Текст
Л. С. ЖДАНОВ, В. А. МАРАНДЖЯН ЖЧ^
КУРС ФИЗИКИ
ДЛЯ СРЕДНИХ СПЕЦИАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕХАНИКА
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено М инистерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для средник специальных учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
53 (0.75)
Ж 42
УДК 530 (0.75.3)
4
2—3—1
"59-70
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................... . 9
РАЗДЕЛ I
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 1. Физика как наука о природе................ 11
§ 1. Предмет физики (11). § 2. Способы изучения явлений
природы (14). § 3. Физика и техника (16).
Глава 2. Физические величины и их измерение .... 18
§ 4. Понятие о величине и измерении (18). § 5. Понятие
осиле. Вес тела (19). §6. Понятие о массе (20). § 7. Метричес-
кая система мер (20). § 8. Единицы измерения длины,
массы и времени (23). § 9. Единицы измерения силы (25).
§ 10. Связь между весом и массой тела (26). § 11. Прямое
и косвенное измерения (27). § 12. Правило вывода еди-
ниц измерения из формул (28). § 13. Международная сис-
тема единиц СИ (30). § 14. Приборы для измерения длины
(31). §15. Измерение массы и времени (34). § 16. Измерение
силы. Динамометр (37). § 17. Ошибки измерений (39).
§ 18. Понятие о значащих цифрах приближенного числа (41).
§ 19. Понятие о правилах алгебраических действий над
приближенными числами (42). § 20. Плотность вещества
(44). § 21. О коэффициентах пропорциональности в физи-
ческих формулах (46).
Упражнения......................................’ * 47
РАЗДЕЛ п
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 3. Основы кинематики...................... . 48
§ 22. Содержание механики и ее значение для техники (48).
§ 23. Материальная точка (49). § 24. Виды механического
движения (51). § 25. Равномерное прямолинейное движе-
ние. Скорость равномерного движения (52). § 26. Понятие о
векторных величинах (53). § 27. Уравнение равномерного
прямолинейного движения (55). § 28. Графики пути и
скорости равномерного движения (55). § 29. Неравно-
мерное движение. Средняя и мгновенная скорости (57).
§ 30. Равномерно-переменное движение (59). § 31. Уско-
рение и единицы его измерения (60). § 32. Скорость рав-
номерно-переменного движения (62). § 33. Вычисление
пути равномерно-переменного движения (62). § 34. Част-
ные случаи равномерно-переменного движения (64). § 35.
Равномерно-ускоренное движение без начальной скорости
(66). § 36. Графики равномерно-переменного движения
(68). § 37. Свободное падение тел и его законы (71). § 38.
Движение тела, брошенного вертикально вверх (75).
Упражнения............................................ 77
Глава 4. Основы динамики............................... 79
§ 39. Первый закон динамики (79). § 40. Сила как причина
ускорения. Взаимно уравновешивающиеся силы (82).
§ 41 Связь между силой, массой и ускорением (83). § 42.
Физический смысл второго закона Ньютона. Масса как
мера инертности (86). § 43. Импульс силы и количество
движения (88). § 44. Значение системы единиц измерения
для упрощения расчетов в физике (89). § 45. Единицы .
измерения силы и массы (92). § 46. Выражение силы тя-
жести-через массу тела и ускорение свободного падения (94).
§ 47 Удельный вес вещества (96). § 48. Механическое
взаимодействие тел. Третий закон динамики (97). § 49.
Зависимость ускорений и скоростей, возникающих вслед-
ствие взаимодействия тел, от массы тел (100). § 50. Закон
сохранения импульса (103). § 51. Давление тел на опору
при движении в вертикальном направлении (104). § 52.
Использование. взаимодействия тел в технике (105). § 53.
Физические основы реактивного движения и полета мно-
гоступенчатых ракет (106). § 54. Закон независимости
действия сил (109). § 55. Трение (ПО). § 56. Коэффициент
трения. Свойства сил трения (112). § 57. Роль сил трения
(114). § 58. Влияние окружающей среды на движение тел
(115).
Упражнения............................................117
Глава 5. Основы статики................................118
§ 59. Абсолютно твердое тело (118). § 60. Перекос точки
приложения силы, действующей на твердое тело (118).
§ 61. Равновесие тела под действием сил (119). § 62. Сложе-
ние сил, направленных по одной прямой (120). § 63. Сложение
сил, направленных под углом друг к другу (123). § 64.
Разложение силы на две составляющие, направленные
под углом (127). § 65. Разложение сил на кронштейне.
Наклонная плоскость (128). § 66. Понятие о сложении и
вычитании векторных величин (131). § 67. Сложение парал-
лельных сил, направленных в одну сторону' (133). § 68.
Центр тяжести (135). § 69. Равновесие тела, имеющего точку
или линию опоры (138). § 70. Устойчивое равновесие (140).
§ 71. Момент силы (140). § 72. Условия равновесия тела,
имеющего неподвижную ось вращения (143). § 73. Пара
сил (146).
Упражнения ......................................... 147
4
Глава 6. Деформации .....................................149
§ 74. Виды деформаций (149). § 75. Упругость, пластичность,
твердость и хрупкость материалов (152). § 76. Напряже-
ние в материале. Закон Гука (153). § 77. Упругие дефор-
мации продольного растяжения и сжатия. Модуль Юнга
(155). § 78. Разрушающая нагрузка. \3апас прочности (156).
§ 79. Давление и единицы его измерения (156).
Глава 7. Работа и энергия. Закон сохранения энергии . . 159
§80. Понятнее механической работе (159). §81. Превращение
различных форм движения материи в механическую форму
и обратно при выполнении работы (160). § 82. Величина ме-
ханической работы (161). § 83. Единицы измерения работы
(164). § 84. Мощность (165). § 85. Выражение мощности
через силу и скорость движения (165). § 86. Единицы изме-
рения мощности (167). § 87. Дополнительные единицы
работы, выведенные из формулы мощности (167). §88. Коэф-
фициент полезного действия машин (168). § 89. Простые
механизмы. Работа на наклонной плоскости (170).§90. Рычаги
и их применение (172). §91. Вечный двигатель первого рода.
Золотое правило механики (173). § 92. Механическая энер-
гия (174). § 93. Кинетическая энергия (176). § 94. Потен-
циальная энергия (179). § 95. Переход потенциальной энер-
гии в кинетическую при свободном падении тела (181).
§ 96. Закон сохранения энергии в механических процес-
сах (183). § 97. Энергия как всеобщая мера движения ма-
терии. Закон сохранения и превращения энергии (184).
§ 98. Границы применимости классической механики (186).
§ 99. Примеры вычисления работы и энергии (189).
- Упражнения...................................... ... 191
Глава 8. Криволинейное и вращательное движения . . 193
§ 100. Сложное движение (193). § 101. Движение тела,
брошенного горизонтально и под углом к горизонту (195).
§ 102. Периодические движения (197). § 103. Равномерное
движение по окружности. Линейная скорость (197). § 104.
Период, частота и число оборотов (198). § 105. Равномер-
ное вращение тела. Угловая скорость (199). § 106. Понятие
о центростремительной силе (203). § 107. Вывод формулы
центростремительного ускорения (205). § 108. Возникно-
вение центростремительной силы (206). § 109. Понятие о
центробежной силе (208). § ПО. Силы, действующие на связь
при движении по окружности в вертикальной плоскости
(209). § 111. Деформация тела при вращении (210). § 112.
Центробежные механизмы (212). § 113. Примеры решения
задач (216).
Упражнения........................................ 218
Глава 9. Всемирное тяготение..........................219
§ 114. Взаимное притяжение тел друг к другу (219). § 115.
Постоянная тяготения и её опытное определение (221). § 116.
Понятие о поле тяготения (223). §117. Сила тяжести и за-
кон всемирного тяготения (224). § 118. Значение закона
5
всемирного тяготения в астрономии (226). § 119. Космические
скорости. Искусственные спутники Земли (227). § 120.
Полеты космических кораблей (230).
Упражнения..........................................231
Глава 10. Колебания и волны ..........................232
§ 121. Введение (232). § 122. Колебательное движение (232).
§ 123. Условия возникновения колебаний (233). § 124. Па-
раметры колебательного движения (236). § 125. Величины,
характеризующие мгновенное состояние колеблющейся
точки (238). § 126. Понятие о гармонических колебаниях
(240). § 127. Связь между гармоническим колебанием и
равномерным движением по окружности (241). § 128. Урав-
нение гармонического колебания и его график (244). § 129.
Математический маятник (245). § 130. Законы колебания
математического маятника (247). § 13К Физический маят-
ник (249). § 132. Применение маятника в часах (250). § 133.
Некоторые другие применения маятника (251). § 134. Вол-
новые процессы (252). § 135. Перенос энергии бегущей вол-
ной (254). § 136. Длина волны (255). § 137. Поперечные и *
продольные волны (256). § 138. Скорость распространения
волнового движения (258). §139. Отражение волн (259).
§ 140. Интерференция волн (261). § 141. Стоячие волны
(264). § 142. Понятие о свободных и вынужденных коле-
баниях (265). § 143. Механический резонанс (266).
Глава 11. Звук......................................270
§ 144. Природа звука (270). § 145. Скорость звука (272).
§ 146. Громкость звука, высота тона и тембр (275). § 147.
Интерференция звуковых волн. Биения (275). § 148. Отра-
жение и поглощение звука (277). § 149. Звуковой резонанс
(279). § 150. Ультразвуки и их применение (280).
Глава 12. Элементы гидродинамики и аэродинамики , . 283
§ 151. Значение гидро- и аэродинамики (283). § 152. Стацио-
нарный поток жидкости. Линии тока (284). § 153. Зависи-
мость между давлением и скоростью движения в стационар-
ном потоке (285). § 154. Практическое использование за-
висимости давления от скорости потока (288). § 155. Вяз-
кость газов (290). § 156. Вязкость жидкости (291). § 157.
Сопротивление движению тела в Жидкости и газе (292).
§ 158. Понятие о подъемной силе, действующей на крыло
самолета, и силе тяги винта (294). § 159. Корабль с под-
водными крыльями (295). § 160. Принцип устройства гид-
ротурбин (296).
РАЗДЕЛИ!
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕПЛОТА
Глава 13. Основы молекулярно-кинетической теории . . 299
§ 161. Введение (299). § 162. Краткая история возникнове-
ния молекулярно-кинетической теории и ее основные
положения (299). § 163. Понятие о температуре (301). § 164.
6
Явления, подтверждающие наличие промежутков между
молекулами вещества (302). § 165. Броуновское движение
(303). § 166. Диффузия. Осмос (304). § 167. Явления, подтверж-
дающие наличие сил взаимодействия между молекулами
(307). § 168. Кинетическая и потенциальная энергии мо-
лекул (309).§ 169. Внутренняя энергия тела (311). § 170. Тем-
пература газа как мера средней кинетической энергии его
молекул (311). § 171. Виды теплообмена (313). §172. По-
нятие о статистическом методе изучения явлений приро-
ды (315). § 173. Скорости движения молекул газа. Понятие
о распределении молекул газа по скоростям (316). § 174.
Размеры, молекул (318). § 175. Массы атомов и молекул.
Число Авогадро и число Лошмидта (319). § 176. Особенности
теплового движения молекул в газах, жидкостях и твер-
дых телах (321). § 177. Понятие вакуума (323).
Глава 14. Свойства жидкостей и твердых тел.............326
§ 178. Характеристика жидкого состояния вещества (326).
§ 179. Поверхностный слой жидкости (327). § 180. Энергия
поверхностного слоя жидкости. Коэффициент поверх-
ностного натяжения (329). § 181. Поверхностное натяже-
ние (331). § 182. Каким образом возникает сила поверх-
ностного натяжения (332). § 183. Смачивание. Краевой
угол (336). § 184. Мениск. Давление, создаваемое искрив-
ленной поверхностью жидкости (337). § 185. Капиллярность.
Капиллярные явления в быту и технике (338). § 186.
Твердое тело. Кристаллические и аморфные тела (341).
Глава 15. Тепловое расширение тел......................346
§ 187. Тепловое расширение тел (346). § 188. Линейное
расширение твердых тел при нагревании (347). § 189. Объем-
ное расширение тел при нагревании (350). § 190. Зависи-
мость плотности вещества от температуры (351). § 191.
Особенности расширения твердых тел при нагревании (352).
§ 192. Особенности расширения жидкостей (353). § 193.
Значениетепловогорасширениятел в природе и технике(356).
Упражнения..........................................357
Глава 16. Свойства газов..............................358
§ 194. Газообразное состояние вещества и его характери-
стики (358). § 195. Объяснение давления газа на основе
молекулярно-кинетической теории (359). § 196. Изотер-
мический процесс в газе (361). § 197. Идеальный и реальные
газы (363). § 198. Манометры (365). § 199. Изохорический
процесс в газах. Закон Шарля (367). § 200. Абсолютный
нуль (369). § 201. Термодинамическая температурная шка-
ла (371). § 202. Выражение закона Шарля с помощью тер-
модинамической температуры (373). § 203. Изобарический
процесс в газах. Закон Гей-Люссака (374). § 204. Объединен-
ный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным
условиям (376). § 205. Уравнение состояния идеального
газа. Универсальная газовая постоянная (378).
Упражнения . . < . ,................................ 382
Г л а в a 17. Теплота и работа. Первое начало термодинамики 383
§ 206. Количество теплоты как мера изменения внутрен-
ней энергии при теплообмене. Калориметр (383). § 207.
Изменение внутренней энергии тела при нагревании и
охлаждении (384). § 208. Изменение внутренней энергии в
процессе выполнения работы. Опыт Джоуля (387). § 209.
Топливо Коэффициент полезного действия нагревателя
(389). §210. Уравнение теплового баланса (391). §211. Закон
сохранения и превращения энергии в механических и теп-
ловых процессах. Первое начало термодинамики (392).
§ 212. Понятие об адиабатном процессе (393).
Упражнения..........................................399
Г лава 18. Изменение агрегатного состояния вещества . 400
§ 213. Изменение агрегатного состояния вещества в при-
роде и технике (400). § 214. Плавление и отвердевание (401).
§ 215., Температура плавления кристаллических тел (403).
§ 216. Удельная теплота плавления (405). § 217. Изменение
объема и плотности вещества при плавлении и отвердевании *
(403). § 218. Зависимость температуры и теплоты плавления
от давления (408). § 219. Уравнение теплового баланса при
плавлении и отвердевании (409). § 220. Растворы и сплавы
(410). § 221. Понятие о парообразовании и конденсации.
Испарение (411). § 222. Быстрота испарения. Сублимация
(412). § 223. Теплота парообразования (413). § 224. Пары,
насыщающие и не насыщающие пространство (414). § 225. Свой-
ства паров, насыщающих пространство (416). § 226. Свойства
паров, не насыщающих пространство (419). § 227. Процесс ки-
пения жидкости (420). § 228. Зависимость температуры ки-
пения жидкости от давления. Точка кипения (423). § 229.
Зависимость удельной теплоты парообразования от тем-
пературы (425). § 230. Уравнение теплового баланса при
парообразовании и конденсации (427). §231. Перегретый пар
и его использование в технике (429). § 232. Критическое
состояние вещества (430). § 233. Сжижение газов и исполь-
зование полученных жидкостей в технике (434). § 234.
Водяной пар в атмосфере (436). § 235. Абсолютная и отно-
сительная влажность воздуха. Точка росы (437). § 236.
Приборы для определения влажности воздуха (440).
Упражнения .........................................443
Глава 19. Тепловые двигатели..........................444
§ 237. Принцип действия тепловых двигателей (444). § 238.
Работа, совершаемая газом при расширении (445). § 239.
Понятие об идеальной тепловой машине Карно (446). § 240.
Коэффициент полезного действия тепловой машины (448).
§ 241. Виды тепловых двигателей. Понятие о паровых маши-
нах и паровых турбинах (449). § 242. Двигатели внутрен-
него сгорания (450). § 243. Реактивные двигатели (453).
§ 244. Понятие о втором начале термодинамики. Вечный
двигатель второго рода (456).
Приложение............................................460
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий курс физики написан для средних специаль-
ных учебных заведений в соответствии с программами по
физике 1962 г. с объемом курса в 210 и 280 учебных часов.
Материал, относящийся только к курсу на 280 часов,
изложен в главах 6, 12, 19, 30 и в параграфах 67—70 гла-
вы 5, в параграфах 100, 101 главы 8, в параграфах 127,
128 главы 10 и в параграфах 386—394 главы 29.
Особое внимание авторами было уделено разъяснению
физического смысла описываемых явлений и понятий,
а также принципу сохранения энергии. Авторы стреми-
лись излагать материал с точки зрения современной фи-
зики, в доступной форме ознакомить учащихся с новыми
явлениями в области физики и с их использованием в тех-
нике. Поэтому в книге имеется небольшой сверхпрограмм-
ный материал, набранный мелким шрифтом, который, по
мнению авторов, должен помочь учащимся составить пра-
вильное представление о современной физике.
В книгу включены примеры решения типичных задач
и небольшое число упражнений. Все изложение материала
и решение задач сделано в системе СИ.
Авторы надеются, что эта книга может быть исполь-
зована также при самостоятельном изучении элементар-
ной физики и при подготовке к конкурсным экзаменам
по физике в высшие учебные заведения.
9
Главы 19, 32—36 написаны В. А. Маранджяном. Глава
30 написана совместно Г. Л. Ждановым и Л. С. Ждановым.
Весь остальной материал написан Л. С. Ждановым.
Авторы приносят большую благодарность рецензен-
там и всем лицам, прочитавшим текст рукописи и сделав-
шим ряд весьма полезных указаний, позволивших улуч-
шить книгу в процессе ее переработки.
Авторы
РАЗДЕЛ I
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ГЛАВА 1
ФИЗИКА КАК НАУКА О ПРИРОДЕ
§ 1. Предмет физики. Первоначально физикой
называли науку, которая изучала явления при-
роды. Люди давно осознали, что, изучив эти явления,
можно использовать их для улучшения своей жизни. По-
этому совместно с физикой развивалась и техника.
По мере того, как открывались и изучались все новые
явления природы, из физики начали выделяться новые
науки. Все науки, изучающие явления природы, стали
называть естественными науками. Первой
выделилась из физики в самостоятельную науку химия.
В то время все явления природы подразделялись на
физические и химические. Предметы, встречающиеся в
природе, называли физическими телами, на-
пример дом, самолет, море, воздух в комнате, пылинки,
Солнце и т. д. Все они состоят из различных веществ:
дерева, металла, воды и т. п.
Как известно, вещество состоит из молекул или
атомов и входящих в их состав частиц. Явления, в
которых молекулы вещества оставались неизменными,
были названы физическими, например полет кам-
ня? замерзание или кипение воды, движение поезда. Те же
явления, при которых молекулы вещества изменялись,
стали называть химическими. Например, сжига-
ние угля, изготовление пластмасс, получение металлов из
руды — представляют собой химические явления. Однако
многие явления относятся одновременно и к химическим,
и к физическим .(например электрическая дуга, радио-
активность), поэтому резкую границу между физикой и
химией провести нельзя.
11
Для того чтобы понять, какие области явлений изу-
чаются в современной физике, нужно ознакомиться с теми
общими выводами, которые удалось сделать на основе
достижений всех естественных наук.
Оказалось, что в природе все непрерывно изменяется,
например форма и окраска облаков, размеры тел при из-
менении температуры, освещенность поверхности Земли
солнечными лучами, форма и размеры гор и т. д. Некото-
рые изменения происходят быстро, а другие столь мед-
ленно, что их можно заметить только при наблюдении в
течение многих лет,
например расположе-
ние звезд в созвездиях
(рис. 1).
В процессе познания
природы у людей по-
степенно возникло пред-
ставление о материи
и ее движении.
Наиболее полное опре-
деление материи дано
В. И. Лениным: «Мате-
рия есть объективная
а) б)
Рис. 1. Вид созвездия «Большая
Медведица»: а) 50 000 лет назад;
б) в настоящее время (стрелки пока-
зывают направления движения звезд).
реальность, существующая помимо нашего сознания и
данная нам в ощущении» и далее: «Материя есть то, что,
действуя на наши органы чувств, производит ощущение».
Таким образом, все реально существующее в природе
(а не в нашем воображении) материально.
Любое изменение, происходящее в природе, называ-
ется движением материи. Следовательно, вся-
кое явление природы представляет собой движение мате-
рии. При изучении этих явлений удалось установить
закон сохранения материи, утверждающий,
что материя может видоизменяться, но никогда не воз-
никает и не исчезает, т. е. материя вечно существовала и
будет существовать. Оказалось, что материя существует
не только в форме вещества. Например, радиоволны и
свет нельзя назвать веществом. Они представляют собой
особую форму материи, называемую электромаг-
нитным полем.
Движение материи также может менять свою форму,
но никогда не возникает и не исчезает. Иначе говоря,
окруоюающий нас мир есть движущаяся материя.
12
Закон сохранения материи и ее движения был отчет-
ливо сформулирован великим русским ученым М. В. Л о-
моносовым (1711—1765 гг.): «Все перемены, в натуре
случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего
Михаил Васильевич Ломоносов (1711 —1765).
у одного тела отнимется, столько присовокупится друго-
му. Так, ежели где убудет материи, то умножится в дру^
гом месте, сколько часов положит кто бдению, столько
же сну отнимет. Сей всеобщий закон простирается и в
самые правила движения: ибо тело, движущее своею си-
лою другое, столько же оные у себя теряет, сколько сооб-
щает другому, которое от него движение получает» *).
*) Следует отметить, что в современных представлениях
термину «сила» в формулировке Ломоносова соответствует понятие
«энергия».
13
Некоторые формы движения материи наиболее рас-
пространены в природе. Они называются физическими
формами движения, так как их особенности изучаются
в физике. К ним относятся: механическая, теп-
ловая, электрическая, электромагнит-
ная, атомная и внутриядерная формы
движения материи.
В различных явлениях природы всегда происходит
переход одних физических форм движения материи в
другие: при движении троллейбуса электрическая форма
движения переходит в механическую, а последняя в теп-
ловую; при трении тел друг о друга или при поглощении
телом световых лучей возникает тепловое движение; в
генераторах на электростанции механическая форма дви-
жения материи превращается в электрическую и т. д.
Таким образом, только при изучении всех форм движения
в их взаимной связи можно понять сущность явлений,
происходящих в природе и технике. Поэтому при изуче-
нии какой-либо формы движения материи, например
электрической в разделе «Электричество», необходимо
рассмотреть и ее превращения в другие формы движения.
Все явления в природе происходят закономерно, т. е.
подчиняются определенным законам. Открытие и изучение
законов природы является основной задачей любой ес-
тественной науки. Законы, применяемые к большому ко-
личеству самых разнообразных физических явлений, на-
зываются основными физическими зако-
нами. Таков, например, закон сохранения
материи, применяемый ко всем явлениям природы.
Законы природы существуют независимо от нашего со-
знания. Человек лишь открывает их и использует для прак-
тических целей. Физический закон, если это возможно,
выражают формулой, устанавливающей точную количест-
венную связь между величинами, характеризующими те
явления, к которым он применим.
Итак, современная физика изучает различные физиче-
ские формы движения материи, их взаимные превращения
друг в друга, а также свойства вещества и поля.
§ 2. Способы изучения явлений природы. Какими же
методами пользуется физика при изучении явлений при-
роды? Для непосредственного изучения явлений.в физике
применяются наблюдение и опыт.
14
При наблюдении человек не вмешивается в ход
явления, а только старается подметить его типичные
особенности и те условия, в которых оно протекает. Так,
например, наблюдая за падением оторвавшегося от ветки
листа и выпавшей из руки монеты, мы видим, что лист
падает медленно по извилистому пути, а монета — быстро
и по прямой линии. Такое различие можно объяснить
тем, что при их падении не все условия одинаковы. Общим
в падении этих тел является наличие и влияние воздуха,
однако вес монеты больше, а поверхность меньше, чем у
листа. Пользуясь только наблюдением, установить влия-
ние каждого из этих условий на падение тела невоз-
можно.
Для того чтобы выяснить влияние воздуха на падение
тел, нужно проделать опыт, т. е. осуществить падение
тел в безвоздушном пространстве, тогда будет видно, что
лист падает так же, как и монета, а различие их движения
в воздухе объясняется разным соотношением между весом
и сопротивлением воздуха для этих тел. Последнее мож-
но установить, измерив их вес и силы сопротивления
воздуха.
Воспроизведение явления в таких условиях, при кото-
рых можно изучить влияние отдельных факторов на ход
явления, установить закономерную связь между переменны-
ми величинами в исследуемом явлении или получить
однозначный ответ на поставленный природе вопрос, назы-
вается экспериментом, или опытом. Опыт обычно сопро-
вождается измерениями. Таким образом, с по-
мощью опытов и измерений можно установить законы,
которым подчиняются различные явления.
Однако физика должна не только открывать законо-
мерности явлений, но и объяснять их. Сопоставляя эти
закономерности, можно обнаружить для многих из них
внутреннюю связь. Для объяснения этой связи создается
обоснованное научное предположение, называемое г и-
п о т е з о й. Поскольку гипотеза объясняет с единой точки
зрения многие явления, пользуясь ею, можно предска-
зать новые, еще неизвестные явления, или ход известных,
но неизученных явлений. Таким способом можно прове-
рить справедливость принятой гипотезы. Если новые
опыты противоречат гипотезе, то она либо отбрасывается,
либо видоизменяется. Если же проверка подтверждает
и развивает сущность гипотезы, то она становится досто-
15
верной и называется физической т е о р и е й, такова,
например, молекулярно-кинетическая теория. Таким пу-
тем физика освобождается от всего ложного и совершенст-
вует наши представления о природе.
Следовательно, опыт в сочетании с наблюдениями и
размышлениями является наиболее совершенным методом
изучения природы.
§ 3. Физика и техника. В решениях XXI съезда КПСС
было записано: «Ведущее место в естествознании занимают
физические науки, от успешного развития которых за-
висит движение вперед смежных наук и народного хозяй-
ства. Дальнейшие перспективы технического прогресса
определяются в настоящее время прежде всего достиже-
ниями основных направлений физической науки».
Это означает, что наука является базой, на которой
развивается техника. На каждом этапе развития общест-
венной жизни уровень техники определяется достижения-
ми естественных наук, поэтому техника и наука развива-
ются во взаимной связи. Особая роль физики для развития
техники объясняется тем, что явления и закономерности,
изученные в физике, чаще всего используются для улуч-
шения производственных процессов, а в некоторых слу-
чаях позволяют создать новые отрасли техники. Так,
например, открытие М. Фарадеем’явления электромаг-
нитной индукции привело к созданию электротехники,
открытие электромагнитных волн, существование ко-
торых предсказал Д. Максвелл, и использование их
А. С. Поповым для радиосвязи привело к созданию ра-
диотехники и т. д.
Однако бывает и наоборот. Изучение новых явлений,
обнаруженных в процессе производства, ведет к развитию
науки, а иногда к созданию ее новых отраслей. Например,
изучение работы паровых машин привело к развитию уче-
ния о теплоте и к созданию термодинамики, которая впо-
следствии стала самостоятельной наукой. Использование
переменного тока для горения свечей Яблочкова привело
к созданию теории переменного тока, в основном разви-
той М. О. Доливо-Добровольским, и т. д.
Постепенное усовершенствование приборов, выпускае-
мых промышленностью, разработка новых методов изме-
рения позволяют все точнее производить измерения,
обнаруживать с их помощью такие явления, которые
16
раньше ускользали от внимания ученых, и использовать
их в технике. Например, таким путем было обнаружено
явление электрострикции (см. гл. 20).
Взаимное влияние физики и техники друг на друга
можно проследить на протяжении всего их развития.
Однако особенно ярко оно обнаруживается в нашё время.
Новые открытия в физике привели к созданию радиоло-
кации, цветного телевидения, кораблей с атомными дви-
гателями, полупроводниковых приборов и т. д.
Физика — теоретическая основа современной техники,
поэтому без хорошего знания физики не может быть пол-
ноценного специалиста. Для техника, работающего в
любой отрасли промышленности, хорошее знание физики —
залог его успешной работы.
Завод
РАГ •ХГП.ТЧ
Г Л А В A 2
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
§ 4. Понятие о величине и измерении. Все то, что мо-
жет изменяться количественно, называется величиной.
Величины, характеризующие физические явления или опре-
деленные свойства материи, называются физическими,
например длина, рбъем, сила, мощность и т. п.
Количественное различие значений какой-либо вели-
чины устанавливается путем сравнения. Сравнивать мож-
но только длину с длиной, силу с силой и т. п., но
бессмысленно спрашивать, что больше: длина стола или
его вес.
Иногда величины, которые можно сравнивать друг с
другом, называются однородными, но правильнее гово- ।
рить о сравнении различных значений одной и той же фи-
зической величины. Так, например, при сравнении двух
длин одну из них можно условно принять за единицу меры
длины и сосчитать, сколько раз она содержится в другой
длине. Такое сравнение представляет собой измерен
н и е. Очевидно, для каждой физической величины должна
быть своя единица измерения. Таким образом, измерить —
значит определить, сколько раз в данной величине содер-
жится соответствующая единица измерения.
Число, полученное в результате измерения, называ-
ется числовым значением физической величи-
ны. Например, если при измерении длины стержня сан-
тиметром было получено число 45,5 см, то оно представляет
собой числовое значение длины (для данного стержня).
Такое число н е л ь з я записывать без наименования (см),
так как будет непонятно, с какой единицей измерения
производилось сравнение.
18
Выбор удобных единиц измерения для физических ве-
личин имеет огромное значение для науки. Каждая еди-
ница измерения должна быть строго определенной и неиз-
менной, так как только в этом случае научные измерения
и установленные с их помощью закономерности будут
объективными и могут быть проверены при проведении
повторных (или контрольных) опытов.
Наличие различных единиц измерения в отдельных
странах тормозило развитие науки и мешало торговле,
поэтому в 1889 г. была созвана Международная генераль-
ная конференция по мерам и весам, которая для всех стран
установила единые единицы измерения. На этой конфе-
ренции, в частности, были установлены международные
единицы измерения важнейших физических величин: дли-
ны, массы, силы и времени. Для двух первых были изго-
товлены образцы. Образец единицы измерения, который
условились считать единственным подлинным образцом,
называется международным прототипом, или эта-
лоно м, данной единицы измерения.
Предполагалось, что создание эталонов наилучшим
образом обеспечивает неизменность принятых единиц.
Однако, как будет видно из дальнейшего, это оказалось
не совсем верным.
§ 5. Понятие о силе. Вес тела. Под действием сопро-
тивления воздуха и трения скорость самолета, движуще-
гося по дорожке аэродрома после посадки, быстро умень-
шается, и он останавливается. Скорость движения отхо-
дящего от станции поезда постепенно возрастает под
действием тяги электровоза. Наблюдая за движением тел,
можно установить, что изменение скорости движения лю-
бого из них всегда происходит только в результате дей-
ствия какого-либо другого тела.
Причину изменения скорости тела, обусловленную
воздействием одного тела на другое, называют с п-
л о й *).
Таким образом, можно сказать, что самолет остановил-
ся под действием силы трения, а поезд ускоряет движение
под действием силы тяги электровоза. Сани, скатившись
*) Отметим, что сила является еще и причиной деформации тел
(см. § 16), поэтому фраза в тексте tie дает полной характеристики
силы. Определение силы приведено в § 40.
19
с горы, останавливаются под действием силы трения по-
лозьев о снег, подводная лодка всплывает под действием
выталкивающей силы воды и т. д.
Если бросить камень вверх, то через некоторое время
он упадет на Землю. Это означает, что во время движения
скорость камня изменяется. Следовательно, к нему при-
ложена сила, которая возникает вследствие действия
Земли на камень, так как из повседневного опыта нам
хорошо известно, что все тела притягиваются к Земле.
Сила, с которой тело притягивается к Земле, назы-
вается силой тяжести. Под действием этой силы все тела
падают на Землю. Если же какое-либо препятствие удер-
живает тело от падения, то действие на тело силы тяжести
проявляется в том, что оно создает давление на опору или
натягивает нить, на которой подвешено. Сила, сжимающая
опору перпендикулярно ее поверхности, называется силой
давления.
Сила давления тела на горизонтальную опору или сила
натяжения телом вертикально расположенной нити, обу-
словленная силой тяжести, называется весом тела.
§ 6. Понятие о массе. Общее количество материи в ка-
ком-либо теле тем больше, чем большее число частиц
входит в его состав, так как каждая частица вещества содер-
жит определенное количество материи. Создатель класси-
ческой механики Ньютон назвал количество материи,
заключенной в каком-либо теле, массой тела.
Выясним теперь, как можно сравнивать массы различ-
ных тел. Две одинаковые гири весят вдвое больше, чем
одна. Причина этого ясна: каждая частица вещества, из
которого сделаны гири, притягивается к Земле, а в двух
гирях частиц вдвое больше, чем в одной. Это означает,
что чем больше частиц в теле, тем больше как его вес, так
и его масса.
Таким образом, можно сказать, что вес тела прямо про-
порционален массе тела. Следовательно, массы двух тел
можно сравнивать с помощью их взвешивания. Такое срав-
нение можно делать и в том случае, когда тела сделаны из
разных веществ.
§ 7. Метрическая система мер. Идея о введении все-
общих единиц измерения появилась во Франции в 1791 г.
Специальная комиссия, в которую входил П. Лаплас
20
(1749—1827 гг.)—выдающийся физик и математик,—
предложила метрическую систему мер, руководствуясь
следующим:
1) система должна быть основана на неизменном про-
тотипе, взятом из природы;
2) она должна быть десятичной, чтобы ее введение
упростило расчеты.
По предложению комиссии за единицу длины был при-
нят метр, который должен был составлять 40 oqo-qqq
долю меридиана Земли, проходящего через Париж. Было
проделано измерение этого меридиана и на основе полу-
ченных результатов определен размер метра. Затем
был изготовлен образец метра — «архивы ы й
мет р».
За единицу массы был принят килограмм, кото-
рый. должен был быть точно равен массе одного кубиче-
ского дециметра химически чистой воды при 4° С. Соответ-
ственно этому был изготовлен образец килограмма —
«архивный килограмм».
Однако последующие, более точные, измерения пока-
зали, что изготовленные образцы метра и килограмма не-
сколько отличаются от задуманных. Причина такого рас-
хождения понятна. Сделать абсолютно точное измерение
невозможно, также невозможно изготовить два абсолютно
одинаковых образца единицы измерения. Так как методы
измерений постепенно совершенствуются, то после каждой
новой проверки пришлось бы менять размеры метра и
килограмма. Это заставило отказаться от первоначальных
определений метра и килограмма.
По заказу Международного бюро мер и весов были из-
готовлены по возможности точные копии «архивных»
метра и килограмма из сплава платины с иридием. Гене-
ральная конференция 1889 г. выбрала из них по одному
образцу и утвердила их как международные эталоны мет-
ра и килограмма. Остальные образцы были признаны ко-
пиями с эталонов и распределены по жребию между стра-
нами, участвовавшими в конференции.
Россия получила по две копии с эталонов метра и кило-
грамма. Наличие эталонов позволило организовать выпуск
строго выверенных образцов единиц измерения. Эти образ-
цы систематически сверяются с эталонами для устранения
ошибок и злоупотреблений, а с выверенными образцами
21
в свою очередь сличаются измерительные приборы, вы-
пускаемые для массового употребления. Хранению
эталонов, изготовлению новых эталонов и стандартиза-
ции приборов для измерения каждая страна уделяет много
внимания.
В России Д. И. Менделеев (1834—1907 гг.) ор-
ганизовал в 1893 г. Главную палату мер и весов и был ее
первым директором. Большая заслуга Менделеева — соз-
дание высококвалифицированных кадров специалистов-
метрологов. В СССР стандартизованы как единицы изме-
рения физических величин, так и их обозначения. Они
определяются государственными общесоюзными стандар-
тами (сокращенно ГОСТ).
Можно ли считать, что международные эталоны метра
и килограмма однозначно определяют их величину? Ока-
зывается,— нет, так как с течением времени сами эталоны,
как и все в природе, изменяются. Поэтому через много
лет метр и килограмм окажутся не такими, как сейчас.
Чтобы сохранить их для потомков, на XI Генеральной
конференции по мерам и весам в 1960 г. было принято но-
вое определение метра — через длину свето-
вой волны, излучаемой атомами криптона 86,— которое
дано в ГОСТе 9867—61. Нового определения килограмма
пока не установлено.
Так как принятые в настоящее время эталоны метра и
килограмма очень мало отличаются от «архивных» образ-
цов, то при изучении курса физики в техникумах вполне
допустимо считать, что метр соответствует
доли меридиана Земли, а килограмм — массе одного
кубического дециметра химически чистой воды при
4° С.
Иметь только одну единицу измерения для данной фи-
зической величины практически неудобно. Поэтому, кро-
ме основной единицы, обычно вводятся дополнительные,
как большие, так и меньшие ее в десятичной системе. Для
обозначения дополнительных единиц, за исключением
очень редких случаев, пользуются одними и теми же
приставками. Смысл этих приставок всегда один и
тот же, они даются в ГОСТе 7663—61 и приведены
в табл. 1.
Например, 5 ма (миллиампер)=0,005 а (ампер), а
23 кет (киловатт)=23 000 вт (ватт).
22
Таблица 1
Десятичные приставки
Наименова- ние Отношение к основной единице Сокращенное обоз- начение Примеры
рус- ское латин- ское
дека- 10 да дал Декалитр
гекто- 100--= 1 о2 г h гвт гектоватт
кило- 1000=10» к k кдж килоджоуль
мега- 1 000 000=1 о8 мг,М М Мом мегом
деци- 0,1 = 10“1 д d дм дециметр
санти- 0,01 = 10-2 с с см сантиметр
милли- 0,001 = 10“» м tn мм миллиметр
микро- 0,000001 = 10-8 мк ц мкв микровольт
н ано- 0,000 000 001=10-8 н п нм нанометр
пико- 0,000 000 000 001 = 10-’2 п р 11 ф пикофарада
Буквенные обозначения некоторых физических вели-
чин следующие:
Длина........I Время.........t
Площадь . . . S Сила ..........F
Объем........V Вес.......... Р
Масса........т
В дальнейшем, когда будет вводиться црвая физическая
величина, сразу будет даваться и ее буквенное обоз-
начение.
§ 8* Единицы измерения длины, массы и времени. Еди-
ницы длины вместе с их стандартными обозначениями при-
ведены в табл. 2.
Для измерения очень больших расстояний, например
между звездами, применяется световой г о д» Он со-
ответствует расстоянию, пройденному световым лучом за
1 год при скорости распространения 300 000 километров
в секунду.
В процессе изготовления деталей машин всегда имеют-
ся отклонения от размеров, указываемых на чертежах.
Для их оценки применяется единица длины микро н,
23
Таблица 2
Единицы измерения длины
Основная единица 1 м (метр)
более крупные единицы более мелкие единицы
1 км (километр) = 103 м 1 световой год=^10п; м 1 дм (дециметр) = 10“! м 1 см (сантиметр) = 10“2 м 1 мм (миллиметр)=10“3 м 1 мкм (микрон) = 10“6ж 1 нм (нанометр) — 10“9 м 1 А (ангстрем) ~ 10“10 м
составляющая i-qqJqqq м и обозначаемая мкм или „ гре-
ческой буквой ц («мю»).
Длины световых волн и размеры молекул выражаются
в нанометрах — тысячных долях микрона (раньше
нанометр назывался миллимикроном) и ангстремах—
десятитысячных долях микрона. Меры длины иногда
называются линейными мерами.
В табл. 3 приведены единицы массы вместе с их стан-
дартными обозначениями.
Таблица 3
Единицы измерения массы
Основная единица 1 кг (килограмм)
более крупные единицы более мелкие единицы
1 ц (центнер) = 102 кг 1 т (тонна) = 103 кг 1 г (грамм) ~ 10~3 кг 1 мг (миллиграмм) *= 10“6 кг 1 мкг (микрограмм) = 10“9 кг
Естественными мерами времени могут быть сутки
и год. Но обе эти единицы слишком велики для боль-
шинства изучаемых явлений. Поэтому в физике за основ-
ную единицу времени принята секунда.
Секундой называется —доля средних солнечных
суток, т. е. среднего промежутка времени между двумя
24
следующими один за другим полуднями. В действитель-
ности продолжительность суток медленно изменяется
(рис. 2). Точное определение секунды дается в ГОСТе
9867—61, из которого следует, что она равна ее среднему
значению за последние 300 лет. Поэтому практически
можно пользоваться приведенными выше определениями.
Годы
Рис. 2. Изменение продолжительности суток (подъем
кривой соответствует замедлению вращения Земли).
В табл. 4 приведены единицы времени с их стандарт-
ными обозначениями. Не все они устанавливаются по де-
сятичной системе.
Таблица 4
Единицы измерения времени
Основная единица 1 сек (секунда)
более крупные единицы более мелкие единицы
I мин (минута) — 60 сек 1 ч (нас) = 3600 сек 1 год = 365,242 суток =^3,156-107 сек 1 мсек (миллисекунда) = 10“3 сек 1 мксек (микросекунда) = 10“6 сек 1 нсек (наносекунда) = 10“9 сек
§9. Единицы измерения силы. Единицы для измерения
сил удобнее всего установить на основе силы тяжести,
приняв за единицу вес какого-либо тела. Однако сила, с
которой тело притягивается к Земле, зависит от его
расстояния до центра Земли: чем дальше тело от центра,
25
тем меньше его вес. Так, если космонавт весом 70 кГ подни-
мется на 600 км над Землей, то действующая на него сила
тяжести уменьшится на 11,5 кГ. Кроме того, вес тела на
поверхности Земли не везде одинаков и уменьшается при
перемещении тела по направлению от полюса к экватору.
Таким образом, в определении единицы силы должно быть
точно указано то место на Земле, где вес тела считается
равным единице. По международному соглашению за
единицу измерения силы была принята килограмм-сила.
Килограмм-силой называется сила, с которой притя-
гивается к Земле тело массой в один килограмм на уровне
океана и на широте 45°.
В настоящее время широко применяется единица си-
лы — ньютон (н). Точное определение ньютона дано
в § 45. Сила в 1 н соответствует силе в 102 Г или
1 к = 0,102'кЛ
В табл. 5 приведены единицы измерения силы и веса
в порядке их возрастания.
Таблица 5
Единица измерения силы
1 мГ (миллиграмм) — 10"“6 кГ
1 Г (грамм) = 10~3 кГ
1 н (ньютон) — 0,102 кГ
1 кГ (килограмм) = 9,8 н
1 Т (тонна) = 103 кГ
Обратим внимание на то, что названия некоторых еди-
ниц массы и силы, приведенных в табл. 3 и 5, одинаковы.
Для того чтобы отличить их друг от друга, в стандартных
обозначениях массы условились писать строчную букву г,
а в обозначениях силы — прописную Г или гс. Условимся
обозначать килограмм-силу кГ или кгс, а тонну-силу Т
или тс.
§ 10. Связь между весом й массой тела; Считая, что
на уровне океана и на широте 45° масса в 1 кг весит 1 кГ\
и зная, что вес тела пропорционален его массе, мы уста”
26
навливаем, что в этих условиях масса тела и его вес в
единицах, одинакового названия численно равны, т. е. если
тело весит 15 кГ, то его масса 15 кг, если масса тела 14 г,
то его вес 14 Г.
Однако из сказанного не следует делать вывод, что
масса и вес тела — это одно и то же. Как было показано
выше, при перемещении тела его вес может изменяться,
а количество материи в нем, т. е. его масса, изменяться не
будет.
При проверке оказалось, что международный эталон
килограмма имеет массу (и вес) несколько большую, чем
масса (и вес) одного кубического дециметра химически
чистой воды при 4° С. Поэтому объем воды, имеющей мас-
су 1 кг, несколько больше 1 дм3. Этот объем принимается
за литр.
Литр есть объем одного килограмма химически чистой
воды при наибольшей ее плотности и нормальном атмос-
ферном давлении:
1 л-1,000028 дм3.
Так как литр очень мало отличается от кубического деци-
метра, то в дальнейшем мы будем считать их р а в н ы м и
друг другу.
§ 11. Прямое и косвенное измерения. Существуют два
способа измерения физических величин: прямой и
косвенный.
Если измерять площадь
кого на рис. 3, укладывая
1 см, принятый за единицу
измерения площади, то
такое измерение будет пря-
мым. Измерение, при кото-
ром данная физическая ве-
личина непосредственно
сравнивается с соответ-
ствующей единицей изме-
рения, называется прямым.
Однако можно узнать
площадь прямоугольника
и не производя прямого
измерения. Для этого до-
статочно измерить его
длину I и ширину Ь, а зате:
прямоугольника, изображен-
на нем квадрат со стороной в
Рис. 3. Площадь прямоугольника
равна произведению его длины,
на ширину.
[ перемножить их. Математи-
27
чески это выражают формулой
S = lb.
(2 1)
Такое измерение, при котором измеряются какие-либо
связанные с данной физической величиной другие величины,
а числовое значение ее находится по формуле, называется
косвенным измерением. Так, определение площади прямо-
угольника по длине его
сторон будет косвенным
Рис. 4. Объем прямоугольного
параллелепипеда равен произве-
дению его длины на ширину и
на высоту.
измерением.
Формула, выражающая
связь между физическими
величинами, называется
физической. Такую
формулу нельзя рассмат-
ривать только с матема-
тической стороны, так как
входящие в нее величины,
кроме числового значения,
имеют еще и физический
смысл. Это значит, что
каждая физическая фор-
мула применима только к
определенным случаям
или явлениям.
Приведем еще один пример косвенного измерения.
Желая измерить объем коробки (рис. 4), мы, вместо пря-
мого измерения, узнаем числовые значения ее длины /,
ширины b и высоты й, измеряя их линейкой, а объем
коробки вычисляем с помощью формулы
V=lbh.
(2.2)
Косвенное измерение применяется в физике очень
часто, так как многие величины не могут быть измерены
непосредственно. Косвенное измерение можно применять
только в том случае, когда известен способ измерения всех
входящих в формулу величин и соответствующие измере-
ния могут быть выполнены.
§ 12. Правило вывода единиц измерения из формул.
При дальнейшем изучении физики встретится много еди-
ниц измерения различных физических величин, кроме
28
приведенных выше. Выясним, чем следует руководство-
ваться при выборе новых единиц измерения.
Произвольный выбор единиц измерения физических
величин ведет к усложнению физических формул и рас-
четов. Поэтому для выбора новых единиц измерения не-
обходим такой метод, который, во-первых, устраняет
всякий произвол и, во-вторых, упрощает формулы и рас-
четы. Оказалось, что удобнее всего устанавливать новые
единицы измерения с помощью физических формул, ис-
пользуя взаимную связь между физическими величинами.
Покажем, как это делается.
Пусть мы хотим установить единицу измерения пло-
щади, пользуясь формулой (2.1). Для этого напишем
формулу
S = lb.
Подставив в нее вместо / и b по Гж, получим
S — 1 м • 1м.
Теперь выполним умножение, перемножив не только числа,
но и их стандартные обозначения
5=1 м2.
Этот результат и принимается за единицу измерения пло-
щади.
Здесь символ м2 показывает, что единица площади по-
лучилась умножением метра на метр и носит название раз-
мерности единицы измерения площади — квадрат-
ный метр. Теперь можно установить единое пра-
вило для вывода единиц измерения,
которым широко пользуются в физике.
Для вывода новой единицы измерения с помощью фор-
мулы нужно:
1) выбрать формулу, содержащую ту величину, для
которой устанавливается единица измерения (и содержа-
щую другие величины с уже известными единицами изме-
рения);
2) алгебраически найти по формуле эту величину в
буквенном виде;
3) подставить в формулу вместо всех других величин
такие числа с их размерностями, чтобы в результате полу-
чилась единица;
29
4) выполнить все алгебраические действия, требуемые
формулой, как над числами, так и над размерностями;
5) принять полученный результат за искомую единицу
измерения, а результат действий над размерностями считать
размерностью этой единицы.
Выведем, пользуясь этим правилом, единицу измере-
ния объема:
1) подбираем формулу: это—формула (2.2)
V = lb/v,
2) в данном случае операция 2) отпадает;
3) подставляем числовые значения входящих в формулу
величин с их размерностями
V = 1 ж* 1 ж -1 ж;
4) выполняем алгебраические действия
ж3;
5) принимаем за единицу измерения объема один ку-
бический метр, а за размерность этой единицы —м3.
§ 13. Международная система единиц СИ. Выше для
вывода единиц измерения площади и объема был взят
1 ж, но можно было воспользоваться и другой единицей
длины, например 1 см:
S = lb\ S=1 см-1 см=1 см2,
V = Ibh} V = 1 см-l см-1 см = 1 см3.
Следовательно, единицы, полученные из формул, зависят
от единиц, взятых для вывода. Поэтому в качестве основ-
ных должны браться такие единицы, с помощью которых
получаются наиболее удобные выведенные из формул еди-
ницы. Если единицы измерения нескольких не зависящих
друг от друга физических величин установить по соглаше-
нию, то единицы измерения остальных физических вели-
чин можно вывести из соответствующих формул по приве-
денному выше правилу.
Единицы измерения, установленные по соглашению,
называются основными, а единицы, которые выво-
дятся по единому правилу из формул, называются про-
изводными (от основных). Совокупность основных
единиц, совместно с выведенными из них производными еди-
30
ницами, составляет систему единиц измерения физичес-
ких величин.
Согласно ГОСТу 9867—61 в физике должна преимуще-
ственно применяться Международная система единиц
СИ *), но допускается применение и физической системы
единиц СГС.
В системе СИ для получения единиц измерения меха-
нических величин за основные единицы принимаются', еди-
ница длины — метр, единица массы — килограмм и еди-
ница времени — секунда. Отметим, что всего основных еди-
ниц в системе СИ шесть. (Остальные три единицы будут
введены в соответствующих разделах при дальнейшем из-
ложении курса.)
При решении задач числовые значения всех величин
нужно выражать в одной системе единиц и только после
этого подставлять их в формулу.
До 1962 г. применялась система механических единиц, основные
единицы которой одинаковы с приведенными выше основными еди-
ницами системы СИ. По обозначениям основных единиц эту систе-
му сокращенно называли системой единиц МКС (метр — килограмм
— секунда). Поэтому все единицы измерения механических величин
системы СИ совпадают с единицами системы МКС.
В физической системе за основные единицы принимаются’, еди-
ница длины—сантиметр, единица массы—грамм и единица
времени — секунда. Эту систему сокращенно называют системой
единиц СГС (сантиметр — грамм — секунда).
§ 14. Приборы для измерения длины. Ознакомимся с
некоторыми приборами дда измерения длины. Простейший
прибор, позволяющий измерить длину,— масштаб-
ная л и н е й ка, на которой нанесены деления (ш к а -
л а прибора).
Когда нужно сделать измерения каким-либо прибором,
то, прежде чем начать измерение, необходимо определить
цену деления на шкале прибора. Ценой деления
называется число указанных на приборе единиц измерения
физической величины, приходящихся на одно деление шкалы.
При отсчете показаний прибора глаз должен быть распо-
ложен так, чтобы перпендикуляр, мысленно опущенный
из глаза на плоскость шкалы, проходил через край изме-
няемого предмета.
*) СИ — система интернациональная.
31
Масштабная линейка дает возможность сделать изме-
рение с точностью до 1 мм. Десятые доли миллиметра
можно определить на глаз, но для этого необходим навык.
Более точное определение длины можно сделать штан-
генциркулем. Наиболее важная его часть —
нониус (рис. 5). Он представляет собой добавочную
линейку В, которая может перемещаться вдоль шкалы мас-
штабной линейки Б, имеющей с одной стороны выступ Г.
Рис. 5. Нониус (длина тела А равна 3,7 мм).
Если нониус имеет длину в 9 делений основной шкалы и
разделен на 10 равных частей, то каждое деление нониуса
составляет 0,9 цены деления основной шкалы.
Измеряемый предмет А зажимают между выступом и
нониусом, как показано на рис. 5. Число целых миллимет-
ров находится на основной шкале, в нашем примере оно
равно 3. Сколько же десятых долей миллиметра в длине
тела сверх 3 мм? На рисунке видно, что седьмое деление
нониуса совпадает с одним из делений нижней шкалы.
Так как деление нониуса составляет 0,9 деления основной
шкалы, то шестое деление нониуса отстоит от ближайшего
левого деления нижней шкалы на 0,1 деления, пятое —
соответственно на 0,2 деления, а нулевое — на 0,7 деле-
ния. Это значит, что в длине тела А сверх 3 мм содержится
0,7 мм и его полная длина 3,7 мм. Итак, число десятых
долей при измерении с помощью нониуса равно номеру
того деления нониуса, которое совпадает с каким-либо
делением основной шкалы. ......
32
Штангенциркуль изображен на рис. 6. Вдоль его ос-
новной шкалы Б, цена деления которой 1 мм, скользит
рамка с нониусом. Измеряемое тело А зажимается между
выступами основной линейки и подвижной рамки. Штан-
генциркулем можно измерять длину тел с точностью до
0,05 мм.
Рис. 6. Штангенциркуль.
Более точное измерение небольших длин можно осу-
ществить микрометром (рис. 7). Измеряемый пред-
мет зажимается между выступом а и подвижным шпинде-
лем б, обычно перемещающимся за один полный оборот
Рис. 7. Микрометр.
головки в на 0,5 мм. Окружность головки разделена на
50 равных делений. Головка вращается вокруг неподвиж-
ного цилиндра, имеющего шкалу г с делениями ценой
0,5 мм. Число целых миллиметров в измеряемой длине опре-
деляется с помощью шкалы г по нижним делениям до
края головки в. Верхние деления соответствуют половине
2 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
33
миллиметра. Сотые доли миллиметра определяются по
номеру деления головки в, совпадающему с прямой, на
которой нанесена шкала а. Таким микрометром можно
измерять с точностью до 0,01 мм.
Из сказанного следует, что точность измерения зависит
от качества прибора, которым оно производится. Кроме
того, она зависит от аккуратности и внимательности того,
кто делает измерение.
Если при измерении длины штангенциркулем был полу-
чен результат 18,4 лш,то это значит, что истинное значе-
ние измеряемой длины лежит между 18,35 мм и 18,45 мм.
Именно так надо понимать слова «измерение произведено
с точностью до 0,1 мм». Последняя цифра в числе, полу-
ченном при измерении, всегда является результатом ок-
ругления единиц следующего разряда. Современные ме-
тоды и приборы, более сложные, чем только что описан-
ные, позволяют быстро измерять длины с точностью до
1 мкм.
Следует отметить, что не всякий линейный размер удоб-
но определять непосредственно. Так, если необходимо
узнать длину окружности, то практически легче измерить
ее диаметр, а указанную длину вычислить по формуле
c = nd или с = 2лг.
§ 15. Измерение массы и времени. Измерение
массы. Для измерения массы применяются рычаж-
ные вес ы, например технические (рис. 8).
Они устроены следующим образом. Равноплечий рычаг
ВГ, называемый коромыслом, опирается с помощью
трехгранной призмы Д на вертикальный стержень. Конец
стрелки, прикрепленной к коромыслу, при его качаниях
перемещается по шкале Б. Вертикальный стержень может
опускаться и подниматься с помощью ручки А. Все прис-
пособление для подъема и опускания вертикального стерж-
ня называется а р р е т и р о м. На концах коромысла обыч-
но делаются гаечки, перемещая которые, можно установить
стрелку на среднее деление шкалы, когда весы не нагруже-
ны. Тело, вес которого надо узнать, помещается на левую
чашку, а на правую чашку накладывают гири, пока не
будет достигнуто равновесие.
Гири, применяемые для взвешивания, называются раз-
новесом (рис. 9). На каждой гире указан ее вес. Кроме
34
2*
35
гирь с весом до 1 Г, имеется более мелкий разновес дос-
тоинством в 500 мГ, 200 мГ, 100 мГ, 50 мГ, 20 мГ и 10 мГ,
отличающийся размером и формой. Разновес в 500 мГ
и 50 мГ имеет форму шестиугольников, в 200 мГ и 20 мГ —
четырехугольников, а в 100 мГ и 10 мГ — треугольников
(рис. 10). К разновесу приложен пинцет, так как его не
следует касаться руками.
Опыт показывает, что равновесие, достигнутое на ры-
чажных весах в одном месте Земли, сохраняется, если
переместить весы в любое другое
место. Следовательно, измене-
ния веса гирь и взвешиваемого
Рис. 12. Метроном.
Рис. 11. Секундомер.
тела в этих условиях оказываются одинаковыми. Таким
образом, с помощью рычажных весов определяют массу тела
по равенству весов тела и гирь, масса которых известна.
На технических весах можно определить массу с точ-
ностью до 0,01 г. В настоящее время имеются весы, на
которых можно определить массу с точностью до 0,00001 г.
Измерение времени. Время измеряют с
помощью часов. Для более точного измерения времени
пользуются секундомером (рис. 11). Первым нажа-
тием пальца на головку А стрелка секундомера пускается
в ход, вторым нажатием останавливается, а третьим возвра-
щается снова в нулевое положение. По большой шкале
отсчитываются секунды, а по малой (внизу) — минуты.
Секундомером можно измерять время с точностью до
0,2 сек. Современные методы позволяют измерять время с
точностью до 0,000001 сек.
36
Для отсчета равных промежутков времени, соответст-
вующих нескольким десятым долям секунды, иногда при-
меняют метроном (рис. 12). Каждое качание маятни-
ка А метронома сопровождается щелкающим звуком. Час-
тоту колебаний устанавливают, передвигая грузик а по
стержню маятника. Маятник приводится в движение пру-
жиной, которую заводят при помощи ключа б.
§ 16. Измерение силы. Динамометр. Воздействие од-
ного тела на другое, которое мы называем силой, кроме
изменения скорости тел, может менять еще и их форму.
Так, например, провода прогибаются под действием притя-
жения их к Земле; гиря, подвешенная на пружине, растя-
гивает ее и т. п. Изменение формы твердого тела называется
деформацией. Таким образом можно сказать, что
сила является еще и причиной деформации тел.
На практике принято измерять силу по величине той
деформации, которую она вызывает. Выясним, при каких
условиях это возможно. Наблюдая за деформацией, легко
заметить, что многие тела принимают свою прежнюю
форму, как только на них перестает действовать сила. Свой-
ство тел возвращаться к первоначальной форме после прек-
ращения действия силы называется упругостью. Дефор-
мация, которая исчезает после окончания действия силы,
называется упругой деформацией.
Если растягивать пружину за крючок рукой, то без
труда можно заметить, что пружина тянет руку в обратную
сторону и тем сильнее, чем больше она деформирована.
Когда пружина перестает растягиваться, то это означает,
что силы, с которыми рука и пружина тянут крючок в
противоположные стороны, стали равными. Сила, с кото-
рой упруго деформированное тело действует на тело,
вызвавшее деформацию, называется силой упругости.
Для измерения сил удобно использовать упругую де-
формацию, так как опыт показывает, что она пропорцио-
нальна силе. Прибор для измерения сил называется
динамометром (от греческого слова «динамис» —
сила).
Модель динамометра изображена на рис. 13. Она со-
стоит из пружины с крючком/< и указателем Л. Подвешивая
к крючку К гири в 1 кГ, 2 кГ и т. д., будем отмечать каж-
дый раз положение указателя на шкале, одновременно
записывая рядом с отметкой вес соответствующей гири.
37
Нанесение делений на шкалу прибора с указанием их
цены называется градуировкой прибора. Внеш-
ний вид динамометра и его внутреннее устройство показаны
на рис. 14. Можно сделать динамометр и без спиральной
пружины, действие которого будет основано на упругой
деформации тел другой формы.
Рис. 13. Градуировка прибора
для измерения силы.
Рис. 14. Динамометр:
а) внешний вид и б) внут-
реннее устройство.
Если к упругому телу приложить достаточно большую
силу, то она может настолько изменить его форму, что
деформация останется и после прекращения действия си-
лы. Деформация, которая сохраняется после окончания
действия силы, называется остаточной, или пластичной.
Любую пружину можно так сильно растянуть, что, когда
мы ее отпустам, она не сожмется. Такая пружина для из-
мерения сил уже непригодна.
§ 17. Ошибки измерений. На практике встречаются чис-
ла, являющиеся результатом или счета или измерения.
Если число получилось при подсчете небольшого коли-
чества тел (предметов), то оно точно. Например, точным
будет число присутствующих на уроке учащихся или чис-
ло сданных преподавателю для проверки тетрадей.
Однако точно установить количество тел при подсчете
далеко не всегда возможно,
го, что для их подсчета
понадобилось бы нере-
ально много времени,
или когда число тел ме-
няется в процессе их
подсчета. В этих слу-
чаях количество тел
выражают приближен-
ным числом, от кото-
рого в известных пре-
делах возможны откло-
нения как в большую,
так и в меньшую сто-
роны. Приближенным
числом выражается чи-
например, когда тел так мно-
Рис. 15. Определение среднего диа-
метра цилиндра (стрелками показаны
четыре положения, в которых про-
изводятся измерения).
сло молекул в единице
объема или количество
людей в толпе. Всегда
приближенными явля-
ются числа, полученные
в результате измерения, так как абсолютно точно измерить
какую-либо величину невозможно (см. § 14).
Произведя измерение, необходимо уметь правильно
оценить полученную при этом ошибку, иначе называемую
погрешностью измерения. Разберем на при-
мере, как это делается.
Желая как можно точнее измерить диаметр цилиндри-
ческого тела, измерим его микрометром в четырех разных
местах цилиндра (рис. 15). Пусть при этом получены числа:
6,78 мм, 6,81 мм, 6,76 мм и 6,80 мм (нуль в конце послед-
него числа нельзя зачеркнуть, ибо он показывает, что
сотые доли миллиметра измерялись, но их не оказалось).
Каков же «истинный» диаметр цилиндра? Предполагая,
что при измерении мы ошибались как в большую, так и
в меньшую стороны, примем за «истинное» значение
ЗЭ
диаметра среднее арифметическое всех измерений
_ (5,78 + 6,81 +6.76+6.80) „ ~ 6jg м
Вычитая из среднего арифметического поочередно числа,
полученные при измерении, узнаем ошибку каждого от-
дельного измерения.
Абсолютная величина разности между средним значе-
нием измеряемой величины и результатом отдельного
измерения называется абсолютной погрешностью и обоз-
начается Ad, где d — измеряемая величина, а А — (гре-
ческая буква «дельта») ставится перед обозначением изме-
ряемой величины и обозначает разность двух значений
той величины, около которой она написана, например,
Аб/х=б/ср—dr Следовательно, для нашеп> примера имеем
А^х = 16,79—6,781 мм = 0,01 мм,
Ad2 == 16,79—6,811 мм = 0,02 мм,
Ad3 = 16,79—6,761 мм = 0,03 мм,
Ad4 = 16,79—6,801 мм = 0,01 мм.
На практике за итоговую абсолютную погрешность
многих измерений принимается ее среднее значе-
ние. Чтобы найти среднюю абсолютную погрешность,
нужно сложить все абсолютные погрешности отдельных
измерений и полученный результат разделить на число
слагаемых. Для нашего примера получим
(0,014-0,02 + 0,03 + 0,01) мм 0,07 мм Л пп
----------------------= -л ~ и, 02 ММ.
ср 4 4 ’
Окончательно получаем, что длина диаметра составляет
6,79 мм с возможным отклонением в большую или мень-
шую стороны до 0,02 мм. Это записывается следующим
образом:
d = 6,79 мм ± 0,02 мм.
Однако абсолютная погрешность недостаточно на-
глядно оценивает точность измерения. В самом деле, если
бы мы, измеряя диаметр в предыдущем примере, ошиб-
лись на 5 мм, то измерение пришлось бы признать очень
плохим. Если же ошибка в 5 мм допущена при измерении
длины комнаты, то такое измерение надо признать хоро-
40
шим. Следовательно, точность измерения определяется
не только абсолютной погрешностью, но и значением из-
меряемой величины. Поэтому точность измерения оцени-
вается ещеиотносительной погрешностью,
обозначаемой 6 (греческая буква «дельта»), которая пи-
шется перед обозначением измеряемой величины.
Относительной погрешностью называется число, по-
казывающее, какую долю (в процентах) от измеряемой
величины составляет абсолютная погрешность
6Д=+100%.
/1
(2.3)
Здесь А обозначает «истинное» значение измеряемой ве-
личины. На практике за Л и АЛ принимаются средние ариф-
метические из всех измерений.
Вычислим относительную погрешность измерения в
предыдущем примере
М = 0,02100 U/” = 0,29%.
6,79 мм
Во многих случаях измерение считается удовлетвори-
тельным, если< его относительная погрешность не превы-
шает 0,5%.
§ 18. Понятие о значащих цифрах приближенного
числа. При алгебраических действиях с приближенными
числами существенное значение имеет число значащих
цифр в каждом из них. Разберем на примерах, что подра-
зумевается под значащими цифрами приближенного числа.
Пусть в результате измерений какой-либо величины А
было найдено, что А =245+0,3. Последний разряд в полу-
ченном числе — единицы, а ошибка равна 0,3, т. е. меньше
половины единицы последнего разряда (0,5). Допустим,
что при измерении другой величины получилось, что Л==
= 13,4+0,4. Здесь последний разряд числа —десятые доли,
а ошибка 0,4, т. е. больше половины единицы последнего
разряда (0,05), но меньше половины единицы предпослед-
него разряда (0,5).
Последней значащей цифрой в приближенном числе (счи-
тая цифры слева направо) будет та, для которой половина
единицы ее разряда остается больше ошибки измерения.
Все остальные цифры, стоящие слева от последней
41
значащей цифры, также являются значащими, кроме
нулей в начале числа.
Следовательно, в первом числе три значащие цифры,
а во втором — две. Нули в начале и в конце числа, если
они не являются результатом измерения, а поставлены
вместо неизвестных или отброшенных цифр, к значащим
цифрам не относятся. Так, в приближенном числе
0,00689 ж±0,000002 м = 0,689 см ± 0,0002 см =
= 6,89 мм ± 0,002 мм
значащих цифр — три, как бы мы ого ни записали. Следо-
вательно, при подсчете значащих цифр обращать внима-
ние на запятую не нужно, но необходимо определить, ка-
кая значащая цифра является последней. Если при записи
приближенного числа абсолютная погрешность не указа-
на, то это .означает, что все его цифры значащие, кроме
нулей в начале и в конце (в приближенном числе 0,0205
значащих цифр будет три, а в числе 25 360— четыре).
В физике при записи приближенных чисел принято
значащие цифры писать отдельно, а нули, стоящие в на-
чале или в конце числа, выделять в самостоятельный мно-
житель. Так, вместо 28 000 м пишут 2,8-104м.. Такая за-
пись показывает, что в числе две значащие цифры.
Чем больше значащих цифр в приближенном числе, тем
точнее было произведено измерение, т. е. меньше относитель-
ная погрешность приближенного числа. Это можно пока-
зать с помощью формулы (2.3). Если в приближенном числе
А две значащие цифры, то его относительная погрешность
не превышает 5%. Действительно,
8А = ^-100% =5%.
Если же в Л три значащие цифры, то
6Л=^-100% =0,5%.
Таким образом, измерение величины с точностью до трех
значащих цифр дает ее значение с относительной погреш-
ностью не больше 0,5%.
§ 19. Понятие о правилах алгебраических действий
над приближенными числами. Результат алгебраических
действий над приближенными числами будет также приб-
42
лиженным числом, в котором при записи нужно сохранять
только значащие цифры.
Выясним, как следует складывать и вычитать прибли-
женные числа. Пусть необходимо найти сумму трех чи-
сел: 2,63-10~2 ж, 4,65-10““1 м и 1,73 м. Запишем их так,
чтобы был виден разряд каждой из цифр, и выполним
сложение
0,0263 м
+ 0,465 м
1,73 м
2,2213 м
Поскольку неточность имеется уже в сотых долях суммы,
ее следует округлить до сотых долей, отбросив все под-
черкнутые внизу сомнительные цифры, кроме одной. Сле-
довательно, за сумму трех указанных чисел нужно при-
нять 2,22 м.
Таким образом, прежде чем складывать или вычитать
приближенные числа, среди них нужно найти то число,
в котором последняя значащая цифра справа имеет наи-
высший разряд, округлить все остальные числа так, чтобы
их последняя цифра была разрядом ниже, и затем уже
выполнять сложение или вычитание. Отбросив в получен-
ном результате последнюю цифру справа, следует принять
его за окончательное значение суммы (разности). Приме-
няя это правило к рассмотренному выше случаю, получим
1,73 м + 0,465 м + 0,026 м 2,22 м.
При выполнении умножения и деления рекомендуется
руководствоваться следующим правилом:
при умножении и делении приближенных чисел в полу-
ченном результате нужно сохранить столько значащих
цифр, сколько их имелось в наименее точном числе.
Пусть-необходимо перемножить два приближенных чис-
ла 243 и 102. Сначала надо определить, сколько цифр сле-
дует оставить в результате. В данном случае каждый сом-
ножитель имеет три значащие цифры, поэтому и в ответе
надо сохранить только три значащие цифры. Точное про-
изведение этих чисел равно 24 786. Но результат надо за-
писать в виде 24 800, или 2,48-104, округляя число 786
до 800.
Пусть нужно разделить приближенное число 0,2415
на 1,63. В первом числе четыре значащие цифры, а во
43
втором — три. Значит, в ответе надо сохранить только
три цифры
0,2415:1,63 0,148= 1,48-КГ1.
Продолжать деление дальше не имеет практического
смысла.
Если числовые значения всех величин получены с точ-
ностью до трех значащих цифр, то последнее правило авто-
матически выполняется, когда действия над числами про-
изводятся с помощью логарифмической линейки, которой
учащимся рекомендуется пользоваться при выполнении
упражнений и лабораторных работ по физике.
§ 20. Плотность вещества. Опыт показывает, что массы
тел, сделанных из одного и того же вещества, например
монет достоинством в 1, 2, 3 и 5 копеек, прямо пропорцио-
нальны их объему.
Однако масса тела зависит не только от его объема, но
и от рода вещества, из которого тело сделано. Чтобы это
обнаружить, нужно сравнить массы двух тел одинакового
объема, но сделанных из различных веществ. Действи-
тельно, возьмем два одинаковых по размерам цилиндра,
но один свинцовый, а другой деревянный. Положив их
на разные чашки рычажных весов, мы обнаружим, что
свинцовый цилиндр перевесит деревянный. Следовательно,
масса свинцового цилиндра больше массы деревянного,
хотя их объемы одинаковы.
Величина, характеризующая зависимость массы тела
от рода его вещества, называется плотностью вещества.
Плотность обозначается буквой р (греческая буква «ро»).
Плотность вещества измеряется его массой в единице объема
Р = Г (2-4)
Зависимость плотности от рода вещества объясняется
главным образом тем, что массы молекул и расстояния
между ними у различных веществ не одинаковы.
Выведем единицу измерения плотности
_______________ m ______1 кг__ .кг
Р^ГмЗ-- ‘л?*
За единицу плотности в системе СИ принимается плот-
ность такого вещества, один кубический метр которого
имеет массу в один килограмм.
44
Плотность вещества зависит от температуры и дав-
ления, так как при их изменении меняются расстояния
между молекулами. Однако изменение давления в пре-
делах нескольких атмосфер практически отражается толь-
ко на плотности газообразных веществ. В справочниках
значение плотности указано обычно для нормальных ус-
ловий, которыми считаются: давление 760 мм рт. ст. ^или
1,013-105^) и температура 0°С. Значения плотности ря-
да веществ приведены в табл. 6.
Таблица 6
Плотности некоторых веществ при нормальных условиях
Вещество кг Вещество кг
Твердые тела Жидкости
Алюминий ... 2,7-103 Бензин ....... 7,0-102
Вольфрам 1,91 -104 Вода 1,0-103
Железо ... 7,85-103 Глицерин ...... 1,26-Ю3
Золото ... . 1,93-Ю4 Керосин 8,2-102
Латунь ... 8,5-103 Ртуть 1,36-Ю4
Медь ...... 8,9-103 Скипидар 8,6-102
Мрамор 2,7-103 Спирт ........ 7,9-102
Никель ... 8,9-Ю3 Эфир 7,2-102
Платина ... 2,14-Ю4 Газы
Свинец 1,13-Ю4 Водород 8,9-10“2
Серебро . . 1,05-104 Воздух . 1,293
Цинк 7,Ы03 Гелий 1,78-Ю-1
Чугун 7,0-103 Кислород 1,429
Углекислый газ. . . 1,977
Хлор . . 3,214
Из сказанного в § 10 следует, что при перемещении тел
по поверхности Земли плотность вещества не изменяется,
если температура и давление остаются постоянными
Выведем единицу измерения плотности в физической сис-
теме (СГС)
_т ________ 1г __. г
Р=К’ Р —Тсм3~ см3'
За единицу плотности в физической системе принимается
плотность такого вещества, один кубический сантиметр которого
имеет массу в один грамм. Нетрудно сообразить, что такую
45
плотность имеет химически чистая вода при 4° С. Отметим, что
§ 21. О коэффициентах пропорциональности в физи-
ческих формулах. При изучении физики очень часто встре-
чается пропорциональная зависимость между перемен-
ными величинами различного рода. Как известно из мате-
матики, прямо пропорциональную зависимость между
двумя переменными у и х можно записать в виде пропорции
= или у = (2.5)
Так как у изменяется во столько же раз, во сколько и х,
то частное от деления у на х будет постоянным. Если это
частное обозначить буквой k, то соотношение (2.5) можно
выразить формулой
где k — постоянная величина, или
^^kx. (2.6)
Обратно пропорциональная зависимость между у и х
записывается в виде
У = Ц (2-7)
ИЛИ
yx^k, (2.7а)
Как нетрудно сообразить, и в этих формулах k — величина
постоянная.
Постоянные множители k в формулах, выражающих
пропорциональную зависимость (прямую или обратную)
между переменными величинами, называются коэффи-
циентами пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности- в физической фор-
муле всегда характеризует какое-либо определенное свой-
ство материи или типичную особенность изучаемого про-
цесса. Следовательно, коэффициент пропорциональности
в каждой физической формуле имеет свой физический смысл,
а поэтому и свое буквенное обозначение. Например, в
46
формуле (2.4), которую можно записать в виде
т = рУ,
коэффициент пропорциональности р характеризует плот-
ность вещества (см. § 20).
Отметим, что коэффициент пропорциональности в фи-
зической формуле сохраняет постоянное значение только
при определенных условиях. Например, плотность вещест-
ва постоянна только при неизменных температуре и дав-
лении.
Выяснение физического смысла коэффициентов пропор-
циональности в формулах и тех условий, при которых
эти коэффициенты остаются неизменными, представляет
собой одну из важнейших задач физики.
При дальнейшем изложении курса физический смысл
коэффициента пропорциональности в формуле, выражаю-
щей ту или иную закономерность, и принимается в ка-
честве определениям новой физической величины.
Числовое значение коэффициента пропорциональности
зависит от выбора единиц измерения входящих в формулу
величин. Эта зависимость рассмотрена в § 44.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Размеры комнаты 3,24X5,80X4,20 м. Какова масса находя-
щегося в комнате воздуха при нормальных условиях?
Ответ: 102 кг.
2. Определить массу керосина, налитого в цилиндрический
бак, диаметр которого 34 см. Высота столба керосина в баке 1,5 м.
Ответ: 1,Ы02 кг.
3. В каком стакане и на сколько уровень жидкости будет вы-
ше, если в один из них налито 158 г воды, а в другой столько же
спирта? Стаканы одинаковы, площадь дна каждого из них 25 см2.
Ответ: 1,7-10~2 м.
4. Сплав состоит из 109,5 г олова и 56,5 г свинца Плотность оло-
ва 7,3-103 кд/л18. Определить плотность сплава.
Указание: Считать, что объем сплава равен сумме объемов
олова и свинца.
Ответ: 8,3* 103 кг!м3.
РАЗДЕЛ II
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ГЛАВА 3
ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ
§ 22. Содержание механики и ее значение для техники.
Современное производство основано на использовании раз-
личных машин. Машина состоит из отдельных деталей,
каждая из которых имеет свое назначение. Деталь должна
быть рассчитана на прочность, а для этого надо знать,
какие силы на нее действуют. Некоторые детали машины
при ее действии остаются неподвижными, а другие выпол-
няют то или иное движение. Для того чтобы рассчитать
движение детали, нужно знать законы механичес-
кого движения.
Выясним, что следует понимать под механическим дви-
жением. Мы привыкли считать поверхность Земли непод-
вижной и говорим, что тело движется, когда оно переме-
щается относительно этой поверхности. Однако такое
представление о движении не носит абсолютного характера.
Тело, неподвижно лежащее на Земле, перемещается вмес-
те с земным шаром вокруг Солнца. В природе нет ни абсо-
лютного покоя, ни абсолютного движения. Можно лишь
условно принять какое-либо тело за неподвижное и оп-
ределять движение или покой других тел по отношению к
нему. Тело, условно принимаемое за неподвижное, отно-
сительно которого определяется движение или покой дру-
гих тел, называется телом отсчета.
Перемещение одних тел относительно других называ-
ется механическим движением.
Следует иметь в виду, что при дальнейшем изложении
механики мы всегда будем принимать за тело отсчета Зем-
лю, кроме тех случаев, относительно которых будут сдела-
ны специальные оговорки.
48
Раздел физики, изучающий различные виды механи-
ческого движения, условия их возникновения и измене-
ния, а также условия относительного покоя, называется
механикой. Механика делится на три части: кине-
матика, динамика и статика.
Часть механики, изучающая механическое движение
вне зависимости от действующих сил и от движущихся
масс, называется кинематикой.
Часть механики, изучающая законы движения тел в
связи с действующими силами и движущимися массами,
называется динамикой.
В механике изучают и такие явления, при которых,
несмотря на наличие сил, могущих вызвать механическое
движение, тело сохраняет состояние относительного покоя
или равновесия. Часть механики, изучающая условия рав-
новесия тел, находящих-
ся под действием сил,
называется с т а т ик о й.
Механика можетизу-
чать движение тел в
твердом, жидком или
газообразном состоя-
нии. Поэтому различают
механику твердого тела,
гидромеханику и аэро-
механику.
4
1з
б)
Рис. 16. Чем меньше размеры тел по
сравнению с расстоянием между ни-
ми, тем меньше отличаются друг от
друга расстояния между любыми
двумя точками этих тел.
§ 23. Материальная
точка. На рис. 16,а изо-
бражены два шара. Рас-
стояние /х между точка-
ми Л и Б этих шаров
значительно меньше
расстояния /2между точ-
ками Ви Г этих же шаров, и даже приближенно нельзя счи-
тать /х равным /2. На рис. 16,6 изображены два шарика, раз-
меры которых малы по сравнению с расстоянием между
ними. Расстояния /3 и /4 между двумя различными парами
точек этих шариков так мало отличаются друг от друга,
что вполне допустимо считать /3 приближенно равным /4.
В этом случае мы пренебрегаем размерами шариков и мыс-
ленно заменяем их точками. Этот прием мы часто исполь-
зуем в жизни. Например, измеряя на географической карте
49
расстояние между двумя городами, мы считаем их точками.
Однако, рассматривая планы этих городов, мы уже
считать их точками не можем. Если изображенные на
рис. 16, а шары удалить друг от друга на большее рас-
стояние (например, на 1 /сж), то их размерами можно
будет пренебречь и, определяя расстояние между ними,
принимать их за точки.
Отсюда ясно, что при известных обстоятельствах можно
пренебречь собственными размерами тела, но при этом
нельзя забывать, что это можно делать только тогда,
когда выполнены известные условия. Именно для таких
случаев в механике и вводится понятие материаль-
ной точки.
Материальной точкой называется тело, размерами ко-
торого при данных условиях пренебрегают, принимая его
за точку и предполагая одновременно, что в этой точке со- »
средоточена вся масса тела. Например, при описании годич-
ного движения Земли по орбите вокруг Солнца можно
принять Землю за точку, так как ее размеры малы по
сравнению с расстоянием до Солнца.
Иногда за материальную точку принимают часть тела,
размеры которой малы по сравнению с размерами самого
тела. В этом случае считают, что все тело как бы состоит
из множества очень малых тел (частей), каждое из которых
принимается за материальную точку.
Так, при объяснении свойств разреженных газов мо-
лекулы газа принимают за материальные точки. Однако
при описании свойств сильно сжатых газов приходится уже
учитывать собственный объем молекул, и принимать их за 3
материальные точки уже нельзя, так как расстояния между
молекулами становятся сравнимыми с размерами молекул.
Вообще в физике при изучении сложных явлений ста-
раются найти прежде всего основные причины, влияющие
на ход явления, и затем, пренебрегая всеми второстепен-
ными причинами, создают теорию явления при некоторых
воображаемых, как говорят, идеализированных
условиях, которым соответствуют некоторые идеа-
лизированные понятия. Материальная точка
представляет собой одно из таких идеализированных по-
нятий. Очевидно, что в этом случае теория является лишь
первым приближением к истине и удовлетворительно объяс-
няет ход явления только в тех условиях, в рамках кото-
рых она создана.
50
§ 24. Виды механического движения. Приступая к изу-
чению механического движения, прежде всего нужно уста-
новить признаки, позволяющие отличать один вид меха-
нического движения от другого. Каждая материальная
точка, перемещаясь в пространстве, описывает линию, на-
зываемую траекторией, форма которой может быть
самой разнообразной. Длина отрезка траектории, прой-
денного материальной точкой за какой-либо промежуток
времени, называется пройденным за это время путем.
Первый признак, по которому различают движения ма-
териальных точек — это форма их траектории. По форме
траектории движения разделяют на прямолиней-
ные и криволинейные.
Движение материальной точки с течением времени мо-
жет изменяться, становясь то более быстрым, то медленным.
Второй признак, позволяющий различать движения ма-
териальных точек,— это сравнение путей, пройденных
данной точкой за одинаковые промежутки времени. По
этому признаку движения делят на равномерные
и неравномерные.
Равномерным движением называется такое движение,
при котором материальная точка за любые равные про-
межутки времени проходит равные расстояния.
Неравномерным, или переменным, движением называ-
ется такое движение материальной точки, при котором
она за равные промежутки времени проходит неодинаковые
расстояния.
При изучении движения тела, размерами которого
нельзя пренебречь, это тело можно представить как сово-
купность большого числа движущихся материальных то-
чек. В зависимости от характера движения отдельных точек
тела относительно друг друга движение тел бывает п о-
ступательным и вращательным.
Представим себе стержень А Б(рис. 17), перемещающий-
ся параллельно самому себе. При этом каждое его новое
положение (Д1Б1 и А2Б2) будет параллельно первоначаль-
ному (ДБ). Тогда все точки стержня опишут точно одина-
ковые траектории (на рисунке пунктирными линиями от-
мечены траектории концов стержня).
Другая картина получится при вращении диска, на-
саженного на ось (рис. 18). Все точки диска движутся по
окружностям, центры которых лежат на оси ВГ. Пути,
пройденные отдельными точками диска за равное время,
51
здесь могут быть различными. Так, за одинаковое время
точка А пройдет больший путь, чем точка Б.
Движение тела, при котором прямая, соединяющая
две любые точки тела, перемещается параллельно самой
себе, называется поступательным.
Движение тела, при котором все его точки движутся
в параллельных плоскостях по окружностям, центры кото-
рых расположены на одной пря-
мой, называется вращательным.
Сама прямая называется осью
вращения.
Рис. 18. Вращательное
движение диска. Точки
Ли Б движутся по окруж-
ностям разной длины.
Рис. 17. Поступательное
движение стержня Л Б. Точ-
ки А и Б описывают оди-
наковые траектории.
Поскольку при поступательном движении все точки
тела движутся одинаково, изучая это движение, мы будем
говорить лишь о движении одной материальной точки.
В этой главе рассматривается только прямолинейное дви-
жение материальной точки.
§ 25. Равномерное прямолинейное движение. Скорость
равномерного движения. Равномерное движение точки,
траектория которого прямая линия, называется равно-
мерным и прямолинейным. Оно представля-
ет собой простейший вид механического движения. Такое
движение, например, совершает иногда автомобиль или
поезд на небольшом участке пути.
Наблюдая за равномерным движением различных тел,
мы замечаем, что одни тела проходят данный путь быст-
рее, а другие медленнее. Физическая величина, характери-
зующая быстроту изменения пути во времени, называется
скоростью и обозначается буквой и.
52
Скорость равномерного движения измеряется длиной пу-
ти, пройденного за единицу времени,
(3 1)
Здесь s обозначает путь, t — время, за которое пройден
этот путь, v — скорость движущегося тела.
Выведем единицы измерения скорости
S 1 м . м
v = -г; v = -j--= 1 —.
t 1 сек сек
В системе СИ за единицу измерения скорости прини-
мается скорость равномерно движущейся точки, которая
за каждую секунду проходит путь, равный одному метру.
В повседневной практике за единицу скорости часто
1 км\
принимают скорость 1 километр в час — 1.
Поскольку при решении задач все числовые данные
должны быть выражены в одной системе, необходимо на-
КМ М г-г
учиться переводить скорость из — в —. Пусть, на-
ч сек
пример, нужно перевести 54 ™ в Выразив 54 км
в метрах (54 000 м), а час в секундах (3600 сек), получим
г- Л км 54 000 м 54 Л! . - м
54 — „--------------------— ==15 — .
ч 3600 сек 3,ьсек сек
Следовательно, для такого перевода достаточно числовое
значение скорости разделить на 3,6 и записать ответ в .
Выведем единицу измерения скорости в системе СГС
S 1 см , см
о — о = -.-= 1----.
t 1 сек сек
В физической системе (СГС) за единицу скорости принимается
скорость равномерно движущейся точки, которая за каждую се-
кунду проходит путь, равный одному сантиметру.
§ 26. Понятие о векторных величинах. Если мы будем
знать, что улетевший с аэродрома самолет приземлился
на расстоянии 200 км от аэродрома, то этого недостаточно
для определения местонахождения самолета, так как
53
но непрямолинеиного
0.----,---,---
Рис; 19. Изображение
векторных величин. Ве-
личина вектора А Б рав-
на трем единицам, а
вектора ВГ — четырем;
направления их различ-
ны (вверху показана
единица масштаба).
осталось неизвестным направление его полета. Даже если
будет указано направление, в котором самолет улетел с
аэродрома, то и это не поможет точно определить его место-
нахождение, так как во время полета направление движе-
ния могло много раз измениться. Лишь при прямолиней-
ной траектории полета такое указание позволит точно
определить место посадки самолета.
Это означает, что для полного описания равномерного,
движения материальной точки не-
обходимо знать не только время
ее движения и числовое значение
скорости, но и направление движе-
ния в каждый момент времени,
иначе в каждой точке траектории.
Удобнее всего оказалось связать
направление движения со скоро-
стью. Поэтому условились считать
скорость направленной величиной,
т. е. приписывать ей определенное
направление в каждой точке траек-
тории.
Всякая величина, значение ко-
торой определяется не только чи-
слом, но и направлением в прост-
ранстве, называется векторной.
Следовательно, скорость дви-
жения — векторная величина. В
дальнейшем мы ознакомимся со многими другими вектор-
ными величинами. Векторную величину изображают
стрелкой — вектором.
Вектор показывает одновременно числовое значение
(в заданном масштабе) и направление векторной величины.
На рис. 19 изображены два вектора Л Б и ВГ, отличающие-
ся как по величине, так и по направлению. Масштаб изоб-
ражен выше на том же рисунке.
Вектор считается постоянным, если не изменяется ни
его величина, ни его направление. Поскольку скорость
есть векторная величина, в дальнейшем она будет изобра-
жаться на рисунках стрелкой, а в тексте жирным шрифтом.
При прямолинейном движении вектор скорости всегда
направлен вдоль траектории.
Величина, значение которой определяется только чис-
лом, взятым со знаком «+» или «—», называется скалярной.
64
Масса тела, его объем, время, температура и т. д.—
скалярные величины. Температура, хотя и отсчитывается
вверх или вниз от нуля, однако вполне определяется чис-
лом, взятым со знаком «+» или «—», т. е. не является век-
торной величиной.
§ 27. Уравнение равномерного прямолинейного движе-
ния. Так как при равномерном и прямолинейном движении
точка за равные, произвольно выбранные промежутки вре-
мени проходит равные расстояния, скорость точки должна
быть одинаковой в любой момент времени движения и,
следовательно, в любой точке траектории.
При равномерном и прямолинейном движении величина
и направление скорости постоянны, т. е. #=const (от ла-
тинского «константа» — постоянная).
Из формулы (3.1) видно, что скорость может быть пос-
тоянной только в том случае, когда числитель и знамена-
тель дроби изменяются одновременно в одно и то же число
раз. Следовательно, при равномерном движении пройден-
ный путь прямо пропорционален времени движения. Если
под v подразумевать только числовое значение скорости,
то формулу (3.1) можно написать в следующем виде:
s~vt.
(3-2)
§ 28. Графики пути и скорости равномерного движения.
Построим график пути равномерного движения при
скорости, равной 0,5^-. Для этого
1) записываем формулу пути равномерного движения
s — vt\
2) заменяем в ней скорость числовым значением
3) вычисляем пути, пройденные телом за I, 2, 3, 4,
5 сек, и составляем таблицу (табл. 7);
4) вычертив оси координат t,sn выбрав масштаб (рис.
20), отмечаем точки, координаты которых соответствуют
табличным данным, например /=1, s=0,5;
5) соединяем точки линией (линия ОЛ).
55
Таблица 7
t, сек 1 2 3 4 5
S, м 0,5 1 1,5 2 2,5
Получается прямая, проходящая через начало коор-
динат. Это — характерная особенность графиков, выра-
жающих прямую про-
порциональную зависи-
мость. Сделав такое же
построение для случая,
когда скорость равна
1,25 —, получим вто-
рой график (линия ОБ).
Построим график
скорости равномер-
ного движения. Ско-
рость этого движения от
времени не зависит.
Желая построить гра-
Рис. 20. Графики пути равномерного
движения. Чем больше скорость, тем
больше угол наклона графика к оси
времени.
фик скорости равномер
ного движения, равной.
о М
например, 3 — , состав
г г сек
ляем таблицу, не поль-
зуясь формулой, так как при всех значениях времени ско-
рость остается одинаковой (табл. 8).
Таблица 8
/, сек 1 2 3 4
м г/, — сек 3 3 3 3
Построив график по этой таблице, получим прямую
А Б, изображенную на рис. 21. Характерная особенность
этого графика состоит в том, что прямая А Б параллельна
оси времени (оси абсцисс).
56
§ 29. Неравномерное движение. Средняя и мгновенная
скорости. Наблюдая за спидометром (указателем скорости)
в автомобиле, можно видеть, что движение автомобиля
неравномерно, так как стрелка прибора перемещается.
Такое движение встречается очень часто.
Очевидно, что для неравномерного движения опреде-
лять скорость как путь, пройденный за единицу времени,
Рис. 21. График скорости равномерного
движения.
нельзя, ибо скорость непрерывно изменяется. Поэтому
быстроту неравномерного движения характеризуют двоя-
ко: средней скоростью за какой-либо про-
межуток времени и скоростью в данный момент времени
или в данной точке траектории, иначе называемой мгно-
венной скоростью.
Понятие о средней скорости основано на мысленной
замене неравномерного движения равномерным. Поясним
сказанное примером. Замечая, что автомобиль проехал
с непостоянной скоростью 360 м за 20 сек, мы можем спро-
сить: с какой скоростью надо двигаться, чтобы проехать
эти же 360 м за 20 сек при равномерном движении?
Сделав вычисление по формуле (3.1), получим
360 ж 1 о ж
v = —= 18 —
20 сек сек
Этот результат и представляет среднюю скорость движе-
ния автомобиля.
Средней скоростью неравномерного движения называ-
ется скорость такого равномерного движения, при котором
- 57
проходится тот же путь и за то же время, что и при дан-
ном неравномерном движении
«.,=4- (3.3)
Поясним на примере, как находится средняя скорость
движения. Пусть тело, двигаясь равномерно, первую по-
ОЛ КМ
ловину пути прошло со скоростью ^=30 —, а вторую —
со скоростью а2=70 ~. Определим среднюю скорость
движения этого тела.
Чтобы найти среднюю скорость движения на пути s,
необходимо знать время этого движения /, которое в рас-
сматриваемом случае равно 4+4- Здесь 4 и t2 соответ-
ственно обозначают времена прохождения первой и вто-
-i-s ±s
рой половин пути s. Поскольку , а , то
s s s 2s
у — — —------—--------—--------— ——± .
ср t Zx + Z2 _s_ _s_ s£2+£i "i + os
2l\ * 2^2 ^1^2
Следовательно,
_____________________ 2-30-70 км_ .о km
УсР““Тбб ч~' 42 V ’
Из этого примера видно, что средняя скорость, вообще
говоря, не равна полусумме vr и v2. Поэтому в самом общем
случае для определения средней скорости нужно сумму
всех отрезков пути, пройденных телом, делить на общее
время, затраченное на их прохождение.
В примере с автомобилем была определена средняя
скорость движения на пути в 360 м. Поскольку это движе-
ние было неравномерным, его скорость менялась, но ха-
рактер изменения скорости остался для нас неизвестным.
Движение автомобиля за 20 сек могло ускоряться, замед-
ляться или оставаться постоянным. По средней скорости
этого определить нельзя.
Средняя скорость не дает представления о характере из-
менения движения за промежуток времени /; если вычис-
лять среднюю скоростьзаданного неравномерного движения
на различных отрезках траектории за равные промежутки
58
времени, то она может оказаться самой различной. Следо-
вательно, средняя скорость не относится к движению в оп-
ределенной точке пути или в заданный момент времени.
Чтобы пополнить этот пробел, вводится понятие мгно-
венной скорости vt в момент времени t.
Пусть, наблюдая за указателем скорости, мы заметили,
что в конце пятой секунды после начала движения авто-
мобиля он показывал 36 —, иначе 10 —. Значит ли это,
ч сек
что за шестую секунду автомобиль проедет 10 ж? Если бы,
начиная с того времени, когда указатель стоял на 36 ,
шофер в течение всей шестой секунды поддерживал ско-
рость неизменной, то автомобиль действительно проехал
бы 10 м. Если же скорость автомобиля в это время увели-
чивалась или уменьшалась, то пройденный за эту секунду
путь оказался бы соответственно больше или меньше 10 м.
Отсюда и вытекает определение мгновенной скорости.
Мгновенной скоростью прямолинейного неравномер-
ного движения называется такая скорость, с которой мате-
риальная точка стала бы двигаться при условии, что,
начиная с данного момента времени, скорость стала бы
постоянной, т. е. движение стало бы равномерным.
Если рассчитать среднюю скорость движения за малый
промежуток времени Д/, отсчитанный от момента времени
t, то полученное значение средней скорости будет тем
ближе к мгновенной скорости vt, чем за меньший проме-
жуток времени вычислена ^ср.
Можно сказать, что мгновенная скорость есть предел, к кото-
рому стремится t/cp при Д/, стремящемся к нулю. Это записывают
следующим образом:
As
vt = hm — •
д/о А*
§ 30. Равномерно-переменное движение. Представим
себе велосипедиста, подъезжающего к спуску с горы со
скоростью 3 —. Допустим, что при спуске скорость его
движения постепенно возрастает и к моменту окончания
спуска, продолжавшегося 4 сек, достигает И Пусть
его движение было таким, что за одинаковое время ско-
рость увеличивалась на одну и ту же величину (табл. 9).
59
Таблица 9
Таблица 10
1О ж
170 Ю------
сек,
и1== Ю------,
сек
„ м
= 7 —,
сек
л м
v о == 4----,
сек
1 ж
ил — 1 —.
сек
Точно так же можно представить себе подъем велоси-
педиста в гору, продолжавшийся 4 сек и начавшийся со
скоростью 13 —, а окончившийся при скорости 1 — ,
1 сек. r г сек '
причем за одинаковое время его скорость уменьшалась
на одну и ту же величину (табл. 10).
Характерный признак первого из движений — равно-
мерное возрастание скорости, а второго — равномерное ее
убывание.
Движение, при котором скорость за любые равные про-
межутки времени изменяется на одну и ту же величину,
называется равно мерно-переменным. Равномерно-перемен-
ное движение бывает или равномерно-уско-
ренным или равномерно-замедленным.
§ 31. Ускорение и единицы его измерения. Равномерно-
переменные движения могут отличаться друг от друга
быстротой изменения скорости. Например, чем круче
гора, с которой скатываются сани, тем быстрее нарастает
их скорость. Величина, характеризующая изменение ско-
рости движения в единицу времени, называется ускорением
и обозначается буквой а.
Ускорение равномерно-переменного движения измеряется
изменением скорости за единицу времени.
Возвращаясь к табл. 9 и 10, можно заметить, что уско-
рение легко найти, если из значения скорости в конце
какой-либо секунды вычесть значение скорости в конце
предыдущей секунды. Тогда в приведенных примерах для
60
ускоренного движения получим +2, а для замедленного
—3. Это означает, что ускорение может быть как положи-
тельным, так и отрицательным (последнее при замедлен-
ном движении). Поэтому для замедленного движения часто
пользуются понятием замедления, подразумевая
под ним отрицательное ускорение. Например, вместо того,
чтобы говорить: «ускорение равно —а», говорят: «замедле-
ние равно а».
Очевидно, зная начальную и конечную скорости, а
также время движения, ускорение равномерно-переменно-
го движения можно найти и другим путем. Действительно,
вычитая из конечной скорости начальную, мы узнаем об-
щее изменение скорости за все время движения, а разделив
полученную разность на время движения, узнаем изме-
нение скорости за единицу времени. Записывая это в общем
виде, получаем формулу для вычисления ускорения рав-
номерно-переменного движения
а = (3.4)
Обозначив разность vt—vQ через Ду, можно формуле (3.4)
придать следующий вид:
Ду /О г \
а = (3.5)
Выведем единицу ускорения
До сек 1 м
а• а = -л----------= 1—2.
t 1 сек, сек1
В системе СИ за единицу ускорения принимается
ускорение такого равномерно-переменного движения, при
котором скорость изменяется на 1 за секунду.
В системе СГС единица ускорения
1 см
Дц сек . см
а = — \ а — ----= 1—о-
t 1 сек сек2,
В физической системе за единицу ускорения принимается уско-
рение такого равномерно-переменного движения, при котором ско-
. см
рость изменяется на 1 — за секунду.
61
Подобно скорости, ускорение имеет определенное на-
правление в пространстве, т. е. является векторной вели-
чиной и изображается стрелкой (в тексте книги вектор
ускорения обозначен а).
Ускорение равномерно-переменного прямолинейного
движения — важнейшая характеристика этого движения,
так как во время всего движения остается постоянным по
величине и направлению (но не равным нулю), т. е. а =
=const. Если ускорение равно нулю, то движение рав-
номерно.
§ 32. Скорость равномерно-переменного движения.
Среднюю скорость равномерно-переменного движения
можно вычислить, как и скорость всякого переменного
движения, по формуле (3.3). Однако, пользуясь тем, что
скорость здесь или равномерно возрастает или равномерно
убывает, ее среднее значение можно найти проще: сложить
начальную скорость с конечной и разделить полученную
сумму пополам. Для обоих видов равномерно-переменного
движения это даст среднюю скорость
п __Eo±S
ср 2
(3.6) '
Мгновенная скорость равномерно-переменного движе-
ния должна зависеть от времени, что видно из формулы
(3-4):
Чтобы найти эту зависимость, приведем обе части равенства
к общему знаменателю и определим vt
vt — v0 = at
пли
vt = v0 + at.
(3.7)
§ 33. Вычисление пути равномерно-переменного дви-
жения. Установим, как зависит от времени путь, прой-
денный при равномерно-переменном движении. При любом
62
переменном движении путь можно найти из формулы (3.3)
* = V’
Но для равномерно-переменного движения среднюю
скорость можно заменить ее значением по формуле (3.6).
Сделав это, получим
(38)
Следует отметить, что формула (3.8) годна уже не для вся-
кого движения, а только для равномерно-переменного.
Заменим теперь vt его значением по формуле (3.7)
S- 2“— I.
Дальнейшие преобразования сводятся к выполнению
алгебраических действий
+ 2t/0Z j at2_<ri 4 t at2
S __ _ t — _ — — _ __ VqI -f- — .
Следовательно, формула для вычисления пути, пройден-
ного при равномерно-переменном движении, имеет вид
s==v0/4-—. (3.9)
При решении задач полезно знать еще одну формулу.
Ее легко получить, исключив из формул (3.7) и (3.8)
время движения. Из формулы (3.7) имеем
у J'/ —^’о
а
Подставив в формулу (3.8) найденное значение времени,
получим
vt + vovt—v0__
2 а ~~ 2а '
Окончательно имеем формулу, выражающую зависимость
между пройденным путем и мгновенной скоростью равно-
мерно-переменного движения,
^ = о* + 2а$. (3.10)
63
§ 34. Частные случаи равномерно-перемени ого движе-
ния. Различают четыре типичных случая равномерно-
переменного движения:
1) Равномерно-ускоренное движение с начальной ско-
ростью. Оно всегда является продолжением какого-либо
другого движения, например равномерного.
2) Равномерно-ускоренное движение с начальной ско-
ростью, равной нулю (т. е. без начальной скорости). Оно
начинается из состояния покоя. Его особенности рассмат-
риваются в следующем параграфе.
3) Равномерно-замедленное движение с конечной ско-
ростью, не равной нулю.
4) Равномерно-замедленное движение с конечной ско-
ростью, равной нулю.
Для движений типа 3) и 4) числовое значение ускорения
надо брать со знаком минус.
Приведем примеры решения задач на равномерно-пе-
ременное движение.
Задача. Автомобиль, имея скорость 28,8 , начал дви-
гаться равномерно-ускоренно и через 5,0 сек приобрел
скорость 57,6 —. Определить путь, пройденный автомо-
билем за это время.
Дано:
Ц)=28,8 ~ — начальная скорость движения,
г^=57,6 — конечная скорость движения,
/=5,0 сек — время движения.
Найти:
s — путь, пройденный автомобилем.
План решения. Эта задача на равномерно-ускоренное
движение с начальной скоростью. Путь можно найти по
формуле (3.10), но для этого нужно знать ускорение. Его
можно найти из формулы (3.7).
Решение. Из выражений (3.7) и (3.10) соответст-
венно имеем
2а
64
или
2(vt-v0) - 2
Для решения задачи применяем систему СИ. Выражаем
все числовые данные в этой системе и вычисляем пройден-
ный путь
v0 == 8,0 —; vt — 16 —; t = 5,0 сек,
и сек 1 , сек
(16— + 8,0 —У 5,0 сек
\ сек 1 сек)
-
= 60 м.
Ответ: Автомобиль проехал 60 м.
Задача» Поезд двигался со скоростью 72 . При тормо-
жении до полной остановки он проехал расстояние 400 м.
Определить ускорение и время торможения.
Дано:
км
v0=72 —----начальная скорость движения,
s=400 м — путь, пройденный во время торможения,
vt =0 — конечная скорость движения.
Найти:
а — ускорение при торможении,
t — время торможения.
План решения. Эта задача на равномерно-замедленное
движение с конечной скоростью, равной нулю (vt =0).
Ускорение можно найти из формулы (3.10), время — из
формулы (3.7).
Решение. Находим из указанных формул ускоре-
ние и время
2s ’
t=1^.
а
Переводим все числовые данные в единицы системы СИ и
*) Эта формула совпадает с формулой (3.8), приведенной
в § 33.
3 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
65
s — 400 м,
0—20 —
сек
вычисляем ускорение и время
у-20 —; vt = 0;
0 сек. ’ 1
0-400-^
а===~ —-=== —0,50 / =-----^- = 40 сек.
2*400 м ’ сек*’ ___0 50 м
’ сек2
Ответ: Ускорение поезда —0,50 —, а время торможе-
сек*
ния 40 сек.
Таким образом, любая задача на равномерно-перемен-
ное движение может быть решена с помощью формул (3.7),
(3.9) и (3.10).
§ 35. Равномерно-ускоренное движение без начальной
скорости. Ввиду большого практического значения рав-
номерно-ускоренного движения без начальной скорости
рассмотрим его особенности более подробно.
Заменив в формулах (3.7), (3.9) и (3.10) начальную
скорость нулем, получим формулы для этого движения
vt = at,
at?
~2~ ’
v2 = 2as.
(З.П)
(3.12)
(3.13)
Зависимость между путем и временем в формуле (3.12)
можно нагляднее представить, сравнив пути sx и s2, прой-
денные телом за промежутки времени tv и /2*
Путь пройденный за время равен
at\
si = “2“-
Путь s2 равен
S2—' 2 •
66
Разделим эти два равенства почленно
S1 at\ at2
s2 “ 2 * 2 *
Так как а — постоянная величина, то после сокращения
на имеем окончательно
(3J4)
2
Пути, пройденные телом от момента начала движения,
относятся как квадраты времени движения.
Выясним, какое практическое значение имеет соотно-
шение (3.14). Например, чтобы выяснить, к какому виду
относится движение скатывающихся с горы санок, можно
измерить пути, пройденные санками от начального поло-
жения за какие-либо промежутки времени, и, подставив
полученные числа в формулу (3.14), проверить, получится
равенство или нет. Если получится, то движение санок —
равномерно-ускоренное без начальной скорости.
Аналогично, пользуясь формулой (3.11), можно пока-
зать, что при этом движении скорость прямо пропорцио-
нальна времени движения
Предположим, что, изучая на опыте какое-либо движе-
ние, мы убедились, что оно равномерно-ускоренное без
начальной скорости. Как узнать его ускорение?
Зная найденное из опыта значение пути sn, соответ-
ствующее известному моменту времени tn, и подставив
их в формулу (3.12), легко вычислить ускорение. Напри-
мер, если путь $п=100'ж пройден’за время /п=5 сек, то
ускорение а найдем, подставив в уравнение (3.12) эти
числа и решив его относительно а:
100 м = 200 м — а-25 сек2,
___ 200 м _ £ м
а 25 сек2 ~ сек2 ‘
Полезно запомнить, что если известен путь прой-
денный за первую секунду движения, то
сек2. (3.16)
з*
67
Путь, пройденный за первую секунду при равномерно-
ускоренном движении без начальной скорости, численно
равен половине ускорения.
§ 36. Графики равномерно-переменного движения.
Поскольку при равномерно-переменном движении уско-
рение — величина постоянная, т. е. не зависит от времени,
график его строится так же, как график скорости равно-
мерного движения.
Рис. 22. Графики положительного и отри-
цательного ускорений равномерно-перемен-
ных движений.
На рис. 22 даны графики ускорений: положительного
(линия А Б) и отрицательного (линия ВГ).
Построим график скорости равномерно-ускоренного
движения при а=0,5 и v0=2
Формула мгновенной скорости для данного случая
примет вид
vt = 2 —+ о,5 -\t
1 сек * ’ сек*
Подставляем в формулу вместо t значения 0, 1,2, 3,
4 сек и вычисляем значения vt (табл. 11). Затем наносим
68
Таблица 11
сек 0 1 2 3 4
м vt, — сек 2 2,5 3 3,5 4
точки в системе координат /, v и соединяем их линией. Этот
график приведен на рис. 23 (линия Л£).
Рис. 23. Графики мгновенных скоростей равномерно-
ускоренного и равномерно-замедленного движений.
Теперь построим график скорости равномерно-замед-
ленного движения при а~—1 и . Формула ско-
рости будет
r М 1 М ,
vt — 5 — — ] —-1,
1 сек сек1
Значения t и vt для этого случая приведены в табл. 12,
а график построен на рис. 23 (линия ВГ).
Таблица 12
сек 0 1 2 3 4 5
м vt,— L сек 5' 4 3 2 1 0
69
Из графика видно, что скорость этого движения с те-
чением времени убывает и что движение прекращается
через 5 сек, так как скорость в этот момент становится
равной нулю.
Построим еще график пути равномерно-ускоренного
движения при а=0,2 и уо=О,3 —. Формула пути для
ССК ССК
Рис. 24. График пути равномерно-уско-
ренного движения.
этого случая будет иметь вид
8 = 0,3 — / + о,1 —2/2.
’ сек 1 ’ сек2
Подставляя в нее вместо t ряд значений ОД, 2, 3 сек, вы-
числяем соответствующие значения s и составляем таблицу
(табл. 13), а затем строим график (рис. 24).
Таблица 13
/, сек 0 1 2 3 4 5 6 7
S, м 0 , 0,4 1,0 1,8 2,8 4,0 5,4 7,0
Мы видим, что путь, пройденный при этом движении,
растет с течением времени сначала медленно, а затем все
70
быстрее. Вообще график пути равномерно-переменного
движения представляет собой кривую линию, называемую
параболой.
§ 37. Свободное падение тел и его законы. Падение
тел — одно из самых распространенных движений в при-
роде, и его изучение имеет большое практическое значение.
Галилео Галилей (1564—1642).
Впервые оно было исследовано итальянским ученым
Галилео Галилеем (1564—1642 гг.). Галилей
установил простые законы падения тел, точно выполняю-
щиеся в безвоздушном пространстве, т. е. для идеального
случая, когда на падающее тело действует только сила
тяжести. Падение тел на Землю, обусловленное только
71
силой тяжести (m. е. без учета сопротивления воздуха)
и начинающееся из состояния покоя, называется свобод-
ным падением.
Приступая к изучению свободного падения, прежде
всего нужно установить, к какому виду движения оно
принадлежит или ближе всего подходит. С этой целью
следует измерить пути, пройденные свободно падающим
телом за известные промежутки времени.
Установив метроном, отсчитывающий равные проме-
жутки времени так, чтобы начало падения тела (например,
металлического шарика)'совпало с одним из ударов метро-
нома, подбирают высоту, с которой происходит падение
так, чтобы удар тела о пол совпал со следующим ударом
метронома. Затем, изменяя высоту падения, заставляют
тело падать вдвое, втрое дольше.
Результаты одного из таких измерений приведены в
табл. 14.
Таблица 14
t, сек 7з 73 1
h, м 0,54 2,17 4,90
Нетрудно видеть, что при увеличении времени падения
в 2 раза, в 3 раза путь возрастает в 4 раза, в 9 раз *).
Следовательно, путь, пройденный свободно падающим
телом, прямо пропорционален квадрату времени падения,
что соответствует равномерно-ускоренному движению (см.
§ 35). Учитывая, что в данном опыте сопротивление воз-
духа (ввиду его малости по сравнению с весом металличе-
ского шарика) не могло заметно изменить падения тела,
мы можем установить первый закон свобод-
ного падения:
свободное падение тел является равномерно-ускоренным
движением без начальной скорости.
Из этого закона следует, что при свободном падении
ускорение тела остается постоянным.
*) Небольшая неточность объясняется ошибкой измерений
при выполнении опыта.
72
Теперь выясним, с одинаковым ли ускорением падают
различные тела? Иными словами: не будут ли во время
падения одни тела обгонять другие? Наблюдая за паде-
нием листка бумаги и монеты с одинаковой высоты, мы
замечаем, что монета достигает Земли скорее, чем листок
бумаги. Это обстоятельство может навести на ложную
мысль о зависимости ускорения свобод-
ного падения от веса тела. Однако если
сжать листок бумаги в комок, то без труда
можно заметить, что он падает уже быст-
рее. Вес листка бумаги остается прежним,
поверхно-
воздухом.
изменяется только площадь
сти соприкосновения его с
Рис. 25. При свободном падении
бумажка, лежащая на монете, не
отстает от монеты.
Рис. 26. Трубка для де-
монстрации свободного
падения тел в безвоздуш-
ном пространстве.
Отсюда можно заключить, что воздух мешает свободному
падению тел, задерживая его.
Чтобы проверить это, вырежем из бумаги кружок
диаметром, немного меньшим диаметра монеты, положим
его сверх монеты, держа ее рукой, как показано на рис. 25,
и затем отпустим. Бумажный кружок и монета при падении
73
не отстанут друг от друга. Сопротивление воздуха
мешает падать монете, а на движение кружка непосред-
ственно не влияет.
Чтобы окончательно убедиться в том, что различие
в весе тел никакого влияния на ускорение при свободном
падении не оказывает, можно произвести следующий опыт.
Возьмем стеклянную трубку длиной около метра, снаб-
женную с одного конца краном для откачивания воздуха
(рис. 26). Поместим в нее дробинку, кусок пробки и пе-
рышко. Держа трубку вертикально, быстро перевернем
ее и будем наблюдать за падением этих предметов. При
наличии воздуха в трубке перышко заметно отстанет от
дробинки. Если же воздух из трубки выкачать, то ско-
рость падения всех предметов будет одинаковой. Из
сказанного вытекает второй закон свобод-
ного падения:
в данном месте Земли при отсутствии воздуха все тела
падают с одинаковым ускорением. Это ускорение называют
ускорением силы тяжести и обозначают
буквой g.
Зная, что свободно падающее тело за первую секунду
проходит путь 4,9 м (табл. 14), из формулы (3.16) полу-
чаем
g=4,9-2—2 = 9,8
6 сек2 сек2
Если перемещаться по поверхности Земли в направле-
нии от экватора к полюсу, то значение g будет возрастать.
На экваторе оно равно 9,780-^, а на полюсе 9,832-^ .
г м СеК Сек?
В Москве £=9,815 Неодинаковость значений g в
разных точках земной поверхности объясняется, во-пер-
вых, тем, что Земля не является точным шаром, а несколь-
ко сплющена у полюсов, и, во-вторых, вращением Земли
вокруг своей оси (см. § 117). Ускорение силы тяжести,
равное 9,80665 , условно считается нормальным.
Это значение g соответствует широте приблизительно 45°.
В дальнейшем ускорение силы тяжести будем прибли-
женно считать одинаковым для всех точек Земли и равным
g = 9,8—2
° ’ сек2
74
Формулы для свободного падения получаются из фор-
мул равномерно-ускоренного движения без начальной
скорости (3.11), (3.12) и (3.13) путем замены s на й, где
h — высота падения, и а на g, где g — ускорение силы
тяжести,
(3.17)
(3.18)
(3.19)
§ 38. Движение тела, брошенного вертикально вверх.
Тело может начать двигаться вертикально вверх, только
получив толчок в этом направлении. Иначе говоря: для
того чтобы возникло такое движение, необходимо наличие
у тела начальной скорости, направленной вертикально
вверх.
Подбросив рукой камень вертикально, мы замечаем,
что он падает на руку. Почему это происходит? Очевидно,
притяжение Земли сначала замедляет движение камня,
а затем заставляет его падать. Если при свободном падении
тело приобретает ускорение g, то при подбросе оно дви-
жется вверх с замедлением, равным g, так как причина
замедления — также притяжение тела к Земле. Подъем
тела вверх продолжается до тех пор, пока благодаря
замедлению его конечная скорость не станет равной нулю.
После этого тело будет свободно падать на Землю по тому
же пути.
Движение вверх тела, подброшенного вертикально,
является равномерно-замедленным с конечной скоростью,
равной нулю, и с замедлением, равным g (без учета сопро-
тивления воздуха).
Выведем формулы для этого движения, исходя из фор-
мул (3.7), (3.9) и (3.10), заменив в них s, vt и а соответ-
ственно на h, 0 и —g.
75
1. Из формулы vt=v0-\-at получаем
O = vo—
ИЛИ
v0 = gt. (3.20)
2. Из формулы s = yn^-h~g- получаем
h = vot—^-
Выразив v0 по формуле (3.20), получим
Рис. 27. Тело, бро-
шенное вертикаль-
но вверх из точки
Л, долетев до точ-
ки Б, падает назад
в точку А по пути
БА.
h = gt*-^-
или
(3.21)
3. Из формулы vf—vl+2as полу-
чаем
0 = о* — 2gh
или
^ = 2§/г. (3.22)
Теперь нам остается выяснить, как
связаны между собой время подъема
тела 4 и время его падения /2, а также
начальная скорость при подъеме v0 и
конечная скорость при падении vt
(рис. 27), когда это движение идеализи-
происходящим в безвоздуш-
ровано — рассматривается
ном пространстве.
Вполне очевидно, что расстояние А Б, пройденное
телом при подъеме, равно расстоянию БА, пройденному
телом при его падении обратно в точку А. Обозначив А Б
через А1Э а БА через /г2, из формул (3.18) и (3.21) имеем
gtj
2
Й2 ---
2 ‘
76
Приравнивая правые части этих формул и сокращая на
g/2, получим
откуда
G “ ^2*
Время подъема тела, брошенного из какой-либо точки
вертикально вверх, равно времени падения его в ту же
точку.
Начальная скорость тела в точке А по (3.20) равна
а конечная скорость в той же точке по (3.17) равна
Так как правые части этих формул равны, то равны и
левые
Начальная скорость тела, брошенного вертикально
вверх в пустоте, численно равна его конечной скорости в той
же точке при обратном падении, направления же обеих
скоростей прямо противоположны,
Тело, брошенное в воздухе, не достигает точки Б
(рис. 27) из-за сопротивления воздуха, а его конечная ско-
рость получается меньше начальной.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Велосипедист, имея скорость 12,6 начинает спускаться
с горы с постоянным ускорением 1,8 . Найти длину горы и с ко-
рость велосипедиста в конце ее, если спуск занял 6,0 сек.
м
Ответ', 53 м', 14 — .
сек
2. Автомобиль при торможении уменьшил скорость в течение
5,0 сек от 68,4 до 39,6 . Считая движение автомобиля рав*
номерно-замедленным, определить ускорение автомобиля и расстоя-
ние, пройденное им за время торможения.
Ответ'. -—1,6 75,0 м.
сек2
77
-r-т V А О ГЛ • *''**
3. Поезд, идущим со скоростью 43,2 —, проходит после на-
чала торможения до остановки 180 м. Через сколько времени поезд
остановится и с каким ускорением он движется?
Ответа 30,0 сек\ —0,40 —
сек2
4. Пуля вылетает из ствола винтовки длиной 67,5 см со скоро-
стью 865 —. Найти ускорение и время движения пули в стволе.
сек
Ответ 5,54-10* -Д; 1,56. Ю"1 сек.
сек2
5. Какое расстояние пролетит свободно падающее тело за
третью секунду падения?
Ответа 24,5 м.
Г Л А В A 4
ОСНОВЫ динамики
§ 39. Первый закон динамики. Напомним, что основная
задача динамики — определение закономерностей дви-
жения, обусловленных действием сил и наличием массы
у движущегося тела. При дальнейшем изложении законов
динамики за тело отсчета всегда принимается Земля, т. е.
всегда подразумеваются движения тел относительно по-
верхности Земли, если не сделано специальных оговорок.
Изучение динамики удобно начать с выяснения усло-
вий, при которых тело движется равномерно и прямоли-
нейно.
Если при езде на велосипеде перестать вращать педали,
то велосипед все же продолжает ехать вперед. Если, катаясь
на лодке по пруду, перестать грести, то лодка продолжает
плыть в прежнем направлении. Движение велосипеда
(и лодки) при этом довольно скоро прекращается. Следо-
вательно, если перестать воздействовать на тела в направ-
лении их движения, то они движутся замедленно.
Оказывается, что такое замедление всегда возникает
под влиянием других тел, с которыми взаимодействует
движущееся тело (в наших примерах под влиянием до-
роги, воды, воздуха). Действительно, конькобежцы хорошо
знают, что по гладкому льду с разгона можно ехать го-
раздо дольше, чем по неровному льду. Точно так же и
велосипедист с разгона катится дольше по асфальту, чем
по песчаной дороге. Таким образом, чем меньше сопро-
тивление движению со стороны других тел, тем дольше оно
продолжается, т. е. тем меньше становится замедление.
Отсюда возникает представление о том, что при полном
-отсутствии взаимодействия движущегося тела с другими
телами его движение должно продолжаться неограниченно
79
ного камня искры при точке
ниям. Таким образом, когда
Рис. 28. Установка для демонстрации
инерции покоя.
долго с постоянной скоростью. Если, например, на криво-
линейно движущееся тело прекращаются внешние воз-
действия, то оно начинает перемещаться прямолинейно
в том направлении, в котором оно двигалось в момент
прекращения воздействий. Так, отскакивающие от точиль-
са летят по прямым ли-
о не взаимодействует с
другими телами, то ско-
рость его движения
остается неизменной как
по величине, так и по
направлению.
Кроме того, из прак-
тики нам хорошо изве-
стно, что любой пред-
мет, находящийся в по-
кое относительно по-
верхности Земли, сам
собой, без воздействия
на него других тел
прийти в движение не
может.
Итак, всякому телу
свойственно сохранять
относительный покой или равномерное прямолинейное
движение при отсутствии действия на него других тел.
Это свойство тел носит название инерции.
На опыте невозможно создать условия, при которых
на движущееся тело совершенно не действовали бы окру-
жающие тела. Даже если обеспечить движение тела в
безвоздушном пространстве, устранив всякое трение, то
останется взаимное притяжение тел друг к другу, которое
мы устранить не можем. Таким образом, движение тела
только по инерции практически осуществить нельзя из-за
его взаимодействия с другими телами.
Инерция тел проявляется во многих случаях: при
внезапной остановке вагона поезда мы падаем вперед;
лыжник, скатившись с горы, продолжает двигаться по
горизонтальной поверхности и т. д. Существование инер-
ции покоя можно продемонстрировать на следующем опыте
(рис. 28).
На трубку Т положим картонку К, а на нее (над
отверстием трубки) шарик А. Сбоку укрепим пружину 17
80
с защелкой 3. При отпускании защелки пружина ударяет
по картонке. Картонка отлетает, а шарик падает в трубку,
так как при кратковременном воздействии на него
картонки он вследствие своей инертности не успевает
приобрести заметной скорости в горизонтальном на-
правлении.
Исаак Ньютон (1 643—1727).
На использовании инерции основано действие ударных
и метательных орудий. Например, вылетающий из ствола
артиллерийского орудия снаряд движется в воздухе с той
скоростью, которую приобрел к моменту, когда покинул
ствол (в дальнейшем земное притяжение и сопротивление
воздуха будут менять скорость и направление его полета).
То, что инерцией обладают все тела в природе, впервые
обнаружил Галилей, а огромную роль инерции в явлениях
природы показал гениальный английский ученый Исаак
Ньютон (1643—1727 гг.), выразивший все изложенное
81
в виде закона инерции, или первого з а-
кона динамики:
всякое тело сохраняет состояние относительного покоя
или равномерного прямолинейного движения до тех пор,
пока какие-либо силы не выведут его из этого состояния.
§ 40. Сила как причина ускорения. Взаимно уравнове-
шивающиеся силы. В § 5 и 16 было выяснено, что сила —
причина деформации тел или изменения скорости их дви-
жения. Так как изменение скорости движения характе-
ризуется ускорением, то
можно дать более точное
определение силы:
всякое действие одного
тела на другое, являющееся
причиной ускорения или де-
формации тела, называется
силой.
Сила представляет собой
векторную величину и изо-
бражается вектором (стрел-
кой, рис. 29). Направление
ускорения, сообщаемого телу
какой-либо силой, всегда сов-
падает с направлением этой
силы.
Если на тело действует
только одна сила, то оно
обязательно движется либо
Рис. 29. Сила F действия
молотка на шляпку забивае-
мого гвоздя.
ускоренно, либо замедленно. Как будет двигаться тело,
если на него действуют вдоль одной прямой две равные
и противоположно направленные силы? Разберем этот
случай на примере движения парашютиста.
Во время падения на парашютиста действуют по одной
прямой две силы: направленная вниз сила тяжести и на-
правленная вверх сила сопротивления воздуха. В начале
падения, пока парашют не раскрыт, сила тяжести больше
силы сопротивления, и парашютист падает с ускорением.
Когда раскрывается парашют, сила сопротивления воз-
духа становится больше силы тяжести, и парашютист дви-
жется замедленно. Однако через некоторое время сила
сопротивления воздуха становится равной силе тяжести,
и парашютист начинает двигаться равномерно и прямо-
82
линейно со скоростью, которая была в тот момент, когда
эти силы стали равными. Сила тяжести и сила сопротив-
ления в этом случае уравновешивают друг друга.
Две равные и противоположно направленные силы, дей-
ствующие на тело вдоль одной прямой, называются взаимно
уравновешивающимися силами.
Отметим, что на практике часто встречаются случаи,
когда взаимно уравновешиваются, т. е. компенсируют дей-
ствия друг друга на тело, не две силы, а большее число сил.
Например, при равномерном прямолинейном движении
поезда взаимно уравновешиваются: сила тяги, сила со-
противления движению, вес и сила давления рельсов на
колеса.
Если все приложенные к телу силы взаимно уравнове-
шиваются (компенсируют действия друг друга), то гово-
рят, что имеется равновесие сил. Таким образом,
при равновесии действующих на тело сил это тело или
находится в состоянии покоя, или движется равномерно
и прямолинейно.
§ 41. Связь между силой, массой и ускорением. Выяс-
ним, как зависит получаемое телом ускорение от величины
приложенной к телу силы,
Рис. 30. Установка для демонстрации зависимо-
сти между действующей на тело силой и ускоре-
нием его движения.
Для этой цели удобно воспользоваться длинной глад-
кой скамьей С (рис. 30) с укрепленным на одном ее конце
легким блоком Б. На боковой стенке скамьи С нанесены
деления. Установив скамью С горизонтально с помощью
винтов В, поместим на нее тележку Т с динамометром Д
для измерения силы тяги и стержнем К ддя накладыва-
ния грузиков. Привязав к крючку динамометра нить,
83
перекинем ее через блок Б и укрепим на ее свободном
конце ведерко А.
Для того чтобы можно было установить величину силы,
А сообщающей тележке ускорение, необходимо знать вели-
чину силы трения, возникающей при движении тележки
Т по скамье С. Силу трения можно узнать по величине
силы тяги при равномерном движении тележки Т (см.
§ 40). Насыпая в ведерко А песок, добиваемся равномер-
ного движения тележки и по указателю динамометра опре-
деляем силу трения FTp. При последующих опытах сле-
дует иметь в виду, что сила F, сообщающая тележке уско-
рение, равна разности силы тяги и силы трения.
Придерживая тележку рукой, подсыпем немного песку
в ведерко А и измерим силу тяги по динамометру. Пустим
в ход метроном и отпустим руку в момент одного из ударов
метронома. Измерим пути, пройденные тележкой за один,
два и три равных промежутка времени. Оказывается, что
пути, пройденные тележкой, растут прямо пропорцио-
нально квадрату времени движения. Это означает, что
движение тележки — равномерно-ускоренное.
Учитывая, что во время опыта величина приложенной
\ силы и движущаяся масса оставались постоянными, можно
сделать первый вывод:
при действии постоянной силы на тело оно движется
с постоянным ускорением.
Величину этого ускорения можно рассчитать по
формуле
Повторим опыт, увеличивая силу, сообщающую тележ-
ке ускорение в два, три раза, путем добавления песку
в ведерко А. Измерив пути, пройденные тележкой за те же
промежутки времени, как в первом опыте, вычислим уско-
рения а2 и а3. Они оказываются вдвое, втрое больше
Отсюда можно сделать второй вывод:
при действии различных сил на одно и то же тело
его ускорение меняется прямо пропорционально приложен-
ной силе
Нам осталось еще выяснить, каковы будут ускорения
различных тел при действии на них одинаковых сил, т. е.
84
установить зависимость ускорения от массы тела. Для
этого увеличим массу тележки в два, три раза, накладывая
на нее грузики. Так как при этом сила трения возрастает,
вновь нужно определить ее величину для каждой новой
массы тележки. Теперь, оставляя неизменной силу, сооб-
щающую тележке ускорение, повторяем опыты при раз-
личных массах тележки. Оказывается, что при увеличении
массы тележки в два, три раза, ее ускорение уменьшается
в два, три раза. Делаем третий вывод:
при действии одинаковых сил на различные тела уско-
рения тел обратно пропорциональны их массам
т1 __ а2 /Л QX
т2 «х V • /
Эти выводы составляют содержание второго закона Нью-
тона и хорошо подтверждаются многими наблюдениями и
опытами.
Объединив все три вывода, получим второй за-
кон динамики, или второй закон Нью-
тона, который можно сформулировать следующим об-
разом:
получаемое телом, ускорение прямо пропорционально
действующей на тело силе и обратно пропорционально его
массе.
Учитывая сказанное в § 21, второй закон Ньютона
математически можно выразить формулой
a = k — (4.3)
т v 7
Коэффициент пропорциональности k в формуле (4.3) за-
висит только от выбора единиц измерения для a, F и т.
Если единицы измерения для этих величин взять в одной
системе, например в СИ, то k окажется равным безразмер-
ной единице и писать его в формуле (4.3) будет незачем
(подробно это объяснено в § 44). Поэтому формулу второго
закона Ньютона обычно пишут так:
(4.4)
Из (4.4) видно, что сообщающую ускорение силу можно
найти по формуле
F — ma. (4.4а)
85
Из изложенного выше следует, что в соотношениях
(4.1), (4.2), (4.3) и (4.4) под действующей силой F подрез
зумевается результирующая сила, т. е. та приложенная
к телу неуравновешенная сила, которая получается, если
отбросить все действующие на него взаимно уравновешива-
ющиеся силы. Это необходимо иметь в виду и при решении
задач с применением второго закона Ньютона.
Применим формулу (4.4а) к рассмотрению случая,
когда внешних воздействий на тело нет или когда все
внешние воздействия уравновешены. Так как при этом
сила F равна нулю, то равно нулю и ускорение, т. е. тело
должно покоиться или двигаться равномерно и прямоли-
нейно, что находится в соответствии с законом инерции.
Следовательно, формально первый закон является ча-
стным случаем более общего второго закона Ньютона.
Однако физическое содержание закона инерции имеет
столь большое значение для объяснения явлений приро-
ды, что сводить его к простому следствию второго закона
неверно. Правильнее считать, что эти законы дополняют
друг друга и описывают ход явлений, протекающих при
различных условиях.
§ 42. Физический смысл второго закона Ньютона.
Масса как мера инертности. В параграфах 15, 16 и 31
были установлены способы измерения массы, силы и уско-
рения. Таким образом, числовые значения т, F и а при
изучении какого-либо явления всегда можно найти, поль-
зуясь этими методами. Опыт показал, что когда тело с мас-
сой т движется с ускорением а под действием силы F,
то между значениями т, а и F существует определенная
связь, которая и выражается формулой (4.4), т. е. вторым
законом Ньютона. При анализе этого закона выясняется
весьма важная особенность понятия массы тела.
Введенный Ньютоном статический способ определения
массы тела с помощью рычажных весов основан на свой-
стве тела, связанном с его притяжением к другим телам,
в частности к Земле. Поэтому найденную таким методом
массу тела можно назвать «тяготеющей», или «гравита-
ционной», массой (от латинского слова «гравитас» —
тяжесть). Как говорилось в § 6, под «тяготеющей» массой
тела Ньютон подразумевал количество материи в теле.
Однако в формуле (4.4) проявляется совсем иное
свойство массы тела. Из второго закона Ньютона видно,
86
что чем больше масса тела, тем с меньшим ускорением оно
будет двигаться при действии одной и той же силы. Иными
словами, от массы тела зависит неподатливость его в от-
ношении получения ускорения, т. е. инертность
тела. Поэтому можно сказать, что масса в формуле (4.4) яв-
ляется мерой инертности тела. Следовательно, массу тела
вовторомзаконеНьютонаможно назвать «инертной»массой.
Поскольку «тяготеющая» и «инертная» массы тела опре-
деляются различными свойствами этого тела, то можно
предположить, что эти массы у одного и того же тела не
всегда совпадают по величине. Ньютон учитывал такую
возможность. Однако на основании опытов он убедился
в том, что «инертная» и «тяготеющая» массы тела всегда
одинаковы по величине. Позднее это было подтверждено
с еще большей точностью опытами венгерского физика
Р. Этвеша (1848—1919 гг.). Таким образом, никакого
различия между «инертной'» и «тяготеющей» массами тела
в действительности не существует, поэтому различать
их нет смысла.
Второй закон Ньютона и выражает установленную на
основании опытов тождественность «инертной» и «тяготе-
ющей» масс тела. Именно в этом и заключается физиче-
ский смысл второго закона динамики.
В ньютоновском смысле массу тела следует считать
постоянной при всех условиях, если само тело остается
неизменным. Однако при анализе движения тел со скоро-
стями, близкими к скорости света, были обнаружены но-
вые, непредвиденные Ньютоном свойства массы, показав-
шие неприменимость для этих случаев ньютоновского
представления о массе, как о количестве материи в теле.
. Оказалось, что масса тела зависит от скорости его
движения (см. § 98). Однако при обычных скоростях
движения тела изменение его массы так мало, что им мож-
но пренебречь. Так как во времена Ньютона движения
тел с большой скоростью не изучались, он не знал этой
зависимости и считал массу тела постоянной.
Из всего изложенного следует, что в настоящее время
понятие «масса тела» требует уточнения, т. е. для него
должно быть введено новое определение, учитывающее
• динамические свойства массы.
Второй закон Ньютона позволяет сравнивать массы тел
не с помощью рычажных весов, а с помощью ускорений,
получаемых телами при действии одинаковых сил.
87
В частности, равными считаются массы таких поступа-
тельно движущихся тел, которые получают одинаковые
ускорения при действии одной и той же силы.
Поскольку во втором законе Ньютона массой оцени-
вается инертность тела, можно дать следующее современ-
ное определение массы: массой тела называется мера его
инертности при поступательном движении. Так как из-
мерение массы тела с помощью рычажных весов и с по-
помощью ускорений при небольших скоростях движений
тела дает одинаковый результат, новое определение массы
не исключает старого ньютоновского представления о
массе тела, как о постоянной величине, а лишь ограничи-
вает его тем, что оно может применяться только для покоя-
щихся или движущихся с небольшой скоростью тел.
§ 43. Импульс силы и количество движения. Когда
автомобиль трогается с места, то под действием силы тяги
он перемещается ускоренно, и чем больше времени будет
происходить это движение, тем большую скорость приоб-
ретет автомобиль. Этот пример показывает, что изменение
скорости под действием силы зависит не только от в е л и-
ч и н ы силы, но и от времени ее дейст-
вия. Следовательно, чтобы оценить действие силы на
тело, проявляющееся в изменении скорости его движения,
нужно знагь как величину силы, так и время ее действия.
Формулу (4.4а) можно преобразовать так, чтобы в нее
вошли время действия силы и скорости тела в начальный
и конечный моменты действия силы. Предположим, что
на тело массой т, имеющее скорость ®0, начинает дей-
ствовать в направлении движения постоянная сила F
и что за время t она изменяет скорость тела до <vt, Заменяя
ускорение в формуле (4.4а) его значением из формулы
(3.4), получаем
/4 5j
пли
Ft = mvt—mvQ, (4.6)
Подобно формуле (4.4), формула (4.6) представляет со-
бой видоизмененное математическое выражение второго
закона динамики и позволяет глубже осветить его физи-
ческий смысл.
88
Произведение mv называется количеством
движения, или импульсом тела, а произве-
дение Ft — ИМПуЛЬСОМ СИЛЫ. ПОЭТОМУ HWq и
соответственно означают импульсы тела в момент
начала и окончания действия силы, а разность m<ot—mvG
дает изменение импульса тела под влиянием импульса
силы Ft. Понятие импульса силы вводится для того, чтобы
оценить действие силы на тело за определенный проме-
жуток времени. Изменение количества движения тела
является результатом этого действия. Итак, второй
закон динамики можно сформулировать сле-
дующим образом:
изменение импульса тела прямо пропорционально им-
пульсу силы и происходит по направлению действия силы.
Из формулы (4.6) видно, что изменение импульса тела
определяется величиной импульса силы Ft. Но один и
тот же импульс силы можно получить при действии раз-
личных сил, например, один раз воздействуя на тело боль-
шой силой в течение короткого промежутка времени, а
второй раз — маленькой силой, но в течение продолжи-
тельного времени. Если произведение Ft в обоих случаях
будет одинаково, то и изменение импульса тела получит-
ся одно и то же.
При действии одинаковых импульсов силы на тела с
различной массой изменение импульсов всех тел будет оди-
наково, однако скорости их изменятся различно: большее
изменение скорости будет иметь тело с меньшей массой.
Падающее тело перед ударом о Землю обладает опре-
деленным импульсом. Действующий в момент удара им-
пульс силы, с которой Земля отбрасывает тело обратно,
уменьшает импульс тела до нуля. Для того чтобы при оп-
ределенном импульсе силы уменьшить силу удара, нужно
продлить время удара. Известны случаи, когда выбросив-
шиеся из самолета летчики, падая на Землю без парашюта,
оставались живы, так как их удар о Землю был ослаблен
рыхлым снегом, ветвями деревьев и т. п. Во всех этих
случаях ослабление силы удара получалось в результате
увеличения времени потери скорости летчиком.
§ 44. Значение системы единиц измерения для упрощения рас-
четов в физике. Все числовые значения величин, входящих в физи-
ческие формулы, при расчетах всегда выражают в одной системе
единиц. Выясним, почему это правило необходимо выполнять.
89
Возьмем для примера формулу пути равномерного движения
s — vt.
Пусть нужно подсчитать путь, пройденный за 10 мин при скорости
36 Ответ легко получить, выразив все числовые данные в
системе СИ
s = 10 — • 600 сек = 6000 м.
сек
Предположим, что нужно, пользуясь той же формулой и подставляя
Ж п
скорость в —, получить ответ в километрах. Для этого достаточ-
полученный выше результат на 1000. Записать это
но разделить
можно так:
1 КМ , л М
s = ——-----10-----600 сек = 6 км.
1000 м сек
Выражая это в общем виде, получим
1 км ,
1000 м
(4.7)
Формула (4.7) позволяет вычислить путь, пройденный при рав-
номерном движении и определенном выборе единиц измерения:
время обязательно должно быть выражено в секундах, скорость в
м
•—, а путь в километрах.
Точно так же, желая получить путь в километрах, а скорость
км
и время выражая соответственно в — ив секундах, получим формулу
С -- ----- ----- <r\f
3600 сек
(4.8)
Таким образом, если подставлять в формулу пути числа, взяв
единицы измерения произвольно, то правильный ответ можно полу-
чить только при введении в формулу дополнительного множителя
(коэффициента), числовое значение которого зависит от выбора еди-
ниц измерения. Если не учитывать его при вычислении, то получится
ошибочный ответ. Обозначив этот множитель через k, формулу
(3.2) запишем так:
s = kvt.
Следовательно, коэффициент пропорциональности (см. § 21)
в формуле (3.2) нам пришлось заменить произведением двух сом-
ножителей v и k. Первый из них имеет определенный физический
смысл, а второй определяется только выбранными единицами из-
мерения.
Теперь ясно, что если мы хотим написать физическую формулу
в наиболее общем виде, т. е. так, чтобы она была пригодна для рас-
четов при любом выборе единиц измерения, то надо учитывать еще
и коэффициент k. Так, формулу (4.4а) в общем виде записывают
F~kma. (4.9)
90
Поскольку при каждом выборе единиц измерения коэффициент
k имеет свое числовое значение, необходимо научиться определять
его. Для этого применяют следующий прием. Заранее установив
из опыта или расчетом соответствующие числовые значения всех
величин в данной формуле в выбранных единицах, подставляют их
в формулу и, решая ее как уравнение относительно k, находят чис-
ловое значение и размерность k.
Допустим, что мы хотим установить числовое значение k в фор-
муле (4.9) для случая, когда сила выражена в кГ, масса в кг и уско-
М гг ~
рение в —. Для этого достаточно знать, какое ускорение сооо-
секл
щает сила 1 кГ телу массой 1 кг. Но это нам известно, ибо когда
на тело массой 1 кг действует сила тяжести (вес) 1 кГ, эта масса
при свободном падении движется с ускорением g, приближенно рав-
ным 9,8 .
сек2
Подставив эти числовые значения в формулу (4.9), получим
м
1 кГ — k-l ка-9,8—
откуда
1 кГ • сек2
9,8 кг-м
(4.Ю)
Вполне естественно, что при другом выборе единиц силы, массы
и ускорения k будет иметь другое числовое значение. Обилие раз-
личных числовых значений коэффициентов в любой из формул, при
наличии нескольких единиц измерения для каждой физической ве-
личины, сильно затрудняет вычисления. Вот почему столько тру-
дов было затрачено учеными на отыскание способа, позволяющего
избавиться от коэффициентов в физических формулах.
Специально подобрав единицы измерения, коэффициенту k
можно придать любое, наперед заданное числовое значение. Прак-
тически удобнее всего сделать его равным безразмерной единице.
Тогда, в формуле его можно не писать. К такому упрощению физи-
ческих формул и направлено введение системы единиц. В частности,
этой же цели служит и правило вывода производных единиц изме-
рения (§ 12); Именно в том случае, когда формулой пользуются для
вывода новой единицы измерения в выбранной системе, коэффициент
/г, безусловно, возможно сделать равным любому заданному числу,
в частности и единице.
Однако, как мы увидим дальше, встречаются и такие форму-
лы, в которых единицы измерения для всех физических величин
в данной системе уже установлены заранее. В этом случае из-
бавиться от коэффициента k в формуле нельзя. Тогда его опреде-
ляют из опыта указанным, выше способом и, запомнив его числовое
значение, пользуются им только в той системе, для которой он
вычислен.
В дальнейшем во всех тех формулах, из которых выводятся
единицы измерения, коэффициент k (если он равен единице) писаться
не будет.
91
§ 45. Единицы измерения силы и массы. Как было уста-
новлено в § 13, за единицу массы в системе СИ принимается
1 кг.
Теперь выведем единицу силы, пользуясь формулой
(4.4а),
F = ma; F = 1кг-1 = 1 = 1к (ньютон).
сек2 сек2 7
В системе СИ за единицу силы принимается ньютон.
Ньютоном называется сила, которая телу массой
1 кг сообщает ускорение 1
Чтобы составить наглядное представление о силе в 1 н,
сравним ее с силой в 1 кГ. Нам известно, что при действии
различных сил на тела одинаковой массы величины сил
оказываются прямо пропорциональными ускорениям тел
(см. формулу (4.1)). Поэтому, чтобы установить, во сколько
раз сила 1 кГ больше силы 1 н, достаточно определить, во
сколько раз большее ускорение сообщает одна из них
телу массой I кг.
Из законов свободного падения следует, что сила тя-
жести сообщает телу ускорение g. Следовательно, сила
тяжести, равная 1 кГ, сообщает телу массой 1 кг ускорение
9,81 а согласно определению сила 1 н тому же телу
сообщает ускорение 1 ~~ •
Записав эти числовые данные в таблицу (табл. 15),
устанавливаем, что сила 1 кГ содержит 9,81 н:
1 к/" = 9,81 н
или
\н = 0,102 кГ.
Таблица 15
т F а
1 кг 1 н 1 сек2
1 кг 1 кГ 9,81 сек2
92
Следует твердо запомнить, что единицей измерения веса
в системе СИ является ньютон, а не килограмм.
В системе СГС единицей массы является 1 г (§ 13), а единица
силы нам еще неизвестна. Для ее вывода можно воспользоваться
формулой (4.41)
F = ma\
г . . см , г*см . .
Г = 1г-1 —5= I —1 дин (дина).
СР.К* ГР1<-г
Диной называется сила, которая телу массой 1 г сообщает уско-
1 см
рение 1 —г.
сек2.
Сравним дину с силой, равной грамму.
Из законов свободного падения следует, что сила тяжести 1 Г
сообщает телу массой 1 г ускорение 981 .
Записав числовые данные для 1 дин (из определения) и для
1 Г силы в таблицу (табл. 16), легко установить, что 1 Г силы в 981
раз больше дины:
1Г = 981 дин.
Таблица 16
т F а
1 г 1 дин см сек2
1 г 1 Г 981-^- сек1
Самая маленькая гирька в разновесе (10 мГ) давит на руку с силой
9,8 дин.
Легко найти соотношение между 1 н и 1 дин. Сила 1 н сообщает
телу массой 1 г ускорение, равное 105 , а сила 1 дин сообщает
сек6
телу массой 1г ускорение, равное 1 . Следовательно, 1 «==>
= 105 дин.
Отметим, что единицей веса в системе СГС является дина, а не
грамм.
93
§ 46. Выражение силы тяжести через массу тела и
ускорение свободного падения. Пользуясь вторым законом
динамики, можно вычислить любую сообщающую уско-
рение силу, а значит, и силу тяжести, придающую сво-
бодно падающим телам ускорение g. Заменив в формуле
(4.4а) а на g и F на Р, получим формулу для вычисления
действующей на тело силы тяжести
P = mg. (4.Н)
Отметим, что'Зля покоящегося тела сила тяжести Р
равна весу тела. Приведенные ниже соотношения относят-
ся к этому случаю.
Для примера вычислим в системе СИ вес тела, имею-
щего массу 1 кг
Р = \ кг-9,81 ~ = 9,81 ^ = 9,81 н.
’ сек2, ’ сек2
Из этого примера видно, что вес и масса одного и того
же тела, выраженные в одной системе, численно не сов-
падают. Таким образом, формула (4.11) выражает связь
между массой и весом тела, числовые значения которых
взяты в одной системе единиц.
Выразив с помощью формулы (4.11) веса двух различ-
ных тел, получим
Р1 = т1ё И Р2 = т2Ё-
Разделив почленно эти два равенства и сократив на g,
значение которого одинаково для всех тел, будем иметь
Pi _
Р 2 ^2
(4-12)
Формула (4.12) показывает, что веса тел в данной точке
земной поверхности прямо пропорциональны их массам.
Конечно, если взять два тела, находящихся в различных
точках земной поверхности, для которых g одинаково, то
формула (4.12) применима и к этому случаю.
Приведем примеры решения задач на второй закон
Ньютона.
Задача. Вагон, масса которого 4,9 т, движется по го-
ризонтальному пути под действием усилия рабочего, ко-
94
торое равно 25 кГ. С каким ускорением движется вагон,
если на преодоление трения нужна сила 20 кГ?
Дано:
т=4,9 т — масса вагона,
F1=25 кГ — сила, толкающая вагон,
F2=20 кГ — сила трения.
Найти:
а — ускорение движения вагона.
План решения. Ускорение можно найти из второго
закона Ньютона по формуле Fy=ma. Сила, уравновешива-
ющая силу трения, равна 20 кГ, поэтому Fy==F1—F2.
Решение. Решаем задачу в системе СИ. Перево-
дим все числовые данные в эту систему и вычисляем
ускорение
т=4900 кг;
F1=25-9,8 «;
F2=20-9,8 h,
(25-9,8—20-9,8)^4
zv _ Сек2
а ~ 4900 кг ~’
= -Лп!,81 =о,ою А-
4900 сек2 ’ сек2
Ответ'. Вагон будет двигаться с
ускорением 0,010 .
Задача. На нитке, перекинутой через
блок, подвешены два груза по 96 Г.
На один из них положен перегрузок
весом 4 Г. Пренебрегая трением в блоке, определить
ускорение, с которым будут двигаться грузы.
Дано:
/7?1=/П2=96 г — масса одного груза,
т3=4 г — масса перегрузка.
Найти:
а — ускорение, с которым движутся грузы.
План решения. Ускорение можно найти из формулы
F—ma. Силой, сообщающей ускорение, является вес
перегрузка 4Л Эта сила приводит в ускоренное дви-
жение все три массы (рис. 31), т. е. m=m1+m2-\-ms.
95
Решение. Решаем задачу в системе СИ. Силу
выражаем формулой Р=т^
tnl~m2" 0,096 кг\ т3 — 0,004 яг,
а =,
mi + m2 + m3
0,004-9,8-^4
_ сек __ л пл м
й~ (0,096 + 0,096 + 0,004) кг “U,ZUc^№’
Ответ'. Грузы будут двигаться с ускорением 0,20^2 •
§ 47. Удельный вес вещества. Опыт показывает, что
вес тела прямо пропорционален его объему и, кроме того,
зависит от рода вещества. Математически эта зависимость
выражается формулой
P = yV. (4.13)
Коэффициент пропорциональности у (греческая буква
«гамма») в формуле (4.13) остается постоянным при вычис-
лении весов тел из одинакового вещества, но для каждого
вещества он имеет свое собственное значение, т. е. выра-
жает зависимость веса тела от вещества, из которого оно
сделано.
Величина, характеризующая зависимость веса тела от
рода его вещества, называется удельным весом. Следова-
тельно, коэффициент пропорциональности у является
удельным весом.
Из формулы (4.13) следует, что удельный вес измеряется
весом единицы объема данного вещества
У = (4.13а)
Выведем единицу измерения удельного веса в систе-
ме СИ
I кг*м
Р . Л, __ сек2 _ 1 кг __ 1 н
Y “ [7 » Y J л1з 1 жз ж2 • сек2 м3
93
В системе СИ за единицу удельного веса принимается
удельный вес такого вещества, один кубический метр кото-
рого весит один ньютон.
Установим связь между удельным весом и плотностью
вещества. Подставив в (4.13а) значение веса из (4.11),
получим
21 л
V ~ V
Y =
Так как -гГ=р (см. § 20), то окончательно имеем
Y —PS-
(4-14)
Отметим, что между удельным весом и плотностью веще-
ства су шествует такая же связь, как между весом и массой
тела (см. § 10).
Вес тела можно найти, зная не только удельный вес, но
и плотность вещества. Для этого достаточно заменить у
в формуле (4.13) ее значением из формулы (4.14)
P-pgV
(4-15)
Выведем единицу измерения удельного веса в системе СГС
г-см
Р __________1 дин____ сек2 __ , г , дин _ 1п н
Y“ у ’ Y~ j смг 1 см3 ~ см2•сек2'" см3 м3 ’
§ 48. Механическое взаимодействие тел. Третий закон
динамики. Рассмотрим несколько подробнее механиче-
ское воздействие двух тел. Ясно, что, например, висящая
на ввинченном в потолок крюке люстра тянет крюк вниз,
а крюк тянет люстру вверх, удерживая ее от падения.
Футбольный мяч при ударе о штангу ворот отскакивает
назад. Следовательно, в момент удара не только мяч дей-
ствует па штангу, но и штанга противодействует мячу.
При выстреле из винтовки пуля летит в одном направлении,
4 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян 9F
а винтовка вследствие отдачи движется в обратную сто-
рону. Таким образом, когда два тела приходятв соприкос-
новение, при котором они деформируются, то оба тела
действуют друг на друга с силами, направленными в про-
тивоположные стороны. Опыт показывает, что эти силы
равны по величине.
Поставим на весы два одинаковых сосуда (рис. 32).
В один из них нальем воду и приведем весы в равновесие
(рис. 32, а). Теперь погрузим в сосуд с водой тело, подве-
шенное на нити к штативу так, что оно не касается ни сте-
нок, ни дна сосуда и целиком находится в воде. Тогда пра-
вая чашка весов перетянет. Это доказывает, что висящее
Рис. 32. Опыт, показывающий, что силы взаимодействия между те-
лом и водой равны по величине и противоположны по направлению.
на нити тело давит на воду вниз. Если в пустой сосуд
налить воду, объем которой равен объему тела, то равно-
весие весов восстанавливается (рис. 32, б). Следовательно,
жидкость в соответствии с законом Архимеда действует
на тело с силой, направленной вверх, а тело с такой же
силой действует на жидкость вниз.
Подобного рода взаимодействие между телами может
наблюдаться и без соприкосновения тел. Как известно,
магнит притягивает к себе сталь. На опыте легко убедиться,
что и сталь притягивает к себе магнит. Для этого доста-
точно иметь две плавающие на воде пробки (рис. 33, а)
и на одну из них положить магнит Л1, а на другую кусок
стали /С. Тогда обе пробки поплывут навстречу друг
Другу.
Оказывается, что в природе никогда не бывает односто-
роннего действия одного тела на другое, а всегда возни-
кает взаимодействие между телами. Изучая механическое
98
взаимодействие тел, Ньютон открыл третий закон
динамики:
всякому действию одного тела на другое всегда соответ-
ствует равное и противоположно направленное действие
второго тела на первое, или иначе:
взаимные действия двух тел друг на друга всегда
равны по величине и противоположны по направлению.
Так как под действием одного тела на другое подразу-
мевается сила, то на
основании третьего за-
кона динамики можно
заключить, что силы в
п р и р оде дей ству ют тол ь -
ко парами. Если Земля
притягивает к себе ка-
кое-либо тело, то и тело
притягивает Землю с
такой же силой. В мо-
мент выстрела возни-
б)
Рис. 33. Опыт, показывающий вза-
имодействие между магнитом и
сталью: а) поплавки плывут навстре-
чу друг другу; б) возникло дополни-
тельное взаимодействие и поплавки
остановились.
кают сразу две силы,
одна из них приложена
к винтовке, а другая —
к пуле.
Выстрел из винтовки
и опыт с магнитом на-
глядно показывают, что
хотя силы взаимодей-
ствия двух тел равны
и противоположны по
направлению, уравнове-
сить друг друга они не
могут, так как прило-
жены к разным телам.
Это означает, что если
возникает только одно
взаимодействие между
двумя телами, то оба тела приходят в движение (рис. 33, а).
Однако когда магнит и сталь придут в соприкосновение
друг с другом (рис. 33, б), то они остановятся. Причина
этого понятна. В точках соприкосновения магнит и сталь
давят друг на друга и деформируются (сжимаются).
Вследствие деформации возникают силы упругости, оттал-
кивающие магнит и сталь друг от друга. (Хотя эти
4*
99
деформации часто бывают очень малыми и незаметными для
глаза, создаваемые ими силы упругости могут быть
очень велики.)
В рассматриваемом примере, когда силы упругости,
отталкивающие магнит и сталь, станут равны силам их
притяжения, сближение прекратится. Теперь между маг-
нитом и сталью происходят два взаимодействия (притя-
жение и отталкивание), и к каждому из этих тел приложены
по две взаимно уравновешивающиеся силы. Лишь при этом
условии оба тела могут оказаться в покое. Рассмотренные
упругие силы называются силами реакции, или
просто реакцией. Например, когда на столе лежит
груз, он действует на стол с силой, равной его весу. Стол
же в свою очередь действует на груз с равной и противо-
положно направленной силой. Эта сила называется реак-
цией о п о р ы.
Если тело участвует одновременно в двух или больше
взаимодействиях, то оно не обязательно остается в покое.
Может оказаться, что сила, действующая на тело при од-
ном взаимодействии, будет больше силы, действующей на
него при другом взаимодействии.
Когда человек прыгает со свободно плывущей лодки на
берег, то он отталкивается ногой от лодки. При этом чело-
век и лодка ускоренно движутся в противоположные сторо-
ны, пока нога касается лодки, хотя у них имеются и дру-
гие взаимодействия, например у лодки с водой и воздухом.
Когда лошадь, сдвигая телегу, натягивает постромки,
то она одновременно отталкивается от Земли. Таким обра-
зом, на лошадь действуют две силы: со стороны Земли —
направленная вперед, и со стороны телеги — направлен-
ная назад. Сила, действующая на лошадь со стороны Земли,
оказывается больше силы, действующей на лошадь со
стороны телеги. Под действием избытка одной силы над
другой лошадь с телегой приходят в движение. Конечно,
силы взаимодействия между лошадью и Землей остаются
равными друг другу, так же как и силы взаимодействия
между лошадью и телегой.
Таким образом, третий закон динамики применим к
взаимодействию как движущихся, так и покоящихся тел.
§ 49. Зависимость ускорений и скоростей, возникающих
вследствие взаимодействия тел, от массы тел. Когда
мы прыгаем на берег из легкой лодки, то она отплывает
100
со значительной скоростью. Более массивная лодка в том
же случае отплывает медленнее, а при прыжке с катера
последний практически остается на месте. Значит, приоб-
ретенная телом вследствие взаимодействия скорость дви-
жения и ускорение зависят от массы тела. Выясним эту
зависимость с помощью следующего опыта.
Рис. 34. Опыт, показывающий отдачу при выстреле.
Укрепим на тележке пробирку в горизонтальном по-
ложении (рис. 34), наполним ее водой и закроем пробкой.
При нагревании пробирки пробка вылетает вправо, а
тележка катится влево. Пусть масса и ускорение пробки
равны т1 и а1У а масса и ускорение тележки с пробиркой
т2 и п2. Силы Fr и F2, действующие в момент выстрела на
пробку и на тележку, согласно третьему закону динамики
равны по величине
Л = ^2-
Но согласно второму закону динамики
F1 = mxav и F2 = m2a2.
Значит,
т1б/1 = m2a2
или
mi
m2 at ’
(4-16)
Ускорения, получаемые телами при их взаимодействии,
обратно пропорциональны массам тел и противоположно
направлены.
iOi
Чтобы установить соотношения между скоростями проб-
ки и тележки в момент прекращения их взаимодействия,
учтем, что время действия сил F± и F2 одинаково, так как
обе эти силы одновременно возникают и исчезают.
Умножив и числитель и знаменатель правой части ра-
венства (4.16) на /, получим
____a2t
т2 ait
Но art есть скорость пробки в момент отрыва ее от про-
бирки, a a2t — скорость тележки v2 в тот же момент.
Следовательно,
= (4.17)
т2 v± v '
Скорости, приобретенные телами к моменту прекра-
щения их взаимодействия, обратно пропорциональны мас-
сам тел и направлены в противоположные стороны.
Из формулы (4.17) следует, что
т^щ^пцо^, (4.17а)
т. е. импульсы, приобретенные телами при их взаимодей-
ствии, равны и противоположно направлены.
trAn РГПП
Рис. 35. Ускорения, с которыми движутся
тележки под действием пружины, обратно
пропорциональны их массам.
Справедливость полученных выводов можно проверить
па опыте с двумя тележками, помещенными на гладкой
скамье. Если зажать между тележками (рис. 35) пружину,
то при освобождении пружины обе тележки получают оди-
наковые скорости, если их массы равны. Если же массы
тележек различны, то большую скорость получит тележка
с меньшей массой.
102
§ 50. Закон сохранения импульса. Представим себе
летящий космический корабль, в котором находятся два
космонавта. Отдельные предметы внутри корабля могут
изменять свои импульсы, например, космонавты могут
перемещаться с места на место или перебрасывать друг
другу какие-либо предметы, но сумма изменений импуль-
сов всех тел внутри корабля будет равна нулю, т. е. пол-
ный импульс космического корабля, равный произведению
всей его массы /И на скорость полета v, при этом изме-
пяться не будет. Для изменения импульса корабля необ-
ходимо внешнее воздействие на корабль. Все это спра-
ведливо и для парохода,и для поезда и т. п. Тело, подоб-
ное космическому кораблю или пароходу, когда на него
не производится внешних воздействий или все внешние
воздействия уравновешены, называется замкнутой
механической системой.
Импульс (количество движения) тела характеризуется
не только числом, но и направлением в пространстве, т. е.
является векторной величиной. Направление импульса
тела совпадает с направлением скорости движения тела.
Представим себе два тела, движущихся в противоположные
стороны, тогда и их импульсы будут направлены противо-
положно. Если один из этих импульсов считать положи-
тельным, то другой будет отрицательным.
Таким образом, учитывая направления импульсов,
формулу (4.17а) в § 49 следует записать так:
m1vl — m2t/2 = 0. (4.18)
Если тела имеют импульсы до начала взаимодействия,
то в качестве слагаемых в формуле (4.18) надо брать изме-
нения импульсов. Следовательно, алгебраическая сумма
изменений импульсов двух взаимодействующих тел равна
нулю. Это утверждение представляет собой следствие
законов Ньютона и справедливо для всех механических
процессов.
Все изложенное выражается законом сохра-
нения импульса:
импульс замкнутой механической системы есть вели*
чина постоянная
= const.
(4.19)
103
§ 51. Давление тела на опору при движении в вертикаль-
ном направлении. На практике часто имеет место дви-
жение по вертикали, например при работе подъемного
крана, лифта и т. п. Рассмотрим, с какой силой в этом
случае тело действует на опору, т. е. каков будет вес тела
FA в этих условиях (см. § 5). (Дальше подразумевается,
что действующая на тело сила тяжести P—mg остается
постоянной.)
Если подъемник с грузом, имеющим массу т, движется
равномерно или неподвижен, то к грузу приложены две
Рис. 36. Силы, действующие при движении подъемника:
а) когда ускорение отсутствует (а=0), Р=Р±; б) когда ускоре-
ние а направлено вверх, в) когда ускорение а на-
правлено вниз, P>FV.
взаимно уравновешивающиеся силы Р и Fr (рис. 36, а).
Сила Fi представляет собой реакцию опоры, т. е. деформи-
рованного дна подъемника. На основании третьего закона
Ньютона заключаем, что груз действует на дно подъем-
ника с силой Гд, равной по величине силе Fr Так как сила
Fi по величине равна Р, то при отсутствии в вертикальном
направлении ускорения сила тяжести равна весу тела
Когда подъемник начинает движение вверх с ускоре-
нием а, то груз не успевает еще приобрести ускорение,
поэтому деформации дна подъемника и груза начинают
возрастать, что приводит к увеличению сил Fr и F
(рис. 36, б). Как только разность сил Fi—Р становится
104
равной та, т. е. сообщает грузу такое же ускорение, как
у подъемника, силы перестают изменяться, и так как по
величине то можно написать
FR — Р = та
или
Fz = P + ma. (4.20)
Таким образом, вес тела при его ускоренном движении
вверх больше силы тяжести на величину силы, сообщающей
телу ускорение.
Когда подъемник начинает опускаться с ускорением а,
то деформации дна подъемника и груза становятся меньше,
так как груз еще не получил ускорения, т. е. уменьшаются
силы Fj и Гд (рис. 36, в). Поскольку сила Р при этом не
изменяется, то разность сил Р и Fr сообщает грузу уско-
рение.
Когда ускорение груза станет равно а. силы перестанут
изменяться, и тогда можно написать, что
Р — F\^ma.
Но по величине F^F^ поэтому
р — рд~та
или
FR = P — ma. (4.21)
Следовательно, вес тела при его ускоренном движении вниз
меньше силы тяжести на величину силы, сообщающей телу
ускорение.
Эти же результаты можно получить путем более про-
стых рассуждений, если учесть, что сила F, входящая в
формулу второго закона Ньютона, всегда является равно-
действующей всех сил (§ 61), приложенных к тому телу,
ускорение которого находится по формуле (4.4а). Напри-
мер, при ускоренном движении подъемника вверх равно-
действующая приложенных к грузу сил равна Ft—Р.
Она и сообщает ему ускорение, т. е. Fr—Р~та, откуда
и получается формула (4.20).
§ 52. Использование взаимодействия тел в технике.
Силы взаимодействия тел, о которых говорится в третьем
законе динамики, широко используются в технике и в быту.
Взаимодействие между пропеллером самолета и воздухом
105
создает силу тяги, приводящую самолет в движение.
Отбрасывая воздух назад, сам пропеллер вместе с само-
летом перемещается вперед. Подобным образом пароход-
ный винт, отбрасывая воду, перемещает пароход.
Мы уже знаем из опыта с пробиркой, укрепленной на
тележке, что при вылете пробки тележка откатывается
в противоположную сторону. Тележка приводится в дви-
жение силой отдачи или, иначе, силой реакции.
Отдача при выстреле из огнестрельного оружия исполь-
зуется в современной технике для удаления пустой гильзы
после выстрела и для сжатия специальной пружины, ко-
торая перезаряжает оружие и автоматически производит
следующий выстрел. На этом принципе основано устрой-
ство пулеметов и скорострельных пушек.
Особенно важное практическое значение имеет отдача
для приведения в движение реактивных самолетов и
снарядов (§ 53). В настоящее время созданы реактив-
ные двигатели, работающие как на топливе, нуж-
дающемся для своего горения в кислороде воздуха, так
и на жидком топливе, содержащем кислород, которые
могут летать в безвоздушном пространстве. Реактивные
двигатели замечательны тем, что они не отталкиваются от
воздуха, как винтовой самолет. Более того, чем меньше
плотность среды, в которой движется ракета, тем быстрее
увеличивается скорость ракеты при работе двигателя.
Поэтому ракеты применяют для полетов в верхних, сильно
разреженных слоях атмосферы и для запуска искусствен-
ных спутников Земли и космических кораблей.
§ 53. Физические основы реактивного движения и по-
лета многоступенчатых ракет. Каким же образом реактив-
ный двигатель может приводить в движение космический
корабль в безвоздушном пространстве?
В § 48 было выяснено, что два тела, взаимодействие ко-
торых заключается в отталкивании друг от друга, обяза-
тельно придут в движение в противоположные стороны,
если других взаимодействий у них нет, т. е. другие тела
и окружающая среда не мешают возникновению их дви-
жения.
Представим себе теперь космический корабль с реак-
тивным двигателем в межпланетном пространстве. Про-
дукты сгорания топлива в двигателе можно представить
себе как одно тело, а весь космический корабль как другое
106
тело. При сжигании топлива в камере двигателя развива-
ется высокое давление и газообразные продукты сгорания,
отталкиваясь от корабля, выходят наружу через отвер-
стие (с о п л о) в камере, расположенное в хвостовой части
Константин Эдуардович Циолковский (1857—1935).
корабля, а сам корабль приобретает скорость, направлен-
ную противоположно. Таким путем космический корабль
может перемещаться ускоренно в безвоздушном прост-
ранстве.
Исключительную роль в создании теории полетов в
межпланетном пространстве сыграли работы К. Э. Ц и о л-
ковского (1857—1935 гг.).
Легко показать, что для преодоления силы притяже-
ния, т. е. для того чтобы космический корабль мог улететь
в межпланетное пространство, он должен иметь скорость
не меньше 11,2 — (так называемая вторая косми-
сек 4 г
ческая скорость) (см. § 119).
Циолковский показал, каким образом можно сообщить
космическому кораблю такую скорость с помощью
107
реактивного двигателя и в каком направлении следует
совершенствовать работу двигателей. Он вывел уравнение
движения ракеты в безвоздушном пространстве *), из кото-
рого следует, что конечная скорость ее движения (после
окончания работы двигателя) резко зависит от скорости
выхода газообразных продуктов сгорания относительно
ракеты и значительно меньше — от отношения начальной
и конечной масс ракеты (т. е. от количества израсходован-
ного топлива). Расчеты Циолковского показали, что при
тех видах топлива, которые имелись в его время, осущест-
вить запуск космического корабля было невозможно.
Г ораздо легче осуществить запуск искусственного
спутника Земли, так как при этом скорость, сообщаемая
спутнику, должна быть значительно меньше (около 8 — ,
так называемая первая космическая ско-
рость).
Однако и здесь имеются большие трудности. Действи-
тельно, если скорость истечения газов из двигателя будет
равна 2 , то для вывода спутника данной массы на орби-
ту понадобится горючего примерно в 400 раз больше, чем
масса спутника. Топливо должно храниться в баках, масса
которых также увеличивает массу ракеты **). Если бы ско-
рость истечения газов из двигателя удалось довести до
4 что еще не достигнуто и в настоящее время, то и в
этом случае масса топлива должна превышать массу раке-
ты в 20 раз, а практически в 30—40 раз. Таким образом,
с помощью одноступенчатой ракеты осуществить запуск
искусственного спутника Земли в то время было невоз-
можно.
Каким же образом в современных условиях осуществ-
ляют запуск искусственных спутников Земли? Во-первых,
*) Уравнение Циолковского имеет вид
^ = ^•2.3 1g
где — конечная скорость ракеты, vr — скорость выхода газов
относительно ракеты, Мо—начальная масса ракеты (при старте),
Л4К — конечная масса ракеты.
**) Интересно отметить, что пчелы создают идеальную тару
для хранения меда. Масса хранящегося в сотах меда больше массы
пустых сотов приблизительно в 60 раз.
108
в самых лучших современных ракетах в результате прин-
ципиального улучшения горючего масса топлива превыша-
ет массу самой ракеты не больше, чем в 7 раз. Во-вторых, так
как приросты скоростей тел, взаимодействующих по треть-
ему закону Ньютона, обратно пропорциональны массам
тел, то чем меньше будет масса спутника, тем легче осу-
ществить его запуск на орбиту. Пустые баки из-под исполь-
зованного топлива бесполезны, поэтому, отбросив их, мож-
но уменьшить массу ракеты. Если установить на ракете
несколько реактивных двигателей таким образом, чтобы
после окончания работы первого двигателя он вместе с
баками из-под использованного горючего отделился от
ракеты, а затем начал работать второй двигатель и т. д.,
то при данном запасе топлива конечная скорость ракеты
будет значительно больше, чем при наличии одного двига-
теля в ракете.
Ракеты с несколькими последовательно работающими
реактивными двигателями, каждый из которых отделяется
от ракеты по окончании его работы, называют многосту-
пенчатыми. Идея их создания также принадлежит Циол-
ковскому. Оказывается, что целесообразнее всего строить
трех-, четырехступенчатые ракеты. При большем числе
ступеней значительное увеличение массы топлива ведет к
незначительному увеличению конечной скорости ракеты,
что технически нецелесообразно. В настоящее время запуск
искусственных спутников Земли и космических кораблей
осуществляется с помощью многоступенчатых ракет.
§ 54. Закон независимости действия сил. Движение
какого-либо тела обычно происходит при одновременном
действии на него нескольких сил.
Представим себе тело массой т, на которое действует
сила Fx. Тогда ускорение ах, сообщаемое телу этой силой,
легко вычислить по формуле (4.4а). Если на то же тело бу-
дет действовать другая сила F2, то тем же способом можно
вычислить новое ускорение тела а2. Пусть теперь на тело
одновременно действуют обе силы в одном направлении.
Ускорение, с которым будет двигаться тело в этом случае,
можно найти из опыта. Оказывается, что оно равно сумме
#1 и а2. Если же силы Ft и F2 направлены в противополож-
ные стороны, то, как показывает опыт, тело движется в
сторону действия большей силы с ускорением, равным раз-
ности и аг-
109
Результаты описанных опытов легко объяснить, если
предположить, что каждая из сил сообщает телу в направ-
лении своего действия одно и то же ускорение, независимо
от того, действует ли она одна или совместно с другими
силами. Так, когда силы и F2 действуют на тело в про-
тивоположные стороны, то каждая из них сообщает в сво-
ем направлении такое же ускорение, как если бы действо-
вала только она одна. А так как оба ускорения направлены
противоположно, то общее ускорение должно быть равно
разности и
Это положение известно под названием закона н е-
зависимости действия сил:
ускорение, сообщаемое телу какой-либо силой, не зави-
сит от того, действует ли на это тело она одна или сов-
местно с другими силами»
ром, называемым т р и б о м е
Рис. 37. Трибометр.
§ 55, Трение. Хорошо известно, что при движении
одного тела по поверхности другого возникает сопротивле-
ние движению, называемое трением.
Различают три вида трения: 1) трение покоя, 2) тре-
ние скольжения, 3) трение качения»
Трение покоя. Для изучения трения пользуются прибо-
т р о м. Он представляет
собой столик (рис. 37),
на котором сверху ук-
реплены съемные поло-
зья А. На конце сто-
лика укреплен блок Б.
На полозья кладется
брусок В с крючком, к
которому привязана
нить. Нить перекинута
через блок, и на другом
ее конце привязана чашечка для гирь Г.
Поставив на чашечку небольшую гирьку, мы заметим,
что брусок В остался в покое. Но на брусок теперь дейст-
вует направленная вправо сила тяги, равная весу чашечки
с гирькой. Так как брусок находится в покое, то это зна-
чит, что на него действует еще одна сила, направленная
влево и равная силе тяги. Сила сопротивления, возникаю-
щая при действии силы тяги на покоящиеся тела и направ-
ленная противоположно силе тяги, называется силой
трения покоя.
3.10
Положив на чашечку еще одну гирьку, мы снова заме-
тим, что брусок В остался в покое. Значит, сила трения
покоя опять равна силе тяги, но стала больше, чем в пер-
вом случае. Постепенно увеличивая силу тяги, мы, нако-
нец, заставим брусок сдвинуться. Наибольшая сила тяги,
при которой брусок В еще сохраняет состояние покоя, оче-
видно, соответствует предельному значению силы трения
покоя, больше которого она1 уже быть не может.
Итак, с увеличением силы тяги сила трения покоя растет
до наибольшего значения. Когда говорят о силе трения по-
коя, то подразумевают ее наибольшее значение.
Трение скольжения. Теперь повторим весь опыт снова,
постепенно увеличивая силу тяги, и приведем брусок в
ЛППЖППИР Клгпя 6п\7ГЛК яя-
Рис. 39. Шариковый под шип-
ник.
Рис. 38. Возникновение силы
трения при качении.
его окажется ускоренным. Это означает, что сила тяги
больше силы трения при скольжении бруска. Уменьшим
груз на чашечке Г, При некотором значении его веса бру-
сок будет скользить практически равномерно, т. е. сила
тяги будет равна силе трения при скольжении. Таким об-
разом, сила трения скольжения меньше наибольшего зна-
чения силы трения покоя при прочих одинаковых условиях
и небольших скоростях движения. Например, санки легче
везти, чем сдвинуть с места.
Трение качения. При качении колеса или любого круг-
лого предмета возникает сила трения качения.. Основной
причиной возникновения трения качения является дефор-
мация поверхности, на которую опирается колесо, под
действием его веса. Образующееся при этом углубле-
ние и мешает движению колеса (рис. 38). Чем тверже
поверхность, по которой катится тело, тем меньше она
Ш
деформируете^, а следовательно, тем меньше сила тре-
ния качения.
Сила трения качения значительно меньше силы трения
скольжения при прочих одинаковых условиях. Поэтому для
уменьшения силы трения на практике часто заменяют тре-
ние скольжения трением качения. Так, ножки тяжелых
предметов, например кроватей, роялей и т. п., снабжают
роликами. В технике для уменьшения трения в машинах
широко пользуются подшипниками качения, ина-
че называемыми шариковыми и роликовыми
подшипниками (рис. 39).
§ 56. Коэффициент трения. Свойства сил трения. Сила
трения (любого вида) зависит от силы, прижимающей дан-
ное тело к поверхности другого тела, т. е. от силы нормаль-
ного давления F^ (см. § 5) и от качества трущихся поверх-
ностей.
В опыте с трибометром (рис. 37) силой нормального
давления служит вес бруска В. Измерим силу нормального
давления, равную весу бруска В, и силу трения, равную
весу чашечки Г с гирьками в момент равномерного скольже-
ния бруска. Увеличим теперь силу нормального давления
вдвое, поставив грузы на брусок В. Положив на чашечку
добавочные гирьки, снова заставим брусок двигаться рав-
номерно. Сила трения при этом увеличится вдвое.
На основании подобных опытов было установлено, что
при неизменных материале и состоянии трущихся по-
верхностей сила их трения прямо пропорциональна силе
нормального давления, т. е.
Втр-АВд. (4.22)
Поскольку в описанных опытах вес чашечки Г с гирь-
ками всегда меньше веса бруска В, можно заключить, что
сила трения Frp всегда составляет только часть силы нор-
мального давления F . Следовательно, коэффициент про-
порциональности k в формуле (4.22) меньше едини-
цы и должен быть числом отвлеченным. Он
постоянен для одних и тех же трущихся поверхностей и
меняется при их замене.
П2
(4.22а)
Величина, характеризующая зависимость силы трения
от материала и качества обработки трущихся поверх-
ностей, называется коэффициентом трения.
Коэффициент трения измеряется отвлеченным числом,
показывающим, какую часть силы нормального давления
составляет сила трения
Р
к— F
1 д
Коэффициент трения k зависит от ряда причин. Опыт
показывает, что трение между телами из одинакового ве-
щества, вообще говоря, больше, чем между телами из раз-
ных веществ. Так, коэффициент трения стали по стали
больше, чем коэффициент трения стали по меди. Объясня-
ется это наличием сил молекулярного взаимодействия,
которые у однородных молекул значительно больше, чем
у разнородных.
Влияет на трение и качество обработки трущихся по-
верхностей. Когда качество обработки этих поверхностей
различно, то не одинаковы и размеры шероховатостей на
них. Чем ближе друг к другу размеры шероховатостей на
трущихся поверхностях, тем прочнее сцепление этих ше-
роховатостей, т. е. больше коэффициент трения.
Следовательно, одинаковому материалу и качеству об-
работки обеих трущихся поверхностей соответствует наи-
большее значение коэффициента трения. Отметим, что при
трении между гладко полированными поверхностями боль-
шую роль играют силы молекулярного взаимодействия.
Коэффициент трения при этом может сильно увеличиться.
Если в формуле (4.22) под F подразумевать силу
трения скольжения, то k будет обозначать коэффициент
трения скольжения, если же FTp заменить наибольшим
значением силы трения покоя ГмакС, то kQ будет обозначать
коэффициент трения покоя
1 _ ^макс
*0 р
Как говорилось выше, при одинаковых прочих усло-
виях. (В § 68 будет описан еще один опыт, доказывающий
справедливость этого неравенства.)
Теперь проверим, зависит ли сила трения от величины
площади соприкосновения трущихся поверхностей. Для
этого положим на полозья трибометра два одинаковых
(4.23)
Ш
бруска (один на другой) и измерим силу трения между по-
лозьями и «сдвоенным» бруском. Затем положим их оба на
полозья порознь, сцепив друг с другом, и снова измерим
силу трения. Оказывается, что, несмотря на увеличение
площади трущихся поверхностей во втором случае, сила
трения остается прежней.
Отсюда, следует, что сила трения не зависит от величи-
ны трущихся поверхностей (если площади соприкоснове-
ния трущихся тел не слишком малы).
Такой, на первый взгляд странный, результат опыта
объясняется очень просто. Увеличив площадь трущихся
поверхностей, мы тем самым увеличили количество зацеп-
ляющихся друг за друга неровностей на поверхности тел,
но одновременно уменьшили силу, с которой эти неровнос-
ти прижимаются друг к другу, так как распределили вес
брусков на большую площадь.
Опыт показал, что сила трения зависит от скорости дви-
жения. Однако при малых скоростях этой зависимостью
можно пренебречь. Пока скорость движения невелика,
сила трения возрастает при увеличении скорости. Для
больших скоростей движения наблюдается обратная за-
висимость: с увеличением скорости сила трения начинает
уменьшаться.
Следует отметить, что все установленные соотношения
для силы трения носят приближенный характер.
Сила трения значительно изменяется в зависимости от
состояния трущихся поверхностей. Особенно сильно она
уменьшается при наличии жидкой прослойки, например
масла, между трущимися поверхностями (смазка). Смаз-
кой широко пользуются в технике для уменьшения сил
вредного трения.
§ 57. Роль сил трения. В технике и в повседневной
жизни силы трения играют огромную роль. В одних
случаях силы трения приносят пользу, в других — вред.
Силы трения удерживают вбитые гвозди, винты, гайки,
удерживают нитки в материи, завязанные узлы и т- д.
При отсутствии трения нельзя было бы сшить одежду,
собрать станок, сколотить ящик.
Наличие трения покоя позволяет человеку передвигать-
ся по поверхности Земли. Идя, человек отталкивает от себя
Землю назад, а Земля с такой же силой толкает человека
вперед. Сила, движущая человека вперед, равна силе тре-
114
ния покоя между подошвой ноги и Землей. Чем сильнее
человек толкает Землю назад, тем больше сила трения по-
коя, приложенная к ноге, и тем быстрее движется человек.
Когда человек отталкивает Землю с силой большей, чем
предельная сила трения покоя, то нога скользит назад, и
это затрудняет ходьбу. Вспомним, как трудно ходить по
скользкому льду. Чтобы легче было идти, необходимо уве-
личить трение покоя. G этой целью скользкую поверхность
посыпают песком.
Сказанное относится и к движению электровоза, авто-
мобиля и т. п. Колеса электровоза или автомобиля, соеди-
ненные с двигателем, называются ведущими. Когда
ведущее колесо с силой, создаваемой двигателем, толкает
рельс назад, то сила, равная трению покоя и приложенная
к оси колеса, двигает вперед электровоз или автомобиль.
Итак, трение между ведущим колесом и рельсом или Зем-
лей — полезно. Если оно мало, то колесо буксует, а элект-
ровоз или автомобиль стоит на месте. Трение же, напри-
мер, между движущимися частями работающей машины
вредно.
Силой трения пользуются также для удержания тел
в состоянии покоя или для их остановки, если они дви-
жутся. Вращение ко-
лес прекращают с по-
мощью тормозных коло-5
док, тем или иным спо-
собом прижимаемых к
ободу колеса. Наибо-
лее распространены воз-
душные тормоза, в ко-
торых тормозная колод-
ка прижимается к коле-
су при помощи сжатого
воздуха.
Рис. 40. При надавливании на дере-
вянный брусок тонкой стеклянной7
нитью скорость бруска медленно
увеличивается.
§ 58. Влияние окру-
жающей среды на дви-
жение тел. При движе- .
нии тел в воздухе или в
воде (вообще в любой
газообразной или жид-
кой среде) возникают силы, тормозящие это движение.»
Их называют силам и. с оп ротив л е н и л
По
среды. Для сопротивления среды характерно отсутст-
вие трения покоя. Даже очень маленькая сила, дейст-
вующая на тело, находящееся в жидкой или газообраз-
ной среде, приводит его в движение (рис. 40).
Сопротивление среды очень сильно зависит от формы
движущегося тела и от скорости его движения, а также от
свойств самой среды. На рис. 41 изображены три тела раз-
ной формы, но с одинаковыми поперечными сечениями:
диск, шар и сигарообразное
Л (каплеобразное) тело. При оди-
наковой скорости (которая
показана направленной вниз
стрелкой) тела испытывают раз-
Рис. 41. Сопротивление воз-
духа при движении сигаро-
образного тела Fcb 30 раз
меньше сопротивления ди-
ска Лд и в 5 раз меньше со-
противления шарика FIU
того же поперечного сече-
ния при одинаковой скоро-
сти их движения
личные силы сопротивления
среды (показанные стрелками,
направленными вверх). Наи-
меньшая сила сопротивления
соответствует сигарообразному
телу. Поэтому движущимся со
значительной скоростью телам
для уменьшения сопротивления
среды придают подобную форму,
которая называется о б т е к а е-
м о й.
При увеличении скорости
движения тела сопротивление
среды резко возрастает. Наи-
большая скорость, приобретае-
мая телом при движении в дан-
ной среде, зависит от его формы
и от свойств среды (ее вязкости
и плотности (см. § 157)). Ско-
рость тел, падающих в воздухе,
в начале движения возрастает,
а затем, когда сила сопроти-
храняет неизменное
шютист, падающий в
вления среды становится рав-
ной весу тела в этой среде, со-
значение (постоянна). Так, пара-
воздухе с раскрытым парашютом,
имеет постоянную скорость падения около / —, падаю-
щая вниз с большой высоты пуля — около 60 .
116
УПРАЖНЕНИЯ
1. На полу стоит гиря весом 10 кГ. Человек поднимает ее с уско-
рением 49 . С какой силой он действует на гиркР
Ответ\ 103 н.
2. Футболист, ударяя мяч массой 720 г, сообщает ему скорость
54—. Считая продолжительность удара равной 0,21 сек, опре-
делить силу удара.
Ответ'. 51 н.
3. Тело весом 3,2 кГ падает с ускорением 11,8 Какова
величина силы, действующей на тело, кроме силы тяжести?
Ответ'. 6,4 н.
4. Автомобиль, масса которого 1200 ке, едет со скоростью
54 . При торможении, двигаясь равномерно-замедленно, он
останавливается через 20 сек. Определить силу торможения.
Ответ-. 9,0-102 н.
5. Человек, находящийся в лодке, отталкивается багром от
свободно плывущей баржи. Вес человека с лодкой 150 кГ, а вес бар-
жи 10 Т. Лодка от толчка приобретает скорость 2 . Пренебре-
гая сопротивлением воды, определить, какую скорость получает
баржа от толчка багром.
Ответ-. 0,03 —.
сек
6. Вагон, масса которого 20,5 т, движется со скоростью
4,80 . Под действием постоянной силы тяги его скорость возра-
стает до 32,4 на пути 72,45 м. Чему равна сила тяги, если
коэффициент трения при движении вагона равен 0,0250?
Ответ'. 1.32-104 н.
ГЛАВА5
ОСНОВЫ СТАТИКИ
§ 59. Абсолютно твердое тело. Любое тело деформиру-
ется под действием приложенных сил. Если эти силы будут
достаточно большими, то тело может разрушиться. Однако
изучение деформаций и разрушений тел под действием сил
не входит в область статики, так как в ней рассматриваются
только условия равновесия тел. Учет деформаций лишь
затруднил бы изучение статики, не изменив конечного ре-
зультата исследований. Однако если при изучении ста-
тики допустимо пренебречь деформацией тела, то совершен-
но недопустимо пренебрегать теми силами, которые возни-
кают при деформации тел, ибо эти силы большей частью
и обусловливают равновесие тел. Вот почему в статике
вводится идеализированное понятие абсолютно
твердого тела.
Абсолютно твердым называется такое тело, которое
ни при каких условиях не деформируется, но взаимодейст-
вует с другими телами в соответствии с третьим законом
Ньютона.
Чем меньше деформируется данное тело под действием
сил, тем ближе оно подходит к понятию абсолютно твер-
дого тела. В этой главе всюду, где дальше говорится о
твердом теле, подразумевается абсолютно твердое тело.
Пользоваться понятием абсолютно твердого тела можно
только в тех случаях, когда деформация взаимодействую-
щих тел не имеет существенного значения.
§ 60. Перенос точки приложения силы, действующей
на твердое тело. Выше уже было сказано, что сила — век-
торная величина. Следовательно, она характеризуется
числовым значением, направлением и, кроме того, точкой
118
приложения. Остановимся несколько подробнее на той
роли, которую играет точка приложения силы. (Отметим,
что, изображая на рисунке силу вектором, всегда нужно
начинать чертить вектор от точки приложения сиды.)
Поставим коробку спичек на стол и нажмем на нее около
основания пальцем с силой Fx (рис. 42, а). Под действием
этой силы коробка переместится по столу в положение,
изображенное пунктиром. Если же нажать пальцем на
Рис. 42. Опыт, поясняющий роль точки приложе-
ния силы.
верхнюю часть боковой стенки (рис. 42, б), то коробка оп-
рокинется. Следовательно, перенос точки приложения
силы изменяет характер движения тела под действием этой
силы.
Однако есть один случай, когда, не изменяя действия
силы на тело, можно переносить точку ее приложения. Ес-
ли перенести силу в положение силы F2 так, чтобы Ft
и F2 были направлены по одной прямой (рис. 42, а), то
коробка будет перемещаться так же, как в первом случае.
Следовательно, точку приложения силы, действующей
на абсолютно твердое тело, можно переносить, не изменяя
ее действия, вдоль прямой, по которой направлена сила.
В ряде реальных случаев такой перенос можно делать
только мысленно или на чертеже, чтобы сделать правильное
заключение о,совместном действии нескольких сил на тело.
§ 61. Равновесие тела под действием сил. В § 40 было
показано, что тело может находиться в равновесии при
действии взаимно уравновешивающихся сил. Поэтому
если на тело действует только одна сила Fb то для того,
чтобы оно находилось в равновесии, нужно приложить к
119
Рис. 43. Тело на-
ходится в равнове-
сии при действии
на него двух рав-
ных сил, направ-
ленных по одной
прямой в противо-
п сложные стороны.
нему силу F2 (рис. 43) так, чтобы обе силы действовали
вдоль одной прямой в противоположные стороны. Найдем
условие равновесия тела, когда на него одновременно дей-
ствуют несколько неуравновешенных сил.
Пусть на тело действуют неуравновешенные силы. Опыт
показывает, что тело при этом будет двигаться с ускоре-
нием в каком-то определенном направлении, которое можно
найти по закону независимости дей-
ствия сил (см. §54). Если тело движется
в данном направлении с ускорением, то
это значит, что на него действует сила,
определяемая вторым законом Ньютона.
Таким образом, действие нескольких
неуравновешенных сил можно заменить
действием одной силы.
Сила, которая одна может сообщить
телу такое же ускорение, как и все одно-
временно действующие на него силы,
вместе взятые, называется равнодейст-
вующей этих сил. Равнодействующая
сила обозначается буквой /?. Те силы,
действие которых заменяет равнодей-
ствующая, называются составля-
ющими.
Итак, для того чтобы привести тело
в состояние равновесия, нужно найти
равнодействующую всех приложенных
к нему сил и затем дополнительно при-
ложить к нему уравновешивающую
силу.
Сила называется уравновешивающей, если она по вели-
чине равна равнодействующей, лежит с ней на одной пря-
мой, но направлена в противополооюную сторону.
При изучении статики в первую очередь должен быть
решен вопрос об опытном определении равнодействующей
для разных случаев.
Определение равнодействующей по составляющим си-
лам называется сложением сил. Подчеркнем, что
складывать можно только такие силы, которые приложены
к одному и тому же телу.
§ 62. Сложение сил, направленных по одной прямой.
Наиболее просто складываются силы, направленные по
120
одной прямой. Пользуясь возможностью переносить точку
приложения силы (см. § 60), будем считать для простоты
рассуждений, что все эти силы приложены к одной точке.
Здесь может быть два случая.
Одинаково направленные силы. Требуется сложить си-
лы, приложенные к одной точке и направленные в одну
сторону.
Пусть на тело массой т действуют две такие силы Fx
и (рис. 44). Если каждая из этих сил, действуя в от-
дельности, соответст-
венно придают телу
ускорения и а2,
направленные в одну
сторону, то, действуя
одновременно, они
сообщат ускорение
ах+ а2, как это было
показано при рас-
смотрении закона не-
зависимости дейст-
Рис. 44. Равнодействующая двух сил,
направленных по одной прямой в одну
сторону, равна их сумме и направлена
в ту же сторону.
вия сил (§ 54). Это значит, что согласно второму закону
динамики равнодействующая сил Ft и F2 выражается
формулой
R = m(a1 + а2)
или
1^ = та1^ та2.
Но ma^Fx и ma2—F2, поэтому, сделав соответствующую
замену, получим
R = Fr + F2. (5.1)
Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точ-
ке и направленных по одной прямой в одну сторону, равна
их сумме, приложена к той же точке и направлена в ту же
сторону. Этот результат верен при любом числе составля-
ющих сил. Его легко проверить на опыте. Повесив на крю-
чок динамометра две гири по 5 кГ, мы заметим, что ука-
затель -динамометра остановится на 10 кГ (рис. 45).
В данном случае направленные вниз силы, с которыми
гири действуют на крючок, не сообщают ему ускорения,
121
так как они уравновешены силой упругости растянутой
пружины динамометра.
Противоположно направленные силы. Требуется сло-
жить силы, приложенные к одной точке и направленные в
противоположные стороны.
Пусть на тело массой т действуют силы Ft и F2, нап-
равленные в противоположные стороны по одной' пр я-
мой (рис. 46).
Допустим, что, действуя на
тело одна, сила Fx сообщает ему
ускорение а сила Г2—ускоре-
ние а2. Как было показано в § 54,
силы Fi и F2 при одновременном
действии сообщают телу ускоре-
ние at—а2, направленное в сторо-
ну большей силы. Это означает,
что
сил
ЛОЙ
величина равнодействующей
Fi и
F2 определяется форму-
R = т (at — а2)
Рис. 45. Равнодей-
ствующая двух
сил по 5 к Г каждая
равна 10 кГ.
Рис. 46. Равнодействующая
двух сил, направленных по од-
ной прямой в противополож-
ные стороны, равна их разно-
сти и направлена в сторону
большей силы.
Но mal~F1 и ma2~F2i поэтому, сделав соответствующую
подстановку, получим
(5.2)
122
Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке
и направленных в противоположные стороны, равна их
разности, приложена к той же точке и направлена в сто-
рону большей силы. Проверка полученного результата на
опыте не представляет затруднений (рис. 47).
Если на тело действуют две уравновешивающиеся си-<
лы, то их равнодей-
ствующая равна ну-
лю и тело при этом
находится в равно-
весии. Учитывая ска-
занное в § 60, этот
вывод можно приме-
нить к любому числу
сил. Следовательно,
общим условием рав-
новесия тела являет-
ся равенство ну-
лю равнодействующей
всех приложенных к
Рис. 47. Равнодействующая сил в 5 кГ
и в 2 кГ равна 3 кГ.
нему сил
/? = 0.
§ 63. Сложение сил, направленных под углом друг к
другу. Рассмотрим сложение двух сил, приложенных к
одной точке и направленных под углом друг к другу.
Пусть через два блока перекинута нить, на концах ко-
торой подвешены слева три, а справа четыре одинаковых
грузика (рис. 48, а). К той же нити в точке О, лежащей
где-либо между блоками, подвесим пять таких же гру-
зиков и дадим всей системе возможность прийти в рав-
новесие.
Равновесие точки О будет обусловлено при этом дейст-
вием на нее трех сил Flt F2 и F3, направленных под углом
друг к другу в одной плоскости. На рисунке все эти силы
изображены стрелками. Мы можем представить себе это
равновесие так, что действие сил Fi и F2 уравновешено
действием силы F3. Тогда равнодействующая сил F± и F2
по величине будет равна уравновешивающей силе F3 и
направлена в противоположную ей сторону. На рисунке
равнодействующая изображена вектором /?, направлен-
ным вверх. Если соединить конец вектора, изображающего
равнодействующую, с концами векторов составляющих
123
сил, то получается параллелограмм, в котором равнодей-
ствующая служит диагональю.
За составляющие силы можно было принять и две дру-
гие силы, например F3 и F2 (рис. 48, б), тогда сила Fv будет
силой, их уравновешивающей. Во всех этих случаях рав-
нодействующая оказывается диагональю соответствующего
параллелограмма. Меняя число грузиков, мы будем изме-
нять углы междусилами Flf F2 и F3 и величины самих сил,
но, как показывает опыт, равнодействующая двух любых
Рис. 48. Сложение сил, направленных под 'углом друг
к другу.
этих сил определяется, как и в первом случае, по п р а-
в и л у параллелограмма:
равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке
и направленных под углом друг к другу, приложена к той
же точке, а по величине и направлению равна диагонали
параллелограмма, построенного на этих силах.
В дальнейшем, зная правило параллелограмма, сложе-
ние направленных под углом сил можно изображать схема-
тически (рис. 49).
Когда на тело действуют две силы под углом, то уско-
рение его движения направлено по диагонали параллело-
грамма, построенного на этих силах, а величина ускорения
124
Рис. 49. Схематическое изо-
бражение сложения сил,
направленных под углом.
определяется из формулы, F=ma, где под F всегда подразу-
мевается равнодействующая сила R.
Сложение по правилу параллелограмма, в отличие от
алгебраического сложения, называется геометри-
ческим, а результат этого сложения называется гео-
метрической суммой.
При геометрическом сложении
слагаемые являются сторонами
параллелограмма, а геометри-
ческая сумма его диагональю,
проведенной из точки прило-
жения слагаемых. Величина и
направление геометрической
суммы зависят не только от
величин слагаемых, но и от
их направления, т. е. от угла
между составляющими силами.
На рис. 50, а, б, в изображено три случая геометриче-
ского сложения одинаковых по величине слагаемых при
трех разных углах между ними. Оказывается, что при уве-
личении угла между слагаемыми геометрическая сумма
Рис. 50. При увеличении угла между силами и F2 величина
равнодействующей R уменьшается.
уменьшается по величине, оставаясь в пределах между
арифметической суммой и разностью слагаемых, так как
слагаемые и сумма являются сторонами одного треуголь-
ника. При геометрическом сложении угол между слагае-
мыми может изменяться в пределах от 0 до 180°.
Учитывая формулы (5.1) и (5.2), все это можно выра-
зить следующим образом:
+ — F2 при F^F2.
Величину геометрической суммы всегда можно найти
графически, если заданы величины слагаемых и угол меж-
ду ними. Делают это так: строят угол, равный данному, с
125
вершиной в произвольно взятой точке (рис. 51) и на его
сторонах откладывают от вершины величины составляю-
щих сил в выбранных единицах масштаба. Рассматривая
полученные отрезки как стороны параллелограмма, из
Ff
I-ч—н—
Рис. 51. Величина равнодействующей двух сил,
направленных под углом друг к другу, может
быть найдена измерением диагонали параллело-
грамма, построенного на данных силах.
вершины угла проводят диагональ и измеряют ее выбран-
ными единицами масштаба. Результат этого измерения и
дает величину геометрической
суммы для данного случая.
Если угол между векторами
сил прямой, то величину геоме-
трической суммы легко вычис-
лить по теореме Пифагора *).
Как видно из рис. 52, величина
геометрической суммы будет
/? = Г7*+Л. (5.3)
Пользуясь теоремой косину-
Рис. 52. Когда направления
сил составляют прямой
угол, величину равнодейст-
вующей можно найти по
теореме Пифагора.
са, можно вычислить величину
геометрической суммы при любом угле между составляю-
щими силами. В этом случае величина геометрической
суммы определяется формулой
R = + FI + 2F1F2 cos а,
(5.3а)
где а — угол между векторами и р2-
*) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квад-
ратов катетов.
126
Если две действующие на тело силы направлены под
углом друг к другу, но приложены к разным точкам (рис.
53), то для определения равнодействующей нужно про-
должить линии действия сил до их пересечения (линией
действия сил называется линия, вдоль которой действуют
эти силы), а затем построить па-
раллелограмм сил.
Отметим, что геометрически
складываются не только силы, но
и все векторные величины вообще:
скорости, ускорения и т. п. (§66).
Для определения равнодейст-
вующей многих сил, приложенных
к одной точке и направленных под
произвольными углами друг к
другу, можно поступить следую-
щим образом: сначала сложить
Рис. 53. Сложение сил,
по правилу параллелограмма две приложенных к разным
любые из данных сил, затем полу- точкам тела.
ченную первую равнодействующую
сложить с третьей силой, потом вторую равнодействующую
сложить с четвертой силой и т. д. Равнодействующая,
полученная при сложении с последней силой, и является
общей равнодействующей всех данных сил.
§ 64. Разложение силы на две составляющие, направ-
ленные под углом. В механике нередко приходится решать
задачу, обратную сложению сил: заменять одну силу дву-
мя такими силами, которые совместно действуют на тело
так же, как одна данная сила. Решение такой задачи назы-
вается разложением силы на две сос-
тавляющие. В частности, большое практическое
значение имеет задача о разложении силы на две состав-
ляющие, направленные под углом друг к другу. Нетрудно
сообразить, что решение такой задачи сводится к построе-
нию параллелограмма по данной диагонали. Так как па-
раллелограммов с одинаковой диагональю можно постро-
ить сколько угодно, то эта задача имеет бесчисленное мно-
жество решений. На рис. 54 изображен вектор ОЛ, явля-
ющийся диагональю параллелограммов ОБАВ, ОБ'АВ\
О Б" А В".
Для того чтобы такая задача была определенной, т. е.
имела только одно решение, необходимы дополнительные
127
данные. Например, пусть дана сила Fn указаны направле-
ния тех сил, на которые ее надо разложить (рис. 55).
Для решения этой задачи из конца А вектора данной силы
F проводим прямую, параллельную первому направлению,
Рис. 54. Разложить данную
силу на две составляющие, на-
правленные под углом, можно
многими способами.
Рис. 55. Разложение силы на
две составляющие по двум за-
данным направлениям.
Рис. 56. Разложение силы F, дей-
ствующей на кронштейн.
до пересечения со вторым в точке Б. Отсеченный таким об-
разом отрезок ОБ определяет величину силы F2- Теперь
проведем из точки А прямую, параллельную второму на-
правлению, до пересечения с первым в точке В и опреде-
лим тем самым отрезок
ОВ, соответствующий ве-
личине силы Fv
§ 65. Разложение сил на
кронштейне. Наклонная
плоскость. Разберем не-
которые примеры на раз-
ложение сил, взятые из
техники.
1. Кронштейн
представляет собой опору
специального устройства,
которая укрепляется на стенах или столбах для подве-
шивания грузов или установки тяжестей. Один из видов
кронштейна изображен на рис. 56. Он состоит из при-
крепленных к стене стержней А Б и Б В.
128
в
Ф
Рис. 57. Условие равновесия
тела на наклонной плоскости:
а} скатывающая сила FCK~—F;
б) под действием силы F^ воз-
никает сила трения Fr.
При механических расчетах приходится учитывать
силы, действующие на кронштейн. Выясним, как находят
их величину. Пусть в точке Б кронштейна АБВ действует
направленная вниз сила F. Требуется определить действую-
щую на стержень БВ силу Fx и действующую на укосину
А Б силу F2.
Это задача на разложение силы по двум данным направ-
лениям. При решении подобных задач обычно большое
затруднение вызывает определение тех направлений, по
которым нужно разложить данную силу. Следует иметь
в виду, что действующие на
сжатие или на растяжение
силы, о которых идет речь
в большинстве задач, всегда
направлены вдоль стержней.
Поэтому прямая, вдоль кото-
рой должна действовать ис-
комая сила, сразу опреде-
ляется положением стержня.
В нашем примере сила,
действующая на стержень
БВ, должна быть направлена
вдоль прямой БВ, а сила,
действующая на стержень
АБ,— вдоль прямой АБ.
Остается лишь определить, в
какую сторону от точки Б
по указанным прямым будут
направлены искомые си-
лы. Сила, действующая на
сжатие, всегда направлена
внутрь стержня, а растяги-
вающая сила направлена от
стержня. В нашем примере
растягивающая стержень БВ
растягивающая стержень БВ сила Fr направлена вправо
от точки Б, что отмечено продолжением прямой Б В за
точку Б, а сжимающая укосину А Б сила F2 направлена
от Б кА. На основании этих рассуждений и построен
параллелограмм БГДЕ, определяющий искомые силы F\
и F2.
Величины сил Fx и F2, если даны размеры кронштейна,
могут быть вычислены геометрически на основании подо-
бия треугольников АБВ и Б ГД.
5 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
129
2. Любая плоскость, расположенная под острым углом
к горизонту, называется наклонной плоско-
стью (рис. 57, а). На практике наклонная плоскость ча-
сто используется в качестве простейшего устройства (ме-
ханизма), облегчающего выполнение работы, так как она
дает выигрыш в силе. Чтобы установить величину выигры-
ша в силе, получаемого с помощью наклонной плоскости,
рассмотрим условия равновесия тела на наклонной пло-
скости (при отсутствии трения).
Пусть на наклонной плоскости, длина которой I и
. высота /г, лежит какое-либо тело. На него действует сила
тяжести Р и реакция опоры Fp(pHC. 57,а). Величина силы
Fp нам неизвестна, но направление ее мы знаем (перпенди-
куляр к наклонной плоскости). Назовем равнодействую-
щую сил Р и Fp скатывающей силой FCK, так как под ее
действием тело должно скользить вдоль наклонной пло-
скости. Это означает, что скатывающая сила направлена
вдоль наклонной плоскости.
Зная величину Р и направления сил Fp и FCK, можно
построить параллелограмм и определить величины сил
Fp и FCK. Поскольку FCK является равнодействующей, то
для того, чтобы тело на наклонной плоскости находилось в
равновесии, нужно уравновесить силу FCK, т. е. прило-
жить к телу удерживающую силу F.
На основании подобия треугольников АБВ и ОДГ
имеем р h
= sin а. (5.4)
Но FCK можно заменить удерживающей силой F, так как
они равны по величине. Выполнив все эти преобразования,
получим формулу, выражающую условие равновесия тела
на наклонной плоскости (без учета трения)
F h
— = — sin а.
(5-5)
Отношение h к /, равное sin а, часто называют у к-
лоном.
Из формулы (5.5) следует
F = p4 = Psina- (5.5а)
т. е. наклонная плоскость дает выигрыш в силе во столько раз,
во сколько длина наклонной плоскости больше ее высоты.
130
Отметим, что формула (5.5) остается справедливой и
при равномерном движении тела по наклонной плоскости
без трения.
Для равновесия тела на наклонной плоскости при нали-
чии трения покоя понадобится сила F, меньшая Fck на
величину силы трения Етр (рис. 57,6), которую можно най*
ти из формулы (4.22)
F — kF
Z Тр д.
Так как в данном случае по величине равна Гр, то
Fa = P cos а = mg cos сс.
Отсюда
FTp = kmg cos а. (5.6)
Следовательно, условие равновесия тела на наклонной
плоскости с учетом трения, когда скатывающая сила боль-
ше силы трения, выразится соотношением
F~F — F
л х СК тр
ИЛИ
F = mg (sin а—k cos а). (5.7)
Если сила трения окажется больше скатывающей силы,
то тело будет находиться в равновесии без внешнего воз-
действия.
§ 66. Понятие о сложении и вычитании векторных величин.
Выше мы уже отмечали, что все векторные величины складываются
по правилу параллелограмма/т. е. геометрически. На примере сло-
жения сил мы фактически установили правило для сложения любых
векторных величин. Когда говорят о сложении векторных величин,
геометрическую сумму называют результирующим век-
тором. Правило параллелограмма в этом случае читается так:
результирующий вектор по величине и направлению равен диа~
гонали параллелограмма, построенного на составляющих векторах.
Сложение векторов. Так как параллелограмм сос-
тоит из двух равных треугольников, то на практике полного парал-
лелограмма при сложении векторов обычно не вычерчивают. При-
ведем примеры сложения векторов без построения параллело-
грамма.
Пусть даны два вектора а и б (рис. 58). Требуется определить
их геометрическую сумму. Выбираем произвольную точку А и откла-
дываем от нее вектор равный и параллельный вектору а. Из конца
вектора аг чертим вектор 6lf равный и параллельный вектору б.
Соединив точку А с концом вектора 6lf получим результирующий
вектор в.
5*
131
Если нужно сложить несколько векторов, то поступают сле-
дующим образом. Сложив два вектора, не соединяют точку А с
концом второго вектора, а прикладывают к нему третий вектор, к
концу третьего — четвертый и т. д., перенося каждый из них па-
раллельно самому себе. Затем соединяют точку А с концом послед-
него вектора и получают результирующий вектор А Б (рис. 59).
Такой способ сложения назы-
* вается правилом мно-
гоугольника.
Рис. 58. Сложение векторов.
Рис. 59. Вектор А Б—геомет-
рическая сумма векторов а,
бив.
Вычитание векторов. На практике вычитание век-
торов выполняют следующим образом. Пусть нужно из вектора а
вычесть вектор б (рис. 60,«). Перенесем оба вектора параллельно
самим себе так, чтобы их начала были в одной точке, например в Д,
Рис. 60. Вычитание векторов.
и, соединив их концы, получим вектор в, являющийся геометри-
ческой разностью векторов а и б. Вектор разности всегда направлен
от вычитаемого к уменьшаемому вектору.
Вычитание векторов можно выполнить и другим способом.
Вместо того чтобы вычитать из вектора а вектор б, можно вектор а
сложить с вектором 6if равным по величине вектору б, но направлен-
ным в противоположную сторону (рис. 60,6).
Скорости, ускорения, силы и другие векторные величины, с
которыми мы встретимся в дальнейшем, нужно складывать и вычи-
тать геометрически. Так, если нам нужно узнать, какую
132
скорость © будет иметь горизонтально брошенное тело в точке Л
своей траектории, то эту скорость можно найти, сложив геометри-
чески и (рис. 61). Здесь Vi обозначает скорость, с которой тело
бросили в горизонтальном направлении, а — скорость, приобре-
тенную им при свободном падении во время
полета до точки А.
§ 67. Сложение параллельных сил,
направленных в одну сторону. Рас-
смотрим сложение параллельных сил,
направленных в одну сторону.
Наденем на линейку А Б (рис. 62)
петлю, которую можно перемещать
вдоль линейки. Привяжем к концам
линейки А и Б нити и, перекинув их
через блоки, подвесим с одной стороны рис Сложение
три равных грузика, а с другой — два скоростей.
таких же грузика. Тогда на концы ли-
нейки будут действовать параллельные и одинаково
направленные силы и F2. Попробуем уравновесить
линейку, подвешивая к петле такие же грузики.
Рис. 62. Определение равнодействующей двух
параллельных сил, направленных в одну сторону.
Опыт показывает, что равновесия можно достигнуть
только тогда, когда к петле привешено столько грузиков,
сколько их висит на нитях слева и справа вместе, в нашем
примере — пять. Однако выполнение одного этого условия
для получения равновесия линейки недостаточно. Оказы-
133
вается, что равновесие получается только при одном опре-
деленном положении петли — в нашем примере, когда
петля находится в точке В. Достаточно немного сдвинуть
петлю вправо или влево от точки В, как равновесие ли-
нейки будет нарушено и ее концы придут в движение.
Таким образом, уравновешивающая сил FiH /^приложена
в точке В и равна их сумме. Следовательно, равнодействую-
щая этих сил тоже приложена к точке В и равна их сумме,
но направлена в обратную сторону относительно уравно-
вешивающей, т. е. вверх.
Итак, величина равнодействующей двух параллель-
ных и одинаково направленных сил определяется фор-
мулой
(5.8)
Теперь выясним, как определить точку приложения
равнодействующей. Из опыта убеждаемся, что
5-1
2
БВ__ £ _3
АВ~~ 4 ~ 2 •
Так как правые части этих пропорций равны, то равны и
их левые части
Каждый из отрезков АВ и БВ представляет собой рас-
стояние от точки приложения равнодействующей до точки
приложения одной из составляющих сил, причем большей
силе соответствует меньший отрезок и наоборот. Матема-
тически это означает обратно пропорциональную зависи-
мость между силами и отрезками.
Равнодействующая двух параллельных сил, направлен-
ных в одну сторону, равна их сумме, направлена в ту же
сторону и приложена к точке, делящей расстояние между
силами на части, обратно пропорциональные этим силам.
Отметим, что равнодействующая в этом случае приложе-
на к точке, находящейся ближе к большей силе. При
равных силах она приложена к точке, находящейся по-
середине между точками приложения складываемых сил.
134
§ 68. Центр тяжести. Используя закон сложения па-
раллельных сил, мы можем определить точку приложения
действующей на тело силы тяжести. Всякое тело можно
представить себе состоящим из множества частичек, на
каждую из которых действует сила тяжести. Общий вес
тела является равнодействующей всех этих сил.
Точка приложения равнодействующей системы парал-
лельных сил называется центром этих сил. Его
положение определяется только величиной параллельных
сил и точками их при-
ложения и не зависит
от направления сил.
Центр сил тяжести,
действующих на от-
дельные частички те-
ла, называется цент-
ром тяжести этого
тела.
Рассмотрим не-
сколько примеров
Р
Рис. 63. Центр тяжести однородного
стержня находится в его середине.
определения положения центра тяжести тел.
Определим положение центра тяжести од-
нородного стержня. Стержень называется од-
нородным, если он целиком сделан из одного материала и
имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине
(рис. 63). Представим себе, что однородный стержень состоит
из очень большого числа равных по величине частей. Вслед-
ствие симметрии, таких частей с обеих сторон от середины
стержня О будет одинаковое число. Тогда равнодействую-
щая сил тяжести этих двух частей стержня, расположенных
симметрично относительно точки О, будет приложена в
точке О, так как обе складываемые силы тяжести равны
по величине и одинаково направлены. Но тогда и общая
равнодействующая всех этих сил тяжести будет приложена
в точке О, Центр тяжести однородного стержня находит-
ся в его середине. Таким же приемом можно показать, что
центр тяжести однородного круга (и центр тяжести одно-
родного шара) совпадаете геометрическим цен-
тром.
Определим центр тяжести однородной
треугольной пластинки. Разделим пластин-
ку АБВ (рис. 64) на множество узких полос линиями,
параллельными одной из сторон, например АБ. Каждую
135
Б
Рис. 64. Центр тяжести тре-
угольной пластинки нахо-
дится в точке пересечения
ее медиан.
из этих полос можно принять за однородный стержень.
Тогда общий центр тяжести всех полос будет находиться
на линии, соединяющей их середины, т. е. на медиане ВК.
Таким же путем можно убедиться, что центр тяжести пла-
стинки лежит на медиане БМ. Поскольку центр тяжести
пластинки одновременно должен находиться на обеих
медианах, он может быть только в точке их пересечения Д.
Центр тяжести однородной
треугольной пластинки нахо-
дится в точке пересечения ее
медиан.
Таким же способом можно
убедиться, что центр тяжести
однородной пластинки, имею-
щей форму параллелограмма,
находится в точке пересечения
ее диагоналей. Отметим, что
центр тяжести может нахо-
диться и вне тела, например,
центр тяжести кольца совпа-
дает с его геометрическим цент-
ром.
При перемещении или повороте тела положение его
центра тяжести относительно самого тела остается неиз-
менным. Как бы мы ни перекладывали и ни повертывали
треугольную пластинку, ее центр тяжести остается в точке
пересечения медиан. Однако при изменении формы тела
или при замене материала, из которого сделана какая-либо
часть тела, положение его центра тяжести меняется.
Знание положения центра тяжести тела имеет боль-
шое практическое значение. Так, во всех явлениях, проис-
ходящих с телом при участии силы тяжести, можно счи-
тать, что она приложена к центру тяжести, и не учиты-
вать форму и вес отдельных частей тела.
На основании изложенного выше можно показать, что коэффи-
циент трения покоя больше коэффициента трения скольжения, т. е.
k.
Положим на опоры А и Б однородный стержень весом Р, центр
тяжести которого находится в точке О (рис. 65, а). Тогда Р будет
равнодействующей сил и F2, которые являются силами давле-
ния на опоры А и Б. Поэтому на основании формулы (5.7) можно
написать
__ 4
F* li *
136
Пусть опора Б закреплена неподвижно, а опора А может дви-
гаться в горизонтальном направлении. Если воздействовать на опо-
ру А силой F, направленной в сторону стрелки С, то в опорах А
и Б возникнут силы трения. При достаточно большой силе F сила
трения в опоре А окажется меньше, чем в опоре Б, и опора А начнет
скользить вдоль стержня в сторону стрелки С, а сам стержень при
этом останется неподвижным. Следовательно, в опоре А возникнет
Рис. 65. а) Под действием силы, приложенной к
опоре А и направленной вправо, опора движется по
направлению стрелки С, а стержень остается в по-
кое; б) сйлы и F2 стали равными, но опора А
продолжает скользить вдоль стержня вправо;
в) опора А перестала скользить по стержню а, стер-
жень начинает двигаться вместе с опорой Л, скользя
по опоре Б.
трение скольжения, а в опоре Б — трение покоя. В тот момент,
когда станет равным /2, силы давления F± и F2 тоже станут рав-
ными (рис. 65,6).
Если бы коэффициенты трения k и kQ были равны, то силы тре-
ния в опорах А и Б стали бы равными при /2. Однако в дейст-
вительности опора А продолжает скользить по стержню и при /р
меньшем /2, пока не займет положение, изображенное на рис. 65, в,
соответствующее максимальному значению силы трения покоя в
точке Б. Начиная с этого момента, скольжение опоры А вдоль стерж-
ня прекращается и весь стержень приходит в движение вместе с
опорой А, скользя по опоре Б. Скольжение опоры А между положе-
137
ниями, изображенными на рис. 65, б и в, происходит при > ?%•
что возможно только в том случае, когда коэффициент трения в опо-
ре А меньше, чем в опоре Б. На рис. 65, в сила трения покоя в опоре
Б имеет максимальное значение, поэтому можно написать
kF^k.F"-.
Так как это равенство справедливо при F1>F2, то k<k0.
Таким образом, коэффициент трения покоя больше коэффициента
трения скольжения при одинаковых прочих условиях.
§ 69. Равновесие тела, имеющего точку или линию
опоры. Для техники особенно важны условия равновесия
тела, имеющего ту или иную опору. Выясним, при каких
условиях тело, имеющее одну точку опоры, находится в
равновесии.
Рис. 66. а) Тело находится в равновесии, так
как точка опоры О и центр тяжести тела А на-
ходятся на одной вертикали; б) тело приходит в
движение под действием силы
На рис. 66 изображено находящееся в равновесии тело,
имеющее одну точку опоры О. Сила тяжести Р приложена
в центре тяжести тела А. На опору О действует сила F19
равная Р и направленная по прямой О А в ту же сторону.
Сила F± несколько деформирует опору О, которая вслед-
ствие этого в свою очередь действует на тело с силой F,
направленной противоположно силе тяжести и равной Р.
Равнодействующая взаимно уравновешенных сил F и Р
равна нулю, поэтому тело и сохраняет равновесие. Это
может быть только тогда, когда точки О и А лежат на од-
ной вертикали. Если это условие не выполнено, то тело,
138
имеющее одну точку опоры, не может находиться в.
равновесии.
На рис. 66, б изображено тело в положении, когда точ-
ки О и А находятся на разных вертикалях. Разложим вес Р
на две взаимно перпендикулярные силы Fr и F% так, чтобы
сила F2 была направлена по прямой О А. Сила F2 создает
силу F?}, действующую на опору. А опора в свою очередь
действует па тело с силой Fs, величина которой равна Л>.
Итак, можно считать, что тело находится под воздействием
трех сил Fi, F2 и F8, равнодействующая которых равна
Fi, так как силы F2 и F3 взаимно уравновешивают друг
друга. Поскольку равнодействующая F1 не равна нулю,
равновесия не будет и тело придет в движение.
Тело, имеющее одну точку опоры, находится в равнове-
сии только тогда, когда его центр тяжести и точка опоры
лежат на одной вертикали.
Теперь'легко установить, как найти с помощью опы-
та положение центра тяжести плоской фигуры любой
формы.
Подвесим эту фигуру за какую-либо точку А и при рав-
новесии проведем через точку подвеса вертикаль А Б
(рис. 67). Тогда искомый центр тяжести будет находиться
на этой вертикали. Подвесим фигуру за другую точку В,
не лежащую на первой вертикали, и проведем .через эту
точку новую вертикаль ВГ. Центр тяжести фигуры дол-
жен лежать и на второй вертикали ВГ. Поскольку центр,
тяжести должен быть на обеих вертикалях, он находится
в точке их пересечения О.
139
Проведя рассуждения, подобные тем, которые мы дела-
ли при одной точке опоры, легко установить условие рав-
новесия тела, имеющего линию опоры (рис. 68):
Рис. 68. Равновесие тела, имеющего ли-
нию опоры (О — центр тяжести тела).
тело, имеющее линию опоры, находится в равновесии
только тогда, когда проведенная из центра тяжести тела
вертикаль проходит через линию опоры,
§ 70. Устойчивое равновесие. Если изображенное на
рис. 66, а тело отклонить от положения равновесия, то оно
возвратится к своему прежнему положению. Происходит
это потому, что вследствие смещения тела возникает сила
F19 направленная к положению равновесия (рис. 66, б).
Если вследствие смещения тела из положения равнове-
сия появляется сила, возвращающая тело в прежнее поло-
жение, то равновесие тела называется устойчивым, В этом
случае при смещении тела центр тяжести поднимается.
Тело находится в устойчивом равновесии, когда его
центр тяжести занимает самое низкое положение из всех
возможных для него при данных условиях,
В частности, равновесие тела устойчиво, если центр
тяжести тела лежит ниже точки опоры.
§ 71. Момент силы. Маховики, валы машин, рулевые
колеса закрепляют так, чтобы под действием силы они
могли совершать только вращательное движение (§ 24).
Выясним, чем определяется вращающее действие силы.
Вращающее действие двух сил на тело, имеющее не-
подвижную ось вращения, одинаково по величине, если
при их одновременном действии тело сохраняет равнове-
сие или вращается равномерно. Легко показать, что такой
случай возможен только тогда, когда эти силы вращают
тело в противоположные стороны, например, одна против,
а другая по часовой стрелке.
Возьмем диск с несколькими отверстиями (рис. 69, а),
имеющий ось вращения О. Вставим в отверстие А стержень
140
с нитью, на которой висит груз Klf действующий на диск
с силой Fx. В отверстие Б вставим второй стержень, на
который действует сила F2, создаваемая грузом /<2. Силы
Fi и F2 поворачивают#диск в противоположные стороны.
Подберем их так, чтобы диск остался в равновесии. Оказы-
вается, что в случае, изображенном на рисунке, равнове-
сие получается при F2==3Flf если расстояние 1г от прямой,
по которой направлена сила Fx, до оси вращения О втрое
больше аналогичного расстояния /2 для силы F2, т. е. при
f i/i = F2l2.
Если силу F2 заменить (сохраняя величину и расстоя-
ние /2) силой F2 или F2 (рис. 69, а), то равновесие сохра-
нится. Если же силу F2 заменить не равной ей силой Fs
Рис. 69. Опыт, доказывающий, что вращающее действие силы
определяется произведением силы на ее плечо: lr~3/2; F2—3FV
(рис. 69, б), одновременно меняя и расстояние так, чтобы
/3 стало равным /ъ то равновесие получится при значении
Д, равном F\, т. е. опять при
Следовательно, вращающее действие силы зависит не
только от ее величины, но и от значения /, т. е. от расстоя-
ния между осью вращения и прямой, по которой действует
сила (рис. 70).
Кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, по
которой действует сила, называется плечом силы.
141
Величина, характеризующая вращающее действие силы,
называется моментом силы и обозначается буквой М.
Момент силы измеряется произведением силы на плечо
M = Fl.
(5.10)
Если линия действия силы F проходит через ось вра-
щения, то сила Fne может вращать тело, так как неподвиж-
ная ось создает силу, уравновешивающую F (§ 69). Это
Рис. 70. Плечом силы F
относительно оси вращения
О является перпендикуляр
ОБ.
видно и из формулы (5.10), так
как плечо такой силы равно
нулю. Следовательно, момент
силы, направленной вдоль пря-
мой, проходящей через ось вра-
щения, равен нулю.
Чтобы отличить моменты
сил, создающих вращение в про-
тивоположные стороны, усло-
вились считать моменты сил,
вращающих тело против часо-
вой стрелки, положительными,
а моменты сил, вращающих тело
по часовой стрелке, — отрица-
тельными.
В практике мы часто встречаемся с действием моментов
сил. Так, открывая дверь или нажимая на педаль велоси-
педа, мы создаем вращающий момент. Для того чтобы полу-
чить нужный момент при наименьшем усилии, мы стараемся
приложить силу как можно дальше от оси вращения,
увеличивая тем самым плечо силы и соответственно умень-
шая величину силы.
Выведем единицу измерения момента силы в системе СИ
M = Fl; М = \н-1м = 11^=1н-м.
J сек*
В системе СИ за единицу момента силы принимается
момент силы в один ньютон, имеющей плечо в один метр.
Выведем единицу измерения момента силы в системе СГС
см2
M~Fl; М — 1дин-1см — 1—фин• см.
сек2
142
В системе СГС за единицу момента силы принимается момент
силы в одну дину, имеющей плечо в один сантиметр.
Сравним единицы момента силы
1 н-м — 1Н' 1 м — 105 дин* 102 см~ 107 дин*см.
§ 72. Условия равновесия тела, имеющего неподвиж-
ную ось вращения. В предыдущем параграфе было пока-
зано, что если диск, изображенный па рис. 71, а, будет в
равновесии, то FJ^ — FJ^ или
F1/1—F2Z2 = 0. (5.11)
Учитывая знаки моментов сил, можно написать, что
момент силы Fr равен /И1=/71/1, а момент силы F% равен
ТИ2=—F2l2, что соответствует знакам моментов сил в левой
Рис. 71. а) При равновесии тела, имеющего ось вращения, под дей-
ствием двух сил моменты этих сил равны по величине и противопо-
ложны по знаку:
М1==4 -1,5—6; Л42=—3 -2=—6.
б) Момент силы F2 может быть заменен суммой моментов сил F3,
и F6. При равновесии диска общий момент равен нулю (Al06m=^)e
части формулы (5.11). Таким образом, если учитывать
знаки моментов сил, то алгебраическая сумма моментов
сил, действующих на диск при его равновесии, равна нулю.
Покажем, что это условие равновесия справедливо и в
случае действия многих сил на тело, имеющее неподвиж-
ную ось вращения.
Подобно тому как мы заменяли действие многих сил
одной равнодействующей силой, поставим вопрос о замене
143
моментов нескольких сил моментом одной силы без изме-
нения вращающего действия на тело. Для этого вместо
силы F2, действующей на тело (рис. 71, а), приложим к телу
три силы F3, F4 и F5, действующие так, чтобы диск остал-
ся в равновесии (рис. 71,6). Следовательно, вращающее
действие сил F3, F4 и F5 такое же, как одной силы F2.
Если подсчитать моменты сил F3, F4 и F5 и сложить их ариф-
метически, то полученная сумма будет равна моменту силы
F2. Это означает, что общий момент всех сил, вращающих
тело в одну сторону, равен арифметической сумме моментов
этих сил.
Таким образом, соотношение (5.11) остается справед-
ливым, если под каждым слагаемым подразумевать соот-
ветствующую сумму моментов сил. Все это выражается
правилом моментов:
при равновесии или при равномерном вращении тела,
имеющего неподвижную ось вращения, алгебраическая сумма
моментов всех сил, действующих на это тело, равна нулю
2М-0*). (5.12)
Отметим, что при вращательном движении момент силы
играет такую же роль, как сила при поступательном дви-
жении.
Приведем пример решения задачи с применением пра-
вила моментов.
Задача. Имеется балка длиной 10 м и весом 105 //,
неподвижно лежащая на двух опорах А и Б (рис. 72). На
расстоянии 2 м от опоры А на балку действует сила 8-104 н,
а на конец, выступающий за опору Б на Зм,— сила 6* 104 н.
Найти силы, действующие на опоры А и Б.
Дано:
/“10 м —длина балки,
Р=105 н — вес балки,
Л==8-104 н — сила, действующая на балку в точке В,
F2=6-104 н —сила, действующая на балку в точке Г,
А В=2 м — расстояние от опоры А до точки прило-
жения силы Fb
БГ—3 м — расстояние от опоры Б до точки прило-
жения силы F2.
*) Греческая буква S («сигма») заменяет слово «сумма». Когда
нужно указать, что необходимо сложить несколько однородных сла-
гаемых, то удобнее написать одно слагаемое и поставить перед ним
знак S. Таким обозначением пользуются очень часто.
144
Найти:
Fa—силу, действующую на опору Л,
РБ— силу, действующую на опору Б.
План решения. Так как балка находится в равновесии,
то силы Fa и Бб можно найти с помощью правила момен-
тов. Из третьего закона Ньютона следует, что силы БЛ и
FБ, с которыми балка действует на опоры, соответственно
равны силам FA и РБ (рис. 72, б), с которыми опоры дейст-
вуют на балку, т. е. реакциям опор А и Б.
Рис, 72. а) Схематическое изображение действующих в задаче сил.
б) Действие опор заменено их реакциями.
При использовании правила моментов нужно иметь
в виду следующее:
1) во всех опорах нужно изобразить силы реакции,
действующие на то тело, к которому будет применяться
правило моментов;
2) положение оси вращения, относительно которой вы-
числяются моменты сил, можно выбрать произвольно.
Так как в данной задаче две неизвестные силы, то для
получения уравнения с одним неизвестным удобно при-
нять, что ось вращения проходит через точку А или точ-
ку
Решение. Составляем уравнение по правилу мо-
ментов, считая, чго вес приложен в середине балки
(рис. 72,6), а ось вращения расположена перпендикулярно
145
к чертежу и проходит через точку Б (отметим, что момент
силы FB будет тогда равен нулю)
—F'a1 м + 8• 104 н• 5м105 н• 2м—6 • 104 л/ - 3 = О,
откуда
Хл-б-Ю4 н.
Так как геометрическая сумма всех сил при равнове-
сии тела равна нулю, имеем
FB = 8 • 104 н + 105 н + 6-104 н-6-104 н = 18 • 104 н =
= 1,8-105н.
Ответ'. На опору А действует сила 6-104 я, а на опору
Б — сила 1,8-105 н.
Примечание. Силу F Б можно также определить, пред-
полагая, что ось проходит через какую-либо другую точку балки,
например А. Составьте соответствующее уравнение по правилу
моментов и найдите силу F^.
§ 73. Пара сил. Особое значение имеет частный случай,
когда на тело действуют две равные параллель-
ные силы, имеющие противоположное
направление. Оказывается, что такие силы не
имеют равнодействующей, т. е. их совместное действие
нельзя заменить действием одной силы. Следовательно,
такие силы не могут привести тело в поступательное
движение.
Две равные противоположно направленные параллель-
ные силы, приложенные к какому-либо телу, называются
парой сил.
Пара сил приводит тело только во вращательное дви-
жение.
Кратчайшее расстояние / между параллельными пря-
мыми, вдоль которых действуют составляющие пару силы,
называется плечом этой пары.
Шофер повертывает рулевое колесо, создавая действием
своих рук пару сил (рис. 73); магнитная стрелка, ориенти-
рованная определенным образом, повертывается одним
концом на север, а другим на юг под действием пары сил
земного магнетизма, приложенной к ее концам.
146
Можно доказать, что момент пары сил равен произведе-
нию одной из сил на плечо пары независимо от положения
оси вращения
M„ = Fln.
(5.13)
Если при повороте тела, например магнитной стрелки,
направления и величины сил сохраняются (рис. 74), то
Рис. 73. Поворачивая руле-
вое колесо, шофер создает
пару сил; момент этой пары
равен FI.
Рис. 74. При повороте
магнитной стрелки мо-
мент пары сил изменяет-
ся, так как плечо /t
больше /2*
момент пары изменяется, так как меняется ее плечо. Когда
тело займет положение, при котором обе силы окажутся на-
правленными по одной прямой, то их равнодействующая
будет равна нулю. Вот почему магнитная стрелка непо-
движно устанавливается в направлении с севера на юг.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Груз весом Р—60 кГ подвешен на кронштейне АБВ
(рис. 75). Угол между горизонтальным стержнем А Б и укосиной
БВ равен 60°. Определить силы, действующие на укосину БВ и
стержень А Б.
Ответ: 6,8«102 н\ 3,4-102 н.
147
2. В ящике, длина которого А Б=40 см, лежит шар весом
2,4 кГ (рис. 76). С какой силой шар будет давить на стенки ящика,
если край А приподнять на 24 см?
Ответ: 1,4*10 н\ 3,8-10 н.
3. Человек перетаскивает по полу ящик при помощи веревки,
которая составляет с горизонтом угол 30°* Чему равна сила трения,
если человек прилагает силу 9,5 kF? Движение ящика считать рав-
номерным.
Ответ', .81 н.
4. На опорах А и Б лежит балка, на которую действуют силы
5 Т и 10 Т (рис. 77). Определить реакции опор А и Б, если расстоя-
ния указаны на рисунке в метрах.
Ответ: F б~5,9-104 н; F^=8,8-104 н.
5. На опорах А и Б лежит балка, на которую действуют силы
30 Т, 10 Т и 5 Т (рис. 78). Определить силы, действующие на опоры
А и Б, если расстояния указаны на рисунке в метрах.
Ответ: F д = 2,8-105 н\ F# = 1,6• 10б «.
ГЛАВА6
ДЕФОРМАЦИИ
Рис. 79. Деформации:
а) продольного растяжения;
б) продольного сжатия.
§ 74. Виды деформаций. Выясним, какие виды дефор-
маций возникают под действием приложенных к телу сил
(§ 16).
На рис. 79,а показан стержень, к торцам которого при-
ложены силы и F2, направленные от стержня вдоль его
оси и равные по величине. Под
действием этих сил стержень
растягивается. Увеличение дли-
ны стержня при действии на
него растягивающих сил назы-
вается деформацией продольного
растяжения.
На рис. 79,6 силы Ft и F2
направлены внутрь стержня,
поэтому он сжимается. Умень-
шение длины стержня при дей-
ствии на него сжимающих сил
называется деформацией про-
дольного сжатия. Одновремен-
но с деформациями продольного
растяжения и сжатия проис-
ходит небольшое изменение
площади поперечного сечения
стержня.
Опустим надутую воздухом
резиновую камеру в воду. Вода
со всех сторон будет сжимать камеру, и ее объем умень-
шится. Уменьшение объема тела при действии сил, сжи-
мающих его по всем направлениям, называется дефор-
мацией всестороннего сжатия (рис. 80). При надувании
камеры воздухом возникает деформация всестороннего
149
растяжения. Увеличение объема тела при действии сил,
растягивающих его по всем направлениям, называется де-
Рис. 80. Деформация
всестороннего сжатия.
формацией всестороннего растя-
жения.
Рис. 81. Деформация поперечного
изгиба.
Если один конец стержня заделать в стену, а к свобод-
ному концу приложить силу Fb направленную перпенди-
кулярно стержню (рис. 81,а), то он изог-
нется. Приложим к середине стержня,
лежащего на двух опорах, перпендику-
лярную стержню силу F2 (рис. 81,6),
тогда он прогнется. Изгиб стержня при
действии сил, направленных перпенди-
кулярно его оси, называется деформа-
цией поперечного изгиба. Расстояние
между точками а и б (рис. 81,6) назы-
вается стрелой прогиба.
Рис. 82. Деформа-
ция продольного
изгиба.
Рис. 83. Деформация сдвига;
ее величина характеризуется
углом сдвига 0.
При продольном сжатии стержень тоже может про-
гнуться (рис. 82), например, стоящая вертикально линей-
ка изгибается, когда на нее нажимают сверху вниз.
Изгиб стержня, возникающий при его продольном сжатии,
называется деформацией продольного изгиба. При деформа-
ции изгиба с выпуклой стороны стержень растягивается, а
I
1
I
150
с вогнутой — сжимается. Длина среднего слоя стержня
при этом не изменяется.
Закрепим неподвижно нижнее основание бруска, а к
верхнему приложим силу F, параллельную основанию
(рис. 83). Тогда в бруске произойдет сдвиг параллельных
основанию слоев относительно друг друга, подобно сдвигу
Рис. 84. а) Деформация кручения возникает под действием
парсил; б) при деформации кручения цилиндра его образую-
щие искривляются, превращаясь в винтовые линии.
листов в стопе бумаги, когда на нее нажимают параллельно
поверхности листов. Сдвиг расположенных в параллельных
плоскостях слоев тела относительно друг друга при дейст-
вии на тело сил, параллельных слоям, называется деформа-
цией сдвига. Она может быть получена также при одновре-
менном сжатии бруска по одной диагонали и растяжении
по другой.
Приложим к верхнему и нижнему основаниям стержня
две пары сил, создающих вращение в противоположные
стороны (рис. 84). Тогда слои стержня, параллельные его
плоскости основания, будут повертываться вокруг оси
151
стержня, что видно по положению линии АБ, Поворот
расположенных в параллельных плоскостях слоев тела от-
носительно друг друга при действии на тело двух пар сил
называется деформацией кручения.
Различают абсолютную деформацию и отно-
сительную деформацию. Абсолютной деформацией
называется величина изменения какого-либо размера тела
под действием приложенных сил. Например, при продоль-
ном растяжении абсолютная деформация есть прирост
длины А/ (рис. 79,а), а при всестороннем растяжении —
прирост объема АЙ.
Относительной деформацией называется число, пока-
зывающее, какую часть от первоначального размера тела
составляет абсолютная деформация. Относительную де-
формацию обозначают греческой буквой 8 («эпсилон»).
Например, относительная деформация при продольном
растяжении или сжатии выражается формулой
(6.1)
§ 75. Упругость, пластичность, твердость и хрупкость
материалов. Деформация тела зависит от приложенных
сил и от рода вещества. В зависимости от свойств вещества
и характера деформации различают у п р у г и е (§ 16) и
пластичные материалы.
Материалы, в которых после прекращения действия
внешней силы деформация полностью исчезает и восстанав-
ливается первоначальная форма тела, называются абсолют-
но упругими.
Материалы, е которых после прекращения действия
внешней силы деформация, сохраняется и форма тела не
восстанавливается, называются пластичными. Например,
сталь и резина упруги, пластилин и свинец пластичны.
Деление тел на упругие и пластичные условно, так как в
большинстве случаев тела обладают одновременно пластич-
ностью и упругостью. Так, свинцовая спираль при неболь-
ших деформациях пружинит, т. е обладает упругостью, но
преобладающим свойством свинца является пластичность.
При подборе материала для изготовления деталей ма-
шин приходится учитывать и такие свойства материалов,
как хрупкость и твердость.
152
Оказывается, что при постепенном увеличении дейст-
вующих на тело сил сначала возникают упругие деформа-
ции, а затем (при достаточно большой величине сил) полу-
чаются уже пластичные деформации. Однако некоторые
материалы разрушаются раньше, чем возникает пластич-
ная деформация. Такое свойство материалов называется
хрупкостью. Например, белый чугун и стекло —
хрупкие материалы.
Отметим, что твердость материала — условное
понятие, так как нет единого подхода к определению твер-
дости и к методам ее измерения. Твердость тела можно
оценить относительно другого тела. Тот материал, кото-
рый оставляет царапины на поверхности другого материа-
ла, считается более твердым, например алмаз тверже
стекла.
Твердость материала влияет на величину трения каче-
ния (см. § 55), поэтому в качестве материала для шарико-
вых подшипников берется твердая сталь. При малой пло-
щади соприкосновения твердость материала имеет значе-
ние и для трения скольжения, например, у точных весов
опоры для коромысла и подвеса чашек делаются из твердо-
го материала, уменьшающего трение. Опоры для осей в
часовом механизме делаются из наиболее твердых материа-
лов: рубина и агата.
Отметим, что описанные свойства материалов зависят
от внешних условий. При изменении температуры и давле-
ния они могут значительно изменяться. Например, при
температуре —100° С свинец становится упругим (свинцо-
вый колокольчик звенит), а сталь при очень больших дав-
лениях становится пластичной.
§ 76. Напряжение в материале. Закон Гука. Проведем
мысленно поперечное сечение стержня, площадь которого
обозначим S (рис. 79,а). Это сечение разделяет стержень на
две части: верхнюю и нижнюю. Тогда действие верхней
части деформированного тела на нижнюю можно заменить
силой F, которую называют внутренней силой.
Сила F должна быть равна силе Fx, если пренебречь весом
стержня, иначе равновесие нижней части не сохранится.
Аналогично нижняя часть в сечении S действует на верх-
нюю с силой F', равной F, но направленной в противопо-
ложную сторону. Таким образом, в сечении деформирован-
ного тела плоскостью, вообще говоря, действуют внутренние
153
силы, которые создают внутри тела напряжение,
обозначаемое буквой о (греческая буква «сигма»).
Механическим напряжением называется величина, из-
меряемая внутренней силой, действующей на единицу пло-
щади сечения деформированного тела,
<у=~. (6.2)
О
Формула (6.2) верна, если внутренняя сила равномерно
распределена по всей площади сечения.
Выведем единицу напряжения
1 кг'м
__ F ________ 1 н _ сек2 ___. кг _____. н
О S » а 1ж2 |ж2 м-сек2 м2
В системе СИ за единицу механического напряжения
принимается такое напряжение в материале, при котором
на площадь в 1 м* равномерно действует сила в 1 н.
В технике часто пользуются внесистемной единицей напряжения
_ [кГ _ кГ
° S’ ° 1мм2 ~~ мм2
~ н
Сравним эту единицу с
1 -^Т = Т-^2-= |П-6И 2 =9-8' 106 Л-
мм2 1 мм2 10 6 м2 м2
Итак,
Различают нормальное он и касательное ок напряжения.
Если сила F направлена перпендикулярно сечению, то
напряжение называется нормальным, а если па-
раллельно сечению, то касательным.
Связь между упругим напряжением и относительной
деформацией была установлена английским ученым Р. Г у-
ком (1635—1703 гг.) и называется з а к о н о м Г у к а:
механическое напряжение упруго деформированного тела
прямо пропорционально относительной деформации
o = k&.
(6.3)
154
Величина k, характеризующая зависимость механиче-
ского напряжения в материале от рода этого материала,
называется модулем упругости.
Модуль упругости измеряется механическим напряже-
нием, возникающим в материале при относительной де-
формации, равной единице.
§ 77. Упругие деформации продольного растяжения и
сжатия. Модуль Юнга. Выясним, от чего зависит абсолют-
ная деформация при продольном сжатии и растяжении.
Закон Гука для продольного растяжения и сжатия выра-
жается следующей формулой:
ои = £у. (6.4)
Модулем упругости в этом случае является величина Е,
называемая модулем Юнга. Выясним физический
смысл модуля Юнга. Из (6.4) имеем
Z
Представим себе, что длина деформированного образца
возросла вдвое, т. е. Д/=/, тогда относительная деформа-
ция равна единице и Е численно равно он.
Модуль Юнга измеряется нормальным напряжением,
которое должно возникнуть в материале при увеличении
длины образца вдвое (т. е. при относительной деформации,
равной единице). Единицы для измерения модуля Юнга
такие же, как для напряжения.
Отметим, что практически нет таких материалов (кро-
ме резины), которые выдерживали бы нагрузки, вызываю-
щие относительную деформацию, равную единице, так
как тело разрушается при значительно меньших напряже-
ниях. Значения модуля Юнга для различных материалов
рассчитываются по формуле (6.5) по данным, полученным
из опытов, проведенных в пределах упругих деформаций.
Приравняв правые части формул (6.4) и (§.2), получим
„А/ F
Е -г = -Q-, откуда
I
(6.5)
155
Таким образом, абсолютная деформация при продоль-
ном растяжении или сжатии прямо пропорциональна дей-
ствующей на тело силе и длине тела, обратно пропорцио-
нальна площади поперечного сечения тела и зависит от рода
вещества.
§ 78. Разрушающая нагрузка. Запас прочности. Наи-
большее напряжение в материале, после снятия которого
форма тела восстанавливается, называется пределом
упругости. Если при постепенном увеличении дей-
ствующих на тело сил (нагрузки на тело) предел упругости
окажется пройденным, то закон Гука будет уже неприме-
ним, так как при этом возникает явление текучести,
т. е. увеличение деформации без изменения приложенных
к телу сил. Затем через небольшое время деформация пере-
станет возрастать, т. е. стабилизируется. При дальнейшем
увеличении нагрузки относительная деформация снова
начинает возрастать, но не пропорционально напряже-
нию в материале — деформация становится пластичной.
При достаточно большом цапряжении наступает момент,
когда при той же нагрузке напряжение в материале начи-
нает уменьшаться, а деформация возрастать, и затем об-
разец разрушается.
Нагрузка, при которой возникает наибольшее возможное
напряжение в материале, называется разрушающей.
Для того чтобы детали машины не разрушались при ее
работе вследствие возникающих в материале напряжений,
необходимо иметь запас прочности в наиболее
опасных точках конструкции. Его определение и состав-
ляет основную цель расчетов при конструировании машин.
Запасом прочности называется величина, показываю-
щая, во сколько раз опасное для материала напряжение в
наиболее ответственной точке конструкции больше макси-
мального фактического напряжения, возникающего в этой
же точке при работе конструкции, или во сколько раз опас-
ная нагрузка больше максимальной фактической.
§ 79. Давление и единицы его измерения. Когда твер-
дое тело имеет площадь опоры, то сила нормального давле-
ния на опору (дальше мы будем называть ее просто силой
давления) является равнодействующей всех параллельных
сил, действующих в отдельных точках соприкосновения
тела с опорой. На рис. 85, а, б изображен усеченный
конус, в одном случае опирающийся на большое основа-
156
Рис. 85. Давление, оказываемое
конусом на опору, в положении
б) больше, чем в положении а).
ние, а в другом—на малое. Полная сила давления в
обоих случаях одинакова и равна весу конуса. Это озна-
чает, что на каждую единицу площади соприкоснове-
ния конуса с опорой в
положении б действует
большая сила, чем в по-
ложении а. Но в таком
случае опора в точках
соприкосновения с ко-
нусом в положении б)
деформирована больше,
чем в положении а).
Поверхность может
выдержать деформацию,
не превышающую оп-
ределенного предела.
Если деформация будет больше предельной, то поверхность
разрушится. Когда площадь соприкосновения тела с опо-
рой очень мала, то даже при действии сравнительно неболь-
шой силы давления деформация опоры в точках соприкос-
новения с телом может оказаться больше предельной, что
вызовет разрушение поверхности. На практике мы поль-
зуемся этим, проделывая шилом отверстия в коже, в
дереве и т. п.
G другой стороны, когда на поверхность действует
большая сила давления, а точек соприкосновения тела с
поверхностью много (большая площадь опоры), то в каждой
такой точке действует сравнительно небольшая сила, и
деформация поверхности оказывается меньше предельной.
В этом случае поверхность может выдержать действие даже
очень большой силы давления, например, гусеничный трак-
тор легко перемещается по вспаханному полю, а человек
на лыжах — по рыхлому снегу.
Таким образом, действие силы давления на поверхность
зависит не только от величины этой силы, но и от площади,
на которую она действует, и характеризуется величиной,
называемой давлением и обозначаемой буквой р.
Давление измеряется силой нормального давления, дей-
ствующей на единицу площади соприкосновения тел,
Fa
p=s-
(6 6)
157
Выведем единицу измерения давления в системе СИ
кг-м
_ , _ 1 н __ сек2 ____J кг _____, н
Р ~ S ’ & 1 м2 1м2 м-сек2 м2
В системе СИ за единицу давления принимается давле-
ние, создаваемое силой нормального давления в 1 н на пло-
щадь в I м2.
На практике применяются еще следующие единицы давления:
1кГ.кГ
р=-$; р = - = 1 = lam (атмосфера техническая).
Технической атмосферой называется давление, производимое си-
лой в 1 к Г на площадь в 1 сл*2.
Как известно, давление, производимое жидкостью на глубине
h и обусловленное весом жидкости, определяется формулой
Р = Р^,
(6.7)
где р — плотность жидкости.
Вторая дополнительная единица давления — миллиметр ртут-
ного столба (мм рт. ст.).
Миллиметром ртутного столба называется давление, произ-
водимое столбом ртути высотой в один миллиметр на горизон-
тальную поверхность.
Сравним дополнительные единицы давления с единицей давле-
ния в системе СИ
1 ат
1 кГ
1 см2
9,81 н
10 “4ж2
9,81•10« «
м2
1мм рт. ст. = 13,6-103 ~ -9,81 1О-®Л1=133 .
г м3 сек2 м2
Из этих соотношений имеем
1 мм рт. ст. =0,00136 ат.
Как известно, нормальное давление атмосферного воздуха
считается равным давлению 760 мм рт. ст. Давление, производимое
столбом ртути высотой 760 мм на горизонтальную поверхность,
называется физической атмосферой (обозначается атм):
1 атм— 1,034 ат = 1,013-105 .
м2
В системе СГС за единицу давления принимается дин-см2
_ __ 1 дин
р~~8~~Гсм*
н _ I05 дин
м2 104 см 2
ГЛАВА?
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ- ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
ЭНЕРГИИ
§ 80. Понятие о механической работе. Слесарь выпол*
няет работу, когда обтачивает напильником металличе-
ское изделие, столяр — стругая рубанком доску или заби-
вая в нее гвоздь, носильщик — поднимая по лестнице
чемодан и т. д. Что общего в приведенных примерах?
Во-первых, общим здесь является наличие силы, с ко-
торой человек действует на тело, во-вторых,— перемеще-
ние тела (напильника, рубанка, чемодана) в направлении
действия силы. Для того чтобы выполнялась работа, обя-
зательно должно происходить перемещение тела под дейст-
вием силы. Например, электровоз, движущий вагоны, подъ-
емный кран, поднимающий груз, вода, приводящая в
действие турбину,— совершают работу. Поскольку работа
такого рода связана с перемещением тел, ее называют
механической работой.
Без действия силы не может быть механической работы.
Это означает, что механическая работа может выполняться
только в процессе взаимодействия между телами. Когда
тело движется по инерции и не взаимодействуете другими
телами, механическая работа не производится.
Если на тело действуют силы, но оно остается в покое
относительно тел, создающих эти силы, то механическая
работа также не производится. Так, если на полу стоит
ящик, то нельзя сказать, что при этом выполняется работа,
хотя на ящик и действуют силы (реакция опоры и сила
тяжести). Если груз, подвешенный к крюку подъемного
крана, неподвижно висит в воздухе, то механическая ра-
бота также не совершается.
159
В обиходе работой называют всякий процесс, кото-
рый человек выполняет при своей трудовой деятельности.
Физика же изучает явления, которые могут происходить
в природе и без участия человека, поэтому далеко не все,
что выполняет человек в процессе труда, в физике может
быть названо работой. Физическая сущность работы рас-
сматривается в следующем параграфе.
§ 81. Превращение различных форм движения материи
в механическую форму и обратно при выполнении ра-
боты. Изучение процессов, при которых совершается
механическая работа, показывает, что одновременно с ра-
ботой всегда происходит превращение одних форм дви-
жения материи в другие или передача движения от одного
тела к другому. Приведем несколько примеров, подтвер-
ждающих сказанное.
Когда установленный на троллейбусе или соединенный
со станком электродвигатель включается в электрическую
сеть, то возникают силы, приводящие его в действие, и
троллейбус или детали станка приходят в механическое
движение. Следовательно, при этом выполняется механи-
ческая работа и одновременно электрическая форма дви-
жения материи превращается в механическую.
Если направить струю пара на лопатки рабочего ко-
леса турбины, то колесо начинает вращаться, а пар ох-
лаждается. Следовательно, в этом случае одновременно
с выполнением работы тепловая форма движения материи
превращается в механическую форму. Аналогичные про-
цессы происходят и при работе тепловой машины, авто-
мобильного двигателя и т. п.
Из закона инерции следует, что движущееся тело может
остановиться или замедлить свое движение только при
действии сил, направленных противоположно скорости
движения, т. е. опять-таки в процессе выполнения работы.
Например, скатившиеся с горы санки или автомобиль
после выключения двигателя движутся замедленно под
действием сил сопротивления. Оказывается, что в этих
случаях одновременно с выполнением работы механиче-
ская форма движения превращается в тепловую форму
движения материи. Действительно, тормозные колодки
и колеса при трении нагреваются. Нагревание происходит
также при трении полозьев санок о снег или автомобиль-
ных шин о мостовую.
160
В других случаях одновременно с выполнением ра-
боты механическое движение может превращаться не
только в тепловое, но и в иные формы движения материи.
Кроме того, механическая работа выполняется еще и при
передаче механического движения от одного тела к дру-
гому, например при столкновении биллиардных шаров.
На основании изложенного можно сделать следующий
вывод:
превращение механического движения в другие формы,
движения материи и обратно, а также передача меха-
нического движения от одного тела к другому всегда сопро-
вождается механической работой.
Этот вывод позволяет предположить, что именно ра-
бота должна служить количественной мерой
превращения механического движе-
ния в различных явлениях природы и техники. Все
дальнейшее развитие физики подтвердило правильность
такой точки зрения на механическую работу. Установим
теперь, как можно найти величину проделанной работы.
§ 82. Величина механической работы. Если поезд рав-
номерно движется под действием постоянной силы тяги
электровоза, то на каждом километре пути электровоз
выполняет одну и ту же работу. Работа, совершенная на
участке пути длиной 2 км, будет, очевидно, вдвое больше
работы, выполненной на участке пути длиной 1 км. Это
означает, что работа прямо пропорциональна пути.
Когда подъемный кран поднимает груз на высоту h,
то он выполняет некоторую работу. Если кран вторично
поднимает такой же груз на ту же высоту, то он выпол-
няет второй раз такую же работу. Но всю эту работу кран
мог выполнить, поднимая сразу двойной груз на задан-
ную высоту h, увеличивая силу тяги вдвое. Следователь-
но, работа прямо пропорциональна силе, действующей на
тело при его перемещении.
На основании изложенного имеем:
величина, количественно характеризующая передачу
и превращение механического движения в другие формы
движения материи или обратно в явлениях природы и
техники, называется механической работой.
Механическая работа измеряется произведением силы
на путь, пройденный телом в направлении, по которому
действует сила.
6 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
161
Если А — работа, s — пройденный путь и F — дей-
ствующая в направлении движения сила, то
A =Fs.
(7.1)
Однако бывают случаи, когда тело движется не по на-
правлению силы, например, лошадь тянет телегу или че-
ловек — санки под углом к поверхности Земли. Выясним,
как определяется величина работы в этих случаях.
Пусть по поверхности Земли движется тело под дей-
ствием силы F, составляющей угол а с направлением пере-
мещения тела (рис. 86). Подсчитаем работу силы F на
пути $. Для этого нужно знать величину той действующей
на тело силы, которая на-
правлена вдоль пути s.
Разложим силу F на две
составляющие Fi и F2 так,
чтобы сила Fi была направ-
лена вдоль s, а сила F2 —
перпендикулярно к s. Это
всегда возможно, так как
всякую силу F можно раз-
ложить на составляющие
(§ 64). Так как сила F2 не
влияет на перемещение те-
ла вдоль пути s, а лишь
Землю, то ясно, что она не
Рис. 86. Для вычисления работы
силы F, направленной под углом
к перемещению s, нужно найти
составляющую F±.
определяет давление тела на
влияет на величину работы, совершенной при перемещении
тела вдоль пути s. Следовательно, величина работы вы-
ражается формулой
A = F1S.
(7.1а)
С помощью тригонометрии находим, что F1=Fcosa.
Заменив в (7.1а) силу Fr ее значением, получим формулу
для вычисления работы, когда направления силы и пути
не совпадают
A = Fs cos а. (7.2)
Из формулы (7.2) следует, что работа силы F может
быть и отрицательной, так как косинус тупого угла отри-
162
цателеи. Все случаи механической работы можно свести
к двум основным. Первый случай, когда угол а острый
и сила Fi направлена в сторону движения. Второй слу-
чай, когда угол а тупой и сила FL направлена противопо-
ложно движению.
В первом случае сила должна увеличивать скорость
движения тела. Работа при этом получается положи-
тельной. Когда тело свободно падает, то сила тяжести
увеличивает скорость движения тела и работа этой силы
положительна; когда поезд отходит от станции, то поло-
жительна работа силы тяги электровоза.
Вообще полоокителъна всякая работа, результатом ко-
торой является увеличение скорости механического дви-
жения, т. е. превращение в механическое движение каких*
либо других форм движения материи.
Во втором случае сила должна замедлять движение
тела. Работа такой силы будет отрицательной.
Отрицательна, например, работа силы тяжести при дви-
жении тела, брошенного вертикально вверх. Отрицатель-
на всякая работа, результатом которой является прев-
ращение механического движения в другие формы движения
материи.
Отметим, что работа силы тяжести вычисляется по
формуле
A = Ph.
(7-3)
Здесь h обозначает изменение положения центра тяжести
тела относительно поверхности Земли по вертикали в
процессе работы, а Р — силу тяжести.
Рассмотрим еще один случай выполнения механиче-
ской работы. Допустим, что подъемный кран равномерно
поднимает бревно. В этом случае сила тяги направлена
в сторону движения бревна и ее работа положительна.
Но скорость движения остается постоянной, а не увели-
чивается. Это может быть при условии, что одновременно
совершается процесс, при котором выполняется отри-
цательная работа. Действительно, кроме силы тяги, на
бревно действует сила тяжести. Поднимая бревно,
кран совершает работу против силы тяжести. При этом
положительная работа силы тяги равна отрицательной
6*
163
работе силы тяжести, т. е. сколько механического движе-
ния добавляется бревну за счет положительной работы,
столько же убавляется за счет отрицательной работы.
Сказанное относится и к равномерному движению поезда
или автомобиля: положительная работа силы тяги дви-
гателя равна отрицательной работе сил сопротивления
движению поезда или автомобиля, а их механическое
движение остается неизменным.
Если силы сопротивления при равномерном движении
тела под действием силы тяги существуют только в про-
цессе движения тела и перестают действовать при исчез-
новении силы тяги, то механическое движение, которое
должна была сообщить телу сила тяги, полностью пре-
вращается в другие формы движения материи, что мы
видели на примере движения поезда или автомобиля.
Если же силы, противодействовавшие силе тяги в про-
цессе движения тела, продолжают действовать на него
и после исчезновения силы тяги, то они затем могут
сообщить телу столько же механического движения,
сколько должна была сообщить сила тяги при отсутствии
сил сопротивления. При этом изменится на обратное
лишь направление скорости движения тела.
В рассмотренном выше примере с бревном вила тяги
не увеличила скорости движения бревна, но привела его
в такое положение относительно поверхности Земли, что
продолжающая действовать на него сила тяжести в даль-
нейшем может сообщить бревну то механическое движе-
ние, которое должна была сообщить ему сила тяги. Так,
при свободном падении бревна на Землю скорость его
будет возрастать, причем чем выше поднято бревно, тем
большую скорость оно приобретет при падении.
Аналогичное явление наблюдается, когда сила тяги
упруго деформирует тело. Если к двери приделана пру-
жина, то, открывая дверь, мы смещаем витки пружины
относительно друг друга, что приводит к возникновении?
сил упругости. Эти силы сообщат двери механическое
движение, когда мы ее отпустим.
§ 83. Единицы измерения работы. Выведем единицу
измерения работы в системе СИ
A — Fs-, А = 1 м = 1-^=1 дж
(джоуль).
164
В системе СИ за единицу работы принимается
джоуль. Свое название эта единица получила в честь
английского ученого Д. Джоуля (1818—1889 гг.).
Джоулем называется работа, совершаемая силой в один
ньютон на пути в один метр, пройденном в направлении
действия силы. Работу, равную 1 дж, мы выполняем, рав-
номерно поднимая груз 102 Г на высоту 1 м.
Выведем единицу работы в физической системе (СГС)
Л „ Л 1 1 1 г-с/и , , г-см2 ,
А = 1 дин-l см=А---^-1см~1 ----1 эрг.
сек,2 сек2
В системе СГС за единицу работы принимается эрг. Название
«эрг» происходит от греческого слова «эргон» — работа.
Эргом называется работа, совершаемая силой в одну дину на
пути в один сантиметр. Эрг — очень маленькая единица работы.
Например, равномерно поднимая монету в одну копейку на высоту
одного сантиметра, мы выполняем работу, равную 981 эрг.
Сравним джоуль с эргом
1 дж—\ н-\ м= 103 дин-102 сж=107 эрг.
§ 84. Мощность. Пусть, например, нужно вскопать
200 м2 почвы. Человек на выполнение этой работы за-
тратит целый день, лошадь — около часа, а трактором
можно вспахать такую площадь в течение нескольких
минут. Трактор работает значительно быстрее лошади,
а лошадь — быстрее человека.
Величина, характеризующая скорость выполнения ра-
боты двигателем, называется его мощностью.
Мощность двигателя измеряется работой, выполняе-
мой двигателем в единицу времени,
(7.4)
Следовательно, мощность — важнейшая характеристика
двигателя, оценивающая его производитель-
ность, т. е. показывающая, на какую скорость работы
он рассчитан.
§ 85. Выражение мощности через силу и скорость дви-
жения. Мощность можно выразить через силу и ско-
рость равномерного движения. Для этого надо восполь-
165
зоваться формулой (7.4), заменив в ней работу ее значе-
нием из формулы (7.1). Тогда получим
N==T
При равномерном движении у=v, поэтому окончательно
имеем
N = Fv,
(7.5)
т. е. мощность прямо пропорциональна силе и скорости
движения.
Чем быстрее движется поезд, тем большую мощность
должен развивать электровоз. Если при работе подъем-
ного крана увеличивать скорость подъема данного груза,
то соответственно должна увеличиваться и мощность
двигателя. Если при той же скорости подъема увеличить
вес груза, а следовательно, и подъемную силу крана, то
необходимо также соответственно увеличить мощность
двигателя.
При переменном движении мощность изменяется, и для
каждого момента времени нужно брать мгновенную
мощность Nt. Ее можно рассчитать по формуле (7.5),
подразумевая под v мгновенную скорость vt.
Если же требуется вычислить среднюю мощ-
ность на данном отрезке пути, можно также восполь-
зоваться формулой (7.5), подразумевая под v сред-
нюю скорость движения аср на этом отрезке пути.
В зависимости от условий работы машин двигатели
рассчитывают на различные мощности. Правильный
выбор двигателя для машины — одна из важнейших
технических задач.
Один и тот же двигатель в зависимости от ма-
шины, которую он приводит в действие, может рабо-
тать с различной мощностью. Работа двигателя тем эко-
номичнее, чем ближе развиваемая им мощность к той, на
которую он рассчитан. Поэтому для каждой машины
нужно подбирать двигатель, мощность которого соответ-
ствовала бы мощности машины.
166
§ 86. Единицы измерения мощности. Выясним, в ка-
ких единицах измеряется мощность в системе СИ
кг- м2
А лт 1 дж сек2 . кг-м2 . , ч
N = — - N = ------= -------= 1 —- = 1 etn (ватт).
t 1 сек 1 сек сек* v '
В системе СИ за единицу мощности принимается
ватт.
Ваттом называется такая мощность, при которой
за каждую секунду совершается работа в один джоуль.
Ватт — мелкая единица мощности, поэтому на прак-
тике часто пользуются более крупными дополнительными
единицами мощности: гектоваттом (гвт), киловаттом (кет)
и мегаваттом (Мет)
1 гвт=100 вт,
1 квт~ 1000 вт,
1 Мвт~ 1000 000 вт — 1000 кет.
Выведем единицу мощности в системе СГС
! г-см2
А /у—1 эРг— сек? _ 1г’сж2_ 1 эРг
~~ t * ~~ 1 сек 1 сек сек3 сек
В системе СГС за единицу мощности принимается мощность
двигателя, который в каждую секунду совершает работу в один эрг.
Мощность 1 — очень мала. Она меньше мощности, развивае-
сек
мой комаром при полете.
В технике за единицу мощности иногда принимают «лошади-
ную силу» (сокращенно л. с.)-
Лошадиной силой называется мощность такого двига-
теля, который в каждую секунду совершает работу в 736 джоулей, т.е.
1 л. с. =736 вт.
Следует обратить внимание на то, что «лошадиная сила» —
устаревшая единица мощности и применяется на практике все реже.
Кроме того, она имеет неправильное название: мощность не явля-
ется силой.
1 1 эрг
Сравним 1 ет с 1 -£—:
сек
, 1 дж 107 эрг , эрг
1 вт—-.---= -:--— =107 — .
1 сек 1 сек сек
§ 87. Дополнительные единицы работы, выведенные
из формулы мощности. Часто удобно пользоваться еди-
ницами работы, выведенными из формулы мощности.
167
В настоящее время их широко применяют при измерении
работы, производимой электрическим током.
Выведем эти единицы. Из формулы (7.4) имеем
A=^Nt. (7.6)
Теперь подставим в формулу (7.6) вместо N и t еди-
ницы их измерения в системе СИ:
А = 1 вт-1 сек=1 вт-сек (ватт-секунда).
Нетрудно понять, что при этом мы не ввели новой еди-
ницы работы, а просто единице работы — джоулю —
дали новое название «ватт-секунда».
Однако если мы применим тот же прием, приняв за
единицу времени час, то получим новую единицу работы:
А = 1 втЛ ч=Л вт-ч (ватт-час).
Ватт-часом называется работа, совершаемая за один
час двигателем мощностью в один ватт. Это значит, что
1 #/п-4 = 3600 дж.
Преимущество введенной нами единицы работы за-
ключается в том, что, вычисляя работу по формуле (7.6),
время можно брать не в секундах, а в часах при мощности,
выраженной в ваттах.
Кроме ватт-часа, в качестве дополнительных единиц
работы применяются еще гектоватт-час (гвт-ч) и кило-
ватт-час (кет • ч)
1 гвт-ч— 100 ят-4 = 360 000 дж,
1 квт-ч — 1000 вт‘Ч= 3 600000 дж.
§88. Коэффициент полезного действия машин. Каж-
дая машина приводится в действие двигателем и пред-
назначается для выполнения определенной работы. Так,
токарный станок служит для обработки деталей, свер-
лильный станок — для просверливания отверстий, подъ-
емный кран — для подъема тяжестей и т. д. Любая маши-
на действует благодаря работе двигателя. Однако двига-
тель, приводя в действие машину, выполняет, помимо
этой работы, еще ненужную, но неизбежную работу, на-
пример, против сил трения и т. д. Поэтому двигатели
всегда выполняют большую работу, чем приводимая ими
в действие машина. Назовем работу, совершаемую маши-
168
ной по ее прямому назначению, полезной и обозначим
ее Лп, а всю совершаемую двигателем работу—затра-
ченной и обозначим ее Аа. Избавиться совершенно от
ненужной работы при действии машины нельзя, но ее можно
значительно уменьшить. Очевидно, машина будет тем
экономичнее, чем большую часть затраченной работы со-
ставит полезная работа.
• Величина, характеризующая экономичность машины,
называется коэффициентом полезного действия. Коэффи-
циент полезного действия обозначается буквами к. п. д.
или греческой буквой т) («эта»).
Механический коэффициент полезного действия ма-
шины измеряется отвлеченным числом, показывающим, ка-
кую часть всей работы, затраченной на приведение маши-
ны в действие, составляет ее полезная работа
(77)
Коэффициент полезного действия всегда меньше еди-
ницы. Чем ближе к. п. д. к единице, тем экономичнее ма-
шина.
При расчете по формуле (77) к. п. д. выражается деся-
тичной дробью. К. п. д. нередко выражают в процентах.
Тогда формула (77) примет вид
Г] = ^. 100%.
(7.8)
Поскольку полезная работа и затраченная работа со-
вершаются в течение одинакового времени, то АП и А3 в
формулах (7.7) и (7.8) можно заменить их значениями из
формулы (7.6) и сократить на t. Тогда получим формулу
для вычисления к. п. д. через полезную и затраченную
мощности
(7.9)
100%.
(7.10)
или
169
§ 89. Простые механизмы. Работа на наклонной пло-
скости. Происходившее в XVII—XVIII вв. бурное раз»
витие капитализма в Европе привело к замене ручного
труда машинным. Создание новых машин требовало зна-
ния законов механики и способствовало ее стремительному
развитию, завершившемуся замечательными работами
Ньютона, являющимися фундаментом классической меха-
ники и имеющими большое значение и для настоящего
времени. Сложные ма-
шины создавались на
основе комбинирован-
ных соединений про-
стых механизмов. Основ-
ные простые механиз-
мы — наклонная пло-
скость и рычаг. Без
Рис. 87. Наклонная плоскость выиг-
рыша в работе не дает, так как Fl~Ph.
знания принципов их
действия нельзя разобраться в работе машин. В § 65 было
показано, что наклонная плоскость дает выигрыш в силе,
но дает ли она выигрыш в работе?
Пусть тело М нужно поднять на высоту h (рис. 87).
Если тело поднимать по наклонной плоскости, то при рав-
номерном движении его надо переместить на расстояние I
силой F, равной Рск, если пренебречь трением (§ 65).
Тогда работа Аг силы F на пути I будет
A^Fl.
Если же тело М поднимать равномерно без наклонной
плоскости по пути Л, приложив к нему силу Р, равную
его весу, то работа А2 выразится формулой
Но из формулы (5.5) следует, что
Fl = Ph. ' (7.11а)
Следовательно,
ДХ = Л2. (7.116)
Таким образом, наклонная плоскость выигрыша в работе
не дает.
В действительности работа Аг будет больше А2, так
как при подъеме тела по наклонной плоскости придет-
ся выполнить дополнительную работу по преодолению
трения;
170
Наклонная плоскость и ее видоизменения (винты,
гайки, клинья) применяются как в машинах, так и непо-
средственно: для подъема тяжестей в кузов автомобиля,
при колке дров и т. д. Подъезды к мостам и спуски с них
представляют собой наклонные плоскости.
Выясним, как можно подсчитать работу при подъеме
тела весом Р между двумя горизонтальными уровнями на
высоту h по произвольному пути (рис. 88). Разобьем весь
Рис. 88. Работа при равномерном подъеме тела между двумя гори-
зонтальными уровнями Б и В при отсутствии трения не зависит от
формы пути и выражается формулой A —Ph.
этот путь на большое число очень малых отрезков, каж-
дый из которых можно принять за маленькую наклонную
плоскость. Тогда работа при перемещении тела между
уровнями В и Б будет равна сумме работ, произведенных
при подъеме тела по каждой из этих наклонных плоско-
стей.
Из формулы (7.11а) следует, что работа при движении
тела по одной из них равна произведению веса тела Р на
высоту этой наклонной плоскости, поэтому полная ра-
бота будет равна произведению Р на сумму высот всех
плоскостей, которая равна высоте h подъема тела. Таким
образом, вся работа при перемещении тела выражается
формулой
A = Ph.
Работа, выполняемая при равномерном подъеме груза
между двумя горизонтальными уровнями, без учета тре-
ния и сопротивления среды, не зависит от формы пути и
может быть вычислена по формуле (7.3).
171
То же самое можно сказать о работе силы тяже-
сти, перемещающей тело с более высокого горизонталь-
ного уровня на более низкий.
Отметим, что в формуле (7.3) под h подразумевается
изменение положения центра тяжести тела по вертикали.
§ 90. Рычаги и их применение. Для того чтобы припод-
нять или сдвинуть тяжелый предмет, часто пользуются
Рис. 89. Рычаг выигрыша в работе
не дает, так как F1A1=F2A2.
рычагом, который
представляет собой стер-
жень, имеющий точ-
ку опоры или ось вра-
щения.
Поскольку рычаг под
действием приложенных
к нему сил может только
повертываться вокруг
оси (рис. 89, а, б), усло-
вие его равновесия оп-
ределяется правилом
моментов. При буквен-
ных обозначениях, ко-
торые даны на рис. 89,
для обоих рычагов верна
формула
— ^*1/1 Н" ^2^2 0
или
Fx/i == F2l2.
Составив из послед-
него равенства пропор-
цию, получим формулу, показывающую, что при равно-
весии рычага силы обратно пропорциональны плечам
F3 h ’
(7.12)
Из формулы (7.12) видно, что рычаг дает выигрыш, в
силе во столько раз, во сколько раз одно плечо рычага больше
другого.
Чем ближе к точке опоры приложена сила Г2 и чем
дальше — сила тем больший выигрыш в силе мы по-
J72
лучим, т. е. тем меньшая сила F± понадобится для того,
чтобы уравновесить данную силу Г2.
Перемещая конец рычага В силой в точку BL, мы
выполним работу At. В то же время рычаг выполнит ра-
боту А2, переместив точку приложения силы F2 из точки
К в точку Докажем, что эти работы равны.
Из подобия треугольников БВГГ и БК^Д следует
К1Д..
В±Г БВ± ’
Но БК^—!^ a BB^l^ как радиусы одной и той же дугш
Таким образом, имеем
^2 /2
hi 11
Сравнивая эту формулу с формулой (7.12), мы ви-
дим, что правые части у них равны. Значит, равны и их
левые части
Р2
ИЛИ
F^ = F2h2.
Но Fihi представляет собой работу At и F2h2— работу А2о
Следовательно,
А^А2. (7.13)
Итак, рычаг выигрыша в работе не дает. В действитель-
ности из-за трения At больше Л2. Пользуясь рычагом на
практике, мы проигрываем в работе. Выгода применения
рычага заключается в том, что он позволяет перемещать
такие тяжести, которые человек сам непосредственно пе-
редвинуть не может.
Многие инструменты: плоскогубцы, тиски, ножни-
цы и т. п., представляют собой рычаги специального на-
значения.
§ 91. Вечный двигатель первого рода. Золотое правило
механики. В период начального развития машинной
техники много трудов было затрачено изобретателями на
постройку вечного двигателя (латинское название «пер-
петуум-мобиле»).
173
Вечным двигателем первого рода называли такую ма-
шину, которая, начав двигаться, продолжала бы свое дви-
жение самостоятельно до полного износа деталей и давала
выигрыш в работе, С этой целью было придумано и по-
строено много хитроумных машин. Однако ни одна из них
не только не давала выигрыша в работе, но и не могла
поддерживать собственное движение без постороннего
двигателя.
Постоянные неудачи изобретателей вечного двигателя
привлекли к этой задаче внимание ученых. Точный анализ
показал, что невозможно, используя любые механизмы,
получить выигрыш в работе. Получение выигрыша в силе
с помощью механизмов обязательно приводит к проигры-
шу в расстоянии.
Полученные результаты были сформулированы в виде
правила, которое получило название «золотого правила
механики»:
ни одна машина не может дать выигрыша в работе,
а дает выигрыш в силе за счет проигрыша в пути или вы-
игрыш в пути за счет проигрыша в силе.
Глубокое рассмотрение этих вопросов привело уче-
ных к одному из основных понятий механики — понятию
энергии.
§ 92. Механическая энергия. Как было показано
выше, действие сил трения и сопротивления среды на
движущееся тело приводит к превращению механического
движения в тепловое движение, поэтому при использова-
нии машин и получается проигрыш в работе. Однако мы-
сленно можно представить себе идеальный случай, когда
в машине нет трения и других вредных сопротивлений.
Такая машина имела бы к. п. д., равный единице, т. е.
производила бы столько же работы, сколько затрачивали
работы на приведение машины в действие. В идеализиро-
ванных процессах такого рода может происходить лишь
преобразование механического движения или его пере-
дача от тела к телу, но не будет получаться превращения
механического движения в другие формы движения мате-
рии. Назовем такие идеализированные процессы чисто
механическими.
Поскольку ни одна машина не дает выигрыша в рабо-
те, а проигрыш в работе обусловлен наличием вредных
сопротивлений, то, если пренебречь последними, т. е.
174
рассматривать чисто механические процессы, можно сде-
лать следующий вывод:
если какое-либо тело по тем или иным причинам может
совершить работу, то его работоспособность не может
исчезнуть бесследно. Когда это тело будет выполнять ра-
боту, то оно обязательно либо приведет в движение другие
тела, либо изменит их положение так, что они после
этого сами смогут выполнить такую же работу.
Для характеристики этой особенности механических
процессов вводится новая физическая величина, назы-
ваемая энергией. Механическая энергия тела изме-
ряется той работой, которую может произвести это
тело при передаче своего механического движения другим
телам или при изменении своего положения в пространстве
под действием силы тяжести или сил упругости.
Пусть система тел находилась в каком-либо состоя-
нии I, а затем под действием внешних сил она перешла
в другое состояние //. Если в первом состоянии система
имела энергию Eif а во втором —энергию Ец, то
A = Ец —Ei,
где А — работа внешних сил.
Изменение механической энергии системы пропор-
ционально работе, совершенной внешними силами, прило-
женными к системе.
Из определения механической энергии видно, что еди-
ницами для ее измерения являются единицы ра-
боты: джоуль, эрг и т. д.
Поскольку механической энергией обладает либо дви-
жущееся тело, либо поднятое над Землей или упруго
деформированное тело, механическую энергию удобно
подразделить на кинетическую и потенци-
альную.
Кинетической называется энергия, обусловленная ме-
ханическим движением тела и измеряемая работой, ко-
торую тело может выполнить до полной остановки.
Например, летящая пуля обладает кинетической энер-
гией.
Потенциальной называется энергия, обусловленная по-
ложением взаимодействующих тел или частей тела отно-
сительно друг друга и измеряемая работой, которую тело
может выполнить при перемещении {без изменения
175
скорости) из одного положения в другое. Следовательно,
поднятое над Землей или упруго деформированное тело
обладает потенциальной энергией.
Условимся сумму потенциальной и кинетической энер-
гий какого-либо тела называть полной механической энер-
гией этого тела.
§ 93. Кинетическая энергия. Движущийся молоток
обладает кинетической энергией и при ударе о гвоздь
забивает его, выполняя работу за счет своей кинетиче-
ской энергии. Движущийся автомобиль также обладает
кинетической энергией: если выключить мотор во вре-
мя движения автомобиля, то он не останавливается
сразу, а продолжает двигаться в течение некоторого
времени, выполняя работу за счет своей кинетической
энергии.
" При обработке металлических изделий в кузнице ис-
пользуют кинетическую энергию молота, ударами кото-
рого придают изделию нужную форму. Первоначальную
грубую обработку изделия производят тяжелым молотом,
так как при каждом ударе он производит большую дефор-
мацию, а малые изменения формы изделия при его окон-
чательной обработке делают ударами молота с меньшей
массой. Следовательно, при каждом ударе молот совер-
шает тем больше работы, чем больше его масса. Этот и
многие другие примеры убеждают нас в том, что кинети-
ческая энергия тела зависит от его массы.
Далее, если установить две одинаковые доски толщи-
ной по 5 см на расстоянии 50 и 200 м от стрелка и произ-
вести выстрелы из малокалиберной винтовки, целясь в
доски, то пуля легко пробьет доску, ближайшую к стрел-
ку, но застрянет в более удаленной. Очевидно, это свя-
зано с тем, что во втором случае пуля обладает перед уда-
ром в доску меньшей скоростью, чем в первом случае, так
как сопротивление воздуха на пути 200 м снижает ско-
рость значительнее, чем на пути 50 м. Это означает, что
кинетическая энергия тела зависит также и от скорости
его движения.
Итак, величина кинетической энергии определяется
массой тела и скоростью его движения. При равномерном
движении тела его кинетическая энергия остается посто-
янной, так как скорость движения не изменяется. При
переменном движении скорость тела изменяется, поэтому
176
кинетическая энергия тела в каждой точке его траектории
различна.
Покажем теперь, как можно вычислить величину ки-
нетической энергии тела. Пусть по горизонтальной по-
верхности движется тело массой т (рис. 90), имеющее
в точке В скорость vB. Обозначим его кинетическую энер-
гию в точке В через Ев. Под действием силы трения FTp,
направленной противоположно скорости, движение будет
Рис. 90. Работа, совершаемая телом на пути ВГ,
равна кинетической энергии тела в точке В.
замедляться до тех пор, пока тело не остановится в точке
Г, где его скорость vr будет равна нулю. Согласно опре-
делению работа Авг, совершенная внешней силой над
телом на пути ВГ—s, равна изменению кинетической
энергии тела АЕ = Ег— Ев на этом пути, т. е.
Ег—Ев = Авг- (7.14)
Поскольку внешней силой в данном случае является
сила трения, то получим
Ег—Ев (7.14а)
Так как сила трения служит причиной замедления дви-
жения тела, ее можно выразить с помощью второго закона
Ньютона Fyp~ma. Путь s можно найти по формуле
равномерно замедленного движения —Vb=2qs. Ho
vr =0, поэтому
Учитывая, что при кинетическая, энергия тела
£7=0, получим
~Ев=-та^~.
177
Сокращая на а, получаем формулу для вычисления кине-
тической энергии тела
mv2
(7.15)
Индексы при Е и v в формуле (7.15) не поставлены, так
как точка В взята на траектории произвольно, поэтому
формула (7.15) относится не только к точке В, нои к лю-
бой точке траектории.
Приравнивая правые части формул (7.14а) и (7.15) и
предполагая, что работа совершается телом под действием
какой-либо направленной противоположно движению си-
лы F (не обязательно силы трения), получим
mv2
Fs=~r-
(7-16)
Формула (7.16) применяется в тех случаях, когда ра-
бота выполняется телом за счет полного израсходо-
вания его кинетической энергии.
Формула (7.16) пригодна и тогда, когда тело, перво-
начально находящееся в покое, под действием силы при-
обретает кинетическую энергию, например, когда сила
тяги электровоза приводит в движение поезд, стоящий
на станции. В этих случаях в формуле (7.16) под F под-
разумевается сила, сообщающая телу ускорение, под
s — путь, пройденный за время действия этой силы, а
под v — скорость в момент окончания действия силы.
Возможны случаи, когда работа выполняется за счет
частичного израсходования кинетической энергии
тела, например, когда пуля насквозь пробивает доску и
продолжает лететь, но уже с меньшей скоростью. В этих
случаях совершенная телом работа равна изменению его
кинетической энергии, т. е. разности значений кинетиче-
ской энергии тела в начале и конце движения при действии
на него силы F:
_ mv} mv}
tS~ 2 2
(7-17)
178
окончания деи-
Рис. 91. Гиря Р
обладает потен-
циальной энер-
гией и, опуска-
ясь на расстоя-
ние h, выпол-
няет работу,
равную Ph.
с тем
Здесь — скорость тела в момент начала действия
силы F, a о2— скорость в момент окончания действия
силы F.
Формула (7.17) применима и тогда, когда сила вьр
полняет работу, увеличивая кинетическую энергию тела.
В этом случае —скорость тела в момент
ствия силы F, a v2— скорость тела в мо-
мент начала действия силы F.
§ 94. Потенциальная энергия. Подня-
тая на цепочке гиря стенных часов обла-
дает потенциальной энергией и при изме-
нении своего положения выполняет рабо-
ту, приводя в движение колеса и стрелки
часов (рис. 91). Упруго деформированная
пружина заводной игрушки обладает по-
тенциальной энергией и, следовательно,
способна выполнять работу, приводя иг-
рушку в движение.
Потенциальная энергия всегда является
энергией взаимодействия тел или их ча-
стей, Тела обладают потенциальной энер-
гией только в том случае, когда между
ними действуют силы взаимодействия,
однозначно определяемые положением тел
относительно друг друга. Так, Земля и
какое-либо тело (например, гиря часов)
обладают потенциальной энергией, так
как притягиваются друг к другу с силой,
которая определяется только их положе-
нием в пространстве. Упруго деформиро-
ванное тело также обладает потенциальной
энергией, так как между его частями
действуют силы упругости, зависящие от
положения этих частей, например от рас-
стояния между витками пружины. Однако
потенциальная энергия и в этом случае
обусловлена взаимодействием пружины
которое ее деформировало. Таким образом, о потенци-
альной энергии можно говорить только при наличии
нескольких взаимодействующих тел, поэтому такие вы-
ражения, как «энергия пружины» или «энергия поднятого
над Землей тела», надо понимать условно.
179
Выясним, как можно подсчитать потенциальную энер'
гию деформированной пружины. Энергия растянутой
пружины определяется той работой, которую она может
совершить при сжатии. Из закона Гука (§ 76) следует,
что при уменьшении абсолютной деформации растяжения
от Д/ до нуля сила упругости уменьшается, оставаясь
пропорциональной А/, от F до нуля, где F равно силе,
удерживающей пружину в деформированном состоянии.
Так как при действии постоянной силы работа равна
произведению силы на путь, а в данном случае сила рав-.
номерно уменьшается от F до нуля, работу можно найти,
умножив путь (Д/) на среднее значение силы, т. е. на ™.
Таким образом, потенциальная энергия П упруго де-
формированной пружины выражается формулой
(7.18)
Выясним теперь, от чего зависит потенциальная энер-
гия поднятого тела. Потенциальная энергия поднятого
над Землей тела измеряется той работой, которую мо-
жет выполнить тело при своем падении вниз.
При постройке мостов приходится забивать в почву
сваи. Эту работу выполняют с помощью «бабы». «Бабой»
называют стальной цилиндр; его укрепляют над сваей,
а затем с помощью пара или рабочих поднимают на неко-
торую высоту и отпускают. Падая вниз, «баба», ударяя
сваю, забивает ее в почву. Чем больше вес «бабы», тем
глубже она забивает сваю при каждом ударе, т. е. совер-
шает больше работы. Следовательно, потенциальная энер-
гия поднятого тела зависит от его веса.
Увеличив высоту подъема «бабы», мы заметим, что
свая при каждом ударе глубже продвигается в почву. Это
значит, что потенциальная энергия тела зависит еще и
от высоты его подъема. Поскольку энергия поднятого тела
определяется той работой, которая совершается при его
падении, имеем
П^А.
Так как работа силы тяжести равна произведению Р на й,
180
получаем
П ~ Ph.
(7.19)
Формулу (7.19) можно видоизменить, заменив силу
тяжести ее значением P^mg. Тогда потенциальная энер-
гия поднятого над Землей тела выразится формулой
П = mgh.
(7.19а)
Отметим, что формулы (7.19) и (7.19а) применимы при
не слишком большом h, когда изменением g с высотой
можно пренебречь.
Для того чтобы величина потенциальной энергии под-
нятого тела была вполне определенной, обязательно дол-
жен быть указан горизонтальный уровень, от которого
отсчитывается высота подъема тела. Так как практически
приходится учитывать только ту потенциальную энергию
поднятого тела, которую можно использовать для получе-
ния работы, то за h в формулах (7.19) и (7.19а) прини-
мают ту высоту, с которой может опуститься тело, чтобы
совершить работу за счет энергии, освобождающейся при
его падении. Следовательно, в примере с гирей часов за
h надо принять расстояние, на которое может опуститься
гиря при данной длине цепочки.
§ 95. Переход потенциальной энергии в кинетическую
при свободном падении тела. Пусть тело массой т под-
нято над Землей на высоту Н (рис. 92). Если это тело от-
пустить, то при падении по мере приближения к Земле
его потенциальная энергия будет уменьшаться, а скорость
возрастать. Это означает, что будет увеличиваться кине-
тическая энергия тела. Подсчитаем величину энергии
тела в точках А и В.
В точке А кинетическая энергия тела равна нулю; так
как равна нулю его скорость. Потенциальная энергия
тела в точке А, согласно формуле (7.19а), выразится сле-
дующим образом:
nA~mgH.
Тогда
ПдА-EA^tngH + Q^mgH.
181
В точке В потенциальная энергия тела будет равна
нулю, так как оно находится на поверхности Земли. Ки-
нетическая энергия тела в момент его удара о Землю в
точке В согласно формуле (7.15) будет равна
mvR
р — £
Скорость тела в
Рис. 92. При сво-
бодном падении
тела с высоты Н
потенциальная
энергия тела пере-
ходит в кинетиче-
скую, а величина
полной механиче-
ской энергии тела
в любой точке тра-
ектории падения
остается неизмен-
ной.
точке В при свободном падении с высоты
Н может быть определена по формуле
^ = 2g/7.
Подставив значение vB в формулу ки-
нетической энергии, получим
р _m2gH
После сокращения на 2 окончательно
имеем
EB = mgH.
Следовательно,
EB + nB = mgH + Q = mgH.
Сравнивая потенциальную энергию
тела в точке А и кинетическую энер-
гию в точке В, мы видим, что они равны.
Кинетическая энергия свободно па-
дающего тела в нижней точке пути
(в момент удара о Землю) равна его
потенциальной энергии в верхней точке,
из которой началось свободное падение.
Вычислим энергию тела в какой-
либо промежуточной точке пути, напри-
мер в точке Г. Потенциальная энергия
тела в точке Г равна
Пг = mgh,
так как высота тела над Землей в этот момент равна h
(рис. 92). Кинетическая энергия тела в точке Г выразится
формулой
mv2r
ЕГ=Щ,
где vr — скорость, приобретенная телом при свободном
182
падении от точки А до точки Г, т. е. на пути //—h. Она
определяется формулой
Подставляя значение о2 в формулу кинетической энергии
и сокращая на 2, получим
Ег = mg(H — h).
Чтобы найти полную механическую энергию тела в
точке Г (§ 92), нужно сложить его потенциальную и ки-
нетическую энергии в этой точке
П г + Ег = mgh -\-mg(H — h) = mgh + mgH — mgh = mgH.
Следовательно, полная энергия тела не зависит от поло*
жения точки Г.
Таким образом, полная механическая энергия свобод*
но падающего тела в любой точке пути одинакова и равна
его потенциальной энергии в верхней точке. Это показы-
вает, что при свободном падении происходит лишь прев-
ращение потенциальной энергии в кинетическую.
Подобным образом можно показать, что при движе-
нии тела, брошенного вертикально вверх, происходит
превращение кинетической энергии в потенциальную.
§ 96. Закон сохранения энергии в механических процес-
сах. Оказывается, что полная механическая энергия
сохраняется не только при свободном падении тел, но и
в любом другом чисто механическом процессе. Например,
при столкновении биллиардных шаров сумма кинетиче-
ских энергий этих шаров до удара и после удара остается
неизменной, конечно, если пренебречь потерями механик
ческой энергии, обусловленными тем, что в действитель-
ности столкновение шаров — не чисто механический про-
цесс. Это положение, установленное на основании опытов
и теоретических исследований, известно под названием
закона сохранения энергии в механи-
ческих процессах:
при всех чисто механических процессах полная механи*
ческая энергия всех тел, участвующих в таких процессах,
остается неизменной.
183
Отметим, что в этом случае механическая энергия либо
передается от одного тела к другому посредством работы,
либо превращается из кинетической в потенциальную (или
наоборот).
Таким образом, можно сказать, что механическая ра-
бота является мерой передачи или превращения механиче-
ской энергии при чисто механических процессах,
В связи с изложенным рассмотрим еще одну важную
для практики закономерность. В § 70 говорилось, что
при устойчивом равновесии тела его центр тяжести зани-
мает самое низкое положение, иначе говоря, величина
потенциальной энергии этого тела является наименьшей.
Действительно, П~РН, и если Н — наименьшее, то и
П — наименьшее из .возможных значений.
Для того чтобы вывести тело из устойчивого равно-
весия, нужно совершить работу, поднимая его центр тя-
жести на высоту H+h, т. е. увеличить его потенциальную
энергию на величину Ph. Если тело искусственно не удер-
живать в таком положении, то оно возвратится в положе-
ние устойчивого равновесия, отдав избыток полученной
энергии Ph окружающим телам. Например, если откло-
нить от положения равновесия висящий на нити шар и
отпустить его, то он начнет качаться около положения
равновесия и остановится, отдав полученную энергию
окружающим телам.
Эта закономерность распространяется на очень боль-
шое число явлений и выражается следующим образом:
всякая система находится в устойчивом состоянии,
когда она обладает наименьшей потенциальной энергией',
предоставленная самой себе любая система самопроизволь-
но переходит в состояние с наименьшим значением потен-
циальной энергии.
§ 97. Энергия как всеобщая мера движения материи.
Закон сохранения и превращения энергии. Рассмотрим
теперь реально происходящие в природе процессы. Выше
говорилось, что наличие трения при движении тел при-
водит к прекращению их механического движения с одно-
временным выделением тепла. В следующем разделе будут
описаны опыты Джоуля (§ 208), которые показали, что
при одинаковой работе движущегося тела, произведенной
против сил трения, всегда выделяется одно и то же коли-
чество теплоты. Это означает, что работа против сил тре-
184
ния и количество выделенной одновременно теплоты всегда
прямо пропорциональны, а если их выражать в одинако-
вых единицах, то и равны друг другу. Следовательно, при
исчезновении механического движения вследствие трения
возникает новый вид движения материи — тепловое дви-
жение, так как при нагревании тел хаотическое движе-
ние молекул ускоряется.
Изложенное позволяет сделать вывод, что механиче-
ская энергия при трении не исчезает бесследно, а превра-
щается в другой вид энергии, получивший название вну-
тренней энергии. Несколько позже удалось до-
казать, что внутренняя энергия может превращаться в
механическую (например, в двигателях внутреннего
сгорания или в паровых турбинах) в строго равных
(эквивалентных) количествах, т. е. сколько внутренней
энергии исчезнет, столько же появится механической
энергии.
Затем было установлено, что и все другие формы дви-
жения материи могут превращаться друг в друга. Чтобы
удобнее описывать эти превращения, были введены новые
виды энергии: электрическая, химическая, электромаг-
нитная (энергия излучения), атомная и ядерная.
Исследования показали, что все виды энергии могут
превращаться друг в друга и всегда в строго эквивалентных
количествах. Этот вывод, сделанный на основании многих
опытов, доказывает, что движение материи вечно сущест-
вовало и вечно будет существовать, что оно несоздаваемо и
неуничтожаемо. Таким образом, энергия никогда не исче-
зает и никогда не возникает вновь. Это положение, извест-
ное под названием закона сохранения и пре-
вращения энергии, является всеобщим законом
природы.
Опытное доказательство и теоретическое обобщение
закона сохранения энергии были сделаны в середине XIX в.
английским ученым Д. Джоулеми немецкими учены-
ми Р. Майером (1814—1878 гг.) и Г. Гельмголь-
цем (1824—1894 гг.).
Закон сохранения и превращения
энергии формулируется так:
в замкнутой системе при всех явлениях природы энер-
гия никогда не исчезает и не создается из ничего. Она лишь
превращается из одного вида в другой или передается от
одного тела к другому, не изменяясь количественно.
185
Закон сохранения и превращения энергии применяет-
ся для проверки правильности рассуждений в теоретиче-
ских выводах и различных расчетах при научных иссле-
дованиях. Этот закон является основой, на которой стро-
ятся новые теории.
Следует помнить, что энергия есть единая количест-
венная мера всех форм движения материи, поэтому под-
разделение энергии на различные виды надо понимать
условно. Вместо того, чтобы сказать: энергия тела, со-
ответствующая механической форме движения материи,
говорят: механическая энергия тела и т. д.
Поскольку при всех процессах, сопровождающихся
превращением любой формы движения материи только
в механическую форму и обратно, единственной
мерой переданной телу или отнятой от него энергии
является механическая работа, энергию во всех случаях
условились измерять в единицах работы. Как
подсчитывается изменение энергии тел в других случаях,
будет рассмотрено дальше.
Когда в науку было введено понятие энергии, под
вечным двигателем первого рода стали
понимать уже такую машину, которая должна давать вы-
игрыш в энергии и работать неопределенно долгое вре-
мя. Поэтому закон сохранения энергии
можно выразить так: вечный двигатель первого рода
невозможен.
§ 98. Границы применимости классической механики.
В основе классической механики, с содержанием которой
мы познакомились в предыдущих главах, лежат законы
Ньютона и законы сохранения импульса и энергии, поэ-
тому ее часто называют механикой Ньютона
или классической механикой. Она сыграла огромную роль
в развитии науки и техники; с ее помощью в современной
технике производятся важнейшие расчеты, например в
машиностроении, при сооружении мостов, дорог и т. д.
Успехи применения механики для объяснения явлений
природы в XIX в. были настолько большими, что одно
время казалось возможным свести все явления к механи-
ческим процессам (механистическое миропонимание, раз*
витое Лапласом). Однако электромагнитные явления объ-
яснить на основе механики не удалось, и эта точка зрения
была отброшена.
186
До начала XX в. никаких отступлений от законов Нью-
тона в механических процессах не наблюдалось, поэтому
многие ученые считали, что все механические явления
происходят в строгом соответствии с этими законами.
В классической механике предполагается, что масса
любого тела всегда остается постоянной, т. е. не зависит
от внешних условий и состояния тела. Законы Ньютона
не накладывают никаких ограничений на возможные ско-
рости движения тел и на величину их массы, поэтому ка-
залось, что классическую механику можно применять и
к движениям тел с очень большой скоростью и к движе-
ниям тел, обладающих очень малой массой. Однако опы-
ты американского ученого А. Майкельсона (1852—
1931 гг.) по определению скорости распространения
света и исследования голландского ученого Г. Лорен-
ц а (1853—1928 гг.), посвященные движению электро-
нов с большими скоростями, с несомненностью показа-
ли, .что
1) движение тел не может происходить со скоростью
большей, чем 300000— или 3-108 —. С этой предельной
сек сек г
скоростью, обозначаемой с, распространяется световое
излучение в безвоздушном пространстве;
2) масса тела не постоянна, так как зависит от ско-
рости его движения.
К этому времени были обнаружены и другие явления,
происходящие внутри атомов и выходящие за рамки
законов Ньютона.
Все явления такого рода можно было разделить на
две группы: одну из них составляли явления, наблюдае-
мые при больших скоростях движения тел, близких к с,
вторую — явления, наблюдаемые при движении очень
малых частиц, имеющих массу меньшую, чем масса атома.
(Однако законы сохранения импульса и энергии оказались
справедливыми и для всех этих явлений.) В связи с этим
появилась необходимость создать новую механику, объ-
ясняющую все указанные явления и включающую в себя
классическую механику как частный предельный случай.
Это означает, что закономерности новой механики должны
быть такими, чтобы при движении тел, обладающих боль-
шой массой, со скоростью, которая мала по сравнению со
скоростью света с, новые законы переходили в законы
классической механики.
187
Для тел, движущихся со скоростью, близкой к с,
один из величайших ученых нашего времени А. Эйнш-
тейн (1879—1955 гг.) создал теорию относи-
тельности, выводы которой при малых скоростях
движения тел совпадают с выводами классической меха-
ники. Масса тела в теории относительности выражается
формулой
Здесь v — скорость движения тела, с—3-108 ^,ат0—
масса тела в состоянии покоя.
Если v много меньше с, что справедливо практически
почти всегда, то m^mQ в соответствии с законами Ньютона.
Энергия тела в теории относительности выражается
формулой
Е-тс2. (7.21)
Это означает, что даже когда тело находится в состоянии
покоя относительно наблюдателя и не взаимодействует
с другими телами, то оно обладает энергией
E0 — mQc2. (7.22)
Величину кинетической энергии тела можно найти как
разность Е и Ео
Ек = (т — т0)с2
или
Ек = Дтс2.
(7.23)
Таким образом, изменение кинетической энергии тела
сопровождается одновременным изменением его массы.
Из формул (7.23) и (7.20) при v, много меньшем с,
получается формула
Р _m0v2
2 *
Покажем, как выводится эта формула. В курсе математики до-
казывается, что величину типа (1 ±а)л, когда а много меньше едини-
цы, с небольшой погрешностью можно заменить величиной Г±ап,
188
т. е. приближенно можно записать
(1 ± а)п 1 ± па.
Правая часть этой формулы отличается от левой тем меньше, чем
меньше а по сравнению с единицей.
v
Обозначим — через р. Тогда формула (7.20) примет вид
Если v мало но сравнению с с, то приближенно имеем
откуда
т — mQ—
Подставляя это значение Am в (7.23), получим
, _ 1 т0о\2_ т0и2
к 2 с2 С 2 ’
При изучении движения очень малых частиц, напри-
мер электронов в атоме, было выяснено, что их энергия
может изменяться только целыми неделимыми порциями—
квантами. Для описания такого рода явлений была
создана квантовая механика, законы которой
при больших массах тел совпадают с законами классиче-
ской механики, так как кванты при этом становятся так
малы, что обнаружить на опыте прерывистость изменения
энергии тела, т. е. квантовый характер процесса, становит-
ся невозможным. Квантовая механика является основой
физики атома и атомного ядра.
Таким образом, можно сказать, что классическая меха-
ника — это механика больших масс и малых скоростей
движения,
§ 99. Примеры вычисления работы и энергии. Задача.
Какую работу нужно проделать, чтобы равномерно уско-
ренно поднять тело весом 29,4 кГ на высоту 20 ж с уско-
рением 0,50
г г ('Р.К*
139
Дано:
m=29,4 кг — масса тела,
h=20 м — высота подъема тела,
а=0,50^2—ускорение, с которым поднимается тело.
Найти:
А — работу при ускоренном подъеме тела.
План решения. Работу можно найти по формуле
A=Fh, где h — путь. Сила, совершающая работу при
ускоренном подъеме, равна сумме силы тяжести и силы,
сообщающей телу ускорение, т. е.
Г = Р + ^уск.
Решение. Решение проводим в системе СИ. Учи-
тывая, что P=mg и F =та, имеем
А = (mg та) h = mh (g-pa).
Подставляем числовые данные и вычисляем работу
А =29,4 кг-20 м (э,8 ^4-0,50-^ =
’ \ ’ сек2 1 ’ сек2)
= 29,4-20-10,3 ^ = 6,1-Ю3 дж.
Ответ.'. Чтобы поднять тело, надо совершить 6,1 • 103 дж
работы.
Эту задачу можно решить и на основе закона сохране-
ния энергии. Изменение энергии тела равно выполненной
работе. Так как в результате работы увеличилась и по-
тенциальная, и кинетическая энергии тела, имеем
Л 1 1 /7W2
A^mgh-y-^-.
Поскольку v2=2ah, получаем
А = mgh 4- - = mgh mah = mh (g 4- a),
что совпадает с предыдущим решением.
Задача. Сани, масса которых с седоком 78,4 кг, ска-
тившись с горы, имеют скорость 10 ~ и продолжают за-
тем двигаться по горизонтальному пути. Определить силу
1S0
трения саней на горизонтальном пути, если они остано-
вились, проехав 80 м.
Дано:
т=78,4 кг — масса саней,
у°=10 — начальная скорость при движении на
горизонтальном участке пути,
s=80 м — длина горизонтального участка пути.
Найти:
FTp — силу трения саней о снег.
План решения. Сани, скатившись с горы, приобрели
кинетическую энергию. При движении по горизонталь-
ному участку эта энергия была полностью затрачена на
работу по преодолению силы трения, т. е.
—— F s
2 — 2 трь
Решение. Находим силу трения в системе СИ
р
гтр 2s ’
Р
Л тр
м2
78,4 кг-100 —2
сек2
2-80 м
49 н.
Ответ: Сила трения саней о снег равна 49 н, или
5,0 кГ.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Подъемный кран, к. п. д. которого 75%, поднимает груз
2,75 Т. На какую высоту будет поднят груз за 25 сек, если мощность
двигателя на кране 1,25 кет?
Ответ*. 8,5 м.
2. Тело, брошенное вертикально вверх, упало назад через 6,0 сек
после бросания. Определить кинетическую энергию тела в мо-
мент удара о Землю, если вес его 490 Г. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Ответ*. 2,1-102 дж.
3. Тело массой 800 г, брошенное вертикально вверх со скоро-
стью 72 , упало обратно на Землю со скоростью 16 ~ . Опре-
делить работу, затраченную на преодоление сопротивления воз-
духа.
Ответ: 58 дж.
19.1.
4. Конькобежец проезжает с разбега по гладкой горизонталь-
ной поверхности льда 80 м. Определить работу, совершаемую силой w
трения, если вес конькобежца 64 /сГ, а коэффициент трения равен*
0,015. Чему равна кинетическая энергия конькобежца в начальный
момент движения с разбега?
Ответ', 750 дж.
5. Пуля массой 20 а, летящая со скоростью 420 проби-
вает доску толщиной 1,5 см. Определить силу сопротивления доски,'
если, пробив доску, пуля продолжает лететь со скоростью 120 .
Решить двумя способами.
Ответ: 1,1.10е н.
ГЛАВ A 8
КРИВОЛИНЕЙНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 100. Сложное движение. На практике часто тело
участвует одновременно в нескольких движениях. На-
пример, если гребец перемещает лодку поперек реки, то
и течение сносит ее вдоль реки; идущий внутри вагона
человек одновременно движется вместе с поездом и т. д.
Такое движение тела называется сложным. Опреде-
ление траектории сложного движения по траекториям
составляющих движений называется сложением
движений.
Движения складываются на основании закона
независимости движений: конечный пункт,
достигнутый телом при сложном движении, не зависит
от того, одновременно или поочередно происходят состав-
ляющие движения.
Например, движение тела, брошенного вертикально
вверх, можно рассматривать как сложное, складываю-
щееся из равномерного движения по инерции вверх со
скоростью vQ и свободного падения вниз. Поэтому можно
считать, что за время t тело поднимется вверх на h^v^t
и упадет вниз на h2~~ . Считая, что эти движения про-
изошли поочередно, найдем расстояние тела до Земли h
в момент времени t
h^hi — hz,
h-vt-SH
В этом случае оба составляющих движения направле-
ны по одной прямой, поэтому сложное движение оказы-
вается прямолинейным. Отметим еще, что при сложении
двух равномерных прямолинейных движений всегда
1 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
193
также получается равномерное и прямолинейное движение
(это относится и к случаю, когда составляющие движения
направлены под углом друг к другу).
Выясним теперь, когда получается криволинейное
движение. Пусть тело 7И движется со скоростью^ (рис. 93).
Если в точке А на тело
и начнет действовать посто-
янная сила F, направлен-
-ная под углом а к v
\ х. (0°<сс<180°), то его дви-
\ жение станет криволиней-
f ным, так как сила F будет
Рис. 93. Движение тела М будет сообщать телу М ускорение
криволинейным, когда угол между по направлению своего
векторами <v и лежит между 0° действия. Более подробно
этот случай рассмотрен в
следующем параграфе.
Если равнодействующая приложенных к телу сил
направлена по одной прямой с вектором скорости, то тело
движется прямолинейно, так как при этом изменяется толь-
ко величина его скорости
(см. пример выше). Если
покоящееся тело под дей-
ствием постоянной силы
придет в движение, то оно
тоже будет двигаться пря-
молинейно.
Таким образом, тело
движется криволинейно
только в том случае, когда
равнодействующая прило-
женных к телу сил направ-
лена под углом к вектору
скорости движения тела.
Следовательно, криволи-
нейное движение всегда
можно считать слож-
Рис. 94. Искры, оторвавшиеся от
точильного камня, движутся по
касательной к окружности камня.
ным движением.
В тот момент, когда вы-
зывающая криволинейное
движение сила перестанет
действовать на тело, оно начнет двигаться прямолинейно
по инерции с той скоростью, которая была в момент
194
прекращения действия силы, т. е. по касательной к
траектории движения в данной точке. Например, так
движутся искры, отрывающиеся от точильного камня при
точке ножа (рис. 94).
Это означает, что при криволинейном движении вектор
скорости в любой точке траектории направлен по каса-
тельной к ней в этой точке.
Скорость криволинейного движения всегда можно
найти, складывая геометрически скорости составляющих
движений в данной точке траектории.
§ 101. Движение тела, брошенного горизонтально и под
углом к горизонту. Сложное движение часто возни-
кает под действием силы тяжести, если падающему телу
сообщена начальная скорость.
Рассмотрим два типичных
случая такого движения.
Пусть находящийся на мо-
сту человек бросает в гори-
зонтальном направлении ка-
мень со скоростью
Траектория движения камня,
изображенная на рис. 95, яв-
ляется ветвью параболы с
вершиной в начальной точке.
Точки на траектории показы-
вают положение камня через
каждые 0,5 сек. Эти положе-
ния камня можно найти на
Рис. 95. Брошенное горизон-
тально тело движется по
параболе.
основании закона независимо-
сти движений следующим образом. Смещение в горизон-
тальном направлении для каждого момента времени
можно определить из формулы s= 10 ~ t, а в вертикаль-
ном — из формулы /г=4,9
Независимость свободного падения тела от его дви-
жения в горизонтальном направлении можно показать
на следующем опыте. На краю столика с отверстием
помещают два шарика, между которыми находится
пружина, удерживающая один из них над отверстием
(рис. 96). Ударив молотком по пружине в горизонтальном
7*
195
направлении, наблюдают свободное падение одного из
них и сложное движение другого, начинающиеся одновре-
менно.Оказывается, что удар обоих шариков о пол проис-
ходит тоже одновременно.
Такое движение совершает парашютист, отделивший-
ся от горизонтально летящего самолета (до раскрытия
Рис. 96. При ударе моло-
точком оба шарика одно-
временно начинают двй-
гаться и одновременно
ударяются о пол.
парашюта), пуля после выстре-
ла в горизонтальном направ-
лении и т. д.
Движение тела с начальной
скоростью, направленной под
углом а к горизонту, показано
на рис. 97. Траектория его тоже
представляет собой параболу,
но с вершиной в средней точке.
Точки на параболе показывают
положения тела через каждую
секунду. Смещение в направле-
Рис. 97. Брошенное под углом к
горизонту тело движется по пара-
боле с вершиной в средней точке
траектории.
нии А Б можно найти по формуле а смещение по
вертикали —по формуле /г=4,9 /2 .
Такое движение совершает струя воды из брандспойта,
человек, прыгающий с трамплина на лыжах или в воду
и т. д.
Дальность полета А В (рис. 97) зависит от величины
начальной скорости тела и от угла а. При увеличении
угла а от 0 до 45° дальность полета тела в безвоздушном
пространстве возрастает, а при дальнейшем увеличении
а — уменьшается (рис. 98). Таким образом, при неизмен-
ной величине начальной скорости тела наибольшая даль-
196
ность полета получается, когда вектор v0 направлен под
углом 45° к горизонту.
Очень распространенный вид криволинейного движе-
ния — рассматриваемое дальше равномерное движение'
Рис. 98. Наибольшая дальность полета в безвоздушном
пространстве получается при а=45°.
тела по окружности, отличительная особенность которого
заключается в повторяемости движения.
§ 102. Периодические движения. В жизни и в технике
часто приходится встречаться с повторяющимися во вре-
мени процессами. Повторяются движения стрелок по
циферблату часов, времена года, фазы Луны и т. д. При
работе машин многие их части, например маховое колесо,
также повторяют свое движение. Процессы, характери-
зующиеся повторяемостью через равные промежутки вре-
мени, называются периодическими. Периодиче-
скими являются лишь такие процессы, при которых все
изменения, происходящие за определенный промежуток
времени, в точности повторяются в течение следующего
такого оке промежутка времени, называемого периодом.
Периодические процессы встречаются в явлениях, изу-
чаемых в механике, астрономии, электротехнике, радио-
технике и во многих других областях науки и техники.
Рассмотрим особенности периодических процессов на ряде
элементарных механических явлений. Основные характе-
ристики, установленные для периодических движений
в этих случаях, легко распространяются и на другие пе-
риодические процессы.
§ 103. Равномерное движение по окружности. Линейная
скорость. Изучение движения материальной точки по
окружности представляет большой интерес потому, что
197
позволяет уяснить, во-первых, сущность периодических
процессов и, во-вторых, характерные особенности вра-
щательного движения. Только разобравшись в движении
л и н е и н о и ск
Рис. 99. При движе-
нии по окружности
вектор линейной ско-
рости в любой точке
направлен по каса-
тельной к окружно-
сти.
представляет собой
роста можно найти,
материально?! точки по окружности, можно понять ха-
рактерные особенности вращательного движения тел.
Равномерным круговым движением называется такое
движение по окружности, при котором материальная точ-
ка за любые равные промежутки времени проходит равные
дуги.
Скорость движения точки по окружности называется
о р о с т ь ю V. Линейная скорость
равномерного кругового движения из-
меряется длиной дуги, пройденной
точкой за единицу времени.
Таким образом, числовое значе-
ние линейной скорости во время
равномерного кругового движения
остается постоянным. Этого, однако,
нельзя сказать об ее направлении, ко-
торое непрерывно изменяется (§ 100).
Следовательно, линейная скорость
при движении по окружности всегда
является переменной. Направлена
линейная скорость в каждой точке
окружности по касательной к ней
(рис. 99).
Поскольку путь, пройденный точ-
кой при движении по окружности,
длину дуги, величину линейной ско-
разделив длину дуги / на время /,
за которое она пройдена
I
v=-t
(8.1)
Единицы измерения линейной скорости те же, что и ско-
рости прямолинейного движения.
§104. Период, частота и число оборотов. Периодич-
ность равномерного движения по окружности характери-
зуется периодом Т и частотой f.
Периодом равномерного кругового движения называется
величина, измеряемая временем, затраченным точкой на
один полный оборот.
198
Частотой равномерного кругового движения называет-
ся величина, измеряемая числом оборотов точки за единицу
времени.
Период и частота — взаимно обратные величины. Дей-
ствительно, если частота равна 5 оборотам в секунду, то
период составит сек. Таким образом,
Tf= I.
(8.2)
Из формулы (8.2) следует, что размерность частоты
1 _ .
— , или сек *.
сек.
При различных вычислениях, связанных с круговым
движением, приходится встречаться с числом оборотов п,
сделанных точкой за время t. Разделив п на /, получим
частоту
f = T (8.3)
(п — безразмерная величина, но к ее числовому значению
иногда приписывают название об (оборотов)).
Линейную скорость можно выразить через период или
частоту. Приняв за путь длину окружности 1=2лг, прой-
денную точкой за период Г, из формулы (8.1) получим
2пг
~Т~'
(8.4)
Заменив в формуле (8.4) Т его значением -j, будем иметь
v = 2nrf.
(8.5)
§ 105. Равномерное вращение тела. Угловая скорость.
Представим себе вращающееся колесо (рис. 100). Обозна-
чим угол поворота колеса вокруг оси О за время t через ф
(греческая буква «фи»). Пути /ь /2 и /3, пройденные
точками А, Б и В за время /, а значит и их линейные ско-
рости, будут различны. Угол же поворота <р у всех точек
1£J
колеса одинаков. Это означает, что вращательное движе-
ние удобно характеризовать не линейными, а угловыми
величинами.
Угол поворота вращающегося тела за время / называ-
ется угловым путем и обозначается буквой ф. За едини-
цу измерения углового пути принимается радиан.
Рис. 100. Линейные пути /ъ
/2 и /3 различных точек ко-
леса не одинаковы, а угло-
вой путь ср одинаков.
Рис. 101. Угол в 1 ра-
диан.
Радианом называется центральный угол, длина дуги
которого равна радиусу (рис. 101). Чтобы выразить цент-
ральный угол, соответствующий дуге /, в радианах, нужно
разделить длину этой дуги на радиус
Если за длину принять целую окружность, то получим
Это значит, что в окружности содержится 2л радиан.
Ф — величина безразмерная, но к ее числовому значению
часто приписывают название рад (радиан).
Вращение вокруг неподвижной оси, при котором тело
за любые равные промежутки времени поворачивается на
одинаковые углы, называется равномерным.
Равномерное вращение — периодическое движение и,
подобно равномерному круговому движению, его пери-
одичность характеризуется периодом Т и част о-
т о й f. Величина, характеризующая быстроту равномер-
200
ного вращения, называется угловой скоростью и обознача-
ется буквой со (греческая буква «омега»).
Угловая скорость равномерного вращения измеряется
углом поворота тела за единицу времени
(8.7)
Выведем единицу измерения угловой скорости
1 рад . рад
со = п------= 1 -------.
1 сек, сек
За единицу угловой скорости принимается угловая ско-
рость такого равномерного вращения, при котором тело
за одну секунду поворачивается на угол в один радиан. Раз-
мерность этой единицы сект1.
При равномерном вращении угловая скорость оста-
ется постоянной. Угловую скорость можно выразить через
период и частоту. Так как за период Т тело поворачивает-
ся на угол 2л рад, из формулы (8.7) имеем
2л
СО .
(8.8)
Заменив в формуле (8.8) период частотой, получаем
со = 2л/.
(8.9)
Путь, пройденный какой-либо точкой вращающегося
тела, можно определить по формуле (8.6)
/ = срг.
(8.10)
Заменив в формуле (8.1) I его значением из формулы (8.10),
получим
Vt
или
V — со г.
(8.Н)
201
Таким образом, линейная скорость какой-либо точ-
ки вращающегося тела равна произведению его угловой
скорости на кратчайшее расстояние от оси вращения до
этой точки.
Наблюдая за вращением тела вокруг неподвижной оси,
например махового колеса машины после выключения дви-
гателя, можно заметить, что чем меньше трение и другие
сопротивления, тем дольше продолжается вращательное
движение. Это значит, что вращающееся тело обладает
инерцией, т. е. при отсутствии внешних воздействий
сохраняет свою угловую скорость неизменной.
В § 71 было показано, что вращающее действие силы
определяется ее моментом М. Таким образом, угловая ско-
рость вращающегося тела изменяется только в том случае,
когда сумма моментов всех приложенных к нему сил отлична
от нуля.
Если тело устойчиво вращается вокруг незакрепленной
оси, то при отсутствии вращающего момента, кроме угло-
вой скорости, оно будет сохранять и направление
оси вращения в пространстве. На этом основаны
опыты, доказывающие вращение Земли вокруг оси
(см. § 133).
Подобно тому, как при поступательном движении в результате
действия импульса силы изменяется количество движения тела,
действие моментасилыза время / оценивается измене-
нием момента количества движения вращающе-
гося тела. Когда вращение тела начинается из состояния покоя, то
в результате действия момента силы в течение времени t каждая
z-я точка вращающегося тела приобретает момент количества дви-
жения Lt-.
Момент количества движения материальной точки измеряется
произведением ее количества движения на кратчайшее расстояние
этой точки от оси вращения
Li =
(8.12)
Поскольку Vi—юг;, соотношение (8.12) можно записать иначе:
Li — tomir?.
Момент количества движения — величина векторная. Направ-
ление момента количества движения определяется правилом
буравчика (рис. 102):
вектор момента количества движения £/ всегда направлен вдоль
оси вращения в ту сторону, в которую движется острие буравчика,
202
когда направление поворота его головки совпадает с направлением
движения точки по окружности.
На рис. 102 показано направление вектора Ц при двух различ-
ных направлениях вращения тела.
Поскольку все Li отдельных точек вращающегося тела на-
правлены по одной прямой, момент количества движения тела можно
определить так:
моментом количества движения вращающегося тела называется
сумма моментов количества
движения всех, его точек
L==hLi (8-12а)
Когда на вращающееся
тело не действует момент
силы или сумма моментов
всех приложенных к нему
сил равна нулю, то момент
количества движения тела
остается постоянным как
по величине, так и по на-
правлению (закон со-
хранения момента
количества движе-
н и я):
О
Рис. 102. Каждая материальная
точка вращающегося тела обладает
моментом количества движения 1Ь
направленным вдоль оси вращения.
Направление вектора £/ определяет-
ся правилом буравчика.
£ = const. (8 13)
§ 106. Понятие о
центростремительной си-
ле. Из закона инерции
следует, что криволи-
нейное движение может
происходить только под действием силы. Выясним, при
каком угле между направлением силы и направлением
движения линейная скорость точки будет изменяться толь-
ко по направлению, оставаясь постоянной по величине,
т. е. при каком условии получается равномерное круго-
вое движение материальной точки.
Пусть точка, имеющая массу т, движется под дейст-
вием силы F по кривой А Б (рис. 103). Если угол а между
направлениями векторов силы и скорости в данной точке
траектории острый, то силу F можно разложить на две
составляющие так, что одна из них будет направлена
вдоль вектора скорости а другая F2 — перпендикулярно
203
Рис. 103. Изменение скорости под
действием силы.
ему (рис. ЮЗ, а). Составляющая Fr может увеличивать
скорость v, а составляющая F2 может изменять только
направление скорости, ибо F2 не действует на точку в на-
правлении О.
Если угол а тупой, то, разложив силу F так же, как
в предыдущем случае, мы получим составляющую F1?
направленную противоположно вектору скорости v
(рис. 103, б). Следовательно, сила F} здесь будет уменьшать
величину скорости v. Лишь
тогда, когда векторы силы
и скорости в данной точке
траектории направлены
перпендикулярно другдру-
гу, т. е. когда угол а равен
90°, величина вектора ско-
рости v останется постоян-
ной и будет изменяться
только его направление
(рис. 103, в).
Это значит, что равно-
мерное движение по окруж-
ности происходит только
в том случае, когда вектор
силы в любой точке окруж-
ности направлен перпен-
дикулярно вектору линей-
ной скорости в этой точке,
т. е. вдоль радиуса к цент-
ру окружности, так как
вектор скорости направлен
по касательной к окруж-
ности.
Сила, приложенная к
движущейся по окружности
материальной точке, вызывающая это движение и всегда
направленная к центру, называется центростремитель-
ной силой.
Отметим, что равномерное движение по окружности
возникает только при действии постоянной по величине
- центростремительной силы.
Ускорение, сообщаемое материальной точке центро-
стремительной силой, называется центростреми-
тельным. Оно всегда направлено по радиусу к центру
204
окружности и вычисляется по формуле
(8.И)
Величину центростремительной силы FK можно найти
по формуле F=ma, заменив в ней а его значением из
формулы (8.14). Тогда получим формулу для вычисления
центростремительной силы
~ mv2
•
(8.15)
Подставив в выражение (8.15) вместо v его значение
из (8.11), получим формулу для определения центростре-
мительной силы через угловую скорость со
Fu = ma)2r.
(8.16)
Из формулы (8.16) следует, что если несколько мате-
риальных точек одинаковой массы движутся по раз-
личным окружностям с
одинаковой угловой скоро-
стью, то большая цент-
ростремительная сила дей-
ствует на ту точку, которая
перемещается по окружно-
сти с большим ра-
диусом.
§ 107. Вывод формулы
центростремительного ускоре-
ния. Для того чтобы вычи-
слить величину постоянного
ускорения, нужно знать изме-
нение скорости за какой-либо
известный промежуток време-
ни. Посмотрим, как можно
Рис. 104. Изменение скорости
точки при криволинейном движе-
нии по траектории АБВГ.
выразить изменение скорости
при криволинейном движении.
Пусть материальная точка
движется по кривой АБВГ
(рис. 104, а) и имеет скорости
в точках А, Б, В и Г соответственно ®г, и ф4. Изменение
скорости между точками А и Б можно найти по правилу вычитания
векторов, определив разность векторов <и2 и На рис. 104, б эта
205
разность векторов численно равна длине отрезка lv Таким же
образом можно определить изменение скорости между точками Б и
В, В и Г.
Общее изменение скорости между точками А и Г численно равно
длине ломаной линии /г/2/3. Однако при этом мы находим лишь
приближенное значение изменения скорости, так как мы заменили
истинную траекторию точки — криволинейный путь АГ — ломаной
2г/2/3. Ясно, что чем больше будет звеньев ломаной и чем меньше
длина каждого звена, тем ближе будет длина ломаной, изображен-
ной на рис. 104, б, к истинной траектории движения, а следова-
тельно, тем точнее будет определено изменение скорости на пути А Г.
Наиболее точное изменение скорости на пути АГ дает длина кри-
вой I па рис. 104, в.
Выведем теперь
формулу центростремительного ускорения.
Пусть материальная точка равномерно
движется со скоростью # по окружности ра-
диуса г (рис. 105, а). Из предыдущих рассужде-
ний ясно, что изменение скорости за один
полный оборот численно равно длине окруж-
ности с радиусом v, т. е. равно 2jw (рис. 405, б).
Время, за которое произошло изменение ско-
рости, равно периоду Т и может быть найдено
из формулы (8.4)
v
Рис. 105. Измене-
ние скорости точки
при равномерном
движении по ок-
ружности.
Разделив изменение скорости па время,
получим величину центростремительного уско-
рения
2jw 2nv2
Cl- —---=- —---
2jtr 2л r
или
(8.14)
§ 108. Возникновение центростремительной силы.
Выясним, при каких обстоятельствах возникает центро-
стремительная сила. Из материала, изложенного в § 100
и 106, следует, что движение материальной точки по лю-
бому криволинейному пути всегда сопровождается изме-
нением направления скорости, т. е. в этом случае на
материальную точку всегда действует центростремитель-
ная сила. Действительно, изменение направления ско-
рости движения создается силой F2 (см. рис. 103), на-
правленной перпендикулярно вектору скорости, которая
и является центростремительной силой.
206
Следовательно, центростремительная сила возникает
во всех тех случаях, когда угол а между вектором равнодей-
ствующей приложенных к телу сил и вектором скорости
удовлетворяет неравенству 0<д<180°. Примером сказан-
ного может служить движение тела, брошенного под углом
к горизонту или горизонтально.
Причиной возникновения центростремительной силы
часто являются различного рода связи. Связями в ме-
ханике называют устройства, существенно ограничивающие
свободу движения какого-
либо тела. Например,
железнодорожные рель-
сы, ограничивающие
свободу движения поез-
да, или веревка, огра-
ничивающая движение
привязанной к ней ги-
ри,— примеры связей.
В последнем случае, со-
общив гире скорость,
направленную перпен-
дикулярно веревке, и
Рис. 106. Центростремительная сила
возникает оттого, что вес Р сообщает
шарику скорость, направленную по
касательной, а опора давит на
шарик.
закрепив другой конец
веревки неподвижно, можно заставить гирю двигаться по
окружности. Необходимой для такого движения гири
центростремительной силой здесь будет являться сила, с
которой веревка (связь) действует на гирю по направлению
к центру окружности.
Рассмотрим еще пример. Шарик движется по вогнутой
поверхности АБВ (рис. 106). Если шарик, находящийся
в точке Л, отпустить, он начнет двигаться по дуге АБВ.
Скорость движения центра шарика v все время будет на-
правлена по касательной к этой дуге. Движение шарика
начинается под действием силы тяжести, а искривленная
поверхность АБВ, являющаяся связью, непрерывно давит
на шарик с силой реакции Fp, направленной к центру
дуги АБВ. Эта реакция связи совместно с силой тяжести
и создает центростремительную силу.
Из второго закона Ньютона следует, что при равномер-
ном движении тела по дуге окружности центростреми-
тельная сила представляет собой равнодействующую всех
приложенных к телу сил.
207
Когда движущийся велосипедист делает поворот по
дуге, то для того чтобы возникла центростремительная
сила, он наклоняется в сторону центра дуги. При этом
равнодействующая силы тяжести Р и реакции опоры F
и является центростремительной силой вызывающей
поворот (рис. 107, а). На поворотах железных дорог на-
ружный рельс по этой же причине делают выше внутрен-
него (рис. 107, б).
Рис. 107. а) Возникновение центростремительной силы при
движении велосипедиста по дуге; б) центростремительная
сила, действующая на вагон при повороте.
§ 109. Понятие о центробежной силе. В приведенных
выше примерах различные связи (веревка, поверхность
А Б В) действуют на движущиеся тела (гирю, шарик).
Но согласно третьему закону динамики и гиря, и шарик
в свою очередь также действуют на веревку или на поверх-
ность АБВ с некоторой силой, направленной по радиусу
от центра окружности.
Сила, приложенная к телам, удерживающим движущую-
ся точку на окружности, вызванная этим движением и
всегда направленная от центра вращения, называется
центробежной.
Из третьего закона динамики следует, что центростре-
мительная и центробежная силы равны по величине, про-
тивоположны по направлению и действуют на разные тела.
208
Это значит, что уравновесить друг друга они не могут.
Так как центробежная и центростремительная силы равны
по величине, то величину центробежной силы можно вы-
числять по формулам (8.15) и (8.16).
§ 110. Силы, действующие на связь при движении по
окружности в вертикальной плоскости. Когда материаль-
ная точка движется по окружности в вертикальной пло-
скости, действующая на эту точку сила тяжести изменяет
Рис. 108. Сила давления F моста на движущееся тело:
а) выпуклый мост (F—P—Fn); б) вогнутый мост
(Г=Р+ГЦ).
приложенную к связям силу. Рассмотрим на примере дви-
жения автомашины по выпуклому и вогнутому мостам,
как в подобного рода случаях можно найти эту силу
в какой-либо точке траектории.
Пусть по выпуклому мосту движется авто-
машина со скоростью v (рис. 108, а). Выясним, с какой
силой автомашина давит на мост, когда находится на его
середине. Поскольку автомашина движется по дуге, у нее
возникает центростремительное ускорение, направленное
в рассматриваемой точке вертикально вниз. Это ускорение
209
создается центростремительной силой, которая согласно
второму закону Ньютона является равнодействующей всех
приложенных к автомашине сил, действующих в верти-
кальном направлении. Таких сил две: сила тяжести Р и
сила реакции опоры F. Следовательно, центростремитель-
ная сила Fu равна их разности и направлена в сторону
большей силы (в рассматриваемом случае Fu направлена
вниз)
ИЛИ
F = P—/?ц. (8.17)
По третьему закону динамики реакция опоры F по
величине равна силе давления на мост. Итак, сила дав-
ления движущегося тела на выпуклый мост, когда тело
находится на середине моста, численно равна разности
силы тяжести и центростремительной силы.
Теперь рассмотрим случай, когда автомашина движется
по вогнутому мосту со скоростью <v (рис. 108, б).
Здесь на автомашину по вертикальному направлению
также действу ют две силы: F и Р. Однако в данном случае
центростремительная сила, необходимая для движения
автомашины по дуге, направлена в сторону F. Это озна-
чает, что Fu равна разности между реакцией опоры и силой
тяжести
F^F-P
пли
Г = Р + (8.18)
Следовательно, силадавления движущегося, тела на вогнутый
мост, когда тело находится на середине моста, численно
равна сумме силы тяжести и центростремительной силы.
§ 111. Деформация тела при вращении. При враща-
тельном движении тела каждая его частица обладает ли-
нейной скоростью, направленной по касательной к ок-
ружности, по которой движется частица. В качестве
примера на рис. 109 изображена точка А, движущаяся со
скоростью v и принадлежащая телу, которое вращается
вокруг оси О. Вследствие инертности частицы тела начи-
нают смещаться в направлении своей линейной скорости
(например, точка А смещается в положение Б), т. е. они
удаляются от оси вращения. Смещение частиц тела от оси
210
вращения О приводит, с одной стороны, к деформа-
ции тела, а с другой стороны (вследствие взаимодейст-
вия частиц тела между собой), к возникновению сил упру-
гости. Сила упругости, действующая на каждую частицу
вращающегося тела, направлена к центру окружности,
так как она стремится возвратить эту частицу в первона-
чальное положение, т. е. в данном случае она является
центростремительной силой, под дей-
ствием которой частица движется по
окружности. При вращении тела с по-
стоянной угловой скоростью со сила
упругости, действующая на каждую
его частицу, равна центростремительной
силе, определяемой формулой (8.16).
Следовательно, наибольшая деформация
будет в тех областях тела, которые на-
ходятся дальше всего от оси вращения О.
Из формулы (8.16) следует также,
что центростремительная сила резко
возрастает с увеличением угловой ско-
рости, поэтому при увеличении со одно-
временно будет возрастать и сдвиг ча-
стиц тела относительно друг друга.
Таким образом, вращающееся тело де-
формировано тем больше, чем больше
угловая скорость его вращения, при-
чем деформация сильнее всего в тех
частях тела, которые наиболее
удалены от оси вращения (область
Рис. 109. Смеща-
ясь по направле-
нию л иней ной ско-
рости, точка А
удаляется от оси
вращения О, на-
правленной пер-
пендикулярно ри-
сунку (расстояние
ОБ больше ОА),
экватора для вращающегося шара).
Это легко проверить на опыте. Возьмем упругие обручи
(рис. ПО), прикрепленные снизу к стержню, а сверху —
к кольцу К, которое может скользить вдоль стержня,
и приведем обручи в быстрое вращение. При этом обручи
сжимаются в направлении оси вращения и тем больше,
чем больше их угловая скорость. Теперь ясно, почему
вращение земного шара вокруг оси вызвало расширение
его у экватора и сплющивание у полюсов.
Деформация вращающегося тела может привести
к серьезным авариям, например к разрыву вращающихся
деталей (маховиков), когда угловая скорость становится
больше допустимой. Разрыв происходит, когда центро-
стремительная сила, необходимая для удержания частицы
211
вращающегося тела на окружности, должна быть боль-
ше предельного значения силы упругости. Сила упругос-
Рис. НО. Деформация вращаю-
щихся обручей.
ти в этом случае уже не мо-
жет сообщить частице нужно-
го центростремительного ус-
корения, т. е. не может удер-
жать частицу на окружности,
и вследствие инертности ча-
стица начинает смещаться все
дальше и дальше от оси вра-
щения, что и приводит к
разрушению тела.
§ 112. Центробежные ме-
ханизмы. Механизмы, уст-
ройство которых основано на
смещении частиц вращающе-
гося тела, называются цент-
робежными. Приведем несколько примеров исполь-
зования таких механизмов в технике.
Для регулирования числа оборотов маховика паровой
машины применяется центробежный регулятор
Рис. 111. Центробежный регуля-
тор. (Некоторые детали механиз-
ма, поворачивающего заслонку
Б, на рисунке не показаны.)
(рис. 111). Он устроен так. На вращающийся стер-
жень 00' насажены два массивных шара т, соединенных
212
с муфтой К. в которую упирается пружина А. Муфта сое-
динена системой рычагов с заслонкой 5, регулирующей
доступ пара в рабочий цилиндр. При вращении шары рас-
ходятся и тянут муфту /< вниз, повертывая тем самым
заслонку. Шары расходятся до тех пор, пока пружина А
не создаст центростремительную силу, необходимую для
их вращения. При увеличении числа оборотов вокруг оси
выше нормы заслонка Б уменьшает доступ пара в рабочий
цилиндр и этим снижает скорость вращения шаров. При
уменьшении числа оборотов ниже нормы заслонка увели-
чивает доступ пара. Так поддерживается постоянная угло-
вая скорость вращения.
Рис. 112. Сушильная машина.
В механических прачечных для сушки белья приме-
няются сушильные машины (рис. 112). Под-
лежащий сушке материал закладывается в барабан с сет-
чатыми стенками. При быстром вращении барабана слабо
связанная с материалом жидкость отбрасывается к стенкам
барабана и просачивается сквозь его отверстия наружу.
Для разделения жидкостей, имеющих различную плот-
ность, или отделения твердых примесей от жидкости
применяются центрифуги или сепараторы.
Подлежащая разделению смесь, например молоко, нали-
вается в сосуд, который приводится в очень быстрое вра-
щение. Из формул (8.15) и (8.16) видно, что центростре-
мительная сила прямо пропорциональна массе, поэтому
при движении (по заданной окружности) частице с боль-
шей массой необходима и большая центростремительная
сила. Так как окружающая частицы жидкость не может
создать нужной центростремительной силы, частицы
213
Рис. 113. Опыт, показывающий разделение жидкостей
при вращении.
Рис. 114. Разрез сепаратора для отделения сливок от молока.
214
смещаются к стенке сосуда, реакция которой и создает
необходимую центростремительную силу. Следовательно,
при вращении сосуда у его стенки располагаются ча-
стицы с наибольшей массой. Это означает, что состав-
ные части смеси в таком сосуде расположатся в порядке
уменьшения их плотности по направлению от стенки к
оси вращения.
Принцип действия центрифуги можно показать с помо-
щью центробежной машины на опыте с вращающимся
стеклянным шаром (рис. 113, а), в который налиты ртуть,
вода и керосин — три жидкости, не образующие друг
с другом растворов. Они располагаются при вращении
так, как показано на рис. 113, б.
На рис. 114 показан разрез сепаратора для отделения
сливок от молока. Молоко подается в трубу / и снизу
через отверстия О попадает в сепаратор. Пластинчатые
Рис. 115. Центробежный насос (стрелками показан путь воды).
насадки Н разделяют молоко на тонкие слои, в которых
при вращении сепаратора происходит отделение сли-
вок. Более тяжелое снятое молоко течет к краям цилинд-
ра, а сливки оттесняются к оси и через отверстия С и В
вытекают в специальный резервуар. Снятое молоко уда-
ляется из сепаратора через отверстие А. Движение сли-
вок и снятого молока показано стрелками.
215
Для откачки воды часто применяют ц ентробеж-
ные насосы (рис. 115, а). Такой насос представляет
собой цилиндрический сосуд В, в котором вращаются ло-
пасти М специальной формы (рис. 115, б), насаженные
на ось О. Сосуд В соединен трубой Д с резервуаром, из
которого откачивается вода. При вращении лопастей М
вода отбрасывается к стенкам сосуда В, а внутри него
создается разрежение около оси О, и атмосферное давле-
ние поднимает воду по трубе Д в насос. Вода из насоса
выбрасывается через отводную трубу А.
Подобные насосы применяются в охлаждающей системе
автомобильного двигателя.
§ 113. Примеры решения задач. Задача. Стрелок вы-
стрелил в горизонтальном направлении в вертикально
стоящую мишень, находящуюся на расстоянии 210- м.
На сколько снизится пуля за время полета, если средняя
скорость ее движения 840 ?
Дано:
7 = 210 м — расстояние от стрелка до мишени,
уср = 840 — — средняя скорость полета пули в го-
Рис. 116. Пролетев в горизонталь-
ном направлении расстояние /, пуля
сместилась вниз на h.
ризоитальном направ-
лении.
Найти:
h — смещение пули
по вертикали (рис. 116)
за время полета до ми-
шени.
План решения. По-
скольку время движе-
ния пули в горизонтальном и вертикальном направле-
ниях одинаково, его можно найти из формулы I ~ v t и
затем определить h из формулы h .
Р е ш е н и е. Решаем задачу в системе СИ, поскольку
все числовые данные взяты в этой системе
t = —
^ср
Л = 4;
ZLcp
9,81 -2102 ж2
сек2___________
м2
сек2
2-840'
0,61 М.
h
Ответ'. Пуля снизится на 61 см.
216
Задача. Привязанный к шнуру шар массой 2,4 кг
отвели в сторону на 60° и отпустили (рис. 117). Опреде-
лить силу натяжения шнура в момент, когда шар прохо-
дит положение равновесия.
Дано:
т = 2,4 кг — масса шара,
а = 60° — угол отклонения шнура от вертикали.
Найти:
FH — силу натяжения шнура, когда он проходит вер-
тикальное положение.
План решения. На шар действуют сила тяжести Р и сила
реакции шнура F, Когда шар неподвижно висит на шнуре,
эти силы равны. При движении шара, когда он проходит
положение равновесия, сила реакции F, равная силе натя-
жения шнура FH, больше действую-
щей на шар силы тяжести Р (рис.
117). Равнодействующая этих сил и
представляет собой центростреми-
тельную силу, т. е.
Fll = F — P.
Центростремительную силу можно
определить из формулы
г tnv2
где г—длина шнура, a v — ско- рИс. 117. К задаче,
рость, полученная шаром при паде-
нии с высоты h (рис. 117). Так как катет, лежащий
против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то h=^-.
Скорость шара найдем из формулы v2~2gh, или v2=gr.
Теперь видно, что г для решения задачи знать не обязан
тельно.
Р е ш е и и е. Решаем задачу в системе СИ
F = Л1 + Р\ F = mg + mg^ 2mg\
F = 2-2,4 кг-9,8 -Лл = 47 н.
Ответ', Сила натяжения шнура равна 47 н.
217
УПРАЖНЕНИЯ
1. С крыши дома, высота которого 12 м, произведен выстрел в
горизонтальном направлении. На каком расстоянии от дома пуля
упадет на землю, если средняя скорость ее полета в горизонтальном
направлении 540 -^-? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ*. 850 м.
2. Тело весом 415 Г, привязанное на шнуре длиной 98,1 см,
об
вращается в вертикальной плоскости, делая 66,0 . Определить
силу натяжения шнура в наивысшем и наинизшем положениях тела,
считая скорость движения тела в этих положениях одинаковой.
Ответ*. 15,3 н и 23,5 н.
3. Автомобиль массой 2640 кг движется по закруглению дороги
радиусом 54 м со скоростью 22,5 Определить действующую
на автомобиль центростремительную силу.
Ответу 1900 н.
4. Самолет описывает «мертвую петлю» в вертикальной плос-
кости. Радиус петли 124 м. Какова должна быть наименьшая ско-
рость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья?
Ответу 34,8 —.
сек
5. На нити, разрывающейся при силе натяжения 2,5 кГ, под-
вешена гиря 1000 Г. В натянутом состоянии нить с гирей переводят
из вертикального положения в горизонтальное, после чего гирю
отпускают. Уцелеет ли нить, когда гиря будет проходить положение
равновесия?
Ответ*. Нет.
ГЛАВА 9
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
§ 114. Взаимное притяжение тел друг к другу. Галилеем
было установлено, что на все тела, находящиеся вблизи
поверхности Земли, действует сила тяжести, сообщающая
телам одинаковое ускорение g. Однако основные законо-
мерности этого явления были сформулированы Ньютоном.
Анализ законов движения небесных тел в солнечной
системе и законов свободного падения тел на Земле привел
Ньютона к идее о том, что сила тяжести универсальна и
должна действовать на тела не только у поверхности
Земли, но и тогда, когда тела находятся в космосе. Следо-
вательно, Земля должна притягивать к себе Луну, плане-
ты и т. д. Если эта идея верна, то сразу становится понят-
ным, почему Луна обращается вокруг Земли: действующая
на Луну со стороны Земли сила притяжения и является
той центростремительной силой, которая заставляет Луну
двигаться по замкнутой орбите вокруг Земли.
Астрономические наблюдения показали, что многие
планеты нашей солнечной системы обладают спутниками,
подобными Луне, которые обращаются вокруг этих пла-
нет. Значит, планеты также притягивают к себе тела.
Земля и другие планеты обращаются вокруг Солнца, сле-
довательно, на них действуют центростремительные силы.
Наличие этих сил показывает, что и Солнце обладает
свойством притягивать к себе тела. На этом основании
Ньютон и сделал вывод о том, что все тела, состоящие
из любого вещества, должны взаимно притягиваться друг
к другу. Эта всеобщая зависимость, установленная Ньюто-
ном, называется всемирным тяготением.
Если притяжение к Земле тел, находящихся на ее
поверхности, и притяжение Луны к Земле обусловлены
одной и той же причиной, то, определив величину цент-
ростремительного ускорения Луны и сравнив его с уско-
219
рением свободного падения тел на Земле, можно устано-
вить, как сила тяготения зависит от расстояния между
телами. Величину центростремительного ускорения Луны
можно определить из формул (8.4) и (8.14), зная период
ее обращения вокруг Земли и расстояние от Земли до
Луны, составляющее 60 радиусов Земли (60 7?3). Расчет
показал, что центростремительное ускорение Луны в
3600 раз меньше g, т. е. в 602 раз. Так как расположен-
ное на поверхности Земли тело находится на расстоянии
R3 от ее центра, Ньютон сделал вывод, что сила при-
тяжения к Земле изменяется обратно пропорционально
квадрату расстояния до центра земного шара. Понятно,
что на достаточно большом расстоянии от центра Земли
ее притяжение должно
быть очень малым, но
все же не равным нулю.
Поскольку сила при-
тяжения тел к Земле
п редставляет собой
частный случай прояв-
ления тяготения, з а-
кон всемирного тя-
готения можно сфор-
мулировать так:
все материальные
Рис. 118. Взаимное притяжение двух
тел (за расстояние между телами при-
нимается расстояние между их цент-
рами тяжести 00 J.
точки притягиваются
друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведе-
нию их масс и обратно пропорциональной квадрату рас-
стояния между ними.
Последующая многократная проверка показала пра-
вильность открытия Ньютона.
Обозначив массы двух материальных точек т± и т2,
а расстояние между ними г, закон всемирного тяготения
можно выразить следующей формулой:
F = (9.1)
где f — коэффициент пропорциональности.
На рис. 118 изображены силы тяготения, действую-
щие между двумя однородными шарами: тг и т2 — массы
шаров, г — расстояние между их центрами, и F2 —
силы притяжения, равные по величине и противоположно
направленные.
220
Обратим внимание па то, что г в формуле (9.1) — это
расстояние между центрами тяжести
взаимодействующих тел.
§ 115. Постоянная тяготения и ее опытное определение.
Если тяготение — общее свойство всех веществ, то почему
мы не замечаем притяжения друг к другу тел, находящихся
вокруг нас?
По закону всемирного тяготения (9.1) сила притяжения
прямо пропорциональна массе тел, и тела, обладающие
небольшой массой, притягива-
ются друг к другу настолько
слабо, что в повседневной жиз-
ни заметить это невозможно,
и лишь притяжение к Земле,
обладающей громадной массой
по сравнению с массами других
тел, становится заметным.
Чтобы обнаружить взаимное
притяжение тел с малой массой,
нужны очень чувствительные
приборы. Опыты с такими при-
борами проводились многократ-
но. Они всегда показывали, что
тела действительно притяги-
ваются друг к другу. Кроме
Рис. 119. Схема, поясняю-
щая принцип действия кру-
тильных весов.
того, эти опыты позволили определить числовое значение
коэффициента пропорциональности f в формуле (9.1).
Прибор, с помощью которого выполняют такие опыты,
называется крут ил ьными весами (рис. 119).
Крутильные весы устроены следующим образом. Легкий
стержень, на концах которого прикреплены два небольших
шарика с равными массами т1 и т2, подвешивается на
тонкой кварцевой нити, обладающей значительной упру-
гостью. Под углом к стержню располагается второй стер-
жень с укрепленными на его концах большими шарами
М± и М2 равной массы. Второй стержень может поворачи-
ваться специальным механизмом. Если с помощью этого
механизма приближать массивные шары к маленьким ша-
рикам, то легкий стержень начнет поворачиваться на-
встречу тяжелому, закручивая при этом нить. Следова-
тельно, между сближающимися шарами действует притя-
жение.
221
Когда сила упругости, возникающая при кручении
нити, становится равной силе тяготения, стержни останав-
ливаются. По углу закручивания нити можно измерить
силу упругости, а следовательно, и силу притяжения
между шарами. Поскольку их массы и расстояние между
ними известны, можно подставить все взятые из опыта
числовые данные в формулу (9.1) и вычислить значение /.
Коэффициент пропорциональности в формуле (9.1) на-
зывается постоянной тяготения, или гра-
витационной постоянной, и имеет размер-
ность, которую можно определить из формулы
с__________________________ Ft2
1 171^12 ’
(9.2)
являющейся видоизменением формулы (9.1).
В каждой системе единиц постоянная тяготения имеет
строго определенное числовое значение. В частности', в си-
стеме СИ она приближенно равна 000 , или,
точнее,
/ = 6,67-10~11 . (9.3)
' кг-сек2 ' 7
Физический смысл постоянной тяготения легко устано-
вить, если предположить, что г, тг и т2 в формуле (9.2)
равны единице.
В системе СИ постоянная тяготения численно равна
силе, с которой притягиваются друг к другу два одно-
родных тара массой по 1 кг каждый, находящихся на рас-
стоянии 1 м.
Подсчитаем для примера силу, с которой притягиваются
два тела массой 1000 кг каждое, находящихся на расстоя-
нии 10,0 м
г? £ tn {т2 г"* л» 10 ~ 11 -^4^ I О3 ке * 103 ке
= 6,67-10“7 н = 0,000 000 667 н.
Столь ничтожная величина силы объясняет, почему
обычно мы не замечаем притяжения тел друг к другу.
Числовое значение гравитационной постоянной в физической
системе (СГС) следующее:
г jw3
£ — 6,67* 10~8.
г- сек2
222
§ 116. Понятие о поле тяготения. В предыдущем пара-
графе мы уже упоминали, что закон всемирного тяготения
справедлив и для тел, находящихся в космическом про-
странстве. Каким же образом может осуществляться такое
взаимодействие? Мы уже хорошо знаем, что всякое влияние
одного тела на другое может быть осуществлено только
при наличии между телами материальной среды. Так, когда
мы хотим привести в действие звонок, находясь на расстоя-
нии от него, т. е. без непосредственного соприкосновения
с ним, то это можно сделать лишь при наличии электриче-
ской цепи. Ее можно заменить шнуром или проволокой,
соединяющей руку со звонком. Но если между звонком
и человеком не будет среды, через которую можно передать
воздействие на звонок, то заставить его работать будет
невозможно.
Таким образом, для того чтобы, например, Земля и
Луна могли взаимодействовать друг с другом, между ними
должна быть материальная среда, передающая это дейст-
вие. Однако мы знаем, что Земля и Луна отделены друг
от друга безвоздушным пространством. Следовательно,
взаимодействие тел в соответствии с законом всемирного
тяготения должно осуществляться с помощью особого вида
материальной связи. Вид материи, который позволяет
осуществлять тяготение тел, когда они находятся на
расстоянии, называется полем тяготения или гравита-
ционным полем (от латинского слова «гравитас» — тя-
жесть). Поле тяготения существует вокруг каждого тела
(каждой массы) и неразрывно связано с этим телом. При
перемещении тела вместе с телом перемещается и его поле.
Если в это поле внести другое тело, то на него будет непо-
средственно действовать поле тяготения, а не связанное
с ним тело. Отметим, однако, что механизм взаимодействия
между телом и полем до сих пор неизвестен.
Наличие поля тяготения в какой-либо точке простран-
ства можно обнаружить только с помощью другого тела,
помещенного в эту точку. Если поле есть, то на поме-
щенное тело действует сила тяготения. Таким путем
можно показать, что вокруг Земли есть поле тяготе-
ния, так как на окружающие ее тела действуют силы
тяготения. Если исследовать поле тяготения в различных
точках пространства путем действия его на одно и то же
тело, называемое индикатором, то величина действующей
на это тело силы тяготения может служить силовой
223
.характеристикой точек поля. Силовая характе-
ристика поля называется напряженностью. Напряжен-
ность поля G измеряется силой тяготения, действующей
на единицу массы тела, внесенного в данную точку поля
G = ^. (9.4)
т 4 7
В системе СИ единицей измерения G является 1 .
Отметим, что напряженность поля тяготения в какой-
либо точке тем больше, чем ближе эта точка к телу, создаю-
щему поле, и чем больше масса самого тела. Например,
напряженность поля тяготения Земли уменьшается по
мере удаления от поверхности Земли.
Выясним теперь, как далеко это поле простирается.
Из закона всемирного тяготения следует, что сила взаимо-
действия тел уменьшается при увеличении расстояния
между ними, однако ни при каких даже очень больших г
эта сила не может стать равной нулю. Следовательно, поле
тяготения любого тела границы не имеет. Однако практи-
чески можно считать его ограниченным той областью, вне
которой действуют столь слабые силы тяготения, что ими
можно пренебречь.
Для того чтобы удалить тело с поверхности Земли
в космос, т. е. за пределы ее поля тяготения, нужно совер-
шить работу против сил этого поля. Расчет показывает,
чго для удаления тела массой, равной 1 кг, с Земли необ-
ходимо выполнить работу, равную 6,25-107 дж. Наоборот,
метеориты, масса которых составляет 1 кг, прилетающие
из мирового пространства на Землю, обладают кинетиче-
ской энергией, численно равной этой работе. При попада-
нии метеорита в атмосферу Земли за счет этой энергии
выделяется тепло и метеорит сгорает, оставляя в атмосфере
светящийся след.
Из всего изложенного следует, что все мировое про-
странство в природе заполнено материей, ибо если в нем
нет вещества, то обязательно имеется поле тяготения.
Таким образом, пространство и материя неотделимы
друг от друга.
§ 117. Сила тяжести и закон всемирного тяготения.
Так как вес покоящегося тела, обладающего массой т,
зависит от силы притяжения между телом и Землей, его
224
можно рассчитать, пользуясь формулой (9.1), принимая
за массы и т2 соответственно массы тела т и Земли М.
Под г, как говорилось выше, здесь надо подразумевать
расстояние между центрами тяжести тела и Земли. Но так
как размеры тел на Земле всегда ничтожно малы по срав-
нению с размерами самой Земли, то фактически за г сле<
дует принять радиус земного шара R, пренебрегая разме*
рами тела. Тогда получим
P = f^. (9.5)
По второму закону динамики P~mg. Сделав замену
в формуле (9.5), будем иметь
£ тМ
tng = f-#2
или
(9.6)
Формула (9.6) показывает, что получаемое телами уско-
рение при их свободном падении на Землю зависит от массы
Земли и ее радиуса, но не зависит от массы падающего тела.
Это и означает, что в данной точке поверхности Земли
ускорение свободного падения одинаково для всех тел<
Так как ускорение свободного падения обратно про-
порционально квадрату радиуса Земли, а Земля сжата
у полюсов, то чем дальше от полюсов и ближе к экватору
находится тело, тем больше радиус Земли и меньше уско-
рение свободного падения. Кроме того, тело, вращающееся
вместе с земным шаром, обладает центростремительным
ускорением, которое вычитается из ускорения силы тяго-
тения и имеет наибольшее значение на экваторе, а на по-
люсе равно нулю. Поэтому формула (9.6) справедлива
*) Если считать,
щественно влияет на
что высота h, на которой находится тело, су<
величину g, то расчет надо вести по формуле
8 ^R+h)2'
8 л. С. Жданов, В. А. Маранджян
(9-7)
225
лишь на полюсах, а в различных точках земной поверхности
ускорение свободного падения оказывается неодина-
ковым, уменьшаясь от полюса к экватору. На всей поверх-
ности Земли сила тяжести Р по величине и направлению
выражается геометрической разностью силы тяготения и
Рис. 120. Уменьшение веса тела вслед-
ствие вращения Земли вокруг своей оси:
FT — сила тяготения, Р}[ — центростре-
мительная сила, Р — их геометри-
ческая разность, равная силе тяжести.
(В действительности центростремитель-
ная сила много меньше, чем показано
на чертеже, и направления сил Р и FT
мало отличаются друг от друга.)
центроспгреми тель-
ной силы (рис. 120).
Поэтому направле-
ние свободного паде-
ния (вертикальное)
проходит через центр
Землилишьиа полю-
сах и на экваторе.
§ 118. Значение
закона всемирного
тяготения в астро-
номии. Роль закона
всемирного тяготе-
ния в астрономии
очень велика. Преж-
де всего отметим, что
этот закон позволяет
вычислить по форму-
ле (9.6) массу земно-
го шара, если изве-
стны g, f и радиус
Земли 7?. Подобным
же образом, зная
центростремительное ускорение Земли и расстояние от
нее до Солнца, можно найти массу Солнца. Используя
закон всемирного тяготения и другие законы механики,
можно вычислить массы многих небесных тел, в частности
всехпланетиих спутников. Зная массу всех тел, составляю-
щих нашу солнечную систему, расстояния между ними
и силы их взаимодействия, можно точно рассчитать траек-
тории движения всех этих тел. Совпадение вычисленных
траекторий с реальными траекториями, по которым дви-
жутся эти тела в действительности, представляет собой
хорошее подтверждение правильности законов механики.
В XIX в. французским астрономом Леверрье было сде-
лано замечательное открытие, подтверждающее справед-
ливость законов механики для небесных тел. При соно-
226
ставлении результатов многочисленных исследований было
замечено, что Уран, последняя известная в то время пла-
нета солнечной системы, движется не совсем по той орбите,
как это следовало бы из теоретических соображений.
Отклонения в движении Урана можно было объяснить,
предположив, что за Ураном находится еще одна неиз-
вестная планета, притяжение к которой и смещает Уран
с теоретически вычисленной орбиты. Сравнивая истинную
траекторию Урана с теоретической, можно было рассчи-’
тать массу новой планеты, ее траекторию и местоположе-
ние в данный момент времени. Леверрье сделал такие
расчеты, на основании которых он точно указал, где и
в какое время можно искать эту планету. И действительно,
в указанном им месте неба астрономы нашли новую пла-
нету (Нептун). Впоследствии уже в XX в. таким же путем
была открыта последняя известная нам планета солнеч-
ной системы Плутон. Эти открытия явились настоящим
триумфом классической механики.
§ 119. Космические скорости. Искусственные спутники
Земли. В § 101 было рассмотрено движение тела, брошен-
ного горизонтально. Выясним, как будет изменяться
траектория такого движения в безвоздушном простран-
стве в зависимости от величины начальной скорости v0-
При малых значениях и небольшой высоте h над
Землей, с которой начинается движение тела, можно не
учитывать изменение ускорения силы тяжести с высотой
и вести расчет по формуле (9.6). При соблюдении этих
условий траектория тела представляет собой часть па-
раболы. Однако более точный расчет с учетом формулы
(9.7) показывает, что в действительности эта траектория
тела представляет собой дугу эллипса, фокус которого
находится в центре Земли (рис. 121). При увели-
чении Vq эллипс все больше расширяется, приближаясь
по форме к окружности, а дальность полета тела по
дуге эллипса возрастает. Если сообщить телу достаточно
большую начальную скорость vQ~Vkv то его траектория
станет окружностью, т. е. тело не упадет на
Землю, а будет .двигаться вокруг нее, превратившись в
искусственный спутник Земли.
Горизонтальная скорость Vki9 соответствующая круго-
вой траектории тела, радиус которой равен радиусу зем-
ного шара, называется первой космической скоростью.
8*
227
При v0>^i траектория спутника становится опять
эллиптической, причем чем больше v0, тем по более вытя-
нутому эллипсу движется спутник, удаляясь на большие
расстояния от Земли. Точка наибольшего удаления тела
от Земли называется апогеем, а наименьшего —
перигеем.
Если увеличивать значение v0, то при и0, равном vk2,
траектория движения тела совпадет с параболой
(рис. 121) и тело улетит от Земли в мировое пространство.
Земля
Направление запрела
\
Рис. 121. Траектория ракеты в
зависимости от величины ее на-
%Рлм/еее
'А'4
1
Горизонтальная скорость
Vk2t сообщенная телу на
поверхности Земли и соот-
ветствующая параболиче-
ской траектории движе-
ния, называется второй
космической скоростью.
Наконец, при ц>>^2
тело движется по гипер-
боле. Таким образом,
если высота й, с которой
начинается полет, мала по
сравнению с радиусом
Земли, то:
1) при тело па-
дает на Землю,
2) при vki <о0<^2 те-
ло становится спутником
Земли,
3) при о0^/?2 тело
улетает в мировое прост-
чальной скорости, направленной ранство.
параллельно поверхности Земли. . Определим величину
первой космической скоро-
сти. Если тело движется по окружности вокруг Земли в без-
воздушном пространстве, то на него действует только сила
притяжения к Земле, которая и является центростреми-
тельной силой, удерживающей тело на окружности. Это
означает, что ускорение силы тяжести g является центро-
стремительным ускорением, т. е.
R ‘
Если за R взять радиус земного шара 6400 км, то g будет
228
ускорением свободного падения на поверхность Земли,
a v — первой Космической скоростью. Приняв g за 10 —,
получим v2, г____________
vk = 1Л 10 А • 64- 105 ж = 8-10® —
'1 г сек* сек
ИЛИ
Отметим, что эта скорость соответствует движению тела
в непосредственной близости от поверхности Земли,
которое практически неосуществимо из-за сопротивления
воздуха. Поэтому сначала нужно удалить тело за пределы
атмосферы и там сообщить ему необходимую для полета
скорость.
Определим вторую космическую скорость. В § 116 было
показано, что тело массой 1 кг может удалиться в мировое
пространство, если оно будет обладать кинетической энер-
гией, не меньшей чем 6,25-107 дж. Если сообщить телу
6,25-107 дж кинетической энергии так, чтобы его ско-
рость оказалась направленной горизонтально, то скорость
тела при этом будет равна второй космической скорости,
соответствующей параболической траектории (рис. 121).
Таким образом, из формулы (7.12) имеем
1 кг-tf
6,25-Ю7 дж =—,
откуда
V/. = 1/12,5-107— ж 11,2.10® —
F кг сек
ИЛИ
(9.9)
Если сообщить телу скорость v0, равную или большую
Vk2, то оно, уйдя из сферы притяжения Земли, попадет
229
в сферу притяжения Солнца и станет его спутником. Это
произойдет и в том случае, когда скорость движения тела
будет направлена под углом ос к горизонту при ос, удовлет-
воряющем неравенству .
Отметим, что все изложенное в этом параграфе отно-
сится только к свободному полету тела (без двигателя).
§ 120. Полеты космических кораблей. Как говорилось
выше, для того чтобы улететь в космическое пространство,
нужно преодолеть противодействие поля тяготения Земли.
Это можно сделать с помощью реактивных дви-
гателей, установленных на космическом корабле.
Время работы двигателя ограничено запасом горючего.
За это время двигатель должен сообщить кораблю скорость,
необходимую для его полета, например вокруг Земли.
Оказывается, что целесообразнее ставить кратковременно
работающие двигатели, которые в течение нескольких
минут постепенно сообщают космическому кораблю нуж-
ную скорость, развивая мощность в несколько миллионов
киловатт. При этом во время движения корабля в плотных
слоях атмосферы его скорость не должна быть большой.
Основное увеличение скорости корабля должно происхо-
дить за пределами плотных слоев атмосферы Земли.
В § 53 было сказано, что космические корабли выво-
дятся на орбиту с помощью многоступенчатых ракет.
Ускорения, возникающие при работе реактивных двига-
телей, не должны быть слишком большими, так как силы
давления тел, находящихся внутри кабины корабля, на
ее основание при этом возрастают (см. § 51) в соответствии
с формулой (4.20)
= P +
откуда
Вспомним, что возрастание силы давления эквивалент-
но увеличению веса тела (см. § 5). При большом увеличе-
нии веса тело может разрушиться вследствие больших
деформаций. Человек, который находится внутри корабля,
может без вреда для здоровья, находясь в лежачем поло-
*) Если ускорения направлены под углом друг к другу, то
надо брать геометрическую сумму векторов g и а»
230
женин, в течение одной минуты выдержать примерно
десятикратное увеличение веса.
Когда космический корабль выведен на орбиту, дви-
гатель выключается и начинается свободный полет корабля
вокруг Земли. При свободном полете сила тяготения Р,
действующая на человека, равна центростремительной
силе, а сила давления его на кабину (см. § ПО), в соот-
ветствии с формулой (8.17), равна нулю. При этом усло-
вии все тела, находящиеся внутри космического корабля,
могут свободно парить внутри кабины. Такое состояние
тел, при котором они не имеют веса и могут свободно
парить в пространстве, называется состоянием невесо-
мости. Полеты советских и американских космонавтов
показали, что состояние невесомости почти не отражается
на самочувствии человека.
Полеты человека вокруг Земли и на Луну обогатили
науку и позволили изучить ближайшее космическое про-
странство. Следующим шагом в освоении космического
пространства будут полеты человека на ближайшие пла-
неты.
УПРАЖНЕНИЯ
При решении нижеследующих задач надо иметь в виду, что радиус
Земли принимается равным 6400 км.
1. Определить, сколько весит тело массой 2,5 т на высоте 250 км
над поверхностью Земли.
Ответ: 2,3 Т.
2. Какую горизонтальную скорость должен иметь спутник Земли,
движущийся по круговой орбите в плоскости экватора на высоте 600 км
от Земли? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: 7,58 .
сек
3. С какой скоростью должен вращаться спутник вокруг Земли
на расстоянии 420 км от ее поверхности? Орбиту спутника считать
круговой.
„ „ ~^км
Ответ: 7,67---.
сек
4. Определить расстояниё от поверхности Земли до космического
корабля, если космонавт, весящий на Земле 70 кГ, в корабле притя-
гивается к Земле с силой 66 кГ.
Ответ: 192 км.
5. Искусственный спутник движется по круговой орбите вокруг
Земли на расстоянии 280 км от ее поверхности. Найти период обра-
щения спутника.
Ответ: 1,5 ч.
ГЛАВА 10
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 121. Введение. Колебательное движение и вызывае-
мые им волны часто встречаются в природе и технике.
Колеблются мосты под действием проходящих по .ним
поездов, колеблются вращающиеся валы машин и детали
летящих самолетов, дрожат части зданий в больших горо-
дах и т. д. Таковы примеры вредных механических коле-
баний, с которыми борется техника. Колеблются маятники
различного рода в часах и других приборах, колеблются
игла и челнок в швейной машине, вибрируют струны зву-
чащей скрипки. Это примеры использования механических
колебаний для нужд человека.
Вследствие наличия связи между частицами среды коле-
бания, возникающие в какой-либо части упругой среды,
распространяются в ней во все стороны в виде волн.
Распространение звука также представляет собой волновой
процесс.
При всем разнообразии колебаний имеются общие
законы, которым они подчиняются. В этой главе рассмат-
риваются важнейшие закономерности колебательного и
волнового движений, а также явления, связанные с этими
движениями.
§ 122. Колебательное движение. На рис. 122 изобра-
жены тела, участвующие в различных колебательных
движениях: а—маятник, б—жидкость BU-образной трубке,
в — массивный груз /(, зажатый между двумя пружинами,
г — натянутая струна. В положении Л) все тела находятся
в состоянии устойчивого равновесия. Если
действуя на тела внешней силой, вывести их из
положения равновесия, а затем дать им возможность дви-
232
гаться самостоятельно, то тела начнут колебаться: маят-
ник будет отклоняться от положения равновесия вправо
и влево, жидкость в коленах трубки подниматься и опу-
скаться, массивный груз /<— сжимать поочередно правую и
левую пружины, струна—отклоняться вверх и вниз. При
этом тела будут проходить через положения Б), В), Г) и Д).
В каждом из этих колебаний одновременно участвуют
много частиц. Характер движения частиц данного колеб-
лющегося тела одинаков, поэтому при изучении колебаний
тела можно сосредоточить внимание на движении какой-
либо одной его частицы (точки).
Проследив за движением точки, легко подметить, что
она перемещается по одной и той же линии в двух противо-
положных направлениях и при каждом новом повторении
движения проходит через положение равновесия.
Одним из важнейших признаков колебательного дви-
жения является его периодичность.
Механическим колебанием называется такое периоди-
чески повторяющееся перемещение материальной точки,
при котором она движется по какой-либо траектории
поочередно в двух противоположных направлениях. Каждую
точку траектории, находящуюся между крайними положе-
ниями, колеблющаяся частица проходит, двигаясь то
в одном, то в противоположном направлениях.
Один законченный цикл колебательного движения, после
которого оно повторяется снова в том же порядке, назы-
вается полным колебанием.
§ 123. Условия возникновения колебаний. Выясним,
какие условия необходимы для того, чтобы колебательное
движение возникло и поддерживалось в течение некоторого
времени. Для этого рассмотрим подробнее, что происходит
при колебаниях, изображенных на рис. 122.
Первоначальному отклонению тел внешней силой из
положения равновесия Л) в положение Б) препятствуют
либо силы упругости (рис. 122, случаи в и г), либо сила
тяжести (рис. 122, случаи а и б), направленные к положе-
нию равновесия. При отклонении тел в положение Б) внеш-
ние силы совершают работу, а смещенные тела в результате
этой работы приобретают потенциальную энергию.
Первое необходимое условие для
возникновения и поддержания колебаний материальной
точки — наличие у колеблющейся точки энергии.
233
Теперь проследим, что будет происходить с колеблю-
щейся точкой дальше на примере груза К (рис. 122, слу-
чай в).
В положении Б) пружина с левой стороны от груза К
сжата, а с правой растянута. Деформированные пружины
создают силу Fb действующую на груз К вправо, т. е.
направленную к его положению равновесия. Если груз К
Рис. 122. Примеры колебаний различных тел.
не удерживать, то эта сила приведет его в движение.
Однако по мере приближения груза к положению устой-
чивого равновесия деформация пружин уменьшается,
поэтому уменьшается и сила рг. Скорость груза при этом
возрастает и его потенциальная энергия постепенно перехо-
дит в кинетическую.
В положении В) сила на груз уже не действует, а вся
энергия груза переходит в форму кинетической энергии.
Положение равновесия груз проходит по инерции, сжимая
затем правую пружину и растягивая левую. Это создает
234
силу F2, действующую на грузД влево, т. е. опять направ-
ленную к его положению равновесия. Сила F2 увеличивает^
ся по мере смещения груза вправо и тормозит его движе-
ние. В то же время кинетическая энергия груза постепенно
переходит в потенциальную. Когда вся кинетическая энер-
гия груза К перейдет в потенциальную, он остановится.
Сила F3 при этом достигнет своего наибольшего значения
и в следующий момент заставит груз К двигаться влево.
При переходе из положения Г) в положение Д), а из Д)
снова в Б) происходит то же самое, что и при переходе
из Б) в В) и из В) в Г), стой лишь разницей, чю груз К теперь
движется влево. Далее весь процесс повторяется в том же
порядке, причем движение в сторону равновесия — всегда
ускоренное, а движение от положения равновесия — за-
медленное, так как действующая на груз К сила F все
время остается направленной к положению равновесия.
Следовательно, колебательное движение груза К создается
в результате действия силы F и инерции груза.
Сила, приложенная к материальной точке, всегда на-
правленная к положению устойчивого равновесия точки,
равная нулю в положении равновесия и увеличивающаяся
по мере смещения точки от этого положения, называется
возвращающей силой. Таким образом, второе необ-
ходимое условие возникновения и поддержа-
ния колебаний точки — действие на нее возвращающей
силы.
Следует обратить внимание на то, что возвращающая
сила меняетсвое направление на противоположное при пере-
ходе колеблющейся точки через положение равновесия.
При механических колебаниях возвращающей силой часто
служит сила упругости. Отметим еще, что во всех случаях
механических колебаний происходит превращение потен-
циальной энергии в кинетическую и обратно.
Если бы отсутствовали трение и сопротивление среды,
то полная механическая энергия материальной точки
в процессе колебаний оставалась бы неизменной. Такое
колебание, раз начавшись, продолжалось бы вечно, и то
состояние, в котором находилась бы колеблющаяся точка
в какой-либо момент времени, например прохождение ее
через положение равновесия в данном направлении, в точ-
ности повторялось бы через равные промежутки времени.
При наличии трения и сопротивления среды полная
механическая энергия колеблющейся точки постепенно
235
уменьшается, так как при каждом колебании ее энергия
частично превращается в энергию беспорядочного молеку-
лярного движения и частично идет на создание волнового
движения в окружающей среде. В этом случае наибольшее
отклонение точки от положения равновесия с каждым
колебанием уменьшается.
Если трение и сопротивление среды настолько велики,
что первоначально полученная материальной точкой
энергия целиком теряется при обратном движении ее
к положению равновесия, то колебания, очевидно, не
возникнут даже и при наличии возвращающей силы.
Это определяет третье необходимое усло-
вие возникновения и поддержания колебаний: получен-
ная материальной точкой энергия при смещении из поло-
жения равновесия не должна полностью расходоваться на
преодоление сопротивлений, когда точка возвращается
в это положение.
Следовательно, для того чтобы колебания продолжа-
лись достаточно долго, необходимо, чтобы потери энергии
при каждом колебании материальной точки были значи-
тельно меньше первоначальной энергии этой точки.
§ 124. Параметры колебательного движения. Сравнивая
между собой различные колебания, можно заметить, чго
они отличаются друг от друга частотой колебаний и дру-
гими величинами.
Характерные количественные признаки какого-либо
процесса, позволяющие отличить его от других подобных
процессов и при известных условиях остающиеся постоян-
ными, называются параметрами. Выясним, како-
вы параметры колебательного движения.
Первый важный признак колебательного движения
точки — периодичность. Она характеризуется
периодом Т или частотой v («ню»).
Период колебания материальной точки измеряется вре-
менем, затраченным точкой на одно полное колебание.
Частота колебаний материальной точки измеряется
числом полных колебаний точки за единицу времени.
Соотношение между периодом и частотой колебатель-
ного движения выражается формулой (8.2)
Tv-1.
236
Выведем единицу измерения частоты колебаний
v = v = T-i- = l = 1 гц (герц).
л 1 Lu/v
Во всех системах единиц за единицу частоты колебаний
принимается герц. Это название дано в честь немецкого
физика Г. Герца (1857—1894 гг.), впервые получив-
шего на опыте электромагнитные колебания.
Герцем называется такая частота колебаний точки,
при которой за одну секунду совершается одно полное коле-
бание.
На практике часто пользуются более крупными едини-
цами: килогерцем (кгц) и мегагерцем (Мгц)
1 кгц = 103 гц-, 1 Мгц = 106 гц.
Величина, характеризующая размах колебаний точки,
называется амплитудой. Амплитуда колебаний измеряется
величиной наибольшего отклонения колеблющейся точки
от ее положения равновесия.
На рис. 123 показана ам-
плитуда А колебания средней
точки струны, равная ОБ.
Колебания, повторяющие-
ся с одной и той же амплиту-
дой, называются незатухаю- Рис. 123. Амплитуда А колеба-
щими. ния точки О равна ОБ.
Колебания, происходящие
с уменьшающейся амплитудой, называются затухающими.
На первый взгляд кажется, что незатухающих колеба-
ний не может быть, так как нельзя устранить трение.
Однако вполне возможно создать такой механизм, который
за одно полное колебание точки будет сообщать ей допол-
нительно столько энергии, сколько ее потеряно точкой
за это же время. В этом случае колебания точки окажутся
незатухающими. Примером такого устройства может слу-
жить часовой механизм.
Количество энергии, которой обладает колеблющаяся
материальная точка, связано с частотой и с амплитудой ее
колебаний, так как чем больше амплитуда, тем больше
возвращающая сила и тем на большем пути она действует
на колеблющуюся точку. Можно показать, что количество
энергии колеблющейся материальной точки прямо пропор-
ционально ее массе, квадрату частоты и квадрату амп-
литуды.
237
Таким образом, параметрами, позволяющими отли-
чить одно колебательное движение от другого, являют-
ся период, частота и амплитуда.
§ 125. Величины, характеризующие мгновенное состоя-
ние колеблющейся точки. Период, частота и амплитуда
колебательного движения не дают никаких сведений о том,
где находится колеблющаяся точка в данный момент вре-
мени и в каком направлении она движется. Поэтому нужно
ввести еще величины, характеризующие мгновенное со-
стояние колеблющейся материальной точки.
Величина, определяющая положение колеблющейся точки
в данный момент времени относительно положения равно-
весия, называется смещением. Смещение обозначается
через х, оно измеряется расстоянием от положения устой-
чивого равновесия точки до ее положения в данный момент
времени.
Смещение колеблющейся точки непрерывно изменяется,
то увеличиваясь, то уменьшаясь, и может быть как поло-
жительным, так и отрицательным. Из определений ампли-
туды и смещения следует, что величина наибольшего (мак-
симального) смещения равна амплитуде колебания
Л=хмакс. (10.1)
Направление движения колеблющейся точки в данный
момент времени определяется с помощью фазы колебания.
Фазой колебания называется отвлеченное число, показываю-
щее, какая часть периода прошла от момента начала коле-
бания до данного момента времени. Фаза колебания может
выражаться очень большим числом, если от начала коле-
бания до данного момента уже совершено много полных
колебаний.
Так как при колебаниях период остается постоянным
и по его прошествии процесс колебания повторяется в том
же порядке, то при определении фазы можно отбрасывать
целые периоды и указывать ее величину в пределах лишь
одного последнего периода.
Кроме того, необходимо условиться, что принимать за
начало колебания. Обычно началом колебания считается
положение устойчивого равновесия колеблющейся точки
с указанием, куда она начинает двигаться. Пусть маятник
238
Рис. 124. Изменение - фазы при
колебании маятника.
жен и и влево фаза равна
совершенных маятником
начинает свое колебание отклонением влево от положения
равновесия Б (рис. 124). Тогда при движении от Б до В
он проходит все значения фазы от нуля до 1/4. Когда он
движется обратно от В к Б, то фаза растет от 1/4 до 1/2,
при движении от Б до Г
фаза продолжает расти от
1/2 до 3/4 и, наконец, при
обратном движении от
Г к Б фаза увеличивает-
ся от 3/4 до 1. Если об
этом маятнике нам ска-
жут, что он находится
в фазе 3/4, то мы будем
знать, что он находится в
крайнем правом положе-
нии (в точке Г). Если же
фаза маятника равна 1/2,
то он находится в положе-
нии равновесия и дви-
жется вправо (при дви-
1). Число полных колебаний,
до рассматриваемого момента
времени, здесь роли не играет.
Понятие фазы имеет боль-
шое значение для сравнения
колебаний различных точек,
так как эти колебания могут
иметь одинаковые периоды и
амплитуды, но отличаться по
фазе. Возьмем два одинаковых
маятника, отклоним их на одно
и то же расстояние от положе-
ния равновесия, но один впра-
во, а другой влево, и отпустим
их (рис. 125, а). Тогда оба ма-
ятника начнут колебаться с
одинаковыми периодами и ам-
плитудами. Однако их колеба-
ния назвать тождественными
нельзя, так как они отлича-
ются направлением движения.
Если принять одинаковые начальные условия для от-
счета фазы обоих маятников, например, отсчитывать фазу
Рис. 125. Колебания маят-
ников: а) с противополож-
ными фазами; б) с одинако-
выми фазами.
239
каждого из них от момента прохождения положения рав-
новесия при движении маятника влево, то указанное
различие в колебаниях маятников можно выразить раз-
ностью фаз.
Действительно, положение равновесия оба маятника
будут проходить в один и тот же момент, но в противопо-
ложных направлениях. Если первый маятник движется
при этом вправо, то его фаза будет 1/2, а фаза второго О
(или 1). Таким образом, разность фаз колебаний будет
составлять 1/2. Иногда при этом говорят: «первый маятник
опережает второй или отстает от второго по
фазе на 1/2». Происхождение этой фразы легко понять,
если представить себе, что сначала начал колебаться
первый маятник, и, когда прошло полпериода, второй
маятник начал свое колебание из того же положения и
в том же направлении, что и первый. Понятно, что маят-
ники можно привести в колебания с любой разностью фаз
от нуля до 1.
Если два колебания происходят с одинаковой частотой,
то разность их фаз остается неизменной в продолжение
всего процесса колебаний.
Для дальнейшего особо важное значение имеют два
случая таких колебаний.
1. Разность фаз равна 0 или 1. В этом
случае говорят «колеблющиеся точки находятся в одина-
ковой фазе». В частности, если колеблющиеся точки в любой
момент времени движутся в одном направлении (рис. 125, б),
то их фазы одинаковы.
Колебания "точек, всегда имеющих одинаковую фазу,
называются синхронными.
2. Разность фаз равна 1/2. В этом случае
точки находятся в противоположных фазах. В частности,
колеблющиеся точки имеют противоположные фазы, если,
в любой момент времени они движутся в противоположных
направлениях.
§ 126. Понятие о гармонических колебаниях. В § 123
было показано, что возвращающая сила непрерывно изме-
няется в процессе колебаний. Это означает, что ускорение
колеблющейся точки — переменная величина.
Характер изменения возвращающей силы в процессе
колебаний может быть разнообразным. Наиболее простые
закономерности колебательного движения справедливы
240
в тех случаях, когда величина возвращающей силы прямо
пропорциональна смещению колеблющейся точки.
Математически это можно выразить следующей фор-
мулой:
FB = —kx. (10.2)
Здесь k — величина постоянная для данного колебания.
Знак минус перед k необходим, так как направления FB и х
всегда противоположны.
Колебания, в которых возвращающаяся сила изме-
няется согласно формуле (10.2), встречаются очень часто.
Их выделяют в особую группу. График таких колебаний
представляет собой синусоиду или косинусоиду (см. рис.
129), поэтому их часто называют синусоидальны-
м и или косинусоидальными.
Все колебания, при которых зависимость смещения от
времени подчиняется синусоидальному (косинусоидальному)
закону, называются гармоническими.
Колебание, которое происходит под действием только
возвращающей силы, прямо пропорциональной смещению
колеблющейся точки, является гармоническим. Известно,
что в соответствии с формулой (10.2) изменяется сила
упругости при деформации. Поэтому колебания, проис-
ходящие под действием силы упругости,— гармонические.
Гармонические колебания по значению в физике, элек-
тротехнике и радиотехнике являются одним из важнейших
видов колебательного движения. Особенно важно то, что
всякое не гармоническое колебание можно представить
как совокупность нескольких гармонических колебаний,
наложенных друг на друга.
§ 127. Связь между гармоническим колебанием и равно-
мерным движением по окружности. Оказывается, что
параметры равномерного движения материальной точки
по окружности можно использовать при описании коле-
бательного движения.
Укрепим на диске центробежной машины стержень,
заканчивающийся шариком Ш (рис. 126), и осветим его
так, чтобы на экране получилась резкая тень шарика Т.
Между экраном и шариком повесим маятник М. Если при-
вести маятник в колебания в плоскости, параллельной
экрану, то можно подобрать такую угловую скорость
вращения диска, при которой тени шарика и маятника
241
будут все время совпадать. Следовательно, движения про-
екцией шарика и маятника на экране будут одинаковы.
Так как при малых амплитудах маятник совершает
гармонические колебания (см. § 129), то движение проек-
ции точки, равномерно
движущейся по окруж-
ности, на диаметр этой
окружности воспроиз-
водит гармоническое ко-
лебание. Если какое-
либо гармоническое ко-
лебание происходит с
амплитудой А и перио-
дом Т, то такое же ко-
лебание совершает про-
екция точки, равномер-
но движущейся по ок-
Рис. 126. Опыт, доказывающий, что
движение проекции точки, равномер-
но перемещающейся по окружности,
такое же, как колебание маятника.
ружности с радиусом,
равным Л, и периодом
обращения Т, на один
из диаметров окруж-
ности.
Пусть точка В совершает гармоническое колебание
вдоль прямой МН с периодом Т (рис. 127). Время будем
Рис. 127. Связь между движением точки по окружности и движением
ее проекции по диаметру. Справа показан график гармонического
колебания.
отсчитывать от момента, когда точка В находится в сред-
нем положении О" и движется вверх. Если в этот же момент
начнет двигаться точка Б с угловой скоростью со по окруж-
ности радиусом А = О'Б = О"Л4 в направлении стрелки,
242
совершая полный оборот за время Т, то движение ее проек*
ции вдоль диаметра Б2Б& совпадет с движением точки В
по прямой МН.
Пусть дуга ББг пройдена точкой за время t. Ее проек-
ция за это время сместится на О'Е, а колеблющаяся точка
В—на О"ВХ. Обозначим смещение О'Е: О'ГВГ через х.
Его величину можно найти из А О'Б^ с помощью форму*
лы тригонометрии
х = A sin ср.
Здесь ср называется фазовым углом, или фазой
колебания, так как из формулы (10.3) видно, что ср
характеризует как положение колеблющейся точки, так и
направление ее движения в дан-
ный момент времени.
Таким образом, фазу колебания
можно выражать как в долях пе-
риода (см. § 125), так и фазовым
углом в радианах. Поскольку дви-
жение точки Б равномерное, ср
можно найти из формулы (8.7)
ср — со/. (10.4)
Величину со, когда она приме-
няется для описания колебатель-
ных процессов, называют круговой
частотой.
(10.3)
Рис. 128. Если началь»
на я фаза равна ф0, то
фазовый угол ср—(ро4~(О/.
Фазовый угол можно выразить
через период Т и частоту v с помощью формул (8.8) и (8.9)
2л ,
<р = т1
(10.5)
или
ср = 2лл7. (10.6)
Отметим, что числовое значение фазы, определенное из
формул (10.5) и (10.6), отличается от значения фазы,
выраженной в долях периода, только постоянным множи-
телем 2л.
Иногда время приходится отсчитывать не от среднего
положения колеблющейся точки. Тогда начальное положе-
ние точки Б определяется углом <р0(рис. 128), называемым
243
начальной фазой, а смещение находится с
помощью угла ср, являющегося в этом случае фазой коле-
бания
(р=(О/+<ро, (Ю.7)
2л: . . <Р = 7^ + <Ро> (10.8)
<р — 2nvt + «Ро- (10.9)
§ 128. Уравнение гармонического колебания и его
график. Формула, определяющая величину смещения
колеблющейся точки в данный момент времени, назы-
вается уравнением колебательного дви-
жения. Формула (10.3) представляет собой уравнение
гармонического колебания. Заменив в нем ср его значением
из формул (10.7), (10.8) и (10.9), получим уравнение гар-
монического колебания, выраженное через круговую ча-
стоту, или через период, или через частоту
х = A sin (а) / + ф0),
х = A sin 1 4- <роу
х — A sin (2nvt + <р0).
(10.10)
(10.11)
(10.12)
Выясним, какой вид имеет график гармонического ко-
лебания. На продолжении прямой О'О" (см. рис. 127)
выберем точку О за начало координат и, откладывая на
оси абсцисс время /, а на оси ординат смещение х, нанесем
точки Blf В2, . . ., соответствующие величине смещения
т т
колеблющейся точки в моменты времени -у, . Соеди-
нив точки В2, ... плавной кривой, получим гра-
фик гармонического колебания — сину-
соиду. Так как колебательное движение периодически
повторяется, то за каждый период Т будет добавляться еще
такой же отрезок синусоиды и она может неограниченно
продолжаться в направлении О/.
На рис. 129 показаны графики двух гармонических
колебаний с разностью фаз л/2 ^или ~ Y То колебание,
244
график которого идет левее (синусоида Л), опережает
второе колебание (синусоида В) по фазе зт/2.
Рис. 129. То колебание, график которого идет левее,
опережает по фазе второе колебание на — л.
График смещения затухающего колебания изображен
на рис. 130. Здесь нет полной повторяемости движения,
Рис. 130. График затухающих колебаний.
так как амплитуда постепенно уменьшается. Поэтому такое
движение можно считать периодическим только с некото-
рым приближением, пренебрегая изменением амплитуды.
§ 129. Математический маятник. Одно из самых распро-
страненных механических колебаний — колебание маят-
ника. Мы уже ознакомились с особенностями колебания
материальной точки. Упрощенное представление о колеба-
ниях маятника можно получить, если представить их как
колебания материальной точки. С этой целью вводится
понятие о математическом маятнике.
245
Рис. 131. Математический
маятник.
Математическим маятником называется материальная
точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити.
Пусть математический маятник (рис. 131) находится
в положении устойчивого равновесия ОА. В этом- случае
равнодействующая силы тяжести Р и силы реакции нити F,
приложенных к материальной
точке, равна нулю. Если откло-
нить маятник на небольшой
угол а, то равнодействующая
тех же сил FB уже не будет
равна нулю и будет служить
возвращающей силой *). Оче-
видно, эта сила тем больше,
чем больше угол а. Вычислим
вел и чи ну возвращающей с и-
лы FB.
Обозначим длину нити, на
которой висит маятник, буквой
/, а за смещение х приближен-
но примем вместо хорды А Б
длину перпендикуляра БД,
опущенного из точки Б на по-
ложение равновесия нити ОА.
Чтобы найти равнодействую-
щую силу FB, построим Д БВГ.
В нем угол при вершине В ра-
вен а, так как его стороны параллельны ОА и ОБ.
На основании подобия Д£ВГ и Д БОД можно составить
пропорцию
Д ____
V /
или
(10.13)
Минус в формуле (10.13) необходим, так как Д и х всегда
направлены противоположно.
Заменив в формуле (10.13) силу тяжести ее значени-
ем, получим формулу для вычисления действующей на
*) При построении параллелограмма мы пренебрегли цент-
ростремительной силой, необходимой для движения маятника
по дуге.
246
маятник возвращающей силы
F^-^-x. (10.14)
В этой формуле т и I — постоянные величины, a g также
постоянно для данного места Земли. Поэтому действующая
на маятник возвращающая сила пропорциональна смещению
маятника х.
Однако это верно только для малых углов отклонения,
так как при большом угле а смещение % даже приближенно
нельзя считать равным отрезку БД, Таким образом, при
достаточно малых углах отклонения колебания математи-
ческого маятника можно считать гармоническими. Ока-
зывается, что это допустимо для угла а, не превышающего
3°. Отметим, что угол 2а (рис. 131) называется углом
размаха. При использовании маятника в часах иног-
да различают полное и простое колебания ма*
ятника.
Простым колебанием называют половину
полного колебания маятника, например движение маят-
ника от одного крайнего положения до другого.
§ 130. Законы колебания математического маятника.
Подвешенный на очень легкой и мало растяжимой нити
тяжелый шарик, диаметр которого много меньше длины
нити, можно принять за математический маятник. Выяс-
ним, от чего зависит его период колебания. Исследуя на
опыте колебания такого маятника, мы прежде всего убе-
димся в том , что они затухающие.
Зависит ли период колебания математического маят-
ника от амплитуды? С помощью секундомера
можно убедиться, что в начале и в конце затухающих
колебаний период колебания математического маятника
остается одним и тем же. Это свойство математического
маятника известно под названием изохронности
(разновременности) колебаний; оно было открыто Галилеем.
Однако эта закономерность оказывается верной только
при малых углах размаха колебаний, не превышающих 6°.
Зависит ли, период колебания математического маят-
ника о т его массы? Подвешивая на нитях одинако-
вой длины шарики разных масс, легко установить, что
период колебания математического маятника не зависит
от его массы. Это видно и из формулы (10.14), так как
247
одновременно с изменением массы пропорционально ей
изменяется и возвращающая сила FB. Согласно второму
закону динамики это означает, что ускорения, сообщаемые
возвращающей силой маятникам, отличающимся только
своей массой, при равных смещениях будут одинаковы.
Следовательно, при изменении массы маятника период
его колебаний должен оставаться постоянным.
Зависит ли период колебания математического маятника
о т его длины? Из формулы (10.14) видно, что при
увеличении длины маятника сила FB уменьшается; значит,
маятник будет двигаться медленнее, и его период колеба-
ния возрастет.
Чтобы обнаружить эту зависимость на опыте, возьмем
два маятника, один из которых в четыре раза длиннее дру-
гого, и измерим их периоды колебания. Оказывается, что
при увеличении длины нити в четыре раза период увели-
чивается только в два раза, т. е. период колебания матема-
тического маятника прямо пропорционален квадратному
корню из длины маятника.
В правую часть формулы (10.14) входит еще ускорение
силы тяжести g. Поэтому, если перенести маятник в такой
пункт Земли, где^ увеличится, то одновременно возрастет
и возвращающая сила FB. Следовательно, при той же массе
маятника движение его ускорится, а период уменьшится.
Опыт подтверждает этот вывод и показывает, что период
колебания математического маятника изменяется обратно
пропорционально квадратному корню из ускорения силы
тяжести g.
Сформулируем описанные свойства математического
маятника в виде двух законов:
1. Период колебания математического маятника не
зависит от массы маятника и от амплитуды, если угол
размаха не превышает 6°.
2. Период колебания математического маятника прямо
пропорционален квадратному корню из длины маятника
и обратно пропорционален квадратному корню из ускорения
силы тяжести.
На основании этих законов можно написать формулу
маятника ,—
T-kVLe-
Коэффициент пропорциональности k, как показыва-
ет теория, равен 2л. Заменив k его значение^.получим
248
формулу периода математического маят-
ника
(10.15)
Если нужно вычислить период простого колебания ма-
тематического маятника 7пр, то пользуются формулой
= (10.16)
так как Тпр составляет половину Т.
132. Физический
маятник.
§ 131. Физический маятник. Законы колебания матема-
тического маятника справедливы в том случае, когда вся
колеблющаяся масса сосредоточена в одной, точке, нахо-
дящейся на определенном расстоянии от точки подвеса.
Практически это означает, что их
можно применять только к коле-
баниям тел, размеры которых ма-
лы по сравнению с расстоянием
от центра тяжести этих тел до точ-
ки подвеса. В действительности же
часто встречаются колебания та-
ких тел, размеры которых доста-
точно велики и даже превышают
расстояние от их центра тяжести
до точки подвеса. Примером ска-
занного может служить линейка
АБ, изображенная на рис. 132,
которая будет совершать колебания, если ее вывести из
состояния устойчивого равновесия.
Любое тело, которое подвешено так, что его центр тя-
жести находится ниже точки опоры, а его размеры сравнимы
с расстоянием от центра тяжести до точки подвеса,
называется физическим маятником. Всякий физический
маятник представляет собой совокупность множества
материальных точек.
Мы уже знаем, что период колебания каждой такой
точки зависит от ее расстояния до оси вращения. Так, верх-
ние точки линейки должны были бы иметь период меньший,
чем нижние. Однако все эти точки связаны в одно целое
и колеблются с одинаковым периодом. Следовательно,
249
период колебаний линейки имеет некоторое промежуточное
значение между периодами свободных колебаний ее верх-
них и нижних точцк.
Если мы попробуем применить формулу (10.15) для
вычисления периода колебаний линейки, то сейчас же
встанет вопрос: что следует понимать под ее длиной /?
Очевидно, что / нельзя считать просто длиной линейки А Б,
Проделаем следующий опыт. Рядом с линейкой подвесим
математический маятник, т. е. тяжелый маленький шарик
на легкой нити, длину которой можно изменять. Если ли-
нейку и шарик привести в колебания, то, постепенно
изменяя длину нити, можно добиться совпадения перио-
дов их колебаний. Измерив затем длину математического
маятника, получим значение Z.
Длина математического маятника I, период колебания
которого одинаков с периодом данного физического маят-
ника, называется приведенной длиной физического маят-
ника /пр.
Приведенную длину можно определить еще и следую-
щим способом. Найдем период колебаний линейки из
опыта, подсчитав число ее колебаний за определенный
промежуток времени и разделив этот промежуток на число
колебаний. Теперь из формулы (10.15) мы можем вычис-
лить /пр, так как Т и g нам известны.
Отметим, что маятник, период простого колебания
которого равен одной секунде, называется секундным.
Для Москвы приведенная длина секундного маятника
равна 0,99 м.
§ 132. Применение маятника в часах. В данном месте
Земли при определенной длине маятника период его
колебаний постоянен. Следовательно, число колебаний
маятника может служить для измерения времени. На
этом и основано применение маятника в
часах.
Часы выполняют свою работу за счет энергии пружины
или поднятых на известную высоту гирь. Следует иметь
в виду, что часы с маятником, которые идут верно в данном
месте Земли (в северном полушарии), будут спешить,
если их перевезти к северу, и будут отставать при пере-
несении к югу. Происходит это вследствие изменения g,
а следовательно, и периода колебания маятника Т. Ход
часов регулируют при этом с помощью небольшого гру-
250
зика, например гаечки, находящейся на нижнем конце
маятника. Если часы идут вперед, то гаечку надо опустить
вниз, Когда же часы отстают, гаечку надо поднять. Этим
увеличивают или уменьшают приведенную длину маятника.
Впервые маятник в часах был применен голландским
физиком X. Гюйгенсом (1629—1695 гг.).
§ 133. Некоторые другие применения маятника. Очень
большое практическое значение имеет маятник для опыт-
ного определения величины ускоре-
ния силы тяжести. Из формулы (10.15) имеем
Для определения числового значения g с помощью
маятника нужно знать приведенную длину маятника и его
период. Приведенную длину маятника определяют с боль-
шой степенью точности в лаборатории, а затем маятник
переносят в то место Земли, где нужно измерить g-, и опре-
деляют Т. Чтобы получить надежный результат, число
измерений Т должно быть достаточно большим.
Описанный способ определения g очень удобен и дает
весьма точный результат. В итоге подобных измерений
в различных точках Земли уточняются наши представле-
ния о форме земного шара. При этом надо учитывать, что
возвышенности на поверхности Земли, например горы,
или тяжелые породы в земной коре могут заметно изме-
нять значение g, так как притягивают находящиеся побли-
зости тела в соответствии с законом всемирного тяготения.
Это изменение обычно крайне мало, но вполне может быть
замечено при современной точности измерений.
Если числовое значение g заметно превышает его нор-
мальное значение для какой-либо местности, то говорят,
что в этом месте имеется аномалия силы тяже-
сти (гравитационная аномалия). Если
внести поправку — учесть часть аномалии, зависящую от
возвышенностей (рельефа), то такая «'приведенная» ано-
малия будет указывать на местное крупное скопление
тяжелых пород в земной коре. В частном случае ими могут
оказаться руды железа и других тяжелых элементов.
Таким образом, для геологов маятник — один из при-
боров, помогающих им устанавливать строение земной
коры и отыскивать залежи руд.
251
Качающийся маятник обладает свойством сохранять
неподвижной плоскость своего качания. Это позволяет
обнаружить на опыте вращение Земли
вокруг ее оси. Если подвесить под куполом высо-
кого здания маятник так, чтобы снабженный острием
конец маятника чертил по насыпанному на полу песку
линию во время качания, то острие при каждом качании
будет оставлять новый след. Происходит это потому, что
маятник качается все время в одной плоскости, а земной
шар в это время поворачивается вокруг своей оси. При
отсутствии вращения Земли острие маятника проходило бы
все время по одному и тому же следу. Опыт, доказывающий
вращение Земли, был проведен в 1850 г. французским
ученым Л. Фуко (1819—1868 гг.).
§ 134. Волновые процессы. При наличии связи между
отдельными частицами среды механические колебания,
возникающие в каком-либо месте среды, не могут происхо-
дить изолированно. В процесс колебаний постепенно
Рис. 133. По шнуру бежит волна.
будут вовлекаться все новые частицы среды, находящиеся
все дальше от того места, где первоначально возникли
колебания, в чем легко убедиться на опыте.
Возьмем длинный резиновый шнур, закрепим один его
конец неподвижно и, держа свободный конец в руке,
немного натянем шнур. Если теперь привести этот конец
в колебание, быстро перемещая руку вверх и вниз, то мы
увидим, как по шнуру начнут распространяться колеба-
ния, передаваясь от точки к точке вдоль шнура (рис. 133).
Мы говорим, что по шнуру бежит волна. Подчеркнем
еще раз, что подобный процесс может происходить только
252
при наличии связи между частицами среды, например,
в упругой среде.
Распространение колебаний в среде называется волновым
движением.
Выясним, каким образом возникают волны на шнуре.
На рис. 134 изображены пять положений шнура, через
каждую четверть периода с момента начала колебания
первой точки. Для ясности картины на шнуре отмечены
10 точек, находящихся на равном расстоянии друг от дру-
га. Для того чтобы легче было определить, где находятся
показывают направление движения точек в
волне).
одни и те же точки шнура в разные моменты времени, про-
ведены вертикальные пунктирные прямые. Положение а
относится к тому моменту, когда первая точка шнура
только начинает свое движение вверх. При этом силы упру*
гости заставят перемещаться в том же направлении бли-
жайшую к ней точку, которая вовлечет в движение следую-
щую точку, и т. д.
Через четверть периода первая точка займет крайнее
верхнее положение, а все последующие вовлеченные в ко-
лебания точки будут располагаться все ниже и ниже, так
как каждая из них начала свое движение с некоторым
запозданием по отношению к ближайшей точке слева
(положение б). Вторая отмеченная точка шнура в этот
момент только начнет свое движение вверх.
Еще через четверть периода первая точка снова придет
в среднее положение и будет иметь скорость, направлен-
ную вниз, а вторая точка займет крайнее верхнее положе-
ние и вовлечет в колебания ряд точек, находящихся на
253
отрезке 2—3 (положение в). По истечении 3/4 периода
первая точка будет находиться в крайнем нижнем положе-
нии, вторая — в среднем и будет двигаться вниз, третья
в крайнем верхнем положении, а четвертая будет
только начинать свое движение вверх (положение а).
Наконец, по окончании полного периода первая точка
опять придет в среднее положение, имея скорость, направ-
ленную вверх; вторая точка займет крайнее нижнее поло-
жение; третья будет находиться в среднем положении и
двигаться вниз; четвертая достигнет крайнего верхнего
положения, а пятая только начнет свое движение вверх
(положение 5). В течение следующего периода в колебания
вовлекутся точки от пятой до девятой.
Если первая точка будет продолжать свои колебания,
то, когда она начнет второе колебание, вместе с ней будет
начинать свое первое колебание пятая точка, причем обе
эти точки при своем дальнейшем движении всегда будут
иметь одинаковые фазы колебания.
Выпуклость на шнуре, первоначально возникшая на
его конце, постепенно перемещается вдоль шнура, проходя
положения /, 2, 3, 4 и т. д. Поэтому такие волны назы-
ваются бегущими. Перемещение выпуклости по
шнуру можно рассматривать как распространение фазы
в волновом движении. Действительно, если в положении б
фазу в 1/4 имела первая точка, то в положении в ту же
фазу имеет уже вторая точка, в положении г третья и т. д.
При наблюдении бегущей волны мы видим именно распро-
странение фазы. Каждая отдельная точка в бегущей волне
не перемещается вместе с распространяющейся фазой,
а лишь колеблется около своего положения равновесия.
§ 135. Перенос энергии бегущей волной. Распростра-
нение бегущих волн связано с передачей энергии от одной
колеблющейся точки к другой. Мы видели, что при незату-
хающих колебаниях тела, например маятника, общее коли-
чество его энергии остается неизменным и уменьшение
кинетической энергии сопровождается одновременным
увеличением его потенциальной энергии. В бегущих вол-
нах дело обстоит иначе.
Представим себе часть резинового шнура АБВ, по кото-
рому распространяется бегущая волна (рис. 135). Точка
шнура Б проходит положение равновесия и движется
с наибольшей скоростью о. Следовательно, ее кинетиче-
254
ская энергия по сравнению с другими точками шнура
наибольшая. Но наибольшей является и деформация шнура
в области точки Б, так как здесь его частицы больше всего
сдвинуты относительно друг друга. Следовательно, сила
упругости, действующая на частицу шнура Б, также
наибольшая. Это означает, что точка Б обладает наиболь-
шей потенциальной энергией. Следовательно, в бегущей
волне точки, проходящие через положение равновесия, обла-
дают одновременно максимальными значениями потен-
циальной и кинетической энергии.
Но через некоторое время точка Б перейдет в крайнее
нижнее положение, а среднее положение займет точка В,
к которой и перейдет максимум
энергии. Таким образом, вместе
с фазой в бегущей волне от точки
к точке передается и энергия.
Если точка Б, передав свою
энергию точке В, не получит
новой порции энергии от точ-
ки А, то она перестанет коле-
баться.
Когда мы бросаем камень в
воду, то возникающие на по-
верхности волны переносят
энергию, полученную водой от
камня, все дальше и дальше от
места его падения, а поверх-
Рис. 135. Деформация шну-
ра при распространении
волны. Точки на шнуре
условно показывают относи-
тельное расположение ча-
стиц в шнуре. Стрелка по-
казывает направление рас-
пространения волны.
ность воды после прохождения
волн приходит в состояние покоя. Если мы хотим, чтобы
волна шла непрерывно, то необходимо иметь источник ко-
лебаний, постоянно передающий энергию точкам среды.
Ритмично ударяя палочкой по поверхности воды, мы
получим непрерывную волну.
§ 136. Длина волны. Изучая образование волны на
резиновом шнуре (рис. 134), мы установили, что по исте-
чении одного периода с момента начала колебаний первой
точки шнура колебания распространились до пятой точки
(рис. 134, д). Как показывает опыт, в следующий период
колебания распространяются до девятой точки. Прямо-
линейные отрезки 1—5 и 5—9 равны между собой. Таким
образом, за каждый период данное колебательное движение
распространяетсявупругойсреде наодно и то же расстояние.
25.5
Это доказывает равномерность распространения волн в
данной среде.
Расстояние, на которое распространяется колебатель-
ное движение в среде за один период, называется длиной
волны. Длина волны обозначается греческой буквой X
(«лямбда»).
Вспомним, что точки 1 и 5 имеют одинаковые фазы.
Это позволяет дать иное определение длине волны:
длиной волны называется кратчайшее расстояние между
ближайшими точками бегущей волны, колеблющимися
в одинаковой фазе.
Если выбрать определенное направление, по которому
бежит волна, то расстояние между точками с одинаковыми
фазами всегда будет содержать целое число длин волн или
четное число полуволн. Расстояние же между любыми двумя
точками, имеющими противоположные фазы, будет содер-
жать нечетное число полуволн, например расстояние между
точками 2 и 4 (рис. 134, д) содержит одну полуволну.
§ 137. Поперечные и продольные волны. Рассмотренные
выше волны на резиновом шнуре характерны тем, что в то
время как фаза распространяется в них слева направо,
каждая отдельная частичка шнура колеблется вверх и
вниз. Волны, в которых частички среды колеблются перпен-
дикулярно направлению распространения волны, называют-
ся поперечными. Они состоят из ряда чередующихся вы-
пуклостей и впадин (рис. 136, а). У поперечных волн длина
волны — это расстояние между двумя ближайшими вы-
пуклостями или впадинами.
В поперечных волнах соседние частички сдвигаются
относительно друг друга по перпендикуляру к прямой,
соединяющей эти частички. Такого рода сдвиг всегда со-
провождается изменением формы, что мы и видим на при-
мере шнура. Поперечные волны возможны в твердых телах и
на поверхности жидкости (рис. 136, б) или на границе
раздела двух сред с различной плотностью, где изменение
формы вызывает появление упругих возвращающих сил.
Существуют, однако, не только поперечные волны.
Чтобы показать это, возьмем длинную пружину, под-
вешенную в горизонтальном положении, и толкнем ее
с одного конца в направлении ее оси. Тогда по пружине
побегут волны, состоящие из сгущений и р а з р е*
ж е н и й ее витков (рис. 137). В этом случае каждый
256
виток пружины колеблется вдоль прямой, по которой
распространяются колебания.
Волны, в которых частички колеблются вдоль направле-
ния распространения колебаний, называются продольными.
а)
Рис. 136. Поперечная волна: а) схема волны; б) поперечные
волны на поверхности воды.
Рис. 137. Продольная волна на длинной пружине.
Они состоят из ряда чередующихся сгущений и
разрежений (рис. 138). У продольных волн длиной волны
9 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян
257
является расстояние между центрами двух ближайших
сгущений или разрежений. Поскольку в продольных волнах
Рис. 138. Схема продольной волны.
соседние частички сдви-
гаются вдоль прямой,
соединяющей их центры,
то смещение такого ро-
да вызывает изменение
объема. Силы упругости
при изменении объема
возникают не только в
твердых и жидких те-
лах, но также и в газах. Следовательно, продольные волны
возможны в твердых телах, жидкостях и газах.
§ 138. Скорость распространения волнового движения.
Уточним понятие скорости волнового движения. При вол-
новом процессе мы наблюдаем распространение фазы,
которое происходит с той же скоростью, что и распростра-
нение колебаний от места их возникновения. Это легко
установить по рис. 134, сравнивая соответствующие
отрезки. Скорость распространения колебательного движе-
ния в данной среде иначе называется фазовой скоростью волн.
Поскольку скорость волнового движения постоянна,
ее можно вычислить по расстоянию, пройденному волной
за известный промежуток времени, из формулы равномер-
ного движения (3.1). Возьмем за такое расстояние длину
волны %, тогда время будет равно периоду Т. Следовательно,
(10.18)
Заменив в этой формуле Т его значением из формулы (8.2),
получим еще одну формулу для вычисления скорости
волнового движения
v — vA.
(10.19)
Как показывает опыт, скорость распространения волн
в данной среде не зависит от периода или частоты*), а опре-
*) Отметим, что это верно только при не очень большом раз-
личии в частоте колебаний.
258
деляется лишь физическими свойствами и состоянием сре-
ды. Это означает, что в данной среде механические волны,
соответствующие различным частотам колебаний, распро-
страняются с одинаковой скоростью. Заданной частоте
колебаний частиц среды в волне соответствует ст)рого
определенная длина волны, так как в формуле (10.19) v по-
стоянно. Поэтому, когда известна скорость распростране-
ния волн в данной среде, часто указывают не частоту коле-
баний, а соответствую-
щую им длину волны.
Однако нельзя забы-
вать, что при переходе
волн из одной среды в
другую частота сохра-
няется, а длина волны
изменяется, так как
скорость распростране-
ния волны зависит от
среды и изменяется при
переходе волны из од-
ной среды в другую.
Чем больше скорость
волнового движения в
данной среде, тем длин-
нее в ней волны, соот-
ветствующие определен-
ной частоте колебаний.
§ 139. Отражение
волн. Опыт показывает,
что, встречая на пути
препятствие, волны мо-
гут отразиться от него
и изменить направле-
ние. 139. Отражение волны: а) внеш-
ний вид (вверху видна падающая
капля —- источник волн); б) схема-
тическое изображение (/ — угол па-
дения, i' — угол отражения).
ние своего распространения. Чтобы убедиться в этом,
нальем в ванночку воду и укрепим линейку в воде так,
чтобы ее ребро немного выступало над поверхностью воды.
Теперь будем с помощью равномерно падающих капель
создавать волны на поверхности воды вблизи линейки.
Распространяющиеся по поверхности воды волны, дойдя
до линейки, отражаются от нее (рис. 139, а).
Схематическая картина опыта приведена на рис. 139,6,
где видно, что после отражения волна движется так, как
2*
259
если бы она начала распространяться от точки О19 симмет-
ричной точке О по отношению к отражающей поверхности.
Направление распространения волны называется лучом.
Из точки, в которую падают капли, можно провести
множество лучей на поверхности воды, один из них ОА
показан на рис. 139, б. Назовем его падающим лу-
чом. Луч А Б дает направление распространения отра-
женной волны из точки Л, поэтому назовем его отра-
женным лучом.
Угол составленный падающим лучом и перпендику-
ляром АВ к поверхности, от которой происходит отраже-
ние волн, называется углом падения, а угол Г,
составленный отраженным лучом и тем же перпендикуля-
ром АВ, называется углом отражения.
Отражение волн подчиняется двум законам. Первый
закон отражения волн:
луч падающий и луч отраженный лежат в одной пло-
скости с перпендикуляром, восставленным из точки
падения луча к поверхности, от которой происходит от-
ражение.
Второй закон можно установить следующим
образом. В силу симметрии точек О и 0г относительно от-
ражающей поверхности Д ОАОГ равнобедренный, поэтому
АГ делит угол 0А01 пополам, т. е. Z_l=zL2. Так как
zU+Z_2=90°, то hZJ'+zL1=90o или Z_i=90°—Z.2 и
Z. /'=90° — Z. 1. Следовательно,
Z*'=Z»,
откуда получаем второй закон отражения
волн: угол отражения равен углу падения.
Непрерывное геометрическое место точек волны, имею-
щих одинаковую фазу колебания, называется волновой по-
верхностью (дуги на рис. 139), а передняя волновая по-
верхность называется фронтом волны. Если скорость
распространения волн в среде по всем направлениям
одинакова, то луч всегда перпендикулярен волновой по-
верхности.
На границе раздела двух сред волны частично отра-
жаются и частично проникают в другую среду. Особен-
ности отражения и проникновения продольных волн в
другую среду определяются волновыми сопро-
тивлениями сред. Волновым, или акустическим,
сопротивлением среды называется произведение плотности.
260
Рис. 140. Отражение волны
с потерей полуволны.
среды на скорость распространения в ней продольных
волн, т. е. ру. Чем больше отличаются волновые сопро-
тивления сред, тем сильнее отражение волн от грани-
цы раздела этих сред и меньше проникновение в дру-
гую среду.
Наблюдаются два типичных случая отражения волн:
1. Если волны встречают на своем пути среду с
большим акустическим сопротивлением, чем акусти-
ческое сопротивление среды, в которой они распростра-
няются, то фазы колебаний ча-
стиц, находящихся на границе
раздела сред, при отражении из-
меняются на противоположные.
Это проявляется в том, что если
до отражения продольная волна
шла со сгущением впереди, то от-
раженная волна будет распрост-
раняться с разрежением впереди.
Такое отражение называется от-
ражением с потерей
полуволны. Это явление
также можно иллюстрировать при помощи привязанного
к стене резинового шнура. Если до отражения волна шла
по шнуру выпуклостью вперед, то после отражения она
пойдет с впадиной впереди (рис. 140).
2. Если же при переходе волны из одной среды в другую
акустическое сопротивление уменьшается, то фаза колеба-
ния частиц на границе раздела этих сред сохраняется. Это
означает, что если до отражения продольная волна шла со
сгущением впереди, то и после отражения опа будет рас-
пространяться со сгущением впереди. Такое отраже-
ние называется отражением без потери
полуволны.
§ 140. Интерференция волн. Представим себе, что по
поверхности воды распространяются волны, выходящие
из двух различных точек. Эти волны будут накладываться
друг на друга в тех местах, где они встречаются и пере-
секаются (рис. 141). В таких точках колебание будет
сложным. Однако каждая из волн, пройдя место встречи
с другой волной, продолжает распространяться дальше так,
как будто бы никакой встречи с другой волной у нее не
было. Это свойство волн называется суперпози-
261
ц и е й (от латинских слов «супер» — над и «позицио» —
положение). Таким образом, смещение какой-либо точки,
независимо от ее положения на поверхности, определяется
алгебраической суммой смещений, создаваемых в этой
точке каждой волной в отдельности.
Следовательно, при распространении волн от несколь-
ких источников изменение колебаний происходит только
в местах встречи волн. Понятно, что в каждое мгновение
Рис. 141. Интерференция волн
на воде. Белые области соот-
ветствуют местам ослабления
колебаний.
волны накладываются сразу
во многих точках. Если на-
кладывающиеся волны имеют
разные периоды, то колеба-
ние каждой такой точки будет
негармоническим, и устой-
чивой картины колебаний
совокупности всех этих точек
мы не увидим. Если же на-
кладывающиеся волны имеют
одинаковый период и вызы-
ваемые этими волнами сме-
щения каждой точки направ-
лены по одной прямой, то
получится устойчивая карти-
на колебаний совокупности
таких точек. В частности,
при наложении двух волн с
одинаковыми периодами и
амплитудами на поверхности воды будут явственно видны
линии, на которых точки совсем не колеблются, и линии,
колеблющиеся точки которых имеют значительно боль-
шую амплитуду, чем амплитуды других точек (рис. 141).
Ясно, что если разность фаз двух колебаний непре-
рывно меняется во времени, то при сложении волн, соз-
дающих такие колебания частиц, устойчивой картины
не получится.
Волны, имеющие равные периоды колебаний и постоян-
ную во времени разность фаз, называются когерентными.
Процесс сложения вызванных волнами колебаний точек
среды, имеющих одинаковые периоды, происходящих по
одной прямой и сохраняющих постоянную разность фаз,
называется интерференцией волн.
Ясно, что интерферировать могут лишь когерентные
волны.
262
Очевидно, что при наложении поперечной и продольной
волн, имеющих даже одинаковые периоды и направления
распространения, интерференция не возникает, так как
колебания не направлены по одной прямой. В этом слу-
чае точки среды уже не будут совершать гармонических
колебаний, а будут двигаться по замкнутым кривым.
Теперь выясним, почему при интерференции двух волн
в одних местах получается ослабление колебаний, а в дру-
гих усиление.
Пусть имеются два совершенно тождественных источ-
ника колебаний в точках А и Б (рис. 142), причем фазы
Рис. 142. В точку В волны приходят с одинаковыми
фазами, и в ней амплитуда колебания увеличи-
вается; в точку Г волны приходят с противополож-
ными фазами, и в ней амплитуда уменьшается.
колебаний обоих источников одинаковы. Выберем на не-
котором расстоянии от этих источников две точки В и Г.
В точку В волны приходят с одинаковой фазой, так как в
расстояниях АВ и Б В, называемых волновыми
путями, содержится по 4 у X, и здесь должно получить-
ся усиление колебаний. В точке Г складываются колебания,
имеющие противоположные фазы, так как в расстоянии
Б Г содержится 4уХ, а в расстоянии АГ содержится 4 X.
Следовательно, в этой точке получается ослабление коле-
баний, а при равенстве амплитуд — полное затухание.
263
В промежуточных точках колебания постепенно ослаб-
ляются в направлении от В к Л
Итак, при интерференции волн наибольшее усиление
колебаний получается в тех точках, в которых разность
волновых путей (БВ—АВ) равна четному числу полуволн
или нулю, а наибольшее ослабление колебаний — в тех
точках, где разность волновых путей (БГ—АГ), равна
нечетному числу полуволн. Полное исчезновение колеба-
ний получается при интерференции волн с равными ампли-
тудами в тех точках, в которых разность волновых путей
равна нечетному числу полуволн.
Наличие интерференции при изучении какого-либо
явления служит безошибочным признаком волнового
характера этого процесса.
§ 141. Стоячие волны. Явление интерференции можно йаблю-
дать также и при наложении отраженных волн на основные.
Привяжем нитку к молоточку электрического звонка (рис. 143).
Свободный конец нитки перекинем через блок и подвесим на ней
маленький грузик К. Приведем молоточек в колебательное движе-
ние. Тогда по нитке с определенной скоростью побежит поперечная
Рис. 143. Стоячие волны на нитке.
волна. Дойдя до блока, эта волна отразится и начнет распростра-
няться по нитке в обратном направлении с той же по величине ско-
ростью. От молоточка же тем временем распространяется новая вол-
на. В результате на нитке возникает интерференция волн, идущих
от молоточка и от блока. При этом ясно видны не совершающие ко-
лебаний точки (Д, Б, В и Г), называемые у з л а м и, в которых на-
кладываются колебания с противоположными фазами. Отчетливо
видно и различие амплитуд колебаний точек, расположенных меж-
ду узлами. Точки, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, так
называемые пучности, находятся посередине между узлами.
В этих точках накладываются колебания с одинаковыми фазами.
Наблюдая за ниткой, можно видеть, что узлы и пучности не
перемещаются по нитке, а все время находятся в одних и тех же
точках. При этом нитка кажется нам «размытой». Если в какой-либо
момент времени она занимает положение, изображенное пунктиром,
то через половину периода она займет положение, изображенное
сплошной линией. Так как смена этих положений происходит с
.264
большой скоростью, то мы видим нитку сразу в обоих положениях,
чем и объясняется ее кажущаяся «размытость».
Наблюдаемые на нитке волны характерны тем, что в них нет
распространения фазы: все расположенные между соседними уз-
лами точки имеют одинаковую фазу. Волны, в которых нет распро-
странения фазы (в частности, образующиеся при интерференции
основных и отраженных волн), называются стоячими волнами.
Расстояние между соседними узлами составляет половину дли-
ны стоячей волны. Длина стоячей волны равна длине волн, интерфе-
ренция которых дала стоячую волну.
Из рис. 143 видно, что фазы точек соседних полуволн стоячей
волны всегда противоположны.
Выясним, что происходит с энергией в стоячей волне. Рассмот-
рим участок волны ДБ, на котором укладывается четверть длины
волны. В положениях, изображенных на рис. 143 сплошной и пунк-
тирной линиями, наибольшей энергией обладает точка Б, в которой
наибольшая деформация, а энергия точки Д равна нулю. Когда
нитка займет горизонтальное положение, то энергия точки Б будет
равна нулю (деформация в ней исчезнет), а наибольшую энергию
будет иметь точка Д, обладающая в этот момент наибольшей ско-
ростью движения. Таким образом, в стоячей волне наблюдается
обмен энергией между точками, расположенными на длине в четверть
волны, но общая энергия такого участка остается постоянной во
времени. Поэтому такого переноса энергии в пространстве, как
в бегущей волне, здесь нет. Объясняется это тем, что основные вол-
ны переносят энергию в одном направлении, а отраженные перено-
сят ее в обратном направлении.
Стоячие волны образуются только в том случае, когда на отрез-
ке, равном расстоянию между источником волны и препятствием,
укладывается целое число четвертей волн. Если это условие выпол-
няется, то стоячие волны возникают при интерференции как по-
перечных, так и продольных волн. С помощью стоячих волн легко
измерить длину волны.
§ 142. Понятие о свободных и вынужденных колеба-
ниях. Взяв шарик маятника пальцами, начнем двигать
его рукой поочередно влево и вправо, маятник будет
колебаться. Очевидно, что период такого колебания может
быть самым разнообразным в зависимости от движения
руки. Подобного же результата можно достичь, поочередно
толкая маятник влево и вправо. Понятно, что в приве-
денных примерах определять период колебания маятника
по формуле (10.15) нельзя, так как период зависит в этом
случае не от свойств маятника, а от характера внешнего
воздействия на него. В рассмотренных примерах колеба-
ния навязываются телу внешними воздействиями. Колеба-
ния тела, которые вызываются периодически действующей
на тело внешней силой, называются вынужденными.
Части летящего самолета, пол, на котором стоит рит-
мично работающая машина, совершают вынужденные
265
колебания. Период вынужденных колебаний всегда совпа-
дает с периодом внешней силы. Амплитуда же вынужден-
ных колебаний зависит как от характера внешнего воздей-
ствия, так и от свойств самого колеблющегося тела
(см. § 143).
Если вывести маятник из состояния устойчивого рав-
новесия и отпустить, то он начнет колебаться. В этом слу-
чае колебания происходят под действием возвращающей
силы, а их период зависит только от свойств самого маят-
ника и может быть рассчитан по формуле (10.15).
Колебания такого рода составляют особую группу, отлич-
ную от вынужденных колебаний. Колебания системы,
которые происходят при отсутствии периодических внеш-
них воздействий на эту систему, называются свободными
колебаниями.
При наличии сил сопротивления среды и трения сво-
бодные колебания будут затухающими. Однако можно
представить себе та-
кой идеальный слу-
чай, когда свободные
колебания системы
происходят при от-
сутствии сил сопро-
тивления и трения.
Свободные колебан ия
системы, которые
должны происходить
при отсутствии сил
сопротивления среды
и трения, называют-
ся собственными ко-
лебаниями этой си-
’ стемы.
§ 143. Механиче-
Рис. 144. Резонанс маятников (второго ский резонанс. Под-
и четвертого). весим на упругой
нити А Б четыре маят-
ника (рис. 144). Пусть три маятника имеют различную
длину, а длина четвертого равна длине одного из трех
первых маятников, например второго. Раскачаем второй
маятник. Через некоторое время мы заметим, что нача-
ли качаться и остальные маятники.
266
Дальнейшие наблюдения показывают, что колебания
первого и третьего маятников оказываются очень слабыми
и вскоре затухают, а колебания четвертого все время воз-
растают по амплитуде, пока амплитуда не достигнет наи-
большего значения. Объясняется это явление следующим
образом. Качание второго маятника создает волновое дви-
жение в нити АБ, вследствие чего на остальные маятники
со стороны нити действует периодическая внешняя сила,
приводящая их в вынужденные колебания. Но периоды
собственных колебаний первого и третьего маятников не
совпадают с периодом действующей на них силы. Поэтому
амплитуда их вынужденных колебаний оказывается очень
небольшой. Период же собственных колебаний четвертого
маятника совпадает с периодом внешней силы. Это и при-
водит к постепенному увеличению амплитуды его коле-
баний.
Подобное явление наблюдается и при раскачивании
качелей с помощью периодически повторяющихся внешних
толчков. Хорошо известно, что легче всего раскачать
качели, подталкивая их в такт с их собственными колеба-
ниями. Наоборот, толчок, сообщенный качелям не вовре-
мя, уменьшает амплитуду их колебаний.
Колеблющееся тело, которое создает волновое движение
в окружающей среде, называется вибратором.
Тело, амплитуда вынужденных колебаний которого
сильно увеличивается только при определенном периоде
вынуждающей силы, называется резонатором.
В нашем примере вибратор — это второй маятник,
а все остальные маятники — резонаторы.
Однако в интенсивные колебания приходит только тот
резонатор (маятник), период собственных колебаний ко-
торого совпадает с периодом внешнего воздействия на
него. Это означает, что если поместить различные резо-
наторы в среду, в которой распространяются волны, то
в наиболее интенсивный колебательный процесс придет тот
резонатор, период собственных колебаний которого совпа-
дет с периодом колебаний в волне. Таким путем можно
установить частоту колебаний в волне.
Поместим теперь в среду один резонатор, создадим
в ней волны и будем увеличивать частоту колебаний в них.
Оказывается, что пока частота колебаний в волне сильно
отличается от частоты свободных колебаний резона-
тора, амплитуда его колебаний мала. Однако по мере
267.
приближения частоты колебаний в волне к частоте свобод-
ных колебаний резонатора, амплитуда его колебаний увели-
чивается и достигает максимального значения при совпа-
дении этих частот. При дальнейшем увеличении частоты
колебаний в волне амплитуда колебаний резонатора на-
чинает уменьшаться.
Такая частота вынуждающей силы, при изменении кото-
рой (как в большую, так и в меньшую стороны) амплитуда
вынужденных колебаний системы уменьшается, называет-
ся резонансной частотой для этой системы.
Деление быстрого нарастания амплитуды вынужден-
ных колебаний системы при приближении частоты вы-
нуждающей силы к резонансной частоте называется яв-
лением резонанса.
Отметим, что амплитуда колебаний системы при ре-
зонансе зависит от сил сопротивления и трения, действую-
щих на эту систему. Чем меньше силы сопротивления,
тем больше амплитуда колебаний системы. Это означает,
что особенно большие амплитуды колебаний при резонансе
получаются при малых силах сопротивления, что может
привести к разрушению всей колебательной системы.
Из сказанного следует, что при резонансе к резонатору
переходит наибольшее количество энергии от вибратора.
Это выражается в сильном возрастании амплитуды коле-
баний резонатора. Продолжая наблюдение за маятниками,
мы увидим, что по мере увеличения амплитуды колеба-
ний четвертого маятника амплитуда колебаний второго
маятника уменьшается до нуля. После этого второй и
четвертый маятник меняются ролями: четвертый стано-
вится вибратором, а второй — резонатором. При резо-
нансе подобный обмен энергиями между вибраторами и
резонаторами может происходить много раз.
В природе, в технике и в быту явление резонанса
встречается очень часто и играет большую роль. Раскачи-
вание качелей, дребезжание стекла в окне, когда мимо
дома проезжает автомобиль,— представляют собой явле-
ния резонанса.
Периодически работающие прессы и другие машины
вызывают колебания фундаментов, и при резонансе они
могут преждевременно разрушиться. После постройки
французского крейсера «Жанна Д’Арк» оказалось, что
период колебаний, вызываемых его машинами, близок
к периоду свободных колебаний самого судна. При ра-
268
боте машин раскачивание корпуса крейсера было настоль-
ко большим, что пришлось его перестраивать. В конце
прошлого века батальон французской пехоты проходил
через висячий Анжерский мост над рекой Луарой. Солдаты
шли в ногу, и период колебаний этого «вибратора» совпал
с периодом собственных колебаний моста. С каждым
шагом мост раскачивался все сильнее. Цепи не выдержали
напряжения и мост рухнул. Теперь при переходе через
мосты солдатам запрещают идти в ногу.
Отрицательных действий резонанса можно избежать,
зная теорию этого явления. Например, при конструиро-
вании самолетов следят за тем, чтобы не было резонанса
между какими-либо частями самолета и ритмично работа-
ющими двигателями.
ГЛАВА 11
ЗВУК
§ 144. Природа звука. Воспринимаемые человеком зву-
ки позволяют ему анализировать происходящие вокруг
него явления,
Рис. 145. Шарик
отскакивает от
звучащего камер-
тона.
помогают человеку познавать и изу-
чать природу. Что же представляет
собой звук и каким образом он воз-
никает?
Нетрудно убедиться, что источни-
ком звука всегда служит какое-либо ко-
леблющееся тело. Чтобы показать это,
ударим по камертону молоточком (рис.
145). Камертон начнет издавать звук.
Если поднести к ветви камертона ви-
сящий на нити шарик, то шарик будет
отскакивать от камертона каждый раз,
как дотронется до его ветви. Когда же
камертон не звучит, то соприкасающий-
ся с ним шарик висит неподвижно.
Колеблющееся тело приводит в дви-
жение окружающий воздух, в котором
начинают распространяться волны
(рис. 146). Когда эти волны достигают
уха, то они приводят, в колебание ба-
рабанную перепонку, и мы
слышим звук. Механические волны,
действие которых на ухо вызывает ощу-
щение звука, называются звуковыми.
Легко показать, что наличие источника механических
колебаний еще недостаточно для того, чтобы мы получили
ощущение звука. Поместим электрический звонок под
колокол воздушного насоса и приведем звонок в действие
270
(рис. 147). Пока под колоколом есть воздух, мы явственно
слышим издаваемый звонком звук. Но по мере удаления
воздуха из-под колокола звук становится все слабее и
Рис. 146. Распространение звуковых волн в воздухе,
затем исчезает, хотя звонок продолжает работать. Проис-
ходит это потому, что находящийся в безвоздушном про-
странстве звонок не может передать свою энергию среде,
и в находящемся вне колокола воздухе волны не образу-
ются. Как показывает этот
опыт, в безвоздушном прост-
ранстве звуковые волны не воз-
никают.
Однако далеко не всякие
волны вызывают у нас ощуще-
ние звука. Звуковыми являются
лишь волны с частотой колеба-
ний в них от 16 гц до 20 000 гц.
Наибольшее и наименьшее зна-
чения этих частот несколько
условны и могут быть различ-
ными для отдельных людей.
Итак, для того чтобы у нас
могло возникнуть ощущение
звука, необходимо вы-
полнение четырех усло-
вий:
1) наличие источника звука;
Рис. 147. При отсутствии
воздуха под колоколом зву-
ковые волны от работающе-
го звонка вне колокола в
воздухе не возникают.
2) наличие упругой среды между источником звука
и ухом;
3) частота колебаний источника звука должна нахо-
диться в пределах 16—20 000 гц;
4) мощность звуковых волн должна быть достаточной
для того, чтобы вызвать ощущение звука.
271
§ 145. Скорость звука. Так как звук представляет
собой волны, скорость его распространения должна зави-
сеть от свойств среды, в которой возникают звуковые вол-
ны (§ 138). Опыт подтверждает этот вывод. Поскольку
нас окружает воздух, важнее всего определить скорость
распространения звука именно в воздухе.
Если издали наблюдать за тем, как человек ударяет
по какому-либо предмету, издающему звук, то легко за-
метить, что сначала мы видим, как производится удар,
и только через некоторое время слышим звук. Замечая
момент удара и момент, когда мы слышим звук, можно
определить скорость распространения звука в воздухе *).
Для этого нужно измерить расстояние от наблюдателя до
источника звука, а затем разделить это расстояние на
промежуток между двумя отмеченными моментами времени.
Подобные опыты показали, что скорость распростра-
нения звука в воздухе при 0° С равна 332 —.
сек
Отметим, что скорость распространения звука в воде
равна 1450 — . а в стали — 5000 — . Таким образом, звук
г сек сек r J
от идущего поезда распространяется значительно быстрее
по рельсам, чем по воздуху. Приложив ухо к рельсу, мож-
но обнаружить приближение поезда раньше.
§ 146. Громкость звука, высота тона и тембр. Воспри-
нимаемые ухом звуки вызывают у нас качественно раз-
личные ощущения.
Первое различаемое человеком качество звука — это
громкость звука. Громкость звука определяется
каждым человеком по слуховому ощущению: один и тот
же звук одному человеку может казаться громким, а
другому тихим. Но одному и тому же человеку более гром-
кими кажутся те звуки, которые связаны с большей ампли-
тудой звуковой волны. Когда мы слабо стучим в дверь, то
амплитуда колебаний вещества двери мала, и находящие-
ся в квартире могут не услышать слабый звук. Тогда мы
производим более сильные удары, увеличивая амплитуду
колебанш! вещества двери, и звук становится более гром-
ким. Изменение громкости звука вызывается изменением
*) Скорость света, дающего нам зрительное ощущение, прак-
тически можно считать бесконечно большой по сравнению со ско-
ростью звука.
272
амплитуды звуковых колебаний. На другие качества зву-
ка величина амплитуды не влияет. Происходит это потому,
что при изменении амплитуды изменяется лишь энергия,
переносимая волной за данное время и воспринимаемая
человеком как громкость звука.
Оказывается, что действующие на наше ухо волны вы-
зывают ощущение звука только в тех случаях, когда
мощность звука достаточно велика. Так, например, при
частоте колебаний 2000 гц мы слышим звук, если его мощ-
ность, приходящаяся на единицу площади барабанной
Рис. 148. Высота тона, издаваемого колеблющимся
куском картона, зависит от частоты, с которой
его задевают зубья шестеренок.
перепонки, не менее чем 2- Ю~12 - (порог с л ы*
ш и м о с т и). При меньших частотах (более низких зву-
ках) порог слышимости имеет много большую величину.
Возьмем два камертона разного размера и поочередно
заставим их колебаться. Звуки, издаваемые камертонами,
будут неодинаковыми по высоте тона и вызовут у
нас различные звуковые ощущения. Нетрудно показать
на опыте, что это изменение звукового ощущения вызвано
изменением частоты колебаний. С этой целью возьмем
ось, на которую насажены четыре зубчатых колеса одина-
кового диаметра, нос различным числом зубьев (рис. 148).
273
Если привести зубчатые колеса во вращение и при-
ложить к одному из них край небольшого куска картона
так, чтобы он скользил по зубьям, то кусок картона будет
издавать звук определенного тона. Приложим теперь
край картона к другому колесу. Тогда мы заметим, что
тон издаваемого картоном звука изменился. Произошло
это, очевидно, потому, что изменилась частота колебаний
картона.
Звук, соответствующий строго определенной частоте
колебаний, называется тоном,
Качество звука, определяемое частотой колебаний,
характеризуется высотой тона. Чем большей частоте
соответствует данный звук, тем более высоким является
тон, и наоборот, чем меньшей частоте соответствует звук,
тем ниже тон.
Итак, второе различаемое человеком качество звука
представляет собой высоту тона. Высота тона зависит
только от частоты колебаний.
Поскольку в воздухе все звуковые волны распростра-
няются с одинаковой скоростью, высоту тона можно ха-
рактеризовать длиной звуковой волны в воздухе. Действи-
тельно, формула (10.19) для звуковых волн в воздухе
при 0° С примет вид
Av = 332 —. (11.1)
По формуле (11.1) легко подсчитать, что тону, имею-
щему частоту 440 гц, соответствует в воздухе при 0° G
длина волны 0,755 м. Более высоким тонам соответствуют
более короткие волны, ибо для данной среды длина волны
обратно пропорциональна частоте. Понятно, что в дру-
гой среде, например в воде, длина волны, соответствую-
щая тому же тону, будет иной.
Сложный звук, в котором нельзя выделить отдельных
тонов, называется шумом. Примеры таких звуков: шум
движущегося поезда, шелест листьев и т. п.
В жизни мы нередко узнаем знакомого человека по
голосу, еще не видя его. Точно так же легко отличить
звуки рояля от звуков скрипки, ибо они качественно
различны даже при одинаковой высоте тона. Качество
звука, позволяющее определить источник его образования,
называется тембром.
274
Почему тембр звучания различных источников звука
неодинаков? Объясняется это образованием добавочных
стоячих волн в самом источнике звука (см. § 141), дающих
дополнительные тоны. Дополнительные тоны источника
звука, более высокие, чем основной тон, называются высши-
ми гармоническими тонами, или обертонами.
Каждый источник звука имеет определенное число и
относительную громкость обертонов. Обертоны и придают
каждому звуку свой характерный оттенок — тембр
звука.
Отметим, что частоты колебаний обертонов всегда
являются целыми кратными от частоты основного тона
источника звука.
§ 147. Интерференция звуковых волн. Биения. При
наложении звуковых волн одинакового периода можно
наблюдать интерференцию звука. Так как
Рис. 149. Интерференция звуковых волн при
повороте колеблющегося камертона вокруг
его оси (показан вид камертона сверху; по-
ложение б изображено пунктиром).
при интерференции изменяется только амплитуда, то
интерференция звука должна проявляться в увеличении и
уменьшении громкости звука.
Заставим звучать камертон в положении а, изобра-
женном на рис. 149. От каждой его ветви пойдут волны
с одинаковым периодом. Отметим в пространстве какую-
либо точку А. Волны от обеих ветвей камертона нало-
жатся друг на друга и создадут в ней звук определенной
силы. Если повернуть камертон вокруг его оси (положе-
ние б на рис. 149), то расстояние от точки А до ветвей
камертона изменится. Это приведет к изменению соотно-
шения между фазами волн, приходящих в точку А, вслед-
ствие чего амплитуда колебаний в этой точке изменится.
275
Поэтому в точке А при повороте камертона можно уло-
вить изменение громкости звука. Если поместить звуча-
щий камертон на расстоянии вытянутой руки от уха, то
при вращении камертона слышны попеременные усиления
и ослабления звука.
Интересный случай представляет собой наложение
звуковых волн, периоды которых отличаются на малую
величину (рис. 150). Если такие волны одновременно
приходят в какую-либо точку пространства в данный
Рис. 150. Возникновение биений:
а) волны от двух источников зву-
ка с близкими периодами колеба-
ний; б) результат наложения этих
волн.
личаются на малую величину,
момент времени с одинако-
выми фазами, to через не-
которое время их фазы
разойдутся и в той же точ-
ке получится ослабление
звука, которое затем сме-
нится усилением, так как
фазы волн опять совпадут.
Попеременные усиления и
ослабления звука при одно-
временном звучании двух
тел, периоды которых от-
низываются биениями. Чем
ближе друг к другу периоды складываемых колебаний,
тем реже получаются биения. У человека биения вызы-
вают очень неприятное ощущение.
На опыте биения получить очень просто. Возьмем два
камертона, дающих при звучании одинаковый тон, и
прикрепим к ветви одного из них кусочек пластилина,
отчего период колебания камертона немного возрастет.
Если теперь заставить оба камертона звучать одновременно,
то явственно слышны биения. При удалении кусочка плас-
тилина биения исчезают, так как периоды колебаний
камертонов становятся опять одинаковыми. Одновременное
звучание тел, имеющих одинаковую частоту основного
тона, называется унисоном. -
На практике биениями пользуются при настройке му-
зыкальных инструментов. Если при одновременном зву-
чании камертона и струны слышны биения, то натяжение
струны увеличивают или уменьшают до тех пор, пока
биения не исчезнут. Заметим, что повторяемость биений
много меньше, чем частота звуковых колебаний, вызвав-
ших биения. Частота биений равна разности частот
складываемых колебаний.
276
Рис. 151. Отраже-
ние звуковых волн
от стеклянной
пластинки.
§ 148. Отражение и поглощение звука. Легко пока*»
зать, чго звуковые волны на границе раздела двух сред
претерпевают частичное отражение. Чтобы убедиться в
этом, проделаем следующий опыт. Возьмем стеклянный
цилиндр и положим на его дно часы. Встанем на таком
расстоянии от цилиндра, чтобы тиканья часов не было
слышно. Теперь поместим стеклянную пластинку над от-
верстием цилиндра под углом 45° к горизонту, как это
показано на рис. 151. Тогда тиканье часов будет слышно,
так как отразившиеся от стекла звуко-
вые волны попадут в ухо.
В природе отражение звука наблю-
дается очень часто. Звук может отра-
жаться от стен зданий, от лесных масси-
вов, от скал и т. д. Особенно часто
можно наблюдать отражение звука в
горах.
Если поверхность, от которой отра-
жается звуковая волна, расположена
перпендикулярно направлению распро-
странения звуковой волны, то после
отражения звуковая волна возвращает-
ся обратно к своему источнику. Воз-
вращение звуковой волны после отраже-
ния в то место, из которого она начала
распространяться, называется эхом.
Если отражающая поверхность рас-
положена близко к источнику звука,
то эхо сливается с основным звуком,
делая его более громким и несколько
дол жител ьность.
Для того чтобы эхо и основной звук были слышны раз-
дельно, звуковое ощущение от основного звука к мо-
менту появления эха должно исчезнуть. Поскольку у че-
ловека звуковое ощущение сохраняется в течение
0,1 сек после прекращения действия звуковых волн на
ухо, то промежуток времени между исчезновением основ-
ного звука и появлением эха должен быть больше 0,1 сек.
Так как скорость звука в воздухе равна 344 (при 20°С),
то за 0,1 сек звук пройдет расстояние 34,4 м. Но это
расстояние звук пройдет в направлении препятствия и,
отразившись от него, в противоположном направлении.
277
его про-
тот момент, когда услышим
Рис. 152. Возвращение зву-
ковой волны в точку А после
отражения можно использо-
вать для определения расстоя-
ния АГ.
Следовательно, эхо будет слышно раздельно от основного
звука только тогда, когда отражающая поверхность
расположена не ближе, чем на расстоянии 17,2 м от места
возникновения звука.
При помощи эха можно определить расстояние от ис-
точника звука до отражающей поверхности. Пусть источ-
ник звука находится в точке А на расстоянии АГ=1
от отражающей поверхности БВ (рис. 152). Отметим время
возникновения звука в точке А. Затем отметим время в
в точке А эхо. Если через t
обозначить промежуток вре-
мени между моментами воз-
никновения звука и появле-
ния эха, а через v — скорость
звука, то
2Z = vt
или
/ = У- (11.2)
Если в точке А создать
длительный звук, то эхо соль-
ется с основным звуком и
расстояние / определить бу-
дет невозможно.
В закрытом помещении
расстояние между стенами
часто меньше 17 м, поэтому эхо сливается с основным зву-
ком. Многократное отражение звука от стен может значи-
тельно удлинить продолжительность основного звука в
помещении. Остаточное звучание в закрытом помещении
после прекращения действия источника звука называется
реверберацией. Если время реверберации слишком велико,
помещение будет гулким. При очень малом времени ревер-
берации звук кажется блеклым, «безжизненным». Для
малых помещений наилучшее время реверберации состав-
ляет около 1 сек.
На границе раздела двух сред звук не только отража-
ется, но и поглощается, так как энергия волнового движе-
ния частично переходит в энергию беспорядочного моле-
кулярного движения в этих средах. Ковер поглощает
около 20%, оштукатуренная стена — около 3,4%, а
оконное стекло — около 2,7% падающей на него звуко*
278
вой энергии. Звук, громкий в пустой комнате, в помеще-
нии, заставленном вещами, будет более тихим вследствие
большего поглощения звуковой энергии.
§ 149. Звуковой резонанс. Резонанс может наблюдать-
ся и в звуковых явлениях. Звуковой резонанс проще всего
наблюдать с помощью стеклянной трубки Л, открытой с
обоих концов (рис. 153). Соединим ее нижний конец при
помощи резиновой трубки с воронкой
В и нальем воду до верхнего края
стеклянной трубки Л. Поднесем зву-
чащий камертон К к отверстию
стеклянной трубки. Опуская ворон-
ку, можно подобрать длину столба
воздуха / в трубке так, что мы услы-
шим резкое усиление звука. Это
произойдет, когда периоды колебаний
столба воздуха в трубке и камертона
совпадут. Опустив воронку еще
ниже, мы увеличим длину столба
воздуха в трубке, и явление резо-
нанса исчезнет.
Явление резонанса между камер-
тоном и столбом воздуха определен-
ной длины используется на практике
для увеличения громкости звука,
издаваемого камертоном. С этой
целью камертон устанавливается на
закрытом с одной стороны ящике,
длина которого подбирается так,
чтобы получался резонанс. рис< 153^ опыт, по-
Резонанс звука можно наблюдать называющий явление
И С ПОМОЩЬЮ двух совершенно ОДИ- звукового резонанса.
наковых камертонов, укрепленных на
ящиках. Если поставить эти камертоны на некотором рас-
стоянии друг от друга так, чтобы отверстия ящиков были
обращены друг к другу, и заставить звучать один камертон,
а затем зажать его рукой, то звук не исчезнет. Оказывается,
начал звучать второй камертон. Теперь прикрепим ко
второму камертону небольшой кусочек пластилина и
снова повторим опыт. Резонанс не возникает, так как
периоды колебаний камертонов уже не одинаковы.
279
Рис. 154. Действие ультразву-
кового эхолота.
§ 150. Ультразвуки и их применение. В веществе можно
создать волны с частотой колебаний, значительно пре-
вышающей 20 ОООг/4. Такие волны называются ультра-
звука м и. Ультразвуки не воспринимаются ухом че-
ловека.
Свойства ультразвука совсем не похожи на свойства
«обычного» звука и открывают широкие возможности для
его использования в технике.
Первая особенность ультразвука заключается в том,
что он очень сильно поглощается воздухом и вообще га-
зами и намного слабее —
твёрдыми телами и жидкостя-
ми. Поэтому в жидкостях и
твердых веществах ультра-
звуковые волны могут про-
ходить большие расстояния,
сравнительно мало ослаб-
ляясь.
Второе важное свойство
ультразвука заключается в
возможности осуществить на-
правленное излучение. Ока-
зывается, чем короче длина
ультразвуковой волны по срав-
нению с размером поверхно-
сти, создающей волны, тем
более узким пучком распро-
страняются ультразвуковые
волны.
На использовании этих
двух свойств ультразвуков
основано устройство эхоло-
та — прибора для измере-
ния глубины моря. Если снабдить корабль источником и
приемником ультразвуковых волн, а также прибором для
точного измерения малых промежутков времени, то можно
с большой степенью точности установить глубину моря
и рельеф морского дна на пути следования корабля.
Для этого источник ультразвуковых волн включают на
короткое время, и он, как говорят, излучает ультра-
звуковой импульс, направленный по вертикали
вниз. Момент отправления импульса точно отмечается.
Когда ультразвуковые волны доходят до дна, то они от-
280
ражаются от него, возвращаются к кораблю и улавлива*
ются приемником, отмечающим время приема импульса
(рис. 154). Зная скорость распространения ультразвуко-
вых волн в воде, можно найти глубину моря в данном
месте по формуле (11.2).
Этот же ультразвуковой локатор может быть исполь-
зован для обнаружения препятствия на пути корабля,
если посылать ультразвуковые волны в горизонтальном
направлении. При отсутствии впереди корабля препят-
ствий ультразвуковой луч теряется в воде и не возвраща-
ется к кораблю. При наличии препятствия, например под-
водной скалы, ультразвуковой
луч возвращается к кораблю, и
приемник показывает, на каком
расстоянии от корабля находит-
ся скала. Регулируя проме-
жутки между отправляемыми
импульсами ультразвуковых
волн, можно «прощупать» луча-
ми на определенном расстоянии
пространство впереди корабля.
Под влиянием ультразвуко-
вых волн в жидкости образует-
ся множество мельчайших пу-
зырьков — пустот. Вначале
внутри этих пузырьков происхо-
дит ^усиленное испарение жид-
кости, а затем, под влиянием
сил давления, пузырьки сжи-
Рис. 155. Схема работы
ультразвукового дефекто-
скопа: / — источник ульт-
развуковых волн; 2 — ме-
таллическое изделие; 3 —
рябь на поверхности жид-
кости, позволяющая обна-
ружить внутренние дефекты
в изделии.
маются и находящиеся в них
пары быстро конденсируются. Такое «захлопывание» пу-
зырьков в жидкости называется кавитацией. При
«захлопывании» пузырьков внутри них развиваются огром-
ные давления, что приводит к измельчению нахо-
дящихся в жидкости посторонних веществ. Таким путем
можно образовать суспензии, состоящие из распы-
ленных частиц твердого тела в жидкости, или эмуль-
сии, представляющие тонкую взвесь капелек одной жид-
кости в другой, например ртути в воде, которые другими
способами получить нельзя.
Ультразвуки, проходя сквозь жидкость, вызывают
на ее поверхности рябь (рис. 155). Это явление можно ис-
пользовать для обнаружения дефектов в
281
металлических изделиях. Сущность этого метода заклю-
чается в том, что газы, находящиеся в трещинах и пусто-
тах в металле, поглощают ультразвуки значительно
больше, чем металл, поэтому при наличии дефектов ха-
рактер ряби на поверхности жидкости изменяется.
В настоящее время имеются усовершенствованные дефек-
тоскопы (приборы для обнаружения внутренних де-
фектов в твердых материалах), использующие ультразву-
ки. Один из первых дефектоскопов изобретен советским
ученым С. Я. Со к о л о в ы м, Он же построил ульт-
развуковой микроскоп, позволяющий видеть
в увеличенном виде предметы, находящиеся внутри не-
прозрачных твердых тел или в жидкостях.
Отметим еще, что переносимая волной энергия прямо
пропорциональна плотности среды, квадрату амплитуды
и квадрату частоты волны. Если при малых частотах энер-
гия звуковых волн мала, то при больших частотах колеба-
ний энергия ультразвуковых волн может быть настолько
большой, что ее можно использовать в производственных
целях. Этим и объясняется широкое использование
ультразвуковых установок в технике и науке.
ГЛАВА 12
ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ И АЭРОДИНАМИКИ
§ 151. Значение гидро- и аэродинамики. На Земле дви-
жения тел всегда происходят внутрц жидкой или газо-
образной среды. Плывущий человек, подводная лодка,
рыбы, брошенный в реку камень движутся внутри жид-
кости. Человек, автомобиль, поезд, самолет, птицы дви-
жутся в газе (воздухе). Влияние среды на движение тел
Рис. 156* Траектория винтовочной пули при отсутствии
воздуха (пунктирная кривая) и в воздухе (короткая сплошная
линия вблизи точки О), Сопротивление воздуха сокращает
дальность полета пули почти в 10 раз.
(см. § 58) может быть очень большим. Так, в безвоздушном
пространстве снаряд, начавший свой полет под углом
45° к горизонту (рис. 156), двигался бы по параболе (см.
§ 101), а в воздухе он движется по баллистической
кривой*) и дальность его полета уменьшается.
Движущееся тело увлекает за собой окружающую
среду, и внутри нее возникают течения, т. е. смещение
одних слоев среды относительно других. Течения могут
создаваться и другими причинами, например, наклон
♦) Баллистика — наука о стрельбе.
283
русла создает течение воды в реке, а неравномерный на-
грев воздуха создает ветер.
Между слоями среды, движущимися с различными ско-
ростями, возникают силы взаимодействия, препятствую-
щие перемещению слоев относительно друг друга. Силы,
тормозящие движение частей среды относительно друг
друга, называются силами внутреннего трения, или си-
лами вязкости. Величиной этих сил определяется вяз-
кость среды. Движущееся в вязкой среде тело за-
трачивает энергию на преодоление сопротивления среды.
Для уменьшения затраты энергии на движение тела в
среде нужно установить законы движения среды и изу-
чить те свойства сред и тел, которыми определяется
сопротивление движению тела.
Законы движения жидкостей и силы сопротивления
движению тел внутри жидкости изучаются гидроди-
намикой. Аналогично законы движения газообразной
среды и сопротивление ее движению тел изучаются аэро-
динамикой.
§ 152. Стационарный поток жидкости. Линии тока.
Исследования сил сопротивления движению тел в реально
встречающихся жидких и газообразных средах позволили
установить, что эти силы обусловлены наличием у среды
вязкости и сжимаемости.
Вязкостью называется свойство среды, определяемое
действием в ней сил внутреннего трения при движении
частей среды относительно друг друга. Сжимаемостью
называется свойство среды, определяемое относительным
уменьшением ее объема под действием внешних сил. При
небольших скоростях движения тел относительно жидко-
сти или газа сжимаемость этих сред существенной роли
не играет и их можно считать несжимаемыми.
Однако сжимаемость газа становится основной причиной,
влияющей на движение тел в газе, когда скорость тел
приближается к скорости распространения звука в газе.
Движение жидкости или газа называется установив-
шимся или стационарным *), если скорость течения в каж-
дой точке пространства остается неизменной, т. е. не
зависит от времени. Траектории движения частиц жид-
кости в стационарном потоке называются линиями тока.
Их можно увидеть с помощью следующего опыта.
*) От латинского слова «стащюнарус» — неизменяющийся.
284
В плоскую стеклянную ванну А (рис. 157) поме*
щается диск Б. Внизу ванны имеется отверстие для
стока воды. Сверху ванна закрыта крышкой с двумя
рядами отверстий, идущими параллельно плоскости ри-
сунка. Отверстия одного ряда сдвинуты так, что попадают
на промежутки между отверстиями другого ряда. Над
крышкой помещен сосуд В, разделенный перегородкой,
расположенной между рядами
В сделаны отверстия, совпадаю-
щие с отверстиями в крышке
ванны А. Ванна заполняется
водой при закрытом зажиме 3.
Затем одна половина верхнего
сосуда заполняется чистой во-
дой, а другая водой, подкрашен-
ной густой краской. Открыв
зажим 3, постепенно выпускают
воду из ванны Д. Тогда в нее
сверху втекают чередующиеся
струи чистой и подкрашенной
воды, дающие картину линий
тока.
На рисунках движение жид-
кости изображают линиями
тока так, чтобы густота линий
была пропорциональна скорости
отверстий. В дне сосуда
Рис. 157. Установка для
наблюдения линий тока.
потока. Таким образом, там,
где линии тока сближаются, скорость течения больше, а
где расходятся—меньше. Например, на уровне центра диска
Б (рис. 157) скорость течения воды больше, чем вверху.
Если скорость течения будет значительной, то при обте-
кании тела жидкостью (газом) ее вязкость может привести к
вращению части жидкости (газа), т. е. к образованию
завихрений. Такое течение называется вихревым.
§ 153. Зависимость между давлением и скоростью дви-
жения в стационарном потоке. В стационарном
потоке линии тока нигде не разрываются (это условие не
выполняется при вихревом течении), что отражает не-
прерывность потока жидкости (газа) во всей области ее
течения. Если пренебречь внутренним трением (вязко-
стью), то в прямой трубе одинакового сечения при стаци-
онарном потоке скорость течения жидкости во всех точках
285
должна быть одинаковой. Это означает, что линии тока в
трубе будут параллельны и расположены на одинаковом
расстоянии друг от друга (рис. 158). Считая жидкость
несжимаемой, легко установить связь между сечением
трубы и скоростью непрерывно текущей жидкости при
отсутствии в ней внутреннего трения.
Введем понятие идеальной жидкости. Бу-
дем называть жидкость идеальной, если она, во-первых,
несжимаема и, во-вторых, лишена вязкости.
Рис. 158. При отсутствии тре-
ния скорость течения жидко-
сти по всему сечению трубы
одинакова.
Рис. 159. Скорость течения жид-
кости в трубе обратно пропорцио-
нальна ее площади поперечного
сечения.
На рис. 159 изображена труба с двумя различными се-
чениями Sr и S2, внутри которой течет стационарный по-
ток идеальной жидкости. В силу непрерывности течения
через сечения Si и S2 за равные промежутки времени
будут протекать равные объемы жидкости, а в силу
отсутствия вязкости скорости течения жидкости во всех
точках какого-либо поперечного сечения трубы будут
одинаковы. Пусть скорость течения жидкости в сечении
равна vlf а в сечении S2 равна v2. Тогда объем жидкости,
протекающей за 1 сек через сечение S19 выразится произ-
ведением Для сечения S2 тот же объем выражается
произведением S2v2. Приравнивая эти произведения, полу-
чим уравнение неразрывности струи
*$2^2
ИЛИ
В стационарном потоке идеальной жидкости скорость
течения обратно пропорциональна площади поперечного
сечения потока. Следовательно, там, где поток сужается,
скорость течения возрастает и линии тока сближаются.
286
в
Регат
ПОЛИ
Если в текущем горизонтально потоке мысленно выде-
лить небольшую массу жидкости, то, пренебрегая внут-
ренним трением, на основании закона сохранения энергии
можно утверждать, что ее энергия должна оставаться
постоянной, т. е. может переходить только из кинетиче-
ской в потенциальную или обратно. Так как кинетиче-
ская энергия выделенной мас-
сы определяется скоростью ее
движения, а потенциальная —
давлением внутри жидкости,
то там, где поток движет-
ся быстрее, должно умень-
шаться давление и наоборот*).
Давление внутри жидко-
сти обычно измеряется жид-
костным маномет-
ром. Жидкостный манометр
имеет вид трубки, плоскость
отверстия которой распола-
гается в потоке параллельно
рис. 160). Если плоскость отверстия трубки расположить
перпендикулярно линиям
Рис. 160. Манометр /4 изме-
ряет статическое давление
жидкости, а манометр В — сум-
му статического и динамиче-
ского давлений.
линиям тока (трубка А на
тока (трубка В), то жидкость,
попавшая в трубку, поте-
ряет часть кинетической
энергии, которая, перейдя в
потенциальную энергию, вы-
зовет дополнительный подъем
жидкости в трубке. Это до-
полнительное давление, обу-
словленное течением, назы-
вается динамическим, в отли-
чие от статического
давления, измеряемого
трубкой А. Трубка В назы-
вается трубкой Пито
и измеряет сумму статического и динамического давлений.
Возьмем трубку переменного сечения и манометры для
измерения статического давления. Один конец трубки
соединим с резервуаром, наполненным жидкостью, а
другой оставим открытым (рис. 161). При вытекании
Рис. 161. В стационарном по-
токе жидкости статическое дав-
ление обратно пропорциональ-
но скорости потока.
*) При наклонном течении жидкости необходимо учитывать
еще изменение потенциальной энергии с изменением высоты.
287
жидкости из открытого конца трубки показываемое мано-
метром давление оказывается тем меньше, чем меньше
площадь сечения трубки там, где он установлен, т. е. чем
больше скорость течения жидкости (см. формулу (12.1)).
Таким образом, опыт подтверждает установленную выше
связь между скоростью течения и статическим давлением
в стационарном потоке.
§ 154. Практическое использование зависимости дав-
ления от скорости потока. Если при наполнении ванны во-
дой бросить в воду мячик так, чтобы он соприкоснулся с
ВаВа
ВзВа и газ
Рис. 162. Схема дей-
ствия водоструйного
насоса.
текущей из крана струей, то он втя-
гивается в струю и остается в ней,
пока течет вода. Однажды рабочий
должен был закрыть снизу щитом
люк, в который дул сильный встреч-
ный ветер. Он стал подниматься по
лестнице, держа щит над головой.
Когда щит оказался близко к люку,
то рабочий в результате втягивающе-
го действия струи воздуха вместе со
щитом был поднят вверх. Таким об-
разом, быстро движущийся поток
жидкости или газа производит втяги-
вающее действие. Объясняется это
тем, что давление внутри потока тем
меньше, чем быстрее он движется.
Втягивающее действие водяной
струи используется в водоструй-
ном насосе (рис. 162). Водо-
струйный насос состоит из баллона с
тремя отводами. По одному из отво-
дов подается вода, по второму отводу она вытекает, а
третий отвод соединяется с резервуаром, из которого
нужно удалить газ. Струя воды, вытекающая из суженной
части трубки внутри насоса, имеет значительную скорость.
Поэтому внутри струи создается разрежение, соприкаса-
ющийся с ней газ втягивается в струю и уносится водой
из баллона.
В пульверизаторе используется всасывающее
действие воздушной струи для поднятия и распыления
жидкости (рис. 163). Выходящий с большой скоростью из
суженного конца трубки а воздух создает разрежение в
288
трубке б. Атмосферное давление поднимает по трубке б
жидкость, которая, попав в струю воздуха в, распыляется.
Всасывающее действие воздушной струи используется
в двигателях внутреннего сгорания для образования горю-
чей смеси в карбюраторе (рис. 164). Карбюратор
состоит из поплавковой камеры А и смесительной каме-
ры Б, Поплавковая и смесительная камеры соединены
трубкой, в которой имеется калиброванное отверстие Ж
называемое жиклером, обеспечивающее точную дозировку
бензина, поступающего в смесительную камеру через
Рис. 163. Пульверизатор.
Рис. 164. Схема устройства
карбюратора двигателя внут-
реннего сгорания.
открытый конец трубки (распылитель). Распылитель на-
ходится в диффузоре Д (суженная часть смесительной
камеры Б).
При всасывающем ходе поршня двигателя воздух в
смесительной камере устремляется вниз. В диффузоре
скорость движения воздуха возрастает и давление вокруг
распылителя уменьшается, а в поплавковой камере со-
храняется атмосферное давление. Возникшая разность
давлений гонит бензин через жиклер и распылитель в
смесительную камеру. Тонкая струя бензина, втекающая в
диффузор, распыляется воздушным потоком, и образовав-
шаяся горючая смесь паров бензина с воздухом поступает
в двигатель. Количество смеси, попадающей в рабочие
цилиндры двигателя, регулируется дроссельной заслон-
кой 3. Для того чтобы бензин не вытекал самотеком из
распылителя при закрытой заслонке 3, с помощью
? 10 Л. С^Жданов, В. А-Маранджян
289
поплавка П уровень бензина в камере А автоматически под-
держивается немного ниже уровня, на котором находится
распылитель. Когда уровень бензина в камере А подни-
мается, поплавок поворачивается вокруг оси О и с помощью
иглы И закрывает отверстие, через которое бензин из бака
попадает в камеру А.
§ 155. Вязкость газов. Когда внутри газа имеются слои,
движущиеся с различной скоростью, то молекулы, перехо-
дящие из слоя, движущегося быстрее, в слой, движущийся
медленнее, ускоряют его движе-
ние, а молекулы, переходящие из
о— медленно движущегося слоя в
°---------- быстро движущийся, замедляют
--------------- его движение. Таким образом,
Г о———---------—хаотическое движение молекул соз-
о------------ дает обмен молекулами между
о----—— слоями газа, движущимися с разны-
°—>----- ми скоростями, и ведет к выравни-
ванию их скоростей, т. е. к возник-
Рис. 165. Летящая в
воздухе пуля увлекает
за собой ближайшие слои
воздуха.
новению сил внутреннего
трения, тормозящих движение
слоев относительно друг друга.
Повышение температуры газа
связано с увеличением скорости
хаотического движения молекул и ведет к более частому
обмену молекулами между слоями газа, т. е. к увеличе-
нию сил внутреннего трения. Таким образом, вязкость
газа с повышением температуры возрастает.
Когда в воздухе движется тело, например пуля, со
скоростью v (рис. 165), то непосредственно соприкасаю-
щийся с телом слой воздуха настолько прочно связан с
телом, что движется вместе с ним с той же скоростью
Это означает, что между газом и телом трения не возни-
кает. Силы вязкости, действующие между слоями газа,
расположенными параллельно вектору V, увлекают эти
слои в движение следом за телом и создают сопротивление
его движению. Скорости движения слоев газа в перпен-
дикулярном v направлении постепенно уменьшаются по
мере удаления от тела. Точно таким же образом движу-
щийся автомобиль (поезд) увлекает за собой окружающий
воздух, движение которого мы ощущаем, когда автомобиль
проезжает недалеко от нас.
290
Силы вязкости, обусловленные движением слоев газа
или жидкости, изменяются прямо пропорционально ско-
рости движения тела. Поэтому, когда сила вязкости срав-
няется с весом падающего в воздухе тела, его движение
становится равномерным, например, равномерно падение
капель дождя или снежинок.
§ 156. Вязкость жидкости. В жидкости переход моле-
кул из одного слоя в другой происходит много реже, чем
в газе, так как молекулы жидкости расположены значи-
тельно ближе друг к другу и вследствие частых столкно-
вений большую часть времени колеблются около случайно
возникающего положения равновесия, а затем переска-
кивают в новое положение равновесия лишь на расстояние
порядка своего диаметра. Однако вязкость жидкости
значительно больше, чем вязкость газов. Это означает,
что главной причиной вязкости жидкости не может быть
переход молекул из слоя в слой.
Если это утверждение верно, то вязкость жидкости
должна зависеть от температуры иначе, чем вязкость
газов. Как говорилось выше, вязкость газов возрастает
при повышении температуры. Вязкость же жидкостей
при повышении температуры должна уменьшаться, так
как жидкость при нагревании расширяется, что ведет к
уменьшению сил молекулярного притяжения, а следова-
тельно, и сил внутреннего трения в жидкости. Оказывает-
ся, что при нагревании вязкость жидкостей действительно
уменьшается. Это можно подтвердить опытом.
Возьмем высокую мензурку и нальем в нее глицерин.
Опустим в него дробинку (маленький свинцовый шарик)
и будем наблюдать за ее движением. Первые 2—3 см
дробинка проходит равномерно ускоренно, а затем начи-
нает двигаться равномерно. Отметим деление мензурки,
находящееся на 4—5 см ниже уровня глицерина, и изме-
рим время падения дробинки от этого деления до дна
мензурки. Зная длину пути и время движения, найдем ско-
рость равномерного движения дробинки в глицерине.
Повторив опыт с подогретым глицерином и той же дро-
бинкой, мы увидим, что скорость ее движения станет зна-
чительно больше, так как вязкость глицерина умень-
шится.
Налив в несколько мензурок различные жидкости до
равной высоты и помещая в них одинаковые дробинки,
10*
291
можно сравнить вязкости этих жидкостей: чем больше
времени падает дробинка в жидкости, тем больше вязкость
жидкости.
Рис. 166. Возникновение вихрей
за движущимся телом.
§ 157. Сопротивление движению тела в жидкости и
газе. Выясним, от каких причин зависит сила сопротивле-
ния, возникающая при движении тела в жидкости или га-
зе. Заметим, что эта сила не зависит от того, движется ли
тело в неподвижной среде
или неподвижное тело об-
текается средой. Поэтому
для изучения сил сопро-
тивления движению тела в
воздухе пользуются аэро-
динамической тру-
бой.
В аэродинамической
трубе большого диаметра
укрепляется модель само-
лета и затем через трубу
продувается воздух, рас-
четная скорость которого
соответствует скорости по-
лета самолета. Меняя скорость потока воздуха в трубе,
можно исследовать, как изменяется сила сопротивле-
ния воздуха при полете самолета с различными скоростями.
Аналогичным путем изучается и влияние других при-
чин на силу сопротивления среды. Эти опыты показывают,
что сила сопротивления среды перемещению тела зави-
сит от скорости их относительного движения, размеров
и формы тела, а также от свойств среды (в частности,
от ее плотности и вязкости).
Сила сопротивления среды, направленная навстречу
движению тела, называется лобовым сопротивлением.
Лобовое сопротивление среды прямо пропорционально пло-
щади сечения тела, перпендикулярного направлению дви-
жения. Зависимость лобового сопротивления от скорости
движения тела носит сложный характер.
При малых скоростях движения тела относительно
среды лобовое сопротивление изменяется прямо пропор-
ционально скорости и обусловливается вязкостью среды.
Если постепенно увеличивать скорость движения тела,
то наступает момент, когда лобовое сопротивление стано-
292
вится прямо пропорциональным квадрату скорости. Такое
резкое изменение сопротивления среды объясняется тем,
что за движущимся телом возникает вихревое движение
среды (рис. 166) и давление в этой области сильно умень-
шается, а лобовое сопротивление, следовательно, воз-
растает.
При дальнейшем увеличении скорости начинает сказы-
ваться сжимаемость среды. Когда скорость движения тела
Рис. 167. Обтекаемая форма гоночного автомо-
биля (а), ракеты (б).
приближается к скорости распространения звука в среде,
наблюдается значительное увеличение лобового сопротив-
ления (звуковой барьер). Однако далее лобовое
сопротивление вновь становится пропорциональным квад-
рату скорости движения.
Таким образом, при больших скоростях основная при-
чина лобового сопротивления — образование вихрей позади
движущегося тела. Так как неровности на поверхности
тела и заострения способствуют образованию вихрей, то
лобовое сопротивление зависит от формы тела и от каче-
ства обработки его поверхности. Для уменьшения лобо-
вого сопротивления телу нужно придать такую форму,
при которой позади него образуется меньше вихрей (см.
§ 58). Поэтому для уменьшения расхода энергии на прео-
доление сопротивления среды движущимся телам при-
дают гладкую обтекаемую форму (рис. 167).
293
§ 158. Понятие о подъемной силе, действующей на
крыло самолета, и силе тяги винта. Для того чтобы летя-
щий самолет не падал, на него должна действовать сила,
уравновешивающая его вес. Выясним, каким образом
создается эта сила. Оказывается, когда самолет приходит
в движение, то вокруг его крыла возникает движение воз-
духа, которое над крылом направлено против движения
последнего, а под крылом — в сторону его движения. Это
ведет к увеличению относительной скорости потока над
крылом и к ее уменьшению под крылом (рис. 168), т. е.
к понижению давления вверху и повышению — внизу
(см. § 153). Разность приложенных к самолету сил давле-
ния направлена вверх.
Рис. 168. Над движущимся
крылом скорость потока боль-
ше, а давление меньше, чем
под крылом. Разность этих дав-
лений создает подъемную силу.
Рис. 169. Угол а между направ-
лением движения крыла и пря-
мой, соединяющей наиболее уда-
ленные точки крыла, представ-
ляет собой угол атаки.
Если поверхность крыла расположить под небольшим
углом к направлению движения самолета (рис. 169),
называемым углом атаки, то силу сопротивления
среды F, направленную перпендикулярно крылу, можно
разложить на силу лобового сопротивления Q и подъемную
силу р. Для заданного профиля крыла и расчетной ско-
рости полета можно найти оптимальный угол атаки, соот-
ветствующий наивыгоднейшему соотношению между подъ-
емной силой и лобовым сопротивлением. Теория подъем-
ной силы крыла впервые была разработана Н. Е. Ж у к о-
в с к и м (1847—1921 гг.). Работы Жуковского в области
авиации имели огромное значение для ее дальнейшего
развития.
Поступательное движение самолета создается силой
тяги винта. В соответствии с третьим законом Ньютона,
винт может тянуть за собой самолет только в том слу-
294
чае, если будет отбрасывать воздух в обратную сторону.
Тогда самолет и воздух при взаимодействии приобретут
равные и противоположные импульсы (количества дви-
жения). При определенной силе тяги винт должен сооб-
щить отбрасываемому воздуху импульс mAv. Этот воздух
приобретет кинетическую энергию *) за счет работы
двигателя самолета.
Представим себе два различных винта, создающих
одинаковые силы тяги. Пусть первый винт отбрасывает
малую массу воздуха т, сообщая ей большой прирост
скорости Avb а второй отбрасывает большую массу М,
сообщая ей соответственно меньший прирост скорости
Av2. Тогда кинетическая энергия отбрасываемого воздуха
в первом случае будет больше, чем во втором (в формулу
кинетической энергии входит квадрат Av), т. е. в первом
случае необходима большая мощность двигателя и боль-
ший расход горючего для получения нужной силы тяги.
Таким образом, выгоднее делать винт возможно боль-
шего диаметра, захватывающий большие массы воздуха.
На вертолете сила тяги винта, вращающегося в горизон-
тальной плоскости, используется в качестве подъемной
силы, поэтому вертолет может неподвижно висеть в воз-
духе. Для получения горизонтальной скорости плоскость
вращения винта немного наклоняется к горизонту.
§ 159. Корабль с подводными крыльями. Подъемная
сила, действующая на крыло, возникает при его движении
в любой среде, в частности в воде. Это явление лежит в
основе принципа устройства корабля с подводными крыль-
ями. Обычно вес корабля уравновешивается подъемной
силой, действующей на корабль в соответствии с законом
Архимеда. Значительная часть корпуса корабля при этом
находится в воде. При движении корабля на его подвод-
ную часть действует большое лобовое сопротивление, во
много десятков раз превышающее сопротивление воздуха
и быстро растущее при увеличении скорости корабля.
Поэтому, несмотря на большую силу тяги винта, обыкно-
венные корабли не могут развивать больших скоростей
движения, сравнимых с возможными скоростями движе-
ния в воздухе.
*) Мы пренебрегаем здесь начальной скоростью воздуха, при-
нимая ее равной нулю.
295
Однако если сделать у корабля подводные крылья с
небольшим углом атаки (рис. 169), то при движении ко-
рабля на крылья будет действовать подъемная сила, воз-
растающая при увеличении скорости корабля. Поэтому,
чем быстрее будет двигаться корабль, тем больше будет
приподниматься его корпус из воды, а лобовое сопротив-
ление, действующее на подводную часть корабля, будет
уменьшаться. При скорости около 30—40 — под водой
остаются только крылья и винт, а весь корпус корабля
находится над водой (рис. 170). Так как сопротивление
воздуха во много раз меньше сопротивления воды, то при
Рис. 170. Корабль с подводными крыльями в движении.
одинаковой мощности двигателей корабль с подводными
крыльями может развивать значительно большие скоро-
сти, чем обыкновенный корабль.
Современные корабли с подводными крыльями разви-
вают скорость до 100
Большой вклад в теорию движения крыла в непосред-
ственной близости от поверхности жидкости сделал ака-
демик М. В. Келдыш.
§ 160. Принцип устройства гидротурбин. Вода, стека-
ющая по рекам в озера, моря и океаны, обладает огромной
энергией. Эту энергию вода получает за счет энергии Солн-
ца, создающего круговорот воды в природе.
До Великой Октябрьской социалистической революции
в России эта энергия почти не использовалась. Однако
начиная с 1917 г. и до сегодняшнего дня в нашей стране
идет интенсивное строительство гидроэлектростанций. В
самое последнее время была построена Братская гидро-
электростанция на Ангаре, которая может развивать
мощность до 5 000 000 кет.
296
Установки, действие которых основано на использова-
нии энергии воды, называются гидравлическими
двигателями. Наиболее совершенные гидравли-
ческие двигатели — водяные турбины. Устройство тур-
бины зависит от напора и массы воды, проходящей
ежесекундно через турбину. Для создания напора воды
можно использовать естественную разность уровней воды
в реке, например в водопадах, но чаще всего эту разность
л
Рис. 171. Принципиальная схема Рис. 172. Напорная турбина
действия напорной турбины. (вид сверху).
уровней создают искусственно с помощью плотин. Чем
большую разность уровней воды в реке создает плотина,
тем больше будет напор воды,
При больших массах воды в реке пользуются напор-
ными турбинами Френсиса. Принцип действия
турбины Френсиса ясен из рис. 171. По трубе А,
расположенной в нижней части плотины, вода под напо-
ром попадает в неподвижное колесо Б с наклонными кана-
лами, по которым она направляется в подвижное колесо В.
Протекая по каналам колеса В, вода приводит его во враще-
ние, а сама вытекает по трубе Г. Каналы в колесах Б ц
В наклонены в разные стороны, что способствует более
полной передаче энергии воды подвижному колесу В.
В современных напорных турбинах вместо каналов де-
лают лопатки особой формы. На рис. 172 схематически
показан вид сверху на такую турбину. Вода, протекая
по лопаткам неподвижного колеса /, приобретает ско-
рость, направленную по касательной к подвижному ко-
лесуй и, ударясь в .лопатки, приводит его во вращение.
297
Направляющее колесо 1 называется статором, а
рабочее колесо 2 — ротором. Лопаткам ротора при-
дают форму, способствующую
наиболее полному использова-
нию энергии воды. Передав
энергию ротору, вода вытекает
трубе 3. Внешний вид рото-
турбины Френсиса показан
рис. 173.
При большом напоре и ма-
лом количестве воды пользуют-
ся турбиной Пел то н а. Прин-
цип ее действия иллюстрируется
рис. 174. Под большим давле-
кГ
нием (порядка 10—20 и боль-
ше) вода по трубе Т подводится
к рабочему колесу турбины. Вытекающая с большой
скоростью из сопла С вода ударяется в лопатки рабоче-
го колеса и приводит его во вращение. Количество выте-
кающей из сопла воды ре-
гулируется
Внешний
Рис. 173. Ротор напорной
турбины.
по
ра
на
вентилем К.
вид рабочего
Рис. 175. Рабочее колесо турбины
Пелтона.
Рис. 174. Схема действия тур-
бины Пелтона.
колеса турбины Пелтона показан на рис. 175. Каждая
лопатка рабочего колеса состоит из двух лопастей. По-
падающая на лопатку струя воды разрезается на две
части и, ударяясь в лопасти, передает свою кинетическую
энергию рабочему колесу. Мощность новых водяных тур-
бин, установленных на гидростанциях нашей Родины,
достигает 500 000 кет, а их к.п.д. превышает 90%.
РАЗДЕЛ III
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕПЛОТА
ГЛАВА 13
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 161. Введение. Многообразны и различны свойства
встречающихся в природе и технике веществ: стекло про-
зрачно и хрупко, а сталь упруга и непрозрачна, медь и
серебро — хорошие проводники тепла и электричества,
а фарфор и шелк — плохие и т. д.
Каждое промышленное предприятие для изготовления
продукции пользуется сырьем, представляющим собой
вещества, обладающие подходящими свойствами. Иногда
оказывается, что в природе нет веществ, удовлетворяющих
всем необходимым требованиям, и выпускаемая продукция
получается недостаточно хорошей. Тогда нужное вещество
создают искусственно, например в виде пластмасс, многие
свойства которых можно установить до их изготовления.
Для того чтобы можно было создавать вещества с тре-
бующимися свойствами, необходимо знать строение ве-
ществ и закономерности протекающих в них процессов
при различных внешних воздействиях. Изучением этих
вопросов занимаются химия и молекулярная физика.
В разделе «Молекулярная физика и теплота» будут рас-
смотрены строение вещества в твердом, жидком и газооб-
разном состояниях и те явления в веществе, которые
обусловлены сочетанием особенностей его строения и
характера внешних воздействий на него.
§ 162. Краткая история возникновения молекулярно-
кинетической теории и ее основные положения. Каково
внутреннее строение любого вещества? Является ли оно
сплошным(непрерывным) или имеет зернистое (дискретное)
299
строение, подобное строению кучи песка? Вопрос о
строении вещества был поставлен еще в Древней Греции,
однако отсутствие экспериментальных данных делало его
решение невозможным, и долгое время (свыше двух ты-
сячелетий) не удавалось проверить гениальные догадки
о строении вещества, высказанные древнегреческими мыс-
лителями Левкиппом и Демокритом (460—
370 гг. до н. э.), которые учили, что все в природе состоит
из атомов *), находящихся в непрерывном движении. Их
учение впоследствии было забыто, и в средние века веще-
ство считали уже непрерывным, а изменение состояния
тел объясняли с помощью невесомых жидкостей, каждая
из которых олицетворяла определенное свойство материи
и могла как входить в тело, так и выходить из него. Нап-
ример, считали, что добавление теплорода к телу вызывает
его нагревание, наоборот — охлаждение тела происходит
вследствие вытекания теплорода и т. п.
В середине XVII в. французский ученый П. Г а с с е н-
д и (1592—1655 гг.) вернулся к взглядам Демокрита.
Он считал, что в природе имеются вещества, которые нель-
зя разложить на более простые составные части. Такие
вещества теперь называют химическими э л е-
м е и т а м и, например водород, кислород, медь и т. д.
По Гассенди каждый элемент состоит из атомов опреде-
ленного вида.
Различных элементов в природе сравнительно не-
много, но их атомы, соединяясь в группы (среди них
могут быть и одинаковые атомы), дают мельчайшую час-
тичку нового вида вещества — молекулу**). В зави-
симости от числа и вида атомов в молекуле получаются
вещества с разнообразными свойствами.
В XVIII в. появились работы М. В. Л о м о н о с о-
в а, заложившие основы молекулярно-кинетической тео-
рии строения вещества. Ломоносов решительно боролся
за изгнание из физики невесомых жидкостей, подобных
теплороду, а также атомов холода, запаха и т. п., которы-
ми широко пользовались в то время для объяснения соот-
ветствующих явлений. Ломоносов доказал, что все явле-
ния естественно объясняются движением и взаимодейст-
вием молекул вещества.
*) От греческого слова «атомос» — неделимый.
**) «Массочку», от латинского слова «молес» — масса.
300
В начале XIX столетия английский ученый Д. Д а л ь*
т о н (1766—1844 гг.) показал, что, пользуясь лишь пред-
ставлениями об атомах и молекулах, можно вывести и
объяснить известные из опытов химические закономерности.
Тем самым он научно обосновал молекулярное строение
вещества. После работ Дальтона существование атомов и
молекул было признано огромным большинством ученых.
К началу XX в. были измерены размеры, массы и ско-
рости движения молекул вещества, выяснено расположе-
ние отдельных атомов в молекулах, словом, окончательно
завершено построение молекулярн о-к и н е т и ч е-
ской теории строения вещества, выводы
которой были подтверждены множеством опытов.
Основные положения этой теории сле-
дующие:
1) всякое вещество состоит из молекул*), между кото-
рыми имеются межмолекулярные промежутки',
2) молекулы всегда находятся в непрерывном беспорядоч-
ном (хаотическом) движении',
3) между молекулами действуют как силы притяэюе-
ния, так и силы отталкивания. Эти силы резко зависят
от расстояния между молекулами. Они имеют значи-
тельную величину лишь при очень малых расстояниях и
быстро уменьшаются при удалении молекул друг от друга.
Природа этих сил электрическая.
Явления, подтверждающие эти положения, приведены
ниже. Оказывается, что хаотическое движение молекул
тесно связано с понятием температуры, которое рассмот-
рено в следующем параграфе.
§ 163. Понятие о температуре. Если все тела состоят
из непрерывно и беспорядочно движущихся молекул, то
в чем будет проявляться изменение скорости движения
молекул, т. е. их кинетической энергии, и какие ощущения
у человека вызовут эти изменения? Оказывается, что
изменение средней кинетической энергии поступательного
движения молекул связано с нагреванием или охлаждением
тел. Нередко человек определяет нагретость тела на
ощупь, например, прикасаясь рукой к радиатору отопления,
*) Молекулой называется наименьшая частичка какого-либо
вещества, способная к самостоятельному существованию и сохра-
няющая все химические свойства этого вещества.
301
мы говорим: радиатор холодный, теплый или горячий.
Однако определение нагретости тела на ощупь часто
оказывается обманчивым. Когда зимой человек прика-
сается рукой к деревянному и металлическому телам, то
ему кажется, что металлический предмет холоднее дере-
вянного, хотя в действительности их нагретость одинакова.
Следовательно, нужно установить такую величину, кото-
рая оценивала бы нагретость тела объективно, и создать
прибор для ее измерения.
Величина, характеризующая степень нагретости тела,
называется температурой. Прибор для измерения темпе-
ратуры называется термометром. Действие наибо-
лее распространенных термометров основано на расши-
рении тел при нагревании и сжатии при охлаждении.
В дальнейшем будет более подробно описано устройство
термометров различного типа. Как будет показано ниже,
при соприкосновении двух тел с разной температурой
между телами происходит обмен энергией. При этом более
нагретое тело (с высокой температурой) теряет энергию,
а менее нагретое (с низкой температурой) приобретает
ее. Такой обмен энергией между телами ведет к выравнива-
нию их температур и заканчивается, когда температуры
тел становятся равными.
Ощущение тепла у человека возникает в том случае,
когда он получает энергию от окружающих тел, т. е.
когда их температура выше, чем температура человека.
Ощущение холода связано с отдачей человеком энергии окру-
окающим телам. В приведенном выше примере металли-
ческое тело кажется человеку более холодным, чем дере-
вянное, потому, что металлическим телам энергия от руки
передается быстрее, чем деревянным, и в первом случае
температура руки понижается быстрее. Перейдем теперь
к рассмотрению явлений, подтверждающих основные
положения молекулярно-кинетической теории.
§ 164. Явления, подтверждающие наличие промежутков
между молекулами вещества. Выдвинув поршень и закрыв
выходное отверстие насоса, без большого усилия можно
уменьшить объем находящегося в нем воздуха в два-три
раза. Как показывает опыт, все газы сравнительно легко
сжимаемы. Сжимаемость газов доказывает, что между
молекулами газа имеются значительные свободные прост-
ранства.
302
Если бы существовало вещество, сплошь заполняющее
занятое им пространство, то оно было бы несжимаемо.
Однако таких веществ нет. Все жидкости и твердые тела
сжимаемы, хотя и значительно меньше, чем газы. Это оз-
начает, что и в жидкостях и в твердых телах имеются
межмолекулярные промежутки, но их величина значительно
меньше, чем в газах.
Вообще всякое изменение объема определенной массы
вещества, независимо от вызывающей его причины, сви-
детельствует о наличии межмолекулярных промежутков
в этом веществе, например расширение тел при нагрева-
нии и сжатие их при охлаждении.
Нальем в пробирку по 10 см3 воды и спирта, т. е. всего
20 см3. Перемешаем их. Оказывается, что их общий объем
после перемешивания становится значительно меньше
20 см3. Такое уменьшение объема наблюдается и в ряде
других случаев, например при изготовлении сплавов.
Наличие межмолекулярных промежутков подтверж-
дается также явлением, называемым проницаемо-
стью веществ. Опыт показывает, что все вещества при
известных условиях проницаемы для молекул другого
вещества. Так, например, запах духов довольно быстро
распространяется по всему помещению. Даже твердые
вещества, которые кажутся сплошными, например метал-
лы, в достаточно тонком слое проницаемы для молекул
газа и жидкости, а при больших давлениях порядка
кГ
50 000 —2 жидкость может проникать и сквозь толстый
слой металла.
§ 165. Броуновское движение. Наличие непрерывного
беспорядочного движения молекул вещества ярче всего
подтверждается броуновским движением и
диффузией.
Английский ботаник Р. Броун (1773—1858 гг.),
рассматривая в микроскоп внутреннее строение растений,
обнаружил, что крупинки твердого вещества в клетках
растения совершают непрерывное беспорядочное движение.
Добавив немного глины к воде и тщательно размешав ее,
он стал рассматривать каплю такого раствора в микроскоп
и обнаружил, что крупинки глины совершают в воде такое
же беспорядочное движение, и чем меньше величина
крупинок, тем быстрее они движутся. Это явление
303
получило название броуновского движения.
Сам Броун так и не сумел обнаружить его причину.
Броуновское движение многократно наблюдалось при
различных условиях. Для ослабления влияния внешних
воздействий воду с крупинками твердого тела выдержи-
вали несколько дней в состоянии покоя, однако это ни-
сколько не ослабляло наблюдаемого затем под микроско-
пом броуновского движения (рис. 176). Оказалось, что
Рис. 176. Броуновское дви-
жение. Точками отмечены по-
на интенсивность броунов-
ского движения влияет толь-
ко температура жидкости:
чем выше температура, тем
быстрее это движение.
В настоящее время при-
чина возникновения броунов-
ского движения точно уста-
новлена: непрерывно и хао-
тично движущиеся молекулы
жидкости беспорядочно уда-
ряют со всех сторон по кру-
пинкам твердого тела и при-
водят их в беспорядочное
движение. Чем больше масса
крупинки, тем медленнее она
движется. Таким образом,
броуновское движение пред-
ставляет собой отражение
ложепия частиц через равные движения молекул ЖИДКОСТИ,
промежутки времени. Броуновское движение
наблюдается и в газе, напри-
мер, оно проявляется в непрерывных колебаниях легчай-
ших подвижных частей точных измерительных приборов.
Эти колебания тем больше мешают работе приборов, чем
выше температура воздуха.
§ 166. Диффузия. Осмос. Возьмем высокую стеклянную
мензурку, бросим в нее смоченную бромом вату и при-
кроем стеклянной пластинкой (рис. 177). Через несколько
минут будет видно, что пары брома, имеющие бурую ок-
раску, разошлись по всей мензурке. Описанное явление,
имеющее ту же природу, что и распространение запаха
духов в комнате, называется диффузией (от латинского
«диффузио» — распространение, растекание).
304
Чтобы понять, как объясняется диффузия, представим
себе ящик, нижняя половина которого заполнена пшеном,
а верхняя —просом *). Если ящик неподвижен, то между
просом и пшеном сохраняется граница раздела. Однако,
если ящик интенсивно потрясти так, чтобы каждая кру-
пинка пришла в движение, то через некоторое время гра-
ница между просом и пшеном исчезнет, и в ящике полу-
чится смесь пшена и проса. Таким образом, распростране-
ние паров брома в мензурке или запаха духов в ком-
нате свидетельствует о
том, что молекулы веще-
ства непрерывно и беспо-
рядочно движутся.
Учитывая изложенное,
можно дать следующее
определение описанного
явления:
выравнивание концент-
рации молекул какого-либо
вещества в пространстве,
обусловленное хаотическим
движением молекул, назы-
вается диффузией.
Диффузию можно наб-
Рис. 177. Диффузия паров брома.
людать также в жидких и
твердых телах. Диффузию жидкостей можно обнаружить
при помощи следующего опыта. Нальем в стеклянный со-
суд раствор медного купороса, а сверху чистую воду так,
чтобы была видна резкая граница между ними. Ясно, что
под действием силы тяжести резкость границы не должна
нарушаться, так как плотность чистой воды меньше, чем
раствора медного купороса. Однако через несколько дней
резкая граница между жидкостями исчезнет вследствие
взаимной диффузии медного купороса и воды.
Если две разнородные металлические пластинки крепко
прижать друг к другу и оставить в таком положении на
длительное время, то по прошествии нескольких лет пла-
стинки можно будет отделить друг от друга лишь с боль-
шим трудом. Объясняется это взаимной диффузией метал-
лов, т. е. проникновением одного металла в другой. Это
легко обнаружить, исследуя поверхности пластинок после
*) Пшено представляет собой просо, очищенное от кожуры.
305
описанных
к темпера-
Рис. 178. Диффузия через пори-
стую перегородку.
их разъединения. Таким образом, быстрее всего происхо-
дит диффузия в газах, а медленнее всего — в твердых
телах.
Диффузия резко зависит от температуры. Чем выше
температура данных веществ, тем быстрее протекает
в них диффузия, например, если температура
выше металлических пластинок будет близка
туре плавления, то взаимная диффузия металлов обна-
ружится уже через несколько часов и даже минут.
Диффузию газов или жидкостей можно осуществить
и через пористую перегородку. Возьмем сосуд А из по-
ристой необожженной гли-
ны, отверстие которого
закрыто воронкой В (рис.
178). Ее узкий конец со-
единим трубкой Т с мано-
метром М. Внутри пори-
стого сосуда А пусть на-
ходится воздух. Накроем
сосуд А стеклянным ста-
каном Б и с помощью со-
единенного с газопроводом
шланга П наполним ста-
кан Б природным газом.
Манометр тут же покажет
увеличение давления в
сосуде А. Это объясняется
тем, что молекулы при-
родного газа проникают
из стакана Б в сосуд А гораздо быстрее, чем молекулы
воздуха из сосуда А в стакан Б. Если убрать шланг П и
снять стакан Б, то манометр покажет уменьшение давле-
ния в сосуде А, так как теперь молекулы природного
газа через пористые стенки будут быстро выходить из
сосуда А наружу, а молекулы воздуха будут входить в
сосуд А значительно медленнее. Этот опыт доказывает,
что скорости движения молекул при данной температуре
зависят от рода вещества, точнее, от массы его молекул.
Диффузию можно наблюдать и с помощью такой пере-
городки, сквозь которую могут проходить молекулы толь-
ко одного вида. Например, если раствор сахара в воде
отделить от чистой воды перегородкой из животного пу-
зыря, то сквозь нее будут проходить только молекулы
306
воды в обе стороны, а молекулы сахара будут задержи-
ваться, так как размеры пор перегородки меньше разме-
ров молекул сахара.
Такая избирательная диффузия молекул одного вида
через полупроницаемую перегородку называется осмосом.
При осмосе с одной стороны перегородки возникает
дополнительное давление, называемое осмотиче-
ским. В рассмотренном выше примере вследствие диф-
фузии давление воды с обеих сторон перегородки устано-
вится одинаковое, но так как с одной стороны есть еще
растворенный сахар, то движение его молекул создаст
избыточное давление. Это избыточное давление и есть
осмотическое давление.
Явления диффузии и осмоса играют большую роль в
жизнедеятельности человека, животных и растений.
§ 167. Явления, подтверждающие наличие сил взаимо-
действия между молекулами. Наличие сил взаимного
притяжения и отталкивания между молекулами твердого
вещества доказывается сохранением формы твердых тел.
Действительно, если бы молекулы не притягивались, то
в природе не могло бы существовать ни одного твердого
тела, так как хаотически движущиеся молекулы разлете-
лись бы по всем направлениям. Если бы одновременно с
силами притяжения не действовали силы отталкивания
между молекулами, то после любой деформации тело не
возвращалось бы к своей первоначальной форме. Таким
образом, силы взаимодействия между молекулами прояв-
ляются как силы упругости при различных деформа-
циях тел.
При таких деформациях, когда расстояние между моле-
кулами увеличивается, например при всестороннем растя-
жении, начинают преобладать силы притяжения между
молекулами, стремящиеся сжать тело, т. е. сблизить его
молекулы. В тех случаях, когда при деформации тела его
молекулы сближаются, преобладают силы отталкивания
между ними, стремящиеся удалить их друг от друга и вос-
становить первоначальную форму тела.
Опыт показывает, что молекулярные силы являются
короткодействующими, т. е. быстро уменьшаются при
увеличении расстояния между молекулами, причем силы
отталкивания спадают значительно быстрее сил притя-
жения. Последние практически исчезают при расстоянии
307
между центрами молекул более 10 А=И0“9ж. Это рас-
стояние называется радиусом молекулярно-
го действия. Радиус молекулярного действия за-
висит от вида взаимодействующих молекул.
Если твердое тело разломить, то восстановить его, при-
жимая сломанные части друг к другу, обычно невозмож-
но, так как не удается сблизить достаточно большое число
молекул настолько, чтобы опять возникли силы взаимо-
действия между ними. Если взять тела из мягкого материа-
ла, например свинцовые стержни с поперечным сечением
Рис. 179. Опыты, показывающие взаимное при-
тяжение молекул: а) свинцовые стержни не раз-
рываются под действием силы в 5 кГ; б) мерные
плитки Иогансона.
около 1 см2, то, зачистив их поверхности и прижимая
стержни друг к другу, можно восстановить силы притяже-
ния у большого числа молекул свинца. Тогда стержни
сцепятся настолько прочно, что для их разрыва понадо-
бится сила в несколько килограммов (рис. 179, а).
Если прижать друг к другу отполированные до зер-
кального блеска металлические пластинки, то они сцеп-
ляются настолько прочно, что их невозможно оторвать
друг от друга (рис. 179, б). Однако они легко сдвигаются
вдоль поверхности соприкосновения. Такая полировка
делается у мерных плиток (плиток Иогансона),
применяемых для точных измерений длин.
Силы взаимодействия возникают при достаточном сбли-
жении как однородных, так и разнородных молекул.
Например, молекулы воды сцепляются с молекулами стек-
ла: на конце вынутой из воды стеклянной палочки всегда
308
остается висеть капля воды. Величина этих сил зависит
о г природы молекул. Сваривание и склеивание различных
материалов основано на том, что молекулы жидкости
легче сблизить с молекулами твердого тела в большом
количестве настолько, чтобы между ними появились силы
взаимного притяжения.
Отметим, что силы вза-
имного притяжения моле-
кул условно называют
молекулярным
сцеплением, или с и-
л а м и сцепления.
§ 168. Кинетическая и
потенциальная энергии мо-
лекул. Поскольку молеку-
лы всегда находятся в
движении, каждая из них
обладает кинетической
энергией. Величина кине-
тической энергии поступа-
тельного движения моле-
кулы выражается форму-
лой
р __mv2
*
Здесь tn — масса молеку-
лы, a v — скорость ее по-
ступательного движения.
Так как между моле-
кулами имеются силы вза-
имодействия, то молекулы
обладают еще и потенци-
альной энергией. Усло-
вимся считать силы оттал-
кивания и соответствую-
щую им потенциальную
энергию положительными,
Рис. 180. а) График равнодейст-
вующей молекулярных сил, дей-
ствующих на молекулу Б, в зави-
симости от расстояния г между
молекулами А и Б\ б) график по-
тенциальной энергии этих же мо-
лекул.
а силы притяжения и соответствующую им потенциальную
энергию — отрицательными. На рис. 180, а показан гра-
фик изменения равнодействующей сил отталкивания и
притяжения между двумя молекулами А и Б в зависимости
309
от расстояния г между их центрами. На рис. 180, б приве- ?
ден график потенциальной энергии тех же молекул.
При расстоянии между центрами молекул, равном а,
молекулы находятся в устойчивом равновесии, так как
равнодействующая молекулярных сил в этом случае равна
нулю. При сближении молекул (положение /) равнодей-
ствующая представляет собой силу отталкивания, а при
удалении (положение 2) — силу притяжения.
Как известно (см. § 96), устойчивому равновесию соот-
ветствует минимум потенциальной энергии (рис.
180, б). Часть графика потенциальной энергии вблизи ее
наименьшего значения называется потенциальной
ямой, а величина наименьшей энергии /7МИН — глу-
биной ям ы.
Представим себе, что молекула А находится в точке
О, а молекула Б — в точке Ь. Обозначим кинетическую
энергию молекулы Б через Еп. При движении молекулы
влево (уменьшение г) ее кинетическая энергия резко
убывает, при этом возрастает ее потенциальная энергия
и сближение молекул прекращается (кривые F и П круто
поднимаются при уменьшении г). При движении же моле-
кулы Б вправо (увеличение г) ее кинетическая энергия
тоже будет переходить в потенциальную, и если Еп будет
больше 77мин, то молекулы Л и Б могут разойтись как угод-
но далеко. Это выражают словами: кинетическая энергия
молекулы Б достаточна для преодоления потенциального
барьера /7МИН, и молекула может выйти из потенциаль-
ной ямы.
Если же Еп будет меньше 77мин, то молекула будет
двигаться внутри потенциальной ямы, например между
точками / и 2, и не сможет уйти за ее пределы, т. е. будет
совершать колебательное движение. Чем больше будет
энергия £'п, тем правее будет находиться точка Г, около
которой происходят колебания молекулы Б, т. е. больше
будет среднее расстояние г между молекулами А и Б.
Объясняется это тем, что с изменением расстояния г силы
отталкивания меняются быстрее, чем силы притяжения
(график силы слева от точки b идет вверх круто, а справа —
опускается более отлого).
Отметим, что рассмотренные выше силы молекулярно-
го взаимодействия не являются гравитационными силами, I
так как значительно превышают их по величине и имеют
электрическое происхождение. Оказалось, что любой атом
310
состоит из заряженного положительным электричеством
ядра и движущихся вокруг него отрицательно заряженных
электронов. Таким образом, в состав любой молекулы вхо-
дят электрические заряды. Так как одноименные заряды
отталкиваются, а разноименные притягиваются, то
между молекулами и возникают как силы отталкивания,
так и силы притяжения.
§ 169. Внутренняя энергия тела. Выше было установ-
лено, что молекулы любого тела всегда находятся в дви-
жении, т. е. обладают кинетической энергией. Величина
этой энергии у отдельных молекул может быть различной.
Вследствие взаимодействия друг с другом молекулы внутри
тела могут обмениваться кинетическими энергиями, кро-
ме того, кинетическая энергия молекул может переходить
в потенциальную энергию их взаимодействия. Кинети-
ческой и потенциальной энергией обладают и атомы внутри
одной молекулы (эта энергия называется химиче-
ской), а также электроны и атомные ядра внутри атома
(эта энергия называется внутриатомной). Внутри
тела всегда может происходить обмен энергиями между
входящими в его состав частицами, но если внешние воз-
действия на тело отсутствуют, то сумма энергий всех его
частиц остается неизменной, поэтому ее рассматривают
как самостоятельную форму энергии.
Сумма потенциальной и кинетической энергий всех
частиц тела называется его внутренней энергией. Внут-
ренняя энергия данного тела зависит только от его состо-
яния и не зависит от того, каким путем тело попало в
это состояние, поэтому ее часто называют функцией
состояния.
В молекулярной физике рассматриваются только такие
явления, при которых молекулы тела остаются неизмен-
ными, поэтому в дальнейшем под внутренней энергией тела
будет подразумеваться только сумма кинетических энер-
гий всех его молекул и потенциальных энергий их взаимо-
действия.
§ 170. Температура газа как мера средней кинетической
энергии его молекул. Молекулы газа при взаимодействиях
могут обмениваться кинетической энергией, но если внеш-
ние воздействия на газ отсутствуют, то средняя кинети-
ческая энергия поступательного движения его молекул
311
не изменяется и может служить одной из характеристик
его состояния. Под средней кинетической энергией посту-
пательного движения молекулы Еп подразумевается сумма
кинетических энергий всех молекул газа, деленная на их
число п:
= (13.D
п п
Если все молекулы одинаковы, то формулу (13.1) можно
переписать в виде
-р т •••+**
“ 2 п
ИЛИ
(13.2)
Здесь v обозначает среднюю квадратичную
скорость хаотического движения молекул, которая
определяется формулой
Выше отмечалось, что при повышении температуры
броуновское движение и диффузия ускоряются. Причиной
этого может быть только увеличение средней скорости
поступательного движения молекул, а значит и их сред-
ней кинетической энергии. Таким образом, естественно
связывать среднюю кинетическую энергию поступатель-
ного движения молекул с температурой газа. Действитель-
но, можно теоретически доказать, что эта энергия не за-
висит от рода вещества и при заданной температуре у всех
газов одинакова. Следовательно, температура газа есть
мера средней кинетической энергии поступательного дви-
жения его молекул.
Легко установить, что при одинаковой температуре
двух различных газов средняя квадратичная скорость
движения их молекул обратно пропорциональна корню
квадратному из масс молекул. Действительно, так как
Еп^Е^, то
(13.4)
312
или
(13.5)
v2 F
Сущность понятия температуры заключается в сле-
дующем. При соприкосновении двух тел, имеющих оди-
наковые температуры, внутренние энергии их не изме-
нятся. Это свидетельствует о том, что средние кине-
тические энергии хаотического движения их молекул
одинаковы. Если же температуры этих тел будут различ-
ны, то молекулы тела с более высокой температурой будут
иметь в среднем большую энергию и начнут отдавать ее
молекулам другого тела, т. е. между телами возникнет
теплообмен: тело с более высокой температурой будет
отдавать свою внутреннюю энергию телу с низкой темпе-
ратурой до тех пор, пока их температуры не сравняются.
Таким образом, зная температуру тел, можно заранее
предсказать, внутренняя энергия какого из них будет
уменьшаться и какого — увеличиваться, если между
ними возникнет теплообмен.
В связи с изложенным отметим, что хаотическое движе-
ние молекул часто называют тепловым движе-
нием.
В § 168 говорилось, что чем больше энергия хаотиче-
ского движения молекул, тем больше и расстояние между
их центрами (см. рис. 180). Так как при увеличении тем-
пературы тела возрастает и средняя кинетическая энергия
его молекул, то при нагревании тела должны расширять-
ся, а при охлаждении сжиматься. Опыт показывает, что
все тела действительно расширяются при нагревании и
сжимаются при охлаждении, за исключением воды в
небольшом интервале температур. Особенности расшире-
ния воды будут рассмотрены ниже (см. § 192).
§ 171. Виды теплообмена. Обмен внутренней энергией
между телами или частями тела без совершения механи-
ческой работы называется теплообменом.
Выясним, каким путем может осуществляться тепло-
обмен при различных условиях. Возьмем металлический
стержень и будем подогревать его конец. Тогда между
концами стержня возникнет разность температур и в
стержне будет происходить теплообмен. Так как внутрен-
няя энергия единицы объема нагретого конца стержня
313
больше, чем внутренняя энергия единицы объема холодного
конца, то в стержне будет происходить передача внут-
ренней энергии от нагретого конца к холодному, обус-
ловленная хаотическим движением молекул и электронов
внутри стержня.
Передача внутренней энергии от одних частей среды к
другим, обусловленная хаотическим движением частиц
среды, называется теплопроводностью. При этом перенос
энергии в среде всегда происходит таким образом, что он
способствует выравниванию температур внутри среды.
Теплопроводность вещества в твердом состоянии боль-
ше, чем в жидком, а в жидком больше, чем в газообразном.
Среди твердых веществ наибольшей теплопроводностью
обладают металлы.
Если наполнить пробирку водой и нагревать ее верх-
ний конец, то нижний конец долгое время остается хо-
лодным, так как вода имеет плохую теплопроводность.
Однако если нагревать нижний конец пробирки, то
очень быстро нагревается и ее верхний конец. Объясняется
это следующим образом. Внизу пробирки вода при нагре-
вании расширяется, вследствие чего ее плотность умень-
шается, а плотность холодной воды вверху пробирки остает-
ся неизменной. Под действием силы тяжести более плотная
холодная вода опускается вниз, а теплая вода вытес-
няется вверх. Таким образом, при нагревании нижних
слоев жидкости (или газа) всегда должен происходить
теплообмен, обусловленный перемещением нагретой жид-
кости вверх, а холодной вниз.
Теплообмен, обусловленный перемешиванием неравно-
мерно нагретых слоев жидкости или газа под действием
силы тяжести, называется конвекцией.
Между Солнцем и Землей теплообмен осуществляется
с помощью излучения. Этот вид теплообмена может
происходить и при отсутствии вещества между телами.
Излучение уносит часть внутренней энергии Солнца в
окружающее пространство. То излучение, которое попа-
дает на Землю, поглощается ею и увеличивает внутреннюю
энергию Земли. Опыт показал, что все тела создают излу-
чение, энергия которого получается за счет внутренней
энергии этих тел. Оказывается, когда какое-либо тело
поглощает излучение, то внутренняя энергия тела воз-
растает. Более подробно этот вопрос рассмотрен в разделе
«Оптика».
314
Таким образом, теплообмен происходит с помощью
теплопроводности, конвекции и лучеиспускания (излу-
чения).
Величину обусловленного теплообмёном изменения
внутренней энергии тел иногда называют передан-
н о й или полученной теплотой.
§ 172. Понятие о статистическом методе изучения явле-
ний природы. Передача внутренней энергии от одного тела
к другому с помощью теплопроводности обусловлена мно-
жеством отдельных взаимодействий между молекулами
двух соприкасающихся тел. Та^, как кинетические энер-
гии отдельных молекул тела могут быть и больше и мёнь-
ше среднего значения энергии, то может случиться, что
какая-либо молекула холодного тела будет иметь кине-
тическую энергию большую, чем кинетическая энергия
взаимодействующей с ней молекулы нагретого тела, и в
результате их взаимодействия холодное тело передаст
часть своей внутренней энергии нагретому телу. Однако
таких взаимодействий молекул будет ничтожно малое чис-
ло по сравнению с числом обратных взаимодействий, при
которых молекулы нагретого тела обладают большей
энергией и внутренняя энергия переходит от нагретого
тела к холодному.
Таким образом, наше утверждение о том, что внутрен-
няя энергия всегда передается от более нагретого тела к
менее нагретому телу, строго выполняется на опыте только
потому, что теплообмен между телами осуществляется с
помощью множества элементарных взаимодействий между
их молекулами, огромное большинство которых способ-
ствует такой передаче энергии. Такие закономерности,
которые оправдываются на опыте только при наличии
огромного числа однородных и происходящих независимо
друг от друга явлений, называются статистическими,
а метод, с помощью которого их обнаруживают, называется
статистическим методом. *
При использовании статистического метода сущест-
венное значение имеют не характеризующие отдельное
явление величины, а их с р е д н и е значения для
множества таких явлений. Так, выше было показано, что
по известной величине кинетической энергии небольшого
числа молекул невозможно сделать определенного заклю-
чения об обмене внутренней энергией между телами, а по
315
среднему значению кинетической энергии молекул этих
тел такое заключение сделать можно. Вот почему для
описания молекулярных явлений пользуются средними
значениями величин, характеризующих молекулярный мир.
Изучение явлений в молекулярной физике основано на
применении статистического метода.
§ 173. Скорости движения молекул газа. Понятие о распреде-
лении молекул газа по скоростям. Скорости беспорядочного (хао-
тического) движения молекул газа можно определить опытным пу-
тем. Наиболее простой и наглядный способ их определения был
разработан немецким физиком
О. Штерном в 1920 г.
В основе метода Штерна ле-
жит закон независимости дви-
жений (см. § 100). Если моле-
zz;
Рис. 181. Опыт Штерна: а) план
установки; б) налет серебра в точ-
ке М (при неподвижных цилинд-
рах); в) налет серебра в точке К
(при вращении цилиндров с угло-
вой скоростью о). Чем быстрее
движутся молекулы, тем правее
они образуют налет.
кула будет совершать два
движения, то, измерив пути,
пройденные молекулой при
каждом из них за одинаковое
время, можно найти скорость
одного движения по извест-
ной скорости другого.
В опыте Штерна берется
диск, который может вращать-
ся вокруг оси О, с укреплен-
ными па нем цилиндрическими
поверхностями А и Б (рис.
181,а). Вдоль оси О натягивает-
ся посеребренная платиновая
проволока, с которой иитен-
сивно испаряются молекулы
серебра, когда проволока на-
гревается электрическим то-
ком до известной (достаточно высокой) температуры. Цель опы-
та — определение скоростей движения этих молекул v. Для того
чтобы окружающий воздух не мешал их движению, вся установ-
ка накрывается стеклянным колпаком, из под которого тщательно
удаляется воздух.
Вылетающие из проволоки молекулы серебра в основном за-
держиваются поверхностью А и только узкий пучок молекул про-
ходит сквозь вертикальную щель в этой поверхности и при непод-
вижном диске дает налет серебра в точке /И. Поперечный разрез
этого налета показан на рис. 181,6. Чем он уже, тем точнее опре-
деляются скорости молекул. Затем вся установка приводится во
вращение вокруг оси О с угловой скоростью со. Налет серебра при
этом получается уже в точке К (рис. 181,а), так как за время пока
молекулы пролетают расстояние г, точки поверхности перемес-
аятся на расстояние
Скорость молекул серебра v можно найти следующим образом.
Время движения молекулы от точки О до поверхности Б выражается
316
формулой
(13.6)
С другой стороны, это же время можно найти, разделив длину дуги
I на линейную скорость сог точек поверхности Б
t=—. (13.7)
cor
Приравнивая правые части формул (13.6) и (13.7), получим
I ___ г
cor V
или
Так как со и г— для данного опыта величины постоянные, то
меньшей дуге I соответствует большая скорость хаотического дви-
жения молекул серебра v. Поперечный разрез налета серебра, по-
лученного при длительном
181, в. Изменение толщины
лении молекул по скоро-
стям их хаотического дви-
жения при данной темпера-
туре. Из формы налета вид-
но, что у большинства
молекул скорости мало
отличаются друг от друга,
т. е. близки к ее среднему
значению, хотя небольшая
часть молекул имеет скоро-
сти, значительно большие
и меньшие средней.
Средняя скорость дви-
жения молекул серебра в
опыте Штерна (при высокой
температуре) получилась
около 500 м/сек.
В качестве примера при-
ведем значения средних ско-
ростей молекул водорода и
азота при 0° С. Оказывает-
ся, что они равны соответст-
венно 1840 м/сек и 493ж/шс
вращении установки, показан на рис.
налета дает представление о распреде
Рис. 182. График найденной Мак»
свеллом функции распределения мо-
лекул идеального газа по скоростям
их хаотического движения.
Теоретическое исследование хаотического движения молекул
на основе статистических законов (теории вероятности) было осу-
ществлено английским ученым Д. М а к с вел л ом (1831—1879 гг.).
В 1850 г. Максвеллу удалось найти математическое выражение
закона распределения хаотически движущихся молекул газа по
скоростям их движения при постоянной температуре. Выведенная
Максвеллом формула получила название функции распре'
деления молекул по скоростям их хаотичес*
кого движения. Ввиду сложности этой формулы, здесь при-
водится лишь график функции Максвелла (рис. 182).
Если общее число молекул обозначить я, а число тех из них,
скорости которых находятся в малом интервале Дц=у2—обо-
. Ли
значить Лп, то — будет показывать, какую часть от общего числа
молекул составляют те молекулы, скорость которых находится в
выбранном интервале Ду. При построении графика скорость моле-
кул удобно выражать не в метрах в секунду, а в условных единицах,
приняв за единицу скорость, соответствующую максимуму функции
Максвелла (см. рис. 182). Искомое относительное число молекул
Ди „ « г,
на графике выражается заштрихованной площадью. Из графика
видно, что скорости хаотического движения молекул газа при пос-
тоянной температуре могут отличаться в несколько раз, но число
таких молекул невелико. Большинство молекул газа имеет относи-
тельные скорости, близкие к единице.
Интересно отметить, что контур поперечного разреза налета се-
ребра в опыте Штерна (рис. 181,в) напоминает график функции Мак-
свелла. Это не случайно, так как опыт Штерна показывает, что рас-
пределение молекул по скорости их хаотического движения дейст-
вительно находится в соответствии с функцией Максвелла.
§ 174. Размеры молекул. Каковы размеры отдельных
молекул какого-либо вещества, например воды? По-ви-
димому, очень малы, так как капельки воды в тумане
имеют размер около 0,01 мм и меньше, а в природе суще-
ствуют и еще значительно меньшие частицы воды, напри-
мер неразличимые на глаз пары воды. Примерно так рас-
суждали ученые в прошлом столетии. Но пока не были раз-
работаны точные методы измерений столь малых величин,
о действительных размерах молекул можно было только
гадать. Вначале с помощью рентгеновских лучей, а затем
с помощью других методов были измерены расстояния
между атомами и молекулами в твердых веществах. Вскоре
были найдены методы, позволившие измерить размеры и
массы всех известных атомов химических элементов, изу-
чить строение атомов и измерить массы и электрические
заряды входящих в них частиц. Важно, что измерения всех
этих величин с помощью различных методов дают оди-
наковые числовые значения для каждой
из них (в пределах возможных ошибок опыта). Некоторые
из этих методов будут рассмотрены в конце курса, здесь
же приведем только результаты измерений.
318
имеют тот же порядок. Од-
Рис. 183. Изображение моле-
кул, полученное с помощью
электронного микроскопа.
Так, молекула кислорода, состоящая из двух атомов
(О2), имеет диаметр около 3-10“10 ж=ЗА, а молекула
воды (Н2О)—2,6-10“10 ж=2,6 А. Диаметры молекул
большинства других веществ
нако молекулы некоторых
органических веществ содер-
жат по нескольку тысяч ато-
мов и могут иметь значитель-
но большие размеры. С
помощью электронного мик-
роскопа удалось получить
снимки некоторых таких ги-
гантских молекул (рис. 183).
Чтобы нагляднее пока-
зать, насколько малы моле-
кулы, приведем следующее
сравнение: если бы каждая
молекула воды увеличилась
до размеров большого ябло-
ка, то умещающаяся в стакане вода заняла бы объем,
соответствующий объему всего земного шара.
§ 175. Массы атомов и молекул. Число Авогадро и число
Лошмидта. В химии установлены относительные массы
атомов, которые раньше назывались атомными весами..,
Для того чтобы выразить относительную массу атома чис-
лом, нужно иметь соответствующую единицу измерения.
Первоначально за такую единицу была принята масса
самого легкого атома — водорода, но затем в физике сочли
более удобным принять массу атома углерода точно за
12 единиц.
Таким образом, относительная атомная (молеку-
лярная) масса показывает, во сколько раз масса данного
атома (молекулы) больше г/12 массы атома углерода. *).
В этих единицах относительная масса атома водорода рав-
на 1,00797, а атома азота — 14,0067 и т. д. **).
В системе СИ количество веьцества, масса которого в
килограммах равна его относительной молекулярной массе
(молекулярному весу) М, называется килограмм-молекулой
*) Точнее, изотопа углерода С12.
**) Раньше за атомную единицу принималась другая атомная
единица: 1/Xq массы изотопа кислорода О16, которая немного меньше
«углеродной» единицы.
:>19
или, короче, киломолем. Аналогично опреде-
ляется грамм-молекула, или моль, вещества. Очевидно,
1 кмоль = 1000 молей.
Иногда пользуются понятиями килограмм-атома и грамм-
атома. Смысл этих понятий ясен из вышеизложенного.
Приведенный дальше пример показывает, что число
молекул в киломоле любого вещества одинаково.
Так как каждая трехкопеечная монета тяжелее одно-
копеечной в три раза, то, если взять равные количества
тех и других, общая масса трехкопеечных монет окажется
в три раза больше массы однокопеечных. Точно так же,
если масса молекулы одного вида вещества в а раз больше
массы молекулы другого вида и взятые массы этих веществ
отличаются тоже в а раз, то в них содержится одинаковое
число молекул.
Число молекул в одном киломоле вещества называется
числом Авогадро * **)) и обозначается N. Оно определялось
многими способами. В результате было установлено, что
N = 6,023-1026
молекул
кмоль
Зная число Авогадро, можно установить, сколько ки-
лограммов т содержится в атомной единице массы. Обоз-
начим относительную массу молекулы через /И, тогда про-
изведение тМ даст массу одной молекулы в килограммах,
a tnMN — массу одного киломоля в килограммах. Так
как по определению масса одного киломоля равна М кило-
граммов, то имеем
или
т = ~. (13.9)
Заменив в (13.9) N его значением в системе СИ, получим
т = 6,023 - 1(Я Кг== 1>66'10-27 KS-
*) А. Авогадро (1776—1856 гг.) — итальянский физик.
**) Следует учесть, что М в левой части имеет размерность
—, а в правой части М безразмерно.
кмоль
320
Насколько мала такая масса, видно из следующего при-
мера: если взять в миллиард раз большую массу и увели-
чить ее еще в миллиард раз, то получится около
0,002 мг * **)).
Из химии известно, что 1 кмоль любого газа при нор-
мальных условиях занимает объем 22,4 м3. Разделив число
Авогадро N на объем одного киломоля V (а см3), можно най-
ти число молекул любого газа в 1 см3 при нормальных
условиях, которое называется числом Л о ш м и д-
т а **) и обозначается п0
„ N 6,023- 102в молекул о - ,Л1Ч _ч
«о=г=-2274:то« -Ъиз ~ 2’7-10 9 см 3-
Отметим, что полученные выше результаты являются
следствием закона Авогадро:
в равных объемах, занимаемых различными газами при
одинаковых давлениях и температурах, содержится равное
число молекул.
§ 176. Особенности теплового движения молекул в га-
зах, жидкостях и твердых телах. В § 167 отмечалось, что
взаимное притяжение молекул исчезает, когда расстояние
между ними становится больше радиуса молекулярного
действия.
Сферическая поверхность с радиусом молекулярного
действия, мысленно проведенная вокруг молекулы, назы-
вается сферой ее молекулярного дей-
ствия. С каждой данной молекулой взаимодействуют
только те молекулы, центры которых находятся внутри
этой сферы.
. Каков же характер взаимодействия и движения моле-
кул в газах? Зная число Лошмидта (см. § 175), можно
найти среднее расстояние между молекулами газа при
нормальных условиях. Для этого нужно 1 см3 разделить
на 2,7-1019 и затем извлечь кубический корень, что дает
3 - IO"7 си=3-10“8 м. Это означает, что среднее расстояние
между молекулами газа в десятки раз превышает разме-
ры его молекул и в несколько раз больше радиуса их
молекулярного действия (см. § 174).
*) Если самую маленькую гирьку в разновесе (10 мГ) увели-
чить в миллиард раз, то ее масса будет равна 10 т.
**) И. Лошмидт (1821—1895 гг.) — австрийский физик.
11 Л. С. Жданов, В. А. Маранджян 321
Таким образом:
1) только 0,04% объема, занятого газом, приходится
на долю самих молекул, а 99,96% пространства составляет
свободный от молекул объем;
2) взаимное притяжение молекул газа практичес-
ки отсутствует, и их движение должно происходить по
инерции.
Таким образом, молекула газа движется равномерно и
прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с другой
молекулой, после чего меняет направление и величину
скорости и снова движется равномерно и прямолинейно
до следующего столкновения. Расстояние, которое про-
летает молекула между двумя последовательными столк-
новениями, называется длиной свободного пробега и обоз-
начается Л (греческая буква «лямбда»). При нормальных
условиях каждая молекула совершает около миллиарда
столкновений в секунду, а средняя длина их свободного
пробега Л составляет около 10”7 м или 1000 А.
Отметим, что в момент столкновения между молекула-
ми газа на короткое время возникают силы взаимодейст-
вия, но в каждое мгновение взаимодействующие молекулы
составляют ничтожную часть от общего числа молекул,
поэтому вполне допустимо пренебречь сцеплением моле-
кул, если газ не сильно сжат. В процессе столкновений
молекулы газа могут приобрести вращательное движение,
когда они состоят из нескольких атомов. Таким образом,
тепловое движение молекул газов является поступательным
и вращательным.
Входящие в состав молекулы атомы совершают еще и
колебательное движение внутри молекулы. Однако к теп-
ловому движению относится только такое движение, кото-
рое изменяется с изменением температуры. Колебательное
же движение атомов в молекулах газа при низких и сред-
них температурах от температуры не зависит, Лишь при
высоких температурах, редко встречающихся на практике,
колебательное движение атомов начинает зависеть от
температуры, т. е. становится тепловым.
В жидкостях среднее расстояние между молекулами
меньше радиуса молекулярного действия, поэтому силы
сцепления молекул некоторое время могут удерживать их
в равновесии, где они колеблются, а затем перескакивают
на расстоянйе порядка своего диаметрав новое
временное положение равновесия и т. д. Следовательно,
322
тепловое движение молекул жидкостей в основном является
колебательным и поступательным.
Вообще говоря, в твердых телах молекулы располо-
жены немного ближе, чем в тех жидкостях, которые полу-
чаются после плавления этих тел. Поэтому тепловое дви-
жение молекул в твердых телах в основном является коле-
бательным, хотя сравнительно редкие перескоки молекул
из одного положения в другое возможны и в них, что под-
тверждается диффузией в твердых телах.
Почему при одинаковой температуре одни вещества —
твердые, другие — жидкие, а третьи — газообразные?
Чтобы понять это, вернемся к рис. 180. Характер измене-
ния потенциальной энергии в зависимости от расстояния
между двумя молекулами у всех веществ одинаков, но
77мин, т. е. глубина потенциальной ямы, зависит от при-
роды вещества. Те вещества, для которых при данной
температуре средняя кинетическая энергия поступатель-
ного движения молекул окажется много меньше /7МИН,
будут в твердом состоянии, так как их молекулы смогут
совершать только колебательное движение (см. § 168).
Если же средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекул вещества окажется много больше 77мин,
то оно будет в газообразном состоянии, так как его моле-
кулы разлетятся по всем направлениям. Наконец, когда
указанная кинетическая энергия окажется приблизитель-
но равной Пт, вещество будет находиться в жидком
состоянии.
Отметим, что о столкновениях (соударениях) молекул
можно говорить только условно, поскольку сближения
молекул до их соприкосновения никогда не происходит
вследствие возникновения больших сил отталкивания
между ними (см. рис. 180). Так как чем больше кинети-
ческая энергия молекул, тем ближе они могут подойти
друг к Другу при столкновении, то и диаметры молекул,
о которых говорилось выше, зависят от температуры и
лишь приближенно характеризуют размеры молекул.
Поэтому найденные из опытов диаметры молекул назы-
вают эффективными диаметрами.
§ 177. Понятие вакуума. При определении скоростей
молекул серебра Штерн помещал установку под кол-
пак и откачивал насосом воздух (см. § 173), вследствие
чего под колпаком создавалось разрежение. Чем меньше
11*
323
молекул газа останется в единице объема пространства,
тем более разреженным будет находящийся в нем газ.
Условились считать, что в пространстве, в котором нахо-
дится разреженный по сравнению с атмосферой Земли газ,
создан вакуум (латинское слово «вакуум» в переводе оз-
начает «пустота»).
Отметим еще, что чем меньше молекул газа в единице
объема какого-либо пространства, тем выше вакуум в
нем и меньше давление оставшегося газа. Следовательно,
для успешного проведения опыта Штерна необходим
высокий вакуум.
В науке и технике под высоким вакуумом в сосуде под-
разумевается такой вакуум, при котором длина свободного
пробега молекул газа определяется размерами сосуда. При
этом молекулы газа после удара о стенку сосуда в боль-
шинстве случаев беспрепятственно летят до другой стенки
и только после ряда столкновений со стенками изредка
сталкиваются друг с другом.
При наличии высокого вакуума в сосуде, объем кото-
рого не превышает нескольких литров, остающийся в нем
газ производит давление около 10“4 мм рт. ст. Однако не
следует думать, что в таком сосуде действительно полу-
чилась пустота, так как в каждом кубическом сантиметре
при этом еще будет находиться около тысячи миллиардов
молекул газа.
Для получения высокого вакуума в сосуде с помощью
поршневого насоса создается предварительное
разрежение до давления газа порядка 0,1 мм рт. ст.,
называемое форвакуумом, а дальнейшее разре-
жение производится ртутным насосом Л енг-
м ю р a. G помощью современной техники можно получить
вакуум, при котором оставшийся газ имеет давление
около 10“п мм рт. ст. Однако и в этом случае в каждом
кубическом сантиметре еще остается несколько сот тысяч
молекул газа.
Высокий вакуум необходим для нормальной работы
установок, используемых при научных исследованиях,
для многих технических установок и приборов, например
кинескопов, рентгеновских трубок, фотоэлементов, ра-
диоламп и т. д.
Наиболее высокий теоретически возможный вакуум
должен быть в пространстве, совершенно лишенном моле-
кул и других частиц вещества. Однако и при полном ва-
324
кууме пространство не является пустым, так как в нем
всегда имеются гравитационное и электромагнитное поля.
Поэтому в физическом смысле вакуум представляет собой
гравитационное и электромагнитное поля. Физические
свойства вакуума до настоящего времени почти не иссле-
дованы. Их изучение представляет собой одну из важней-
ших задач современной физики.
В заключение заметим, что даже в космосе нет полного
вакуума, так как в каждом кубическом сантиметре меж-
звездного пространства содержится по нескольку атомов.
Предполагается, что основную часть всех атомов косми-
ческого пространства составляют атомы водорода.
ГЛАВА 14
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 178. Характеристика жидкого состояния вещества.
В § 156 говорилось, что молекулы жидкости в течение
некоторого времени 4 колеблются около случайно воз-
никшего положения равновесия, а затем перескакивают
в новое положение. Время, в течение которого молекула
колеблется около положения равновесия, называется време-
нем «оседлой жизни» молекулы. Оно зависит от рода жид-
кости и ее температуры. При нагревании жидкости время
«оседлой жизни» уменьшается.
Если в жидкости выделить достаточно малый объем, то
в течение времени «оседлой жизни» в нем сохраняется
упорядоченное расположение молекул жидкости, т. е.
имеется подобие кристаллической решетки твердых тел.
Однако если рассматривать расположение молекул жид-
кости относительно друг друга в большом объеме жидко-
сти, то оно оказывается хаотическим.
Следовательно, можно сказать, что в жидкости суще-
ствует «ближний порядок» в расположении молекул. Упо-
рядоченное расположение молекул жидкости в малых объемах
называется квазикристаллическим (кристаллоподобным).
При кратковременных воздействиях на жидкость, мень-
ших времени «оседлой жизни», обнаруживается большое
сходство свойств жидкости со свойствами твердого веще-
ства. Например, при резком ударе небольшого камня
с плоской поверхностью о воду камень отскакивает от нее,
т. е. жидкость проявляет упругие свойства. Если прыгаю-
щий с вышки пловец ударится о поверхность воды всем
телом, то он сильно ушибется, так как при этих условиях
жидкость ведет себя подобно твердому телу.
Если же время воздействия на жидкость оказывается
больше времени «оседлой жизни» молекул, то обнаружи-
326
вается текучесть жидкости. Например, человек свободно
входит в воду с берега реки и т. п. Основными признаками
окидкого состояния являются текучесть жидкости и сохра-
нение объема. Текучесть жидкости тесно связана со вре-
менем «оседлой жизни» ее молекул. Чем меньше это время,
тем большей подвижностью обладают молекулы жидкости,
т. е. тем больше текучесть жидкости, а ее свойства ближе
к свойствам газа.
Чем выше температура жидкости, тем больше ее свой-
ства отличаются от свойств твердого вещества и стано-
вятся ближе к свойствам плотных газов. Таким образом,
жидкое состояние вещества является промежуточным
между твердым и газообразным состоянием того же
вещества.
Действием силы тяжести и текучестью жидкости мож-
но объяснить тот факт, что поверхность покоящейся жид-
кости всегда горизонтальна. Сохранение постоянного
объема у жидкости объясняется наличием значительных
сил сцепления между ее молекулами, так как последние
расположены почти на таких же расстояниях друг от
друга, как в твердых телах.
Итак, свойства жидкого состояния вещества имеют
много общего со свойствами как твердого, так и газообраз-
ного состояний. Однако, вообще говоря, свойства жидкого
состояния ближе к свойствам твердого состояния вещества.
Отметим еще, что прочность жидкости на разрыв при
ее всестороннем растяжении мало уступает прочности
твердых тел, например для воды она равна 6-104 . Сле-
довательно, пустоты внутри жидкости, в которых нет
посторонних веществ, например воздуха, могут образовы-
ваться лишь при очень интенсивном внешнем воздействии
на жидкость, например, при больших скоростях движе-
ния частиц жидкости. Эти пустоты весьма энергично за-
хлопываются (исчезают). Такое явление называется к а-
витацией и наблюдается при работе гребных винтов
кораблей, при распространении ультразвуковых волн в
жидкостях (см. § 150) и т. д. Явление кавитации приводит
к быстрому износу гребных винтов кораблей.
§ 179. Поверхностный слой жидкости. Выясним, к чему
должно привести наличие больших сил взаимодействия
между молекулами жидкости. Возьмем сосуд с жидкостью
327
Рис. 184. Поперечный разрез со-
суда с жидкостью. Все молекулы,
находящиеся в поверхностном
слое толщиной г, например М2
и М3, втягиваются внутрь жид-
кости.
(рис. 184). Если мысленно выделить внутри жидкости
какую-либо молекулу и описать вокруг нее сферу
молекулярного действия (см. § 176), то внутри этой сферы
окажутся центры большого числа молекул, так как рас-
стояния между молекулами жидкости малы. В силу хао-
тичного распределения молекул равнодействующая моле-
кулярных сил, приложенных к молекуле Л4Х, в среднем
будет равна нулю. Лишь
, случайные отклонения мо-
гут создать небольшую
результирующую силу,
которая будет смещать мо-
лекулу М± в какую-либо
сторону. Однако направле-
ние и величина этой силы
будут быстро и беспоря-
дочно изменяться со вре-
менем, поэтому молекула
будет совершать лишь
х аотическое* движение
внутри жидкости.
Совершенно другая картина получится, если молекула
ТИ2 расположена на поверхности жидкости. В этом слу-
чае в нижней части сферы молекулярного действия будет
находиться жидкость, а в верхней — пар этой жидкости
и воздух.
Следовательно, число молекул в нижней полусфере
будет во много раз больше, чем в верхней. Это озна-
чает, что приложенная к молекуле М2 равнодействующая
/?ж, которая создается действием молекул нижней полу-
сферы, будет велика по сравнению с равнодействующей
7?п, созданной молекулами верхней полусферы. Вообще
говоря, равнодействующая Ra настолько мала, что ею
можно пренебречь.
Так как все изложенное применимо ко всем молеку-
лам, находящимся на свободной поверхности жидкости,
то ясно, что молекулы поверхностного слоя должны втя-
гиваться внутрь жидкости. (Как видно из рис. 184, этот
вывод относится к тем молекулам, центры которых нахо-
дятся в поверхностном слое толщиной г, где г — радиус
молекулярного действия.) В силу этого поверхностный
слой (толщиной около 10“9 м) должен создавать давление
на жидкость, которое называется молекулярным давлением.
328
Сила молекулярного давления всегда направлена внутрь
жидкости, т. е. сжимает ее.
Молекулярное давление не действует на тела, находя*
щиеся внутри жидкости. Действительно, вокруг такого
тела образуется поверхностный слой, в котором молеку-
лярные силы действуют по направлению от тела внутрь
жидкости. Конечно, между молекулами этого тела и мо-
лекулами жидкости возникают силы взаимодействия, но
они ничтожно малы по сравнению с силами молекулярного
давления, создаваемого поверхностным слоем жидкости.
Таким образом, определить величину молекулярного дав*
ления с помощью опыта невозможно. Однако вполне воз-
можно вычислить величину этого давления теоретичес-
ки. Оказывается, молекулярное давление очень велико.
В качестве примера приведем его величину для трех
жидкостей:
Вода..............около lb108 (ПОООа/и)
Спирт этиловый . . » 2,4*108 » (2 400 »)
Эфир.................» 1,4’108 » (1 400 »)
Большая величина молекулярного давления обусловлю
воет малую сжимаемость жидкости. Отметим, что хотя
при наличии внешнего давления объем жидкости и умень-
шается, это изменение так мало, что им можно прене-
бречь. Для того чтобы объем жидкости заметно изменил-
ся, внешнее давление на нее должно быть по порядку
величины сравнимым с молекулярным давлением. Посколь-
ку такое давление на жидкость создать трудно, практи-
чески можно считать жидкости несжимаемыми.
§ 180. Энергия поверхностного слоя жидкости. Коэф-
фициент поверхностного натяжения. Согнем проволоку
в виде буквы П и укрепим на ней подвижную поперечину
/ (рис. 185). Если затянуть образовавшуюся рамку мыль-
ной пленкой, то подвижная поперечина I начнет переме-
щаться из положения 1 в положение 2. Следовательно,
на нее действует сила FH, направленная вдоль поверхности
жидкости, способствующая сокращению этой поверхности.
Это означает, что поверхностный слой жидкости обла-
дает избыточной потенциальной энергией, за счет кото*
рой он может совершать работу при сокращении площади
свободной поверхности жидкости. Наличие избыточной
329
энергии у поверхностного слоя жидкости объясняется
тем, что молекулы втягиваются с поверхности внутрь
жидкости. Для того чтобы увеличить площадь свободной
поверхности жидкости, нужно часть молекул, находя-
щихся внутри жидкости, переместить на ее поверхность,
а для этого нужно совершить работу против молекулярных
Рис. 185. а) Молекуляр-
ные силы уменьшают
площадь свободной по-
верхности жидкости, пе-
ремещая стержень I из
положения 1 в положе-
ние 2; б) поперечный
разрез пленки.
сил, втягивающих эти молекулы
внутрь жидкости, т. е. увеличить
энергию ее поверхностного слоя.
Наоборот, при сокращении по-
верхностного слоя молекулярные
силы совершают работу за счет
уменьшения потенциальной энер-
гии поверхностного слоя жидкости.
Таким образом, величина из-
быточной потенциальной энергии
поверхностного слоя жидкости
AZ7, освобождающейся при умень-
шении этой поверхности на AS,
должна быть прямо пропорцио-
нальна AS
A/7-oAS. (14.1)
Так как работа Л, выполнен-
ная молекулярными силами при
уменьшении площади свободной
поверхности жидкости на AS,
равна А/7, соотношение (14.1) мож-
но записать и так:
Л-oAS.
(14.2)
Работа молекулярных сил, оче-
видно, должна зависеть от рода
жидкости и от внешних условий,
в которых находится поверхность
жидкости. Эта зависимость и выражается коэффициентом
пропорциональности о.
Величина о, характеризующая зависимость избыточной
потенциальной энергии свободной поверхности жидкости от
рода жидкости и внешних условий, в которых она на-
ходится, называется коэффициентом поверхностного на-
тяжения.
330
Коэффициент поверхностного натяжения измеряется
работой, совершаемой молекулярными силами при уменьше-
нии площади свободной поверхности жидкости на единицу
(И.2а)
Выведем единицу измерения для а
j кг-ж2
1 дж_ сек,2 _. кг __. дж
&_______________________1 ж2 1 м2 1 сек2 м2 ’
В системе СИ за единицу измерения о принимается
такой коэффициент поверхностного натяжения, при ко-
тором молекулярные силы совершают работу в 1 дж,
уменьшая площадь свободной поверхности жидкости на 1 м2.
Отметим, что в системе СГС единицей измерения о служит
см2
1^=10з94
м2 . см2
§ 181. Поверхностное натяжение. Выясним, от чего
зависит велЛина силы FH, действующей на поперечину I
(см. рис. 185, а). Работа, совершаемая силой FH при пере-
мещении поперечины / из положения 1 в положение 2
на расстояние h, определяется формулой (14.2). Посколь-
ку мыльная пленка имеет две свободные поверхности,
между которыми находится жидкость, у пленки имеются
и две линии соприкосновения с поперечиной I (рис. 185, б).
Уменьшение площади свободной поверхности жидкости
с одной стороны пленки при перемещении поперечины I
на расстояние h равно hl. Следовательно, полное умень-
шение площади пленки AS, входящее в формулу (14.2),
будет 2AZ. Так как работа силы FH на пути h в данном слу-
чае равна 2Fnh, из (14.2) имеем
2FHh~u-2hl
или
F„ = oZ.
(14.3)
Сила Fn, которая вызывает сокращение площади сво-
бодной поверхности жидкости, действует в касательной
331
к этой поверхности плоскости и обусловлена взаимодейст-
вием молекул жидкости, называется силой поверхностного
натяжения.
Сила поверхностного натяжения действует на любую
замкнутую линию, выделенную на поверхности жидко-
сти всегда по нормали к этой линии. Это означает, что
поверхностный слой жидкости всегда находится в состоя-
нии натяжения.
Из формулы (14.3) видно, что сила поверхностного на-
тяжения пропорциональна длине замкнутого контура,
ограничивающего какую-либо часть свободной поверхности
жидкости. Если на этом контуре выделить отрезок длины
I, то на него также будет действовать сила поверхностного
натяжения, определяемая формулой (14.3), примером чего
может служить сила, действующая на поперечину I
(рис. 185, а).
Из (14.3) следует, что
о = ун, , (14.3а)
т. е. коэффициент поверхностного натяжения численно
равен силе поверхностного натяжения, действующей на
единицу длины линии, ограничивающей какую-либо часть
свободной поверхности жидкости. Следовательно, в каче-
стве единицы измерения о можно брать и 1 ~. Конечно,
1 2L—1
М Ж2
§ 182. Каким образом возникает сила поверхностного
натяжения. Находящаяся на поверхности жидкости мо-
лекула М2 (см. рис. 184) взаимодействует не только с мо-
лекулами внутри жидкости, но и с теми молекулами на
поверхности жидкости, которые попадают в сферу ее мо-
лекулярного действия. Молекулярные силы, действую-
щие на молекулу М2 вдоль поверхности жидкости, пока-
заны на рис. 186. Если взять молекулу М на поверхности
жидкости у самой стенки сосуда, то равнодействующая
этих сил будет направлена по нормали к границе свобод-
ной поверхности жидкости вдоль этой поверхности. Сле-
довательно, силу поверхностного натяжения можно обна-
ружить на опыте и измерить по ее действию на границу
свободной поверхности жидкости.
332
Чтобы показать это, возьмем проволочное кольцо, к
которому привязана нитка длиной I (рис. 187). Если опу-
стить кольцо в мыльный раствор, то на кольце образуется
мыльная пленка. Так как силы поверхностного натяже-
ния жидкости действуют на нитку с обеих сторон в проти-
воположных направлениях и уравновешиваются, то нитка
свободно располагается на пленке (рис. 187, а). Однако,
Рис. 186. Кроме сил,
втягивающих молеку-
лу М2 внутрь жидко-
сти, на нее действуют
силы, направленные
вдоль поверхности
жидкости.
Рис. 187. Опыт, иллюстри-
рующий действие силы по-
верхностного натяжения:
а) нитка / свободно лежит
на пленке; б) действующие
вдоль поверхности жидко-
сти молекулярные силы
(изображены стрелками) на-
тягивают нитку /.
если прорвать пленку с одной стороны нитки, сила поверх-
ностного натяжения сократит площадь свободной поверх-
ности оставшейся пленки и натянет нитку (рис. 187, б).
Поскольку силы молекулярного сцепления действуют на
все молекулы жидкости, находящиеся на ее границе, т. е.
около нитки, сила поверхностного натяжения должна
быть пропорциональна длине нитки I (см. § 181).
Так как сила молекулярного сцепления зависит от
строения молекул и их взаимного расположения, то сила
поверхностного натяжения должна зависеть как от рода
жидкости, так и от среды, находящейся над поверхностью
жидкости. Эта зависимость и выражается коэффициентом
поверхностного натяжения а, величина которого для
заданной жидкости, окруженной различными средами, не-
одинакова.
333
В § 170 говорилось, что при повышении температуры
вещества увеличивается среднее расстояние между его
молекулами, а следовательно, силы молекулярного сцеп-
ления уменьшаются. Это означает, что коэффициент по-
верхностного натяжения должен зависеть еще от темпе-
ратуры. Опыт показывает, что коэффициент поверхност-
ного натяжения уменьшается с повышением температуры
жидкости.
В табл. 17 приведены значения коэффициентов поверх-
ностного натяжения при комнатной температуре для жид-
костей, граничащих с воздухом, а в табл. 18 — значения о
для воды и спирта при различных температурах. Графики
зависимости коэффициента поверхностного натяжения
от температуры для этих же жидкостей приведены на
Таблица .17
Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей при 20° С
Вещество О’, н/м | Вещество о, Н/М Вещество О’, н/м
Ацетон . . Бензин . . 0,024 0,029 Глицерин . . Керосин . . . 0,059 0,024 Спирт этило- вый . . . 0,022
Вода . . . 0,072 Мыльный ра- створ . . . 0,040 Ртуть .... Эфир этило- вый . . . 0,470 0.017
Таблица 18
Коэффициенты поверхностного натяжения воды и этилового
спирта при различных температурах
Температура, °C о, н1м Температура, °C о, н/м
воды этилового спирта воды ЭТИЛОВОГО спирта
0 0,0756 0,0249 210 0,0354 0,0033
30 0,0712 0,0219 240 0,0286 0,0001
60 0,0662 0,0192 243 — 0
90 0,0608 0,0164 300 0,0144 —
120 0,0549 0,0134 370 0,0005 —
150 0,0486 0,0101 374 0 —
180 0,0423 0,0067
334
же объясняется шаро-
Рис. 188. Графики зависимости коэф-
фициента поверхностного натяжения
о от температуры t для воды и
спирта.
рис. 188. Оказывается, для каждой жидкости имеется
такая температура, при которой о' — 0. Физический смысл
этой температуры будет объяснен в § 232.
Из изложенного выше следует, что совместное действие
сил молекулярного давления и поверхностного натяжения
должно придавать жидкости такую форму, при которой
свободная поверхность имеющейся массы жидкости будет
наименьшей. Тогда, например, в условии невесомости жид-
кость должна принимать форму шара, что было подтверж-
дено различными опытами. Этим
образная форма капель
жидкости и форма мыль-
ных пленок, образую-
щихся на проволочных
каркасах. Все изложен-
ное иллюстрирует уста-
новленный выше закон
(см. § 96), утверждаю-
щий, что всякая система
находится в устойчивом
состоянии тогда, когда
ее потенциальная энер-
гия имеет минимальное
значение.
В заключение отме-
тим, что хотя поверхно-
стный слой жидкости и находится в состоянии натяжения,
его нельзя отождествлять с упруго растянутой пленкой.
Действительно, упругие силы прямо пропорциональны де-
формации, т. е. возрастают по мере увеличения площади
растягиваемой пленки, а сила поверхностного натяжения
от площади свободной поверхности жидкости не зависит.
Так, например, сила поверхностного натяжения FH
(см. рис. 185), действующая на перекладину / в положениях
1 и 2, одинакова. Объясняется это тем, что сила поверх-
ностного натяжения определяется расстоянием между
молекулами жидкости на ее свободной поверхности, а оно
остается постоянным при изменении площади этой поверх-
ности. Например, при уменьшении площади свободной
поверхности пленки на единицу все те молекулы, которые
находились на ней, втягиваются внутрь жидкости, а
число молекул на единице площади оставшейся поверх-
ности не изменяется.
335
§ 183. Смачивание. Краевой угол. Выше говорилось,
что если вынуть из воды стеклянную палочку, то на па-
лочке останутся капли воды. Такое явление называется
смачиванием. Следовательно, при удалении па-
Рис. 189. Краевой
для смачивающей
тупой для несмачивающей (б).
WWW
6)
угол 0 острый
жидкости (а) и
лочки из воды отрывается не вода от стекла, а вода от
воды. Это означает, что молекулы воды друг с другом
сцеплены слабее, чем с молекулами стекла. Если молекулы
жидкости взаимодействуют друг с другом слабее, чем с мо-
лекулами твердого вещества, то жидкость называется
смачивающей по отно-
шению к этому веще-
ству.
Однако жидкость,
смачивающая одни
твердые вещества, мо-
жет не смачивать дру-
гие. Так, если стеклян-
ную палочку вынуть из
ртути, то на палочке
капель ртути не окажется. Если молекулы жидкости вза-
имодействуют друг с другом сильнее, чем с молекулами
твердого вещества, то жидкость называется несмачиваю-
щей по отношению к этому веществу.
Опыт показывает, что вода смачивает стекло и не сма-
чивает парафин или поверхность, покрытую слоем жи-
ра, а ртуть смачивает чистую медь, но не смачивает стек-
ЛО И Т. п.
Если капать жидкости на горизонтальную твердую
поверхность, то капли различных жидкостей принимают
неодинаковую форму, однако капли одной и той же жид-
кости располагаются так, что угол 0 у них одинаков
(рис. 189). (Этот угол образован плоской поверхностью
твердого тела и проходящей через точку А плоскостью,
касательной к поверхности жидкости. Отметим, что одной
из сторон этого угла обязательно должна быть линия сопри-
косновения жидкости с твердым телом, а другой — каса-
тельная к свободной поверхности жидкости, иначе говоря,
внутри угла 0 всегда должна находиться жидкость.).
Угол 0 принято называть краевым углом.
У смачивающих жидкостей краевой угол острый
(рис. 189, а), а у несмачивающих — тупой (рис. 189, б).
Чем меньше острый краевой угол 0, тем больше сцепление
между молекулами жидкости и твердого тела. Чем больше
336
тупой краевой, угол 0, тем меньше сцепление между мо-
лекулами жидкости и твердого тела.
В тех случаях, когда влиянием силы тяжести можно
пренебречь, краевой угол на границе соприкосновения
жидкости с твердым телом сохраняется при любом поло-
жении этой границы в
пространстве. Это озна-
чает, что когда масса
капли мала, то угол 0
сохраняет свою вели-
чину и при вертикаль-
ном положении твердой
поверхности. Следова-
а)
Рис. 190. Форма поверхности жид-
кости вблизи стенки сосуда: а) сма-
чивающая жидкость; б) несмачиваю-
щая жидкость..
тельно, если налить
жидкость ' в сосуд, то
смачивающая жидкость
у краев сосуда должна
приподниматься (рис.
190, а), а несмачивающая — опускаться (рис. 190, б).
Это явление и наблюдается на практике.
роком сосуде,
Рис. 191. В узкой цилиндрической
трубке поверхность смачивающей
жидкости принимает форму вогну-
того мениска (а), несмачивающей—
форму выпуклого мениска (6).
§ 184. Мениск. Давление, создаваемое искривленной
поверхностью жидкости. Когда жидкость находится в ши-
ее свободная поверхность искривляется
только у самой стенки со-
суда. Однако если поме-
стить жидкость в доста-
точно узкую трубку, то
искривляется уже вся сво-
бодная поверхность жид-
кости. Искривленная по-
верхность сферической фор-
мы называется мениском
(от греческого слова «ме-
нискос» — лунный серп).
У смачивающей жидко-
сти мениск получается
вогнутым (рис. 191, а), а
у несмачивающей—выпук-
лым (рис. 191, 6). Равно-
действующая сил поверх-
ностного натяжения в
какой-либо точке искривленной свободной поверхности
337
жидкости уже не равна нулю и направлена к центру кри-
визны этой поверхности, т. е. внутрь вогнутости мениска
(рис. 191). Это означает, что искривленная свободная по-
верхность жидкости создает дополнительное давление на
жидкость, которое называется лапласовским
давлением и обозначается р0.
При вогнутом мениске лапласовское давление направ-
уменьшает внешнее давление на
лено от жидкости, т. е.
Рис. 192. Под действием
лапласовского давления
воздух вытесняется из пу-
зыря А в пузырь Б.
жидкость, а при выпуклом ме-
ниске — внутрь жидкости, т. е.
увеличивает давление на нее.
Величина лапласовского давления
прямо пропорциональна коэф-
фициенту поверхностного на-
тяжения жидкости и обратно
пропорциональна радиусу мени-
ска. Это можно показать при
помощи следующего опыта.
Возьмем стеклянную труб-
ку, позволяющую * выдувать
сразу два мыльных пузыря.
Если с помощью такой трубки
и Б различного радиуса (рис.
получить два пузыря А и Б различного радиуса (рис.
192) и закрыть выходное отверстие трубки, то через
некоторое время будет видно, что маленький пузырь на-
чинает уменьшаться, а большой раздуваться еще боль-
ше. Объясняется это тем, что лапласовское давление
в пузыре А больше, чем в пузыре Б. За счет избытка
давления воздух и переходит из маленького пузыря в
большой.
§ 185. Капиллярность. Капиллярные явления в быту
и технике. Опустим стеклянную трубку с маленьким вну-
тренним диаметром в воду (рис. 193, а). Внутри трубки
поверхность воды примет форму вогнутого мениска. Так
как избыточное давление, создаваемое мениском, направ-
лено вверх, то давление на жидкость внутри трубки ста-
нет меньше, чем вне ее. Поэтому вода в трубке начнет под-
ниматься. Подъем воды прекратится, когда ее уровень в
трубке достигнет такой высоты h, при которой гидростати-
ческое давление столба воды высотой Л, обусловленное
силой тяжести, станет равно избыточному (лапласовско-
му) давлению. Так как лапласовское давление обратно
338
пропорционально радиусу мениска, то высота подъема
воды в трубке тем больше, чем меньше ее диаметр.
Поскольку значительная высота подъема смачивающей
жидкости получается в таких трубках, внутренний диаметр
которых сравним с диаметром волоса, все достаточно уз-
кие трубки получили название капилляров (от
греческого слова «капиллус» —волос).
Следовательно, если капилляр опущен в смачиваю-
щую жидкость, то она перемещается по капилляру вверх,
а) б)
Рис. 193. Смачив ающая жидкость в узкой труб-
ке поднимается (а), несмачивающая — опуска-
ется (б).
если — в несмачивающую жидкость, то вниз, так как в
этом случае мениск получается выпуклый и лапласов-
ское давление направлено внутрь жидкости. Несмачи-
вающая жидкость опускается в капилляре на высоту h
(рис. 193, б), которая определяется теми же условиями,
как и в описанном выше опыте с водой.
' Явления втягивания смачивающей жидкости в капил-
ляр и выталкивания несмачивающей жидкости из капил-
ляра называются капиллярными явлениями.
Изменение уровня жидкости в капилляре можно на-
блюдать и в сообщающихся сосудах, если один из них ши-
рокий, а другой достаточно узкий (рис. 194). Капилляр-
ные явления можно наблюдать не только в трубках. Если
опустить в воду две стеклянные пластинки, расположен-
ные параллельно, то вода между ними поднимется тем
выше, чем ближе друг к другу они расположены.
Высота уровня смачивающей жидкости в капилляре
зависит от температуры. Чем выше температура жидкости,
339
ния несмачивающеи жидкости
Рис. 194. У ров ни. жидкости в сооб-
щающихся сосудах различны,
если один из них капиллярный:
а) в сосуды налита смачивающая
жидкость; б) в сосуды налита
несмачивающая жидкость.
тем меньше а, а следовательно, и лапласовское давление
в капилляре. Поэтому высота уровня жидкости в капил-
ляре при повышении температуры уменьшается.
Высоту подъема смачивающей жидкости или опуска-
в капилляре можно опре-
делить по формуле
/i = -?lcose. (14.4)
pgr v ’
Здесь р — плотность жид-
кости, 0 — краевой угол,
g — ускорение силы тяже-
сти, г — радиус капил-
ляра.
Капиллярные явления
имеют большое значение в
природе, быту и технике,
они играют большую роль
в сельском хозяйстве.
В почве имеются капил-
ляры, которые тем уже,
чем плотнее почва. По этим капиллярам вода из подпочвен-
ных слоев поднимается до поверхности земли и быстро
испаряется. Отсутствие влаги делает такую почву бес-
плодной. Если поверхностный слой почвы вспахать и раз-
рыхлить, то вода будет подниматься по капиллярам до
вспаханного слоя и здесь задерживаться. При этом рас-
тения получат достаточное количество влаги из подпоч-
венных слоев.
В быту капиллярность используется при устройстве
фитилей в спиртовках, керосинках и т. п. Промокатель-
ная бумага впитывает чернила потому, что в ней имеются
капилляры. По этой же причине на плохой бумаге чернила
расплываются. Хорошие сорта бумаги пропитывают спе-
циальным составом, закупоривающим капилляры. Даже
кирпичи обладают широко разветвленной системой ка-
пилляров, по которым вода может подниматься на значи-
тельную высоту. Для того чтобы предохранить кирпичную
стену от сырости, между стеной и фундаментом дома
должен быть проложен слой вещества, не имеющего
капилляров. Примеров подобного рода, иллюстрирую-
щих роль капиллярных явлений, можно привести очень
много.
340
§ 186. Твердое тело. Кристаллические и аморфные
тела. Твердое состояние вещества характеризуется нали-
чием постоянной формы и объема. Твердые тела делятся на
кристаллические и аморфные.
Кристаллические тела характеризуются правильным
расположением атомов, молекул и ионов, совершающих
лишь колебательное движение относительно положения
равновесия и образующих мельчайшие кристаллические
ячейки вещества.
Аморфные тела не обладают кристаллической струк-
турой. По своему внутреннему строению аморфные тела
близки к жидкостям, отличаясь от них лишь меньшими
средними расстояниями между молекулами и в связи с
этим большими силами молекулярного притяжения. В от-
личие от кристаллических тел, аморфные тела не обладают
определенной температурой плавления, а переходят в
жидкое состояние путем постепенного размягчения вслед-
ствие уменьшения вязкости при нагревании. Исходя из
этого, аморфные тела можно считать переохлажденными
жидкостями.
К аморфным телам относятся: стекло (аморфные тела
иногда называют стекловидными телами), бе-
тон, пластмассы, смолы, опал, вар и др. Большинство
твердых веществ имеет кристаллическую структуру.
Одна из характерных особенностей кристаллического
тела — постоянство углов между соответствующими гра-
нями различных кристаллов данного вещества. Другая
характерная особенность — определенное расположение
ионов, атомов или молекул, составляющих кристалличе-
скую (пространственную) решетку твердого тела.
Точки, соответствующие наиболее устойчивому поло-
жению равновесия частиц в решетке, называются ее у з-
л а м и. Если в каком-либо направлении расстояние
между ближайшими узлами решетки равно d, то на рас-
стоянии nd от заданного узла в этом же направлении бу-
дет находиться n-й по порядку такой же узел. В этом
смысле говорят, что у кристаллического твердого тела
имеется дальний порядок в расположении частиц. Вели-
чина d называется расстоянием между плоскостями узлов
решетки для выбранного направления.
Если все узлы решетки заняты частицами, то решетка
называется правильной. Однако практически часть узлов
решетки оказывается не занятой частицами. Кроме того,
341
некоторые частицы попадают в мало устойчивые положе-
ния равновесия где-либо между узлами решетки. К таким
частицам часто относятся посторонние п р и м е с и, т. е.
инородные атомы или молекулы, случайно попавшие в
данное вещество. Подобного рода нарушения в располо-
жении частиц кристаллических тел называются дефек-
тами кристаллической решетки. Одним из видов де-
фектов является нарушение в строении самой решетки,
называемое дислокацией. Именно вследствие
наличия дефектов в пространственных решетках кристал-
лических твердых тел в них может происходить диффузия.
Рис. 195. Модель кри-
сталлической решетки
поваренной соли
(NaCl).
Рис. 196. Модель атомной ре-
шетки. Овалами условно пока-
зана связь между атомами,
обусловленная движением ва-
лентных электронов.
Виды кристаллических решеток изучаются в науке,
называемой кристаллографией, а в физике
изучаются кристаллические решетки с точки зрения сил,
действующих между частицами.
По характеру этих сил различают четыре вида крас»
таллической структуры: ионную, атомную, молекуляр-
ную и металлическую.
1. Ионная кристаллическая струк-
тура характеризуется пространственной решеткой, об-
разованной отрицательными и положительными ионами.
Силами, удерживающими ионы в узлах кристаллической
решетки, служат силы взаимодействия электрических за-
рядов, входящих в состав частиц.
Как видно из рис. 195, в такой решетке расстояние
между противоположно заряженными ионами меньше,
342
чем между одноименно заряженными. Так как разноимен-
ные заряды притягиваются, а одноименные отталкивают-
ся, электрические силы притяжения, преобладающие в
кристалле над силами отталкивания, удерживают ионы
в узлах решетки. Кристаллы с ионной решеткой обладают
значительной прочностью. Примером ионной кристалли-
ческой структуры может служить кристалл каменной
соли NaCl (рис. 195) или кристалл CsGl.
При растворении и плавлении кристаллов ионной
структуры, например при растворении соли в воде, в раст-
воре или расплаве находятся свободные ионы.
2. Атомная кристаллическая структура
характеризуется пространственной решеткой, образован-
ной из нейтральных атомов вещества, удерживаемых в
кристалле силами, возникающими при взаимном обмене
валентными электронами между каждыми двумя сосед-
ними атомами (рис. 196).
Примерами атомной кристаллической структуры яв-
ляются кристаллы алмаза, кремния, германия. Вещества
с атомной кристаллической структурой наиболее прочны
и тугоплавки.
3. Молекулярная кристаллическая
структура характеризуется пространственной ре-
шеткой, образованной из нейтральных молекул вещества.
Связь между молекулами обеспечивается силами межмо-
лекулярного взаимодействия. Эта связь слабая, поэтому
кристаллы, обладающие молекулярной структурой, наи-
менее прочны и имеют низкую температуру плавления.
Примеры веществ с молекулярной кристаллической струк-
турой: нафталин, твердые водород и кислород, большин-
ство кристаллов органйческих веществ.
4. Металлическая кристаллическая
структура характеризуется пространственной ре-
шеткой, образованной ионами металла (все ионы металла
положительны). У атомов всех металлов периферийные
электроны (т. е. электроны, наиболее удаленные от ядра
атома), которые принято называть валентными,
очень слабо связаны с атомами. Между атомами металлов
при их сближении начинает происходить непрерывный
обмен валентными электронами. Это обусловлено тем, что
в зависимости от положения электроны сильнее при-
тягиваются то к одному атому, то к другому. В резуль-
тате обмена электронами атомы металла удерживаются
343
на определенном расстоянии друг от друга. Когда обра-
зуется кристаллическая решетка металла, такой обмен
валентными электронами возникает уже между всеми его
атомами, что обеспечивает значительную прочность кри-
сталлической решетки металла.
Так как валентные электроны атомов металла оказы-
ваются не связанными с какими-либо определенными ато-
мами, а переходят от одного атома к другому во всем
е е® о'о®0 ® ® ® ®®° е©
© е © е© °®se© е°
° G © 0 ©° © „ © 0®
©
е© ° ©%© О ©е°©%
0 © °©°G© 0© © ©
Q ®eQ ® ©° © %
0© 0 © ® © ©Л© 0 ©
Рис. 197. Модель металлической решетки. Знак ф
условно изображает ионизированные атомы металла
в узлах решетки, знак Q свободные электроны.
объеме металла, то атомы металла становятся положитель-
ными ионами, а свободные электроны, попадая в сферу
действия то одного, то другого иона, и поочередно пере-
ходя от одного иона к другому, хаотически движутся
внутри металла. Поэтому их совокупность часто назы-
вают электронным газом (рис. 197). Наличие
свободных электронов в металле — причина высокой
электропроводности и теплопроводности всех металлов.
Как правило, в отдельно взятом кристалле данного
вещества (монокристалле) наблюдается неодина-
ковость физических свойств в различных направлениях.
Например, у одного и того же монокристалла в различных
направлениях могут быть неодинаковыми электропровод-
ность, теплопроводность, показатель преломления света
344
и другие свойства. Зависимость физических свойств кри*
сталлов от направления называется анизотропией.
Вещества, состоящие из множества мелких кристал-
лов, называются поликристаллически ми.
Ввиду того, что кристаллы в этих телах в большинстве
случаев расположены беспорядочно один относительно
другого, поликристаллические тела имеют одинаковые
физические свойства во всех направлениях, т. е. являются
изотропными веществами (например, изотропны
все металлы). Отметим, что аморфные тела, как большие,
так и очень маленькие, всегда изотропны.
ГЛАВА 15
ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТЕЛ
Рис. 198. Рас-
ширение возду-
ха при нагре-
вании.
Рис. 199. При нагре-
вании колбы уровень
воды в трубке переме-
щается из положения
/ в положение 2.
§ 187. Тепловое расширение тел. В § 170 говорилось,
что все тела при нагревании расширяются, а при охлажде-
нии сжимаются. Выясним, какими опытами это можно
подтвердить.
Возьмем открытую с обеих сторон стеклянную трубку,
в которой находится небольшой столбик ртути, вставим
ее в отверстие проб-
ки, закрывающей
горлышко колбы с
воздухом, и заметим
положение столбика
ртути (рис. 198). До-
статочно взять колбу
в руку, чтобы воздух
в колбе немного на-
грелся. При этом
столбик ртути пере-
местится вверх. Сле-
довательно, воздух,
как и все газы, при
нагревании расши-
ряется.
Нальем в колбу
подкрашенную воду,
закроем горлышко
пробкой с длинной
стеклянной трубкой так, чтобы уровень воды в трубке
оказался немного выше пробки (рис. 199, положение /).
При нагревании воды в колбе уровень воды в трубке
повышается (рис. 199, положение 2). Следовательно, вода
346
при нагревании расширяется. Опыт показывает, что жид-
кости расширяются значительно меньше, чем газы.
Твердые тела при нагревании расширяются еще мень-
ше, чем жидкости, однако это расширение тоже можно
обнаружить на опыте. Возьмем металлический шар, сво-
бодно проходящий через кольцо при комнатной темпера-
туре. Если этот шар сильно нагреть, то он проходить
через кольцо уже не будет.
Причина теплового расширения тел была выяснена
в § 170. Тепловое расширение тел играет большую роль
в технике. Для того чтобы предвидеть последствия нагре-
вания тел в различных технических устройствах, необхо-
димо знать, чем определяется величина теплового расши-
рения тел. Выясним, от каких причин она зависит.
§ 188. Линейное расширение твердых тел при нагрева-
нии. В ряде случаев конкретные технические условия
требуют учета изменения размеров твердого тела лишь
в одном направлении. Например, при натягивании про-
водов между столбами совершенно не надо учитывать,
как будет изменяться диаметр проволоки при сезонных
изменениях температуры, но безусловно необходимо
учесть, что летом проволока будет длиннее, а зимой короче.
При укладке железнодорожных рельсов учитывается из-
менение длины каждого рельса при изменении темпера-
туры, а не изменение площади его поперечного сечения.
Изменение одного размера твердого тела при повышении
температуры называется линейным расшире-
нием тела (или линейным сжатием при
охлаждении).
Если длину тела при 0° G и при f G соответственно
обозначить через /0 и lt, то линейное расширение тела
будет kl=lt—
Опыт показывает, что линейное расширение тела при
нагревании прямо пропорционально первоначальной дли-
не тела /0 и приросту температуры Kt°. Если началь-
ная температура тела 0° G, то Д/°=/°—0°—/°. Сле-
довательно, изменение длины тела при изменении тем-
пературы можно выразить следующей формулой:
Д/ = а/0/°.
(15.1)
347
Рис. 200. Биметаллическая
пластина (а) и ее изгиб при
нагревании (б).
Оказывается, что коэффициент пропорциональности а
в формуле (15.1) одинаков для всех тел, сделанных из
очного и того же вещества, но различен для тел, сделан-
ных из разных веществ. Зависимость линейного расшире-
ния тела при нагревании от рода вещества можно показать
с помощью следующего опыта.
Возьмем пластину, склепанную из двух разнородных ме-
таллических полос (рис. 200, а). Такая пластина называет-
ся биметаллической. Если бы при нагревании оба
металла расширялись одинако-
во, то форма пластины при
этом оставалась бы неизменной.
Однако опыт показывает, что
биметаллическая пластина при
нагревании изгибается (рис.
200, б). Происходит это потому,
что одна из металлических по-
лос удлиняется при нагревании
больше другой. Очевидно, боль-
ше расширяется тот металл,
полоса из которого находится
с выпуклой стороны.
Величина, характеризующая зависимость линейного
расширения тел при нагревании от рода вещества, назы-
вается коэффициентом линейного расширения и обозна-
чается а.
Коэффициент линейного расширения показывает, на
какую часть своей величины при 0° G изменяется длина
тела при нагревании на 1°G
а =
А/
(15.1а)
Выведем единицу измерения коэффициента линейного
расширения
1 JW
а = -:---;----Ч
1 м*1 град
= 1 град"1.
Отметим, что, вообще говоря, коэффициента при повы-
шении температуры увеличивается. Однако это изменение
столь мало, что при не слишком больших изменениях тем-
пературы им можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем
коэффициент а для каждого вещества считается постоян-
ным. Величины коэффициентов линейного расширения
348
различных твердых веществ, найденные с помощью опы-
тов, приведены в табл. 19.
Таблица 19
Коэффициенты линейного расширения некоторых
твердых веществ
Вещество а, град"1 Вещество а, град"*1
Алюминий Бронза Винипласт Вольфрам Дюралюминий . . . Железо, сталь . . . Золото Инвар *) Латунь Лед (от —10 до 0°С) *) Сплав, содержа 0,000023 0,000018 0,000070 0,000004 0,000023 0,000012 0,000014 0,0000006 0,000019 0,000051 нций 64% Медь Олово Платина Свинец Стекло , Цемент, бетон . . . Цинк Чугун . . Эбонит < железа и 36% никеля 0,000017 0,000021 0,000009 0,000028 0,000009 0,000012 0,000030 0,000010 0,000070
В технике часто необходимо знать заранее, каковы
будут размеры сооружений или деталей установок при
различных температурных условиях. Выведем формулу,
позволяющую вычислять линейные размеры тел при раз-
личных температурах. Для этого воспользуемся форму-
лой (15.1). Так как lt—то
/f = /0(l+aO.
(15.2)
Величина 1+аЛ называется биномом линейно-
го расширения. Таким образом, длина тела при
температуре Р равна произведению его длины при 0° G
на бином линейного расширения.
На практике часто приходится определять длину /2
при температуре t\ по длине тела /t при температуре tr .
Поскольку коэффициенты линейного расширения выра-
жаются очень маленькими числами, в этом случае при
вычислении /2 нет необходимости находить длину тела
при 0° G по а затем определять /2. Проще найти /2,
349
пользуясь следующей приближенной формулой:
/2 = 1. [ 1 + а(Г2-/1)]. (15.3)
Для определения коэффициента линейного расшире-
ния при выполнении лабораторных работ можно пользо-
ваться соотношением (15.3), если длина тела при 0° С
неизвестна. Из (15.3) для этого случая имеем
(15'за)
§ 189. Объемное расширение тел при нагревании. В
некоторых случаях необходимо учитывать расширение тел
во всех направлениях, которое принято называть объ-
емным расширением. При нагревании кристал-
лов их расширение по различным направлениям неодина-
ково. Однако при нагревании изотропных веществ (см. § 186)
расширение по всем направлениям одинаково. Все изло-
женное дальше относится к изотропным веществам.
Если объем тела при 0° С и при f С соответственно
обозначить Уо и Vt, то объемное расширение тела будет
AV=1/^—Уо. Изменение объема тела при нагревании прямо
пропорционально первоначальному объему Vo и приросту
температуры, т. е.
Д|/= Р Ио/°. (15.4)
Коэффициент пропорциональности Р в (15.4) выражает
зависимость объемного расширения от рода вещества.
Величина, характеризующая зависимость объемного
расширения тел при нагревании от рода вещества, назы-
вается коэффициентом объемного расширения.
Коэффициент объемного расширения показывает, на
какую часть своей величины при 0° С изменяется объем тела
при нагревании на 1° G
р = ^о. (15.4а)
Как и в случае линейного расширения, коэффициент |3
для каждого вещества постоянен.
Выведем единицу измерения Р
Р 1 Л13 • 1 град 1 град 1л
350
Из соотношения (15.4) получаем формулу для вычис-
ления объема тела при любой температуре
v^v0(i+po.
(15.5)
Выражение 1+PZ° называется биномом объем-
ного расширения. Следовательно, объем тела
при любой температуре равен произведению объема этого
тела при 0° С на бином объемного расширения.
Когда не требуется большая точность, объем тела V2
при температуре t2 можно найти, зная объем тела Ух
при температуре по приближенной формуле
v2=vx [1+р (^;—/bi. (15.6)
Из (15.6) получается приближенная формула и для вы-
числения р
У»-Ух
(15.6а)
§ 190 . Зависимость плотности вещества от темпера-
туры. Поскольку масса тела при различных температурах
остается постоянной, а его объем меняется, плотность
вещества р должна зависеть от температуры. Найдем
эту зависимость.
Плотность вещества при 0° G р0—гг, а при /°C
т
Pt ~vt
. Подставив в эту формулу значение Vb получим
_ т
P‘“V0(l + prj-
Определим массу тела из формулы для плотности при 0°С
и подставим найденное выражение в последнее равенство.
Тогда после сокращения на Vo получим формулу для вы-
числения плотности вещества при любой температуре
(15.7)
351
Подобным способом можно получить также формулу
зависимости удельного веса от температуры
V - Vo
(15.8)
Таким образом, плотность (и удельный вес) вещества при
нагревании уменьшается, а при охлаждении увеличивается.
§ 191. Особенности расширения твердых тел при нагре-
вании. Обычно в таблицах даются только коэффициен-
ты линейного расширения твердых тел, а коэффициенты
объемного расширения не приводятся. Объясняется это
тем, что величину 0 легко вычислить по величине а, поль-
зуясь приближенной формулой
р = 3а.
(15.9)
Следовательно, формулу (15.5) для твердых тел можно
записать следующим образом:
|Zt = V0(l+3an.
(15.10)
Это же следует иметь в виду и для формул (15.6), (15.7)
и (15.8).
Рис. 201. Расшире-
ние кубика при на-
гревании.
Покажем, как выводится формула (15.9). Возьмем твердое
тело в форме куба, длина ребра которого I (рис. 201). Обозначим
через /0— длину ребра при 0° С и через
Ро— объем тела при 0° С. Тогда при тем-
пературе t° С длина ребра будет /о(^+«О» a
объем тела Vo(l+PO- Так как объем куба
равен /3, то можно написать
V0(l+₽O=[/o(l+a013
или
Vo (1 + =/3 (1 +3a/+3a2/2 + а3/3).
Учитывая, что Vo=/^ , после сокращения
получим
1 + р/ 1 + За/ + За2/2 + а3/3.
Поскольку а для всех веществ — малое
число, можно пренебречь членами, содержащими а во второй и
352
третьей степенях. Тогда приближенно
или
Р —За.
лист расширялся
Рис. 202. При нагре-
вании металлическо-
го листа отверстие в
листе расширяется.
Пусть имеется металлический лист, в котором пробито
круглое отверстие (рис. 202). Опыт показывает, что раз-
мер отверстия при нагревании увеличивается. На рисунке
это показано пунктиром. Такой результат опыта может
показаться странным. Однако если б
и наружу и внутрь отверстия, то
атомы металла, расположенные по
краю отверстия, должны были бы
сблизиться, так как длина окружно-
сти края отверстия стала бы короче.
Но расстояния между атомами ме-
талла при его нагревании должны
возрастать, а не уменьшаться. Сле-
довательно, отверстие в листе должно
увеличиваться. Если на сплошном
листе начертить окружность, соответ-
ствующую краю отверстия, изобра-
женного на рис. 202, то при нагре-
вании сплошного листа эта окружность заняла бы поло-
жение, изображенное на рис. 202 пунктиром, при условии,
что нагревание в обоих случаях было произведено до
одинаковой температуры.
Таким образом, отверстия и полости в твердых телах
при нагревании увеличиваются, а при охлаждении сжима-
ются и притом так, как будто бы они сплошь заполнены
тем веществом, из которого состоит твердое тело. Это
необходимо учитывать при решении ряда технических
задач.
§ 192. Особенности расширения жидкостей. Выше го-
ворилось, что жидкости расширяются при нагревании
больше, чем твердые тела. Это видно из сравнения коэф-
фициентов- объемного расширения твердых веществ и
жидкостей. Последние приведены в табл. 20.
Это же подтверждает и опыт, описанный в § 187. Дей-
ствительно, при нагревании колбы с водой внутренний
объем колбы увеличивается (см. § 191), однако водди^
12 л. С. Жданов, В. А. Маранджян
Таблица 20
Коэффициенты объемного расширения некоторых жидкостей
Жидкость Р, град~1 Жидкость Р, град~*
Азотная кислота . . Ацетон Глицерин Керосин Ртуть . ., Спирт этиловый . . . 0,0012 0,0014 0,0005 0,0010 0,00018 0,0011 Эфир этиловый . . . Вода при 5—10° С » » 10—20 » » » 20—40 » » » 40—60 » » » 60—80 » 0,0016 0,000053 0,000150 0,000302 0,000458 0,000587
трубке все же поднимается. Значит, объем жидкости уве-
личивается больше, чем объем колбы.
Таким образом, наблюдаемое при опытах расширение
жидкости в сосуде всегда меньше ее истинного расшире-
ния при нагревании. Условимся называть наблюдаемое
расширение жидкости в сосуде кажущимся рас-
ширением. Тогда можно сказать, что истинное рас-
ширение жидкости при нагревании равно сумме кажущегося
расширения и расширения сосуда, занятого жидкостью,
ДУж = ДУкж+ДКс.
(15.11)
Одна из жидкостей — вода — представляет замеча-
тельное исключение. Оказывается, что вода в интервале
температур от 0 до 4° G при нагревании сжимается, а при
охлаждении расширяется. Объяснение этого аномального
свойства воды приводится в § 217. Такая особенность теп-
лового расширения воды приводит к тому, что при 4° С
плотность воды оказывается наибольшей. Как при нагре-
вании, так и при охлаждении воды, взятой при 4° С, ее
объем возрастает, а плотность уменьшается. Это свойство
воды играет большую роль в природе, так как является
одной из причин того, что водоемы не промерзают до дна.
Вообще температура воды на дне глубоких водоемов по-
стоянна и равна 4° G.
Особенности теплового расширения газов рассмотрены
в следующей главе.
Рассмотрим пример решения задачи на тепловое рас-
ширение тел. I
354
Задача. Объем стеклянной колбы при 0°G равен
400 см3. При этой температуре колба наполнена до краев
ртутью, после чего нагрета до 100° С. При этом из колбы
вытекло 6,12 см3 ртути. Определить коэффициент объем-
ного расширения ртути.
Дано:
Vo=400 см3—объем колбы при 0°G,
/°=100° G — конечная температура ртути,
АКкж =6,12 см3 — кажущееся расширение ртути.
Взято из таблицы:
аст =0,000009 град™1— коэффициент линейного рас-
ширения стекла.
Найти:"
Ррт — коэффициент объемного расширения ртути.
План решения. Коэффициент объемного расширения
ртути можно найти по формуле
о ___АУрт
Ррт “ vor *
Истинное расширение ртути равно сумме увеличения
объема колбы и кажущегося расширения ртути
дI/ = AV Ч- AV
Увеличение объема стеклянной колбы можно найти по
формуле коэффициента объемного расширения, учитывая,
что 0ст=3аст.
Решение. Находим увеличение объема стеклянной
колбы при нагревании
AVcr = 3acr^°-
Производим алгебраические действия, подставляем
числовые значения величин и вычисляем коэффициент
объемного расширения ртути
_ Д Vpr _ дуст+ Д1/КЯ( _ Засг1/йГ + ДГК1К .
У0Г ~ vot° ~ vot°
6 —З.’0,000009 град“1-4-10~4 ж3-100 градов, 12-10"6 м3 __
Ррг“ 4’10-4 м3-100 град
= 0,00018 град"1.
Ответ9. Коэффициент объемного расширения ртути
равен 0,00018 град™1.
12*
355
§ 193. Значение теплового расширения тел в природе
и технике. Тепловое расширение воздуха играет большую
роль в явлениях природы. Летом находящийся у поверх-
нести Земли воздух нагревается и расширяется. Более
плотный воздух в верхних слоях атмосферы под действием
силы тяжести опускается вниз и вытесняет теплый воздух
вверх. Это создает
воздушные течения в
вертикальном на-
правлении.
Неравномерный
прогрев воздуха в
различных местах по-
верхности Земли при-
водит к возникнове-
нию ветра, т. е. к пе-
ремещению воздуха
в горизонтальном на-
правлении, способ-
ствующему выравни-
ванию температур
поверхности Земли.
Неравномерный про-
грев воды создает
течения в морях и
океанах.
При нагревании и
охлаждении горных
пород вследствие су-
точных и годовых
колебаний темпепа-
Рис. 203. а) Контакт, находящийся на
биметаллических пластинках, замкнут;
б) размыкание контакта при повышении
температуры.
туры (если состав пород неоднороден) образуются трещш
пы, что способствует разрушению этих пород.
В быту и технике тепловое расширение также имеет
очень большое значение. На электрических железных до-
рогах необходимо зимой и летом сохранять постоянное
натяжение провода, питающего энергией электровозы.
Для этого натяжение провода создается тросом, один
конец которого посредством изоляторов соединен с прово-
дом, а другой перекинут через блок на мачте, и к нему
подвешены грузы. Такое устройство позволяет прово-
ду расширяться и сжиматься при неизменной силе
натяжения.
356
При сооружении мостов один конец фермы моста кла-
дется на катки. Если этого не сделать, то при расширении
летом и сжатии зимой ферма будет расшатывать устои,
на которые опирается мост. Тепловое расширение прихо-
дится учитывать при прокладке труб паропроводов, при
прокладке железнодорожных путей и т. д.
При изготовлении ламп накаливания часть провода,
проходящего внутри стекла, нужно делать из такого ма-
териала, коэффициент объемного расширения которого
такой же, как у стекла. Иначе при работе лампы стекло
может треснуть.
Биметаллические пластинки используются для авто-
матического регулирования температуры в термостатах,
например в холодильниках, для размыкания электриче-
ских цепей при недопустимых повышениях температуры
(рис. 203) и т. д.
Приведенные примеры далеко не исчерпывают роль
и различные применения теплового расширения в быту,
технике и природе.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Стальной мост через Днепр у Киева имеет длину 1082 м
при 0° С. На сколько изменится его длина при изменении температу-
ры от —10 до 20° С?
Ответ: 38,9 см.
2. Стальная телеграфная проволока имеет наименьшую длину
между столбами 20 м при —30° С. На сколько она удлинится при
нагревании до +32°С?
Ответ: 15 мм.
3. Железный бидон объемом 12 л наполнен до краев керосином
при 0° С. Сколько керосина выльется при нагревании до 20° С?
Задачу решить дважды: без учета и с учетом расширения сосуда.
Ответ'. 240 см3 и 231 см3.
4. Кусок свинца имеет объем 100 см3 при 0° С и 101,68 см3 при
200° С. Найти коэффициент линейного расширения свинца.
Ответ: 0,000028 град~1.
ГЛАВА 16
СВОЙСТВА ГАЗОВ
§ 194. Газообразное состояние вещества и его характе-
ристики. Наиболее характерная особенность газообраз-
ного состояния вещества, отличающая его от жидкого и
твердого состояний, заключается в том, что при отсутст-
вии внешних воздействий газ всегда распределяется по
всему доступному для него объему. Объясняется это тем,
что молекулы газа совершают хаотическое поступатель-
ное движение. Поскольку ни одно’из направлений этого
движения не имеет преимущества перед другими, молекулы
газа разлетаются во все стороны.
Если же на пути движения молекул газа находится
преграда, например стенка сосуда, то молекулы ударяют-
ся о стенку и тем самым оказывают на нее давление.
Таким образом, газ, заключенный в сосуде, при отсутствии
внешних воздействий давит на стенки сосуда равномерно
во все стороны.
При постоянной массе газа его давление тем больше,
чем меньше объем сосуда, так как при уменьшении объема
газа его молекулы чаще ударяются о стенки сосуда. По-
скольку скорость движения молекул газа возрастает при
повышении температуры (см. § 170), то давление газа
должно зависеть еще и от температуры. Из сказанного
следует, что если объем и температура газа будут постоян-
ными, то и давление газа изменяться не будет, т. е. при
этом условии газ будет находиться в определенном состоя-
нии, которое при отсутствии внешних воздействий может
сохраняться сколь угодно долго.
Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинети-
ческой теории состояние данной массы газа характеризу-
ется тремя величинами', объемом газа V, давлением р и
температурой F. Эти три величины принято называть
358
термодинамическими параметрами
состояния газа. Изменение состояния газа, например на-
гревание или сжатие, называется газовым процессом.
Следовательно, при любом процессе в газах происходит
изменение параметров.
Совершенно ясно, что нет ни одного процесса, при ко-
тором изменяется только один параметр. Изменение од-
ного из параметров обязательно сопровождается измене-
нием остальных параметров или хотя бы одного другого
параметра. Различных процессов в газе бесконечное мно-
жество. В данном курсе рассматриваются только наиболее
простые процессы.
§ 195. Объяснение давления газа на основе молеку-
лярно-кинетической теории. Выше говорилось, что дав-
ление газа на стенку сосуда обусловлено ударами моле-
кул, Поскольку сила, возникающая при ударе молекулы
о стенку, тем больше, чем больше кинетическая энергия
поступательного движения молекулы, давление газа долж-
но быть прямо пропорционально средней кинетической
энергии поступательного движения молекул газа Еп. Кро-
ме того, давление газа должно быть тем больше, чем чаще
ударяются молекулы о стенку, т. е. чем больше молекул
газа содержится в единице объема сосуда. Если число
молекул газа в единице объема обозначить п0, то давле-
ние газа можно выразить следующей формулой:
2 й
Р — 3 •
(16.1)
Вывод этой формулы делается на основе молекулярно-
кинетической теории.
Покажем, как выводится формула (16.1). Пусть имеется зак-
рытый ’сосуд в форме куба с ребром /, в каждой единице объема
которого содержится п0 молекул газа. Обозначим массу одной моле-
кулы газа через т, а ее скорость движения через v. Предполо-
жим, что удар молекулы о стенку является упругим. Если молекула
движется перпендикулярно стенке (рис. 204), то на мгновение оста-
навливаясь при ударе о стенку, молекула теряет импульс mv, а
затем отскакивает от стенки и движется в противоположную сторо-
ну с импульсом, численно равным mv. Таким образом, изменение
импульса молекулы в процессе удара равно 2 mv. По изменению
359
импульса можно найти силу давления молекулы Ft на стенку со-
суда. Согласно второму закону Ньютона F1t = 2mvt откуда
„ 2mv
F^~r-
Так как для вычисления давления нужно знать среднюю силу
удара, то за t нужно принять время между двумя последовательными
ударами молекулы об одну и ту же стенку, поскольку именно за
это время молекула < " . „ ~ Л
Рис. 204. Молеку-
ла т (условно изо-
бражена кружком)
после удара о ле-
вую стенку по-
вторно ударится об
нее, пролетев со
скоростью v рас-
стояние 21.
сообщает стенке импульс 2 mv. Ударившись о
левую стенку, молекула летит к правой стен-
ке. Ударившись о нее, молекула возвращается
к левой стенке и снова ударяется об эту
стенку. Таким образом, между двумя ударами
об одну и ту же стенку, например о левую,
молекула пролетает путь 21 со скоростью
о, т. е.
tJ»
V
Следовательно, средняя сила воздействия
одной молекулы на стенку будет
„ 2mv • v mv2
Общая сила давления на стенку будет
равна сумме сил, создаваемых молекулами,
ударяющимися об эту стенку. Так как ни одно
из направлений движения молекул не имеет
предпочтения перед другими направлениями,
можно считать, что между правой и левой
стенками движется 1/3 всех молекул в сосуде, т. е. 1/3 /г0/3. Поэтому
средняя сила давления молекул на стенку выразится формулой
„ mv2 1 1 -9/9
Гд = — — =— nomvW,
где v2 — средняя квадратичная скорость молекул (см. формулу
(13.3)).
F F
Поскольку р = ’ТГ — 'ТГ > имеем
О Ь
1 "2
Р nQmv2
пли
2 mv2
Р =уио-2~"
mv2
Так как —g- есть средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекул газа, то окончательно имеем
2 v;
360
Формулу (16.1) принято называть основным
уравнением молекулярно-кинетиче-
ской теории.
§ 196. Изотермический процесс в газе. Когда в газе
происходят какие-либо процессы, то обычно одновременно
изменяются все три параметра газа р, V и /°. Естественно,
что наиболее простые процессы получаются тогда, когда
созданы такие условия, при которых
изменяются только два параметра, а
третий остается постоянным. Такие
процессы получили название и з о-
процессов (от греческого сло-
ва «изос» — равный, одинаковый).
Рассмотрим эти процессы.
Начнем изучение изопроцессов с
процессов, протекающих при посто-
янной температуре.
Процесс, который происходит при
постоянной температуре, называет-
ся изотермическим процессом (от
греческого «терме» — жар).
Поместим какой-либо газ в ци-
линдр, снабженный манометром
(рис. 205). Температуру газа будем
поддерживать постоянной.
Обозначим объем газа в поло-
Рис. 205. При посто-
янной температуре
давление газа, опре-
деляемое по маноме-
тру /И, изменяется
обратно пропорцио-
нально объему.
жении поршня 1 через Vlf а соответ-
ствующее этому объему давление — pL. Медленным переме-
щением поршня уменьшим объем газа вдвое (положе-
ние 2), тогда У2=:=^У1- Если при опыте температура будет
постоянной (/°=const), то давление газа в цилиндре, как
показывает опыт, возрастет вдвое р2=2р1.
Продолжим сжатие газа и уменьшим его объем в три
раза (положение поршня 3, Е3=уЕ1) при прежней тем-
пературе. Из опыта видно, что в этом случае давление
увеличится в три раза: рз~ЗР1 и т. д.
Заметим, что при проведении опыта масса газа оста-
ется неизменной.
Из этих опытов следует, что давление данной массы
газа при постоянной температуре изменяется обратно
361
пропорционально объему
Таким образом,
Pi_ к?
Рг~Уг
(16.2)
Г1р1 = V2p2 = • • • = const = С. (16.3)
Из (16.1) и (16.3) имеем
pV=|n0KEn = |WEn = C, (16.3а)
где С — постоянное число, a M-n^V — полное
лекул данной массы газа.
Закон изотермического процесса для
газов был открыт в 1662 г. английским
ученым Р. Бойлем (1627—1691 гг.)
и независимо от него в 1676 г. фран-
цузским ученым Э. Мариоттом
(1620 —1684 гг.). Закон Бойля —
Мариотта гласит:
для данной массы газа при неизмен-
ной температуре произведение объема
на давление есть вели-
чина постоянная.
Эта зависимость меж-
ду объемом и давлением
газа графически изо-
бражается' г и п е р б о-
л о й и называется и з о-
термой (кривая рав-
приведен график изотер-
число мо-
/7 А
72
Z7
Рис.
Л7
2
4
2
70 72 17
идеального
в
206. Изотерма для
газа.
температур). На
рис. 206
пых
мического процесса. Точки на графике нанесены в соот-
ветствии со следующими значениями V и р:
V 12 6 4 3 2 1
р 1 2 3 4 6 12
362
При изотермическом процессе должна изменяться
плотность газа. Действительно, для начального состояния
газа
а для конечного состояния
___________________________ т
Р2-рг-.
откуда
Р2 V i
Заменив отношением ~ (из закона Бойля —Мариот-
та), получим
р2 Р21
(16.4)
т. е. для данной массы газа при постоянной температуре
плотность газа прямо пропорциональна давлению.
§ 197. Идеальный и реальные газы. Как показывают
многочисленные опыты, при изотермическом сжатии газа
закон Бойля — Мариотта справедлив при не очень боль-
ших давлениях. Уже при давлениях в несколько десятков
атмосфер наблюдаются отклонения от этого закона. При
больших давлениях (более ста атмосфер) эти отклонения
становятся весьма значительными, причем в большинстве
случаев объем газа сильно превышает тот объем, который
должен быть у газа в соответствии с законом Бойля —
Мариотта.
Отступления от закона Бойля — Мариотта при боль-
ших давлениях газа объясняются следующим образом.
Когда давление газа невелико, объем молекул газа
составляет доли процента от объема, занятого газом (см.
ч§ 176). При таких условиях практически можно прене-
бречь как силами взаимного притяжения молекул газа,
так и собственным объемом его молекул. Следовательно,
при малых давлениях природа самих молекул газа сущест-
венного значения не имеет. Это означает, что при малых
давлениях объем всех газов должен одинаково зависеть
от давления.
Однако при больших давлениях молекулы газа сбли-
жаются и между ними возникают силы притяжения, ве-
личина которых зависит от природы молекул. Силы моле-
кулярного притяжения способствуют уменьшению объема
газа. Поэтому при давлениях в несколько десятков ат-
мосфер объем многих газов, например азота, оказывается
меньше, чем должен быть по закону Бойля — Ма-
риотта.
Когда давление очень велико, то молекулы газа сбли-
жаются настолько, что заметную роль начинают играть
уже и силы отталкивания между молекулами. Величи-
на этих сил (при определенном объеме газа) тем значи-
тельнее, чем больше объем самих молекул. Поэтому на-
личие собственного объема молекул газа при больших
давлениях препятствует дальнейшему сжатию газа.'
Следовательно, при увеличении давления объем - газа
получается больше, чем должен быть по закону Бойля —•
Мариотта, и его значение существенно зависит от при-
роды газа.
При изучении физических явлений весьма полезен
прием введения идеализированных (модельных) представ-
лений, которые помогают изучать различные реальные
явления. Одной из таких идеализаций является знакомое
нам уже понятие материальной точки. Введем теперь новое
понятие — идеальный газ.
Под идеальным газом мы будем понимать такой газ,
который при любых давлениях подчиняется закону Бойля—
Мариотта и при любых температурах остается в газо-
образном состоянии. С точки зрения молекулярно-кине-
тической теории это означает, что молекулы идеального
газа ни при каких условиях не должны притягиваться
друг к другу, а собственный объем молекул всегда дол-
жен быть ничтожно мал по сравнению с объемом, заня-
тым газом. Следовательно, молекулы идеального газа
должны представлять собой материальные точки.
Понятие идеального газа полезно в том отношении,
что все встречающиеся в природе газы, которые получили
название реальных газов, при небольших дав-
лениях и не слишком низких температурах подчиняются
общим законам, в точности справедливым лишь для иде-
ального газа. Одним из таких законов и является закон
Бойля — Мариотта (другие рассмотрены ниже). Изуче-
ние свойств идеального газа позволило сделать ряд тео-
364
ретических выводов, углубивших наши представления
о явлениях природы (см. § 200). Из реальных газов по
своим свойствам ближе всего подходят к свойствам иде-
ального газа водород и гелий.
Рис. 207. Закры-
тый жидкостный
манометр.
§ 198. Манометры. Для измерения давления жидко-
стей (или газов) в закрытых сосудах применяются при-
боры, называемые манометрами. Манометры бы-
вают жидкостные и металлические.
Жидкостный манометр представляет собой U-образ-
ную трубку, заполненную жидкостью, обычно ртутью.
Действие жидкостных манометров основано на том, что
когда давление на поверхность жидко-
сти в одном колене больше, чем в дру-
гом, то избыточное давление поднимает
жидкость в другом колене до тех пор,
пока давление столба жидкости, имею-
щего высоту, равную расстоянию по
вертикали между уровнями жидкости
в обоих коленах, не станет равным
избыточному давлению на поверхность
жидкости.
Для измерения малых давлений при-
меняется закрытый жидкост-
ный манометр (рис. 207), один
конец трубки которого запаян. Запаян-
ное колено трубки целиком заполнено
жидкостью и воздуха в нем нет, поэтому давление
воздуха на поверхность жидкости в открытом колене не
дает сравняться уровням жидкости в манометре. Если
соединить открытое колено такого манометра с сосудом, в
котором давление очень мало, то жидкость в закрытом
колене опустится и давление в сосуде будет равно дав-
лению столба жидкости между ее уровнями в маноме-
тре. Если давление в сосуде равно нулю, то уровни
жидкости в обоих коленах манометра одинаковы.
Для измерения давлений, близких к атмосферному,
применяется открытый жидкостный мано-
метр. Оба его колена открыты, поэтому жидкость в них
находится на одинаковом уровне (рис. 208). Одно колено
соединяют с сосудом, в котором измеряется давление,
а другое оставляют открытым. Такой манометр показы-
вает, насколько давление в сосуде больше или меньше
365
атмосферного. Расширения вверху манометра сделаны
для того, чтобы предупредить выливание жидкости из
манометра при резких изменениях давления, производи-
мого на ее поверхность.
Для измерения больших давлений применяется м е-
та л л и ч ес к и й манометр (рис. 209). Он со-
стоит из металлической трубки Л, изогнутой в виде коль-
ца. Один ее конец припаян к трубке 5, имеющей край К,
а другой конец запаян и присоединен к стрелке. Если
Рис. 208. Открытый
жидкостный мано-
метр.
Рис. 209. Металлический мано-
метр для измерения больших дав-
лений.
присоединить трубку Б к сосуду, в котором нужно изме-
рить большое давление, и открыть кран К, то трубка А
разгибается. Происходит это потому, что площадь вы-
пуклой поверхности трубки А больше площади вогнутой,
а давление внутри трубки одинаково. Значит, сила
давления внутри трубки на выпуклую поверхность больше,
чем на вогнутую, что и вызывает разгибание трубки А,
конец которой перемещает стрелку по шкале прибора.
Деления на шкале металлического манометра обычно
наносятся так, чтобы стрелка показывала, насколько дав-
ление в сосуде больше атмосферного.
856
Подобными манометрами измеряют давление в прибо-
рах и механизмах, действующих с помощью сжатого воз-
духа, например, в воздушных тормозах поезда или трам-
вая, в компрессорах *) и т. д. Механизмы и инструменты,
действующие с помощью сжатого воздуха, называются
пневматическими. Они широко используются
в технике. На заводах и в шахтах применяются пневмати-
ческие молотки и сверла, на транспорте —пневматиче-
ские двери и т. п.
§ 199. Изохорический процесс в газах. Закон Шарля.
Хорошо известно, что твердые тела и жидкости при на-
гревании расширяются. Если внешние препятствия ог-
раничивают возможность их расширения, то практически
при этом обычно происходит разрушение препятствий.
Таким образом, осуществить нагревание твердых тел и
жидкостей при постоянном объеме весьма трудно.
Не так обстоит дело с газами. Оказывается, что на-
гребание газа можно осуществить при двух различных
условиях*, при постоянном объеме и при постоянном давле-
нии. Поскольку при нагревании вещества увеличивается
средняя энергия поступательного движения его молекул,
давление газа, сохраняющего постоянный объем при на-
гревании, должно увеличиваться. Если же нагревать газ
при постоянном давлении, то он будет расширяться.
Процесс, который происходит при постоянном объеме,
называется изохорическим (от греческого «хора» — про-
странство). Рассмотрим изохорический процесс в газе.
При таком процессе давление газа изменяется в зависи-
мости от изменения температуры. На опыте этот процесс
можно осуществить, поместив газ в металлический баллон,
соединенный с манометром (рис. 210, а). Если темпера-
тура газа изменяется в небольших пределах, то измене-
ние объема баллона мало и им можно пренебречь (ко-
эффициент объемного расширения твердого вещества
очень мал).
Поместим баллон в тающий лед и определим давление
газа при 0° С, которое обозначим р0. Подогревая наруж-
ный сосуд, определим давление газа при температурах
t\, t2 и т. д. Опыт показывает, что прирост давления газа
*) Компрессором называется мощный насос, нагнетаю-
щий воздух или другой газ под большим давлением.
367
Ар прямо пропорционален первоначальному давлению газа
р0 и приросту температуры At°, который в условиях дан-
ного опыта равен t°, так как Д/=/°—
Таким образом,
Др = ур0/°. (16.5)
Коэффициент пропорциональности у в формуле (16.5),
очевидно, выражает зависимость изменения давления от
Рис. 210. а) Опыт, иллюстрирующий изохорическое нагре-
вание газа; б) график изохорического процесса для идеаль-
ного газа.
рода газа. Величина, характеризующая зависимость изме-
нения давления газа при изохорическом процессе от рода
газа, называется термическим коэффициентом давления
газа.
Термический коэффициент давления газа показывает,
на какую часть давления газа, взятого при 0° С, изменяется
его давление при нагревании на [° С
т=й=' (16.5а)
Выведем единицу измерения у
1 л
м? 1 д-1
у =------------— 1 град 1
1 1 град
368
Так как &p=pt—р0, то из выражения (16.5) имеем
Pt—p^Ptft°,
или
Pt==Po(l+Y^°)-
(16.6)
Французский физик Ж. Шарль (1746—1823 гг.)
в 1787 г. установил следующий закон:
термический коэффициент давления не зависит от при-
роды газа, т. е. у всех газов одинаков и равен gyyyg град~1.
На практике часто пользуются приближенным значе-
нием у, равным 2^3 град'1.
Дальнейшие исследования показали, что закон Шарля
справедлив только для газов, имеющих малую плотность.
Чем больше плотность реального газа, тем заметнее отли-
чается его термический коэффициент давления от теоре-
тического значения град'1. Таким образом, только
идеальный газ в точности подчиняется закону Шарля.
К реальным газам этот закон можно применять, если из-
менения температуры невелики, а плотность газа мала.
Для этих случаев формулу (16.6) можно писать в виде
Pt — Po (1 + 273^) ’
(16.7)
подразумевая под t отвлеченное число, равное темпера-
туре газа по практической температурной шкале, т. е.
равное /° С.
На рис. 210, б изображен график изохорического про-
цесса для идеального газа, построенный в соответствии
с формулой (16.6). Особенный интерес на этом графике
представляет точка А, соответствующая нулевому дав-
лению идеального газа. Физический смысл температуры,
соответствующий точке А, рассмотрен в следующем па-
раграфе.
§ 200. Абсолютный нуль. Выше говорилось, что темпера-
тура есть мера средней кинетической энергии поступатель-
ного движения молекул газа (см. § 170). Следовательно,
при понижении температуры энергия поступательного
369
Jf
движения молекул должна уменьшаться. Значит,
газ можно охлаждать лишь до тех пор, пока его молекулы
не прекратят своего поступательного движения. Таким
образом, из молекулярно-кинетической теории следует,
что должен быть предел понижения температуры газа,
который соответствует отсутствию поступательного дви-
жения молекул.
Температура, при которой прекращается поступа-
тельное движение молекул, называется абсолютным нулем.
Из изложенного выше следует, что температуры ниже
абсолютного нуля в природе быть не может, так как при
такой температуре энергия поступательного движения
молекул должна быть отрицательной, что лишено физи-
ческого смысла.
Первое упоминание об абсолютном нуле имеется у
М. В. Ломоносова в сочинении «Размышления о причине
теплоты и холода», опубликованном в 1746 г. В 50-х го-
дах прошлого столетия выдающийся английский ученый
В. Кельвин (1824—1907 гг.) показал, как можно
найти температуру абсолютного нуля для идеального
газа. Поскольку идеальный газ должен сохранять газо-
образное состояние при всех температурах, соотношение
(16.6) должно сохранять смысл и для температуры абсо-
лютного нуля, при которой давление идеального газа
равно нулю. Следовательно,
О = ро (1 +^град~Ч°\.
\ О J
Так как ро=^О, то
1 +ЛЛград~11° = 0
Z/u
или
/° = —273°С.
Таким образом, при температуре —273° С молекулы
идеального газа должны прекратить поступательное дви-
жение. Кельвин доказал, что это относится к любому
механическому движению молекул всех веществ вообще.
Более точный подсчет показывает, что температуре абсо-
лютного нуля соответствует —273,15° С.
Теоретически установлено, что охладить какое-либо
тело до температуры абсолютного нуля невозможно. Од-
нако вполне возможно охладить тело до температуры, как
370
угодно мало отличающейся от абсолютного нуля. В физи-
ческих лабораториях получена температура, отличаю-
щаяся от абсолютного нуля всего на 0,0044°. По совре-
менным представлениям даже и при абсолютном нуле
молекулы должны обладать некоторой энергией, которая
называется нулевой энергией, так как внутри
молекулы при этом будут находиться в движении элемен-
тарные частицы.
§ 201. Термодинамическая температурная шкала.
Выясним, каким образом была установлена единица изме-
рения температуры (1° С).
Для измерения температуры широко пользуются тер-
мометрами, действие которых основано на зависи-
мости объемного расширения вещества от температуры.
Чаще всего термометры заполняются спиртом или ртутью.
При нанесении термометрической шкалы условились за
начало отсчета принять температуру таяния льда, а в
качестве второй точки принять температуру кипения
воды при нормальном давлении. Температуру таяния льда
принимают за 0°, а температуру кипения воды — за 100°.
Промежуток между этими точками делят на 100 равных
частей и за цену одного деления такой шкалы принимают
1° С. Таким путем получается международная
практическая температурная шкала.
Однако опыт показал, что размеры градуса на шкалах
спиртового и ртутного термометров не одинаковы й пока-
зания этих термометров при измерении одной и той же
температуры совпадают только при 0 и 100° С. Это озна-
чает, что коэффициенты объемного расширения веществ
изменяются в зависимости от температуры и притом
неодинаково у различных веществ. Таким образом, показа-
ния термометров, действие которых основано на расшире-
нии тел от нагревания, зависят от термометрического
вещества, поэтому единой термометрической шкалы таким
путем получить нельзя.
Чтобы установить единую температурную шкалу,
нужно найти такую зависящую от температуры величину,
изменение которой не зависело бы от рода термометриче-
ского вещества. Выше было объяснено, что термический
коэффициент давления для не слишком плотных газов
одинаков, т. е. не зависит от природы газа и соответствует
значению у для идеального газа. Поэтому наилучшим
371
термометрическим телом был бы идеальный газ. Так как
свойства разреженного водорода ближе всего подходят к
свойствам идеального газа, то целесообразнее всего изме-
рять температуру по водородному термо-
метру.
Представим себе наполненный сильно разреженным
водородом закрытый сосуд, соединенный с достаточно
чувствительным манометром. Тогда каждому определен-
ному давлению водорода в сосуде будет соответствовать
и определенная температура, которую можно рассчитать
по формуле (16.6). Если шкалы всех термометров градуи-
ровать по показаниям водородного термометра, сохранив
для температур таяния льда и кипения воды значения
0° и 100°, то получим международную практическую сто-
градусную шкалу температур.
Однако Кельвин предложил более удобную темпера-
турную шкалу. Поскольку абсолютный нуль соответст-
вует наименьшей теоретически возможной температуре,
целесообразно принять его за начало отсчета температур,
а размер градуса оставить таким, как в международной
практической температурной шкале. .При таком условии '
лед должен таять при 273,15°, а вода должна кипеть при
373,15°. Такая шкала получила название термоди-
намической температурной шкалы.
Выраженную по этой шкале температуру принято обо-
значать Т, а единицу ее измерения °К (градус Кельвина).
По международному соглашению размер градуса Кель-
вина определяется следующим образом: температура
таяния льда при нормальном давлении считается равной
273,15° К точно *). Таким образом, температурный ин-
тервал между абсолютным нулем и температурой таяния
льда на шкале водородного термометра делится на 273,15
частей. Одна такая часть ее и определяет градус Кельви-
на. При этом температурный интервал между . таянием
льда и кипением воды при нормальном давлении сохра-
няется в 100° К.
В дальнейшем по этой шкале температура таяния льда
приближенно будет считаться равной 273° К, а темпера-
тура кипения воды — равной 373° К.
*) Вернее, температура тройной точки воды принимается за
273,16° К точно. Тройной точкой называется температура,
при которой твердая, жидкая и газообразная фазы вещества нахо-
дятся в равновесии. Для воды тройная точка соответствует 0,01° С.
372
На рис. 211 схематически показано соотношение между
одинаковыми температурами, выраженными в °C и °К.
Из этой схемы видно, что температура, выраженная в гра-
дусах Кельвина, связана с температурой
в °C соотношением
°C °К
100- -373
о - 273
-100- 173
-273;
Рис. 211. Схе-
матическое изо-
бражение оди-
наковых темпе-
ратур в °C и
в вК.
(16.8)
Т = 273° +1°.
За единицу измерения температуры в
системе СИ принимается градус Кельвина.
Это означает, что при расчетах в системе
СИ необходимо пользоваться термодина-
мической температурной шкалой. Отме-
тим еще, что градус Кельвина является
четвертой основной единицей в системе СИ
(см. § 13), введение которой позволяет
распространить эту систему на молеку-
лярную физику.
§ 202. Выражение закона Шарля с
помощью термодинамической температу-
ры. Введем термодинамическую темпера-
туру в формулу (16.6), используя соотношение (16.8)
Pr=Po[l+Y(F-2730)].
Поскольку у-273°=2|д град~ 273°= 1, имеем
Рт=Ро^+уТ-1)
или
Рт = УРЛ- (169)
Если давление идеального газа при температуре 7\
обозначить а при температуре Т2 — через р2, то из
(16.9) получим
Pi = УРот 1 и р2 = ур0Т 2.
Поделив почленно эти выражения, будем иметь
р2
(16.10)
373
Соотношение (16.10) выражает закон Шарляс по-
мощью термодинамической температуры газа:
при постоянной массе и неизменном объеме газа созда-
ваемое газом давление прямо пропорционально термодина-
мической температуре газа.
§ 203. Изобарический процесс в газах. Закон Гей-Люс-
сака. Процесс, который происходит при постоянном дав-
лении, называется изобарическим (от греческого «барос» —
тяжесть). Изобарический процесс
в газах был изучен французским
ученым Л. Гей-Люссаком
(1778—1850 гг.) в 1802 г.
Если в процессе нагревания
газа сохранять неизменное внеш-
нее давление на газ, то все газы
Рис. 212. а) Опыт, иллюстрирующий изобарическое нагревание
газа; б) график изобарического процесса для идеального газа.
при нагревании расширяются. Гей-Люссак поставил опыты
по определению коэффициентов объемного расширения
различных газов при p=const. Схема опыта Гей-Люссака
изображена на рис. 212, а.
Отводная трубка колбы с известным объемом изгибается
под прямым углом и в горизонтальное колено трубки вво-
дится небольшой столбик ртути. На трубке предвари-
тельно наносятся деления, расстояние между которыми
соответствует определенному объему трубки, например
1 см3. Заполнив колбу исследуемым газом, ее опускают
в тающий лед. Когда столбик ртути установится непо-
движно, замечают положение его левого конца (/) и опре-
деляют начальный объем газа 1/0-
Если теперь нагреть газ до температуры f, то столбик
ртути переместится вправо на определенное число делений
(положение 2). По числу этих делений можно определить
374
увеличение объема газа AV. Столбик ртути в этом опыте
играет существенную роль, так как, во-первых, позволяет
сохранять постоянную массу газа во время опыта и, во-
вторых, сохранять постоянное давление на газ, равное
атмосферному давлению.
На основании подобных опытов Гей-Люссак устано-
вил, что при постоянном давлении коэффициент объемного
расширения Р всех газов одинаков и равен град~ Ч
?> = ^град~1.
Позже было установлено, что это верно только при не-
больших давлениях и малых изменениях температуры
газов. Точно этот вывод справедлив только для идеального
газа. Однако, применяя формулу Vt=VG (1 +Р/°) к изоба-
рическому процессу в газах небольшой плотности, прак-
тически можно считать коэффициент Р для всех газов
одинаковым.
График изобарического процесса для идеального газа
изображен на рис. 212, б. Интересно отметить, что точка А
на этом графике соответствует той же температуре, что
и точка А на графике рис. 210, б. Это означает, что для
идеального газа коэффициенты у и р равны друг другу и
в расчетах как при изохорическом, так и при изобарическом
процессах в газах можно использовать один и тот же ко-
эффициент р.
Выразим закон Гей-Люссака с помощью термодинами-
ческой температуры
VT —Уо [1 + р (Г — 273°)]
или
уг_1/0(1 + рТ-1).
Следовательно,
VT=V$T. (16.11)
Если объем идеального газа при температуре 7\ обо-
значить через Vlf а при температуре Т2 — через V2, то
из (16.11) получим
Vi-PV0T1 и v2 = pv0TV
375
Поделив почленно эти равенства, будем иметь
Соотношение (16.12) и представляет собой математиче-
ское выражение закона Гей-Люссака:
при неизменном давлении объем данной массы газа
прямо пропорционален термодинамической темпериту -
ре газа.
§ 204. Объединенный газовый закон. Приведение объ-
ема газа к нормальным условиям. Возьмем определенную
массу т идеального газа, состояние которого характери-
зуется значениями параметров Иг, р± и Тг. Допустим те-
перь, что газ переведен в новое состояние, при котором
значения тех же параметров стали V2, р2 и Т2.
Так как состояние идеального газа, имеющего массу
т, однозначно определяется значениями его термодина-
мических параметров, то, если между значениями пара-
метров первого и второго состояний газа существует
математическая связь, она не должна зависеть от пути
перехода газа из одного состояния в другое. Это означает,
что связь между параметрами первого и второго состоя-
ний газа должна сохраняться и при переходе газа из
первого состояния во второе путем одного процесса, ког-
да одновременно изменяются все параметры, и с помощью
ряда следующих друг за другом процессов произвольного
вида. На основании вышеизложенного, зная закономер-
ности изопроцессов, найдем связь между значениями па-
раметров первого и второго состояний газа.
Предположим, что перевод газа из первого состояния
во второе осуществляется двумя этапами. Пусть сначала
газ изобарически переходит из первого состояния в про-
межуточное состояние, характеризующееся значениями
параметров Уп, ръ Т2, а затем изотермически переходит
во второе состояние. Запишем это схематически так:
изобарический
переход
V1___л
уп
1 состояние Vlf plf 7\
промежуточное
состояние Vn, Т2 I изотермический__________ у _ у
| переход 2*
2 состояние У2> р2, Т2
376
Так как при изобарическом переходе справедлив закон
Гей-Люссака, то
V
Поскольку при изотермическом переходе справедлив за-
кон Бойля —Мариотта, имеем
VnPi==p2V2.
Подставив сюда значение Гп, получим
Г1Т2Р1
т<
Р2^2
или
^1Р1 __^2Р2
~ т2-
Соотношение (16.13) можно записать и так:
^Р
у-= const.
(16.13)
(16.13а)
Формулы (16.13) и (16.13а) являются математическим
выражением объединенного газового за-
кона:
для данной массы газа произведение объема на давление,
деленное на термодинамическую температуру газа, есть
величина постоянная для всех состояний газа.
Конечно, формулы (16.13) и (16.13а) применимы и ко
всем изопроцессам. Действительно, считая один из пара-
метров в этих формулах постоянным, можно получить
из них все выведенные выше в этой главе соотношения
для газов.
Если известны значения параметров V, р и Т какого-
либо состояния определенной массы идеального газа,
то из соотношения (16.13) можно найти тот объем Го,
который займет этот газ при нормальных уело-
виях, т. е. при 70==273° К и р0= 1,013-105
VoPo__Vp
т0 т
377
или
17 -XZL*
°“ Ро?
(16.14)
Таким образом, соотношение (16.14) позволяет при-
водить объем данной массы идеального газа к нормальным
условиям.
§ 205. Уравнение состояния идеального газа. Универсальная
газовая постоянная. Выше говорилось, что один киломоль любого
газа при одинаковых внешних условиях занимает один и тот же
объем, при нормальных условиях равный 22,4 ------- (см. § 175).
Следовательно, постоянная величина в соотношении (16.13а) будет
одинакова для всех газов, если под V подразумевать
объем одного киломоля газа. Обозначив объем одного киломоля
газа Укм, получим
const. (16.15)
Постоянную величину (16.15) принято называть универ-
сальной газовой постоя иной и обозначать R. Таким
образом,
^=/?
ИЛИ
(16.16)
Формула (16.16) представляет собой уравнение состоя-
ния для одного киломоля идеального газа и
часто называется уравнением Клапейрона— Менде-
леева. Можно доказать, что универсальная газовая постоянная
R численно равна работе, совершаемой одним киломолем идеального
газа при его изобарическом нагревании на 1° К.
Поскольку R одинаково для всех состояний газа, числовое
значение универсальной газовой постоянной в системе СИ можно
найти из соотношения (16.16), применив его к нормальным условиям
1,013-108-„-22,4 — • я
= 31-10» —
Т ’ 273 град кмоль • град 9
/? = 8,ЗН03
дж
кмоль -град
378
Выясним, какой вид будет иметь уравнение состояния для
произвольной массы идеального газа. Если взять массу т идеаль-
ного газа, относительная молекулярная масса которого М (см.
fTl
§ 175), то отношение — будет
равно числу киломолей этого газа.
Умножив обе части выражения (16.16) на получим
т __ т
pVKM м - м RT.
Так как 7^-^- представляет собой общий объем V взятой массы
газа, то
pV^™RT.
г М
(16.17)
Формула (16.17) называется уравнением состояния
для про из вольной массы идеального газа.
Из нее можно установить, чем определяется плотность идеального
~ т
газа. Так как р =то
(16 18)
Покажем еще, какая связь существует между температурой Т
и средней энергией хаотического поступательного движения моле-
кул газа. В § 195 было установлено, что для газа справедлива фор-
мула (16.1)
2 к
Р=~3 пвЕп.
Заменив в (16.16) р его значением из (16.1), получим
нп(Укм =
Так как произведение числа молекул в единице объема на объем
газа VKM есть число Авогадро N, то
2 —
О
или
£ ___А _5_ Т
Поскольку и 7?, и N — постоянные величины, частное от деления
379
Я на N — тоже постоянная величина. Ее называют постоянной
Больцмана и обозначают k
Таким образом,
__ Q
(16.19)
Средняя энергия хаотического поступательного движения моле-
кул прямо пропорциональна термодинамической температуре газа.
Числовое значение постоянной Больцмана в системе СИ следующее:
8,31-Ю3-----——,
, кмоль-град , оо дж
k =------------=—-— = 1,38-10 23----=
6,02-I026—-— град
КМОЛЬ
Рассмотрим решение задач на применение газовых
законов.
Задача. Какова масса кислорода, наполняющего газо-
вую бомбу объемом 40 л при температуре 0° G и давлении
25 атм?
Дано:
Vjl—40 л — объем кислорода в бомбе,
Pi—25 атм —давление кислорода в бомбе,
^°—0° С — температура кислорода.
Взято из таблицы:
р0= 1,43 ~ —плотность кислорода при 0° С и давлении
1 атм.
Найти:
т — массу кислорода, находящегося в бомбе.
План решения. Массу кислорода можно найти из фор-
мулы т=р0К0, где Ко — объем кислорода при нормальных
условиях. Так как температура кислорода в бомбе 0° С,
то Ко можно найти по закону Бойля — Мариотта:
ViPi~Vopo.
Решение. Задачу решаем в системе СИ. Перево-
дим все числовые данные в эту систему, выполняем
380
алгебраические действия и вычисляем массу кислорода
Г1 = 0,04л13, =
р,=25-1,013-1054,
Ро= 1,43^, m = p0Vfl=ffe,
м Ро
ро=1,О13-1О6^.
1,43^ 0,04 ж3-25-105-1,013 4
ж3 ж2 . ло
т --------------------------= 1,43 кг.
1,013-Ю6 4
ж2
Ответ*. Масса кислорода в бомбе 1,43 кг.
Задача. Баллон емкостью 40 л содержит 1,98 кг угле-
кислого газа. Баллон может выдержать давление не свыше
30 атм. При какой температуре возникает опасность
взрыва?
Дано:
V1=40 л — объем углекислого газа в баллоне,
/72=1,98 кг —масса углекислого газа,
Pi=30 атм— наибольшее давление углекислого газа.
Взято из таблицы:
р0= 1,98 ~ —плотность углекислого газа при нормаль-
ных условиях.
Найти:
— температуру, при которой может возникнуть
взрыв. ш
План решения. Температуру можно найти из уравне-
ния состояния газа
VsPi^ TqPo
TL То ’
а затем перевести ее из термодинамической шкалы в между-
народную практическую шкалу по формуле: /1 = 7\ — 273°.
Недостающий для решения задачи объем углекислого газа
при нормальных условиях можно найти из формулы
tn = PoVo-
Решение. Задачу решаем в системе СИ. Перево-
дим все числовые данные в эту систему, выполняем
381
вычисляем температуру
1 PoVo
алгебраические действия и
V. -0,04 м3,
т= 1,98 кг,
р. = зо-1,013-ю5 4,
р0 = 1,98 4,
р„ = 1,01з-ю64,
То = 273° к.
30-1,013-106 4• 0.04 м3 273°К -'1,98 4
7\ =-----------—------------------- «328° К.
1,013- Ю6^-1,98 кг
/» = 7\ —273°; /5 = 328° —273° = 55° С.
Ответ: Опасность взрыва может возникнуть при тем-
пературе 55° С.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Кислородный баллон, содержащий 8 л кислорода под давлением
6 атм, соединяется с пустым сосудом, после пего устанавливается
давление 2 атм. Какова емкость присоединенного сосуда?
. Ответ'. 0,016 м3.
2. Водород при 15° С занимает объем 2 л при давлении 1000 мм
рт. ст. Каково будет его давление, если объем уменьшить до 1,5 л,
а температуру повысить до 30° С?
Ответ: 1,86 • 105 — .
ML
3. Воздух при 0°С и давлении 75 см рт. ст. занимает объем 1,2 л.
При какой температуре он займет объем, равный 1 л при нормальном
давлении?
Ответ: —42° С.
4. Какой объем займет 1 кг воздуха при температуре —10° С и
при давлении 114 см рт. ст.?
Ответ: 0,50 м3.
5. Определить массу водорода, наполняющего воздушный шар
объемом 3000 м3, при давлении 720 мм рт. ст. и при температуре
—5° С.
Ответ: 260 кг.
ГЛАВА 17
ТЕПЛОТА И РАБОТА.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 206. Количество теплоты как мера изменения внут-
ренней энергии при теплообмене. Калориметр. В тех слу-
чаях когда при теплообмене между телами внутренняя
энергия одних тел уменьшается, а других увеличивается,
существенное значение имеет вопрос о том, как можно
измерить изменение энергий этих тел.
Если величину внутренней энергии тела обозначить W,
то ее изменение будет A W7. Когда в процессе теплообмена
внутренняя энергия какого-либо тела уменьшается на
АЖ, принято говорить, что тело отдает окружающей среде
количество теплоты Q, равное Д№. Если же
в процессе теплообмена внутренняя энергия увеличивается
на AU7, то говорят, что тело получает количество тепло-
ты Q. Такие выражения надо понимать условно, так как
получать и отдавать тело может только энергию, а коли-
чество теплоты Q является лишь численным выражением
переданной или полученной энергии в процессе тепло-
обмена.
Подобно тому, как проделанная работа А служит мерой
изменения механической энергии тел в различных процес-
сах и существенно зависит от рода процесса, количество
теплоты Q служит мерой изменения внутренней энергии
тел в процессах теплообмена и существенно зависит от
вида процесса. Таким образом, о количестве переданной или
полученной теплоты, как и о совершенной работе, можно
говорить только в связи с определенным процессом. Иначе
говоря, количество переданной теплоты, наряду с выпол-
ненной работой, является лишь мерой изменения энергии
383
тела или системы тел *). Из изложенного следует, что
единицей измерения количества теплоты в системе СИ
является джоуль.
В тех случаях, когда количество теплоты, отданной
или полученной телом в процессе теплообмена, должно
быть по возможности точно учтено, теплообмен осущест-
вляют в калориметре (рис. 213). Калориметр
состоит из внешнего сосуда, на дне которого находится
Рис. 213. Схема устройства
калориметра.
подставка, сделанная из мате-
риала с малой теплопровод-
ностью. 'На нее ставится внут-
ренний металлический сосуд,
который делается из хорошего
проводника тепла для того,
чтобы его температура была
такая же, как температура
жидкости. Внутренний сосуд не
должен соприкасаться с внеш-
ним сосудом. Всь внутреннем
сосуде находятся термометр и
мешалка. Налив в него жид-
кость, например воду, по тер-
мометру определяют начальную
температуру жидкости и внут-
реннего сосуда калориметра.
Помещая в жидкость тело, с
которым должен происходить теплообмен, можно уста-
новить, сколько внутренней энергии получает или отдает
это тело в процессе теплообмена. Наружный сосуд необхо-
дим для уменьшения потерь энергии в окружающую среду
путем конвекции и лучеиспускания.
§ 207. Изменение внутренней энергии тела при нагре-
вании и охлаждении. Опыт показывает, что изменение
внутренней энергии тела, вызванное его нагреванием или
охлаждением, прямо пропорционально массе тела т и изме-
нению его температуры АТ
AW =стАТ
*) Однако, хотя из изложенного ясно, что понятие количества
теплоты Q весьма близко к понятию работы А, *?ежду этими поня-
тиями имеется существенная разница (см. § 244).
384
или
Q = стМ\
(17.1)
Если обозначить начальную температуру тела через Ти
а конечную—через Т2, то при нагревании тела ДТ=7,2 —
—Тъ а при охлаждении за ДТ удобнее принимать вели-
чину, равную 7\ — Т2.
Опыт показывает, что изменение внутренней энергии
тела зависит еще от рода вещества. Чтобы убедиться
в этом, возьмем несколько цилиндров равной массы, но
сделанных из разных металлов. Нагреем их до одинаковой
температуры, например до 100° С, и поставим на парафи*
новую пластинку. Под каждым цилиндриком расплавится
при этом различное количество парафина. Зависимость Q
от рода вещества выражается коэффициентом пропорцио*
нальности с (см. (17.1)).
Величина с, характеризующая зависимость изменения
внутренней энергии тела в процессе его нагревания или
охлаждения от рода вещества, называется удельной тепло-
емкостью вещества. Удельная теплоемкость вещества изме-
ряется количеством теплоты, нужным для нагревания ед и*
ницы массы вещества на 1° К,
Выведем единицу измерения удельной теплоемкости
1 дж , дж
Q - -------- - ] ____
X кг* {град кг* град*
В системе СИ за единицу удельной теплоемкости при-
нимается. такая удельная теплоемкость, при которой для
нагревания 1 кг вещества на 1° К затрачивается 1 дж
энергии.
Исследования показали, что удельная теплоемкость
одного и того же вещества резко зависит от его агрегатного
состояния, т. е. находится ли оно в твердом, жидком или
газообразном состоянии. Например, удельная теплоем-
кость льда вдвое меньше, чем воды. Кроме того, удельная
теплоемкость зависит еще и от температуры. У твердых
13 Л. С. Жданов, В. А, Маранджян
385
веществ при понижении температуры удельная теплоем-
кость, как правило, уменьшается. Поскольку при неболь-
ших изменениях температуры удельная теплоемкость ме-
няется незначительно, в дальнейшем мы будем считать ее
постоянной, если твердое или жидкое состояние вещества
при этом сохраняется. Для газов же теплоемкость сущест-
венно зависит от вида процесса *). Ввиду сложности поня-
тия теплоемкости для газов мы в данном курсе его рас-
сматривать не будем. Удельные теплоемкости различных
веществ приведены в табл. 21.
Таблица 21
Удельная теплоемкость некоторых веществ
Вещество дж кка i Вещество дж ккаъ
кг*град ’ кг>град кг • град ’ кг-град
Алюминий 920 0,22 Олово . . . 250 0,06
Вода . . . 4186,8 1 Ртуть . . . 120 0,03
Глицерин 2430 0,58 Серебро . . 250 0,06
Железо, Свинец . . 120 0,03
сталь . . 460 0,11 Спирт эти-
Керосин 2140 0,51 ловый . . 2430 0,58
Латунь . . 380 0,09 Стекло . . 840 0,2
Лед .... 2090 0,5 Эфир этило-
Медь . . . 380 0,09 вый . . . 2340 0,56
В тех случаях, когда отдельные части тела сделаны из
различных веществ, изменение его внутренней энергии
в процессе нагревания удобно выражать с помощью теп-
лоемкости тела ст, подразумевая под ней величину,
измеряемую энергией, необходимой для нагревания этого
тела на 1° К. Тогда
(17.2)
За единицу измерения теплоемкости тела в системе СИ
принимается 1 .
*) Числовое значение удельной теплоемкости газа, полученное
при изобарическом процессе (ср), значительно отличается от удель-
ной теплоемкости, полученной при изохорическом процессе (cv).
386
Удельные теплоемкости веществ можно сравнивать с по-
мощью теплообмена в калориметре. Однако таким способом
можно узнать лишь относительную теплоемкость, т. е.
во сколько раз теплоемкость одного тела больше теплоем-
кости другого, но нельзя установить, на сколько джоулей
изменяется внутренняя энергия каждого из тел в результа-
те теплообмена. Это можно определить лишь с помощью
специальных опытов.
Первоначально за единицу измерения удельной теплоемкости
была принята удельная теплоемкость воды. Количество теплоты,
нужное для нагревания 1 кг воды на 1° С, было названо килока-
лорией (ккал). Поэтому удельные теплоемкости веществ раньше
выражались в (см. второй столбец для с табл. 21). Описанные
в следующем параграфе опыты в свое время позволили установить
связь между килокалорией и единицами механической работы.
§ 208. Изменение внутренней энергии в процессе выпол*
нения работы. Опыт Джоуля. До начала XIX в. в учении
о теплоте господствовала теория теплорода. По этой теории
предполагалось, что охлаждение тела вызывается перехо-
дом теплорода из тела в окружающую среду, а при нагре-
вании тела теплород переходит из среды в тело. Однако
далеко не все ученые придерживались такого взгляда на
тепловые явления. Выше говорилось, что Ломоносов
отрицал существование теплорода. Он считал, что тепло-
вые явления обусловлены движением частиц тела. Пред-
ставление о теплоте, как о движении частиц вещества,
еще ранее было высказано выдающимся французским уче-
ным Р. Декартом (1596—1650 гг.). В своем сочи-
нении «Основания натуральной философии» он писал:
«Возбуждение земных частиц, происходит ли оно от света
или другой причины, называется теплотой» и далее:
«Так возбужденные частицы остаются по естественным за-
конам в своем движении до тех пор, пока другие причины
их не затормозят» (1644 г.).
В 1798 г. английский физик Б. Румфорд (1753—
1814 гг.), изучая явления, происходящие при сверлении
пушечных стволов, показал, что теплота может возникать
за счет работы в неограниченном количестве, поставив
этим под сомнение теорию теплорода. В середине прошлого
столетия связь между теплотой и работой была уже твердо
установлена. Стало очевидным, что нагреть тело можно
13*
387
не только при помощи теплообмена, но и при соверше-
нии работы над этим телом.
Затем возникло предположение, что при нагревании
тела в процессе работы одинаковым величинам совершен-
ной работы должно. соответствовать всегда одно и то же
количество теплоты. Для проверки этого предположения
в 1843 г. Д. Джоуль произвел свой первый опыт,
а затем, многократно повторяя и видоизменяя условия
опыта, подтвердил это предположение. Опишем один из
вариантов опыта Джо-
уля (рис. 214).
Два одинаковых груза Р
подвешиваются па шнурах,
перекинутых через блоки.
Шнуры наматываются на
валик, который соединен с
мешалкой калориметра, снаб-
женной лопастями. Для уве-
личения трения внутри ка-
лориметра к его стенкам при-
крепляются пластинки так,
Рис. 214. Схема одного из опы- чт0 межДУ ™ми и лопастями
тов Джоуля. мешалки остаются узкие за-
зоры. Затем грузы с помощью
вращения валика поднимаются вверх. Валик закрепляет-
ся, и калориметр заполняется жидкостью, например водой.
Освободив валик, дают возможность грузам Р опу-
ститься под действием силы тяжести на расстояние h. Так
как трение в блоках ничтожно, можно считать, что вся
механическая энергия грузов 2Ph переходит во внутрен-
нюю энергию жидкости и калориметра, т. е. идет на их
нагревание. Измеряя термометром повышение темпера-
туры, можно найти соотношение между израсходованной
механической энергией и увеличением внутренней энергии
жидкости и калориметра.
Результаты, полученные Джоулем, были сравнительно
точными. Впоследствии они были несколько уточнены.
В настоящее время считается, что для нагревания 1 кг
воды от 19,5 до 20,5°С требуется 4186,8 дж энергии, т. е.
Сп =4186,8
дж
кг-град *
388
Следовательно,
1 ккал = 4186,8 дж
или приближенно
1 /шъ?^4190 дж.
Таким образом, удельная теплоемкость вещества в
—равна произведению его удельной теплоемкости в
кг * грао
ккал a t ПА дж
-----ч на 4190----.
кг-град ккал
§ 209. Топливо. Коэффициент полезного действия на-
гревателя. Для нормальной работы многих видов про-
изводства, например литейных заводов, для запуска
ракет, для бытовых нужд, для работы автотранспорта,
требуется большое количество теплоты. Обычно это тепло
получают при сжигании топлива. Виды топлива весьма
разнообразны: бывает твердое топливо (каменный уголь,
дерево), жидкое топливо (керосин, бензин), газообразное.
Количество теплоты, выделенной при сжигании топ*
лива, прямо пропорционально массе сгоревшего топлива
Q3 = qm. (17.3)
Опыт показывает, что это количество теплоты зависит
еще от вида топлива.
Величина q, характеризующая зависимость теплоты,
выделенной при сжигании топлива, от его вида, называется
удельной теплотой сгорания, или калорийностью, топлива.
Удельная теплота сгорания топлива измеряется коли*
чеством теплоты, выделенной при полном сгорании единицы
массы топлива,
«=£ (17.3а)
Выведем единицу измерения удельной теплоты сгора-
ния топлива в системе СИ
1 дж * дж
<7 = 1—= 1 — •
1 кг кг
Удельная теплота сгорания топлива определяется с по-
мощью специального калориметра, приспособленного для
389
таких опытов. Калорийности различных видов топлива
приведены в табл. 22.
Таблица 22
Удельная теплота сгорания некоторых видов топлива
Топливо дж q' кГ <7- ккал кг Топливо дж q’ кг ккал кг
Бензин . . . . Дизельное го- рючее . . . 46.10е 42-10° 11 000 10 000 Каменный уголь (мар- ки А!) . . . 20,5.10е 4 900
Древесный уголь .... 29,7-10° 7 100 Керосин . . . Порох , . . . 43,1-106 з. 106 10 300 720
Каменный уголь (мар- ки АН) . . . 30,3-10° 7 240 Спирт этило- вый . . . „ Условное топ- ливо . . 27, ЫО6 29,3.10е 6 470 7 000'
При планировании количества топлива, необходимого
промышленному предприятию, расчет производится на
условное топливо с удельной теплотой сгорания
29,3-10^ 7000 Фактически доставляемое на пред-
приятие количество топлива определяется соотноше-
нием между удельной теплотой сгорания реального и ус-
ловного топлив.
При сжигании топлива никогда не удается полностью
использовать всю теплоту, которую выделяет это топливо,
поскольку всегда часть теплоты уносится вместе с про-
дуктами сгорания, часть теплоты теряется на нагревание
окружающих предметов и т. д.
Величина, характеризующая эффективность нагрева-
теля, в котором сжигается топливо, называется коэффи-
циентом полезного действия нагревателя (к. п. д.) и обозна-
чается гр Коэффициент полезного действия нагревателя
показывает, какую часть теплоты, выделенной при сжига-
нии топлива Q3, составляет теплота Qn, использованная
по ее прямому назначению,
(17.4)
390
или
п=|_п.юоо/й.
(17.4а)
Отметим, что затраченная теплота Q3 всегда находится
по формуле (17.3), а полезная теплота Qn определяется
условиями задачи и может выражаться различными фор-*
мулами.
§ 210. Уравнение теплового баланса. Изменение
внутренней энергии всех участвующих в теплообмене тел
происходит лишь до тех пор, пока температуры этих тел
не станут одинаковыми. Общую температуру всех тел,
которая устанавливается в результате теплообмена между
ними, принято называть температурой смеси
и обозначать 0 («тэта»).
Все расчеты, связанные с тепловыми процессами, дела-
ются на основании закона сохранения энергии. Если рас-
сматриваются такие процессы, при которых работа не
производится, т. е. происходит лишь теплообмен» то расчет
удобно выполнять с помощью уравнения тепло-
вого баланса (от французского «баланс» — равно-
весие), которое составляется так: на основании закона
сохранения энергии можно утверждать, что при теплооб-
мене сумма количеств теплоты, отданных всеми телами,
внутренняя энергия которых уменьшается, равна сумме
количеств теплоты, полученных всеми телами, внутренняя
энергия которых увеличивается, т. е.
ЖТд Жол*
(17.5)
Таким образом, формула (17.5) представляет собой мате-
матическое выражение закона сохранения энергии для
указанных процессов.
Приведем пример составления уравнения теплового
баланса. Пусть в калориметре массой тк находится масса
воды тв при температуре Тг. Опустим в калориметр алю-
миниевое тело массой та, нагретое до температуры Т2.
391
Тогда это тело будет отдавать теплоту, а вода и внутренний
сосуд калориметра будут получать ее, поэтому
Qa = Qk+ Qb-
Если в результате теплообмена в калориметре установится
температура 0, можно написать
сата (7\ — 0) = сктк (0 — 7\) + свтв (0 — Т х).
Так, нагревая тела до известной температуры и опуская их
в калориметр, можно на опыте определить удельные
теплоемкости различных веществ.
§ 211. Закон сохранения и превращения энергии в меха-
нических и тепловых процессах. Первое начало термоди-
намики. В главе 7 было показано, что общая механическая
энергия тел сохраняется только в чисто механических
процессах, а при наличии трения она уменьшается. Однако
опыты Джоуля и многих других ученых (см. § 208) пока-
зали, что при трении тел их внутренняя энергия увеличи-
вается как раз на величину «исчезнувшей» механической
энергии.
Таким образом, если вычислить изменение механической
и внутренней энергий всех тел, участвующих в каком-либо
процессе, по величинам выполненной работы и переданной
при теплообмене теплоты, то суммарное изменение энергии
этих тел оказывается равным нулю. Это означает, что
сумма механической и внутренней энергий тел не изме-
няется, т. е. при всех механических и тепловых процессах
остается постоя иной.
В 1842 г. немецкий врач Р. М а й е р (1814—1878 гг.)
пытался распространить принцип сохранения энергии на
все происходящие процессы, причем главное внимание он
уделял взаимной превращаемости одних форм движения
материи в другие. Это была первая попытка ввести в физику
закон сохранения энергии, ставший теперь одним из веду-
щих принципов естествознания. Наконец, Г. Гельм-
гольц (1821—1894 гг.) в 1847 г. окончательно устано-
вил закон сохранения энергии и распро-
странил его на все явления природы: электрические,
магнитные, оптические и т. д.
Многократная опытная проверка закона сохране-
ния энергии показала, что энергия тел изменяется только
392
в процессе выполнения работы и при теплообмене. Таким
образом, работа и теплота являются единственно возмож-
ными формами передачи энергии от тела к телу, а выпол-
ненная работа А и переданное телу количество теплоты О
однозначно определяют изменение энергии тела в любом
процессе. Эти соображения лежат в основе одного из важ-
нейших законов физики, который принято называть пер-
вым началом термодинамики. Приведем
точную формулировку первого начала термодинамики:
количество теплоты, сообщенной телу (AQ), идет на
увеличение его внутренней энергии (A IF) и на совершение
телом работы (АЛ)
AQ = AIF + ЛЛ. (17.6)
Здесь AQ обозначает переданную телу теплоту, A IF —
изменение внутренней энергии этого тела, АЛ — рабо-
ту, выполненную этим телом над окружающими его
телами.
Формула (17.6) справедлива не только для одного тела,
но и для любого числа тел, составляющих систему. Коли-
чество теплоты AQ, переданной такой системе, частично
идет на увеличение ее внутренней энергии A IF и частично
превращается в работу АЛ, совершаемую системой над
окружающими телами. В рассматриваемом случае работа
АЛ численно равна энергии, переданной системой окру-
жающим ее телам.
§ 212. Понятие об адиабатном процессе. Процесс в ка-
кой-либо системе, который происходит без теплообмена
с окружающей средой, называется адиабатным процессом.
Следовательно, характерная особенность такого процесса-
равенства нулю переданного или полученного системой
количества теплоты Q. Для такого процесса формула
(17.6) принимает вид
AIF + ДЛ-О
или
ДЛ- —AIF.
fl 7.7)
Из соотношения (17.7) следует, что при адиабатном про-
393
цессе система может совершать работу только за счет
уменьшения своей внутренней энергии.
В качестве примера рассмотрим адиабатный процесс
в идеальном газе.
Поскольку газ может совершать работу лишь в процессе
своего расширения, то, как следует из(17.7), при адиабатном
расширении, сопровождающемся выполнением работы, он
должен охлаждаться, а при адиабатном сжатии нагреваться.
График адиабатного процесса (в координатах р, V) не-
сколько похож на изотерму, но идет немного круче.
В реальных условиях адиабатный процесс осуществить
очень трудно, так как невозможно создать полную тепло-
вую изоляцию газа от окружающей среды* Однако, чем
меньше теплообмен при каком-либо процессе с внешней сре-
дой, тем ближе он к адиабатному процессу. Это означает,
что быстро протекающие процессы в реальном газе должны
мало отличаться от адиабатного процесса, так как за ко-
роткое время заметного теплообмена между газом и средой
произойти не может. Таким образом, при быстром сжатии
любой газ должен нагреваться, а при быстром расшире-
нии — охлаждаться (кроме расширения в безвоздушное
пространство). Именно этим объясняется нагревание на-
соса при накачивании шины или мяча.
При быстром и сильном сжатии воздух нагревается
столь сильно, что введенные в него пары бензина воспла-
меняются. На этом основано зажигание горючей смеси
в двигателях Дизеля.
Охлаждение газа при быстром расширении можно
обнаружить с помощью следующего опыта. Берется стек-
лянная бутыль, на дне которой находится немного воды.
Горлышко бутыли закрывается резиновой пробкой, через
которую пропущена трубка, соединенная с насосом. Если
в бутыль накачивать воздух, то вода на ее дне исчезает
(почему?). Когда давление в бутыли становится достаточно
большим, пробка вылетает, а в бутыли появляется густой
туман, так как воздух при расширении охлаждается.
Этим же объясняется появление облаков на определенной
высоте в теплую погоду.
Приведем примеры решения задач.
Задача. В латунный калориметр массой 128 г, со-
держащий 240 г воды при температуре 8,4° G, опущено
металлическое тело массой 192 г, нагретое до 100° G.
Окончательная температура в калориметре установи-
394
лась 21,5°G. Определить удельную теплоемкость вещест-
ва тела.
Дано:
тк= 128 г — масса калориметра,
/?гв=240 г — масса воды,
i\ =8,4° G — начальная температура воды и калори-
метра,
/лт = 192 г — масса нагретого тела,
i\ = 100°— начальная температура тела,
0=21,5° G — температура смеси.
Взято из таблиц:
г =4190 -— — удельная теплоемкость воды,
• zpao
с =380 — -ч — удельная теплоемкость латуни.
К2 • гр (10
Найти:
сг — удельную теплоемкость вещества тела.
План решения. Эта задача на составление уравнения
теплового баланса. Тепло, отданное металлическим телом
при охлаждении,
QT = cTmT( f2 —6).
Теплота, полученная калориметром,
Qk=<V«k(0 —О-
Теплота, полученная водой, налитой в калориметр,
QB=cBmB(e — Q.
На основании закона сохранения энергии можно соста-
вить уравнение теплового баланса
Qk+Qb = Qt
или
cKmK (9 — С) + свтв (0 —1\) = cTmT ( t\ — 0).
Решение. Задачу решаем в системе СИ. Переводим
все числовые данные (кроме температуры, так как раз-
ность температур по термодинамической шкале
и по международной практической шкале одна и та же)
в эту систему, находим из уравнения искомую величину,
395
выполняем указанные действия и вычисляем значение
удельной теплоемкости
тк = 0,128 кг, тв = 0,24кг, /1=8,4° С.
mr = 0,192 кг, /1 = 100° С, 6 = 21,5° С,
дж
кг • град ’
св = 4190
-^Ц, ск = 380
кг*град * к
_ (mKcK + mBcR) (й— 4)
Ст~ /М4-е) ’
(0,128 кг-380- — а +0,24 кг-4190—(21,5°—8,4°)
у кг-град кг • град J
= 0,192 кг (100° —21,5°)
__ (0,01152 + 0,24) 13,1-4190 дж ~ дж
0,192 кг-78,5° ~ кг-град'
Удельная теплоемкость вещества равна
Ответ:
920 -
* и кг-град *
Задача. В резервуар примуса, коэффициент полезного
действия которого 40%, налито 0,5 кг керосина. Какое
количество воды можно вскипятить, используя весь керо-
син, если начальная температура воды 20° С?
Дано:
т) =0,4 — коэффициент полезного действия примуса,
шк—0,5 кг — масса керосина,
4 =20° G — начальная температура воды,
4 =100° С — конечная температура воды.
Взято из таблиц:
с^=4190 - — удельная теплоемкость воды,
<7=43,1 106^ — удельная теплота сгорания керосина.
Найти:
mQ — массу воды.
План решения. Массу воды можно найти из формулы
~ 4)- Эта теплота является полезной, так
как керосин сжигается для нагревания воды. Полезную
теплоту найдем по формуле к. п. д. нагревателя
1 Q3 ’
396
а затраченную теплоту вычислим по формуле
Решение. Все величины в задаче даны в системе
СИ. Производим алгебраические действия, подставляем
числовые данные и находим массу воды
СВ^В ( ^2 1) .
0,4-43,1-10е — 0,5 кг
тв =------------------------= 25,7 кг.
4190 (Ю0°—20°)
кг-град
Ответ*. На примусе можно нагреть до кипения 25,7 кг
воды.
Задача. Тепловоз, коэффициент полезного действия
которого 30%, работает 3 ч со средней мощностью 3000 л. с.
Сколько дизельного горючего израсходует он за это время?
Дано
т)=30% — коэффициент полезного действия тепловоза,
/=3 ч — время работы тепловоза,
Л/=3000 л. с.— мощность тепловоза.
Взято из таблицы:
7=42-106 ——удельная теплота сгорания дизельного
горючего.
Найти:
т — массу израсходованного дизельного горючего.
План решения. Массу дизельного горючего можно найти
по формуле Q3-=qm. Затраченную теплоту найдем по фор-
муле к. п. д. тепловоза = . Так как полезная теплота
пошла на совершение работы, то можно считать, что Qn =
=ЛП, тогда ч= Работу найдем по формуле мощности
А
Nt*
Решение. Задачу решаем в системе СИ. Переводим
все числовые данные в эту систему, выполняем алгебраи-
ческие действия и находим массу израсходованного
397
дизельного горючего
п=о,з,
/==3-3600
сек.
Лп Nt
^ = —5=:---
1 Q3 qm
Nt
m^~- —.
94
/V=3000-736 вт, <7=42- 10е —.
7 кг
3000-736—-3-3600 сек
т =--------—------з— «1870 кг.
0,3.42.10^
кг
Ответ: Тепловоз израсходует 1870 кг дизельного го-
рючего.
Задача. Свинцовая дробинка, летящая со скоростью
100 попав в доску, углубилась в нее. На сколько гра-
дусов нагрелась дробинка, если 50% энергии удара пошло
на ее нагревание?
Дано:
t>=100 —— скорость дробинки,
т|=50%=0,5—доля энергии, израсходованной на на*
гревание дробинки (коэффициент полезного действия).
Взято из таблицы:
с= 120 - ч — удельная теплоемкость свинца.
кг • грек)
Найти:
А/° — на сколько градусов нагрелась дробинка.
План решения. Изменение температуры свинцовой
дробинки можно найти по формуле Qn=cmAt. Количество
теплоты, израсходованной на нагревание дробинки (Qn),
вычислим по формуле к. п. д. 1]=“^, где •
Решение. Задачу решаем в системе СИ. Произво-
дим алгебраические действия, подставляем числовые дан-
ные и находим изменение температуры свинцовой дробинки
cmAt° 2ckt° А,о тр2
И —------ = —- ; ;
1 mv2 v2 2с
“2"
м2
0,5-10 000-^
’сек2
2-120—
кг-град
Д/°
«20° С.
Ответ: Свинцовая дробинка от удара нагревается на
20° G.
398
УПРАЖНЕНИЯ
1. Смешано 20 л воды при температуре 12° G с 40 л воды при
температуре 80° С. Определить окончательную температуру смеси,
если во время смешения 420 дж теплоты ушло на нагревание окру-
жающего воздуха.
Ответ: 56° С.
2. Кусок железа массой 100 г нагревают на пламени горелки
и затем опускают в 250 г воды при температуре 16° С, налитой в
латунный калориметр массой 90 а. Окончательная температура в ка-
лориметре установилась 45° С. Определить, до какой температуры
был нагрет кусок железа.
Ответ: 790° С.
3. Найти коэффициент полезного действия дизель-мотора мощ-
ностью 200 л. с., если он потребляет 40 кг дизельного горючего в
час.
Ответ: 30%.
4. На сколько градусов нагреется вода, падая с высоты 15 м,
если 30% совершенной при ее падении работы расходуется на нагре-
вание?
Ответ: 0,01° С.
ГЛАВА 18
ИЗМЕНЕНИЕ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
§213. Изменение агрегатного состояния вещества в при-
роде и технике. Наиболее типичный пример изменения
агрегатного состояния вещества — превращение воды из
твердого состояния в жидкое и затемв газообразное. Таяние
снега или льда представляет собой превращение воды из
твердого состояния в жидкое, высыхание лужи — превра-
щение воды из жидкого состояния в газообразное. Одно-
временно в природе происходят и обратные процессы, так,
в облаках вода переходит из газообразного состояния
в жидкое и т. д. Превращение вещества из одного агрегат-
ного состояния в другое может происходить не только
в естественных условиях, но и в результате ряда искусст-
венных процессов.
Агрегатное состояние вещества определяется как осо-
бенностями внутреннего строения вещества, так и внеш-
ними условиями, в которых оно находится, в первую оче-
редь температурой и давлением.
Вообще говоря, при изменении внешних условий любое
вещество может переходить в различные агрегатные со-
стояния. Этим широко пользуются в разных видах про-
изводства. Например, для изготовления деталей машин
металл расплавляют, а затем разливают в формы, где он
снова затвердевает. В химическом производстве и при
взрывных работах часто используют жидкий воздух и
жидкий кислород, которые получают путем превращения
воздуха в жидкое состояние. При сварке металлических
конструкций пользуются переходом металла из твердого
состояния в жидкое и обратно. Для очистки воды, спирта
и многих других жидкостей их превращают в газообразное
400
состояние при определенных условиях, а затем конден-
сируют.
Таким образом, изучение процессов перехода вещества
из одного агрегатного состояния в другое имеет большое
практическое значение. Закономерности таких процессов
и рассматриваются в этой главе.
§ 214. Плавление и отвердевание. Будем в дальнейшем
называть переход вещества из твердого состояния в жидкое
плавлением, а переход из жидкого состояния в
твердое отвердеванием. Опыт показывает, что
ни плавление, ни отвердевание сами по себе происходить
не могут. Для того чтобы снег (лед) начал таять, его сна-
чала надо нагреть до 0° G. Даже когда снег уже имеет тем-
пературу 0° G, то таять он будет только в том случае, если
температура окружающих его тел выше 0° G или если про-
изводится работа, в результате которой выделяется тепло,
например при трении. Это означает, что в процессе плав-
ления внутренняя энергия вещества возрастает, г. е. плав-
ление вещества всегда сопровождается поглощением энергии
этим веществом. Таким образом, без притока энергии
извне плавление вещества происходить не может.
Можно показать, что отвердевание вещества происходит
только тогда, когда это вещество отдает свою энергию
окружающим телам. Так, для того чтобы вода замерзла,
она должна предварительно охладиться до 0° G. Однако
если сама вода и все окружающие ее тела будут иметь
температуру 0° С, то вода замерзать не будет. Чтобы опа
замерзала, температура окружающих ее тел должна быть
ниже 0° G, так как только при таком условии вода
будет отдавать свою энергию, что и вызовет ее отвер-
девание.
Отметим, что агрегатные состояния вещества иногда
называют твердой фазой, жидкой фазой
и газообразной фазой. Из изложенного выше
следует, что при одинаковой температуре единица массы
жидкой фазы вещества обладает большей внутренней
энергией, чем единица массы твердой фазы того же ве-
щества.
Объясняется это тем, что при плавлении разрушается
кристаллическая структура твердой фазы. При нагрева-
нии твердой фазы молекулы, получив достаточно большую
кинетическую энергию, начинают удаляться от своих
401
соседей, но при этом совершают работу против сил молеку-
лярного притяжения и их кинетическая энергия несколько
уменьшается, а молекулярно-потенциальная энергия воз-
растает. Если приток энергии к твердой фазе продолжается,
то постепенно увеличивается как молекулярно-потенциаль-
ная, так и молекулярно-кинетическая энергии вещества,
а его температура повышается.
Когда кинетическая энергия молекул становится до-
статочно большой (по величине приближается к 77мин,
см. § 168), силы молекулярного притяжения уже не могут
удержать частицы вещества в узлах решетки, молекулы
приобретают значительную подвижность, и упорядочен-
ное расположение молекул постепенно переходит в хаоти-
ческое, т. е. кристаллическая структура твердой фазы
вещества разрушается, а молекулярно-потенциальная
энергия молекул возрастает. При этом наряду с твердой
фазой появляется и жидкая фаза, граница между которыми
отчетливо видна. Это и есть плавление вещества.
Опыт показывает, что пока твердая и жидкая фазы
вещества существуют одновременно, температура веще-
ства остается неизменной, несмотря на потерю энергии
или на приток энергии извне. Это означает, что при плав-
лении вся поглощаемая веществом энергия идет только
на увеличение молекулярно-потенциальной энергии, т. е.
на превращение твердой фазы в жидкую. Так происходит
до тех пор, пока твердая фаза не исчезнет совсем. Если
приток энергии к веществу будет продолжаться и дальше,
то начнет увеличиваться и кинетическая энергия его моле-
кул, т. е. будет нагреваться уже жидкая фаза.
При отвердевании жидкой фазы молекулы сближаются
вследствие потери энергии веществом, а хаотическое рас-
положение их заменяется упорядоченным, т. е. вновь
возникает кристаллическая структура вещества. Опыт
показывает, что вещество отвердевает при той же темпе-
ратуре, при которой оно плавится. Поскольку, несмотря
на потерю энергии веществом, его температура остается
постоянной пока вся жидкая фаза не превратится в твер-
дую, его внутренняя энергия уменьшается при отвердева-
нии лишь в результате уменьшения молекулярно-потен-
циальной энергии частиц этого вещества.
Появление зародышей кристаллов (центров кри-
сталлизации) в жидкой или газообразной фазе
вещества и непрерывный рост этих зародышей при отверде-
402
вании иногда называют кристаллизацией. Отме-
тим, что кристаллизация может происходить и без наличия
жидкой фазы вещества непосредственно в газообразной
фазе. Такое явление можно наблюдать на оконных стеклах
зимой. Внимательно наблюдая за узорами на стекле,
можно видеть рост кристалликов льда.
Опыт показывает, что аморфные вещества плавятся
и отвердевают не так, как описано выше. Стекло, вар,
смола при нагревании постепенно размягчаются и при-
обретают текучесть, а при охлаждении также постепенно
теряют ее. При этом вся их масса остается однородной,
т. е. в них невозможно обнаружить резкой границы между
твердой и жидкой фазами, как при нагревании, так и при
охлаждении. Кроме того, при увеличении внутренней
энергии таких веществ их температура непрерывно повы-
шается, а при уменьшении внутренней энергии — пони-
жается.
Объясняется это тем, что у таких тел нет кристалличе-
ской структуры (см. § 186). В дальнейшем следует иметь
в виду, что всюду, где говорится о твердой фазе вещества
или о твердых телах, подразумеваются тела, обладающие
кристаллической структурой, а внешне твердые аморфные
тела причисляются к переохлажденным жидкостям, кото-
рые не кристаллизовались в процессе понижения темпера-
туры вследствие большой вязкости.
§ 215. Температура плавления кристаллических тел.
Особенности плавления и отвердевания вещества можно
изучить с помощью следующего опыта. Возьмем пробирку
с нафталином при комнатной температуре, в который по-
местим термометр. Опустим пробирку в сосуд с водой и
начнем подогревать воду. Температура нафталина будет
постепенно повышаться до 80°G. При 80° G нафталин начнет
плавиться, а его температура будет оставаться неизменной,
пока он весь не перейдет в жидкое состояние. После этого
жидкий нафталин снова начнет нагреваться. График
изменения температуры /° нафталина в зависимости от
количества полученной им теплоты фпол изображен на
рис. 215, а.
Если вынуть пробирку из воды, то изменение темпера-
туры нафталина вследствие выделения теплоты в окружаю-
щую среду происходит в соответствии сграфикомрис.215,6.
Как говорилось выше, температура плавления и темпе-
403
ратура отвердевания на обоих графиках оказываются оди-
наковыми /пл = 4тв-
Постоянная температура, при которой плавится
(отвердевает) вещество, называется температурой плав-
ления этого вещества. Опыт показывает, что температура
плавления вещества зависит от его природы. Кроме того,
Рис. 215. а) График зависимости температуры нафталина
от количества поглощенной теплоты; А Б — нагревание
твердого нафталина, БВ — плавление, ВГ — нагревание
жидкого нафталина; б) график зависимости температуры наф-
талина от количества выделенной теплоты.
она зависит от внешнего давления. Влияние давления на
температуру плавления вещества будет рассмотрено ниже.
Температура плавления вещества при нормальном
давлении называется точкой плавления этого вещества.
Точки плавления некоторых веществ приведены в табл. 23.
Таблица 23
Точки плавления некоторых веществ
Вещество if ,°с пл Вещество z .°C m Вещество * ,°С пл
Алюминий . • 659 Медь . . . 1083 Серебро . . . 960
Вольфрам . . 3410 Олово . . . 232 Сплав Вуда *) 60,5
Железо (чистое) 1539 Платина . . 1773 Сталь .... 1400
Золото • » . . 1064 Ртуть . . . -39 Цинк 419
Лед ..... 0 1 Свинец . . 327
*) Сплав назван по имени американского физика Р. Вуда.
Химический состав сплава: 53% висмута, 15% свинца,
20% олова, 12% кадмия.
404
Вещества, обладающие особенно высокой температурой
плавления, называются тугоплавкими. К числу
таких веществ принадлежат, например, вольфрам, молиб-
ден, тантал и др. В современной технике тугоплавкие
вещества приобретают особенно большое значение, напри-
мер для изготовления самолетов, ракет, космических ко-
раблей. При больших скоростях движения самолетов и
ракет даже в очень разреженных слоях атмосферы проис-
ходит большое повышение температуры оболочки ракеты
или самолета. Чем более высокую температуру сможет
выдержать такая оболочка, тем большую скорость сможет
развить ракета или самолет, тем безопаснее будет про-
хождение космических кораблей через плотные слои
атмосферы при их взлете и посадке.
§ 216. Удельная теплота плавления. Опыт показывает
что изменение внутренней энергии тела при плавлении
прямо пропорционально его массе т. Так как изменение
внутренней энергии при теплообмене оценивается количе-
ством теплоты Q, можно написать
(?пл = ^.
(18.1)
Здесь QnjI обозначает количество теплоты, необходимой
для плавления вещества массой т, взятого при температуре
плавления, и называется теплотой плавления. Оказывается,
что теплота плавления зависит еще от рода вещества.
Эта зависимость и выражается коэффициентом пропорцио-
нальности А в формуле (18.1).
Величина, характеризующая зависимость изменения
внутренней энергии вещества в процессе плавления {отвер-
девания) от рода вещества, называется удельной теплотой
плавления.
Удельная теплота плавления измеряется количеством
теплоты, необходимой для плавления единицы массы веще-
ства, взятого при температуре плавления
\ — ^ил
т
(18.1а)
Выведем единицу измерения удельной теплоты плав-
ления
405
В системе СИ за единицу удельной теплоты Оглавления
принимается такая удельная теплота плавления, при ко-
торой для плавления 1 кг массы затрачивается энергия
в 1 дж. Раньше за единицу измерения % принималась 1 .
КЗ
Удельные теплоты плавления ряда веществ приведены
в табл. 24.
Таблица 24
Удельные теплоты плавления некоторых веществ
Вещество кг К, ккал кг | Вещество „ дж т, — кг К ккал кг
Алюминий . . . . 3,8-105 92 Свинец . . 0,25.105 6
Железо (чистое) 2,7-105 65 Серебро . . 0,88-105 21
Лед . 3,3-105 80 Сталь . . . 2,1 -105 49
Медь 1,8-10s 42 Цинк . . . 1,2 .105 28
Олово 0,58-105 14
§ 217, Изменение объема и плотности вещества при
плавлении и отвердевании. Если расплавленный нафталин,
помещенный в пробирку, охладить (рис. 216), то он за-
твердеет и при этом в нем образуется углубление. Следо-
вательно, объем нафталина при отвердевании уменьшается.
Если же этот нафталин снова расплавить, то его объем
заметно возрастет. Изменение объема вещества в процессе
плавления или отвердевания наблюдается у всех веществ.
В огромном большинстве случаев объем вещества при плав-
лении увеличивается, а при отвердевании уменьшается.
Это означает, что в процессе плавления или отвердевания
изменяется и плотность вещества. Так как получающаяся
после плавления вещества жидкая фаза, как правило,
имеет больший объем, чем занимала твердая фаза, то
плотность жидкой фазы меньше, чем твердой. Это можно
подтвердить простым опытом. Бросим несколько кристал-
ликов твердого нафталина в расплавленный нафталин.
Мы заметим, что они тонут в расплаве. Это показывает,
что твердый нафталин плотнее жидкого.
Однако так бывает не всегда, например, лед плавает
в воде, а твердый висмут плавает в жидком висмуте.
Твердый чугун также не тонет в жидком чугуне. Следо-
вательно, лед, чугун, висмут и некоторые другие вещества
406
Рис. 216. а) В про-
бирке находится рас-
плавленный нафта-
лин; б) после отверде-
вания в нафталине
образовалось углуб-
ление.
при плавлении сжимаются, а при отвердевании расширяют-
ся, т. е. являются исключением из общего правила. Такое
отклонение от нормы объясняется особенностями строения
кристаллической решетки указанных
веществ. Выясним причину этих от-
клонений на примере льда.
На рис. 217 условно изображена
кристаллическая решетка льда. Эта
решетка имеет характерную ажур-
ную форму. Хотя молекулы Н2О
в решетке находятся весьма близко
друг к другу, их расположение тако-
во, что внутри решетки остаются пу-
стые пространства. При плавлении
расстояния между молекулами Н2О,
составляющими остов кристалличе-
ской решетки, увеличиваются, как и
у всех других веществ, но в результа-
те исчезновения пустых пространств,
имевшихся внутри кристаллической
решетки льда, объем воды при плавлении уменьшается.
Оказывается, что изменение в расположении молекул
воды, приводящее к уменьшению ее объема, не закан-
чивается в процессе плавления, а происходит и при даль-
нейшем нагревании воды, наряду с ее обычным рас-
ширением при нагревании. Имен-
Рис. 217. Условное изо-
бражение кристалличе-
ской решетки льда.
но поэтому вода при нагрева-
нии до 4° С сжимается. При 4° G
расширение воды при нагрева-
нии компенсируется уменьшением
ее объема, вызванным перестрой-
кой расположения ее молекул, а
плотность воды достигает макси-
мальной величины. При дальней-
шем нагревании вода начинает рас-
ширяться, хотя сначала и незна-
чительно.
Изменение объема при отвер-
девании и охлаждении вещества
приходится учитывать при отливке деталей машин.
Уменьшение размеров отливки при застывании и охлаж-
дении до комнатной температуры называется усадкой.
Так как все металлы дают усадку, форму для отливки
407
деталей делают несколько большей по внутреннему объ-
ему, чем объем самой детали.
Расширение воды при замерзании играет существенную
роль в явлениях природы. Ледяной покров над водой пре-
дохраняет водоемы от промерзания до дна в зимнее время.
Вода, затекающая в трещины горных пород, при замерзании
расширяется и увеличивает размеры трещин, что способ-
ствует разрушению этих пород. Этой же причиной объяс-
няется губительное влияние сильных морозов на растения.
§ 218. Зависимость температуры и теплоты плавления
от давления. В § 211 было объяснено, что полученная
телом при теплообмене теплота должна быть больше
прироста внутренней энергии тела, если оно при этом со-
вершает работу (см. формулу (17-6)). Следовательно, в тех
случаях, когда при плавлении объем вещества увеличи-
вается, теплота плавления должна быть равна сумме при-
ращения внутренней энергии вещества и работы, которую
оно совершает против сил внешнего давления в процессе
своего расширения. При нормальном давлении эта работа
мала и ею можно пренебречь, т. е. считать, что теплота
плавления равна изменению внутренней энергии вещества
в процессе плавления (см. §216). Однако при увеличении
внешнего давления работа против сил давления в процес-
се плавления будет становиться все больше и при значи-
тельных давлениях может заметно увеличить теплоту
плавления вещества.
В тех же случаях, когда вещество при плавлении сжи-
мается, силы внешнего давления совершают работу над
веществом, которая идет на увеличение его внутренней
энергии. При этом теплота плавления равна разности
изменения внутренней энергии вещества и работы сил
давления, т. е. уменьшается по мере увеличения внешнего
давления. Опыт подтверждает изложенное.
Итак, удельная теплота плавления вещества зависит
от внешнего давления, В тех случаях, когда вещество в про-
цессе плавления расширяется, его удельная теплота плав-
ления при увеличении внешнего давления возрастает, В тех
же случаях, когда вещество в процессе плавления сжимает-
ся, его удельная теплота плавления при увеличении внешнего
давления убывает.
Из изложенного вытекает, что температура плавления
вещества также должна зависеть от давления. Действи-
408
тельно, в тех случаях, когда вещество при плавлении
расширяется, внешнее давление препятствует плавле-
нию, поэтому температура плавления таких веществ
становится тем выше, чем больше внешнее давление
на них.
В тех же случаях, когда вещество при плавлении сжи-
мается, внешнее давление помогает плавлению, поэтому
температура плавления таких веществ становится тем
ниже, чем больше внешнее давление на них. Однако темпе-
ратура плавления вещества даже при больших измене-
ниях давления меняется незначительно, поэтому зави-
симостью температуры плавления от внешнего давления
в большинстве случаев можно пренебречь.
§ 219. Уравнение теплового баланса при плавлении
и отвердевании. Выясним, как опытным путем можно
определить величину удельной теплоты плавления ве-
щества. В тех случаях, когда точка плавления вещества
не очень высока, для определения удельной теплоты плав-
ления используют обычный калориметр, а расчет делают
на основании закона сохранения энергии с помощью
уравнения теплового баланса. Рассмотрим на примере,
как составляется такое уравнение, когда при теплообмене
происходит плавление или отвердевание вещества.
Пусть имеется калориметр массой тк, в котором на-
ходится масса воды при температуре Т2. Если тре-
буется определить удельную теплоту плавления льда,
то для опыта можно взять небольшой кусок льда массой
тл при температуре 7Y Опустив лед в калориметр и
измерив температуру смеси 0, можно составить уравнение
теплового баланса и из него найти X для льда, учитывая,
что точка плавления льда Тпл = 273° К.
В этом случае лед и образующаяся из него вода полу-
чают теплоту, а калориметр и первоначально находивша-
яся в нем вода отдают ее. При этом часть полученной теп-
лоты идет на нагревание льда от температуры 1\ до Т|1Л,
часть на плавление льда и, наконец, часть на нагревание
образующейся изо льда воды от Тплдо0. Таким образом,
Qпол = Слт.и (Т’пл - Л) + + <¥«л (° - TJ-
Отданное количество теплоты состоит из двух слагаемых:
количества теплоты, отданного калориметром, и количества
409
теплоты, отданного находившейся в нем водой. Следо*
вательно,
<20ТД = свтв (Т2 — 6) + сктк (Т 2 — 9).
Теперь составляем уравнение теплового баланса, из
которого затем и вычисляем X для льда
(Лл - Л) + + СЛ (° - Тпл) =
— cBmB(T2 — G) + cKmK(T2 — Q). (18.2)
Отметим, что на практике для подобных опытов часто
берут лед при 0° С. При этом первое слагаемое в (18.2)
отпадает.
§ 220. Растворы и сплавы. Бросим в воду кусок сахару. Через
некоторое время сахар растворится в воде. При растворении сахара
происходит разрушение его кристаллической структуры. Для со-
вершения этого процесса необходимо затратить энергию, которая
заимствуется у воды и называется теплотой растворения.
Следовательно, температура воды при растворении в ней сахара
должна понижаться. Произведенные опыты подтверждают этот
вывод. Понижение температуры жидкости при растворении в ней
твердых веществ наблюдается во всех тех случаях, когда растворе-
ние не сопровождается химической реакцией.
Оказывается, что растворение веществ в жидкости понижает
температуру ее затвердевания. Жидкость, в которой может проис-
ходить растворение какого-либо другого вещества, называется рас-
творителем. Таким образом, температура затвердевания чис-
того растворителя выше, чем раствора. Этим иногда пользуются для
понижения температуры среды с помощью охлаждающих смесей.
Смешивая тающий снег с хлористым кальцием, можно получить
значительное понижение температуры. При растворении хлористого
кальция в воде температура раствора падает ниже 0° С, раствор ос-
тается жидким и хлористый кальций продолжает в нем растворяться,
что ведет к дальнейшему понижению температуры раствора. Таким
путем можно понизить температуру раствора до —42° С. Имеется
и много других охлаждающих смесей, например, при смешива-
нии тающего снега с поваренной солью температура понижается
до — 18°С.
В технике очень часто пользуются сплавами металлов с
другими металлами, а иногда и неметаллическими веществами. Спла-
вы изготовляют путем смешивания различных металлов в определен-
ной пропорции с последующим их расплавлением. Таким путем
можно изготовить сплавы, обладающие весьма ценными технически-
ми свойствами. В большинстве случаев температура плавления спла-
вов ниже температуры плавления тех металлов, из которых они
изготовлены, например, сплав Вуда (см. табл. 23) имеет температуру
плавления 60,5° С. Можно изготовить сплавы сверхтвердые (с твер-
достью Не меньшей, чем у алмаза), жаростойкие сплавы, выдержи-
вающие высокие температуры, сплавы, почти не расширяющиеся
при нагревании, например инвар, и т. д.
410
§ 221. Понятие о парообразовании и конденсации.
Испарение. Поскольку процессы, связанные с переходом
вещества из жидкой фазы в газообразную и обратно,
очень распространены в природе и технике, изучение их
особенностей имеет большое практическое значение. Пере-
ход вещества из жидкого состояния в газообразное назы-
вается парообразованием, а переход вещества из газообраз-
ного состояния в жидкое — конденсацией.
Одним из типов парообразования является испа-
рение. Испарением называется парообразование, которое
происходит только со свободной поверхности жидкости, гра-
ничащей с газообразной средой. Выясним, как объясняется
испарение на основе молекулярно-кинетической теории.
Поскольку молекулы жидкости совершают хаотичес-
кое движение, среди молекул ее поверхностного слоя
всегда найдутся такие мо-
лекулы, которые движут-
ся по направлению от жид-
кости к газообразной сре-
де. Однако далеко не все
такие молекулы смогут вы-
лететь из жидкости, так
как на них действуют мо-
лекулярные силы, втяги-
вающие их обратно в
жидкость (см. § 179). По-
Рис. 218. Вылетающие из жидко-
сти молекулы должны преодолеть
противодействие сил, втягиваю-
щих их обратно в жидкость.
этому вырваться за пре-
делы поверхностного слоя жидкости смогут только те из ее
молекул, которые обладают достаточно большой кине-
тической энергией.
Действительно, когда молекула проходит через по-
верхностный слой толщиной г (рис. 218), она должна вы-
полнить работу против молекулярных сил за счет своей
кинетической энергии. Те молекулы, кинетическая энер-
гия которых меньше этой работы, втягиваются обратно в
жидкость, а вырываются из жидкости только те молекулы,
кинетическая энергия которых больше указанной работы.
Вылетевшие из жидкости молекулы образуют пар над ее
поверхностью. Поскольку вылетающие из жидкости мо-
лекулы приобретают кинетическую энергию в результате
столкновений с другими молекулами жидкости, средняя
скорость хаотического движения молекул внутри жидко-
сти в процессе ее испарения должна уменьшаться. Таким
411
образом, на превращение жидкой фазы вещества в газо-
образную должна затрачиваться определенная энергия.
Находящиеся над поверхностью жидкости молекулы
пара при своем хаотическом движении могут залететь
обратно в жидкость и вернуть ей ту энергию, которую они
унесли при испарении. Следовательно, при испарении всег-
да одновременно происходит и конденсация паров, сопро-
вождающаяся увеличением внутренней энергии жидкости.
§ 222. Быстрота испарения. Сублимация. Выясним,
какие причины влияют на скорость испарения жидкости.
Нальем в одинаковые блюдца равные объемы воды,
спирта и эфира и будем наблюдать за их испарением.
Оказывается, что первым испарится эфир, затем спирт и
последней испарится вода. Следовательно, быстрота
испарения зависит от рода жидкости.
Одна и та же жидкость испаряется тем быстрее, чем
больше ее свободная поверхность. Например, если одина-
ковые объемы воды налить в блюдце и в стакан, то из
блюдца вода испарится быстрее, чем из стакана. Нетрудно
заметить, что горячая вода испаряется быстрее холодной.
Причина этого ясна. Чем выше температура жидкости,
тем больше средняя кинетическая энергия ее молекул и,
следовательно, тем большее число их покидает жидкость
за то же время.
Кроме того, скорость испарения жидкости тем больше,
чем меньше внешнее давление на жидкость и чем меньше
плотность пара этой жидкости над ее поверхностью.
Например, при ветре белье сохнет быстрее, чем в безвет-
ренную погоду, так как ветер уносит пары воды и этим
способствует уменьшению конденсации пара на белье.
Поскольку на испарение жидкости затрачивается энер-
гия за счет энергии ее молекул, температура жидкости
в процессе испарения понижается. Именно поэтому заметно
охлаждается рука, смоченная эфиром или спиртом. Этим
же объясняется ощущение холода у человека, когда
он после купанья в жаркий ветреный день выходит из
воды.
Если жидкость испаряется медленно, то вследствие
теплообмена с окружающими телами потери ее энергии
компенсируются притоком энергии от окружающей среды,
и ее температура фактически остается равной температуре >
среды. Однако при большой скорости испарения жидкости
412
ее температура может оказаться значительно ниже темпе-
ратуры окружающей среды. С помощью «летучих» жид-
костей, например эфира, можно получить значительное
понижение температуры.
Отметим еще, что многие твердые вещества, минуя
жидкую фазу, могут непосредственно переходить в газо-
образную фазу. Такое явление называется сублимацией,
или возгонкой. Пахучесть твердых тел (например камфары,
нафталина) объясняется их сублимацией (и диффузией).
Сублимация характерна для льда, например, белье вы-
сыхает при температуре ниже 0° G.
§ 223. Теплота парообразования. Выясним, на что
расходуется теплота, поглощаемая веществом в процессе
его превращения из жидкого состояния в газообразное.
Выше говорилось, что при парообразовании вылетаю-
щие из жидкости молекулы должны преодолеть противо-
действие молекулярных сил, втягивающих эти молекулы
обратно в жидкость. Это означает, что молекулярно-
потенциальная энергия определенной массы вещества в
газообразном состоянии больше, чем в жидком. Поэтому
при одинаковой температуре внутренняя энергия единицы
массы вещества в газообразном состоянии больше, чем в
жидком.
Кроме того, плотность вещества при парообразовании
сильно уменьшается, а занятый веществом объем возра-
стает в десятки раз. Таким образом, при переходе вещества
из жидкой фазы в газообразную вследствие его расширения
должна выполняться работа против сил внешнего давления
на это вещество. Следовательно, для превращения жид-
кости в пар при неизменной температуре необходимо со-
общить ей количество теплоты Qn, которое частично пой-
дет на увеличение внутренней энергии образовавшегося
из жидкости пара, а частично будет затрачено на работу
против сил внешнего давления. Теплота Q„, необходимая
для превращения жидкости в пар при неизменной темпера-
туре, называется теплотой парообразования.
Если полученный пар снова превратить в жидкость при
той же температуре, то теплота Qn будет отдана жидкостью
окружающей среде. В этом случае Qn часто называют
теплотой конденсации.
Опыт показывает, что теплота парообразования Qa
прямо пропорциональна массе т вещества, переведенного
413
из жидкого состояния в газообразное,
______________________________________ >
= (18.3)
Из изложенного выше следует, что Qn должно зависеть
еще от рода вещества и от внешних условий. Эта зависи-
мость и выражается коэффициентом пропорциональности
г в формуле (18.3).
Величина, характеризующая зависимость теплоты пара*
образования от рода вещества и условий, в которых оно на*
ходится, называется удельной теплотой парообразования.
Удельная теплота парообразования измеряется коли*
чеством теплоты, необходимым для превращения в пар еди-
ницы массы жидкости при неизменной температуре
г = ^. (18.3а)
т ’
Выведем единицу измерения г
1дж . дж
г = -.— = 1 — .
I кг кг
В системе СИ за единицу удельной теплоты парообра*
зования принимается такая удельная теплота парообра-
зования, при которой для превращения в пар одного кило*
грамма жидкости без изменения температуры необходимо
затратить один джоуль теплоты.
Отметим, что раньше за единицу измерения г прини-
1 ккал
малась 1-----
кг
। ккал 41QQ дж
кг кг
Оказывается, что удельная теплота парообразования
вещества значительно больше, чем его удельная теплота
плавления. Например, удельная теплота парообразования
воды при 100° G равна 22,6-105 —, а удельная теплота
кг
плавления льда при 0° С равна 33,5 -104 — .
кг
§ 224. Пары, насыщающие и не насыщающие прост-
ранство. Наблюдения показывают, что уровень жидко-
сти, находящейся в открытом сосуде, со временем пони-
414
1
i
жается. Это означает, что процесс испарения жидкости
в таком сосуде преобладает над процессом конденсации
пара. Объясняется это тем, что окружающий воздух на-
ходится в движении и уносит молекулы пара от поверхно-
сти жидкости.
Если же сосуд с жидкостью закрыть герметически, то
уровень жидкости в сосуде меняться не будет. Следова-
тельно, в закрытом сосуде процесс испарения компенси-
руется процессом конденсации, т. е. сколько молекул
вещества за какое-либо время вылетит из жидкости, столь-
ко же вернется в нее назад. При этом между жидкой и
газообразной фазами вещества в сосуде происходит не-
прерывный обмен молекулами, а общее число молекул как
в жидкой, так и в газообразной фазах остается неизменным.
Такое равновесие между жидкой и газообразной фазами
вещества принято называть подвижным, или д и-
намическим, равновесием.
Пар, находящийся в состоянии подвижного равновесия
со своей жидкостью, называется паром, насыщающим про-
странство или, короче, насыщающим паром. Если же испа-
рение жидкости преобладает над конденсацией или жид-
кость полностью испарилась, то находящийся в простран-
стве пар называется ненасыщающим паром.
Из изложенного выше следует, что для газообразной
фазы какого-либо вещества при неизменной температуре
наибольшие возможные плотность и давление должны быть
у пара, насыщающего пространство.
Давление и плотность насыщающего пара зависят от
рода вещества.
Чем меньше удельная теплота парообразования
жидкости, тем больше плотность и давление ее насы-
щающего пара и быстрее происходит ее испарение, если
внешние условия для всех жидкостей одинаковы. Это
можно подтвердить следующим образом. Нальем в три
колбы воду, спирт и эфир и присоединим каждую из колб
к открытому манометру (рис. 219). Оказывается, что дав-
ление газа в колбах больше, чем снаружи. При этом наи-
большее давление показывает манометр, который соеди-
нен с колбой, содержащей эфир. Так как над поверхно-
стями жидкостей в колбах, кроме воздуха, находятся
насыщающие пары этих жидкостей, то давление, показы-
ваемое каждым манометром, и является давлением насы-
щающих паров соответствующей жидкости.
415
Отметим еще, что если пространство насыщено парами
одной жидкости, то это не мешает испарению в нем другой
жидкости. Английский ученый Д. Дальтон (V66—
1844 гг.) с помощью опытов установил следующий закон:
давление смеси паров и газов равно сумме давлений, соз-
даваемых каждым из них в отдельности (если нет химичес-
кого взаимодействия между газами).
Объясняется эта закономерность тем, что большая
часть пространства, занятого каким-либо газом, свободна
а) б)
Рис. 219. Опыт, показывающий зависимость давления
насыщающего пара от рода жидкости: а) вода, б) спирт
и в) эфир.
от молекул, и присутствие в этом пространстве молекул
другого вещества практически никак не отражается на
поведении молекул этого газа.
§ 225. Свойства паров, насыщающих пространство.
Выясним с помощью опыта, как протекает изотермическое
сжатие насыщающего пара. Для такого опыта берется
соединенный с манометром цилиндр, в котором имеется
подвижный поршень (рис. 220, а). На дно цилиндра нали-
вается жидкость, а пространство между жидкостью и
поршнем заполняется паром этой жидкости таким образом,
чтобы воздуха или другого газа под поршнем не осталось.
Если теперь медленно вдвигать поршень внутрь ци-
линдра, то давление насыщающего пара в цилиндре ос-
тается неизменным, что можно установить по показанию
манометра. Оказывается, что уровень жидкости в цилинд-
ре при этом повышается (рис. 220, б). Следовательно,
при изотермическом сжатии насыщающего пара его давле-
ние и плотность остаются постоянными, а весь тот пар,
который находился в пространстве между положениями
поршня а) и б) на рис. 220, конденсируется, т. е. масса пара
между жидкостью и поршнем уменьшается.
416
Продолжим опыт, давая пару возможность изотерми*
чески расширяться. Для этого будем медленно переме-
щать поршень вверх (рис. 220, в). Давление насыщающего
Рис. 220. Схема опыта, иллюстрирующего зависимость дав-
ления пара от объема при постоянной температуре: давление
насыщающего пара от объема не зависит (а, б и в).
пара под поршнем опять не изменяется, а уровень жид-
кости в цилиндре понижается, что свидетельствует об
испарении жидкости и увеличении массы пара между
поршнем и жидкостью. Итак, при постоянной температу-
ре давление и плотность насыщающего пара от объема не
Рис. 221. Схема опыта, иллюстрирующего зависимость дав-
ления пара от температуры при постоянном объеме.
зависят. Это означает, что насыщающие пары закону
Бойля — Мариотта не подчиняются.
Так как скорость хаотического движения молекул
газа зависит от температуры, то и давление насыщающего
пара должно зависеть от температуры. Эту зависимость
14 Л. С. Жданов, В. А. Марапджяи
417
можно установить с помощью следующего опыта. Берется
герметически закрытый цилиндр, соединенный с мано-
метром. Внутрь цилиндра предварительно наливается
немного жидкости, например спирта, а все свободное
пространство внутри цилиндра заполняется парами этой
жидкости (рис. 221).
Цилиндр опускается в сосуд с водой, которая подогре-
вается с помощью горелки, а температура внутри цилинд-
ра определяется термометром, опущенным в воду. Опыт
показывает, что при повышении температуры давление
насыщающих паров спирта в цилиндре быстро возрастает.
Результаты опытов приведены в табл. 25.
Таблица 25
Давление насыщающих паров (в мм рт. ст.) воды,
спирта и эфира при разных температурах
t, °C Вода Этиловый спирт Этиловый эфир t, °C Вода Этиловый спи рт Этиловый эфир
0 4,6 13 186 60 147 350 1740
10 9,2 24 290 70 232 560 —
20 17,5 45 440 78 — 760 —
30 31,8 79 640 80 353 830 —
35 — — 760 90 524 1200 —-
40 55 134 920 100 760 1670 —.
50 92 220 1270 120 1520 — —
На рис. 222 приведен график зависимости давления
насыщающих паров спирта от температуры (кривая а),
а ниже изображен график изменения давления идеального
газа (кривая б) в соответствии с законом Шарля.
Таким образом, закон Шарля к насыщающим парам
неприменим. Быстрое возрастание давления насыщаю-
щего пара при повышении температуры объясняется сле-
дующим образом. Наблюдения за уровнем жидкости в
цилиндре во время опыта показывают, что при повышении
температуры количество жидкости в цилиндре уменьшает-
ся. Это означает, что масса пара в цилиндре увеличивает-
ся, т. е. плотность насыщающего пара при нагревании воз-
растает.
Следовательно, давление насыщающего пара при нагре-
вании возрастает, во-первых, вследствие увеличения средней
418
кинетической энергии молекул этого пара и, во-вторых,
вследствие увеличения концентрации молекул пара, т. е.
плотности пара. У идеального же газа давление увели-
чивается только вследствие первой причины, так как за-
кон Шарля применим только к постоянной массе газа.
Если насыщающий пар охлаждать, то его давление
быстро падает, а плотность
уменьшается, т. е. проис-
ходит частичная конденса-
ция пара. При этом ока-
зывается, что одинаковой
температуре насыщающего
пара, как при его нагре-
вании, так и при охлаж-
дении, соответствует одно
и то же давление. Следо-
вательно, давление и плот-
ность насыщающего пара
каждого вещества одно-
значно определяются его
температурой. Подчерк-
нем еще, что, пока пар
остается насыщающим, из-
менение его температуры
дается изменением массы
Рис. 222. График зависимости
давления пара от температуры
(кривая а) и тот же график для
идеального газа (кривая б). Верх-
ний участок графика а соответ-
ствует ненасыщающему пару.
или объема всегда сопровож-
пара, т. е. парообразованием
или конденсацией.
§ 226. Свойства паров, не насыщающих пространство.
Продолжим опыт, описанный в предыдущем параграфе
(см. рис. 220). Медленно поднимая поршень из положения
в до положения гид, можно заметить по манометру, что
давление пара в цилиндре уменьшается. Оказывается,
что давление пара начинает падать в тот момент, когда
жидкость в цилиндре исчезает и при дальнейшем подъеме
поршня пар в цилиндре становится ненасыщающим.
Если медленно опускать поршень из положения д в поло-
жение г, то давление пара в цилиндре возрастает. Подоб-
ного рода опытами было установлено, что при постоянной
температуре давление ненасыщающего пара зависит от
объема.
Однако, пока плотность ненасыщающего пара мало
отличается от плотности насыщающего пара этой же жид-
кости, изотермическое изменение давления ненасыщающего
14*
419
пара в зависимости от объема заметно отклоняется от
закона Бойля—Мариотта. Лишь в том случае, когда
плотность этого пара значительно меньше» плотности
насыщающего пара, изотермическое расширение или сжа-
тие ненасыщающего пара, имеющего постоянную массу,
следует закону Бойля — Мариотта. При изохорическом
нагревании или охлаждении ненасыщающего пара, масса
которого неизменна, закон Шарля также можно приме-
нять только тогда, когда плотность пара достаточно мала.
Таким образом, законы, установленные выше для идеаль-
ного газа, можно применять к ненасыщающим парам, но
лишь в тех случаях, когда пар далек от насыщения.
Из описанных выше опытов следует, что насыщающий
пар всегда можно превратить в ненасыщающий с помощью
изотермического расширения или же изохорического
нагревания насыщающего пара. Этого же можно добиться
путем одновременного расширения и нагревания насыща-
ющего пара. Обратное превращение ненасыщающего пара
в насыщающий можно осуществить путем изотермического
сжатия или изохорического охлаждения ненасыщающего
пара. Это же можно сделать с помощью одновременного
сжатия и охлаждения ненасыщающего пара.
§ 227. Процесс кипения жидкости. Вторым распро-
страненным видом парообразования является кипение
жидкостей. Процесс парообразования, который происходит
не только со свободной поверхности жидкости, но и внутри
самой жидкости, называется кипением.
Выясним особенности процесса кипения жидкости.
Нальем в стеклянный сосуд воду, опустим в нее термометр
и проследим за ее нагреванием до кипения. В начале на-
гревания на дне и стенках сосуда появятся небольшие
пузырьки газа. Рассмотрим, как они возникают.
Молекулы, находящиеся на поверхности твердого тела,
притягивают к себе молекулы окружающего газа и часто
прочно удерживают их на поверхности тела. Такое «при-
липание» молекул газа к молекулам поверхностного слоя
твердого тела называется адсорбцией, а газ, свя-
занный с поверхностью твердого тела, называется а д-
сорбированным. Чем больше поверхность твер-
дого тела, тем больше газа на ней может адсорбироваться.
(Заметим, что адсорбироваться на поверхности твердого
тела могут и молекулы растворенного в жидкости вещест-
420
ва, если эта жидкость соприкасается с твердым телом.)
Таким образом, на поверхности сосуда, в котором нахо-
дится вода, всегда имеется адсорбированный воздух.
Опыт показывает, что газы растворяются в жидкостях.
При этом оказывается, что растворимость газа умень*
шается при повышении температуры жидкости. Следо-
вательно, при нагревании
в ней воздух начинает вы-
деляться и у стенок, и на
дне сосуда, присоединяясь
к адсорбированному ранее
воздуху.
При достаточном нагре-
вании воды скорость этого
процесса возрастает и ко-
личество пузырьков уве-
личивается настолько, что
они становятся видимыми,
притом их объем заметно
возрастает. Так как эти
пузырьки окружены во-
дой, то, кроме воздуха, в
них еще находится насы-
щающий водяной пар. Ког-
да объем пузырька вы-
растет настолько, что
действующая на него в
соответствии с законом
Архимеда выталкивающая
сила превысит силу сцеп-
ления пузырька со стен-
кой, он оторвется и под-
нимется в верхние слои
воды в сосуде растворенный
Рис. 223. Пузыпьки газа в жид-
кости: а) пузырек на дне сосуда;
б) пузырек оторвался, а на дне
остался зародыш нового пузырь-
ка; в) объем пузырька при подъе-
ме уменьшается; г) во время
кипения объем пузырька при
подъеме увеличивается.
жидкости, оставляя на своем месте зародыш нового
пузырька (рис. 223, а и б). Так как верхние слои жидко-
сти холоднее нижних, то по мере подъема пузырька, на-
ходящийся в нем пар конденсируется, а размер пузырька
уменьшается. Когда пузырек достигает поверхности воды,
пара в нем остается очень мало. Этот пар и небольшое ко-
личество воздуха уходят из жидкости в окружающую
среду. Таким образом, пока верхние слои жидкости хо-
лоднее нижних, пузырьки пара при подъеме как бы «раз-
давливаются» внутри жидкости (рис. 223, в).
421
Когда же вследствие конвекции верхние слои жидкости
приобретают такую же температуру, как и нижние, то
отрывающиеся от дна и стенок сосуда пузырьки при дви-
жении вверх уже увеличиваются в объеме. Как только
такой пузырек достигает поверхности жидкости, то окру-
жающий его слой жидкости лопается, а заключенное в
пузырьке значительное количество пара выделяется в
окружающую среду (рис. 223, г). Этот процесс и называют
кипением жидкости. Выясним, почему при кипении
объем пузырька увеличивается во время подъема.
Пока пузырек находится на дне сосуда, давление
внутри него равно сумме внешнего давления атмосферы
на поверхность жидкости, гидростатического давления
столба жидкости, находящегося над дном сосуда, и лап-
ласовского давления (см. § 184), имеющего значительную
величину, поскольку радиус пузырька мал. По мере на-
гревания жидкости давление пара внутри пузырька долж-
но возрастать, а давление на пузырек со стороны жидкости
практически можно считать постоянным. Поэтому объем
пузырька растет по мере нагревания жидкости.
Вспомним, что давление насыщающего пара от объема
не зависит, а лапласовское давление и давление заклю-
ченного в пузырьке воздуха уменьшаются при увеличе-
нии объема пузырька. Следовательно, при нагревании
жидкости до определенной температуры объем пузырька
возрастает до тех пор, пока увеличение давления насыща-
ющего пара внутри пузырька, обусловленное повышением
температуры, не скомпенсируется уменьшением лапласов-
ского давления и давления, вызванного расширением
воздуха в пузырьке.
Когда пузырек отрывается от дна и движется вверх,
то давление насыщающего пара в пузырьке остается по-
стоянным (если температура всей жидкости одинакова),
а гидростатическое давление на пузырек уменьшается.
Поэтому при подъеме пузырька его объем начинает
очень быстро возрастать и заполняться насыщающим
паром. Кроме того, увеличение объема пузырька объяс-
няется еще и уменьшением лапласовского давления в
пузырьке.
Когда пузырек достигает поверхности жидкости, то
давление насыщающего пара в нем практически можно
считать равным внешнему давлению на поверхность
жидкости, так как давлением небольшого количества
422
воздуха в пузырьке и лапласовским давлением при боль-
шом объеме пузырька можно пренебречь.
Итак, кипение жидкости наступает в том случае,
когда температура всей жидкости одинакова, а давление
насыщающего пара этой жидкости равно внешнему дав-
лению на ее поверхность.
Опыт показывает, что во время кипения жидкости ее
температура остается неизменной, а вся энергия, полу-
чаемая жидкостью от нагревателя, затрачивается на
превращение жидкой фазы вещества в газообразную.
Температура, при которой давление насыщающего пара
жидкости равно внешнему давлению на ее поверхность,
называется температурой кипения жидкости, так как
именно при этой температуре происходит процесс кипения
жидкости.
§ 228. Зависимость температуры кипения жидкости от
давления. Точка кипения. Из изложенного в § 227 сле-
дует, что температура кипения жидкости должна зави-
сеть от внешнего давления на поверхность этой жидкости,
поскольку кипение наступает в тот момент, когда давление
насыщающего пара жидкости становится равным внешнему
давлению. Следовательно, чем меньше внешнее давление
на поверхность жидкости, тем при более низкой темпера-
туре жидкость должна закипать. Поэтому, говоря о
температуре кипения жидкости, обязательно указывают
и соответствующее ей давление.
Температура кипения жидкости при нормальном ат-
мосферном давлении называется точкой кипения. Точки
кипения некоторых жидкостей приведены в табл. 26.
Давление насыщающих паров любой жидкости при точке
кипения, очевидно, должно быть равно нормальному
атмосферному давлению, т. е. 1,013-105^, или 760 млi
рт. ст., что для эфира, спирта и воды можно видеть по
табл. 25 и 26.
Зависимость температуры кипения жидкости от давле-
ния можно показать с помощью следующего опыта. Наль-
ем в стакан воду и опустим в нее термометр. Поместим
стакан на подставку, соединенную с разрежающим насо-
сом, и накроем ее стеклянным колпаком. При выкачива-
нии воздуха из-под колпака давление на поверхность
воды в стакане уменьшается, и вода начинает кипеть,
423
Таблица 26
Точки кипения некоторых веществ
Вещество 'к-°C Вещество 'к . <
Ацетон . Бензин Бензол Вода 56,2 150 80 100 Ртуть . Спирт этиловый .... Эфир этиловый .... 357 78 35
увеличении высоты
Рис. 224. Схема устройства
автоклава: /( — предохра-
нительный клапан, А В —
рычаг, прижимающий кла-
пан, М — манометр.
сохраняя комнатную температуру. При длительном кипя-
чении вода в стакане постепенно охлаждается и может
замерзнуть.
Как известно, атмосферное давление уменьшается
подъема над уровнем моря. Это
означает, что в горных местно-
стях вода должна кипеть при
температуре ниже 100° С. Чем
выше над уровнем моря распо-
ложена местность, тем ниже
оказывается температура кипе-
ния воды в этой местности. Если
на шкале термометра вместо
температуры указать высоту
над уровнем моря, на которой
кипит вода при этой темпера-
туре, то, помещая такой термо-
метр в кипящую воду, можно
определить высоту местности
над уровнем моря. Такой способ
определения высоты называется
гипсометрией.
Увеличивая давление на
жидкость, можно намного повы-
сить температуру ее кипения.
Если давление на поверхность
воды превысит нормальное давление, то вода будет
кипеть при температуре выше 100° G. Таким образом, в
достаточно прочно закрытых сосудах, например в кот-
лах или автоклавах, можно нагреть воду до высоких
температур (рис. 224). Так, при давлении 100 ат воду
можно нагреть примерно до 300° С.
424
Опыт показывает, что на температуру кипения жид-
кости оказывают влияние растворенные в жидкости ве-
щества. Температура кипения раствора всегда выше тем*
пературы кипения чистого растворителя и возрастает
при увеличении концентрации раствора. Например, если
раствор поваренной соли в воде содержит 6,6 г соли на
каждые 100 г воды, то он кипит при ЮГ С, если же в раст-
воре будет находиться 25,5 г соли на 100 а воды, то он за-
кипит при 105° С.
При этом оказывается, что температура паров воды
над поверхностью слабого раствора равна температуре
кипения чистой воды, т. е. 100° С, поэтому для определения
температуры кипения чистой жидкости термометр реко-
мендуется помещать не в самую жидкость, а в пары кипя-
щей жидкости.
Отметим еще, что если удалить из жидкости газ с по-
мощью продолжительного кипячения и затем охладить
ее без встряхивания, то после этого можно нагреть жид-
кость до температуры, превышающей ее точку кипения.
Например, воду, из которой удален газ, при нормальном
давлении можно нагреть до 110° G, а кипеть она еще не
будет. Такую жидкость принято называть перегре-
той. Начало кипения перегретой жидкости носит взрыв-
ной характер.
§ 22Э. Зависимость удельной теплоты парообразова-
ния от температуры. Выше говорилось, что на быстроту
испарения жидкости влияет температура. Однако испа-
рение жидкостей происходит при любой температуре.
Например, если в помещении, т. е. при комнатной темпе-
ратуре, поставить открытый сосуд со ртутью, то в воздухе,
хотя и в небольшом количестве, можно обнаружить пары
ртути. Кипеть жидкость также может при различных
температурах. Поэтому возникает вопрос, одинаковое
ли количество энергии нужно затрачивать на превращение
жидкости в пар при различных температурах?
Опыт показывает, что удельная теплота парообразо-
вания вещества зависит от его температуры. Оказывает-
ся, чем выше температура вещества, тем меньше его удель-
ная теплота парообразования. Объясняется это тем, что
при нагревании вещества расстояния между его молеку-
лами увеличиваются, а следовательно, силы молекуляр-
ного взаимодействия уменьшаются. Кроме того, чем выше
425
Рис. 225. Графики зависимости
удельной теплоты парообразова-
ния от температуры для воды и
эфира.
температура вещества, тем больше кинетическая энергия
его молекул и тем меньше энергии нужно дополнительно
сообщить жидкости, чтобы ее молекулы вылетели в окру-
жающую среду.
Графики зависимости удельной теплоты парообразо-
вания от температуры для воды и эфира приведены на
рис. 225. Следует обратить
внимание на то, что и для
воды, и для эфира сущест-
вует такая температура,
при которой удельная теп-
лота парообразования ве-
щества обращается в нуль.
Оказывается, что такой
характерной температу-
рой обладает каждая жид-
кость. Ее смысл будет вы-
яснен ниже (см. § 232).
При расчетах на практике
чаще всего приходится
пользоваться значениями
удельных теплот парооб-
разования при точках ки-
пения различных жидко-
стей. Они приведены в
табл. 27.
Рассмотрим, как определяется теплота, необходимая
для превращения жидкости в пар с помощью процессов
нагревания и кипения. Пусть данная масса жидкости tn
Таблица 27
Удельная теплота парообразования некоторых веществ
при точке кипения
Вещество дж г, — кг ккал г, кг Вещество дж г, кг ккал г, кг
Ацетон . . . 5,2-105 125 Ртуть . . , , 2,8-Ю5 63
Бензин . . . Бензол . , . 3,0-105 3,9-10б 71 94 Спирт этило- вый .... 8,5-10б 202
Вода .... 22,6-105 539 Эфир этило- вый .... 3,5.105 84
426
находится при температуре Т1У меньшей точки кипения
этой жидкости Тк. Для того чтобы жидкость закипела,
ее сначала нужно нагреть до Тк. На это необходимо из-
расходовать количество теплоты QH. Допустим, что для
превращения этой жидкости в пар при кипении затрачи-
вается Qn теплоты. Следовательно, всего жидкости нужно
сообщить количество теплоты Q, которое равно QH + Qn.
Так как QH = cm (Тк — 7\), a Qn = rm, то
Q=cm(TK—Tl)+j;m.
При расчетах числовые значения с, г и Тк берут из таблиц.
Рис. 226. График зависимости температуры
жидкости от количества поглощенной ею теплоты.
График зависимости температуры жидкости от коли-
чества поглощенной теплоты при нагревании и кипении
этой жидкости приведен на рис. 226.
§ 230. Уравнение теплового баланса при парообразова-
нии и конденсации. Выясним, как с помощью опыта
можно найти удельную теплоту парообразования вещест-
ва, например воды. Возьмем калориметр массой тк, в
котором находится термометр и вода массой тв при ком-
натной температуре 7\.,В эту воду с помощью трубки
поступает из кипятильника водяной пар при Т2 = 373° К.
(Конец трубки должен находиться внутри воды.) Попав в
холодную воду, пар конденсируется, и калориметр с во-
дой нагреваются. Затем трубка вынимается из калори-
метра и по термометру определяется температура смеси
427
0. Масса водяного пара тп, сконденсировавшегося в кало-
риметре, определяется путем взвешивания калориметра
после „опыта.
Расчет удельной теплоты парообразования воды г де-
лается с помощью уравнения теплового баланса, которое
составляется следующим образом. Нагревались, т. е. по-
лучали теплоту во время опыта, калориметр и находив-
шаяся в нем до начала опыта вода, поэтому
QПОЛ “ Qk Qb
или
<?пол = Сктк (б ~ Л) + Св^в (0 ~ Т1)-
Отдавали теплоту пар при конденсации и образовавшаяся
из него вода при остывании от температуры Т2 до 0. Сле-
довательно,
Фогд— Фп+ Фвп
или
Q()Tfl “Ь G/^П (^*2 0)’
Пренебрегая потерями теплоты во время опыта, состав-
ляем уравнение теплового баланса (см. § 210)
гтп + свтп (Т2 — 0) == сктк (0 — 7\) + свтв (0 — Тх).
Из этого уравнения находим значение г для воды при нор-
мальном давлении.
Подобного рода опытами определяется удельная тепло-
та парообразования и других жидкостей.
Приведем пример решения задачи.
Задача. Смесь, состоящая из 5 кг льда и 15 кг воды
при общей температуре 0° G, нагревается до темпера-
туры 80° С при пропускании водяного пара, имеющего тем-
пературу 100° С. Определить нужное количество пара.
Дано:
тл = 5 кг — масса льда,
тв = 15 кг — масса холодной воды,
4 = 0° С — начальная температура воды и льда,
0 = 80° С — окончательная температура смеси,
t°n = 100° С — начальная температура пара.
Взято из таблиц:
А =3,3-105 — — удельная теплота плавления льда,
428
св — 4190кг^а^ — удельная теплоемкость воды,
г —22,6-Ю6—— удельная теплота парообразования
К2
ВОДЫ.
Найти:
т„ — массу пара.
План решения. Эта задача решается с помощью урав-
нения теплового баланса.
Полученная теплота складывается из теплоты плавле-
ния льда Qx = 21тл и теплоты, необходимой для нагрева-
ния холодной воды и воды, полученной из льда, Q2 =
= св (тл + /пв) (0 — 4). Отданная теплота складывает-
ся из теплоты, выделенной при конденсации Q3=rmn, и
теплоты, выделенной водой, образовавшейся при конден-
сации пара, в процейсе ее охлаждения от 100° С до тем-
пературы смеси Q4= свтп(/п — 0).
Решение. На основании закона сохранения энер-
гии составляем уравнение теплового баланса и вычисляем
массу пара
Qi + Сг ~ Qz + Q&
ктл + с* (тл + тв) (0 — zb) = гтп + свта (/„ — 0);
1тл + св (тл + mR) (0 — /в) = тп [г + cR (*п—0)];
^л + ^в(тл + тв) (е~-zb)
m -------------—----------;
*п-0)
3,3-105-5 3^ + 4190 (5+15) (80 — 0)dw Q а
дж дж
22,6-105 -4- 4190 (100 — 80) —
кг кг
Ответ: Для нагревания воды до 80° G нужно 3,6 кг
пара.
§ 231. Перегретый пар и его использование в технике.
Водяной пар обладает большим количеством энергии,
которая освобождается при его охлаждении и конденса-
ции. Эта энергия широко используется для нужд челове-
ка. Например, при нагревании помещений пользуются
паровым отоплением. Образующийся в котле пар по тру-
бам подается в радиаторы, которым он передает часть
своей энергии, а выделяющаяся в радиаторе теплота
429
нагревает комнату. Часто энергия пара используется для
заводских нужд, например для работы паровых молотов,
для обогревания цехов и т. п.
Особенно широко используется энергия водяного пара
для приведения в действие паровых машин и паровых тур-
бин. Чем выше температура, а значит и давление пара, тем
выше к. п. д. паровой турбины. Поэтому получаемый в
котле пар поступает в змеевик, где нагревается до высоких
температур, порядка 600° С, а давление пара поднимается
до 250 ат. Такой пар, температура которого выше темпе-
ратуры кипения, называется перегретым, или
сухим. Сильно перегретый пар, производящий боль-
шое давление, называется паром высокого
давления. Именно таким паром и приводятся в дей-
ствие современные паровые турбины. Мощность паровых
турбин достигает 300 000 кет, а к. п. д. доходит до 45%.
Такая турбина расходует до 1000 т пара в час.
Паровые турбины устанавливают на крупных судах
и на тепловых электростанциях (ТЭЦ). Отработанный пар
после выхода из турбины обладает еще большим запасом
энергии. Поэтому его по трубопроводам, соединяющим
ТЭЦ с домами и заводами, направляют на предприятия
и в жилые дома, где энергия отработанного пара исполь-
зуется для заводских и бытовых нужд. Это позволяет
полнее использовать энергию пара высокого давления,
т. е. повышает к. п. д. всей ТЭЦ.
§ 232. Критическое состояние вещества.'Выше уже го-
ворилось, что в герметически закрытом сосуде жидкость
можно нагреть до температуры, значительно превышаю-
щей точку кипения этой жидкости. Такое нагревание со-
провождается испарением жидкости, т. е. увеличением
плотности и давления ее насыщающего пара. Опыт пока-
зывает, что сама жидкость при этом расширяется, а следо-
вательно, ее плотность уменьшается. Таким образом,
по мере нагревания жидкости в герметически закрытом
сосуде различие между плотностью жидкости и плотно-
стью ее насыщающего пара внутри сосуда делается все
меньше. Можно ли, продолжая нагревание, достичь тем-
пературы, при которой плотности жидкости и ее пара ста-
нут равными? Если это возможно, то сохранится ли при
такой температуре какое-либо различие между жидкостью
и ее паром?
430
Такого рода вопросы впервые рассмотрел великий рус-
ский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907 гг.).
Исходя из ряда теоретических соображений, он в 1861 г.
дал на них следующие ответы: для каждой жидкости дол-
жна существовать такая температура, при которой плот-
ности жидкости и ее насыщающего пара равны; при такой
температуре всякое различие между жидкостью и ее паром
должно исчезнуть. Эту температуру Менделеев назвал
температурой абсолютного кипения.
В 60-х годах прошлого века английский ученый
Т. Эндрюс (1813—1885 гг.) экспериментально исследо-
вал процессы превращения жидкой фазы вещества в газо-
образную и обратно при различных давлениях.
Рис. 227. График зависимости плотности воды
и ее насыщающего пара от температуры.
В опытах Эндрюса давление доводилось до 500 атм.
В результате анализа своих опытов Эндрюс доказал, что
температура абсолютного кипения действительно сущест-
вует у каждой жидкости, и ввел для нее термин крити-
ческая температура, который удержался до
нашего времени. Итак, критической для данного вещества
называется такая температура, при которой плотности
жидкости и ее насыщающего пара становятся одинаковы-
ми. На рис. 227 изображен график зависимости плотности
воды и ее насыщающего пара от температуры, из которого
видно, что при температуре 374° G плотности воды и ее
насыщающего пара становятся одинаковыми. Эта темпе-
ратура и является критической для воды.
Так как не только плотность насыщающего пара, но
и его давление однозначно определяются температурой,
431
Рис. 228. График зависи-
мости давления насыщаю-
щего пара воды от темпе-
ратуры. График обрывается
в критической точке.
то можно построить график зависимости давления насы-
щающего пара жидкости от температуры. Такой график
для паров воды изображен на рис. 228. Давление насы-
щающего пара вещества при критической температуре на-
зывается критическим давлением для этого вещества.
Например, для воды оно равно 218,5 атм. Очевидно,
критическое давление — это наибольшее возможное давле-
ние насыщающих паров данного
вещества.
Из табл. 18 и рис. 225 видно,
что у воды при критической тем-
пературе коэффициент поверх-
ностного натяжения а и удельная
теплота парообразования г ста-
новятся равными нулю. Оказы-
вается, что такая закономер-
ность характерна и для других
веществ. Таким образом, при
критической температуре гра-
ница между жидкой и газообраз-
ной фазами вещества исчезает и
для превращения жидкой фазы
вещества в газообразную не тре-
буется энергии, т. е. исчезает
всякое различие между жидкой и
газообразной фазами вещества.
Итак, для каждого вещества существуют своя крити-
ческая температура и свое критическое давление. При
температуре вещества, превышающей его критическую
температуру, это вещество существует только в одной фа-
зе, которую принято считать газообразной. Следователь-
но, если температура вещества превышает критическую,
то одним только увеличением давления это вещество невоз-
можно превратить в жидкость.
Состояние вещества при критической температуре и
критическом давлении называется критическим
состоянием, а объем, занимаемый веществом при
критическом состоянии, называется критическим объемом.
Критический объем — это наибольший объем, который
может занимать определенная масса вещества в жидком
состоянии.
Отметим еще, что числовые значения /кр, ркр и VKp для
одного киломоля какого-либо вещества называются его
432
критическими параметрами. Например,
критические параметры воды следующие: /кр = 374,2° G,
= 218,5 атм, Икп = 0,056—^— . Критические тем-
пературы и давления ряда веществ приведены в табл. 28.
Таблица 28
Критические параметры некоторых чистых веществ
Вещество ^кр* °с Ркр> атм Вещество ^Кр’ °с Ркр’ атм
Вода Спирт этило- 374,2 218,5 Аргон .... Азот —122,4 -147,1 48,0 33,5
вый .... Эфир этило- * 243,1 63,0 Неон .... Водород . . . -228,7 —241 26,9 12,8
вый .... Кислород . 193,8 -118,4 35,6 49,7 Гелий .... —267,9 2,25
Чтобы можно было наблюдать критическое состояние
вещества во время опыта, нужно поместить в ампулу та-
кую массу жидкости, объем которой при критическом
Рис. 229. Нагревание эфира в ампуле до критической температуры
(а, б, в, г) позволяет наблюдать переход эфира через критическое
состояние (г). При охлаждении, когда температура становится ниже
критической, эфир переходит в жидкое состояние (д и е).
состоянии был бы равен внутреннему объему ампулы.
Удалив затем из ампулы воздух, ее следует запаять.
Нагревая такую ампулу с эфиром до температуры, превы-
шающей 4р для эфира, можно наблюдать его переход
через критическое состояние (рис. 229).
433
Когда говорят о газообразной фазе вещества, то в од-
них случаях называют ее паром, а в других газом. Сущест-
вует ли какое-либо принципиальное различие между га-
зом и паром? Анализ изложенных фактов показывает,
что принципиальной разницы между газом и паром нет.
Газом называют вещество, находящееся в газообразном со-
стоянии при температуре, превышающей t этого веще-
ства, т. е. когда газообразную фазу одним только сжа-
тием невозможно превратить в жидкую фазу. Паром назы-
вают вещество, находящееся в газообразном состоянии при
температуре ниже ZKp, т. е. когда газообразную фазу
с помощью одного изотермического сжатия можно прев-
ратить в жидкую фазу.
§ 233. Сжижение газов и использование полученных
жидкостей в технике. Первые крупные успехи в сжиже-
нии газов были получены великим английским ученым
М. Фарадеем (1791—1867 гг.). Ему удалось пере-
вести в жидкое состояние многие вещества, которые до
этого были известны только в газообразном состоянии,
например хлор. В то время еще не были известны способы
получения очень низких температур, и Фарадею прихо-
дилось переводить газы в жидкое состояние в основном
с помощью увеличения давления. При этом некоторые га-
зы, например воздух, водород и др., перевести в жидкое
состояние ему не удалось даже при весьма больших дав-
лениях.
После того, как было установлено, что газ можно пере-
вести в жидкое состояние только тогда, когда его темпера-
тура ниже критической, стали применять одновременно
со сжатием газа понижение его температуры. Таким спо-
собом удалось перевести все газы в жидкое состояние и
определить их критические параметры. В 1908 г. послед-
ний из «несжижаемых» газов — гелий — был переведен
в жидкое состояние.
Для получения низких температур пользуются так
называемым ступенчатым, или каскадным,
охлаждением. Сущность этого метода заключается в сле-
дующем. Переведя в жидкое состояние один из газов,
например кислород, заставляют эту жидкость кипеть при
пониженном давлении. Температура жидкого кислорода
при этом понижается и оказывается ниже критической
для азота. Охлаждая газообразный азот этим жидким
434
кислородом, получают жидкий азот. Заставляя его в свою
очередь кипеть при пониженном давлении, еще больше
понижают температуру азота и т. д. Точки кипения неко-
торых веществ, которые могут быть использованы при
каскадном методе охлаждения, приведены в табл. 29.
Таблица 29
Точки кипения некоторых жидкостей, полученных
из газов
Вещество С °C Вещество °C
Ксенон , Криптон . Кислород . . Аргон ... -108 — 193 —183 -186 Азот ..... Неон . . . . . Водород . . . Гелий .... —196 -246 —253 -269
В настоящее время чаще применяется более удобный
способ охлаждения газа. Выше говорилось, что при адиа-
батном расширении газ охлаждается, если он при этом
совершает работу (см. § 212). Если дать возможность сжа-
тому газу расширяться и заставить
выполнять работу, направив струю это-
го газа на лопасти специальной тур-
бины (детандера), то газ Аможет
столь сильно охладиться, что его тем-
пература окажется ниже критической
ион начнет переходить в жидкое состоя-
ние. Такой способ сжижения газов был
разработан академиком П. Л. Ка-
пицей.
Жидкие газы обычно хранят в спе-
циальных сосудах, называемых сосу-
дами Дьюара. Эти сосуды имеют
его при этом
Рис. 230. Сосуд
Дьюара.
двойные стенки, между которыми создается высокий ва-
куум (рис. 230). Благодаря этому резко уменьшается теп-
лообмен между сжиженным газом и внешней средой. Когда
в сосуде Дьюара находится жидкость, имеющая очень
низкую точку кипения, плотно закрывать его нельзя,
так как вследствие накопления газа в закупоренном со-
суде может произойти взрыв.
435
С помощью жидкого воздуха, водорода и гелия можно
длительное время поддерживать в ограниченном объеме
очень низкую температуру. Например, при кипении жид-
кого гелия при пониженном давлении можно поддержи-
вать температуру около 1°К. Это позволяет изучать свой-
ства различных веществ при низких температурах. Ока-
зывается, что многие свойства веществ при этом сильно
изменяются. Так, свинец, пластичный при нормальных
условиях, становится упругим при низких температурах.
Обычно упругая резина, охлажденная в жидком воздухе,
становится хрупкой и т. п.
Изучение свойств вещества при сверхнизких темпера-
турах привело к открытию сверхтекучести ге-
лия и сверхпроводимости металлов. Было
показано, что жидкий гелий находится в двух различных
состояниях, которым соответствует гелий I и гелий И.
Теория сверхтекучести жидкого гелия была развита ака-
демиком Л. Д. Ландау.
Жидкий воздух используется в промышленности для
получения низких температур, а также для осуществле-
ния металлургических процессов, для взрывных работ,
для сжигания горючей смеси в некоторых реактивных
двигателях и т. д., где требуется чистый кислород. При ки-
пении жидкого воздуха в первую очередь превращается
в газ вещество, имеющее самую низкую температуру ки-
пения (см. табл. 29), поэтому азот выкипает быстрее кисло-
рода. После достаточно длительного кипения жидкого
воздуха в сосуде Дьюара остается почти чистый кислород,
который и используется в промышленности.
Как известно, в воздухе всегда имеется небольшое ко-
личество инертных газов: неона, аргона, криптона и ксе-
нона. Так как их температуры кипения различны, то их
можно выделить из жидкого воздуха с помощью специаль-
ного аппарата, называемого ректификационной
колонкой. Этими примерами далеко не ограничивает-
ся применение сжиженных газов в науке и технике.
§ 234. Водяной пар в атмосфере. Как известно, боль-
шая часть поверхности земного шара покрыта водой. Так
как жидкость испаряется при любой температуре, то
вследствие испарения воды с поверхностей океанов, морей,
озер и рек в атмосфере Земли всегда имеется водяной пар.
За год на Земле испаряется около 4,25-1014 т воды. Приб-,
436
лизительно 1/4 часть этой воды выпадает на сушу в виде
осадков. Естественно, что вблизи морей и океанов в воз-
духе содержится больше водяных паров, чем в глубине
материков. Иначе: над поверхностью моря воздух более
влажный, чем над поверхностью материка.
Величина, характеризующая наличие водянйх паров в
атмосфере Земли, называется влажностью. Степень влаж-
ности воздуха имеет очень большое значение в природе
и технике. При малой влажности воздуха ускоряется ис-
парение воды не только с поверхности водоемов, но и из
тел, содержащих воду. Например, в сухом воздухе овощи
быстро теряют влагу, сморщиваются и становятся мало-
пригодными для употребления. Во влажном воздухе в
овощах быстр^ развиваются процессы гниения. Таким
образом, в овощехранилищах должна поддерживаться
определенная влажность воздуха.
Большое значение имеет влажность воздуха и для
сушки различных изделий в промышленности. Чрезвы-
чайно велико влияние влажности воздуха на развитие
растительной и животной жизни на нашей планете.
Степень влажности воздуха существенно отражается на са-
мочувствии человека, на урожайности сельскохозяйствен-^
ных культур и на продуктивности животноводства. Сле-
довательно, изучение влажности воздуха, создание при-
боров для ее измерения и регулирования имеет большое
практическое значение.
§ 235. Абсолютная и относительная влажность воздуха.
Точка росы. Проще всего оценивать степень влажно-
сти плотностью или давлением водяного пара, находяще-
гося в воздухе. Полученное при этом значение влажности
называют абсолютной влажностью воз-
духа.
Абсолютная влажность воздуха измеряется плотно-
стью водяного пара ра или давлением водяного пара p.d,
находящегося в воздухе.
В табл. 30 приведены плотности и давления насыщаю^
щего водяного пара при различных температурах.
Однако абсолютная влажность не дает ясного пред-
ставления о действительной степени влажности воздуха.
В самом деле, пусть абсолютная влажность воздуха равна
0,0107^-, а температура его 25° С. Из табл. 30 видно
43?
Таблица 30
Давление насыщающих водяных паров и их плотность
при различных температурах
Темпе- рату- ра, °C Давление насыщающих водяных па- ров, мм рт. ст. Плотность, кг м3 Темпе- рату- ра, °C Давление насыщающих водяных па- ров, мм рт. ст. Плотность, кг м3’
0 4,6 0,0048 16 13,6 J 0,0136
1 4,9 0,0052 17 14,5 0,0145
2 5,3 0,0056 18 15,5 0,0154
3 5,7 0,0060 19 16,5 0,0163
4 6,1 0,0064 20 17,5 0,0173
5 6,6 0,0068 21 18,7 0,0183
6 7,0 0,0073 22 19,8 0,0194
7 7,5 0,0078 23 21,1 0,0206
8 8,0 0,0083 24 22,4 0,0218
9 8,6 0,0088 25 23,8 0,0230
10 9,2 0,0094 26 25,2 0,0244
И 9,8 0,0100 27 26,7 0,0258
12 10,5 0,0107 28 28,4 0,0272
13 11,2 0,0114 29 30,0 0,0287
14 12,0 0,0121 30 31,8 0,0303
15 12,8 0,0128
что при температуре 25° G и насыщении воздуха водяны-
ми парами их плотность должна быть 0,0230^-. Следо-
вательно, имеющийся в воздухе водяной пар составляет
около 50% того количества пара, которое нужно для
насыщения этого воздуха. В таком воздухе вода будет
быстро испаряться, поэтому его влажность надо считать
маленькой. Если температура этого воздуха понизится
до 12° С, то при той же абсолютной влажности он окажет-
ся насыщенным водяными парами (см. табл. 30), т. е. его
влажность будет большой.
Наконец, если температура воздуха упадет до 10° С,
то воздух окажется пересыщенным водяными парами и
из каждого кубического метра такого воздуха сконден-
сируется 0,0013 ка водяного пара, т. е. предметы покроют-
ся пленкой воды, как говорят, появится сырость.
Таким образом, чтобы иметь представление о степени
влажности воздуха, кроме абсолютной влажности,
нужно знать температуру воздуха. Поэтому для
438
оценки влажности воздуха часто пользуются относи-
тельной влажностью, обозначаемой буквой В.
Относительная влажность воздуха показывает, сколько
процентов составляет абсолютная влажность ра от плот-
ности водяного пара рн, насыщающего воздух при данной
температуре
в = Ра 100%.
Рн
(18.4)
Относительную влажность воздуха можно определить
и по давлению водяного пара, поэтому можно сказать и
так: относительная влажность воздуха показывает, сколько
процентов составляет абсолютная влажность ра от дав-
ления водяного <пара рц, насыщающего воздух при данной
температуре. Следовательно,
в=£чоо%.
ГН
(18.4а)
Отметим, что при расчетах рн и рн определяют из таб-
лиц. Для человека наиболее благоприятна относительная
влажность 60 — 70%.
Если воздух чистый, а его температура понизилась,
так что образовался пересыщенный пар, то в течение не-
которого времени пересыщенный пар может сохраняться
в воздухе без конденсации. Оказывается, что пар хорошо
конденсируется на соринках и на частицах, обладающих
электрическим зарядом. Когда такие частицы, например
с дымом, попадают в воздух, пересыщенный водяным па-
ром, то на них происходит конденсация пара, т. е. обра-
зуется туман. Именно поэтому в крупных промышленных
центрах, например в Лондоне, часто бывают туманы.
Выясним, почему стекла окон, например в вагонах,
всегда запотевают только изнутри, если температура в
вагоне выше, чем снаружи. Находящиеся в вагоне люди
выдыхают значительное количество водяного пара, поэ-
тому влажность воздуха в вагоне несколько повышена,
но все же меньше 100%. Стекла окон соприкасаются с
наружным воздухом, и их температура несколько ниже,
чем в вагоне. Прилегающий к ним внутри вагона воздух
может оказаться при этой температуре пересыщенным
парами, и избыток паров конденсируется на стеклах.
439
Подобного рода явление наблюдается и в природе. Когда
после теплого дня температура вечером понижается, воз-
дух может оказаться пересыщенным водяными парами, и
их избыток выделяется в виде росы на траве.
Температура, при которой воздух в процессе охлажде-
ния становится насыщенным водяными парами, называет-
ся точкой росы.
Отметим, что абсолютная влажность воздуха равна
плотности насыщающего пара при точке росы. Следова-
тельно, абсолютную влажность можно найти по табл. 30,
если известна точка росы.
§ 236. Приборы для определения влажности воздуха.
Большинство приборов для определения влажности воз-
духа называется гигрометрами (от греческого
Рис. 231. Весовой гигрометр.
«гигрос» — влажность).
Для определения абсолют-
ной влажности воздуха
применяются весовой и
конденсационный гигро-
метры.
Весовой, или а б-
с о л ю т н ы й, гигро-
метр имеет следующее
устройство. Сосуд, имею-
щий кран Д', заполняется
водой (рис. 231). Верхнее
отверстие сосуда соеди-
няется с трубками А, содержащими вещество, жадно
поглощающее водяные пары, например хлористый каль-
ций. Ближайшая к сосуду трубка А устанавливается
для того, чтобы водяные пары из сосуда не попали в две
другие трубки. Эти две трубки взвешиваются, а затем
присоединяются к сосуду. После этого кран' К откры-
вается и вода, объем которой должен быть известен,
выпускается из сосуда. Когда вода вытечет, трубки взве-
шиваются вторично. Разница в весе трубок дает массу
водяного пара в том воздухе, который, пройдя через
трубки в сосуд, занял объем выпущенной воды. Разделив
массу пара на объем воды, определяют абсолютную влаж-
ность воздуха. Такой способ определения влажности хотя
и обладает большой точностью, но отнимает много времени;
поэтому им пользуются редко. Весовой гигрометр на прак-
440
тике применяется как эталонный прибор при градуировке
других гигрометров.
Конденсационный гигрометр позво-
ляет определить точку росы, а затем по таблице найти
абсолютную влажность воздуха. Он состоит из металли-
ческой коробочки с отполированной поверхностью (рис.
232). На коробочку надевается ме-
таллическое кольцо с резиновой
прокладкой, являющейся плохим
проводником тепла. Сверху в ко-
робочке имеются два отверстия,
одно из которых соединяется с
насосом или резиновой грушей.
Через второе отверстие в коробоч-
ку наливается летучая жидкость,
например эфир, а затем в это от-
верстие вставляется термометр.
Продувание воздуха через эфир
способствует его быстрому испаре-
нию. При этом коробочка охлаж-
дается и на ее полированной
поверхности появляется роса. При
появлении росы поверхность коро-
бочки тускнеет, что хорошо замет-
но, так как поверхность кольца
рне. 232. Конденсацион-
ный гигрометр для опре-
деления точки росы.
остается блестящей. В момент по-
явления росы на коробочке заме-
чают показание термометра, ко-
торое и определяет точку росы.
Для определения относительной влажности приме-
няются волосяной гигрометр и психрометр.
Волосяной гигрометр состоит из обезжи-
ренного человеческого волоса, один конец которого за-
креплен вверху прибора, а другой перекинут через блок
со стрелкой (рис. 233). К свободному концу волоса при-
крепляется небольшой грузик, позволяющий сохранять
постоянное натяжение волоса. Волос обладает гигроско-
пичностью, т. е. поглощает водяные пары из воздуха и
при этом удлиняется. В сухом воздухе волос теряет влагу
и укорачивается. При изменении относительной влажно-
сти воздуха стрелка перемещается по шкале прибора.
Таким образом, положение стрелки на шкале волосяного
гигрометра определяется относительной влажностью
441
воздуха. Шкала этого прибора градуируется по эталон-
ному гигрометру.
Психрометр (от греческого «психриа» — холод)
состоит из двух одинаковых термометров. Шарик со рту-*
тью одного из термометров обвязывается марлей, конец
которой опускается в стаканчик с водой (рис. 234). По
капиллярам в марле вода
из стаканчика поднимается
вверх, и вся марля, окружа-
ющая шарик, пропитывается
Рис. 234. Психрометр.
Рис. 233. Волосяной
гигрометр.
водой. Чем суше воздух, тем быстрее испаряется вода из
марли и ниже опускается температура ртути в шарике
термометра. Термометр, обвязанный марлей, принято
называть влажным. Следовательно, температура, по-
казываемая влажным термометром,, зависит от быстроты
испарения воды из марли, т. е. от относительной влажности
воздуха. Второй термометр принято называть сухим.
Он измеряет температуру окружающего воздуха.
Таким образом, чем больше относительная влажность
воздуха, тем меньше разность показаний обоих термомет-
ров. При влажности, равной 100%, оба термометра пока-
зывают одинаковую температуру. Величина относитель-
ной влажности воздуха находится с помощью психрометри-
ческих таблиц (табл. 31) по показаниям сухого и влажного
термометров. Допустим, что сухой термометр показывает
442
Таблица 31
Психрометрическая таблица для определения относительной
влажности воздуха в процентах
Показания сухого термомет- ра, °C Разность показаний сухого и влажного термометров, °C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 100 82 63 45 28 11
2 100 84 68 51 35 20
4 100 85 70 56 42 28 14
6 100 86 73 60 47 35 23 10
8 100 87 75 63 51 40 28 18 7
10 100 88 76 65 54 44 34 24 14 4
12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11
14 100 90 ^9 70 60 51 42 33 25 17 9
16 100 90 81 71 62 54. 45 37 30 22 15
18 100 91 82 73 64 56 48 41 34 26 20
20 100 91 83 74 66 - 59 51 44 37 30 24
22 100 92 85 76 68 61 54 47 40 34 28
24 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31
26 100 92 85 78 71 64 58 50 45 40 34
28 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37
30 100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39
температуру 20° G, а влажный 15° G. Так как разность
показаний термометров равна 5°G, то относительную
влажность воздуха находим на пересечении строки с на-
чальным числом 20 и столбца с начальным числом 5. В рас-
сматриваемом примере влажность равна 59%.
УПРАЖНЕНИЯ
1. 8 кг льда, взятого при температуре — 30° G, расплавили и
образовавшуюся воду нагрели до 20° С. Сколько теплоты потребо-
валось для этого?
Ответ: 3,85* 106 дж.
2. 150 г расплавленного олова при температуре его плавления
вылито в 300 г воды при температуре 12° С. Вычислить температуру
смеси.
Ответ: 25° С.
3. 2 л воды, имеющей температуру 10° С, нагревают до 80 С,
вводя в нее водяной пар при температуре 100° G. Сколько пара по-
надобится для нагревания воды?
Ответ'. 0,25 кг.
4. В 0,5 кг воды ввели 63 г водяного пара при температуре 100 С,
после чего установилась температура 80° С. Какова была начальная
температура воды?
Ответ: 9,6° С.
ГЛАВА 19
ТЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
§ 237. Принцип действия тепловых двигателей. Двига-
тели, действие которых основано на превращении внутрен-
ней энергии в механическую, называются тепловыми.
В современной технике тепловые двигатели занимают одно
из важнейших мест. Они испоЯьзуются на кораблях, в
тепловозах, автомобилях, самолетах, ракетах и т. д.
Опыт показал, что внутреннюю энергию какого-либо
тела (нагревателя) частично можно превратить в механи-
ческую, но только в процессе теплообмена, когда тепло
передается от этого тела другому телу с более низкой
температурой (холодильнику), т. е. при наличии разности
температур между телами. Однако при этом часть теплоты,
взятой от нагревателя, обязательно перейдет к холодиль-
нику и увеличит его внутреннюю энергию. Следовательно,
лишь разность этих теплот может быть превращена в меха-
ническую работу.
Если количество переданной нагревателем, теплоты
обозначить через Qx, а количество теплоты, полученной
холодильником, через Q2, то механическая работа А будет
равна
А — Qi — Q2'
Впервые этот вопрос был исследован французским уче-
ным С. Карно (1796—1832 гг.). Карно доказал (1824 г.),
что для устройства любой тепловой машины необходимо
иметь нагреватель с температурой Тн (рис. 235), холо-
дильник с более низкой температурой 7\ и рабочее тело,
444
которое получает от нагревателя количество теплоты QH,
передает холодильнику количество теплоты Qx, а разность
QH —Qx превращает в работу А.
Он же установил, что в идеальном случае природа
рабочего тела никакого существенного значения не имеет.
Так как на практике рабочим телом в тепловой машине
всегда служит пар или газ, то в
дальнейшем рабочее тело будет
называться просто газом.
§ 238. Работа, совершаемая
газом при расширении. Для
того чтобы понять действие
тепловых двигателей, необходи-
мо установить условия, при
которых газ может выполнять
работу, и знать, как ее можно
Рис. 235. Принципиальная
схема устройства тепловой
определить.
Вспомним, что заключенный
в сосуде газ всегда давит на машины.
стенки сосуда. Если создать
такие условия, при которых газ мог бы расширяться,
преодолевая противодействие внешнего давления, то в
процессе своего расширения газ будет совершать работу.
Рис. 236. При изобарическом
расширении газ совершает рабо-
ту, перемещая поршень из поло-
жения / в положение 2.
Действительно, пусть в
цилиндре с подвижным
поршнем заключена неко-
торая масса газа при тем-
пературе Т19 равной тем-
пературе окружающей сре-
ды. При этом поршень
будет находиться в покое,
если давление р на него
снаружи и изнутри одина-
ково, т. е. равно атмосфер-
ному. Если теперь подо-
гревать этот газ, то он начнет расширяться.
Пусть при нагревании газа до температуры Т2 поршень
переместился на расстояние А/ (рис. 236). Следователь-
но, газ, расширяясь, переместил поршень и тем самым
выполнил работу против внешних сил. Так как давление
оставалось постоянным, то действующая на поршень сила
F равна pS9 где S — площадь поршня. Таким образом,
445
выполненная газом работа выразится формулой
A =FAl
или
А = pSAl.
Так как SAI представляет собой увеличение объема газа
ЛК при расширении, то
A = pAV.
(19.1)
Итак, работа газа при его изобарическом нагревании
определяется формулой (19.1). Из нее видно, что при рас-
ширении газ совершает работу.
Рис. 237. Заштрихованная площадь
на рисунке численно равна работе
газа.
Оказывается, что газ
может совершать рабо-
ту только в процессе
своего расширения. При
сжатии газа, наоборот,
внешние силы совер-
шают работу над газом
и тЫ самым могут уве-
личить его потенциаль-
ную энергию.
На рис. 237 изобра-
жен график изобариче-
ского процесса в коор-
динатах V и р. Из него
следует, что работа газа
при изобарическом процессе численно равна заштри-
хованной площади. Можно доказать, что и при всех других
процессах в газе выполненная им работа численно равна
площади, ограниченной двумя ординатами, осью абсцисс
и графикой этого процесса в координатах V и р.
§ 239. Понятие об идеальной тепловой машине Карно.
В качестве примера рассмотрим работу газа в тепловой
машине, предложенной Карно. В этой машине рабочим
телом является идеальный газ, который в процессе рабо-
ты машины периодически возвращается к своему началь-
ному состоянию, а затем снова повторяет весь цикл изме-
нения в том же порядке. Таким образом, в машине Карно
периодически повторяется один и тот же цикл изменения
446
состояний рабочего тела. Подобного рода процессы полу-
чили название круговых процессов. Диаграмма кругового
цикла в машине Карно изображена на рис. 238.
Пусть начальное состояние газа соответствует точке 7.
При этом газ соприкасается с нагревателем, имеющим тем-
пературу Тн. Предположим теперь, что газ расширяется,
сохраняя температуру Тн, т. е. изотермически переходит
из состояния 1 в состояние 2, получая при этом от нагре-
вателя количества теплоты QH. Затем этот газ отсоеди-
няется от нагревателя и продолжает расширяться без
теплообмена с окружающей
средой, т. е. адиабатически пе-
реходит из состояния 2 в со-
стояние 5. После этого газ
соединяется с холодильником,
имеющим температуру Тх, и
изотермически сжимается до
состояния 4, отдавая при этом
холодильнику количество теп-
лоты Qx. Отсоединив газ от
холодильника и адиабатически
сжимая его, снова переводят
/7м
Рис. 238. Диаграмма цикла
Карно.
газ в начальное состояние 7, по-
сле чего весь цикл изменения состояний газа повторяется.
Выясним, какие изменения энергии происходят за один
круговой цикл в такой машине. Ясно, что внутренняя
энергия нагревателя уменьшается на а внутренняя
энергия холодильника увеличивается на <2Х. Кроме
того, газ выполняет работу Л, равную QH — Qx, которая
и определяет полученную механическую энергию за один
цикл, что следует из закона сохранения энергии.
На рис. 238 работа А численно определяется площа-
дью, ограниченной диаграммой цикла Карно 1-2-3-4-1.
Действительно, площадь 1-2-3-В-Б-1 численно равна работе,
совершенной газом в процессе расширения, а площадь
8-В-Б-1-4-3 равна работе, затраченной на сжатие газа для
перевода его в начальное состояние 7. Так как газ при рас-
ширении выполнил больше работы, чем было затрачено
на его сжатие, то за каждый цикл получается полезная
работа А, определяемая площадью, ограниченной диаг-
раммой цикла Карно.
Поскольку в машине Карно потери энергии на трение
и нагревание окружающей среды не принимаются во
447
внимание, эту машину принято называть идеальной.
Оказывается, если процессы, происходящие в любой теп-
ловой машине, изобразить в виде диаграммы в координа-
тах V и р, то площадь, ограниченная диаграммой цикла,
всегда равна полученной за один цикл механической энергии.
Такого рода диаграммы принято называть индика-
торными.
§ 240. Коэффициент полезного действия тепловой ма-
шины. В предыдущем параграфе было установлено, что
в тепловой машине за один цикл от нагревателя забирает-
ся энергия, численно равная количеству теплоты QH, а
в механическую энергию превращается QH — Qx = Qn,
где Qn обозначает полезную теплоту, превращенную в
механическую работу Л. Число, показывающее, какую часть
теплоты QH, полученной от нагревателя, составляет по-
лезная теплота Qn, превращенная в механическую работу
А, называется тепловым коэффициентом полезного дей-
ствия тепловой машины
у. __ Qn____________Qн Qx
,т QH ~ Q^
(19.2)
Для идеальной тепловой машины под Qx подразуме-
вается количество теплоты, отданной холодильнику, а
для реальных машин Qx обозначает сумму теплоты, пере-
данной холодильнику, и теплоты, потерянной в машине
вследствие теплообмена с окружающей средой. Это озна-
чает, что коэффициент полезного действия реальных
тепловых машин всегда меньше к. п. д. идеальной тепло-
вой машины, работающей при тех же температурах нагре-
вателя и холодильника, что и реальные машины.
Наибольший теоретически возможный к. п. д. при тем*
пературах нагревателя и холодильника Тп и 7\ соответ*
ственно имеет тепловая машина, работающая по циклу
Карно. В своих работах Карно доказал, что к. п. д. идеаль-
ной тепловой машины определяется формулой
7Н—Гх
1 н
(19.3)
448
Следовательно, для повышения к. п. д. тепловой ма-
шины нужно, чтобы температура нагревателя Тп была
как можно выше, а температура холодильника Т* как
можно ниже. Кроме того, следует по возможности умень-
шать теплообмен машины с окружающей средой и трение
в самой машине. Если при расчете к. п. д. учесть все виды
тепловых и механических потерь, возникающих при ра-
боте теплового двигателя, то получится его эффек-
тивный коэффициент полезного дей-
ствия т)э, которым обычно и характеризуют тепловые
двигатели.
Эффективный коэффициент полезного действия тепло-
вого двигателя показывает, какую часть от всей энергии,
выделившейся при полном сгорании топлива, составляет
полезная работа, полученная на валу двигателя,
(19.4)
Эффективные к. п. д. тепловых двигателей выражаются
следующими значениями (в процентах):
Паровые машины....................до 20
Двигатели внутреннего сгорания . . » 39
Паровые турбины............... ...» 43
Газовые турбины....................» 34
Реактивные двигатели...............» 42
§ 241. Виды тепловых двигателей. Понятие о паро-
вых машинах и паровых турбинах. По способам полу-
чения механического движения тепловые двигатели
подразделяются на поршневые (паровые ма-
шины и двигатели внутреннего сгорания), рота-
ционные*) (паровая и газовая турбины) и ре-
активные.
В поршневых двигателях под действием давления газа
или пара в рабочем цилиндре машины происходит воз-
вратно-поступательное (колебательное) движение порш-
ня, которое с помощью шатунно-кривошипного механизма
*) От итальянского слова «ротацио» — круговращение.
15 Л. С. Жданов, В. А. Марандиед
449
преобразуется во вращательное движение коленчатого
вала машины.
В ротационных двигателях струя пара или газа на-
правляется на лопатки рабочего колеса, которое прихо-
дит во вращательное движение.
В реактивных двигателях газообразные продукты
сгорания топлива в рабочей камере выбрасываются из
нее с большой скоростью через сопло и силой отдачи при-
водят весь двигатель в движение в противоположную
сторону.
Паровые машины работают на перегретом паре, что
позволяет несколько повысить их к. п. д. Однако приме-
нять пар высокого давления в паровых машинах нельзя,
так как такой пар имеет настолько высокую температуру,
что рабочий цилиндр машины и поршень находились бы
в раскаленном состоянии. Кроме того, для получения
большого количества пара пользуются паровыми котлами,
в которых неизбежны значительные потери энергии. Цели
добавить к этому потери энергии в топке котла и в паро-
проводе, соединяющем паровой котел с рабочим цилинд-
ром, то становится ясным, что паровые машины не могут
иметь высокого к. п. д. Снятые с эксплуатации паровозы
имели к. п. д. только около 5%.
Принцип устройства паровых турбин практически не
отличается от принципа устройства водяных турбин (см.
§ 160). Поскольку пар направляется непосредственно
на лопатки рабочего колеса турбины, для ее работы можно
использовать пар высокого давления (около 600 ат),
имеющий такую температуру, что паропровод и лопатки
рабочего колеса раскаляются. Однако рабочий вал тур-
бины имеет при этом температуру, которая не опасна
для действия двигателя. Использование пара высокого
давления позволяет получать сравнительно большие
к. п. д. паровых турбин. В настоящее время паровые
турбины относятся к числу распространенных тепловых
двигателей.
§ 242. Двигатели внутреннего сгорания. Для того
чтобы повысить температуру нагревателя и уменьшить
потери энергии в окружающую среду, удобно сжигать
горючее непосредственно в рабочем цилиндре теплового
двигателя. На этом и основано устройство двигате-
лей внутреннего сгорания.
450
Различают два основных типа двигателей внутреннего
сгорания:
1) двигатели с внешним смесеобразованием (к а р б ю*
раторные) и
2) двигатели с внутренним смесеобразованием (д и з е-
л и).
Применяемый в настоящее время карбюраторный дви-
гатель создал в 1867 г. немецкий изобретатель Н. Отто
(1832—1895 гг.). *
Схема работы этого двигателя изображена на рис. 239.
Каждый рабочий цикл двигателя подразделяется на че-
тыре такта*),
Рис. 239. Схема работы четырехтактного двигателя внутреннего
сгорания.
Первый такт (всасывание) — поршень движется
вниз и через впускной клапан всасывает в цилиндр бен-
зино-воздушную смесь, приготовленную в карбюраторе
(см. § 154). (Поэтому такой двигатель и называют карбюра-
торным, или двигателем с внешним смесеобразованием.)
Второй такт (сжатие) — поршень движется
вверх. Впускной клапан закрывается, и горючая смесь
сжимается примерно в 4—7 раз. В конце такта давление
*) Существует и двухтактный двигатель внутрен-
него сгорания, устройство которого здесь не рассматривается!.
15* 45!
достигает 6—12 ат, а температура газа повышается до
150—350° С.
Третий такт (рабочий ход) — при помощи элект-
рической искры смесь зажигается. Температура при этом
повышается до 1600—1800° С, а давление увеличивается
до 25—50 ат, вследствие чего поршень быстро движется
вниз и передает свою энергию коленчатому валу двигате-
ля. Расширившийся газ в конце такта имеет температуру
700—1000° С и давление 3—8 ат.
Четвертый такт (выхлоп) — поршень движет-
ся вверх, выпускной клапан открыт и отработанный газ
через глушитель и выхлопную трубу вытесняется в ат-
мосферу, имея температуру 400—600° G.
Эффективный к. п. д. такого двигателя не превышает
24% из-за малой степени предварительного сжатия газа.
Увеличить же сжатие нельзя, так как при увеличении
давления повышается и температура горючей смеси, от-
чего может произойти преждевременное самопроизволь-
ное воспламенение горючей смеси до того, как поршень
дойдет до верхней «мертвой» точки.
Это затруднение было устранено немецким изобрета-
телем Р. Д и з е л е м (1858—1913 гг.), который в 1897 г.
сконструировал двигатель с внутренним смесеобразова-
нием, носящий ныне его имя.
Двигатель Дизеля (или просто дизель)
отличается от двигателя Отто тем, что поршень засасывает
в цилиндр чистый воздух, и поэтому сжать его к концу
второго такта удается до давления 28—40 ат, вследствие
чего температура воздуха повышается до* 550—650° С.
В этот сжатый воздух в момент, когда поршень только
что прошел верхнюю «мертвую» точку, впрыскивается жид-
кое горючее при помощи специального насоса через фор-
сунку (распылитель). Горючее немедленно воспламеняет-
ся, давление возрастает до 50—80 ат, а температура по-
вышается до 1400—1900° С. В остальном работа двигателя
Дизеля сходна с работой двигателя Отто.
Преимущество двигателя Дизеля перед двигателем
Отто заключается в том, что он имеет более высокий эф-
фективный к. п. д. (до 39%). Кроме того, он дает возмож-
ность получить большие мощности. Например, наиболь-
шая мощность, развиваемая крупнейшим из существую-
щих двигателей Отто, составляет 3700 кет (5 000 л, с.)9
а двигателя Дизеля — 16 200 кет (22 000 л. с.). Не ме-
452
нее ценным качеством дизеля является то, что он ра-
ботает на дешевых и грубых сортах топлива (нефть,
соляровое масло и др.), в то время как карбюраторный
двигатель требует высококачественных сортов топлива
(бензин).
Недостаток дизеля заключается в том, что его вес,
приходящийся* на единицу мощности, значительно боль-
ше, чем в двигателе Отто.
Благодаря удобствам и безопасности в эксплуатации,
быстрому пуску и простоте управления, двигатели внут-
реннего сгорания получили большое распространение и
устанавливаются на автомобилях, тракторах, мотоциклах,
самолетах, тепловозах, теплоходах и в стационарных уста-
новках.
Рис. 240. Принципиальная схема
устройства реактивного двигателя,
работающего на жидком топливе.
§ 243. Реактивные двигатели. Реактивным называется
двигатель, который преобразует химическую энергию топ-
лива в кинетическую энергию газовой струи и создает силу
тяги, являющуюся силой
реакции вытекающей
струи газа.
Существуют две ос-
новные группы реактив-
ных двигателей: р а-
к е т н ы е, в которых
используются горючее
и окислитель, перево-
зимые вместе с двигате-
лем, и воздушно-реактивные, в которых ис-
пользуется горючее, перевозимое вместе с двигателем, а
окислителем служит воздух, поступающий в двигатель
из атмосферы.
Очевидно, для космических полетов могут быть исполь-
зованы только ракетные двигатели, а на самолетах и дру-
гих машинах, работающих в пределах атмосферы, можно
ставить как ракетные, так и воздушно-реактивные дви-
гатели.
На рис. 240 показана принципиальная схема ракетного
двигателя, работающего на жидком топливе (ЖРД). В ка-
меру сгорания 1 через форсунку 2 подается топливо, а
через форсунку 3 — окислитель. При горении смеси горю-
чего и окислителя внутри камеры сгорания двигателя
образуются продукты сгорания, имеющие высокое давле-
453
ние и высокую температуру. Струя газа с большой ско-
ростью v выбрасывается через реактивное сопло 4, в ре-
зультате чего возникает реактивное действие отбрасывае-
мой массы газов, т. е. создается реактивная с и -
л а, направленная в сторону, противоположную скорости
истечения газов. Эта реактивная сила и служит силой тя-
ги, приводящей в движение машину (ракету, самолет,
автомобиль и т. д.), на которой установлен двигатель.
Ракетный двигатель может работать и на твердом топ-
ливе (порох и другие специальные виды твердого топлива
для ракет).
Рис. 241. Схема устройства ракеты на жидком
топливе.
На рис. 241 показана схема ракеты на жидком топливе.
В современной авиации большое распространение по-
лучили воздушно-реактивные двигатели, так как при их
использовании не нужно перевозить на самолете окис-
литель.
Рис. 242. Принципиальная схема устройства турбореактив-
ного двигателя.
Из всех видов воздушно-реактивных двигателей наи-
большее применение нашли турбореактивные
двигатели (ТРД) с осевым компрессором и бес-
компрессорные прямоточные воздушно-ре-
активные двигатели (ПВРД).
454
На рис. 242 показана принципиальная схема турбо-
реактивного двигателя. Через входное устройство 1 воздух
поступает в компрессор 2, который сжимает его и направ-
ляет в камеру сгорания 3. Форсунки, установленные
в камере сгорания, распыляют топливо, которое немед-
ленно сгорает, причем температура газовоздушной смеси
достигает 900° С. Поток газа, обладающий большой ско-
ростью, направляется в газовую турбину 4. Ротор (рабочее
колесо) турбины и ротор компрессора находятся на одном
валу, поэтому ротор турбины, приводимый в движение
потоком газа, вращает ротор компрессора, что обеспечи-
вает непрерывную работу двигателя. Пройдя через турби-
ну и отдав ей часть своей энергии, газ устремляется в
реактивное сопло 5, откуда выбрасывается со скоростью
v, создавая реактивную силу тяги.
Турбореактивные двигатели могут развивать мощность
в несколько десятков тысяч киловатт и силу тяги 9-104—
—105 н (5—10 тыс. кГ) при скоростях полета от 800-^
до 3600^ (1000т. е. развивать скорость, в три раза
Ч LC/V
большую скорости звука.
Для дальнейшего увеличения скорости полета тре-
буется увеличить тяговое усилие двигателя и соответ-
ственно его мощность.
Эту задачу можно ре-
шить, применив пря-
моточный воздушно-
реактивный двигатель
(ПВРД), принципиаль-
Рис. 243. Принципиальная схема
устройства прямоточного воздушно-
реактивного двигателя.
ная схема которого по-
казана на рис. 243.
Воздушный поток, на-
бегающий на входное
устройство /, тормозится, и его давление увеличивается.
Давление продолжает расти и внутри самого входного
устройства. Сжатый воздух попадает в камеру сгорания 2,
куда при помощи форсунок 3 подается горючее. При пуске
двигателя топливо зажигается с помощью специальных
пусковых форсунок, которые в дальнейшем выключаются,
и сгорание происходит непрерывно. Продукты сгорания
с большой скоростью v выбрасываются через сопло 4,
создавая реактивную силу тяги.
455
Прямоточные воздушно-реактивные двигатели могут
развивать мощность в несколько сот тысяч киловатт и
силу тяги в несколько сот тысяч ньютонов.
Чем больше скорость полета, тем выше коэффициент
полезного действия и развиваемая мощность прямоточного
воздушно-реактивного двигателя. Поэтому на самолетах,
летящих со скоростями, превышающими скорость звука,
устанавливаются, как правило, прямоточные воздушно-
реактивные двигатели.
§ 244. Понятие о втором начале термодинамики. Веч-
ный двигатель второго рода. В § 211 говорилось, что из-
менение энергии какой-либо системы в процессе ее пере-
хода из одного состояния в другое определяется выпол-
ненной работой А и переданной теплотой Q. Оказывается,
что между процессами изменения энергии системы при вы-
полнении работы и при теплообмене имеется существен-
ное различие.
Опыт показал, что механическая энергия тела в про-
цессе выполнения работы может полностью превращаться
во внутреннюю энергию тел, участвующих в этом про-
цессе, а внутренняя энергия, отнятая у тела в процессе
теплообмена, ни при каких реально встречающихся усло-
виях в механическую энергию полностью не превращает-
ся. Иначе говоря, механическую работу А можно полно-
стью превратить в теплоту Q, а отнятую у тела теплоту
Q полностью превратить в работу невозможно. Следова-
тельно, работа и теплота неравноценны друг другу, хотя
в количественном отношении и эквивалентны (см. § 208).
Дальнейшее изучение этого вопроса показало, что
не только механическая энергия, но и все другие виды
энергии могут полностью превращаться во внутреннюю
энергию, а внутренняя энергия полностью в другие виды
энергии никогда не превращается.
Поскольку при механическом движении тел на Земле
всегда возникает трение, обусловливающее превращение
механической энергии во внутреннюю энергию, в явле-
ние природы механическая энергия самопроизвольно
превращается во внутреннюю энергию тел.
Вспомним, что при трении тела нагреваются. Следова-
тельно, между этими телами и окружающей средой воз-
никает разность температур. Наличие же разности темпе-
ратур создает теплообмен, который ведет к выравниванию
456
температур всех тел. Таким образом, механическая энергия
в конечном счете превращается в энергию беспорядочного
теплового движения молекул вещества. Изложенное отно-
сится не только к механической энергии. Оказывается,
что в явлениях, происходящих на Земле, всегда наб-
людается самопроизвольное превращение всех дру-
гих видов энергии в энергию теплового движения
молекул, г
Когда имеется разность температур между телами, то
в природе самопроизвольно возникают и такие процессы,
при которых часть внутренней энергии, передаваемой от
одного тела к другому во время теплообмена, превращает-
ся в другие виды энергии, например в механическую
энергию. Так, различие температур на поверхности Земли
приводит к возникновению ветра. Однако затем механи-
ческая энергия ветра снова превращается в энергию теп-
лового движения молекул, а разность температур исче-
зает. Таким образом, процессы, сопровождающиеся прев-
ращением механической энергии во внутреннюю, встре-
чаются на практике также часто, как и процессы, сопро-
вождающиеся обратным превращением энергии.
Сущность же различия между этими процессами за-
ключается в том, что в процессах первого рода механическая
энергия может целиком превращаться во внутреннюю
энергию, а в процессах второго рода только часть внутрен-
ней энергии может превратиться в механическую энергию.
Кроме того, в результате таких процессов разность тем-
ператур обязательно уменьшается.
Так как внутренняя энергия может превращаться в
другие виды энергии только при наличии разности темпе-
ратур между телами (см. § 237), то в результате само-
произвольно протекающих процессов в природе должно
происходить постепенное превращение всех видов энергии
в энергию хаотического движения молекул, а существую-
щие разности температур должны уменьшаться. Таким
образом, если Земля перестанет получать энергию от
Солнца, то через некоторое время должен наступить мо-
мент, когда на Земле все виды энергии преобразуются во
внутреннюю энергию тел, а температура всюду станет
одинаковой, т. е. все придет в тепловое равновесие и про-
цессы превращения энергии практически прекратятся.
Из сказанного следует, что энергия теплового движения
молекул не всегда может. быть превращена в другие виды
457
энергии, в то время как обратное превращение всегда может
быть осуществлено. Кроме того, чем меньше разность тем-
ператур, тем меньшую долю энергии хаотического движе-
ния молекул можно превратить в другие виды энергии.
Итак, энергия хаотического движения молекул — наиме-
нее ценная для людей. Чем больше ее становится, тем
меньше остается энергии других видов, т. е. такой энергии,
которую можно использовать для нужд человека. Все
изложенное выше составляет содержание второго
начала термодинамики:
все протекающие на Земле явления способствуют обес-
цениванию, или деградации, энергии.
Величина, являющаяся мерой обесценивания энергии,
называется энтропией. Все явления природы способствуют
возрастанию энтропии. Поэтому второе начало
термодинамики можно сформулировать так:
энтропия замкнутой системы стремится к макси-
муму.
Из второго начала термодинамики следует, что нельзя
создать тепловую машину без холодильника, т. е. такую
машину, которая получала бы теплоту от одного тела и
полностью превращала бы ее в работу без каких-либо
изменений в других телах. Если бы такая машина была воз-
можна, то, получая из воды океана теплоту и полностью
превращая ее в работу, эта машина могла бы приводить
в действие все промышленные предприятия земного шара
и лишь через несколько тысяч лет обнаружилось бы, что
температура воды в океанах понизилась на несколько
сотых долей градуса. Однако создать такую машину
нельзя, так как при ее работе энтропия уменьшалась бы,
поскольку хаотическое движение молекул превращалось
бы в упорядоченное механическое движение.
Машина, единственным результатом работы которой
являлось бы получение теплоты от источника и полное
превращение этой теплоты в работу, называется вечным
двигателем второго рода. Второе начало тер-
модинамики можно выразить и так:
вечный двигатель второго рода невозможен.
В 1877 г. выдающийся австрийский ученый Л. Б о л ь-
ц м а н (1844—1906 гг.) показал, что второе начало термо-
динамики имеет статистический смысл. Он уста-
новил, что переход от порядка к беспорядку, т. е. переход
упорядоченных форм движения материи в беспорядочное
458
движение молекул вещества — наиболее вероятен в при-
роде. Оказывается, что процессы, при которых беспорядоч-
ное движение полностью превратилось бы в упорядочен-
ное, столь мало вероятны, что в природе практически
никогда не происходят. Таким образом, процессы, связан-
ные с уменьшением энтропии, хотя принципиально и воз-
можны, но столь мало вероятны, что на практике никогда
не наблюдакупся.
Следует помнить, что второе начало термодинамики
применимо только к замкнутой системе, состоящей из
очень большого числа частиц. Это означает, что его нельзя
применять как к системе, состоящей из небольшого числа
молекул, так и ко всей вселенной, которую нельзя считать
замкнутой системой.
Приложение
ЕДИНИЦЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ (СИ)
Наименованне величины Единица измерения*) Соотношения между ста- рыми и внесистемными единицами и единицами СИ
Длина Основные е j] |метр (ж) 1 И И И ц ы 1 сантиметр (см) = 10~2 м, 1 километр (юи)=103 м
Масса килограмм (кг) 1 грамм (г)=Ю~3 кг, 1 тонна (т) = 103 кг, 1 центнер (^) = 102 кг
Время секунда (сек) 1 минута (мин) =60 сек, 1 час (ч) = 3600 сек
Сила электричес- кого тока ампер (а) 1 отмененный ампер (а) = = 0,99985 а
Термодинамичес- кая температура градус Кель- вина (°К) 1 градус Цельсия (°C) Г=Г 4-273,15°С
Сила света *) В скобках j измерения. свеча (св) указаны сокранц 1 международная свеча = = 1,005 св ^нные обозначения единиц
460
Продолжение
Наименование величины Единица измерения Соотношения между старыми и внесистемными единицами и единицами СИ
Доп Плоский угол олнительнь: радиан (рад) ie единицы 1 градус (°) = j^pad минута (') = 7КБ «10"2 рад 1ио секунда (") = ~ -10"3 рад
Телесный угол стерадиан (стер) 1 стерадиан (стер)
М е Площадь Производные е панические квадратный метр (м2) диницы единицы 1 квадратный сантиметр (см2) = 10~4 м2
Объем кубический метр (м3) 1 кубический сантиметр (c^t3)=10“6 м3, 1 литр (л) =1,000028-10“W
I Плотность килограмм на кубический f кг \ метр^ 1 грамм на кубический сан- тиметр = 108 \CM3J м3
Скорость метр в секунду м \сек J 1 сантиметр в секунду ( М \сек / сек ’ 1 / км\ 1 километр в час 1 — 1 = 1 м 3,6 сек
461
П родолжение
Наименование величины Единица измерения Соотношения между старыми и внесистемными единицами и единицами СИ
Ускорение метр на секун- ду в квад- Рате(с-М 1 сантиметр на секунду в / см \ 1П_о м квадратЧ^л
Сила, вес ньютон (я) 1 килограмм-сила (/<Г) = =9,80665 н, 1 дина (дин) = 10~б н
Удельный вес ньютон на ку- бический метр(^) 1 килограмм-сила на куби- ческии дециметр 1 j = = 9,80665-103 4- м3
Работа, энергия джоуль (дж) 1 килограммометр (кГм) = = 9,80665 дж, 1 зрг=10“7 дж
Мощность ватт (etn) 1 килограммометр в секун- ду =9,80665 etn, J \ сек J 1 лошадиная сила (л. с.) = = 735,499 ет, 1 (эРг\ 1 эрг в секунду ^1 = = 10~7 etn
Давление, напря- жение ньютон на квадратный метри0 1 техническая атмосфера (ат)=98 066,5^, 1 физическая атмосфера (атл1)=101 325
Угловая скорость радиан в секун- { рад\ ду -— ) J \ сек ) 1 В2Ё. сек
Частота герц (гц) 1 гц
462
Продолжение
Наименование величины Единица измерения Соотношения между старыми и внесистемными единицами и единицами СИ
Тепловые единицы
Количество тепло- ты i джоуль (дж) 1 калория (кал) = 4,1868 дж, 1 килокалория (ккал) *=> = 4186,8 дж
Удельная тепло- емкость джоуль на ки- лограмм-гра- / дж \ дуС \кг»град) 1 килокалория на кило- ( ккал \ грамм-градус^ = =4186,8 — кг» град
Удельная теплота фазового пре- вращения джоуль на ки- лограмм ( дж\ \кг ) 1 килокалория на кило- (ккал\ дж граммЛ \ = 4186,8 —
Жданов Леонид Сергеевич,-
| Маранджян Вазген Арамович |
КУРС ФИЗИКИ
для средних
специальных
учебных заведений
Часть первая
М., 1970 г., 464 стр. с илл.
Редакторы М. Л. Смолянский, А. В. Чеботарева.
Техн, редактор С. Л. Шкляр.
Корректоры В. И. Менделеева и Е. Я. Строева.
Печать с матриц. Подписано к печати 9/XII 1969г«
Бумага 84Х1О81/32. Физ. печ. л. 14,5. Условн.
печ. л. 24,36. Уч.-изд. л. 24,55. Тираж 400 000
(1-й завод 200 000) экз. Цена книги 76 коп.
Заказ № 711.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР.
Москва, М-54, Валовая, 28.
'