Текст
НЭШЭ^
иггит;
яьэрь
1. Окружность
Окружность - геометриче-
ская фигура, состоящая из
расположенных на
расстоянии от точки О, на-
зываемой центром окружности.
Задание 1
Начертите окружность, что-
бы точки от точки О рас-
полагались на расстоянии
2 см.
Задание 2
Закончите определения:
Радиус - это__________________________________
Хорда - это_______________________________
Диаметр - это ____________________________
Дуга - это _______________________________
Круг - это________________________________
1
Задание 3
Приведите примеры окружностей и кругов среди
окружающих предметов.
Задание 4
Начертите две окружности разного радиуса, чтобы
у них была одна общая точка.
а) внутреннее касание б) внешнее касание
Задание 5
Решите задачу.
Окружности с радиусами 10 см и 12 см соприкаса-
ются. Найдите расстояние между центрами окруж-
ностей в случаях внутреннего и внешнего касания.
Используйте построенные вами рисунки в задании 4.
а)_____________________________________________
б)
Задание 6
Ответьте на вопросы:
а) Чему равен диаметр окружности, если радиус
равен 6 см?
2
6) Угол между диаметрами прямой. Сколько та-
ких диаметров можно построить?
в) Равны ли радиусы одной окружности?
Задание 7
Решите задачу.
Дано: АВ и CD - хорды.
АВ = CD.
Докажите, что АЛОВ = ACOD.
Доказательство.
2. Опорные задачи на построения,
выполняемые при помощи циркуля и линейки
Задание 1. Построение отрезка, равного данному
/(апо: А* *В
Построить: А\В^, = АВ.
I loc i роение:
1) На прямой т зафиксиро- д«-----------------
на гь точку Лр 1
2) Циркулем от Aj отложить отрезок = АВ.
Задание 2. Построение угла, равного данному
/(ано —
Посгропгь: Z.A\, ЛА\ = ЛА.
3
Построение. jC
1) На прямой т поставить
точку А) и циркулем из А^~------
точек А и Л] провести
дуги одинакового радиу-
са.
2) Измерить циркулем рас- .--------------------
А. zn
твор дуги и отложить от
точки В\. Провести пря-
мую AjCj.
Задание 3. Деление отрезка пополам
Дано: А* ‘В
Разделить АВ пополам, т.е. найти точку М - сере-
дину отрезка.
Построение:
1) Из точки А провести ду- / \
гу, из точки В тем же __________________
раствором циркуля про- М-/ В
вести дугу. \ /
2) Через точки пересечения
дуг построить прямую
и установить положение точки М.
Задание 4. Деление данного угла пополам (построение
биссектрисы угла)
Дано: А
Разделить угол пополам, т.е. построить биссектри-
су угла А.
Построение:
1) Используйте задачу 2.
2) Используйте построение задачи 3.
4
3) Запишите этаны
построения
С
Задание 5. Построение прямой, проходящей через
данную точку, перпендикулярно данной прямой
Дано:
Построить прямую МК, MKLAB.
Построение:
1) Используйте задачу 1.
2) Из точки М проведите
циркулем дугу, пере-
секающую прямую АВ
в двух точках.
3) Используйте задачу 3.
4) Запишите этапы построения.
5
Задание 6. Построение треугольника по двум сторонам
и углу между ними
a s'
Дано: ------£--------. А^—--------
Построить треугольник А\ВС но данным элемен-
там.
Построение:
1) Используйте задачу 2
для построения углаЛр
2) На сторонах угла отло-
жите отрезки а и Ь, ис-
пользуя задачу 1.
3) Соедините полученные
точки.
Задание 7. Построение треугольника по стороне и двум
прилежащим к ней углам
Дано:
Построить треугольник Л1В1С по данным элемен-
там.
Построение:
1) Используйте задачу 1
для построения отрезка
Л|£?1, равного данному
отрезку а.
2) Используя задачу 2, по-
стройте в точке Л\ угол,
равный Л, и в точке В\,
равный В.
3) Точка С - точка пересече-
ния сторон углов А\ и В\.
6
Задание 8. Построение треугольника по трем сторонам
а
Дано: , b_____________
с t
Построить треугольник ЛВС по данным элементам.
Построение:
1) Используя задачу 1, по-
стройте любой из дан-
ных отрезков (например,
с). Обозначьте АВ.
2) Из точки А раствором
циркуля, равным отрез-
ку а, проведите дугу.
3) Из точки В раствором циркуля, равным отрезку
Ь, проведите дугу.
4) Пересечение двух дуг даст третью вершину С.
5) Соедините точки А и С, В и С. Треугольник по-
строен.
Запомните
Основными задачами являются задачи на построе-
ние отрезка, равного данному, и угла, равного дан-
ному; на деление отрезка и угла пополам.
Практическая работа
Посмотрите еще раз этапы решения этих задач
и выполните практическую работу.
1. Разделите отрезки пополам.
7
2. Постройте отрезок равный KF.
К F
3. Разделите углы пополам.
4. Постройте угол, равный углу К из задания 3.
5. Постройте угол, равный углу F, и проведите в нем
биссектрису.
6. Разделите отрезок пополам и найдите середину ка-
ждого из двух отрезков.
8
7. Разделите угол пополам и постройте биссектрису
для каждого из двух углов.
Задание 9
От квадрата отсеките в вер-
шинах равные между собой
углы. Назовите оставшуюся
фигуру.
Это
Задание 10
Определите истинность или ложность следующих
утверждений:
Истиппо/Ложпо
а) Если при пересечении двух пря- I I
мых один из углов прямой, то дру-
гие три угла тоже прямые.
6) Если отрезок делит сторону тре- I |
угольника пополам, то он является
медианой.
в) Если треугольник равносторонний, [2]
то он и равнобедренный.
9
г) Если треугольник равносторонний,
то каждая его медиана одновремен-
но и высота, и биссектриса
д) Если треугольник равнобедренный,
то он и равносторонний.
е) Если треугольник равнобедренный,
то любая его биссектриса является
и высотой, и медианой.
ж) Только в равнобедренном треуголь-
нике любая его высота делит его на
равные треугольники.
з) Тупоугольный треугольник может
быть равнобедренным.
и) Прямоугольный треугольник не мо-
жет быть равносторонним.
к) Из точки, лежащей на окружности,
можно провести только один диа-
метр.
Домашняя контрольная работа №5
1. В равных треугольниках
MNK и M\N\K\ из вершин
N и N\ проведены биссек-
трисы NF и N\F\. Докажи-
те, что треугольники KNF
и К\N\F\ будут равны.
Решение:
2. Дано: АВКС и &KAD.
ADOBC = Q
ВО = OD, АО = ОС.
10
Докажите:
а) равенство треугольников
ЛОВ и OCD,
б) равенство треугольников
В КС и КЛГ)\
в) что КО - биссектриса уг-
ла К.
Решение:
3. Постройте равнобедренный
треугольник по высоте и бо-
ковой стороне.
Построение:
4. В равнобедренном треуголь-
нике, периметр которого ра-
вен 42 см, боковая сторона
в 2,5 раза больше основа-
ния. Найдите стороны тре-
угольника.
Решение:
11
3. Параллельные прямые
Задание 1
Нарисуйте два варианта
взаимного расположения
прямых:
а) пересекаются;
6) не пересекаются.
Допишите определение:
Прямые называются параллельными, если
Задание 2
Найдите на рисунках параллельные прямые.
Выпишите, используя знак параллельности ||.
Задание 3
Выпишите параллельные отрезки.
12
4. Углы, образованные при пересечении двух прямых
третьей прямой
Задание 1
Дапо: прямые а и Ь.
Прямая т - секущая к а и Ь.
Сколько углов при этом получается?
Задание 2
Запомните названия углов.
Допишите все виды углов.
Подумайте, по какой осо-
бенности углы получили та-
кое название?
Z7 и Z2- внешние накрест
лежащие углы
Z3 и Z4 - внутренние накрест лежащие углы
Z7 и Z6 - соответственные углы
Z3 и Z6 - внутренние односторонние углы
Z7 и Z5 _ внешние односторонние углы
13
5. Признаки параллельности двух прямых
Проверьте свои знания
Запишите:
Вертикальные углы - это углы, образованные
Вертикальные углы между собой
Смежные углы - углы, _______________________
Сумма смежных углов_________________________
Чтобы убедиться, что прямые а и b параллельны,
докажем признаки параллельности двух прямых.
Теорема 1
Дапо: а и b, m Г1 a, m П Ъ,
m ± a, m ± Ь.
Доказать, что allb.
Доказател ьство.
Используйте метод от противного. Предположите,
что а не параллельна Ъ, а пересекает Ь. Запишите
свой вывод.
т а
J 1 ъ
Если прямые перпендикулярны к одной прямой, то
они________________________________________
Теорема 2
Дано: anb, тГ\а, тГ\Ь, Z7 = Z2.
14
Доказать, что a'lb.
Доказательство.
а) Проведите прямую, перпен- /
дикулярную к прямой а и —-^2----------------
проходящую через середину °
отрезка ЛВ.
б) Рассмотрите полученные треугольники.
Вывод: прямые параллельны, если при пересече-
нии двух прямых секущей
углы равны.
Теорема 3
Дано: а и Ь, т - секущая.
Z7 = Z2.
Доказать, что д||Ь.
Доказательство.
а) Найдите вертикальный угол
с углом 7.
б) Используйте предыдущую теорему 2.
Вывод: прямые параллельны, если при пересече-
нии двух прямых секущей
углы_________________________________________
Теорема 4
Дано: а и Ь, т - секущая.
Z7 + Z2 = 180°.
Доказать, что а||&.
Доказательство.
15
Найдите угол, смежный углу 2. и ii|iiim<*iiiiic теоре-
му 2 или теорему 3.
Вывод: если при пересечении двух прямых секущей
сумма___________________________________________
углов, то прямые
Задание 1
Установите, какие прямые па- 7% а
раллельны на рисунке, если л/5
Z7 = 45°, Z7 = 135°. 7
Запишите названия углов: 4/1 Ь
3/2
Z1 и Z6 7С
/8 и Z3___________________
Z 7 и Z5 __________________________________
Z7 и /3____________________________________
/6 и /3 ___________________________________
Задание 2
Начертите рисунок, если все во-
семь углов, образованные при
пересечении двух прямых треть-
ей прямой, будут равными.
Величина каждого угла°.
Это составляет Это составляет".
Задание 3 -------7^-——
D 73
Решите задачу. /
Будут ли параллельны прямые 8/5__________п_
т и п, если: 7/6
16
a) Z/ = 42°. Z7 = 138°
6) Z2 = Z7
в) Z5 = 30°, Z8 в 5 раз больше, чем Z5
г) Z4 = 70°, ZS = 110°
д) Z4 = 50°, Z5 = 50°
e) Z2 = 65°, Z6 = 125°
ж) Z7 = a, Z1 = 180° - a
Задание 4
Решите задачу.
Прямые т и п параллель-
ны. Найдите выделенные
углы по условию задачи.
X = _____________________
У = _____________________
Задание 5
Решите задачу.
Дано: ZDCK = 52°,
ЛВСК = 122°, Z4BC = 70°.
Докажите, что прямые АВ
и CD параллельны.
Решение:
2 Геометрии. 1 кл.. ч. 2
17
Задание 6
Репине задачу.
Дано: ВК 1 АС, МУ1ЛС.
- 46°.
ВК - биссектриса угла АВС.
Найдите: Z.ABC.
Решение:
Выберите верный ответ:
а) 104°; 6)114°; в) 92°;
Самостоятельная работа №7
по теме «Параллельные прямые»
Вариант I
1. Дано: BNWAM, АВ\\[)С,
AB'^CD.
Докажите равенство тре-
угольников.
2. Дапо: AD = BD, АО = ОС,
1)0 = ОВ.
Докажите, что Z.KDC =
= Z.CDB.
г) 98=
18
Вариант ?
1 Дано: ЛИ Cl). BCWF.
В С
CF ! BD
Докажите равенство тре-
VI ОЛЫ1;IKOB
Л D F
2 . Дано: AD = ЛС. DO = ОВ.
АО = ОС
Докажи к*, чю для угла
ЛСХ ВС являемся биссек-
трисой.
D СК
Домашняя контрольная работа №6
1. В равнобедренном iреуголь-
II икс АВС с основан нем /1С
проведите прямую через
середины боковых сторон.
Докажи ie. что основание
п проведенная прямая па-
раллельны.
Решение:
19
2. Отрезки АВ и CD пересека-
ются. Назовите пару внут-
ренних односторонних уг-
лов для прямых AD и ВС
и секущей АС. Будут ли
прямые AD и ВС парал-
лельны, если один из этих
углов 37°, а другой - 143°?
Решение:
3. У равных треугольников
MCN и СМК вершины N
и К лежат по разные сторо-
ны от прямой СМ. Докажи-
те, что прямые NM и СК
параллельны. Укажите, есть
ли еще параллельные отрез-
ки.
Решение:
Особенности теоремы
В каждой теореме присутствуют две части: условие
(то, что дано) и заключение (то, что необходимо
доказать).
Если в теореме поменять местами условие и заклю-
чение, то получим теорему, обратную данной.
Задание 7
Составьте теоремы, обратные теоремам-признакам
параллельности прямых.
20
Теорема 1
Теорема 2__________________________________
Теорема 3__________________________________
Теорема 4__________________________________
Задание 8
Определите истинность или ложность следующих
утверждений: Истинно/Ложио
а) Отрезки параллельны, если они | | | |
лежат на параллельных прямых.
б) Если прямая является секущей для | | | |
одной параллельной прямой, то она
секущая и для второй параллель-
ной прямой.
в) Если две прямые параллельны | | | |
третьей прямой, то они параллель-
ны между собой.
г) Две прямые параллельны, если есть | | | |
прямая, им перпендикулярная.
д) Аксиома нуждается в доказательстве. | | | |
е) В геометрии Евклида через точку
можно провести параллельно дан-
ной прямой:
1) одну прямую;
2) множество прямых.
21
6. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Задание 1
Свойство суммы углов треугольника - очень важ-
ная теорема. Нарисуйте треугольники:
остроугольный тупоугольный прямоугольный
Теорема
В любом треугольнике сумма уг-
лов равна 180°.
Дано: ДЛВС.
Доказать:
Доказательство.
Проведите дополнительную
лельно АС через точку В.
прямую MN парал-
Задание 2
Найдите углы треугольника ЛВС, если:
а) АЛ = 41°, АВ = 59°. АС =
б) АВ = 110°, АЛ = 40°. АС =
в) АЛ = 90°, АС = 45°. АВ =
Задание 3
Сколько в треугольнике может быть:
22
острых углов________________________________
тупых углов_________________________________
пря м ых у г л ов___________________________
Задание 4
В равнобедренном треугольнике ZA = 100°. Най-
дите другие углы.
ZB = _______________________________________
Задание 5
Найдите углы равностороннего треугольника.
Задание 6
Решите задачу.
Углы при основании тре-
угольника равны 54° 18' и
48° 32'. Определите угол,
образованный высотой и
биссектрисой угла при вер-
шине.
Задание 7
Решите задачу.
Углы треугольника относятся как 8:4:3. Опреде-
лите величину каждого угла.
23
Задание 8
Решите задачу.
Угол при основании равно-
бедренного треугольника ра-
вен 72°. Докажите, что бис-
сектриса этого угла делит
данный треугольник на два
треугольника, тоже равно-
бедренных.
Задание 9
В треугольнике MNK угол N в 2,5 раза больше
угла М, а угол К на 24° меньше угла N. Найдите
углы треугольника.
Решение:
Введите переменную х и составьте уравнение.
Выберите верный ответ для угла К.
а) 61°; б) 68°; в) 74°; г) 73°.
Задание 10
В прямоугольном треуголь-
нике ABC ХС = 90°, ХА =
= 60°. Из точки С проведена
высота СК. Найдите углы
треугольника СКВ.
Решение:
24
Задание 11
Внутренние углы треуголь
ника:
К углу А угол КЛВ являет
ся внешним.
К углу В внешний угол
К углу С внешний угол_______________________
Ответьте на вопросы:
Какими являются углы ВАК и ВАС?
Чему равна сумма этих углов?
Докажите, что /.ВАК равен сумме /АВС и /АСВ.
Вывод: внешний угол треугольника равен
Задание 12
Внешний угол при вершине
равнобедренного треуголь-
ника равен 115°. Найдите
внутренние углы этого тре-
угольника.
Решение:
25
Задание 13
Внутренние умы ipeyголышка относятся друг
к другу как 3.5 7 ILiii;une внутренние и внешние
углы данного ipeyi одышка.
Решение:
Ответ: внутренние углы -
внешние углы__________________________________
Задание 14
Найдите неизвестные углы ХМХ’К по рисункам.
26
Задание 15*
Угол при основании равно-
бедренного ipevголышка со-
с’авляег 50% угла при вер-
шине. Ilaii.inie углы iре-
угольника п угол между
биссектрисами углов при
основании.
Решение
Самостоятельная работа №8
по теме «Треугольники. Сумма углов»
Марчант 1
1. В треугольнике ЛВС Z/1 =
=- 30°. ЛВ = 100°. Найди-
те внешний угол при вер-
шине С.
2. Величины двух углов треугольника соотве т вы то
равны 74° 30' и 28° 15'. Найдите величину третьего
угла.
3. В треугольнике величина одного из углов 72°, а ве-
личины двух других относятся как 6:3. Определите
вид треугольника по углам.
27
4. Величина внешнего угла
при вершине равнобедрен-
ного треугольника в три
раза больше величины угла,
смежного с ним. Найдите
величины всех углов тре-
угольника.
Вариант 2
1. В равнобедренном треуголь-
нике угол при основании
20°. Найдите внешний угол
при вершине треугольника.
2. Величина угла А равна 126°, а величина угла В
в 2 раза больше величины угла С. Найдите величи-
ну углов В и С.
3. Величины двух углов треугольника равны соответ-
ственно 47° 32' и 28° 40'. Найдите величину третье-
го угла.
4. В равнобедренном треугольнике угол между высо-
той, проведенной к боковой стороне, и другой бо-
28
ковой стороной содержит
25° 30'. Вычислите величи-
ны углов этого треугольни-
ка.
Домашняя контрольная работа №7
1. Одна из сторон треугольни-
ка на 3 см меньше другой,
а высота делит третью сто-
рону на отрезки длиной
5 см и 10 см. Найдите пери-
метр треугольника, если
меньшая сторона 7 см.
Решение:
Выберите верный ответ:
а) 25 см; б) 40 см; в) 32 см; г) 20 см; д) 42 см.
2. В равнобедренном треуголь-
нике величина угла между
боковой стороной и высотой
к основанию на 18° меньше
величины угла при основа-
нии. Найдите величину уг-
ла при основании треуголь-
ника.
Решение:
29
Выберите верный ответ.
а) 50°, 6) 51°, в) 52°, г) 53°;
3. В треугольнике MNK вели-
чина внешнего угла при
вершине Nr в 3 раза больше
величины угла М и на 54°
больше величины угла К.
Определите величину угла М.
Решение’
Выберите верный ответ.
а) 54°; б) 27°; в) 30°; г) 15°;
4. Величина одного из углов
треугольника равна 28°.
Найдите величину острого
угла между биссектрисами
двух других углов треуголь-
ника.
Решение:
д) 54°.
д) 60°.
Выберите верный ответ.
а) 76°; б) 81°; в) 82°; г) 77°; д) 84°.
Задание 16
Начертите различные виды треугольников:
а) по сторонам:
30
б) по углам:
Необходимо установить связь между сторонами
и углами треугольника.
Теорема
Дано: ДЛВС.
а) Если АВ > ВС, то дока-
зать, что ZC > ZA.
6) Если ZC > ZA, то АВ >
ВС.
Доказательство.
а) Используйте дополнительное построение: на ВА
отложите отрезок BD, равный стороне ВС.
б) Предположите, что АВ либо равно АС, либо
АВ < АС (используем метод от противного).
В этой теореме два следствия:
1. Установите, какая сторо-
на в прямоугольном тре-
угольнике самая боль-
шая.
31
2. Дано: ДЛВС, Z/1 = ZC.
Докажите, что треуголь-
ник равнобедренный.
Доказательство:
Следствие - дополнительный вывод, следующий
из доказанной теоремы.
Следствие 1: в прямоугольном треугольнике гипо-
тенуза любого катета.
Следствие 2: если в треугольнике два угла
_________________, то он_____________________
Задание 17
Сравните углы D и F, ес-
ли даны два треугольника
ADC и MPF, и в них AD =
= МР = 6 см, АС = MF =
= 4 см, Z.A = Z.M.
Решение:
Задание 18*
В треугольнике MNP угол Р
прямой. На стороне МР
взята точка К. Докажите,
что выполняется условие
NP < NK < NM.
32
Решение:
Задание 19
В треугольнике DKF углы
D и К равны между собой.
Из вершины F проведена
биссектриса FP. Докажите,
что точка Р - середина сто-
роны DK.
Решение:
Задание 20
Определите истинность или ложность следующих
утверждений.
Истиппо/Ложпо
а) Треугольник равносторонний, если | | | |
он равнобедренный, и угол при
вершине его - 60°.
6) Треугольник равносторонний, если О О
он равнобедренный, и один из его
углов равен 60°.
в) Если сумма двух углов равна 180°, О I I
то эти углы смежные.
г) Высота треугольника обладает свой- | | | |
ством: все ее точки равноудалены
от сторон угла, из которого она
проведена.
33
д) Любая точка биссектрисы угла тре-
угольника равноудалена от его сто-
рон.
е) Если углы равны, то они верти-
кальные.
ж) Две высоты равнобедренного тре-
угольника равны.
7. Неравенство треугольника
Практическая работа
Нарисуйте три треугольника АВС. Измерьте сторо-
ны АВ, ВС, АС. Найдите сумму любых двух сторон
и сравните с третьей стороной.
а) Тупоугольный
АВ = _____________
ВС= ______________
АС = _____________
АВ + ВС =_________
АС—(АВ + ВС)
б) Остроугольный
АВ- ______________
ВС= ______________
АС = _____________
ВС + АС =_________
АВ_(ВС + АС)
в) Прямоугольный
АВ = _____________
ВС = _____________
АС = _____________
34
AB + AC =___________
BC_(AB + ЛС)
Теорема
Каждая сторона треуголь-
ника _________________
суммы двух других сторон.
Д оказател ьство.
Следствие: для любых точек А, В, С не лежащих
справедливы неравенства:
АВ_АС + СВ, АС_АВ + ВС, ВС_ВА + АС.
Задание 1
Проверьте, существует ли треугольник со сторона-
ми 12 см, 10 см и 24 см?
Задание 2
В равнобедренном треугольнике одна сторона 24 см,
а другая - 11 см. Какая из них является основани-
ем?
Задание 3
Можно ли построить равнобедренный треугольник,
периметр которого 15 см, основание 8 см?
35
Задание 4
Радиус окружности равен
4 см. Отрезок МК пересека-
ет окружность и ОК равно
15 см. Может ли отрезок
МК равняться 3 см?
8. Прямоугольные треугольники
Задание 1
Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны такого треугольника: сто-
рона, лежащая против прямого угла -
; стороны, составляющие прямой угол -
Задание 2
Установите свойства прямоугольного треугольника:
а) Сумма острых углов прямоугольного треуголь-
ника равна_________________________________
б) Катет прямоугольного треугольни-
ка, лежащий против угла в 30°, ра-
вен половине гипотенузы.
Для доказательства приложите
к ВС треугольник ВС К, равный
треугольнику АВС.
36
Составьте обратную формулировку свойства б.
Задание 3
Решите задачу по чертежу.
Дано: ДЛВС, ЛАСК = 90°,
/Л = 40°.
Найдите: ЛВ.
Задание 4
Решите задачу по чертежу.
Дано: ДЛВС, АС = ВС.
Найдите: ЛА и ЛВ.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Задание 1
37
Задание 2
Решите задачу.
В прямоугольном треуголь-
нике один угол 60°, а сумма
гипотенузы и меньшего ка-
тета равна 28,2 см. Найдите
гипотенузу.
38
Задание 3
Докажите, что если в равно-
бедренном треугольнике из
вершин основания провести
высоты, то они будут рав-
ны.
Задание 4
В прямоугольном треуголь-
нике один острый угол ра-
вен 45°. Найдите катеты, ес-
ли их сумма равна 42 м.
Задание 5
Докажите, что треугольник
равнобедренный, если он
имеет две равные высоты.
Задание 6
В равностороннем треуголь-
нике АВС проведена бис-
сектриса AD. Расстояние от
точки D до прямой АВ рав-
но 6 см. Найдите AD.
39
Задание 7
Определите истинность или ложность следующих
утверждений. Истшшо/Ложно
а) Две высоты равнобедренного тре- О I I
угольника равны.
б) Гипотенуза меньше суммы катетов.
в) В прямоугольном треугольнике один EI
угол равен 90°.
г) В прямоугольном треугольнике сум- О I I
ма острых углов составляет 90°. _
д) Могут ли углы треугольника быть | | | |
равными 108°, 49° и 23°?
е) В равных прямоугольных треуголь- | | | |
никах соответственные катеты рав-
ны.
ж) Любой катет в прямоугольном тре- | | | |
угольнике меньше гипотенузы.
з) Биссектриса равностороннего тре- | | | |
угольника равна половине стороны
треугольника.
и) Равнобедренный треугольник с уг- | | | |
лом при основании 45° не является
прямоугольным.
Самостоятельная работа №9
по темам «Расстояние от точки до прямой», «Окружность»
Вариант 1
1. Может ли высота треуголь-
ника быть больше длины
его боковой стороны? Сде-
лайте рисунок.
40
2. Нарисуйте взаимное распо-
ложение окружности и пря-
мой.
3. Рассмотрите все случаи расположения двух окруж-
ностей разных радиусов.
4. Нарисуйте треугольник,
у которого все высоты пере-
секаются в его вершине.
Вариант 2
1. Может ли высота прямо-
угольного треугольника, про-
веденная к гипотенузе, быть
больше длины катета? Сде-
лайте рисунок.
41
2. Радиус окружности 4 см.
К окружности проведены
две параллельные касатель-
ные. Найдите расстояние
между касательными. Сде-
лайте рисунок.
3. Рассмотрите все случаи рас-
положения двух окружно-
стей одного и того же ра-
диуса.
4. Нарисуйте треугольник,
в котором все высоты пере-
секаются вне треугольника.
Самостоятельная работа №10
по теме «Основные линии треугольника»
Вариант 1
1. Докажите, что биссектриса
угла при вершине делит
равнобедренный треуголь-
ник на два равных тре-
угольника.
42
2. Докажите, что биссектрисы
равных углов равнобедрен-
ного треугольника равны.
3. Какие условия определяют равносторонний тре-
угольник?
Вариант 2
1. Докажите, что медианы рав-
нобедренного треугольника,
проведенные к равным сто-
ронам, будут равны.
2. Докажите, что высота, про-
веденная из вершины рав-
нобедренного треугольника
на основание, делит тре-
угольник на два равных
треугольника.
43
3. Какие условия определяют равнобедренный тре-
угольник?
Домашняя контрольная работа № 8
1. Величины острых углов пря-
моугольного треугольника
относятся как 5:7. Найдите
эти углы.
Решение:
2. Докажите, что в равносто-
роннем треугольнике все вы-
соты равны.
Решение:
3*. Докажите, что если в равнобедренном треугольнике
высота, проведенная к основанию, равна высоте,
опущенной на боковую сторону, то этот треуголь-
ник - равносторонний.
44
Решение:
4. В прямоугольном треуголь-
нике BDK угол В составля-
ет 80% от угла К. Найди-
те угол В, если величина уг-
ла D равна 90°.
Решение:
Самостоятельная работа №11
по теме «Задачи на построение треугольников»
Вариант 1
1. Постройте прямоугольный
треугольник по катетам,
имеющим длины 4,2 см и
5,1 см.
Запишите этапы построения.
45
2. Постройте равнобедренный
прямоугольный треугольник,
если катет имеет длину 3 см.
3. Постройте прямоугольный
треугольник по катету дли-
ной 4,3 см и прилежащему
к нему углу, равному 48°.
4. Постройте равнобед-
ренный треугольник по
указанным данным: бо-
ковая сторона длиной
3,8 см и основание
длиной 5 см.
46
Вариант 2
1. Постройте прямоугольный
треугольник, если длины ка-
тетов равны 3,8 см и 4,4 см.
Запишите этапы построения
2. Постройте равнобедренный
прямоугольный треуголь-
ник, если его катет равен
4,1 см.
3. Постройте прямоуголь-
ный треугольник по
гипотенузе 5,2 см и од-
ному из острых углов,
равному 38°.
4. Постройте равнобедренный треугольник йо указан-
ным данным: основание равно 4 см, прилежащий
к нему угол равен 61°.
47
Задачи на построение
Задание 1
Постройте прямоугольный
треугольник по катетам.
Построение:
Задание 2
Постройте прямоугольный
треугольник по гипотенузе
и катету.
Построение:
Задание 3
Дан треугольник. Построй-
те его медианы.
Построение:
48
Задание 4
Дан треугольник. Построй-
те его высоты.
Построение:
Задание 5
Дан треугольник. Построй-
те его биссектрисы.
Построение:
Самостоятельная работа №12
по теме «Задачи на построение»
Вариант 1
1. К данному отрезку с помо-
щью циркуля и линейки по-
стройте перпендикуляр че-
рез середину отрезка (такой
перпендикуляр называется д’ р
серединным перпендикуля-
ром). Докажите, что точки этого перпендикуляра
одинаково удалены от концов отрезка.
49
2. Начертите произвольный
остроу го л ьны п треу гол ьн и к.
Поставьте точку, равноуда-
ленную от всех вершин это-
го треугольника. Центром
какой геометрической фигу-
ры будет эта точка?
3. В произвольном тупоуголь-
ном треугольнике постройте
все высоты. Запишите вы-
соты треугольника.
4. Постройте произвольный
равнобедренный треуголь-
ник. Через его вершины про-
ведите прямые, параллель-
ные сторонам. Обозначьте
новый полученный треуголь-
ник. Каков его вид?
Вариант 2
1. Данный угол при помощи
циркуля и линейки разде-
лите пополам (такой луч на-
зывается _________________
угла). Докажите,
что любая точка биссектри-
сы равноудалена от сторон
угла.
50
2 Начертите произвольный
тупоугольны й треугол ьн и к.
Постройте точку, равноуда-
ленную от сторон этого тре-
угольника. Центром какой
геометрической фигуры бу-
дет эта точка?
3. В прямоугольном треуголь-
нике постройте все высоты.
Запишите высоты треуголь-
ника.
4. Постройте произвольный
равносторонний треуголь-
ник. Проведите прямые, со-
единяющие середины его
сторон. Обозначьте новый
полученный треугольник и
определите его вид.
9. Расстояние от точки до прямой
Задание 1
Расстояние между точками А и В
, соединяющего эти точки.
51
Задание 2
Рассмотрите задачу.
Из точки А к дороге а ведут
четыре пути: АК, АВ, АС,
AD. Двигаясь по какой до-
роге вы затратите меньше
времени?
Л
к с в
Почему?________________
АВ - перпендикуляр к а; ЛК, AC, AD - наклонные.
Запомните
Расстоянием от точки до прямой является дли-
на перпендикуляра, проведенного из этой точки
к прямой.
Задание 3
Решите задачу.
Дано: точка А, прямая а,
точка Ata, АК ± а,
АВ - наклонная к а.
АК + АВ = 18 м.
АВ - АК = 2 м.
Найдите: расстояние от точки до прямой.
Решение:
Обозначьте один из отрезков за х м, выразите вто-
рой отрезок и составьте уравнение.
Ответ: расстояние от точки до прямой равно м.
52
Задание 4
Рассмотрите прямоуголь-
ный треугольник MNP,
Z.M = 90°. Найдите длину
перпендикуляра и длину
наклонной, если их общая
длина 35 см, а разность их
длин - 4 см.
Решение:
Задание 5
Через середину М отрезка
KN проведена прямая FP.
Если ^PFK = Z.NPF, то
точка М - середина отрезка
FP.
Решение:
Задание €
В прямоугольном треуголь-
нике ЛВС {Z_C = 90°) про-
ведена биссектриса угла В.
Угол, который образует бис-
сектриса с катетом - 115°.
Найдите острые углы А и В
данного треугольника.
Решение:
53
10. Расстояние между параллельными прямыми
Задание 1
Нарисуйте две параллель-
ные прямые. Выберите на
одной из них точку К. По-
думайте, как найти расстоя-
ние между параллельными
прямыми, используя точ-
ку К.
Теорема
Все точки каждой из параллельных прямых равно-
удалены от другой прямой.
Дано:
Доказать:
Доказател ьство.
Расстояние между параллельными прямыми - это
расстояние_________________________________
54
Задание 2
Решите задачу.
М
Прямые MN и KF парал-
лельны. Угол MFK равен
30°, MF = 10 см. Найдите —------------------—
расстояние между парад- К ?
дельными прямыми.
Решение:
Рассмотрите треугольник MKF и докажите, что он
прямоугольный.
Ответ: расстояние между параллельными прямыми
равно см.
Задание 3
Конны отрезка MN лежат
т М
на параллельных прямых т
и п. Докажите, что середина
отрезка MN равноудалена
от прямых тп и п.
Дано:
Доказать:
Доказательство. Используйте равенство треуголь-
ников; подумайте, как их построить.
Домашняя итоговая работа
1. При пересечении двух прямых третьей, частное
двух углов равно 3. Найдите все углы.
55
Решение:
2. Докажите, что в любом рав-
ностороннем треугольнике
любые две высоты равны;
любые две медианы равны;
любые две биссектрисы рав-
ны.
Решение:
3. Концы отрезка АВ лежат
на параллельных прямых
и точка К его середина. Рас-
стояние PN между парал-
лельными прямыми равно
10 см. Сравните отрезки АР
и NB.
Решение:
4. Периметр равнобедренного
треугольника равен 32 см,
а одна из его сторон на 4 см
больше другой. Найдите
сумму боковых сторон тре-
угольника.
56
Решение:
5.
Два отрезка AD и СВ пере-
секаются в точке О и ВО =
= OD, ХАВС = 54°, XBCD =
= 46°, ХАОС = 116°. Равны
ли полученные треугольни-
ки АВО и ODC7 Парал-
лельны ли прямые АВ и CD?
Решение:
6. В треугольнике ЛВС извест-
но, что ХА = 73°, ХВ = 85°.
Найдите угол между бис-
сектрисой угла А и высотой,
опушенной на сторону ВС.
Решение:
Выберите верный ответ.
а) 41,5°; 6)22°; в) 31,5°; г) 11°; д) 1,5°.
7. Углы при основании треугольника равны 54° 18'
и 48° 32'. Определите угол, образованный высотой
и биссектрисой угла при вершине.
57
Решение:
8. Внешний угол при вершине
равнобедренного треуголь-
ника равен 114°. Найдите
внутренние углы этого тре-
угольника.
Решение:
9. В прямоугольном треуголь-
нике острые углы относятся
как 1:2. Найдите гипотену-
зу, если меньший катет ра-
вен 7 см.
Решение:
10. Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника в два
раза больше основания. Пе-
риметр треугольника 12 см.
Найдите стороны треуголь-
ника.
Решение:
58
11. Углы треугольника относятся как 3:4:5. Вычисли-
те углы треугольника.
Решение:
11. Геометрические места точек
Геометрическим местом точек (гмт) называется
фигура, удовлетворяющая условиям:
а) все точки фигуры обладают данным свойством;
б) все точки, обладающие данным свойством, при-
надлежат этой фигуре.
Задание 1
Окружность - гмт, находя-
щихся на_______________
от данной точки.
Серединный перпендикуляр
59
Биссектриса угла -
Две прямые, параллельные
данной и находящиеся па
от нее.
геометрическое
место точек
данная прямая
геометрическое
место точек
12. Готовимся к тестированию
Решите задачи и выберите верный ответ из предло-
женных.
1. В треугольнике АВС угол А
равен 84°, угол В равен 76°.
Найдите угол между бис-
сектрисой, проведенной из
вершины угла А, и высотой,
опущенной на сторону ВС.
Решение:
Ответ: а) 26°; б) 28°; в) 30°; г) 32°; д) 36°.
2. В треугольнике BDE угол В составляет 30% угла D,
а угол Е на 19° больше угла D. Найдите угол В.
60
Решение:
Ответ: а) 21°; 6) 32°; в) 70°; г) 51°.
3. Прямые т и п параллель-
ные, с - секущая. Разность
двух углов, образованных
этими прямыми, равна 132°.
Найдите отношение боль-
шего из этих углов к мень-
шему.
Решение:
Ответ: а) 4,8; 6) 5,8; в) 6,5; г) 6,2.
4. Величины смежных углов пропорциональны чис-
лам 4 и 11. Найдите разность между этими углами.
Решение:
Ответ: а) 84°; 6) 76°; в) 96°; г) 68°.
5. Найдите сумму внутрен-
них углов пятиугольника
CDEFK.
61
Ответ: а) 540°: 6) 450°; в) 480°; г) 630°.
6. Прямая MN' является секу-
щей для прямых АВ и CD
(М g АВ, N g CD). Угол
AMN равен 72°. При каком
значении угла CNM пря-
мые АВ и CD могут быть
параллельны?
Решение:
Ответ: а) 108°; 6) 12°; в) 78°; г) 78° и 102°.
Проверьте свои знания
Приведите рисунок, соответствующий утверждению.
1. Прямые могут:
а) пересекаться
б) быть параллельными
в) быть перпендикулярными
2. Углы могут быть:
а) острыми
их величина
б) прямыми
их величина
в) тупыми
их величина
62
г) развернутыми
д) вертикальными
е) смежными
3. Две прямые, параллельные
третьей,__________________
4. Две прямые, перпендику-
лярные третьей,
5. Треугольники могут быть:
а) разносторонними
6) равнобедренными
в) равносторонними
6. Замечательные линии треугольника и их свойства:
а) высота______________________________________
б) биссектриса______________________________
в) медиана__________________________________
63
г) в любом треугольнике биссектриса лежит внут-
ри угла, образованного_______________________
____________________________, проведенными из
7. Треугольники равны:
а) ________________________
6)
в)
8. Сумма внутренних углов в любом треугольнике
равна __________________________________________
9. Окружность можно:
а) описать около треуголь-
ника____________________
6) вписать в треугольник
64