. Эквато-
риальный радиус составляет 6378,2 км,
а полярный — 6356,7 км. Этого не-
большого различия в 21,5 км доста-
точно, чтобы обеспечить пояс, кото-
рый Солнце стремится развернуть.
На обращенную к Солнцу часть взду-
тия действует большая сила, чем на
противоположную сторону. Результи-
рующий момент сил, вместо того чтобы
выпрямить наклон Земли, застав-
ляет вращающуюся Землю прецес-
сировать.
КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА
Насколько мы знаем, длина пред-
мета может быть сколь угодно боль-
шой или сколь угодно малой. Не-
известно, существует ли какая-то ми-
нимальная протяженность, даже в
мире субатомных частиц. То же са-
мое справедливо для массы и для
времени. Не существует основных
единиц т и t таких, чтобы какая-то
другая масса или время равнялись
бы в точности 1083m или It. Как мы
увидим, измеряемые значения длины,
массы и времени зависят от скоро-
сти наблюдателя по отношению к
объекту измерения. Даже сам эта-
лон килограмма будет иметь боль-
шую массу, если он пролетает мимо
нас, и мы можем изменить его массу
на любую бесконечно малую величи-
ну, слегка изменив скорость. Следо-
вательно, длина, масса и время не
могут быть целыми кратными неко-
торой малой основной единицы; они
не квантованы.
В противоположность этому момент
импульса системы квантуется. Основ-
ная, элементарная единица момента
импульса называется постоянной План-
ка. Когда частота выражена в циклах
или оборотах в секунду, постоянная
Планка
h = 6,626 • 10“34 кг • м2/с.
В таком виде постоянная Планка бу-
дет использована при рассмотрении
энергии фотонов. Однако сейчас мы
выражали угловую скорость в радиа-
нах в секунду. При использовании та-
ких единиц постоянную Планка обо-
177
значают ft:
ft = 1,054 • 10 34 кг • м2/с.
Это очень малое значение момен-
та импульса. Мы получили величину
такого порядка при подсчете орби-
тального момента импульса валент-
ного электрона в атоме. Расчет по
порядку величины, приведенный на
с. 169, дал значение 110~34 кг-м2/с.
Он был основан на очень грубой и
весьма старомодной по сегодняш-
ним представлениям модели атома.
Удивительно, что эта модель, пред-
ставляющая электрон движущимся по
планетоподобным орбитам, так хоро-
шо работает. Во многих случаях суб-
атомные частицы ведут себя так, будто
они представляют собой крошечные
копии крупномасштабных объектов, с
которыми мы привыкли иметь дело.
Однако во многих других случаях
механические модели уже не работа-
ют, и для описания таких частиц при-
ходится использовать более экзоти-
ческие представления.
Чтобы проиллюстрировать, как
механическая модель для субатом-
ных частиц в одних случаях рабо-
тает, а в других — нет, рассмотрим
аналогию между электронами в ато-
мах и планетами на орбитах. Пла-
неты не только движутся по орби-
там, многие из них вращаются во-
круг осей. Оказывается, что многие
субатомные частицы тоже ведут себя
так, как если бы они вращались во-
круг собственных осей. Однако их
спиновый момент импульса может
принимать только значения 0, или
(1/2) й, или 1 Л, или (3/2) Л, или 2 Л и
т. д. Здесь, кажется, сразу появляется
противоречие! Как может частица
иметь половину основной единицы?
Может быть основная единица равна
(1/2) hl В действительности правило
квантования таково, что момент им-
пульса выражается либо целым, ли-
бо полуцелым числом Л, но его изме-
нение может быть только целым крат-
ным й.
Момент импульса частицы или
системы частиц должен иметь опре-
деленное направление, которое обыч-
но определяется направлением элек-
Фотпн
спин-1Ъ
трического или магнитного полей.
Например, спин электрона может
быть направлен вдоль магнитного
поля, а затем внезапно изменить на-
правление на противоположное. В
любом случае модуль момента им-
пульса электрона остается равным
(1/2) й, но изменение момента им-
пульса равно целой единице й — от
(+1/2)й («вверх») до (—1/2)й
(«вниз»).
Мы знаем, что электрон или атом
не могут просто так изменить свой
момент импульса без того, чтобы
при этом ничего больше не про-
изошло. Какая-нибудь другая части-
ца должна получить момент импуль-
са отдачи. Момент импульса должен
сохраняться. Когда атомная система
изменяет свой момент импульса, от-
дачу часто уносит фотон — частица,
осуществляющая электромагнитное
взаимодействие. Обычный видимый
свет состоит из фотонов. Они пере-
носят не только импульс, но и мо-
мент импульса. Оба эффекта были
продемонстрированы прямыми меха-
ническими экспериментами. Когда ин-
тенсивный свет отражается от крошеч-
ного крылышка, подвешенного в со-
суде с высоким вакуумом, крылышко
испытывает отдачу, демонстрируя та-
ким образом, что свет переносит им-
пульс.
В искусном эксперименте, постав-
ленном в 1935 г., Ричард Бет вызвал
вращение диска освещением его по-
ляризованным светом, падающим вдоль
оси диска. (Свет имел круговую поля-
ризацию, а это значит, что фотоны
были отсортированы так, что направ-
ление момента импульса у всех них
было одинаковым. В обычном непо-
178
ляризованном свете момент им-
пульса фотона с вероятностью 50 %
направлен вдоль луча и с вероятно-
стью 50 % имеет противоположное
направление.)
Вопрос 8-9
Если момент импульса любого вра-
щающегося тела должен равняться
nh, где h — постоянная Планка,
ап — целое число, каким примерно
будет значение п для колеса велоси-
педа, движущегося со скоростью 4,5
м/с? Масса колеса т = 2 кг и радиус
г = 30 см.
Очевидно, что квантование момента
импульса никак не сказывается на дви-
жении макроскопических тел, с которы-
ми мы имеем дело в повседневной жиз-
ни. Если бы постоянная Планка возрос-
ла в 1034 раз, велосипедное колесо вело
бы себя очень странно. Оно могло бы
вращаться только с определенной ско-
ростью, или со скоростью, которая
больше в 2 раза, в 3 раза и т. д., а его
ось могла бы изменять направление
только скачком и только определенны-
ми порциями.
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ
Радиус инерции. Векторная сумма
всех сил, действующих на систему, сооб-
щает ускорение центру масс системы,
как если бы там была сосредоточена вся
масса системы и приложена результи-
рующая сила. Однако, как мы видели
раньше, может возникнуть также враще-
ние системы, а его нельзя описать, счи-
тая всю массу сосредоточенной в центре
масс. Например, центр масс колеса, вра-
щающегося вокруг оси, находится точно
в центре колеса. Если вы бросите коле-
со, его центр масс будет двигаться по
параболической траектории, как бы оно
ни кувыркалось. Но чтобы описать вра-
щение вокруг оси, нужно учитывать, что
масса колеса распределена на неко-
торых расстояниях от оси.
В некоторых случаях вращающемуся
телу удобно приписывать определенный
радиус, на котором можно сосредото-
чить всю массу тела так, чтобы это не
повлияло на его момент импульса.
Это расстояние называется радиусом
инерции j.
Момент импульса любого вращаю-
щегося тела дается выражением /со, где
I — момент инерции. Когда части тела
находятся на разных расстояниях от
оси, I = Как мы видели в гла-
ве 6, момент инерции произвольного те-
ла может быть записан как I = Ктг2.
Здесь т — полная масса тела, г — внеш-
ний радиус, а К — константа, зависящая
от геометрического распределения массы
тела, имеющего определенную форму.
Мы можем получить такой же момент
инерции, вращая материальную точку
или обруч массы т, находящийся на
расстоянии j от оси. Чтобы найти это
расстояние, или радиус инерции, при-
равняем моменты инерции этих двух
систем:
Ктг2 = mj2.
Очевидно, что j = ]/Кг.
Вопрос 8-10
Чему равен радиус инерции твер-
дого диска радиуса 10 см, вращаю-
щегося вокруг своей оси?
Параллельные оси вращения. В гла-
ве 6 приведена таблица моментов
инерции некоторых распространенных
тел. Обратите внимание, что есть разли-
чие между моментом инерции колеса
относительно своей оси и моментом
инерции при его вращении вокруг мгно-
венной оси, проходящей через точку ка-
сания обода с землей. Последний мо-
мент инерции, конечно, больше, потому
что часть массы колеса находится го-
раздо дальше от оси, чем в первом слу-
чае. Как правило, легко рассчитать мо-
мент инерции относительно оси, про-
ходящей через центр масс симметрично-
го тела, и труднее выполнить такой
179
расчет для любой другой оси. Суще-
ствует простая формула для нахожде-
ния момента инерции относительно оси,
параллельной оси, проходящей через
центр масс на расстоянии / от нее:
I = Л.м + ml2-
 Дополнительный материал
Приведем доказательство теоремы о па-
раллельных осях. Момент инерции тела, по-
казанного на рисунке,
/=£т.,2 = £т.(А;2 + у2).
Координаты Xi и Yt i-ro элемента можно
связать с координатами центра масс:
= Хц м + Xj, Yi = Уц м + ур
Подставим эти значения в выражение для I:
7 = £mf(x? + y?) + £wi(A'2M + Уци) +
+ 2ХЦ. м т(хг + 2 Уц м miyl.
Каждый из последних двух членов здесь ра-
вен нулю, потому что сумма трс, для эле-
ментов тела, лежащих справа от центра
масс, взаимно уничтожается с суммой
слева от центра масс. Такой же довод спра-
ведлив и для у-компонент. Во втором члене
этого уравнения (Уц м + yj м) представляет
собой квадрат расстояния от осн, проходя-
щей через центр масс, до параллельной ей
оси, вокруг которой происходит вращение.
Обозначим это расстояние через I. Первый
член уравнения равен моменту инерции от-
носительно оси, проходящей через центр
масс. Поэтому момент инерции тела относи-
тельно некоторой оси, смещенной из центра
масс на расстояние I, равен
I = /ц М + ml2.
Вопрос 8-11
Чему равен момент инерции велосипед-
ного колеса относительно точки его со-
прикосновения с дорогой? Примите, что
вся его масса распределена по окружно-
сти на расстоянии г от центра.
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Простой, или математический, маят-
ник, с которым мы до сих пор име-
ли дело, в идеале состоит из грузика,
всю массу которого можно считать
сосредоточенной в одной точке, ка-
чающегося на невесомой нити. Лю-
бое твердое тело, подвешенное в не-
которой точке, лежащей выше его
центра масс, также будет раскачи-
ваться подобно маятнику. Однако со-
отношение между его длиной и перио-
дом колебаний будет иным, нежели
у простого маятника.
Простой (а) и сложный (б) маятники
Момент инерции твердого качаю-
щегося тела, называемого «физиче-
ским маятником», останется преж-
ним, если всю его массу сосредото-
чить на расстоянии, равном радиусу
инерции. Может быть, его период
будет таким, как период простого
маятника, длина которого равна это-
му радиусу инерции? Однако это не
так просто. Дело в том, что помеще-
ние всей массы на расстоянии, рав-
ном радиусу инерции, дает правиль-
ное значение момента инерции, но
возвращающий момент сил обеспечи-
вается силой тяжести, приложенной
в центре масс, а он находится на
ином расстоянии от оси. Приведем
надлежащий анализ:
М = 7а, (mg sin 0) р = I (а/р).
180
Здесь мы подставили составляющую
силы тяжести, действующую перпен-
дикулярно к линии, соединяющей ось
вращения и центр масс. Она равна
mg sin 0. Расстояние от оси до центра
масс равно р Ускорение а центра
масс вдоль дуги равно ар Расстоя-
ние вдоль дуги от положения равно-
весия обозначим через 5. Вспомним,
что для малых углов sin 0 « 0 = s/p.
Тогда уравнение движения маятника
принимает вид
mgs = I (а/р) -> а = mgsp/I.
Возвращающая сила, определяющая
движение центра масс, F = та =
= — (m2gp/I)s. Знак « —» указывает, что
возвращающая сила по знаку проти-
воположна s, то есть смещению вдоль
дуги
Мы пришли к условию, при кото-
ром происходит простое гармониче-
ское движение. Возвращающая сила
пропорциональна смещению, взято-
му с противоположным знаком. Для
F = та = —кх
период колебаний
Т= 2л
т
к '
Поэтому период колебаний физиче-
ского маятника равен
2л
/—=2к]/=^=2к
/ к у т2др/1
Напомним, что период простого
маятника T=2it|/L/g. Чтобы простой
маятник имел такой же период, что
и рассматриваемый физический маят-
ник, длина простого маятника L должна
быть равна 1/тр.
Вопрос 8-12
Дает ли эта формула правильное вы-
ражение для длины физического
маятника, который почти не отли-
чается от простого маятника?
Выражение для момента инерции
I через радиус инерции j имеет вид I =
= mj2. Поэтому длина простого маятни-
ка, имеющего такую же частоту, L=
= mj2/тр = j2/р. Очевидно, что длина
эквивалентного простого маятника не
совпадает с радиусом инерции.
Вопрос 8-13
Чему равен период колебаний ме-
трового стержня, подвешенного за
один конец? Чему равна длина про-
стого маятника с таким же перио-
дом?
РАДИУС СОУДАРЕНИЯ
Существует хорошо известный тип
соударения, в который вовлечены мо-
мент импульса одного тела и импульс
другого: это удар биты по мячу в кри-
кете. Самое малое, что мы можем сде-
лать в курсе физики — это объяснить
динамику этой популярной в США
игры. Каждый школьник знает, что на
бите есть ромбическая метка примерно
на 4/5 расстояния от ручки до конца.
Если удар по мячу производится этой
точкой биты (с противоположной сто-
роны), руки не почувствуют удара или
отдачи. Как изготовитель биты опреде-
ляет место, где нужно поставить эту
метку?
Прежде чем читать разбор этой за-
дачи, познакомьтесь с рассматри-
ваемым явлением следующим простым
способом. Возьмите линейку, а еще луч-
ше метровую рейку, и положите ее
плашмя на стол или другую гладкую
поверхность. Поставьте палец или ка-
кую-нибудь отметку рядом с одним
концом и ударьте рейку щелчком вбли-
181
4
зи другого конца. Обратите внимание,
что происходит с концом рейки, находя-
щимся вблизи отметки. Теперь снова
выровняйте рейку и щелкните по ней не-
далеко от конца, находящегося рядом
с отметкой. Этот конец снова сдвинется,
но в противоположном направлении.
Ясно, что где-то на рейке должна быть
точка, после щелчка по которой отме-
ченный конец рейки не сдвигается. По-
старайтесь найти эту точку. Находится
ли она посередине? Или на расстоянии
двух третей длины рейки? Или на рас-
стоянии трех четвертей? Обратите вни-
мание на то, что удар именно по этой
точке рейки заставляет ее поворачивать-
ся вокруг конца как вокруг оси, но не
приводит этот конец в движение ни впе-
ред, ни назад. Если бы рейка была би-
той, а вы держали бы биту за самый ко-
нец, ваши руки не почувствовали бы
боли. Теперь рассчитаем положение
этой точки. Расстояние от оси до этой
точки называется радиусом соударения.
Предположим, что на неподвижную
биту действует единственная сила, обус-
ловленная ударом мяча по ней. Иначе
говоря, мы предполагаем, что руки сво-
бодно держат биту, и требуем выполне-
ния условия, при котором руки не дол-
жны прилагать какую-то силу во время
удара. Пусть мяч движется перпендику-
лярно к бите и ударяется об нее на рас-
стоянии х от находящейся в руках точки
вращения. Действующая на биту сила
F = A (mv)/At. Изменение импульса мяча
равно A (mv). Эта сила сообщает бите
вращающий момент относительно точ-
ки опоры: М = х х F = 1со, где I — мо-
мент инерции биты относительно точки
опоры.
Действующая со стороны мяча сила
приведет также в движение центр масс
биты. Если руки не прилагаю'т никакой
силы, центр масс должен приобрести
ускорение в направлении действующей
со стороны мяча силы. Это направление
перпендикулярно к бите. Так может
быть только тогда (если центр враще-
ния неподвижен), когда центр масс на-
чинает двигаться по дуге вокруг центра
вращения, поскольку в данный момент
это направление перпендикулярно к би-
те. Уравнение движения центра масс
имеет вид F = та — тар, где т — масса
биты. Угловое ускорение биты равно а,
а расстояние от центра вращения до
центра масс равно р. Теперь прирав-
няем выражения для силы из уравнения
моментов и уравнения движения центра
масс:
тар = /а/х.
Искомое расстояние х, которое по-
зволяет бите поворачиваться вокруг на-
ходящейся в руках точки так, чтобы ру-
ки не испытывали никакой реакции,
равно х — 1/тр. Можно еще преобразо-
На рисунке х — радиус соударения, j —
радиус инерции, р — расстояние до центра
масс
182
вать это выражение, записав выражение
для момента инерции через радиус
инерции: I = mj2. Тогда
х = mj2/mp = j2/p.
Это замечательный результат! Ра-
диус соударения тела равен длине про-
стого маятника с тем же периодом.
Чтобы найти радиус соударения биты
(или любого другого твердого тела),
дайте ей возможность качаться, подве-
сив в центре вращения, и измерьте пе-
риод колебаний. (В случае биты или
клюшки для гольфа центр вращения
находится посередине между двумя дер-
жащими ее кистями рук.) Затем найдите
(или рассчитайте) длину простого маят-
ника с тем же периодом. Эта длина
равна j2/p, что совпадает с радиусом
соударения.
Вопрос 8-14
Вы нашли центр соударения для ли-
нейки или метровой рейки, ударяя по
ней в разных точках. Теперь рассчи-
тайте радиус соударения и сравните
полученные результаты. Сравните
также ваши ответы с результатами
эксперимента и расчета из вопроса
8-13.
РЕЗЮМЕ
Момент импульса частицы относи-
тельно некоторой точки равен г х ту,
где г — радиус-вектор, проведенный из
этой точки к частице, обладающей им-
пульсом mv. Векторное произведение г
и mv направлено вдоль оси, перпен-
дикулярной к г и ту. Модуль момента
импульса равен |r||mv\sincp, где ф —
угол между г и ту.
Момент импульса тела, обуслов-
ленный его вращением вокруг соб-
ственной оси, обычно называют спи-
ном. Момент импульса частицы на
замкнутой орбите обычно называют ор-
битальным моментом импульса.
В переменных, характеризующих
вращение, момент импульса тела отно-
сительно оси равен 1а, где I — момент
инерции относительно этой оси, а со —
угловая скорость в радианах в секунду.
Моменты импульса систем атомных
размеров имеют порядок величины
10“34 кг-м2/с. Момент импульса вело-
сипедного колеса в обычном движении
составляет величину порядка 1 кг-м2/с.
Орбитальный момент импульса пла-
нет — порядка 1О40 кг-м2/с.
Для вращающейся системы второй
закон Ньютона принимает вид М =
= A (/со)/At. Приложенный к системе
вращающий момент сил равен скорости
изменения ее момента импульса. При
отсутствии внешнего момента сил мо-
мент импульса системы остается по-
стоянным.
Постоянный момент импульса еще
не означает постоянства угловой скоро-
сти. Если происходит изменение геоме-
трического распределения масс по отно-
шению к оси вращения, изменяется
момент инерции тела и, следовательно,
изменяется его угловая скорость. На-
пример, планеты или кометы на эллип-
тических орбитах движутся быстрее,
когда они находятся ближе к Солнцу.
Подобным же образом фигурист кру-
жится быстрее, когда он притягивает
вытянутые в стороны руки вплотную
к телу. Собирающаяся при образовании
новой звезды галактическая пыль обла-
дает обычно столь большим моментом
импульса, что для его размещения обра-
зуется планетная система или двойная
звезда.
Момент импульса направлен вдоль
оси вращения*) в направлении, опреде-
ляемом правилом правой руки. Если
приложенный к вращающейся системе
момент сил направлен так, что вызы-
вает изменение момента импульса в на-
*) Направление момента импульса мо-
жет, вообще говоря, не совпадать с напра-
влением оси вращения, то есть с направле-
нием вектора угловой скорости. Такое совпа-
дение имеет место при вращении вокруг так
называемых главных осей инерции тела. Для
тела с симметричным распределением масс
эти оси совпадают с осями симметрии. (При-
меч. ред.)
183
правлении, перпендикулярном к перво-
начальному моменту импульса, то вра-
щающаяся система будет прецессиро-
вать. Частота прецессии равна Acp/At =
= М/J, где М — приложенный момент
сил, a J — момент импульса вращаю-
щейся системы. Отклонение вращающе-
гося колеса или волчка при действии на
него момента силы тяжести происходит
в направлении, перпендикулярном к
ожидаемому на первый взгляд. Такие
эффекты называют гироскопическими.
Момент импульса вращающейся си-
стемы квантуется; другими словами,
момент импульса должен быть целым
(или полуцелым) кратным основной
единицы. Эта основная единица имеет
порядок величины момента импульса,
которым обладают и обмениваются суб-
атомные частицы. Она совпадает с по-
стоянной Планка, которая равна h =
= 1,05-10“34 кг-м2/с, когда угловая
скорость выражается в радианах в се-
кунду. Квантование момента импульса
играет доминирующую роль в атомных
и субатомных процессах, но этот эффект
полностью пренебрежим в области ма-
кроскопических масштабов.
На вращающемся теле есть несколь-
ко определенных точек, которые можно
Эти расстояния ха-
рактеризуют одно-
родный метровый
стержень, раскачи-
вающийся вокруг
оси, находящейся у
одного из ei о кон-
цов
использовать для характеристики его
движения или для упрощения вычисле-
ний, касающихся движения. Центр масс
был определен в предыдущей главе как
точка, в которой можно сосредоточить
всю массу тела, и тогда импульс такой
точки будет вести себя так, как если бы
все действующие на тело силы были
приложены в этой точке. Расстояние от
оси вращения до центра масс тела было
обозначено через р. Была также введена
точка на вращающемся теле, в которой
можно сконцентрировать всю массу те-
ла так, чтобы момент инерции остался
прежним. Расстояние от оси вращения
до этой точки называется радиусом
инерции j. Если момент инерции тела
относительно оси равен KmR2, то j =
= \TkR. Центром соударения для вра-
щающегося тела называют такую точку,
удар по которой не вызывает силы ре-
акции в оси вращения. Расстояние до
центра соударения от оси вращения (ра-
диус соударения) равно х = /2/р.
Период физического маятника Т=
= 2тс ]/l/mgp. Длина простого маятника
с таким же периодом L = I/mp—j2lp.
Она совпадает с радиусом соударения.
Ответы на вопросы
8-1. По определению момент импульса —
это не mvr, а векторная величина г х ту.
Модуль этого вектора равен
| г | | ту | sin <р, где <р — угол между ра-
диус-вектором г и импульсом ту. Про-
изведение г на sin <р дает постоянную
величину, равную кратчайшему рас-
стоянию от точки до траектории. По-
скольку rsincp остается неизменным,
момент импульса относительно данной
точки постоянен.
8-2 Со стороны любой части системы мо-
жет быть приложен вращающий мо-
мент сил к остальной части. Ситуация
здесь точно та же, что и для импульса.
Части системы могут обоюдно дей-
ствовать друг на друга с силами. Одна-
ко сумма этих внутренних сил равна
нулю. Подобным же образом сумма
внутренних вращающих моментов
в системе должна быть равна нулю.
Прилагая вращающий момент в одном
направлении, вы должны вызвать вра-
щающий момент отдачи в противопо-
ложном направлении. Именно поэтому
у вертолетов есть небольшой хвосто-
184
вой пропеллер с горизонтальной осью.
Если бы хвостовой пропеллер не обеспе-
чивал компенсирующего вращающего
момента, корпус вертолета вращался
бы в направлении, противоположном
несущему винту.
Если бы вы находились внутри беличь-
его колеса в космическом пространстве
и начали бы бежать, колесо стало бы
вращаться назад. Вы бы двигались по
кругу в одну сторону, а колесо враща-
лось бы в противоположную сторону,
обеспечивая этим сохранение момента
импульса. В земных условиях белки
и хомяки могут крутить свое колесо,
оставаясь при этом в его нижней части.
Очевидно, что они могут сообщать ко-
лесу момент импульса, хотя сами при
этом не движутся по кругу. Как им это
удается?
8'3. Прыгуны в воду создают вращаю-
щий момент, сообщающий им мо-
мент импульса, когда они отталки-
ваются от доски. В тот момент, когда
ноги прыгуна отрываются от доски,
его центр масс уже выходит за край
доски. В дальнейшем момент импульса
прыгуна приблизительно постоянен,
хотя в прыжке с большой высоты вра-
щающий момент может возникнуть из-
за сопротивления воздуха. Быстрота
вращения прыгуна зависит от того, как
он распределит свою массу. Если его
тело останется вытянутым, ноги будут
подниматься относительно центра
масс, и прыгун войдет в воду примерно
через пол-оборота — раньше или позже
в зависимости от высоты доски. Если
прыгун подтянет к телу руки и ноги, он
уменьшит свой момент инерции и,
сохраняя момент импульса, приведет
себя в быстрое вращение.
Если кошка начинает падать, не об-
ладая моментом импульса, и если
сопротивление воздуха несущественно,
она не может создать общего момента
импульса. Однако кошка может повер-
нуть какую-то часть тела в одну сторо-
ну, а лапы — в противоположную и из-
менить тем самым свою ориентацию.
Кошм выронили за треть секунды до того,
как был сделан этот снимок. Ее держали ла-
пами вверх и отпустили, не сообщая момента
импульса
Даже бесхвостая кошка может призе-
млиться на лапы.
8-4. Для Земли
1(0 =
= 6-1024 кг-(1,5- 10" м)2-у^-с =
= 3 • 1О40 кг • м2/с.
Для Юпитера
/со = 1,9 • 1027 кг • (7,8  10" м)2 х
2л рад _
11,9 год • 3 • 107 с/год
= 2  1042 кг • м2/с.
8-5. Момент импульса, обусловленный ор-
битальным обращением планеты, ра-
вен тг2<о = тг22п/Т = №2л/]/к72 —
Оказывается, что орбитальный мо-
мент импульса планеты в планет-
ной системе пропорционален массе
планеты и квадратному корню из
расстояния от центрального тела.
Сравнивая моменты импульса Неп-
туна и Юпитера, мы видим, что
радиус орбиты Нептуна равен 45 • 10" м,
а радиус орбиты Юпитера — 7,8 • 10".
Отношение этих расстояний состав-
185
ляет 5,77, а квадратный корень из
него равен 2,4. С другой стороны,
отношение массы Юпитера к мас-
се Нептуна равно 1900/103 = 18,4.
Поэтому момент импульса у Юпи-
тера больше, чем у Нептуна, в
18,4/2,4 = 7,7 раз.
8-6- Начальный момент инерции равен
I, конечный момент инерции соста-
вит 21. Если начальный период ра-
вен Т, конечный период должен быть
27? Первоначальный момент импульса
I (2п/Т) должен оставаться неиз-
менным.
8-7. Момент сил направлен горизон-
тально и параллельно плоскости ко-
леса. Колесо, конечно, опрокинется и
повиснет на шнуре.
8-8. Угловая скорость прецессии зависит
от того, насколько сильно вы раскру-
тите колесо. Определить число обо-
ротов в секунду можно, сделав метку
на колесе и засекая время ее про-
хождения (со = 2л/). Если со = 10 рад/с,
то 7 = 2 кг • (0,3 м)2  10 рад/с =
= 1,8 кг • м2/с. Если поддерживающий
шнур привязан к оси так, что I =
= 6 см, угловая скорость прецессии
будет
Дер mgl
~ьГ~^Г~
2 кг (9,8 Н/кг)-0,06 м
1,8 кг-м2/с
= 0,65 рад/с.
Период прецессии будет Т= \/f =
= 2л/со = 9,7 с.
8-9. Спиновый момент импульса велоси-
педного колеса равен
mR2a> = mR2 — =
R
_ 2 кг • (0,3 м)2 • 4,5 м/с _
0,3 м
= 2,7 кг • м2/с.
Эту величину нужно приравнять
nh = п-10“ 34 кг • м2/с. Поэтому п
равно 35-разрядному целому чис-
лу, приблизительно равному
2,7 • 1034.
Момент инерции твердого диска от-
носительно собственной оси равен
(1/2) mr2 = mj2, где j - радиус инерции.
Поэтому j = ]fU2r = 0,7г = 7 см.
8-1 !• Поскольку момент инерции вело-
сипедного колеса относительно его
оси приблизительно равен тг2, мо-
мент инерции относительно парал-
лельной оси, проходящей через точ-
ку касания с дорогой, равен тг2 +
+ тг2 = 2тг2.
8-12. Момент инерции физического маят-
ника, который почти не отлича-
ется от простого маятника, 1 = ml}.
Для такого маятника расстояние
от оси вращения до центра масс
совпадает с его длиной: р = L. По-
этому длина эквивалентного маят-
ника будет L = 1/тр = ml}/mL = L. Эта
формула для длины эквивалентного
простого маятника дает правильный
ответ в случае, когда физический
маятник почти не отличается от про-
стого.
8-13. Момент инерции метровой рейки,
представляющей собой однородный
стержень, качающийся вокруг од-
ного конца, I = (1/3) ml?. Период ее
колебательного движения
(1/3)т(1 м)2
т (9,8 Н/кг) 0,5 м
Длина маятника с таким периодом
L= Х=(1/3)ц1(1,0м)2 =2/3м
тр т  0,5 м
Для проверки ответа подставьте это
значение в формулу для периода про-
стого маятника:
Г= 2л
]Д = 2л]/^Ц-
' д /9,8 м/с2
= 1,6 с.
Обратите внимание, что во всех
случаях масса маятника сокраща-
ется.
8-14. Радиус инерции однородного стерж-
ня, раскачивающегося вокруг од-
ного из его концов, находится из
уравнения (1/3) ml} = mj2, поэтому
j2 = (1/3) I?. Радиус соударения ра-
вен
х=Д=1»=(2/3)д
Р (1/2)Е
Этот результат согласуется с вычис-
лениями к вопросу 8-13. Радиус со-
ударения совпадает с длиной просто-
го маятника, имеющего такой же
период колебаний, как и метровый
стержень.
186
Задачи
1.	Две одинаковые шайбы движутся на-
встречу друг другу на воздушной подушке
по столу для игрушечного хоккея. Скорость
каждой шайбы равна 2 м/с, масса равна 0,2 кг.
Их траектории таковы, что центры оказы-
ваются на расстоянии 10 см друг от друга
при наибольшем сближении. Чему равен
момент импульса этой пары шайб отно-
сительно точки, лежащей посередине между
ними при наибольшем сближении?
2.	Зависит ли момент импульса си-
стемы, описанной в задаче 1, от выбора осе-
вой точки? Объясните.
3.	Масса грампластинки на 33 — обо-
рота в минуту равна 112 г, а радиус — 15 см.
Чему равен ее момент импульса при про-
игрывании?
4.	Два колеса, массы которых сосредо-
точены вдоль их ободов, насажены на об-
щую ось Масса нижнего колеса равна 5 кг,
его радиус равен 0,75 м, и оно вращается
с частотой 5 с-1. Верхнее колесо массы 12 кг
и радиуса 0,30 м покоится. Верхнее колесо
роняют на нижнее, так что они начинают
вращаться вместе. Чему равна результирую-
щая частота их вращения?
5.	Что произойдет, если вы стоите на
столике, который может вращаться с малым
трением, и держите в руках вращающееся ве-
лосипедное колесо с вертикальной осью,
а затем переворачиваете колесо? Примите,
что вас вместе со столиком с некоторой точ-
ностью можно заменить моделью: твердым
цилиндром массы 75 кг и радиуса 15 см.
Примите также, что 2 кг массы колеса сосре-
доточены в его ободе радиуса 30 см, а часто-
та его вращения равна 2 с’1. Если сначала
вы были неподвижны, то какова будет ско-
рость вашего результирующего движения?
6.	Некоторая комета в афелии находит-
ся на расстоянии 2,5 • 109 км от Солнца, в пе-
ригелии ее радиальное расстояние соста-
вляет всего 2 • 107 км. Если в афелии ее ско-
рость равна 1 • 103 м/с, какой будет ее ско-
рость в перигелии?
7.	В каком направлении действует ги-
роскопический эффект на переднее колесо ве-
лосипеда, когда вы поворачиваете налево
или направо9 Прежде всего, как направлен
момент импульса колеса?
8.	Если смотреть из кабины пилота,
пропеллер одномоторного самолета вра-
щается против часовой стрелки. Как напра-
влен его момент импульса? Если во время
полета самолет начинает набирать высоту,
в каком направлении действует гироскопиче-
ский эффект9
9.	На рисунке на с. 152 приведена полу-
ченная в пузырьковой камере фотография
следующих друг за другом распадов суб-
атомных частиц. Из других экспериментов из-
вестно, что исходная частица (л “) имеет ну-
левой спин. Мюон и электрон имеют спин
(1/2) й каждый. Не оставляющие следов ча-
стицы — это нейтрино. Каким должен быть
спин нейтрино? Каким образом сохраняется
момент импульса в каждом из этих рас-
падов?
10.	Чему равен радиус инерции шара,
вращающегося вокруг своей оси?
11.	Выражение для теоремы о парал-
лельных осях на с. 180 содержит два члена.
Дайте каждому из них словесное определе-
ние. Чему равен полный момент импульса
велосипедного колеса относительно мгновен-
ной оси, проходящей через точку касания
с дорогой? Выразите ответ через массу коле-
са т, его радиус г и скорость v. Каким бы
был момент импульса колеса относительно
этой оси, если бы оно скользило со ско-
ростью г9 Опишите на словах физический
смысл каждого из двух членов полного мо-
мента импульса катящегося колеса.
12.	Попытайтесь раскрутить грузик по
горизонтальной окружности, как показано на
фотографии. В качестве ручки можно ис-
пользовать любую трубку, грузик сделайте
из ластика или чего-нибудь вроде этого До-
бейтесь, чтобы частота была равна 1 с-1,
а затем втягивайте нить в трубку, пока ра-
диус не уменьшится до половины первона-
чального значения. Втягивая нить, приклады-
ваете ли вы какой-либо вращающий момент
к этой системе? Чему равна новая частота?
Подсчитайте ее и проверьте наблюдением.
187
13.	Плотно начиненный цилиндр косми-
ческого аппарата вращается вокруг своей
оси с частотой 10 с-1. Его масса равна 100 кг
и радиус равен 15 см. Затем вытягиваются
две радиальные «руки», каждая из которых
выносит небольшой детектор массы 10 кг на
расстояние 1 м от оси. Чему равна новая ча-
стота вращения системы?
14.	Два колеса насажены на общую ось.
Нижнее сделано подобно велосипедному ко-
лесу, так что его масса сосредоточена на
ободе. Его момент инерции равен 0,2 кг м2,
и оно вращается в горизонтальной плоско-
сти, совершая 3 оборота в секунду. Другое
колесо сначала неподвижно, а затем его ро-
няют на нижнее, так что затем они вра-
щаются вместе. Результирующая частота
равна 1 с'1. Чему равен момент инерции
верхнего колеса?
15.	Обычная бейсбольная бита имеет
полную длину 83 см. Когда ее держат обыч-
ным способом, расстояние от конца до точ-
ки между кистями рук равно 70 см. Если би-
ту подвесить в этой точке, она раскачивается
с периодом 1,5 с. Чему равно расстояние от
конца биты до точки, которой следует нано-
сить удар по мячу, то есть до центра соуда-
рения?
16.	В эксперименте для демонстрации
момента импульса фотонов поляризованный
по кругу свет, в котором спины всех фотонов
направлены одинаково, может поглощаться
крошечным диском диаметра 1 см и массы
2 мг (2 10~б кг). Сколько нужно фотонов,
чтобы сообщить диску вращение вокруг оси
с частотой 1/10 с-1?
17.	Момент инерции относительно соб-
ственной оси для некоторого автомобиль-
ного колеса с шиной равен 0,7 тг2. Масса ко-
леса равна 15 кг, радиус равен 30 см. Чему
равен полный момент импульса колеса отно-
сительно точки касания с дорогой, если авто-
мобиль движется со скоростью 100 км/ч?
18.	Стальная теннисная ракетка, подве-
шенная в точке, где ее обычно захватывают,
раскачивается с периодом 1,3 с. Чему равно
расстояние от этой точки до центра соударе-
ния? (Возьмите данные для вашей ракетки
и посмотрите, находится ли центр соударе-
ния в той точке, которой вы наносите удар
по мячу.)
19.	Будучи подвешенной за один из
углов, некоторая книга раскачивается с пе-
риодом 0,9 с. Ширина книги равна 16 см, дли-
на — 25 см. Чему равны значения р, j и х?
(Измерьте периоды для нескольких книг.)
20.	Во всех примерах, разобранных
в этой книге, радиус инерции был больше,
чем расстояние до центра масс: j > р. Поэто-
му х >j > р. Будет ли эго неравенство спра-
ведливо для любого физического маятника?
Один из способов выяснения этого вопроса
состоит в том, чтобы рассмотреть маятник,
состоящий из двух закрепленных точечных
масс: т1 на расстоянии и т2 на расстоя-
нии г2 от оси.
ГЛАВА 9. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
И РАБОТА
Из законов сохранения наибольший
интерес представляет тот, что связан
с энергией. Мы слышим, что потребле-
ние энергии постоянно растет, и знаем,
что недавняя нехватка энергии оказала
влияние как на повседневную жизнь, так
и на международные отношения. Пред-
ставление об энергии связано, по-види-
мому, с нефтью, с углем, с падающей
водой, с ураном. Энергия не только
приводит в движение автомобили
и обогревает дома; она также необходи-
ма, например, для производства метал-
лов и удобрений. Все живые существа
в буквальном смысле поедают энергию,
чтобы поддержать жизнь. Из ре-
кламных проспектов мы знаем, что
определенные продукты питания для за-
втрака могут сообщить «заряд энер-
гии», чтобы начать трудовой день.
Удивительно, что, несмотря на по-
всеместную большую роль энергии, это
понятие оставалось неясным вплоть до
середины XIX века. Галилей, Ньютон
и Франклин не знали, несмотря на всю
их искушенность, что физическая вели-
чина, которую теперь называют энер-
гией, может быть определена так, чтобы
она всегда сохранялась *). Возможно,
они не пришли к такой мысли потому,
что это понятие вовсе не очевидно.
Энергия проявляется во множестве раз-
личных форм. Движущийся автомобиль
обладает энергией. Неподвижная бата-
*) В первом издании Британской энци-
клопедии, вышедшем в 1771 году, вся статья
под заголовком «Энергия» имела следую-
щий вид: «Энергия, слово греческого проис-
хождения, означает могущество, достоинство
или действенность чего-либо. Его исполь-
зуют также в переносном смысле для обо-
значения выразительности речи».
рейка карманного фонаря обладает
энергией. Камень на вершине утеса
обладает энергией. Кусочек сливочного
масла обладает энергией. Чайник кипят-
ка обладает энергией. Солнечный свет
обладает энергией. Энергия, проявляю-
щаяся во всех этих различных формах,
может быть определена таким спосо-
бом, что при любом превращении си-
стемы полная энергия сохраняется. Од-
нако для системы, которая никогда не
претерпевает никаких изменений, разго-
вор о содержании энергии беспредме-
тен. Только при переходе из одной
формы в другую или из одного места
в другое представление об энергии ста-
новится полезным как средство бухгал-
терского учета.
| Вопрос 9-1
Бухгалтерский учет! Энергия стоит
денег. В виде нефти или угля она
I перекачивается по нефтепроводам
или перевозится в железнодорожных
вагонах. В каком смысле понимать
эту бухгалтерию?
В этой главе мы сосредоточим вни-
мание только на форме энергии, связан-
ной с механическим движением, — на ки-
нетической энергии. В следующей главе
мы увидим, как определить энергию,
связанную с положением тел или их де-
формацией. Затем в главе 11 мы придем
к совсем неочевидному заключению, что
энергия и масса — это в действительно-
сти одно и то же. В главе 12 мы опреде-
лим тепловую энергию так, чтобы закон
сохранения энергии можно было рас-
пространить даже на те случаи, когда
есть трение.
Во всем нашем дальнейшем изуче-
нии таких тем, как оптика, электри-
189
чество, строение вещества, анализ энер-
гетических превращений будет служить
объединяющей основой.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Если движущееся тело обладает
энергией, оно должно ее потерять при
остановке. Как мы увидим, энергия ли-
бо передается другому телу при столк-
новении, либо рассеивается при трении.
В последнем случае пройдет ли автомо-
биль с выключенным двигателем при
начальной скорости 20 миль/ч вдвое
большее расстояние, чем при начальной
скорости 10 миль/ч? Если у вас есть ав-
томобиль или велосипед со спидоме-
тром, попробуйте выяснить это. Для
этого нужен отрезок ровной горизон-
тальной дороги
Существует простая настольная ими-
тация такого дорожного опыта. Возьми-
те линейку или плоскую рейку, несколь-
ко канцелярских скрепок и несколько
«снарядов», таких как таблетки аспи-
рина или чертежные кнопки. Один из
снарядов поместите на вдвое большем
расстоянии от конца линейки, чем дру-
гой. Затем поверните линейку в плоско-
сти стола вокруг ее конца на угол около
30°, так чтобы она ударилась о стопор
и резко остановилась. Таблетки или
Кнопки будут увлекаться линейкой, пока
Она не остановится. Затем они будут
Двигаться прямолинейно по поверхно-
сти стола. Поскольку внешний снаряд
находится на вдвое большем расстоя-
О
нии от оси, чем внутренний, внешнему
будет сообщена вдвое большая началь-
ная скорость, чем внутреннему. Будет
ли внешний снаряд скользить до оста-
новки вдвое дальше? Повторите опыт
несколько раз и найдите приближенное
отношение проходимых до остановки
расстояний. Затем сделайте отношение
радиусов равным 3:1 и найдите отно-
шение расстояний до остановки, прохо-
димых снарядами при отношении на-
чальных скоростей 3:1.
ВТОРОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ
ДЛЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ВИДА
В главе 7 мы обнаружили, что при
определенного вида столкновениях теле-
жек, движущихся на воздушной дорож-
ке, сохраняются две различные вели-
чины, характеризующие движение. Им-
пульс, равный произведению массы на
скорость, сохраняется всегда Если те-
лежки взаимодействуют посредством
пружин и не слипаются друг с другом,
сохраняется еще одна комбинация
массы и скорости. Это произведение
массы на квадрат скорости, mv2. По
причинам, которые вскоре будут разъяс-
нены, эта характеризующая движение фи-
зическая величина обычно записывается
в виде (1/2) mv2 и называется кинетиче-
ской энергией Жкин.
Следует отметить некоторые особен-
ности, связанные с природой определен-
ной таким образом величины. Во-
первых, кинетическая энер1 ия предста-
вляет собой скаляр, а не вектор. Ско-
рость, представляющая собой вектор-
ную величину, в этом выражении возво-
дится в квадрат, отчего все оно стано-
вится скаляром, не имеющим направле-
ния. Во-вторых, наличие множителя 1/2
подразумевает, что должно существо-
вать какое-то более фундаментальное
определение единицы энергии. Это дей-
ствительно так, и скоро мы к нему при-
дем. А пока заметьте, что тело массы
1 кг, движущееся со скоростью 1 м/с,
—-	1кг ------->1м/с
WKVM=(1/Z)mvz~l/2.A>K
190
обладает кинетической энергией, кото-
рая по определению равна половине ос-
новной единицы энергии, то есть поло-
вине джоуля. Эта единица названа
в честь Джеймса Джоуля (1818—1889),
английского ученого, который впервые
нашел механический эквивалент тепло-
вой энергии. Сокращенно джоуль обо-
значается Дж; тело массы 1 кг при дви-
жении со скоростью 1 м/с имеет энер-
гию 1/2 Дж. И, наконец, заметьте, что
теперь у нас есть две различные физиче-
ские величины для характеристики дви-
жущегося тела — импульс mv и кинети-
ческая энергия (1/2) mv2. Одна из них —
векторная, другая — скалярная Как они
связаны друг с другом? Зачем нужны
они обе? Три столетия назад люди спо-
рили по таким вопросам; немцы отстаи-
вали превосходство величины mv2, кото-
рую называли vis viva, или живая сила,
а англичане были уверены, что движе-
ние наилучшим образом описывается
с помощью импульса mv.
Вопрос 9-2
В столкновениях, описанных в главе
7, импульс сохранялся всегда, но ве-
2
личина mv в некоторых столкнове-
ниях не сохранялась. Что это за
столкновения ?
Столкновения, происходившие на
воздушной дорожке, удовлетворяли за-
кону сохранения импульса, но сам по
себе этот закон не давал возможности
предсказать результаты каждого столк-
новения. Например, когда двигавшаяся
слева тележка ударялась в неподвижную
тележку такой же массы, первая пол-
При mi = т, импульс сохраняется, ее ш
слипшиеся тела движутся с конечной ско-
ростью (1/2)Со
ностью останавливалась и посылала
тележку-мишень в движение вправо
с той же скоростью. Импульс при этом
сохранялся, но импульс сохранился бы
и в том случае, если бы обе тележки
сцепились вместе и стали бы двигаться
дальше со скоростью, равной половине
первоначальной. Тогда
m1r0 = (m1 + т2)-(1/2)г0,
если mj = т2.
Сохранение импульса ограничивает чис-
ло возможных комбинаций скоростей
после столкновения, но не полностью.
Есть одно уравнение, которое должно
удовлетворяться (импульс до = импуль-
су после), и две неизвестных величины
(скорости двух тел после столкнове-
ния). Если также должна сохраняться
и кинетическая энергия, то тогда
должны удовлетворяться уже два урав-
нения, а этого достаточно для пол-
ного определения двух неизвестных
скоростей. Вот как это делается:
т^0 = m^j +
+ m2v2 — сохранение импульса,
(1/2) т^ = (1/2)т1г? +
+ (1/2) m2v2 — сохранение ки-
нетической энергии.
В рассматриваемом случае mt = т2,
поэтому можно обе части уравнений со-
кратить на т, как и на множитель 1/2 во
втором уравнении. Тогда уравнения
принимают вид
v0 = Vi + v2 и v£ = vl + v%.
Возведем первое уравнение в квадрат
и сравним его со вторым:
V0 = vl + v2 + 2Г11>2,
vl = v2t+v22.
Эти уравнения совместны лишь тогда,
когда 2г1г2 = 0. Здесь есть две возмож-
ности: либо =0, либо v2 = 0. В дей-
ствительности, как мы видели на воз-
душной дорожке, первая тележка оста-
навливается в результате столкновения.
Это случай, когда vx =0. Тогда уравне-
ния требуют, чтобы было v2 — v0, то
есть именно то, что происходит. Два за-
191
v,=0
После
VZ^Vg
В этом упругом столкновении тел с пц — т2
сохраняются и импульс, и кинетическая
энергия
кона сохранения полностью ограничи-
вают возможные результаты столкнове-
ния, так что оказывается допустимым
единственное сочетание скоростей, и
это предсказание согласуется с резуль-
татами опыта.
Вопрос 9-3
А как быть со второй возможностью?
Уравнения будут удовлетворяться,
если а2 = 0 и = а0. Чтобы выпол-
нялись эти условия, исходная тележ-
ка должна была бы продолжать дви-
жение с первоначальной скоростью.
Как это может быть?
Применим теперь оба закона сохра-
нения к столкновению одинаковых ша-
ров в пространстве двух измерений.
Благодаря тому, что тела одинаковы, их
Упругое столкновение в двух измерениях;
«1 = т2
массы снова сократятся. Теперь у нас
будет три уравнения — два для импуль-
са и одно для кинетической энергии:
mv0 = mVi cos 9 + mv2 cos <p
— проекция импульса на ось х,
О = mv} sin 9 — mv2 sin <p
— проекция импульса на ось у,
(1/2) mv2 = (1/2) mvl + (1/2) mv2
— кинетическая энергия.
Для решения этой системы уравне-
ний сократим их на массу т и на мно-
житель 1/2 в третьем уравнении; затем
первое и второе уравнения возведем
в квадрат:
Vq = г2 cos2 9 +1^2cos2 Ф +
+ 2a ^2 cos 9 cos <p,
0 = r2 sin2 9 + ^2 sin2 Ф — 2vtv2 sin 9 sin <p.
Сложим эти уравнения, памятуя, что
sin2 9 + cos2 9 = 1 для любого 9:
V0 = V1 + V2 +
+ 2г1г2 (cos 9 cos <p — sin 9 sin <p).
Сравним это уравнение с уравнением
для кинетической энергии. Они со-
вместны только при
2г j г2 (cos 9 cos <p — sin 9 sin ф) = 0.
Это условие будет выполнено, в частно-
сти, если v1=Q либо v2 = 0. Такие слу-
чаи соответствуют лобовому столкнове-
нию либо полному промаху. Для столк-
новений любого другого типа оба шара
после столкновения имеют ненулевые
скорости. Следовательно, выражение
в скобках должно быть тождественно
равно нулю. Его можно преобразовать
с помощью тригонометрического тож-
дества следующим образом:
cos 9 cos ф — sin 9 sin ф = cos (9 + ф).
Но если cos (9 + ф) = 0, то 9 + ф = 90°.
Угол между траекториями шаров после
столкновения должен быть в точности
равен 90°. Заметьте, какое замечатель-
ное ограничение налагают законы со-
хранения на столкновение одинаковых
частиц!
Вопрос 9-4
Означает ли это условие разлета под
прямым углом, что каждый из ша-
192
ров должен двигаться под углом 45°
к исходному направлению? Если нет,
то не окажутся ли конечные резуль-
таты столкновения неопределенны-
ми? Есть только три уравнения, но
разве здесь не четыре неизвестных —
vlt v2, 8 и <р?
Требование к разлету под углом 90°
удовлетворяется тогда и только тогда,
когда сталкивающиеся частицы имеют
одинаковые массы и не теряют кинети-
ческую энергию в столкновении. Эти ус-
ловия выполняются для протон-протон-
ного столкновения, зарегистрированно-
го на фотографии, сделанной с по-
мощью камеры Вильсона (с. 152). Бы-
стро движущиеся электрически заря-
женные частицы ионизируют находя-
щиеся на их пути молекулы газа.
В атмосфере пересыщенного пара, за-
полняющего камеру Вильсона, на каж-
дом ионе вырастает капля жидкости,
и в результате след, оставляемый элек-
тронами или протонами, становится ви-
димым. Обратите внимание, что
в столкновении бильярдных шаров, по-
казанном на с. 144, требования к разле-
ту под углом 90° не были удовлетво-
рены. В этом случае сталкивающиеся
тела не образуют замкнутой системы;
стол был частью этой системы.
Когда два тела одинаковой массы
в результате лобового столкновения
оказываются сцепленными друг с дру-
гом, кинетическая энергия не сохраняет-
ся. Так как после столкновения есть
только одна конечная скорость (тела
сцеплены), то для ее определения до-
статочно единственного уравнения, вы-
ражающего сохранение импульса:
'«До = т^к + m2vK = rjmj + т2) =
= 2m1cK, так как ш1 = т2.
Таким образом, конечная скорость
в точности равна половине начальной:
t\ = v0/2.
Посмотрим, что в такой ситуации
происходит с кинетической энергией.
Исходная кинетическая энергия была
(И;ин)о = (1/2) mv%.
7 Кл Э Суорц, т 1
1кг До
И'кин-Г'Х?! 1*г (1м/с)2- ~1/2Дж
Мкян=(1/2) 2кг\$/2)м/^1/4 Дж
Koi да тела равной массы при столкновении
слипаются, половина первоначальной кине'
тической энергии исчезает
Конечная кинетическая энергия равна
(^ин)к = (1/2) • 2W1rK2 =
= (1/2)  2mxrg = (1/2) (ЕКин)о-
Конечная кинетическая энергия после
столкновения в точности равна полови-
не кинетической энергии налетающего
тела до столкновения. Куда же ушла
часть кинетической энергии? На данном
этапе обсуждения мы этого не знаем.
Очевидно, что кинетическая энергия
сохраняется только при столкновениях
определенного типа, когда на сталки-
вающихся телах не остается вмятин
и они не слипаются. Такие столкновения
называются упругими. Поэтому, хотя
и верно, что в упругих столкновениях
кинетическая энергия сохраняется, един-
ственный известный вам способ узнать,
является ли столкновение упругим,—
убедиться, что кинетическая энергия
остается неизменной. На практике
оказывается, что столкновения тел из
очень твердых, пружинящих материалов
почти упруги, в то время как столкнове-
ния, приводящие к образованию вмятин
или к повышению температуры, неупру-
ги. Теннисный мяч теряет около трети
своей кинетической энергии при отскоке
от твердой поверхности. С другой сто-
роны, стальные шарики для шарикопод-
шипников или стеклянные шарики те-
ряют лишь несколько процентов энер-
гии при легких столкновениях друг
с другом. Столкновения тележек на воз-
душной дорожке можно сделать почти
полностью упругими, если снабдить их
стальными пружинными бамперами или
отталкивающимися магнитами.
Мы видим, как два закона сохране-
ния предсказывают определенные ре-
193
зультаты столкновения двух упругих
тел одинаковой массы. Эти же законы
можно использовать для вывода общих
выражений для лобовых столкновений,
когда mj / т2. Как обычно, будем счи-
тать, что сначала т2 покоится, a иц дви-
жется слева с положительной ско-
ростью :
«it’o = "Mi + m2v2
— сохранение импульса,
(1/2)	= (1/2) m2v2 + (l/2)m2v2
— сохранение кинетической энергии.
Разделим первое уравнение на т1,
а второе на (1/2) т1:
Ш2	2	2	^2	2
v0 = Vi Н----v2 и v0 = Vi Н---v2.
Возведем первое уравнение в квадрат:
7 О /	\	2	Ш1
Го = V1 + I --- ) 1^2 + 2 --^1^2’
\ mi J	т2
Вычтем из него второе уравнение:
0 =
_ Ш2
+ 2-----v^v2.
Разделим теперь это уравнение на
(mj/mJrj:
/ т2	\
0 = (---1 ]v2 + 2v
\т2	I
Заметьте, что в результате этих алге-
браических преобразований мы пришли
к одному уравнению с двумя не-
известными. Мы можем, однако, разре-
шить его по крайней мере для отноше-
ния vl/v2:
vt 1 / т2 \ mt — т
v2 2 \ тг J 2т
Это уравнение вместе с уравнением, вы-
ражающим закон сохранения импульса,
позволяет найти скорости каждого из
тел после столкновения:
т, ~ т2
vi —	:	* * * * v2 —	:	vo-
тг + т2	+ т2
Вопрос 9-5
Согласуются ли формулы для общего
случая с тем, что вы уже знаете для
частного случая тг =т2? Посмотри-
те, каким будет отношение скоростей
Vx/v2 в случаях, когда т1=(1/2)т2;
т1=2т2; т1»т2.
РАБОТА, НЕОБХОДИМАЯ
ДЛЯ СООБЩЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ
Каким образом тело получает кине-
тическую энергию? Ее можно передать
телу при столкновении, но ее также
можно создать, подталкивая тело до тех
пор, пока оно не наберет требуемую
скорость. Из состояния покоя тело до-
стигнет скорости v при движении с по-
стоянным ускорением а, пройдя рас-
стояние х, удовлетворяющее условию
F=ma
х
v 2 - 2 ах=2 (F/m) х
v2 = 2ах. Постоянное ускорение сооб-
щается постоянной силой в соответ-
ствии с законом а = F/m. Подставив это
выражение в формулу для конечной ско-
рости, получим
v2 = 2(F/m)x, (1/2) mv2 = Fx.
Если под действием постоянной силы
тело перемещается на некоторое рас-
стояние, сообщенная ему кинетическая
энергия дается вышеприведенной фор-
мулой. Произведение силы и расстоя-
ния, на котором она действовала, назы-
вается работой.
Это простое определение работы вы-
зывает разнообразные вопросы. Как си-
ла, так и перемещение представляют со-
бой векторные величины. Будет ли их
произведение тоже вектором, подобно
моменту силы? Согласуется ли это про-
стое определение работы с тем значе-
нием этого слова, в котором оно упо-
требляется в повседневной жизни? Го-
дится ли это определение, если прило-
женная сила непостоянна? Входят ли
работа и энергия как составные части
в один и тот же закон сохранения, так
что если вы совершаете над телом неко-
торую работу и сообщаете ему кинети-
194
ческую энергию, то затем это тело смо-
жет произвести столько же работы?
И наконец, нам нужно выяснить, какие
соотношения существуют между силой,
перемещением, временем, импульсом
и кинетической энергией.
Прежде всего, что можно сказать об
этом произведении силы и перемеще-
ния? Конечно, наибольшее ускорение и,
следовательно, наибольшая скорость
будут сообщаться, когда сила приложе-
на в направлении перемещения.
В самом деле, любая сила, приложенная
перпендикулярно к перемещению, не
производит никакого полезного дей-
ствия, разве что она только уменьшает
трение. В случае произведения силы
и плеча при создании вращающего мо-
мента ситуация прямо противополож-
ная: здесь эффективна только состав-
ляющая силы, перпендикулярная к век-
тору, проведенному от оси в точку
приложения силы. Очевидно, в данном
случае требуется другой тип произведе-
ния двух векторов. Он называется ска-
лярным произведением. Такое произведе-
ние обозначается точкой между симво-
лами двух векторов:
работа = А = F • х = | F | |х | cos 9.
Проекция силы на направление переме-
щения равна | F | cos 9, где 9 — угол ме-
жду F и х.
Векторное умножение двух векторов
дает еще один вектор, перпендику-
лярный к первым двум. Скалярное ум-
ножение двух векторов дает некоторый
скаляр. Энергия и работа не обладают
свойствами направленности. Совершен-
ная работа или сообщенная энергия бу-
дет одной и той же независимо от того,
движется тело на север, юг, восток или
запад.
| Вопрос 9-6
| В соответствии с этим определением
| над тяжелым ящиком не будет со-
вершено никакой работы, когда вы
переносите его в руках по комнате
из одного места в другое. Сила, ко-
торую вы прилагаете, чтобы удер-
жать его, направлена вверх, но пере-
мещение горизонтально. Поэтому
угол между силой и перемещением
равен 90°, и совершенная над ящи-
ком работа равна нулю. Правильно
ли это?
Даже если никакой работы над тя-
желым ящиком не совершается, когда
вы переносите его по комнате, вам, ко-
нечно же, приходится поработать. Если
бы вы занимались такой работой целый
день, вы бы устали и ваши мышцы бо-
лели бы. Даже если бы вы просто дер-
жали ящик целый день, вам бы каза-
лось, что вы много работали. В дей-
ствительности, когда вы поддерживаете
тело или сжимаете что-то, и ваши мы-
шцы развивают силу, небольшие пере-
мещения все же происходят. Каждый
рычаг в вашем организме управляется
двумя мышцами. Когда вы прилагаете
силу, обе мышцы напряжены и дей-
ствуют в противоположных направле-
ниях. Происходят постоянные сокраще-
ния и расслабления противостоящих
мышц, приводящие к крошечным дви-
жениям. Даже когда вы только пытае-
тесь поддерживать постоянную силу
и результирующее перемещение равно
нулю, вашим мышцам приходится со-
вершать немалую работу в соответ-
ствии со стандартным ее определением.
Единицей кинетической энергии слу-
жит джоуль, и поскольку работа может
производить кинетическую энергию,
джоуль можно использовать и как еди-
ницу работы. Если сила 1 Н приложена
к телу и вызывает его перемещение на
7
195
расстояние 1 м, то совершенная силой
работа равна 1 Дж:
1 Н • 1 м = 1 Дж.
Вопрос 9-7
Согласуется ли это с нашим более
ранним утверждением, что тело
массы 1 кг, движущееся со ско-
ростью 1 м/с, имеет энергию только
0,5 Дж?
Чтобы получить найденную выше
связь между Fx и (1/2) тг2, мы во-
спользовались одной из формул для
движения с постоянным ускорением:
г2 = 2ах. Что будет, если сила, а следо-
вательно, и ускорение не будут по-
стоянными? На коротком отрезке пути
всегда можно приближенно считать си-
лу постоянной. В таком случае опреде-
ление работы принимает вид
А = F • Ах.
Можно построить график силы F(x),
приложенной в каждой точке. Ясно, что
когда сила постоянна, произведение
силы и перемещения равно совершенной
работе. Совершенная работа также рав-
на площади под кривой на графике
F(x), даже когда зависимая переменная
непостоянна. Например, на рисунке по-
казан график F(x) для пружины, подчи-
няющейся закону Гука: F = кх. В дан-
ном случае нет знака «минус», потому
что под F мы понимаем силу, которую
нужно приложить в направлении оси х,
чтобы растянуть пружину, — она уравно-
вешивает восстанавливающую силу
упругости пружины, действующую
в противоположном направлении. Рабо-
та, совершенная при удлинении пру-
жины на расстояние х, представляется
площадью треугольника под графиком
Площадь под i рафиком b (х) от х = 0 до
х = 2 в четыре раза больше площади от
х = 0 до х = 1
F(x). Эта площадь равна
W = (1/2) • основание • высота =
= (1/2) х • F = (1/2) х • кх = (1/2) кх2.
Чтобы растянуть пружину на 2 см, тре-
буется совершить в четыре раза боль-
шую работу, чем для растяжения на
1 см.
I Вопрос 9-8
| Приложенная к пружине сила вызы-
। вает ее удлинение, и для этого в со-
I ответствии с определением прихо-
| дится совершать работу. Но пружи-
I на при этом не приобретает никакой
Акинетической энергии. Однако разве
на предыдущих страницах не было
дано выражение работы через кине-
S тическую энергию?
Если мы будем учитывать в подсче-
тах только ту работу, что пошла на со-
здание кинетической энергии, то полу-
чим ли мы сохраняющееся свойство?
Можно ли получить эту работу назад?
В принципе, можно1 Например, если си-
ла действует на некотором пути и раз-
гоняет тележку на воздушной дорожке,
то совершенная силой работа по опре-
делению равна кинетической энергии те-
лежки. Когда тележка налетает на пру-
жину в конце воздушной дорожки
и останавливается на мгновение, ее ки-
нетическая энергия идет на совершение
работы по сжатию пружины. Вскоре по-
сле этого пружина расширяется, совер-
шая работу над тележкой и восстана-
вливая ее кинетическую энергию.
В случае хороших упругих пружин ко-
нечная кинетическая энергия почти рав-
на начальной. Мы, очевидно, расширили
применимость нашего закона сохране-
ния энергии, включив в него работу на-
ряду с энергией.
Вернемся теперь к давнему вопросу
о том, какая из величин — mv или
(1/2) mv2, то есть импульс или энер-
гия,— лучше описывает истинные харак-
теристики движения. Если вы прилагае-
те к телу силу F, действующую на него
в течение промежутка времени At, то вы
обеспечиваете импульс силы, который
вызывает изменение импульса тела:
F At = A (mv).
196
Если вы прилагаете к телу силу F, дей-
ствующую на отрезке пути в простран-
стве Дх, то вы совершаете над телом
работу. Когда вся работа идет на изме-
нение кинетической энергии,
F- Дх = А [(1/2) mv2].
Площадь под кривой на графике F(t)
равна изменению импульса. Площадь
под кривой на графике F(x) равна со-
вершенной работе. Когда тело может
свободно ускоряться и F — это проекция
результирующей силы на направление
перемещения, то площадь под кривой
F(x) равна изменению кинетической
энергии тела.
В качестве примера различных приме-
нений импульса и кинетической энергии
в конкретных задачах предположим, что
вы хотите ускорить тележку на воздуш-
ной дорожке, имеющую массу 200 г, до
скорости 1 м/с, прилагая силу 0,1 Н.
Сколько для этого потребуется време-
ни?
Д (mv) = F\t,
0,2 кг-1 м/с = 0,1 Н’Дг, Дг — 2 с.
Какое расстояние пройдет тележка, пока
ее скорость достигнет 1 м/с?
Д [(1/2) mv2] = F • Дх,
(1/2)-0,2 кг (1 м/с)2 = 0,1 Н-Дх,
Дх = 1 м.
Заметьте, что оба метода дают согла-
сующиеся между собой результаты. По-
скольку ускорение постоянно, средняя
скорость равна половине конечной. При
средней скорости (1/2)-1 м/с тележка
пройдет 1 м за 2 с.
Вопрос 9-9
Чтобы определить повреждения, ко-
торые может причинить автомобиль
при столкновении, и силу, с которой
(он будет действовать на препятствие
. при остановке, следует принимать во
внимание импульс автомобиля или
, его кинетическую энергию? Заметь-
* те, что при скорости 60 миль/ч авто-
I мобиль имеет вдвое больший им-
| пульс, чем при 30 миль/ч, но его
кинетическая энергия в четыре раза
больше.
В «Знакомстве с явлениями» вы за-
пускали таблетки или кнопки по поверх-
ности стола. Они замедлялись и остана-
вливались под действием тормозящих
сил трения. Как мы видели в главе 4, су-
хое трение скольжения почти не зависит
от скорости. Следовательно, таблетки
и кнопки были подвержены действию
приблизительно постоянных сил. Если
запускающее устройство сообщало та-
блетке А вдвое большую скорость, чем
таблетке В, то кинетическая энергия
А была в четыре раза больше. Посколь-
ку как на А, так и на В действовали
одинаковые тормозящие силы трения,
А должна была проходить в четыре
раза больший путь, чем В. Такое же
объяснение применимо и к тормозным
путям автомобилей, взятым из руковод-
ства для водителей штата Флорида
и описанным в главе 2. Поскольку кине-
тическая энергия автомобиля пропор-
циональна квадрату его скорости, необ-
ходимый для остановки путь после
приведения в действие тормозов также
пропорционален квадрату скорости. Ес-
ли все идет хорошо, постоянная сила
в этом случае обеспечивается действием
тормозных барабанов.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ВРАЩЕНИЯ
Тело, движущееся по окружности
или вращающееся вокруг собственной
оси, обладает кинетической энергией.
Для материальной точки, находящейся
на расстоянии г от оси, у1ловая и линей-
ная скорости связаны соотношением
v = ыг. Угловая скорость со выражается
в радианах в секунду, а момент инерции
197
I равен mr2. Поэтому кинетическая энер-
гия тела равна
Жкин = (1 /2) mv2 = (1/2) m (cor)2 —
= (1/2)/со2.
Такое же выражение для кинетической
энергии вращения справедливо для вра-
щательного движения любого вида не-
зависимо от того, является тело то-
чечным или нет, обращается оно вокруг
внешней оси или вращается вокруг соб-
ственной оси.
В «Знакомстве с явлениями» в главе 8
вы роняли одну грампластинку на
другую, которая вращалась. Поскольку
должен сохраниться момент импульса,
конечная угловая скорость обеих пла-
стинок составляла только половину на-
чальной угловой скорости вращавшейся
пластинки:
/со0 = 2/сок, сок = (1/2)со0.
Однако кинетическая энергия системы
не должна обязательно сохраняться.
Как можно судить по звуку, издаваемо-
му в момент соприкосновения пласти-
нок, между ними происходит неупругое
столкновение. Конечная кинетическая
энергия вращения равна
(жкин)к = (1/2)-2/®2 =
= (1/2) • 21 [(1/2) и0]2 = (1/2) (1УКИН)О.
Результат в точности такой, как и при
неупругом столкновении двух тел оди-
наковой массы в случае поступательно-
го движения. Ровно половина кинетиче-
ской энергии исчезла.
Сравним кинетическую энергию вра-
щения велосипедного колеса с кинетиче-
ской энергией его поступательного дви-
жения. Как и в главе 6, примем, что 2 кг
массы велосипедного колеса сосредото-
чены в ободе, радиус которого равен
33 см. При скорости езды 15 миль/ч ско-
рость поступательного движения колеса
равна 6,7 м/с, угловая скорость
v 6,7 м/с
(О = — =	----= 20 рад/с.
г 0,33 м
Поэтому кинетическая энергия враще-
ния колеса относительно его собствен-
ной оси
Икин вращ = (1/2)/ю2 =
= (1/2) -2 кг- (0,33 м)2 • (20 рад/с)2 =
= 45 Дж.
Кинетическая энергия поступательного
движения колеса равна
И,ии поступ ~ (1/2) mv =
= (1/2)-2 кг-(6,7 м/с)2 = 45 Дж.
В данном случае оказывается, что кине-
тическая энергия вращения равна кине-
тической энергии поступательного дви-
жения. Этот результат можно было
вывести и из общих формул. Для любо-
го катящегося колеса, масса которого
сосредоточена в ободе, кинетическая
энергия вращения равна кинетической
энергии поступательного движения:
(1/2)/со2 = (l/2)(mr2)co2 =
= (l/2)m(rco)2 = (1/2) mr2 = (1/2) mr2.
Полная кинетическая энергия катящего-
ся колеса равна (1/2) (/со2 + mv2). (Будет
ли полная кинетическая энергия разде-
лена поровну между вращательным
и поступательным движениями для ка-
тящегося диска или шара?)
Важные исследования ведутся
в области конструирования супермахо-
виков, предназначенных для того, чтобы
запасать большие количества энергии.
Поскольку энергия пропорциональна
квадрату скорости вращения, очевидно,
что целесообразно увеличивать ско-
рость вращения маховика. К сожале-
Скорость точки обода и, относительно оси
равна скорости и оси относительно »емли
198
нию, центростремительная сила, необхо-
димая для удержания внешнего обода
при его движении по окружности, тоже
пропорциональна квадрату угловой ско-
рости:
Fa с = т(й2г.
Подсчитаем запас энергии маховика
одного из предложенных типов. Пред-
положим, что маховик сделан из ра-
диальных проволок, закрепленных
в ступице. Тогда центростремительная
сила должна действовать вдоль каждой
из проволок. Пока проволоки не выдер-
гиваются из ступицы, вращение приво-
дит лишь к их растяжению. Гигантская
круглая проволочная щетка такого типа
является не самой эффективной кон-
струкцией для запасания энергии. Если
проволоки на ступице плотно приле-
гают друг к другу, то на больших рас-
стояниях от оси они расходятся, зани-
мая лишь часть объема. Более того,
проволоки в такой системе подвергают-
ся наибольшему напряжению в точках
прикрепления к ступице. Лучшая кон-
струкция состоит из цилиндрических
слоев материала, связанных вместе. Тем
не менее для маховика из радиальных
проволок легко вычислить приблизи-
тельный запас энергии.
Примем, что радиус маховика равен
1/2 м, чтобы он легко уместился в авто-
мобиле. Если бы толщина маховика была
1/2 м, он занимал бы объем около 1/3 м3.
Если бы весь этот объем был запол-
нен материалом с плотностью стали, то
масса составила бы 2000 кг. Поскольку
проволоки занимают лишь часть объе-
ма, примем массу равной 500 кг. Вся
она образована отдельными радиальны-
ми проволоками, каждая с моментом
инерции (1/3) тг2. (Это момент инерции
тонкого стержня относительно оси, про-
ходящей через один из концов.)
Подобное устройство можно раскру-
тить в вакууме до частоты	4000 мин”1.
При этом была	бы	запасена	энер-
гия
w = -°?2 -
ггвраш —	—
4л2
"2
1
Ю2 с
X
500-4л2 • 2 • 2 • 104
2-3-2-2-3-3
« 3,5 • 106 Дж.
Для сравнения этой энергии с возмож-
ностями накопителей других типов за-
метим, что 3,6 • 106 Дж — 1 кВт • ч и что
стандартная автомобильная аккумуля-
торная батарея может накопить около
1 кВт-ч энергии. Рассматриваемый ма-
ховик был бы, таким образом, эквива-
лентен примерно одной автомобильной
батарее.
Вопрос 9-10
Могут ли обычные проволоки обес-
печить необходимую центростреми-
тельную силу и не оборваться? Мас-
са одной из проволок равна ее
плотности, помноженной на пло-
щадь поперечного сечения и на
длину:
т = oSr.
Преувеличим действующую силу,
принимая, что вся масса прово-
локи локализована на ее внешнем
конце. Подсчитайте, какая цен-
тростремительная сила требуется
для проволоки в рассмотренном вы-
ше маховике. Примите плотность
равной 6 • 103 кг/м3, а площадь попе-
речного сечения обозначьте через S.
Когда найдете силу, подставьте ее
значение в формулу, связывающую
напряжение и относительную дефор-
мацию. Модуль Юнга для стали ра-
вен 1-Ю11 Н/м2. (Если относитель-
ное удлинение обычной стальной
проволоки значительно превышает
2-10”3, она разрушается.)
199
ПРОСТЫЕ МЕХАНИЗМЫ,
НЕ ДАЮЩИЕ ВЫИГРЫША В РАБОТЕ
Какая польза от механизма, если он
не дает выигрыша в работе? К сожа-
лению, ни один механизм не дает на вы-
ходе работу большую, чем та, что со-
вершается на его входе. Фактически боль-
шинство из них выдает меньшую ра-
боту. На самом деле механизмы позво-
ляют с помощью меньшей входной
силы, действующей на большем входном
перемещении, получить большую вы-
ходную силу и меньшее выходное пере-
мещение, или наоборот. Такое преоб-
разование часто бывает полезным.
Рассмотрим несколько простых слу-
чаев.
Рычаги. Чтобы получить простое
правило рычага, примем, что сам стер-
жень невесом и что силы дейывуют под
прямым углом к рычагу В действитель-
ности, когда каменную глыбу приподни-
мают тяжелым ломом, вес лома может
создать существенную добавку к подъ-
емной силе, и вес, как и приложенная
сила, может быть направлен не перпен-
дикулярно к стержню рычага. Во вся-
ком случае, когда приложенная сила
перпендикулярна к рычагу, путь, на ко-
тором она действует, как раз равен дуге,
вдоль которой движется соответствую-
щий конец рычага. Дуга пропорцио-
нальна длине рычага от точки опоры до
точки приложения силы. Те же условия
справедливы и для выходной силы
и выходного перемещения.
Работа на входе равна произведению
входной силы и входного перемещения.
Работа на выходе равна произведению
выходной силы и выходного перемеще-
ния. Эксперимент показывает, что рабо-
та на выходе почти такая же, как на
входе, поскольку для большинства ры-
чагов не происходит потерь работы из-
за трения:
работа на входе = работа на выходе,
FBX • (вх. дуга) = FBbIX • (вых. дуга),
^вх * ^вх ' ® ^ВЫХ ’ ^ВЫХ ' ^5
^ВХ * -^*вх FВЬ|Х • 1-Ъых
ИЛИ
^ВЫх/^ВХ ^'Вх/^'ВЫХ’
Отношение FBb]X/FBX, называемое коэф-
фициентом преобразования, определяет
выигрыш в силе, получаемый с по-
мощью рычага.
Большинство рычагов — щипцы для
орехов, консервовскрыватели, ваги —
нужны для того, чтобы с помощью не-
большой силы, пусть даже действующей
Ьх ” ^t)X ’	^бгИх'^Х
Л= ^бх
Жв»!Х i6blX
на большем пути, приложить к некото-
рому телу большую силу. Обычно ры-
чаг в некоторой степени создает и дру-
гие удобства, обеспечивая согласование
большой и мягкой поверхности ладоней
рук с малой твердой поверхностью мате-
риала. Действующая на консервооткры-
ватель входная сила вашей руки распре-
делена по гораздо большей площади,
нежели выходная сила режущей кромки.
При этом не только входная сила бла-
годаря рычагу будет меньше выходной
силы, но и давление на входе будет
много меньше, чем на выходе. Хорошо
известно, как трудно расколоть грецкий
орех, просто сжимая его в кулаке. Сде-
лать это намного легче, если сдавливать
200
в кулаке два ореха, прижатые друг
к другу.
Выше соотношение сил для рычага
было выведено из требования, чтобы
совершаемая на выходе работа была
равна работе на входе. Отметим, что
это соотношение следует и из равенства
вращающих моментов. Момент силы
равен векторному произведению ра-
диус-вектора из оси в точку приложения
силы и вектора приложенной силы:
(г X F)BX = (г X F)Bblx.
Следовательно,
FBx ' ^-ъх ^"вых * ^-вых,
поскольку мы предположили, что силы
действуют перпендикулярно к плечам
рычага.
Может сложиться впечатление, что
в большинстве используемых нами ры-
чажных устройств большая сила на вы-
ходе получается за счет большего пути
на входе. На самом же деле рычаги, ко-
торыми мы пользуемся чаще всего,
устроены как раз наоборот. Большин-
ство сочленений в нашем организме со-
стоит из рычагов, устроенных так,
чтобы производить большое перемеще-
ние на выходе (и, следовательно, боль-
шую выходную скорость) в обмен на
большую входную силу. На рисунке по-
казаны главные кости и мышцы руки
человека. Для каждой подвижной части
тела необходимы две мышцы. Мышцы
не могут создавать толкающих усилий,
они могут только тянуть. Когда вы под-
нимаете предплечье, бицепс сокращает-
ся, а трицепс удлиняется. Когда вы опу-
скаете предплечье, происходит противо-
положное. Вам ничего не стоит в любой
момент в этом убедиться.
Обычно бицепс прикреплен к пред-
плечью в точке, находящейся на рас-
стоянии около 5 см от локтевого суста-
ва. Кисть руки расположена на расстоя-
нии около 35 см от локтя. Бицепс
должен действовать на плече рычага
длины 5 см, в то время как для подни-
маемого в руке груза это плечо в семь
раз длиннее. Когда точка прикрепления
бицепса сдвигается вверх на 1 см, кисть
поднимается на 7 см. Это здорово! Это
значит, что мышце достаточно вызвать
небольшое движение, которое заставит
кисть двигаться с гораздо большим раз-
махом и поэтому очень быстро. С дру-
гой стороны, рычаг, дающий выигрыш
в перемещении за счет силы, требует
приложения значительных сил. Когда
вы держите на кисти согнутой в локте
руки груз массы 10 кг, вниз действует
сила 100 Н, и ваш бицепс должен тянуть
вверх с силой 700 Н. Вот почему бицеп-
сам приходиться вздуваться.
Вороты. Этот класс устройств вклю-
чает в себя отвертки и дверные ручки.
Принцип их действия такой же, как
у рычага. В большинстве устройств ти-
па ворота на входе действует неболь-
шая сила, приложенная на большом
расстоянии от оси и вызывающая пере-
мещение вдоль большой дуги. Сила на
выходе больше, но действует на мень-
шей дуге. Однако обратите внимание,
что вращающий момент и угловое пере-
мещение на выходе точно такие же, как
и на входе. Такие устройства как от-
вертка и дверная ручка служат также
для согласования размера руки человека
с меньшими размерами механических
систем.
Зубчатые передачи. Такие передачи
образованы зубчатыми колесами, сидя-
щими не на общей оси. Одна шестерня
может зацепляться за другую непосред-
201
Высокая скорость — малый вращающий мо-
мент, низкая скорость — большой вращаю-
щий момент.
Передаточное отношение равно 2.1. Мень-
шее зубчатое колесо должно совершать два
оборота, чтобы повернуть большее колесо
на один оборот Вращающий момент, отда-
ваемый меньшей шестерней, в два раза мень-
ше. чем отдаваемый ботьшей шестерней
ственно, или же они соединяются беско-
нечной цепью. Важная черта зубчатых
передач заключается в том, что они
обеспечивают способ приводить во вра-
щение с некоторой угловой скоростью
один вал от другого, вращающегося
с иной угловой скоростью. Поэтому из-
меняется и вращающий момент. Ма-
ленькая шестерня с небольшим числом
зубцов может вращаться под действием
слабого вращающего момента с боль-
шой скоростью и приводить в медлен-
ное вращение большую шестерню
с большим числом зубцов, развиваю-
щую сильный вращающий момент.
Идеальный коэффициент преобразова-
ния, то есть отношение вращающих мо-
ментов на выходе и входе, равен отно-
шению угла поворота ведущего колеса
к получающемуся при этом углу пово-
рота конечного ведомого колеса.
Вопрос 9-11
Рассмотрите в качестве примера ве-
лосипед с несколькими передачами.
Его приводная система представляет
собой комбинацию зубчатых передач
и двух устройств типа ворота (ша-
туны педалей и заднее колесо). Поче-
му бы не измерить общий коэффи-
циент преобразования, взяв отноше-
ние диаметра окружности, по кото-
рой движутся педали, к диаметру
колеса ?
Реальный коэффициент преобразова-
ния цепных передач всегда меньше
идеального из-за потерь на трение. Ра-
бота на входе должна быть больше, чем
работа на выходе.
Наклонная плоскость. Если нужно
поднять покупателя с одного этажа уни-
вермага на другой, какой способ тре-
бует затраты большей работы — лифт
или эскалатор? Незагруженный лифт
уравновешен противовесами подобно
машине Атвуда, но для подъема его
с пассажирами требуется приложение
дополнительной подъемной силы, рав-
ной весу пассажиров. Поэтому совер-
шаемая работа равна произведению ве-
са пассажиров и высоты подъема.
j Вопрос 9-12
I Разве подъемная сила, необходимая
* для того, чтобы поднять груз, не дол-
жна быть слегка больше его веса?
Если подъемная сила в точности
равна весу, разве груз не будет ви-
сеть неподвижно?
Если груз поднимать под углом
к вертикали, потребуется меньшая подъ-
емная сила. Составляющие силы тяже-
сти показаны на рисунке. В пренебреже-
нии трением сила, которую необходимо
приложить вдоль наклонной плоскости,
равна тд sin 6. К сожалению, путь вверх
по наклонной плоскости для подъема
до высоты h равен h/(sinO). Работа, со-
вершаемая при подъеме тела на высо-
ту h вдоль наклонной плоскости, А =
/ = Fx= (тд sin 8) (h/&vnB)^ mgh
— Fx = (mg sin 6) [h/(sin 6)] = wig/i. Оче-
видно, что работа по подъему груза с
помощью наклонной плоскости не за-
висит от угла наклона. С углом наклона
изменяется сила, которую необходимо
приложить. И здесь мы наблюдаем уже
знакомую нам связь между силой
и пройденным путем. Пологий уклон
позволяет обойтись небольшой силой,
но требует преодоления длинного пути
для достижения намеченной высоты.
В действительности работа по пере-
мещению грузов по наклонной плоско-
сти обычно зависит от угла ее наклона.
202
Так получается из-за трения между гру-
зом и плоскостью. Сила, которая нужна
для поддержания движения груза вверх
вдоль плоскости, равна mr/sinO + Ттрсняя.
Идеальным коэффициентом преобразо-
вания наклонной плоскости называется
отношение
(сила, необходимая для подъема
груза по вертикали)/(сила,
необходимая для перемещения груза
вдоль плоскости без трения).
Этот коэффициент равен также отно-
шению
(расстояние вдоль плоскости до
высоты /1)/(высота /1),
которое, очевидно, равно
Л/ (sin 6)	1
h	sin 6
Реальный коэффициент преобразова-
ния наклонной плоскости равен отноше-
нию веса груза к реальной силе, необхо-
димой для перемещения груза вверх по
плоскости с преодолением трения.
Наклонные плоскости использо-
вались еще на строительстве пирамид;
они стали неотъемлемой частью и со-
временной жизни. Принцип действия на-
клонной плоскости используется в лю-
бом винтовом устройстве, начиная от
шурупов и кончая винтовыми крышка-
ми для банок. В этих случаях наклонная
дорожка обвивается вокруг центральной
оси.
Блоки. Если веревка охватывает
шкив, который может свободно повора-
чиваться без трения, ее натяжение по
одну сторону от шкива будет таким же,
как и по другую сторону. Следователь-
но, с помощью прикрепленного к по-
толку блока можно поднимать что-либо
вверх, если тянуть веревку вниз. Ис-
пользуя еще один блок, движущийся
вместе с грузом, можно подвесить груз
на двух стреньгах одного троса, и каж-
дая из них будет тянуть груз вверх с си-
лой, равной силе натяжения троса. Че-
ловек, который тянет трос, прилагает
силу, равную силе натяжения троса; по-
этому в таком устройстве эффективно
происходит удвоение прилагаемой чело-
веком силы. Однако каждый метр вытя-
нутой веревки перемещает груз только
Идеальный коэффициент преобразования ра-
вен: а) 1; б) 2; в) 4
на полметра. И снова в идеализирован-
ном случае, когда нет трения, работа на
входе равна работе на выходе.
Идеальный коэффициент преобразо-
вания простой системы блоков можно
найти, подсчитывая число нитей троса,
поддерживающих груз. Реальный коэф-
фициент преобразования обычно значи-
тельно меньше идеального, поскольку
блоки под большой нагрузкой часто
подвержены значительному трению.
Для нахождения реального коэффициен-
та преобразования нужно измерить от-
ношение силы на выходе (то есть на-
грузки) к силе на входе при условии, что
груз действительно перемещается.
РЕЗЮМЕ
Обратите внимание, что мы не опре-
деляем энергию как способность совер-
шать работу. Вместо этого мы ищем
связанную с движением физическую ве-
личину, обладающую особым свой-
ством не изменяться при столкновениях
определенного типа. В столкновениях,
осуществляемых через пружины, когда
не остается вмятин и тела не слипаются,
величина (1/2) mv2 сохраняется. Эта фи-
зическая величина по определению и бу-
дет кинетической энергией. В упругих
столкновениях сохраняются как им-
пульс, так и кинетическая энергия. Это
двойное ограничение жестко лимити-
рует возможные результаты столкнове-
ния. Для лобового упругого столкнове-
ния двух тел с заданными массами
и начальными скоростями возможно
единственное сочетание конечных скоро-
стей.
Тело приобретает кинетическую
энергию, если оно подвержено действию
силы на протяжении некоторого пути.
Работа определяется как произведение
силы и перемещения. Такой вид про-
изведения двух векторов называется
скалярным произведением и обозна-
чается точкой между сомножителями.
Это произведение дает скалярную вели-
чину: работа равна Fx = |F||х|cos6,
где 6 — угол между приложенной силой
и результирующим перемещением.
Единицей работы служит джоуль
(Дж); 1 джоуль равен работе, совершае-
мой силой 1 ньютон, действующей на
пути 1 метр. Тело массы 1 кг, движу-
щееся со скоростью 1 м/с, имеет кинети-
ческую энергию (1/2) mv2 = (1/2) Дж.
Кинетическая энергия вращения рав-
на (1/2)/со2, где I — момент инерции
вращающегося тела, а со — его угловая
скорость в радианах в секунду. Вращаю-
щиеся системы можно использовать для
накопления энергии, хотя их возможно-
сти ограничены напряжениями, которые
создаются центростремительными сила-
ми, необходимыми для удержания ча-
стей вращающегося тела
Работа и кинетическая энергия опре-
делены так, что они входят как со-
ставные части закона сохранения. Рабо-
та, совершаемая при увеличении скоро-
сти тела, равна увеличению кинетиче-
ской энергии тела. Подобным же обра-
зом движущееся или вращающееся тело
за счет своей кинетической энергии мо-
жет совершать работу, приложив силу
на некотором пути.
Простые механизмы представляют
собой устройства, в которых перемеще-
ния на входе и выходе определенным
образом связаны с силами, развиваемы-
ми этими механизмами там же. Работа
на входе всегда равна или больше ра-
боты на выходе. Если сила на выходе
204
больше, чем на входе, перемещение на
входе должно быть больше перемеще-
ния на выходе:
Fвх ' Хвх ЕВЬ1Х  Хвь1х.
Равнозначность работы и кинетиче-
ской энергии имеет лишь ограниченную
применимость, поскольку иногда возни-
кает впечатление, что энергия тела исче-
зает. Например, так происходит, когда
движущееся тело останавливается, под-
нимаясь в гору или сжимая пружину,
или даже просто замедляется. В следую-
щей главе мы расширим применимость
закона сохранения энергии, вводя по
определению новые формы энергии.
Ответы на вопросы
’Xj. Деньги, как и энергия, полезны только
в процессах обмена. Какие-то превра-
щения происходят, когда деньги расхо-
дуются, а не лежат в банке. То же
самое и с энергией. Аккумулятор авто-
мобиля не запускает двигателя, пока не
повернут ключ зажигания. Лишь затем
происходит изменение внутренней
структуры батареи, и электрический
стартер начинает вращаться. Мы мо-
жем вести учет этих преобразований,
считая, что аккумуляторная батарея
расходует энергию, а двигатель ее по-
лучает.
Взаимодействия, в которых величина
mv2 не сохранялась, были связаны либо
с остаточными изменениями формы
пружин, либо с наличием трения или
слипания. В частности, взаимодействия,
вызванные внезапным расширением за-
жатой между тележками пружины, не
сохраняют величину mv2.
Исходная тележка продолжала бы дви-
жение со скоростью Г; = v0, оставив те-
лежку-мишень с нулевой скоростью, ес-
ли бы исходная тележка проскочила
мимо мишени. Конечно, трудно себе
представить, чтобы это произошло на
воздушной дорожке, но ведь математи-
ка не знает, что она описывает столк-
новение именно на такой воздушной
дорожке. Формулы дают лишь модель
реальной ситуации, и потому возможна
ошибка.
<К4. Условие разлета под углом 90° не тре-
бует, чтобы каждый из шаров двигался
под углом 45° к первоначальному на-
правлению. В зависимости от того, на-
сколько данное столкновение близко
к лобовому или к скользящему, шар-
мишень может прийти в движение
в любом направлении, лежащем
в пределах от направления вперед до
направления почти под прямым углом
к нему. Однако независимо от направ-
ления движения шара-мишени угол ме-
жду траекториями одинаковых шаров
должен быть равен 90°.
Верно, что результаты столкнове-
ния остаются определенными не пол-
ностью, если только не налагается еще
одно условие. Однако если вы измери-
те только одну из четырех переменных
конечного состояния, то остальные три
будут тогда иметь определенные значе-
ния. Например, если вы видите, что
шар-мишень отлетает под углом 30°,
то остается только один возможный
набор значений для скоростей двух ша-
ров и угла рассеяния налетающего ша-
ра. Более того, если известно расстоя-
ние от центра шара-мишени до линии
движения центра налетающего шара,
то известен и момент импульса си-
стемы. Поскольку момент импульса
должен сохраняться, существует че-
твертое ограничивающее условие (то
есть уравнение), так что значения всех
четырех конечных переменных могут
быть предсказаны.
9-5. Когда mi = т2, формулы дают tij = 0,
v2 = «о- Налетающий шар-снаряд оста-
навливается, а шар-мишень движется
после удара с такой скоростью, какой
обладал до удара налетающий шар,
как мы уже видели раньше.
Когда т1=(1/2)т2, отношение
vi/v2 = — 1/2- В этом случае, когда те-
лежка налетает на другую, имеющую
вдвое большую массу, v2 =
— (2/3) v0 — более массивная тележка
отлетает со скоростью, которая состав-
ляет две трети от первоначальной,
а легкая отскакивает назад со ско-
ростью v1 = — (1/2)р2 = -(1/3)г0.
Когда т1 = 2т2, отношение
vjv2 = IM- Когда тележка налетает на
другую, имеющую вдвое меньшую
массу, гележка-мишень отлетает вперед
со скоростью t>2 = (4/3) г>0, а более мас-
сивная тележка-снаряд продолжает
движение вперед со скоростью vt =
= (1/3)г0.
Если т1»т2, то отношение
vt Д>2 ® 1/2. Мишень отлетает со ско-
ростью вдвое большей, чем у снаряда.
При этом скорость снаряда прибли-
женно равна первоначальной. (Автомо-
биль, налетев на теннисный мяч, не за-
медлится сколь-нибудь заметно. От-
метьте, что мяч отлетит вперед со
скоростью вдвое большей, чем у авто-
мобиля )
t- Это правильно! Не требуется совер-
шать никакой работы, чтобы передви-
нуть ящик по комнате.
В соответствии с тем значением,
которое имеет это слово в повседнев-
ной жизни, работа означает нечто тре-
бующее оплаты. Стоит ли платить за
переноску ящика по комнате, если это
с равным успехом можно сделать, ис-
пользуя его скольжение по дорожке
с малым трением? Такой способ не по-
требует затрат горючего, не будет ни-
чего стоить и поэтому не связан с со-
вершением работы
Подсчитаем, какую работу нужно со-
вершить для ускорения тела массы 1 кг
из состояния покоя до скорости 1 м/с.
Предположим, что мы приложили силу
1 Н. Тогда ускорение а = F/m = 1 м/с2.
Расстояние, на котором должна дей-
ствовать сила, чтобы тело достигло
скорости 1 м/с, дается формулой v2 =
= 2ах. Отсюда (1 м/с)2 =2(1 м/с2)х.
Следовательно, расстояние х = 1/2 м.
Поэтому работа, необходимая для
ускорения тела массы 1 кг до скорости
1 м/с, равна F-x — (l Н)-(1/2 м) = 1/2
Дж. Этот расчет согласуется с форму-
лой для кинетической энергии тела
^„H = (l/2)mv2.
г с При расширении пружина может, на-
пример, привести в движение тележки
на воздушной дорожке, как это показа-
но на стробоскопических фотографиях
взаимодействия тележек, и сообщить
тележкам кинетическую энергию,
Пружина ведет себя как устройство для
передачи работы телу, которое может
затем обрести кинетическую энергию.
Конечно, пружина может также хра-
205
нить работу, прежде чем передать ее
телу. Мы будем еще изучать это явле-
ние в главе 10.
9-9. Как импульс, так и кинетическую энер-
гию можно использовать в качестве
критериев для оценки повреждений,
причиняемых столкновением. Если ис-
пользовать импульс, то критическим
фактором при нахождении возникаю-
щих сил будет служить время останов-
ки. Если использовать кинетическую
энергию, то нужно рассматривать тор-
мозной путь. Когда остановка автомо-
биля происходит под действием по-
стоянной силы, при начальной скоро-
сти 60 миль/ч для остановки потре-
буется в два раза большее время, но
тормозной путь будет в четыре раза
больше, чем при скорости 30 миль/ч.
9-10. F = m<o2r = аг  4л2/2 • г =
= (6- 103S/2) [4л2 (2/3)2 • 102]  (1/2) =
6-103-4л2-2-2-104
2-3-2-3
= 24  107,
AL ДБ
F = E--, -
L L
24-107
1 •1011
= 2,4- 10~3.
Оказывается что проволока прибли-
жается к пределу прочности. В дей-
ствительности существуют более проч-
ные материалы и лучшие конструкции.
9-11. Если бы идеальный коэффициент пре-
образования у велосипеда был равен
отношению диаметра окружности, по
которой движутся педали, к диаметру
колеса, то переключение передач не да-
вало бы никакого эффекта. Чтобы из-
мерить коэффициент преобразования
и увидеть эффект переключения пере-
дач, нужно измерить путь, проходимый
точкой на окружности колеса за один
оборот педалей. Отношение длины
окружности, которую описывают педа-
ли, к этому пути равно идеальному
коэффициенту преобразования. Ре-
альный коэффициент преобразования
меньше из-за трения в шестернях
и цепном приводе. Трение не влияет на
это отношение длин, но из-за него при-
дется сильнее нажимать на педали.
Кстати, даже у велосипедов с десятью
скоростями коэффициент преобразова-
ния на всех скоростях меньше единицы.
9-12. Если подъемная сила в точности равна
силе, направленной вниз, лифт будет
в равновесии, но это не значит, что он
обязательно неподвижен. Это только
означает, что нет ускорения; скорость
постоянна. Если лифту сообщить не-
большой дополнительный толчок
вверх, он будет подниматься. Если за-
тем подъемная сила равна действую-
щей вниз силе, лифт будет продолжать
подниматься с постоянной скоростью.
На практике реальный лифт подвержен
трению в системе блоков. Подъемная
сила должна быть достаточно большой
для преодоления трения.
Задачи
1.	Хоккейная шайба скользит 5 м, если
при броске ей сообщают начальную ско-
рость 2 м/с. Какой путь она проскользит, ес-
ли ей сообщить начальную скорость 4 м/с?
2.	Если вы находитесь в движущемся
со скоростью 60 миль/ч автомобиле, чему
равна кинетическая энергия (в джоулях) на-
ходящегося в ваших руках полукилограммо-
вого мяча по отношению к вам? По отноше-
нию к человеку, стоящему рядом с шоссе?
3.	Накатите мяч (например, теннисный,
для гольфа или стеклянный шарик) на иден-
тичный покоящийся так, чтобы произошло
скользящее столкновение. Будет ли прямым
угол между траекториями мячей после
столкновения? Объясните.
4.	Автомобиль массы 2 т, движущийся
по обледеневшей дороге со скоростью 50
км/ч, сталкивается «в лоб» с автомобилем
массы 1 т, движущимся навстречу со ско-
ростью 50 км/ч. В результате столкновения
автомобили оказываются сцепленными. Че-
му равна их результирующая скорость? Че-
му равно изменение скорости для пассажира
тяжелого автомобиля? Легкого автомобиля?
Сколько кинетической энергии потеряно при
столкновении?
5.	Тележка на воздушной дорожке,
имеющая массу 300 г и движущаяся со ско-
ростью 1 м/с, упруго сталкивается с покоя-
щейся тележкой массы 100 г. Чему равны их
результирующие скорости?
6.	Тележка на воздушной дорожке,
имеющая массу 100 г и движущаяся со ско-
ростью 1 м/с, упруго сталкивается с покоя-
щейся тележкой массы 300 г. Чему равны их
результирующие скорости?
7.	Клюшка для гольфа, имеющая мас-
су 0,5 кг, ударяет по мячу для гольфа, масса
которого 46 г, со скоростью 30 м/с. Прини-
мая, что удар упругий (это разумное прибли-
жение, хотя удар не вполне упругий), найдите
результирующую скорость мяча.
8.	Чему равна ваша кинетическая энер-
гия, когда вы бежите изо всех сил?
9.	Чему равна кинетическая энергия
мяча массы 300 г, когда кы бросаете его со
скоростью 40 м/с?
10.	При столкновении электрона с дру-
гим покоящимся электроном первый имел
206
скорость 1  107 м/с. После столкновения он
движется под углом 60° к исходному направ-
лению. Чему равны скорости обоих электро-
нов после столкновения? В каком направле-
нии движется второй электрон?
11.	В зажатой между двумя телами пру-
жине содержится 100 Дж запасенной энергии.
Масса одного из тел равна 900 г, масса дру-
гого — 100 г. Как распределится энергия по-
сле освобождения пружины? Примите, что
пружина сообщает этим телам всю свою
энергию и что они могут двигаться без тре-
ния. (Не забывайте, что импульс должен
сохраняться.)
12.	Девушка, масса которой т, стоит не-
подвижно на коньках и держит в руках мяч
массы пг0. Она бросает мяч в стену со скоро-
ростью V. Мяч упруго отскакивает от стены,
после чего девушка его ловит. Чему равна ее
конечная скорость, если ее движение проис-
ходит без трения? Откуда у нее берутся им-
пульс и кинетическая энергия? Ведь сначала
у нее не было ни того, ни другого.
13.	Человек поднимает ящик массы 10 кг
с пола на высоту 1 м, затем переносит
ящик, не изменяя высоты, на которой тот на-
ходится, на расстояние 10 м и затем снова
опускает его на пол. Какую работу над ящи-
ком совершил человек на каждом этапе этой
деятельности? Чему равна полная работа,
совершенная человеком?
14.	Когда к некоторой пружине подве-
шен груз массы 2 кг, пружина удлиняется на
4 см. Какую работу нужно совершить, чтобы
растянуть пружину на длину от 0 до 12 см?
15.	Какая физическая величина
представляется площадью под графиком
функции F(t)? Что представляется пло-
щадью под графиком функции F(x)?
16.	Сани тянут на пути 100 м с силой 80 Н
за веревку, составляющую угол 30° с го-
ризонтом. Какая работа совершается над
санями1’
17.	Момент инерции твердого шара от-
носительно диаметра I=(2/5)mR2. Когда
шар катится под уклон, какая доля его кине-
тической энергии связана с поступательным
движением (движением центра масс) и ка-
кая — с вращением?
18.	Твердые шар, диск и обруч, масса
которого сосредоточена в ободе, имеют мас-
су 2 кг и радиус 10 см каждый. Сколько
энергии нужно, чтобы раскрутить вокруг оси
каждое из этих тел до частоты 10 с-1?
19.	Чему равна кинетическая энергия
1
грампластинки на 33— оборотов в минуту,
если ее масса равна 100 г, а радиус равен
15 см?
20.	Чему равна кинетическая энергия
вращения Земли вокруг своей оси? Примите,
что момент инерции планеты I = 0,2mR2.
Сравните эту энергию с энергией Луны, об-
ращающейся вокруг Земли. (т3 = 6,0- 1024 кг,
R3 = 6,4  106 м, тл = 7,3  1022 кг, Лл =
= 3,8-108 м.)
21.	Чтобы приподнять валун массы
200 кг, фермер подсовывает под него ко-
нец двухметрового лома. Точкой опоры
служит бревно, лежащее в 25 см от конца
лома. С какой силой нужно надавить вниз
на другой конец лома, чтобы сдвинуть
валун?
22.	Рукоятка лебедки парусной шлюп-
ки находится на расстоянии 30 см от
центра барабана. Радиус барабана, на
который наматывается веревка, равен
5 см. Какая сила натяжения создается в
веревке, если к рукоятке приложена сила
100 Н?
23.	Ведущая шестерня велосипедной
цепной передачи имеет диаметр ЗО см.
Она соединена цепью с шестерней диа-
метра 10 см. Если педали крутят с часто-
той 1 с-1, какова частота вращения зад-
него колеса?
24.	Чему равен идеальный коэффици-
ент преобразования наклонной плоскости,
образующей угол 10° с горизонтом? Чему
равен реальный коэффициент преобразова-
ния, если коэффициент трения между те-
лежкой и плоскостью равен 0,1?
25.	Система блоков состоит из блока
на потолке и второго блока, прикреплен-
ного к грузу. Человек тянет вниз за веревку,
которая перекинута через верхний блок,
охватывает нижний блок и прикреплена
к потолку. Чему равен идеальный коэффи-
циент преобразования системы? С какой
силой нужно тянуть за веревку, чтобы
поднимать груз массы 100 кг при коэф-
фициенте полезного действия системы,
равном 80 % ?
ГЛАВА 10. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
И МОЩНОСТЬ
Слово «энергия» рождает в сознании
образы бушующих волн, мчащихся ав-
томобилей, прыгающих людей и интен-
сивной деятельности любого типа. Ме-
жду тем существует и другой тип
энергии. Она прячется под землей
в нефтеносных пластах или таится в во-
дохранилищах перегороженных плоти-
нами каньонов. Аккумулятор автомо-
биля или неподвижная мышеловка
в действительности наполнены запасен-
ной энергией, которая готова выплес-
нуться наружу и воплотиться в движу-
щиеся формы, которые мы уже рассмо-
трели. Такие неподвижные формы энер-
гии называют потенциальными как бы
специально для того, чтобы подчерк-
нуть, что их потенциально можно пре-
вратить в энергию движения. В действи-
тельности любую форму энергии мож-
но превратить в другую, и в этом
смысле любую форму энергии можно
назвать потенциальной. Обычно, одна-
ко, термин потенциальная энергия отно-
сится к энергии, запасенной в деформи-
рованном теле или в результате смеще-
ния тел в некотором электрическом,
магнитном или гравитационном сило-
вом поле. Если тела смещаются из
определенных положений, а затем воз-
вращаются обратно, система снова при-
208
обретает свою первоначальную потен-
циальную энергию.
В этой главе мы рассмотрим не-
сколько различных видов потенциаль-
ной энергии. В каждом случае кинетиче-
ская энергия или работа могут быть
превращены в скрытую форму энергии,
а затем восстановлены обратно без по-
терь. Более того, мы определим потен-
циальную энергию таким образом,
чтобы во всех случаях полная энергия
оставалась постоянной. При соверше-
нии работы или при исчезновении кине-
тической энергии потенциальная энер-
гия будет увеличиваться. В таких про-
цессах энергия будет сохраняться, что
и неудивительно, поскольку само поня-
тие потенциальной энергии вводится
именно для этой цели. В действительно-
сти, конечно, в большинстве систем ра-
но или поздно исчезают и потенциаль-
ная, и кинетическая энергия. Тогда мы
определяем новый вид энергии, связан-
ной с внутренней структурой вещества,
и снова «спасаем» закон сохранения
энергии. В главе 12 мы увидим, как де-
лается этот последний шаг.
Вопрос 10-1
Дело выглядит так, будто сохране-
ние энергии — просто выдумка лю-
дей. Если энергия исчезает, мы при-
думываем новую форму и говорим,
что энергия превратилась в эту но-
вую форму и поэтому сохраняется.
Отражает ли физическую реальность
закон, или он вводится для удобства?
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Во многих игрушках используются
устройства, запасающие энергию. В на-
ши дни это обычно электрические бата-
рейки для карманных фонарей (или «су-
хие» элементы). В былые времена широ-
ко использовались резиновые моторчи-
ки, особенно в моделях самолетов или
в игрушечных корабликах. Удобство
скрученных резиновых лент (в противо-
положность растянутым) заключается
в том, что необходимый для завода мо-
торчика момент сил существенно не
увеличивается по мере роста числа обо-
ротов. В первом приближении, увели-
чив вдвое число оборотов длинной
резиновой нити, вы запасаете вдвое
большую энергию. Легко самому прове-
рить это свойство запаса энергии, изго-
товив простой игрушечный колесный
кораблик. Закончив научные экспери-
менты с корабликом в ванне, можно
осчастливить им какого-нибудь ма-
лыша.
Классическая форма такого корабли-
ка показана на рисунке. Прикрепите ло-
пасть к резинке, чтобы она не падала
каждый раз, когда та раскрутится. Про-
верьте линейность запаса энергии, изме-
ряя проходимое расстояние в зависимо-
сти от числа оборотов, сделанных при
заводе моторчика.
Другой простой способ запасти энер-
гию — это поднять груз на большую
высоту. Когда груз падает, запасенная
энергия превращается в кинетическую.
Движение маятника — пример непрерыв-
ного взаимного превращения потенци-
альной энергии тяготения и кинетиче-
ской энергии. Когда груз проходит
через низшую точку, запасенная энергия
тяготения целиком превращается в ки-
нетическую энергию, а затем, когда груз
поднимается, кинетическая энергия пре-
вращается снова в потенциальную. Как
мы увидим, потенциальная энергия тя-
готения определена таким образом, что
полная энергия качающегося маятника
остается постоянной — не считая ее по-
степенного медленного рассеяния.
Вот способ отнять энергию, и кине-
тическую, и потенциальную, от одного
маятника и отдать другому, а затем
вернуть обратно первому, и так много-
много раз. Привяжите бечевку к спин-
кам двух стульев, как показано на ри-
сунке. На бечевку подвесьте два маятни-
ка, имеющих одинаковую длину и,
следовательно, одинаковый период ко-
лебания. Качните один маятник и по-
смотрите, что будет происходить с дру-
гим. Передвигая стулья и таким обра-
зом натягивая или ослабляя поддержи-
вающую бечевку, можно менять ско-
рость, с которой энергия «перекачивает-
ся» от одного маятника к другому.
Такое устройство называется: связанные
маятники. Наблюдая за этой системой,
можно почти видеть движение энергии
из одной части системы в другую.
Скорость совершения работы или
использования энергии называется мощ-
ностью. При совершении работы, рав-
ной 1 джоулю в секунду, развивается
мощность 1 ватт. Единица мощности,
определенная в XVIII веке и до сих пор
находящая применение в инженерных
кругах, — это лошадиная сила. Она была
введена Джеймсом Уаттом в 1783 году
как средняя работа за одну секунду, ко-
торую могла совершить сильная ан-
глийская ломовая лошадь, равномерно
работающая целый день. Одна лошади-
ная сила (1 л. с.) равна 746 ваттам.
Если бы вам пришлось равномерно
работать целый день, то, вероятно, вам
не удалось бы развить и одной десятой
лошадиной силы. Однако при кратко-
временных усилиях можно быть столь
же мощным, как и лошадь. Убедитесь
в этом сами, поднимая грузы. Наиболее
подходящий для этой цели груз — это
ваше собственное тело. Можно либо
подтягиваться на перекладине, либо бе-
209
жать вверх по лестнице. В любом слу-
чае следует умножить ваш вес (в ньюто-
нах) на расстояние (в метрах) по верти-
кали, на которое вы поднимаетесь,
и поделить на время (в секундах), кото-
рое для этого потребовалось. К приме-
ру, при массе 65 кг ваш вес равен при-
мерно 650 Н. Подтягиваясь, вы каждый
раз поднимаете себя примерно на 50 см
и таким образом совершаете работу
в 650 Н  0,5 м = 325 Дж. Если вы сможе-
те подтягиваться со скоростью один раз
в секунду, то развиваемая вами мощ-
ность будет чуть меньше половины ло-
шадиной силы. Вероятно, вы можете
развить большую мощность с по-
мощью мускулов ног, взбегая наверх по
лестнице. Попытайтесь.
ЗАПАСЕНИЕ ЭНЕРГИИ
ПРИ ИСКАЖЕНИИ СИСТЕМЫ
Когда тележка на воздушной дорож-
ке натыкается на пружину, или подни-
мается в гору по наклонному пути, или,
неся на себе магнит, приближается
к другому, неподвижному магниту, от-
талкивающему первый, ее кинетическая
энергия исчезает. В каждом из этих слу-
чаев большая часть кинетической энер-
гии восстанавливается, когда тележка
отскакивает назад в свое исходное поло-
жение на другом конце дорожки. Мож-
но спасти закон сохранения энергии,
сказав, что пружина, гравитационная сис-
тема Земля — тележка и магниты мо-
гут запасать энергию. Запасенная энер-
гия равна убыли кинетической энергии,
или совершенной тележкой работе, при
движении против тормозящей силы.
Определим запасенную потенциальную
энергию в каждом случае, вычислив со-
вершенную работу.
Тележка, имеющая начальную ско-
рость v0, поднимается вверх по наклон-
ной плоскости. Проходимый ею путь
х определяется из соотношения
гк — Vo — 2ах.
Ускорение тележки равно — gsinO,
а высота, на которую она поднимется,
есть h = х sin 0. Когда тележка остана-
вливается, имеем
0 — Pq = 2 ( — д sin 0) (Л/sin 0) = — 2gh.
Умножим обе части равенства на
(1/2) т:
(1/2) mv% = mgh.
Исчезнувшая кинетическая энергия рав-
на (1/2) mvg. Если определить происходя-
щее при этом увеличение потенциаль-
ной энергии тяготения как mgh, то
потери энергии не будет. Кинетическая
энергия превратилась в потенциальную
энергию тяготения — по определению.
Посмотрите на график зависимости
силы F от высоты Л при подъеме тела
массы т на эту высоту. График предста-
вляет собой горизонтальную линию, по-
скольку сила постоянна и равна весу те-
ла тд. Совершенная при подъеме тела
210
работа равна площади под прямой F (h).
Работа идет на удаление тела от Земли
и запасается как гравитационная энер-
гия. График зависимости этой энергии
от h — это то же самое, что и график ра-
боты, совершаемой при подъеме те-
ла. Обратите внимание, что, пока сила
постоянна, совершаемая работа, или за-
пасаемая энергия, пропорциональна ве-
су поднимаемого тела. Работа, совер-
шаемая при подъеме тела на высоту h,
равна запасенной потенциальной энер-
гии гравитационного поля и равна mgh.
Вопрос 10-2
Ускорение груза маятника при кача-
ниях, безусловно, не является по-
стоянным. Тем не менее, в соответ-
ствии с превращением кинетической
энергии в потенциальную, как свя-
заны между собой максимальная
скорость во время качаний с макси-
мальной высотой подъема по верти-
кали?
Гравитационная потенциальная энер-
гия может превратиться в кинетическую
энергию вращения, равно как и в кине-
тическую энергию движения центра
масс тела. По мере того как круглое те-
ло скатывается вниз с некоторой вы-
соты, эти два вида энергии увеличи-
ваются за счет освобождающейся грави-
тационной потенциальной энергии;
mgh = (1/2) mv2 + (1/2)/со2 =
= (1/2) mv2 + (l/2)Kmr2a2 =
= (1/2) mv2 + (1/2) Kmv2 =
= (1 + K)(l/2)mv2.
Зависящая от формы тела постоян-
ная К входит в выражение для момента
инерции, взятого относительно центра
масс. Все три выражения для энергии
записаны для центра масс тела: потен-
циальная энергия тела, центр масс кото-
рого находится на высоте h, кинетиче-
ская энергия поступательного движения
центра масс, кинетическая энергия вра-
щения тела относительно центра масс.
Итак,
для обруча;
mg/i->(l + 1) — mv2 = mv2,
для диска:
mgh
— mv2 = —mv2,
2	4
для шара:
7
/	2 \ 1	7
mgh -> 1 -I----I — mv2 =-----mv2.
\	5 2	10
10
Вопрос 10-3
Теперь мы можем найти скорость
тела, которое скатилось с некоторой
высоты, без обращения к силам или
вращающим моментам. Сравните
этот способ вычисления с результа-
тами расчета в вопросе 6-9.
В главе 9 была вычислена работа,
совершаемая при сжатии или растяже-
нии пружины. Сила, которую необходи-
мо приложить к пружине, чтобы удли-
нение ее было равно х, пропорциональ-
на удлинению: F = кх. Полная работа,
которую необходимо совершить при из-
менении длины пружины на величину х,
составит поэтому
А = (1/2) кх2.
Поскольку, возвращаясь в недеформи-
рованное состояние, пружина может со-
вершить точно такую же работу, потен-
циальная энергия, запасенная в пружине,
211
определяется как
%>ylK = (1/2) кх2.
На рисунке показана зависимость
Fix) для пружины. Обратите внимание
на то, что на графике изображена прило-
женная сила, которая направлена в ту
же сторону, что и деформация. Возвра-
щающая сила со стороны пружины на-
правлена в противоположную сторону.
Вместо того чтобы использовать на
тележках пружины, можно взять маг-
ниты с направленными друг к другу
одноименными полюсами. На рисунке
Обратите внимание на то, что г — это рас-
стояние между центрами магнитных стержней
изображено стандартное устройство
с использованием цилиндрических маг-
нитов. Столкновение тележек, снаб-
женных такими магнитами, происходит
абсолютно упруго, без потери кинетиче-
ской энергии. В действительности те-
лежки никогда не касаются друг друга.
Если магниты раположены, как показа-
но на рисунке, то сила, необходимая для
того, чтобы сближать их, приблизитель-
но ведет себя так:
F ~ 1/х2.
На следующем рисунке изображен
график функции F = С/х2, где С >
> 0 — постоянная, зависящая от намаг-
ниченности магнитов. Энергия, запасен-
ная в системе, определяется как работа,
совершаемая при сведении магнитов
вместе. Эта энергия пропорциональна
площади под кривой на графике F(x).
Для любой конкретной ситуации пло-
щадь можно измерить, сосчитав квадра-
тики на миллиметровой бумаге. Полез-
но, однако, вывести общее выражение
для запасенной энергии в случае, когда
сила пропорциональна 1/х2. Напомним,
что сила гравитационного притяжения
между двумя шарами пропорциональна
1/х2. Тот же закон справедлив и для
сил, действующих между сферами, рав-
номерно покрытыми электрическими за-
рядами. Поэтому приводимый вывод
212
Работа, совершаемая при сближении магни-
тов с расстояния х2 до х, между ними
(заштрихованная область). Обратите внима-
ние на то, что х — расстояние между кон-
цами магнитных стержней
применим к нескольким очень важным
явлениям.
Вычислим работу, совершаемую при
сближении магнитов от расстояния х10
между ними до расстояния х2. Эта ра-
бота пропорциональна площади под
кривой F(x) между точками х = 10 и
х = 1. Она больше, чем F10(x1 — х10), но
меньше, чем F1(x1— х10). Среднее зна-
чение силы, конечно, больше Fl0, но
меньше Ft. Однако на малых расстоя-
ниях сила существенно не меняется. Разо-
бьем весь путь на девять шагов. При
движении, например, от х6 до х5 сред-
нее значение силы лежит где-то между
F6 = С/(х6)2 и F5 = С/(х5)2. Геометриче-
ское среднее этих двух сил равно F =
= С/(х5х6). Таким образом, приближен-
но работа, совершаемая при сближении
магнитов на это маленькое расстояние,
Л5_6 « (С/х5х6)(х6 — х5). Работа, совер-
шаемая при прохождении всех девяти
шагов,
(Хд Хд)
^10-
ХдХ8
Видно, что довольно сложная алге-
бра приводит к простому ответу. Все
члены, соответствующие промежу-
точным шагам, сокращаются. Более то-
го, все промежуточные члены сократи-
лись бы и в том случае, если бы мы
разбили путь на сто или даже тысячу
шагов.
Если бы мы хотели найти работу,
совершаемую при сближении двух маг-
нитов до тех пор, пока расстояние ме-
жду ними не станет равным х, то сле-
дует положить х10 настолько большим,
чтобы магниты практически не влияли
друг на друга. При х10 -> оо величина
1/х1О->0. Таким образом, работа по
сближению магнитов до расстояния
х между ними равна С/х Поскольку
магниты способны совершить такую же
работу при отталкивании друг от друга,
их потенциальная энергия по определе-
нию
fFn0T = С/х
в случае, когда сила отталкивания равна
С/х2. Это выражение справедливо для
гравитационных и электростатических
систем в случае точечных или сфериче-
ских тел. Если тела сферические, то под
х понимается расстояние между их цен-
трами.
Вопрос 10-4
Потенциальная энергия положитель-
на, если тела отталкиваются друг от
друга. А как определить потенциаль-
ную энергию в том случае, когда те-
ла притягиваются? (В следующем
разделе мы рассмотрим такую си-
туацию применительно к тяготению.)
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Интересно, какой потенциальной
энергией вы обладаете? Сидите ли вы,
или лежите, ваш центр масс находится
на некоторой высоте h над полом. Рав-
на ли ваша потенциальная энергия mgh?
Но как высоко расположен пол над
землей? Если вы стоите на поверхности
земли, ваша потенциальная энергия рав-
на нулю. Но если так, то чему она бу-
дет равна, когда вы спуститесь в под-
вал? Выходит, что нулевое значение
потенциальной энергии зависит от до-
вольно произвольного соглашения.
В действительности всегда измеряются
Если ваша потенции шная энергия равна mgh.
то что такое й9
213
только разности значений потенциаль-
ной энергии. Когда совершается работа
по деформации системы, запасенная
энергия равна разности между ко-
нечным и начальным значениями потен-
циальной энергии.
Рассмотрим показанную на рисунке
ситуацию, когда мяч для гольфа нахо-
дится в лунке. Оказывается, что потен-
циальная энергия мяча зависит от того,
где выбрана нулевая точка — на уровне
подступов, возвышения или лунки. В за-
висимости от этого выбора потенциаль-
ная энергия мяча положительна, отри-
цательна или равна нулю. Физический
смысл, однако, имеет только изменение
потенциальной энергии мяча при пере-
мещении с одной высоты на другую.
Потенциальная энергия И^,,, мяча, измерен-
ная от подступов mgh} = 1,01 Дж, от лунки
nujh2 = 0, от возвышения mghj = — 0,1 Дж
Но изменение потенциальной энертии при
переходе мяча из лунки на возвышение
ДИрод- есть.
1,1 Дж — 1,0 Дж = 0,1 Дж, или
0.1 Дж - 0 Дж = 0,1 Дж, или
0 Дж - (-0,1 Дж) = 0.1 Дж
Как видно из рисунка, изменение потен-
циальной энергии мяча при его подъеме
из лунки на возвышение равно одной
и той же положительной величине неза-
висимо от того, где было выбрано нача-
ло отсчета.
Хотя выбор точки нулевого значения
потенциальной энергии произволен, су-
ществует несколько вполне разумных
соглашений. Например, если система
типа пружины находится в недеформи-
рованном состоянии, так что она не
стремится ни растянуться, ни сжаться,
то разумно считать ее потенциальную
энергию при этом равной нулю. Если
два тела, которые взаимодействуют по-
средством электрических, магнитных
или гравитационных сил, находятся так
далеко друг от друга, что их взаимное
влияние неизмеримо мало, то можно
сказать, что на таком расстоянии их по-
тенциальная энергия равна нулю.
214
Вопрос 10-5
Где, в соответствии с этим соглаше-
нием, находится тело, у которого по-
тенциальная энергия взаимодействия
с Землей равна нулю?
Если тела притягиваются друг к дру-
гу, то не нужно совершать никакой ра-
боты для того, чтобы сблизить их. На-
оборот, нужно совершить работу, чтобы
удалить их друг от друга. Если маг-
ниты, расположенные так, что они от-
талкиваются друг от друга, обладают
положительной потенциальной энер-
гией, когда находятся близко друг
к другу, то магниты, притягивающие
друг друга, должны иметь отрицатель-
ную потенциальную энергию. Для при-
тягивающихся магнитных полюсов
И7,,,,, = - С/х (С > 0).
Что это может означать — иметь от-
рицательную энергию? Это опять всего
лишь вопрос бухгалтерского учета. Ес-
ли, возвращаясь в недеформированное
состояние, система может совершать ра-
боту, то она обладает положительной
потенциальной энергией. Если прихо-
дится совершать работу над системой,
то ее потенциальная энергия отрица-
тельна. В любом случае «бухгалтерия»
работает так, что (в случае отсутствия
трения)
ДИ7™,, + ДЖП0Т = 0.
Если потенциальная энергия Жпот по-
ложительна и убывает, то приращение
WnoT
ЛИ4>от отрицательно
ч гИУкин положительно
\
X
X
потенциальной энергии Д1УПОТ отрица-
тельно, а приращение Д1УКИн — положи-
тельно. Когда мяч скатывается с горы,
его потенциальная энергия убывает,
а кинетическая — возрастает. В качестве
противоположного примера рассмо-
трим, что происходит, когда соеди-
ненным вместе магнитам сообщается
толчок с целью разъединить их. И7,,,,,
была отрицательной и становится мень-
ж
sl И а1
ЛИ'пот положительно
^^кин отрицательно
ше по модулю, поэтому А1ЕПОТ положи-
тельно. Когда магнит удаляется, его
скорость уменьшается, поэтому А1ЕКИН
отрицательно.
Когда тело обладает отрицательной
потенциальной энергией, оно находится
в потенциальной яме. Если вы падаете
в колодец с водой, &WaoT отрицательно
и во время падения А1ЕКИН положитель-
но. Когда вы коснетесь воды, кинетиче-
ская энергия исчезнет и превратится
в другие виды энергии. Теперь вы нахо-
дитесь в гравитационной потенциальной
яме. Для того чтобы сообщить положи-
тельную величину AW/noT и поднять вас
на поверхность, необходим расход энер-
гии какого-либо другого источника. Ес-
ли вы способны выпрыгнуть наружу, ва-
ша кинетическая энергия в начале пры-
жка больше, чем в конце: AWKH1I отрица-
тельно.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА ЗЕМЛИ
Для того чтобы вас связало гравита-
ционное поле Земли, вовсе не обязатель-
но падать в колодец. Все люди на Земле
находятся в гравитационной яме. На ри-
сунке изображена И{ют грав как функция г.
Напомним, что если Wnor грав = — С /г,
то Еграв = — С/г2. Знак «минус» перед
выражением означает, что сила напра-
влена внутрь в сторону убывания ра-
диуса.
Когда г->оо, И7,,.,, грав-»0. Это согла-
суется с нашим соглашением о том, что
потенциальная энергия должна равнять-
ся нулю, когда тело находится за преде-
лами влияния источника. Заметьте, од-
нако, ЧТО При Г-»0 И<,от граи — ЭТО
означает, что, согласно этой модели, по-
требуется совершить бесконечную ра-
боту для того, чтобы удалить тело от
Земли, если начинать при г = 0.
Вопрос 10-6
Разве это возможно? Разве ракеты
не улетают от Земли, расходуя на это
конечную энергию?
Если бы можно было просверлить
отверстие по диаметру Земли, начав
в Соединенных Штатах, то мы попали
бы на поверхность в точке вблизи Ав-
стралии, но не в Китае, ведь Китай так-
же расположен к северу от экватора.
Что бы случилось, если бы выронили
биллиардный шар в это отверстие и при
этом Земля не вращалась бы, имела бы
постоянную плотность и не была бы
внутри горячей? Сила тяжести, дей-
ствующая на шар, равна — GmM/r2, но
Небольшой конус массы вблизи тела притя-
гивает его вправо. Это притяжение пол-
ностью компенсируется большей массой с
другой стороны, которая расположена даль-
ше от тела. Притяжение всей массы, распо-
ложенной от центра дальше, чем на расстоя-
ние г, компенсируется. Действующая на тело
сила определяется только массой, располо-
женной внутри сферы радиуса г
215
что для точки внутри Земли следует по-
нимать под массой М, и где она нахо-
дится? Существует теорема, доказанная
Карлом Гауссом 150 лет тому назад,
устанавливающая, что внутри равно-
мерно наполненного шара происходит
компенсация гравитационного дейст-
вия на тело всего вещества, находя-
щегося на большем, чем тело, расстоя-
нии от центра. Действующее от центра
гравитационное притяжение со стороны
небольшой массы, находящейся вблизи
тела, но на большом расстоянии от цен-
тра, уравновешивается направленной
к центру силой притяжения со стороны
большей массы, находящейся на проти-
воположной стороне шара.
На рисунке приведено геометриче-
ское пояснение сказанного. Масса шара
радиуса г равна р (4/3) лг3, где р — плот-
ность вещества. Поэтому внутри Земли
на любом расстоянии г от ее центра
гравитационная сила
„	_ т 4	,
Трав —	& ?2 ' Р “j” W
4
= —— itpr Gm = —кг.
Гравитационное притяжение в таких ус-
ловиях не подчиняется закону обратных
квадратов. Вместо этого оно пропор-
ционально г и обращается в нуль при
г = 0.
Вопрос 10-7
Если Г->0 при г-+0, то не означает
ли это, что шар движется все мед-
леннее и медленнее по мере прибли-
жения к центру Земли?
Мы уже рассматривали случай, когда
действующая на тело возвращающая
сила пропорциональна смещению, F =
216
= — кх. Происходит простое гармони-
ческое колебание с периодом Т=
= 2л]/ш//с. В данном случае к =
= (4/3) nmpG. Поскольку масса Земли
т3 = (4/3) л pR3 и д = Gm3/Rj, то к можно
записать в таком виде: к = mG(m3/R3) =
= mg/R3. Поэтому.
6,4  106 м
10 Н/кг
« 2л (0,8- 103)% 5  103 с= 1,4 ч.
Итак, понадобится только 42 минуты,
чтобы добраться до Австралии.
Для возвращающей силы, пропор-
циональной г, потенциальная энергия
пропорциональна г2, как и в случае пру-
жины. Потенциальная энергия гравита-
ционного тяготения внутри Земли не
обращается в бесконечность при стрем-
лении г к нулю. Вместо этого изменение
потенциальной энергии тяготения при
движении тела внутри Земли от г = 0 до
некоторого значения г составит
1	, 2	1	г	mm3	2
ДИпотграв	,	3	(	рЗ	*
Z	Z	1x3
Изменение потенциальной энергии
от центра до поверхности, где г — R3,
составляет
1 тт3
ДГГ =__________G____-
<-*к’потграв n w п
2 К3
На поверхности потенциальная энергия
равна
шъ
'' пот грав w г»
^3
Следовательно, в центре Земли
W =
кгпот 1рав
тт3 1	тт3	3	тт3
= — G--------— G----= —— G--------.
2	R3	2	R3
На графике показано, как квадратичная
функция, характеризующая потенциаль-
ную энергию шара внутри планеты
с постоянным распределением массы,
соединяется на поверхности с функцией,
обратно пропорциональной первой
степени расстояния. В действительности
масса внутри Земли не распределяется
равномерно. Как мы видели, ядро со-
стоит из гораздо более плотных ве-
ществ, чем поверхностная оболочка.
И^ии осе ~ кинетическая энер| ия, необходи-
мая для удаления тела от Земли
Тем не менее приведенные рассуждения
являются хорошим первым приближе-
нием.
Даже если биллиардный шар спокой-
но лежит на поверхности Земли, он все
равно находится в потенциальной яме
с отрицательной потенциальной энер-
гией. Для того чтобы удалиться от Земли
настолько, чтобы потенциальная энер-
гия обратилась в нуль, необходима
большая кинетическая энергия. Сделать
полную энергию тела равной нулю оз-
начает придать телу такую скорость,
что
2 mv + И^[0Т грав О,
1	2 г тГП3 а
2	R
1	mm3
— mv = G------.
2
Необходимая для освобождения от Зем-
ли скорость
v
= l/Zc/Rj = ]/2 (9,8 м/с2) (6,4-106 м) =
= 11,2 • 103 м/с = 25 000 миль/ч.
Вопрос 10-8
Окончательная формула не содержит
массы биллиардного шара. Где мы
ошиблись ?
Насколько глубока энергетическая
яма, в которой мы находимся здесь, на
Земле? Подставим числа в формулу для
потенциальной энергии и сравним ре-
зультат с более знакомыми энергетиче-
скими величинами. Для 1 килограмма
вещества, находящегося на поверхности
Земли (т = 1 кг и г =	= 6,4  106 м),
' * пот трав 'J	—
= — (6,7-10—11 Н-м2/кг2)-(1 кг) х
X
6 • 1024 кг
6,4 • 106
Дж.
Насколько велика эта энергия? Она
примерно соответствует энергии, кото-
рая выделяется при сгорании половины
галлона бензина, что составляет около
17 киловатт-часов (17 кВт • ч — столько
расходует электрический утюг за 17 ча-
сов работы). Для того чтобы удалить
тело массы 1 кг за пределы действия Зем-
ли, им нужно выстрелить вверх, сооб-
энергию 6  107 Дж. Тогда полная энер-
гия тела будет равна нулю, и оно смо-
жет освободиться от Земли. Заметьте,
что, хотя скорость освобождения не за-
висит от массы, кинетическая энергия
освобождения пропорциональна массе.
Если вам даже удастся освободиться
от действия Земли, вы все еще будете
связаны полем тяготения Солнца. Вы-
числим энергию связи тела массы 1 кг,
которое неподвижно, но находится не
на Земле, а на орбите Земли:
w = _G.mmL =
ггпот грав w
(6,7-10"11 Н-м2/кг)-1 кг-2-10зокг ~
=	ГлПо^м	~
® -9 - 108 Дж.
Здесь использованы масса Солнца
и радиус орбиты Земли. Очевидно, что
вследствие притяжения Солнцем мы на-
ходимся в яме, которая в 15 раз глубже
локальной ямы, создаваемой Землей.
217
В этой главе использовались два
различных выражения для гравитацион-
ной силы и гравитационной потенциаль-
ной энергии. Мы начали с утверждения,
что для подъема тележки на высоту
h требуется приложить постоянную си-
лу, равную ее весу, тд. Совершаемая
при этом работа и увеличение потен-
циальной энергии притяжения равны
mgh. С другой стороны, мы очень хоро-
шо знаем, что сила притяжения Земли
не постоянна, а убывает с расстоянием
как 1/г2. Далее, потенциальная энергия
притяжения в действительности равна
— Gmm3/r, а не mgh. Почему мы не оши-
баемся, используя неправильное выра-
жение?
Снова напомним, что можно изме-
рить только изменения потенциальной
энергии. Сравним изменение потен-
циальной энергии, даваемое двумя раз-
личными выражениями, в одном и том
же конкретном случае. Вычислим
нение потенциальной энергии
массы т, которое поднимается на
ту h над поверхностью Земли:
АЖ =
ггпот грав
изме-
тела
высо-
= — Gmm3
1 1
R3 + h R3_
R3 — (R3 + h)
= — Gmm3 —-— ,, „ - =
(R3 + h) R3
h
= Gmm3Rl+R3h
При малых высотах hR3 пренебрежимо
мало по сравнению с R2, и им можно
пренебречь. Напомним, что д = Gm3/R3.
Тогда для малых h АЖП0Т 1рав->mgh
Выражение mgh является хорошим
приближением для малых изменений
высоты. Аналогично вес тела в самолете
на 10-километровой высоте не слишком
отличается от его веса на поверхности
Земли. На высоте 10 км расстояние до
центра Земли увеличивается на 1/640,
или на 0,15% (6388 км по сравнению
с 6378 км). Вес тела на такой высоте
уменьшается на 0,3%. (Поскольку вес
обратно пропорционален г2, увеличение
г на х % приводит при малых х
к уменьшению веса на 2х %) Между
прочим, обратите внимание, что если бы
потенциальная энергия гравитационного
притяжения равнялась mgh на любой
высоте над земной поверхностью, по-
требовалась бы бесконечная энергия
для освобождения тела от земного при-
тяжения. Мы бы никогда не сумели за-
пустить к другим планетам исследо-
вательские ракеты.
При изменении высоты тела в грави-
тационном поле должно произойти еще
какое-нибудь изменение энергии так,
чтобы полная энергия сохранилась. На-
пример, при свободном падении на
малом расстоянии Amgh = Л (1/2) mv2
Для спутника, движущегося по круговой
орбите, тоже существует неизменное со-
отношение между потенциальной и ки-
нетической энергиями. Как показано
ранее, центростремительная сила, дей-
ствующая на тело, находящееся на ор-
бите, mv2/г = Gmm3/r2. Поэтому для ки-
нетической энергии имеем Жкин =
= mv2/2 = Gmm3/2r. Гравитационная по-
тенциальная энергия спутника равна
И/пот,Ра8= ~Gmm3/r.
Потенциальная энергия спутника, на-
ходящегося на круговой орбите, имеет
вдвое большее числовое значение, чем
кинетическая, но отрицательна. Полная
энергия равна
W = W + W =
’у ПОЛИ гг КИИ ’ гг пот
тт3 „ тт3 „ тт3
= G ——-----G------= — G — —.
2г г	2г
Заметьте, что полная энергия отрица-
тельна; это означает, что спутник нахо-
дится в связанном состоянии, что, ко-
нечно, справедливо. Чем меньше радиус
орбиты, тем больше модуль отрица-
тельной полной энергии; другими сло-
вами, спутник находится глубже в по-
тенциальной яме и сильнее связан
Однако чем меньше радиус орбиты, тем
больше кинетическая энергия. Когда
218
спутник снижается, его скорость стано-
вится все больше и больше. Скорость
близкого к Земле спутника больше, чем
скорость Луны.
Вопрос 10-9
Предположим, что спутник на грани-
це атмосферы постепенно теряет
энергию из-за сопротивления возду-
ха. Что происходит со скоростью
спутника по мере уменьшения его
полной энергии?
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ
Идею построения кривых потен-
циальной энергии можно использовать
даже тогда, когда нам не известна точ-
ная природа этой энергии или де-
тальный ход кривой. К примеру, извест-
но, что определенные комбинации ато-
мов собираются вместе и образуют
молекулы, поэтому между ними дол-
жны действовать силы притяжения.
С другой стороны, атомы не падают
друг на друга, а значит на малых рас-
стояниях между ними должны действо-
вать силы отталкивания. Когда атом
в молекуле находится в нормальном по-
ложении по отношению к своим сосе-
дям, он должен быть в энергетической
потенциальной яме. Когда атом уда-
ляется от равновесного положения, дол-
жна возникнуть возвращающая сила,
которая может вернуть его обратно. На
рисунке показана подходящая форма
для такой потенциальной ямы. Кривая
дает зависимость W(r) для связанного
атома от расстояния г между ним и со-
седним атомом.
Когда атом приближается слишком
близко к соседнему, при малых г потен-
циальная энергия из-за взаимного от-
талкивания становится положительной.
Когда атом удаляется от равновесного
положения, его потенциальная энергия
растет, оставаясь отрицательной, и
в конце концов обращается в нуль, что
означает, что атом стал свободным-. За-
метьте, что энергетическая потенциаль-
ная яма не является симметричной.
Силы отталкивания, которые преобла-
дают,- когда атом подходит слишком
близко к соседнему, обычно растут бо-
лее резко, чем силы притяжения, когда
атом удаляется. При изучении тепловых
явлений мы увидим значение этого
факта.
Даже не зная природы молеку-
лярных сил (они имеют электромагнит-
ное происхождение), можно грубо оце-
нить масштаб осей кривой W(r). Как мы
видели в главе 1, радиус большинства
атомов составляет примерно 1  10“10 м.
В молекуле атомы, по существу, ка-
саются друг друга, и поэтому расстоя-
ние между ними в равновесии есть ве-
личина порядка 1•10“10 м. Энергия
связи атомов (глубина потенциальной
ямы) имеет примерно одинаковое значе-
ние для большинства молекул. С точ-
ностью до множителя, близкого к 3, это
значение составляет 1,6-10“19 Дж. Та-
кая единица имеет специальное назва-
ние — электрон-вольт (эВ). Эта величина
равна энергии, которую приобретает
электрон, пройдя ускоряющую разность
потенциалов 1 вольт. Подробнее об
этом будет сказано в главе, посвящен-
ной электростатике. А пока все, что
нужно знать, так это то, что электрон-
вольт — очень малая энергия в человече-
ском масштабе, но это естественная
единица энергии в мире атомов. Из-за
того что электрон-вольт определен
в терминах электронов и вольтов, не
следует думать, что его нельзя также
использовать для измерения механиче-
ской или тепловой энергии, энергии
протонов, атомов или бейсбольных мя-
чей. В конце концов, футами можно из-
мерить не только размеры футбольного
поля.
В качестве примера того, что элек-
трон-вольт является обычной единицей
энергии на атомном уровне, напомним,
что многие электрические элементы (ба-
тарейки карманных фонарей, автомо-
бильные аккумуляторы) создают напря-
жение от 1 до 2 вольт. Такие потен-
циалы создаются перестройкой молекул,
219
при каждой из которых освобож-
дается энергия от 1 до 2 эВ. Кроме
того, как мы увидим в главе, посвящен-
ной свету, энергия каждого фотона или
кванта видимого света лежит в интерва-
ле от 1,5 до 3 эВ в зависимости от цве-
та. Поскольку свет может вызывать
многие химические реакции — обесцве-
чивание красок, фотосинтез, дубление
кожи, почернение фотопленки, — то
энергия связи химических соединений
должна быть порядка нескольких элек-
трон-вольт.
Вопрос 10-10
Предположим, что образуется или
перестраивается 1 моль (6 1023) мо-
лекул, причем каждая выделяет 1 эВ
энергии. Сколько джоулей энергии
при этом освобождается?
Относительно формы кривой И7 (г)
для связанных атомов можно сделать
еще одно правдоподобное заключение.
Хотя вся яма асимметрична, для малых
смещений из положения равновесия лю-
бая яма достаточно гладкой формы мо-
жет быть аппроксимирована параболой
WJiot ~ (1/2)/сх2, где х — смещение (по-
ложительное или отрицательное) из рав-
новесного положения. Это совпадает
с выражением для потенциальной энер-
гии простого гармонического осцилля-
тора. Если связанный атом слегка по-
тревожить, он будет совершать простое
гармоническое колебание около положе-
ния равновесия. В следующем разделе
мы сделаем оценку постоянной к по по-
рядку величины и, следовательно, полу-
чим возможность приближенно найти
частоту колебаний связанных атомов.
Пока обратите внимание на превра-
щения энергии тела, совершающего ко-
лебания в потенциальной яме. Кинети-
ческая и потенциальная энергия все
время переходят друг в друга, что очень
похоже на то, что происходит с маятни-
ком. Полная энергия есть И7,^, =
= И^пот + И'кит и эта величина отрица-
тельна, поскольку тело находится в свя-
занном состоянии. Кинетическая энер-
гия максимальна, когда тело проносит-
ся через положение равновесия, где
W„ol = - Wo. Поэтому 1УПО111 = - Wo +
+ Когда тело замедляется и затем
останавливается в точке поворота, ки-
нетическая энергия превращается в
потенциальную, которая при этом
имеет меньшее по модулю отрица-
тельное значение. В любой момент
ДИ/кин + АИ/пОт = 0. При уменьшении ки-
нетической энергии (AIKKMH отрицатель-
но) потенциальная энергия увеличивает-
ся (АЖГ|0Т положительно), и затем про-
цесс происходит в обратном направле-
нии. Если системе сообщить достаточ-
ную энергию, так чтобы максимальное
значение кинетической энергии было
больше, чем 1К0, то полная энергия бу-
дет положительной и тело больше не
будет связанным.
ВОЗВРАЩАЮЩИЕ СИЛЫ
И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Количество энергии, запасенной
в гравитационной системе, в пружине
или в системе магнитов, зависит от
степени деформации системы. Это иска-
жение может заключаться в перемеще-
нии тяжелого тела на высоту h, в растя-
жении пружины на длину х, в сближе-
нии на расстояние х двух отталкиваю-
щихся магнитов. На графиках показана
зависимость запасенной энергии от ис-
кажения, h или х.
Вопрос 10-11
Г рафики И<10Т (х) были построены
с помощью соображений о силах, не-
обходимых для того, чтобы вызвать
искажение. Зачем нужно знать
220
разве недостаточно знать
Г(х)?
Потенциальная энергия системы
является скалярной величиной, выра-
жаемой в джоулях, которая сама по се-
бе не дает никакой информации о ее бу-
дущем поведении. Взгляните на гра-
фики W^nor(x) для трех разных пружин
и найдите на каждом точку, где Wn0T =
= 1 Дж. Очевидно, первый график соот-
ветствует слабой пружине, которую силь-
но растянули. Второй относится к силь-
ной пружине, которую надо растянуть
совсем немного для того, чтобы запасти
1 Дж В третьем случае пружина сжата.
Хотя значение потенциальной энергии
одинаково во всех случаях, поведение
пружин, если их освободить, будет со-
вершенно различным. Первая пружина
будет медленно тянуть обратно (влево),
вторая резко дернет влево, третья будет
распрямляться вправо. Хотя одно толь-
ко значение потенциальной энергии не
позволяет предсказать такое различное
поведение, это, очевидно, можно сде-
лать, зная форму всего графика И^оДх).
Именно наклон кривой (х) в каждой
точке характеризует возвращающую си-
лу в х-направлении, которая действует
в системе в этой точке. Рассмотрим не-
сколько примеров.
График VPn0T(/i) для тела, поднятого
над поверхностью Земли (для малых
высот), имеет постоянный наклон
A (mgh)/Ah = тд. Тангенс угла наклона
равен весу тела Здесь, однако, имеется
некоторая тонкость. Возвращающая си-
ла тяготения направлена вниз и потому
отрицательна. Тангенс угла наклона
графика J4z,,0.r (А) положителен. Если мы
хотим получить возвращающую силу
в системе, то следует взять отрица-
тельный тангенс; Твозвращ = — AW(h)/Ah.
Внешняя сила, которую следует прило-
жить к системе для того, чтобы запасти
энергию тяготения, направлена в проти-
воположную сторону, то есть вверх,
и положительна. То же самое справед-
ливо и для энергии, запасенной в пру-
жине. Возвращающая сила дается
Возвращающая сила
г возврат —	—— тд
Возвращающая сила
_ ДЖ110Т _
~|.|ошраш —	—
- кх
221
выражением
F =
1 возврат
Д1У(х)	Д[(1/2)кх2]	,
— —--------—---------------— — кх.
Ах	Ах
Возвращающая сила подчиняется зако-
ну Гука; она пропорциональна смеще-
нию и направлена в сторону, противо-
положную смещению. Заметьте, что это
определение согласуется с тем, что мож-
но было ожидать качественно в случаях
трех пружин, которые мы рассмотрели.
В первом случае тангенс угла наклона
мал и положителен, поэтому возвра-
щающая сила будет малой и отрица-
тельной — направленной в сторону
меньших значений х. Во втором случае
тангенс угла наклона велик и положите-
лен — возвращающая сила будет боль-
шой и отрицательной. В третьем случае
его алгебраическое определение:
АИ'ПОТ
пруж А[(1/2)кх2] _
Дх	Дх
(l/2)kx2 - (1/2)кх2 _
Дх
(1/2)к Цх + Дх)2 — х2]
Дх
(1/2) к [х2 + 2хДх + Дх2 — х2]	,	1 , .
= ——-—t------------------------=L = kx + —к,\
Дх	2
Если брать все меньшие и меньшие Дх, счи-
тая Дх -»0, то наклон становится равным кх.
В случае магнитов, где
^пот магн (^)
^магн = - А(С/х)/Дх = С/Х2.
Вывод выражения для наклона кривой
в этом случае приведен в рамке. Обра-
тите внимание, что возвращающая сила
положительна, магниты отталкивают
тангенс угла наклона отрицателен, по-
этому возвращающая сила будет поло-
жительной, заставляя пружину расши-
ряться.
 Дополнительный материал
Существует несколько способов убедить-
ся в том, что тангенс угла наклона графика
И',,0, пруж = (1/2)/сх2 равен кх. Во-первых,
можно убедиться в правдоподобии это: о вы-
ражения, анализируя приведенные графики,
на которых изображены касательные Каса-
тельная к кривой (1/2) кх2 расположена гори-
зонтально при х = 0, а затем ее наклон по-
степенно увеличивается. Во-вторых, можно
вспомнить соотношение между х и v при по-
стоянном ускорении. Формула для х имеет
вид х = (1/2)аг2, а для скорости — v = at
при х0 = 0 и vQ = 0. Поскольку v = Дх/Дг,
наклон кривой х = (1/2)аг2 определяется вы-
ражением v = at. Следовательно, наклон
кривой (1/2) кх2 должен равняться кх.
В-третьих, наклон можно найти, используя
друг друга в сторону больших зна-
чений х.
Алгебраический вывод выражения
для наклона кривой )Tn0T магн - С/х:
F =
А1Уп0ТМагн = С [1/(х + Дх) — 1/х] =
Ах	Ах
С —Ах _
Ах (х + Дх) • х _
С	С С
(х + Дх) х х2 + хДх х2
при Дх-»0.
222
Снова обратите внимание на каса-
тельные, показанные на графике
И<10| маг и (*)• При малых х наклон очень
крутой и отрицательный, поэтому си-
ла велика и положительна (F =
= -ДИ'потмагнОО/Дх). При больших х на-
клон незначительный и отрицательный.
Следовательно, сила маленькая и поло-
жительная.
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ
Всякий раз, когда известна потен-
циальная энергия системы, можно найти
действующую в ней возвращающую си-
лу. В каждой точке сила равна взятому
с обратным знаком тангенсу угла на-
клона кривой 1Гпот(х) в этой точке.
В предыдущем разделе мы изобразили
вероятный график потенциальной энер-
гии атома, находящегося в связанном
состоянии в молекуле. С помощью это-
го графика можно качественно показать
зависимость действующей на атом силы
от его расстояния до положения равно-
весия. На расстоянии меньше равновес-
ного наклон кривой И/Пот(г) — большой
и отрицательный. Поэтому действую-
щая на атом возвращающая сила вели-
ка и положительна, то есть направлена
в сторону больших г. В положении рав-
новесия наклон кривой равен нулю. Ко-
нечно, сила должна обращаться в нуль,
когда атом находится в положении рав-
новесия. Для больших значений г на-
клон кривой И^оДг) положителен; воз-
вращающая сила отрицательна, то есть
направлена назад, к положению равно-
весия. Эта притягивающая сила стано-
вится больше, по мере того как атом
удаляется от равновесного положения,
но затем, когда атом удаляется слиш-
ком далеко, сила начинает убывать
и обращается в нуль.
Поскольку нам известны грубые
значения энергии связи и расстояния ме-
жду атомами в молекуле, можно оце-
нить величину возникающей силы.
Предположим, что полуширина потен-
циальной ямы равна радиусу атома.
Другими словами, когда атомы касают-
ся друг друга, они находятся в своих
равновесных положениях, а когда они
удаляются на расстояние, большее их
радиуса, они становятся свободными.
Для Аг =1-10“10 м А1Упот=1 эВ =
= 1,6-10“19 Дж. Тогда среднее значение
возвращающей силы для такого удале-
ния есть
АРУ
Аг
1,6- 10~19 Дж ~
1- КГ10 м *
« — 2 - 10“9 Н.
Это очень маленькая сила, но это сила,
действующая на один атом. Найдем си-
лу, которая необходима для удаления
друг от друга одного квадратного мет-
ра таких атомов. На длине 1 м располо-
жено 1О10 атомов, так что на 1 м2 их
приходится Ю20. Сила, действующая на
квадратный метр,
F/Sx 2- КГ9- 1- 102О« 2- 10“ Н/м2.
В главе 4 мы определили напряже-
ние и относительное удлинение и уста-
новили, что они пропорциональны
F/S = — EkL/L, где Е — модуль Юнга.
Значения модуля Юнга для металлов
составляют по порядку величины 1011
Н/м2. Значение F/S, которое мы опреде-
лили с помощью молекулярных сил, ос-
новано на предположении, что расстоя-
ние мЬжду атомами (в направлении дей-
ствия силы) удвоилось, то есть увеличи-
лось с 1-10“ 10 м до 2-10“10 м. Други-
ми словами, AL/L=1. Отсюда следует,
что модуль Юнга равен силе, приходя-
щейся на единицу площади, с которой
223
необходимо растягивать проволоку для
того, чтобы увеличить ее первоначаль-
ную длину вдвое.
Конечно, модуль Юнга не имеет
одного и того же значения для всех ве-
ществ, как не имеют одинакового ра-
диуса и одинаковой энергии связи все
атомы. Тем не менее очевидно, что при-
веденные доводы относительно вероят-
ного поведения кривой потенциальной
энергии для связанных атомов должны
быть качественно верны. Как мы видели
раньше, проволоку нельзя растянуть та-
ким образом, чтобы относительная де-
формация, AL/L, была равна единице.
В действительности большинство ме-
таллов будет разрушаться, если дефор-
мация достигнет значения, равного
0,002. Из вида молекулярной кривой
1Гп0Т(г) не следует никакой причины для
ожидания разрушения при увеличении
расстояния между атомами всего на две
тысячных атомного радиуса. Трещины
возникают из-за примесей и несовер-
шенств кристаллической структуры ме-
талла.
Используя размеры молекулярной
энергетической ямы, можно также опре-
делить частоту колебаний связанного
атома. Если бы яма была параболиче-
ской при любом значении расстояния
вплоть до атомного радиуса, то потен-
циальная энергия
и;от= - (1/2) кх2,
- 1 эВ = - 1,6-10“19 Дж =
= - (1/2)/с (1- КГ10 м)2,
к х 30 Дж/м2.
Вопрос 10-12
Согласуется ли это значение к со
значением, полученным из закона
Гука: F = — кх?
Частота гармонического осциллято-
ра дается выражением f = (1/2п)]/к/т.
Масса атома углерода составляет при-
мерно 2-10~26 кг. Согласно описанной
модели, частота колебаний атома угле-
рода в графите или алмазе должна быть
порядка
7 2л р-Ю26 кг 2л1	’
«1013 Гц (колебаний в секунду).
Как мы увидим в главе, посвященной
оптике, эта частота примерно в 100 раз
меньше частоты видимого света. Она
лежит в далекой инфракрасной области
частот. Мы рассмотрим свойства таких
колебаний в главе, посвященной те-
пловым явлениям, и увидим, что эта
простая модель колеблющихся атомов
оказывается полезной. Однако по при-
чине, которую нельзя было ожидать за-
ранее, модель является слишком упро-
щенной.
ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ
Если тело обращается по окружно-
сти, его кинетическая энергия вращения
Жращ = (1/2) /СО2.
Если на систему не действуют мо-
менты внешних сил, ее момент импуль-
са, /со, должен оставаться постоянным.
Чтобы подчеркнуть это условие, запи-
шем энергию вращения в виде
^»раШ = (1/2) (/СО)2//.
Если вращающееся тело представляет
собой материальную точку, находящую-
ся на расстоянии г от оси, то момент
инерции равен тг2 и для энергии враще-
ния справедливо выражение
вращ 2т г2 г2'
Постоянная С объединяет массу тела
и неизменный момент импульса. Видно,
что в рассматриваемых условиях (дви-
жение по окружности с постоянным мо-
ментом импульса) энергия вращения за-
висит только от положения тела. Энер-
гия, которая зависит от положения,
может рассматриваться как потенциаль-
ная энергия. Однако во всех случаях,
когда мы определяем потенциальную
энергию, необходимо выбрать подходя-
щую нулевую точку и определить, будет
ли энергия положительной или отрица-
тельной. В данном случае подходящей
нулевой точке соответствует г-юо.
[Вопрос 10-13
Разве не будет тело, обращающееся
по окружности с очень большим ра-
диусом, иметь большую энергию
вращения, а не нулевую?
224
Потенциальная энергия будет поло-
жительной или отрицательной в зависи-
мости от того, кто совершает работу
при изменении положения. Если система
автоматически стремится возвратиться
в состояние с нулевой энергией, то по-
тенциальная энергия положительна (как
в случае со сжатой пружиной). Взгляни-
те на рисунок, на котором изображена
простая система рассматриваемого типа.
Если ластик, привязанный к бечевке,
приведен во вращение, то единственный
действующий на систему момент сил
обусловлен небольшим трением в том
месте, где бечевка скользит по краю
трубки. Поскольку этот момент может
быть сделан очень малым, то в течение
небольших промежутков времени мо-
мент импульса остается неизменным.
Единственная сила, которая может дей-
ствовать внутри системы, — это ра-
диальная сила. Если вы попытаетесь
раскрутить это устройство, вы обнару-
жите, что ластик стремится двигаться
в направлении увеличения радиуса.
Чтобы заставить его двигаться в напра-
влении уменьшения радиуса, необходи-
мо совершать внешнюю работу над си-
стемой, натягивая бечевку. Следователь-
но, в соответствии с принятым нами со-
глашением, энергия вращения положи-
тельна.
График зависимости И^ращ(г) показан
на рисунке.
В любой системе, обладающей по-
тенциальной энергией, действует возвра-
щающая сила, равная взятому
с обратным знаком тангенсу угла на-
клона кривой потенциальной энергии.
Поскольку энергия вращающегося ла-
стика зависит от г, сила должна быть
направлена по радиусу. Наклон кривой
^вращ (г) отрицателен, следовательно,
возвращающая сила должна быть по-
ложительна — в направлении увели-
чения г.
Модуль силы дается выражением
ЛРЕвраш	Д(С/Г2)
F возврат =----?---=-------------->
Дг	Дг
2С
-» —5-	при Дг -» 0.
г*
Доказательство справедливости по-
следнего шага в этом выводе может
быть проделано алгебраически тем же
методом, что и на с. 222.
Исследуя графики, можно убедить-
ся, насколько правдоподобным явля-
ется утверждение, что функция С/х
имеет наклон, равный — С/х1, а функ-
ция С/х2 — наклон, пропорциональ-
ный — С/х3.
Посмотрим внимательнее на выра-
жение для возвращающей силы, дей-
ствующей в этой вращающейся си-
стеме:
_ 2С _	1 (/со)2 _
^возврат- гз -2-	-
1 т2г4ш2 ,
=-------— =
т г
Возвращающая сила имеет ту же вели-
чину, что и центростремительная сила,
но направлена по радиусу наружу, в то
время как центростремительная сила
направлена внутрь. Возвращающая сила
получила название центробежной силы.
Направлена ли радиальная сила при
вращательном движении наружу или
внутрь, зависит от выбора системы от-
счета, в которой эта сила измеряется.
С точки зрения наблюдателя, находяще-
гося вне вращающейся системы, необхо-
димо прикладывать направленную
внутрь радиальную силу, чтобы заста-
вить тело двигаться по кругу, а не уле-
тать по касательной.
Для наблюдателя, находящегося
внутри вращающейся системы, сущест-
вует сила, стремящаяся отбросить
тело по радиусу наружу.
В следующей главе мы познакомим-
ся с другими проблемами, связанными
с выбором системы отсчета. А пока
сравните выводы выражения для силы,
основанные на энергетических сооб-
ражениях и на соображениях кине-
матики.
8 Кл. Э. Суорц, т. 1
225
Вопрос 10-14
Предположим, что вы раскручиваете
ластик с помощью показанного
устройства и затем тянете бечевку
вниз, уменьшая радиус вращения ла-
стика. Совершаете ли вы работу над
системой, или работу совершает са-
ма система? Меняется ли при этом
момент импульса системы? Меняет-
ся ли угловая скорость?
МОЩНОСТЬ
Мощность характеризует скорость
совершения работы: мощность равна
AIF/At. Единица мощности — 1 джоуль
в секунду — называется ваттом (Вт).
Она названа так в честь Джеймса Уат-
та, шотландского инженера и изобрета-
теля, который в конце XVIII века по-
строил паровую машину. Большинству
из нас единица ватт более знакома, чем
джоуль, поскольку электрическая мощ-
ность всегда измеряется в ваттах. Ше-
стидесятиваттная электрическая лампоч-
ка, к примеру, ежесекундно расходует 60
джоулей электрической энергии. Мы,
однако, платим электрическим кампа-
ниям не за ватты, т. е. не за мощ-
ность; мы платим за энергию. Обычная
коммерческая единица электрической
энерг ии — это киловатт-час (кВт • ч). За-
метьте, что эта единица равна произве-
дению мощности и времени, что
энергию:
„ ч 3600 с 103 Вт
1 кВтч)- —---------,-п	=
1 ч 1 кВт
= 3,6 • 106 Вт  с = 3,6  106
дает
Дж.
В «Знакомстве с явлениями» была
упомянута другая единица мощности,
которую ввел Уатт. Одна лошадиная
сила приблизительно равна 746 ватт. Не
чувствуйте себя униженным, если, взбе-
гая по лестнице наверх, вы не смогли
развить мощность в одну лошадиную
силу. Далеко не каждая лошадь может
развить такую мощность, особенно при
скачке вверх по ступенькам.
Во многих случаях различие в про-
межутках времени, в течение которых
выделяется или поглощается определен-
ная энергия, приводит к существенным
различиям в последствиях. Энергия, со-
226
держащаяся в сверкающей молнии, со-
ставляет примерно 109 Дж, или 300
кВт-ч. Этой энергии хватило бы на со-
держание дома в течение одной-двух не-
дель. Когда же эта энергия выделяется
в течение одной трети секунды, узкий
канал, по которому молния проскальзы-
вает вниз, не может безболезненно по-
глотить ее и вместо этого испаряется
или взрывается. Средняя мощность во
109 Дж
время удара молнии составляет	=
= 3-10® Вт, или 3000 мегаватт (МВт).
Максимальная мощность во время
вспышки, длящейся несколько микросе-
кунд, достигает 1012 Вт.
Вопрос 10-15
На с. 156 было описано типичное
столкновение автомобилей. Какая
мощность (в ваттах и в лошадиных
силах) рассеивается при остановке за
0,1 с автомобиля массы 1000 кг, дви-
гавшегося со скоростью 40 миль/ч
(19 м/с)?
ЕДИНИЦЫ
И МАСШТАБЫ ИЗМЕНЕНИЯ
ЭНЕРГИИ И МОЩНОСТИ
Для измерения энергии и мощности
используется много различных единиц,
во-первых, из-за различия между ан-
глийской и метрической (или СИ) систе-
мами, и, во-вторых, из-за огромного
диапазона значений энергии, используе-
мой в науке и народном хозяйстве. Рас-
смотрим некоторые значения энергии
и свяжем их со знакомыми явлениями.
Прежде всего поговорим о джоуле.
Примерно 1 Дж требуется для того,
чтобы приподнять килограммовую кни-
гу на 10 см. Стандартный карманный
фонарь с батарейкой из двух элементов
расходует 1 Дж в секунду (для освеще-
ния нужен 1 Вт мощности). Для нагре-
вания грамма воды на 1 градус по шка-
ле Цельсия нужно около 4 Дж. Пинг-
понговый шарик после удара чемпиона
по этой игре может иметь кинетическую
энергию до 1 Дж; большинство любите-
лей могут сообщить шарику энергию,
не превышающую 0,1 Дж. Сжигая мил-
лиграмм бензина, вы освобождаете при-
мерно 40 Дж тепловой энергии, из ко-
торых только 8 Дж переходят в кинети-
ческую энергию вашей машины (осталь-
ная энергия тратится впустую). Милли-
грамм сахара сообщает вашему орга-
низму около 40 Дж энергии, которая
очень эффективно используется для под-
держания температуры тела и другой
жизнедеятельности.
Английская единица энергии 1 фут
фут соответствует работе, совершае-
мой при подъеме 1 фунта на 1 фут. За-
метьте, что приблизительно это равно
1 Дж, то есть работе, совершаемой при
подъеме 1 кг на 10 см. Обе эти еди-
ницы соответствуют человеческому
масштабу.
Химики измеряют энергию химиче-
ских реакций в килокалориях на моль.
Килокалория (которую называют кало-
рией при расчете энергии в продуктах
питания) равна 4184 Дж, или 2,6 • 1022 эВ.
Поскольку в моле реагирующего ве-
щества происходит 6 1023 отдельных
реакций, то 1 ккал/моль — это то же
самое, что и (2,6 1022 эВ)/(6 1023
реакций) — 0,04 (или 1/25) эВ на реак-
цию. Для большинства химических ре-
акций характерна энергия от 10 до 200
ккал/моль, или от 2/5 до 8 эВ на участ-
вующую в реакции каждую молекулу.
Различие между химическими и физиче-
скими превращениями, в той степени,
в которой оно вообще имеет смысл,
заключается в величине энергии, фигу-
рирующей в молекулярном переходе.
К примеру, требуется 2,7 эВ, чтобы
разложить каждую молекулу воды на
водород и кислород, что типично для
химических превращений. Для плавле-
ния льда — типично физического пере-
хода — требуется энергия около 0,06 эВ
на молекулу.
РЕЗЮМЕ
Потенциальная энергия — это энер-
гия, запасаемая при деформации веще-
ства или смещении вещества в поле
электрических, магнитных или гравита-
ционных сил. Потенциальная энергия
различных видов определяется таким
образом, чтобы в отсутствие трения вы-
полнялось А РРпот + АИ'кин = 0. С по-
мощью экспериментов с тележкой на
воздушной дорожке — по подъему в го-
ру, сжатию пружин и сближению магни-
тов — были определены
И^пот грав
И^пот пруж = (1/2) кх2,
В^пот магн С/х.
Нулевое значение потенциальной
энергии выбирается произвольно. Изме-
римы только изменения потенциальной
энергии. Если считать, что тело не
имеет потенциальной энергии, когда
оно «свободно» от действия на него дру-
гих тел, то 1F|1OT lp.1B -»0 при г -> оо,
Жпот пруж = 0 при х = 0. Обычно потен-
циальная энергия считается отрицатель-
ной, если тело связано в системе, так
что для его удаления требуется совер-
шить работу. Например, тела на поверх-
ности Земли связаны в гравитационной
потенциальной яме. Полное выражение
для потенциальной энергии тяготения
при г > R3 имеет вид И;от rpdB =
= — G(mm3/r). При малых изменениях
г полное выражение для Д1РП0Т прав сво-
дится к mgh, где h = Аг. Тело может ос-
вободиться от Земли, если сообщенная
ему положительная кинетическая энер-
гия равна по модулю отрицательной
энергии связи, (1/2) mv2 = Gmm3/R3. Ско-
рость освобождения не зависит от массы
тела.
Если известен график И/пот(х), то
действующую в системе возвращаю-
щую силу можно найти по формуле
возврат
Разумные предположения о виде по-
тенциальной энергии атомов, связанных
в молекулы, приводят к графику возвра-
щающей силы, который согласуется с из-
вестными упругими свойствами веще-
ства.
Для вращательного движения с по-
стоянным моментом импульса энергия
вращения может быть записана как
функция г:
1 , с
кРвращ I® ^2 *
Для материальной точки, когда I —
= тг2, возвращающая сила ЕВо!Вращ =
= та>2г, что совпадает с выражением
для центробежной силы.
8
227
Мощность характеризует скорость
совершения работы: мощность равна
APP/Ai; 1 Дж/с = 1 Вт.
Ответы на вопросы
10-1. Философы (и физики) любят порассу-
ждать о таких вопросах. Физики, од-
нако, обычно придерживаются той
точки зрения, что, независимо от ис-
тинной природы мира, наша задача
заключается в описании явлений на-
столько последовательно и эффектив-
но, насколько это возможно. Введение
новой формы энергии может быть
вначале выдумкой человека. Провер-
кой полезности такого изобретения
является, однако, согласованность,
с которой модель описывает широкий
круг явлений. Если наше определе-
ние потенциальной энергии тяготения
«спасает» закон сохранения энергии
только в случае тележек на воздушной
дорожке, то следует поискать другой
закон природы.
10-2. Если через h обозначить высоту подъ-
ема маятника над равновесным по-
ложением, то в любой момент време-
ни величина mgh + (1/2) mv2 должна
иметь неизменное значение. В положе-
нии максимального отклонения от'
равновесия, когда h = ймакс, v = 0 и
полная энергия равна mghMaicc. Кинети-
ческая энергия в момент прохождения
положения равновесия также равна
полной энергии, соответствующей по-
тенциальной энергии притяжения на
максимальной высоте подъема:
(1/2)тц2акс = т^Лмакс. Таким образом,
квадрат скорости прохождения рав-
новесного положения 1>макс = 20/1макс-
Заметьте, что точно такую же ско-
рость груз имел бы и в том случае,
если бы просто упал с высоты h.
10-3. Скорость круглого тела после скаты-
вания его вниз с некоторой высоты
можно найти с помощью энергетиче-
ских соображений:
v2 = 2gh/(1 + К).
Заметьте, что наибольшую скорость
приобретает тело, форма которого со-
ответствует наименьшему значению
К. Это обстоятельство согласуется
с вычислениями, проделанными в во-
просе 6-9; быстрее всех скатится шар.
Прежние вычисления давали линейное
ускорение центра масс каждого тела:
а = (д sin 0)/(1 + К). (В этом случае
К — числовой коэффициент в выраже-
нии для момента инерции тела отно-
сительно оси, проходящей через центр
масс. Множитель (1 + К) входит в вы-
ражение для момента инерции относи-
тельно мгновенной оси).
При движении без начальной ско-
рости с неизменным ускорением ко-
нечная скорость связана с перемеще-
нием L соотношением
,	a sm 0 h 2gh
v2 — 2aL = 2 —-------= ——.
1 + К sm 0	1 + К
Два различных способа вычисле-
ния приводят к одному и тому же зна-
чению конечной скорости.
<0 -1 Если два тела притягиваются друг
к другу, то необходимо совершить по-
ложительную внешнюю работу для
того, чтобы удалить их друг от друга,
поэтому последовательным будет
утверждение, что пока тела находятся
близко друг к другу, они обладают
отрицательной потенциальной энер-
гией.
10-5. Поскольку гравитационное притяже-
ние к Земле пропорционально 1/г2, то
единственный способ освободиться от
ее влияния — это удалиться настолько,
чтобы 1/г2 = 0, или было пренебрежи-
мо малым. При г-»оо	1/г2 —* 0.
Поэтому И/|0| грав -» 0 при г -> оо.
10-6. Ракеты запускаются не из центра Зем-
ли, где г = 0. Они стартуют с поверх-
ности, где r = R3 и И/П0Т1рав =
= — Gmm3/R3. Потенциальная энергия
на поверхности Земли имеет большое
по модулю, но не бесконечное, отри-
цательное значение. Но может ли
на самом деле быть правдой, что
потенциальная энергия в центре Зем-
ли равна бесконечности?
10-7 Если сила стремится к нулю, то уско-
рение также стремится к нулю — но
это не означает, что стремится к нулю
и скорость. Напомним, что ускорение
груза маятника равно нулю при про-
хождении равновесного положения, но
скорость в этой точке максимальна.
228
10-8. g0 всех СЛуЧаях; когда ускорение со-
общается гравитационными силами,
результат не зависит от массы уско-
ряемого тела. Скорость освобождения
одинакова и для ракет, и для атомов
газа. Вблизи границы атмосферы
атомы водорода и гелия в конце кон-
цов приобретают скорость освобожде-
ния благодаря случайным столкновени-
ям с другими молекулами газа. Наблю-
дается непрерывная утечка этих газов
из атмосферы. Но если скорость осво-
бождения не зависит от массы, то по-
чему не улетают более тяжелые моле-
кулы и тем самым не исчезает вся
атмосфера Земли? (В главе 12 нам
придется познакомиться с другим
взглядом на этот вопрос.)
«л о „	...	1 Gmm-j
' Поскольку 1т,,01|1 =--------то
2 г
при уменьшении	спутник еще
глубже опускается в гравитационную
потенциальную яму, где потенциаль-
ная энергия принимает при уменьше-
нии г большее по модулю отрицатель-
ное значение. Однако 1KKIIH =
1	Gmtn-i
=---------, поэтому при уменьшении
2	г
г кинетическая энергия И'кин увеличи-
вается, и скорость спутника возра-
стает.
10-10. (g. 1Q23 реакций/моль) • (1,6 • 10“19
Дж/реакцию) = 1•105 Дж/моль. Для
сравнения по порядку величины за-
метьте, что галлон бензина имеет мас-
су около 3 кг и содержит около 100
молей молекул. Если бы одна молеку-
ла давала только 1 эВ, то галлон
бензина мог бы выделить 1 • 107 Дж.
Действительное значение примерно
в 10 раз больше.
10-11. Потенциальная энергия системы
lEnorW зависит только от ее конечно-
го положения или деформации незави-
симо от того, каким путем система
пришла в это состояние. Пружину
можно сжимать быстро или медленно,
с большой силой, сообщающей на ча-
сти пути ускорение, а затем с тормо-
зящей силой, останавливающей пру-
жину. Для преодоления трения может
потребоваться дополнительная сила.
Независимо от предыстории, если
пружина деформирована на величину
х, ее потенциальная энергия равна
Впот (*)•
Ю-12. Мы нашли, что средняя возвра-
щающая сила, действуя на от-
дельный атом, приблизительно равна
1,6- 10“9 Н. В этой же самой простой
сила при
3 10“9 Н.
Н/м.
параболиче-
кинетической
имеет вид
10
10-15.
модели максимальная
Аг = 1-10“10 м была бы
Согласно закону Гука,
F 310“9 Н
к=-----=-----------= 30
Дг 1 • Ю'10 м
Это значение к совпадает со значе-
нием, полученным из выражения для
потенциальной энергии
ской ямы.
Обычно выражение для
энергии вращения
(1/2)/ш2 = (l/2)mr2co2. Отсюда, конеч-
но, кажется, что кинетическая энергия
вращения возрастает при увеличении
г. Однако если момент импульса /со
остается постоянным, то кинетическая
энергия вращения равна
(1/2)(/ы)2//= (1/2)(/ы)2/тг2. В такой
системе, в отсутствие моментов внеш-
них сил, при увеличении г кинетиче-
ская энергия убывает.
Для того чтобы вытянуть бечевку
вниз, уменьшив таким образом радиус
вращения ластика, приходится переме-
щать в пространстве точку приложе-
ния силы. Таким образом вы совер-
шаете работу над системой и сооб-
щаете ей энергию. Поскольку сила
направлена радиально, то ее момент
равен нулю и поэтому момент им-
пульса системы должен оставаться не-
изменным. Если момент импульса
остается неизменным, а радиус враще-
ния убывает, то угловая скорость дол-
жна возрастать. При неизменном мо-
менте импульса энергия системы рав-
на С/r2, то есть энергия системы
больше, когда радиус вращения мень-
ше. Система получает эту добавочную
энергию благодаря работе, которую
вы совершаете, вытягивая бечевку
вниз.
Икнн = (1/2) • 1000 кг  (18 м/с)2 = 1,6 •
• Ю5 Дж. Мощность равна ДИ^нн/Дг.
ДИ^нн/Аг = (1,6-105 Дж)/(0,1 с) =1,6-
• 106 Вт ® 2000 л. с.
Задачи
1.	Камень массы 2,0 кг бросают верти-
кально вверх с начальной скоростью 20 м/с.
Какова начальная кинетическая энергия?
Какова потенциальная энергия камня на
максимальной высоте? Каково значение мак-
симальной высоты подъема? Какова ско-
рость камня на половине максимальной вы-
соты?
2.	Если можно пренебречь сопротивле-
нием воздуха, то брошенное вертикально
вверх тело имеет в каждой точке одинако-
229
вую скорость и при движении вверх, и при
движении вниз. Покажите, что это верно, ес-
ли сумма кинетической и потенциальной
энергий сохраняется. Если происходят потери
энергии вследствие сопротивления воздуха,
то как это скажется на соотношении скоро-
стей тела на одинаковой высоте при движе-
нии вверх и вниз? Как повлияет сопротивле-
ние воздуха на соотношение времен подъема
и спуска? Для облегчения рассуждений на-
бросайте на бумаге графики движения
в отсутствие сопротивления воздуха и при
его наличии.
3.	Сделайте оценку по порядку вели-
чины (Ферми был непревзойденным масте-
ром таких вычислений.) мощности, необхо-
димой для того, чтобы напечатать на обыч-
ной пишущей машинке одну букву. (Сила?
Перемещение? Время?)
4.	Вычислите и сравните между собой
энергии и скорости, которые необходимо со-
общить телу массы 1 кг, чтобы удалить его
на бесконечность с поверхности Луны и с по-
верхности Земли. Жз = 6,0 1024 кг, /?з =
= 6,4 • 10ь м, тл = 7,3 • Ю22 кг, Дл = 1,7 • 106 м.
5.	Вычислите и сравните между собой
скорость, необходимую для того, чтобы уда-
лить тело на бесконечность с поверхности
Земли, и скорость тела на круговой орбите,
проходящей у земной поверхности. Чтобы
найти последнюю, вспомните, что вы узнали
о центростремительной силе и орбитах. Для
сравнения 1азетных данных с результатами
ваших вычислений, выразите скорость в ми-
лях в час.
6.	Проделайте вычисления задачи 5 для
Луны, используя данные, приведенные в за-
даче 4. Каков период обращения спутника на
орбите, проходящей вблизи поверхности
Луны?
7.	Ракета, входящая в плотные слои ат-
мосферы с круговой орбиты, имеет настоль-
ко большую скорость, что большая ее часть
сгорает из-за трения о воздух. Но чтобы за-
пустить ракету на орбиту, ей нужно сооб-
щить именно такую скорость. Почему же
она не сгорает во время подъема?
8.	Запишите алгебраические выражения
для полной кинетической и потенциальной
энергии тела массы т, обращающегося по
круговой орбите вокруг Земли. Убедитесь,
что выражения имеют правильные знаки. Ес-
ли вы находитесь в космическом корабле, то
для увеличения полной механической энергии
(суммы кинетической энергии и потенциаль-
ной энергии тяготения) вы включаете двига-
тель, сориентировав его сопло назад. Для
уменьшения полной механической энергии
вы ориентируете сопло вперед по ходу ко-
рабля. Как изменяется расстояние до Земли
при увеличении полной механической энер-
гии? Что при этом происходит со ско-
ростью? Что вы предпримете для того,
чтобы сблизиться с телом, находящимся не-
много впереди вас?
9.	Наша атмосфера содержит кисло-
род, азот и многие другие газы, но в ней не
присутствуют в сколько-нибудь заметных
количествах водород и гелий. Поскольку эти
газы непрерывно поступают в атмосферу
в результате различных процессов, то, дол-
жно быть, они могут освобождаться из гра-
витационной потенциальной ямы Земли.
Объясните с помощью выражений для кине-
тической и гравитационной потенциальной
энергии, как это может происходить. В конце
концов, разве необходимая для удаления на
бесконечность скорость зависит от массы
тела? При любой заданной температуре
средняя кинетическая энергия молекулы лю-
бого газа одинакова. Другими словами, для
смеси водорода и кислорода при любой тем-
пературе справедливо:
(l/2)mHv2H2=W2) тоЛ2-
10.	Предположим, что вы раскрутили
с помощью бечевки или резинового шнура
тело, заставив его двигаться по окружности.
Система обладает двумя видами энергии:
энергией вращения и энергией растянутой
бечевки. Запишите выражение для суммы этих
энергий, то есть для полной энергии си-
стемы. Нарисуйте графики этих энергий,
проследив за выбором правильного знака
для энергии вращения. Обратите внимание
на то, что жесткость пружины к связана со
значениями величин, сохраняющихся при вра-
щении. Как зависит полная энергия от г?
Имеет ли смысл полученный результат?
(Обратите внимание, что, если бы вы наду-
мали перемещаться по радиусу к центру на
карусели, вам бы пришлось совершить рабо-
ту против центробежной силы. Если бы вы
были привязаны к центру пружиной, то воз-
вращающая сила со стороны пружины всег-
да имела бы нужное значение, так что вы
могли бы перемещаться по радиусу вперед и
назад, не прикладывая никаких других сил.)
11.	Под «вечным двигателем» обычно
подразумевают устройство, которое про-
230
изводит больше энергии, чем потребляет.
(Существует также представление о вечном
двигателе второго рода.) На рисунке показа-
на схема такой машины. Больший вес воды
в сосуде слева заставляет воду подниматься
по узкой трубке, увеличивая ее потенциаль-
ную энергию. При падении вниз потенциаль-
ная энергия воды превращается в кинетиче-
скую. Падая на водяное колесо, вода застав-
ляет его вращаться и, следовательно, совер-
шает полезную работу. Что неверно в таком
рассуждении?
12.	Девушка, масса которой 50 кг, мо-
жет проскочить лестничный пролет высоты
3 м (стандартное расстояние между этажами
в доме) за 2,5 с. Какую мощность в лоша-
диных силах она при этом развивает?
13.	Пружины часто используются для
того, чтобы запасать энергию, например
в часах. Сравните плотность энергии (запа-
сенная энергия, деленная на массу) пружины
и бензина. Типичная лабораторная пружина
массы 100 г растянется на 20 см, если к ней
подвесить гирю массы 1 кг. Плотность энер-
гии в бензине составляет примерно 4 • 107
Дж/кг. Пружину можно растянуть на 20 см
без нарушения ее упругих свойств.
14.	Какую скорость нужно сообщить те-
лу, чтобы оно могло удалиться на беско-
нечность с поверхности Солнца (и тем
самым покинуть Солнечную систему)?
(Яс = 7,0 108 м.)
15.	Тележка на «американских горах»
начинает движение без начальной скорости
в наивысшей точке на высоте 20 м над зем-
лей. Она резко опускается вниз до высоты
2 м и затем круто взмывает вверх до вер-
шины следующей горы, которая расположе-
на на высоте 15 м. Какова скорость тележки
в желобе на высоте 2 м и на 15-метровой
вершине, если потерями энергии на трение
можно пренебречь?
16.	На «американских горах» имеется
мертвая петля с радиусом 10 м. С какой ми-
нимальной высоты h над дном петли должна
двигаться тележка, чтобы удержаться на ко-
лее, если потерями энергии на трение можно
пренебречь? (Скорость тележки в верхней
точке петли должна быть достаточной для
того, чтобы необходимая центростремитель-
ная сила равнялась весу тележки.)
17.	Стрела вылетает из арбалета верти-
кально вверх со скоростью 60 м/с. (Сколько
это будет в милях в час?) На какую высоту
поднимается стрела, если ее масса равна 200 г?
На какую высоту поднимается стрела вдвое
большей массы? Потерями энергии на сопро-
тивление воздуха пренебречь.
18.	Пружинное ружье выстреливает ша-
рик вертикально вверх на высоту 30 см, если
пружина сжата на 1 см. Какова начальная
скорость полета шарика (при вылете из дула
ружья)? На какую высоту поднимется ша-
рик, если пружину сжать на 3 см?
19.	Примем потенциальную энергию тя-
готения на поверхности Земли равной нулю.
В этом случае потенциальная энергия тела,
находящегося в яме, отрицательна. Предпо-
ложим, что килограммовый камень падает
на дно колодца глубины 30 м с высоты 5 м
ниже поверхности Земли. Какова конечная
потенциальная энергия камня на дне колод-
ца? Какова начальная потенциальная энер-
гия камня на глубине 5 м? Каково изменение
потенциальной энергии камня? Положитель-
ное оно или отрицательное? Какова конеч-
ная скорость камня при ударе о дно ко-
лодца?
20.	Два цилиндрических магнита поме-
щены в гладкий желоб таким образом, что
они отталкиваются друг от друга. Их маг-
нитная потенциальная энергия, выраженная
в джоулях, дается формулой ЖПОт маги =
= 0,16/х, где х — расстояние между магнита-
ми, выраженное в метрах. Магнитам не дает
разбегаться легкая бронзовая пружина, кото-
рая находится в равновесном недеформиро-
ванном расстоянии, когда магниты касаются
друг друга, то есть при х = 0. Потенциальная
энергия пружины ЖПОт пруж = 1  104х2, где
х выражено в метрах. Очевидно, что магнит-
ная потенциальная энергия будет тем мень-
ше, чем больше расстояние между магнита-
ми. С другой стороны, потенциальная энер-
гия пружины имеет наименьшее значение,
когда магниты касаются друг друга и пру-
жина не деформирована.
Изобразите на одном графике потен-
циальную энергию магнитов и энергию пру-
жины. Потенциальная энергия всей системы
равна сумме этих двух энергий. Сложите две
кривые по точкам, чтобы получить график
полной потенциальной энергии. Магниты бу-
дут находиться в равновесии на таком рас-
стоянии друг от друга, которое соответ-
ствует минимуму потенциальной энергии.
Определите это расстояние на графике.
21.	На рисунке изображен график зави-
симости потенциальной энергии Жпот грав те-
ла от его смещения по горизонтали х. Како-
ва возвращающая сила на участках А, В
и С? Как направлена эта сила в каждом
случае?
22.	Предположим, что атом находится
в потенциальной яме, которая аппрокси-
мируется кривой, показанной на рисунке.
Нарисуйте соответствующий этой кривой
график F (г) и обозначьте на осях еди-
ницы.
23.	Подсчитайте энергию, необходимую
для того, чтобы поднять тело массы 1 кг на
высоту 100 км (выше границы атмосферы)
Проделайте вычисления двумя путями,
а) считайте д постоянным; б) используйте
точное выражение для потенциальной энер-
гии в поле Земли Каково различие результа-
тов этих вычислений в процентном отно-
шении?
24.	Если ваш организм нуждается в 2000
ккал ежедневно и мог бы получать их из
бензина, то сколько бы его понадобилось
каждый день? Сколько бы это стоило? Если
бы вы могли использовать электрическую
энергию, то сколько понадобилось бы кило-
ватт-часов? Сколько это стоило бы в вашем
районе?
Г Л А В A 11. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Трудно увидеть мир с чужой точки
зрения, особенно трудно, если другой
человек движется мимо вас или обходит
вас по кругу. У другого человека иная
система отсчета, иная система коор-
динат. Когда вы останавливаетесь на
красный свет светофора рядом с другим
автомобилем, возможно, вы заметите,
что он откатывается назад; другой че-
ловек, сидящий в том автомобиле, мо-
жет утверждать, что это
биль катится вперед. В
ваш автомо-
таком случае
третий человек, стоящий у дороги, смо-
жет сказать вам, который из автомоби-
лей двигался относительно него.
Предположим, что вы роняете моне-
ту, находясь в движущемся автомобиле;
она упадет прямо к вам на колени, а не
на сиденье позади вас. С вашей точки
зрения, траектория падающей монеты
представляет собой отвесную прямую
линию. Наблюдатель у дороги видит,
что вы вместе с монетой движетесь впе-
ред. Затем он видит, что монета падает
вдоль траектории, представляющей со-
бой параболу, как это было доказано
раньше. Какова же истинная траектория
падающей монеты — прямая или пара-
бола?
Если автомобиль, в котором вы на-
ходитесь, будет внезапно ускоряться
вперед, вас отбросит назад, к спинке си-
денья. В вашей системе отсчета вы, оче-
видно, получили ускорение назад, по-ви-
димому, под действием некоторой силы,
направленной назад. Наблюдатель воз-
ле дороги будет, однако, утверждать,
что вы, как и ваш автомобиль, ускоря-
лись вперед, и, по-видимому, это про-
изошло потому, что на вас действовала
некоторая сила, направленная вперед.
Каково же истинное направление дей-
ствующей на вас силы — вперед или
назад?
Если вы проходите на автомобиле
крутой поворот, вас отбросит во внеш-
нюю сторону траектории, по-видимому,
233
под действием некоторой радиальной
силы, направленной от центра. Наблю-
датель, который следит за вами с доро-
ги, заключит, что вы начали двигаться
по касательной к закруглению дороги,
но затем были втянуты на круговой
путь некоторой радиальной силой, на-
правленной к центру. В каком же на-
правлении действует на вас сила — к
центру или от центра?
Описанием событий в разных систе-
мах отсчета занимается теория относи-
тельности. Обычно под этими словами
подразумевают эйнштейновские спе-
циальную и общую теории относитель-
ности. Большинство эффектов специаль-
ной теории относительности (но не все)
проявляется, когда тело движется мимо
нас почти со скоростью света. Общая
теория относительности отвечает за то,
что происходит в системах отсчета, дви-
жущихся с ускорением по отношению
к нашей. Но существует и более ранняя
форма теории относительности, с изуче-
ния которой мы и начнем. Она связана
с именем Галилея, хотя он сам никогда
не использовал эту теорию в современ-
ном ее виде. Галилеевы преобразования
координат позволяют упростить описа-
ние многих событий, в которых уча-
ствуют тела, движущиеся относительно
нас. Например, мы проанализируем слу-
чаи, когда тело движется с постоянной
скоростью в одном направлении
и одновременно претерпевает ускорение
в перпендикулярном направлении. С та-
ким случаем мы уже встречались при
описании траекторий. Другое приложе-
ние связано с простым гармоническим
колебанием. Мы также увидим, как пре-
образования Галилея могут упростить
описание столкновений тел.
Вопрос 11-1
Движется ли Земля вокруг Солнца,
или же Солнце движется вокруг Зе-
мли?
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Требуется некоторая изобретатель-
ность для наблюдения эффектов относи-
тельности, хотя большинство из них
можно увидеть или почувствовать, если
иметь в своем распоряжении автомо-
234
биль с водителем и спокойный участок
дороги. Прежде всего заметьте, что про-
исходит с мячом, который роняют или
подбрасывают вертикально вверх, когда
автомобиль медленно катится с по-
стоянной скоростью. Сказывается ли
скорость автомобиля на том, как вы
подбрасываете и ловите мяч, находясь
внутри? Будут ли эти движения как-то
отличаться от того, что происходило бы
в неподвижном автомобиле? Поставьте
неподвижного наблюдателя вне автомо-
биля. Когда будете проезжать мимо не-
го, высуньтесь в окно, подбросьте мяч
вертикально вверх и поймайте, когда он
будет падать вниз. Какой будет траек-
тория мяча для наблюдателя на дороге?
Будучи пассажиром автомобиля, дер-
жите отвес и наблюдайте за ним, когда
автомобиль трогается с места, завора-
чивает за угол, останавливается. Отве-
сом может служить любой маленький
груз, подвешенный на конце шнурка.
Когда вы вместе с отвесом покоитесь
относительно Земли, отвес направлен
вертикально вниз. Фактически можно
определить направление «вниз» с по-
мощью отвеса. Какое направление
принимает отвес при движении с по-
стоянной скоростью? Каким будет на-
правление «вниз», когда автомобиль
ускоряется вперед при трогании с места
или назад при торможении? Как ведет
себя отвес, когда вы заворачиваете за
угол направо или налево? Если вам
удастся достать шарик, надутый гелием,
проделайте все эти маневры на автомо-
биле (пусть за рулем будет кто-нибудь
другой), держа шарик за шнурок. Когда
вы неподвижны, такой шарик на шнурке
представляет собой «антиотвес»; его на-
правление определяет «верх». Как будет
вести себя шарик при ускорении вперед,
назад или вбок?
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ
Несмотря на устрашающее название,
стоящая перед нами проблема очень
проста. Два человека, располагающие
измерительными приборами, наблю-
дают одно и то же явление. Это может
быть полет мяча, столкновение двух тел
или простое гармоническое движение
вверх и вниз подвешенного на пружине
грузика. Если два наблюдателя движут-
ся друг относительно друга с постоян-
ной скоростью, какие различия в этом
явлении они наблюдают? Чтобы облег-
чить рассуждения, свяжем с каждым на-
блюдателем собственную систему
координат х, у, z. Одна из них будет
двигаться в направлении оси х с по-
стоянной скоростью v по отношению
к другой. На рисунке система х', у', z'
движется вправо относительно системы
х, у, z. Мы должны подавлять в себе ис-
кушение думать, что система координат
х, у, z неподвижна, в то время как систе-
ма х', у', z' действительно движется.
Важно лишь то, что они движутся по
отношению друг к другу. Наблюдатель
в системе х', у', z' считает, что его систе-
ма неподвижна, в то время как система
х, у, z движется влево со скоростью — v.
Чтобы перевести описание движения
из одной системы отсчета в другую,
нужно выписать преобразование коор-
динат. Поскольку движение происходит
только в направлении оси х, коорди-
наты у и z в двух системах отсчета оди-
наковы. Более того, время в двух си-
стемах отсчета одинаково. В конце
концов, почему ваши часы должны спе-
шить или отставать только потому, что
вы едете по шоссе? (Прежде чем до-
браться до конца этой главы, мы уви-
дим, что ваши часы действительно из-
меняют свой ход с точки зрения наблю-
дателя возле дороги, но пока мы будем
использовать это предположение Га-
лилея.) Преобразования Галилея имеют
вид
t = t', у = у', z = z',
х = х' + vt'.
Вопрос 11-2
j Предположим, что в 10 часов тело
j в штрихованной системе имеет
I координаты х' = 4 мили, у' — 1 миля,
| z' = 2 мили. Какие координаты имеет
| это тело в системе х, у, z, если
235
начала координатных систем сов-
падали в 9 часов и штрихованная
система движется в направлении
оси х со скоростью 10 миль/ч?
1.	Используем преобразования Гали-
лея, чтобы подтвердить наблюдение, ко-
торое вы уже сделали в «Знакомстве
с явлениями». Если вы роняете камень,
находясь в автомобиле, движущемся
с постоянной скоростью, вам кажется,
что камень падает вертикально вниз.
Однако наблюдателю возле дороги ка-
жется, что камень падает по параболи-
ческой траектории. Свяжем с наблюда-
телем у дороги нештрихованную систе-
му координат, а штрихованную оставим
для себя. Падение камня удовлетворяет
уравнению
У = (1/2)щ'2.
Если сюда подставить выражения для
у и t, мы придем к тому, что нам уже
известно: на у-координату движущегося
тела его движение в х-направлении не
влияет:
y = W2)gt2.
Поскольку, однако, время связано также
с х и v, сделаем вместо t' другую
подстановку:
t' = t = (х — х') /V.
Подставляя это выражение для t в фор-
мулу для у, мы получаем
У = (1/2)з[(х - х')/г]2.
При желании можно выбрать движу-
щуюся систему координат так, чтобы
камень падал из ее начала, что значит
х' = 0. В этом случае
у = (1/2) (g/г2) х2.
Уравнение траектории в нештрихо-
ванной системе отсчета описывает пара-
болу (у = Ах2). Такой траектория пред-
ставляется наблюдателю, находящему-
ся возле дороги. Эта формула совпа-
дает с выведенной в главе 3. Там мы
описывали движение мяча, который был
брошен с горизонтальной скоростью, но
также свободно падал с ускорением д.
Мы не получили ничего нового с по-
мощью преобразований Галилея. Но
обратите внимание на отличие пред-
посылок при решении задачи этим
новым способом. Раньше мы бросали
мяч и пользовались тем. что его движе-
ния в направлениях осей х и у про-
исходили независимо друг от друга.
Однако в рамках понятий о систе-
мах отсчета движение мяча в одной
системе отсчета происходит вертикаль-
но вниз, а в другой он движется по па-
раболической траектории.
i Вопрос 11-3
Какова истинная траектория падаю-
щего мяча?
2.	Теперь преобразуем некоторое
движение из системы х, у, z в систе-
му х', у', z'.
Предположим, что это простое гар-
моническое движение, так что тело
при х = 0 совершает колебания вверх
и вниз по закону
у = A sin (2л f t).
Как выглядит это движение в систе-
ме отсчета, движущейся вдоль оси х со
скоростью V? Чтобы приближенно со-
ставить представление об этом, чертите
карандашом вверх и вниз по листу бу-
маги, стараясь, чтобы движение каран-
даша было по возможности близким
к простому гармоническому. Попросите
кого-нибудь одновременно с этим пере-
двигать бумагу медленно и равномерно
в направлении, перпендикулярном
к движению карандаша. Вы можете по-
лучить результат и без посторонней по-
мощи, если будете чертить мелом по
доске вверх и вниз по простому гармо-
236
ническому закону и одновременно буде-
те равномерно идти вдоль доски.
Вопрос 11-4
Разве эти два опыта не различны
в своей основе? В одном случае дви-
жется бумага, а в другом случае вы
сами движетесь вдоль доски.
Чтобы преобразовать уравнение
простого гармонического движения
к штрихованной системе отсчета (бума-
га или доска), воспользуемся подстанов-
ками
у = У, t = t' = (х — х') /г.
Если простое гармоническое движение
происходит около начала координат,
где х = 0, то в результате преобразова-
ния получим:
у’ = A sin [2 л/(— х' /г)] =
= - Asin [2л(//г)х'].
Это преобразование заменило синусои-
дальное движение во времени на сину-
соидальное движение в пространстве.
Длина волны X этой синусоидальной
траектории зависит как от частоты про-
стого гармонического движения, так
и от относительной скорости двух си-
стем отсчета:
у' = — Asin[(2л/Х)х'], где X = v[f.
Описанный здесь переход от одной
системы отсчета к другой заменяет ко-
лебания во времени на колебания в про-
странстве. Наиболее известный пример
такого преобразования — это запись
звука.
Как записывающая, так и воспро-
изводящая иглы осциллируют вдоль
некоторого направления, совершая если
не простое гармоническое движе-
ние, то уж во всяком случае колеба-
тельное движение. Однако дорожки зву-
козаписи извиваются, образуя в про-
странстве волну синусоидального типа.
Заметьте, что длина волны вдоль до-
рожки на пластинке с записью равна
X = 1>1 /У1. В данном случае vt — это ско-
рость, с которой дорожка записи дви-
жется мимо иглы, a /i — частота коле-
баний записывающей иглы. В звуковос-
производящем устройстве должно вы-
полняться обратное преобразование си-
стем координат. Синусоидальное движе-
ние в пространстве вдоль дорожки
звукозаписи превращается в синусои-
дальное колебание во времени звуко-
производящей иглы. Если скорость при
проигрывании равна v2 вместо i?i, коле-
бания воспроизводящей иглы происхо-
дят по закону
у = — A sin [(2л/Х) х'] =
= - A sin [(2л/Х) ( - r2t)].
Выполняя здесь подстановку, мы выбра-
ли х = 0 в выражении х' = х — vt.
Поскольку X = v/f выражение для у
237
принимает вид:
у= XsinpTt^j/j/rJt] =
= A sin [2п/\г].
Частота звука, слышимого при воспро-
изведении, не обязательно совпадает
с частотой записанного звука. Частота
при воспроизведении равна f 2 =
w и скорость в штрихованной системе
через и, то
w = Ax/At и и = Ax'/At',
w = и + V.
Фактически мы рассматривали только
проекции скоростей на ось х. Проекции
скоростей на другие направления не за-
висят от движения вдоль оси х. Однако
Вопрос 11-5
Что произойдет, если вы будете
проигрывать современную пластинку
(33 у об/мин) на старом проигры-
вателе с частотой 78 об/мин?
3.	Мы видели, что изменение си-
стемы отсчета может изменить вид
траектории движущегося тела, а также
преобразовать перемещение как функ-
цию времени в перемещение как функ-
цию положения. А как преобразуются
скорости? Если вы идете со скоростью
2 м/с в вагоне поезда, движущегося со
скоростью 30 м/с, насколько быстро вы
движетесь относительно земли? («Чепу-
ха,— сказал инспектор, когда поезд про-
носился мимо станции,— все это время
я неподвижно сидел на своем месте».)
Интуиция нам подсказывает, что когда
мы идем вперед по движению поезда,
наша скорость относительно земли дол-
жна быть равна сумме скорости поезда
и нашей скорости относительно поезда.
Когда вы идете назад, ваша результи-
рующая скорость относительно станции
равна разности между скоростью поез-
да и вашей скоростью. Докажем это
аналитически.
В момент времени t
х = х' + vt.
В момент времени (t + At)
(х + Дх) = (х' + Дх') + v (г + Дг).
Вычтем первое уравнение из второго:
Дх = Дх' + гДг'.
Разделим его почленно на Дг:
Дх/Дг = Дх'/At' + v.
Если обозначить результирующую ско-
рость в нештрихованной системе через
в одной системе отсчета равна алге-
браической сумме скорости в другой си-
стеме отсчета и относительной скорости
двух систем.
Вопрос 11-6
Предположим, что у вас есть пнев-
матическое ружье, пули из которою
вылетают при выстреле со ско-
ростью 30 м/с, и что вы находитесь
на платформе поезда, движущегося
со скоростью 30 м/с. Если вы вы-
стрелите вперед, какую скорость бу-
дет иметь пуля относительно наблю-
дателя на станции? Если вы
с последней платформы поезда вы-
стрелите назад, каким покажется
движение пули наблюдателю на
станции?
238
4.	Случается, что, когда мы на-
чинаем изучать природу, простые и оче-
видные законы приводят иногда к пара-
доксальным заключениям. Кажется раз-
умным, что скорости должны склады-
ваться алгебраически при изменении
системы отсчета. (Отметьте, однако, что
в нашем выводе мы предполагаем, что
время для обеих систем отсчета течет
одинаково. Как мы увидим в конце этой
главы, такое предположение несправед-
ливо, и поэтому выведенное выше про-
стое правило сложения скоростей — это
всего лишь некоторое приближение.)
Что происходит с кинетической энер-
гией пули, если наблюдать за выстре-
лом из двух разных систем отсчета?
Энергия тоже должна быть относитель-
ной величиной. В движущемся поезде
пуля имеет одну и ту же кинетическую
энергию независимо от того, в каком
направлении производится выстрел.
И^ин = (1/2) т(30 м/с)2. Для наблюда-
теля на станции ситуация выглядит со-
всем иначе. Если выстрел производится
по движению поезда, измеряемая этим
наблюдателем кинетическая энергия
Жкин = (1/2)щ(60 м/с)2. Эта величина
в четыре раза больше, чем кинетическая
энергия, измеряемая в поезде. Еще того
хуже, наблюдатель на станции будет
прав, заявляя, что при выстреле назад
кинетическая энергия пули равна нулю,
поскольку ее скорость равна нулю.
Вопрос 11-7
Так все-таки обладает пуля кинети-
ческой энергией или нет? И если
обладает, то в какой мере? Что бу-
дет, если измерить эту энергию,
стреляя пулей по мишени и измеряя
глубину проникновения?
В задачах на столкновения, подоб-
ных тем, что только что были предло-
жены, все вычисления при преобразова-
нии из одной системы отсчета в другую
нужно делать очень осторожно и тща-
тельно. В любой системе отсчета нужно
установить уравнения, выражающие со-
хранение энергии и импульса, включая
в них движения и отдачи всех участвую-
щих тел. В качестве примера проблем,
возникающих, если не соблюдать этих
предосторожностей, приведем упро-
щенный вариант задачи, описанной
много лет назад в журнале «Astounding
Science Fiction» («Поразительная научная
фантастика»). Автор заявил, что он на-
шел непреодолимое препятствие созда-
нию космических станций.
Предположим, что к космической
станции должен пристыковаться транс-
портный корабль, движущийся относи-
тельно станции со скоростью, равной
одной произвольной единице (1 м/с или
любая другая единица, это не имеет
значения). Поэтому кинетическая энер-
гия транспортного корабля относитель-
но станции равна (1/2)т(1)2. Как раз та-
кую энергию должны поглотить амор-
тизаторы космической станции. Пру-
жины этих амортизаторов испытаны на
Земле, чтобы они могли без поврежде-
ний замедлить и остановить транс-
портный корабль. Пусть теперь косми-
ческая станция находится на орбите
и движется со скоростью 10 относитель-
но Земли (10 тех же единиц, какие бы вы
ни выбрали). Транспортный корабль
должен иметь скорость И единиц отно-
сительно Земли, чтобы его скорость от-
носительно космической станции была
по-прежнему 1 единица. Поэтому кине-
тическая энергия транспортно!о ко-
рабля относительно Земли равна
(1/2)wi(ll)2. Если он замедляется и оста-
навливается, причалив к космической
станции, его конечная скорость будет
равна 10, а конечная кинетическая энер-
гия будет (1/2)ш(10)2. Смотрите, сколь
239
гибельны должны быть последствия!
Кинетическая энергия/ которую должны
поглотить амортизаторы станции, равна
[(1/2)m(lI)2 - (1/2) m(10)2] = (1/2) т(21).
Это в 21 раз больше той энергии, что,
по нашим подсчетам, поглощается при
наземных испытаниях. В действительно-
сти ситуация с космической станцией
должна быть еще много хуже, потому
что фактическая скорость спутника на
околоземной орбите настолько велика,
что разность квадратов двух больших
чисел дает огромную величину.
Как сказал автор этой заметки
в «Astounding Science Fiction», «транс-
портный корабль спокойно проложит
себе путь сквозь стыковочный узел, мед-
ленно, но непреклонно раздвинет в сто-
роны пружины амортизаторов, пробьет
себе путь сквозь космическую станцию
и выйдет с противоположной стороны».
Вопрос П-8
Неужели эта космическая программа
обречена на провал? Может быть,
мы где-то ошиблись?
 Дополнительный материал
5.	До сих пор мы сравнивали описания
событий, наблюдаемых из двух различных
систем отсчета. Ту систему, к которой мы
причисляем себя, мы обычно считаем непо-
движной; другую мы связываем с неко-
торым телом, движущимся относитель-
но нас.
Однако в некоторых случаях с большой
пользой для понимания можно анализиро-
вать события из системы отсчета, связанной
с центром масс взаимодействующих тел.
В главе 7 и еще раз в главе 9 мы научились
описывать столкновения двух тел. Такими
телами могут быть автомобили на скольз-
кой дороге, и в таком случае мы можем, по
всей видимости, рассчитывать лишь прибли-
женные результаты, или это могут быть суб-
атомные частицы, для которых законы со-
хранения соблюдаются очень точно. (В слу-
чае столкновений автомобилей остаются
нерешенными проблемы, связанные с не-
упру гостью удара, с необходимостью сохра-
нения момента импульса даже тогда, когда
параметр удара известен недостаточно точно,
с недостаточно хорошо известным взаимо-
действием с дорогой.)
240
Законы сохранения энергии и импульса
особенно просты в системе отсчета, связан-
ной с центром масс. На рисунке приводится
сравнение картин столкновения двух прото-
нов, как они видны из двух систем отсчета.
В первой его части мы приняли, что один из
протонов покоится относительно нас. Мы
получаем при этом ту же геометрию, что
и при анализе упругого столкновения в
главе 9. На второй части рисунка показано
это же событие с точки зрения центра масс.
Поскольку протоны имеют одинаковые
массы, центр масс всегда должен находиться
на полпути между протонами. С нашей точ-
ки зрения, когда налетающий протон дви-
жется вправо со скоростью v0, центр масс
движется в том же направлении со ско-
ростью (1/2) v0. Однако с точки зрения си-
стемы центра масс один протон приближает-
ся к центру масс слева со скоростью (1/2) v0,
а другой приближается справа со
скоростью — (1/2) и0. В такой выделенной си-
стеме отсчета результирующий импульс уча-
ствующих тел с необходимостью равен ну-
лю. Результирующий импульс должен оста-
ваться равным нулю во все моменты време-
ни, в том числе и после столкновения. Так
может быть лишь при условии, что после
упругого столкновения протоны разлетаются
в противоположных направлениях. Модуль
скорости каждого протона относительно
центра масс останется прежним: (1/2) i;0.
В противном случае в системе отсчета) свя-
занной с центром масс, не сохранялась бы
кинетическая энергия. Протоны могут разле-
таться под любым углом к первоначальному
направлению, лишь бы они двигались проти-
воположно друг другу. В этой системе отсче-
та легче вычислить вероятность того, что
протон вылетит под некоторым опреде-
ленным углом.
Вопрос 11-9
Раз протоны могут вылетать под всевоз-
можными углами, почему вероятность
вылета не будет для всех углов одина-
кова?
Легко выполнить обратное преобразова-
ние в лабораторную систему отсчета. Для
этого достаточно просто векторно приба-
вить скорость центра масс к скорости каждо-
го протона. Такое геометрическое построе-
ние показано на рисунке. Это преобразова-
ние будет особенно простым в случае тожде-
ственных частиц и не слишком трудным
даже тогда, когда массы частиц различны.
Так как и; =(1/2)и = иц„ и u'2=(l/2)u = и ц и
то треугольники равнобедренные и а = а
fl fl .Из равенства накрест лежащих углов
0 = а и	Таким образом, а + 0 + ^ + /8 =
= 180, 20 + 2^=180, © + (^ = 90
Обратите внимание, что в случае тожде-
ственных частиц векторное сложение скоро-
стей образует равнобедренный треугольник
для каждой из частиц. Из этих простых гео-
метрических соотношений следует факт, вы-
веденный алгебраически в главе 9: при
столкновении двух частиц равных масс, одна
из которых первоначально покоилась, угол
между направлениями их конечных скоро-
стей должен быть равен 90°.
ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
В УСКОРЕННЫХ СИСТЕМАХ
ОТСЧЕТА
Когда реактивный самолет, в кото-
ром вы находитесь, разгоняется на взле-
те, вы ускоряетесь нперед или назад?
Наблюдатели в аэропорту скажут, что
вы, конечно же, ускоряетесь вперед. Од-
нако вы хорошо знаете, что вас от-
брасывает назад к спинке кресла. Когда
вы сидите рядом с водителем в автомо-
биле, выполняющем левый поворот, вас
отбрасывает к двери или к водителю?
Если дверь не заперта, центробежная
сила может выбросить вас из автомоби-
ля. Конечно, находящийся над вами
в вертолете наблюдатель объяснил бы
это тем, что дверь не смогла обеспечить
достаточной центростремительной силы
для поддержания вашего движения по
окружности. Создается впечатление, что
в каждом из этих случаев направление
сил и вызываемых ими ускорений зави-
сит от системы отсчета, выбранной для
их описания.
Ньютон придавал большое значение
задачам описания движения в раз-
личных системах отсчета. Три его зако-
на строго выполняются только в пред-
ложенной им системе отсчета — покоя-
щейся или движущейся с постоянной
скоростью относительно неподвижных
звезд. Такая система отсчета называется
инерциальной. Первый закон Ньютона
строго справедлив только в инерциаль-
ной системе отсчета. Фактически первый
закон можно использовать как опреде-
ление инерциальной системы отсчета.
Вопрос 11-10
Что утверждается в первом законе
Ньютона, и как бы вы его использо-
вали для ответа на вопрос, находим-
ся ли мы здесь, на поверхности Зем-
ли, в инерциальной системе от-
счета?
Ньютон утверждал, что можно опре-
делить, находитесь ли вы в инерциаль-
ной системе отсчета, наблюдая поверх-
ность жидкости. Например, когда вы
241
покоитесь или движетесь с постоянной
скоростью, поверхность жидкости будет
горизонтальной и плоской. Конечно,
при этом, чтобы поверхность жидкости
оставалась плоской, должно существо-
вать перпендикулярное к этой поверхно-
сти однородное гравитационное поле.
Хотя таким способом и нельзя изме-
рить абсолютную скорость, можно
определить ускорение относительно
инерциальной системы отсчета просто
по виду поверхности жидкости. Если вы
ускоряетесь вперед, вода вздымается
у задней стенки, образуя плоскую по-
верхность под углом к горизонту. Если
вы раскрутите ведро с водой, ее поверх-
ность принимает форму параболоида.
Если поместить наблюдателя, который
будет считать себя покоящимся, на по-
верхность вращающейся воды, то ему
придется давать объяснение тому, что
все «неподвижные» звезды быстро вра-
щаются вокруг него.
Эрнст Мах (1838—1916) указал, что
на самом деле для наблюдателя не бу-
дет так уж противоестественно считать
всю вращающуюся вокруг него вселен-
ную источником центробежных сил. Ис-
точник инерции как таковой остается
неразгаданным. Может быть, инертная
масса любого тела обусловлена грави-
тационным влиянием всей остальной
массы во вселенной. Тело без окружаю-
щей его вселенной имело бы нулевую
массу. Возможно, что в связанной с те-
лом системе отсчета вращающаяся все-
ленная создает центробежную силу.
Безотносительно к этим философ-
ским проблемам часто бывает удобно
описывать явления с точки зрения не-
инерциальных систем отсчета. Мы часто
оказываемся в системах отсчета, ко-
торые движутся с ускорением относи-
тельно неподвижных звезд. Мы подни-
маемся в лифтах, проходим на автомо-
билях дорожные повороты, наносим на
карты движение воздушных масс на на-
шей вращающейся Земле. Во всех таких
случаях может оказаться удобным
иметь дело с силами инерции, вы-
званными нашим ускорением по отно-
шению к инерциальным системам от-
счета. Нельзя считать, что эти силы
инерции создаются некоторыми заряда-
ми-источниками, подобными гравита-
ционной массе, электрическому заряду
или ядерному гиперзаряду. Но силы
инерции действуют на массу тела так,
как если бы они были локальными по-
лями тяготения. Эти поля сил инерции
зависят от положения и движения тела
относительно неинерциальной системы
отсчета. Рассмотрим некоторые при-
меры.
1.	На опыте направление «вниз»
определяется с помощью отвеса. Отвес
не обязательно указывает направление
к центру Земли. Близлежащие горы со-
здают местные аномалии. Кроме того,
Земля не вполне сферическая. Однако
в данный момент нам удобно считать,
что отвес направлен «вниз», потому что
он указывает направление гравитацион-
ного поля. Сила тяготения, действую-
щая на отвес массы т, F = тд =
= G(mm3/R$). Здесь Ез — радиус Земли,
/из — масса Земли. Когда вы держите от-
вес в автомобиле или самолете, уско-
ряющемся вперед, нить отвеса уже не
вертикальна — она слегка отклоняется
назад.
Этот эффект особенно легко наблю-
дать при взлете на реактивном лайнере.
Вместо обычного отвеса можно вос-
пользоваться журналом из кармана на
Al „вниз"
242
кресле перед вами. Держите журнал за
один угол, зажав его между большим
и указательным пальцами. Вы увидите,
что при ускорении самолета диагональ-
но противоположный угол отклоняется
назад к вам.
Один из способов описания этого
эффекта поясняется диаграммой сил на
приводимом рисунке. Прикрепленный
Силы, действу-
ющие на отвес
в инерциальной
системе отсчета
к грузику шнурок действует на него
с силой, достаточной для того, чтобы
уравновесить направленную вниз силу
тяготения и обеспечить также горизон-
тальную силу, создающую горизонталь-
ное ускорение. Как видно из рисунка,
тангенс угла отклонения от вертикали
равен отношению i оризонтального
Силы, действую-
щие на отвес в не-
инерциальной си-
стеме отсчета
ускорения а к напряженности гравита-
ционного поля д. Предположим, однако,
что все окна в вашем самолете закрыты
и поэтому вы не знаете о том, что аэро-
порт проносится мимо вас назад. Отвес
указывает направление «вниз». Очевид-
но, что это направление образовано век-
торной суммой двух полей гравита-
ционного типа. Поле тяготения Земли
создает силу тд, локальное поле сил
инерции, обусловленное ускорением, со-
здает силу та. Их результирующая
и представляет собой полное поле. От-
вес не только указывает новое напра-
вление — его вес также немного увели-
чился.
Вместо отвеса, определяющего на-
правление «вниз», можно воспользо-
ваться заполненным 1елием шариком,
а
который определяет направление
«вверх». Реакция шарика с гелием в за-
крытом автомобиле в точности проти-
воположна реакции отвеса. Когда авто-
мобиль ускоряется вперед, гелиевый
шарик также тянется вперед. Если вы
круто повернете влево, гелиевый шарик
тоже наклонится влево. Фактически ге-
лиевый шарик представляет собой «ан-
тиотвес».
Вопрос 11-11
Можно ли анализировать поведение
шарика с гелием, рассматривая дви-
жение воздуха, в котором плавает
шарик?
2.	В лифте ускорение и поле тяготе-
ния коллинеарны, хотя направление
ускорения может быть положительным
или отрицательным. Направление поля
тяготения всегда отрицательно. Вы
сталкиваетесь на опыте с действиями
этих локальных полей в лифтах, ко-
торые резко трогаются с места или
останавливаются. Когда лифт ускоряет-
ся вверх, вы чувствуете увеличение соб-
ственного веса; непосредственно перед
остановкой на нужном этаже вы ощу-
щаете уменьшение веса. Этот эффект
легко измерить количественно, если, на-
ходясь в лифте, встать на напольные
весы. Если в лифт войдут другие пасса-
жиры, вы сможете придумать много ин-
тересных объяснений тому, чем вы зани-
маетесь.
И опять у нас есть два способа опи-
сания наблюдаемых показаний весов
в лифте. Во-первых, мы можем просто
применить второй закон Ньютона
243
к взвешиваемому человеку. Как видно
из рисунка, на стоящего на весах чело-
века в вертикальном направлении дей-
ствуют две силы. Гравитационное при-
тяжение к Земле действует вниз с силой,
равной mg. Пружины весов толкают
вверх с силой, величину которой можно
прочитать по шкале. Поскольку хорошо
известно, что напольные весы никогда
не обманывают, эта сила равна весу че-
ловека W (но направлена в противопо-
ложную сторону). В соответствии со
вторым законом Ньютона
^резулы ~ та,
ГпРуж + ^ = ща.
Если вы знаете свою массу т и напря-
женность гравитационного поля g
в данном месте, вы можете определить
ускорение, с которым вы поднимаетесь,
считывая свой вес, показываемый на-
польными весами.
f Вопрос 11-12
Некоторые лифты создают ускоре-
ние, направленное вверх и равное
1 м/с2. Если в неподвижном состоянии
ваш вес равен 500 Н (около 110 фун-
тов), чему будет равен ваш вес, как
только лифт начнет подниматься?
Будут ли напольные весы продол-
жать показывать эту величину на
протяжении подъема лифта?
Эти экспериментальные результаты
можно объяснить другим способом, ес-
ли предположить, что локальное поле
тяготения время от времени изменяется.
В тот момент, когда первый этаж зда-
Локалыюе поле тяготения в лифте равно
g + а. Вес Р = т (g + а)
ния «отъезжает» от вас и уносится вниз
(как видно из вашей системы отсчета),
поле тяготения возрастает. Когда про-
тив вас оказывается следующий этаж,
локальное гравитационное поле в лифте
уменьшается. Полное поле, действую-
щее на вашу массу, представляет собой
сумму поля тяготения Земли и поля
ускорения. Когда внешний мир движет-
ся с ускорением а, направленным вниз,
результирующее поле равно g + а.
В этом случае ваш вес равен т(д + а).
Когда внешний мир замедляется перед
вашим лифтом, его ускорение направле-
но вверх. В соответствии с показаниями
напольных весов и вашими собственны-
ми ощущениями, ваш вес теперь равен
лишь т(д — а). Обратите внимание, что
мы приходим к одним и тем же количе-
ственным заключениям независимо от
того, которой из мысленных моделей
пользуемся для описания этой поездки
в лифте.
3.	В курсах физики и учебниках не-
редко предупреждают против заблужде-
ния в том, что существуют центро-
бежные силы. Центробежные силы при
этом объявляются просто фиктивными
силами. В самом деле, для описания со-
бытий, происходящих во вращающейся
системе, можно удалить из нее наблю-
дателя и поместить его в инерциальной
системе отсчета. Возьмем случай с пас-
сажиром в автомобиле, накренившемся
при выполнении левого поворота. Двер-
ца автомобиля распахивается, и пасса-
жир вылетает. С вашей возвышенной
и удобной позиции наблюдения в инер-
циальной системе отсчета можно объяс-
нить происходящее тем, что дверца ав-
244
томобиля уже не обеспечивала доста-
точной центростремительной силы для
удержания пассажира в его движении по
окружности. Нос точки зрения пассажи-
ра, конечно же, раскрылась дверь и он
был выброшен в радиальном направле-
нии. Вам было бы нелегко убедить сле-
дователя, что смерть была вызвана фик-
тивной силой.
Какую систему отсчета выбрать для
описания явлений, диктуется соображе-
ниями удобства. Никаких противоречий
между описаниями событий в разных
системах отсчета не возникает, если
только мы не начинаем их смешивать.
Мы не должны, к примеру, складывать
центробежную силу, действующую
в одной системе отсчета, с центростре-
мительной силой в другой системе. Ес-
ли мы располагаемся в инерциальной
системе отсчета и наблюдаем за собы-
тиями, происходящими в ускоренной си-
стеме, то нет никакой необходимости
использовать силы инерции, подобные
Внешняя система отсчёта : отсутсвие центро-
стремительной силы
центробежной. С другой стороны, если
мы находимся в ускоренной системе,
подобной карусели, может оказаться бо-
лее удобным описывать явления, поль-
зуясь полным локальным полем, созда-
ваемым тяготением и силами инерции.
В действительности, раз уж мы живем
на гигантской карусели, общепринято
называть и использовать силы инерции
так, как если бы они были вполне ре-
альны в ньютоновском смысле.
Вопрос 11-13
Какую долю своего веса теряете вы
на экваторе из-за центробежной
силы, обусловленной вращением Зе-
мли?
4.	До сих пор мы описывали только
один вид сил инерции, обусловленных
вращением, — центробежные силы инер-
ции. Существует, однако, и другая важ-
ная сила инерции — сила Кориолиса.
Эта сила всегда действует вправо на те-
ло, движущееся по поверхности Земли
в северном полушарии, и влево — в юж-
ном полушарии. Именно сила Кориоли-
са вызывает гигантские циклоны в ат-
мосфере, когда ветры дуют из областей
высокого давления в направлении обла-
сти низкого давления. На рисунке пока-
зано, как воздушные потоки, движущие-
ся со всех сторон к области низкого
давления, создают в северном полуша-
рии циркуляцию воздуха в направлении
против часовой стрелки; вокруг области
высокого давления устанавливается
циркуляция по часовой стрелке. Мень-
шие по масштабу и более интенсивные
циклонические явления — ураганы
и торнадо — тоже подчиняются этому
правилу направления вращения.
Система отсчёта, связанная с автомобилем :
наличие центробежной силы
Вокруг области низкого давления ветры дуют
против часовой стрелки
245
Происхождение кориолисовой силы
можно понять, исходя из требований со-
хранения момента импульса. Допустим,
например, что находящееся на экваторе
орудие стреляет вертикально вверх. Ес-
ли бы снаряд взлетел всего лишь на не-
сколько футов, мы ожидали бы, что он
упадет назад прямо в жерло орудия.
Конечно, Земля вращается, но снаряд
участвует в этом вращении и при выле-
те из орудия имеет одинаковую с Зем-
лей тангенциальную скорость. Когда,
однако, снаряд поднимается на боль-
шую высоту, становится важным и дру-
гой эффект. Момент импульса снаряда
относительно Земли должен оставаться
неизменным. Этот момент импульса
дается выражением mvr — тг2а>. По мере
возрастания расстояния г от снаряда до
оси угловая скорость со должна убы-
вать. Поэтому угловая скорость снаряда
на всей его траектории будет меньше,
чем у орудия. Он упадет западнее ору-
дия.
Теперь рассмотрим, что происходит,
когда ветер дует к северу в северном по-
лушарии. Поскольку воздушные массы
следуют за кривизной поверхности Зем-
ли, они приближаются к земной оси.
Поэтому их угловая скорость должна
возрастать, раз г уменьшается. Это уве-
личение угловой скорости вызовет от-
клонение направления воздушных пото-
ков к востоку, то есть вправо от их
первоначального движения на север.
Подобным же образом, если ветер дует
к югу, воздушные массы будут следо-
вать за кривизной поверхности и попа-
дать в области, находящиеся на боль-
шем расстоянии от оси. Поэтому их
угловая скорость должна уменьшаться,
вызывая их смещение к западу. И опять
это смещение происходит вправо по от-
ношению к основному направлению
движения.
Детальное исследование силы Ко-
риолиса на вращающейся Земле показы-
вает, что
Fkop = - 2иЮ) X V,
где v — скорость (относительно Земли)
и о — угловая скорость Земли. Обрати-
те внимание, что по этой формуле ко-
риолисова сила равна нулю, когда тело
на экваторе движется на север или на
юг. Для такого движения скорость v па-
раллельна направлению угловой скоро-
УраганАва, 3 мая 1973 года. Фотография
со спутника
сти о. Если два вектора параллельны,
их векторное произведение равно нулю.
На полюсах кориолисова сила макси-
мальна, поскольку там любая танген-
циальная скорость автоматически пер-
пендикулярна к направлению оси враще-
ния. Если двигаться на север в северном
полушарии, у тангенциальной скорости
будет составляющая в направлении оси
и составляющая, перпендикулярная
к оси, которая и вызывает появление
246
силы, действующей вправо. Подобным
же образом при движении к югу перпен-
дикулярная составляющая скорости на-
правлена от оси. В результате сила
снова действует вправо.
Существует легенда, что при спуске
воды из ванн и раковин умывальников
в северном полушарии воронка закручи-
вается против часовой стрелки, в то вре-
мя как в южном полушарии — по часо-
вой стрелке. Воспользуемся формулой
для вычисления силы Кориолиса и неко-
торыми разумными оценками, чтобы
выяснить, достаточна ли эта сила для
создания такого вихревого движения во-
ды в раковине. Сравним кориолисово
ускорение с ускорением, обусловленным
силой тяжести. Их отношение равно
2<ы/д. Угловая скорость <в обусловлена
суточным вращением Земли. Она соста-
вляет 2л радиан за 24 часа, что равно
7,3-10“5 рад/с. Скорость воды в ракови-
не в Соединенных Штатах не перпенди-
кулярна к оси вращения Земли, как это
было бы на экваторе. Примем для
оценки, что перпендикулярная состав-
ляющая равна примерно половине пол-
ной скорости. Это убирает множитель
2 в выражении для силы Кориолиса. Те-
перь нужно оценить скорость воды для
обычного умывальника при ее движении
к центру. Пусть она составит около
1 м/с. В таком случае отношение корио-
лисовой силы к силе тяжести для ка-
ждой частицы воды
f кор ~ (7 - 10~5 рад/с) •(! м/с) =
ТТяж	10 м/с2
= 7- 10"6.
Относительное значение силы Ко-
риолиса для умывальника пренебрежимо
мало. Будет ли водоворот при спуске
воды закручиваться по часовой стрелке
или против, определяется асимметрией
формы раковины или долговременной
памятью воды о направлении ее круже-
ния при наполнении раковины. Для на-
блюдения этого «эффекта раковины»
в 1960 году группой исследователей из
Массачусетского технологического ин-
ститута действительно были выполнены
очень тщательные эксперименты. В них
использовались специальные полусфери-
ческие раковины, изготовленные с очень
точным соблюдением симметрии. Вода
отстаивалась в течение длительного
времени для исключения любых движе-
ний, остающихся после процесса запол-
нения. При соблюдении этих особых ла-
бораторных условий наблюдалось, что
в Бостоне закручивание водоворота вы-
текающей воды происходило в боль-
шинстве случаев против часовой стрел-
ки. Оборудование было затем перевезе-
но в Австралию, и там, конечно, водо-
ворот закручивался по часовой стрелке.
5.	Выдвигаются серьезные предложе-
ния о создании космических поселений,
где могли бы разместиться многие ты-
сячи людей. Эти поселения должны рас-
полагаться на орбитах между Землей
и Луной. Поскольку обитателям косми-
ческих поселений пришлось бы жить
там в течение нескольких лет, а может,
и постоянно, условия жизни там дол-
жны быть комфортными и во многих
отношениях подобными земным.
В частности, люди и другие живые су-
щества, приспособленные к земным ус-
Так художник представляет себе «Стэнфорд-
ский тор», возможное космическое поселение,
движущееся по орбите в области между
Землей и Луной. Десять тысяч человек мог-
ли бы жить с удобствами во вращающем-
ся торе диаметра 1,5 км. Над тором располо-
жено гигантское зеркало для отражения
солнечною света в жилые помещения
247
ловиям, хотели бы жить в гравитацион-
ном поле, напряженность которого рав-
на 9,8 Н/кг. Чтобы создать такой
эффект в космических поселениях, им
следует придать форму гигантских ци-
линдров, торов (бубликов) или сфер,
равномерно вращающихся вокруг оси.
Центробежная сила, испытываемая жи-
вущими на внутренней стороне оболоч-
ки обитателями, воспринималась бы
ими как нормальное земное тяготение.
Вопрос 11-14
Как быстро должен был бы вра-
щаться вокруг оси цилиндр диамет-
ра 1 км, чтобы центробежное уско-
рение было равно д?
Одно из преимуществ жизни
в подобном поселении заключалось бы
в том, что вам были бы легко доступны
области вблизи оси вращения системы,
где «тяготение» меньше. Эта особен-
ность космического поселения таит в се-
бе целый мир новых спортивных воз-
можностей. С другой стороны, сила
Кориолиса создавала бы другие боль-
шие трудности, к каким мы не привы-
кли на Земле.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА
Преобразования Галилея решающим
образом основаны на предположении,
что промежутки времени во всех систе-
мах отсчета одинаковы: At = At'. Это не
означает, что если сейчас в Нью-Йорке
10 часов, то 10 часов должно быть и
в Милуоки; но это значит, что если не-
который процесс продолжается 10 се-
кунд в одной системе отсчета, он будет
продолжаться 10 секунд и в другой си-
стеме отсчета. Это предположение пред-
ставляется настолько очевидным, что не
заслуживало бы и упоминания, если бы
на самом деле оно не было ошибочным.
Вскоре мы увидим, почему предположе-
ние о равенстве интервалов времени
ошибочно. А пока отметьте, что это
предположение прямо ведет к заключе-
нию, что относительные скорости
складываются алгебраически. Именно
этот пункт и беспокоил больше всего
Эйнштейна в начале нашего столетия.
248
Эйнштейна занимала одна проблема,
связанная с законами электромагнетиз-
ма, выражаемыми уравнениями Макс-
велла. Мы будем изучать их в главе 22.
Они предсказывают, что электромаг-
нитное излучение распространяется
с вполне определенной скоростью —
скоростью света. Однако уравнения ни-
чего не говорят о том, в какой системе
отсчета эта скорость будет именно та-
кой. По всей видимости, уравнения
справедливы в любой системе отсчета
и во всех системах отсчета. Следова-
тельно, в вакууме свет всегда распро-
страняется только с этой скоростью,
равной 3,0 108 м/с.
I Вопрос 11-15
7 Но как это может быть? Один из
5 самых удаленных космических
объектов, называемых квазарами,
удаляется от нашей Земли со ско-
ростью, равной половине скорости
света. Он испускает свет, который
мы регистрируем. Чему равна ско-
рость этого света относительно нас?
Природа вещей такова, что скорость
света универсальна и имеет одно и то
же значение независимо от скорости ис-
точника света или скорости наблюдате-
ля, выполняющего ее измерение. Что
это, гипотеза или экспериментальный
факт? И то, и другое.
Многие эксперименты показали, что
скорость света не зависит от относи-
тельной скорости источника и наблюда-
теля. Например, на небе можно наблю-
дать множество двойных звезд. Когда
партнеры, составляющие двойную звез-
ду, с большой скоростью обращаются
один вокруг другого, мы видим их сна-
чала как двойную звезду, затем как оди-
ночную, когда один из партнеров про-
ходит позади другого, и затем снова как
двойную. В таких случаях мы распола-
гаем источниками света, которые
с большими скоростями движутся то
к нам, то от нас (когда они движутся
один вокруг другого), и эти источники
света со строгой периодичностью вклю-
чаются и выключаются (когда они захо-
дят друг за друга). Если бы свет от той
из звезд, что удаляется от нас, распро-
странялся медленнее, мы наблюдали бы
запаздывание в наступлении ее затме-
ния передней звездой. Если бы свет от
приближающейся к нам звезды распро-
странялся быстрее, наблюдаемый эф-
фект, в самом деле, был бы очень
необычным.
I Вопрос 11-16
Какого рода эффект при этом дол-
жен был бы наблюдаться?
Объяснение наблюдаемого поведе-
ния двойных звезд может состоять
только в том, что свет всегда распро-
страняется с одной и той же скоростью
независимо от скорости источника, как
если бы свет представлял собой неко-
торый вид волнового движения в непо-
движном пространстве. В конце концов,
именно так происходит распростране-
ние звука в воздухе. Наблюдатель полу-
чает при измерении одну и ту же ско-
рость звука, издаваемого свистком поез-
да, независимо от того, с какой ско-
ростью поезд приближается к нему или
удаляется (хотя высота тона может из-
меняться). Если это объяснение приме-
нить и к свету, то наблюдатель на Зе-
мле смог бы обнаружить изменение
скорости света, вызванное движением
Земли в пространстве. Если бы световые
волны распространялись в некоторой
заполняющей космическое пространство
среде подобно звуковым волнам, рас-
пространяющимся в воздушной среде,
то скорость света в направлении дви-
жения Земли отличалась бы от ско-
рости света в перпендикулярном на-
правлении.
Предположим, что мы выполняем
эксперимент по измерению влияния
движения Земли на свет, распростра-
няющийся в том же направлении, а так-
же в направлении, перпендикулярном
к движению Земли. Чтобы застраховать
себя от возможности того, что первое
измерение произойдет в момент, когда
Земля неподвижна в пространстве, сле-
дует выполнить эксперимент еще раз
спустя шесть месяцев. В любой момент
времени мы вместе с Землей движемся
со скоростью 120 000 миль/ч (6-104 м/с)
относительно положения Земли за
шесть месяцев до этого. Если в первый
раз мы случайно были неподвижны, то,
уж конечно, во второй раз мы будем
двигаться в пространстве со скоростью
6 • 104 м/с.
Эксперимент, ответивший на этот
вопрос, был выполнен 100 лет назад
в Кливленде, штат Огайо. Это был зна-
менитый опыт Майкельсона — Морли.
Для сравнения времени распростране-
ния света параллельно и перпендикуляр-
но к направлению движения Земли ис-
пользовался оптический интерферометр.
Этот прибор был настолько чувствите-
лен, что Майкельсон мог бы обнару-
жить различие во времени распростра-
нения на пути в несколько метров,
составляющее всего 10 16 с. (В 1881 го-
ду! Без всякой электроники, компьюте-
ров и без поддержки Национальным
фондом научных исследований.)
Вопрос 11-17
Какое расстояние проходит свет за
110’16 с?
249
 Дополнительный материал
Схематический набросок использованно-
го Майкельсоном интерферометра изобра-
жен на приводимом рисунке. С теоретиче-
ской основой этого прибора мы познако-
мимся подробнее в главе 16. С его помощью
не производится непосредственного измере-
ния скорости света, но скорость света
в одном направлении сравнивается со ско-
ростью света в другом направлении. Свет от
одного источника разделяется полупроз-
рачным зеркалом, так что половина продол-
жает распространяться в прежнем направле-
нии, а другая половина идет в направлении,
перпендикулярном к первоначальному. Оба
пучка отражаются зеркалами назад. В тех
местах, где оба пучка снова встречаются на
экране, происходит либо конструктивная, ли-
бо деструктивная интерференция световых
волн. При обычном расположении видна по-
следовательность светлых и темных полос.
Сдвиг любого из зеркал даже на десятую
долю длины световой волны (5 10“8 м) вы-
зывает обнаружимое смещение светлых
и темных полос. Подобным же образом да-
же при неизменных расстояниях до зеркал
небольшое изменение скорости света
в одном из перпендикулярных направлений
привело бы к сдвигу полос. Прибор Май-
кельсона плавал в сосуде с ртутью, что дава-
ло возможность повернуть весь интерферо-
метр на 90°, не искажая расстояний между
зеркалами
Вопрос 11-18
Зачем нужно было поворачивать прибор
на 90°?	
Наблюдения за двойными звездами
подтверждают, что скорость света не
зависит от скорости источника; опыт
250
Майкельсона — Морли свидетельствует,
что скорость света не зависит от скоро-
сти движения наблюдателя в простран-
стве. На самом деле этот опыт приво-
дит к заключению, что бессодержатель-
но говорить о скорости движения отно-
сительно пустого пространства. Можно
измерить скорость одного тела относи-
тельно другого; но, очевидно, не суще-
ствует никакой системы отсчета, «скре-
пленной» с самим пространством.
Существуют и другие многочис-
ленные опыты, демонстрирующие уни-
версальный характер скорости света.
Мы также говорили, что это допущение
можно принять в качестве теоретиче-
ской гипотезы. Предположение о по-
стоянстве скорости света вместе с выте-
кающими из него заключениями приво-
дит к специальной теории относительно-
сти. Эта теория предсказывает много
неожиданных результатов — замедление
хода движущихся мимо нас часов, экви-
валентность массы и энергии и т. д. Эти
предсказания были подтверждены на
опыте, что усиливает правдоподобность
исходной гипотезы. В следующих не-
скольких разделах мы примем универ-
сальный характер скорости света и по-
смотрим, к каким заключениям приве-
дет нас это простое предположение.
МЫСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Если вы, сидя в кресле и читая книгу,
включаете лампу над головой, сколько
проходит времени, пока свет достигает
книги? Естественно, что нас вряд ли ин-
тересует в точности такая эксперимен-
тальная ситуация. Обычно нить лампы
раскаляется гораздо дольше, чем тре-
буется свету для распространения от нее
до книги. Тем не менее существуют ис-
точники света, которые можно вклю-
чить достаточно быстро, чтобы сделать
этот опыт осуществимым. Более того,
современное электронное оборудование
вполне пригодно для измерения столь
коротких промежутков времени.
Вопрос 11-19
Каким приблизительно будет этот
промежуток времени?
При вычислении ответа на вопрос
11-19 вы приняли некоторое определен-
ное расстояние от лампы до книги (счи-
тая, что свет распространяется вниз по
прямой); затем вы разделили его на
По измерениям
на космическом
корабле
По измерениям
на Земле
,	>/Ла:2 ‘‘-Да2
At.-------
с — скорость света. Предположим те-
перь, что вы наблюдаете за выполне-
нием такого же эксперимента на косми-
ческом корабле, пролетающем мимо вас
со скоростью v. Как раз в тот момент,
когда корабль проходит над головой,
включается свет и вы засекаете время
по своим часам. На некотором расстоя-
нии вдоль траектории корабля свет до-
стигает книги, и этот момент времени
отмечается по часам, которые в данный
момент находятся прямо под кораблем.
Находящаяся на Земле цепочка часов
должна быть предварительно синхрони-
зирована, так что измеряемый на Земле
промежуток времени будет равен разно-
сти этих двух показаний. И опять это
прямой и вполне осуществимый экспе-
римент. Теперь у вас два результата из-
мерения времени, в течение которого
свет лампы достигает книги, — один был
получен непосредственно в космическом
корабле так, как вы подсчитывали в
вопросе 11-19, а другой получен на
Земле. На приводимом рисунке пока-
зана геометрия каждого измерения.
! Вопрос 11-20
Какое расстояние проходит свет
в каждом из этих случаев?
Теперь мы стоим перед вопросами:
какое расстояние свет прошел на самом
деле и сколько времени ему в действи-
тельности на это потребовалось? Ко-
нечно никто не видит, чтобы свет в ка-
ждом случае распространялся по траек-
ториям, показанным зигзагами на ри-
сунках. Наблюдается лишь то, что
в некоторый момент включается источ-
ник света и через короткое время книга
(а может быть, ячейка фотоэлемента)
оказывается освещенной. Оба наблюда-
теля видят одно и то же событие,
и один комплект измерительных прибо-
ров ничем не хуже другого. Если вы
чувствуете расположение в пользу на-
блюдателя на Земле, вспомните, что он
вместе со своей цепочкой часов мог бы
находиться в другом корабле, причем
оба корабля находятся в открытом кос-
мическом пространстве, так что нет ни-
какой возможности сказать, который из
них движется. Обратите особое внима-
ние на применение нашего основного
предположения.
(Вопрос 11-21
В чем заключается основное предпо-
| ложение, и как оно используется?
Поскольку мы наблюдаем за собы-
тиями на корабле, пролегающем ми-
мо нас (независимо от того, движем-
ся ли мы относительно Земли, или
корабль движется относительно Земли,
мы видим, что корабль движется
мимо нас), мы должны заключить,
что свет на пути к книге преодолел
251
большее расстояние, чем просто Ду.
В данном случае мы принимаем, что
расстояние Ду в перпендикулярном
направлении оказывается одинаковым
для каждого из наблюдателей. Поэ-
тому наблюдаемый нами промежуток
времени Дг должен быть больше,
чем промежуток Д«о, измеренный в
космическом корабле:
л A.V
At0------,
с
ИАх)2 + (дя2 _
с
с
Поскольку Ду = сДг0, мы можем
подставить Ду во второе уравнение и
выразить из него At через At0.
I Вопрос 11-22
Проведите это решение.
Ответ состоит в том, что изме-
ряемый промежуток времени между од-
ними и теми же двумя событиями в на-
шей системе отсчета продолжительнее,
чем на космическом корабле: At =
= Дt0/|/1 — г2/с2. Тот факт, что время,
измеряемое в одной системе отсчета, не
совпадает с временем в другой системе,
противоречит всему нашему повседнев-
ному опыту. В конце концов, когда вы
едете с большой скоростью по авто-
страде, вы не ожидаете, чтобы часы на
вашей руке тикали с иной скоростью,
нежели во время стоянки. Именно по-
этому наблюдатель в космическом ко-
рабле не замечает замедления хода
своих часов. Для земного наблюдателя
все события на корабле происходят
медленнее, включая биологические про-
цессы, такие как сердцебиение. Это не
часы ведут себя странно; само время
становится иным.
Этот эффект мы замечаем только
при сравнении времени в двух системах
отсчета, движущихся друг относительно
друга. Однако на автостраде эффект
вряд ли будет заметен. Соотношение
между двумя временами зависит от
г2/с2. При скорости 60 миль/ч (27 м/с)
значение v/c составляет лишь 10“7. Фак-
252
тор v2 /с2 поэтому равен всего лишь
10“14, что приводит к ничтожной разни-
це между промежутками времени, изме-
ренными в автомобиле и на дороге.
Благодаря зависимости от квадрата от-
ношения скоростей, различие остается
пренебрежимо малым до тех пор, пока
относительная скорость двух наблюда-
телей не станет сравнимой со ско-
ростью света.
Вопрос 11-23
Какой должна быть относительная
скорость двух наблюдателей, чтобы
возникло 10-процентное различие
в их временных шкалах? При какой
скорости длительности промежутков
времени будут различаться в два
раза?
Дополнительный материал
Кажущийся парадокс
Может быть, вы уже заметили кажущийся
парадокс в только что описанной ситуации.
Когда космический корабль А пролетает
в космосе мимо космического корабля В, на-
блюдатель из В видит, что часы в А идут
медленнее. Если, например, относительная
скорость такая, какую вы рассчитали во вто-
рой части вопроса 11-23, В заявит, что за то
время, пока его часы отстучали полный час,
часы в А продвинулись лишь на полчаса.
С другой стороны, если встать на точку зре-
ния А, он стоит неподвижно, а В проносится
мимо него. У наблюдателя А тоже есть це-
почка часов, вытянутая в направлении дви-
жения В, и он тщательно синхронизировал
все эти часы. Тогда приведенный вывод в по-
лной мере применим и к его наблюдениям,
и он наблюдает, что часы в В идут медлен-
нее. Могут ли они оба быть правы? Конеч-
но, могут!
Предположим, что в тот момент, когда А
и В проходят друг мимо друга, у того и
у другого часы (4, и Bt) показывают 1:00
час (следите за всеми действиями по рисун-
ку). Что касается В, он будет сравнивать по-
казания часов /1, с показаниями тех часов
своей цепочки, мимо которых проносятся At.
Допустим, что, когда At минует последние
часы в цепочке В, показание В5 составляет
1 :20. Если скорость А около 0,87 с, наблю-
датель в В5 обнаружит, что показание часов
А, составляет только 1 : 10. Иными словами,
по наблюдениям В, часы в А идут в два раза
медленнее. Теперь переключите свое внимание
на систему отсчета А. Наблюдатель в этой
С точки зрения В
________________
v -0,87 с
В1	8д
С точки зрения А
Л? ^4	^3 ^2
v=0,87c
&5	^4	^3	^2 1 ^1
v=0,%7c
В синхронизировал вес свои часы В системе
oicneia В, ко, да В5 = 1 :2‘),
В, *= 1 : 20. В2 = 1 .20, В., = 1 • 20 и В4 »= I 20.
А синхронизировал все свои часы. В ыющме
отсчета Л, koi да 4t = I : 10,
А2 = 1: Ю, А, = 1: 10, Ал = I : 10 и А = 1: 10.
Koi да В наблюдает та часами А, он следи!
за пока «аниями юлько одних часов, напри-
мер Л] Кота Л наблюдает за часами В, он
следиI за показаниями юлько одних часов,
например Bi
системе согласен с тем, что когда At минует
В], и те, и другие часы показывают 1:00.
В его системе В пролетает влево, и когда В]
минует Л5, показание Л5 будет 1:20, но по-
казание Вг будет 1:10. С точки зрения на-
блюдателя в Л, часы в В идут медленнее
в два раза. Как будет В на это реагировать?
В конце концов, он знает, что весь его набор
из пяти часов синхронизирован. Ему было
нетрудно их синхронизировать, поскольку
все они покоятся относительно него.
Вопрос 11-24
Как мог наблюдатель в В синхронизиро-
вать свои часы, если они не находятся
в одном месте?
Наблюдатель в В может также сравнить
показание своих часов Bt с показаниями ча-
сов Л5, когда он проходит мимо них. Конеч-
но же, он согласится с тем, что Л5 показы-
вают 1:20, когда его часы показывают
только 1:10. Сделает ли он отсюда вывод,
что теперь часы в Л, должно быть, идут бы-
стрее, чем его собственные? Отнюдь нет.
В конце концов, для наблюдателя в В часы
Л5 — это не те часы, ход которых он прове-
ряет по часам своей В-системы (он проверяет
ход Л|). Его объяснение будет очень про-
стым: в системе А часы не были должным
образом синхронизированы. Однако наблю-
датель в системе Л выскажет такие же пре-
тензии к наблюдателю В. Но ни одного из
них в действительности не в чем упрекнуть.
Совокупность часов, неподвижных и синхро-
низированных в некоторой системе отсчета,
не будет синхронизирована с точки зрения
другой системы отсчета, движущейся мимо.
В этом нет никакой ошибки; просто синхро-
низация сразу в двух системах отсчета невоз-
можна.
Вопрос 11-25
Попытайтесь использовать метод синхро-
низации, развитый в ответе на вопрос
11-24, для синхронизации часов сразу
в двух системах, движущихся относитель-
но друг друга.
Экспериментальное обоснование различия
в ходе часов
Смотрите, что получилось в результате
принятия простой гипотезы (для которой
имеется, конечно, надежное эксперименталь-
ное обоснование). Если скорость света оди-
накова для всех наблюдателей независимо
от их скорости, то само время должно быть
различно в системах отсчета, движущихся
относительно друг друга. Есть ли у нас ка-
кое-нибудь опытное свидетельство в пользу
такого различия времени? Конечно, есть.
Это свидетельство до такой степени повсе-
местно, что вы прямо сейчас испытываете
его проявление. В течение последней минуты
несколько дюжин мюонов прошли сквозь ва-
ше тело, оставив за собой следы из ионизи-
рованных атомов и разрушенных молекул.
Эти мюоны представляют собой короткожи-
вущие тяжелые электроны, образуемые в
верхних слоях атмосферы приходящим туда
253
космическим излучением. Koi да они нахо-
дятся в состоянии покоя, они распадаются
с периодом полураспада около 2-10 с.
Вопрос 11-26
Какое расстояние может преодолеть
мюон за 2 10“6 с, если он движется по-
чти со скоростью света?
Из-за того, что мюоны очень быстро
движутся относительно нас, их время идет
медленнее. Поэтому большинство из них жи-
вет достаточно долго, чтобы пройти 20 миль
сквозь толщу атмосферы и таким образом
бомбардировать всех нас. Эксперименталь-
ное подтверждение этого эффекта вполне
надежно и количественно согласуется с фор-
мулой соотношения промежутков времени,
которую мы вывели. В любой лаборатории,
где ведутся исследования по физике высоких
энергий, эта формула соотношения времен
должна использоваться при обработке ре-
зультатов экспериментов с многими другими
типами частиц. И она всегда «работает».
Еще одни кажущийся парадокс: измерение
расстояний
Как и во многих других приложениях
теории относительности, в этом примере
с мюоном, по-видимому, содержится пара-
докс. Выяснив, что связанные с мюоном
часы идут медленно, мы можем объяснить,
почему он живет достаточно долго, чтобы
пройти расстояние 20 миль. Но в связанной
с мюоном системе отсчета он все же живет
только 2 10“6 с, а скорость, близкая к ско-
рости света, в обеих системах отсчета оди-
накова. Как может мюон «объяснить» свою
способность пройти столь большое расстоя-
ние, если живет он такое короткое время?
Этот кажущийся парадокс с мюоном
можно было предвидеть из нашего первона-
чального примера с двумя цепочками часов,
проходящими мимо друг друга. Вместо того
чтобы просить А и В сравнивать показания
своих часов, посмотрим, к каким заключе-
ниям они придут по вопросу о длине каждой
из цепочек часов. Если наблюдатель А хочет
измерить расстояние в В, он не сможет при-
ложить к В линейку, поскольку В проносится
мимо. Однако оба наблюдателя будут со-
гласны в том, что их относительная скорость
равна v (в данном примере она составляет
0,87 с). Если вам нужно измерить длину тела,
движущегося мимо вас с постоянной ско-
ростью, засеките время, в течение которого
тело проходит мимо, и умножьте это время
на скорость. Тогда В; будет наблюдать, что
передний конец цепочки в А проходит мимо
в 1 :00, а находящийся в As ее хвост прохо-
дит в 1 :10 (конечно, показание часов в А5 не
равно 1 :10, но это, по мнению В, вопрос
С точки зрения В
v=O,87c
С тонки зрения А
синхронизации часов в А). Более того, на-
блюдатель в В знает, что головной конец це-
почки А приходит в В5 только в 1:20. Если
нужно 20 мин, чтобы начало цепочки про-
шло вдоль всей длины цепочки В, но лишь
10 мин, чтобы вся цепочка А прошла мимо
некоторой точки, то цепочка А должна быть
вдвое короче, чем В.
С другой стороны, наблюдатель А мо-
жет использовать такие же аргументы и прий-
ти к заключению, что цепочка В вдвое ко-
роче, чем А. Разве могут быть правы они
оба? Конечно, могут! Логика здесь прямая
и неизбежная. И снова решение парадокса
состоит в том, что не существует способа
синхронизации часов движущихся друг отно-
сительно друга систем отсчета. Для сравне-
ния измеряемой длины с эталоном нужно
отметить положения обоих концов эталона
в один и тот же момент времени. Когда
В выполняет свое измерение, он сравнивает
цепочку А с метками в Я, и В3, сделанными
254
в тот самый момент, когда начало А находи-
лось против В3, а хвост А находился против
Bj. Наблюдатель А сказал бы, что В сделал
отметку в В3 задолго до того, как А5 и В3
совместились. По мнению наблюдателя А,
когда показание его часов в А3 составляет
1: 10, В5 находится против А, (наблюдатель
В с этим согласен), и в тот же момент
времени (с чем В уже не согласен) Bt нахо-
дится против часов 43, показывающих 1 : 10.
Наблюдатель В согласен с тем, что, когда
проходит мимо А3, показание часов в А3
равно 1 :10, но он считает, что на самом де-
ле совпадение произошло в 1:05 в соответ-
ствии с показаниями часов в В1.
Резюмируем показания часов для рас-
сматриваемых событий:
At проходит мимо Bj — показывают
1:00, В] показывают 1:00;
Aj проходит мимо В3 — At показывают
1:05, В] показывают 1:10;
At проходит мимо В5 — At показывают
1:10, В; показывают 1:20.
Как А, так и В согласны с этими показа-
ниями. Однако В считает, что его часы синх-
ронизированы, так что в каждый момент по-
казание часов В] совпадает с показанием В2
и т. д. Наблюдатель А считает, что часы в
В не синхронизированы.
В] проходит мимо At — At показывают
1:00, В] показывают 1:00;
В] проходит мимо А3 — А3 показывают
1:10, В, показывают 1:05;
В] проходит мимо А3 — А3 показывают
1 : 20, В, показывают 1 . 10.
И здесь А и В согласны с этими показа-
ниями. Однако А считает, что его часы син-
хронизированы. Наблюдатель В считает, что
часы в Л не синхронизированы.
В считает, что в момент 1: 10 (по его ча-
сам) At находится против В3 и А5 — против
В,. Поэтому он считает, что длина цепочки
А вдвое меньше длины цепочки В. С другой
стороны, А считает, что в момент 1 :10 (по
его часам) Bt находился против А3 и
В5 — против А3. Поэтому А считает, что дли-
на В вдвое меньше длины А. Каждый из
них прав в своей системе отсчета. Не суще-
ствует такой физической величины, как абсо-
лютная длина. Если при измерении длины
проходящего мимо вас тела вы получаете
значение Ах, то связанный с телом наблюда-
тель получит при измерении той же длины
большее значение Ах0. Эти значения связаны
соотношением
Ах = Ах0 |/1 — v2/c2.
Вспомните теперь задачу о мюоие, жи-
вущем достаточно долго, чтобы проникнуть
сквозь атмосферу. Здесь, на Земле, мы объяс-
няем, что мюон живет достаточно долго для
преодоления 20 миль тем, что в быстро дви-
жущейся относительно нас системе время за-
медляется. Однако в собственной системе
отсчета мюон живет в среднем только
2-10-6 с.
Вопрос 11-27
Как мюон может «объяснить» тот факт,
что за столь короткое время жизни он ус-
певает долететь от верхних слоев атмо-
сферы до поверхности Земли?
Преобразования Лоренца
Ясно, что преобразования Галилея не
могут дать удовлетворительного описания со-
бытий в системе, движущейся относительно
нас со скоростью, близкой к скорости света.
В соответствии с преобразованиями Галилея
промежутки времени во всех системах отсче-
та одинаковы и длина метрового стержня во
всех системах остается равной 1 м. Ис-
тинные преобразования между движущимися
системами координат названы в честь дат-
ского физика Хендрика Лоренца
(1853— 1928). Преобразования Галилея пред-
ставляют собой просто приближение, спра-
ведливое при v/c « 1.
Для вывода преобразований Лоренца
снова будем предполагать, что штрихованная
система координат движется вправо вдоль
оси х со скоростью V. Начала координатных
систем совпадают при t = t' = 0. Однако
мы уже не можем предполагать, что t = t' в
255
2.’ = 2,
любой другой момент или в другом месте.
Поскольку относительное движение проис-
ходит вдоль оси х, мы можем на основе сооб-
ражений симметрии утверждать, что у = у'
и z = z'. При малых скоростях преобразо-
вания Лоренца должны сводиться к галилее-
вой форме, поэтому разумно предположить,
что
х' = у (х — vt).
Константа у должна быть некоторой функ-
цией v и с, такой, что при v/c, стремящемся
Преобразования Лоренца :
x’=7(x-vt)= ;==
-Vi -vi/e
к нулю, она должна приближаться к единице.
В таком случае преобразования Лоренца бу-
дут сводиться к преобразованиям Галилея.
Соотношение для х должно иметь вид
х = у (х‘ + vt').
Чтобы найти значение константы у, обра-
тимся теперь к основному предположению
специальной теории относительности: ско-
рость света постоянна и равна с во всех си-
стемах отсчета Если произвести вспышку
света в начале координат, когда начала двух
систем координат совпадают, то закон рас-
пространения света должен иметь одина-
ковый вид в обеих системах отсчета:
X = Ct, х' = Ct'.
Поскольку у нас есть преобразования для
х и х', мы можем их подставить для исклю-
чения х и х', а также избавиться от t и t':
Ct = х = у(х' + vt') = у (cf + vt') = у (с + v) t',
Ct' = x' = у (x — vt) = у (ct — vt) = у (c — r) t,
ct — y(c + v)y(c — v) t/c,
2 __ C2	1
y c2-r2	l-r2/c2’
1
Обратите внимание, что неизвестная кон-
станта искомых преобразований оказывается
именно тем множителем, что характеризует
искажение интервалов времени и расстояний.
Вопрос 11-28
Следует ли из того, что мы на данный мо-
мент получили, что преобразования Ло-
ренца сводятся к преобразованиям Гали-
лея при v/c <к 1?
Теперь нам нужно найти преобразование,
связывающее t и t'. Для его нахождения вос-
пользуемся исходным преобразованием для
х и х' и разрешим его относительно t или t':
х = у (х' + vt') = у [у (х — vt) + vt'] =
= у2х — y2vt + yvt',
yvt' = X + y2vt — y2X = x (1 — y2) + y2vt,
c Л|1-г>уе
1 — y2 (	1 — y2
t' = yt 4----------x = У t -I--------5---x
yu	\ у v
t=Af+-2 xO
4 C J-
256
Здесь мы воспользовались тем, что
1
и поэтому
Подобный анализ приводит к соответст-
вующей формуле для Г.
/	V \
t = у t' +~=-х' .
\	С	)
Преобразования Лоренца для времени
показывают, что часы, синхронизированные
в одной системе отсчета, не синхронизиро-
ваны в движущейся системе. Например, ког-
да начала двух систем совпадают, х = х' = О
и t = t' = 0. Предположим, что в нашей не-
штрихованной системе имеется целая цепоч-
ка часов, которые были тщательно синхро-
низированы по методу, описанному в ответе
на вопрос 11-24. Когда начала двух систем
совпадают, показанием всех часов в нештри-
хованной системе будет нуль. Но в штрихо-
ванной системе все будет иначе. Наблюдате-
ли нашей системы, расположенные в разных
точках оси х, сообщат, что часы штрихован-
ной системы отсчета при t = 0 показывают
тем меньшее время, чем больше х:
/	v \
f = у 0--т-х .
\	с /
Наши наблюдатели, находящиеся в отрица-
тельных точках оси х, обнаружат, что при
t = 0 часы штрихованной системы показы-
вают положительные значения времени.
И тем не менее во всех точках оси х, где мы
выполняем эти наблюдения, наши часы
в этот момент показывают 0.
Учитывают ли преобразования Лоренца
те искажения пространства и времени, ко-
торые мы раньше рассчитали? Чтобы уви-
деть это, мы должны применять их очень
тщательно. Вместо алгебраического приме-
нения этих уравнений неплохо представить
рассматриваемые действия на простых ри-
сунках. На приводимом рисунке показаны
обе системы отсчета после того, как штрихо-
ванная система двигалась вправо в течение
времени, которое по нашим часам соста-
вляет t = 1. Все расположенные вдоль оси
х часы показывают в этот момент t = 1, по-
скольку в пределах одной системы отсчета
мы можем использовать обсуждавшееся опе-
рационное определение одновременности.
Показания часов штрихованной системы бу-
дут различны, но нас интересуют часы, нахо-
дящиеся в начале координат, поскольку мы
знаем, что при t = 0 их показанием был нуль.
В данный момент их показание
/	v \
t' = T t--гх .
\	с /
Расстояние, пройденное началом движущей-
ся системы, х = vt. Поскольку 1 = 1,
Как мы видели раньше, у = 2 при v/c = 0,87.
В таком случае часы, находящиеся в начале
штрихованной системы отсчета, будут по-
казывать время t' = 1/2, когда t = 1. Часы
движущейся системы кажутся нам отстаю-
щими.
Поместим теперь в штрихованную си-
стему отсчета метровый стержень так, чтобы
один его конец находился при х' = 0, а вто-
рой — при х' = 1. Измерим длину этого
стержня в нештрихованной системе в мо-
мент, когда начала координат совпадают.
Поскольку х' = х = 0, нам остается лишь
найти положение х другого конца в тот же
самый момент по часам нашей системы от-
счета, когда t = 0. Преобразование Лоренца
имеет вид х’ = у (х — vt). При t = 0
х' = 1 = ух, х = 1/у.
В знакомом нам случае у = 2 при v/c = 0,87 и
х = 1/2 м. Движущийся метровый стержень
кажется нам сократившимся до 1/2 м. Оче-
видно, что преобразования Лоренца дают то
же самое сокращение длины и замедление
часов, что было найдено нами ранее.
9 Кл. Э Суорц, т. 1
257
Собственное время н инвариантный ин-
тервал
Когда время и расстояние между двумя
событиями зависят от системы отсчета, в ко-
торой мы их измеряем, может показаться,
что невозможно описать удаленность двух
событий. Один наблюдатель заявляет, что
две стрелы молний ударили одновременно
на расстоянии 1 м друг от друга. Движущий-
ся относительно него наблюдатель будет от-
рицать, что молнии ударили одновременно,
и измерит иное расстояние между точками,
в которые пришлись их удары.
До некоторой степени подобная пробле-
ма существует и при описании длины стерж-
ня в обычной двумерной геометрии. На ри-
сунке показан стержень, один конец которо-
го находится в начале системы координат,
а другой — при х = 1, у = 2. Тогда Дх = 1 и
Ду = 2. Если повернуть систему координат,
оставляя стержень неподвижным, обе
координаты х и у конца стержня изменятся.
Например, подобрав должным образом угол
поворота, можно обратить в нуль длину х-
составляющей. С другой стороны, мы хоро-
шо знаем, что длина самого стержня инва-
риантна и дается формулой L =
= (/(Дх)2 + (Ду)2. Инвариантность длины
можно описать следующим образом:
L2 = (Дх)2 + (Ду)2 = (Дх')2 + (Ду')2.
Существует аналогичный инвариантный
интервал в пространстве-времени. Он, конеч-
но, должен включать переменные, характери-
зующие как пространство, так и время. Этот
инвариантный интервал имеет следующий
вид: S2 = (Дх)2 + (Ду)2 + (Дг)2 — с2(Дг)2 =
= (Дх')2 + (Ду')2 + (ДУ)2 - с2 (At')2.
Вопрос 11-29
Удовлетворяют ли преобразования Ло-
ренца этой формуле инвариантности ин-
тервала? Выясните это самостоятельно
для случая, когда относительная скорость
двух систем отсчета направлена вдоль
оси х, так что у- и z-компоненты можно
не учитывать. В уравнение инвариантно-
сти подставьте х и t, выраженные по фор-
мулам Лоренца через х' и t'.
Приведем конкретный пример, демон-
стрирующий инвариантность интервала.
Предположим, что наблюдатель в штрихо-
ванной системе отсчета заявляет, что молния
ударила одновременно в двух местах. Он на-
блюдает, что при t' = 0 молния ударила
в точках х'=0их'=1с(1 световая секунда).
Интервал пространства — времени между
этими двумя событиями в данной системе
отсчета дается выражением
(Дх')2 — с2 (Дг')2 = (Iе)2 — 0 = с2.
Наблюдатель в нештрихованной системе
отсчета не согласен с такой последователь-
ностью событий во времени. Он согласен
с тем, что один разряд молнии ударил в на-
чале координат х0 = 0 при t0 = 0, но за-
являет, что второй разряд произошел позд-
нее и на большем расстоянии. Его коорди-
наты для второго удара молнии таковы:
x = y(x' + rt'), t = у It' Ч—гх'
\ с
/ V '
х = у (с + 0) = ус, t = у 0 Ч-------------
Если использовать иаш стандартный при-
мер, в котором v/c = 0,87 и у = 2, то
.	-	.	_ /„	О,87с\ ,
х = Дх = 2с, t = Д1 = 21 0 Ч-----------I = 1,74,
поскольку х0 = 0 и t0 = 0. Инвариантный
интервал в нештрихованной системе дается
выражением
(Дх)2 — с2 (At)2 = 4с2 — с2 (1,74)2 = с2.
Мы видим, что пространственно-временной
258
интервал на самом деле одинаков в обеих
системах отсчета.
Обратите внимание, насколько сильно
различаются в двух системах его временная
и пространственная составляющие, то есть
промежуток времени и расстояние между
рассматриваемыми событиями. Наблюда-
тель в штрихованной системе утверждает,
что события произошли одновременно. В не-
штрихованной системе их разделяет значи-
тельное время. В штрихованной системе
следы от ударов молний разделены расстоя-
нием 1с. В нештрихованной системе эти же
следы разделены расстоянием 2с. Нет ли
здесь парадокса? Не должны ли мы, нахо-
дясь в нештрихованной системе, видеть про-
странственный интервал 1с штрихованной
системы равным только 0,5с? Действитель-
но должны. Это в нашей системе отсчета из-
мерение пространственного интервала между
событиями дает 2с. Мы согласны с тем, что
первый след от молнии был оставлен при
х' = 0 при t = t' = 0. Однако по нашим пред-
ставлениям второй удар молнии произошел
при t = 1,74с в точке х = 2с. Мы знаем, что
к этому времени начало штрихованной си-
стемы прошло расстояние vt = 0,87с • 1,74 =
= 1,5с. Поскольку по нашим понятиям удар
молнии произошел при х = 2с и начало
штрихованной системы находится в этот мо-
мент при х = 1,5с, мы считаем, что расстоя-
ние между следами, оставленными молния-
ми в движущейся системе, равно 0,5с.
В соответствии с тем, что мы уже знаем,
протяженность движущегося мимо нас тела
кажется нам сокращенной.
Рассмотренный пример показывает, что
промежуток времени между событиями
и пространственный интервал между ними
зависят от системы отсчета. Но простран-
ственно-временной интервал между двумя
событиями одинаков во всех системах от-
счета.
Сложение скоростей при движении си-
стемы отсчета
В условиях применимости преобразова-
ний Галилея легко вычислить, с какой ско-
ростью относительно Земли летит пуля, вы-
стреленная из пневматического ружья на
платформе движущегося поезда. Если ско-
рость вылета пули из ружья равна 30 м/с
и поезд движется со скоростью 30 м/с, то пу-
ля летит относительно Земли со скоростью
60 м/с при выстреле вперед по движению по-
езда и с равной нулю скоростью при выстре-
ле назад. Если и — скорость пули относи-
тельно ружья и v — скорость поезда относи-
тельно Земли, то скорость пули относитель-
но Земли
W = и + V.
Очевидно, что эта простая формула ста-
новится неприменимой, когда входящие
в нее скорости приближаются к скорости
света. Например, когда удаленная галактика
движется от нас со скоростью (1/2) с и посы-
лает к нам свет со скоростью с относительно
себя, при измерении скорости этого света мы
все же получаем значение с, а не (1/2) с. Гали-
леева формула для сложения скоростей дол-
жна быть всего лишь приближением к истин-
ной формуле, которая следует из преобразо-
ваний Лоренца. Приведем вывод истинного
закона.
Скорость тела в штрихованной системе
находится измерением расстояния Ах', про-
ходимого в течение промежутка времени At'.
Тогда скорость тела и = Ax'/At. Восполь-
зуемся преобразованиями Лоренца для нахо-
ждения Дх и At:
(г \
At Ч—) •
Скорость в нештрихованной системе отсчета
Ах у (Ax' + i?At')
w =-------=-----------------—
At у [At' + (v/c2) Ax']
Ax'/At' + v__________и + v
1 + (v/c2) (Ax'/At')	1 + uv/c2
Применим эту, истинную, формулу сло-
жения скоростей к частным случаям. Прежде
9*
259
всего отметим, что в случае медленных дви-
жений истинная формула сводится к прибли-
женной галилеевской. Когда и « с и v «с,
получаем w к и + v.
Посмотрим, что происходит, когда га-
лактика удаляется от нас со скоростью с.
В связанной с ней самой системе отсчета
скорость света равна и = с. Скорость, кото-
рую мы наблюдаем,
с ~(1/2) с = (1/2) с
W 1+с(-с/2)/с2	1—(1/2) С'
Измеряемая нами скорость света равна
с даже тогда, когда этот свет посылает к нам
быстро удаляющееся тело.
Рассмотрим еще один пример, который
понадобится нам в дальнейшем. Мы уже ви-
дели, что для системы отсчета, движущейся
мимо нас со скоростью 0,87с (v2/c2 = 3/4),
константа в преобразованиях Лоренца у = 2.
Допустим, что у нас есть третья система от-
счета С, движущаяся со скоростью 0,87с от-
носительно системы отсчета В. Если система
В движется со скоростью 0,87с относитель-
но нас (то есть системы 4), чему равна ско-
рость системы С относительно 4? Для про-
стоты вычислений воспользуемся обыкно-
венными дробями, а не десятичными:
“= /->
с |/ 4
u+v = 2]/з/4с = ]/Зс
W ~ 1 + uv/c2 1 + 3/4	1,75
= 0,9897с.
Заметьте, что обе скорости, и и v, очень
близки к скорости света. Их сумма даже еще
ближе к скорости света с.
Подсчитаем у для преобразования от
А к С:
1_______________1
У ]/1 - w2/^2	]/1 - 3/(7/4)2
/1 - (48/49)	/1/49
w=O,S837c^
r=7
i u=0.87c
; 7=2
v =0,87 с
7^
Множитель, характеризующий сокращение
пространства и растяжение времени при
переходе от В к С или от А к В, равен про-
сто 2, но множитель у при переходе от С к
А равен 7.
Знаменитый парадокс близнецов
Прежде всего, никакого парадокса в этом
нет. Мы сможем рассчитать все детали про-
исходящих событий. Проблема заключается
в следующем. Есть два близнеца G (Girl —
девочка) и В (Воу — мальчик). В остается до-
ма (будем считать, что на Земле), в то время
как G улетает с постоянной скоростью к уда-
ленной звезде. Долетев туда, она сразу пово-
рачивает назад и возвращается с прежней
/
г '
К- /
/ 4
скоростью на Землю. Пренебрегая всеми
подробностями, связанными с тем временем,
что было затрачено на ускорение и на разво-
рот, приходим к заключению, что при воз-
вращении G оказывается моложе, чем В.
Ведь В считает, что G все время двигалась
с большой скоростью, за исключением ко-
роткого периода разворота, и что поэтому ее
часы шли медленнее. Поэтому возраст
G оказывается меньше, чем В. Парадокс свя-
зан с симметрией этой ситуации. Почему бы
G не считать, что В удалялся в противопо-
ложном направлении, затем в некоторый мо-
мент повернул назад и стал приближаться?
G будет считать, что В двигался с большой
260
Системы отсчета, используемые G. (Заметьте
что G приходится пользоваться двумя
различными системами отсчета. G переходит
из одной системы в другую, когда порав-
няется со звездой.)
скоростью и поэтому его часы должны от-
ставать. Если ли физическое различие в этой
последовательности событий для G и для В?
Да, есть. В все время остается в одной и той
же инерциальной системе отсчета. Но G дол-
жна переходить из одной инерциальной си-
стемы в другую. Сначала она находится
в системе отсчета, удаляющейся от В, но за-
тем она должна перейти в систему отсчета,
приближающуюся к В. Изменение системы
отсчета представляет собой физическое со-
бытие (например, требующее ускоренного
движения), которое можно обнаружить изме-
рением. Симметрия в практической деятель-
ности между G и В отсутствует. В в течение
всего времени остается на месте.
Выберем какие-нибудь простые числа
и вычислим различие во временах и расстоя-
ниях, видимых G и В. Пусть G путешествует
со скоростью около 0,87с, так что константа
искажения пространства-времени у = 2. По-
этому, наблюдая за происходящими у G со-
бытиями, В увидит, что ее линейки в два
раза короче, и часы идут в два раза медлен-
нее. Конечно, G заметит такие же эффекты
при наблюдении событий, происходящих
у В. Будем считать, что путешествие G к да-
лекой звезде продолжается 20 лет. Расстоя-
/7,4
световых
лет
Начала координат трех систем отсчета совпа-
дают в начале путешествия. В общем начале
te = t(, = rR = 0. (Расположение в начале пу-
тешествия с точки зрения В.)
ние до этой звезды, по измерениям В, соста-
вляет х = vt = (0,87с) (20 лет) = 17,4 световых
лет. За это время G состарится только на 10
лет, так как ее часы идут в 2 раза медленнее.
Если G сразу повернет назад, ей понадобит-
ся, по измерениям В, еще 20 лет для возвра-
щения домой. Однако G при этом еще соста-
рится только на 10 лет. К концу путешествия
G будет старше на 20 лет, хотя ее близнец-
домосед состарится на 40 лет.
Выберем системы координат так, чтобы
их начала при t = t' = 0 находились в одной
точке.
Начальное расположение показано на
рисунке. Будем записывать расстояния (изме-
ренные в произвольной единице: 1 = 17,4 све-
товых лет) у нижнего края каждой системы
отсчета. У верхнего края будем изображать
показания часов в каждом положении. Обра-
тите внимание, что начало координат треть-
ей системы отсчета R (Return — возвращение)
при t = 0 расположено там же, где и
у первых двух систем. Это система отсчета,
в которую G должна перейти, когда она на-
чинает обратный путь домой. Показания ча-
сов этой системы отсчета имеют решающее
значение, потому что их придется сравнивать
с земными часами в конце путешествия. Как
G, так и R движутся со скоростью v = 0,87с
относительно В, но движутся они в проти-
воположных направлениях. В рассмотренной
ранее задаче мы подсчитали, что относитель-
ная скорость систем G и R равна 0,9897с
и множитель у для них равен 7.
На рисунке (см. с. 262) показаны положе-
ния и показания часов в трех системах отсче-
та для момента, когда G достигает удален-
ной звезды. Это событие представлено так,
как оно выглядит в каждой из трех раз-
личных систем отсчета. Обратите внимание,
что наблюдатели во всех трех системах со-
гласны в том, каковы действительные пока-
зания часов и координаты в том месте, где
находится звезда. G говорит, что ее часы по-
казывают 10 лет. Она объясняет это тем, что
ей понадобилось лишь 10 лет для достиже-
ния звезды, потому что в ее системе отсчета
расстояние от Земли до звезды сократилось
в два раза. Часы, закрепленные в системе от-
счета, покоящейся относительно Земли, по-
казывают 20 лет в момент прибытия косми-
ческого корабля к удаленной звезде. Часы
системы отсчета R показывают 70 лет. От-
метьте, что каждый из наблюдателей счи-
тает, что все находящиеся в его системе от-
счета часы синхронизированы, но часы
в других системах отсчета не синхронизи-
рованы. Поэтому, с точки зрения В, вся
цепочка его часов показывает 20 лет в
тот момент, когда G прибывает к далекой
звезде.
261
Положения и показания часов в грех системах отсчета для момента, котла G досш-
iaer удаленной звезды (единица длины в каждой системе отсчета оавна 17,4 св. лет в той же
системе)
Как мы узнали, что часы в R, располо-
женные у звезды, показывают 70 лет в мо-
мент прибытия космического корабля? Здесь
можно воспользоваться либо соображения-
ми симметрии, либо преобразованиями Ло-
ренца. С точки зрения В, часы, находящиеся
в начале координат R, должны показывать
10 лет в момент прибытия корабля к звезде.
С другой стороны, в начале координат си-
стемы В, где х = 0, время в каждой из двух
движущихся систем должно быть равно t' =
= у [t ± хг/с2] = yt. Поэтому часы в G и R,
проходящие мимо начала координат В, при
t = 20 лет должны показывать t’ = 2 • 20 = 40
лет. Так как, с точки зрения В, часы системы
R на левом конце показывают 10 лет, а в се-
редине — 40 лет, то на правом конце они
должны показывать 70 лет.
Вопрос 11-30
Предсказывают ли преобразования Ло-
ренца, что часы системы R, находящиеся
вблизи звезды, должны показывать 70
лет в момент, когда туда прибывает ра-
кета? Попытайтесь это понять, но по-
мните, что соответствующая единица
расстояния все же равна 17,4 световых
лет, а не просто 1.
Суть парадокса становится ясна при
сравнении точек зрения G и В относительно
момента времени, когда G прибывает к звез-
262
де. В знает, что путешествие G туда продол-
жалось 20 лет, но согласен с тем, что часы
G показывают только 10 лет. Теперь посмо-
трим на эту картину глазами G. Прошло 10
лет, и G находится вблизи далекой звезды.
Но по ее представлениям оставшиеся на Зе-
мле часы, находящиеся в точке х = 0 в систе-
ме В, показывают в этот момент лишь 5 лет.
По мнению G, тот факт, что часы системы В,
расположенные вблизи звезды, показывают
20 лет, обусловлен просто рассинхрониза-
цией часов системы В.
Разрешение парадокса наступает, когда
G отправляется в обратный путь домой. Для
этого она должна перейти в систему отсчета
R. Начало координат этой системы совпада-
ло с началами двух других при t = 0. На
обратном пути G должна пользоваться часа-
ми системы отсчета R. Обратите внимание,
что при переходе G в систему R происходит
резкий скачок времени. От показания 10 лет
ее часы внезапно перескакивают к показа-
нию 70 лет. Однако она может с удовлетво-
рением отметить, что в этот самый момент,
как видно из ее новой системы отсчета R,
часы системы В на Земле, где х = 0, показы-
вают только 35 лет.
Поскольку Земля представляется ей не-
сущейся навстречу с константой у = 2, зем-
ные часы, с ее точки зрения, опять идут
вдвое медленнее, чем часы в ее новой системе
отсчета.
Расчеты для оставшейся части путеше-
ствия будут просто повторением расчетов
для первой части. В считает, что G возвра-
тится еще через 20 лет, а он к этому времени
будет на 40 лет старше. Что касается G, то
в ее новой системе отсчета R ей потребуется
еще только 10 лет для возвращения домой.
К этому времени ее часы в системе R будут
показывать 80 лет, а находящиеся на Земле
часы, за показаниями которых она наблю-
дает, медленно продвинутся от 35 до 40 лет.
Хотя G переходит из одной системы от-
счета в другую, а В этого не делает, и хотя
необходимое для такого перехода ускорение
создает физическое различие ситуации у G и
В, тем не менее не ускорение само по себе вы-
зывает рассмотренное выше внезапное изме-
нение показаний часов при переходе G в си-
стему отсчета R. На самом деле ускорение
тоже приводит к изменению времени. Такое
явление входит составной частью в общую
теорию относительности Эйнштейна. Одна-
ко в рассмотренном случае нам пришлось
обращаться только к законам специальной
теории относительности, которая касается
взаимосвязей между инерциальными систе-
мами отсчета, движущимися с постоянной
скоростью друг относительно друга.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ИМПУЛЬСОМ, ЭНЕРГИЕЙ
И МАССОЙ
Как мы уже видели, основываясь на
принципе относительности Г алилея,
энергия и импульс тела зависят от си-
стемы отсчета, в которой мы их изме-
ряем. Если мы движемся рядом с телом,
по отношению к нам его скорость равна
нулю, и поэтому равны нулю его им-
пульс и кинетическая энергия.
Можно ожидать, что преобразования
Лоренца для импульса и энергии приве-
дут к некоторым неожиданностям, по-
скольку время тоже зависит от системы
отсчета. На рисунке показана схема
опыта, который трудно осуществить да-
же при низких скоростях, но зато удоб-
но проанализировать на основе как пре-
образований Галилея, так и Лоренца.
Два наблюдателя бросают по направле-
нию друг к другу одинаковые баскет-
больные мячи. Один из наблюдателей
находится в поезде, а другой на плат-
форме станции. Когда поезд стоит непо-
движно, эти искусные эксперимента-
торы могут бросить мячи друг другу
с равными скоростями и поэтому
с равными импульсами, ибо мячи по ус-
ловию имеют одну и ту же массу (в со-
стоянии покоя они идентичны). Мячи
встретятся на полпути и отскочат назад
с равными скоростями, поскольку
это — идеальные мячи. Такой же экспе-
римент можно выполнить, когда поезд
проходит мимо станции с постоянной
скоростью. В этом случае более кри-
263
тичным, конечно, становится выбор мо-
мента времени. Каждый эксперимента-
тор по-прежнему бросает мяч с той же
скоростью, что и в первом случае, но на
этот раз наблюдатель на платформе ви-
дит треугольную траекторию мяча, бро-
шенного с поезда, как это показано на
среднем рисунке. Мы знаем, что наблю-
датель в поезде видит обратную ситуа-
цию, как показано на нижнем рисунке.
Тем не менее, в физике, удовлетворяю-
щей преобразованиям Галилея, у-соста-
вляющие скорости мячей на пути туда
и обратно будут одинаковы в каждой
системе отсчета.
Однако при очень большой скорости
поезда относительно станции время
в двух системах отсчета будет различно.
Экспериментатор А на платформе ви-
дит, что часы движущегося эксперимен-
татора идут медленнее. Поэтому у-со-
ставляющая скорости летящего от
В мяча меньше: ведь у В все движется
медленнее. Тем не менее мячи соуда-
ряются, как и прежде, и брошенный
А мяч возвращается со своей обычной
скоростью. Поскольку импульс должен
сохраняться, релятивистская масса бро-
шенного В мяча, по измерениям А, дол-
жна возрасти во столько же раз, во
сколько уменьшилась поперечная соста-
вляющая его скорости. Истинное выра-
жение для импульса тела вместо mv
имеет, по-видимому, следующий вид:
mv
импульс = ymv = —
|/1 - г2/с2
Иногда считают, что это релятивист-
ское возрастание импульса обусловлено
релятивистским ростом массы движу-
щегося тела. Однако измерить массу
движущегося тела можно только в экс-
перименте, где происходит обмен им-
пульсом. Все, что можно измерить на
опыте, — это релятивистское возвраста-
ние импульса в целом. И оно действи-
тельно измеряется в опытах, хотя, конеч-
но, не с соударяющимися баскетбольны-
ми мячами. Этот эффект наблюдается
в эквивалентных экспериментах с суба-
томными частицами. Например, по ме-
ре разгона электронов или протонов
в кольцевых ускорителях скорость ча-
стиц быстро приближается к скорости
света. Ускоряемые частицы и дальше
продолжают получать энергию и им-
пульс, но их скорость способна возра-
стать очень незначительно. И тем не ме-
нее необходимо по-прежнему продол-
жать увеличивать напряженность маг-
нитного поля, удерживающего частицы
на круговой траектории, поскольку им-
пульс частиц продолжает расти по мере
увеличения у.
При разгоне частиц в ускорителе рас-
тет не только их импульс, но и энергия.
Очевидно, что формула для кинетиче-
ской энергии не может иметь простого
вида И4ии = тг2/2. Возрастание энергии
нельзя принять в расчет простым умно-
жением кинетической энергии на у. Вме-
сто этого нужно воспользоваться новой
формулой, которую мы приведем без
вывода. Она связывает энергию тела
с его импульсом и массой покоя. Масса
покоя т — это обычная масса, измеряе-
мая в статическом опыте с непо-
движным телом. Соотношение между
энергией, массой и импульсом имеет
вид
W2 = р2с2 + (тс2)2,
где р — это импульс, равный ymv.
Это уравнение по форме напоминает
теорему Пифагора: с2 = а2 + Ь2. Оказы-
вается, что импульс тела и его масса по-
коя связаны математически как две ком-
поненты некоторого вектора. Модуль
W/	тс2
/	W— полная	энергия
/	тела. Если	р — 0,	то
/	W = тс2 — энергия	по-
до	коя
результирующего вектора представляет
собой полную энергию тела, включаю-
щую как его массу покоя, так и энергию
264
его движения. Посмотрим, что отсюда
следует. В соответствии с нашей форму-
лой тело обладает энергией даже тогда,
когда оно неподвижно относительно нас
(р = 0):
W = тс2.
Здесь заключено утверждение об эк-
вивалентности энергии и массы. Обрати-
те внимание, что это не означает возмож-
ности превращать энергию в массу или
массу в энергию. Энергия и масса — это
одно и то же. Мы можем измерять
энергию в единицах массы (килограм-
мах или других единицах), и мы факти-
чески это делаем. Мы можем измерять
массу в энергетических единицах и де-
лаем это. Уравнение преобразования
в основе своей такое же, как при пре-
образовании ярдов в футы: 1 ярд = 3
футам. В случае массы и энергии пере-
счетный множитель имеет размерность
квадрата скорости. Однако в этом нет
никаких фундаментальных глубин; так
получается в результате первоначально-
го выбора единиц для массы и энергии.
Подсчитаем энергетический эквива-
лент 1 килограмма:
W = тс2 = 1 кг (3  108 м/с)2 =
= 9 • 1016 Дж.
Вопрос 11-31
Это очень большая энергия. Энерге-
тический комплекс на Ниагарском
водопаде имеет мощность около
10000 мегаватт. Сколько времени
должна работать эта система, чтобы
выработать 9-1016 Дж?
При взрыве атомной бомбы менее
0,1 % массы-энергии покоя превраща-
ется в другие виды энергии. Но обыч-
но этого достаточно для уничтожения
всего живого. На рисунке схематически
показано взаимодействие субатомных
частиц, в котором масса-энергия покоя
полностью превращается в другие
! ' Обычный
/ электрон
; в атоме
+ Налетающий
е позитрон
формы. Позитрон, представляющий со-
бой положительно заряженный анти-
электрон, останавливается в непосред-
ственной близости от обычного элек-
трона, связанного с атомом. Частицы
аннигилируют, и их полная масса-энер-
гия покоя превращается в энергию двух
гамма-лучей. Высокоэнергетичные гам-
ма-лучи распространяются в противопо-
ложных направлениях, обеспечивая этим
сохранение импульса. Они получают
равные доли энергии, освобождающейся
при аннигиляции электрон-позитронной
пары. Вычислим энергию одного из
этих гамма-лучей. Масса электрона или
позитрона равна приблизительно
9 10“31 кг. Ее энергетический эквива-
лент составляет
W = тс2 =
= 910“31 кг (З Ю8 м/с)2 =
= 8-10“14 Дж.
Будучи выраженной в джоулях, эта
энергия не выглядит очень большой. Но
подходящая единица энергии для
атомных частиц — это электрон-вольт:
1 эВ = 1,6 • 10“19 Дж. В электрон-вольтах
энергия каждого гамма-луча, испускае-
мого при аннигиляции,
W = (8  10“14 Дж) х
х (1 эВ/1,6- 10“19 Дж) =
= 5 105 эВ = 0,5 МэВ.
Фактически мы здесь подсчитали
массу одного электрона в энергетиче-
ских единицах. Она равна также энергии
одного гамма-луча, испускаемого при
аннигиляции пары электрон — позитрон.
Однако мы не должны из этого делать
вывод, что масса превратилась в энер-
гию. Масса и энергия, как уже говори-
лось,— это разные названия для одной
и той же физической сущности. Перво-
начальная масса-энергия покоя электро-
на и позитрона была сосредоточена
в двух малых областях пространства.
После аннигиляции та же масса стала
существовать в форме энергии двух
гамма-лучей, уносящихся со скоростью
света. Конечно, гамма-лучи, или фо-
тоны, или рентгеновские лучи не имеют
массы покоя, поскольку они не суще-
ствуют в неподвижном состоянии. Тем
265
не менее они переносят импульс и энер-
гию, и, таким образом, первоначальная
масса не была потеряна. То же самое
справедливо и для взрыва атомной
бомбы. Та малая часть массы, которая
превращается в другие формы энергии,
не пропадает при взрыве, а рассеивается
в окружающей местности, сначала
главным образом в форме кинетической
энергии разлетающихся при взрыве ча-
стиц.
На фотографии приведена картина
обратного процесса, в котором гамма-
луч высокой энергии материализуется
в электрон-позитронную пару. В этом
случае энергии фотона хватает и на мас-
су-энергию покоя электрона и позитро-
на, и на их кинетическую энергию.
Выше мы утверждали, что полная
масса-энергия тела состоит из двух ча-
стей — члена, зависящего от импульса, и
члена, зависящего от массы тела, изме-
ренной, когда оно покоится. Полную
массу-энергию можно также выразить
другим способом:
тс2	,
W = ,	— = уте .
]/1 - г2/с2
Покажем, что обе формулы для полной
энергии эквивалентны:
у2 (me2)2 = W2 = р2с2 + (тс2)2 =
- у2 (mv)2 с2 + (тс2)2.
В левую часть верхнего уравнения под-
ставлено новое выражение для IV, а
в правую часть — выражение р = ymv
для импульса тела, справедливое при
больших скоростях. Теперь приведем
подобные члены уравнения и выполним
преобразования для его упрощения:
(у2 — 1) (тс2)2 = у2 (mc2)(mv)2,
у2 (тс2 — mv2) = тс2,
у2 (с2 - v2) = с2,
с2 — v2 .
l-v2/c2 =С ’
1 = 1.
Очевидно, что оба выражения для
массы-энергии дают один и тот же
результат.
Вопрос 11-32
Фотон, будь то видимый свет или
гамма-луч, не имеет массы покоя,
поскольку он никогда не может на-
ходиться в покое относительно како-
го бы то ни было наблюдателя.
I Поэтому как он может обладать
какой-то энергией, если W= тс2(1 —
-v2/c2)~1/2?
Полезное представление об относи-
тельном значении энергии покоя и дру-
гих форм энергии можно получить, раз-
ложив в ряд нашу вторую формулу
для IV:
fV = уте2 = тс2 (1 — г2/с2)-1/2.
Воспользуемся для этого стандартным
разложением в ряд бинома:
(X < 1).
Вопрос 11-33
Насколько хорошим оказывается это
приближение, если использовать
только три первых члена приведен-
ного разложения для х = 0,1 и п =
= 1/2? Попробуйте также взять х =
= 0,5 и п = 1/2.
Применяя биноминальное разложе-
ние к выражению для полной энергии,
получаем
W — уте2 =
2	1	2	3	2 V
= тс -I--mv -I-----mv + ...
2	8 с2
Полная масса-энергия тела состоит из
266
энергии покоя тс2, обычной кинетиче-
ской энергии (1/2) mr2 и из других чле-
нов, зависящих от более высоких сте-
пеней v2/c2. При обычных скоростях
можно пренебречь всеми членами кине-
тической энергии за исключением
(1/2) mv2. Сравним первые три члена раз-
ложения в ряд полной энергии реактив-
ного самолета, летящего со скоростью
v = 103 м/с. В расчете на 1 кг массы
самолета первый член разложения
равен:
тс2 = 1 кг • (3 • 108 м/с)2 =
= 9-1016 Дж;
второй член:
утг2=~1 кг-(1103 м/с)2 =
третий член:
= 5105 Дж;
— mv2
8
3
= — 1
8
кг-(1-103
1 • 103 м/с \2
3  108 м/с )
= 410“6 Дж.
Как видно, третий член в 1011 раз
меньше обычной кинетической энергии,
и поэтому им можно пренебречь. Но
обратите внимание, что обычная кине-
тическая энергия тоже в 1011 раз мень-
ше массы-энергии покоя. Почему же мы
не пренебрегаем кинетической энергией
в случае обычных движений? Причина
в том, что при обычных взаимодей-
ствиях масса-энергия покоя всех взаи-
модействующих тел имеет, по существу,
то же значение как до, так и после взаи-
модействия. Поэтому в уравнениях она
всегда сокращается.
Но в действительности масса-энер-
гия покоя изменяется при обычных
взаимодействиях. Тела можно насыщать
энергией как механическими, так и хи-
мическими способами. Например, растя-
нутая пружина имеет дополнительную
энергию и поэтому дополнительную
массу по сравнению со своим нерастя-
нутым состоянием. Подсчитаем эту до-
полнительную массу. Для хорошей пру-
жины массы 1 кг может потребоваться
средняя сила 2000 Н для сжатия ее на
0,1 м. Запасаемая при сжатии энергия
Д W= F Дх = 2 • 103 Н  1 • 10“1 м = 200 Дж.
Поэтому увеличение массы пружины
при ее сжатии
Дт =
ДЖ
200 Дж ~
9 • 106 м2/с2~ *
® 2-10“15 кг.
Ясно, что никакие лабораторные весы
не в состоянии обнаружить столь нич-
тожное возрастание массы.
Увеличить массу тела можно также,
насыщая тело энергией с помощью на-
гревания. Как мы увидим в главе 13,
при сообщении тепла веществу его мо-
лекулы и атомы начинают сильнее коле-
баться около своих равновесных поло-
жений. Поэтому можно ожидать, что их
масса возрастает, но заметьте, что такое
возрастание сказывается на первом чле-
не релятивистского разложения для
энергии. Масса покоя тела как целого
в действительности становится больше.
Например, требуется около 2 • 105 Дж
тепловой энергии, чтобы нагреть метал-
лический шар массы 1 кг до красного
каления. Дополнительная масса шара со-
ставит
_ Аи/ _ 2 ’ 105 Дж ~
т с2 (3 • 108 м/с)2 ~
« 2 • 10“12 кг.
И опять возрастание массы слишком
мало, чтобы его можно было измерить.
Подсчитаем изменение массы для
одной из химических реакций, проте-
кающих с наибольшим выделением
энергии. Энергия, выделяющаяся при
образовании 1 кг воды сжиганием водо-
рода в кислороде, равна 1,6 107 Дж. Та-
кое освобождение энергии соответствует
потере массы 1,8-10“10 кг. Но даже та-
кое изменение массы слишком мало,
чтобы его можно было обнаружить
с помощью наиболее точных аналитиче-
ских весов.
МАССА-ЭНЕРГИЯ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Как мы видели, в пространстве —
времени существует инвариантный ин-
тервал между двумя событиями, не зави-
267
сящий от того, в какой инерциальной
системе отсчета вы находитесь. Вели-
чина (Дх2 + Ду2 + Az2 — с2At2) имеет то
же самое значение в вашей системе от-
счета, как и в любой другой инерциаль-
ной системе отсчета. Существует анало-
гичная инвариантная величина, связан-
ная с импульсом и энергией тела. Эта
величина имеет вид
W2 — с2р2 = (тс2)2.
Эта инвариантная величина как раз рав-
на массе-энергии тела (в энергетических
единицах). Это та масса-энергия, кото-
рую мы измеряем у тела, неподвижного
относительно нас. Но из системы отсче-
та, которая быстро движется мимо нас,
тело будет казаться движущимся. Его
полная энергия W будет больше, но оно
будет также обладать импульсом р. Ес-
ли другой наблюдатель измерит для
этого тела как W, так и р и вычислит
величину yW2 — с2р2, он найдет как раз
то значение, какое мы получаем при из-
мерении массы-энергии покоя.
Полная энергия тела и его импульс
связаны друг с другом так же, как свя-
заны между собой его пространственно-
временные координаты. Если вы изме-
рите W и р в некоторой инерциальной
системе отсчета, то вы можете найти их
значения в любой другой инерциальной
системе отсчета с помощью преобразо-
ваний Лоренца. Пропорциональная им-
пульсу переменная рс преобразуется так
же, как координата х положения тела.
Пропорциональная энергии переменная
W/c преобразуется подобно времени t.
Например,
х' = у (х — vt) -> р'с = у (рс — V W/c),
р' = у(р — vW/c2).
Преобразования Лоренца для этих двух
наборов переменных выглядят следую-
щим образом:
х' = у (х — vt),
Р* = У Ох - (v/c2) W],
t' = у[t -(v/c2)х],
W' = у (W -vp).
Существуют и другие наборы пере-
менных, которые можно преобразовать
268
совместно с помощью преобразований
Лоренца. Один из примеров, который
мы изучим позже, — это набор пере-
менных, описывающих электрическое
и магнитное поля. Как мы увидим, воз-
можно, что для определенной системы
электрических зарядов некоторый на-
блюдатель получит при измерении чи-
сто электрическое поле (без магнитно-
го), в то время как другой наблюдатель
в движущейся мимо системе отсчета бу-
дет регистрировать как электрическое,
так и магнитное поля.
ТЯГОТЕНИЕ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Во всех рассмотренных нами приме-
рах, иллюстрирующих принцип относи-
тельности Галилея или специальную
теорию относительности Эйнштейна,
сравнивались результаты измерений, по-
лученных наблюдателями, движущими-
ся друг относительно друга с постоян-
ной скоростью. Такое ограничение не-
желательно, ибо великое множество
интересных событий происходит в уско-
ренно движущихся системах отсчета.
В начале этой главы мы видели, что
в таких системах возникают псевдо-
силы — силы инерции. Во вращающихся
системах отсчета это центробежные
силы и силы Кориолиса. При поступа-
тельном ускоренном движении по-
является сила гравитационного типа,
действующая в направлении, противо-
положном направлению ускорения. Эти
силы инерции можно рассматривать как
проявление локальных полей тяготения,
которые векторно складываются
с любым гравитационным полем обыч-
ного ньютоновского типа.
Эйнштейн предположил, что эти по-
ля — тяготения и сил инерции — по свое-
му действию полностью эквивалентны
в любой точке пространства. Исходя из
этого положения, он разработал тео-
рию, в которой гравитационная масса
так искривляет пространство, что тяго-
тение становится просто следствием
геометрии. В соответствии с этой мо-
делью взаимодействий планеты движут-
ся вокруг Солнца не потому, что на них
действует радиальная центростреми-
тельная сила, а потому, что Солнце ис-
кажает пространство в своей окрестно-
сти. Движение планеты оказывается
ограниченным подобно движению ша-
рика, катящегося по внутренней поверх-
ности чаши.
Эйнштейновское объединение геоме-
трии пространства и тяготения сводится
к ньютоновскому тяготению за исклю-
чением только случая очень больших
масс. Тем не менее различия в предска-
заниях, касающихся экспериментально
наблюдаемых эффектов, в некоторых
случаях достаточно велики, чтобы их
можно было обнаружить. Три таких
предсказания, сделанные впервые Эйн-
штейном, были подтверждены со значи-
тельной точностью. Вот они.
1.	Эллиптическая орбита Меркурия
прецессирует со скоростью, слегка от-
личной от той скорости, которая полу-
чается за счет известного влияния дру-
гих планет. Предсказанное Эйнштейном
Медленная прецессия главной оси орбиты
Меркурия (эксцентриситет орбиты сильно
преувеличен)
различие в скорости прецессии соста-
вляет всего лишь 43 угловых секунды
в столетие. Это маленькое расхождение
поддается измерению, и оно было при-
ближенно известно, хотя и не понято,
еще до того, как Эйнштейн сделал свое
предсказание.
2.	Если вблизи массивных тел про-
странство искривлено, то свет в таком
пространстве не будет распространяться
прямолинейно. Один из способов обна-
ружения этого эффекта заключается
в том, чтобы наблюдать за положением
звезды, луч света от которой почти ка-
сается поверхности Солнца. Если види-
мое положение звезды оказывается
слегка смещенным, когда Солнце подхо-
дит вплотную к лучу, это может озна-
чать, что свет от звезды отклоняется
пространством, искривленным вблизи
Солнца. До недавнего времени по-
добные наблюдения были возможны
только во время полных солнечных за-
тмений. Вскоре после того как этот эф-
фект был предсказан Эйнштейном, он
наблюдался во время полного затмения
Солнца в 1919 году. С тех пор измере-
ния производились многократно с пере-
менным успехом и с различной сте-
пенью точности.
Недавно предсказание Эйнштейна
было подтверждено с большой точ-
ностью в диапазоне радиоволн, где на-
блюдения возможны даже в отсутствие
солнечного затменения. Следует отме-
тить, что вследствие требования спе-
циальной теории относительности, ка-
сающегося массы фотона (хотя масса
покоя фотона и равна нулю), мы дол-
жны ожидать гравитационного отклоне-
ния проходящего вблизи Солнца фото-
на даже в рамках ньютоновской теории
тяготения. Однако общая теория отно-
сительности предсказывает вдвое боль-
шее отклонение.
3.	Как предсказывает общая теория
относительности, время зависит от гра-
витационного поля, или, в модели
Эйнштейна, от кривизны пространства.
В гравитационных полях часы замед-
ляются. Определенный химический эле-
мент, будучи раскален, в лабораторных
условиях испускает свет с характерным
269
для данного элемента набором раз-
личных частот. Такой же набор частот
следует ожидать и для света от элемен-
та, проиходящего с удаленной звезды.
Если, однако, время на этой звезде идет
медленнее из-за сильного гравитацион-
ного поля, каждая из этих частот дол-
жна уменьшаться вследствие замедле-
ния времени. Можно ожидать, что мы
увидим тот же набор частот, но сдви-
нутый в сторону более низких частот
или больших длин волн. Этот сдвиг ча-
стоты маскируется другими эффектами
и не может служить для решающей про-
верки общей теории относительности.
Однако существует столь чувствитель-
ное явление, зависящее от частоты (эф-
фект Мёссбауэра), что влияние гравита-
ционного поля на часы было измерено
в земных условиях. Часы (периодический
атомный процесс) в подвале здания
идут медленнее по сравнению с такими
же часами на чердаке. Этот эффект был
измерен и оказался в полном согласии
с предсказанием Эйнштейна.
За многие десятилетия, прошедшие
после того, как Эйнштейн опубликовал
общую теорию относительности, было
получено совсем мало новых проявле-
ний эффектов, объясняемых с помощью
этой теории. В конце 1970-х годов воз-
родился интерес к приложениям этой
теории в астрономии и космологии. Не-
сомненно, что общая теория относи-
тельности лежит в основе понимания
многих событий в нашей Галактике
и во Вселенной в целом.
РЕЗЮМЕ
Как траектории (кинематика), так
и силы (динамика) выглядят по-разному
для наблюдателей в разных системах
отсчета. Преобразования Г алилея
связывают движения в системах отсче-
та, движущихся друг относительно дру-
га с постоянной скоростью, много мень-
шей скорости света.
Преобразования Галилея в случае,
когда скорость направлена вдоль оси х,
имеют следующий вид:
X = х' + Vt, Z = z', у = у’, t = t'.
Обратите особое внимание на то, что
t = t'. Сумма двух скоростей и и г, на-
правленных вдоль оси х, w = и + v. Пре-
образование Галилея показывает, что
выпущенный из рук мяч, падающий вер-
тикально вниз по прямой в одной систе-
ме отсчета, виден движущимся по пара-
болической траектории в другой систе-
ме отсчета. Простое гармоническое ко-
лебание в одной системе отсчета стано-
вится движением по синусоидальной
траектории в другой системе. Скорость,
импульс и кинетическая энергия некото-
рого тела зависят от относительной
скорости системы отсчета, в которой
мы его наблюдаем. Описание движения
системы тел часто оказывается наибо-
лее простым при использовании си-
стемы отсчета, связанной с центром
масс системы тел.
Система отсчета является инерциаль-
ной, если она движется с постоянной
скоростью по отношению к непо-
движным звездам. В неинерциальных
системах отсчета ускорение приводит
к появлению псевдосил, являющихся
проявлением свойств локальных полей
тяготения. Вертикальные ускорения вы-
зывают изменения веса:
Р = mg — ma.
Вращательное движение приводит
к появлению центробежных сил инерции
и сил Кориолиса, действующих на тела
во вращающейся системе отсчета. Цен-
тробежная сила инерции зависит от
угловой скорости и расстояния до оси
вращения:
Рц6 = тсо2г.
Сила Кориолиса зависит от угловой
скорости и от скорости тела (отно-
сительно вращающейся системы от-
счета) :
₽коР = -2тсо х V.
Когда тела движутся относительно
нас со скоростями, близкими к скорости
света, для описания явлений нужно ис-
пользовать специальную теорию отно-
сительности Эйнштейна. Краеугольным
камнем в специальной теории лежит
утверждение о том, что скорость света
имеет одно и то же значение независи-
мо от движения источника или наблю-
дателя. Это условие включает в себя то,
что промежутки времени и длины
270
различны в разных системах от-
счета :
At =
At0
]/1 — г2 /с2
Ах = Ах0 ]/1 — v2 /с2.
Преобразования Г алилея предста-
вляют собой справедливое при низких
скоростях приближение к преобразова-
ниям Лоренца, верным при любых ско-
ростях. Когда скорость направлена
вдоль оси х, преобразования Лоренца
имеют вид:
,	/ ч X - ГГ
X = у (х - vt) = -г-	- 
/1-Г2/с2
( v \ t — vx/c2
г' = у| t--ГХ I = —т-  — ,
\ с )	|/1 - г2/с2
у' = у, z' = z.
Существует инвариантный простран-
ственно-временной интервал между со-
бытиями, одинаковый во всех системах
отсчета:
(Ах)2 + (Ау)2 + (Az)2 - с2 (At)2 =
= (Ax')2 + (Ay')2 + (Az')2 - c2 (At')2.
Сумма двух скоростей и и v, напра-
вленных вдоль оси х,
и + v
w =---------Z-.
1 + uv/c
Импульс и энергия тоже преобразуются
по формулам Лоренца:
Рх = Y [йх - (f/c2) W],
W = у (W — vp).
Соответствующая инвариантная ве-
личина имеет вид W2 — с2р2, что равно
(тс2)2, то есть квадрату массы-энергии
покоя данного тела. Масса и энер-
гия — это просто разные названия
одной и той же физической величины,
которая для удобства часто измеряется
в различных единицах (единицах массы
или единицах энергии).
Преобразования между ускоренно
движущимися системами отсчета могут
быть рассчитаны на основе общей тео-
рии относительности Эйнштейна, со-
гласно которой обусловленные ускоре-
нием эффекты интерпретируются как
гравитационные, а сама гравитация ста-
новится свойством пространства.
Ответы на вопросы
11-1. в повседневной жизни для большин-
ства целей удобно принимать, что Сол-
нце движется вокруг Земли. Как вы,
возможно, замечали, Солнце утром
поднимается и вечером опускается.
Астрономическая модель Птолемея,
в которой Земля неподвижна, а Солн-
це, Луна и планеты движутся вокруг
Земли, с успехом и удобством подхо-
дит для таких целей, как навигация
в открытом море и астрономические
наблюдения невооруженным глазом.
Если же вы собираетесь посылать
ракеты далеко от Земли или делать
некоторые астрономические расче-
ты, возможно, для вас более удоб-
ной окажется модель Коперника,
в которой планеты движутся вокруг
Солнца. Выбор между этими двумя
моделями определяется не тем, что
одна из них истинна, а другая поэто-
му ложна. Этот выбор определяется
удобством использования той или
иной системы отсчета.
П-2. Во-первых, если в штрихованной си-
стеме отсчета на часах отмечено 10
часов, то в системе х, у, z — тоже 10
часов. Далее, поскольку системы
координат совпадали в 9 часов и дви-
жение происходит только в направле-
нии оси х, координаты у и z этого те-
ла равны: у = 1 миля и z = 2 мили.
Координата х находится по формуле
х = х' + vt = 4мили +(10миль/ч)-(1 ч) =
— 14 миль. Координаты тела в двух
системах отсчета для этого момента
времени показаны на рисунке на
с. 235.
И-З. Не существует такого понятия, как
«истинная» траектория. Траектория
зависит от системы отсчета.
П-4. Относительное движение одинаково
в каждом из этих случаев. Поэтому
будут совпадать и результаты
Голоса будут звучать, как у утенка
Дональда. Все частоты и высота всех
звуков
78/( 33
возрастут на множитель
I = 2,3. Увеличение частоты
вдвое поднимает высоту тона всех
звуков на одну октаву.
Если вы стреляете в направлении дви-
жения поезда, пуля летит со ско-
271
ростью 60 м/с относительно наблюда-
теля на станции Однако если вы
стреляете назад, наблюдатель видит
пулю падающей отвесно вниз
11-7 Очевидно, что кинетическая энергия
тела зависит от системы отсчета, в ко-
торой проводится ее измерение Раз-
мер пробоины в мишени, который
можно использовать как меру теряе-
мой пулей при остановке кинетиче-
ской энергии, зависит от относитель-
ной скорости пули и мишени Напри-
мер, когда стреляют из поезда
в направлении назад, так что скорость
пули равна нулю относительно на-
блюдателя на станции, пуля не смо-
жет углубиться в закрепленную на
станции мишень Если, однако, ми-
шень прикрепить к задней стенке ва-
гона, пуля войдет в нее со скоростью
30 м/с В этом случае наблюдатель на
станции может утверждать, что пуля
была неподвижна, а мишень налетела
на нее
11-8 Мы не приняли во внимание необходи-
мость выполнения закона сохранения
импульса Не может быть так, чтобы
транспортный корабль просто прича-
лил к космической станции и пришел
в состояние покоя Объединенная си-
стема должна испытать отдачу Ско-
рость отдачи мала из-за того, что
масса космической станции много
больше массы транспортного кораб-
ля Тем не менее возникновение ки-
нетической энергии станции, связан-
ной с отдачей, и приводит к потере
энергии транспортным кораблем Со-
ответствующие вычисления не слиш-
ком сложны Попытайтесь проделать
их1 Не забудьте, что в системе' отсче-
та, в которой космическая станция по-
коилась до столкновения, т 1 = (т +
+ M)vK Примите т = 1 и М = 10
11-9. Предположим, что протон имеет рав-
ную вероятность пройти через любую
малую область поверхности сферы,
как показано на рисунке Это означа-
ло бы равную вероятность испускания
протона в любой телесный угол Если,
однако, говорить об углах 6, то
в области 0 = 90° одному и тому же
интервалу АО соответствует много
больший телесный угол, чем в обла-
сти 0 = 0° Поэтому большинство про-
тонов будет вылетать под углами 90°
в системе центра масс, что соответ-
ствует 45° в лабораторной системе
отсчета
П-10 Первый закон Ньютона утверждает,
что в отсутствие сил, действующих на
тело, его скорость остается постоян-
ной Находясь на поверхности Земли,
мы видим, что тела падают вниз с на-
растающей скоростью Мы считаем,
что за это ответственна сила тяжести
Мы видим также, что в северном по-
лушарии движущиеся по поверхности
Земли тела отклоняются вправо от
прямых линий Ответственность за
этот эффект мы возлагаем на силу
Кориолиса, хотя она и не характери-
зует какое бы то ни было взаимодей-
ствие между «зарядами», подобно гра-
витационным или электромагнитным
силам Вместо этого мы можем рас-
сматривать силу Кориолиса как силу
инерции, возникающую из-за того,
что Земля не является инерциальной
системой отсчета Сила Кориолиса
подробно описана на с 246 Земля со-
вершает вращение относительно непо-
движных звезд
11-11 Вытесняемый шариком воздух ведет
себя как отвес по отношению к шари-
ку Более тяжелый воздух устремляет-
ся «вниз» относительно шарика, заста-
вляя таким образом шарик стремить-
ся в направлении «вверх»
11-12 По показаниям напольных весов
ваш вес равен — Епруж = тд — та =
272
= т(д - а). Поскольку а = 1 м/с2, д - а =
= ( — 9,8 — 1)м/с2 » — 11 м/с2, что при-
мерно на 10% превосходит д. Поэто-
му весы будут показывать 550 Н (или
121 фунт). Весы показывают эту до-
полнительную величину, лишь пока
лифт движется с ускорением. После
начального разгона лифт обычно дви-
жется с постоянной скоростью. При
этом напольные весы будут показы-
вать нормальный вес 500 Н (ПО фун-
тов).
11-13. Находясь на экваторе, вы подвержены
центростремительному ускорению:
а = v2/R3 = 4tt2R/7'2. Для Земли R3 =
= 6,410б м и Т = (24-3600) с.
4л2-6,4-10б м
(24 -3600 с)2
= 0,034
м/с2.
Это центростремительное ускорение
следует сравнить с ускорением сво-
бодного падения, обусловленным си-
лой тяжести: д = 9,8 м/с2. Ваша поте-
ря в весе на экваторе из-за вращения
Земли составляет около 1/3%.
11-14. <о2г = 4л2/2г = д, 4л2/2-500 м = 9,8
м/с2, f = 2,2-10”2 с”1, Г = 45 с.
11-15. Скорость наблюдаемого нами света
всегда равна 3,0  108 м/с. Однако цвет
приходящего от квазара света изме-
няется.
11-16. Наблюдаемый эффект зависел бы от
расстояния между нами и двойной
звездой. (Почему?) Если бы свет от
звезды распространялся быстрее при
ее приближении к нам, чем при удале-
нии от нас, нам бы казалось, что звез-
да проводит лишь очень короткое
время в положении затмения. Такое
могло бы также случиться и тогда,
когда одна звезда большая, а ее парт-
нер — малая. Но тогда движение парт-
нера казалось бы неправильным.
В конце концов могли бы появляться
ложные звезды — звезды-призраки:
иногда двойная звезда выглядела бы
как тройная. Отметьте также, что экс-
периментальные наблюдения за
двойными звездами доказывают, что
в вакууме свет любого цвета распро-
страняется с одинаковой скоростью.
В противном случае двойные звезды,
попадающие в положение затмения,
были бы видны быстро изменяющими
свою окраску — замечательно инте-
ресный эффект, если бы он наблюдал-
ся. Но он не наблюдается.
11-17. Ах = cAt = (3 • 108 м/с)-(1  10”16 с) =
= 3-10”8 м = 0,03 мкм (микрометра).
11-18. Сначала прибор ориентировался так,
чтобы одно из направлений распро-
странения света было параллельно
движению Земли вокруг Солнца,
а второе — перпендикулярно к нему.
Если бы свету требовалось большее
время для прохождения одного из
расстояний, то поворот прибора обра-
тил бы ситуацию и привел бы к сдви-
гу интерференционных полос.
11-19. At = Ау/с « (1 м)/(3-108 м/с) «
« 3 • 10-9 с = 3 нс (наносекунды).
11-20. В системе отсчета, связанной с косми-
ческим кораблем, свет прошел только
расстояние Ау. Если же смотреть с Зе-
мли, свету пришлось преодолеть рас-
стояние /(Ах)2 + (Ау)2.
11-21. Скорость света одна и та же для ка-
ждого из наблюдателей. Поэтому, по-
ка два наблюдателя движутся друг от-
носительно друга с постоянной ско-
ростью, нет возможности выяснить,
который из них движется. Нам не
приходится выбирать между двумя
результатами наблюдений, потому
что каждый из них верен в своей си-
стеме отсчета._______________
11-22. At = (1/с)/г2 (Аг2) + (Ау)2 =
= (1/0]Л2 (At)2 + с2 (Аг0)2,
с2 (At)2 = г2 (At)2 + с2 (Atо)2,
(с2 - r2)(At)2 = c2(At0)2,
At
/1 - v2 /с
11-23. Когда At/At0 = 1,1 (10-процентное раз-
личие в шкалах),
1,21 - 1,21 (t?2/c2) = 1,
1,21 (г2/с2) = 0,21,
V2 /с2 =0,17, г/с = 0,4.
Если -----= 2,00, то 4,00 =------z—=,
At0	l-v2/c2
4 — 4(г2/с2) = 1,	4(r2/c2) = 3, v/c =
= 0,866.
Обратите внимание, что эти эффекты
становятся заметны лишь тогда, когда
скорость очень близка к скорости
света.
11-24. Один из способов синхронизировать
неподвижные относительно вас часы
заключается в том, чтобы собрать их
все в одно место, установить на них
одно и то же показание и затем рас-
ставить часы по своим местам. По-
скольку это делается при малых ско-
ростях, можно ожидать, что не воз-
никнет особых хлопот. Для проверки
273
синхронизации часов, когда они уже
расставлены по местам, поместите се-
бя в средней точке между какими-то
часами. Устройте так, чтобы из
каждых часов посылались световые
сигналы через каждый час. Если сиг-
налы от этих часов придут к вам
в среднюю точку в один момент, то
часы синхронизированы.
11-25. Предположим, что каждый из двух
наблюдателей находится в средней
точке своей системы. В, и В5 испу-
скают световые сигналы как раз в тот
момент, когда А3 и В3 находятся друг
против друга. Через небольшое время
В3 принимает оба сигнала одновре-
менно. Поэтому наблюдатель В счи-
тает, что часы В; и В5 синхронизиро-
ваны. Однако А3 тем временем дви-
гался вправо и поэтому принимает
сигнал из В5 раньше, чем сигнал из
Bt. Поэтому наблюдатель А считает,
что часы В] и В2 не синхронизированы.
Не стоит говорить, что наблюдателю
А следовало бы знать, что он движет-
ся. Он может считать, что он покоит-
ся, а наблюдатель В движется. По-
скольку свет распространяется
с одной и той же скоростью как отно-
сительно А, так и относительно В, обе
системы отсчета одинаково хороши.
11-26. Дх = <?А1 = (3  108 м/с)-(2 1(Г6 с) =
= 600 м. Обратите внимание, что 600
метров составляют всего около 1/3 ми-
ли. Большинство мюонов образуется
на высоте по меньшей мере 20 миль
над поверхностью Земли.
11-27. Поскольку мюону в связанной с ним
системе отсчета длины наших тел
представляются короче, чем нам,
мюон будет считать атмосферу очень
тонкой — порядка 600 м. С точки зре-
ния мюона Земля со всем, что на ней
находится, стремительно надвигается
на него.
11-28. При v/c « 1 знаменатель в выраже-
нии для у приближается к 1 и то же
происходит и с самим значением у.
Таким образом, преобразования Ло-
ренца сводятся к преобразованиям Га-
лилея.
11-29. Произведем подстановку, показываю-
щую, что (Ах)2 — с2 (At)2 = (Ах')2 —
— с2 (Аг')2. Положим для простоты
х0 = 0, Хд = 0, ta = 0 и tg = 0. Преобра-
зования Лоренца имеют вид:
х = у (х' + vt'), t = y(t' + x'v/c2);
X2 - c2t2 =
= у 2 (x' + vt')2 — c2y2 (t' + x'v/c2)2 =
= y2x'2 + у2v21'2 + 2y2x'vt' -
— c2y2t'2 — y2x'2v2 /с2 — 2y2t'vx' =
/ V2 \
= y2 [(v2 — c2)t'2 + x'2( 1--^-)] =
= Y2 \ — c2t'2 (1 — v2/c2) + x'2 (1 - v2/c2)] =
= V2 [ — c2t'2/y2 + x'2/y2] = x'2 — c2t'2.
11-30. Преобразование Лоренца для времени
имеет вид
t' = у (t + xv/c2).
Если мы выражаем время в годах, то
1 = 20, г/с = 0,87 и х/с = 17,4. Следова-
тельно, t' = 2 [20 + 0,87-17,4] = 70 лет.
11-31. Чтобы выработать 91016 Дж, энерге-
тический комплекс на Ниагарском
водопаде должен работать в тече-
ние (9  1016 Дж)/(1О10 Дж/с) « 107 с
« 4 мес.
11-32. в данной форме выражение для
W имеет неопределенное значение, по-
скольку числитель содержит т, кото-
рая для фотона равна нулю, но знаме-
натель тоже равен нулю, так как v = с.
Энергию фотона лучше выражать
с помощью нашего первого реляти-
вистского выражения для полной
энергии: W2 = р2с2 + (тс2)2. Посколь-
ку т = 0, энергия фотона равна просто
W = рс. Обратите внимание, что эта
формула дает нам выражение для мо-
дуля импульса фотона через его энер-
гию: р = W/c.
11-33. (1-0,1)~1/2 = —^= 1,05409,
]/Д9
1	113
1 + — 0,1 +----------0,01 = 1,0538.
2	2 2 2
Приближенное значение отличается от
точного на три десятитысячных.
(1 - 0,5)'1/2 = —= = 1,4142,
]/0,5
1	113
1 + — 0,5 +---------0,25 = 1,3438.
2	2 2 2
В этом случае приближенное значение
отличается от точного на 7/140, то
есть на 5%. Для лучшего приближе-
ния требуется большее число членов
разложения.
Задачи
1.	Вы находитесь в автомобиле, движу-
щемся на север со скоростью 100 км/ч. Опи-
шите свое движение в системе отсчета, нача-
ло координат которой выбрано следующим
образом: а) связано с вашим телом; б) свя-
274
зано с дорогой; в) связано с грузовиком, ко-
торый движется на юг со скоростью 100
км/ч. Примите, что во всех случаях вы нахо-
дились в точке х = 0 при t = 0.
2.	Оси координат двух галилеевых си-
стем отсчета совпадали в полдень. Одна из
систем движется со скоростью 100 м/с в от-
рицательном направлении оси х. В 2 часа
дня некоторое тело в этой системе отсчета
расположено в точке х' = 300 м, у' = 10 м,
z' = 20 м. Каковы в этот момент его коор-
динаты в другой системе?
3.	Звук А (ля), по которому в оркестре
настраивают инструменты, имеет частоту
440 циклов в секунду (440 Гц). Если этот звук
записан на пластинке, вращающейся с часто-
той 33— об/мин, а воспроизводится при вра-
щении пластинки с частотой 78 об/мин, то
какова будет при этом частота звука?
4.	Мяч бросают со скоростью 30 м/с
внутри железнодорожного вагона. Поезд
движется со скоростью 50 м/с. Чему равна
скорость мяча относительно земли, когда
мяч бросают вперед? Назад? Вбок, перпен-
дикулярно к скорости поезда?
5.	Лодка плывет под парусом по ветру
со скоростью 6 миль/ч относительно воды.
Ветер дует со скоростью 10 миль/ч. Чему
равна скорость ветра относительно лодки?
В какую сторону вытягивается флажок, раз-
вевающийся на вершине мачты?
6.	При полном штиле (относительно
берега) вниз по реке со скоростью течения
4 мили/ч плывет лодка. Если экипаж подни-
мает парус, сможет ли лодка двигаться вниз
по течению быстрее, чем просто дрейфуя?
7.	Дробь массы 10 г выстреливается со
скоростью у дула 50 м/с. Если из дробового
ружья стреляют с платформы поезда, движу-
щегося со скоростью 30 м/с, чему равна ки-
нетическая энергия, передаваемая находя-
щейся рядом с дорогой мишени, если
выстрел производится по направлению
вперед? Назад? Если мишень прикреплена
к поезду?
8.	Граната массы 2 кг, движущаяся со
скоростью 100 м/с, разрывается на две
равные части, каждая из которых вылетает
под углом 45° к первоначальному направле-
нию. Опишите происходящее в системе от-
счета, связанной с центром масс. Чему равен
начальный импульс в этой системе отсчета?
Чему равен конечный импульс в этой систе-
ме? В каких направлениях движутся осколки
в этой системе отсчета? Чему равны скоро-
сти осколков в этой системе? Чему равна ки-
нетическая энергия в этой системе отсчета
после взрыва? Чему равна кинетическая
энергия до и после взрыва в исходной систе-
ме отсчета?
9.	Лифт начинает подниматься с уско-
рением 0,5 м/с2. Если мужчина, весящий 150
фунтов, стоит на пружинных весах, каким бу-
дет их показание? Что показывают весы,
когда лифт поднимается с постоянной ско-
ростью? Если затем лифт останавливается
с ускорением 1,5 м/с2, каким будет показание
весов?
10.	Лифт начинает опускаться с ускоре-
нием 1,0 м/с2. Если на пружинных весах
стоит девушка, весящая 500 Н, какой вес они
будут показывать? Каким будет показание
весов, если лифт совершает аварийную оста-
новку с ускорением 2 м/с2? Что покажут
весы, если оборвется канат и лифт будет сво-
бодно падать?
11.	Чему равно кориолисово ускорение
для реки, текущей к югу со скоростью 4
мили/ч на широте 45° ? (Составляющая скоро-
сти, перпендикулярная к земной оси, равна
0,7  4 миль/ч.) Сравните его с д.
12.	Чему равно кориолисово ускорение
винтовочной пули, движущейся со скоростью
600 м/с, если стреляют вертикально вверх на
экваторе? Сравните его с д.
13.	Жилые помещения космических по-
селений должны вращаться, чтобы с по-
мощью центробежной силы создать псевдо-
гравитацию, действующую на находящихся
в них людей. Если радиус поселения 1 км,
каким должен быть период обращения,
чтобы на периферии создать поле напряжен-
ности 1g?
14.	Одна из предложенных форм жилых
помещений космического поселения предста-
вляет собой гигантский тор (полый бублик).
Примем, что его внешний радиус равен 1 км,
что временно внутри тора вакуум и что он
не вращается. Помещенный в такую трубу
мяч будет оставаться неподвижным (Поле
тяготения можно не учитывать, потому что
сама космическая станция находится на ор-
бите и, следовательно, в состоянии свобод-
ного падения.) Затем этот тор приводится во
вращение, и находящийся внутри наблюда-
тель (в космическом скафандре) оказывается
прижатым к внутренней стороне кольца цен-
тробежным полем напряженности 1 д. С его
точки зрения, мяч будет обращаться в про-
тивоположном направлении, оставаясь на
пролегающей внутри тора орбите. По пред-
ставлениям внутреннего наблюдателя, мяч
может оставаться на орбите лишь в том слу-
чае, если на него действует центростреми-
тельная сила. Как наблюдатель объясняет
происхождение этой центростремительной
силы? (Вспомните, что наблюдателю извест-
но, что на него и на мяч действует напра-
вленное от центра поле, напряженность ко-
торого 1 д.) Покажите, что эта сила как раз
такова, чтобы удержать мяч на проходящей
275
внутри тора орбите. (Учтите силу Кориоли-
са, которая, с точки зрения внутреннего на-
блюдателя, действует на движущийся мяч.)
15.	Период полураспада покоящегося л-
мезона с образованием мюона равен
1,8-10“8 с. Чему равен период полураспада
в лабораторной системе отсчета л-мезонов,
вылетающих из мишени со скоростью
2,9 108 м/с?
16.	Чему равно Р = v/c для мюона, кото-
рому земная атмосфера представляется
сжавшейся в 50 раз? На сколько (в км/с) его
скорость меньше скорости света?
17.	Какое расстояние пройдет А0 (ней-
тральная частица, масса которой несколько
больше, чем у протона) до распада, если
в связанной с ней системе отсчета ее время
жизни равно 2- 10 10 с, а ее у равно 10?
18.	Если из удаленной галактики к нам
стартует ракета со скоростью 1 • 108 м/с от-
носительно галактики, а галактика удаляется
от нас со скоростью 1,5  108 м/с, то чему
равна скорость ракеты относительно нас?
19.	К -мезон распадается на лету на
мюон и нейтрино, причем мюон вылетает
почти точно вперед. Чему равно р для мюо-
на по отношению к нам, если р мюона отно-
сительно К+ равно 0,9 и р для К+ относи-
тельно нас тоже равно 0,9?
20.	Гамма-луч с энергией 1,2 МэВ поро-
ждает электрон-позитронную пару. Если ка-
ждая из частиц (положительная и отрица-
тельная) получает половину избыточной
энергии (что обычно не происходит), с какой
скоростью они движутся? Используйте
нерелятивистские формулы. Проверьте,
оправдано ли их применение.
21.	При делении урана около 1  10 3 его
массы покоя рассеивается в форме кинетиче-
ской энергии осколков. Сколько джоулей
рассеивается в расчете на килограмм урана?
22.	Как быстро движется протон отно-
сительно нас, если его масса вдвое превы-
шает массу покоя?
23.	Если проследить за событиями опи-
санного в тексте релятивистского путеше-
ствия близнецов, насколько старше стал
каждый из них, когда девочка достигает уда-
ленной звезды,—с точки зрения мальчика и
с точки зрения девочки? Когда девочка пере-
ходит в систему отсчета для возвращения,
чему равно время (в годах) в том месте, где
она находится, с точек зрения мальчика и де-
вочки? Чему равно для этого же момента
время на Земле с точек зрения мальчика
и девочки? Каким будет время в момент ее
возвращения домой с точки зрения каждого
из них?
24.	С космического корабля, движущего-
ся мимо нас со скоростью 2,6  108 м/с, запу-
скают две сигнальные ракеты одновременно
в связанной с ним системе отсчета. Астро-
навты утверждают, что расстояние между
ракетницами составляло 1000 м. Чему равен
наблюдаемый нами промежуток времени ме-
жду пусками ракет? На каком расстоянии
друг от друга находятся ракетницы с нашей
точки зрения?
ГЛАВА 12. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
ВЕЩЕСТВА
Тележка на воздушной дорожке
в конце концов теряет свою кинетиче-
скую энергию; подпрыгнув несколько
раз, теннисный мяч затем катится по зем-
ле и останавливается; даже качания
маятника в конце концов прекращают-
ся. Вот так-то обстоит дело с законом
сохранения энергии! Либо нужно при-
знать, что этот закон применим в очень
ограниченной области, либо нужно от-
крыть другие формы энергии и приду-
мать для них подходящие определения,
в которых учитывалась бы теряемая
энергия. Осознание того факта, что
энергию можно определять именно та-
ким путем, пришло лишь около 140 лет
тому назад. С помощью ряда системати-
ческих опытов, выполненных с высокой
точностью, англичанин Джеймс Джоуль
показал, что механическая работа, со-
вершаемая при перемешивании воды и,
по-видимому, теряемая, пропорциональ-
на росту температуры воды. Очевидно,
что потерянная механическая энергия
изменила внутренние свойства вещества.
Результаты были такими же, как при
нагревании воды на плите.
В этой главе будут рассмотрены из-
менения, которые происходят в твердых
телах, жидкостях и газах, когда к ним
подводится энергия. Мы увидим, что
многие из этих изменений можно пред-
ставить как функцию температуры, ко-
торая, в свою очередь, определяется по
одному или нескольким таким измене-
ниям. Эти изменения в веществе проис-
ходят одинаковым образом, независимо
Высота столба ртути
Физические свойства как функция темпера-
туры (а) Температура, определяемая как
функция физических свойств (б)
от того, сообщается ли энергия с по-
мощью трения, или в результате кон-
такта с более нагретым телом. Энергия,
которая передается от одого тела к дру-
гому вследствие того, что они по-разно-
му нагреты, называется теплом. Когда
тепло поступает в систему, оно обеспе-
чивает энергию для совершения работы
и может также увеличить температу-
ру или изменить другие свойства
системы.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Многие измерительные приборы
служат как бы продолжением наших ор-
ганов чувств. Чувствительность к темпе-
ратуре заложена в живых системах.
277
В самом деле, биологическая система
контроля температуры внутри человече-
ского организма обычно поддерживает
постоянную температуру в пределах по-
ловины градуса по Фаренгейту и самым
решительным образом предупреждает
нас об изменениях более, чем на один
градус. Однако насколько хорошим тер-
мометром может служить ваш орга-
низм, чтобы судить о температуре других
тел?
Наполните водой три миски: од-
ну — настолько горячей, насколько вы
можете терпеть; вторую — настолько
холодной, насколько вы сможете добыть;
третью — комнатной температуры. По
крайней мере на минуту опустите
левую руку в горячую воду, а пра-
вую — в холодную. Затем опустите обе
руки в воду комнатной температуры
и оцените, в какой мере можно пола-
гаться на свои ощущения при измере-
нии температуры.
Осязание можно использовать по
крайней мере для того, чтобы опреде-
лять, когда что-либо становится горячее
или холоднее. Потратьте некоторое ко-
личество механической энергии, быстро
и энергично потирая руки друг о друга.
Можно добиться еще большего эффек-
та, если потереть деревянный предмет
наждачной бумагой или забить гвоздь.
Механическая энергия теряется; но что-
нибудь при этом нагревается. Можно да-
же обжечь пальцы, если, просверлив от-
верстие электродрелью, прикоснуться
к сверлу. Простой опыт по наблюдению
эффекта потери механической энергии
можно проделать с помощью канцеляр-
ской скрепки, не вставая из-за стола.
Частично распрямив скрепку, быстро
согните ее несколько раз подряд в ту
и другую сторону, а затем быстро при-
коснитесь к месту сгиба языком. Вы по-
чувствуете, что энергия не пропала бес-
следно.
Очень немногие люди знают, как
правильно растапливать лед. Во многих
популярных книжках приводится график
зависимости температуры воды от
времени при ее нагревании, сопрово-
ждающемся переходом лед — вода —
пар. На рисунке показан типичный гра-
фик такого типа. По причинам, которые
1 ииичныи । рафик неправдоподобных экспе-
риментальных данных : зависимость темпера-
туры от времени при постоянном поступле-
нии энергии (1000 Дж/с) в волу (1 кг Н2О)
легко указать, практически почти невоз-
можно реализовать такой график в экс-
перименте.
Возьмите термометр со шкалой
Цельсия или Фаренгейта и миску, ра-
зогрейте плиту и приготовьте немного
льда. Убедитесь, что в плите отсут-
ствует или отключено устройство, под-
держивающее неизменную температуру.
В этом опыте нужно, чтобы горячая
плита с неизменной скоростью переда-
вала энергию миске, а не включалась
и выключалась попеременно. Измерьте
начальную температуру льда термоме-
тром. Немедленно вы столкнетесь
с проблемой. Откуда известно, что тем-
пература поверхности кубика льда рав-
на температуре внутри кубика? Выйти
из этого положения можно, используя
278
мелко накрошенный лед. В идеале лед
следует взять из холодильника, так
чтобы его температура была ниже точ-
ки замерзания; при этом лед должен
быть достаточно мелко накрошенным
и сухим, чтобы его легко было переме-
шивать термометром.
Непрерывно перемешивайте лед
и воду и через равные промежутки
времени измеряйте температуру. Если
предположить, что энергия поступает в
миску с постоянной скоростью, то график
Если поступающая энергия =kt''.
Время, t
(1/к)-поступающая
энергия
зависимости температуры Т от времени
t будет таким же, как и график зависи-
мости Т от поглощенной энергии. Хотя
вам и не известно, какая доля энергии
передается воде (в сравнении с потеря-
ми энергии в воздух), можно предполо-
жить, что эта доля остается примерно
постоянной в течение всего опыта. По-
этому можно провести грубое измере-
ние энергии, необходимой для распла-
вления льда («теплота плавления»),
в сравнении с энергией, необходимой
для того, чтобы поднять температуру
воды от точки плавления до точки кипе-
ния, и в сравнении с энергией, необходи-
мой для превращения воды в пар («те-
плота парообразования»). Нужно про-
сто сравнить время, необходимое для
этих процессов. Для того чтобы послед-
ний этап не затянулся слишком надол-
го, возьмите не больше 200 см3 льда,
что соответствует 2 или 3 кубикам.
ТОО-
50
-50
Теплота ।
плавления i
I AW
Поступающая
энергия
Теплота
'парообразования
Вопрос 12-1
Получился ли у вас идеальный гра-
фик, соответствующий этому опыту?
Если нет, то почему?
ЭФФЕКТЫ,
ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПОТЕРЕЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Если потереть одну деревяшку о дру-
гую — в традиционном стиле бойскау-
тов, можно зажечь костер. Наиболее
очевидный результат потери механиче-
ской энергии при наличии трения за-
ключается в нагревании тел. Сверло
дрели становится настолько горячим,
что может обжечь, тормозные бара-
баны дымятся, спички даже вспыхи-
вают.
В далекие 40-е годы прошлого века
Джеймс Джоуль доказал, что потерян-
ная в результате трения механическая
энергия вызывает те же эффекты, что
и нагревание на пламени. До этого
времени общепринятым было мнение,
что тепло состоит из жидкости, назы-
ваемой «теплород»; горячее тело имеет
излишек теплорода, который может
перетекать в другое тело, которое ка-
сается горячего. Серьезное возражение
против этой теории было выдвинуто
Бенджамином Томсоном. (Двойной
агент во времена американской револю-
ции, который бежал в Англию, а позд-
нее служил военным министром в Бава-
рии, Томсон более известен как граф
Румфорд Священной Римской империи.
Этот титул пожаловал ему в Баварии
благодарный принц.) Наблюдая за выс-
верливанием отверстий в пушках, он
проделал серию опытов, чтобы пока-
зать, что тепло возникало в процессе
высверливания и при этом ни в пушках,
ни в металлических опилках не наблю-
далось никаких изменений после их ох-
лаждения. Теплород, таким образом,
должен был быть довольно странною
жидкостью, которую можно непрерыв-
но выделять из вещества без каких бы
то ни было изменений в самом веще-
стве.
В практических целях можно иссле-
довать эффекты, вызываемые потерян-
ной механической энергией, используя
для введения тепла в вещество газовые
279
горелки или электрические печи. До тех
пор пока вводимая энергия не меняет
потенциальную энергию тяготения и ки-
нетическую энергию тела как целого,
эффекты не зависят от того, поступает
ли энергия благодаря трению или ис-
точнику тепла. В любом случае при по-
глощении энергии вещество изменяется
во многих отношениях. Тела могут из-
менять объем или электрическое сопро-
тивление, цвет или твердость. Они мо-
гут плавиться, или испаряться, или изме-
нять свою химическую природу. Все эти
явления используются в термометрах.
Рассмотрим вкратце несколько типов
практически используемых термоме-
тров, а затем вернемся к вопросу о том,
что же именно они измеряют. Конечно,
всем известно, что такое температура,
но мы увидим, что, как это ни странно,
трудно дать ее определение.
ОБЫЧНЫЕ ТЕРМОМЕТРЫ -
ЗНАКОМЫЕ И НЕЗНАКОМЫЕ
Ртуть и окрашенный спирт. Действие
наиболее употребительных термометров
основано на том факте, что жидкости
обычно расширяются при нагревании.
В лабораторных и медицинских термо-
метрах используется ртуть. В бытовых
термометрах используется окрашенный
спирт или толуол — жидкости, которые
дешевле и потенциально менее опасны.
Жидкостный термометр может работать
только в интервале температур, лежа-
щих выше точки замерзания жидкости
и существенно ниже ее точки кипения.
Для ртути этот интервал лежит от
-38 °C до 260 °C.
Жидкостный термометр обычного
типа представляет собой очень «умный»
прибор. Если бы он состоял просто из
жидкости, находящейся в стеклянной
капиллярной трубке, то изменение тем-
пературы было бы очень трудно зафик-
сировать. При нагревании жидкости
расширяются, но процентное изменение
объема при характерных изменениях
280
температуры очень невелико. Для ртути
оно составляет только 0,018% на градус
по шкале Цельсия. От точки плавления
льда при 0 °C до точки кипения воды
при 100 °C объем столбика ртути (и, сле-
довательно, его высота в трубке) изме-
нится только на 1,8%. В действительно-
сти в термометрах этого типа исполь-
зуется остроумный механизм усиления.
Большая часть объема жидкости нахо-
дится в колбочке термометра на конце
трубки. Столбик жидкости, который
обозначает температуру, находится
в капиллярной трубке очень малого
объема. Двухпроцентное изменение пол-
ного объема жидкости может привести
к изменению длины столбика в 10 и бо-
лее раз.
Вопрос 12-2
При увеличении температуры объем
стеклянной трубки также увеличи-
вается. Становится ли при этом вну-
тренний объем полости больше или
меньше? Как это влияет на показа-
ния термометра?
Термопара. Во многих веществах из-
менение температуры приводит к изме-
нению их электрических свойств. Один
из типов термометров, в которых ис-
пользуются такие изменения, получил
название термопары. Две тонкие прово-
локи из разных металлов свариваются
или спаиваются вместе на одном из
концов. Свободные концы проволок
присоединяются к устройству, измеряю-
щему напряжение. Разность потенциа-
лов между проволоками зависит от раз-
ности температуры между вольтметром
и спаянными концами. В этом случае
микроструктура проволок в месте их со-
единения выступает как электрический
генератор. Обычно для термопар ис-
пользуются медь и константан, который
представляет собой сплав меди с нике-
лем. Таблица зависимости разности по-
тенциалов для этой комбинации метал-
лов от температуры приводится во
многих справочниках. Одно из до-
стоинств термопар — их маленький раз-
мер, не больше, чем точка соединения
тонких проволок. Проволоки можно за-
делать глубоко внутрь любого тела
и дистанционно измерять температуру
от температуры противоположна этой
зависимости для металлов. Электриче-
ское сопротивление падает с ростом
температуры. Термисторы, которые
обычно представляют собой окислы ме-
таллов, могут изготовляться в форме
крошечных шариков. Они могут быть
гораздо более чувствительными, чем
термопары или платиновые термо-
метры, но не столь стабильными в тече-
ние длительных промежутков времени.
Термисторы используются в медицин-
ских термометрах с электрическим спо-
собом считывания показаний.
Биметаллические полоски. В боль-
шинстве бытовых холодильников тер-
мометр состоит из двух кусков разных
металлов, соединенных вместе. Металлы
подбираются таким образом, чтобы один
из них при увеличении температуры рас-
ширялся гораздо больше другого. При
Если металл наружной полосы расширяется
больше, чем металл внутренней, то кривизна
увеличится
Термопара
внутри объекта. Используя различные
комбинации металлов, можно с по-
мощью термопар измерять температуру
в интервале от — 269 °C до почти
2300 °C.
Термометры на основе электрического
сопротивления. Обычно сопротивление
металлов растет с увеличением темпера-
туры. Это очень легко воспроизво-
димый эффект, который используется во
многих точных термометрах. Обычно
берется небольшая проволочная спи-
раль из платины, характеристики кото-
рой остаются очень стабильными. Из-
меряемая температура может меняться
от - 258 °C до 900°С.
Термисторы. Термисторами назы-
вается целый класс полупроводников,
у которых зависимость сопротивления
этом биметаллическая полоска, образо-
ванная двумя соединенными между со-
бой кусками, изменяет свой радиус кри-
визны, как показано на рисунке. Один
из используемых для этой цели метал-
лов имеет промышленное название ин-
вар. Это сплав железа с никелем, объем
которого меняется очень незначительно
в широком температурном интервале.
Термометры с длинными игольчатыми
зондами, используемые, например,
в темных комнатах или духовках бы-
товых плит, содержат в зонде сверну-
тую биметаллическую полоску. Такую
свернутую в спираль полоску можно
увидеть в домашнем холодильнике, если
снять крышку. Обычно спираль переме-
щав! стрелку, указывающую температу-
ру, и управляет ртутным выключателем,
запускающим и останавливающим на-
281
Биметаллическая спираль в термостате
гревательную систему. Термометры это-
го типа обычно имеют точность только
до 0,5 °C и небольшой ограниченный ра-
бочий интервал.
Газовые термометры. Когда газу со-
общается тепло, его давление увеличи-
вается или, если давление поддержи-
вается постоянным, увеличивается
объем. Любой из этих эффектов можно
использовать для измерения темпера-
туры, но в настоящее время в реальных
термометрах они используются уже ред-
ко. Однако опыты, проделанные с га-
зовым термометром, имеющим неиз-
менный объем, помогли определить
физический смысл температуры. Дей-
ствие всех остальных термометров зави-
I азовый термометр с постоянным объемом
Поднимая или опуская резервуар с ртутью,
можно поддерживать неизменным объем
<аза независимо о г значения температуры
Разница уровнен ргути в двух трубках опре-
деляет давление газа
сит от природы и чистоты исполь-
зуемых в них веществ. Как мы увидим,
при определенных условиях поведение
газовых термометров почти не зависит
от типа используемого газа. Более того,
при этих условиях теория зависимости
свойств газа от температуры проста
и хорошо понятна.
Другие термометры. Многие другие
физические свойства использовались
для измерения температуры. Конько-
бежцы и лыжники могут грубо судить
о температуре, основываясь на том, как
скользят коньки или лыжи. Целые поко-
ления кондитеров знают, что когда са-
харный сироп достигает стадии «слабый
шарик» (сироп, влитый в холодную во-
ду, не растворяется, а собирается вме-
сте), его можно снимать с огня. В новых
термометрических системах использует-
ся свойство жидких кристаллов изме-
нять цвет при определенной температу-
ре. В промышленности для горячих
печей и горнов применяется целый на-
бор восков, каждый из которых плавит-
ся при определенной температуре. Цвет
раскаленных металлов зависит от тем-
пературы. Существуют специальные ин-
струменты — оптические пирометры,
которые позволяют определять яр-
кость раскаленных металлов путем
сравнения с различными эталонами.
Вопрос 12-3
Какие еще физические явления ис-
I пользуются в повседневной жизни
I для определения температуры?
КАЛИБРОВКА ТЕРМОМЕТРОВ
И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ШКАЛЫ
Мы все еще не дали формального
определения температуры, но некото-
рые характерные для этого момента
трудности станут очевидными, когда
мы попробуем проградуировать термо-
метры. По-видимому, никто не измерял
температуру с помощью приборов до
тех пор, пока в 1592 году Галилей не
изобрел воздушный термометр.
В течение XVII века было сконструи-
ровано много типов термометров, осно-
ванных на использовании жидкостей
в стеклянных трубках, причем каждый
из них был проградуирован в соответ-
282
ствии с индивидуальным вкусом своего
изобретателя. В начале XVIII века Га-
бриэль Фаренгейт стандартизировал
процедуру изготовления ртутных термо-
метров, почти не отличающихся от со-
временных. Он также выбрал шкалу, ко-
торая с небольшими изменениями до
сих пор используется для повседневного
измерения температуры в англоязычных
странах. В качестве нулевой точки на
этой шкале была выбрана наинизшая
температура, которую Фаренгейт мог
легко воспроизводить в своей лаборато-
рии. Это температура смешанных ме-
жду собой соли и обыкновенного
льда — такая же смесь используется при
домашнем изготовлении мороженого.
По этой шкале точке плавления обыч-
ного льда была приписана температура
32 °F, а нормальная температура челове-
ческого тела положена равной 96 °F. На
современной шкале Фаренгейта 32° со-
ответствует точке плавления льда,
а 212 °F — точке кипения воды при нор-
мальном атмосферном давлении на
уровне моря. При этих фиксированных
точках нормальная температура челове-
ческого тела оказывается, однако, рав-
ной 98,6 °F. Примерно в те же годы Ан-
дерс Цельсий, шведский астроном, пред-
ложил поделить температурный интер-
вал между точкой плавления льда
и точкой кипения воды на 100 градусов.
Образованная таким образом шкала
первоначально называлась «стоградус-
ной», но с 1960 года официально извест-
на как шкала Цельсия. Градусы Цель-
в международную систему (СИ), исполь-
зуемую в этой книге. «Старые» градусы
Фаренгейта обладают тем преиму-
ществом, что являются наименьшим
изменением температуры, которое спо-
собно почувствовать человеческое
тело.
Вопрос 12-4
Сколько градусов Фаренгейта лежит
между точкой плавления льда и точ-
кой кипения воды? Сколько градусов
Цельсия в том же интервале? Что
меньше — градус Фаренгейта или
градус Цельсия? На сколько один из
них больше другого?
При переводе температуры из одной
шкалы в другую прежде всего возникает
вопрос: на сколько градусов температу-
ра выше точки плавления льда? Если
32 °F
36F—20C°
1 1
20° С
0°С
температура задана по шкале Цельсия,
то ответ очень прост. Температура 20°
по шкале Цельсия соответствует 20 °C
выше точки плавления льда. Температу-
ра 68° по шкале Фаренгейта, однако, со-
ответствует 68 °F — 32 °F = 36 °F выше
точки плавления льда. Чтобы перевести
некоторое число малых градусов Фарен-
гейта в большие градусы Цельсия, сле-
дует умножить это число градусов Фа-
ренгейта на 5/9. Например, 36 °F • 5/9 =
= 20 °C. Очевидно, что точка 68 °F,
находящаяся на 36 градусов Фаренгейта
выше точки плавления льда, или на 20
градусов Цельсия выше этой же точки,
соответствует поэтому 20 °C. Ниже
приведены формулы, отражающие эти
283
преобразования:
5
(ЛГс) °C = — (ATF) °F,
5
Тс = — (Tf — 32),
9
7Р = 32+-'ГС.
Воспользуемся этими формулами,
чтобы перевести некоторые знакомые
температуры в незнакомые.
1. Нормальная температура тела че-
ловека равна 98,6 °F. Переведем это
значение в температуру по шкале
Цельсия:
Тс =у (98,6 - 32) = А.66,6,
Tc = 31fi°C.
2. Температура 20 °F ниже нуля по
шкале Фаренгейта — это здорово холод-
но. А как температура — 20 °C? По шка-
ле Фаренгейта — 20 °C соответствуют
значению
9
TF = 32 + у-( - 20) = 32 - 36,
TF = — 4°F.
Вопрос 12-5
Какая температура имеет одинако-
вое значение и по шкале Цельсия,
и по шкале Фаренгейта?
В принципе, градуировка термоме-
тра производится очень просто. Если
имеется термометр с чистой шкалой,
его следует поместить в миску с таю-
щим льдом и обозначить положение ин-
дикатора через 0 °C. Затем следует по-
местить термометр в миску с кипящей
водой и нанести на шкале точку 100 °C.
Интервал между этими двумя точками
на шкале термометра делится на 100
равных частей. К сожалению, при вы-
полнении такой простой вещи возникает
много разных проблем. Еще больше их
возникает при попытке решить, пра-
вильна ли ваша температурная шкала.
Рассмотрите следующие небольшие
практические задачи.
1.	Термометр должен быть мал по
сравнению с той системой, температура
которой измеряется. Если взять неболь-
шое количество воды и огромный воз-
душный термометр, то можно исказить
температуру объекта, которую вы пы-
таетесь измерить, или в процессе градуи-
ровки не будет обеспечена одинаковая
температура всей чувствительной части
термометра.
2.	Довольно тонкий вопрос заклю-
чается в том, когда следует считывать
показание термометра. Когда термо-
метр приводится в контакт с новым
окружением, необходимо некоторое вре-
мя, чтобы показание термометра при-
шло в соответствие с этим окружением.
В самом деле, когда мы считываем тем-
пературу на шкале термометра, мы уз-
наем температуру самого термометра.
При этом предполагается, что термо-
метр и его окружение пробыли вместе
достаточно долго для того, чтобы прий-
ти в равновесие, в котором по опреде-
лению температура одинакова.
3.	В «Знакомстве с явлениями» уже
было отмечено, что определенные про-
блемы возникают при попытке изме-
рить температуру тающего льда. Кубик
льда в воде может иметь температуру
0 °C на своей поверхности, но — 10 °C
внутри. Более того, температура воды
на небольшом расстоянии от льда мо-
жет быть + 5 °C Чтобы удовлетворить
определению калибровочной точки,
смесь воды и льда должна содержать
мелко искрошенный лед, который не-
прерывным перемешиванием поддержи-
вается в равновесии с водой. Между
прочим, заметьте, что мы все время го-
ворим о точке плавления льда, а не
о точке замерзания воды. По определе-
284
нию лед плавится при О °C, но вода при
О °C не обязательно замерзает. Темпера-
тура чистой воды при определенных ус-
ловиях может опуститься ниже О °C,
прежде чем она неожиданно не перейдет
в кристаллическое состояние Так часто
происходит в атмосфере. Обычная вода
из-под крана, налитая в обычную сте-
клянную посуду, 11 очти всегда достаточ-
но загрязнена, так что она замерзнет
при О °C или чуть более низкой темпера-
туре.
4.	Довольно просто добиться того,
чтобы температура термометра не от-
личалась от точки кипения воды более
чем на градус, но нет никакой гарантии,
что эта температура равна 100 °C. Точка
кипения и, в гораздо меньшей степени,
точка замерзания зависят от атмосфер-
ного давления. По определению точка
кипения при нормальном атмосферном
давлении на уровне моря соответствует
100 °C. Например, в Денвере, располо-
женном примерно на высоте одной ми-
ли над уровнем моря, при нормальном
атмосферном давлении точка кипения
соответствует температуре около 96 °C.
5.	Существует еще один доставляю-
щий беспокойство вопрос, с которым
придется столкнуться при градуировке
температурной шкалы. Предположим,
что вы производите градуировку ртут-
ного и спиртового термометров опи-
санным выше способом. Ясно, что их
показания будут совпадать при 0°С
и при 100 °C, поскольку при градуировке
они находились в одинаковых условиях.
В обоих случаях интервал между этими
двумя отметками делился на 100
равных частей. Если теперь эти термо-
метры помещаются в сосуд с водой
и ртутный термометр показывает 50 °C,
то есть ли какая-нибудь гарантия того,
что спиртовой термометр тоже покажет
50 °C? Такой гарантии нет. Нет никакой
причины ожидать, что степень расшире-
ния спирта и ртути остается неизменной
с ростом температуры. И, действитель-
но, их степень расширения не остается
неизменной.
Вопрос 12-6
Вопрос заключается в следующем:
будет ли соотношение между объе-
мом тела и его температурой ли-
нейным? Тот же вопрос следует за-
дать и относительно других измене-
ний в теле, которые используются
в термометрах. Например, пропор-
ционально ли изменению темпера-
туры платиновой проволоки измене-
ние ее электрического сопротивле-
ния? Должно быть, на эти вопросы
можно получить ответы, проделав
соответствующие эксперименты.
Следует просто измерить объем или
сопротивление тела как функцию
температуры. Однако, чтобы проде-
лать это, необходимо измерить тем-
пературу. Каким термометром вы
воспользуетесь для этого?
В действительности трудно ожидать,
чтобы изменения свойств различных ве-
ществ при изменении температуры бы-
ли все пропорциональны друг другу.
С одной стороны, при увеличении тем-
пературы меняются многие различные
свойства каждого вещества. Возможно,
Гааойый термометр
о постоянным объемом
Физические свойства, зависящие ог темпера-
туры (объем, сопротивление из д.). Д (свой-
ство) = /сДТ
285
что некоторые из них зависят друг от
друга. Например, электрическое сопро-
тивление может каким-то образом зави-
сеть от плотное ги металла, которая так-
же изменяется с температурой. Кроме
того, не следует ожидать, что изменение
объема жидкости будет таким же, как
и изменение объема газа того же веще-
ства. В действительности удивительно,
хотя и очень удобно, то, что опреде-
ленные свойства некоторых веществ
практически линейно зависят от темпе-
ратуры, что позволяет использовать их
в термометрах. На.графике показана за-
висимость чувствительности нескольких
различных термометрических веществ
от температуры. Предполагается, что
все эти термометры были проградуиро-
ваны таким образом, чтобы их показа-
ния совпадали при О °C и при 100 °C
В любой промежуточной точке они уже
не совпадают, хотя отличие невелико.
Заметьте, что точка 1,01 на вертикаль-
ной оси соответствует отличию в 1 %.
Вспоминая о проблеме, сформулирован-
ной в вопросе 12-6, мы должны, однако,
доказать, что существует хороший спо-
соб определить температуру безотноси-
тельно к свойствам какого-либо кон-
кретного вещества. Это определение
температуры было использовано при
построении графика, указанного на ри-
сунке. Мы познакомимся с этим опреде-
лением в следующем разделе. А пока
обратите внимание на то, что для мно-
гих повседневных целей указанные на
графике термометры практически обла-
дают свойством линейности.
Для точных измерений современные
температурные шкалы не определяются
на основе интервала между точкой пла-
373, 15
Z73,15
Точка
кипения
воды
Точка
-плавления
льда
Абсо погная темпе-
ратурная шка ы
вления льда и точкой кипения воды.
Как мы увидим, существует так назы-
ваемая абсолютная шкала температур,
нуль которой расположен примерно при
— 273 °C. Эта нулевая точка, которая
имеет и теоретическое, и практическое
значение, используется как одна из фик-
сированных точек абсолютной шкалы.
Другая точка соответствует температу-
ре, при которой лед, жидкая вода и во-
дяной пар находятся в равновесии друг
с другом. (В равновесии лед не плавит-
ся, вода не замерзает и количество пара
остается неизменным.)
Температура этой точки сосущество-
вания воды, льда и пара произвольно
назначена равной 273,16° по абсолют-
ной шкале. Точка плавления льда при
нормальном давлении, 0°С, соответ-
ствует температуре 273,15° по абсолют-
ной шкале. В следующем разделе,
изучая свойства вещества, мы увидим
значение «тройной» точки и абсолют-
ной шкалы температуры.
ПОВЕДЕНИЕ ГАЗОВ
В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Свойства газов понять значительно
проще, чем свойства жидкостей или
твердых тел. Поведение газов особенно
просто, если они находятся при давле-
нии, меньшем или равном атмосферно-
му, и если их температура существенно
выше точки, при которой происходит их
конденсация. При этих условиях поведе-
ние газа может быть почти полностью
описано с помощью любых трех пере-
менных из следующих четырех: давле-
ние, объем, температура и число моле-
кул газа. Если две из этих величин
поддерживаются постоянными, то соот-
ношение между двумя оставшимися вы-
глядит очень просто. Например, с по-
мощью экспериментальной установки,
схематически показанной на с. 282, мож-
но измерить зависимость давления газа
от температуры при постоянном объе-
ме. Соответствующие графики для не-
скольких различных газов приведены на
рисунке. Прежде всего, заметьте, что за-
висимость давления от температуры ли-
нейная: графики представляют собой
прямые линии. Наклон каждого графи-
286
Зависимость давления от температуры:
р = тТс + Ь.
Прямые А, В, С — для определенного коли-
чества трех разных газов
Зависимость давления от температуры:
Р = тТк
ка, очевидно, зависит от типа газа и от
его количества в установке. Однако все
графики пересекают ось температуры
в одной и той же точке. Эта точка со-
ответствует температуре — 273,15 °C,
которую принимают за нуль на абсо-
лютной шкале.
Вопрос 12-7
Означают ли приведенные на графи-
ках экспериментальные данные, что
давление газа при абсолютном нуле
температуры равно нулю?
Если изменить шкалу на температур-
ной оси на абсолютную, то давление бу-
дет пропорционально температуре: р~
~ Т. Очевидно, что абсолютная шкала
температуры гораздо более удобна, ког-
да приходится рассматривать поведение
газов. Эта абсолютная шкала темпера-
туры совпадает с температурной шка-
лой Кельвина. В СИ единицей темпера-
туры является кельвин. Единица темпе-
ратуры обозначается просто К, а не °К.
Например, температура кипения воды
при нормальном давлении на уровне
моря равна 373,15 К.
С помощью экспериментального
устройства, показанного на приводимом
рисунке, можно поддерживать неиз-
менным давление газа и измерять зави-
симость его объема от температуры. На
следующем рисунке приведены соответ-
ствующие графики для нескольких раз-
личных газов. Снова обратите внимание
Гибкую трубку со ртутью можно поднимать
или опускащ для поддержания величины
Др неизменной
Зависимость объема от температуры, прямые
А, В, С — для определенного количества трех
разных газов
на то, что наклон графиков зависит от
количества и типа газа в установке. Все
графики пересекают ось температуры
в том же самом месте при — 273,15 °C
Соответственно можно написать, что
V пропорционально Т.
Соотношения между р, V и Т для газа
названы именами различных ученых
Закон Бойля — Мариотта: pV = const
при постоянной температуре (Роберт Бойль
(1627-1691)).
287
Закон Шарля: р ~ Т при постоянном
объеме (Жак Шарль (1746—1823)). Закон
Шарля называется также законом Гей-Люс-
сака (Жозеф Гей-Люссак {1778 —1850)).
Поскольку р~ Т и V ~ Т, то pV про-
порционально Т. Коэффициент пропор-
циональности должен как-то зависеть
от типа газа и от его количества. В 1811
году Авогадро предположил, что одина-
ковые объемы газа (любого типа) при
одинаковом давлении и температуре
должны содержать равные количества
молекул газа. В следующей главе мы
увидим разумность гипотезы Авогадро.
Если мы примем ее и обозначим число
молекул газа через N, тогда уравнение
должно выглядеть так: pV = NkT Коэф-
фициент пропорциональности к назы-
вается постоянной Больцмана и служит
для согласования единиц. Если давление
задается в ньютонах на квадратный
метр (называемых также паскалями),
объем — в кубических метрах, А — без-
размерное число молекул газа, а Т— в
кельвинах, то постоянная Больцмана
равна 1,38-10“23 Дж/К.
Неудобство этой формы газового за-
кона заключается в том, что не так-то
просто сосчитать число молекул газа,
с которым проводится опыт. Вместо
этого количество газа выражают через
его массу или объем. Результаты мно-
гих различных опытов показывают, что
один грамм атомов водорода (при усло-
вии, что мы можем не давать им
объединяться в молекулы) содержит
6-1023 атомов. Два грамма молекул во-
дорода в обычном состоянии этого газа
содержат 6-Ю23 молекул. Двенадцать
граммов атомов углерода содержат
6-1023 атомов углерода. Тридцать два
грамма молекул кислорода в газообраз-
ном состоянии содержат 6- Ю23 молекул
кислорода. Это специфическое число,
6-1023, называется молем. Один моль
молекул имеет массу в граммах, равную
молекулярной «массе» молекулы. Вме-
сто того чтобы пересчитывать от-
дельные молекулы, их количество обыч-
но измеряют в единицах очень большо-
го числа, называемого молем:
N = и молей = п • (6 • 1023).
Газовый закон тогда записывается так:
PV = nRT.
п = 3 моля молекул, N = (6  102а) п = 18 • 1023
молекул
Новый коэффициент пропорционально-
сти R, который называется универсаль-
ной газовой постоянной, должен рав-
няться (6-1023)/с = 8,314 Дж/(моль-К).
Вопрос 12-8
Согласно газовому закону, если по-
местить в литровые банки по одно-
му молю молекул водорода и кис-
лорода при одинаковых температу-
рах, то давление в обеих банках бу-
дет одинаковым. Как это может
быть? Разве масса кислорода не
будет больше массы водорода? Не
будут ли тяжелые молекулы кисло-
рода производить большее давление,
чем более легкие молекулы водо-
рода?
Число молей любого газа можно най-
ти, поделив массу этого газа на его
молярную массу:
масса газа в граммах
молярная масса
= число молей.
Еще одна величина, которую полез-
но запомнить, — это объем, занимаемый
одним молем газа при нормальных тем-
пературе и давлении. Вычислим этот
объем. Нормальная температура — это
0 °C, что равно 273,15 К. Нормальное ат-
мосферное давление равно 1,01 • 105
Н/м2. Подстановка этих значений
288
в уравнение состояния газа дает
pV= nRT.
(1,01-105 Н/м2)У=
= 1 моль-(8,3 Дж/моль-К)-273,15 К,
У =22,4-10 ' м3.
Объем одного моля газа при нор-
мальных температуре и давлении равен
22,4-10“3 м3, что равно 22,4 л.
Посмотрим, сколько молекул возду-
ха содержится в обычной жилой комна-
те при комнатной температуре. Объем
спальни размером 10 х 12 х 8 фут3
составляет примерно 3 х 4 х 2,5 м3 %
«30 м3. Подставляя это значение в
уравнение состояния газа, получаем
pV= NkT,
(1,01-105 Н/м2)-30 м3 =
= N -(1,38- IO 23 Дж/К)-293 К,
N = 7,5 • 1026 молекул.
Число молей равно
7,5  1026 молекул
6-1023 молекул/моль
При нормальных температуре и давле-
нии 1,25  103 молей займут объем
(1,25- 103 молей)  (22,4 • 10 3 м3/моль) =
= 28 м3. Объем, занимаемый при ком-
натной температуре, будет равен
(28 м3 • 293 К)/(273 К) = 30 м3 - то же
самое значение, с которого мы начали
расчеты. Кстати, моль азота имеет
массу 28 г. Поэтому масса воздуха в
такой спальне будет около (1,25 • 103 мо-
лей) • (28 • 10 '3 кг/моль) = 35 кг. Воздух
в вашей спальне весит всего вдвое
меньше, чем вы сами!
Рассмотренный нами газовый закон
носит название уравнения состояния
идеального газа. Эго хорошая аппрокси-
мация поведения реальных i азов при ус-
ловии, что они находятся при низком
давлении и температуре, которая суще-
ственно выше температуры конденса-
ции. В следующей главе мы увидим, по-
чему для реальных газов приходится
вносить поправки. Пока обратите вни-
мание на то, почему в термометрах
удобно использовать способность газов
к расширению: справедливы линейные
соотношения между р и Т при постоян-
ном объеме и между Ии Г при постоян-
ном давлении. Для жидкостей
и твердых тел эти соотношения никогда
не бывают строго линейными и, более
того, эффект различен для каждого ве-
щества. А вот очень многие газы удов-
летворяют этому простому закону, по
крайней мере при низком давлении, и,
как мы увидим в следующей главе, их
теория является относительно простой.
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
НА ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ЖИДКОСТИ
Как мы уже видели, обычно твердые
тела и жидкости расширяются при уве-
личении температуры. (Газы при увели-
чении температуры всегда расширяют-
ся.) Расширение не является линейным
по температуре, но для малых измене-
ний температуры относительное увели-
чение объема приближенно выражается
следующей формулой:
АУ
Постоянная 0 зависит от типа вещества
через реку Гудзон, сделанные с учегом теп-
лового расширения
= 5 РАТ
10 Кл Э Cyopu, I I
289
и, в определенной степени, от темпера-
туры. В таблице приведены значения
Р для ряда обычных веществ при раз-
личных температурах. Заметьте, что
у ртути относительно большой темпера-
турный коэффициент объемного расши-
рения, по крайней мере среди металлов,
что и делает ее удобной для использо-
вания в термометрах.
Температурный коэффициент объемного
о	1
расширения р = — •
Вещество	Температура, К	
Алюминий	25	1,5
	293	69
	600	85
Углерод (графит)	100	0,15
	293	3,0
	600	9,0
Медь	25	1,8
	293	50
	600	57
Железо	25	0,6
	293	36
	600	45
Свинец	25	43
	293	86
	500	96
Ртуть (твердое тело)	100	111
Ртуть (жидкость)	273 — 573	180
Плавленый кварц	23	— 2
(некристаллический	293	1,2
SiO2)	600	1,8
Вода (твердое тело)	73	1,8
	173	93
	273	167
Вода (жидкость)	277-373	430
В общем, однако, температурные
коэффициенты расширения твердых тел
очень малы. Для железа повышение
температуры на 1 °C увеличивает его
объем всего на 36 миллионных. Длина
железного стержня при этом изменится
только на одну треть от этой величины.
Рассмотрим, однако, изменение от зимы
к лету длины стального моста, кото-
рый протянулся на 1000 футов. Изме-
нение температуры может составить
50 °C, что приведет к изменению длины
моста, выражаемому множителем
12  10“ 6 • 50 °C = 6  10 4. Тысячефутовый
мост при этом увеличится по длине на
1000 фут-6-10'4 = 0,6 фут, что прибли-
зительно равно 7 дюймам. Если в про-
екте не было предусмотрено, чтобы не-
290
которые балки и плиты могли сколь-
зить друг по другу, то мост изогнется.
Та же проблема существует и для
длинных железнодорожных рельсов.
В повседневной жизни домашним хо-
зяйкам хорошо известно, что крепление
металлических крышек на стеклянных
банках можно иногда ослабить, поливая
крышки горячей водой. Расширившиеся
металлические крышки не так крепко
держатся на стеклянной резьбе.
Твердые тела и жидкости не всегда
сжимаются при уменьшении темпера-
туры. Чтобы наблюдать исключение из
правила, нужно всего лишь воспользо-
ваться морозильной камерой в вашем
холодильнике. Вода при замерзании
расширяется. Более того, расширение
наблюдается и до того, как фактически
начинается замораживание. На графике
показана зависимость объема воды от
температуры для небольшого интервала
около 0 °C. Как видно, вода имеет мак-
симальную плотность при температуре
4 °C. Как и многие другие связанные
с водой явления, это свойство оказы-
вается благоприятным для жизни на
Земле. Когда в зимнее время водоем ох-
лаждается, холодная вода опускается на
дно до тех пор, пока ее температура не
приблизится к 4 °C. По мере дальнейше-
го понижения температуры более хо-
лодная вода поднимается к поверхно-
сти, где и замерзает, так что лед
располагается сверху, в то время как на
дне водоема остается вода, поддержи-
вая таким образом там, в тине, разные
формы жизни. Наконец, экстрава-
гантные коктейли потеряли бы боль-
шую часть своего очарования, если бы
кубики льда опускались на дно. Кстати,
большинство веществ в твердом состоя-
НИИ тонут в своих жидкостях. Другой
пример исключения из этого правила
представляет висмут (металлический
элемент).
Вопрос 12-9
Процентное изменение объема твер-
дого тела при изменении темпера-
туры на 1 °C очень невелико. Каково
примерно процентное изменение
объема воды при ее превращении
в лед? Ответ на этот вопрос можно
получить двумя путями: а) заметьте
уровень льда в ванночке для приго-
товления льда после того, как вся
вода замерзнет; б) рассчитайте от-
ношение плотностей льда и воды,
наблюдая, какая часть объема пла-
вающего кубика льда находится
над водой.
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
ВЕЩЕСТВА В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Обычно мы представляем себе желе-
зо как твердое тело, спирт как жид-
кость, а кислород как газ. Такое пред-
ставление основано на человеческих
представлениях о нормальных темпера-
турах. Большинство веществ при опре-
деленных температурах и давлениях мо-
гут находиться и в твердом, и
в жидком, и в газообразном состояниях.
Наиболее знакомое вещество, которое
может существовать во всех трех фазах
в привычных для человека интервалах
температуры и давления, — это вода.
В качестве других примеров можно при-
вести бензол и. р-дихлорбензол (нафта-
лин). В таблице приведена температура
кипения и плавления ряда веществ при
атмосферном давлении.
Заметьте, что водород превращается
в жидкость при 20,4 К и замерзает при
14 К. Жидкий водород обычно исполь-
зуется в качестве мишени для пучков ча-
стиц высокой энергии при исследовании
субатомных частиц. Гелий также можно
превратить в жидкость при 4,2 К, но
превратить его в твердре тело при ат-
мосферном давлении не удается, даже
если температура приближается к абсо-
лютному нулю. Вместо этою при 2,18 К
наблюдается фазовый переход, в ре-
Температура кипения и плавления различных
веществ при атмосферном давлении
Вещество	Точка плавления, °C	Точка кипения, °C
Этиловый спирг	-114	78
Углерод (графи 1)	—	3827
Золого	1063	2700
Гелий	—	-269
Водород	-259	-253
Свинец	327	1737
Ртуть	-39	357
Азот	-210	-196
Кислород	-219	-183
Сера	119	445
Серная кислота	9	326
Вольфрам	3380	5555
Вода	0	100
зультате которого гелий превращается
в другую жидкость с фантастическими
свойствами. Получается сверхтекучая
жидкость, в которой отсутствует вяз-
корть.
В другом предельном случае, при
очень высоких температурах, обратите
внимание на то, что графит при атмос-
ферном давлении никогда не плавится,
а вместо этого сублимируется, то есть
превращается в газ прямо из твердого
состояния. Вольфрам, из которого изго-
тавливаются нити ламп накаливания,
плавится при 3 653 К и закипает при
5 828 К.
Поскольку и температура плавления,
и температура кипения зависят от дав-
ления, то эту информацию о веществе
лучше всего приводить на графике зави-
симости давления от температуры или
на графике зависимости давления от
объема. На приводимых рисунках пока-
зано несколько таких примеров. На пер-
вом рисунке приведены некоторые ха-
Фазовая диаграмма для воды (в р, Г-коор-
динагах)
10*
291
Ряд характерных температур (в кельвинах)
Адиабатическое размагничива-	~ иг6
ние ядер	
Адиабатическое размагничива-	- I0 3
ние парамагнитных солей	
Точка кипения гелия (1 атм)	4,2 10"
Точка кипения водорода (1 атм)	2,0 10'
Точка кипения кислорода (1 атм)	9,0 10'
Точка кипения воды (1 атм)	3,73 102
Точка плавления свинца	6,00 102
Точка плавления золота	1,336 103
Поверхность Солнца	6,00 103
Солнечная корона	~ 106
Области внутри Солнца	~ 107
Водородно-гелиевый синтез	~ 108
рактеристики воды — наиболее знакомо-
го нам вещества. Сначала найдите обла-
сти существования различных фаз — га-
зообразной, жидкой и твердой. При
давлении 1 атм (1  105 Н/м2) каждая из
трех фаз может существовать внутри
подходящих интервалов температуры.
Например, переход из твердого состоя-
ния в жидкое показан при 273,15 К,
а точка кипения лежит при 373,15 К.
При давлении, меньшем, чем 4,58 мм
рт. ст. (611 Н/м2), жидкая фаза вообще
не может существовать. Ниже это1 о да-
вления лед будет сублимироваться, пре-
вращаясь из твердого тела прямо в газ
Тройная точка воды, в которой все три
фазы могут находиться в равновесии,
используется как основная фиксирован-
ная точка в нашей современной темпе-
ратурной шкале. При давлении 218 атм
(221- 105 Н/м2) и температуре 647 К су-
ществует критическая точка, выше кото-
рой не существует различия между
жидкостью и паром. Следовательно,
там будет отсутствовать теплота паро-
образования.
При давлении ниже 1 атм температу-
ра кипения воды меньше чем 373,15 К,
или 100 °C. Примерные значения тем-
пературы кипения при разном давле-
нии можно найти с помощью графика.
Некоторые из этих значений для раз-
личных высот над уровнем моря приво-
дятся в таблице.
Второй момент, на который следует
обратить внимание, заключается в том,
что кривая между твердым и жидким
состояниями на графике уходит вверх
наподобие шпиля и слегка наклонена
влево (на графике наклон сильно пре-
увеличен). При увеличении давления
температура плавления медленно пони-
жается. Такое поведение характерно для
воды и висмута, которые расширяются
при затвердевании. Увеличив давление
на лед, вы уменьшаете его объем, созда-
вая таким образом предпосылки для
образования воды, которая в этом слу-
чае может существовать в жидком со-
стоянии при немного более низкой тем-
пературе. Широко распространенным
заблуждением является мнение, что это
явление объясняет, почему коньки могут
так легко скользить по льду. Предполо-
жим, что вес, сосредоточенный на ма-
ленькой поверхности лезвия коньков,
Давление и температура кипения воды
иа различной высоте над уровнем моря
Высота, км	Давле- ние, атм	Давление, 104 Н/м2	Темпе- ратура кипения, С
Уровень моря	1	10	100
1	0,89	9,0	96,4
1,5 (Денвер)	0,83	8,5	94,6
2	0,78	8,0	92,8
4	0,61	62	86.4
8 (Эверест)	0,3 S	3,6	72,8
15 (шлейф от «Конкорда»)	0,12	1,2	49,6
оказывает такое большое давление, что
лед моментально плавится, обеспечивая
почти полное отсутствие трения в смеси
воды и льда. Температура плавления
уменьшается всего на 1 °C при увеличе-
нии давления на 1,2 • 107 Н/м2 (120 ат-
мосфер).
Вопрос 12-10
!” Какое давление производится лез-
вием конька конькобежца? Сможет
ли это дополнительное давление рас-
плавить лед?
График зависимости давления от
температуры для двуокиси углерода
в некоторых отношениях кардинально
отличается от подобного графика для
воды. Наклон линии сосуществования
твердого и жидкого состояний положи-
телен; это является нормальным для
большинства веществ. В твердой фазе
вещество более плотное, чем в жидкой
фазе Но важнейший фактор, опреде-
292
Фазовая диаграмма для двуокиси углерода
(в р, Т-коордииатах)
ляющий поведение СО2, очевиден из
значений параметров в тройной точке.
Для СО2 эта точка расположена при —
— 56,6 °C и 5,1 атм. При обычных тем-
пературах и давлениях жидкая фаза не
может существовать. В твердой фазе
СО2 — это сухой лед. Если вам прихо-
дилось держать в руках сухой лед, то
вы знаете, что он имеет очень низкую
температуру и не плавится. Вместо это-
го он сублимируется прямо в газообраз-
ную форму.
На отдельном графике показана за-
висимость давления воды от объема.
При температурах выше чем 647 К р, V-
Фазовая диаграмма для воды (в р, У-коорди-
натах)
кривые представляют собой гипербо-
лы, что соответствует уравнению состоя-
ния идеального газа: р ~ 1/И Крити-
ческая температура 647 К — та же са-
мая, что и показанная на р, Т-диаграм-
ме. Выше критической температуры не
существует различия между жидкостью
и паром. Если газ сжимать при темпе-
ратуре ниже критической, его давление
будет расти, пока газ не достигнет опре-
деленных значений давления и объема.
Начиная с этого момента при дальней-
шем уменьшении объема давление
остается постоянным. Г аз конденсирует-
ся в жидкость. В конце концов, когда
весь газ превратится в жидкость, р, V-
кривая резко взмывает вверх, поскольку
жидкость почти несжимаема и незначи-
тельное уменьшение объема приводит
к громадному росту давления.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Мы обсудили много различных тем-
пературных эффектов и описали даже,
как изготовить термометры для измере-
ния температуры. И тем не менее мы
по-настоящему пока не дали формаль-
ного определения температуры.
I Вопрос 12-11
Если у вас имеются два непрогра-
дуированных термометра, как опре-
делить, какой из них нагрет больше
другого?
Использование термометра основано
на предположении, что при считывании
показаний термометра, находящегося
в контакте с каким-либо телом, термо-
метр и это тело находятся при одинако-
вой температуре. Это довольно необыч-
ное свойство. Если приводятся в кон-
такт два тела с разными массами, или
с разными объемами, или с разными
плотностями, то при установлении рав-
новесия значения этих величин вовсе не
становятся одинаковыми. Если же два
тела приводятся в контакт таким обра-
зом, что они обмениваются теплом друг
с другом, но изолированы от всех дру-
гих тел, то в конце концов у них устана-
вливается одинаковая температура. Ес-
ли вы вынимаете термометр изо рта
и он показывает 100 °F, го вы принимае-
те, что температура внутри вашего тела
была 100 °F.
Другое специфическое свойство тем-
пературы заключается в следующем: ес-
ли термометры А и В приводят в кон-
такт и у них устанавливается одинако-
вая температура, а затем термометр
А приводится в контакт с термометром
С и при этом не меняет своего показа-
ния, то не только термометры А и С на-
ходятся при одинаковой температуре,
293
но также и термометры В и С. Этот
факт кажется слишком очевидным,
чтобы упоминать о нем. Однако помни-
те, что термометр А может предста-
влять собой термопару, термометр
В может быть ртутным, а термометр
С может быть изогнутой биметалличе-
ской пластинкой. Когда А и В соеди-
няются вместе, разность потенциалов,
создаваемая А, и длина столбика ртути
в В могут изменяться, пока термометры
не придут в равновесие. Если затем
столбик ртути помещается рядом с би-
металлической пластинкой и показания
этих термометров не меняются, то тер-
мопару тоже можно поместить рядом
с биметаллической пластинкой, и снова
ничего не изменится. Это свойство тем-
пературы получило название нулевой за-
кон термодинамики (наука о теплоте).
Вопрос 12-12
Предположим, что кусок железа
А притягивается к магниту В. Если
В притягивается к другому куску же-
леза С, будет ли А тоже притяги-
ваться к С?
Все, что мы сказали о нулевом зако-
не, сделано с целью определить, что оз-
начает «находиться при одинаковой
температуре». Следующий вопрос вы-
глядит так: откуда мы знаем при'изго-
294
товлении температурной шкалы, что ме-
жду 10 и 11 градусами существует та же
самая разность температуры, что и ме-
жду 90 и 91 градусом? Как мы видели
на с. 285, градус на ртутном термометре
не обязательно совпадает с градусом на
термометре любого другого типа. Рас-
ширение вещества, электрическое сопро-
тивление или разность потенциалов не
являются линейной функцией темпера-
туры или, по крайней мере, линейной
функцией соответствующих изменений
показаний какого-нибудь другого тер-
мометра. Для одного класса веществ су-
ществует, однако, большое единообра-
зие. Графики, показывающие зависи-
мость давления от температуры или
объема от температуры, для всех про-
стых газов почти одинаковы — до тех
пор, пока давление газа невелико. Для
практических нужд можно изготовить
термометр с постоянным объемом, ис-
пользуя газообразный водород при низ-
ком давлении, и предположить, что да-
вление пропорционально температуре.
Это предположение определит в каче-
стве нулевой температуры точку пересе-
чения прямолинейного графика давле-
ния с осью температуры. Если затем
определить, что тройная точка воды на-
ходится при 273,16 К, то температурная
шкала будет полностью задана.
Существуют два теоретических со-
ображения по поводу того, почему тер-
мометр этого типа является пра-
вильным индикатором температуры.
Во-первых, как мы увидим в следующей
главе, простая теория микроструктуры
газов дает удовлетворительное объясне-
ние того, почему давление газа пропор-
ционально температуре. Между прочим,
эта теория позволит также дать другую
интерпретацию физического смысла
температуры.
Существует вторая теоретическая ин-
терпретация температуры, с которой мы
также познакомимся в следующей гла-
ве. Это объяснение, которое будет осно-
вано на втором законе термодинамики,
не зависит от какого-либо конкретного
термометра и, таким образом, ,от
свойств какого-либо конкретного веще-
ства. Эта термодинамическая шкала
температуры согласуется с температура-
ми, измеряемыми газовым термоме-
тром постоянного объема при низких
давлениях газа.
Существует еще одно дополнитель-
ное требование, которое нужно учиты-
вать при определении физического смыс-
ла показаний термометра. Мы можем
приписать системе определенное значе-
ние температуры, только если система
находится в равновесии сама по себе и со
своим окружением. Если взять кубик
льда из холодильника и опустить его
в стакан с водой, то температура си-
стемы не будет равна О °C. Как с точки
зрения реального экспериментального
факта, так и с теоретической точки зре-
ния понятие температуры для такой си-
стемы не имеет смысла. Если, однако,
поместить лед и воду в изолированный
стакан с термометром и помешивать
смесь до тех пор, пока показания термо-
метра не будут оставаться неизменными
в течение некоторого времени, тогда
системе можно сопоставить темпера-
туру. Аналогично, если газ в цилиндре
неожиданно расширяется, то для него
нельзя определить ни давление, ни тем-
пературу до тех пор, пока не затухнут
ударные волны и не установится равно-
весие по всему цилиндру.
Не всегда просто решить, действи-
тельно ли система находится в равнове-
сии. Вопрос заключается в сравнении
промежутка времени, в течение которо-
го в системе происходит термическое
перемешивание, с промежутком времени,
необходимым для разрушения равнове-
сия. Например, можно говорить о тем-
пературе воды в стакане, которая мед-
ленно поднимается от О °C до комнат-
ной температуры. В течение короткого
промежутка времени, необходимого для
перемешивания воды и снятия показа-
ний термометра, температура остается
примерно постоянной и одинаковой по
всему стакану.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Мы начали эту главу с вопроса, куда
девается энергия, которая кажется исче-
зающей в результате трения. Ответ за-
ключался в том, что «потерянная» энер-
гия изменяет свойства вещества точно
так же, как и нагревание его на огне. Во
многих случаях (но не во всех) изме-
ненные свойства могут быть охаракте-
ризованы в терминах температуры ве-
щества.
Вопрос 12-13
Если энергия поступает в вещество,
неважно, от пламени или в результа-
те трения, то всегда ли при этом
температура возрастает?
Явления, которые мы изучали,
и определение, что тепло есть поток
энергии, могут быть объединены
в первый закон термодинамики:
2 = A + MJ,
тепло, передаваемое системе = работа,
совершаемая системой + изменение
внутренней энергии системы. Этот закон
в действительности представляет собой
утверждение о сохранении энергии вме-
сте с требованием, что энергия может
быть заключена внутри вещества. Тепло
Q — это энергия, переходящая от более
нагретой системы к менее нагретой. Это
не количество энергии, которое может
быть накоплено в системе, в которую
оно поступает. Часть тепловой энергии
может быть немедленно превращена
в работу. Остальное превращается во
внутренние формы, измеряемые величи-
ной Д1Л
Символом Q обозначено количество
теплоты, поступающей в систему. Еди-
ницей количества теплоты может слу-
жить джоуль, хотя часто для тепловой
энергии используется специальная еди-
ница, называемая калорией. Калория
приближенно равна количеству теплоты,
необходимому, чтобы поднять темпера-
295
туру 1 грамма воды на 1 градус Цель-
сия. Настоящее определение таково: 1
калория = 4,1840 джоулей. Килокалория,
которая равна 4184 джоулей, представ-
ляет собой количество энергии, необхо-
димой для того, чтобы поднять темпе-
ратуру 1 килограмма воды на 1 градус
Цельсия. Калории продуктов питания,
в которых многие стараются себя огра-
ничить, в действительности предста-
вляют собой килокалории.
Второй член в формуле первого за-
кона (Л) учитывает тот факт, что посту-
пающее в систему тепло может совер-
шать работу над внешними телами
независимо от того, хотим мы этого
или нет. Например, при нагревании газ
может расширяться, толкая поршень
и таким образом перемещая в про-
странстве точку приложения действую-
щей на него силы. Если объем любого
Д1’ = 5Дх, р = F/S, А = FAx --
— (pS)(AV/S) = pAV (где F — средняя сила,
р — среднее давление)
вещества увеличивается на AV, то совер-
шаемая при этом работа равна рАИ где
р — среднее давление, оказываемое ве-
ществом при расширении. Для тела, на-
греваемого на открытом воздухе, р бу-
дет просто равно атмосферному давле-
нию. Соотношение между FAx и рДИ
показано на рисунке. В большинстве
случаев для твердых тел или жидкостей
AV настолько мало, что совершаемой
при увеличении объема работой при ат-
мосферном давлении можно пренебречь.
Однако, рассчитывая эффекты нагрева-
ния газа, необходимо учитывать воз-
можность того, что на совершение рас-
ширяющимся газом работы будет из-
расходована основная часть поступаю-
щей тепловой энергии.
Третий член в формуле первого за-
кона термодинамики (AU) относится
к изменению внутренней энергии си-
стемы. Заметьте, насколько остроумно
учитывается исчезновение тепловой
энергии. Считается, что за исключением
энергии, немедленно превращающейся
в работу, вся остальная энергия запа-
сается в форме измененных характери-
стик вещества, включая любое измене-
ние температуры. Внутренняя энергия
системы может быть функцией несколь-
ких переменных, включая плотность си-
стемы, напряженность магнитного и
электрического полей и температуру.
У идеального газа внутренняя энергия
зависит только от температуры.
Если вначале система находится
в некотором состоянии (определенные
давление, температура и т. д.), а затем
к ней подводится и от нее отводится теп-
ло, а также совершается работа, как
самой системой, так и над ней, то систе-
ма обязательно вернется в исходное со-
стояние, если суммарное значение
Q — А = 0 независимо от того каким
образом подводится к системе тепло и
каким образом совершается работа. Ве-
личина AU не зависит от деталей или
последовательности происходящих из-
менений, а только от суммарного значе-
ния величины Q — А. Это означает, что
В начале и в конце процесса газ имеет оди-
наковые температуру, давление и объем, если
(Q — А) = О. Следовательно, AV = 0
U обладает свойствами функции потен-
циальной энергии. Как и в случае лю-
бой другой потенциальной энергии, ее
нулевое значение можно выбрать про-
извольно, исходя из соображений удоб-
ства Физический смысл имеет только
изменение энергии AU.
Когда определялась потенциальная
энергия упругой пружины или энергия
тяготения, это делалось таким образом,
чтобы кинетическая энергия могла пре-
296
вращаться в потенциальную и обратно.
Будет ли это справедливо и для вну-
тренней энергии? Если тепло поступает
в систему и при этом не совершается
никакой работы, то будет ли увеличение
внутренней энергии AU происходить та-
ким образом, чтобы AU могло быть
превращено в полезную работу? Воз-
можность этого определяется тем, как
вы собираетесь использовать энергию.
Если вы подводите тепло к грелке с го-
рячей водой, го практически вся тепло-
вая энергия превращается во внутрен-
нюю энергию воды. (Заметьте, что
тепло не содержится в воде; Q превра-
тилось в AU.) Эту внутреннюю энергию
можно полностью вернуть обратно
в виде освобождающегося тепла, для
того чтобы греть ноги. Однако, как мы
увидим в следующей главе, если тепло
переходит во внутреннюю энергию па-
рового котла, то только часть запасен-
ной энергии может быть использована
для совершения работы.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ -
ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПРИ ПОСТУПЛЕНИИ ТЕПЛА
Обычно, когда говорят, что какое-
либо тело нагревается, имеют в виду,
что поднимается его температура. Если
добавить 1 ккал в ванну с водой, то уве-
личение температуры будет неза-
метным. Если добавить 1 ккал в стакан
с водой (около 200 г воды), то темпера-
тура поднимается примерно на 5 °C. Ес-
ли сообщить 1 килокалорию 200 г свин-
ца, то его температура поднимется на
164 °C. Если сообщить 1 ккал 200 г льда,
взятого при 0 °C, то температура вооб-
ще не повысится, но часть льда растает.
/Т' килокалория |
7 килокалория |
Вода
200a . г
А Г 5 С
Свинец
200 a
А7~^№4°0
Мы рассмотрим эти явления для трех
разных случаев: во-первых, когда обмен
теплом между системами приводит
только к небольшим изменениям темпе-
ратуры; во-вторых, когда наблюдаются
огромные изменения температуры, для
которых, как мы увидим, существуют
некоторые замечательные закономерно-
сти в поведении разных веществ; в-
третьих, когда газ нагревается при та-
ких условиях, что может совершать ра-
боту.
Смешивание систем с мало различаю-
щимися температурами. Если предполо-
жить, что при нагревании системы не
совершается никакой работы, то Q =
= ДС. В небольших интервалах темпе-
ратуры, при условии, что нет фазовых
переходов, изменение внутренней энер-
гии пропорционально изменению темпе-
ратуры: AU ~ ДТ и поэтому Q ~ ДЕ
Коэффициент пропорциональности дол-
жен зависеть от типа вещества и ог его
количества в системе. Количество веще-
ства можно охарактеризовать ею мас-
сой. Тогда вместо пропорциональности
получаем равенство Q = стЛТ Коэффи-
циент пропорциональности с называется
удельной теплоемкостью вещества. Ее
значение остается примерно посто-
янным в небольших температурных ин-
тервалах, хотя мы и встретимся с при-
297
Зависимость теплоемкости воды oi 1смие-
ратуры
мерами, когда эта «постоянная» не яв-
ляется постоянной.
В качестве примера на рисунке
приведена зависимость теплоемкости
воды от температуры. От 0 до
100°С ее значение меняется меньше чем
на 1%.
В таблице приведены значения с для
нескольких обычных веществ в интерва-
ле от 0 до 100 °C. Использованные еди-
ницы теплоемкости произведены от еди-
ниц, которые обычно используются для
Удельная теплоемкость некоторых веществ
в интервале температур от 0 до 100 °C
Вещество	Удельная теггтоемкость с кал/(г °C) или ккапДкг °C)
Алюминий	0,215
Углерод (графит)	0,121
Медь	0,0923
Серебро	0,0564
Вольфрам	0,0321
Свинец	0,0305
Вода	1,000
изменение температуры
ДТ=
Q
ст
1 ккал
[1 ккал/(кг  °C)] -200 кг
= — °C.
200
С другой стороны, масса 200 см3 воды
равна 200 г. Изменение температуры
в этом случае
1 ккал	„„
Д7=_________________________= 5 С.
[1 ккал/(кг-°C)]-0,2 кг
Для 200 г свинца изменение темпера-
туры
1 ккал
ДТ=-----------------------------=
[0,0305 ккал/ (кг • °C)]  0,2 кг
= 164 °C.
Как мы видели в «Знакомстве с явле-
ниями», во время изменения фазового
состояния подвод тепла не сопрово-
ждается изменениями температуры. По-
ка лед тает, он остается при 0°С; пока
вода кипит, ее температура остается
равной 100 °C. Энергия, необходимая
для того, чтобы расплавить 1 г веще-
ства, называется удельной теплотой пла-
вления. Для воды удельная теплота пла-
вления равна 80 кал/г. Удельной
измерения других величин, входящих
в это равенство: калория на грамм на
градус Цельсия (кал/г-°С).
Вопрос 12-14
Познакомьтесь
ний удельной
чему в грелках
воду?
с таблицей значе-
теплоемкости. По-
обычно используют
Теперь можно увидеть, почему
1 ккал вызывает разные изменения тем-
пературы у разных веществ. В ванне
с водой может быть 200 кг воды;
298
теплотой парообразования называется
энергия, необходимая для превращения
в пар 1 г жидкости. Для воды при ат-
мосферном давлении удельная теплота
парообразования составляет 540 кал/г.
Заметьте, насколько теплота парообра-
зования больше теплоты плавления.
Очевидно, что внутренняя энергия 1 г
пара очень велика по сравнению с вну-
тренней энергией 1 г воды. Вот почему
«живой» пар может вызывать такие серь-
езные ожоги. Чтобы превратить 1 г
льда в воду при 0 °C, требуется 80 кал;
чтобы нагреть 1 г воды от 0°С до
100°C, нужно 100 кал; затем необхо-
димы еще 540 кал, чтобы превратить
его в пар. Сравните эти значения, ис-
пользуя найденное вами в «Знакомстве
с явлениями» время, необходимое для
превращения льда в пар.
Удельная и молярная теплота плавления
и парообразования при атмосферном давлении
Вещество	Удельная и молярная теплота плавления			Удельная и молярная теплота паро- образования		
	кал	Дж г	Дж	кал г	Дж г	Дж моль
			моль			
Гелий		—		5,0	21	5,0
Водород	14	59	30	108	452	226
Этиловый спирт	25	104	2,3	204	854	18,6
Азот	6,2	26	0,9	48	201	7,2
Кислород	3,4	14	0,4	51	213	6,7
Ртуть	2,9	12	0,06	65	272	1,4
Вода	80	333	18,5	539	2256	125
Свинец	6,0	25	0,12	208	871	4,2
Золото	15,5	65	0,33	378	1580	8,0
Сера	9,1	38	1,19	78	326	10,2
В таблице приведены значения
удельной и молярной теплоты плавле-
ния и парообразования для некоторых
веществ. Обратите внимание на то, что
всегда требуется больше энергии, чтобы
превратить вещество из жидкости в пар,
чем из твердого тела в жидкость. Не-
большая часть теплоты парообразова-
ния Идет на работу по расширению ве-
щества при превращении его из жидкой
в газообразную форму. Для большин-
ства веществ объем газа примерно
в 1 000 раз больше объема жидкости, из
которой он образовался. Если кипение
происходит при атмосферном давлении,
то работа, совершаемая при расшире-
нии, равна рАИ Объем, занимаемый 1 г
водяного пара при 100 °C и атмосфер-
ном давлении, равен 1,7• 10-3 м3. Объем
1 г воды равен всего 1 • 10 6 м3. Атмос-
ферное давление составляет 1,01 • 105
Н/м2. Поэтому работа, необходимая
для расширения, равна
рАГ =
= (1,01 • 105 Н/м2) • (1,7 • 10"3 м3) =
= 170 Дж = 41 кал.
Остальные 499 кал/г, входящие в удель-
ную теплоту парообразования, необхо-
димы для того, чтобы освободить воду
из жидкого соетояния и превратить ее
в газ. В следующей главе будет развита
молекулярная модель для этих явлений.
Хорошо известно, что, смешав горя-
чую и холодную воду, вы получите теп-
лую воду. Очевидно, что некоторая часть
внутренней энергии горячей воды пре-
вращается в часть внутренней энергии
холодной воды. Тепло, отданное горя-
чей водой, равно теплу, полученному
холодной. Равенство отданного и полу-
ченного количества теплоты справедли-
во при любом смешивании. Рассмотрим
несколько примеров.
1.	100 г воды при 95 °C смешивают-
ся с 50 г воды при 10 °C:
ботдан Qno.iy'i,
[1 кал/(г-°C)] • 100 г(95°С—Тк) =
= [1 кал/(г • °C)] • 50 г-(Тк—10°С),
9500 - 100Тк = 50Тк - 500,
150Тк= 10000,
ТК = 66,7°С.
2.	100 г алюминиевого порошка
при 95 °C смешиваются со 100 г воды
при 10 °C:
ботдан Сполуч,
[0,217 кал/(г • °C)] • 100 г • (95 °C - Тк) =
= [1 кал/ (г • °C)] • 100 г • (Тк - Ю °C),
2062 - 21,7ТК = 100Тк - 1000,
Тк = 25 °C.
Вопрос 12-15
Предположим, что вы проводите та-
кой эксперимент: 100 г алюминиевых
опилок помещаются в кипящую воду
и выдерживаются там до тех пор,
299
пока не появится уверенность, что
алюминий нагрелся до 100°C. Затем
кипящая вода сливается, а 100 г алю-
миния смешиваются со 100 г воды,
взятой при 10 °C. Оказывается, что
конечная температура смеси вовсе не
будет совпадать с результатами про-
стого расчета. Почему?
3.	100 г алюминия при 500 °C сме-
шиваются со 100 г льда при 0°С:
ботцан бполуч,
[0,217 кал/(г °C)]  100 i • (500 °C - Тк) =
= (80 кал/г) •100 г +
+ [1 кал/(1 • °C)] 100 г • (Тк - 0 °C),
10,850 - 21,7ТК = 8000 + 100Тк,
Тк = 23 °C.
Во всех этих экспериментах с обме-
ном теплом предполагается, что тепло
не передается окружающим телам и не
не получается от них. Смешивание дол-
жно происходить в закрытом калориме-
тре (изолированный сосуд). Ниже будут
рассмотрены потоки тепла и способы
теплоизоляции. В простых эксперимен-
тах с обменом теплом в качестве кало-
риметров можно с успехом использо-
вать обычные кофейные чашки с пено-
пластовыми изолирующими крышками,
при условии, что смешивание веществ
и установление температурного равно-
весия происходят быстро.
Регулярности и нерегулярности значе-
ний удельной и молярной теплоемкостей.
Приведенные выше значения удельных
теплоемкостей меняются в широком
диапазоне без какого-либо видимого
единообразия. У воды очень большая
удельная теплоемкость по сравнению
с любым другим обычным веществом,
а у большинства металлов удельная те-
плоемкость очень мала. В середине XIX
века Дюлонг и Пти заметили, что в ха-
рактере теплоемкости большинства эле-
ментов в твердом состоянии все-таки
существует определенная закономер-
ность. В приводимом графике обратите
с,кал/(г-С°)
1,0 -
Z7,8 Г
0,5
0,А-
0,2 -
у Литий
\ Алюминий Иол и о йен
'•^Железо I Барий Золото
—1___I------------н- -*<-1 Jtt-- |_
10 20 30 W 50 60 70 30 90
Атомный номер
внимание на то, что у металлов с не-
большими атомными номерами удель-
ная теплоемкость велика, а у металлов
с большими атомными номерами — ма-
ла. Если удельную теплоемкость, изме-
ренную в калориях на грамм на градус
Цельсия (кал/(г • °C)), умножить на мо-
лярную массу металла, го получающее-
ся число будет равно примерно 6. Ум-
ножая на молярную массу, мы в дей-
ствительности находим молярную те-
плоемкость — количество калорий, необ-
ходимое для того, чтобы увеличить
температуру 1 моля вещества на 1 °C.
Например для алюминия, удельная те-
плоемкость которого равна 0,217
кал/(г-.°С), а молярная масса равна
27 г/м оль, молярная теплоемкость
равна 0,217 кал/(г °C) 27 г/моль =
= 5,9 кал/(моль-°С).
В таблице приводятся молярные
теплоемкости для ряда веществ.
Молярная теплоемкость некоторых твердых тел
н жидкостей при комнатной температуре
Вещество	Молярная 1еплоемкосгь, кал/(моль °C)	Молярная теплоемкость, Дж/(моль °C)
Алюминий	5,82	24,4
Углерод (графи i)	1,46	6,1
Медь	5,85	24,5
Свинец	6,32	26,4
Серебро	6,09	25,5
Вольфрам	5,92	24,8
Уран	6,7	28,0
Вода	18,0	75,3
Бром	18,1	75,7
Ргуть	6,69	28,0
300
Всегда, когда в природе встречается
какая-либо регулярность, мы подозре-
ваем, что для этого существует опреде-
ленная причина. Когда мы впервые
предположили, что Q ~ АТ. мы отмети-
ли, что коэффициент пропорционально-
сти должен зависеть от типа вещества
и от количества вещества в образце. За-
тем было сказано, что количество веще-
ства может быть определено его мас-
сой. Другая возможность описать коли-
чество вещества — это задать число мо-
лекул в системе. Когда берется моль
вещества, то используется 6 1023 ато-
мов (или молекул). Таким образом, мо-
лярная теплоемкость — это число кало-
рий, необходимых для нагревания
1 моля вещества на 1 °C. Похоже, что
для веществ с одинаковой основной
структурой, например для металлов, су-
ществует простое соотношение между
энергией на моль (или на один атом)
и температурой.
Вопрос 12-16
Какова теплоемкость металлов
в расчете на один атом? Вы получи-
- те значение в калориях на атом на
градус Цельсия. Поскольку это до-
вольно неудобные единицы измере-
ния для атомных систем, умножьте
полученное значение на 4,17 джоулей
на калорию с целью выразить ответ
в джоулях на атом на градус Цель-
сия. Затем поделите результат на
1,6  10“19 джоулей на электрон-вольт,
чтобы выразить его в более подходя-
щих для атома единицах — электрон-
вольтах на атом на градус Цельсия.
Какой внутренней энергией обладал
бы каждый атом, если бы теплоем-
кость оставалась постоянной в ин-
тервале от 0 К до комнатных темпе-
ратур порядка 300 К?
Между прочим, только что подме-
ченные закономерности в теплоемко-
стях металлов выполняются только при
комнатной температуре, причем для
легких металлов даже и не очень хоро-
шо. Теплоемкость вещества не остается
постоянной, а зависит от температуры.
На графике показаны зависимость мо-
лярной теплоемкости от температуры
для различных веществ. Очевидно, что
то, что происходит на уровне микро-
структуры веществ, оказывается про-
стым только в первом приближении, но
немедленно усложняется при более вни-
мательном рассмотрении. Мы попы-
таемся объяснить как основные законо-
мерности, так и исключения из них
в следующей главе, где будет рассмо-
трена определенная модель микрострук-
туры.
У теплоемкостей газов также наблю-
дается и единообразие, и различия.
В таблице приводятся молярные те-
плоемкости для нескольких различных
газов.
Молярная теплоемкость (азов при
комнатной температуре
Тип газа	Газ	калЛмоль  К)	кал /(м оль • К)	D L U кал/(моль • К)	и
Одно-	Не	4,97	2,98	1,99	1,67
атом- ный	Аг	4,97	2,98	1,99	1,67
Двух-	Н2	6,87	4,88	1,99	1,41
атом-	°2	7,03	5,03	2,00	1,40
ный	n2	6,95	4,96	1,99	1,40
	С12	8,11	6,15	1,96	1,32
	НС1	6,45	5,00	1,45	1,29
Мно-	со2	8,83	6,80	2,03	1,30
го-	so2	9,65	7,50	2,15	1,29
а ЮМ-	NH3	8,80	6,65	2,15	1,31
ный	с2н6	12,35	10,30	2,05	1,20
Газы сгруппированы по принципу,
являются ли они одноатомными, двух-
атомными или многоатомными. Обрати-
те внимание на единообразие внутри ка-
ждой группы. Заметьте также, что мо-
лярная теплоемкость одноатомных га-
зов составляет почти точно половину
теплоемкости металлов. Приведены зна-
чения теплоемкостей при комнатной
температуре. На графике показана зави-
симость теплоемкости водорода от тем-
301
пературы. Как и у металлов, теплоем-
кость водорода мала при низкой темпе-
ратуре, а затем увеличивается Однако,
вместо того чтобы возрастать быстро
и постоянно, как в случае металлов, те-
плоемкость водорода увеличивается до
некоторого значения, а затем остается
постоянной в небольшом интервале
температур. Атомная модель должна
будет объяснить эти особенности.
Специальные условия для передачи
энергии газам. Все значения теплоемко-
стей, которые были приведены до сих
пор, относились к случаю, когда объем
вещества остается постоянным, таким
образом, работа не совершается, А =
= p&V = 0. Теплоемкость при постоян-
ном объеме следует обозначить через
Су, в отличие от теплоемкости при по-
стоянном давлении ср. Очень трудно по-
лучить экспериментальные значения cv
для твердых тел и жидкостей. Когда теп-
ло поступает в твердый или жидкий
образец, то очень трудно предотвратить
его расширение. Обычно измеряют ср.
К сожалению, при теоретических расче-
тах дело обстоит как раз наоборот Вы-
числить легче Су. Работа, совершаемая
при расширении твердых тел или жид-
костей, приводит только к незначитель-
ной разнице между ср и cv.
Однако в случае газов различие ме-
жду Ср и Су велико. В таблице молярных
теплоемкостей газов приведены значе-
ния обеих величин, а также их разности
и отношения. Обратите внимание, что
отношение ср/су, для которого обычно
используется специальное обозначение
у, имеет характерное значение для ка-
ждого типа молекул. Разность ср — су
имеет примерно одинаковое значение
независимо от типа молекул.
Различие между ср и с у соответ-
ствует дополнительной энергии, которая
302
необходима для расширения газа при
постоянном давлении при увеличении
его температуры на 1 °C.
Вопрос 12-17
Обратите внимание, что величина
Ср — Су примерно одинакова дня всех
газов. Сравните значение и размер-
ность этой величины со значением
и размерностью универсальной газо-
вой постоянной R в уравнении со-
стояния идеального газа
Конечно, энергию можно подводить
к газу таким образом, чтобы он расши-
рялся при изменяющемся давлении Для
анализа, однако, обычно удобно исполь-
зовать предельные случаи, когда либо
давление, либо объем поддерживается
постоянным.
Рассмотрим зависимость р от V для
газов при двух предельных условиях:
во-первых, когда температура поддер-
живается постоянной и, во-вторых, ког-
да газ не может обмениваться теплом
с окружающими телами. Эксперимен-
тальные условия для проведения каждо-
го измерения показаны на рисунках.
В первом случае газ заключен в ци-
линдр с металлическими стенками, ко-
торые могут легко подводить или отво-
дить тепло Когда газ расширяется или
сжимается настолько медленно, чтобы
Большой
резервуар
при постоянной
температуре
Ла*з •

Металла -
ческая
стенка
. Медленное
расширение
Благодаря металлической стенке газ в ци-
линдре имеет постоянную температуру, рав-
ную температуре большого резервуара
Г аз в цилиндре не
обменивается теп-
юм с окружаю-
щими телами
температура оставалась неизменной,
поршень перемещается наружу или
внутрь. Во втором случае цилиндр и пор-
шень должны быть сделаны из хорошо
изолирующего вещества (с пренебрежи-
мо малой теплоемкостью) и расширение
должно происходить настолько быстро,
чтобы тепло не могло поступать к газу
или от газа. В обоих случаях мы позво-
лим газу расширяться и будем строить
график зависимости давления от объе-
ма. Когда температура остается по-
стоянной, р и V связаны простым соот-
ношением pV = nRT. При постоянной
температуре Т это уравнение сводится
просто к pV= const или р = const/И Это
уравнение гиперболы, изображенной в
левой верхней части на р, Идиаграмме.
В большинстве случаев температура
расширяющегося газа будет уменьшать-
ся, а температура сжимаемого газа —
возрастать. Эти явления легко наблю-
дать с помощью велосипедной или ав-
томобильной камеры и насоса. При на-
качивании камеры шланг нагревается;
при выпускании воздуха из камеры
и выходящий воздух, и вентиль будут
казаться холодными.
Каким будет соотношение между
давлением и объемом при расширении
второго типа, когда стенки являются теп-
лоизолирующими? При увеличении
объема и давление, и температура будут
падать. Поэтому нельзя положить pV =
= К. Необходимо аккуратное вычисле-
ние, чтобы показать, что в этом случае
правильное уравнение имеет вид pVyK.
Кривые этого типа показаны на нижней
части р, К-диаграммы, причем как для
одноатомного, так и для двухатомного
газов. Заметьте, что при заданном уве-
личении объема давление падает силь-
нее, чем в случае, когда температура
остается постоянной.
 Дополнительный материал
Вывод соотношения между объемом и да-
влением при адиабатическом расширении
идеального газа
(1)	Q = dU + А
Первый закон термодинамики.
(2)	6 = 0
Адиабатический процесс — обмен теп-
лом отсутствует.
(3)	А = pdV
Давление изменяется, но в небольшом
интервале dV имеет значение р.
(4)	dU = ncydT
У идеального газа внутренняя энергия
зависит только от температуры Т.
(5)	ncydT= — pdV
Получается при учете (1), (2), (3), (4).
(6)	pV=nRT
Уравнение состояния идеального газа.
(7)	pdV + Vdp — nRdT
Дифференцирование (6).
U
(8)	pdV+ Vdp = nR
+ Vdp = 0
Следует из (7) и (5).
(9)	pdV 1 + R- '
L (т\
Перегруппировка членов в (8).
(10)	R = cp — cy
Верно для всех идеальных газов.
Ср~ Су
+ Vdp = 0
(11) pdV 1 +
Следует из (9) и (10).
(12) pdV\
+ Vdp = 0
Следует из (11).
dV	dp
(13)	-y + —- = 0
v	P
Следует из (12); у = cp/cy.
(14)	yin И+1пр = 1пК
Интегрирование
— = Inx.
(15)	pV!= К
Потенцирование (14).
Довольно любопытно, что значение
у для газа входит в несколько формул, опре-
деляющих поведение газа. Одна из них —
это формула для скорости звука в газе. Эта
скорость зависит от соотношения между
давлением и объемом газа при условиях,
когда давление меняется настолько быстро,
что газ практически не успевает обмени-
ваться теплом со своим окружением. В
303
Любое изменение давления, объема
или какой-либо другой переменной,
происходящее при неизменной темпера-
туре, называется изотермическим. Для
идеального газа, у которого внутренняя
энергия зависит только от температуры,
любое изотермическое изменение не
приводит к изменению внутренней энер-
гии системы. Если ДТ=0, то Д1/ = 0.
В этом случае первый закон термодина-
мики принимает вид Q = А. В другом
предельном случае, когда система изо-
лирована, так что она не может обме-
ниваться теплом со своим окружением,
любые происходящие в системе измене-
ния называются адиабатическими. При
адиабатическом изменении Q = Q. так
что первый закон термодинамики за-
писывается как 0 — AU + А.
В рассмотренном примере, когда газ,
заключенный в цилиндре, изотермиче-
ски расширялся, поступающее тепло
должно было целиком превращаться
в работу, совершаемую поршнем. При
адиабатическом расширении газа эта
работа совершается за счет его внутрен-
ней энергии. Изменение внутренней
энергии должно быть отрицательным,
что соответствует происходящему при
этом понижению температуры. Выше,
на с. 296, было указано, что работа, со-
вершаемая при расширении тела при ат-
мосферном давлении, равна рЛК На
р, Е-диаграмме, соответствующей расши-
рению газа, давление не остается по-
стоянным. Тем не менее, как видно из
диаграммы, площадь под р, Икривой
соответствует работе, совершаемой при
расширении газа от начального значе-
ния объема до конечного. При сжатии
Площадь под кривой определяет работу,
совершаемую при расширении
газа площадь под р, Е-кривой соответ-
ствует внешней работе, совершенной
над газом, которая либо увеличивает
внутреннюю энергию газа, либо приво-
дит к оттоку тепла от системы, либо
вызывает и то, и другое.
Изменения, которые происходят
с реальным газом в цилиндрах паровой
машины или двигателя внутреннего сго-
рания, не являются строго изотермиче-
скими или адиабатическими. Тем не ме-
нее площадь под р, /-кривой всегда
равна работе, совершаемой при расши-
рении, или внешней работе над систе-
мой, которая должна быть совершена
при сжатии.
I Вопрос 12-18
I Посмотрите на р, /-диаграмму, со-
й ответствующую изотермическому
1 расширению газа, сопровождаемому
4 адиабатическим расширением. Пока-
j заны кривые, соответствующие одно-
I атомному и двухатомному газам,
I а штриховой линией отмечено про-
I должение исходной изотермы при
| расширении до конечного объема.
I Примите во внимание, что при адиа-
I батическом расширении работа со-
| вершается за счет внутренней энер-
|гии газа. Приведите качественное
объяснение формы адиабатических
кривых.
ПЕРЕНОС ТЕПЛА
Перенос тепла представляет собой
передвижение энергии из одного места
в другое, происходящее за счет разности
температур. Три важнейших способа
передачи тепла — это теплопроводность,
конвекция и излучение. Существует
много знакомых примеров каждого из
этих способов в повседневной жизни.
Тепло переносится через вещество в ре-
зультате определенных процессов в ми-
кроструктуре объекта. Атомная модель,
которая будет рассмотрена в следую-
щей главе, должна объяснить, почему
некоторые вещества, такие как металлы,
являются хорошими проводниками теп-
ла, а другие, такие как большинство
пластмасс, являются хорошими теплои-
золяторами. Для того чтобы передать
тепло от печи к пище, используются ме-
304
таллические кастрюли; для того чтобы
не обжигать руки, кастрюли снабжают-
ся пластмассовыми или деревянными
ручками Для осуществпения теплопро-
водности должен существовать мате-
риальный контакт между областью
с более высокой температурой
и областью с более низкой температу-
рой Но при этом не происходит пере-
носа самого вещества С другой сто-
роны, при конвекции вещество, напри-
мер вода или воздух, нагревается
в области с высокой температурой, а за-
тем физически перемещается в область
с низкой темпера 1урой, i де выделяет теп-
ло за счет избытка своей внутренней
энергии. В большинстве домашних ото-
пительных систем для переноса тепла
от топки к помещениям используется
конвекция
Подавляющая часть тепла, получае-
мого Землей, поступает в виде излуче-
ния Солнца (Менее 1% поступает бла-
годаря радиоактивности внутренних
слоев Земли.) Земля и Солнце не свя-
заны материально, и между ними не
происходит переноса вещества (в обыч-
ном смысле этого слова). Как мы уви-
дим при изучении электричес i ва, боль-
шая часть этой энергии излучения имеет
электромагнитную природу — это то же
самое явление, что ответственно за ра-
дио, свет, рентгеновские лучи.
Три столетия тому назад Ньютон
показал, что количество теплоты, пере-
даваемое за одну секунду через веще-
ство, пропорционапьно разности темпе-
ратур Скорость теплопередачи обратно

7"бых
пропорциональна толщине d слоя веще-
ства, разделяющего области с разными
температурами, и пропорциональна
площади S области контакта. Коэффи-
циент пропорциональности зависит от
типа вещества.
Q (Т.аруж - Твну1р) с ,
-- = А.---------------э /
At	d
В таблице приведены значения коэф-
фициентов теплопроводности для ряда
веществ Обратите внимание на огром-
ное различие между металлами и изоля-
торами. Газы вообще являются хоро-
шими изоляторами, но в практических
целях их можно использовать как теп-
лоизоляторы, только если они заклю-
чены в маленький объем, так что они не
могут переносить тепло путем конвек-
ции. Пенопласт и используемые в оде-
жде материалы, такие, как шерсть
и мех, являются хорошими теплоизоля-
торами, так как они образуют барьер,
Теплопроводное!ь некоторых веществ при
комнатной температуре
Вещество	Теплопроводное!ь, ккал^см С)
Алюминий	4,9 10 2
Медь	9,2 10 2
Серебро	9,9 10 2
Свинец	0,8 10“2
Бетон	2,0 10“4
Стекло	2,0 10'4
Асбест	0,2 10“4
Лед	4,0 10”4
Дерево	0,2 10 ~4
Вода	1,4 10“ 4
Воздух	5,7 10~6
305
состоящий в основном из газа, заклю-
ченного в таких маленьких объемах, что
передача тепла путем конвекции невоз-
можна.
Закон Ньютона объясняет, каким
образом происходит охлаждение горя-
чего кофе, налитого в закрытую чашку
из пенопласта На рисунке показан ти-
пичный график, иллюстрирующий этот
тип охлаждения. Вначале разность тем-
ператур между горячим кофе и окру-
жающим воздухом очень велика Поэто-
му скорость потери тепла большая
и температура быстро спадает По мере
уменьшения разности температуры ско-
рость потери тепла, однако, также
уменьшается и, следовательно, темпера-
тура понижается медленнее. Такой тип
поведения характерен для экспонен-
циального убывания. Если разность
температур поперек стенки чашки соста-
вляет в начале опыта 40 °C и падает до
20 °C за 10 мин, то для ее уменьшения
до 10 °C потребуется еще 10 мин, а до
5 °C — еще 10 мин
Однако довольно трудно создать та-
кие экспериментальные условия, чтобы
продемонстрировать выполнение этого
закона с большой точностью. Напри-
мер, если на чашку не надеть крышки,
то большая часть энергии будет терять-
ся в результате конвекции и испарения
с верхней поверхности жидкости. При
вычислении тепловых потерь через
стены или окна дома нельзя считать,
что изменение температуры поперек
стены соответствует разности темпера-
тур внутри и снаружи дома. Как хоро-
шо известно, если положить ладонь на
окно или стену внутри дома в холодный
зимний день, когда снаружи дует ветер,
то окно или стена окажутся гораздо хо-
лоднее, чем воздух в комнате. В самом,
деле, если окна как следует не заделаны,
то мороз может разукрасить внутренние
поверхности оконных стекол, что озна-
чает, что температура стекла по крайней
мере не выше 0°С.
Даже когда конвекция и теплопро-
водность отсутствуют, тепло может
переноситься путем излучения. Тела во-
все не должны быть накаленными,
чтобы излучать тепло. Электромагнит-
ное излучение испускается всеми телами
при любой температуре. Легко почув-
ствовать тепло, излучаемое дверцей пе-
чи или даже горячей панелью. Однако
труднее поверить в то, что тепло излу-
чается из морозильной камеры холо-
дильника или от холодной стены в ван-
ной комнате. На самом деле кажется,
что эти стены «излучают холод». Одна-
ко не существует таких явлений, как от-
рицательные потоки энергии. Причина
того, что вы ощущаете холод от холод-
ной стены, заключается в том, что нор-
мальное ощущение возникает при нали-
чии обратного потока тепла от окру-
Мощность, излучаемая с единицы площади,
/' = а7'4. а = 5,67 10~8 Вт/(м2 К4)
306
жающих тел при температуре порядка
20 °C. От холодной стены вы получаете
очень мало энергии по сравнению с тем
количеством, которое ваше тело излу-
чает в направлении стены. Поэтому вы
ощущаете, что стена холодная. То же
самое происходит и с Землей. Днем
Земля нагревается, получая лучистую
энергию Солнца. В ясную безоблачную
ночь Земля быстро охлаждается, так как
излучает энергию в окружающее про-
странство.
Полная электромагнитная энергия,
излучаемая телом, пропорциональна че-
твертой степени его температуры. Срав-
ните эту очень сильную температурную
Ультра- Вида- Инфра-	Длина
фиоле- мый красный	волны
товый
зависимость с зависимостью при пере-
носе тепла путем теплопроводности, ко-
торая пропорциональна первой степени
разности температур. В выражение
для излучаемой энергии должна подста-
вляться температура в кельвинах. Воль-
фрамовые нити в обычных лампах нака-
ливания работают при температуре по-
рядка 3 000 К. Если температура пони-
зится до 1500 К, то количество излучае-
мого тепла и света уменьшится в 24 =
= 16 раз. Цвет излучаемого света также
совершенно изменится — от яркого бе-
лого до тусклого красного. Мы подроб-
нее познакомимся с этим процессом,
когда будем рассматривать вопросы из-
лучения света.
Количество излучаемой или погло-
щаемой энергии зависит также от физи-
ческой природы и цвета поверхности из-
лучателя или поглотителя. Шерохо-
ватые черные поверхности поглощают
излучение лучше, чем гладкие, блестя-
щие. Весьма удивительно то, что шеро-
ховатые черные поверхности и излу-
чают тоже лучше. На рисунке показано
устройство тепличного типа для отопле-
Солнечный нагреватель воды
ния дома за счет поглощения солнечной
энергии. Выходящая в помещение по-
верхность поглотителя должна быть
черной, и она может стать весьма горя-
чей в масштабе комнатных температур.
Однако даже температура 100 °C со-
ставляет всего 373 К. Излучение такого
поглотителя будет слабым и будет со-
средоточено в инфракрасной области
спектра электромагнитного излучения
(где длина волны больше, чем у види-
мого света). Тем не менее путем переиз-
лучения может теряться значительная
энергия, особенно ночью. Чтобы пре-
дотвратить это, устройство покрывается
стеклом. Обычное стекло прозрачно для
высокотемпературного излучения Солн-
ца, но почти полностью поглощает низ-
котемпературное (373 К) длинноволно-
вое излучение, испускаемое черным ра-
диатором поглотителя. В прошлом вы-
сказывались сомнения в том, что селек-
тивное пропускание излучения стеклом
дает какой-либо практический эффект.
Конечно, главная роль стеклянного по-
крытия заключается в том, чтобы ис-
ключить конвекцию в окружающий воз-
дух. Однако современные испытания
Высокотемпературное
коротковолновое
Черный радиатор
поглотитель
Низкотемпературное длинноволновое
(.инфракрасное^ излучение поглотителя
307
высокоэффективных систем показали
истинную цену селективной прозрачно-
сти в «парниковом» эффекте.
В различных бытовых предметах по-
разному проявляются факторы, свя-
занные с передачей тепла. Колба термо-
са — замечательный теплоизолятор. Ес-
ли вынуть ее из корпуса (аккуратно
и защитив глаза), можно увидеть, что
она имеет двойные стенки из тонкого
/ \даиуум
Посеребренные
стенки
стекла, причем между стенками — ва-
куум. Отросток, через который выкачи-
вается воздух, обычно расположен снизу.
Рассмотрим три способа, которыми те-
пло может попадать в содержимое тер-
моса и покидать его. Теплопроводность
может осуществляться только через уз-
кое горло из тонкого стекла наверху со-
суда. Поскольку между двойными стен-
ками вакуум, то конвекция может про-
исходить только через небольшое коли-
чество воздуха, находящегося между
содержимым сосуда и пластмассовой
крышкой, закрывающей сосуд сверху.
Внешние и внутренние стенки сосуда —
гладкие и посеребренные, так что излу-
чение сводится к минимуму.
РЕЗЮМЕ
В реальных процессах механическая
энергия обычно не сохраняется. Трение
приводит к уменьшению энергии, вызы-
вая изменение свойств участвующих
в явлении тел. Многие из этих измене-
ний можно охарактеризовать увеличе-
нием температуры.
При определении температуры мы
начали с описания различных типов тер-
мометров — ртутного термометра, тер-
308
мопары, термометра, основанного на
электрическом сопротивлении, и т. д.
При градуировке термометров возни-
кают и практические, и теоретические
проблемы. Термометры для повседнев-
ного использования можно проградуи-
ровать, используя две фиксированные
точки: температуру таяния льда и тем-
пературу кипения воды. На шкале Фа-
ренгейта эти температуры составляют
32 °F и 212 °F. На шкале Цельсия те же
самые точки составляют О °C и 100 °C.
Теоретическая проблема при градуиров-
ке определяется нелинейностью боль-
шинства термометрических свойств. Да-
же если два термометра различного
типа градуируются вместе при 0 °C
и 100 °C, то их показания не будут со-
впадать при промежуточных температу-
рах. Однако для многих газов при низ-
ких давлениях соотношения между
объемом, давлением и температурой оди-
наковы. Показания газового термометра
с постоянным объемом могут быть
использованы для определения линей-
ной абсолютной шкалы температуры,
на которой Т= 273,15 °C соответствует
точке таяния льда.
Для идеального газа pV=NkT=
= nRT, где N — число молекул газа,
а п — число молей в нем. Один моль со-
держит 6 1023 частиц.
Твердые тела и жидкости обычно (но
не всегда) расширяются при увеличении
температуры. В значительных темпера-
турных интервалах расширение может
быть приближенно охарактеризовано
линейным соотношением ДУ/У = РДТ
При подводе тепла или при соверше-
нии внешней работы вместо изменения
температуры в веществе может проис-
ходить фазовый переход. Теплота пла-
вления равна энергии, необходимой для
того, чтобы превратить некоторое
количество вещества из твердого те-
ла в жидкость; теплота парообразова-
ния равна энергии, необходимой для
превращения этого количества вещества
из жидкости в газ. Во время этих фа-
зовых переходов температура вещества
не меняется. Фазовое состояние каждого
вещества зависит от температуры, да-
вления и объема. Определение темпера-
туры в конечном счете основано на том,
что тепловое равновесие устанавливает-
ся независимо or свойств термометри-
ческих тел. Нулевой закон термодина-
мики утверждает, что если А и В по
отдельности находятся при той же тем-
пературе, что и С, то А и В находятся
при одинаковой температуре. Первый
закон термодинамики утверждает, что
Q = А + Д U, где U — внутренняя потен-
циальная энергия системы. У идеально-
го газа U зависит только от темпера-
туры.
Когда тела, находящиеся при разных
температурах, тщательно перемеши-
ваются в калориметре, то устанавли-
вается некоторая промежуточная темпе-
ратура: количество теплоты Q, отданное
одним телом, равно количеству те-
плоты, полученному другим. Удельная
теплоемкость вещества с = Q/m\T При
смешивании
При комнатной температуре ме-
таллы имеют примерно одинаковую
молярную теплоемкость: смоль = Q/n-kT.
Однако теплоемкости зависят от темпе-
ратуры. У газов теплоемкость опреде-
ляется сложностью строения молекулы.
Далее, для газов важны две теплоемко-
сти: ср — при постоянном давлении
и су — при постоянном объеме; для всех
идеальных газов (ср — сг) =/?. Работа,
совершаемая при расширении газа в ци-
линдре, определяется площадью под
кривой на графике зависимости давле-
ния от объема. Были определены два
предельных условия расширения газа:
изотермическое, когда газ находится
в контакте со стенками, поддержи-
ваемыми при постоянной температуре,
и адиабатическое, когда стенки изо-
лированы, так что тепло не подводится
к газу и не отводится от него. При изо-
термическом расширении р = К/V. При
адиабатическом расширении р = К/И7,
где у = ср/с>.
Тепло может переноситься посред-
ством теплопроводности, конвекции
и излучения. При теплопроводности
скорость передачи тепла поперек стены
пропорциональна разности темпера-
туры между ее поверхностями и площа-
ди поверхности и обратно пропорцио-
нальна толщине стены. Скорость излу-
чения энергии телом пропорциональ-
на Т4.
Ответы на вопросы
12 Г Время, необходимое для проведения
опыта, зависит от количества взятого
льда и типа используемого наг рева ге-
ля. Показанный идеальный г рафик
можно получить, только если вода
и лед непрерывно перемешиваются.
Сосуд следует изолировать, так чтобы
тепло не уходило через стенки или от-
крытый верх.
12-2. Если бы стеклянная трубка была
сплошная, то она расширялась бы при
увеличении температуры. Если трубка
полая, то размер полости также будет
увеличиваться с ростом температуры.
(Увеличение размеров отверстия дол-
жно быть как раз таким, чтобы в нем
уместилось расширяющееся внутрен-
нее стекло, если бьт трубка была
сплошной.) Часть увеличившегося
объема жидкости уместится, таким
образом, в расширившейся трубке, но
обычно этот эффект очень мал. и на
шкале легко сделать соответствующее
исправление.
12-3. Если автоматический регулятор тосте-
ра не работает, го о температуре под-
румяненного ломтика хлеба судя г по
его цвету. Если вода замерзла, то тем-
пература должна быть ниже О °C. Тем-
пературу молока в детском рожке
обычно проверяют, брызгая им на
внутреннюю часть запястья
12-4. Между точкой таяния льда и точкой
кипения воды содержится 212°F —
— 32°F = 180°F. Между этими же точ-
ками содержится 100“С. Поэтому тра-
дус Фаренгейта меньше градуса Цель-
100	5
сия и равен-----— — °C.
180	9
12-5. Если температуры по шкале Фаретг-
шкале Цельсия одинаковы,
то в формуле перехода
от одной шкалы к дру-
гой можно истголь товать
для обеих один символ
Т. Формула
гейта и по
'С
перехода:
9
Тг = 32 + -
Поскольку
9
7° =32 + - Т,
71 = Тс , то
4
- Т = - 32,
5
Т = -40°.
309
12-6 Если мы измеряем зависимость элек-
трического сопротивления платиновой
проволоки от температуры, то необ-
ходимо использовать линейную тем-
пературную шкалу. Увеличение темпе-
ратуры от 10 °C до 11 °C должно быть
таким же, как и увеличение от 50 °C
до 51 °C. Если для определения этого
используется ртутный термометр, зна-
чит, в действительности предполагает-
ся, что при нагревании от 10 °C до
11 °C ртуть расширяется на столько
же, как и при нагревании от 50 °C до
51 °C. Единственный способ удостове-
риться в справедливости этого фак-
та — это проверить ртуть с помощью
некоторого хорошего термометра, на-
пример основанного на использова-
нии платиновой проволоки. Конечно,
образуется порочный круг. Необхо-
димы какое-либо определение темпе-
ратуры и какой-либо способ ее изме-
рения, который не зависел бы от
свойств определенного вещества.
12-7. На графике нет никаких эксперимен-
тальных данных о том, что происхо-
дит при температурах, близких к абсо-
лютному нулю. Всегда опасно экстра-
полировать закон в область, для
которой нет никакой информации.
В рассматриваемом случае, прежде
чем температура приблизится к абсо-
лютному нулю, газы превратятся
в жидкости или в твердые тела.
12-8. Как мы увидим в главе 13, давление
газа определяется ударами молекул
о стенки сосуда. Импульс, который
каждая молекула передает стенке при
ударе, пропорционален массе моле-
кулы и ее скорости. Если одно и то же
число молекул водорода и кислорода
оказывает одинаковое давление, зна-
чит, скорость молекул водорода боль-
ше, чем скорость молекул кислорода.
12-9. Объем льда примерно на 9% больше
объема воды, из которой он образо-
вался. Следовательно, около одной
десятой объема льда -выступает над
поверхностью воды.
12-10. Лезвие одного измеренного конька
имело 27 см в длину и 4 мм в ширину.
Площадь поверхности, следовательно,
была около 11 см2. Когда конькобе-
жец массы 65 кг скользил на одном
коньке, действующая сила была равна
650 Н, а давление составляло
650 11/(1110 4 м2)»6-105 Н/м2 х
х 6 атм. Такое изменение давления
понизило бы точку плавления льда
всего на 1/20 °C. Даже если лезвие
конька правильно наточено и только
одна десятая его поверхности касается
льда, то и тогда точка плавления по-
низится меньше чем на 1 °C.
12-11. Заверните оба термометра вместе,
чтобы предотвратить потерю тепла
в окружающее пространство. Более
нагретым был тот из термометров,
показания которого будут уменьшать-
ся.
12-12. Вероятно, нет. Магнитные свойства не
относятся к числу тех, при наличии
которых между двумя телами устана-
вливается равновесие.
12-13. Нет. Если подводить тепло ко льду
при 0 °C, то лед будет таять, но темпе-
ратура его останется равной 0°С. Ес-
ли подводить тепло к кипящей воде,
то температура ее останется на точке
кипения.
12-14. У воды наибольшая удельная те-
плоемкость среди любых обычных ве-
ществ. Поэтому она запасает много
внутренней энергии, которую может
отдать обратно в форме тепла. У рас-
плавленного лития вблизи точки от-
вердевания удельная теплоемкость не-
много выше, но его не так-то удобнб
использовать в грелках.
12-15. Основная ошибка при выполнении
эксперимента так, как он описан, за-
ключается в использовании горячих
алюминиевых опилок, когда они еще
мокрые. Хотя масса приставшей
к алюминию воды может быть не-
большой, ее большая теплоемкость
приводит к заметной ошибке. С дру-
гой стороны, нельзя ждать, пока алю-
миний высохнет, прежде чем опустить
его в воду при 10 °C. Один из воз-
можных путей осуществления этого
опыта — поместить размельченный
алюминий в пластиковый мешочек
и таким образом держать его сухим
в кипящей воде.
12-16. Теплоемкость в расчете на отдельный
атом, выраженная в калориях или
джоулях, мало о чем говорит. Однако
она становится более понятной, когда
задается в электрон-вольтах, есте-
ственных единицах энергии в атомном
мире:
[ 6 кал/(моль-°C)] х
/	1 моль \
X ------у.------- =
\ 6 • 10 атомов /
== 1  1023 кал/(атом-°C),
[1  10~23 кал/(атом °C)] х
х (4,17 Дж/кал) =
= 4-10 23 Дж/(атом-°С),
310
[4-10 23 Дж/(атом-°C)] х
/	1 эВ \
\ 1,6-10 19 Дж J
= 2,6 -10“4 эВ/(атом • °C).
Предположение о том, что теплоем-
кость остается постоянной во всем ин-
тервале температур от 0 до 300 К,
очень грубое В действительности те-
плоемкость убывает при уменьшении
температуры. Тем не менее приводи-
мое ниже вычисление представляет
определенный интерес, так как дает
порядок величины внутренней тепло-
вой энергии каждого атома при кбм-
натной температуре:
[2,6 -10 4 эВ/(атом • °C)] • 300 °C =
= 7,8 • 10 2 эВ/атом гь (1/13) эВ/атом.
Как мы увидим в следующей главе,
это число всего в 2 или в 3 раза отли-
чается от значения, вычисленного бо-
лее совершенными методами.
12-17. Разность теплоемкостей идеального
газа и по числовому значению и по
размерности в точности равна универ-
сальной газовой постоянной R:
ср — су^2 кал/(моль-К) =
= 8,3 Дж/ (моль • К),
R = Nk = (6 1023 атомов/моль) х
х [1,4- 10 22 ДжДатом- К)] =
= 8,3 ДжДмоль • К).
Работа, совершаемая при изобариче-
ском расширении газа, равна рДЕ
Для совершения этой работы необхо-
димо подводить дополнительное теп-
ло. При постоянном давлении p/XV =
= nRAT. Для одного моля газа допол-
нительное тепло, необходимое для
расширения при постоянном давле-
нии, осуществляемого при измене-
нии температуры на 1 °C, равно
как раз R.
12-18. Для всех трех кривых р~1/Кл. При
изотермическом расширении х = 1
и кривая представляет собой простую
гиперболу. Чем больше показатель
степени х, тем круче опускается кри-
вая. Следовательно, кривая, соответ-
ствующая адиабатическому расшире-
нию одноатомного газа, лежит ниже
адиабаты для двухатомного газа. По-
скольку работа при расширении
в этом случае совершается за счет за-
паса внутренней энергии, то получает-
ся, что двухатомный газ способен со-
Площадь, заштрихованная наклойиыми ли-
ниями,— работа, совершаемая одноатом-
ным газом при расширении от объема Vo
до 14; площадь, заштрихованная вертикаль-
ными линиями, — дополнительная работа,
совершенная двухатомным газом при рас-
ширении от объема Ио до К
вершить большую работу при задан-
ном расширении, чем одноатомный.
Разумеется, речь идет об одинаковых
количествах одноатомного и двуха-
томного газов. Это довольно правдо-
подобный результат, так как очевид-
но, что двухатомный газ, имея боль-
шую теплоемкость, способен запасти
больше внутренней энергии, чем одно-
атомный.
Задачи
1.	Приведите примеры, когда потери
энергии на трение приводят к увеличению
температуры. Рассмотрите обычные ситуа-
ции, связанные с автомашинами или домаш-
ним хозяйством.
2.	Предположим, что на конце термо-
метра имеется сферическая колбочка, соеди-
ненная с цилиндрической капиллярной труб-
кой. Каким будет увеличение высоты столба
жидкости в трубке при увеличении объема
жидкости на 1%, если внутренний радиус
колбочки равен 2 мм, что в 50 раз больше
внутреннего радиуса трубки?
3.	Перечислите пять индикаторов тем-
пературы, которые вы используете в повсед-
невной жизни, за исключением термометров
и ваших органов осязания
4.	Оцените по шкале Фаренгейта тем-
пературу воды, настолько горячей, насколько
вы еще можете терпеть, опустив в эту воду
руку, и температуру холодной воды из-под
крана в вашем доме. Сколько это будет по
шкале Цельсия?
5.	Сколько градусов по шкале Цельсия
составляет температура, равная 0°F?
311
6.	Если при лихорадке ваша температу-
ра равна 40 °C, сколько это будет по шкале
Фаренгейта?
7.	Котел на современной энергетиче-
ской установке работает при температуре
1100 °F. Чему равняется эта температура
по шкале Цельсия и по абсолютной шкале
температуры ?
8.	Ртутный термометр и термопара про-
градуированы при 0 °C и 100 °C, причем
имеют линейные шкалы между этими точка-
ми. Что показывает каждый из них
при 30 °С1 (Посмотрите на график на
с. 285.)
9.	Перед летней поездкой давление
в автомобильных камерах устанавливается
равным 26 фунт/дюйм2. (Это — манометри-
ческое давление, то есть давление сверх ат-
мосферного давления. Полное давление, сле-
довательно, составляет около 41
фунт/дюйм2.) После часа езды по раскален-
ной дороге температура воздуха в камерах
поднялась с 70 °F до 120 °F. Объем камер су-
щественно не меняется. Каким будет новое
манометрическое давление?
10.	Небольшие баллончики со сжа-
тым воздухом, используемые при аварий-
ном накачивании покрышек автомоби-
ля, могут поднять давление в шине до
15 фунт/дюйм2 (манометрическое давление).
Каково давление воздуха в баллоне, ес-
ли объем баллона составляет 5 % объема
покрышки9
11.	Один моль любого (идеального) газа
имеет при 0°С и нормальном атмосферном
давлении объем, равный 22,4 л. Каково дав-
ление моля газа при —100 °C, если
его объем равен 0,224 л? Каким будет
объем этого газа при 300 °C и давлении
3 атм?
12.	Газ занимает объем 100 л при нор-
мальном атмосферном давлении и комнат-
ной температуре (20 °C). Сколько молей со-
держится в газе? Сколько молекул?
13.	Сколько молекул содержится в
1 см3 воздуха при комнатной темпера-
туре (20 °C) и нормальном атмосферном
давлении 9
14.	Медная проволока натягивается ме-
жду столбами, отстоящими друг от друга на
100 м. Зимой, при температуре — 10 °C, про-
вес проволоки посередине составляет 0,5 м.
Каким будет провес летом, когда температу-
ра равна 35 °C?
15.	Запишите нулевой и первый законы
термодинамики своими словами, не исполь-
зуя формул.
16.	Предположим, что вы поглощаете с
пищей ежедневно 2000 диетических калорий.
Сколько джоулей вы съедаете?
312
17.	При отрицательной калорической
диете используется ледяная вода Когда вы
выпиваете эту воду, ваш организм должен
выделить энергию, чтобы натреть ее до тем-
пературы человеческого тела (37 °C) Сколько
ледяной воды нужно выпивать каждый день,
чтобы скомпенсировать поступление с пищей
2000 диетических калорий9 Выразите ответ
в литрах, что примерно то же самое, что и
в квартах, так как 1 литр = 1,056 кварты.
(Вместо того чтобы пить ледяную воду,
можно просто посидеть в ней и добиться та-
кого же эффекта.)
18.	Какая работа совершается при пре-
вращении 1 моля воды в пар при атмосфер-
ном давлении?
19.	Меняет ли заметно температуру ко-
фе добавление в него холодного молока9
Предположите, что в чашку кофе (около 200 г
при 95 °C) добавляется 10 г молока при
5 °C и что удельная теплоемкость молока
и удельная теплоемкость кофе примерно
равны
20.	Сколько воды окажется в смеси, ес-
ли 150 г льда и 200 г воды, находящихся
в тепловом равновесии, нагреть до 100 °C пу-
тем смешивания с паром, имеющим темпе-
ратуру 100 °C?
21.	Алюминиевый шар массы 50 г выни-
мается из печи и опускается в чашку из пено-
пласта, содержащую 100 г воды при комнат-
ной температуре (20 °C) Какова была тем-
пература шара, если после установления
равновесия температура оказалась рав-
ной 40 °C?
22.	Предположим, что вы опускаете
25-ваттный кипятильник в 1 л воды при
20 °C. Через какое время закипит вода, если
ей передается все выделяемое кипятильни-
ком тепло?
23.	Снежок, летящий со скоростью 20
м/с, попадает в стену при температу-
ре 0 °C. Какая его часть растает, если вся
теряемая кинетическая энергия передастся
снегу?
24.	Объясните на словах, почему для
идеальных тазов
ср — су= R.
25.	Объясните на словах, за счет какого
источника энергии совершается работа при
перемещении поршня расширяющимся га-
зом в изотермическом и адиабатическом
процессах.
26.	Имеются два разных газа в цилин-
драх, находящиеся при одинаковых темпера-
турах, давлениях и объемах. Один таз одно-
атомный, другой — двухатомный. Сначала
они в одинаковой степени расширяются изо-
термически, а затем адиабатически. Какой
из них совершил большую работу при изо-
термическом расширении? Почему? Какой
совершил большую работу при адиабатиче-
ском расширении? Почему?
27.	В большинстве домов для одинако-
вого ощущения комфорта температура воз-
духа зимой должна быть выше, чем летом.
Частично эффект объясняется различием
в относительной влажности воздуха. Поче-
му? Частично за эффект ответственна темпе-
ратура стен. Почему?
28.	Предположим, что для поддержания
в доме температуры 70 °F при температуре
наружного воздуха 30 °F требуется сжигать
ежечасно 1 галлон нефти. Каким будет рас-
ход нефти, если температура наружного воз-
духа составит 50°F? Каким будет расход
топлива в обоих случаях, если внутри дома
будет поддерживаться температура 60°F? (В
действительности на температуру внутри до-
ма влияют многие другие факторы — ве-
тер, физическая деятельность в доме и
другие.)
29.	Скафандры, одеваемые космонавта-
ми, обычно окрашены в белый цвет. С дру-
гой стороны, некоторые поверхности косми-
ческих кораблей черные. Чем определяется
выбор цвета?
ГЛАВА 13. МИКРОСТРУКТУРА ВЕЩЕСТВА
И ВТОРОЙ ЗАКОН
ТЕРМОДИНАМИКИ
В предыдущей главе мы обобщили
закон сохранения энергии, утверждая,
что тепло представляет собой энергию
и что потерянную механическую энер-
гию можно учесть в случае, когда она
явно исчезает в веществе Как мы виде-
ли, при поглощении энергии веществом
происходит много разных событий
Объемы обычно увеличиваются, изме-
няются электрические свойства, может
измениться фаза вещества, и само веще-
ство может распасться на отдельные
компоненты Обычно, но не всегда, при
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
При расчете свойств газов мы будем
предполагать, что в газообразной фазе
молекулы совершают хаотическое дви-
жение Качественно такая модель объяс-
няет, как распространяются в воздухе
запахи Пары духов, например, состоят
из отдельных молекул ароматных ма-
сел, смешанных с молекулами воздуха
Молекулы духов постепенно диффунди-
руют, или удаляются, на все большее
и большее расстояние от источника.
Можно ожидать, что скорость диффу-
зии будет зависеть от массы или разме-
ров молекул. Большие тяжелые моле-
кулы должны двигаться в воздухе мед-
леннее, чем маленькие и легкие
Можно качественно проверить эту
идею, воспользовавшись парами моле-
кул, сильно различающихся по разме-
рам Поскольку регистрирующим ин-
струментом будет ваш нос, то следует
использовать пары с хорошо раз-
личимыми запахами Возьмите аммиак
и любые духи (Аммиак содержится
в бытовых моющих средствах) Молеку-
подводе тепла температура тела увели-
чивается Степень увеличения темпера-
туры явно зависит от числа и типа ато-
мов в образце и от того, как они свя-
заны друг с другом
Для расчета тепловых эффектов необ-
ходимо построить модель строения веще-
ства Конечно, эта модель будет вклю-
чать атомы и молекулы, но кроме этою
необходимо конкретизировать взаимо-
действие между атомами и внутреннюю
структуру и характер движения мо-
лекул
Главным нашим инструментом при
исследовании микромира будет термо-
метр.
314
ла NH3 легче молекул воздуха (N2 или
О2). Молекулы духов обычно содержат
длинные цепи различных атомов, в ос-
новном углерода и водорода. Налейте
немного аммиака в одну банку с крыш-
кой и немного духов — в другую.
Встаньте посередине закрытой комнаты,
и пусть ваши помощники откроют бан-
ки в ее противоположных концах. Из-
мерьте и сравните промежутки време-
ни, спустя которые вы почувствуете
запах.
В главе 12 были приведены инструк-
ции по приготовлению льда. Сейчас мы
опишем способ приготовления пара. На-
лейте несколько кубических сантиметров
воды в сосуд из огнеупорного стекла,
например в кофейник. Закройте сосуд
сверху алюминиевой фольгой с проде-
ланным в ней маленьким отверстием.
Поставьте сосуд на плитку и интенсив-
но кипятите воду до тех пор, пока сосуд
не станет сухим изнутри. Немедлен-
но снимите сосуд с плиты и охлади-
те его.
Пока кипятилась вода, пар наполнял
сосуд и выходил в воздух. Когда послед-
ние капли воды испарились, сосуд все
еще был наполнен водяным паром, то
есть газом Н2О. Объем водяного пара
был равен объему сосуда. Пронаблю-
дайте, что произойдет при охлаждении
водяного пара. Он снова превратится
в жидкость, сконденсировавшуюся на
внутренней поверхности стенок сосуда.
I Вопрос 13-1
Чему примерно равен объем водяно-
го пара после его конденсации? Ка-
ково отношение объема пара к объе-
му воды? (Конечно, пар был при
температуре 373 К. Насколько суще-
ственной будет поправка к получен-
ному значению при комнатной тем-
пературе?)
Обратите внимание на тот замеча-
тельный факт, что при 300 К вы, выра-
жаясь химическим языком, относитель-
но стабильны. При вдвое большей
температуре можно изжарить на печи
гуся. Даже небольшое изменение тем-
пературы приводит к огромной разнице
во времени приготовления пищи.
Выясните, сколько времени занимает
варка яиц или картофеля при 80 °C. Для
сравнения следует также выяснить,
сколько времени занимает приготовле-
ние яиц или картофеля при нормальной
на уровне моря температуре кипения,
равной 100 °C. Требуется проявить опре-
деленную сноровку и терпение для того,
чтобы поддерживать температуру воды
около 80 °C, и определенную изобрета-
тельность, чтобы определить, когда пи-
ща готова. Конечно, картофель можно
попробовать вилкой, но если вскрыть
яйца слишком рано, то они останутся
недоваренными. Может быть, вы реши-
те сварить сразу несколько яиц, снимая
их с огня по одному через определенные
промежутки времени. Будьте готовы
к тому, что яйца, варившиеся 5 или 10
мин, придется использовать как-то ина-
че, например в виде яичницы-болтуньи.
Этот опыт может быть три-
виальным, если только раньше вы ни-
когда не замечали этого явления. По-
пробуйте наощупь радиатор сзади ва-
шего холодильника (в то время, когда
холодильник включен).
Вопрос 13-2
Можно ли охладить комнату, оста-
вив открытой дверь работающего
холодильника? Если не удастся та-
ким путем охладить комнату, то
можно ли по крайней мере нару-
шить равномерное распределение
температуры в ней? Будет ли оста-
ваться неизменной температура, ес-
ли холодильник с открытой дверцей
работает в закрытой комнате?
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО
НАШЕЙ АТОМНОЙ МОДЕЛИ
В главах 1 и 10 были описаны неко-
торые свойства атомов и молекул.
Большинство атомов от водорода до
315
урана имеет примерно одинаковый
размер. С точностью до множителя
порядка 2 их радиус равен 1-10 10 м.
(Существует несколько исключений,
но даже и дня них этот множитель
равен примерно 3. В действитель-
ности «радиус» атома тависит от спо-
Любой атом
водород
Уран
т = Ь,0-1П~г2г
соба измерения. Например, лот радиус
может быть равен половине рас-
стояния меж ту ядрами в ковалентной
молекуле и в молекуле, удерживае-
мой силами Ван дер Ваальса.)
Массу отдельною атома можно вы-
числить, поделив молярную мас-
су на 6 • 102 ’ — число, называемое
молем. Например, масса атома водо-
рода равна
1 г/моль
6•1023 моль'1
= 1,6- 10 24 г.
В друюм предельном случае масса
атома изотопа урана с атомной мас-
сой, равной 238, равна
238 г/моль
6 • 1023 моль
В твердой фазе
ся вплотную друт
атомов собран в
= 4,0- 10'22 г.
ат ом ы раснолат аю т -
к другу. Если моль
куб, ю вдоль куба
располат ается примерно 108 атомов
(]/6  1023 % 108). Поскольку диаметр
каждою атома составляет примерно
2-10 10 м, то ребро такою куба бу-
дет равно 2-10 2 м, или около 2 см.
Друтими словами, 1 моль атомов в
твердой фазе занимает объем около
10 см3.
Вопрос 13-3
Может ли в действительности так
быть, чтобы 1 моль атомов урана
занимал такой же объем, как и
1 моль атомов углерода? В таблице
приводятся атомные массы и плот-
ности ряда элементов. Убедитесь са-
ми, насколько хорошо выполняется
утверждение, что большинство твер-
дых гел имеет одинаковый моляр-
ный объем.
Плотность и атомная масса некоторых
элементов
Элемент	Плотное! ь, г/см3	Атомная масса, число
Бериллий	1,8	9
Алюминий	2,7	27
УIлерол (графит)	2.3	12
Натрий	0,97	23
Же ie ю	7,9	56
Свинец	11,3	207
Зо ini о	19,3	197
Уран	19,1	238
В жидкой и твердой фазах между
атомами должны действовать силы при-
тяжения, которые удерживают их вме-
сте. В главе 10 мы предположили, что
каждый атом находится в потенциаль-
ной яме, создаваемой силами притяже-
ния со стороны всех ею соседей. На дне
этой потенциальной ямы атом находит-
ся на равновесном расстоянии от его
ближайших соседей. В этой точке дей-
ствующая на атом возвращающая сила
равна нулю. Следует, однако, ожидать,
что атом в по!енциальной яме будет
перемещаться взад и вперед. В разделе
1лавы 10, посвященном молекулярным
силам, мы вычислили по порядку вели-
316
чины постоянную к, ответственную за
малые колебания атома в яме. Предпо-
лагая, что атом совершает простые гар-
монические колебания около равновес-
ного положения, мы показали, что
частота колебаний должна быть поряд-
ка 1013 Гц. Как мы увидим в главе 22,
эта частота лежит в инфракрасной обла-
сти. Частота видимого света примерно
в 50 раз больше.
В твердой фазе атомы находятся
в связанном состоянии, так что их пол-
ная энергия отрицательна. Положи-
тельная кинетическая энергия колебаний
атомов меньше, чем отрицательная
энергия их связи. Ситуация здесь анало-
гична той, которая характерна для на-
шей планеты, имеющей положительную
кинетическую энергию движения вокруг
Солнца, но связанной в отрицательной
гравитационной потенциальной яме. Ес-
ли космический корабль или комета
приобретут достаточно большую кине-
тическую энергию, то полная энергия
может стать положительной, давая воз-
можность преодолеть связывающую си-
лу притяжения к Солнцу. Аналогично,
если атом на поверхности твердого тела
или жидкости приобретает достаточную
кинетическую энергию, то он может
преодолеть притяжение своих ближай-
ших соседей и превратиться в атом пара
или газа.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО МОДЕЛИ ГАЗОВ
Построить кинетическую теорию га-
зов намного проще, чем разработать
количественную модель твердых тел
и особенно жидкостей. Развивая про-
стую форму модели газа, мы сделаем
некоторые предположения относительно
атома, которые, как мы знаем, не
являются строго справедливыми. Пре-
жде всего предположим, что соб-
ственный объем атомов или молекул
пренебрежимо мал по сравнению с тем
объемом, в котором они находятся.
Вопрос 13-4
Насколько разумно такое предполо-
жение? В «Знакомстве с явлениями»
мы сравнивали объем водяного пара
с объемом жидкости, в которую он
конденсировался. Если бы объем
атомов действительно равнялся ну-
лю, то жидкую воду вообще нельзя
было бы увидеть на стеклянных
стенках сосуда.
При построении модели газа мы
также предположим, по крайней мере
в начале, что столкновения атомов
и молекул друг с другом и со стенками
сосуда являются упругими. Энергия не
теряется из-за трения, и, что более ре-
алистично на атомном уровне, энергия
не теряется из-за разрушения молекул
или возбуждения в них внутренних ко-
лебаний. Можно удивиться, каким обра-
зом атомы могут сталкиваться упруго,
если между ними действуют силы при-
тяжения, характеризуемые потенциаль-
ной ямой. До тех пор пока кинетическая
энергия сталкивающихся атомов боль-
ше, чем глубина потенциальной ямы,
картина столкновения атомов выглядит
следующим образом: по мере того как
атомы попадают в поле взаимного при-
тяжения, их скорости увеличиваются,
атомы подходят вплотную друг к другу,
так что попадают в область взаимного
отталкивания, и затем отскакивают
друг от друга подобно двум твердым
непроницаемым мраморным шарикам.
Наша первая модель газов будет пол-
ностью классической, рассматриваю-
щей импульс, энергию и время пролетов
атомов и молекул таким образом, как
317
будто газы представляют собой рой ша-
риков, не взаимодействующих друг
с другом иначе как при ударе, не обла-
дающих весом и отскакивающих друг
от друга в соответствии с законами
классической механики.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Рассмотрим один атом, заклю-
ченный в кубическом ящике со сторо-
ной, равной L. Атом движется слу-
чайным образом, ударяясь о стенки под
различными углами. Будем следить
только за одной из компонент его ско-
рости, направленной по оси х, и посмо-
трим, что происходит, когда атом уда-
ряется о стенки, ориентированные в у,
z-плоскостях, перпендикулярных этой
компоненте скорости. Для того чтобы
отчетливо представить себе происходя-
щее, можно считать, что атом просто
движется взад и вперед в х-направле-
нии. В этом случае, двигаясь вправо,
атом имеет импульс, равный mvx. Когда
он ударяется о стенку и отскакивает
назад, его импульс становится рав-
ным — mvx. Изменение импульса
А (Импульс) = 2nwx. Стенка восприни-
мает импульс отдачи, направленный
вправо, и так происходит каждый раз,
когда атом отскакивает назад. Чтобы
найти время между двумя отскоками,
разделим путь, проходимый поперек
ящика и обратно, на скорость: Аг =
= 2L/vx. Напомним, что общее выраже-
ние для второго закона Ньютона имеет
вид
А (Импульс)
F =------------
At
Импульсы, действующие на стенку,
можно приравнять средней силе:
р = 2mv* = mv*
2L/vx L '
Конечно, для одного атома понятие
средней силы не очень-то содержатель-
но, но если в ящике находится N ато-
мов, движущихся в одном направлении,
то средняя сила будет равна
Nmvl
F =-----S
L
Ai омы, однако, не будут двигаться
в одном направлении. Их движение
является совершенно случайным, и от-
скакивают они не только от стенок, но
и друг от друга. Теорема Пифагора
дает простое соотношение между ква-
дратом вектора и квадратами его ком-
понент в х-, у- и z-направлениях: v2 =
= v2 + v2 + v2, у любого конкретного
атома в определенный момент времени
одна из компонент скорости может
быть гораздо больше, чем любая из
двух других. Однако в среднем компо-
ненты в х-направлении будут такими
же, как и в у- и z-направлениях. Поэто-
2
му для среднего значения v
Г? = V2 =
г
2
z •
Следовательно, v2 = (1/3) v2. Сила, дей-
ствующая на стенку ящика, располо-
женную в у-, z-плоскости, усредненная
как по времени, так и по совокупности
различных атомов, равна
1 Nmv2
F =--------.
3 L
Вместо силы, действующей на стен-
ку, можно рассмотреть давление. На-
помним, что р = F/S, где S — пло-
щадь стенки, расположенной в у-, z-пло-
скости :
F (1/3) Nmv2 (1/3) Nmv2
Р--$-	~	- у ,
318
где V — объем ящика (V = LS). Теперь
уравнение преобразуется к виду
pV = (yi3)Nrm2.
Существует еще одно соотношение,
содержащее величину mv2. Средняя ки-
нетическая энергия атомов или молекул
в ящике
И;ин = (1/2) mv2.
Следовательно, уравнение для рVможно
переписать так:
pV = (2/3)N(1/2)mv2 = (2/3) ЛЙЁкйн.
При изучении свойств газов в главе 12
мы видели, что установленный на опыте
закон идеального газа имеет вид
pV = NkT.
Если наша модель и теоретический
вывод правильны, то эти два уравнения
для pV должны быть идентичными. Ес-
ли правые части уравнений равны друг
другу, то температура газа должна быть
связана со средней кинетической энер-
гией его молекул:
рЕ= (2/3) Ж,„.
(теория)
рЕ= NkT.
(эксперимент)
Поэтому
Й'кнн = (3/2) кТ
Вопрос 13-5
Создается такое впечатление, что из
ничего получился удивительный ре-
зультат. Импульс, передаваемый
атомом стенке, должен быть пропор-
ционален его скорости. Как же вдруг
давление стало пропорциональным
квадрату скорости? Далее, хотя мы
начали свои рассуждения, рассматри-
вая атом массы т, но в результате
получили, что температура должна
быть пропорциональна средней кине-
тической энергии молекул независи-
мо от их типа. Может ли в действи-
тельности результат не зависеть от
того, является ли газ водоро-
дом с молекулярной массой 2,
или хлором с молекулярной мас-
сой 71?
СЛЕДСТВИЯ НАШЕЙ МОДЕЛИ —
СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ
И СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
Между прочим, действительно ли
мы доказали, что температура пропор-
циональна средней кинетической энер-
гии молекул газа? Мы предложили тео-
ретическую модель, вывели следствия
из модели, и если модель верна, то тем-
пература газа является мерой кинетиче-
ской энергии его молекул. Такое пред-
сказание нуждается в эксперименталь-
ной проверке. Давайте подставим неко-
торые числа и посмотрим, какие мы
WnoT
Молекула газа, имеющая энергию 1/26 эВ, не
может при столкновении освободить атом,
энергия связи которого равна 1 эВ. Может
ли это проделать молекула газа с энергией
1/13 эВ (Т= 586 К)?
получим значения для кинетической
энергии и скорости молекул газа при
комнатной температуре.
Как мы видели в предыдущей главе,
постоянная Больцмана к имеет число-
вое значение, равное 1,38-10“23 Дж/К.
При комнатной температуре WKItH =
= (3/2) -(1.38 10 23 Дж/К)-293 К = 6,1 х
х 10" 21 Дж. Переведем энергетические
единицы в электрон-вольты, удобную
для описания химических взаимодейст-
вий отдельных молекул единицу
энергии:
Средняя энергия молекулы газа при
комнатной температуре в 26 раз меньше
1 эВ. На первый взгляд кажется, что
этот факт объясняет, почему мы сами
и другие химически связанные тела ста-
319
бильны при комнатной температуре.
С другой стороны, известно, «что при
вдвое большей температуре — при
586 К — когда средняя энерг ия молекулы
газа в 13 раз меньше 1 эВ, мы уже не
стабильны. Очевидно, это явление
заслуживает более глубокого изучения.
Насколько быстро движутся моле-
кулы газа при комнатной температуре?
Скорость молекул газа с заданной сред-
ней кинетической энергией может быть
найдена так:
И;ин = (1/2)т? = (3/2)/с7;
Для воздуха при комнатной температу-
ре Т = 293 К можно использовать массу
молекулы азота:
3- (1,38 10-23 Дж/К)-293 К
4дЛ(Г2*Гкг
= 5,1 • 102 м/с.
Средняя скорость молекул воздуха при
комнатной температуре равна примерно
500 м/с. Это свыше 1100 миль/ч!
Вопрос 13-6
Когда вы проделывали опыт с духа-
ми и аммиаком, запаху требовалось
несколько секунд для того, чтобы
пересечь комнату. Не опровергает ли
этот простой экспериментальный
факт наш вывод, который требует,
чтобы молекулы газа летали бы-
S стрее, чем пули?
Хотя предсказанная нами скорость
молекул газа намного больше, чем на-
блюдаемая скорость распространения
запахов, она все же всего в 1,5 раза
больше скорости распространения дру-
гого процесса, происходящего в газе.
Скорость звука в воздухе при комнат-
ной температуре составляет примерно
343 м/с. Поскольку звук в воздухе пере-
носится в результате столкновений мо-
лекул друг с другом, то совпадение ско-
рости звука по порядку величины
с теоретическим значением для средней
скорости молекул воздуха является об-
надеживающим фактом. В главе 15 бу-
дет выведена точная формула для ско-
рости звуковых волн в воздухе.
42 Дополнительный материал
Распределение молекул по энергии в газе
Как в человеческих коллективах, так и
в газах многие явления определяются отнюдь
не их средними членами. Поскольку моле-
кулы в газе непрерывно сталкиваются друг
с другом и со стенками, то некоторые из них
Распределение молекул по скоростям. Число
молекул, скорость которых лежит в интер-
вале Дг>,
/ m \312
&N = 4itN (----1 e~mv №Tv2&v
\2nkTJ
Распределение молекул по энергиям. Число
молекул, энерг ия которых лежит в интервале
ЛИ<
АД = -~--Хе-и'АТи/1/:гДИ/
(л/сТ)3'2
будут двигаться очень медленно, а дру-
гие — очень быстро. Распределение молекул
по энергии было открыто Максвеллом
и Больцманом сто лет назад. Распределение
по скоростям и энергиям показаны на графи-
ках. Хотя формулы сначала кажутся сложны-
ми, можно отметить несколько простых мо-
ментов.
Прежде всего, обратите внимание на то,
что распределения не симметричны относи-
тельно средних значений скорости и энергии.
В действительности, имея дело с такими ти-
пами распределений, следует быть осто-
320
рожным с тем, что понимается под «сред-
ним». На диаграмме скорости отмечены
наиболее вероятная скорость, средняя ско-
рость (обычное арифметическое среднее)
и среднеквадратическая скорость, которая
есть вычисленная ранее средняя скорость:
,;ср кв = yikT/m. При очень маленьких значе-
ниях скорости или энергии член, содержащий
экспоненту, близок к единице, так как пока-
затель экспоненты близок к нулю. При этом
функция распределения определяется множи-
телем с2 в одном случае и множителем
l/W-в другом. Очевидно, что обращение
в нуль скорости или энергии молекулы, ко-
торая непрерывно сталкивается с другими
молекулами в газе, было бы очень малове-
роятным. Увеличение значений г2 и ]/w
в функциях распределения в конце концов
компенсируется уменьшающейся экспонен-
той. В самом деле, после достижения макси-
мального значения функция распределения оп-
ределяется исключительно экспонентой. Экс-
понента убывает очень быстро, но никогда
не обращается в нуль. Поэтому оказывается
возможным, чтобы некоторые молекулы
обладали энергиями, во много раз превосхо-
дящими среднее значение. Обратите внима-
ние на то, что функции распределения за-
даны в терминах числа молекул, приходя-
щихся на определенный интервал значений
скорости или энергии. Следовательно, пло-
щадь под каждой кривой равна полному чис-
лу молекул в системе.
Вопрос 13-7
Среднее значение энергии молекулы W
равно (3/2) кТ. Каково отношение числа
молекул с энергией 2W к числу молекул
с энергией И? Каково отношение числа
молекул с энергией 10И7к числу молекул
с энергией 5 IF? Будьте осторожны; ответ
удивителен и не очевиден.
Как можно измерить скорости или энер-
гии отдельных молекул в газе с целью про-
верки теоретических законов распределения?
Как мы увидим, следствия законов распреде-
ления приводят к таким предсказаниям
свойств явлений, которые могут быть прове-
рены экспериментально. Более того, сами
скорости молекул можно измерить довольно
прямым путем. Все, что нужно сделать для
этого, — это измерить время полета молекул
таким же путем, каким измеряется время по-
лета бейсбольного мяча или пули.
В 20-е годы Отто Штерн со студентами
изучал молекулярные пучки с помощью
устройства, схематически показанного на ри-
сунке. Много различных типов атомов и мо-
лекул, даже атомов металлов, можно полу-
чить в газообразной фазе. В некоторых
Схематическое устрой-
ство прибора для измере-
ния скорости молекул
случаях источником пучка является печь, со-
здающая пары. В ящике, где находится ис-
точник молекул, имеется крошечное отвер-
стие, через которое молекулы могут выхо-
дить наружу, если их скорость направлена
подходящим образом. С этого момента они
движутся дальше в вакууме. Те молекулы, ко-
торые сумеют пройти через последова-
тельные отверстия в диафрагмах, образуют
узкий пучок. Наибольшая группа молекул,
которые пройдут через отверстие в первом
вращающемся с большой скоростью диске,
начинает полет в определенный момент
времени. Подойти в нужный момент време-
ни ко второму диску, пройти через отвер-
стие в нем и попасть в коллектор смогут
только те из них, которые обладают опреде-
ленной скоростью. Изменяя угол, на ко-
торый отверстие во втором диске отстает от
отверстия в первом, можно пропускать
группы молекул, обладающих различны-
ми скоростями. Получающееся распределе-
ние дает экспериментальную зависимость
11 Кл. Э. Суорц, т 1
321
AN от v, причем результат совпадает с пред-
сказанным теоретически.
Хотя до сих пор мы говорили о кинети-
ческой энергии молекул в газе, тог же самый
множитель, содержащий экспоненту, присут-
ствует и в распределении молекул в потен-
циальном поле. Например, потенциальная
энергия тяготения молекул зависит от вы-
соты h над поверхностью Земли. Предпола-
гая, что температура не зависит от высоты
(очень грубое предположение для значи-
тельных расстояний), получим для отноше-
ния числа молекул в единице объема на двух
разных высотах выражение
П1 e-imhJkT
__— ___________= q — nKj{h\ — n2)kl.
п2 g-mchi/kT
Число молекул в единице объема п назы-
вается плотностью числа частиц или концен-
трацией.
Сказанное выше справедливо для моле-
кул газа. Аналогичное распределение полу-
чается во всех случаях, когда частицы пере-
мешиваются в результате хаотического слу-
чайного движения, при сохранении полной
энергии и полного числа частиц. В таких слу-
чаях обобщенное распределение Максвел-
ла — Больцмана приводит к следующему вы-
ражению для отношения числа частиц, нахо-
дящихся в двух различных состояниях
с энергиями W, и W2:
7Д_ = e~<w‘ ~ w^lkT.
пг
Подставим в этот закон распределения
некоторые числа, чтобы увидеть следствия,
касающиеся некоторых знакомых явлений.
1.	Плотность атмосферы убывает с
высотой, и выше 50 км атмосфера не суще-
ствует в том смысле, в котором мы говорим
об атмосфере как о воздухе. На плотность
воздуха и на его состав влияют многие фак-
торы. Поскольку воздух в основном прозра-
чен для излучения Солнца, то нагревание ат-
мосферы происходит главным образом за
счет конвекции от земной поверхности, где
солнечная энергия поглощается. Как след-
ствие этого, температура быстро падает
с увеличением высоты. (Примерно на высоте
50 км находится слой озона, создаваемый
ультрафиолетовым излучением. Этот тонкий
слой химически активного кислорода имеет
температуру около 10°C и действует как ис-
точник тепла для атмосферы, находящейся
чуть ниже и чуть выше него.) В тропосфере,
то есть ниже 12 км, на давление воздуха
На этом графике в полулогарифмическом
масштабе приведены значения атмосферного
давления в зависимости от высоты, измерен-
ные при полетах ракет. Если бы давление
подчинялось выведенной нами формуле, то
। рафик предсгав.гял бы собой прямую линию
влияют штормы и ураганы («пики» и «впа-
дины» на картине пог оды).
Несмотря на штормы и изменения темпе-
ратуры, закон распределения Максвелла —
Больцмана в первом приближении правиль-
но определяет среднюю плотность атмос-
феры как функцию высоты. Отношение
концентраций молекул на двух высотах njn2
равно отношению плотностей воздуха на
этих же высотах р, /р2 и, следовательно, рав-
но также отношению давлений pj/pj. В каче-
стве р2 возьмем давление на уровне моря,
где h2 = 0. Тогда давление на любой задан-
ной высоте h равно
р(й) = рое-т^т
Заметьте, что эта формула дает правиль-
ное значение давления атмосферы на уровне
моря; а именно если h = 0, то экспонента
равна 1 и р (0) = р0. Чтобы найти давление
на любой другой высоте, нужно вычислить
показатель экспоненты:
mgh
1<7~ ~
_ (4,7- 10	кг)-(9,8 Н/кг)-й
~ (1,38Ю ” Дж/К)290К ~
= 1,15- 10 4Л » 1- 10-4й.
На высоте 1,5 км (примерно на высоте
Денвера, штаг Колорадо) показатель экспо-
ненты будет равен (1,15 • Ю4)  (1,5 • 103 м) =
= 0,17. При малых значениях аргумента
322
Зависимость концентрации молекул воздуха
от высоты:
п = noe-m«h/kT,
где
_ 6- 10“ молек/моль
°	22,4  10“ м3/моль
= 2,68 1025 молек/м3 —
концентрация молекул при нормальных усло-
виях; N = 2,2 • 1029 — полное число молекул
в столбе воздуха с площадью основания
1 м2, простирающемся от высоты h = 0 до
бесконечности
справедливо	х. Следовательно,
нормальное атмосферное давление в Денвере
составляет 0,83ро, где р0 — атмосферное да-
вление на уровне моря. Действительно, нор-
мальное атмосферное давление в Денвере
равно примерно 630 мм рт. ст.
Давление атмосферы всегда достаточно
для того, чтобы поддерживать столб воздуха
единичного поперечного сечения, простираю-
щийся вверх вплоть до границы атмосферы.
Атмосферное давление на уровне моря равно
примерно 1  105 Н/м2. Поскольку большая
часть атмосферы находится в области, где
д равняется 9,8 Н/кг, то масса столба моле-
кул воздуха с поперечным сечением 1 м2
и высотой вплоть до границы атмосферы бу-
Для столба с поперечным сечением 1 м2
т = 1 • 104 кг, р = 1 • 105 Н/м2
дет примерно равна 1 • 10* кг. Эти молекулы
летают вокруг нас.
Не совсем очевидно, как это им удается
действовать с силой, в точности равной их
весу, как будто все они спокойно лежат одна
на другой. Тем не менее если воспользовать-
ся законом распределения и вычислить число
молекул в столбе с площадью основания
1 м2, простирающемся от h = 0 до h = оо, то
в ответе получится 2,2 • 1029. Это число полу-
чится, если найти площадь под кривой на
графике функции распределения. Масса
Зависимость давления газа в сосуде от высоты:
р = p0e~mohk/T, р & />0 f 1 — m--h
\ кТ
Sp = p0-p = p0 ~—h.
кТ
Для молекул воздуха при Т = 290 К mg/кТ=
= 1,15 • 10-4 м' ’. Для сосуда высоты h — 1 м
Др = (1105 Н/м2) (1 "10“) = 11.5 Н/м2
этих молекул воздуха (масса каждой мо-
лекулы равна 4,7  10'26 кг) приблизитель-
но составит 1 • 104 кг. Их вес в точности ра-
вен атмосферному давлению на уровне моря.
Вопрос 13-8
Согласно закону распределения энергии
для газов, плотность газа у крышки ящи-
ка должна быть меньше, чем у его дна.
Если весь газ находится при одинаковой
температуре, то и давление сверху должно
быть меньше, чем давление снизу у дна
ящика. Как показано в расчете, приведен-
ном под рисунком, сила ударов молекул
о дно будет больше, чем сила ударов
о крышку. В каком соотношении с весом
газа в ящике находится эта добавочная
сила?
2.	Как и все остальное на поверхности
Земли, молекула воздуха находится в грави-
тационной потенциальной яме. Как показано
11*
323
в главе 10, глубина этой потенциальной ямы
равна
_ (6,7-10“11 Н  м2/кг2) ш  (6  1024 кг)
6,4 • 106 м
Для молекулы водорода с массой 3,3  10“27 кг
энергия связи в гравитационной потенци-
альной яме равна 2,07 10“19 Дж = 1,3 эВ.
Тепловая энергия молекулы равна (3/2) кТ,
что, как мы видели, при комнатной темпера-
туре составляет примерно (1/26) эВ. Отсюда
следует, что водород крепко привязан к Зем-
ле, поскольку глубина потенциальной ямы
примерно в 34 раза больше средней кинети-
ческой энергии теплового движения. Тем не
менее водород не остается в земной атмос-
фере. Несмотря на перемешивание газов
в атмосфере, более легкий водород подни-
мается постепенно наверх. Выше ионосферы
существуют области, где эквивалентная тем-
пература очень высока из-за бомбардировки
атомов и молекул потоком частиц, приходя-
щих от Солнца. Молекулы водорода, нахо-
дящиеся в высокоэнергетическом хвосте рас-
пределения по энергии, иногда приобретают
достаточную скорость для преодоления зем-
ного притяжения и, если эта скорость имеет
соответствующее направление, улетают от
Земли.
Средняя кинетическая энергия теплового
движения азота и кислорода такая же, как
и у водорода. Однако глубина их потен-
циальной ямы больше в 28/2 и 32/2 раз со-
ответственно для азота и кислорода. Напри-
мер, молекула азога находится в потен-
циальной яме с глубиной примерно 18 эВ.
Поэтому у Земли имеется атмосфера.
Вопрос 13-9
Почему у Луны нет атмосферы?
3.	Поскольку средняя кинетическая энер-
гия молекул различных типов одна и та же,
324
независимо от молекулярной массы, то при
определенной температуре более легкие мо-
лекулы движутся быстрее, чем более тя-
желые:
(1/2) mr2^ = (1/2) mv^
v»2/vo2 = |/то,/тн2.
Поскольку отношение масс кислорода и во-
дорода равно 16, то отношение их скоростей
равно 4.
Эта зависимость средней скорости от
массы молекулы может быть продемонстри-
рована различными путями. Напомним, что
скорость звука в воздухе составляет пример-
но две трети от средней скорости молекул
воздуха. Поэтому следует ожидать, что ско-
рость звука в водороде или гелии будет го-
раздо больше, чем в воздухе. Эффект можно
продемонстрировать, пропуская гелий через
трубу органа (или охотничий рог). Высота
тона трубы органа зависит от ее размера,
определяющего длину волны, и от скорости
звука в трубе. Поскольку длина волны
остается постоянной, то при заполнении
трубы гелием частота звука увеличивается.
Вопрос 13-10
Каково отношение средних скоростей
движения молекул гелия и кислорода?
Если частота звука в описанном экспери-
менте пропорциональна скорости его рас-
пространения в газе, заполняющем труб-
ку, то что происходит с высотой тона?
(Увеличение высоты тона на октаву со-
ответствует удвоению его частоты.)
Вакуумные устройства часто дают течь.
Она обусловлена не тем, что молекулы газа
всасываются через крошечную трещину или
отверстие в стенке. Просто молекулы уда-
ряются о все участки стенки. Если они попа-
дают в то место, где находится трещина, то
они могут попасть внутрь. Вероятность того,
что молекула попадет прямо в щель в стенке,
зависит от того, насколько часто молекула
ударяется о стенку и, следовательно, от ее
скорости. Удастся молекуле пройти сквозь
трещину или нет, может зависеть также от
относительных размеров щели и молекулы.
Поскольку молекулы водорода самые легкие
(т = 2), то может показаться, что водород
способен проникать внутрь или выходить на-
ружу из системы быстрее всех остальных га-
зов. Действительно, вакуумная камера или
камера с повышенным давлением должны
быть особенно непроницаемыми для того,
чтобы не пропускать водород внутрь устрой-
ства или мешать ему выходить наружу. Тем
не менее оказывается, что еще труднее иметь
дело с гелием. Гелий — одноатомный газ,
в то время как водород — двухатомный. Мо-
лекулярная (атомная) масса гелия в два раза
больше, чем у водорода, поэтому его сред-
няя скорость в 1,4 раза меньше. И все же ге-
лий проникает через трещины быстрее вслед-
ствие того, что одиночный атом гелия
значительно меньше, чем сдвоенные атомы
в молекуле водорода.
Диффузия газов в воздухе в чем-то схожа
с протеканием газов в камеру. В «Знакомстве
с явлениями» вам, возможно, удалось заме-
тить, что аммиак диффундировал быстрее
духов. Молярная масса аммиака равна все-
го 17.
Большинство молекул духов содер-
жит длинные цепи углерода, водород и дру-
гие элементы и поэтому имеют большую
молярную массу и размеры. Соответ-
ственно, скорость диффузии аммиака боль-
ше, чем духов.
4.	Разобранную простую модель газов
можно применять к любой частице, которая
удовлетворяет предположениям, поло-
женным в основу модели. Если частица взве-
шена в газе, даже при условии, что она до-
статочно большая и может наблюдаться
невооруженным глазом, ей все равно прихо-
дится принимать участие в случайном тепло-
вом движении. Этот эффект наблюдался, но
был неправильно понят в 1827 году англий-
ским ботаником Робертом Броуном. С по-
мощью микроскопа он наблюдал за мель-
чайшими частичками пыльцы, плавающими
на поверхности жидкости. Казалось, что эти
частицы покачиваются и движутся туда-сюда
сами по себе, как будто они были живые.
Этот эффект, который можно наблюдать, изу-
чая частицы, взвешенные в газе или жидко-
сти, получил название броуновского движе-
ния. Когда Максвелл и Больцман создали
кинетическую теорию газов, они предполо-
жили, что броуновское движение частиц про-
исходит из-за ударов молекул. Теория, одна-
ко, не была количественной до тех пор, пока
в 1905 году этим вопросом не занялся Эйнш-
тейн. Его теория ответила на вопрос, как да-
леко сможет мигрировать частица за за-
данный промежуток времени в зависимости
от температуры и соотношения масс ча-
стицы и молекулы.
Броуновское движение можно наблюдать
в микроскоп с увеличением порядка 50. Та-
кое наблюдение настолько близко, насколько
возможно, подходит к наблюдению резуль-
татов молекулярного движения непосред-
ственно невооруженным глазом. Выяснение
Эйнштейном причины этого явления истори-
чески послужило краеугольным камнем си-
стемы аргументов в пользу атомистического
учения. До 1905 года такие влиятельные
ученые, как физик Мах и химик Оствальд от-
стаивали точку зрения об отсутствии необхо-
димости в гипотезе существования атомов.
Частичка, которая видна в маломощный
микроскоп, должна иметь диаметр порядка
10 мкм (10-5 м). Диаметр молекулы газа со-
ставляет примерно 5 -10 '° м. Таким обра-
зом, отношение диаметров частички и моле-
кулы равно 2  10*. Отношение объемов и,
следовательно, приближенное отношение
масс равно 1013. Ситуация сравнима с той,
которую представлял бы океанский лайнер,
Диаметр частицы
диаметр молекулы
масса частицы
масса молекулы
1013
окруженный и подталкиваемый со всех сто-
рон морем бутылочных пробок. Поразитель-
ная черта этого явления заключается не
столько в том, что удары молекул (или про-
бок) могут заставить двигаться частичку
(или корабль), сколько в том, что такое дви-
жение вызывается флуктуациями в ударах.
В конце концов, в любой заданный момент
времени большое тело подвергается ударам
со всех сторон.
Вопрос 13-11
Частичка пыльцы диаметра 10 мкм
имеет объем примерно 10 15 м3. При-
ближенно плотность такой частицы
можно считать равной плотности во-
325
ды, что составляет 1-103 кг/м3. Ка-
кова средняя скорость такой частички
при комнатной температуре? (Напом-
ним, что частичка пыльцы, как и любая
другая частица в газе, имеет среднюю
кинетическую энергию, равную (3/2) к Т.)
5.	В «Знакомстве с явлениями» вы пыта-
лись сварить яйца и картофель при 80 °C.
Картофель так и не сварился. Почему полу-
чается такая большая разница в результатах
при 373 К и 353 К? Разница в температурах
составляет всего 5%. Если бы все молекулы,
участвующие в химической реакции, имели
строго определенную тепловую энергию, то
необходимость определенной температуры
для приготовления пищи можно было бы
объяснить с точки зрения необходимой поро-
говой энергии для взаимодействия. Однако
больцмановское распределение тепловой
энергии молекул приближенно справедливо
для твердых тел и жидкостей, а не только для
газов. Поэтому всегда некоторое количество
атомов находится в высокоэнергетическом
хвосте теплового распределения. Разве мож-
но, чтобы относительно небольшое увеличе-
ние температуры приводило к резкому уве-
личению заселенности высокоэнергетическо-
го хвоста распределения? Подставим неко-
торые числа и выясним этот вопрос.
Число атомов или молекул с энергией,
равной или большей некоторого определен-
ного значения IVnopor, приближенно равно
У ]/ Ч{юрог//сТе_ ^порогАг где ;у _ полное пле-
ло молекул в системе. Предположим, что опре-
деленная химическая реакция начинается при
энергии активации, или пороговой энергии,
равной ЗКпорог- Как мы видели, для боль-
шинства химических реакций эта энергия по
порядку величины составляет 1 эВ. Значение
кТ при комнатной температуре равно при-
близительно (1/40) эВ. (Вспомните вычисле-
ние, проделанное на с. 319, показавшее, что
(3/2)кТ = (1/26) эВ при Т= 293 К.) Подстав-
ляя эти значения в экспоненту, найдем, что
число молекул с энергией, большей или рав-
ной энергии, необходимой для начала хими-
ческой реакции, равно
jV.|/40.e-(1 эВ>/ (W эВ) =
= N • ]/40  е“40 % 3- 10't7N.
Получился очень маленький множитель,
но N может быть большим числом. (Напом-
ним, что для одного моля вещества N =
326
Число частиц с энергией свыше 1 эВ прибли-
зительно равно 3 10~17N
= 6 1023.) Заметьте, что произойдет, если
энергия активации уменьшится в 2 раза
и станет равной (1/2) эВ или, что эквивалент-
но, если температура увеличится в 2 раза
с 293 до 586 К. Число частиц с энергией,
большей энергии активации, станет равным
]/20- е~20 • N = 1 • 10“ 8N. Множитель при
N опять очень мал, но он вырос в З Ю8 раз.
Необходимое для реакции время зависит от
многих причин, таких как степень перемеши-
вания. Тем не менее если увеличение темпе-
ратуры вдвое приводит к возрастанию числа
пригодных для реакции частиц в ЗЮ8 раз,
то ясно, что реакция пойдет. При 293 К вы
чувствуете себя вполне уютно, читая эту кни-
гу; при 586 К книга начнет тлеть, а вы буде-
те в буквальном смысле поджариваться.
Вопрос 13-12
У химиков есть эмпирическое правило,
что при подъеме температуры на 10 °C
скорость реакции удваивается. Конечно,
это только грубое обобщение, из кото-
рого есть много исключений. Тем не ме-
нее посмотрите, что произойдет с экспо-
ненциальным распределением при энер-
гии активации 1 эВ, если температу-
ра увеличится от 90 до 100 °C (от 363
до 373 К).	Н
ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
В РЕАЛЬНЫХ ГАЗАХ,
ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ И ЖИДКОСТЯХ
1.	В этом мире очень мало
идеальных систем, включая газы. В рас-
смотренной модели идеального газа
предполагалось, что собственный объем
молекул равен нулю и что они не взаи-
модействуют между собой до тех пор,
пока не столкнутся. Ясно, что оба эти
предположения неверны. Как мы видели
в «Знакомстве с явлениями», соб-
ственный объем молекул газа соста-
вляет примерно 1/1000 объема, зани-
маемого газом при комнатной темпера-
туре. Известно также, что молекулы
притягиваются друг к другу, когда на-
ходятся на расстояниях, превышающих
расстояние, на котором начинается рез-
кое отталкивание. На р, У-диаграммах,
показанных на с. 293, гиперболы, со-
ответствующие уравнению состояния
идеального газа, справедливы только
при температурах, существенно боль-
ших температуры конденсации.
Было предложено много «уравнений
состояния» для того, чтобы описать по-
ведение газа во всем интервале измене-
ния давления, объема и температуры.
Наилучшее из известных уравнений —
это уравнение Ван дер Ваальса:
а \ ,
Р + ^Г (V-b) = RT.
В такой форме уравнение применимо
только для 1 моля газа. Смысл постоян-
ной b ясен непосредственно; ее значение
равно фактическому объему, занимае-
мому молекулами газа. Фактический
объем, доступный газу, меньше, чем
объем сосуда V, так как часть этого
объема занимают сами молекулы. При
комнатных температурах для большин-
ства газов поправка составляет всего
около 0,1%. (На практике поправочный
член оказывается примерно в четыре
раза больше действительного объема
молекул.)
Вывод поправки к давлению предста-
вляет собой немного более сложную за-
дачу. Очевидно, что давление, оказывае-
мое на стенку сосуда, должно быть
немного меньше, чем действительное
давление в газе, даваемое суммой р +
+ a/V2. Когда молекула газа находится
в окружении других молекул, неболь-
шие силы притяжения, действующие ме-
жду молекулами, компенсируются, по-
тому что в среднем на молекулу дей-
ствуют силы во всех направлениях.
Однако, когда молекула газа подлетает
к стенке сосуда, появляется нескомпен-
сированная сила, направленная внутрь
сосуда, которая ослабляет удар моле-
кулы о стенку. Число молекул, создаю-
щих эту направленную внутрь силу,
пропорционально плотности газа, как
и число молекул, ударяющихся о стенку.
Следовательно, этот эффект пропорцио-
нален квадрату плотности. Поскольку
мы имеем дело с фиксированным коли-
чеством газа, а именно с 1 молем, то
плотность обратно пропорциональна
объему. Поэтому поправочный член
пропорционален 1/V2. Для воздуха при
нормальных температуре и давлении по-
правочный член к давлению составляет
около 0,3%.
Вопрос 13-13
Чем ниже давление газа, тем ближе
он должен быть по своим свойствам
к идеальному газу. Однако разве не
становится при уменьшении давле-
ния поправочный член a/V2 все более
и более важным?
327
2.	Согласно кинетической теории
температура газа связана со средней ки-
нетической энергией молекул. Твердые
тела также нагреваются. Поскольку
каждый атом в твердом теле локализо-
ван в пространстве, то как он может по-
глощать тепловую энергию? Как было
показано в главе 10, каждый атом
находится в потенциальной яме, где он
WnoT
~-1эВ
может совершать колебательное движе-
ние. На графике показаны энергетиче-
ские соотношения. В разбираемой про-
стой модели предполагается, что атом
может колебаться около равновесного
положения с любой амплитудой, со-
ответствующей заданному значению
энергии. В действительности, как по-
казывает квантовая механика, ситуация
более сложная. Атом может находиться
только в определенных энергетических
состояниях. Тем не менее простая клас-
сическая модель дает удовлетворитель-
ное объяснение многим явлениям. Со-
гласно этой модели при поступлении
тепла в твердое тело энергия распреде-
ляется между всеми атомами, вынуждая
их колебаться с большей амплитудой,
при этом распределение энергии колеба-
ний сходно с распределением Максвел-
ла — Больцмана.
Каково соотношение между положи-
тельной энергией колебаний и отрица-
тельной потенциальной энергией связи?
Как мы уже видели во многих разных
случаях, химическая энергия связи, при-
.«•))> ч(в»1 (<•)>•	«(•)!'И.Л’
\||(• ))' ||Г• )>' .!(•»' >!(•»' <(•> !<•)>'
холящаяся на один атом, составляет
около 1 эВ. Средняя энергия теплового
движения при комнатной температуре
равна примерно (1/26) эВ. Следователь-
но, атомы в твердом теле находятся
в глубоких потенциальных ямах и их
колебания в среднем не позволяют им
подняться очень высоко по стенке ямы.
Температура твердого тела связана
с кинетической энергией колебаний ато-
мов таким же образом, как температура
газа связана с кинетической энергией по-
ступательного движения молекул. Теп-
ло распространяется по металлическо-
му стержню от конца с более высокой
температурой к концу с более низкой,
потому что атомы с большой амплиту-
дой колебаний передают часть своей
энергии соседям, распространяя таким
образом тепловую энергию вдоль
стержня Между атомами в твердом те-
ле и атомами в окружающем газе суще-
ствует схожая связь. Молекулы газа,
бомбардирующие поверхность, и коле-
блющиеся атомы твердого тела прихо-
дят к энергетическому и, следовательно,
температурному равновесию.
Хорошие электрические проводники
обычно являются и хорошими провод-
никами тепла. Чтобы объяснить этот
факт, необходимо добавить к рассма-
триваемой модели одну характерную
черту. В изолирующих веществах элек-
троны привязаны к атомам, которым
они принадлежат. Однако в металлах
один (или более) валентный электрон
может свободно двигаться по всему
образцу. Эти электроны проводимости
могут также переносить тепловую энер-
гию, и они делают это гораздо быстрее,
чем передают друг другу энергию со-
седние колеблющиеся атомы.
В главе 12 мы видели, что большин-
ство твердых тел расширяется при уве-
личении температуры. На первый
взгляд может показаться, что расшире-
ние можно объяснить увеличением
амплитуды колебаний связанных ато-
мов.
В конце концов, если каждый атом
совершает колебания в увеличиваю-
щейся с ростом средней кинетической
энергии области, то разве не будет
при этом увеличиваться в размерах
все тело?
328
Вопрос 13-14
В чем ошибочность этого довода?
Что происходит с положением рав-
новесия груза, колеблющегося на
пружине, при увеличении амплитуды
колебаний?
3.	На что больше похоже тепловое
поведение жидкости — на поведение
твердого тела или газа? В жидкости
атомы или молекулы должны распола-
гаться примерно на таком же расстоя-
нии друг от друга, как и в твердом теле.
В конце концов, для большинства ве-
ществ плотность жидкой фазы пример-
но такая же, как и твердой. Тем не ме-
нее отдельные атомы или молекулы
в жидкости связаны сравнительно сла-
бо, так что они могут двигаться относи-
тельно друг друга. Однако энергия, свя-
занная с этим блужданием, гораздо
меньше, чем энергия колебаний каждого
атома относительно его медленно пере-
мещающегося положения равновесия.
Период колебаний атома во временной
потенциальной яме, образованной сосе-
дями, гораздо меньше, чем время, необ-
ходимое для того, чтобы миновать этих
соседей.
Для большинства веществ количе-
ственное рассмотрение жидкой фазы все
еще представляет собой сложную зада-
чу. И газообразная и твердая фазы
поняты гораздо лучше. В жидкости су-
ществуют изменяющиеся скопления
(кластеры) атомов и молекул, иногда
обладающие достаточным порядком
для временной классификации, так что
в некотором смысле они ведут себя по-
добно кристаллам. В жидкости не только
непрерывно образуются, а затем разру-
шаются такие кластеры, но и происхо-
дят флуктуации движения массы
в микрообъемах жидкости, даже когда
средняя скорость движения жидкости
как целого равна нулю.
4.	При поступлении тепла в твердое
тело вещество может превратиться
в жидкость, а затем и в газ. (При опре-
деленных условиях твердое тело может
прямо превратиться в газ.) Во время фа-
зового перехода происходит поглоще-
ние энергии, не сопровождающееся из-
менением температуры. Очевидно, что
внутренняя энергия жидкой фазы боль-
ше, чем твердой, а внутренняя энергия
газообразной фазы больше, чем жидкой.
Однако это не означает, что при той же
температуре кинетическая энергия ато-
мов в жидкости больше, чем кинетиче-
ская энергия атомов в твердом теле,
или что кинетическая энергия поступа-
тельного движения в газе больше, чем
кинетическая энергия колебаний в жид-
кости или твердом теле. Вместо этого
энергия, необходимая для фазового
перехода — теплота плавления или па-
рообразования, должна идти на освобо-
ждение атомов из потенциальных ям.
Сравним глубину этих потенциальных
ям с глубиной ям, образующихся при
химическом связывании атомов.
Для воды теплота плавления равна
80 кал/г, а теплота парообразования
равна 540 кал/г. Выразим каждое из
этих чисел в джоулях на моль, а затем
в электрон-вольтах на молекулу.
Теплота плавления:
(80 кал/г)-(4,18 Дж/кал)-(18 г/моль) =
= 6020 Дж/моль = 1,4 ккал/моль,
(6020 Дж/моль) (6-1018 эВ/Дж)
6 1023 молек/моль
= 0,06 эВ/молек.
Теплота парообразования:
(6020 Дж/моль)-(540/80) =
= 40,700 Дж/моль = 9,7 ккал/моль,
(0,06 эВ/молек) • (540/80) =
= 0,4 эВ/молек.
В противоположность химическим
превращениям фазовые переходы обыч-
но называют физическими превраще-
ниями. Такое разграничение нельзя про-
вести исключительно на основе энерге-
тических эффектов, хотя обычно при так
называемых физических переходах энер-
329
гия в расчете на одну молекулу меньше,
чем при химических превращениях. Для
воды теплота плавления мала по срав-
нению с энергией активации, необходи-
мой при большинстве химических реак-
ций. Но теплота парообразования срав-
нима с энергией химических превраще-
ний. Энергия, необходимая для разло-
жения молекулы воды на кислород
и водород, равна 2,98 эВ/молек. А для
разложения молекулы H2S на водород
и серу нужно всего 0,23 эВ. Обратите
внимание на то, что это «химическое»
В насыщенном паре происходит конкурен-
ция между испарением с поверхности кро-
шечных капель и конденсацией Конденсация
побеждает, koi да размер капель достшает
критического значения, что, возможно, обеспе-
чиваегся присутствием частичек пыли
превращение требует меньше энергии,
чем «физический» переход из воды
в пар. В таблице приведены значения
энергий фазовых переходов и энергий
химической связи для ряда веществ.
Энергия фазовых переходов и энергия
образования молекул (эВ/молек)
Тип молекулы	Теплота парооб- разования*)	Тепчота плавления	Энергия образо- вания молекул из атомов
НС1	0,17	0,021	0,96
H,S	0,19	0,025	0,23
NaCl	—	0,29	1,89
СО,	сублими-	0,087	4,09
	руется		
со	0,063	0,0087	1,15
NH;	0,243	0,059	0,48
н2о	0,42	0,062	2,5
*) Теплота парообразования дана для нор-
мального атмосферного давления
Как мы видели в главе 12, жидкости
не обязательно замерзают в точке за-
мерзания и не обязательно кипят в точ-
ке кипения. Аналогично в чистой от пы-
ли атмосфере возможно существование
без конденсации относительной влаж-
ности 140%. Перегрев, переохлаждение
и пересыщение — это все явления, ко-
торые до сих пор поняты не очень хоро-
шо. Фазовые переходы происходят бы-
стрее, когда имеются ядра или фазовые
«зародыши», на которых происходит
формирование пузырьков или кристал-
лов. Например, в насыщенном водяным
паром воздухе каждая капелька воды
образуется на мельчайших пылинках
или на заряженных ионах, образо-
ванных какой-либо пролетающей ча-
стицей.
МОЛЯРНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ АТОМНОЙ
МОДЕЛИ
В главе 12 мы рассмотрели законо-
мерности в поведении молярной те-
плоемкости различных веществ. При
комнатной температуре молярная те-
плоемкость одноатомного газа соста-
вляет около 3 кал/ (моль • К). Теплоем-
кость двухатомного газа равна пример-
но 5 кал/(моль  К). У большинства
металлов молярная теплоемкость соста-
вляет около 6 кал/(моль- К). С другой
стороны, теплоемкость зависит от
температуры. Хорошая атомная теория
должна быть в состоянии объяснить не
только закономерности, но и исклю-
чения.
Молярная теплоемкость вещества
определяется как отношение полученно-
го 1 молем этого вещества количества
теплоты к происходящему при этом
увеличению температуры: c = Q/\T. По-
лучаемое веществом тепло используется
двумя путями: может измениться вну-
тренняя энергия системы и может быть
совершена механическая работа. Форму-
ла, выражающая первый закон, имеет
вид: Q = АП + А.
Поскольку мы предположили, что
в рассматриваемой модели атомы или
молекулы не имеют размеров и внут-
ренней структуры, то полная внутренняя
энергия газа определяется кинетической
330
энергией поступательного движения ча-
стиц. Эта кинетическая энергия равна
U = IV (1/2) mv2 = IV (3/2) кТ= (3/2) RT.
Таким образом, в этой простой мо-
дели газа изменение температуры на АТ
приводит к изменению внутренней энер-
гии, равному
А [7 = (3/2) RAT.
Работа может быть совершена при рас-
ширении газа: А = рАК Если тепло по-
ступает в газ, находящийся при по-
стоянном объеме, то никакой работы не
совершается. Молярная теплоемкость
в этом случае обозначается через су.
При постоянном объеме теплоемкость
Си =
Q	AU	3 АТ
= + 0 = — R 
АТ АТ	2 АТ
= -R = 3 калДмоль • К).
Вопрос 13-15
Почему теплоемкость получилась
в расчете на моль, а не на грамм?
Как на основе значения постоян-
ной Больцмана к, заданного в
джоулях, было получено значение
R в калориях?
Если при подводе тепла газу было
позволено расширяться, то для нагрева-
ния на 1 К потребуется дополнительное
тепло. Совершаемую работу очень про-
сто вычислить в частном случае, когда
расширение газа происходит при по-
стоянном давлении. Напомним, что
уравнение газового состояния имеет вид
pV = nRT Если давление газа поддержи-
вается постоянным, а температура при
этом увеличивается, то должен увеличи-
ваться и объем: pAV = nRAT. Совершае-
мая работа равна pAV. Первый закон за-
писывается так:
Q = AU + А = (3/2) nRAT + nRAT.
Для одного моля
3
2 = —RAT+RAT
Молярная темплоемкость при постоян-
ном давлении равна
/ О \ 3	5
.=	^=.R + R=-R =
р \АТ)р 2	2
= 5 кал/(моль- К).
Согласно рассматриваемой простой
модели, значения молярной теплоемко-
сти должны быть одинаковыми для всех
газов, а разность между молярными теп-
лоемкостями при постоянном давле-
нии и постоянном объеме равна
2 калДмоль К). Взгляните на таблицу на
с. 301, в которой приведены молярные
теплоемкости для некоторых газов. Срав-
ним эти экспериментальные значения
с нашей теорией. Сначала заметим, что
разность с — су действительно имеет
значение, равное 2 калДмоль • К). Далее,
теплоемкости аргона и гелия в точности
совпадают с вычисленными значениями.
Очевидно, что они полностью соответ-
ствуют такой простой модели. Однако
для двухатомных газов, имеющих более
сложные молекулы, необходима и более
сложная модель.
Поглощаемая молекулой энергия
должна переходить не только в кинети-
ческую энергию поступательного движе-
ния. Это не удивительно! Два атома,
связанные вместе, могут вращаться во-
круг общего центра масс и могут коле-
баться, как если бы они были соединены
пружинкой. Каждый вид движения мо-
жет поглощать энергию. Возможно, что
внутренняя энергия U должна включать
в себя энергию^ поступательного дви-
жения lV(l/2)nw2, энергию вращения
IV (1/2)/аг2 и энергию колебаний
N(l/2)kx2. Вопрос в том, как должна
распределиться энергия между раз-
личными типами движений. Кинетиче-
ская энергия поступательного движения
молекулы как целого может быть пред-
ставлена как энергия движения вдоль
331
Колебания и вращения двухатомной моле-
кулы
трех взаимно перпендикулярных направ-
лений. Ясно, что в газе эта энергия делит-
ся поровну между указанными тремя на-
правлениями. Двухатомная молекула
может вращаться, как гантель, вокруг
своих осей, перпендикулярных к направ-
лению, вдоль которого вытянута молеку-
ла. На каждое из этих вращений должна
приходиться одинаковая энергия. Когда
двухатомная молекула совершает коле-
бания, она обладает и кинетической,
и потенциальной энергией; в среднем на
каждый вид колебаний (моду) приходит-
ся одинаковая энергия.
В классической механике предпо-
лагалось, что принцип равного рас-
пределения энергии по всем энерге-
тическим модам выполняется при усло-
вии, что система в течение достаточно
длинного промежутка времени обладает
возможностью свободно взаимодей-
ствовать со всеми своими компонента-
ми. Каждая такая мода называется сте-
пенью свободы. Например, поступатель-
ному движению соответствует три сте-
пени свободы, поскольку это движение
может быть разложено по трем незави-
симым направлениям, задаваемым ося-
ми х, у и z. Колебательному движению
вдоль одной прямой соответствуют две
степени свободы — по одной для кине-
тической и потенциальной энергии.
Согласно этому принципу в системах
многих взаимодействующих частиц, где
все перечисленные движения могут
влиять друг на друга и обмениваться
энергией, в среднем по времени на ка-
ждую степень свободы приходится оди-
наковая часть полной энергии. Спра-
ведливым будет не только равенство
(1/2) mv2 = (1/2) шг2к для одной молекулы,
но и равенство
(1/2) mv2A = (1/2) mve
для двух различных молекул одного
и того же газа. Далее, для вращений раз-
личных молекул газа относительно каж-
дой оси
(1/2)	= (I/2) 1в<й2в, = (1/2) 1вт2Вх.
Принцип равнораспределения энергии
служил краеугольным камнем в класси-
ческой механике XIX века, хотя справед-
ливость этого принципа не сразу оче-
видна и ее непросто доказать.
Если в газе действительно выполняет-
ся равнораспределение энергии, то каж-
дая из возможных мод движения моле-
кул будет на равных участвовать в
разделе тепловой энергии, подводимой к
газу. Именно в этом месте рассмотренная
простая классическая модель и начинает
трещать по швам. Следующий шаг
в объяснении неожиданно требует при-
влечения квантовой механики. Глядя на
экспериментальные значения молярной
теплоемкости двухатомных молекул
при постоянном объеме, мы видим, что
при комнатной температуре молекулы
Н2, О2, N2 и НО, несомненно, имеют
пять степеней свободы. (Заметьте, что
каждая степень свободы ответственна за
вклад в значение молярной теплоемко-
сти 1 кал/(моль • К).) Из других экспери-
ментов и из квантовомеханических расче-
тов следует, что две дополнительные
степени свободы этих двухатомных мо-
лекул связаны с возможным вращением
вокруг двух осей. Достаточно очевидно,
что при столкновении таких молекул
они заставляют друг друга вращаться.
Даже для самой простой молекулы Н2
теплоемкость не может быть объяснена
на основе классической механики. Как
видно из графика, при низких темпера-
турах некоторые степени свободы моле-
кулы водорода оказываются выморо-
женными. Поскольку молекулы, несом-
332
Вопрос 13-16
Почему двухатомная молекула не
может вращаться вокруг оси, прохо-
дящей через ее атомы? Далее, поче-
му атомы гелия не могут иметь вра-
щательных мод движения вокруг
Движение двухатомной молекулы при раз-
личных температурах: а — Т= 10 К — только
поступательное движение; б — Т= 100 К —
к поступательному движению начинает до-
бавляться вращение, в — Т— 300 К — посту-
пательное движение и вращение; г — Т=
= 3000 К — к поступательному движению
и вращению начинают добавляться коле-
бания
ненно, могут перемещаться в простран-
стве, то это означает, что по некоторой
причине их вращательные и колеба-
тельные моды не могут участвовать
в распределении энергии. Получается,
что имеет место пороговый эффект
с новыми степенями свободы, которые
появляются при увеличении темпера-
туры. Вот что при этом происходит.
Вращение может осуществляться только
с определенными дискретными порция-
ми энергии, так как момент импульса
может быть только целым кратным по-
стоянной Планка. Минимальная энер-
гия, необходимая для колебаний, обыч-
но даже больше. Теорема о равнорас-
пределении энергии основана на предпо-
ложении, что любая мода движения мо-
жет обладать произвольной энергией,
включая очень маленькие порции, и что
энергия этой моды может изменяться
непрерывно. Поскольку вращательная и
колебательная энергии квантованы, они
не могут участвовать в распределении
энергии до тех пор, пока получаемая при
столкновении энергия не превысит кван-
тового порога.
каждой из трех взаимно перпендику-
лярных осей? В конце концов, кине-
тическая энергия катящегося шара
состоит из кинетической энергии по-
ступательного движения и кинетиче-
ской энергии вращения.
Молярные теплоемкости большин-
ства металлов имеют примерно одина-
ковое значение, 6 кал/(моль-К). Соглас-
но нашей простой модели на каждый
атом должно приходиться по 6 степеней-
свободы. Как это может быть? В метал-
ле каждый атом локализирован в опре-
деленном месте кристаллической решет-
ки. Он, разумеется, может совершать
колебания, причем в трех независимых
направлениях. Этим модам соответ-
ствуют 3 степени свободы. Однако, как
мы видели, на каждую моду колебаний
приходится вдвое большая энергия, чем
на 1 моду свободного движения. Одна
половина приходится на кинетическую
энергию, а другая — на потенциальную.
Каждый связанный атом может совершать
колебания в трех направлениях. Каждое
направление характеризуется одной сте-
пенью свободы для кинетической энергии и
одной степенью свободы для потенциальной
энергии
333
с,кал/(моль-К)
К сожалению, классическая теория ис-
пытывает трудности при объяснении,
почему теплоемкость металлов должна
зависеть от температуры. Как следует
из графика, наблюдаемые закономерно-
сти имеют место при комнатной темпе-
ратуре и то только в том случае, если
не учитываются элементы, располо-
женные внизу таблицы периодической
системы.
Существует еще более серьезное за-
труднение при объяснении свойств те-
плоемкости металлов на основе класси-
ческой теории. Объясняя, почему ме-
таллы являются хорошими проводника-
ми и электрического заряда, и тепла, мы
предположили, что валентные элек-
троны каждого атома могут свободно
перемещаться по кристаллу, перенося
электрический заряд и тепловую энер-
гию. Эти электроны должны вести себя
подобно газу в металлическом кристал-
ле. Если это так, то почему свободные
электроны не поглощают тепловую
энергию, добавляя таким образом еще
3 степени свободы к 6 степеням, ко-
торыми обладает каждый «родитель-
ский» атом? В действительности вклад
электронов в теплоемкость очень мал.
Они могут переносить тепловую энер-
гию, но почти ничего не поглощают са-
ми. Эта странная ситуация получила пол-
ное объяснение в современной кванто-
вой механике.
Хотя детальное описание механизма
поглощения тепловой энергии предста-
вляет собой очень сложную задачу, зна-
чение теплоемкости какого-либо веще-
ства дает полезную информацию
о сложности его микроструктуры.
Взгляните еще раз на таблицу на с. 300
и обратите внимание на то, что очень
сложным молекулам присущи большие
теплоемкости. Некоторые из этих
данных просто поразительны, даже на
качественном уровне рассмотрения. На-
пример, заметьте, как велика теплоем-
кость воды, молекула которой довольно
проста.
Вопрос 13-17
Сравните молярную теплоемкость
воды с теплоемкостью других ве-
ществ, молекулы которых имеют та-
кую же степень сложности (два ато-
ма одного типа, соединенные
с третьим атомом другого типа). По-
чему у воды такая большая теплоем-
кость? Куда девается лишняя тепло-
вая энергия, если она не приводит
к повышению температуры?
ПРЕВРАЩЕНИЕ ТЕПЛА
В РАБОТУ
Не существует никакой проблемы
в том, чтобы превратить механическую
энергию в тепло или во внутреннюю
энергию. Просто дайте тяжелому бру-
ску скользить вниз по наклонной пло-
скости. Потенциальная энергия тяготе-
ния превращается в кинетическую энер-
гию механического движения. Трение
останавливает брусок, поднимая темпе-
ратуру соприкасающихся поверхностей
и заставляя тепло течь к более хо-
лодным окружающим телам.
Теперь попробуем обратить этот
процесс. Сможем ли мы заставить теп-
ло течь к бруску так, чтобы брусок
скользил обратно вверх по наклонной
плоскости? Конечно, это нелегко сде-
лать. Первоначальное упорядоченное
движение бруска как целого преврати-
лось в случайное хаотическое движение
молекул бруска и наклонной плоскости.
Вопрос 13-18
Как работают некоторые устройства,
выделяющие упорядоченные усилия
из хаоса? Баллон с газом? Бак с во-
дой под высоким давлением? Поли-
тический лидер?
Промышленная революция произо-
шла потому, что люди научились полу-
чать работу из тепла. Тепловые ма-
шины вращают большинство генерато-
ров на электростанциях и приводят в
334
Нагреватель
Нагреватель
WZ/A/, Поршень
Поршень
A=pav
A=pAV
движение многие транспортные средст-
ва. Рассмотрим устройство простейшей
тепловой машины и выясним, насколько
эффективным может быть ее действие.
Для этой цели можно изучить систе-
му любого типа, которая берет тепло от
нагревателя при определенной темпера-
туре и использует его для совершения
работы. Вопрос заключается в следую-
щем: все ли полученное тепло Q превра-
щается в полезную работу А? Если так,
то коэффициент полезного действия ра-
вен 100%. Такая идеальная машина
должна была бы работать без трения.
Она должна была бы работать, как го-
ворят в технике, обратимо (в термоди-
намике обратимость процесса соответ-
ствует отсутствию трения в обычной
механике).
В обратимых процессах с участием
тепла все происходит медленно и равно-
мерно, так что температура и давление
рассматриваемого вещества все время
постоянны. Например, при обратимом
расширении газа, находящегося в ци-
линдре под поршнем, движение поршня
должно быть настолько медленным,
чтобы в газе не возникало ударных
волн и чтобы температура и давление
газа в любой момент времени были
одинаковыми по всему объему. Почему
процесс, удовлетворяющий этим усло-
виям, называется обратимым? Предпо-
ложим, что к газу в цилиндре подводит-
ся тепло, что заставляет его медленно
расширяться. Поршень будет выдви-
гаться наружу, совершая полезную ра-
боту. Если бы процесс в самом деле мог
бы быть обращен, то было бы возмож-
но вдвинуть поршень обратно, исполь-
зуя такое же количество работы, сжи-
мающей газ, и отводя тепло от ци-
линдра. Такой процесс, действительно,
принципиально возможен, при условии,
что трение в цилиндре отсутствует
и что ударные волны в газе не рассеи-
вают энергию через стенки цилиндра,
вместо того чтобы совершать работу по
перемещению поршня. Взрыв паров
бензина и воздуха в цилиндре двигателя
автомобиля не является обратимым
процессом, поскольку при движении пор-
шня в цилиндре в обратном направле-
нии, конечно, не происходит восстано-
вления отработанных газов в пары
бензина и воздух.
Простейшая идеальная машина со-
стоит из идеального газа, находящегося
в цилиндре, закрытом поршнем. Можно
было бы использовать и другие веще-
ства, расширяющиеся при подводе теп-
ла, но для идеального газа нам уже из-
вестны необходимые уравнения. На
первый взгляд стоящая перед нами за-
дача кажется очень простой. Следует
направить тепло в газ, находящийся
в цилиндре, и он начнет расширяться.
Поршень будет выталкиваться наружу,
будет перемещаться в пространстве точ-
ка приложения действующей на него
силы, и, следовательно, будет совер-
шаться работа, которую легко вычис-
лить. Задачу можно сделал ь еще проще,
если подводить тепло к газу при по-
стоянной температуре. В главе 12 было
объяснено, как это можно сделать. Ме-
таллическую стенку цилиндра можно
привести в контакт с нагревателем. За-
тем поршню разрешается передвигаться
настолько медленно, чтобы газ все вре-
мя находился при температуре нагрева-
теля.
В главе 12 такой процесс был опре-
делен как изотермический.
(. гадия 1. Изотермический процесс при шмпе-
ратуре Т\, давление р ~ 1/Й
335
Вопрос 13-19
Если температура газа в цилиндре
постоянна, то какое соотношение
между теплом Q и совершенной ра-
ботой А следует из первого закона
термодинамики?
Может показаться, что с помощью
такого процесса можно извлекать поря-
док из хаоса с эффективностью в 100%.
Полученное от нагревателя тепло Q}
превратилось в совершенную поршнем
работу, которая соответствует площади
под кривой на р, У-диаграмме. Посколь-
ку температура газа не изменилась, то
он не поглотил никакой энергии. К не-
счастью, мы не можем повторить этот
процесс, используя тот же самый ци-
линдр, поскольку поршень теперь вы-
двинут наружу. Можно взять другой пор-
шень, но вряд ли это будет целесо-
образный путь создания тепловой ма-
шины. Что следует сделать, так это
вдвинуть поршень обратно в первона-
чальное положение. Тогда получится
циклический процесс, который будет по-
вторяться снова и снова. Вопрос заклю-
чается в том, каким образом можно
вдвинуть поршень обратно, не совершая
такую же работу, какую только что по-
лучили. Использованный изотермиче-
ский процесс по определению является
обратимым. Если совершать такую же
работу, то газ можно сжать при по-
стоянной температуре до первоначально
занимаемого им маленького объема
при высоком давлении. В этом процессе
будет выделяться тепло, которое уйдет
обратно в нагреватель. Мы вернемся
в первоначальное состояние, причем бу-
дут равны нулю и суммарное количе-
Возврашенпс по тому же пут: система при-
ходит в исходное состояние, но работа не
совершается
ство теплоты, и суммарная совершенная
работа.
Можно предложить такой способ
осуществления циклического процесса,
при котором цилиндр, поршень и газ
вернутся в свое первоначальное состоя-
ние и при этом система не повторит
вспять пройденный путь. После того
как от нагревателя будет получено теп-
ло Qi при изотермическом процессе,
следует изолировать цилиндр от нагре-
вателя, так чтобы исключить обмен теп-
лом между ними. Затем следует предо-
ставить газу возможность расширяться
дальше, производя при этом работу.
Стадия 2. Адиабатический процесс (Q = 0),
температура понижается от Т( до Т2
Необходимая для этого энергия будет
заимствоваться из запаса внутренней
энергии газа по мере того, как будут
уменьшаться его давление и температу-
ра. Эта вторая часть цикла, которая
осуществляется без обмена теплом, на-
зывается адиабатическим процессом.
Между прочим, заметьте, что такой вы-
бор, когда сначала используется изо-
термический процесс, следом за ко-
торым идет адиабатический, совершен-
но необязателен. Каждый из этих эта-
пов мог бы быть частично изотермиче-
ским, а частично адиабатическим или ни
одним из них. Единственное требование
заключается в том, чтобы расширение
происходило достаточно медленно, так,
чтобы процессы были обратимыми.
Выбор чисто изотермического и адиаба-
тического процессов только делает вы-
числения более простыми.
I Вопрос 13-20
На первой стадии цикла•тепловой
машины от нагревателя было полу-
336
чено количество теплоты Q2 и пор-
шень совершил работу А2 = Qt. На
второй стадии тепло не поступало,
но поршень совершил работу А2. На
первый взгляд получается, что пре-
вращение тепла в работу было про-
изведено с эффективностью, превы-
шающей 100%, поскольку Aj + А2 >
>2!. Действительно ли работа по-
лучена из ничего?
После окончания первых двух ста-
дий цикла тепловая машина находится
в таком состоянии: поршень выдвинут
наружу настолько, насколько это воз-
можно, а газ в цилиндре находится при
низком давлении и низкой температуре.
Если мы хотим продолжать использо-
вать тепловую машину, то нужно вер-
нуть газ и цилиндр в исходное состоя-
ние. И снова, в целях простоты вычисле-
ний, легче всего рассмотреть изотерми-
ческий и адиабатический процессы. На
Стадия 3. Изотермический процесс при тем-
пературе Т2
третьей стадии цикла необходимо вдви-
нуть поршень обратно, совершая при
этом работу и сжимая газ от давления
р3 до давления р4. Если это сжатие про-
исходит при постоянной температуре,
то придется отдать некоторое количе-
ство теплоты термостату, находящемуся
при этой температуре. Это можно сде-
лать, приведя конец цилиндра в контакт
через металлическую стенку с находя-
щимся при низкой температуре радиа-
тором или тепловой баней. Количество
отданной теплоты Q2 должно быть рав-
но внешней работе, совершенной над
поршнем.
На р, Е-диаграмме этой работе со-
ответствует площадь под кривой сжатия
газа
Стадия 4. Адиабатический процесс, температу-
ра повышается ог Т2 до Т). За счет внеш-
ней работы увеличивается внутренняя энергия
газа от (3/2) к Т2 до (3/2) к7\
Четвертая стадия цикла — это снова
адиабатический процесс, когда цилиндр
изолирован и не может обмениваться
теплом с окружающими телами. Над
поршнем совершается внешняя работа
А4, и вся она переходит во внутреннюю
энергию газа, характеризуемую его тем-
пературой. В результате этой четвертой
стадии цикла поршень возвращается
в свое исходное положение, а газ — к
первоначальным значениям давления,
объема и температуры. Энергетический
баланс выглядит так: от нагревателя
было получено тепло Qr при температу-
ре Т]. Поршнем была совершена рабо-
та А] +А2. При возвращении тепловой
машины в начальное состояние необхо-
димо было совершить работу А3 + А4.
Необходимо было также отдать количе-
ство теплоты Q2 при более низкой тем-
пературе Т2. В результате полезная ра-
бота, совершенная тепловой машиной,
равна At + А2 — А3 — А4. Как требует
закон сохранения энергии, выражаемый
первым законом термодинамики, эта
полезная работа должна быть равна
суммарному использованному количе-
ству теплоты: Ql — Q2 = А.
Энергия в действительности, не те-
ряется, но, с другой стороны, мы не мо-
жем превратить всю имеющуюся энер-
гию в полезную работу. Далее, отдавае-
мое тепло Q2 может использоваться
только при более низкой температуре.
Обычно на электростанциях это тепло
отдается холодной воде из реки или
озера. В большинстве случаев это тепло
теряется, хотя на некоторых станциях
12 Кл Э Суорц, т 1
337
оно отдается при температурах, доста-
точно высоких для того, чтобы отапли-
вать здания. Тем не менее если иметь
в виду его использование для получения
механической энергии, то это тепло
обесценивается. Коэффициент полезного
действия рассмотренной идеальной теп-
ловой машины равен отношению полез-
ной работы к количеству полученной те-
плоты Поскольку совершаемая ме-
ханическая работа равна Qt — Q2, то
коэффициент полезного действия равен
(Qi-все-
возможный тепловой цикл:
Qi = ДУ + су(Т2 - 7i)m
но решил общую задачу об определении
коэффициента полезного действия лю-
бой тепловой машины, использующей
произвольный цикл. Заметьте, что он
сделал это за 25 лет до того, как среди
ученых стала общепризнанной точка
зрения, что тепло представляет собой
поток энергии. Конкретный цикл, про-
анализированный Карно, совпадает
с только что описанным нами. Он назы-
вается циклом Карно. Карно показал,
что любой обратимый цикл обладает
некоторыми универсальными чертами,
которые справедливы для всех обра-
тимых циклов. Взглянем внимательно
на характерные особенности цикла Кар-
но и постараемся понять, почему Карно
утверждал, что эти особенности при-
сущи всем идеальным тепловым ма-
шинам.
При таком схематическом подходе
приходится отвлечься от всех деталей
устройства машины. Основное назначе-
ние тепловой машины — брать от нагре-
вателя, находящегося при температуре
Вопрос 13-21
Может быть, рассмотренная тепло-
вая машина неэффективна потому,
что мы выбрали неудачную последо-
вательность расширений и сжатий
газа. Возможно, существует другой
способ возвращать цилиндр и пор-
шень в первоначальное положение,
не совершая при этом работы. На-
пример, почему бы просто не дать
газу расширяться до атмосферного
давления? Затем открыть клапан
и вдвинуть поршень обратно, не
сжимая при этом газ и не совершая,
таким образом, никакой работы.
Когда цилиндр будет иметь первона-
чальный объем, клапан можно за-
крыть и подвести тепло, чтобы под-
нять температуру и давление газа до
первоначального значения. Не будет
ли коэффициент полезного действия
такого цикла по превращению тепла
в работу равняться 100%?
Тепловая машина (a): Qi = А + Q2; тепловая
машина-рефрижератор (б): А + Q2 =
Площадь, заштрихованная наклонными ли-
ниями,—работа, совершенная самим расши-
ряющимся газом; площадь, заштрихованная
вертикальными линиями, — работа, совершен-
ная над газом
ЦИКЛ КАРНО
Существует бесчисленное количество
способов превращения тепла в работу.
В 1824 году молодой француз Сади Кар-
338
Т2, некоторое количество теплоты 2i
и получать некоторую полезную работу
А. Однако, для того чтобы замкнуть
цикл, необходимо отдавать небольшое
количество теплоты Q2 при более низ-
кой температуре Т2. Поскольку каждый
шаг цикла полностью обратим, то мож-
но создать холодильную машину (ре-
фрижератор), пустив все процессы в цик-
ле вспять. Как показано на схеме,
в холодильной машине требуется неко-
торое количество работы, для того
чтобы забирать небольшое количество
теплоты Q2 при низкой температуре Т2
и отдавать тепло Q1, равное сумме со-
вершенной работы и полученного тепла,
при более высокой температуре Т2. На-
пример, в домашних холодильниках ра-
бота А совершается электромотором,
а тепло забирается из морозильной ка-
меры при низкой температуре Т2. Пол-
ная энергия 21 отдается затем окру-
жающему воздуху из радиатора, распо-
ложенного сзади холодильника, при
температуре 7\.
На р, Р-диаграмме для цикла Карно
совершаемая работа соответствует пло-
щади, ограниченной циклом. Графиче-
ски очевидно, почему путь возвращения
в исходное состояние должен отличать-
ся от пути, по которому происходит
расширение. Иначе площадь, ограничен-
ная циклом, будет равна нулю и со-
ответственно не будет совершаться по-
лезная работа. Независимо от кон-
кретных процессов, используемых в цик-
ле по превращению тепла в работу,
площадь, ограниченная графиком, со-
ответствует полученной полезной ра-
боте.
Как уже указывалось, причиной вы-
бора последовательности изотермиче-
ских и адиабатических шагов послужило
желание сделать вычисления проще. Так
и обстоит дело, если требуется вычислить
совершенную за цикл работу. Работа,
совершаемая при малом изменении
объема, А = рД К Для того чтобы опре-
делить полную работу, совершаемую
при увеличении объема газа, сопрово-
ждающемся уменьшением его давления,
необходимо знать зависимость давле-
ния от объема. Необходимые формулы
хорошо известны и относительно про-
сты, если они применяются для изотер-
Стадия 1 — изотермическая:
V1
V1
А2 = nRT2	RT In
J v И
vt
стадия 2 — адиабатическая:
A2 = AU = nCy(T2 - 7j);
стадия 3 — изотермическая:
Q2 = Al = nRT2 In Yl.-
Vt
стадия 4 — адиабатическая:
At = AU = nCv(T2 - T2\ A2- At= 0.
Таким образом,
6i = nRT2 In (V2/V) = 1}_ ln(K2M)
Q2 nRT2ln(y2/Vt) T2 ln(K3/K4)
мического и адиабатического расшире-
ния идеальных газов.
Адиабатический процесс:
Р2П=Р3ИУ3,
Р1П=Р4П,
Pi nJ Pa ’
Изотермический процесс:
Pl^l =Р2^2>
Рз^З = Р4К1,
p^fYiX1
Pl \V1/
k Pt \ vt)
12*
339
Отсюда
Следовательно,
/М
\ vj
(ХА Ql
\vj’ Qi
II
t2'
Окончательный результат очень прост
и очень важен: при использовании
в этом цикле идеального газа Q1/Q2 =
= 1\/Т2. Отношение полученного теп-
ла к отданному теплу равно отноше-
нию абсолютных температур нагревате-
ля и холодильника. Выражение для
коэффициента полезного действия г| ма-
шины можно записать в таком виде:
л _ Qi ~ Qz _ ] _ Ql
Qr~ Qi ~ Qi
_ t T2 _ Tt - T2
Получается, что в случае цикла Кар-
но коэффициент полезного действия при
превращении тепла в работу зависит
только от температуры нагревателя
и холодильника (термостатов с темпера-
турами Т] и Т2). Обратите внимание на
то, что, несмотря на предположение
о том, что газ в цилиндре является
идеальным, процесс не зависит ни от
количества используемого газа, ни от
начальных значений давления или объе-
ма. Коэффициент полезного действия
является функцией только двух темпе-
ратур.
Вопрос 13-22
Котел современной тепловой стан-
ции работает при температуре около
550 °C. Отработанное тепло может
отводиться к озеру или реке при
температуре около 20 °C. Каков бы
был коэффициент полезного дей-
ствия, если бы машина работала по
идеальному циклу Карно?
Познакомившись с некоторыми чер-
тами цикла Карно, мы возвращаемся
к вопросу о том, может ли какая-нибудь
другая тепловая машина иметь более
высокий коэффициент полезного дей-
ствия. Прежде всего постараемся предо-
ставить этой конкурирующей машине
наибольшие шансы и предположим, что
Машина Карно (а) и «более эффективная»
тепловая машина (б)
Машина
Две машины Карно, работающие вместе,
в результате не совершается работа и не
происходит перекачки тепла
в ней используются только обратимые
процессы. Напомним, что это соответ-
ствует такой ситуации в механике, когда
трение отсутствует. Энергия не рассеи-
вается ударными волнами и не теряется
за счет теплопроводности боковых сте-
нок. До тех пор пока процессы являют-
ся обратимыми, приводимые соображе-
ния будут справедливыми для машины
любого типа, использующей любое ве-
щество. Например, в машине может ис-
пользоваться реальный газ вместо
идеального или вообще она даже может
быть сделана из резиновых полос. (Те-
пловые машины, использующие растя-
жение и сжатие разиновых полос, дей-
ствительно, были созданы.) Предполо-
жим, что такая машина, получающая
тепло при температуре Т\, совершаю-
щая работу, а затем отдающая тепло
при более низкой температуре Т2, об-
ладает более высоким коэффициентом
полезного действия, чем машина, дей-
ствующая по циклу Карно. При за-
данном количестве получаемого тепла
эта «более эффективная» машина совер-
шит больше работы и отдаст меньше
тепла холодильнику.
Пусть «более эффективная» машина
работает как холодильная, используя
при этом работу, совершаемую маши-
340

@2 A1
Работа, совершаемая машиной Карно,
дает возможность использовать «более эф-
фективную» тепловую машину как холо-
дильную (рефрижератор). Полная совершае-
мая работа равна нулю (Л1 = Л2), и перека-
чиваемое от холодильника (Т2) к нагрева-
телю (более высокая температура Т)) коли-
чество теплоты равно Q3 — Q2
ной, действующей по циклу Карно.
В этих услбвиях другая машина Карно
была бы в состоянии взять отданное
первой машиной тепло Q2 и передать
его нагревателю, находящемуся при вы-
сокой температуре Т1. В результате вся
система возвращалась бы в свое исход-
ное состояние. Однако если эта же са-
мая работа используется машиной с бо-
лее высоким коэффициентом полезного
действия, которая действует как холо-
дильная, то от холодильника с низкой
температурой Т2 будет передано нагре-
вателю с температурой Тг большее ко-
личество теплоты.
В результате энергия будет заби-
раться у термостата с более низкой тем-
пературой и перекачиваться в термостат
с более высокой температурой. Не по-
требуется совершения никакой внешней
работы для действия этой пары машин,
поскольку машина Карно получает
энергию от нагревателя и снабжает ею
более эффективную машину.
Вопрос 13-23
Не будет ли эта комбинация машин
нарушать закон сохранения энергии?
К конце концов их совместная дея-
тельность приводит к перекачке все
большего и большего количества
энергии к нагревателю.
ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Первый закон термодинамики сво-
дится к утверждению, что теплота пред-
ставляет собой форму энергии и что
энергия сохраняется. Теперь мы прихо-
дим ко второму закону термодинамики,
который может быть выражен многими
различными способами. Одна из наибо-
лее простых формулировок второго за-
кона заключается в том, что тепло не
может само по себе переходить от ме-
нее нагретых тел к более нагретым.
Второй закон нельзя доказать. Это один
из фундаментальных законов — утвер-
ждение, что что-то не может происхо-
дить. Другим таким законом является
утверждение о том, что ни энер1ия, ни
информация, ни материальные тела не
могут распространяться быстрее, чем со
скоростью света.
Хотя сами эти фундаментальные за-
коны и не могут быть доказаны, они
приводят к ряду определенных след-
ствий. Если все эти следствия подтвер-
ждаются в результате эксперимента, то
можно верить и в первоначальную ги-
потезу. Мы увидим, что второй закон
дает много таких предсказаний. Кроме
того, повседневный опыт показывает,
что тепло всегда переходит от более на-
гретых тел к менее нагретым. Заметьте,
что не было бы никаких потерь энергии,
если бы тепло переходило в обратном на-
правлении. Первый закон термодинами-
ки не был бы нарушен, если бы мы могли
использовать на промышленных пред-
приятиях тепловую энергию, взятую
у океана. Такой процесс приводил бы
просто к небольшому его охлаждению.
Но тепло должно было бы течь от бо-
лее низкой температуры океана к более
высокой температуре котельной уста-
новки. Но этого не происходит.
Теперь обратим внимание на одно
из следствий второго закона термодина-
мики. Если тепло не может перетекать
от холодных тел к горячим без совер-
шения внешней работы, г огда разобран-
ная выше комбинация тепловых машин
не будет работать. Следовательно, не
может быть никакой тепловой машины
с более высоким коэффициентом полез-
ного действия, чем у цикла Карно. Бо-
лее того, все машины, использующие
обратимые процессы и работающие ме-
жду температурами Т} и Т2, должны
иметь одинаковый коэффициент полез-
ного действия. Нет необходимости ана-
лизировать каждый возможный цикл.
341
Цикл Карно или любой другой цикл,
использующий обратимые процессы,
обладает максимальным возможным
коэффициентом полезного действия.
Машина, в которой используются не-
обратимые процессы, обязательно будет
иметь меньший коэффициент полезного
действия, поскольку часть энергии будет
теряться из-за трения и других тому
подобных явлений.
Поскольку коэффициент полезного
действия цикла Карно зависит только
от используемых температур и не зави-
сит от устройства машины, то появляет-
ся возможность определить температу-
ру по-новому. Напомним, что в главе 12
при определении температуры отмечал-
ся тот факт, что температурные шкалы,
использующие различные вещества, не-
много отличаются друг от друга. Была
определена абсолютная шкала темпера-
туры, основанная на свойствах идеаль-
ного газа. В эксперименте идеальный
газ — это приблизительно то же самое,
что и любой газ, взятый при низком да-
влении и температуре, существенно пре-
вышающей точку конденсации. Из полу-
ченных результатов следует, что темпе-
ратура, введенная указанным путем,
определяет также коэффициент полезно-
го действия тепловых машин, который
вообще не зависит от свойств исполь-
зуемых веществ. В принципе, можно бы-
ло бы установить абсолютную шкалу
температуры с помощью идеальной теп-
ловой машины, работающей между
двумя температурами. Если бы тепло-
вая машина работала между какой-то
температурой и нулем по абсолютной
шкале, то коэффициент полезного дей-
ствия был бы равен 100%:
Если мы произвольно выберем неко-
торую определенную температуру как
100°, то температура 200° определяется
как такая температура, при которой
коэффициент полезного действия тепло-
вой машины, работающей между этой
температурой и температурой, выбран-
ной в качестве 100 °, равен 50 %:
200°-100°
200°
На практике температурные шкалы
определяются экспериментально не по
измерениям коэффициентов полезного
действия тепловых машин. Однако,
в принципе, температуру можно опреде-
лить таким путем, который не зависит
от свойств термометра.
Температура, определенная таким
путем (называемая иногда температу-
рой Кельвина), должна совпадать с аб-
солютной температурой, которая была
определена на основе свойств
идеальных газов. Обратите внимание на
то, что на с. 339 использовались уравне-
ния идеального газа для того, чтобы по-
казать, что Qi/Qi = Tj/Tj. Поэтому
коэффициент полезного действия обра-
тимой тепловой машины, использую-
щей идеальный газ, равен (Tj — Т2)/7\,
где Т— абсолютная температура, опре-
деленная на основе идеального газа.
Однако поскольку все обратимые ма-
шины, работающие между температура-
ми Tj и Т2, должны иметь одинаковый
коэффициент полезного действия, неза-
висимо от рабочего вещества, то эта аб-
солютная температура должна совпа-
дать с температурой Кельвина, опреде-
ляемой с помощью тепловых машин.
Совершенно очевидно, что суще-
ствует важная практическая задача сде-
лать процесс превращения тепла в рабо-
ту максимально эффективным, посколь-
ку большая часть используемой в мире
энергии поступает от тепловых машин.
Дело не только в том, что выбрасывать
часть тепловой энергии при более низ-
кой температуре расточительно. Это
приносит с собой и другую неприят-
ность. Выбрасываемое тепло загрязняет
реки и озера, приводя к экологическим
изменениям. В свое время Карно занял-
ся этой проблемой исключительно из-за
ее практической важности. Реальные ма-
шины всегда менее эффективны, чем
идеальные. Но идеальный случай можно
использовать по крайней мере как цель
и как способ контроля при определении
решающих факторов.
На больших тепловых электростан-
циях в качестве рабочего вещества ис-
пользуется пар при очень высоких тем-
пературе и давлении. Расширяющийся
пар не толкает поршень, а вращает тур-
бину. По мере продвижения по турбине
342
температура и давление пара пони-
жаются, пока наконец на дальнем конце
турбины пар не конденсируется, образуя
вакуум. Часть пара забирается на на-
чальных стадиях, снова нагревается
и опять посылается на вход турбины.
Для того чтобы понизить температуру
и давление на выходе, по радиаторам
циркулирует охлаждающая вода. Отда-
ваемое машиной тепло затем выводится
в реку или озеро при температуре этого
источника воды, обычно около 20 °C
Для повышения коэффициента полезно-
го действия такой машины температуру
нагревателя Т следует сделать как мож-
но более высокой. Почему бы ее не сде-
лать равной той температуре, которую
можно получить в печи — что-то около
2000 °C? Проблема заключается в том,
что при такой температуре пар имел бы
очень большое давление и был бы
й единицы
ж электрической
энергии
10 единиц
энергии
,ffединиц
рассеянной
энергии
3 единицы
ж электрической
энергии
S
10 единиц^
энергии '
7 единиц
энергии,
рассеянной
при низкой
температуре
а — Типичная тепловая электростанция под-
водится Ю единиц энергии, теряется при
низкой температуре 6 единиц энергии, по-
лучается 4 единицы электрической энергии,
б — типичная атомная электростанция' под-
водится Ю единиц энергии, теряется при
низкой температуре 7 единиц энергии, получа-
ется 3 единицы электрической энер) ии
очень коррозийным. Никакой реальный
котел не выдержал бы такой темпера-
туры. На практике идут на компромисс,
используя такую температуру, при кото-
рой не происходит разрушения котла
и начальных участков турбины. Боль-
шинство мощных электростанций рабо-
тает при температуре нагревателя по-
рядка 1100 °F, что составляет около
600 °C. При температуре холодильника
20 °C коэффициент полезного действия
такой машины
873 К-293 К
П =------------
1	873 К
Вследствие трения во вращающихся
частях и других потерь реальный коэф-
фициент полезного действия таких стан-
ций ниже — обычно он меньше 40%.
Это означает, что на каждый джоуль
производимой электрической энергии
придется израсходовать по 2,5 джоуля
энергии, получаемой при сгорании неф-
ти или угля. При этом дополни-
тельные 1,5 джоуля энергии выбрасы-
ваются в охлаждающую воду, что при-
водит к повышению температуры рек
и озер.
Тепловое загрязнение воды выра-
стает в серьезную проблему по мере то-
го, как строится все больше и больше
электростанций. Атомные электростан-
ции, которые начинают широко исполь-
зоваться, в этом смысле еще хуже. Дело
в том, что топливные элементы на
атомных станциях нельзя нагревать до
слишком высоких температур, так как
иначе происходит их коррозийное раз-
рушение, что приводит к утечке радиа-
ции. Котлы на атомных станциях рабо-
тают при температуре ниже 600 °F, что
соответствует примерно 330 °C. Коэффи-
циент полезного действия идеальной
машины, работающей между такой тем-
пературой и 20°C, составляет около
50%. Вследствие других потерь ре-
альный коэффициент полезного дей-
ствия для многих атомных электростан-
ций равен всего 30 %. За каждый джоуль
производимой электроэнергии прихо-
дится расходовать 3 джоуля, причем
2 джоуля приходится выбрасывать в ох-
лаждающую воду.
343
 Дополнительный материал
Большинство людей пользуется те-
пловыми машинами у себя дома — холо-
дильниками или воздушными кондиционера-
ми. Используя подводимую энергию, обычно
электрическую, эти машины перекачивают
тепло из более холодного места в более на-
гретое. Вычислим коэффициент полезного
действия такого устройства, предполагая,
что оно представляет собой обращенную
идеальную тепловую машину. При превра-
щении тепла в работу коэффициент полезно-
го действия
_ 61 — 62___— Т2
71' 6. ’V Л
Когда мы хотим перекачивать тепло Q2, со-
вершая как можно меньшую работу А, мы
используем эту машину как холодильную.
Эффективность холодильной машины,
таким образом, равна
q2 _ е. - л = е^_1=2_1 =
А А А т|
= Т> _ 1 = Т>
Т, - т2 т, - т2 
В соответствии с этими выражениями эффек-
тивность холодильной машины пропорцио-
нальна температуре того тела, от которого
мы отбираем тепло, и обратно пропорцио-
нальна разности температур, между которы-
ми оно перекачивается. Естественно поэтому,
что перекачка тепла от тел с очень низкой
температурой к телам с очень высокой стоит
дорого. Кроме того, немного дешевле пере-
качивать тепло кондиционером от 20 °C до
30 °C, чем холодильником от — 10 °C до 0°С.
Типичный кондиционер для спальни при по-
треблении мощности 750 Вт перекачивает за
час количество теплоты, равное 5 000 британ-
ских тепловых единиц (БТЕ). Посмотрим,
какова будет эффективность такой машины
в сравнении с эффективностью идеальной хо-
лодильной машины:
/	1 с \
\ 750 ДжJ Х
( 1 ч \ / 1055 Дж \
х--------------------= 1 95
\ 3600 cj \ 1 БТЕ J ’
Реальная эффективность этой машины близ-
ка к 2. Если в комнате поддерживается тем-
пература 20 °C, а снаружи температура 30 °C,
344
62 _ / 5000 БТЕ
А \ ч
то эффективность идеальной машины, рабо-
тающей обратимо, равна 29:
О2 293 К
— =----------------= 29,3.
А 303- К - 293 К
В действительности, даже если разность
температур в комнате и снаружи равна всего
10 °C, реальная разность температур охла-
ждающей спирали и наружного радиатора
будет больше, что-нибудь около 30 или
40 °C. Это приведет к тому, что эффектив-
ность идеальной машины понизится до зна-
чения, меньшего 10. Но даже и при этом ус-
ловии ясно, что реальная машина потреб-
ляет в несколько раз больше энергии, чем
обратимая идеальная машина. Избыточная
электрическая энергия, конечно, превращает-
ся в тепло, которое также следует отвести,
желательно наружу.	И
ЭНТРОПИЯ
Сложная система взаимодействую-
щих между собой частиц, такая как газ,
содержащий много молекул, обладает
определенным запасом внутренней энер-
гии. Мы редко в состоянии измерить
эту энергию непосредственно и в дей-
ствительности обычно интересуемся
только изменениями энергии. Но даже
изменения внутренней энергии фактиче-
ски можно найти лишь через измерение
таких величин, как давление, объем
и температура. Для определенного ко-
личества молекул газа измерение
любых двух из этих величин определяет
третью и характеризует также внутрен-
нюю энергию. Неважно, какие изменения
происходят с газом, но если они закан-
чиваются при тех же значениях давле-
ния, объема и температуры, при ко-
торых и начинались, то и внутренняя
энергия газа остается неизменной.
Существует другой способ описания
состояния системы. Предположим, что
в сосуде с газом молекулы, обладающие
большой энергией, собрались с одной
стороны, а молекулы с низким значе-
нием энергии — с другой. Внутренняя
энергия системы будет такой же, как и
в случае, когда такие молекулы равно-
мерно перемешаны по объему. Не суще-
ствует закона сохранения, который за-
прещал бы описанное мгновенное рас-
пределение молекул, но вероятность его
реализации очень мала. Необходимо
иметь способ описания возможности
осуществления определенного распреде-
ления взаимодействующих частиц си-
стемы. Мера этой вероятности назы-
вается энтропией.
Обычно невозможно непосредствен-
но измерить энтропию системы, как не-
возможно измерить и ее внутреннюю
энергию. Нам приходится иметь дело
главным образом с изменениями энтро-
пии, которые могут быть выражены че-
рез такие величины, как давление, объем
и температура. Формальное определе-
ние энтропии на языке вероятности вы-
глядит так: S = к In Р. Энтропия равна
произведению постоянной Больцмана
на натуральный логарифм вероятности
того, что система имеет определенное
Если система состоит из 10 монет,
которые перемешиваются и подбрасы-
ваются вверх, то наиболее вероятное
распределение при каждом подбрасыва-
нии будет состоять в выпадении 5 орлов
и 5 решек. Выпадение 10 орлов или 10
решек в принципе возможно, но крайне
маловероятно. Р = (1/2)10. Что касается
молекул газа, то каждая возможная
комбинация положений и скоростей мо-
лекул подчинена требованию, чтобы пол-
ная внутренняя энергия оставалась по-
стоянной. Каждое возможное распреде-
ление молекул, которое. удовлетворяет
этому условию, имеет одинаковую ве-
роятность, но существует гораздо боль-
ше таких комбинаций положений
и скоростей, при которых молекулы
равномерно заполняют пространство,
а их скорости соответствуют обычному
Распределение Максвелла - Больцмана: мак-
симуму вероятности соответствует макси-
мум энтропии
распределению, чем комбинаций, при
которых все молекулы собираются
в одной части сосуда.
Равновесное распределение, показан-
ное на верхнем графике, наиболее ве-
роятно, потому что оно может быть ре-
ализовано наибольшим числом спосо-
бов. В действительности при очень
большом числе молекул количество
Очень маловероятное распределение, кото-
рому соответствует низкое значение энтро-
пии. Графики функции распределения дают
число молекул, имеющих определенную кине-
тическую энергию, в зависимости от энергии.
Детальный график распределения Максвел-
ла — Больцмана приведен на с. 320
комбинаций, которым может быть ре-
ализовано любое распределение, замет-
но отличающееся от равновесного, прене-
брежимо мало. Заметьте, что если ве-
роятность Р равновесного распределе-
ния больше, чем любого другого рас-
пределения, то энтропия, определенная
выше, максимальна, когда система на-
ходится в равновесном состоянии.
Вопрос 13-24
Энтропия определена так, что она
пропорциональна логарифму вероят-
ности. Почему бы просто не опреде-
лить ее пропорциональной самой ве-
роятности? Чтобы ответить на этот
вопрос, рассмотрите два сосуда с га-
зом, А и В. Энтропия газа в первом
сосуде SA = к In РА, а во втором —
SB — к In Рв. Если газы не смеши-
ваются, то полная энтропия должна
345
быть просто равна их сумме
Sa+b = Sa + Sb = klnPA + Л1пРв =
= к In (Ра?в)- Действительно ли веро-
ятности должны складываться та-
ким образом?
Sg — fc In Pg

A В
SA + B=^^(PAPb)
Поскольку вычислять детальные ве-
роятности конфигураций сложных си-
стем не очень просто, то следует по-
искать другой путь описания изменения
энтропии. Ключ к тому, как это сделать,
можно найти, еще раз проанализировав
цикл Карно. При обратимом тепловом
цикле рабочее тело в конце концов при-
ходит в исходное состояние несмотря на
то, что в течение двух стадий к нему
подводилось или отводилось тепло. Как
было показано, при возвращении си-
стемы в исходное состояние количество
теплоты и температура должны быть
связаны соотношением
6i_=
т1 т2-
Сейчас мы дадим другое определе-
ние энтропии, а затем обоснуем правдо-
подобность того, что это новое опреде-
ление соответствует тем же свойствам
системы, что и старое. Если к системе
в результате обратимого процесса под-
водится тепло Q при температуре Т, то
ее энтропия увеличивается на AS = QJT
Согласно этому определению энтро-
пия газа в цилиндре обратимой тепло-
вой машины при первом изотермиче-
ском расширении будет увеличиваться.
Это увеличение равно ASj = QJT\  При
этом на столько же уменьшается энтро-
пия нагревателя. Полная система не ис-
пытывает изменения энтропии во время
адиабатического расширения или сжа-
тия, поскольку при этом не происходит
обмена теплом. Во время третьей ста-
дии изотермического сжатия энтропия
газа в цилиндре уменьшается на AS2 =
= 62/^2- Холодильник получает это ко-
личество энтропии. В конце полного цик-
ла энтропия газа в цилиндре имеет
первоначальное значение, поскольку
Q1/T1=Q2/T2. Полная энтропия всей
системы также не меняется, хотя нагрева-
тель потерял энтропию, равную Q1/T1,
в то время как холодильник получил эн-
тропию Q2 /Т2. Энтропия просто пере-
несена от источника тепла к его поглоти-
телю, но для всей системы в целом она
не изменилась.
Однако в необратимой тепловой ма-
шине количество теплоты, полученной
от нагревателя, должно быть достаточ-
но велико, чтобы скомпенсировать поте-
ри энергии за счет трения и других при-
чин. В этом случае Q1/Т1 больше, чем
Q2/T2. В конце цикла охлаждающая вода
получает дополнительное количество
теплоты и общая энтропия всей си-
стемы увеличивается. В действительно-
сти обратимый процесс можно опреде-
лить как такой, при котором энтропия
изолированной системы не изменяется.
Необратимые процессы всегда приводят
к увеличению энтропии. Это свойство
может быть использовано для другой
формулировки второго закона термо-
динамики.
При любом процессе полная энтропия
изолированной системы или увеличивает-
ся, или остается неизменной. Эта фор-
мулировка второго закона эквивалентна
прежней, которая утверждала, что тепло
не может самопроизвольно переходить
от менее нагретых тел к более на-
гретым. Например, если пара работаю-
щих вместе тепловых машин могла бы
перекачать количество теплоты Q от хо-
лодильника к нагревателю без соверше-
346
ния дополнительной работы, то холо-
дильник потерял бы энтропию, равную
б/Т2. Нагреватель при этом получил бы
энтропию, равную Q/1\. Поскольку 7]
больше Т2, то Q/T2 больше, чем Q/Tx.
Уменьшение энтропии холодильника бы-
ло бы больше, чем увеличение энтропии
нагревателя. Поэтому энтропия всей си-
стемы должна была бы уменьшиться. По-
скольку тепло не может переходить
к более нагретым телам без совершения
внешней работы, то энтропия изолиро-
ванной системы не может уменьшаться.
Естественное следствие отсюда заклю-
чается в том, что при любом процессе,
где имеется необратимость, полная эн-
тропия изолированной системы увели-
чивается. Только при обратимых про-
цессах она не изменяется.
 Дополнительный материал
Покажем эквивалентность двух определе-
ний энтропии для идеального газа. Уравнение
газового состояния:
р = NkT/V.
Работа, совершаемая при изотермическом
расширении,
v2	v2
f	Г	dV	/ V2 \	n
A = lpdV=NkTI------= NkTln — =Q,
J	J V	\vj
v,	v.
Q	/ v, \
Д5газа = —= Nfcln — .
T	\vj
(Выражение выведено с помощью уравнения
газового состояния.)
Изотермическое расширение: р = NkT/V
Энтропия в терминах вероятности Р:
S = klnP.
Вероятность одной молекуле находиться
в объеме V пропорциональна V. Когда N мо-
лекул находятся в объеме V, вероятность
Р ~ VN (прочитайте ответ на вопрос 13-24).
Таким образом,
AS = fclnCpf-klnCV?' = Nkln( —
\ V,
(Выражение выведено, исходя из вероят-
ностных соображений.)
Полученные выражения для AS одина-
ковы.	И
Приведенные утверждения об энтро-
пии и формулировки второго закона
термодинамики имеют ряд далеко иду-
щих следствий. Поскольку большинство
естественных процессов в мире необра-
тимо, то энтропия Вселенной или по
крайней мере ее части, окружающей нас,
должна непрерывно возрастать. Это оз-
начает, что энергия, пригодная для по-
лучения полезной работы, непрерывно
уменьшается, поскольку энергия дегра-
дирует, переходя в низкотемпературные
формы.
В терминах вероятностного определе-
ния энтропии второй закон термодина-
мики означает, что распределение вещест-
ва и энергии в нашей изменяющейся части
Вселенной очень маловероятное. С тече-
нием времени мы должны приближаться
к более вероятному равновесному рас-
пределению, которое, к несчастью, бу-
дет реализовано при очень низкой тем-
пературе. Высокоорганизованная од-
нажды Вселенная (большая плотность
в маленькой области) при своем разви-
тии в отдаленном будущем должна прий-
ти в состояние случайного хаоса. Ко-
нечно, еще остается сколько-то времени
существования, в течение которого, воз-
можно, удастся обнаружить, что Вселен-
ная обладает какими-то тайнами, ко-
торые позволят ей сохраниться в при-
емлемом для нас виде.
Поскольку энтропия является мерой
вероятности распределения частей си-
стемы, она также должна характеризо-
вать беспорядок в системе. Наиболее ве-
роятным представляется случайное рас-
пределение частей динамической взаи-
347
модействующей системы. Специфиче-
ское высокоупорядоченное распределе-
ние было бы крайне маловероятным.
Тем не менее во всей окружающей нас
природе наблюдаются очень сложные
системы с поражающей степенью упо-
рядоченности. Не последнее место
в этом вопросе занимаем и мы. Живой
организм способен получать молекулы
из земли и воздуха и образовывать из
них высокоорганизованные комбинации
клеток и больших структур. Фактически
живые существа — это рефрижераторы
энтропии. Они способны создавать по-
рядок из хаоса.
I Вопрос 13-25
Можем ли мы утверждать, что живые
существа не подчиняются второму
закону термодинамики?
РЕЗЮМЕ
Для того чтобы понять описанные
в главе 12 тепловые явления, мы рас-
смотрели модель строения вещества
и проанализировали ее следствия. Мы
предположили, что вещество состоит из
атомов различного типа, которые обла-
дают примерно одинаковым радиусом,
11О“10 м. Между большинством ато-
мов Действуют силы притяжения. Когда
они собраны вместе, то поведение ка-
ждого из них может быть представлено
как колебания в потенциальной яме,
образованной соседними атомами.
В атомной модели поведения
идеальных газов предполагается, что
собственный объем молекул пренебре-
жимо мал, а их столкновения между со-
бой являются упругими и происходят
мгновенно. При построении кинетиче-
ской теории газов было проанализирова-
но движение молекулы при ее столкнове-
нии со стенками сосуда. Эти столкнове-
ния приводят к появлению действую-
щей на стенку силы, что выражается
в соотношении pV =	Извест-
но, что для реальных газов справедлив
закон pV = NkT Если эта модель верна,
то Жкин = (3/2) fcZ Средняя кинетическая
энергия молекулы оказывается связан-
ной с абсолютной температурой. Под-
ставляя в эту формулу числа, мы на-
шли, что кинетическая энергия моле-
348
кулы при комнатной температуре равна
(1/26) эВ, что гораздо меньше обычной
энергии химической связи. Средняя ско-
рость движения молекул в воздухе не-
много больше скорости звука. Эта ско-
рость обратно пропорциональна ква-
дратному корню из массы молекулы.
Как следствие этого, гелий быстрее уле-
тучивается из закрытого сосуда, чем
воздух. Броуновское движение можно
объяснить как блуждание большой ча-
стицы, находящейся в тепловом равно-
весии с бомбардирующими ее молеку-
лами.
У молекул имеется распределение по
энергиям, выходящее далеко за пределы
среднего значения. Распределение Макс-
велла — Больцмана по энергиям и по
скоростям согласуется с экспериментом
и объясняет многие явления, происходя-
щие как в газах, так и при колебаниях
атомов в твердых телах и жидкостях.
Для любой системы, находящейся в те-
пловом равновесии, н./и, =
— (И/ _ ty ) /ГТ	1	1
= е 1 1 2П . Для газов в атмосфере
р = poe~mgh/kT. Благодаря тому что рас-
пределение позволяет некоторым моле-
кулам иметь очень большую энергию,
газы могут покидать гравитационные
потенциальные ямы, которые гораздо
глубже, чем средняя кинетическая энер-
гия молекул. Экспоненциальный харак-
тер распределения объясняет, почему
относительно небольшое повышение
температуры может привести к значи-
тельному увеличению числа молекул,
энергии которых больше некоторого по-
рогового значения.
Мы проанализировали поведение ре-
альных газов, твердых тел и жидкостей,
чтобы сравнить их с рассмотренной
атомной моделью. Поведение реальных
газов хорошо описывается уравнением
Ван дер Ваальса: (р + a/V2)(V—Ь)—
— RT. Поправочные члены соответ-
ствуют тому факту, что в действитель-
ности молекулы имеют некоторый
объем и взаимодействуют друг с дру-
гом на расстояниях, превышающих их
фактический радиус. Предположив, что
атомы в твердых телах и жидкостях ко-
леблются в потенциальных ямах и что
энергия этих колебаний пропорциональ-
на температуре, удается качественно
объяснить многие их свойства. Теплота
плавления и теплота парообразования
характеризуют энергии, необходимые
для освобождения молекул от связей
с их соседями.
Согласно рассмотренной модели мо-
лярная теплоемкость при постоянном
объеме должна быть равна
су = Q.I&T = (3/2) R = 3 калДмоль • К),
а при постоянном давлении — ср =
= (3/2) R + R = 5 калДмоль • К). При ком-
натной температуре это согласуется
с экспериментальными данными. Для
объяснения расхождений было постули-
ровано равнораспределение энергии
и определены степени свободы. Напри-
мер, двухатомные молекулы кроме по-
ступательного движения по трем напра-
влениям могут еще совершать вращения
и колебания. Каждая степень свободы
вносит одинаковый вклад в тепловую
энергию при условии, чго энергия до-
статочно велика для того, чтобы пре-
одолеть пороговое квантомеханическое
значение. Поскольку некоторые из этих
пороговых значений достаточно высоки
и способны выключить часть степеней
свободы, то теплоемкости зависят от
температуры.
Второй закон термодинамики отно-
сится к превращению тепла в работу.
Этот закон имеет несколько эквивалент-
ных формулировок: тепло не может са-
мопроизвольно переходить от менее на-
гретых тел к более нагретым; коэффи-
циент полезного действия идеальной те-
пловой машины зависит только от
температур, между которыми она рабо-
тает, и равен (Tj — Т^/Т\ ; при любом
процессе энтропия изолированной си-
стемы не может уменьшаться.
Мы проанализировали работу тепло-
вых и холодильных машин, особенно цик-
ла Карно, в котором используются толь-
ко изотермические и адиабатические ша-
ги. Коэффициент полезного действия теп-
ловых машин может быть в принципе
использован для определения абсолют-
ной шкалы температуры (шкалы Кель-
вина), которая не зависит от свойств ве-
щества, используемого в циклическом
процессе. Реальные машины должны от-
давать при низкой температуре боль-
шую часть тепла, полученного ими при
высокой температуре.
Энтропия S является мерой беспоряд-
ка в системе взаимодействующих частиц.
Была показана эквивалентность двух
определений. В терминах вероятности
Р распределения частей системы S =
= к In Р. Изменение энтропии системы
при обратимом подводе или отводе те-
пла AS = <2/Т Благодаря тому что боль-
шинство процессов необратимо, эн-
тропия Вселенной неизменно увеличи-
вается.
Ответы на вопросы
13-1. Вам придется самим оценить объем
сконденсировавшихся капель воды
на стеклянных стенках сосуда. Пол-
ный объем будет не больше, чем
1 или 2 см3. Объем водяного пара
в сосуде просто равен объему сосу-
да. Напомним, что литр примерно
равен кварте. По сравнению с объе-
мом при комнатной температуре
пар расширился в (373 К)/(293 К)
раз. Хотя это число велико, оно
вряд ли превосходит неопределен-
ность, вносимую при определении
объема сконденсировавшихся капель
воды.
13-2. Открывая дверь холодильника, вы мо-
жете ощутить поток холодного возду-
ха, выходящий наружу и опускаю-
щийся к полу. Поместив руку вблизи
радиатора сзади холодильника, мож-
но, однако, ощутить теплый подни-
мающийся воздух. Тепло, забираемое
внутри холодильника, поступает
в комнату. В дальнейшем мы увидим,
что в подобной ситуации невозможно
даже нарушить равномерное распре-
деление температуры. Пока холодиль-
ник работает, существует поток энер-
гии внутрь комнаты, передающийся
по электрическому кабелю, по которо-
му подается напряжение, заставляю-
щее мотор вращаться.
13-3. Молярная масса, выраженная в грам-
мах, численно равна атомной массе.
Например, масса 1 моля атомов угле-
рода равна 12 г. Молярный объем ра-
вен отношению молярной массы к
плотности. Среди элементов, приведен-
ных в таблице на с. 316, наименьшие
молярные объемы у бериллия (5 см3)
и у графита (5,2 см3). Наиболь-
ший молярный объем у натрия (23,7
см3). Удивительно большой молярный
объем у свинца (18,3 см3). Чем меньше
молярный объем, тем меньше раз-
349
меры отдельных атомов, или, по край-
ней мере, тем плотнее они упакованы.
Свинец — очень «неплотное» вещество,
если иметь в виду его место в периоди-
ческой системе элементов. Заметьте,
что, хотя молярные объемы отли-
чаются почти в пять раз, большинство
из них с точностью до множителя,
равного двум, имеют значение около
10 см3. Атомные диаметры, получае-
мые с помощью такого вычисления, от-
личаются друг от друга еще меньше,
так как атомный диаметр пропорцио-
нален кубическому корню из молярно-
го объема. Поэтому диаметр атома бе-
риллия равен 1,7 10 10 м, в то время
как диаметр атома натрия равен
2,9-10"10 м, а диаметр атома
урана - 23- 10"10 м.
13-4. Из того, с чем вы познакомились
в «Знакомстве с явлениями», следует,
что объем сконденсировавшейся на
стенках сосуда воды не превосходит
1 или 2 см3. Если раньше объем был
равен примерно 1 кварте (или 1 ли-
тру), то объем молекул в жидкой фазе
составляет только 1/1000 объема, за-
нимаемого молекулами в газовом со-
стоянии. Следовательно, будет пра-
вильно считать, по крайней мере
в первом приближении, что соб-
ственный объем молекул мал по срав-
нению с объемом, который они зани-
мают в газообразной фазе.
13-5. Давление пропорционально квадрату
скорости, потому что скорость двояко
влияет на импульс, передаваемый
стенке. Чем больше скорость моле-
кулы, тем значительнее импульс, пере-
даваемый при каждом ударе, и чем
больше скорость молекулы, тем мень-
ше время между двумя столкновения-
ми. Результирующее давление про-
порционально передаваемому при
ударе импульсу, деленному на проме-
жуток времени между соударениями.
Согласно рассматриваемой модели,
средняя кинетическая энергия молекул
газа зависит только от температуры.
При одинаковой температуре средняя
скорость молекул водорода будет го-
раздо больше, чем средняя скорость
молекул хлора. Их средняя кинетиче-
ская энергия, однако, будет одинако-
вой.
13-6. Средняя скорость молекулы газа дей-
ствительно очень велика. Но расстоя-
ние, проходимое ею до столкновения
с другой молекулой, микроскопически
мало. Вместо того чтобы лететь пря-
мо к вам поперек комнаты, моле-
кула газа медленно движется от
источника по зигзагообразной траек-
тории. Такой процесс называется диф-
фузией.
13-7. На первый взгляд может показаться,
что 10Й7(5Й) —это все равно, что
2Й’/Й’, однако что вычисляется в слу-
чае 2W/W, так это отношение числа
молекул, имеющих энергию ЗкТ,
к числу молекул с энергией (3/2) кТ.
Второй случай относится к числу мо-
лекул с энергией 15кТ по сравнению
с числом молекул с энергией 7,5 кТ.
Хотя оба отношения энергий равны 2,
но отношения населенностей вовсе не
такие.
Кривая распределения спадает по
экспоненциальному закону. Ниже при-
водится расчет:
ДА(2Й>) \/2We-2Wi'kT _
ДА (ЙО ~ ]/We-w/kT
= ]/2e~wlkT = ]/2е-3/2 = 0,32,
ДА(10Йр _ |/10>е-10^АТ _
ДА(5Й0 ~ )/5>e-WT
== ]/2е”15/2 =7,8- 10"4.
13-8. Как мы видели на с. 289, число моле-
кул в 1 м3 при нормальных условиях
равно 2,68-1025. При 290 К это число
уменьшается до 2,52-1025. Для моле-
кул воздуха массы 4,7-10"26 кг масса
1 м3 воздуха равна 1,19 кг. Вес этих
молекул равен 11,6 Н. Таким образом,
вес молекул в точности равен избы-
точной силе, действующей на дно
ящика.
13-1». Глубина гравитационной потенциаль-
ной ямы на поверхности Луны меньше,
чем на Земле, в 22 раза. (Радиус Луны
равен 1,74- 106 м, а масса Луны равна
7,34-1022 кг.) Поэтому молекула азота
на поверхности Луны находится в гра-
витационной потенциальной яме,
меньшей чем 1 эВ. Эта энергия связи
все еще больше средней тепловой ки-
нетической энергии, но не настолько,
чтобы предотвратить убегание моле-
кул, находящихся в высокоэнергетиче-
ском хвосте теплового распределения.
д Частота и скорость увеличиваются
в такое число раз:
W% = P/32A=2l/2=2’83-
Высота тона увеличивается на пол-
торы октавы.
350
13-11. Масса частички пыльцы составляет
около 10“12 кг. Таким образом,
(1/2) mv2 = (3/2) кТ,
(10’12 кг) г2 =
= 3(1,38-10“23 Дж/К) (293 К),
v = 1,1 • 10"4 м/с.
Сравните эту очень маленькую сред-
нюю скорость частички пыльцы со
средней скоростью молекулы воздуха
при комнатной температуре: v =
= 5,1 102 м/с.
13-12. При Т = 363 К и И^орог = 1 эВ,
Епорог/кТ = 31,94. При Т = 373 К эта ве-
личина равняется 31,08. Отношение
числа молекул с энергией выше поро-
гового значения при 100 °C к этому
числу при 90 °C равно
31,08  е~31,08 =
31,94.	94 “2>4-
Рост температуры на 10 °C увеличи-
вает долю молекул с энергией выше
порогового значения в 2,4 раза. При
двукратном увеличении этой доли мо-
лекул пороговая энергия была бы
равна 0,8 эВ.
13-13. В написанном виде уравнение Ван дер
Ваальса справедливо для определен-
ного количества газа, а именно для
1 моля. Для того чтобы понизить дав-
ление определенного количества газа
(при постоянной температуре), необхо-
димо увеличить объем. Заметьте, что
для понижения давления в 2 раза в та-
кое же число раз следует увеличить
объем. При этом поправочный член
уменьшится в 4 раза.
13-14 Независимо от амплитуды колеблю-
щегося на пружине груза, его среднее
положение остается неизменным. Если
бы увеличение объема нагретого тела
определялось только большей ампли-
тудой колебаний каждого атома, то
вклад давали бы только атомы, нахо-
Потенциальная яма, в которой связан каждый
атом: г — удаление атома от его соседей
дящиеся на поверхности. Увеличение
объема было бы ничтожным. Обрати-
те, однако, внимание на форму потен-
циальной ямы, в которой связан
каждый атом. Она асимметрична.
На рисунке показано среднее положе-
ние в такой асимметричной яме. При
увеличении амплитуды колебаний то
же самое происходит и со средним
удалением каждого атома от его сосе-
дей. При росте температуры увеличи-
вается средняя энергия колебания
и амплитуда каждого атома. При
этом увеличивается и среднее расстоя-
ние между атомами. Поэтому твердое
тело при росте температуры расши-
ряется.
13-15. Когда мы написали выражение для
внутренней энергии газа и положили
Nk = R, мы решили иметь дело с
1 молем газа. Если N равно 1 молю,
то Nk = R :
(6,023 - 1023) • (1,38 • 10“23) =
= 8,31 ДжДмоль • К).
В 1 калории содержится 4,184 джоу-
ля. Поэтому
R =
= 8,31 ДжДмоль • К)/4,184 Дж/кал =
= 1,986 калДмоль  К).
1.3-16. Как мы уже видели в главе 8, момент
импульса квантован. Момент атома
относительно внутренней оси или двух-
атомной молекулы относительно
длинной оси должен равняться про-
изведению какого-либо целого числа
на к/2л, где h — постоянная Планка.
Кинетическая энергия вращения, свя-
занная с этим моментом, равна
-/ш2 =	—(n2h2)I
2	2 I 2 V ’
Чем меньше момент инерции си-
стемы, тем больше кинетическая энер-
гия вращения, которая необходима
для того, чтобы обеспечить один
квант момента импульса.
Моменты инерции атомов относи-
тельно собственных осей очень малы,
поскольку большая часть массы со-
средоточена в ядре ничтожного радиу-
са. Следовательно, квантовые условия
запрещают моментам относительно
внутренних осей участвовать в об-
мене небольшими порциями энергии,
происходящем в газовой смеси.
13-17. Поскольку молярная теплоемкость во-
ды больше, чем теплоемкость других
351
веществ с аналогичной сложностью
строения молекулы, то вода должна
обладать каким-то дополнительным
механизмом поглощения тепловой
энергии. Дело не в том, что атомы
в каждой молекуле воды совершают
какие-то особые колебания или вра-
щения.
Вода обладает многими необычными
свойствами благодаря тому, что
атомы водорода в молекуле распола-
гаются рядом с атомом кислорода поч-
ти как протоны. Атом кислорода за-
бирает электроны от атомов водоро-
да, обеспечивая себе большой отрица-
тельный электрический заряд, в то
время как два ядра атомов водорода
образуют положительно заряженные
области. В результате молекула тесно
связывается с другими молекулами
воды, образуя кластеры, или супермо-
лекулы. При поступлении тепла в си-
стему энергия расходуется на разрыв
некоторых связей между молекулами,
в результате чего размеры кластеров
уменьшаются. Тепло обеспечивает
энергию, необходимую для освобо-
ждения некоторых молекул от связей
с их соседями, и таким образом пере-
ходит в потенциальную энергию.
13-18. В баллоне молекулы газа движутся по
всем направлениям и каждая из них
меняет свою скорость, сталкиваясь
с другими. Однако когда выходное
отверстие открыто, хаотическое дви-
жение превращается в упорядоченную
струю газа, выходящую наружу, в то
время как баллон движется в противо-
положном направлении.
Превращение хаоса в порядок пред-
ставляет собой селекционный процесс.
Те молекулы, скорость которых на-
правлена в сторону выходного отвер-
стия, могут удрать из сосуда. Анало-
гичные явления происходят при от-
крывании клапана в баке с водой,
находящейся под высоким давлением.
Внутри бака давление одинаково по
всем направлениям. Открытый вен-
тиль обеспечивает механизм отбора
для движения в одном направлении.
Способ, которым политические ли-
деры фокусируют общественное мне-
ние, гораздо более сложен.
13-19. Первый закон термодинамики утвер-
ждает, что полученное системой тепло
равно совершенной ею работе плюс
увеличение внутренней энергии си-
стемы. Внутренняя энергия идеально-
го газа зависит только от темпера-
туры. Если температура постоянна, то
не может измениться и внутренняя
энергия. Поэтому Q = А.
13-20. Во второй стадии работа А2 была со-
вершена за счет внутренней энергии
газа. Заметьте, что температура газа
упала от Т\ до Т2. Помните, что
в первом законе термодинамики фигу-
рируют три члена: Q, U и А.
13-21. С предложенным циклом связаны
определенные трудности. Заметьте,
что пока количество газа в цилиндре
неизменно, должно выполняться соот-
ношение pV = nRT. После расширения
давление в газе снова равно р0, но за-
нимаемый им объем V2 больше пер-
воначального объема Ej. Поэтому
температура газа должна быть выше,
чем была вначале: Т3 > 7\. При воз-
вращении цилиндра в первоначальное
положение придется охладить на-
гретый газ. Если просто открыть от-
верстие в цилиндре и вдвинуть пор-
шень обратно, то горячий газ будет
вытолкнут наружу и часть внутренней
энергии окажется потерянной. Заметь-
те также, что совершенная работа
А должна быть меньше, чем получен-
ное вначале тепло Qt. Если первона-
чальная внутренняя энергия газа рав-
на U2, то после получения тепла на
первой стадии внутренняя энергия
должна быть равной Сд + Qlt так
как работы при этом не соверша-
лось.
После адиабатического расширения
(во время которого не происходило
обмена теплом) внутренняя энергия
U3 должна быть равна + Q, — А).
Однако поскольку Т3>Т\, то 1/3 >
> Ut. Удовлетворить этому требо-
ванию можно только при Qr > А.
Опять получается замкнутый тепло-
вой цикл, в котором приходится при
возвращении в исходное состояние от-
давать некоторое количество теп-
ла, так что совершаемая работа
оказывается меньше полученного
тепла.
13-22. У этой тепловой станции
Tj = 823 К и Т2 = 293 К.
Коэффициент полезного действия
идеальной машины, которого реальная
машина не может достичь,
J3-23. Закон сохранения энергии (или первый
закон термодинамики) запрещает
только появление или исчезновение
энергии. Он ничего не говорит о пере-
352
носе энергии из одного места в дру-
гое. В рассматриваемом случае энер-
гия не возникла из ничего; она просто
оказалась перенесенной из области
с низкой температурой в область
с высокой температурой.
13-24. Да- Вероятность реализации сначала
одной конфигурации системы, а затем
другой при случайном процессе равна
произведению вероятностей каждой
конфигурации. Например, вероятность
выпадения любого числа при броса-
нии игральной кости равна 1/6. Ве-
роятность выпадения сначала.числа 1,
а затем числа 2 при двукратном бро-
сании кости равна
(1/6)-(1/6) = (1/36).
13-25. Нет, не можем до тех пор, пока мы не
увидим, что живые существа ничего не
едят и, таким образом, не имеют ис-
точника энергии. Когда энтропия
живых существ уменьшается, энтро-
пия их окружения обязательно увели-
чивается.
Для всей системы живых объектов и
среды, в которой они обитают, энтро-
пия увеличивается.
Задачи
1.	Определите молярные объемы урана
и золота, используя данные, приведенные на
с. 316. Сравните со свинцом.
2.	Перечислите предположения о свой-
ствах атомов, сделанные в рассмотренной
модели.
3.	Перечислите предположения о свой-
ствах молекул в рассмотренной модели
идеального газа.
4.	Объясните, почему давление газа на
стенку сосуда, согласно нашей модели, ока-
залось пропорциональным и2, а не v.
5.	Запишите все этапы вывода соотно-
шения
рИ = (2/3) NWKKH
и объясните качественно каждый из них.
6.	Определите полную кинетическую
энергию в джоулях 1 моля газа при нор-
мальных температуре и давлении.
7.	Давление в телевизионной трубке со-
ставляет около 10~9 атм. Каково число мо-
лекул в 1 см3?
8.	Смешиваются водород и кислород
одинаковой массы. Каково отношение числа
молекул? Каково отношение средних кинети-
ческих энергий, приходящихся на одну молеку-
лу? Каково отношение средних скоростей?
Каково отношение оказываемых на стенку
давлений?
9.	Каким было бы поведение помещен-
ного в сосуд идеального газа, если бы сред-
няя кинетическая энергия молекулы была
в 10000 раз меньше гравитационной энергии
связи?
10.	Какова средняя скорость молекул
водорода при 1000°C? Каково среднее зна-
чение скорости?
11.	Сравните среднюю кинетическую
энергию молекулы кислорода при темпера-
туре 1000 К с ее гравитационной энергией
связи на поверхности Луны.
12.	Каково среднее значение скоро-
сти свободного электрона, находящегося
в тепловом равновесии с газом при
температуре 20 °C? Масса электрона равна
9 • 10~31 кг.
13.	На какой высоте над уровнем моря
атмосферное давление составляет всего 1/10
атм?
14.	Запишите все этапы вывода, показы-
вающего, что разность сил давления на дно
и на крышку сосуда равна весу молекул,
удары которых обусловливают произ-
водимое газом давление. Объясните каж-
дый шаг.
15.	Найдите отношение числа моле-
кул с энергией выше 1 эВ при 200 °C
и 190 °C.
16.	Объясните, почему поправочный
член к давлению в уравнении Ван дер Вааль-
са играет все меньшую роль при уменьше-
нии давления.
17.	Объясните температурную зависи-
мость теплоемкости водорода.
18.	Определите среднее значение скоро-
сти броуновского движения пылинки Диаме-
тра 20 мкм (20-Ю 6 м) при комнатной тем-
пературе. Не вычисляйте лишних значащих
цифр.
19.	Сколько энергии в расчете на од-
ну молекулу требуется для того, чтобы
поднять температуру одноатомного газа
на 1°С?
Ответ выразите в джоулях и электрон-
вольтах.
20.	Почему ср > Су! Найдите разность
и постарайтесь объяснить причины.
21.	Опишите стадии цикла Карно на р,
К-диаграмме. На какой стадии тепло посту-
пает в машину? Как велико это тепло? При
какой температуре это происходит? На ка-
кой стадии машина отдает тепло? Как оно
велико? При какой температуре это происхо-
дит? Чем определяется совершенная работа?
Как эта работа связана с получаемым и от-
даваемым теплом? Почему используют-
ся адиабатические и изотермические про-
цессы?
22.	Изучается возможность создания теп-
ловой машины, использующей тепло океа-
353
на. Вблизи Пуэрто-Рико имеется глубокая
впадина, в которой температура воды всегда
равна 5 °C, в то время как на поверхности
она всегда около 25 °C. Каким был бы коэф-
фициент полезного действия идеальной те-
пловой машины, работающей между этими
двумя температурами?
23.	Если удастся поднять температуру
нагревателя на тепловой электростанции
с 1 000 °F до 1 200 °F при сохранении темпера-
туры холодильника, равной 100°F, каким бу-
дет увеличение коэффициента полезного дей-
ствия идеальной машины'?
24.	Сравните эффективности рефрижера-
тора, работающего между — 10 °C и 35 °C,
и домашнего кондиционера, работающего
между 20 °C и 35 °C.
25.	Опишите процесс, который можно
было бы объяснить, если бы тепло действи-
тельно представляло собой некоторую жид-
кость, которую можно было бы налить в си-
стему, сохранять там, а затем извлекать
обратно. Опишите процесс, который нельзя
объяснить с помощью такой теории.
26.	Объясните, почему энтропия си-
стемы должна зависеть от логарифма ве-
роятности нахождения системы в определен-
ном состоянии Какова полная энтропия
двух систем, если энтропия каждой из них
равна S?
ГЛАВА 14. ЖИДКОСТИ
В повседневной жизни мы обычно
сталкиваемся только с тремя фазовы-
ми состояниями вещества — твердым,
жидким и газообразным Предметом
изучения в этой главе будет не жид-
кость как одна из перечисленных фаз,
а жидкость как сплошная среда. Жид-
кость — это нечто такое, что может
течь. В этом смысле изучаемая катего-
рия включает в себя не только обычные
жидкости, но и газы и, при некоторых
обстоятельствах, даже твердые тела.
Сдвиговое напряжение равно F/S, сила F
параллельна поверхности
Очевидно, что такое определение жид-
кости связано не столько с типом ве-
щества, сколько с характером его откли-
ка на действие сил. Жидкость непре-
рывно изменяет свою форму под дейст-
вием постоянной сдвигающей силы, в
результате чего и наблюдается опреде-
ленное явление — течение.
Жидкая вода является истинным
прототипом такой жидкости — «вода
стремится к своему собственному уров-
ню». Воздух в этом смысле также
является жидкостью. В первом прибли-
жении атмосфера ведет себя как море
воздуха. Главное отличие в поведении
газа и жидкости состоит в том, что газ
легко сжимается, что приводит к изме-
нению его плотности, в то время как
большинство жидкостей почти несжи-
маемо. Плотность атмосферы больше
у поверхности Земли, чем на уровне
горных вершин. И наоборот, плотность
воды в глубочайших впадинах океана не
намного превосходит плотность воды
у его поверхности.
При низких скоростях поведение
жидкости сравнительно просто. Поток
следует по линиям тока, которые
остаются в неизменных положениях.
В первом приближении, которое ограни-
чивает пригодность такого рассмотре-
ния, можно пренебречь вязкостью жид-
кости. Вязкость — это свойство жидко-
сти, связанное с трением. Во многих
интересных эффектах в реальных жидко-
стях фигурируют вязкость и турбулент-
ность. При добавлении этих факторов
простое поведение жидкости неожидан-
но становится устрашающе сложным.
Хотя жидкости стали предметом науч-
ного изучения по крайней мере еще со
времен Архимеда, то есть 2 200 лет тому
назад, анализ поведения жидкости все
еще является одной из самых трудных
355
областей прикладной науки. Уравнения
известны, но решения этих уравнений
обычно слишком сложны для расчета,
хотя бы приближенного.
В этой главе мы познакомимся с не-
которыми простыми и ясными чертами
поведения жидкости. Даже при таком
вводном знакомстве обнаружатся
важные и поразительные явления.
ЗНАКОМСТВО С ЯВЛЕНИЯМИ
Твердые тела поддерживаются на
поверхности, когда их погружают
в жидкость. Вы испытываете это ощу-
щение каждый раз, когда прыгаете в во-
ду. Если у вас имеется доступ к озеру,
или пруду, или хотя бы к ванне, вы еще
раз можете убедиться в существовании
этого явления. Возьмите камень или
кирпич, достаточно тяжелый для того,
чтобы почувствовать напряжение мышц,
когда будете его поднимать. Опустите
камень в воду, и вы почувствуете, как
резко уменьшилась сила, необходимая
для того, чтобы поддерживать его. Если
захотите проделать эксперимент более
тщательно, подвесьте камень или кир-
пич на резиновой ленте. Камень нужно
взять достаточно тяжелый, чтобы рези-
новая лента заметно растянулась. Те-
перь опустите камень в воду и посмо-
трите, что произойдет с длиной резино-
вой ленты.
Для следующего опыта понадобятся
какие-либо весы. На чашку весов по-
ставьте сосуд, частично наполненный
водой. Затем подвесьте какой-нибудь
предмет на бечевку и опустите его в во-
ду, но так, чтобы он не касался дна со-
суда. Размер сосуда и вес тела зависят
от типа используемых вами весов. Тело
объем дерева пропорционален разности
уровней 1 и 3, объем воды, которую необ-
ходимо вытеснить, чтобы дерево плавало,
пропорционален разности уровней 2 и 3
должно быть достаточно тяжелым,
чтобы можно было без труда опреде-
лить его вес с помощью весов. Сравни-
те показания весов в случаях, когда тело
находится под водой, когда оно погру-
жено в воду » когда оно лежит на дне
сосуда.
Затем пустите плавать по поверхно-
сти воды кусок дерева. Сравните пока-
зания весов в случаях, когда брусок пла-
вает и когда он просто лежит на чашке
весов рядом с сосудом.
Для следующего опыта потребуется
мензурка с делениями или хозяйствен-
ная мерная чашка. Пустите плавать в
мензурку или чашку кусок дерева (или
что-нибудь другое, что не тонет). С по-
мощью иглы или зубочистки погрузите
тело под воду и долейте в сосуд воды
до верхней метки. Затем отпустите тело,
чтобы оно свободно плавало, и измерь-
те уровень воды в сосуде. Затем выньте
плавающее тело из воды и снова из-
мерьте ее уровень. Определите измене-
ние объема в каждом из этих случаев.
Сравните полученные значения с изме-
ренным объемом (произведение площа-
ди сечения на высоту) тела.
Каждый пловец испытал увеличение
давления на уши при нырянии на боль-
шую глубину. Если есть возможность
выбраться на озеро или к пруду, опусти-
356
те как можно глубже в воду напол-
ненный воздухом резиновый шарик. Вы
заметите два эффекта. Во-первых, объем
шарика будет заметно уменьшаться по
мере погружения. Во-вторых, сила, с ко-
торой придется погружать шарик, будет
уменьшаться с ростом глубины погру-
жения. Второй эффект является след-
ствием первого.
Жидкости ведут себя так, как будто
их поверхность покрыта эластичной
оболочкой. Это свойство называется по-
верхностным натяжением. Один из спо-
собов его наблюдения заключается
в выдувании мыльных пузырей. Можно
наблюдать и за пузырями, собирающи-
мися вместе в любой пене. Прежде все-
го заметьте, что свободный мыльный
пузырь, парящий в воздухе, имеет сфе-
рическую форму. С другой стороны,
мыльные пузыри, собравшиеся в гроздь,
имеют очень острые специфические
углы в тех местах, где встречаются их
стенки.
Если воспользоваться методом, по-
казанным на фотографии, то можно вы-
дувать мыльные пузыри размером с ба-
скетбольный мяч. Удовлетворительные
результаты можно получить, смешивая
с обычным количеством воды почти
любое хорошее моющее средство (но
только не хозяйственное мыло). Сверни-
те кусок бумаги в форме конуса и намо-
чите его широкий конец в мыльной во-
де. Если медленно вынуть бумажный
конус из воды и осторожно подуть в не-
го, то можно выдуть и пустить свобод-
но летать очень большой мыльный
пузырь. Такие пузыри сохраняются в те-'
чение примерно 30 секунд, и их можно
даже потрогать рукой, одетой в шерстя-
ную перчатку.
Оболочку на поверхности жидкости
можно также наблюдать, пустив пла-
вать по воде иголку или бритвенное
лезвие. Существует простой способ за-
ставить металл лежать на поверхности
жидкости, не разрушая ее оболочку По-
ложите на поверхность воды кусочек па-
пиросной бумаги, на которую положите
иглу или бритвенное лезвие. Затем ка-
рандашом или пальцами осторожно
утопите бумагу и уведите ее из-под пла-
вающего металлического предмета.
Внимательно исследуйте поверхность
жидкости вблизи краев и снизу от пла-
вающего тела. Затем добавьте в воду
немного мыла или моющего средства.
Брызните несколько капель воды
разного размера на парафиновую бума-
гу и внимательно осмотрите их. Боль-
шие капли будут плоскими снизу и вы-
пуклыми сверху, а очень маленькие
капли будут почти сферическими.
Если вам никогда не приходилось
переливать жидкость из одного сосуда
в другой с помощью сифона, то имеет
смысл самому посмотреть, как это про-
исходит. Нужно обязательно воспользо-
ваться прозрачной трубкой, чтобы
357
можно было видеть, что происходит
внутри нее с жидкостью и с воздушными
пузырями.
Соорудить такой прозрачный сифон
можно, воспользовавшись соломинками
из пластика, имеющими гофрированную
поверхность, так что их можно сгибать,
не перекрывая внутреннего отверстия.
Как видно на фотографии, можно сжать
конец одной соломинки, вставить его
в конец другой и получить герметичную
U-образную трубку. Пропускайте воду
через этот сифон, как показано на ри-
сунке, и определите условия, необхо-
димые для течения воды. Например, что
случится, если нижняя трубка окажется
ниже поверхности жидкости в верхнем
сосуде, но выше, чем отверстие в верх-
ней трубке? Выясните также, будет ли
сифон работать, если сначала в верхней
части U-образной трубки имеется боль-
шой пузырь воздуха.
Движение воздуха приводит иногда
просто к поразительным изменениям
давления. Пульверизатор гонит жид-
кость вверх по трубке, когда сжатый
воздух пропускается поперек открытого
конца трубки. Тот же самый эффект ис-
пользуется в карбюраторе. Этот эффект
можно легко наблюдать с помощью
двух соломинок и чашки кофе. Поме-
стите одну соломинку вертикально, опу-
стив ее нижний конец в кофе, а через
другую соломинку дуйте поперек от-
крытого верхнего конца первой. Пона-
блюдайте, что будет происходить
с уровнем кофе в вертикальной соло-
минке.
А вот другой пример — возьмите два
небольших куска бумаги, расположите
их, придерживая пальцами, недале-
ко друг от друга и подуйте между
ними.
Много физических явлений, боль-
шинство из которых невозможно опи-
сать математически, происходит при
вытекании воды из водопроводного
крана. Медленно отверните кран и по-
наблюдайте за тем, как вода вытекает,
изгибается и даже делится на капли по
мере того, как падает на значительное
расстояние.
Отметьте, в частности, что попереч-
ное сечение струи уменьшается по ме-
ре удаления от выходного отверстия
крана.
Поднесите свободно подвешенную
ложку выпуклой стороной к ровной
струе воды, вытекающей из крана.
Можно ожидать, что при попадании во-
ды на ложку струя будет отскакивать
в одном направлении, толкая ложку
в другом. То, что происходит в действи-
тельности, очень неожиданно и удиви
тельно.
358
Внимательно понаблюдайте за тем,
как движется жидкость в чашке с кофе.
Если кофе натуральный, то, залив его
горячей водой, можно на ее поверхно-
сти наблюдать своеобразное явление, до
того как разойдется вся пена. Эти же
эффекты можно увидеть, добавив в кофе
одну каплю молока. Особенное внима-
ние обратите на то, как эти добавки
ухитряются сохраниться и как они дви-
жутся. Заметьте также, что, происходит
со скоростью их вращательного дви-
жения.
Один из способов устранить пыль
с поверхности — это подуть на нее; по
крайней мере — так некоторые думают.
Почему же тогда наружная поверхность
автомобиля остается пыльной даже после
движения с высокой скоростью? Чтобы
убедиться в еще более «драматическом»
примере парадоксальности ситуации,
посмотрите на лопасти вентилятора, по-
сле того, как он поработает некоторое
время. Через вентилятор прошло
огромное количество пыльного воздуха,
но немного пыли осталось и на ло-
пастях. И не потому, что пыль жирная,
ее легко стереть.
Другой способ наблюдать этот эф-
фект — это насыпать немного очень
мелкой пудры на гладкую поверхность
стола. Можно воспользоваться тальком
или смесью сахара с корицей. Теперь
сильно, но равномерно подуйте вдоль
поверхности стола. Большие крупинки
и комочки удастся сдуть, но слой очень
мелкой пудры останется. Приходится
заключить, что либо очень мелкая пыль
особенно липкая, либо скорость ветра
вблизи самой поверхности слишком ма-
ла для того, чтобы удалить частички
пыли.
Наблюдать зависимость давления
в жидкости от глубины можно, дав воде
свободно вытекать через отверстие
в боковой стенке парафинированной
картонной коробки или картонного мо-
лочного пакета Проколите гвоздем три
отверстия: одно примерно на расстоя-
нии одной трети от вершины пакета,
другое около самого дна, а третье — по-
середине между ними. Немного сдвинь-
те по горизонтали отверстия друг отно-
сительно друга, чтобы три вытекающие
струи воды не пересекались. Теперь на-
полните картонку водой и понаблюдай-
те за траекториями струй. Вы заметите
один забавный момент. В зависимости
от того, насколько далеко падают
струи, прежде чем они коснутся земли
(или раковины), верхняя струя может
достигать более удаленных точек, не-
смотря на то, что ее горизонтальная
скорость, несомненно, меньше чем ско-
рость нижней струи. Этот эффект пока-
зан на фотографии.
Вопрос 14-1
Как удаление струи по горизонтали
связано с горизонтальной ско-
ростью? Не означает ли большее
удаление струи существования боль-
шего давления в отверстии, где струя
начинается?
ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ
В газах, жидкостях и твердых телах
давление создается совершенно раз-
личными путями. В главе 13 была раз-
вита молекулярная модель для объясне-
ния поведения газов. В соответствии
с этой моделью давление газа на по-
верхность зависит от плотности моле-
кул у поверхности, их массы и их сред-
ней скорости. Давление на стенку со-
здается в результате передачи импуль-
са, когда молекула ударяется о
359
поверхность стенки и отскакивает
обратно:
1 N —3
РгЮа =
Главная причина того, что атмосферное
давление больше на уровне моря, чем
на горных вершинах, заключается
в том, что на уровне моря больше кон-
центрация молекул.
В жидкостях и твердых телах давле-
ние обусловлено не ударами молекул:
атомы или молекулы совершают коле-
бания в потенциальных ямах, созданных
их соседями. Когда молекулы сбли-
жаются теснее, оказывая давление друг
на друга, равновесное расстояние между
ними уменьшается. Это происходит так,
как будто молекулы толкаются жестки-
ми пружинами. Известно, что равновес-
ное расстояние между атомами или мо-
лекулами не уменьшается сколько ни-
будь заметно, так как сжимаемость
твердых тел и жидкостей очень мала.
В главе 4 была приведена таблица
значений модуля Юнга и модуля
объемного сжатия различных веществ.
Модуль объемного сжатия В равен от-
ношению изменения давления Др к от-
носительному изменению объема тела
ДК/К:
В= Р
bV/V'
Напомним, что знак « — » означает,
что увеличение давления приводит
к уменьшению объема. В главе 4 было
вычислено изменение плотности мор-
ской воды, происходящее из-за огром-
ного увеличения давления. На глубине
10 км, где давление в 1000 раз больше
атмосферного, плотность увеличивается
только на 5%.
Вопрос 14-2
Если плотность возрастает на 5%,
то каково процентное уменьшение
расстояния между молекулами? Дру-
гими словами, на сколько умень-
шается равновесное расстояние ме-
, жду молекулами?
Добавочное давление, производимое
жидкостью на' дно сосуда, вызвано не
увеличением силы ударов молекул
о дно. Напомним, что температура
p(y)S	у
PffhS
p(y+b)S
жидкости пропорциональна энергии ко-
лебаний. Если жидкость находится при
постоянной температуре, то средняя ам-
плитуда колебаний молекул одинакова
и у дна сосуда, и наверху. И плотность
молекул жидкости у дна не намного
больше. Добавочное давление у дна воз-
никает просто благодаря силам оттал-
кивания, действующим между молеку-
лами в случае, когда они вынуждены
выдерживать вес молекул, находящихся
над ними.
Как было отмечено в главе 4, ре-
зультирующее давление в жидкости пер-
пендикулярно любой поверхности, по-
мещенной в жидкость, и не зависит от
ориентации этой поверхности. В любом
месте жидкости одинаковая сила дей-
ствует и вверх, и вниз, и по сторонам.
В противном случае, как показано на
рисунке, результирующая сила, дей-
ствующая на выделенный в жидкости
объем, не была бы равна нулю и в жид-
кости происходило бы движение.
В настоящий момент речь, однако, идет
о статической ситуации. Заметьте, что
на рисунке отражено различие в давле-
нии сверху и снизу выделенного объе-
ма жидкости. Полная разность сил дав-
ления, действующих сверху и снизу,
как раз достаточна для уравновешива-
ния веса выделенной части жидкости:
р(у + h)S — p(y)S = pghS,
где р — плотность жидкости. Поскольку
для большинства жидкостей р прибли-
зительно постоянна на любой глубине,
p(h) = p0 + pgh.
Давление в жидкости на глубине
h равно давлению на поверхности, кото-
рое обычно равно атмосферному, плюс
величина, пропорциональная глубине.
Обратите внимание на то, насколько
сильно этот результат отличается от
случая атмосферного давления, рассмо-
тренного в главе 13. В том примере
360
плотность газа пропорциональна давле-
нию. Вследствие этого давление и плот-
ность атмосферы экспоненциально убы-
вают с ростом высоты.
Твердые тела передают давление
скорее как жидкости, а не газы. Однако
в твердых телах атомы или молекулы
локализованы в пространстве. Модули
упругости, характеризующие в кристал-
лической структуре взаимодействие ме-
жду атомами, могут быть различными
для различных направлений. В соответ-
ствии с этим давление и отклик на дав-
ление неодинаковы по всем направле-
ниям. Соотношение между механиче-
ским напряжением и растяжением мо-
жет быть очень сложным. В жидкости
одни молекулы могут перемещаться от-
носительно других, и поэтому статисти-
ческое давление одинаково по всем на-
правлениям.
Тот факт, что давление в жидкости
зависит только от глубины, приводит
к так называемому гидростатическому
парадоксу, показанному на рисунке. Со-
суды, называемые вазами Паскаля, по-
лучили свое название в честь Блеза Па-
скаля (1623 — 1662). Жидкость распола-
гается на одном уровне в каждом из
сосудов. Можно наивно удивиться то-
му, что большой вес жидкости в сосуде
А может быть уравновешен маленьким
весом жидкости в цилиндре В- Конечно,
часть веса жидкости в А уравновеши-
вается реакцией стенок сосуда, как пока-
зано на рисунке.
! Вопрос 14-3
На рисунке показаны две различные
водонапорные башни. Одинаковое
ли давление создает каждая из них
в водной магистрали? Если так, то
почему обычно строят более до-
рогую и громоздкую, показанную
слева?
Другой 1 идростатический парадокс
показан на следующем рисунке. Два оди-
наковых конических сосуда содержат
одинаковое количество воды и поэтому
должны иметь одинаковый вес, что
и подтверждается фактом их уравнове-
шивания на чашках весов. Дно каждого
Сила, с которой давит одна диафрагма, равна
pSt; сила, с которой давит другая диафраг-
ма, равна pS2, причем pS, > pS2
сосуда сделано из резинового круга, ко-
торый передает давление на чашку ве-
сов. Поскольку уровень воды одинаков
в обоих сосудах, то должно быть одина-
ковым и давление на дно. Однако левый
сосуд опирается на гораздо большую
площадь, поэтому полная действующая
на дно сила должна быть равна F{ =
= pSl. Но pSl>pS2, и pS2 = F2. Вес
обоих конических сосудов одинаков, но
опять-таки стенки сосуда на правой
чашке должны уравновешивать боль-
шую часть веса находящейся в нем жид-
кости. Эта дополнительная сила должна
уравновешиваться силой, действующей
по ободу сосуда со стороны правой
чашки весов.
В главе 4 был объяснен принцип дей-
ствия жидкостного барометра. На ри-
сунке показано давление в различных
точках такого барометра. Понимание
этого принципа позволяет объяснить
действие сифона. Сифон — это перевер-
нутая U-образная трубка, которая мо-
жет обеспечить перетекание от верхнего
уровня жидкости до нижнего, как пока-
зано на рисунке. Конечно, этого же
361
давлением, будет выливаться наружу.
Молекулярное сцепление не позволяет
столбу жидкости распасться на части
и таким образом увлекает ее в короткий
конец трубки, что приводит к перетека-
нию жидкости. Все, что требуется, — это
чтобы нижний конец трубки был ниже
уровня поверхности жидкости в верхнем
сосуде.
можно добиться, сделав отверстие
в верхнем сосуде, но сифон обладает
своеобразным свойством заставлять
жидкость подниматься вверх. Жидкость
действительно поднимается в одном
колене трубки, но до тех пор, пока она
опускается на большее расстояние
в другом колене. Чтобы заставить си-
фон работать, нужно сначала заполнить
его жидкостью и не давать ей вытекать,
пока короткий конец трубки не будет
погружен в жидкость.
Предположим, что, перекрывая паль-
цем отверстие в конце длинной трубки,
вы останавливаете перетекание. На сле-
дующем рисунке показано распределе-
ние давления в столбе жидкости. В верх-
нем сосуде у поверхности давление
равно атмосферному, р0. В вершине U-
образной трубки давление уменьшается
до р0 — pgh0. В длинном колене трубки
на уровне поверхности жидкости в верх-
нем сосуде давление снова равняется ат-
мосферному, р0. Давление на ваш палец
равно р0 + pgh. Если вы уберете палец
с трубки, то жидкость, находящаяся под
Вопрос 14-4
Разве в этом случае не требуется,
чтобы открытый конец сифона был
ниже погруженного в жидкость
конца?
Мы подчеркнули, что сифон следует
наполнить водой, чтобы он начал рабо-
тать. Предположим, что он не был на-
полнен или был наполнен так, что в U-
образной трубке возник воздушный
пузырь, как показано на рисунке. Как
Поскольку ро — pghi = р0 — pi]h2, то hi = h2
следует из только что изложенного, си-
фон не начнет работать, пока не будет
выполнено условие =h2 >h0.
Вопрос 14-5
Существует ли предел высоты, до
которой может подняться жидкость
в сифоне, прежде чем она начнет
опускаться вниз? Вспомните прин-
цип действия барометра.
Благодаря тому что жидкости могут
передавать статическое давление, прак-
тически не меняя своей плотности, они
могут использоваться в устройствах,
дающих выигрыш в силе. На рисунке
показано действие пневматического, или
гидравлического, пресса. В обоих коле-
нах давления на одинаковых уровнях
равны. Если на левый поршень с пло-
щадью поперечного сечения 1 см2 дей-
ствует сила 10 Н, то давление на верх-
362
юн
юоон
Гидравлический пресс (рычаН
нюю поверхность равно 1 • 10s Н/м2.
Это давление действует также на
большой поршень, находящийся с пра-
вой стороны. Если площадь поршня
равна 100 см2, то действующая на него
сила составит
F = pS = (l-105 Н/м2)-(1 • 10-2 м2) =
= 1 • 103 Н.
Сила увеличилась в S2/Sj = 100 раз.
I Вопрос 14-6
Не случилось ли так, что работу уда-
лось получить из ничего?
ЗАКОН АРХИМЕДА
Греческий математик и механик Ар-
химед (287 — 212 годы до нашей эры)
жил в городе Сиракузы в Сицилии. Сам
Архимед считал своим главным заня-
тием математику, но благодаря своим
изобретениям он был знаменит уже при
жизни и еще больше прославился в ле-
гендах после смерти. Одна из этих ле-
генд связана с измерением плотности
тела, имеющего сложную геометриче-
скую форму. По преданию, у сиракуз-
ского царя Гиерона была золотая ко-
рона. Но он подозревал, что при изго-
товлении короны часть золота была
заменена серебром, и попросил Архиме-
да выяснить это, не разрушая корону.
Согласно легенде, Архимед догадался,
как это можно сделать, купаясь в ванне,
и голый помчался по улицам города
с криком: «Эврика, эврика!» («Нашел,
нашел!»). Последующие поколения не
прекращали споров о том, что же имен-
но он нашел.
Одна из версий заключается в том,
что Архимед заметил вытекание воды
через край, когда сел в ванну, и понял,
что объем тела неправильной формы
можно измерить с помощью измерения
объема вытесненной воды. Если он мог
таким образом измерить объем короны,
то, взвесив ее, мог затем рассчитать
и плотность. Затем можно было срав-
нить полученное значение с плотностью
чистого золота и с плотностью сплавов
золота с серебром при разных концен-
трациях. Такая схема возможна в прин-
ципе, но неспособна обеспечить высо-
кую точность. Вследствие поверхностно-
го натяжения (которое будет обсуждать-
ся позже) и того факта, что объем
сосуда должен быть по крайней мере не
меньше объема погружаемого тела,
объем вытесненной жидкости трудно
измерить с точностью, большей, чем до
двух значащих цифр. Однако, погру-
жаясь в ванну, Архимед мог заметить
и другое явление — он сам стал легче.
Жидкость оказывает выталкивающее
действие на погружаемое в нее тело.
Как мы сейчас увидим, этот эффект по-
зволяет нам иначе измерить плотность
тела.
Закон Архимеда заключается в том,
что на тело, находящееся в жидкости,
действует направленная вверх выталки-
вающая сила, равная весу вытесненной
им жидкости. Это правило справедливо
и для плавающих тел, и для тех, ко-
торые тонут. Как мы уже видели, сила,
действующая на слой жидкости у дна
сосуда и направленная вверх, больше,
чем сила у поверхности жидкости, на-
правленная вниз. Разность между этими
силами равна весу слоя жидкости,
вследствие чего слой жидкости находит-
ся в равновесии. Именно из этого усло-
вия была выведена формула для зависи-
мости давления в жидкости, имеющей
постоянную плотность, от глубины. Ес-
Элемент жидкости находится в равновесии,
поэтому р (у + h) S — р (у) S = pyhS, где р —
плотность жидкости, hS - объем элемента
жидкости
ли заменить слой жидкости на такой же
по размерам слой любого другого ве-
щества, то давление в каждой точке
окружающей жидкости не изменится.
На слой будет по-прежнему действовать
направленная вверх сила, равная весу
жидкости, которая занимала этот
объем. Объем этой жидкости равен
объему тела. Когда тело погружается,
этот объем жидкости вытесняется на-
верх, освобождая место для тела.
В опыте из «Знакомства с явления-
ми» вы почувствовали выталкивающее
действие воды, когда погружали в нее
камень. Предположим, что масса камня
равна 5 кг и, следовательно, его вес
в воздухе составляет примерно 50 Н.
Поскольку плотность большинства по-
род на кремниевой основе равна при-
мерно 2,5  103 кг/м3, то объем этого
камня должен быть
5 кг
2,5-103 кг/м3
= 2-10 3 м3.
т
V = —
Р
При погружении камня в воду объем
вытесняемой воды должен быть равным
2-Ю-3 м3. Масса этой воды равна
т = рК=
= (1 • 103 кг/м3) • (2 • 10“3 м3) = 2 кг.
Вес тела массы 2 кг составляет около 20 Н.
Поддерживая камень массы 5 кг
в воздухе, необходимо прикладывать
направленную вверх силу 50 Н; для
поддерживания его под водой необходи-
ма сила, равная только 30 Н.
Заметьте, что выталкивающее дей-
ствие жидкости должно приводить
к уменьшению кажущейся плотности те-
ла на величину, равную плотности жид-
кости. Поскольку масса и вес тела про-
порциональны плотности, то отношение
веса в жидкости к весу в воздухе равно
"в жидк __ Ртела Ржидк ______ Ржидк
?в возд	Ртела	Ртела
Вопрос 14-7
Согласуется ли эта формула с приве-
денным вычислением кажущегося ве-
са камня, погруженного в воду?
Что происходит, когда плотность те-
ла равна или меньше плотности жидко-
сти? Отношение веса тела в жидкости
к весу в воздухе равно
р
1 в жидк
р *”
1 в возд
j Ржидк J ~ 0, есЛИ ржидк = Ртела,
Ртела 1 СОЛИ ржидк > Р тела
Написанная формула дает ответ, кажу-
щийся явно бессмысленным: если плот-
ность тела и жидкости одинаковы, то
отношение Рв ЖИдк/^в возд равно нулю; ес-
ли плотность тела меньше плотности
жидкости, то это отношение отрица-
тельно.
В этих случаях тело плавает. Если
плотности тела и жидкости равны, то
тело теряет весь свой вес, поскольку
действующая на него сила тяжести
уравновешивается направленной вверх
выталкивающей силой. Тело ведет себя
так же, как вел себя вытесненный объем
^тела 9
Отношение —в*и-|к = 1 —	стремится
Рв возд	Ро
к нулю, если ржидк = Ро, и отрицательно,
если ржидк > ро. Вес вытесненной жидкости
равен весу плавающею тела
жидкости, и может находиться в равно-
весии в любой точке внутри жидкости.
Если плотность тела меньше плотности
жидкости, то тело будет плавать, не по-
гружаясь в жидкость полностью. Закон
Архимеда, разумеется, выполняется. Те-
ло поддерживается на плаву силой, рав-
ной весу жидкости, вытесняемой этим
телом. Эта сила в точности равна весу
тела, и поэтому оно плавает, лишь ча-
стично погружаясь в жидкость.
Вопрос 14-8
Как может плавать стальной ко-
рабль, если плотность стали равна
5,5 103 кг/м3?
364
Осознал ли Архимед важность суще-
ствования выталкивающей силы, или
нет, нам точно не известно. Если да, то
он мог определить плотность вещества,
из которого была сделана корона, взве-
сив ее в воздухе и в воде. Можно до-
стичь гораздо более высокой точности
взвешивания, чем точность определения
объема вытесненной жидкости. Через
восемнадцать веков после того, как Ар-
химед решил задачу о подозрительной
короне, эта легендарная задача была
проанализирована другим великим
ученым, Галилеем Чтобы решить ее, он
изобрел весы, достаточно чувстви-
тельные для того, чтобы провести ре-
шающее измерение
С помощью закона Архимеда можно
определять неизвестную плотность жид-
кости, в которой плавает тело с извест-
ной плотностью. Такой прибор, назы-
ваемый ареометром, обычно исполь-
зуется для определения плотности элек-
тролита в аккумуляторных батареях
или антифриза в радиаторах охлажде-
ния. Устройство его показано на фото-
графии. Если сжать резиновую грушу,
а затем отпустить ее, то можно набрать
внутрь немного изучаемой жидкости.
Внутренний поплавок устроен так, что
он остается вертикальным и только
всплывает или опускается до определен-
ного уровня в зависимости от плотно-
сти жидкости. Шкала на поплавке обыч-
но сразу прокалибрована в единицах
плотности. Например, когда свинцовый
аккумулятор полностью заряжен, плот-
ность серной кислоты в нем равна
1,3 • 103 кг/м3. При разряде батареи сера
соединяется со свинцом и плотность
электролита падает. Когда плотность
становится равной 1,15 103 кг/м3, бата-
рея почти полностью разряжена.
Устройство, показанное на рисунке,
называется «картезианский водолаз».
Пробирку можно заставить всплывать
или тонуть, действуя с небольшой силой
Пробирка всплывает (а) и тонет (б) в зави-
симости от положения резиновой диафрагмы
на мембрану, закрывающую сосуд свер-
ху. Пробирка открыта снизу и содержит
небольшое количество воздуха. В равно-
весии пробирка, содержащая воздух,
вытесняет воду, вес которой в точности
равен весу пробирки. Поэтому пробирка
может плавать на любой глубине. Если
надавить с небольшой силой на мем-
брану, то давление в сосуде и пробирке
возрастет. При увеличении давления
слегка уменьшится объем воздуха
в пробирке, и теперь объем пробирки
с воздухом станет меньше, хотя ее вес
останется таким же. Поскольку пробир-
ка вытесняет меньше воды, действую-
щая на нее выталкивающая сила стано-
вится меньше, и пробирка тонет. Если
давление на мембрану уменьшается,
то объем заключенного в пробирке воз-
духа слегка увеличивается и пробирка
365
вытесняет немного больше воды. Дей-
ствующая на нее выталкивающая сила
увеличивается, и пробирка всплывает.
Выталкивающая сила действует не
только в жидкостях, но и в газах. Имен-
но поэтому держатся в воздухе дирижаб-
ли и детские надувные шарики. В по-
вседневной жизни мы не ощущаем вы-
талкивающего действия окружающего
воздуха, но этот эффект приходится
учитывать при точном взвешивании на
рычажных весах. Гири для взвешивания
обычно изготавливаются из латуни, плот-
ность которой равна 8,6 -103 кг/м3.
Плотность воздуха всего 1,3 кг/м3. Вы-
талкивающая сила, действующая на ги-
рю в воздухе, равна произведению объе-
ма гири на плотность воздуха и ускоре-
ние свободного падения:
Гвыталк ~ ГгириР1^ ~ (^гири/Ргири)^Рвозд>
где Ггири= Штири/Ргири* Относительная
потеря веса гири, находящейся в возду-
хе, равна
-Гвыталк	(^гири/Ргири) @Рвозд   Рвозд
Р	Н?гири£/	Ргири
В «Знакомстве с явлениями» вы опу-
скали в воду взвешиваемое тело. Если
тело подвешивалось на бечевке, его
нужно было поддерживать с силой, рав-
ной его весу минус выталкивающая си-
ла со стороны жидкости В свою оче-
редь такая же дополнительная сила
(равная выталкивающей силе) действует
на весы. Все силы показаны на рисунке.
Если убрать поддерживающую тело
бечевку и дать ему утонуть, то весам
придется уравновешивать весь вес тела.
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
На поверхности жидкости молекулы
испытывают действие сил, которые не
являются симметричными. На находя-
щуюся внутри жидкости молекулу со
стороны соседей в среднем равномерно
Для латунных гирь погрешность, вноси-
мая вследствие выталкивающего дей-
ствия воздуха, равна в процентах
1,3 кг/м3
8,6 -103 кг/м3
•100%= 1,5-10~2%.
Вопрос 14-9
Вряд ли стоит беспокоиться о таком
незначительном эффекте. Кроме то-
го, разве не такую же поправку сле-
дует делать и для тела, находящего-
ся на другой чашке весов?
со всех сторон действует сила притяже-
ния, сцепления. Такая сила сцепления
называется когезионной и представляет
собой просто короткодействующую си-
лу между атомами и молекулами, кото-
рая была описана в главе 10. Она имеет
электромагнитную природу, но является
более сложной, чем простое притяжение
положительного заряда к отрицательно-
му. Находящиеся на поверхности моле-
кулы испытывают когезионную силу
только в одном направлении.
Вопрос 14-10
Если на молекулу, находящуюся на
поверхности жидкости, действует на-
правленная вниз сила, как показано
на рисунке, то почему эта молекула
не движется с ускорением в глубь
жидкости?
366
Если поверхность жидкости увеличи-
вать, например перемещая одну из ее
границ, как показано на следующем ри-
сунке, то все большее число молекул
должно будет выходить на поверхность
жидкости и располагаться на ней. По-
ступая так, молекулы движутся против
действия удерживающих сил. Потен-
циальная энергия системы увеличивает-
ся. Эта дополнительная энергия возни-
кает благодаря работе, совершаемой
при увеличении поверхности, и запасает-
ся в уплотненном слое, содержащем как
поверхностные молекулы, так и те мо-
лекулы, на которые они опираются. Ес-
ли поверхность растягивается в напра-
влении оси х, то в этом направлении
и действует сила, совершающая работу
против сил межмолекулярного сцепле-
ния и увеличивающая потенциальную
энергию системы. Таким образом, сила,
стремящаяся сократить поверхность
жидкости и противодействующая внеш-
ней растягивающей поверхность силе,
действует в противоположном напра-
влении. Свойство жидкости сокращать
свою поверхность до минимума назы-
вается поверхностным натяжением. По-
верхностное натяжение можно рассма-
тривать как силу, действующую на
единицу длины контура свободной по-
верхности жидкости и стремящуюся со-
кратить эту поверхность. Эта сила изме-
ряется в ньютонах на метр, поскольку
она пропорциональна ширине растяги-
ваемого участка поверхности. В таблице
приведены значения коэффициента по-
верхностного натяжения у для неко-
торых жидкостей, находящихся в кон-
такте с воздухом.
Поверхностное натяжение некоторых жидкостей
на границе с воздухом (при комнатной температуре)
Жидкость	у, Н/м
Вода	0,073
Четыреххлористый	
углерод	0,027
Этиловый спирт	0,022
Ртуть	0,490
В главе 10 для получения прибли-
женных значений модуля Юнга рассма-
тривалась грубая модель системы ато-
мов, масштабов межатомных расстоя-
ний и энергий взаимодействия. Посмот-
рим, может ли эта же модель дать
разумное значение для величины поверх-
ностного натяжения. Необходимо оце-
нить энергию, характерную для вытал-
кивания молекул из глубины жидкости
на поверхность. Эта энергия должна
Энергия связи молекулы Н2О Точкой на i ра-
фике отмечено приблизительное значение
энергии связи молекулы в случае, когда она
окружена со всех сторон другими молеку-
лами (а) и когда она находится на поверх-
ности воды (б)
быть значительно меньше 1 эВ, харак-
терной энергии связи атомов в молеку-
лах. При выталкивании атома на по-
верхность его химические связи не раз-
рушаются. Можно предположить, что
эта энергия составляет около половины
приходящейся на одну молекулу те-
плоты плавления при переходе от твер-
дого состояния к жидкому. Множитель
1/2 появляется вследствие того, что на
молекулу, находящуюся на поверхности,
силы действуют только изнутри веще-
ства.
Теплота плавления льда равна
80 кал/г = 335 Дж/г = 6024 Дж/моль =
367
= 1-10“20 Дж/молек. Припишем это
значение глубине локальной потен-
циальной ямы, в которой молекула воды
удерживается своими ближайшими сосе-
дями. Для того чтобы вывести на по-
верхность еще одну молекулу, необхо-
димо приложить силу вдоль поверхно-
сти, чтобы освободить место, равное
одному полному диаметру молекулы.
Эта сила должна быть равна силе, необ-
ходимой для того, чтобы вытащить мо-
лекулу из ее потенциальной ямы в поло-
жение, где она удерживается только
силами, действующими снизу. Искомая
сила равна F = MJ/kx, где АС =
= 0,5  10~20 Дж/молек, а Ах = 3 • 10"10 м
— диаметр молекулы воды. Тогда
АП 0,5- 1О~20 Дж/молек
Ах 3•10“10 м
= 0,16-10“10 Н/молек.
На протяжении 1 м вдоль поверхности
воды располагается 0,33- Ю10 молекул.
Следовательно, поверхностное натяже-
ние
у = (0,16-10“10 Н/молек) х
х (0,33 • 1О10 молек/м) = 0,06 Н/м.
Сравните это рассчитанное значение
поверхностного натяжения воды с при-
веденным в таблице значением 0,073
Н/м. Совпадение даже лучшее, чем мож-
но было ожидать, глядя на значения
у для других жидкостей, особенно рту-
ти. Тем не менее совпадение по порядку
величины является обнадеживающим;
наша упрощенная атомная модель дол-
жна быть довольно хорошей.
Запасенная энергия (иногда называе-
мая свободной энергией) поверхностного
натяжения должна равняться работе, со-
вершенной при растягивании поверхно-
сти от нуля до некоторого окончатель-
ного состояния. Поскольку необходимая
для растягивания плоской поверхности
сила постоянна, то совершенная работа
равна Fx. При этом сила равна произве-
дению поверхностного натяжения на
длину границы поверхности:
F = yl.
Поэтому свободная энергия поверхност-
ного натяжения равна
Uповерх ” ^Х "fix
где S — площадь поверхности.
В действительности энергия, необхо-
димая для образования поверхности
жидкости, немного больше U. Когда по-
верхность жидкости увеличивается, ее
температура падает. Некоторое количе-
ство тепловой энергии запасается в по-
верхностном слое.
На рисунке показан один из спосо-
бов измерения поверхностного натяже-
ния. Необходимая сила равна удвоенно-
му произведению поверхностного натя-
жения на длину границы, поскольку обра-
зуются два поверхностных слоя — верх-
ний и нижний. Более удобный способ из-
мерения поверхностного натяжения изо-
бражен на следующем рисунке. Силу,
необходимую для отрыва кольца от
жидкости, легко измерить с помощью
чувствительных весов.
368
Вопрос 14-11
Насколько чувствительными должны
быть весы? Какой должна быть мас-
са гирь, способных оторвать прово-
лочное кольцо от воды, если диа-
метр кольца равен 6 см?
Благодаря поверхностному натяже-
нию любой объем жидкости стремится
уменьшить площадь поверхности,
уменьшая таким образом и потенциаль-
ную энергию. Поверхностное натяже-
ние — одна из упругих сил, ответ-
ственных за движение ряби на воде.
В выпуклостях поверхности тяготение
и поверхностное натяжение тянут ча-
стицы воды вниз, стремясь сделать по-
верхность снова гладкой.
Крошечные капли воды имеют
в воздухе почти сферическую форму, по-
скольку для сферы характерно меньшее
отношение площади поверхности
к объему, чем для любой другой геоме-
трической формы. Крупные капли до-
ждя при падении по форме больше по-
хожи на слезинки благодаря эффектам
движения сквозь воздух. Поверхностное
натяжение в ртути так велико, что нахо-
дящиеся на столе маленькие капли по-
чти сферические, как хорошо видно на
фотографии. Вероятно, вы наблюдали
такой же эффект в «Знакомстве с явле-
ниями», когда разбрызгивали воду по
парафиновой бумаге.
На следующей фотографии приведен
еще один пример тенденции поверхно-
стей к уменьшению их площади. Прово-
лочное кольцо, по диаметру которого
проходит нитка, затянуто мыльной
пленкой. В средней части нитки имеется
петля. Если проткнуть пленку внутри
петли, то наружная часть пленки натя-
гивается, стремясь сделать свою пло-
щадь минимальной, что достигается,
когда отверстие в центре становится
круглым.
Эта тенденция объясняет также,
почему иголка может плавать по по-
верхности воды, в чем вы убедились,
проделав опыт в «Знакомстве с явления-
ми». Если вы смотрели внимательно, то
могли увидеть небольшое углубление на
поверхности, в котором находилась
игла. Стремясь сделать поверхность сно-
ва плоской, силы натяжения уравнове-
шивали вес иглы. Когда, добавив мыла,
вы уменьшили поверхностное натяже-
ние, иголка немедленно утонула.
Вопрос 14-12
Если мыло уменьшает поверхност-
ное натяжение воды, то почему же
мы выдуваем мыльные, а не водяные
пузыри?
Благодаря поверхностному натяже-
нию свободная поверхность жидкости
ведет себя таким образом, как будто
она сделана из упругой оболочки. Одна-
ко существует большое отличие между
эластичностью этой оболочки, опреде-
ляемой поверхностным натяжением,
и эластичностью вещества типа резины.
В случае плоской поверхности жидкости
сила натяжения не зависит от того, на-
сколько поверхность растянута. В дей-
13 Кл Э Суорц, т 1
369
ствительности понятие «растяжение»
для такой поверхности лишено смысла.
Для того чтобы увеличивать площадь
поверхности, вытягивая в поверх-
ностный слой все новые и новые моле-
кулы, необходимо прикладывать по-
стоянную силу. С другой стороны,
<=fc>-/7nTMW JSCOS#
чтобы растянуть резину, приходится
прикладывать силу, пропорциональную,
грубо говоря, именно растяжению.
При выдувании мыльных пузырей
вы могли заметить, что стоит вынуть
трубку изо рта, как пузырь начинает
сжиматься, выталкивая воздух наружу
Очевидно, что давление внутри пузыря
больше, чем давление снаружи. На ри-
сунке показаны силы, действующие на
полусферу пузыря благодаря давлению
воздуха. На сферической поверхности
силы складываются векторно, давая ре-
зультирующую силу, которая стремится
отделить эту полусферу от другой. На
рисунке видно, что х-компонента силы,
действующей на сегмент искривленной
поверхности, в точности равна произве-
дению давления на площадь проекции
поверхности. Поскольку площадь проек-
ции полусферы радиуса R равна лЯ2, то
х-компонента силы, действующей на
полусферу, равна (р - ратм)лЯ2. Две по-
лусферы удерживаются вместе силой
поверхностного натяжения, которая рав-
на 2y-2nR. Множитель 2 снова по-
является потому, что у пузыря имеются
две поверхности — внешняя и внутрен-
няя. Сила, возникающая благодаря из-
быточному давлению внутри пузыря,
должна быть равна силе поверхностного
натяжения, удерживающей полусферы
вместе:
(р-Ра1м)лК2 =4лКу,
р - ра1м = 4л/Я.
Достаточно удивительно то, что чем
меньше радиус мыльного пузыря, тем
больше должно быть избыточное давле-
ние. Благодаря этому свойству при со-
единении двух пузырей воздух перехо-
дит из меньшего в больший, и больший
пузырь растет за счет меньшего. Этот
эффект показан на фотографии, где изо-
бражены два пузыря, которые минутой
раньше имели примерно одинаковые
размеры Когда трубки были соединены
соломинкой, пузырь, который был чуть
больше, смог расти за счет уменьшения
второго пузыря.
На следующем рисунке приведен
аналогичный анализ соотношения ме-
370
места, где давление ниже, что сделает
струю еще тоньше. Давление в месте су-
жения еще больше вырастет, вызвав
дальнейшее сужение струи, пока, нако-
нец, струя не сожмется совсем и не рас-
сыплется на отдельные капли.
Добывая себе средства к жизни,
плетущие сеть пауки умело используют
неустойчивость жидких цилиндров.
Для столба жидкости
(Р - Ратм) I  2r = 2у1,
Р - рлгм = Г/г.
Для жидкой цилиндри-
ческой оболочки
Р - Ратм = Ь/г
о ° о ° о °
Шелковая нить паутины. Мелкие шарики
образовались из сплошной цилиндрической
оболочки
жду давлением и поверхностным натя-
жением для цилиндрической поверхно-
сти. Снова мы видим, что добавочное
внутреннее давление, уравновешиваю-
щее поверхностное натяжение, обратно
пропорционально радиусу. Именно по-
этому неустойчивы длинные цилиндри-
ческие столбы жидкости. Вы должны бы-
ли заметить этот эффект в «Знакомстве
с явлениями». Тоненькая струйка воды,
вытекающая из водопроводного крана,
рассыпается на брызги. Если бы радиус
столба жидкости мог оставаться неиз-
менным на всем его протяжении, то не
было бы причины для возникновения
эффекта сжатия струи. Однако если по
какой-либо причине, например вслед-
ствие флуктуаций линий тока или изме-
нения наружного давления, одна часть
струи на мгновение станет уже окру-
жающих частей, то внутреннее давление
в этом месте станет больше. Жидкость
будет течь из этого места в соседние
Когда паук формирует нить паутины,
липкая жидкость образует цилиндри-
ческую оболочку вокруг сердцевины
нити. Поскольку длинный цилиндри-
ческий столб неустойчив, он вскоре рас-
сыпается на крошечные шарики, к кото-
рым и прилипают мухи.
До сих пор мы говорили о поверхно-
сти между жидкостью и газом. У края
сосуда жидкость находится в контакте
и с твердым телом, и с газом. Поверх-
ностная молекула на границе испыты-
вает действие не только когезионных
сил в жидкости, но и адгезионных сил
со стороны твердого тела. Поверхность
жидкости располагается перпендикуляр-
но равнодействующей этих двух сил.
На рисунке показаны три различных
случая. В первом случае адгезия доста-
точно сильна для того, чтобы изогнуть
жидкость кверху на границе с твердым
телом. В этой ситуации обычно говорят,
что жидкость смачивает поверхность
Результирующая сила, которая действует на молекулу, находящуюся на поверхности
жидкости вблизи стенки сосуда, обозначена штриховой стрелкой
13*
371
твердого тела. Такая ситуация характер-
на для воды, соприкасающейся со стек-
лом. Во втором случае адгезия мала
и результирующая сила, действующая
на жидкость на границе с твердым те-
лом, направлена внутрь жидкости. В ре-
зультате поверхность жидкости имеет
выпуклую форму, стремясь удалиться
от поверхности сосуда. Эта ситуация ха-
рактерна для ртути в стеклянном сосу-
де. В третьем случае равнодействующая
сил адгезии и когезии параллельна стен-
ке и, следовательно, поверхность жидко-
сти перпендикулярна стенке. Так ведет
себя вода в сосудах из серебра или не-
которых видов пластмасс. Изогнутая
поверхность жидкости в цилиндриче-
ской трубке называется мениском.
Для того чтобы получился мениск
с кривизной, обеспечивающей перпенди-
кулярность равнодействующей адге-
зионной и когезионной сил к поверхно-
сти, уровень жидкости должен припод-
няться или опуститься на некоторое
расстояние вдоль поверхности твердого
тела. Это называется капиллярным эф-
фектом. На фотографиях показан капил-
лярный эффект в узких цилиндрических
трубках. Поверхностное натяжение под-
нимает вверх столб воды в стеклянной
трубке, но опускает столб ртути вниз.
Вопрос 14-13
Во всех перечисленных случаях рав-
нодействующая сил адгезии и коге-
зии направлена скорее «вниз», а не
«вверх». Как же вода в стеклянной
трубке может подниматься?
На рисунке показаны силы, дей-
ствующие на столб воды в капиллярной
трубке. Заметьте, что у верхнего края,
где жидкость касается стекла, форма ее
поверхности очень похожа на полусферу
Вес столба ЖИДКОСТИ Рстолба = Ржилк£Ф ПГ2,
вертикальная сила поверхностного натяжения
/„ер, = 2лгу COS0
мыльного пузыря, которую мы рассма-
тривали. Сила поверхностного натяже-
ния направлена вдоль поверхности жид-
кости, и поэтому вверх под углом
к вертикали. Вертикальная составляю-
щая этой силы равна произведению по-
верхностного натяжения на cos0 и на
длину окружности, по которой происхо-
дит касание:
Fверт = 2лг  у cos 0.
Эта вертикальная сила уравновешивает-
ся весом столба жидкости, который ра-
вен
Р = 71Г • Ржидк^Й.
Когда направленная вверх капиллярная
сила уравновешивает направленный
372
вниз вес столба, имеем
2wyeos0 =nr2-pm№gh,
, 2у cos 0
h = ----------.
Ржидк£7^
Как видно из следующего рисунка,
опускание столба ртути в стеклянном
капилляре вниз — это точно такой же
эффект, и описывается он той же самой
формулой. Заметьте, что чем меньше
радиус капиллярной трубки, тем выше
может подняться жидкость (или опу-
ститься, как в случае со ртутью). Капил-
лярный эффект ответствен за погло-
щение влаги полотенцем и, наряду
с осмотическим давлением, частично от-
ветствен за подъем сока в стволах
деревьев.
Мы уже отмечали, что внутри сфери-
ческой поверхности жидкости суще-
ствует повышенное давление. Чем мень-
ше радиус кривизны, тем больше это
избыточное давление. С помощью таких
же соображений легко убедиться, что
при отрицательной кривизне давление
внутри жидкости меньше, чем снаружи.
Оба эти случая реализуются в капил-
лярных трубках. Если в трубке находит-
ся вода, то радиус кривизны мениска
отрицателен и давление в жидкости под
ее поверхностью меньше, чем снаружи.
Заметьте, что это давление должно
быть меньше атмосферного, так как
столб воды — выше уровня воды в ре-
зервуаре, из которого она поступает.
Однако, когда мениск образован
ртутью, радиус кривизны положителен.
Давление в ртути непосредственно под
ее поверхностью должно быть больше
атмосферного. Снова, все, конечно, ра-
зумно, поскольку уровень ртути понизил-
ся, а давление должно быть равно дав-
лению в ртути на такой глубине.
К другому способу вывода
выражения для высоты подъ-
ема жидкости в капилляре Для
воды на стекле 0 = 0° Если
поверхность сферическая, Др =
= Ратм - Р = 2y/r. S Др = втяги-
вающая сила = вес столба'
яг2 2у/г = рдАяг2, h = 2y/(pgrj.
Сравните этот результат с фор-
мулой в тексте. Обратите вни-
мание, что в этом случае только
одна поверхность, а также
Р Ратм
Проведем два расчета. Угол, обра-
зуемый в месте контакта поверхности
ртути со стеклянной стенкой капилляра,
0 = 140°. Поверхностное натяжение
в ртути равно 0,47 Н/м, а ее плотность
составляет 13,4 • 103 кг/м3. Высота, на
которую опустится ртуть в капилляре,
^_2ycos0 — 5,4-10-6
PHg^	г
Если внутренний диаметр капиллярной
трубки равен 1 мм (10 3 м), то уровень
ртути понизится на 5,4-10“3 м = 5,4 мм.
Вода смачивает чистое стекло пол-
ностью, так что угол в месте контакта
воды и стеклянной стенки равен 0 °.
Следовательно, высота, на которую
поднимется вода в стеклянном капил-
ляре,
h_ 2 0,073 Н/м
(1 • 103 кг/м3)-(9,8 Н/кг)г
_ 1,5-10~5
г
В стеклянной капиллярной трубке ра-
диуса 1 мм вода поднимется на высоту
1,5 см.
Некоторые участки в коре дерева ис-
пещрены длинными пустотами с вну-
тренними диаметрами меньше 1 мкм.
На первый взгляд может показаться,
что подъем древесного сока даже на вы-
соту нескольких сотен футов объясняет-
ся капиллярным действием. Просто
ячеистые каналы должны быть достаточ-
но тонкими. Однако при подъеме воды
373
на высоту около 34 футов внутреннее дав-
ление в воде на этой высоте почти рав-
но нулю. Нормальное атмосферное да-
вление может уравновешивать столб
ртути высоты 76 см. Соответствующая
высота столба воды равна 10,34 м. Дав-
ление в таком столбе равно атмос-
ферному у его основания и постепенно
спадает до нуля у вершины:
р = Ро - pgh-
Может ли в жидкости существовать
отрицательное давление? Если да, то
такая жидкость будет растянутой! Оче-
видно, что такая ситуация возможна
и иногда встречается, хотя исчерпываю-
щее объяснение механизма подъема со-
ка все еще является предметом спора.
Во всяком случае, давление в корнях р0
благодаря осмосу больше атмосферного
давления. Однако осмотический эффект
мал в сравнении с большой разностью
давлений, необходимой для подъема во-
ды к верхушкам высоких деревьев.
ТЕЧЕНИЕ
«ИДЕАЛЬНОЙ» ЖИДКОСТИ-
ПЛОХОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Изучение движения жидкости — ги-
дродинамика — один из наиболее
сложных разделов физики. Обычный спо-
соб изучения сложных явлений заклю-
чается в нахождении упрощающих пред-
положений, так чтобы можно было
провести вычисления хотя бы в первом
приближении. Например, при изучении
механики вначале было сделано предпо-
ложение об отсутствии трения. Соответ-
Вода с низкой вязкостью и кетчуп с высокой
вязкостью
ствующее предположение при изучении
жидкости состоит в том, что вязкость от-
сутствует. Определение вязкости будет
дано ниже, пока же следует запомнить,
что при комнатной температуре вязкость
кетчупа велика, вязкость воды мала,
а вязкость воздуха и того меньше. Одна-
ко нельзя произвольно сказать, что при
движении тел в воздухе эффектами вязко-
сти можно пренебречь. Движение пыли-
нок в воздухе полностью определяется
эффектами вязкости.
Несмотря на то что следует быть
очень осторожными при использовании
указанного приближения, рассмотрим
течение жидкости в специальном случае,
когда вязкость равна нулю и жидкость
абсолютно несжимаема. Большинство
жидкостей несжимаемо, а в случаях, ког-
да давление изменяется не быстро, изме-
нением объема газа также можно прене-
бречь. Движение жидкости должно быть
гладким, без турбулентности. Пренебре-
жем также небольшими водоворотами
в потоке жидкости
Встречается ли когда-нибудь такое
простое течение жидкостиДа, это при-
ближение хорошо работает при рассмо-
трении движения воды в медленных по-
токах или длинных трубках (до тех пор,
пока не интересуются тем. что происхо-
дит у берегов или у стенок) и позволяет
также объяснить некоторые явления, ко-
торые происходят при медленном движе-
нии газа у поверхностей. Простое течение
можно охарактеризовать с помощью ли-
ний тока, которые не меняются со време-
нем. В каждой точке скорость жидкости
направлена по касательной к линии тока.
Если, как показано на рисунке, мы выде-
лим пучок линий тока, то тем самым мы
ограничим количество жидкости, кото-
рая течет внутри пучка и никогда не пере-
секает стенок, образованных линиями
тока.
Заметьте, что линии тока никогда не
пересекают друг друга и никогда не мо-
гут вдруг оборваться
374
Вопрос 14-14
Если жидкость несжимаема и все же
должна оставаться внутри трубки,
образованной линиями тока, то как
же может меняться площадь попереч-
ного сечения трубки? Не должна ли
жидкость расширяться, когда раз-
меры трубки увеличиваются?
Выделенный элемент жидкости, про-
ходящий в пучке линий тока, находясь
в движении, обладает кинетической энер-
гией. Если при прохождении вдоль линий
тока жидкость поднимается или опу-
скается, то изменяется ее потенциальная
энергия. Если жидкость движется из
области низкого давления в область вы-
сокого давления, то над ней совершается
некоторая работа. Каждый вид энергии
может изменяться, но совершенная над
жидкостью работа должна быть равна
изменению ее кинетической и потен-
циальной энергии.
Рассмотрим три типа изменения энер-
гии. На рисунке показан выделенный
объем жидкости (обозначенный
сплошными линиями), ограниченный ли-
ниями тока. За небольшой промежуток
времени жидкость перемещается вверх
и вправо (новое положение обозначено
штриховыми линиями) Поперечное сече-
ние слева равно S2, сечение справа равно
S2. Левый конец перемещается на рас-
стояние АХ], в то время как правый про-
ходит большее расстояние Ах2. Посколь-
ку жидкость несжимаема, изменение
объема слева должно равняться измене-
нию объема справа. Поэтому
ДК1=ДК2 = ДК,
Обозначим массу рассматриваемых кон-
цевых частей выделенного элемента жид-
кости через т. Поскольку плотность жид-
кости р = m/W, то д ля А И имеем А К =
= ш/р.
Изменение кинетической энергии все-
ю выделенного элемента жидкости рав-
но просто разности кинетических энергий
рассматриваемых концевых частей:
Изменение потенциальной энергии
тяготения всего выделенного элемента
жидкости равно разности потенциальных
энергий концевых частей:
^WrpaB = mg(h2 -hi).
При движении выделенного элемента
давление рг толкает его слева направо,
в то время как сам выделенный элемент
оказывает давление на жидкость, находя-
щуюся правее него Работа, совершаемая
над выделенным элементом, равна
р151Ах1. Работа, совершаемая самим
этим элементом, равна p2S2&x2. Полная
совершенная работа
Л = (Pi - Р2)(Pi - Р2)~•
Р
Полная совершенная работа над рассма-
триваемым элементом жидкости должна
быть равна изменению его кинетической
энергии плюс изменение его потенциаль-
ной энергии:
^ = A(-y-] + AM/rpaB,
т
(Р1 -р2)— =
р
= у (d - fl) + me (h2 - hi),
Ly	U 2
Pl + P-y + pghY = p2 + — + pgh2.
Это уравнение Бернулли, названное
так в честь Даниила Бернулли
(1700—1782), швейцарского математика
и механика. Рассмотрим следствия, пред-
сказываемые этим уравнением, и срав-
ним их с экспериментом.
Прежде всего если жидкость непо-
движна, то из уравнения должно полу-
375
читься обычное соотношение между глу-
биной и давлением:
Р1+Р^1=Р2 + Р^2-
Если р2 — давление наверху в жидкости, а
(/г2 — hj) — глубина h, отсчитываемая от
поверхности жидкости, то получается
формула, выведенная нами выше:
Р = Ро + pgh-
Если отбросить член, соответствую-
щий потенциальной энергии, то полу-
чается соотношение между давлением
и скоростью вдоль линий тока для жид-
кости, движущейся горизонтально. Где
скорость велика, там мало давление. На
рисунке приведен пример этого эффекта.
Р, + (1/2)р v?=P2 + W?)p
Скорость в узком месте трубки по необ-
ходимости больше скорости в широком
месте.
I Вопрос 14-15
Почему?
Давление в жидкости измеряется по
высоте неподвижной жидкости в верти-
кальных трубках. Такое устройство с су-
жающимся сечением и водоподъемны-
ми трубками называется трубкой Венту-
ри. Вставляя ее в трубу, по которой течет
жидкость, можно следующим образом
проводить вычисление скорости жидко-
сти щ в основной трубе:
Pi ~ Pi = Р (Уг ~ vj).
Уравнение Бернулли устанавливает соот-
ношение между и р2 в терминах давле-
ний Pi и р2. Еще одно соотношение необ-
ходимо для исключения переменной v2.
Им является уравнение неразрывности
струи:
Sit>i = S2v2, v2 = —— v1,
J2
Таким образом,
2(Pi -p2)
P2 [(Si/S^)2 ~ 1]
На следующем рисунке показано
устройство для измерения скорости воз-
духа, называемое трубкой Прандтля, или
иногда трубкой Пито. Особенность его
Отверстие 2 Отверстие 1
работы заключается в том, что одновре-
менно измеряются давление в струе и дав-
ление при равной нулю скорости возду-
ха и автоматически берется их разность.
Прежде всего заметьте, что отверстие 1
граничит с главным потоком. Давление
будет меньше, чем оно было бы в покоя-
щемся воздухе. Отверстие 2 измеряет да-
вление в так называемой точке торможе-
ния. Посмотрите внимательно, как разде-
ляются линии тока и как они огибают
передний край индикатора. В этом месте
скорость жидкости относительно датчи-
ка равна нулю. Давление в точке тормо-
жения считывается на правом колене U-
образной трубки с жидкостью, в то время
как давление в движущемся потоке
считывается на левом колене трубки.
Разность уровней жидкости в обоих ко-
ленах определяет разность давлений
в указанных местах. Из уравнения Бер-
нулли следует:
р0 + (1/2)рг2=р + (1/2)рг2.
Поскольку г0 = 0, а разность давлений
равна
(Ро ~ Р) = РжилкЗ^Г
376
то
(1/2) р Г	РжидД/^-
Прибор можно проградуировать таким
образом, чтобы по разности высот непос-
редственно получать значение скорости.
Предположим, что в таком воздуш-
ном спидометре используется масло
с плотностью 1 • 103 кг/м3. Какова ско-
рость воздуха, если h = 10 см? Проведем
вычисление:
(1-Ю3 кг/м3)-(9,8 Н/кг) х
х (1 • 10“1 м) = (1/2) • (1,2 кг/м3) • v2,
v = 40 м/с.
Подходящим выбором плотности жид-
кости, используемой для измерения, при-
бор можно сделать чувствительным в не-
скольких различных интервалах значе-
ний скорости.
Когда жидкость вытекает из отвер-
стия вблизи дна сосуда, линии тока схо-
дятся, как показано на рисунке. Заметьте,
что на выходе из сосуда они не параллель-
ны друг другу. Площадь поперечного се-
чения выходящей струи меньше, чем пло-
щадь отверстия. Воспользуемся уравне-
нием Бернулли для определения скоро-
сти струи при выходе из отверстия
(верхний уровень жидкости находится на
высоте h относительно отверстия):
Pi + (1/2) pv2 + pgh =р2+ (1/2)pv2.
Для сосуда типа картонного молочного
пакета, который вы использовали в опы-
те из «Знакомства с явлениями», pt = р2.
Оба давления равны атмосферному. (За-
метьте, что р2 — это давление в струе, вы-
шедшей наружу, в воздух.) Далее, «
v2. Верхний уровень жидкости переме-
щается очень медленно по сравнению со
скоростью струи. Если предположить,
что vt приблизительно равно нулю, то
уравнение получается в виде
pgh = (1/2) pv%, v2 = ]/2gh.
Когда вы наблюдали три струи, выте-
кающие из отверстий в молочном пакете,
вам, вероятно, было трудно сравнить
скорости по виду траекторий. Если уро-
вень воды над нижним отверстием нахо-
дился на высоте в четыре раза большей,
чем над верхним отверстием, то горизон-
тальная скорость нижней струи была
вдвое больше скорости верхней струи.
Однако дальность полета у этих двух
струй может различаться не столь силь-
но, поскольку верхней струе приходится
дольше падать. Для того чтобы количе-
ственно сравнить скорости, необходимо
выразить дальность полета через гори-
зонтальную скорость и высоту.
Вопрос 14-16
Взгляните на формулу для скорости
струи, вытекающей из отверстия, не-
сколько иначе. Если жидкость выхо-
дит по трубе, имеющей поворот на
90°, и выстреливается вверх с той же
самой скоростью, то на какую высоту
она поднимется? Предположите, что
вязкость отсутствует и, следователь-
но, нет никаких потерь на трение при
прохождении поворота.
Используя уравнение Бернулли для
определения скорости струи, мы, конеч-
но, применяли закон сохранения энер-
гии. Скорость не зависела от площади
отверстия и, к тому же, не зависела и от
того, что площадь поперечного сечения
377
струи в действительности меньше пло-
щади отверстия. Теперь учтем тот факт,
что струя обладает импульсом. Скорость
переноса импульса потоком должна
быть равна силе, действующей на сосуд.
В связи с этим возникает интересная про-
блема. Импульс единицы объема жидко-
сти в потоке равен произведению плот-
ности на скорость:
импульс
—S------= Pr-
объем
Как видно из рисунка, объем струи,
вытекающей в единицу времени, равен
произведению площади поперечного се-
чения S на скорость v.
Объем вытекающей в единицу вре-
мени жидкости = Stv.

Следовательно, уносимый струей
в единицу времени импульс равен:
импульс
--------объем вытекающей
объем
в единицу времени жидкости =
= pv  SiV = pSiV2.
Уносимый в единицу времени им-
пульс должен быть равен силе, действую-
щей со стороны сосуда:
™n^C. = F = pS2.
время
Площадь отверстия S2, как мы знаем,
больше, чем . Вообще, однако, отноше-
ние S2/Sl неизвестно, и, что достаточно
удивительно, неизвестно и давление р. На
первый взгляд можно предположить, что
р = pgh, поскольку давление в покоящей-
ся жидкости зависит только от плотно-
сти жидкости и глубины. Вся тонкость за-
ключается в том, что жидкость не
покоится. Вблизи отверстия в сосуде
жидкость начинает двигаться довольно
быстро, и поэтому давление в непосред-
ственной близости от отверстия должно
быть меньше, чем было бы на такой же
глубине в покоящейся жидкости.
Заметьте, какую ошибку можно сде-
лать, если не знать, что Si < S2. Если
считать, что = S2 и р = pgh, то приме-
нение второго закона Ньютона для нахо-
ждения скорости изменения импульса
приводит к результату:
рг2 = р = pgh и v = ]/gh.
Сравните это неправильное значение ско-
рости со значением, найденным на осно-
ве закона сохранения энергии с помощью
формулы Бернулли:
v — ^2gh.
 Дополнительный материал
В одном специальном случае можно вы-
брать геометрию таким образом, чтобы быть
уверенными в значении р и таким образом
определить отношение Sr/S2. Вместо просто-
го отверстия в сосуде воспользуемся трубкой
такой формы, как показано на рисунке. Если
P=pgh
отверстие невелико, то жидкость в сосуде бу-
дет двигаться только в непосредственной
окрестности отверстия, расположенного дале-
ко от стенок. Следовательно, давление у сте-
нок будет равно статическому. В частности, на
378
участок стенки, расположенный прямо напро-
тив отверстия трубки, будет действовать
только статическое давление, создавая силу,
равную изменению импульса жидкости. Фор-
мула для давления принимает вид:
p = pgh = pv2 (SJS2).
Поскольку уже известно, что v = |/2g/i, то
должно выполняться условие (St/SJ = 1/2.
Для этой конкретной геометрии опыта умень-
шение площади поперечного сечения струи
можно вычислить довольно просто. Для обыч-
ного отверстия у дна сосуда значение отноше-
ния St/S2 лежит между 1/2 и 1, но найти его
очень трудно. Для круглого отверстия с рез-
ким краем (Si/S2) = 0,62.	Щ
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА,
ДЕЙСТВУЮЩАЯ В ПОТОКЕ
ЖИДКОСТИ
Когда линии тока огибают препят-
ствие несимметрично, скорость потока
с одной стороны тела может отличаться
от скорости с другой стороны. Если в по-
токе выполняется закон Бернулли, то дав-
ление с той стороны, где скорость боль-
ше, будет ниже. Результирующая сила,
действующая на тело, будет иметь боль-
шую составляющую, перпендикулярную
к направлению потока.
На рисунке показано расположение
линий тока вокруг двух воздушных кры-
Сила отдача
at
тд
Л(ти) >
льев. Первое из них симметрично, и сим-
метричны вокруг него линии тока. За-
метьте, что более высокая концентрация
линий тока в поперечном направлении
означает и более высокую скорость жид-
кости. Сверху и снизу от крыла линии то-
ка подходят вплотную друг к другу, что
означает, что скорость жидкости в этих
местах больше, чем вдалеке от крыла. Во
втором случае крыло асимметрично, и
таким же является распределение линий
тока. Для этих линий характерны два
важных момента. Линии тока сближают-
ся над изогнутой частью крыла, показы-
вая, что сверху скорость больше, чем сни-
зу или в остальной части потока.
Согласно закону Бернулли большая ско-
рость сопровождается меньшим давле-
нием. Следовательно, можно ожидать,
что на крыло будет действовать резуль-
тирующая подъемная сила. Этот резуль-
тат дает очень упрощенное объяснение
того, почему самолеты могут держаться
В воздухе.
Обратите, однако, внимание, на вто-
рое, существенное, обстоятельство. Ли-
нии тока, приходящие и сверху, и снизу
крыла, отклоняются вниз. Присутствие
крыла в воздушном потоке приводит
к появлению направленного вниз им-
пульса у воздуха. Это совершенно необ-
ходимо для того, чтобы крыло могло
держаться в воздухе, не падая. Напра-
вленная вверх сила, действующая на кры-
ло, равна скорости изменения импульса
воздуха. Это изменение импульса направ-
лено вниз. Отклонение потока вниз от
крыла можно почувствовать, находясь
недалеко от него, оно приводит к особен-
но драматическим эффектам в случае за-
висшего вертолета. Причина, по которой
не ощущается отклонение вниз потока
или добавочное давление от высоко летя-
щего самолета, заключается просто
в том, что действие этого потока распре-
деляется на большие расстояния.
Асимметрию в распределении линий
тока можно создать и с помощью симме-
тричного препятствия. Как это сде-
лать — показано на рисунке. Линии тока,
огибающие неподвижный (или медленно
движущийся без вращения сквозь спо-
койный воздух) бейсбольный мяч, симме-
тричны. В действительности при любой
заметной скорости движения линии тока
позади движущегося бейсбольного мяча
обрываются, создавая вихри, или турбу-
лентность. Эта турбулентность, поро-
ждаемая трением, решительным образом
379
влияет на движение мяча. Тем не менее
линии тока частично могут сохраниться
позади мяча и в той степени, в которой
они продолжают оставаться линиями то-
ка, подчиняются закону Бернулли. На ри-
сунке показана асимметрия, возникаю-
щая в результате вращения мяча. Этот
Если мяч бросили, не приводя его во враще-
ние, то турбулентность создает давление
случайным образом либо с одной, либо с
другой его стороны, делая полет мяча вдоль
траектории неустойчивым
эффект легендарен. Путь вращающего-
ся мяча искривлен. При подаче бейсболь-
ного мяча можно сильно искривить его
траекторию, но эффект еще больше заме-
тен с шариками для пинг-понга. Как вид-
но на рисунке, прежде чем линии тока
разбиваются на завихрения, они сильнее
сближаются с одной стороны мяча, чем
с другой. Вращающаяся поверхность мя-
ча увеличивает скорость с одной стороны
и уменьшает ее с другой. Поскольку дав-
ление меньше в той области, где ско-
рость выше, мяч начинает двигаться вбок
в этом направлении. В соответствии с за-
коном сохранения импульса, воздух обя-
зательно закручивается в противополож-
ном направлении.
В «Знакомстве с явлениями» вам пред-
лагалось проделать опыт с продуванием
воздуха между двумя листами бумаги.
Обычно наивно ожидают, что при этом
листы бумаги разойдутся в разные сто-
роны. Вместо этого они прижимаются
Л(ти) f
друг к другу. Объяснение этого снова за-
ключается в том, что в области, где ско-
рость больше, давление ниже. Напом-
ним, однако, что и в этом случае воздух
в конце концов должен приобрести им-
пульс в направлении, противоположном
380
силе давления на преграду. Когда в раз-
бираемом опыте два листа бумаги схо-
дятся вместе, струи воздуха, выходящие
из промежутка между ними, должны за-
гибаться в противоположные стороны.
Явление отдачи в струе, которая
оказывает определенное воздействие на
преграду благодаря пониженному давле-
нию в самой струе, легко увидеть в опыте,
предложенном в «Знакомстве с явления-
ми», когда ложка подставлялась под
струю воды из водопроводного крана.
В этом случае ложка затягивалась
в струю как из-за поверхностного натя-
жения, так и из-за более высокой скоро-
сти и меньшего давления в струе с выпу-
клой стороны ложки. Обратите, однако,
внимание на то, что происходит с направ-
лением движения струи. Действующая
на ложку сила, направленная влево, дол-
жна сопровождаться появлением силы,
действующей на воду вправо. Тот же
опыт можно проделать и со струей воз-
духа, как показано на рисунке. Опять
может показаться, что воздух будет от-
скакивать от мяча влево, толкая мяч впра-
во. Вместо этого мяч качнется влево, а
поток воздуха, огибающий мяч снизу,
должен закрутиться вправо
РЕАЛЬНЫЙ МИР ВЯЗКОСТИ
До сих пор предполагалось, что тре-
ние в жидкостях отсутствует. Великий
физик и математик Иоганн фон Нейманн
говорил, что использовать эту модель
жидкости — все равно, что изучать сухую
воду. Турбулентность характерна для
большинства движений жидкости, хотя
потери энергии вследствии трения суще-
ствуют и при ламинарном течении. Рас-
смотрим, например, течение жидкости по
длинному горизонтальному садовому
шлангу. Согласно закону Бернулли да-
вление в трубе постоянно, если ее попе-
речное сечение и высота не меняются.
Однако, как всем хорошо известно, да-
вление вдоль такой трубы равномерно
падает, как показано на рисунке. Дей-
ствительно, если на входе трубы давле-
ние не выше, чем на ее выходе, то почему
будет неподвижен, и будет существовать
слой, примыкающий к поверхности верх-
ней пластины, который будет двигатья со
скоростью пластины v. Каждый слой во-
ды будет действовать на прилегающие
к нему слои, так что в жидкости устано-
вится непрерывное изменение скорости
от дна до поверхности, как показано на
рисунке.
V
Падение давления в трубе с движущейся
жидкостью
Возникающая ситуация очень похожа
на ту, которая создается при сдвиговой
деформации, описанной в главе 4 и пока-
занной на следующем рисунке. Сдвиго-
вое напряжение создает в твердом теле
конечную деформацию, измеряемую
при наличии трения жидкость могла бы
течь?
Мы также предположили, что в опре-
деленном месте трубы вся жидкость дви-
жется с одинаковой скоростью. Другими
словами, считалось, что и в центре труб-
ки, и у ее стенок скорость одинакова. Ре-
альная ситуация, однако, совершенно не
такая. Скорость жидкости у стенок сосу-
да всегда равна нулю. Именно поэтому
мелкая пыль остается на лопастях
вентилятора и на кузове автомобиля.
Лист или камень будут сметены с крыши
автомобиля, но мелкие частицы пыли не
возвышаются достаточно высоко над по-
верхностью для того, чтобы на них воз-
действовал движущийся воздух.
Предположим, что жидкость находит-
ся между двумя плоскими горизон-
тальными пластинами. Пусть верхняя
пластина движется вправо с постоянной
скоростью v относительно нижней пла-
стины, которая неподвижна. Тогда в жид-
кости будет существовать слой, примы-
кающий к нижней пластине, который
Распределение скорости в поперечном сече-
нии потока жидкости в трубе круглого
сечения
Сдвиговое напряжение пропорционально уг-
ловой деформации’ Ец/5 ~ 0, где Рц —сила,
параллельная поверхности, площадь кото-
,	„	„ „ Дх 0
рой равна 5; для жидкостей 0 = —, — -
у At
_ Дх/у _ v
Дг v
углом искажения. Для определенного ма-
териала деформация пропорциональна
напряжению.
В жидкости любое касательное уси-
лие может вызвать бесконечную сдвиго-
вую деформацию. Жидкость не обладает
способностью к упругому сопротивле-
нию, которое в конечном счете могло бы
уравновесить сдвиговое усилие. Однако
не все жидкости поддаются сдвиговому
усилию в одинаковой степени. Если на-
пример, подействовать сдвиговым уси-
лием на смолу, то форма смолы будет
меняться непрерывно, но медленно. Если
подействовать тем же усилием на воду,
то ее форма будет меняться очень бы-
стро. Скорость изменения сдвиговой де-
формации в жидкости равна v/y, где v
и у — переменные, показанные на рисун-
381
ке. В этом случае сдвиговое напряжение
будет таким же, как и в твердом теле:
Сдвиговое напряжение = F/S.
Для простых жидкостей скорость изме-
нения сдвиговой деформации пропор-
циональна сдвиговому напряжению:
F/S = г] • скорость изменения
сдвиговой деформации = ц • (г/у).
Таким образом,
F/S
П = ——•
г/у
Коэффициент пропорциональности
г] называется вязкостью и в простых
жидкостях не зависит от скорости. В таб-
лице приведены значения вязкости для
ряда жидкостей. В СИ единицы вязко-
сти следуют из ее определения:
La^=1 н
(1 м/с)/1 м
Эта единица не является общеупотреби-
тельной. Вместо нее часто используется
прежняя единица, основанная на гауссо-
вой системе Она называется пуазом (П)
в честь французского физика и механи-
ка XIX века Жана Пуазейля:
1 П = (1/10) Н • с/м2.
выраженную
СИ, следует
Например,
при комнатной
Чтобы перевести вязкость,
в сантипуазах, в единицы
умножить ее на 10~3.
Вводы =1- Ю"3 Н -с/м2
температуре.
Обратив внимание на огромную раз-
ницу в вязкости воздуха, воды и вязких
жидкостей. Обратите также внимание
на температурную зависимость вязко-
сти воды. По мере повышения темпера-
туры разрушаются образованные водо-
родными связями кластеры. Заметьте,
кроме того, что вязкость воздуха не
сильно меняется с температурой, но при
увеличении температуры вязкость все же
растет. С другой стороны, у большин-
ства жидкостей вязкость с ростом тем-
пературы уменьшается. Вязкость обыч-
ного технического масла при низкой
температуре настолько велика, что за-
трудняет запуск машины. Когда мотор
горячий, вязкость масла уменьшается,
что приводит к меньшей защите двига-
теля как раз тогда, когда он в этом
больше всего нуждается. Поэтому изго-
товляемые в настоящее время масла вы-
пускаются с различными компонентами,
так чтобы суммарный эффект был про-
тивоположным.
Приведенное соотношение для вяз-
кости было получено Ньютоном. Если
вязкость жидкости не зависит от скоро-
сти, то она называется ньютоновской.
Не все жидкости так просты. Вязкость
жидкостей, составленных из суспензий,
таких как коллоиды, часто зависит от
скорости их течения. Например, при
увеличении скорости крови ее частицы
ориентируются таким образом, чтобы
сопротивление потоку было мини-
мальным и вязкость уменьшалась.
Движение жидкостей часто характе-
ризуют кинематической вязкостью, ко-
торая равна вязкости, деленной на плот-
ность:
кинематическая вязкость = ц/р.
Вязкость воздуха меньше вязкости во-
ды, и все же если организовать водово-
рот в ведре с водой и такой же «водово-
рот» в ведре с воздухом, то воздух
придет в покой гораздо раньше воды.
Вязкость — это мера внутреннего трения
в жидкости. Потери (внутренней) энер-
гии при движении жидкости пропорцио-
нальны вязкости. С другой стороны, ки-
Вязкость (10 2 пуаз) некоторых веществ при различной температуре
Вещест в<?	Температура, °C					
	0	20	40	60	80	100
Вода	1,79	1,01	0,66	0,47	0,36	0,28
Воздух	0,017	0,018	0,019	0,20	0,21	0,022
Ргуть	1,68	1,55	1,44	—	—	1,21
Масло техническое	—	70-300	—	—	—	—
Глицерин	—	500	—	—	—	—
Мед	—	1500	—	—	—	—
382
нетическая энергия, которую может по-
терять движущаяся жидкость, пропор-
циональна ее плотности. Трение в дви-
жущемся воздухе очень мало, но прежде
всего мала энергия, которую может по-
терять движущийся воздух.
Из рассмотренной атомной модели
можно ожидать, что вязкость жидко-
стей должна уменьшаться при увеличе-
нии температуры. Чем больше нагрета
жидкость, тем легче молекулам двигать-
ся мимо друг друга. Однако в газах мо-
лекулы между столкновениями движут-
ся практически свободно. При повыше-
нии температуры средняя скорость мо-
лекул и, следовательно, средний перено-
симый импульс увеличиваются как ко-
рень квадратный из температуры. По-
скольку внутреннее трение, или вяз-
кость, зависят от переносимого импуль-
са, то можно ожидать, что ц ~ ]/т. На
Молекулы в верхнем слое имеют малую ско-
рость течения vt. Молекулы в нижнем слое
имеют большую скорость течения v2. Слои
действуют друг на друга в результате перено-
са импульса молекулами. Поскольку
v ~ ]/т, A (mv) ~ \/т и т| ~ |/т
опыте вязкость увеличивается с темпе-
ратурой немного быстрее благодаря то-
му, что при больших скоростях увеличи-
вается взаимное проникновение молекул
друг в друга.
Достаточно удивительно, что вяз-
кость газов почти не зависит от давле-
ния. Казалось бы, с уменьшением давле-
ния уменьшается число столкновений,
что должно приводить к уменьшению
числа молекул, приходящих из опреде-
ленной области для передачи своего им-
пульса молекулам в соседней области.
С другой стороны, при понижении
давления увеличивается средняя длина
свободного пробега молекул, и в ре-
зультате молекулы, переносящие им-
пульс из одного движущегося слоя
в другой могут воздействовать на более
удаленные области. Эти эффекты в точ-
ности компенсируют друг друга, так что
вязкость газов в широком интервале не
зависит от давления. В тех случаях, ког-
да движение тела в газе в основном
определяется эффектами вязкости, на-
пример, при дрейфе в воздухе пылинок,
его конечная скорость не зависит от да-
вления воздуха. Хотя при давлении, со-
ставляющем 1 % от нормального атмос-
ферного давления, перо будет падать
почти с таким же ускорением, как и мо-
нета, установившееся падение крошеч-
ной частички пыли при таком низком
давлении будет происходить быстрее,
чем при нормальном атмосферном дав-
лении. В следующем разделе будут бо-
лее подробно рассмотрены условия,
определяющие, чем управляется движе-
ние в жидкости — вязкостью или инер-
ционными свойствами.
Пуазейль, в честь которого названа
единица вязкости, исследовал течение
жидкости по тонким трубам. Будучи
врачом, он в основном интересовался
циркуляцией крови. Как мы уже отмети-
ли, движение реальной, вязкой жидкости
не подчиняется закону Бернулли из-за
потерь энергии. Поскольку скорость ре-
альной жидкости равна нулю вблизи
стенок сосуда, то профиль скорости
жидкости, движущейся по трубе, имеет
вид, показанный на рисунке. Эффек-
тивный размер трубы резко уменьшает-
ся при уменьшении ее радиуса, посколь-
ку при малом радиусе низкая скорость
движения около стенок характерна для
большей части жидкости в трубе. Пуа-
зейль показал, что объем жидкости,
протекающей в единицу времени через
трубу круглого сечения с радиусом г
и длиной L, дается формулой:
Л - тсг4(Р1 ~Рг)
At 8r|L
Эффективное давление в трубе равно
Pj—р2. Можно было ожидать, что
383
объем жидкости, протекающей в едини-
цу времени, будет пропорционален ре-
зультирующему давлению, приходяще-
муся на единицу длины трубы, и обрат-
но пропорционален вязкости. Если бы
скорость течения была постоянной по
всему поперечному сечению трубы, то
можно было бы ожидать, что объем вы-
текающей жидкости будет пропорцио-
нален площади поперечного сечения пг1.
Вместо этого, вследствие снижения ско-
рости течения возле стенок, объем выте-
кающей жидкости пропорционален г4.
Существует такое явление, как сверх-
текучесть. При атмосферном давлении
и температуре ниже 4,2 К гелий превра-
щается в жидкость. Когда температура
становится ниже 2,19 К, вязкость части
жидкости обращается в нуль. В отсут-
ствие внутреннего трения сверхтекучая
жидкость может проникать через кро-
шечные трещины гораздо быстрее, чем
газообразный гелий. Благодаря тому
что атомы сверхтекучей жидкости могут
скользить друг по другу без энергетиче-
ских потерь, они могут быстро разно-
сить возмущения по всей жидкости. По-
этому сверхтекучий гелий может прово-
дить тепло лучше любого другого веще-
ства (примерно в 100 раз лучше
меди).
Различие между жидкостью
и твердым телом определяется их от-
кликом на сдвиговые силы. Кристалли-
ческое твердое тело откликается на
сдвиговое усилие угловым искажением,
напряжением, которое пропорционально
силе. Но это искажение не растет до
бесконечности. Однако в жидкости иска-
жение продолжается неограниченно, даже
если и происходит очень медленно, так
что жидкость в конце концов принимает
Стекло течет, koi да оно достаточно нагрето
форму сосуда, в котором она находится.
Между тем многие твердые тела не
являются кристаллическими и в дей-
ствительности текут. Хороший пример
представляет собой стекло. Если распо-
ложить стеклянный прут горизонтально,
подперев его концы, то он в конце кон-
цов прогнется посередине. Когда стекло
достаточно нагрето, то отчетливо вид-
но, что это жидкость. Например, при
температуре, при которой из стекла вы-
дувают посуду, его вязкость составляет
примерно 107 пуазов.
Даже кристаллические твердые тела
могут течь. Если напряжение превосхо-
дит упругие свойства вещества, то кри-
сталлические слои начинают скользить
относительно друг друга. Этот эффект
можно наблюдать, растягивая тонкую
проволоку до разрыва. В точке, где на-
чинается разрыв, проволока не только
удлиняется, но и становится намного
тоньше. При достаточном давлении, та-
ком какое существует глубоко в недрах
Земли, любое вещество ведет себя как
жидкость.
 Дополнительный материал
Течение реальной жидкости
На движение реальных жидкостей или
на движение твердых тел в жидкости могут
оказывать сильное влияние вязкость жидко-
сти и адгезионные силы между молекулами
жидкости и твердого тела. Главный эффект,
Вихревая дорожка фои Кармана
определяющий форму линий тока вокруг те-
ла, может быть обусловлен существованием
прилегающего к телу пограничного слоя,
в котором скорость изменяется от нуля до
384
своего максимального значения в потоке.
Более того, во многих случаях жидкость не
течет вдоль линий тока, а изменяет свой
путь хаотическим образом, что называется
турбулентностью. Турбулентное течение не
только перемешивает различные элементы
жидкости, но и усредняет скорость и им-
пульс по всей турбулентной области. В облас-
ти турбулентности жидкость обладает доба-
вочной кинетической энергией, которая дол-
жна обеспечиваться за счет источника энер-
гии, вызывающего течение.
Рассмотрим силы, действующие на ма-
ленький элемент жидкости, который вовле-
кается в поток из первоначального непо-
движного состояния. Движущая сила равна
произведению площади поперечного сечения
этого элемента на разность давлений на его
концах. Сила трения уменьшает эффект дей-
ствия движущей силы На с. 382 было пока-
зано, что сдвиговое напряжение в неболь-
шом элементе жидкости равно т| (г/у). Сила
сопротивления благодаря вязкости равна
произведению этого напряжения на площадь
поперечного сечения выделенного элемента.
Предположим на минуту, что этот элемент
представляет собой куб со стороной L.
В формуле для сдвигового напряжения у, та-
ким образом, равно L. Полная сила вязкого
трения, действующая на выделенный кубиче-
ский элемент жидкости, равна т] (v/L) I? =
= гр!.. Равнодействующая всех сил, дей-
ствующих на кубик, определяет его уско-
рение :
1.2Др — T]vL = та.
Правая часть уравнения представляет собой
инерционный отклик на равнодействующую
силу. Его, по крайней мере приближенно,
можно выразить через плотность, размер
и скорость выделенного кубического элемен-
та жидкости. Для начала заметим, что т =
= рЕ3. Далее, а = Ar/At. Поскольку движение
кубика начинается из состояния покоя, то Дг
равно и. Ускорение не будет заметно, пока
кубик не переместится на расстояние, равное
его длине: &t = L!v. Инерционный отклик,
, v ,
следовательно, равен та « pL —— = рЕ v .
L/v
Поведение движущейся жидкости может
быть охарактеризовано в терминах относи-
тельной роли инерционного отклика и вязко-
го трения. Отношение определенных выше
величин называется числом Рейнольдса
в честь английского ученого Осборна Рей-
нольдса (1842 — 1912). Число Рейнольдса
инерционный отклик pliv2
Re =---------------------=---------
сила вязкого трения трЕ.
pLv
Л
Вопрос 14-17
Какова размерность числа Рейнольдса?
(Для определения размерности вязкости
воспользуйтесь единицами, приведенны-
ми на с. 382.)
Плотность, вязкость и скорость жидко-
сти являются специфическими характеристи-
ками течения, а вот роль L не столь очевид-
на. Первоначально L вводилось как длина
стороны маленького кубического элемента
жидкости, поведение которого исследова-
лось. Получается так, что число Рейнольдса
зависит от размеров этого кубического эле-
мента. Практически L полагается равным
главной характерной длине в изучаемой
жидкости. Например, в случае падающих
в воздухе частичек пыли или капель дождя
их диаметр приблизительно равен размеру
возмущаемой области воздуха. Самолет воз-
мущает воздух вокруг себя в области, харак-
терный размер которой равен длине крыла
(в действительности возмущение воздуха по-
зади самолета происходит в области гораздо
больших размеров, но причина этою заклю-
чается в более сложных эффектах).
Как нетрудно видеть, предположение,
что L определяет характерный размер, вно-
сит неточность, описываемую множителем
2 или даже несколько большим. Тем не ме-
нее порядок величины числа Рейнольдса
является полезной характеристикой типа
движения жидкости. Например, если значе-
ние Re лежит между 1/10 и 10, то и инер-
ционный отклик жидкости, и вязкое трение
в ней играют важную роль в движении. Ес-
ли, однако, Re < 1/1000, то инерционным от-
кликом можно пренебречь. Вязкое трение
при этом доминирует, и ускорение, есте-
ственно, отсутствует. Если Re > 1000, то пре-
небрежимо малым является вязкое трение,
хотя, как мы увидим, и в этом случае вяз-
кость по-прежнему может вызывать измене-
ния в профиле течения, которые будут опре-
делять характер явления.
Обычно при Re > 3000 течение является
турбулентным.
385
Другой английский исследователь XIX
века Джордж Стокс (1819—1903) изучал за-
коны движения при малых Re. В этих случаях
тела движутся с постоянной скоростью, а тор-
мозящая сила пропорциональна T]l>L. Заметь-
те, что треиие пропорционально только пер-
вой степени характерного размера. Например,
сила, тормозящая сферическую каплю, про-
порциональна диаметру, а не площади попе-
речного сечения. Сила трения пропорцио-
нальна первой степени скорости и пропор-
циональна вязкости жидкости. Тормозящая
сила не зависит, однако, от плотности жид-
кости, поскольку жидкость не ускоряется.
Обратите внимание на то, что поведе-
ние, обусловленное вязкостью, зависит от
комбинации величин, фигурирующих в числе
Рейнольдса, а не только от вязкости жидко-
сти. Например, вязкость воздуха очень мала,
и все же крошечные пылинки или капли дви-
жутся в воздухе с постоянной скоростью, так
что ускорение воздуха отсутствует и, следо-
вательно, они находятся в вязком режиме.
Интересно также, хотя и удивительно, что
тормозящая сила не зависит от плотности
жидкости. Как было отмечено ранее, уста-
новившаяся скорость пылинок в воздухе од-
на и та же при давлениях 1 атм и 0,01 атм.
Хотя в этих случаях плотность воздуха раз-
личается в 100 раз, его вязкость не зависит
от давления.
Вычислим число Рейнольдса для пылин-
ки и для дождевой капли. Предположим, что
пылинка имеет характерный размер L = 0,1 мм,
а капля дождя — L = 5 мм. Обычно пы-
линка не является твердой, и поэтому ее
плотность меньше плотности воды. Ско-
рость пылинки может составлять 10"3 м/с.
Скорость большой дождевой капли может
достигать 10"1 м/с. Плотность воздуха рав-
на 1,3 кг/М3.
Вязкость воздуха при комнатной тем-
пературе равна 180 мкП=1,8-10-4 П =
= 1,8-10"5 Н с/м2. Для пылинки
pLv
Re = -— =
П
= (1,3 кг/м3)-(10"4 м)(10"3 м/с) = 10-2
1,8-10"5 Н с/м2
В соответствии со сделанными предположе-
ниями такая пылинка находится в вязком ре-
жиме движения. Число Рейнольдса для до-
ждевой капли больше в 5 • 103 раз (харак-
терный размер больше в 50 раз, а скорость
больше в 100 раз). Поскольку для капли до-
ждя Ije = 50, то это означает, что в падении
капли одинаково важную роль играет и вяз-
кое торможец^е, и инерционный отклик. Са-
ма по себе капля может падать с установив-
386
шейся скоростью, но ускорение воздуха,
оказавшегося на пути капли, оказывает важ-
ное влияние на результирующее движение.
Вопрос 14-18
Каково отношение плотности к вязкости
для воды при комнатной температуре?
Находитесь ли вы в области больших или
малых значений Re, когда плывете в воде
или передвигаетесь на лодке?
Для большинства человеческих действий
характерны большие числа Рейнольдса. Од-
нако для крошечных живых существ, таких
как микробы, движение в воде или в воздухе
целиком определяется эффектами вязкости.
Для таких созданий очень важными стано-
вятся также поверхностное натяжение и то
обстоятельство, что пограничный слой, в ко-
тором скорость изменяется от нуля до свое-
го максимального значения, по толщине
сравним с размерами объекта.
Если число Рейнольдса больше 100 или
около того, то тормозящая сила пропорцио-
нальна г2р£?. Заметьте, что сюда не входит
вязкость, хотя, как мы увидим, она может
приводить к очень важным эффектам, ко-
торые действуют как тормозящие силы. Си-
ла сопротивления пропорциональна плотно-
сти жидкости, поскольку движущееся в ней
тело должно расталкивать жидкость в сто-
роны и ускорять ее. Эта сила вязкого трения
пропорциональна также площади поперечно-
го сечения L2 потревоженной области жидко-
сти и пропорциональна v2.
Вычислим число Рейнольдса для летя-
щего бейсбольного мяча. Пусть L = 0,1 м и
v = 30 м/с, тогда
п (1,3 кг/м3) (1 • 10"1 м) (30 м/с)
е“	(1,8-10" 5 Н-с/м2)	~
= 2105.
Очевидно, что сила, тормозящая бейс-
больный мяч, пропорциональна площади его
поперечного сечения и квадрату его скоро-
сти. Кроме того, число Рейнольдса лежит
в такой области, где турбулентность потока
вокруг мяча должна играть решающую роль
в его поведении.
Даже при больших числах Рейнольдса
вязкость может влиять на пограничный слой,
где скорость очень мала. Вязкий режим
самого пограничного слоя обычно не дает
существенного вклада в силу, тормозящую
движение тела. Однако он влияет на картину
линий тока в окрестности границы и, таким
образом, влияет на турбулентность, образую-
щуюся позади тела.
На рисунках показаны линии тока вокруг
сферы и обтекаемого крыла. Торможение те-
Высокое Низкое
давление	давление
ла любой формы определяется двумя эффек-
тами. Существует сопротивление движению
вследствие изменений давления в окрестно-
сти тела, и существует сопротивление, вызы-
ваемое эффектами вязкости при прохожде-
нии жидкости вдоль поверхности тела. В слу-
чае обтекаемого крыла поток жидкости, про-
ходя от передней границы тела к наиболее вы-
пуклой его части, попадает из области высоко-
го давления в область низкого давления
При этом, как показано на рисунке, возни-
кает сила, толкающая крыло назад. Однако
когда воздух движется дальше по линии то-
ка вдоль длинной хвостовой части, он снова
попадает в область высокого давления, в ре-
зультате чего толкает крыло вперед. До тех
пор пока жидкость движется вдоль линий
тока, сила, приложенная у переднего края
крыла и толкающая его назад, уравновеши-
вается силой, приложенной сзади и толкаю-
щей крыло вперед. Результирующая сила со-
противления, обусловленная давлением, бу-
дет равна нулю. Единственная действующая
тормозящая сила будет вызываться вязким
трением в пограничном слое. Если бы вяз-
кость отсутствовала или была пренебрежимо
малой, то крыло двигалось бы в жидкости,
не испытывая сопротивления.
Посмотрим, однако, что происходит в
случае, когда жидкость огибает сферическое
тело. Переход от нулевой скорости у поверх-
ности тела к большой скорости на коротком
расстоянии от него происходит слишком рез-
ко, и поток становится нестабильным. Раз-
вивается турбулентность. Вдоль той части
поверхности мяча, где существует турбулент-
ность, отсутствует сила давления на него.
В результате возникает сопротивление дви-
жению за счет того, что давление на мяч спе-
реди не уравновешивается давлением сзади,
из области, где возникает турбулентность.
Это сопротивление движению оказывается
очень большим. Энергия, теряемая в резуль-
тате этого трения в жидкости, превращается
в кинетическую энергию жидкости в области
турбулентности.
Хотя торможение бейсбольного мяча за
счет вязкости мало по сравнению с торможе-
нием, обусловленным давлением, именно
вязкость создает условия, приводящие к тур-
булентности. По мере того как элемент жид-
кости движется от переднего края мяча
вдоль искривленной поверхности, он теряет
скорость, а следовательно, и энергию за счет
вязкости в пограничном слое. Когда выде-
ленный элемент жидкости попадает на вер-
шину выпуклой части, у него отсутствует не-
обходимый импульс для того, чтобы про-
должать путь из области низкого давления
в область высокого давления позади мяча,
и поэтому он останавливается. При этом
вследствие неустойчивости начинает разви-
ваться турбулентность. Как показано иа ри-
сунке, такое может происходить и с обте-
каемым крылом при неправильном выборе
его ориентации в потоке. Если турбулент-
ность начинается очень высоко на выпуклой
поверхности крыла, подъемная сила резко
уменьшается и самолет может упасть.
Из приведенных выше рисунков очевид-
но, что движущийся в воздухе мяч должен
испытывать большое сопротивление воздуха.
Мячи для гольфа имеют неровную, покры-
тую ямочками поверхность. Может пока-
заться. что это должно приводить к допол-
нительному торможению за счет вязкости,
и в действительности все так и происходит.
При малых скоростях шероховатый мяч для
гольфа испытывает большее сопротивление
воздуха, чем гладкий. Однако при больших
Линии тока вокруг сферического тела с
шероховатой поверхностью
1Я7
скоростях ведущую роль играет торможение,
связанное с давлением, и шероховатый мяч
для гольфа тормозится гораздо слабее мячей
с гладкой поверхностью. Турбулентный по-
граничный слой у шероховатой поверхности
прилипает к мячу почти по всей его поверх-
ности, как показано на рисунке. Турбу-
лентный след относительно узок, и позади
мяча существует значительная область, в ко-
торой за счет изменения давления на мяч
действует направленная вперед сила. По-
скольку пограничный слой у движущегося
тела может быть очень тонким, а происходя-
щее в пограничном слое определяет, где на-
чинается турбулентность, то незначительные
изменения в гладкости поверхности могут
приводить к большим эффектам в силах тор-
можения. Заметьте, что заклепки на крыльях
самолетов находятся на одном уровне с
остальной поверхностью.
Хотя число Рейнольдса в определенной
ситуации может только по порядку вели-
чины определять поведение потока, сравне-
ние чисел Рейнольдса для различных ситуа-
ций может быть проведено с большой
точностью и пользой. Это полезно и даже
необходимо при изучении возможных движе-
ний очень больших тел с помощью их ма-
леньких моделей. Прежде чем приступать
к изготовлению полноразмерных образцов
самолетов, в аэродинамических трубах про-
водят испытания их моделей. Многие свой-
ства кораблей также изучаются в небольших
бассейнах. Динамические свойства модели
соответствуют свойствам самого объекта
в том и только в том случае, когда числа Рей-
нольдса одинаковы как для модельной, так
и для реальной ситуаций.
Рассмотрим, однако, следствия этого
требования. Предположим, что требуется из-
готовить мелкомасштабную модель реактив-
ного самолета и испытать ее в аэродинами-
ческой трубе. Для модели в 1/10 натураль-
ной величины характерная длина L будет
в 10 раз меньше длины реального объекта.
Если в аэродинамической трубе используется
воздух, то значения плотности и вязкости бу-
дут примерно такими же, как и для самого
реактивного самолета. Чтобы сделать числа
Рейнольдса одинаковыми, скорость воздуха
в трубе должна в 10 раз превосходить пред-
полагаемую скорость реального самолета.
Такую скорость нельзя получить в аэродина-
мической трубе, но если даже это было бы
возможным, то анализ оказался бы гораздо
388
более сложным, так как скорость оказалась
бы гораздо больше скорости звука.
Вопрос 14-19
Можно ли все-таки сделать мелкомасш-
табное испытательное устройство, ис-
пользуя какую-нибудь жидкость? 
РЕЗЮМЕ
Жидкость в механике — это любое
вещество, которое непрерывно течет
под действием постоянной сдвиговой
силы. Вести себя подобным образом
могут обычные жидкости или газы,
а при чрезвычайно высоких давле-
ниях — даже твердые' тела. В то время
как многие повседневные явления мож-
но объяснить, по крайней мере каче-
ственно, с помощью простой теории
жидкого состояния, объяснение многих
других обычных явлений требует прове-
дения очень сложных расчетов.
Давление в жидкости объясняется на
молекулярном уровне скорее сжатием
молекул, связанных в потенциальных
ямах их соседями, чем ударами моле-
кул, как в случае газов. Давление в лю-
бой точке внутри жидкости одинаково
во всех направлениях. На глубине h под
поверхностью р = р0 + pgh. Это уравне-
ние управляет действием гидравличе-
ских прессов и сифонов.
Закон Архимеда заключается в том,
что на тело, погруженное в жидкость,
действует направленная вверх выталки-
вающая сила, равная весу вытесненной
жидкости. В соответствии с этим погру-
женное в жидкость тело имеет меньший
ВеС. Рв жидк/^в вакууме = 1 Ржидк/Ро* ПлЯ-
вающие на поверхности тела вытесняют
такой объем жидкости, вес которого ра-
вен весу тела.
Когезия молекул приводит к появле-
нию поверхностного натяжения на гра-
нице жидкости с воздухом или твердым
телом. Энергия, необходимая для увели-
чения площади поверхности, равна
у AS, где AS — изменение площади,
а у — поверхностное натяжение, изме-
ряемое в ньютонах на метр. Поверх-
ностное натяжение ответственно за мно-
гие явления, где велико отношение
площади поверхности к объему жидко-
сти, например, при образовании пузы-
рей, ряби на поверхности, при протека-
нии тонких струй. Капиллярные явления
определяются комбинацией когезии
и адгезии и требованием, чтобы поверх-
ность жидкости была перпендикулярна
равнодействующей сил, действующих на
Находящиеся на поверхности молекулы.
При течении идеальной жидкости
должны отсутствовать вязкость (потери
на трение), вращение или турбулент-
ность, и жидкость должна быть несжи-
маемой. Течение жидкости может быть
обозначено линиями тока, которые ни-
когда не пересекаются. При этих усло-
виях сохранение энергии требует выпол-
нения закона Бернулли:
р2 + (1/2) pt>2 + pgh = const.
Согласно этому закону, если высота
остается постоянной, то давление
в жидкости будет ниже там, где ско-
рость ее больше, и наоборот. Трубки
Вентури и Пито работают по этому
принципу и дают возможность опреде-
лять скорость жидкости.
Жидкость, текущая вокруг асимме-
тричного тела, отклоняется асимметрич-
но. Изменение импульса жидкости в ка-
ком-либо направлении сопровождается
появлением силы, действующей на тело
в противоположном направлении. Этот
эффект обеспечивает подъемную силу.
Скорость жидкости больше с той сто-
роны, где имеется отклонение линий то-
ка, что и обеспечивает понижение давле-
ния в этой области и возникновение
подъемной силы.
Реальные жидкости обладают вяз-
костью. Кроме того, скорость жидкости
на границе равна нулю (относительно
границы). Вязкость р — это коэффи-
циент пропорциональности между на-
пряжением сдвига, F/S, и скоростью из-
менения деформации, v/y:
F/S
П =——•
г/у
В простых жидкостях вязкость не зави-
сит от скорости. Некоторые явления
удобнее характеризовать кинематиче-
ской вязкостью р/р. Атомная модель
объясняет, почему в газах г] ~ |/Ти по-
чему г] почти не зависит от давления.
У жидкостей вязкость обычно увеличи-
вается при понижении температуры. Из-
за потерь на трение и благодаря тому
факту, что скорость течения у стенок
равна нулю, объем жидкости, протекаю-
щей по трубе в единицу времени, обрат-
но пропорционален длине трубы и про-
порционален четвертой степени ее ра-
диуса.
Движение тел в реальных жидкостях
может быть охарактеризовано безраз-
мерной величиной — числом Рейнольдса
„ инерционный отклик pLv
Re =----------------------=-----.
сила вязкого трения г)
При Re < 1/1000 инерционными
свойствами жидкости можно прене-
бречь. В этой области сила вязкого тре-
ния пропорциональна тц>Л и не зависит
от плотности жидкости. При Re > 1 000
вязкое трение пренебрежимо мало (хотя
оно может влиять на картину турбу-
лентности). В этой области, к которой
относится большинство видов движения
человека в воздухе или воде, сила со-
противления среды пропорциональна
pv2l3. При использовании масштабных
моделей тел, движущихся в жидкости,
эти модели должны иметь такие же чис-
ла Рейнольдса, что и их реальные про-
образы.
Турбулентность, а не линии тока
определяет движение большинства тел
в жидкости, когда Re >3000. Турбу-
лентность приводит к поглощению
энергии и возникновению силы тормо-
жения.
Ответы на вопросы
14-1. Удаление струи по горизонтали про-
порционально горизонтальной скоро-
сти. Однако это удаление пропорцио-
нально еще и времени полета. Время
полета пропорционально квадратному
корню из высоты, с которой струя па-
дает (у = gt2/2). Струя, вытекающая из
отверстия вблизи вершины пакета, где
давление невелико, может иметь боль-
шое удаление, так как время полета
велико.
14-2. Если плотность увеличивается на 5%,
то объем вещества определенной
массы уменьшится на 5%. В каждом
из х, у-, z-направлений расстояние ме-
жду молекулами должно уменьшаться
на 5/3%.
14-3, Поскольку высота башни одинакова,
то одинаковым будет и создаваемый
389
напор воды. Однако цель водона-
порных башен — создавать не просто
напор воды, а постоянный напор.
В конечном счете, давление обеспечи-
вается насосом, поднимающим воду
наверх. Если бы этот насос непосредст-
венно питал магистраль, то колеба-
ния давления разрушили бы водо-
проводную систему. Идеальная систе-
ма водоснабжения должна обеспечи-
вать постоянное давление независимо
от расхода воды. Чем больше резер-
вуар, тем ближе к постоянному будет
оставаться давление, несмотря на
флуктуации скорости поступления
воды из насоса и изменения расхода
воды в системе.
14-4. Нет, до тех пор пока нижний конец
отсасывающей трубки будет ниже
верхнего уровня переливаемой жидко-
сти, сифон будет работать. Обратите
внимание на соотношения давлений,
приведенные на рисунке на с. 362.
14-5. Давление в верхнем колене сифона по-
степенно уменьшается, начиная с ат-
мосферного давления, существующего
у верхней поверхности жидкости р =
= р0 = pght. Вода в сифоне не будет
подниматься выше уровня, где давле-
ние равно нулю. Для ртути эта высота
равна 76 см (при нормальном атмос-
ферном давлении). Для воды эта вы-
1
сота составляет 10— или 34 фута.
В действительности при определенных
обстоятельствах жидкости могут вы-
держивать и отрицательное натяжение
н поэтому могут подниматься в сифо-
нах и капиллярных трубках и на боль-
шую высоту.
14-6. Конечно же, нет. Для того чтобы под-
нять систему справа на 1 см, необхо-
димо опустить вниз поршень слева на
100 см. Работа, совершаемая при
перемещении левого поршня, А =
= 10 Н • 1 м = 10 Дж. Работа, которую
может совершить поршень справа,
равна
(1 103 H)-(l-10"2 м) = 10 Дж.
14-7. дЛя камня
Ржидк _	103 кг/м3
р0 2,5 103 кг/м3 ”
Р В ЖИДК = 0,6 Р в ВОЗД ~ 30 Н.
14-8- Средняя плотность полого корабля
значительно меньше плотности воды,
и поэтому корабль плавает, выталкивая
объем жидкости, значительно мень-
ший всего своего объема.
14-9. Если бы взвешивалась латунь, то по-
правки сократились бы. Однако если
взвешивается предмет из вещества,
имеющего плотность, близкую
к плотности воды, 1,0 103 кг/м3, то
поправка из-за действующей на зело
выталкивающей силы воздуха будет
около 0,13%. Суммарный эффект бу-
дет, таким образом, давать погреш-
ность измерения около 0,1%, или рав-
ную одной тысячной. Химическое
взвешивание часто должно выпол-
няться с большей точностью.
14-10. Когезионные силы притяжения тянут
находящиеся на поверхности моле-
кулы вглубь жидкости. Но эти силы
уравновешиваются силами отталкива-
ния со стороны молекул, находящихся
прямо под поверхностным слоем, ког-
да поверхностные молекулы прибли-
жаются к ним на расстояние меньше
среднего.
14-11. Обратите внимание, что кольцо при-
поднимает пленку как вдоль внутрен-
него своего края, так и вдоль наруж-
ного. Поэтому необходимая сила
Е = 2у-длина окружности Е=
= 2 • (0,073 Н/м) • л • 0,06 м =
= 2,75- 10"2 Н.
Эта сила равна весу тела массы 2,8 г.
14-12. Воздушные пузыри легче всего обра-
зуются в жидкости с низким поверх-
ностным натяжением, низкой плот-
ностью и относительно высокой вяз-
костью. Рассмотрим предельный слу-
чай. Видели ли вы когда-нибудь пу-
зырь из ртути?
14-13. Поверхность жидкости всегда перпен-
дикулярна равнодействующей всех ко-
гезионных снл, действующих на моле-
кулы, находящиеся на поверхности.
Например, в случае горизонтальной
поверхности равнодействующая сила
когезии, действующая на каждую мо-
лекулу, направлена вниз. (Заметьте,
что эта равнодействующая сила не
является неуравновешенной силой, со-
общающей ускорение. Равнодействую-
щая когезионных и адгезионных сил
притяжения уравновешивается силами
отталкивания со стороны других мо-
лекул, появляющимися вследствие
сжатия.) Поверхностное натяжение
всегда направлено вдоль поверхности,
и именно оно. в зависимости от кри-
визны поверхности, поднимает жид-
кость вверх или опускает вниз.
14-14 Внутри трубы жидкость может иметь
разную скорость в различных точках.
390
Где поперечное сечение велико, там
скорость мала, и наоборот.
14-15. Поскольку жидкость несжимаема, то
в единицу времени в любом месте
должен переноситься одинаковый
объем жидкости. Таким образом,
(ЛУ2/Л() = (ЛУ2/Л1),
(Axj/Ar) = S2 (Ax2/&t),
SjVj = S2v2,
vl/v2 = S2/S1 •
14-16. Скорость жидкости, вытекающей из
отверстия, как раз достаточна для то-
го, чтобы подняться до верхнего уров-
ня жидкости в сосуде, который обес-
печивает напор. (В большинстве труб
с 90°-ным изгибом трение будет взи-
мать большую пошлину.)
14-17. Первый сомножитель в выражении
для числа Рейнольдса — это р, плот-
ность жидкости. Она имеет размер-
ность М/L3. Характерная длина
L имеет размерность L. Размерность
скорости v суть L/Т. Единицей вязко-
сти является 1 Н • с/м2. Следовательно,
размерность вязкости есть
(ML/T2)TL2 = М/TL. Собрав все
вместе, убеждаемся, что все величины
сокращаются. Число Рейнольдса без-
размерно.
14-18. Отношение плотности воды к ее вяз-
кости
Р =	1' ЮЭ кг/м3	6
ц	110’ 3 Н-с/м2
Заметьте, что для воздуха отношение
плотности к вязкости равно
р =	1,3 кг/м3 __105
т] 1,8- 10 5 Н-с/м2
Поскольку характерная длина, когда
вы плывете в воде нли перемещаетесь
на маленькой лодке, составляет около
1 м, а любое типичное движение проис-
ходит со скоростью порядка 1 м/с, то
число Рейнольдса будет больше или
равно 10б. Вы находитесь в области
больших Re. Заметьте, что те же сооб-
ражения справедливы и для движения
в воздухе.
14-19. Напомним, что для воды отношение
плотности к вязкости более чем в 10
раз больше, чем для воздуха. Модель
в 1/10 натуральной величины имеет
в воде то же самое число Рейнольдса
(при той же скорости), чго и его пол-
норазмерный прообраз в воздухе.
Задачи
1.	Каково относительное увеличение
давления на дне стакана с водой по сравне-
нию с давлением в воде у ее поверхности?
2.	Каково полное давление (в ньютонах
на квадратный метр и в атмосферах) на дне
плавательного бассейна, глубина которого
3 м?
3.	В прямоугольном бассейне со сторо-
нами 10 и 5 м глубина воды составляет 1,5 м.
Какова полная сила давления воды на дно
н на каждую стенку?
4.	Сформулируйте своими словами
определение жидкости.
5.	Контейнер для воды выполнен
в форме тонкого горизонтального диска
с большим круглым дном из резины. Вода
наливается в контейнер через высокую ци-
линдрическую трубу, поднимающуюся вдоль
оси диска. Вес находящейся в трубе воды со-
ставляет малую часть веса воды в диске, но
давление в любой точке на дне диска дол-
жно быть пропорционально высоте воды
в трубе. Почему полная сила, с которой да-
вит вниз резиновая диафрагма, не будет
больше веса воды и диска?
6.	Площадь поперечного сечения порш-
ня в ножном тормозе равна 5 см2. Площадь
цилиндра тормоза составляет 75 см2. С ка-
кой силой нужно надавить ногой, чтобы
в тормозе развивалось усилие 1500 Н? На
какое расстояние переместится тормозная
колодка, если ножная педаль опускается на
8 см?
7.	Некоторые сифоны снабжаются спе-
циальной резиновой грушей, чтобы созда-
вать частичный вакуум. Какое давление дол-
жно быть создано в трубке, если бензин
должен подняться на 30 см, прежде чем нач-
нет переливаться вниз? Плотность бензина
равна 0,70 • 103 кг/м3.
8.	Кубнк льда плотности 0,92 • 103 кг/м3
плавает в стакане с водой. Какая часть его
объема выступает из воды? Что произойдет
с уровнем воды в стакане, когда лед рас-
тает?
9.	Какова ошибка (в процентах), свя-
занная с выталкивающей силой со стороны
воздуха, если кусок пенопласта взвешивается
на рычажных весах с помощью латунных
гнрь плотности 8,5 103 кг/м3? Плотность пе-
нопласта составляет примерно 0,10-103
кг/м3.
10.	Каков был бы объем короны царя
Гиерона, если бы 50% ее веса приходилось
на серебро, а масса короны составляла бы
4 кг? Каков был бы ее объем, если бы она
была сделана нз чистого золота? Если по-
грузить корону в воду, налитую в цилиндри-
ческий сосуд диаметра 25 см (достаточно
391
большой, чтобы вместить корону), то каким
было бы изменение уровня воды в каждом
нз этих случаев? Плотность золота 19,3 103
кг/м3, а плотность серебра 10,5  103 кг/м3.
11.	Предположим, что Архимед взвесил
корону царя Гиерона в воздухе и в воде.
Определите отношение веса короны в возду-
хе к ее весу в воде для двух случаев, ука-
занных в задаче 10. Какой была бы раз-
ница в весе (в граммах) золотой короны и
короны из 50%-го сплава золота с серебром?
12.	Плотность одного из типов кирпи-
чей составляет примерно 1,2 103 кг/м3. Вы-
числите отношение веса кирпича в воде к его
весу в воздухе.
13.	Изобразите схему картезианского
водолаза и объясните своими словами, как
можно заставить его всплыть или тонуть.
14.	Действительно ли поверхностного
натяжения воды достаточно, чтобы поддер-
живать на ее поверхности иголку? Типичная
игла имеет длину 3,5 см и массу 0,1 г. На по-
верхности воды она лежит в небольшой впа-
дине. Обусловленная поверхностным натяже-
нием сила должна по крайней мере быть не
меньше направленного вниз веса иглы. Вы-
числите силы и посмотрите, как обстоит де-
ло в этом случае.
15.	Как высоко может подняться вода в
капиллярной трубке радиуса 2 мкм (2  10-6м)?
Предположите, что вода полностью сма-
чивает трубку, так что 0 = 0.
16.	Радиус основного поперечного сече-
ния трубки Вентури равен 4 см. а в суженной
ее части составляет 2 см. Уровни воды в вер-
тикальных трубках в основной и в суженной
частях расположены на высоте соответствен-
но 30 см и 10 см. Какова скорость воды, те-
кущей через трубку?
17.	В одной из трубок Пито использует-
ся ртуть плотности 1,35 • 103 кг/м3. Какова
скорость воздуха, если разность уровней
жидкости составляет 30 см?
18.	Изобразите на рисунке движение
воздуха и объясните своими словами, как
возникает подъемная сила, действующая на
крыло самолета.
19.	Изобразите на рисунке и объясните
своими словами причину подъема кофе по
соломинке в опыте, описанном в «Знаком-
стве с явлениями».
20.	Нарисуйте и объясните своими сло-
вами, что происходит, когда ложку подносят
выпуклой стороной к струе воды. Аккуратно
изобразите направление движения воды, от-
рывающейся от ложки.
21.	Объясните, почему завихрение доль-
ше существует в воде, чем в воздухе.
22.	Ртуть и вода пропускаются по двум
различным трубкам при одной и той же раз-
ности давлений. Длина трубки, по которой
течет ртуть, равна 1 м, а ее внутренний
радиус составляет 0,5 см. Длина второй
трубки равна 1000 м при внутреннем ра-
диусе в 1,0 см. Каково отношение объемов
воды и ртути, вытекающих в единицу
времени?
23.	Объясните своими словами, как
и почему различаются движения в жидкости
при двух предельных значениях числа Рей-
нольдса: Re < 1/1000 и Re > 1000.
24.	Стеклянный шарик диаметра 3 мм
бросили в тяжелое масло с вязкостью
1 10“1 Н с/м2 и плотностью 1,8-103 кг/м3.
Шарик падает с постоянной скоростью, рав-
ной 1 см/с. Каково число Рейнольдса?
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Гравитационная постоянная
Нормальное ускорение свободного па-
дения
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
протона
нейтрона
Отношение массы протона
к массе электрона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона
к его массе
Постоянная Авогадро
Атомная единица массы
Постоянная Фарадея
Универсальная газовая постоянная
Нуль шкалы Цельсия
Нормальное давление
Молярный объем идеального газа
прн нормальных условиях
Постоянная Больцмана
Постоянная Стефана — Больцмана
G = 6,67 10"“ Н  м2/кг2
д„ = 9,8 м/с2
с = 3 108 м/с
Цо =	• IO”7 Гн/м = 12,67 • IO' 7 Гн/м
е0 = (цос2)-1 = 8,85 • 10-12 Ф/м
h = 6,63  IO"34 Дж-с
те = 9,11  10" 31 кг
тр = 1,67  10"27 кг
т„ — 1,67  10"27 кг
тр/те = 1836,15
е= 1,60 10"19 Кл
е/m, = 1,76 10“ Кл/кг
NA = 6,02 • 1023 моль'1
1 а.е.м. = 1,66-10~27 кг
F = NAe = 96484,56 Кл/моль
R =8,31 ДжДмоль • К)
То = 273,15 К
Ро = 1,01 • Ю5 Па
Vm = RT0/p0 = 22,41 • 10"3 м3/моль
fc = R/NA = 1,38-10"23 Дж/К
о = 5,67 10"8 ВтДм2 • К4)
П. НАЗВАНИЯ, СИМВОЛЫ И АТОМНЫЕ МАССЫ
ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
1	Водород	Н	1,0079	54 Ксенон	Хе	131,30
2	Гелий	Не	4,00260	55 Цезнй	Cs	132,9054
3	Литий	Li	6,941	56 Барий	Ва	137,33
4	Бериллий	Be	9,01218	57 Лантан	La	138,9055
5	Бор	В	10,81	58 Церий	Се	140,12
6	Углерод	С	12,011	59 Празеодим	Рг	140,9077
7	Азот	N	14,0067	60 Неодим	Nd	144,24
8	Кислород	О	15,9994	61 Прометий	Pm	[145]
9	Фтор	F	18,998403	62 Самарий	Sm	150,4
10	Неон	Ne	20,179	63 Европий	Eu	151,96
11	Натрий	Na	22,98977	64 Гадолиний	Gd	157,25
12	Магний	Mg	24,305	65 Тербий	Tb	158,9254
13	Алюминий	Al	26,98154	66 Диспрозий	Dy	162,50
14	Кремний	Si	28,0855	67 Гольмий	Ho	164,9304
15	Фосфор	P	30,97376	68 Эрбнй	Er	167,26
16	Сера	S	32,06	69 Тулий	Tm	168,9342
17	Хлор	Cl	35,453	70 Иттербий	Yb	173,04
18	Аргон	Ar	39,948	71 Лютеций	Lu	174,967
19	Калий	К	39,0983	72 Гафний	Hf	178,49
20	Кальций	Ca	40,08	73 Тантал	Ta	180,947
21	Скандий	Sc	44,9559	74 Вольфрам	W	183,85
22	Титан	Ti	47,90	75 Рений	Re	186,207
23	Ванадий	V	50,9415	76 Осмий	Os	190,2
24	Хром	Cr	51,996	77 Иридий	Ir	192,22
25	Марганец	Mn	54,9380	78 Платина	Pt	195,09
26	Железо	Fe	55,847	79 Золото	Au	196,9665
27	Кобальт	Co	58,9332	80 Ртуть	Hg	200,59
28	Никель	Ni	58,71	81 Таллий	Tl	204,37
29	Медь	Cu	63,546	82 Свинец	Pb	207,2
30	Цинк	Zn	65,38	83 Висмут	Bi	208,9804
31	Галлий	Ga	69,735	84 Полоний	Po	[209]
32	Германий	Ge	72,59	85 Астат	At	[210]
33	Мышьяк	As	74,9216	86 Радон	Rn	[222]
34	Селен	Se	78,96	87 Франций	Fr	[223]
35	Бром	Br	79,904	88 Радий	Ra	226,0254
36	Криптон	Kr	83,80	89 Актиний	Ac	[227]
37	Рубидий	Rb	85,467	90 Торий	Th	231,0381
38	Стронций	Sr	87,62	91 Протактиний	Pa	231,0359
39	Иттрий	Y	88,9059	92 Уран	U	238,029
40	Цирконий	Zr	91,22	93 Нептуний	Np	237,0482
41	Ниобий	Nb	92,9064	94 Плутоний	Pu	[244]
42	Молибден	Mo	95,94	95 Америций	Am	[243]
43	Т ехнеций	Tc	98,9062	96 Кюрий	Cm	[247]
44	Рутений	Ru	101,07	97 Берклий	Bk	[247]
45	Родий	Rh	102,9055	98 Калифорний	Cf	[251]
46	Палладий	Pd	106,4	99 Энштейний	Es	[254]
47	Серебро	Ag	107,868	100 Фермий	Fm	[257]
48	Кадмий	Cd	112,41	101 Менделевий	Md	[258]
49	Индий	In	114,82	102 (Нобелий)	(No)	[259]
50	Олово	Sn	118,69	103 (Лоуренсий)	(Lr)	[260]
51	Сурьма	Sb	121,75	104 Курчатовий	Ku	[260]
52	Теллур	Те	127,60	105		[260]
53	Иод	I	126,9045	106		[263]
Ш. ПРИСТАВКИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ КРАТНЫХ
И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Кратность и дояьность	Приставка	
	название	обозначение
1000000000000= 1012	тера	т
1000000000= 10»	гига	г
1000000 = 106	мега	м
1000= 10^	кило	к
100 = 102	гекто	г
10= 101	дека	да
0,1 = 10"'	деци	д
0,01 = 10’2	саити	с
0,001 = 10~3	миллн	м
0,000001 = 10~6	микро	мк
0,000000001 = 10	нано	н
0,000000000001 = 10~12	ПИКО	п
0,000000000000001 = иг15	фемто	ф
0,000000000000000001 = 10~18	атто	а
IV. ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
Аа	альфа	Nv	НЮ
вр	бета		ксн
Г7	гамма	Оо	омнкрон
Д8	дельта	Пл	ПИ
Ее	ЭПСИЛОН	Рр	ро
z?	дзета	Ест	сигма
Нц	эта	Тт	тау
000	тета	Ти	нпсилон
Ii	йота	Фер	фи
Ки	каппа	X/	хи
АХ	ламбда	Тф	пси
Мц	мю	Qco	омега
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчиков............. 3
Предисловие.......................... 5
Глава 1. Декорации и драма ...	7
Размеры и расстояния............. 7
Знакомство с явлениями — рассто-
яния ...................... 14
Время....................... 15
Знакомство с явлениями — время	23
Взаимодействия и изменения .	.	24
Функциональная зависимость .	.	27
Знакомство с явлениями — функ-
ции ....................... 29
Резюме...................... 30
Ответы на вопросы........... 31
Задачи...................... 34
Глава 2. Прямолинейное движение	35
Знакомство с явлениями ...	36
Описание неподвижного тела . .	38
Описание движения тела с посто-
янной (но ненулевой) скорос-
тью ....................... 38
Мгновенная скорость......... 41
Применение графика v (г) для на-
хождения пройденного	пути	42
Определение ускорения	....	44
Частный случай постоянного уско-
рения ..................... 45
Формулы для движения с посто-
янным ускорением, когда к
не равно нулю.............. 49
Единицы и размерности величин	49
Простые задачи и реальный мир	53
Резюме.......................... 54
Ответы на вопросы............... 55
Задачи.......................... 57
Глава 3. Движение в двух измерениях	59
Знакомство с явлениями ...	59
Положение точки в двух измере-
ниях ...................... 61
Векторные величины.............. 63
Сложение скоростей.............. 64
Траектории вблизи «плоской»
Земли...................... 66
Движение пр окружности ....	70
Резюме.......................... 72
Ответы на вопросы............... 73
Задачи.......................... 74
Глава 4. Силы в равновесии ....	76
Знакомство с явлениями ...	76
Виды сил....................... 78
Деформации и их измерение ...	79
Связь силы и деформации ...	80
Давление, напряжение и натяже-
ние ........................ 82
Направленный характер сил ...	86
Равновесие сил................. 87
Вращающий момент............... 89
Равновесие вращающих моментов	91
Центр тяжести.................. 94
Резюме......................... 96
Ответы на вопросы.............. 96
Задачи......................... 98
Глава 5. Движение под действием
сил.............................100
Знакомство с явлениями ...	100
Экспериментальные результаты
действия сил................101
Коэффициент пропорционально-
сти между силой и ускорени-
ем: F = ка..................103
Инертная и гравитационная масса 105
Единица массы — килограмм . .	108
Малое g, ускорение свободного
падения..................... НО
Второй закон Ньютона и реальный
мир........................ 111
Резюме........................ 115
Ответы на вопросы..............116
Задачи........................ 118
Глава 6. Приложения второго закона
Ньютона..........................Н9
Знакомство с явлениями . . .	119
Постоянная сила в направлении
движения....................121
Движение по окружности, опре-
деления и основные соотно-
шения ......................123
Второй закон Ньютона для враща-
тельного движения ....	126
Случаи, когда центростремитель-
ная сила перпендикулярна си-
ле тяжести..................129
Случай, когда тяготение создает
центростремительную силу 131
Переменная сила, приводящая к
колебаниям................. 132
396
Первый подход: качественные со-
ображения ................. 133
Второй подход: геометрические
соображения................ 134
Период колебаний.......... 135
Простые гармонические колебания
и другие колебания ....	136
Резюме.................... 137
Ответы на вопросы......... 139
Задачи.................... 141
Глава 7. Импульс...............143
Знакомство с явлениями	...	143
Сохранение импульса........144
Другие свойства импульса	...	148
Примеры сохранения импульса	150
Третий закон Ньютона и его
связь со вторым законом Нью-
тона........................153
Примеры кратковременных им-
пульсных сил н толчков ...	155
Центр масс и сохранение им-
пульса .....................158
Резюме..........................160
Ответы на вопросы...............161
Задачи..........................163
Глава 8. Момент импульса ....	166
Знакомство с явлениями ....	166
Разные формы момента импульса	167
Порядок величины некоторых мо-
ментов импульса.................168
Сохранение момента импульса	169
Направленный характер момента
импульса................... 174
Квантование момента импульса 177
Некоторые частные вопросы . . .	179
Физический маятник............. 180
Радиус соударения ............. 181
Резюме......................... 183
Ответы на вопросы.............. 184
Задачи......................... 187
Глава 9. Кинетическая энергия и
работа.........................189
Знакомство с явлениями ...	190
Второе ограничение для столкно-
вений определенного вида . . .	190
Работа, необходимая для сооб-
щения кинетической энергии 194
Кинетическая энергия вращения 197
Простые механизмы, не дающие
выигрыша в работе	....	200
Резюме.....................203
Ответы на вопросы..........204
Задачи.....................206
Глава 10. Потенциальная энергия и
мощность..................... 208
Знакомство с явлениями	.	.	.	208
Запасение энергии при искажении
системы.....................210
Отрицательная потенциальная
энергия.........................213
Потенциальная яма Земли . . .	215
Молекулярные потенциальные
ямы..........................219
Возвращающие силы и потенци-
альная энергия............220
Молекулярные силы.............223
Центробежные силы.............224
Мощность . .	 226
Единицы и масштабы изменения
энергии н мощности ....	226
Резюме......................  227
Ответы на вопросы.............228
Задачи........................229
Глава 11. Системы отсчета и теория
относительности ............... 233
Знакомство с явлениями . . .	234
Преобразования Галилея ....	235
Локальные поля в ускоренных
системах отсчета.............241
Специальная теория относитель-
ности Эйнштейна..............248
Мысленный эксперимент ....	250
Соотношение между импульсом,
энергией и массой ....	263
Масса-энергия и преобразования
Лоренца......................267
Тяготение и общая теория от-
носительности ...............268
Резюме..........................270
Ответы на вопросы...............271
Задачи..........................274
Глава 12. Внутренний энергия ве-
щества .......................277
Знакомство с явлениями . . .	277
Эффекты, вызываемые потерями
механической энергии . . .	279
Обычные термометры — знакомые
и незнакомые...............280
Калибровка термометров и темпе-
ратурные шкалы.............282
Поведение газов в зависимости
от температуры.............286
Влияние температуры на твердые
тела и жидкости............289
Фазовые превращения вещества
в зависимости от темпера-
туры ......................291
Определение температуры . . .	293
Первый закон термодинамики	295
Теплоемкость — изменение тем-
пературы при поступлении
тепла......................297
Перенос тепла ........	304
Резюме........................308
Ответы на вопросы/............309
Задачи........................311
Глава 13. Микроструктура вещества
и второй закон термодинамики . .	314
Знакомство с явлениями ....	314
Предположения относительно на-
шей новой модели ....	315
Специальные предположения от-
носительно модели газов . .	317
397
Кинетическая теория газов . . .	318
Следствия модели — средняя энер-
гия и скорость..............319
Тепловые эффекты в реальных
газах, твердых телах и
жидкостях.................. 327
Молярная теплоемкость и модель
атома.......................330
Превращение тепла в работу .	...	334
Цикл Карно..................338
Второй закон термодинамики	.	.	341
Энтропия....................344
Резюме......................348
Ответы на вопросы...........349
Задачи ..........................353
Глава 14. Жидкости...............355
Знакомство с явлениями	.	.	.	356
Давление в жидкости..........359
Закон Архимеда...............363
Поверхностное натяжение	.	.	.	366
Течение «идеальной жидкости» —
плохое приближение ....	374
Подъемная сила, действующая в
потоке жидкости.............379
Реальный мир вязкости	.	.	.	380
Резюме.....................388
Ответы на вопросы..........389
Задачи.....................391
Приложении.....................393
СОДЕРЖАНИЕ ТОМА 2
Глава 15. Волновые импульсы и простые волны
Глава 16. Сложные волны и интерференция
Глава 17. Геометрическая оптика
Глава 18. Электростатика
Глава 19. Электрический ток
Глава 20. Магнетизм
Глава 21. Переменные токи н поля
Глава 22. Электромагнитное излучение
Глава 23. Микроструктура мира
Кл Э Суорц
НЕОБЫКНОВЕННАЯ ФИЗИКА
ОБЫКНОВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ
Т О М 1
Редактор М Н Андреева
Художественные редакторы Г М Кдровина
Л Н Романенкова
Технический редактор С Я Шклчр
Корректоры М Л Медведская Е Ю Рычагова
ИБ № 12988
Сдано в набор 14 01 86 Подписано к печати
09 09 86 Формат 70 х 100/16 Бумага книжно-жур-
нальная для офсетной печати Гарнитура тайме
Печать офсетная Усл печ л 32,5 Усл кр -отт 65.
Уч-изд л 36,43 Тираж 173 000 экз Заказ № 231
Цена 2 р 10 к
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
Физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградское производствен-
но техническое объединение «Печатный Двор» име-
ни А М Горького Союзполиграфпрома при Го-
сударственном комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли
197136 Ленинград П-136, Чкаловский пр, 15
399
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ
ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
Бутиков	Е. И.,	Быков	А.	А.,	Кондратьев	А.	С
Физика в примерах и задачах.— 2-е изд., 1983, 464 с., 95 к.
Бутиков	Е. И.,	Быков	А.	А.,	Кондратьев	А.	С.
Физика для поступающих в вузы.-2-е изд., 1982, 608 с., 1 р. 20 к.
Турский И. П. Элемеитариаи физика с примерами задач.—3-е
изд., 1984, 448 с., 1 р. 10 к.
Жданов Л. С., Жданов Г. Л. Физика для средних спе-
циальных учебных заведений. — 4-е изд., 1984, 512 с., 1 р. 30 к.
Задачи по физике/Воробьев И. И., Зубков П. И., Кутузова Г. А.
и др.; Под ред. О. Я. Савченко, — 1981, 432 с., 95 к.
Задачи по физике для поступающих в вузы/Бендриков Г. А.,
Буховцев Б. Б, Керженцев В. В., Мякишев Г. Я,—5-е изд., 1984,
400 с., 1 р.
Зубов В. Г., Ш а льнов В. П. Задачи по физике.-11-е изд.,
1985, 256 с., 50 к.
Меледин Г. В. Физика в задачах: Экзаменационные задачи
с решениими.— 1985, 208 с., 45 к.
Пинский А. А. Задачи по физике. — 1977, 288 с., 65 к.
Сборник задач и вопросов по физике для средних специальных
учебных заведеиий/Гладков Р. А., Добронравов В. Е., Жданов Л. С.,
Цодиков Ф. С.; Под ред. Р. А. Гладковой. — 6-е изд., 1983,
320 с„ 80 к.
Сборник задач по физике/Баканина Л. П., Белонучкин В. Е.,
Козел С. М., Мазанько И. П.; Под ред. С. М. Козела. — 1983,
288 с., 75 к.
Шаскольская М. П„ Эльцин Э. А. Сборник избранных
задач по физике. — 5-е изд., 1986, 224 с., 40 к.
Элементарный учебник физики: В 3-х т./Под ред. Г. С. Ланд-
сберга, Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — 10-е изд.,
1985, 544 с., 1 р. 40 к.
Т. 2. Электричество и магнетизм.— 10-е изд., 1985, 480 с., 1 р. 10 к.
Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Строение атома.— 10-е изд.,
1986, 656 с., 1 р. 50 к.
Яворский Б. М., Пннский А. А. Основы физики: В 2-х т.
Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика. — 3-е изд.,
1981, 480 с., 1 р. 20 к.
Т. 2. Колебания и волны. Квантовая физика. — 3-е изд., 1981,
448 с., 1 р. 20 к.