Текст
1. Окружность
Окружность - геометриче-
ская фигура, состоящая из
расположенных на
расстоянии от точки О, на-
зываемой центром окружности.
Задание 1
Начертите окружность, что-
бы точки от точки О рас-
полагались на расстоянии
2 см.
Задание 2
Закончите определения:
Радиус - это__________
Хорда - это
Диаметр - это
Дуга - это
Круг - это________________________________
1
Задание 2
Выучите обозначение: A g a, A е а.
Задание 3
Нарисуйте прямую b и точ-
ки Л, В, С, принадлежащие
прямой; и точки М, К, N,
не принадлежащие прямой.
Сколько точек может принадлежать прямой?
Сколько точек может не принадлежать прямой?
Вы правы. Мир бесконечен, прямых множество,
точек множество.
Запомните
Открылась бездна
Звезд полна:
Звездам числа нет,
Бездне - дна.
М.В. Ломоносов
Практическая работа___________
1. Нарисуйте от руки прямую
и обозначьте ее.
2. Отметьте три точки, при-
надлежащие этой прямой,
и две точки,ей не принадле-
жащие. Запишите это.
2
3. На рисунке изображены: \
прямые _______________
точки_________________'
прямой а принадлежат / \
---------------------- ~У^ \ ~с
прямой а не принадлежат X 'а
прямым b и с принадлежит
Задание 4
1) Нарисуйте точку Л и
проведите через нее пря-
мую а. Сколько прямых
можно провести через
точку Л?
2) Нарисуйте две точки А
и В, проведите через них
прямую а и любую кри-
вую. Сколько кривых
можно провести через
две точки?
3) Сколько прямых можно
провести через две точки?
4) Запишите определение.
Через две точки можно
Задание 5
Нарисуйте прямую а, отметьте две точки С и D,
принадлежащие прямой а, и точку К, не принадле-
3
жатую а. Отрезок CD -
часть прямой____________
Части прямой с началом
в точках С и D называются
лучами. Какие еще лучи
можно увидеть на рисунке?
Проведите прямые через точки D, С и К. Запишите
полученные
отрезки _____________________________________
лучи_________________________________________
Пра ктическая работа
1. От руки нарисуйте какой-
либо отрезок.
2. От руки нарисуйте какой-
либо луч. Отметьте точку,
не принадлежащую лучу,
и постройте три луча с нача-
лом в этой точке, пересе-
кающие первый луч. Обо-
значьте точки их пересече-
ния. Запишите отрезки:
Задание 6
1) Пересекаются ли прямая
МЛ/ и отрезок FP?
2) Пересекаются ли прямая
MN и луч с началом
в точке F?
4
3) Пересекаются ли прямые MN и FK?
4) Отметьте точку D, чтобы она принадлежала пря-
мой MN, но не находилась бы ни на отрезке
MN, ни на отрезке FP. Существуют ли точки,
принадлежащие прямой FP, но не принадлежа-
щие отрезку FP?
Проверьте свои знания
1. Отрезок - это_______________________________
2. Луч - это___________________________________
3. Сколько общих точек может быть у двух прямых?
Нарисуйте.
а) одна
б) бесконечное множество
4. Сколько существует точек:
а) принадлежащих прямой
5.
6) не принадлежащих прямой
Проведите прямую, пересе-
кающую все три прямые.
Можно ли провести прямую
d, пересекающую все три
прямые а, Ь, с, но не прохо-
дящую через точку В?
5
6. Нарисуйте фигуры, которые изучает планиметрия:
а) точка
б) прямая
в) луч
г) угол
д) треугольник
е) прямоугольник
ж)круг
з) окружность
и) ломаная линия
Попросите одноклассника
(соседа по парте) поставить
вам оценку.
Запомните
Основные свойства принадлежности точек и прямых
Нарисуйте геометрические иллюстрации:
1. Есть точки, принадлежащие
прямой, и есть точки, ей
не принадлежащие.
2. Две различные прямые
плоскости или пересекают-
ся в одной точке, или не пе-
ресекаются, или совпадают.
3. Если на прямой взять три
точки, то одна из них будет
лежать между другими.
4. Всякий луч имеет направле-
ние.
6
5. Прямая разбивает плос-
кость на две полуплоскости.
Если отрезок ЛВ пересекает
прямую, то точки А и В
лежат в разных полуплос-
костях. Если отрезок ЛВ
не пересекает прямую, то
точки Л и В лежат в одной
полуплоскости.
Самостоятельная работа №1
по теме «Основные понятия геометрии»
Вариант 1
1. Начертите отрезок ЛЕ длиной 10 см и с помощью
циркуля отложите на нем последовательно отрезки
ЛВ, ВС, CD, длины которых соответственно равны
3 см, 40 мм, 0,2 дм. Найдите длину отрезка DE.
2.
Напишите все отрезки, В
имеющиеся па чертеже дета-
ли (вид сверху). Измерьте
их длины. Найдите их ис-
тинные длины, если чертеж
сделан в масштабе 1:10.
7
3. Известно, что три точки лежат на одной прямой,
причем АС = 6 см, ВС = 4 см, АВ = 2 см. Найдите,
какая точка лежит между другими.
Вариант 2
1. Начертите отрезок ВС длиной 8 см и с помощью
циркуля последовательно отложите на нем отрезки
ВК, КН, НМ, длины которых соответственно рав-
ны 1 см, 20 мм, 0,3 дм. Найдите длину отрезка МС.
2. Напишите все отрезки,
имеющиеся на чертеже ле-
тали (вид сверху). Измерь-
те их длины. Найдите их
истинные длины, если чер-
теж сделан в масштабе 1:10.
3. Дано: НК = 2 см, МН = 5 см, КМ = 3 см. Опреде-
лите расположение точек на прямой.
2. Луч и угол
Задание 1
Запишите все отрезки.
MNC D
8
Запишите все лучи.
Каким лучам ие принадлежит точка С?
Задание 2
Угол - геометрическая фигура.
Разберите на рисунке, из чего со-
стоит угол.
_______________- вершина угла
_______________- стороны угла
Задание 3
Запишите все углы фигуры.
О каком угле идет речь,
если его стороны - лучи FK
и FD, а вершина F?
Запишите и запомните
Градусное измерение углов
Величина угла измеряется в гра-
дусах. Разделите окружность
мысленно на 360 равных углов.
1
часть соответствует одному
градусу.
Прямой угол содержит!
Развернутый угол содержит
9
Полный угол содержит°
1
— часть градуса называется __________________
60
1° ='
1
— часть минуты называется
60 --------------------
1' ="
Задание 4
Решите задачи:
а) в 1° содержится секунд
б) в 10° содержится минут
в) в 23' содержится секунд
г) 120' составляют градуса
д) 300' составляют градусов
Задание 5
Найдите сумму величин углов:
а) 22° 30' и 45° 12'_________________________
б) 72° 15' 18" и 38° 52"_____________________
в) 51° 18' 25" и 31° 49' 13"
Задание 6
Начертите несколько углов и измерьте при помощи
транспортира их величину:
а)
б) ______________________
в)
10
Задание 7
При помощи транспортира постройте угол, величи-
на которого равна:.
а) (54°
6) 25°
в) 163°
г) 79°
д) 90°
е) 180°
Задание 8
Величины двух углов, об-
разованные пересечением
двух прямых, относятся как
6:14. Вычислите величины
всех углов. Постройте эти
углы с помощью транспор-
тира.
Задание 9
Нарисуйте угол АОВ, что-
бы его лучи представляли
одну прямую. Такой угол
называют развернутым.
Задание 10
Решите задачу.
Из точки О проведены три луча ОЛ, ОВ, ОС,
причем ОВ располагается между ОЛ и ОС. Угол
И
между лучами ОЛ и ОС содержит 70°, а между лу-
чами ОА и ОВ - 30°. Определите угол между луча-
ми ОВ и ОС.
Решение:
1) Начертите рисунок.
2) Запишите сумму углов.
3) Найдите требуемый угол.
Задание И
Начертите три неразвернутых угла. Обозначьте их
ВОС, Z(nk), Z.F.
Задание 12
Какие точки принадлежат
внутренней области угла О?
Это____________________
Какие точки принадлежат
внешней области угла О?
Задание 13
Постройте две пересекаю-
щиеся прямые. Сколько раз-
вернутых и сколько нераз-
вернутых углов при этом
образовалось?
12
Задание 14
Решите задачу.
Угол ЛВС равен 100°. Между его сторонами надо
провести луч BD так, чтобы один угол был в 4 раза
больше другого. Найдите эти углы.
Решение:
Задание 15
Решите задачу.
Дано: Z.PNE = 148°,
ZKNF = 48°. Z.FNE в 3 ра-
за больше, чем угол PNK.
1) Найдите Z.PNK, Z.FNE.
2) Укажите развернутые
углы на рисунке.
Решение:
Задание 16
Решите задачу.
Дапо:
ЛАРС = /.BFD
Можно ли доказать, что на ри-
сунке есть еще равные углы?
13
Запомните
1. Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля.
2. Градус - это одна трехсотшестидесятая часть круга.
3. Развернутый угол содержит 180°.
4. Градусная мера угла равна сумме градусных мер
углов, его составляющих.
Задание 17
Угол между лучами а и b равен 152°, а угол между
лучами п и b на 4° больше угла между лучами а и п.
Найдите угол Z.(nb), если луч п проходит между
лучами а и Ь.
Решение:
1) Сделайте рисунок.
2) Запишите данные.
3) Составьте уравнение.
4) Решите его.
5) Выберите верный ответ.
а) 98°; в) 57°;
6) 108°; г) 54°.
Самостоятельная работа №2
по теме «Основные понятия геометрии»
Вариант 1
1. Запишите все отрезки с началом в точке F и точке Л.
Проведите прямую, проходящую через точку R
14
и пересекающую прямые
Л В и СЕ, но не пересекаю-
щую прямую ВК.
2. Начертите две пересекаю-
щиеся прямые ЛВ и CD
и постройте на них два от-
резка, чтобы они не имели
общих точек.
3. Сколько точек пересечения могут иметь три попар-
но пересекающиеся прямые? Для каждого случая
начертите рисунок.
Вариант 2
1. Запишите все отрезки с на-
чалом в точке F и точке Л.
Проведите прямую, прохо-
дящую через точку L и пе-
ресекающую прямые NF и
ЛЛ/, но не пересекающую
прямую ЛВ.
2. Начертите две прямые M.V и СК и постройте на
них два отрезка, чтобы они имели общую точку.
15
3. Сколько точек пересечения могут иметь прямые п,
т, k и I при попарном их пересечении? Для каждо-
го случая начертите рисунок.
3. Сравнение отрезков и углов
Задание 1
Нарисуйте от руки два рав-
ных отрезка. Измерьте их
линейкой и запишите, рав-
ны ли они.
Задание 2
Нарисуйте от руки два рав-
ных угла. Измерьте их тран-
спортиром и запишите, рав-
ны ли они.
Равенство фигур можно установить их наложени-
ем друг на друга.
Запомните
1. Каждый отрезок имеет длину, причем длина боль-
ше нуля.
16
2. Длина отрезка ЛВ равна сумме длин отрезков
А М МКВ
3. Два отрезка равны, если имени одинаковую длину.
4. Два угла равны, если у них одинаковая градусная
мера.
Задание 3
Начертите луч и выберите отрезок ЛВ = 2 см за еди-
ницу измерения. Отложите на луче от его начала
отрезки длиной ЗАВ, —АВ, 5АВ, АВ.
Задание 4
Решите задачу.
Дано: отрезок ММ, точка К принадлежит отрезку.
Известно, что ММ = 18 см, МК = 9,2 см. Найдите
длину КМ.
Решение:
Задание 5
Решите задачу.
Три точки М, М, F лежат на одной прямой. Точка F
лежит между точками М и М. Найдите длину отрез-
ка ММ, если MF = 15,4 дм, FM = 14,1 дм.
Решение:
2 Гсомстрик:. 7 кд . ч. |
17
Задание 6
Если АС = 6,7 см, ВС = * ~
= 9,3 см, то АВ = Л С
Выберите верный ответ.
а) 1,6 см; 6) не могу определить; в) 16 см.
Задание 7
Дапо: КЕ - отрезок, F е КЕ, £
cri KF 7
КЕ = 60 дм,----=
FE 5
Найдите: KF и FE.
Решение:
Задание 8
Как проверить, лежат ли точки А, В, С па одной
прямой, если:
а) АВ = 6,2 см, АС = 2,8 см, ВС = 3,4 см.
6) АВ = 13,4 см, АС = 3,4 см, ВС =11,2 см.
Запомните
Если длины отрезков АС и £
СВ одинаковы, то точка С -
середина отрезка АВ.
Задание 9
Решите задачу.
На прямой взяты отрезки АВ и CD, причем точка С -
середина отрезка АВ, точка В - середина отрезка
18
CD Длина отрезка ЛВ равна 14 см. Найдите длину
оIрезка CD.
CD = _________________________________________
Задание 10
Решите задачу.
Отрезок ЛВ разделен точкой D на два отрезка. Точ-
ка D взята произвольно. Точка М - середина отрез-
ка ЛD, а точка N - середина отрезка DB. Длина ЛВ
равна 30 см. Найдите длину отрезка MN, сделав
рисунок.
Решение:
Запомните
1. Развернутый угол содержит 180°.
2. Прямой угол является половиной развернутого
угла.
3. Угол меньше 90° называется острым.
4 Угол больше 90°, но меньше 180°, называется ту-
пым.
Нарисуйте эти углы.
19
Задание 11
Решите задачу.
Из точки М проведены три луча МК. MX. МР так,
что углы NMK и КМР имеют ранную 1|мдусную
меру по 43°. Определите градусную меру угла
NMP.
Проведите лучи МА и МВ,
чтобы они делили углы
NMK и КМР пополам, и
определите угол между эти-
ми лучами.
Запомните
Луч, выходящий из вершины угла и делящий угол
пополам, в геометрии называется биссектрисой
угла.
Задание 12
Решите задачу.
Луч ВК разделил угол МВР так, что один угол ока-
зался в 8 раз больше другого. Определите получен-
ные углы, если угол МВР был равен 144°.
Решение:
20
Определите полученные уг-
лы, если угол КВР на 48°
меньше, чем угол МВК,
а угол МБР равен 154°.
Проведите биссектрисы уг-
лов МВК и КВР и опреде-
лите угол между биссектри-
сами, если угол МВР равен
114° 24'.
Задание 13
Запишите:
развернутые углы
прямые углы
острые углы
тупые углы __________________________________
Биссектриса - это ___________________________
Задание 14*
Известно, что Z.(mk) =
= Z.(nk) = 92°. Проходит
ли луч k между сторонами
угла (тп)?
21
Самостоятельная работа №3
по теме «Основные понятия геометрии»
Вариант 1
1. Запишите все лучи, распо-
ложенные на рисунке. На-
чертите прямую, пересекаю-
щую все лучи. Сколько та-
ких положений можно изо- I
бразить? В
2. На рисунке пронумеруйте
все углы, запишите верти-
кальные, смежные, развер-
нутые углы.
3. а) Дапо:
АО = OD, СО = ОВ.
Есть ли па рисунке еще рав
ные отрезки?
П очему ?_______________
6) Определите, есть ли на
рисунке еще равные углы.
------------------- А О В
22
Вариант 2
1. Запишите все лучи, распо-
ложенные на рисунке. На-
чертите прямую, пересе-
кающую все лучи. Сколько
таких положений можно
изобразить?
2. На рисунке пронумеруйте
все углы, запишите верти-
кальные, смежные, развер-
нутые углы.
3. а) Дано:
BF = FC, ВК = CD.
Есть ли на рисунке еще рав-
ные отрезки?
Почему ?______________
6) Определите, есть ли па
рисунке еще равные углы.
23
Домашняя контрольная работа №1
1. На отрезке ММ, длина ко-
торого 42 см, отметьте точ-
ку К, причем MK.KN =
= 7:3. Найдите длины от-
резков MN и KN.
2. Дана прямая т. Постройте
четыре точки F, N, Р, Q
так, чтобы они не принадле-
жали прямой т, но чтобы
отрезки FM и NP пересека-
ли прямую т, а отрезок PQ
не пересекал прямую т. Бу-
дет ли пересекать эту пря-
мую отрезок FP?
3. Точки А, В, F лежат на од-
ной прямой. АВ = 8,5 см,
BF = 8,8 см, AF = 0,3 см.
Будет ли точка F лежать на
отрезке АВ?
4. Из точки О проведены лучи OK, ON, OF, ОМ.
Угол KON равен 38°, угол КОМ равен 88°, а угол
NOF в четыре раза больше угла FOM. Найдите
угол FON. Сделайте рисунок к задаче.
24
4. Смежные и вертикальные углы
Задание 1
Сколько углов образуется s'
при пересечении двух пря- b
мых а и b? s'О
'а
Эти углы называются вертикальными.
Задание 2
Нарисуйте пересекающиеся
в точке К прямые ЛВ и ММ
и запишите получившиеся
углы.
Задание 3
Продолжите определение.
Два угла называются вертикальными, если
Задание 4
Используя рисунок в задании 2, запишите углы,
которые образуют развернутый угол:
а)____________________________________________
25
6)____________________________________________
в)____________________________________________
г)____________________________________________
Задание 5
Углы АКМ и МКВ называются смежными. Ис-
пользуя рисунок к заданию 2, запишите, какие еще
углы являются смежными.
Задание 6
Продолжите определение.
Два угла называются смежными, если
Задание 7
Запишите, чему равна сум-
ма двух смежных углов.
Почему?
Задание 8
Чему равна сумма углов: /
a) M+ZA =_________________
ZA + Z.3 =______________
Сделайте вывод о соотношении углов 4 и 3.
б) Z/ + Z3 =____________________
26
Z2 + ZJ =_______________
Сделайте вывод о соотношении углов 7 и 2.
Запишите и запомните
1. Вертикальные углы между собой
2. Сумма смежных углов равна
Задание 9
Решите задачу.
Один смежный угол в 8 раз больше другого. Опре-
делите оба угла.
Решение:
Задание 10
Решите задачу.
Смежные углы относятся, как 3:5. Найдите эти
углы.
Решение:
Задание 11
Решите задачу.
При пересечении двух пря-
мых образовались такие уг-
лы, что сумма двух верти-
кальных из них равна 72°.
Определите каждый из че-
тырех углов.
27
Решение:
Задание 12
Решите задачу.
Один из смежных углов на 36° больше другого.
Найдите оба угла.
Решение:
Задание 13
Решите задачу.
Может ли сумма двух вертикальных углов быть
равной 180°?
Задание 14
Дано: ЛАКС = ЛСКВ. С
Найдите величину каждого
угла.
Л К В
Чем является СК для развернутого угла?
СК - _______________________________________
Задание 15
Даны смежные углы, один в 1,5 раза больше друго-
го. Найдите эти углы.
28
Найдите угол, образован-
ный биссектрисами смеж-
ных углов.
Самостоятельная работа №4
по теме «Измерение углов и отрезков»
Вариант 1
1. Угол MCW равен 80°, луч
ОК делит этот угол на два
угла так, что один угол
в 7 раз больше другого.
1) Найдите эти углы.
2) Продолжите луч ОМ за его вершину и найдите
вновь полученный угол.
2. Длина отрезка АВ = 6 см. Точка D отрезка АВ де-
лит его в отношении 1:5. Найдите длину отрезков
AD и DB.
3. Дано: а 1 b, Z 1 = 25°.
Найдите: Z2, Z3, Z.4.
Z.2____________________
Z 4____________________
Z5_____________________
29
Вариант 2
1. Угол COD равен 120°, луч
ОК разделил этот угол в со-
отношении 2:10.
1) Найдите эти углы.
2) Продолжите луч OD за
его вершину и найдите
вновь полученный угол.
2. Длина отрезка MN = 8 см. Точка F отрезка MN де-
лит его в отношении 3:5. Найдите длину отрезков
MF и FN.
3. Дано: с ± d, Z 1 = 165°.
Найдите: Z2, Z3, Z4.
Z2
Z3
Z4
Контрольная работа №2
1. Прямые АВ и CD пересека-
ются в точке F, причем сум-
ма углов BFC и AFD равна
194°. Найдите угол AFC.
Решение:
30
Выберите верный ответ.
а) 97°; 6)83°; в) 117°; г) 73°.
2. Углы CND и DNK - смеж-
ные. Найдите угол DNK,
если угол CND в 3,5 раза
меньше угла DNK.
Решение:
Выберите верный ответ.
а) 97°; б) 128°; в) 40°; г) 140°.
3. Угол между биссектрисой
угла KNM и продолжением
одной из его сторон равен
117°. Чему равен угол
KNM7
Решение:
Выберите верный ответ.
а) 95°; 6)116°; в) 63°; г) 126°.
Дополнительные задания
1*. Докажите, что если два уг-
ла не равны один другому,
то смежные с ними углы то-
же не равны друг другу.
31
2. Один смежный угол на 40°
больше другого. Найдите
каждый из них.
5. Перпендикулярные прямые
Задание 1
Начертите две пересекаю-
щиеся в точке О прямые ЛВ
и CD так, чтобы все вер-
тикальные углы оказались
равными. Прямые ЛВ и CD
называются перпендикуляр-
ными, т.е. ABLCD.
Дополните определение.
Две пересекающиеся прямые называются перпен-
дикулярными, если____________________________
Задание 2
Выпишите пары взаимно
перпендикулярных прямых.
32
Задание 3
Решите задачу.
Из точки В, не принадлежа-
щей прямой т, проведены
несколько прямых, пересе-
кающих прямую т. Сколь-
ко из них перпендикулярны
прямой т? Объясните свою
точку зрения.
Проверьте свои знания
1. Через две точки можно _______________________
2. Две прямые могут_____________________________
3. Отрезок - это________________________________
4. Луч - это фигура_____________________________
5. Угол - геометрическая фигура
6. Развернутый угол содержит
7. Прямой угол _________________________________
8. Биссектриса - это____________________________
33
9. Острый угол содержит_________________________
10. Тупой угол содержит__________________________
11. Углы называются вертикальными, если
12. Свойство вертикальных углов
13. Два угла называются смежными, если
14. Свойство смежных углов
15. Прямые взаимно перпендикулярны, если
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Задание 1
Отметьте три точки М, N,
К, с условием, что они
не лежат на одной прямой,
и соедините их. Полученная
фигура называется тре-
угольником.
Вертины треугольника -
Стороны треугольника -_____________________
Задание 2
Запишите все треугольники, имеющие вершину F.
34
Запиши ir i реугольник co
ciopon.iMii FC, FI), CD.
3a 11111иите треугольники,
у которых общая сторона FD.
В треугольнике CFK:
вершины ____________________________________
стороны_____________________________________
Запишите углы треугольника BFD:
Составьте сумму сторон треугольника CDK.
Сумма сторон треугольника называется перимет-
ром.
Запишите периметр для треугольника ACD.
р =++
Задание 3
Решите задачу.
В треугольнике ЛВС сторона а в четыре раза боль-
ше стороны b и на 2 см больше стороны с. Периметр
треугольника равен 25 см. Определите длину всех
сторон треугольника.
Решение:
Подсказка: обозначьте длину одной из сторон за х
и составьте уравнение по условию задачи.
35
1. Виды треугольников
По сторонам:
Нарисуйте треугольник ЛВС:
1. ЛВ = ВС = ЛС
Равносторонний треугольник
2. ЛВ = ВС? ЛС
Равнобедренный треугольник
3. ЛВ? ВС? ЛС
Разносторонний треугольник
По углам:
Пусть угол Л - наибольший угол треугольника.
4. Z-Л - прямой
Прямоугольный треугольник
5. ZZ - острый
Остроугольный треугольник
36
6. ZA - тупой
Тупоугольный треугольник
Задание 1
В равнобедренном треуголь- К
нике равные стороны назы- /\
ваются боковыми, а третья / \
сторона называется основа- / \
нием. / \
Запишите: Л. В
боковые стороны______________________________
основание____________________________________
Задание 2
В прямоугольном треугольнике
стороны, содержащие прямой угол,
называются катетами, сторона,
лежащая против прямого угла, на-
зывается гипотенузой.
Запишите:
катеты_________________________________________
ги 11 отену за_________________________________
Задание 3
Ответьте на вопросы к рисунку.
Периметр какого треугольника, СВК или CKD, бу-
дет больше?
37
Запишите, есть ли на ри-
сунке тупоугольные тре-
угольники.
Сколько прямоугольных
треугольников на рисунке?
Запишите их гипотенузы.
Задание 4
Решите задачу.
Периметр равнобедренного
треугольника 27 дм, причем
боковая сторона на 3 см
больше основания. Найдите
стороны треугольника.
Решение:
Задание 5
Решите задачу.
Периметр равнобедренного
треугольника равен 7,2 м,
а боковая сторона равна
2,1 м. Чему равна длина ос-
нования?
Решение:
Задание 6*
Решите задачу.
На боковой стороне равнобедренного треугольни-
ка с периметром 48 см построен равносторонний
38
треугольник с периметром
60 см. Найдите основание
равнобедренного треуголь-
ника.
Решение:
Задание 7
Верны ли утверждения:
а) Равносторонний треугольник является равно-
бедренным. __________________________________
б) Равнобедренный треугольник обязательно явля-
ется остроугольным.__________________________
в) Равносторонний треугольник обязательно остро-
угольный. ___________________________________
Самостоятельная работа №5
по теме «Треугольники»
Вариант 1
1. Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплос-
кости. В них проведены отрезки AD и ВС, причем
длины их равны и Z.BAD = Z.ABC. Начертите соот-
ветствующий рисунок.
39
Определите, верно ли равенство.
Да/Нет
а) ДОЮ = ABDA □ Е
6) A DBA = АСАВ □ Е
в) ABAD = ABAC EZ
г) AADB = АВСА □ Е
2. Докажите, что на рисунке
есть равные треугольники.
Определите периметр тре-
угольника ABD, если АВ =
= 4 см, ВС = 6 см, АК = 7 см,
BF = 5 см.
К D
Вариант 2
1. Прямая МК разбивает плос-
кость на две полуплоскости.
Из точек М и К в разные
полуплоскости проведены
равные отрезки МА и КВ,
причем ААМК = АВКМ.
Начертите соответствующий
рисунок.
Определите, верно ли равенство.
Да/Нет
а) ААМВ = ААКВ □ Е
6) ААКМ = АВМК □ Е
в) АМКА = АКМВ
г) ААМВ = АКВМ □ Е
2. Найдите равные треугольники. Докажите их равен-
ство. Найдите периметр треугольника ВОС, если
BD = 10 см, АС = 12 см, AD = 7 см.
40
2. Основные линии в треугольнике
Задание 1
Запишите определения:
Высота AN
ANLBC
Высотой называется
Биссектриса AN
/.BAN = AN АС
Биссектрисой треугольника
паз ы вается_____________
Медиана AN
BN = NC
Медианой называется
41
Практическая работа
1. Постройте три высоты
в треугольнике MKN.
2. Постройте три медианы
в треугольнике PQF.
3. Постройте три биссектрисы
в треугольнике ACD.
4. В треугольнике ЛВС из вер-
шины В проведите медиа-
ну, биссектрису и высоту -
ВК, BF, BN соответствен-
но. Найдите угол, образо-
ванный высотой и медиа-
ной. Это угол
Как расположена биссек-
триса относительно этого
угла?
Задание 2
Допишите свойства основных линий:
а) Все высоты треугольника пересекаются
42
6) Все медианы треугольника пересекаются
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются__
Задание 3
Какие из линий треугольника всегда лежат внутри
треугольника? Отметьте кружком.
а) высоты;
6) медианы;
в) биссектрисы;
г) высоты и медианы;
д) медианы и биссектрисы.
Треугольник - это_____________________________
Фигуры называются равными, если их можно нало-
жить друг на друга (совместить).
Задание 4
Закончите определение.
Два треугольника называются равными, если
Найдите равные треуголь-
ники на рисунке.
Каким образом можно про-
верить их равенство?
43
Запомните
Равенство треугольников запи-
сывается так: &AFB = ABFC.
В равных треугольниках про-
тив равных сторон лежат
равные углы и против равных
углов лежат равные стороны.
3. Математические предложения
Задание 1
Допишите предложения.
Геометрия изучает свойства фигур. Эти свойства
выражаются различно, например.
определениями
Вертикальные углы___________________________
аксиомами
Через две точки проходит
теоремами
Свойство вертикальных углов
Запомните
Определение - предложение, разъясняющее поня-
тие.
Аксиома - утверждение, которое принимается без
доказательства.
Теорема - утверждение, которое надо доказать
в результате рассуждений.
44
Всякая теорема состоит из двух частей: условие
(то, что дано) и заключение (то, что требуется до-
казать).
Задание 2
Рассмотрим пример теоремы: Вертикальные углы
равны.
Запишите:
Дано:
Доказать:
Доказательство.
Задание 3
В геометрии часто применяется метод доказательст-
ва от противного.
Рассмотрим задачу: докажите, что если данные
смежные углы равны, то они прямые.
Дано: /<\
ЛАВК и ЛКВС - смежные \
Z.ABK = ЛКВС
Доказать:
Z.ABK = 90°, ZKBC = 90°.
А
Доказательство.
Предположим, что углы ЛВК и КВС не прямые,
а оба острые или оба тупые.
Сумма смежных углов равна 180°, но сумма двух
острых меньше 180°, и сумма двух тупых углов
больше 180°. Значит, предположение, что оба угла
45
острые или тупые, привело к противоречию со
свойством суммы смежных углов.
'Гак же будет, если предположить, что один угол
острый, а другой тупой. Остается вывод, чго рав-
ные смежные углы будут прямыми.
4. Задачи на построение треугольников
Приготовьте инструменты: транспортир, циркуль,
линейку и карандаш.
Задание 1
Постройте треугольник ЛВС, если ЛВ = 4 см,
АС = 5 см, ЛА = 60°.
Решение:
1) Строим угол А с градус-
ной мерой 60°.
2) На одной стороне откла-
дываем отрезок ЛВ дли-
ной 4 см.
3) На другой стороне от-
кладываем отрезок АС
длиной 5 см.
4) Полученные точки В и С
соединяем прямой.
Задание 2
Постройте треугольник АВС, если ЛВ = 6 см,
ЛЛ = 30°, ЛВ = 60°.
Решение:
1) Проведем отрезок АВ длиной 6 см.
2) В точке А построим ЛА = 30°.
3) В точке В построим Л В = 60°.
4) Построим лучи углов до пересечения.
5) Обозначим точку пересечения С.
46
Задание 3
Постройте треугольник ЛВС, если АС = 5 см,
АВ = 3 см, ВС = 4 см.
Решение:
1) Отложим циркулем
отрезок АС длиной
5 см.
2) В точке/1 циркулем
проведем дугу на
расстоянии 3 см.
3) В точке С циркулем
проведем дугу на
расстоянии 4 см.
4) Пересечение засечек (дуг) даст точку В.
Задание 4
Выполните по схеме
построение треугольни-
ка самостоятельно.
Постройте треугольник
АВС.
АВ = 4 см, ВС = 3,5 см,
ZB = 48°.
Задание 5
Постройте треугольник MNK. MN = 4 см, ZM =
= 68°, ZN = 72°.
47
Задание 6
Постройте треугольник
MNK. МК = 6 см, MN =
= 8 см, KN = 10 см. При по-
строении уменьшите сторо-
ны в 2 раза.
5. Признаки равенства треугольников
5.1. Первый признак равенства треугольников
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного тре-
угольника соответственно равны двум сторонам
и углу между ними другого треугольника, то такие
48
треугольники равны
Дано:
Доказать:
Доказан* и.< ।во Проведем сравнение треугольни-
ков меюдом на'1ОЖС11ИЯ.
Задание 1
Выясните, равны ли треугольники, изображенные
па рисунках. Найдите для этого по три равных эле-
49
Задание 2
Постройте равнобедренный треугольник BCD но
боковой стороне, равной 6 см, н углу 50° между бо-
ковыми сторонами.
Построение:
Задание 3
Постройте прямоугольный треугольник MNK по
гипотенузе, равной 7 см, и острому углу 60°.
Построение:
50
Задание 4
Построите треугольник АВС, если ВС = 7 см,
ВА = 5,2 см, Л В = 120°.
11 ос । ] и и ч 111 с:
Задание 5
Решите задачу по готовому
чертежу.
Равны ли треугольники
BKD и DKC?
51
Задание 6
Решите задачу.
Равны ли треугольники
ЛВО и OCD?
Задание 7
Найдите нары равных тре-
угольников и объясните, по
каким признакам определи-
ли их равенство.
Задание 8
Можно ли доказать, что
OF = ОК?
Задание 9
Дано: Д/1ВС = LDEF.
Z.B = 73°, ВС = 6,9 см,
DF = 7,6 см.
Какое из высказываний
верно? Отметьте круж-
ком.
52
.i) 1)1 (i,4 <м, АС = 7,6 см;
6) . I / !‘ . АС = 7,6 см;
и) DI 6,9 см, ZE = 73°;
। ) К 7,6 см, ZD = 73°.
Самостоятельная работа №6
по теме «Треугольники»
Вариант 1 к
1. Найдите равные треуголь- /г\ /
ники.
2. Существует ли треугольник
с такими длинами сторон:
а) 5 см, 6 см и 8 см;
б) 1,3 дм, 50 мм, 12 см?
3. Могут ли углы треугольника быть равными:
а) 60° 12', 68° 48', 51° Г;
б) 30°, 90°, 60°?
4. Может ли периметр равнобедренного треугольника
с боковой стороной 3 см равняться 12 см?
53
5. Докажите равенство тре-
угольников.
Вариант 2
1. Найдите равные треуголь-
ники.
2. Существует ли треугольник
с такими длинами сторон:
а) 2 см, 8 см и 3 см;
б) 0,2 м, 42 см, 6 дм?
3. Могут ли углы треугольника быть равными:
а) 58° 32', 70° 38', 51° И';
б) 45°, 45°, 90°?
4. Основание равнобедренного треугольника 8 см.
Может ли его периметр быть длиной 15 см?
54
5. Докажите равенство тре-
угольников.
Домашняя контрольная работа №3
Проверьте себя, решите задачу, полностью оформ-
ляя ход решения.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая
является серединой каждого из них. Чему равен от-
резок BD, если отрезок АС равен 8 см?
План решения:
1) Постройте чертеж по ус-
ловию задачи, но снача-
ла подумайте, если О -
середина отрезков АВ и
CD, то что можно ска-
зать об отрезках ОА,
ОВ, ОС, OD?
2) Докажите, что на чертеже есть равные треуголь-
ники.
3) Что следует из равенства найденных равных
треугольников?
4) Запишите полностью решение задачи.
55
5.2. Свойства равнобедренного треугольника
Задание 1
Запишите определение.
Треугольник называется равнобедренным, если
Теорема 1
Дапо: ДЛВС, ЛВ = ВС. В.
Доказать: ZЛ = ZC. / \
Доказательство. / \
Для доказательства проведите / \
биссектрису В К угла В и рас- /____________д
суждайте дальше:
ДЛВК ЛВКС_____________________________________
Вывод: в равнобедренном треугольнике
Теорема 2
Дано: ДДВС, ЛВ = ВС,
В К - биссектриса ZB
Доказать: ВК - медиана,
ВК - высота.
Доказательство.
1) Д/1ВК ЛВКС_________________________________
2) Что следует________________________________
56
Вывод: в равнобедренном треугольнике биссектри-
са, проведенная к основанию, является
Практическая работа
1. Постройте треугольники. Установите для каждого
треугольника равные углы, проведите высоту, ме-
диану, биссектрису к основанию каждого треуголь-
ника.
а) Равнобедренный тре-
угольник MKF с ост-
рым углом при вер-
шине.
6) Равнобедренный тре-
угольник MNK с ту-
пым углом при вер-
шине.
в) Равнобедренный тре-
угольник BCD с пря-
мым углом при вер-
шине.
57
2. Решите задачу.
Дано: Д71ДС,
М - середина ЛВ, ЛВ = ВС,
N - середина ВС,
К - середина ЛС.
Докажите: &MNK - равно-
бедренный треугольник.
Доказател ьство.
3. Решите задачу.
Дано: &ЛВС, ЛВ = ВС,
DeAC, ЕеЛС, Л1) = СЕ.
Доказать: BD = BE.
Доказательство.
4. Решите задачу.
Медиана, проведенная к од-
ной из боковых сторон рав-
нобедренного треугольника,
делит его периметр па две
части: 27 м и 12 м. Найдите
стороны треугольника.
Решение:
58
Задание 2
Решите задачу и выберите верный ответ.
Периметр равнобедренного треугольника 41 дм,
причем боковая сторона на 3,5 дм меньше основа-
ния. Найдите основание треугольника и боковую
сторону. В ответе дана их сумма.
а) 28,5; в) 32;
6)33,5; г) 31.
Задание 3*
Решите задачу и выберите верный ответ.
Периметр равнобедренного треугольника CDE ра-
вен 26 см. СЕ - основание, DB - биссектриса этого
треугольника. Периметр треугольника DBE равен
20 см. Найдите DB. В ответе дан результат, увели-
ченный вдвое.
а) 18 см; в) 14 см;
6) 16 см; г) 12 см.
Задание 4*
Решите задачу и выберите верный ответ.
В треугольнике MNK угол М равен углу К, а высо-
та MD делит сторону NK пополам. Найдите МК,
если ND = 7,8 см.
59
a) 10,7 см; в) 7,8 см;
6) 11,7 см; г) 15,6 см.
Задание 5
Найдите все равнобедрен-
ные треугольники па рисун-
ке.
Контрольная работа №4
1. Периметр равнобедренного треугольника равен
5,2 м, а основание - 2,8 м. Найдите боковую сторо-
ну этого треугольника.
Решение:
2. В равнобедренном треугольнике MNK с основани-
ем МК проведена биссектриса NF. На продолже-
60
нии биссектрисы за точку F взята точка Р. Докажи-
те, что полученные треугольники MFP и KFP
равны.
3. В равнобедренном треуголь-
нике с периметром 72 дм
боковая сторона относится
к основанию как 7:4. Най-
дите стороны треугольника.
4. Докажите, что если в рав-
нобедренном треугольнике
провести высоту к основа-
нию, то получим два рав-
ных треугольника.
61
5.3. Второй признак равенства треугольников
Задание 1
Закончите определение.
Два треугольника будут равными, если
Теорема
Дано: ДЛВС и ДА1В|С[,
дс = л,сь za = zAb
ZC = ZC|.
Доказать: ДА/5С = ДЛ^Ср
Доказательство.
Наложите треугольник ЛВС на треугольник А(В)С|
так, чтобы ____________________________________
Вывод: если____________________________________
одного треугольника____________________________
соответственно равны __________________________
то такие треугольники_________________________
Задание 2
Докажите равенство тре-
угольников MNF и NFK.
62
Задание 3
Дано:____________________
Докажите, что АВ = ВС.
5.4. Третий признак равенства треугольников
Кроме метода наложения фигур, для доказательст-
ва равенства фигур можно использовать метод при-
ложения фигур.
Теорема
Дано: АДВС и АД1В1С|,
АВ = Д1В|, ВС = В।С।,
АС = АХСХ.
Доказать: равенство тре-
угольников АВС и Д|В1С).
Доказательство.
Приложим треугольник ЛВС к треугольнику
Д1В1С1, чтобы точка С совпала с Сх и точка Д сов-
пала с Д|.
Вывод: два треугольника равны, если
одного треугольника соответственно
__________________________другого треугольника.
Задание 1
Кратко запишите в каждом признаке условия ра-
венства треугольников.
63
I признак.
IL признак ___________
111 признак___________
Что доказывается в каждом признаке?
Задание 2
Определите истинность или ложность следующих
утверждений. Испнню/Ложпо
а) Если две стороны одного треуголь-
ника равны двум сторонам друго-
го треугольника, то треугольники
равны.
6) Треугольник равнобедренный, если
совпадают высота, медиана и бис-
сектриса, проведенные из одной
вершины.
в) Если два угла одного треугольника
равны двум углам другого тре-
угольника, то треугольники равны.
г) В равнобедренном треугольнике
все три угла равны между собой.
д) В равнобедренном треугольнике
медиана, проведенная к основа-
нию, является высотой и биссек-
трисой.
е) Равносторонний треугольник явля-
ется равнобедренным.
ж) В треугольнике можно провести
три медианы.
з) Теорема - утверждение, которое
принимается без доказательства.